✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Профиль пользователя SOVA

Решения

f`(x)=3x^2+6x-9

f`(x)=0

3x^2+6x-9=0

x^2+2x-3=0

D=16

корни -3 и 1

Отрезку [-4;-1/3] принадлежит только -3

Знак производной

[4] _+__ (-3) _____-____ [-1/3]

х=3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Значит в ней и наибольшее значение
f(3)=3^3+3*3^2-9*3-1=27+27-27-1= [b]26[/b]
cos^2x=(1+cos2x)/2

= ∫^(π/2)_(0) (1+сos2x)dx/2=(1/2)* ∫^(π/2)_(0) 1dx+(1/2) ∫ cos2x=

[d(2x)=2dx
dx=d(2x)/2]

=(1/2)x|^(π/2)_(0)+(1/2)*(1/2)*(sin2x)|^(π/2)_(0)=

=(π/4)

2.

d(2x)=2dx
dx=d(2x)/2

(1/2) ∫ ^(3)_(2)d(2x)/(2x)^2-1= (1/2) *(1/2) ln |(2x-1)/(2x+1)|^(3)_(2)=

=(1/4)ln|5/7|-(1/4)ln|3/5|=(1/4)ln|25/21|
Ответ выбран лучшим
3.
Замечаем, что d(x^2)= 2xdx ⇒ xdx=d(x^2)/2


∫ ^(1)_(0)x*e^(x^2)dx=∫ ^(1)_(0)e^(x^2)(1/2)d(x^2) =

=(1/2)e^(x^2)|^(1)_(0) ∫ ^(1)_(0)=(1/2)(e-1)

4

d(x+1)=dx

∫ ^(3)_(0)dx/sqrt(x+1)= ∫ ^(3)_(0)d(x+1)/sqrt(x+1)=2sqrt(x+1)|^(3)_(0)=

=2*sqrt(3+1)-2*(0+1)=4-2=2
Ответ выбран лучшим
4x^2+16x-12=4*(x^2+4x-3)=4*(x^2+4x+4-4-3)=4*((x+2)^2-7)

∫ (2–x)dx/(4x^2+16x–12 ) = (1/4) ∫ (2-x)dx/(x+2)^2-7) =

=замена переменной:

x+2=t
x=t-2
dx=dt

=(1/4) ∫ (2-t+2)dt/(t^2-7)=

интеграл от суммы равен сумме интегралов

=(1/4) ∫ 4dt/(t^2-7) -(1/4) ∫ dt/(t^2-7)=

=(1/sqrt(7))ln|(t-sqrt(7))/(t+sqrt(7))| - (1/8) ln|t^2-7|+C
где t=x+2

два табличных интеграла, первый по первой формуле, второй по второй
Выделяем полный квадрат

x^2-5x+6=x^2-2*x*(5/2)+(25/4) - (25/4)+6=(x-(5/2))^2-(1/4)

Замена
x-(5/2)=t
dx=dt

Табличный интеграл( cм. формулу)
a^2=1/4
a=1/2

О т в е т.= ln|t+sqrt(t^2-(1/4))|+C=ln|x-(5/2)+ sqrt(x^2-5x+6)|+C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Линейное уравнение первого порядка:
y`+(1/cos^2x)*y=(tgx/cos^2x)

Можно решить двумя способами
1)Метод вариации произвольной постоянной

Решают однородное, потом константу С заменяют на C(x)

или
2)метод Бернулли

Решение неоднородного уравнения находят в виде y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение

u`*v+u*v`+ (u*v)/cos^2x=tgx/cos^2x

u`*v+u* [b](v`+ v/cos^2x)[/b]=tgx/cos^2x

Функцию v выбираем так, чтобы
[b](v`+ v/cos^2x)[/b]=0

Тогда
u`*v==tgx/cos^2x

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v`+ v/cos^2x=0 ⇒ dv/v=-dx/cos^2x ⇒ ∫ dv/v= - ∫ dx/cos^2x

ln|v|=-tgx

v=e^(-tgx)

u`*v=tgx/cos^2x

u`e^(-tgx)=tgx/cos^2x

u=e^(tgx)*tgx/cos^2x -уравнение с разделяющимися переменными


du=e^(tgx)*tgxdx/cos^2x

u= ∫ e^(tgx)*tgxdx/cos^2x =(замена переменной t=tgx; dt=dx/cos^2x)=

= ∫ e^(t)*tdt= интегрируем по частям:

=t*e^(t)-e^(t)+C=(tgx-1)*e^(tgx)+C

y=u*v=((tgx-1)*e^(tgx)+C)e^(-tgx)

[b]y=tgx-1+C*e^(-tgx)[/b]- общее решение


y(0)=-1

-1=tg0-1+C*e^(-tg0)

C=0

[b]y=tgx-1[/b]- частное решение
y`=2*(arcsi4x^2)`=2*(1/sqrt(1-(4x^2)^2)) * (4x^2)`=

=2*(1/sqrt(1-(4x^2)^2)) * (8x)=16x/sqrt(1-16x^4)
Пусть событие А- "первый раз взят красный кубик"

Всего кубиков n=11+9=20
красных
m=9
По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=9/20


Пусть событие B- "второй раз взят красный кубик"

Всего кубиков n=20-1=19
красных
m=9-1=8
По формуле классической вероятности
p(B)=m/n=8/19

Пусть событие C- "оба раза взят красный кубик"

С=A*B

По теореме умножения вероятностей
p(C)=p(A)*p(B)

p(C)=(9/20)*(8/19)= умножайте
1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ ), так как функция - многочлен
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=(-x)^3-6(-x)^2+9=-x^3+6x^2+9

f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0

x^3-6x^2+9=0
Три корня
x_(1)= x_(2) x_(3)=

6.интервалы знака постоянства

__-___ (x_(1)) __+__( x_(2)) __-__ (x_(3)) _+_

y > 0 при x_(1) < x< x_(2) и x > x_(3)
y < 0 при x < x_(1) и х_(2) < x < x_(3)

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения как сумма непрерывных функций:
y_(1)=x^2
y_(2)=-6x^2
y_(3)=9

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = -∞

9.асимптоты граф. функции

Нет асимптот,


3.) исследовать с помощью производной

y`=(x^3-6x^2+9)`=(x^3)`-6*(x^2)`+(9)`=3x^2-6*2x+0

y`=3x^2-12x


y`=0
3x^2-12x=0

3x*(x-4)=0
x= 0 или х=4
_+__ (0) __-__(4) ___+_

y` > 0 на (- ∞ ; 0) и на (4; + ∞ ), функция возрастает на (- ∞ ; 0) и на (4; + ∞ )

y`<0 на (0;4), функция убывает на (0 ;4)

х= 0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(0)=0-6*0+9=9

х=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(4)=(4)^3-6*4^2+9=-23


y``=(3x^2-12x)`=3*(x^2)`-12*(x)`=6x-12

y``=0

6x-12=0
x=2

х=2 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

y(2)=2^3-6*2^2+9=7

y`` <0 на (- ∞ ; 2), функция выпукла вверх

y`` > 0 на (2; + ∞ ), функция выпукла вниз

cм. рис. (прикреплено изображение)
Чтобы построить линейный угол двугранного угла надо к линии пересечения (D_(1)C) провести перпендикуляры в каждой плоскости.

В пл DD1C1C
DO⊥ D_(1)C - ( диагонали квадрата DD1C1C взаимно перпендикулярны)
По теореме о трех перпендикулярах AO ⊥ D_(1)C
так как DO - проекция наклонной AO и проекция ⊥ D_(1)C
∠ AOD - линейный угол двугранного угла AD1CD


tg ∠ AOD=a/asqrt(2)/2=sqrt(2)
∠ AOD=arctg(sqrt(2))
(прикреплено изображение)
1.

∫ ^( β)_ (α ) y(t)*x`(t)dt

(см. рис.) Это эллипс, фигура симметричная относительно осей, поэтому можно вычислить четвертую часть и умножить на 4

Точке В соответствует значение параметра t=0
точке А - соответствует (π/2)

[a;b]→ [ (π/2);0]

Поэтому пределы расставлены так как расставлены

S=4 ∫^(0)_(π/2) 9sint*(cost)`dt=-36∫^(0)_(π/2))sin^2tdt=

=36∫^(π/2)_(0)(1-cos2t)dt/2=18(t-sin(2t)/2)|^(π/2)_(0)= [b]9π[/b]

2.

Формула
[b]L= ∫ ^( β )_( α )sqrt(ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2)dφ [/b]

ρ`(φ)=4*(0-cosφ )

ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2= (4*(1-sin))^2+ (-4cos φ)^2=16 - 32sin φ +16sin^2 φ +16cos^2 φ )=32 -32sin φ =32*(1- sinφ)=

=32*(1-cos((π/2)-φ))=16sin^2((π/4)- (φ /2))

sqrt(ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2)= [b]4sin((π/4)- (φ /2))[/b]



L= ∫ ^(2π)_(0) (4sin((π/4)- (φ /2)))d φ = ...
2+3+1=6 частей
Cумма углов треугольника 180°

180°:6=30°в одной части

40; ∠ d=2*30°=60°; ∠ e=3*30°=90°; ∠ f=30°
ОДЗ:
{x^2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0
{2x+4 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2

0,5^(-(x-2)/(2x+4))=2^((x-2)/(2x+4))

10^(x) > 0
x^2>0

40^(x)=4^(x)*10^(x)

Неравенство принимает вид

2^((x-2)/(2x+4)) ≥ 32^(-(x-2)/(2x+4))*4^(x)/16

Далее все стандартно.

2^( α ) ≥ 2^( β ) ⇒ α ≥ β

(x-2)/(2x+4) ≥ 5*(-x+2)/(2x+4) +(2x-4)

(x-2+5x-10-4x^2+16)/(2x+4) ≥ 0

(2x^2-3x-2)/(x+2) ≤ 0

D=25

(2х+1)(х-2)/(х+2) ≤ 0

_-___ (-2) __+__ [-1/2] __-___ [2] __+____

(- ∞ ;-2) U [-1/2;2]

С учетом ОДЗ
[b](- ∞ ;-2) U [-1/2;0) U (0;2][/b]
Выделяем полный квадрат и применяем формулу:
∫ du/(u^2-a^2)=(1/(2a))ln|(u-a)/(u+a)|+C

3x^2-9x+6=3*(x^2-3x+2)=3*((x-(3/2))^2-1/4)

∫ dx/(3x^2–9x+6)=(1/3) ∫ dx/ [b]([/b](x-(3/2))^2-1/4 [b])[/b]

u=x-3/2
du=dx
a^2=1/4

=(1/3)*(1/2*(1/2))ln|(x-(3/2)-(1/2)/(x-(3/2)+(1/2))|+C=

=(1/3)ln|(x-2)/(x-1)|+C

Ответ выбран лучшим
n=C^2_(10)=10!/((10-2)!*2!)=45 способов выбрать из 10 деталей две.


Событие А - "..."

Событию А благоприятствуют исходы

m=

По формуле классической вероятности

p(A)=m/n=...
(tg2x+ctg2x)^2=tg^22x+2tg2x*ctg2x+ctg^22x=tg^22x+2+ctg^22x=

=(tg^22x+1)+(ctg^22x+1)=(1/cos^22x) + (1/sin^22x)


∫ (tg2x+ctg2x)^2 dx= ∫ (1/cos^22x)dx + ∫ (1/sin^22x)dx=(1/2)*(tg2x)+(1/2)*(-ctg2x)+C= [b](tg2x-ctg2x)/2 + C[/b]
Ответ выбран лучшим
S_(пп)=S_(бок)+2*S_(осн)=P_(осн)*Н+2*S_(осн)=

=(a+4+a+a+4+a)*(a+2)+2*(a+4)*a=

=(4a+8)*(a+2)+2a*(a+4)=4a^2+16а+16+2a^2+8a=

=6a^2+24a+16

Так как в параллелепипеде:

d^2=a^2+b^2+c^2

где a;b;c - три его измерения

(sqrt(42))^2=(a+4)^2+a^2+(a+2)^2



42=3a^2+12a+20
3a^2+12a=22
6a^2+24a= [b]44[/b]

Тогда

S_(пп)=(6a^2+24a)+16=44+16= [b]60[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
x=58^(o) - это внутренние накрест лежащие углы при AB||CD и секущей BD.

2.Пусть k - коэффициент попорциональности
a=3k;
b=4k
Р=2*(a+b)

2*(a+b)=8,4

2*(3k+4k)=8,4
14k=8,4
k=0,6

a=3k=3*0,6=1,8
b=4k=4*0,6=2,4

3. Cм. рис.
∠ 1= ∠ 2 - так как биссектриса делит угол пополам
∠ 2= ∠ 3=это внутренние накрест лежащие углы при BС||АD и секущей АК.

ΔАВК - равнобедренный.
АВ=ВК= [b]1,8[/b]
ВС=BК+КС=1,8+3,2= [b]5[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S_(параллелограмма)=a*b*sin45^(o)=2a*asqrt(2)*sqrt(2)/2=2a^2

С другой стороны
S_(параллелограмма)=a*h_(a)

S_(параллелограмма)=b*h_(b)

a>b ⇒ h_(a) < h_(b)

h_(a)=S_(параллелограмма)/a=2a^2/2a=a

[b]H_(параллелепипеда)=а[/b]


б) пл. АВС_(1) и пл. АВС пересекаются по прямой АВ

Чтобы построить линейный угол двугранного угла, надо в каждой из плоскостей провести перпендикуляры к линии пересечения

В основании АВС это высота параллелограмма.

Неясно только АВ - это какая из данных сторон, меньшая или большая.
Условие задачи написано некорректно

в)

S_(бок)=P_(осн)*H= [b]2*(2a+asqrt(2))*a[/b]=...

г)
S_(полн)=S_(бок)+2S_(осн)=

= [b]2*(2a+asqrt(2))*a[/b]+2*2a^2


(x^3+2*2^(x)+2)^3-(x^3+4^(x)+2^(x))^3 >0

Формула a^3-b^3

(x^3+2*2^(x)+2 -x^3-4^(x)-2^(x))* [b]([/b](x^3+2*2^(x)+2)^2+(x^3+2*2^(x)+2)*(x^3+4^(x)+2^(x))+(x^3+4^(x)+2^(x))^2 [b])[/b]>0

(2+2^(x)-4^(x))*(...) >0

(...) >0 при любом х

поэтому и первый множитель положителен

2+2^(x)-4^(x) >0

4^(x)-2^(x)-2 <0
D=1+8=9
корни -1 и 2

-1 < 2^(x) < 2

[b]1/2 < x < 2[/b]

О т в е т. (1/2; 2)
1. По теореме Пифагора вторая сторона
b^2=d^2-a^2=17^2-15^2=(17-15)*(17+15)=64
b=8
V=a*b*H=15*8*10=1200

2.
V=(1/3) S_(осн)*H
S_(осн) = по формуле Герона=84

V=(1/3)*84*6=168
(прикреплено изображение)
Дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^4-2k^3+k^2=0

k^2*(k-1)^2=0

k_(1)=k_(2)=0; k_(3)=k_(4)=1

y=C_(1)e^(0*x)+C_(2)*x*e^(0*x)+C_(3)e^(1*x)+C_(4)*x*e^(1*x)

y=C_(1)+C_(2)*x+C_(3)e^(x)+C_(4)*x*e^(x) - [b] общее решение[/b]

Находим

y`=(C_(1)+C_(2)*x+C_(3)e^(x)+C_(4)*x*e^(x) )`=

=C_(2)+C_(3)e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)


y``=(C_(2)+C_(3)e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x))`=

=C_(3)e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)=

=C_(3)e^(x)+2C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)


y```=(C_(3)e^(x)+2C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x))`=

=C_(3)e^(x)+2C_(4)*e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)=

=C_(3)e^(x)+3C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)


Применяем данные задачи

[b]y(0)=0[/b]
0=C_(1)+C_(2)*0+C_(3)e^(0)+C_(4)*0*e^(0)

[b]0=C_(1)+C_(3)[/b]

[b]y`(0)=0[/b]
0=C_(2)+C_(3)e^(0)+C_(4)*e^(0)+C_(4)*0*e^(0)

[b]0=C_(2)+C_(3)+C_(4)[/b]

[b]y``(0)=1[/b]
1=C_(3)e^(0)+2C_(4)*e^(0)+C_(4)*0*e^(0)

[b]1=C_(3)+2C_(4)[/b]

[b]y```(0)=2[/b]
2=C_(3)e^(0)+3C_(4)*e^(0)+C_(4)*0*e^(0)

[b]2=C_(3)+3C_(4)[/b]


Cистема
{0=C_(1)+C_(3)
{0=C_(2)+C_(3)+C_(4)
{1=C_(3)+2C_(4
{2=C_(3)+3C_(4)


Из четвертого вычитаем третье
[b]1=C_(4)[/b]
тогда
[b]С_(3)=-1[/b]

Из первого

C_(1)=-C_(3)
[b]C_(1)=1[/b]

C_(2)=-C_(3)-C_(4)=-(-1)-1=0

О т в е т. y=1-e^(x)+x*e^(x) - [b] частное решение[/b], соответствующее заданным начальным условиям
Табличный интеграл
∫ u^3du=u^4/4 + C

Метод замены переменной

u=sin7x
du=cos7x*(7x)`dx
du=7cos7xdx ⇒ [b]cos7xdx=1/7du[/b]

∫ sin^37x cos 7x dx=(1/7) ∫ u^3du=(1/7)*(u^4/4) + C=

= [b](1/28)sin^47x + C[/b]
Ответ выбран лучшим

Рисунок нарисован неверно.

на [0;1] кривая y=x^2 расположена [b]выше[/b] кривой y=x^3,

S= ∫ ^(1)_(0)(x^2-x^3)dx= [b]([/b](x^3/3)-(x^4/4) [b])[/b]|^(1)_(0)=

=(1/3)-(1/4)=(4/12)-(3/12)= [b]1/12[/b]
∫ _(L)y/sqrt(x^2+ y^2)dl

x=ρcosφ=2*(1+ cosφ)*cosφ
y=ρsinφ=2*(1 +cosφ)*sinφ

x^2 +y^2=ρ^2=(2*(1 +cosφ))^2

sqrt(x^2+ y^2)=2*(1+ cosφ)


[b]dl= sqrt(ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2)dφ [/b]

ρ`(φ)=2*(0-sin φ )

ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2= (2*(1+ cos φ))^2+ (-2sin φ)^2=4+ 8cos φ + 4cos^2 φ 4sin^2 φ )=

=8 +8cos φ =8*(1+ cos φ)^2=16sin^2( φ /2)

sqrt(ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2)= [b]4сos( φ /2)[/b]


∫ _(L)y/sqrt(x^2+ y^2)dl= ∫ ^(π/2)_(0) [b]([/b] 2*(1+ cosφ)*sinφ/2*(1 +cosφ) [b])[/b]* [b]4сos( φ /2)[/b]d φ =

= ∫ ^(π/2)_(0) sinφ4сos( φ /2)d φ = формула sinα * cosβ

=4 ∫ ^(π/2)_(0) ((1/2)sin(3φ/2)+ (1/2)sin(φ/2)dφ)=

=2*(2/3)*(-cos(3 φ /2))+ 2*2*(-cos( φ /2)) |^(π/2)_(0)= ...
Ответ выбран лучшим
Замена переменной:
1,5πx=t

2sin(t^3)=cost

Не нравится... Аргументы разные.

Может быть

2sin^3t=cost
φ `(x)=(1/6)*(1/(-3x))*(-3x)`=(1/6)*(1/(-3x))*(-3)=1/(6x)
φ `(-1/9)=1/(-6/9)=-3/2
Выделяем полный квадрат
x^2+7x+11=x^2+2*x*(7/2)+(49/4)-(49/4)+11=(x+(7/2))^2-(5/4)

Табличный интеграл
∫ du/(u^2-a^2)=(1/(2a)) * ln|(x-a)/(x+a)|+C

u=(x+(7/2)
du=dx

a^2=5/4

a=sqrt(5)/2

Получим тот ответ, который и написан

2.

x^3=x*x^2

x^3*sqrt(1-x^2)=x*x^2*sqrt(1-x^2)=-x*(-x^2)*sqrt(1-x^2)=

=-x*(1-x^2-1)sqrt(1-x^2)= -x*(1-x^2)*sqrt(1-x^2)+x*sqrt(1-x^2)



∫x^3*sqrt(1-x^2)dx= ∫ [b]([/b]-x*(1-x^2)*sqrt(1-x^2)+x*sqrt(1-x^2) [b])[/b]dx=

= (1/2)∫ (-2x)*(1-x^2)^(3/2) -(1/2)* ∫ (-2x)(1-x^2)^(1/2)dx=

=(1/2) ∫ (1-x^2)^(3/2)d(1-x^2) -(1/2)* ∫ (1-x^2)^(1/2)d(1-2x^2)=

=(1/2) ∫ (u^(3/2))du -(1/2) ∫ u^(1/2)du=


=(1/2) *(1-x^2)^(5/2)/(5/2) - (1/2) * (1-x^2)^(3/2)/(3/2)+C=

=(1/5)sqrt((1-x^2)^5)-(1/3)sqrt((1-x^2)^3)+C

в ответе не должно быть х после (1/3)
При n=1 знаменатель обращается в нуль. Задание некорректно!
Так и скажите преподавателю.

Но метод решения таков

Раскладываем знаменатель на множители

n^2+n-2=(n-1)(n+2)

а дробь на простейшие ( как в интегрировании)

1/(n^2+n-2)= A/(n-1) + B/(n+2)

1=A*(n+2)+B*(n-1)

При n=-2
1=-3B
B=-1/3

При n=1
1=3A
A=1/3

1/(n^2+n-2)= (1/3) * (1/(n-1) - 1/(n+2))

Считаю сумму от двух!

S_(n)=∑^( n )_( [b]2[/b]) (1/3) * [b]([/b]) 1/(n-1) - 1/(n+2) [b])[/b]) =

(1/3) [b]([/b]1-1/4+1/2-1/5+1/4- 1/6 +...

+1/(n-4)-1/(n-1)+1/(n-3)- 1/n+ 1/(n-2) - 1/(n+1)+1/(n-1) - 1/(n+2) [b])[/b]=


=(1/3)* [b]([/b]1 +(1/2)- 1/n -1/(n+1) - 1/(n+2) [b])[/b]


Удобнее записать сумму "лесенкой" : так хорошо просматривается, что сокращается, а что остается


По определению сумма ряда это предел последовательности {S_(n)}

[b]S= lim_(n→∞)S_(n)[/b]=(1/3)*(3/2)= [b]1/2[/b] о т в е т. 1/2


(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
R=lim_(n→∞)(a_(n)/a_(n+1))=lim_(n→∞)(2^(n+1)*(n+1)^2)/(2^(n)*n^2)=

=2*lim_(n→∞)((n+1)^2)/(n^2)=2

_______ (-2) ____

влево и вправо от точки откладываем отрезок равный 2

(-4;0) - интервал сходимости.

Теперь надо проверить сходимость на концах

х=0
∑1/n^2 - сходится

( обобщенный гармонический ряд сходится при p=2 >1 )

x=-4

Получаем знакочередующийся ряд
∑(-1)^(n)/n^2 - сходится сходится абсолютно, потому что сходится ряд из модулей ∑1/n^2

О т в е т. [-4;0]
Ответ выбран лучшим
Знакочередующийся ряд.

Рассмотрим ряд из модулей

∑^(∞)_(0)1/(2n+1)*2^(2n+1) ряд сходится, так как сходится

∑^(∞)_(0)1/2^(2n+1)

который сходится, потому что сходится

несобственный интеграл


∫ ^(∞)_(0)dx/(2^(2x+1))=(-1/2)∫ ^(∞)_(0)(2^(-2x-1)d(-2x-1))=

=(-1/2)*(2^(-2x-1)/ln2)|^(+ ∞ )_(0)= (-1/2)*0+(1/2)2^(-1)/ln2=

=1/(4ln2)

Данный ряд сходится абсолютно
Ответ выбран лучшим
Ряд сходится по признаку сравнения, так как сходится интеграл
∫ ^(+ ∞ )_(2)dx/(x+7)ln^2(x+7)= ∫ ^(+ ∞ )_(2)d(ln(x+7))/ln^2(x+7)=

=(- 1/ln(x+7)}|^(+ ∞ )_(2)=0+(1/ln9)
Ответ выбран лучшим
Замена переменной
x-1=t
t→0
x=t+1

sinπx=sinπ(t+1)=sin(πt+π)=-sinπt

(e^(-sinπt)-1)/(-sinπt)→ 1 при t→0


lim_(t→0) [b]([/b] (e^(-sinπt)-1)/(-sinπt) * (-sinπt/t) [b] )[/b]^((t+1)^2+1)=

=lim_(t→0) [b]([/b] 1 * (-π*sinπt/πt)[b] )[/b]^(t^2+2t+1+1)=(-π)^2=π^2
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{2x>0 ⇒ x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{4x >0 ⇒ x >0

(0;1/2)U(1/2;+∞)


Переходим к основанию 2:

log_(2)8/(log_(2)2x) ≤ log_(2)(4x)-3

3/(log_(2)2+log_(2)x) ≤ (log_(2)(4)+log_(2)x)- 3


3/(1+log_(2)x) ≤ (2+log_(2)x)- 3

Замена переменной:
log_(2)x=t

3/(1+t) ≤ t-1

(3-(1+t)*(t-1))/(1+t) ≤ 0

(4-t^2)/(1+t) ≤ 0

(t-2)*(t+2)/(t+1) ≥0

Применяем метод интервалов:

_-___ [-2] _+__ (-1) ____-_____ [2] __+__

-2 ≤ t < -1 или t ≥ 2

- 2 ≤ log_(2)x < -1 или log_(2)x ≥ 2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, поэтому

1/4 ≤ х < 1/2 или х ≥ 4

С учетом ОДЗ получаем ответ

[1/4;1/2)U[4;+ ∞ )
ОДЗ:
{x+2>0 ⇒ x > –2
{x+2 ≠ 1 ⇒ x ≠ –1
{2x+5>0 ⇒ x > –5/2

х ∈ (–2;–1)U(–1;+ ∞ )

(x–2)·logx+2(2x+5)– (x–2) ≥ 0

(x–2)·(logx+2(2x+5) –1 ) ≥ 0

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
logx+2(2x+5) –1 можно заменить на
(x+2–1)*(2x+5–x–2)


(x-2)*(x+1)*(x+3) ≥ 0

Отмечаем на ОДЗ нули функции f(x)=(x-2)(x+1)(x+3)
и расставляем знаки:

(–2) _+__ (–1) ___-____[2] __+__

О т в е т. [b] (-2;-1)U[2;+ ∞ )[/b]
4.
Складываем
cosx*cosy+sinxsiny=-a^2+3a-1
cos(x-y)=-a^2+3a-1

|-a^2+3a-1| ≤ 1 ⇒

{-a^2+3a-1 ≤ 1⇒a^2-3a+2≥0 ⇒ a ≤1 или a≥2
{-a^2+3a-1 ≥ -1 ⇒ a^2-3a ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a ≤ 3

Уравнение имеет решения при a ∈ [0;1]U[2;3]

[b]x-y= ± arccos(-a^2+3a-1)[/b]

Вычитаем
cosx*cosy-sinxsiny=-a^2-3a-1
cos(x+y)=-a^2-3a-1
|-a^2-3a-1| ≤ 1 ⇒

{-a^2-3a-1 ≤ 1⇒a^2+3a+2≥0 ⇒ a ≤-2 или a≥-1
{-a^2-3a-1 ≥ -1 ⇒ a^2+3a ≤ 0 ⇒ -3 ≤ a ≤ 0

Уравнение имеет решения при a ∈ [-3;-2]U[-1;0]
[b]x+y= ± arccos(-a^2-3a-1)[/b]

Значение a,общее для двух случаев, это а=0

Решаем систему при а =0

5.
ОДЗ:
х ≥ -а

возводим в квадрат при условии, что x+3 ≥0
x+a=x^2+6x+9

x^2+5x+9-a=0

D=25-4*(9-a)=25-36+4a=4a-11
При
D = 0, т.е. при а=11/4 квадратное уравнение имеет один корень
x=-5/2
но так как
-5/2≥ -11/4 - неверно, корень не удовлетворяет ОДЗ

т. е при a >11/4 квадратное уравнение x^2+6x+9-a=0
имеет один или два корня,

надо проверить какой из низ не удовлетворяет одз
Ответ выбран лучшим
y-3=sqrt(x^2/2)+z^2/3)

y=sqrt((x^2/2)+(z^2/3))+3 - уравнение конической поверхности.


При y=1 получаем уравнение линии пересечения

(1–3)^2=(x^2/2)+(z^2/3)

(x^2/2)+(z^2/3)=4

Делим на 4

[b](x^2/8)+(z^2/12)=1[/b] - эллипс

Область D на плоскости xOz ограничена эллипсом
(x^2/8)+(z^2/12)=1

V= ∫ ∫ _(D)(1)^2 (1 - sqrt(x^2/2)+(z^2/3))-3)dxdz=

Переходим к обобщенным полярным координатам
x=sqrt(8)rcos φ
y=sqrt(12)rsin φ
| якобиана|=πsqrt(8)*sqrt(12)drd φ

1 - sqrt(x^2/2)+(z^2/3))-3 =-2 - sqrt(4r^2)= [b]-2-2r[/b]

0< φ < 2π

= ∫ ^(2π)_(0)d φ ∫^(1) _(0)(-2-2r)πsqrt(8)*sqrt(12)dr =
Ответ выбран лучшим
((-2)^2-3)*(3-(-2)+(-2)^3)=(4-3)*(3+2-8)=1*(-3)=-3
У правильной четырехугольной пирамиды в основании квадрат
Пусть сторона квадрата равна a.

Конус вписан в пирамиду. Значит окружность вписана в квадрат.
r=a/2

Высота у пирамиды и конуса общая, Н.

V_(пирамиды)=(1/3)a^2*H

V_(конуса)=(1/3)πr^2*H=(1/3)π*(a/2)^2*H


V_(пирамиды) : V_(конуса)=((1/3)a^2*H ): ((1/3)π*(a/2)^2*H)=

= [b]4/π[/b]
Ответ выбран лучшим
По формуле:
L= ∫ ^( β)_( α )sqrt(ρ^(2)( φ )+(ρ`( φ ))^2)d φ

ρ=3*(1-cos φ )
ρ`=3*(sinx φ )

ρ^2+(ρ`)^2=9*(1-cos φ )^2+9sin^2 φ =18-18cos φ =36sin^2( φ /2)

sqrt(ρ^(2)( φ )+(ρ`( φ ))^2)=6sin( φ/2)

L= ∫ ^(2π)_( 0 )6sin(φ/2)dφ =12(-cos( φ /2))|^(2π)_(0)=

=-24*(cosπ-cos0)=48 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл: ∫ du/u=ln|u|+C
u=lnx
du=(lnx)`dx
du=dx/x

∫ ^(+ ∞)_(2)dx/(x*lnx)= ∫∫ ^(+ ∞)_(2)d(lnx)/lnx=ln|lnx||^(+ ∞ )_(2)

Расходится, так как

ln|ln(x ))→+∞ при х →+∞
Ответ выбран лучшим
S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)=2πR*H+2*πR^2

2πR*H+2*πR^2=108π ⇒ [b]R*H+R^2=54[/b]

S_(осевого сеч.)=2R*H

2R*H= 100

[b]R*H=50[/b]

Система двух уравнений с двумя переменными
{R*H+R^2=54
{R*H=50

R^2=4

R=2

H=25

V=S_(осн)*H=πR^2*H=π*4*25=100π см^3
Ответ выбран лучшим
H=6 cм
R=8 cм
L=10 cм по теореме Пифагора

S_(пп)=S_(бп)+S_(осн)=πRL+πR^2=π*8*(10+8)=144π

V=(1/3)S_(осн)*Н=(1/3)*πR^2*H=(1/3)*π*8^2*6=128π (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
х+2 ≥ ⇒ х ≥-2

Разложим числитель на множители способом группировки:
( 35^(|x|)-5^(|x|) )- 5*(7^(|x|)-1)/(2^(sqrt(x+2))+1) ≥ 0

(5^(|x|)-5)*(7^(|x|)-1)/(2^(sqrt(x+2))+1) ≥ 0

Метод интервалов:
|x|=1 ⇒ x= ± 1
|x|=0 ⇒ x=0

[-2] _-_ [-1] _+_ [0] _-_ [1] _+__

О т в е т. [-1;0] U[1;+ ∞ )

Замена переменной:
|2x-6|^(x+1)=t

t>0
|2x-6|^(-x-1)=1/t
х≠3
Неравенство примет вид:

t+(1/t) ≤ 2

t>0
t^2-2t+1 ≤ 0 ⇒ t=1 - единственное решение неравенства.

Обратный переход
|2x-6|^(x+1)=1
x+1=0
[b]x=-1[/b]

О т в е т. [b]-1[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
Треугольник АВС - правильный,
значит АВ=ВС=АС=3

КА=КВ=КС
Δ AKB - равнобедренный.
Медиана КМ является одновременной и высотой.
S_( Δ AKB)=(1/2)AB*KM

По условию S_( Δ AKB)=12, значит
(1/2)AB*KM=12
АВ=3
(3/2)*KM=12
KM=12:(3/2)
[b]KM=8[/b]

2.
Треугольник АВС - правильный,
значит АВ=ВС=АС=5

КА=КВ=КС
Δ AKB - равнобедренный.
Медиана КP является одновременной и высотой.

[b]S_( Δ AKB)[/b]=(1/2)AB*KP=(1/2)*5*6= [b]15[/b]
Логарифмируем, считая что это возможно, т.е накладываем ограничения на основания, которые потом можно снять

lgx^(x+y)=lgy^12 ⇒ (x+y)lgx=12lgy ⇒ x+y=12lgy/lgx
lgy^(x+y)=lgx^3 ⇒ (x+y)lgy=3lgx ⇒ x+y=3lgx/lgy

12lgy/lgx=3lgx/lgy

12lg^2y=3lg^2x
4lg^2y=lg^2x

2lgy=lgx или -2lgy=lgx

x=y^2 или x=1/y^2

Подставляем в любое уравнение данной системы
например, в первое

(y^2)^(y^2+y)=y^(12) ⇒ y^(2y^2+2y)=y^(12) ⇒ [b] 2y^2+2y=12[/b]
или
(1/y^2)^((1/y^2)+y)=y^(12) ⇒ y^(-2/y^2)-2y)=y^(12) ⇒ [b] (-2/y^2)-2y=12[/b]

теперь найти корни не составит труда
Ответ выбран лучшим
f(x)=1/(π/2), x∈ (0;π/2)
y=cosx монотонно убывает на (0;π/2) обратима, обратная к ней
x=arccosy
значит ψ(y)=arccosy
ψ`(y)=(arccosy)`=-1/sqrt(1-y^2)


f(ψ(y))=1/(π/2)

согласно формуле ( cм. приложение)

[b]g(y)=(1/(π/2)) * (-1/sqrt(1-y^2))[/b]



(прикреплено изображение)
Графиками функций являются две параболы, пересекающиеся в точках 0 и 1.

Фигура, ограниченная графиками представлена на рисунке.
Так как криволинейной трапецией является только та часть фигуры, которая расположена выше оси оси, то площадь всей фигуры

S=2S_(криволин. трапеции)=2* ∫ ^(1)_(0)(x-x^2)dx=

=2*((x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(0)=2*((1/2)-(1/3))=2/6= [b]1/3[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Применяем правила интегрирования: интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
И формулу интеграла от степенной функции
∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1)


∫(8х +41+х^2 +7х^3)dх=8*(x^2/2)+41x+(x^3/3)+7*(x^4/4)+C=

= [b]4x^2+41x+(1/3)x^3+(7/4)x^4+C[/b]
Так как в числителе неопределенность ( ∞ - ∞ ),
умножаем и числитель знаменатель на
sqrt(x+4)+sqrt(4x-2)
Применяем формулу разности квадратов.
В числителе
x+4-(4x-2)=6-3x

Теперь имеем неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим на х
Причем в знаменателе в первой скобке каждое слагаемое на sqrt(x) и во второй на sqrt(x)

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
cos2x=cos^2x-sin^2x
sin2x=2sinxcosx

Уравнение принимает вид

sin^2x-2sinxcosx-3cos^2x=0 - однородное второй степени.
Делим на сos^2x ≠ 0

tg^2x-2tgx-3=0
D=4-4*(-3)=16

tgx=-1 или tgx=3
[b]x=(-π/4)+πk, k ∈ Z[/b] или [b]x=arctg3 +πn, n ∈ Z[/b]

б) Указанному промежутку принадлежат корни
x_(1)=(-π/4)-4π=-17π/4
x_(2)=arctg3-4π
x_(3)=(-π/4)-3π=-13π/4
Cм. рис. (прикреплено изображение)
Выносим за скобки 3^(x) и в числителе и в знаменателе:
lim_(x→ - ∞)((4/3)^(x)+3)/(4*(4/3)^(x)+1)= (0+3)/(4*0+1)=3

(4/3) > 1
Показательная функция возрастает, и стремится к 0 при х →- ∞

О т в е т. 3
Ответ выбран лучшим
Применяем формулу суммы n- первых членов геометрической прогрессии

S_(n)=b_(1)*(1-q^n)/(1-q)

В числителе получим

1*(1-(1/3)^n)/(1-1/3) →3/2, так как (1/3)^(n)→0 при n→ ∞

В числителе получим

1*(1-(-1/3)^n)/(1-(-1/4) →4/5, при n→ ∞

О т в е т. (3/2)/(4/5)=
Ответ выбран лучшим
При x→+ ∞
3^(x)→+ ∞
3^(x+1)→+ ∞
Поэтому при x→+ ∞ имеем неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим на 3^(x+1)
получим в числителе
(1/3)+(2/3^(x+1)) → (1/3)+0
в знаменателе 1 - (1/3^(x+1)) → 1- 0

О т в е т. (1/3)/1=1/3

При x→- ∞
3^(x)→0
3^(x+1)→0
Поэтому при x→-∞ имеем (0+2)/(0-1)=-2

Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{8-x>0⇒ x < 8
{8-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 7
{(x-8)^(10)/(x-1)>0 ⇒ x-1>0; x ≠ 8
ОДЗ: х ∈ (1;7)U(7;8)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(8-x-1)(x-8)^10/(x-1) - (8-x)^(10)) ≥ 0

(x-8)^(10)=(8-x)^10

(7-х)*(х-8)^(10)*(1-x+1)/(x-1) ≥ 0

(х-8)^(10)*(x-7)*(x-2)/(x-1) ≥ 0
C учетом ОДЗ
[b](1;2] U (7;8)[/b]

Второе неравенство: приводим к общему знаменателю:

[b]([/b](x^2-9x+15)*(x-7)+(x^2-7x+4)*(x-2)-(2x-7)*(x-2)*(x-7) [b])[/b]/(x-2)(x-7) ≤ 0

Упрощаем:
(5x-15)/(x-2)(x-7) ≤ 0
Применяем метод интервалов:
___-_ (2) __+_ [3] _-__ (7) _+__

с учетом ОДЗ:
[b](1 ;2) U[3;7)[/b]

Пересечение множеств:
(1;2) - о т в е т
Ответ выбран лучшим
b_(1);
b_(2)=b_(1)q
b_(3)=b_(1)q^2

a_(1)=b_(1);
a_(2)=b_(2)+5=b_(1)q+5
a_(3)=b_(3)=b_(1)q^2

d=a_(2)-a_(1)=a_(3)-a_(2)

b_(1)q+5-b_(1)=b_(1)q^2-b_(1)q-5

b_(1)*(q-1)=b_(1)*q(q-1)-10

b_(1)*(q-1)-b_(1)*q(q-1)+10=0

-b_(1)(q-1)^2+10=0

(q-1)^2=10/b_(1)

Невозможно ответить на вопрос

Проверьте условие...
Делим на x^5
В числителе 100 слагаемых, делим каждое на x^5
(2x+1)^5/x^5=применяем свойства степени ((2х+1)/х )^5=(2+(1/x))^5

и так же в других скобках.
О т в е т. 100*2^(5)/10=10*2^5=320
Ответ выбран лучшим
x_(1)=1-(2/(1+sqrt(5)))=1+sqrt(5)-2)/(1+sqrt(5))=(sqrt(5)-1)/(sqrt(5)+1)

f(x_(1))=100*((sqrt(5)-1)/(sqrt(5)+1) - 1/5)^2=...

x_(2)=0+ (1/(1+sqrt(5)))=1-sqrt(5)/(1-5)=sqrt(5)-1)/4

f(x_(2))= (прикреплено изображение)
Неопределённость (∞ / ∞ )
Делим на х^2:

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на x
Делим почленно, т. е каждое слагаемое числителя делим на x и каждое слагаемое знаменателя делим на x.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По формуле:
du/dt=(∂u/∂x)*dx/dt+(∂u/∂y)*dy/dt

∂u/∂x=u`_(x)=(ln(e^(x)+e^(-y)))`_(x)=(e^(x)+e^(-y))`_(x)/(e^(x)+e^(-y))=

= [b]e^(x)/(e^(x)+e^(-y))[/b]

∂u/∂y=u`_(y)=(ln(e^(x)+e^(-y)))`_(y)=по формуле производной логарифмической функции и по правилу нахождения производной сложной функции
(lnx)`=1/x, но ln(f(x))=f`(x)/f(x)

=(e^(x)+e^(-y))`_(y)/(e^(x)+e^(-y))=

= [b]-e^(-y)/(e^(x)+e^(-y))[/b]

dx/dt=x`(t)=2t
dx/dy=y`(t)=3t^2

О т в е т. du/dt= [b](e^(x)/(e^(x)+e^(-y)))*2t+(-e^(-y)/(e^(x)+e^(-y)))*3t^2[/b]

можно упростить:

du/dt=(e^(x)*2t-e^(-y)*3t^2)/(e^(x)+e^(-y))
Ответ выбран лучшим
1.
В основании квадрат со стороной 4
Его площадь
S_(квадрата)=4^2=16
Найдем диагональ квадрата.
АС^2=4^2+4^2
AC=4sqrt(2)
Диагонали квадрата равны, в точке пересечения делятся пополам
AO=AC/2=2sqrt(2)

SO=H

По теореме Пифагора из треугольника SAO
SO^2=AS^2-AO^2=(2sqrt(11))^2-(2sqrt(2))^2=44-8=36
SO=6

V=(1/3)S_(осн)*Н=(1/3)S_(квадрата)*Н=(1/3)*16*6=32

2.
В основании равносторонний треугольник со стороной 18
Боковые ребра равны между собой
DA=DB=DC

По теореме Пифагора апофема боковой грани
DK^2=DB^2-KB^2=15^2-9^2=225-81=144
DK=12

S_(бок)=3S_( ΔDBC)=3*(1/2)*BC*DK=(3/2)*18*12=324 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
9.
Площадь, которую надо покрыть - площадь двух равных прямоугольников. Одна сторона известна, она равна 8, вторую находим из прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3, она равна 5
S=2*8*5=80

7.
V=abc
a=8;
b=5
c=V/ab=280/(8*5)=7

Н=с=7

S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)=P_(осн)*Н+2*a*b=2*(8+5)*6+2*8*5=
=156+80= [b]236[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
14.
S_(равностороннего треугольника со стороной а)=a^2sqrt(3)/4

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*(1*sqrt(3)/4)*(32sqrt(3))= [b]8[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Прямая [b]y=x [/b] разбивает координатную плоскость на две области:
x>y и х < y
См. рис.1 Область x > y закрашена красным цветом. Прямая нарисована пунктиром, так как неравенство нестрогое.
Аналогично рис.2 показывает как расположено множество точек
2x+y< 32 на координатной плоскости
на рис. 3 - множество точек x+2y>28

На рис, 4 пересечение всех трех областей:
Треугольник АВС.

Вершина треугольника точка С имеет целые координаты, но не входит в область.
Три точки черного цвета с целочисленными координатами тоже, так как лежат на пунктирных линиях.
Внутри области одна точка (11;9) (прикреплено изображение)
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на x
Делим почленно, т. е каждое слагаемое числителя делим на x и каждое слагаемое знаменателя делим на x.

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на x^3 ( x в наибольшей степени)
Делим почленно, т. е каждое слагаемое числителя делим на x^3 и каждое слагаемое знаменателя делим на x^3.

lim_(x→∞)((5/x)-1-(15/x^3))/((1/x)-(16/x^3))=(0-1-0)/(0-0)=-1/0= ∞

Можно и так :
вынести за скобки из числителя x^2 и из знаменателя x^2 и сократить на них: (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Cоставляем уравнение высот АD и ВD.
Далее составляем уравнение перпендикулярных им прямых, проходящих, одна через точку В, другая через через точку А
Уравнение АВ - уравнение прямой, проходящей через две точки.
Ответ выбран лучшим
По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-а
х_(1)*х_(2)=3

х^2_(1)+x^2_(2)=(x_(1)+x_(1))^2-2*x_(1)*x_(2)=a^2-6

a^2-6=19
a^2=25

[b]a= ± 5[/b]
Ответ выбран лучшим
Так и есть по ответам, треугольник прямоугольный равнобедренный.

Угловой коэффициент гипотенузы
k_(гипотенузы)=-2/3

значит tgα=-2/3

Пусть угловой коэффициент одного катета
k_(1)

значит tgβ =k_(1)

Формула тангенса разности двух углов

tg( α - β ) =(tg α -tg β )/(1+tg α *tg β )

α - β =45^(o)

tg45^(o)=1

((-2/3) -k_(1) )/(1+(-2/3) *k_(1) )=1
находим k_(1) и уравнение прямой первого катета, подставив координаты точки С в уравнение
y=k_(1)x+b


Так как катеты взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент второй прямой k_(2)=-1/k_(1) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Прямая, перпендикулярная СМ имеет вид:
y=(-1/2)x+b
Подставляем координаты точки А
2=b
[b]y=(-1/2)x+2 - уравнение АВ[/b]

Прямая, перпендикулярная ВМ имеет вид:
y=x+b
Подставляем координаты точки А
2=b
[b]y=х+2 - уравнение АС[/b]

Находим координаты точки B, как точки пересечения высоты ВМ и стороны АВ:
{х+у–4=0
{y=(-1/2)x+2

(-1/2)x+2=-x+4
x=4
y=0
[b]B(4;0)[/b]

Находим координаты точки С, как точки пересечения высоты СМ и стороны АС:
{y=2x
{y=x+2

2x=x+2
x=2
y=4
[b]C(2;4)[/b]
Составляем уравнение стороны ВС, как прямой проходящей через две точки В и С:
y=kx+b

0=4k+b
4=2k+b

k=-2

b=8

[b]y=-2x+8[/b] - уравнение ВС (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Предел зависит от того как x→0 и y→0
Например, пусть y=kx
(x-y)/(x^2+y^2)=(x-kx)/(x^2+k^2x^2)=(1-k)/(x+kx)

Это говорит о том, что есть повторные пределы, но предела в точке нет, по-моему.

Наименьшее пятизначное число делящееся на 7
10 003
Наибольшее пятизначное число делящееся на 7
99 995
10 003:6>1667
99 995:6> 16665

По таблице кубов ( cм. приложение выбираем подходящий вариант) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Очевидно, что точка А не принадлежит ни одной из данных сторон, подставляем ее координаты в уравнение и убеждаемся, что координаты не удовлетворяют ни первому , ни второму уравнению
3*(-2)-4*1+5=0- неверно
4*(-2)+3*1-7=0 -неверно


Так как прямые
3х–4у+5=0 и 4х+3у–7=0
пересекаются под прямым углом, то дальнейшее решение видно из рисунка.
На рисунке проводим через точку А две прямые, перпендикулярные данным ( или параллельные данным как хотите)
Можно и так и так.

Находим уравнение прямой перпендикулярной
3х–4у+5=0
y=(3/4)x+(5/4)
k=3/4

Значит k=-4/3 - угловой коэффициент перпендикулярной прямой

y=(-4/3)x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки А
1=(-4/3)*2+b
b=11/3
y=(-4/3)x+(11/3)
[b]4x+3y-11=0[/b]

Находим уравнение прямой перпендикулярной
4х+3у–7=0
y=(-4/3)x+(7/3)
k=-4/3

Значит k=3/4 - угловой коэффициент перпендикулярной прямой

y=(3/4)x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки А
1=(3/4)*2+b
b=-1/2
y=(3/4)x+(-1/2)
[b]3x-4y-1=0[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Найдем точку пересечения смежных сторон
{x+y+5=0
{x-4y=0 ⇒ x=4y
4y+y+5=0
5y=-5
y=-1
x=-4
А(-1;-4)
Р-середина диагонали АС
Значит, можем найти координаты точки С

x_(P)=(x_(A)+x_(C))/2 ⇒ x_(C)=2x_(P)-x_(A)=2*2-(-1)=5
y_(P)=(y_(A)+y_(C))/2 ⇒ y_(C)=2y_(P)-y_(A)=2*(-2)-(-4)=8

C(5;8)

Две другие стороны параллельны данным
Запишем данные уравнения в виде уравнений с угловым коэффициентом
x+y+5=0⇒y=-x-5
k=-1
Значит уравнение параллельной стороны имеет вид
y=-x+b
Для нахождения b подставляем координаты точки С:
8=-5+b
b=13
y=-x+13
[b]x+y-13=0[/b]

x-4y=0 ⇒ y=(1/4)x
Значит уравнение параллельной стороны имеет вид
y=y=(1/4)x+b

Для нахождения b подставляем координаты точки С:
8=(1/4)*(5)+b
b=8-(5/4)=27/4

y=(1/4)x+(27/4)

[b]x-4y+27=0
[/b]
Ответ выбран лучшим
H=13 cм


S_(бок. пов)=2πr*H=2π*1*13= [b]26π[/b]
S_(осн)=πr^2= [b]π[/b]
S_(полной поверхности)=S(бок. пов)+2S_(осн)=26π+2π= [b]28π[/b]

V_(цилиндра)=S_(осн)*H=π*13= [b]13*π[/b]

Рисунок к задаче необязателен. Вы же представляете, что такое цилиндр.
Из прямоугольного треугольника АРО по теореме Пифагора:
PO^2=AP^2-AO^2=10^2-6^2=100-36=64
PO=8
H=PO=8

S_(осевого сечения)=2r*H=2*6*8= [b]96[/b]
S_(бок. пов)=πrl=π*6*10= [b]60π[/b]
S_(осн)=πr^2= [b]36π[/b]
S_(полной поверхности)=S(бок. пов)+S_(осн)=60π+36π= [b]96π[/b]

V_(конуса)=S_(осн)*H=36π*8= [b]288π[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=8x-2
z`_(y)=18y+4

{8x-2=0
{18y+4=0

x=1/4; y=-2/9

M(1/4;-2/9)

z``_(xx)=8
z``_(xy)=0
z``_(yy)=18

A=z``_(xx)(M)=8
C=z``_(xy)(M)=0
B=z``_(yy)(M)=18

Δ=АВ-С^2=8*18-0*0>0
Есть экстремум в точке М
Минимум, так как А >0
∂z/∂x= постоянный множитель y выносим за знак производной, далее производная степенной функции=

y*((y^2-a^2x^2)^(-1))`_(x)=y*(-1)*(y^2-a^2x^2)^(-2)*(y^2-a^2x^2)`_(x)=

=-(-2a^2x)/(y^2-a^2x^2)^2=(2a^2x)/(y^2-a^2x^2)^2

∂z/∂y=применяем формулу производной дроби

=(1*(y^2-a^2x^2)-y*(y^2-a^2x^2)`)/(y^2-a^2x^2)^2=

=(y^2-a^2x^2-y*(2y))/(y^2-a^2x^2)^2=(-y^2-a^2x^2)/(y^2-a^2x^2)^2

∂^2z/∂x^2=(∂z/∂x)`_(x)=((2a^2x)/(y^2-a^2x^2)^2)`_(x)
применяем формулу производной дроби
...
∂^2z/∂y^2=(∂z/∂y)`_(y)=((-y^2-a^2x^2)/(y^2-a^2x^2)^2)`_(y)
применяем формулу производной дроби
...
считайте

du/dx=du/dx+(∂u/∂y)*(dy/dx)+(∂u/∂z)*(dz/dx)=

du/dx=(y-z)*(e^(x)/x^2)`_(x)=(y-z)*(e^(x)*x^2-2x*e^(x))/x^4=
=(y-z)*e^(x)(x-2)/x^3

(∂u/∂y)=(e^(x)/x^2)*(y-z)`_(y)=(e^(x)/x^2)*1=(e^(x)/x^2)
(∂u/∂z)=(e^(x)/x^2)*(y-z)`_(z)=(e^(x)/x^2)*(-1)= - (e^(x)/x^2)

dy/dx=(sinx)`_(x) = cosx
dz/dx=(cosx)`_(x) = - sinx

О т в е т.

du/dx= [b] (y-z)*e^(x)(x-2)/x^3 + (e^(x)/x^2)* cosx - (e^(x)/x^2)*(-sinx)[/b]
S_(сферы)= [b]4πR^2[/b]

4πR^2=36π ⇒ R^2=9 ⇒ [b]R=3[/b]

V=(4/3)πR^3=(4/3)*π*3^3= [b]36π[/b]
Ответ выбран лучшим
в) AB: 5х+4у-7=0 ⇒ y=(-5/4)x+(7/4)
CC_(2): y=(4/5)x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки С
3=(4/5)*5+b
b=-1

y=(4/5)x-1
или
4х-5у-1=0 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x^4/(x^2-12x+36) > 0 ⇒ х - любое, x≠ 0; х ≠ 6
{6-x>0 ⇒ x < 6
{6-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 5

(- ∞ ;0)U(0;5)U(5;6)

0,5=1/2=2^(-1)

0,5^(x-1)=2^(1-x)
0,5^(x+2)=2^(-x-2)

Замена переменной:
2^(x)=t
t>0
2^(-x)=1/t
4^(x)=t^2

2^(x+2)=2^(x)*2^(2)=4t
2^(-x-2)=1/(4t)
2^(1-x)=2/t

Первое неравенство принимает вид:
((50/t)-(t/4))/(4t-t^2) ≥ 1/(4t)

Приводим к общему знаменателю и упрощаем
(200-t^2)/(4t*(4t-t^2) - 1/(4t) ≥ 0


(200-t^2-4t+t^2)/(4t^2*(4-t)) ≥ 0

4*(50-t)/(4t^2*(4-t)) ≥ 0

(t-50)/(t^2*(t-4)) ≥ 0

Применяем метод интервалов:

_+__ (0) __+___ (4) ___-__ [50] __+___

Учитывая, что t >0
0 < t < 4 или t ≥ 50

Обратный переход
0 < 2^(x) < 2^2 или 2^(2) ≥ 2^(log_(2)50)
Учитывая что 2^(x) возрастающая функция получаем :
x∈ (- ∞ ;2) U [log_(2)50;+ ∞ )

5=log_(2)32 < log_(2)50 < log_(2)64=6
поэтому
с учетом ОДЗ получаем о т в е т первого неравенства

[b]x∈ (- ∞ ;0)U(0; 2) U [log_(2)50;6) [/b]

Для решения второго неравенства применяем [b]метод рационализации логарифмических неравенств:[/b]

(6-x-1)*((x^4/(x^2-12x-36)) - 1) ≤ 0

(5-x)*((x^2)^2-(x-6)^2)/(x-6)^2 ≤ 0

(5-х)*(x^2-x+6)*(x^2+x-6)/(x-6)^2 ≤ 0

x^2-x+6=0
D=1-4*6 <0
x^2-x+6 > 0 при любом х

x^2+x-6=0
D=1+24=25
х_(1)=-3; х_(2)=2

(x-5)(x+3)(x-2)/(x-6)^2 ≥ 0

_-__ [-3] __+__ [2] _-__ [5] __+__ (6) __+__

x ∈ [-3;2] U[5;6) U(6;+ ∞ )
с учетом ОДЗ получаем о т в е т второго неравенства
[b]x ∈ [-3;0)U(0;2] U(5;6)[/b]

Находим решение системы, как пересечение множеств:
{x∈ (- ∞ ;0)U(0; 2) U [log_(2)50;6)
{x ∈ [-3;0) U(0;2] U(5;6)


О т в е т. [b] [-3;0)U(0;2)U[log_(2)50;6)[/b]
Ответ выбран лучшим
Область определения х ≠ ± 3

См. график.
x=-3; x=3 - вертикальные асимптоты
y=2 - горизонтальная асимптота.

y`=((4x+5)*(x^2-9)-(2x^2+5x-9)*(2x))/(x^2-9)^2

y`=(-5x^2-18х-45)/(x^2-9)^2

y`=0
-5x^2-18x-45=0
5x^2+18x+45=0
D=18^2-4*5*45 <0
Уравнение не имеет корней,
значит
--5x^2-18х-45< 0 при любом х ≠ ± 3

y` < 0 при любом х ≠ ± 3

Функция убывает на (- ∞ ;-3) и на (-3;3) и на (3;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
Найдем точку пересечения
{8х+4у–3=0
{х–у=0 ⇒ y=x и подставляем в первое

8*х+4*х-3=0
12х=3
х=1/4
y=1/4

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Угловой коэффициент прямой 8х+4у–3=0
найдем, если запишем уравнение по-другому
Выразим y
4y=-8x+3
y=-2x+(3/4)
k=-2

Значит угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен (1/2)

y=(1/2)x+b

Чтобы найти b подставим координаты найденной точки пересечения:
1/4=(1/2)*(1/4)+b
b=1/8

О т в е т. y=(1/2)x+(1/8) или 4х-8у+1=0
Ответ выбран лучшим
a=12
σ=sqrt(D(x))=sqrt(4)=2
x_(2)=14
(x_(2)-a)/σ=(14-12)/2=1
(x_(1)-a)/σ=(11-12)/2=-1/2

Ф(1)=0,3413

Ф(-1/2)=-Ф(1/2)=-0,1915

P(11<x<14)=Ф(1)-(-Ф(1/2))=Ф(1)+Ф(1/2)=0,3413+0,1915=

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Из прямоугольного треугольника АВС
BC=btg α

Из прямоугольного треугольника ВВ_(1)С
Н=BB_(1)=BC*tg α =btg^2 α

V=S_(осн)*Н=(1/2)*АС*ВС*ВВ_(1)=(1/2)*b*btg α *b*tg^2 α =
= [b](1/2)b^2*tg^3 α [/b]

2. Есть готовое решение: (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.

V=S_(осн)*Н
Н=10 cм ( призма прямая, боковое ребро и есть высота)

В основании равнобедренная трапеция
Высота трапеции
h^2=5^2-3^3=16
h=4
(см. рис. 1)
S_(осн)=S_(трапеции)=(a+b)*h/2=(4+10)*4/2=28

V=28*10=280 см^2

2.
Пирамида правильная - в основании равносторонний треугольник АВС
S_(Δ ABC)=a^2sqrt(3)/4=6^2sqrt(3)/4=9sqrt(3)

Боковые ребра пирамиды равны между собой,
Равные наклонные имеют равные проекции.
Проекциями боковых ребер являются
ОА=ОВ=ОС=R

R=asqrt(3)/3=6*sqrt(3)/3=2sqrt(3)

Треугольник АОD - прямоугольный равнобедренный
AO=OD=2sqrt(3)
DO=H (пирамиды)=2sqrt(3)

V=(1/3)*S_(осн)*H=(1/3)*9sqrt(3)*2sqrt(3)= [b]18 [/b]cм^3

DK - апофема пирамиды или высота боковой грани
Из прямоугольного треугольника DKO
DK^2=DO^2+OK^2
OK=r=sqrt(3)
DK^2=(2sqrt(3))^2+(sqrt(3))^2=12+3=15
DK=sqrt(15)
S_(бок)=3S_( ΔADC)=3*(1/2)*AC*DK=(3/2)*6*sqrt(15)=9sqrt(15) см^2

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)= [b]9sqrt(15)+9sqrt(3)[/b] см^2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(11+6)*(24+6)=510 cм^2 (прикреплено изображение)
10^(-1-lg2)=(свойства степени a^(m+n)=a^(m)*a^(n))=

=10^(-1)*10^(lg2)=

(основное логарифмическое тождество 10^(lg [b]2[/b])= [b]2[/b])

=(1/10)*2=2/10=1/5=0,2



(1/2)^(4*log_(1/2)3) =(свойства логарифма степени

4log_(1/2)3=log_(1/2)3^4)=


=(1/2)^(log_(1/2) [b]3^4[/b])=основное логарифмическое тождество

= [b]3^4[/b]=81


(5)^(-3*log_(5)(1/2)) =(свойства логарифма степени

-3*log_(5)(1/2)=log_(5)(1/2)^(-3))=


=(5)^(log_(5)[b](1/2)^(-3)[/b])=основное логарифмическое тождество

= [b](1/2)^(-3)[/b]=8
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
f(x)=F`(x)=
0, если x ≤ 0
1/11, если 0 < x ≤ 11
0, если x > 11

M(X)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞)x*f(x)dx= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫^(11)_(0)(x/11)dx+ ∫^(+ ∞ )_(11)0dx=

=(1/11)*(x^2/2)|^(11)_(0)=11^2/22=11/2= [b]5,5[/b]

D(X)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞)x^2*f(x)dx- ((M(X))^2= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫^(11)_(0)(x^2/11)dx+ ∫^(+ ∞ )_(11)0dx- (5,5)^2=

=(1/11)(x^3/3)|^(11)_(0)- 30,25 =[b](121/3)-30,25[/b] - считайте. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
sinx=sqrt(3)/2
x=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)(π/3)+πk, k ∈ Z

О т в е т.
а)(-1)^(k)(π/3)+πk, k ∈ Z

б)
Ответ а) включает в себя две серии ответов

При k=2n
[b]x=(π/3)+2πn, n ∈ Z [/b] - корни в первой четверти

При k=2m+1
x=-(π/3)+π*(2m+1), m ∈ Z
x=π-(π/3)+2π*m, m ∈ Z
[b]x=(2π/3)+2π*m, m ∈ Z[/b] корни во второй четверти

(см. рис.)
Это удобно для отбора корней.
Указанному отрезку принадлежат корни:
x=(π/3) из первой серии
и
х=(2π/3)

О т в е т.
б)π/3;2π/3



(прикреплено изображение)
1.
V=(1/3)S_( Δ ADC)*DB=(1/3)*(1/2)*AD*DC*DB=(1/6)*5*6*7=35 cм^2
2.

По теореме косинусов из треугольника АВD:

cos∠A=(AB^2+AD^2-BD^2)/(2AB*AD)=22/42=11/21

sin∠ A=sqrt(1-(11/21)^2)=sqrt(320)=8sqrt(5)

По свойству диагоналей параллелограмма
d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a^2+b^2)
AC^2=2*(3^2+7^2)-6^2=60
АС=sqrt(60)=2sqrt(15) [b]дм[/b]
S_(диаг.сеч. АА_(1)С_(1)С)=АС* Н

По условию:
S_(диаг.сеч. АА_(1)С_(1)С)=1м^2=100 [b] дм^2[/b]

H=100/2sqrt(15)=50/sqrt(15)=50*sqrt(15)/15= [b]10sqrt(15)/3[/b]

V=S_(осн)*Н=AB*AD*sin ∠ A*H=3*7*8sqrt(5)*10sqrt(15)/3= cчитайте
В равнобедренном треугольнике АВС углы при основании равны.
Так как ∠ В =120 градусов, то ∠А= ∠ С=30 градусов.

В прямоугольном треугольнике АНС катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Значит гипотенуза АС в два раза больше катета АН.
АС=2АН=14 (прикреплено изображение)
x-y=(x^(1/2))^2-(y^(1/2))^2=(x^(1/2)-y^(1/2))*(x^(1/2)+y^(1/2))

x^(1/2)*y^(1/4)+x^(1/4)y^(1/2)=x^(1/4)*y^(1/4)*(x^(1/4)+y^(1/4))

x^(3/4)+x^(1/2)y^(1/4)=x^(1/2)*(x^(1/4)+y^(1/4)) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть завод произвел х тарелок.
В продажу поступят все качественные тарелки, их 90% или
0,9х и 45% невыявленных дефектных тарелок: 0,45*0,1х тарелок.
Всего
0,9х+0,045х=0,945х

Качественных из них 0,9х , по формуле классической вероятности
вероятность купить качественную тарелку равна
p=m/n=0,9x/0,945x=900/945

Ответ выбран лучшим
Каждую пару чисел рассматривают как точку с координатами (х;y)
Точки, координаты которых меньше 7 находятся внутри бесконечного угла. Это область 1
см. рис. 1

Множество точек, для которых
x+y<xy находится внутри области 2 ( см. рис. 2)

По формуле геометрической вероятности

р=S_(2)/S_(1)

В данной ситуации это сложно, так как фигуры неограничены, бесконечны. Площади тоже

Поэтому думаю, что в задаче должно быть ограничение.
Натуральные числа
или действительные, положительные
Если действительные, положительные, то области замкнуты.
cм. рис. 3

p=S_(2)/49

49=S_(квадрата)

S_(2) вычисляем с помощью определенного интеграла (прикреплено изображение)
1.
По теореме Пифагора второй катет
sqrt(25^2-7^2)=sqrt((25-7)*(25+7))=sqrt(18*32)=3*8=24 см

V=S_(осн.)*Н=(1/2)*7*24*9=756 кв. см

2.
V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H
Н=3sqrt(3)
S_(осн)=(1/2)AB*BC*sin ∠ ABC=(1/2)*8*7*sqrt(3)/2=14sqrt(3)

V=(1/3)*(14sqrt(3))*3sqrt(3))=42 куб. м

3.
Sпп=Sбп+2Sосн
Sосн=(90-40)/2=25
В основании квадрат, его площадь 25, значит сторона основания а=5
Sбп=Росн*Н=4а*Н=4*5*Н=20Н
По условию

Sбп=40

20Н=40
Н=2

V=Sосн*Н=25*2=50 cм^3

5.
S_(осн)=4*3-1*1=11
S_(бок)=Р_(осн)*5=(4+3+2+1+1+3)*5=70
S_(пп)=70+2*11=92

4. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Sпп=Sбп+2Sосн
Sосн=(40-32)/2=4
В основании квадрат, его площадь 4, значит сторона основания а=2

Sбп=Росн*Н=4а*Н=4*2*Н=8Н
По условию

Sбп=32

8Н=32
Н=4

V=Sосн*Н=4*4=16 cм^3
Ответ выбран лучшим
V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H
Н=3sqrt(2)
S_(осн)=(1/2)AB*BC*sin ∠ ABC=(1/2)*8*11*sqrt(2)/2=22sqrt(2)

V=(1/3)*(22sqrt(2))*3sqrt(2))=44 куб. м
Ответ выбран лучшим
По теореме Пифагора второй катет
sqrt(37^2-12^2)=sqrt((37-12)*(37+12))=sqrt(25*49)=5*7=35 см

V=S_(осн.)*Н=(1/2)*12*35*6=36*35 кв. см
Ответ выбран лучшим
AD ⊥ DD_(1)C_(1)C ⇒ AD ⊥ DC_(1)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость
DC_(1)- проекция диагонали АС_(1) на пл. DD_(1)C_(1)C

∠ АС_(1)D=30 градусов

В прямоугольном треугольнике АС_(1)D
AD=a/2 - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
DC_(1)=sqrt((AC_(1))^2-AD^2)=sqrt(a^2-(a/2)^2)=asqrt(3)/2;

В основании правильной призмы - квадрат
АВ=ВС=СD=AD=a/2

Из прямоугольного треугольника
DC_(1)C
С_(1)С^2=DC^2_(1)-DC^2=(3a^2/4)-(a/2)^2=2a^2/4
H(призмы)=asqrt(2)/2

V=S_(осн)*Н=(a/2)^2*asqrt(2)/2= [b]a^3sqrt(2)/8[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
На (- ∞ ;2) строим прямую y=3x-3,5 по двум точкам (0;-3,5); (1;-0,5)
На [2;+ ∞) cтроим прямую y=-3x+8,5 по двум точкам (2;2,5);(4;-3,5) (прикреплено изображение)
M(X)=11*0,4+13*0,5+15*0,1=18,4
M(X^2)=11^2*0,4+13^2*0,5+15^2*0,1=?

D(X)=M(X^2)-M(X)^2=?-(18,4)^2=

Функция распределения
0, если x < 11
0,4 если 11<x<13
0,9 если 13<x<15
1,если x ≥ 15
Ответ выбран лучшим
|6-7^(x)| ≤ (7^(x)-6)*log_(6)(x+1)
ОДЗ: х+1 >0 ⇒ x > -1

Раскрываем модуль по определению
Если
6-7^(x)≥ 0, то |6-7^(x)|=6-7^(x)

Неравенство принимает вид:
6-7^(x) ≤ (7^(x)-6)*log_(6)(x+1)

или

6-7^(x) - (7^(x)-6)*log_(6)(x+1) ≤ 0

(6-7^(x))*(1+log_(6)(x+1) ≤ 0

{6-7^(x)≥ 0 ⇒ 7^(x) ≤ 6 ⇒ x ≤ log_(7)6
{1+log_(6)(x+1) ≤ 0 ⇒ log_(6)(x+1) ≤ -1 ⇒ log_(6)(x+1) ≤ log_(6)(1/6)

x+1 ≤ 1/6 ⇒ x ≤ -5/6

0<log_(7)6 <1
-5/6 < log_(7)6

C учетом ОДЗ получаем ответ первого случая
(-1; -5/6]

второй случай:

6-7^(x)< 0, то |6-7^(x)|=7^(x)-6

Неравенство принимает вид:
7^(x)-6 ≤ (7^(x)-6)*log_(6)(x+1)

или

7^(x)-6 - (7^(x)-6)*log_(6)(x+1) ≤ 0

(7^(x)-6)*(1-log_(6)(x+1) ≤ 0

{6-7^(x)< 0 ⇒ 7^(x) > 6 ⇒ x > log_(7)6
{1-log_(6)(x+1) ≤ 0 ⇒ log_(6)(x+1)≥ 1 ⇒ log_(6)(x+1) ≥ log_(6)6

x+1≥ 6 ⇒ x ≥ 5

{ x > log_(7)6
{x≥ 5
C учетом ОДЗ получаем ответ второго случая
[5;+ ∞ )

О т в е т. (-1;-5/6] U [5;+ ∞ )
О т в е т. А - 1); В - 3); С- 4) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Диагональ прямоугольника 5 дм ( по теореме Пифагора, или потому что это египетский треугольник)

H^2=6,5^2-2,5^2=(6,5-2,5)*(6,5+2,5)=36
H=6 дм

V=(1/3)*S_(осн)*Н=(1/3)*3*4*6= [b]24 дм ^3[/b]

S_(полн. пов.)=S_(бок. пов)+S_(осн)

S_(бок. пов)=2S_( ΔSAB)+2S_( ΔSBC)=2*(1/2)AB*h_(1)+2*(1/2)BC*h_(2)
h_(1)- апофема боковой грани SAB или высота Δ SAB
h_(2)- апофема боковой грани SBС или высота Δ SBС

h^2_(1)=6,5^2-2^2=4,5*8,5=38,25
h^2_(2)=6,5^2-1,5^2=5*8=40

S_(бок. пов)=4*sqrt(38,25)+3*sqrt(40)

S_(полн. пов.)= [b]4*sqrt(38,25)+3*sqrt(40)+3*4[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Повторные испытания с двумя исходами. Схема Бернулли.

p=0,1 - вероятность детали быть нестандартной
q=1-p=1-0,1=0,9 -вероятность детали быть стандартной


a) По формуле Бернулли:
P_(100)(11)=C^(11)_(100)p^(11)q^(100-11)
Реально не сосчитать.
Поэтому применяем локальную формулу Муавра- Лапласа

np=100*0,1=10
npq=100*0,1*0,9=90
sqrt(npq)=sqrt(90)=9,49

x=(11-10)/sqrt(90)=1/9,49≈0,1053

φ(x)=0,3945

P_(100)(11)≈ [b](1/9,49)*0,3945 [/b]- считайте


б) Применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа

х_(2)=(11-10)/sqrt(90)=0,1053
x_(1) =(8-10)/sqrt(90)=-0,2106

P_(100)(8 ≤ x ≤ 11) ≈0,0596-(-0,0832)= [b]0,1428[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Cумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому.
∠ NMK=180^(o)-105^(o)=75^(o)
Δ MNK - равнобедренный, значит углы при основании равны:
∠ NMK=∠ NKМ=75 градусов

В прямоугольном треугольнике MLK сумма острых углов равна 90 градусов, значит
∠ LMK=90^(o)-75^(o)= [b]15^(o)[/b]

2.
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к стороне является одновременно и медианой.
RT ⊥ PQ
PT=TQ

SO ⊥ PQ ⇒ SO||RT
По теореме Фалеса, так как PS=SR, то PO=OT

PQ=4*PO=18
О т в е т. [b]18[/b]

3.
Треугольник BCD – прямоугольный.
BD – гипотенуза, равна 28
СD– катет, равен 14
Значит, ∠ СBD=30 °.
Катет, против угла в 30 ° равен половине гипотенузы.

∠ CBA=60 °.

Значит, ∠ ВАС=30 °.

Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому угол смежный с углом А равен 150 градусов (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Считаем неопределенный интеграл
∫ x^2*e^(x)dx

Применяем метод интегрирования по частям.
u=x^2
dv=e^(x)dx

du=2xdx
v= ∫ e^(x)dx=e^(x)

∫ x^2*e^(x)dx=x^2*e^(x)- ∫ 2x*e^(x)dx=

снова применяем интегрирование по частям.
u=x
dv=e^(x)dx

du=dx
v= ∫ e^(x)dx=e^(x)


∫ x^2*e^(x)dx=x^2*e^(x)- 2*(x*e^(x)- ∫ e^(x)dx)=

=x^2*e^(x)- 2*(x*e^(x)- e^(x) )+ C=e^(x)*(x^2-2x+2) + C

Для вычисления определённого интеграла применяем формулу Ньютона-Лейбница
∫ ^(b)_(a)f(x)dx=F(x)|^(b)_(a)=F(b)-F(a)


∫ x^2*e^(x)dx=e^(x)(x^2- 2*x+ 2)|^(1)_(0)=

=e^(1)*(1-2+2)-e^(0)*(0-0+2)= [b]e-2[/b]


Ответ выбран лучшим
Треугольник BCD - прямоугольный.
BD - гипотенуза, равна 20
СD- катет, равен 10
Значит, ∠ СBD=30 градусов.
Катет, против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
∠ CBA=60 градусов.

Значит, ∠ ВАС=30 градусов.
По теореме Пифагора
BC^2=BD^2-CD^2=20^2-10^2=300
BC=10sqrt(3)
BA=2BC=20sqrt(3)
AC^2=AB^2-BC^2=(20sqrt(3))^2-(10sqrt(3))^2=1200-300=900
АС=30
DA=30-10=20

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
u=arcctg3x
du=-(3x)`dx/(1+(3x)^2)
du=-3dx/(1+9x^2)

=∫ (-1/3)*u^6du=(-1/3)*(u^7/7)+C=(-1/21)arcctg^73x+C
Ответ выбран лучшим
u=4sinx-1
du=4cosx

=(1/4) ∫ e^(u)du=(1/4)e^(4sinx-1) + C
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл
∫ u^(-2/3)du=u^((-2/3)+1)/((-2/3)+1)+C=3∛u + C

u=cos4x
du=(cos4x)`dx
du=-sin4x*(4x)`dx=-4sin4xdx
sin4xdx=(-1/4)du

∫ sin4xdx/∛(cos^24x)=(-1/4) ∫ u^(-2/3)du=(-1/4)*3∛u + C=

=(-3/4)∛(cos4x) + C
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл
∫ u^(-4)du=u^(-4+1)/(-4+1)+C=-(1/3)*(1/u^3)+C

u=ln(x-3)
du=dx/(x-3)

О т в е т. (-1/3)*(1/(ln(x-3))^3) + C
Ответ выбран лучшим
1.
y`=(1/3)*4x^3-(1/2)cos3x*(3x)`-(1/sin^2x)
y`=(4/3)x^3-(3/2)cos3x-(1/sin^2x)

2.
(u*v)`=u`*v+u*v`
u=tgx
v=x^3+1
u`=(1/cos^2x)
v`=3x^2

y`=(1/cos^2x)*(x^3+1)+tgx*(3x^2)
Ответ выбран лучшим
1) табличный ∫ sinudu=-cosu+C
u=5x+9
du=(5x+9)`dx
du=5dx
dx=(1/5)du

∫ sin(5x+9)dx=(1/5) ∫ sinudu=(-1/5)cosu+C=(-1/5)cos(5x+9)+C

2)
замена переменной
x^(1/6)=t
x^(1/3)=t^2
x^(1/2)=t^3
x=t^6
dx=6t^5dt

∫ (2sqrt(x)-2)dx/∛x= ∫ (2t^3-2)*6t^5dt/t^2=12 ∫ (t^6-t^3)dt=

=12*(t^7/7)-12*(t^4/4) + C=

=(12/7)x^(7/6)-3x^(2/3)+C
Ответ выбран лучшим
Первоначально
л=20+24
После поедания червяка
л+ч=20+24-ч+6

2ч=6
ч=3 [b] грамма[/b]
Точка О – точка пересечения биссектрис углов А, В и С
ВО– биссектриса угла В, делит угол пополам.
Значит ∠ АВО=45 ° (прикреплено изображение)
v_(cредняя)=S/t= 75 км в час.

так как планировалось, за t часов проехать путь со скоростью 75 км в час.
Время не изменилось, путь тоже.

Под дождем он ехал со скоростью 50 км в час, в результате чего потерял время.
А наверстал его, когда увеличил скорость до 90 км в час.

Последние 150 км он должен был ехать 2 часа, со скоростью 75 км в час, а ехал со скоростью 90 км в час и затратил, 150/90=5/3 часа

Значит, когда шел дождь, он потерял (1/3) часа.

Пусть путь, во время которого шел дождь равен х км

(x/50)-(x/75)=1/3

x=50 км

1 час шел дождь

Замена
2^(x)=t
t>0
4^(x)=t^2

t^2-(7-x)t+12-4x=0

t^2-7t+xt+12-4x=0

t^2-7t+12+x*(t-4)=0

(t-3)(t-4)+x*(t-4)=0

(t-4)*(t-3+x)=0

t=4 или t-3+x=0

Обратный переход

2^(x)=4
[b]x=2[/b]

2^(x)-3+x=0

2^(x)=3-x
Уравнение имеет корень х=1
2^(1)=3-1
2=2- верно
Это единственный корень, других корней нет,
так как
y=2^(x) - возрастающая функция
y=3-x - убывающая
Они пересекаются в одной точке.


О т в е т. 1; 2
Олег за 10 мин прошел 1 км, значит скорость Олега 6 км в час,
(за 60 мин пройдет в 6 раз больше, т.е 6 км)
За следующие 20 мин. до встречи Олег прошел 2 км.
(за 10 минут 1 км, за 20 минут в два раза больше)

Значит, за полчаса Дима прошел 2 км
На следующий день
Олег за 30 минут прошел 3 км, Дима за 30 мин те же 2 км
Осталось учесть, что расстояние между домами равно 1 км
О т в е т. 3+2+1=6 км длина кольцевой дороги (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть сторона основания равна а, боковое ребро пирамиды равно b.
Из прямоугольного треугольника DKC
b=(a/2)/cosα

Из прямоугольного треугольника
DOB
cos β =OB/DB=R/b=(asqrt(3)/3)/((a/2)/cos α )=

=2cos α /sqrt(3)

сos α дан, непонятно какое это число, так что подставите его и получите ответ (прикреплено изображение)
а)АА_(1)С_(1)С ⊥ пл. ВВ_(1)D_(1), так как
проходит через AO- перпендикуляр к пл. ВВ_(1)D_(1)

AO ⊥ BD как диагонали квадрата
AO ⊥ OO_(1)

АО перпендикуляр к двум пересекающимся прямым пл ВВ_(1)D_(1).

б) AD_(1)C_(1)B ⊥ пл СDA_(1), так как проходит через ВК - перпендикуляр к пл.СDA_(1)

ВК ⊥ В_(1)С как диагонали квадрата
СD ⊥ пл. ВВ_(1)С_(1)С ⇒ СD ⊥ BK

ВК перпендикуляр к двум пересекающимся прямым плоскости СDA_(1) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение оси Оу: х=0

Находим координаты точек пересечения окружности с осью Оу

0^2+y^2=10*0-14y-24
y^2+14y+24=0
D=14^2-4*24=196-96=100
y_(1)=(-14-10)/2=-12; y_(2)=(-14+10)/2=-2
d=|y_(2)-y_(1)|=-2-(-12)|= [b]10[/b]

О т в е т. 10 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Точка О - точка пересечения биссектрис углов А, В и С
СО- биссектриса угла С, делит угол пополам.
Значит ∠ АСО=50 градусов (прикреплено изображение)
В основании призмы правильный треугольник ABC.

Пусть сторона этого треугольника равна [b]а.[/b]

Из прямоугольного треугольника BCC_(1)
Н=CC_(1)=BC*tg30^(o)=asqrt(3)/3

S_(бок)=Р_(осн)*Н=3а*Н=3а*а*sqrt(3)/3=a^2sqrt(3)
По условию
S_(бок)=72sqrt(3)

a^2sqrt(3)=72sqrt(3)
a^2=72

a=6sqrt(2)

V=S_(осн.)*Н=(a^2sqrt(3)/4)*(asqrt(3)/3)=

=72*6sqrt(2)/4= [b]108sqrt(2)[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл
∫ dx/sqrt(a^2-x^2)=arcsin(x/a)+C

sqrt(7-2x^2)=sqrt(2)*sqrt((7/2)-x^2)

∫ sqrt(2)dx/(sqrt(2)*sqrt((7/2)-x^2))= ∫dx/sqrt((7/2)-x^2)=

=arcsin(x/sqrt(7/2))+C=

=arcsin(sqrt(2)x/sqrt(7))+C

или так:

2x^2=u^2
u=sqrt(2)x
du=sqrt(2)dx


∫ du/sqrt(7-u^2)=arcsin(u/sqrt(7))+C=arcsin(sqrt(2)x/sqrt(7))+C
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл
∫ du/sqrt(u)=2sqrt(u)+C

u=3x^2+8
du=6xdx
xdx=(1/6)du


∫ xdx/sqrt(3x^2+8)=(1/6) ∫ du/sqrt(u)=(1/6)*2sqrt(u)+C=

= [b](1/3)sqrt(3x^2+8)+C[/b]
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл

∫ dx/(x^2-a^2)=(1/(2a))ln|(x-a)/(x+a)|+C


3x^2-5=3*(x^2-(5/3))

∫ dx/(3x^2-5)=(1/3)∫ dx/(x^2-(5/3))=

=a^2=5/3; a=sqrt(5/3)=

=(1/(2sqrt(5/3)))ln|(x-sqrt(5/3))/(x+sqrt(5/3))|+C=

=(sqrt(3)/2sqrt(5))ln|(sqrt(3)x-sqrt(5))/(sqrt(3)x+sqrt(5))|+C
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл
∫ du/u=ln|u|+C

u=3-5x
du=-5dx
dx=(-1/5)du

∫ dx/(3-5x)= ∫ (-1/5)du/u=(-1/5)ln|u|+C= [b](-1/5)ln|3-5x|+C[/b]
Ответ выбран лучшим
См таблицу в приложении
Уравнение:
4*((1/х)+(1/(х+3,9)))=1
4*(x+3,9+x)/(x*(x+3,9))=1

8x+15,6=x^2+3,9x

x^2-4,1x-15,6=0
D=4,1^2-4*(-15,6)=16,81+62,4=79,21
sqrt(D)=8,9

x=(4,1+8,9)/2=6,5 часов первый

6,5+3,9= [b]10,4 часов второй[/b] (прикреплено изображение)
5^(x^2)+17*5^(x^2-2)=7^(x^2)-7^(x^2-1)

5^(x^2-2)*(5^2+17)=7^(x^2-1)*(7-1)

5^(x^2-2)*(42)=7^(x^2-1)*(6)

5^(x^2-2)*7=7^(x^2-1)

5^(x^2-2)=7^(x^2-2)

x^2-2=0

[b]x =± sqrt(2)[/b]
О т в е т. ± sqrt(2)

Замена
2^(x)=t
t>0
4^(x)=t^2

t^2-(7-x)t+12-4x=0

t^2-7t+xt+12-4x=0

t^2-7t+12+x*(t-4)=0

(t-3)(t-4)+x*(t-4)=0

(t-4)*(t-3+x)=0

t=4 или t-3+x=0

Обратный переход

2^(x)=4
[b]x=2[/b]

2^(x)-3+x=0

2^(x)=3-x

y=2^(x) - возрастающая функция
y=3-x - убывающая
Они пересекаются в одной точке.
[b]х=1 [/b]- единственный корень


О т в е т. 1; 2
Ответ выбран лучшим
Обозначим

arctg(sqrt(3)/4)= α ⇒ tg α =sqrt(3)/4; α ∈ (-π/2;π/2)⇒

[b]ctgα=1/tgα=4sqrt(3)/3[/b]

arctg(3sqrt(7)/7)= β ⇒ tg β =3sqrt(7)/7; β ∈ (-π/2;π/2)⇒

[b]ctgβ=1/tgβ=sqrt(7)/3[/b]

ctg( α + β )=(ctg α *ctg β -1)/(ctg α +ctg β ) =

=((4sqrt(21)/3)-3)/(4sqrt(3)+sqrt(7)) (прикреплено изображение)
Замена
sqrt(x-7)=t
x-7=t^2
x=t^2+7
dx=2tdt

x^3=(t^2+7)^3=t^6+21t^4+147t^2+343)

= ∫ (t^6+21t^4+147t^2+343)*2tdt/t=

=(2t^7/7)+42*(t^5/5)+(147)*t^3/3+343t+C, t=sqrt(x-7)
r_(сечения)=R^2-d^2=10^2-6^2=100-36=64
r_(сечения)= [b]8[/b]

S_(сечения)=πr^2= [b]64π[/b]

Объем меньшего шарового сегмента:
h=10-6=4

V_(м)=π*4^2*(10-(4/3))=(416π/3)

V_(б)=V_(шара)- V_(м)=(4/3)π*10^3 - (416π/3)=

= [b]3584π/3 [/b] (прикреплено изображение)
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение
5y``+9y`+2y=0

Составляем характеристическое уравнение
5k^2+9k-2=0
D=81-4*5*(-2)=121
k_(1)=-2; k_(2)=0,2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(одн)=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(0,2x)

[b]a)

f(x)=x^3-2x[/b]
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

f(x)- многочлен третьего порядка, значит
у_(част.)=ax^3+bx^2+cx+d

y`_(част)=3ax^2+2bx+c
y``_(част)=6ax+2b

Подставляем в данное уравнение:

5*(6ax+2b)+9*(3ax^2+2bx+c)-2*(ax^3+bx^2+cx+d)=x^3-2x

приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
-2a=1
27a-2b=0
30a+18b-2c=-2
10b+9c-2d=0

a=-1/2
b=-27/4
c=217/2
d=3630/8

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(одн) и у_(част)

[b]y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(0,2x) -(1/2)x^3-(27/4)x^2+(217/2)x+(3630/8)[/b]

б)

f(x)=2sin2x-3cos2x

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.


у_(част.)=A*sin2x+Bcos2x
у`_(част.)=2A*cos2x-2Bsin2x
y``_(част.)=-4Аsin2x-4Bcos2x

5*(-4Аsin2x-4Bcos2x)+9*(2A*cos2x-2Bsin2x)-2*(A*sin2x+Bcos2x)=2sin2x-3cos2x

-22А-18В=2
-22В+18А=-3

Умножаем первое на 18, второе на 22 и складываем
(-324-484)B=36-66
B=30/808
A=-98/808

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(одн) и у_(част)
[b]y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(0,2x) -(98/808)sin2x+(30/808)cos2x[/b]



Ответ выбран лучшим
S_(поверхности вращения вокруг оси ОХ)=2π ∫ ^(t_(2))_(t_(1))y(t)*sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)dt

x`(t)= - 2Rsint + 2Rsin2t
y`(t)=2Rcost - 2Rcos2t

(x`(t))^2= 4R^2sin^2t -8R^2sint*sin2t+4R^2sin^22t
(y`(t))^2=4R^2cos^t -8R^2cost*cos2t+4R^2cos^22t


(x`(t))^2+(y`(t))^2=4R^2*(sin^2t+cos^2t+sin^22t+cos^22t-2(cost*cos2t+sint*sin2t))

(x`(t))^2+(y`(t))^2=4R^2*(1+1-2*cos(2t-t))=8R^2*(1-cost)=

=16R^2sin^2(t/2)

sqrt(16R^2sin^2(t/2))=4Rsin(t/2)

[b]S_(поверхности вращения вокруг оси Ох)=
= 2π ∫^(2π)_(0)(2Rsint-Rsin2t)*4Rsin(t/2)dt[/b]=

=8πR^2 ∫^(2π)_(0)(2sint*sin(t/2)-sin2t*sin(t/2))dt=

=8πR^2 ∫^(2π)_(0)(sin(3t/2)+sin(t/2)-(1/2)sin(5t/2)- (1/2)sin(3t/2))dt=

=8πR^2 ∫^(2π)_(0)((1/2)sin(3t/2)+sin(t/2)-(1/2)sin(5t/2))dt=

=8πR^2*((-1/2)*(2/3)cos(3t/2)) -2cos(t/2)+(1/2)*(2/5)cos(5t/2))^(2π)_(0)=

=8πR^2*((-1/3)cos3π+(1/3)cos0 -2cosπ+2cos0 +(1/5)cos(5π)-(1/5)cos0)=

=8πR^2*((2/3)+4-(2/5))=8πR^2*(64/15)= [b]512πR^2/15[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
x=0- точка разрыва первого рода.
f(-0)=lim_(x→-0)f(x)=lim_(x→-0)(2x+4)=4
f(+0)=lim_(x→+0)f(x)=lim_(x→-0)(2-x)=2

Функция имеет конечный скачок в точке, равный
f(+0)-f(-0)2-4=-2

х=2- точка непрерывности,
f(2-0)=lim_(x→2-0)f(x)=lim_(x→2-0)(2-x)=0
f(2+0)=lim_(x→2+0)f(x)=lim_(x→2+0)0=0
f(2)=2-2=0

f(2-0)=f(2+0)=f(2)=0

О т в е т. (1/3)*9*(25+100+50)*sqrt(3)/4=525sqrt(3)/4 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является и медианой.
По теореме Пифагора
h=(3sqrt(10))^2-3^2=90-9=81
h=9
S_(осн)=6*9/2=27 см^2

Боковые ребра пирамиды равны между собой. Равные наклонные имеют равные проекции. Проекцией ребра является радиус описанной окружности.

R=a*b*c/4S=(3sqrt(10)*3sqrt(10)*6)/(4*27)=5

H^2=13^2-5^2=169-25=144
H=12

V=(1/3)*S_(осн.)*Н=(1/3)*27*12=108 cм^3
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Это интегрирование рациональных дробей.

Знаменатель каждой дроби раскладываем на множители

(x^2+4x+3)(x+5)=(x+3)*(x+1)*(x+5)

Дробь раскладываем на простейшие

(3x^2+20x+9)/(x^2+4x+3)*(x+5)=A/(x+3)+B/(х+1)+ D/(x+5)

30x^2+20x+9=A*(x+1)*(x+5)+B*(x+3)*(x+5)+D*(x+1)*(x+3)

Раскрываем скобки справа, приводим подобные слагаемые и приравниваем коэффциенты при одинаковых степенях переменной:

30= А+В+D
20=6A+8B+4D
9=5A+15B+3D

Решаем систему трех уравнений стремя неизвестными
А=6
В=-1
D=-2

∫ 6dx/(х+3)- ∫ dx/(x+1)- ∫ 2dx/(x+5)= о т в е т, который есть

Вторая задача решается аналогично
Ответ выбран лучшим
V=π ∫ ^(6)_(1)(6^2-(6/x)^2)dx=

=π(36*x+(6/x))|^(6)_(1)=

=π* (36*(6-1)+6*((1/6)-1))=π*(180+6*(-5/6))=175π (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: х > 0


3^(lgx+2)=3^(lgx)*3^2=9*3^(lgx)

3^(lgx^2+5)=3^(lgx^2)*3^(5)=243*3^(2lgx)=243*((3^lgx))^2


замена переменной

3^(lgx)=t

t>0 при любом х >0

Квадратное неравенство

243t^2-9t-2 >0

D=81-4*243*(-2)=1225=35^2

t_(1)=(9-35)/486<0 t_(2)=(9+35)/486=44/486=22/243

C учетом t > 0 решение неравенства:
t > 22/243

3^(lgx) > (22/243)

Логарифмируем по основанию 3

lgx*log_(3)3> log_(3)(22/243)

lgx > log_(3)(22/243)

x> 10^(log_(3)22/243) - это больше 0, т.е входит в ОДЗ

О т в е т. (10^(log_(3)22/243);+ ∞)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x^2-4x+3>0
D=16-12=4
корни 1 и 3
x < 1 или х > 3


1=log_(8)8

log_(8)(x^2-4x+3) ≤ log_(8)8
Логарифмическая функция с основанием 8 возрастает, поэтому

x^2-4x+3 ≤ 8
x^2-4x-5 ≤ 0
D=16+20=36
x_(1)=(4-6)/2=-1; х_(2)=(4+6)/2=5
-1 ≤ х ≤ 5

С учетом ОДЗ получаем ответ

[-1;1) U(3;5]
Ответ выбран лучшим
{4-x>0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{28-3x-x^2>0 ⇒ D=121; -7 < x < 4
ОДЗ: x ∈ (-7;3)U(3;4)

Применяем [b] метод рационализации[/b] к первому неравенству, второе приводим к общему знаменателю:

{(4-x-1)*(28-3x-x^2-4+x) ≤ 0
{(x^3+3x^2-16x+12)/(x-1)(x-3) ≥ 0

{(x-3)*(x^2+2x-24) ≤ 0 D=4+96=100; корни -6 и 4
{(x-1)*(x^2+4x-12)/(x-1)(x-3) ≥ 0 D=16+48=64; корни -6 и 2


{(x-3)*(x-4)(x+6) ≤ 0 __________-_ [-6] _______________ [3] _-_ [4] __
{(x-1)(x-2)(x+6)/(x-1)(x-3) ≥ 0 ____ [-6] _+__[1] _+_ [2] __ [3]_+___

С учетом ОДЗ получаем о т в е т.
{-6}U(3;4)
(прикреплено изображение)
526+243-380=
Табличный интеграл
∫ du/u=ln|u|+C

u=2x^2-7
du=4xdx
xdx=(1/4)du

= ∫ (1/4)du/u=(1/4)ln|u|+C= [b](1/4)ln|2x^2-7|+C[/b]
Ответ выбран лучшим
y=-3x^2-5x+2

Выделяем полный квадрат
-3x^2-5x+2=-3*(x^2+(5/3)x-(2/3))=

=-3*(x^2+2*x*(5/6)+(25/36)-(25/36)-(2/3))=

=-3* [b]([/b](x+(5/6))^2-(49/36) [b])[/b]

Вершина в точке (-5/6; -49/12)

Ветви вниз

-3x^2-5x+2=0
3x^2+5x-2=0
D=49
x=-2 или x=1/3

Положительна при -2 < x < (1/3)
Отрицательна при x ∈ (- ∞ ; -2) и x ∈ (1/3; + ∞ )
Возрастает при x ∈ (- ∞ ; -5/6)
Убывает при x ∈ (-5/6; + ∞ )
Наибольшее значение при х=-5/6
равно -49/12 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a) cм. рис.1

y=x^2/5 - парабола красным цветом

y=sqrt(5x) - степенная функция, синим
S= ∫ ^(5)_(0)(sqrt(5x)-(x^2/5))dx=

= [b]([/b]sqrt(5)*x^(3/2)/(3/2)-(1/5)*(x^3/3) [b])[/b]|^(5)_(0)=

=(2sqrt(5)/3)*sqrt(5^3)-(1/15)*5^(3)=

=(50/3)-(25/3)= [b]25/3[/b]

б)
S= ∫ ^(t_(2))_(t_(1))y(t)*x`(t)dt

y(t)=8cos^3t
x(t)=2sin^3t
x`(t)=2*3*sin^2t*(sint)`=6sin^2tcost

S= ∫ ^(π/4)_(0)8*cos^3t*6sin^2tcostdt=

=48 ∫ ^(π/4)_(0)cos^4t*sin^2tdt= понижаем степени

=48 ∫ ^(π/4)_(0)((1+cos2t)/2)^2*(1-cos2t)dt/2=

=6 ∫ ^(π/4)_(0)((1-cos^22t)*(1+cos2t)dt=

=6 ∫ ^(π/4)_(0)((1-cos^22t+cos2t-cos^32t)dt=

=6 ∫ ^(π/4)_(0)((1-(1+cos4t)/2+cos2t-(1-sin^22t)*cos2t)dt=

=6* [b]([/b](t/2)-(1/8)sin4t +(1/2)(sin^32t)/3 [b])[/b]|^(π/4)_(0)=

=6π/8= [b]3π/4[/b]

в)

S=(1/2) ∫ ^( β )_( α )ρ^(2)( φ )d φ

cos4φ ≥0

-π/2 ≤4φ≤π/2

-π/8 ≤φ≤π/8

4 лепестка ( см. рис.2),
считаем площадь половины лепестка и умножаем на 8

S=(1/2) *8*∫ ^(π/8)_(0 )(2cos4φ)^2dφ=

=16*∫^(π/8)_(0 )(cos^24φ)dφ= понижаем степень

=16*∫ ^(π/8)_(0) ((1+сos8φ)/2)dφ=

=8*( φ +(1/8)sin8 φ )|^(π/8)_(0) =

=8*(π/8)= [b]π[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
b_(1)=3/4
b_(2)=3/2
q=b_(2):b_(1)=(3/2):(3/4)=2
q=b_(3)^b_(2)=3:(3/2)=2

b_(n)=b_(1)*q^(n-1)

192=(3/4)*2^(n-1)

2^(n-1)=256
2^(n-1)=2^(8)
n-1=8
[b]n=9[/b]


b_(1)=48
b_(2)=?
b_(3)=?
b_(4)=?
b_(5)=243

b_(n)=b_(1)*q^(n-1)

b_(5)=b_(1)*q^(4)

243=48*q^4

q^4=(243/48)

q^(4)=(81/16)
q=3/2 или q=-3/2

b_(2)=48*(3/2)=72 или b_(2)=48*(-3/2)=-72
b_(3)=72*(3/2)=108 или 108
b_(4)=108*(3/2)=162 или -162

Ответ выбран лучшим
cosx=(1-tg^2(x/2)/(1+tg^2(x/2)

1+tg^2(x/2)>0

2*(1+tg^2(x/2))+(1-tg^2(x/2))=2tg(x/2)*(1+tg^2(x/2)

2+2tg^2(x/2)+1-tg^2(x/2)=2tg(x/2)+2tg^3(x/2)

2tg^3(x/2)-tg^2(x/2)+2tg(x/2)-3=0

2tg^3(x/2)-2 - (tg^2(x/2)-1)^2=0

2*(tg(x/2)-1)*(tg^2(x/2)+tg(x/2)+1) - (tg^2(x/2)-1)^2=0

(tg(x/2)-1)*(2tg^2(x/2)+2tg(x/2)+2-tg(x/2)+1)=0

tg(x/2)=1
(x/2)=(π/4)+πn, n ∈ Z
x= [b](π/2)+2πn, n ∈ Z[/b]

или

2tg^2(x/2)+2tg(x/2)+2-tg(x/2)+1=0

2tg^(2)(x/2)+(tg(x/2)+3=0
D < 0
нет корней

О т в е т. (π/2)+2πn, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
х(2x^2-x-3) < 0
Пусть f(x)=x*(2x^2-x-3)
Находим нули функции
x*(2x^2-x-3)=0
x=0 или 2x^2-x-3=0 D=1-4*2*(-3)=25; x=(1-5)/4=-1; x=(1+5)/4=3/2

Расставляем знаки:

_-__ (-1) __+__ (0) __-__ (3/2) ___+___

О т в е т. (- ∞; -1) U (0;3/2)

1=log_(2)2
log_(2)(x^3-3)+log_(2)2=log_(2)(x^3-3)*2

Уравнение
log_(2)(x^3-3)*2=log_(2)(6x-10)

2*(x^3-3)=6x-10

2x^3-6-6x+10=0

2x^3-6x+4=0
x^3-3x+2=0

х=1 - корень, так как 1^3-3*1+2=0 - верно

Раскладываем на множители один из которых (х-1)

x^3-1-3x+3=0
(x-1)(x^2+x+1)-3*(x-1)=0

(x-1)*(x^2+x+1-3)=0

(x-1)*(x^2+x-2)=0

x^2+x-2=0
D=9
x=-2; x=1

Проверка:
При х=1
log_(2)(x^3-3) не существует
При х=-2
log_(2)(6*x-10) не существует
О т в е т. Уравнение не имеет корней
Ответ выбран лучшим
a=1 целая (4/7)
b=1 целая (4/7) + 2 целых (3/4) = 1 целая (16/28)+2 целых(21/28)=

=3 целых (37/28)=4 целых (9/28)

Р(прямоугольника)=2*(a+b)=2*(1 целая (4/7)+4 целых (9/28))=

=2*(1 целая (16/28)+4 целых (9/28))=

=2*(5 целых (25/28))=

=2*(165/28)=(2*165)/28=165/14= [b]11 целых (11/14)[/b]
D:
-sqrt(2) ≤ x ≤ sqrt(2)
0 ≤ y ≤ 2-x^2

∫ ∫_(D)(x+y)dxdy=∫^(sqrt(2)_(-sqrt(2)) [b]([/b]∫^(2-x^2)_(0)(x+y)dy [b])[/b]dx=

=∫^(sqrt(2)_(-sqrt(2)) [b]([/b]xy+(y^2/2) [b])[/b]|^(2-x^2)_(0)dx=

=∫^(sqrt(2)_(-sqrt(2)) [b]([/b]x*(2-x^2)+((2-x^2)^2/2) [b])[/b]dx=

=∫^(sqrt(2)_(-sqrt(2)) (2x-x^3+(4-4x^2+x^4)/2)dx=

=((2x^2/2)- (x^4/4) +2x-(2x^3/3)+(x^5/10))|^(sqrt(2)_(-sqrt(2))=

=(2-2) -(1/4) (4-4)+2*(sqrt(2)-(-sqrt(2)))-(2/3)*(2sqrt(2)+2sqrt(2))+(1/10)*(4sqrt(2)+4sqrt(2))=

=4sqrt(2)-8sqrt(2)/3 +8sqrt(2)/10= [b]32sqrt(2)/15[/b]
Ответ выбран лучшим
Первое двузначное число кратное 8 - это 16
a_(1)=16
Последнее - 96
d=8

a_(n)=a_(1)+(n-1)*d
96=16+(n-1)*8
n-1=10
n=11

S_(n)=(a_(1)+a_(n))*/2

S_(11)=(16+96)*11/2=583
Ответ выбран лучшим
a_(n)=a_(1)+(n-1)d

a_(6)=a_(1)+5d
a_(25)=a_(1)+24d

a_(6)+a_(25)= [b]2a_(1)+29d[/b]

По условию
a_(6)+a_(25)= 30
значит,
[b]2a_(1)+29d[/b]=30

S_(n)=(2a_(1)+(n-1)*d)*n/2

S_(30)=(2a_(1)+29*d)*30/2=30*15= [b]450[/b]

Ответ выбран лучшим
Уравнение не имеет действительных корней.
Слева x^2 ≥ 0 при любом х

На множестве комплексных чисел уравнение имеет корни:
x= ± (1/7)* [b]i[/b]

[b]i[/b]=sqrt(-1)
V= ∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy

D: 0 ≤ х ≤ 6
sqrt(x) ≤ y ≤ 2sqrt(x)

z=6-x ⇒ f(x;y)=6-x


V= ∫ ^(6)_(0) [b]([/b]∫ ^(2sqrt(x))_(sqrt(x))(6-x)dy [b])[/b] dx=


=∫ ^(6)_(0) (6-x)*y|^(2sqrt(x))_(sqrt(x))dx

=∫ ^(6)_(0) (6-x)*(2sqrt(x)-sqrt(x))dx=

= ∫ ^(6)_(0) (6sqrt(x)-xsqrt(x))dx=

=(6*x^(3/2)/(3/2)- x^(5/2)/(5/2))|^(6)_(0)=

=6*(2/3)*6^(3/2)-(2/5)*6^(5/2)=

=4*sqrt(6^3)-(2/5)*sqrt(6^5)= [b]9,6sqrt(6)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S= ∫ ^(2)_(0) (e^(x)-e^(-x))dx=(e^(x)+e^(-x))|^(2)_(0)=

=e^(2)-e^(0)+e^(-2)-e^(0)= [b]e^(2)+(1/e^(2))-2[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
x^2-3x+4=4
x^2-3x=0
x=0;x=3

S=∫^(3)_(0)(4-x^2+3x-4)dx=∫^(3)_(0)(-x^2+3x)dx=

= [b]([/b](-x^3/3)+(3x^2/2) [b])[/b]|^(3)_(0)=

=-(1/3)*3^3+(3/2)*3^2=-9+27/2=9/2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Второе уравнение:
25x^2+y^2+6y+9=16a
(5x)^2+(y+3)^2=16a

Замена:
sqrt(|y+3|)=u
u ≥ 0
sqrt(5|x|)=v
v ≥ 0
В силу симметрии достаточно ответить на вопрос

При каких значениях система:
{u=1-v
{u≥ 0
{v≥ 0
{u^4+v^4=16a
имеет 1 корень

(1-v)^4+v^4=16a

1-4v+6v^2-4v^3+2v^4=16a

2v^4-4v^3+6v^2-4v+1-16a=0 - при каких значениях параметра а уравнение имеет 1 корень?

или

(1/8)v^4-(1/4)v^3+(3/8)v^2-(1/4)v+(1/16)=a

Исследуем функцию

g(v)=(1/8)v^4-(1/4)v^3+(3/8)v^2-(1/4)v+(1/16)

строим график

g`(v)=(4/8)v^3-(3/4)v^2+(6/8)v-(1/4) возрастающая функция

g`(v)=0
обращается в 0 в единственной точке:

v=1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

При v=1/2

g(1/2)=(1/8)*(1/16)-(1/4)*(1/8)+(3/8)*(1/4)-(1/4)*(1/2)+(1/16)=

=1/128


При а=1/128 единственное решение

Тогда данная cистема имеет 4 решения

z`_(x)=2x-y
z`_(y)=-x+1

{2x-y=0
{-x+1=0 ⇒ x=1
y=2x=2
(1;2) - внутренняя точка указанной области

z``_(xx)=2
z``_(yy)=0
z``(xy)=-1
Δ=AB-С^2=2*0-(-1)*(-1)<0

(1:2) не является точкой экстремума.

На границах:

[b]x=-2[/b]
z=(-2)^2-(-2)y+y
z=3y+4 функция одной переменной, возрастающая на [-3;3]
при y=-3 наименьшее значение [b]z=-5[/b]
при y=3 наибольшее значение [b]z=13[/b]

[b]x=2[/b]
z=(2)^2-2y+y
z=-y+4 функция одной переменной, убывающая на [-3;3]
при y=-3 наибольшее значение [b]z=7[/b]
при y=3 наименьшее значение [b] z=1[/b]


[b]y=-3[/b]
z=x^2-x*(-3)+(-3)
z=x^2+3x-3 - квадратичная функция одной переменной
рассматриваем ее на [-2;2]

z`=2x+3
z`=0
x=-3/2 - точка минимума

при x=-3/2 наименьшее значение z=(9/4)-(9/2)-3= [b]-21/4[/b]

при x=-2
z=4-6-3= [b]-5[/b]
при х=2
z=4+6-3= [b]7[/b]

y=3
z=x^2-3x+3

z`=2x-3
z`=0
x=3/2 наименьшее значение z=(9/4)-(9/2)+3= [b]3/4[/b]

при х=-2
z=4+6+3= [b]13[/b]

при х=2
z=4-6+3= [b]1[/b]

Выбираем наибольшее и наименьшее:

z(-2;3)=13 - наибольшее
z(-3/2;-3)=-21/4 - наименьшее
Ответ выбран лучшим
1.
= ∫ ^(π/2)_(0)(1+cos2x)dx/2=(1/2)*(x+(1/2)sin2x)|^(π/2)_(0)=

=(1/2)*(π/2)+(1/4)sin(2*(π/2))+0=

= [b]π/4[/b]

2.
=(1/4) ∫ ^(3)_(2)dx/(x^2-0,25)=

=(1/4)*(1/0,5)ln|(x-0,5)/(x+0,5)|^(3)_(2)=

=0,5ln|(3-0,5)/(2-0,5)|-0,5ln|(2-0,5)/(1-0,5)|=

=0,5ln|7/3|-0,5ln|3|= [b]0,5ln(7/6)[/b]
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(-x^3+3x-2)`=-3x^2+3

y`=0

-2x^2+3=0

x^2-1=0

x= ± 1

Знак производной:
__-__ (-1) _+__ (1) __-__

x=-1- точка минимума, производная меняет знак с - на +

х=1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y` >0 на (- 1 ;1)
функция возрастает на (-1;1)

y`` < 0 на (- ∞ ;-1) и на (1;+∞)
функция убывает на (- ∞ ;-1) и на (1;+∞)

y``=-6x

y`` >0 на (- ∞ ;0) кривая выпукла вниз

y`` < 0 на (0;+ ∞ ) кривая выпукла вверх

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a^(m):a^(n)=a^(m-n)

(a^(m))^(n)=a^(m*n)


a^(-2):a^(2/3)=a^(-2-(2/3))=a^(-8/3)

(a^(-2):a^(2/3))^(6)=(a^(-8/3))^6=a^ [b]([/b](-8/3)*6 [b])[/b]= [b]a^(-16)[/b]
3
=(1/2) ∫ ^(1)_(0)e^(x^2)d(x^2)=(1/2)e^(x^2)|^(1)_(0)=

=(1/2)*(e^(1)-e^(0))=(1/2)*(e-1)

4.
= ∫ ^(3)_(0)(x+1)^(-1/2)d(x+1)=(x+1)^(1/2)/(1/2)|^(3)_(0)=

=2sqrt(x+1)|^(3)_(0)=2sqrt(3+1)-2sqrt(0+1)=2*2-2*1=2
Ответ выбран лучшим
u=x^2 ⇒ du=2xdx
dv=sinxdx ⇒ v= ∫ sinxdx=-cosx

∫ ^(2π)_(0)x^2sinxdx= (-x^2*cosx)|^(2π)_(0) - ∫^(2π)_(0) 2x*(-cosx)dx=

=(-(2π)^2*cos(2π)+(0*cos0) +2* ∫^(2π)_(0) xcosxdx=

u=x ⇒ du=dx
dv=cosxdx ⇒ v= ∫ cosxdx=sinx


=-4π^2+2* [b]([/b] (x*sinx)|(2π)_(0) - ∫ ^(2π)_(0) sinxdx [b])[/b]=

=-4π^2+2*2πsin2π-2*0sin0 -2(-cosx)| ^(2π)_(0) =

=-4π^2+2cos(2π)-2cos0=-4π^2
Ответ выбран лучшим
Решаем методом интервалов.

Первое подмодульное выражение обращается в 0 в точках
х=0 и х=-3

Второе подмодульное выражение обращается в 0 в точке
х=-5

Эти три точки разбивают числовую прямую на четыре интервала.

Раскрываем модули на каждом интервале и решаем соответствущее неравенство

[b](- ∞; -5][/b]
|x+5|=-x-5
|x^2+3x|=x^2+3x

Неравенство принимает вид:
[b]x^2+3x-x-5 ≤ x^2+4x+9[/b]
-2x ≤ 14
x ≥ -7

1 о т в е т. [-7;-5]

[b](-5;-3][/b]

|x+5|=x+5
|x^2+3x|=x^2+3x

Неравенство принимает вид:
[b]x^2+3x+x+5 ≤ x^2+4x+9[/b]
5 ≤ 9 - верно
при любом х ∈(-5;-3]

2 о т в е т. (-5;-3]


[b](-3;0][/b]

|x+5|=x+5
|x^2+3x|=-x^2-3x

Неравенство принимает вид:
[b]-x^2-3x+x+5 ≤ x^2+4x+9[/b]
2x^2+6x+4≥ 0
x^2+3x+2≥ 0
D=9-8=1
x_(1)=(-3-1)/2=-2; x_(2)=(-3+1)/2=-1
x ≤ -2; x≥-1

3 о т в е т. (-3;-2]U[-1;0]


[b](0;+ ∞ )[/b]

|x+5|=x+5
|x^2+3x|=x^2+3x

Неравенство принимает вид:
[b]x^2+3x+x+5 ≤ x^2+4x+9[/b]
5 ≤ 9 - верно
при любом х ∈(0;+ ∞ )

4 о т в е т. (0;+ ∞ )

О т в е т. [-7;-5] U (-5;-3] U(-3;-2] U[-1;0]U(0;+ ∞)= [b] [-7;-2] U[-1;+ ∞ )[/b]
Найдем абсциссу точки пересечения параболы
y=0,5x^2+1 и прямой y=-x+0,5

0,5x^2+1=-x+0,5

0,5x^2+x+0,5=0

x^2+2x+1=0

(x+1)^2=0

х=-1


S= ∫ ^(-1)_(-4)(0,5x^2+1-(-x+0,5))dx=

= ∫ ^(-1)_(-4)(0,5x^2+x+0,5)dx=

=(0,5*(x^3/3)+(x^2/2)+0,5x)|^(-1)_(-4)=

=0,5*(-1/3 - (-64)/3) + 0,5*(1-16)+0,5*(-1-(-4))=

=0,5*(21)+0,5*(-15)+0,5*(3)=

=0,5*(21-15+3)= [b]4,5[/b] (прикреплено изображение)
H^2=15^2-7^2=225-49=176
H=sqrt(176)=4sqrt(11)

V=S_(основания)*Н=6*S_( Δ)*H=6*(7^2*sqrt(3)/4)*4sqrt(11)=

[b]=294sqrt(33)[/b] (прикреплено изображение)
Поверхности пересекаются по
z^2=2z ⇒ z=0 или z=2

При z=0
область D: x^2+(y^2/4)=4 ⇒ (x^2/4)+(y^2/16)=1 - эллипс

V тела, заключенного между параболоидом и конусом -

Из объема параболоида вычитаем объем конуса:

V= ∫ ∫ _(по эллипсу (x^2/4)+(y^2/16)=1) ((x^2+(y^2/4))/2 - sqrt(x^2+(y^2/4)))dxdy

Так как область D - эллипс, переходим к обощенным полярным координатам

x=rcos φ
y=2rsin φ
dxdy=2drd φ (прикреплено изображение)
|cosx| ≤ 1

∫ ^(4)_(0)dx/sqrt(4-x)=-2sqrt(4-x)|^(4)_(0)=2*2=4 cходится.
По признаку сравнения данный интеграл сходится абсолютно
Ответ выбран лучшим
Раскладываем знаменатель на множители:
x^3+x=x*(x^2+1)

Тогда дробь раскладывается на простейшие:

1/(x^3+x)= (A/x)+(Mx+N)/(x^2+1)

1=А*(x^2+1)+(Mx+N)*x

1=(А+M)x^2+Nx+A

A=1
N=0
A+M=0
M=-А
М=-1

∫ ^(3)_(1)dx/(x^3+x)= ∫ ^(3)_(1) ((1/x) - x/(x^2+1))dx

=(ln|x| -(1/2)ln|x^2+1|)|^(3)_(1)= ln3-ln1-(1/2)ln10+(1/2)ln2=

= [b]ln3+(1/2)ln(1/5)[/b]
Ответ выбран лучшим
Вводим полярные координаты
x=rcos φ
y=rsin φ
Уравнение окружности принимает вид:
r^2cos^2 φ +r^2sin^2 φ =1 ⇒r^2=1
r=1
r`=0
dl=sqrt(r^2+(r`)^2)dφ=sqrt(1^2+0^2)*dφ

∫ ^(π/2)_(0)cos φ *d φ =(sin φ)|^( π/2)_(0)=sin(π/2)+sin(0)=1
Ответ выбран лучшим
V= ∫ ∫ _(по окружности x^2+y^2=4)(2-y)dxdy=

=переходим к полярным координатам

x=rcos φ ; y=rsin φ
dxdy=rdrd φ

= 2∫ ^(π)_(0) ∫ ^(2)_(0)(2-rsin φ )rdrd φ =

=2 ∫ ^(π)_(0) ∫ ^(2)_(0)((2r-r^2sin φ )dr)d φ =

=2∫ ^(π)_(0)((2r^2/2)-(r^3/3)sin φ )|^(2)_(0)d φ =

=2∫ ^(π)_(0)(4-(8/3)sin φ )d φ =

=2*(4φ +(8/3)cos φ )|^(π)_(0)=8π+(16/3)(cosπ-cos0)=

[b]=8π-(32/3)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S= ∫ ^(1)_(-2)(3-x-(x^2+1))dx=

= ∫ ^(1)_(-2)(2-x-x^2)dx=(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(-2)=

=2*(1-(-2))-(1/2)*(1^2-(-2)^2)-(1/3)*(1^3-(-2)^3)=

=6+(3/2)-(9/3)= [b]4,5[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
x(t)=e^(t)*cost

y(t)=e^(t)*sint

L= ∫ ^(t_(2))_(t_(1))sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)dt

x`(t)=e^(t)*cost+e^(t)*(-sint)
y`(t)=e^(t)*sint+e^(t)*cost

(x`(t))^2=(e^(t)*(cost-sint))^2

(y`(t))^2=(e^(t)*(cost+sint))^2

(x`(t))^2+(y`(t))^2=

=(e^(t))^(2)*(cos^2t-2sint*cost+sin^2t+cos^2t+2sintcost+sin^2t)=

=4(e^(t))^2



L= ∫ ^(π/2)_(0)sqrt(4e^(t))^2)dt=

=2 ∫ ^(π/2)_(0)e^(t)dt=

=2(e^(t))^(π/2)_(0)=

=2*(e^(π/2)-e^(0))= [b]2*(e^(π/2)-1)[/b]
Ответ выбран лучшим
S=∫^( β )_( α )y(t)*x`(t)dt=

= ∫^(π/6)_(5π/6) 6sint*(6cost)`dt=

=-36 ∫^(π/6)_(5π/6) sin^2tdt=

=-36∫^(π/6)_(5π/6) (1-cos2t)dt/2=

=-18*(t-(1/2)sin2t)|^(π/6)_(5π/6)=

=18*(4π/6)+9*(sin(2π/6)-sin(10π/6))=

=12π+9*((sqrt(3)/2)-(-sqrt(3)/2))= [b]12π+9sqrt(3)[/b]

S=(1/2)∫^( β )_( α ) ρ^(2)( φ )d φ =

=6* ∫ ^(π/6)_(0)(3sin6 φ )^2d φ =

=54 ∫ ^(π/6)_(0)(sin^26 φ )d φ=

=54 ∫ ^(π/6)_(0)(1-cos12 φ )d φ/2=

=27*( φ - (1/12)sin(12 φ ))^(π/6)_(0)=

=27*(π/6)-(1/12)sin2π+(1/12)sin0=

[b]=9π/2[/b]

3.

x(t)=3*(2cost-cos2t)

y(t)=3*(2sint-sin2t)

L= ∫ ^(t_(2))_(t_(1))sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)dt

x`(t)=3*(-2sint+2sin2t)

y`(t)=3*(2cost-2cos2t)

(x`(t))^2=9*(4sin^2t-8sint*sin2t+4sin^22t)

(y`(t))^2=9*(4cos^t-8costcos2t+4cos^22t)

(x`(t))^2+(y`(t))^2=9*(4*(sin^2t+cos^2t)-8sint*sin2t-8costcos2t+4*(sin^22t+cos^22t))=

=9*(8-8*(cos(2t-t))=9*8*(1-cost)=72*2sin^2(t/2)=144sin^2t/2


L= ∫ ^(2π)_(0)sqrt(144sin^2(t/2))dt=

=12 ∫ ^(2π)_(0)sin(t/2)dt=

=12(-2cos(t/2))^(2π)_(0)=

=-24*(cosπ-cos0)= [b]48[/b]

4.
L= ∫ ^( β )_( α )sqrt(ρ^2+(ρ`)^2)dφ

ρ=2e^(4φ /3)

ρ`=2e^(4 φ /3)*(4 φ /3)`=2*(4/3)*e^(4 φ /3)=(8/3)e^(4 φ /3)

ρ^2+(ρ`)^2=(2e^(4φ /3))^2+((8/3)e^(4φ /3))^2=

=(e^(4 φ /3))^2*(4+(64/9))= ((10/9)e^(4 φ /3))^2

L= ∫ ^( π/2 )_( - π/2)(10/9)*e^(4 φ /3)d φ =

=(3/4)*(10/9)e^(4 φ /3)|^(π/2)_(-π/2)=

= [b](5/6)*(e^(2π/3)-e^(-2π/3))[/b]
Ответ выбран лучшим
Выделяем полный квадрат:

x^2-7x+12=(x^2-2*x*(7/2)+(7/2)^2)-(7/2)^2+12=

=(x-(7/2))^2-(1/4)

Замена переменной:

x-(7/2)=u
x=u+(7/2)
dx=du

2х-3=2*(u+(7/2))-3=2u+4

∫ (2х-3)dx/(x^2-7x+12)= ∫ (2u+4)du/(u^2-(1/4)) =

интеграл от суммы равен сумме интегралов=

=∫ 2udu/(u^2-(1/4)) + 4 ∫ du/(u^2-(1/4))=

=ln|u^2-(1/4)|+ 4*( 1/2*(1/2))ln|(u-(1/2))/(u+(1/2)|+C=
=ln|x^2-7x+12|+4ln|(2x-8)/(2x-6)|+C=

= [b]ln|x^2-7x+12|+4ln|(x-4)/(x-3)|+C[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Производная дроби.
По формуле
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=3x
v=x^2+3x-2

u=3
v`=2x+3

y`=(3*(x^2+3x-2)-(3x)*(2x+3))/(x^2+3x-2)^2

y`=(3x^2+9x-6-6x^2-9x)/(x^2+3x-2)^2

y`=(-3x^2-6)/(x^2+3x-2)^2
Ответ выбран лучшим
sin^2x=1-cos^2x

a^2+a-1+cos^2x-2acosx-1>0

cos^2x-2acosx+a^2+a-2>0

Обозначим
cosx=t

|cosx| ≤ 1

значит

-1 ≤ t ≤ 1
Переформулируем задачу
При каких значениях параметра a неравенство
t^2-2at+a^2+a-2>0

выполняется для любых t, -1 ≤ t ≤ 1
Ответ выбран лучшим
Замена переменной:
3^(|sinx|)=t
t>0 при любом х

Переформулируем задачу:
при каких значениях параметра а неравенство
t^2+2*(a-2)*t+a^2-1>0
выполняется при любом t >0

Пусть
f(t)=t^2+2*(a-2)*t+a^2-1
Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви вверх

(x^2–4)/(2x+1)<0
(x-2)(x+2)(2x+1) <0


Пусть f(x)=(x-2)*(x+2)*(2x+1)

Находим нули функции

f(x)=0

(x-2)(x+2)(2x+1)=0

x=2; x=-2 ; x=-1/2 - нули функции, т.е.точки, в которых функция обращается в 0, а кривая y=f(x) пересекает ось Ох

Согласно теории функция проходя через нуль функции переходит из верхней полуплоскости в нижнюю или наоборот, т.е.меняет знак.

Поэтому находят знак справа от самой правой точки, он положителен.

___ (-2) ____ (-1/2) _____ (2) ___ + ____

Далее знаки чередуют влево

_-__ (-2) __+__ (-1/2) ___-__ (2) ___ + ____

В этом и заключается [b]метод интервалов.[/b]

О т в е т. [b] (- ∞ ;-2) U(-1/2);2)[/b]

2.
27^(1-x)=1/81
27=3^3
81=3^(4)

(3^(3))^(1-x)=3^(-4)

3^(3-3x)=3^(-4)

3-3x=-4

-3x=7

x= [b]-7/4[/b]

3.

f`(x)=5*(x^2+1)`=5*(2x+0)= [b]10x[/b]

4.

cos^2x=1-sin^2x

1-sin^2x+6sinx=0

sin^2x-6sinx-1=0

Квадратное уравнение относительно синуса.
D=
корни
обратная замена
Подставляем х=2 в выражение под знаком предела
(4-4)/sqrt(4+24-4)=0/sqrt(24)=0

О т в е т. [b]0[/b]
S=2S_(1)=2* ∫ ^(4)_(0)sqrt((4-x)^3)dx=

=2*(-1) ∫ ^(4)_(0)(4-x)^(3/2)d(4-x)=

=-2*((4-x)^(5/2)/(5/2))|^(4)_(0)=

=(-1/5)(sqrt(4-x)^(5))|^(4)_(0)=(-1/5)*0+(1/5)sqrt(4^5)= [b]32/5[/b]
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(3^(x^2)/3)*5^(x-1) ≥ 1

3^(x^2-1)*5^(x-1) ≥ 1

3^((x-1)*(x+1))*5^(x-1) ≥ 1

(3^(x+1))^(x-1) * 5^(x-1) ≥ 1

(3^(x+1)*5)^(x-1) ≥ (3^(x+1)*5)^(0)

Если
3^(x+1)*5> 1, то показательная функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

х-1 ≥ 0

Cистема:
{3^(x+1)*5> 1
{х-1 ≥ 0



Если
0< 3^(x+1)*5<1, то показательная функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

х-1≤ 0

Cистема:
{0<3^(x+1)*5< 1
{х-1≤ 0


Объединений решений системы (1) и (2) приведет к ответу
(прикреплено изображение)
ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ x в первой или во второй четверти, x ≠ πk, k ∈ Z
{1+cos4x>0 ⇒ cos4x>-1 ⇒ cos4x ≠ -1 ⇒ 4x ≠ π+2πn, n ∈ Z ⇒ x ≠ (π/4)+(π/2)*n, n ∈ Z

log_(sqrt(2))sinx=log_(2^(1/2))sinx=(1/(1/2))log_(2)sinx=2log_(2)sinx=

=log_(2)sin^2x

2+log_(2)sin^2x=log_(2)4+log_(2)sin^2x=log_(2)4sin^2x

log_(2)(1+cos4x)=log_(2)(4sin^2x)

1+cos4x=4sin^2x

1+cos4x=2*(1-cos2x)

2cos^22x=2-2cos2x

cos^22x+cos2x-1=0

D=5

cos2x=(-1-sqrt(5))/2 не имеет корней в силу ограниченности косинуса

cos2x=(-1+sqrt(5))/2

2х= ± arccos(-1+sqrt(5))/2 + 2 πm, m ∈ Z

х= ± (1/2) arccos(-1+sqrt(5))/2 + πm, m ∈ Z

Области определения принадлежат корни:

[b]х=(1/2)arccos(-1+sqrt(5))/2 + 2πk, k ∈ Z[/b]

и

[b]х=π - (1/2)arccos(-1+sqrt(5))/2 + 2πn, n ∈ Z[/b]
1)
∫ (6-x^8+x^(-8))dx= 6x - x^(9)/9 +x^(-7)/(-7) + C=
=6x-(1/9)x^(9)-(1/7)*(1/x^7)+C

2)

∫ (5x-14x^(-6)+2x^(3))dx= (5x^2/2) -14*x^(-5)/(-5) +2x^(4)/(4) + C=

=(5/2)x^2+(14/5)(1/x^(5))+(1/2)*x^4+C



3)
∫ (8x^(2)+3x-15)dx=8*x^(3)/3 +3*(x^2/2)-15x +C=(8/3)*x^(3)+(3/2)*x^2-15x+C

в 4); 5); 6) применяем метод подведения под дифференциал.
(см. приложение)


4)
∫ (4x-3)^7dx=(1/4) ∫ (4x-3)^7d(4x-3)=(1/4)*((4x-3)^8/8)+C=

=(1/32)*(4x-3)^8+С


5) ∫4*(3-6x)^(-6)dx=(-1/6)*4∫(3-6x)^(-6)d(3-6x)=

=(-2/3)*(3-6x)^(-5)/(-5)+C=

=(2/15)*(1/(3-6x)^5) + C

6)
∫ cos3xdx= ∫ cos3x*d(3x)/3=(1/3) ∫ cos(3x)d(3x)=(1/3)*(sin3x)+C=

=(sin3x)/(3)+C

(прикреплено изображение)
y=a-x^2

x^2+(a-x^2)^2=16

x^4+(1-2a)x^2+a^2-16=0

Биквадратное уравнение

Решаем методом замены переменной

x^2=t

Если квадратное уравнение
t^2+(1-2a)t+a^2-16=0

имеет два корня, то обратный переход

x^2=t_(1); x^2=t_(2)
приводит к двум простейшим уравнениям.

По условию задачи должны получить три корня.

Если t_(1)>0 и t_(2) > 0 то корней будет 4
Если числа t_(1) ; t_(2) разных знаков, то корней два.

Значит, чтобы получить ровно три корня, одно из чисел равно t_(1) ; t_(2) равно 0, другое положительно.

Значит
{a^2-16=0
{2a-1>0

{a= ±4
{a>1/2

О т в е т. а=4
x=5+4t-t^2 - парабола, ветви вниз

v(t)=x`(t)=4-2t - прямая

a(t)=v`(t)=-2 - прямая параллельная оси Оt

(прикреплено изображение)
u=1-x^2
du=-2xdx
xdx=-(1/2)du

= ∫ sqrt(u)*(-1/2)du=-(1/2) ∫ u^(1/2)du=(-1/2)*u^(3/2)/(3/2)+C=

=(-1/3)*usqrt(u)+C=

= [b](-1/3)*(1-x^2)*sqrt(1-x^2) + C[/b]
Ответ выбран лучшим
∫ sin^22x*sin2xdx= ∫ (1-cos^22x)*sin2xdx=



[во втором интеграле замена устно
u=cos2x;
du=(-sin2x)*(2x)`dx
du=-2sin2xdx
sin2xdx=-du/2]


= ∫sin2xdx- ∫ cos^2(2x)*(-1/2)d(cos2x)=

=(1/2)*(-cos2x)+(1/2)*(cos^32x)/3 + C=

[b]=(-cos2x)/2 + (cos^32x)/6 + C[/b]
Ответ выбран лучшим
Дробь(1/(x^3+8)) надо разложить на простейшие

Раскладываем знаменатель на множители:
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)

Тогда подынтегральная дробь(1/(x^3+8)) раскладывается на две дроби

(1/(x^3+8)) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x^2-2x+4)

Приводим правую часть к общему знаменателю

Получим две дроби с равными знаменателями равны.

Приравниваем числители:

1= A*(x^2 -2x+4)+(Mx+N)(x+2)

1=Ax^2-2Ax+4A+Mx^2+Nx+2Mx+2N

1=(A+M)x^2+(N+2M-2A)+4A+2N


Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^2
0=A+M
при x
0=N+2M-2A
при x^0
1=4A+2N

M=-A
N=(1-4A)/2

и подставляем в среднее

0=(1-4А)/2 - 2A-2A
1-4A=8A
A=1/12
M=-1/12
N=1/3

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ dx/(x^3+8)=∫ - (8/12)*(1/(x+2)) - 8*((-x/12)+(1/3))/(x^2-2x+4))dx=

= [b] - (2/3)ln|x+2| +(8/24) ln|x^2-2x+4| -(8/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3))+С
[/b]
- о т в е т

Как считали последний интеграл:

Выделяем полный квадрат в знаменателе последней дроби:

x^2-2x+4=(x^2-2х+1)+3=(x-1)^2 +3

∫ ((-x/12)+(1/3))dx/(x^2-2x+4)= -(1/12) ∫(x-4)dx/)((x-1)^2+3)
Замена
x-1=u
dx=du
x= u +1


=(-1/12)∫ (u+1-4)du/( u^2+3)=

=(-1/12)*(1/2)∫2udu/(u^2+3)+(3/12)*∫ du/( u^2+3)

=(-1/24)ln |u^2+3|+(1/(4sqrt(3)))arctg(u/sqrt(3))

=(-1/24) ln|x^2-2x+4| +(1/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3)) + С
Ответ выбран лучшим
vector{AB}=(3-1;1-1)=(2;0)
vector{AC}=(2-1;2-1)=(1;1)

|vector{AB}|=sqrt(2^2+0^2)=2

|vector{AC}|=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)


vector{AB}*vector{AB}=2*1+0*1=2

cos φ =vector{AB}*vector{AB}/(|vector{AB}|*|vector{AB}|)=

=2/(2*sqrt(2))=1/sqrt(2)

φ =45 градусов
Ответ выбран лучшим
d=a_(2)-a_(1)=1,4

S_(n)=(2a_(1)+(n-1)d)*n/2

S_(n)=(2a_(1)+(n-1)d)*n/2

S_(n)=(-82,6+1,4(n-1))*n/2

S_(n)=(1,4n^2-84n)/2

Это функция, зависящая от n ( n - натуральное число)

Поэтому зная, что квадратичная функция ( квадратный трехчлен an^2+bn+c при a>0 принимает наименьшее значение в вершине.

n_(o)=84/2,8= [b]30[/b]

S(30)=(1,4*30^2-84*30)/2=30*(42-84)/2=30*(-21)=-630
В основании пирамиды квадрат.
Пусть его сторона равна а.

Т. к. диагональное сечение пирамиды - равносторонний треугольник, то его стороны равна диагонали квадрата, т.е
d=asqrt(2)* 6√2.

Высота этого равностороннего треугольника равна a*sqrt(3)/2=3√6.

H=3√6.
Апофема
h^2=H^2-(a/2)^2=54-9=45
S_(бок.пов.)=4S_(ΔSAB)=4*(1/2)*a*h=2*6*sqrt(45)= [b]12*3sqrt(5)[/b]


Ответ выбран лучшим
Есть в интернете такое решение. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
[b]y=x^4 -32x+1 [/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )

2. Область изменения функции E(y) =(-47 ; + ∞ )
см. рис.

3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=(-x)^4 -32*(-x)+1=x^4+32x+1
f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

Функция не является ни чётной, ни нечётной

Функция непрерывна на области определения, потому что это многочлен

Поведение функции на бесконечности
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = +∞

Исследование функции с помощью производной
y`=(x^4-32=1)`=(x^4)`-32*(x)`+1`=4x^3-32+0
y`=4x^3-32
y`=0
4x^3=32
x^3=8

x=2

Знак производной
__-__(2) ___+_

y`<0 на (- ∞ ; 2), функция возрастает на (- ∞ ; 2)

y`>0 на (2; + ∞ ), функция убывает на (2; + ∞ )

x=2 - точка минимума y(2)=(2)^4-32*2+1=-47


y``=12x^2

y``>0 на (- ∞ ; 0) и на (0; + ∞ )
Кривая выпукла вниз на (- ∞ ; 0) и на (0; + ∞ )

См. рис.

(прикреплено изображение)
1. Применяем формулу классической вероятности.
Испытание состоит в том, что из 28 костей домино берут три.
n=C^(3)_(28) исходов испытания

Событие А-"взят хотя бы один дубль"
Дублей среди 28-ми костей домино 7 штук.

Фраза хотя бы один из трех означает один, два или три.

Надо посчитать вероятность трех событий.

Поэтому проще найти вероятность противоположного события
vector{A}-"не взято ни одного дубля", т. е все три кости взяты из 21 костей домино

Событию vector{A} благоприятствует

m=C^(3)_(21) исходов испытания

По формуле классической вероятности
p( vector{A})=m/n=C^(3)_(21)/C^(3)_(28)= cчитайте самостоятельно

Тогда
p(A)=1-p(vector{A})= считайте самостоятельно

3.
Вводим в рассмотрение события [b]-гипотезы[/b]
H_(1) – из первой коробки во вторую переложен [b]белый [/b]шар
H_(2) –из первой коробки во вторую переложен [b]черный[/b] шар

Всего шаров в первой коробке 16+4=20.

p(H_(1))=16/20
p(H_(2))=4/20


событие A– "из второй коробки извлечен [b]белый[/b] шар"

Во второй коробке: 5+2=7 шаров
+ 1 шар переложен из первой коробки, всего стало 8
5+1=6 белых, если переложен белый
p(A/H_(1))=(6/8)
5 белых, если переложен черный
p(A/H_(2))=(5/8)


По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(16/20)*(6/8)+(4/20)*(5/8)=(96+20)/160=116/160

По формуле Байеса

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)= (96/160)/(116/160)=96/116=

= [b]24/29[/b]

4.
p=0,7
q=1-p=1-0,7=0,3
По формуле Бернулли:
P_(21)(16)=C^(16)_(21)*0,7^(16)*0,3^(5)=считайте самостоятельно

Ответ выбран лучшим
Область определения [0;+ ∞ )

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения не симметрична относительно нуля.

y`=2x+1/(2sqrt(x))

Производная не существует при х=0

y`>0
при любом х из области (0;+∞ )

Функция монотонно возрастает на всей области определения.

y``=(2x+1/(2sqrt(x)))`=(2x)`+(1/2)*(x^(-1/2))`=2-(1/4)x^(-3/2)=

=2-(1)/(4*xsqrt(x))

y``>0 при любом х из области (0;+∞ )

Кривая выпукла вниз на (0;+∞ )

(прикреплено изображение)
1.
∫ sqrt(3))_(0) (2+(3/(1+x^2)))dx=(2x+3arctgx)|^(sqrt(3))_(0)=
=2sqrt(3)+3arctg(sqrt(3))-0=2sqrt(3)+3*(π/3)= [b]2sqrt(3)+π[/b]

2. ∫ ^(1/3)_(0)e^(1-3x)dx=(-1/3) ∫ ^(1/3)_(0)e^(1-3x)*(-3)*dx=

=[-3dx=d(1-3x)]=

=(-1/3)*e^(1-3x)|^(1/3)_(0)=-(1/3)*(e^(0)-e^(1))= [b](e-1)/3[/b]
Ответ выбран лучшим
sqrt(4-x+4sqrt(-x))+sqrt(4-x-4sqrt(-x))=4

Умножаем обе части уравнения на sqrt(4-x+4sqrt(-x))-sqrt(4-x-4sqrt(-x))

4-х+4sqrt(-x)-4+x+4sqrt(-x)=4*(sqrt(4-x+4sqrt(-x))-sqrt(4-x-4sqrt(-x)))

2sqrt(-x)=(sqrt(4-x+4sqrt(-x))+sqrt(4-x-4sqrt(-x)))


sqrt(4-x+4sqrt(-x))+sqrt(4-x-4sqrt(-x))=4
sqrt(4-x+4sqrt(-x))-sqrt(4-x-4sqrt(-x))=2sqrt(-x)

Складываем

2sqrt(4-x+4sqrt(-x))=4+2sqrt(-x)

sqrt(4-x+4sqrt(-x))=2+sqrt(-x)

Возводим в квадрат..

Обязательно делаем проверку,находить ОДЗ сложнее.

2) Так же.

Умножаем обе части на

(97-х)^(1/4)-x^(1/4)

sqrt(97-х)-sqrt(x)=5*((97-х)^(1/4)-x^(1/4))


(97-х)^(1/4)+x^(1/4)=5

(97-х)^(1/4)-x^(1/4)=(1/5)*(sqrt(97-x)-sqrt(x))

Вычитаем:

2x^(1/4)=5-(1/5)*((sqrt(97-x)-sqrt(x))

sqrt(97-x)-sqrt(x)= 10x^(1/4)-25

Умножаем на
sqrt(97-x)+sqrt(x)

...
Ответ выбран лучшим
(2х+1)(3х+2)(6х+1)(х+1)=210
(6x^2+7x+2)*(6x^2+7x+1)=210
Замена
6x^2+7x+1=t

(t+1)*t=210
t^2+t-210=0
D=1+840=841
t_(1)=-15; t_(2)=14

Обратный переход

6x^2+7x+1=-15

или

6x^2+7x+1=14

Решаем два квадратных уравнения...
n=A^(4)_(9)=9!/5!=6*7*8*9
m=1

p=m/n=1/(6*7*8*9)
Ответ выбран лучшим
Замена переменной:

t^2 +2t -3=0
D=16
t=-3; t=1

(x^6-26)^(1/6)=- 3 нет решений
или
(x^6-26)^(1/6)=1

x^6-26=1
x^6=27
x^2=3
[b]x= ± sqrt(3)[/b]
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x+2>0⇒ x >- 2
{x^2-4>0 ⇒ (x-2)(x+2)>0 ⇒ x < -2 или x > 2

ОДЗ: х > 2

Логарифмируем по основанию 10
lg(2^(lg(x^2-4)) ≥ lg(x+2)^(lg2)

lg(x^2-4)*lg2 ≥ lg2*lg(x+2)

lg(x^2-4) ≥ lg(x+2)

x^2-4 ≥ (x+2)

(x-2)*(x+2)-(x+2) ≥ 0

(х+2)*(х - 2 -1) ≥ 0

(х+2)*(х-3) ≥ 0

_+__ [-2] __-__ [3] __+__

C учетом ОДЗ
О т в е т.[3;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
x+4=6 или х+4=-6
х=2 или х=-10
О т в е т. [b]-10;2 [/b]
3x+3=5y-xy
y=(3x+3)(5-x)

y>0

(3x+3)/(5-x)>0

____(-1) __+___ (5) _____

x=0
x=1
x=2
x=3
x=4

Тогда
x=0; y=3/5
x=1;y=6/4=3/2
x=2;y=9/3=3
x=3;y=6
x=4;y=15

О т в е т. [b](0;3/5);(1;3/2); (2;3);(3;6);(4;1,5)[/b]
Ответ выбран лучшим
S_( ΔABC)=sqrt(21*(21-14)*(21-15)*(21-13))=84

h=2S/14=2*84/14=12

tg α =16/12=4/3

О т в е т. arctg(4/3) (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
{4-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
x ∈ [2;4]

возводим обе части в квадрат
x^2-6x+11>0 при любом х, D <0

x-2 +2*sqrt((x-2)*(4-x))+4-x=(x^2-6x+11)^2

2*sqrt((x-2)*(4-x))+2=(x^2-6x+11)^2

2*sqrt(-x^2+6x-8)+2=(x^2-6x+11)^2

замена

-x^2+6x-8=t
x^2-6x+11=3-t

2sqrt(t)+2=t^2

2sqrt(t)=t^2-2

{4t=t^4-4t^2+4
{t^2-2≥

t^4-4t^2-4t+4=0

2.
sqrt(x)+sqrt(x+9)=sqrt(x+1)+sqrt(x+4)

x+2*sqrt(x)*sqrt(x+9)+x+9=x+1+2*sqrt(x+1)*sqrt(x+4)+x+4

2*sqrt(x)*sqrt(x+9)+4=2*sqrt(x+1)*sqrt(x+4)

sqrt(x)*sqrt(x+9)+2=sqrt(x+1)*sqrt(x+4)

[b]sqrt(x+1)*sqrt(x+4)-sqrt(x)*sqrt(x+9)=2[/b]

Умножаем на
sqrt(x+1)*sqrt(x+4)+sqrt(x)*sqrt(x+9)

2*(sqrt(x+1)*sqrt(x+4)+sqrt(x)*sqrt(x+9))=(х+1)*(х+4)-х*(х+9)

[b](sqrt(x+1)*sqrt(x+4)+sqrt(x)*sqrt(x+9))=2-2х[/b]

Складываем
два уравнения

2sqrt(x+1)*sqrt(x+4)=4-2х

Возводим в квадрат:

Ответ выбран лучшим
1) Делим на 25^(1/x)

(100/25)^(1/x)-4,25*(50/25)^(1/x)+1=0

4^(1/x)-4,25*(2)^(1/x)+1=0

Квадратное уравнение, замена

4t^2-17t+4=0
D=289-4*4*4=225

t=1/4; t=4

2^(1/x)=1/4
[b]x=-1/2[/b]

2^(1/x)=4
[b]x=1/2[/b]

2)

3^(3x)-13*3^(2x)+39*3^(x)-27=0

(3^(3x)-27)-13*3^(x)*(3^(x)-3)=0

(3^(x)-3)*(3^(2x)+3*3^(x)+9-13*3^(x))=0

3^(x)-3=0

[b]x=1[/b]

или

(3^(x))^2+3*3^(x)+9-13*3^(x)=0

3^(2x)-10*3^(x)+9=0

D=64

3^(x)=1

[b]x=0[/b]

или

3^(x)=9

[b]x=2[/b]

1)
делим на 8^(x)>0
(27/8)^(x)+(12/8)^(x)=2
(3/2)^(3x)+(3/2)^(x)-2=0
Замена
(3/2)^(x)=t
t^3+t-2=0
t^3-1+t-1=0

(t-1)*(t^2+t+1+1)=0
t=1
t^2+t+2=0 корней нет, D <0

(3/2)^(x)=1
[b]x=0[/b]

2)
3^(2x-2)/3=2^((2x+1)/2)/4

3^(2x-2-1)=2^(2x-3)/2

(3/sqrt(2))^(2x-3)=1
2x-3=0
[b]x=3/2[/b]
1) девятью способами
2)одиннадцатью способами
3) двадцатью способами
4) 9*11=99 способов
С^(3)_(8) * C^(2)_(4)= (8!/(8-3)!*3!) * (4!./(4-2)!*2!)=56* 6=336
Ответ выбран лучшим
7*6*5=210 cпособов.

Первую премию любому из семи, вторую - любому из оставшихся шести, третью - любому из оставшихся пяти.
sin^2 α +cos^2 α =1

cos^2 α =1-sin^2 α =1-(5sqrt(26)/26)^2=1-(25/26)=1/26

cos α =1/sqrt(26)=sqrt(26)/26 ( знак +, так как α∈(0;π/2) )

tg α =sin α /cos α= [b]5 [/b]
1.
5^((2x-4)-(1/2))-5^(-x+7,5)= [b]0[/b]

5^(2x-4,5)=5^(-x+7,5)

2x-4,5=-x+7,5

3x=12

[b]x=4[/b]

2.
2^(3-(x/2))=2^((6x-4)+(1/2))

3-(x/2)=6x-4+(1/2)

13x=13

[b]x=1[/b]

3.
3^(2*(1/2x)-2)=3

1/x-2=1

1/x=3

[b]x=1/3[/b]

4.

3^(9-x)=3^(4)

9-x=4

[b]x=5[/b]
Ответ выбран лучшим
12.
S= ∫ ^(2)_(-2)(4-x^2)dx= (4x-(x^3/3))|^(2)_(-2)=(4*2-8/3)-(4*(-2)-(-8)/3)=

=16-(16/3)= [b]32/3[/b]

15
sqrt(46-2x)=8
46-2x=64
-2x=64-46
-2x=18
[b]x=-9[/b]
1)
ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{2x ≠ 1

x ∈ (0;1/2)U(1/2;1)U(1;+ ∞0

Замена переменной:

log_(2)x=t

log_(x)2=1/t

log_(2x)2=log_(2)2/log_(2)(2x)=1/(log_(2)2+log_(2)x)=1/(1+t)

(1/t)+2*(1/(1+t)) ≥ 2

(t+1 +2t -2t*(1+t))/(t*(1+t)) ≥ 0

(-2t^2+t+1)/(t*(t+1)) ≥ 0

(2t^2-t-1)/(t*(t+1)) ≤ 0

D=9
t=-1/2; t=1

_+__ (-1) _-__ [-1/2] _+__ (0) __-____[1] __+__

-1 < t ≤ -1/2 или 0 < t ≤ 1

Обратная замена
-1 <log_(2)x ≤ -1/2 или 0 < log_(2)x ≤ 1

-1log_(2)2 <log_(2)x ≤ (-1/2)*log_(2)2 или log_(2)1< log_(2)x ≤ log_(2)2


y=log_(2)x возрастающая функция, поэтому

[b]1/2 < x ≤ 1/sqrt(2) или 1 < x ≤ 2[/b]

2.
Применяем метод интервалов:

Нули числителя:

∛x^2+6x+2 - ∛4x+17=0

∛x^2+6x+2 = ∛4x+17

x^2+6x+2 =4x+17

x^2+2x-15=0

D=4+60=64

x_(1)=-5; x_(2)=3


Нули знаменателя:

2^(x)-8=0

2^(x)=2^(3)

[b]x=3[/b]

Расставляем знаки:
∛x^2+6x+2 - ∛4x+17≥ 0 или
∛x^2+6x+2 ≥ ∛4x+17 ⇔ x^2+2x-15 ≥0
при х ∈(-∞;-5] U [3;+∞)

2^(x)-8 >0 при х ∈ (3;+∞)


__-__ [-5] ___+__ (3) __+__

О т в е т. [b][-5;3) U (3;+ ∞) [/b]
Ответ выбран лучшим
1.
2x-5=6^2
2x=36+5
2x=41
x=20,5

2.
log_(4)(3x+1)=log_(4)(x+2)+log_(4)4

log_(4)(3x+1)=log_(4)4*(x+2)

3x+1=4*(x+2)
3x+1=4x+8
x=-7
При х=-7
log_(4)(3*(-7)+1) не существует
О т в е т. нет корней

3.

lg(1/x)=lgx^(-1)=-lgx

(lgx)^2-lgx-2=0
D=9
lgx=-1 или lgx=2
x=0,1 или x=100

проверка или ОДЗ

О т в е т. 0,1; 100

4.
ОДЗ:
{x+25>0
{x>0

ОДЗ: х>0
log_(5)(x+25)=log_(5)25+log_(5)x

log_(5)(x+25)=log_(5)25*x

x+25=25x
25=24x
x=25/24 удовл. ОДЗ

О т в е т. 25/24
Ответ выбран лучшим
а) однородное
Замена
y/x=u
y=xu
y`=u+x*u`

u+x*u`=(1/u)+u
x*u`=(1/u)
xdu=dx/u
udu=dx/x


∫ udu= ∫ dx/x

u^2/2=ln|x|+lnc

(y/x)^2=2ln|cx|

Cx^2=e^((y/x)^2); C=c^2

б)
y`-y*tgx=2cosx

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-u*v*tgx=2cosx

u`*v+u*(v`-vtgx)=2cosx

пусть

1)(v`-vtgx)=0 ⇒ dv/v=tgxdx; lnv=-ln|cosx| ⇒v=1/cosx

тогда
2)
u`*v=2cosx

u`*(1/cosx)=2cosx
u`=2cos^2x

u`=1+cos2x

u=x+(1/2)sin2x+C

[b]y= (x+(1/2)sin2x+C)/cosx[/b]

y(0)=-2

-2=(0+(1/2)*sin0+C)/cos0

C=-2
[b]y= (x+(1/2)sin2x-2)/cosx[/b]


Это линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+5=0
D=16-4*5=-4
k_(1)=(4-2i)/2=2-i; k_(2)=2+i - корни комплексно-сопряженные.
α =2 β=1
Общее решение:
[b]y=e^(2x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)[/b]

Находим
y`=(e^(2x))`(C_(1)cosx+C_(2)sinx)+e^(2x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)`


y`=e^(2x)*(2x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)+e^(2x)*(-C_(1)sinx+C_(2)cosx)

y`=e^(2x)*(2C_(1)cosx+C_(2)sinx-C_(1)sinx+C_(2)cosx)

y`(0)=2

[b]2=e^(2*0)*(2C_(1)cos0+C_(2)*sin0-C_(1)sin0+C_(2)cos0)[/b]


y(0)=1
1=e^(2*0)*(C_(1)cos0+C_(2)sin0)

2=2C_(1)+C_(2)
1=C_(1)
значит
С_(2)=0

Частное решение ( решение удовлетворяющее условию)
[b]y=e^(2x)*cosx[/b]
ОДЗ:
{x+4 ≥0 ⇒ x ≥ -4
{x-4≥0 ⇒ x ≥ 4
{x^2-16≥0 ⇒ x≤ -4 или x ≥ 4

х ∈ [4;+ ∞ )

Замена переменной:

sqrt(x+4)+sqrt(x-4)=t
t≥0 на ОДЗ как сумма неотрицательных выражений

Возводим в квадрат

x+4+2sqrt((x+4)*(x-4))+x-4=t^2

2x+2sqrt(x^2-16)=t^2

Уравнение:

t=t^2-12=0

t^2-t-12=0

D=49

t=-3 или t=4

t=-3 посторонний корень.

sqrt(x+4)+sqrt(x-4)=4

Возводим в квадрат
sqrt(x^2-16)=16-2x
sqrt(x^2-16)=8-x

Возводим в квадрат

x^2-16=64-16x+x^2
16x=80
[b]х=5[/b]
2)

∛(х+1) + ∛(х+2) =- ∛(х+3)
Возводим в куб:

x+1+3*∛(x+1)^2*∛(x+2) +3*∛(x+1)*∛(x+2)^2 +x+2=- x - 3

3*∛(x+1)^2*∛(x+2) +3*∛(x+1)*∛(x+2)^2= - 3x - 6

∛(x+1)*∛(x+2)*(∛(x+1)+∛(x+2)= - x - 2

Так как по условию
∛(x+1)+∛(x+2) = - ∛(х+3)

∛(x+1)*∛(x+2)*(-∛(х+3)) =- x - 2

Возводим в куб

(x+1)*(x+2)*(x+3)=(x+2)^3

(x+1)*(x+2)*(x+3)-(x+2)^3=0

(x+2)*(x^2+4x+3-x^2-4x-4)=0

(х+2)*(-1)=0

[b]x=-2[/b]

3)
(x-sqrt(x^2-1))^3*(x+sqrt(x^2-1))^3*(x+sqrt(x^2-1))^2=1

(x^2-(x^2-1))^3*(x+sqrt(x^2-1))^2=1

1^3*(x+sqrt(x^2-1))^2=1

(x+sqrt(x^2-1))^2=1

x^2+2x*sqrt(x^2-1)+x^2-1=1

2x*sqrt(x^2-1)=2-2x^2

x*sqrt(x^2-1)=1-x^2

...

[b]x= ± 1[/b]

Ответ выбран лучшим
2.
Расстояние равно ВК
ВК ⊥ АС

ВК=1/2 - катет против угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике АКВ.

3. см. аналогичные задачи
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=16028 (прикреплено изображение)
270:90=3 часа
120:80=1,5 часа
150:60=2,5 часа

S=s_(1)+s_(2)+s_(3)=270+120+150=540 км

t=t_(1)+t_(2)+t_(3)=3 часа +1,5 часа +2,5 часа =7 часов

v_(cредняя)=S/t=540/7=77 целых 1/7 км в час

Возводим в квадрат
3x+3x^2=(1+x)^2

3x*(1+x)-(1+x)^2=0
(1+х)*(3х-1-х)=0

(1+х)*(2х-1)=0

х=-1 или х=1/2

проверка

при
х=-1

sqrt(-3+3)=0 - верно

при х=1/2

sqrt((3/2)+(3/4))=1+(1/2)

sqrt(9/4)=3/2- верно
-1 и(1/2) - корни уравнения

О т в е т (-1); 1/2



Ответ выбран лучшим
(x+4)(x+1)=x^2+5x+4

Замена переменной

sqrt(x^2+5x+2)=t
x^2+5x+2=t^2

x^2+5x+4=t^2+2

Уравнение

t^2+2-3t=6

корни
-1 и 4

sqrt(x^2+5x+2)=-1 не имеет решений

sqrt(x^2+5x+2)=4
x^2+5x+2=16

x^2+5x-14=0
D=25+56=81
x=-7 или х=2

Проверка.
-7 и 2 - корни уравнения

О т в е т. -7; 2

2)

ОДЗ:
{x-(1/x) ≥ 0
{1-(1/x) ≥ 0

x∈[-1;0) U(1;+ ∞)


[b]sqrt(x-(1/х)) - sqrt(1-(1/x))=(x-1)/x[/b]

Умножаем на

sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))

x -(1/x) - 1+(1/x) = ((x-1)/x)(sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))

или

х-1=((x-1)/x)(sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))

[b]х=1 корень уравнения[/b]

1=(1/x)*(sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))
или

[b](sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))=х[/b]



Вычитаем из второго первое:

2sqrt(1-(1/x))=x-((x-1)/х)

Возводим в квадрат

4*(1- 1/х))=x^2-2*(x-1)+(1-(1/x))^2


4 - (4/x) =x^2+(1/x^2)-2x+2+1-2/x

x^2+(1/x^2)-2x+2+1-(2/x)+(4/x)-4

Замена
sqrt(x-(1/x))=t

x - (1/x)=t^2

x^2-2+(1/x)^2=t^4

x^2+(1/x^2)=t^4+2

t^4+2-2t-1=0

t^4-2t+1=0

t=1

sqrt(x-(1/x))=1

x-(1/x)=1

x^2-x-1=0

D=5

x=(1-sqrt(5))/2; х=(1+sqrt(5))/2
удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. (1-sqrt(5))/2; 1; (1+sqrt(5))/2
{x+2>0
{x+5>0

ОДЗ:x>-2

Разность логарифмов заменим логарифмом частного:

log_(4)(x+2)/(x+5) < 1

log_(4)(x+2)/(x+5) < log_(4)4

Логарифмическая функция с основанием 4> 1 возрастает.

Большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
(x+2)/(x+5) <4

(x+2)/(x+5) - 4 < 0

(x+2-4x-20)/(x+5) < 0

(-3x-18)/(x+5) <0

Делим на (-3) при этом меняем знак неравенства:

(x+6)/(x+5) >0

Решаем методом интервалов.

Находим нули числителя и знаменателя:

х=-6

х=-5

_+__ (-6) __-__ (-5) __+__

C учетом ОДЗ
[b]о т в е т. (-2;+ ∞ )[/b]
Ответ выбран лучшим
1)
Возводим в куб:
1+sqrt(x)+3*∛(1+sqrt(x))^2*∛(1-sqrt(x)) +3*∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))^2 +1-sqrt(x)=8

3*∛(1+sqrt(x))^2*∛(1-sqrt(x)) +3*∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))^2 =6

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))* [b](∛(1+sqrt(x))+∛(1-sqrt(x)))[/b]=2

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))* [b]2[/b]=2

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))=1

(1+sqrt(x))*(1-sqrt(x))=1

1-x=1

[b]x=0[/b]

2)
∛(х+1) + ∛(х+2) =- ∛(х+3)
Возводим в куб:

x+1+3*∛(x+1)^2*∛(x+2) +3*∛(x+1)*∛(x+2)^2 +x+2=- x - 3

3*∛(x+1)^2*∛(x+2) +3*∛(x+1)*∛(x+2)^2= - 3x - 6

∛(x+1)*∛(x+2)*(∛(x+1)+∛(x+2)= - x - 2

Так как по условию
∛(x+1)+∛(x+2) = - ∛(х+3)

∛(x+1)*∛(x+2)*(-∛(х+3)) =- x - 2

Возводим в куб

(x+1)*(x+2)*(x+3)=(x+2)^3

(x+1)*(x+2)*(x+3)-(x+2)^3=0

(x+2)*(x^2+4x+3-x^2-4x-4)=0

(х+2)*(-1)=0

[b]x=-2[/b]

Ответ выбран лучшим
В прямоугольнике стороны попарно перпендикулярны:
AD ⊥ AB; BC ⊥ AB

AB- проекция КВ,
по теореме о 3-х перпендикулярах КВ ⊥ ВС
Значит треугольник КВС - прямоугольный, ∠ КВС =90 градусов.
ВС^2=KC^2-KB^2=9^2-7^2=81-49=32
BC=sqrt(32)=4sqrt(2)
AD=BC=4sqrt(2)

AK⊥ пл.AВСD
Значит, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой пл., в том числе и прямой AD
Из прямоугольного треугольника
АDK
AK^2=KD^2-AD^2=36-32=4
AK=2

О т в е т.
a) AK=2
б) d(AK,DC)=AD=4sqrt(2)- длина общего перпендикуляра к прямым АК и СD.

Ответ выбран лучшим
Направляющий вектор данной прямой
vector{s}=(1;-2;-3}будет служить направляющим вектором искомой прямой.
Уравнение прямой, проходящей через точку А с заданным направляющим векторомvector{s}=(p;q;r} имеет вид
(x-x_(A))/p=(y-y_(A))/q=(z-z_(A))/r

О т в е т. (x-1)/1=(y-4)/-2=(z+1)/(-3)
Ответ выбран лучшим
(vector{a}+vector{b})*(2*vector{a}+vector{b}=

=применяем законы векторной [b]алгебры[/b]=

=2vector{a}*vector{a}+2vector{b})*vector{a}+vector{a}*vector{b}+

+vector{b}*vector{b}=

cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

=3*3+1*1+(-2)*(-2) + 3*(3*1+1*0+(-2)*(-1))+1*1+0*1+(-1)*(-1)=

=
Ответ выбран лучшим
двойное неравенство:
-6 ≤ 6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+a ≤ 6

или

система двух неравенств [b]с параметром[/b]
{6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+a ≤ 6
{6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+a ≥-6

Так как sin^2 α +cos^2 α =1

{4sin^2x+2sinxcosx+a -4 ≤ 0
{4sin^2x+2sinxcosx+a +8 ≥0


{4*(1-cos2x)/2+sin2x+a-4≤ 0
{4*(1-cos2x)/2+sin2x+a +8 ≥0

{2-2cos2x+sin2x+a-4≤ 0
{2-2cos2x+sin2x+a +8 ≥0

{-2cos2x+sin2x+a-2≤ 0
{-2cos2x+sin2x+a +10 ≥0

так как
sin2x-2cos2x=sqrt(5)* [b]([/b](1/sqrt(5))*sin2x- (2/sqrt(5))*cos2x [b])[/b] =

=sqrt(5)* [b]([/b](cos φ *sin2x-sin φ *cos2x [b])[/b] =

=sqrt(5) *b]([/b]sin(2x- φ) [b])[/b]и

-1 ≤ (sin(2x- φ) ≤ 1

то

-sqrt(5) ≤ sin2x-2cos2x ≤ sqrt(5)

то
-2cos2x+sin2x+a-2≤ 0 имеет решения при -sqrt(5) ≤ -а+2 ≤ sqrt(5)

-2cos2x+sin2x+a +10 ≥0 имеет решения при -sqrt(5) ≤ -а-10 ≤ sqrt(5)

{2-sqrt(5) ≤ a ≤ 2+sqrt(5)
{-10-sqrt(5) ≤ a ≤ -10+sqrt(5)

Осталось найти пересечение множеств неравенства (1) и (2)
Ответ выбран лучшим
1)x^(6/10)-x^(3/10)=56;
Замена
x^(3/10)=t
t^2-t-56=0
D=1+224=225
t=-7 или t=8

Обратно:
x^(3/10)=-7 не имеет решения, справа только неотрицательные значения

x^(3/10)=8

x=2^(10)= [b]1024[/b]

2)
Замена
(5х+2)^(3/5)=t

t - (16/t)=6

t^2-6t-16=0
D=36+64=100

t=-2 или t=8

Обратный переход

(5х+2)^(3/5)=-2
или
(5х+2)^(3/5)=8


5х+2=(-2)^(5/3)или 5х+2=(8)^(5/3)

5х=-2∛4- 2 или 5х=8∛64- 2
x= [b](-2∛4- 2)/5 [/b] или х=(32-2)/5= [b]6[/b]


3)
Возводим в куб:
1+sqrt(x)+3*∛(1+sqrt(x))^2*∛(1-sqrt(x)) +3*∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))^2 +1-sqrt(x)=8

3*∛(1+sqrt(x))^2*∛(1-sqrt(x)) +3*∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))^2 =6

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))* [b](∛(1+sqrt(x))+∛(1-sqrt(x)))[/b]=2

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))* [b]2[/b]=2

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))=1

(1+sqrt(x))*(1-sqrt(x))=1

1-x=1

[b]x=0[/b]
Ответ выбран лучшим
a)
1-sin^2 α =cos^2 α ;
cos^2 α -1=-sin^2 α

(1-sin^2 α )/(cos^2 α -1)=cos^2 α /(-sin^2 α)= [b] - ctg^2 α [/b]

б)

1-cos^2 α =sin^2 α
1+tg^2 α =1/cos^2 α

(1-cos^2 α )*(1+tg^2 α )=sin^2 α /cos^2 α = [b]tg^2 α [/b]

в)

(sinα*sinα +(1+cosα)*(1+cosα))/((1+cosα)*sinα)=

=(sin^2α +1+2cos α +cos^2 α )/((1+cosα)*sinα)=

=(2+2cos α) /((1+cosα)*sinα)= [b]2/sin α [/b]
Ответ выбран лучшим
Формула
sin α -sin β =

Тогда

sin((x+y)/2)-sin((x-y)/2)=2sin(y/2)*cos(x/2)

Уравнение принимает вид:

dy+2sin(y/2)*cos(x/2)dx=0

Разделяем переменные

dy/sin(y/2) =-2cos(x/2)dx

Интегрируем

∫ dy/sin(y/2)=-2 ∫ cos(x/2)dx

2ln | tg(y/4)|+lnC = -2*2sin(x/2)

ln|C*(tg^2(y/4))|=-4sin(x/2)

C*(tg^2(y/4))=e^(-4sin(x/2)) (прикреплено изображение)
{y>0
{log_(x)y>0 ⇒ если x> 1, то y>1; если 0 < x < 1, то y<1
{log_(x)y ≥ 2 ⇒ если x> 1, то y≥ x^2; если 0 < x < 1, то y ≤x^2

x>1
y>1
Угол в первой четверти
y≥ x^2- внутренняя часть параболы

Область 1 -пересечение внутренней части параболы и угла

0<x<1
y<1
полоса между прямыми x=0 и х=1 , ограниченная сверху прямой y=1


y ≤x^2- внешняя часть параболы

область 2 - пересечение полосы и внешней части параболы, результатом является

между прямыми x=0 и х=1 , ограниченная сверху параболой y=x^2

См. рис.

О т в е т. объединение двух областей. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть в 3-х литровом пакете жирность молока p%, в 5-ти литровом пакете жирность молока q%.
Пусть отлили х литров из каждого пакета.

р%=0,01*р

q%=0,01*q

В первом пакете
0,01*p*(3-x) жира
добавили
0,01*q*x
Cтало
0,01*p*(3-x)+0,01*q*x жира в первом пакете

Во втором пакете
0,01*q*(5-x) жира
добавили
0,01*p*x
Cтало
0,01*q*(5-x)+0,01*p*x жира в первом пакете

По условию в обоих пакетах жирность стала одинаковой

Уравнение:

0,01p*(3-x)+0,01*q*x=0,01q*(5-x)+0,01p*x

p*(3-x)+qx=q*(5-x)+px

3p-px+qx=5q-qx+px

3p-5q=(2p-2q)*x

x=(3p-5q)/(2p-2q)


Ответ выбран лучшим
2.
sin^2 α cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(8/17)^2=1-(64/289)=225/289
cos α =-15/17
Знак минус, так как по условию угол α во второй четверти
tg α =sin α /cos α =8/15

3.
Область определения (- ∞ ; ∞ ) - четна относительно точки х= 0

y(-x)=(-x)^2 cos(-x)=x^2 cosx
[b]y(-x)=y(x)[/b]

По определению функция четна
x^(log_(3)x)=t,
тогда

применяем свойства степени
a^(mn)=(a^(m))^(n)
x^(log_(3)∛x)=(x^(log_(3)x))^(1/3)=t^(1/3)

(∛3)^(log^2_(sqrt(3)x)=(3^(log_(sqrt(3))x))^((1/3)*log_(sqrt(3))x)=

=t^(4/3)

t -2 ≤ t^(4/3)-2t^(1/3)

t*(t^(1/3)-1)+2*(t^(1/3)-1) ≤ 0

-∛2 ≤ ∛t ≤ 1

-2 ≤ t ≤ 1

Обратный переход

x^(log_(3)x) ≤ 1


...

как-то так Думаю доведете до конца.
Если надо подробнее, то все - завтра.
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
x+1>0
x> -1

Логарифмируем по основанию 10
lg(x+1)*lg(x+1)=lg(100*(x+1))

lg^2(x+1)=lg(100)+lg(x+1)

lg^2(x+1)-lg(x+1)-2=0

D=1+8=9
lg(x+1)=-1 или lg(x+1)=2

x+1=10^(-1) или x+1=10^2


x=-9/10 или х=99

Оба корня входят в ОДЗ
О т в е т. (-9/10); 99
ОДЗ:
x>0

Логарифмируем по основанию 10
(2lg^3x-1,5lgx)lgx=lgsqrt(10)

2lg^4x-1,5lg^2x-(1/2)=0

4lg^4x-3lg^2x-1=0

D=9+16=25

lg^2x=1 или lg^2x=-1/4 ( уравнение не имеет корней)

lgx=-1 или lgx=1
x=1/10 или х=10

О т в е т. (1/10); 10
{1/x>0⇒ x >0
{1/x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1


log_(11^(1/5))5=(1/(1/5))log_(11)5=5log_(11)5

11^(-log_(11^(1/5))5)=11^(-5log_(11)5)=11^(log_(11)5^(-5)=5^(-5)

Уравнение:

x^(6) * 5^(log_(1/x)5)=5^(-5)

Логарифмируем по основанию 5:

log_(5)x^(6))+log_(5)5^(log_(1/x)5) =log_(5)5^(-5)

6log_(5)x +log_(1/x)5 =-5

log_(1/x)5=log_(x^(-1))5=-log_(x)5

log_(x)5=1/log_(5)x

6log_(5)x -(1/log_(5)x) =-5

6log^2_(5)x+5log_(5)x-1=0

log_(5)x ≠0; х ≠ 1

D=25-4*6(-1)=49

log_(5)x=-1 или log_(5)x=1/6

x=5^(-1) или х=5^(1/6)

О т в е т. 1/5 или корень шестой степени из 5
(прикреплено изображение)
1) =2sqrt(1+2x^2)|^(2)_(0)=2*sqrt(9)-2sqrt(1)=6-2=4
2) =3tg(x/2)|^(π/2)-(π/3)=3tg(π/4)-3tg(π/6)=3-sqrt(3)
3) =(2x^(3/2)/(3/2)+x^(4/3)/(4/3))|^(8)/0=(4/3)*8^(3/2)+(3/4)*8^(4/3)=

=(4/3)*16sqrt(2) +(3/4)*2^(4)=64sqrt(2)/3 +12
4) =(1/2)*2sqrt(2sinx+1)|^(π/2)_(0)=sqrt(2+1)-sqrt(0+1)=sqrt(3)-1
5)
S= ∫^(3) _(-2)(-x^2+x+6)dx=(-x^3/3)|^(3)_(-2)+(x^2/2)|^(3)_(-2)+(6x)|^(3)_(-2)=-9+(8/3)+(9/2)-2+18+12=cчитайте (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
А(0^(o);0)
В(0^(o);5)
C(60^(o);5)
P(30^(o);5sqrt(3)/3)

или
А(0^(o);0)
В(360^(o);5)
C(300^(o);5)
P(330^(o);5sqrt(3)/3)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x>0
{12-x>0⇒ x <12
{log_(1/2)x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠(1/2)^(-1) ⇒ x ≠ 2

x ∈ (0;2)U(2;12)

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя:
[b]2^(x)-8=0[/b]
2^(x)=2^(3)
[b]x=3[/b]

причем
2^(x)-8 <0 при x < 3
2^(x)-8 >0 при x > 3

lgx-1=0
lgx=1
x=10
причем
lgx-1<0 при x <10
lgx-1 >0 при x > 10

Нули знаменателя уже были найдены
x=2 и х=12

причем
log_(1/2)x+1 >0 ⇒ x <2

sqrt(12-х)> 0 при любом х из ОДЗ

Неравенство строгое, отмечаем на ОДЗ все найденные точки незаполненным кружком
(на рис. круглыми скобками)


(0) ___ (2) ___ (3) _______ (10) ___ (12)


Расставляем знаки:

на (0;2) все три выражения отрицательны, ставим знак минус
на (2;3) два выражения(2^(x)-8 и lgx-1) отрицательны, ставим плюс
на (3;10) только (lgx-1 <0), два других положительны, ставим минус
на (10;12 )все три выражения положительны, ставим знак плюс

(0) _-__ (2) __+_ (3) ___-____ (10) __+_ (12)

О т в е т. [b](2;3) U(10;12)[/b]


y=6–x
x^2+(6–x)^2=r^2

2x^2–12x+36–r^2=0

D=(-12)^2–4·2(36-r^2)=144-288+8r^2=8r^2-144


Если D < 0 уравнение не имеет корней, а система решения

8r^2-144 <0
r^2-18 <0

-sqrt(18) < r < sqrt(18)

[b]-3sqrt(2) < r < 3 sqrt(2)[/b]
Ответ выбран лучшим

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ (3x^5dx+ ∫ 7dx//(2√x)=

cвойства степени:
1/sqrt(x)=x^(-1/2)

постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Табличный интеграл:
∫ x^( α )dx

=3*(x^6/6)+(7/2)*x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1) + C=

= [b](1/2)*x^6+7sqrt(x) + C[/b]


{(4+2х)/(x-5)=4^2
{(4+2х)/(x-5)>0

второе неравенство выполняется, так как 4^2>0

(4+2х)/(x-5)=4^2

(4+2х-16х+80)/(x-5) = 0

84-14x=0
x ≠ 5

x=84/14
x=6

О т в е т. [b]6[/b]
y=c-x
x^2+(c-x)^2=100

2x^2-2xc+c^2-100=0

D=(2c)^2-4*2(c^2-100)

D=800-4c^2

Если D ≥ 0 уравнение имеет корни, а система решения

800-4c^2 ≥ 0

c^2 ≤ 200
[b]-10sqrt(2) ≤ c ≤ 10sqrt(2)[/b] - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
а)
{y=2x-1
{7x-(2x-1)=9 ⇒ 5x+1=9; 5x=8;x=1,6;
y=2*1,6-1=2,2
[b](1,6;2,2)[/b] - о т в е т.

б)
{x=4y+5
{4y+5+8y=-7 ⇒ 12y=-12; y=-1
x=4*(-1)+5=1
[b](1;-1)[/b]- о т в е т.

в)
{x=20-2y из второго и подставляем в первое
{(20-2y)y=48 ⇒ 2y^2-20y+48=0 ⇒ y^2-10y+24=0

D=100-96=4
y_(1)=4; y_(2)=6
x_(1)=12; x_(2)=8

[b](12;4);(8;6)[/b]- о т в е т.

г)
{y=(3x-6)/2
{x*(3x-6)/2=120
3x^2-6x-240=0
x^2-2x-80=0
D=4+320=324
x_(1)=-8; x_(2)=10
y_(1)=-15; y_(2)=12

[b](-8;-15);(10;12)[/b]- о т в е т.

д)
{y=2x+1
{x+x*(2x+1)-(2x+1)=7 ⇒ 2x^2=8; x^2=4;
x_(1)=-2; x_(2)=2
y_(1)=-3; y_(2)=5

[b](-2;-3);(2;5)[/b]- о т в е т.

е)
{x=-2y-2
{4*(-2y-2)-(-2y-2)*y+3y=19 ⇒ 2y^2-3y-27=0

D=9-4*2*(-27)=225

y_(1)=-3; y_(2)=4,5
x_(1)=4; x_(2)=-11

[b](4;-3);(-11; 4,5)[/b]- о т в е т.
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
cos(x-(3π/2))=cos((3π/2)-x)
По формулам приведения
cos((3π/2)-x)= - sinx

Уравнение примет вид:
√1–cosx +√-sinx= sqrt(2)

ОДЗ:
{1-cosx ≥ 0 ⇒ cosx ≤ 1 - х - любое
{-sinx ≥ 0 ⇒ sinx ≤ 0 ⇒ x в третьей или четвертой четверти

Да. Длина это расстояние,а оно положительно всегда.
ОА=4
ОВ=6 (прикреплено изображение)
Ничего не видно. Увеличение не помогает (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Это угол ACD.
AC ⊥ CB
По теореме о трех перпендикулярах
DC ⊥ CB

Из прямоугольного треугольника DCB
DC^2=DB^2-BC^2=(5sqrt(5))^2-5^2=75-25=50
DC=5sqrt(2)

Из прямоугольного треугольника ACD:
cos ∠ ACD=AC/DC=5/5sqrt(2)=1/sqrt(2)
∠ ACD=45 градусов (прикреплено изображение)
Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+3=0

D=16-12=4

k_(1)=(4-2)/2=1; k_(2)=(4+2)/2=3- корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)

[b]y=С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(3x)[/b] - общее решение

y`=(С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(3x))`=С_(1)*e^(x)+3*C_(2)*e^(3x)

y(0)=3

3=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(3*0)

y`(0)=9

9=С_(1)*e^(0)+3*C_(2)*e^(3*0)


Из системы уравнений:

{3=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(3*0)
{9=С_(1)*e^(0)+3*C_(2)*e^(3*0)


{3=С_(1)+С_(2)
{9-C_(1)+3C_(2)

Вычитаем из второго уравнения первое:
2С_(2)=6
С_(2)=3
С_(1)=0

[b]y=3e^(3x)[/b] - частное решение
a) yy`/x=-e^(y) - уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем
ydy/e^(y)=xdx

Интегрируем
∫ y*e^(-y)dy= ∫ xdx

Первый интеграл считаем по частям:
u=y
dv=e^(-y)dy

-y*e^(-y)- ∫ (-e^(-y))dy = (x^2/2)+C;

e^(-y)*(-y-1)= (x^2/2)+C;

б)
Линейное. Метод вариации произвольной постоянной или метод Бернулли.

Cогласно методу Бернулли, решение y- произведение двух произвольных функций u(x) и v(x)

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v` -(3uv/x)=e^(x)*x^3

u`*v-u*( [b]v`-3v/x[/b])=e^(x)*x^3

Пусть функция v(x) такова, что

[b]v`-3v/x[/b]=0

Тогда
u`*v-u*0=e^(x)*x^3


Получили два уравнения с разделяющимися переменными:
v`-3v/x=0
dv/v=3dx/x
∫ dv/v=3 ∫ dx/x
ln|v|=3ln|x|
v=x^3

u`*x^3=e^(x)*x^3

u`=e^(x)

u= ∫ e^(x)dx=e^(x)+C

y=(e^(x)+C)*x^3 - [b]общее [/b]решение

Так как
y(1)=e

e=(e^(1)+C)*1
C=0

y=(e^(x))*x^3 - [b]частное [/b]решение, удовлетворяющее условию y(1)=e
Ответ выбран лучшим
V_(призмы)=S_(осн.)*Н

Н=АК=АА_(1)/2= 20/2=10 cм - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

S_( Δ)=(1/2)a*b*sin γ

S_(осн.)=S_( Δ АВС)=(1/2)*4sqrt(3)*3*sin120^(o)=

=(1/2)*4sqrt(3)*3*(sqrt(3)/2)=9 см^2

V=9*10= [b]90 cм^3[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Вместимость - это объем.
Фигура состоит из двух частей: зеленый прямоугольный параллелепипед и синяя треугольная призма с основанием АВС.

V=V_(1)+V_(2)=abc+ S_( ΔABC)*H=

=8*12*3,5+ (1/2)AC*BK*12=

=8*12*3,5+(1/2)*8*2,5*12=

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1 способ.
Подстановка
1/x=t
x=1/t
dx=-dt/t^2

1+x^2=1+(1/t)^2=(t^2+1)/t^2

тогда

∫dx/(x^2)*sqrt((1+x^2)^3)= ∫t^2*(-dt/t^2)/sqrt(((t^2+1)/t^2)^3)=

= - ∫ tdt/(t^2+1)^(3/2)=(-1/2)∫ (t^2+1)^(-3/2) d(t^2+1)=

=(-1/2)*(t^2+1)^(-1/2)/(-1/2)=1/sqrt(t^2+1) + С=

=x/sqrt(x^2+1) + C

Область определения (- ∞ ;1)U(1;+ ∞ )

y(-x)=(-x+1)^2/(-x-1)^2=(x-1)^2/(x+1)^2

y(-x)≠ y(x)
y(-x)≠ -y(x)

Функция не является ни четной, ни нечетной

y= [b]([/b](x+1)/(x-1) [b])[/b]^2

y`=2* [b]([/b](х+1)/(х-1) [b])[/b] * [b]([/b](х+1)/(х-1) [b])[/b]`

y`=2* [b]([/b](х+1)/(х-1) [b])[/b] * [b]([/b](х+1)`*(x-1)-(x-1)`*(x+1)/(х-1)^2 [b])[/b]

y`=-4*(x+1)/(x-1)^3
y`=0

x+1=0

x=-1

Знак производной:

__-__ (-1) ___+__ (1) ___-__

y`>0 на (-1 ; 1); функция возрастает
y` <0 на (- ∞;-1) и на (1;+ ∞); функция убывает

х=1 - не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода

Прямая х=1 - вертикальная асимптота, так как
lim_(x→2) f(x)=+ ∞

х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Прямая y=1 - горизонтальная асимптота, так как
lim_(x→ ∞)f(x)=1


у``=-4*((x+1)`*(x-1)^3-3*(x-1)^2*(x+1))/(x-1)^6

y``=-4*(x-1-3x-3)/(x-1)^4

y``=4*(2x+4)/(x-1)^4

y``=0
2x+4=0
x=-2

y`` < 0 на (- ∞;-2)

кривая выпукла верх

y`` >0 на (-2;1) и (1;+ ∞ )

Кривая выпукла вниз (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
∫ (4-x^7+x^(-7))dx= 4x - x^(8)/8 +x^(-6)/(-6) + C=4x-(1/8)x^(8)-(1/6)*(1/x^6)+C

2)
1)
∫ (9x-3x^(-4)+2x^(5))dx= (9x^2/2) -3*x^(-3)/(-3) +2x^(6)/(6) + C=

=(9/2)x^2+(1/x^(3))+(1/3)*x^6+C

3)
∫ (6x^(11)+4x-1)dx=6*x^(12)/12 +4*(x^2/2)-x +C=(1/2)*x^(12)+2*x^2-x+C

в 4); 5); 6) применяем метод подведения под дифференциал.
(см. приложение)
4)
∫ (7x-3)^3dx=(1/7) ∫ (7x-3)^3d(7x-3)=(1/7)*((7x-3)^4/4)+C=

=(1/28)*(7x-3)^4

5)12*(-1/6) ∫ (4-6x)^(-5)d(4-6x)=(-2)*(4-6x)^(-4)/(-4)+C=

=(1/2)*(1/(4-6x)^4) + C

6)
∫ sin3xdx= ∫ sin3x*d(3x)/3=(1/3) ∫ sin(3x)d(3x)=(1/3)*(-cos3x)+C=

=(-1/3)cos3x+C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение прямой l_(2):
(x-0)/(0-0)=(y+1)/(1+1)=(z+7)/0+7)
Направляющий вектор прямой l_(2)
vector{s_(2)}=(0;2;7)
Каноническое уравнение прямой l:
На прямой l находится бесчисленное множество точек, принадлежащих линии пересечения плоскостей:
2x+y-z=0
3x-y-z-2=0

Найдем две такие точки

Пусть х=0
{y-z=0
{-y-z-2=0
Складываем
-2z-2=0
z=-1
y=-1

А(0;-1;-1)

Пусть z=0
{2x+y=0
{3x-y-2=0
5x-2=0
x=2/5
y=-4/5

В(2/5;-4/5;0)

Уравнение прямой l как прямой, проходящей через две точки:

(x-0)/(2/5)=(y+1)/((-4/5)+1)=(z+1)/1

Направляющий вектора прямой l
vector{s}=(2/5;1/5;1)

Направляющие векторы не коллинеарны, прямые не параллельны.
Значит скрещивающиеся или пересекающиеся.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
C(c;0;0)

AC^2=(c-3)^2+(0-5)^2+(-2-0)^2
CB^2=(5-c)^2+(-1-0)^2+(1-0)^2

(c-3)^2+(0-5)^2+(-2-0)^2=(5-c)^2+(-1-0)^2+(1-0)^2

раскрываем скобки. решаем уравнение и находим с
Ответ выбран лучшим
xdx+xy^2dx=yx^2dy+ydy
x*(1+y^2)dx=y*(x^2+1)dy- уравнение с разделяющимися переменными

xdx/(x^2+1)=ydy/(y^2+1)

Интегрируем

(1/2)ln|x^2+1)+(1/2)lnC=(1/2)ln|y^2+1|

[b]С*(x^2+1)=y^2+1[/b]
Ответ выбран лучшим
AD ⊥ пл. АВС ⇒ AD ⊥ АВ; AD ⊥ AC
Δ DAB - прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов.
Δ DAС - прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов.
Осталось найти площадь треугольника DBC.
Он равнобедренный.
Так как АВ=АС, а равные наклонные имеют равные проекции и наоборот.
Поэтому DB=DC

Проводим высоту DK
DK ⊥ BC

Проекцией DK является АК

АК - высота равнобедренного треугольника АВС
В равнобедренном треугольнике высота одновременно и медиана,
ВК=КС=5
Из прямоугольного треугольника АВК
AK^2=AB^2-BK^2=13^2-5^2=144
AK=12

Из прямоугольного треугольника АКD
KD^2=DA^2+AK^2=9^2+12^2=81+144=225
KD=15

S_(бок.)=S_( Δ DAB) +S_(Δ DAС)+S_( Δ DBС)=

=(1/2)AB*AD+(1/2)AC*AD+(1/2)BC*DK=

=(1/2)*13*9+(1/2)*13*9+(1/2)*10*15=

= [b]192[/b]

(прикреплено изображение)
sin^2((π/8)+x)-sin^2((π/8)–x))=sinx

[b]([/b]sin((π/8)+x)-sin((π/8)–x) [b])[/b] * [b]([/b]sin((π/8)+x)+sin((π/8)–x) [b]) [/b] = sinx

[b]([/b]2sinx*cos(π/8) [b])[/b] * [b]([/b]2sin(π/8)*cosx [b])[/b]=sinx

2sin( π/8)*cos(π/8)=sin(π/4)=sqrt(2)/2

sqrt(2)sinx*cosx=sinx

sqrt(2)sinx*cosx-sinx=0

sinx*(sqrt(2)cosx-1)=0


sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

или

sqrt(2)cosx-1=0 ⇒ cosx=1/sqrt(2) ⇒ [b] x= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]
ОДЗ и формула перехода к другому основанию.


{x+6>0⇒ x> -6
{x+6 ≠ 1 ⇒ x ≠ -5 при этом 1/(х+6) так же отлично от 1
{(x-5)/(x+5) >0 ⇒ x < -5 или x >5
{log_(1/2)(x-5)/(x+5) >0 ⇒ (x-5)/(x+5)<1 ⇒ -10/(x+5) < 0 ⇒ x > -5
{log_(2)(x+5)/(x-5) >0 ⇒ (x+5)/(x-5)>1 ⇒10/(x-5) >0 ⇒ x > 5


[b]x ∈ (5;+ ∞ )[/b]


log_(x+6)log_(1/2)(x-5)/(x+5)= log_(x+6)log_(2^(-1))(x-5)/(x+5)=

= log_(x+6)(-log_(2)(x-5)/(x+5))= log_(x+5)(log_(2)((x-5)/(x+5))^(-1))=

= log_(x+6)(log_(2)((x+5)/(x-5)))

log_(1/(x+6))(log_(2)((x+5)/(x-5)))=-log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5))

Неравенство принимает вид:


log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5)) < - log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5))

2log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5)) <0

log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5)) <0

так как согласно ОДЗ x>5, то х+6 > 1

логарифмическая функция возрастает.

(log_(2)((x+5)/(x-5)) <1

логарифмическая функция c основанием 2>1 возрастает.

(x+5)/(x-5) < 2

(x+5-2x+10)/(x-5) <0

(x-15)/(x-5) >0

x>15

О т в е т. (15;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Когда публикуют в одном вопросе 4 громоздких задания, то решающий понимает, что нужен только путь решения, а подробное решение в таком случае ИСКЛЮЧАЕТСЯ.

1.
[b]Замена переменной:
sin3x+cos3x=t[/b]

Возводим обе части равенства замены в квадрат:

1+sin6x=t^2 ⇒ sin6x=t^2-1

t-1=0,5t^2-0,5
t^2-2t+1=0
(t-1)=0
t=1

Обратный переход
sin3x+cos3x=1

sin3x+cos3x-1=0

2sin(3x/2)*cos(3x/2) + 2cos^2(3x/2)=0

2cos(3x/2)*(sin(3x/2)+cos(3x/2))=0

cos(3x/2)=0 или sin(3x/2)+cos(3x/2)=0


cos(3x/2)=0 ⇒(3x/2)=(π/2)+πk, k ∈ Z⇒ [b]x=(π/3)+(2π/3)*k, k ∈ Z[/b]

sin(3x/2)+cos(3x/2)=0 ⇒ tg(3x/2)=-1 ⇒ (3x/2)=(-π/4)+πn, n ∈ Z

[b]x=(-π/6)+(2π/3)*n, n ∈ Z[/b]

2.

sin^2((π/8)+x)-sin^2((π/8)–x))=sinx

[b]([/b]sin((π/8)+x)-sin((π/8)–x) [b])[/b] * [b]([/b]sin((π/8)+x)+sin((π/8)–x) [b]) [/b] = sinx

[b]([/b]2sinx*cos(π/8) [b])[/b] * [b]([/b]2sin(π/8)*cosx [b])[/b]=sinx

2sin( π/8)*cos(π/8)=sin(π/4)=sqrt(2)/2

sqrt(2)sinx*cosx=sinx

sqrt(2)sinx*cosx-sinx=0

sinx*(sqrt(2)cosx-1)=0


sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

или

sqrt(2)cosx-1=0 ⇒ cosx=1/sqrt(2) ⇒ [b] x= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]

3.

tg^2x+1=1/cos^2x

tg^2x=(1/cos^2x)-1


cos2x=2cos^2x-1

Уравнение принимает вид:

6*((1/cos^2x)-1) -2cos^2x=2cos^2x-1

Замена переменной
cos^2x=t

4t^2+5t-6=0

D=25+96=121

t_(1)=(-5-11)/8=-2; t_(2)=(-5+11)/8=3/4

cos^2x=-2 - уравнение не имеет решений, cos^2 x ≥ 0

cos^2x=3/4

cosx= - sqrt(3)/2 ⇒ х= ± (5π/6)+ [b]2[/b]πn, n ∈ Z

cosx= sqrt(3)/2 ⇒ х= ± (π/6)+ [b]2[/b]πn, n ∈ Z

Можно объединить в один ответ:

х= ± (π/6)+ [b]π[/b]k, k ∈ Z


4.

Формулы понижения степени:

cos^2α =(1+ cos2α )/2
sin^2α =(1- cos2α )/2

Уравнение принимает вид:

cosx+cos3x=-cos4x-cos8x

формула

cos α +cos β

2cos(2x)*cos(x)+2cos6x*cos2x=0

2cos(2x)*2cos(7x/2)*cos(5x/2)=0

cos(2x)=0 ⇒ 2x=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ x= [b](π/4)+(π/2)*k, k ∈ Z[/b]

cos(7x/2)=0 ⇒ 7x/2=(π/2)+πm, m ∈ Z ⇒ x= [b](π/7)+(2π/7)*m, m ∈ Z[/b]

cos(5x/2)=0 ⇒ 5x/2=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒ x= [b](π/5)+(2π/5)*n, n ∈ Z[/b]
Область определения функции
(0;+∞)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
область определения не является симметричной относительно 0.

3. Точки пересечения с осью Ох

y=0 ⇒ 3lnx=0⇒x=1

(1;0)– точка пересечения и осью Ох


4. Асимптоты

[b]x=0[/b] – правосторонняя вертикальная асимптота
так как
imx→+0(y)= + ∞

Горизонтальная асимптота:

[b]y=0[/b]
так как
limx→∞(3lnx)/sqrt(x)= ∞/∞
=применяем правило Лопиталя:
=limx→∞(3lnx)`/(sqrt(x))`=limx→∞(3/x)/(1/(2sqrt(x)))=6/sqrt(x)=0

(очень медленно, но стремится к 0 на +бесконечности)

Наклонной асимптоты нет:
k=limx→∞f(x)/x=limx→∞(3lnx)/(х*sqrt(x)= ∞/∞
=применяем правило Лопиталя:
=limx→∞(3lnx)`/(x*sqrt(x))`=limx→∞(3/x)/(3/2)sqrt(x)=

=limx→∞(3/(x*sqrt(x))=0



5.Интервалы монотонности и экстремумы

y`=3*(lnx)`*sqrt(x)-(sqrt(x))`*lnx)/(sqrt(x))^2

y`=3(2-lnx)/(2x)
lnx=2
x=e^(2)
Расставляем знак производной:
(0) _+__ (e^(2)) __-__

x=e^(2) - точка максимума.

y`>0 при 0<x<e^(2)
Функция возрастает на (0;e^(2))

y`<0 при x>e^(2)
Функция убывает на (e^(2);+ ∞)

6.
Интервалы выпуклости, точки перегиба

y``=(3/2)*((2-lnx)`·(x) – (x)`·(2–lnx))/(x)^2

y``=(3/2)*((-1-2+lnx)/x^2)


y``=(-1-2+lnx)/x^2

y``=0
lnx=3
x=e^(3) - точка перегиба, производная меняет знак с - на +

y`` < 0 на (0;e^(3))
Кривая выпукла вверх на (0;e^(3))


y``>0 на (e^2;+ ∞)

Кривая выпукла вниз на (e^2;+ ∞)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
а)
замена переменной:
∛1+x=t
1+x=t^3
x=t^3-1
dx=3t^2dt

x=-1 ⇒ t=0
x=0 ⇒ t=1

= ∫ ^(1)_(0)3t^2dt/(1+t)=3 ∫ ^(1)_(0) ((t^2-1)+1)dt/(t+1)=


=3 ∫ ^(1)_(0) (t-1)+1/(t+1))dt=3(t^2/2 - t + ln |t+1|)|^(1)_(0)=

=3*((1/2)-1+ln2) - о т в е т.

б)
по частям

u=x ⇒ du=dx
dv=5^(x)dx ⇒ v=5^(x)/ln5

∫ ^(2)_(0) x*5^(x)dx= (x*5^(x)/ln5)|^(2)_(0) - ∫ ^(2)_(0)5^(x)dx/ln5=

=2*5^2/ln5 - (1/ln5)*(5^(x)/ln5)|^(2)_(0)=

=50/ln5 - 25/(ln5)^2 - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
1.Область определения функции
(-бесконечность;2)U(2;+бесконечность)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y(-x)=(-x)^2/((-x)-2) =x^2/(-x-2)=-x^2/(x+2)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)

3. Точки пересечения с осями координат
y=0 ⇒ x=0
(0;0)- точка пересечения и осью Ох и с осью Оу.


4. Асимптоты

x=2 - вертикальная асимптота
lim_(x→2-0)= - ∞
lim_(x→2+0)= + ∞

y=x+2- наклонная асимптота:
k=lim_(x→∞)f(x)/x=lim_(x→∞)(x^2)/(x*(x-2)=1
b=lim_(x→∞)(f(x)-kx)=lim_(x→∞)(f(x)-x)=lim_(x→∞)(x^2-x^2+2x)/(x-2)=2

5.Интервалы монотонности и экстремумы

y`=((x^2)`*(x-2)-(x-2)`*x^2)/(x-2)^2
y`=(2x^2-4x-x^2)/((x-2)^2
y`=(x^2-4x)/(x-2)^2
y`=0
x^2-4x=0
x*(x-4)=0
x=0 или х=4
Расставляем знак производной:
_+__ (0) _-__ (2) _-__(4) _+__

х= 4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Функция возрастает на ( - бесконечность;0) (4;+ бесконечность)
убывает на ( 0;2) и на (2;4)

6.Интервалы выпуклости, точки перегиба

y``=((x^2-4x)`*(x-2)^2 - ((x-2)^2)`*(x^2-4x))/(x-2)^4

y``=(2x^2-4x-4x+8-2x^2+8x)/(x-2)^3

y``=8/(x-2)^3

y`` < 0 на (-бесконечность;2)
Кривая выпукла вверх на (-бесконечность;2)

y``>0 на (2;+ бесконечность)

Кривая выпукла вниз на (2;+ бесконечность)





(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
4.6
а)
x^2+4x+9=x^2+4x+4+5=(x+2)^2+5

∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )dx/(x^2+4x+9)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )dx/((x+2)^2+5)=

=(1/sqrt(5))*arctg( (x+2)/sqrt(5))|^(+ ∞ )_(- ∞ )=


=(1/sqrt(5))*((π/2)-(-π/2))=π/sqrt(5)

Сходится.

б)
Замена переменный
sqrt(e^(x)-1)=t
e^(x)=t^2+1
x=ln(t^2+1)

dx=2tdt/(t^2+1)

∫ ^(1)_(0) dx/sqrt(e^(x)-1)=∫ ^(sqrt(e-1)_(0)2tdt/(t^2+1)*t=

=2∫ ^(sqrt(e-1)_(0)dt/(t^2+1)=

=2arctgt|^(sqrt(e-1)_(0)=2arctg(sqrt(e-1)) - сходится
Испытание состоит в том, что из 9-ти изделий выбирают 3
Число исходов испытания
n=C^(3)_(9)

Наступлению события А благоприятствуют исходы, при которых 2 изделия выбраны из четырех, имеющих скрытый дефект, а одно из пяти(9-4=5), не имеющих дефекта

P(A)=C^(2)_(4)*С^(1)_(5)/C^(3)_(9)=

Найдем вероятность противоположного события
vector{B} - среди выбранных нет ни одного изделия со скрытым дефектом, значит все три изделия выбраны из пяти.

P(vector{B})=C^(3)_(5)/C^(3)_(9)=

тогда p(B)=1-p(vector{B})


Не более двух, значит меньше или равно 2

Наступлению события C благоприятствуют исходы, при которых нет изделий, которые выбраны из четырех, имеющих скрытый дефект
или
одно изделие выбрано из четырех, имеющих скрытый дефект, а два из пяти, не имеющих дефекта,
или
два изделие выбрано из четырех, имеющих скрытый дефект, а два из пяти, не имеющих дефекта,

p(C)= C^(0)_(4)* C^(3)_(5)/C^(3)_(9)+C^(1)_(4)* C^(2)_(5)/C^(3)_(9)+

+C^(2)_(4)* C^(1)_(5)/C^(3)_(9)=

=p(vector{B})++C^(1)_(4)* C^(2)_(5)/C^(3)_(9)+p(A)

Ответ выбран лучшим
Второй стрелок промахнулся, если в мишени оказалось две пробоины, значит первый и третий попали

p=p_(1)*q_(2)*p_(3)=0,5*(1-0,3)*0,7=0,5*0,7*0,7=
Ответ выбран лучшим
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=35029
Ответ выбран лучшим
Повторные испытания с двумя исходами
n=50
p=0,02
n-велико, р мало.

Применяем формулу Пуассона ( см. приложение)

p=0,02(формула применяется при p ≤ 0,1)

λ=n*p==1 (формула применяется λ ≤ 10)
k=2

P=e^(-1)/2!=1/(2e)=0,183823≈0,18

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Значит в равнобедренный треугольник PMN вписана окружность.
MN=AB=6
В равнобедренном треугольнике DPC высота ( апофема боковой грани) одновременно и медиана.
DN=NC=3
По теореме Пифагора
PN=4

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки
ОN=FN=3

Значит PF=PN-FN=1

О т в е т. PF:FN=1:3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим


p=1/2- вероятность того, что одна монета упадет гербом вверх
q=1-p=(1/2) вероятность того, что одна монета [b]не[/b] упадет гербом вверх

Повторные испытания с двумя исходами. Формула Бернулли

1)
P_(7)(4)=C^(4)_(7)p^4*q^3=(7!)/((7-4)!*4!)*(1/2)^7=

=35/128

2)
Не менее четырех, значит 4 или 5 или 6 или 7.

P_(7)(4)+P_(7)(5)+P_(7)(6)+P_(7)(7)=

считаем как в 1) еще три раза и складываем ответы:

P_(7)(5)=C^(5)_(7)p^5*q^2=

P_(7)(6)=C^(6)_(7)p^6*q^1=

P_(7)(7)=C^(7)_(7)p^7*q^0=


3)

Формула нахождения наивероятнейшего числа k_(o):
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

np=7*(1/2)=3,5

3,5-(1/2)=3,5+(1/2)

3 ≤ k_(o) ≤ 4

k_(o)=3 или k_(o)=4
Ответ выбран лучшим
1)
Замена переменной:
3+lnx=u
d(3+lnx)=du
(3+lnx)`*dx=du
dx/x=du

∫ ∛(3+lnx)dx/x= ∫ ∛u du=табличный интеграл ∫x^(α)dx=x^(α +1)/(α+1) =

=u^((1/3)+1)/((1/3)+1)+ C=

=u^(4/3)/(4/3)+C= [b](3/4)∛(3+lnx)^4 + C[/b]


2)
По частям
u=ln^2x ⇒ du=2(lnx)*(1/x)dx

dv=sqrt(x)dx ⇒ v=x^(3/2)/(3/2)=(2/3) sqrt(x^3)

∫ sqrt(x)ln^2xdx=(2/3)sqrt(x^3)*ln^2x- ∫ (2/3)sqrt(x^3)* 2(lnx)*(1/x)dx=

= [b](2/3) sqrt(x^3)ln^22x[/b]- (4/3) ∫ sqrt(x)* (lnx)dx=

второй интеграл снова по частям:
u=lnx ⇒ du=(1/x)dx

dv=sqrt(x)dx ⇒ v=x^(3/2)/(3/2)=(2/3) sqrt(x^3)

= [b](2/3)sqrt(x^3)*ln^2x[/b]-(4/3)*((2/3)sqrt(x^3)*lnx - ∫ (2/3) sqrt(x^3)*(1/x)dx=

=[b](2/3)sqrt(x^3)*ln^2x[/b]-(8/9)*sqrt(x^3)*lnx -(2/3)* (2/3) sqrt(x^3)+ C

=[b](2/3)sqrt(x^3)*ln^2x[/b]-(8/9)*sqrt(x^3)*lnx -(4/9)* sqrt(x^3)+ C
Ответ выбран лучшим
1.
S_(полн.пов)=S_(бок.пов.)+2S_(осн)=P_(осн)*H+2S_(осн)

В основании правильный треугольник со стороной а.
Р_(осн)=3а
S_(осн)=a^2sqrt(3)/4

Призма прямая, значит боковое ребро равно высота призмы Н

S_(полн.пов)=3a*H+(2*a^2*sqrt(3)/4)=

=3*5*6+(5^2*sqrt(3)/2)=


V_(призмы)=S_(осн)*H=(a^2*sqrt(3)/4)*H=(5^2*sqrt(3)/4)*6=



2.
V_(призмы)=S_(осн)*H

В основании квадрат, пусть сторона квадрата равна а.
S_(осн)=a^2
Высота призмы Н равна боковому ребру

S_(полн.пов)=S_(бок.пов.)+2S_(осн)⇒

2S_(осн)=S_(полн.)-S_(бок)=120-48=72

S_(осн)=36

a^2=36
a=6

S_(бок)=P_(осн)*H=4a*H

4a*H=48

4*6*H=48
H=2

V_(призмы)=S_(осн)*H=36*2=72 куб. м
Ответ выбран лучшим
13
Область определения функции
(-бесконечность;+бесконечность)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y(-x)=(-x+4)*e^(-2x)=-(x-4)*e^(-2x)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)

3. Точки пересечения с осями координат
y=0 ⇒ x=-4
(-4;0)- точка пересечения c осью Оy
x=0
y=4e^(0)=4
(0;4) точка пересечения c осью Оx

4.
y`=(x+4)`*e^(2x)=(x+4)*(e^(2x))`=e^(2x)+(x+4)*e^(2x)*(2x)`=

=(1+2x+8)*e^(2x)

y`=0
2x+9=0
x=-9/2

x=-9/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y`<0 на (-бесконечность;-9/2)
Функция убывает на (-бесконечность;-9/2)


y`>0 на (-9/2;+ бесконечность)
Функция возрастает на (-9/2;+ бесконечность)

y``=2*e^(2x)+(2x+9)*e^(2x)*2=e^(2x)*(2+4x+18)=4*(x+5)*e^(2x)

y``=0
x=-5

y`` < 0 на (-бесконечность;-5)
Кривая выпукла вверх на (-бесконечность;-5)

y``>0 на (-5;+ бесконечность)

Кривая выпукла вниз на (-5;+ бесконечность)


73.
1.Область определения функции
(-бесконечность;1)U(1;+бесконечность)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y(-x)=(-x)^2/((-x)-1) =x^2/(-x-1)=-x^2/(x+1)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)

3. Точки пересечения с осями координат
y=0 ⇒ x=0
(0;0)- точка пересечения и осью Ох и с осью Оу.

4. Асимптоты

x=1 - вертикальная асимптота
lim_(x→1-0)= - ∞
lim_(x→1+0)= + ∞

y=x+1- наклонная асимптота:
k=lim_(x→∞)f(x)/x=lim_(x→∞)(x^2)/(x*(x-1)=1
b=lim_(x→∞)(f(x)-kx)=lim_(x→∞)(f(x)-x)=lim_(x→∞)(x^2-x^2+x)/(x-1)=1

5.Интервалы монотонности и экстремумы

y`=((x^2)`*(x-1)-(x-1)`*x^2)/(x-1)^2
y`=(2x^2-2x-x^2)/((x-1)^2
y`=(x^2-2x)/(x-1)^2
y`=0
x^2-2x=0
x*(x-2)=0
x=0 или х=2
Расставляем знак производной:
_+__ (0) _-__ (1) _-__(2) _+__

х= 2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Функция возрастает на ( - бесконечность;0) (2;+ бесконечность)
убывает на ( 0;1) и на (1;2)

6.Интервал выпуклости, точки перегиба

y``=((x^2-2x)`*(x-1)^2 - ((x-1)^2)`*(x^2-2x))/(x-1)^4

y``=(2x^2-2x-2x+2-2x^2+4x)/(x-1)^3

y``=2/(x-1)^3

y`` < 0 на (-бесконечность;1)
Кривая выпукла вверх на (-бесконечность;1)

y``>0 на (1;+ бесконечность)

Кривая выпукла вниз на (1;+ бесконечность)





(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z_(1)=-4i; z_(2)=3-9i;

1)
Rez_(1)=x_(1)=0; Imz_(1)=y_(1)=-4
Rez_(2)=x_(2)=3; Imz_(2)=y_(2)=-9

2)
Cм.рис.

3)
|z_(1)|=4
argz_(1)=phi

sin(phi)=y_(1)/|z_(1)|=-4/4=-1
cos(phi)=x_(1)/|z_(1))=0/4=0
phi=-π/2

z_(1)=4*(cos(-π/2)+i*sin(-π/2)) - в тригоном. форме

z_(1)=4e^(-iπ/2)- в показ форме


|z_(2)|=sqrt(3^2+(-9)^2)=sqrt(90)=3sqrt(10)

argz_(2)=ψ

sinψ=y/|z_(2)|=-9/3sqrt(10)=-3sqrt(10)/10
cosψ=x/|z_(2))=3/3sqrt(10)=sqrt(10)/10
tgψ=-3
ψ=arctg (-3)

z_(2)=3sqrt(10)*(arctg (-3)+i*arctg (-3))- в тригоном. форме

z_(2)=3sqrt(10)*e^(-iarctg3)в показ форме
4)

z=2*z_(1)-10z_(2)=2*(-4i)-10*(3-9i)=-8i-30+90i= [b]-30+81i[/b]


5)
z=z_(1)*z_(2)=(-4i)*(3-9i)=-12i+36i^2=[b]-36-12i[/b]

6)

z=z_(1)/z_(2)=(-4i)/(3-9i)= (4i)*(3+9i)/(3-9i)*(3+9i)=(12i+36i^2)/(3^2-(9i)^2)=(12i-36)/90=(12/90)i-(36/90)=[b](-4/10)+(4/30)i[/b]

7)
Применяем формулу Муавра

z^(7)_(1)=4^(7)*(cos7*(-π/2)+i*sin7*(-π/2))=

=4^(7)*(cos(-7π/2)+i*sin(-7π/2))=4^(7)*(cos((-3π/2)+i*sin(-3π/2))=

=[b]4^(7)*i[/b]

8)

z^(1/2)_(1)=(4)^(1/2)*cos((-π/2)/2)+(2πk/2))+i*sin(((-π/2)/2)+(2πk/2))

k=0,1

при k=0
(z^(1/2)_(1))_(0)=2(cos(-π/4)+i*sin(-π/4))=2*[b]([/b](sqrt(2)/2) + i*(-sqrt(2)/2) [b])[/b]= [b]sqrt(2)-i*sqrt(2)[/b]

при k=1
(z^(1/4)_(1))_(1)=2*(cos((-π/4)+π)+i*sin((-π/4)+π))=

=2* [b]([/b](-sqrt(2)/2) + i*(sqrt(2)/2) [b])[/b]= [b]-sqrt(2)+i*sqrt(2)[/b]

В основании квадрат АВСD.

Пусть АВ=ВС=CD=AD=a

SA=SB=SC=SD=2a

АС=BD=asqrt(2)- диагонали квадрата

В равнобедренном Δ SBD

SO- высота и медиана

SO=sqrt(SB^2-BO^2)=sqrt((2a)^2-(asqrt(2)/2)^2)=sqrt(4a^2-(2a^2/4))=

=14a^2/4

SO= [b]asqrt(14)/2[/b]

S_(Δ SBD)=(1/2) BD*SO и S_(Δ SBD)=(1/2)SB*BK

BD*SO = SB*BK

BK=BD*SO/SB= (asqrt(2)* asqrt(14)/2)/(2a)=asqrt(28)/4= [b]asqrt(7)/2
[/b]

Причем DK=sqrt(BD^2-BK^2)=sqrt(2a^2-(7a^2/4))=sqrt(a^2/4)=a/2
SK=SA-DK=3a/2


В равнобедренном Δ SAB

SF- высота и медиана

SF=sqrt(SA^2-AF^2)=sqrt((2a)^2-(a/2)^2)=sqrt(4a^2-(a^2/4))=

=15a^2/4

SF= [b]asqrt(15)/2[/b]

SM=(4/5)*SF=4asqrt(15)/10=(2asqrt(15)/5)

MF=(asqrt(15)/10)

Из прямоугольного треугольника DAF

DF^2=(a^2)+(a/2)^2=5a^2/4

DF=asqrt(5)/2

Пусть KM пересекает DF в точке T

По теореме Менелая:

(DT/TF)*(FM/MS)*(SK/KD)=1 ⇒ DT/TF=4/3

DF=(1/4)DT

DT=4DF=2asqrt(5)

TF=3asqrt(5)/2

(прикреплено изображение)
∠ ACD=32 градусов - вписанный угол, измеряется половиной дуги AD, на которую опирается.
∠ САВ=70 градусов- вписанный угол, измеряется половиной дуги CB, на которую опирается.

∠ CEB=∠ ACD+ ∠ САВ - внешний угол треугольника САЕ, равен сумме внутренних с ним не смежных

∠ CEB=32 градусов +70 градусов=102 градусов
a^2-9b^2=(a-3b)*(a+3b)

(1/3b)-(1/a)=(a-3b)/(3ba)

(a-3b)*(a+3b)/(3ab) : (a-3b)/(3ba)=

= [b]([/b](a-3b)*(a+3b)/(3ab) [b])[/b]* [b]([/b](3ba)/(a-3b) [b])[/b]=

= [b]([/b](a-3b)*(a+3b)*(3ba) [b])[/b] / [b]([/b](3ab)*(a-3b) [b])[/b]=

=a+3b

при a= 3 целых (1/7) b=5 целых 2/7

3 целых 1/7+3*( 5 целых 2/7)= (22/7) + 3*(37/7)=

=(22/7)+(111/7)=133/7= [b]19[/b]
a=4
h=4,8
H=5,5
b=c=sqrt(h^2+(a/2)^2)=sqrt(4,8^2+2^2)=sqrt(27,04)=5,2

[b]V=[/b]S_(осн.)*H=(1/2)*a*h*H=(1/2)*4*4,8*5,5=

[b]S(полн.пов.)[/b]=S(бок.пов.)+2S_(осн)=P_(осн)*Н+2*(1/2)*a*h=

=(a+b+c)*H+a*h=

=(4+5,2+5,2)*5,5+4*4,8=
Горький
872,52:1,2=

Вдохновение
1399,44:1,7=

Алёнка
1590,3:2,7=

И выбираем наименьшую.

n- велико, применяем интегральную формулу Лапласа
( см. приложение)
P_(n) (k_(1) ≤ x ≤ k_(2))=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(k_(2)-np)/sqrt(npq)
x_(1)=(k_(1)-np)/sqrt(npq)

P_(100) (14 ≤ x ≤26)=?

np=100*0,2=20
q=1-p=1-0,2=0,8

npq=100*0,2*0,8=16
sqrt(npq)=4

x_(2)=(26-20)/4=6/4=1,5

x_(1)=(14-20)/4=-6/4=-1,5


Ф(1,5)=0,4332

Ф(-1,5)=-Ф(1,5)= -0,4332

О т в е т.
P_(100) (14 ≤ x ≤ 26)=2Ф(1,5)=0,8664

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
f(x)=6√x-x-36

Замена

√x=t

f(t)=6t-t^2-36 - квадратичная функция, график парабола, ветви вниз. Наибольшее значение в вершине
при t_(o)=3

sqrt(x)=3
x=9

9 ∈ [1;25]

f(9)=√9·(6– √9)–36=9-36= [b]-27[/b]
50-6=44 человека изучают хотя бы один язык

44=42+31-х
х=73-44
х=29

29 человек изучают два языка: и английский и немецкий

42-29=13 человек изучают только английский

31-29=2 человек изучают только немецкий

13+2+29=44 человека изучают хотя бы один язык (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Линейное, первого порядка
Решают методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.
В любом случае приходится решить два уравнения с разделяющимися переменными.

Метод Бернулли.
Решение y представлено в виде произведения двух [b]произвольных [/b]функций.

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:

u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=e^(x^2)

u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=e^(x^2)


Функцию v=v(x) выбирают так, чтобы

[b]v`+(1/x)*v=0[/b]

тогда

[b]u`*v+u*0=e^(x^2)[/b]


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:
v`+(1/x)*v=0

dv/v=-dx/x

ln|v|=-ln|x|

[b]v=(1/x)[/b]

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:

u`*(1/x)=e^(x^2)

u`=xe^(x^2)

u=(1/2)e^(x^2)+C

Общее решение: y=((1/2)e^(x^2)+C)*(1/x) можно раскрыть скобки.

Так как
y(1)=e/2
найдем частное решение:

e/2=(1/2)e^(1)+C*1

C=0

y=((1/2)e^(x^2))*(1/x) - частное решение
Ответ выбран лучшим
1.
формула синуса двойного угла:

2*sin(π/12)* cos(π/12)=sin2*(π/12)=sin(π/6)= [b]1/2[/b]

2.
формула косинуса двойного угла:

cos2a+2sin²a=сos^2a-sin^2a+2sin^2a=cos^2a+sin^2a= [b]1[/b]

3.

(1-сos2α)^2=(2sin^2α)^2=4sin^2α

ctg ^2α =cos^2 α /sin^2α

ctg^2α*(1-сos2α)^2=(cos^2 α /sin^2 α)* 4sin^2α =

=4sin^2 α *cos^2 α =(2sin α *cos α )^2= [b]sin^22 α [/b]

4.

1+cosα +sin2α =(1+cos α)+2*sin α *cos α =

=2sin^2( α /2)+2*2sin( α/2)*cos( α /2)*cos α=

=2sin( α /2) * ( sin( α/2)+ 2cos ( α /2) * cos α)



sin2α -sinα =2sinα *cosα-sinα = sinα*(2cos α -1)=

=2sin( α /2)*cos( α /2)*(2cos α -1)


(1+cosα +sin2α )/(sin2α - sinα) =

=2sin( α /2) * ( sin( α/2)+ 2cos ( α /2) * cos α)/(2sin( α /2)*cos( α /2)*
(2cos α -1))=

= ( sin( α/2)+ 2cos ( α /2) * cos α)/(cos( α /2)*(2cos α -1))=

=(tg( α /2)+2cos α )/(2cos α -1)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Введем в рассмотрение
A-"хотя бы одна лампа вышла из строя", тогда

vector{A}-" лампа не вышла из строя"

и события -гипотезы
H_(1) – ''лампа первого типа ''
H_(2) – ''лампa второго типа''


p(H_(1))=3/7

p(H_(2))=4/7


p(vector{A}/H_(1))=1-0,002=0,998
p(vector{A}/H_(2))=1-0,004=0,996


По формуле полной вероятности
p(vector{A})=p(H_(1))·p(vector{A}/H_(1)) + p(_(2))·p(vector{A}/H_(2)) =


=(3/7)·0,998+(4/7)·0,996=0,9968571430 ≈ 0,9969

p(A)=1-p(vector{A})=1-0,9969= [b]0,0031[/b]

Ответ выбран лучшим
2^3*detA=8*5= [b]40[/b]
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
ОДЗ: х-1 ≥ 0

Решаем неравенство методом интервалов.
Находим нули функции.
sqrt(x-1)*(x-2)*(x+1)=0

sqrt(x-1)=0 или х-2=0 или х+1=0

x=1; x=2; x=-1

х=-1 не входит в ОДЗ

Отмечаем оставшиеся две точки на ОДЗ пустыми кружочками, неравенство [b]строгое[/b]:

(1)__-__ (2) ___+____

О т в е т. [b] (1;2)[/b]

2)

Возводим в квадрат и первое и второе уравнение.
Второе при условии, что 7y+1 ≥ 0

{x+3y+5=2^2⇒ x=-3y-1
{2x-y+3=(7y+1)
{7y+1 ≥ 0

Из первого уравнения выражаем х и подставляем во второе:
2*(-3y-1)-y+3=49y^2+14y+1

49y^2+21y=0

7y*(7y+3)=0
y=0 или y=-3/7

Проверяем удовлетворяют ли найденные решения третьему неравенству системы

При y=0
7y+1 =7*0+1≥ 0 - верно

При y=-3/7
7y+1 =7*(-3/7)+1=-3+1≥ 0 - неверно

y=0 ⇒ x=-3y-1=--3*0-1=-1

О т в е т. [b](-1;0) [/b]
Ответ выбран лучшим
Составим неравенство и решим его

99/(n+1) > 5

99> 5*(n+1)

99 > 5n+5

5n < 94

n< 94/5

n=1, 2, ... до 18

О т в е т. 18
(x+y*cos(y/x))dx=x*cos(y/x)dy
Делим на х
(1+(y/x)*cos(y/x))dx=cos(y/x) dy

Однородное уравнение 1 порядка.
Решают заменой:
y/x=u
y=xu
dy=xdu+udx

(1+u*cosu)dx=cosu*(xdu+udx)

(1+u*cosu-u*cosu)dx=x*cosudu

dx/x=cosudu

∫dx/x= ∫ cosudu

ln|x|+lnC=sinu

ln|x|+lnC=sin(y/x)

e^(sin(y/x))=Cx - о т в е т
Ответ выбран лучшим
3-сos4x+a^2=3-(2cos^22x-1)+a^2=4-2cos^22x+a^2>0, так как

0≤ 2cos^22x ≤ 2
-2 ≤ -2cos^22x ≤0
4-2 ≤4-2cos^22x ≤ 4
2 ≤ 4-2cos^22x ≤ 4

Неравенство принимает вид:
a-(a^2-2a)cos2x+2-4+2cos^22x-a^2<0

или

2cos^22x+(2a-a^2)cos2x+(a-2-a^2)<0



Пусть
событие A_(0)- "изделие высшего сорта";
событие А_(1)- изделие первого сорта;
событие А_(2) - изделие второго сорта.

р(А_(0))=0,8
р(А_(1))=0,7
р(А_(2))=0,6

По условию задачи события A_(0), A_(1); А_(2) - независимы.

а) Событие А -"только два изделия высшего сорта"

А=А_(0)*А_(0)*А_(1) + А_(0)*А_(0)*А_(2)

Применяем теоремы сложения и умножения:

p(A)=p(А_(0))*p(А_(0))*p(А_(1)) + p(А_(0))*p(А_(0))*p(А_(2))

p(A)=0,8*0,8*0,7+0,8*0,8*0,5= [b]0,768[/b]

б) Событие В – "все три изделия различны"

В=А_(0)*А_(1)*А_(2)

p(B)=0,8*0,7*0,5= [b]0,280[/b]
ОДЗ:
{4x^3>0 ⇒ x>0
{2x>0 ⇒ x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{4x>0 ⇒ x > 0

x ∈ (0;1/2) U (1/2; + ∞ )

Переходим к основанию 2
log_(2x)(4x^3)=(log_(2)(4x^3))/log_(2)(2x)=

= (log_(2)4+3log_(2)x)/(log_(2)2+log_(2)x)=

=(2+3log_(2)x)/(1+log_(2)x)


log_(2x)(4x)=(log_(2)(4x))/log_(2)(2x)=

= (log_(2)4+log_(2)x)/(log_(2)2+log_(2)x)=

=(2+log_(2)x)/(1+log_(2)x)


Замена переменной:

log_(2)x=t

(2+3t)^2/(1+t)^2 - 2 = (2+t)/(1+t)

((4+12t+9t^2)-2*(1+t)^2-(2+t)*(1+t))/((1+t)^2)=0

(6t^2+9t)/(1+t)^2=0

{6t^2+9t=0
{1+t ≠ 0 ⇒ t ≠ -1

6t^2+9t=0
3t*(2t+3)=0
t=0 или 2t+3=0
t=0 или t=-3/2

Обратный переход к переменной х:

log_(2)x=0 ⇒ x=2^(0); [b] x=1[/b]
log_(2)x=-3/2 ⇒ x=2^(-3/2); [b] x=sqrt(1/8)=1/(2*sqrt(2))[/b]

О т в е т.
а)1; 1/(2*sqrt(2))

б)1= 2^(0)< 2^(0,1)

1/2^(0)=1 > 1/2^(0,1)

1∉ [1/2; 1/2^(0,1)]

2*sqrt(2) > 2
1/2sqrt(2) < 1/2
1/(2*sqrt(2))∉ [1/2; 1/2^(0,1)]

Нет корней принадлежащих указанному отрезку

∠ АМВ= ∠ PMN как вертикальные.
(1/3)x+30 = (1/2)x+10
30-10=(1/2)x-(1/3)x

20=(1/6)x
x=120 градусов.

∠ АМВ= ∠ PMN = (1/3)*120 градусов+ 30 градусов=70 градусов


∠ BMN - смежный с ∠ PMN
Сумма смежных 180 градусов

∠ BMN=180 градусов-70 градусов= [b]110 градусов[/b]
Если подлогарифмические выражения равны, то одз можно сделать с одним из них, да? Но x^3-8x+8 и х-2 не равные выражения

одз:
{x^3-8x+8>0 ⇒ (x-2)*(x^2+2x-4)>0
{(x-2)^2>0 ⇒ x - любое, кроме х=2

Решаем неравенство
(x-2)(x^2+2x-4)>0

x^2+2x-4=0
D=4-4*(-4)=20
x=(-2-2sqrt(5))/2 или x=(-2+2sqrt(5))/2

x=-1-sqrt(5); х=)-1+sqrt(5)

ОДЗ:

____ (-1-sqrt(5)) __+___ (-1+sqrt(5)) __-__ (2) __+__

x ∈ (-1-sqrt(5));-1+sqrt(5)) U (2;+ ∞ )


Теперь само уравнение
x^3-8x+8=(x-2)^2
x^3-8x+8=x^2-4x+4
x^3-x^2-4x+4=0
x^2*(x-1)-4*(x-1)=0
(x-1)*(x^2-4)=0
x=1; x= ± 2

х=2 не удовлетворяет ОДЗ.
х=1 и х=-2 корни уравнения

О т в е т. [b] -2; 1[/b]
[b]a≥ 0[/b]

Двойное неравенство:

2 ≤ (√a–2cosx+1)/( sin^2x+a+2√a+1) ≤ 3

которое равносильно системе неравенств:

{(√a–2cosx+1) /( sin^2x+a+2 √a+1) ≤ 3
{(√a–2cosx+1) /( sin^2x+a+2 √a+1 ) ≥ 2

Знаменатель:

sin^2x+a+2sqrt(a)+1=(sinx)^2+(sqrt(a)+1)^2 сумма двух неотрицательных чисел.
(sinx)^2+(sqrt(a)+1)^2 ≥ 0
так как sqrt(a)+1 >0, то

[b](sinx)^2+(sqrt(a)+1)^2> 0 [/b]

Значит,
{√a–2cosx+1 -3sin^2x-3a-6√a-3 ≤ 0
{√a–2cosx+1 -2sin^2x-2a-4√a-2 ≥ 0


sin^2x=1-cos^2x

{3cos^2x-2cosx-3a-5√a-6 ≤ 0
{2cos^2x-2cosx-2a-3√a-3 ≥ 0

...
Ответ выбран лучшим
работает один первый - 0,1
работает один второй -0,1
работают оба - 0,3

0,1+0,1+0,3=0,5 - вероятность того, что хотя бы один занят.

1-0,5=0,5 вероятность того, что оба свободны (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x>0
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4
{16x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/16
{(x/2) ≠ 1 ⇒ x ≠ 2

x ∈ (0;1/16)U(1/16;1/4)U(1/4;2) U(2;+ ∞ )

Переходим к основанию 2.
В условиях ОДЗ

log_(4x)sqrt(x)=log_(2)sqrt(x)/log_(2)4x=

=(1/2)log_(2)|x|/(log_(2)4+log_(2)x)= x>0; |x|=x=

=(1/2)log_(2)x/(2+log_(2)x)


log_(16x)x^3=3log_(2)x/(4+log_(2)x)

log_(x/2)x^2=2log_(2)x/(log_(2)x-1)

Замена переменной:

log_(2)x=t

20*((1/2)t/(2+t)) + 7* (3t/(4+t)) =3*(2t/(t-1))

Так как 2+t≠ 0; 4+t≠ 0; t-1≠ 0 ( см. ОДЗ)

умножаем уравнение на произведение этих множителей:


5t*(5t^2+3t-26)=0

t_(1)=0 или D=9+520=529; t_(2)=(-3-23)/10=-2,6 или t_(3)=(-3+23)/10=2

Обратный переход:

log_(2)x=0

x_(1)=1

log_(2)x=-2,6

x_(2)=2^(-2,6)

log_(2)x=2

x_(3)=4

О т в е т. [b] 1; (1/2)^(2,6)= корень пятой степени из (1/2)^13; 4[/b]
1.
y+xy=4x+16

y=(4x+16)/(1+x)

y<0 ⇒

_+__ (-4) __-__ (-1) __+__

-4<x<-1

x=-3; тогда y=-2
x=-2; тогда y=-8

О т в е т. (-3;-2);(-2;-8)

0,5 - вероятность того, что работает Александр
0,5-0,3=0,2 - вероятность того, что он работает один. (прикреплено изображение)
35%+25%=60% приходится на две стороны

100-60=40% приходится на АС

40%=0,4

24*0,4=9,6 см - длина стороны АС
Ответ выбран лучшим
6.
S_(незакрашенного сегмета)=S_(сектора)- S_( Δ)=

=(1/6)S_(круга)-R^2sqrt(3)/4=(1/6)πR^2-(R^2sqrt(3)/4)

S_(фигуры)=S_(круга)-S_(незакрашенного сегмета)=

=πR^2 - ( (1/6)πR^2-(R^2sqrt(3)/4))=

= [b](5/6)πR^2+(R^2sqrt(3)/4) [/b]- о т в е т.

10
S_((1/4) части круга R=10)-s_(половинки круга R=5)=

=(1/4)π*10^2- (1/2)π*5^2=25π-(25/2)π= [b](25/2)π[/b]- о т в е т.
1.

В первой скобке
9a^2-16b^2=(3a-4b)(3a+4b)

(9a^2-16b^2)/(4b+3a)= (3a-4b)(3a+4b)/(4b+3a)=3a-4b

(a^2b-3ab^2)=ab(a-3b)

(a^2b-3ab^2)/ab=ab(a-3b)/ab=a-3b

(3a-4b-(a-3b))^2=(3a-4b-a+3b)^2= [b](2a-b)^2[/b]


Во второй скобке:
8a^3-b^2=(2a-b)*(4a^2+2ab+b^2)

(8a^3-b^2)/(2a-b)=(2a-b)*(4a^2+2ab+b^2)/(2a-b)=4a^2+2ab+b^2

6ab- (8a^3-b^2)/(2a-b)=6ab-4a^2-2ab-b^2=4ab-4a^2-b^2=

=-(4a^2-4ab+b^2)= [b]-(2a-b)^2[/b]

Делим и получаем (-1)

О т в е т. -1

2.
Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя:
x-3=0; x+1=0
x=3; x=-1
Обозначаем сплошным кружком ( квадратная скобка на рис.)

Нули знаменателя:
x-2=0; x+2=0
x=2; x=-2
Обозначаем пустым кружком (круглая скобка)

__+_ (-2) __+_ [-1] __-__ (2) __+_ [3] __+__

О т в е т. [b] [-1;2) U{-3}[/b]

3.

В прямоугольном треугольнике - середина гипотенузы центр описанной окружности,
СM=AM=BM

Обозначим k - коэффициент пропорциональности, тогда
CM=5k,CH=4k и CM:CH=5:4

По теореме Пифагора из Δ CMH
HM=3k

Так как AM=BM=CM=5k
то AH=2k; AB=10k

AH:AM=2:10= [b]1:5[/b] - о т в е т.

4.

Пусть взял х руб. под p%

Через год начислены проценты, т.е должен банку
x+0,01px=x*(1+0,01p)

Погасил

(1/6)*x(1+0,01p)

На конец года долг составил (5/6)*х*(1+0,01p)

На остаток начислены проценты и долг составил

(5/6)*x*(1+0,01p)^2

Вернул банку на 20% больше, чем взятый кредит, т.е 1,2х

Уравнение
(5/6)*x*(1+0,01p)^2=1,2x

(1+0,01p)^2=36/25

1+0,01p=6/5

0,01p=0,2

[b]p=20%
[/b]
(прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{log_(x)sqrt(5x)≥ 0 ⇒ применяем метод рационализации
(x-1)*(sqrt(5x)-1)≥ 0

x ∈ (0;1/5] U (1;+ ∞)


log_(x)sqrt(5x)=(log_(x)sqrt(5)+log_(x)sqrt(x))=(1/2)log_(x)5+(1/2)



Замена переменной:

log_(x)5=t
t ≠0

log_(5)x=1/t

sqrt((1/2)t+(1/2))*(1/t)=-1

Возводим в квадрат при условии, что t < 0

((1/2)t+(1/2))*(1/t^2)=1

2t^2-t-1=0

t=-1/2 или t=1 ( не удовл. условию t<0)

log_(x)5=-1/2

x^(-1/2)=5

1/sqrt(x)=5

x=1/25 ∈ ОДЗ

О т в е т. 1/25
Ответ выбран лучшим
A _____ C ____ B

Пусть скорость автомобиля х км в час.

Тогда за 3 часа автомобиль проехал 3х км.

Когда выехал мотоциклист, расстояние между ними 3х км.
Мотоциклист догонит автомобиль за счет того, что его скорость больше.
(110-х) км в час - скорость приближения мотоциклиста к велосипедисту.

3x/(110-x) час. потребуется мотоциклисту, чтобы догнать автомобиль.

Автомобиль за это время проедет
x * (3x/(110-x) )=3x^2/(110-x) км

Останется проехать:

400 - 3x - 3x^2/(110-x) со скоростью х, а время такое же с каким мотоциклист проехал путь АС.

Уравнение:

400 - 3x - (3x^2/(110-x)) = х * 3x/(110-x)
Пусть m пятилитровых вёдер и n- 14-литровых.

Всего m+n=11 вёдер

V=5m+14*n
m+n=11

14*5+5*6=70+30=100

( 6 пятилитровых и 5 четырнадцитилитровых)

О т в е т. 100 литров

или так считать:

n=11-m
5*m+14*(11-m)=154-9m=154-9*6=100

Из условия задачи: "если укладывать в ряд по 20 плиток, то на квадратную площадку не хватает" следует, что плиток меньше чем 20*20=400

Из условия задачи: "если укладывать в ряд по 19 штук, то до прямоугольной площадки не хватает 5 плиток" следует, что
количество плитки при делении на 19 дает в остатке 14
x=19k+14

Из условия задачи: "если укладывать в ряд по 18 штук, то до прямоугольной площадки не хватает 6 плиток" следует, что
количество плитки при делении на 18 дает в остатке 12

x=18n+12

19k+14 = 18n +12

19k +2 = 18n ⇒ 19*k - четное


19*16=304

304+2=306

306:18=17

304+14=318 или 18*17+12=318

289 < 318
289=17^2

О т в е т. 318-289=29 плиток останется.


АС:
y=kx+b
Подставляем координаты точки A:
7=5k+b
Подставляем координаты точки B:
3=3k+b

Система
{7=5k+b
{3=3k+b

Вычитаем
4=2k
k=2
b=7-5k=7-5*2=-3

y=2x-3 - [b]уравнение АС[/b]

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Найдем координаты точки О - середины АС
x_(O)=(x_(А)+x_(С))/2=(5+3)/2=4
y_(O)=(y_(А)+y_(С))/2=(7+3)/2=5

[b]O(4;5)[/b]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1):
k_(BD)=-1/k_(AC)=-1/2

Тогда уравнение прямой BD:
y=(-1/2)x+b
Чтобы найти b подставим координаты точки О

5=(-1/2)*4+b
b=7

y=(-1/2)x+7 - [b] уравнение BD[/b]

Ответ выбран лучшим
Проводим плоскость через точку M перпендикулярно прямой.
Направляющий вектор прямой vector{a}=(-1;0;1) становится нормальным вектором плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M_(o) (x_(o);y_(o);z_(o)) и нормальным вектором vector{n}=(A;B;C) имеет вид:
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

-1*(x+1)+0*(y-0)-1*(z+1)=0
-х-z-2=0
x-z-2=0

Найдем точку пересечения прямой
и плоскости.
Для этого составим параметрические уравнения прямой
Вводим параметр t:
x/(-1)=(y-1,5)/(0)=(z-2)/1= t

x=-t
y=1,5
z=t+2

Подставляем в уравнение плоскости

-t-(t+2)-2=0
-2t=4
t=-2

x=2
y=1,5
x=-2+2=0
(2;1,5;0) - координаты точки О- проекции точки M на прямую

Так как
МО=ОМ_(1)
О- середина ММ_(1)
x_(O)=(x_(M)+x_(M_(1)))/2
y_(O)=(y_(M)+y_(M_(1)))/2
z_(O)=(z_(M)+z_(M_(1)))/2

2=((-1)+x_(M_(1)))/2
x_(M_(1))=2*2+1=5

1,5=(0+y_(M_(1)))/2
y(M_(1))=2*1,5=3

0=(-1+z_(M_(1)))/2

z_(M_(1))=1

[b]M_(1)(5;1,5;1)[/b]
Ответ выбран лучшим
S_(бок)=P_(осн)*H=3a*H

H= AA_(1)=BB_(1)=CC_(1)
a=AB=BC=AC

Из прямоугольного треугольника ВC_(1)C

H_(призмы)=d/2
a=dsqrt(3)/2

S_(бок)=3a*H=3*(dsqrt(3)/2)*(d/2)

72 sqrt(3)=3sqrt(3)d^2/4

d^2=96
d=4sqrt(6)

V=S_((осн)*H=(a^2sqrt(3)/4)*H=(dsqrt(3)/2)^2*(sqrt(3)/4)*d/2=

=3sqrt(3)d^3/32= [b]108sqrt(2)[/b]
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Раскладываем на множители. Выносим за скобки 5 в меньшей степени:
5^5+5^6=5^(5)*(1+5)=5^5*6
Один из множителей ( а именно 6) делится на 3, значит и все произведение делится на 3, т.е кратно 3
[b]ρ=3sinφ+2[/b]

φ =0⇒ sin0=1
ρ=3*0+2=2

На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=2
получаем точку А (0;2)

φ =π/8⇒
ρ=


φ =π/4⇒sin(π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ=3*sin(π/4)+2≈ 3*0,7+2=4,1
На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ≈4,1
получаем точку С (π/4; 4,1)

φ =3π/8⇒
ρ=

φ =π/2⇒sin(π/2)=1
ρ=3*sin(π/2)+2= 3*1+2=5
На луче φ =π/2 откладываем расстояние ρ=5
получаем точку Е (π/2;5)

φ =5π/8⇒
ρ=

φ =3π/4⇒sin(3π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ=3*sin(3π/2)+2≈ 3*0,7+2=4,1
На луче φ =3π/4 откладываем расстояние ρ≈4,1
получаем точку G (3π/4; 4,1)

φ =7π/8⇒
ρ =


φ =π⇒ sinπ=0
ρ = 3*0+2=2
На луче φ =π откладываем расстояние ρ=2
получаем точку M (π; 2)

и так далее

Переход от полярной системы координат к декартовой

x=ρ·cos φ
y=ρ·sin φ
x^2+y^2=ρ^2⇒ ρ=sqrt(x^2+y^2)

sin φ φ =y/ρ=y/sqrt(x^2+y^2)



Подставляем в данное уравнение:

sqrt(x^2+y^2)=3*y/sqrt(x^2+y^2) + 2

x^2+y^2=3y+2sqrt(x^2+y^2)

(x^2+y^2-3y)=2sqrt(x^2+y^2)

Возводим в квадрат

(x^2+y^2-3y)^2=4(x^2+y^2) уравнение линии в [b] декартовой системе[/b] координат (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть AB=x
Тогда
BC=x*sin ∠ A=x*(3/5)=0,6x

По теореме Пифагора
AB^2=AC^2+BC^2
x^2=2^2+(0,6x)^2
x^2=4+0,36x^2
0,64x^2=4
x^2=400/64
x^2=100/16
x=10/4=2,5
[b]AB=2,5 см[/b]
[b]BC[/b]=AB*0,6= [b]1,5 cм[/b]
π(x/3) =(-1)^(k)arcsin(–√3/2)+πk, k ∈ Z
π(x/3) =(-1)^(k)(-π/3)+πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k+1)+3k, k∈ Z
k=-1
x=-3

k=0
x=0

k=1
[b]x=4[/b]

k=2
x=5

О т в е т. [b]4[/b]
sin(2x+(π/6))=cosx+cos(x+(π/6))*sinx

Формула:
[b]sin α *cos β =(1/2)sin( α + β ) +(1/2)sin( α - β )
[/b]
cos(x+(π/6))*sinx= (1/2)sin(x+x+(π/6)) + (1/2)sin(x-x-(π/6)

cos(x+(π/6))*sinx=(1/2)sin(2x+(π/6))+(1/2)sin(-π/6)

cos(x+(π/6))*sinx=(1/2)sin(2x+(π/6))-(1/4)

Уравнение:

sin(2x+(π/6))=cosx+(1/2)sin(2x+(π/6))-(1/4)

[b](1/2)*sin(2x+(π/6))=cosx-(1/4)[/b]

Формула:
[b]sin( α + β )=sin α cos β +cos α sin β [/b]

(1/2)*sin2x*cos(π/6)+(1/2)*cos2xsin(π/6)=cosx-(1/4)

(1/2)*sin2x*(sqrt(3)/2)+(1/2)*cos2x*(1/2)=cosx-(1/4)

Умножаем на 4:
sqrt(3)sin2x + cos2x=4cosx-1;


2sqrt(3)sinx*cosx+2cos^2x-1=4cosx-1;

2sqrt(3)sinx*cosx+2cos^2x-4cosx=0

2cosx*(sqrt(3)sinx+cosx-2)=0

cosx=0 или sqrt(3)sinx+cosx-2=0

cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]

или

sqrt(3)sinx+cosx-2=0

sqrt(3)sinx+cosx=2

уравнение вида

asinx+bcosx=c

Решаем [b] либо методом введения вспомогательного угла[/b]

sqrt(3)/2*sinx+(1/2) cosx=1

cos(x-(π/3))=1

x-(π/3)=2πm, m ∈ Z

[b]х = (π/3)+2πm, m ∈ Z[/b]



[b]либо как однородное второго порядка[/b] с аргументом (x/2)

2sqrt(3)sin(x/2)*cos(x/2) +cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=2*(cos^2(x/2)+sin^2(x/2))

2sqrt(3)sin(x/2)*cos(x/2) -cos^2(x/2)-3sin^2(x/2)=0

3tg^2(x/2)-2sqrt(3)tg(x/2)+1=0

D=12-12=0

tg(x/2)=sqrt(3)/3

(x/2)=(π/6)+πk, k ∈ Z

[b]x=(π/3)+2πk, k ∈ Z[/b]

О т в е т.
а) (π/2)+πn, n ∈ Z; (π/3)+2πk, k ∈ Z

б)

x=(π/2)-5π=-9π/2

x=(π/2)-4π=-7π/2

x=(π/3)-4π=-11π/3.


[b]-4π[/b]=-24π/6 < [b]-11π/3[/b]=-22π/6 [b] <[/b] [b] -7π/2[/b]=-21π/6 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(x^2/4)+y^2=1
a=2; b=1
Верхняя вершина (0;1)
a>b, значит
b^2=a^2-c^2
c^2=a^2-b^2=2^2-1=3
c=sqrt(3)
Фокусы в точках F_(1) (-sqrt(3);0) и F_(2)(sqrt(3);0)

Уравнение окружности с центром (x_(o);_(o)) и радиусом R
имеет вид:
(x-x_(o))^2+(y-y_(o))^2=R^2

По условию центр окружности в точке (0;1)
Тогда уравнение окружности:
x^2+(y-1)^2=R^2

По условию
точки F_(1) (-sqrt(3);0) и F_(2)(sqrt(3);0)
лежат на окружности, значит координаты точек удовлетворяют уравнению:

sqrt(3)^2+(0-1)^2=R^2
R^2=4
R=2
О т в е т. [b]x^2+(y-1)^2=4[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y`=3sqrt(x^2+y^2)/x + (y/x)
y`=3sqrt(1+(y/x)^2) + (y/x)

Уравнение имеет вид:
y`= φ (y/x)

Значит, это однородное уравнение.

Решают заменой
y/x=u

y=xu

y`=x`·u+x·u`

x`=1 так как х – независимая переменная

u+x·u`=3sqrt(1+u^2)+u


x·u`=3sqrt(1+u^2) – уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

x*du=3sqrt(1+u^2)dx

du/sqrt(1+u^2)=3dx/x

Интегрируем:

∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫ 3dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=3ln|x|+lnC

u+sqrt(1+u^2)=Cx^3

(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx^3

[b]y+sqrt(x^2+y^2)=Cx^4[/b]- о т в е т.
1. ОДЗ: [b]sinx >0 [/b]

[b]x∈(2πk,π+2πk), k∈Z[/b]

Замена переменной
log_(0,25)sinx=t
2t^2+7t-4=0
D=49-4*2*(-4)=81
t_(1)=(-7-9)/4=-4; t_(1)=(-7+9)/4=1/2;

Обратно:
log_(0,25)sinx=-4 или log_(0,25)sinx=1/2
sinx=(0,25)^(-4) или sinx=(0,25)^(1/2)

sinx=16 - уравнение не имеет корней в силу ограниченности синуса

sinx=1/2
[b]x=(-1)^(n)*(π/6)+πn, n ∈ Z[/b]

Найденные корни принадлежат ОДЗ ( 1/2>0)

Указанному промежутку принадлежит один корень

x=(5π/6)-4π= [b] -19π/6[/b]

[b]-7π/2[/b]=-21π/6 < [b] -19π/6[/b] < -12π/6= [b]-2π[/b]

О т в е т. a) (-1)^(n)*(π/6)+πn, n ∈ Z; б) -19π/6


2.

Умножаем и числитель и знаменатель дроби справа на 2^(x):

((2^(x))^2-68)/((2^(x))^2-64) ≥ 1

(4^x-68)/(4^(x)-64)≥ 1

[b]Замена переменной:[/b]

4^(x)=t

t>0

(t-68)/(t-64) - 1 ≥ 0

(t-68-t+64)/(t-64) ≥ 0

-4/(t-64) ≥ 0

1/(t-64) ≤ 0

t-64 <0

Обратный переход:

4^(x) -64 < 0

4^(x) < 64
4^(x) < 4^3

[b]x < 3 [/b]

О т в е т. (- ∞ ; 3)

ОДЗ:
{3x^2 2x>0 ⇒ x*(3x 2)>0 ⇒ x<-2/3 или x>0
{6x^2-5x>0 ⇒ x*(6x-5) >0 ⇒ x < 0 или x > 5/6
{log_(6)(6x^2-5x) ≠ 0 ⇒ 6x^2-5x ≠ 1 ⇒ D=49; х ≠ -1/6; х ≠ 1

x ∈ (-∞; -2/3) U (5/6;1) U (1; ∞)

Переходим к логарифму по основанию 5

(log_(5)(3x^2 2x))/(log_(5)(6x^2-5x)/log_(5)6) ≤ 0

(log_(5)6)* (log_(5)(3x^2 2x)/log_(5)(6x^2-5x)) ≤ 0

Так как по формуле перехода к другому основанию:
log_(c)a/log_(c)b=log_(b)a
a>0;b>0;c>0; c ≠ 1;b ≠ 1

и log_(5)6 > log_(5)5=1, то

log_(6x^2-5x)(3x^2 2x) ≤ 0

Применяем [b]метод рационализации логарифмических неравенств:[/b]

(6x^2-5x-1)*(3x^2 2x-1) ≤ 0

(6x 1)*(x-1) *(3x-1)(x 1) ≤ 0

Применяем метод интервалов:

__ _ [-1]__-_ [-1/6] __ _ [1/3] _-__ [1] _ __

х ∈ [-1;-1/6] U[1/3;1]

С учетом ОДЗ: (-∞; -2/3) U (5/6;1) U (1; ∞)

получаем о т в е т.

[b][-1;2/3) U (5/6;1)[/b] (прикреплено изображение)
φ (x;y)=x^2-y^2-9

Вводим в рассмотрение функцию Лагранжа:
F(x;y; λ )=5-3x-4y+ λ *(x^2-y^2-9)

Находим стационарные точки

F`_(x)=0
F`_(y)=0
F`_( λ )=0

{-3+2x λ=0
{-4-2y λ =0
{x^2-y^2-9=0
нет решения....


3.10

a)
A ∩ B= ∅
A ∪ B={-3;-2;2;3}
A\B=A={-2;3}
B\A=B={-3;2}
vector{A}=невозможно ответит на вопрос, так как нет U
A×B= {(-2;-3);(-2;2);(3;-3);(3;2)}

б)
A ∩ B= [-2;2]
A ∪ B=[-3;3]
A\B=(2;3]
B\A=[-3;2)
vector{A}= (- ∞;-2)U(3;+ ∞ )
A×B=[-2;3]×[-3;2]- квадрат ABCD на плоскости
см. рис.1

в)
A ∩ B= (4;10)
A ∪ B=(0;+∞)
A\B=(0;4]
B\A=[10;+∞)
vector{A}= (- ∞;0]U[10;+ ∞ )
A×B=(0;10)×(4;+ ∞ )- прямоугольная полоса, уходящая в бесконечность.
Границы пунктиром:
х=0 x=10 и y=4,
не входят
см. рис. 2
особенно х=0 плохо виден пунктир, потому что ось Оу нарисована.

г)
A ∩ B= [-3;3]
A ∪ B=(-∞;+∞)
A\B=(-∞;-3)
B\A=(3;+∞)
vector{A}= (3;+∞)
A×B=(0;10)×(4;+ ∞ )- верхний правый угол на плоскости
Границы x=3 и у=-3 входят
см. рис. 3

д)
A ∩ B=(-5;10)
A ∪ B=(-10;20)
A\B=(-10;-5]U[10;20)
B\A= ∅
vector{A}= (- ∞;-10]U[20;+ ∞ )
A×B=[-2;3]×[-3;2]- прямоугольник АВСD на плоскости
см. рис.4, границы не входят
(прикреплено изображение)
y`=10x-3
y`=0

10x-3=0
10x=3

x=3/10
x=0,3

0,3 ∈ (0;1) и является внутренней точкой промежутка.

Производная при переходе через точку x=0,3 меняет знак с минуса на плюс
Значит х=0,3 - точка минимума

y(0,3)=5*(0,3)^2-3*0,3+1=0,45-0,9+1=0,55 - наименьшее значение функции на (0;1)

Наибольшего на (0;1) нет

На [0;1]

f(0)=1
f(1)=5-3+1=3 - наибольшее значение функции, но на [0;1]
1.
ОДЗ: х ≠ 0

Логарифмируем по основанию 2
lоg_(2)(2^(x)*5^((x+1)/x))=lоg_(2)50

Логарифм произведения равен сумме логарифмов
lоg_(2)(2^(x)) + log_(2)*5^((x+1)/x))=lоg_(2)2+log_(2)25

x+((x+1)/x)log_(2)5=1+2log_(2)5

(x-1) + (((x+1)/x) - 2)log_(2)5=0

(x-1) + (1-x)/x*log_(2)5=0

(x-1)* (1- (1/x)log_(2)5)=0

x-1=0 или 1- (1/x)log_(2)5)=0

[b]x=1 или x=log_(2)5[/b]

При х=log_(2)5

2^(log_(2)5) * 5^((log_(2)5+1)/log_(2)5)=

=5 ^(log_(2)5+log_(2)2)/log_(2)5)

=5 * 5 ^(log_(2)10/log_(2)5)= 5* 5^(log_(5)10)=5*10=50

50=50 - верно

О т в е т. 1; log_(2)5
2.
Основное логарифмическое тождество:
3^(log_(3)x)=x
x>0


9^(log_(3)x)=(3^(2))^(log_(3)x)=(3^(log_(3)x))^2=x^2
3^(log_(3)27)=27

Уравнение

x^2-12x+27=0

D=144-2*27=36
x_(1)=(12-6)/2=3; x_(2)=(12+6)/2=9

О т в е т. [b]3; 9[/b]

[b]P.S.[/b]
Предыдущее решение первой задачи [b]неверное,[/b] так как решено способом перебора (подбора) вариантов.

Такой метод решения предполагает [b]доказательство[/b] того факта, что все рассмотренные случаи единственно возможные, т. е что других случаев точно нет.

А это невозможно, так как может быть бесчисленное множество разложений чиcла 10:
(1/4)*(40)
sqrt(2)* sqrt(50)

и т.д.

Есть [b]стандартные методы решения[/b] показательных уравнений:

приравнивание оснований,
разложение на множители и приравнивание к 0
сведение к алгебраическому (замена переменной)
логарифмирование
графический способ.



Имеем неопределённость (0/0).
Применяем правило Лопиталя:

lim_(x→0)(sinx-xcosx)`/(sin^22x)`=

=lim_(x→0)(cosx-cosx-x*(-sinx))/(2sin2x*cos2x*(2x)`)=

=lim_(x→0)(x*sinx)/(4sin2x*cos2x)=

=lim_(x→0)(x*sinx)/(8*sinx*cosx*cos2x)=
=lim_(x→0)(x*)/(8*cosx*cos2x)=0/8 [b]=0[/b]

2.
Обозначим
y=(sinx)^(tgx)
Логарифмируем

lny=tgx*ln(sinx)

lim_(x→0)lny= lim_(x→0)tgx*ln(sinx)= lim_(x→0)ln(sinx)/ctgx=

неопределённость (∞/∞).

Применяем правило Лопиталя:

lim_(x→0)(ln(sinx))`/(ctgx)`=lim_(x→0((1/sinx) *(cosx))/(-1/sin^2x)=

=lim_(x→0(-sin^2x*cosx/sinx)=lim_(x→0(-sinx*cosx)=0

lim_(x→0)lny= 0

Меняем знак предела и знак непрерывной функции

ln(lim_(x→0)y)=0

lim_(x→0)y=e^(0)=1

О т в е т. [b]1[/b].
Ответ выбран лучшим
(1/4)=2^(-2)

(1/4)^(-1/2)=(2^(-2))^(-1/2)=2^(-2*(-1/2))=2
16^(1/2)=4
(1/4)^(-1/2)*16^(1/2)=2*4=8

·(1/25)^(–1/2)=(5^(-2))^(-1/2)=5

2^(-1)=1/2
8^(-1/3)=(2^(3))^(-1/3)=2^(-1)=1/2

2^(–1)·(1/25)^(–1/2)·8^(–1/3)=(1/2)*5*(1/2)=5/4

8- (5/4)= 8-1,25 [b]=6,75[/b]
1.
(a-b)*(a+b)=a^2-b^2

(xsqrt(2)+2sqrt(2)-1)(xsqrt(2)+2sqrt(2)+1)=

=(xsqrt(2)+2sqrt(2))^2-1=

=2x^2+8x+8-1=2x^2+8x+7

Уравнение имеет вид
sqrt(2x^2+8x+7)=x^2+4x+4

Замена:
x^2+4x=t

sqrt(2t+7)=t+4
Возводим в квадрат

2t+7=t^2+8t+16

t^2+6t+9=0
t=-3
x^2+4x==3
x^2+4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=-3; x_(2)=-1

Проверка:
При х=-3
sqrt((-3sqrt(2)+2sqrt(2)-1)*(-3sqrt(2)+2sqrt(2)+1))=(-3)^2+4*(-3)+4
sqrt(-1*(sqrt(2)+1)*(-1)*(sqrt(2)-1)=1

sqrt(2-1)=1 - верно

При х=-1
sqrt((-sqrt(2)+2sqrt(2)-1)*(-sqrt(2)+2sqrt(2)+1))=(-1)^2+4*(-1)+4
sqrt((sqrt(2)-1)*(sqrt(2)+1))=1
sqrt(2-1)=1 - верно

О т в е т. -3;-1

2.
Раскладываем на множители способом группировки:
2^(x^2-1)*(3^(x)+6)-(3^(x)+6)=0

(3^(x)+6)*(2^(x^2-1)-1)=0

3^(x)+6 > 0 при любом х, график показательной функции y=3^(x) расположен выше оси Ох

2^(x^2-1)-1=0

2^(x^2-1)=1

2^(x^2-1)=2^(0)

x^2-1=0

x^2=1

[b]x= ±1 [/b] - о т в е т.

3.

ОДЗ:
{7-x >0
{x^2-5>0

(- ∞ ;-sqrt(5)) U(sqrt(5);7)
Раскладываем на множители способом группировки:

log^2_(3)(7-x)*( [b]log_(2)(x^2-5)-2[/b]) +3*( [b]log_(2)(x^2-5)-2[/b]) =0

(log_(2)(x^2-5)-2) *(log^2_(3)(7-x) + 3)=0

log^(2)_(3)(7-x) +3 > 0

значит
log_(2)(x^2-5)-2=0

log_(2)(x^2-5) = 2

x^2-5=2^(2)


x^2=9

x=±3
оба корня удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. [b]± 3[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
sinx*(2sinx-sqrt(3))=0
sinx=0 или 2sinx-sqrt(3)=0

sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

sinx=sqrt(3)/2 ⇒ (-1)^(k)*arcsin(sqrt(3)/2) + πk, k ∈ Z
x= [b](-1)^(k)*(π/3) + πk, k ∈ Z[/b]

2.
Замена переменной:
sinx=t
Получаем квадратное уравнение
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
Уравнение имеет [b]два[/b] корня
t_(1)=(3-1)/2=1; t_(2)=(3+1)/2=2

Обратный переход
sinx=1
x=(π/2)+2πk, k ∈ Z[/b]

или

sinx=2 - уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1 не будет принимать значение, равное 2

3.
8sin^2x+cosx+1=0

Так как sin^2x+cos^2x=1, то sin^2x=1-cos^2x

8*(1-cos^2x)+cosx+1=0
[b]8cos^2x-cosx-9=0[/b]

Замена переменной:
cosx=t
Получаем квадратное уравнение
8t^2-t-9=0
D=1-4*8*(-9)=289
Уравнение имеет [b]два[/b] корня
t_(1)=(1-17)/16=-1; t_(2)=(1+17)/16=18/16=9/8

Обратный переход

cosx=-1
[b]x=π+2πn, n ∈ Z[/b]

или
cosx=9/8

9/8 > 1
уравнение не имеет корней, так как |cosx| ≤ 1 не будет принимать значение, равное 9/8

4.
sinx-sqrt(3)cosx=0

Это однородное уравнение первой степени.

Так как косинус и синус одновременно не могут равняться 0, то
один из них отличен от нуля, пусть
cosx ≠ 0

Делим уравнение на cosx≠ 0

(sinx/cosx)-sqrt(3)(cosx/cosx)=0
tgx-sqrt(3)=0
tgx=sqrt(3)
x=arctg(sqrt(3))+πn, n ∈ Z
[b]x=(π/3)+πn, n ∈ Z[/b]

5.
3sin^2x-2sinxcosx-cos^2x=0

Это однородное уравнение второй степени.

Так как косинус и синус одновременно не могут равняться 0, то
один из них отличен от нуля, пусть
cosx ≠ 0

Делим уравнение на cos^2x≠ 0

3tg^2x-2tgx-1=0
D=4-4*(3)*(-1)=16
tgx=-1/3 или tgx=1

x=arctg(-1/3)+πn, n ∈ Z или х=arctg1+πn, n ∈ Z

[b]х= - arctg(1/3)+πn, n ∈ Z [/b] или [b]х=(π/4)+πn, n ∈ Z[/b]
1.
cosx=-sqrt(3)/2
х= ± arccos(-sqrt(3)/2) +2πn, n ∈ Z
х= ±(π- arccos(sqrt(3)/2)) +2πn, n ∈ Z
х= ±(π- (π/6)) +2πn, n ∈ Z
[b]x= ± (5π/6) +2πn, n ∈ Z[/b]

2.
3x=t
sint=sqrt(3)/2
t=(-1)^(k)*arcsin(sqrt(3)/2) + πk, k ∈ Z
t=(-1)^(k)*(π/3) + πk, k ∈ Z

3x=(-1)^(k)*(π/3) + πk, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)*(π/9) + (π/3)*k, k ∈ Z[/b]

3.
(х/2)= ± arccos(sqrt(3)/2) +2πn, n ∈ Z
(х/2)= ±(π/6) +2πn, n ∈ Z
x=±(2*π/6) +2*2πn, n ∈ Z
[b]x= ±(π/3) +4πn, n ∈ Z[/b]

4.
x-(π/4)=arcctg1+πn, n ∈ Z
x-(π/4)=(π/4)+πn, n ∈ Z
x=(π/4)+(π/4)+πn, n ∈ Z
[b]x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]

5.
sinx*(2cosx-sqrt(2))=0
sinx=0 или 2cosx-sqrt(2)=0

sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

cosx=sqrt(2)/2 ⇒ ± arccos(sqrt(2)/2) +2πn, n ∈ Z

[b]x=±(π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]

6.
sinx*(2sinx-sqrt(3))=0
sinx=0 или 2sinx-sqrt(3)=0

sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

sinx=sqrt(3)/2 ⇒ (-1)^(k)*arcsin(sqrt(3)/2) + πk, k ∈ Z
x= [b](-1)^(k)*(π/3) + πk, k ∈ Z[/b]
во второй четверти.
Паралл[b]е[/b]л[b]е[/b]пипе[b]д[/b]

V=a*b*h=15*13*10=1950

S_(п.п)=2*a*b+2*a*h+2*b*h=2*15*13+2*15*10+2*13*10=390+300+260=

=950

3)? непонятно, что требуется найти.
Это биквадратное уравнение.
Замена переменной:
x^2=t
x^4=t^2
получаем квадратное уравнение:
t^2-(4a-5)t+3a^2-5a=0

D=(4a-5)^2-4*(3a^2-5a)=16a^2-40a+25-12a^2+20a=4a^2+25
D>0 при любом a, значит уравнение имеет два корня.

t_(1)= (4a-5-sqrt(4a^2+25))/2 или t_(2)= (4a-5+sqrt(4a^2+25))/2

Обратный переход приводит к двум квадратным уравнениям

x^2= (4a-5-sqrt(4a^2+25))/2 или x^2=(4a-5+sqrt(4a^2+25))/2

Если одно из уравнений не имеет корней, а второе имеет два корня, то требование задачи будет выполнено

Для этого нужно выполнение условий:

{t_(1) <0
{t_(2) >0

или

{t_(1) >0
{t_(2) <0

{(4a-5-sqrt(4a^2+25))/2<0⇒sqrt(4a^2+25)>4a-5
{(4a-5+sqrt(4a^2+25))/2 >0⇒sqrt(4a^2+25)>-4a+5

или

{(4a-5-sqrt(4a^2+25))/2 >0 ⇒ sqrt(4a^2+25)<4a-5
{(4a-5+sqrt(4a^2+25))/2 <0 ⇒ sqrt(4a^2+25)< -4a+5

V_(ох)=π ∫^(2)_(0)(4-x^2)^2dx=π ∫^(2)_(0)(16-8x^2+x^4)dx=

=π(16x-(8x^3/3)+(x^5/5))|^(2)_(0)=π(16*2-(8*8/3)+(32/5))=

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
n=1
u_(1)(x)=(4/(7*∛2))*x

n=2
u_(2)(x)=(16/(49*∛3))*x^2

n=3

u_(3)(x)=(64/(343* ∛4))*x^3

Найдем отношениe

|u_(n+1)/(u_(n))|= |4^(n+1)*x^(n+1)/7^(n+1)*∛(n+1+1)| : |4^(n)*x^(n)/7^(n)*∛(n+1)|=

=(4*|x|/7)*∛(n+2)/(n+1)

lim_(n→∞)|u_(n+1)/(u_(n))|=4*|x|/7

Если
4*|x|/7<1, то по признаку Даламбера ряд из модулей сходится,значит и данный ряд сходится
Решаем неравенство:
4*|x|/7<1 ⇒ |x| < 7/4

R=7/4 - радиус сходимости

(-7/4;7/4) - интервал сходимости

При х=(-7/4) числовой ряд сходится по признаку Лейбница
При х=7/4 числовой ряд расходится
[-7/4;7/4) - область сходимости.
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: x>0

(sqrt(x))^(-2)=(x^(1/2))^(-2)=x^(-1)=1/x

3^(x^2-3)*(3^2+3+1)/x ≤ (39/27)*(1/x)

3^(x^2-3)*13/x - (39/27)*(1/x) ≤ 0

(1/x)*(3^(x^2-3)-(1/9)) ≤ 0

Cогласно ОДЗ
x> 0
значит (1/х) тоже больше 0

3^(x^2-3) - (1/9) ≤ 0

3^(x^2-3) ≤ 3^(-2)

Показательная функция с основанием 3 возрастающая, поэтому

x^2-3 ≤ -2
x^2-1 ≤ 0
(x-1)(x+1) ≤ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 1

С учетом ОДЗ получаем ответ
[b](0; 1][/b]
Ответ выбран лучшим
7.
∫ сos3x*cos2xdx
Формула
сos α *cos β =(1/2)cos( α + β )+(1/2)cos( α - β )
сos3x*cos2x=(1/2)cos5x+(1/2)cosx

∫ сos3x*cos2xdx= ∫ ((1/2)cos5x+(1/2)cosx)dx

интеграл от суммы равен сумме интегралов:
=(1/2) ∫ сos5xdx+(1/2) ∫ cosxdx=(1/2)*(1/5)*sin5x +(1/2)sinx+C=
= [b](1/10)sin5x+(1/2)sinx+C[/b]

6.

cos^62x=(cos^22x)^3=((1+cos4x)/2)^3=(1+3cos4x+3cos^24x+cos^34x)/8

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ cos^62xdx=(1/8)∫ dx+(3/8)∫ cos4xdx+(3/8)∫ cos^24xdx+(1/8)∫ cos^34xdx=

=(1/8)x+(3/8)*(1/4)*sin4x +(3/8)*(1/2) ∫ (1+cos8x)dx+(1/8) ∫ (1-sin^24x)*cos4xdx=

= [b](1/8)x[/b] +(3/32)sin4x+ [b](3/16)x[/b] +(3/16)*(1/8)*sin8x+

+(1/8)*(1/4)*sin4x-(1/8)*(1/4)*(sin^34x/3)+C=

привести подобные

5.
∫ sin^4x*cos^3xdx= ∫ sin^4x*cos^2x*cosxdx=

= ∫ sin^4x*(1-sin^2x)*cosxdx= ∫ sin^4x*cosxdx- ∫ sin^6xcosxdx=

= ∫ sin^4x*d(sinx)- ∫ sin^6xd(sinx) [b]=(sin^5x/5)-(sin^7x/7) + C[/b]

3.
2sin^2x+7cos^2x=cos^2x*(2tg^2x+7)

∫ dx/(2sin^2x+7cos^2x)= ∫dx/ cos^2x(2tg^2x+7)=

=(1/2) ∫ d(tgx)/(tg^2x+(7/2)= (1/2)*(1/sqrt(7/2))arctg(tgx/sqrt(7/2)C=

= [b](1/sqrt(14)) arctg (sqrt(2)tgx/sqrt(7)) + C[/b]

1.
tg(x/2)=t
x/2=arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
2-cosx=1-(1-t^2)/(1+t^2)=(2+2t^2-1+t^2)/(1+t^2)=(3t^2+1)/(t^2+1)

∫ dx/(2-cosx)= ∫ dt/(3t^2+1)= (1/3) ∫ dt/(t^2+(1/3))=

=(1/3)*(1/sqrt(1/3))* arctg (t/sqrt(1/3))+C=

= [b](1/sqrt(3)) arctg(sqrt(3)*tg(x/2)) + C[/b]

2.

cos^5x=cos^4x*cosx=(cos^2x)^2*cosx=(1-sin^2x)^2*cosx=

=(1-sinx)^2*(1+sinx)^2*cosx

∫ cos^5xdx/(1+sinx)= ∫ (1-sinx)^2*(1+sinx)cosxdx

sinx=t
cosxdx=dt

= ∫ (1-t^2)*(1+t)dt= ∫ (1-t^2+t-t^3)dt= t-(t^3/3)+(t^2/2)-(t^4/4) + C=

= [b]sinx- (sinx)^3/3 + (sinx)^2/2 - (sinx)^4/4 + C[/b]

4.
tgx=t
x=arctgt
dx=dt/(1+t^2)

1+tg^2t=1/cos^2x
cos^2x=1/(1+tg^2x)=1/(1+t^2)
sin^2x=1-cos^2x=1-(1/(1+tg^2x))=tg^2x/(1+tg^2x)=t^2/(1+t^2)

∫ sin^2xdx/cos^(10)x=

= ∫ t^2*(1+t^2)^5dt/(1+t^2)^2=

= ∫ t^2*(1+t^2)^3dt=

= ∫ (t^2+3t^4+3t^6+t^8)dt=

=(t^3/3)+(3t^5/5)+(3t^7/7)+(t^9/9) + C=

= [b](tg^3x/3)+(3tg^5x/5)+(3tg^7x/7)+(tg^9x/9) + C
[/b]
Ответ выбран лучшим
[b]y=(x^3/3) + (x^2/2) - 6х+8 [/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=((-x)^3/3) + ((-x)^2/2) - 6*(-х)+8=(-x^3/3)+(x^2/2)+6x+8
f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

Функция не является ни чётной, ни нечётной

Функция непрерывна на области определения, потому что это многочлен

Поведение функции на бесконечности
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = -∞

Исследование функции с помощью производной
y`=(3x^2/3)+(2x/2)-6
y`=x^2+x-6
y`=0
x^2+x-6=0
D=1-4*(-6)=25

x_(1)=(-1-5)/2=-3 или x=(-1+5)/2=2

Знак производной
_+__ (-3) __-__(2) ___+_

Возрастает на (- ∞ ; -3) и на (2; + ∞ )
Убывает на (-3; 2)

х= -3 - точка максимума y(-3)=(-3)^3/3+(-3)^2/2-6*(-3)+8=21,5
x=2 - точка минимума y(2)=(2)^3/3+(2)^2/2-6*(2)+8=2/3

y``=2x+1
y``=0
x=-1/2 - точка перегиба, вторая производная при переходе через точку меняет знак с - на +
y``<0 на (- ∞ ; -1/2), кривая выпукла вниз
y``>0 на (-1/2; + ∞ ) кривая выпукла вверх

См. рис.

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y`=81-(3/4)*4x^3
y`=81-3x^3
y`=0
81-3x^3=0
3*(27-x^3)=0
x=3
3 ∈ [-1;4]

Находим значения в точке х=3 и на концах отрезка.
Выбираем из них наибольшее и наименьшее

y(-1)=81*(-1)-(3/4)*(-1)^4=-81-(3/4)=-81 целая (3/4) [b]наименьшее[/b]
y(3)=81*3-(3/4)*(3^4)=3^5*(1-(1/4))=3^6/4- [b]наибольшее [/b]
y(4)=81*4-(3/4)*4^4=81*4-3*4^3=3*4*(27-16)=108
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1. Из прямоугольного треугольника АВD:
AB=2AD=12 - против угла в 30 градусов лежит катет в два раза меньше, чем гипотенуза. А гипотенуза наоборот, в два раза больше катета.
Из прямоугольного треугольника АВС:
tg ∠ B=AC/AB
AC=AB*tg 30 градусов= 12*sqrt(3)/3= [b]4sqrt(3)[/b]

2.
Из прямоугольного треугольника АСD:
СD=AC*sin48 градусов
AD=AC*cos48 градусов

S_(прямоугольника АВСD)=AD*CD=

=AC*cos48 градусов*AC*sin48 градусов=

=4(cos48 градусов)*4*(sin48 градусов)=

=8*sin96 градусов.

По формуле синуса двойного угла
2*sin48 градусов*cos48 градусов=sin96 градусов ≈ 0,994521895

S_(прямоугольника АВСD) ≈ 8*0,9945=7,95617516 ≈ [b]7,96[/b]
1.

9+8=17 шаров
Испытание состоит в том, что из 17 шаров выбирают два.
n=C^(2)_(17)=17!/((17-2)!*2!)=16*17/2=136 результатов

Cобытие А-"оба шара одного цвета"

Cобытию А благоприятствуют исходы, когда оба шара черные (выбраны из 8 черных) ИЛИ оба белые (выбраны из 9 белых
m=C^2_(8) + C^2_(9)=8!/(6!*2!)+9!/(7!*2!)=28+36=64
По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=64/136= [b]16/34[/b]

2.

Испытание состоит в том, что подбрасывают игральную кость.
n=6
Шесть исходов испытания: выпало "1","2","3","4","5","6" очков.

Cобытие А-"выпало "5" или "6""
Cобытию А благоприятствуют 2 исхода
m=2

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=2/6= [b]1/3[/b]

3.
Испытание состоит в том, что подбрасывают три игральных кости
n=6*6*6=216 исходов испытания
Можно представить их как тройки чисел от (1;1;1) и до (6;6;6)

Cобытие А-"выпало 6 очков

1+2+3=6
Значит, на одной кости 1 очко, на другой 2, на третьей 3.
Других вариантов нет

Cобытию А благоприятствуют исходы
(1;2;3)
(1;3;2)
(2;1;3)
(2;3;1)
(3;2;1)
(3;1;2)
m=6

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=6/216= [b]1/36[/b]

4.Испытание состоит в том, что из 36 карт выбирают 4.
n=C^(4)_(36)=36!/((36-4)!*4!)=33*34*35*36/24= [b]58905 [/b]исходов

Cобытие А-"3 карты красной масти"

Красных карт 18; черных 18

Cобытию А благоприятствуют исходы, когда три карты красные (выбраны из 18 красных) И одна черная (выбрана из 18 черных

m=C^3_(18) * C^1_(18)=(18!/(15!*3!))*18= [b]816[/b]
По формуле классической вероятности
p(A)=m/n= [b]816/58905[/b]

5.
Вероятность достать гладкую горошину из первого стручка
4/8

Вероятность достать гладкую горошину из второго стручка
4/7

Вероятность достать обе гладкие горошины

p=(4/8)*(4/7)=16/56= [b]2/7[/b]
C1D1 || AB

Угол между C1D1 и пл. СВ_(1)D_(1) равен углу между AB и пл. СВ_(1)D_(1)


CO_(1)- высота равнобедренного треугольника СВ_(1)D_(1)

C_(1)K ⊥ CO_(1)
CК – высота прямоугольного треугольника CO_(1)C_(1)
D_(1)К – проекция C1D1 на пл. АВ1С

Из прямоугольного треугольникаCO_(1)C_(1)
CC_(1)=1
C_(1)О_(1)=(1/2)A_(1)C_(1)=√2/2
(CO_(1))^2=1^2+(√2/2)^2=6/4
CO_(1)=√6/2
Из формул площади прямоугольного треугольника находим высоту, проведенную к гипотенузе
C_(1)О_(1)·CC_(1)=CO_(1)·D_(1)К ⇒
CK=(1·√2/2)/(√6/2)=1/√3

sin ∠ C_(1)D_(1)K=D_(1)К/C1D1=1/√3 ⇒
∠ C_(1)D_(1)K= arcsin(1/√3) (прикреплено изображение)
A_(1)D_(1) || BC

Угол между A_(1)D_(1) и пл. АВ_(1)С равен углу между BC и пл. АВ_(1)С


BK ⊥ B_(1)O
ВК - высота прямоугольного треугольника BOB_(1)
CК - проекция BC на пл. АВ_(1)С

Из прямоугольного треугольника BOB_(1)
BB_(1)=1
ВО=(1/2)BD=sqrt(2)/2
B_(1)O^2=1^2+(sqrt(2)/2)^2=6/4
B_(1)O=sqrt(6)/2
Из формул площади прямоугольного треугольника находим высоту, проведенную к гипотенузе
BO*BB_(1)=B_(1)O*CK ⇒
CK=(1*sqrt(2)/2)/(sqrt(6)/2)=1/sqrt(3)

sin ∠ BCK=BK/BC=1/sqrt(3) ⇒
∠ BCK= [b]arcsin(1/sqrt(3))[/b]
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
7. AC=BD=sqrt(2)
AC ⊥ BD - диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
A_(1)C_(1) ⊥ B_(1)D_(1)- диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
K_(1)K- проекция AC_(1) на пл. ВВ_(1)D_(1)D

Угол между прямой и пл. - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
tg ∠ АМK=AK/KM=(sqrt(2)/2)/(1/2)=sqrt(2)
∠ АМK=arctg(sqrt(2))

10
BC_(1)- проекция BD_(1) на пл. ВВ_(1)C_(1)C

Угол между прямой и пл. - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
tg ∠ C_(1)BD_(1)=C_(1)D_(1)/BC_(1)=1/(sqrt(2))=sqrt(2)/2
∠ C_(1)BD_(1)=arctg(sqrt(2)/2)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Ломаная АМNB
M(-3;0); N(-1;0)
Тогда интеграл по ломаной равен сумме интегралов по каждому звену
Звено АМ
x=-3
2≤ y ≤ 0
dx=0
∫_(AM) (6·х·у^2+3·у^2)d·х+(6·х·у+4·х^3)·d·y=

= ∫^(0) _(2)(6*(-3)y^2+3y^2)*0+6*(-3)y+4*(-3)^2)dy=

= ∫^(0) _(2)(6*(-3)y+4*(-3)^2)dy=(18y^2/2)|^(0)_(2) +(36y)|^(0)_(2)=

=(0-9*2^2)+36*0-36*2= [b]-108[/b]

Звено МN
y=0
-3≤ x≤ -1
dy=0

∫_(MN) (6·х·у^2+3·у^2)d·х+(6·х·у+4·х^3)·d·y=

= ∫^(-1) _(-3)(6*x*0^2+3*0^2)dx+(6*x*0+4*x^3)*0=

=0

Звено NB
x=-1
0≤ y≤ -2
dx=0

∫_(NB) (6·х·у^2+3·у^2)d·х+(6·х·у+4·х^3)·d·y=

= ∫^(-2) _(0)(6*(-1)*y^2+3*y^2)*0+(6*(-1)*y+4*(-1)^3)*dy=

=∫^(-2) _(0)(-6y-4)*dy=(-6y^2/2-4y)|^(-2)_(0)=

=-3*(-2)^2-4*(-2)=-12+8=-4

О т в е т. ∫ _(L)=∫_(AM)+ ∫_(MN) +∫_(NB)=-108+0-4= [b]-112[/b]

Ответ выбран лучшим
Неопределённость ( ∞ / ∞ )
Выносим за скобки x^2 и в числителе и в знаменателе.


(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По формулам:
1-cosx=2sin^2(x/2)
По формулам приведения
cos((x/2)+(π/2))=-sin(x/2)

Уравнение принимает вид:
sqrt(2sin^2(x/2))+sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)

[b]ОДЗ[/b]: -sin(x/2) ≥ 0 ⇒ sin(x/2)≤ 0

π+2πk ≤(x/2) ≤2π +2πk, k ∈ Z

[b]2π+4πk ≤x ≤4π +4πk, k ∈ Z[/b]

Уравнение:
sqrt(2)|sin(x/2)|+sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)

В условиях ОДЗ

|sin(x/2)|=-sin(x/2)
sqrt(2)(-sin(x/2))+sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)

sqrt(-sin(x/2))=t
(-sin(x/2))=t^2

sqrt(2)t^2+t-sqrt(2)=0

D=1-4*sqrt(2)*(-sqrt(2)=9

t_(1)=(-1-3)/2sqrt(2)=-sqrt(2); t_(2)=(-1+3)/2sqrt(2)=sqrt(2)/2

Обратный переход:
sqrt(-sin(x/2))=- sqrt(2) не имеет смысла, противоречит определению арифметического квадратного корня

sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)/2
Возводим в квадрат
-sin(x/2)=1/2
sin(x/2)=-1/2

(x/2)=(-1)^(n)arcsin(-1/2)+πn, n ∈ Z
(x/2)=(-1)^(n)*(-π/6)+2πn, n ∈ Z
x=(-1)^(n)*(-π/3)+4πn, n ∈ Z

ОДЗ удовлетворяют корни n=2m
x=(-π/3)+8πm, m∈ Z

О т в е т. [b] (-π/3)+8πm, m∈ Z[/b]
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+1=0
k_(1)=k_(2)=1 - корни кратные действительные.

Общее решение:
[b]y=C_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)[/b]

Находим
y`=С_(1)*(e^(x))`+C_(2)*(x*e^(x))`
y`=C_(1)e^(x)+C_(2)x`e^(x)+C_(2)x*(e^(x))`

y`=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(x)+C_(2)x*e^(x)

y`(0)=3

3=C_(1)e^(0)+C_(2)*e^(0)+0


y(0)=1
1=C_(1)e^(0)+C_(2)*0

C_(1)=1
3=1+C_(2)
C_(2)=2

Частное решение ( решение удовлетворяющее условию)
[b]y=e^(x)+2*x*e^(x)[/b]
Ответ выбран лучшим
Составляем уравнение прямой АВ:
(x-1)/(3-1)=(y-2)(4-2)
y=x+1
dy=dx
∫ (х*у+3х^2)*d*х+(х-у)d*у= ∫^(3)_(1) (x*(x+1)+3x^2)dx+(x-x-1)dx)=

=∫^(3)_(1) (x^2+x+3x^2-1)dx=∫^(3)_(1) (4x^2+x-1)dx=

=((4x^3/3)+(x^2/2)-x)|^(3)_(1)=

=(4/3)*(3^3-1^3)+(1/2)*(3^2-1^2)-(3-1)=

=(4/3)*26+4-2= [b]110/3[/b]
Ответ выбран лучшим
(x)`=(y^2)`+(arctg(x/y))`
x- независимая переменная
x`=1
y=y(x) - функция

1=2y*y`+(1/(1+(x/y)^2) )*(x/y)`

1=2y*y`+(y^2/(x^2+y^2))*(x`*y-x*y`)/y^2

1=2y*y`+(y-xy`/(x^2+y^2))

1=2y*y`+(y/(x^2+y^2)) - (xy`)/(x^2+y^2)

Переносим слагаемые с у` влево
(xy`)/(x^2+y^2) - 2y*y`=(y/(x^2+y^2)) - 1

y`*( x/(x^2+y^2) -2y) = (y-x^2-y^2)/x^2+y^2)

y`= [b](y-x^2-y^2)/(x-2x^2y-2y^3)[/b]

Ответ выбран лучшим
[b]y=(x^2+2х-1)/x[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ;0) U(0; + ∞ )

2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=((-x)^2+2*(-х)-1)/((-x))=(x^2-2х-1)/(-x)

f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

функция не является ни чётной ни нечётной

4.периодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
x^2+2x-1=0
D=4-4*(-1)=8

x_(1)=(-2-2sqrt(2))/2=-1-sqrt(2); x_(2)=(-2+2sqrt(2))/2=-1+sqrt(2);

6.интервалы знака постоянства

_-__(-1-sqrt(2)) __+__ (0) __-__( -1+sqrt(2)) ____+__

y > 0 при x<-1-sqrt(2) и 0 <x <-1+sqrt(2)
y < 0 при -1-sqrt(2) < x < 0 и х > -1+sqrt(2)

Исследование с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности
lim_(x→+∞) f(x) =+∞
lim_(x→ - ∞)f(x) = -∞

9.асимптоты граф. функции

[b]x=0 - вертикальная асимптота[/b], так как оба [b] односторонних предела бесконечны:[/b]

lim_(x→ - 0) f(x) =+∞
lim_(x→ + 0) f(x) =+∞

k=lim_(x→ ∞)f(x)/x=lim_(x→ ∞)(x^2+2x-1)/(x^2)=1

b=lim_(x→ ∞)(f(x)-kx)=lim_(x→ ∞)(((x^2+2х-1)/(x))-x)=lim_(x→ ∞)(2x-1)/x=2


y=x + 2 - [b]наклонная асимптота[/b]


3.) исследовать с помощью производной

y`=((x^2+2x-1)`*x-(x)`*(x^2+2x-1))/(x)^2
y`=(x^2+1)/(x^2) > 0

Возрастает на (-∞ ; 0) и на (0; + ∞ )

4) y``=(x^2+1)`*x^2-(x^2)`*(x^2+1)/x^4=(2x*x^2-2x*(x^2+1))/x^4=-2x/x^4=-2/x^3

y``>0 на (-∞ ; 0)
Функция выпукла вниз
y``< 0 на (0;+∞ )
Функция выпукла вверх


См. рис.

(прикреплено изображение)
Пусть f(x)=sinx

Требуется найти значение функции в точке х=44 градусов

Формула:

f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx
или

f(x_(o)+ Δx) ≈ f(x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

x_(o)=45 градусов

Δx=-1 градусов


Градусы переводим в [b]радианы[/b]
x_(o)=45 градусов = π/4
Δx=-1 градусов= -π/180≈-0,0174


f(44 градусов) ≈ f(π/4 ) + f`(π/4)* (- π/180)


f(π/4 )=sin( π/4 ) =sqrt(2)/2≈0,7071

f`(x)=cosx

f`(π/4 )=cos( π/4 ) =sqrt(2)/2≈0,7071

sin 44 градусов ≈ sin( π/4 ) + cos( π/4 )* (-π/180)=

=0,7071+0,7071*(-0,0174)=0,7071*(1-0,0174)=0,7071*(0,9826)=
=0,69479646

О т в е т. [b] 0,695[/b]
Ответ выбран лучшим
y`=5x^4-6x^2+1

y`=0

5x^4-6x^2+1=0
D=36-4*5=16

x^2=(6-4)/10 или x^2=(6+4)/10

x^2=1/5 или x^2=1

x= ± sqrt(1/5) или x= ± 1

Все 4 точки принадлежат указанному отрезку

Находим значения функции в этих точках и на концах отрезка.
И выбираем наибольшее и наименьшее

y(-2)=(-2)^5-2*(-2)^3+(-2)=-32+16-2=-18 - [b]наименьшее значение.[/b]
y(-1)=(-1)^5-2*(-1)^3+(-1)=0
y(-1/sqrt(5))=(-1/sqrt(5))^5-2*(-1/sqrt(5))^3+(-1/sqrt(5))=-16sqrt(5)/125
y(1/sqrt(5))=(1/sqrt(5))^5-2*(1/sqrt(5))^3+(1/sqrt(5))=16sqrt(5)/125
y(1)=(1)^5-2*(1)^3+(1)=0
y(3)=(3)^5-2*(3)^3+(3)=243-54+3=192 - [b]наибольшее значение[/b]
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{4-x>0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1⇒x ≠ 3
{(x-4)^(8)/(x+5) >0 ⇒ x+5>0 ⇒ x > -5

ОДЗ: (-5;3)U(3;4)

log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8

log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8* log_(4-x)(4-x)

[b]log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ log_(4-x)(4-x)^8[/b]

Первый случай

[b] Если 4-х >1[/b], логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
(x-4)^8/(x+5) ≥ (4-x)^8


(x-4)^8/(x+5) - (4-x)^8 ≥ 0

Так как (x-4)^8=(4-x)^2 >0 при любом х ≠ 4

то

(x-4)^8*(1/(x+5) - 1) ≥ 0

(1-x-5)/(x+5) ≥ 0

(x+4)/(x+5) ≤ 0

-5 < x ≤ -4

C учетом 4-х >1, т. е x < 3
о т в е т. (1) [b] (-5 ;-4][/b]

Второй случай
Если [b]0 < 4-х <1[/b], логарифмическая функция убывает и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
(x-4)^8/(x+5) ≤ (4-x)^8


(x-4)^8/(x+5) - (4-x)^8 ≤ 0

(x+4)/(x+5)≥ 0

x < - 5 или x ≥ -4

c учетом [b]0 < 4-х <1[/b] ⇒ 3 < x < 4

получаем о т в е т (2) [b](3;4)[/b]

C учетом ОДЗ
О т в е т. [b] (-5;-4] U (3;4)[/b]

Решение методом рационализации логарифмических неравенств
сокращает решение в два раза.

ОДЗ:
{4-x>0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1⇒x ≠ 3
{(x-4)^(8)/(x+5) >0 ⇒ x+5>0 ⇒ x > -5

ОДЗ: (-5;3)U(3;4)

log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8

log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8* log_(4-x)(4-x)

[b]log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ log_(4-x)(4-x)^8[/b]

Применяем метод рационализации и получаем неравенство:

(4-x-1)* ((x-4)^8/(x+5) - (4-x)^8) ≥ 0

(x-4)^8*(3-x)*(1-x-5)/(x+5) ≥ 0

(х-3)*(х+4)/(х+5) ≥ 0

__-_ (-5) _+__[-4] ____-___ [3] __+__

(-5;-4] U [3;+ ∞ )
С учетом ОДЗ:
о т в е т. [b] (-5;-4] U (3; 4)[/b]
ОДЗ:
{sin3x-sinx>0⇒ 2sinx*cos2x>0
{17sin2x>0 ⇒ sin2x>0⇒ x в первой или третьей четверти
Решаем первое неравенство:

sinx*cos2x>0⇒
Произведение двух множителей положительно, когда множители имеют одинаковые знаки:

(1) оба положительны

{sinx>0⇒ 2πn< x < π+2πn, n∈ Z
{cos2x>0⇒(-π/2)+2πm< 2x < (π/2)+2πm, m∈ Z⇒
(-π/4)+πm< x < (π/4)+πm, m∈ Z

[b]0+2πm< x < (π/4)+2πm, m∈ Z
или
(3π/4)+2πm< x < π+2πm, m∈ Z[/b]

рис. 1

(2) оба отрицательны

{sinx<0⇒ π+ 2πn< x < 2π+2πn, n∈ Z
{cos2x<0⇒(π/2)+2πm< 2x < (3π/2)+2πm, m∈ Z⇒
(π/4)+πm< x < (3π/4)+πm, m∈ Z

[b](5π/4)+2πm< x < (7π/4)+2πm, m∈ Z[/b]

рис.2

C учетом второго неравенства системы для ОДЗ: sin2x >0
получаем
ОДЗ:
[b]x∈ (0+2πm; (π/4)+2πm) U ((5π/4)+2πm; (3π/2)+2πm]m∈ Z[/b]
cм. рис. 3

Так как по свойствам логарифма:

log_(9)(17sin2x)=log_(3^2)(17sin2x)=(1/2)log_(3)(17sin2x)

1=log_(3)3

log_(3)(sin3x-sinx)=log_(3)(17sin2x)-log_(3)3

log_(3)(sin3x-sinx)=log_(3)((17sin2x)/3)

В силу строгого возрастания логарифмической функции с основанием 3:
если значения функции равны, то и аргументы равны:

sin3x-sinx=(17sin2x)/3

3*(2sinx*cos2x)=17*2sinx*cosx
6sinx*cos2x-34sinx*cosx
2sinx*(3cos2x-17cosx)=0

sinx=0 ⇒ [b]x=πk, k ∈ Z[/b] не входят в ОДЗ

или

3cos2x-17cosx=0
3*(2cos^2x-1)-17cosx=0
6cos^2x-17cosx-3=0
D=17^2-4*6*(-3)=289+72=361

сosx=-1/6 или сosx=3 ( уравнение не имеет корней в силу ограниченности косинуса)

cosx=-1/6

[b]x= ± arccos(-1/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

ОДЗ удовлетворяют корни:

x=-arccos(-1/6)+2πn, n ∈ Z

см. рис. 4.
О т в е т. [b] х=-(π- arccos(1/6))+2πn, n ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)
Находим частные производные
z`_(x)=(8x-4y+x^2-xy+y^2+15)`_(x)=8+2x-y
z`_(y)=(8x-4y+x^2-xy+y^2+15)`_(x)=-4-x+2y

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{8+2x-y=0
{-4-x+2y=0

Умножаем первое уравнение на 2
{16+4x-2y=0
{-4-x+2y=0

Складываем
12+3x=0
x=-4

y=2x+8=2*(-4)+8=0

M(-4;0)

Находим вторые частные производные
z``_(xx)=2
z``_(xy)=-1
z``_(yy)=2

A=z``_(xx)(M)=2
B=z``_(yy)(M)=2
C=z``_(xy)(M)=-1

Δ= AB - C^2=2*2-(-1)^2=3 > 0
точка M - точка экстремума.
Так как A=z``_(xx)(M)=2>0, то это точка [b]минимума.[/b]

z(-4;0)=8*(-4)-4*0+(-4)^2-(-4)*0+0^2+15= [b]-1[/b]
Ответ выбран лучшим
1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная кривой у=f(x), [b] f(x)≥ 0[/b], прямыми x=a; x=b; a<b и осью Ох

Тогда площадь такой трапеции и есть интеграл по отрезку [a;b]
от функции f(x)

В остальных случаях существуют правила.

Так как

y=x^2-6x и прямая y=0 ограничивают фигуру, которая расположена ниже оси Ох, то считают площадь фигуры,
ограниченной кривой y=-x^2+6x

см. рис. Площади одинаковы.

S= ∫ ^(6)_(0)|x^2-6x|dx=∫ ^(6)_(0)(-x^2+6x)dx=

=((-x^3/3)+(6x^2/2))|^(6)_(0)=-(6^3/3)+3*6^2=

=-72+108= [b]36[/b]

2.
S=S_(прямоугольника ABCD)- S_(1 криволинейной трапеции ABMCD)=

=4*5- ∫ ^(2)_(-2)(x^2+1)dx= 20- ((x^3/3)+x)|^(2)_(-2)=

=20-((8/3)+2)+((-8/3)-2)=

=20-(28/3)= [b]32/3[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x^2+4x+4 ≥ 0 при любом х
{x^2-x ≥ 0 ⇒ x*(x-1) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или x ≥ 1

Совокупность двух систем
(1)
{sqrt(x^2+4x+4)-sqrt(x^2-x) ≤ 0
{x^2-x-1 >0

или

(2)
{sqrt(x^2+4x+4)-sqrt(x^2-x)≥ 0
{x^2-x-1 <0

x^2-x-1=0
D=1+4=5
x_(1)=(1-sqrt(5))/2 или x_(2)=(1+sqrt(5))/2

sqrt(x^2+4x+4)=sqrt(x^2-x)

x^2+4x+4=x^2-x
5x=-4
x=-4/5

(1)
{x ≥ -4/5
{((1-sqrt(5))/2 ;(1+sqrt(5))/2)

Сравниваем
-4/5 и (1-sqrt(5))/2

Умножаем на 10

-8 и 5-5sqrt(5)

5sqrt(5) и 13

Возводим в квадрат
125 < 169

Значит
-4/5 < (1-sqrt(5))/2

[b]О т в е т. (1)[/b] с учетом ОДЗ:
(1-sqrt(5))/2;0)U(1;(1+sqrt(5))/2)


(2)
{x ≤ -4/5
{x < (1-sqrt(5))/2 или x > (1+sqrt(5))/2


[b]О т в е т (2)[/b]:(- ∞ ; -4/5]

О т в е т. (- ∞ ; -4/5]U (1-sqrt(5))/2;0)U(1;(1+sqrt(5))/2)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{4x-5>0⇒ x>5/4
{2x+1>0⇒ x>-1/2
{2x+1≠ 1⇒ x≠0
{4x-5≠ 1⇒ x≠3/2

x ∈ (5/4;3/2)U(3/2;+∞ )
log_(2x+1)(4x-5)=t

log_(4x-5)(2x+1)=1/t


t+(1/t) ≤ 2 ⇒

(t^2-2t+1)/t ≤ 0

t=1 или t < 0

log_(2x+1)(4x-5)=1
2x+1=4x-5
2x=6
x=3

log_(2x+1)(4x-5)<0
(2x+1-1)*(4x-5-1) <0

2x*(4x-6) <0

___ (0) __-_ (3/2)

0 < x < 3/2

C учетом ОДЗ

О т в е т. (5/4; 3/2) U {3}
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
4.
По теореме косинусов:
1^2=(sqrt(2))^2+(sqrt(2))^2-2*sqrt(2)*sqrt(2)*cos ∠ AC_(1)B
cos ∠ AC_(1)B=(2+2-1)/2*2=3/4

∠ AC_(1)B= arccos(3/4) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
14.
49x^2 ≥ 36
49x^2-36 ≥ 0
(7x-6)(7x+6) ≥ 0

_+_ [-6/7] __-__ [6/7] __+_

О т в е т. 4)

19.
Средняя линия треугольника параллельна стороне АС и равна ее половине.
АС=6
Значит, средняя линия равна [b] 3[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
5.vector{a} * vector{c}=|vector{a}| *|vector{c}|*cos( ∠ (vector{a}, vector{c})

cos( ∠ (vector{a}, vector{c})=(vector{a} * vector{c})/(|vector{a}| *|vector{c}|)=-3sqrt(2)/(2*|vector{a}|)=

|vector{a}|=?

4.
Пусть vector{b}=(x;y;z)
vector{a} коллинеарен vector{b}
Значит координаты векторов пропорциональны:
-1:х=2:у=2:z
vector{a} * vector{b}=-18
-x+2y+2z=18

Система
{-1:х=2:у=2:z
{-x+2y+2z=18
Обозначим
-1:х=2:у=2:z=k

x=-1/k
y=2/k
z=2/k

подставляем во второе уравнение:
(1/k)+(4/k) + (4/k) =18
4/k=18
k=4/18=2/9

x=-9/2
y=9
z=9

О т в е т. vector{b}=(-9/2;9;9)

3.
vector{MN}=(0-(-6);8-0;0-0)=(6;8;0)
vector{MT}=(0-(-6);0-0;2-0)=(6;0;2)

S(параллелограмма)=|vector{MN}×vector{MT}|

S_( ΔMNT)=(1/2)*|vector{MN}×vector{MT}|
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)y=4-|x|
y=-|x|
y=|-x|+4

рис.1

б)|y|=4-x

y=4-x

|y|=4-x
cм. рис. 2

в)|y|=4-|x|

см. рис. 3

г)
Если x ≥0; y ≥0
|x|=x
|y|=y
x+y=x+y- верно для любых х и у из первой четверти.

Если x <0; y <0
|x|=-x
|y|=-y

-x-y=x+y
-(x+y)=(x+y) - нет таких х и у в третьей четверти, чтобы равенство было верным

Если x ≥0; y <0
|x|=x
|y|=-y
x-y=x+y
x=0
ось y принадлежащая второй четверти

Если x< 0; y ≥0
|x|=-x
|y|=y
-x+y=x+y
y+0
ось x принадлежащая четвёртой четверти

График - множество точек в первой четверти с границей
рис. 4

д)y=6/|x|

рис. 5

e)xy=6 или xy=-6 - совокупность двух гипербол

рис.6 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
а) y=–(5/x) - гипербола во второй и четвёртой четвертях

б) xy=7,5- гипербола в первой и третьей четвертях

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
а) x^2+y^2=49 - окружность с центром в точке (0;0) радиусом R=7
б) x^2+y^2=48 - окружность с центром в точке (0;0) радиусом R=sqrt(48)
R=4sqrt(3)
в) x^2+y^2=42,25- окружность с центром в точке (0;0) радиусом
R=sqrt(42,25)
R=sqrt(169/4)
R=13/2
R=6,5

г) x^2+y^2=20,25-- окружность с центром в точке (0;0) радиусом
R=sqrt(20,25)
R=sqrt(81/4)
R=9/2
R=4,5 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
окружность x^2+y^2=r^2 проходит через точку А(a;b), значит координаты точки А удовлетворяют уравнению

a^2+b^2=r^2 - верное равенство.

Подставляем координаты точки B:
(-a)^2+b^2=r^2- верно
Точка B принадлежит окружности.

Аналогично,
С; D; E;K;M принадлежат окружности.
Ответ выбран лучшим
arcctga= α
это значит, что ctg α =a; α ∈ (0;π)

arcctg(sqrt(3)/3)= [b] π/3[/b]
arccrg(-sqrt(3)/3)=π - arcctg (sqrt(3)/3)=π-(π/3)= [b]2π/3[/b]
ОДЗ:
{x-2>0 ⇒ x >2
{x^2-8x+16 > 0 ⇒ x ≠ 4

ОДЗ: х ∈ (2;4)U(4;+ ∞ )

Применяем свойства логарифма степени:
2log_(3)(x-2)=log_(3)(x-2)^2
и
логарифма произведения:
log_(3)(x-2)^2+log_(3)(x^2-8x+16)=log_(3)(x-2)^2*(x^2-8x+16)

Уравнение
log_(3)(x-2)^2*(x^2-8x+16)=0

по определению:
(x-2)^2*(x^2-8x+16)=3^(0)
(x-2)^2*(x-4)^2=1

(x-2)(x-4)= ± 1

(x-2)(x-4)=1 ⇒ x^2-6x+7=0 D=36-28=8

x_(1)=(6-2sqrt(2))/2=3-sqrt(2) ∉ ОДЗ
или
х_(2)= [b]3+sqrt(2[/b]) ∈ ОДЗ

(x-2)(x-4)=-1 ⇒ x^2-6x+9=0

[b]x=3 [/b] ∈ ОДЗ

О т в е т. [b]3; 3+sqrt(2).[/b]

2.
{4^(x)+4 >0 при любом х∈ (- ∞ ;+ ∞ )
{2^(x+1)-3 >0 ⇒ 2^(x)*2>3 ⇒ 2^(x)>3/2 ⇒ x>log_(2)(3/2)

ОДЗ: (log_(2)3/2;+ ∞ )

log_(2)(4^(x)+4)-log_(2)(2^(x+1)-3)=x

Применяем свойства логарифма частного:

log_(2)(4^(x)+4)/(2^(x+1)-3) = x
по определению:

(4^(x)+4)/(2^(x+1)-3)=2^(x)

умножаем обе части уравнения на 2^(x+1) - 3>0

4^(x)=(2^(x+1)-3)*2^(x)

4^(x)=2*4^(x)-3*2^(x)

4^(x)-3*2^(x)=0

2^(x)*(2^(x)-3)=0

2^(x) > 0

2^(x)-3=0

[b]x=log_(2)3[/b] ∈ ОДЗ

О т в е т. x=log_(2)3
(x–5)(x+4)- (0,9x–0,5)(x–5)=0
(x-5)*(x+4-0,9x+0,5)=0
(x-5)*(0,1x+4,5)=0
x-5=0 или 0,1х+4,5=0
х=5 или х=-45
Ответ выбран лучшим
det A=-30e^(5t(*sin^22t-30e^(5t)cos^22t=-30e^(5t)*1=-30e^(5t)

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
∫ ^(3)_(0,5)sqrt(2x+3)dx=(1/2) ∫ ^(3)_(0,5)(2x+3)^(1/2)d(2x+3)=

=(2x+3)^((1/2)+1)/((1/2)+1)=(2/3)(2x+3)^(3/2)|^(3)_(0,5)=

=(2/3)*(2*3+3)^(3/2) - (2/3)*(2*0,5+3)^(3/2)=

=(2/3)3^3-(2/3)*2^3=(2/3)*(27-8)= [b]38/3[/b]


∫ ^(1)_(-2)(3x^2-4x-1)dx= (x^3-2x^2-x)|^(1)_(-2)=

=(1-2-1)-(-8-8-(-2))= [b]...[/b]



∫ ^(π)_(0)cos^2xsinxdx=∫ ^(π)_(0)cos^2x(-d(cosx))=

= -(cos^3x/3)|^(π)_(0)=-(1/3)*(cos^(3)(π)-cos0)=(-1/3)*(-1-1)= [b]2/3[/b]


∫ ^(1)_(-1)(4xS+1)^3dx=(1/(4S)) ∫ ^(1)_(-1)(4xS+1)^3d(4xS+1)=

=(1/(4S)) *(4xS+1)^4/4|^(1)_(-1)= [b](1/(16S)) *((4S+1)^4-(1-4S)^4)[/b]
Интегрируем по частям:
ln(x+sqrt(1+x^2))=u
dx=dv

du=dx/sqrt(1+x^2)
v=x

∫ ln(x+sqrt(1+x^2)dx=x*ln(x+sqrt(1+x^2)) - ∫ xdx/sqrt(1+x^2)=

=x*ln(x+sqrt(1+x^2)) -(1/2)*2sqrt(1+x^2) + C=

= [b]x*ln(x+sqrt(1+x^2)) -sqrt(1+x^2) +C[/b]
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f`(x)=3ax^2+2bx+c
f``(x)=6ax+2b
f```(x)=6a

f(-1)=-a+b-c+d

[b]-a+b-c+d=1[/b]

f`(x)=3ax^2+2bx+c

f`(-1)=3a-2b+c

[b]3a-2b+c=0[/b]

f``(x)=6ax+2b

f``(-1)=-6a+2b

[b]-6+2b=0[/b]

f```(x)=6a
f```(-1)=6

[b]6a=6[/b] ⇒a=1

[b]-6a+2b=0[/b] ⇒ -6*1+2b=0 ⇒ b=3

[b]3a-2b+c=0[/b]⇒ 3*1 -2*3+c=0⇒c=3

[b]-a+b-c+d=1[/b] ⇒-1+3-3+d=0⇒d=1

О т в е т. [b]f(x)=x^3+3x^2+3x+1[/b]



Ответ выбран лучшим
1)-7*5=-35 ( свойство 3^(o))
2)-7*5=-35 ( свойство 3^(o))
3) -1*5=-5 ( свойство 2^(o))

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)
y=(1/3)x^3–x^2–3x+9

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=x^2-2x-3

y`=0
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x_(1)=(2-4)/2=-1; x_(2)=(2+4)/2=3

__+__ (-1) __-___ (3) __+__

y`>0 на (- ∞ ;-1) и на (3;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (-1 ;3), значит функция убывает

х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(-1)=(1/3)*(-1)^3-(-1)^2-3*(-1)+2=(-1/3)+4=11/3

х=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(3)=(1/3)*3^3-3^2-3*3+2=9-9-9+2= - 7

y``=2x-2
y``=0
2x-2=0
x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;1) и выпукла вниз на (1;+ ∞ )
См. график рис. 1



(прикреплено изображение)
Если в условии задачи вместо x=0 написано y=0

S= ∫^(2) _(0)x^3dx=(x^4/4)|^(2)_(0)=16/4=4 (прикреплено изображение)
F(x;y;z)=zln(x+z) - (xy)/z

Формулы для вычисления частных производных:

∂z/∂x=- F`_(x)(x;y;z)/F`_(z)(x;y;z)

∂z/∂y=- F`_(y)(x;y;z)/F`_(z)(x;y;z)




F`_(x)(x;y;z)=z*(1/x+z))- (y/z)

F`_(y)(x;y;z)=0 - (x/z)= -x/z

F`_(z)(x;y;z)=z`*ln(x+z)+z*(ln(x+z))`-(xy)*(1/z)`=

=ln(x+z)+z*(1/(x+z))+((xy)/z^2)

и подставить в формулы.
dz/dt=(∂z/∂x) *(dx/dt)+(∂z/∂y) *(dy/dt)=

= [b](1+(2x)/(x^2+y^2))*2t + (2y)(2t+1)/(x^2+y^2) [/b]

dz= [b]([/b](2t+(2x)*(2t)/(x^2+y^2) + (2y*(2t+1))/(x^2+y^2)) [b])[/b]dt
Cм. рисунок

1)
z`_(x)=2x+2y
z`_(y)=2x

Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x+2y=0
{2x=0

[x=0; y=0
Получили одну стационарную точку (0;0)

Принадлежит области, лежит на границе

Применяем теорему: достаточное условие существования точек экстремума.
Находим вторые частные производные
z``_(xx)=2
z``_(xy)=2
z``_(yy)=0

Значения в стационарной точке
(0;0)
A=z``_(xx)(0;0)=2
C=z``_(xy)(0;0)=2
B=z``_(yy)(0;0)=0

Δ(2;1)=AB-C^2=2*0-2^2 < 0

Точка (0;0) не является точкой экстремума.

Исследуем функцию на границе:
[b]при y=0[/b]
z=x^2-10
Это функция одной переменной, исследуем ее как обычную параболу
при -2 ≤ x ≤ 2
При х=0 функция принимает наименьшее значение на границе y=0
z(0)= [b]-10[/b]
При х=-2 и х=2 функция принимает наибольшее значение на границе y=0
z=4-10= [b]-6[/b]


[b]при y=x^2-4[/b]

z=x^2+2x*(x^2-4)-10

z=2x^3+x^2-8x-10 - функция одной переменной на [-2;2],

z`=6x^2+2x-8

z`=0

D=4-4*6*(-8)=4*49=14^2

x_(1)=(-2-14)/12=-8/7; х_(2)=(-2+14)/12=1

x=-8/7 - точка усл. максимума

z=(-8/7)=2*(-8/7)^2+(-8/7)^2-8*(8/7)-10=...

x=1 - точка усл. минимума
z(1)=2+1-8-10=-15

Из всех найденных выбираем наибольшее и наименьшее.

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
8.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
ОA ⊥ AМ
ОB ⊥ BM

ОВ=ОА=(1/2)ОМ.

[b]Катет[/b] против угла в 30 градусов [b] равен половине гипотенузы. [/b]

Значит, ∠ АМО= ∠ ВМО=30 градусов
∠ АМВ=60 градусов

9.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
ОМ ⊥ КМ
ОN ⊥ KN

Δ MKO= Δ NKO
по гипотенузе ОК - общая
и катету (ОM=ОN=r)

∠ MKO= ∠ NKO=30 градусов
∠ MKN = 60 градусов.

Δ МKN - равносторонний.

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим


Не может sinα=9/25
если 3п/2 < α < 2п

Cинус в четвертой четверти имеет знак минус.


1+ctg^2x=1/sin^2x ⇒

ctg^2α=(1/sin^2α) -1

ctg^2 α =1/(9/25)^2 -1

ctg^2 α =(625/81)-1

ctg^2 α =544/81

ctg α = - sqrt(544)/81

(знак минус, котангенс в четвертой четверти имеет знак минус)

2 cпособ

cos^2 α =1-sin^2 α =1-(9/25)^2=544/625

cos α =sqrt(544)/25

сtg α =sin α /cos α =-sqrt(544)/9
Ответ выбран лучшим
-1 ≤ sinx ≤ 1

-1 ≤ -sinx ≤ 1

-3 ≤ -3sinx ≤ 3

-3+7 ≤ 7-3sinx ≤ 7+3

4 ≤ 7-3sinx ≤ 10

О т в е т. [4;10]
Ответ выбран лучшим
Пусть стороны треугольника 2a;2b;2c.

Тогда стороны треугольника образованного средними линиями :
a;b;с
и его площадь
s=(1/2)a*b

По условию
60=(1/2)a*b
a*b=120

S=(1/2)*2a*2b=2a*b= [b]240[/b]

Так как
tg β =2a/2b=a/b

По условию
tg β=8/15 ⇒ a/b=8/15 ⇒ 15a=8b

Система двух уравнений:
{a*b=120
{15a=8b

Умножим первое уравнение на 8

a*8b=960

8b=15a

a*15a=960
15a^2=960
a^2=64
a=8
b=15

2a=16
2b=30

2с=sqrt(30^2+16^2)=sqrt(900+256)=sqrt(1156)=34

О т в е т. S=240; cтороны:34;30;16 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
4^(x-2)*(4^2-3)=12
4^(x-2)*13=12
4^(x-2)=12/13

x-2=log_(4)(12/13)
x=2+log_(4)(12/13)

2=log_(4)16

x=log_(4)16+log_(4)(12/13)

x=log_(4)(16*12)/13

[b]x=log_(4)(192/13)[/b]

2)
Как выглядит уравнение? Так как написано?

Бывает, что уравнение получено после каких-то действий,
выполненных с ошибкой.
Уточните.


Рассмотрим функцию

y=2x^3–30x^2+5x–14

y`=6x^2-60x+5

y`=0

6x^2-60x+5=0

D=60^2-4*6*5=3600-120=3480

x_(1)=(60-59)/12≈0,08 x_(2)=(60+59)/12 ≈10


x_(1)- точка максимума

y(0,08)=2*0,08-30*0,08^2+5 <0

два корня, значит функция возрастает на (-∞ ; x_(1)); убывает
(x_(1);x_(2)) и снова возрастает на (х_(2);+ ∞)

Значит, кривая y=2x^3–30x^2+5x–14 пересекает ось Ох в единственной точке на(10;+ ∞)

y(14)<0
y(15)>0

Значит единственный корень на [14;15]
Ответ выбран лучшим
Перепишем
sqrt(x+1)=sqrt(x-sqrt(x+8))+1

Возводим в квадрат:

x+1= x-sqrt(x+8)+2sqrt(x-sqrt(x+8))+1

2sqrt(x-sqrt(x+8))=sqrt(x+8)

Возводим в квадрат:


4*(x-sqrt(x+8))=x+8

4x-4sqrt(x+8)=x+8

3x-8=4sqrt(x+8)

Возводим в квадрат:

9x^2-48x+64=16*(x+8)

9x^2-64x -64=0

D=64^2-4*9*(-64))=64*(64+36)=6400

x_(1)=(64-80)/18=-16/18=-8/9; x_(2)=(64+80)/18=8


Так как возводили в квадрат, могли появиться посторонние корни.

ОДЗ иногда найти труднее, чем сделать проверку.

Проверка:
[b]При х=-8/9[/b]

sqrt((-8/9)-sqrt((-8/9)+8)) не имеет смысла.

[b]При х=8[/b]

sqrt(8+1)-1=sqrt(8-sqrt(8+8))
3-1=sqrt(8-4) - верно

О т в е т. 8
Ответ выбран лучшим
√3 ·√3=3

√3 ·(√3/3)·(–1)=-1
Ответ выбран лучшим
√3·√3=3
3·√3/2·(–1)=-3/2
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: x>0


log_(81)x=log_(3^4)x=(1/4)log_(3)x

log_(81)x^5=5log_(81)x=5log_(3^4)x=(5/4)log_(3)x



x^2*(1/4)*log_(3)x ≥ (5/4)log_(3)x + x*log_(3)x

x^2*log_(3)x -5*log_(3)x - 4x*log_(3)x≥ 0

log_(3)x* (x^2-4x-5) ≥ 0

Совокупность двух систем:
(1)
{log_(3)x ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
{x^2-4x-5 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 или x ≥ 5

или

(2)
{tlog_(3)x ≤ 0 ⇒ 0 < x ≤1
{x^2-4x-5 ≤ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 5

О т в е т.
(1)
x ≥ 5
(2)
0 < x ≤1

О т в е т. (0;1] U [5;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
4.
Проведём диагональ АС.
Δ CКF ~ Δ CAD ( EF||AD)
Из подобия
FK:AD=CK:CA=CF:CD

Обозначим DF=k; тогда СF=3k
CF:DF=3k:k=3:1
CD=CF+DF=3k+k=4k

CF:CD=3k:4k=3:4

FK:AD=3:4
FK=(3/4)AD= [b]33[/b]

CK:CA=CF:CD=3:4

CK=3k;
CA=4k
AK=CA-CK=k

Δ AEК ~ Δ ABC ( EF||AD)

Из подобия
EK:BC=AK:AC=k:4k=1:4

EK=(1/4)BC=(1/4)*24= [b]6[/b]

EF=EK+KF=6+33= [b]39[/b]

6.
∠ ABC — вписанный, измеряется по­ло­ви­ной дуги, на ко­то­рую он опирается.
∠ ABC=(1/2)∪ АС

∠ ACD, об­ра­зо­ван­ный ка­са­тель­ной к окруж­но­сти и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги заключённой между ними.
∠ ACD=(1/2) ∪ АС

∠ ABC=∠ ACD

ΔACD ~ Δ CBD, так как

∠BDC - общий
∠ ABC=∠ ACD.

Из подобия
СD:BD=AC:BC

Так как бис­сек­три­са угла делит противолежащую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка на отрезки, про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сторонам:
AM:MB=AC:BC
AC:BC=10:18=5:9

СD:BD=5:9

BD=9CD/5=1,8*CD
AD=BD-AB=1,8CD-25

По свойству касательной и секущей, проведенных из точки D:
CD^2=DA*DB

CD^2=(1,8CD-25)*1,8CD


2,24CD=45

[b]CD=45/2,24[/b]

CD=1125/56




(прикреплено изображение)
Замена переменной:
3^x=u
u>0
2^(x)=v
v>0

3^(x+1)=3*3^(x)=3u

Получаем дробно– рациональное неравенство:

3u/(3v-2u) - u/(v-u) ≥ 0

Делим и числитель и знаменатель каждой дроби на u:

3/((3v/u)-2) - 1/((v/u)-1)≥ 0

Замена:
v/u=t
t>0

t=(2/3)^(x)

3/(3t-2) - 1/(t-1)≥ 0
Приводим к общему знаменателю:

(3t -3 -3t+2)/((t-1)*(3t-2))≥ 0

-1/((t-1)*(3t-2))≥ 0

Умножаем на (-1) и меняем знак неравенства

1/((t-1)*(3t-2)) ≤ 0

решаем методом интервалов:

_+__(2/3) _-__ (1) _+__

(2/3) < t < 1

Обратный переход:

(2/3) < (2/3)^(x) < 1=(2/3)^(0)

Показательная функция с основанием 0 <(2/3) < 1 Убывающая, поэтому
0 < x < 1

О т в е т. (0;1)
Ответ выбран лучшим
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))



f(x)=2x^2-5x+1
x_(o)=2

f(2)=2*2^2-5*2+1=8-10+1=-1

f ` ( x) = ( 2x^2-5x+1)` = 4x-5

f ` (2)=4*2-5=3

y - (-1)=3*(x-2)

y=3x-7 - [b] уравнение касательной[/b]
Квадратное уравнение относительно синуcа.

Замена переменной:
sinx=t

2t^2-3t+1=0

D=3^2-4*2*1=1

t_(1)=(3-1)/4=1/2; t_(2)=(3+1)/4=1

Обратный переход:

sinx=1/2 ⇒ x=(-1)^(k)arcsin(1/2)+ πk, k ∈ Z

[b]x=(-1)^(k)*(π/6)+ πk, k ∈ Z[/b]

или

sinx=1 ⇒ x=arcsin1+ 2πn, n ∈ Z

[b]x=(π/2)+ 2πn, n ∈ Z[/b]
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=35178
1)
Δ АСВ - прямоугольный.
По теореме Пифагора
АВ^2=AC^2+BC^2=225+400=625
AB=25

Проводим высоту СН прямоугольного Δ АСВ
СH- проекция MH
CН⊥АВ, по теореме о трех перпендикуярах MH ⊥АВ
Расстояние от вершины M до АВ и есть МН,

Из формула площади прямоугольного треугольника АСВ
S=1/2*АС*ВС
и
S=(1/2)*АВ*СН

СН=АС*ВС/АВ=20*15/25=12


Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МН=СН/сos 60 градусов=12/0,5=24

О т в е т. Расстояние от вершины пирамиды до прямой АВ равно 24 см.

2)

Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МC^2=MH^2-CH^2=24^2-12^2=432
MC=12sqrt(3)

S=S_( Δ MBC)+S_( Δ MAB)+S_( Δ MAD)+S_( Δ MDC)+S(ABCD)

S_( Δ MBC)=(1/2)BC*CD=(1/2)*20*12sqrt(3)=

S_( Δ MAB)=(1/2)AB*CH=(1/2)*25*12=150

CK⊥АD
CK=AB*CH/AD=25*12/20=15

S_( Δ MAD)= (1/2)AD*CK=(1/2)20*15=150

S_( Δ MDC)=(1/2)CD*MC=(1/2)*25*12sqrt(3)=

S(ABCD)=2S_( Δ ABC)=2*(1/2)BC*AC=20*15=300
1.
q=0,95 - вероятность того, что изделие стандартное

p=1-q=1-0,95=0,05 - вероятность того, что изделие нестандартное

Найдем вероятность противоположного события: из трех взятых наугад нет ни одного нестандартного по формуле Бернулли

P_(3)(0)=C^(0)_(3)p^(0)q^(3)=1*0,05^(0)*0,95^(3)=0,857375≈ 0,86

Тогда вероятность того, что из трех взятых наугад хотя бы одно нестандартное:

1-P_(3)(0)=1-0,86=0,14

2.
Вводим в рассмотрение события - [b] гипотезы[/b]
H_(1) – на кубике выпало четное число очков
H_(2) –на кубике выпало нечётное число очков


p(H_(1))=1/2
p(H_(2))=1/2


событие A– "обе детали стандартные "

p(A/H1)=(4/7)*(3/6)=4/14
p(A/H2)=(5/9)*(4/8)=5/18


По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(1/2)*(4/14) +(1/2)*(5/18)=(2/7)+(5/36)=(72+35)/252=107/252 ≈ 0,42
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По формуле производной логарифмической функции
y=lnx
y`=1/x
По правилу нахождения производной сложной функции
y=lnu
y`=u`/u

1) u=3x+2^(x)
u`=(3x)`+(2^(x))`=3+2^(x)*ln2

y`= [b](3+2^(x)*ln2)/(3x+2^(x))[/b]

2) u=sin5x
u`=(sin5x)`=cos5x*(5x)`=5cos5x

y`= [b](5cos5x)/sin5x[/b]
Ответ выбран лучшим
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
u=2x^3
v=sqrt(sinx)

u`=6x^2
v`=(sinx)`/(2*sqrt(sinx))=cosx/(2*sqrt(sinx))

y`= [b]([/b]((6x^2)*sqrt(sinx)-2x^3*cosx)/(2*sqrt(sinx)) [b])[/b]/(sinx)=

= [b](6x^2*sinx -x^3* cosx)/(sqrt(sinx)*sinx)[/b] (прикреплено изображение)
1) Cм. рис.
Сечение [b]пятиугольник DFMNT[/b]
2)
Из прямоугольной трапеции ВВ_(1)GD( cм. рисунок):
BB_(1)=5
B_(1)G=3sqrt(2)/2
BD=4sqrt(2)
WD=BD-BW=BD-B_(1)G=4sqrt(2)- (3sqrt(2)/2)= [b]9sqrt(2)/2[/b]

tg ∠ GBD= 5/(9*sqrt(2)/2)=10/(9*sqrt(2))= [b]5sqrt(2)/9[/b]

∠ GBD= [b]arctg (5sqrt(2)/9)[/b]

3) S_(cечения)=S_( Δ DPK)- S_( ΔNKT)-S_( ΔMPF).

Δ DPK - равносторонний
DP=PK=DK=5sqrt(2)
ΔNKT= ΔMPF
NK=KT=NT=MP=PF=MF=sqrt(2)

S_(равностороннего треугольника со стороной а)=a^2*sqrt(3)/4

S_(cечения)=(5sqrt(2))^2- (sqrt(2))^2 - (sqrt(2))^2) * sqrt(3)/4=

=(50-2-2)*sqrt(3)/4=46sqrt(3)/4= [b]23sqrt(3)/2[/b]

4) DEQ - проекция пятиугольника DFMNT на плоскость АВСD

S_(DEQ)= (1/2)EQ*WD=(1/2)*(3sqrt(2)) * (9sqrt(2))/2=

=27/2= [b]13,5[/b]

(прикреплено изображение)
∠ СBD= ∠ ADB - внутренние накрест лежащие
∠ BOK= ∠ DOM - вертикальные
BO=OD ( диагонали в точке пересечения делятся пополам)

Δ BOK= Δ DOM по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников следует равенство сторон ВК и MD (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
∫ (2x-7)dx/(x^2-5)= ∫ 2xdx/(x^2-5) -7 ∫ dx/(x^2-5)

Считаем первый:
∫ 2xdx/(x^2-5) = [замена x^2-5=t; d(x^2-5)=dt; 2xdx=2tdt]=

= ∫ dt/t=ln|t|+C=ln|x^2-5|

Второй табличный.
cм. приложение. (прикреплено изображение)
Наверное, должно быть так: (прикреплено изображение)
По условию
QA=QB
Δ AQB - равнобедренный, угол при вершине 60 градусов,
значит углы при основании
(180-60)/2=60 градусов
Δ AQB - равносторонний
Обозначим
QA=QB=AB=a

Равные наклонные имеют равные проекции, поэтому
AO=BO
Δ AOB- прямоугольный равнобедренный;
AO=OB=asqrt(2)/2

Из прямоугольного треугольника
QAО:
cos ∠ QAO=AO/QA=(asqrt(2)/2)/a=sqrt(2)/2
∠ QAO=45 градусов (прикреплено изображение)
H=3м=300 см
d=75 мм
r=75/2 мм=37,5 мм = 3,75 см
D=75+10=85 мм
R=85/2 мм=42,5 мм=4,25 см

V=π·300·(4,25^2–3,75^2)=π·300·(18,0625 - 14,0625 )≈ 3768 см^3
m=ρ·V=7,2·3768≈ 27 129,6 г=27,1 кг
Ответ выбран лучшим
2sin^2(x+(7π/8))=1-cos(2x+(14π/8))=1-cos(2x+(7π/4))
4sin^2(x+(7π/8))=2-2cos(2x+(7π/4))

cos(2x+(7π/4))=cos2x*cos(7π/4) - sin2x*sin(7π/4)=

=cos2x*(sqrt(2)/2) - sin2x*(-sqrt(2)/2)=

=(sqrt(2)/2)*(cos2x+sin2x)


Уравнение:
2-sqrt(2)*(cos2x+sin2x)+ √2 sin2x=1

sqrt(2)*cos2x=1
cos2x=sqrt(2)/2

2x= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z

[b]x= ± (π/8)+πn, n ∈ Z[/b]

б)отрезку [9π/2 ; 6π]
принадлежат корни:
x=- (π/8)-π+6π= [b]39π/8[/b]
x= (π/8)-π+6π= [b]41π/8[/b]
x=- (π/8)+6π= [b]47π/8[/b]

см. рис. (прикреплено изображение)
1.
Замена переменной
[b]x^(3/5)=t[/b]
d(x^(3/5)=dt

dt=(x^(3/5))`*dx

dt=(3/5)*x^(-2/5)dx

dt=(3/5)*(dx/x^(2/5))

[b]dx/x^(2/5)=(5/3)dt[/b]

∫ ctg(x^(3/5))dx/x^(2/5)=(5/3) ∫ ctgtdt=(5/3) ∫ costdt/sint=

=(5/3) ∫ d(sint)/cost=(5/3)ln|cost|+C= [b](5/3)ln|cos(x^(3/5))|+C[/b]

2.
Замена переменной
[b]sin3x=t[/b]
d(sin3x)=dt
(sin3x)`dx=dt
cos3x*(3x)`dx=dt

3cos3xdx=dt

[b]cos3xdx=dt/3[/b]

∫ сos3xdx/(25+sin^23x)= ∫ (dt/3)/(25+t^2)=(1/3)*(1/5)arctg(t/5)+C=

= [b](1/15)arctg((sin3x)/5)+C[/b]

3.
Замена переменной
[b]1/x^2=t[/b]
d(1/x^2)=dt
(-2/x^3)dx=dt

[b](2/x^3)dx=-dt[/b]

∫ (2/x^3)*tg(1/x^2)dx=- ∫ tgtdt= - ∫ sintdt/cost= ∫ d(cost)/sint=

=ln}sint|+C = [b] ln |tg(1/x^2)|+C[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
Дробь ≤ 0, значит числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Числитель 14 > 0, значит знаменатель
x^2+2x-15 < 0
D=4+60=64
корни
x_(1)=(-2-8)/5 =-5; x_(2)=(-2+8)/2=3

_+__ (-5) __-__ (3) __+_

-5 < x < 3

О т в е т. (-5;3)

3.
При x ≥ 0
|x|=x
y=x^2-3x-2x
y=x^2-5x

При x<0
|x|=-x
y=x^2-3*(-x)-2x
y=x^2+x

Строим при x ≥ 0 параболу y=x^2-5x с вершиной в точке
(2,5; -6,25)

при х < 0 параболу y=x^2+x с вершиной в точке
(-0,5; -0,25)

При m <-6,25 прямая не пересекается с графиком
при m=-0,25 и m=0 - три точки пересечения
При -0,25 <m < 0 - четыре точки пересечения
При m>0 - две

О т в е т. m ∈ [-6,25;-0,25]U[0;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
sqrt(5x-2y)=u
sqrt(5x+2y)=v

{u+v=34
{u*v=273

{u=34-v
{(34-v)*v=273

v^2-34v+273=0
D=64
v_(1)=(34-8)/2=13; v_(2)=(34+8)/2=21
u_(1)=34-13=21; u_(2)=13

Обратный переход
sqrt(5x-2y)=21
5x-2y=441
5x+2y=169

10x=610
x=61
y=-68

5x-2y=169
5x+2y=441
x=61
y=68

О т в е т. (61;-68);(61;68)
Ответ выбран лучшим
φ =0⇒ sin0=1
ρ=4/(2+0)=2
На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=2
получаем точку А (0;2)

φ =π/8⇒
ρ=


φ =π/4⇒sin(π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ≈4/(2+0,7)=4/2,7=40/27
На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ≈40/27
получаем точку С (π/4;40/27)

φ =3π/8⇒
ρ=

φ =π/2⇒sin(π/2)=1
ρ=4/(2+1)=4/3
На луче φ =π/2 откладываем расстояние ρ=4/3
получаем точку Е (π/2;4/3)

φ =5π/8⇒
ρ=

φ =3π/4⇒sin(3π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ≈ 4/(2+0,7)=40/27
На луче φ =3π/4 откладываем расстояние ρ≈40/27
получаем точку G (3π/4;40/27)

φ =7π/8⇒
ρ =


φ =π⇒ sinπ=0
ρ = 4/(2+0)=2
На луче φ =π откладываем расстояние ρ=2
получаем точку M (π;2)

и так далее

Переход от полярной системы координат к декартовой

x=ρ·cos φ
y=ρ·sin φ
x^2+y^2=ρ^2⇒ ρ=sqrt(x^2+y^2)

cosφ =x/ρ=x/sqrt(x^2+y^2)



Подставляем в данное уравнение:

sqrt(x^2+y^2)=4/(2+ (y/sqrt(x^2+y^2)))

sqrt(x^2+y^2)=4*sqrt(x^2+y^2)/(2*sqrt(x^2+y^2) +y)

2*sqrt(x^2+y^2) +y=4

2*sqrt(x^2+y^2) =4-y

Возводим в квадрат

4*(x^2+y^2)=16-8y+y^2

[b]4x^2+3y^2+8y=16[/b] - уравнение линии в декартовой системе координат

Это эллипс со смещенным центром. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Выделяем полный квадрат
x^2+8x+9=x^2+8x+16-7=(x+4)^2-7

∫ dx/sqrt(x^2+8x+9)= ∫ dx/sqrt((x+4)^2-7)=

=∫ d( [b]x+4[/b]) /sqrt(( [b]x+4[/b])^2-7)= [b]ln|x+4+sqrt(x^2+8x+9)|+C[/b]
Ответ выбран лучшим
7)Точка М, симметричная точке А, относительно прямой ВС лежит на прямой, перпендикулярной ВС. Уравнение перпендикулярной прямой - это уравнение высоты из точки А
см. в)
3x-4y+107=0
и расстояния от точки М до прямой ВС и от точки А до прямой ВС

равны.

d=|4x_(M)+3y_(M)-33|/sqrt(25)
d=9/5

|4x_(M)+3y_(M)-33|/sqrt(25)=9/5

|4x_(M)+3y_(M)-33|=9

4x_(M)+3y_(M)-33=9 или 4x_(M)+3y_(M)-3=-9

Из системы уравнений
{3x_(M)-4y_(M)+107=0
{4x_(M)+3y_(M)-3=-9

или
{3x_(M)-4y_(M)+107=0
{4x_(M)+3y_(M)-3=9

найдем координаты точки М или точки А ( А нам не надо).

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Выделяем полные квадраты
(4x^2-16x)-(9y^2-18y)-29=0
4(x^2-4x+4)-9(x^2-2y+1)-16+9-29=0
4(x-2)^2-9(y-1)^2=36

(x-2)^2/9 - (y-1)^2/4 = 1 - уравнение гиперболы, с центром в (2;1)

a^2=9
b^2=4
c^2=a^2+b^2=9+4=13


Координаты фокусов
F_(1) (2-sqrt(13);0)
F_(2) (2+sqrt(13);0) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Находим две точки, принадлежащие и той и другой плоскости одновременно, т.е принадлежащие именно линии пересечения

Пусть первая координата этой точки
х=0
{y – z+2=0
{-3y+z–1=0
Cкладываем
-2y+1=0
y=0,5
z=y+2=2,5

А(0; 0,5; 2,5)

Пусть вторая координата у=0
{х–z+2=0
{4x+z–1=0

Cкладываем
5х=1
х=0,2
z=x+2=1,2
B(0,2;0;1,2)

Составляем уравнение прямой проходящей через две точки
А(0; 0,5; 2,5)и B(0,2;0;1,2)

(x–0)/(0,2–0)=(y–0,5)/(2,5–0,5)=(z-2,5)/(1,2-2,5)

[b]х/0,2=(y–0,5)/2=(z-2,5)/(-1,3)[/b] – каноническое уравнение прямой
Ответ выбран лучшим
φ =0⇒ сos0=1
ρ=2/(2-1)=2
На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=2
получаем точку А (0;2)

φ =π/8⇒
ρ=


φ =π/4⇒cos(π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ≈2/(2-0,7)=2/1,3=20/13
На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ≈2/1,3=20/13
получаем точку С (π/4;20/13)

φ =3π/8⇒
ρ=

φ =π/2⇒cos(π/2)=0
ρ=2/2=1
На луче φ =π/2 откладываем расстояние ρ=1
получаем точку Е (π/2;1)

φ =5π/8⇒
ρ=

φ =3π/4⇒cos(3π/4)=-sqrt(2)/2 ≈-0,7
ρ≈ 2/(2-(-0,7)=2/2,7
На луче φ =3π/4 откладываем расстояние ρ≈2/2,7=20/27
получаем точку K (3π/4;20/27)

φ =7π/8⇒
ρ =


φ =π⇒ cosπ=-1
ρ = 2/(2-(-1))=2/3
На луче φ =π откладываем расстояние ρ=2/3
получаем точку N (π;2/3)

и так далее

В принципе можно и не считать, в силу симметрии.


x=ρ·cos φ
y=ρ·sin φ
x^2+y^2=ρ^2⇒ ρ=sqrt(x^2+y^2)

cosφ =x/ρ=x/sqrt(x^2+y^2)



Подставляем в данное уравнение:

sqrt(x^2+y^2)=2/(2- (x/sqrt(x^2+y^2)))

sqrt(x^2+y^2)=2*sqrt(x^2+y^2)/(2*sqrt(x^2+y^2) - x)

2*sqrt(x^2+y^2) - x=2

2*sqrt(x^2+y^2) =2+x

Возводим в квадрат

4*(x^2+y^2)=4+4x+x^2

[b]3x^2-4x+4y^2=4[/b] - уравнение линии в декартовой системе координат

Это эллипс со смещенным центром. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Образующая конуса L= 22 cм.
Образует с плоскостью основания угол 60 градусов. ( см. рисунок)

R=22*cos60 градусов=11
( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)

a)
S_(основания)=πR^2=π*11^2=121π см ^2

б)
S_(боковой поверхности)=πR*L=π*11*22=242π см:2 (прикреплено изображение)
1.
sin^5x=sin^4x*sinx=(sin^2x)^2*sinx=(1-cos^2x)^2*sinx

Замена переменной
cosx=t
dt=(cosx)`*dx
dt=-sinxdx
sinxdx=-dt

получим

∫ (1-t^2)^2*(-dt)/(3-t)= ∫ (t^4-2t^2+1)dt/(t-3)
неправильная дробь. Выделяем целую часть.

= ∫ (t^3+3t^2+7t+21+ (64/(t-3))dt=

= [b](t^4/4)+(3t^3/3)+(7t^2/2)+21t+64ln|t-3|+C, t=cosx[/b]

2.

2sin^2x+9cos^2x=2cos^2x*(t^2+(9/2))

Замена переменной
tgx=t
dx/cos^2x=dt

получим:

1/2∫ dt/(t^2+(9/2))=

Формула ∫ dx/(x^2+a^2)=(1/a)* arctg (x/a); a^2=9/2 a=3/sqrt(2)

=(1/2)*(sqrt(2)/3)arctg( sqrt(2)*t/3) + C=

= [b](sqrt(2)/6)*arctg((sqrt(2)tgx)/3) + C[/b]



3.
Замена
tgx=t
x=arctg t
dx=dt/(1+t^2)

1+tg^2x=1/cos^2x;

cos^2x=1/(1+tg^2x)=1/(1+t^2)

sin^2x=tg^2x*cos^2x=t^2/(1+t^2)

sin^8x=(sin^2x)^4=t^8/(1+t^2)^4
cos^(14)x=1/(1+t^2)^7

sin^8x/cos^(14) =(t^8/(1+t^2)^4)* (1+t^2)^7= (1+t^2)^3*t^8

sin^8x dx /cos^(14)= (1+t^2)^3*t^8 * (dt/(1+t^2))


получим

∫ t^8*(1+t^2)^2dt= ∫ t^8*(1+2t^2+t^4)dt= ∫ (t^(12)+2t^(10)+t^8)dt=

=t^(13)/13 + 2t^(11)/11+ t^(9)/9 + C=

= [b](tgx)^(13)/13 + 2(tgx)^(11)/11 + (tgx)^(10)/10 + C[/b]

4.

sin^2x=(1-cos2x)/2;
cos^2x=(1+cos2x)/2

sin^2x*cos^2x=(1-cos2x)*(1+cos2x)/4=(1-cos^22x)/4=

=(1/4) - (1/4) cos^22x=(1/4) - (1/4)*(1+cos4x)/2=

=(1/4)-(1/8) -(1/8) cos4x= (1/8) -(1/8)cos4x


∫ sin^2x*cos^2xdx= ∫ ((1/8) -(1/8)cos4x)dx=

= [b](1/8)x - (1/32) * sin4x + C[/b]
Ответ выбран лучшим
а)
В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны.
АВ ⊥ BC
CD ⊥ BC
По условию: MB ⊥ AB ⇒ CD ⊥ MB

CD ⊥ MB и СD ⊥ BC ⇒ [b]CD ⊥ пл. (МВС).[/b]

б)
MB- перпендикуляр, MC - наклонная
MC > MB
MC=13
MB=12
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника МСВ
BC=sqrt(13^2-12^2)=sqrt(25)=5

Значит, AD=BC [b]=5[/b]

По условию:
AD/CD=8/5 ⇒ CD=5AD/8=25/8= [b]3,125[/b]
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
p=80/100=0,8 - вероятность того, что саженец приживётся
p=1-q=0,2-вероятность того, что саженец не приживётся

P_(7)(0)=C^0_(7)p^0*q^(7)=1*0,8^0*0,2^(7)= -вероятность того, что ни один не приживется
P_(7)(1)=C^1_(7)p^1*q^(6)=7*0,8*0,2^(6)= - вероятность того, что один приживется

1 - (P_(7)(0)+P_(7)(1)) и получим ответ. Считайте.




Ответ выбран лучшим
В первой теме N вопросов, во второй 18
Всего ( N+18)

Вводим в рассмотрение гипотезы:
Н_(1)- вопрос из первой темы
p(H_(1))=N/(N+18);
Н_(2)- вопрос из второй темы
p(H_(2))=18/(N+18);

событие А- "студент не ответил на вопрос"
p(A/H_(1))=(N-10)/N
p(A/H_(2))=(18-N)/18

По формуле полной вероятности:

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(1))*p(A/H_(1))=

=N/(N+18) * (N-10)/N + 18/(N+18) * (18-N)/18=

= [b]((N-10)*(18-N)+(18+N)^2)/(324-N^2)[/b]

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=(N-10)/(N+18) / [b]((N-10)*(18-N)+(18+N)^2)/(324-N^2)[/b]
можно упростить....
M(X)=6*(3/8)+8*(3/11)+12*(31/88)=считаем

M(X^2)=6^2*(3/8)+8^2*(3/11)+12^2*(31/88)= cчитаем

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=считаем

2.

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Третий столбик верхнее
Ответ выбран лучшим
p_(1)=2/6- вероятность из первой взять породистого
р_(2)=5/11 -вероятность из второй взять беспородного

О т в е т. (2/6)*(5/11)= [b]5/33[/b]
Ответ выбран лучшим
q=80/100=0,8 - вероятность выпуска стандартной детали.
p=1-q=0,2-вероятность выпуска нестандартной детали.

P_(2)=C^2_(2)p^2*q^(0)=1*0,2^280,8^(0)=0,04 [b]две[/b]
P_(1)=C^1_(2)p^1*q^(1)=2*0,2*0,8=0,32- [b]одна[/b]

P(0)=C^0_(2)p^0*q^(2)=1*0,2^(0)*0,8^2=0,64- ни одной

хотя бы одна: одна или ни одной:
P(1)+P(0)=0,32+0,64= [b]0,96[/b]

или

1- P(2)=1-0,04 [b]=0,96[/b]

Ответ выбран лучшим
Всего кроликов 6+7+8=21

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(1) – выбран белый кролик
H_(2) – выбран черный кролик
H_(3) – выбран серый кролик

p(H_(1))=6/21
p(H_(2))=7/21
p(H_(3))=8/21


событие A– "выбран кролик, который может заразится"

p(A/H1)=1/7
p(A/H2)=1/10
p(A/H3)=1/9

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))

=(6/21)*(1/7) +(7/21)*(1/10)+(8/21)*(1/9)=
Ответ выбран лучшим
15% или 0,15

см. рис. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
n=1
Один выстрел, попадание, p=5/9=45/81 стрельба закончилась.
n=2
Значит первый раз промахнулся, второй раз попал
(4/9)*(5/9)=20/81
n=3
Значит второй раз тоже промахнулся и на третий раз либо попал, либо промахнулся
(4/9)*(4/9)*(5/9) + (4/9)*(4/9)*(4/9)=16/81*((5/9)+(4/9))=16/81

(45/81)+(20/81)+(16/81)=1

Если в нижней строке сумма вероятностей равна 1, то все верно, такая таблица является законом
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x^2+3x-10>0 ⇒ D=49; корни -5 и 2; x < -5 или x > 2
{x-2>0 ⇒ x>2
x ∈ (2;+ ∞ )

Перепишем

ln(x^2+3x-10) ≥ ln(x-2)+ln4 ( чтобы не иметь логарифма частного,

сумму логарифмов заменим логарифмом произведения)

ln(x^2+3x-10) ≥ ln4*(x-2)

Логарифмическая функция с основанием е > 1 возрастает, поэтому

x^2+3x-10 ≥ 4*(x-2)

x^2-x -2 ≥ 0

D=9

x_(1)=-1 или x_(2)=2

x ≤ -1 или x ≥ 2

С учетом ОДЗ
О т в е т. (2; + ∞ )
Однородное
y`=(y-x)/(y+x)

делим и числитель и знаменатель дроби справа на x

y`=((y/x)-1)/((y/x)+1)


Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`·u+x·u`
y`=u+x·u`

u+x·u`= (u-1)(u+1)


x·u`= (u-1)(u+1)– u

x·u`=(-u^2-1)/(u+1)– уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

(u+1)du/(-u^2-1)= dx/x

Интегрируем.

∫ (u+1)du/(-u^2-1)= ∫ dx/x

∫ (u+1)du/(-u^2-1)= - ∫udu/(u^2+1) - ∫du/(u^2+1) =

= - (1/2) ∫2udu/(u^2+1) - ∫du/(u^2+1) =

= - (1/2) ∫d(u^2+1)/(u^2+1) - ∫du/(u^2+1) =

[b]=(-1/2)ln|u^2+1|- arctgu + C, где u=y/x[/b]

2.

xdy=(sqrt(x^2+y^2)+y)dx

Однородное

y`=(sqrt(x^2+y^2)+y)/x

y`=sqrt(1+(y/x)^2)+(y/x)

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`·u+x·u`
y`=u+x·u`

u+x·u`=sqrt(1+u^2)+u

x·u`=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

du/sqrt(1+u^2)=dx/x

Интегрируем:

∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x| + lnC

u+sqrt(1+u^2)=Сх

(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx

[b]y+sqrt(x^2+y^2)=Cx^2[/b]
3) Однородное
y`=(4x^2+3xy+y^2)/(4y^2+3xy+x^2)

делим и числитель и знаменатель дроби справа на x^2

y`=(4+3*(y/x)+(y/x)^2)/(4(y/x)^2+3(y/x)+1)


Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`
y`=u+x*u`

u+x*u`= (4+3u+u^2)/(4u^2+3u+1)

x*u`=(4+3u+u^2)/(4u^2+3u+1) - u

x*u`=(-4u^3-2u^2+2u+4)/4u^2+3u+1)

x*u`=(-4u^3-2u^2+2u+4)/4u^2+3u+1) - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

(4u^2+3u+1)du/(-4u^3-2u^2+2u+4)= dx/x

Интегрируем.

∫ (4u^2+3u+1)du/(-4u^3-2u^2+2u+4)= ∫ dx/x

Интеграл слева - интеграл от рациональной дроби.
Раскладываем знаменатель на множители, раскладываем дробь на простейшие методом неопределённых коэффициентов, находим коэффициенты.
Получаем ответ

2)
Линейное неоднородное диф уравнение первого порядка.

Решаем либо методом вариации произвольных постоянных, либо методом Бернулли.

метод Бернулли.

Решение ищут в виде произведения [b]двух произвольных [/b]функций

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-2*u*v=e^(2x)


u`*v+u*(v`-2*v)=e^(2x)

На функцию v(x) накладываем условия
пусть
v`-2*v=0
dv/dx=2v
dv/v=2dx
lnv=2x
v=e^(2x)

тогда
u`*e^(2x)+u*( [b]0[/b])=e^(2x)
u`=1
u=x+C

y=u*v= [b](x+C)*e^(2x)[/b]
[b]∫ sin(3x–(π/3)) dx[/b]

Это табличный интеграл
∫ sinxdx=-cosx+C или ∫ sinudu=-cosu + C, u=u(x)

Пользуемся формулой справа.
u=3x-(π/3)
тогда
du=(3x-(π/3))`dx
du=3*dx
dx=du/3

∫ sin(3x–(π/3)) dx= ∫ sinu (du/3)=(1/3) ∫ sinudu=(1/3)*(-cosu)+C=

= [b]-(1/3)cos ((3x–(π/3)) + C [/b]


[b] ∫ (1/(sqrt(x) -1)dx[/b]

Табличный интеграл

∫ x^( α )dx= x^( α +1)/( α +1) + C

Свойства степени
x^(- α )=1/x^( α )

∫ (x^(-1/2) - 1)dx=Интеграл от суммы равен сумме интегралов=

=∫ (x^(-1/2)dx - ∫ dx = x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1) - x + C=

= [b]2sqrt(x) - x + C[/b]



[b]∫xdx/(7+x^2)[/b]
замена
t=7+x^2
dt=(7+x^2)`dx
dt=2xdx
xdx=dt/2

∫xdx/(7+x^2)= ∫ (dt/2) / t= (1/2) ∫ dt/t= табличный интеграл=

=(1/2)ln|t|+C= (1/2)ln |7+x^2|+C [b]=(1/2)ln (7+x^2)+C[/b]
Ответ выбран лучшим
v=(1/3)*π*r^2*(2H/3)

(1/3)*π*r^2*(2H/3)=192

π*r^2*H=864

Из подобия ( см. рис.)
r:R=h:H

h=(2/3)*H

тогда
r:R=(2H/3):H
r:R=2:3
R=(3/2)r

V=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*(3r/)^2*H=(1/3)*π*(9/4)r^2*H

=(3/4)π*r^2*H=(3/4)*864= [b]648[/b]

Долить надо
V-v= [b]648[/b]-192=456 мл
О т в е т. 456 мл.
(прикреплено изображение)
1)
4х^4–5x^2+1=0

замена переменной
x^2=y
x^4=y^2

Получаем уравнение
4y^2-5y+1=0
D=(-5)^2-4*4*1=25-16=9
sqrt(D)=3

y_(1)=(5-3)/8=1/4; y_(1)=(5+3)/8=1

Обратный переход

x^2=1/4 или x^2=1
x= ± 1/2 или х= ± 1

О т в е т. ± 1/2; ± 1

2)
2x^4–19x^2+9=0

замена переменной
x^2=y
x^4=y^2

Получаем уравнение
2y^2-19y+9=0
D=(-19)^2-4*2*9=289=17^2

y=(19-17)/4=1/2 или y=(19+17)/4=9

x^2=1/2 или x^2=9

x= ± sqrt(2)/2 или x= ± 3

О т в е т. ± sqrt(2)/2; ± 3
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
1.
составить уравнение прямой, проходящей через точку (0;–1;–7) параллельно вектору (1;–1;0).

Вектор vector{s}=(1;-1;0) - направляющий вектор прямой и уравнение имеет вид

[b](x-0)/1=(y-(-1))/(-1)=(z-0)/0[/b]

или:

{z=0
{y=-x-1

2.
Составим каноническое уравнение прямой:
{2x+y–z=0
{3x–y–z–2=0

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=35025

[b]x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1 [/b]


vector{s}= [b](0,4;0,2;1)[/b] - направляющий вектор прямой

Нормальный вектор плоскости 2x–y+z–3=0
vector{n}= [b](2;-1;1) [/b]

Если прямая параллельна плоскости, то векторы vector{s} и vector{n}
ортогональны.
А их скалярное произведение равно 0.

Но это не так:
0,4*2 +0,2*(-1)+1*1 ≠ 0

Значит прямая и плоскость пересекаются.
Ответ выбран лучшим
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+6=0

k1=-3i; k2=3i– корни комплексно-сопряженные
α =0 β=3

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*cos3x+C_(2)sin3x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(х)*(Asin4x+Bcos4x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=e^(x)*(Asin4x+Bcos4x)+e^(x)*(4Acos4x-4Bsin4x)

y`_(част)=e^(x)*(Asin4x+Bcos4x+ 4Acosx-4Bsinx)


y``_(част)=e^(x)(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x-4Bsin4x)+e^(x)*(4Acos4x-4Bsin4x-16Asin4x-16Bcos4x)

y``_(част)=e^(x)(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x-4Bsin4x+4Acos4x-4Bsin4x-16Asin4x-16Bcos4x)

подставляем в данное уравнение:

e^(x)(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x-4Bsin4x+4Acos4x-4Bsin4x-16Asin4x-16Bcos4x)+6*e^(х)*(Asin4x+Bcos4x)=e^(x)*(cos4x-8sin4x)

e^(x)(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x-4Bsin4x+4Acos4x-4Bsin4x-16Asin4x-16Bcos4x+6Asin4x+6Bcos4x)=e^(x)*(cos4x-8sin4x)

Asin4x-4Bsin4x-4Bsin4x-16Asinx+6Asin4x=-8sin4x
Bcos4x+ 4Acos4x+4Acos4x-16Bcos4x+6Bcos4x)=cos4x

Cистема:
{A-4B-4B-16A+6A=-8
{B+4A+4A-16B+6B=1

{9A+8B=8
{8A-9B=1

A=80/145=16/29
B=11/29
y_(част)=e^(х)*((16/29)*sin4x+(11/29)*cos4x)

О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)*cos3x+C_(2)sin3x+e^(х)*((16/29)*sin4x+(11/29)*cos4x)

y`= ∫ y``(x)dx= ∫ dx/(1+x^2)=arctgx+C_(1)

y= ∫ y`(x)dx = ∫( arctgx+C_(1))dx= ∫ arctgx dx + ∫ C_(1)dx=

=[первый интеграл считаем по частям: u=arctgx; du=dx/(1+x^2)
dv=dx; v=x]

=x*arctgx - ∫ (x*dx)/(1+x^2)+C_(1)x=

=x*arctgx - (1/2)ln(1+x^2)+C_(1)x+C_(2)

у= x*arctgx - (1/2)ln(1+x^2)+C_(1)x+C_(2) - общее решение
y(0)=0
0=0*arctg0-(1/2)ln(1+0)+C_(1)*0+C_(2)

⇒ [b] C_(2)=0[/b]
y`(0)=0

0=arctg0+C_(1)
C_(1)=0

у=x*arctgx - (1/2)ln(1+x^2) - частное решение ( решение задачи Коши)

y(1)=1*arctg1-(1/2)ln2 ≈ cчитайте...
уравнение с разделяющимися переменными:
(y^2+3)dx=e^(x)ydy/x
xe^(-x)dx=ydy/(y^2+3)

Интегрируем
∫ xe^(-x)dx= ∫ydy/(y^2+3)

Считаем каждый интеграл:
∫ xe^(-x)dx=[ по частям: u=x; dv=e^(-x)dx ⇒ du=dx; v=-e^(-x)]

=-xe^(-x)- ∫ (-e^(-x))dx= [b]-xe^(-x)- e^(-x)[/b]

∫ydy/(y^2+3)=(1/2) ∫ d(y^2+3)/(y^2+3)= [b](1/2)ln(y^2+3)[/b]

О т в е т. [b]-xe^(-x)- e^(-x)=(1/2)ln(y^2+3) + С[/b]
3x^2+7x-15=-x^2+2x+6;

3x^2+7x-15+x^2-2x-6=0;

4x^2+5x-21=0

D=5^2-4*4*(-21)=25+336=361=19^2

x_(1)=(-5-19)/8=-3; х_(2)=(-5+19)/8=7/4=1,75

О т в е т. -3; 1,75
Замена переменной:
[b]3^(x)=t[/b]
[b]t>0[/b]

3^(x+3)=3^(x)*3^(3)=27t
3^(x+1)=3^(x)*3^(1)=3t
9^(x+(1/2))=9^(x)*9^(1/2)=3*9^(x)=3t^2

Получаем дробно-рациональное неравенство:

1/(t-1) + (3t^2-27t+3)/(t-9) ≥ 3t

1/(t-1) + (3t^2-27t+3)/(t-9) - 3t ≥ 0

Приводим к общему знаменателю:

(t-9 +(t-1)*(3t^2-27t+3) - 3t*(t-1)*(t-9)) / (t-1)(t-9) ≥ 0

[b](4t-12)/(t-1)(t-9) ≥ 0[/b]

Применяем метод интервалов при t>0:

(0) _-__ (1) __+___ [3] ____-___ (9) ____+__

1 < t ≤ 3 или t >9

обратная замена:

1 < 3^(x) ≤ 3 или 3^(x) >9

3^(0)< 3^(x) ≤ 3 или 3^(x) >3^(2)

Показательная функция с основанием 3> 1 возрастающая,

большему значению функции соответствует большее значение

аргумента

[b]0 < x ≤ 1 или x > 2[/b]

О т в е т. [b] (0;1] U (2; + ∞ )[/b]
Плоскости 2x+y–z=0 и 3x–y–z–2=0 пересекаются по прямой, на ней бесчисленное множество точек.
Найдем две точки, принадлежащие прямой

Пусть первая координата х=0
{y–z=0
{–y–z–2=0
Складываем
–2z–2=0
z=–1
y=z=–1
A(0;–1;–1)

Пусть z=0.
Тогда
{2x+y=0
{3x–y–2=0
Складываем
5х–2=0
х=2/5=0,4
y=–2x=–0,8
В(0,4;–0,8;0)

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки:

(x–0)/(0,4–0)=(y–(–1))/(–0,8–(–1))=(z–(–1))/(0–(–1))

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1 – каноническое уравнение прямой

Направляющий вектор прямой vector{a}=(0,4;0,2;1)

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P, перпендикулярно прямой.
При этом направляющий вектор прямой = нормальный вектор плоскости
0,4*(x-0)+0,2*(y-(-1))+1*(z-(-4))=0
[b]0,4x+0,2y+z+4,2=0[/b]

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Для этого напишем параметрические уравнения прямой:

Обозначим

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1= t ( вводим параметр)

Параметрическое уравнение прямой :
[b]{x=0,4t
{y=0,2t–1
{z=t–1[/b]

Подставляем их в уравнение плоскости:

0,4*(0,4t)+0,2*(0,2t-1)+(t-1)+4,2=0

1,2t+3=0
t=3/1,2=30/12=10/4=2,5

При t=2,5

x=0,4t=0,4*2,5=1
y=0,2t-1=0,2*2,5-1=-0,5
z=t-1=2,5-1=1,5

Это и есть координаты проекции точки Р

О т в е т. [b](1;-0,5;1,5)
[/b]
Ответ выбран лучшим
Пусть BM=x, AM=5-x
Из прямоугольного треугольника ВМС
tg ∠ BMC=1/x

Из прямоугольного треугольника AМD
tg ∠ AMD=4/(5-x)

По формуле tg2α=2tgα/(1+tg^2α)

4/(5-х)=(2/х)/(1+(1/х)^2)

2х*(5-х)=4*(x^2+1)

6x^2-10x+4=0

3x^2-5x+2=0

D=25-24=1

x=(5-1)/6=4/6=2/3; х=(5+1)/6=1

x=1 не может быть, так как тогда ∠ BMC=45 градусов
∠ AMD=90 градусов, в треугольнике не может быть два угла по 90 градусов.

Значит,
BM=2/3
AM=5-(2/3)=13/3
AM/MB= [b]13/2[/b]
Ответ выбран лучшим
Плоскости 2x+y–z=0 и 3x–y–z–2=0 пересекаются по прямой, на ней бесчисленное множество точек.
Найдем две точки, принадлежащие прямой

Пусть первая координата х=0
{y-z=0
{-y-z-2=0
Складываем
-2z-2=0
z=-1
y=z=-1
[b]A(0;-1;-1)[/b]

Пусть z=0.
Тогда
{2x+y=0
{3x–y–2=0
Складываем
5х-2=0
х=2/5=0,4
y=-2x=-0,8
[b]В(0,4;-0,8;0)[/b]

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки:

(x-0)/(0,4-0)=(y-(-1))/(-0,8-(-1))=(z-(-1))/(0-(-1))

[b]x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1[/b] - каноническое уравнение прямой

Обозначим

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1= t ( вводим параметр)

Параметрическое уравнение прямой :
[b]{x=0,4t
{y=0,2t-1
{z=t-1[/b]
Ответ выбран лучшим

d^2=(2R)^2+(2R)^2=8R^2
(sqrt(2))^2=8R^2
1=4R^2
R^2=1/4
R=(1/2)

H=2R=1

V=πR^2*H=π*(1/2)^2*1=π/4 (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S=(AB+CD)*CH/2=CH*CH
S=CH^2
a^2=CH^2
CH=a (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z=x+iy
Rez=x

i+x=i*(x+iy)
i+x=ix-y

1=x
x=-y

x=1
y=-1

О т в е т. 1-i
Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(i) - выбрана i-ая упаковка
i=1,2,3
p(H_(i))=1/3

событие A- "выбрано три детали, среди которых 2 стандартных и одна нестандартная"

p(A/H_(1))=C^2_(8)*C^(1)_(2)/C^(3)_(10)=7/30
p(A/H_(2))=C^2_(9)*C^(1)_(1)/C^(3)_(10)=3/10
p(A/H_(3))=1

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(1/3)*(7/30) + (1/3)*(3/10) + (1/3)*1=(1/3)*((7/30) + (3/10) +1) = [b]23/45[/b]
Ответ выбран лучшим
Степенная функция определена на множестве x>0

y=x^(-5) - ветвь гиперболы в первой четверти, но так как
функция нечетная, поэтому вторая ветвь существует и расположена в третьей четверти ( см. рис.1)

y=(-x^)(-5) - ветвь гиперболы в во второй четверти, но так как
функция нечетная, поэтому вторая ветвь существует и расположена в четвертой четверти ( см. рис.2)

График требуемой функции на рис. 3

Симметричен относительно прямой x=0 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
{6-5m ≥ 0 ⇒ -5m ≥ -6 ⇒ m ≤ 1,2
{4m ≥ 0 ⇒ m ≥ 0

О т в е т. [b] [0;1,2][/b]
Ответ выбран лучшим
Интегрирование по частям
u=x+2π
du=(x+2π)`dx
du=dx

dv=sin2xdx
v= ∫ dv= ∫ sin2xdx=(1/2) ∫ sin2x(2x)=(1/2)*(-cos2x)

[b]∫ udv=u*v- ∫ vdu[/b]


∫ ^π_(0)(x+2π)*sin2x*dx=

=(x+2π)*(1/2)*(-cos2x)|^π_(0)- ∫ ^π_(0)(1/2)*(-cos2x)dx=

= (π+2π)*(1/2)(-cos4π)-(0+2π)*(1/2)*(-cos0) + (1/4)∫ ^π_(0)cos2xd(2x)=

=-(3/2)π+π +(1/4)*(sin2x)|^π_(0) = (-π/2) +(1/4)sin2π-(1/4)sin0=

[b]=-π/2[/b]
Табличный интеграл
∫ e^(u)du
u=(3/x)
du=(-3)dx/x^2

dx/x^2=-du/3

∫^(3)_(1) e^(3/x)dx/x^2=-(1/3) ∫^(3)_(1) e^(3/x)d(3/x)=

=(-1/3)e^(3/x)|^(3)_(1) =(-1/3)e^(1)+(1/3)e^(3)= [b](e^3-e)/3[/b]
Найдем точки, в которых каждое [b]подмодульное[/b] выражение обращается в 0:

|x-8|=0 ⇒ х=8
|2x2–2x–17|=0 ⇒ 2x^2-2x-17=0; D=(-2)^2-4*2*(-17)=4+136=140
x_(1)=(2-2sqrt(35))/4; x_(2)=(2+2sqrt(35))/4
x_(1)=(1-sqrt(35))/2; x_(2)=(1+sqrt(35))/2
-3 < x_(1)<-2 и 3 < x_(2) < 4

|2|x-8|-1|=0 ⇒2|x-8|-1=0 ⇒ |x-8|=1/2 ⇒ x-8=1/2 или х-8=-1/2
x=8,5 или x=7,5

Эти точки разбили числовую прямую на промежутки

__ (x_(1) ) ____(x_(2)) ____ (7,5) __ (8) ___ (8,5) ____

Раскрываем модули на каждом промежутке и решаем неравенство.

[b](1)[/b]
x≤ x_(1)
[b]x∈(- ∞; (1-sqrt(35))/2)[/b]

|2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=-x+8
|2|x-8|-1|=-2x+15

9(x^2–x–8)+4(-2x+15)≥ 9(-x+8)+4(2x^2–2x–17)

[b]x^2-16 ≥ 0 [/b] ⇒ x ≤ -4 или x ≥ 4

о т в е т_(1) (- ∞; -4]

[b](2)[/b]
x_(1) < x ≤ x_(2)
|2x^2-2x-17|=-2x^2+2x+17
|x-8|=-x+8
|2|x-8|-1|=-2x+15
9(x^2–x–8)+4(-2x+15)≥ 9(-x+8)+4(-2x^2+2x+17)

[b]x^2-16x-152≥ 0[/b]

D=16^2-4*(-152)=16^2*(39)

x ≤ 8-8sqrt(39) или x ≥ 8+8sqrt(39)

Уравнение не имеет решений, множество решений и множество (2) не пересекаются.

[b](3)[/b]
x_(2) < x ≤ 7,5
|2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=-x+8
|2|x-8|-1|=-2x+15
9(x^2–x–8)+4(-2x+15)≥ 9(-x+8)+4(2x^2-2x-17)
[b]x^2-16 ≥ 0 [/b] ⇒ x ≤ -4 или x ≥ 4

о т в е т_(3) [4;7,5]

[b](4)[/b]
7,5 < x ≤ 8
|2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=-x+8
|2|x-8|-1|=2x-15

9(x^2–x–8)+4(2x-15)≥ 9(-x+8)+4(2x^2-2x-17)
...
о т в е т_(4)

(5)
8 < x ≤ 8,5
|2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=x-8
|2|x-8|-1|=-2x+17

9(x^2–x–8)+4(-2x+17)≥ 9(x-8)+4(2x^2-2x-17)
...
о т в е т_(5)

(6)
x > 8,5
2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=x-8
|2|x-8|-1|=2x-17

9(x^2–x–8)+4(2x-17)≥ 9(x-8)+4(2x^2-2x-17)
...
о т в е т_(6)

О т в е т. Объединить все 6 ответов
S=πR^2-πr^2
R=1
r=1/2

S=π*1^2-π*(1/2)^2= [b]3π/4[/b]

ρ_(1)=sin φ - уравнение окружности
0 ≤ φ ≤ π

ρ_(2)=2sin φ - уравнение окружности
0 ≤ φ ≤ π

S= ∫ ^(π)_(0) (1/2)* [b]([/b](ρ_(2))^2-(ρ_(1))^2 [b])[/b]d φ =

=(1/2) ∫ ^(π)_(0) ((2sin2φ)^2 -sin^2 φ )d φ =

=(1/2) ∫ ^(π)_(0) (4*(1-cos4φ)/2 -(1-cos2φ)/2 )d φ =

=(1/4)( 4φ -4*(1/4)sin4 φ- φ +(1/2)sin2 φ )|^(π)_(0)=

=(1/4)*(4π - 0 - π+0)=3π/4
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)

S= ∫ ^(1)_(-2)((4-x^2)-(x+2))dx= ∫ ^(1)_(-2)(4-x^2-x-2)dx= ∫^(1)_(-2)(2-x^2-x)dx=

=(2x-(x^3/3)-(x^2/2))|^(1)_(-2)=(2-(1/3)-(1/2)) - (4-(-8/3)-(4/2))=

2)
S= ∫ ^(π/3)_(-π/6) |-sinx|dx = ∫ ^(0)_(-π/6)(-sinx)dx+ ∫ ^(π/3)_(0)sinxdx=

=cosx|^(0)_(-π/6) - cosx| ^(π/3)_(0)=cos0-cos(-π/6)-cosπ/3+cos0=1-(1/2)-sqrt(3)/2+1=

=
3)
S= ∫^(-2) _(-4)(x^2+6x+11)dx+ ∫^(-1)_(-2)(1-x)dx=

=((x^3/3)+(6x^2/2)+11x)|^(-2) _(-4) + (x-(x^2/2))|^(-1)_(-2)=

=(-8/3)+3*4-22 - (-64/3)-3*(16)-11*(-4) (-1-(1/2))-(-2-(4/2))=
Ответ выбран лучшим
Прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к оси Ох, это прямая y=x.
Найдем координаты точки А - точки пересечения прямой и параболы
{y=x
{y^2=4sqrt(2)x

x^2=4sqrt(2)x
x=0 или х=4sqrt(2)
y=0 или y=4sqrt(2)

OA=sqrt((4sqrt(2)-0)^2+(4sqrt(2)-0)^2)=sqrt(64)=8
О т в е т. [b]8[/b] (прикреплено изображение)
MA=MB=MC=R
R=СM= sqrt((3-1)^2+(4-3)^2)=sqrt(5)

Так как треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный, то CМ-медиана и значит, высота


Уравнение CМ:y=kx+b
С(1;3); M(3;4)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b

3=1k+b
4=3k+b
-1=-2k
k=1/2
b=3-k=3-(1/2)=5/2

[b]y=(1/2)x+(5/2)[/b]


АВ ⊥ СМ
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

[b]k_(CM)*k_(AB)=-1[/b]

k_(AB)=-2

y=-2x+b - уравнение прямых, перпендикулярных АВ

Так как точка M ∈ AB, подставим координаты точки М, найдём b

4=-2*3+b

[b]b=10[/b]

у=-2х+10 - уравнение прямой АВ.

Окружность с центром в точке M и радиусом R=sqrt(5) пересекается с прямой АВ в точках А и B

Найдем координаты точки А и В из системы уравнений:
{y=-2x+10
{(x-3)^2+(y-4)^2=5

(x-3)^2+(-2x+10-4)^2=5 ⇒ x^2-6x+8=0
x_(1)=2; x_(2)=4
y_(1)=-2*2+10=6; y_(2)=-2*4+10=2

A(2;6) B(4;2)

С(1;3)

Уравнение АC: y=kx+b
A(2;6);С(1;3)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b

6=k*2+b
3=k*1+b
⇒ k=3
b=0
[b]y=3x[/b]

Уравнение BC: y=kx+b
B(4;2);С(1;3)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b

2=k*4+b
3=k*1+b
⇒ 3k=-1
k=-1/3
b=10/3
[b]y=(-1/3)x+(10/3)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Замена переменной:
[b]2^(x)=t[/b]
t>0
Упрощаем
числитель:

t^4-2t^3+2t^2-2t+1=(t^4+2t^2+1)-2t(t^2+1)=(t^2+1)^2-2t(t^2+1)=

=(t^2+1)*(t^2+1-2t)=(t^2+1)*(t-1)^2
Упрощаем
знаменатель:

(t-2)^2+(t-3)^3-1=

=(t-3+1)^2+((t-3)^3-1=

=(t-3)^2+2(t-3)+1+(t-3)^3-1=

=(t-3)^3+(t-3)^2+2(t-3)=

=(t-3)*((t-2)^2+(t-3)+2)

Во второй скобке
u^2+u+2 > 0
D<0

Итак,
[b]неравенство принимает вид:[/b]

[b]((t^2+1)*(t-1)^2)/(t-3)*((t-3)^2+(t-3)+2) ≥ 0 [/b]

которое равносильно неравенству

[b](t-1)^2/(t-3) ≥ 0 [/b]

метод интервалов:

(0) _-__ [1] __-__ (3) __+__

t=1 или t >3

[b]2^x=1[/b] или [b]2^x > 3[/b]

Показательная функция с основанием 2 возрастает

[b]x=0[/b] или [b]x > log_(2)3[/b]

О т в е т. [b]{0} U ( log_(2)3; + ∞ )[/b]
Уравнение первой плоскости:
cложим все три уравнения:
x+y+z=(3+u+v)+(2-u+v)+(3u-2v)
x+y+z=5+3u
вычтем из первого второе:
u=(x-y-1)/2

x+y+z=5+(3/2)*(x-y-1)
2x+2y+2z=10+3x-3y-3
[b]x-5y-2z+7=0[/b]
vector{n_(1))=(1;-5;-2)

Уравнение первой плоскости:
cложим первое, второе умноженное на 2 и третье уравнения:
[b]x+2y+z=11[/b]
vector{n_(2))=(1;2;1)

Нормальные векторы не коллинеарны, не ортогональны (скалярное произведение 1*1+(-5)*2+(-2)*1 ≠ 0)

Значит плоскости [b] пересекаются[/b]
x/(x-2)(x^2+x+1) = A/(x-2) + (Mx+N)/(x^2+x+1)

x=A*(x^2+x+1)+(Mx+N)(x-2)

x=Ax^2+Ax+A+Mx^2+Nx-2Mx-2N

A+M=0
A+N-2M=1
A-2N=0

3,5A=1
A=2/7

M=-2/7

N=1/7

=(2/7) ∫dx/(x-2) - (1/7) ∫ (2x-1)/(x^2+x+1)=

=(2/7) ∫dx/(x-2) - (1/7) ∫ (2x-1)dx/((x+0,5)^2+0,75)=[x+0,5=t;dx=dt;x=t-0,5]

=(2/7) ∫dx/(x-2) - (1/7) ∫ (2(t-0,5)-1)dt/(t^2+0,75)=

=(2/7) ∫dx/(x-2) - (1/7) ∫ 2tdt/(t^2+0,75)+(2/7) ∫ dt/(t^2+0,75)=

= [b](2/7)ln|x-2| -(1/7)ln|x^2+x+1| +(2/7)*(2/sqrt(3))arctg(x+0,5)/sqrt(3)/2 + C[/b]

По частям
u=arcsin3x ⇒ du=3dx/sqrt(1-9x^2)
dv=(2x-1)dx ⇒ v=x^2-x

u*v- ∫ vdu= (x^2-x)arcsin3x - ∫(x^2-x)dx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x - ∫x^2dx/sqrt(1-9x^2)- ∫xdx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x +(1/9) ∫(-9x^2)dx/sqrt(1-9x^2)-∫xdx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x +(1/9) ∫(1-9x^2)dx/sqrt(1-9x^2)-(1/9)∫dx/sqrt(1-9x^2)- ∫x)dx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x +(1/9) ∫sqrt(1-9x^2)dx -(1/9)∫dx/sqrt(1-9x^2)- ∫xdx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x +(3/9) [b]∫sqrt((1/9)-x^2)dx[/b] -(1/9)∫dx/sqrt(1-9x^2)- (-1/18)∫(-18)xdx/sqrt(1-9x^2) =

= [b](x^2-x)arcsin3x +(3/9) *((x/2)sqrt((1/9)-x^2)+(3/9)*(1/2)arcsin(x/(1/3)) -(1/9)(1/3)arcsin(3x)+ (1/18)*2sqrt(1-9x^2) + C[/b]
(прикреплено изображение)
Замена
x=t^6
dx=5t^5dt
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

∫ sqrt(x)dx/(∛x+1)= ∫ t^3*6t^5dt/(t^2+1)=

=6 ∫ t^8/(t^2+1)=

=6 ∫ (t^8-1)dt/(t^2+1) + 6 ∫ dt/(t^2+1)=

=6∫ (t^4+1)*(t^2+1)dt + 6 ∫ dt/(t^2+1)=

=6 ∫ (t^6+t^4+t^2+1)dt+6 ∫ dt/(t^2+1)=

= [b]6*((t^7/7)+(t^5/5)+(t^3/3)+t)+6arctgt + C[/b]

t=x^(1/6)

Универсальная подстановка
tg(x/2)=t
x/2=arctgt
x=2arctgt
dx=2/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)

3 + sinx + cosx = 3 + 2t/(1+t^2) + (1-t^2)/(1+t^2)

3 + sinx + cosx = (3+3t^2+2t+1-t^2)/(1+t^2)


∫ dx/(3 + sinx + cosx)= ∫ 2dt/(2t^2+2t+4)=

= ∫ dt/(t^2+t+2)= ∫ dt/((t+(1/2))^2+(7/4))=

=(1/sqrt(7/4))*arctg(t+(1/2))/sqrt(7/2)+C=

=(2/sqrt(7))* arctg((2t+1)/sqrt(7)) + C=

= [b](2/sqrt(7)) * arctg ((2tg(x/2)+1)/sqrt(7))+C[/b]
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
5k^2+2k+2=0
D=-36

k_(1)=(-2-6i)/10 k_(2)=(-2+6i)/10- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(-0,2x)С_(1)*sin0,6x+C_(2)*cos0,6x

Правая часть
f(x)=sinx*sin5x
так как
sinx*sin5x=(1/2)sin6x+(1/2)sin(-4x)
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)

f_(1)(x)=(1/2)sin6x
f_(2)(x)=(-1/2)sin4x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=(1/2)sin6x

y_(част 1) =Asin6x+Bcos6x

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част1)=6Acos6x-6Bsin6x

y``_(част)= -36Asin6x-36Bcos6x

подставляем в данное уравнение:

5*( -36Asin6x-36Bcos6x)+2*(6Acos6x-6Bsin6x)+2*Asin6x+2Bcos6x=(1/2)sin6x

Находим А и В


y_(част 2) =Msin4x+Ncos4x

y`_(част 2) =4Mcos4x-4Nsin4x

y``_(част 2) = -16Msin4x-16Ncos6x


5*( -16Msin4x-16Ncos4x)+2*(4Mcos4x-4Nsin4x)+2*Msin4x+2Ncos4x=-(1/2)sin4x

Находим M и N
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

Ответ выбран лучшим
Пишем уравнение стороны BC:

(x-0)/(-1)=(y-2)/(-2-2)
-4x=-y+2
y=4x+2

Пишем уравнение прямой AD, параллельной ВС и проходящей через точку А

y=4x+b

Подставляем координаты точки А(1;3)

3=4*1+b
b=-1
О т в е т. y= [b]4x-1[/b]
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-k=0
k*(k-1)=0
k1=0; k2=1– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(0х)+C_(2)*e^(x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ax*e^(x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=Ax`*e^(x)+Ax*(e^(x))`=Ae^(x)*(1+x)

y``_(част)=A(e^(x))`*(1+x)+Ae^(x)*(1+x)`=Ae^(x)(1+x+1)=Ae^(x)*(x+2)


подставляем в данное уравнение:

Ae^(x)*(x+2)-Ae^(x)*(1+x)=e^(x)

Ах+2А-А-Ах=1

A=1

О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)= [b]С_(1)+C_(2)*e^(x)+x*e^(x)[/b]
1) Cм. рис. 1

S=2 ∫ ^(π/2)_(0)(1/2)* ρ^2( φ )d φ = ∫ ^(π/2)_(0) (4sin2φ)^2d φ =

=16∫ ^(π/2)_(0)sin^22 φ d φ =16 ∫ ^(π/2)_(0)(1-cos4φ)/2 d φ =

=8∫ ^(π/2)_(0)(1-cos4φ) d φ =8*( φ -(1/4)sin4 φ)| (π/2)_(0)= [b]4π[/b]

2)
y^2=9-x⇒ x=y^2+9
x=g(y)

V_(oy)=π ∫ ^(3)_(-3)g^2(y)dy= π ∫ ^(3)_(-3) (y^2+9)^2dy=

=π ∫ ^(3)_(-3) (y^4+9y^2+81)dy=

=π*((y^5/5)+(9y^3/3)+81y)|^(3)_(-3)=

=π*(3^5/5 +3*3^3+81*3 - (-3^5/5)-3*(-3^3)-81*(-3))=

=π*(243/5 + 81 +243 +243/5 + 81 +243)= (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y=e^x , x=0 и y=1–x не ограничивают фигуру.
cм. рис. 1

y=e^x , y=0 и y=1–x ограничивают бесконечную фигуру
см. рис.2

S= ∫^(0) _(- ∞ )e^(x)dx+ ∫^(1) _(0)(1-x)dx=

=e^(x)|^(0)_(- ∞ ) + (x-(x^2/2))|^(1)_(0) =

=1- 0 +1-(1/2)= [b]1,5[/b] (прикреплено изображение)
Понижение степени.
Замена
y`=z
y``=z`
x*(z`+1)+z=0
z`+(1/x)z=-1

Линейное уравнение. Метод Бернулли.
z=u*v
z`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`+(1/x)u*v=-1

u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=-1

v`+(1/x)*v=0
⇒ dv/v=-dx/x
v=1/x

u`*(1/x)=-1

du=-xdx
u=-x^2/2+ C_(1)

z=(-x^2/2+ C_(1))*(1/x)

z=-x/2 +(C_(1)/x)

y`=-x/2 +(C_(1)/x)

[b]y=-x^2/4+C_(1)lnx + C_(2)[/b]
Ответ выбран лучшим
Линейное первого порядка.
Метод вариации или метод Бернулли

Решаю методом Бернулли
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-2x*u*v=e^(x^7)ctgx

u`*v+u*(v`-2xv)=e^(x^7)ctgx

Выбираем функцию v так, чтобы

v`-2xv=0

и тогда

u`*v=e^(x^7)ctgx

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными

dv/v=2dx/x
ln|v|=2ln|x|
v=x^2

u`x^2=e^(x^7)ctgx - уравнение с разделяющимися переменными

du=e^(x^7)ctgxdx/x^2

u=?

u= ∫e^(x^7)ctgxdx/x^2

не вижу как можно взять интеграл, разве что разложить в ряд?
Ответ выбран лучшим
Перепишем:

y`=4sqrt(x^2+y^2)/x + (y/x)

y`=4sqrt(1+(y/x)^2) +(y/x)

Однородное уравнение первого порядка

Замена

y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`
x`=`

y`=u+x*u`

u+xu`=4sqrt(1+u^2)+u

xu`=4sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

du/sqrt(1+u^2)=4dx/x

Интегрируем


∫ du/sqrt(1+u^2)=4 ∫ dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=4ln|x|+lnC

ln|u+sqrt(1+u^2)|=lnC|x|^4

u+sqrt(1+u^2)=Cx^4

[b](y/x)+sqrt(1+(y/x)^2=Cx^4[/b] - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка плоскости
Тогда векторы
vector{P_(1)M)=(x-2;y-1;z-0)=(x-2;y-1;z)
vector{P_(1)P_(2))=(1-2;0-1;4-0)=(-1;-1;4)
vector{A_(1)A_(2))=(0-a;a-0;0-0)=(-a;a;0)

коллинеарны.

Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-10k+25=0

k1= k2=5– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(5x)+C_(2)*x*e^(5x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Asinx+Bcosx


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=Acosx-Bsinx

y``_(част)=-Asinx-Bcosx


подставляем в данное уравнение:

-Asinx-Bcosx-10Acosx+10Bsinx+25Asinx+25Bcosx=sinx

-A+10B+25A=1
-B-10A+25B=0

A=2,4B

24*2,4B+10B=1

67,6B=1
B=1/67,6=10/676

A=2,4*(1/67,6)=24/676


О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=

= [b]С_(1)*e^(5x)+C_(2)*x*e^(5x)+(24/676)sinx+(10/676)cosx[/b]
Ответ выбран лучшим
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+6k+9=0

k_(1)= k_(2)=-3- корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(-3x)+C_(2)*x*e^(-3x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=e^(-3x)

y_(част 1) =Ax^2*e^(-3x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част1)=2Ax*e^(-3x)+Ax^2*e^(-3x)*(-3)

y``_(част)=2A*e^(-3x)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+A*x^2*e^(-3x)*(-3)*(-3)

подставляем в данное уравнение:

2A*e^(-3x)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+A*x^2*e^(-3x)*(-3)*(-3) +

+6*(2Ax*e^(-3x)+Ax^2*e^(-3x)*(-3)) +9*Ax^2e^(-3x)=e^(-3x)

2А=1

[b]А=1/2[/b]

y_(част 1)=(1/2)x^2*e^(-3x)

y_(част 2) =Mx+N

y`_(част 2) =M

y``_(част 2) =0


0+6M+9(Mx+N)=x

9M=1
M=1/9
N=-6/81=-2/27

y_(част 2) =(1/9)x-(2/27)

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

= [b]С_(1)*e^(-3x)+C_(2)*x*e^(-3x)+(1/2)x^2*e^(-3x) +(1/9)x-(2/27)[/b]
Ответ выбран лучшим
По признаку Даламбера
lim_(n→ ∞)a_(n+1)/a_(n)= lim_(n→ ∞) (e^(n+2)/(n+3)!) : (e^(n+1)/(n+2)!)=

=lim_(n→ ∞) e/(n+3) =0 < 1

ряд сходится
Ответ выбран лучшим
a_(n)=(1+(1/n))^2=((n+1)/n)^2

a_(n+1)=((n+2)/n)^2

R=lim_(n→∞)a_(n)/a_(n+1)= lim_(n→∞)(n+1)^2/(n^2+2n)=1

При х=1

ряд ∑((n+1)/n)^2 расходится при n→∞, a_(n)~1

При x=-q
ряд ∑(-1)^(n) *((n+1)/n)^2 расходится при n→∞
(a_(n)): -1;1;-1;1 не имеет предела.

О т в е т. (-1;1)
Ответ выбран лучшим
e^(x)=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+ ...

e^(x)-1=x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+ ...

(e^(х)-1)/х=1+(x/2!)+(x^2/3!)+ ...

∫ ^(0,1)_(0)(e^x-1)dx/x= ∫ ^(0,1)_(0)(1+(x/2!)+(x^2/3!))dx=

=x+(x^2/2!)+(x^3/3!)|^(0,1)_(0)=

=0,1+(0,01/2)+(0,001/6)=0,1+0,005+0,00016=1,00516 ≈ 1,005
Ответ выбран лучшим
f(x)=sqrt(3x-5)
f(2)=sqrt(3*2-5)=1

f`(x)=(3x-5)`/(2*sqrt(3x-5))
f`(x)=3/(2*sqrt(3x-5)
f`(2)=3/2

f``(x)=(3/2)*((3x-5)^(-1/2))`=(3/2)*(-1/2)*(3x-5)^(-3/2)*(3x-5)`
f``(x)=(-9/4)*(3x-5)^(-3/2)

f``(2)=-9/4

f```(x)=(-9/4)*(-3/2)*(3x-5)^(-5/2)*(3x-5)`
f```(x)=(81/8)(3x-5)^(-5/2)
f```(2)=81/8

f(x) ~ f(x_(o)) + (f`(x_(o))/1!)*(x-x_(o))^2 + (f``(x_(o))/2!)*(x-x_(o))^2 +

+ (f```(x_(o))/3!)*(x-x_(o))^3 +...

sqrt(3x-5) ~ 1+(3/2)*(x-2) - (9/8)*(x-2)^2 + (81/48)*(x-2)^3
1)см. рисунок

Значит в равнобедренный треугольник PMN вписана окружность.
MN=AB=6
В равнобедренном треугольнике DPC высота ( апофема боковой грани) одновременно и медиана.
DN=NC=3
По теореме Пифагора
PN=4

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки
ОN=FN=3

Значит PF=PN-FN=1

О т в е т. PF:FN=1:3



2)

sin ∠ B=sin(180^(o)- ∠ A- ∠ C)=sin( ∠ A+ ∠ C)=

=sin ∠ A*cos ∠ C+cos ∠ A*sin ∠ C

sin ∠ A=0,352 ⇒ cos ∠ A=sqrt(1-sin^2 ∠ A)=sqrt(1-(0,352)^2) ≈

sin ∠ C=0,6 ⇒ cos ∠ C=sqrt(1-sin^2 ∠ C)=sqrt(1-(0,6)^2) ≈

По теореме синусов:

АС/sin ∠ B=AB/sin ∠ C ⇒ AB

S_( ΔABC)=(1/2)AB*AC*sin ∠ A (прикреплено изображение)
[b]Замена переменной:
4^(x)=t[/b]

t>0

16^(x)=(4^2)^(x)=(4^(x))^2=t^2

64^(x)=(4^(3))^(x)=(4^(x))^(3)=t^3

Получаем дробно- рациональное неравенство:

[b](t^3-7t^2)/(t+1) + (6t^2-48t)/(t-6) + 42 ≥ 0[/b]

Приводим к общему знаменателю:

(t^2*(t-7)*(t-6)+6t*(t-8)*(t+1) +42*(t+1)*(t-6))/(t+1)*(t-6) ≥ 0

(t^4-7t^3+42t^2-258t-252)/(t+1)*(t-6) ≥ 0

(t^3*(t-7)+6*(7t^2-43t-42))/(t+1)(t-6) ≥ 0

7t^2-43t-42=(t-7)*(7t+6)

(t-7)*(t^3+6*(7t+6))/(t+1)(t-6) ≥ 0

g(t)=t^3+42t+36 > 0 при t > 0, так как

g`(t)=3t^2+42 > 0 функция g(t) монотонно возрастает и пересекает ось t на (-∞;0)


[b](t-7)/(t+1)(t-6) ≥ 0[/b]


(0) __+___ (6) _-_ [7] _+___

0 < t < 6 или t ≥ 7

Обратный переход

4^(x) < 6 или 4^(x) ≥ 7

Показательная функция с основанием 4 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x < log_(4)6 или x ≥ log_(4) 7

О т в е т. [b] (- ∞ ; log_(4)6) U [log_(4)7; + ∞ )[/b]
Ответ выбран лучшим
S=S_(1)+S_(2)=

= ∫ ^(0)_(-2)(-3x+4-(x^2-3x))dx + ∫ ^(4/3)_(0)(-3x+4)dx==

=(4x-(x^3/3))|^(0)_(-2)+(4x-(3x^2/2))|^(4/3)_(0)=

=-(-8-(-8/3)) +(4*(4/3)- (3/2)*(4/3)^2=8 - (8/3)+(16/3)-(3/2)*(16/9) =8
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
Производная произведения
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(x^3)`*sinx+(x^3)*(sinx)`=3x^2*sinx+x^3*cosx.

2)
По формуле
(u^4)`=4u*(u)` - производная степенной функции, для аргумента u=u(x)
В данном случае u=2^(sinx)-sqrt(1+x)

[b]y`=4*(2^(sinx)-sqrt(1+x))^3 * (2^(sinx)-sqrt(1+x))`=[/b]


(2^(u))`=2^(u)*ln2 *(u`) - производная показательной функции, для аргумента u=u(x)
u=sinx
и
(sqrt(u))`=u`/(2*sqrt(u))


[b]=4*(2^(sinx)-sqrt(1+x))^3 * (2^(sinx)*ln2*(sinx)`-(1+x)`/(2*sqrt(1+x)))=[/b]

[b]=4*(2^(sinx)-sqrt(1+x))^3 * (2^(sinx)*ln2*(cosx)-(1)/(2*sqrt(1+x)))[/b]- о т в е т.

3) Показательно - степенная функция.

Логарифмируем

lny=ln(sqrt(x))^(x)

Применяем свойство логарифма степени:

lny=x*ln(sqrt(х))

lny=x*lnx^(1/2)

lny=(1/2)*x*lnx


Дифференцируем

(lny)`=(1/2)(x*ln(х))`

Слева сложная функция y=y(x)
Cправа производная произведения:

y`/ [b]y[/b]= (1/2) x`*lnx+(1/2)x*(ln(x))`

y`= [b]y[/b]*((1/2)lnx+(1/2)*x(1/(x)))

y`=(1/2)*[b](sqrt(x))^(x)[/b]*(lnx+1)


4.
Дифференцируем равенство, при этом
y=y(x) сложная функция

(x*lny)-(y*lnx)`+(2)`=0`

x`*lny +x*(lny)` -y`*lnx-y*(lnx)`+0=0

1*lny +x*(y`/y)-y`*lnx-y*(1/x)=0

y`*(x/y)-lnx)=(y/x)-lny

[b]y`=((y/x)-lny)/((x/y)-lnx) [/b]

5.
Производная функции, заданной параметрически:

y`_(x)=y`_(t)/(x`_(t))

y`_(t)=(e^(t)*sint)`=(e^(t))`*sint+(e^(t))*(sint)`=

=e^(t)*sint+e^(t)*cos=e^(t)*(sint+cost)

x`_(t)=(sint-cost)`=(sint)`-(cost)`=cost-(-sint)=cost+sint

[b]y`=e^(t)
[/b]
Ответ выбран лучшим
1120

1+1=2 - третья цифра равна сумме первой и второй
1=1+0 - вторая цифра равна сумме первой и четвертой.
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

= ∫ dx/sqrt(1+4x^2)+ ∫ 3xdx/sqrt(1+4x^2)=

=(1/2) ∫ d(2x)/sqrt(1+(2x)^2)+(3/8) ∫ d(1+4x^2)/sqrt(1+4x62)=

=(1/2)ln|2x+sqrt(1+4x^2)|+(3/8)*2sqrt(1+4x^2) + C=

[b]=(1/2)ln|2x+sqrt(1+4x^2)|+(3/4)*sqrt(1+4x^2) + C[/b] (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение прямой
{x = 0
{my+18z = 0 ⇒ y/(-18)=z/m
имеет [b] канонический вид:
x/0=y/(-18)=z/m[/b]

Координаты направляющего вектора прямой
[b]vector{a}=(0;-18;m)[/b]

Координаты нормального вектора плоскости x+4y+3z+5 = 0
[b]vector{n}=(1;4;3)[/b]

Прямая параллельна плоскости, значит направляющий вектор прямой vector{s} ортогонален нормальному вектору vector{n} плоскости.

Ненулевые векторы ортогональны ⇔ скалярное произведение равно 0

vector{a}*vector{n}=0*1+(-18)*4+m*3

0*1+(-18)*4+m*3=0

3m=72

m=24 (прикреплено изображение)
z`_(x)=2x+2y+4
z`_(y)=2x-2y

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x+2y+4=0
{2x-2y=0 ⇒ y=x

2x+2x+4=0
x=-1
y=-1

M(-1;-1) cтационарная точка, принадлежит области.

Находим вторые частные производные

z``_(xx)=(2x+2y+4)`_(x)=2
z``_(xy)=(2x+2y+4)`_(y)=2
z``_(yy)=(2x-2y)`_(y)=-2

A=z``_(xx)(M)=2
B=z``_(yy)(M)=-2
C=z`_`(xy)(M)=2

Δ=AB-C^2=2*(-2)-2^2 < 0

точка M не является точкой экстремума

Исследуем на границе

1) х=0
z=0+2*0*y-y^2+4*0

z=-y^2 - функция одной переменной -2 ≤ у ≤ 0

при у=-2 принимает наименьшее значение z=-4
при у=0 принимает наибольшее значение z=0

2) y=0
z=x^2+4x - функция одной переменной -2 ≤ х ≤ 0

при х=-2 принимает наименьшее значение z=-4
при х=0 принимает наибольшее значение z=0

3) х+у+2=0
y=-x-2

z=x^2+2x*(-x-2)-(-x-2)^2+4*x

z=-2x^2-4x-4- функция одной переменной -2 ≤ х ≤ 0

y`=-4x-4

y`=0
x=-1
при х=-1 принимает наибольшее значение z=-2

Выбираем из всех найденных значений наибольшее и наименьшее

z(0;0)=0 - наибольшее значение в области
z(-2;0)=-4 наименьшее значение в области
Ответ выбран лучшим
а=-4*(1+isqrt(3))/(1^2-(isqrt(3))^2)=-4*(1+isqrt(3))/4=-1-isqrt(3)

a=x+iy

x=-1
y=-sqrt(3)

r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(4)=2

cos φ =x/r=-1/2
sin φ =y/r=-sqrt(3)/2

φ =-2π/3

a=r*(cos φ +isin φ )=2*(cos(-2π/3)+isin(-2π/3))=2cos(2π/3)-isin(2π/3)

a=r*e^(iφ )=2*e^(i*(-2π/3)+2πk), k ∈ Z

2.
z^3=1+sqrt(3)
1+sqrt(3)=2*(cos(π/3)+isin(π/3))
z^(1/3)=∛2* [b]([/b] cos(((π/3)+2πk)/3)+isin(((π/3)+2πk)/3) [b] )[/b]

при k=0
z_(0) [b]=∛2*(cos(π/9)+isin(π/9)[/b]

z_(1)=∛2*(cos(((π/3)+2π)/3)+isin(((π/3)+2π)/3)=

[b]=∛2*(cos(7π/9)+isin(7π/9))[/b]

z_(2) [b]=∛2*(cos(13π/9)+isin(13π/9))[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
tgx=sinx/cosx

∫^(0)_(π/2)tgxdx= ∫^(0)_(π/2)sinxdx/cosx= - ∫^(0)_(π/2)d(cosx)/cosx=

=(ln|cosx|)|^(0)_(π/2)=ln|cos0|- ln |cos(π/2)|=ln1 - ln 0=0-(- ∞ )=+ ∞

Расходится.
Ответ выбран лучшим
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+13=0
D=16-4*13=-36
k_(1)=2-3i; k_(2)=2+3i- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ax+B

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=A

y``_(част)=0

0-4A+13Ax+13B=26x+5

13A=26

[b]A=2[/b]

[b]В=1[/b]

y_(част)=2х+1

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)= [b]e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+2х+1
[/b]

[b]y(0)=1[/b]

1=С_(1)*0+С_(2)*1+1

[b]С_(2)=0[/b]

у`=e^(2x)*(2x)`(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+e^(2x)*(3C_(1)cos3x-3C_(2)sin3x)+(2х)`+(1)`


у`=e^(2x)*(2С_(1)sin3x+2C_(2)cos3x+3C_(1)cos3x-3C_(2)sin3x)+2

[b]y`(0)=0[/b]

0=2C_(2)+3C_(1)+2

C_(1)=-2/3

у_(Коши)= [b]e^(2x)*(-2/3)sin3x+2х+1[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
x=8^(-1)
[b]x=1/8[/b]

2.

sin3 a cos a + sin a cos 3 a =синус суммы=sin(3a+a)=sin4a

3.

Высота конуса перпендикулярна плоскости основания.
h=L/2
L=2h
По теореме Пифагора
L^2-h^2=r^2

(2h)^2-h^2=r^2
3h^2=(6sqrt(3))^2
3h^2=108
h^2=36
[b]h=6 cм[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
D=2R
d=2r
d:D=a:b

(2r):(2R)=r:R

r:R=a:b
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному
в точку касания.
Прямоугольные треугольники:
IAO и JBO подобны по двум углам.
∠ IOА = ∠ JОB как вертикальные

Из подобия треугольников
JO:OI=r:R=a:b (прикреплено изображение)
a) Табличный интеграл
∫ sin [b]u[/b]d [b]u[/b]=-cosu+C
u=x^3
du=3x^2dx
x^2dx=(1/3)du

∫ x^2*sin^3xdx=(1/3) ∫ sinudu=(1/3)*(-cosu)+C= [b]-(1/3)cosx^3+C[/b]

б)
2^(x+1)=2^(x)*2^(1)=2*2^(x)
интегрируем по частям:
u=x ⇒ du=dx
dv=2^(x)dx ⇒ v= ∫ 2^(x)dx=2^(x)/ln2 + C

∫ udv=u*v- ∫ v*du

получаем

∫ x*2^(x+1)dx=2* ∫ x* [b]2^(x)dx[/b]= 2*(x*2^(x)/ln2)-2* ∫ 2^(x)dx/ln2=

= 2*(x*2^(x)/ln2)- (2/ln2) *(2^(x)/ln2) + C=

= [b](x*2^(x+1)/ln2) - (2^(x+1)/(ln^22) + C[/b]

в) см. интегрирование рациональных дробей.

раскладываем знаменатель на множители, а дробь на простейшие:

(x+2)/(x*(x-1)(x+1)) = (A/x)+(B/(x-1))+ (D/(x+1))

[b]x+2= A*(x-1)*(x+1) + B*x*(x+1) + D*x*(x-1)[/b]

Применяем метод частных значений.

Если левая и правая части выражения с переменной равны, то они равны и при одном и том же значении переменной:

при х=0
2=-А ⇒ [b]A= - 2[/b]
при х=1
3=2B ⇒ [b] B=3/2[/b]
при х=-1
1=2D ⇒ [b]D=1/2[/b]

О т в е т. -2 ∫ dx/x +(3/2) ∫ dx/(x-1)+(1/2) ∫ dx/(x+1)=

= [b]-2ln|x|+(3/2)ln|x-1|+(1/2)ln|x+1| + C[/b]
Ответ выбран лучшим
1a)
[b]табличный интеграл:
∫ sin [b]u[/b]d [b]u[/b]= - cosu+C[/b]

∫ sin4xdx=[замена 4х=t ⇒ d(4x)=dt ⇒ 4dx=dt ⇒ dx=dt/4]=
∫ sint*(dt/4)=(1/4) ∫ sin [b] t[/b]d [b]t[/b]=(1/4)8(-cost)+C=(- 1/4)cos4x+c

Решение можно записать короче, если применить действие, называемое "подведением под дифференциал"
Все вычисления в квадратных скобках можно сделать устно
и
∫ sin4xdx=(1/4) ∫ sin4x*(4dx)=(1/4) ∫ sin [b]4x[/b] d( [b]4x[/b])=(-1/4)cos4x+C

1б)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/sqrt( [b]u[/b])=2sqrt(u) + C[/b]

∫ dx/sqrt(4x-8)=(1/4) ∫ d( [b]4x-8[/b])/sqrt( [b]4x-8[/b])=(1/4)*2sqrt(4x-8)
устно вычислила, что d(4x-8)=4dx
Разделила на 4 ( вынесла за знак интеграла) и умножила на 4
4dx заменила на d(4x-8)

1в)

[b]Табличный интеграл
∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1) + C[/b]

Cвойства степени: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем, при делении - вычитаем.
a^(n)=1/a^(-n)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Постоянный множитель можно вносить за знак интеграла

=3 ∫ x^(4/3)dx - 4 ∫ x^((1/6)-1)dx+7 ∫ x^(-7)dx=

=3*x^((4/3)+1)/((4/3)+1) - 4* x^(1/6)-1+1)/(1/6) +7x^(-7+1)/(-7+1)+C=

= [b](9/7)*x^(7/3) -24x^(1/6)-(7/(6x^6)) + C[/b]


2a)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/sqrt( [b]u[/b])=2sqrt(u) + C[/b]
устно вычислила, что d(9x^2-15)=18x*dx
Разделила на 18 ( вынесла за знак интеграла) и умножила на 18
18xdx заменила на d(9x^2-15)

=(1/18) ∫ d(9x^2-15)/sqrt(9x^2-15)= [b](1/18)*2sqrt(9x^2-15)+С[/b]

2б)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/( [b]u[/b]^2-a^2)=(1/2a)*ln |(u-a)/(u+a)|+C[/b]

∫ dx/(2x^2-15)= ∫ dx/2*(x^2-(15/2))=(1/2) ∫ dx/(x^2-(15/2))=

=(1/2)* (1/2*sqrt(15/2))*ln |(x-sqrt(15/2))/(x+sqrt(15/2))| + C

= [b]1/(2*sqrt(30))ln |(sqrt(2)*x-sqrt(15))/(sqrt(2)*x+sqrt(15))| + C[/b]

2в)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/sqrt( [b]u[/b]^2± k)=ln |u+sqrt(u^2± k)|+C[/b]

u=5x
du=5dx
dx=du/5

∫ dx/sqrt(25x^2-7)= ∫ (du/5)/sqrt(u^2-7)=

=(1/5)ln|u+sqrt(u^2-7)|+C=

=(1/5)ln|5x+sqrt(25x^2-7)|+C

Ответ.(1/5)ln|5x+sqrt(25x^2-7)|+C или (1/5)ln|x+sqrt(x^2-(7/25))|+C

за счет свойств логарифма ( логарифм произведения равен сумме логарифмов) ответы равны с точностью до константы.

Остальные задания выставляйте
отдельно
4. Это громоздкое задание на метод интегрирования по частям
и отдельно
5. Интегрирование квадратного трехчлена: выделение полного квадрата и замена переменной
Ответ выбран лучшим
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k=0
k_(1)=0; k_(2)=2- корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(0)+C_(2)e^(2x)

частное решение неоднородного
x=0 - корень характеристического уравнения кратности x
y_(част)=(Ax+B)*x - линейная функция умножается на х в первой степени.
(кратность корня 1)

Находим производную первого, второго порядка
y_(част)=Ax^2+Bx
y`_(част)=2Ax+B
y``_(част)=2А

и подставляем в данное уравнение:

2A-2*(2Ax+B)=5x+3
-4Ах+(2А-2В)=5х+3

-4А=5

2А-2В=3

А=-5/4

B= - 11/4

y_(част)=(-5/4)x^2-(11/4)x

О т в е т. y=y_(одн.)+y_(част)=

= [b]С_(1)e^(0)+C_(2)e^(2x)+(-5/4)x^2-(11/4)x[/b]
Ответ выбран лучшим
По частям
u=x ⇒ du=dx
dv=sinxdx/cos^3x ⇒ v= ∫ sinxdx/cos^3x = ∫ cos^(-3)x(-d(cosx))=

=-cos^(-2)/(-2)=1/(2*cos^2x)

= (x/(2*cos^2x))|^(π/3)_(0) - ∫ ^(π/3)_(0)dx/(2*cos^2x)=

=(π/3)/(2*(1/2)^2) - 0 - ((1/2)tgx)|^(π/3)_(0)=

= [b](2π/3)- (1/2)sqrt(3)[/b]
Ответ выбран лучшим
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-k-2=0
D=9
k_(1)=-1; k_(2)=2- корни действительные различные
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(2x)

частное решение неоднородного
y_(част)=e^(x)(Asin5x+Bcos5x)

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x)

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x)

y``_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x)

y``_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x)


e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x - Asin5x-Bcos5x-5Acos5x+5Bsin5x-2Asin5x-2Bcos5x)=e^(x)*(sin5x+cos5x)

Приравниваем синусы слева и справа
Asin5x+5Bsin5x-5Bsin5x-25Asin5x- Asin5x+5Bsin5x-2Asin5x=sin5x

A-25A-A+5B-2A=1

Приравниваем косинусы слева и справа.
Bcos5x+5Acos5x+5Acos5x-25Bcos5x -Bcos5x-5Acos5x-2Bcos5x= cos5x

B+5A+5А-25B-B-5A-2B=1

Система:
{5B-27A=1
{5A-27B=1

B=-32/704

B=-1/22

A=-1/22

y_(част)=(-1/22)*e^(x)(sin5x+cos5x)

О т в е т. у=y_(одн.)+y_(част)=

==С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(2x)- (1/22)*e^(x)(sin5x+cos5x)
Ответ выбран лучшим
По формуле [b]производная дроби[/b] (частного ):
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=x
v=x+sqrt(4^2+x^2)

u`=1
v`=(x+sqrt(4^2+x^2))`= [b]производная суммы[/b] равна сумме производных

=(x)`+(sqrt(4^2+x^2))` =(x)`+(4^2+x^2)^(1/2)
по формуле производной [b]степенной функции [/b]для [b]сложной [/b]функции [b] u=u(x)[/b] ( конце умножаем на u`)

[b](u^( α ))`= α *u^( α -1)[/b]* u`

u=4^2+x^2

α =1/2

=(1)+ (1/2)*(4^2+x^2)^((1/2)-1)* [b](4^2+x^2)`[/b]= 1+(1/2)*(4^2+x^2)^(-1/2)*(2x)=

=1+ (x/sqrt(4^2+x^2))

Итак,

y`= [b]( [/b](x)`*(x+sqrt(4^2+x^2))-x*(x+sqrt(4^2+x^2))` [b])[/b]/(x+sqrt(4^2+x^2))^2

y`= [b]([/b]1*(x+sqrt(4^2+x^2) - x*(1+ (x/sqrt(4^2+x^2)) [b])[/b]/(x+sqrt(4^2+x^2))^2

y`= [b]([/b]x + sqrt(4^2+x^2) -x - (x^2/sqrt(4^2+x^2)) [b] )[/b]/(x+sqrt(4^2+x^2))^2

y`= [b]([/b]sqrt(4^2+x^2) - (x^2/sqrt(4^2+x^2)) [b])[/b]/(x+sqrt(4+x^2))^2

y`= [b]([/b](4^2+x^2-x^2)/sqrt(4+x^2) [b])[/b]/(x+sqrt(4+x^2))^2


[b]y`=4^2/((sqrt(4^2+x^2))*(x+sqrt(4^2+x^2))^2) [/b] - о т в е т.

Знаменатель не надо возводить в квадрат и раскрывать скобки, это лишняя, никому не нужная работа.

В задаче [b]четыре момента[/b], связанных с вычислением производной:
1) производная дроби
2) производная суммы
3) производная степенной функции
4) правило вычисления производной сложной функции
Ответ выбран лучшим
Замена переменной
sqrt((1-x)/(1+x))=t ⇒ (1-x)/(1+x)=t^2 ⇒ x=(1-t^2)/(1+t^2)

dx=(-4tdt)/(t^2+1)^2

∫ 4t^2dt/(t^2+1)(t^2-1)=

интегрирование рациональных дробей

4t^2/(t^2+1)(t-1)(t+1)= A/(t-1)+B/(t+1) + (Mt+N)/(t^2+1)

4t^2=A*(t+1)*(t^2+1) +B*(t-1)*(t^2+1) +(Mt+N)*(t^2-1)

Можно применить способ приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях многочленов слева и справа

Можно применить метод частных частных значений.
Если функции равны, то и значения в одной и той же точке равны.

При

t=1
4=4A ⇒ [b] A=1[/b]
t=-1
4=-4B ⇒ [b] B =-1[/b]

t=0

0=A-B-N

[b]N=2[/b]

t=2
16=15A+5B+(2M+2)*3
[b]M=0[/b]

О т в е т. ∫ dt/(t-1)- ∫ dt/(t+1) +2 ∫ dt/(t^2+1)=

=ln|t-1|+ln|t+1)+2arcrgt + C, где t=sqrt((1-x)/(1+x))
(прикреплено изображение)
h=R
L^2=R^2+h^2=R^2+R^2=2R^2
L=Rsqrt(2)

S_(бок. цилиндра)=2πRH
S_(бок. конуса)=πRL

S_(бок. цилиндра)+S_(бок. конуса)=2πRH+πRL

2πRH+πR*Rsqrt(2)=625

[b]H=(625-πR^2sqrt(2))/2πR[/b]

V(цилиндра)=πR^2*H
V_( конуса)=(1/3)πR^2*h=(1/3)πR^3

V(тела) =V(цилиндра)+V_( конуса)=

=πR^2*Н+(1/3)πR^3

Подставляем вместо H выражение через R получаем, что объем тела есть функция, зависящая от R

Исследуем эту функцию на экстремум с помощью производной.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
[b]1-сosx=2sin^2(x/2)[/b]
уравнение примет вид:
2sin(x/2)=2sin^2(x/2)

Переносим влево и раскладываем левую часть на множители:
2sin(x/2) * (1-sin(x/2))=0

sin(x/2)=0 или 1-sin(x/2)=0

sin(x/2)=0 ⇒ x/2=πk, k ∈ Z

[b]x=2πk, k ∈ Z[/b]

sin(x/2)=1 ⇒ x/2=π/2 + 2πn, n ∈ Z

[b]x=π + 4πn, n ∈ Z[/b]

2.
По формулам приведения:
cos(3π/2+x)=sinx
cos(π–x)=-cosx
уравнение примет вид:
sinxcos3x+cosxsin3x= –1
sin(3x+x)=-1
sin4x=-1
4x=-π/2 + 2πn, n ∈ Z

[b]x=-π/8 + (π/2)*n, n ∈ Z[/b]
Ответ выбран лучшим
tg α +ctg α =(sin α /cos α)+(cos α /sin α )=(sin^2 α +cos^2 α )/(sin α *cos α )=1/(sin α* cos α )=2/sin2α

1-cos4 α =2sin^22 α

левая часть
(tg α +ctg α)*(1-cos4 α)=(2/sin2α )*)2sin^22 α )=4sin2 α

равна правой
Ответ выбран лучшим
sin^2 α +cos^2 α =1
cos^2 α =1-sin^2 α =1-(-0,8)^2=1-0,64=0,36
[b]cos α =- 0,6[/b]
знак минус, так как π<α <3π/2

[b]tg α [/b]=sin α /cos α =-0,8/(-0,6)= [b]4/3[/b]

[b]ctg α[/b] =cos α /sin α = [b]3/4[/b]
Ответ выбран лучшим
Однородные решают заменой
(y/x)=u


1)
1 cпособ
(y/x)=u
y=u*x
dy=udx+xdu

(2*x^2+4*x*(ux))*(udx+xdu)=(x^2+2*x*(u*x)+5*(ux)^2)dx;

x^2*(2+4u)*udx+x^2*(2+4u)*xdu=x^2*(1+2u+5u^2)dx

(2+4u)*udx+(2+4u)*xdu=(1+2u+5u^2)dx

x*(2+4u)*du=(1+2u+5u^2-2u-4u^2)dx

x*(2+4u)*du=(u^2+1)dx - уравнение с разделяющимися переменными

[b](4u+2)du/(u^2+2)=dx/x[/b]


Второй способ

dy/dx=(x^2+2xy+5y^2)/(2x^2+4xy)

y`=(1+2u+5u^2)/(2+4u)

y/x=u

y=xu

y`=x`*u+x*u`

x`=1 так как х - независимая переменная

u+x*u`=(1+2u+5u^2)/(2+4u)

x*u`=(1+2u+5u^2)/(2+4u) -u

x*u`=(1+2u+5u^2-2u-4u^2)/(2+u)

x*du/dx=(u^2+1)/(2+u) - уравнение с разделяющимися переменными

(u+2)du/(u^2+1)=dx/x

∫ (u+2)du/(u^2+1)= ∫ dx/x

[b](1/2)ln|u^2+1|+2arctgx=ln|x|+C [/b]

[b]u=y/x[/b]
Ответ выбран лучшим
1)
(x^( α ))`= α x^( α -1)
(u^( α ))`= α u^( α -1) * u`

y`=6*(x^(2/3))`-7*((tgx)^3)`[u=tgx]=

=6*(2/3)*x^((2/3)-1)=4*x^(-1/3) -7*3*tg^2x*(tgx)`=

=4*x^(-1/3)-21* tg^2x*(1/cos^2x)=

= [b](4/∛x)-21*(tg^2x/cos^2x)[/b]

2)
(u*v)`=u`*v+u*v`
y`=(e^(x))`*arccos+(e^(x))*(arccosx)`=

= [b](e^(x))*arccos+(e^(x))*(-1/sqrt(1-x^2))[/b]

3)
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=((ctgx)`*(2x^4) -(ctgx)*(2x^4)`)/(2x^4)^2;

y`=(-2x^4/sin^2x)-8x^3*ctgx)/4x^8

y`= [b]((-x/sin^2x)- 2ctgx)/x^5[/b]

4)

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)

y`_(t)=(t+1)/sqrt(t^2+2t+2) по формуле (sqrt(u))`=u`/2sqrt(u)

x`_(t)=((1+t)^2)`/(1+(1+t)^2)^2)

x`_(t)=(2*(1+t))/(1+(1+t)^2)^2)

x`_(t)=(2*(1+t))/(2+2t+t^2)^2)

y`_(x)=(2+2t+t^2)^2/2*sqrt(t^2+2t+2)

[b]y`=(1/2)*sqrt((t^2+2t+2)^3)[/b]
Ответ выбран лучшим
(x^2+4)dy=sqrt(y^2+1)dx
Разделяем переменные
dy/sqrt(y^2+1)=dx/(x^2+4)
Интегрируем
ln|y+sqrt(y^2+1)|=(1/2)arctg(x/2) + C - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
s=v*t=20 *20=400 м=0,4 км
1) Неопределенность (∞/∞)
Делим и числитель и знаменатель на x^4:

lim_(x→∞)(3-(2/x^2)-(7/x^4))/(9+(3/x^3)+(5/x^4))=(3+0+0)/(9+0+0)=1/3

При x→∞
2/x^2
7/x^4
3/x^3
5/x^4

бесконечно малые функции, их предел равен 0


2)Неопределенность (0/0)
Раскладываем числитель и знаменатель на множители и сокращаем на (х+4)

lim_(x→(-4))(х+4)*(2x-1)/(x+4)*(2x+5)=

=lim_(x→(-4))(2x-1)/(2x+5)=(-8-1)/(-8+5)=3

3)Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
(2+sqrt(5-x))*(3+sqrt(8+x))

Применяем формулу
(sqrt(a)-sqrt(b))*(sqrt(a)+sqrt(b))=a-b

lim_(x→1) (4-(5-х))*(3+sqrt(8+x))/(9-(8+x))*(2+sqrt(5-x))=

= lim_(x→1) (х-1)*(3+sqrt(8+x))/(1-x)*(2+sqrt(5-x))=

сокращаем на (х-1)

= - lim_(x→1) (3+sqrt(8+x))/(2+sqrt(5-x))=-(3+3)/(2+2)=-3/2

4)
f(x)=(4x-3)*(ln(x+2)-ln(x-1))

Разность логарифмов заменим логарифмом частного

f(x)= (4x-3)*ln ((x+2)/(x-1))

Применяем свойства логарифма степени

f(x)=ln((x+2)/(x-1))^(4x-3)

f(x)=ln((x+2)/(x-1))^(4x)* ((x+2)/(x-1))^(-3)

Логарифм произведения равен сумме логарифмом

ln((x+2)/(x-1))^(4x)+ ln ((x+2)/(x-1))^(-3)

lim_(x→∞) [b]([/b] ln((x+2)/(x-1))^(4x) + ln ((x+2)/(x-1))^(-3) [b] ) [/b]

предел суммы равен сумме пределов

Считаем предел первого слагаемого

lim_(x→∞) ln((x+2)/(x-1))^(4x)= ln lim_(x→∞) ((x+2)/(x-1))^(4x)

знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами

имеем неопределенность 1^( ∞)

Применяем второй замечательный предел.

Делим и числитель и знаменатель дроби на x


ln lim_(x→∞) ((1+(2/x))/(1-(1/x)))^(4x)=

=ln lim_(x→∞) (1+(2/x))^(4x)/(1-(1/x))^(4x)=

=ln (e^2)/e^(-4)=lne^(6)=6
Считаем предел второго слагаемого

lim_(x→∞) ln((x+2)/(x-1))^(-3)= ln lim_(x→∞) ((x+2)/(x-1))^(-3)

знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами

= ln (1^(-3))=ln1=0

О т в е т. 6+0=6
Ответ выбран лучшим
Граница каждой области -прямая, которая разбивает плоскость x_(1)Ox_(2) на 2 части

Строим прямую x_(1)+x_(2)=6
по двум точкам (0;6) и (6;0)

Выбираем произвольную точку из любой области, например, точку (0;0)
Подставляем в первое неравенство
0+0 ≤ 6 - верно.
Значит первое неравенство задает ту область, которая содержит точку (0;0)

Первое неравенство задает область 1 ( см. рис)

второе - область 2, ...


Система неравенств задает область на рис. 6

Координаты угловых точек-координаты границ, задающих неравенство.

Например, координаты точки А находим из системы:
{2x_(1)-x_(2)=4
{x_(1)+2x_(2)=4

Умножаем первое уравнение на 2
{4x_(1)-2x_(2)=8
{x_(1)+2x_(2)=4

и складываем

5x_(1)=12
x_(1)=12/5=2,4
x_(2)=2x_(1)-4=2*2,4-4=0,8

А(2,4;0,8)

Остальные координаты на рисунке ≤ (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Область определения
(- ∞ ;-1) U(-1;+ ∞ )

[b]x=-1 - вертикальная асимптота[/b]
так как

lim_(x→-1)f(x)= ∞

Горизонтальной асимптоты нет
lim_(x→ ∞)f(x)= ∞

Есть [b]наклонная асимптота[/b]
k=lim_(x→ ∞)f(x)/x= lim_(x→ ∞) (2x^2+x+1)/(x*(x+1))=2

b=lim_(x→ ∞)(f(x)-kx)=lim_(x→ ∞) ((2x^2+x+1)/(x+1) - 2x)=

=lim_(x→ ∞) ((2x^2+x+1-2x^2-2x)/(x+1)==lim_(x→ ∞) (-x+1)/(x+1)=-1

[b]y=2x-1[/b]

[b]Исследование функции с помощью первой производной[/b]

y`=((2x^2+x+1)`*(x+1)-(x+1)`*(2x^2+x+1))/(x+1)^2

y`=((4x+1)*(x+1)-(2x^2+x+1))/(x+1)^2

y`=(2x^2+4x)/(x+1)^2

y`=0

2x^2+4x=0

2x*(x+2)=0

x=0 или x=-2

Отмечаем точки на области определения:

_+__ (-2) _-__ (-1) __-_ (0) __+__

y`>0 функция возрастает на (- ∞ ;-2) U(0;+ ∞ )
y`< 0 функция убывает на (-2;-1) U(-1;0 )

х=-2 - точка максимума y(-2)=-7
х=0 - точка минимума y(0)=1

[b]Исследование функции с помощью второй производной[/b]

y``=((4x+4)*(x+1)^2-2(x+1)*(2x^2+4))/(x+1)^4

y``=((4x+4)*(x+1)-2*(2x^2+4))/(x+1)^3

y``=4/(x+1)^3

y``>0 на (-1;+ ∞ )

кривая выпукла вниз

y``<0 на (- ∞;-1 )

кривая выпукла вверх

точек перегиба нет (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
Как строят графики в полярной системе координат.

Проводят лучи из точки О
например с интервалом 22,5 градусов.
см. рисунок 1

Считают значения синуса,
подставляют в выражение и находят ρ
Например
φ=0 sinφ=0
p=5/(3-4*0)
p=5/3

Точка на луче φ=0 p=5/3 это точка А

φ=π/8 sinφ ≈

p ≈

Точка на луче φ= π/8 p= это точка B
и так далее



2)
см. рисунок 2

3)
В полярной системе координат
x=p·cosφ
y=p·sin φ

p =sqrt(x^2+y^2)

sin φ=y/p=y/sqrt(x^2+y^2)

Подставляем в данное уравнение и получаем

sqrt(x^2+y^2)=5/(3-(4y/sqrt(x^2+y^2)))

Упрощаем:

sqrt(x^2+y^2)= 5sqrt(x^2+y^2)/(3sqrt(x^2+y^2) - 4у)

3sqrt(x^2+y^2) - 4y=5

3sqrt(x^2+y^2) =4y+5

Возводим в квадрат

9(x^2+y^2)=16y^2+20y+25

[b]9x^2-7y^2-20y-25=0[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
(x^2-(x+a))^2=2x^4+2(x+a)^2
Раскрываем скобки, применяем формулу квадрата разности:
x^4-2x^2*(x+a)+(x+a)^2=2x^4+2(x+a)^2
x^4+2x^2*(x+a)+(x+a)^2=0
Применяем формулу квадрата суммы:
(x^2+x+a)^2=0
x^2+x+a=0

Перепишем:

a= -x^2-x

[b]Решаем графически[/b]
слева y=a
справа y=-x^2-x

Переформулируем вопрос задачи.
При каких значениях параметра a прямая y=a пересекается в параболой y=-x^2-x [b]в полосе[/b] -1 < x < 1

См. рисунок.

Ясно, что прямая, проходящая через вершину параболы.
x_(o)=-1/2
y_(o)=-(-1/2)^2-(-1/2)=(-1/4)+(1/2)=1/4

прямая [b]у=1/4[/b] имеет одну точку пересечения с параболой

и прямые расположенные между прямыми [b] y=-2 и y=0[/b]


О т в е т. [b] (-2;0) U{1/4} [/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Точка В остается на месте
Находим образ точки А и образ точки С

Строим угол АВА_(1) равный 120 градусов.
АВ=ВА_(1)
Строим угол СВС_(1) равный 120 градусов.
СВ=ВС_(1)
Чтобы получить образ треугольника АВС соединяем точки
A_(1)BC_(1)

2.
Точки А и С остаются на месте.
Строим образ точки В.
Проводи ВР ⊥ АС
ВР = РВ_(1)

Соединяем точки А, B_(1), C
Получим треугольник АB_(1)C

3.
Строим образы точек А,В,С.
Соединяем А с точкой О и откладываем
AO=OA_(1)
Соединяем B с точкой О и откладываем
BO=OB_(1)
Соединяем C с точкой О и откладываем
CO=OC_(1)

Соединяем точки А_(1), B_(1), C_(1)
Получим треугольник А_(1)B_(1)C_(1) - образ треугольника АВС.

Cпециально не рисовала образы треугольника, чтобы не загромождать чертеж. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Я бы использовала метод рационализации логарифмических неравенств ( см приложение, Ваш случай выделен)

(2-х-1)*(х+2-1)*(х+3-1)*(3-х-1) ≤ 0

(1-x)*(x+1)*(x+2)*(2-x) ≤ 0

(x-1)*(x+1)*(x+2)*(x-2) ≤ 0

_+__ [-2] __-_ [-1] __+__ [1] _-__ [2]_+__

Скорее всего так и расставили знаки, чередуя справа налево.

C учетом ОДЗ это будет выглядеть так как на рисунке. (прикреплено изображение)
= ∫^(1)_(0) x^4dx/x^(3/4)+ ∫ ^(1)_(0) dx/x^(3/4)=

= ∫^(1)_(0) x^(4-(3/4))dx+ ∫ ^(1)_(0) x^(-3/4)dx =

= ∫^(1)_(0) x^(13/4)dx+ ∫ ^(1)_(0) x^(-3/4)dx =

=(x^(17/4)/17/4)|^(1)_(0) + (x^(1/4)/(1/4))|^(1)_(0)=

=(4/17)*1+4*1=4 целых 4/17 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По формулам приведения:
sin((7π/2)+x)= - cosx
sin^2((7π/2)+x)=cos^2x

sin2x=2sinx*cosx- формула синуса двойного угла

[b]сos^2x-2sinx*cosx=0[/b]
cosx*(cosx-2sinx)=0

cosx= 0 или сosx-2sinx=0

[b]cosx=0[/b] ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

[b]cosx-2sinx=0 [/b] ⇒ tgx=1/2 ⇒ [b]x=arctg(1/2)+πn, n ∈ Z[/b]

О т в е т. [b](π/2)+πk, arctg(1/2)+πn, k, n ∈ Z[/b]
4.
Пусть vector{b}=(x;y;z)
vector{a}*vector{b}=-1*x+2*y+2z
По условию равно 27
Уравнение:
-1*x+2*y+2z=27

Векторы vector{a} и vector{b} коллинеарны, значит их координаты пропорциональны
-1/x=2/y=2/z

-1/x=2/y ⇒ 2x=-z
[b]z=-2x[/b]

2/y=2/z⇒ 2y=2z⇒ z=y

[b]y=-2x[/b]

и подставляем в уравнение

-1*х+2*(-2х)+2*(-2х)=27

-9х=27
х=-3

y=-2x=6
z=-2x=6

vector{b}=(-3;6;6)

5.
vector{a}*vector{с}=|vector{a}|*|vector{c}|*cos ∠(vector{a},vector{b})

cos ∠(vector{a},vector{b})=(vector{a}*vector{с})/(|vector{a}|*|vector{c}|)=

=-6//(4*|vector{a}|)

Для вычисления угла нужна [b] длина вектора vector{a}[/b]


Зная скалярное произведение и |vector{c}| можно только найти проекцию vector{a} на vector{c}

Так как |vector{a}| > 0

сos ∠(vector{a},vector{b}) < 0
∠(vector{a},vector{b}) - тупой

cм. рис.


пр_((vector{с})vector{a}=-6/4=-3/2

|пр_((vector{с})vector{a}|=3/2



(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.D(y)=( - ∞;+ ∞ )

Исследование функции с помощью первой производной.

y`=(1-x)`(x^2-9)+(1-x)*(x^2-9)`

y`=-x^2+9+2x-2x^2

y`=-3x^2+2x+9

y`=0

-3x^2+2x+9 =0

3x^2-2x-9=0

D=4-4*3*(-9)=4+108=112=16*7

x_(1)=(2-4sqrt(7))/6=(1-2sqrt(7)/3; х_(2)=(1+2sqrt(7))/3

Расставляем знаки производной
y`=-3x^2+2x+9
Квадратичная функция, график парабола ветви вниз, выше оси на
(1-2sqrt(7);1+2sqrt(7))

__-__ (1-2sqrt(7))|3 __+__ (1+2sqrt(7))/3 ___-____

х=(1-2sqrt(7))/3- точка минимума, при
переходе через точку производная меняет знак с - на +

y((1-2sqrt(7))|3)=(3-1+2sqrt(7))*((1-14sqrt(7)+28)/3-9)=...


x=(1+2sqrt(7))/3 - точка максимума, при
переходе через точку производная меняет знак + на -


Функция убывает на (-∞;1/3-2sqrt(7)/3) и на (1/3+2sqrt(7)/3;+ ∞ )
Возрастает на (-1/3-2sqrt(7)/3;1/3+2sqrt(7)/3)

Исследование функции с помощью второй производной

y``=-6х+2

y``=0

-6х+2=0

х=1/3

при переходе через точку y`` меняет знак + на -,

значит на (-∞;1/3) функция выпукла вниз,
на (1/3;+∞ ) - вверх

Cм. рис.

(прикреплено изображение)
(х-1)^2+(y-(-1))^2=1

Точка А (1;1) перейдёт в точку В (1;-1)
∠ АOВ=90 градусов

Точка M перейдёт в точку K
∠ MOK=90 градусов

Точка K перейдёт в точку N
∠ KON=90 градусов

О т в е т. [b](х-1)^2+(y+1)^2=1[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Центр круга точка (2;3);
Значит, расстояние до оси ординат равно 2
Точка симметричная точке (2;3) находится на расстоянии 2 от оси ординат и имеет координату (-2;3) (прикреплено изображение)
S= ∫ ^(3)_(1)(0,5x^2+2)dx=

=((0,5x^3/3)+2x)|^(3)_(1)=(3^3/6)+2*3 - (1^3/6)-2*1=

=(27/6)+6-(1/6)-2 =(26/6)+4=(13/3)+(12/3)=(25/3) [b]8 целых (1/3)[/b] (прикреплено изображение)
26.
Так как 53 градусов +37 градусов =90 градусов , то Δ АВK - прямоугольный, где ВK || CD, BK=CD
см. рис.

Дальше находим равные отрезки и применяем свойство средней линии трапеции и треугольника.

Пусть BC=2x; AD=2y

KD=FN=2x

AK=AD-KD=2y-2x

MF=AK/2=y-x

MN=(BC+AD)/2=x+y

По условию MN=6

[b]x+y=6[/b]

PT - отрезок соединяющий середины BC и AD

Проводим
PE || AB
PQ||CD
PT- медиана прямоугольного треугольника PEQ

Δ PEQ= Δ ABK

PT=2
AK=2PT=4

AK=y-x

[b]y-x=4[/b]

Cистема
x+y=6
y-x=4
2y=10
y=5
x=1

ВС=2х=2
AD=2y=10

О т в е т. 10 и 2


(прикреплено изображение)
sqrt(26)=sqrt(25+1)=sqrt(25*(1+(1/25))=5sqrt(1+0,04)

sqrt(1+0,04)=1+ (0,04)/2- (0,04)^2/8+...

так как
(0,04)/2=0,02

(0,04)^2/8=0,0016/8=0,0002< 0,001

для получения требуемой точности
достаточно взять [b] два слагаемых.[/b]

[b]sqrt(26)[/b]=5sqrt(1+0,04) [b]≈[/b] 5*(1+0,02)= [b]5,1[/b]

cравним с
sqrt(26)=5,0990... ≈ 5,1
f(x)=e^(x)
f`(x)=e^(x)


L= ∫ ^(1)_(0)sqrt(1+(e^(x))^2) dx= ∫ ^(1)_(0)sqrt(1+e^(2x)) dx=

замена
sqrt(1+e^(2x))=t
1+e^(2x)=t^2
e^(2x)=t^2-1

2x=ln(t^2-1)
x=(1/2)*ln(t^2-1)
dx=(1/2) *(1/(t^2-1))* (t^2-1)`dt

dx=tdt /(t^2-1)

Вычисляю неопределенный интеграл, чтоб не связываться со сменой пределов интегрирования

∫ sqrt(1+e^(2x)) dx= ∫ t* tdt/(t^2-1)= ∫ (t^2-1+1)dt/(t^2-1)=

= ∫ (1 + 1/(t^2-1))dt

= t + (1/2) ln|(t-1)/(t+1)|+C= sqrt(1+e^(2x)) + (1/2)* ln |(sqrt(1+e^(2x))-1)/(sqrt(1+e^(2x))+1)|+C

∫ ^(b)_(a)f(x)dx=F(b)-F(a)

О т в е т. sqrt(1+e^(2)) + (1/2)* ln |(sqrt(1+e^(2))-1)/(sqrt(1+e^(2))+1)|-

sqrt(1+e^(0)) + (1/2)* ln |(sqrt(1+e^(0))-1)/(sqrt(1+e^(0))+1)|
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
x^2+x+1>0⇒ x - любое, D =1-4 <0
x+5 >0 ⇒ x>-5
x^2+x+1≠1 ⇒ x≠-1 и х≠0
x+5≠1⇒х ≠-4


Так как

(x+5)^(x^2-3x-4) > 0

можно разделить обе части неравенства

на (x+5)^(x^2-3x-4)

получим:
((x^2+x+1)/(x+5))^(x^2-3x-4) < 1

1=((x^2+x+1)/(x+5))^(0)

Если
(1)
{(x^2+x+1)/(x+5) > 1 показательная функция возрастает,
{x^2-3x-4 < 0

(2)
{0< (x^2+x+1)/(x+5) < 1 показательная функция убывает,
{x^2-3x-4 >0


Решаем [b] первую [/b]систему на ОДЗ:

(x^2+x+1)/(х+5)> 1 ⇒ (x^2+x+1-x-5)/(x+5) >0 ⇒ (x^2-4)|(x+5) >0

(-5)__+__ (-2) _-__ (2)__+__

x^2-3x-4=0
D=9-4*(-4)=25
x=-1 или х=4

(-5)______+__ (-1) _-__ (4) _+__

{ х ∈(-5;-2)
{x х ∈(-1;4)

О т в е т. (1) х ∈ (2;4)

Решаем [b]вторую[/b] систему на ОДЗ, используя уже имеющиеся данные
(x^2+x+1)/(x+1)>0 согласно ОДЗ

{(-2;2)
{(-5;-1)U(2;4)

О т в е т (2) х ∈ (-2;-1)

Осталось объединить ответы (1) и (2):
О т в е т. (-2;-1) U (2;4)
(3x-1)*(3x+1)*(2x+1)*(4x^2-2x+1) ≥ 0
4x^2-2x+1> 0 при любом х, так как D=4-16 <0

(3x-1)*(3x+1)*(2x+1) ≥ 0

Cправа от точки (1/3) знак +
далее знаки чередуем справа налево:

_-_ [-1/2] __+_ [-1/3] __-__ [1/3] __+__

О т в е т. [-1/2;-1/3] U [1/3;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
|vector{a}+ vector{b}-vector{c}|^2=(vector{a}+ vector{b}-vector{c})*(vector{a}+ vector{b}-vector{c})=

=vector{a}*vector{a}+ vector{b}* vector{b}+vector{c}*vector{c}+

+2*vector{a}vector{b}-2vector{b}*vector{c}-2vector{a}vector{c}=

=1*1+2*2+3*3+2*1*2*cos90^(o)-2*2*3*cos60^(o)-2*1*3*cos120^(o)=

=1+4+9+4*0-12*(1/2)-6*(-1/2)=11

|vector{a}+ vector{b}-vector{c}|=sqrt(11)
Ответ выбран лучшим
3.
vector{AB}=(4-(-2);-3-(-1);6-2)=(6;-2;4)
vector{СD}=(-4-(-1);-1-(a-1);a-1)=(-3;-a;a-1)

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны
6/(-3)=(-2)/(-а)=4/(а-1)

[b]a=-1[/b]

4.
(vector{a}+vector{b})\cdot vector{b})=

=vector{a}* vector{b}+vector{b}* vector{b}=

=|vector{a}|* |vector{b}|*cos ∠( vector{a}, vector{b})+|vector{b}|*|vector{b}|*cos 0=

=4*1*(1/2)+1*1*1=3

C другой стороны
(vector{a}+vector{b})*vector{b})=|(vector{a}+vector{b})|*|vector{b}|*cos α

cos α =(vector{a}+vector{b})*vector{b})/(|(vector{a}+vector{b})|*|vector{b}|=

Найдем длину вектора (vector{a}-vector{b})по теореме косинусов из треугольника со сторонами 4 и 1 и острым углом 60 градусов между ними

|(vector{a}+vector{b})|^2=4^2+1^2-2*4*1*cos60^(o)=17-4=13

Тогда длина второй диагонали,

по свойству диагоналей и сторон параллелограмма
d^2_(1)+d^2_(2)=2(a^2+b^2)

d^2_(2)=2*(1+4^2)-13=21

d_(2)=sqrt(21)

cos α =3/sqrt(21)

α =arccos(3/sqrt(21)) (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{sinx>0
{sinx ≠ 1
{1+cos2x+cos4x > 0

По определению логарифма:
[b]1+cos2x+cos4x=(sinx)^(0)[/b]

Так как 1+cos2x+cos4x=1 > 0, то третье неравенство для ОДЗ
1+сos2x+cos4x > 0 [b]можно не решать[/b], корни уравнения
будут ему удовлетворять.

Придется только проверить будут ли найденные корни удовлетворять первому и второму неравенству ОДЗ, что экономит время на экзамене.

[b]cos2x+cos4x=0[/b]

2cos^22x+cos2x-1=0

D=9

[b]cos2x=-1 [/b]⇒ 2x=π+2πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z [/b]

не удовлетворяют ОДЗ
при х=(π/2)+2πk, k ∈ Z
sinx=1
при
х=(-π/2)+2πk, k ∈ Z
sinx <0

[b]или[/b]

[b]cos2x=(1/2) [/b] ⇒ 2x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± (π/6)+πn, n ∈ Z

ОДЗ удовлетворяют корни из первой и второй четверти

Значит в ответе только
(π/6)+2πn, n ∈ Z и (-π/6)+π+2πk=(5π/6)+2πm, m ∈ Z


О т в е т. [b] (π/6)+2πn; (5π/6)+2πm, n, m ∈ Z [/b]

Указанному отрезку принадлежат корни:

[b](π/6); (5π/6)[/b]
Ответ выбран лучшим
Неправильная дробь. Делим "углом"

x^5/(x+2)=(x^4+2x^3+4x^2-8x+16+(32/(x+2))

∫ ^(1)_(-1)(x^5dx/(x+2))=

=(x^5/5)-(x^4/2)+(4x^3/3)-4x^2+16x+32 ln|x+2|)|^(1)_(-1)=

=((1/5)+(1/5))-0 +((4/3)+(4/3))-0 +16*(1+1)+32ln3-32ln1=

=(2/5)+(8/3)+32+32ln3 - 0=

= [b]35 целых (1/15) + 32ln3
[/b]
Ответ выбран лучшим
Замена переменной
(2x+1)=t^6
Тогда
[b]∛(2x+1)^2=t^4[/b]
[b]sqrt(2x+1)=t^3[/b]

x=(t^6-1)/2

dx=6t^5dt/2

[b]dx=3t^5dt[/b]

получаем



∫ 3t^5dt/(t^4-t^3)= 3* ∫ t^2dt/(t-1)= 3* ∫ (t^2-1+1)dt/(t-1)=

=3* ∫ (t^2-1)dt/(t-1) + 3*∫(dt/(t-1))=

=3* ∫ (t+1)dt +3 ∫ dt/(t-1)=

=3(t^2/2)+3t + 3ln|t-1| + C

Обратный переход

= [b](3/2)∛(2x+1)+3(2x+1)^(1/6) - 3*ln|(2x+1)^(1/6) - 1| + C[/b]
Ответ выбран лучшим
[b]u=ln(sinx) [/b] ⇒ du=(1/sinx)*(sinx)`dx; du=cosxdx/sinx; [b]du=ctgxdx[/b]
[b]dv=dx/sin^2x[/b] ⇒ [b]v[/b]= ∫ dv= ∫ dx/sin^2x = [b] - ctgx[/b]

∫ u*dv = u*v - ∫ v*du =( -ctgx )* ln(sinx) - ∫ (-ctgx) * (ctgx)dx =

=( -ctgx )* (ln(sinx)) + ∫ ctg^2xdx=

=( -ctgx )*( ln(sinx)) + ∫ ((1/sin^2x)-1)dx=

= [b]( -ctgx )*( ln(sinx)) - ctgx - x + C[/b]
Ответ выбран лучшим
f`(x)=(cosx)`-2*(sin^2x)`+(1)`

По таблице:
(cosx)`=-sinx

По правилу вычисления производной сложной функции и по формуле:
(u^2)`=2u* u`
u=sinx

Поэтому
(sin^2x)`=2sinx*(sinx)`=2sinx*cosx=sin2x


(1)`=0

f`(x)=(cosx)`-2*(sin^2x)`+(1)`= -sinx - sin2x+0

О т в е т. [b] -sinx- sin2x[/b]
Ответ выбран лучшим
x(x^2–1)–x(x^2 1)=0

Раскрываем скобки:
x^3-x-x^3-x=0
-2x=0
x=0
О т в е т. 0
a_(n)=a_(1) d*(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии

d=a_(2)-a_(1)=-30-(-32)=2

a_(8)= - 32 2*(8-1)=-32 14=18
О т в е т. -18
1.D(y)=( - ∞;+ ∞ )
2. Является нечетной
f(-x)=-4x/(4+(-x)^2)
f(-x)= - f(x)
График симметричен относительно нуля.
3.Непериодическая.
Ни при каком Т не выполняется равенство f(x+T)=f(x) для любого х из D(y)
4.Непрерывна на области определения как частное непрерывных функций.
5.
lim_(x→+ ∞)f(x)= 0
lim_(x→- ∞)f(x)= 0
Горизонтальная асимптота [b] y=0.[/b]

Вертикальной асимптоты нет

Наклонной асимптоты нет

k=lim_(x→+ 0)f(x)/x=lim_(x→+ 0)4/(x^2+4)=0



y`=(4x)`(x^2+4)-(4x)*(x^2+4)`/(x^2+4)^2=(4x^2+16-8x^2)/(x^2+4)=

=(16-4x^2)/(x^2+4)

y`=0

16-4x^2 =0

4x^2=16
x^2=4
x=± 2

Так как функция нечётна, исследуем только на (0;+ ∞ )

Производная при переходе через точку меняет знак + на -

x=2 - точка максимума.

Соответственно
х=-2 - точка минимума

Функция убывает на (-∞;-2) и возрастает на (2;+ ∞ )
Возрастает на (-2;2)

y``=((16-4x^2)/(x^2+4))`=(-8x*(x^2+4)-2x*(16-4x^2))/(x^2+4)^2
y``=(-64x)/(x^2+4)^2
y``=0 при переходе через точку y`` меняет знак + на -,

значит на (-∞;0) функция выпукла вниз,
на (0;+∞ ) - вверх

Cм. рис.

Множество значений
[-2;2]
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Область определения (- ∞;+ ∞)

Перепишем функцию в виде :

y=e^(x)+ (1/e^(x))
или
y=e^(x)+e^(-x)
f(-x)=e^(-x)+e^(-(-x))
Функция является четной, так как
f(-x)=f(x)

y`=e^(x)+ e^(-x)*(-x)`

y`=e^(x)-e^(-x)

y`=0
e^(x)=e^(-x)
x=-x

x=0

Отмечаем знак производной на области определения

__-__ (0) __+__

x=0 - точка минимума

точка принадлежит отрезку [-1;2]

Значит при х=0 функция принимает наименьшее значение
значение на отрезке
y(0)=(1+1)/1=2

Находим значения на концах
y(-1)=e^(-1)+e
y(2)=e^(-2)+e^(2)

y(2)>y(1)

О т в е т. наименьшее значение в точке 0
y(0)=2
наибольшее значение в точке 2
y(2)=e^(-2)+e^(2) (прикреплено изображение)
1.D(y)(0;+ ∞ )
2. Не является ни четной, ни нечетной потому что область определения не является симметричной относительно нуля.
3.Непериодическая.
Ни при каком Т не выполняется равенство f(x+T)=f(x) для любого х из D(y)
4.Непрерывна на области определения как произведение непрерывных функций.
5.
lim_(x→+ ∞)= + ∞
Горизонтальной асимптоты нет.


lim_(x→+ 0)x*lnx=

(0* ∞)- неопределенность сводим к неопределенности ∞ / ∞

=lim_(x→+ 0)lnx/(1/x)=( ∞ / ∞ )

применяем правило Лопиталя

=lim_(x→+ 0)(lnx)`/(1/x)`=lim_(x→+ 0)(1/x)/(-1/x^2)=lim_(x→+ 0)l(-x)=0

Вертикальной асимптоты нет.


k=lim_(x→+ 0)f(x)/x=lim_(x→+ 0)lnx=- ∞

Наклонной асимптоты нет


y`=(x)`*lnx+x*(lnx)`=1*lnx+ (x) *(1/x)=lnx+1

y`=0

lnx+1 =0

x=e^(-1)

Производная при переходе через точку меняет знак - на +

x=e^(-1) - точка минимума.

[b]y(e^(-1))[/b]=e^(-1)*ln(e^(-1)) [b]=-1/e[/b]
Наименьшее значение функции, от него и начинаем считать множество изменений
функции

Функция убывает на (0;e^(-1)) и возрастает на (e^(-1);+ ∞ )

y``=(lnx+1)`=1/x
y``>0 при любом х из области определения, значит функция выпукла вниз

Множество изменений функции
[1/e; + ∞ ) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
b_(n)=b_(1)*q^(n-1) - формула n-го члена геометрической прогрессии.

[b]b_(4)[/b]=b_(1)*q^3=24*(0,5)^3=24*(1/8)= [b]3[/b]
По формуле общего члена арифметической прогрессии:
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(4)=a_(1)+3d
a_(7)=a_(1)+6d

a_(1)+3d=6
a_(1)+6d=17

Вычитаем из второго уравнения первое
3d=11
[b]d=11/3[/b]
[b]a_(1)[/b]=6-3d=6-3*(11/3)= [b]-5[/b]
пр_(vector{c})vector{b}=vector{b}*vector{c}/|vector{c}|


vector{b}*vector{c}=1*(-2)+5*1+(-3)*2=-3

|vector{c}|=sqrt((-2)^2+1^2+2^2)=sqrt(9)=3

[b]пр_(vector{c})vector{b}=-3/3=-1[/b]
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
3vector{a}-(1/2)vector{b}=(3*1-(1/2)*6;3*(-1)-(1/2)*0;3*2-(1/2)*4)=(0;-3;4)
|3vector{a}-(1/2)vector{b}|=sqrt(0^2+(-3)^2+4^2)=sqrt(25)=5

2.
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и делятся в этой точке пополам.
Найдем координаты точки О, середины АС
x_(O)=(x_(A)+x_(C))/2 =( 3+3)/2=3
y_(O)=(y_(A)+y_(C))/2= (1+5)/2=3
z_(O)=(z_(A)+z_(C))/2=(8-8)/2)=0
[b]О(3;3;0)[/b]

Зная, что точка О - середина BD, найдем координаты точки D
x_(O)=(x_(B)+x_(D))/2 ⇒ x_(D)=2x_(O)-x_(B)=2*3-4=2;
y_(O)=(y_(B)+y_(D))/2 ⇒ y_(D)=2y_(O)-y_(B)=2*3-7=-1;
z_(O)=(z_(B)+z_(D))/2 ⇒ z_(D)=2z_(O)-z_(B)=2*0-1=-1;

[b]D=(2;-1;-1)[/b]

3.
vector{AB}=(1-4;2-(-4);4-3)=(-3;6;1)
|vector{AB}|=sqrt(9+36+1)= [b]sqrt(46)[/b]
vector{DС}=(-2-1;1-(-5);-1-0)=(-3;6;1)
|vector{CD}|=sqrt(9+36+1)= [b]sqrt(46)[/b]
Противоположные стороны равны и параллельны ( координаты векторов AB и СD равны)
Значит, ABCD - параллелограмм.
Чтобы убедиться, что прямоугольник, надо проверить, что AB
⊥ BC

vector{BС}=(-2-1;1-2;1-4)=(-3;-1;-3)

Находим скалярное произведение векторов.
Если векторы ортогональны, то скалярное произведение равно 0

vector{AB}*vector{BС}=(-3)*(-3)+6*(-1)+1*(-3)=0

Доказано.
Ответ выбран лучшим
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСD
AC^2=CD^2+AD^2=10^2+4^2=116
[b]AC[/b]=sqrt(116)= [b]2sqrt(29)[/b]


Δ ACD~ Δ BCD по двум углам.
CD:DB=AD:CD
или
СD^2=AD*BD ( высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу)

BD=CD^2/AD=10^2/4=100/4=25
[b]BD=5[/b]
Значит
[b]AB[/b]=AD+DB=4+25= [b]29[/b]

По теореме Пифагора
BC^2=CD^2+BD^2=10^2+25^2=100+625=725
[b]BC=[/b]sqrt(725)= [b]5sqrt(29)[/b]

(прикреплено изображение)
По теореме Пифагора второй катет 20 см
По методу площадей:
a*b/2=c*h/2
h=15*20/25=12 cм - высота.
По теореме Пифагора
15^2-12^2=81=9^2 - квадрат проекции меньшего катета
проекция меньшего катета 9 см.
25-9=16 проекция большего катета.

12/25 - отношение высоты к гипотенузе
12/25=48/100=48%
отношение проекции катета 15 см к гипотенузе
9/25=36/100=36%
отношение проекции катета 15 см к гипотенузе
16/25=64/100=64% (прикреплено изображение)
1)
f`(x)=12x^3-12x

f`(x)=0

12x^3-12x=0

12х*(x^2-1)=0

x=0 или х= ± 1

Знак производной
_-_ (-1) __+_ (0) _-__ (1) __+__

y`< 0 на (- ∞; -1) и на (0;1)
значит функция убывает на (- ∞; -1) и на (0;1)

y`>0 на (-1;0) и на (1;+ ∞)
значит функция возрастает на (-1;0) и на (1;+ ∞)

x=-1 и х=1 - точки минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

см. рис.1

2)
f`(x)=3-3x^2
f`(x)=0

3-3x^2=0
3*(1-x^2)=0
x= х= ± 1

Знак производной
_-_ (-1) __+__ (1) __-__

y`< 0 на (- ∞; -1) и на (1;+ ∞)
значит функция убывает на (- ∞; -1) и на (1;+ ∞)

y`>0 на (-1;1)
значит функция возрастает на (-1;1)

x=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

см. рис.2 (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x^2>0⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1⇒ x ≠ ± 1
{2x^2-6x+9 >0 при любом х, так как D=6^2-4*2*9<0

lg(cos(-6π))=lg(cos6π)=lg1=0

2^(0)=1

Неравенство примет вид:
1 ≥ log_(x^2)(2x^2-6x+9)

log_(x^2)(2x^2-6x+9) ≤ 1

1= log_(x^2)(x^2)

log_(x^2)(2x^2-6x+9) ≤ log_(x^2)(x^2)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^2-1)*(2x^2-6x+9-x^2) ≤ 0
(x-1)(x+1)(x-3)^2 ≤ 0

__+__ (-1) __-__ (1) __+__ [3] __+___

С учетом ОДЗ получаем ответ.
[b] (-1;0)U(0;1)U{3}[/b]
7.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проводим A_(1)C_(1) ⊥ B_(1)D_(1)
и АС ⊥ BD

Проекцией АС_(1) является MK
Угол АОК - искомый, находим из треугольника AOK
[b]tg ∠ AOK[/b]=AK/OK=sqrt(2)/2/1/2= [b]sqrt(2)[/b]

АК=AC/2=sqrt(2)/2
ОК=(1/2)МК=1/2

О т в е т. ∠ AOK= arctg(sqrt(2))

10.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проекцией BD_(1) является BС_(1).

Угол C_(1)BD_(1) - искомый, находим из треугольника C_(1)BD_(1)

tg ∠ C_(1)BD_(1)=C_(1)D_(1)/BC_(1)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2
∠ C_(1)BD_(1)=arctg (sqrt(2)/2)

О т в е т. ∠ C_(1)BD_(1)=arctg (sqrt(2)/2)

8.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проекцией A_(1)C является B_(1)C.

Угол A_(1)BC_(1) - искомый, находим из треугольника A_(1)BC_(1)

tg ∠ A_(1)BC_(1)=A_(1)B_(1)/B_(1)C=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2
∠∠ A_(1)BC_(1)=arctg (sqrt(2)/2)

О т в е т. ∠ A_(1)BC_(1)=arctg (sqrt(2)/2)

12.
BD ⊥ AC

AC⊥ BO
B_(1)O - медиана равнобедренного треугольника АВ_(1)С
Значит, B_(1)O⊥ AC

АС ⊥ пл. В_(1)ОВ, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости BO и B_(1)O.

пл. АВ_(1)С ⊥ пл. В_(1)ОВ


⇒ ОС- проекция ВС,
угол между ОС и ВС - это угол АСВ он равен 45 градусов

ВС || A_(1)D_(1)

Значит угол между A_(1)D_(1) и пл. АВ_(1)С равен 45 градусов

11.
Как в 12.
∠ А_(1)В_(1)О= 45 градусов.

9. AB_(1)|| DС_(1)

AB_(1) || пл. DС_(1)B
Значит угол между ними 0 градусов. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть ширина полей х см.
Тогда
площадь листа с картиной - площадь прямоугольника со сторонами
(2x+11) и (2х+22)

(2x+11)*(2x+22)=900
4x^2+22x+44x+242=900
4x^2 + 66x - 658 = 0
2x^2 + 33x - 329 =0

D=33^2-4*2*(-329)=1089 +2632=3721=61^2

x=(-33+61)/4=7 второй корень уравнения <0

О т в е т. 7 см (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Решаем уравнение
x^2+6x+51 ≥0

D=36-4*51 < 0
Уравнение не имеет корней
Графиком квадратного трехчлена y=x^2+6x+51 является парабола, ветви направлены вверх, парабола не пересекает ось Ох, расположена выше оси Ох
Решение неравенства x - любое
О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Выносим за скобки 5 меньшей степени и 3 в меньшей степени
5^(x)*(5^2+5-1) < 3^((x/2)-1)* (3^2-3+1)

5^(x)*29 < 3^((x/2)-1)*7

5^(x)*29< 3^(x/2)*3^(-1) * 7

Делим на 3^(x/2)*29
5^x/(3^(x/2)) < 7/87

(5/sqrt(3))^(x) < 7/87

(5/sqrt(3))^(x) < (5/sqrt(3))^(log_(5/sqrt(3))(7/87)

5/sqrt(3) > 1, показательная функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x < log_(5/sqrt(3)) (7/87)

О т в е т. (- ∞ ; log_(5/sqrt(3)) (7/87))
площадь основания цилиндра
S_(осн)=πR^2
площади осевого сечения цилиндра - площадь прямоугольника со сторонами 2R и Н
πR^2 : 2R*Н=πR/H

πR/H=sqrt(3)/4
R=sqrt(3)*H/(4π)

a) tg α =H/2R=H/(sqrt(3)*H/(2π))=2π/sqrt(3)
α =arctg (2π/sqrt(3))

б)
d^2=H^2+(2R)^2=H^2+4R^2

По теореме косинусов из треугольника MAB

(2R)^2=(d/2)^2+(d/2)^2-2*(d/2)*(d/2)*cos∠AMB

cos∠AMB=((d^2/4)+(d^2/4)-4R^2)/(d^2/2) =

=((H^2+4R^2)/2 - 4R^2)/(H^2+4R^2)/2=

Подставляем вместо R=sqrt(3)*H/(4π)
и получаем ответ (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{8x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x>0
{x/2 > 0 ⇒ x>0

[b](0;+ ∞ )[/b]

Так как
log_(2)(8x^2)=log_(2)8+log_(2)x^2=
=3+2log|x|=(согласно ОДЗ: x>0 и |x|=x)=3+2logx

log_(2)(x/2)=log_(2)x-log_(2)2=log_(2)x-1
log^2_(2)(x/2)=(log_(2)x-1)^2=log_(2)x-2log_(2)x+1

Замена переменной
log_(2)x=t

Неравенство принимает вид:
(3+2t+2t+12)/(t^2-2t+1-16) ≥ -1;

(4t+15)/(t^2-2t-15) + 1 ≥ 0

(4t+15+t^2-2t-15)/(t^2-2t-15) ≥ 0

(t^2+2t)/(t^2-2t-15) ≥ 0

t^2+2t=t*(t+2)

t^2-2t-15=(t+3)(t-5)
D=4+60=64
корни (-3) и 5

Решаем методов интервалов

_+__ (-3) _-__ [-2] __+_ [0] __-__ (5) __+__

t < -3 или -2 ≤ t ≤ 0 или t > 5

Обратный переход

log_(2)x < -3 или -2 ≤log_(2)x ≤ 0 или log_(2)x> 5

log_(2)x <log_(2)(1/8) или log_(2)(1/4) ≤log_(2)x ≤ log_(2)1 или log_(2)x> log_(2)32

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

x <1/8 или 1/4 ≤log_(2)x ≤1 или x> log_(2)32

С учетом ОДЗ получаем ответ.
[b](0;1/8) U [1/4;1] U (32;+ ∞ )[/b]
1.
a)
2x+1>x+3
2x-x>3-1
x>2
О т в е т. (2;+ ∞ )
б)
2х+3 ≤ 4x-2
2x-4x ≤ -3-2
-2x ≤ -5
x ≥ 2,5
О т в е т. [2,5;+ ∞ )
в)
7-3x > -3x
7>0 - верно при любом х
О т в е т. (- ∞;+ ∞ )

2.
Cоставляем неравенство ( ниже значит меньше):
2x^2-3x-11 < (3-2x)(1-x)
2x^2-3x-11 < 3-2x-3x+2x^2
-3x+2x+3x < 3+11
2x < 14
x< 7
О т в е т. (- ∞;7 )

3.
{2x-4> 1-3x
{2x-4 > 3x+2

{2x+3x > 1+4
{2x-3x > 4+2

{5x > 5
{-x > 6

{x>1
{x< -6
Множества решений первого и второго неравенств не пересекаются
Cистема не имеет решений

{2x-4 > 3x-2
{2x-4 > 1-3x

{2x-3x > 4-2
{2x+3x>1+4

{-x > 2
{5x>5

{x< -2
{x> 1
Множества решений первого и второго неравенств не пересекаются
Система не имеет решений

4
a)
|3-x| ≤ 4
-4 ≤ 3-x ≤ 4
Вычитаем 3)
-7 ≤ -x ≤ 1
Умножаем на -1 и меняем знак.
-1 ≤ x ≤ 7

О т в е т. [-1;7]

б)
|3-x| ≤ 0
|3-x| ≥ 0, поэтому возможно только
3-x=0
x=3

О т в е т. 3

в)
|3-x| ≥ 5 ⇔ 3-x ≤ -5 или 3-х ≥ 5

-х ≤ -5-3 или -х ≥ 5-3

x ≥ 8 или x ≤ -2

О т в е т. (- ∞ ;-2] U [8; + ∞ )

г)

|3 - x| ≥ -2
|3-x| ≥ 0 ≥ -2
верно при любом х

О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ )

5.
Совокупность двух систем:

(1)

{-3x > -12 + x;
{x < -2
{2x+1 > -x-16

или

(2)
{-3x > -12 + x;
{x ≥ 1
{2x+1 > -x-16

(1)

{-3x - x > -12 ;
{x < -2
{2x+x > -1-16

{-4x > -12 ;
{x < -2
{3x > -1-16

{x< 3
{x<-2
{x> -17/3

[b](-17/3;-2)[/b]

(2)

{-3x- x > -12;
{x ≥ 1
{3x> -1-16


{x< 3
{x ≥ 1
{x> -17/3

[b][1;3)[/b]

Объединяем ответы систем (1) и (2)
О т в е т. [b](-17/3;-2) U [1;3)[/b]
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1+2+3+4+5=15
15*5=75
Сумма всех чисел таблицы 75
75:3=25 в каждой области.

О т в е т. cм рисунок (прикреплено изображение)
Проведем высоту SO - пирамиды SАВСD
O- точка пересечения диагоналей квадрата
H=SO
V_(пирамиды SABCD)= [b](1/3)*S(квадрата АВСD) * H[/b]

EK- высота пирамиды EABC
ЕК- средняя линия Δ SBO
EK=H/2

V_(пирамиды EABC)=(1/3)*S( Δ АВС) * H/2

S( Δ АВС) =(1/2)S(квадрата АВСD)

V_(пирамиды EABC)=(1/3)*(1/2)S(квадрата АВСD) * H/2=
=(1/4)* [b] (1/3)*S(квадрата АВСD) * H[/b]= (1/4)V_(пирамиды SABCD)

Значит,
V _(тела)=V_(пирамиды SABCD)-V_(пирамиды EABC)=
=V_(пирамиды SABCD)- (1/4)V_(пирамиды SABCD)=

=(3/4)*V_(пирамиды SABCD)=(3/4)*34=51/2= [b]25,5[/b]

О т в е т. [b]25,5
[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
СС_(1)||BB_(1)
∠ AC_(1)C - угол между CC_(1) и AC_(1), а значит и между
BB_(1) и AC_(1)
Находим его из прямоугольного равнобедренного треугольника
ACC_(1)
АС=СС_(1)=17

[b]∠ AC_(1)C=45 градусов.[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x+3>0 ⇒ x > -3
{x+3 ≠ 1 ⇒ x ≠ -2
{x+2>0 ⇒ x > -2
{(x-1)^2>0 ⇒ x ≠ 1

(-2;1) U (1;+ ∞ )

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули функции
f(x)=(x^2+3x+2)*log_(x+3)(x+2)*log_(3)(x-1)^2

x^2+3x+2=0
D=9-4*2=1
x_(1)=(-3-1)/2=-2; х_(2)=(-3+1)/2=-1
[b]x_(1)=-2; х_(2)=-1[/b]

-(2) __-__ [-1] __+__

log_(x+3)(x+2)=0

x+2=(x+3)^(0)
x+2=1
[b]x=-1[/b]

(-2) __-__ [-1] ___ + ____

log_(3)(x-1)^2=0
(x-1)^2=3^(0)
(x-1)^2=1
x-1=-1 или x-1=1
[b]x=0 или х=2[/b]

(2) __+__ [0] __-___ [2] _ +__

Отмечаем найденные корни на области определения

(-2) __+_ [-1] _+_ [0] _-_ (1) __-_ [2] ___+__

О т в е т. {-1}U[0;1)U(1;2]
Ответ выбран лучшим
Упростим подынтегральную функцию.
Делим и числитель и знаменатель на sqrt(2x+2)

(4sqrt(2-x)-sqrt(2x+2))/((4sqrt(2-x)-sqrt(2x+2))*(2x+2)^2)=

(4sqrt((2-x)/(2x+2))-1)/(4sqrt((2-x)/(2x+2))+1)*(2x+2)^2

Замена переменной

sqrt((2-x)/(2x+2))=t

(2-x)/(2x+2)=t^2

2-x = 2xt^2+2t^2

2-2t^2=2xt^2+x

x=(2-2t^2)/(2t^2+1)


dx=(-4t*(2t^2+1)-4t*(2-2t^2))dt/(2t^2+1)^2

dx=-12t/(2t^2+1)^2


x+2=6/(2t^2+1)

получим:

-2* ∫ (4t-1)*tdt/(4t+1)= выделяем целую часть=

=-2* ∫(t - (1/2) + 1/(2*(4t+1))) dt=

= [b]-t^2+ t -(1/8) ln |4t+1| +C,

где

t= sqrt((2-x)/(2x+2))[/b]
Ответ выбран лучшим
Найдем две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей

x+y-2z-1=0 и x-y-z+2=0

из системы:
{x+y-2z-1=0
{x-y-z+2=0

Так как точек на прямой бесчисленное множество, то выберем кооpдинату
z=0
{x+y-1=0
{x-y+2=0

Cкладываем
2х+1=0
х=-1/2
у=х-1=(-1/2)-1=-3/2

M(-1/2; -3/2;0)

Выберем кооpдинату
y=0
{x-2z-1=0
{x-z+2=0

Вычитаем из первого второе
-z-3=0
z=-3

x=2z+1
х=-6=1=-5

N(-5; 0;-3)

Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки:

(x+5)/((-1/2)+5)=(y-0)/((-3/2)-0)=(z+3)/3

[b](x+5)/4,5=y/(-1,5)=(z+3)/3[/b] - о т в е т
Ответ выбран лучшим
1.
Основное логарифмическое тождество:
[b]a[/b]^(log_( [b]a[/b])b)=b
a>0;a ≠ 1; b>0

(1-2^2)=1-4=-3
Логарифмы отрицательных чисел не существуют
Применить формулу нельзя.

2.
(8^(2/5))^(1/2)=8^((2/5)*(1/2))=8^(1/5)
∛64=∛4^3=4
8^(1/5)*4=(2^3)^(1/5)*2^2=2^(3/5)*2^(2)=2^((3/5)+2)=2^(13/5)

3.
sqrt(14)=sqrt(7)*sqrt(2)

sqrt(14)*(sqrt(7)+2-3sqrt(2))=

=sqrt(7)*sqrt(7)*sqrt(2)+2sqrt(14)-3sqrt(7)*sqrt(2)*sqrt(2)=

=7*sqrt(2) +2sqrt*(14)-6sqrt(7)

4.
a^6+b^6=(a^2)^3+(b^2)^3=
формула (m^3+n^3=(m+n)*(m^2-mn+n^2);
m=a^2; n=b^2)

=(a^2+b^2)*((a^2)^2-a^2*b^2+(b^2)^2)=(a^2+b^2)*(a^4-a^2b^2+b^4)

(a^6+b^6)/(a^4-a^2b^2+b^4)=a^2+b^2

5a)
(1+tg^230 градусов)*(1-tg^230 градусов)-ctg^260 градусов=

=(1+(sqrt(3)/3)^2)*(1-(sqrt(3)/3)^2)*-(sqrt(3)/3)^2=

=(1+(1/3))*(1-(1/3)) - (1/3)=(1^2-(1/3)^2- (1/3)=(8/9)-(6/9)=2/9

5b)
(sin(π/6) - cos(π/6))^2+tg(7π/4)=

= [b]sin^2(π/6)[/b]-2sin(π/6)*cos(π/6)+ [b]cos^2(π/6)[/b]+tg(2π-(π/4))=

= [b]1[/b]- sin(2*(π/6))- tg(π/4)=1-sin(π/3)+1=-sin(π/3)= [b]-sqrt(3)/2;[/b]

6a)
1-cos^2 α =sin^2 α

1-cos^2 α +sin^2 α =sin^2 α +sin^2 α =2sin^2 α

ctg(5π/4)=ctg(π+(π/4))=ctg(π/4)=1

(1-cos^2 α +sin^2 α)*сtg(5 π/4)=2sin^2 α *1=2sin^2 α

6b)
2sin^2 α+cos^2 α =sin^2 α +sin^2 α +cos^2 α =

=sin^2 α +(sin^2 α +cos^2 α)=sin^2 α +1

sin^4 α -1=(sin^2 α -1)*(sin^2 α +1)

(2sin^2 α+cos^2 α)*(sin^2 α -1)/(tg α*(sin^4 α -1))=

=(sin^2 α +1)*(sin^2 α -1)/(tg α*(sin^2 α -1)*(sin^2 α +1))=

=1/tg α =ctg α

При α =π/4

ctg(π/4)=1

6c

sin(- α ) =- sin α

sin(π- α )=sin α

tg((π/2)+ α )= - ctgα

sin(- α )+sin(π- α )*(tg((π/2)+ α )=

=-sin α +sin α *(cos α /sin α )=-sin α +cos α

7.
cos1230 градусов= cos( 4*360 градусов - 210 градусов)=

=cos(-210 градусов)= cos(-180 градусов - 30 градусов)=

=-cos(30 градусов)=-sqrt(3)/2:

sin(-405 градусов)=-sin405 градусов =

=- sin( 360 градусов + 45 градусов)=-sin 45 градусов= - sqrt(2)/2:

tg(-7π/3)=-tg(7π/3)=-tg(2π+(π/3))= - tg(π/3)= - sqrt(3);

ctg(29π/6)=ctg((30π/6)-(π/6))=ctg(5π- (π/6))=ctg(-π/6)=- sqrt(3).
1)
АВС- равносторонний треугольник.
DO_(1)=h
∠ DKO_(1)= α

O_(1)- центр правильного треугольника, т.е центр вписанной и описанной окружностей.
О_(1)K=r ( радиусу вписанной окружности)
В правильном треугольнике со стороной а
[b]r=asqrt(3)/6 [/b]

В прямоугольном треугольнике DO_(1)K
tg α=DO_(1)/O_(1)K ⇒
O_(1)K=DO_(1)/tg α
[b]r=h/tg α [/b]

Приравниваем правые части выделенных равенств
asqrt(3)/6=h/tg α

a=6h/(sqrt(3)*tgα)=2sqrt(3)h/tgα

V_(пирамиды)=(1/3)S_(осн)*h

Площадь равностороннего треугольника со стороной а:

S( Δ)=a^3sqrt(3)/4

[b]V_(пирамиды)[/b]=(1/3)(2sqrt(3)h/tgα)^2*(sqrt(3)/4)*h=

= [b]sqrt(3)h^3/tg α [/b]

при h=3
α =60 градусов:

V_(пирамиды)=sqrt(3)*(3)^3/tg60 градусов [b]=27[/b]

2)

Радиус вписанного шара
R=ОM=OO_(1)
находим из прямоугольного треугольника ОКО_(1)
КО - биссектриса ∠ DKO_(1)= α

tg α/2=OO_(1)/O_(1)K

R=O_(1)K*tg( α /2)= htg( α/2)/tg α

[b]V_(шара)[/b]=(4/3)πR^3= [b](4/3)π*(h^3tg^3( α /2)/tg^3 α )[/b]

при h=3
α =60 градусов

V_(шара)=(4/3)π*(3^3tg^3(30^(o))/tg^3 60^(o))= [b]4h^3/81[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Определение.Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где a < b ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке.

f(x)=(2x+1)^2
F(x)=(1/2)*((2x+1)^3/3)=(2x+1)^3/6

F(2,5)=(2*2,5+1)^3/6=6^3/6=6^2=36
F(1)=(2*1+1)^3/6=27/6=4,5

∫ ^(2,5)_(1)(2x+1)^2dx=F(2,5)-F(1)=36-4,5= [b]31,5[/b]
Катет XZ по теореме Пифагора
XZ^2=13^2-12^2=25
XZ=5
r=S/p
S=(1/2)XY*XZ=(1/2)*12*5=30
p=(13+12+5)/2=15
r=30/15=2

d^2=H^2+r^2=1,5^2+2^2=2,25+4=6,25
d= [b]2,5[/b]
В равнобедренном треугольнике, высота, проведенная к основанию является одновременно и медианой, т.е делит основание пополам
По теореме Пифагора
h^2=15^2-9^2=144
h=12

r=S/p

S=(1/2)*18*12=108
p=(15+15+18)/2=24
r=108/24=9/2


По теореме Пифагора
d^2=H^2+r^2= 6^2+(9/2)^2=36+(45/4)=189/4
d= [b]sqrt(189)/2[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Аналогично тому что приведено в приложении с той лишь разницей, что вместо sinbx, у Вас сosbx (прикреплено изображение)
пусть x>0; y>0

Логарифмируем первое уравнение:
lnx^((x+y))=lny^((x-y))

(x+y)*lnx=(x-y)lny (#)

Выражаем у из второго
y=1/x^2
и подставляем в (#)

(x+(1/x^2))lnx=(x-(1/x^2))ln(1/x^2)

ln(1/x^2)=ln(x^(-2))=-2lnx

(x^3+1)lnx/x^2=-2(x^3-1)lnx/x^2

(x^3+1)lnx/x^2+2(x^3-1)lnx/x^2=0

((lnx)/x^2)*(x^3+1+2x^3-2)=0
lnx=0
[b]x=1[/b] тогда у=1/1^2= [b]1[/b]

3x^3-1=0
[b]x=1/∛3=∛9/3[/b] тогда y=1/x^2=1/( 1/∛3)^2 [b]=∛9[/b]

О т в е т. (1;1); (∛9/3;∛9)
14.2
Подставляем эту пару чисел (1;2) в каждое уравнение системы:
{1-2=-1 верно
{1^2-1*2=1- неверно

Не является решением системы (1)

1*2+1^2=6 - неверно
2*1+2=4 - верно
Не является решением системы ( 2)

14.7
a)
{x=y+2; ( умножаем на 3)
{2x+3y=1

{3x-3y-6=0
{2x+3y-1=0
Складываем
5x-7=0
x=7/5
x=1,4

y=x-2=1,4-2=-0,6

(1,4;-0,6)- о т в е т.


б)
{3x-y=1 ( умножаем на 3)
{2x+3y=2

{9x-3y=3
{2x+3y=2

Cкладываем
11х=5
x=5/11
y=3x-1=3*(5/11)-1=4/11

О т в е т. (5/11;4/11)
ОДЗ:
{x+2>0 ⇒ x > - 2
{x+2≠1 ⇒ x≠-1
{5-2x>0 ⇒ x < 2,5
Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один равен 0, а другой при этом [b]не теряет смысла.[/b]

[b]x=0[/b] или log_(x+2)(5-2x)=0 ⇒ 5-2x=(x+2)^(0) ⇒ 5-2x=1; -2x=-4; [b]x=2[/b]
Оба корня удовлетворяют ОДЗ:
0>-2
2>-2

0≠-1
2≠-1

0 < 2,5
2<2,5

О т в е т. 0 и 2
ctg^2x+1=1/sin^2x⇒ ctg^2x=(1/sin^2x)-1

ctg^3x=ctgx*ctg^2x=ctgx*((1/sin^2x)-1)=(ctgx/sin^2x)- (ctgx)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов
∫ ctg^3xdx=
∫ (ctgxdx/sin^2x)- ∫ (ctgx)dx= ∫ ctgx(-d(ctgx)) - ∫ d(sinx)/sinx=

= [b](-ctg^2x)/2 - ln|sinx|+C[/b]

Метод подведения под дифференциал.

Два табличных интеграла

[b] ∫ udu=u^2/2[/b]

u=ctgx
du=-dx/sin^2x


[b]∫ du/u=ln|u|[/b]

u=sinx
du=cosxdx
ctgxdx=cosxdx/sinx=d(sinx)/sinx=du/u
Проводим
D_(1)K || CE
KM|| BD

∠ D_(1)KM - угол между D_(1)K и KM, а значит и между параллельными им прямыми DB и CE

Найдем его из равнобедренной трапеции
D_(1)B_(1)MK

BD=sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной 1

СE=sqrt(1+(1/2)^2)=sqrt(5)/2

FK ⊥ B_(1)D_(1)

FD_(1)=sqrt(2)/4
sin ∠ FKD_(1)=FD_(1)/KD-(1)=sqrt(10)/10

FKD_(1)=arcsin(sqrt(10)/10)

∠ MKD_(1)=(π/2)+arcsin(sqrt(10)/10) (прикреплено изображение)
tg∠B =1/√ ​3 ⇒ ∠ B=30 градусов.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Значит, ∠ A=90 градусов - ∠ В=90 градусов - 30 градусов= 60 градусов.
cos ∠ A=cos 60 градусов = [b]1/2[/b]
x=2 - точка разрыва второго рода

lim_(x→2-0)6^(1/(x-2))= 6^(- ∞)=0
lim_(x→2+0)6^(1/(x-2))= 6^(+ ∞)=+ ∞

В остальных точках функция непрерывна, как композиция непрерывных функций.

[b]a_(n)=1/(n+1)![/b]

R=lim_(n→∞)a_(n)/a_(n+1)=lim_(n→∞)(1/(n+1)!)/(1/(n+2)!)=

lim_(n→∞)(n+2)= ∞

ряд сходится на (- ∞ ;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Обозначим это выражение через a
[b]a ≥ 0[/b]
как сумма двух арифметических квадратных корней.

Возведем в квадрат

x-2sqrt(x-1)+2sqrt(x-2sqrt(x-1))*sqrt(x+2sqrt(x-1))+x+2sqrt(x-1)=a^2

2sqrt(x-2sqrt(x-1))*sqrt(x+2sqrt(x-1))+2x=a^2
2sqrt(x^2-4(x-1))+2x=a^2

2sqrt((x-2)^2)+2x=a^2

2|x-2|+2x=a^2

[b]a=sqrt(2|x-2|+2x)[/b]

при х=1,2019
x-2 < 0
|x-2|=2-x
2*|x-2|+2x=2*(2-x)+2x=4-2x+2x=4

a=sqrt(4)=2

О т в е т. 2
Ответ выбран лучшим
(3,2+sqrt(8))^(9)

Пусть T_(k)=C^(k)_(9)*(3,2^(k))*(sqrt(8))^(9-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)
{C^(k)_(9)*(3,2^(k))*(sqrt(8))^(9-k)> C^(k-1)_(9)*(3,2^(k-1))*(sqrt(8))^(9-k+1);
{C^(k)_(9)*(3,2^(k))*(sqrt(8))^(9-k)>C^(k+1)_(9)*(3,2^(k+1))*(sqrt(8))^(9-k-1)

Осталось решить систему неравенств и найти k
Замена переменной:
sqrt(x^2-24)=t
[b]t≥ 0[/b]
t^2-2t-15=0
D=4-4*(-15)=64
t_(1)=(2-8)/2=-3; t_(2)=(2+8)/2=5
t_(1) не удовл. усл. [b]t≥ 0[/b]
Обратный переход
sqrt(x^2-24)=5
x^2-24=25
x^2=1
x= ± 1
Но при х= ± 1 sqrt(x^2-24) не существует
О т в е т. уравнение не имеет корней
tg∠B =1/√ ​3 ⇒ ∠ B=30 градусов.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Значит, ∠ A=90 градусов - ∠ В=90 градусов - 30 градусов= 60 градусов.
cos ∠ A=cos 60 градусов = [b]1/2[/b]

1.
4cos(π/3)-2sin(π/3)+sinπ=4*(1/2)-2*sqrt(3)/2+0=2-sqrt(3);
sin750^(o)=sin(720^(o)+30^(o))=sin30^(o)=1/2;
cos(7π/6)=cos(π+(π/6))=-cos(π/6)=-sqrt(3)/2

2.
sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(-4/5)^2=1-(16/25)=9/25
cos α =- 3/5 ( знак - ,так как угол в третьей четверти)

tg α =sin α /cos α =(-4/5)/(-3/5)=4/3

сtg α =cos α /sin α =3/4

3.
a) sin( α + β )+sin( α - β )=(sin α *cos β+cos α*sin β)+( sin α *cos β-cos α*sin β)=2sin α *cos β

б) 1+2sin(- α )*sin((3π/2)- α)= 1-2sin α *(-cos α)=1+2sin α*cos α =

=1+sin2 α

4.
a) cos2 α +sin^2 α =(1-2sin^2 α )+sin^2 α =1-sin^2 α =
= [b](1-sin α)(1+sin α )[/b]
б) (tg α +ctg α )*(1-cos4 α)=((sin α /cos α )+(cos α/sin α))*(1-cos4 α )

=((sin^2 α +cos^2 α )/cosα *sin α) *(1-(cos^22α -sin^22α))=

=(2/sin2 α)*(sin^22 α +sin^22 α )=4sin^22 α /sin2 α = [b]4sin2 α [/b]

5.cos(4x-3x)=-1
cosx=-1
x=π+2πn, n ∈ Z

6.
cos( α + β)=cos α cos β -sin α sin β

Возводим равенства
sin α -sin β =-1
cos α +cos β =-sqrt(3)
в квадрат

sin^2 α -2sin α* sin β +sin^2 β =1
cos^2 α +2cos α *cos β+cos^2 β =3

Складываем

(sin^2 α +cos^2 α)-2sin α *sin β +(sin^2 β +cos^2 β) +2cos α *cos β =4 ⇒
cos α cos β -sin α sin β =1

cos( α + β)=cos α cos β -sin α sin β = [b]1[/b]
1.
13 ∈ A; 39 ∈ A; 91 ∈ A; 195 ∈ A
-3 ∉ A; -90 ∉ A; 75 ∉ A; -8 ∉ A

2. 191; 193; 197; 199 - всего 4 числа

3. cм. рис. (прикреплено изображение)
Замена переменной:
x-(π/2)=t
x→π/2, тогда t→0
x=t+(π/2)

lim_(x→π/2)(cosx)^(x-(π/2))=lim_(t→0)(cos(t+(π/2)))^(t)=

= lim_(t→0)(- sint)^(t)

Обозначим
y=(sint)^(t)
Логарифмируем
lny=t*lnsint

Находим
lim_(t→0)lny=lim_(t→0)t*lnsint =(неопределенность 0* ∞ ) сводим к неопределенности ( ∞ / ∞ ) (u*v=u/(1/v))

lim_(t→0)t*lnsint =lim_(t→0)lnsint / (1/t) Применяем правило Лопиталя:

lim_(t→0)(lnsint)` / (1/t)`=lim_(t→0)(sint)`/sint / (-1/t^2)=

=lim_(t→0)(sint)`/cost / (-1/t^2)=- lim_(t→0)t^2*cost / sint=

=- lim_(t→0)(t / sint) * lim_(t→0)(t*cost)=1*0=0

Тогда
lim_(t→0)lny=0

lim_(t→0)y=e^(0)=1

О т в е т. [b] 1[/b]
Замена переменной
1/x=t
x=1/t
dx=(-1/t^2)*dt

2+x-x^2=2+(1/t)-(1/t)^2= (2t^2+t-1)/t^2

sqrt(2+x-x^2)=sqrt(2t^2+t-1)/t

Тогда данный интеграл можно представить:

∫ (-1/t^2)dt/sqrt(2t^2+t-1)/t^2=- ∫ dt/sqrt(2t^2+t-1)

Выделяем полный квадрат

2t^2+t-1=2*(t^2+(1/2)t-(1/2))=2*(t+(1/4))^2+(1/16)-(1/16)-(1/2))=

=2*((t+1/4)^2-9/16)

Табличный интеграл
∫ du/sqrt(u^2 ± a)

=(-1/sqrt(2)) ∫ dt/sqrt(t+(1/4))^2-(9/16))=

=(-1/sqrt(2))ln|t+(1/4)+sqrt)t^2+(1/2)t-(1/2))+C

где t=1/x
sin2x-1=0 или cos^2x-1=0
sin2x=1 или cosx= ± 1

sin2x=1 ⇒ 2x=(π/2)+2πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/4)+πk, k ∈ Z [/b]

cosx= 1⇒ [b]x=2πn, n ∈ Z [/b]

cosx=- 1⇒ [b]х=π+2πm, m ∈ Z[/b]

а)

корни, принадлежащие интервалу (0,2π):
x=π/4
х=π
x=(π/4)+π=5π/4

б)
корни, принадлежащие интервалу (–2π,0):
x=-3π/4
х= - π
х=-7π/4


в)
корни, принадлежащие интервалу (–π/2,π):
х=0
x=π/4

г)
корни, принадлежащие интервалу (4π, 11π/2)
x=(π/4) + 4π=17π/4
х=5π
x=(π/4)+5π=21π/4

2.
3,5 +5,5+3=12
360 градусов:12=30 градусов в одной части
Значит
3,5*30 градусов =105 градусов
5,5*30 градусов =165 градусов
3*30 градусов = 90 градусов

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
О т в е т. 52,5 градусов; 82,5 градусов; 45 градусов

3.
Пусть АB=x, тогда AD=(x+1)
Произведение отрезков хорд, пересекающихся в одной точке есть величина постоянная.

CA*AE=BA*AD

6*12=x*(x+1)

x^2+x-72=0
D=289
x=(-1+17)/2=8
второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию задачи

BA=8
AD=8+1=9
BD=8+9= [b]17[/b]

4.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов катет равен половине гипотенузы.

О т в е т. 27/2=13,5

(прикреплено изображение)
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проекцией АВ_(1) является АВ
Значит, ∠ В_(1)АВ=60 градусов.

АВ=sqrt(2) - гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами 1
ВВ_(1)=АВ*tg∠ В_(1)АВ=sqrt(2)*sqrt(3)=sqrt(6)

H=ВВ_(1)=sqrt(6)

V=S_(осн.)*H=(1/2)*1*1*sqrt(6)= [b]sqrt(6)/2[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Треугольник АВС -прямоугольный равнобедренный,
значит гипотенуза АВ=sqrt(2)

Из прямоугольного (ВС⊥ пл. АА_(1)С_(1)С и значит, ВС⊥А_(1)С треугольника ВА_(1)С
ВС- катет, лежащий против угла в 30 градусов.
Поэтому гипотенуза
A_(1)B=2BC=2*1=2
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АА_(1)В
(АА_(1))^2=(A_(1)B)^2_AB^(2)=(sqrt(3))^2-(sqrt(2))^2=3-2=1
АА_(1)=1

H=АА_(1)=1
S_(бок.)=P_(осн)*H=(1+1+sqrt(2))*1= [b]2+sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Грань ABB1A1- прямоугольник со сторонами
sqrt(3) и 1
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проведем из точки О перпендикуляр ОK
Грань ABB1A1- прямоугольник
ОК=(1/2)АА_(1)=sqrt(3)/2
СК - высота равностороннего треугольника АВС

CK=sqrt(3)/2

Из прямоугольного треугольника CОК

tg ∠ OCK=OK/CK=sqrt(3)/2/sqrt(3)/2=1
∠ OCK=45 градусов.

О т в е т. 45 градусов. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Находим частные производные
z`_(x)=4x-y+2
z`_(y)=2y-x+3

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{4x-y+2=0
{2y-x+3=0

Умножаем первое уравнение на 2
{8x-2y+4=0
{2y-x+3=0

Складываем
7x+7=0
x=-1

y=4x+2=4*(-1)+2=-2

M(-1;-2)

Находим вторые частные производные
z``_(xx)=4
z``_(xy)=-1
z``_(yy)=2

A=z``_(xx)(M)=4
B=z``_(yy)(M)=2
C=z``_(xy)(M)=-1

Δ= AB - C^2=4*2-(-1)^2=7 > 0
точка M - точка экстремума.
Так как A=z``_(xx)(M)=4>0, то это точка [b]минимума.[/b]

z(-1;-2)=2+4-2-2-6-7= [b]-11[/b]
Это дифференциальный бином.
Подстановки Чебышева.
( см. приложение)
m=3;
n=2
p=-3/2

Второй случай
(m+1)/n=(3+1)/2=2 - целое.

знаменатель дроби p равен 2

Замена переменной:
1+2x^2=t^2 ⇒ x^2=(t^2-1)/2
d(x^2)=d((t^2-1)/2)
2xdx=tdt

∫ x^3*(1+2x^2)^(-3/2)dx= ∫ [b]x^2[/b](1+2x^2)^(-3/2) * x dx=

= ∫ [b]((t^2-1)/2)[/b]* t^(-3/2) * (dt/2)=

=(1/4) ∫ (t^3-t)*t^(-3)dt= (1/4) ∫ (1- t^(-2))dt=

=(1/4)t - (1/4)*(-1/t) + C=

= [b]sqrt(1+2x^2)/4 +1/(4 *sqrt(1+2x^2)) + C[/b]


P.S.
Метод замены переменной в интегралах основан на применении теоремы:
∫ f(x)dx= ∫ f( φ (t)) * φ `(t)dt
В интеграле слева- переменная х, справа - t.

Поэтому смешивать переменные под знаком интеграла не следует.
Это говорит о неумении применять замену переменной в интеграле.

Дифференциал, это не просто символ, это дифференциал функции
df(x)=f`(x)dx

Поэтому равенство
d(1+2x^2)=dt - это равенство двух дифференциалов, как и равенство
4xdx=dt

Поэтому равенства
[b]dx=dt/4x [/b]в решении быть не должно. Оно бессмысленно с точки зрения теории
дифференциального исчисления.
(прикреплено изображение)
a_(1)=6,2
a_(6)=a_(1)+5d=6,2+5*0,6=9,2

S_(6)=(a_(1)+a_(6))*6/2=(6,2+9,2)*3= [b]46,2[/b]
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Область определения: (- ∞;+ ∞)

y`=4x^3+3x^2+2x+4

y`=0

4x^3+3x^2+2x+4=0

Уравнение имеет один корень, который не просто найти
между -2 и -1, ближе к -1

Функция y=x4+x3+x2+4x имеет
одну точку экстремума.
Это точка минимума
См. рис.
И проверьте условие, наверное, что-то не так
(прикреплено изображение)
5^(x)*8^((x-1)/x)=500;


ОДЗ: х ≠ 0

Логарифмируем по основанию 5
lоg_(5)(5^(x)*8^((x-1)/x))=lоg_(5)(125*4)

Логарифм произведения равен сумме логарифмов
lоg_(5)(5^(x)) + log_(5)*8^((x-1)/x))=lоg_(5)125+log_(5)4


x+((x-1)/x)log_(5)2^3=3+log_(5)2^2

(x-3) + ((3x-3)/x) - 2)log_(5)2=0

(x-3) +( (x-3)/x)*log_(2)5=0

(x-3)* (1+(1/x)*log_(2)5)=0

x-3=0 или 1+(1/x)log_(5)2=0

[b]x=1 или x=-log_(5)2[/b]

О т в е т. [b]1; log_(5)(1/2)[/b]
P.S.

Разложение левой и правой части на множители:
5^(x)*2^(3-(3/x))=5^3*2^2
позволяет только подобрать корень.
Надо доказать, что других корней нет

А метода решения уравнений
если a*b=c*d, то a=b, c=d [b]не существует[/b]
Ответ выбран лучшим
cosx*cos3x=(1/2)cos(x+3x)+(1/2)cos(x-3x)=(1/2)cos4x+(1/2)cos(-2x)=
=(1/2)cos4x+(1/2)cos2x

sin2x*cosx*cos3x= (1/2)sin2x*cos4x+(1/2)sin2x*cos2x

формула sinα *cosβ=(1/2)sin(α+β)+(1/2)sin(α - β)

[b]sin2x*cosx*cos3x[/b]= (1/2)*sin2x*cos4x+(1/2)sin2x*cos2x=

(1/2)*(1/2)*sin(2x+4x)+ (1/2)*(1/2)*sin(2x-4x)+(1/4)2*sin2x*cos2x=


=(1/4)*sin6x-(1/4)*sin2x+(1/4)*sin4x

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ sin2x*cosx*cos3x dx= ∫ (1/4)*sin6xdx- ∫(1/4)*sin2xdx + ∫(1/4)*sin4xdx=

= (1/24)*cos6x - (1/8)*cos2x +(1/16)*(-cos4x) + C=

= [b] (1/24)*cos6x - (1/8)*cos2x -(1/16)*cos4x + C[/b] - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
(x-1)^(1/3)=(x-1)^(x)
1 в любой степени равна 1
значит
x-1=1
x=2
y=(x-1)^(x) - показательно-степенная функция.
Как показательная, она определена при всех
x-1 >0
Поэтому корень х=1/3 не удовлетворяет условию x-1>0

при х=1 равенство верно
0^(1/3)=0^(1)
О т в е т. [b]1;2[/b]
С=2π*R - длина окружности

(3/4)С=(3/4)*2π*R

[b]R=15/π[/b]

(3/4)C= [b]22,5[/b]

О т в е т. 22,5
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: x≥ 0

4^(x)-3*2^(x)*2^(sqrt(x))-4^(sqrt(x))*4=0
u=2^(x)>0 при любом х
v=2^(sqrt(x))>0 при любом х

Уравнение принимает вид:
u^2-3u*v-v^2=0 - однородное уравнение второго порядка.
(см похожее в тригонометрии)

Делим на v^2

t=u/v

t^2-3t-4=0
D=9+16=25
t_(1)=-1; t_(2)=4

u/v=-1 или u/v=4

Обратный переход

2^(x)/2^(sqrt(x)) = - 1 - уравнение не имеет корней, 2^(x)>0; 2^(sqrt(x))>0

2^(x)/2^(sqrt(x)) = 4

2^(x)=2^(sqrt(x)+2)

x=sqrt(x)+2

x- sqrt(x)-2=0
D=1+8=9
sqrt(x)=(1-3)/2 или sqrt(x)=(1+3)/2

sqrt(x)=-1 - уравнение не имеет корней или sqrt(x)=2 ⇒ x=4 - удовлетворяет ОДЗ

О т в е т. [b]4[/b]
Так как
sqrt(5-sqrt(24))*sqrt(5+sqrt(24))=1 - значит основания взаимно обратны.
Обозначим
(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=t
тогда
(sqrt(5-sqrt(24)))^(x)=1/t
Получили уравнение
t+(1/t)=10
или
t^2-10t+1=0
D=100-4=96
t_(1)=(10-2sqrt(24))/2=5-sqrt(24) или t_(2)=5+sqrt(24)

Обратный переход
(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=5-sqrt(24)
(5+sqrt(24))^(x/2)=(5+sqrt(24))^(-1)
х/2=-1
х=-2

или

(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=5+sqrt(24)
(5+sqrt(24))^(x/2)=(5+sqrt(24))^(1)
х/2=1
х=2
О т в е т. [b]± 2[/b]
Ответ выбран лучшим
dz=f `_(x)dx+f `_(y)dy

f(x;y)=ln(x^2-y)
По формуле
(lnu)`=u`/(u)

f `_(x)=(x^2-y)`_(x)/(x^2-y)=2x/(x^2-y)
f `_(y)=(x^2-y)`_(y)/(x^2-y)=-1/(x^2-y)

О т в е т. dz=2xdx /(x^2-y) - dy/(x^2-y)
или

dx=(2xdx-dy)/(x^2-y)
a_(2)+a_(13)=15

По формуле общего члена
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

Тогда
a_(2)=a_(1)+d
a_(13)=a_(1)+12d

Тогда
(a_(1)+d)+(a_(1)+12d)=15
[b]2a_(1)+13d=15[/b]

S_(14)=(a_(1)+a_(14))*14/2
S_(14)= (a_(1)+a_(1)+13d)*7
S_(14)=( [b]2a_(1)+13d[/b])*7

S_(14)=15*7= [b]105[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
Если основания равны, то и площади оснований равны.

V_(призмы)=S*H
V_(пирамиды)=(1/3)*S*H

V_(пирамиды)=(1/3)V_(призмы)
или
V_(призмы)=3V_(пирамиды) - верно.

2.
V_(1-го шара)=(4/3)π*r^3
V_(2-го шара)=(4/3)π*R^3

По условию
V_(1-го шара):V_(2-го шара)=125:1000


(4/3)π*r^3:(4/3)π*R^3=125:1000

r^3:R^3=125:1000
r:R=5:10

S_(1-ой сферы)=4π*r^2
S_(2-ой сферы)=4π*R^2

S_(1-ой сферы): S_(2-ой cферы)=4π*r^2:4π*R^2=
=r^2:R^2=(r:R)^2=(5:10)^2=25:100
Пусть сторона призмы равна a, высотy обозначим H
Тогда сторона пирамиды равна 2a, высоту обозначим h.

Площадь равностороннего треугольника со стороной а вычисляется по формуле:
S=a^2sqrt(3)/4

Поэтому
V_(призмы)= (a^2sqrt(3)/4) *H
V_(пирамиды)=(1/3)*((2a)^2*sqrt(3)/4) * h

По условию
V_(призмы)= V_(пирамиды)

(a^2sqrt(3)/4) *H=(1/3)*((2a)^2*sqrt(3)/4) * h
Упрощаем
H=(4/3)h

H:h=4:3

О т в е т. [b] 4:3[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
2,4*(5/8)=1,5 cм -вторая сторона
2*1,5 см = 3 cм - третья сторона
Существует, так как выполняется неравенство треугольника

3< 1,5+2,4 - верно
2,4< 3+1,5 - верно
1,5 < 2,4 + 3 - верно

2.
Пусть c=3,2 cм
a:b=2:5 ⇒ a=(2/5)b

Р=a+b+c
11,6=(2/5)b+b+3,2
(7/5)b=8,4
b=6

a=(2/5)b=(2/5)*6=2,4

Треугольник не существует,
6 < 3,2+2,4 - неверно.
Неравенство треугольника не выполняется.

Второй вариант АНАЛОГИЧНО
Ответ выбран лучшим
1. Точка, у которой третья координата (апликата) равна 0
Это точка М
2. Точка, у которой первая координата (абсцисса) равна 0
Это точки N и L
3.Точка, у которой первая и вторая координаты равны 0
Это точка L
4.проекция точки на ось ОХ это основание перпендикуляра, который проведен из точки на ось ОХ.
(-1;0;0)
5.(-8;0;-2)
Ответ выбран лучшим
Проводим HK||CE
По теореме Фалеса
если АН=НС, то AK=KE

В треугольнике КВН
ЕM - средняя линия.
КЕ=ВЕ

Итак, АК=КЕ=ВЕ
АЕ:ЕВ=2:1 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Первое условие задачи:
b_(1)+b_(2)+b_(3)=13;
по формуле общего члена геометрической прогрессии:
b_(n)=b_(1)*q^(n-1)

b_(1)+b_(1)*q+b_(1)*q^2=13⇒
[b]b_(1)*(1+q+q^2)=13[/b]

Второе условие задачи:
b_(3)> b_(1) на 8 ⇒ b_(1)q^2-b_(1)=8
[b]b_(1)*(q^2-1)=8[/b]

Решаем систему двух уравнений:
{b_(1)*(1+q+q^2)=13
{b_(1)*(q^2-1)=8

{b_(1)=13/(1+q+q^2)
{b_(1)=8/(q^2-1)

Приравниваем правые части:
13/(1+q+q^2)=8/(q^2-1)
Перемножаем крайние и средние члены пропорции:

13q^2-13=8+8q+8q^2

5q^2-8q-21=0
D=64-4*5*(-21)=64+420=484
q_(1)=(8-22)/10=-1,4 или q_(2)=(8+22)/10=3

О т в е т. [b]-1,4 или 3[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
V=S_(осн.)*H=((a+b)*h/2)*H
В равнобедренной трапеции
a=12; b=4; с=5
проведем высоты из вершин верхнего основания на нижнее,
получим два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой 5 см и катетом (12-4)/2=4 см.
По теореме Пифагора
h^2=c^2-((a-b)/2)^2=5^2-4^2=9
h=3
V=((12+4)*3/2)*6= [b]144 см^3 [/b]

S(бок)=Р(осн.)*Н=(4+5+12+5)*6= [b]156 см^2[/b]

2.
В основании пирамиды равносторонний треугольник.
Площадь равностороннего треугольника со стороной [b]а[/b]:
S (Δ)= [b]a[/b]^2sqrt(3)/4

V=(1/3)*S_(осн.)*H=(1/3)(a^2sqrt(3)/4)*H= (1/3)*(6sqrt(2))^2*(sqrt(3)/4)*10 [b]=60 sqrt(3) см^3[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
8.
M - середина АВ
тогда
x_(M)=(x_(A)+x_(B))/2 =( 2+0)/2=1
y_(M)=(y_(A)+y_(B))/2= (3+2)/2=3/2
z_(M)=(z_(A)+z_(B))/2=(2+4)/2)=3
[b]M(1;3/2;3)[/b]

М- середина АС
x_(M)=(x_(A)+x_(C))/2 =( 2+4)/2=3
y_(M)=(y_(A)+y_(C))/2= (3+1)/2=2
z_(M)=(z_(A)+z_(C))/2=(2+0)/2)=1
[b]M(3;2;1)[/b]
B(0;2;4) не является серединой АС


9.
Расстояние до пл. ХОУ равно |4|, координаты по оси z
Расстояние до пл. ХОZ равно |-3|, координаты по оси y
Расстояние до пл. YОZ равно |-2|, координаты по оси x

10. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Найдем координаты точки О, середины АС
x_(O)=(x_(A)+x_(C))/2 =( -4+4)/2=0
y_(O)=(y_(A)+y_(C))/2= (-3+0)/2=-3/2
z_(O)=(z_(A)+z_(C))/2=(8-10)/2)=-1
[b]О(0;-3/2;-1)[/b]

Зная, что точка О - середина BD, найдем координаты точки D
x_(O)=(x_(B)+x_(D))/2 ⇒ x_(D)=2x_(O)-x_(B)=2*0-(-2)=2;
y_(O)=(y_(B)+y_(D))/2 ⇒ y_(D)=2y_(O)-y_(B)=2*(-3/2)-(-2)=5;
z_(O)=(z_(B)+z_(D))/2 ⇒ z_(D)=2z_(O)-z_(B)=2*(-1)-6=-8;
[b]D(2;5;-8)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Расстояние до пл. ХОУ равно |4|, координаты по оси z
Расстояние до пл. ХОZ равно |-3|, координаты по оси y
Расстояние до пл. YОZ равно |-2|, координаты по оси x

2. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Найдем координаты точки О, середины АС
x_(O)=(x_(A)+x_(C))/2 =( 3+3)/2=3
y_(O)=(y_(A)+y_(C))/2= (1+5)/2=3
z_(O)=(z_(A)+z_(C))/2=(8-8)/2)=0
[b]О(3;3;0)[/b]

Зная, что точка О - середина BD, найдем координаты точки D
x_(O)=(x_(B)+x_(D))/2 ⇒ x_(D)=2x_(O)-x_(B)=2*3-4=2;
y_(O)=(y_(B)+y_(D))/2 ⇒ y_(D)=2y_(O)-y_(B)=2*3-7=-1;
z_(O)=(z_(B)+z_(D))/2 ⇒ z_(D)=2z_(O)-z_(B)=2*0-1=-1;
[b]D(2;-1;-1)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
(x-1)^(1/3)=(x-1)^(x)
при х=0
0^(1/3)=0^(1) - верно

1 в любой степени равна 1
значит
x-1=1
x=2
y=(x-1)^(x) - показательно-степенная функция.
Как показательная, она определена при всех
x-1 >0
Поэтому корень х=1/3 не удовлетворяет условию x-1>0
О т в е т. [b]1; 2[/b]

2.

Так как
sqrt(5-sqrt(24))*sqrt(5+sqrt(24))=1 - значит основания взаимно обратны.
Обозначим
(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=t
тогда
(sqrt(5-sqrt(24)))^(x)=1/t
Получили уравнение
t+(1/t)=10
или
t^2-10t+1=0
D=100-4=96
t_(1)=(10-2sqrt(24))/2=5-sqrt(24) или t_(2)=5+sqrt(24)

Обратный переход
(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=5-sqrt(24)
(5+sqrt(24))^(x/2)=(5+sqrt(24))^(-1)
х/2=-1
х=-2

или

(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=5+sqrt(24)
(5+sqrt(24))^(x/2)=(5+sqrt(24))^(1)
х/2=1
х=2
О т в е т. [b]± 2[/b]
Ответ выбран лучшим
Делим уравнение на х
y`=(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)
Замена
y/x=u

y`=u+sqrt(1+u^2)

y=xu
y`=(xu)`=x`*u+x*u`=u+x*u` ( x`=1, х - независимая переменная)

u+x*u`=u+sqrt(1+u^2)
x*u`=sqrt(1+u^2)
u`=du/dx
xdu/dx=sqrt(1+u^2)
xdu=sqrt(1+u^2)dx- уравнение с разделяющимися переменными
du/sqrt(1+u^2)=dx/x
Интегрируем
∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x|+lnC
u+sqrt(1+u^2)=Cx
Обратная замена
[b](y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx [/b]- общее решение

y(1)=0
0+sqrt(1+0)=C*1
С=1
[b](y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=x[/b] - частное решение
1 a)
Возводим в куб
x-1=(-3)^3
x=-27+1
x=-26

в) возводим в квадрат
x-1=3^2
x=10

б) особое уравнение.
Если все остальные уравнения - уравнения [b]с радикалами[/b], то это уравнение содержит
переменную в основании степени, а показатель степени дробный (1/3)
Уравнение не имеет корней, так как [b]степенная функция y=x^(α) [/b] определяется на (0;+ ∞) со значениями (0;+ ∞) ( см. приложение 2) и не может принимать значение (-3)

г) то же самое, только арифметический квадратный корень определен на [0;+ ∞) и принимает неотрицательные значения.

2.
а) Возводим в квадрат при условии (1-2x) ≥0
( см. 1г)
x^2-4=(1-2x)^2
x^2-4=1-4x+4x^2
3x^2-4x+5=0
D=16-4*3*5 < 0
Уравнение не имеет корней

б)Возводим в квадрат при условии (4-x) ≥ 0
( см. 1г)
x+2=(4-x)^2
x+2=16-8x+x^2
x^2-9x+14=0
D=(-9)^2-4*14=81-56=25
x_(1)=(9-5)/2=2; x_(2)=(9+5)/2=7
Но x_(2)=7 не удовлетворяет условию (4-x) ≥ 0
Поэтому 7 не является корнем данного уравнения.
Это посторонний корень, который появился после возведения в квадрат.
О т в е т. 2

3a)Возводим в квадрат
3+ sqrt(x-3)=9
sqrt(x-3)=6
Возводим в квадрат
x-3=36
x=39
Проверка
sqrt(3+sqrt(39-3))=3
sqrt(3+sqrt(36))=3
sqrt(3+6)=3
sqrt(9)=3 - верно
О т в е т. 39
б) Квадратное уравнение относительно корня четвертой степени из х
Обозначим через t
[b]t≥0[/b]
cм. пункт 1

тогда sqrt(x)=t^2
t^2-t-12=0
D=1+48=49
x_(1)=(1-7)/2=-3; x_(2)=(1+7)/2=4
x_(1)=3 посторонний корень.
так как корень четвертой ( четной степени) не принимает отрицательных значений.

Обратный переход
корень четвертой степени из х = 4
Возводим в четвертую степень
x=4^4
x=256
О т в е т. 256

в) Квадратное уравнение относительно
sqrt(x^2+5)
Замена
sqrt(x^2+5)=t
[b]t≥0[/b]
cм. пункт 1
тогда
x^2+5=t^2
t^2+t=12
t^2+t-12=0
D=1+48=49
x_(1)=(-1-7)/2=-4; x_(2)=(-1+7)/2=3
x_(1)=-4 посторонний корень.
так как корень квадратный не принимает отрицательных значений.

Обратный переход
sqrt(x^2+5)=3
Возводим в квадрат
x^2+5=9
x^2=4
x= ±
О т в е т. ± 2


См. приложение (3)

Неравенства - это особый случай, выставляйте их отдельным вопросом, а пока разберитесь с уравнениями.
(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
См. рисунок.
Осталось разобраться какой из углов дан.

Если ∠ ANK=30 градусов, то решение :
Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
AK=(1/2)*5=2,5
О т в е т. 2,5

Если ∠ NAK=30 градусов, то решение :
cos∠ NAK=AK/AN
AK=AN*cos∠ NAK=5sqrt(3)/2
О т в е т. 5sqrt(3)/2 (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1) Расстояние от точки Q до прямой XZ - это перпендикуляр QM.
Так как Δ XYZ - тупоугольный, ∠ XZY=120 градусов, то
высота из точки У на сторону XZ будет проведена на продолжение стороны XZ.
YM ⊥ XZ
УM- проекция QM, так как QM ⊥ пл. XYZ
По теореме о трех перпендикулярах
QM ⊥XZ.
По теореме Пифагора из прямоугольного ΔQMY:
QM^2=QY^2+YM^2=10^2+20^2=500
[b]QM=10sqrt(5)[/b]

2)
Расстояние от точки Y до плоскости XQZ - длина перпендикуляра YК.
Проекция YК на плоскость XYZ лежит на YM.
YM ⊥ XZ значит и наклонная YK ⊥ XZ по теореме о трех перпендикулярах
YK ⊥ QM
отрезок YK ⊥ двум пересекающимся прямым YM и QM плоскости, значит перпендикулярен всей плоскости b и его длина и есть расстояние от точки Y до плоскости XQZ или что то же самое XQM

YK - высота прямоугольного треугольника QMY, проведенная из прямого угла QYZ на гипотенузу QM

S_( Δ QMY)=(1/2)*ZY*QY ( половина произведения катетов)
S_( Δ QMY)=(1/2)*QM*KY ( половина произведения основания на высоту)

(1/2)*ZY*QY=(1/2)*QM*KY
KY=(ZY*QY)/QM=20*10/10sqrt(5)= [b]4sqrt(5)[/b] (прикреплено изображение)
dz=f `_(x)dx+f `_(y)dy

f(x;y)=sqrt(x^2+y^2)
По формуле
(sqrt(u))`=u`/(2*sqrt(u))

f `_(x)=(x^2+y^2)`_(x)/(2*sqrt(x^2+y^2))=2x/(2*sqrt(x^2+y^2))=x/sqrt(x^2+y^2)
f `_(y)=(x^2+y^2)`_(y)/(2*sqrt(x^2+y^2))=2y/(2*sqrt(x^2+y^2))=y/sqrt(x^2+y^2)

О т в е т. dz=xdx /sqrt(x^2+y^2)+ydy/sqrt(x^2+y^2)
или

dx=(xdx+ydy)/sqrt(x^2+y^2)
Ответ выбран лучшим
Во- первых, логарифм на - ∞ не существует.
Значит в условии задачи → + ∞
Во- вторых никакой проблемы нет
x→ + ∞
ln x → + ∞
(+ ∞ *+ ∞)= + ∞

Проблема если есть дробь или степень.
Что у Вас в условии?
Приложите фото.
Вариант 3
Задача 1.
Решаем уравнение:
x*(5x-19)*(9x+27)=0

x=0 или 5х-19=0 или 9х+27=0
Корни уравнения:
х=0 или х=19/5=3,8 или х=-3
Сторона треугольника не может быть отрицательной или нулем, поэтому остается второй корень
х=3,8
Третья сторона по условию:
равна х/2=1,9

Чтобы треугольник существовал, необходимо выполнение неравенства треугольника:
каждая сторона должна быть меньше суммы двух других
( ломаная из двух звеньев больше расстояния между начальной и конечной точками)

1,9 < 3,8+5 - верно
3,8 < 1,9+5 - верно
5< 1,9+3,8 - верно

См. рис.

Задача 2.
5х-11+3х=6х-6
2х=5
х_(1)=2,5 - корень первого уравнения

-4x=-50
x_(2)=12,5 - корень второго уравнения

х_(2):х_(1)=12,5:2,5=5

a:b=5
a=5b
c=6,4
Р=a+b+c
5b+b+6,4=23,2
6b=16,8
b=2,8
a=5b=14
Треугольник не существует, так как не выполняется неравенство треугольника:
14 < 2,8+6,4 - неверно
Рисунок к задаче 1. (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные:
ydy=xdx
Интегрируем
∫ ydy=∫ xdx

y^2/2=x^2/2 + c
Умножаем на 2
y^2=x^2+2c
2c=C
[b]y^2=x^2+C - общее решение[/b]

При х_(о)=-1; у_(о)=0
0^2=(-1)^2+C
C=-1
[b]y^2=x^2-1 - частное решение.[/b]
Область определения (- ∞;+ ∞)

y`=3x^2-12x+9
y`=0
x^2-4x+3=0
x_(1)=1; x_(2)=3
Знак производной:
_+__ (1) _-__ (3) _+__
Функция возрастает на (- ∞;1) и на (3;+ ∞)
Функция убывает на (1;3)

y``=6x-12
6x-12=0
х=2 - точка перегиба, вторая производная меняет знак
y`` < 0 на (- ∞;2)
Функция выпукла вверх на (- ∞;2)
y`` > 0 на (2;+ ∞)
Функция выпукла вниз на (2;+ ∞) (прикреплено изображение)
y-f(x_(o))=f`(x_(o))* (x-x_(o)) - уравнение касательной
y-f(x_(o))=(-1/f`(x_(o))) *(x-x_(o)) - уравнение нормали

f(x_(o))=f(-2)=(-2)^2+6*(-2)+8=0

f`(x)=2x+6
f`(x_(o))=f`(-2)=2*(-2)+6=2

О т в е т.
уравнение касательной
y-0=2*(x-(-2))
[b]y=2x+4 [/b]
уравнение нормали
y-0=(-1/2)*(x-(-2))
[b]y=(-1/2)x-1[/b]
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

f`(x)=((x^2+2x)`*(x-1)-(x^2+2x)*(x-1)`)/(x-1)^2=

=((2x+2)*(x-1)-(x^2+2x)*1)/(x-1)^2= (2x^2+2x-2x-2-x^2-2x)/(x-1)^2=

= [b](x^2-2x-2)/(x-1)^2[/b]
f`(x)=0
x^2-2x-2=0
D=4+4=8
x_(1)= [b]1-sqrt(3)[/b];x_(2)= [b]1+sqrt(3)[/b]
3.
∂z/∂x=2x+y+1
∂z/∂y=2y+x-1

{∂z/∂x=0
{∂z/∂y=0

{2x+y+1=0 ( умножаем на 2)
{2y+x-1=0

{4x+2y+2=0
{2y+x-1=0

Вычитаем из первого второе
3х+3=0
х=-1
y=1-2x=1-2*(-1)=3
M (-1;3) - стационарная точка

∂^2z/∂x^2=2
∂^2z/∂x∂y=1
∂^2z/∂y^2=2

A=∂^2z/∂x^2 (M) =2 > 0
B=∂^2z/∂x∂y (M) =2
C=∂^2z/∂y^2 (M)=1

Δ = AB-C^2=4-1=3 > 0; есть экстремум в точке (-1;3)
минимум, так как A=∂^2z/∂x^2 (M) =2 > 0

z(-1;3)=1+9-3-1-3=3

4.
∂u/∂MP=(∂u/∂x)(M)*cos α + (∂u/∂y)(M)*cos β +((∂u/∂z)(M)*cos γ

∂u/∂x=3z-2y^2z-4xyz^2-2

∂u/∂y=-4xyz -2x^2z^2+z

∂u/∂z=3x-2xy^2-4x^2yz+y

A(0;2;-1)

(∂u/∂x) (A)= -3-2*2^2*(-1)-4*0-2=3

(∂u/∂y) (A) =-4*0-2*0+(-1)=-1

(∂u/∂z) (A) =3*0-2*0-4*0+2=2


vector{AB}=(0-0;-1-2;-3-(-1))=(0;-3;-2)

|vector{AB}|=sqrt(0^2+ (-3)^2+(-2)^2)=sqrt(13)

Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =0
cos β =-3/sqrt(13)
cos γ =-2/sqrt(13)

О т в е т.
∂u/∂(vector_{AB})(A)=(∂u/∂x) (A)*cos α +(∂u/∂y) (A)*cos β +(∂u/∂z) (A)*cos γ =

=3*0+(-1)*(-3/sqrt(13))+2*(-2/sqrt(13)) = -1/sqrt(13)

5.
Вращается треугольник АВС
y^2=x^3 ⇒ при y=1
x=1
A(1;1)
y^2=x^3 ⇒ при y=4
x^3=16
x=∛16
B( ∛16;4)

V_(оси Ох)=π ∫^( ∛16) _(1)x^3dx - V_(цилиндра)=

=π*(x^4/4)|^( ∛16) _(1)-π*r^2*h ( h=∛16 -1; r= 1)=

= [b](π/4)*((∛16)^4-1)-π*1^2*(∛16 -1)[/b]
можно упростить

(π/4)*((∛16)^2-1)*(∛16)^2-1)-π*1^2*(∛16 -1)=

=( [b]π[/b]/4)* [b]((∛16)-1)[/b]*((∛16)-1)*(∛16)^2-1)- [b]π*(∛16 -1)[/b]=

= [b]π*(∛16 -1)*(((∛16)+1)*(∛16)^2-1)/4 - 1)[/b] (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
АС по теореме Пифагора равна 5 ( вообще-то АВС - египетский треугольник)
ΔАСС_(1) - прямоугольный с острым углом 45^(o), значит он равнобедренный.
АС=СС_(1)=5
V=abc=3*4*5=60 cм^3
О т в е т. 2)
2.
V=S(осн.)*H
H=V/S(осн.)
В основании равносторонний треугольник со стороной a=4
Его площадь
S=a^2sqrt(3)/4=4sqrt(3),
H=64sqrt(3)/(4sqrt(3))=16
О т в е т. 3)
3.
V(цилиндра)=π*r^2*H
CD=H
AD=2r
H=2r
r=H/2

V(цилиндра)=π*(H/2)^2*H
16π=π*(H/2)^2*H
H^3=64
H=4
О т в е т. 4)

A.4
В основании пирамиды квадрат со стороной 6
АС=BD=6sqrt(2) - диагонали квадрата
АО=ОС=3sqrt(3)
∠SAO=30 градусов
Из прямоугольного треугольника SAO
SO=AO*tg30 градусов= 3sqrt(2) * (sqrt(3))/3=sqrt(6)
H=sqrt(6)
V_(пирамиды)=(1/3)* S_(осн.)*Н=(1/3)*6^2*sqrt(6)=12sqrt(6)
О т в е т. 3)

А.5
V_(цилиндра)=S_(осн.)*H
S_(осн.)=πR^2

πR^2=144π
R^2=144

H^2=L^2-R^2=13^2-12^2=25
Н=5

V_(цилиндра)=144π*5 = 720 cм^3
О т в е т. 3)

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2.2
Область определения
(- ∞ :+ ∞ )
y`=x^2+(x/3)-6
y`=0
x^2+(x/3)-6=0
3x^2+x-18=0
D=1-4*3*(-18)=217
x_(1)=(-1-sqrt(217))/6 или х_(2)=(-1+sqrt(217))/6

y`=x^2+(x/3)-6 - квадратичная функция, график парабола, ветви вверх.
отрицательна между x_(1) и х_(1)
Значит, на ((-1-sqrt(217))/6 ;(-1+sqrt(217))/6) функция убывает,
на (- ∞ ; (-1-sqrt(217))/6 ) и на ((-1+sqrt(217))/6; + ∞ ) функция возрастает
x=(-1-sqrt(217))/6 - точка максимума
х=(-1+sqrt(217))/6 - точка минимума

y``=2x+ (1/3)
y``=0
2x+(1/3)=0
2x=-1/3
x=-1/6

y`` < 0 на (- ∞;-1/6)
функция выпукла вверх
y`` >0 на (-1/6;+ ∞)
функция выпукла вниз
x=-1/6 - точка перегиба.
График см. на рис.

3.2
Область определения
(- ∞ ;-1)U(-1;+ ∞ )
x=-1 - вертикальная асимптота
так как
lim_(x→-1-0)f(x)= -∞
lim_(x→-1+0)f(x)= +∞

Горизонтальной асимптоты нет
lim_(x→+∞)f(x)=+∞
lim_(x→-∞)f(x)=-∞

Наклонная асимптота:
k=lim_(x→∞)f(x)/x=1

b=lim_(x→∞)(f(x)-x)=-8

y=x-8 - наклонная асимптота


y`=((x^2-7x+1)`*(x+1)-(x^2-7x+1)*(x+1)`)/(x+1)^2

y`=((2x-7)*(x+1)-x^2+7x-1)/(x+1)^2

y`=(2x^2-7x+2x-7-x^2+7x-1)/(x+1)^2

y`=(x^2+2x-8)/(x+1)^2

y`=0

x^2+2x-8=0

D=2-4*(-8)=36

x_(1)=(-2-6)/2=-4 или х_(2)=(-2+6)/2=2

знак y` зависит от знака числителя, знаменатель в квадрате и значит положителен)
в числителе производной квадратичная функция, график парабола, ветви вверх.
отрицательна между (-4) и 2

Значит, на (-4 ; -1)и на (-1;2) функция убывает,
на (- ∞ ; -4) и на (2/6; + ∞ ) функция возрастает
x=-4 - точка максимума
х=2 - точка минимума

y``=(2x+2)*(x+1)^2-2(x+1)*(x^2+2x-8)/(х+1)^4

y``=(x+1)((2x+2)*(x+1)-2x^2-4x+16)/(x+1)^4

y``=18/(x+1)^3

y``<0 на (- ∞; -1)
кривая выпукла вверх
y``<0 на (-1;+ ∞)
кривая выпукла вниз
Точек перегиба нет. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y`=((x+2)^2*(x+5)+2)`=((x+2)^2)`*(x+5)+(x+2)^2*(x+5)`+2`=
=2*(x+2)*(x+5)+(x+2)^2*1+0=(x+2)*(2x+10+x+2)=(x+2)(3x+12)
y`=0
x=-2 или x=-4
оба значения принадлежат отрезку [-5;-1/2]
Находим знак производной.
y`=(x+2)(3x+12) - квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вверх, расположена ниже оси Ох на (-4;-2)
Значит,
знак f`(x):
[-5] _+__ (-4) ___-__ (-2)__+__ [-1/2]
х=-2 - точка минимума

x=-4 - точка максимума.

Находим значение в этой точке и в правой концевой точке отрезка и выбираем наибольшее.

y(-4)=(-4+2)^2*(-2+5)+2=4*3+2=14
y(-1/2)=((-1/2)+2)^2*((-1/2)+5)+2=(9/4)*(9/2)+2=(81/8)+2 =10 целых 1/8
О т в е т. 14

13.
2sinx*cosx=sin2x

Разложим левую часть на множители способом группировки
(8sinx*cos^3x-2sin2x)-(2cos^2x-1)=0
(4*sin2x*cos^2x-2sin2x)-(2cos^2x-1)=0
2sin2x*(2cos^2x-1)-(2cos^2x-1)=0
(2cos^2x-1)*(2sin2x-1)=0
2cos^2x-1=0 или 2sin2x-1=0
cos^2x=1/2
cosx=-sqrt(2)/2 или сosx=sqrt(2)/2 или sin2x=1/2

[b]x= ± (3π/4)+2πn или x= ±( π/4)+2πm или x=(-1)^(k)(π/12)+(π/2)k,
n, m, k ∈ Z[/b]

Cм. приложение.

Указанному отрезку принадлежат корни
x=-5π/4
x=-11π/12
x=-3π/4

(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Не выделяю целую часть, как сказано в условии задачи, а привожу дроби к общему знаменателю: (прикреплено изображение)
1.
ОДЗ:
x^2+0,1x≠ 0
0,2x^2+0,3x≠ 0
ОДЗ можно не считать,
после того как найдены корни, просто подставить их в неравенства ОДЗ

Решение.
x+0,4=0
[b]x= - 0,4[/b]

Дроби равны, числители равны, значит равны и знаменатели:
x^2+0,1x=0,2x^2+0,3x
0,8x^2-0,2x=0
0,2x(4x-1)=0
x=0 или 4x-1=0
x=0 или x=0,25
x=0 не является корнем уравнения, так как противоречит ОДЗ

О т в е т. [b]-0,4 +0,25=- 0,15[/b]

2.
ОДЗ:
x-1≠ 0
x+1≠ 0

Переносим все в одну сторону, меняем знак перед последней дробью и в знаменателе:
3/(х-1) - 5/(х+1) - 8 + 13/(х^2-1) =0

Приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем к 0 числитель:
3(x+1)-5(x-1)-8(x^2-1)+13=0

3х+3-5х+5-8x^2+8+13=0
-8x^2-2x+29=0
8x^2+2x-29=0
D=2^2-4*8*(-29)=4+32*29=932 > 0
Значит уравнение имеет два корня и они не равны ±1
По теореме Виета
x_(1)*x_(2)=- 29/8

О т в е т. [b] - 29/8[/b]

3.
Возводим в квадрат
0,5/(2х-4)=1/64
Пропорция
2х-4=0,5*64
2х-4=32
2х=36
х=18
Проверка:
sqrt(0,5/(2*18-4))=sqrt(1/64)=1/8
1/8=1/8 - верно
О т в е т. [b]18[/b]
Ответ выбран лучшим
Задачи разные:
в первой в условии сказано: половину времени
во второй: первую половину пути
Решение задачи 1
Пусть t час - все время, тогда
80*(t/2)+100*(t/2)=40t+50t=90t км весь путь
S=90t км
[b]v_(средняя)=S/t[/b]=90t/t=90 км в час

во второй
Пусть весь путь S
(S/2): 40 час = S/80 час - время, затраченное на первую половину.
(S/2): 60 час = S/120 час - время, затраченное на вторую половину.
S/80 + S/120 час -время, затраченное на весь путь
t=S/80 + S/120
[b] v_(средняя)=S/t[/b]=S/ (S/80 + S/120)= S/(5S/240)=240/5=48 км в час

Общая формула v_(средняя)=S/t
Все остальное - разное
Ответ выбран лучшим
S_(круга)=πR^2

πR^2=25π

R^2=25

R=5

C_(окружности)=2πR=2π*5= [b]10π[/b]
Ответ выбран лучшим

AB=BC=CD=AD=a=2r

30=2r
r=15

S_(фигуры)=2S_(полукругов)+S_(квадрата)

=S_(круга)+S_(квадрата)=

=π*(15)^2+30^2=3*225+900= (прикреплено изображение)
Не нравится слово "вписаны"
Окружность вписана в квадрата, значит касается всех сторон квадрата, а здесь нет этого

Сторона квадрата
a=4r=4*5=20 cм

S=20*20= [b]400 кв. см[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
R=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)

Дуга АВ - составляет 4-ую часть окружности радиуса ОА=ОВ=ОС=ОD=R=sqrt(2)

Всего таких дуг на рисунке 6.

Р=6*(1/4) С=(3/2)*2π*R=3πsqrt(2) (прикреплено изображение)
2.
На свойства логарифмов.
Сумму логарифмов можно заменить логарифмом произведения.
Множитель перед логарифмом убрать в показатель степени числа под логарифмом.

log_(a)b+log_(a)c=log_(a)bc

k*log_(a)b=log_(a)b^(k)

a>0; b>0; с>0; a ≠ 1

(1/2)lg3+lg5-(1/3)lg4=lg(3^(1/2))+lg5+lg4^(-1/3)=

=lgsqrt(3)+lg5+lg(1/∛4)=lg(5*sqrt(3)/∛4)

lgx=lg(5*sqrt(3)/∛4)

Логарифмическая функция с основанием 10 монотонно возрастает.
Каждое свое значение принимает ровно в одной точке
Если значения функции равны, то и аргументы равны.

x=5*sqrt(3)/∛4

4б)
ОДЗ:
(x-5)/(x-4) > 0
1=log_(2)2
Поэтому получаем неравенство:

log_(2) (x-5)/(x-4) < log_(2)2
Логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает.

Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(x-5)/(x-4) < 2;


Система:
{(x-5)/(x-4) > 0
{(x-5)/(x-4) < 2 ⇒ (x-5-2x+8)/(x-4) < 0 ⇒ (x-3)/(x-4) >0

если x-4>0, то (х-5)>0 ; (x-3) > 0 больше большего
ответ (5;+ ∞)

если (x-4)<0 то (х-5)<0 ; (x-3) < 0
меньше меньшего
ответ (- ∞; 3)

(- ∞;3) U (5;+ ∞ )- о т в е т.
Ответ выбран лучшим
бедные - 10%
средние - 80%
богатые - (100%-10%-80%)=10%

Децильный коэффициент равен 8
это означает, что доля богатых в общем доходе в 8 раз превышает превышает долю бедных
8*4%=32% - доля богатых

100%-4%-32%=64% - доля средне имущих граждан.

(прикреплено изображение)
2.
Область определения функции
D(y)=(- ∞;-1)U(-1;+ ∞ )
y`=((x^2-3x+2)`*(x+1)-(x+1)`*(x^2-3x+2))/(x+1)^2=

=((2x-3)*(x+1) - 1*(x^2-3x+2))/(x+1)^2=

=(2x^2-3x+2x -3 -x^2+3x-2)/(x+1)^2=

=(x^2+2x-5)/(x+1)^2

y`=0

x^2+2x-5=0
D=4+20=24
x_(1)(-2-2sqrt(6))/2=-1-sqrt(6) ; x_(2)=-1+sqrt(6)

_-__ (-1-sqrt(6)) ___+___ (0) ____-____ (-1+sqrt(6)) ______+___

функция убывает на (- ∞; -1-sqrt(6) ) и на (0;-1+sqrt(6) )
функция возрастает на ( -1-sqrt(6);0) и на (-1+sqrt(6);+ ∞)

x= -1-sqrt(6) - точка минимума

х= -1+sqrt(6) ) - точка максимума

x=-1 - вертикальная асимптота.

lim_(x→-1)y= ∞

Горизонтальных асимптот и наклонных нет.

График см. рис.

3.
y`=4x^3-4x
y``=12x^2-4

y``=0
12x^2-4=0

x= ± sqrt(3)/3 - точки перегиба, вторая производная при переходе через эти точки меняет знак.

знак y`` это знак параболы g(x)=12x^2-4, которая на (-sqrt(3)/3;sqrt(3)/3) расположена ниже оси Ох, т.е отрицательна

_____+____ (-sqrt(3)/3) ____- ____ (sqrt(3)/3) _____+___

функция выпукла вниз на (- ∞ ;-sqrt(3)/3) и на (sqrt(3)/3;+ ∞ )
функция выпукла вверх на (-sqrt(3)/3; sqrt(3)/3)

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Пусть R- радиус шара, тогда
(см. рис.)
r^2_(цилиндра)=R^2-(R/2)^2=3R^2/4
r_(цилиндра)=R*sqrt(3)/2

V_(шара)=(4/3)πR^3
V_(цилиндра)=πкr^2*H=π*(3R^2/4)*R

V_(цилиндра):V_(шара)=9:16

2.
а=BC=4
b=AB=CD=C_(1)D_(1)=3
c=AA_(1)=5

V(прямоугольного параллелепипеда)=a*b*c=4*3*5=60 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Замена перменной
u=ctgx
du=(ctgx)`dx
du=-dx/sin^2x

dx/sin^2x=-du

∫ dx/(sin^2xsqrt(ctg^2x-25)= ∫ (-du)/sqrt(u^2-25)=

cм. формулу 1 в приложении

=-ln|u+sqrt(u^2-25+C=

=-ln|ctgx+sqrt(ctg^2x-25)|+C

2.
Замена переменной
sin2x=u
du=(sin2x)`dx
du=cos2x*(2x)`dx
du=2cos2xdx
cos2xdx=du/2

∫ (sin2x)^(3/5)cos2xdx= ∫ u^(3/5)*(du/2)=(1/2) ∫ u^(3/5)du=

=см. формулу 2 в приложении=

=(1/2)u^((3/5)+1)/((3/5)+1)+C=(1/2)*u^(8/5)/(8/5)+C=

=(1/2)*(5/8)*(sin2x)^(8/5)+C=

=(5/16)*sin2x*(sin2x)^(3/5) + C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой.
См. рис.
Из прямоугольного треугольника
tg60^(o)=18/H

H=18/tg60^(o)=18/sqrt(3)=18sqrt(3)/3= [b]6sqrt(3) [/b] (прикреплено изображение)
α - плоскость BDD_(1)B_(1)
AC⊥α, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым
BD и BB_(1)

АС ⊥ BD как диагонали квадрата;

BB_(1) ⊥ пл. АВСD ⇒ BB_(1) ⊥ пл. АС

Проводим A_(1)B || CD_(1)

β - это пл. A_(1)BCD_(1)

пл. α и пл. β пересекаются по прямой BD_(1).

Чтобы найти линейный угол двугранного угла между плоскостями, надо в каждой плоскости провести перпендикуляры к линии пересечения.

АК ⊥ BD_(1)
DM ⊥ BD_(1)
KF||DM


∠ AKF - искомый (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1-sin^2x=cos^2x
sqrt(cos^2x)=|cosx|

3*2^(cosx+3|cosx|)+11*2^(2cosx)-34=0

Раскрываем знак модуля:
[b](1)[/b]
cosx ≥ 0 ⇒ |cosx|=cosx

cosx+3|cosx|=cosx+3cosx=4cosx

Получаем квадратное уравнение относительно 2^(2cosx)
Замена переменной:
2^(2cosx)=t;
t>0

3*t^2+11t-34=0
D=121- 4*3*(-34)=529

t_(1)=(-11-23)/6=-17/3 или t_(1)=(-11+23)/6=2

t_(1) < 0

Обратная замена
2^(2cosx)=2
2cosx=1
cosx=1/2

1/2 > 0
удовлетворяет условию [b](1)[/b] раскрытия модуля: cosx ≥ 0

x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z
[b]x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z[/b]

[b](2)[/b]
[b](1)[/b]cosx < 0 ⇒ |cosx|= -cosx

cosx+3|cosx|=cosx-3cosx=-2cosx

Получаем уравнение относительно 2^(2cosx)
Замена переменной:
2^(2cosx)=t;
t>0
2^(-2cosx)=1/t

3/(t)+11t-34=0

11t^2-34t+3=0

D=34^2- 4*11*3=1156-132=1024=32^2

t_(1)=(34-32)/22=1/11 или t_(1)=(34+32)/22=3

Оба корня положительны

Обратная замена
2^(2cosx)=1/11 или 2^(2cosx)=3

2cosx=log_(2)(1/11) или 2cosx=log_(2)3

cosx=(1/2)log_(2)(1/11) или cosx=(1/2)log_(2)3


log_(2)3 >1
(1/2)log_(2)3>0,5>0

не удовлетворяет условию [b](2)[/b] раскрытия модуля : cosx < 0

(1/2)log_(2)(1/11) < 0


log_(2)(1/11)= - log_(2)11

log_(2)11 >log_(2)8=3

- log_(2)11 < -3

(-1/2) log_(2)11 < -3/2

Уравнение
cosx=(1/2)log_(2)(1/11)

не имеет решений в силу ограниченности косинуса
|cosx| ≤ 1

О т в е т. ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

Отбор корней:

Указанному отрезку принадлежат корни:
(-π/3); (π/3); (-π/3)+2π=5π/3; (π/3)+2π=7π/3
(прикреплено изображение)
[b]Тема. Углы между прямыми в пространстве. [/b]
1. Перпендикулярны, так как F_(1)H_(1) ⊥ E_(1)G_(1)
и
LN||F_(1)H_(1) , EG|| E_(1)G_(1)
Угол 90 градусов.

2. F_(1)T и FH пересекаются, так как лежат в одной плоскости.
∠ F_(1)АF= ∠ BHF
tg∠ BHF=BF/FH=(1/2)/(1*sqrt(2))=1/(2sqrt(2))
∠ F_(1)АF=∠ BHF=arctg(1/(2sqrt(2)))

3. Параллельны.
NT - средняя линия треугольника HH_(1)G
NT=(1/2)d
d- диагональ грани куба.
KF_(1)=(1/2)d
KF_(1)NT- параллелограмм, противоположные стороны
NT и KF_(1) равны и параллельны.
Значит F_(1)N|| KT
∠(F_(1)N, KT)=0^(o)

4. Cкрещиваются.
TN || G_(1)H
G_(1)H и EG - скрещиваются.

EG лежит в плоскости EFGH, G_(1)H пересекает плоскость EFGH
в точке Н, не принадлежащей первой прямой.

F_(1)E||G_(1)H

∠ F_(1)EG=60^(o) - один из углов равностороннего треугольника F_(1)EG стороны которого диагонали граней куба и равны sqrt(2)

5.
Пересекаются как диагонали параллелограмма KF_(1)NT ( доказательство см. в п.3)

(F_(1)N)^2=(F_(1)G_(1))^2+(G_(1)N)^2

(F_(1)N)^2=1^2+(1/2)^2=5/4

F_(1)N=sqrt(5)/2

[b]KT=F_(1)N=sqrt(5)/2[/b]

[b]TN=KF_(1)=sqrt(2)/2[/b]

(F_(1)T)^2=(F_(1)H)^2+HT^2=(sqrt(2))^2+(1/2)^2=2+(1/4)=9/4

[b]F_(1)T=3/2[/b]

По формуле, связывающей диагонали и стороны параллелограмма

d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a+b)

KN^2+F_(1)T^2=2*(KT^2+TN^2)

KN^2+(9/4)=2*((5/4)+(2/4))

KN=sqrt(5)/2

Зная две диагонали и две стороны параллелограмма можно найти угол между диагонали по теореме косинусов

cosφ=(9/16)+(5/16)-(2/4))/(2*sqrt(5)*3/16)=1/sqrt(5)

[b] φ=arccos(1/sqrt(5))[/b]

6.
LN и КН_(1) cкрещивающиеся.
LN лежит в пл. верхнего основания, КН_(1) пересекает пл. верхнего основания в точке Н_(1), не принадлежащей LN

Проводим
F_(1)H_(1) || LN

∠ KH_(1)F_(1) - угол между KH_(1) и H_(1)F_(1), а значит и между
KH_(1) и LN

Из прямоугольного треугольника KH_(1)F_(1):
tg ∠ KH_(1)F_(1) =KF_(1)/F_(1)H_(1)=(sqrt(2)/2)/sqrt(2)=1/2
∠ KH_(1)F_(1)=arctg(1/2).

[b]Очень много в одном вопросе. [/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Рассмотрим g(x)=2sinx+cos^2x+1
Исследуем на максимум с помощью производной:
g`(x)=2cosx+2cosx*(-sinx)
g`(x)=0
2cosx+2cosx*(-sinx)=0

2cosx*(1-sinx)=0
cosx=0 или sinx =1
x=(π/2)+πn или x=(π/2)+2πk,k ∈ Z

При x=(π/2)+2πk,k ∈ Z функция принимает наибольшее значение
g((π/2)+2πk)=2*1+0^2+1=3

При a > 0
ag(x)=3a - наибольшее значение функции f(x)

Вопрос задачи, при каких значениях а это 3а меньше или равно 2

Составляем неравенство
3a ≤ 2 ⇒ [b]a ≤ 2/3[/b]


При a< 0

При x=(-π/2)+2πm,m∈ Z функция принимает наименьшее значение
g((-π/2)+2πk)=2*(-1)+0^2+1=-1
ag(x)=-a
Вопрос задачи, при каких значениях а это (-а) меньше или равно 2

Составляем неравенство

-a ≤ 2 ⇒ [b]a ≥ - 2[/b]
О т в е т. [-2;2/3]
Ответ выбран лучшим
Замена переменной
x=t^6
dx=6t^5dt
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

∫ ∛xdx/(x*(sqrt(x)+∛x)= ∫ t^2*6t^5dt/(t^6*(t^3+t^2)= ∫ 6dt/(t*(t+1))=

= ∫ 6dt/t - ∫ 6dt/(t+1)=6ln|t| - 6ln|t+1| + C=

=6ln|t/(t+1)|+C; где t=x^(1/6)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
A∪B={1,3,5,a,b,d,e,4}

A∩B={3;b}

A ̅ ={2,4,c,d,e}

B ̅ ={1,2,5,a,c}

A\B={1,5,a}

B\A={d,e,4}

A×B={(1;b);(1;d);(1;e);(1;3);(1;4);(3;b);(3;d);(3;e);(3;3);(3;4);(5;b);(5;d);(5;e);(5;3);(5;4);(a;b);(a;d);(a;e);(a;3);(a;4);(b;b);(b;d);(b;e);(b;3);(b;4)}

B×A={(b;1);(b;3);(b;5);(b;a);(b;b); (d;1);(d;3);(d;5);(d;a);(d;b); (e;1);(e;3);(e;5);(e;a);(e;b); (3;1);(3;3);(3;5);(3;a);(3;b); (4;1);(4;3);(4;5);(4;a);(4;b)}
Ответ выбран лучшим
Формула приближенных вычислений.
f(xo+ Δx)–f(xo) ≈ df(xo)

f(x)=sqrt(x)
x_(o)=9
Δx=-0,06

f`(x)=1/(2sqrt(x))

f(9)=sqrt(9)=3
f`(9)=1/2sqrt(9)=1/6

sqrt(8,94) ≈ 3+(1/6)*(-0,06)=3-0,01= [b]2,99[/b]
Ответ выбран лучшим
df(x_(o))=f `_(x_(o))* Δx

f `(x)=((1+x^2)^(-1))`=- 1 * (1+x^2)^(-1-1)* (1+x^2)`=-2x/(1+x^2)^2

f `(x_(o))=f `(3)=-6/(1+9)^2=-6/100=-0,06

df(3)=f`(3)*0,02=-0,06*0,02=-0,0012


Применяется в приближенных вычислениях
Когда требуется найти значение функции в точке
x_(o)+Δx=3+0,02=3,02

Формула приближенных вычислений.
f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ df(x_(o))

Позволяет свести вычисление значения функции в "плохой"(неудобной для вычислений) точке (3,02)к вычислению значения функции и ее дифференциала в "хорошей" точке (3).

f(3,02) ≈ f(3)+df(3)=(1/(1+3^2))-0,0012=0,1-0,0012=0,9988
Ответ выбран лучшим
BC||AD
MA и AD лежат в плоскости MAD.
Значит BC|| пл. MAD

Расстояние между прямой BA и пл. MAD - высота TP треугольника SKM.

Треугольник MKT - равнобедренный.
КT=AB=ВС=1
MK=MT=sqrt(3)/2 - высоты равносторонних треугольников MAD и МBC со стороной 1.

MO - высота пирамиды

Из треугольника MOC
MO^2=MC^2-(OC)^2=1-(sqrt(2)/2)^2=1/2
MO=sqrt(2)/2

Применяем метод площадей
S( Δ MKT)=(1/2)KT*MO; S( Δ MKT)=(1/2)MK*TP ⇒

(1/2)KT*MO=(1/2)MK*TP

KT*MO=MK*TP

1*(sqrt(2)/2)=(sqrt(3)/2)*TP

TP=sqrt(2)/sqrt(3)=sqrt(6)/3

О т в е т. sqrt(6)/3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
25=x*y ⇒ y=(25/x)

Составляем сумму
S=x+y
S=x+(25/x)
S(x)=x+(25/x)

Исследуем функцию S(x) на экстремум с помощью производной.

Область определения (-∞;0) U(0;+∞ )

Находим производную.

Можно представить S(x)=(x^2+25)/x
и находить производную дроби.

Производная суммы равна сумме производных:

S`(x)=(x)`+25*(^(-1))`

S`(x)=1-25*x^(-2)

S`(x)=1 - (25/x^2)

S`(x)=(x^2 - 25)/x^2



S`(x)=0

(x^2-25)/x^2=0

x^2=25
x= ± 5

Знак производной:

__+___ (-5) __-___(0) __ -___ (5) __+__

x=-5 - точка минимума, производная меняет знак с - на+

Значит
25=(5)*(5)
сумма
S=(5)+(5)=10 - наименьшая сумма среди положительных чисел.

На (- ∞ ;0) среди отрицательных чисел наименьшую определить невозможно. В задачах обычно указывают на множестве каких чисел рассматривать требование.

Ответ выбран лучшим
1.
Составляем уравнение сторон, перпендикулярных данным прямым:

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1

k=4

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

y=(-1/4)x + b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4[/b] ⇒[b] 4y+x-8=0[/b]

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1

k=4

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

y=(-1/4)x + b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4[/b]

Уравнение прямой 2x-y+1=0 можно записать
y=2x+1

k=2

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/2
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

y=(-1/2)x + m

Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=(-1/2)*1+m
b=2 целых 1/2

[b]y=(-1/2)x + 2 целых 1/2[/b]⇒ [b]2y+x-5=0[/b]

Находим точку пересечения высот.
Решаем систему уравнений
{4x-y+1=0
{2x-y+1=0
Вычитаем из первого уравнения второе.
х=0
y=1
Н(0;1)
Cоставляем уравнение третьей высоты, проходящей через M и Н.

y=kx+1
2=k*1+1
k=1
[b]y=x+1 - уравнение прямой MH[/b]

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой коэффициент (-1)
[b]y=-x+h[/b] - уравнение прямых, перпендикулярных МН.

Эта прямая проходит через точку А пересечения высоты K y=2x+1 и стороны
y=(-1/4)x+(9/4)
или точку В пересечения
высоты y=4x+1 и стороны
y=(-1/2)x+(5/2)

4*х+1=(-1/2)*х+(5/2)

(9/2)*х=3/2
x=1/3
y=14/6=7/3

Подставляем координаты точки B(1/3;7/3) в уравнение прямой y=-x+h
и находим h
7/3=-(1/3)+h
h=8/3

[b]y=-x + (8/3)[/b] - уравнение АВ

О т в е т.
[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4[/b];
[b]y=(-1/2)x + 2 целых 1/2[/b];
[b]y=-x + (8/3)[/b]

или

[b]4y+x-9=0;
2y+x-5=0
3y+3x-8=0[/b]

2.Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0

d(M, 4x-y+1=0)=|4x_(M)-y_(M)+1|/sqrt(17)=|4*(1)-2+1|/sqrt(17)= [b]3/sqrt(17)=3*sqrt(17)/17[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Cм. рисунок

Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0
это длина стороны квадрата

d(M, 4x-y+1=0)=|4x_(M)-y_(M)+1|/sqrt(17)=|4*(1)-2+1|/sqrt(17)= [b]3/sqrt(17)[/b]

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
k=4
k=tg α ;
Значит прямая c угловым коэффициентом 4 - это диагональ прямоугольника, размеры 1 × 4 ( длина 1, высота 4: tgα=4/1)

Параллельная ей прямая проходит через точку М
k=4
y=4x+m
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=4*1+m
m=-2

[b]y=4x-2[/b]

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

y=(-1/4)x + b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4⇒ 4y+x-9=0[/b]

Третья сторона имеет угловой коэффициент k=(-1/4) и находится на расстоянии 3/sqrt(17) от точки M (1;2)

y=(-1/4)x+n
или
4y+x-4n=0

3/sqrt(17) =|4y_(M)+x_(M)-4n|/sqrt(17)

3/sqrt(17) =|4*1+2-4n|/sqrt(17)

|4*2+1-4n|=3 ⇒

9-4n=-3 или 9-4n=3
n=3 или n=3/2
[b]4y+x-12 =0[/b] или [b]4y+x-6=0[/b]

О т в е т. [b]y=4x-2[/b]; [b]4y+x-9=0[/b]; [b]4y+x-12 =0[/b] (или [b] 4y+x-6=0[/b]) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
См. рисунок, требуемый угол тупой. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть точка Р(х;у) лежит на биссектрисе угла между прямыми.
Это значит, что расстояние d_(1) это точки до прямой l_(1) равно
расстоянию d_(2) это точки до прямой l_(2)

d_(1)=|4x-y+1|/sqrt(4^2+1^2)
d_(2)=|2x-y+1|/sqrt(2^2+1^2)

d_(1)=d_(2) ⇒ [b]|4x-y+1|/sqrt(4^2+1^2) =|2x-y+1|/sqrt(2^2+1^2) [/b](#)

Прямая 4x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
4x–y+1>0 или 4x–y+1<0
Подставляем координаты точки М в неравенство 4*1–2+1>0 - верно;
Прямая 2x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
2x–y+1>0 или 2x–y+1<0
Подставляем координаты точки М в неравенство 2*1–2+1>0 - верно;

Значит точка M принадлежит области
4x–y+1>0
2x–y+1>0
а смежные области задаются неравенствами противоположных знаков.

Поэтому в (#) знак модуля раскрывается так:
(4x-y+1)/sqrt(4^2+1^2) =- (2x-y+1)/sqrt(2^2+1^2)

4sqrt(5)x-sqrt(5)y+sqrt(5)=-2sqrt(17)x+sqrt(17)y-sqrt(17);

(4sqrt(5)+2sqrt(17))*x - (sqrt(5)+sqrt(17))*y+sqrt(5)+sqrt(17)=0

Делим на (sqrt(5)+sqrt(17))

((2sqrt(17)+4sqrt(5))/(sqrt(17)+sqrt(5))) * x - y + 1=0

Избавляемся от иррациональности в знаменателе

(2sqrt(17)+4sqrt(5))*(sqrt(17)-sqrt(5))/(sqrt(17))^2-(sqrt(5))^2 =(14-2sqrt(85))/12

О т в е т.

[b]((7 - sqrt(85))/6)*x - y + 1 = 0[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Угол между прямой AD и ВС - угол между прямой AD и пл. АВС.
Проводим АК - высоту равнобедренного треугольника АВС.
ВК=КС=6
По теореме Пифагора
АК=8

DK - высота равнобедренного треугольника BDC
DK=8

∠ DAK находим из равнобедренного треугольника ADK
можно по теореме косинусов, можно провести высоту КМ на AD.

cos ∠ ADK=6/8=3/4
∠ ADK=arccos(3/4) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
[b]Очень хорошая задача с параметром![/b]
Почему?
Потому что алгебра и геометрия помогают друг другу.
Потому что включает в себя и решение уравнений и составление уравнений касательной.
И отбор ответов.

Раскрываем модуль по определению.
Два случая
1)
x+5 ≥ 0 ⇒ |x+5|=x+5

{y=x+a
{(x+5)*(y+3x+15-(x+5)^2)=0⇒(x+5)*(y-x^2-7x-10)=0⇒
x+5=0 или y=x^2+7x+10

x=-5 - графиком является прямая || оси Оу
y=x^2+7x+10 - графиком является парабола.


2)
x+5 < 0 ⇒ |x+5|=-x-5
{y=x+a
{(x+5)*(y+3x+(x+5)^2)=0 ⇒ (x+5)*(y+x^2+13х+40)=0⇒
x+5=0 или y=-x^2-13x-40

x=-5 - графиком является прямая || оси Оу
y=-x^2-13x-40 - графиком является парабола.

Разобраться с требованием задачи помогут графики:

1) система 2 решения и 2) система два решения
или
1) система одно и 2) система три
или
1)система три и 2) система одно


1) рисунок.
[b]Прямые y=x+1 и y=x+5 имеют две точки пересечения.[/b]

y=x+1- касательная к параболе y= x^2+7x+10
параллельная y=x+a;
получили решив задачу:
k=1
f`(x)=2x+7
f`(x_(o))=2x_(o)+7
f`(x_(o))=k
2x_(o)+7=1
x_(o)=-3
y_(o)=-2

y=x+5 - прямая, проходящая через точку (-5;-5), параллельная y=x+a

[b]Cистема 2) имеет[/b]
два решения при а=1 и а=5
одно решение при a<1
три решения при при 1<a<5 или a> 5

2) рисунок.
[b]Прямые y=x+9 и y=x+5 имеют две точки пересечения.[/b]

y=x+9- касательная к параболе y=-x^2-13x-40
параллельная y=x+a;
получили решив задачу:
k=1
f`(x)=-2x-13
f`(x_(o))=-2x_(o)-13
f`(x_(o))=k
-2x_(o)-13=1
x_(o)=-7
y_(o)=2

y=x+5 - прямая, проходящая через точку (-5;-5), параллельная y=x+a

[b]Cистема 2) имеет[/b]
два решения при а=5 и а=9
одно решение при a> 9
три решения при a<5 или 5 < a< 9

Выбираем пересечение ответов:

___одно____ [1] ____три___ [5]______три_______

____три_________________ [5] ____три___ [9]______одно_______

О т в е т. (- ∞;1) U{5}U (9;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Здесь нет графического способа решения.

Обычное дробно - рациональное уравнение.
Дробь равна 1 ⇔ числитель равен знаменателю, знаменатель отличен от 0

Система:
{x^3+x^2-16x^2x-5x+a=x^3-16a^2x
{x^3-16a^2x ≠ 0

{x^2-5x+a=0
{x*(х^2-16a^2) ≠ 0 ⇒ х≠0; х≠± 4а

x^2-5x+a=0 - квадратное уравнение.
Возможно, что оно имеет один корень или два.

Если квадратное уравнение имеет один корень, значит
D=25-4a=0
[b]a=25/4[/b]
x=5/2 - удовлетворяет второму условию системы: х≠0; х≠± 4а

Если квадратное уравнение имеет два корня, то
D=25-4a > 0.
Требование задачи будет выполнено, если один корень не удовлетворяет условию, т. е равен либо 0, либо 4a, либо (-4а).

Можно найти эти корни и исключать равенство одного из них 0; 4a или (-4а)

Можно наоборот, подставить каждый из них в уравнение:
x^2-5x+a=0
при x=0 получаем [b]a=0[/b]
при х=4а получаем (4a)^2-5*4a+a=0 ⇒ 16a^2-19a=0 ⇒ a=0 или [b]a=19/16 [/b]
проверим, что
D=25-4a=25-4*(19/16)=25-(19/4) >0

при х=-4а получаем (-4a)^2-5*(-4a)+a=0 ⇒ 16a^2+21a=0 ⇒ a=0 или [b]a=-21/16 [/b]
проверим, что
D=25-4a=25-4*(-21/16)=25+(21/4) >0

Осталось выбрать ответ:
при а=0; a=25/4; a=19/16;a=-21/16
Ответ выбран лучшим
A_(1)B|| E_(1)D

∠ A_(1)BC_(1) - угол между A_(1)B и BC_(1), а значит и угол между
E_(1)D и BC_(1),

Найдем ∠ A_(1)BC_(1) из равнобедренного треугольника A_(1)BC_(1), в котором:

A_(1)B=BC_(1)=sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной 1
A_(1)C_(1)=sqrt(3) ( из равнобедренного треугольника A_(1)B(1)C_(1) по теореме косинусов, А_(1)В_(1)=В_(1)С_(1), ∠ A_(1)B(1)C_(1) =120 градусов)

По теореме косинусов:

(A_(1)C_(1))^2=(A_(1)B)^2+(BC_(1))^2-2*A_(1)B*BC_(1)*cos ∠ A_(1)BC_(1)
(sqrt(3))^2=(sqrt(2))^2+(sqrt(2))^2-2*sqrt(2)*sqrt(2)*cos ∠ A_(1)BC_(1)

cos ∠ A_(1)BC_(1)=(2+2-3)/(2*2)=1/4
∠ A_(1)BC_(1) [b]=arccos(1/4)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По свойствам степени:
a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

5*8^(2*3^(|x|)*8-5*64^(3^(|x|))864^(1/3)=9*8^(2*3^(|x|))*8^(1/3)+1024

64^(3^(|x|))=t

40t-20t=18t+1024

2t=1024

t=512

64^(3^(|x|))=512

(2^(6))^(3^(|x|))=2^(9)

2^(6*3^(|x|))=2^(9)

6*3^(|x|)=9
3^(|x|)=3/2
|x|=log_(3)(3/2)

x_(1)=- log_(3)(3/2) или x_(1)=log_(3)(3/2)

-1 =-log_(3)3

log_(3)3> log_(3)(3/2)
-log_(3)3 < log_(3)(3/2)

[b]x_(1) принадлежит указанному промежутку.[/b]

(5/4)<3/2=6/4

log_(3)(5/4) < log_(3)(3/2)

[b]x_(2) не принадлежит указанному промежутку.[/b]
Ответ выбран лучшим
3x^2+4x=(11x+3)/(x+1)

x ≠ -1
(3x^2+4x)(x+1)=11x+3
3x^3+4x^2+3x^2+4x-11x-3=0
3x^3+7x^2-7x-3=0
3(x^2-1)+7x(x-1)=0
(x-1)(3x+3+7x)=0
x=1 или х=-0,3

2sqrt(30)/11 сравним с 1
Возводим в квадрат
4*30/121 < 1
Значит [b] х_(1)= 1 не принадлежит указанному промежутку[/b]

-0,3 сравним с log_(1/4)(∛4 +1)=log_(4^(-1))(∛4 +1)=-log_(4)(4^(1/3)+1)

-0,3*1=-0,3*log_(4)4=-log_(4)4^(0,3)

4^(0,3) сравниваем с ∛4 +1
0,3 < 1/3
4^(0,3) <∛4 +1
log_(4)4^(0,3)<log_(4)(4^(1/3)+1)
-log_(4)4^(0,3)>-log_(4)(4^(1/3)+1)

[b]x_(2)= -0,3 принадлежит указанному промежутку[/b]
Ответ выбран лучшим
Cм. формулы в приложении.
a_(9)=2R*sin(180^(o)/9)=2*33*sin20^(o)
r=R*cos(180^(o)/9)=33*cos20^(o)

S=(1/2)P*r=(1/2)*9*a_(9)*r=(1/2)*9* [b]2[/b]*33* [b]sin20^(o)[/b]*33* [b]cos20^(o)[/b]=

=(9/2)*33^2*sin40^(o)≈ (9/2)*1089*0,64 кв см. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
3^((x^2-1)*log_(sqrt(3))16)=sqrt(3)^(2*(x^2-1)*log_(sqrt(3))16)=

=( sqrt(3)^(log_(sqrt(3))16) )^(2*(x^2-1))=16^(2*(x^2-1))=

=(2^4)^(2*(x^2-1))=2^(8x^2-8)


32^(x-1)=(2^(5))^(x-1)=2^(5x-5)

(2^(8x^2-8) - 2^(5x-5))/(1-2x) ≤ 0

Умножим на 2^(8)

(2^(8x^2)-8*2^(5x))/(1-2x) ≤ 0

(2^(8x^2)-8*2^(5x))/(2x -1 ) ≥ 0

Применяем обобщенный метод интервалов

2^(8x^2)-8*2^(5x)=0

(2^x)^(8x) -8*(2^(x))^5=0

2^(x)=t
t^(8x)-8t^5=0

t^(8x)=8t^5
8x=log_(t)8t^5
8x=log_(t)8+5

8x=log_(2^(x))8+5

8x=(3/x)+5

x=1 или x=-3/8

____ [-3/8] __+__ (1/2) ____ [1] __+__

[-3/8;1/2)U[1;+ ∞) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{-х >0 ⇒ [b]x < 0[/b]
{log_(2)(-x)≠ 0 ⇒ -x ≠ 1⇒ [b]x ≠ -1[/b]

ОДЗ [b] (-∞ ;-1)U(-1;0)[/b]

log_(2)(-x)=1/log_(-x)2

Поэтому

(-x)^(((x+1)^2-1)/log_(2)(-x))=(-x)^(((x+1)^2-1)*log_(-x)2)=

=( (-x)^(log_(-x)2))^((x+1)^2-1)=2^((x+1)^2-1)

2^((x+1)^2-1)=2^(x+1)^2*2^(-1)=(1/2)*2^((x+1)^2)

Замена переменной:
2^((x+1)^2)=t
t>0

Квадратное неравенство:

[b]t^2-(1/2)t ≤ 3[/b]

2t^2-t-6 ≤ 0
D=49
корни
-3/2 и 2

Так как t >0
t ≤ 2

2^(x+1)^2 ≤ 2
(x+1)^2 ≤ 1

(x+1-1)(x+1+1) ≤ 0
x(x+2) ≤ 0

-2 ≤ x ≤ 0

C учетом ОДЗ:[-2;-1)U(-1;0)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{2x^(-1) >0 ⇒ 2/x > 0 ⇒ x > 0
{2x^2>0 ⇒ x - любое, кроме 0 ⇒ х ≠ 0
{2x>0 ⇒ x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{2x^(-2)>0 ⇒ 2/x^2 >0 ⇒ x ≠ 0
{2x^(-2) ≠ 1 ⇒ 2/x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± sqrt(2)/2


ОДЗ:(0; 1/2) U (1/2);sqrt(2)/2) U(sqrt(2)/2;1) U (1;+ ∞ )

Переходим к основанию х

log_(x)2x^(-1)=log_(x)2+log_(x)x^(-1)=log_(x)2-1
log_(x)2x^(2)=log_(x)2+log_(x)x^(2)=log_(x)2+2

log_(2x)x=log_(x)x/log_(x)(2x)=1/(log_(x)2+1)
log_(2x^(-2))x=log_(x)x/log_(x)(2x^(-2))=1/(log_(x)2-2)

Неравенство принимает вид:
(log_(x)2-1)*(log_(x)2+2)*(log_(x)2+1)*(log_(x)2-2) < 40

(log^2_(x)2-1)*(log_(x)2-4) < 40

log^4_(x)2 -5log^2_(x)3 - 36 < 0

Биквадратное неравенство

D=25-4*(-36)=25+144=169

корни - 4 и 9

(log^2_(x)2+4)*(log^2_(x)2-9) < 0

log^2_(x)2 + 4 > 0 при любом х из ОДЗ

(log_(x)2-3)(log_(x)2+3) < 0

-3 < log_(x)2 < 3 ⇒ log_(x)x^(-3) < log_(x)2 < log_(x) x^3

При [b]х ∈ (0;1)[/b] логарифмическая функция убывающая, поэтому

⇒ x^3< 2 < x^(-3) ⇒
{x^3 < 2
{x^(-3)>2

{ x < 2^(1/3)
{ x > 2^(-1/3)=∛(1/2)

[b]x ∈ (∛(1/2));1) [/b]

При [b]x > 1[/b] логарифмическая функция возрастающая
⇒ x^(-3) < 2 < x^3 ⇒ возводим в степень (1/3)

x^(-1) < ∛2< x

{1/x< ∛2
{ x> ∛2

[b]x ∈ (∛2;+ ∞ )[/b]

С учетом ОДЗ о т в е т.
(∛(1/2);1) U (∛2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим
Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке (0;0), радиусом R=sqrt(2a)
Значит a>0
Графиком второго уравнения
xy=(2a-1)/2 является гипербола.

Гипербола и окружность имеют ровно две точки персечения, если гипербола касается окружности.
Это можно посмотреть на графике.

Точки пересечения лежат на прямой y=x
Пусть точки пересечения имеют координаты (u;u) и (-u;-u)

Точка принадлежит и окружности и гиперболе,
подставляем в систему:

{u^2+u^2=2a
{2u^2=2a-1

Приравниваем правые части

2a=2a-1

0=-1

О т в е т. Ни при каком а. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть точка (a;b)-центр симметрии графика
По определению ( см. приложение)
[b]f(a+x)+f(a-x)=b[/b]

Для данной функции:
f(a+x)=(a+x+1)(a+x-1)^2
f(a-x)=(a-x+1)(a-x-1)^2

f(a+x)+f(a-x)=(a+x+1)(a+x-1)^2+(a-x+1)(a-x-1)^2

[b](a+x+1)(a+x-1)^2+(a-x+1)(a-x-1)^2=b[/b]

Это равенство по определению должно выполняться
для любого х из области определения функции

[b]в том числе для х=0[/b]

(a+1)(a-1)^2+(a+1)(a-1)^2=b

[b]2(a+1)(a-1)^2=b[/b]

[b]и в том числе для х=1[/b]

(a+2)*a^2+a*(a-2)^2=b
a*(a^2+2a+a^2-4a+4)=b
[b]a*(2a^2-2a+4)=b[/b]

Приравниваем левые части

a*(a^2-a+2)=(a+1)(a-1)^2

a^3-a^2+2a=a^3-2a^2+a+a^2-2a+1

a=1/3
b=2(a+1)(a-1)^2
b=2*(4/3)*(-2/3)^2
b=32/27

О т в е т. [b](1/3; 32/27)[/b]

Определение: (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)Так как
0≤sin2x ≤ 1
0 ≤ cos2(x/2) ≤ 1

то
0 ≤ sin22x+cos2(x/2) ≤ 2

0 ≤ sin22x·cos2(x/2) ≤ 1

равенство верно при

{sin^22x=0
{cos^2(x/2)=0


{sin2x=0 ⇒ 2x=πn, n∈ Z ⇒ x=(π/2)n, n∈ Z
{cos(x/2)=0 ⇒ x/2=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ x=π+2πk, k∈ Z

[b]x=π+2πk, k∈ Z[/b] - решение, удовлетворяющее системе.

б)
Сумма корней:

...(-5 π)+(-3π)+(-π)+π+3π+5π+... =0
Ответ выбран лучшим
1.
Замена переменной:
х=10tgt
dx=10dt/cos^2t;

100+ x^2=100 +100tg^2t=100(1+ tg^2t)=100/cos^2t
sqrt((100+ x^2)^3)=sqrt(100^3/cos^6t)=1000/cos^3t


∫ dx/sqrt((100+ x^2)^3)= (1/100)*∫ costdt= [b](1/100)*(sint) C[/b]

x=10tgt ⇒ tgt=x/10

1 +tg^2t=1/cos^2t ⇒ cos^2t=1/(1+ tg^2t)=1/(1+(x/10)^2)=100/(100+ x^2)

sin^2t=1-cos^2t=1-(100/(100+ x^2))=x^2/(100+ x^2)
sint=x/sqrt(100+ x^2)

[b]О т в е т. ∫ dx/sqrt((100+ x^2)^3)= х/(100*sqrt(100 +x^2)) +C[/b]

2.
Замена переменной
x=t^4 ⇒ dx=4t^3dt
sqrt(x)=t^2
x^(1/4)=t


∫ (sqrt(x)-9)dx/(3x^(1/4) +sqrt(x))= ∫ (t^2-9)*4t^3dt/(3t+ t^2) =

= 4 ∫ (t^2*(t-3)(t+3)dt)/(t+3)=4 ∫ t^2*(t-3)dt=

=4 ∫ (t^3-3t^2)dt=4*((t^4/4)-4t^3 + C=

= [b]x-4x^(3/4)+C[/b]

О т в е т. [b] ∫ (sqrt(x)-9)dx/(3x^(1/4) +sqrt(x))=x-4x^(3/4)+C[/b]
Ответ выбран лучшим
y`=(8sinx-5tgx+4)`=8*(sinx)`-5*(tgx)`+4`=8*cosx-(5/cos^2x)+0

О т в е т. y`=8*cosx-(5/cos^2x)
Ответ выбран лучшим
1.
По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=2
По условию
7х_(1) – 4х_(2) = 47

Система двух уравнений:
{x_(1)+x_(2)=2
{ 7х_(1) – 4х_(2) = 47

Умножаем первое на 4
{4x_(1)+4x_(2)=8
{ 7х_(1) – 4х_(2) = 47

складываем
11x_(1)=55
x_(1)=5
x_(2)=2-x_(1)=2-5=-3

По теореме Виета
x_(1)*x_(2)=с.
с=5*(-3)=-15

2.
По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-p
и
x_(1)*x_(2)=-16
По условию
x_(1)/x_(2)=-4⇒ x_(2)=-4x_(1)

Система двух уравнений:
{x_(1)*x_(2)=-16
{ x_(2)=-4x_(1)

подставим в первое
x_(1)*(-4x_(1))=-16

x^2_(1)=4⇒
x_(1)=2 или ⇒ x_(1)=-2
x_(2)=-4*2=-8 или x_(2)=-4*(-2)=8

тогда
p=-(x_(1)+x_(2))=-(2+(-8)=6 или p=-(x_(1)+x_(2))=-(-2+8)=-6

О т в е т. ±6
Ответ выбран лучшим
∠АСD - линейный угол двугранного угла между пл. АА_(1)С_(1)С и пл. DD_(1)C_(1)C

Так как СС_(1)⊥ АС и СС_(1)⊥ СD

Чтобы найти линейный угол двугранного угла надо к линии пересечения плоскостей провести перпендикулярны в каждой плоскости.
AC ⊥СС_(1)
СD ⊥СС_(1)

tg∠ACD=AD/DC=sqrt(3)
∠ACD=60 градусов ⊥
Ответ выбран лучшим
sin((7π/6)–2x)=sin(7π/6)*cos2x-cos(7π/6)*sin2x
sin(7π/6)=-1/2
cos(7π/6)=-sqrt(3)/2

Так как
sin2x=2tgx/(1+tg^2x); cos2x=(1-tg^2x)/(1+tg^2x)
и
tgx=3√3/2

tg^2x=27/4,то

sin2x=12sqrt(3)/31

cos2x=-23/31

sin((7π/6)–2x)= (-1/2)*(-23/31) - (-sqrt(3)/2)*(12sqrt(3))/31=59/62

31sin((7π/6)–2x)=31*(59/62)=59/2=29,5
О т в е т. 29,5
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
SO ⊥ пл АВСD ⇒ SO ⊥ CD

Чтобы провести перпендикуляр из точки О на грань SDC, проводим ON ⊥ CD

CD ⊥ пл. SMN, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости ( SO и ON)

пл. SDC проходит через СD - перпендикуляр к другой плоскости,
значит пл. SDC ⊥ пл. SMN

Проводим OF ⊥ пл SDC
Проводим перпендикуляр к SN - линии пересечения SMN и SDC
или к апофеме боковой грани.
(прикреплено изображение)
Принимаем всю работу за 1

Пусть первый за х часов, второй за y часов.
1/x - производительность первого
1/у - производительность второго
(1/х)+(1/y)=(x+y)/(xy) - совместная производительность

1/(x+y)/(xy)=12
[b]xy=12(x+y)[/b] (#)


Так как первый за 5 часов он выполняет такую же часть работы, как второй–за 4 часа
то
5*(1/х)=4*(1/у)
[b]y=4x/5[/b]

Подставляем в (#)

x*(4x/5)=12*(x+(4x)/5)
x=27
О т в е т. 27 часов
log_(3)(9x)=log_(3)9+log_(3)x=2+log_(3)x
log^2_(3)(9x)=(2+log_(3)x)^2


log_(3)(3x)=log_(3)3+log_(3)x=1+log_(3)x
log^2_(3)(3x)=(1+log_(3)x)^2

Уравнение:
(2+log_(3)x)^2+(1+log_(3)x)^2=1

Раскрываем скобки:
4+4log_(3)x+log^2_(3)x+1+2log_(3)x+log^2_(3)x=1
2log^2_(3)x+6log_(3)x+4=0

log^2_(3)x+3log_(3)x+2=0 - квадратное уравнение относительно

log_(3)x

D=9-4*2=1

log_(3)x=-2 или log_(3)x= -1
x=3^(-2) или x=3^(-1)
x=1/9 или х=1/3

О т в е т. (1/9); (1/3).
Ответ выбран лучшим
[b]Задача с параметром. Графический способ решения.[/b]

ОДЗ:
5-y>0
y<5

Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля
{xy^2-xy-5y+5=0
{y ≠ 5

(xy^2-xy)-(5y-5)=0
xy(y-1)-5(y-1)=0
(y-1)(xy-5)=0
y-1=0 или xy - 5=0
y=1 или xy=5

Геометрически первое уравнение означает объединение двух линий:
прямой y=1
и
гиперболы
y=5/x
При a> 0 прямая y=ax пересекается с гиперболой в двух точках

Прямая y=ax пересекается с прямой y=1 при всех a ≠ 0

Но если прямая y=ax через точку В (5;1) - общую точку
прямой y=1 и гиперболы xy=5, то получим только [b]два решения![/b]

Осталось иcключить значение a, при котором y=1

1=a*5 ⇒ a=1/5

и исключить значение a, при котором y=5 ( см. ОДЗ y ≠5)

5=a*1
a=5

и исключить значение a, при котором y> 5 ( см. ОДЗ: y < 5)
⇒ a > 5

О т в е т. (0;1/5)U(1/5;5) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
sin α +sin3 α =2sin2 α cos(- α )=2sin2 α cos α
cos α +cos 3 α =2cos2 α cos(- α )=2cos2 α cos α

В числителе
sin α -2 sin2α +sin3 α =2sin2α (cosα - 1)

В знаменателе
cos α -2 cos2α +cos3 α =2cos2α (cosα - 1)

Сокращаем на 2* (cos α -1)

О т в е т. sin2 α /cos2 α =tg2 α
Ответ выбран лучшим
Дано: АВ=ВС=СD=AD=1

Обозначим R- радиус окружности с центром в точке O;
r- радиус окружности с центром в точке O1;
AO^2=R^2+R^2
O_(1)C^2=r^2+r^2

AO=Rsqrt(2)
O_(1)C=rsqrt(2)

АС=AO+OO1+O1C
sqrt(2)=Rsqrt(2)+R+r+rsqrt(2)
sqrt(2)=(1+sqrt(2))*(R+r)
R+r=sqrt(2)/(1+sqrt(2))=2-sqrt(2)

О т в е т. [b]R+r=2-sqrt(2)[/b]

(прикреплено изображение)
d^2=a^2+b^2+c^2
d=BD1=5
c=DD1=3
a=BC=sqrt(7)

5^2=(sqrt(7))^2+b^2+3^2
25=7+b^2+9
b^2=25-7-9
b^2=9
b=3
О т в е т. 3
Ответ выбран лучшим
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
в основании прямоугольники АВСD и A1B1C1D1
Противоположные стороны прямоугольника равны
АВ=DС=А1В1=D1C1=b
AD=BC=A1D1=B1C1=a

Высота параллелепипеда
CC1=AA1=BB1=DD1=c

Диагонали
АС1=А1C=BD1=B1D=d


d^2=a^2+b^2+c^2
a=10
b=1
c=5
d^2=10^2+1^2+5^2=126
d=sqrt(126)
Ответ выбран лучшим
Если участок [b]прямоугольной[/b] формы, то
Р(прямоугольника) =2*(a+b)
Длина забора и есть периметр

2*(20,5+30,52)=2*51,02=102,4 м
Тема. [b]Логарифмические неравенства.[/b]
(повышенной трудности)

ОДЗ:
{x>0
{- log_(3)x > 0 ⇒ log_(3)x < 0 ⇒

[b] 0 < x < 1[/b]

По свойству логарифма степени
log_(3)t^2=2log_(3)|t|
t=log_(3)x

Так как согласно ОДЗ:
log_(3)x < 0,
| log_(3)x| = - log_(3)x
поэтому
log_(3)log^2_(3)x=log_(3)(log_(3)x)^2=2log_(3)|log_(3)x|=

=2log_(3)(-log_(3)x)

Неравенство принимает вид

log^2_(3)(-log_(3)x) +2log_(3)(-log_(3)x) ≤ 3

[b]log^2_(3)(-log_(3)x) +2log_(3)(-log_(3)x) - 3 ≤ 0[/b] ( #)

Квадратное неравенство
D=4+12=16
корни
-3 и 1

Решение квадратного неравенства (#):
[b]-3 ≤ log_(3)(-log_(3)x) ≤ 1[/b]

1=log_(3)3


-3*log_(3)3 ≤ log_(3)(-log_(3)x)≤ 1* log_(3)3

-3*1=-3log_(3)3=log_(3)3^(-3)

[b]log_(3)[/b]3^(-3) ≤ [b]log_(3)[/b](-log_(3)x)≤ [b]log_(3)[/b]3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
3^(-3) ≤(-log_(3)x)≤ 3

(1/27) ≤ (-log_(3)x)≤ 3

Умножаем на (-1), знак неравенства меняется на противоположный

-3 ≤ log_(3)x ≤ (-1/27)

-3*log_(3)3 ≤ log_(3)x ≤ (-1/27)*log_(3)3

log_(3)3^(-3) ≤ log_(3)x ≤ log_(3)3^(-1/27)

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(1/27) ≤ x ≤ 3^(-1/27) входит в ОДЗ, так как

3^(-1/27) < 1 ( см. рис.)


о т в е т. [1/27;3^(-1/27] (прикреплено изображение)
MP||AC ⇒ Δ PDM ~ Δ ADC
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон
[b]DM:DC[/b]=DP:DA=PM:AC

MQ||BC ⇒ Δ QDM ~ Δ BDC
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон
[b]DM:DC[/b]=DQ:DB=MQ:CB

Правые части равны, значит
DM:DC=DP:DA =[b]PM:AC[/b]=DQ:DB= [b]MQ:CB[/b]
(можно по теореме, обратной теореме Фалеса, см. приложение2)

MP||AC и MQ||BC
Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, плоскости АВС и PMQ параллельны:
∠ АСВ= ∠ РМQ

Δ PMQ ~ Δ АСВ. так как ∠ АСВ= ∠ РМQ и стороны, заключающие эти углы пропорциональны.

б)DM : MC = 3 : 1 ⇒ DM:DC=3:4

P( Δ PMQ) : P ( Δ АВС)=РМ:АС=DM:DC=3:4

P( Δ PMQ) : 28 = 3:4

P( Δ PMQ)= [b]21[/b]
О т в е т 21 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Тема. [b]Простейшие логарифмические уравнения.[/b]

1) По определению логарифма
x-7=3^(0)
x-7=1
x=8
Проверка:
log_(3)(8-7)=log_(3)1=0 - верно

О т в е т. 8

2)
x^2-3x+10=2^3
x^2-3x+2=0
D=9-4*2=1
x_(1)=(3-1)/2=1; x_(2)=(3+1)/2=2.
Проверка:
x=1
log_(2)(1^2-3*1+10)=log_(2)8=3- верно
x=2
log_(2)(2^2-3*2+10)=log_(2)8=3- верно

О т в е т. 1; 2

3)
ОДЗ:
{5x-4 > 0 ⇒ x > 0,8
{x+1 > 0 ⇒ x > -1

ОДЗ: х > 0,8

lgsqrt(x+1)=lg(x+1)^(1/2)=(1/2)lg(x+1)

(1/2)lg(5x-4)+(1/2)lg(x+1)=lg100+lg0,18
Умножаем уравнение на 2

lg(5x-4)+lg(x+1)=2*(lg100+ lg0,18)
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения

lg(5x-4)*(x+1)=lg18^2

(5x-4)(x+1)=324
5x^2+x-328=0
D=1+20*328=6561=81^2
x_(1)=(-1-81)/10= - 8,2; x_(2)=(-1+81)/10=8

x_(1) не удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. 8
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Тема. [b]Логарифмические неравенства.[/b]

1)
[b]ОДЗ[/b]: 2x >0 ⇒ [b] x > 0[/b]

log_(2,5)(2x) > 2
log_(2,5)(2x) > 2*log_(2,5)2,5
log_(2,5)(2x) > log_(2,5)2,5^2

Логарифмическая функция основанием 2,5 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

2x < 2,5^2
2x>6,25
x>3,125
Найденные решения входят в ОДЗ
О т в е т. [b](3,125;+ ∞ ) [/b]

2)
ОДЗ:
{x^2-x-2>0 ⇒ D=9; корни -1 и 2; решение неравенства: x < -1 или x > 2
{10-2x > 0 ⇒ x < 5
ОДЗ: [b] (-∞ ;-1)U(2;5)[/b]

Логарифмическая функция основанием 0 < 0,1 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
x^2-x-2 ≤ 10-2x;
x^2+x -12 ≤ 0
D=1+48=49
x_(1)=(-1-7)/2=-4; x_(2)=(-1+7)/2=3
-4 ≤ x ≤ 3

C учётом ОДЗ:
о т в е т. [b] [-4;-1) U (2;3][/b]

3)
ОДЗ:
- x >0 ⇒ [b] x < 0[/b]

По свойству логарифма степени:
log_(0,5)x^2=2lоg_(0,5)|x|=(согласно ОДЗ x < 0, |x|=-x)=2lоg_(0,5)(-x)

Квадратное неравенство относительно lоg_(0,5)(-x)

Замена переменной
lоg_(0,5)(-x)=t

t^2 + 0,5*2*t - 2 ≤ 0

t^2 + t - 2 ≤ 0

D=1-4*(-2)=9

корни
t_(1)=(-1-3)/2= - 2; t_(2)=(-1+3)/2= 1

Решение неравенства
-2 ≤ t ≤ -1

Обратный переход
-2 ≤ lоg_(0,5)(-x) ≤ -1

log_(0,5)0,5^(-2) ≤ lоg_(0,5)(-x) ≤ log_(0,5)0,5^(-1)

log_(0,5)4 ≤ lоg_(0,5)(-x) ≤ log_(0,5)2
Логарифмическая функция с основанием 0 < 0,5 <1
убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

4 ≥ (-x) ≥ 2
или в привычном виде:
2 ≤ (-x) ≤ 4
Умножаем на (-1)
-4 ≤ x ≤ -2
Найденные решения входят в ОДЗ
о т в е т. [b] [-4;-2][/b]
Ответ выбран лучшим
Тема. [b]Показательные уравнения.[/b]
1.
4=2^2
4^(-x)=(2^2)^(-x)=2^(-2x)
1/8=2^(-3)
(1/8)^(1-3x)=(2^(-3))^(1-3x)=2^(-3*(1-3x))=2^(-3+9x)

2^(-2x)=2^(-3+9x)
-2x=-3+9x
-11x=-3
x=3/11

2.
3^(x-1)*(2*3^2-6-3)=9
3^(x-1)*9=9
3^(x-1)=1
3^(x-1)=3^(0)
x-1=0
x=1

3.
5^(x-3)=t
t>0

t+(25/t)=26
t^2-26t+25=0
D=676-100=576
t_(1)=(26-24)/2=1; t_(2)=(26+24)/2=25;

Обратный переход
5^(x-3)=1
5^(x-3)=5^(0)
x-3=0
x=3
или
5^(x-3)=25
5^(x-3)=5^2
x-3=2
x=5

О т в е т. 3; 5
Ответ выбран лучшим
Девочек 22
Вероятность того,что первый пассажир девочка равна
22/33
Теперь девочек 21, всего школьников 32
Вероятность того,что второй пассажир тоже девочка равна
21/32

Вероятность события
"и первый пассажир девочка и второй пассажир девочка" по правилу умножения равна
p=(22/33)*(21/32)= [b]7/16[/b] - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
1)
Пусть ребро куба равно a.
S_(поверхности куба)=6a^2

6a^2=96
a^2=16
a=4

ρ(AB_(1),DD_(1))=ρ(AB_(1), пл. DD_(1)C_(1)C)=AD=4

3)
ρ(AA_(1),BD_(1))=ρ(AA_(1), пл. BB_(1)D_(1)D)=(1/2)AC=6,

так как АС=sqrt(72)*sqrt(2)=sqrt(144)=12

5)
ρ(MB,AC)=BK,
BK ⊥ AC

AC=100 ( египетский треугольник, или по теореме Пифагора)
Согласно метода площадей:
ab/2=ch/2⇒

ВК=60*80/100=48

ρ(MB,AC)=48

7) AD=BD ⇒ равные наклонные имеют равные проекции
АС=ВС
АС=АВ=ВС=16sqrt(3)
Δ АВС - равносторонний

Проводим СК ⊥ АВ

СК=16sqrt(3)*sqrt(3)/2=24

ρ(CD,AB)=CK=24 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
3^(x^2) > (3^2)^(8)

3^(x^2) > 3^(16)

Показательная функция с основанием 3 > 1
возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x^2 > 16

x^2 - 16 >0

(x-4)(x+4) >0

x < -4 или x > 4

О т в е т. (- ∞ ;-4)U (4;+ ∞ )

2)
(1/9)=3^(-2)

(3^(-2))^(x) - 3* 3^(-x) + 6 < 0

Квадратное неравенство относительно 3^(-x)

Замена переменной
3^(-x)=t
t>0

t^2 -3t + 6 < 0

D=9–4·6 < 0

нет решений

3)
(sin2)^(x^2-x) ≥ sin^22

0<sin2 < 1

Показательная функция с основанием 0 < sin2 < 1
убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

x^2 - x ≤ 2

x^2 - x - 2 ≤ 0

D=1+8=9

корни
x_(1)=-1 или x_(2)=2

Решение неравенства

-1 ≤ х ≤ 2

О т в е т. [-1; 2]
Ответ выбран лучшим
1)
ОДЗ: x >0

log_(0,6)x > 1
log_(0,6)x > log_(0,6)0,6
Логарифмическая функция основанием 0< 0,6 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
x < 0,6
C учетом ОДЗ получаем ответ
(0;0,6)

2)
Квадратное неравенство относительно log_(5)x
ОДЗ: x > 0

Замена переменной
log_(5)x=t

t^2 - t > 2

t^2-t-2 >0

D=1-4*(-2)=9

корни
t_(1)=(1-3)/2=-1; t_(2)=(1+3)/2=2

Решением неравенства являются множества
t < -1 или t > 2

Обратная замена

log_(5) x < -1 или log_(5) x > 2

log_(5)x < log_(5)(1/5) или log_(5) x > log_(5)25

Логарифмическая функция с основанием 5 > 1
возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x < 1/5 или x > 25
C учетом ОДЗ
о т в е т. (0; 1/5) U (25;+ ∞ )

3)
ОДЗ: x >0

По свойству логарифма степени:
lgx^3=3lgx

Квадратное неравенство относительно lgx

Замена переменной
lgx=t

t^2 + 3t + 2 ≥ 0

D=9-4*2=1

корни
t_(1)=(-3-1)/2= - 2; t_(2)=(-3+1)/2= -1

Решение неравенства
t ≤ -2 или t ≥ -1

Обратный переход
lgx ≤ -2 или lgx ≥ -1

lgx ≤ lg0,01 или lgx ≥ lg0,1

Логарифмическая функция с основанием 10 > 1
возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x ≤ 0,01 или x ≥ 0,1
C учетом ОДЗ
о т в е т. (0; 0,01] U [0,1;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
1)
ОДЗ:
x-4>0 ⇒ x > 4
log_(2)(x-4) < log_(2)4
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x-4 < 4
x<8
C учетом ОДЗ
о т в е т. (0;8)

2)
ОДЗ:
x^2-2x-3>0
D=(-2)^2-4*(-3)=16
x_(1)=-1; x_(2)=3
ОДЗ: x < -1 или x > 3

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ -1

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ -1 *log_(0,2)0,2

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ log_(0,2)0,2^(-1)

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ log_(0,2)5

Логарифмическая функция основанием 0< 0,2 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

x^2-2x-3 ≤ 5

x^2-2x -8 ≤ 0

D=4 - 4 *(-8)=36

x_(1)=(2-6)/2=-2; x_(2)=(2+6)/2=4

Решение неравенства:
-2 ≤ x ≤ 4

С учетом ОДЗ получаем ответ

_____ [-2] \\\\ (-1) _________ (3) //// [4] ____

О т в е т. [-2;-1) U (3;4]

3)
ОДЗ:
{x - 4 > 0 ⇒ x > 4
{x^2-6x+8 > 0 ⇒ D=36-32=4; корни 2 и 4; x < 2 или x > 4
{x^2-6x+8 ≠ 1 ⇒ x^2-6x+7 ≠ 0; D=36-28=8 ⇒ x ≠ 3-sqrt(2); x ≠ 3+sqrt(2)

(- ∞ ;3-sqrt(2)) U(3-sqrt(2);2) U (4;3+sqrt(2)) U (3+sqrt(2);+ ∞ )

Так как 0=log_(x^2-6x+8)1, неравенство принимает вид:

log_(x^2-6x+8)(х-4) > log_(x^2-6x+8)1

Чтобы решить его, надо рассмотреть два случая:
1) основание x^2-6x+8 >1 и тогда логарифмическая функция возрастает
2) основание 0 < x^2-6x+8 <1 и тогда логарифмическая функция
убывает.

Системы очень похожи и решать две системы - терять время, поэтому лучше применить метод рационализации логарифмических неравенств:

(x^2-6x+8-1)*(x-4-1) >0

(x^2-6x+7)*(x-5) >0

Применяем метод интервалов:

__-__ (3-sqrt(2)) ____+___ (3+sqrt(2) _-__ (5) __+__

C учетом ОДЗ получаем ответ
(3-sqrt(2);2) U (4;3+sqrt(2)) U (5;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
1)
y`=(1/x)`-(1/x^2)`=(x^(-1))`-(x^(-2))`=-x^(-2)+2x^(-3)=(-1/x^2)+(2/x^3);
2)
(lnu)`=u`/u
(ln(4-x^2))`=(4-x^2)`/(4-x^2)=-2x/(4-x^2)
3)
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=2*((x^2+3)`(x^2-2x+5)-(x^2+3)*(x^2-2x+5)`)/(x^2-2x+5)^2

y`=2*(2x*(x^2-2x+5)-(x^2+3)*(2x-2))/(x^2-2x+5)^2

y`=2*((2x^3-4x^2+10x)-(2x^3+6x-2x^2-6))/(x^2-2x+5)^2

y`=2*(-2x^2+4x+6)/(x^2-2x+5)^2

y`=0

-2x^2+4x+6=0
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x_(1)=(2-4)/2=-1; x_(2)=(2+4)/2=3

x=-1 - внутренняя точка точка отрезка [-3;3]

Проверяем знак производной на [-3;3]

[-3] __+__ (-1) _______-________[3]

x=-1 - точка максимума на отрезке, значит в этой точке
функция принимает наибольшее значение.
Считаем
y(-1)=
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
8.3.22 подстановка
3х+4=t
3dx=dt
dx=(1/3)dt
1.
подстановка
arctg3x-4=t
3dx/(3x)^2+1)=dt

∫ t^(1/5)*(dt/3)
Линейное неоднородное уравнение первого порядка.
y` + (1/(x+1))*y=x^2

Решаем однородное:
y` + (1/(x+1))*y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
y`= - y/(x+1)
dy/y= - dx/(x+1)
Интегрируем
ln|y|= - ln|x+1|+lnc
y=c/(x+1)

Применяем метод вариации произвольной постоянной

y=c(x)/(x+1)

y`=(c`(x)*(x+1)-(x+1)*c(x))/(x+1)^2

y`=c`(x)/(x+1) - c(x)/(x+1)^2

Подставляем y` и y в данное уравнение:

c`(x)/(x+1) - c(x)/(x+1)^2 + c(х)/(x+1)^2=x^2

c`(x)=x^2(x+1)

c`(x)=x^3+x^2

c(x)=(x^4/4)+(x^3/3) + C

y=((x^4/4)+(x^3/3) + C)/(x+1)

[b]y=x^3(3x+4)/(12*(x+1)) + (C/(x+1)) [/b] - общее решение

y(0)=0

0=0+C/(0+1) ⇒ C=0

[b]y=x^3(3x+4)/(12*(x+1)) [/b] - частное решение
Ответ выбран лучшим
По свойству нечетности синуса:
sin(x-π)=-sin(π-x)

По формулам приведения
sin(π-x)=sinx

sin(x-π)=-sinx

Так как
cos^2x=1-sin^2x

Уравнение принимает вид:
1+2sin^2x-3sinx=0

2sin^2x-3sinx+1=0
D=9-4*2*1=1

[b]sinx=1/2 [/b]⇒ x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

[b]sinx=1 [/b] ⇒ x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

О т в е т.
а) (-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z; (π/2)+2πn, n ∈ Z
б)
x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z
удобно записать в виде серии двух ответов:
при k=2m получим x=(π/6)+2πm, m ∈ Z
при k=2m+1 получим x=(-π/6)+π+2πm=(5π/6)+2πm, m ∈ Z

Тогда корни, принадлежащие указанному отрезку:
х_(1)=(π/6)+4π=25π/6;
х_(2)=(5π/6)+4π=29π/6;
х_(3)=(π/2)+4π=(9π/2)
(прикреплено изображение)
По формулам приведения
cos(360 градусов - 4х)= cos4x

sin6x+2=2cos4x
sin6x+2-2cos4x=0
sin6x+2*(1-cos4x)=0
По формулам двойного угла
1-cos4x=2sin^22x

sin6x+4sin^22x=0

sin6x=sin3*(2x) - синус тройного угла. Формулу не помню.
Поэтому представляю

sin6x=sin(2x+4x)=sin2x*cos4x+cos2x*sin4x=

=sin2x*(1-2sin^22x)+cos2x*2sin2x*cos2x


Уравнение принимает вид:

sin2x*(1-2sin^22x)+cos2x*2sin2x*cos2x+4sin^22x=0

sin2x-2sin^32x+2sin2x*cos^22x+4sin^22x=0

sin2x*(1-2sin^22x+2cos^22x+4sin2x)=0

[b]sin2x=0[/b]
2x=πk, k ∈ Z
x=(π/2)k, k ∈ Z

1-2sin^22x+2cos^22x+4sin2x=0

1-2sin^22x+2-2sin^22x+4sin2x=0
4sin^22x-4sin2x-3=0
D=16+48=64
sin2x=-1/2 или sin2x=3/2 ( уравнение не имеет корней, -1 ≤sinx ≤1)

[b]sin2x=-1/2[/b]
2x=(-1)^(n)arcsin(-1/2)+ πn, n ∈ Z
2x=(-1)^(n)(-π/6)+πn, n ∈ Z

x=(-1)^(n+1)*(π/12)+(π/2)n, n ∈ Z

О т в е т. (π/2)k, k ∈ Z; (-1)^(n+1)*(π/12)+(π/2)n, n ∈ Z
y`=5x^4-30x^2-135
y`=0
5x^4-30x^2-135=0
Биквадратное уравнение,
замена
[b]x^2=t
t≥0[/b]

t^2-6t-27=0


D=(-6)^2-4*(-27)=36+108=144
t_(1)=(6-12)/2=-3; t_(2)=(6+12)/2=9

-3 не удовл. условию [b]t≥0[/b]

x^2=9 ⇒ x= ± 3

-3 ∈ [-5;0]
и является точкой максимума, производная меняет знак с + на -
Наибольшее значение функции на [-5;0]
равно значению в точке х=-3

y(-3)=(-3)^5-10*(-3)^3-135*(-3)= cчитайте.
(sqrt(u))`=u`/(2sqrt(u))

y`=(240-8x-x^2)`/(2*sqrt(240-8x-x^2))

y`=(-8-2x)/(2*sqrt(240-8x-x^2))

y`=0

-8-2x=0

x=-4

-4 ∈ [-18;10]
и является точкой максимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с + на -

y(-4)=sqrt(240-8*(-4)-(-4)^2)=sqrt(256)=16
О т в е т. 16
По правилу вычисления производной сложной функции
(4^(u))`=4^(u)*u`

y`=4^(-23-10x-x^2)*(-23-10x-x^2)`
y`=4^(-23-10x-x^2)*(-10-2x)
y`=0

4^(-23-10x-x^2) ≠ 0, так как показательная функция принимает только положительные значения

Поэтому
-10-2x=0
x=-5

При переходе через точку х=-5 производная меняет знак с + на -

х=-5 - точка максимума, значит в этой точке функция принимает наибольшее значение.

y(-5)=4^(-23-10*(-5)-(-5)^2)=4^2=16
ОДЗ функции : x> 0

y`=2x-8+(6/x)

y`=(2x^2-8x+6)/x

y`=0
2x^2-8x+6=0
x^2-4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=(4-2)/2=1; x_(2)=(4+2)/2=3

Знак производной на ОДЗ:

(0)__+__ (1) ___-___ (3) __+__

Отрезку [15/17; 19/17] принадлежит одна точка экстремума, это х=1

[15/17] _+__ (1) __-__ [19/17]

x=1 - точка максимума на отрезке, значит в этой точке функция принимает наибольшее значение

y(1)=1-8+6*0+19=12

О т в е т. 12
ОДЗ:
11-х >0 ⇒ x < 11

log_(7)(11-x)=log_(7)3+log_(7)7;
log_(7)(11-x)=log_(7)3*7;
11-x=3*7
x=11-21
x=-10 удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. -10
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
основание логарифмической функции
х+5>0⇒ x > -5
x+5≠ 1 ⇒ x≠-4
По определению логарифма
(х+5)^2=64
(x+5)^2-8^2=0
(x+5-8)(x+5+8)=0
(x-3)(x+13)=0
х=3 или х=-13 ( не удовл. ОДЗ)
О т в е т. 3
Чтобы построить точку В, симметричную точке М, относительно прямой 4х-у+1=0, проводим прямую перпендикулярную данной
и получаем точку пересечения двух прямых, точку О.
[b]Координаты точки пересечения[/b] можно [b]не находить[/b]

По определению симметричных точек:
МО=ВО

Уравнение прямой задано в виде:
Ах+Ву+С=0
значит vector{n}=(A;B) - нормальный вектор данной прямой
является направляющим вектором прямой, перпендикулярной
данной.

Уравнение данной прямой
4х-у+1=0
vector{n}=(4;-1)

Уравнение прямой МВ, проходящей через точку M(1;2)
с направляющим вектором vector{s}=(4;-1)
имеет вид
(x-1)/4=(y-2)/(-1) ⇒ -x+1=4y -8; x+4y-9=0 - [b]уравнение прямой MВ[/b]

Можно получить уравнение прямой МВ и другим способом, с помощью углового коэффициента k: произведение угловых коэффициентов [b] взаимно перпендикулярных прямых[/b] равно (-1)


Точка B(x_(1);y_(1)) принадлежит прямой МВ, значит ее координаты удовлетворяют уравнению:
x_(1)+4y_(1)-9=0
Точка О(x_(o);y_(o)) принадлежит данной прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению
4х_(о)-у_(о)+1=0
Система
{ x_(1)+4y_(1)-9=0
{4х_(о)-у_(о)+1=0

Так как
МО=ВО ⇒ О-середина МВ

x_(o)=(1+x_(1))/2
y_(o)=(2+y_(1))/2

Система
{ x_(1)+4y_(1)-9=0
{4*(1+x_(1))/2 - (2+y_(1))/2 +1=0

{x_(1)+4y_(1)-9=0
{2x_(1)-(1/2)y_(1)+2=0

{2x_(1)+8y_(1)-18=0
{2x_(1)-(1/2)y_(1)+2=0

Вычитаем из первого второе:
17у_(1)/2-20=0
y_(1)=40/17
x_(1)=9-4y_(1)=9-(160/17)=-7/17

О т в е т. (-7/17;40/17) (прикреплено изображение)
2x-x=(2/3)+(5/3)
x=7/3
Замена
y`=z
y``=z`

xz`+3z=0
уравнение с разделяющимися переменными:
xdz=-3zdx
dz/z=-3dx/x
Интегрируем
ln|z|=-3ln|x|+lnC_(1)
Применяем свойства логарифмов:
ln|z|=lnC_(1)-ln|x|^3
ln|z|=ln(C_(1)/x^3)

z=C_(1)/x^3

Обратный переход
y`=C_(1)/x^3
y= ∫ (C_(1)/x^3)dx=
y=С_(1) ∫ x^(-3)dx
y=C_(1)x^(-2)/(-2) +C_(2)
y=-C_(1)/(2x^2) + C_(2) - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
В пл. СМО проводим DK|| MO
∠ DBK - угол между DK и BD, а значит и между МО и BD.
Пусть ребро тетраэдра равно а.
BD=h(равностороннего треугольника)=asqrt(3)/2
СО=(2/3)h=a*sqrt(3)/3
MO^2=a^2-(asqrt(3)/3))^2=a^2-(a^2/3)=2a^2/3
DK=(1/2)MO=(1/2)a*sqrt(2/3)=a*sqrt(6)/6
cos ∠ DBK=DK/BD=(a*sqrt(6)/6)/asqrt(3)/2=sqrt(2)/3
∠ DBK= [b]arccos(sqrt(2)/3)[/b]- о т в е т. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Если АВ=ВС - образующие, АС - диаметр конуса, то

r(шара)=S( Δ АВС)/p (Δ АВС)

S( Δ АВС)=(1/2)AC*h
По теореме Пифагора
h^2=AB^2-((1/2)AC)^2=10^2-6^2=64=8^2

S( Δ АВС)=(1/2)AC*h=(1/2)*12*8=48

p( Δ АВС)=(1/2)(AB+BC+AC)=(10+10+12)/2=16

r=48/16=3

V_(шара)=(4/3)πr^3=(4/3)*π*27= [b]36π[/b]- о т в е т.
Угол между ребром СМ и плоскостью АВС - угол между СМ и проекцией СМ на плоскость АВС

Проекцией СМ на плоскость АВС является СО
( О -основание высоты тетраэдра, точка пересечения биссектрис, высот и медиан треугольника АВС.
Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершин, то
СО = (2/3) СК,
СК- медиана и высота.

Пусть ребро тетраэдра равно а.

СК = a*sqrt(3)/2

СО =(2/3)*a*sqrt(3)/2=a*sqrt(3)/3

Из прямоугольного треугольника МСО:
сos ∠ MCO = CO/CM=(asqrt(3)/3) / a = sqrt(3)/3
∠ MCO [b]=arccos(sqrt(3)/3)[/b].
Ответ выбран лучшим
∠ АОС=2 ∠ АВС=150^(o)

S_( Δ AOC)=(1/2)AO*CO*sin150^(o)=(1/2)*12*12*(1/2)=36
О т в е т. 36
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
16.4
Значит осевое сечение конуса - равносторонний треугольник.
Требуется найти радиус окружности, описанной около этого равностороннего треугольника.
R=a*sqrt(3)/3

(Формула легко получается из условия, что О- точка пересечения биссектрис, медиан и высоты. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1,считая от вершины.
R=(2/3)h_(Δ)
h_(Δ)=a*sin60^(o)=asqrt(3)/2)

При a=9
R=9*sqrt(3)/3= [b]3sqrt(3)[/b].
О т в е т. 3sqrt(3)

16.7
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник.
Прямоугольник вписан в окружность.

По теореме Пифагора
H^2=(2R)^2-(2r)^2=4*(R^2-r^2)
H=2sqrt(R^2-r^2)

S_(бок. цилиндра)=2π*r*H=2π*r*2sqrt(R^2-r^2)=4πr*sqrt(R^2-r^2)

О т в е т.4πr*sqrt(R^2-r^2) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По теореме Пифагора из треугольника DMB:
DM^2=(3sqrt(7))^2-3^2=63-9=54
DM=sqrt(54)=3sqrt(6)
Из равностороннего треугольника АВС
СМ=6*sqrt(3)/2=3sqrt(3)
По теореме косинусов из треугольника СDM
CD^2=CM^2+DM^2-2CM*DM*cos γ

cos γ =(3sqrt(3))^2+(3sqrt(6))^2-(3sqrt(7))^2/(2*(3sqrt(3)*3sqrt(6))

cos γ =(27+54-63)/(2*27sqrt(2))=18/(54sqrt(2))=sqrt(2)/6

[b] γ =arccos((sqrt(2))/6)[/b]
Ответ выбран лучшим
[b]Тема.[/b] Интегрирование функций одной переменной.
Замена переменной. Подведение под дифференциал.

1.
Интеграл от суммы равен сумме интегралов.
постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Используем свойства степени:
a^(m)/a^(n)=a^(m-n)
a^(-n)=1/a^(n)

Применяем формулу интеграла от степенной функции:

[b] ∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1)[/b]

получаем
= ∫ x^(2/5)dx- ∫ x^(-1/2)dx+2 ∫ x^(-5)dx=

=x^((2/5)+1)/((2/5)+1) - x^(-1/2)+1)/((-1/2)+1) +2*x^(-5+1)/(-5+1)+C=

=x^(7/5) / (7/5) - 2x^(1/2) -(1/2)*x^(-4)+C=

= [b](5/7)*x*x^(2/5) - 2sqrt(x) -1/(2x^4) + C[/b].

2.
Табличный интеграл
[b]∫ sinudu = - cosu + C[/b]

Замена переменной
1-x^2=u
-2xdx=du
xdx=(-1/2)du

получаем
∫ sinu(-1/2)du= (-1/2) ∫ sinudu=(-1/2)*(-cosu) + C=(1/2)cosu+C=
= обратная замена=
[b]=(1/2)cos(1-x^2)+ C[/b]

3.
Табличный интеграл
[b] ∫ du/(4+u^2) = (1/2)arctg(u/2) + C[/b]

Замена переменной
e^(x)=u
e^(x)dx=du

получаем
∫ du/(4+u^2) = (1/2)arctg(u/2) + C=
= обратная замена=
= [b](1/2)arctg (e^(x)/2)+ C[/b]

4.
Табличный интеграл
[b] ∫ e^(u)du = e^(u) + C[/b]

Замена переменной
x^3+3x+1=u
d(x^2+3x+1)=du
(x^3+3x+1)`dx=du
(3x+3)dx=du
(x+1)dx=du/3

получаем
∫ e^(u)*(du/3) = (1/3)∫ e^(u)du = (1/3)e^(u)+C
= обратная замена=
= [b](1/3)e^(x^3+3x^2+1)+ C[/b]

5.
Замена переменной
[b]1+x=t[/b]
x=t-1
dx=d(t-1)
dx=(t-1)`*dt
dx=1*dt
[b]dx=dt[/b]

получаем
∫(t-1)^3dt/t^(8)=
формула куба разности:
= ∫ (t^3-3t^2+3t-1)/t^(8)=
почленное деление каждого слагаемого в числителе на знаменатель:
= ∫ (t^3/t^(8) -3*(t^2/t^8)+3*(t/t^8)-(1/t^8))dt=

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.
постоянный множитель можно вынести за знак производной.

= ∫ dt/t^(5) -3 ∫ dt/t^(6)+3 ∫ dt/t^(7) - ∫ dt/t^(8)=
Используем свойства степени:
a^(-n)=1/a^(n)

= ∫ t^(-5)dt - 3 ∫ t^(-6)dt +3 ∫ t^(-7)dt - ∫ t^(-8)dt=

Применяем формулу интеграла от степенной функции:

[b] ∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1)[/b]

=t^(-4)/(-4) - 3*(t^(-5)/(-5)) +3*(t^(-6)/(-6)) - t^(-7)/(-7)+C=

=(-1/4)*(1/t^4) +(3/5)*(1/t^5)-2*(1/t^6) +(1/7)*(1/t^7)+C=

= обратная замена=

=[b]-1/(4*(x+1)^4) + 3/(5*(x+1)^5)-(2/(x+1)^6) +(1/7(x+1)^7)+C[/b]

Ответ выбран лучшим
[b]Раздел: Теория вероятностей.[/b]
1.
Событие А - «в контейнер добавлен белый стул»,
Событие B - «в контейнер добавлен мягкий стул».
Событие C - «в контейнер добавлен белый или мягкий стул».
Пусть X∘ — множество элементарных исходов, при которых наступает событие X, где X — это A, B или C.
Верные в данном случае равенства: [b]C∘ = A∘∪B∘[/b]; [b]C = A + B[/b].
2.
Бросают два кубика.
Пусть A_(k) — событие, заключающееся в том, что на матовом кубике выпало k очков
U_(m) — событие, заключающееся в том, что на прозрачном кубике выпало m очков.
Событие «на всех кубиках выпало 4» означает и на первом и на втором кубиках. Союз "и" по правилу умножения заменяем знаком умножения ( пересечения) множеств:

[b]A_(4)*U_(4)[/b]

3.
Бросают два кубика.
B_(k) — событие, заключающееся в том, что на маленьком кубике выпало k очков,
V_(m) — событие, заключающееся в том, что на большом кубике выпало m очков.

Событие «на большом кубике число очков больше, чем на маленьком и их сумма равна 6», т. е
на маленьком одно и на большом 5 ( в сумме 6) ИЛИ
на маленьком два и на большом 4 ( в сумме 6):
[b] B_(1)V_(5) + B_(2)V_(4)[/b]


4.
3 человек должны по очереди пройти испытания.
Испытуемые выбираются из 9 человек.
Вероятность того, что очередь испытуемых будет сформирована из подгруппы, состоящей из 6 человек, равна

(6/9)*(5/8)*(4/7)= [b]5/21[/b]
первого можно выбрать 6 способами из 9-ти
второго 5 способов из 8 оставшихся
третьего 4 способа из 7 оставшихся.

или применив формулы:

p=m/n=С^(3)_(6)/C^(3)_(9)= (6!/(6-3)!*3!)/ (9!/(9-3)!*3!)=(6!*6!)/(3!*9!)=
=(4*5*6)/(7*8*9)= [b]5/21[/b]

5.
В игре составляются 2–буквенные слова, все буквы в которых различны и выбраны из 10 буквенного алфавита. Вероятность того, что слово будет содержать только буквы из 6–элементного подмножества этого 10–буквенного алфавита, равна

(6/10)*(5/9)= [b]3/9[/b]

или

p=m/n=С^(2)_(6)/C^(2)_(10)=(6!/(4!*2!)) / (10!/8!*2!)=(5*6)/(9*10)=30/90= [b]3/9[/b]

6.
В первом контейнере находится 4 коробок с посудой и 6 коробок с книгами, а во втором контейнере — 5 коробок с посудой и 2 коробок с книгами. Из первого контейнера во второй переложили одну наугад выбранную коробку, после чего из второго контейнера случайным образом достали одну коробку. Вероятность того, что коробка, которую переложили во второй контейнер, была с посудой, а коробка, которую достали из второго контейнера, будет c книгами, равна
[b]см.[/b]
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=34138
7.
32% игрушек — с шершавой поверхностью, 16% — с наклейками, прич¨ем 15% — и с шершавой поверхностью, и с наклейками. Вероятность того, что игрушка — с шершавой поверхностью или с наклейками, равна
p=18/100
cм. рис. в приложении

8.
В первом контейнере находится 4 коробок с игрушками и 2 коробок с одеждой, а во втором контейнере находится 4 коробок с игрушками и 5 коробок с одеждой. Из каждого контейнера наугад выбрали по две коробки. Вероятность того, что при этом хотя бы из одного контейнера достанут две коробки с одеждой, равна

"хотя бы из одного контейнера" - значит
или из первого
или из второго
или из первого и из второго

Получается сумма вероятностей трёх событий. Проще рассмотреть вероятность противоположного события
vector{A}-"ни из одного контейнера не достали коробки с одеждой"
ни из первого, ни из второго
p(vector{A})=( [b](4/6)*(3/5)[/b]) * ( [b](4/9)*(3/8)[/b])=1/15
Так как
p(A)+p(vector{A})=1, то
p(A)=1-p(vector{A})=1-(1/15)= [b]14/15[/b]

9.
В первой клетке находится 6 белых и 4 чёрных кроликов, а во второй клетке — 3 белых и 4 чёрных кроликов. Вероятность достать белого кролика из первой клетки равна . Из первой клетки во вторую перебежал один кролик, после чего из второй клетки, выбирая наугад, достали именно белого кролика. В этой ситуации вероятность того, что из первой клетки достали именно белого кролика, равна .

см.
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=34150 (прикреплено изображение)
Вероятность достать белого кролика из первой клетки равна [b]6/10[/b].
Вероятность достать черного кролика из первой клетки равна [b]4/10[/b].
Вероятность вынуть из второй клетки белого кролика при условии, что туда перебежал белый равна
[b]4/8[/b]
Вероятность вынуть из второй клетки белого кролика при условии, что туда перебежал черный равна
[b]3/8[/b]
Вероятность того, что из второй клетки достали белого кролика
равна
(6/10)*(4/8)+(4/10)*(3/8)=(24/80)+(12/80)=36/80=9/20= [b]0,45[/b]
(прикреплено изображение)
y=-x+2 - прямая на (- ∞ ;0)
точка (0;2) не принадлежит графику, выколота.

y=x^2-2x+1 - парабола на [0;+ ∞ )

Прямая y=m параллельна оси Ох.

Прямая y=m пересекает график функции в одной точке
при m=0; m=2
1<m<2
см. рисунок

О т в е т. m ∈ {0}U(1;2] (прикреплено изображение)
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=29009
Вводим в рассмотрение гипотезы:
Н_(1)- из первого контейнера во второй переложена коробка с посудой
p(H_(1))=4/10;
Н_(1)- из первого контейнера во второй переложена коробка с книгами
p(H_(1))=6/10;

А- "из второго контейнера достали коробку с книгами"
p(A/H_(1))=2/8
p(A/H_(2))=3/8

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(1))*p(A/H_(1))=

=0,4*(2/8)+0,6*(3/8)=26/80

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=0,4*(2/8)/(26/80)=8/26=4/13

О т в е т. Вероятность того, что коробка, которую достали из второго контейнера, будет c книгами, равна 26/80=13/40

Вероятность того, что коробка, которую переложили во второй контейнер, была с посудой, равна 4/13
Все верно, надо сократить:
a!/(a-1)!=a
a!/(a-2)!=(a-1)*a

(a+b)!/(a+b-2)!=(a+b-1)*(a+b)

Не всякая таблица будет законом распределения случайной величины.
Должно быть

p_(o)+p_(1)+p_(2)=1


О т в е т.

(b-1)*b*x/(a+b)(a+b-1) + 2aby/(a+b-1)(a+b) + (a-1)*a/(a+b-1)(a+b)
log_(125)5^(3x)=log_(5^3)5^(3x)=3x/3=x

Уравнение:
x*sqrt(-сosx-7sin^2x)=x;

x*sqrt(-сosx-7sin^2x)-x=0;
x*(sqrt(-сosx-7sin^2x)-1)=0
Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом [b]не теряет смысла[/b].

x=0 или sqrt(-сosx-7sin^2x)-1=0

При х=0
подкоренное выражение -сosx-7sin^2x=-cos0-7sin^20 <0
значит х=0 не является корнем данного уравнения

sqrt(-сosx-7sin^2x)-1=0

sqrt(-сosx-7sin^2x)=1

-сosx-7sin^2x=1

sin^2x=1-cos^2x;

7cos^2x-cosx-8=0
D=1-4*7*(-8)=225=15^2
cosx=(1-15)/14 или cosx=(1+15)/14
сosx=-1 или cosx=16/14 - уравнение не имеет корней, так как
-1 ≤ cosx ≤ 1

cosx=-1
x=π+2πn, n ∈ Z

О т в е т. π+2πn, n ∈ Z
Раскрываем модуль по определению
1)
если 2x^2+y^2-1 ≥ 0, то |2x^2+y^2-1|=2x^2+y^2-1;
получаем систему:
{2x^2+y^2-1+y^2+4y=0
{y=0,5x+a

{2x^2+2y^2+4y-1=0
{y=0,5x+a
Решаем способом подстановки:
2x^2+(0,5x-a)^2+4*(0,5x-a)-1=0

2x^2+(1/4)x^2-ax+a^2+2x-4a-1=0;
(9/4)x^2+(2-a)x+a^2-4a-1=0
Квадратное уравнение имеет один или два корня,
значит и система будет иметь один или два корня в зависимости от D.
D=(2-a)^2-4*(9/4)*(a^2-4a-1)=4-4a+a^2-9a^2+36a+9=-8a^2+32a+13
D=0
-8a^2+32a-13=0
8a^2-32a+13=0
D_(1)=(32)^2-4*8*13=32*(32-13)=32*19
a_(1)=(32-4sqrt(38))/16=2-(sqrt(38)/4)
a_(2)=(32+4sqrt(38))/16=2-(sqrt(38)/4)

Решения системы должны удовлетворять условию
2x^2+y^2-1 ≥ 0,

2)
если 2x^2+y^2-1 < 0, то |2x^2+y^2-1|=-2x^2-y^2+1;
получаем систему:
{-2x^2-y^2+1+y^2+4y=0
{y=0,5x+a


{-2x^2+4y-1=0
{y=0,5x+a

Решаем способом подстановки:
-2x^2+4*(0,5x-a)-1=0
2x^2-4*(0,5x-a)+1=0
2x^2-2x+4a+1=0
Квадратное уравнение имеет один или два корня,
значит и система будет иметь один или два корня в зависимости от D.
D=4-4*2(4a+1)=-32а-4
D=0
a=-1/8
D>0
a<-1/8


Решения системы должны удовлетворять условию
2x^2+y^2-1 < 0
23.
Так как
0<(1/3) <1, показательная функция убывает, то
x^2 < 3x+4
x^2-3x- 4 <0
D=9-4*(-4)=25
x_(1)=(3-5)/2=-1; x_(2)=(3+5)/2=4

-1 < x < 4
О т в е т. (-1;4)

19
0,5=1/2=2^(-1)
0,25=(1/4)=4^(-1)

(2^(-1))^(5-2x)+3*(4^(-1))^(-3-x)=20;

Применяем свойство степени
(a^(m))^(n)=a^(mn)

2^(2x-5)+3*4^(4+x)=20

Применяем свойство степени
a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

2^(2x)*2^(-5)+3*4^(4)*4^(x)=20

2^(2x)=(2^(2))^(x)=4^(x)

4^(x)*((1/32)+192)=20

4^(x)=640/6145

4^(x)=128/1229

x=log_(4) (128/1229)

22.

(5^(2x+3))^(1/2) + (2^(2x+1))^(1/2)=50
5^(x+1,5)+2^(x+0,5)=50
5^(x)*5sqrt(5) +2^(x)*sqrt(2)=50
я не умею такие уравнения решать.
И вряд и кто решает...
Скорее всего опечатка в условии

Если знак умножить вместо +, то
(5^(2x+3))^(1/2) * (2^(2x+1))^(1/2)=50
5^(x+1,5)*2^(x+0,5)=50
5^(x)*5sqrt(5) *2^(x)*sqrt(2)=50
Делим на 5
5^(x)*sqrt(5) *2^(x)*sqrt(2)=50
(5^(x)*2^(x))*sqrt(5)*sqrt(2)=10
10^(х)*10^(1/2)=10
10^(x+0,5)=10
x+0,5=1
x=0,5
О т в е т. 0,5
Ответ выбран лучшим
Граница
x+y^2-1=0
x=-y^2+1 - парабола вдоль оси Ох, ветви в сторону, противоположную оси Ох.
Вершина в точке (1;0)

Парабола пунктиром, так как неравенство строгое
Эта линия разделила плоскость хОу на две части:
внутри параболы и вне
Указанной области не принадлежит точка (0;0)
так как неравенство
0+0-1>0 - неверное.
Значит заштриховываем ту часть, в которой нет точки (0;0)
Это внешняя часть параболы.
См. рис. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Прямые МF и ВЕ – скрещивающиеся. МА лежит в плоскости МАС, а ВЕ пересекает плоскость, в точке Е, не принадлежащей прямой МА.
Рассмотрим треугольник MAC
Проводим
EО|| MА

Угол между ЕО и ВE это и есть угол между МА и ВЕ.
Находим его из треугольника ЕОВ


Для этого сначала найдем ЕО и ВЕ
ЕО– средняя линия треугольника АМС
ЕО=МА/2=а/2

ВЕ – высота равностороннего треугольника МВС
ВЕ=√3/2

∠ ЕОВ=90 градусов, так как
диагонали квадрата взаимно перпендикулярны
АС ⊥ BD
и по теореме о трех перпендикулярах
наклонная ОЕ ⊥ ВD;


Из прямоугольного треугольника ВOЕ:
cos ∠ BEK=EO/BE=(1/2):√3/2=(√3)/3

∠ BEK=arccos((√3)/3)– о т в е т. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Прямые МО и ВЕ - скрещивающиеся. Одна лежит в плоскости, а другая пересекает плоскость, в точке, не принадлежащей первой прямой.
Рассмотрим треугольник MAC
Проводим
EK|| MO
Угол между ВЕ и EK это и есть угол между ВЕ и МО.
Находим его из треугольника ЕКВ

Для этого сначала найдем МО из прямоугольного треугольника АМО
АМ=1
АО=(1/2)АС=sqrt(2)/2
Диагональ квадрата АС равна sqrt(2)

МО^2=AM^2-AO^2=1-(1/2)=1/2
МО=sqrt(2)/2

ЕК- средняя линия треугольника АМО
ЕК=sqrt(2)/4

ВЕ - высота равностороннего треугольника МАВ
ВЕ=sqrt(3)/2

∠ ЕКВ=90^(o), так как МО ⊥ пл. АВС, значит и ЕК ⊥ пл. АВС;
в том числе и прямой ВК.

Из прямоугольного треугольника ВКЕ:
cos ∠ BEK=EK/BE=(sqrt(2)/4):sqrt(3)/2=sqrt(6)/6

∠ BEK=arccos(sqrt(6)/6)- о т в е т.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y(0)=0^2-4*0 3=3
y(2)=2^2-4*2 3=-1
y(x/2)=(x/2)^2-4*(x/2) 3=(x^2/4)-2x 3
y(t^2)=(t^2)^2-4*t^2 3=t^4-4t^2 3

y(5x)=(5x)^2-4*(5x) 3=25x^2-20x 3
тогда
3*y(5x)=3*(25x^2-20x 3)=75x^2-60x 9
Рисуем границу каждой области:
1)5х+6у=7 - прямая, проходящая через точки (5;-3) и (-1;2)
Область
5х+6у ≤ 7 содержит точку (0;0)
0+0 ≤ 7 - верно
2) y=2 - прямая || оси Ох
y ≤ 2 - область ниже прямой y=2
3)(5х+4у+7)(5х–2у–11)=0 - произведение равно 0 когда хотя бы один из множителей равен 0.
5х+4у+7=0 - прямая проходит через точки (-3;0) и (-1;-3)
5х–2у–11=0 - прямая проходит через точки (3;2) и (-1;-3)

Все три условия ограничивают четырёхугольник АКМВ
S_(AKMB)=S_( Δ ABC)-S_( Δ КСМ)

Надо найти координаты точки М, точки пересечения прямых
{5x+6y=7⇒ 5x=7 - 6y
{5x-2y-11=0 ⇒ 5x=2y+11
Приравниваем правые части
7-6у=2у+11
-8у=4
у=-1/2
Можно даже х не находить

S_(AKMB)=S_( Δ ABC)-S_( Δ КСМ)=

=(1/2)AC*H-(1/2)KC*h
H=5 ( 5 клеточек на рисунке)
h=2,5 ( ордината точки М найдена)

=(1/2)*6*5-(1/2)*4*2,5=15-5=10

О т в е т. 10
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Из прямоугольной трапеции О_(1)О_(2)А_(2)А_(1):
О_(1)О_(2)=2R
О_(1)А_(1)=8
О_(2)А_(2)=2
по теореме Пифагора
(А_(2)А_(1))^2=(О_(2)О_(1))^2+(CА_(1))^2=(2R)^2+(8-2)^2
[b](А_(2)А_(1))^2[/b]=4R^2+36

Из прямоугольного треугольника OO_(1)A_(1):
(OA_(1))^2=(OO_(1))^2+(O_(1)A_(1))^2=R^2+8^2
Из прямоугольного треугольника OO_(2)A_(2):
(OA_(2))^2=(OO_(2))^2+(O_(2)A_(2))^2=R^2+2^2

Из прямоугольного треугольника A_(1)OA_(2):
(А_(2)А_(1))^2=(OA_(2))^2+(OА_(1))^2
[b](А_(2)А_(1))^2[/b]=(R^2+2^2)+(R^2+8^2)

Приравниваем правые части:
4R^2+36=(R^2+2^2)+(R^2+8^2)
R^2=16
R=4
О т в е т. [b] 4[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Проводим DK||CB
DK- средняя линия треугольника MBC.

∠ ADK - угол между AD и DK, а значит и между AD и BC.

Пусть ребро тетраэдра равно a.

AD=asqrt(3)/2 - высота равностороннего треугольника со стороной а
AD=AK=asqrt(3)/2
DK=a/2

По теореме косинусов из треугольника АDK:
AK^2=AD^2+DK^2-2AD*DK*cos ∠ ADK

cos ∠ ADK=(AD^2+DK^2-AK^2)/2AD*DK=DK/2AD=(a/2)/(a*sqrt(3)=sqrt(3)/6

∠ ADK=arccos(sqrt(3)/6) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Так как по условию задачи мёд содержит 20% воды, то
100%-20%=80% сухого вещества в мёде.

Если имеем 1 кг мёда, то сухого вещества в нём
0,8*1=0,8 кг

В нектаре 84% воды, значит
100% - 84% =16% сухого вещества в нектаре.

0,8 кг сухого вещества составляют 16%
х кг нектара составляют 100%

х=100*0,8/16=5 кг

О т в е т. 5 кг
Ответ выбран лучшим
Из первого уравнения
xy-y-x+1=1
xy=x+y

Подставляем во второе

(xy)^2=16
xy= - 4 или хy=4

Получаем совокупность двух систем
{x+y=-4
{xy= -4
или
{x+y=4
{xy=4

Решаем каждую способом подстановки

{y=-4-x
{x*(-4-x)=-4 ⇒ x^2+4x-4=0 ⇒ D =16+16=32
x_(1)=(-4-4sqrt(2))/2= -2-2sqrt(2); x_(2)=(-4+4sqrt(2)/2= -2+2sqrt(2);
y_(1)=- 4-x_(1)= -2+2sqrt(2); y_(2)=- 4-x_(2)=- 2-2sqrt(2)

{y=4-x
{x*(4-x)=4 ⇒ x^2-4x+4=0 ⇒ (x-2)^2=0 ⇒x_(3)=2
y_(3)=4-x_(3)=4-2=2

О т в е т. (2;2); (-2-2sqrt(2);-2+2sqrt(2)); (-2+2sqrt(2);-2-2sqrt(2))

Р.S
На рисунке графическое решение системы:
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=3a-5
x_(1)*x_(2)=94-2a^2

По условию:

x_(2)-x_(1)=9 ⇒ x_(2)=9+x_(1)

тогда
{x_(1)+9+x_(1)=3a-5 ⇒ x_(1)=(3a-14)/2
{x_(1)*(9+x_(1))=94-2a^2

(3a-14)/2*(9+(3a-14)/2)=94-2a^2

(3a-14)^2+18(3a-14)=4*(94-2a^2)

17a^2-30a-432=0
D=900-4*17*(-432)=30276=174^2

a_(1)=(30-174)/34=-72/17 или a_(2)=(30+174)/34=204/34=6
О т в е т. -4 целых 4/17; 6
Ответ выбран лучшим

∫ ^(b)_(a)g(x)dx=s_(1)+s_(2)=1*1+(1+3)*6/2=1+12=13

(прикреплено изображение)
(y*sinx)`-(cos(x-y)0`=0
y`*sinx+y*cosx-(-sin(x-y))*(x`-y`)=0
Так как
x`=1
y` нет, у - зависимая переменная, функция.

y`*sinx+y*cosx+sin(x-y))*(1-y`)=0

Находим y` как из уравнения

y`=(ycosx+sinx(x-y))/(sin(x-y)-sinx)
Криволинейная трапеция должна быть ограничена снизу, например, осью Ох.
Тогда задача имеет вот такое решение:
S= ∫ ^(2)_(0)(x^3+1)dx=((x^4/4)+x)| ^(2)_(0)=(2^4/4)+2=6 (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
По формулам приведения:
sin((3π/2)-x)=-cosx

sin2x/(-cosx)=-sqrt(2);

2*sinx*cosx/(-cos)=sqrt(2)

cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πn, n ∈ Z

sinx=-sqrt(2)/2

x= (-1)^(k) (-π/4)+πk, k ∈ Z - о т в е т.

Указанному отрезку принадлежит

х=(-3π/4)+4π=13π/4 (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Дифференцируем равенство.
При этом х- независимая
(х)`=1
а y` это не 1, так как y- функция

Применяем правила и формулы.
Производная произведения равна сумме производных
(x^2)`*y^2+(x^2)*(y^2)`+(x)`=5y`
2x*y^2+x^2*(2y)*y`+1=5y`

y`=(2xy^2+1)/(5-2x^2y) - о т в е т.

2.3

y`_(t)=2*(t/(t+1)) *(t/(t+1))`=

=(2t/(t+1)) *(t`*(t+1)-(t+1)`*t/((t+1)^2)=

=(2t/(t+1)) *(t+1-t)/((t+1)^2)=

=(2t)/(t+1)^3

x`_(t)=((t+1)^(-1))`=-1(t+1)^(-2)=-1/(t+1)^2;


y`_(x)=y`_(t)/(x`_(t)=(2t)/(t+1)^3 / (-1/(t+1)^2)=

=-2t/(t+1) - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
Если y`>0 на (a;b), то функция возрастает на (a;b).

Находим производную
y`=3x^2-6x+2
Решаем неравенство:
3x^2-6x+2 >0

3x^2-6x+2 = 0
D=(-6)^2-4*3*2=36-24=12=(2sqrt(3))^2
x_(1)=(6-2sqrt(3))/6; x_(2)=(6+2sqrt(3))/6;
x_(1)=1 -(sqrt(3)/3); x_(2)=1+(sqrt(3)/3)

y`>0 при x < 1 -(sqrt(3)/3) и х > 1+(sqrt(3)/3)

О т в е т. Функция возрастает на (- ∞ ;1 -(sqrt(3)/3)) и на
(1+(sqrt(3)/3); + ∞ )
Умножаем матрицу строку (x_(1), x_(2),x_(3)) * А* на матрицу столбец
(cм. приложение)
Получим
(2x_(1)-3x_(2)-5x_(3))*x_(1) + (-3x_(1)+7x_(2)+x_(3))*x_(2)+
+(-5x_(1)+x_(2)-6x_(3)*x_(3)=

=2x^2_(1)- [b]3x_(1)x_(2)[/b]-5x_(1)x_(3)- [b]3x_(1)x_(2)[/b]+7x^2_(2)+x_(2)x_(3)-5x_(1)x_(3)+x_(2)x_(3)-6x^2_(3)=

приводим подобные

=2x^2_(1)- 6x_(1)x_(2)-10x_(1)x_(3)+7x^2_(2)+2x_(2)x_(3)-6x^2_(3).



(прикреплено изображение)
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

∠D - наибольший лежит против стороны EF.
Значит стороны EF - наибольшая.

∠F - наименьший лежит против стороны DE.
Значит стороны DE - наименьшая.

EF > DF > DE
Ответ выбран лучшим
1.
PT- средняя линия Δ ADC
PT||AC
КТ - средняя линия Δ SCD
КТ|| SC
Две пересекающиеся прямые одной плоскости,
PT и КT параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости AC и SC
По признаку параллельности двух плоскостей, такие плоскости параллельны

верно в)
2.
Да, так как
ОТ|| AC

∠ POT - угол между PO и ОТ, а значит и между РО и АС (прикреплено изображение)
3.
Проводим АВ_(1)||DC_(1)
∠ AB_(1)C - угол между AB_(1) и В_(1)С
а значит и между DC_(1)и В_(1)С

Находим его из равнобедренного треугольника AB_(1)C
AB_(1)=B_(1)C=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20)=2sqrt(5)
AC=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)
По теореме косинусов:
cos ∠ AB_(1)C= (АВ^2_(1)+BC^2_(1)-AC^2)/(2*AB_(1)*BC_(1))=

=(20+20-8)/(2*sqrt(20)*sqrt(20))=32/40=4/5

4.
PK- cредняя линия Δ A_(1)B_(1)C_(1).
PK|| A_(1)B_(1)
MO- cредняя линия Δ ABC
MO|| AB
A_(1)B_(1)||AB
⇒ PK||MO

APC_(1)M- параллелограмм
PC_(1)||AM
PC_(1)=AM

AP||MC_(1) как вторые пары сторон параллелограмма.

Две пересекающиеся прямые одной плоскости
AP и РК параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости МС_(1) и MO.
По признаку параллельности двух плоскостей, такие плоскости параллельны

5. Пусть ребро куба равно а.

Проводим ТМ || C_(1)D
TM - средняя линия Δ СС_(1)D
TM=(1/2)C_(1)D=(1/2)asqrt(2) (С_(1)D - диагональ квадрата со стороной а)
MK|| BD
МК - средняя линия Δ BDC
МК=1/2)BD=(1/2)asqrt(2) (BD - диагональ квадрата со стороной а)

Построили две пересекающиеся прямые одной плоскости TM и МК , которые параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости
C_(1)D и BD.
По признаку параллельности двух плоскостей, такие плоскости параллельны

Cечение [b]равносторонний[/b] треугольник cо стороной asqrt(2)/2

S(cечения)=(1/2)*(asqrt(2)/2)^2*sqrt(3)/2 ( площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними)

4sqrt(3)=(1/2)*(a^2/2)*(sqrt(3)/2)
4= a^2/16
a62=64
a=8

S_(поверхности куба)=6*a^2=6*8=48 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Δ АВС - равносторонний.
Вершина пирамиды проектируется в точку О.
О- центр вписанной и описанной окружности.

В прямоугольном треугольнике MOA
OA=MA/2=3
катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора
MO^2=MA^2-OA^2=6^2 -3^2=27
MO=3sqrt(3)

Пусть сторона треугольника АВС равна a.
R=asqrt(3)/3 - выражение радиуса описанной около правильного треугольника через сторону.

[b]asqrt(3)/3=3[/b] ⇒ a=3sqrt(3)

S_( Δ ABC)=(1/2)a*a*sin60^(o)=a^2sqrt(3)/4

При найденном значении а=3sqrt(3)
S_( Δ ABC)=27*sqrt(3)/4

V=(1/3)*S_(осн.)*H=(1/3)*S_( Δ ABC)*H=

=(1/3)*(27*sqrt(3)/4) * 3sqrt(3)=81/4 (прикреплено изображение)
S_(3)=b_(1)*(q^3-1);
S_(6)=b_(1)*(q^(6)-1)

S_(6):S_(3)=(q^(6)-1):(q^(3)-1)

q^6-1=(q^(3))^2-1=(q^3-1)*(q^3+10

56: 2= q^3+1
28=q^3+1
28-1=q^3
27=q^3
q=3
Ответ выбран лучшим
Из прямоугольного треугольника DAK
AK=AD/2=8 - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

H_(цилиндра)=KD
По теореме Пифагора
KD^2=AD^2-AK^2=16^2-8^2=192
H=sqrt(192)=8sqrt(3)

Треугольник АОК - равнобедренный ( ОA=ОК=R)
∠ КОА=120^(o) Это центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.

Проводим высоту OF в равнобедренном треугольнике, которая одновременно является и медианой и биссектрисой

AF=FK=4
∠FOA= ∠FOK=60^(o) ⇒

AO=AF/sin60^(o)=4/(sqrt(3)/2)=8sqrt(3)/3

V=S_(осн)*H=π*R^2*H=π*(8sqrt(3)/3)^2*(8sqrt(3))=

=512π (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
q=b_(2):b_(1)=b_(3):b_(2) =-1/sqrt(2)

S=b_(1)/(1-q)

S=-4sqrt(2)/(1-(-1/sqrt(2))= -4sqrt(2)/(1+(1/sqrt(2))=

=-4sqrt(2)*sqrt(2)/(sqrt(2)+1)= -8/(sqrt(2)+1)=

избавляемся от иррациональности в знаменателе
=-8*(sqrt(2)-1)/(2-1)=8(sqrt(2)-1) - о т в е т
(x^(100))`=100x^(100-1)=100x^(99)

(100^(x))`=100^(x)*ln100

(log_(100)x)`=1/(x*ln100)
Ответ выбран лучшим
(-4^(-5)*x)`=(-4^(-5))*1=-4^(-5)
О т в е т. -4^(-5)*x
Ответ выбран лучшим
q=b_(2):b_(1)=b_(3):b_(2)
q=-2

S_(n)=b_(1)*(q^(n)-1)/(q-1)

S_(15)=1*((-2)^(15)-1)/(-2-1)=(-1/3)*(-32768-1)=10923
Ответ выбран лучшим
7,2+2,8=10
(7,2+2,8)^2=10^2=100
a) Производная cуммы ( разности) равна сумме разности производных:
Перед 6sqrt(x) пропущен знак, поставила ±
f`(x)=(4x^3)`-(x^2/4)` ± (6sqrt(x))`+(3)` =
постоянный множитель можно вынести за знак производной;

по формуле производной степенной функции

(x^( α ))`= α x^( α -1)
=4*3*x^(2) -(1/4)*2x ± 6 * (1/2)x^((1/2)-1)+0=

=12x^2-(x/2) ± 3/sqrt(x);

f`(4)=12*4^2-(4/2) ± 3/sqrt(4) = 192 -2 ±(3/2)
191,5
или
188,5


б)
f`(x)=(7/6)*(x^(-6/7))`=(7/6)*(-6/7)*x^((-6/7)-1)=-1/x^(13/6)

в)
f`(x)=(3cosx-ctgx)`=3*(cosx)`-(ctgx)`=3*(-sinx)-(-1/sin^2x)=

=(1/sin^2x)-3sinx

г)
f`(x)=(2^(x))`-3*(lnx)`+(e^(3))`=2^(x)*ln2-3*(1/x)+0=2^(x)*ln2-(3/x)

д)
f`(x)=3*(log_(2)x)`-(x^(-1))`=(3/x)*(1/ln2)-(-1)*x^(-1-1)=

=3/(x*ln2) + 1/(x^2)
Ответ выбран лучшим
b_(1)=4
b_(2)=-8
q=b_(2):b_(1)=(-8):4=-2

b_(10)=b_(1)*q^(9)=4*(-2)^9=4*(-512)=-2048
Ответ выбран лучшим
b_(5)=1/2
b_(6)=1/6
b_(6)=b_(5)*q
q=b_(6):b_(5)
q=(1/6):(1/2)
q=2/6
q=1/3

b_(7)=b_(6)*q=(1/6)*(1/3)=1/18
7,5-1,5=6
(7,5-1,5)^2=6^2=36
(прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x+7>0 ⇒ x > -7
{x+7 ≠ 1 ⇒ x ≠ -6
{(x+1) /(x-3) > 0 ⇒ x < - 1 или х >3
ОДЗ: (-7;-6)U(-6;-1)U(3;+ ∞)


В условиях ОДЗ:
log_(x+7) ((3-x)/(x+1))^2=2*log_(x+7)|(3-x)/(x+1)|=2log_(x+3)((x-3)/(x+1))

= 2*log_(x+7) ((x+1)/(x-3))^(-1) =- 2log_(x+7)(x+1)/(x-3)

-2log_(x+7)(x+1)/(x-3) ≤ 1 - log_(x+7) (x+1)/(x-3)

log_(x+7)(x+1)/(x-3) ≥ -1;

log_(x+7)(x+1)/(x-3) ≥ log_(x+7)(x+7)^(-1)

Применяем метод рационализации

(x+7-1) * ((x+1)/(x-3) -(1/(x+7))) ≥ 0

(x+6)*(x^2+8x+7-x+3)/(x-3)(x+7) ≥ 0

(x+6)*(x^2+7x+10)/(x-3)(x+7) ≥ 0

(x+6)*(x+2)*(x+5)/(x-3)/(x+7) ≥ 0

Применяем метод интервалов

__-__ (-7) _+__ [-6] _-__ [-5] __+___ [-2] _-_ (3) __+___

C учетом ОДЗ

(-7) _+__ (-6) ___ [-5] __+___ [-2] __ (-1) ___(3) __+___

О т в е т. (-7;-6) U [-5;-2] U(3;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Так как
cos(x+45^(o))=cosx*cos45^(o) - sinx*sin45^(o)=
=sqrt(2)/2*(cosx-sinx)
тогда
sqrt(18)*(sqrt(2)/2)*(cosx-sinx)*sinx + 3=sin^2x*(tgx+1);

3sinx*cosx-3sin^2x+3=sin^2x*(tgx+1);

3*sinx*cosx+3*cos^2x=sin^2x*(sinx+cosx)/cosx;

3cosx*(sinx+cosx) = sin^2x*(sinx+cosx)/cosx;

3cos^2x*(sinx+cosx)=sin^2x*(sinx+cosx);

(sinx+cosx)*(3cos^2x- sin^2x)=0

sinx+cosx=0 ⇒ tgx=-1 ⇒ [b] x=(-π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

3cos^2x- sin^2x=0 ⇒ tg^2x=3 ⇒

tgx=-sqrt(3) или tgx =sqrt(3)

[b]x=(-π/3)+πn, n ∈ Z [/b] или [b]х=(π/3)+πm, m ∈ Z[/b]

О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z; (-π/3)+πn, n ∈ Z ; (π/3)+πm, m ∈ Z
tg5x=sin5x/cos5x;
cos5x ≠ 0

cos3x*sin5x=sin7x*cos5x

(1/2) sin8x +(1/2)sin2x = (1/2)sin12x+(1/2)sin2x;

sin8x=sin12x

sin8x-sin12x=0

2sin(-2х)*cos(10х)=0

-2*sin2x*cos10x=0

sin(2х)=0 ⇒ (2x)=πk, k ∈ Z ⇒ [b] x=(π/2)*k, k ∈ Z[/b]

или

cos(10)=0 ⇒ (10х)=(π/2)+πn, n ∈ Z⇒ [b]x =(π/20)+(π/10)*n, n ∈ Z[/b]

удовлетворяют условию cos5x ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/10)+(π/5)*m, m ∈ Z

Множества не пересекаются.

О т в е т. x=(π/2)*k, k ∈ Z; x =(π/20)+(π/10)*n,n ∈ Z
(1-cos4x)/2 + (1-cos6x)/2=1;

-cos4x - cos6x=0
cos4x+cos6x=0

2cos5x*cosx=0

cos5x=0 ⇒ 5x=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(π/10)+(π/5)*n, n ∈ Z

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

Второй ответ включен в первый.

О т в е т. [b] (π/10)+(π/5)*n, n ∈ Z[/b]

Отрезку [0;2π] принадлежат 10 корней:

(π/10)
(π/10)+(π/5)=(3π/10)
(π/10)+(π/5)*2=(5π/10)=(π/2)
(π/10)+(π/5)*3=(7π/10)
(π/10)+(π/5)*4=(9π/10)
(π/10)+(π/5)*5=(11π/10)
(π/10)+(π/5)*6=(13π/10)
(π/10)+(π/5)*7=(15π/10)=(3π/2)
(π/10)+(π/5)*8=(17π/10)
(π/10)+(π/5)*9=(19π/10)

Сумма корней
S=(π/10)+(3π/10)+(5π/10)+(7π/10)+(9π/10)+(11π/10)+(13π/10)+(15π/10)+(17π/10)+(19π/10)=

=(π/10)*(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)= (π/10)*(1+19)*10/2=

= (π/10)*(100)=10π
Ответ выбран лучшим
(сos10x+cos8x)+3*(cos4x+cos2x)=0

2cos9x*cosx +6 cos3x*cosx=0

2cosx*(cos9x+3cos3x)=0

cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

или

cos9x+3cos3x=0
cos3*(3x)+3cos3x=0
Формула
cos3 α =4cos^3 α -3cos α

4cos^33x-3cosx+3cosx=0
cos^33x=0
cos3x=0
3x=(π/2)+πn, n ∈ Z
[b]x=(π/6)+(π/3)*n, n ∈ Z[/b]
Найденные ранее корни входят в это множество.

О т в е т. (π/6)+(π/3)*n, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
tgx=sinx/cosx; cosx ≠ 0

уравнение принимает вид

sinx+tgx-4(cosx+1)=0

sinx*(1+(1/cosx)) - 4*(cosx+1)=0

(cosx+1)*(tgx-4)=0



cosx+1 = 0 ⇒ cosx = -1 ⇒ [b]x=π+2πn, n ∈ Z[/b]

или

tgx - 4 = 0 ⇒ tgx=4 ⇒ [b]x=arctg4+πk , k ∈ Z[/b]

Найденные корни удовлетворяют условию cosx ≠ 0
Ответ выбран лучшим
tgx=sinx/cosx; cosx ≠ 0
По формуле
[b]2sin^2α =1-cosα [/b]
уравнение принимает вид

sinx*((1/cosx)-1)=1-cosx

sinx*(1-cosx)/cosx- (1-cosx)=0

(1-cosx)*(tgx-1)=0

1-cosx = 0 ⇒ cosx = 1 ⇒ [b]x=2πn, n ∈ Z[/b]

или

tgx - 1 = 0 ⇒ [b]x=(π/4)+πk , k ∈ Z[/b]

Найденные корни удовлетворяют условию cosx ≠ 0
Ответ выбран лучшим
Формула
sin^2α =(1-cos2 α )/2

(1-cos2x)/2 + (1-cos4x)/2 +(1-cos6x)/2= 3/2;

cos2x+cos4x+cos6x=0

(cos2x+cos6x)+cos4x=0

Формула
cos α +cos β =2cos( α + β )/2 * cos( α - β )/2

2cos4x *cos2x+cos4x=0
cos4x*(2cos2x+1)=0

cos4x=0 ⇒ 4x=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ [b] x=(π/8)+(π/4)k, k ∈ Z[/b]

или

2сos2x+1=0 ⇒ cos2x=-1/2 ⇒ 2x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒

[b]x=± (π/3)+πn, n ∈ Z[/b]
Ответ выбран лучшим
sin^2(5π/6)=(1/2)^2=1/4

(1/4)sin2x + cos2x+1=0
(1/4)*2sinx*cosx+(cos^2x-sin^2x)+(cos^2x+sin^2x)=0

(1/2)sinx*cosx +2cos^2x=0
cosx*((1/2)sinx+2cosx)=0

cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]
или
(1/2)sinx+2cosx=0
tgx=-4
x=arctg(-4)+πn, n ∈ Z
[b]x=-arctg4+πn, n ∈ Z[/b]
Ответ выбран лучшим
По формулам двойного угла
sin4x=2sin2x*cos2x

Тогда левая часть уравнения :
sin2x+0,4sin4x=sin2x+sin2x*cos2x=sin2x*(1+cos2x)=sin2x*2cos^2x

Уравнение принимает вид:
sin2x*2cos^2x=cos^2x
или
cos^2x*(2sin2x-1)=0
cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]
или
sin2x=1/2 ⇒ 2x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(-1)^(k)*(π/12)+(π/2)k, k ∈ Z[/b]
Ответ выбран лучшим
2cos^2 α=1+cos2α

4cos^26x+8*(1+cos6x)=13;
4cos^26x+8cos6x-5=0
Квадратное уравнение относительно cos6x
cos6x=t
4t^2+8t-5=0
D=64-4*4(-5)=144=12^2

t_(1)=(-8-12)/8=-5/2 или t_(2)=(-8+12)/8=1/2

Обратный переход

cos6x=-5/2 - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ cos6x ≤ 1

или

сos6x=1/2

6x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z
x= ± (π/18)+(π/3)n, n ∈Z
О т в е т. [b] ± (π/18)+(π/3)n, n ∈Z[/b]
Ответ выбран лучшим
а)
4^(6-5x)=4^4
6-5x=4
5x=2
[b]x=2/5[/b]

б)
3^(x^2-4x)=3^(-3)
x^2-4x=-3
x^2-4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=(4-2)/2= [b]1[/b]; x_(2)=(4+2)/2= [b]3[/b]
Ответ выбран лучшим
4cos2x=2cos((π/2)–x)+1;

По формулам приведения
cos((π/2)–x)=sinx

По формулам двойного угла
cos2x=1-2sin^2x

4*(1-2sin^2x)=2sinx+1;

8sin^2x+2sinx-3=0

Квадратное уравнение относительно синуса.
Замена переменной
sinx=t

8t^2+2t-3=0
D=4-4*8*(-3)=100
t_(1)=(-2-10)/8=-12/16=-3/4 или t_(2)=(-2+10)/16=1/2

Обратный переход

sinx=-3/4
x=(-1)^(k)arcsin(-3/4) +πk, k ∈ Z

или

sinx=1/2

x=(-1)^(n)*(π/6)+πn, n ∈ Z

О т в е т. (-1)^(k)arcsin(-3/4) +πk, (-1)^(n)*(π/6)+πn, k, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни

х=(5π/6)-2π=-7π/6
х= -π+arcsin(3/4)
х=-arcsin(3/4)
x=π/6 (прикреплено изображение)
1.
[b]Замена переменной
sqrt(x)=t
dt=dx/(2sqrt(x))[/b]

получаем табличный интеграл
∫ costdt=sint+C=sin(sqrt(x))+C

2.
[b]Замена переменной
5+cos3x=t[/b]
dt=(5+cos3x)`dx
dt=-sin3x*(3x)`dx
dt=-3sin3xdx
[b]sin3xdx=(-1/3)dt
[/b]
получаем табличный интеграл
∫ (-1/3)dt/sqrt(t)=(-1/3)2sqrt(t)+C=(-2/3)sqrt(5+cos3x)+C

3.
Интеграл от суммы( разности) интегралов равен сумме (разности) интегралов.
= ∫ sqrt(x)dx+ ∫ dx/sqrt(1+x)

Первый интеграл
∫ dx/sqrt(x)
табличный интеграл
=2sqrt(x)

Второй интеграл
∫ dx/sqrt(1+x)= [b][замена: sqrt(1+x)=t;1+x=t^2; x=t^2-1;dx=2tdt ][/b]

∫ 2tdt/sqrt(t)=2∫dt=2t=2sqrt(1+x)

О т в е т. ∫ sqrt(x)dx+ ∫ dx/sqrt(1+x)=2sqrt(x)+2sqrt(1+x)+C

4.
Интеграл от суммы( разности) интегралов равен сумме (разности) интегралов.
= ∫ arcsinxdx/sqrt(1-x^2) - ∫ xdx/sqrt(1-x^2)

Первый интеграл
∫ arcsinxdx/sqrt(1-x^2) [b][ замена: arcsinx=t; dt=dx/sqrt(1-x^2)]=[/b]
получаем табличный интеграл
∫ tdt=t^2/2=(arcsinx)^2/2
Второй интеграл
∫ xdx/sqrt(1-x^2)= [b][ замена: 1-x^2=u; du=-2xdx⇒xdx=(-1/2)du][/b]
получаем табличный интеграл
∫ (-1/2)du/sqrt(u)=(-1/2)*2sqrt(u)=-sqrt(1-x^2)

О т в е т. ∫ arcsinxdx/sqrt(1-x^2) - ∫ xdx/sqrt(1-x^2)=
=(arcsinx)^2/2-sqrt(1-x^2) +C

5.
Интеграл от суммы( разности) интегралов равен сумме (разности) интегралов.
= ∫ dx/sqrt(x) + ∫ sin(sqrt(x))dx/sqrt(x)

Первый интеграл
∫ dx/sqrt(x)
табличный интеграл
=2sqrt(x)

Второй интеграл
∫ sin(sqrt(x))dx/sqrt(x)= [b][замена: sqrt(x)=t;dt=dx/(2sqrt(x)); dx/(sqrt(x))=2dt; ][/b]
получаем табличный интеграл
∫ 2sintdx=2*(-cost)=-2cos(sqrt(x))
О т в е т. ∫ dx/sqrt(x) + ∫ sin(sqrt(x))dx/sqrt(x)=2sqrt(x)-2cos(sqrt(x))+C
Ответ выбран лучшим
(arctgu)`=u`/(1+u^2)

z`_(x)=(y/x)`_(x)/(1+(y/x)^2)= (-y/x^2) / (x^2+y^2)/x^2) = -y/(x^2+y^2)

z`_(y)=(y/x)`_(y)/(1+(y/x)^2)= (1/x) / (x^2+y^2)/x^2) = x/(x^2+y^2)

z`_(x)(M_(o))=z`_(x)(1;1)= - 1/2;

z`_(y)(M_(o))=z`_(x)(1;1) = 1/2;

grad z= z`_(x)* vector{i} + z`_(y)* vector{j}

grad z_(M_(o))= z`_(x)(M_(o))* vector{i} + z`_(y)(M_(o))* vector{j}=

=(-1/2)*vector{i} + (1/2)* vector{j}

Производная по направлению кривой в точке совпадает с производной по направлению касательной.

Угловой коэффициент касательной к кривой

x^2+y^2=2x

Дифференцируем

(x^2+y^2)`=(2x)`

2x+2y*y`=2 ⇒ y`=(2-2x)/2y;

y`=(1-x)/y

y`(M_(o))=y`(1;1)=0

Значит касательная параллельна оси Ох

α =0 ;
β =90^(o)

cos α =1; cos β =0

∂z/∂l =z`_(x)*cos α +z`_(y)*cos β

∂z/∂l _(M_(o)) =(-1/2)*1 +(1/2)*0=-1/2

Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{14/(24-2x-x^2) > 0 ⇒ 24-2x-x^2 >0 ⇒ x^2+2x-24 <0
{16/(25-x^2) > 0 ⇒ 25-x^2 >0 ⇒ x^2-25 <0
{16/(25-x^2) ≠ 1 ⇒ 25-x^2 ≠ 16 ⇒ x^2 ≠ 9

{(x+6)(x-4) < 0 ; D=4+96=100 (корни -6 и 4) ⇒ -6 < x < 4
{ (x-5)(x+5)< 0 ⇒ -5 < x < 5
{x ≠ ± 3

ОДЗ: (-5;-3) U(-3;3)U(3;4)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(16/(25-x^2) - 1) * (14/(24-2x-x^2) - (16/(25-x^2)) > 0

(16-25+x^2)*(14*(25-x^2)-16*(24-2x-x^2)) / ((25-x^2)^2*(24-2x-x^2))>0

Осталось упростить.
Решить методом интервалов.

((x^2-9)(x+3)(350-14x^2-384+32x+16x^2))/(x-5)^2*(x+5)^2*(x-4)(x+6) < 0

((x-3)(x+3)*2*(x^2+16x-17))/(x-5)^2*(x+5)^2*(x-4)(x+6) < 0

((x-3)(x+3)*2*(x+17)(х-1))/(x-5)^2*(x+5)^2*(x-4)(x+6) < 0

_+_ (-17) _-_ (-6) _+_ (-5) _+_ (-3) _-_ (1) _+_ (3) _-_ (4)_+_ (5) _+_

С учётом ОДЗ

(-5) __+__ (-3) _-_ (1) __+_ (3) _-_ (4)

О т в е т. (-3;1)U(3;4)
a)
F(x;y;z)=x^2-y^2-2xy-x-2y-z
F`_(x)=2x-2y-1
F`_(y)=-2y-2x-2
F`_(z)=- 1

F`_(x)(M_(o))=2*(-1)-2*1-1=-1
F`_(y)(M_(o))= -2*1-2*(-1)-2=-2
F`_(z)(M_(o))=-1

-1*(x+1)-2*(y-1)-1*(z-1)=0 - уравнение касательной плоскости
x+2y+z-2=0

(x+1)/(-1)=(y-1)/(-2)=(z-1)/(-1)- уравнение нормали

б) Поверхность
5y=x^2+z^2 - эллиптический параболоид с осью Оу ( см. рис.)

F(x;y;z)=x^2-5y+z^2
F`_(x)=2x
F`_(y)=-5
F`_(z)=2z

F`_(x)(M_(o))=2*1=2
F`_(y)(M_(o))= -5
F`_(z)(M_(o))=2*(-3)=-6

2*(x-1)-5*(y-2)-6*(z+3)=0 - уравнение касательной плоскости
2x-5y-6z-10=0

(x-1)/2=(y-2)/(-5)=(z+3)/(-6)- уравнение нормали
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=6x-2
z`_(y)=6y-2


Находим стационарные точки
{z`x=0
{z`y=0

{6x-2=0
{6y-2=0

x=1/3; y=1/3 - стационарная точка принадлежит области D

и является внутренней точкой области D.

z``_(xx)=6
z``_(xy)=0
z``_(yy)=6

A=6; B=6; C=0
Δ=AB-C^2>0
(1/3;1/3) - точка экстремума,
так как А=6>0, то точка минимума.

z(1/3;1/3)=3*(1/3)^2+3*(1/3)^2-2*(1/3)+2*(1/3)+2=8/3


Исследуем функцию на границе:

при[b] y = 1 - x [/b]
Подставляем в уравнение
z=3x^2+3*(1-x)^2-2x-2*(1-x)+2
z=3x^2+3-6x+3x^2-2x-2+2x+2
z=6x^2-6x+3
функция одной переменной, исследуем ее при 0 ≤ x ≤ 1
z`=12x-6
z`=0
x=1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
при х=1/2; y=1/2
z=6*(1/4)-3+3= [b]3/2[/b]

при х=0; y=1
[b]z=3[/b]
при
x=1;y=0
[b]z=3[/b]


при [b]x=0[/b]
z=3y^2-2y+2 – функция одной переменной, исследуем ее при 0 ≤ y ≤ 1
z`=6y-2
z`=0
y=1/3 - точка
[b]z(0;1/3)= 5/3[/b]

При [b]y=0[/b]
z=3x^2-2x+2 - функция одной переменной, исследуем ее при 0 ≤ x ≤ 1
z`=6x-2
z`=0
x=1/3 - точка минимума
[b]z(1/3;0)= 5/3[/b]


Выбираем наибольшее и наименьшее
z(0;1)=z(1;0)= [b]3[/b] - наибольшее значение функции
z=(1/2;1/2)= [b]3/2[/b] - наименьшее значение функции
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1а)
D(z)={(x;y)|3-x^2-y^2 ≥ 0}
3-x^2-y^2 ≥ 0 ⇒ x^2+y^2 ≤ 3 - внутрення часть круга вместе с границей.
Центр круга в точке (0;0)
R=sqrt(3)

2б)
D(z)={(x;y)|4+4х-y^2> 0}
4+4х-y^2> 0 ⇒4(x+1)>y^2 - внутренняя часть параболы
4(х+1)=y^2 c центром (-1;0) ветви в направлении оси ОХ,
граница пунктирной линией

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1

Решаем неравенство методом интервалов.

Находим нули функции
f(x)=sqrt(x-1)*(x-2)*(x+1)

sqrt(x-1)=0 ⇒ x = 1
или
x-2=0 ⇒ x = 2
или
x+1=0 ⇒ x = -1 не входит в ОДЗ

Расставляем знак функции на ОДЗ.

Неравенство строгое, нули функции отмечаем пустым кружком,
на рисунке круглые скобки:

(1) __-__ (2) __+__

На (2;+ ∞ ) ставим знак +,
так как в произвольной точке этого промежутка,
например в точке х=10
f(10)=sqrt(10-1)((10-2)*(10+1)>0

Далее знаки чередуются справа налево.

О т в е т. (1;2)
По формулам двойного угла:
сos6x=cos^23x-sin^23x
или
сos6x=1-sin^23x-sin^23x

Уравнение:
3+5sin3x=1-2sin^23x - квадратное.

Замена переменной
sin3x=t

2t^2+5t+2=0
D=25-4*2*2=9
t_(1)=(-5-3)/4=-2; t_(2)=(-5+3)/4=-1/2;

[b] sin3x=-2[/b]
Уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ sin3x ≤ 1

или

[b] sin3x=-1/2[/b]

3х=(-1)^(k)*arcsin(-1/2)+π*k, k ∈ Z

3x=(-1)^(k)*(-π/6)+π*k, k ∈ Z

x=(-1)^(k+1)*(π/18)+(π/3)*k, k ∈ Z - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
По формулам приведения
sin(π-x)=sinx

По формулам двойного угла:
2sin^2(x/2)=1-cosx
2cos^2(x/2)=1+cosx

Уравнение:

sinx/(1-cosx) = 1+cosx

(sinx-(1+cosx)*(1-cosx))/(1-cosx)=0

(sinx-(1-cos^2x))/(1-cosx)=0

(sinx - sin^2x)/(1-cosx)=0

{sinx-sin^2x=0
{1-cosx ≠ 0 ⇒ cosx ≠ 1 ⇒ x ≠ 2πm, m ∈ Z

sinx-sin^2x=0
sin*(1-sinx)=0

[b]sinx= 0[/b] ⇒ x=πk, k ∈ Z

Условию x ≠ 2πm, m ∈ Z не удовлетворяют корни при k=2m,

при k=2m+1 корни являются корнями данного уравнения и их
можно записать так :

x=π*(2m+1), m ∈ Z

[b] 1-sinx=0[/b] ⇒ sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. x=π*(2m+1), m ∈ Z; x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

Отрезку [7π/2; 5π]

принадлежат корни

x=5π; x=9π/2 (прикреплено изображение)
По формулам двойного угла
sin2x=2*sinx*cosx
Тогда уравнение примет вид:
2*sinx*cosx+2*cos^2x+cosx=0

cosx*(2sinx+2cosx+1)=0

cosx=0 или 2sinx+2cosx+1=0

[b]сosx=0[/b] ⇒ x=(π/2)+πm, m ∈ Z

или

[b]2sinx+2cosx+1=0[/b]

Так как
sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
1=cos^2(x/2)+sin^2(x/2),

то получим уравнение:
4sin(x/2)*cos(x/2)+2cos^2(x/2)-2sin^2(x/2)+cos^2(x/2)+sin^2(x/2)=0

3cos^2(x/2)+4sin(x/2)*cos(x/2)-sin^2(x/2)=0

однородное тригонометрическое уравнение

Делим на cos^2(x/2)≠ 0

tg^2(x/2) -4tg(x/2) -3=0

D=16+12=28

tg(x/2)=(4-2sqrt(7))/2 или tg(x/2)=(4+2sqrt(7))/2

tg(x/2)=2-sqrt(7) или tg(x/2)=2+sqrt(7)

x/2=arctg(2-sqrt(7))+πk или x/2=arctg(2-sqrt(7))+πn, k,n ∈ Z

x=2arctg(2-sqrt(7))+2πk или x=2arctg(2-sqrt(7))+2πn, k,n ∈ Z

О т в е т.
(π/2)+πm;2arctg(2-sqrt(7))+2πk;2arctg(2-sqrt(7))+2πn, m, k,n ∈ Z



Для решения уравнения
[b]2sinx+2cosx+1=0[/b]
можно приметить метод введения вспомогательного угла.

sinx+cosx=-1/2

Делим обе части уравнения на sqrt(2):

(1/sqrt(2)) sinx + (1/sqrt(2))cosx= -1/2sqrt(2);

пусть
sin φ =1/sqrt(2); cos φ =1/sqrt(2)⇒ φ =π/4

тогда уравнение можно записать так:

sinx*sin(π/4)+cosx*cos(π/4)=-1/2sqrt(2)

cos(x - (π/4))= - sqrt(2)/4; 1/2sqrt(2)=sqrt(2)/4

x - (π/4)= ± arccos( - sqrt(2)/4)+ 2πn, n ∈ Z

x=(π/4) ± ( π - arccos(sqrt(2)/4)) + 2πn, n ∈ Z

О т в е т.
x=(π/4) ± ( π - arccos(sqrt(2)/4)) + 2πn, n ∈ Z

и

О т в е т.

2arctg(2-sqrt(7))+2πk ; 2arctg(2-sqrt(7))+2πn, k,n ∈ Z

это один и тот же ответ
Ответ выбран лучшим
Область
{x_(1)+x_(2) ≤ 5
{3x_(1)-x_(2) ≤ 3
на рис. 1

Область
{x_(1)+x_(2) ≤ 5
{3x_(1)-x_(2) ≤ 3
{x_(1)≥ 0
{x_(2)≥ 0
на рис. 2


Над этой областью расположена поверхность
z=3x_(1)+5x_(2) - плоскость в пространстве, проходящая через ось Оz.

На плоскости x_(1)Ox_(2)
след этой плоскости
прямая
3x_(1)+5x_(2)=0

Плоскость z=3x_(1)+5x_(2)
проходит только через точку (0;0) выделенной области.
Поэтому функция принимает наименьшее значение 0

z=(0;0)=3*0+5*0=0
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{cosx≠0 ( иначе tgx не существует)
{tg^2x+1 ≠ 0 , так как tg^2x ≥ 0 при условии первого неравенства

Так как
1+tg^2 α=1/cos^2 α
и
по формулам приведения
sin(3π+2x)=-sin2x

sin2x=2*sinx*cosx

Уравнение принимает вид:
2*cos^2x=-6sinx*cosx
2*cos^2x+6sinx*cosx=0
2cosx*(cosx+3sinx)=0

cosx ≠ 0 ( cм. ОДЗ)

cosx+3sinx=0
3sinx=-cosx - однородное уравнение первой степени, делим на sinx≠ 0

ctgx=-3
x=arcctg(-3)+πk, k ∈ Z
x= - arctg(3)+πk, k ∈ Z

A) О т в е т. - arctg(3)+πk, k ∈ Z

Б) Указанному отрезку принадлежат корни:
-arcctg3-π; -arcctg3; -arctg3+π

см. рис.
Так как указанный отрезок включает 5 раз по π/2
рисунок нарисовала отдельно
для [-3π/2;0] и для (0;π] (прикреплено изображение)
F(x)=(1+x)/x
Область определения (- ∞; 0) U (0;+ ∞)

F`(x)=((1+x)`*x-(1+x)*x`)/x^2
F`(x)=(x-1-x)/x^2
F`(x)=-1/x^2

F`(x) < 0 на (- ∞; 0) U (0;+ ∞)
F(x) убывает на (- ∞; 0) U (0;+ ∞) (прикреплено изображение)
S(x)=(x^3+432)/x
Можно считать производную по формуле производная дроби
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
S`(x)=(3x^2*x-(x^3+432)*x`)/x^2
S`(x)=(2x^3-432)/x^2

Можно считать производную как производную суммы
S`(x)=(x^2)`+432*(x^(-1))`
S`(x)=2x-432*x^(-2)
S`(x)=2x-(432/x^2)

S`(x)=(2x^3-432)/x^(2)

S`(x)=0

2x^3-432=0
x^3=216
x=6

производная y` <0 на (0;6) и y`>0 при х >6

(0)___-___ (6) ___+__

x=6 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

y(6)=108/36=3

О т в е т. х=6; y=3, т.е размеры 6 × 6 ×3
Ответ выбран лучшим
Перестановки 7-элементного множества с повторениями.
Повторяются
один- две цифры
пять - две цифры
шесть - две цифры

P(2;2;2;1)=P_(7)/P_(2)*P_(2)*P_(2)=7!/(2!*2!*2!)=630

Всего получаем 630 различных перестановок цифр числа.

Чтобы никакие две цифры не шли рядом, подсчитаем число перестановок, при которых [b] наоборот,[/b]
цифры идут друг за другом

Для этого свяжем их в пары.
получим 4-х элементное множество
Р_(4)=4!=24

630-24=606

О т в е т. 606
Потому что
при четных n=2k
a_(2k)=2^(2k) последовательность "растёт": 4; 16;...
при нечётных n=2k+1
a_(2k+1)=2^(2k+1)+(-2)^(2k+1)=2^(2k+1)+(-1)^(2k+1)*2^(2k+1)=

=2^(2k+1)-2^(2k+1)=0

Поэтому последовательность чередуется
0;4;0; 16; ...

Нет такого номера, начиная с которого все элементы последовательность окажутся в окрестности какого- нибудь числа или в окрестности + ∞

Миллионный в окрестности нуля, а миллион первый в окрестности
+ ∞
Так и бегают...
Нигде не сгущаются.
ОДЗ:
{x>0
{x ≠1

(log_(2)(2x)=log_(2)2+log_(2)x=1+log_(2)x;
log_(x)2=1/log_(2)x

log_(2)x=t

((1/t)-1)*(t+1) ≤ 3/2

(1-t)(t+1)/t - (3/2) ≤ 0

(2- 2t^2 -3t)/(t) ≤ 0

Умножаем на (-1)
(2t^2+3t-2)/t ≥ 0

Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя:
2t^2+3t-2=0
D=9-4*2*(-2)=25
t_(1)=(-3-5)/4=-2; t_(2)=(-3+5)/4=1/2;

__-__ [-2] _+__ (0) _-__ [1/2] __+__

-2 ≤ t < 0 или t ≥ 1/2

Обратный переход

-2 ≤ log_(2)x < 0 или log_(2)x ≥ 1/2
log_(2)(1/4) ≤ log_(2)x < log_(2)1 или log_(2)x ≥ log_(2)sqrt(2)

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает,большему значению функции соответствует большее значение аргумента
1/4 ≤ x < 1 или х ≥ sqrt(2)

Найденные решения входят в ОДЗ
О т в е т. [1/4; 1) U [sqrt(2);+ ∞ )
ОДЗ:
{x^2+6 > 0 при любом х;
{x>0
{x^2–3>0 ⇒ x < - sqrt(3) или x> sqrt(3)
{x^2–3 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 2

ОДЗ:(√3;2)U(2;+ ∞ )

log_(x^2–3)(x^2+6) ≥ log_(x^2–3)(7x)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^2–3–1)·(x^2+6–7x) ≤ 0
(x^2–4)·(x^2–7x+6) ≤ 0
(x+2)*(x-1)*(x-2)*(x-6)≤ 0

__+__ [–2] __–__ [1] __+__ [2] ____–____ [6] __+___

с учетом ОДЗ
О т в е т. (√3;2) U [6;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Δ АВС - равнобедренный (АВ=ВС) Значит, ∠ А= ∠ С=(180^(o)-50^(o))/2=65(o)
ΔBC_(1)C прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов.
∠ В=50 градусов, значит ∠ ВСС_(1)=40 градусов
∠ АСС_(1)= ∠ С- ∠ ВСС_(1)= 65 градусов - 40 градусов =15 градусов

Аналогично,
ΔАА_(1)В прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов.
∠ В=50 градусов, значит ∠ 2= ∠А_(1)АВ=40 градусов
∠3= ∠ А_(1)АС= ∠ А- ∠ ВАА_(1)= 65 градусов - 40 градусов =25 градусов

Сумма углов треугольника НАС равна 180 градусов.
∠ АНС= 180 градусов - 25 градусов - 25 градусов=130 градусов
∠ 1= ∠ АНС =130 градусов как вертикальные
[b]Решение задачи предполагает нахождение
какой-то закономерности, которая упростит вычисления.[/b]

Постараемся ее найти:

По условию y=x^2 - 2 пересекается с прямой y= f(x)
Пусть f(x)=kx+m
Осуществим параллельный перенос на 2 единицы вверх
Получим

[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x) + 2 [/b] в точках А и В
[b]АВ=sqrt(26)[/b]

[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x)+1[/b] в точках C и D
СD=3sqrt(2)

[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x)[/b] в точках M и N
[b]Найти MN[/b]

Получили [b]три[/b] одинаковых предложения,
которые помогут составить равенства.

[b]Подробно считаем только для точек А и В.
Пусть A (x_(A);y_(A)); B(x_(B);y_(B))[/b].

По формуле расстояния между двумя точками:

[b]AB^2=(y_(B)-y_(A))^2+(x_(B)-x_(A))^2[/b]
так как
y_(B)-y_(A)^2=(x^2_(B)-x^2_(A))^2=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2, то

AB^2=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2+ (x_(B)-x_(A))^2

[b]26=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2+ (x_(B)-x_(A))^2 (#) [/b]


Так как
[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x) + 2 [/b] в точках А и В,
значит координаты точек А и В можно найти из уравнения:
x^2=kx+m+2
x^2-kx-(m+2)=0

[b]По теореме Виета[/b]
x_(B)+x_(A)=k
x_(B)*x_(A)=-(m+2)

x^2_(B)+2x_(B)*x_(A)+x^2_(A)=k^2

x^2_(B)+2*(-m-2)+x^2_(A)=k^2
[b]x^2_(B)+x^2_(A)=k^2+2(m+2)[/b]


Подставляем в (#)

26=(k^2+1)*(k^2+2*(m+2)+2*(m+2))
[b]26=(k^2+1)*(k^2+4*(m+2))[/b] ( уравнение (1))

[b]Аналогично[/b]

для пары точек С и D:

из уравнения
x^2=kx+m+1
x^2-kx-(m+1)=0
x_(D)+х_(C)=k
x_(D)*x_(C)=-(m+1)

CD^2=(x_(D)+x_(C))^2*(x_(D)-x_(C))^2+(x_(D)-x_(C))^2

18=(x_(D)+x_(C))^2*(x_(D)-x_(C))^2+(x_(D)-x_(C))^2

18=(k^2+1)*(k^2+2*(m+1)+2*(m+1))

[b]18=(k^2+1)(k^2+4*(m+1))[/b] ( уравнение (2))

[b]и для пары точек M и N[/b]

из уравнения
x^2=kx+m
x^2-kx-m=0
x_(N)+х_(M)=k
x_(N)*x_(M)=-m

MN^2=(x_(N)+x_(M))^2*(x_(N)-x_(M))^2+(x_(N)-x_(M))^2

[b]MN^2=(k^2+1)(k^2+4m)[/b]

из [b] уравнений (1) и (2)[/b]

находим
k^2 и m
и подставляем в выражение для MN

Вычитаем
(1) - (2)

26 - 18 = 4k^2+4 ⇒ k^2=1

подставляем в уравнение (1):

26=(1+1)(1+4*(m+2)) ⇒ 13=1+4*(m+2) ⇒ m+2=3 ⇒ m=1

MN^2=(k^2+1)(k^2+4m)
MN^2=(1+1)*(1+4)
MN^2=10
[b]MN=sqrt(10)[/b]

О т в е т. sqrt(10) (прикреплено изображение)
Пусть х км в час первоначальная скорость, (х+20) км в час - скорость на обратной дороге
(240/х) час - время по дороге до супермаркета
(240/(х+20)) час. -время по дороге обратно.
По условию а время по дороге до супермаркета затрачено на 2 часа больше. ( по дороге обратно стоянка 2 часа)

Уравнение

(240/x)-(240/(x+20))=2
120(x+20)-120x=x*(x+20)
x^2+20x-2400=0
D=400+9600=10000
x=(-20+100)/2=40 второй корень отрицательный, не удовл. задаче

О т в е т. 40 км в час.
2^x=t
t>0

1/(1+t) -2/(t^2-t+1) < (1-2t)/(t^3+1);

(t^2-t+1-2-2t -(1-2t))/(t^3+1) <0

(t^2-t-2)/(t^3+1) <0

(t+1)(t-2)/(t^3+1) < 0

___ (0) ___-__ (2) __+__

0 < t < 2

{2^(x)> 0 выполняется при любом х
{2^(x) < 2 ⇒ x < 1

О т в е т. (- ∞ ;1)
Ответ выбран лучшим
1)
Так как
tg α * ctg α =1, то

tg2a+ctg3b= (1/ ctg2a)+(1/tg3b) =(tg3b+ctg2a)/(ctg2a * tg3b), тогда

(tg2a+ctg3b) / (ctg2a+tg3b) =1/(сtg2a * tg3b)= tg2a/tg3b


2) cosa+cos(120^(o)–a)+cos(120^(o)+a) = 0

cos(120^(o)–a)+cos(120^(o)+a)=2*cos(120^(o))*cos(120^(o)-a)=

=2*(-1/2)*cos(-a)=- cos(-a)

тогда
cosa+cos(-a)=0

sinx+cosx=0,2

Применяем формулы двойного угла:
sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
cosx=cos^2(x/2)-sin^(x/2)
и
1=sin^2(x/2)+cos^2(x/2)

2sin(x/2)*cos(x/2)+cos^2(x/2)-sin^(x/2)=0,2*(sin^2(x/2)+cos^2(x/2))
0
1,2sin^2(x/2)-2sin(x/2)*cos(x/2)-0,8cos^2(x/2)=0

Однородное тригонометрическое уравнения второго порядка.
Делим на соs^2(x/2)

Замена
tg(x/2)=t

12t^2-20t-8=0

3t^2-5t-2=0
D=25-4*3*(-2)=49
t=(5 ± 7)/6
[b]tg(x/2)=2[/b] или [b] tg(x/2)=-1/3[/b]

2)
[b]arctg (1/4)= α[/b] ⇒ α ∈ [0;π/2]
Вообще множество значений функции y=arctgx
это [-π/2;π/2]
Но так как аргумент (1/4), это означает , что угол α ∈ [0;π/2]
Функции y=tgx и y =arctgx взаимно обратны на [-π/2;π/2]
Поэтому из того, что
arctg (1/4)= α⇒ tg α =1/4;

Или

tg(arctg(1/4))=tgα
1/4=tgα

Далее стандартная задача
tg α =1/4; α ∈ [0;π/2]
Найти sinα; cosα
Применяем формулу:
cos^2 α =1/(1+tg^2 α );

cos^2α=1/(1+(1/4)^2);
cos^2α=1/(1+(1/16))=16/17

cos α =4/sqrt(17)

Так как sin^2α+cos^2α=1, то
sin α =1/sqrt(17)

arccos(3/5)= β ⇒ cos β =3/5; β ∈ [0;π/2];
Так как sin^2β+cos^2β=1, то
sin β =4/5

cos(2arctg(1/4)+arccos(3/5))=cos(2 α + β )=

=cos2 α *cos β -sin2 α *sin β =

=(cos^2 α -sin^2 α )*cos β - 2sin α *cos α *sin β=

=((16/17)-(1/17))*(3/5) -2 *(1/sqrt(17))*(4/sqrt(17) ) * (4/5)=(9/17)-(32/85)=

=(45-32)/85=[b]13/85[/b]

Вычислим:
sin(arccos(7/8))=sin(2arcsin(1/4))

Считаем
sin(arccos(7/8))
Пусть arccos(7/8)= α , α ∈ [0;π/2]
cos α =7/8;
sin α =+sqrt(1-cos^2 α )=sqrt(1-(7/8)^2)=sqrt(15)/8


считаем
sin(2arcsin(1/4))
arcsin(1/4)= β , β ∈ [0;π/2]
sin β =1/4
cos β =sqrt(1-(1/4)^2)=sqrt(15)/4
sin2 β =2*sin β *cos β = 2*(1/4)*sqrt(15)/4

правая часть sqrt(15)/8 равна левой 2*(1/4)*sqrt(15)/4
верно.

2)
arcsin(4)/(5) + arcsin(5)/(13) + arcsin (16)/(65) = π/2

sin(arcsin(4)/(5) + arcsin(5)/(13) + arcsin (16)/(65))=sin(π/2)

arcsin(4/5)= α ⇒ sin α =4/5; α ∈ [0;π/2] ; cos α =3/5
arcsin(5)/(13)= β ⇒ sin β =5/13 ; β ∈ [0;π/2] ; cos β =12/13
arcsin (16)/(65)= γ ⇒ sinγ =16/65 ; γ ∈ [0;π/2] ; cos γ =63/65

sin( α + β + γ )=sin(( α + β )+ γ )=sin( α + β )*cos γ +cos( α + β )*sin γ =

=(sin α cos β +cos α sin β )*cos γ +(cos α *cos β -sin α *sin β )*sin γ

=((4/5)*(12/13)+(3/5)*(5/13)) * (63/65) + ((3/5)*(12/13) - (4/5)*(5/13)) * (16/65)=

=(63/65)^2+(16/65)^2=(3969+256)/4225=4225/4225=1

sin(π/2)=1
О т в е т. верно
Ответ выбран лучшим
8а) по частям
u=x
dv=dx/sin^2x
du=dx
v=-ctgx

=(-x*ctgx)|^(π/3)_(π/4)- ∫ ^(π/3)_(π/4)(-ctgx)dx=

=-(π/3)*ctg(π/3)+(π/4)ctg(π/4) + ∫ ^(π/3)_(π/4)d(sinx)/sinx=

=(π/4)-(π*sqrt(3)/9) +ln|sinx||^(π/3)_(π/4)=

=(π/4)-(π*sqrt(3)/9) +ln|sin(π/3)|-ln|sin(π/4)|=

=(π/4)-(π*sqrt(3)/9) +ln(sqrt(3)/sqrt(2)).


Замена
sqrt(3x+2)=t
3x+2=t^2
x=(t^2-2)/3
dx=2tdt/3

4x-1=4*(t^2-2)/3 - 1= (4t^2-11)/3
Меняем пределы интегрирования
x=0 ⇒ t=sqrt(3)
x=2 ⇒ t=sqrt(8)

получим

∫ ^(sqrt(8))_(sqrt(3))((4t^2-11)/3)*(2tdt/3)*(1/t)=

=(2/9)∫ ^(sqrt(8))_(sqrt(3))(4t^2-11)dt=

=(2/9)*(4t^3/3)|(sqrt(8))_(sqrt(3)- (22/9)(x)|^(sqrt(8))_(sqrt(3)=

=(8/17)(sqrt(8))^3-(8/17)(sqrt(3))^3-(22/9)*(sqrt(8)-sqrt(3))=

=(128sqrt(2))/17 - (24sqrt(3)/17)-(44sqrt(2)/9) +(22sqrt(3)/9)

можно привести подобные 1 и 3, 2 и 4
x^2=3x+4
x^2-3x-4=0
D=9+16=25
х=(3-5)/2=-1 или х=(3+5).2=4

S= ∫ ^(4)_(1) ((3x+4)-x^2)dx=

=((3x^2/2)+(4x)- (x^3/3))|^(4)_(-1)=

=(3/2)*(4^2-(-1)^2) +4*(4-(-1))-(1/3)*(4^3-(-1)^3)=

=68 целых 5/6 (прикреплено изображение)
6.

∫ ^(+ ∞ )_(0)dx/(4+x^2)=lim_(A→+∞) ∫ ^(A)_(0)dx/(4+x^2)=

=lim_(A→+∞)(1/2)atctg(x/2)| ^(A)_(0)=

=(1/2)*lim_(A→+∞)atctg(A/2)-(1/2)arctg0=

=(1/2)*(π/2)=π/4
Сходится

8
∫ ^(+ ∞ )_(1)dx/sqrt(2x+3)=lim_(A→+∞) ∫ ^(A)_(0)dx/sqrt(2x+3)=

=lim_(A→+∞) (1/2) ∫ ^(A)_(0)d(2x+3)/sqrt(2x+3)=

=lim_(A→+∞)(1/2)* (2*sqrt(2x+3))| ^(A)_(1)=

=lim_(A→+∞) sqrt(2*A+3)- sqrt(5)=+ ∞

Расходится.

10
=lim_(A→+∞)(1/ln2)*(-1/(1+2^x))|^(A)_(0)=

=(1/ln2)(0+1)=1/ln2

Сходится
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a) неверно, так как в {2,3,4,5} нет элемента 1
б) верно.
в) неверно
Z ∩ Q= Z содержит целые числа, в том числе и натуральные
Q\N не содержит натуральных чисел

Подмножество содержит натуральные числа и не может быть частью множества эти числа не содержащего.

г) верно
R\Q - множество иррациональ