Профиль пользователя SOVA

Решения

Несколько раз отмечала [red]ОШИБКУ[/red] в решении, но она игнорируется.
Админ тоже ошибся и посчитал это решение ЛУЧШИМ.

А оно [b]НЕВЕРНОЕ[/b].

Из того, что [b]логарифмы равны[/b] не следует, что [b]равны их основания [/b]и [b]равны выражения под знаком логарифма. [/b]
Достаточно привести контрпример:
log_(2)4 и log_(3)9

И тот и другой логарифм равны 2. [b]Логарифмы равны,[/b] но [red]основания не равны[/red] и[blue] выражения под знаком логарифма не равны[/blue].

Пусть час работы днем стоит [b]х[/b], ночью [b]1,5 х[/b]
За 12 часов работы днем 12[b]х[/b], за 12 часов работы ночью 12* [b]1,5 х[/b] . Всего 3900
Уравнение:

12х+12*1,5х=3900

30х=3900

х=130

12х=12*130=[b]1560[/b] оплата днем

12*1,5*130=[b]2340[/b] оплата ночью

ОДЗ:[m]\left\{\begin{matrix} 7-5x^2>0\\ log_{6}(7-5x^2)\neq 0 \\ 49-5x^4>0 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x^2<\frac{7}{5}\\ 7-5x^2\neq 1 \\ (7-5x^2)(7+5x^2)>0 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} -\sqrt{\frac{7}{5}}<x<\sqrt{\frac{7}{5}}\\ x\neq \sqrt{\frac{6}{5}} \\ 7+5x^2>0 \Rightarrow 7-5x^2>0\end{matrix}\right.[/m]

x ∈ ([m]-\sqrt{\frac{7}{5}};-\sqrt{\frac{6}{5}})\cup(-\sqrt{\frac{6}{5}};\sqrt{\frac{6}{5}})\cup(\sqrt{\frac{6}{5}}; \sqrt{\frac{7}{5}})[/m]

По формуле перехода к другому основанию:

[m]\frac{1}{log_{6}(7-5x^2)}=log_{7-5x^2}6[/m]

По свойству логарифма произведения:
[m]log_{7-5x^2}(49-25x^4)=log_{7-5x^2}(7-5x^2)(7+5x^2)=[/m]
[m]=log_{7-5x^2}(7-5x^2)+log_{7-5x^2}(7+5x^2)=1+log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

Уравнение принимает вид:

[m]log_{7-5x^2}6+2=1+log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

[m]log_{7-5x^2}6+1=log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

Заменим

[m]1=log_{7-5x^2}(7-5x^2)[/m]

[m]log_{7-5x^2}6+log_{7-5x^2}(7-5x^2)=log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

Применяем свойство логарифма произведения и заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

[m]log_{7-5x^2}6\cdot(7-5x^2)=log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

[m]6\cdot(7-5x^2)=7+5x^2[/m]

[m]42-30x^2=7+5x^2[/m]

[m]35=35x^2[/m]

[m]x^2=1[/m]

[m]x=\pm[/m]

Корни входят в ОДЗ

О т в е т. ± 1

Это однородное тригонометрическое уравнение[i] второй[/i] степени.

2sin^24x –4=3*sin4x * cos4x – 4cos^24x

2sin^24x –4*(sin^24x+cos^24x)=3*sin4x * cos4x – 4cos^24x

-2sin^24x =3*sin4x * cos4x

2tg^24x+3tgx=0

tg4x*(2tg4x+3)=0

tg4x=0 или tg4x=-1,5

4x=arctg0+πk, k ∈ Z или 4x=arctg1,5+πn, n ∈ Z

x=(π/4)k, k ∈ Z или x=(1/4)arctg1,5+(π/4)*n, n ∈ Z

О т в е т. (π/4)k, (1/4)arctg1,5+(π/4)*n, k, n ∈ Z

Это однородное тригонометрическое уравнение[i] второй[/i] степени:
все слагаемые содержат либо sin^2x; kb,j cos^2x;kb,j sinx*cosx

1=sin^2x+cos^2x и потому тоже второй степени

5sin^2x –14sinx * cosx – 3cos^2x =2*(sin^2x+cos^2x)

3sin^2x –14sinx * cosx – 5cos^2x =0
Решают, разделив обе части уравнения на
sin^2 ≠ 0 или cos^2x ≠ 0
(потому что одновременно они не равны 0).

Делим на cos^2x ≠ 0

3tg^2x-14tgx-5=0

D=(-14)^2-4*3*(-5)=196+60=256=16^2

tgx=-1/3 или tgx=5

x=arctg(-1/3)+πk, k ∈ Z или x=arctg5+πn, n ∈ Z

О т в е т. arctg(-1/3)+πk, arctg5+πn, k, n ∈ Z

Однородное тригонометрическое уравнение.
Решают, разделив обе части уравнения на
sin(x/2) ≠ 0 или cos(x/2) ≠ 0
(потому что одновременно они не равны 0).

Делим на cos(x/2) ≠ 0

tg(x/2)=sqrt(3)

x/2=arctg (sqrt(3))+πn, n ∈ Z

x/2=(π/3)+πn, n ∈ Z

[b]x=(2π/3)+2πn, n ∈ Z[/b] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

[red]Если x ≤ 0 [/red] ⇒ x^(20)+x^(14)+x^2+1>0
и
- x ≥ 0

x^(17) ≤ 0 ⇒ -x^(17) ≥ 0
x^(3) ≤ 0 ⇒ -x^(3) ≥ 0

Тогда:
x^(20)- x^(17)+x^(14)-x^(3)+x^2-x+1 >0 - [i]неравенство верно[/i]

[red]Если x > 0[/red], то рассматриваем [i]два случая[/i]:

0 < x < 1 и x ≥ 1

Если 0 < x < 1

[m]x < 1[/m] ⇒ [m] x - 1 <0[/m], а значит [m] -x+1 >0[/m]

x^2 > x ^3 ⇒ x^2-x^3 >0

x^(14) > x ^(17) ⇒ x^(14)-x^(17) >0

Поэтому
x^(20)- x^(17)+x^(14)-x^(3)+x^2-x+1=[b]x^(20)[/b]+([blue]x^(14)-x^(17)[/blue])+[blue](x^2-x^3)[/blue]+[blue](-x+1)[/blue] >[b] x^(20)[/b] +0+0+0>0

неравенство верно

Если x ≥ 1

x^(20) > x^(17) ⇒ x^(20) - x^(17) >0

x^(14) > x^(3) ⇒ x^(14) - x^(3) > 0

x^2 > x ⇒ x^(2) - x > 0

Поэтому
x^(20)- x^(17)+x^(14)-x^(3)+x^2-x+1=([blue]x^(20)-x^(17)[/blue])+([blue]x^(14)-x^(3)[/blue])+([blue]x^(2) - x[/blue])+1 >0+0+0+1 >0

неравенство верно при любых х

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} -x^2-8x-7 >0\\ x^2+2x+1 >0 \\ x^2+2x+1\neq 1 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x^2+8x+7 <0\\ (x+1)^2 >0 \\ x^2+2x\neq 0 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} (x+7)(x+1) <0\\ x ≠ -1 \\ x ≠ 0 ∨ x ≠ -2 \end{matrix}\right.[/m]

x ∈ (-7;-2) U (-2;-1)

Так как
[m] log_{x^2+2x+1}256=\frac{1}{log_{256}(x^2+2x+1)}=\frac{1}{log_{2^{8}}((x+1)^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}log_{2}|x+1|}[/m]

В условиях ОДЗ : |x+1|=-(x+1)

уравнение принимает вид:

[m]\frac{log_{2}(-x^2-8x-7)}{\frac{1}{4}log_{2}(-x-1)}=4[/m]

[m]log_{2}(-x^2-8x-7)=log_{2}(-x-1)[/m]

[m]-x^2-8x-7=-x-1[/m]

[m]x^2+7x+6=0[/m]

D=49-24=25

[m]x_{1}=\frac{-7-5}{2}=-6[/m] или [m]x_{2}=\frac{-7+5}{2}=-1[/m]

[m]x_{2}=-1 [/m] не входит в ОДЗ

О т в е т. -6

Обозначим:
[m]y=\frac{2x+1}{x^2+x+1}[/m]

x- любое действительное число, так как x^2+x+1>0 при любом х:

D=1-4 <0

Тогда умножим обе части равенства на x^2+x+1:

x^2y+xy+y=2x+1

yx^2+(y-2)x+y-1=0

Квадратное уравнение имеет решения при D ≥ 0

D=(y-2)^2-4y(y-1)=y^2-4y+4-4y^2+4y=-3y^2+4

-3y^2+4 ≥ 0 ⇒ y^2 ≤ [m]\frac{4}{3} [/m] ⇒ |y| ≤ [m]\frac{2}{\sqrt{3}}[/m] ⇒

[m]-\frac{2}{\sqrt{3}}[/m] ≤ y ≤ [m]\frac{2}{\sqrt{3}}[/m]

[m]-\frac{2\sqrt{3}}{3}[/m] ≤ y ≤ [m] \frac{2\sqrt{3}}{3}[/m]

Наименьшее значение y:[m]-\frac{2\sqrt{3}}{3}[/m]

Наибольшее значение y:[m]\frac{2\sqrt{3}}{3}[/m]

Ответ выбран лучшим

tg ∠ A = BC/AC=2/5 ⇒

BC=(2/5)AC

По теореме Пифагора:

AB^2=BC^2+AC^2

29^2=((2/5)AC)^2+AC^2

29^2=(4/25)AC^2+AC^2

29^2=(29/25)AC^2

AC^2=25*29

AC=5sqrt(29)

BC=2sqrt(29)

S_( Δ АВС)=(1/2) BC*AC или S_( Δ АВС)=(1/2) АВ*CН ⇒

BC*AC = АВ*CН ⇒ СH=(5sqrt(29)*2sqrt(29))/29=[b]10[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]1.[/b]
1 способ

∠ B=90 ° ⇒ AE- диаметр, значит ∠ EFA=90 ° как угол, опирающийся на диаметр.

Пусть AD пересекает окружность в точке К.

Значит, ∠ АКЕ =90 °
Так как BC||AD, то ABEK - прямоугольник, вписанный в окружность

BE=AK=8
Значит KD=EC=4

По свойству секущих, проведенных из точки D к окружности:
DF*DE=DA*DK

Из подобия Δ ECF и Δ ADF

EF:DF=BC:AD=4:12=1:3 ⇒ DE=3EF и DE=4FE

DF*DE=DA*DK ⇒ 3EF*4EF=12*4 ⇒ EF=2

DE=4EF=4*2=8

CD^2=DE^2-СE^2=8^2-4^2=64-16=[b]48[/b]

AB=CD=sqrt(48)=[b]4sqrt(3)[/b]

Тогда из Δ АВЕ:

АЕ^2=AB^2+BE^2=48+8^2=48+64=112

Из Δ АЕF:

AF^2=AE^2_EF^2=112-4=108

AF=sqrt(108)=6sqrt(3)

S_(ABEF)=S(ABE)+S(AEF)=(1/2)AB*BE+(1/2) AF*FE=

=(1/2)8*4sqrt(3)+(1/2)6sqrt(3)*2=16sqrt(3)+6sqrt(3)=[b]22sqrt(3)[/b]

2 способ.

∠ B=90 ° ⇒ AE- диаметр, значит ∠ EFA=90 ° как угол, опирающийся на диаметр.

⇒ AC ⊥ ED

AECD- Трапеция, [i]диагонали которой перпендикулярны.[/i]

Проведем СP || ED

Получим прямоугольный треугольник АСР

Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное отрезками гипотенузы.

H=sqrt(12*4)=sqrt(48)=4sqrt(3)

Тогда DE=sqrt(4^2+48)=sqrt(64)=8

Из подобия ECF и ADF

EF:FD=BC:AD=4:12

FD=3EF

FE=4FE

Значит

FD=6; EF=2

AF^2=AE^2-EF^2= ( 8^2+48)=112-4=108

AF=sqrt(108)=6sqrt(3)

S_(ABEF)=S(ABE)+S(AEF)=(1/2)AB*BE+(1/2) AF*FE=

=(1/2)8*4sqrt(3)+(1/2)6sqrt(3)*2=16sqrt(3)+6sqrt(3)=[b]22sqrt(3)[/b]

[b]2.[/b]
[m] a_{20}=a_{1}+19d[/m]
[m] a_{2000}=a_{1}+1999d[/m]

Решаем систему:
{[m]a_{1}+19d=1[/m]
{[m]a_{1}+1999d=199[/m]

Вычитаем из второго первое:

1980 d=198
d=0,1
a=-0,9

[m] a_{2020}=a_{1}+2019d=-0,9+0,1\cdot 2019=-201[/m]
(прикреплено изображение)

d^2=a^2+b^2+c^2=6^2+4^2+12^2=36+16+144=196

d=sqrt(196)=14

О т в е т. [b]14[/b]

Ответ выбран лучшим

АВ=ВС=АС=1
SA=SB=SC=1

АО=(2/3) AD; D- cередина BC;

AD^2=AB^2-BD^2=1^2-(1/2)^2=1-(1/4)=3/4
AD=sqrt(3)/2

AO=sqrt(3)/3

SO^2=AS^2A-AO^2=1-(3/9)=2/3

SO=sqrt(2/3) (прикреплено изображение)

Треугольник АВС - равносторонний. Проводим высоту, медиану и биссектрису СМ и высоту, медиану и биссектрису AD
Точка О - точка их пересечения, центр вписанной и описанной окружностей.
Точка О - основание высоты SO
(прикреплено изображение)

[m]\sqrt[12]{9^{14}}\cdot \sqrt[6]{81}=\sqrt[6]{9^{7}}\cdot \sqrt[6]{9^{2}}=\sqrt[6]{9^{7}9^{2}}=\sqrt[6]{9^{9}}=\sqrt[2]{9^{3}}=9\cdot 3=27[/m]

О т в е т. а)

[m]\sqrt[12]{9^{14}}\cdot \sqrt[6]{81}=\sqrt[6]{9^{7}}\cdot \sqrt[6]{9^{2}}=\sqrt[6]{9^{7}9^{2}}=\sqrt[6]{9^{9}}=\sqrt[2]{9^{3}}=9\cdot 3=27[/m]

[m]log_{0,5}0,5=1[/m]

[m]log_{9}\frac{1}{81}=log_{9}9^{-2}=-2log_{9}9=-2[/m]

[m]7^{log_{7}2}=2[/m] - основное логарифм. тождество

О т в е т. [m]log_{0,5}0,5\cdot log_{9}\frac{1}{81}-7^{log_{7}2}=1\cdot (-2)-2=-4[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]sin(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]cos(\frac{5\pi}{3})=cos(2\pi-\frac{\pi}{3})=cos(-\frac{\pi}{3})=cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}[/m]

[m]tg(2π)=tg0=0[/m]

[m]ctg \frac{\pi}{2}=0[/m]

О т в е т. [m]2sin(-\frac{\pi}{4})+cos(\frac{5\pi}{3})+tg(2π)+ctg \frac{\pi}{2}=-\sqrt{2}+\frac{1}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АВК:

ВК=AB*sin ∠ A=5*0,8=4

АК^2=AB^2-BK^2=25-16=9
AK=3

AK=MD=3

AD=AK+KM+MD=3+5+3=11

h=BK
a=BC=5
b=AD=11

S_(трапеции)=(a+)*h/2=(5+11)*4/2=[b]32[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=6x-6x^2

y`=0 ⇒ 6x-6x^2=0 ⇒ x=0 и х=1 - не принадлежат отрезку [-4;0]

Значит на отрезке [-4;0]
производная функции имеет постоянный знак,
а именно y` <0, функция убывает

( решим неравенство:
6x-6x^2<0 ⇒ 6x(1-x) <0 ⇒ x(x-1) >0 ⇒ x < 0 или x > 1)

Наименьшее значение убывающая на отрезке функция принимает в левом конце, т. е в точке x=0

y_(наим)=y(0)=3*(0)^2-2*(0)^3+1=1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+6 >0 ⇒ x >-6
{x+2 >0 ⇒ x >-2

ОДЗ: x ∈ (-2; + ∞ )

1=log_(2)2

log_(2)(x+6)=log_(2)2+log_(2)(x+2)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(2)(x+6)=log_(2)2*(x+2) ⇒

x+6 =2*(x+2)
x+6=2x+4
[b]x=2[/b] принадлежит ОДЗ

О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

5cosx-2sinx*cosx=0

cosx*(5-2sinx)=0

cosx=0 или 5-2sinx=0

cosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z [/b]

5-2sinx=0 ⇒ sinx=2,5 - уравнение не имеет корней,

так как синус ограничен: -1 ≤ sinx ≤ 1

не принимает значения больше 1

[i]Наименьший положительный корень[/i] при k=0

равен (π/2) рад =[b]90 ° [/b]

Ответ выбран лучшим

sqrt(48)=sqrt(16*3)=sqrt(16)*sqrt(3)=4sqrt(3)

(5+sqrt(48))^2=(5+4sqrt(3))^2=

=5^2+2*5*4*sqrt(3)+48=73+10*4sqrt(3)=73+40 sqrt(3)

(5+sqrt(48))^2-40 sqrt(3)=73+40 sqrt(3)-40 sqrt(3)=73

Ответ выбран лучшим

а)
BB_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ AB
АВ ⊥ BD

AB ⊥ пл ВВ_(1)D_(1), так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости

Расстояние от точки А до ВВ_(1)D_(1) равно АВ=1

б)

АC ⊥ ВЕ
AC ∩ BE=K

BB_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ AK

AK ⊥ пл ВВ_(1)E_(1),так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости

Расстояние от точки А до ВB_(1)E_(1) равно АK=AC/2=sqrt(3)/2

( Рис. 1)

в)
АD⊥ ВF
AD ∩ BF=M

BB_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ AM

AM ⊥ пл ВВ_(1)E_(1),так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости

Расстояние от точки А до ВB_(1)E_(1) равно АM=AO/2=1/2
(прикреплено изображение)

ОПЕЧАТКА в условии:
f (x)=4x^3-12x^([b]2[/b])-3

f `(x)=(4x^3-12x^2-3)`

Применяем правила вычисления производных:
производная суммы равна сумме производных

f `(x)=(4x^3)`+(-12x^2)`+(-3)`

постоянный множитель можно выносить за знак производной:

f`(x)=4(x^3)`-12(x^2)`-(3)`

По таблице:
(x^3)`=3x^2
(x^2)`=2x
(C)`=0 ⇒ (3)`=0

y`=4*3x^3-12*2x

y`=12x^2-24x

y`=12x*(x-2)

y`=0

12x*(x-2)=0

x=0 или x-2=0 ⇒ x=2

Это точки, в [i]которых производная равна 0. [/i]
Чтобы узнать есть в них экстремум или нет надо применить
теорему ( достаточное условие существования экстремума ):
если в точке х_(о) производная равна 0
и
[i]при переходе через точку [/i] х_(о) производная меняет знак + на -,
то х_(о) - [i]точка максимума[/i]
( если же производная меняет знак - на +, то х_(о) - [i]точка минимума[/i])

В других случаях (при смене знака + на + или - на - ) [b]экстремума нет
[/b]

Находим знак производной.

y`=12x^2-24x

Производная - то же [i]функция.[/i]

В данном случае это [i]квадратичная функция[/i], графиком служит парабола, ветви вверх

Нашли нули этой функции: x=0; x=2

(прикреплено изображение)

По формуле производной сложной функции:
[m]y=\sqrt{u(x)}[/m] ⇒ [m]y`=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u`(x)[/m]

[m]u(x)=2x+sin4x[/m]

[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (2x+sin4x)`[/m]

По формуле производной сложной функции:
[m] (sinu)`=cosu \cdot (u)`[/m]

[m]u=4x[/m] ⇒ [m](sin4x)`=cos4x \ cdot(4x)`[/m]

[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (2+cos4x\cdot (4x)`)[/m]

[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (2+cos4x\cdot (4))[/m]

[m]y`=\frac{1}{\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (1+2\cdot cos4x)[/m]

[m]y`=\frac{1+2cos4x}{\sqrt{2x+sin4x}}[/m]

[m]y`(\frac{\pi}{2})=\frac{1+2cos4\cdot (\frac{\pi}{2})}{\sqrt{2\cdot (\frac{\pi}{2})+sin4\cdot(\frac{\pi}{2}) }}=\frac{1+2cos 2 \pi}{\sqrt{\pi+sin2 \pi}}=\frac{3}{\sqrt{\pi}}=\frac{3\sqrt{\pi}}{\pi}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m] y`=(11tgx-11x-11\frac{\pi}{4}+12)`[/m]
Применяем правила:
производная суммы равна сумме производных
[m] y`=(11tgx)`+(-11x)`+(-11\frac{\pi}{4})`+(12)`[/m]
постоянный множитель можно вынести за знак производной:
[m] y`=11(tgx)`-11(x)`+(-11\frac{\pi}{4})`+(12)`[/m]
и формулы:
C`=0 ⇒ [m] (-11\frac{\pi}{4})`=0; (12)`=0[/m]
(x)`=1
[m](tgx)`=\frac{1}{cos^2x}[/m]
[m] y`=11\cdot \frac{1}{cos^2x}-11[/m]

[m] y`=0[/m]
[m]11\cdot \frac{1}{cos^2x}-11=0[/m] ⇒ [m] \frac{1}{cos^2x}-1=0[/m]

[m]cos^2x=1[/m] ⇒ [m]cosx=-1[/m] или [m] cosx=1[/m]

[m]x=-\pi+2 \pi k, k\in Z[/m] или [m]x=2 \pi k, k\in Z[/m]

x=0 -одна точка возможного экстремума,
принадлежащая [[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]]

Исследуем ее на экстремум.
Применяем теорему (достаточное условие):
Если f`(x_(o))=0 и при переходе через точку x_(o) производная меняет знак
( с + на -) то х_(о) - точка максимума,
( с - на +) то х_(о) - точка минимума.

Если нет смены знака, то точка x_(о) не является точкой экстремума.

Так как |cosx| ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos^2x ≤ 1

[m] y`=11\cdot \frac{1}{cos^2x}-11=11\cdot \frac{1-sin^2x}{cos^2x}=11tg^2x[/m]

[m] y` ≥ 0[/m] на [[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]] ⇒

функция возрастает на [[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]]

и принимает наименьшее значение в точке [m]x=-\frac{\pi}{4}[/m]

[m]y(-\frac{\pi}{4})=11tg(-\frac{\pi}{4})-11\cdot(-\frac{\pi}{4}) -11\frac{\pi}{4}+12=-11+12=1[/m]

О т в е т. y_(наим на[[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]] )=[m]y(-\frac{\pi}{4})=1[/m]

a) AB ⊥ BC
BC||B_(1)C_(1) ⇒
AB ⊥ B_(1)C_(1)
Расстояние от точки А до B_(1)C_(1) равно АВ=[b]2[/b]

б)
А_(1)D_(1)|| MN
АМ ⊥ MN ⇒ AM ⊥ А_(1)D_(1)
AM=A_(2)B_(2)=1
Расстояние от точки А до А_(1)D_(1) равно AM=A_(2)B_(2)=[b]1[/b]

в)
АВ ⊥ BC
B_(2)C_(2) || BC

A_(2)B_(2)|| AB

Расстояние от точки А до B_(2)C_(2) равно A_(2)B_(2)=[b]1[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Теорема Пифагора

а)
АС^2=2^2+2^2=8
AC^2_(1)=AC^2+CC^2_(1)=8+1=9
АС_(1)=[b]3[/b]

б)
АК^2=AA^2_(1)+A_(1)K^2=2^2+1^2=5
AD^2_(1)=AK^2+KD^2_(1)=5+1=6
AD_(1)=[b]sqrt(6)
[/b]
в)
АK^2=AA^2_(1)+A_(1)K^2=2^2+1^2=5
AC^2_(2)=AK^2+KC^2_(2)=5+2^2=9
AC_(2)=[b]3[/b]

г)BK^2=BC^2+CK^2=2^2+1^2=5
ВD^2_(1)=BK^2+KD^2_(1)=5+1=6
ВD_(1)=[b]sqrt(6)[/b]

д) BD^2=2^2+2^2=8
BD^2_(2)=BD^2+DD^2_(2)=8+2^2=8+4=12
BD^2=sqrt(12)=[b]2sqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим перпендикуляр из точки А на прямую ВС_(1) как высоту [i]равнобедренного [/i]треугольника АВС_(1), проведенную на боковую сторону.
Δ АВС_(1) - равнобедренный, так как

АС_(1)=ВС_(1)=sqrt(2) - диагонали боковых граней, которые являются [blue]квадратами.[/blue]

Найдем высоту [b]h[/b] равнобедренного треугольника АВС_(1)

h^2=AC^2_(1)-(AB/2)^2=(sqrt(2))^2-(1/2)^2=2-(1/4)=7/4
h =sqrt(7)/2

S_( Δ АВС_(1))=(1/2) * AB*h

C другой стороны

S_( Δ АВС_(1))=(1/2) * BС_(1)*AD

Приравниваем правые части:
(1/2) * AB*h=(1/2) * BС_(1)*AD ⇒ AD=AB*h/BC_(1)=(sqrt(7)/2)/sqrt(2)=sqrt(7)/(2sqrt(2))=sqrt(7)*sqrt(2)/(2*2)=[b]sqrt(14)/4[/b]

(прикреплено изображение)

Проводим АК ⊥ BC

Призма прямая, значит боковые ребра перпендикулярны плоскости АВС, а значит и любой прямой в этой плоскости
Поэтому BB_(1) ⊥ AK

⇒ АК ⊥ ВС и АК ⊥ ВВ_(1)

АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, значит АК ⊥ пл ВВ_(1)С_(1)С

АК^2=AB^2-BK^2=1-(1/2)^2=3/4

AK=sqrt(3)/2

О т в е т.[b] sqrt(3)/2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) AB ⊥ BD и BD- проекция BD_(1)
По теореме о 3-х перпендикулярах AB ⊥ BD_(1)
Значит расстояние от точки А до BD_(1) равно АВ=1

б) AС ⊥ СD и СD- проекция СD_(1)
По теореме о 3-х перпендикулярах AС ⊥ СD_(1)
Значит расстояние от точки А до СD_(1) равно АС=[b]sqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

При x ≥ 0
|x|=x
Получаем окружность:[b] (x-5)^2+(y-4)^2=1^2[/b]

При x < 0
|x|=-x
Получаем окружность: (-x-5)^2+(y-4)^2=3^2 ⇒[b] (x+5)^2+(y-4)^2=3^2[/b]

см. рис.

Пусть А (x_(1);y_(1)) принадлежит первой окружности:
(x_(1)-5)^2+(y_(1)-4)^2=1^2

В (x_(2);y_(2)) принадлежит второй окружности:
[b] (x_(2)+5)^2+(y_(2)-4)^2=3^2

Составим уравнения прямой О_(1)А
[m]\frac{x-5}{x_{1}-5}=\frac{y-4}{y_{1}-4}[/m]

и прямой О_(2)В
[m]\frac{x+5}{x_{2}+5}=\frac{y-4}{y_{2}-4}[/m]

Прямые параллельны, значит их угловые коэффициенты равны.

[m]\frac{y_{2}-4}{x_{2}+5}=\frac{y_{1}-4}{x_{1}-5}[/m]

Получаем систему уравнений:

{(x_(1)-5)^2+(y_(1)-4)^2=1^2
{(x_(2)+5)^2+(y_(2)-4)^2=3^2
{[m]\frac{y_{2}-4}{x_{2}+5}=\frac{y_{1}-4}{x_{1}-5}[/m]

Находим координаты точек А и В
Составляем уравнение касательной АВ.
Касательная АВ расположена ближе всех к точке М

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3 sinx+5cosx=3

Так как sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
1=cos^2(x/2)+sin^2(x/2) ⇒ 3=3cos^2(x/2)+3sin^2(x/2)

Подставляем в данное равенство:

3 *2sin(x/2)*cos(x/2)+5*(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))=3cos^2(x/2)+3sin^2(x/2)

Получаем:
6sin(x/2)*cos(x/2)+2cos^2(x/2)-8sin^2(x/2)=0

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

Делим на cos^2x ≠ 0

8tg^2(x/2)-6tg(x/2)-2=0

4tg^2(x/2)-3tg(x/2)-1=0

D=9+16=25

tg(x/2)=-1/4 или tg(x/2)=2

если
π < x <2π ⇒ (π/2) < (x/2) < π ⇒ (х/2) во второй четверти , тангенс во второй четверти отрицтельный

О т в е т [b]-1/4[/b]

r_(cечения):R_(основания)=3:4 ⇒ r_(cечения)=(3/4)*(4/sqrt(π))=[b]3/sqrt(π)[/b]

S_(cечения)=πr^2=π*(9/π)=9

Что найти не написано...

Ответ выбран лучшим

y=2e^(2x)-12e^(x)+20

y`=(2e^(2x)-12e^(x)+20)`=2*(e^(2x))`-12*(e^(x))+(20)`=

=2*e^(2x)*(2x)`-12*e^(x)+0=

=4e^(2x)-12e^(x)

y`=0

4e^(2x)-12e^(x)=0

4e^(x)*(e^(x)-3) =0

e^(x) > 0 при любом х

e^(x)=3

x=ln3

1=lne < ln 3 < ln e^2=2

x=ln3 - [i] единственная[/i] критическая точка на [1; 2]

Применяем [i]достаточное условие[/i] экстремума:

находим [i]знаки производной [/i]на отрезке:

y`<0, если e^(x)-3< 0 ⇒ x < ln3
y`>0, если e^(x)-3> 0 ⇒ x > ln3

[1] __-__ ( ln 3 ) __+__ [2]

x=ln3 - точка минимума данной функции на отрезке, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +

( [b]не надо считать значения на концах отрезка[/b]: если точка экстремума одна на отрезке, то она либо точка максимума, либо точка минимума)

y_(наим)=y(ln3)=2e^(2*ln3)-12e^(ln3)+20

Применяем [i]основное логарифмическое тождество[/i]:

a^(log_(a)b)=b, b >0; a >0; a ≠ 1

e^(2*ln3)=e^(ln3^2)=3^2

e^(ln3)=3

y_(наим)=y(ln3)=2*3^2-12*3+20=18-36+20=-18+20=2

О т в е т.[b] y_(наим)=2[/b]

(прикреплено изображение)

В тетраэдре две пары равнобедренных треугольников
со сторонами [b]5;5;6 [/b] и [b] 6;6;5[/b]

Проводим медианы МК и КР в треугольниках BDC и ADC.

МК || BC; [b]MК[/b]=2,5
KP || AD; [b] KP[/b]=3

[b] ∠ MKP[/b] - угол между скрещивающимися ребрами ВС и AD
найдем из треугольника МКР

Для этого найдем третью сторону этого треугольника [b]МР.[/b]М

МР найдем из треугольника АМС.

Но сначала найдем медианы СМ и АМ в треугольниках СВD и АВD

CМ - медиана и высота равнобедренного треугольника АВD с основанием 6 и боковыми сторонами 5.

[b]СМ=4[/b]

Для нахождения АМ применяем метод [i]достраивания до параллелограмма
[/i] ( или метод удваивания медианы)

Тогда по свойству сторон и диагоналей параллелограмма:

[b]d^2_(1)+d^2_(2)=2(a^2+b^2)[/b]

[b](2AM)^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)[/b] ⇒ (2AM)^2+6^2=2(5^2+6^2)

АМ=[m]\frac{\sqrt{86}}{2}[/m]

Для нахождения MP применяем метод [i]достраивания до параллелограмма [/i] ( или метод удваивания медианы)

[b](2MP)^2+AC^2=2(AM^2+CМ^2)[/b] ⇒ (2MP)^2+6^2=2(([m]\frac{\sqrt{86}}{2}[/m])^2+4^2)

4MP^2=39
[b]MP[/b]=[m]\frac{\sqrt{39}}{2}[/m]

Из Δ МКР по теореме косинусов:

МР^2=MK^2+KP^2-2*MK*KP*cos ∠MKP

[m]\frac{39}{4}=(\frac{5}{2})^2+3^2-2\cdot \frac{5}{2}\cdot 3 \cdot cos \angle MKP[/m]

[b]cos ∠MKP[/b]= [m]\frac{11}{30}[/m]

О т в е т. [m]\frac{11}{30}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пирамида правильная ⇒ в основании [i]правильный [/i]четырехугольник

Правильный четырехугольник - это квадрат.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам

АС ⊥ BD

BO - проекция SB

[b]По теореме о трех перпендикулярах[/b]

если АС ⊥ BD ( проекции), то значит АС ⊥ SB ( наклонной)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Призма правильная, значит в основании правильный шестиугольник. См. рис.

Все боковые ребра перпендикулярны плоскости снования.

AA_(1) ⊥ пл АВС ⇒ АА_(1) перпендикулярна любой прямой, лежащей в пл АВС

АА_(1) ⊥ АВ
АА_(1) ⊥ АF

Аналогично AA_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ AB

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости:

a) АА_(1) ⊥ АВ и АА_(1) ⊥ АF ⇒ AA_(1) ⊥ пл АВС

б) BB_(1) ⊥ AB и BD ⊥ AB ( см. рис.) ⇒ AB ⊥ пл ВВ_(1)DD_(1)

в) АС ⊥ СС_(1) и АС ⊥ СD ( см. рис.) ⇒ AС ⊥ пл СС_(1)DD_(1)

г) BB_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ АС и АС ⊥ ВЕ ( cм. рис) ⇒

АС ⊥ пл ВВ_(1)ЕЕ_(1) (прикреплено изображение)

a)
Пирамида [i]правильная[/i] в основании [i]равносторонний[/i] треугольник.
AB=BC=AC=6

SA=SB=SC=4sqrt(3)

O-центр вписанной и описанной окружностей.

АО=ВО=СО=asqrt(3)/3=6sqrt(3)/3=[b]2sqrt(3)[/b];

Δ SOB - прямоугольный: SO ⊥ пл АВС

SB=4sqrt(3)

BO=2sqrt(3) ⇒ ∠ BSO=30 ° ⇒ SO=6

Проведем KP || SO ; Р ∈ ВО, а значит [b] Р ∈ BN[/b]

Δ SOB и Δ KPB подобны.

KP ⊥ пл. АВС.

Плоскость α проходит через перпендикуляр к другой плоскости и потому перпендикулярна пл. АВС.

Из подобия треугольников Δ SOB и Δ KPB

SO:KP=SB:KB ⇒ 6:KP=7:3 ⇒ [b]KP[/b]=[m]\frac{18}{7}[/m]

SK=[m]\frac{3}{7}SB=\frac{3}{7}\cdot 4\sqrt{3}=\frac{12\sqrt{3}}{7}[/m]

[red]BР[/red]=[m]\frac{6\sqrt{3}}{7}[/m]- катет против угла в 30 °

Докажем, что точка пересечения точка Е - точка пересечения СМ и ВN
совпадает с точкой P ( cм. рис. 2)

[b]Е ∈ BN[/b]

В Δ АВС: СТ=BN=3sqrt(3) - высоты равностороннего треугольника.

АМ=5; ВМ=1 ⇒ АТ=3; TM=2;

По теореме Пифагора из прямоугольного Δ CTM:

CМ^2=CT^2+TM^2=(3sqrt(3))^2+2^2=27+4=31

ВN - медиана, высота и [i]биссектриса[/i] Δ АВС ⇒

BN делит сторону СМ в отношении

СE:EM=CB:BA=6:1

CE=[m]\frac{6\sqrt{31}}{7}[/m]; EM=[m]\frac{\sqrt{31}}{7}[/m];

По теореме косинусов из Δ ВЕМ:

ЕМ^2=ВЕ^2+BM^2-2BE*BM*cos30 ° ⇒

[m](\frac{\sqrt{31}}{7})^2=ВЕ^2+1-2\cdot BE \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} [/m];

[m]BE^2-\sqrt{3}\cdot BE+\frac{18}{49}=0[/m]

D=[m](\sqrt{3})^2-4\cdot \frac{18}{49}=\frac{75}{49}[/m]

ВЕ=[m]\frac{\sqrt{3}\pm\frac{5\sqrt{3}}{7}}{2}[/m]

[red]ВЕ[/red]=[m]\frac{6\sqrt{3}}{7}[/m] или ВЕ=[m]\frac{\sqrt{3}}{7}[/m]
( не удовл условию задачи, тогда СЕ ≠ =[m]\frac{6\sqrt{31}}{7}[/m]

Так как [b] Р ∈ BN[/b] и [b] Е ∈ BN[/b]
и
[red]ВЕ=BP[/red] , то P=Е

б)
S_( Δ КМС)=[m]\frac{1}{2}CM\cdot KP=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{31}\cdot \frac{18}{7}=[/m]

[m]=\frac{9}{7}\sqrt{31}[/m]

О т в е т. S_(сечения)=[m]=\frac{9}{7}\sqrt{31}[/m]

(прикреплено изображение)

Пирамида правильная:

В основании правильный шестиугольник:
AB=BC=CD=DE=DF=AD=7

Боковые ребра равны: SA=SB=SC=SD=SE=SF=10

ОС=ОD=7

Δ OTD ∼ Δ MTC
3 : 7=ТС: (7-ТС) ⇒ 7ТС=21-3ТС ⇒ [b]ТС=2,1[/b]

Покажем, что Т- проекция точки K

Рассмотрим Δ SOC и Δ KTC
∠ SСО - общий.

SO:KO= 10:3
OC:ТС=7:2,1=10:3 ⇒ Δ SOC подобен Δ KTC

∠ SOC=90 ° ⇒ ∠ KTC=90 °

б)
По теореме Пифагора

KT^2=KC^2-CТ^2=3^2-2,1^2=0,9*5,1

КT=3sqrt(51)/10

V_(пирамиды СDKM)=(1/3)*S_( Δ CDM)*H=

=(1/3)*(1/2)*CМ*МD*sin120 °*KT=(1/6)*3*7*(sqrt(3)/2)*(3sqrt(51)/10)=

=[b]63sqrt(17)/40[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
CC_(1) ⊥ AB ⇒ ∠ AC_(1)C=90 °

∠ AA_(1)C= ∠ AC_(1)C=90 ° как углы опирающиеся на одну и ту же дугу АС

AA_(1) ⊥ BC
Медиана AA_(1) одновременно и высота, значит Δ АВС - равнобедренный
АВ=АС

б) АВ=АС
[b]A_(1)C_(1)=2[/b]

[m]\angle C_{1}AA_{1}=\angle A_{1}CC_{1}[/m] как углы,

опирающиеся на одну и ту же дугу A_(1)C_(1)

Δ АА_(1)В= Δ АА_(1)С ⇒ ∠ АА_(1)В= ∠ АА_(1)С ⇒ ∪ А_(1)С= ∪ А_(1)С_(1)=2

A_(1)C=2

BC=4

Пусть АА_(1)=3х; СС_(1)=2х

Из Δ ВС_(1)С:

[m] sin \angle B=\frac{CC_{1}}{BC}=\frac{x}{2}[/m]

[m] sin \angle C= sin \angle B=\frac{x}{2}[/m]

Из Δ AС_(1)С:

[m] sin \angle C=\frac{CC_{1}}{AC}=\frac{3x}{AC}[/m] ⇒

[m]\frac{x}{2}=\frac{3x}{AC}[/m] ⇒ АС=6; BC=6

Из Δ АА_(1)С:

[m]AA_(1)=\sqrt{AC^2-CA^2_{1}}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}[/m]

S_( Δ ABC)=[m]\frac{1}{2}BC\cdot AA_{1}=2\cdot 4\sqrt{2}=8\sqrt{2}[/m]

О т в е т. [m]8\sqrt{2}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) Δ АВС= ΔNCM по двум катетам ( cм. рис. 1)

Тогда в этих треугольниках равны соответствующие острые углы
( обозначим их α и β ) и высоты: [b]CH=CF[/b] ( см. рис.2)

∠ FCH= α + β =90 ° ( сумма острых углов прямоугольного треугольника АВС равна 90 ° :α + β=90 ° )

б)
ВС=4
АС=8

ΔBCM - прямоугольный равнобедренный BС=СM=4 ⇒ [b]BM=4sqrt(2)[/b]

ΔBLN - прямоугольный равнобедренный АС=СN=8 ⇒ [b]BL[/b]=LN=12*(sqrt(2)/2)=[b]6sqrt(2)[/b]

LM= BL-BM=6sqrt(2)-4sqrt(2)=2sqrt(2)

О т в е т. [b]LM=2sqrt(2)
[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cумма кредита S=400 тыс руб.

Каждый январь начисляются [i]проценты на остаток.[/i]
r%= 0,01*r

Обозначим
[b]1+0,01*r= k[/b]

( cм схему начисления и остатки к таблице)

Уравнение
k*(kS-A)-B=0

S=400
A=330
B=121

400k^2-330k-121=0

D=330^2-4*400*121=302500=550^2

k=1,1 второй корень отрицательный

1+0,01*r=1,1 ⇒ 0,01*r=0,1

[b]r=10%[/b]

О т в е т. [b]10%[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cумма кредита S=220 тыс руб.

Каждый январь начисляются проценты на остаток.
r%= 0,01*r

Обозначим
[b]1+0,01*r= k[/b]

( cм схему начисления и остатки к таблице)

Уравнение 1:
k*(kS-A)-A=0

Уравнение 2:
3*(kS-S)+2A=420
S=220

Решаем систему уравнений:

[m]\left\{\begin{matrix} k(220k-A)-A=0\\ 3(220k-220)+2A=420 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} 220k^2=A(k+1)\\ 660k-660+2A=420 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} A=\frac{220k^2}{k+1}\\ 660k+2\frac{220k^2}{k+1} =1080 \end{matrix}\right.[/m] [m]\left\{\begin{matrix} A=\frac{220k^2}{k+1}\\ 66k(k+1)+44k^2 =108(k+1)\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} A=\frac{220k^2}{k+1}\\ 55k^2-21k-54=0\end{matrix}\right.[/m] D=21^2-4*55*(-54)=441+11880=12321=[b]111^2[/b]

k=1,2 второй корень отрицательный

1+0,01r=k ⇒ 1+0,01r=1,2 ⇒ 0,01*r=0,2 ⇒ r=20%

О т в е т.[b] 20%[/b]

___ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Eсли xy >0 ⇒ |xy|= xy

Уравнение принимает вид:
|1-x-y-xy|+|2x^2y^2-2x^2y-2xY^2+2xy-9|=-2 что невозможно, так как

|z| ≥ 0

Eсли xy <0 ⇒ |xy|=- xy

Уравнение принимает вид:
|1-x-y-xy|+|2x^2y^2-2x^2y-2xy^2+2xy-9|=0 ⇒

{1-x-y-xy=0 ⇒ [m] y=\frac{1-x}{1+x}[/m] [red]x ≠ -1[/red]
{2x^2y^2-2x^2y-2xy^2+2xy-9=0

Решаем систему двух уравнений с двумя переменными и учитываем условие:xy <0

2x^2 * ([m] \frac{1-x}{1+x}[/m] )^2-2x^2*([m] \frac{1-x}{1+x}[/m]) -2x* ([m] \frac{1-x}{1+x}[/m] )^2+2x* ([m] \frac{1-x}{1+x}[/m]) -9=0

2x^2(1-x)^2-2x^2(1-x)(1+x)-2x*(1-x)^2+2x*(1-x)(1+x)-9(1+x)^2=0 ([red]x ≠ -1[/red])

4x^4-8x^3-5x^2-18x-9=0

x=3 - корень этого уравнения

Поэтому раскладываем на множители:

(x-3)*(4x^3+4x^2+7x+3)=0

x=-1/2 - корень уравнения 4x^3+4x^2+7x+3=0

поэтому раскладываем на множители:

(x-3)(2x+1)(2x^2+x+3)=0

x_(1)=3; x_(2)=-1/2; 2x^2+x+3=0 не имеет корней D <0
y_(1)=(1-3)/(1+3)=-1/2; y_(2)=(1-(-1/2))/(1+(-1/2)=- 3

x_(1)*y_(1) <0 и x_(2)*y_(2) <0

О т в е т. [b](3; (-1/2)); (-1/2; 3)[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x+2 > 0 ⇒ x > -2

Делим обе части уравнения на
[m] -log_{7} 2=log_{7}2^{-1}=log_{7}\frac{1}{2}[/m]

и применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:

[m]\frac{log_{\frac{1}{2}}(x+2)\cdot log_{7}(x+2)}{log_{7}\frac{1}{2}}=1[/m]

[m]log_{\frac{1}{2}}(x+2)\cdot log_{\frac{1}{2}}(x+2)=1[/m]

[m]log^2_{\frac{1}{2}}(x+2)=1[/m] ⇒

[m]log_{\frac{1}{2}}(x+2)=-1[/m] или [m]log_{\frac{1}{2}}(x+2)=1[/m]

По определению:

[m] x+2=(\frac{1}{2})^{-1}[/m] или [m] x+2=(\frac{1}{2})^{1}[/m]

[m] x+2=2[/m] или [m] x+2=\frac{1}{2}[/m]

[m] x=0[/m] или [m] x=-2+\frac{1}{2}=-1,5[/m]

Оба корня входя в ОДЗ

О т в е т. [b]-1,5; 0[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=sinx имеет период 2π

y=sin(kx) имеет период 2π/k

y=sin(2/6)x) имеет период 2π/(2/6)[b]=6π[/b]

Первый угол x , второй 2х , третий (2х - 30°) .

Cумма углов треугольника равна 180 °

х +2х +2х -30 ° =180 °
5х=210 °
х=42°

2х=84 °
2х-30 ° =84 ° -30 ° =54 °

[b]О т в е т.42 °; 84 ° ; 54 ° [/b]

Такого треугольника не существует.
Не выполняется неравенство треугольника
6 < 3+3 - неверно.

S=0 (прикреплено изображение)

Наибольшее двузначное 98
98:9=10( ост 8)

98+9=107 - наименьшее трехзначное.
107:9=11 (ост. 8)

О т в е т.[b] 107[/b]

Расстояние - это длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой.

См. решение аналогичных задач:

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=627

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=16047

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=1260

--------------------
(прикреплено изображение)

Наибольшее x равно 10; наибольшее y равно 8
Наименьшее х=(-7); наименьшее y равно (-11)
Наибольшее произведение xy равно 10*8 =80 или (-7)*(-11)=77
⇒[b] Наибольшее произведение xy равно 80[/b]

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:
Наибольшее x равно 10; наименьшее y равно (-11)
Наименьшее х=(-7);наибольшее y равно 8
наименьшее произведение ху выбираем среди
10*(-11)=-110 и 8*(-7)=-56

[b] Наименьшее произведение xy равно -110[/b]

О т в е т.[b]xy ∈ (-110;80)[/b]

Раскрываем знак модуля:

[b]если x ≥ 0[/b], то |x|=x
уравнение:
х-5х=20
-4х=20
х=-5 не удовлетворяет условию [b]x ≥ 0[/b]

[b]если x < 0[/b], то |x|=-x
уравнение:
х-5*(-х)=20
6х=20
х=20/6 не удовлетворяет условию [b]x < 0[/b]

О т в е т. Уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{8}{x}\leq 2[/m]

[m]\frac{8}{x}-2\leq 0[/m]

[m]\frac{8-2x}{x}\leq 0[/m]

Дробь ≤ 0 когда числитель и знаменатель имеют разные знаки:
[m]\left\{\begin{matrix} 8-2x\geq 0\\ x <0 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix} 8-2x\leq 0\\ x >0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} -2x\geq -8\\ x <0 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix} -2x\leq -8\\ x >0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x\leq 4\\ x <0 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix} x\geq 4\\ x >0 \end{matrix}\right.[/m]

x < 0 или x ≥ 4

[b]О т в е т. (- ∞ ;0) U [4;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (q^{n}-1)}{q-1}[/m] - формула суммы n- первых членов возрастающей геометрической прогрессии ( q >1)

[m]b_{1}=4[/m]
[m]b_{2}=16[/m]

[m]q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{16}{4}=4[/m]

[m]S_{8}=\frac{b_{1}\cdot (q^{8}-1)}{q-1}=\frac{4\cdot (4^{8}-1)}{4-1}=\frac{4\cdot (65536-1)}{3}=87380[/m]

[m]b_{3}+b_{4}+b_{5}+b_{6}+b_{7}+b_{8}=S_{8}-b_{1}-b_{2}=87380-4-16=87360[/m]

Ответ выбран лучшим

Две точки пересечения, значит два решения

Парабола y=x^2 строится по известным точкам: (-3;9);(-2;4);(-1;1);(0;0);(1;1);(2;4);(3;9) Парабола y=-x^2 по точкам: (-3;-9);(-2;-4);(-1;-1);(0;0);(1;-1);(2;-4);(3;-9) У параболы y=-x^2 все ординаты на +8 единиц больше: (-3;-9+8);(-2;-4+8);(-1;-1+8);(0;0+0);(1;-1+8);(2;-4+8);(3;-9+8), т.е(-3;-1);(-2;4);(-1;7);(0;8);(1;7);(2;4);(3;-1). А еще лучше, считая точку (0;8) за вершину параболы просто откладываем точки: влево и вправо на 1 клеточку, вниз на 1 ( т.е получим точки (-1;7) и (1;7)) влево и вправо на 2 клеточки вниз на 4 ( т. е получим точки (-2;4) и (2;4)) влево и вправо на 3 клеточки, вниз на 9 ( т.е получим точки (-3;-1) и (3;-1) ) ( см. рис.2) (прикреплено изображение)

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} x+6 >0\\ -x-4 >0 \end{matrix}\right.[/m]
[red]x ∈ (-6;-4)[/red]

[m]\frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}\leq 1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}[/m]

Перепишем неравенство в виде:

[m] 1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq\frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}[/m]

Получили неравенство вида: f(x) ≥ g(x)

Так как
[m]1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq 0[/m] при [red]x ∈ (-6;-4)[/red]

то рассматриваем два случая:

1)
Если [m] \frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}} ≤ 0[/m],

то неравенство верно при любых [red]x ∈ (-6;-4)[/red]

[m] \frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}} ≤ 0[/m] ⇒ [m]\sqrt{x+6} ≤ \sqrt{-x-4}[/m]

⇒ x+6 ≤ -x-4 ⇒ 2x ≤ -10; x ≤ -5

Ответ первого случая [b](-6;-5][/b]

2)

Если [m] \frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}} > 0[/m], т.е [blue] x >-5[/blue]

Левая и правая части неотрицательны, [i]возводим[/i] неравенство [i]в квадрат[/i]:

[m] (1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}})^2\geq(\frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}})^2[/m]

[m] 1+\frac{2}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}+ \frac{1}{(x+6)(-x-4)}\geq \frac{1}{-x-4}-\frac{2}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}+\frac{1}{x+6}[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq (\frac{1}{x+6}-1) -\frac{1}{-x-4}\cdot (\frac{1}{x+6}-1)[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq (\frac{1}{x+6}-1)\cdot (1 -\frac{1}{-x-4})[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq \frac{1-x-6}{x+6}\cdot (\frac{-x-4-1}{-x-4})[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq \frac{(-x-5)^2}{(x+6)(-x-4)}[/m]

Возводим в квадрат:

[m]\frac{16}{(x+6)(-x-4)}\geq \frac{(-x-5)^4}{(x+6)^2(-x-4)^2}[/m]

[m](-x-5)^{4}\leq16(x+6)(-x-4)[/m]

[i]Замена переменной:[/i]

-x-5=t ⇒ x=-t-5

x+6=-t-5+6=-t+1
-x-4=-(-t-5)-4=t+1

[m]t^{4}\leq16(-t+1)(t+1)[/m]

[m]t^{4}+16t^2-16\leq0[/m]

D=256+64=320=(64*5)

[m]t_{1}^2=\frac{-16+8\sqrt{5}}{2}=-8+4\sqrt{5} >0 [/m]

[m]t_{2}^2=\frac{-16-8\sqrt{3}}{2}=-8-4\sqrt{5} <0 [/m]

⇒ [m] (t^2-(-8+4\sqrt{5}))\cdot (t^2-(-8-4\sqrt{5})\leq0[/m]

так как [m]t^2-(-8-4\sqrt{5} \geq0[/m], то

[m]t^2\leq 4\sqrt{3}-8[/m] ⇒ [m] - \sqrt{4\sqrt{5}-8}\leq t \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}[/m] ⇒

[m] - \sqrt{4\sqrt{5}-8}\leq -x-5 \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}[/m] ⇒

[m] - \sqrt{4\sqrt{5}-8}+5 \leq -x \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}+5[/m] ⇒

[m] -\sqrt{4\sqrt{5}-8}-5 \leq x \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5[/m]

C учетом условия второго случая x > -5

получаем: [m](-5; \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5][/m]

О т в е т.[m] (-6;-5][/m] U [m](-5; \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5] =(-6; \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5][/m]

(прикреплено изображение)

Основное логарифмическое тождество:
[m]a^{log_{a}b}=b, a>0; b>0 a ≠ 1[/m]

[m]9^{log_{3}(x-4)}=(3^{2})^{log_{3}(x-4)}=3^{2\cdot log_{3}(x-4}=3^{log_{3}(x-4)^2}=(x-4)^2[/m]
при x-4 >0 ⇒ [red]x>4[/red]

Неравенство принимает вид:
(x-4)^2 ≤ 25 ⇒ |x-4| ≤ 5 ⇒ -5 ≤ x-4 ≤ 5 ⇒

-5+4 ≤ x ≤ 5+4

-1 ≤ x ≤ 9 с учетом [red]x>4[/red]

О т в е т. 4 [b]< x ≤ 9[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
(x^2-7x+12)^2 ≥ 0
(log_(4)x-1)^2 ≥ 0

Сумма двух неотрицательных чисел равна 0 тогда и только тогда, когда каждое из них равно 0.

Система уравнений:
[m]\left\{\begin{matrix} x^2-7x+12 = 0\\ log_{4}x-1= 0 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} D=7^2-4\cdot 12=1; x_{1}=3;x_{2}=4\\ log_{4}x= 1\Rightarrow x=4 \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т.[b] x=4[/b]

2. Во втором опечатка: не хватает последнего слагаемого

[m]\frac{5x-2}{x-1}-x-x^2-x^3--{?}=4[/m]

3.
P(x)=3x+4
P(2x-3)=3*(2x-3)+4=6x-9+4=6x-5
P(x-1)=3(x-1)+4
P(x-1)-3,5=3(x-1)+4-3,5=3x-3+4-3,5=3x-2,5

[m]log_{4}\frac{P(2x-3)}{P(x-1)-3,5}=log_{4}\frac{6x-5}{3x-2,5}=log_{4}2=\frac{1}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Основанием призмы ABCKLN является равнобедренный треугольник.
угол ACB=120°, AC=CB= 16 см.

По теореме косинусов:
АВ^2=AC^2+BC^2-2AC*BC*cos120 ° =16^2+16^2-2*16*16*(-1/2)=16^2*3

AB=4sqrt(3)

S_( Δ ABC)=(1/2)AC*BC*sin120 ° =(1/2)*16*16*(sqrt(3))/2=[b]64sqrt(3) cм^2[/b]

Призма[b] прямая[/b], значит боковые ребра АК, BL и СM перпендикулярны плоскости АВС.
Грань АКLB - прямоугольник.

По условию "Площадь грани AKLB равна 263√[red]3 [/red]см^2" и АВ=ВС=16 см

S_(AKLB)=AB*AK ⇒ АК= [m]\frac{S_{AKBL}}{AB}=\frac{263\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{263}{4}[/m]

Н_(призмы)=АК=[m]\frac{263}{4}[/m]
(прикреплено изображение)

[m]\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}\cdot (sinx+1)}=-cosx[/m]

ОДЗ: - сosx ≥ 0 ⇒ cosx ≤ 0 ⇒ x во 2 или 3 четв.

Возводим в квадрат:

[m]\frac{2-\sqrt{2}}{2}\cdot (sinx+1)=cos^2x[/m]

Так как cos^2x=1-sin^2x=(1-sinx)*(1+sinx)

[m]\frac{2-\sqrt{2}}{2}\cdot (sinx+1)=(1-sinx)\cdot (1+sinx)[/m]

[m]\frac{2-\sqrt{2}}{2}\cdot (sinx+1)-(1-sinx)\cdot (1+sinx)=0[/m]

[m](sinx+1)\cdot (\frac{2-\sqrt{2}}{2}-1+sinx)=0[/m]

[m]sinx+1=0[/m] или [m]\frac{2-\sqrt{2}}{2}-1+sinx=0[/m]

[m]sinx=-1[/m] или [m]sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m] x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z[/m] или [m]x=\frac{\pi}{4}+2 \pi k, k \in Z[/m]

или [m]x=\frac{3\pi}{4}+2 \pi m, m \in Z[/m]

[m]x=\frac{\pi}{4}+2 \pi k, k \in Z[/m] в первой четверти, не удовл ОДЗ

( см. рис.1)

О т в е т [m] x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z[/m] ; [m]x=\frac{3\pi}{4}+2 \pi m, m \in Z[/m]

б) Отрезку [[m]-\frac{11\pi}{2}; -4 \pi[/m]]
принадлежат корни: ( см. рис.2)
при n=-5
[m] x=-\frac{11\pi}{2}[/m]

при m=-4
[m]x=\frac{3\pi}{4}-6 \pi = -\frac{21\pi}{4}[/m]

[m]-\frac{11\pi}{2} < -\frac{21\pi}{4}< -4\pi=-\frac{16\pi}{4}[/m] - верно
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Так как
(x^2+x+1+(2a^2))^2=(x^2+x+1)^2+2*(2a^2)*(x^2+x+1)+(2a^2)^2=

=(x^2+x+1)^2+4a^2*(x^2+x+1)+4a^4

Уравнение принимает вид:

(x^2+x+1)^2+4a^2*(x^2+x+1)+4a^4=8a^2(x^2+x+1);

(x^2+x+1)^2+4a^2*(x^2+x+1)+4a^4-8a^2(x^2+x+1)=0;

(x^2+x+1)^2-4a^2*(x^2+x+1)+4a^4=0;

(x^2+x+1-(2a^2))^2=0 ⇒

x^2+x+1-2a^2=0

D=1^2-4(1-2a^2)=1-4+8a^2=8a^2-3

Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен 0

8a^2-3=0 ⇒ a^2=3/8 ⇒ a= ± sqrt(8/3)

a= ± 2sqrt(2/3)

О т в е т. При a= ± 2sqrt(2/3)

Ответ выбран лучшим

По свойствам правильного шестиугольника ( см. рис. 1) cторона которого равна а

BF ⊥ AD
BF=sqrt(3)*a

По условию [b]а=1[/b]

BF=sqrt(3)
BM=MF=sqrt(3)/2

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра проведенного из точки на прямую ( см. рис. 2)

Так как BM- проекция ВМ_(1) на прямую BF и ВМ ⊥ AD, тогда по теореме о трех перпендикулярах ВМ_(1) ⊥ AD
ВМ_(1) - есть расстояние от точки В до прямой A_(1)D_(1)

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
ВМ^2_(1)=BM^2+MM^2_(1)=(sqrt(3)/2)^2+1=(3/4)+1=7/4
BM=sqrt(7)/2

О т в е т. [b]sqrt(7)/2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(a −1)*4^(x) +(2a −3)*6^(x) =(3a − 4)*9^(x)

Делим уравнение на 4^(x)

[m](3a-4)\cdot (\frac{9}{4})^{x}-(2a-3)\cdot (\frac{3}{2})^{x}-(a-1)=0 [/m]

Замена переменной:
[m](\frac{3}{2})^{x}=t[/m]; [m] t > 0[/m]; [m](\frac{9}{4})^{x}=t^2[/m];

[m](3a-4)\cdot t^2-(2a-3)\cdot t-(a-1)=0 [/m]

1)
Если (3a-4)=0 ⇒ a=[m]\frac{4}{3}[/m], получим уравнение:

[m]-(2\cdot \frac{4}{3} -3)\cdot t-(\frac{4}{3}-1)=0 [/m]

[m]-( \frac{8}{3} - \frac{9}{3})\cdot t-(\frac{4}{3}-1)=0 [/m]

[m]\frac{1}{3}t=\frac{1}{3}[/m] ⇒ [m]t=1[/m] удовл. условию: [m] t > 0[/m]

При a=[m]\frac{4}{3}[/m] уравнение имеет [b]единственное решение:[/b]

[m](\frac{3}{2})^{x}=1[/m] ⇒ [b]x=0[/b]

2)
Квадратное уравнение

[m](3a-4)\cdot t^2-(2a-3)\cdot t-(a-1)=0 [/m]

имеет [b] единственный корень [/b] [m]t=\frac{2a-3}{2\cdot (3a-4)}[/m]

в случае, если дискриминант равен 0

D=(2a-3)^2+4(3a-4)(a-1)=4a^2-12a+9+12a^2-28a+16=16a^2-40a+25=(4a-5)^2

D=0 при 4a-5=0

При a=[m]\frac{5}{4}[/m] единственный корень уравнения:

[m]t=\frac{2a-3}{2\cdot (3a-4)}=\frac{2\cdot\frac{5}{4} -3}{2\cdot (3\cdot \frac{5}{4} -4)}=2[/m] - удовл условию : [m] t > 0[/m]

[m](\frac{3}{2})^{x}=2[/m] ⇒ [m]x=log_{\frac{3}{2}}2[/m]- [b]единственный корень[/b]

3)
Так как D > 0 при всех а ≠ [m]\frac{5}{4}[/m]

Квадратное уравнение

[m](3a-4)\cdot t^2-(2a-3)\cdot t-(a-1)=0 [/m]

имеет два корня:

[m]t_{1}=\frac{(2a-3)-(4a-5)}{2\cdot (3a-4)}[/m]; [m]t_{2}=\frac{(2a-3)+(4a-5)}{2\cdot (3a-4)}[/m]

[m]t_{1}=\frac{1-a}{3a-4}[/m]; [m]t_{2}=1 [/m]

Требование задачи будет выполнено, если [m]t_{1}\leq 0[/m];

решаем неравенство:

[m]\frac{1-a}{3a-4} \leq 0[/m] ⇒ [m]\frac{a-1}{3a-4} \geq 0[/m]

a ∈ (- ∞ ;1] U ([m]\frac{4}{3}[/m];+ ∞ )

Объединяем ответы трех случаев:

О т в е т. a ∈ (- ∞ ;1[b]][/b] U{[m]\frac{5}{4}[/m] }U [b][[/b][m]\frac{4}{3}[/m];+ ∞ )

Точка K делит ребро A1B1 так, что B1K:KA1=1:3.
A_(1)B_(1)=8
Значит
A_(1)K=6; K_(1)B=2

BM ⊥ AC
BM=8sqrt(3)/2=4sqrt(3) - высота равностороннего треугольника со стороной 8
KT|| AA_(1) ||BB_(1)

Проводим ТP||BM

ТР ⊥ АС ⇒ KP ⊥ AC [i]по теореме о трех перпендикулярах[/i]

Из подобия Δ АТР и Δ АВМ

ВМ:АВ=ТР:АТ
AT=A_(1)K=6
ВМ:8=ТР:6
[b]TP[/b]=(3/4)BM=[b]3sqrt(3)[/b]

По теореме Пифагора из Δ КРТ
KP^2=КТ^2+TP^2=(2sqrt(3))^2+(3sqrt(3))^2=12+27=39

[b]KP[/b]=[b]sqrt(39)[/b]

TF|| A_(1)C_(1)
Δ KB_(1)F - равностороний
KF=KB_(1)=[blue]2[/blue]

S_( сеч AKFC)=(1/2)*(AC+KF)*KP=(1/2)*(8+[blue]2[/blue])*sqrt(39)=[b]5sqrt(39)[/b] (прикреплено изображение)

Чтобы ответить на вопрос при каких значениях

[m]y=|\frac{2x+3}{x-2}|-2[/m] расположен выше оси Ох, надо решить

неравенство

[m]|\frac{2x+3}{x-2}|-2>0[/m] или [m]|\frac{2x+3}{x-2}|>2[/m], которое

равносильно совокупности неравенств ( см приложение):

[m]\frac{2x+3}{x-2}< -2 [/m] или [m]\frac{2x+3}{x-2}>2[/m]

[m]\frac{2x+3}{x-2}+2< 0 [/m] или [m]\frac{2x+3}{x-2}-2>0[/m]

[m]\frac{2x+3+2x-4}{x-2}< 0 [/m] или [m]\frac{2x+3-2x+4}{x-2}>0[/m]

[m]\frac{4x-1}{x-2}< 0 [/m] или [m]\frac{7}{x-2}>0[/m] ⇒ x-2 >0; x>2

Решаем первое методом интервалов:

_+__ ([m]\frac{1}{4}[/m]) __-__ (2) _+__

О т в е т. ([m]\frac{1}{4}[/m];2)U(2;+ ∞ )

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{[m]\frac{16}{x}>0[/m] ⇒ x >0
{[m]\frac{8}{x^2}>0[/m] ⇒ x ≠ 0

ОДЗ: [red]х>0[/red]

[i]По свойству логарифма частного и логарифма степени[/i]:

[m]log_{2}\frac{8}{x^2}=log_{2}8-log_{2}x^2=3-2log_{2}|x|=[/m]

(так как согласно ОДЗ: [red]х>0[/red][m])=3-2log_{2}x[/m]

[m]log_{2}\frac{16}{x}=log_{2}16-log_{2}x=4-log_{2}x[/m]
тогда

[m]log^2_{2}\frac{16}{x}=(4-log_{2}x)^2=16-8log_{2}x+log^2_{2}x[/m]

Уравнение принимает вид:

[m]16-8log_{2}x+log^2_{2}x=5+3-2log_{2}x[/m]

[m]log^2_{2}x-6log_{2}x+8=0[/m]

Квадратное уравнение:
D=36-32=4

[m]log_{2}x=2[/m] или [m]log_{2}x=4[/m]

[m]x=2^2[/m] или [m]x=2^4[/m]

[m]x=4[/m] или [m]x=16[/m] оба корня удовл ОДЗ

О т в е т. 4; 16

Решаем систему способом подстановки:

Из второго y=a+x

и подставляем в первое:

(a+x)^2+ax^2-a^2=4 ⇒

a^2+2ax+x^2+ax^2-a^2=4

(a+1)x^2+2ax-4=0 - квадратное уравнение.

Оно имеет один, два или ни одного корня в зависимости от D

Находим D

D=(2a)^2-4*(a+1)*(-4)=4a^2+16a+16=4(a^2+4a+4)=4*(a+2)^2

D=0 при a=-2 ⇒ уравнение имеет один корень, а система одно решение
D>0 при a ≠ -2 ⇒ уравнение имеет два кореня, а система два решения

BC|| АО ⇒ угол между прямыми SA и BC равен углу между

прямыми SA и AO ⇒ ∠ SAO=π/3

Пирамида правильная ⇒
∠ SAO= ∠ SBO= ∠ SCO= ∠ SDO= ∠ SFO= ∠ SEO=π/3 ⇒

Δ SAD и Δ SFC и Δ SBE - равносторонние.

⇒ SA=SB=SB=SC=SD=SF=SE=2AD=2AB=[b]2a[/b], [b]а[/b]- сторона основания шестиугольника

a)
пл. SCD и пл. SEF пересекаются по прямой SK
K- точка пересечения прямых CD и EF ( см. рис.2)

Δ ЕКD - равносторонний.

[b]FК= 2а
СК=2a[/b]

Чтобы найти угол между плоскостями, проводим перпендикуляры
к линии их пересечения.

CM ⊥ SK
FM ⊥ SK

∠ СМF- искомый.

Рассматриваем Δ SFK (рис.3):
SF=SE=[b]2a[/b]
FE=EK=[b]a[/b]

Находим SK из Δ SFK методом удвоения медианы SE
Продолжим медиану SE за точку E на длину [b]2a[/b]

Получим параллелограмм FSKP (рис.4)

По формуле, связывающей стороны и диагонали параллелограмма:
2*(a^2+b^2)=d^2_(1)+d^2_(2)

получим равенство:
2*((2а)^2+SK^2)=(4a)^2+(2a)^2 ⇒ 2SK^2=12a^2 ⇒ SK^2=6a^2

SK=[b]a sqrt(6)[/b]

Из Δ SEF:
SF=2a; SE=2a; EF=a

cos ∠ F=cos ∠ E=[m]\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}[/m]

sin ∠ F=sin ∠ E=sqrt{1-(1/4)^2)=sqrt(15)/4

Тогда h_(FE)=SF*sin ∠ F=2a*(sqrt(15)/4)=[b](a/2)*sqrt(15)[/b]

В Δ SFK

h_(FK)=h_(FE)=[b](a/2)*sqrt(15)[/b]

S_( ΔSFK)=(1/2) FK*h_(FK)

S_( ΔSFK)=(1/2) SK*FM ⇒ SK*FM=FK*h_(FK) ⇒ asqrt(6)*FM==2a*[b](a/2)*sqrt(15)[/b]

FM=2a*[b](a/2)*sqrt(15)[/b]/a sqrt(6)=[b]a*sqrt(5/2)[/b]

Аналогично,
CM=[b]a*sqrt(5/2)[/b]

Из Δ FMC по теореме косинусов:

FC^2=FM^2+CM^2-2FM*CM*cos∠ СМF ⇒

cos∠ СМF=[m]\frac{\frac{5a^2}{2}+\frac{5a^2}{2}-4a^2}{2\cdot a \sqrt{\frac{5}{2}}\cdot a\sqrt{\frac{5}{2}}}=[/m]

[m]=\frac{1}{5}[/m] ⇒

∠ СМF=[m]arccos\frac{1}{5}[/m]
(прикреплено изображение)

|z|=sqrt((-2)^2+1^2)=sqrt(5)

cos φ =x/|z|=-2/sqrt(5) ⇒ cos φ <0

sin φ =1/sqrt(5) ⇒ sin φ >0

значит φ - угол во второй четверти

φ =arccos(-2/sqrt(5))=[b]π-arccos(2/sqrt(5))

arccos(2/sqrt(5)) ≈ 0,464

φ ≈ 3,14-0,464 ≈ 2,7 (радиан) -главное значение аргумента комплексного числа

Ответ выбран лучшим

По свойствам степени:
9^(x)=(3^2)^(x)=(3^(x))^2
3^(x+1)=3^(x)*3^(1)=3*3^(x)

[i]Замена переменной:[/i]
3^(x)=t
Так как [i]показательная функция неотрицательна[/i] при любом х
⇒ [b]t>0 [/b]
9^(x)=t^2

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{t^2-t-2}{t^2-t}+\frac{5t-19}{t-4}\leq \frac{6t-2}{t}[/m]

[m]\frac{t^2-t-2}{t(t-1)}-\frac{6t-2}{t}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю первые две дроби:

[m]\frac{t^2-t-2-(6t-2)(t-1)}{t(t-1)}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

[m]\frac{t^2-t-2-6t^2+2t+6t-2}{t(t-1)}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

[m]\frac{-5t^2+7t}{t(t-1)}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{(-5t^2+7t)(t-4)+(5t-19)(t^2-t)}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

[m]\frac{-5t^3+7t^2+20t^2-28t+5t^3-19t^2-5t^2+19t}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

[m]\frac{3t^2-9t}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

[m]\frac{3t(t-3)}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

так как t > 0 ⇒ t ≠ 0

[m]\frac{t-3}{(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

[i]нули числителя [/i]: t=3

отмечаем на числовой прямой закрашенным кружком ( квадратные скобки на рисунке)

[i]нули знаменателя [/i]: t=1; t=4

отмечаем на числовой прямой пустым кружком (круглые скобки на рисунке):

(0) __-__ (1) _____+____________ [3] __-__ (4) __+____

⇒ 0< t < 1 или 3 ≤ t <4

Обратная замена:

0< 3^(x) < 1 или 3 ≤ 3^(x) <4

Показательная функция с основанием 3 (3>1) возрастает, [i]большему[/i] значению функции соответствует [i]большее[/i] значение аргумента.

Знаки неравенства сохраняются:
[m]\left\{\begin{matrix} 3^{x}<1\Rightarrow 3^{x}<3^{0}\Rightarrow x <0\\ 3^{x}>0\Rightarrow x\in (-\infty ;\infty) \end{matrix}\right.[/m] или[m]1\leq x < log_{3}4[/m]

О т в е т. (- ∞ ;0) U[1;log_(3)4)

ОДЗ:
{x^2+0,5x ≥ 0 ⇒ x(x+0,5) ≥ 0 ⇒ x ≤ -0,5 или х ≥ 0
{x ≠ 0
{x^2-2x+1 ≥ 0 ⇒ x- любое, т. к (х-1)^2 ≥ 0

ОДЗ: x ∈ (- ∞ ;-0,5]U(0;+ ∞ )

Так как \sqrt(x^2)=|x|, то \sqrt(x^2-2х+1)=|x-1|

и неравенство принимает вид:

[m]\frac{\sqrt{x^2+0,5x}}{x}+\frac{|x-1|}{x}+2\leq 0[/m]

Если [b]х ≥ 1[/b], то |x-1|=x-1

[m]\frac{\sqrt{x^2+0,5x}}{x}+\frac{x-1}{x}+2\leq 0[/m]

или

[m]\sqrt{x^2+0,5x}+x-1+2x\leq 0[/m]

[m]\sqrt{x^2+0,5x}\leq 1-3x[/m]

Если
1-3x < 0 неравенство не имеет решений ( слева неотрицательное выражение и оно не может быть меньше отрицательного)

Если
1-3x ≥ 0 ⇒ [m] x\leq \frac{1}{3}[/m] что противоречит [b]случаю х ≥ 1[/b]

Если [b]х < 1[/b] , то |x-1|=-x+1

[m]\frac{\sqrt{x^2+0,5x}}{x}+\frac{1}{x}+1\leq 0[/m]

[m]\frac{\sqrt{x^2+0,5x}}{x}\leq-\frac{1+x}{x}[/m]

C учетом ОДЗ условие x < 1 распадается на два:

[b]Если x ∈ (0;1),[/b] то

[m]\sqrt{x^2+0,5x}\leq-(1+x)[/m] неравенство не имеет решений ( слева неотрицательное выражение и оно не может быть меньше отрицательного)

[b]Если x ∈ (- ∞ ;-0,5],[/b] то

[m]\sqrt{x^2+0,5x}\geq-(1+x)[/m]

Если (1+x) >0 ⇒ x > -1 неравенство [b]верно при всех x ∈ (-1;-0,5][/b]

Если (1+x) ≤ 0 ⇒ возводим в квадрат

[m]\left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ x^2+0,5x\geq(-(1+x))^2 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ -1,5x\geq1 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ x\leq-\frac{2}{3} \end{matrix}\right.[/m]

[b]x ∈ (- ∞ ;-1][/b]

О т в е т. [b]x ∈ (- ∞ ;-1][/b]U[b](-1;-0,5][/b]=[b](- ∞ ;-0,5][/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x>0
x ≠ 1

Пусть
[m]x^{2+log_{2}x}=t[/m]

Логарифмируем по основанию 2:

[m]log_{2}x^{2+log_{2}x}=log_{2}t[/m]

Тогда по свойству логарифма степени:

[m](2+log_{2}x)log_{2}x=log_{2}t[/m] ⇒ [m]t=2^{(2+log_{2}x)log_{2}x}[/m]

[m]\frac{1}{4}\cdot2^{(2+log_{2}x)log_{2}x}-2log^2_{2}x-4log_{2}x+4\leq 0[/m]

[m]2^{-2}\cdot2^{log^2{2}x+2log_{2}x}-2log^2_{2}x-4log_{2}x+4\leq 0[/m]

[m]2^{log^2{2}x+2log_{2}x-2}-2\cdot (log^2_{2}x+2log_{2}x-2)\leq 0[/m]

Пусть

[m]log^2_{2}x+2log_{2}x-2=u[/m]

Неравенство примет вид:

[m]2^{u}-2u\leq 0[/m]

Решаем графически ( см. рис.)

[m]1 ≤ u ≤ 2[/m]

[m] 1≤ log^2_{2}x+2log_{2}x-2 ≤ 2[/m] ⇒

[m]\left\{\begin{matrix} log^2_{2}x+2log_{2}x-2 \leq 2\\ log^2_{2}x+2log_{2}x-2 \geq 1 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} log^2_{2}x+2log_{2}x-4 \leq 0\\ log^2_{2}x+2log_{2}x-3 \geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\begin{matrix} log^2_{2}x+2log_{2}x-4 \leq 0 &log^2_{2}x+2log_{2}x-3 \geq 0 & \\ D=4+16=20 & D=4+12=16 & \\ -1-\sqrt{5}\leq log_{2}x\leq -1+\sqrt{5} & x\leq -3; x\geq 1 \end{matrix}[/m]

⇒

[m] -1-\sqrt{5}\leq log_{2}x\leq-2[/m]; [m] 1\leq log_{2}x\leq-1+\sqrt{5}[/m]

⇒ в силу возрастания логарифмической функции с основанием 2:

[m] 2^{-1-\sqrt{5}}\leq x\leq2^{-2}[/m]; [m] 2^{1}\leq x\leq 2^{-1+\sqrt{5}}[/m]

Найденные решения удовл ОДЗ

О т в е т. [m] [2^{-1-\sqrt{5}};2^{-2}]\cup[ 2^{1}; 2^{-1+\sqrt{5}}][/m] (прикреплено изображение)

Вычитаем из первого уравнения второе:

y-x=(a+3)(x^2-y^2)+(2a+1)(x-y)

x-y+(a+3)(x-y)(x+y)+(2a+1)(x-y)=0

(x-y)*((a+3)(x+y)+(2a+2))=0

x-y=0 или (a+3)(x+y)+(2a+1)=0

y=x или (a+3)x+(a+3)y+(2a+1)=0

Подставляем y=x в любое уравнение данной системы:

x=(a+3)x^2+(2a+1)+a

(a+3)x^2+(2a)x+a=0

При [b]a=-3[/b] уравнение принимает вид: -6х-3=0 ⇒ [b] x=-1/2 [/b] - [b]одно[/b] решение [b]y=x=-1/2[/b]

a ≠ -3
D=(2a)^2-4(a+3)*a=4a^2-4a^2-12a=-12a

Если D=0 квадратное уравнение имеет один корень
D=0 ⇒ -12a=0 ⇒ [b]a=0[/b]

[b]При а=0[/b] cистема принимает вид:

{y=3x^2+x
{x=3y^2+y

Cистема имеет одно решение [b]x=0; y=0[/b]

ИЛИ

(a+3)x+(a+3)y+(2a+1)=0 ⇒ 2а+1=-(а+3)х-(a+3)y

подставим в первое уравнение:

y=(a+3)x^2-((а+3)х+(a+3)y*)x+a ⇒

y=-(a+3)xy+a

[b]y((a+3)x+1)=a[/b]
...

Если выплаты 2030 и 2031 года равные, то

A=338 000/2=169 000,

уравнение принимает вид:

169 000+1,3·(1,3S–169 000)=338 000 ⇒

1,69·S=2,3·169 000 ⇒

S=230 000

Cумма выплат: 0,3S+0,3S+0,3S+338 000= 0,9·230 000+338 000=

545 000

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть сумма кредита равна S руб.

В январе 2021 года начислены проценты: 0,35*S руб.
Сумма долга составила S + 0,35S=1,35*S руб
Пусть ежегодные [i] равные[/i] выплаты равны А руб.

[b](1,35*S- A )[/b] руб. -[i] остаток[/i] на конец первого года

В январе 2022 года начислены проценты [i]на остаток[/i]:
0,35*(1,35*S-А) руб.

Сумма долга составила (1,35*S- A )+0,35*(1,35*S-А)=
[b]1,35*(1,35*S-А) руб[/b]

(1,35*(1,35*S- A ) - А ) =(1,35^2*S-1,35*A-A) руб.- остаток на конец второго года
Аналогично получаем:

1,35*(1,35^2*S-1,35*A-A) -А= (1,35^3*S-1,35^2*A-1,35*A-A) руб. - остаток на конец третьего года, который по условию равен 0 ( кредит выплачен)

Уравнение:
[b]1,35^3*S-1,35^2*A-1,35*A-A=0[/b]

Условие "общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы, взятой в кредит" позволяет составить второе уравнение:

[b]3А=S+78030[/b]

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:

[m]\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-1,35^2\cdot A-1,35\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-(1,35^2+1,35+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.[/m]

Удобнее считать в обычных дробях:

[m]1,35=\frac{135}{100}=\frac{27}{20}[/m]

Решаем первое уравнение:

[m] \frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0[/m]

[m] \frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot \frac{S}{3}=(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot 26010[/m]

[m] S\cdot (\frac{27^3}{20^3}-\frac{1669}{400}\cdot \frac{1}{3})=\frac{1669}{400}\cdot 26010[/m]

[m] S\cdot \frac{59049-33380}{20^3\cdot 3}=\frac{1669}{400}\cdot 26010[/m]

[m] S\cdot 25669=1669\cdot 60\cdot 26010[/m]

[b]Для случая 30% :[/b]

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:

[m]\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-1,3^2\cdot A-1,3\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-(1,3^2+1,3+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.[/m]

Решаем первое уравнение:

[m]2,197\cdot S-3,99\cdot\frac{S}{3}=3,99\cdot 26010[/m]

[m](2,197-1,33)\cdot S=3,99\cdot 26010[/m]

[m]0,867\cdot S=3,99\cdot 867\cdot 30[/m]

[m]S=\frac{3,99\cdot 30\cdot 0,867\cdot 1000}{0,867}=119 700[/m] руб.

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 8 студентов выбирают двух.

Это можно сделать

n=C^2_(8)=8!/(2!*(8-2)!)=28 способами

Событие А-"турист Б., входящий в состав группы, пойдет в магазин"

Событию А благоприятствуют

m=C^(1)_(1)*C^(1)_(7)=7 способов

По формуле классической вероятности:

p(А)=m/n=7/28=[b]1/4[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]\left\{\begin{matrix} 64-y^2 ≥ 0\Rightarrow -8 ≤ y ≤ 8\\ 64-a^2x^2 ≥ 0\Rightarrow-8 ≤ ax ≤ 8 \\ 64-y^2=64-a^2x^2\Rightarrow y^2=a^2x^2 \\ (x-1)^2+(y-4)^2=17 \end{matrix}\right.[/m]

(x-1)^2+(y-4)^2=17 - уравнение окружности с центром (1;4) и R=sqrt(17)

причем[i] окружность проходит через начало координат.[/i]

y^2=a^2x^2 ⇒ |y|=|ax| ⇒ y= ± ax - семейство двух пересекающихся прямых, проходящих через начало координат.

Эти прямые имеют с окружностью [i]три общие точки.[/i](Одна из них (0;0)

Условия 1) и 4)
64-y^2 ≥ 0
(x-1)^2+(y-4)^2=17 задают на плоскости область, см. рис.

Поэтому если прямые проходят внутри угла, ограниченного зелеными прямыми, то тогда они имеют только две точки пересечения с окружностью

y=ax

(2;8)

8=a*2

a=4

О т в е т.[b] a > 4[/b]
(прикреплено изображение)

[m]\left\{\begin{matrix} 16-y^2>0\Rightarrow -4<y<4\\ 16-a^2x^2>0\Rightarrow-4<ax<4 \\ 16-y^2=16-a^2x^2\Rightarrow y^2=a^2x^2 \\ (x-3)^2+(y-2)^2=13 \end{matrix}\right.[/m]

(x-3)^2+(y-2)^2=13 - уравнение окружности с центром (3;2) и R=sqrt(13)

причем окружность проходит через начало координат.

y^2=a^2x^2 ⇒ |y|=|ax| ⇒ y= ± ax - семейство двух пересекающихся прямых, проходящих через начало координат.

Эти прямые имеют с окружностью [i]три общие точки.[/i](Одна из них (0;0)

Условия 1) и 4)
16-y^2>0
(x-3)^2+(y-2)^2=13 задают на плоскости область, см. рис.

Поэтому если прямые проходят внутри угла, ограниченного зелеными прямыми, то тогда они имеют только две точки пересечения с окружностью

y=ax

(6;4)

4=a*6

a=2/3

О т в е т.[b] a > 2/3[/b]
(прикреплено изображение)

Пирамида - правильная.
АВ=ВС=АС=9
SA=SB=SC=sqrt(43)
О- центр вписанной и описанной окружностей

AL=LC=9/2
BL=h_( Δ ABC)=9sqrt(3)/2
BO=R=9sqrt(3)/3=3sqrt(3)
LO=r=9sqrt(3)/6

Из Δ SOB
SO^2=SB^2-BO^2=(sqrt(43))^2-(3sqrt(3))^2=43-27=16
SO=4

[red]Проекция точки К на плоскость АВС - точка F[/red]

Точка F лежит на высоте ВL треугольника АВС

Докажем, что точка F лежит на отрезке СМ

Составим уравнение прямой СМ на плоскости, как прямой, проходящей через две точки:

[m]\frac{x-0}{\frac{7\sqrt{3}}{2}}=\frac{y-9}{\frac{7}{2}-9}

[m]-11x=7\sqrt{3}y-63sqrt{3}[/m]

Найдем координаты точки F.

Из подобия Δ SBO и Δ KBF

BF=(6/11)BO=(18sqrt(3)/11)

KF=(6/11)*SO=24/11

LF=BL-BF=(9sqrt(3)/2)-(18sqrt(3)/11)=9sqrt(3)*((1/2)-(2/11))=(7/22)*9sqrt(3)=63sqrt(3)/22

F(63sqrt(3)/22;9/2;0)

Подставим в уравнение прямой СМ:

[m]-11\cdot \frac{63\sqrt{3}}{22}=7\sqrt{3}\cdot \frac{9}{2}-63sqrt{3}[/m]

[red]верно.[/red]
⇒ F лежит на СM
и

KF ⊥ пл АВС

Плоскость CКМ проходит через KF ⇒ пл СКМ ⊥ АВС

б)

[red]V_(пирамиды СВМК)[/red]=[m]\frac{1}{3}S_{ CBM}\cdot KF=

\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} \cdot 2\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{24}{11}=\frac{36\sqrt{3}}{11}[/m]

____________________________

[green]2 способ: координатный[/green]

Из подобия треугольников АВL и АМЕ
MЕ=7sqrt(3)/2

A(0;0;0)
C(0;9;0)
В(9sqrt(3)/2; 9/2;0)
M(7sqrt(3)/2; 7/2;0)

O(9sqrt(3)/6; 9/2;0)

S(9sqrt(3)/6; 9/2;4)

F(63sqrt(3)/22;9/2;0)

[b]K(63sqrt(3)/22;9/2;24/11)[/b]

Уравнение плоскости [b]ABC:[/b]

[b]z=0[/b]

vector{n_(ABC)}=(0;0;1)

Уравнение плоскости [b]СКМ:[/b]
[b]C(0;9;0)[/b]
[b]M(7sqrt(3)/2; 7/2;0)[/b]

[b]K(63sqrt(3)/22;9/2;24/11)[/b]

[m]\begin{vmatrix} x& y-9 &z \\ \frac{7\sqrt{3}}{2} &\frac{7}{2}-9 & 0\\ \frac{63\sqrt{3}}{22} &\frac{9}{2}-9 &\frac{24}{11} \end{vmatrix}=0[/m]

⇒

[m]-12x-\frac{63\sqrt{3}}{4}z+\frac{11}{2}\cdot (\frac{63\sqrt{3}}{22})z-\frac{24}{11}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot (y-9)=0[/m]

[m]-12x-\frac{24}{11}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot y-\frac{24}{11}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot9=0[/m]

vector{n_(CKM)}=(-12; [m]\frac{84\sqrt{3}}{2}[/m];0)

vector{n_(ABC)}*vector{n_(CKM)}=-12*0+[m]\frac{84\sqrt{3}}{2}[/m]*0+0*1 =0

Векторы vector{n_(ABC} ⊥ vector{n_(CKM)} ⇒

[b]пл АВС ⊥ пл СМК[/b]

б)

[green]2 способ: координатный [/green]

[b]C(0;9;0)[/b]
[b]В(9sqrt(3)/2; 9/2;0)[/b]
[b]M(7sqrt(3)/2; 7/2;0)[/b]
[b]K(63sqrt(3)/22;9/2;24/11)[/b]

[red]V_(пирамиды СВМК)[/red]=[m]\frac{1}{6}\cdot |(\vec{CB},\vec{CM},\vec{CK})|[/m]

[m](\vec{CB},\vec{CM},\vec{CK})=\begin{vmatrix}\frac{9\sqrt{3}}{2} & \frac{9}{2}-9 &0 \\ \frac{7\sqrt{3}}{2} &\frac{7}{2}-9 & 0\\ \frac{63\sqrt{3}}{22} &\frac{9}{2}-9 &\frac{24}{11} \end{vmatrix}=\frac{24}{11}\cdot \begin{vmatrix}\frac{9\sqrt{3}}{2} & \frac{9}{2}-9 \\ \frac{7\sqrt{3}}{2} &\frac{7}{2}-9 \end{vmatrix}=[/m]

[m]=-\frac{24\cdot 9\sqrt{3}}{11}[/m]

[red]V_(пирамиды СВМК)[/red]=[m]\frac{1}{6}\cdot|-\frac{24\cdot 9\sqrt{3}}{11}|= \frac{36\sqrt{3}}{11}[/m]

(прикреплено изображение)

V_(призмы АВСА_(1)В_(1)С_(1))=9*6=54
V_(пирамиды А_(1)С_(1)В_(1)В)=
=(1/3)*S_( Δ А_(1)В_(1)С_(1))*BB_(1)=(1/3)*9*6=18

V_(многогранника АВСА_(1)С_(1))=V_(призмы АВСА_(1)В_(1)С_(1))-V_(пирамиды А_(1)С_(1)В_(1)В)=

=54-18=36

О т в е т. 36
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos(3π/2+x)=-sinx

Уравнение принимает вид:

sin^2x-sqrt(3)*sinx=0

sinx*(sinx-sqrt(3))=0

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

sinx=0 или sinx-sqrt(3)=0

[b]x=πk, k ∈ Z[/b] или sinx=sqrt(3)- уравнение не имеет корней, так как

-1 ≤ sinx ≤ 1; sqrt(3) > 1.

О т в е т.

a)[b]πk, k ∈ Z[/b]

бПри k=4
х=4π ∈ [7π/2;4π]

Ответ выбран лучшим

y`=(8+x)`*e^(x-8)+(8+x)*(e^(x-8))`=1*e^(x-8)+(8+x)*e^(x-8)*(x-8)`=

=e^(x-8)*(1+8+x)=e^(x-8)*(x+9)

y`=0 ⇒ e^(x-8)*(x+9)=0 ⇒ e^(x-8)> 0 [i]при любом х[/i] ⇒

x+9=0; [b] x=-9[/b]

x=-9 - точка минимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +:

f(-10)=e^(-10-8)*(-10+9)=-e^(-18) <0
f(-8)==e^(-8-8)*(-8+9)=e^(-16) >0

О т в е т. [b]х=-9[/b]

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
sin(π/2–x)=cosx

Уравнение принимает вид:

2cos^2x+sin2x=0

Так как sin2x=2sinx*cosx, то

2cos^2x+2sinx*cosx=0

2cosx*(cosx+sinx)=0

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

cosx=0 или cosx+sinx=0

[b]x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b] или sinx=-cosx; tgx=-1 ⇒[b] x=-(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

О т в е т.

a) [b](π/2)+πn, n ∈ Z[/b] ; [b] x=-(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

б) x=7π/2; x=9π/2; x=-(π/4)+4π=15π/4- корни,
принадлежащие отрезку [3π; 9π/2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos(π/2–x)=sinx

Уравнение принимает вид:

sin^2x-sqrt(3)*sinx=0

sinx*(sinx-sqrt(3))=0

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

sinx=0 или sinx-sqrt(3)=0

[b]x=πk, k ∈ Z[/b] или sinx=sqrt(3)- уравнение не имеет корней, так как

-1 ≤ sinx ≤ 1; sqrt(3) > 1.

О т в е т. [b]πk, k ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

{x+4>0 ⇒x >-4
{x^2+8x+16>0 ⇒x ≠ -4

ОДЗ: [red]x>-4[/red]

x^2log_(7^3)(x+4) ≤ log_(7)(x+4)^2

По свойствам логарифма с учетом ОДЗ:

x^2*(1/3)log_(7)(x+4) ≤ 2 log_(7)(x+4)

x^2*(1/3)log_(7)(x+4) - 2 log_(7)(x+4) ≤ 0

log_(7)(x+4)*((x^2/3)-2) ≤ 0

Применяем[i] обобщенный метод интервалов[/i] .

Находим нули функции f(x)=log_(7)(x+4)*((x^2/3)-2)

log_(7)(x+4)=0 ⇒ x+4=7^(0) ⇒ x+4=1; [b]x=-3[/b]

(x^2/3)-2=0 ⇒ x^2=6; x = ± sqrt(6)

-3 < - sqrt(6), так как 3 > sqrt(6) и 9 > 6

Расставляем знаки на ОДЗ ( методом чередования знаков):

(-4) _-__ [-3] __+__ [-sqrt(6)] ______-______ [sqrt(6)] ___+__

О т в е т. [b](-4;-3]U[-sqrt(6);sqrt(6)][/b]

Ответ выбран лучшим

{x+5>0
{x^2+10x+25>0 ⇒

ОДЗ: [red]x>-5[/red]

x^2log_(2^9)(x+5) ≥ log_(2)(x+5)^2

По свойствам логарифма с учетом ОДЗ:

x^2*(1/9)log_(2)(x+5) ≥ 2 log_(2)(x+5)

x^2*(1/9)log_(2)(x+5) - 2 log_(2)(x+5) ≥ 0

log_(2)(x+5)*((x^2/9)-2) ≥ 0

Применяем [i]обобщенный метод интервалов.
[/i]
Находим нули функции f(x)=log_(2)(x+5)*((x^2/9)-2)

log_(2)(x+5)=0 ⇒ x+5=2^(0) ⇒ x+5=1; [b]x=-4[/b]

(x^2/9)-2=0 ⇒ x^2=18; x = ± 3sqrt(2)

-3sqrt(2) < - 4, так как 3sqrt(2) >4 и 18>16

Расставляем знаки на ОДЗ ( методом чередования знаков):

(-5) _-__ [-3sqrt(2)] __+__ [-4] ______-______ [3sqrt(2)] ___+__

О т в е т. [b][-3sqrt(2);-4] U[3sqrt(2);+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

q=0,01-вероятность того, что работник [b] не[/b] выходит на работу

p=1-q=1-0,01=0,99-вероятность того, что работник выходит на
работу

Событие А-"из 5 работников, выбранных на удачу, на работе будет присутствовать не менее трёх"

Событие vector{А}-"из 5 работников, выбранных на удачу, на работе будет присутствовать менее трёх" (т.е. два или один):

p( vector{А})=C^(2)_(5)p^2q^3+C^(1)_(5)p^(1)q^4=

=[blue]10*(0,99)^2*0,01^3+5*(0,99)^2*0,01^4[/blue]=...

p(A)=1-p( vector{А})=1-([blue]10*(0,99)^2*0,01^3+5*(0,99)^2*0,01^4[/blue])=...

{x-6>0
{x^2-12x+36>0 ⇒

ОДЗ: [red]x>6[/red]

x^2log_(5^4)(x-6) ≤ log_(5)(x-6)^2
x^2*(1/4)log_(5)(x-6) ≤ 2 log_(5)(x-6)

x^2*(1/4)log_(5)(x-6) - 2 log_(5)(x-6) ≤ 0

log_(5)(x-6)*((x^2/4)-2) ≤ 0

log_(5)(x-6)=0 ⇒ x-6=5^(0) ⇒ x-6=1; x=7

(x^2/4)-2=0 ⇒ x= ± 2sqrt(2)

-2sqrt(2)<6 и

2sqrt(2) <6

(6) _-__ [7] __+___

О т в е т. (6;7]

n=C^(4)_(9)=9!/(4!*(9-4)!)=6*7*8*9/4!=126

m=C^(3)_(5)*[blue]C^(1)_(4)[/blue]=5!/(3!*(5-3)!)*([blue]4[/blue])=40

p=m/n=40/126=[b]20/63[/b]

{1-ctgx ≥ 0 ⇒ ctgx ≤ 1 ⇒ ( π/4)+πn ≤ x<π+πn, n ∈ Z
{1-tgx ≥ 0 ⇒ tgx ≤ 1 ⇒ (-π/2)+πk < x ≤( π/4)+πk , k ∈ Z
{sinx ≠ 0
{cosx ≠ 0

Возводим в квадрат:
(1-сtgx)*sin^2x=(1-tgx)*cos^2x

ctgx=1/tgx

(tgx-1)*(sin^2x/tgx)=(1-tgx)*cos^2x

(tgx-1)*(sinx*cosx+cos^2x)=0

tgx-1=0 или sinx+cosx=0

tgx=1 или tgx=-1

x=(π/4)+πm, m ∈ Z или x=-(π/4)+πm, m ∈ Z ⇒

х= ± (π/4)+πm, m ∈ Z входит в ОДЗ

О т в е т [b]± (π/4)+πm, m ∈ Z[/b]

Решаем систему способом подстановки:

{Ах+By+C=0 ⇒ y=-(A/B)x-C/A
{x^2-y^2=a^2

{y=-(A/B)x-C/A
{x^2-(-(A/B)x-C/A)^2=a^2 ⇒ (A^2+B^2)x^2+2ACx+C^2-a^2B^2=0

A^2+B^2 ≠ 0, тогда уравнение квадратное.

Квадратное уравнение имеет одно решение ⇔ D=0

D=(2AC)^2-4*(A^2+B^2)*(C^2-a^2B^2)=0 ⇒

[b]a^2(A^2+B^2)=C^2[/b] при A^2+B^2 ≠ 0

Δ АВС- равнобедренный.
Проведем высоту и медиану СК.

Из Δ АКС:
sin ∠ BAC=CK/AC ⇒ СК=18
По теореме Пифагора:
АК^2=AC^2-CK^2=27^2-18^2
АК=9sqrt(5)

AB=2AK=18sqrt(5)

S_( Δ ABC)=AB*CK/2 и S_( Δ ABC)=BC*AH/2 ⇒

AB*CK=BC*AH ⇒ АН=AB*CK/BC=18sqrt(5)*18/27=12sqrt(5)

Из Δ АBH по теореме Пифагора:
ВН^2=АВ^2-АН^2=(18sqrt(5))^2-(12sqrt(5))^2=5*(18-12)*(18+12)=30^2

[b]ВН=30[/b]

ВН> BC ⇒ ∠ C - [i]тупой[/i] См. рис
(прикреплено изображение)

По частям два раза

u=x^2+4x+3 ⇒ du=2x+4
dv=e^(2x)dx ⇒ v=(1/2)e^(2x)

∫ (x^2+4x+3)e^(2x) dx=(1/2)e^(2x) *(x^2+4x+3)- ∫ (1/2)e^(2x)*(2x+4)dx=

[b]=(1/2)e^(2x) *(x^2+4x+3)- ∫ e^(2x)*(x+2)dx=[/b]

u=x+2 ⇒ du=dx
dv=e^(2x)dx ⇒ v=(1/2)e^(2x)

[b]=(1/2)e^(2x) *(x^2+4x+3)- ((1/2)e^(2x) *(x+2)-∫ e^(2x)dx=[/b]

[b]=(1/2)e^(2x) *(x^2+4x+3- (1/2)x-1)+(1/2)* e^(2x)+C=[/b]

[b]=(1/2)e^(2x) *(x^2+(7/2)x+3)+C[/b]

ОДЗ: x >0

[m]log_{0,5}0,5^{1+lgx}\cdot (\frac{5^{1+lgx}}{0,5^{1+lgx}}-1)\leq lgx-1[/m]

[m]log_{0,5}0,5^{1+lgx}+log_{0,5}((\frac{5}{0,5})^{1+lgx}-1)\leq lgx-1[/m]

[m]1+lgx+log_{0,5}(10^{1+lgx}-1)\leq lgx-1[/m]

[m]log_{0,5}(10x-1)\leq -2[/m]

[m]log_{0,5}(10x-1)\leq log_{0,5}4[/m]

Логарифмическая функция убывает, поэтому

10х-1 ≥ 4

10х ≥ 5

x ≥ 0,5

Удовл ОДЗ

О т в е т. [0,5;+ ∞ )

sin(πx+πy)=0 ⇒ πx+πy=πk, k ∈ Z ⇒ x+y=k, k ∈ Z

Решаем систему способом подстановки: y=k-x

x^2+(k-x)^2=a ⇒ 2x^2-2kx+k^2-a=0

D=(-2k)^2-4*2*(k^2-a)=4k^2-8k^2+8a=8a-4k^2

D>0 квадратное уравнение имеет два корня:

2a-k^2>0 ⇒ [b]a>k^2/2[/b]

k= ± 1 ⇒ [red]a>1/2[/red]

{x+y=1
{x^2+y^2=a

или

{x+y=-1
{x^2+y^2=a

получим [red]4 решения
[/red]

Графическая интерпретация:
Прямые x+y= ± k (k ≠ 0) не должны являться касательными к окружности x^2+y^2=a

т.е. [b]a ≠ k^2/2; k - целое; k ≠ 0[/b] (прикреплено изображение)

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на плоскость

BA- проекция В_(1)А

Это угол BAB_(1)

f `(x)=-3x^2+12x+15

f `(x)=0 ⇒ -3x^2+12x+15=0 ⇒ x^2-4x-5=0 ⇒ x_(1)=-1; x_(2)=5

Знак производной: __+__ (-1) __-__ (5) _+__ ⇒

x=-1 - точка максимума

f(-1)=-(-1)^3+6*(-1)^2+15*(-1)+10=

ОДЗ:
16-x^2 >0 ⇒ -4 < x < 4

[i]Замена переменной:[/i]

log_(3)(16-x^2)=t

Неравенство:

t^2-9t+8 ≥ 0 ⇔ (t-1)(t-8) ≥ 0 ⇒ t ≤ 1 или t ≥ 8

Обратный переход:
log_(3)(16-x^2) ≤ 1 или log_(3)(16-x^2) ≥ 8

log_(3)(16-x^2) ≤ log_(3)3 или log_(3)(16-x^2) ≥log_(3)8^3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому:
(16-x^2) ≤ 3 или (16-x^2) ≥8^3

13-x^2 ≤0 или (16-x^2) ≥8^3 ⇒-(x^2+496) ≥ 0 - не имеет корней

13-x^2 ≤0 ⇒ -sqrt(13) ≤ x ≤ sqrt(13) - входит в ОДЗ

О т в е т. [b] [-sqrt(13); sqrt(13)][/b]

tg ∠ B=AC/BC

15/8=AC/BC ⇒ AC=(15/8)*BC

По теореме Пифагора:

AB^2=AC^2+BC^2

34^2=(15/8)^2*BC^2+BC^2 ⇒ [b]BC=16[/b]

(прикреплено изображение)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость

1)A_(1)В - проекция A_(1)C
2)DD_(1)-проекция DA_(1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
4^(x)=t ; [b]t>0[/b]⇒ 4^(x+1)=4t и 64^(x)=(4^(3))^(x)=(4^(x))^(3)=t^3

4^(-x)=1/4^(x)=1/t

4^(5-x)=4^5/t

[b]t>0[/b]

t^3-65*4t+4^5/t=0

Умножаем на t

t^4-260t^2+1032=0

D=260^2-4*1032=

Это задание на решение уравнений в целых числах.
Для решения нужно представить левую часть в виде произведения выражений, правую - в виде произведения чисел.

2m^2-2mn+3m-n=41

2m(m-n)+(m-n)+2m=41

2m*(m-n+1) + (m-n)=41

Прибавляем 1 слева и справа:

2m*(m-n+1) + (m-n+1)=41=1

(m-n+1)*(2m+1)=42

Вот и представили левую часть в виде произведения выражений, правую - в виде произведения чисел.
(m-n+1)*(2m+1)=2*3*7

2m+1- нечетное, значит возможны варианты:

{m-n+1=42
{2m+1=1

{m-n+1=14
{2m+1=3

{m-n+1=6
{2m+1=7

{m-n+1=2
{2m+1=21

Решив 4 системы получим ответ.

Ответ выбран лучшим

x^2-2(a+1)+a^2+2a=(x-(a+1))^2-1=(x-a-2)(x-а)

Рассматриваем координатную плоскость хОа:
(далее рассуждения аналогичны методу интервалов)

Прямые x=a+2 и x=a разбивают координатную плоскость хОа:
на три области: ( cм. рис.1)

Прямая x=0 разбивает координатную плоскость на две части (рис.2)

Раскрываем знаки модулей в каждой области:
Первый случай:
[b]I:[/b]
{x ≥ 0;
{(x-a-2)*(x-a) ≥ 0

[red]a>0[/red]

Функция принимает вид:f(x)=x–2x+x^2–2(a+1)x+a^2+2a

f(x)=x^2-(2a+3)x+a^2+2a

Наим значение в вершине при x_(о)=(2a+3)/2

y_(o)=(2a+3)^2/4-(2a+3)^2/2+a^2+2a=(-4a-9)/4

(-4a-9)/4 > 4 ⇒ -4a-9 >16 ⇒ -4a > 25 и учитывая , что [red]a >0[/red]⇒ [b]a < -25/4[/b], что противоречит [red]a>0[/red]

Первый случай [i]не имеет решений.
[/i]

и так еще 5 раз :

Второй случай:
[b]II:[/b]
{x < 0;
{(x-a-2)*(x-a) ≥ 0
[green]a ≤
0[/green] в области [b]II:[/b]

Функция принимает вид:f(x)=x+2x+x^2–2(a+1)x+a^2+2a

f(x)=x^2-(2a-1)x+a^2+2a

Наим значение в вершине при x_(о)=(2a-1)/2
y_(o)=(2a-1)^2/4-(2a-1)^2/2+a^2+2a=(4a-1)/4 ⇒

(4a-1)/4 > 4 ⇒ 4a-1 > 16 ⇒ 4a > 17 и учитывая , что [green]a ≤ 0[/green]⇒ [b]a < 17/4[/b] ⇒ a ≤ 0

... (прикреплено изображение)

{5x+4 ≥ 0 ⇒ x ≥ -4/5
{2x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/2
{3x+1 ≥ 0 ⇒ x≥ -1/3

⇒ [red]x ≥ 1/2[/red]

Возводим в квадрат:
5х+4+2*sqrt(5x+4)*sqrt(2x-1)+2x-1=3x+1 ⇒ 2*sqrt(5x+4)*sqrt(2x-1)=-4x-2

sqrt(5x+4)*sqrt(2x-1)=-2x-1

Возводим в квадрат, при условии:
-2x-1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1/2 противоречит условию [red]x ≥ 1/2[/red]

Нет корней

V_(вр._(Ox))=π ∫ ^(π)_(0)(3sinx)^2dx - π ∫ ^(π)_(0)(sinx)^2dx=

=π ∫ ^(π)_(0)8sin^2xdx=4π ∫ ^(π)_(0)(1-cos4x)dx=4π(x-(1/4)sin4x)|^(π)_(0)=

=4π(π-0) -4π(1/4)(sin4x-sin0)=4π^2

Ответ выбран лучшим

На [0;2] y=-3x отрицательная, поэтому:

S= ∫ ^(2)_(0)[b]|[/b](-3x)[b]|[/b]dx= ∫ ^(2)_(0)(3x)dx=3x^2/2=3*(2^2/2)=6 (прикреплено изображение)

[r]y=f(x_(o))+ f `(x_(o))(x-x_o) -уравнение касательной[/r]

f `(x)=3x^2

[red]в точке x_(o)=-1 [/red]

f (-1)=(-1)^3-1=-2

f `(-1)=3*(-1)^2=3

y=-2+3*(x-(-1))

y=3x+1

Для наглядности рисунок: (прикреплено изображение)

[m]rot \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ x+6yz&y+6xz &z+6xy \end{vmatrix}=[/m]

[m]=6x\vec{i}+6y\vec{j}+6z\vec{k}-6z\vec{k}-6x\vec{i}-6z\vec{k}=0[/m]

⇒ поле [i]потенциальное[/i]

[m]u(M)= ∫ ^{x}_{0}xdx+ ∫ ^{y}_{0}ydy+ ∫ ^{z}_{0}(z+6xy)dz=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz[/m]

Проверка:

[m]grad u(M)=u`_{x}(M)\vec{i}+u`_{y}(M)\vec{j}+u`_{z}(M)\vec{k}=[/m]

[m]=(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz)`_{x}\vec{i}+[/m]

[m]+(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz)`_{y}\vec{j}+[/m]

[m]+(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz)`_{x}\vec{k}=[/m]

[m]=(x+6yz)\vec{i} + (y + 6xz)\vec{j} + (z + 6xy)\vec{k}[/m]

Ответ выбран лучшим

Ряд сходится по признаку сравнения в предельной форме

Ряд a_(n)=1/n^2 эквивалентен данному ряду.

Ответ выбран лучшим

y=-bx-a подставляем в первое уравнение:

x^2+(-bx-a)^2+10x-12*(-bx-a)+20=0

(1+b^2)x^2+(2ab+10-12b)x+a^2-12a+20=0 - квадратное уравнение имеет два различных решения, если

D=(2ab+10-12b)^2-4*(1+b^2)(a^2-12a+20) >0 ⇒

получить неравенство и его решить....

[m]\frac{(х–1)^2}{8}+\frac{8}{(х–1)^2}=7(\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1})–1[/m]

[i]Замена переменной:[/i]

[m]\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1}=t[/m]

Возводим в квадрат:

[m](\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1})^2=t^2[/m]

[m]\frac{(х–1)^2}{16} -2\cdot\frac{х–1}{4}\cdot \frac {2}{х–1} +\frac{4}{(х–1)^2}=t^2[/m] ⇒

[m]\frac{(х–1)^2}{16} -1 +\frac{4}{(х–1)^2}=t^2[/m]

Умножаем на 2:

[m]\frac{(х–1)^2}{8} -2 +\frac{8}{(х–1)^2}=2t^2[/m] ⇒

[m]\frac{(х–1)^2}{8} +\frac{8}{(х–1)^2}=2t^2+2[/m] ⇒

Уравнение принимает вид:

2t^2+2=7t-1

2t^2-7t+3=0

D=49-4*2*3=25

t_(1,2)=[m]\frac{7\pm5}{4}[/m]

t_(1)=[m]\frac{1}{2}[/m] или t_(2)=3

Обратный переход от переменной t к переменной х:

[m]\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1}=\frac{1}{2}[/m]или[m]\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1}=3[/m]

Решаем два дробно рациональных уравнения:
x ≠ 1 ⇒

[m]x^2-4x-5=0[/m] или [m]x^2-14x+5=0[/m]

x_(1)=-1;x_(2)=5 или x_(3)=7-sqrt(11); x_(4)=7+sqrt(11)

О т в е т.

a)x_(1)=-1;x_(2)=5 ; x_(3)=7-sqrt(11); x_(4)=7+sqrt(11)

б)[red]-1 ∈ [-2;3][/red]

S= ∫ ^(0)_(-2)(2-x-x^2)dx=(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^(0)_(-2)=

=0-(-4-2+8/3)=6-8/3=[b]10/3[/b] (прикреплено изображение)

dx=-3sintdt
dy=2costdt

= ∫ ^(π)_(0)((3cost*2sint-3)*(-3sint)+(2sint*3cost+2)*(2cost))dt=

= ∫ ^(π)_(0)(-18sin^2tcost+9sint+12sint*cos^2t+4cost)dt=

=(-18*(sin^3t/3)-9cost-12*(cos^3t/3)+4sint)|^(π)_(0)=

=-9*(cosπ-cos0)-4(cos^3π-cos^30)=

=18+8=[b]26[/b]

Ответ выбран лучшим

Правильная треугольная призма ⇒ в основании правильный треугольник
Призма описана около цилиндра ⇒ окружность вписана в правильный треугольник.

R=asqrt(3)/3

R=1 ⇒ a=sqrt(3)

S_(бок)=P_(осн)*Н

Н=2

S_(бок)=3a*Н=3*sqrt(3)*2=[b]6sqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

ax^2-4x+1+3а>0 при x ∈ (-1;0)

Пусть y=f(x;a)

f(x;a)=ax^2-4x+1+3а

(cм рис. ) На рис. неравенство верно при x ∈ [b][[/b]-1;0[b]][/b]

Требованию задачи удовлетворяет расположение кв трехчлена при котором

{[b]a <0[/b] ⇒ ветви параболы вниз
{x_(o)=4/2a =2/a ∈ (-1;0) ⇒ [b]-1 < 2/a < 0[/b] ⇒
{f(-1;а)=a+4+a+3a <0 ⇒[b] 5a+4<0[/b]
{f(0;а)=[b]1+3a <0 [/b]

См. тему расположение корней кв трехчлена (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

p=1/6
q=1-p=5/6

n=20

np=20/6

(20/6)-(5/6) ≤ k_(o) ≤ (20/6)+(1/6)

(15/6) ≤ k_(o) ≤ (21/6)

2,5 ≤ k_(o) ≤ 3,5
[b] k_(o)=3[/b]

Ответ выбран лучшим

{x^4+x^2-5a^2 ≥ 0
{x^4-4ax ≥ 0
{x^4+x^2-5a^2=x^4-4ax ⇒ x^2+4ax-5a^2=0 ⇒ D=16a^2+20a^2=36a^2

x_(1)=[b]-5a[/b]; x_(2)=[b]a[/b]

Чтобы уравнение имело ровно одно решение
достаточно, чтобы один корень удовлетворял первым двум неравенствам, а второй не удовлетворял хотя бы одному из них

x=-5a
{(-5а)^4+(-5а)^2-5a^2 ≥ 0 ⇒ 625a^4+20a^2 ≥ 0 при любых а -
{(-5а)^4-4а*(-5а) ≥ 0 ⇒ 625a^4+20a^2 ≥ 0 при любых а -

x=-5a - корень уравнения

x=a
{(а)^4+(а)^2-5a^2 ≥ 0 ⇒ a^4-4a^2 ≥ 0
{(а)^4-4а*(а) ≥ 0 ⇒ a^4-4a^2 ≥ 0

a^2*(a-2)(a+2) ≥ 0 ⇒ (a-2)(a+2) ≥ 0 ⇒ a ∈ (- ∞;-2]U[2;+ ∞ )U{0} ⇒

a ∈ (-2;2)- наоборот, [red]x=a не является корнем уравнения[/red]

Осталось уточнить, что получаем при x=0

√x4+x2=√x4 ⇒ x=0 - корень уравнения, [i]единственный
[/i]

a=0 включаем в ответ

Геометрическая иллюстрация ( просто так для наглядности):

Построим множество точек плоскости xOа, удовлетворяющих неравенствам:
{x^4+x^2-5a^2 ≥ 0
{x^4-4ax ≥ 0

Системе удовл множество точек сиреневого цвета.
cм. рис.

Прямая x=-5a принадлежит полностью сиреневой области.

Прямая x=a принадлежит [b]НЕ полностью[/b] сиреневой области.

По рисунку видно, что x=a не принадлежит ОДЗ

при a ∈ [b](-2;2)[/b] (прикреплено изображение)

Пусть вектор vector{c}=(x;y;z)

По условию |vector{c}|=sqrt(3) ⇒ [b]x^2+y^2+z^2=3[/b]

По условию вектор vector{c} компланарный векторам vector{a} и vector{b} ⇒

[m]\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & -1 &0 \\ 1 &-2 & 1 \end{vmatrix}=0[/m]

⇒ Раскрываем определитель третьего порядка:

[b]x+y+z=0[/b]

По условию вектор vector{c} ортогональный вектору vector{d}

⇒ скалярное произведение векторов vector{c}*vector{d}=0

[b]х*2+у*1+z*1=0[/b]

Cистема:
{[b]x^2+y^2+z^2=3[/b]
{[b]x+y+z=0[/b]
{[b]х*2+у*1+z*1=0[/b]

x+y+z=2x+y+z ⇒ x=0

{y^2+z^2=3
{y+z=0 ⇒ y=-z

2y^2=3 ⇒ y= ± sqrt(3/2)

z=[m]\mp[/m]sqrt(3/2)

О т в е т. (0; sqrt(3/2); - sqrt(3/2)); (0; -sqrt(3/2); sqrt(3/2))

Ответ выбран лучшим

О т в е т 1+12+4+12=29

2+2+2+2=8⇒ x=2;y=2;z=2;w=2 [b]ОДНО[/b]

1+3+2+2=8 ⇒ x=1;y=3;z=2;w=2 и x=1;y=2;z=3;w=2 и x=1;y=2;z=2;w=3 и x=3;y=2;z=1;w=2 и .... [b]ДВЕНАДЦАТЬ[/b]

На первом месте 1, тогда:
(1;3;2;2) ⇒ 3;2;2 на 3 места можно расположить тремя способами
На первом месте 3, тогда:
(3;1;2;2) ⇒ 1;2;2 на 3 места можно расположить тремя способами
На первом месте 2, тогда:
(2;1;2;3) ⇒ 1;2;3 на 3 места можно расположить шестью способами

3+3+6=12
1+1+1+5=8 ⇒ x=1;y=1;z=1;w=5 и x=1;y=1;z=5;w=1 и x=1;y=5;z=1;w=1 и x=5;y=1;z=1;w=1

[b]ЧЕТЫРЕ [/b]

1+1+2+4=8 ⇒
...
(1;1;2;4)(1;1;4;2)(1;2;1;4)(1;2;4;1)(1;4;1;2)(1;4;2;1) - 6 способов
(2;1;1;4)(2;1;4;1)(2;4;1;1)- три способа
(4;1;2;1)(4;1;1;2)(4;2;1;1)- три способа

6+3+3=12

[b]ДВЕНАДЦАТЬ[/b]

Ответ выбран лучшим

Достаточно убедиться, что на [1;2] функция
y=4x^3-x+5 принимает положительные значения и тогда

|4x^3-x+5|=[b]4x^3-x+5[/b]

Применяем исследование функции с помощью производной:

y`=12x^2-1 ⇒ y`=0 ⇒ x^2=1/12

[b]x= ± 1/sqrt(12)[/b]

Функция [i]возрастает[/i] на (- ∞ ;-1/sqrt(12))U(1/sqrt(12);+ ∞ )

[i]Убывает[/i] на (-1/sqrt(12);1/sqrt(12))

⇒ x=1/sqrt(12) - точка минимума

y_(1/sqrt(12))=(3/sqrt(12))-(1/sqrt(12))+5 >0

на (1/sqrt(12);+ ∞ ) функция возрастает

Cм. рис.

Наименьшее значение положительно, значит 4x^3-x+5 >0 на отрезке [1;2]

и |4x^3-x+5|=4x^3-x+5 на отрезке [1;2]

Тогда

∫^(2)_(1)|4x^3-x+5|dx= ∫^(2)_(1)(4x^3-x+5)dx=(4*(x^4/4)-(x^2/2)+5x)|^(2)_(1)=2^4-1-(1/2)*(2^2-1)+5*(2-1)=[b]18,5[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

vector{c}-2vector{d}={6-2*0;0-2*(-1);-3-2*(-5)}={6;2;7}

[m]v=1,2\cdot cos\frac{2 \pi 38}{2}=1,2cos 38 \pi=1,2 \cdot 1=1,2[/m]

[m]E=\frac{0,25\cdot 1,2^2}{2}=...[/m]

Первый раз между 2-мя и 3-мя часами

Второй раз между 3-мя и 4-мя часами

...

Девятый раз между 10-ью и 11-ти - часами

Десятый раз между 11-тью и 12-ти часами ⇒ в 12 часов

c 1 часа 30 минут до 12.00 пройдет 10 часов 30 минут[b]=630 минут[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=sqrt(g(x))

g(x)=-61-16x-x^2

g`(x)=-16-2x

g`(x)=0

-16-2x=0

[b]x=-8[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]\sqrt[5]{m}\cdot\sqrt[20]{m}=\sqrt[20]{m^4}\cdot\sqrt[20]{m}=\sqrt[20]{m^4\cdot m}=\sqrt[20]{m^5}=\sqrt[4]{m}[/m]

[m]\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{m}\cdot\sqrt[20]{m}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[4]{m}}[/m]

При m=625:

[m]\frac{\sqrt{625}}{\sqrt[4]{625}}=\frac{25}{5}=5[/m]

Ответ выбран лучшим

Решаем методом Бернулли

Решение представим в виде произведения двух функций u(x) и v(x):
y=u*v

Находим
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(u*v/xlnx)=[b]lnx/x[/b]

u`*v+u([blue]v`-v/xlnx[/blue])=[b]lnx/x[/b]

Выбираем функцию v так,чтобы
[blue]v`-v/xlnx[/blue]=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`/v=dx/xlnx ⇒ ∫ dv/v=-∫ x^2dx ⇒ ln|v|=ln|lnx| ⇒ [b]v=lnx[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*lnx+0=[b]lnx/x[/b]

u`=du/dx
du=dx/x

u=ln|x|+lnC

u=lnCx

y=u*v=(lnCx)*lnx

y(e)=0

0=(lnCe)lne

lne=1

lnCe=lnC+lne=lnC+1

lnC+1=0

lnC=-1

C=1/e

y=(lnx/e)*lnx=[b]ln^2x-lnx[/b]

y`=-3x^2+6x

y`=0

-3x^2+6x=0

-3x*(x-2)=0

x=0; x=2

Знак производной:
_-___ (0) _+__ (2) __-__

y`<0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )
Функция убывает на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

y`>0 на (0;2)
Функция возрастает на (0 ;2)

y``=-6x+6

y``=0

-6x+6=0

x=1 - точка перегиба

при x < 1

y`` <0 ⇒ кривая выпукла вверх

при x > 1

y``>0 ⇒ кривая выпукла вниз

График:

(прикреплено изображение)

Пусть [b]3x=t[/b]

sint=1 ⇒ [b]t[/b]=(π/2)+2πn, n ∈ Z

[b]3x[/b]=(π/2)+2πn, n ∈ Z

[b]x=(π/6)+(2π/3)*n, n ∈ Z[/b]- о т в е т

Ответ выбран лучшим

=2*(x^4/4)-6(x^3/3)+6(x^2/2)-5x+C=(1/2)x^4-2x^3+3x^2-5x+C

Ответ выбран лучшим

v(t)=s`(t)=(4t^3-6t+3)`=12t^2-6

v(2)=12*2^2-6=...

Ответ выбран лучшим

[m](\frac{1}{3})^{-2}\cdot 27^{\frac{1}{3}}-\sqrt{81}+0,19^{0}=(3^{-1})^{-2}\cdot (3^{3})^{\frac{1}{3}}-9+1=[/m]
[m]3^{2}\cdot 3-9+1=27-9+1=19[/m]

Ответ выбран лучшим

f `(x)=4x-20

f`(x)=0

4x-20=0

x=20 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат:
6х-2=4х+8
6х-4х=8+2
2х=10
[b]х=5[/b]

[i]Проверка:[/i]
sqrt(6*5-2)=sqrt(4*5+8)
sqrt(28)=sqrt(28)- верно

О т в е т. [b]5[/b]

Ответ выбран лучшим

log_(5)36-log_(5)3=log_(5)(36/3)=log_(5)12

log_(5)4x=log_(5)12 ⇒ 4x=12 ⇒[b] x=3[/b]

Ответ выбран лучшим

a)[m](\frac{1}{3})^{-2}\cdot 27^{\frac{1}{3}}=(3^{-1})^{-2}\cdot (3^{3})^{\frac{1}{3}}=3^{2}\cdot 3=27[/m]

б)
(1/3)^ (–2)* 27^(1/3) − √81 + 0,19^(0)=9*3-9+1=[b]19[/b]

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(π/2)_(-π/2)cosxdx=sinx|^(π/2)_(-π/2)=sin(π/2)-sin(-π/2)=1-(-1)=[b]2[/b]

Ответ выбран лучшим

sqrt(2)sin5x+2sin(5x)*cos(-2x)=0

sin5x*(sqrt(2)+2cos2x)=0

sin5x=0 ⇒ 5x=πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/5)*k, k ∈ Z[/b]- ответ

sqrt(2)+2cos2x=0 ⇒ cos2x=-sqrt(2)/2

2x= ± (arccos(-sqrt(2)/2))+2πn, n ∈ Z

2x= ± (3π/4)+2πn, n ∈ Z

[b]x= ± (3π/8)+πn, n ∈ Z[/b]- ответ

Условие, что события Н_(1) и H_(2) образуют [i]полную группу[/i] означает, что

p(H_(1))+p(H_(2))=1 ⇒ Пусть p(H_(1))=[b]x[/b], тогда p(H_(2))=[b]1-х[/b]

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=[blue][b]х[/b]*0,8+([b]1-х[/b])*0,2.[/blue]

По формуле Байеса:

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=[b]х[/b]*0,8/([blue][b]х[/b]*0,8+([b]1-х[/b])*0,2[/blue])

По условию

p(H_(1)/A)=0,5 ⇒ х*0,8/([blue]х*0,8+(1-х)*0,2[/blue]
)=0,5

[b]х[/b]*0,8=0,5*([b]х[/b]*0,8+([b]1-х[/b])*0,2)

[b]х[/b]*0,8=[b]х[/b]*0,4+0,1-0,1[b]х[/b]

[b]х[/b]*0,5=0,1

[b]х[/b]=1/5=[b]0,2[/b]

О т в е т. p(H_(1))=[b]0,2[/b]

Ответ выбран лучшим

2^(3-2x)=(2^3)^(x) ⇒
2^(3-2x)=2^(3x) ⇒

3-2x=3x ⇒

3=3x+2x

5x=3

x=3/5

x=[b]0,6[/b]

Площадь основания конуса [blue]9π[/blue] м^2 ⇒ π*r^2=9π ⇒ r^2=9; r=3
h^2=L^2-r^2=5^2-3^2=25-9=16
h=4

V=(1/3)[blue]S_(осн)[/blue]*h=(1/3)*[blue]9π[/blue]*4=12π м^3 (прикреплено изображение)

Находим точки пересечения сфер:

{2x^2+2y^2+2z^2+3x–2y+z–5=0
{x^2+y^2+z^2–x+3y–2z+1=0 ⇒ x^2+y^2+z^2=x-3y+2z-1

подставляем в первое:

2*(x-3y+2z-1)+3x–2y+z–5=0

Получаем множество точек(x;y;z), удовлетворяющих уравнению:

[b]5x-8y+5z-7=0[/b]

Это и есть уравнение плоскости

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение события-гипотезы
H_(i) - "выбрана i-ая линия"
i=1,2,3

p(H_(i))=[b]1/3[/b]

событие A- "наугад взятая деталь окажется стандартной;"

p(A/H_(1))=0,002
p(A/H_(2))=0,001
p(A/H_(3))=0,005
a)
По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))

P(A)=([b]1/3[/b])*0,002+([b]1/3[/b])*0,001+([b]1/3[/b])*0,005=[b]0,008/3[/b]

б) По формуле Байеса:
p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=(1/3)*0,002/0,008/3=[b]1/4[/b]

Задача на круги Эйлера.

50%- выбирали другие секции ⇒ 50% - посещают лыжи и волейбол.

Пусть х% ходят одновременно на лыжи и волейбол.
Тогда (35-х)% ходят только на лыжи
(45-х)% ходят только на волейбол

Всего 50%

х+35-х+45-х=50 ⇒ х=30%

30%=0,3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=0,8 - вероятность того, что ответил

q=1-p=1-0,8=0,2 - вероятность того, что не ответил

Случайная величина Х - число заданных вопросов.

Х принимает значения от 1 до 4

Х=1 задан один вопрос,
Студент не ответил на вопрос.

p_(1)=0,2

Х=2 задано два вопроса, значит на первый вопрос студент ответил, а на второй- нет

p_(2)=0,8*0,2=0,16

Х=3 задано три вопроса, значит на первый и второй вопросы студент ответил, а на третий - нет

p_(3)=0,8*0,8*0,2=0,128

Х=4 задано три вопроса, значит на первый ,второй, третий вопросы студент ответил, а на четвертый или ответил или не ответил

p_(3)=0,8*0,8*0,8*0,2+0,8*0,8*0,8*0,8=...

Закон распределения – таблица. В первой строке значения Х
от 1 до 4

Во второй их вероятности.

Пять бросков.
Значит число попаданий от 0 до 5

[b]X=0[/b]
[i]ни одного попадания, пять промахов[/i]

Для первого:
p_(0)=0,2*0,2*0,2*0,2*0,2=0,2^5
Для второго:
p_(0)=0,3*0,3*0,3*0,3*0,3=0,3^5

[b]X=1[/b]
[i]одно попадание, четыре промаха[/i]

Для первого:
p_(1)=[blue]С^(1)_(5)[/blue]p^1*q^4=[blue]5[/blue]*0,8*0,2*0,2*0,2*0,2=

Для второго:
p_(1)=[blue]С^(1)_(5)[/blue]p^1*q^4=blue]5[/blue]0,7*0,3*0,3*0,3*0,3=

[b]X=2[/b]
[i]два попадания, три промаха[/i]

Для первого:
p_(1)=[blue]С^(2)_(5)[/blue]p^2*q^3=[blue]10[/blue]*0,8^2*0,2^3=

Для второго:
p_(1)=[blue]С^(2)_(5)[/blue]p^2*q^3=blue]10[/blue]0,7^2*0,3^3=

И так далее.

Закон распределения - таблица. В первой строке значения Х
от 0 до 5

Во второй их вероятности.

см. аналогичное решение:

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=43378 ( задача 4)

или

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=52316

а) не более пяти: значит 0,1,2,3,4.

n=300
p=0,03 ⇒ q=1-p=1-0,03=0,97
np=300*0,03=9

npq=9*0,97=8,73

sqrt(npq)=sqrt(8,73) ≈

1 cпособ:

Применяем[i] локальную [/i]теорему Лапласа
[r]P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)[/r]

x=(k-np)/sqrt(npq)

P_(300)(0)=

P_(300)(1)=

P(300)(2)=

P_(300)(3)=

P_(300)(4)=

О т в е т.[b] P_(300)(0)+P_(300)(1)+P_(300)(2)+P_(300)(3)+P_(300)(4)[/b]

2 способ.

Применяем интегральную теорему Лапласа:

P_(300)(0 ; 4)=Ф(х_(2))-Ф(х_(1)) (прикреплено изображение)

V= ∫ ∫ ∫_( Ω ) dxdydz

Ω :
D: x^2+y^2 ≤ 9
0 < z < 3-x-y

V= ∫ ∫ _(D)(z|^(3-x-y)_(0))dxdy= ∫ ∫ _(D)(3-x-y)dxdy=

[i]полярные координаты:[/i]
0<ρ <3
0 <φ <2π

3-x-y=3- ρ cos φ - ρ sin φ

dxdy= ρ d ρ d φ

= ∫ ^(2π)_(0)([blue] ∫ ^(3)_(0)(3- ρ cos φ - ρ sin φ )d ρ[/blue]) =

=∫ ^(2π)_(0)(3 ρ - (ρ ^2/2)cos φ -( ρ ^2/2)sin φ )^(3)_(0)d φ =

=∫ ^(2π)_(0)(9-4,5cos φ -4,5sin φ )d φ =

=(9 φ -4,5sin φ +4,5cos φ )|^(2π)_(0)=

=9*2π+4,5*(cos2π-cos0)=[b]18π[/b]

Ответ выбран лучшим

S(t)= ∫^(4)_(1) v(t)dt=∫^(4)_(1) (3t^2-2t+1)dt=(t^3-t^2+t)|^(4)_(1)=

=(4^3-4^2+4)-(1^3-1^2+1)=52-1=51

Ответ выбран лучшим

По формуле перехода к другому основанию:
ln400=lg400/lge

ln400*lge=lg400

ln400*lge-2lg2=lg400-lg2^2=lg400/4=lg100=2

13^(ln400*lge-2lg2)=13^2=169

Требуется найти вероятность события
А-"среди отобранных деталей хотя бы одна нестандартная "

Находим вероятность [i]противоположного события[/i]:
vector{A}-"среди отобранных деталей все стандартные" .

n=C^3_(6)=6!/(3!*(6-3)!)=20

m=C^3_(4)=4!/(3!*(4-3)!)=4

p(vector{A})=m/n=4/20=1/5

p(A)+p(vector{A})=1 ⇒ p(A)=1-p(vector{A})=1-(1/5)=4/5

О т в е т. (4/5)

Ответ выбран лучшим

0,25^(x)=4^(-x)=(2^(-x))^2
[i]Замена:[/i]
2^(-x)=t
[red]t>0[/red]
Неравенство принимает вид:

(3-t^2)/(2-t) ≥ 1,5

(3-t^2)/(2-t) - 1,5 ≥ 0

(6-2t^2-6+3t)/(2-t) ≥ 0

(2t^2-3t)/(t-2) ≥ 0

t=0; t=3/2 - нули числителя

t=2 - нуль знаменателя.

___[0] __+__ [3/2] ____ (2) __+__

0 ≤ t ≤ 3/2 или t >2

Обратная замена:

0 ≤ 2^(-x) ≤ 3/2 или 2^(-x) >2

-x ≤ log_(2)(3/2) или -x >1

x ≥ log_(2)([b]2/3[/b])или x <-1

О т в е т. (- ∞ ;-1)U[log_(2)(2/3);+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

P(x;y)dx+Q(x;y)dy

P(x;y)=xy+e^(x) ⇒ ∂ P/ ∂ y=x
Q(x;y)=-x ⇒ ∂ Q/dx=-1

∂ P/ ∂ y ≠ ∂ Q/dx

Выражение не является полным дифференциалом

7^(-x^2)=t

t>0

log_(2)(t-6)(7^9t-1)+log_(2)(t-6)/(7^(9)t-1)>log_(2)(7^(3)t-5)^2

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(2)(t-6)^2>log_(2)(7^(3)t-5)^2 и с учетом ОДЗ получаем систему:

{log_(2)(t-6)^2>log_(2)(7^(3)t-5)^2
{(t-6)/(7^9t-1) >0 ⇒[b] t< 1/7^9[/b] или [b] t >6[/b]
{(t-6)*(7^9t-1) >0
{(7^(3)t-5)^2>0 ⇒ 7^(3)t-5 ≠ 1 ⇒[red] 7^3t ≠ 6[/red]

Решаем первое неравенство:

log_(2)(t-6)^2-log_(2)(7^(3)t-5)^2>0

Раскладываем на множители по формуле:a^2-b^2

[b]([/b]log_(2)(t-6)-log_(2)(7^3t-5)[b])[/b]*[b]([/b]log_(2)(t-6)+log_(2)(7^3t-5)[b])[/b]>0

log_(2)(t-6)/(7^3t-5) * log_(2)(t-6)*log_(2)(t-6)*(7^3t-5) >0

С учетом выделенных условий ОДЗ получаем ответ

Ответ выбран лучшим

{[m]\frac{-6y-x-6}{-3y+2x-1}=-3y-x[/m]
{(3^2)^(-3y+2x)+27=12*3^(-3y+2x); замена переменной: 3^(-3y+2x)=t; t>0

t^2-12t+27=0 ⇒ (t-9)(t-3)=0 ⇔ 3^(-3y+2x)=3^2 или 3^(-3y+2x)=3

Две системы.

Первая:
{[m]\frac{-6y-x-6}{-3y+2x-1}=-3y-x[/m]
{3^(-3y+2x)=3^2 ⇒ -3y+2x=2 ⇒ -3y+2x-1=1 подставляем в первое уравнение:

-6y-x-6=-3y-x ⇒ -6y+3y=6 ⇒ y=-2

-3*(-2)+2x=2

x=-2

(-2;-2)

Вторая:

{[m]\frac{-6y-x-6}{-3y+2x-1}=-3y-x[/m]
{3^(-3y+2x)=3 ⇒ -3y+2x=1 ⇒ знаменатель первой дроби равен 0, первое уравнение не имеет смысла

О т в е т. (-2;-2)

Ответ выбран лучшим

[m]y`=\frac{\pi}{2}cosx-\sqrt{5} <0 [/m] для всех x ∈ [0;π/4] ⇒

Наибольшее значение в 0

y(0)=1

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение в виде:
|x^2-2x-3|=|x^2-a|+2a-1

Уравнение имеет вид:

f(x)=g(x;a)

График y =f(x) cм. рис.1

График y=g(x;a) - получается из параболы y=|x^2-a| сдвигом

на (2a-1)единиц вдоль оси Оу:

⇒ Вершины парабол лежат на оси Оу ( см. рис.2)

См. рис. 3
Синяя и зеленая кривые имеют только две точки пересечения

Это и есть граничные значения a, при которых система имеет 3 решения

Для синей кривой, это значение [b]a=0[/b]

Для зеленой кривой надо подумать, как его найти... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
Универсальная подстановка
tg(x/2)=t

x/2= arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/*(1+t^2)

3cosx+sinx-2=3*(1-t^2)/(1+t^2) + 2t/(1-t^2)-2)=(3-3t^2+2t-2-2t^2)/(1+t^2)

∫ dx/(3cosx+sinx-2)= ∫ 2dt/(1-5t^2+2t)=-(2/5) ∫ dt/(t-(1/5)^2-6/25)=

=(-2/5)*(5/2sqrt(6))ln|(t-sqrt(6/25))/(t+sqrt(6/25)|+C=

[b]=(-1/sqrt(6))ln|(5tg(x/2)-sqrt(6))/(5tg(x/2)+sqrt(6))|+C[/b]

3-3x^2=0

x^2=1

x= ± 1

S= ∫ ^(1)_(-1)(3-3x^2)dx=(3x-(3x^3/3))|^(1)_(-1)=3*(1-(-1))-(1^3-(-1)^3)=

=6-2=4 (прикреплено изображение)

AA_(1)B_(1)B- квадрат

AB=AA_(1)=24

d^2=R^2-(AB/2)^2=13^2-12^2=169-144=25

d=5 (прикреплено изображение)

V_(вращения вокруг оси Ох)=π ∫ ^(b)_(a) f^2(x)dx

a=0
b=π
f(x)=(4/π)*sinx

V_(вращения вокруг оси Ох)=π ∫ ^(π)_(0) ((4/π)*sinx)^2dx=

=(16/π) ∫ ^(π)_(0) sin^2xdx =

sin^2x=(1-cos2x)/2

=(8/π) ∫ ^(π)_(0) (1-cos2x)dx=(8/π)*(x-(1/2)sin2x)=

=(8/π)*(π-0-(1/2)sin0+(1/2)sinπ)=[b]8[/b]

y`=1-4*(-sinx)

y`=1+4sinx

y`(π)=1+4*sinπ =1 + 4*0=[b]1[/b]

sinx+(cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=0

sinx+cosx=0

Делим на сosx:

tgx=-1

[b]x=(-π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

y`=(3x^2/3)-2*1,5x-4

y`=x^2-3x-4

y`(1)=1^2-3*1-4=[b]-6[/b]

Координаты точки М - середина отрезка АВ вычисляются по формулам:

[m]x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}[/m]

[m]y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}[/m]

[m]z_{M}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}[/m]

[m]x_{M}=\frac{3+(-5)}{2}=-1[/m]

[m]y_{M}=\frac{6+1}{2}=3,5[/m]

[m]z_{M}=\frac{-7+4}{2}=1,5[/m]

M(-1;3,5;1,5)

(прикреплено изображение)

Цилиндр, накрытый сверху и снизу куполом от эллипсоида:

[m]\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{\frac{1}{2}}=1[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=64
m=12*2=24 ( по два кубика на каждом ребре)

p=m/n=24/64=6/16=3/8
(прикреплено изображение)

Находим координаты точки персечения графиков в третьей четверти:
x <0; a<0
|x|=-x
|a|=-a

{4(-x)-a=4 ⇒ a=-4x-4
{x^2+2x=a+3

x^2+2x=-4x-4+3

x^2+6x+1=0
D=36-4=32
x_(1)=(-6-4sqrt(2))/2=-3-2sqrt(2); x_(2)=(-6+4sqrt(2))/2=-3+2sqrt(2);

a_(1)=-4(-3-2sqrt(2))-4=12+8sqrt(2)-4=8+8sqrt(2)>0 не удовл условию a<0

a_(2)=-4*(3+sqrt(2))-4=[b]8-8sqrt(2)[/b]<0

О т в е т. [8-8sqrt(2);4]

Cм графики в системе координат аОх (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Условие, что события Н_(1) и H_(2) образуют [i]полную группу[/i] означает, что

p(H_(1))+p(H_(2))=1 ⇒ p(H_(2))=1-p_(H_(1))=1-0,2=0,8

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=0,2*0,6+0,8*0,25=...

По формуле Байеса:

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=0,2*0,6/(0,2*0,6+0,8*0,25)

Ответ выбран лучшим

Решение аналогичной задачи (прикреплено изображение)

1.
-1 ≤ x-1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 ⇒ [0;2] → [-π/2;π/2]

Отношение монотонно, взаимно обратно.

2.
x ≠ 1

y*(x-1)=(y+1) ⇒ yx-y=y+1 ⇒ yx-2y=1 ⇒ y*(x-2)=1 ⇒ y=[m]\frac{1}{x-2}[/m]

x ≠ 2

График - точки с натуральными абсциссами, расположены на гиперболе y=[m]\frac{1}{x-2}[/m]( рис. 3)
кроме точек с абсциссами 1 и 2

[b]Таких точек только одна (3;1)[/b]( рис. 2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(AD_(1)CB_(1))=V_(параллелепипеда)-V_(ABCB_(1))-V_(AA_(1)D_(1)B_(1))-V_(ADCD_(1))-V_(CC_(1)B_(1)D_(1))=

=abc-(1/3)*(1/2)*(a*b)*c-(1/3)*(1/2)*(b*c)*a-(1/3)*(1/2)*(a*b)*c-
-(1/3)*(1/2)*(b*c)*a=a*b*c-(4/6)*a*b*c=(1/3)*a*b*c=10,5/5=2,1 (прикреплено изображение)

V_(оставшегося бруска)=V_(цилиндра)-V_(конуса)=

=π*R^2*H-(1/3)*π*R^2*H=(2/3)*π*R^2*H=(2/3)*π*2^2*5=40π/3

z=arcsinu

z`=[m]\frac{u`}{\sqrt{1-u^2}}[/m]

∂z/∂x= z`_(x)=[m]\frac{(xy)`_{x, y=const}}{\sqrt{1-(xy)^2}}=\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m]

∂z/∂y= z`_(y)=[m]\frac{(xy)`_{y,x=const}}{\sqrt{1-(xy)^2}}=\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m]

∂^2z/∂x^2= (z`_(x))`_(x)=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{x, y=const}=[/m]

[m]=y\cdot ((1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}})`_{x}=y\cdot(- \frac{1}{2})\cdot(1-x^2y^2)^{-
\frac{1}{2}-1}\cdot (1-x^2y^2)`_{x}=[/m]

[red][m]=\frac{xy^3}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m]
[/red]

∂^2z/∂x ∂y= (z`_(x))`_(y)=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y, x=const}=[/m]

[m]=y`\cdot (1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}}+y\cdot ((1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=(1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}}+[/m]

[m]+y\cdot(- \frac{1}{2})\cdot(1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot (1-x^2y^2)`_{y}=[/m]

[green][m]=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m] [/green]

∂^2z/∂y^2= (z`_(y))`_(y)=[m](\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y, x=const}=[/m]

[m]=x\cdot ((1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=x\cdot(- \frac{1}{2})\cdot(1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot (1-x^2y^2)`_{y}=[/m]

[blue][m]=\frac{x^3y}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}=[/m] [/blue]

Подставляем найденные производные в уравнение:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла.

Находим ОДЗ уравнения:

2-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2

Решаем уравнение:

Первый множитель равен 0
x^2-25=0 ⇒ x= ± 5

x=5 не удовл ОДЗ

Второй множитель равен 0

sqrt(2-x)=0 ⇒ 2-x=0 ⇒ x=2

О т в е т. -5; 2

Решаем систему двух уравнений способом подстановки:

Замена переменной:
x+y=t
x → 1; y → - 1 ⇒ x+y → 0

x-y → 1-(-1)=2

x^2-y^2=(x+y)*(x-y) → 2t
получаем:

[m]\lim_{t \to 0 }\frac{tgt\cdot e^{2}}{2t}=\frac{e^2}{2}\cdot \lim_{t \to 0 }\frac{tgt}{t}=\frac{e^2}{2}\cdot 1=\frac{e^2}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Замена: x^2+y^2=t
x → 0; y → 0 ⇒ x^2+y^2 → 0 ⇒ t → 0

Получаем ответ 1
(см. следствие 3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) f(g(x;y);y^2)=g^2(x;y)+(y^2)^2=(x^2-y^2)^2+y^2=x^2-2x^2y^2+2y^4
б) g(f(x;y);g(x;y))=(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)^2=(x^2+y^2-x^2+y^2)(x^2+y^2+x^2-y^2)=2y^2*2x^2=4x^2y^2

Ответ выбран лучшим

Разность a-b кратна 5, если a кратно 5 и b кратно 5
ИЛИ
a и b дают при делении на 5[i] одинаковые остатки[/i]:

Выписаны [red]34[/red] числа от 59^2 до 92^2

Вычеркивают числа, разность которых кратна 5.

[i]Числа, кратные[/i] 5:

60^2; 65^2; 70^2;75^2;80^2;85^2;90^2
([red]7[/red] чисел)

[i]Числа, дающие при делении на 5 остаток 1:[/i]
59^2;61^2;64^2;66^2;69^2;71^2;74^2;76^2;79^2;81^2;84^2;86^2;89^2;91^2
([red]14[/red] чисел)

[i]Числа, дающие при делении на 5 остаток 4:[/i]

62^2;63^2;67^2;68^2;72^2;73^2;77^2;78^2;82^2;83^2;87^2;88^2;92^2
([red]13[/red] чисел)

Так как вычеркиваем парами, то значит на доске могло остаться число, кратное 5 и число, дающее при делении на 5 остаток 4
( потому что их количество [i]нечетно[/i])

[b]Требуется[/b], чтобы [b]частное [/b]таких чисел было [b]наибольшим[/b]

Значит, наибольшее число, которое могло остаться на доске 92^2,
а наименьшее 60^2

или

наибольшее число, которое могло остаться на доске 90^2, а наименьшее 62^2

92^2/60^2> 90^2/62^2 ⇒

92^2/60^2=(92/60)^2=[b](23/15)^2[/b]

Всего 2+4=6 символов.
12 символов в пароле. Значит символы повторяются.

Возможен пароль из 12-ти нулей. Из двенадцати букв А, и т.д.
На первое место любой из шести символов, на второе место - тоже любой из шести. ...

6*6*...*6*6[b]=6^(12)[/b]

Ответ выбран лучшим

Из 6 тетрадей в клетку две тетради можно выбрать:
С^(2)_(6)=6!/(2!*(6-2)!)=15 cпособов

Из 5 тетрадей в линейку три тетради можно выбрать:
С^(3)_(5)=5!/(3!*(5-3)!)=10 cпособов

Выбрать набор 2 тетради в клетку [red]и [/red]3 тетради в линейку по правилу умножения можно осуществить

15*10=150 cпособами

Выбор "или" соответствует теореме сложения
Выбор "и" соответствует теореме умножения

Ответ выбран лучшим

1)
F(0;-p/2) ⇒x^2=-2py
F(0;-6) ⇒ -p/2=-6; p=12
О т в е т. x^2=-24y

2)
F(p/2;0) ⇒ y^2=2px
F(2;0) ⇒ p/2=2; p=4
О т в е т. y^2=8x

Для эллипса:

[m]\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1[/m] ⇒ a^2=6; b^2=4 ⇒ c^2=a^2-b^2=2

F_(2)(-sqrt(2);0); F_(1)(sqrt(2);0) - фокусы эллипса.

Если x=sqrt(2) ⇒ [m]\frac{y^2}{4}=1-\frac{2}{6}[/m] ⇒ y= ± [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m]

M(sqrt(2); [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m])

N(sqrt(2); [m]- \sqrt{\frac{8}{3}}[/m])

P(-sqrt(2); [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m])
T(-sqrt(2); [m]- \sqrt{\frac{8}{3}}[/m])

Уравнение гиперболы:

[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
b^2=c^2-a^2

так как фокусы эллипса и гиперболы совпадают, то с^2=2
⇒ [b]b^2+a^2=2[/b]

Подставляем координаты точки M в каноническое уравнение гиперболы:
[m]\frac{2}{a^2}-\frac{\frac{8}{3}}{b^2}=1[/m] ⇒[b] 6b^2-8a^2=3a^2b^2[/b]

Из системы уравнений:
{b^2+a^2=2 ⇒ b^2=2-a^2
{6b^2-8a^2=3a^2b^2 ⇒ 6*(2-a^2)-8a^2=3a^2*(2-a^2) ⇒

Биквадратное уравнение:

3a^4-20a^2+12=0
D=400-4*3*12=256
a^2=6 или a^2=(2/3)

b^2=2-a^2=2-6 < 0 или b^2=2-(2/3)=4/3

[m]\frac{x^2}{\frac{2}{3}}-\frac{y^2}{\frac{4}{3}}=1[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
log_(2)x=t

[m]\frac{|t^2-2t-6|-|t^2-6|}{\sqrt{6-t-t^2} }≥ 0[/m] [green](#)[/green]

[red]ОДЗ:[/red]
6-t-t^2>0 ⇒ t^2+t-6 <0
D=25
[red]-3 < t < 2[/red]

При -3 < t < 2
sqrt(6-t-t^2) >0

поэтому остается решить неравенство:
|t^2-2t-6|-|t^2-6| ≥ 0

Неравенство решаем методом интервалов:

t^2-2t-6=0 ⇒ D=28; t=1 ± sqrt(7) ⇒[blue] t^2-2t-6 <0 на (1-sqrt(7);1+sqrt(7))
[/blue]
t^2-6=0 ⇒ t= ± sqrt(6) ⇒[blue] t^2-6 <0 на (-sqrt(6);sqrt(6))[/blue]

ОДЗ принадлежат t=-sqrt(6) и t=1-sqrt(7)
и разбивают ОДЗ на три промежутка:

(-3) ____ (-sqrt(6)) ____ (1-sqrt(7)) _____ (2)

Раскрываем модули на каждом промежутке

На промежутке (-3;-sqrt(6)]:
|t^2-2t-6|=t^2-2t-6;|t^2-6|=t^2-6
неравенство принимает вид:
t^2-2t-6-t^2+6 ≥ 0
2t ≥ 0
t ≤ 0

⇒ [b]x ∈ (-3;-sqrt(6)][/b]

На промежутке (-sqrt(6);1-sqrt(7)]:
|t^2-2t-6|=t^2-2t-6;|t^2-6|=-t^2+6

неравенство принимает вид:
t^2-2t-6+t^2-6 ≥ 0
2t^2-2t-12 ≥ 0
t^2-t-6 ≥ 0
D=25 корни 3 и (-2)
Решение неравенства:
t ≤ -2; t ≥ 3

⇒ [b]x ∈ (-sqrt(6);-2][/b]

На промежутке (1-sqrt(7);2)
|t^2-2t-6|=-t^2+2t+6;|t^2-6|=-t^2+6

неравенство принимает вид:
-t^2+2t+6+t^2-6 ≥ 0
2t ≥ 0
t ≥ 0
Решение неравенства:
0 ≤ t <2

⇒ [b]x ∈ [0;2)[/b]

Решением неравенства [green](#)[/green] является объединение полученных решений:

(-3;-sqrt(6)]U (-sqrt(6);-2] U [0;2)=(-3;-2] U[0;2)

Обратный переход:

-3 < log_(2)x ≤ -2 или 0 ≤ log_(2)x < 2 ⇒

log_(2)2^(-3)<log_(2)x ≤ log_(2)2^(-2) или log_(2)1 ≤ log_(2)x <log_(2)2^2

Логарифмическая функция с основанием 2 > 1 возрастающая, поэтому:

2^(-3)<x ≤ 2^(-2) или 1 ≤ x <2^2

[m]\frac{1}{8}[/m] < x ≤ [m]\frac{1}{4}[/m] или 1 ≤ x <4

О т в е т.( [m]\frac{1}{8}[/m]; [m]\frac{1}{4}[/m] ] U [ 1 ;4)

Ответ выбран лучшим

a)
z^2-8iz-15=0
D=(-8i)^2-4*(-15)=-64+60=-4

sqrt(D)=sqrt(-4)=sqrt(4*(-1))=sqrt(4)*sqrt(-1)=2*i

x_(1)=[m]\frac{8i-2i}{2}[/m]=3i; x_(2)=[m]\frac{8i+2i}{2}[/m]=5i;

О т в е т. 3i;5i

б)
z=∛(-8i)

|-8i|=8
-8i=8*(cos(-π/2)+i* sin(-π/2))

Применяем формулу Муавра.

∛(-8i)=∛8*[m](cos\frac{-\frac{\pi}{2}+2 \pi k}{3}+isin\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3})[/m], k ∈ Z

при k=0
первый корень
z_(o)=2*[m](cos(-\frac{\pi}{6})+isin(-\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}-1[/m]

при k=1
второй корень
z_(1)=2*[m](cos\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+isin(\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})=2\cdot (cos{\frac{3\pi}[6}+isin(\frac{3\pi}{6})=2i[/m]

при k=2
третий корень
z_(2)=2*[m](cos\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+isin\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})=2\cdot (cos\frac{7\pi}{6}+isin\frac{7\pi}{6})=-\sqrt{3}-1[/m]

Корни расположены на окружности радиуса 2

Точки z_(o);z_(1);z_(2) делят окружность на три равные части, каждая по 120 градусов

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ:[/red]
[m]\left\{\begin{matrix} 5-9x-2x^2 >0\Rightarrow 2x^2+9x-5 <0\rightarrow (x+5)(2x-1) <0\\5-4x-x^2 >0\Rightarrow x^2+4x-5 <0\Rightarrow (x+5)(x-1) <0 \\ 5-4x-x^2\neq 1\Rightarrow x^2+4x-4\neq 0\Rightarrow D=32; x_{1,2}=-2\pm\sqrt{2} \\ 1-x > 0\Rightarrow x < 1\\1-x\neq 1\Rightarrow x\neq 0 \\ 1-2x>0\Rightarrow x < \frac{1}{2} \end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (-5; -2-2sqrt(2))U(-2-2sqrt(2);0)U(0;[m]\frac{1}{2})[/m][/red]

Неравенство принимает вид:

[m]log_{(x+5)(1-x)}(x+5)(1-2x) ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

По формуле перехода к другому основанию:

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)(1-x)} ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

Заменим логарифм произведения логарифмом суммы:

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-x)} ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} - log_{1-x}(1-2x) ≤ 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)-log_{1-x}(x+5)\cdot log_{1-x}(1-2x)-log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ 0[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)-log_{1-x}(x+5)\cdot log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ 0[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)(1- log_{1-x}(1-2x))}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ 0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

Находим нули числителя:

[m]log_{1-x}(x+5)=0[/m] или [m]1- log_{1-x}(1-2x)=0[/m]

[m]x+5=1[/m] или [m]1-2x=1-x[/m]

[m]x=-4[/m] или [m]x=0[/m]

нули знаменателя:

[m]log_{1-x}(x+5)+1=0[/m] ⇒ [m]x=-2\pm 2 \sqrt{2}[/m]

_+__ (-2-2sqrt(2)) _-__ [-4] ___+____ [0] _-__ (-2+2sqrt(2)) _+__

C учетом ОДЗ получаем
О т в е т. (-2-2sqrt(2); -4]U(0;[m]\frac{1}{2}[/m])

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ[/red]:
{x ≠ 0
{(9/2)-2*7^(-x) >0 ⇒ 7^(-x) < 9/4 ⇒ x > log_(1/7)(9/4)=-log_(7)9+log_(7)4=log_(7)(4/9)

[red]x ∈ (log_(7)(4/9);0) U (0; + ∞ )[/red]

По свойству логарифма степени

[m]\frac{1}{x}log_{7}(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})=log_{7}(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})^{\frac{1}{x}}[/m]

1=log_(7)7

Логарифмическая функция с основанием 7 возрастает, поэтому

[m](\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})^{\frac{1}{x}}> 7[/m]

Возводим в степень (х):

[m]\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x}> 7^{x}[/m]

Квадратное неравенство относительно [m]7^{x}=t[/m]

[m]\frac{9}{2}-2\frac {1}{t}>t[/m]; t >0

2t^2-9t+4 <0

D=81-32=49

t_(1)=1/2; t_(2)=4

(1/2) < t < 4

Обратно:

(1/2) < 7^(x) < 4

[b]log_(7)(1/2) < x < log_(7)4[/b]

c учетом ОДЗ и так как log_(7) (4/9) < log_(7) (1/2)<0, а log_(7)4 > log_(7)1 =0

получаем ответ

[b](log_(7)(1/2) ;0) U (0; log_(7)4)[/b]

Ответ выбран лучшим

S_(k)=[m]\frac{b_{1}\cdot (1-q^{k})}{1-q}[/m] - формула суммы k- первых членов геометрической прогрессии

Находим n-ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}(-\frac{2}{7})^{k}=\frac{-\frac{2}{7}\cdot (1-(-\frac{2}{7})^{n})}{1-(-\frac{2}{7}}[/m]

По определению сумма ряда
S=lim_(n → ∞ )S_(n)=[m]\frac{-\frac{2}{7}\cdot (1-(-\frac{2}{7})^{n})}{1-(-\frac{2}{7})}=-\frac{\frac{2}{7}}{\frac{9}{7}}=-\frac{2}{9}[/m]

α =2

Применяем интегральный признак:

∫ ^(+ ∞ )_(2)[m]\frac{dx}{x(lnx)^2}=-\frac{1}{lnx}|^(+ ∞ )_(2)=-0+\frac{1}{ln2}=\frac{1}{ln2}[/m]

Находим n-ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{12}{(2k-3)(2k+3)}=2\sum_{1}^{n}\frac{1}{2k-3}-\sum_{1}^{n}\frac{1}{2k+3}=[/m]

[m]=2(\frac{1}{1}-\frac{1}{7}+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{5}-\frac{1}{11}+\frac{1}{7}-\frac{1}{13}-\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}[/m]

По определению сумма ряда
S=lim_(n → ∞ )S_(n)=[m]2\cdot(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-0-0-0)=\frac{46}{15}[/m]

Ряд эквивалентен обобщенному гармоническому ряду ∑[m] \frac{1}{n^{p}}[/m]
который сходится при p > 1 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

3 и 4. Общий член ряда не стремится к 0. Ряд расходится

(прикреплено изображение)

Находим n-ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{1}{(k+3)(k+4)}=\sum_{1}^{n}\frac{1}{k+3}-\sum_{1}^{n}\frac{1}{k+4}=[/m]

[m]=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}[/m]

По определению сумма ряда
S=lim_(n → ∞ )S_(n)=[m]\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}[/m]

S_(k)=[m]\frac{b_{1}\cdot (1-q^{k})}{1-q}[/m] - формула суммы k- первых членов геометрической прогрессии

Находим n-ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{4^{k}-3^{k}}{12^{k}}=\sum_{1}^{n}\frac{4^{k}}{12^{k}}-\sum_{1}^{n}\frac{3^{k}}{12^{k}}=\frac{\frac{4}{12}\cdot (1-(\frac{1}{3})^{n})}{1-\frac{1}{3}}-\frac{\frac{3}{12}\cdot (1-(\frac{1}{4})^{n})}{1-\frac{1}{4}}[/m]

По определению сумма ряда
S=lim_(n → ∞ )S_(n)=[m]\frac{\frac{4}{12}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{\frac{3}{12}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/m]

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+13=0
D=16-4*13=-36
k_(1)=2-3i; k_(2)=2+3i- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)

Решаем задачу Коши:

По условию:
y(0)= α ⇒ α =e^(2*0)*(С_(1)sin3*0+C_(2)cos3*0) ⇒ [red]C_(2)= α [/red]

y`=e^(2x)*(2x)`*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)`

y`=2e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+e^(2x)*(3С_(1)cos3x-3C_(2)sin3x)

По условию:
y`(0)=0 ⇒ 0=2*(C_(1)*0+C_(2))+1*(3C_(1)-3C_(2)*0) ⇒

2C_(2)+3C_(1)=0 ⇒ 2* α +3C_(1)=0 ⇒ [red]C_(1)=-2 α /3[/red]

y=e^(2x)* α *((-2/3)sin3x+cos3x)

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0

k_(1)=-2i; k_(2)=2i- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)sin2t+C_(2)cos2t

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ae^(2t)

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=2Ae^(2t)

y``_(част)=4Ae^(2t)

4Ae^(2t)+4*(Ae^(2t))=8e^(2t)

8A=8

[b]A=1[/b]

y_(част)=e^(2t)

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)= [b]С_(1)sin2t+C_(2)cos2t+e^(2t)
[/b]

Решение задачи Коши:
По условию:
[b]y(0)=0[/b]
Подставляем в общее решение:
0=С_(1)*0+С_(2)*1+1

[b]С_(2)=-1[/b]

Находим производную:

y`=2C_(1)cos2t-2C_(2)sin2t+2e^(2t)

По второму условию

[b]y`(0)=3[/b]

3=2C_(1)-2C_(2)*0+2*1

[b]C_(1)=1/2
[/b]
у_(Коши)= [b](1/2)sin2t-cos2t+e^(2t)[/b]

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными.

ydy= α e^(x)dx/(1+e^(x))

∫ ydy= α ∫ e^(x)dx/(1+e^(x)

y^2/2= α ln(e^(x)+1)+lnC

y^2/2=lnC*(e^(x)+1)^( α )

[b]e^(y^2/2)=C*(e^(x)+1)^( α )[/b]

По теореме Пифагора OO_(1)=sqrt(17^2-15^2)=8

h=17-8=9

V=π*9^2*(17-(1/3)*9)=1134π (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
|z|=sqrt((-3)^2+4^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5

cos φ =-3/5
sin φ =4/5

tg φ =-4/3 ⇒ φ =arctg(-4/3)

z=5*(cos φ +isin φ )=5*(cos(arctg(-4/3)+isin(arctg(-4/3))- тригонометрич

z=5*e^(i φ )=5*e^(i*arctg(-4/3))- показательная

б)10 ° =π/18

z=3*(cos(π/18)+i*sin(π/18))- тригонометрическая
Показ:
z=3*e^(-iπ/18) - показательная

в)
x=1
y=tg1

|z|=sqrt(1+tg^21)

cos φ =1/sqrt(1+tg^21)
sin φ=tg1/sqrt(1+tg^21)
tg φ =tg1 ⇒ φ =1

z=sqrt(1+tg^21)*(cos1+isin1) -тригонометрическая

z=sqrt(1+tg^21)*e^(itg1) - показательная

P_(5)=5!=1*2*3*4*5=120

A^(3)_(7)=7!/(7-3)!=7!/3!=4*5*6*7=840

О т в е т. 120+840=960

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=2x-y+9
z`_(y)=-x+2y-6

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0 ⇒ 2x-y-9=0
{z`_(y)=0 ⇒ -x+2y-6=0 ⇒ x=2y-6 и подставляем в первое:

2*(2у-6)-у-9=0
3у-21=0
у=7
х=2*7-6=8

(8;6)

Исследуем на экстремум

z``_(xx)=2
z``(xy)=-1
z``_(yy)=2

Δ=2*2-(-1)*(-1)=3 > 0

(8;6) - точка минимума, так как z``_(xx)=2>0

z_(1)=x_(1)+iy_(1) ⇒ vector{z_(1)}=x_(1)-iy_(1)
z_(2)=x_(2)+iy_(2) ⇒ vector{z_(2)}=x_(2)-iy_(2)

a)
z_(1)+z_(2)=x_(1)+x_(2)+i*(y_(1)+y_(2))

vector{z_(1)+z_(2)}=[b]x_(1)+x_(2)-i*(y_(1)+y_(2))[/b]

vector{z_(1)}+vector{z_(2)}=x_(1)-iy_(1)+x_(2)-iy_(2)=[b]x_(1)+x_(2)-i*(y_(1)+y_(2)) [/b]⇒

vector{z_(1)+z_(2)}=vector{z_(1)}+vector{z_(2)}

б)
z_(1)*z_(2)=(x_(1)+iy_(1))*(x_(2)+iy_(2) )= x_(1)*x_(2)-y_(1)y_(2)+i*(y_(1)x_(2)+y_(2)x_(1))=

vector{z_(1)*z_(2)}=[b]x_(1)*x_(2)-y_(1)y_(2)-i*(y_(1)x_(2)+y_(2)x_(1))[/b]

vector{z_(1)}*vector{z_(2)}=(x_(1)-iy_(1))*(x_(2)-iy_(2))=[b]x_(1)x_(2)-y_(1)y_(2)-i*(y_(1)x_(2)+y_(2)x_(1)[/b]

⇒ vector{z_(1)*z_(2)}=vector{z_(1)}*vector{z_(2)}

Ответ выбран лучшим

Да. Каждому x соответствует один у и обратно: каждому у один х

(прикреплено изображение)

[b]Решаем способом подстановки[/b]

Рассматриваем два случая:
{[b]y=x[/b]
{x^2+x^2-4*(a+1)*x-2a*x+5a^2+8a+3=0

или
{[b]y=-x[/b]
{x^2+x^2-4*(a+1)*x-2a*(-x)+5a^2+8a+3=0

Решаем второе уравнение первой системы:
2x^2-(6a+4)*x+5a^2+8a+3=0

D=(6a+4)^2-4*2*(5a^2+8a+3)=36a^2+48a+16-40a^2-64a-24=-4a^2-16a-8=-4*(a^2+4a+2)

Если D >0 уравнение имеет два корня, система два решения:
a^2+4a+2 < 0⇒ [m]-2-\sqrt{2} < x < -2+\sqrt{2}[/m]

Решаем второе уравнение первой системы:
2x^2-(2a+4)*x+5a^2+8a+3=0

D=(2a+4)^2-4*2*(5a^2+8a+3)=4a^2+16a+16-40a^2-64a-24=-36a^2-48a-8=-4*(9a^2+12a+2)

D>0, уравнение имеет два корня, система два решения:

9a^2+12a+2<0 ⇒ [m]\frac{-2-\sqrt{2}}{3} < x < \frac{-2+\sqrt{2}}{3}[/m]

⇒ первая и вторая система имеют 4 решения при [red] a ∈ ( [m]\frac{-2-\sqrt{2}}{3}; -2+\sqrt{2}[/m])[/red]:

(-2-sqrt(2)) ____ ([m]\frac{-2-\sqrt{2}}{3}[/m]) \\\\\\\\\ (-2+sqrt(2)) ____ ([m]\frac{-2+\sqrt{2}}{3}[/m])

[b]2 способ Графический:[/b]

Выделяем полные квадраты в первом уравнении:

(x^2-4(a+1)x+(2a+2)^2)+(y^2-2ay+a^2)-(2а+2)^2-a^2+5a^2+8a+3=0

(x-(2a+2))^2+(y-a)^2=1

- уравнение окружности с центром в точке (2а+2;а) R=1

y^2=x^2 ⇒ |y|=|x| ⇒ y= ± |x| - две вертикальные прямые - биссектрисы 1-3 и 2-4 углов

Переформулируем задачу: при каких значения параметра а окружность пересекает прямые y= ± |x| в четырех точках

( см. рис.)

x_(o)=2a+2
y_(o)=a ⇒

центры окружностей находятся на прямой [green]x=2y+2
[/green]

Окружность [red]x^2+(y-1)^2=1[/red] имеет с прямыми три общие точки.

Сдвиг влево, про прямой [green]x=2y+2[/green] приведет к тому, что точек пересечения менее четырех.

Значит двигаем вправо.

[blue](x-2)^2+y^2=1[/blue] не имеет точек пересечения с прямыми.

Значит окружности расположены между красной и синей.

Как найти значения а при этом затрудняюсь ответить. См аналитическое решение выше.

(прикреплено изображение)

n=1000
p=0,7
q=1-p=1-0,7=0,3

np=1000*0,7=700
sqrt(npq)=1000*0,7*0,3=sqrt(210) ≈ 14,5

Применяем [i]интегральную[/i] формулу Лапласа
( см. приложение 1)

P_(1000) (0 ≤ x ≤ 725)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(725-700)/sqrt(210)=25/14,5 ≈ 1,7
x_(1)=(0-700)/sqrt(210)=-700/14,5=-48,3

Ф(x_(2))=Ф(1,7)=0,4554 ( cм таблицу )
Ф(x_(1))=Ф(-48,3)=-Ф(48,3)=-0,5
О т в е т.P_(1000) (0 ≤ x ≤725)=0,4554-(-0,5)= 0,4554+0,4999=

=[b]0,9553[/b] (прикреплено изображение)

D_(1)- область горизонтального вида:

-2<y<-1- это полоса ограниченная прямыми y=-2 и y =-1
-(2+y) < x < 0- это часть полосы, ограниченная графиком y=-2-x и осью Оу (x=0) рис. зеленого цвета

D_(2)- область горизонтального вида:

-1 < y < 0- это полоса ограниченная прямыми y=-1 и y =0

sqrt(-y)< x < 0 изобразить невозможно, потому что

х=sqrt(-y) график синего цвета и расположен правее оси Оу (x=0)

Если же
D_(2):-1 < y < 0- это полоса ограниченная прямыми y=-1 и y =0

-sqrt(-y)< x < 0 - это часть полосы, ограниченная графиком х=- sqrt(-y) и осью Оу (x=0)

Тогда область интегрирования D_(1) U D_(2) ( см. рис. 2)

и ее можно записать как область вертикального типа так:

-1 < x < 0

-2-x < y < -x^2

И ответ:

∫ ^(0)_(-1) dx ∫ ^(-x^2)_(-2-x)f(x;y)dy

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

= ∫ ^(1)_(0)dx ∫^(x^2)_(-sqrt(x)) (4xy+3x^2y)dy=

= ∫ ^(1)_(0)(4x+3x^2)*(y^2/2)|^(x^2)_(-sqrt(x))dx=

= ∫ ^(1)_(0)((4x+3x^2)*(x^4/4)-(4x+3x^2)*(x/2))dx=

= ∫^(1)_(0)(x^5+(3/4)x^6-2x^2-3x^3/2)dx=

=((x^6/6)+(3/4)*(x^7/7)-(2x^3/3)-(3x^4/8))|^(1)_(0)=

=(1/6)+(3/28)-(2/3)-(3/4)=(3/28)-(5/4)=-32/28=-8/7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Числа противоположны, длины равны:
|2-i|=sqrt(2^2+(-1)^2)=sqrt(5)
|-2+i|=sqrt(2^2+(-1)^2)=sqrt(5)

Пусть a и b - основания трапеции, c и d - боковые стороны

По условию задачи:
Трапеция вписана в окружность ⇒ она равнобедренная ⇒ с=d

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

a+b/2=25 ⇒ a+b=50

P=a+b+c+d=50+c+d

60=50+2c

2c=10

c=d=5

О т в е т. c=d=5

z`_(x)=cos α y*(cos2x)*(2x)`_(x)=2*cos( α y)*cos2x
z`_(y)=sin2x*(-sin (α y))*( α y)`_(y)=- α *sin2x*sin( α y)

z``_(xx)=2cos( α y)*(-sin2x)*(2x)`_(x)=-4*cos( α y)*sin2x

z``_(xy)=2cos2x*(-sin( α y)*( α y)`_(y)=-2 α *cos2x*sin( α y)

z``_(yy)= α *sin2x*(cos( α y))*( α y)`= α ^2*sin2x*cos( α y)

Дробь равна 0 тогда и только тогда, кода числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля

{9x^2-a^2=0 ⇒ x=a/3 или x=-a/3
{x^2+8x+16-a^2 ≠ 0

Уравнение имеет два корня x_(1)=a/3; x_(2)=-a/3, если [red]а ≠ 0 [/red] и эти корни не являются корнями знаменателя.

Надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.

Для этого можно найти корни x_(3) и x_(4) знаменателя:
x^2+8x+16-a^2 = 0

и решить неравенства:
x_(1) ≠ x_(3);
x_(1) ≠ x_(4)

и
x_(2) ≠ x_(3);
x_(2) ≠ x_(4)

[blue]Можно подставить[/blue] x_(1) и x_(2) во второе неравенство

(a/3)^2+8*(a/3)+16-a^2 ≠ 0 ⇒ a^2-3a-18 ≠ 0 ⇒ a ≠ -3; a ≠ 6
и
(-a/3)^2+8*(-a/3)+16-a^2 ≠ 0 ⇒ a^2+3a-18 ≠ 0 ⇒ a ≠ -3; a ≠ 6

[red]О т в е т. (- ∞ ;-6)U(-6;-3)U(-3;0)ГU(0;3)U(3;6)U(6; + ∞ )[/red]

можно посмотреть решения аналогичных задач:
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=47048

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37732

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37757

Находим абсциссу точки пересечения
y=17x и x-5y+5=0

17х=(х+5)/5

85х=х+5

84х=5

х=5/84

S= ∫ ^(3)_(5/84)(17x-(x+5)/5)dx= ∫ ^(3)_(5/84)(84x-5)/5dx=

=((84/5)*(x^2/2)-x)|^(3)_(5/84)=(84/5)(9/2)-3-(42/5)*(5/84)^2+(5/84)=

=(378/5)-3-(5/168)+(5/84)=61009/840 ≈ 72,6 (прикреплено изображение)

a)
z=x+iy
z- точка с координатами (x;y)

z`=x+iy-3=(x-3)+iy

z` - точка с координатами (x-3;y)

б)
z=x+iy
z- точка с координатами (x;y)

z`=ix-y
z`- точка с координатами (-y;x)

в)
z=x+iy
z- точка с координатами (x;y)

z`=x+iy+2-i=(x+2)+i(y-1)
z`- точка с координатами (x+2;y-1)

Ответ выбран лучшим

а)
x+y+i*(x-y)=3-i

x+y=3
x-y=1

2x=4
x=2
y=1

б)
x+y=0
xy=1

x=-y
-y^2=1
y^2=-1
нет действительных решений.

Ответ выбран лучшим

По частям:
u=4-x ⇒ du=(4-x)`dx=-dx
dv=cosxdx ⇒ v= ∫ cosxdx=sinx

∫ cosx*(4-x)dx=sinx*(4-x) - ∫ sinx*(-dx)=

=(4-x)*sinx-cosx+C

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=3x^2-15x^2*y
z`_(y)=3y^2-5x^3

Ответ выбран лучшим

u=5-3x^2
du=d(5-3x^2)=(5-3x^2)`dx=-6xdx

xdx=(-1/6)d(5-3x^2)

∫ (-1/6)*(5-3x^2)^(-7)d(5-3x^2)=(-1/6)*(5-3x^2)^(-7+1)/(-7+1)=

=(1/36)*(1/(5-3x^2)^6)+C

Ответ выбран лучшим

[i]Тригонометрическая подстановка[/i]
x=2sint; dx=2costdt

∫ sqrt(4-x^2)dx= ∫ sqrt(4-4sin^2t)*2costdt= ∫ 2cost*2costdt=

=4 ∫cos^2tdt= 2 ∫ (1+cos2t)dt=2t+2*(1/2)sin2t+C=

[blue]sint=x/2 ⇒ t=arcsin(x/2)

cost=sqrt(1-sin^2t)=sqrt(1-(x/2)^2)=sqrt(4-x^2)/2

sin2t=2sint*cost=2*(x/2)*sqrt(4-x^2)/2=x*sqrt(4-x^2)/2[/blue]

=2*arcsin(x/2)+(x*sqrt(4-x^2)/2)+C

Ответ выбран лучшим

u=x^6+7
du=d(x^6+7)=(x^6+7)`dx=6x^5dx ⇒ x^5dx=(1/6)d(x^6+7)

∫[m]\frac{x^5dx}{\sqrt{x^6+7}}=\frac{1}{6} ∫ (x^6+7)^{-\frac{1}{2}}d(x^6+7)=[/m] [m]
\frac{1}{6}\frac{(x^6+7)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}(x^6+7)^{\frac{1}{2}}+C[/m]

Ответ выбран лучшим

p=0,2
q=1-0,2=0,8

n=750
np=750*0,2=150
npq=750*0,2*0,8=120
sqrt(npq)=sqrt(120) ≈ 11

P_(750)(120 ≤ k ≤ 750)=?

Применяем интегральную формулу Лапласа.
P_(750) (120 ≤ x ≤750)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(750-150)/sqrt(120)=600/11
x_(1)=(120-150)/sqrt(120)=-30/11=

Ф(x_(2))=Ф(600,11)=0,5 ( cм таблицу )
Ф(x_(1))=Ф(-30/11)=-Ф(30/11)=-
О т в е т.P_(750) (120 ≤ x ≤ 750)=0,5-(-...)=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=C^(3)_(25)=25!/(3!*(25-3)!)=23*24*25/6=2300

m=C^(3)_(8)=8!/(3!*(8-3)!)=6*7*8/6=56

p=m/n=56/2300=

Ответ выбран лучшим

Решаем уравнение:
x^4[red]+[/red]2x^3–12x^2-18x+27=0

x=-3; x=1; x=3 - корни уравнения

A∪B={-3;-1;1;3;4}

B∩A={-3;1;3}

A\B={-1;4}

B\A= ∅

ИЛИ

x^4-2x^3–12x^2[red]+[/red]18x+27=0
x=-3;x=-1; x=3 - корни уравнения

A∪B={-3;-1;1;3;4}

B∩A={-3;-1;3}

A\B={1;4}

B\A= ∅

y`=2*(2x-3)*(2x-3)`*e^(2-x)+(2x-3)^2*e^(2-x)*(2-x)`

y`=4*(2x-3)*e^(2-x)+(2x-3)^2*e^(-x)*(-1)

y`=(2x-3)*e^(2-x)*(4-2x+3)

y`=(2x-3)*e^(2-x)*(7-2x)

y`=0

e^(2-x) >0

2x-3=0 или 7-2x=0

x=1,5 или х=3,5

Знак производной:

_-__ (1,5) __+__ (3,5) __-_

x=1,5 - точка минимума

Ответ выбран лучшим

log_(a)b=1/log_(b)a

log_(b)(a^(10)*b^(6))=log_(b)a^(10)+log_(b)b^(6)=

=10log_(b)a+6log_(b)b=10*(-1/2)+6*1=1

Ответ выбран лучшим

{1-3cosx ≥ 0 ⇒ [b]cosx ≤ 1/3[/b](#)
{3sin^2x-2=(1-3cosx)^2 ⇒ 3*(1-cos^2x)-2=1-6cosx+9cos^2x ⇒

12cos^2x-6cosx=0

6cosx*(2cosx-1)=0 ⇒ cosx=0 или сosx=1/2 не удовл усл. (#)

[b]x=π/2+πk, k ∈ Z[/b]

Указанному отрезку принадлежат корни:

[b]-3π/2;-π/2; π/2; 3π/2[/b]

z`_(x)=6x^2+8x-2y
z`_(y)=2y-2x

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{6x^2+8x-2y=0
{2y-2x=0 ⇒ y=x

6x^2+8x-2x=0

3x^2+6x=0

3x*(x+2)=0

x=0; x=-2
y=0; y=-2

Указанной области принадлежит только точка (0;0) и она является граничной.

Значит, исследуем функцию на границах:

[b]y=x^2[/b]

z=2x^3+4x^2+(x^2)^2-2x*x^2

z=x^4+4x^2

z`=4x^3+8x

z`=0
x=0;

y=4
z=2x^3+4x^2+4^2-2x*4

z=2x^3+4x^2-8x+16

z`=6x^2+8x-8

z`=0

6x^2+8x-8=0

3x^2+4x-4=0

D=16-4*3*(-4)=64

x=(-4-8)/6=-2; x=(-4+8)/6=2/3

z(0;0)=0- наименьшее значение

z(2/3; 4)=2*(2/3)^3+4*(2/3)^2+4^2-2*(2/3)*4=...

x^2-25lnx-1=0

x^2-1=25lnx

x=1- единственный корень уравнения

так как 1^2-1=25ln1; ln1=0

x=1 - точка максимума, при переходе через точку производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции:

2*(4cos α -sin α)=3*(sin α +2cos α)

8cos α -6cos α =3sin α +2sinα

2cos α =5sin α

2ctg α =5

[b]ctg α =5/2[/b]

Ответ выбран лучшим

x^2>0 ⇒ x - любое, кроме 0, потому что в нуле: 0 >0 - неверно

x^2 ≥ 0 ⇒ х - любое, в том числе и 0

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла

Первый множитель
2cosx+1=0 ⇒ cosx=-1/2 ⇒ x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

При этом корни должны удовлетворять условию:
9π- x ≥ 0, т. е. х ≤ 9π, т. е

[b]x= ± (2π/3)+2πn,[/b]
n ∈ {0,1,2,3,4}UN_(-)

N_(-) - числа, противоположные натуральным.

Второй множитель равен 0:
9π-х=0 ⇒[b]х=9π[/b]

Указанному отрезку принадлежат корни:
14π/3; 16π/3; 20π/3; 22π/3; 26π/3

Ответ выбран лучшим

Δ DSC- равносторонний ⇒ DC=L=4

Δ BSC- равнобедренный:

BC=2L*sin15 ° =8sin15 °

Δ BDC- прямоугольный, ∠ BCD=90 °

BD^2=DC^2+BC^2=4^2+64sin^215 °=16*(1+2*2sin^215 ° )=

=16*(1+2*(1-cos30 ° ))=16*(3-sqrt(3))

BD=4sqrt(3-sqrt(3))

BO=2sqrt(3-sqrt(3)) ⇒ R=2sqrt(3-sqrt(3))

SO^2=SB^2-BO^2=4^2-(2sqrt(3-sqrt(3)))^2=16-4*(3-sqrt(3))=4*(1+sqrt(3))

H=2*sqrt(1+sqrt(3))

V=(1/3)π*R^2*H=(1/3)*π*(2sqrt(3-sqrt(3)))^2*2*sqrt(1+sqrt(3))=...

S_(бок)=π*R*L=π*(2sqrt(3-sqrt(3))) * 4=...

S=2 ∫ ^(π)_(0)(sinx-(x-π))dx= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=1/x

1+(y`)^2=1+(1/x)^2=(x^2+1)/x^2

L= ∫ ^(sqrt(15))_(sqrt(8))sqrt(x^2+1)dx/x=...

Замена переменной:
sqrt(x^2+1)=t
x^2=t^2-1
x=sqrt(t^2-1)
dx=tdt/sqrt(t^2-1)

x=sqrt(15); t=4
x=sqrt(8); t=3

= ∫ ^(4)_(3)t^2dt/(t^2-1)= ∫^(4)_(3)dt+ ∫^(4)_(3)dt/(t^2-1)=

= [b]([/b] t+(1/2)ln|(t-1)/(t+1)|[b])[/b] |^(4)_(3)=(4-3)+(1/2)ln(3/5)-(1/2)ln(2/4)=

=[b]1+(1/2)ln(6/5)[/b]

Ответ выбран лучшим

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 ⇒ x^2=a^2*(1+(y^2/b^2))

ψ ^2(y)=a^2*(1+(y^2/b^2))

V=π ∫ ^(b)_(-b)a^2*(1+(y^2/b^2))dy=π(a^2)*(y+(y^3/(3b^2)))|^(b)_(-b)=π*a^2*(2b+(2/3)b)=(8/3)πa^2b (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x`_(t)=a*(1-cost)
y`_(t)=a*(sint)

(x`_(t))^2=a^2*(1-2cost+cos^2t)
(y`_(t))^2=a^2sin^2t

[b](x`_(t))^2+(y`_(t))^2=[/b] a^2([b]1-2cost+cos^2t+sin^2t[/b])=a^2([b]2-2cost[/b])=a^2*2*(2sin^2t/2)=4a^2sin^2(t/2)

sqrt((x`_(t))^2+(y`_(t))^2)=[red]2a*sin(t/2)[/red]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ BOC - равнобедренный:OB=OC=R
∠ B= ∠ C=75 °

Проводим ОК ⊥ ВС

ВК=КС =a/2

cos ∠ C=CK/OC ⇒

OB=OC=(a/2)/cos75° =a/(2cos75 °)

Δ BOC - равнобедренный: SB=SC=a

По теореме Пифагора
SO=sqrt(SB^2-OB^2) - высота

V=(1/3)π*R^2*H=(π/3)*(a^2)/(4cos^275 ° )*sqrt(a^2+(a^2/(4cos^275 °)))=

так как 2cos^275 ° =1+cos150 ° =1-cos30 ° =1-(sqrt(3)/2)

=(π/3)*(a^2/(2-sqrt(3)))* a*sqrt(3-sqrt(3))/(2-sqrt(3))=

=(a^3π/3)*sqrt ((3-sqrt(3))/(2-sqrt(3))^3)

S_(бок)=π*R*L=π*(a/2)*(1/cos^275 ° )*a=(a^3*π)/(2-sqrt(3))

=lim_(a → - ∞ ) ∫ ^(0)_(a)cos3xdx=lim_(a → - ∞ ) ( (1/3)sin3x)|^(0)_(a)=

=(1/3)*0-(1/3)lim_(a → - ∞ )sin3a не существует. Расходится

Ответ выбран лучшим

y=∛x - красного цвета

y=∛(x+1) - синего цвета, получен из красного сдвигом на 1 влево

y=∛(x+1) -1 - зеленого цвета, получен из синего сдвигом на 1 ед вниз (прикреплено изображение)

Возводим в квадрат:
2-sinx-sqrt(3)sinx>1 ⇒ -(1+sqrt(3))sinx>-1 ⇒

sinx< 1/(1+sqrt(3))=(sqrt(3)-1)/2

[b]
-π- arcsin((sqrt(3)-1)/2) +2πn < x <arcsin((sqrt(3)-1)/2) +2πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

sinx+cosx=t

(sinx+cosx)^2=t^2 ⇒ sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2 ⇒ 1+2sinx*cosx=t^2

3*(t^2-1)>t+1

3t^2-t-4 >0

D=1-4*3*(-4)=49

t_(1)=-1; t_(2)=4/3

t <-1 ИЛИ t > 4/3

sinx+cosx <-1

cosx=sin((π/2)-x)

sinx+cosx=sinx+sin((π/2)-x)=2sin(π/4)cos(x-(π/4))=2*(sqrt(2)/2)cos(x-(π/4))=sqrt(2)cos(x-(π/4))

sqrt(2)cos(x-(π/4)) < -1

cos(x-(π/4)) <-1/sqrt(2)

(3π/4)+2πn < x-(π/4) < (5π/4)+2πn

[b](π)+2πn < x < (3π/2)+2πn [/b]

ИЛИ
sqrt(2)cos(x-(π/4)) <4/3

cos(x-(π/4)) >2sqrt(2)/3

-arccos(2sqrt(2)/3)+2πn < x-(π/4) < arccos(2sqrt(2)/3)+2πn

[b](π/4)-arccos(2sqrt(2)/3)+2πn < x < arccos(2sqrt(2)/3)+(π/4)+2πn [/b]

n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1.
Образующая цилиндра и есть высота.
H=L=13

Тогда R=5 - лишнее данное в задаче

Если речь не о цилиндре, а о конусе,
то
H^2=L^2-R^2=13^2-5^2=169-25=144, H=12

2.

r^2_(cечения)=R^2-d^2=41^2-9^2=760

S_(сечения)=π*r^2=π*760=760*π

z`_(x)=3x^2-6y
z`_(y)=24y^2-6x

a)
z`_(x)(M_(o))=3(-1)^2-6*0=3
z`_(y)(М_(о))=24*(0)^2-6*(-1)=6

gradz(M_(o))=3*vector{i}+6*vector{j}

б)
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{3x^2-6y=0 ⇒ 2y=x^2
{24y^2-6x=0

6x^2-6x=0
x=0; x=1
y=0; y=1/2

K(0;0)

N(1;1/2)

z``_(xx)=6x
z``_(xy)=-6
z``_(yy)=48y

Находим значения вторых производных в точке К
A=z``_(xx)=6*0=0
B=z``_(xy)=-6
C=z``_(yy)=0

Определитель Δ =AC-B^2=-(-6)^2 <0

Точка К не является точкой экстремума

Находим значения вторых производных в точке N
A=z``_(xx)=6*1=6
B=z``_(xy)=-6
C=z``_(yy)=48*(1/2)=24

Определитель Δ =AC-B^2=6*24-(-6)^2 >0

Точка N является точкой экстремума, так как А=6 >0

N- точка минимума

Ответ выбран лучшим

2cos^2x=1+cos2x

sin^22x=1-cos^22x

2*(1-cos^22x)+1+cos2x-3 ≥ 0

2cos^22x-cos2x ≤ 0

cos2x*(2cos2x-1) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ cos2x ≤ 1/2

(-π/2)+2πn ≤ 2x ≤(-π/3)+2πn или (π/3)+2πn ≤ 2x ≤(π/2)+2πn, n ∈ Z

[b](-π/4)+πn ≤ x ≤(-π/6)+πn или (π/6)+πn ≤ x ≤(π/4)+πn, n ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Раcкроем скобки:
2cos^22x-2cos2x-sqrt(2)cos2x+sqrt(2)>0

Перегруппируем:
(2cos^22x-2cos2x)-(sqrt(2)cos2x-sqrt(2))>0

2сos2x*(cos2x-1)-sqrt(2)*(cos2x-1) >0

(cos2x-1)*(2cos2x-sqrt(2)) >0

cos2x < 1/2 или cos2x > sqrt(2)/2

(π/3)+2πn < 2x < (5π/3)+2πn, n ∈ Z или (-π/4)+2πk< 2x <(π/4)+2πk, k ∈ Z

(π/6)+πn < x < (5π/6)+πn, n ∈ Z или (-π/8)+πk< x <(π/8)+πk, k ∈ Z

О т в е т. (π/6)+πn < x < (5π/6)+πn, n ∈ Z или (-π/8)+πk< x <(π/8)+πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

sin2x=t

dt=d(sin2x)=(sin2x)`dx=cos2x*(2x)`dx=2cos2xdx ⇒

cos2xdx=dt/2

∫ sin^32x*cos2xdx= ∫ t^3*(dt/2)=(1/2) ∫ t^3dt=(1/2)(t^4/4)+C=

=(1/8)sin^42x+C

Ответ выбран лучшим

Формула
sin α *cos α =(1/2)sin2α

(1/2)sin((2π/3)-4x) ≥ -√3/4 ⇒ sin((2π/3)-4x) ≥ -√3/2

sin(4x-(2π/3) ≤ √3/2

(-4π/3) +2πn ≤ 4x-(2π/3) ≤ (π/3)+2πn, n ∈ Z

(-4π/3) +(2π/3)+2πn ≤ 4x ≤ (π/3)+(2π/3)+2πn, n ∈ Z

(-2π/3)+2πn ≤ 4x ≤ π+2πn, n ∈ Z

[b](-π/6)+(π/2)n ≤ x ≤ (π/4)+(π/2)n, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

1. Линейное уравнение с параметром:

px+9=11x+5p ⇒ (p-11)x=5p-9

если p-11=0, т.е p=11, уравнение принимает вид:

0x=55-9 - не имеет решений. 0 слева никогда не равен 46

если p-11 ≠ 0, то x=[m]\frac{5p-9}{p-11}[/m] - единственное решение.

О т в е т. при p=11 уравнение не имеет корней
при p ≠ 11 уравнение имеет единственное решение x=

2.
Если a ≥ 0, уравнение имеет решения:
5x-15=а или 5x-15=-a
5x=a+15 или 5x=-a+15

x=[m]\frac{a+15}{5}[/m] или x=[m]\frac{-a+15}{5}[/m]

О т в е т. при a < 0 уравнение не имеет корней
при a ≥ 0 уравнение имеет два корня:[m]\frac{a+15}{5}; \frac{-a+15}{5}[/m]

3.
9^(x+6,5) >0 при любом х.

Уравнение имеет решение при 2p-8 >0, т.е

при p > 4

О т в е т. p > 4

Ответ выбран лучшим

lim_(x → 1)[m]\frac{x^2-3x+2}{4-x-3x^2}=\frac {1^2-\cdot 1+2}{4-1-3\cdot 1^2}=\frac{0}{0}=[/m]- неопределенность.

Раскладываем и числитель и знаменатель на множители:

x^2-3x+2=0
D=9-4*2=1
x_(1)=1; x_(2)=2

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

-3x^2-x+4=0

3x^2+x-4=0
D=1^2-4*3*(-4)=49
x_(3)=-4/3; x_(4)=1

3x^2+x-4=3*(x-1)(x-(-4/3))=(x-1)*(3x+4)

4-x-3x^2=-(x-1)(3x+4)

lim_(x → 1)[m]\frac{x^2-3x+2}{4-x-3x^2}=[/m]lim_(x → 1)[m]\frac{(x-1)(x-2)}{-(x-1)(3x+4)}=[/m]

=lim_(x → 1)[m]\frac{x-2}{-(3x+4)}=\frac{1-2}{-(3+4)}=\frac{1}{7}[/m]

Ответ выбран лучшим

Вводим вспомогательный аргумент.
Делим на 2sqrt(3)

(1/2)sin2x-(sqrt(3)/2) cos2x ≥ 1 ⇒

(1/2)=sin(π/6)
(sqrt(3))/2=cos(π/6)

sin(π/6)*sin2x-cos(π/6)*cos2x ≥ 1

По формуле cos α cos β -sin α sin β =cos( α + β )

-cos(2x+(π/6)) ≥ 1 ⇒ cos(2x+(π/6)) ≤ -1 ⇒ cos(2x+(π/6)=-1

2x+(π/6)=π+2πn, n ∈ Z

2x=(5π/6)+2πn, n ∈ Z

[b]x=(5π/12)+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

=(x^2/2)|^(1)_(0)(y^2/2)^(1)_(0)=(1/2)*(1/2)=1/4

Cм графики y=sqrt(sinx) и y=sqrt(cosx) на рис.1

Тогда сумма y=sqrt(sinx)+sqrt(cosx) определена на [0;π/2] и принимает значения
1 ≤ y ≤ sqrt(sin(π/4))+sqrt(cos(π/4))=2sqrt(sqrt(2)/2) ≈ 1,67

(cм. рис.2)

В силу периодичности, ответ (0+2πn; (π/2)+2πn), n ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Истытание состоит в том, что из девяти человек выбирают пять.

Событие А - " в группе 2 маркетолога из четрыех и 3 дизайнера из пяти, при этом влюбленная пара входит в их число"

Так как пара влюбленных уже в группе.
Выбираем для загранкомандировки одного маркетолога из трех оставшихся и двух дизайнеров из четырех

p=C^(1)_(3)*C^(2)_(4)/C^(5)_(9)=18/126=1/7

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(1) - студент подготовлен отлично
H_(2) - студент подготовлен хорошо
H_(3) - студент подготовлен средне
H_(4) - студент подготовлен плохо

p(H_(1))=3/10
p(H_(2))=4/10
p(H_(3))=2/10
p(H_(4))=1/10

событие A- "случайно выбранный студент ответил на 3 случайных вопроса"

p(A/H_(1))=1
p(A/H_(2))=C^3_(16)/C^(3)_(20)=560/1140
p(A/H_(3))=C^3_(10)/C^(3)_(20)=120/1140
p(A/H_(4))=C^3_(5)/C^(3)_(20)=10/1140

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))+p(H_(4))*p(A/H_(4))=(3/10)*1+(4/10)*(560/1140)+(2/10)*(120/1140)+(1/10)*(10/1140)=...

По формуле Байеса:
a)p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=(3/10)/(...)

б))p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=(4/10)*(560/1140)/(...)

D=(-2)^2-4*5=-16
sqrt(-16)=sqrt(16)*sqrt(-1)=4i

x_(1)=(2-4i)/2=[b]1-2i[/b]; x_(2)=(2+4i)/2=[b]1+2i[/b]

Ответ выбран лучшим

|cos4x| ≤ 1; |sinx| ≤ 1

произведение равно (-1) когда один множитель (-1) второй 1
Так как cos^(14)4x ≥ 0 ⇒

{cos^(14)4x=1 ⇒ cos4x=1
{sinx=-1 ⇒ x=(-π/2)+2πn, n ∈ Z

подставляем в первое уравнение:

сos(4*((-π/2)+2πn)=cos(-2π+8πn)=cos(-2π)=cos(2π)=1- верно

О т в е т.(-π/2)+2πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

sin^4x-cos^4x=(sin^2x-cos^2x)*(sin^2x+cos^2x)=-cos2x

-cos2x ≤ √3/2 ⇒ cos2x ≥ -√3/2 ⇒ (-π/6)+2πn ≤2 x ≤ (π/6)+2πn, n ∈ Z

[b](-π/12)+πn ≤ x ≤ (π/12)+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

Преобразуем каждое уравнение:
y-3=sqrt(7+6x-x^2)
Возводим в квадрат:
(y-3)^2=7+6x-x^2

(x^2-6x+9)+(y-3)^2=16

(x-3)^2+(y-3)^2=16

Первое уравнение системы - верхняя [i]часть окружности[/i]
(x-3)^2+(y-2)^2=16
с центром (3;3)
R=4

Второе уравнение системы - верхняя [i]часть окружности[/i]
(x-a)^2+(y-a)^2=16
с центром (a;a)
R=4

При a=3 система имеет бесчисленное множество решений

О т в е т. [-1;3)U(3;7] (прикреплено изображение)

Применяем формулу:

sin α *sin β =(1/2)*((cos( α - β )-cos( α + β ))

cos(-x)-cos3x < cos(-x)-cos7x

cos7x-cos3x <0

Применяем формулу:

cos α -cos β =-2sin( α + β)/2*sin( α - β)/2

-2sin5x*sin2x <0

[m]\left\{\begin{matrix} sin5x>0\\sin2x>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} sin5x<0\\sin2x<0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 2 \pi n <5x< \pi +2 \pi n, n \in Z\\ 2 \pi m <2x< \pi +2 \pi m, m \in Z \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} -\pi+2 \pi n <5x< 2 \pi n, n \in Z\\-\pi+2 \pi m <2x< 2 \pi m, m \in Z\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{2\pi}{5} n <x<\frac{\pi}{5} +\frac{2\pi}{5} n, n \in Z\\ \pi m <x<\frac{\pi}{2} + \pi m, m \in Z \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} -\frac{\pi}{5} +\frac{2\pi}{5} n <x< \frac{2\pi}{5} n, n \in Z\\-\frac{\pi}{2}+ \pi m <x< \pi m, m \in Z\end{matrix}\right.[/m]

О т в е т ( см рис.)

[m](2\pi n;\frac{\pi}{5}+2\pi n)\cup ( \frac{2\pi}{5}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup(\frac{6\pi}{5}+2\pi n;\frac{7\pi}{5}+2\pi n)\cup[/m][m]\cup(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;-\frac{2\pi}{5}+2\pi k)\cup( -\frac{\pi}{5}+2\pi k; 2\pi k)\cup( \frac{3\pi}{5}+2\pi k;\frac{4\pi}{5}+2\pi k)[/m], k, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\sqrt[6]{a^6}=|a|[/m]

a < 0

|a|=-a

[m]\sqrt[9]{a^9}=a[/m]

-а+а=0
О т в е т.0

Асимптоты гиперболы

[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

имеют вид:

[m]y=\pm\frac{b}{a}[/m]⇒[m]\frac{b}{a}=\frac{4}{5}[/m]⇒[m]b=\frac{4}{5}a[/m]

[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{\frac{16}{25}a^2}=1[/m]

Подставляем координаты точки А и находим a:
[m]\frac{(5\sqrt{2})^2}{a^2}-\frac{1^2}{\frac{16}{25}a^2}=1[/m] ⇒

[m]a^2=\frac{25\cdot 31}{16}[/m]

[m]b^2= 31[/m]

О т в е т. [m]\frac{x^2}{\frac{775}{16}}-\frac{y^2}{31}=1[/m]

Ответ выбран лучшим

Делим на х:

y`-(1/x)*y=x*cosx

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-(1/x)*u*v=x*cosx

Группируем:

u`*v+(u*v`-(1/x)*u*v)=x*cosx

u`*v+u([blue]v`-(1/x)*v[/blue])=x*cosx

Полагаем,
[blue]v`-(1/x)*v=0[/blue] ⇒ урав с разд перем dv/v=dx/x ⇒ v=x

тогда

u`*v+u([blue]0[/blue])=x*cosx ⇒ u`*x=x*cosx ⇒ ⇒ u`=cosx

u=sinx+C

y=u*v=(sinx+C)*x

[b]y=x*sinx+Cx
[/b]

y=2+(1/x^2)

Область определения: x ≠ 0

x=0 - вертикальная асимптота

y=2 - горизонтальная асимптота

y`=-2/x^3

y` >0 если x < 0 ⇒ функция возрастает на (- ∞ ;0)

y` < 0, если x > 0 ⇒ функция убывает на (0;+ ∞ )

Нет экстремумов

y``=6/x^4 > 0 при x ≠ 0

функция выпукла вниз

(прикреплено изображение)

Cлучайная величина Х - число появления синих шариков среди трех наугад взятых.

Может принимать значения: 0;1;2;3

X=0 нет синих шаров, т.е из каждой урны вынут желтый шарик

p_(o)=(6/10)*(7/10)*(2/10)=84/1000

X=1 один синий шарик, т.е из какой-то одной урны вынут синий, а из двух других-желтый шарик

p_(1)=(4/10)*(7/10)*(2/10)+(6/10)*(3/10)*(2/10)+(6/10)*(7/10)*(8/10)=428/1000

X=2 два синих шарика, т.е из двух урн вынут синий шарик, а из третьей - желтый шарик

p_(2)=(4/10)*(3/10)*(2/10)+(4/10)*(7/10)*(8/10)+(6/10)*(3/10)*(8/10)=392/1000

X=3 все три шарика- синие
p_(3)=(4/10)*(3/10)*(8/10)=96/1000

закон распределения случайной величины Х - таблица, в верхней строке значения случайной величины от 0 до 3

Во второй - из вероятности ( см. приложение)

Функция распределения

0,084+0,428=0,512
0,084+0,428+0,392=0,904
0,084+0,428+0,392+0,096=1

[m]F(x)\left\{\begin{matrix} 0, x \leq 0\\ 0,084, 0 < x \leq 1 \\0,512, 1 < x\leq 2 \\ 0,904, 2 < x \leq 3\\1, x > 3 \end{matrix}\right.[/m]

График, ступенчатая функция (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

xy`=3-y - уравнение с разделяющимися переменными.

y`=dy/dx

dy/(3-y)=dx/x

∫ dy/(3-y)= ∫ dx/x

-ln|3-y|=ln|x|+lnC

[b]1/(3-y)=Cx[/b]

2.

Линейное первого порядка. Решение в виде произведения двух функций

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`- (u*v)/sinx=tg(x/2)

Группируем:

u`*v+(u*v`- (u*v/sinx))=tg(x/2)

u`*v+u*(v`- (v/sinx))=tg(x/2)

Полагаем
v`- (v/sinx)=0

Это уравнение с разделяющими переменными

dv/v=dx/sinx

∫ dv/v =∫dx/sinx ( табличный интеграл, см формулу в приложении)

ln|v|=ln|tg(x/2)| ⇒ v=tg(x/2)

Тогда

u`tg(x/2)+u*0=tg(x/2)

Это уравнение с разделяющими переменными

u= x+C

y=u*v=(x+C)*tg(x/2)

О т в е т. y=x*tg(x/2) + C*tg(x/2)

3.
y`-2y=2x

Линейное первого порядка. Решение в виде произведения двух функций

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-2u*v=2x

v`-2v=0 ⇒ dv/v=2dx ⇒ lnv=2x ⇒ ⇒ v=e^(2x)

u`*e^(2x)=2x

u`=2x/e^(2x)

u= ∫ e^(-2x)*(2x)dx= считаем по частям

... (прикреплено изображение)

H^2=L^2-R^2

L=4H
R=3

H^2=(4H)^2-3^2 ⇒15H^2=9 H=sqrt(3/5)

V=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*3^2*sqrt(3/5)=[b]3*π*sqrt(3)/sqrt(5)[/b]

Ответ выбран лучшим

Сходится по признаку Даламбера

lim_(n → ∞ ) a_(n+1)/a_(n)=lim_(n → ∞ ) (2n+1)/(3*(2n+3))=1/3 < 1

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+10k+25=0
k_(1) =k_(2)=-5 – корень действительный кратный

f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x) ⇒ y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1)=Ax^2e^(-5x)

y_(част 2)=(ax+b)*e^(x)

Ответ выбран лучшим

Уравнение Бернулли.

Делим на 4x

y`+(3/(4x))y=(-e^(x)/4x)y^5

Решаем методом Бернулли.

Решение находим в виде произведения u*v

y=u*v

Находим производную

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в данное уравнение:

u`*v+u*v`+(3/(4x))*u*v=(-e^(x)/4x)u^5*v^5

Группируем:

u`*v+u*([blue]v`+(3/(4x))*v[/blue])=(-e^(x)/(4x))u^5*v^5

Функцию v=v(x) выбираем так, чтобы:
[blue]v`+(3/(4x))*v=0[/blue]

Это уравнение с разделяющимися переменными

dv/v=-(3/4)dx/x

∫dv/v=-(3/4) ∫ dx/x

ln|v|=-(3/4)ln|x| ⇒ [b]v=x^(-3/4)[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид:
u`*(x^(-3/4))+u*([blue]0[/blue])=(-e^(x)/(4x))u^5*(x^(-3/4))^5

Уравнение с разделяющимися переменными:

du/u^5=-e^(x)x^(-3)dx

∫u^(-5)du=- ∫e^(x)dx/(4x^4)

....

Справа интеграл можно считать приближенно разложением в ряд e^(x)

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k+2=0
D=4-8=-4
k_(1)=-1-i; k_(2)=-1+i - корни[i] комплексно-сопряженные[/i]

α =-1; β =1

y_(част)=ax^2+bx+c

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x ≠ 0

Умножаем на x^2 ≠ 0

9^(x)*x^2+54 ≥ 7*x*3^(x+1)

3^(x+1)=3^(x)*3^(1)

9^(x)=(3^2)^(x)=(3^(x))^(2)

(3^(x))^2*x^2-21*(3^(x))*x+54 ≥ 0

Квадратное неравенство относительно (3^(x)*x)

(3^(x)*x)^2-21*(3^(x)*x)+54 ≥ 0

Решаем уравнение:

D=21^2-4*54=441-216=225
корни:
(3^(x)*x)=(21-15)/2=3; 3^(x)*x=(21+15)/2=18
Решение неравенства:

3^(x) ≤ 3/x или 3^(x) ≥ 18/x

Решаем графически:

0< x ≤ 1 ( рис.1) или x<0 или x ≥ 2

О т в е т. (- ∞; 0)U(0;1]U[2;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

sin2x=2sinx*cosx

По формулам приведения:
sin((π/2)-x)=cosx

Уравнение:
[b]2cos^3x=cosx+sinx*cosx[/b]

2cos^3x-cosx-sinx*cosx=0

cosx*(2cos^2x-sinx-1)=0

cosx*(2-2sin^2x-sinx-1)=0

cosx*(2sin^2x+sinx-1)=0

cosx=0 или 2 sin^2x+sinx-1=0

x=[b](π/2)+πn, n ∈ Z[/b] или D=1-4*2*(-1)=9 корни 1/2 и -1 ⇒

sinx=1/2 ⇒ x=[b](-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

sinx=-1 ⇒ x=[b](-π/2)+2πm, m ∈ Z[/b]

О т в е т.
а) (π/2)+πn, n ∈ Z; (-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

б)(π/2); (3π/2) ∈ (-π/2; 5π/2)
(π/6); (5π/6);(π/6)+2π=(13π/6) ∈ (-π/2; 5π/2) (прикреплено изображение)

[m](x-1)\sqrt{2x-a}=x-x^2[/m] ⇒[m](x-1)\sqrt{2x-a}+(x-1)\cdot x=0[/m]

[m](x-1)(\sqrt{2x-a}+x)=0[/m]

Произведение двух множителей равно 0, если хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла:

x-1=0 при 2-a ≥ 0, [b]a ≤ 2[/b]

[red]Уравнение имеет один корень х=1 при a ≤ 2
[/red]

ИЛИ

[m]\sqrt{2x-a}=-x[/m]

Уравнение имеет смысл при
-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0

так как только х=0 принадлежит указанному в условии отрезку, то

при x=0

[m]\sqrt{2\dot 0 - a} = 0 ⇒ a=0

Значит, уравнение имеет единственный корень x=1

при a ≤ 2, a ≠ 0

О т в е т. (- ∞ ;0)U(0;2]

Ответ выбран лучшим

"...не менее 3–х мячей" - это значит 3 или 4.

Повторные испытания с двумя исходами:

p=0,9; q=0,1

По формуле Бернулли:

P_(4)(3)=C^(3)_(4)p^3q^1=4*(0,9)^3*0,1
P_(4)(4)=C^(4)_(4)p^4q^0=0,9^4

p=P_(4)(3)+P_(4)(4)=4*(0,9)^3*0,1+0,9^4=(0,9)^3*(0,4+0,9)=[b]0,9477[/b]

Ответ выбран лучшим

Вводим систему координат:
A(0;0;0)
B(0;1;0)
C(1;1;0)
D(1;0;0)

A_(1)(0;0;1)
B_(1)(0;1;1)
C_(1)(1;1;1)
D_(1)(1;0;1)

E(0; 0,5; 1)

vector{AE}=(0;0,5;1) - направляющий вектор прямой АЕ

Составляем уравнение плоскости BDD_(1)B_(1):

Плоскость параллельна оси Оz и содержит прямую BD, уравнение которой на пл. ХОУ имеет вид: x+y=1

Поэтому уравнение плоскости BDD_(1)B_(1) имеет тот же вид:

[b]x+y=1[/b]

Нормальный вектор плоскости BDD_(1)B_(1)

vector{n}=(1;1;0)

Угол φ между прямой AE и плоскостью плоскостью BDD_(1)B_(1) равен
(90 ° - ∠vector{AE},vector{n})
φ= 90 ° - ∠vector{AE},vector{n}

Угол между векторами vector{AE}=(0;0,5;1) и vector{n}=(1;1;0) находим из определения скалярного произведения векторов:

cos( ∠ vector{AE},vector{n})=(vector{AE}*vector{n})/|vector{AE}|*|vector{n}|=

=(0*1+0,5*1+1*0)/sqrt(0,5^2+1^2)*sqrt(1^2+1^2)=1/sqrt(10)

Угол φ между прямой и плоскостью равен (90 ° - ∠vector{AE},vector{n})

φ =(90 ° - ∠vector{AE},vector{n})

sin φ =sin(90 ° - ∠vector{AE},vector{n})=cos∠vector{AE},vector{n}=1/sqrt(10) (прикреплено изображение)

D: 0 < y < 1; 0< x < arctgy

или

D:0 < x < π/4; tgx < y < 1

= ∫ ^(π/4)_(0)dx ∫ ^(1)_(tgx)dy (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f `(x_(o))=k_(касательной)

k_(касательной)=2

f`(x)=(2sinx+1)`=2cosx+0
f`(x_(o))=2cos x_(o)

2cosx_(o)=2
cosx_(o)=1

x_(o)=2πn, n ∈ Z

Cделаем [i]замену переменной[/i]:

[m]\frac{\pi x}{3}=t[/m]

Уравнение
[m]sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2} [/m] - [i]простейшее[/i]

[m]t= (-1)^{k}arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+ \pi k, k \in Z[/m] ⇒ [m]t=(-1)^{k}(- \frac{\pi}{3})+ \pi k, k \in Z[/m] ⇒ [m]t=(-1)^{k+1} \frac{\pi}{3}+ \pi k, k \in Z[/m]

Изменили показатель (-1)

Обратный переход:

[m]\frac{\pi x}{3}=(-1)^{k+1} \frac{\pi}{3}+ \pi k, k \in Z[/m]

Умножаем на 3

[m]\pi x=(-1)^{k+1} \pi+ 3\pi k, k \in Z[/m]

Делим на π:

[m]x= (-1)^{k+1}+ 3\cdot k, k \in Z[/m]

Наибольший отрицательный корень х=-1 при k=0
О т в е т.[m]x= -1[/m]

----------------
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)=2*(x^4/4)-12*(x^(-2)/(-2))+2ln|x|+C=(x^4/2)+(6/x^2)+2ln|x|+C

б)=(1/4) ∫ (x^4+3)^5d(x^4+3)=(1/4)*(x^4+3)^6/6+C=(x^4+3)/24 + C

Ответ выбран лучшим

Расходится, эквивалентен гармоническому.

[m]\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{5x-3}=\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{5x}\cdot(\frac{x+2}{x+4})^{-3} =[/m]

[m]=\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{5x}\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{-3}=[/m]

[m]=\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{5x}\cdot 1=\lim_{x \to \infty }(\frac{\frac{x+2}{x}}{\frac{x+4}{x}})^{5x}=[/m]

[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{(1+\frac{2}{x})^{5x}}{(1+\frac{4}{x})^{5x}}=\frac{e^{10}}{e^{20}}=e^{-10}[/m]

Область определения x ≠ 0

y`=e^(1/x)*(1/x)`=(-1/x^2)*e^(1/x) <0 при всех x ≠ 0

Функция убывает на (- ∞ ;0) и на (0;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

f `(x_(o))=k_(касательной)

k_(касательной)=2

f`(x)=(1-2sinx)`=0-2cosx

f`(x_(o))=-2cosx_(o)

-2cosx_(o)=2

cosx_(o)=-1

x_(o)=π+2πn, n ∈ Z

{x^2-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или х ≥ 1
{x^2-x-2 ≠ 0 ⇒ D=9; x ≠ -1; x ≠ 2
{9-x >0 ⇒ x < 9

x ∈ (- ∞ ;-1) U(-1;0] U[1;2)U(2;9)
(прикреплено изображение)

Формула нахождения[i] наивероятнейшего[/i] числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

n=100
p=0,008
q=1-p=1-0,008=0,992
np=100*0,008=0,8

0,8-0,992 ≤ k_(o) ≤ 0,8+0,008

[b]k_(o)=0[/b]

По формуле Бернулли:

P_(100)(0)=C^(0)_(100)0,008^(0)*0,992^(100) невозможно вычислить.

Применяем формулу Лапласа:

а) Применяем[i] локальную [/i]теорему Лапласа ( см. приложение 1)
P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

npq=0,8*0,992=0,7936

sqrt(0,7936) ≈ 0,89

x=(k-np)/sqrt(npq)=(0-0,8)/0,89 ≈ -0,9

φ (-0,9)= φ(0,9) функция четная
[b]φ (0,9)[/b]=0,2661 ( см. таблицу 1)

P_(100)(0)=(1/0,89)*[b] φ (0,9)[/b] ≈ 0,2989

ближе всего ответ б) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть случайная величина Х - число отказавших элементов в одном опыте.
Элементов три.
p=0,3 - вероятность отказа каждого элемента в одном опыте
q=1-p=0,7 - вероятность того, что в одном опыте элемент не откажет

Случайная величина Х может принимать значения от 0 до 3

p_(0) = C^(0)_(3)p^(0)*q^(3) - вероятность того, что в одном опыте откажут 0 элементов
p_(0)=1*0,3^(0)*0,7^3=0,343

p_(1) = C^(1)_(3)p^(1)*q^(2) - вероятность того, что в одном опыте откажет 1 элемент
p_(1)=3*0,3*0,7^2=0,441

p_(2) = C^(2)_(3)p^(2)*q^(1) - вероятность того, что в одном опыте откажут 2 элемента
p_(2)=3*0,3^2*0,7=0,189

p_(3) = C^(3)_(3)p^(3)*q^(0) - вероятность того, что в одном опыте откажут 0 элементов
p_(3) = 1*0,3^3*0,7^(0)=0,027

Закон распределения - таблица, в которой указаны значения случайной величины и их вероятности.

Сумма вероятностей должна быть равна 1. Это так
0,343+0,441+0,189+0,027=1

Закон составлен правильно.

Функция распределения

0,343+0,441=0,784
0,784+0,189=0,973
0,973+0,027=1

[m]F(x)\left\{\begin{matrix} 0, x \leq 0\\ 0,343, 0 < x \leq 1 \\0,784, 1 < x\leq 2 \\ 0,973, 2 < x \leq 3\\1, x > 3 \end{matrix}\right.[/m]

График, ступенчатая функция (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

p=0,7
q=1-p=1-0,7=0,3

M(X)=np=100*0,7=70

D(X)=npq=100*0,7*0,3=21 (прикреплено изображение)

[m]=\lim_{x \to -2 }\frac{2x^2-x-10}{x^2+3x+2}=\frac{2\cdot (-2)^2-(-2) -10}{(-2)^2+3\cdot (-2)+2}=\frac{0}{0}=[/m]-

неопределенность (0/0)

Раскладываем и числитель и знаменатель на множители:

[m]=\lim_{x \to -2 }\frac{(x+2)(2x-5)}{(x+2)(x+1)}=\lim_{x \to -2 }\frac{2x-5}{x+1}=9[/m]

Ответ выбран лучшим

Ряд эквивалентен ряду ∑ b_(n), b_(n)=1/n

так как

lim_(n → ∞ )(a_(n)/b_(n))=1

( признак сравнения в предельной форме)

Ряд ∑ b_(n)- гармонический, расходится.

Данный ряд расходится.

Ответ выбран лучшим

Подставляем в первое уравнение вместо y=x+a

x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)=|x|*(x+a-2)

Раскрываем модуль по определению

[b]если x ≥ 0 ⇒ |x|=x[/b]

x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)=x*(x+a-2) ⇒ x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)-x*(x+a-2)=0

x*(x^2+x^2+2ax+a^2-x-a-2-x-a+2)=0

x*(2x^2+(2a-2)x+a^2-2a)=0

Это уравнение имеет три различных корня:

x_(1)=0 и квадратное уравнение в скобках имеет два [i]неотрицательных корня [/i] при D >0 и
их произведение и сумма положительны

С учетом теоремы Виета x_(2)*x_(3)=a^2-2a >0; x_(2)+x_(3)=-2a+2>0

D=(2a-2)^2-4*2(a^2-2a)=4a^2-8a+4-8a^2+16a=-4a^2+8a+4 ⇒

{-4a^2+8a+4 >0
{a^2-2a>0
{-2a+2 >0

Из системы находим :
{ a^2-2a-1 < 0 ⇒ D=8 корни 1 ± sqrt(2); 1-sqrt(2) < x < 1+sqrt(2)
{a<0; a >2
{a < 1

О т в е т (1-sqrt(2); 0)

[b]если x< 0 ⇒ |x|= - x[/b]

x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)=- x*(x+a-2) ⇒ x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)+x*(x+a-2)=0

x*(x^2+x^2+2ax+a^2-x-a-2+x+a-2)=0

x*(2x^2+2ax+a^2-4)=0

Это уравнение имеет три различных корня:

x_(1)=0 и квадратное уравнение в скобках имеет два [i]отрицательных корня [/i] при D >0 и
их произведение положительно ,а сумма отрицательна
С учетом теоремы Виета:
x_(2)*x_(3)=a^2-4 >0; x_(2)+x_(3)=-2a<0

D=(2a)^2-4*2(a^2-4)=4a^2-8a^2+[b]32[/b]=-4a^2+[b]32[/b]⇒

{-4a^2+[b]32[/b]>0 ⇒ a^2-[b]8[/b] <0 ≥ ⇒ -2sqrt(2)<x < 2sqrt(2)
{a^2-4>0 ⇒ a < -2 или a > 2
{-2a <0 ⇒ a > 0

О т в е т. a ∈ (2;2sqrt(2))

Окончательный ответ - ответ первого случая [b]а ∈ (1-sqrt(2);0)U(2;2sqrt(2))[/b]

В правильном шестиугольнике АС ⊥ FA
FA- проекция F_(1)A ⇒ ⇒

F_(1)A=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем способом подстановки:
{[m]y=\frac{2x+a}{3}[/m]
{|x^2-x-6|=([m]\frac{2x+a}{3}[/m]-1)^2+x-7;

Решаем второе уравнение:

|x^2-x-6|=([m]\frac{2x+a}{3}[/m])^2-2*([m]\frac{2x+a}{3}[/m])+1+x-7;

|x^2-x-6|=[m]\frac{4x^2+(4a-3)x+a^2-6a-54}{9}[/m]

Рассматриваем два случая

1)
x^2-x-6 ≥0 ⇒ |x^2-x-6|=x^2-x-6

x^2-x-6=[m]\frac{4x^2+(4a-3)x+a^2-6a-54}{9}[/m]

5x^2-(4a+6)*x-a^2+6a=0

D=(4a+6)^2-20(-a^2+6a)=36(a-1)^2 ≥ 0

x_(1,2)=[m]\frac{4a+6 ± 6(a-1)}{10}[/m]

при a=1;

x=1 не удовл условию x^2-x-6 ≥ 0

при a ≠ 1
x_(1)=[m]\frac{4a+6 -6(a-1)}{10}[/m];x_(2)=[m]\frac{4a+6 +6(a-1)}{10}[/m];

x_(1)=[m]\frac{6 -a)}{5}[/m];x_(2)=[m]a[/m];

Корни должны удовлетворять условию x^2-x-6 ≥ 0

{{a^2-a-6 ≥ 0 ⇒ a ≤ -2 или a ≥ 3
{[m](\frac{6 -a)}{5})^2-\frac{(6 -a)}{5}[/m]-6 ≥ 0 ⇒ a^2-7a-144 ≥ 0 ⇒ a ≤ -9;a ≥ 16
О т в е т случай 1)
[b]a ≤ -9 или a ≥ 16[/b]

2)
x^2-x-6 < 0 ⇒ |x^2-x-6|=-x^2+x+6

-x^2+x+6=[m]\frac{4x^2+(4a-3)x+a^2-6a-54}{9}[/m]

13x^2+(4a-12)x+a^2-6a-108=0

D=(4a-12)^2-52(a^2-6a-108)=-36a^2+216a+5760=-36*(a^2-6a-160)

D ≥ 0 ⇒ a^2-6a-160 ≤ 0 ⇒ a_(1)=-5; a_(2)=16 ⇒ -5 ≤ a ≤ 16

При этом корни:
x_(3)=[m]\frac{-4a+12 -6\sqrt{-a^2+6a+160}}{26}[/m];x_(2)=[m]\frac{-4a+12 +6\sqrt{-a^2+6a+160}}{26}[/m];

должны удовлетворять условию x^2-x-6 < 0

Cм графическое решение:

О т в е т. (- ∞ ;-9)U(-9;-2] U[3;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Упростить выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное числителю и на сопряженное знаменатель.

О т в е т. 1 (прикреплено изображение)

Чтобы построить угол между плоскостями, нужно к линии их пересечения провести перпендикулярны.

ВМ ⊥ AS

CM ⊥ AS

∠ BMC= φ ⇒

Из равнобедренного треугольника ВМС находим
BM=a/(2tg( φ /2))

ST - апофема боковой грани.
высота, медиана, биссектриса равнобедренного треугольника ASB

Δ ABM ~ ΔAST ( прямоугольные треугольники с общим углом SAB)

АМ:AT=BM:ST ⇒ ST=BM*AT/AM

АМ^2=AB^2-BM^2

АМ=[blue]sqrt(a^2-(a/2tg (φ /2))^2)[/blue]

ST=BM*AT/AM= (a/2tg (φ/2))*(a/2)/[blue]sqrt(a^2-(a/2tg (φ /2))^2)[/blue]

S_(бок)=(1/2)*3а*ST=(3a^2/8)*(1/tg( φ /2))*(1/[blue]sqrt(1-(1/2tg (φ /2))^2)[/blue] (прикреплено изображение)

Рассматриваем область D как область горизонтального вида:

= ∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2)) ([blue]∫ ^(2-y^2)_(0)y^2*(1+2x)dx[/blue])dy

= ∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))([blue]y^2*(x+x^2)|^(2-y^2)_(0)[/blue])dy

=∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))y^2*(2-y^2+(2-y^2)^2)dy=

=∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))*(y^6-5y^4+6y^2)dy=

=((y^7/7)-5*(y^5/5)+6*(y^3/3))| ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))=

=(2/7)(sqrt(2))^7-2(sqrt(2))^5+(2/3)*(sqrt(2))^3=

=((16/7)-8+(4/3))*sqrt(2)=...

Второй способ

Рассматриваем область D как область вертикального вида:

= ∫^(2)_(0)( [blue]∫ ^(sqrt(2-x))_(-sqrt(2-x))y^2*(1+2x)dy[/blue])dx =

= ∫^(2)_(0)[blue] (1+2x)*(y^3/3)| ^(sqrt(2-x))_(-sqrt(2-x)) [/blue]dx=

= ∫^(2)_(0)(1+2x)*(1/3)((sqrt(2-x))^3-(-sqrt(2-x))^2)dx=

= ∫^(2)_(0)(1+2x)*2*(sqrt(2-x))^3dx=

=2 ∫^(2)_(0)(1+2x)*(2-x)*sqrt(2-x)dx=

[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(2-x)=t

2-x=t^2
x=2-t^2
dx=-2tdt

...
Решение более громоздкое, но ответ тот же... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Делим на х:

y`-(3/x)*y=x^3*e^(x) - линейное неоднородное диф уравнение первого порядка

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(3/x)*u*v=x^3*e^(x)

u`*v+u(v`-(3/x)*v)=x^3*e^(x)

Выбираем функцию v так,чтобы
v`-(3/x)*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`-(3/x)*v=0 ⇒ dv/v=3dx/x ⇒ ∫ dv/v=3∫ dx/x ⇒ ln|v|=3ln|x| ⇒ [b]v=x^3[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*[b]x^3[/b]+u*0=x^3e^(x)

u`*x^3=x^3*e^(x)

u`=e^(x)

u=e^(x)+C

[b]y=u*v=(e^(x)+C)*x^3-[/b] общее решение диф уравнения

y(1)=e

e=(e+C)*1

C=0

[b]y=e^(x)*x^3[/b] - решение задачи Коши, удовлетворяющее условию y(1)=e

Ответ выбран лучшим

Преобразуем общий член ряда, умножив и разделив на выражение сопряженное данному

Полученный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
|a_(n)| -[i] монотонно убывающая последовательность[/i]
a_(n) → 0

Ряд из модулей эквивалентен ряду: ∑ n/n^(3/2)= ∑ 1/n^(1/2) - расходится, это обобщенный гармонический ряд ∑ 1/n^(p); p <1

О т в е т Сходится условно

1)
80 гр сухого пюре содержит 10% воды,

так как 10%=0,1

значит

0,1*80=8 г воды в 80 г сухого пюре

Добавим х г воды

Получим общую массу (х+80) г, в которой (х+8) г воды и это должно составлять 86 %

Уравнение:
0,86*(х+80)=х+8 ⇒0,14x=60,8 ⇒[b] x ≈ 434,3[/b]

2)
100 гр сухого пюре содержит 18% воды,

так как 18%=0,18

значит

0,18*100=18 г воды в 100 г сухого пюре

Добавим х г воды

Получим общую массу (х+100) г, в которой (х+18) г воды и это должно составлять 96 %

Уравнение:
0,96*(х+100)=х+18 ⇒0,04x=78 ⇒[b] x =1950[/b]

3).Сколько воды (в гр) нужно добавить к 20 гр сухого картофельного пюре с содержанием 2% воды, чтобы получить пюре с 75% содержанием воды???

20 гр сухого пюре содержит 2% воды,

так как 2%=0,02

значит

0,02*20=0,4 г воды в 20 г сухого пюре

Добавим х г воды

Получим общую массу (х+20) г, в которой (х+0,4) г воды и это должно составлять 75 %

Уравнение:
0,75*(х+20)=х+0,4 ⇒0,25x=14,6 ⇒[b] x =58,4[/b]

Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу извлеченная деталь оказалась бракованной ''

и события -гипотезы
H_(1) - ''деталь изготовлена первым автоматом''
H_(2) - ''деталь изготовлена вторым автоматом'''

p(H_(1))=0,6
p(H_(2))=0,4

p(A/H_(1))=0,02
p(A/H_(2))=0,03

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) =

=0,6*0,02+0,4*0,03=0,012+0,012=0,024

б) р(Н_(1)/А)= p(H_(1))*p(A/H_(1))/р(А)=0,012/0,024=0,5

р(Н_(2)/А)= p(H_(2))*p(A/H_(2))/р(А)=0,012/0,024=0,5

Вероятность того, что изготовлена первым автоматом равна вероятности того, что изготовлена вторым.

CA^2=CO^2+AO^2=4^2+(4^2*15/9)=16*(9+15)/9=16*24/9

CA=8sqrt(6)/3

CB=CA=AB=8sqrt(6)/3 ( Δ ABC - равносторонний, СА=СВ и ∠ АСВ=60 ° )

Δ АОВ - равнобедренный

ОК ⊥ АВ ⇒ АК=КВ=4sqrt(6)/3

ОК^2=OA^2-AK^2=(4^2*15/9)-(4^2*6/9)=16

ОК=4

Δ СОК - прямоугольный равнобедренный ⇒ [b] ∠ СКО=45 ° [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Всего 6 знаков, две цифры 1 и 0 и четыре буквы

На первое место можно выбрать любой из шести элементов, на второй тоже - любой из шести...

n=6*6*6*...*6=6^(12) паролей можно составить

Из 6 тетрадей в клетку 2 тетради можно выбрать
C^(2)_(6)=6!/(2!*(6-2)!)=15 способов.

Из 5 тетрадей в линейку 3 тетради можно выбрать
C^(3)_(5)=5!/(3!*(5-3)!)=10 способов.

Выбор и 2 тетрадей в клетку и 3 тетрадей в линейку по правилу произведения можно выполнить

15*10=150 способами (прикреплено изображение)

По теореме синуса:

a/sin ∠ A= 2R ⇒ [b]R=a/(2*sin ∠ A)[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

В основании пирамиды правильный шестиугольник. Сторона [b]a[/b] такого шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

По условию дан диаметр, значит, [b]а[/b] =d/2

S_(шестиугольника)=3a^2sqrt(3)/2=[b]3d^2sqrt(3)/8[/b]

Высота пирамиды по теореме Пифагора:
H^2=L^2-a^2=L^2-(d/2)^2
H=[blue]sqrt(L^2-(d/2)^2)[/blue]

Апофема пирамиды по теореме Пифагора:
h^2=L^2-(a/2)^2=L^2-(d/4)^2

h=sqrt(L^2-(d/4)^2)

Подставляем в формулы:

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H=a^2*H*sqrt(3)/2=sqrt(3)/8)*d^2*[blue]sqrt(L^2-(d/2)^2)[/blue]

S_(бок)=(1/2)*P_(осн)*h==3a*h=3*(d/2)*sqrt(L^2-(d/4)^2)=

=(3/2)*d*sqrt(L^2-(d/4)^2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим точку пересечения прямых:
{2x–5y–1=0
{x+4y–7=0 ( умножаем на (-2))

{2x–5y–1=0
{-2х-8y+14=0

Складываем: -13y+13=0 ⇒ y=1; x=7-4y=7-4=3

С(3;1)

Находим координаты точки М, делящей отрезок АВ в указанном отношении ( cм формулы в приложении)

Не указано, что считая от какой вершины 2:3
Считаю, что от А, т. е

AM:MB=2:3

[b]a) λ =[m]\frac{2}{3}[/m][/b]
x_(M)=[m]\frac{x_{A}+\lambda x_{B}}{1+\lambda }=\frac{4+\frac{2}{3}\cdot(-1)}{1+\frac{2}{3}}=2[/m]
y_(M)=[m]\frac{y_{A}+\lambda y_{B}}{1+\lambda }=\frac{-3+\frac{2}{3}\cdot 2}{1+\frac{2}{3}}=-1[/m]

M(2;-1)

Составляем уравнение прямой СМ, как прямой, проходящей через две точки
y=kx+b

C(3;1) ⇒ 1=k*3+b
M(2;-1) ⇒ -1=k*2+b

k=2
b=1-3k=-5

[b]y=2x-5- О т в е т. [/b] (прикреплено изображение)

Это линейное уравнение первого порядка.

Решают методом Бернулли или методом вариации произвольных постоянных

Метод Бернулли.

Решение ищем в виде

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение
u`*v+u*v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]u*v=x

u`*v+u*(v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]*v)=x

Выбираем функцию v так, чтобы

1)
v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]*v=0
тогда

2)u`*v+u*0=x

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными

1)[m]\frac{dv}{dx}=-\frac{x}{2+x}[/m]*v=0 ⇒ [m]\frac{dv}{v}=-\frac{xdx}{2+x}[/m]

[m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{xdx}{2+x}[/m]

Cправа неправильная дробь, выделяем целую часть:

[m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{x+2-2dx}{2+x}[/m]

[m] ∫ \frac{dv}{v}=∫ \frac{2dx}{2+x}- ∫ dx[/m]

⇒ ln|v|=2ln|x+2|-x ⇒ применяем свойства логарифмов

[m]v=\frac{(x+2)^2}{e^{x}}[/m]

Подставляем v во второе уравнение и находим u

u`*[m]\frac{(x+2)^2}{e^{x}}[/m]=x

Уравнение с разделяющимися переменными:

[m]du=\frac{xe^{x}}{(x+2)^2}dx[/m]

[m] ∫ du= ∫ \frac{xe^{x}}{(x+2)^2}dx[/m]

Справа интегрируем по частям ?

Задача непростая . Условие верное?

Как звучит вопрос? Может быть применение рядов к решению диф уравнений?

ОДЗ:
{3-x>0 ⇒ x < 3
{x^2-4x+4 >0 ⇒ x ≠ 2
{log_(3)(x^2-4x+4) ≠ 0 ⇒ x^2-4x+4 ≠ 1 ⇒ x^2-4x+3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1;x ≠ 3

x ∈ (- ∞ ;1)U(1;2)U(2;3)

Решаем неравенство методом интервалов
( "обобщённый" метод интервалов):

Нули числителя:
log_(3)(3-x)=0 ⇒ 3-x=1 ⇒ x=2

Нули знаменателя:
x=1; x=3

Расставляем знаки функции:

__+__ (1) __-__ [2] __+__ (3)

О т в е т. (1;2]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

[m](\frac{1}{3})^{x}=t[/m]

Показательная функция строго положительна, поэтому t > 0

[m](\frac{1}{3})^{x-1}=(\frac{1}{3})^{x}\cdot (\frac{1}{3})^{-1} =3(\frac{1}{3})^{x}=3t[/m]

[m]3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{1-x}=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3})^{-x}=\frac{1}{3t}[/m]

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{4}{3t-9}-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{3t} >0[/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{4t(t-1)-3t(t-3)-(t-1)(t-3)}{3t(t-3)(t-1)} >0[/m]

Упрощаем числитель:
[m]\frac{9t-3}{3t(t-3)(t-1)} >0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

Нули числителя:

9t-3=0 ⇒ t=[m]\frac{1}{3}[/m]

Нули знаменателя:

3t(t-3)(t-1)=0 ⇒ t=0; t=1; t=3

Знаки функции:

_+__ (0) __-_ ([m]\frac{1}{3}[/m] ) __+__ (1) __-___ (3) __+__

t < 0 или [m]\frac{1}{3}[/m] < t < 1 или t > 3

C учетом t >0
[m]\frac{1}{3}[/m] < t < 1 или t > 3

Обратный переход
[m]\frac{1}{3}<(\frac{1}{3})^{x} < 1[/m] или [m](\frac{1}{3})^{x}>3[/m]

Показательная функция с основанием [m]\frac{1}{3}[/m] убывающая, поэтому
0 < x < 1 или x < -1

О т в е т. (- ∞ ;-1) U (0;1)

a_(11)=1

y`= ∫ y``(x)dx= ∫ (4cos2x)dx=4*(1/2) ∫ cos(2x)d(2x)=2sin2x+C_(1)

y= ∫(2sin2x+C_(1))dx=-cos2x+C_(1)x+C_(2)

y= - cos2x+C_(1)x+C_(2) - общее решение дифуравнения

y(0)=1
y`(0)=3

{1= - cos0+C_(1)*0+C_(2) ⇒ C_(2)=2
{3=2sin0+C_(1) ⇒ C_(1)=3

y= - cos2x+3x+2 - решение задачи Коши, удовл условию:
y(0)=1
y`(0)=3

(прикреплено изображение)

z`_(x)=6x-3x^2
z`_(y)=6y+4

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{6x-3x^2=0 ⇒ x=0; x=2
{6y+4=0 ⇒ y=-2/3

Две точки возможного экстремума:
(0;-2/3) и (2;-2/3)

Находим вторые частные производные:
z``_(xx)=6-6x
z``(xy)=0
z``_(yy)=6

Находим вторые частные производные в точке (0;-2/3)
A=z``_(xx)=6-6*0=6 >0
B=z``(xy)=0
C=z``_(yy)=6

Δ=AC-B^2=6*6-0 >0 есть экстремум

А=6>0 - минимум

[b](0:-2/3)- точка минимума
[/b]

Находим вторые частные производные в точке (2;-2/3)
A=z``_(xx)=6-6*2=-6 <0
B=z``(xy)=0
C=z``_(yy)=6

Δ=AC-B^2=-6*6-0 <0 нет экстремума

V= ∫ ∫ _(D)(2-x-y)dxdy= ∫ ^(2)_(0)([blue]∫ ^((6-3y)/4)_((2-y)/4)(2-x-y)dx[/blue])dy=

=∫ ^(2)_(0) (2x-(x^2/2)-yx)| ^((6-3y)/4)_((2-y)/4)dy=

=∫ ^(2)_(0) (2*(6-3y)/4) -(1/2)*(6-3y)/4)^2-y*((6-3y)/4)- 2*((2-y)/4)+((2-y)/4)^2/2+y*(((2-y)/4)) dy=...

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{3x>0 ⇒ x>0
{3x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/3

х ∈ (0;1/3)U(1/3;1)U(1;+ ∞ )

Применяем формулу перехода к другому основанию ( см. приложение):

[m]\frac{2}{log_{3}x}+\frac{3}{log_{3}3x} ≤ 2[/m]

так как [m]log_{3}3x=log_{3}3+log_{3}x=1+log_{3}x[/m], то

[m]\frac{2}{log_{3}x}+\frac{3}{1+log_{3}x} ≤ 2[/m]

[i]Замена переменной[/i]:

[m]log_{3}x=t[/m]

[m]\frac{2}{t}+\frac{3}{1+t} ≤ 2[/m]

[m]\frac{2}{t}+\frac{3}{1+t}-2 ≤ 0[/m]

[m]\frac{2(1+t)+3t-2t(1+t)}{t(1+t)} ≤ 0[/m]

[m]\frac{2+3t-2t^2}{t(1+t)} ≤ 0[/m]

[m]\frac{2t^2-3t-2}{t(1+t)} ≥ 0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

2t^2-3t-2 =0
D=9+4*2*2 =25
t_(1)=-1/2; t_(2)=2

__+___ (-1) __-__ [-1/2] __+__ (0) ___-____ [2] __+__

[m]log_{3}x<-1[/m] или [m]-\frac{1}{2} < log_{3}x<0[/m] или [m]log_{3}x>2[/m] ⇒

[m]log_{3}x<-1\cdot log_{3}3[/m] или [m]-\frac{1}{2}\cdot log_{3}3 < log_{3}x<log_{3}1[/m] или [m]log_{3}x>2log_{3}3[/m] ⇒

[m]log_{3}x< log_{3}3^{-1}[/m] или [m] log_{3}3^{-\frac {1}{2}} < log_{3}x<log_{3}1[/m] или [m]log_{3}x>log_{3}3^2[/m] ⇒

x<1/3 или 1/sqrt(3) < x < 1 или x >9

С учетом ОДЗ

О Т В Е Т. (0; 1/3) U(1/sqrt(3);1)U(9;+ ∞ )

(прикреплено изображение)

S_(кольца)=S_(большого круга)-S_(малого круга)

S_(круга)=π*R^2

R=4

r=sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5)

S_(кольца)=π*R^2-π*r^2=π*4^2-π*(sqrt(5))^2=16π-5π=[b]11π[/b]

О т в е т. 11 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Y=5X+3 ⇒

y_(1)=5x_(1)+3=5*(-2)+3=-10+3=-7

y_(2)=5x_(2)+3=5*(-1)+3=-5+3=-2

y_(3)=5x_(3)+3=5*0+3=0+3=3

y_(4)=5x_(4)+3=5*1+3=5+3=8

y_(5)=5x_(5)+3=5*2+3=10+3=13

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]lg^2\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}-lg^2\frac{x+5}{20} <0[/m]

Применяем формулу разности квадратов:

[m](lg\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}-lg\frac{x+5}{20})(lg\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}+lg\frac{x+5}{20}) <0[/m]

Заменим разность логарифмов логарифмом частного, сумму логарифмов логарифмом произведения ( при этом область определения данного неравенства расширится, что приведет к приобретению посторонних корней)Чтобы этого не произошло, нужно учесть область определения исходного уравнения, поэтому получаем систему неравенств:

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{(x+2)^2(x+5)}{5}>0\Rightarrow x+5>0; x\neq -2\\\\ \frac{x+5}{20}>0\Rightarrow x > -5\\ \\ lg\frac{(x+2)^2(x+5)\cdot 20}{5(x+5)}\cdot lg\frac{(x+2)^2(x+5)^2}{5\cdot 20}<0 \Rightarrow lg4(x+2)^2\cdot lg\frac{(x+2)^2\cdot (x+5)^2}{100} <0\end{matrix}\right.[/m]

Решаем третье неравенство методом интервалов:

[m]lg4(x+2)^2=0[/m] ; [m]lg\frac{(x+2)^2\cdot (x+5)^2}{100}=0[/m] ⇒

[m]4(x+2)^2=1[/m] ; [m] \frac{(x+2)^2\cdot (x+5)^2}{100}=1[/m]

[m](x+2)^2=\frac{1}{4}[/m] ; [m] (x+2)^2\cdot (x+5)^2=10^2[/m]

Извлекаем квадратный корень по формуле: [r]sqrt(x^2)=|x|[/r]

[m]|x+2|=\frac{1}{2}[/m] ; [m] |x+2|\cdot |x+5|=10[/m]

[m]x+2=-\frac{1}{2};x+2=\frac{1}{2}[/m];[m] (x+2)(x+5)=10[/m]или[m] (x+2)(x+5)=-10[/m]

[m]x_{1}=-2\frac{1}{2}; x_{2}=-1\frac{1}{2} [/m] ; [m] x^2+7x=0[/m]; [m]x^2+7x+20=0[/m]

[m]x_{3}=-7; x_{4}=0[/m]

____ (-7) __-__ (-[m]2\frac{1}{2}[/m]) __+__ (-[m]1\frac{1}{2}[/m]) _-__ (0) _+__

C учетом первого и второго неравенства системы, получаем ответ:

(-5;-2)U(-2;-[m]2\frac{1}{2}[/m])U(-[m]1\frac{1}{2}[/m];0)

Ответ выбран лучшим

1
a)sinycosx dy =sinxcosy dx - уравнение[i] с разделяющимися переменными[/i]

[m]\frac{siny}{cosy}dy=\frac{sinx}{cosx}dx[/m]

Интегрируем:

[m] ∫ \frac{siny}{cosy}dy= ∫ \frac{sinx}{cosx}dx[/m]

[m] - ∫ \frac{d(cosy)}{cosy}=- ∫ \frac{d(cosx)}{cosx}[/m]

[m] ∫ \frac{d(cosy)}{cosy}= ∫ \frac{d(cosx)}{cosx}[/m]

формула ∫ du/u=ln|u|

ln|cosy|=ln|cosx)+lnC ⇒

[b]cosy=C*cosx[/b]- общее решение
-------------

б) Делим обе части уравнения на х:

y`-(y/x)=tg(y/x) [red](#)[/red]

Это [i]однородное уравнение первой степени[/i].

[b]Замена :[/b]

y/x=u

y=x*u

y`=x`*u+x*u` ( x`=1, так как x - независимая переменная)

y`=u+x*u`
Подставляем в [red](#)[/red]

u+x*u`-u=tgu

x*u`=tgu - уравнение с разделяющимися переменными:

u`=du/dx

x*(du/dx)=tgu ⇒ du/tgu=dx/x ⇒ ∫ du/tgu= ∫ dx/x ⇒ ln|u|=ln|x|+lnC ⇒

u=Cx- общее решение.

-----------------

в)
[i]Составляем характеристическое уравнение[/i]
k^2+k-6=0
D=1+24=25
k_(1)=-3; k_(2)=2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
( см таблицу в приложении 1)

у=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(2x)

----------------------------------

г)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''+y=0

[i]Составляем характеристическое уравнение:[/i]
k^2+1=0

k_(1)=–i; k_(2)=i – корни комплексные

поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид ( cм таблицу приложение 1, третья строка)

[b]y_(общее одн)=C_(1)cosx+C_(2)sinx – общее решение однородного уравнения[/b]

Правая часть неоднородного уравнения f(x)=2cosx-(4x+4)sinx

имеет так называемый ''специальный'' вид, поэтому частное решение

находим в виде

y_(част)(x)=((Aх+В)cosx+(Mx+N)sinx)*x

( cм. таблицу приложения 2, пункт 5 :
0+i=k_(2)– корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на x^((1)) )

y_(част)(x)=(Aх^2+Вx)cosx+(Mx^2+Nx)sinx

Находим

y`_(част)=(Aх^2+Вx)`*cosx+(Aх^2+Вx)(cosx)`+(Mx^2+Nx)`*sinx+(Mx^2+Nx)*(sinx)`

y`_(част)=(2Ax+B+Mx^2+Nx)*cosx+(2Mx+N-Ax^2-Bx)*sinx

y``_(част)=(2A+2Mx+N)*cosx-(2Ax+B+Mx^2+Nx)*sinx+

+(2M-2Ax-B)*sinx+(2Mx+N-Ax^2-Bx)*cosx

y``_(част)=(2A+4Mx+2N-Ax^2-Bx)*cosx+(2M-4Ax-2B-Mx^2-Nx)*sinx

подставляем в данное уравнение, находим А, В, M, N

(2A+4Mx+2N-Ax^2-Bx)*cosx+(2M-4Ax-2B-Mx^2-Nx)*sinx+(Aх^2+Вx)cosx+(Mx^2+Nx)sinx=2cosx-(4x+4)sinx

(2A+4Mx+2N)*cosx+(2M-4Ax-2B)*sinx=2cosx-(4x+4)sinx

2А+4Mx+2N=2 ⇒ M=0 и 2А+2N=2
2M-4Ax-2B=-4x-4 ⇒ -4A=-4 ⇒ A=1 и 2M-2B=-4

M=0
A=1
N=0
B=2

y_(част)(x)=х^2cosx

y_(общее неодн)=у_(общее одн)+у_(част)=

=C_(1)cosx+C_(2)sinx+х^2cosx

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

p=0,15- вероятность того, что деталь нестандартная

q=1-p=1-0,15=0,85-вероятность того, что деталь стандартная

Повторные испытания с двумя исходами. Cхема Бернулли.

По формуле Бернулли

P_(100) (15)=C^(15)_(100)p^(15)q^(85) - счет трудоемкий...

Применяем локальную теорему Лапласа:

P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

n=100
p=0,15
q=0,85

np=100*0,15=15

npq=100*0,15*0,85=12,75

sqrt(npq)=sqrt(12,75) ≈ 3,57

x=(k-np)/sqrt(npq)=(15-15)/3,57=0

[b]φ (0)[/b]=0,3989 ( см. таблицу 1)

P_(100)(15)=(1/3,57)*[b] φ (0)[/b] = (1/3,57)*0,3989 ≈ считаем

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''-2y'-y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k-1=0
D=4+4=8

[b]Не нравится, что sqrt(D)=2sqrt(2)[/b]

Думаю, что у Вас опечатка... ⇒ y''-2y'[red]+[/red]y=0 тогда D=0

И тогда либо
k_(1) и k_(2)= - корни действительные различные,

либо k_(1)=k_(2)=1-[blue] корни действительные кратные[/blue]

поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x) - общее решение однородного уравнения

или
[blue]y_(общее одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)x*e^(k_(1)x) [/blue]- общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:

y_(частное неодн)=(Аx+B)*e^(x) или [blue]y_(частное неодн)=(Аx+B)*x*e^(x)[/blue]

y`_(частное неодн) =
y``_(частное неодн)=

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

находим А и В

y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)

- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Ответ выбран лучшим

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами:

y''''+y''=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^4+k^2=0

k^2*(k^2+1)=0

k_(1)=0; k_(2)=0 - корни действительные кратные,

k_(3)=-i; k_(4)=i - корни комплексные
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(0x)+C_(2)x*e^(0x)+C_(3)cosx+C_(4)sinx - общее решение однородного уравнения

Правая часть [i]неоднородного уравнения [/i] - сумма двух функций
f_(1)(x)=10sinx+6cosx

f_(2)(x)=4e^(x)

Каждая функция имеет так называемый ''специальный'' вид, поэтому частные решения находим в виде

y__(1)(x)=(Acosx+Bsinx)*x ( cм. таблицу пункт 5 :0+i=k_(4) - корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на x^(1))

y_(2)(x)=M*e^(4x) ( cм таблицу п.3; 4 не корень характ. уравнения, Q(x)=M)

y_(общее неодн)=у_(общее одн) +y_(1)+y_(2)=

=C_(1)e^(0x)+C_(2)x*e^(0x)+C_(3)cosx+C_(4)sinx +

+(Acosx+Bsinx)*x+M*e^(4x)

- общее решение неоднородного уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1^2+1^2+a*1+b*1=0 ⇒ a+b=-2
1^2+2^2+a*1+b*2=0 ⇒ a+2b=-5

Вычитаем из первого уравнения второе:
-b=3
b=-3
a=1

[b]x^2+y^2+x-3y=0 [/b] ⇒ (x+0,5)^2+(y-1,5)^2=3 - уравнение окружности с центром (-0,5; 1,5) и радиусом R=3

Ответ выбран лучшим

Знаменатель дроби не должен равняться 0 ⇒ 3х+7 ≠ 0 ⇒ х ≠ [m]-\frac{7}{3}[/m]

D(y)=(- ∞ ;[m]-\frac{7}{3}[/m])U([m]-\frac{7}{3};+ ∞[/m])

Графиком функции является гипербола ⇒ [m]y=\frac{1}{3}-\frac{\frac{19}{3}}{3x+7}[/m]

E(y)=(- ∞ ;[m]\frac{1}{3}[/m])U([m]\frac{1}{3};+ ∞[/m])

Ответ выбран лучшим

[m]N(3a)=\frac{3-3a}{2\cdot (3a)^2+3a}=\frac{3\cdot (1-a)}{3a\cdot (6a+1}=\frac{(1-a)}{a\cdot (6a+1}[/m]

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника SAO:
AO=4 ( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)

Наклонные SA=SB=SC равны, значит равны и проекции AO=BO=CO

O- центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника
АВС ( АВ=BC=6)

R=abc/4S_( Δ ABC);

АС=2х
BD=sqrt(6-x^2)

S_(Δ ABC)=(1/2)AC*BD=(1/2)*2x*sqrt(36-x^2)

4=6*6*(2x)/(4x*sqrt(36-x^2)) ⇒ 2*sqrt(36-x^2)=9;

Возводим в квадрат:

4*(36-x^2)=81

(2x)^2=63

2x=sqrt(63)

AC=2x=[b]sqrt(63)[/b]

Ответ выбран лучшим

На (- ∞ ;-1) функция непрерывна, так как y=-x^2+2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (-1;0) функция непрерывна, так как y=3x+2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо исследовать непрерывность функции в точках х=-1 и х=0

х=0

Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x →-1 -0)f(x)=lim_(x →-1 -0)(-x^2+2)=-1+2=1

Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → -1+0)f(x)=lim_(x → -1+0)(3x+2)=-1
предел слева ≠ пределу справа

Значит, не существует предела функции в точке х=-1

Определение непрерывности не выполняется

х=-1 - [i]точка разрыва первого рода [/i]

В точке существует [i]конечный[/i] скачок

х=0
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(3x+2)=2

Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(2)=2

предел слева = пределу справа
Предел в точке x=1 существует и равен значению функции в этой точке

х=1 - [i]точка непрерывности[/i]

2.
|x+6|=-x-6, при x <-6

|x+6|=x+6, при x >-6

[m]y=\left\{\begin{matrix} -1, x<-6\\1,x>-6 \end{matrix}\right.[/m]

Функция непрерывна на (- ∞ ;-6) и на (-6;+ ∞ )

В точке х=-6 функция имеет[b] разрыв первого рода
[/b]
предел слева ≠ пределу справа

Значит, не существует предела функции в точке х=-1

Определение непрерывности не выполняется

В точке существует [i]конечный[/i] скачок
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V= ∫ ∫ _(D)(4-x^2-4y^2)dxdy

D: x^2+y^2=1

Переходим к полярным координатам:

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

dxdy=[blue] ρ d ρ d φ
[/blue]
4-x^2-4y^2=[b]4- ρ^2cos^2φ -4 ρsin^2φ [/b]

0 ≤ ρ ≤ 1
0 ≤ φ ≤ 2π

V= ∫^(2π)_(0) ∫ ^(1)_(0) ( [b]4- ρ^2cos^2φ -4 ρ^2sin^2φ [/b]) [blue]ρ d ρ d φ[/blue]=

= ∫^(2π)_(0) (∫ ^(1)_(0) (4 ρ - ρ ^3 cos^2φ -4 ρ^3sin^2φ )d ρ )d φ =

=∫^(2π)_(0)(4( ρ ^2/2)-( ρ ^4/4) cos^2φ-4( ρ ^4/4)sin^2 φ )|^( ρ =1)_( ρ =0)d φ =

=∫^(2π)_(0)(2-(1/4)cos^2φ-sin^2 φ )d φ =

=2 φ|^(2π)_(0) -(1/4) ∫^(2π)_(0) (1+cos2 φ )d φ /2 - ∫ ^(2π)_(0)(1-cos2 φ )/2d φ =

=4π-(1/8)( φ +(1/2)sin2 φ)^(2π)_(0)-((1/2) φ -(1/4)sin2 φ )|^(2π)_(0)=

=4π-(π/4)-π=[b]11π/4 [/b]

Ответ выбран лучшим

p(A)= 0,5- вероятность попадания в цель стрелком А ⇒

q(A)=1-p(A)= 0,5- вероятность НЕпопадания в цель стрелком А

p(B)= 0,23- вероятность попадания в цель стрелком B ⇒

q(В)=1-p(В)= 0,77- вероятность НЕпопадания в цель стрелком В

p(C)= 0,47- вероятность попадания в цель стрелком C

р= p(A)+q(A)*p(B)+q(A)*q(B)*p(C)=0,5+0,5*0,23+0,5*0,77*0,47=...

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(4)_(1)(4-[m]\frac{4}{x}[/m])dx=

=(4x-4ln|x|)|^(4)_(1)=

=4*(4-1)-4(ln4-ln1)=4*3-4ln4+4*0=12-4ln4=12-4ln2^2=[b]12-8ln2[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

∂u/∂=(x^2–3xy–4y^2–x+2y+1)`_(y) (x=const)=

=(x^2)`_(y)-3x*(y)`_(y)-(4y^2)`_(y)–(x)`_(y)+2(y)`_(y)+(1)`_(y)=

=0-3x*1-4*2y-0-2+0= -3x-8y-2

Решаем кубическое уравнение.

Получаем три корня.

y`(x)=t_(1); y`(x)=t_(2); y`=t_(3);

где t_(1);t_(2); t_(3)- действительные числа

Получаем три решения

y_(1)(x)= ∫ t_(1)dx=t_(1)x+c_(1)

y_(2)(x)= ∫ t_(2)dx=t_(2)x+c_(2)

y_(3)(x)= ∫ t_(3)dx=t_(3)x+c_(3)

WolframAlpha выдает ответы:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это несобственный интеграл второго рода.

x=1/4 – особая точка

20x^2-9x+1=(5x-1)(4x-1)

[m]\frac{1}{20x^2-9x+1}=-\frac{5}{5x-1}+\frac{4}{4x-1}[/m]

[m]∫ ^{1}_{\frac{1}{4}}\frac{dx}{20x^2-9x+1}=[/m]

[m]=lim_{a → \frac{1}{4}-0} ∫ ^{1}_{a}(-\frac{5}{5x-1}+\frac{4}{4x-1})dx=[/m]

[m]=-5ln|5x-1|^{1}_{\frac{1}{4}}+4lim_{a → \frac{1}{4}-0}ln|4x-1|^{1}_{a}=[/m]

[m]=-5ln4+5ln\frac{1}{4}+4ln3-4lim_{a → \frac{1}{4}-0}ln(4x-1)=[/m]

[m]=-10ln4+4ln3-4\cdot(- ∞)[/m]

Расходится

Ответ выбран лучшим

Это несобственный интеграл второго рода.

x=1 - особая точка

[m]u=ln(1-x)[/m]

[m]du=\frac{1}{1-x}\cdot (1-x)`dx[/m] ⇒ [m]du=\frac{-1}{1-x}dx[/m]

[m]\frac{-1}{1-x}dx=-d(ln(1-x))[/m]

[m]\int^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{dx}{(1-x)ln^2(1-x)}=-lim_{a → 1-0}\int^{a}_{\frac{1}{2}}\frac{d(ln(1-x))}{ln^2(1-x)}=[/m]

[m]=-lim_{a → 1-0}\int^{a}_{\frac{1}{2}}ln^{-2}(1-x)d(ln(1-x))=[/m]

[m]=lim_{a → 1-0}ln^{-1}(1-x)|^{a}_{\frac{1}{2}}=

lim_{a → 1-0}\frac{1}{ln(1-x)}|^{1}_{\frac{1}{2}}=[/m]

[m]=lim_{a → 1-0}\frac{1}{ln(1-a)}-\frac{1}{ln(1-\frac{1}{2})}=0-\frac{1}{ln\frac{1}{2}}=\frac{1}{ln2}[/m]

Ответ выбран лучшим

x^2-3x-4=-x^2-x+8
2x^2-2x-12=0
x^2-x-6=0
D=1+24=25;
x_(1)=-2;x_(2)=3

S= ∫^(3)_(-2)(-x^2-x+8-x^2+3x+4)dx= ∫^(3)_(-2)(-2x^2+2x+12)dx=

=((-2x^3/3)+x^2+12x)|^(3)_(-2)=

=(-2/3)*3^3+3^2+12*3-(-2/3)*(-2)^3-(-2)^2-(12*(-2))=...=125/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

d^2=87^2+200^2=7569+40000=47569

d ≈ 218

205 cм < 218 см

О т в е т. Пройдет.

Ответ выбран лучшим

d^2=12^2+32^2=144+1024=1168

d=sqrt(1168)

L=12d=12*sqrt(1168) ≈ 410,11 cм (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[i]Универсальная подстановка[/i]

[m]tg\frac{x}{2}=t[/m] ⇒ [m]dx=\frac{2}{1+t^2}dt; sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/m]

[m] ∫ \frac{sinx}{1+sinx}dx=4 ∫ \frac{t}{(t+1)^2\cdot (1+t^2)}dt[/m]

Раскладываем дробь [i]на простейшие[/i] методом неопределенных коэффициентов:

[m]\frac{t}{(t+1)^2\cdot (1+t^2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{(t+1)^2}+\frac{Mt+N}{t^2+1}[/m]

t=A*(t+1)*(t^2+1)+B*(t^2+1)+(Mt+N)*(t+1)^2

комбинируем два способа:

Метод частных значений:
при
t=-1

-1=2B ⇒ [b]B=-1/2[/b]

равенство двух многочленов

t=At^3+At^2+At+A+Bt^2+B+Mt^3+2Mt^2+Mt+Nt^2+2Nt+N

A+M=0 ⇒ A=-M
A+B+2M+N=0 ⇒ -M-(1/2)+2M+N=0 ⇒ M+N=1/2
A+M+2N=1 ⇒ -M+M+2N=-1 ⇒ [b]N=-1/2[/b]
A+B+N=0 ⇒ A-(1/2)-(1/2)=0 ⇒[b] A=1[/b]

[b]M=-1[/b]

[m] ∫ \frac{sinx}{1+sinx}dx=4 ∫(\frac{1}{t+1}-\frac{\frac{1}{2}}{(t+1)^2}-\frac{t+\frac{1}{2}}{t^2+1})dt=[/m]

[m]=4 ∫(\frac{1}{t+1}-\frac{\frac{1}{2}}{(t+1)^2}-\frac{1}{2}\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1}{2}\frac{dt}{t^2+1})dt=[/m]

[m]=4(ln|t+1|+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{t}-\frac{1}{2}ln|t^2+1|+\frac{1}{2}\cdot arctgt)+C[/m]

где [m]t=tg\frac{x}{2}[/m]

По частям

[m]u=arctg\sqrt{4x-1}[/m]

[m]dv=dx[/m]

[m]du=\frac{1}{1+(\sqrt{4x-1})^2}\cdot (\sqrt{4x-1})`dx=\frac{1}{1+(\sqrt{4x-1})^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{4x-1}}\cdot (4x-1)`dx[/m]

[m]du=\frac{1}{2x\cdot\sqrt{4x-1}}dx[/m]

[m]v=x[/m]

[m] ∫ arctg\sqrt{4x-1}dx=x\cdot arctg\sqrt{4x-1}- ∫ \frac{1}{2\cdot\sqrt{4x-1}}dx=[/m]

формула (см. приложение)

[m]=x\cdot arctg\sqrt{4x-1}-\frac{1}{8}\cdot 2\sqrt{4x-1}+C=[/m]

[m]=x\cdot arctg\sqrt{4x-1}-\frac{1}{4}\sqrt{4x-1}+C[/m]

--------------------------- (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m] ∫ \frac{(arccosx)^3-1}{\sqrt{1-x^2}}dx= ∫ \frac{(arccosx)^3}{\sqrt{1-x^2}}dx- ∫ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=[/m]

d(arccosx)=[m]\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx[/m]

и формула ∫ u^3du

[m]=\frac{(arccosx)^4}{4}-arcsinx+C=\frac{(arccosx)^4}{4}+arccosx+C[/m]

Ответ выбран лучшим

Под знаком интеграла [i]неправильная дробь[/i]. Выделим целую часть:

[m]\frac{3x^3+1}{x^2-1}=\frac{3x^3-3x+3x+1}{x^2-1}=\frac{3x(x^2-1)+(3x+1)}{x^2-1}=\frac{3x(x^2-1)}{x^2-1}+\frac{3x+1}{x^2-1}=3x+\frac{3x+1}{x^2-1}[/m]

Разложим [i]правильную дробь[/i] [m]\frac{3x+1}{x^2-1}[/m] на [i]простейшие[/i] методом неопределенных коэффициентов:

x^2-1=(x-1)(x+1)

[m]\frac{3x+1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}[/m]

Приводим дроби справа к общему знаменателю и приравниваем числители:

3x+1=A(x+1)+B(x-1)

Применяем[i] метод частных значений:[/i]

При x=1
3*1+1=2A ⇒ A=2
При x=-1
3*(-1)+1=-2B ⇒ B=1

[m] ∫ \frac{3x^3+1}{x^2-1}= ∫ (3x+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1})dx=3\frac{x^2}{2}+2ln|x-1|+ln|x+1|+C[/m]

Ответ выбран лучшим

Неправильная дробь. Выделяем целую часть:

[m]\frac{-x^3(x^2-25)+1}{x(x^2-25)}=-x^3+\frac{1}{x(x-5)(x+5)}[/m]

Раскладываем дробь

[m]\frac{1}{x(x-5)(x+5)}[/m]

на простейшие

[m]\frac{1}{x(x-5)(x+5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-5}+\frac{D}{x+5}[/m]

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:

[m]1=А\cdot (x-5)(x+5)+B\cdot x\cdot (x+5)+D\cdot x\cdot (x-5)[/m]

При x=5

1=15B ⇒ B=[m]\frac{1}{5}[/m]

При x=-5

1=15D ⇒ D=[m]\frac{1}{5}[/m]

При x=0

1=-25A ⇒ A=-[m]\frac{1}{25}[/m]

[m]\frac{1}{x(x-5)(x+5)}=\frac{-\frac{1}{25}}{x}+\frac{\frac{1}{15}}{x-5}+\frac{\frac{1}{15}}{x+5}[/m]

[m]∫ \frac{–x^5+25x^3+1}{x^3–25x}dx= ∫ (-x^3+\frac{1}{x(x-5)(x+5)})dx=[/m]

[m] ∫ (-x^3+\frac{-\frac{1}{25}}{x}+\frac{\frac{1}{15}}{x-5}+\frac{\frac{1}{15}}{x+5})dx=[/m]

[m]=-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{25}ln|x|+\frac{1}{15}ln|x-5|+\frac{1}{15}ln|x+5|+C[/m]

Ответ выбран лучшим

Сходится, так как эквивалентен ряду

∑ [m]\frac{x}{\sqrt[3]{(x^3)^4}}[/m], который является обобщенным гармоническим рядом

p=3>1

Ответ выбран лучшим

5.
x-1=t
x=t+1

x^2=(t+1)^2=t^2+2t+1

dx=dt

Пределы: если x=5, то t=4
если x=2, то t=1

[m]\int^{5}_{2}\frac{x^2dx}{(x-1)\sqrt{x-1}}=\int^{4}_{1}\frac{t^2+2t+1}{t\sqrt{t}}dt=[/m]

[m]= \int^{4}_{1}(\sqrt{t}+\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{1}{t\sqrt{t}})dt=[/m]

[m]= \int^{4}_{1}(t^{\frac{1}{2}}+2\cdot t^{-\frac{1}{2}}+ t^{-\frac{3}{2}})dt=[/m]

[m]=(\frac{2}{3}\cdot t^{\frac{3}{2}}+4t^{\frac{1}{2}}-2t^{-\frac{1}{2}})|^{4}_{1}=7+\frac{8}{3}=9\frac{2}{3}[/m]

6.
x^2(1-y^2)dx=-y^2(1-x^2)dy - уравнение с разделяющимися переменными

x^2dx/(1-x^2)=-y^2dy/(1-x^2)

Прибавим 1- вычтем 1 в числителях

[m]\frac{x^2-1+1}{1-x^2}dx=\frac{1-1-y^2}{1-y^2}dy[/m]

Интегрируем

[m] ∫ (-1+\frac{1}{1-x^2})dx= ∫ (\frac{1}{1-y^2}+1)dy[/m]

[m]-x+\frac{1}{2}ln|\frac{1+x}{1-x}|=\frac{1}{2}ln|\frac{1+y}{1-y}|+y+lnC[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

[m]\frac{1}{x+1}=t[/m] ⇒ [m]x=\frac{1}{t}-1[/m]

[m]x^2-3x+2=(\frac{1}{t}-1)^2-3\cdot (\frac{1}{t}-1)+2=...=\frac{6t^2-5t+1}{t^2}[/m]

и

[m]dx=-\frac{dt}{t^2}[/m]
Тогда

[m] ∫ \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2-3x+2}}[/m] = - ∫ [m]\frac{dt}{\sqrt{6t^2-5t+1}}[/m]

Выделяем полный квадрат:

[m]6t^2-5t+1=6(t^2-\frac{5}{6}t+\frac{1}{6})=6((t-\frac{5}{12})^2-\frac{1}{144})[/m]

[m]=- \frac{1}{\sqrt{6}}∫\frac{dt}{\sqrt{(t-\frac{5}{12})^2-\frac{1}{144}}}=[/m]

cм. формулу в приложении

[m]=- \frac{1}{\sqrt{6}}ln|t-\frac{5}{12}+\sqrt{t^2-\frac{5}{6}t+\frac{1}{6}}|+C[/m]

где [m]t=\frac{1}{x+1}[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m] ∫ \frac{dx}{sinx\cdot 2sinx}= ∫ \frac{sin^2x+cos^2x}{2sin^2x\cdot cosx}dx=[/m]

[m]= ∫ \frac{1}{2cosx}dx+ ∫ \frac{cosx}{2sin^2x}dx=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|tg(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})|+\frac{1}{2} ∫ sin^{-2}xd(sinx)=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|tg(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})|+\frac{1}{2} \cdot(- \frac{1}{sinx})+C[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(u^2)`=2u*u`

u=(arctg(ctgx))^2

поэтому

y`=2arctg(ctgx)*(arctg(ctgx))`=

т.к (arctgt)`=[m]\frac{t`}{1+t^2}[/m], то

=2arctg(ctgx)*[m]\frac{(ctgx)`}{1+ctg^2x}[/m]

т.к (ctgx)`= - [m]\frac{1}{sin^2x}[/m]

=-2arctg(ctgx)*[m]\frac{1}{(1+ctg^2x)\cdot sin^2x}[/m]

т.к 1+ctg^2x=[m]\frac{1}{sin^2x}[/m]

=-2arctg(ctgx)

y`(π/6)=-2arctg(ctg(π/6))=-2arctg(sqrt(3))=-2*(π/3)=[b]-2π/3[/b]

О т в е т. -2π/3

Ответ выбран лучшим

[m]q=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}=\sqrt{\frac{8^2+9^2+(7\sqrt{2})^2}{3}}=\sqrt{\frac{243}{3}}=\sqrt{81}=9[/m]

[i]Линейное неоднородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка [i]с постоянными коэффициентами[/i].

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+8k+25=0

D=8^2-4*25=64-100=-36

k_(1)=-6*i; k_(2)=6i– корни комплексно-сопряженные

[i]Общее решение однородного уравнения[/i] имеет вид:
[b]y_(одн.)=С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x[/b]

Частное решение[i] неоднородного уравнения[/i] находим в виде:
y_(част)=Аe^(4х)

Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=4Аe^(4х)
y``_(част)=16Аe^(4х)

Подставляем в данное уравнение:
16Аe^(4х)+8*(4Аe^(4х))+25*(Аe^(4х))=18e^(4x)

73A=18

A=18/73

[b]y_(част)=(18/73)*e^(4х)[/b]

[b]y=y_(одн.)+y_(част)= С_(1)*cos6x+C_(2)sin6x+(18/73)*e^(4x)[/b]

Ответ выбран лучшим

[i]Линейное однородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка с[i] постоянными коэффициентами.[/i]

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-6k+9=0

k_(1)= k_(2)=3- корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y=С_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y-xy`=3+3x^2y` ⇒ y-3=(x+3x^2)*y`- уравнение с разделяющимися переменными

dy/(y-3)=dx/(x+3x^2)

∫ dy/(y-3)= ∫ dx/(x+3x^2)

1/(x+3x^2)=(A/x)+(B/(3x+1)) ⇒ A=1; B=-3

∫ dy/(y-3)= ∫ dx/x - ∫ 3dx/(3x+1)

ln|y-3|=ln|x|-ln|3x+1|+lnC

[b]y-3=Cx/(3x+1)[/b]

Ответ выбран лучшим

6x^2-5x*(ax-5)+(ax-5)^2+x-(ax-5)-2=0

6x^2-5ax^2+25x+a^2x^2-10ax+25+x-ax+5-2=0

(6-5a+a^2)x^2+(26-11a)x+28=0

если 6-5а+a^2=0 ⇒ а=2 или a=3

то уравнение принимает вид:

(26-22)х+28=0 или (26-33)х+28=0

x=-7 или x=4 - уравнения имеют одно решение

если 6-5а+a^2 ≠ 0, то квадратное уравнение имеет одно решение, если дискриминант квадратного уравнения D=0 ⇒

D=(26-11a)^2-4*(6-5a+a^2)*28=26^2-2*26*11a+121a^2-672+560a-112a^2=9a^2-12a+4=(3a-2)^2

D=0 ⇒ (3a-2)^2=0 ⇒ 3a-2=0 ⇒ a=2/3

О т в е т. 2;3;2/3

Ответ выбран лучшим

[m] ∫ u^{-\frac{5}{4}}du=\frac{u^{-\frac{5}{4}+1}}{-\frac{5}{4}+1}[/m]

u=16+x^2

du=(16+x^2)`*dx=2xdx ⇒

xdx=(1/2)du

[b]xdx=(1/2)d(16+x^2)[/b]

=[m] \frac{1}{2}[/m]∫ ^(+ ∞ )_(0)[m](16+x^2)^{-\frac{5}{4}}d(16+x^2)[/m]=

=[m]\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{-\frac{5}{4}+1}}{-\frac{5}{4}+1}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=

=[m]-\frac{2}{\sqrt[4]{16+x^2}}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=-0+1=1

[m]\frac{x^2-25x+26}{x-1} + \frac{x^2-7x+1}{x-7} \leq 2x-24[/m]

[m]\frac{x^2-25x+26}{x-1} + \frac{x^2-7x+1}{x-7}-(2x-24) \leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{(x^2-25x+26)(x-7)+(x^2-7x+1)(x-1)-(2x-24)(x-1)(x-7)}{(x-1)(x-7)} \leq 0[/m]

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:

[m]\frac{x^3-25x^2+26x-7x^2+175x-182+x^3-7x^2+x-x^2+7x-1-2x^3+40x^2-206x+168}{(x-1)(x-7)} \leq 0[/m]

[m]\frac{3x-15}{(x-1)(x-7)} \leq 0[/m]

[m]\frac{3(x-5)}{(x-1)(x-7)} \leq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

_-___ (1) __+___ [5] __-___ (7) __+__

О т в е т. (- ∞ ;1) U[5;7)

4^(2x+1,5)=4^(2x)*4^(1,5)=8*(4^(x))^2

9^(x+0,5)=9^(x)*9^(0,5)=3*(3^(x))^2

8*(4^(x))^2-2*(3^(x))*(4^(x))-3*(3^(x))^2 ≥ 0

Делим на (3^(x))^2

t=(4/3)^(x)

t >0

8t^2-2t-3 ≥ 0

t_(1)=-1/2; t_(2)=3/4

t ≥ 3/4 ⇒

(4/3)^(x) ≥ (3/4) ⇒ (4/3)^(x) ≥ (4/3)^(-1) ⇒ x ≥ -1

О т в е т. [-1;+ ∞ )

1,05*(1,1*(1,1А+х)+х) - 1.05*(1,1^2*A+2x)= чётное число тысяч рублей

1,05*(1,1^2A+1,1*x+x-1,1^2A-2x)= чётное число тысяч рублей

1,05*0,1*x=чётное число тысяч рублей

0,105x=чётное число тысяч рублей

если x=400 000

0.105*400 000=42000 руб

(прикреплено изображение)

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+25=0

k1=-5*i; k2=5i– корни комплексно-сопряженные

α =0 β=5

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*cos5x+C_(2)sin5x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=[blue]e^(х)*(Asin5x+Bcos5x)[/blue]

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x)

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x)

y``_(част)=e^(x)(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x)

y``_(част)=e^(x)(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Аsin5x-25Bcos5x)

подставляем в данное уравнение:

e^(x)(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Аsin5x-25Bcos5x)+25*[blue]e^(х)*(Asin5x+Bcos5x)[/blue]=e^(x)*(cos5x-10sin5x)

Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Аsin5x-25Bcos5x+25Asin5x+25Bcos5x=cos5x-10sin5x

(А-5В-5В-25А+A)sin5x+(B+5A+5A-25B+B)*cos5x=cos5x-10sin5x

А-5В-5В-25А+25A=-10
B+5A+5A-25B+25B=1

Cистема:
{А-5В-5В-25А+25A=-10
{B+5A+5A-25B+25B=1

{A-10B=-10 ⇒ А=10В-10 и подставляем во второе
{10A+B=1

10(10В-10)+В=1

B=1

A=0

y_(част)=e^(х)*cos5x

О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)*cos5x+C_(2)sin5x+e^(х)*cos5x

РЕШЕНИЕ задачи Коши:

y(0)=3
y`(0)=-4

Подставляем в общее решение:
х=0; y=3

3=С_(1)*cos0+C_(2)sin0+e^(0)*cos0

sin0=0; cos0=1;e^(0)=1

[b]3=С_(1)+1[/b] ⇒ C_(1)=2

Находим производную:

y`=(С_(1)*cos5x+C_(2)sin5x+e^(х)*cos5x)`

y`=-5С_(1)*sin5x+5C_(2)cos5x+e^(х)*cos5x+ e^(х)*5*(-sin5x)

y`(0)=-4

Подставляем:

[b]-4=5C_(2)+1[/b]⇒ C_(2)=-1

и получаем решение задачи Коши ( решение, удовлетворяющее условиям):

у=2*cos5x-sin5x+e^(х)*cos5x

2x+5=8 ⇒ 2x=8-5 ⇒ 2x=3 ⇒ x=3:2 ⇒ [b]x[/b]=1,5

2*(3x+1)+5=8 ⇒ 2*(3x+1)=8-5 ⇒ 2*(3x+1)=3 ⇒ (3x+1)=3:2 ⇒ [b]3x+1[/b]=1,5 ⇒

3x=1,5-1

3x=0,5

x=0,5:3

x=[m]\frac{1}{2}:3[/m]

x=[m]\frac{1}{2}\cdot {1}{3}[/m]

x==[m]\frac{1}{6}[/m]

Ответ выбран лучшим

Выделим полные квадраты:

[m](sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(cosx+\frac{\sqrt{3}}{2})^2=0[/m]

Cумма двух неотрицательных чисел равна 0 тогда и только тогда когда каждое из них равно 0:

[m]\left\{\begin{matrix} sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0\\ cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} sin2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 2x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{3})+\pi k , k\in Z\\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.[/m]

Запишем ответ первого уравнения в виде двух ответов

[m]\left\{\begin{matrix} 2x=(-\frac{\pi}{3})+2\pi k; 2x=(-\frac{2\pi}{3})+2\pi k , , k\in Z \\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x=(-\frac{\pi}{6})+\pi k; x=(-\frac{\pi}{3})+\pi k , , k\in Z \\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. [m]\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z[/m]

б)
[m]\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6}[/m];
[m]\frac{5\pi}{6}+4\pi=\frac{29\pi}{6}[/m];

[m]\left\{\begin{matrix} x>0;x\neq 1\\ x-2>0; x-2\neq 1 \\log^2_{x}(x-2)-log^2_{x-2}(x)\leq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x>0;x\neq 1\\ x>2; x\neq 3 \\(log_{x}(x-2)-log_{x-2}(x))(log_{x}(x-2)+log_{x-2}(x))\leq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]log_{x}(x-2)=\frac{1}{log_{x-2}x}[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x>2\\ x\neq 3 \\(\frac{1}{log_{x-2}(x)}-log_{x-2}(x))(\frac{1}{log_{x-2}(x)}+log_{x-2}(x))\leq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x>2\\ x\neq 3 \\\frac{1-log^2_{x-2}(x)}{log_{x-2}(x)}\cdot \frac{1+log^2_{x-2}(x))}{log_{x-2}(x)}\leq 0 \end{matrix}\right.[/m]

При x >2; x ≠ 3

[m]1+log^2_{x-2}x >0[/m]

[m]log^2_{x-2}x >0[/m]

поэтому неравенство сводится к неравенству:

[m]1-log^2_{x-2}x ≤ 0 [/m]

[m]log^2_{x-2}x -1 ≥ 0 [/m]

[m](log_{x-2}x-1)( log_{x-2}x+1) ≥ 0 [/m]

__+___ [1-sqrt(2)] ____ [1+sqrt(2)] __+_

C учетом x >2; x ≠ 3 получаем ответ:

[1+sqrt(2);3)U(3;+ ∞ )

AC^2=AB^2+BC^2=64+80=144

AC=12

AO=AC/2=6

d(T, ABC)=TO=sqrt(TA^2+AO^2)=sqrt(10^2+6^2)=sqrt(136)

Проводим высоты параллелограмма:
BK ⊥ CD
BT ⊥ AD

⇒ ВК и ВТ - проекции МК и МТ, если проекция перпендикулярна
стороне, то и наклонная перпендикулярна

MK ⊥ CD
MT ⊥ AD

MK=17
MT=10

По теореме Пифагора:

ВК^2=MК^2-MB^2=17^2-8^2=289-64=225
BK=15

ВT^2=MT^2-MB^2=10^2-8^2=100-64=36
BТ=6

P_(ABCD)=56

2*(AD+DC)=56

AD+DC=28

S_(параллелограмма)=АD*ВТ

S_(параллелограмма)=CD*BK ⇒

[b]АD*ВТ=CD*BK[/b]

AD=x

CD=28-x

x*6=(28-x)*15

x=

S=
(прикреплено изображение)

Продолжаем PQ до пересечения с BC.Получаем точку в основании АВСD, принадлежащую одновременно и секущей плоскости и основанию АВСD. Соединяем эту точку с точкой Т. Секущая плоскость пересекает основание ABCD по прямой ТК. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Проводим через точку Р прямую, параллельную ТК. PF||TK Затем через точку T прямую, параллельную PQ (прикреплено изображение)

Решение векторно-координатным методом.

Вводим систему координат, как показано на рисунке.

Высота пирамиды
SO^2=SA^2-АО^2=1^2-(sqrt(2)/2)^2=1/2

h=SO=sqrt(2)/2

Точки G и F - cередины отрезков.

Находим их координаты как координаты середины

Составляем уравнения плоскостей

ABG:

[m]\begin{vmatrix} x-\frac{1}{2} &y+\frac{1}{2} &z \\ 0&1 &0 \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} &-\frac{\sqrt{2}}{4} \end{vmatrix}=0[/m]

⇒ sqrt(2)x+3z-sqrt(2)=0 ⇒

vector{n_(ABG)}=(sqrt(2);3)

CDF:

Угол между плоскостями - угол между их [i]нормальными[/i] векторами (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Осевое сечение - правильный треугольник, значит основание треугольника 6 sqrt(3).
Основание осевого сечения - это диаметр основания конуса.

d=6sqrt(3)

2R=6sqrt(3) ⇒ R=3sqrt(3)

По теореме Пифагора

h^2=L^2-R^2=(6sqrt(3))^2-(3sqrt(3))^2=108-27=81

h_(конуса)=9 (прикреплено изображение)

Вводим в рассмотрение события ( гипотезы)
H_(1)-" утеряна стандартная"
Н_(2) -" утеряна нестандартная"

p(H_(1))=25/35
p(H_(2)=10/35

p(H_(1))+p(H_(2)=1 ( гипотезы выбраны верно)

Событие А-"После этого из ящика наугад вынули одну деталь. Эта деталь оказалась стандартной"

p(A/H_(1))=24/34
p(A/H_(2))=25/34

По формуле полной вероятности:

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(25/35)*(24/34)+(10/35)*(25/34)=...

а) стандартная деталь

По формуле Байеса

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=...

б) нестандартная деталь

p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=...

Ответ выбран лучшим

S_(полн. конуса)=S_(бок)+S_(осн)=π*R*L+π*R^2

S_(полн. конуса)=32,5

[b]π*R*L+π*R^2=32,5[/b]

r_(сеч):R=4:5 ⇒ r_(сеч)=(4/5)*R

L_(отсеч. конуса):L=4:5 ⇒ L_(отсеч. конуса)=(4/5)*L

S_(полн. отсеч. конуса)=S_(сеч)+S_(бок. отсеч конуса)=

=π*r^2+π*r*L_(отсеч. конуса)=

=π*((4/5)*R)^2+π*((4/5)R)*(4/5)*L=

=(16/25)π*R^2+(16/25)πRL

так как
[b]π*R*L+π*R^2=32,5[/b]

=(16/25)(π*R^2+πRL)=(16/25)*32,5=0,64*32,5=20,8

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть первая бригада за х часов, тогда вторая за (х+5) часов

Значит первая [i]за час[/i] выполняет (1/х) часть;

вторая [i]за час[/i] выполняет

1/(х+5) часть.

Вместе выполняют за 6 часов, значит[i] за час[/i] (1/6) часть всей работы

Уравнение

(1/х) + (1/(х+5))=1/6

6*(x+5)+6x=x*(x+5)

x^2-7x-30=0

D=49-4*(-30)=169

x=(7+13)/2=10 часов; x=(7-13)/2 < 0 не удовл. смыслу здачи

О т в е т. 10 часов

(1/10)+(1/15)=1/6 - верно

Находим точку пересечения:
{x^2+y^2=5
{y^2=4x

x^2+4x=5 ⇒ x^2+4x-5=0;D=36; корни x_(1)=-5;x_(2)=1

⇒ y^2=-5 нет корней
или
y^2=1 ⇒ y= ± 1 по условию y >0

x=1
y=1

f`_(x_(o))=k_(касательной)=tg α ( α - угол наклона касательной к кривой y=f(x) в точке х_(о)

Первая кривая:

y^2=5-x^2 ⇒ y=sqrt(5-x^2)

y`=-x/sqrt(5-x^2)

y`(1)=-1/sqrt(5-1^2)=-1/2

k_(касательной 1)=-1/2

Вторая кривая:

y^2=4х⇒ y=2sqrt(x)

y`=1/sqrt(х)

y`(1)=1/sqrt(1)=1

k_(касательной 2)=1

tgα _(1)=-1/2
tg α _(2)=1

tg( α _(2)- α _(1))=(tgα _(2)-tgα _(1))/(1+tg α _(1)*tg α _(2))=

=(1-(-1/2))/(1+1*(-1/2)=(3/2)/(1/2)=[b]3[/b]

О т в е т. arctg 3

Ответ выбран лучшим

Скорый поезд за 108 сек проехал 400 м+ свою длину со скоростью

60-30 =30 км в час

30 км в час=30 000 /3600 м/сек=25/3 м/сек

(25/3)*108=900 м

900 м - 400 м =500 м длина скорого. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

||3x+8|–6|+5=6 или ||3x+8|–6|+5=-6

||3x+8|–6|=1 или ||3x+8|–6|=-11 ( неи имеет решений, |..| ≥ 0)

|3x+8|–6=1 или |3x+8|–6=-1

|3x+8|=7 или |3x+8|=5

3x+8=7 или 3х+8 =-7 или 3x+8=5 или 3х+8=-5

3x=-1 или 3х =-15 или 3x=-3 или 3х=-13

[b]x=-1/3 или х=-5 или х=-1 или х=-13/3[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Отсутствует при а=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx

2*2sinx*cosx+2cosx=0

2cosx*(2sinx+1)=0

cosx=0 или 2sinx+1=0 ⇒ sinx=-1/2 ⇒

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z

О т в е т. (π/2)+πm, m ∈ Z; (-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z

б)
Запишем ответ х=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z
в виде двух ответов:

при k=2n
получим
x=(-π/6)+2πn

при k=2n+1
получим
x=(7π/6)+2πn, n ∈ Z

Тогда легко найти корни, принадлежащие указанному отрезку

x=(-π/6)-2π= -13π/6

x=(7π/6)-4π=-17π/6

x=(π/2)-3π=-5π/2

k_(прямой ОВ)=3

k_(прямой ВА)=-1/3

k_(прямой ОВ)*k_(прямой ВА)=-1

⇒ АВ ⊥ ОВ ⇒ Δ АВО - прямоугольный и ∠ АВО=90 °

sin ∠ BOA=АВ/OA

Найдем по теореме Пифагора:

OA=sqrt(2^2+4^2)=sqrt(20)
BA=sqrt(1^2+3^2)=sqrt(10)

sin ∠ BOA=АВ/OA=sqrt(10)/sqrt(20)=1/sqrt(2)

О т в е т. (1/sqrt(2))*2sqrt(2)=2

Ответ выбран лучшим

tg ∠ AOD=3/3=1
∠ AOD=45 °

tg ∠ BOC=1/3 ⇒ ∠ BOC=arctg(1/3)

∠ BOA=45 ° -arctg(1/3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6^(x+9)>6^(-2)

Показательная функция с основанием 6 возрастающая.

По определению это означает, что [i]большему[/i] значению функции (y )соответствует [i]большее[/i] значение аргумента х.

Поэтому от неравенства со значениями функции переходим к неравенству с аргументами ( показателями)

Знак неравенства остается неизмененным (сохраняется).
x+9>-2

x>-11

Одно число х, другое (9-х)
x^2*(9-x)- произведение одного на квадрат другого

Обозначим его f(x)

f(x)=x^2*(9-x)

f(x)=9x^2-x^3

Исследуем функцию с помощью производной : [b]x > 0[/b]

f `(x)=18x-3x^2

f `(x)=0

18x-3x^2=0

3x*(6-x)=0

х=6 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

f(x)=6^2*(9-6)=36*3=[b]108 [/b]

Ответ выбран лучшим

Все [i]приближенные[/i] вычисления основаны на[i] приближенном[/i] равенстве ( cм. приложение)

Слева -значение функции в "нехорошей" точке M(x_(o)+ Δx;y_(o)+ Δy) , справа-значение функции в "хорошей" точке M_(o)(x_(o);y_(o)) и частные производные в "хорошей" точке M_(o)(x_(o);y_(o))

180 ° =π рад ⇒ 1 ° =(π/180) радиан

x_(o)=45 ° =(π/4)

x_(o)+ Δx=47 ° ⇒ Δх=2 ° =2*(π/180)=(π/90) радиан

y_(o)=30 ° = (π/6)

x_(o)+ Δx=28 ° ⇒ Δy=-2 ° =-2*(π/180)=(-π/90) радиан

df(x_(o);y_(o))=f`_(x)(x_(o);y_(o)) Δx+f`_(y)(x_(o);y_(o)) Δy

f`_(x)(x;y)=siny*(tgx)`_(x)=siny/cos^2x

f`_(y)(x;y)=tgx*(siny)`_(y)=tgx*cosy

f`_(x)(x_(o);y_(o))= f`_(x)(π/4;π/6)= sin(π/6)/cos^2(π/4)=1

f`_(y)(x_(o);y_(o))= f`_(y)(π/4;π/6)= tg(π/4)*cos(π/6)=1*sqrt(3)/2

df(x_(o);y_(o))=df(π/4;π/6)=1*(π/90)+(sqrt(3)/2)*(-π/90) ≈ считаем и подставляем в формулу

d^2(x_(o);y_(o))=f``_(xx)(x_(o);y_(o)) (Δx)^2+2f``_(xy)(x_(o);y_(o)) Δx* Δy+f``_(xx)(x_(o);y_(o)) (Δx)^2

f ``_(xx)(x;y)=(siny/cos^2x)`_(x)=2siny*(sinx)/cos^3x

f ``_(xy)(x;y)=(siny/cos^2x)`_(y)=cosy/cos^2x

f ``_(yy)(x;y)=(tgx*cosy)`_(y)=-tgx*siny

f ``_(xx)(x_(o);y_(o))=f ``_(xx)(π/4;π/6)=2

f ``_(xy)(x_(o);y_(o))=f ``_(xy)(π/4;π/6)=sqrt(3)

f ``_(yy)(x_(o);y_(o))=f ``_(yy)(π/4;π/6)=-1/2

d^2(x_(o);y_(o))=d^2(π/4;π/6)=2*(π/90)^2+2sqrt(3)*(π/90)*(-π/90)-(1/2)*(-π/90)^2 ≈ считаем и подставляем в формулу (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(бок)=π*R*L

S_(бок)=63

π*R*L=63

L=9

π*R*9=63 ⇒ [blue] π*R[/blue]=63:9=[blue]7[/blue]

C=2π*R=2*([blue]π*R[/blue])=2*[blue]7[/blue]=14

C=2π*R

По условию C=18 ⇒ 18=2π*R ⇒ R=9/π

S_(бок)=π*R*L=π*(9/π)*6=[b]54[/b]

Ответ выбран лучшим

∑^(∞)_(n=1) [m]\frac{П^{n}_{k=1}(2+3k)}{П^{n}_{k=1}(1+4k)}[/m]

По признаку Даламбера

lim_(n → ∞ )[m]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=[/m]

=lim_(n → ∞ )[m]\frac{\frac{П^{n+1}_{k=1}(2+3k)}{П^{n+1}_{k=1}(1+4k)}}{\frac{П^{n}_{k=1}(2+3k)}{П^{n}_{k=1}(1+4k)}}=[/m]

==lim_(n → ∞ )[m]\frac{2+3n+3}{1+4n+4}=\frac{3}{4} < 1[/m]

Сходится по признаку Даламбера

Ответ выбран лучшим

S_(трапеции)=(a+b)*h/2

a=10+23=33
b=5
h=24

S=(33+5)*24/2=...

tg ∠ A=BC/AC=2/5
tg ∠ B=AC/BC=5/2

[m]log_{a}\sqrt[4]{\frac{a}{b}}=log_{a}(\frac{a}{b})^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}log_{a}\frac{a}{b}=[/m]

[m]=\frac{1}{4}\cdot (log_{a}a-log_{a}b)=\frac{1}{4}\cdot (1-17)=-4[/m]

2.

Так как
(sqrt(7)+sqrt(6))^2=7+2sqrt(42)+6=13+2sqrt(42)

2log_(3)9-2log_(3)(sqrt(7)+sqrt(6))+log_(3)(sqrt(7)+sqrt(6))^2=

=2log_(3)9-2log_(3)(sqrt(7)+sqrt(6))+2log_(3)(sqrt(7)+sqrt(6))=

=2log_(3)9=2*2=4

Ответ выбран лучшим

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

2,65=(2,5+x)/2

5,3=2,5+x

x=5,3-2,5

x=2,8

S_(бок)=2π*R*Н

S_(бок)=24π

2π*R*Н=24π ⇒ [b]R*Н=12[/b]

d^2=(2R)^2+H^2

d=5

[b]5^2=(2R)^2+H^2[/b]

Система двух уравнений
{[b]R*Н=12[/b] ⇒ R=12/H подставляем во второе
{[b]5^2=(2R)^2+H^2[/b]

25=4*(12/H)^2+H^2

x^2 ≠ 0

Умножаем на x^2

Н^4-25H^2+576=0

D=(-25)^2-4*576<0

Нет решений

(прикреплено изображение)

S_(осн)=π*R^2

S_(осн)=49*π

π*R^2=49*π ⇒ R^2=49 ⇒ [blue] R=7[/blue]

S_(бок)=2π*R*Н

S_(бок)=70π

2π*R*Н=70π ⇒ 2π*[blue]7[/blue]*Н=70π

Н=[b]5[/b]

Ответ выбран лучшим

h=sqrt(10^2-5^2)=5sqrt(3) (прикреплено изображение)

z`_(x)=[m]\frac{(x-3y)`_{x}}{1+(x-3y)^2}[/m] ⇒z`_(x)=[m]\frac{1}{1+(x-3y)^2}[/m]

z`_(y)=[m]\frac{(x-3y)`_{y}}{1+(x-3y)^2}[/m] ⇒z`_(x)=[m]-\frac{3}{1+(x-3y)^2}[/m]

z``_(xy)=([m]\frac{1}{1+(x-3y)^2}[/m] )`_(y)=...

z``_(yx)=([m]-\frac{3}{1+(x-3y)^2}[/m] )`_(x)=...

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(1/4)*4x^3-(1/2)*2x

y`=x^3-x

y`=0

x^3-x=0

x(x-1)(x+1)=0

x=-1;x=0; x=1

Знак производной

__-_ (-1) _+_ (0) _-_ (1) __+__

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y`>0 при x ∈ (-1;0) U(1;+ ∞) ⇒ функция[i] возрастает[/i] при x ∈ (-1;0)
и x ∈ (1;+ ∞ )

y`<0 при x ∈ (- ∞ ;-1)U(0;1) ⇒ функция[i] убывает[/i]т при x ∈ (- ∞ ;-1) и x ∈ (0;1)

y``=3x^2-1

y``>0 при x ∈(- ∞ ;-1/sqrt(3))U (1/sqrt(3);+ ∞ ) - функция выпукла вверх

y`` <0 при x ∈ (-1/sqrt(3);1/sqrt(3)) - функция выпукла вниз
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть неизвестное число х, тогда [m]\frac{1}{x}[/m] - взаимно обратное.

[m]44x^2[/m] - квадрат этого числа ,увеличенный в 44 раза

Сумма взаимно обратного и квадрата этого числа увеличенного в 44

раза

[m]\frac{1}{x}+44x^2[/m]

Обозначим ее f(x)

f(x)=[m]\frac{1}{x}+44x^2[/m]

x>0

Исследуем функцию с помощью производной.

f `(x)=[m]-\frac{1}{x^2}+88x[/m]

f `(x)=[m]\frac{88x^3-1}{x^2}[/m]

f`(x)=0

[m]88x^3-1=0[/m]

x ≠ 0

[m]x^3=\frac{1}{88}[/m]

x=[m]\sqrt[3]{\frac{1}{88}}[/m]- точка минимума на (0;+ ∞ ), производная меняет знак с - на +

О т в е т. [m]\sqrt[3]{\frac{1}{88}}[/m]

PS.
Если увеличение в 4 раза, все смотрится гораздо интереснее:

f(x)=[m]\frac{1}{x}+4x^2[/m]

x>0

Исследуем функцию с помощью производной.

f `(x)=[m]-\frac{1}{x^2}+8x[/m]

f `(x)=[m]\frac{8x^3-1}{x^2}[/m]

f`(x)=0

[m]8x^3-1=0[/m]

x ≠ 0

[m]x^3=\frac{1}{8}[/m]

[m]x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}[/m]

[m]x=\frac{1}{2}[/m]- точка минимума на (0;+ ∞ ), производная меняет знак с - на +

О т в е т. [m]\frac{1}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Значит, в квадрат вписана окружность

2R=H

S_(полн. цилиндра)=S_(бок)+2S_(осн)=2π*R*H+2π*R^2

Н=2R

=2π*R*(2R)+2π*R^2=6πR^2

По условию

S_(полн. цилиндра)=12

6πR^2=12

[b]πR^2=2[/b]

S_(шара)=4π*R^2=4*([red]π*R^2[/red])=4*2=[b]8[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D=(2y)^2-4x*x=4y^2-4x^2=4*(y^2-x^2)

y`=(y ± sqty(y^2-x^2))/x (#)

Это однородные уравнения

Решаются заменой:

y/x=u

y=x*u

y`=x`*u+u`*x

x`=1

y`=u+x*u`+u

Подставляем в (#)

u+u`*x=u ± sqrt(u^2-1)

u`*x= ± sqrt(u^2-1)- уравнения с разделяющимися переменными

± du/sqrt(u^2-1)=dx/x

± ∫ du/sqrt(u^2-1)= ∫ dx/x

± ln|u+sqrt(u^2-1)|=ln|x|+lnC

± ln|u+sqrt(u^2-1)|=lnC|x|

ln|u+sqrt(u^2-1)|=lnC|x| или ln(|u+sqrt(u^2-1)|)^(-1)=lnC|x|
Сx=u+sqrt(u^2-1) или Cx=1/(u+sqrt(u^2-1))

Подставляем вместо u=y/x и получаем два ответа

Ответ выбран лучшим

2x–5y=10

Точек бесчисленное множество.

Выбираем любое значение х

x=0; тогда 2*0-5y=10 ⇒ -5y=10 ⇒ y=10^(-5)=-2

(0;2) - одна такая точка..

х=

r^2=L^2-H^2=10^2-5^2=100-25=75

r=sqrt(75)=5sqrt(3)

d=2r=10sqrt(3) - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Обозначим

arctg(3/4)= α ⇒ tg α =3/4 ⇒ α ∈ [0;π/2]

Найти 5 sin α

1+tg^2 α =1/cos^2 α ⇒ cos^2 α =16/25

sin^2 α =1-cos^2 α =1-(16/25)=9/25

sin α = ± 3/5

α ∈ [0;π/2]

sin α =+3/5

5sin α =3

О т в е т. 3

sqrt(x-2) ≥ sqrt(x-7)+1

Слева и справа положительные выражения, возводим в квадрат

При этом изменится область определения уравнения, а именно расширится.

Так как в исходном уравнении были выражения под корнем, а при возведении корни исчезнут.

Поэтому возводим в квадрат с оговоркой:
{x-2 ≥ 0
{x-7 ≥ 0
{x-2 ≥ x-7+2sqrt(x-7)+1

Решаем третье неравенство системы:

2sqrt(x-7) ≤ 4

sqrt(x-7) ≤ 2

Возводим в квадрат

x-7 ≤ 4

x ≤ 11

C учетом
{x-2 ≥ 0
{x-7 ≥ 0 ⇒ х ≥ 7

получаем ответ:[b] [7;11][/b]

Возводим в квадрат. Решаем квадратное уравнение и делаем [b]проверку.[/b]

х+6=4x^2-12x+9

4x^2-13x+3=0

D=169-4*4*2=121

x_(1)= 1/4 ; x_(2)=3

x_(1) - посторонний корень

sqrt((1/4)+6)=2*(1/4)-3 неверно, арифметический кв корень есть число положительное

sqrt(3+6)=2*3-3 - верно

О т в е т. 3

y`=3x^2-12x

y`=0

3x^2-12x=0

x=0; x=4

y` < 0 на (0;4)

y`>0 на (- ∞ ;0) U(4;+ ∞ )

x=0 - точка максимума
х=4 - точка минмума

Ответ выбран лучшим

cos [b]2x[/b]=cos^2x-sin^2x

sin^2x=1-cos^2x ⇒

cos[b]2x[/b]=2cos^2x-1

Тогда уравнение можно записать:

2cos^2x-1-8cosx+3=0

Квадратное уравнение:

2cos^2x-8cosx+2=0

cos^2x-4cosx+1=0

D=16-4=12

cosx=(4-2sqrt(3))/2 или cosx=2+sqrt(3) ( нет корней)

cosx=2-sqrt(3)

[b]x= ± arccos(2-sqrt(3))+2πn, n ∈ Z[/b]

y`=(x^(5)+20x^(3)-88)`=5x^4+60x^2 ≥ 0 при любых х ∈ [−2;5].

Значит функция возрастает на этом отрезке

y_(наим [-2;5])=y(-2)=(-2)^(5)+20*(-2)^(3)-88

y_(наиб [-2;5])=y(5)=5^(5)+20*5^(3)-88

Дана сложная функция

y=sqrt(u) ; u=u(x)

По правилу вычисления производной[i] сложной[/i] функции

y`=u`/(2sqrt(u))

y`=0 ⇒ u`=0

Поэтому исследование функции y=sqrt(u) сводится к исследованию

функции u(x)=x^3-75x+375

u`(x)=3x^2-75

u`(x)=0

3x^2-75=0

3*(x^2-25)=0

x= ± 5

обе точки принадлежат [-6;6]

Находим значение [b]данной функции[/b] в этих точках и на концах отрезка:

y(-6)=

y(-5)=

y(5)=

y(6)=

Выбираем наибольшее и наименьшее

Ответ выбран лучшим

Умножим и числитель и знаменатель на такое же выражение, но с +

sin( α -(3π/2))=-sin((3π/2)- α )

По формулам приведения
sin((3π/2)- α )=-cos α ⇒

[b]sin( α -(3π/2))=cos α [/b]

tg((π/2)- α )=ctg α

cos((π/2)- α )=sin α

sin(π+ α )=-sin α

sin^2(π+ α )=(-sin α)^2=sin^2 α

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{sin(55^{o}+5^{o})}{cos(65^{o}-5^{o})}\cdot \sqrt{3}=\frac{sin60^{o}}{cos60^{o}}\cdot \sqrt{3}=tg60^{o}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3[/m]

Ответ выбран лучшим

(135+0)-28=135-28=107

Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки:
(-4;-3) и (6;-1)
y=kx+b

-3=k*(-4)+b
-1=k*6+b

k=1/5

Это угловой коэффициент касательной

f `(x_(o))= k_(касательной)

Значит, f `(1)=1/5

Находим производную функции y:

y`=(x/2)`*f(x)+(x/2)*f `(x)+3

y`=(1/2)*f(x)+(x/2)*f`(x) +3

Так как точка касания имеет координаты (1;-2)

то и f(1)=-2

y`(1)=(1/2)*(-2)+(1/2)*(1/5)+3=... это ответ

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

f `(x)=3x^2-4x+1

f `(x)=0

3x^2-4x+1=0

D=(-4)^2-4*3*1=16-12=4

x_(1,2)=(4 ± 2)/6 - точки возможного экстремума.

x=(1/3) ∈ [0; 2/3]

f`(x) >0 на (0;1/3)

f`(x) < 0 на (1/3;2/3)

x=(1/3) - точка максимума

f_(наиб [0;2/3])=f(1/3)=(1/3)^3-2*(1/3)^2+(1/3)+3=...

Наименьшее выбираем на концах отрезка

f(0)=3
f(2/3)=(2/3)^3-2*(2/3)^2+(1/3)+3 =...

f_(наим [0;2/3])=f (2/3)=

Ответ выбран лучшим

F(x)=x^3-2x^2

F(5)-F(-1)=(5^3-2*5^2)-((-1)^3-2*(-1)^2)=125-50+1+2=78

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x+19 ≥ 0 ⇒ x ≥ -9,5

При x >-9,5
sqrt(2x+19) >0 ⇒

0,8^(x)-0,64 <0

0,8^(x)<0,8^2

Показательная функция с основанием 0 < 0,8 < 1 [i]убывающая [/i]

x>2

О т в е т. (2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

{x>0
{y>0
{10x+3y=(1/6)^(-2)
{log_(6)(24x/y)=2 ⇒ 24x/y=6^2

{x>0
{y>0
{10x+3y=6
{2x=3y

10x+2x=6

12x=6

x=0,5

2*0,5=3y

y=1/3

О т в е т. [b]х=0,5; y=1/3[/b]

Ответ выбран лучшим

Апофема
h^2=H^2+(a/2)^2

H=a

h^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4

h=a*sqrt(5)/2

По условию

h=15

15=a*sqrt(5)/2

a=30/sqrt(5)=6sqrt(5)

S_(сечения)=(a/2)^2=(6sqrt(5))/2)^2=(3sqrt(5))^2=[b]45[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y` <0 ⇒ функция убывает и обратно, функция убывает, производная неположительна (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(шара)=(4/3)π*R^3=(4/3)*π*5^3

V_(конуса)=(1/3)πr^2*h

h=20

V_(конуса)=V_(шара)

(1/3)πr^2*20=(4/3)*π*5^3 ⇒ r^2=25; [b]r=5[/b]

Ответ выбран лучшим

d^2=a^2+b^2+c^2=7^2+1^2+(5sqrt(2))^2=49+1+50=100

d=10

Ответ выбран лучшим

216=6^3

216^(log_(6)5)=(6^(3))^(log_(6)5)=6^(3*log_(6)5)=6^(log_(6)5^3)=5^3=125

Ответ выбран лучшим

(6-x)^7=2^(7)

6-x=2

x=6-2

х=4

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(15/16)=1/16

cos α= ± 1/4

(3π/2)< α <2π ⇒ cos α =+1/4

Ответ выбран лучшим

Дана область вертикального вида.

D: -1 ≤ х ≤ 2; x^2 ≤ y ≤ x+2

y=x^2- линия входа в область

y=x+2 - линия выхода из области

Направление входа в область как у оси Оу

y=x^2 ⇒ x= ± sqrt(y)

x=-sqrt(y) левая ветвь параболы
х=sqrt(y) - правая

y=x+2 ⇒ x=[blue]y-2[/blue]

Как область горизонтального, ее надо разбить на две области:

D_(1): 0 ≤ y ≤ 1, -sqrt(y) ≤ x ≤ sqrt(y)

D_(2): 1 ≤ y ≤ 4; [blue]y-2[/blue] ≤ x ≤ sqrt(x) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
y`=[m]\frac{1}{tg2x}*(tg2x)`=\frac{1}{tg2x}\cdot \frac{1}{cos^22x}\cdot (2x)`=\frac{2}{tg2x\cdot cos^22x}[/m]

y`([m]\frac{3 \pi}{8}[/m])=...

2.

y`=x`*e^(x)+x*(e^(x))`=e^(x)+x*e^(x)=e^(x)*(1+x)

y`=0

1+x=0

x=-1 - точка экстремума, в этой точке касательная || оси ОХ

y(-1)=-1e^(-1)=-1/e

О т в е т. y=1/e

3) Условие написано неверно. y=1,5+4,5 ???

4)
y`=3x^2-6x

y`=0

3x^2-6x=0

3x*(x-2)=0

x=0; x=2 - точки возможного экстремума

Применяем достаточное условие экстремума ( находим знак производной)

y` >0

3x^2-6x > 0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

y`<0

на (0;2)

__+__ (0) ___-__ (2) __+_

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

х=2 -точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

Первое уравнение умножаем на (-1)

{-10y+3x=+7
{10y+x=2

Складываем, т.е заменяем одно из уравнений системы суммой уравнений:

{4x=9 ⇒ x=2,25
{10y+x=2 ⇒ 10y+2,25=2

{x=2,25
{y=-0,025

Ответ выбран лучшим

SO ⊥ пл АВС ⇒ Δ SMO - прямоугольный.

SM=2SO ( катет против угла 30 градусов равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета)

SM=12

OM^2=12^2-6^2=144-36=108

OM=6sqrt(3)

Δ АВС - равносторонний

OM=(1/3)AM ( центр О делит медиану АМ в отношении 2:1 считая от вершины А)

[b]AM=18sqrt(3)[/b]

АМ- медиана и высота равнобедренного треугольника

Из прямоугольного треугольника АМС

sin ∠ C=AM/AC ⇒

АС=АM/sin60 ° =36

AB=AC=BC=36

S_( Δ ABC)=(1/2) BC*AM=(1/2)*36*[b]18sqrt(3)[/b]=[blue]324sqrt(3) [/blue]

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H=(1/3)* ([blue]324*sqrt(3)[/blue])* 6=648sqrt(3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7,3х-16х +14у-4,6у=-(16-7,3)х+(14-4,6)у=[b]-8,7[/b]*х+[b]9,4[/b]*у

10-12,3=х
-2,3=х

х=-2,3

4х-4*8=0,4

4х=32+0,4

4х=32,4

х=8,1

a)
2x ≤ 3-5

2x ≤ -2

x ≤ -1

-1 - наибольшее целое решение

б)
6x-2 < 4

6x<4+2

6x <6

x< 1

0 - наибольшее целое

в)

5,4-x >1,2

5,4-1,2 > x

4,2 > x

x < 4,2

4 - наибольшее целое

C=2π*R

R=C/(2π)=785/2π ≈ [b]125[/b]

По теореме косинусов:

AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BC*cos ∠ ACB=8^2+8^2-2*8*8*(-1/2)=

=64*3

AB=8sqrt(3)

S_(ABC)=(1/2)AC*BC*sin120 ° =(1/2)*8*8*sqrt(3)/2=[b]16sqrt(3)[/b]

S_(AKLB )=AB*AK

AK=H_(призмы)=S/AB=10sqrt(3)/8sqrt(3)=10/8=[b]5/4[/b]

∂u/∂x=(x)`*ln(xy)+x*(ln(xy))`_(x)=ln(xy)+x*(1/(xy))*(xy)`_(x)

=ln(xy)+(xy)/(xy)=ln(xy)

∂^2u/∂x^2=(ln(xy))`_(x)=(1/(xy)) * (xy)`_(x)=(y/xy)=1/x

∂^3u/∂x^2∂y =(1/x)`_(y)=0

∂u/∂y=x*(1/xy)*(xy)`_(y)=x^2/xy=x/y

∂^2u/∂y∂x=(x/y)`_(x)=(1/y)

∂^3u/ ∂y∂x^2=(1/y)`_(x)=0

Ответ выбран лучшим

Выделить полные квадраты:

(x^2-6x)+y^2+(z^2+10z)=-9

(x^2-6x+9)-9+y^2+(z^2+10z+25)-25=-9

(x-3)^2+y^2+(z+5)^2=25

(3;0;-5)
R=5 (прикреплено изображение)

S=(1/2)a*b*sin ∠ C=(1/2)*3*4*sin30 ° =[b]3[/b]

Ответ выбран лучшим

ctg x cos^2 y dx =- sin^2 x tg y dy - уравнение с разделяющимися переменными

-ctgxdx/sin^2x=tgydy/cos^2y

- ∫ ctgxdx/sin^2x= ∫ tgydy/cos^2y

∫ ctgx d(ctgx)= ∫ tgy d(tgy)

формула ∫ udu=u^2/2

(1/2)ctg^2x=(1/2)tg^2y + c

[b]ctg^2x=tg^2y+C[/b] С=2с

Ответ выбран лучшим

a)[-2;6)
б)(- ∞ ;3)
в)[1;+ ∞ )
г)[-1;0]
д)(-3;+ ∞ )
е)(- ∞ ;0]

Ответ выбран лучшим

x:36=2:3

х=36*2/3=24 мм

Первый меньше, раз отношение периметров 2:3

Если у второго меньшая сторона 36 мм, то у первого она меньше

О т в е т. 24 мм

Ответ выбран лучшим

2.
V_(шара)=(4/3)*π*R^3

32*π = (4/3)*π*R^3

R^3=24

R=2sqrt(6)

D=2R=[b]8sqrt(6)[/b]

1.
см. приложение 1
S_(1)=4π ⇒ r_(1)=2
S_(2)=25π ⇒ r_(2)=5

H=6

V=(1/6)*π*6^3+(1/2)*π*(2^2+5^2)*6=... (прикреплено изображение)

Подставляем и проверяем верное неравенство или нет

a)
-3*(-2)-7 <0
6-7 <0 - верно, так как -1 <0

О т в е т. а) является

б)
2*(-2) >1
-4 >1 - неверно.

О т в е т. б) не является

в)-5 < -2 ≤ 0 - верно

О т в е т. в) является

г)
(1/2)*(-2) ≥ -1 - верно, -1 ≥ -1 - верно

О т в е т. г)является

д)
не является

е)
не является

Ответ выбран лучшим

Три раза. Когда оказывался в точках выделенных синим цветом (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВС- прямоугольный.

cos ∠ C=AC/BC ⇒ BC=AC/cos ∠ C

sin^2 ∠ C+cos^2 ∠ C=1

cos^2 ∠ C=1-(11/36)=25/36

cos ∠ C= ± (5/6)

∠ С- острый ⇒ cos ∠ C= (5/6)

BC=5/(5/6)=[b]6[/b]

(прикреплено изображение)

x:12,5=24:8,1

x=12,5*24/8,1=

О т в е т. 3)37,5дм

Ответ выбран лучшим

1)
L=16;
Осевое сечение равнобедренный треугольник, его боковые стороны - это образующие. Основание - это диаметр конуса.
Угол при вершине 30 градусов.

По теореме косинусов основание осевого сечения, т.е
(2r)^2=L^2+L^2-2*L*L*cos30 °

4r^2=256+256-256*sqrt(3)

r^2=(256+256-256*sqrt(3))/4

r^2=[red]128-64sqrt(3)[/red]

h^2=L^2-(r/2)^2=16^2-(128-64sqrt(3)/4=256-32+16sqrt(3)

h=sqrt(224+16sqrt(3))=[blue]4sqrt(14+sqrt(3))[/blue]

V=(1/3)*πr^2*h=(1/3)*π*([red]128-64sqrt(3)[/red])*[blue]4sqrt(14+sqrt(3))[/blue]=...

Проверяйте условие, какой угол 30 ° ? Точно при вершине осевого сечения.

2)

см. рис.

h=(1/3)*2R=(2/3)*R

R=3 cм

h=2 см

V=(2/3)*π*3^2*2=... (прикреплено изображение)

S= ∫ ^(π)_(0)(2sinx-sinx)dx= ∫ ^(π)_(0)sinxdx=(-cosx)|^(π)_(0)=

=-cos(π)+cos0=-(-1)+1=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(y/x)+sin(y/x)

Cправа выражение, которое зависит от (y/x)

Значит это однородное, которое решают заменой

[b]y/x=u[/b] ⇒ y=u*x

y`=(u*x)`

y`=u`*x+u*1, так как x`=1

u`*x+u=u+sinu

u`*x=sinu уравнение с разделяющимися переменными

du/sinu=dx/x

∫ du/sinu= ∫ dx/x

ln|tg(u/2)|=ln|x|+lnC

tg(u/2)=Cx

[b]tg(y/(2x))=Cx[/b]

[blue]y(1)=π/2[/blue]

x=1; y=π/2

tg(π/4)=C

C=1

[blue]tg(y/(2x))=x[/blue]

Ответ выбран лучшим

[m]y`=\frac{xy}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}\cdot e^{-\frac{x}{y}}[/m]

Cправа выражение, которое зависит от (y/x)

Значит это однородное, которое решают заменой

[b]y/x=u[/b] ⇒ y=u*x

y`=(u*x)`

y`=u`*x+u*1, так как x`=1

u`*x+u=u+u^2*e^(-1/u)

u`*x=u^2*e^(-1/u) - уравнение с разделяющимися переменными

e^(1/u)*du/u^2=dx/x

∫ e^(1/u)*du/u^2= ∫ dx/x

-e^(1/u)=lnx+C

[b]-e^(x/y)=lnx+C[/b] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Если четырехугольник описан около окружности, значит окружность вписана в четырехугольник.

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.

Сумма углов C и D равна 180 ° ⇒ Биссектрисы углов С и D делят углы пополам

Δ COD - прямоугольный.

ОK ⊥ CD

OK^2=CK*KD

OK=sqrt(3*12)=6 радиус окружности

h_(трапеции)=2r=2*6=[b]12[/b]

Если четырехугольник описан около окружности, то
стороны четырехугольника касаются окружности.

и по свойству касательных к окружности, проведенных из одной
точки:

суммы противоположных сторон равны, т.е.

BC+AD=AB+CD

CD=CK+KD=3+12=15

AB=CD=15

BC+AD=AB+CD=15+15=30

S_(трапеции)=(a+b)*h/2=30*12/2=180

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

n=24

m=1

p=m/n=1/24 ≈

b; bq; bq^2;bq^3 - четыре члена возрастающей геом прог, q>1

Дано:

{b+bq^3=35
{bq+ bq^2=30

Система двух уравнений с двумя неизвестными

{b*(1+q^3)=35 формула [r]1+q^3=(1+q)*(1-q+q^2)[/r]
{bq(1+q)=30 ⇒ b=30/q*(1+q) и подставляем в первое

(30/q*(1+q)) * (1+q)*(1-q+q^2)=35

30*(1-q+q^2)=35q

6-6q+6q^2=7q

6q^2-13q+6=0

D=169-4*6*6=25

q=3/2; второй корень меньше 1

b=8

О т в е т. [b]8; 12; 18; 27[/b]

Понижение степени:

y`=z

z`*xlnx=z- уравнение с разделяющимися переменными

dz/z=dx/(x*lnx)

∫ dz/z= ∫ dx/(x*lnx)

ln|z|=ln|lnx|+lnC_(1)

z=C_(1)*lnx

y`=C_(1)*lnx

dy=C_(1)*lnxdx

∫ dy=C_(1) ∫ lnxdx ( интегрируем по частям: u=lnx; dv=dx; du=dx/x;v=x)

y=C_(1)*(x*lnx- ∫ dx)

[b]y=C_(1)*x*lnx-C_(1)*x+C_(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ: [/red] 16-x^2 >0 ⇒ [red]-4 < x< 4[/red]

[i]Замена переменной:[/i]

log_(3)(16-x^2)=t

t^2-9t+8 ≥ 0

t^2-9t+8 = 0
D=81-4*8=49
t_(1)=1; t_(2)=8

t^2-9t+8 ≥ 0 ⇒ t ≤ 1 или t ≥ 8

Обратный переход:

log_(3)(16-x^2) ≤ 1 или log_(3)(16-x^2) ≥ 8

log_(3)(16-x^2) ≤ log_(3)3 или log_(3)(16-x^2) ≥ log_(3)3^8

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, поэтому

16-x^2 ≤ 3 или 16-x^2 ≥ 3^8

x^2 ≥ 13 или x^2 ≤ 16-3^(8) - не имеет решений

|x| ≥ sqrt(13)

x ∈ (- ∞ ;-sqrt(13)]U[sqrt(13);+ ∞ )

C учетом ОДЗ

О т в е т. (-4; -sqrt(13)]U[sqrt(13);4)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{6\cdot 9^{x+1}-810}{81^{x}-81} ≥ 1[/m]

[m]\frac{6\cdot 9^{x}\cdot 9-810}{81^{x}-81} -1≥ 0[/m]

[m] \frac{54\cdot 9^{x}-810-81^{x}+81}{81^{x}-81} ≥ 0[/m]

[i]Меняем знак в числителе и знак неравенства[/i]

[m] \frac{(9^{x})^2-54\cdot 9^{x}+729}{81^{x}-81} ≤ 0[/m]

[m] \frac{(9^{x}-27)^2}{81^{x}-81} ≤ 0[/m]

Применяем метод интервалов:

Находим нули числителя:
[m]9^{x}-27=0[/m]

[m]x=log_{9}27=\frac{3}{2}=1,5[/m]

Отмечаем на числовой прямой закрашенным кружком ( я ставлю квадратные скобки)

Находим нули знаменателя:
[m]81^{x}-81=0[/m]

[m]x=1[/m]

Отмечаем на числовой прямой Незакрашенным кружком

( ставлю круглые скобки)

__-___ (1) ___+__ [1,5] __+__

О т в е т. (- ∞;1 )U{1,5}

Ответ выбран лучшим

Умножаем второе уравнение на 2 и складываем с первым

-10*|3y-x|=-30

|3y-x|=3

Тогда

2^(x-y)=128 ⇒ x-y=7

{3y-x=-3
{x-y=7

Складываем: 2y=4; [b]y=2 ⇒ x=9[/b]

{3y-x=3
{x-y=7

Складываем: 2y=10; [b]y=5 ⇒ x=12[/b]

Ответ выбран лучшим

f `(x)=(1-a)+3*(1-2a)*cos(x/3)*(x/3)`+(3/2)cos(2x/3)*(2x/3)`

f`(x)=(1-a)+(1-2a)*cos(x/3)+cos(2x/3)

f `(x)=0

(1-a)+(1-2a)*cos(x/3)+cos(2x/3)=0

cos(2x/3)=2cos^2(x/3)-1

2cos^2(x/3)+(1-2a)*cos(x/3)-a=0

D=(1-2a)^2-4*2*(-a)=1-4a+4a^2+8a=1+4a+4a^2=(1+2a)^2

cos(x/3)=-1/2 или cos(x/3)=a

cos(x/3)=-1/2
x/3= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

x= ± 2π+6πn, n ∈ Z ⇒ 2π ∈ (π;5π); -2π+6π=4π ∈ (π;5π)

две точки возможного экстремума

Значит, второе уравнение

cos(x/3)=a не должно иметь решений.

Это возможно, если |a| > 1 ⇒ a ∈ (- ∞ ;-1)U(1;+ ∞ )

О т в е т. a ∈ (- ∞ ;-1)U(1;+ ∞ )

Это уравнение.

cos^2x+15,25-cos2x=16

cos^2x-(cos^2x-sin^2x)=16-15,25

sin^2x=0,75

sinx=- sqrt(3)/2 или sinx=+ sqrt(3)/2

sinx=- sqrt(3)/2

[m]x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{3})+\pi k, k ∈ Z[/m]

при k=2n
получаем
[m]x_{1}=-\frac{\pi}{3}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

при k=2n+1
получаем
[m]x_{2}=-\frac{\pi}{3}+ \pi +2\pi n=\frac{4\pi}{3}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

sinx= sqrt(3)/2

[m]x=(-1)^{k}arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})+\pi k, k ∈ Z[/m]
[m]x=(-1)^{k}(\frac{\pi}{3})+\pi k, k ∈ Z[/m]

[m]x_{3}=\frac{\pi}{3}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m] или [m]x_{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

Все 4 серии ответов можно записать так

[m]x=\pm \frac{\pi}{3}+ \pi n, n ∈ Z[/m]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

[m]\sqrt{1-(\frac{0,6}{3\cdot 10^8})^2}=\sqrt{1-\frac{0,36}{9\cdot 10^{16}}}=\sqrt{1-\frac{36}{9\cdot 10^{18}}}=\sqrt{1-\frac{4}{10^{18}}}=[/m]

[m]=\sqrt{\frac{10^{18}-2^2}{10^{18}}}=\sqrt{\frac{(10^{9})^2-2^2}{(10^{9})^2}}=\frac{\sqrt{(10^{9}-2)(10^{9}+2)}}{10^{9}}[/m]

[m]\frac{1,673\cdot 10^{27}\cdot 0,6\cdot 10^{9}}{\sqrt{(10^{9}-2)(10^{9}+2)}}[/m]

10^9=1000000000

10^9-2=999999998

10^9+2=1000000002

4.
1)-4) решаются одинаково.

Решаю

1) (x+2)^2+(x-6)^2=2x^2

Раскрываем скобки:
x^2+4x+4+x^2-12x+36=2x^2
-8x=-40
x=5

5)-8)решаются одинаково.

Решаю

5) x^2+x+6=-x^2-3x+(-2+2x^2)
Раскрываем скобки:
x^2+x+6=-x^2-3x-2+2x^2
x+3x=-6-2
4x=-8
x=-2

5.
Теорема Виета.
x_(1)+x_(2)=-p
x_(1)*x_(2)=q

x_(1)+x_(2)=9+1 ⇒ 10=-р ⇒ р=-10
x_(1)*x_(2)=q ⇒ 9*1=q

О т в е т. p=-10; q=9

" более двух", значит 3 или 4 или 5

Повторные испытания с двумя исходами:
p=0,55
q=1-p=1-0,55=0,45

Формула Бернулли:

P_(5)(3)=С^(3)_(5)p^(3)q^(2)=10*0,55^3*0,45^2=...

P_(5)(4)=С^(4)_(5)p^(4)q^(1)=5*0,55^4*0,45^1=...

P_(5)(5)=С^(5)_(5)p^(5)q^(0)=1*0,55^5*0,45^(0)=...

3 или 4 или 5

Значит ответы сложить.

1=log_(3)3

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{3x-5}{x+1}\leq 3\\ \frac{3x-5}{x+1}>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} \frac{3x-5}{x+1}-3\leq 0\\ \frac{3x-5}{x+1}>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} \frac{3x-5-3x-3}{x+1}\leq 0\\ \frac{3x-5}{x+1}>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} \frac{-8}{x+1}\leq 0\\ \frac{3x-5}{x+1}>0 \end{matrix}\right.[/m]

-8 <0 ⇒ x+1 >0 ⇒ и (3x-5) >0

[m]\left\{\begin{matrix} x+1>0\\ 3x-5>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x>-1\\ x>\frac{5}{3} \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. ([m]\frac{5}{3}[/m];+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Функция y=cosx - четная, поэтому
сos(-x)=cosx

сos(-[m]\frac{\pi}{2}[/m]+x)=cos([m]\frac{\pi}{2}[/m]-x)

По правилам приведения

cos([m]\frac{\pi}{2}[/m]-x)

угол ([m]\frac{\pi}{2}[/m]-x) в первой четверти
косинус имеет знак +

Название функции меняется, так как [red]1[/red]*[m]\frac{\pi}{2}[/m]

[red]1[/red] - нечетное
О т в е т. sinx

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение относительно sinx

[i]Замена переменной:[/i]

sinx=t

t^2-3t-4=0

D=(-3)^2-4*(-4)=25

t_(1)=-1; t_(2)=4

Обратно:

sinx=-1 или sinx=4

Уравнение sinx=-1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=[m]\frac{y^2+2x^2}{xy}[/m]

Это однородное уравнение.

Значит, подстановка y/x=u ⇒ y=x*u

Ответ выбран лучшим

sin(-[m]\frac{5\pi}{2}[/m]+x)=-sin([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x) в силу нечетности синуса

А дальше формулы приведения

sin([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x)

[m]\frac{5\pi}{2}=5*\frac{\pi}{2}[/m] 5 - нечетное число

Название функции меняется на сходственную

( на кофункцию, синус на косинус, косинус на синус)

угол ([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x) во первой четверти

синус в первой четверти имеет знак +, поэтому

sin([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x)= +сosx

Итак

sin(-[m]\frac{5\pi}{2}[/m]+x)=-sin([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x)=-(+cosx)=-cosx

О т в е т. - сosx
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной [/i]:

[m]\frac{\pi(x+8)}{4}=t[/m]

sint=-[m]\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]x=(-1)^{k}arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})+\pi k, k ∈ Z[/m]

[m]x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{4})+\pi k, k ∈ Z[/m]

при k=2n
получаем
[m]x=-\frac{\pi}{4}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

при k=2n+1
получаем
[m]x=\frac{\pi}{4}+ \pi +2\pi n=\frac{5\pi}{4}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

Обратный переход:
[m]\frac{\pi(x+8)}{4}=-\frac{\pi}{4}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m] или [m]\frac{\pi(x+8)}{4}=\frac{5\pi}{4}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

[m]x+8=-1 + 8n, n ∈ Z[/m] или [m] x+8=5+ 8n, n ∈ Z[/m]

[m]x=-1 - 8 + 8n, n ∈ Z[/m] или [m] x=5 - 8 + 8n, n ∈ Z[/m]

[m]x=-9 + 8n, n ∈ Z[/m] или [m] x=-3 + 8n, n ∈ Z[/m]

Наибольший отрицательный [m]x=- 1 [/m]

x=-4
y=3

х=3
y=-4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

15:5=3 см в одной части

CЕ=3 см
DE=12 cм

Пусть АЕ=ВЕ=х

По свойству пересекающихся хорд ( см. рис)

3*12=х*х

x^2=36

x=6

AB=12 cм (прикреплено изображение)

y=x-1 и y=x+1 - прямые, параллельные биссектрисе 1 и 3 координатных углов.

см. рис.1

y=2x-1 и у =0,5х-1 проходят через точку (0;-1)

Но прямая y=2x-1 имеет больший угол наклона, k=2
чем прямая y=0,5x-1, k=0,5 (прикреплено изображение)

Выбираем точку с "хорошими" координатами, например (2;4)

Подставляем в выражение:

4=k/2

k=8

О т в е т k=8 (прикреплено изображение)

1. Независимы.
Но совместны.
Среди четных чисел, есть кратные пяти

2.

События:
А_(1) -"первый элемент выходит из строя"
А_(2) -"второй элемент выходит из строя"

p(A_(1))=0,4

p(А_(2))=0,7

a) A-" оба элемента выйдут из строя"

A=A_(1) ∩ A_(2)

События независимы. Применяем теорему умножения вероятностей:

p(A)=p(A_(1))*p_(A_(2))=0,4*0,7=0,28

б)
События:
vector{A_(1)} - "первый элемент НЕ выходит из строя"
p(A_(1))=0,4; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,4=0,6

vector{A_(2)} - "второй элемент НЕ выходит из строя"
p(A_(2))=0,7; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,7=0,3

Событие В- " оба элемента будут работать, оба не выйдут из строя"

B=vector{A_(1)} ∩ vector{A_(2)}

p(B)=p(vector{A_(1)})*p( vector{A_(2)})=0,6*0,3=0,18

3)
Применяем формулу классической вероятности

p(A)=m/n

Событие A-"студент ответит на все вопросы"

Всего вопросов 60. Из шестидесяти вопросов в билете 2

n=C^(2)_(60)=60!/(2!*(60-2)!)=59*60/2=1770 cпособами можно разместить два вопроса из шестидесяти по тридцати билетами

m=C^(2)_(50)=50!/(2!*(50-2)!)=49*50/2=1225 способов размещения двух вопросов в билетах так,что студент знает ответы на оба вопроса

p(А)=m/n=1225/1770 - вероятность того, что ответит на оба вопроса

Всего 30 задач
n=30

m=23 задач, которые студент умеет решать

p(B)=23/30 - вероятность того, что студент решит задачу.

С=A ∩ B - событие, состоящее в том, что студент ответит на два вопроса и решит задачу.

p(C)=p(A)*p(B)=(1225/1770) * (23/30)=

Ответ выбран лучшим

С_(окружности)=2*π*r=2*π*sqrt(2) ≈ 8,8

S_(развертки)=S_(прямоугольника)+2S_(круга)=2π*r*H+2*(πr^2)=

=2*π*sqrt(2)*7+2*π*(sqrt(2))^2 ≈ 8,8*7+4*π=... (прикреплено изображение)

[b]cos2x[/b]=cos^2x-sin^2x=1-sin^2x-sin^2x=[b]1-2sin^2x[/b]

1-2sin^2x+3sin^2x=1,25

sin^2x=0,25

sinx=0,5 или sinx=-0,5

Далее см.
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=45913

Все подробно расписано

Отрезок, соединяющий середины сторон треугольника называется [i]средней линией [/i]треугольника.

Длина средней линии треугольника равна половине длины основания

Значит, стороны треугольника вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равны 5,5 см; 3,5 см; 5 см

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(2)3,2-log_(2)0,2=log_(2)[m]\frac{3,2}{0,2}[/m]=log_(2)16=log_(2)2^(4)=4*log_(2)2=4*1=4

3^(log_(9)25)=3^(log_(9)5^2)=3^(2log_(9)5)=(3^2)^(log_(9)5)=9^(log_(9)5)=5 - основное логарифмическое тождество

О т в е т 4/5=0,8

ОДЗ:
{x^2>0 ⇒ [red]x ≠ 0[/red]
{|x| ≠ 1 ⇒ [red]x ≠ ± 1[/red]

log_(|x|)x^2=log_(|x|)(|x|)^2=2log_(|x|)(|x|)=2

log^2_(|x|)x^2=2^2=4

{4*(2^(x))^2-17*2^(x)+4 ≤ 0 ⇒ D=225; (1/4) ≤ 2^(x) ≤ 4
{4+log_(2)x^2 ≤ 8 ⇒ (log_(2)x-2)*(log_(2)x+2) ≤ 0 ⇒ -2 ≤ log_(2)x ≤ 2

{2^(-2) ≤ 2^(x) ≤ 2^2 ⇒ (-2) ≤ x ≤ 2
{log_(2)(1/4) ≤ log_(2)x ≤ log_(2)4 ⇒ (1/4) ≤ x ≤ 4

(1/4) ≤ х ≤ 2

C учетом ОДЗ

О т в е т. [1/4;1) U (1; 2]

D: -2 ≤ y ≤ 2; [m]\frac{1}{4}y -\frac{3}{2} ≤ x ≤ 2y+2[/m] ( см. рис.1)

Это область горизонтального вида

Надо рассмотреть эту же область как область вертикального вида.

( см. рис. 2)

Выражаем y через х:

⇒ [m]x=\frac{1}{4}y -\frac{3}{2} [/m] ⇒ [m]\frac{1}{4}y=x+\frac{3}{2} [/m]

[m]y=4x+6[/m]

[m]x=2y+2[/m] ⇒ [m] 2y=x-2[/m] ⇒ [m] y=\frac{1}{2}x-1[/m]

Как область вертикального вида D=D_(1)UD_(2)

D_(1): -2 ≤ x ≤ -1; [m]\frac{1}{2}x-1 ≤ y ≤ 4x+6[/m]

D_(2): -1 ≤ x ≤ 6 ; [m]\frac{1}{2}x-1 ≤ y ≤ 2[/m]

∫ ∫ _(D)= ∫ ∫ _(D_(1))+ ∫ ∫ _(D_(2)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,1^2=0,1*0,1=0,01=1/100

0,1^2*600=(1/100)*600=6

(1/16)^2=1/256

((1/16)^2)*(64)=64/256=1/4

6+(1/4)=6,25

Ответ выбран лучшим

Формула:
sin α *cos β -cos α *sin β =sin( α - β )

sin(x-(π/4))=sqrt(3)/2

Уравнение: sint=sqrt(3)/2 - простейшее тригонометрическое уравнение решают по формулам: t=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

х-(π/4)=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

х-(π/4)=(-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z

х=(-1)^(k)*(π/3)+(π/4)+πk, k ∈ Z - это ответ.

Так как (-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z можно записать в виде серии из двух ответов:

k=2n
(π/3)+2πn, n ∈ Z

k=2n+1
(2π/3)+2πn, n ∈ Z

то ответ можно записать и так.

х=(π/3)+(π/4)+2πn=(7π/12)+2πn, n ∈ Z или

х=(2π/3)+(π/4)+2πn=(11π/12)+2πn, n ∈ Z

Такая запись полезна при отборе корней

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам.

Δ АОВ - равнобедренный, с углом 60 градусов при вершине, значит Δ АОВ- равносторонний.

АО=ВО=10

АС=BD=20 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{ х²–4х+3≤х–1 ⇒ х²–5х+4≤0; D=25-16=9; корни 1 и 4; 1 ≤ x ≤ 4
{х–1>1 ⇒ x > 2

О т в е т. (2;4] (прикреплено изображение)

y`=(1/8)*(сosx)`-3*(tgx)=(1/8)*(-sinx)-3*(1/cos^2x)

y`=(-sinx)/(8) - (3)/(cos^2x)

Геометрический смысл производной в точке:

f `(x_(o))=k_(касательной)=tg α

α =45 ° ⇒ k_(касательной)=tg 45 ° =[b]1[/b]

f `(x) = 2x+a

f`(x_(o))=2x_(o)+a ⇒ 2x_(o)+a=[b]1[/b]

значение параметра а абцис точки соприкосновения равна –5

Не понимаю, что это

Не имеет решений.
Прямые параллельны:
{5x+3y=7
{5x+3y=7/6

Ответ выбран лучшим

если t-8=9, то прямые совпадут 12х+9у=9 это все равно что 4х+3у=3
и тогда б.м решений

Поэтому чтобы этого не произошло

t-8 ≠ 9 ⇒ t ≠ 17

[b](- ∞ ;17)U(17;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

t+3=18;
[b]t=15[/b]

Прямые совпадут
{2x+3y=6
{12x+18y=36 ⇒ 2x+3y=6

Ответ выбран лучшим

Умножаем второе уравнение на 4 и складываем с первым:

2^(x-y)-2^(x-y-1)*4=-256

2^(x-y)-2^(x-y+1)=-256

2^(x-y)*(1-2)=-256

2^(x-y)=256

2^(x-y)=2^(8)

x-y=8

|3y-x|=2^(8-1)-124

|3y-x|=4

{x-y=8
{3y-x=4 ⇒ 2y=12; y=6; x=14

{x-y=8
{3y-x=-4 ⇒ 2y=4; y=2; x=10

О т в е т. x_(1)=10; y_(1)=2; x_(2)=14;y_(2)=6

Ответ выбран лучшим

а)
Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница

|a_(n)| → 0

послед. {|a_(n)|} - монотонно убывает

Можно рассмотреть

f(n)=[m]\frac{1}{n+\sqrt{n}}[/m]

f`(x)=-[m]\frac{1}{(x+\sqrt{x})^2}\cdot (x+\sqrt{x})`[/m]

f`(x)=-[m] \frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(x+\sqrt{x})^2}[/m] <0

Ряд из модулей расходится, так как эквивалентен гармоническому

Данный знакочередующийся ряд [i]сходится
условно[/i]

б)
Ряд из модулей сходится, так как эквивалентен беск. уб. геом прогресии

∑ 1/(2^(n))

Значит данный знакочередующийся ряд [i]сходится абсолютно[/i]

Ответ выбран лучшим

1)
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+u*v=e^(-x)

v`+v=0 ⇒ dv/v=-dx ⇒ lnv=-x ⇒ [b] v=e^(-x)[/b]

u`*[b]v[/b]=e^(-x)

u`*[b]e^(-x)[/b]=e^(-x)

u`=1

u=x+c

y=u*v

y=[b](x+C)*e^(-x)[/b]

2)
(x-y)=-x*y`

y`=(x-y)/y

y`= φ (x/y)

Значит, замена:
[b]y/x=u[/b]

y=ux

y`=u`*x+u

x-ux=-x*(u`*x+u)

x-ux=-x*u`*x-xu

x=-x^2*u`

1=-x*u`

u`=-1/x

du=-dx/x

u=-ln|x|+lnC

u=ln(C/x)

y=u*x

y=x*ln(C/x)

[b]x=1; y=0[/b]

0=1*lnC

C=1

[b]y=x*ln(1/x)[/b]

Ответ выбран лучшим

log_(2)x=0;log_(3)y=1 ⇒ х=1;у=3
или
log_(2)x=1;log_(3)y=0 ⇒ x=2;y=1

Ответ выбран лучшим

∛x=-1
sqrt(y)=2

x=-1
y=4

Ответ выбран лучшим

R=a*sqrt(3)/3

4=a*sqrt(3)/3 ⇒ 12=a*sqrt(3) ⇒[red] a=4*sqrt(3)[/red]

r=R/2=2

a) Апофема h:

h^2=H^2+r^2=(2sqrt(3))^2+(2)^2=12+4=16

h=[blue]4[/blue]

б) S_(бок)=3*S_( Δ)=3*(1/2)*([red]4*sqrt(3)[/red])*([blue]4[/blue])=[b]24sqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
(1-x)dy=(y-1)dx- уравнение с разделяющимися переменными

dy/(y-1)=dx/(1-x)

∫ dy/(y-1)= -∫ dx/(x-1)

ln|y-1|=-ln|x-1|+lnC

ln|y-1|=lnC/|(x-1)|

y-1=C/(x-1)

[b](2;3)[/b]

3-1=C/(2-1)

x=2

y-1=2/(x-1)

[b]y=2/(x-1) +1[/b]
2)

y`=y-4

dy/dx=(y+4)

dy/(y+4)=dx

∫ dy/(y+4)= ∫ dx

[b]ln|y+4|=x+C[/b]

3)

y`=1/(2y)

dy/dx=(1/2y)

2ydy=dx

∫ 2ydy= ∫ dx

y^2=x+C

[b](2;1)[/b]

1=2^2+C

C=-3

[b]y^2=x-3
[/b]
4)
y`=dy/dx

(dy/dx)*sqrt(1-x^2)=x

dy=xdx/sqrt(1-x^2)

∫ dy= ∫ xdx/sqrt(1-x^2)

∫ dy= (-1/2)∫(-2 xdx)/sqrt(1-x^2)

∫ dy= (-1/2)∫(1-x^2)^(-1/2)d(1-x^2) табл интеграл ∫ u^(-1/2)du=2sqrt(u)

y=-sqrt(1-x^2) +C

[b](0;1)[/b]

1=sqrt(1-0)+C

C=0

[b]y=-sqrt(1-x^2)
[/b]

Ответ выбран лучшим

(x/y)=t

t-(1/t)=(5/6) ⇒ 6t^2-5t-6=0; D=25+4*36=169
t=3/2 или t=-2/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} x-1>0\\ x^2+\frac{1}{x-1}>0 \\ \frac{x^2+x-1}{2}>0\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x>1\\ x>1 \\ x<\frac{-1-\sqrt{5}}{2};x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (1;+ ∞ )[/red]

[m]log_{2}(x-1)\cdot(x^2+\frac{1}{x-1}) ≤ log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]

[m]log_{2}((x-1)\cdot x^2+1) ≤ log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

[m](x-1)\cdot x^2+1 ≤ (\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]

[m](x-1)\cdot x^2+1 ≤ \frac{(x^2)^2+2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2}{4}[/m]

[m] \frac{(x^2)^2+2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2}{4}-(x-1)\cdot x^2-1 ≥ 0[/m]

[m] \frac{(x^2)^2+2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2-4(x-1)\cdot x^2-4}{4} ≥ 0[/m]

[m] (x^2)^2-2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2-4 ≥ 0[/m]

[m] (x^2-(x-1))^2-2^2 ≥ 0[/m]

[m] (x^2-x+1-2)(x^2-x+1+2) ≥ 0[/m]

[m] (x^2-x-1)(x^2-x+3) ≥ 0[/m]

x^2-x+3 >0 при любом х , так как D<0

x^2-x-1 ≥ 0

D=1+4=5

x_(1)=[m]\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/m]; x_(2)=[m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m]

x < x_(1) или x > x_(2)

C учетом ОДЗ получаем ответ:

О т в е т. [[m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m];+ ∞ )

∂z/ ∂x=z`_(x)=[m](x^2-y^2)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot (x^2-y^2)^{\frac{1}{2}-1}\cdot (x^2-y^2)`_{x}=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}[/m]

∂z/ ∂y=z`_(y)=[m](x^2-y^2)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot (x^2-y^2)^{\frac{1}{2}-1}\cdot (x^2-y^2)`_{y}=\frac{y}{\sqrt{x^2-y^2}}[/m]

Ответ выбран лучшим

∂z/ ∂x=[m]\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\cdot (xy)`_{x}=\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m];

∂z/ ∂y=[m]\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\cdot (xy)`_{y}=\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m].

∂^2z/ ∂x^2=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{x}=y\cdot ((1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}})`_{x}=[/m]

[m]=-\frac{1}{2}y(1-x^2y^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(1-x^2y^2)`_{x}=\frac{xy^3}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m];

∂^2z/ ∂x ∂y=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y}=(y\cdot (1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=[/m]

[m]= (1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}}+(-\frac{1}{2})y(1-x^2y^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(1-x^2y^2)`_{y}=[/m]

[m]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2y^2}}+\frac{x^2y^2}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m];

∂^2z/ ∂y^2=[m](\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y}=x\cdot ((1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=[/m]

[m]=-\frac{1}{2}x(1-x^2y^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(1-x^2y^2)`_{y}=\frac{x^3y}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m].

Подставляем в уравнение и получаем доказательство

Ответ выбран лучшим

S_(бок.конуса)=π*R*L

L=16

S_(бок.конуса)=240*π

240*π = π*R*16

R=15

D=2R=2*15=30

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x>0; y>0
Разность логарифмов заменим логарифмом частного:

{log_(3)(x/y)=2 ⇒ (x/y)=3^2 ⇒ х=9у
{y^2-x=10

{x=9y
{x=y^2-10

9у=у^2-10

y^2-9y-10=0
y_(1)=-1 ( не удовл. ОДЗ); y_(2)=10
x_(2)=9*10=90

О т в е т. х=90; y=10

Ответ выбран лучшим

Умножим первое на 3, второе на 2
{9log_(2)x-6log_(2)y=-30
{4log_(2)x+6log_(2)y=4

Cкладываем

13log_(2)x=--26

log_(2)x=-2

x=2^(-2)=1/4

3log_(2)x-2log_(2)y=-10 ⇒ 3*(-2)-2log_(2)y=-10 ⇒ log_(2)y=4; y=2^(4)=16

О т в е т.

x=1/4

y=16

Ответ выбран лучшим

Секущая плоскость пересекает параллельные грани BB_(1)C_(1)C и
АА_(1)D_(1)D по параллельным прямым.

АЕ || C_(1)F

Аналогично

AF || C_(1)E

AFC_(1)E- параллелограмм.

б)
AC^2_(1)=3^2+2^2+5^2=38

AC_(1)=sqrt(38)

Пусть DE=x, AE=C_(1)E=а

Из Δ АЕD: a^2=3^2+x^2
Из Δ С_(1)ED_(1): a^2=2^2+(5-x)^2
Приравниваем праве части ⇒ x=2

a^2=3^2+2^2=13

a=sqrt(13)

d_(1)=AC_(1)

d_(2)=FE

[b](d_(1)/2)^2+(d_(2)/2)^2=a^2[/b]

(d_(2)/2)^2=13-(38/4)=14/4

d_(2)=sqrt(14)

d_(2)=FE

FE=sqrt(14)

S_(сечения)=S_(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)=sqrt(133)

Ответ выбран лучшим

3.
V=(4/3)πR^3=(4/3)*π*6^3=...

4. ( см приложение)

S_(1)=9π ⇒ r_(1)=3
S_(2)=16π ⇒ r_(2)=4

H=7

V=(1/6)*π*7^3+(1/2)*π*(3^2+4^2)*7=...

1.
(прикреплено изображение)

1.
S_(бок)=P_(осн)*Н=(3+3+3)*5=45 cм^2

2.
V=S_(осн)*Н=S_(ромба)*Н=(1/2)d_(1)*d_(2)*H=(1/2)*12*16*10=

=960 см^3

3.

см. рис.

ОА^2=b^2-H^2=5^2-3^2=25-8=16

ОА=4

АС=2ОА=8

d=8

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*Н=(1/3)*S_(квадрата)*3=

=(1/2)*(d^2)*3=(1/2)*8^2*3=96 см^3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

с^2=a^2+b^2=12^2+5^2=144+25=169

c=13

Наибольшая боковая грань - грань, в основании которой гипотенуза c, значит H_(призмы)=с=13

S_(бок)=S_(1)+S_(2)+S_(3)=12*13+13*13+5*13=390

S_(осн)=(1/2)a*b=(1/2)12*5=30

S_(полн)=S_(бок)+2S_(осн)=390+30=420

Ответ выбран лучшим

Кратный корень 1 у второго.

линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами имеет вид

y``-2y`+y=0

Ответ выбран лучшим

[m]\left\{\begin{matrix} a^2+12ax+18a-28x^2+108x+81 \leq 0 \\ x^2-8x-a\leq 0\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 28x^2-12(9+a)x-a^2-18a-81 \geq 0 \\ x^2-8x-a\leq 0\end{matrix}\right.[/m]

Решаем первое неравенство:
D_(1)=(12*(9+a))^2-4*28*(-a^2-18a-81)=144*(81+18a+a^2)+112(a^2+18a+81)=

=(a^2+18a+81)*(256)

sqrt(D_(1))=14*|a+9|

x_(1)= -(a+9)/16 или x_(2)=(a+9)/2

Решение первого неравенства:

x ≤ -(a+9)/16 или x ≥ (a+9)/2

Решаем второе неравенство:

x^2-8x-a ≤ 0

D_(2)=64+4a

D_(2) ≥ 0 ⇒ 64+4a ≥ 0 ⇒ [b] a ≥ -4[/b]

x_(3)=(8-2sqrt(16+a))/2 или x_(4)=(8+2sqrt(16+a))/2

x_(3)=4-sqrt(16+a) или x_(4)=4+sqrt(16+a)

Решение второго неравенства:
4-sqrt(16+a) ≤ x ≤ 4+sqrt(16+a)

При таком расположении корней
///////////// (x_(1) ) _____ (x_(3)) \\\\\\\\\\ (x_(4)) ____ (x_(2)) ///////////////

система не имеет решения.

Ясно, что для того чтобы имела одно решение

x_(4)=x_(2) ⇒ 2sqrt(16+a)=a+1
ИЛИ
x_(1)=x_(3) ⇒ 16sqrt(16+a)=a+73

Решаем два [i] иррациональных [/i] уравнения с учетом [b] a ≥ -4[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
3х+1=(х-1)^2

x^2-2x-3x=0

x=0;x=5

0 не удовл. уравнению
sqrt(1)=-1 - неверно
5- удовл

О т в е т 5

2.

6cos^24x+2*2sin4x*cos4x-5*(sin^24x+cos^24x)=0

5sin^24x -4sin4x*cos4x-cos^24x=0 - однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Делим на cos^24x ≠ 0

5tg^24x-4tg4x-1=0

D=16+20

tg4x=-1/2; tg4x=1

4x=arctg(-1/2)+πk, k ∈ Z или 4x=(π/4)+πn, n ∈ Z

x=(1/4)arctg(-1/2)+(π/4)k, k ∈ Z или x=(π/16)+(π/4)*n, n ∈ Z

1.
d(sin2x)=(sin2x)`dx=cos2x*(2x)`dx=2cos2xdx

cos2xdx=(1/2)d(sin2x)

∫ (cos2xdx)/sin^42x=(1/2) ∫ ([blue]sin2x[/blue])^(-4)d([blue]sin2x[/blue])=(1/2)*(sin2x)^(-3)/(-3)+C=

=-(1/6)*(1/sin^32x) +C

2.

d(3+2tgx)=(3+2tgx)`dx=(2/cos^2x)dx ⇒

dx/cos^2x=(1/2)d(3+2tgx)

∫ dx/(cos^2x*(3+2tgx))=(1/2) ∫ d([blue]3+2tgx[/blue])/([blue]3+2tgx[/blue])=(1/2)ln|3+2tgx|+C

3.

d(1/x)=(-1/x^2)dx ⇒ dx/x^2=[red]-[/red]d(1/x)

∫ cos(1/x)*(dx/x^2)=[red]-[/red] ∫ cos([blue]1/x[/blue]) d([blue]1/x[/blue])=[red]-[/red] sin([blue]1/x[/blue]) + C

Ответ выбран лучшим

27.

[b]x >0[/b]

Логарифмируем по основанию 10:

lg(x^(lgx))=lg10 000

lgx*lgx=4

lg^2x=4

lgx=-2 или lgx=2

x=10^(-2) или x=10^2

О т в е т. [b]0,01; 100[/b]

28.

b]x >0[/b]

Логарифмируем по основанию 3:

log_(3)(x^(log_(3)x-2))=log_(3)(1/9)

(log_(3)x-3)*log_(3)x=-2

log^2_(x)3-3log_(3)x+2=0

D=(-3)^2-4*2=1

log_(3)x=1 или log_(3)x=2

x=3^(1) или x=3^(2)

О т в е т. [b]3;9[/b]

29.
ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ x в первой или во второй четверти, x ≠ πk, k ∈ Z
{1-cos2x>0 ⇒ cos2x < 1 ⇒ cos2x ≠ 1 ⇒ x ≠ πk, k ∈ Z

1-cos2x=2sin^2x

Уравнение можно записать так:

3log^2_(2)sinx+log_(2)2sin^2x=2

3log^2_(2)sinx+log_(2)2+log_(2)sin^2x=2

3log^2_(2)sinx+1+2log_(2)sinx=2

3log^2_(2)sinx+2log_(2)sinx-1=0

D=2^2-4*3*(-1)=4+12=16

log_(2)sinx=-1 или log_(2)sinx=1/3

sinx=2^(-1) или sinx=2^(1/3)

sinx=1/2 или sinx=∛2 ( не имеет корней, |sinx| ≤ 1)

x=(-1)^(n)arcsin(1/2)+πn, n ∈ Z - удовл. ОДЗ

О т в е т. x=(-1)^(n)arcsin(1/2)+πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

23
lg(3^(x)+x-17)=x*(lg30-lg10)

lg(3^(x)+x-17)=x*(lg(30/10)

lg(3^(x)+x-17)=x*(lg3)

lg(3^(x)+x-17)=lg3^(x)

3^(x)+x-17=3^(x)

[b]x=17[/b]

24.
{x>0
{lgx>0⇒ x>1
{3-2lgx >0 ⇒ lgx <3/2 ⇒ lgx < lg10^(3/2)=lgsqrt(1000)

ОДЗ: 1 <x < sqrt(1000)

lg(lgx)^2=lg(3-2lgx)

(lgx)^2=3-2lgx

t^2+2t-3=0
t=lgx

D=4+12=16
t_(1)=-3; t_(2)=1

lgx=-3; lgx=1

x=10^(-3); x=10

C учетом ОДЗ

О т в е т. [b] 10[/b]

25
x*(1-lg5)=lg(2^(x)+x-3)

x*(lg10-lg5)=lg(2^(x)+x-3)

x*(lg(10/5))=lg(2^(x)+x-3)

lg2^(x)=lg(2^(x)+x-3)

2^(x)=2^(x)+x-3

[b]x=3
[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть ОС=х
S_(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)

(1/2)d_(1)*d_(2)=10 ⇒ d_(2)=10/x ⇒ OD=(1/2)d_(2)=5/x

По теореме Пифагора
из Δ MOC: MO^2=7^2-x^2
из Δ MOD: MO^2=5^2-(5/x)^2

7^2-x^2=5^2-(5/x)^2 ⇒ x^4-24x^2-25=0 ⇒ D=576+100=676
x^2=25; x^2=-1

x=5

АС=2ОС=2*5=10

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:

k^2-3k-4=0
D=9+16=25

k_(1)=-1; k_(2)=4 - корни действительные различные,

поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(-1*x)+C_(2)e^(4*x) - общее решение однородного уравнения

Частное решение:

Так как y(0)=1,
то
1=C_(1)e^(-1*0)+C_(2)e^(4*0) ⇒[b]1=C_(1)+C_(2) [/b]

Так как y ` (0)=-2

находим y`

y`=(C_(1)e^(-1*x)+C_(2)e^(4*x))`=C_(1)*(e^(-x))`+C_(2)*(e^(4x))`=

=C_(1)*e^(-x)*(-x)`+C_(2)*e^(4x)*(4x)`=

=C_(1)*e^(-x)*(-1)+C_(2)*e^(4x)*(4)=

=-C_(1)*e^(-x)+4*C_(2)*e^(4x)

[b]-2=-C_(1)+4*C_(2)[/b]

Решаем систему:
{[b]1=C_(1)+C_(2) [/b]
{[b]-2=-C_(1)+4*C_(2)[/b]

Cкладываем:

-1=5С_(2)

С_(2)=-1/5=-0,2

С_(1)=1-С_(2)=1-(-0,2)=1,2

О т в е т. y=1,2e^(-1*x)-0,2*e^(4*x) - решение задачи Коши.

Это кривая, которая проходит через точку (0;1) и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной, равный (-2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

v(t)= ∫a(t)dt=3*(t^2/2)-2t+C_(1)

S(t)= ∫ v(t)dt= ∫ ((3/2)t^2-2t+C_(1))dt=(3/2)*(t^3/3)-2*(t^2/2)+C_(1)*t+C_(2)=

=(t^3/2)-t^2+ C_(1)*t+C_(2)

a^(1/2)-2a^(1/4)-a^(1/2)-4a^(1/4)-4=-6a^(1/4)-4;

a=16

a^(1/4)=16^(1/4)=2

-6a^(1/4)-4=-6*2-4=-12-4=-16

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 4 cos 4α (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 1-5x ≥ 0 ⇒ -5x ≥ -1 ⇒ x ≤ 1/5

Если x+1 ≤ 0 неравенство не имеет решений, так как
слева неотрицательное выражение и оно не может быть меньше
неположительного

Если x+1 > 0, то
1-5x < (x+1)^2 ⇒ x^2+7x>0 ⇒ x*(x+7)>0 ⇒ x < -7 или х >0

x >0

С учетом ОДЗ

О т в е т. (0 ;1/5]=(0;0,2]

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2-12x

y`=0

3x^2-12x=0

3x*(x-4)=0

x=0 или х=4

x=0 - локальный максимум, производная меняет знак с + на -

х=4 - локальный минимум, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

∠ ABD= ∠ ACD=37 ° как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AD

2,3,5,7,11,13,17,19 - простые числа не больше 20

Дроби:
2/3;2/5;2/7;2/11;2/13;2/17;2/19- семь
3/5;3/7;3/11;3/13;3/17;3/19-шесть
...
17/19
1+2+3+4+5+6+7=28 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|vector{c}|^2=vector{c}*vector{c}

|vector{a}+vector{b}|^2=(vector{a}+vector{b})(vector{a}+vector{b})=

=vector{a}*vector{a}+vector{a}*vector{b}+vector{b}*vector{a}+vector{b}*vector{b}=|vector{a}|^2+2*vector{a}*vector{b}+|vector{b}|^2

24^2=13^2+ 2* vector{a}*vector{b}+19^2 ⇒

2* vector{a}*vector{b}=[blue]24^2-13^2-19^2[/blue]

|vector{a}-vector{b}|^2=(vector{a}-vector{b})(vector{a}-vector{b})=

=|vector{a}|^2-2*vector{a}*vector{b}+|vector{b}|^2=

=13^2[blue]-24^2+13^2+19^2[/blue]+ 19^2=[b]2*13^2+2*19^2-24^2[/b]

Ответ выбран лучшим

Делим на 45

[m]\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1[/m]

a^2=5 ⇒ a=sqrt(5)
b^2=9 ⇒ b=3

b>a Эллипс вытянут вдоль оси Оу. Фокусы на оси Оу

c^2=b^2-a^2=9-5=4

c=2

ε =c/b=2/3

Ответ выбран лучшим

n=1000
p=0,005
q=1-p=1-0,005=0,995

Повторные испытания с двумя исходами. Теорема Пуассона.

np=5
npq=4,975

a)
λ =np=5

событие A - " не более трех знаков"

Значит 0; 1; 2;3

Применяем формулу Пуассона
m=0

P_(1000)(0)= (5)^(0)/0!)e^(-5) ≈ 0,006738
( значение в таблице )

m=1

P_(1000)(1)= ((5)^(1)/1!)e^(-5) ≈ 0,033690

m=2

P_(1000)(2)= ((5)^(2)/2!)e^(-5) ≈ 0,084224

m=3
P_(1000)(3)= ((5)^(3)/3!)e^(-5)=

p(A)=P_(1000)(0)+P_(1000)(1)+P_(1000)(2)+P_(1000)(3) ≈

≈ 0,006738+0,033690+0,084224+

О т в е т.

б) событие B - " будет искажено более 10-ти знаков"

Рассмотрим противоположное событие
vector{В} - "искажено не более 10-ти знаков"
Значит 0,1,2,3,4,5,6,7,8.9,10

Считаем как пункте а)

P(vector{В})=P_(1000)(0)+P_(1000)(1)+P_(1000)(2)+...P_(1000)(10)=...

p(B)=1-p(vector{B})= ...

в)
решено в б)
P(vector{В})=P_(1000)(0)+P_(1000)(1)+P_(1000)(2)+...P_(1000)(10)=...
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
[m]\frac{3a^2}{2b^6}[/m]

2)
n^((-3*4)-(-15))=n^3

3)
sqrt(16b)=sqrt(16)*sqrt(b)=4b
sqrt(36b)=sqrt(36)*sqrt(b)=6b

sqrt(16b)-0,5*sqrt(36b)=4b-0,5*6b=4b-3b=[b]b[/b]

4.
Если знаменатель дроби отличен от нуля.
2x^2-x-6 ≠ 0
D=1-4*2*(-6)=49
x_(1)=-1,5; x_(2)=2

[b]x ∈ (- ∞ ;-1,5) U(-1,5;2) U(2;+ ∞ )[/b]

5.
РН- средняя линия Δ BCD
PH || BD
PH=BD/2

PH=7 ⇒ BD=14

S_( Δ BCD)=(1/2)BD*CK=(1/2)*14*12=[b]84 см^2[/b]

y`=-6x^2+12x

y`=0

-6x^2+12x=0

6x*(-x+2)=0

x=0; x=2

При 0 < x < 2
производная y`>0
При x > 2
производная y` <0

х=2- точка максимума, производная меняет знак с + на -

В ней и находится наибольшее значение на отрезке [0;3]

y(2)=...

vector{2a}=(2*(-2);2*0)=(-4;0)

vector{kb}=(k*1;k*(-1))=(k;-k)

vector{2a}-vector{kb}=(-4-k;0-(-k))=(-4-k;k)

vector{2a}-vector{kb} и vector{c} коллинеарны, если их

координаты пропорциональны:

(-4-k):2=k:3

2k=3*(-4-k)

2k=-12-3k

5k=-12

[b]k=-2,4[/b]

Ответ выбран лучшим

с-с^(0,5)*d^(0,5)=c^(0,5)*(c^(0,5)-d^(0,5))

c-d=(c^(0,5))^2-(d^(0,5))^2=(c^(0,5)-d^(0,5))*(c^(0,5)+d^(0,5))

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
{2y-x^2 ≥ 0 ⇒ |2y-x^2|=2y-x^2
{2y+x^2 ≥ 0 ⇒ |2y+x^2|=2y+x^2
{2y-x^2+2y+x^2 ≤ 2+x ⇒ [b]4y ≤ 2+x[/b]

2)
{2y-x^2 <0 ⇒ |2y-x^2|=-2y+x^2
{2y+x^2 <0 ⇒ |2y+x^2|=-2y-x^2
{-2y+x^2-2y-x^2 ≤ 2+x ⇒ [b]- 4y ≤ 2+x[/b]

3)
{2y-x^2 <0 ⇒ |2y-x^2|=-2y+x^2
{2y+x^2 ≥ 0 ⇒ |2y+x^2|=2y+x^2
{-2y+x^2+2y+x^2 ≤ 2+x ⇒ 2x^2 ≤ 2+x ⇒ 2x^2-x-2 ≤ 0 ⇒ D=1+16=17 корни
x_(1); x_(2)

4){2y-x^2 ≥ 0 ⇒ |2y-x^2|=2y-x^2
{2y+x^2 < 0 ⇒ |2y+x^2|=-2y-x^2
{2y-x^2-2y-x^2 ≤ 2+x ⇒ -2x^2 ≤ 2+x ⇒ 2x^2+x+2 ≥ 0 ⇒ D<0 нет корней

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

20%=0,2 всего времени тратит на выполнение приседаний

1-0,2=0,8 всего времени остается.

Из них 40%=0,4 уходят на бег,

т.е
0,4*0,8=0,32 уходят на бег,

По условию это 80 мин

80:0,32=250 мин вся тренировка

0,2*250=50 мин - приседания

80 минут на бег

250-50-80=120 мин на выполнение физических упражнений

Развёрнутый угол равен 180 °
40%=40/100=0,4
0,4*180 ° 45 ° - первый угол

(2/3)*45 ° =30 ° - второй

45 ° -25 ° =20 ° - третий

180 ° -45 ° -30 ° -20 ° =85 ° - четвертый

Ответ выбран лучшим

Секущая плоскость пересекает параллельные между собой плоскости боковых граней АА_(1)В_(1)В и
DD_(1)C_(1)C по параллельным прямым BE и D_(1)F,

a параллельные между собой плоскости боковых граней BB_(1)C_(1)C и
AA_(1)D_(1)D по параллельным прямым BF и D_(1)E

сечение BED_(1)- параллелограмм ED_(1)FB

Продолжим стороны cечения D_(1)F и DC до пересечения в точке N, а стороны D_(1)E и DA в точке М

MN- cлед секущей плоскости на плоскости АВСD

MN- линия пересечения плоскостями ABC и BED_(1)

Из подобия Δ EAM и D_(1)DM
MA:MA=4:7
MA=x
x:(x+3)=4:7
x=4

Из подобия Δ NFC и D_(1)DN
NC:ND=3:7
NC=y
y:(y+2)=3:7
y=1,5

Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно к линии их пересечения провести перпендикуляры

Это сделать непросто, потому как в основании прямоугольник.

Можно провести высоту из точки D на гипотенузу MN в прямоугольном треугольнике MND

MN^2=7^2+3,5^2

DH=DM*DM/MN=...считайте

DH- проекция D_(1)H на пл. АВСD

DH ⊥ MN ⇒ D_(1)H⊥ MN

[b] ∠ D_(1)HD - искомый.[/b]

Из прямоугольного Δ D_(1)HD

tg ∠ D_(1)HD=DD_(1)/DH=... считайте

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Геометрическая вероятность

p=S_( Δ)/S_(круга)

S_(круга)=π*R^2

R_(описанной окр)=a*sqrt(3)/3 ⇒ a=R*sqrt(3)

S_( Δ)=(1/2)a^2*sin60 ° =a^2sqrt(3)/4=3R^2sqrt(3)/4

p=(3sqrt(3))/(4π) (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

«x в 2 раза меньше у»

0 → 0
1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
5 → 10
6 → 12

«x в 2 раза больше у»

0 → 0
1 → 0,5
2 → 1
3 → 1,5
4 → 2
5 → 2,5
6 → 3

Ответ выбран лучшим

Ищите, что-то похожее (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Правило треугольника:
=3*7*8+4*(-2)*2+(-5)*8*(-1)-2*7(-5)-(-1)*(-2)*3-8*8*4=

=... считаем (прикреплено изображение)

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k-4=0

D=(-3)^2-4*(-4)=25

k_(1)=-1; k_(2)=4- корни действительные кратные

Общее решение имеет вид:
y=С_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(4x)

y(0)=1

1=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) ⇒[b] 1=С_(1)+C_(2) [/b]

Находим производную общего решеня:

y`=(С_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(4x))` ⇒ y`=С_(1)*e^(-x)*(-x)`+C_(2)*e^(4x)*(4x)`

y`=(-1)*С_(1)*e^(-x)+4*C_(2)*e^(4x)

y`(0)=-2

-2=-С_(1)*e^(0)+4*C_(2)*e^(0) ⇒[b] -2=-С_(1)+4*C_(2) [/b]

Из системы:
{1=С_(1)+C_(2)
{-2=-С_(1)+4*C_(2)

Cкладываем
-1=5С_(2)

С_(2)=-0,2

С_(1)=1- С_(2)=1-(-0,2)=1,2

и подставляем в найденное общее решение.

Получаем ответ

y=1,2*e^(-x)-0,2*e^(4x)

Ответ выбран лучшим

Проводим СМ || B_(1)K

∠ (A_(1)C, B_(1)K)= ∠ (A_(1)C, CM)= ∠ A_(1)CM

Находим его из треугольника A_(1)CМ

Пусть ребро куба равно [b]а[/b].

A_(1)C=[b]a[/b]*sqrt(3)

A_(1)M=CM=sqrt(a^2+(a/2)^2)=a*sqrt(5)/2

По теореме косинусов:
A_(1)M^2=А_(1)С^2+CM^2-2*А_(1)С*CM*cos ∠ A_(1)CM ⇒

cos ∠ A_(1)CM=sqrt(3)/sqrt(5)=sqrt(0,6)

∠ A_(1)CM=arccos(sqrt(0,6))

Можно и по-другому.

Δ A_(1)CМ- равнобедренный

MN ⊥ A_(1)C

MN- медиана

A_(1)N=NC=a*sqrt(3)/2

сos ∠ A_(1)CM=NC/MC=sqrt(3)/sqrt(5)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Делим на 144

[m]\frac{16x^2}{144}-\frac{9y^2}{144}=1[/m]

[m]\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1[/m]

a^2=9;

b^2=16

b^2=c^2-a^2 ⇒ c^2=b^2+a^2=16+9=25

ε =c/a=5/3

Ответ выбран лучшим

M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)=(-2)*0,4+3*0,6=1

О т в е т. а)

Ответ выбран лучшим

∫ d[b]u[/b]/([red]a[/red]^2+[b]u[/b]^2)=(1/[red]a[/red])*arctg([b]u[/b]/[red]a[/red])+C

∫ dx/(9+4x^2)= ∫ dx/([red]3[/red]^2+(2x)^2)= [u=[b]2x[/b]; du=2dx; ]

=(1/2) ∫ 2dx/([red]3[/red]^2+(2x)^2)=

=(1/2) ∫ d([b]2x[/b])/([red]3[/red]^2+([b]2x[/b])^2)=

=(1/2)arctg([b]2x[/b])/([red]3[/red]) + C

Ответ выбран лучшим

vector{2a}+vector{b}=(2*(-1)+3; 2*0+2;2*1+1)=(1;2;3)=vector{i}+2vector{j}+3vector{k}

Ответ выбран лучшим

[m]A\cdot B=\begin{pmatrix} 2\cdot 3+1\cdot (-1) &2\cdot 5+1\cdot 0 &2\cdot 1+1\cdot(-1) \\ 0\cdot 3+(-1)\cdot (-1) &0\cdot 5+(-1)\cdot 0& 0\cdot 1+(-1)\cdot (-1) \end{pmatrix}[/m]

Считайте...

в) по- моему

Ответ выбран лучшим

Первый замечательный предел:

[m]lim_{x → 0}\frac{sinx}{x}=1[/m]

Причем это верно и так:

[m]lim_{x → 0}\frac{sin3x}{3x}=1[/m]

Поэтому в данном пределе стараемся выделить такое выражение:

[m]lim_{x → 0}\frac{2sin3x}{5x}=2\cdot lim_{x → 0}\frac{sin3x}{3x}\cdot \frac{3x}{5x}=[/m]

[m]=2\cdot 1\cdot lim_{x → 0}\frac{3x}{5x}=2\cdot \frac{3}{5}=\frac{6}{5}=1,2[/m]

Ответ выбран лучшим

∫ ^(-1)_(-2)(-1/x)dx=- ∫ ^(-1)_(-2)dx/x=(-ln|x|) |^(-1)_(-2)=

=-ln|-1|+ln|-2|=0+ln2=ln2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=x+iy

|z|=sqrt(x^2+y^2)

z=(1+2i)^2

z=1+4i+(2i)^2= ( так как i^2=-1)=1+4i-4=-3+4i

|z|=sqrt((-3)^2+4^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=[b]5[/b]

Ответ выбран лучшим

[m] ∫ (\frac{5}{sin^2x}+sinx)dx=5 ∫ \frac{1}{sin^2x}dx+ ∫ sinxdx=[/m]

[m]=5\cdot(-ctgx)+(-cosx)+C=-5ctgx-cosx+C[/m]

Правило треугольника:
=7*2*2+(-1)*7*(-6)+4*(-9)*1-(-6)*2*2-1*7*7-2*(-9)*(-1)=

=28+42-36+24-49-18=

=-9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V=V_(роз)+V_(зел)=5*6*10+3*6*2=300+36=336

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как |cosx| ≤ 1 ⇒ 5-cosx > 0 при любом х

log_(2)(10-2cosx)=log_(2)2*(5-cosx)=log_(2)2+log_(2)(5-cosx)=1+log_(2)(5-cosx)

[i]Замена переменной:[/i]
[blue]log_(2)(5-cosx)=t[/blue]

t^2-5*(1+t)=-11

t^2-5t+6=0

t_(1)=[b]2[/b] или t_(2)=[b]3[/b]

Обратный переход:
[blue]log_(2)(5-cosx)=[/blue][b]2[/b] или [blue]log_(2)(5-cosx)=[/blue][b]3[/b]

[blue]5-cosx=2[/blue]^([b]2[/b]) или [blue]5-сosx=2[/blue]^([b]3[/b])

cosx=1 или cosx=-3 ( не имеет корней, |cosx| ≤ 1)

x=2πn, n ∈ Z

О т в е т. [b]2πn, n ∈ Z[/b]

б)
x=2π принадлежит указанному отрезку

Ответ выбран лучшим

По частям:
[m]u=arcsinx[/m]

[m]dv=dx[/m]

[m]du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx[/m]

[m]v=x[/m]

[m] ∫ arcsinx dx=x\cdot arcsinx- ∫ x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=[/m]

[m]=x\cdot arcsinx- (-\frac{1}{2}) \frac{(-2x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=[/m]

[m]=x\cdot arcsinx+(\frac{1}{2})\cdot 2\sqrt{1-x^2}+C=[/m]

[m]=x\cdot arcsinx+\sqrt{1-x^2}+C=[/m]

Замена переменной:
[m]ln5x=t[/m]

[m]dt=(ln5x)`\cdot dx[/m]

[m]dt=\frac{(5x)`}{5x}dx[/m]

[m]dt=\frac{5}{5x}dx[/m]

[m]dt=\frac{1}{x}dx[/m]

[m] ∫\frac{ln5x}{x}dx= ∫ tdt= \frac{t^2}{2}+C= \frac{ln^25x}{2}+C[/m]

[m] ∫ \frac{4}{(x-\frac{1}{2})^3}dx=4\cdot ∫ (x-\frac{1}{2})^{-3}d(x-\frac{1}{2})=[/m] формула ∫ u^(-3)du=

[m]=4\cdot \frac{(x-\frac{1}{2})^{-3+1}}{-3+1}+C=-2\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2}+C[/m]

Пересекаются

Ответ выбран лучшим

4^(x)+2^(2x-1)=3^(x+0,5)+3^(x-0,5)

Заметим, что 2x-1=2*(x-0,5)

и

2^(2x-1)=2^(2*(x-0,5))=(2^(2))^(x-0,5)=4^(x-0,5)

4^(x)+(4)^(x-0,5)=3^(x+0,5)+3^(x-0,5)

Выносим за скобки степени с меньшим показателем:

4^(x-0,5)*(4^(0,5)+1)=3^(x-0,5)*(3+1)

4^(x-0,5)*3=3^(x-0,5)* 4

(4/3)^(x-0,5)=4/3

x-0,5=1

[b]x=1,5[/b]

3.

честно посчитать восемь раз:
a_(2)=a_(1)+12=9+12=21
a_(3)=a_(2)+12=21+12=33
a_(4)=a_(3)+12=33+12=45
a_(5)=a_(4)+12=45+12=57
a_(6)=a_(5)+12=57+12=69
a_(7)=a_(6)+12=69+12=81
a_(8)=a_(7)+12=81+12=[red]93[/red]

можно заметить, что разность между 1-м и 2-м равна 12
между 2-м и 3-м тоже 12

Это и есть d=12 - разность арифметической прогрессии

Применяем формулу:

a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(8)=a_(1)+d*7=9+7*12=9+84= [red]93[/red]

По определению арифметического квадратного корня:
4-x ≥ 0
[red]ОДЗ:[/red] 4-x ≥ 0 ⇒ [red]x ≤ 4[/red]

Возводим в квадрат ( при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому и нужна ОДЗ или проверка в конце решения)

x^3-5x^2-9x+22=(4-x)^2

x^3-5x^2-9x+22=16-8x+x^2

[green]x^3-6x^2-x+6=0[/green]

Раскладываем на множители способом группировки:

(x^3-6x^2)-(x-6)=0

x^2*(x-6)-(x-6)=0

(x-6)*(x^2-1)=0

(x-6)*(x-1)*(x+1)=0

[green]x= ± 1;x=6[/green] это корни уравнения [green]x^3-6x^2-x+6=0[/green]

Но
6 ∉ [red]ОДЗ:[/red]

О т в е т. -1;1

б) 1 ∈ [-sqrt(2)/2;2 sqrt(10)]

Ответ выбран лучшим

d^2=a^2+a^2+a^2

d^2=3a^2

(4sqrt(3))^2=3a^2

a^2=16

a=4

d^2_(грани)=a^2+a^2=4^2+4^2=32

[b]d_(грани)=4sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f `(x_(o))=0 ⇒ касательная в точке (x_(o);y_(o)) || оси ОХ

f `(x_(o))=0 ⇒ касательной в точке (x_(o);y_(o)) нет, график функции имеет [b]излом[/b] как на графике y=|x| (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a=-2

Ветви вниз, поэтому знак минус

Парабола y=2x^2

строится по точкам (0;0);(1;2); (2;8) (-1;2);(-2;8)

И здесь такая же закономерность...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,5:0,7=х:6 ⇒ 0,7*х=6*0,5

0,7х=3

х=30/7

Системе удовлетворяет пересечение этих множеств (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a,b- катеты
с- гипотенуза

S_(квадрата)=с^2

S_( Δ)=(1/2)*a*b
S_( Δ)=(1/8)c^2

(1/2)a*b=(1/8)c^2

{4a*b=c^2
{a^2+b^2=c^2 ⇒ 4a*b=a^2+b^2 ⇒

a^2-4ab+b^2=0

D=(-4b)^2-4b^2=12b^2

a=(4b-2sqrt(3)b)/2 или a=(4b+2sqrt(3)b)/2

a=2b-sqrt(3)b или a=2b+sqrt(3)*b

tg ∠ A=a/b=2-sqrt(3) или tg ∠ A=a/b=2+sqrt(3)

∠ A=arctg(2+sqrt(3)) - наибольший

ОДЗ:
{x ≠ πk, k ∈ Z ( точки в которых не сущ ctgx)
{-сtgx >0 ⇒ ctgx <0 ⇒ (π/2)+πn < x < π+πn, n ∈ Z
т.е
x во второй или четвертой четвертях ;
х ≠ (π/2)+πn
х ≠ πk, k ∈ Z

3*cos2x-5*cosx-1=0

3*(2cos^2x-1)-5*cosx-1=0

6*cos^2x-5*cosx-4=0

D=25-4*6*(-4)=25+96=121

сosx=-1/2 или cosx=1

x= ± (2π/3)+2πm, m ∈ Z или x=2πs, s ∈ Z (не входит в ОДЗ)

x во второй или четвертой четвертях ⇒

x= - (2π/3)+2πm в третьей

О т в е т. x= (2π/3)+2πm, m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

y`=∫dx/sin^22x=(1/2)*(-ctg2x)+C_(1)

y=∫(-1/2)*ctg2x+C_(1))dx=-(1/4)ln|sin2x|+C_(1)x+C_(2)

y=-(1/4)ln|sin2x|+C_(1)x+C_(2)

y(x_(o))=y(5π/4)=(-1/4)ln|sin(5π/2)+C_(1)*(5π/4)+C_(2)

y(5π/4)=C_(1)*(5π/4)+C_(2)

y(π/4)=1 ⇒ 1=-(1/4)ln|sin2*(π/4)|+C_(1)*(π/4)+C_(2)

y`(π/4)=1 ⇒ 1=(1/2)*(-ctg(2*(π/4))+C_(1)

Из системы уравнений находим C_(1) и С_(2):
{1=-(1/4)ln|sin2*(π/4)|+C_(1)*(π/4)+C_(2)
{1=(1/2)*(-ctg(2*(π/4))+C_(1) ⇒ [b] C_(1)=1[/b] ( ctg(π/2)=0)

1=-(1/4)ln1+(π/4)+C_(2) ⇒ C_(2)=1-(π/4)

Частное решение :
y=-(1/4)ln|sin2x|+x+1-(π/4)

Ответ выбран лучшим

R_(1)=4*(2*1+2*2+3)-0,01*1450=...
R_(2)=4*(2*3+2*2+4)-0,01*2030=...
R_(3)=4*(2*2+4*3+3)-0,01*1870=...

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(sqrt(7)/4)^2)=1-(7/16)=9/16

cos α = ± 3/4

π/2 < α <π ⇒ α во второй четверти, косинус во второй четверти имеет знак минус

cosα=-3/4

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos(2π-x)=cosx

2^(sin2x)=(2^(-3))^(5cosx)

2^(sin2x)=2^(-3*5cosx)

sin2x=-3*5cosx

2*sinx*cosx+15*cosx=0

cosx*(2sinx+15)=0 (-1 ≤ sinx ≤ 2 ⇒ 2sinx+15 >0)

cosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

S_(трапеции)=(6+8)*h/2

84=(6+8)*h/2 ⇒ h_(трапеции)=12

[b]R[/b]=h_(трапеции)=[b]12[/b]

V_(тела вращ)=2V_(конуса)+V_(цилиндра)=

=2*(1/3)π*12^2*1+π*12^2*6=(96+864)*π=960*π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
0,4^(x)-0,16 ≥ 0 ⇒ 0,4^(x) ≥ 0,4^2 ⇒ [red] x ≤ 2[/red]

При x ≤ 2 sqrt(0,4^(x)-0,16) ≥ 0 ⇒

10x-1 ≥ 0

x ≥ 0,1

О т в е т.[red] [0,1; 2][/red]

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника SOK:
SO^2=SK^2-OK^2=a^2-(a/2)^2=3a^2/4

SO=a*sqrt(3)/2

SO=18 ⇒ a*sqrt(3)/2=18 ⇒ a=[blue]36/sqrt(3)[/blue]

AC=a*[b]sqrt(2)[/b]- диагональ квадрата со стороной а

S_(диаг. сеч)=S_( Δ АSC)=(1/2)*AC*SO=(1/2) * ([blue]36/sqrt(3)[/blue])*[b]sqrt(2)[/b]*18=108sqrt(6)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

BB_(1)=6sqrt(3)
∪ АВ=120 °
ОК ⊥ АВ
ОК=1

∪ АВ=120 ° ⇒ ∠ АОВ=120 ( центральный угол)

Δ АОВ- равнобедренный (АО=ВО=R)

ОК ⊥ АВ ⇒ ОК - медиана и биссектриса

∠ АОК= ∠ ВОК=60 °

В прямоугольном треугольнике АОК
∠ ОАК=30 ° ( сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° )

ОА=2ОК=2 ( катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета)

По теореме Пифагора

AК=sqrt(2^2-1^2)=sqrt(3)

АВ=2АК=2sqrt(3)

S_(сеч)=AB*BB_(1)=2sqrt(3)*6sqrt(3)=[b]36[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В основании квадрат.
АС=BD=2sqrt(2)

AO=OC=BO=OD=sqrt(2)

BO ⊥ AC
BO- проекция B_(1)O на пл АВСD

⇒ B_(1)O ⊥ AC

∠ B_(1)OB- линейный угол двугранного угла между пл. АВСD и

пл.АВ_(1)С

Δ B_(1)OB- прямоугольный равнобедренный, BO=ВВ_(1)=sqrt(2)

∠ B_(1)OB=45 °
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(шара)=(4/3)*π*R^3=(4/3)*π*3^3=36*π

V_(конуса)=V_(шара)=36*π

V_(конуса)=(1/3)*π*r^2*H

36*π=(1/3)*π*2^2*H

[b]H=27[/b]

Ответ выбран лучшим

v(t)=S`(t)=0,6*2t-22=1,2t-22

v(t)=20 ⇒

1,2*t-22=20 ⇒ 1,2t=42; t=35 с

Ответ выбран лучшим

64=4^3

64^(log_(4)7)=(4^(3))^(log_(4)7)= [i]свойство степени[/i]: (a^(m))^(n)=a^(m*n)

=4^(3log_(4)7)= [i] свойство логарифма степени:[/i] [b]k[/b]*logb=logb^([b]k[/b])

=4^(log_(4)7^3)=

[i]основное логарифмическое тождество:
[/i]
[r]a^(log_(a)b)=b, a>0; b>0; a ≠ 1[/r]

=7^3 =[b]343[/b]

Ответ выбран лучшим

(11-x)^3=5^3 Функция y=x^3 монотонно возрастает на (- ∞ ;+ ∞ )

Поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:

11-х=5

11-5=x

x=6

Ответ выбран лучшим

Всего 50+4+46=100 деталей
n=100
4+3=7 бракованных
m=7

p=m/n=7/100=0,07

Ответ выбран лучшим

72*1,5=108 км
86*2=172 км

100*0,5=50 км

ВЕСЬ ПУТЬ:

S=108+172+50=230 км

ВРЕМЯ
t=1,5 +2+0,5=4 часа

v_(cредняя)=[m]\frac{S}{t}=\frac{230}{4}=57,5[/m] км в час

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

событие A_(1)-"купит брюки"
p(A_(1))=0,5
событие vector{A_(1)}-" не купит брюки"
p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,5=0,5

событие A_(2)-"купит рубашку"
p(A_(2))=0,8
событие vector{A_(2)}-" не купит рубашку"
p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,8=0,2

событие A_(3)-"купит cвитер"
p(A_(3))=0,9
событие vector{A_(3)}-" не купит свитер"
p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,9=0,1

X=0;1;2;3

[b]X=0 - Покупок 0[/b]

Cобытие B- " не купит ничего"

B=vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}
p(B)=0,5*0,2*0,1=0,01

[b]X=1 - купит одну вещь. Покупок 1[/b]

C-"купит одну вещь"

С=A_(1)*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}Uvector{A_(1)}*A_(2)*vector{A_(3)}U vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*A_(3)

p(C)=0,5*0,2*0,1+0,5*0,8*0,1+0,5*0,2*0,9=

[b]X=2 - купит две вещи. Покупок 2[/b]

D=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}U A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)U vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)

p(D)=0,5*0,8*0,1+0,5)0,2*0,9+0,5*0,8*0,9=

[b]X=3 - купит две вещи. Покупок 3[/b]

F=A_(1)*A_(2)*A_(3)

p(F)=0,5*0,8*0,9=

Закон распределения- таблица,
в первой строке значения
0; 1; 2; 3
во второй их вероятности.

https://reshimvse.com/category.php?name=sova_cat_300

Есть аналогичные задачи с решением.
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=31842

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=4x^3-4y^2*2x

z``_(xy)=-16xy

О т в е т. А

Ответ выбран лучшим

В) 8
Считаю по клеточкам. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Во первых, график пересекает ось Оу в точке (0;-2)
Значит это либо первый ответ, либо второй.

Во вторых, пересекает ось Ох в точке (3;0)

Подставляем в первое:
0=3*3-2 - неверно

Подставляем во второе

0=(2/3)*3-2- верно

О т в е т. второй

Ответ выбран лучшим

Пропорция. Перемножаем крайние и средние члены пропорции.

2*(х+3)=7*(3х-2)

2х+6=21х-14

6+14=21х-2х

20=19х

х=20/19

х=1 [m]\frac{1}{19}[/m]

Ответ выбран лучшим

y=-x-2
y=-x^2

-x^2=-x-2

x^2-x-2=0
D=9
x_(1)=-1; x_(2)=2

S= ∫ ^(2)_(-1) (-x^2-(-x-2))dx=((-x^3/3)+(x^2/2)+2x)|^(2)_(-1)=9/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Получили равнобедренный треугольник ( стороны R c углом при основании 120 ° /2=60 ° )

Значит это равновторонний треугольник и r - высота

h=asqrt(3)/2

r=R*sqrt(3)/2

1) r=3√6 ⇒ 3√6=R*sqrt(3)/2 ⇒ R=6sqrt(2) ⇒ S_(сферы)=4πR^2=

[b]=288π[/b]

2) r=4 ⇒ 4=R*sqrt(3)/2 ⇒ R=8sqrt(3)/3 ⇒ S_(сферы)=4πR^2=

[b]=256π/3[/b]

3) r=2√6⇒ 2√6=R*sqrt(3)/2 ⇒ R=4sqrt(2) ⇒ S_(сферы)=4πR^2=

[b]=128π[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(3-(-2);1-(-1))=(5;2)
vector{AС}=(1-(-2);(5-(-1))=(3;6)

|vector{AB}|=sqrt(5^2+2^2)=sqrt(29)

|vector{AC}|=sqrt(3^2+6^2)=sqrt(45)

Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами:
vector{AB}*vector{AС}=5*3+2*6=27

Cкалярное произведение векторов равно произведению длин на косинус угла между ними
vector{AB}*vector{AС}=vector{AB}*vector{AС}*cos ∠ A;

cos ∠ A=27/sqrt(29)*sqrt(45) > 0 ⇒ ∠ A - острый

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AC^2=AB^2+BC^2=3^2+3^2=18

AC=3sqrt(2)

Из Δ АСС_(1)

tg ∠ C_(1)AC=CC_(1)/AC=sqrt(6)/3sqrt(2)=sqrt(3)/3

∠ C_(1)AC=30 ° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

116.
в декартовой системе :
x=t^2 ⇒ t=sqrt(x)

y=sqrt(x)-(1/3)xsqrt(x)

Точки пересечения с осью Ох:
y=0

sqrt(x)-(1/3)xsqrt(x)=0

sqrt(x)*(1-(1/3)x)=0

x=0; x=3

x=t^2 ⇒ t= ± sqrt(3)

Найдем половину петли от t_(1)=0 до t_(2)=sqrt(3)

x`_(t)=2t
y`_(t)=1-t^2

(x`_(t))^2+(y`_(t))^2=(2t)^2+(1-t^2)^2=4t^2+1-2t^2+t^2=t^4+2t^2+1=(t^2+1)^2

sqrt((x`_(t))^2+(y`_(t))^2)=[b]t^2+1[/b]

(1/2)L= ∫ ^(sqrt(3))_(0)[b](t^2+1)[/b]dt=((t^3/3)+t)|^(sqrt(3))_(0)=

=2sqrt(3)

L=2*(2sqrt(3))=[b]4sqrt(3)[/b]

146.

V= ∫ ∫ _(D_(xOz))(6)dxdz= ∫ ^(1)_(0)( [blue]∫ ^(sqrt(z))_(-sqrt(z))6 dx[/blue])dz=6 ∫ ^(1)_(0)x| ^(sqrt(z))_(-sqrt(z))dz=

=6 ∫ ^(1)_(0)2sqrt(z)dz=10*(z^(3/2))/(3/2)=(24/3)z^(3/2)|^(1)_(0)=[b]8[/b]

Ответ выбран лучшим

1) A∪ B={1, 3, 7,23,137}
от А берем все,
потом добавляем от В то, что не брали

2) A∩ B= {3, 7} - то общее, что есть и в А и в В

3) (A ∩ B)UD={3,7}U{0,7,23, 2004}={0,3, 7,23, 2004}

4) C ∩(D ∩ B)={23}

D ∩ B= {7;23}

C ∩ {7;23}={23}

5) (A∪ B)={1, 3, 7,23,137}
(C∪ D)={0,1, 3, 7,23,2004}

(A∪ B) ∩ (C∪ D)={1,3,7,23}

6)B∩C={7,23}

A∪(B∩C)={1, 3, 7, 23, 137}

(A∪(B∩C))∩ D={7,23}

7)

C ∩ A={1,3}

C ∩ D={0,23}

A∪(C ∩ D)={0,1, 3, 7, 23,137}

(A∪(C ∩ D))∩ B={3, 7, 23}

(C ∩ A)∪((A∪(C ∩ D))∩ B)={1,3, 7, 23}

8)
(A∪ B)={1, 3, 7,23,137}

(C∩ D)={0,23}

(A∪ B) \ (C∩ D)={1,3,7,137}

9)
C \ D={1,3}
B \ (C \ D)={7,23}

A \ (B \ (C \ D))={1, 3, 137}

10)

B∪ D={0, 3, 7, 23, 2004}

A \ (B∪ D)={1,137}

(A \ (B∪ D)) \ C={137}

((A \ (B∪ D)) \ C)∪ B={3, 7, 23, 137},

Ответ выбран лучшим

F(x)=[m]\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+C[/m]

(1;3) ⇒ x=1; F(1)=3

3=[m]\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1^3}{3}+\frac{1^4}{4}+C[/m]

[m]C=3- \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}[/m]

[m]C=\frac{3\cdot 12-3-4}{12}- \frac{\sqrt{3}}{3}[/m]

[m]C=\frac{29}{12}- \frac{\sqrt{3}}{3}[/m]

[m]C=\frac{29-4\sqrt{3}}{12}[/m]

О т в е т.
F(x)=[m]\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{29-4\sqrt{3}}{12}[/m]

F(x)=[m]\frac{4\sqrt{3}x+4x^3+3x^4+(29-4\sqrt{3})}{12}[/m]

А
∫ dF(x)= F(x) + C

Ответ выбран лучшим

О т в е т 3) 4; 2; 7; 0 (прикреплено изображение)

A
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-3>0
{x-5>0
{x-2>0
{x-2 ≠ 1
{x-5 ≠ 1

x ∈ (5;6)U(6:+ ∞ )

применяем формулу перехода к другому основанию:

[m]log_{12}(x-3)+log_{12}(x-5) ≥ log_{x-2}(x-5)+log_{x-2}(x-3)[/m]

[m]log_{12}(x-3)(x-5) ≥ log_{x-2}(x-5)(x-3)[/m]

применяем формулу перехода к другому основанию:

[m]log_{12}(x-3)(x-5) ≥ \frac{log_{12}(x-5)(x-3)}{log_{12}(x-2)}[/m]

[m]log_{12}(x-3)(x-5) - \frac{log_{12}(x-5)(x-3)}{log_{12}(x-2)} ≥ 0[/m]

[m]log_{12}(x-3)(x-5)\cdot (1 - \frac{1}{log_{12}(x-2)}) ≥ 0[/m]

[m]log_{12}(x-3)(x-5)\cdot \frac{log_{12}(x-2)-1}{log_{12}(x-2)} ≥ 0[/m]

Применяем [i]обобщенный[/i] метод интервалов:

[m]log_{12}(x-3)(x-5)=0[/m]

[m](x-3)(x-5)=1[/m]

[m]x^2-8x-14=0[/m] ⇒[b] x=4 ± sqrt(2)[/b]

[m]log_{12}(x-2)-1=0[/m] ⇒ x-2=12; [b]x=14[/b]

[m]log_{12}(x-2) = 0[/m] ⇒ x=1

(5)_-__ [4+sqrt(2)] _[red]+[/red]__ (6) __-__ [14] _[red]+[/red]_

[4+sqrt(2);6)U[14;+ ∞ )

ОДЗ:
tgx ≠ 0
ctgx ≠ 0
sinx ≠ 0
cosx ≠ 0

[m]ctg2x=\frac{ctg^2x-1}{2ctgx}[/m]

[m]\frac{1}{tgx}=ctgx[/m]

[m]ctgx+\frac{1}{ctgx}-2\cdot \frac{ctg^2x-1}{2ctgx}-2=0[/m]

[m]\frac{ctg^2x+1-ctg^2x+1-2ctgx}{ctgx}=0[/m]

[m]\frac{2\cdot (1-ctgx)}{ctgx}=0[/m]

[m]ctgx=1[/m]

[m]x=\frac{\pi}{4}+\pi k [/m], k ∈ Z - о т в е т.

б)[m]x=\frac{\pi}{4}[/m]

[m]x=\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{3\pi}{4} [/m]

vector{AO}=(3-2;0-(-6))=(1;6)

|vector{AO}|=sqrt(1^2+6^2)=sqrt(37)

ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{x+2>0
{x+2 ≠ 1

[m]log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}[/m] a>0; b>0; a ≠ 1; b ≠ 1 ⇒

[m]log_{x}(x+2) ≤ \frac{1}{log_{x}(x+2)[/m]

[m]log^2_{x}(x+2) ≤ log^2_{x+2}x[/m]

[m]log^2_{x}(x+2) - log^2_{x+2}x ≤ 0[/m]

[m](log_{x}(x+2) - log_{x+2}x)\cdot (log_{x}(x+2) + log_{x+2}x ) ≤ 0[/m]

[m](log_{x}(x+2) - \frac{1}{log_{x}(x+2)})\cdot (log_{x}(x+2) +\frac{1}{log_{x}(x+2)} ) ≤ 0[/m]

[m]\frac{(log^2_{x}(x+2)-1)(log^2_{x}(x+2)+1)}{log^2_{x}(x+2)} ≤ 0[/m]

[m]^2_{x}(x+2)+1 ≥ 0[/m] при всех х принадлежащих ОДЗ

[m]log^2_{x}(x+2) > 0[/m] при всех х принадлежащих ОДЗ

[m]log^2_{x}(x+2)-1≤ 0[/m]

[m](log_{x}(x+2)-1)(log_{x}(x+2)+1)≤ 0[/m]

Применяем обобщенный метод интервалов:

[m]log_{x}(x+2)-1=0[/m] ; [m]log_{x}(x+2)+1=0[/m] ⇒ [m]x+2=\frac{1}{x}[/m] ⇒ [m]\frac{x^2+2x-1}{x}=0[/m]

D=4+4=8; корни -1 ± sqrt(2)

__+___ [-1-sqrt(2)] - _ (0) _+_ [-1+sqrt(2)] _-___ (1) __+__

С учетом ОДЗ: x >0

О т в е т. [-1+sqrt(2);1)

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и делятся пополам.
Находим координаты точки О - середины АС

x_(O)=(x_(A)+x_(C))/2=-1/2

y_(O)=(y_(A)+y_(C))/2=0

Теперь решаем обратную задачу.

Есть координаты точки О и В

О- середина BD

x_(O)=(x_(B)+x_(D))/2 ⇒ x_(D)=2x_(O)-x_(B)=2*(-1/2)-(-1)=0

y_(O)=(y_(B)+y_(D))/2 ⇒ y_(D)=2y_(O)-y_(B)=2*0-1=-1

Можно нарисовать и проверить

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(i) - выбран i-ый автомат
i=1,2,3
p(H_(1))=0,2 ( 20%=0,2)
p(H_(2))=0,3 ( 30%=0,3)
p(H_(3))=0,5 ( 50%=0,5)

событие A- "деталь бракованная"

p(A/H_(1))=0,002 (0,2%=0,002)
p(A/H_(2))=0,003 (0,3%=0,001)
p(A/H_(3))=0,001 (0,1%=0,001)

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=0,2*0,002+0,3*0,003+0,5*0,001=

y`= ∫ xsinxdx = [ интегрируем по частям: u=x; dv=sinxdx]=

=x*(-cosx)- ∫ (-cosx)dx=

=-xcosx+sinx+C_(1)

y= ∫(-xcosx+sinx+C_(1))dx=[ интегрируем по частям: u=x; dv=cosxdx]=

=-x*sinx+2*(-cоsx)+С_(1)х+С_(2) - ответ

Ответ выбран лучшим

Находим абсциссы точек пересечения:

3x=x^2+3x

x^2=0

Одна точка пересечения ( точка касания). Нет фигуры, ограниченной линиями (прикреплено изображение)

a)
0,2+0,25=0,45
0,1+0,1=0,2=0,20
0,15+0,2=0,35 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) cходится, так как
arcsin x~x при x → 0

arcsin[m]\frac{\pi}{n^2+2}[/m]~[m]\frac{\pi}{n^2+2}[/m]

Ряд ∑ ~[m]\frac{1}{n^2}[/m] сходится, p=2>1

2)

По признаку Даламбера

[m] lim_{n → \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= lim_{n → \infty}\frac{\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}}{\frac{(n)!}{2^{n}}}= lim_{n → \infty}\frac{n+1}{2}=[/m]+ ∞

Расходится

3) По радикальному признаку Коши:

[m]lim_{n → \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=lim_{n → \infty}\sqrt[n]{(\frac{3n-1}{2n+3})^{n}}=lim_{n → \infty}\frac{3n-1}{2n+3}=\frac{3}{2} >1[/m]

Расходится

4) Расходится. Не выполняется необходимое условие сходимости.
Общий член ряда не стремится к нулю

[m]lim_{n → \infty}\frac{3n^2+2}{2n^2-1}=\frac{3}{2} \neq 0[/m]

Ответ выбран лучшим

0,3+0,15+3p+2p+0,05=1

5p=0,5

p=0,1

M(X)=1*0,3+2*0,15+3*0,3+4*0,2+5*0,05=... cчитаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

x>0

По формуле перехода к другому основанию:

[m]log_{\frac{2}{3}}x=\frac{log_{3}x}{log_{3}\frac{2}{3}}=\frac{log_{3}x}{log_{3}2-log_{3}3}=\frac{log_{3}x}{log_{3}2-1}[/m]

[m]\frac{log_{3}x}{log_{3}2-1}=4-3log_{3}x[/m]

[m]\frac{log_{3}x}{log_{3}2-1}+3log_{3}x=4[/m]

[m]log_{3}x\cdot (\frac{1}{log_{3}2-1}+3)=4[/m]

[m]log_{3}x\cdot \frac{3log_{3}2-2}{log_{3}2-1}=4[/m]

[m]log_{3}x=\frac{4\cdot (log_{3}2-1)}{3log_{3}2-2}[/m]

Теперь попробуем упростить

[m]log_{3}x=\frac{4\cdot (log_{3}\frac{2}{3})}{log_{3}\frac{8}{9}}[/m]

[m]log_{3}x=log_{\frac{8}{9}}(\frac{2}{3})^4[/m]

[m]x=3^{log_{\frac{8}{9}}\frac{16}{81}}[/m] - это ответ. Удовл ОДЗ

Ответ выбран лучшим

1)
y`=4x^3-6x^2

y``=12x^2-12x

y``=0 ⇒ 12x^2-12x=0 ⇒ 12x*(x-1)=0 ⇒ x=0; x=1

y`` ≤ 0 0 ≤ x ≤ 1

2)

y`=(-1/9)*cos3x*(3x)`-(1/4)*(2x)

y`=(-1/9)*cos3x*(3)-(1/2)*x

y`=(-1/3)*cos3x-(1/2)*x

y``=(-1/3)*(-sin3x)*(3x)`-(1/2)

y``=sin3x -(1/2)

y``=0

sin3x=(1/2)

3x=(-1)^k*(π/6) +πk, k ∈ Z

В неравенствах и при отборе корней удобнее записывать как две серии ответов в первой (при четных k) и во второй ( при нечетных)

или

3х=(π/6) +2πn, n ∈ Z; 3х=-1*(π/6) +π+2π*n= (5π/6) +2πn, n ∈ Z;

y`` ≥ 0

(π/6) +2πn ≤ 3x ≤ (5π/6) +2πn, n ∈ Z;

Делим на 3

([b]π/18) +(2π/3)*n ≤ x ≤ (5π/18) +(2π/3)* n, n ∈ Z; [/b]- о т в е т

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Одна сторона x; вторая сторона y

x>0; y>0- стороны не могут быть отрицательными и 0

x*y=25 ⇒ y=25/x

P=2*(x+y)

P=2*(x+[m]\frac{25}{x}[/m]) - функция, зависящая от х

Обозначим

f(x)=x+[m]\frac{25}{x}[/m]

Исследуем на наибольшее, наименьшее значения

f`(x)=1- [m]\frac{25}{x^2}[/m]

f`(x)=0

x^2=25

x=5

При x < 5
f`(x) <0
При x>5
f`(x) >0

x=5 - точка минимума.

y=[m]\frac{25}{x}[/m]=5
О т в е т. P=2*(5+5)=20

Ответ выбран лучшим

6x^2-10x-1=2*(3x^2-5x-0,5)

[i]Замена переменной:[/i]

4^(3x^2-5x-0,5)=t

4^(6x^2-10x-1)=4^(2*(3x^2-5x-0,5))=(4^(3x^2-5x-0,5))^2=t^2

[m]\frac{t^2-25}{t-5}=13[/m]

t^2-25=(t-5)*(t+5) и [red] t ≠ 5[/red] ⇒

t+5=13

t=8

Обратный переход от t к х:

4^(3x^2-5x-0,5)=8

8=2^3

(2^2)^(3x^2-5x-0,5)=2^3

2*(3x^2-5x-0,5)=3

6x^2-10x-1=3

6x^2-10x-4=0

3x^2-5x-2=0

D=25-4*3*(-2)=25+24=49

x_(1)=(5-7)/6; x_(2)=(5+7)/6

x=-1/3; x=2

О т в е т. (-1/3); 2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
[m]\begin{matrix} x+4>0\\\frac{x+4}{(x+6)^2}>0 \end{matrix}\begin{matrix} x>-4\\x ≠ -6 \end{matrix}[/m]

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

[m]log_{2}\frac{(x+4)^2}{(x+6)^2} ≤ 0[/m]

0=log_(2)1

[m]log_{2}\frac{(x+4)^2}{(x+6)^2} ≤ log_{2}1[/m]

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая

[m]\frac{(x+4)^2}{(x+6)^2} ≤ 1[/m]

[m]\frac{(x+4)^2}{(x+6)^2} -1≤ 0[/m]

[m]\frac{(x+4)^2-(x+6)^2}{(x+6)^2} ≤ 0[/m]

Формула

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

[m]\frac{-2\cdot (2x+10)}{(x+6)^2} ≤ 0[/m]

[m]\frac{x+5}{(x+6)^2} ≥ 0[/m]

x ≥ -5

C учетом ОДЗ:

о т в е т. [-5;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Треугольник равнобедренный (АС=ВС)

Высота СК - одновременно и медиана.
делит сторону АВ пополам

АК=КВ=14

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Из прямоугольного треугольника АСК:

сos ∠ A=AK/AC=14/20=0,7

{2p_(1)+5p_(2)=2,2
{p_(1)-2p_(2)=-0,7

Решаем систему способом подстановки:
{2*(2p_(2)-0,7) +5p_(2)=2,2 ⇒ 9p_(2)=3,6 ⇒ p_(2)=0,4
{p_(1)=2p_(2)-0,7 ⇒ p_(1)=2*0,4-0,7=0,1

X=0;1;2

X=0 - ни один банк не обанкротился:
p_(o)=(1-р_(1))*(1-р_(2))=0,6*0,9=0,54

X=1 - один банк обанкротился:
p_(o)=0,6*0,1+0,4*0,9=0,42

X=2 - оба банка обанкротились
p_(2)=0,4*0,1=0,04

Закон - таблица, в первой строке значения
0;1;2
Во второй вероятности

M(X)=0*0,54+1*0,42+2*0,04=0,5

M(X^2)=0^2*0,54+1^2*0,42+2^2*0,04=0,42+0,16=0,58

О т в е т. а)

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=0,58-(0,5)^2=0,33

Ответ выбран лучшим

h^2=15^2-9^2=225-81=144
h=12
S_( Δ)=(1/2)*a*h=(1/2)*18*12=108

r=S/p=108/((18+15+15)/2)=4,5

R=a*bc/(4S)=(15*15*18)/(4*108)=75/8=9,375

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=3x^2-3y
z``_(xx)=6x

О т в е т. В

Ответ выбран лучшим

функциональным

Ответ выбран лучшим

О т в е т. С

S_(n)=[m]\frac{1}{3}\cdot ( 1-\frac{1}{4}+\frac {1}{4}-\frac {1}{7}+...+\frac{1}{3n+1})[/m]

Расходится.
Эквивалентен ряду:

∑ [m]\frac{\sqrt{n}\cdot (\sqrt{n}-1)}{n(n-1)}=[/m]
∑ [m]\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)}[/m] - который расходится как гармонический

Ответ выбран лучшим

M(X)=1*0,1+2*0,5+3*0,3+4*0,1=2,4

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

M(X^2)=1^2*0,1+2^2*0,5+3^2*0,3+4^2*0,1=0,1+2+2,7+1,6=6,4

D(X)=6,4-2,4^2=0,64

О т в е т. а)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x^4-2x^3-3x^2+6x ≥ 0 ⇒ (x^4-3x^2)-(2x^3-6x) ≥ 0

x^2(x^2-3)-2x*(x^2-3) ≥ 0

(x^2-3)*(x^2-x) ≥ 0

x*(x-2)*(x-sqrt(3))*(x+sqrt(3)) ≥ 0

_[red] +[/red]__ [-sqrt(3)] ____ [0] __[red]+[/red]__ [sqrt(3)] ___ [2] __[red]+[/red]_

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, (а другой при этом не теряет смысла, почему и находим ОДЗ)

sqrt(x^4-2x^3-3x^2+6x)=0 или cos x=0

x=0;x=2;x=sqrt(3);x=-sqrt(3) или x=(π/2)+πn, n ∈ Z , n ≠ -1.

Находим корни на интервале:
(-10;sqrt(21)).
x=-sqrt(3);x=0;x=2;x=sqrt(3);x=-sqrt(3)

Остальные находим из неравенств:

-10<(π/2)+πn<- sqrt(3)⇒ n=-2 и тогда -10 < (π/2)-2π < - sqrt(3)-верно
0 < (π/2)+πn < sqrt(3) ⇒ n=0 и тогда 0 < (π/2) < sqrt(3) - верно

2≤ (π/2)+πn < sqrt(21) ⇒ нет таких n

О т в е т. (π/2)-2π ; (π/2)

Ответ выбран лучшим

6^(x^2–x–1)·7^(x–2) ≥ 6

Делим на 6

6^(x^2–x–2)·7^(x–2) ≥1

x^2-x-2=(x+1)(x-2)

6^((x+1)(x-2))·7^(x–2) ≥1

(6^(x+1))^(x-2)·7^(x–2) ≥1

(6^(x+1)*7)^(x-2) ≥ 1

Если 6^(x+1)*7 > 1 функция возрастает, и тогда

x-2 ≥ 0

Если 6^(x+1)*7 < 1 функция убывает, и тогда

x-2 ≤ 0

Две системы:
{6^(x+1)*7 > 1 ⇒ 6^(x+1)>1/7 ⇒ x+1 > log_(6)(1/7) ⇒ x>-1+log_(6)1/7
{x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
⇒ x ≥ 2
или
{6^(x+1)*7 < 1 ⇒ 6^(x+1)<1/7 ⇒ x+1 < log_(6)(1/7) ⇒ x<-1+log_(6)1/7
{x-2 ≤ 0 ⇒ x ≤ 2

⇒ x<-1+log_(6)1/7=log_(6)(1/6)+log_(6)(1/7)=log_(6)(1/42)

О т в е т. (- ∞ ;log_(6)(1/42)) U [2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

2*(-3)+15=(-3)^2- верно, так как 9=9 - верно

n=6*6*6=216

Меньше семи:
(1;1;1)
(1;1;2); (1;2;1);(2;1;1)
(1;2;2); (2;2;1);(2;1;2)
(2;2;2)

m=216-8=208

p=m/n=208/216

Ответ выбран лучшим

1.

Вероятность вынуть первую стандартную деталь равна 14/15

Теперь в партии 14 деталей и 13 стандартных

Вероятность вынуть вторую стандартную деталь равна 13/14

Вынуть обе детали И первую и вторую по правилу умножения:

p=(14/15)*(13/14)=13/15
или

n=C^(2)_(15)=(15!)/((15-2)!*2!)=14*15/2=105
m=C^(2)_(14)=(14!)/((14-2)!*2!)=13*14/2=91

p=m/n=91/105=13/15

2.
События:
А_(1) - "сдаст первый экзамен",
vector{A_(1)} - "не сдаст первый экзамен".
p(A_(1))=0,8; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,8=0,2

А_(2) -"сдаст второй экзамен",
vector{A_(2)} " не сдаст второй экзамен",.
p(A_(2))=0,5; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,5=0,5

А_(3)-"сдаст третий экзамен",
vector{A_(3)} -" не сдаст третий экзамен",
p(A_(3))=0,7; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,7=0,3

Cобытие А - "сдаст хотя бы один экзамен"

Событие vector{А}- " не сдаст ни одного попадания"

vector{А}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{А})=0,2*0,5*0,3 =0,03

p(А)=1-p( vector{А})=1-0,03 =0,97

3.
События:
А_(1) первый стрелок попал, vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,65; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,65=0,35

А_(2) второй стрелок попал,vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,85; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,85=0,15

А_(3) третий стрелок попал, vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,75; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,75=0,25

1)
Cобытие А - "хотя бы одно попадание"

Событие vector{А}- "ни одного попадания"

vector{А}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{А})=0,35*0,15*0,25 =0,013125

p(А)=1-p( vector{А})=1-0,013125=...

2)

Cобытие В - "только два попадания"

В=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}+A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)+vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)

p(B)=0,65*0,85*0,25+0,65*0,15*0,75+0,35*0,15*0,75=

3)

Событие C - " все три стрелка попали в цель"

С=A_(1)*A_(2)*A_(3)

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

р(С)=0,65*0,85*0,75=

Ответ выбран лучшим

1) Формула ∫ e^(u)du=e^(u)

u=2x;

du=2dx

dx=(1/2)du=(1/2)d(2x)

=(1/2)e^(2x)|^(3)_(0)=(1/2)*(e^(6)-e^(0))=(1/2)*(e^(6)-1)

2)= (1/3) arctg(x/3)|^(3)_(0)=(1/3)(arctg1-arctg0)=(1/3)*((π/4)-0)=π/12

3)=((x^3/3)-2*(x^2/2)+3x)|^(2)_(1)=

=((2^3/3)-2*(2^2/2)+3*2)-((1^3/3)-2*(1^2/2)+3*1)=7/3

∂z/∂x=z`_(x)=[m]e^{\frac{x+y}{y}}\cdot (\frac{x+y}{y})`_{x}=e^{\frac{x+y}{y}}\cdot (\frac{x}{y}+1)`_{x}=e^{\frac{x+y}{y}}\cdot\frac{1}{y}[/m]

∂z/∂y=z`_(y)=[m]e^{\frac{x+y}{y}}\cdot (\frac{x+y}{y})`_{y}=e^{\frac{x+y}{y}}\cdot (\frac{x}{y}+1)`_{y}=e^{\frac{x+y}{y}}\cdot(-\frac{x}{y^2})[/m]

∂y/∂x=y`_(x)=[m]4cos^3x\cdot (cosx)`=-4cos^3x\cdot sinx[/m]

и подставляем в формулу ( см. приложение)

(прикреплено изображение)

1.
В основании квадрат.
диагональ квадрата по теореме Пифагора

d=6sqrt(2)

Диагональное сечение - равносторонний треугольник, высота этого треугольника

H=6sqrt(2)*sqrt(3)/2=[b]3sqrt(6)[/b]

V=(1/3)*S_(квадрата)*Н=(1/3)*6^2*[b]3sqrt(6)[/b]=36sqrt(6)

2.
ОК^2=15^2-12^2=81

ОК=9

АВ=18

V=(1/3)*S_(квадрата)*Н=(1/3)*AB^2*H=(1/3)*18^2*12=1296

3.
R=16sqrt(3)*sqrt(3)/3=16

r=8

H^2=h^2-r^2=17^2-8^2=225

H=15

V=(1/3)S_( Δ)*H=(1/3)*(16sqrt(3))^2(sqrt(3)/4)*15
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3)
ОДЗ: [red]x>0[/red]

[i]Замена переменной:[/i]

log_(3)x=t

3t^2+2t-5 ≥ 0
D=2^2-4*3*(-5)=4+60=64

t_(1)=-5/3; t_(2)=1

t ≤ -5/3 или t ≥ 1

Обратный переход:

log_(3)x≤ -5/3 или log_(3)x ≥ 1

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая

[red]0 <[/red] x ≤ 3^(-5/3) или x ≥ 3

2)
ОДЗ: [red]x>0[/red]
lnx*(lnx+1) ≤ 0

-1 ≤ lnx ≤ 0

-1*lne ≤ lnx ≤ ln1

lne^(-1) ≤ lnx ≤ ln1 Логарифмическая функция с основанием e возрастающая
⇒ [b]e^(-1) ≤ x ≤ 1[/b]

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+k–12=0

D=1-4*(-12)=1+48=49

k_(1)=-4; k_(2)=3– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(-4x)+C_(2)·e^(3x)

Частное решение:

y(0)=1

Подставляем:
1=С_(1)*e^(0)+C_(2)·e^(0) ⇒ 1=С_(1)+C_(2)

y`=(С_(1)*e^(-4x)+C_(2)·e^(3x))`

y`=С_(1)*(e^(-4x))`+C_(2)·(e^(3x))`

y`=С_(1)*e^(-4x)*(-4x)`+C_(2)·e^(3x)*(3x)`

y`=-4С_(1)*e^(-4x)+3C_(2)·e^(3x)

y`(0)=1

1=-4С_(1)+3C_(2)

Из системы:
{1=С_(1)+C_(2) умножаем на 4
{1=-4С_(1)+3C_(2)

{4=4С_(1)+4C_(2)
{1=-4С_(1)+3C_(2)

Складываем:

5=7С_(2) ⇒ С_(2)=7/5=1,4
С_(1)=1-С_(2)=1-1,4=-0,4

y_(част.)=-0,4*e^(-4x)+1,4·e^(3x)

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2–1=0

k_(1)=1; k_(2)=1– корни действительные [red]кратные[/red]

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)

частное решение неоднородного
y_(част)=Asinx+Bcosx

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=Acosx–Bsinx

y``_(част)=-Asinx–Bcosx

Подставляем в данное уравнение:

-Asinx–Bcosx-Asinx-Bcosx=2sinx–4cosx

Приравниваем

-2А*sinx-2B*cosx=2sinx–4cosx

-2А=2
-2В=-4

А=-1
В=2

О т в е т. y=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)-sinx+2cosx

1.
cм. рис. 1
y^2=9x ⇒ y=3sqrt(x) - верхняя ветвь.

S= ∫ ^(1)_(0)(3sqrt(x)-3x)dx=[m](3\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-3\cdot \frac{x^2}{2})[/m]|^(1)_(0)=2-1,5=0,5

2.
cм. рис.2

S= ∫ ^(4)_(1)(6/x)dx=(6ln|x|)|^(4)_(1)=6ln4-8ln1=6ln2^2=12ln2

3.
V_(Ох)=π ∫ ^(2)_(-2)((x-2)^2-4(x+2))dx=π ∫ ^(2)_(-2)(x^2-8x-4)dx=

=π*([m]\frac{x^3}{3}-4x^2-4x)[/m]|^(2)_(-2)=π*([m]\frac{16^3}{3}-16)[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5.
a).
Мастер за 3 часа, ученик за 3*2=6 часов делают каждый 72 ученических места

Мастер за час делает 72:3=24 ученических места
Ученик за час делает 72:6=12 ученических мест

24+12=36 ученических места за час изготовят вместе за час

144:36=4 часа

О т в е т. за 4 часа

б).
750:15=50 км в час скорость автобуса
750:10=75 км в час скорость автотуриста

75+50=125 км в час скорость сближения

750:125=6 часов

О т в е т. Если поедут навстречу друг другу, то встретятся через 6 часов

4
a)
S=5*4+3*1=23
б)
S=7*3+11*2=21+22=43 (прикреплено изображение)

Каноническое уравнение эллипса:
[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

a^2=13^2=169
Находим b:
b^2=a^2-c^2=169-121=48

[m]\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{48}=1[/m]

найти уравнения директрис
( см. приложение)

[m]d=\pm\frac{169}{11}[/m]

(прикреплено изображение)

p=0,02
n=200

np=4

npq=0,98*4=3,92

sqrt(npq)=sqrt(3,92) ≈ 1,98

Интегральная формула Лапласа ( cм приложение 1):

P_(200)(4 ≤ х ≤ 10)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(10-4)/sqrt(3,92)=6/1,98=3,03
x_(1)=(4-4)/sqrt(3,92)=0

Ф(x_(2))=Ф(3,03)=0,49865 ( cм таблицу 2)
Ф(x_(1))=Ф(0)=0
О т в е т.P_(200) (4 ≤ x ≤ 10)=0,49865 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Фалеса
11:5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(20x-19)`*cosx+(20x-19)*(cosx)`-20*(sinx)`+(19)`

y`=20*cosx+(20x-19)*(-sinx)-20*cosx+0

y`=-(20x-19)*sinx

y`=0

20x-19=0 или sinx=0 ⇒ [b]x=πk, k ∈ Z[/b]

x=19/20

Когда так небрежно публикуют условие задачи получают не простую задачу, а трудную

Обычно в таких задачах есть отрезок. Вы его не написали. Лень?
Или решили с`оригинальничать?

Без отрезка нет ответа на вопрос

Потому как
y(19/20)=0*cos(19/20)-20sin(19/20)+19=19-20сos(19/20)

y(2πn)=(20*2πn-19)*cos(2πn)-20sin(2πn)+19=(20*2πn-19)*1-0+19

=40[b]πn[/b]

Значение зависит от n

И потому что n может быть очень велико,
значит и максимум тоже может быть очень большим...

Ответ выбран лучшим

y=2x

2x+10*(2x)=28

2x+20x=28

22x=28

x=28/22

x=14/11

y=28/11

О т в е т. (14/11; 28/11)

Ответ выбран лучшим

Приведения, когда есть (π/2) или π
или кратные им углы, т.е

(3π/2) или 2π

(5π/2) или 3π

и т. д

Ответ выбран лучшим

Полярные координаты

x=rcos φ ; y=r*sin φ
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ φ ≤ (π/2)

= ∫ ^(1)_(0)dr ∫ ^(π/2)_(0)(2rcos φ+r^2sin^3 φ )d φ =

=2 ∫ ^(1)_(0)rdr ∫ ^(π/2)_(0)(cos φ)d φ + ∫ ^(1)_(0)r^3dr ∫ ^(π/2)_(0)(sin^3 φ )d φ =

=2 ∫ ^(1)_(0)rdr ∫ ^(π/2)_(0)(cos φ)d φ + ∫ ^(1)_(0)r^3dr ∫ ^(π/2)_(0)(sin^2 φ )*sin φ d φ

=2 ∫ ^(1)_(0)rdr ∫ ^(π/2)_(0)(cos φ)d φ + ∫ ^(1)_(0)r^3dr ∫ ^(π/2)_(0)(1-cos^2 φ )*sin φ d φ

1.
V_(1)=185*185*37

V_(2)=185*37*37

V_(1): V_(2)=185:37

2.
V=a*b*c

0,18=0,8*0,375*c

c=0,18:(0,8*0,375)=

3.
V=9,3*6,3*3,5=...

Чтобы найти ответ V делим на 6

4.
AC^2=4^2+4^2=32

AC=4sqrt(2)

AO=AC/2=2sqrt(2)

MO^2=MA^2-AO^2=6^2-(2sqrt(2))^2=36-8=28

MO=[blue]4sqrt(7)[/blue]

MO=H_(пирамиды)

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H=(1/3)*S_(квадрата)*Н=

=(1/3)*4^2*([blue]4*sqrt(7)[/blue])=[b]64sqrt(7)/3[/b]

Ответ выбран лучшим

r^2=R^2-d^2=25^2-20^2=625-400=225

S_(сечения)=π*r^2=[b]π*225[/b] (прикреплено изображение)

1.
a+12=23k- кратно 23
b-11=23m- кратно 23

(a+12)-(b-11)=23k-23m=23*(k-m) - кратно 23

2.
n=9k+4 - так можно записать числа, дающие при делении на 9 остаток 4

5n=5*(9k+4)=5*9k+5*4=5*9k+18 + 2 =9*(5k+2) + 2 = 9*m+2 - -

так записывают числа, дающие при делении остаток 2.

О т в е т. 2

3.

Число делится на 36, значит оно делится на 4 и на 9
На 4 оно делится если две последние цифры делятся на 4
Значит, вместо *
0;2; 3;4;6;8;

Кроме того, число должно делиться на 9, значит сумма цифр должна
делиться на 9

8+3+1+(#)+4=16+(#)

Значит, (#) может быть 2

16+2=18

О т в е т. 83 124

4.
x^2-3y=29 ⇒ x^2-29=3y

Cправа 3y - кратно 3,
значит и x^2-29 должно быть кратно 3

x^2>29

x=6

36-29=7 не кратно 3

x=7

49-29 =10 не кратно 3

х=8

64-29=35 не кратно 3

...

перебирайте...

5.

5^2=25
25:6=4 ( ост 1)

5^3=125
125:6=2 ( ост 5)

...

находим закономерность...

6.

18^(n)-1=p; p- простое ⇒ 18^(n)=p+1

18^(1)=18; ⇒ p=17

других нет. Формула (a^(n)-b^(n))=(a-b)*(a^(n-1)+...+b^(n-1))

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{2x^2-4x-21}{x-3}+x^2-7+x ≥ 0[/m]

[m]\frac{2x^2-4x-21+(x-3)\cdot(x^2+x-7)}{x-3} ≥ 0[/m]

[m]\frac{2x^2-4x-21+x^3+x^2-7x-3x^2-3x+21}{x-3} ≥ 0[/m]

[m]\frac{x^3-14x}{x-3} ≥ 0[/m]

Применяем метод интервалов:

[i]находим нули числителя:[/i]

x^3-14x=0
x*(x-sqrt(14))*(x+sqrt(14))=0

x=0; x=-sqrt(14); x=sqrt(14)

Отмечаем на числовой прямой закрашенным кружком ( я рисую квад. скобки)

[i]находим нули знаменателя:[/i]

x-3=0

x=3

Отмечаем на числовой прямой незакрашенным кружком ( я рисую круглые скобки)

____ [-sqrt(14)] _____ [0]_____ (3) __ [sqrt(14)] ____

Расставляем знаки:

При x=100 (100^3-14*100)/(100-3)>0; ставим + справа

____ [-sqrt(14)] _____ [0]_____ (3) __ [sqrt(14)] __[red]+[/red]__

Далее знаки чередуем справа налево:

__[red]+[/red]__ [-sqrt(14)] __-__ [0]___[red]+[/red]__ (3) _-_ [sqrt(14)] __[red]+[/red]__

О т в е т. (- ∞ ; - sqrt(14)] U [0;3) U [sqrt(14);+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

-0,19*(-0,78-0,22)=-0,19*(-1)=0,19

3,6*(1/2)=1,8

1,8:(-0,018)=1800:(-18)=-100

0,19: (-100)=-0,0019

-14*|x|=-2-4,5

-14*|x|=-6,5

|x|=(-6,5):(-14)

|x|=13/28

x= ± 13/28

711z-16=58:58

711z-16=1

711z=17

z=17/711

1-0,8=[b]0,2[/b] - точно не в Беларуси, только в России.
1-0,6=0,4 - точно не в России, только в Беларуси

[b]0,2[/b]+0,4=0,6 - только в России или только в Беларуси

Ответ выбран лучшим

{x=5+2y
{2*(5+2y)-3y=-2 ⇒ 10+4y-3y=-2 ⇒ y=12; x=5+2*12=29

R=asqrt(3)/3; r=asqrt(3)/6 ⇒ r=R/2=[b]2[/b]

a=[b]4sqrt(3)[/b]

H=2

h^2=H^2+r^2=2^2+2^2=8

a)
h(апофема)=[b]2sqrt(2)[/b]

б)

S_(бок)=P*h/2=3a*h/2=3*4sqrt(3)*2sqrt(2)/2=[b]12sqrt(6)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=36 (cм. таблицу 1)

m=6 (cм. таблицу 2)

p=m/n=6/36=1/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=7k+3

n^2+2n=(7k+3)^2+2*(7k+3)=(7k)^2+2*(7k)*3+[b]9[/b]+2*(7k)+[b]6[/b]=

=7k*(7k+8)+[b]15[/b]=

=7k*(7k+8)+14+[red]1[/red]

Остаток 1, все остальные слагаемы кратны 7

y`=44sqrt(3)*(-sinx)+22sqrt(3)

y`=0

44sqrt(3)*(-sinx)+22sqrt(3)=0

sinx=1/2

Решаем уравнение на [0;π/2]

x=π/6

[i]Находим знак производной:[/i]

y`=22sqrt(3)*(1-2sinx)

[b]y`>0[/b] ⇒ 1-2sinx>0 ⇒ sinx < 1/2 ⇒ решаем на [0;π/2]

[b]0 < x <π/6[/b]

[b]y` < 0 [/b]⇒ 1-2sinx < 0 ⇒ sinx>1/2 ⇒

[b] (π/6) < x < (π/2)[/b]

x=π/6 - точка [b]максимума[/b], производная меняет знак с [b]+[/b] на [b]-[/b]

Так как х=(π/6) - [i] единственная точка [/i]экстремума на отрезке [0;π/2]

то в этой точке функция принимает [i]наибольшее значение[/i]
y([b]π/6[/b])=44sqrt(3)* cos(π/6)+ [b]22sqrt(3)*(π/6)- 11sqrt(3)π*/3[/b]+19

y([b]π/6[/b])=66+19=[b]85[/b]

vector{abc}; vector{acb};vector{bac};vector{bca};vector{cab};vector{cba}
сумма цифр 6a+6b+6c=6*(a+b+c) - кратна 3 и 2

Дано, что сумма цифр равна 33

Значит, не все 6 чисел можно написать. Т.е. цифры повторяются.

Нечётная цифра встречается нечётное число раз

Например, так:

443
434
344

Cумма цифр 6*4+3*3=24+9=33

Наибольшее 443

p(A)=0,1 - вероятность брака с дефектом А
p(B)=0,12 - вероятность брака с дефектом B

p(C)=1-0,87=0,13 - вероятность того, что изделие бракованное

C=AUB

p(C)=p(A)+p(B)-p(A ∩ B) ⇒p(A ∩ B)= p(A)+p(B)-p(C)=0,1+0,12-0,13=...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

X=0, 1. 2

Х=0- нет нестандартных деталей
p_(0)=(8/12)*(7/11)=14/33

Х=1- одна нестандартная деталей
p_(1)=(4/12)*(8/11)+(8/12)*(4/11)=16/33

Х=2 - две нестандартные
р_(2)=(4/12)*(3/11)=1/11

закон распределения числа нестандартных деталей среди
отобранных - таблица.

В первой строке значения:

0; 1: 2

Во второй - вероятности

Ответ выбран лучшим

p=0,3*0,1*0,8=0,024

Ответ выбран лучшим

Центральный угол AOD равен 54°.
Значит
∪ AD=54 °

∪ BD=180 ° ⇒ ∪ AB=180 ° -54 ° =126 ° ⇒ ∠ ACB=(1/2) ∪ AB=[b]63 ° [/b]

[m]F(X)=\left\{\begin{matrix} 0; x \leq -7\\ 0,2; -7<x\leq -3\\ 0,35;-3<x\leq 1\\0,55; 1<x\leq 3 \\ 0,75;3 < x\leq 12\\0,9; 12<x\leq 23\\1,x > 23 \end{matrix}\right.[/m]

График - ступенчатая линия.

На каждом интервале отрезок, параллельный оси Ох

По определению
M(X)=-7*0,2+(-3)*0,15+1*0,2+3*0,2+12*0,15+23*0,1=.[red]?[/red]..

D(X)=M(X^2) - (M(X))^2;

M(X^2)=(-7)^2*0,2+(-3)^2*0,15+1^2*0,2+3^2*0,2+12^2*0,15+23^2*0,1=...

σ(X)=sqrt(D(X))

Отклонение:

| X- M(X)|=

считать для каждого значения Х из таблицы
|-7 - [red]?[/red]|=
|-3 - [red]?[/red]|=
|1 - [red]?[/red]|=
|3 - [red]?[/red]|=
|12 - [red]?[/red]|=
|23 - [red]?[/red]|=

Ответ выбран лучшим

События:
А_(1) - "сдаст первый экзамен",
vector{A_(1)} - "не сдаст первый экзамен".
p(A_(1))=0,5; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,5=0,5

А_(2) -"сдаст второй экзамен",
vector{A_(2)} " не сдаст второй экзамен",.
p(A_(2))=0,7; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,7=0,3

А_(3)-"сдаст третий экзамен",
vector{A_(3)} -" не сдаст третий экзамен",
p(A_(3))=0,8; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,8=0,2

Cобытие А - "сдаст хотя бы один экзамен"

Событие vector{А}- " не сдаст ни одного попадания"

vector{А}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{А})=0,5*0,3*0,2 =

p(А)=1-p( vector{А})=1-0,5*0,3*0,2 =...

События:
А_(1) первый стрелок попал, vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,85; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,85=0,15

А_(2) второй стрелок попал,vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,65; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,65=0,35

А_(3) третий стрелок попал, vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,75; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,75=0,25

1)
Cобытие А - "хотя бы одно попадание"

Событие vector{А}- "ни одного попадания"

vector{А}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{А})=0,15*0,35*0,25 =0,013125

p(А)=1-p( vector{А})=1-0,013125=...

2)

Cобытие В - "только два попадания"

В=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}+A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)+vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)

p(B)=0,85*0,65*0,25+0,85*0,35*0,75+0,15*0,65*0,75=

3)

Событие C - " все три стрелка попали в цель"

С=A_(1)*A_(2)*A_(3)

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

р(С)=0,85*0,65*0,75

Что значит долг в июле 2021 равен S. Значит в феврале - июне выплачены только проценты, начисленные в январе.
...

Что значит долг в июле 2023 равен 0,8*S. Значит в феврале - июне выплачены проценты, начисленные в январе и часть самого кредита, а именно 0,2*S

...

2021 год
янв
начислено 0,07*S выплачено 0,07*S остаток долга в июле S

2022 год
янв
начислено 0,07*S выплачено 0,07*S остаток долга в июлеS

2023 год
янв
начислено 0,07*S выплачено 0,07*S+0,2S остаток в июле 0,8S

2024 год
янв
начислено 0,07*(0,8S) выплачено 0,056*S+0,2S остаток 0,6*S

2025 год
янв
начислено 0,07*(0,6S) выплачено 0,042*S+0,2S остаток 0,4*S

2026 год
янв
начислено 0,07*(0,4S) выплачено 0,028*S+0,4S остаток 0

Выплаты в среднем столбце:

0,07*S + 0,07*S 0,07*S+0,2S +0,056*S+

+0,2S+0,042*S+0,2S+0,028*S+0,4S=360720

1, 336 * S=360720

[red]S=270 000[/red]

sinх=√3/2 ⇒ х=(-1)^(k) (π/3)+πk ,k ∈ Z

k=2n
получаем первую серию
х= (π/3)+2πn ,n ∈ Z

k=2n+1
получаем первую серию
х= (2π/3)+2πn ,n ∈ Z

О т в е т . (-1)^(k) (π/3)+πk ,k ∈ Z или

два ответа пишем
(π/3)+2πn ,n ∈ Z (2π/3)+2πn ,n ∈ Z

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=49919

ОДЗ:
{cosx ≠ 0 ( потому что он в знаменателе tgx и тогда tgx не сущ)

{65cos^2x+56cosx=0
{56tgx-33 ≠ 0

65cos^2x+56cosx=0

cosx*(65cosx+56)=0

cosx=0 или 65 cosx-56=0 ⇒

cosx=-56/65

x= ± arccos(-56/65)+2πn, n ∈ Z

Но tgx ≠ 33/56 ⇒

Если cosx=-56/65, то sin^2x=1-cos^2x

sin^2x=1- ([m]-\frac{56}{65}[/m])^2=[m]\frac{65^2-56^2}{65^2}[/m]

cosx < 0; tgx >0 ⇒ sinx <0

sinx=-[m]\frac {33}{65}[/m] ⇒ tgx =[m]\frac {33}{56}[/m]

т. е корни из третьей четверти не входят в ответ

Значит, в ответ входит

х= arccos(-56/65)+2πn, n ∈ Z

x=π-arccos(56/65)+2πn, n ∈ Z

б) π- arccos(56/65)-12π=-11π-arccos(56/65) - корень, принадлежащий указанному промежутку.

-25π/2 < -11π-arccos(56/65) < - 11π

---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

События:
А_(1) -"первая камера включена"
А_(2) -"вторая камера включена"
А_(3) -"третья камера включена"

p(A_(1))=p(А_(2))=p(А_(3))=0,6

3)

Событие А- " все три камеры включены"

A=A_(1)*A_(2)*A_(3)

Cобытия независимы

p(А)=0,6*0,6*0,6=[b] 0,216[/b]

2)

События:
vector{A_(1)} - "первая камера не включена"
p(A_(1))=0,6; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,6=0,4

vector{A_(2)} - "вторая камера не включена"
p(A_(2))=0,6; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,6=0,4

vector{A_(3)} -"третья камера не включена"
.p(A_(3))=0,6; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,6=0,4

Событие В- " включена только одна камера"

B=A_(1) *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}+vector{A_(1)} *A_(2) *vector{A_(3)}+vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *A_(3)

p(B)=0,6*0,4*0,4+0,4*0,6*0,4+0,4*0,4*0,6=3*0,6*0,4*0,4=[b]0,288[/b]

1)
Событие С- " включена хотя бы одна камера"

Событие vector{С}- "ни одна камера не включена"

vector{С}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{С})=0,4*0,4*0,4 =0,064

p(C)=1-p( vector{С})=1-0,064=[b]0,936[/b]

[m]\frac{x^2-vx-x}{u}[/m] нет ответа на вопрос

Сумма [red]острых[/red] углов прямоугольного треугольника равна 90 °

На рисунке три прямоугольных треугольника. Данный треугольник и два маленьких внутри него. Высота перпендикулярна гипотенузе

1. Угол с меньшим катетом равен 79°.

2. Угол с большим катетом равен 11°.
(прикреплено изображение)

n=36 ( cм рис 1) 36 пар
m=35 ( см. рис.2) 35 пар удовлетворяет условию задачи

p=m/n=35/36=... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Менее двух
Значит 0 или 1

P_(10)(0)=C^(0)_(10)0,25^(0)*(0,75)^(10)=0,75^(10)
P_(10)(1)=C^(1)_(10)0,25^(1)*(0,75)^(9)=10*0,25^(1)*(0,75)^(9)

p=P_(10)(0)+P_(10) (1)=(0,75)^(9)*(10*0,25+0,75)=...

P(A ∪ B)=p(A)+p(B)-p(A ∩ B)=0,2+0,8-0,2*0,8
События A и B независимы ⇒ p(A ∩ B)=p(A)*p(B)

p((A ∪ B)(A ∪ B))=(1-0,16)*(1-0,16)=

Ответ выбран лучшим

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos ∠ (vector{a},vector{b})=

=1*2*0,4=[b]0,8[/b]

Ответ выбран лучшим

[red]Ненулевые[/red] векторы перпендикулярны ⇔ скалярное произведение равно 0

Находим скалярное произведение ( см. рис.)
vector{a}*vectpr{c}=n*2+n*n+1*(-8)=2n+n^2-8

n^2+2n-8=0

D=4+32=36

n=(-2 ± 6)/2

n=-4; n=2

О т в е т. -4;2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
[blue]Замена переменной[/blue]

x^2+2x-3=t

x^2+2x+1=t+4

t*(t+4) ≤ 5

t^2+4t-5 ≤ 0

D=16+20=36

t_(1)=-5; t_(2)=1

___ [-5] __[green]-[/green]___ [1] ____

-5 ≤ t ≤ 1

-5 ≤ x^2+2x-3 ≤ 1

{x^2+2x-3 ≤ 1
{x^2+2x-3 ≥ -5

{x^2+2x-4≤ 0 ⇒ D=20 ⇒ -1 - sqrt(5) ≤ x ≤ -1 + sqrt(5)
{x^2+2x+2 ≥ 0 ⇒ D=4-4*2<0 неравенство верно при любом х

О т в е т. [ -1 - sqrt(5) ;-1 + sqrt(5)]

2.

5^(x+1)=5^(x)*5
[blue]Замена переменной[/blue]

5^(x)=t

t >0

5^(-x)=1/t

5t +([b]3[/b]/t) ≤ 16

Умножаем на t ≥ 0

5t^2-16t+[b]3[/b] ≤ 0

D=(-16)^2-4*5*3=256-60=196

t_(1)=(16-14)/10=1/5; t_(2)=(16+14)/10=3

Решение неравенства:

(1/5) ≤ 5^(x) ≤ 3

5^(-1) ≤ 5^(x) ≤ log_(5)3

О т в е т. [1/5; log_(5)3]

х_(2)=-1

p_(1)=0,2-0=0,2
p_(2)=0,46-0,2=0,26
p_(3)=0,9-0,46=0,44
p_(4)=1-0,9=1

P(-1,5 ≤ x ≤ 1)=F(1)-F(-1,5)=0,46-0,2=0,26 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=p_(1)q_(2)*q_(3)+q_(1)*q_(2)*p_(3)=

=0,4*(1-0,5)*(1-0,7)+(1-0,4)*(1-0,5)*0,7=... считайте...

Ответ выбран лучшим

C \ D={1,3}
B \ (C \ D)={7,23}

A \ (B \ (C \ D))={1, 3, 137}

Ответ выбран лучшим

C ∩ A={1,3}

C ∩ D={0,23}

A∪(C ∩ D)={0,1, 3, 7, 23,137}

(A∪(C ∩ D))∩ B={3, 7, 23}

(C ∩ A)∪((A∪(C ∩ D))∩ B)={1,3, 7, 23}

Ответ выбран лучшим

B∪ D={0, 3, 7, 23, 2004}

A \ (B∪ D)={1,137}

(A \ (B∪ D)) \ C={137}

:((A \ (B∪ D)) \ C)∪ B={3, 7, 23, 137},

Ответ выбран лучшим

B∩C={7,23}

A∪(B∩C)={1, 3, 7, 23, 137}

(A∪(B∩C))∩ D={7,23}

Ответ выбран лучшим

(A∪ B)={1, 3, 7,23,137}

(C∩ D)={0,23}

(A∪ B) \ (C∩ D)={1,3,7,137}

Ответ выбран лучшим

3) (A∩ B)∪ D={0, 3, 7, 23, 2004}

A∩ B= {3, 7}

(A∩ B)∪ D={0, 3 ,7, 23,2004} берем все D и добавляем от A∩ B

элемент 3

4) C ∩(D ∩ B)={23}

D ∩ B= {7;23}

C ∩ {7;23}={23}

Ответ выбран лучшим

Найдите множества:1) A∪ B={1, 3, 7,23,137}
от А берем все,
потом добавляем от В то, что не брали

2) A∩ B= {3, 7} - то общее, что есть и в А и в В

Ответ выбран лучшим

∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx=1

∫ ^(4)_(- ∞ )[b]0[/b]dx+ ∫^(5)_(4)cdx+ ∫ ^(6)_(5)cxdx+ ∫ ^(+ ∞ )_(6)[b]0[/b]dx=1

c*x|^(5)_(4)+c*(x^2/2)|^(6)_(5)=1

с*(5-4)+с(18-12,5)=1

6,5с=1

с=2/13

График такой:

на (- ∞; 4) y=0 красного цвета, справа "дырка"

на [4;5) y=2/13 зеленая,

на [5;6] y=(2/13)x сиреневая

на (6;+ ∞ ) y=0 красного цвета

P( ξ <5)= ∫ ^(5)_(- ∞ )f(x)dx= ∫ ^(5)_(4)(2/13)dx=(2/13)*(5-4)=2/13

'это площадь под графиком y=2/13
А там прямоугольник.

Функция распределения - первообразная от f(x) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

m=-5; -1 и -1<m ≤ 2,5

О т в е т. {-5}U[-1;2,5] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{2a}+vector{b}=(2*3+(-1);2*(-1)+(-2);2*(-2)+3)=(5;-4;-1)
vector{a}-vector{b}=(3-(-1);-1-(-2);-2-3)=(4;1;-5)

(vector{2a}+vector{b})*(vector{a}-vector{b})=5*4+(-4)*1+(-1)*(-5)=

=20-4+5=21

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(0-(-1);1-(-1);0-2)=(1;2;-2)
vector{AC}=(2-(-1);2-(-1);-2-2)=(3;3;-4)

|vector{AB}|=sqrt(1^2+2^2+(-2)^2)=sqrt(9)=3
|vector{AC}|=sqrt(3^2+3^2+(-4)^2)=sqrt(34)

Находим скалярное произведение

vector{AB}*vector{AC}=1*3+2*3+(-2)*(-4)=17

cos ∠ (vector{AB},vector{AC})=vector{AB}*vector{AC}/(|vector{AB}|*|vector{AC}|=

=17/(3*sqrt(34))

Ответ выбран лучшим

1.
ОДЗ: x>0; y>0

Заменяем 3=log_(2)8
и переносим log_(2)y вправо, чтобы не связываться с логарифмом частного:
{log_(2)x=log_(2)8+log_(2)y ⇒ log_(2)x=log_(2)8y ⇒ x=8y
{4y^2+x-5=0

Способ подстановки:
{x=8y
{4y^2+8y-5=0 ⇒ D=64+80=144; y_(1)=-5/2; y_(2)=1/2

x_(1)=-20; x_(2)=4

С учетом ОДЗ:

О т в е т. (4; 1/2)

2.

ОДЗ: x>0; y>0

Переносим lny вправо, чтобы не связываться с логарифмом частного:
{ln(x) =ln(y) +ln(3) ln(x) =ln(3y) ⇒ x=3y
{x–2y=2.

{ x=3y
{3y–2y=2

{x=3*2
{y=2

О т в е т. (6;2)

3.
ОДЗ:
x>0; y>0

{log_(2)(x+y) =4;
{log3_(x)+log_(3)y=log_(3)9+log_(3)7 ⇒ log_(3)xy=log_(3)9*7

{x+y=2^4
{xy=63

{y=16-x
{x*(16-x)=63 ⇒ x^2-16x+63=0 D=256-4*63=4

x_(1)=7; x_(2)=9

y_(1)=16-7=9; y_(2)=16-9=7

О т в е т. (7;9); (9;7)

Ответ выбран лучшим

Только координатный метод.
Вводим систему координат.
А(0;0;0)
B(0;1;0)
C(1;1;0)
D(1;0;0)
O(0,5;0,5;0)
P(0,5;0,5;sqrt(2)/2)

AC=sqrt(2); AO=OC=sqrt(2)/2
PO=sqrt(1-(sqrt(2)/2)^2)=sqrt(1-(1/2))=[b]sqrt(2)/2[/b]

M(1;0,5;0)
K-середина PC

K(0,75;0,75;sqrt(2)/4)

Находим координаты векторов
vector{PM}=
vector{DK}=

Находим их длины
|vector{PM}|=
|vector{DK}|=

Находим скалярное произведение векторов:

vector{PM}*vector{DK}=

тогда

сos ∠ (vector{PM},vector{DK})=(vector{PM}*vector{DK})/(|vector{PM}|*|vector{DK}|) (прикреплено изображение)

Возводим в квадрат:

x+5=(0,5x+1)^2

x+5=(0,5x)^2+2*0,5*x+1

0,25x^2=4

x^2=16

x= ± 4

Проверка

x=4

sqrt(4+5)=0,5*4+1 - верно, 3=3

х=-4

sqrt(-4+5)=0,5*(-4)+1 -неверно, 1 ≠ -1

О т в е т. -4

При возведении в квадрат могли приобрети посторонние корни.
поэтому либо находим ОДЗ, либо делаем проверку.

B(0;y;z)
vector{AB}=(0-(-6);y-0;z-2)=(6;y;z-2)

vector{AB} колінеарний vector{a}=(3;1;–2)

Значит их координаты пропорциональны:

[m]\frac{6}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-2}[/m]

[m]\frac{6}{3}=\frac{y}{1}[/m] ⇒ y=2

[m]\frac{6}{3}=\frac{z-2}{-2}[/m] ⇒ -12=3*(z-2); z=-2

Ответ выбран лучшим

vector{BA}=(0-(-1);3-1;-2-0)=(1;2;-2)

|vector{BA}|=sqrt(1^2+2^2+(-2)^2)=3

vector{b}=([m]\frac{1}{3};\frac{2}{3};-\frac{2}{3}[/m])

|vector{b}|=1

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{x+1}{x-1} ≥ 0[/m]

Метод интервалов.

Нуль числителя:

х=-1 ( закрашенный кружок на рисунке, я рисую квадратные скобки)

Нуль знаменателя:

х=1 ( незакрашенный кружок на рисунке, я рисую круглые скобки)

Знаки:

___+__ [-1] ___-___ (1) ___+__

О т в е т. (- ∞ ;-1] U(1;+ ∞ )

РS
Метод интервалов основан на том, что при переходе через нуль числителя, кривая меняет знак ( см. рис. 1), прямая y=x-1 меняет знак при переходе через точку х=1

при переходе через нуль знаменателя тоже ( как гипербола, например) (см. рис.2) (прикреплено изображение)

vector{A_(1)C}=vector{A_(1)A}+vector{AC}

vector{AC}=vector{AB}+vector{BC}=-vector{B_(1)A_(1)}-vector{C_(1)B_(1)}=-vector{a}-vector{c}

vector{A_(1)A}=-vector{DD_(1)}=-vector{b}

vector{A_(1)C}=-vector{a}-vector{b}-vector{c}

Ответ выбран лучшим

1)
[m]x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 2\cdot (-2)}}{2\cdot 2}[/m]

[m]x_{1}=\frac{-3-\sqrt{25}}{4}[/m];[m]x_{2}=\frac{-3+\sqrt{25}}{4}[/m]

[m]x_{1}=-2[/m];[m]x_{2}=\frac{1}{2}[/m]

2)
[m]x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 4\cdot (-12)}}{2\cdot 4}[/m]

[m]x_{1}=\frac{-2-\sqrt{196}}{8}[/m];[m]x_{2}=\frac{-2+\sqrt{196}}{8}[/m]

[m]x_{1}=-2[/m];[m]x_{2}=\frac{3}{2}[/m]

3)
[m]x_{1,2}=\frac{13\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot 2\cdot (-7)}}{2\cdot 2}[/m]

[m]x_{1}=\frac{13-\sqrt{225}}{4}[/m];[m]x_{2}=\frac{13+\sqrt{225}}{4}[/m]

[m]x_{1}=-\frac{1}{2}[/m];[m]x_{2}=7[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{[m]log_{3}x ≠ 0 ⇒ x ≠ 1[/m]
{[m]log_{3}\frac{x}{81} ≠ 0 ⇒ \frac{x}{81} ≠ 1⇒ x ≠ 81[/m]

[m]log^2_{3}x-log_{3}x^4 =log^2_{3}x-4log_{3}x[/m]

[i]Замена переменной[/i]:
[m]log_{3}x=t[/m]

[m]\frac{t}{t-4}+ \frac{3}{t}+\frac{8}{t^2-4t}\geq 0[/m]

[m]\frac{t}{t-4}+ \frac{3}{t}+\frac{8}{t(t-4)}\geq0[/m]

[m]\frac{t^2+3(t-4)+8}{t(t-4)}\geq 0[/m]

[m]\frac{t^2+3t-4}{t(t-4)}\geq 0[/m]

[m]\frac{(t-1)(t+4)}{t(t-4)}\geq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

___+__ [-4] ___-___ (0) _+__ [1] __-__ (4) ___+___

t ≤ -4 или 0 < t ≤ 1 или t > 4

Обратно:

[m]log_{3}x ≤ -4 [/m] или [m]0 < log_{3}x ≤ 1[/m] или [m]log_{3}x ≥ 4[/m]

[m]x ≤ \frac{1}{81} [/m] или [m]1 <x ≤ 3[/m] или [m]x>81 [/m]

C учетом ОДЗ:
О т в е т. (0;[m]\frac{1}{81} [/m]] U(1;3]U(81;+ ∞ )

ОДЗ:
[m](x-7\pi)(17\pi-x) ≥ 0 [/m]⇒[m] 7\pi ≤ x ≤ 17 \pi[/m]

[m]\begin{matrix} 4cos^2x-1=0 & ; \sqrt{(x-7\pi)(17\pi-x)}=0 & \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix} cosx=\pm\frac{1}{2} & ; x=7\pi; x=17\pi & \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix} x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z & ; x=7\pi; x=17\pi & \end{matrix}[/m]

Так как [m] 7\pi ≤ x ≤ 17 \pi[/m]

[m]x=\frac{\pi}{3}+\pi n, [/m] n=7, .... 16

или

[m]x=-\frac{\pi}{3}+\pi m, [/m] m=8, ... , 17

О т в е т.
[m]x=\frac{\pi}{3}+\pi n, [/m] n=7, .... 16
[m]x=-\frac{\pi}{3}+\pi m, [/m] m=8, ... , 17
[m]x=7 \pi;[/m]
[m] x=17 \pi [/m]

Указанному отрезку принадлежат корни:

21 <[m]7 \pi;[/m]<27

[m]\frac{\pi}{3}+7 \pi =\frac{22 \pi}{3}[/m]; [m]21 <\frac{22 \pi}{3}<27[/m]

[m]63 <22 \pi < 81[/m]

[m]-\frac{\pi}{3}+8 \pi =\frac{23 \pi}{3}[/m];[m]21 <\frac{23 \pi}{3}<27[/m]

[m]63 <23 \pi < 81[/m]

[m]\frac{\pi}{3}+8 \pi =\frac{25 \pi}{3}[/m];[m]21 <\frac{25 \pi}{3}<27[/m]

[m]63 <25 \pi < 81[/m]

По частям

u=arctgx
dv=dx

du=dx/(1+x^2)
v=x

=x*arctgx- ∫ xdx/(1+x^2)=x*arctgx-(1/2)* ∫ (2xdx)/(1+x^2)=

=x*arctgx-(1/2)ln|1+x^2|+C

Ответ выбран лучшим

По частям
u=x
dv=cos(x+4)dx

du=dx
v=sin(x+4)

=x*sin(x+4)- ∫ sin(x+4)dx=x*sin(x+4)+cos(x+4)+C

3,7*3-2,5*4+7,4*5=11,1-10+37=

По частям
u=x+9
dv=sinxdx

du=dx
v=-cosx

=-(x+9)*cosx- ∫ (-cosx)dx=

=-(x+9)*cosx+ ∫ cosxdx=

=-(x+9)*cosx+sinx+C

Ответ выбран лучшим

1.
О т в е т. Б

2.
О т в е т.А

3.

Δ MNK - равнобедренный, MK - основание ⇒ MN=NK

Δ M`N`K`- равнобедренный, M`N`=N`K`

∠ N= ∠ N`=100 °
∠ M`= ∠ K`=(180 ° -100 ° )/2=40 °

4.
x=-2
y=-4

5.
vector{CD}=(2-(-1);-5-(-3))=(3;-2)

vector{YZ}=(-1-(-4);4-6)=(3;-2)

vector{CD}=vector{YZ}

6.
см. рис.1

7.
Находим координаты точек пересечения прямой -3х+4у-12=0
С осью Ох:
y=0 ⇒ -3x-12=0; x=-4

C осью Оу:
х=0 ⇒ 4у-12=0; у=3

см. рис.2 (прикреплено изображение)

2. ∠ ВАО= ∠ BDO=90 °
AO=OD=R
OB- общая сторона ⇒ Δ АВО= Δ ADO

BO- биссектриса,
От в е т 24 °

4. Четырехугольник описан около окружности, то суммы противоположных сторон равны.
Сумма оснований = сумме боковых строн =15

3.
АМ=АК=6
BM=BP=4
AC=8 ⇒ CK=8-6=2
CK=CP=2

P=AC+CP+PB+MB+AM=8+2+4+4+6=

5.
a=2R=2*2,5=5
S_(квадрата)=5^2=25

События:
А_(1) первый стрелок попал
А_(2) второй стрелок попал
А_(3) третий стрелок попал

p(A_(1))=0,4
p(А_(2))=0,5
p(А_(3))=0,7

[b]Найти вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.[/b]
Событие

A=A_(1)*A_(2)*A_(3)- три стрелка попали в цель

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

p(А)=0,4*0,5*0,7= считаем сам-но

[b]Найти вероятность того, что будет только два попадания в цель.
[/b]

События:
vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,4; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,4=0,6

vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,5; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,5=0,5

vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,7; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,7=0,3

Событие

В=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}+A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)+vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)- только два попадания в цель

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

p(B)=0,4*0,5*0,3+0,4*0,5*0,7+0,6*0,5*0,7=

= считаем

[b]Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]4x^2+6x-13=(2x)^2+2\cdot (2x)\cdot \frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-13=[/m][m]=(2x+\frac{3}{2})^2-\frac{61}{4}[/m]

2x+1=t

d(2x+1)=dt

2dx=dt

dx=(1/2)dt

4x+2=2t

4x+8=2t+6

[m]=\frac{1}{2} \int \frac{2t+6}{t^2-\frac {61}{4}}dt=\frac{1}{2}ln|t^2-\frac{61}{4}|+3\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{61}{4}}}ln|\frac{t-\sqrt{\frac{61}{4}}}{t+\sqrt{\frac{61}{4}}}|+C=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|4x^2+6x-13|+3\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{\sqrt{61}}{2}}\cdot ln|\frac{t-\frac{\sqrt{61}}{2}}{t+\frac{\sqrt{61}}{2}}|+C=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|4x^2+6x-13|+\frac{3}{\sqrt{61}}\cdot ln|\frac{2t-\sqrt{61}}{2t+\sqrt{61}}|+C=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|4x^2+6x-13|+\frac{3}{\sqrt{61}}ln|\frac{4x+2-\sqrt{61}}{4x+2+\sqrt{61}}|+C[/m]

Ответ выбран лучшим

d(cos4x)=(cos4x)`dx=(-sin4x)*4dx=-4sin4xdx

sin4xdx=(-1/4)d(cos4x)

∫ cos^34xsin4xdx=(-1/4) ∫ cos^34xd(cos4x)=

формула ∫ u^3du=u^4/4

=(-1/4)*(cos^44x)/4)+C=-(1/16)cos^34x+C

Ответ выбран лучшим

[m]\int\frac{x-3}{9\cdot (x^2+\frac{7}{9})}dx=\frac{1}{9}\cdot (\int\frac{x}{x^2+\frac{7}{9}}dx-\int\frac{3}{x^2+\frac{7}{9}}dx)=[/m]

формулы:[r] [m]\int\frac{du}{u}=ln|u|+C; \int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C[/m]; [/r]

[m]a^2=\frac{7}{9}[/m]

[m]=\frac{1}{9\cdot 2}\cdot\int\frac{2x}{x^2+\frac{7}{9}}dx-\frac{1}{9}\cdot 3\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{7}{9}}} arctg \frac{x}{\sqrt{\frac{7}{9}}}+C=[/m]

[m]=\frac{1}{18}\cdot ln |x^2+\frac{7}{9}|-\frac{1}{\sqrt{7}}arctg \frac{3x}{\sqrt{7}}+C[/m]

[m]\int\frac{2x+3}{5\cdot (x^2+\frac{2}{5})}dx=\frac{1}{5}\cdot (\int\frac{2x}{x^2+\frac{2}{5}}dx+\int\frac{3}{x^2+\frac{2}{5}}dx)=[/m]

формулы:[r] [m]\int\frac{du}{u}=ln|u|+C; \int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C[/m]; [/r]

[m]a^2=\frac{2}{5}[/m]

[m]=\frac{1}{5}\cdot ln |x^2+\frac{2}{5}|+\frac{1}{5}\cdot 3\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{5}}} arctg \frac{x}{\sqrt{\frac{2}{5}}}+C=[/m]

[m]=\frac{1}{5}\cdot ln |x^2+\frac{2}{5}|+\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}arctg \frac{x\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+C[/m]

1.
[m]\begin{matrix} cosx<- \frac{\sqrt{2}}{2}& ;cosx >\frac{\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix} \frac{3\pi}{4}+2\pi n <x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n & ;-\frac{\pi}{4}+2\pi n <x<\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z & \end{matrix}[/m]

2.
[m]\begin{matrix}sinx\cdot (sinx- \frac{\sqrt{2}}{2}) <0& \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix}sinx <0 &; sinx> \frac{\sqrt{2}}{2}& & \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix}\pi +2 \pi n < x < 2 \pi +2\pi n, &; \frac{\pi}{4}+2\pi n <x< \frac{3 \pi}{4}+2\pi n, n \in Z& \end{matrix}[/m]

3.
ctgx=t
t^2-4t+3 <0
D=16-4*3=16-12=4
t_(1)=1; t_(2)=3

1 < t < 3

1 < ctgx < 3

y=ctgx - убывающая функция, бОльшему значению функции соответствует мЕньшее значение аргумента

[m]\begin{matrix}arctg3 + \pi n < x < \frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z& \end{matrix}[/m]

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=49791

y`=4*(x^2)`-3*(x)`+(7)`

y`=4*2x-3+0

y=8x-3

a=2sqrt(2)*sqrt(2)=4

P=4a=4*4=16 км (прикреплено изображение)

256=4^4

4^(-3+x)=4^4

-3+x=4

x=4+3

x=7

Находим y из второго уравнения:
y=[m]\frac{2x+a}{3}[/m]

и подставляем в первое

|x^2-x-6|=([m]\frac{2x+a}{3}[/m]-1)^2+x-7

Возводим в квадрат, умножаем на 9, упрощаем:

9*|x^2-x-6|=4x^2+(4a-3)*x+a^2-12a-54;

Раскрываем модуль по определению и решаем две системы:

[m]\left\{\begin{matrix} x^2-x-6 ≥ 0\\ 9\cdot(x^2-x-6)=4x^2+(4a-3)x+a^2-12a-54 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x^2-x-6 <0\\ -9\cdot (x^2-x-6)=4x^2+(4a-3)x+a^2-12a-54 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x ≤ -2; x ≥ 3\\ 5x^2+(3-4a)\cdot x-a^2+12a =0\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} -2<x<3\\ 13x^2+(4a-12)x+a^2-12a-108=0 \end{matrix}\right.[/m]

Квадратное уравнение имеет корни, если D ≥ 0

[m]\left\{\begin{matrix} x ≤ -2; x ≥ 3\\(3-4a)^2-4\cdot 5 \cdot (-a^2+12a) ≥ 0; x_{1}=;
x_{2}=\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} -2<x<3\\ (4a-12)^2-4\cdot 13\cdot (a^2-12a-108) ≥ 0; x_{3}=; x_{4}=\end{matrix}\right.[/m]

Корни каждой системы должны удовлетворять первому неравенствy и
необходимо выполнить требования задачи

Область определения (- ∞ ;-1) U (-1;1) U(1;+ ∞ )

y`= ((x^3)`*(x^2-1)-x^3*(x^2-1)`)/(x^2-1)^2

y`=((3x^2*(x^2-1)-x^3*(2x))/(x^2-1)^2

y`=(x^4 -3x^2)/(x^2-1)^2

y`=0

x^4 - 3x^2=0
x^2*(x^2-3)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=
x=0 или х = ± sqrt(3)

Знак производной:
__+___ (-sqrt(3)) _-_ (-1) __-__ (0) _-__ (1) __-__ (sqrt(3)) __+__

Функция монотонно убывает на (-sqrt(3); - 1) и на (-1; 1 ) и на (1; sqrt(3))
Функция монотонно возрастает
на (- ∞ ;-sqrt(3)) и на (sqrt(3);+ ∞ )

x=-sqrt(3) - точка максимума
f(-sqrt(3))=(-sqrt(3))^3/((-sqrt(3))^2-1)= -3sqrt(3)/2

х=sqrt(3) - точка минимума
f(sqrt(3))=(sqrt(3))^2/((sqrt(3))^2-1)= 3sqrt(3)/2

1.2 E(y)=(- ∞ ;+ ∞ ) можно найти по рисунку. Поэтому вначале исследования ответа на вопрос нет

(прикреплено изображение)

{x>0
{2x-2>0 ⇒ x >1

x ∈ (1;+ ∞ )

1=log_(2)2
2log_(2)x=log_(2)x^2

log₂x^2> log₂(2x–2)+log₂2

log₂x^2> log₂(2x–2)*2 Лог функция с основанием 2 возрастает

⇒
x^2> (2x–2)*2

x^2-4x+4 >0

(x-2)^2 >0 ⇒ x - любое, кроме х=2

О т в е т. (1;2) U(2;+ ∞ )

x>0

Тогда
log_(3)9x=log_(3)9+log_(3)x=2+log_(3)x

log_(3)x^4=4log_(3)|x|=4log_(3)x

Замена: log_(3)x=t и дробно- рациональное неравенство:

[m]\frac{2+t-13}{t^2+4t}-1 ≤ 0[/m]

[m]\frac{2+t-13-t^2-4t}{t^2+4t} ≤ 0[/m]

[m]\frac{-t^2-3t-11}{t^2+4t} ≤ 0[/m]

[m]\frac{t^2+3t+11}{t^2+4t} ≥ 0[/m]

t^2+3t+11>0 при любом t, так как D=9-4*11 <0

Значит знаменатель:

t^2+4t >0

t*(t+4) >0

t < -4 или t > 0

Обратная замена

log_(3)x< - 4 или log_(3)x >0

0 < x < 3^(-4) или x > 1

О т в е т. (0; 1/81) U(1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу:
(k+1)^3=k^3+3*k^2+3*k+1

При k=1
(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1
При k=2
(2+1)^3=2^3+3*2^2+3*2+1
При k=3
(3+1)^3=3^3+3*3^2+3*3+1
...

При k=9
(9+1)^3=9^3+3*9^2+3*9+1
При k=10
(10+1)^3=10^3+3*10^2+3*10+1

Складываем эти десять строчек:

2^3+3^3+...+11^3=(1^3+...+10^3)+3*(1^2+2^2+...+10^2)+3*(1+2+...+10)+10

⇒
3*(1^2+2^2+...+10^2)=11^3-1-3*(1+2+...+10)-10

Так как (1+...+10)=(1+10)*10/2=55, то

3*(1^2+2^2+...+10^2)=121*11-1-3*55-10 ⇒

(1^2+2^2+...=10^2)=

Ответ выбран лучшим

В теории вероятностей события А и vector{A} - противоположные.

p(A)+p( vector{A} )=1

Поэтому иногда проще найти
p( vector{A} )

Тогда
p(A)=1- p( vector{A} )

Событие А-"хотя бы один экзамен сдаст"

Событие vector{A}-" ни одного не сдаст"

q_(1)=1-p_(1)=1-0,4=0,6 - вероятность, что не сдаст первый
q_(2)=1-p_(2)=1-0,6=0,4 - вероятность, что не сдаст второй
q_(3)=1-p_(3)=1-0,7=0,3 - вероятность, что не сдаст третий

p( vector{A} )=0,6*0,4*0,3 - вероятность не сдаст все три

p(A)=1- p( vector{A} )=1- (0,6*0,4*0,3 )=... посчитайте...

Ответ выбран лучшим

lg(x+1)+lg(2x-6) ≤ 1

1=lg10

{lg(x+1)*(2x-6) ≤ lg10
{x+1 >0
{2x-6>0

{(x+1)*(2x-6) ≤ 10
{x+1 >0
{2x-6>0

M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2) ⇒ p_(1)+p_(2)=1 и

3,2=x_(1)*0,8+x_(2)*0,2

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

0,16=M(X^2)-(3,2)^2 ⇒ M(X^2)=[b]10,4[/b]

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)

10,4=x^2_(1)*0,8+x^2_(2)*0,2

Из системы уравнений:

{3,2=x_(1)*0,8+x_(2)*0,2
{10,4=x^2_(1)*0,8+x^2_(2)*0,2

{16=4x_(1)+x_(2) ⇒ x_(2)=16-4x_(1)
{52=4x^2_(1)+x^2_(2)

52=4x^2_(1)+(16-4x_(1))^2 ⇒

См. рис.
x:y=6:5

x=(6/5)y

P=(x+y)+(x+y)+(x+x)=4x+2y=4*1,2y+2y=6,8y

P=6 cм

6,8y=6

y=60/68=15/17

x=1,2*(15/17)=18/17

Основание
2х=36/17

Бокова сторона

х+у=(18/17)+(15/17)=33/17

Проверка:

P=(33/17)+(33/17)+(36/17)=102/17=6 cм - верно.

Свойство касательных к окружности, проведенных из одной точки: (прикреплено изображение)

log_(1/3)(2x+5) < -2*log_(1/3)(1/3) ⇒

log_(1/3)(2x+5) < log_(1/3)(1/3)(-2)

log_(1/3)(2x+5) < log_(1/3)9

Логарифмическая функция с основанием (1/3) убывающая

2x+5 >9

2x+5 >0 ( ОДЗ логарифмической функции выполняется автоматически, можно не решать)

2x>4

[b]x>2[/b]

Ответ выбран лучшим

Всего 15 деталей

Первая стандартная:
p_(1)=13/15
Теперь в урне 14 деталей, из них 12 стандартных
Вторая стандартная
p_(2)=12/14

Обе детали стандартные ( И первая И вторая, умножаем)
p=p_(1)*p_(2)= (13/15)*(12/14)=[b]26/35[/b]

Второй способ
Классическое определение вероятности
p=m/n

n=C^2_(15)=(15!)/((15-2)!*2!)=14*15/2=105 способов вынуть две детали из пятнадцати

m=C^2_(13)=(13!)/((13-2)!*2!)=12*13/2=78 способов вынуть две стандартные 13-ти стандартных

p=m/n=78/105=26/35

Ответ выбран лучшим

Первый черный:
p_(1)=12/20
Теперь в урне 8 белых и 11 черных Всего 19 шаров
Второй черный:
p_(2)=11/19

Оба черных ( И первый И второй)
p=p_(1)*p_(2)= (12/20)*(11/19)=[b]66/190=33/95[/b]

Второй способ
Классическое определение вероятности
p=m/n

n=C^2_(20)=(20!)/((20-2)!*2!)=19*20/2=190 способов вынуть два шара из 20-ти

m=C^2_(12)=(12!)/((12-2)!*2!)=11*12/2=66 способов вынуть два шара из 12-ти черных

p=m/n=66/190=33/95

Ответ выбран лучшим

Первый белый:
p_(1)=15/25
Теперь в урне 14 белых и 10 черных
Второй белый:
p_(2)=14/24

Оба белых ( И первый И второй)
p=p_(1)*p_(2)= (15/25)*(14/24)=7/20

Второй способ
Классическое определение вероятности
p=m/n

n=C^2_(25)=(25!)/((25-2)!*2!)=24*25/2=12*25 способов вынуть два шара из 25-ти

m=C^2_(15)=(15!)/((15-2)!*2!)=14*15/2=7*15 способов вынуть два шара из 15-ти белых

p=m/n=7*15/(12*25)=7.20

2.
В теории вероятностей события А и vector{A} - противоположные.

p(A)+p( vector{A} )=1

Поэтому иногда проще найти
p( vector{A} )

Тогда
p(A)=1- p( vector{A} )

Событие А-"хотя бы один экзамен сдаст"

Событие vector{A}-" ни одного не сдаст"

q_(1)=1-p_(1)=1-0,7=0,3 - вероятность, что не сдаст первый
q_(2)=1-p_(2)=1-0,8=0,2 - вероятность, что не сдаст второй
q_(3)=1-p_(3)=1-0,6=0,4 - вероятность, что не сдаст третий

p( vector{A} )=0,3*0,2*0,4 - вероятность не сдаст все три

p(A)=1- p( vector{A} )=1- (0,3*0,2*0,8)=... посчитайте...

Ответ выбран лучшим

В теории вероятностей события А и vector{A} - противоположные.

p(A)+p( vector{A} )=1

Поэтому иногда проще найти
p( vector{A} )

Тогда
p(A)=1- p( vector{A} )

Событие А-"хотя бы один экзамен сдаст"

Событие vector{A}-" ни одного не сдаст"

q_(1)=1-p_(1)=1-0,6=0,4 - вероятность, что не сдаст первый
q_(2)=1-p_(2)=1-0,85=0,15 - вероятность, что не сдаст второй
q_(3)=1-p_(3)=1-0,75=0,25 - вероятность, что не сдаст третий

p( vector{A} )=0,4*0,15*0,25 - вероятность не сдаст все три

p(A)=1- p( vector{A} )=1- (0,4*0,15*0,25) =... считаем

Ответ выбран лучшим

2. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
4,5*0,7=3,15 км путь по полю
5,31-3,15=2,16 км - путь по лесу
2,16:0,9=2,4 км в час

2.
(x+5,7)*3,6=120,6

x+5,7=33,5

x=33,5-5,7

x=

3.

5x+3,2=9x-2,4

3,2+2,4=9x-5x

4x=5,6

x=5,6:4

x=[b]1,4[/b]

(3а+2)/(а) + ( 2а–1)/(2а) = 5

a ≠ 0

Приводим к общему знаменателю:

(6a+4+2a-1)/(2a)=5

(8a+3)/(2a)=5

a ≠ 0

Умножаем на 2a

8a+3=10a

2a=3

a=1,5

Ответ выбран лучшим

1.
R=8
S_(сферы)=4πR^2=4*π·8^2=256π (см^2)

2.
S_(cечения)=π*R^2

S_(cечения)=15*π

π*R^2=15*π

R^2=15

[b]R=sqrt(15)[/b] cм

Ответ выбран лучшим

x=√(1–k)/(1+k) ⇒ x^2=(1-k)/(1+k)

1-x^2=1-(1-k)/(1+k)=(1+k-1+k)/(1+k)=2k/(1+k)

1+x^2=1+(1-k)/(1+k)=(1+k+1-k)/(1+k)=2/(1+k)

(1-x^2)/(1+x^2)=2k/2=k

О т в е т. f(√(1–k)/(1+k) )=k

Ответ выбран лучшим

1,
Делим на 2:

(1/2)sinx+(sqrt(3)/2)cosx=sqrt(3)/2

Вводим вспомогательный угол:
sin(π/6)=1/2
cos(π/6)=sqrt(3)/2

sin(π/6)sinx+cos(π/6)cosx=sqrt(3)/2

cos(x-(π/6))=sqrt(3)/2

x-(π/6)= ± arccos(sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z

x=(π/6) ± (π/6)+2πn, n ∈ Z

x=(π/3)+2πn, n ∈ Z или х=2πn, n ∈ Z

2.

Делим на 5:

(4/5)sinx-(3/5)cosx=1

Вводим вспомогательный угол:
sin φ =4/5 ⇒ φ =arcsin(4/5)
cos φ =-3/5

sin^2 φ +cos^2 φ =(4/5)^2+(-3/5)^2=1

sin φ *sinx+cos φ *cosx=1

cos(x- φ )=1

x- φ =2πn, n ∈ Z

x=[b] φ +2πn, n ∈ Z[/b], где φ =arcsin(4/5)

О т в е т. [b] arcsin(4/5) +2πn, n ∈ Z[/b]

3.
Делим на 2:

(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2))cosx>-1

Вводим вспомогательный угол:
sin(π/4)=1/sqrt(2)
cos(π/4)=1/sqrt(2)

sin(π/4)sinx+cos(π/4)cosx>-1

cos(x-(π/4))>-1 неравенство верно при всех х, кроме

x-(π/4)=π+2πk, k ∈ Z

x=(5π/4)+2πk, k ∈ Z

О т в е т. [b]x ≠ (5π/4)+2πk, k ∈ Z[/b]

4.

2sqrt(3)sin^2x-2sinxcosx=sqrt(3)+1

Так как
1=sin^2x+cos^2x,
то

2sqrt(3)sin^2x-2sinxcosx=(sqrt(3)+1)*(sin^2x+cos^2x)

2sqrt(3)sin^2x-2sinxcosx=sqrt(3)sin^2x+sin^2x+sqrt(3)cos^2x+cos^2x

[b]Странно. Написано было. Значит, поторопилась и не сохранила.[/b]

Уравнение:

(sqrt(3)-1)sin^2x-2*sinx*cosx-(sqrt(3)+1)*cos^2x=0

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

делим на сos^2x ≠ 0

(sqrt(3)-1)tg^2x-2tgx-(sqrt(3)+1)=0

D=(-2)^2+4*(sqrt(3)-1)*(sqrt(3)+1)=4+4*2=12

sqrt(D)=2sqrt(3)

tgx=(2 ± 2sqrt(3))/(2*(sqrt(3)-1))

tgx=-1; [b] x=-(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

или

tgx=(sqrt(3)+1)/(sqrt(3)-1)

tgx=2+sqrt(3)

[b]x=arctg(2+sqrt(3))+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x ≠ 0

Умножаем на x^2 ≠ 0

9^(x)*x^2+54 ≥ 7*x*3^(x+1)

так как

3^(x+1)=3^(x)*3^(1)

9^(x)=(3^2)^(x)=(3^(x))^(2), то

(3^(x))^2*x^2-21*(3^(x))*x+54 ≥ 0

Квадратное неравенство относительно ([b]3^(x)*x[/b])

([b]3^(x)*x[/b])^2-21*([b]3^(x)*x[/b])+54 ≥ 0

Решаем уравнение:

D=21^2-4*54=441-216=225
корни: 3 и 18

Решение неравенства:

3^(x)*x ≤ 3 или 3^(x) ≥ 18

Делим на x ≠ 0

[b]3^(x) ≤ 3/x [/b] или [b]3^(x) ≥ 18/x[/b]

Решаем графически:

0< x ≤ 1 ( рис.1) или x<0 или x ≥ 2 ( рис. 2)

О т в е т. (- ∞; 0)U(0;1]U[2;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+x_(5)*p_(5)=

=3*0,1+4*0,2+6*0,4+7*0,2+8*0,1=[b]5,7[/b]

2)
D(X)=M(X^2)-M(X)

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)+x^2_(4)*p_(4)+x^2_(5)*p_(5)=

=3^2*0,1+4^2*0,2+6^2*0,4+7^2*0,2+8^2*0,1=0,9+3,2+14,4+9,8+6,4=

=34,7

D(X)=M(X^2)-M(X)=34,7-(5,7)^2=2,21

M(2X)=(2*4)*0,2+(2*5)*0,3+(2*6)*0,5=[b]10,6[/b]

M(X)=4*0,2+5*0,3+6*0,5=0,8+1,5+3=5,3

M(2X)=2*M(X)=2*5,3=[b]10,6[/b]

Ответ выбран лучшим

a)0,3+0,15+3р+2р+0,05=1 ⇒ 5р=0,5
p=0,1

b) P(X<3)=0,3+0,15=0,45

c) M(X)=1*0,3+2*0,15+3*0,3+4*0,2+5*0,05=[b]2,28[/b]

d) 3*M(X)=3*2,28=[b]6,84[/b]

e) D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

M(X^2)=1^2*0,3+2^2*0,15+3^2*0,3+4^2*0,2+5^2*0,05=0,3+0,6+2,7+2,8+1,25=[b]7,65[/b]

D(X)=7,65-(2,28)^2=2,4516

f) |X-M(X)|=?

X=1; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|1-2,28|=1,28

X=2; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|2-2,28|=0,28

X=3; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|3-2,28|=0,72

X=4; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|4-2,28|=1,72

X=5; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|5-2,28|=2,72

Разброс случайной величины от ее среднего значения ( от математического ожидания)

Разброс большой, о чем говорит дисперсия. Она тоже большая.

Ответ выбран лучшим

ДАНО:
M(X)=5
M(Y)=-9
X и Y - независимые случайные величины ( см свойства)

1)M(Z)=3*M(X)+M(Y)=3*5+(-9)=15-9=6
2)M(Z)=2*M(X)-M(Y)+M(5)=2*5-(-9)+5=24
3)M(Z)=M(X)*M(Y)=5*(-9)=-45 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,25

Ответ выбран лучшим

1.
Находим вероятность противоположного события
"ни один мяч не попал в корзину":

p=0,3*0,4*0,8=0,096

Тогда

1-p =1-0,096= - о т в е т.

2.
0,85*0,99+0,15*0,97- "Самолет совершил посадку"

p=0,15*0,97/(0,85*0,99+0,15*0,97)

3^(|x|)=t

t >0

9^(|x|)=t^2

[m]\frac{4a}{a-6}t=t^2+\frac{3a+4}{a-6}[/m]

a ≠ 6

(a-6)t^2-4a*t+(3a+4)=0

D=(-4a)^2-4*(a-6)*(3a+4)=16a^2-12a^2+56a+96=4*(a^2+14a+24)

[red]Если[/red]
D=0, т.е

a^2+14a+24=0

D=196-96=100
a_(1,2)=(-14 ± 10)/2

a=-2; a=-12

t_(1)=t_(2)=[m]\frac{4a}{a-6}[m]

При a=-2

t_(1)=t_(2)=[m]\frac{4\cdot (-2)}{-2-6}=1[m]

3^(|x|)=1 ⇒ |x|=0 - один корень, а=-2 не удовл требованиям задачи

При a=-12

t_(1)=t_(2)=[m]\frac{4\cdot (-12)}{-12-6}=\frac{8}{3}[m]

3^(|x|)=[m]\frac{8}{3}[m] ⇒ |x|=log_(3)[m]\frac{8}{3}[m] -уравнение имеет два корня , а=-12 [i]удовлетворяет [/i]требованиям задачи

[red]Если D >0[/red] , т.е -12 < a < -2

[i]квадратное уравнение [/i]имеет два корня

t_(1) и t_(2)

Тогда обратная замена приводит к уравнениям:

3^(|x|)=t_(1); 3^(|x|)=t_(2)

В соответствии с требованием задачи два уравнения с модулями должны в ответе привести в двум корням

Значит, либо одно уравнение вообще не имеет не решений, т.е t_(1) или t_(2) отрицательны.

Но даже если t_(1) и t_(2) положительны, но одно из них не должн0 быть меньше 1 ( уравнение 3^(|x|)=1/3 не будет иметь решений, |x| ≠ -1)

Итак,
из условий:
{-12 < a < -2
{t_(1)>0
{t_(2) >0
{0 < t_(1) <1
{t_(2) >1

Находим ограничения на а

1.
a)=[m]\frac{3a}{8b}[/m];

б)=[m]\frac{y\cdot (y+1)}{y^2}=\frac{y+1}{y}[/m].

2.

а)=[m]\frac{12x-7+3x-2}{15x}=\frac{15x-9}{15x}=\frac{3\cdot (5x-3)}{15x}=\frac{5x-3}{5x}[/m];

б) =[m]\frac{a(x+y)}{xy^2}\cdot \frac{x^2y}{3(x+y)}=\frac{ax}{y}[/m].

3.
=[m]\frac{(y-3)^2}{(y-3)(y+3)}\cdot \frac{y(y+3)}{10(y-3)}=\frac{y}{10}[/m]

при y=70

о т в е т. 7

x_(T)=[m]\frac{x_{M}+x_{P}}{2}[/m]

y_(T)=[m]\frac{y_{M}+y_{P}}{2}[/m]

2x_(T)=x_(M)+x_(P) ⇒ x_(P) =2x_(T)-x_(M)=2*2-3=1

2y_(T)=y_(M)+y_(P) ⇒ y_(P) =2y_(T)-y_(M)=2*2-3=1

О т в е т. P(1;1)

Ответ выбран лучшим

AB=sqrt((-1-(-9))^2+(5-1)^2)=sqrt(8^2+4^2)=sqrt(64+16)=sqrt(80)=4sqrt(5)

Средняя линия треугольника cоединяет середины двух сторон И

параллельна третьей стороне

Длина средней линии равна половине длины этой третьей стороны.

О т в е т.(1/2) АВ=2sqrt(5) (прикреплено изображение)

[link=https://reshimvse.com/zadacha.php?id=46385]

СС_(1)=[m]\frac{AA_{1}+BB_{1}}{2}=\frac{18+10}{2}=14[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрическая вероятность

p=S_(квадрата со стороной 1)/S_( квадрата со стороной 2)=1*1/(2*2)=0,25

См. рис. (прикреплено изображение)

1.

g `(x) < 0 на (- ∞ ;0)

g `(x) > 0 на (0;+ ∞)

x=0 - критическая точка, производная (не существует или равна 0) . В данном случае не существует и потому не является точкой экстремума, хотя производная и меняет знак с - на + при переходе через точку
О т в е т. Б

2.
О т в е т. Г

3.
b< 0

Кривая пересекает ось Оу в точке (0;b)

y`=3x^2-4x+a

y`(0)>0

Кривая возрастает

y`(0)=a

a>0

О т в е т. Б

4.
О т в е т. Б

f `(-1)=0 (касательная в точке x=-1 - сама ось Ох)

f `(0) <0 ( функция убывает на (-0,5;0,5) производная отрицательна в любой точке этого интервала, в том числе и в точке x=0

f `(1) >0

f `(0) < f `(-1) < f `(1)

Ответ выбран лучшим

1.
a=R*sqrt(2)=2sqrt(2)*sqrt(2)=4

S_(квадрата)=a^2=4^2=16

2.
n=360°/24°=15

α _(15-ти угольника)=(15-2)*180 ° /15=156 °

3.
С_(окружности)=2π*R

По условию:

С_(окружности)=36π

36π=2π*R

R=18 ( cм)

С_(дуги)=(2π*R/2π)* α =R* α

По условию

C_(дуги)=20π [b]мм [/b]

R=18 см=180[b] мм[/b]
α =C_(дуги)/R=20π /180=[b]π/9[/b]

О т в е т. [b]π/9[/b]

4.

S_(1)=S_(сегмента АnC)=πR^2*(150 ° /360 °) - S _( ΔABP)=

=(125π/12)-(1/2)*5*5*sin150 ° =(125π/12)-(25/4)

S_(2)=S_(сектора ВРК)=πR^2*(150 ° /360 °) =π*5^2*(5/12)=125π/12

S_(3)=S_(сектора КРS)=πR^2*55 ° /360 ° =π*5^2*(11/72)=(275π/72)

S=S_(1)+S_(2)+S_(2)= (125π/12)-(25/4)+(125π/12)+ (275π/72)=

=(1775π/72)-(25/4)

О т в е т.(1775π/72)-(25/4)

Правило треугольника сложения векторов:
vector{[red]A[/red][b]B[/b]}+vector{[b]B[/b][red]C[/red]}=vector{[red]AC[/red]}

a)
vector{AB}+vector{BB_(1)}=vector{AB_(1)}

[blue]vector{AB}+vector{BB_(1)}+vector{B_(1)A}[/blue]=vector{AB_(1)}+vector{B_(1)A}=vector{0}

vector{B_(1)C}+vector{AB}+vector{BB_(1)}+vector{B_(1)A}=

=vector{B_(1)C}+([blue]vector{AB}+vector{BB_(1)}+vector{B_(1)A}[/blue])=

= vector{B_(1)C}+vector{0}=vector{B_(1)C}

О т в е т. vector{B_(1)C}

б)
vector{DC}=vector{A_(1)B_(1)}

vector{BB_(1)}=-vector{B_(1)B}

vector{DC}-vector{BB_(1)}=vector{A_(1)B_(1)}+vector{B_(1)B}=

=vector{A_(1)B}

О т в е т. vector{A_(1)B}

Ответ выбран лучшим

Δ АВС - равнобедренный.
ВК- высота, медиана и биссектриса

Из прямоугольного треугольника АВК:
АК^2=AB^2-BK^2=45^2-27^2=(45-27)*(45+27)=18*72=(9*4)^2=36^2

DA ⊥ пл АВС ⇒ DA ⊥ АК

Из прямоугольного треугольника DAK:

DK^2=DA^2+AK^2=28^2+36^2=(4*7)^2+(4*9)^2=4^2*(7^2+9^2)=

=16*(49+81)=16*130

[b]DK=4sqrt(130)[/b]

DB и DС - наклонные
AB и АC - проекции

Проекции равны ⇒ наклонные равны
AB=AС ⇒ DB и DС

Δ DBC- равнобедренный. К - середина ВС

DK - высота равнобедренного треугольника DBC

S_(бок)=S_( Δ ADB)+S_(ADC)+S_( Δ BDC)=

=(1/2)*AB*DA+(1/2)*AC*DA+(1/2)*BC*DK=

=(1/2)*45*28+(1/2)*45*28+(1/2)*54*4sqrt(130)=

=1260+108sqrt(130) (прикреплено изображение)

[m]\frac{7^{x}+1}{7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^{x}+7}+\frac{1}{25} ≥ 0[/m]

[m]\frac{25\cdot (7^{x}+1)+(7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^{x}+7)}{25\cdot (7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^{x}+7)} ≥ 0[/m]

[m]\frac{25\cdot 7^{x}+25+7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^{x}+7}{25\cdot (7\cdot 7^{2x}-49\cdot 7^{x}-7^{x}+7)} ≥ 0[/m]

[m]\frac{7\cdot 7^{2x}-25\cdot 7^{x}+32}{25\cdot (7\cdot 7^{x}\cdot ( 7^{x}-7)-(7^{x}-7))} ≥ 0[/m]

[m]\frac{7\cdot 7^{2x}-25\cdot 7^{x}+32}{25\cdot (7^{x}-7)\cdot(7\cdot 7^{x}-1)} ≥ 0[/m]

Числитель

[m]7\cdot 7^{2x}-25\cdot 7^{x}+32>0[/m], так как D=(-25)^2-4*7*32 <0

Значит знаменатель

[m](7^{x}-7)\cdot(7\cdot 7^{x}-1) > 0[/m]

Решаем методом интервалов:

[m]7^{x}-7=0[/m] или [m]7\cdot 7^{x}-1=0[/m]

[m]7^{x}=7[/m] или [m]7\cdot 7^{x}=1[/m]

[m]x=1[/m] или [m] 7^{x}=7^{-1}[/m] ⇒ x=-1

Расставляем знаки:

__[red]+[/red]___ (-1)___-___ (1)__[red]+[/red]__

О т в е т. (- ∞ ;-1) U (1;+ ∞ )

[m](\frac{1}{3})^{-x}=(3^{-1})^{-x}=3^{x}[/m]

[m]3^{x}>0[/m]

[m]3^{x}-3 >-3[/m]

Все числа, которые больше (-3)

Ответ выбран лучшим

AK=AB; CK=CD

Δ АВК - равнобедренный ⇒ ∠ АВК= [b]∠ ВКА[/b]
[b]∠ ВКА[/b]= ∠ СВК внутренние накрест лежащие ⇒
∠ АВК=∠ СВК ⇒ ВК - биссектриса угла В

Аналогично доказать СК - биссектриса ∠ С

б)
Проводим высоты ВM и СN

Δ АВМ - прямоугольный равнобедренный

АМ=ВМ=6

Δ CDN - прямоугольный, СD=10; CN=6
DN=8

AD=AB+BC=6sqrt(2)+10

AM+ND=6+8=14

BC=AD-(AM+ND)=6sqrt(2)+10-14=[b]6sqrt(2)-4[/b]

Ответ выбран лучшим

81^(2-x)=1/9

(3^(4))^(2-x)=3^(-2)

3^(4*(2-x))=3^(-2)

4*(2-x)=-2

8-4x=-2

-4x=-2-8

-4x=-10

x=2,5

Ответ выбран лучшим

1) y=(3^(-1))^(1-x); y=3^(x-1) - возрастающая осн 3 >1
2) y=5^(x)-4 - возрастающая 5>1
3) y=log_(1/2)(1-x) ;

y=-log_(2)(1-x)

возрастающая

y=log_(2)(1-x) - убывающая

y=-log_(2)(1-x) - график симметричен y=log_(2)(1-x) отн оси Оу

- возрастающая

4) y=-log_(sqrt(3))x - убывающая

y=log_(sqrt(3))x - возрастающая

График y=-log_(sqrt(3))x симметричен графику y=log_(sqrt(3))x отн оси Оу, возрастает

Ответ выбран лучшим

-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 - ограниченная

-1 ≤ cos(1/y) ≤ 1 - ограниченная

Произведение ограниченной на б.м. есть б.м

Пусть y=kx, т. е y → 0 по прямой y=kx

Если в таком случае предел не зависит от k, то он существует:

lim_(x → 0;kx → 0)(x+kx)sin(1/x)*cos(1/kx)=

=(1+k)*lim_(x → 0;)x*sin(1/x)*cos(1/kx)=(1+k)*0=[b]0[/b]

Ответ выбран лучшим

3*(sin^2 α +cos^22 α )+tg α *ctg α = 3*1+1=4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(π+x)= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z

(π+x)= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

x= ± (π/3) - π+2πn, n ∈ Z

x=(-2π/3)+2πn, n ∈ Z или х=(-4π/3)+2πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{4}{25}-(\frac{2}{5})^{x+4} ≥ 0[/m]

[m]\frac{4}{25} ≥ (\frac{2}{5})^{x+4}[/m]

[m](\frac{2}{5})^{x+4} ≤ (\frac{2}{5})^2[/m]

x+4 ≤ 2

x ≤ -2

(- ∞ ;-2]

Ответ выбран лучшим

5^(x)*3^(x)-5*5^(x)-6*3^(x)-3*3^(x)+45 ≤ 0

5^(x)*3^(x)-5*5^(x)-9*3^(x)+45 ≤ 0

5^(x)*(3^(x)-5)-9*(3^(x)-5) ≤ 0

(3^(x)-5)*(5^(x)-9) ≤ 0

Метод интервалов.

3^(x)=5 или 5^(x)=9

x=log_(3)5 или х=log_(5)9

log_(5)9 ≤ х ≤ log_(3)5

___ [log_(5)9] ___[green]-[/green]__ [ log_(3)5] ___

Надо написать как сравниваем.
Можно конечно графически (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(3)(2-x)=3

2-x=3^3

2-x=27

2-27=x

x=-25

Ответ выбран лучшим

4^(log_(2)6)*4^(-0,5)=(2^2)^(log_(2)6)*(2^(2))^(-0,5)=

=2^(2log_(2)6) *2^(2*(-0,5))=[b]2^(log_(2)6^2[/b])*2^(-1)=6^2*(1/2)=18

[b]2^(log_(2)6^2)[/b]=6^2 - основное лог тождество

Ответ выбран лучшим

81=3^4
50=25*2=5^2*2
16-2^4
8=4*2

=3+5sqrt(2)-2-2sqrt(2)=1+3sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{(a^{\frac{1}{5}})^2\cdot a^{-\frac{1}{10}}}{a^{-\frac{1}{2}}}=
\frac{a^{\frac{1}{5}\cdot 2}\cdot a^{-\frac{1}{10}}}{a^{-\frac{1}{2}}}=\frac{a^{\frac{2}{5}+(-\frac{1}{10})}}{a^{-\frac{1}{2}}}=\frac{a^{\frac{4}{10}+(-\frac{1}{10})}}{a^{-\frac{1}{2}}}=\frac{a^{\frac{3}{10}}}{a^{-\frac{1}{2}}}=[/m]

[m]=a^{\frac{3}{10}-(-\frac{1}{2})}=a^{\frac{3}{10}+\frac{5}{10}}=a^{\frac{8}{10}}[/m]

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной:[/i]

sqrt(8x^2+6x+1)=t , [red]t ≥ 0[/red]

Возводим в квадрат:

8x^2+6x+1=t^2 ⇒ 8x^2+6x=t^2-1

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{1}{t^2-1} ≥ \frac{1}{t-1}[/m]

[m]\frac{1}{t^2-1} - \frac{1}{t-1} ≥ 0[/m]

[m]\frac{1-t-1}{t^2-1} ≥ 0[/m]

[m]\frac{t}{t^2-1} ≤ 0[/m]

c учётом[red] t ≥ 0[/red]

[0] __-__ (1) __+_

[b] 0 ≤ t <1[/b]

Обратный переход:

0 ≤ sqrt(8x^2+6x+1) < 1

0 ≤ sqrt(8x^2+6x+1) < 1 ⇒ 0 ≤ 8x^2+6x+1 <1

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

[m]\left\{\begin{matrix} 8x^2+6x+1 <1\\ 8x^2+6x+1 \geq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 8x^2+6x <0\\ 8x^2+6x+1 \geq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 2x\cdot (4x+3) <0\\ (2x+1)(4x+1) \geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

Решаем каждое методом интервалов:

____ (-[m]\frac{3}{4}[/m]) _________[green]-[/green]________ (0) ___

О т в е т первого неравенства системы:( -[m]\frac{3}{4}[/m];0)

_____[red]+[/red]____ [-[m]\frac{1}{2}[/m]] ____ [-[m]\frac{1}{4}[/m]] __[red]+[/red]__

О т в е т второго неравенства системы:( - ∞ ;-[m]\frac{1}{2}[/m]]U[-[m]\frac{1}{4}[/m]+ ∞ )

Пересечение ответов первого и второго неравенства:
(-[m]\frac{3}{4}[/m]; -[m]\frac{1}{2}[/m]] U [-[m]\frac{1}{4}[/m];0)

О т в е т. (-[m]\frac{3}{4}[/m]; -[m]\frac{1}{2}[/m]] U [-[m]\frac{1}{4}[/m];0)

[m]y`=\frac{1+2\frac{y}{x}}{4-\frac{y}{x}}[/m]

[m]y`=\phi (\frac{y}{x})[/m]

Значит это однородное первой степени

Решается заменой:

[m]\frac{y}{x}=u[/m]

y=u*x

y`=u`*x+u*x`

x`=1

y`=u`*x+u

и подставляем в уравнение:

u`*x+u=[m]\frac{1+2u}{4-u}[/m]

Уравнение с разделяющимися переменными:

u`*x=[m]\frac{1+2u}{4-u}-u[/m]

x*du=[m]\frac{1-2u+u^2}{4-u}[/m]dx

[m]\frac{(4-u)du}{1-2u+u^2}=\frac{dx}{x}[/m]

Ответ выбран лучшим

(x / a) + (y / b) = 1 ⇒ y/b=1-(x/a)

y=b-(b/a)*x

y`=-(b/a)

1+(y`)^2=1+(b^2/a^2)=(a^2+b^2)/b^2

dl=sqrt(1+(y`)^2)dx=sqrt(a^2+b^2)dx/b

∫ ^(a)_(0)x*sqrt(a^2+b^2)dx/b=(sqrt(a^2+b^2)/b)*(x^2/2)|^(a)_(0)=...

Ответ выбран лучшим

2^(x)*2^((2/3)*x)=2^3

2^(x+(2x)/(3))=2^3

x+(2x)/(3)=3

3x+2x=9

x=1.8

Ответ выбран лучшим

1/4=2^(-2)
4=2^2
4^(x)=(2^(2))^(x)=2^(2x)

(1/4)*4^(x)=2^(-2)*2^(2x)=2^(2x-2)

(2^(2x-2))^(x)=2^(2x+6)

2^((2x-2)*x)=2^(2x+6)

(2x-2)*x=2x+6

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} x>0\\-log_{2}x>0 \\log^2_{2}x >0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x>0\\log_{2}x<0 \\log_{2}x \neq 0 \end{matrix}\right.[/m]

x ∈[red] (0;1)[/red]

Пусть
[m]log_{2}x=t[/m]

и t < 0 ( cм вторую строку системы)

[m]log^2_{2}(-t)+log_{2}t^2 ≤ 3[/m]

[m]log^2_{2}(-t)+2log_{2}|t| ≤ 3[/m]

(t<0, |t|=-t)

[m]log^2_{2}(-t)+2log_{2}(-t) ≤ 3[/m]

[m](log_{2}(-t))^2+2log_{2}(-t)-3 ≤0[/m]

Квадратное неравенство относительно [m] log_{2}(-t)[/m]

D=4-4*(-3)=16 корни (-3) и 1

[m]-3 ≤ log_{2}(-t) ≤ 1[/m]

[m]-3\cdot log_{2}2 ≤ log_{2}(-t) ≤ 1\cdot log_{2}2[/m]

[m] log_{2}2^{-3} ≤ log_{2}(-t) ≤ log_{2}2[/m]

[m] \frac{1}{8}=2^{-3} ≤ (-t) ≤ 2[/m]

[m] -2 ≤ t ≤ -\frac{1}{8}[/m]

Обратная замена:
[m] -2 ≤log_{2}x ≤ -\frac{1}{8}[/m]

[m]-2\cdot log_{2}2 ≤ log_{2}x ≤ -\frac{1}{8}\cdot log_{2}2[/m]

[m] log_{2}2^{-2} ≤ log_{2}x ≤ log_{2}2^{ -\frac{1}{8}}[/m]

[m] 2^{-2} ≤ x ≤ 2^{ -\frac{1}{8}}[/m]

[m] \frac{1}{2^2}≤ x ≤ \frac{1}{2^{ \frac{1}{8}}}[/m]

[m] \frac{1}{4}≤ x ≤ \frac{1}{\sqrt[8]{2}}[/m] - удовлетворяет ОДЗ

О т в е т. [m] [\frac{1}{4}; \frac{1}{\sqrt[8]{2}}][/m]

Ответ выбран лучшим

D=16-12=4

tg^2x=1 или tg^2=3

tgx=1 или tgx =-1 или tgx=-sqrt(3) или tgx=sqrt(3)

x=(π/4)+πk или x=- (π/4)+πk или x=(π/3)+πk или x=- (π/3)+πk. k ∈ Z

О т в е т. ± (π/4)+πk, ± (π/3)+πk, k ∈ Z

Отбор корней: (π/4)+2π=9π/4; -(π/4)+3π=11π/4; (π/4)+3π=13π/4;
(π/3)+2π=7π/3; -(π/3)+3π=8π/3; (π/3)+3π=10π/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]log_{7−x}\frac{x+4}{(7−x)^{−3}}≥3[/m]

ОДЗ:

[m]\left\{\begin{matrix} 7-x >0\\ 7-x \neq 1\\ \frac{x+4}{(7-x)^{-3}}>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x<7 \\ x \neq 6\\ (x+4)(7-x)^{3}>0 \Rightarrow x>-4\end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (-4;6)U(6;7)[/red]

[m]log_{7−x}(x+4)-log_{7-x}(7-x)^{-3} ≥ 3[/m]

[m]log_{7−x}(x+4)+3 ≥ 3[/m]

[m]log_{7−x}(x+4) ≥ 0[/m]

так как [m]0=log_{7−x}1[/m]

[m]log_{7−x}(x+4) ≥log_{7−x}1 [/m]

Если [red]x ∈ (-4;6)[/red], тогда 7-x > 1 и

логарифмическая функция [i]возрастает[/i], поэтому

x+4 ≥ 1 ⇒ x ≥ -3

x ∈ [-3;6)

Если [red]x ∈ (6;7)[/red], тогда 0< 7-x < 1 и

логарифмическая функция [i]убывает[/i], поэтому

x+4 ≤ 1 ⇒ x ≤ -3

Нет решений

О т в е т. [-3;6)

Ответ выбран лучшим

V_(шара)=(4/3)πR^3=(4/3)*π*2^3=32π/3

V_(конуса)=(1/3)*π*r^2*h=(1/3)*π*6*h=2πh

32π/3=2πh

[b]h=16/3[/b]

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(sqrt(7)/4)^2=1-(7/16)=9/16

cos α = ± sqrt(9/16)= ± 3/4

α во второй четв, косинус отрицательный
О т в е т. -3/4

Ответ выбран лучшим

125-5^(x) ≥ 0 ⇒ 5^(x) ≤ 5^3 ⇒ x ≤ 3

При x ≤ 3

sqrt(125-5^(x)) ≥ 0

Первый множитель уравнения неотрицательный, произведение отрицательно, значит

6x-15 <0 ⇒ 6x < 15 ⇒ x < 2,5

О т в е т. (- ∞ ;2,5)

Ответ выбран лучшим

16=2^4
8=2^3

4*sin2x=9sinx

8*sinx*cosx-9sinx=0

sinx*(8cosx-9)=0

sinx=0 8cosx-9=0

sinx=0

[b]x=πk, k ∈ Z[/b]

8cosx-9=0

cosx=9/8 уравнение не имеет корней, |cosx| ≤ 1

Ответ выбран лучшим

v=S`(t)=2*0,6*t=1,2t

v=20

20=1,2*t

t=20:1,2=...

Ответ выбран лучшим

(9-4x)^5=3^5

9-4x=3

9-3=4x

x=1,5

Ответ выбран лучшим

Остальных 240-39-101=100

p=100/240=10/24=5/12

Ответ выбран лучшим

115+50*2+40*1,5[b]=275 км[/b] проехал за 1+2,5+1,5=[b]5 часов[/b]

275:5=... км в час средняя скорость

Ответ выбран лучшим

Р=(6+7)*2=26 м

S_(стен)=26*3=78 кв м.

S_(под покраску или оклеивание)=S_(стен)-S_(окна)-S_(двери)=

=78-[b]4[/b]= [red]74[/red]

Итак надо поклеить или покрасить [red] 74[/red] м^2

Считаем сколько краски уйдет:

74:5= ≈ [b]25[/b] л

банки 2-литровые, значит надо купить 13 банок

одна банка стоит 350 рублей

13*350=.... рублей стоит покраска

Теперь оклеивание

Ширина рулона 1,5 м Длина 10 м

Из одного рулона вырежем 3 куска размерами 1,5*3 Их хватит, чтобы поклеить часть стены.

Р=26 м

26:4,5 ≈ 6 рулонов

650*6=... рублей стоит оклеивание

Ответ выбран лучшим

y=4/x; y=5-x
Находим абсциссы точек пересечения графиков:
4/x=5-x

4=5x-x^2

x^2-5x+4=0

D=(-5)^2-4*4=25-16=9

x=(5 ± 3)/2

x=1; x=4

S= ∫ ^(4)_(1) (5-x-(4/x))dx=(5x-(x^2/2)-4ln|x|)|^(4)_(1)=... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=6x/(3x^2-2y^2)

z`_(y)=-4y/(3x^2-2y^2)

dz=6xdx/(3x^2-2y^2) + (-4ydy)/(3x^2-2y^2)

О т в е т. dz=(6xdx-4ydy)/(3x^2-2y^2)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x^3+x^2-4x-4 ≥ 0 ⇒ x^2*(x+1)-4*(x+1) ≥ 0 ⇒ (x+1)*(x^2-4) ≥ 0

__-__ [-2] __+___ [-1] _____-___________[2] __+___

[red]x ∈ [-2;-1]U[2;+ ∞ )[/red]

Перепишем неравенство в виде:

2*sqrt((2x-1)^2)+4x-2 +sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) ≤ 0

Так как sqrt(x^2)=|x|, то
2*|2x-1|+2*(2x-1) +sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) ≤ 0

Пусть x ∈[red] [-2;-1][/red], тогда |2x-1|=-(2x-1)

неравенство принимает вид:

2*(-2(x-1)+2*(x-1)+sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) ≤ 0 ⇒ sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) ≤ 0

По определению арифметического квадратного корня он принимает только неотрицательные значения, поэтому возможно лишь равенство
sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) =0 ⇒[b] x=-2;x=-1;x=0[/b]

Пусть x ∈[red] [2;+ ∞ )[/red], тогда |2x-1|=2x-1

Но при x ≥ 2

2x-1 ≥ 2*2-1=3 >0

неравенство принимает вид

2*(2х-1)+2*(2x-1)+sqrt((x+1)(x+2)(x-2)) ≤ 0

4*(2х-1)[red]+[/red]sqrt((x+1)(x+2)(x-2)) ≤ 0 невозможно, так как

4*(2x-1) ≥ 12

sqrt((x+1)(x+2)(x-2)) ≥ 0

О т в е т. -2;-1;2

Cоставляем характеристическое уравнение:
k^4+(18/25)k^2+(81/625)=0

Решаем биквадратное уравнение

D=(18/25)^2-4*(81/625)=(324-324)/625=0

Решение уравнения является двукратная комплексно сопряженная пара:

k^2=(-9/25) ⇒ k_(1,2)=k_(3,4)= ± 0,6*i

α =0; β =0,6

[b]y=(C_(1)+C_(3)*х)*cos0,6x+(C_(2)+C_(4)*x)sin0,6x[/b]

С_(основания)=С_(окружности)=2π*r=2π*5=[b]10π[/b]

Длина этой окружности равна длине дуги сектора, который представляет собой развертку боковой поверхности.

Радиус R=8
L=[b]10π[/b]

L=(2π*R/(2π))* [red]α [/red] ⇒L=R* [red]α [/red] ⇒ 10π=8* [red]α [/red]

[red] α [/red]=10π/R=10π/8=[blue]5π/4[/blue]

Развертка сектор круга радиуса 8 см с углом [blue]5π/4[/blue] (прикреплено изображение)

1) v=150/t

2)s=3x- прямая пропорциональность, чем больше цена, тем больше стоимость.

3)b=s/4

4)P=3b- прямая пропорциональность, чем больше b, там больше периметр

|x-2|+x=ax+2a-2

|x-2|+x+2=a*(x+2)

[m]\frac{|x-2|+|x|+2}{x+2}=a[/m]

Найдем при каких значениях параметра а прямая y=a

имеет с графиком [m]y=\frac{|x-2|+|x|+2}{x+2}[/m]

ровно две общие точки.

x=0; x=2 - нули подмодульных выражений.

Они разбивают числовую прямую на три промежутка.

Раскрываем знак модуля на каждом промежутке

[red](- ∞ ;0][/red]
[m]y=\frac{-x+2-x+2}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{-2x+4}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{-2x-4+8}{x+2}[/m]

[m]y=-2+\frac{8}{x+2}[/m] - гипербола

на (- ∞ ;0] ( рис. 1)

[red](0;2][/red]
[m]y=\frac{-x+2+x+2}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{4}{x+2}[/m] - гипербола
на (0 ;2] ( рис. 2)

[red](2;+ ∞ )[/red]
[m]y=\frac{x-2+x+2}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{2x}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{2x+4-4}{x+2}[/m]

[m]y=2-\frac{4}{x+2}[/m] - гипербола

на (2 ;+ ∞ ] ( рис. 3)

график функции [m]y=\frac{|x-2|+|x|+2}{x+2}[/m] cм
рис 4

О т в е т. (- ∞ ;-2)U{1}U[2;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

y=3,5sqrt(g(x))

g(x)=4cos2x+6sin^2x+5

g`(x)=4*(-sin2x)*(2x)`+6*2sinx*(sinx)`+0

g`(x)=-8sin2x+6*(2sinx*cosx)

g`(x)=-2sin2x

g`(x)=0

sin2x=0

2x=πk, k ∈ Z

x=(π/2)*k, k ∈ Z

Знак производной ( знак функции g`(x)=-2sin2x):

... (-π) __-_ (π/2)__+__(0) __-__ (π/2) __+__ (π) __ ...

... x=-π; x=0 ; x=π - точки максимума.

y(-π)=y(0)=y(π)=...

y(0)=3,5sqrt(4*cos0+6*sin0+5)=3,5*sqrt(9)=3,5*3=10,5

y_(наиб. целое)=[b]10[/b]

12.
y`=13+11*cosx

так как -1 ≤ сosx ≤ 1 ⇒ -11 ≤ 11сosx ≤ 11 ⇒ 13 -11 ≤ 13+11сosx ≤13+ 11

y` ≥ 2 >0

Производная положительная при любом х, значит функция возрастает на (- ∞ ;+ ∞ ) и в том числе функция возрастает на [-2π/3;0]

Значит, наибольшее значение на отрезке [-2π/3;0] функция принимает в правом конце отрезка в точке x=0

y(0)=13*0-7+11*sin0=-7

О т в е т. y_(наиб [-2π/3;0])=-7

13.

y`=-2sqrt(5)*([m]\frac{x}{x^2+5}[/m])`

y`=-2sqrt(5)*[m]\frac{x`\cdot(x^2+5)-x\cdot (x^2+5)`}{(x^2+5)^2}[/m]

y`=[red]-[/red]2sqrt(5)*[m]\frac{x^2+5-x\cdot 2x}{(x^2+5)^2}[/m])

y`=2sqrt(5)*[m]\frac{x^2-5 }{(x^2+5)^2}[/m])

y`=0

5-x^2=0

x= ± sqrt(5)

-sqrt(5) ∉ [-2;3]

Находим знак производной на отрезке:

[-2] ____-___ (sqrt(5)) _+__ [3]

x=sqrt(5) - точка минимума, производная при переходе через точку меняет знак с - на +

( см. теорему достаточное условие экстремума)

y_(наим. [-2;3])=y(sqrt(5))=-2*[m]\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2+5}=-1[/m]

Ответ выбран лучшим

в отношении 3:2 считая от высоты ( это неверно)

Считаю от вершины:

SP:PO=3:2

SP:SO=3:5

S_(сечения):S_( осн)=3^2:5^2

S_( осн)=60 ⇒ S_(сечения)=(9/25)*60=108/5=21,6 cм^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию : U ≥ 1

2*cos(150 ° *t-60 ° ) ≥ 1 ⇒

cos(150 °*t-60 ° ) ≥ 1/2

-arccos(1/2)+360°*n ≤ (150°*t-60°) ≤ arccos(1/2)+360°*n, n ∈ Z

⇒
-(60°)+360°*n ≤ (150°*t-60°) ≤ (60°)+360°*n, n ∈ Z

60°-(60°)+360°*n ≤ (150°*t-60°) ≤ (60°)+60°+360°*n, n ∈ Z

360°*n ≤ 150°*t ≤ 120°+360°*n, n ∈ Z ( Делим на 150 ° )

[b]2,4*n ≤ t ≤ 0,8+2,4*n, n ∈ Z[/b]

Сигнал имеет периодичность 2,4 с

Так как нас интересует первая секунда, n=0

[b]0 ≤ t ≤ 0,8[/b]

Значит лампочка загорится с начала работы и погаснет через 0,8 с

Значит будет гореть 0,8 c

О т в е т. 80%

Ответ выбран лучшим

y=f(x_(o))+f `(x_(o))*(x-x_(o))

x_(o)=2
f(x_(o))=2^2+3*2+5=15

f `(x)=2x+3

f `(x_(o))=2*2+3=7

y=15+7*(x-2)

[b]y=7x+1[/b] - о т в е т

= ∫ _(D_(1))+ ∫ _(D_(2))=

D_(1):
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ x ≤ y

D_(2):
1 ≤ y ≤ 2
0 ≤ x ≤ sqrt(2-y) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВС- равносторонний
АВ=ВС=АС=1

AO ⊥ BC

O(0;0;0)

Н- точка пересечения высот, медиан, биссектрис

АН:НО=2:1 ⇒ НО=[m]\frac{1}{3}AH[/m]

H([m]\frac{\sqrt{3}}{6};0;0[/m])

АО=[m]\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/m]

По теореме Пифагора
HD^2=DA^2-AO^2=1-[m](\frac{\sqrt{3}}{3})^2[/m]

D([m]\frac{\sqrt{3}}{6};0;\sqrt{\frac{2}{3}}[/m])

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма углов четырехугольника АРВТ равна 360 °
∠ АТВ=180 ° -70 ° =110 ° ( сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180 ° )

∠ РАТ=90 ° (РА ⊥ МТ)
∠ РВТ=90 ° (РВ ⊥ КТ)

∠ АРВ=360 ° - ∠ РАТ-∠ РВТ- ∠ АТВ=360 ° -90 ° -90 ° -110 ° =70 °

О т в е т. 70 ° (прикреплено изображение)

x^2+6x+9=(x+3)^2

sqrt(x^2+6x+9)=|x+3|

a=||x+3|-1|+2

Строим график y=||x+3|-1|+2

a=2; a>3

Наименьшее 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

=3(-cosx)-sinx)|^(π)_(0)=-3cosπ-sinπ+3cos0+sin0=(-3)*(-1)-0+3*1+0=6

Ответ выбран лучшим

x>0; x ≠ 1
По свойству степени a^(n^2)=a^(n*n)=(a^(n))^(n)

[m]5^{log^2_{5}x}=(5^{log_{5}x})^{log_{5}x}=x^{log_{5}x}[/m]

Поэтому

[m]x^{log_{5}x}+x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]

[m]2\cdot x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]

[m]x^{log_{5}x} ≥ \sqrt[4]{5}[/m]

Логарифмируем по основанию [b]5[/b]

Логарифмическая функция с основанием 5 возрастающая, знак неравенства сохраняется:

[m]log_{5}x^{log_{5}x} ≥log_{5}5^{\frac{1}{4}}[/m]

свойства логарифма степени:

[m]log_{5}x\cdot log_{5}x ≥\frac{1}{4}[/m]

[m]log^2_{5}x-\frac{1}{4} ≥ 0[/m]

[m](log_{5}x-\frac{1}{2})(log_{5}x+\frac{1}{2}) ≥ 0[/m]

[m]-\frac{1}{2} ≤ log_{5}x ≤ \frac{1}{2}[/m]

[m]-\frac{1}{2} log_{5}5≤ log_{5}x ≤ \frac{1}{2} log_{5}5[/m]

[m] log_{5}5^{-\frac{1}{2}} ≤ log_{5}x ≤ log_{5}5^{ \frac{1}{2}}[/m]

[m] 5^{-\frac{1}{2}} ≤x ≤5^{ \frac{1}{2}}[/m]

О т в е т. [1/sqrt(5); sqrt(5)]

Ответ выбран лучшим

a=-1; a=-2
Сумма -3 (прикреплено изображение)

k=0,4 (прикреплено изображение)

|x-5|=t

at^2-at+5=0

D=a^2-4a*5=a^2-20a

D≥ 0 квадратное уравнение имеет два корня t_(1) и t_(2)

Причем по теореме Виета
t_(1)+t_(2)=1
t_(1)*t_(2)=5/a

Обратный переход
|x-5|=t_(1) или |x-5|=t_(2)

Чтобы выполнялось требование задачи- одно из этих уравнений не должно иметь корней, значит одно из чисел t_(1) или t_(2)
отрицательно, значит их произведение отрицательно

{a^2-20a ≥ 0 ⇒ a*(a-20) ≥ 0 ⇒ a ≤ 0 или a ≥ 20
{5/a < 0 ⇒ a < 0 ⇒ положительных а нет ???

Ответ выбран лучшим

|x^2-6|-a+8=-3 или |x^2-6|-a+8=3

|x^2-6|+11=a или |x^2-6|+5=a

Cм графическое решение каждого уравнения.

О т в е т. Прямая y=11 имеет 5 точек пересечения с графиками
и y=20

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2-a+1=-3 или x^2-a+1=3
x^2-a+4=0 или x^2-a-2=0
D=a^2-16 или D=a^2+8 >0 при любом а, значит второе уравнение имеет два корня.

Чтобы выполнялось требование задачи, первое уравнение должно иметьодин корень.
А это возможно, если D первого уравнения равен 0

a^2-16=0
a= ± 4

Их сумма равна 0
О т в е т. 0

Ответ выбран лучшим

В вершине параболы y=35+2x-x^2

-2х+2=0

x=1

y_(наиб)=sqrt(35+2*1-1^2)=sqrt(36)=[b]6[/b]

Ответ выбран лучшим

f`(x_(o))=k_(касательной)

f`(x)=2x+b

x_(o)=5

f`(5)=2*5+b

k_(касательной)=3

2*5+b=3

b=-7

(5;0) находится на касательной и на кривой.

f(5)=0
0=5^2+b*5+c ⇒ 25+(-7)*5+с=0 ⇒ с=1-

О т в е т.b=-7; с=-10

f(x)- возрастает ⇒ f`(x) >0

x_(1); x_(3), x_(5),x_(7)

S_( Δ) находим по формуле Герона
p=(11+14+19)/2=22

S=sqrt(22*(22-11)*(22-14)*(22-19))=66

Большая высота проведена к меньшей стороне.

S_( Δ)=(1/2)*a*h ⇒ h=2S/a=2*66/11=12

S_(cечения)=S_(прямоугольника)=12*7sqrt(3)=84sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
sinx>0 ⇒ 2πm < x < π+2πm, m ∈ Z ( 1 и 2 четверти, без точек πk)

2cos^2x+11cosx+5=0 или log_(18)(sinx)=0

2*t^2+11*t+5=0 или sinx=18^(0)

D=11^2-4*2*5=81 или [b] sinx=1[/b] ⇒ [b]x=(π/2)+2πm, m ∈ Z
[/b]

cosx=1/2 или cosx=-5 ( это уравнение не имеет корней, |cosx| ≤ 1)

cosx=1/2 ⇒ x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

Корни х= - (π/3)+2πn, n ∈ Z не удовл ОДЗ, так как находятся в 4-й четверти.

О т в е т. [b]x=(π/2)+2πm, m ∈ Z; (π/3)+2πn, n ∈ Z
[/b]

Ответ выбран лучшим

15=3*5

15^(cosx)=(3*5)^(cosx)=3^(cosx)*5^(cosx)

3^(cosx)*5^(cosx)=3^(cosx)*5^(sinx)

Переносим влево и раскладываем[b] на множители ![/b]

3^(cosx)*5^(cosx)-3^(cosx)*5^(sinx)=0

3^(cosx)*(5^(cosx)-5^(sinx))=0

3^(cosx) >0 при любом х, показательная функция принимает только положительные значения, график любой показательной функции выше оси Ох!)

5^(cosx)-5^(sinx)=0

5^(cosx)=5^(sinx) ⇒ cosx=sinx

Это однородное тригонометрическое уравнение

Делим на cosx ≠ 0

tgx=1

[b]x=(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

б)(π/4)+5π=[b]21π/4[/b] ∈ [5π;13π/2]=[20π/4; 26π/4]
(π/4)+6π=[b]25π/4[/b] ∈∈ [5π;13π/2]=[20π/4; 26π/4]

20π/4 < [b]21π/4[/b]<26π/4

20π/4 < [b]25π/4[/b]<26π/4

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения

cos(x-(π/2))=sinx

Уравнение принимает вид:

2sin^3x=sinx

Переносим в одну часть и[b] раскладываем на множители![/b]

2sin^3x-sinx=0

sinx*(2sin^2x-1)=0

sinx=0 или 2sin^2x-1=0

sinx=0 ⇒ x=πm, m ∈ Z

2sin^2x-1=0 ⇒ sin^2x=1/2 ⇒ sinx=-1/sqrt(2) или sinx=1/sqrt(2)

sinx=-1/sqrt(2) ⇒ x=(-1)^(k)*(-π/4)+πk, k ∈ Z

sinx=1/sqrt(2)⇒ x=(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z

Можно объединить в одну формулу:
x=(π/4)+(π/2)n, n ∈ Z

О т в е т. а) πm; (π/4)+(π/2)n, m, n ∈ Z

б) - (5π/4); -π; -(3π/4)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos^2x=1-sin^2x

4*(1-sin^2x)+4sinx-1=0

4sin^2x-4sinx-3=0

D=16-4*4*(-3)=64

sinx=-1/2 или sinx=3/2 ( это уравнение не имеет корней, синус ограничен отрезком [-1;1], график внутри полосы y=-1; y=1)

sinx=-1/2

[m]x=(-1)^{k}arcsin (-\frac{1}{2})+\pi k, k ∈ Z[/m]
[m]x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{6})+\pi k, k ∈ Z[/m]

О т в е т. а)[m]x=(-1)^{k[red]+[/red]1}(\frac{\pi}{6})+\pi k, k ∈ Z[/m]

б)

при k=2n ( при четных)[m]x=-\frac{\pi}{6}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

или

при k=2n+1( при нечетных) [m]x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

Тогда отбор корней:
[m]x=-\frac{\pi}{6}+ 2\pi =\frac{11\pi}{6}[/m]
[m]x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{7\pi}{6}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4^(x-(1/2))=4^(x)*4^(-1/2)=4^(x)*(1/2)

2^(x-1)=2^(x)*2^(-1)=2^(x)*(1/2)

4^(x)*(1/2)-5*2^(x)*(1/2)+3=0

Умножаем на 2:

4^(x)-5*2^(x)+6=0

2^(x)=t

4^(x)=t^2

t>0

t^2-5t+6=0

t_(1)=2; t_(2)=3

2^(x)=2 ⇒ x=1

2^(x)=3 ⇒ 2^(x)=2^(log_(2)3) ⇒ x=log_(2)3

О т в е т.
a)1; log_(2)3

б)1 ∉ (1;(5/3))
log_(2)3 ∈ (1; 5/3)

Очевидно, что 1 < log_(2)3=log_(2)∛27 < log_(2)∛32

Так как

(5/3)=(5/3)*1=(5/3)*log_(2)2=log_(2)2^(5/3)=log_(2)∛32

Ответ выбран лучшим

Производная сложной функции по формуле:

(27*u^(1/3))=27*(1/3)*u^(-2/3)*u`=9u`/∛(u)^2

и так три раза

f`_(x)=9(x+y^2+z^3)`_(x)/∛(x+y^2+z^3)^2=9/∛(x+y^2+z^3)^2

f`_(y)=9(x+y^2+z^3)`_(y)/∛(x+y^2+z^3)^2=9*2y/∛(x+y^2+z^3)^2=

=18y/∛(x+y^2+z^3)^2

f`_(z)=9(x+y^2+z^3)`_(z)/∛(x+y^2+z^3)^2=9*3z^2/∛(x+y^2+z^3)^2=

=27z^2/∛(x+y^2+z^3)^2

Теперь в точке М_(о)(3;4;2)

f`_(x)(M_(o))=9/∛(3+4^2+2^3)^2=9/∛27=3

f`_(y)(M_(o))=18*4/∛27=24

f`_(z)(M_(o))=27*2^2/∛27=4

Ответ выбран лучшим

Выражение под корнем четной степени не должно быть отрицательным:
6-х ≥ 0 ⇒ -х ≥ -6 ⇒ x ≤ 6
Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
[m]\sqrt[4](6-x)[/m] ≠ 0 ⇒ 6-x ≠ 0 ⇒ x ≠ 6

Получаем:

x <6

О т в е т. (- ∞ ;6)

Ответ выбран лучшим

Разделим на 2 части

S_(1)=S_(треуг)=(1/2)a*h=(1/2)4*6=12

S_(2)=S_(трапеции)=(1/2)(a+b)*h=(1/2)(4+8)*2=12

S=S_(1)+S_(2)=12+12=24 (прикреплено изображение)

А(3;2)
В(-3;1)
С(-3;-4)
D(5;-4) (прикреплено изображение)

∠ AMD=(1/2) ∪ AD-(1/2) ∪ BC ( cм. 4-ую колонку)

∪ BC= ∪ AD-2 ∠ AMD=115 ° -2*45 ° =25 °

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4x^4+28 >0 при любом х
5x^2+1>0 при любом х

log_(2)(4x^4+28)=log_(2)(4*(x^4+7))=log_(2)4+log_(2)(x^4+7)=2+log_(2)(x^4+7)

log_(sqrt(2))sqrt(5x^2+1)=log_(2)(5x^2+1) ( см. приложение формула 11)

Уравнение:
log_(2)(x^4+7)=log_(2)(5x^2+1) ⇒

x^4+7=5x^2+1 - биквадратное уравнение

x^4-5x^2+6=0

x^2=2 или x^2=3

x= ± sqrt(2); x= ± sqrt(3)

О т в е т.
а)± sqrt(2); ± sqrt(3).

б)
-9/5=-1,8
7/5=1,4

sqrt(2) ≈ 1,41 >1,4=7/5;
sqrt(3) ≈ 1,7 > 1,4=7/5

sqrt(2) ∉ [-9/5;7/5]
sqrt(3) ∉ [-9/5;7/5]

-sqrt(2) ≈ -1,41 >-1,8=-9/5
-sqrt(3) ≈ 1,7 > -1,8=-9/5

-sqrt(2) ∈ [-9/5;7/5]
-sqrt(3) ∈ [-9/5;7/5]

О т в е т б)-sqrt(2) ∈ [-9/5;7/5]:-sqrt(3) ∈ [-9/5;7/5]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-1 ≤ x+y ≤ 1

{x+y ≤ 1
{x+y ≥ -1

Прямая x+y=1 pазбивает плоскость на две части
Плоскость x+y=-1 pазбивает плоскость на две части
Две плоскости, параллельные оси Оz
Область определения часть плоскости между прямыми.

Ответ выбран лучшим

Точки, в которых касательная || оси ОХ
Таких точек 6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]log_(7)343[/b]=log_(7)7^(3)=[b]3[/b]

log_(3)([b]log_(7)343[/b])=log_(3)[b]3[/b]=1

{x=t^2/4 ⇒ t=2sqrt(x)
{y=t-(t^3/24) ⇒ y=2sqrt(x)-[m]\frac{1}{3}[/m]sqrt(x^3)

Формула:
L= ∫ ^(b)_(a)sqrt(1+(y`)^2)dx

y`=(2sqrt(x)-[m]\frac{1}{3}[/m]sqrt(x^3))`

y`=[m]\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2}[/m]

(y`(x))^2=[m]\frac{1}{x}-1+\frac{x}{4}[/m]

1+(y`(x))^2=[m]\frac{1}{x}+\frac{x}{4}[/m]

L= ∫ ^(1/4)_(0)sqrt([m]\frac{1}{x}+\frac{x}{4}[/m])dx=

= ∫ ^(1/4)_(0)[m]\frac{\sqrt{4+x^2}}{2\sqrt{x}}[/m]dx

cм. интегрирование иррациональных функций.
Можно тригонометрические подстановки

[b]x=2tgz[/b]

Можно подстановки Чебышева.

Ответ выбран лучшим

S_(прямоугольника)=14*18=252 cм^2

S_(прямоугольника)= S_(круга)

S_(круга)=252

S_(круга)=πR^2

πR^2=252

R^2=[m]\frac{252}{\pi}[/m]

R=[m]\sqrt{\frac{252}{\pi}}[/m]

Ответ выбран лучшим

S_(круга)=πR^2

πR^2=169π

R^2=169

R=[b]13[/b]

S_(квадрата)=a^2

a=R=13

S_(квадрата)=13^2=[b]169[/b]

Ответ выбран лучшим

y/x=u ⇒ y=x*u ⇒ y`=x`*u+x*u`

так как x`=1, ( х - независимая переменная)

y`=u+xu`

Подставляем в уравнение:

2*(u+x*u`)=1+u

2*u+2x*u`=1+u

2x*u`=1-u

u`=du/dx

2xdu=(1-u)dx - уравнение с разделяющимися переменными

2du/(1-u)=dx/x

∫ 2du/(1-u)= ∫ dx/x

-2ln|1-u|=ln|x|+lnC

[b]Cx=1/(1-u^2) [/b] где u=(y/x)

y^2=R^2-x^2
y=sqrt(R^2-x^2)- уравнение окружности в верхней полуплоскости

в первой четверти

0 ≤ x ≤ R

dl=sqrt(1+(y`)^2)dx

y`=(1/2sqrt(R^2-x^2))*(R^2-x^2)`=-2x/(2sqrt(R^2-x^2))=-x/sqrt(R^2-x^2)

1+(y`)^2=1+(x^2)/(r^2-x^2)=R^2/(R^2-x^2)

sqrt(1+(y`)^2)=R/sqrt(R^2-x^2)

∫ _(L)x^2*ydl= ∫ ^(R)_(0)x^2*sqrt(R^2-x^2)* (R/sqrt(R^2-x^2)dx=

= R∫ ^(R)_(0)x^2dx=r*(x^3/3)|^(R)_(0)=[b]R^4/3[/b]

Ответ выбран лучшим

dl=sqrt((x`_(t))^2+(y`_(t))^2+(z`_(t))^2)dt

x`_(t)=1
y`_(t)=2t
z`_(t)=3t^2

dl=sqrt(1^2+(2t)^2+(3t^2)^2)dt=[blue]sqrt(1+4t^2+9t^4)dt[/blue]

f(x;y;z)=sqrt(1+4y+9xz)=sqrt(1+4t^2+9t*t^3)=sqrt(1+4t^2+9t^4)

∫ _(L)sqrt(1+4y+9xz)dl= ∫ ^(1)_(0)sqrt(1+4t^2+9t^4)[blue]sqrt(1+4t^2+9t^4)dt[/blue]=

= ∫ ^(1)_(0)(1+4t^2+9t^4)dt=(t+(4t^3/3)+(9t^5/5))|^(1)_(0)=

=1+(4/3)+(9/5)=...

Ответ выбран лучшим

[m]y=\frac{x^3-15x+16}{x}[/m]

[m]y=\frac{x^3}{x}-\frac{15x}{x}+\frac{16}{x}[/m]

[m]y=x^2-15+\frac{16}{x}[/m]

[m]y`=(x^2-15+\frac{16}{x})`[/m]

[m]y`=2x-\frac{16}{x^2}[/m]

y`=0

[m]2x-\frac{16}{x^2}=0[/m]
x^2 ≠ 0

[m]2x^3-16=0[/m]

[m]x^3=8[/m]

[m]x=2[/m]- точка возможного экстремума

2 ∈ [1;7]

Проверяем знак производной на [1;7]:

[1] __-__ (2) ___+__ [7]

x=2- точка минимума

В этой точке наименьшее значение

y(2)=2^2-15+[m]\frac{16}{2}[/m]=-3

О т в е т. y_(наим [1;7])=y(2)=-3

См. рис.
На нем отчетливо видно, что если x=2 - точка минимума, то значения на концах выше, чем (-3)
Поэтому [b]не надо считать значения на концах[/b], если дан отрезок и в нем одна критическая точка
Это пустая трата времени.... (прикреплено изображение)

SO ⊥ пл квадрата

SO ⊥ OK

OK=r(вписанного круга)

SK ⊥ AB по теореме о трех перпендикулярах

SO^2=SK^2-KO^2=(4sqrt(5))^2-8^2=80-64=16

SO=4 (прикреплено изображение)

Функция не определена в точке M_(o)(0;4)

lim_(M → M_(o))f(x;y)=[ замена xy^2=t]= lim_(t → 0)[m]\frac{ln(1+t)}{3t}=\frac{1}{3}[/m]

Функция имеет конечный предел в точке, но не определена в этой точке.

О т в е т. M_(o)- точка устранимого разрыва

z=ln(x^2+y^2)^(1/2)

z=(1/2)ln(x^2+y^2)

z`_(x)=(1/2)*[m]\frac{(x^2+y^2)`_{x}}{x^2+y^2}[/m]

z`_(y)=(1/2)*[m]\frac{(x^2+y^2)`_{y}}{x^2+y^2}[/m]

z`_(x)=[m]\frac{x}{x^2+y^2}[/m]

z`_(x)=[m]\frac{y}{x^2+y^2}[/m]

z``_(xx)=([m]\frac{x}{x^2+y^2}[/m])`_(x)

z``_(xy)=([m]\frac{x}{x^2+y^2}[/m])`_(y)

z``_(yy)=([m]\frac{y}{x^2+y^2}[/m])`_(y)

Применяем формулу производная частного.

2+x-x^2=x+2
x^2=0
x=0

Указанные линии имеют одну общую точку. Нет фигуры, которую они образуют.
(прикреплено изображение)

F(x;y;z)=[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1[/m]

F`_(x)=[m]\frac{2x}{a^2}[/m]

F`_(y)=[m]\frac{2y}{b^2}[/m]

F`_(z)=[m]\frac{2z}{c^2}[/m]

z`_(x)=[m]-\frac{F`_{x}}{F`_{z}}=-\frac{c^2x}{a^2z}[/m]

z`_(y)=[m]-\frac{F`_{y}}{F`_{z}}=-\frac{c^2y}{b^2z}[/m]

vector{AB}+vector{BC}=vector{AC}, поэтому

vector{AC}+vector{CD}=vector{AD}

vector{AC}+vector{CD}+vector{DF}=vector{AD}+vector{DF}=vector{AF}

vector{AF}+vector{FA}=0

vector{AC}+vector{CD}+vector{DF}+vector{FA}=vector{AF}+vector{FA}=0

vector{KM}+[b]vector{DF}[/b]+[b]vector{AC}[/b]+vector{FK}+[b]vector{CD}[/b]+vector{FА}

=vector{KM}+( (vector{AC}+vector{CD})+vector{DF})+vector{FА}+vector{FK}=

=vector{KM}+vector{FK}=vector{FK}+vector{KM}=vector{FM}

Ответ выбран лучшим

a)(x-7)^2+(y-11)^2=5^2
б)(x-9)^2+(y-4)^2=7^2
в)(x+2)^2+(y-3)^2=1^2
г)(x+3)^2+(y+4)^2=2^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=12x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3

f`_(x)=12*3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3
f`_(y)=12x^3*2y-x^4*2y-x^3*3y^2

{f`_(x)=0
{f`_(y)=0

{12*3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3=0 ⇒ 36-4x-3y=0;x=0;y=0
{12x^3*2y-x^4*2y-x^3*3y^2=0 ⇒ 24-2x-3y=0

{36-4x-3y=0
{ 24-2x-3y=0

x=6
y=4

Исследуем эту точку на экстремум.
Находим вторые частные производные

f ``_(xx)=72xy^2-12x^2y^2-6xy^3
f ``_(xy)=72x^2y-8x^3y-9x^2y^2
f ``_(yy)=24x^3-2x^4-6x^3y

Находим вторые частные производные в точке
A=f ``_(xx)(6;4)
B=f ``_(xy)(6;4)
C=f ``_(yy)(6;4)

Δ=AC-B^2

Если Δ>0 есть экстремум в точке
A>0- минимум
А<0 - максимум

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

6^(x)=t

Показательная функция принимает только положительные значения. ⇒

[red]t > 0[/red]

Решаем квадратное уравнение:

t^2-(8a-1)*t+(16a^2-4a-2)=0

D=(8a-1)^2-4*(16a^2-4a-2)=64a^2-16a+1-64a^2+16a+8=9

D>0

Уравнение имеет два корня t_(1) и t_(2)

Обратный переход

6^(x)=t_(1) или 6^(x)=t_(2)

Одно из этих показтельных уравнений не должно иметь корней.

Это возможно только в том случае, когда t_(1) и t_(2)

имеют разные знаки, т.е произведение корней отрицательно

По теореме Виета
t_(1)*t_(2)=16a^2-4a-2

16a^2-4a-2 < 0

(4a-2)*(4a+1) <0

Решаем методом интервалов

__+__ (-1/4) __-___ (1/2) __+___

О т в е т. (-1/4; 1/2)

1.

0,08*35=2,8 г воды

Пусть х г воды надо добавить, тогда общий вес смеси (35+х)
в нем должно быть 86% воды

(2,8+x) - 86% от (35+х)

2,8+х=0,86*(35+х)

2.
16% раствор йода
16% в нем йода

0,16*735 =117,6 г йода в данном растворе

Пусть добавили х г спирта

(735+х) - вес нового раствора

В нем 10% йода, т.е 0,1*(735+х) Это равно 117,6 г

Уравнение:

0,1*(735+х)=117,6 г

Δz ≈ dz

Δz=z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy)-z(x_(o);y_(o))

dz=z`_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+z`_(y)(x_(o);y_(o))* Δy

z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy)-z(x_(o);y_(o)) ≈ z_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+
z_(y)(x_(o);y_(o))* Δy

z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy) ≈ z(x_(o);y_(o))+z`_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+z`_(y)(x_(o);y_(o))* Δy

z=sqrt(x^2+y^2)

x_(o)=1
y_(o)=3
Δx=0,04
Δy=0,01

z(x_(o);y_(o))=sqrt(1^2+3^2)=sqrt(10)

z`_(x)=2x/2sqrt(x^2+y^2)

z`_(y)=2y/2sqrt(x^2+y^2)

z`_(x)(x_(o);y_(o))=2*1/2sqrt(10)=1/sqrt(10)

z`_(y)(x_(o);y_(o))=2*3/2sqrt(10)=3/sqrt(10)

sqrt((1,04)^2+(3,01)^2) ≈ sqrt(10)+(1/sqrt(10))*(0,04+3*0,01)=...

Известно, что число стульев, оставшихся в кабинетах, было одинаковым
Приравняем.
Получаем уравнение:
x-9=2x-34

2x-x=34-9
x=25

О т в е т. 25

S_( Δ ABC)=(1/2)*AB*AC*sin ∠ BAC

60=(1/2)*AB*15*(1/2)

AB=16

Ответ выбран лучшим

1)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВС - равнобедренный, ∠ А= ∠ С

Cумма углов треугольника АВС равна 180 °

[red]∠В=54 ° [/red]

∠ А + ∠ С=180 ° -[red]54 ° [/red]=126 ° ⇒ ∠ А= ∠ С=53 °

Cумма острых углов прямоугольного треугольника АМС равна 90 °

∠ МАС=90 ° - ∠ С=90 ° -53 ° =[b]27 ° [/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Обобщенные полярные координаты
x=3*r*cos φ
y=4*r*sin φ ⇒ (x^2/9)+(y^2/16)=1 ⇒ r^2=1 ⇒ r=1

Якобиан
abr=[red]3*4*r[/red]

y=4sqrt(3)*x

4*r*sin φ =4*sqrt(3)*3*r*cos φ ⇒ tg φ =3sqrt(3) ⇒ φ =arctg 3sqrt(3)
y=-4x/sqrt(3)
4*r*sin φ =-4*3*r*cos φ/sqrt(3) ⇒ tg φ =-sqrt(3) ⇒ φ =2π/3

= ∫^(1)_(0) dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))(3*r*cos φ )^2*(4*r*sin φ )^2* ([red]12 r[/red])d φ =

=3^2*4^2*12 ∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))((1+cos 2φ )/2)*((1-cos2φ)/2 ) d φ =

=432∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))(1-cos^2 2φ )d φ =

=432∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))(sin^2 2φ )d φ =

=432∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))((1-cos4φ )/2)d φ =

=216*(r^6/6)|^(1)_(0) ( φ -(1/4)sin4 φ )| ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3)) =...

Ответ выбран лучшим

НM проводим и продолжаем до пересечения с АВ
Получаем точку Е

НК проводим и продолжаем до пересечения с ВC
Получаем точку F

EF - след секущей плоскости на АВСD

EF проходит через точку D

Это следует из подобия FHB и FKC
FC=BC

АС - средняя линия Δ ВFE

Сечение МНКD- искомое сечение

(прикреплено изображение)

Составляем уравнение прямой:
[b]y=kx[/b]

π/3=k*(π/6)
[b]k=2[/b]

y=[green]2x[/green]
dy=[blue]2dx[/blue]

= ∫ ^(π/6)_(0) (cosx-[green]2x[/green])dx+(x+tg[green]2x[/green])[blue]2dx[/blue]=

определенный интеграл
=[b]2[/b]*∫ ^(π/6)_(0) (cosx-2x+x+tg2x)dx=

=[b]2[/b]*(sinx-(x^2/2)-(1/2)ln|cos2x|)|^(π/6)_(0)=...

A(-1:1)
B(3;1)
C(3;2)

∫ ^(C)_(A)= ∫ ^(B)_(A)+ ∫ ^(C)_(B)

Считаем первый
от А до В
y=1 - уравнение АВ
dy=0
∫ ^(B)_(A)
это определенный интеграл
∫ ^(3)_(-1)(2*1*x)dx-(1-x^2)*0= ∫ ^(3)_(-1)(2*1*x)dx=... считаем

Считаем второй
от В до С
x=3 - уравнение ВC
dx=0
∫ ^(C)_(B)
это определенный интеграл
∫ ^(2)_(1)(2*y*3)*0-(y-3^2)*dy= ∫ ^(2)_(1)(9-y)dy=... считаем

Cкладываем два ответа..

Ответ выбран лучшим

p=0,6 - вероятность того, что изделие признано стандартным
q=1-p=1-0,6=0,4 - вероятность того, что изделие НЕ признано стандартным

X=0;1;2;3;4;5

Считаем шесть раз вероятности по формуле Бернулли
X=0 - все изделия не признаны стандартными
p_(0)=С^(0)_(5)p^(0)q^(5)=0,4^5
X=1 - одно изделие признано стандартным
p_(1)=С^(1)_(5)p^(1)q^(4)=0,6*0,4^4
...

X=5
p_(5)=С^(5)_(5)p^(5)q^(0)=0,6^5

Закон - это таблица
в верхней строке значения Х от 0 до 5
во второй их вероятности.

Как считать М.о., дисперсию и ср. кв. отклонение см. здесь

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=31748

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=31842

Ответ выбран лучшим

1)Все написано.
Теорема синусов
АС/sin ∠ B=BC/sin ∠ A

10/sin70 ° =BC/sin54 °

Пропорция.

BC=10*sin54 ° /sin70 ° Калькулятор и считаем...

2.
Теорема косинусов:
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos ∠ A=

=5^2+8^2-2*5*8*cos70 ° =...

S_(осн)=49π
S_(осн)=π*R^2 ⇒ π*R^2=49*π ⇒ R^2=49 ⇒ R=7

S_(бок. конуса)=π*R* L=π*7*9=63π

Ответ выбран лучшим

1)
S_(квадрата)=a^2; где а - сторона квадрата

64=a^2 ⇒ a=8

a=H=2R

Н=8
2R=8
R=4

О т в е т. H=8; R=4

2.
S_(прямоугольника)=a*b

a*b=60
a=10
b=60/a=60/10=6

Одна сторона прямоугольника 6, другая 10
Меньшая -6

Вращают вокруг меньшей.

Значит Большая сторона -радиус

S_(осн)=πR^2=π*10^2=100π

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

диаметр его основания равен 12 см ⇒ R=6 см

H^2=L^2-R^2=12^2-6^2=144-36=108

H=sqrt(108)=6sqrt(3)

V=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*6^2*6sqrt(3)=72sqrt(3)*π

Ответ выбран лучшим

r^2_(cечения)=R^2-d^2=12^2-8^2=144-64=80

s_(сечения)=π*r^2_(cечения)=π*80=[b]80π[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
|ab|=sqrt((5-3)^2+(8-4)^2)=sqrt(2^2+4^2)=sqrt(20)
|bc|=sqrt((9-5)^2+(6-8)^2)=sqrt(4^2+(-2)^2=sqrt(20)
|ac|=sqrt((9-3)^2+(6-4)^2)=sqrt(6^2+2^2)=sqrt(40)

Треугольник равнобедренный

b)
x_(к)=(x_(a)+x_(c))/2=(3+9)/2=6
y_(к)=(y_(a)+y_(c))/2=(4+6)/2=5

с)
Треугольник равнобедренный
вк- медиана и высота

|вк|=sqrt((6-5)^2+(5-8)^2)=sqrt(1+9)=sqrt(10)

S_( Δ авс)=(1/2) ac*вк=(1/2)*sqrt(40)*sqrt(10)=(1/2)sqrt(400)=(1/2)*20=[b]10[/b]

H=[blue]2R[/blue]

([blue]2R[/blue])^2+H^2=(6sqrt(2))^2

([blue]2R[/blue])^2+([blue]2R[/blue])^2=72

[blue]8R[/blue]^2=72
[blue]R[/blue]^2=9

S_(осн)=π[blue]R[/blue]^2=π*9=[b]9π[/b]

Ответ выбран лучшим

H=5 - катет против угла в 30 градусов
R^2=10^2-5^2=100-25=75
R=5sqrt(3)
Диаметр
D=2R=2*5sqrt(3)=10sqrt(3)

S=(1/2)D*H=(1/2)*10sqrt(3)*5=25sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{2^{x}\cdot 11^{x}-8\cdot 11^{x}}{(x\cdot 2^{x}-10\cdot 2^{x})-(8x-80)}-\frac{1}{x-10} ≤ 0[/m]

[m]\frac{11^{x}(2^{x}-8)}{2^{x}(x-10)-8(x-10)}-\frac{1}{x-10} ≤ 0[/m]

[m]\frac{11^{x}(2^{x}-8)}{(x-10)(2^{x}-8)}-\frac{2^{x}-8}{(x-10)(2^{x}-8)} ≤ 0[/m]

[m]\frac{11^{x}(2^{x}-8)-(2^{x}-8)}{(x-10)(2^{x}-8)} ≤ 0[/m]

[m]\frac{(2^{x}-8)(11^{x}-1)}{(x-10)(2^{x}-8)} ≤ 0[/m]

Применяем обобщенный метод интервалов.

Нули числителя:

[m]2^{x}-8=0[/m] или [m]11^{x}-1=0[/m]

x=3 или x=0

Нули знаменателя:
[m]2^{x}-8=0[/m] или [m]x-10=0[/m]

x=3 или х=10

_+___ [0] __-__ (3) ___-___ (10) ___+___

О т в е т. [0;3)U(3;10)

Ответ выбран лучшим

1.
25-4а=25-4*4=25-16=9

2.
1-4а=1-4*(-6)=1+24=25

3.
64-80с=64-80*(-1)=64+80=144

4.
b^2+1120=36+1120=1156

5.
b^2+55=(-3)^2+55=9+55=64 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sqrt(3x+4)=2+sqrt(x)

Возводим в квадрат

3х+4=4+4sqrt(x)+x

4sqrt(x)-2x=0
2sqrt(x)*(2-sqrt(x))=0

sqrt(x)=0 ⇒ x=0

2-sqrt(x)=0 ⇒ x=4

Проверка.
обязательна, так как возводили в квадрат и могли преобрести
посторонние корни.

О т в е т. 0; 4

Ответ выбран лучшим

1.
|vector{a}|=sqrt((-1)^2+(-5)^2+(-3)^2)=sqrt(35)

О т в е т. А

2.
7^(x) ≤ 7^(-3) ⇒ x ≤ -3

О т в е т. D

3.
3x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1/3

О т в е т. А

Ответ выбран лучшим

[m]d(arctg2x)=(arctg2x)`dx=\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot (2x)`dx=\frac{1}{1+4x^2}\cdot 2=[/m][m]=\frac{2}{1+4x^2}dx[/m] ⇒

[m]\frac{1}{4+x^2}dx=\frac{1}{2}d(arctg2x)[/m]

∫ ^(+ ∞ )_(0)[m](arctg2x)^{\frac{1}{2}})\cdot \frac{1}{2}d(arctg2x)=[/m]

[m]= \frac{1}{2}\cdot \frac{(arctg2x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=

[m]=\frac{1}{3}(arctg2x)^{\frac{3}{2}}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=

[m]=\frac{1}{3}(\frac{\pi}{2})^{\frac{3}{2}}-0=[/m]

[m]=\frac{\pi}{6}\cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}}[/m]

y`=3*3x^2+2*2x-2

y`=9x^2+4x-2

y`(1)=9*1^2+4*1-2=11

О т в е т. С

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

sqrt(x)=t
x=t^2
dx=2tdt

Пределы:
x=1 ⇒ t=1
x=4 ⇒ t=2

= ∫ ^(2)_(1)[m]\frac{2t}{1+t}dt[/m]= неправильная дробь выделяем целую часть

=2∫ ^(2)_(1)[m]\frac{t+1-1}{1+t}dt[/m]=

=2*∫ ^(2)_(1)([m]1-\frac{1}{1+t})dt[/m]=

=[b]([/b]2t-2ln(1+t)[b])[/b]|^(2)_(1)=

=2*(2-1)-2ln3+2ln2=2+2ln(2/3)

Ответ выбран лучшим

[m]d(arctg\frac{x}{2})=(arctg\frac{x}{2})`dx=\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}\cdot (\frac{x}{2})`dx=\frac{4}{4+x^2}\cdot \frac{1}{2}dx=\frac{2}{4+x^2}dx[/m] ⇒

[m]\frac{1}{4+x^2}dx=\frac{1}{2}d(arctg\frac{x}{2})[/m]

∫ ^(+ ∞ )_(0)[m](arctg\frac{x}{2})^{-\frac{1}{2}})\cdot \frac{1}{2}d(arctg\frac{x}{2})=[/m]

[m]= \frac{1}{2}\cdot \frac{(arctg\frac{x}{2})^{-\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=

=sqrt((π/2))-0=sqrt((π/2))

Ответ выбран лучшим

1.
а)Нет. Не выполняется неравенство треугольника.
2+4=6
б) нет
2,4+2=4,4 < 4,8

в) да

7< 3+5
5<7+3
3<7+5

2.
Cумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов.
∠ А=90 ° - ∠ В=90 ° -60 ° =30 °

Катет ВС против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

О т в е т. ВС=24

3.
Это биссектриса угла АВС

|vector{b}|=sqrt((-1)^2+2^2)=sqrt(5)

(vector{a}*vector{b})=|vector{a}|*|vector{b}|*cos ∠( vector{a},vector{b}) ⇒ (vector{a}*vector{b})=2

С другой стороны
(vector{a}*vector{b})=x_(a)*x_(b)+y_(a)*y_(b)

Два условия:
(vector{a}*vector{b})=2
vector{b}|=1

приводят к системе:
{x_(a)*x_(b)+y_(a)*y_(b)=2
{sqrt(x^2_(b)+y^2_(b))=1

{x_(b)+2y_(b)=2 ⇒ x_(b)=2-2y_(b)
{x^2_(b)+y^2_(b)=1

(2-2y_(b))^2+y^2_(b)=1 ⇒ кв. уравнение: 5y^2_(b)-8y_(b)+3=0;D=4

Ответ выбран лучшим

1.

[m]\frac{11}{14}-\frac{1}{6}=\frac{33}{42}-\frac{7}{42}=\frac{33-7}{42}=\frac{26}{42}=\frac{13}{21}[/m]

[m]\frac{7}{39}\cdot \frac{13}{21}=\frac{7\cdot 13}{39\cdot 21}=\frac{1}{9}[/m]

2.

[m]\frac{24}{49} : \frac{6}{7}=\frac{24}{49}\cdot \frac{7}{6}=\frac{24\cdot 7}{49\cdot 6}=\frac{4}{7}[/m]

[m]\frac{4}{7}+\frac{1}{14}=\frac{8}{14}+\frac{1}{14}=\frac{9}{14}[/m]

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ e^([b]u[/b])d[b]u[/b]=e^([b]u[/b])+C

u=[b]x^2[/b]
du=2xdx

xdx=(1/2)du

xdx=(1/2)d([b]x^2[/b])

О т в е т. ∫^(1)_(0) xe^(x^2)dx=(1/2) ∫^(1)_(0) e^([b]x^2[/b])d([b]x^2[/b])=(1/2)*e^([b]x^2[/b])|^(1)_(0)=(1/2)*[b](e-1)[/b]

Ответ выбран лучшим

1.

Пусть [b]х[/b] кур и[b] (19-х)[/b] поросят

У курицы [b] две[/b] ноги, значит всего у х кур
[b]2х[/b] ног

У поросенка 4 ноги, значит у всего у (19-х)поросят
[b]4*(19-х)[/b] ног

По условию у всех кур и у всех поросят 54 ноги.
уравнение:
[b]2x+4*(19-x)=54[/b]

2.

[b]Всего 10 животных .
[/b] Коров и гусей, или поросят и кур.
Важно, что у одних по две ноги. У ДРУГИХ - 4
Нельзя брать коров и поросят. Нельзя гусей и кур.
А именно двуногих и четвероногих

[b]Всего 38 ног[/b]

Во дворе бегают куры и поросята, причем число голов равно 10, а число ног – 38. Сколько тех и других?

3.

2x+4*(72-x)=200

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2–2=0
k1=-sqrt(2); k2=sqrt(2)– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(-sqrt(2)*x)+C_(2)e^(sqrt(2)*x)

y_(част)=Ax^2+B·x +C

y`=2Ax+B

y``=2A

2A-(Ax^2+Bx+C)=x^2

-A=1
-B=0
2A-C=0

A=-1
C=-2

y_(част)=-x^2-2

y=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)e^(-sqrt(2)*x)+C_(2)e^(sqrt(2)*x)-x^2-2

Ответ выбран лучшим

Среднее:

18,4*5+18,6*10+19,3*20+19,6*15=

Дисперсию:

(18,4-найденное среднее)^2*5+(18,6-найденное среднее)^2*10+(19,3-найденное среднее)^2*20+(19,6-найденное среднее)^2*15=...

среднеквадратичное отклонение = корень квадратный из дисперсии

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Cосчитайте сколько раз встречается:
3-
4-
5-

n= сколько всего здесь чисел
m_(1)/n - частота троек
m_(2)/n - частота четверок
m_(3)/m - частота пятерок

Это и будет ряд:

3 4 5 - первая строка таблицы
во второй дроби, которые найдете

Ответ выбран лучшим

V= ∫ ∫ _(D)(x^2+y^2)dxdy

D: x^2+y^2=4 - круг радиуса 2

Полярные координаты

V= ∫ ^(2π)_(0)d φ ∫ ^(2)_(0)r*(r^2)dr=

= ∫ ^(2π)_(0)d φ(r^4/4)|^(2)_(0)=

=4* ∫ ^(2π)_(0)d φ =4* φ |^(2π)_(0)=[b]8π[/b]

Ответ выбран лучшим

y=e^(x) ⇒ x=lny

= ∫ ^(2)_(1)dy( ∫ ^(lny)_(0)e^(x+y)dx)=

=∫ ^(2)_(1) e^(y)dy( ∫ ^(lny)_(0)e^(x)dx)=

=∫ ^(2)_(1) e^(y)dy (e^(x))|^(lny)_(0)=

e^(lny)=y - основное лог таждество

=∫ ^(2)_(1) e^(y)*(y-1)dy=

=по частям: u=y-1; dv=e^(y)dy

=((y-1)*e^(y))|^(2)_(1)-(e^(y))|^(2)_(1)= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

cos((π/4)- β )*cos((π/4)+ β )=(1/2)cos((π/4)- β +(π/4)+ β )*cos((π/4)- β -(π/4)- β )=(1/2)*cos(π/2)*cos(-2 β )=(1/2)*0*(-cos2 β )=0

2.

Сгруппировать:

(sin α +sin5 α )+sin3 α

Применить формулу

sin α +sin β =2sin( (α + β )/2) * cos (( α - β )/2)

(sin α +sin5 α )=2*sin3 α * cos(-2 α )=2*sin3 α *cos 2 α

Аналогично в знаменателе

(cos α +cos5 α )+cos3 α

Применить формулу

cos α +cos β =2cos( (α + β )/2) * cos (( α - β )/2)

cos α +cos5 α=2*cos3 α *cos(-2 α )=2*cos3 α *cos2 α

Вынести за скобки:

sin3 α *(2cos2 α +1)

cos3 α *(2cos2 α +1)

Выражения в скобках одинаковые на них сократить и получим tg3 α

Ответ выбран лучшим

10^(9)=(0,1*10^(-1)+2,1)=10^(9)*(0,01+2,1)=2,11*10^(9)

Осевое сечение проходит через диаметр основания.
И является прямоугольником с основанием 2R=12
высота H=5

d^2=5^2+12^2=169
d=13

sin α =5/13
cos α =12/13
tg α =5/12

α =arcsin(5/13) или α =arccos(12/13) или α =arctg(5/12)

S_(осевого сеч.)=S_(прямоугольника)=12*5=60 кв см

V=πR^2*H=π*6^2*5=180π куб. см

С=2πR=2*π*6=12π см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{LP}+vector{PC}+vector{CA}+vector{AL}=vector{0}

Выразим векторы
vector{PC}
vector{CA}
vector{AL}
через
vector{AB}=vector{a}
vector{AD}=vector{b}
vector{AA_(1)}=vector{c}

vector{PC}=(1/2)vector{C_(1)C}= - (1/2)vector{c}

vector{CA}=-vector{a}-vector{b}, так как
vector {AC}=vector{AB}+vector{BC}=vector{AB}+vector{AD}

vector{AL}=vector{AA_(1)}+vector{A_(1)B_(1)}=vector{c}+(1/2)vector{a}

vector{LP} - (1/2)vector{c}-vector{a}-vector{b}+vector{c}+(1/2)vector{a}=vector{0}

vector{LP} + (1/2)vector{c}-(1/2)vector{a}-vector{b}=vector{0}

vector{LP}=(1/2)vector{a}+vector{b}-(1/2)vector{c} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
=(12x-7+3x-2)/(15x)=(15x-9)/(15x)=(3*(5x-3))/(15x)=(5x-3)/(5x)

б)
=a*(x+y)*(x^2*y)/(xy^2)*3*(x+y)=

=(a*x)/(3y)

Ответ выбран лучшим

Сгруппировать:

(sin α +sin5 α )+sin3 α

Применить формулу

sin α +sin β =2sin( (α + β )/2) * cos (( α - β )/2)

Аналогично в знаменателе

(cos α +cos5 α )+cos3 α

Применить формулу

cos α +cos β =2cos( (α + β )/2) * cos (( α - β )/2)

Вынести за скобки:

(sin α +sin5 α )+sin3 α =sin3 α *(2cos2 α +1)

(cos α +cos5 α )+cos3 α =cos3 α *(2cos2 α +1)

Выражения в скобках одинаковые на них сократить и получите tg3 α

0,4х+110=0,8*(х+110)

0,4х+110=0,8х+88

0,4х=110-88

0,4х=22

Это и есть ответ 22 г соли

22=2,2*10 - стандартный вид ответа

Ответ выбран лучшим

Диаметр перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемую дугу пополам.
∠ ОКА= ∠ ОКВ=90 °

AK=KB=8 cм

Если дан угол
∠ АОВ- центральный угол, то 6-7 класс задачу не решит

Но если дан ∠ ОВА=45 ° или ∠ ОАВ=45 °

то Δ АОК и Δ ВОК - прямоугольные равнобедренные, тогда

ОК=АК=ВК=8

(прикреплено изображение)

1)
а) рис 1
7+5=12
б)
рис.2
7-5=2

2)
Радиус ОС перпендикулярный хорде делит хорду пополам
AD=AE=14

Δ ODE- равнобедренный ( OD=OE=R); OC=R

∠ ODC=45 °

3)
ОА ⊥ АС
ОВ ⊥ ВС

АВ=АС

Δ АОВ - равнобедренный
рис.4 (прикреплено изображение)

[m]\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{\frac{n}{2^{n-1}\cdot 3^{n}}} {\frac{(n+1)}{2^{n}\cdot 3^{n+1}}}=6\cdot \frac{n}{n+1}[/m]

[m]\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=6[/m]

R=6

(-6;6) - интервал сходимости

Исследуем сходимость числового ряда
при R=6

∑ (n/3) - расходится, общий член ряда не стремится к 0

при R=-6

∑ (-1)^(n-1)(n/3) - расходится

О т в е т. (-6;6)

ОА ⊥ АС
ОВ ⊥ ВС

АВ=АС

Δ АОВ - равнобедренный (прикреплено изображение)

(1+2sqrt(3))^2=1+2*2sqrt(3)+(2sqrt(3))^2=1+4sqrt(3)+12=13+4sqrt(3)=13+sqrt(48)

⇒ sqrt(13+sqrt(48))=sqrt((1+2sqrt(3))^2)=|1+2sqrt(3)|=1+2sqrt(3)

sqrt(5-sqrt(13+4sqrt(3)))=sqrt(5-1-2sqrt(3))=sqrt(4-2sqrt(3))

слева 4, справа (-2 sqrt(3))

sqrt(4-2sqrt(3)) ≈ sqrt(4-2*1,732)=sqrt(0,536)=0,732

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{z^2}{1-z}\cdot \frac{1-z^3}{(z^2-2z)(1+z+z^2)}=\frac{z^2}{1-z}\cdot \frac{(1-z)(1+z+z^2)}{z(z-2)(1+z+z^2)}=[/m]

Ответ выбран лучшим

p=0,05
q=1-p=0,95 вероятность того, что небракованная

X=0;1;2;3

Х=0 - нет бракованных
p_(o)=0,95*0,95*0,95=0,95^3

X=1- одна бракованная
p_(1)=0,05*0.95*0.95+0.95*0.05*0.95+0.95*0.95*0.05=3*0,05(0,95)^2=

Х=2 - две бракованные
p_(2)=3*0,05^2*0,95=

X=3 - три бракованных
р_(3)=0,05*0.05*0.05=0.05^3=

ряд распределения числа бракованных изделий - таблица

в первой строке Х=0,1,2,3
во второй их вероятности

в ) уравнение Бернулли
Решается тем же способом, что и линейное

y=u*v

г)
Это однородное первого порядка.

y`=(y/x)-e^(y/x)

правая часть есть функция, завиясящая от дроби (y/x)

Решается заменой
u=y/x

y=u*x

y`=u`*x+u*x`

x`=1, так как независимая переменная

y`=u`*x+u

А далее все сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

См. аналогичное решения...

Ответ выбран лучшим

Здесь не нужно никакое ОДЗ

По определению логарифма
выражение под логарифмом равно 1

2cos^2x+3cosx-1=1>0

Ответ выбран лучшим

С=[b]π*d[/b]

π ≈ 22/7

d=3 ⇒ C=(22/7)*3=66/7 ≈ 9,428571
d=12 ⇒ C=(22/7)*12=(22*12)/7 ≈ 37,71

d=28 ⇒ C=(22/7)*28=22*4=88

...

Ответ выбран лучшим

Решение треугольника состоит в том, чтобы по трем элементам найти остальные элементы.
В предложенной задаче в треугольнике АВС даны два угла и нет третьего элемента.

Про точку D вообще ничего не сказано.

[b]Чтобы получить здесь помощь надо правильно задавать вопрос[/b] (прикреплено изображение)

Одна особая точка x=sqrt(π/2)

так как
d(x^2)=2xdx

то

∫ ^(sqrt(π/2))_(0+ ε )xdx/cos^2(x^2)=

=(1/2)lim_( ε → 0) ∫ ^(sqrt(π/2)- ε )_(0)d([b]x^2[/b])/cos^2([b]x^2[/b])=

=lim_( ε → 0)tg(x^2)|^(sqrt(π/2)- ε )_(0 )=lim_( ε → 0)tg(sqrt(π/2)- ε) ^2 -tg0=+ ∞

Ответ выбран лучшим

Бесчисленное множество
Это точки находятся на линии пересечения этих плоскостей.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) Линейное уравнение первого порядка:

Делим обе части уравнения на (1+x^2)
Получаем
y`-(2x)/(1+x^2) * y=(1+x^2)

Можно решить двумя способами
1)Метод вариации произвольной постоянной

Решают однородное, потом константу С заменяют на C(x)

или

2)метод Бернулли

Решение неоднородного уравнения находят в виде y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение

u`*v+u*v`- (u*v)*2x/(1+x^2)=(1+x^2)

u`*v+u* [b](v`- 2x*v/(1+x^2)[/b]=1+x^2

Функцию v выбираем так, чтобы
[b](v`-2x*v/(1+x^2))[/b]=0

Тогда
u`*v=1+x^2

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v`-2x*v/(1+x^2))=0 ⇒ dv/v=2xdx/(1+x^2) ⇒ ∫ dv/v= ∫ d(1+x^2)/(1+x^2)

ln|v|=ln|1+x^2|

v=1+x^2

u`*v=(1+x^2)

v`=1

v=x+C

y=u*v=(x+C)*(1+x^2)

[b]y=x+x^3+C(1+x^2)[/b]

б) С разделяющимися переменными
x*lnxdy=ydx

dy/y=dx/(x*lnx)

∫ dy/y= ∫ dx/(x*lnx)

ln|y|=ln|lnx|+lnc

y=C*lnx- общее решение

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+5=0

D=4-20=-16

k_(1)=(2-4*i)/2=1-2*i; k_(2)=1+2*i–
корни комплексно-сопряженные

α =1 β=2

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
[b]y_(одн.)=e^(x)*(С_(1)*cos2x+C_(2)sin2x[/b]

f(x)=e^(-х)*(Asin2x+Bcos2x)

α =-1 β =2

-1 ± 2i не корни характеристического уравнения

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(-х)*(Asin4x+Bcos4x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=

y``_(част)=

подставляем в данное уравнение:

находим А и В

y=y_(одн)+у_(част)- о т в е т

см здесь аналогичное решение.
для нахождения А и В
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=34898

Ответ выбран лучшим

V=a*b*c=3*4*5=60 кв см.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Понижение степени:

Пусть:
z(y(x)))=y`(x)
тогда

y``(x)= z`*y`(x)=z`*z

z`*z=z*e^(y)

dz/dy=e^(y)

dz=e^(y)dy

z=e^(y)+C

y`(x)=e^(y)+C

dy/dx=(e^(y)+C)

dy/(e^(y)+C)=dx

Ответ выбран лучшим

F`(x)=5-x^4

По определению
( cм приложение)

F`(x)=(5-x^4)`=0-4*x^(3)=f(x)

F`(x)=f(x)- верно для любого х

О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

sin2x=2*sinx*cosx
sin((π/2)-x)=cosx

2cos^3x=cosx+0,5*2sinx*cosx

2cos^3x-cosx-sinx*cosx=0

cosx*(2cos^2-1-sinx)=0

cosx=0 или 2cos^2x-1-sinx=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πn, n ∈ Z

2cos^2x-1-sinx=0

cos^2x=(1-sin^2x)

2*(1-sin^2x)-1-sinx=0

2sin^2x+sinx-1=0

D=1-4*2*(-1)=9

[blue]sinx=-1 [/blue] или sinx=1/2

x=(-π/2)+2πm, m ∈ Z входят в найденные ранее корни (π/2)+πn, n ∈ Z

sinx=1/2

x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

О т в е т. [b](π/2)+πn, (-1)^(k)*(π/6)+πk, n, k,∈ Z
[/b]

первый граф:
v_(1)v_(2)v_(3)
v_(1)v_(3)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(7)
v_(1)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(4)v_(7)

второй граф;
v_(1)v_(2)v_(7)
v_(1)v_(2)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(7)

[b]Объединение[/b]
от первого все
v_(1)v_(2)v_(3)
v_(1)v_(3)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(7)
v_(1)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(4)v_(7)
от второго то, чего не было
v_(1)v_(2)v_(7)
v_(1)v_(2)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(4)v_(5)

К первому дорисовываем недостающие линии второго:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x-x_(o))^2+(y-y_(o))^2=R^2

Подставляем координаты каждой точки в уравнение и получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

{(2-x_(o))^2+(2-y_(o))^2=R^2
{(5-x_(o))^2+(1-y_(o))^2=R^2
{(-2-x_(o))^2+(-6-y_(o))^2=R^2

(2-x_(o))^2+(2-y_(o))^2=(5-x_(o))^2+(1-y_(o))^2 ⇒
(2-x_(o))^2+(2-y_(o))^2=(-2-x_(o))^2+(-6-y_(o))^2 ⇒

из этих двух уравнений находим х_(о) и у_(о)

Подставляем в любое из трех и находим R

Ответ выбран лучшим

x^2+2x+y^2+z^2+4z-91=0

(x^2+2x)+y^2+(z^2+4z)=91

(x^2+2x+1)+y^2+(z^2+4z+4)-1-4=91

(x+1)^2+y^2+(z+2)^2=98

(-1;0;-2) - центр сферы

R^2=98

R=7sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

1.
Составить неравенство:
x^2-4x-12 <0

Решить его.

Корни квадратного трехчлена x^2-4x-12=0
D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64
x_(1)=(4-8)/2=-2; x_(2)=(4+8)/2=6

___ (-2) __[green]-[/green]__ (6) ___

y=x^2-4x-12 график парабола, пересекает ось ох в точках -2 и 6
ветви вверх, отрицательна на (-2;6)

О т в е т. (-2;6)

2.
Решаем методом интервалов. ( см. аналогичное решение с подробным объяснением https://reshimvse.com/zadacha.php?id=27248)

____ [-2] __[red]+[/red]__ (-1,5) ____________ [2] __[red]+[/red]___

О т в е т. [-2;-1,5)U[2;+ ∞ )

3.
{(x-2)(x+2) ≥ 0 ⇒ __[red]+[/red]__ [-2] ____ [2] __[red]+[/red]__
{x>12

О т в е т. (12;+ ∞ )

F(x)=x^(-2)/(-2)-10*(x^(5)/5)+3x+C

F(x)=(-2/x^2)-2*x^5+C

Подставляем координаты точки М (1;5)

x=1
F(x)=5

5=-2-2+C

С=9

[b]F(x)=(-2/x^2)-2*x^5+9[/b]

Уравнение с разделяющимися переменными:
(sina/cosa)da=(sinb/cosb)db

∫ (sina/cosa)da= ∫ (sinb/cosb)db

-ln|cosa|=-ln|cosb}+lnC

[b]C*cosa=cosb[/b] - о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными:

3*e^(x)dx/(e^(x)-1)=secydy/siny

secy=1/cosy

∫ 3*e^(x)dx/(e^(x)-1)= ∫dy/(siny*cosy)

3* ∫ e^(x)dx/(e^(x)-1)=∫ 2dy/sin2y

3*ln|e^(x)-1|=ln|tgy|+lnC

[b]С*tgy=(e^(x)-1)^3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение события-гипотезы:
H_(1) - "из первой во вторую переложили 2 белых"
H_(2)- "из первой во вторую переложили 2 черных"
H_(3)-"из первой во вторую переложили один белый, другой черный"

p(H_(1))=(4/10)*(3/9)=4/30
p(H_(2))=(6/10)*(5/9)=10/30
p(H_(3))=16/30

Cобытие A- " из второй урны достали белый шар"

p(A/H_(1))=3/8 ( в урне (1+2)=3 белых и 5 черных)

p(A/H_(2))=1/8 ( в урне 1 белый и (5+2)=7 черных)

p(A/H_(3))=2/8 ( в урне (1+1)=2 белых и (5+1)=6 черных)

По формуле полной вероятности

p(A)=

Тогда по формуле Байеса

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=

Ответ выбран лучшим

По определению:
∫ ^(+ ∞ )_(1/3)f(x)dx=lim_(A → + ∞ ) ∫ ^(A)_(1/3) f(x)dx

По формуле Ньютона-Лейбница
∫ ^(A)_(1/3) f(x)dx=F(x)|^(A)-F(1)

∫ ^(+ ∞ )_(1/3)πdx/((1+9x^2)arctg^23x)=

=π*(1/3)* ∫ ^(+ ∞ )_(1/3)arctg^(-2)3x*(3dx/((1+9x^2))arctg^23x))=

=(π/3)* ∫ ^(+ ∞ )_(1/3)arctg^(-2)3xd(arctg3x)=

=(π/3)*(-1/arctg3x)|^(+ ∞ )_(1/3)=

=(-π/3)*lim_(A → + ∞ )(1/arctg3A)+(π/3)*(1/arctg1)=

=(-π/3)*(2/π)+(π/3)*(4/π)=-(2/3)+(4/3)=(2/3)

относительно
пл Оху: (2;3;-4)
пл Оyz: (-2;3;4)
пл Oxz: (2;-3;4)

Ответ выбран лучшим

3=x+2,
2=y+0,
0=z+3

х=1
у=2
z=-3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

[b]3+3^2+3^3+3^4=..[/b].

3*3*3*3=3^4- четырехбуквенных
3*3*3=3^3- трехбуквенных
...

f`(x)=15x^4-20x^2+3

f `` (x)=60x^3-40x

f ``(x)=0

60x^3-40x=0

20x*(3x^2-1)=0

x=0; x= ± 1/sqrt(3) - точки перегиба,
вторая производная меняет знаки:

__-_ (-1/sqrt(3)) __+__ (0) __-___ (1/sqrt(3)) __+__

там где y`` > 0 выпуклость вниз, как у параболы y=x^2( y``=2 >0)
там где y`` < 0 - вверх

Ответ выбран лучшим

Разбираемся с условием:
f(x+4)=f(x) - говорит, что функция периодическая. Т=4

7.
Отрезок интегрирования (-1;1)
На этом отрезке значение функции функции равно 0.

Считаем коэффициенты Фурье. Получаем ряд
Три интеграла посчитать, от f(x)=1 на (-1;1)

Какие проблемы???

Равноудаленную. Значит речь идет о расстояниях.
Находим эти расстояния по формуле ( см. приложение):

AD=sqrt((x-0)^2+(y-2)^2+(0-(-2))^2)
BD=sqrt((x-(-2))^2+(y-0)^2+(0-2)^2)
CD=sqrt((x-0)^2+(y-(-2))^2+(0-0)^2)

РАВНОудаленную, значит расстояния равны:
AD=BD
AD=CD
BD=CD

Составляем эти равенства, получаем систему.
Достаточно только двух уравнений.
Возводим каждое в квадрат, чтобы избавиться от корней.
Решаем и получаем ответ.
(прикреплено изображение)

Формула
cosx+cosy=

ОДЗ:

[m]\left\{\begin{matrix} 2^{(x-1)^2-1}>0\\2^{(x-1)^2-1}\neq 1 \\2x^2-2x+3>0\\2x^2-2x+3\neq 1 \\ x^2-4x+3>0 \\ log_{2^{(x-1)^2-1}}(x^2+4x+5)\neq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x \in (-\infty;+\infty)\\(x-1)^2-1\neq 0; \Rightarrow x\neq0; x \neq 2 \\x \in (-\infty;+\infty), D < 0\\x\in (-\infty;+\infty) , D < 0\\ x\in(-\infty;1)\cup (3;+\infty) \\ x^2+4x+5\neq 1;\Rightarrow x\neq-2 \end{matrix}\right.[/m]

x ∈ (- ∞ ;-2)U(-2;0) U(0;1)U(3;+ ∞ )

Применяем [i]обобщенный[/i] метод интервалов.

Находим нули числителя

[m] log_{2^{(x-1)^2-1}}(log_{2x^2-2x+3}(x^2-4x+3))= 0[/m]

[m]log_{2x^2-2x+3}(x^2-4x+3))= 1[/m]

[m]x^2-4x+3=2x^2-2x+3[/m]

[m]x^2+2x=0[/m]

[m]x=0; x=-2[/m]

Находим нули знаменателя:( см последнюю строчку ОДЗ)

[m]log_{2^{(x-1)^2-1}}(x^2+4x+5)=0 [/m] ⇒ x=-2

__-___ (-2) ___-__ (0) __+__

x>0

C учетом ОДЗ получаем ответ

(0;1)U(3;+ ∞ )

p=m/n
n- площадь большого круга радиуса 2
m- площадь серой части

n=π*2^2=4π
m=π*2^2-π*1^2=3π

О т в е т. p=3/4=0,75 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
a=2R- ребро куба равно диаметру сферы.

a=15

V_(куба)=a^3=15^3=15*15*15=...

2.
a)

Площадь основания нижнего ( можно считать разными способами)
см. рис. 1
5*6-3*3=21
Площадь верхних граней ( их две)
3*3+2*6=21

Площадь передней грани:
5*6-3*2=24
Площадь задних граней(их две):
4*3+2*6=24

Площадь грани справа:
6*6=36
Площадь граней слева(их две)
6*6=36

О т в е т. S=2* (21+24+36)=...

2.
б)

cм. рис. 2

4*5+4*5=40 - площади оснований
2*(5*4-2*1)=2*18=36 - площадь боковых граней
2*(5*5)=50 - площадь передней и задней граней

О т в е т. S=40+36+50=...

(прикреплено изображение)

sin^2 β +cos^2 β =1 ⇒ cos^2 β =1-sin^2 β =1-0,8^2=1-0,64=0,36

cos β = ± 0,6

Так как

π/2 < β <π ⇒ угол во второй четверти, косинус во второй четверти имеет знак -, тогда

cos β =-0,6

sin((π/4)+ β )=sin(π/4)*cos β +cos(π/4)*sin β =

=... подставляем и считаем...

Ответ выбран лучшим

A(0;0;0)
B(a;0;0)
C(a*sqrt(3)/2; a/2;0)

A_(1)(0;0;b)
B_(1)(a;0;b)
C_(1)(a*sqrt(3)/2; a/2;b)

K(a*sqrt(3)/2; a/2;b)

1)
Составляем уравнение прямых АК и BC, как прямых проходящих через две точки:

( cм. приложение 1)

Тогда направляющий вектор прямой АК

vector{s_(AK)}=(asqrt(3)/2; a/2; b/2)

направляющий вектор прямой BC

vector{s_(BC)}=((asqrt(3)/2)- a; a/2;0)

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Угол между векторами, заданными своими координатами находим из свойств скалярного произведения

cos( ∠ (vector{m}, vector{n})=(vector{m}*vector{n})/(|vector{m}|*|vector{n}|)

cos( ∠ (vector{s_(AK)}, vector{s_(BC)})=(vector{s_(AK)}*vector{s_(BC)})/(|vector{s_(AK)}|*|vector{s_(BC)}|)=

=... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Один угол х ° , второй (х ° +30 ° ). Сумма углов, прилежащих к одной стороне 180 °
Уравнение
х+х+30=180
х=

2.
Одна сторона х, вторая 4х
Р=х+4х+х+4х=10х

10х=90

х=
4х=

3.

13;
13+6=19

4.
a^2=9^2+13^2=81+169=250
a=5sqrt(2)
P=4a=20sqrt(2)

5.
h=(a-b)/2=(26-18)/2=4

(прикреплено изображение)

С_(окружности)=2π*R

С_(дуги)=(2π*R/2π)* α

α в радианах

С_(окружности)=42

С_(дуги)=(42/2π)*(5π/12)=(35π/4) км

Ответ выбран лучшим

1.
В

2.
Б

3.

Δ C`L`N`- равнобедренный, С`L`=C`N`

⇒ Δ CLN - равнобедренный
СL=CN

∠ L= ∠ L`=35 °
∠ C= ∠ N=(180 ° -35 ° )/2=72,5 °

4.
x=-3
y=-2

5.
vector{AB}=(1-(-1);-3-1)=(2;-4)

vector{PT}=(4-2;-1-3)=(-2;-4)

vector{AB}=vector{PT}

6.
см. рис.1

7.

С осью Ох:
y=0 ⇒ 2x-12=0; x=6

C осью Оу:
х=0 ⇒ -3у-12=0; у=-4

см. рис.2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(1)=πR^2*150 ° /360 ° =π*8^2*5/12=80π/3

S_(2)=πR^2*150 ° /360 ° - S _( ΔABP)=(80π/3)-(1/2)*8*8*sin150 ° =

=(80π/3)-16

S_(3)=πR^2*80 ° /360 ° =π*8^2*8/36=128π/9

S=S_(1)+S_(2)+S_(2)=(608π/9)-16 - о т в е т (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=360°/20°=18

α _(18-ти угольника)=(18-2)*180 ° /18=160 °

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть
arccos[m]\frac{3}{5}[/m]= α ⇒ cos α =[m]\frac{3}{5}[/m]=0,6 и α ∈ [0;[m]\frac{\pi}{2}[/m]] угол в первой четверти

sin α =+ sqrt(1-cos^2 α )=sqrt(1-0,6^2)=0,8

arcctg (-[m]\frac{1}{2}[/m])= β ⇒ ctg β =-[m]\frac{1}{2}[/m]; β ∈ [[m]\frac{\pi}{2}[/m];π]

По условию задачи требуется вычислить

[m]ctg(\frac{1}{2}\alpha-2\cdot \beta)[/m]

cм (формулу в приложении)

Вычисляем:
[m]ctg(\frac{1}{2}\alpha)=ctg \frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos \alpha}{sin\alpha} =\frac{1+0,6}{0,8} =2[/m]
Вычисляем:
[m]ctg2\beta= \frac{ctg^2\beta -1}{2ctg\beta} =\frac{(-\frac{1}{2})^2-1}{2\cdot (-\frac{1}{2})}=\frac{3}{4}[/m]

Итак,
[m]ctg(\frac{\alpha}{2}-2\cdot \beta)=\frac{2\cdot \frac{3}{4}+1}{\frac{3}{4}-2}=-2[/m]

О т в е т. -2 (прикреплено изображение)

Повышалась с 12 до 21
Понижалась с 0 до 12 и 21 до 24

Ответ выбран лучшим

x=(π/2)+πk, k ∈ Z
y=πm, m ∈ K

В этих точках tgx и ctgy не существуют

О т в е т. ((π/2)+πk, πm), k, m ∈ Z

Логарифмируем:

ln(y^(x))=ln(x^(y))

xlny=y*lnx

Дифференцируем

x`*lny+x*(lny)`=y`*lnx+y*(lnx)`

lny+x*(1/y)*y`=y`*lnx+y*(1/x) переносим слагаемые с y`

в одну сторону, без y` в другую

Находим y`

Дифференцируем еще раз равенство:
(lny+x*(1/y)*y`)`=(y`*lnx+y*(1/x))`

(lny)`+x*(1/y)`*y`+x*(1/y)*(y`)`=(y`)`*lnx+y`*(lnx)`+y`*(1/x)+y*(1/x)`

(y`)`=y``

Находим так же, y` заменим выражением, найденным ранее

В Δ АВС:

∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 °

∠ A= ∠ C

cos ∠ A=cos ∠C=sqrt(2/3)

cos^2 ∠ A=cos^2 ∠ C=2/3

sin^2 ∠ A=sin^2 ∠ C=1/3

cos ∠ B=cos(180 ° - ∠ A- ∠ B)=cos(180 ° -2 ∠ A)=

формула: 2 sin^2 α =1-cos2 α

=(1/2)*sin^2 ∠ A=1/6

Пусть АВ=BC=4x
Тогда CD=x
BD=3x

По теореме косинусов:

AD^2=AB^2+BD^2-2*AD*BD*cos ∠ B

(3/4)^2=(4x)^2+(3x)^2-2*4x*3x*(1/6)

(9/16)=21x^2

x^2=1/48

AB=4/sqrt(48)=1/sqrt(3)

cos ∠ B=1/6

sin ∠ B=sqrt(35)/6

S_( Δ ABC)=(1/2)*AB*BC*sin ∠ B)=(1/2)*(1/sqrt(3))*(1/sqrt(3))*(sqrt(35)/6)=...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
p=36/40=4/10=0,4
2.
p=3/12=1/4=0,25
3.
p=0,1+0,55=0,65
4.
p=(1200-72)/1200=
5.
p=1-0,13=0,87
6.
p=27/900
7.
p=9/36=1/4 (прикреплено изображение)

1.
S=(1/2) ∫ ^(2π)_(0)[b]([/b]2*(2+cos φ )[b])[/b]^2d φ =

=2* ∫ ^(2π)_(0)(4+4cos φ +cos^2 φ )d φ =

cos^2 φ =(1+cos2 φ )/2

=(8 φ +8*(sin φ )+(1/2)sin2 φ) |^(2π)-(0)=16π

2.
V=π ∫ ^(1/4)_(0)((1/4)x-x^2)dx=

=π*[b]([/b](x^2/2)-(x^3/3)[b])[/b]|^(1/4)_(0)=π*((1/32)-(/192))=... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению:

log_(a)b=c ⇒ b=a^(c)

x^2-5x+33=3^3

x^2-5x+33=27

x^2-5x+6=0

D=

x_(1); x_(2)

Призму они образуют,если попарно пересекаются и линии пересечения параллельны.

Имеем три системы:
{ x+2y–z–4=0
{3x–2y+3z–6=0

{x+2y–z–4=0
{4x–3z+3=0

{3x–2y+3z–6=0
{4x–3z+3=0

Это означает, что три раза нужно решить стандартную задачу.
Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей, написать каноническое уравнение прямой.

Как решить такую задачу см, например, здесь
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37792

В каждой прямой будут направляющие векторы.
Если они пропорциональны, то ребра призмы параллельны.

Ответ на первую часть есть.

Ответ на вторую часть вопроса.

Если плоскость параллельна прямой, то направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости.
Значит их скалярное произведение равно 0

Кроме того плоскость проходит через три точки.

Эти точки надо выбрать на первых двух прямых.

sqrt(4x^2+4)=sqrt(4*(x^2+1))=2*sqrt(x^2+1)

по формуле 17 (см. приложение)
a=1

=[red]2[/red]*((x/2)*sqrt(x^2+1)+(1/2)ln|x+sqrt(x^2+1)|)|^(π)_(0)=

=[red]2[/red]*[b]([/b](π/2)*sqrt(π^2+1)+(1/2)ln|π+sqrt(π^2+1)|[b])[/b]=

=... считайте.

(прикреплено изображение)

3.
30-20 = 10 км проезжает за 12 минут,
значит 50 км проедет за 60 минут

О т в е т. 50 км в час

4.
2х+3=(1/3)-3х
5х=-8/3
х=-8/15

О т в е т. d=|-8/15|=8/15

5. Сумма углов треугольника 180 °
∠ А = 180 ° -100 ° -40 ° = 40 °

Пусть высота АН, биссектриса АЕ.
Биссектриса делит угол пополам
∠ ВАЕ=20 °

Δ АВН - прямоугольный, ∠ B=100 ° ⇒ ∠ ABH=80 ° ( смежный с В)

∠ НАЕ=20° + 20 °= 40 °

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(3)_(-4)(2-y-(-y))dy=∫ ^(3)_(-4)(2)dy=2y|^(3)_(-4)=2*(3+4)=14 (прикреплено изображение)

По формулам приведения:

sin( 2α+4π)=sin2 α

cos(3 α +4,5π)= - sin3 α

sin(4 α -7π)=-sin4 α

Числитель:

sin2 α -sin3 α +sin4 α =(sin2 α +sin4 α )-sin3 α

Применить формулу

sin α +sin β =

Знаменатель аналогично.

Потом сократить

останется sin3 α /cos3 α это и есть tg3 α

Ответ выбран лучшим

3.
30-20 = 10 км проезжает за 12 минут,
значит 100 км проедет за 120 минут

О т в е т. 120 минут =2 часа

4.
2х-3=(1/3)-3х
5х=10/3
х=2/3

y=-1

О т в е т. d=|-1|=1

5. Сумма углов треугольника 180 °
∠ А = 180 ° -50 ° -60 ° = 70 °

Пусть высота АН, биссектриса АЕ.
Биссектриса делит угол пополам
∠ ВАЕ=35 °

Δ АВН - прямоугольный, ∠ B=50 ° ⇒ ∠ BAH=40 °

∠ НАЕ=35 ° - 30 °= 5 °

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами

p- вероятность попадания
q- вероятность промаха.
p+q=1

В условии задачи не дано ни р, ни q.

Пусть cобытие A-" хотя бы одно попадание в результате двух выстрелов"

p(A)=p*q+q*p+p*p

Cобытие vector{A}-" ни одного попадания в результате двух выстрелов"

p(vector{A})=q*q

Так как

p(A)+p(vector{A})=1

По условию p(A)=0,96
значит,
p(vector{A})=1-p(A)=1-0,96=0,04

q*q=0,04
q=0,2
p=0,8

Теперь уже все просто:

Событие B - " три попадания при четырех выстрелах"

p(B)=ppp*q+p*q*p*p+pp*q*p+ppp*q= подставляем p и q и считаем

Ответ выбран лучшим

[m]z=(x^2+y^2)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}[/m]

Производная произведения:

(u*v)`=u`*v+u*v`

[m]z`_{x}=(x^2+y^2)`_{x}\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+(x^2+y^2)\cdot (\frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}})`_{x}[/m]=

[m]z`_{x}=(2x)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+[/m]
[m]+(x^2+y^2)\cdot (\frac{(1-\sqrt{x^2+y^2})`_{x}\cdot (1+\sqrt{x^2+y^2})-(1-\sqrt{x^2+y^2})\cdot (1+\sqrt{x^2+y^2})`_{x}}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^2}=[/m]

[m]z`_{x}=(2x)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+[/m]
[m]+(x^2+y^2)\cdot (\frac {(0-\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)`_{x}(1+\sqrt{x^2+y^2})-(1-\sqrt{x^2+y^2})\cdot (0+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(x^2+y^2)`_{x}}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^2}=[/m]

[m]z`_{x}=(2x)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+[/m]
[m]+(x^2+y^2)\cdot (\frac {(-\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x)(1+\sqrt{x^2+y^2})-(1-\sqrt{x^2+y^2})\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(2x)}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^2}=[/m]

В принципе это ответ, но можно и упростить.

z`_(y) аналогично

dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy

Дифференцируем равенство:
(x*e^(2y)-y*lnx)`=(8)`
x`*e^(2y)+x*(e^(2y))`-y`*lnx-y*(lnx)`=0

x - независимая переменная, y - зависимая, сложная функция.

x`=1
(lnx)`=1/x

(e^(2y))`=e^(2y)*(2y)`=e^(2y)*2y`

e^(2y)+x*(e^(2y)*2y`-y`*lnx-y*(1/x)=0 ⇒

y`=

Биквадратное уравнение:
x^2=t

t^2-2x-24=0
D=4+96=100
t=-4 или t=6

x^2=-4 нет корней
x^2=6 ⇒ [b]x= ± sqrt(6)[/b]

Кредит на [b]31 месяц[/b]

1)[i] условие [/i]
–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца

См первый столбик ( начисление процентов на долг)

2) [i]условие [/i]
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо [b]выплатить одним платежом часть долга;[/b]

[red]и так, чтобы
выполнялось условие [/red]
3)[i] условие [/i]
15–го числа каждого месяца с 1–го по 30–й месяц ( 30 раз) долг должен быть [b]на одну и ту же сумму меньше долга [/b]на 15–е число [b]предыдущего месяца;[/b]

Это показано в правом столбце таблицы

4)[i] условие [/i]

к 15–му числу 31–го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Поэтому остаток 30-го месяца неизвестен. Пусть он равен B

С него и начинаем решать задачу, так называемым [i]"методом решения задачи с конца" [/i]

Пусть долг ежемесячно уменьшается на одну и ту же величину[b] х тыс руб[/b]

Тогда в конце 29-го месяца долг составит [b](B+х) тыс руб.[/b]
В конце 28-го месяца долг составит[b] (B+2х) тыс. руб.[/b]
.....
В конце первого месяца от будет [b](B+29x) тыс руб
И поскольку согласно условия 3) долг за 1-ый месяц уменьшился на х тыс. руб, то значит

[/b] сумма кредита составляет [b](B+30х)тыс руб[/b]

В первом столбце показано как начисляют проценты.

[b]Проценты начисляют на остаток долга[/b]

Поэтому за [b] 1-ый месяц проценты[/b] начислены на весь кредит.
1%=0,02

0,02*(B+30х) - % , начисленные за первый месяц

[b]Клиент выплачивает[/b] со второго по 14 число первого месяца ( одним платежом)
проценты и часть кредита х тыс руб:
0,02*(B+30х) + [b]x [/b]
Остаток долга на х меньше и равен (B+30x)-x=B+29x

Остаток долга уменьшится на х тыс. руб.

[b]Цикл повторяется 30 раз[/b]

Таким образом, останов к концу 30 месяца равен В тыс. руб

1 числа 31-го месяца начисляют проценты на этот остаток. Клиент выплачивает проценты на остаток 30-го месяца и сам остаток:
0,02*B + B

до 15 числа 31 месяца долг составит 0

Уравнение:

[b]0,02*((B+30х)+(B+29х)+(B+28х)+,,,(B+2х)+(B+х))+30*х+ 0,02*B+B=1503[/b]

Второе условие: сумма кредита равна 1100 тыс руб

[b] B+30*x=1100[/b]

Система двух уравнений:
{B+30*x=1100
{0,02*(30B+(30x+....+x))+[b]30*x+B[/b]+0,02*B=403 ⇒ 0,02*31*B+0,02(31x*30/2))=403

{B=1100-30x
{0,02*31*(1100-30x)+0,02*31x*15=403 ⇒ 682-9,3x=403;
[b]x=30[/b]
B=1100-30*30=200

О т в е т. 200 тыс. руб - долг к концу 30 месяца

(прикреплено изображение)

Применяем так называемый [b]"метод решения задач с конца".[/b]

Описываю ОБЩУЮ СХЕМУ:

Поскольку последний долг равен 0, то долг[blue] (n-1) -го[/blue] года равен [b]х[/b] млн. руб,
тогда долг предыдущего [blue](n-2)-[/blue]го года на такую же сумму больше и равен[b] 2х[/b] млн. руб
...
и так далее
долг [blue]1-го[/blue] месяца равен [b] (n-1)*x[/b] млн. руб.
А сам кредит [b]n*x [/b] млн. руб.

Таким образом [b]погашение основного кредита [/b] происходит равными суммами.

Каждый год погашаем сумму, равную[b] х[/b] млн. руб,
каждый год сумма долга уменьшается на[b] х[/b] млн. руб.

[red]Но кредит берется под проценты.[/red]
Какова схема начисления и выплачивания процентов.

Первый месяц начисляют проценты на[b] весь кредит.[/b]
[green]0,2*(nx)[/green] млн. руб.
Выплачивают эти проценты и часть кредита равную х
Остаток на х меньше, те. (n-1)*x

Второй месяц начисляют % на остаток
[green]0,2*(n-1)*x[/green] млн. руб

Выплачивают эти проценты и часть кредита равную х
Остаток на х меньше, т. е (n-2)*x

Таким образом погашение основного кредита происходит равными долями.
Каждый раз сумма долга становится на одно и то же число меньше.

Выплата каждого года( в феврале - июне) состоит из выплаты начисленных процентов в январе и части кредита, равной [b]х[/b] млн. руб.

[b]Наименьшая выплата в последней строке:[/b]

[b]0,2[/b]*х+х=0,24
1,2х=0,24
[b]x=0,2[/b]

Кредит
nx=[red]3[/red]
[b]x=0,2[/b]

n=3:0,2

[b]n=15 [/b] срок кредита.

Кредит взят на 15 лет.

Выплата процентов ( первый столбик)

S=[green]0,2[/green]*(15x+14x+13x+12x+...+x)

В скобках сумма арифметической прогрессии( считаем методом Гаусса как в 5-м классе):

S=[green]0,2[/green]*((16x)*15)/2)=[green]0,2[/green]*8x*15=[green]0,2[/green]*8*[b]0,2[/b]*15=4,8 млн руб. - выплаты %

Общая сумма выплат:

4,8 + [red]3[/red]=7,8 млн. руб.

О т в е т. 7,8 млн. руб (прикреплено изображение)

1)
Из первого уравнения выражаем y = 2x-1
и подставляем во второе:
7x-6*(2x-1)=4
Решим это уравнение, найдем х, потом у

2)
Умножим первое уравнение на 3
{12x+6y=15
{4x-6y=-7

Cкладываем:
получим уравнение с х

3)
Упрощаем, раскрывая скобки
{2*5а-2*4-3*3+3*4b=5
{6*7b-6-2-3a=31

{10a+12b=22
{-3a+42b=37

{5a+6b=11
{-3a+42b=37

Умножаем первое на 3, второе на 5 и складываем

4)
v_(по течению)=v_(лодки)+v_(реки)
v_(против течению)=v_(лодки)-v_(реки)

Пусть v_(лодки)=х
v_(реки)=y

Первое предложение:
"За 3 часа по течению и 4 часа против течения лодка прошла 114 км"
Первое уравнение:
3*(x+y)+4*(x-y)=114

Второе предложение:
"За 5 часов по течению проходит такой же путь как за 6 часов против течения"
Второе уравнение:
5*(x+y)=6*(x-y)

Cистема уравнений:
{3*(x+y)+4*(x-y)=114
{5*(x+y)=6*(x-y)

Ответ выбран лучшим

Cобытие А -"хотя бы на одной базе не окажется нужного материала"

Противоположное событие:
vector{А} -"на всех базах есть нужный материал"

p(vector{А})=p_(1)*p_(2)*p_(3)*p_(4)=0,7*0,9*0,75*0,8=

По свойству вероятности:

p(A)+p(vector{А})=1

p(A)=1-p(vector{А})

4.
Вторая х
Первая 0,6х
Третья (0,6х+3)

Периметр- сумма всех сторон

7.
См. рис.

Δ ABD= Δ BDM
⇒ AB=BC=6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

SM=MC
MK||AD, AD||BC ⇒

MK||BC

MK- средняя линия Δ SBC

MK=(1/2)BC=AD

MKAD- параллелограмм, противоположные стороны которого
AD и MK параллельны и равны.

Чтобы показать, что MKAD- прямоугольник, надо доказать что хотя бы один угол прямой.

Это угол КАD
SA ⊥ AD, AB ⊥ AD ⇒ AD ⊥ пл SAD, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Значит AD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе прямой AK

AD ⊥ AK ⇒ ∠ KAD - прямой.

б)

Прямые AM и CD - [i]cкрещивающиеся[/i].
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между [i]пересекающимися [/i]прямыми, параллельными этим прямым.

Поэтому через точку А проводим прямую AF, AF|| CD
∠ MAF - угол между AM и AF, а значит и между AM и СD.

Его можно найти из Δ MAF по теореме косинусов

Но второе условие задачи написано некорректно, непонятно, что там. Поэтому не решаю (прикреплено изображение)

21y-18y=21-3
3y=18
y=18:6
y=3

d(4x^2+4x+5)=(4x^2+4x+5)`*dx=8x+4

∫ ^(+ ∞ )_(0)(xdx)/(4x^2+4x+5)=(1/8) ∫ ^(+ ∞ )_(0)(8xdx)/(4x^2+4x+5)=

=(1/8)∫ ^(+ ∞ )_(0)(8x+4-4)dx/(4x^2+4x+5)=

=(1/8)∫ ^(+ ∞ )_(0)(8x+4)dx/(4x^2+4x+5)- (1/2)∫ ^(+ ∞ )_(0)dx/((2x+1)^2+4)=

[blue]4x^2+4x+5=(4x^2+4x+1)+4=(2x+1)^2+4=(2x+1)^2+2^2[/blue]

=(1/8) ln |4x^2+4x+5||^(+ ∞ )_(0)-(1/2)*(1/2)*(1/2)arctg((2x+1)/2)|^(+ ∞ )_(0)= ln (+ ∞ )=+ ∞ остальные слагаемые - числа ( не бесконечности),
поэтому
ответ расходится

∞ + ∞ = ∞
∞ - ∞ неопределенность, поэтому и написала оговорку про то, что остальные не повлияют на ответ

Ответ выбран лучшим

Пусть u=x^2
тогда du=2xdx

т.е d(x^2)=2xdx

∫ ^(1)_(0)d(x^2)/sqrt(1-(x^2)^2)=arcsinx^2|^(1)_(0)=arcsin1-arcsin0=π/2

Cредняя линия трапеции m равна полусумме оснований:

[b]a+b=76[/b]

Если из вершины верхнего основания провести высоту на нижнее основание, то высота разделит нижнее основание на отрезки:
(a-b)/2 и (a+b)/2 (см. рисунок)
Из прямоугольного треугольника:
tg α= [m]\frac{h}{\frac{a-b}{2}}[/m]

tg α=[m]\frac{2h}{a-b}[/m]

0,9=tg α=[m]\frac{2\cdot 18}{a-b}[/m]

[b]a-b=40[/b]

Система:

{a-b=40
{a+b=76

2a=116
[b]a=58[/b]

[b]b=76-58=18[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

35.
162=2*9^2
48=3*4^2

{2^(x)*9^(y)=2*9^2
{3^(x)*4^(y)=3*4^2

Решение системы
x=1; y=2 получено простым подбором.

Но такое решение НЕПОЛНОЕ.
Нужно доказать, что других корней нет

Это доказывается с помощью возрастания функции справа и убывания функции слева и ссылкой на соответствующую теорему.

{2^(x-1)=9^(-y+2)
{3^(x-1)=4^(-y+2)

Логарифмируем по основанию 10:

{lg(2^(x-1))=lg(9^(-y+2)
{lg(3^(x-1))=lg4^(-y+2)

Применяем свойства логарифма степени:

{(x-1)lg2=(-y+2)lg9
{(x-1)lg3=(-y+2)lg4

Далее способ подстановки:

{(x-1)=(-y+2)*(lg9/lg2)
{(-y+2)*(lg9/lg2)=(-y+2)lg4 ⇒ (-y+2)*(lg9/lg2)-(-y+2)lg4 =0 ⇒

(-y+2)*((lg9/lg2)-lg4)=0 ⇒ y=2 - ед решение, ⇒ x=1

О т в е т. (1;2)

36.
Показательная функция с основанием 3 возрастает, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента

3^(x-1) ≤ 3^(0,5)

{x-1 ≤ 0,5 ⇒ x ≤ 1,5
{3x^2-2=2x^2+x+4 ⇒ x^2-x-6=0 ⇒ D =25; x=-2; x=3

3 не удовл неравенству x ≤ 1,5

О т в е т. [b]x=-2[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{3+x}{2-x}>0\\6-x-x^2>0
\\(x-5)^2>0, (x-5)^2\neq 1
\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix}
(x+3)(x-2)<0\\
\\x ≠ 5; x ≠ 6; x ≠ 4
\end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (-3;2)[/red]

(x-5)^2=(5-x)^2

[m]log_{(5-x)^2}\frac{3+x}{2-x}=log_{(x-5)^2}(3+x)-log_{(x-5)^2}(2-x)[/m]

[m]log_{(5-x)^2}(6-x-x^2)=log_{(x-5)^2}(3+x)+log_{(x-5)^2} (2-x)[/m]

Неравенство примет вид:
[m]2log_{(x-5)^2}(2-x) >1[/m]

[m]1=log_{(x-5)^2}(x-5)^2[/m]

[m]2log_{(x-5)^2}(2-x) >log_{(x-5)^2}(x-5)^2[/m]

[m]log_{(x-5)^2}(2-x)^2 >log_{(x-5)^2}(x-5)^2[/m]

Если основание логарифмической функции
(x-5)^2>1 ⇒ (x-5)^2-1 >0 ⇒ ⇒ (x-5-1)*(x-5+1)>0 ⇒ ⇒ (x-6)*(x-4) >0 ⇒

x < 4 или x > 6

то функция возрастает.

Так как согласно ОДЗ:[red]x ∈ (-3;2)[/red], что удовлетворяет неравенству

x< 4, то

(2-x)^2 > (x-5)^2 ⇒ (2-x)^2-(x-5)^2 >0 ⇒ ((2-x)-(x-5))*(2-x+x-5) >0

(-2x+7)(-3) >0

3*(2x-7) >0

2x>7

x>3,5

Нет решения
Не пересекается с ОДЗ.

Ответ выбран лучшим

Апофема боковой грани:
h^2=13^2-(10/2)^2=169-25=144
h=12

S_(Бок)=(1/2) P_(осн)*h=(1/2)*6*10*12= (прикреплено изображение)

Пропорция:
перемножаем крайние и средние чрены пропорции:
sqrt(2)*7=(4+sqrt(2))*(2sqrt(2)-1)

7sqrt(2)=8sqrt(2)+4-4-sqrt(2)

7sqrt(2)=7sqrt(2)- верно, значит и данное равенство верно

Получить одно из другого можно переводом иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот.

Для этого умножают и числитель и знаменатель любой из дробей на сопряженное выражение: например, так

[m]\frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot (4-\sqrt{2})}{(4+\sqrt{2})(4-\sqrt{2})}=\frac{4\sqrt{2}-2}{4^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{2\cdot (2\sqrt{2}-1)}{14}[/m]

Попробуйте справа налево
Вторую дробь умножьте на
2sqrt(2)+1

Ответ выбран лучшим

По условию :АС пересекает ось цилиндра ⇒ проекциями АС на плоскости оснований являются диаметры оснований АР и СF.

( проекция точки А - точка F, проекция точки С - точка P)

Пусть точка В ∈ образующей KM ⇒ проекциями точки В на плоскости оснований являются точки K и М.
( cм. рис.)

ΔFMC и Δ АКР - прямоугольные, угол, опирающийся на диаметр, равен 90 °

MC - проекция BC
MC ⊥ MF ⇒ BC ⊥ MF

MF- проекция BA
MF ⊥ MC ⇒ ⇒ BA ⊥ MC

б) По теореме косинусов из Δ АВС:
АС^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos120 ° =3^2+5^2-2*3*5*(-1/2)=49
[b]АС=7[/b]

Пусть высота цилиндра равна 2х.
ВК=ВМ=х

Из Δ АСР:
AP^2=AC^2-(2x)^2=49-4x^2

Δ АРК:
АР^2=АК^2+KP^2=3^2-x^2+5^2-x^2=34-2x^2

Уравнение:
49-4x^2=34-2x^2
15=2x^2
x^2=15/2

АP^2=49-4x^2=49-4*(15/2)=49-30=19

AP=sqrt(19)

R=AP/2=sqrt(19)/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению:
∫ ^(+ ∞ )_(0)xcosxdx=lim_(A → + ∞ ) ∫ ^(A)_(0)x*cosxdx=

=lim_(A → + ∞ ) (-x*cosx+sinx)|^(A)_(0)=

=lim_(A → + ∞ ) (-A*cosA+sinA)+0*cos0-sin0= не существуе.

О т в е т. [i]Интеграл расходится.[/i]

z=arccos t;
D(z)=[-1;1]

-1 ≤ y/x ≤ 1

См. рис.

О т в е т. Пересечение двух областей красного и зеленого цвета
(прикреплено изображение)

Кредит на [red]n[/red] месяцев.

1)[i] условие [/i]

–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца

[blue]2%=0,02[/blue]

т. е ([i]ежемесячное[/i] начисление процентов [b]на остаток долга[/b])

2) [i]условие [/i]
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо [b]выплатить одним платежом часть долга;[/b]

[red]и так, чтобы
выполнялось условие [/red]

3)[i] условие [/i]
15–го числа каждого месяца с [red]1[/red]–го по [red]n[/red]–й месяц долг должен быть [b]на одну и ту же величину А меньше долга [/b]на 15–е число [b]предыдущего месяца[/b]

S- сам кредит
(S-A) - остаток первого месяца
(S-2A) - остаток второго месяца
...

(S-(n-1)*A) - [b]остаток (n-1) месяца[/b] и он по условию задачи также равен А

⇒ S=n*A ⇒ [b] A=S/n[/b]

Тогда условию задачи удовлетворяет[b] следующая схема[/b]:

[b]каждый месяц (выплачивается одним платежом):[/b] проценты начисленные на остаток предыдущего месяца и часть кредита А.

Начисление процентов:

0,03*S; 0,03*(S-A); 0,03*(S-2A); ...;0,03*A.

Выплаты
:

A+A+...+A + =(n-1)*A+S-(n-1)*A=[b]S[/b] ( то, что брали, то и выплатили)

Тогда условию задачи удовлетворяет следующая схема:

[b]каждый месяц выплачивается одним платежом следующая сумма[/b]:
проценты начисленные на остаток предыдущего месяца и n-ая часть кредита S, равная А

Поэтому:

4-ая выплата:
0,03*(S-3A)+A=17 700

9-ая выплата
0,03*(S-8A)+A=16 200

Решаем систему находим A

Вычитаем из первого уравнения второе:
0,03*5A=1500

A=10 000

0,03*(S- 30 000)+10 000= 17 700

0,03*(S- 30 000)=7 700

0,03*S-900=7 700

0,03*S=7 800

S=260 000

n=S/A=26

D=0,03*260 000 + 0,03*(260 000- 10 000) + 0,03* (260 000 - 20 000) + ...+ 0,03*(26 000- 25*10 000)=

=0,03*(260 000+250 000 + 240 000 + ... 10 000)=

=0.03*(270 000)*26/2=[b]105 300[/b]

Ответ выбран лучшим

а)
Решаем [i]по определению логарифма[/i]

3^(2x)-sqrt(2)sinx-sin2x=9^(x)

Так как 9^(x) > 0 при любом х, выражение под знаком логарифма положительно, и потому нет ОДЗ

Так как 9^(x)=3^(2x)

уравнение принимает вид:

2*sinx*cosx+sqrt(2)sinx=0 (применили формулу синуса двойного угла)

Раскладываем левую часть на множители:

sinx* (2cosx+sqrt(2))=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z

2cosx+sqrt(2)=0 ⇒ cosx=-sqrt(2)/2 ⇒ x= ± arccos(-sqrt(2)/2)+2πn, n ∈ Z

x= ± (π- arccos(sqrt(2)/2))+2πn, n ∈ Z;

x= ± (3π/4)+2πn, n ∈ Z;

О т в е т. πk, ± (3π/4)+2πn, k, n ∈ Z ( см. рис.1)

б)
Указанному промежутку принадлежат три корня:
-3π; -2π;

- (3π/4)-2π=-11π/4

( см. рис. 2)

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Кредит на [red]n[/red] месяцев.

1)[i] условие [/i]

–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца

[blue]4%=0,04[/blue]

См первый столбик ([i]ежемесячное[/i] начисление процентов [b]на остаток долга[/b])

2) [i]условие [/i]
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо [b]выплатить одним платежом часть долга;[/b]

[red]и так, чтобы
выполнялось условие [/red]
3)[i] условие [/i]
15–го числа каждого месяца с [red]1[/red]–го по [red]n[/red]–й месяц долг должен быть [b]на одну и ту же сумму меньше долга [/b]на 15–е число [b]предыдущего месяца;[/b]

Это показано в правом столбце таблицы

4)[i] условие [/i]

15–го числа [red]n [/red]–го месяца долг составит [blue]400[/blue] тысяч рублей

С него и начинаем решать задачу, так называемым [i]"методом решения задачи с конца" [/i]

Пусть долг ежемесячно уменьшается на одну и ту же величину[b] х[/b] тыс руб

Тогда в конце [red](n-1)[/red]-го месяца он составит ([blue]400[/blue]+[red]1[/red]*[b]х[/b]) тыс руб.

В конце [red](n-2)[/red]-го месяца долг составит ([blue]400[/blue]+[red]2[/red]*[b]х[/b]) тыс руб.
.....
В конце первого месяца от будет ([blue]400[/blue]+[red](n-1)[/red]*[b]х[/b]) тыс руб.

И поскольку согласно условия 3) долг и за 1-ый месяц уменьшился на х тыс. руб, то значит

сумма кредита составляет ([blue]400[/blue]+[red]n[/red]*[b]х[/b]) тыс руб.

В первом ст