✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Профиль пользователя SOVA

Решения

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x+3>0 ⇒ x > - 3
{x+3 ≠ 1 ⇒ x ≠ - 2
{(1+x^2)/(1-x^2)>0 ⇒ 1-x^2 > 0 ⇒ -1 < x < 1

x ∈(–1;1)


Так как
0=log_(x+3)1

Неравенство принимает вид:
log_(x+3)(1+x^2)/(1-x^2) > log_(x+3)1

При x ∈(–1;1) ,
2<x+3<4
логарифмическая функция возрастает, тогда
(1+x^2)/(1-x^2) > 1

(1+x^2)/(1-x^2) - 1 > 0

(1+x^2-1+x^2)/(1-x^2) > 0
2x^2/(1-x^2) >0

x ≠ 0
x ∈ (–1;0)U(0;1)

C учетом ОДЗ получаем ответ:

[b](-1;0) U(0;1)[/b]
ОДЗ:
{x-2>0 ⇒ x >2
{x- 2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{3x-x^2>0 ⇒ x(3-x) > 0 ⇒ 0 < x < 3


[b]x ∈(2;3) [/b]


Так как
2=log_(x-2)(x-2)^2

Неравенство принимает вид:
log_(x-2)(3x-x^2) [b] ≤[/b] log_(x-2)(x-2)^2

так как при x ∈(2;3)
0<x-2<1, логарифмическая функция убывает, тогда
3x-x^2 [b]≥[/b] (x-2)^2

3x-x^2 ≥ x^2-4x+4

2x^2-7x+4 ≤ 0

D=49-4*2*4=17

корни x_(1)=(7-sqrt(17))/4; х_(2)=(7+sqrt(17))/4

[b]x ∈( (7-sqrt(17))/4; (7+sqrt(17))/4 )[/b]

(7+sqrt(17))/4 < 3
так как
7+sqrt(17) < 12
sqrt(17) < 5

C учетом ОДЗ получаем ответ:
[b](2;(7+sqrt(17))/4 )[/b]
ОДЗ:
{0,25x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{0,25x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 2
{(x+6)/4>0 ⇒ x>-6

[b]x ∈(-6;-2)U(-2;0)U(0;2)U(2;+ ∞ ) [/b]


Так как
1=log_(0,25x^2)0,25x^2

Неравенство принимает вид:
log_(0,25x^2)(x+6)/4 ≤ log_(0,25x^2)0,25x^2

[b]Если[/b]
0,25x^2>1, логарифмическая функция возрастает, тогда
(х+6)/4 ≤ 0,25x^2

[b]Если[/b]
0<0,25x^2<1, логарифмическая функция убывает, тогда
(х+6)/4 ≥ 0,25x^2

Решаем первую систему:
{0,25x^2>1 ⇒ x^2>4 ⇒ (- ∞ ;-2)U(2;+ ∞ )
{x+6-x^2 ≤ 0 ⇒ x^2-x-6 ≥ 0 D=25; корни -2 и 3 ⇒ (- ∞ ;-2]U[3;+ ∞ )

[b]x ∈ (- ∞ ;-2)U[3;+ ∞ )[/b]

Решаем вторую систему:
{0< 0,25x^2<1 ⇒ 0<x^2<4 ⇒ (-2;0)U(0;2)
{x+6-x^2 ≥ 0 ⇒ x^2-x-6 ≤ 0 D=25; корни -2 и 3 ⇒ [-2;3]

[b]x ∈ (-2;0)U(0;2)[/b]

C учетом ОДЗ получаем ответ:
[b](-6;-2)U(-2;0)U(0;2)U[3;+ ∞ )[/b]
ОДЗ:
х+(π/3)>0

[b]x> -(π/3)[/b]

Квадратное уравнение
2cos^2x+3cosx-2=0
D=9-4*2*(-2)=25
корни
cosx=-2 или cosx=1/2

cosx=-2 уравнение не имеет корней, так как
-1 ≤ cosx ≤ 1

cos=1/2
x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z

x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

Учитывая ОДЗ получаем ответ
x= ± (π/3)+2πn, n ∈ [b]N[/b]
2.2
Вероятность вынуть первый раз чёрный шар равна (6/10).
После этого в коробке 9 шаров, из них 5 черных
Вероятность вынуть второй раз черный шар, равна 5/9
По правилу умножения вероятность вынуть черный шар И первый раз И второй раз равна произведению вероятностей:
p=(6/10)*(5/9)=1/3

2.3
Сечение, проходящее через две образующие - равнобедренный треугольник с углом 120 градусов при вершине.
S_(сечения)=(1/2)*L*L*sin120^(o)

(1/2)L^2*sqrt(3)/2= 4 sqrt(3)

L^2=16

L=4

В прямоугольном треугольнике катет, против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Поэтому H(конуса)=2
R=sqrt(4^2-2^2)=2sqrt(3)

V=(1/3)πR^2*H=(1/3)*π*(2sqrt(3))^2*2= [b]8π cм^3[/b]
(прикреплено изображение)
1.1
Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:
log_(2)25/log_(2)5=log_(5)25=2
1.2
4^(x)=(2^(2))^(x)=2^(2x)
8=2^3

2^(2x)>2^(3)
2x>3
x>3/2
О т в е т. (1,5;+ ∞ )
Так как диагональ квадрата равна 4sqrt(2), то значит сторона квадрата равна 4 см.
Одна сторона квадрата - это высота цилиндра.
H=4 cм
Вторая сторона квадрата - хорда основания.
АВ=4 см.
Треугольник АОВ - равносторонний, ∠ АОВ - центральный, измеряется дугой, на которую опирается и потому равен 60^(o)

AO=OB=R=4

S_(пол)=S_(бок)+2S_(осн)=2πRH+2πR^2=2π*4*4+2π*4^2-

=64π
1.1
Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:
log_(2)25/log_(2)5=log_(5)25=2
1.2
4^(x)=(2^(2))^(x)=2^(2x)
8=2^3

2^(2x)>2^(3)
2x>3
x>3/2
О т в е т. (3/2;+ ∞ )
Сечение конуса Δ МАВ - равнобедренный..
Высота МН делит хорду пополам
АН=НВ=4 см
Δ ОНВ - прямоугольный египетский
ОВ=R=5 см
HB=4 см
Следовательно, ОН=3 см


Δ МАВ образует с основанием угол 60°

Чтобы построить линейный угол двугранного угла
проводим ОН⊥ АВ.
∠ ОНМ=60^(o)

В прямоугольном треугольник ОНМ
∠ ОМН=30 °
Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы
ОН=3 см

Значит, HM=6 см
МО=sqrt(НМ^2-OH^2)=sqrt(6^2-3^2)=sqrt(27)=3sqrt(3)
h(конуса)=МО=3sqrt(3)

Объем конуса находим по формуле
V=(1/3)S_(осн)*h=(1/3)πr²*h=(1/3)*π*25*(3√3)= [b]25π√3 cм³[/b] (прикреплено изображение)
Так как sqrt(5+sqrt(24))*sqrt(5-sqrt(24))=1,
то sqrt(5+sqrt(24))=1/sqrt(5-sqrt(24)).

замена переменной:
(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=t, тогда
(sqrt(5-sqrt(24)))^(x)=1/t,
t ≠ 0

Уравнение
t+(1/t)=10
сводится к квадратному:
t^2-10t+1=0
D=100-4=96
t=5 ± sqrt(24)

Обратный переход
(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=sqrt(5+sqrt(24))
х=1

или

(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=sqrt(5-sqrt(24))
(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=(sqrt(5+sqrt(24)))^(-1)
х= - 1

О т в е т. ± 1
ОДЗ:2^(x)-a >0 ⇒ [b]2^(x)>a [/b]

Замена переменной:
sqrt(2^(x)-a)=t
[b]t >0[/b]

Уравнение принимает вид:
t + (a-4)/t =1

t^2-t+(a-4)=0
Квадратное уравнение должно иметь два положительных корня.
Значит D=1-4(a-4)=17-4a положителен.

По теореме Виета сумма корней равна 1,
произведение равно (a-4).
1>0,
a-4>0 ⇒ a > 4
{a>4
17- 4a>0 ⇒ a < 4,25

О т в е т. [b](4; 4,25)[/b]
Ответ выбран лучшим
В основании квадрат.
Диагональ квадрата
d=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)=4sqrt(2)

H^2=D^2-d^2=(4sqrt(3))^2-(4sqrt(2))^2=48-32=16

H=4

V=S*H=4^2*4=64 см^3

1.7.
Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат.

vector{a}*vector{b}=1*2+2*5+(-1)*4=8
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Так как
x^2-6x+5=(x-1)(x-5)
D=36-20=16
корни
х_(1,2)=(6 ± 4)/2
х_(1)=1; х_(2)=5

x^3-25x=x*(x^2-25)=x*(x-5)(x+5)

и
5 - х = -(х-5)

-(x-5)(x-1)(x-5)/(x*(x-5)(x+5)) ≥ 0

Умножаем на (-1) и меняем знак:

(x-5)(x-1)(x-5)/(x*(x-5)(x+5)) ≤ 0

Сокращаем на х-5, при этом помним, что х ≠ 5

Решаем неравенство:

(x-1)(x-5)/(x*(x+5)) ≤ 0, x ≠ 5

__+__ (-5) ____-_____ (0) __+__ [1] ____-___ (5) __+__

x ∈ (- 5 ;0) U[1;5)
Наибольшее целое решение это 4.
О т в е т. 4
a)
[b]y=x/(x^2+1)[/b]

1.область определения функции D(y)=(-∞;+ ∞)
2. Область изменения функции E(y) =[- 1;1]
см. по рисунку
3. Четность или нечетность функции
функция является нечЁтной
y(-x)=-x/((-x)^2+1)=-(x/(x^2+1))=-y(x)

4.перИодичность - функция непериодическая

5.нули функции
y=0 при х=0
(0;0) точка пересечения с осью Ох и с осью Оу

6.интервалы знака постоянства

y > 0 при x >0
y < 0 при x < 0


2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)

lim_(x→+∞)(x)/(x^2+1)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) 1/2x=0

lim_(x→ - ∞) (x/(x^2+1))=0

9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота


[b]Исследование функции с помощью первой производной[/b]

y`=((x)`*(x^2+1)-x*(x^2+1)`)/(x^2+1)^2

y`=(x^2+1-x*2x)/(x^2+1)^2

y`=(1-x^2)/(x^2+1)^2


y`=0

1-x^2=0

x= ± 1
x=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y`< 0 на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
Функция убывает на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )

y` > 0 на (-1; 1)
Функция возрастает на (-1; 1)




[b]Исследование функции с помощью второй производной[/b]

y``=((1-х^2)`*(x^2+1)^2 - (1-x^2)*((x^2+1)^2)`)/(x^2+1)^4


y``=(-2x*(x^2+1)^2-(1-x^2)*2(x^2+1)*2x)/(x^2+1)^4

y``=(-2x^3-2x-4x+4x^3)/(x^2+1)^3

y``=(2x^3-6x)/(x^2+1)^3

y``=0

2x^3-6x=0
2x(x^2-3)=0

x=0; x= ± sqrt(3)

y``<0 на (- ∞;-sqrt(3) ) и на (0; sqrt(3))

кривая выпукла вверх на (- ∞;-sqrt(3) ) и на (0; sqrt(3))

y``>0 на(-sqrt(3);0) и на (sqrt(3);+ ∞ )

кривая выпукла вниз на (-sqrt(3);0) и на (sqrt(3);+ ∞ )

точки перегиба: - sqrt(3); 0; sqrt(3)

Cм. рис.

б)
[b]y=e^(x)/x[/b]

1.область определения функции D(y)=(-∞;0) U(0;+ ∞)
2. Область изменения функции E(y) =(- ∞;0) U(
см. по рисунку
3. Четность или нечетность функции
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
e^(x) ≠ 0 ни при каком х
точек пересечения с осью Ох нет

6.интервалы знака постоянства

y > 0 при x >0
y < 0 при x < 0


2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)

lim_(x→+∞)(e^x)/(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) e^x/1=+ ∞

lim_(x→ - ∞) e^x/1=0

9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота на - ∞
x=0 - вертикальная асимптота

3.) исследовать с помощью производной

y`=((e^x)`*x-(e^x)*x`)/(x^2)
y`=e^(x)*(x-1)/(x^2)

y`=0

x-1=0
x=1


_-___ (0) ___-__ (1) __+__

y`<0 на (- ∞ ;0)U(0;1)
функция убывает на (- ∞ ;0)U(0;1)

y`>0 на (1; + ∞ )
функция возрастает на (1; + ∞ )
x=1 - точка минимума

y(1)=e

См. рис.2
(прикреплено изображение)
1.6
V=(1/3)S_(основания)*Н

S_(основания)=S(равностороннего треугольника)=(1/2)a*a*sin60^(o)=a^2sqrt(3)/4

Так как по условию a=6

S_(осн)=6^2sqrt(3)/4= [b]9sqrt(3)[/b]

По условию H=sqrt(3)

V=(1/3)* [b]9sqrt(3)[/b]*sqrt(3)=9 см^3

О т в е т. 9 см^3

1.7

vector{a} ⊥ vector{b}, vector{a} ≠ 0;vector{b} ≠ 0 ⇔vector{a} * vector{b}=0

Ненулевые векторы vector{a} и vector{b} ортогональны, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector{a} * vector{b} =x*3+2*4+(-1)*2=3x+6

3x+6=0
x=-2
О т в е т. - 2


1.
По теореме Пифагора
H^2=d^2-(2R)^2=10^2-6^2=100-36=64
H=8 см

S_(бок. пов)=2πR*H=2π*3*8= [b]48π[/b]

2.
V(конуса)=(1/3)π*R^2*H

Так как по условию:
V=100π
H=12
то
(1/3)*π*R^2*12=100π ⇒ R^2=25
R=5

По теореме Пифагора образующая
L=sqrt(H^2+R^2)=sqrt(12^2+5^2)=sqrt(144+25)=sqrt(169)=13

S_(бок. пов)=πR*L=π*5*13= [b]65π[/b]
Вероятность выпадения герба в пером броске равна (1/2), во втором - (1/2), в третьем - (1/2).
По правилу умножения в трех бросках
p=(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8
Ответ выбран лучшим
a)
y`=(1/3)*(2e^(3x)-2^(x/2)+4)^(-2/3)*(2e^(3x)-2^(x/2)+4)`+6ln^(5)(4x)*(ln4x)`=

=(2e^(3x)*(3x)`-2^(x/2)*(x/2)`+(4)`)/(3*∛(2e^(3x)-2^(x/2)+4)^2)+(6ln^(5)(4x))8(4x)`/(4x) =

[b]=((6e^(3x)-2^(x/2)*(1/2))/(3*∛(2e^(3x)-2^(x/2)+4)^2) +(6/x)*ln^(5)(4x)[/b]

б)
x`*y+x*y`=(x/y)`/(1+(x/y)^2);

(y+xy`)*(y^2+x^2)/y^2=(x`*y-x*y`)/y^2

(y+xy`)*(x^2+y^2)=y-xy` ⇒

(xy`)/(x^2+y^2)+xy`=y - (y)/(x^2+y^2)

y`*x*(1+x^2+y^2)/(x^2+y^2)=y*(x^2+y^2-1)/(x^2+y^2)

[b]y`=(y*(x^2+y^2-1))/(x*(x^1+y^2+1))
[/b]

в)
Логарифмируем
lny=x^2*ln(xe^(x))
Дифференцируем
y`/y=(x^2)`*ln(xe^(x))+x^2*(ln(xe^(x))`

так как ln(x*e^(x))=lnx+lne^(x)=lnx+x, то


y`/y=2x*(lnx+x)+x^2*(lnx+x)`)

y`/y=x*(2lnx+2x+x*((1/x)+1)

y`/y=x* (2lnx+3x+1)

Вместо y=(xe^(x))^(x^2)

[b]y`=(xe^(x))^(x^2) *x*(2lnx+3x+1)[/b]
O_(1)F=l

R=ltg( β/2)
r=lctg( β /2)

Пусть a- основание равнобедренного треугольника, h_(a)- высота, проведенная к основанию.
a=2rtg( α /2)
h_(a)=(1/2)a*tg α

S_(осн)=(1/2)a*h_(a)=(1/2)a*(1/2)atg α =

=(1/4)*4r^2tg(α/2)*tg α =

=l^2ctg( β /2)*tg( α /2)*tg α

H=rtg β =lctg( α /2)*tg β

V=(1/3)S_(осн)*Н=(1/3)*l^2*ctg( β/2)*tg( α/2)*tg α *lctg( α/2)*tg β =

=(l^3/3)*tgα*tgβ*ctg(β/2) (прикреплено изображение)
ABDK- квадрат ( см. рис.)
Н(цилиндра)=АВ=4sqrt(2)

дуга АК 60^(o) ⇒ ∠ АОК=60^(o) как центральный,

Δ АОК равносторонний

АО=ВО=[b]R=AK=4sqrt(2)[/b]

S_(полн. пов)=S_(бок. пов)+2S_(осн)=π*R*H+2π*R^2=

=π*4sqrt(2) *4sqrt(2)+2*π*(4sqrt(2))^2=32π+64π=96π

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
p=(6/10)*(5/9)=1/3
Ответ выбран лучшим
1.1
log_(2)x=-3 ⇒ x=2^(-3); [b]x=1/8[/b]

1.2
0,00032=0,2^5
корень пятой степени из 0,2^5 равен [b]0,2[/b]
Ответ выбран лучшим


Замена переменной:
sqrt((x+1)/(x+y))=u, u>0
sqrt((x+y)/(x+1))=1/u

sqrt((x+1)/(y+2))=v, v > 0
sqrt((y+2)/(x+1))=1/v

Система примет вид:

{u+(1/u)=2 ⇒ (u^2-2u+1)/u=0 ⇒ u=1
{v-(1/v)=(3/2) ⇒ (2v^2-3v-2)/v=0 ⇒ v=2 или v=-1/2 ( не удовл v>0)

sqrt ((x+1)/(x+y))=1 ⇒ (x+1)/(x+y)=1 ⇒ x+1=x+y ⇒ y=1; любое, х ≠ -1

sqrt((x+1)/(у+2))=2 ⇒ (x+1)/(y+2)=4 ⇒ x+1=4y+8, у ≠ -2; х ≠ -1

{y=1
{x+1=4y+8 ⇒ x=11

О т в е т. (11;1)
Ответ выбран лучшим
{x+2>0
{ ∛(11x^2-12x+1) ≠ 0

{x>-2
{11x^2-12x+1 ≠ 0 ⇒ D=144-44=100; x ≠ 1 и x ≠ 1/11

О т в е т. (-2; 1/11)U(1/11;1)U(1;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Осевое сечение - квадрат. Одна сторона - высота цилиндра, вторая диаметр основания
Значит
H=3sqrt(2)
R=3sqrt(2)/2

V=πR^2*H=π*(3sqrt(2)/2)^2*3sqrt(2)=27πsqrt(2)/2
Ответ выбран лучшим
1.5
=(- cosx)|^(π)_(0)=-cosπ+cos0=-(-1)+1=2
1.6
В основании квадрат.
Диагональ квадрата
d=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)=4sqrt(2)

H^2=D^2-d^2=(4sqrt(3))^2-(4sqrt(2))^2=48-32=16

H=4

V=S*H=4^2*4=64 см^3

1.7.
Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат.

vector{a}*vector{b}=1*2+2*5+(-1)*4=8
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S= ∫^(1)_(-2)(4-x^2-(x+2))dx= ∫ ^(1)_(-2)(2-x-x^2)dx=

=(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(-2)=

=2-(1/2)-(1/3)-(-4-2+(8/3))=4,5 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8
Ответ выбран лучшим
1.1
n^(3/7)*n^(1/3)=n^((3/7)+(1/3))=n^(16/21)
1.3.
cos(π+ α) = - cosα
sin((π/2)+ α ) = cos α


cos (π+ α)+sin((π/2)+ α ) = -cos α +cos α = 0
О т в е т. 0

1.5
=sqrt(x)|^(4)_(1)=sqrt(4)-sqrt(1)=2-1=1
1.6
V=S_(осн)*Н=(1/2)*6*6*sin60^(o)* sqrt(3)=27
Ответ выбран лучшим
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

{10-x^2>0 ⇒ -sqrt(10)<x<sqrt(10)
{10-x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 3
{(16/5)x-x^2>0 ⇒ 0 < x < 16/5=3,2
{(10-x^2-1)((16/5)x-x^2-10+x^2) <0 ⇒ (3-x)(3+x)(x-(25/8)) < 0 или

(х-3)(x+3)(x-(25/8))>0

О т в е т. (0;3)U(3,125;sqrt(10))
Неравенство верно при любом х, кроме х=1
О т в е т. (- ∞ ;1)U(1;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Применяем формулу
a^2-b^2=(a-b)(a+b)

((x^2-5x)-x)*(x^2-5x+x)=0
(x^2-6x)*(x^2-4x)=0
x*(x-6)*x*(x-4)=0

x^2(x-6)(x-4)=0
x=0 или x-6=0 или х-4=0
х=0; х=6;х=4 - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60 градусов, значит вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника.

Высота пирамиды Н=2*tg60^(o)=2sqrt(3)
S(осн)=(1/2)*2*4*sin60^(o)=2sqrt(3)

V(пирамиды)=(1/3)S_(осн)*Н=(1/3)*2sqrt(3)*2sqrt(3)=4
Ответ выбран лучшим
3%=0,03
5%=0,05

Стоимость покупки в "Чистюле":
70*2+(0,97*90)*2+75*3=539,6
Стоимость покупки в "Чайке:
(0,95*75)*2+85*2+70*3=522,5
Стоимость покупки в "Фиалке":
80*2+85*2+(0,95*75)*3=543,75
Наименьшая стоимость в "Чайке"
ОДЗ:
{6-x>0 ⇒ x < 6
{x+5>0; x+5 ≠ 1 ⇒ (-5;-4)U(-4;+ ∞)
{x+3 >0 ⇒ x > -3
{4-x>0;4-x ≠ 1 ⇒ x < 4; x ≠ 3

x ∈ (-3;3)U(3;4)

Произведение неотрицательно значит множители имеют одинаковые знаки:

первый случай

{log_(x+5)(6-x) ≤ 0
{log_(4-x)(x+3) ≤ 0

Решаем первое неравенство:
log_(x+5)(6-x) ≤ 0
или
log_(x+5)(6-x) ≤ log_(x+5)1

при x ∈ (-3;3)U(3;4)
основание логарифмической функции (х+5) > 1,
логарифмическая функция возрастает и потому
6-х ≤ 1
x ≥ 5 не входит в ОДЗ

второе неравенство не решаем, система не будет иметь решений.


второй случай

{log_(x+5)(6-x) ≥ 0
{log_(4-x)(x+3) ≥ 0

Решаем первое неравенство:
log_(x+5)(6-x) ≥ 0
или
log_(x+5)(6-x) ≥ log_(x+5)1

при x ∈ (-3;3)U(3;4)
основание логарифмической функции (х+5) > 1, функция возрастает и потому
6 - х ≥ 1
x ≤ 5
с учетом ОДЗ решение первого неравенства

[b] (-3;3)U(3;4)[/b]

Решаем второе неравенство:
log_(4-x)(x+3) ≥ 0
или
log_(4-x)(x+3) ≥ log_(4-x)1

Если
4-х>1, т.е. при x <3 логарифмическая функция возрастает и потому
x+3 ≤ 1
x ≥ -2
Решение [-2;3)

Если
0 <4-x < 1, т.е при 3<x<4 логарифмическая функция убывает и потому
x+3 ≤ 1

Множества 3 < x <4 и x ≤ -2 не пересекаются

О т в е т. [-2;3)
ОДЗ:
{x^2-5x>0 ⇒ x(x-5) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или х ≥ 5
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{log_(5)x^2 ≠ 0 ⇒ x^2 ≠ 5^(0); x ≠ ± 1

x ∈ (- ∞ ;-1)U(-1;0)U[5;+ ∞ )

Переносим 1 влево:
(2log_(5((x^2-5x)/log_(5)x^2) - 1 ≤ 0

Приводим к общему знаменателю:
(2log_(5)(x^2-5x)-log_(5)x^2)/log_(5)x^2 ≤ 0

Применяем свойства логарифма степени и логарифма частного:
(log_(5)(x^2-5x)^2/x^2)/log_(5)x^2 ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов.

Нули числителя:

log_(5)((x^2-5x)/x)^2=0

((x^2-5x)/x)^2=5^(0)

(x^2-5x)/x= ± 1 ⇒ x=0;x=4;x=6

Нули знаменателя:
х= ± 1

Расставляем знаки на ОДЗ:

_____+____ (-1) _-_ (0) \\\\(1)\\\\\\\ [4]\\\\ [5] _-_ [6] __+___

О т в е т. (- ∞ ;-1)U[5;6]
Первый и второй за минуту наполняют 1/8 часть бассейна,
второй и третий за минуту наполняют 1/10 часть бассейна,
первый и третий за минуту наполняют 1/24 часть бассейна.

Складываем:
2*(первый и второй и третий) за минуту наполняют (1/8)+(1/10)+(1/24)=32/120


первый и второй и третий за минуту наполняют (16/120)=2/15

Весь бассейн наполнят на 15/2=7,5 минут
х=2 - корень уравнения, так как
9^2-2*(2+3)*3^2+5+2*2=0 - верно,
81-90+5+4=0

х=0 - корень уравнения, так как
9^0-2*(0+3)*3^0+5+2*0=0 - верно,
1-6+5=0

Числа, делящиеся на 22 и дающие в остатке 3
имеют вид:
a_(n)=22n+3, n -натуральное

Так как в условии сказано, что число двузначное, значит
n=1;2;3;4

S_(4)=a_(1)+a_(2)+a_(3)+a_(4)=22*1+3+22*2+3+22*3+3+22*4+3=

=22*(1+2+3+4)=4*3=22*10+12=220+12=232

О т в е т. 232
(прикреплено изображение)
Область определения (- ∞;-2)U(-2;2)U(2;+ ∞)
х= ± 2 - вертикальные асимптоты, так как
lim_(x → ± 2)y= ∞

Находим производную:
y`=(x`*(x^2-4)-x*(x^2-4)`)/(x^2-4)^2= (x^2-4-x*2x)=-(x^2+4)/(x^2-4)

y`<0 при любом х ∈ (- ∞;-2)U(-2;2)U(2;+ ∞)

функция убывает на (- ∞;-2)и на (-2;2)и на (2;+ ∞)

Точек экстремума нет (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Применяем признак Даламбера:
lim_(n → ∞ )a_(n+1)/a_(n)=lim_(n→ ∞ )4(n+1)^2*n!/4n^2(n+1)!=

=lim_(n → ∞ )1/(n+1)=0 <1

Сходится

2.
Применяем признак Даламбера к ряду из модулей:
lim_(n → ∞ )a_(n+1)|x|^(n+1)/a_(n)|x|^(n)=
lim_(n→ ∞ )|x+1|^(n+1)2n/2(n+1)*|x|^(n)=|x|

При |x| < 1 ряд сходится.

При х=-1 получим ряд числовой ряд из нулей, он сходится

При х=1 получим числовой ряд
∑ 2^(n)/(2n), который расходится по признаку Даламбера.
О тв е т. [-1;1)
По определению логарифма:
0,5^(-1)=4x+1
2=4x+1
4x=1
x=1/4
О т в е т. 0,25
(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z=(i-1)^2*2i*(i+1)^2+(2+i)*i=
упрощаем:

= ((i-1)*(i+1))^2*2i+(2+i)*i=

=(i^2-1^2)^2*2i+(2+i)*i=
=(-1-1)^2*2i+2i+i^2=
=(-2)^2*2i+2i-1=8i+2i-1=-1+10i

x=-1
y=10
О т в е т. -1
Замена:
xy=u
x/y=v
Cистема принимает вид:
{2u-3v=15
{u+v=15

Умножим второе уравнение на 3
{2u-3v=15
{3u+3v=45

Складываем
{5u=60 ⇒ u=12
{u+v=15 ⇒ v=15-12=3

Обратный переход приводит к системе:
{xy=12
{x/y=3 ⇒ x=3y

3y*y=12
3y^2=12

y^2=4

y= ± 2

x= ± 6
О т в е т. (6;2);(-6;-2)

2.
AB=BC=AC=b ⇒ CE=BP=bsqrt(3)/2

АО=ВО=СО=(2/3)*bsqrt(3)/2=bsqrt(3)/3=b/sqrt(3)
ЕО=(1/3)*bsqrt(3)/2=bsqrt(3)/6

По условию
SO=H

Cм. рис.

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
4*3^2-35=( ±1)^2 - верно, так как
36-35=1
Значит, (2;1) и (2;-1) - решения этого уравнения

4*3^4 -35 =17^2 - верно, так как
324-35=289

Значит, (4;-17) и (4;17) - решения данного уравнения
Ответ выбран лучшим
Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель дроби не может равняться нулю, логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел

Область определения находим из системы:
{3x^2-7x+4 ≥ 0 ⇒ D=49-48=1, корни 1 и 4/3; ⇒ x ≤ 1 или x ≥ 4/3
{sqrt(3x^2-7x+4) ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 и х≠4/3
{x-8>0 ⇒ x > 8

О т в е т. x ∈ (8;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
|x-2a-2| ≤ 1 ⇒ -1 ≤ x-2a-2 ≤ 1 ⇒ (x-3)/2≤ a ≤ (х-1)/2

На пл. хОа cтроим графики a=(x-3)/2 и a=(x-1)/2

Получаем две прямые

см. рис.1

Неравенству

(x-3)/2≤ a ≤ (х-1)/2

удовлетворяют точки, расположенные между этими прямыми.

Cм. рис. 2

Неравенство:

3/(x-a) ≤ 1 или (3-x-a)/(x-a) ≤ 0

равносильно совокупности двух систем.
{3-x-a ≥ 0
{x-a <0

или

{3-x-a ≤ 0
{x-a >0

Строим прямые и заштриховываем соответствующие области:
см. рис. 3 и 4 ( область 1 соответствует первой системе, область 2 второй)

На рис. 5 закрашены области, удовлетворяющее системе.

При [b]а=0[/b] система имеет единственное решение [b]х=3[/b]
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
[b]-1[/b]=-1*log_(1/2)(1/2)= [b]log_(1/2)2[/b]

log_(1/2)(x^2-5x+6) > log_(1/2)2

Логарифмическая функция с основанием (1/2) убывает, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента

Поэтому
x^2-5x+6 < 2

Так как выражение под знаком логарифма положительно, то получаем систему неравенств:
{x^2-5x+6 >0 ⇒ D=25-24=1; корни 2 и 3
{x^2-5x+6<2 ⇒ x^2-5x+4 < 0 ⇒ D=25-16=9 корни 1 и 4



{(x-2)(x-3) >0 ⇒ x < 2 или х > 3
{(x-1)(x-4) <0 ⇒ 1 < x < 4

О т в е т. (1;2) U(3;4)
Ответ выбран лучшим
Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника,c - гипотенуза


Р(прямоугольного треугольника)=a+b+c

S=(1/2)a*b

По условию:
Р:S=2:3

2S=3P

Значит

[b]a*b=3*(a+b+c)[/b]

По теореме Пифагора:

[b]a^2+b^2=c^2[/b]

Система

{a^2+b^2=c^2
{ab = 3(a+b+c)

Произведение a*b кратно 3, значит либо а, либо b кратно 3

Рассмотрим числа, для которых справедлива теорема Пифагора.
( таких чисел бесчисленное множество)
Cм. приложение.

Например, тройка чисел 7; 24 и 25 удовлетворяет указанным требованиям.
[b]Р=56[/b]
S=84

2S=3P -верно, так как 2*84=3*56

Тогда периметр

7+24+25=56

тройка чисел 8; 15 и 17 удовлетворяет указанным требованиям.
[b]Р=40[/b]
S=60

2S=3P -верно, так как 2*60=3*40

тройка чисел 9; 12 и 15 удовлетворяет указанным требованиям.
[b]Р=36[/b]
S=54

2S=3P -верно, так как 2*54=3*36
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение прямой АВ:
y=2x

k_(касательной)=2

f`(x_(o))=2

f`(x)=2x-4

f`(x_(o))=2x_(o)-4


2x_(o) -4=2

x_(o)=3 - абсцисса точки касания

y_(o)=3^2-4*3+8=5

Уравнение касательной

y - 5 = 2*(x - 3)


[b]y=2x - 1[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
cosπx = - x^2+6x-10

Решаем графически

y=cosπx

-1 ≤ сosπx ≤ 1

y=-x^2+6x-10 - парабола ветви вниз, наибольшее значение в точке

x_(o)=3

y_(o)=3^2-6*3+10= - 1


Значит, графики имеют единственное общее значение

при у= -1

cosπx= -1

πx=π+ 2πk, k ∈ Z

x=1+2k, k ∈ Z

x_(o)=3 получается из этой серии при k=1

О т в е т. (3;-1)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
15-4sqrt(14)=15-2*2*sqrt(2)*sqrt(7)=

применяем формулу (a^2-2ab+b^2=(a+b)^2

=8-2*(2sqrt(2))*sqrt(7) + 7=

=(2sqrt(2)-sqrt(7))^2

тогда

sqrt(15-4sqrt(14))=|2sqrt(2)-sqrt(7)|= [b]sqrt(7)-2sqrt(2)[/b]

Аналогично

15+4sqrt(14)=15+2*2*sqrt(2)*sqrt(7)=

применяем формулу(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

=8+2*(2sqrt(2))*sqrt(7) + 7=

=(2sqrt(2)-sqrt(7))^2


sqrt(15+4sqrt(14))=|2sqrt(2)+sqrt(7)|= [b]2sqrt(2)+sqrt(7)[/b]


а=sqrt(15-4sqrt(14))-sqrt(15+4sqrt(14))=

=sqrt(7)-2sqrt(2)-(2sqrt(2)+sqrt(7))= [b] - 4sqrt(2)[/b]
Ответ выбран лучшим
f(1-sqrt(3))=(1-sqrt(3))^2-3=1-2sqrt(3)+3-3=1-2sqrt(3)

f(1+sqrt(3))=(1+sqrt(3))^2-3=1+2sqrt(3)+3-3=1+2sqrt(3)
f(1-sqrt(3))+f(1+sqrt(3))=1-2sqrt(3)+1+2sqrt(3)=2

О т в е т. 2
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
x-1 >0
[b]x>1[/b]

log_(0,5)(x-1)^4=log_(2^(-1))(x-1)^4=(4/(-1))log_(2)|x-1| так как согласно ОДЗ x>1
=-4log_(2)(x-1)

Неравенство:
log^2_(2)(x-1)-4log_(2)(x-1)+3 ≥ 0

Квадратное неравенство относительно
log_(2)(x-1)

D=16-12=4
корни
1 и 3
Решение неравенства

log_(2)(x-1) ≤ 1 или log_(2)(x-1)≥3

log_(2)(x-1) ≤ log_(2)2 или log_(2)(x-1) ≥log_(2)8

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

x-1 ≤2 или x-1 ≥8

С учетом ОДЗ

0 < x-1 ≤ 2 или x-1≥8
1 < x ≤ 3 или x ≥ 9

О т в е т. [b] (1;3] U[9;+ ∞ )[/b]
sin(x+(π/2))=cosx

3cos^2x+3cosx=0
3cosx*(cosx+1)=0
cosx=0 или сosx+1=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+2πk, k ∈ Z

cosx+1=0 ⇒ сosx=-1 ⇒ x=π+2πn, n ∈ Z

О т в е т. а) (π/2)+2πk, π+2πn, k ∈ Z, n ∈ Z

б)
х= (π/2)
и
х= π
- корни, принадлежащие указанному промежутку
Если условие
sqrt(3x-x^2-2)=x^2-2x-1, то

{3х-x^2-2=(x^2-2x-1)^2;
{x^2-2x-1 ≥ 0

{3х-x^2-2=x^4+4x^2+1-4x^3-2x^2+4x
{D=4+4=8 корни x_(1)=1-sqrt(2); x_(2)=1+sqrt(2) ⇒ x ≤ 1-sqrt(2); x ≥ 1+sqrt(2).

Решаем первое уравнение:
x^4-4x^3+3x^2+x+3=0

Уравнение не имеет корней.
См. рис.






(прикреплено изображение)
{3-x^2-2x=(x^2-2x-1)^2;
{x^2-2x-1 ≥ 0

{3-x^2-2x=x^4+4x^2+1-4x^3-2x^2+4x
{D=4+4=8 корни x_(1)=1-sqrt(2); x_(2)=1+sqrt(2) ⇒ x ≤ 1-sqrt(2); x ≥ 1+sqrt(2).

Решаем первое уравнение:
x^4-4x^3+3x^2+6x-2=0
x=-1 корень уравнения, удовлетворяет условию: x ≤ 1-sqrt(2)

(x-1)(x^3-5x^2+8x-2)=0

x^3-5X^2+8х-2=0

[b]имеет единственный корень[/b] на [0;1], которой не удовл условию
x ≥ 1+sqrt(2)

Почему единственный.

Пусть f(x)=x^3-5x^2+8х-2

Исследуем функцию с помощью производной и построим график.

f`(x)=3x^2-10x+8

f`(x)=0

3x^2-10x+8=0
D=100-4*3*8=4
x=4/3 или x=2
Знак производной
_+__ (4/3) __-__ (2) _+__

f(4/3)=(4/3)^3-5*(4/3)^2+8*(4/3)-2=58/27>2

точка максимума(4/3; 58/27)

f(2)=8-5*4+8*2-2=2

точка минимума (2;2)

см. рис.
О т в е т. x=1
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
{4sinx-3=8sin^2x+2sinx-6 ⇒8sin^2x-2sinx-3=0
{4sin^2x+sin-3 ≠ 0 ⇒ D=49; sinx ≠ -1; sinx ≠ 3/4

8sin^2x-2sinx-3=0
D=100;
sinx=12/16 или sinx=-1/2


12/16=3/4

корни уравнения
sinx=3/4
не удовлетворяют данному уравнению, т.к sinx ≠ 3/4


sinx=-1/2
[b]x=(-1)^(k)(-π/3)+πk, k ∈ Z[/b] - о т в е т
Ответ выбран лучшим
y`=4-(4/cos^2x)=4*(cos^2x-1)/cos^2x=-4sin^2x/cos^2x=-4tg^2x ≤ 0

Значит, функция убывающая, в том числе и на указанном отрезке.
Убывающая функция принимает наибольшее значение в левом конце, т. е в точке x=-π/4

y(-π/4)=4*(-π/4)-4tg(-π/4) +π - 9 = -π -4*(-1)+π -9 =-5 - наибольшее значение функции на [-π/4;π/4]
Ответ выбран лучшим
40%=40/100=0,4

15*0,4=6 кг меди в сплаве.

В новом сплаве 6 кг составляют 30%
Пусть вес нового сплава х кг

х кг составляют 100%
6 кг составляют 30%

х=6*100:30=20 кг

20 кг - 15 кг = 5 кг чистого олова следует добавить
x+1>0
x>-1
(-1;+ ∞ )

О т в е т. (-1;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
В основании пирамиды квадрат со стороной 2sqrt(3).

Угол между боковым ребром и плоскостью основания - угол между боковым ребром и проекцией его на основание.

Проекция бокового ребра на плоскость - диагональ квадрата.

Из равностороннего треугольника с углом при основании 60^(o)
боковое ребро равно диагонали основания

d^2=(2sqrt(3))^2+(2sqrt(3))^2=24
d=2sqrt(6)

b=d=2sqrt(6)
О т в е т. 2sqrt(6) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Умножаем уравнение на 4=2^2

2^(2x)-3*2^(x)-40=0
Квадратное уравнение относительно 2^(x)

Замена переменной
2^(x)=t

t^2-3t-40=0

D=9+160=169

t_(1)=(3-13)/2=-5 или t_(2)=(3+13)/2=8

Обратный переход

2^(x)=-5 уравнение не имеет корней, так как 2^(x) >0 при любом х

2^(x)=8
2^(x)=2^(3)
x=3

О т в е т. 3
Ответ выбран лучшим
Квадратное уравнение имеет корни если D>0
D=(-2a)^2-4*(a^2+2a-3)=4a^2-4a^2-8a+12=12-8a
12-8a >0

[b]a < 1,5[/b]


Корни разных знаков, значит их произведение отрицательно.

По теореме Виета:
x_(1)*x_(2)=a^2+2a-3

a^2+2a-3<0

(a-1)(a+3) <0

[b](- ∞ ;-3) U (1;+ ∞ )[/b]

Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому пересечение найденных множеств и будет ответом

О т в е т. (- ∞ ;-3) U (1;1,5)
y`= 4 - (4/cos^2x) < 0 на [-π/4;π/4]

Значит функция убывает на указанном отрезке.

Поэтому наибольшее значение принимает в точке

x=(- π/4)


y(-π/4)=4*(-π/4)-4tg(-π/4)+π-9=-π-4*(-1)+π-9=-5

О т в е т. -5
Ответ выбран лучшим
По формулам приведения
cos70^(o)=cos(90^(o)-20^(o))=sin20^(o)

(сos20^(o)+cos70^(o))^2=(cos20^(o)+sin20^(o))^2=

=cos^220^(o)+2cos20^(o)*sin20^(o)+sin^220^(o)=

=(cos^220^(o)+sin^220^(o))+sin40^(o)=1+sin40^(o)


(сos20^(o)+cos70^(o))^2-sin40^(o)=1+sin40^(o)-sin40^(o)=1
О т в е т. 1
Ответ выбран лучшим
По условию

log_(c)6^(21)=0,5^(-1)

0,5^(-1)=(1/2)^(-1)=2

Так как

log_(c)6^(21)=

свойство логарифма степени

=21log_(c)6=

формула перехода к другому основанию

=21/log_(6)c

то
21/log_(6)c=2

откуда

log_(6)c=21/2=10,5

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
log_(6)36c=log_(6)36+log_(6)c=2+log_(6)c=2+10,5= [b]12,5[/b]
Ответ выбран лучшим
S=(AD+BC)*h/2=(4+2)*3/2=9
По условию радиус конуса R=6
высота h=9

Высота делится в отношении 2:1
Значит высота разделена на три части
9:3=3
Верхняя часть
h_(1)=6.

Из подобия
r:R=h:H
r:6=6:9
9r=36
r=4

Теперь можно отвечать на вопросы

1) V_(верхней части)=(1/3)πr^2*h_(1)=(1/3)*π*4^2*6=32π

V_(конуса)=(1/3)πR^2*h=(1/3)*π*6^2*9=108π

V_(верхней части):V_(конуса)=32π:108π= [b]8:27[/b]- верно

2)V_(конуса)=(1/3)πR^2*h=(1/3)*π*6^2*9=108π

V=324π - неверно


3) S_(осн)=π*R^2=π*6^2= [b]36π[/b]- верно

4) S_(сечения)= π*r^2 = π*4^2=16π

S_(cечения)=24 π - неверно)

5) S_(осевого сечения)=(1/2)*2R*h=(1/2)*2*6*9= [b]54[/b] - верно


(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По формуле
d^2=a^2+b^2+c^2

a=A_(2)B_(2)=A_(3)B_(3)=1
b=B_(2)C_(2)=BC=2
c=B_(2)B_(3)=4

(B_(2)D_(3))^2=1^2+2^2+4^2=21
О т в е т. 21 (прикреплено изображение)
(x^2-x-14)^2/(2x+sqrt(21)) -(2x^2+x-13)^2)/(2x+sqrt(21)) ≤ 0

Приводим к общему знаменателю:
((x^2-x-14)^2-(2x^2+x-13)^2)/(2x+sqrt(21)) ≤ 0

В числителе применяем формулу разности квадратов:
a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(x^2-x-14-2x^2-x+13)(x^2-x-14+2x^2+x-13)/(2x+sqrt(21)) ≤ 0

(-x^2-2x-1)(3x^2-27)/(2x+sqrt(21)) ≤ 0

(x+1)^2(x-3)(x+3)/(2x+sqrt(21)) ≥ 0

Решаем методом интервалов.

Находим нули числителя:

(x+1)^2=0 или х-3=0 или х+3=0
х=-1 или x=3 или х=-3

Отмечаем на числовой прямой закрашенным кружком ( на рисунке квадратные скобки)

Находим нули знаменателя:

2х+sqrt(21)=0
x=-sqrt(21)/2
Отмечаем на числовой прямой пустым кружком ( на рисунке - круглые скобки)

Сравниваем:

-3 < -sqrt(21)/2

так как
3 > sqrt(21)/2 или 6 > sqrt(21) или 36> 21

Рассставлям знаки справа от точки 3 +
Далее знаки чередуем справа налево.
При переходе через точку
x = - 1 нет чередования, так как множитель (x+1) в четной степени:

___-__[-3] _+__ (-sqrt(21)/2) _-_ [-1] _-__ [3] __+__

О т в е т. [-3; -sqrt(21)/2) U{-1} U [3;+ ∞ )
Квадратное неравенство относительно log_(0,5)x.

[b]ОДЗ:[/b]
x > 0

[b]Замена переменной[/b]
log_(0,5)x=t

t^2-4t+3 >0

D=16-4*3=4

t_(1)=(4-2)/2=1; t_(2)=(4+2)/2=3

t < 1 или t > 3

Обратный переход от переменной t к х.

log_(0,5)x < 1 или log_(0,5)x > 3

1=log_(0,5)0,5

log_(0,5)x < log_(0,5)0,5 или log_(0,5)x > 3

Логарифмическая функция с основанием 0,5 [b] убывающая[/b], поэтому
большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

x >0,5 [b] или[/b] 0 < x < 1/8

О т в е т [b]. (0;1/8) U (1/2;+ ∞ )[/b]

Есть решение в интернете. См. ссылку.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Событие А -"расстояние от одной из сторон выбранного квадратика до границы листа составит не более 3 см"

Тогда противоположное событие
Ā-"расстояние от одной из сторон выбранного квадратика до границы листа составит более 3 см"

Наступлению события Ā благоприятствуют 4 случая из 100. ( см. рис)
По формуле классической вероятности:
[b]p(Ā)=m/n[/b]

n=100
m=4
p(Ā)=4/100=0,04

Так как [b]p(A) p(Ā)=1[/b], то p(A)=1-p(Ā)=1-0,04= [b]0,96[/b]

О т в е т. [b] 0,96[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
ОДЗ:
{(x-1)(x^2+2) >0, так как x^2+2>0 ⇒ x-1 >0 ⇒ x>1
{x^2+3x-4>0 ⇒ D=9+16=25; корни -4 и 1 ⇒ x < -4 или x > 1
{x>0
ОДЗ: [b]х ∈ (1;+ ∞ )[/b]

1=log_(2)2

Перепишем уравнение:

[b]log_(2)(x-1)(x^2+2)+log_(2)x ≤ log_(2)2+log_(2)(x^2+3x-4)[/b]

Применяем свойства логарифмов.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

[b]log_(2)(x-1)*(x^2+2)*x ≤ log_(2)2*(x^2+3x-4)[/b]

Логарифмическая функция с основанием 2>1 возрастающая.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(x-1)*(x^2+2)*x -2*(x^2+3x-4) ≤ 0

(x-1)*(x^2+2)*x -2*(x-1)(x+4) ≤ 0

(x-1)*(x^3+2x-2x-8) ≤ 0

(x-1)*(x^3-8) ≤ 0

При x ∈ ОДЗ
x-1 >0

x^3 - 8 ≤ 0 ⇒ х ≤ 2

О т в е т. С учетом ОДЗ (1;2]
Ответ выбран лучшим
(2+3i)*(-1+i)=-2-3i+2i+3i^2=-2-i-3=-5-i

(-5-i)/(sqrt(2)-i)= (-5-i)*(sqrt(2)+i)/((sqrt(2)-i)*(sqrt(2)+i))=

=-5sqrt(2)-i*sqrt(2)-5i-i^2/(2-i^2)=

=((1-6sqrt(2)-(5+sqrt(2)*i)/3=

=(1-5sqrt(2))/3 - i*(5+sqrt(2))/3
M= ∫ ∫ ∫_( Ω ) γ (x,y,z) dxdydz


γ (x,y,z)=x^2+y^2+z^2

M= ∫ ∫ ∫_( Ω ) (x^2+y^2+z^2) dxdydz

Переходим к [b]цилиндрическим[/b] координатам:

x= ρcos φ
y= ρ sin φ

z=z

dxdydx= ρ d ρ d φdz

Ω :

В условии - прямой круговой цилиндр, радиуса R и высотой H

0 ≤ ρ ≤ R

0≤ φ ≤ 2π

0 ≤ z ≤H

Далее думаю нет проблем
Ответ выбран лучшим
[b]Замена переменной:
[/b]
t=π(4x–7)/6

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение

[b]sint=-sqrt(3)/2[/b]

t=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

t=(-1)^(k)*(-π/3)+πk, k ∈ Z

t=(-1)^(k+1)*(π/3)+πk, k ∈ Z

Обратный переход

π(4x–7)/6 =(-1)^(k+1)*(π/3)+πk, k ∈ Z

Умножаем на (6/π):

4х - 7 = (-1)^(k+1)*2+6k, k ∈ Z

4x= (-1)^(k+1)*2 + 6k + 7 , k ∈ Z

Делим на 4

[b]x= (-1)^(k+1)*(1/2)+(3/2)*k+1,75, k ∈ Z [/b]

При k=0
получаем

x=(-1/2)+1,5*0 +1,75=1,25 > 0

Уменьшаем k

При k=-1

x=(1/2)+(3/2)*(-1)+1,75=0,5-1,5+1,75=0,75 >0

При k=-2

x=(-1/2)-3+1,75 < 0

О т в е т. 0,75 - наименьший положительный корень
Ответ выбран лучшим
Из данного уравнения находим
y^2=x*(x-3a)^2/9a
y= sqrt(x*(x-3a)^2/9a)
|y|= (|x-3a|/3) *sqrt(x/a)

так как 0 ≤ x ≤ 3a,

то |x-3a|=-3a+x=x-3a

|y|=(x-3a)sqrt(x)/3sqrt(a)

или

y=± (x-3a)sqrt(x)/3sqrt(a)

Пусть

y=+(x-3a)sqrt(x)/3sqrt(a)

y`=(1/3sqrt(a))* [b]([/b](x-3a)`*sqrt(x)+(x-3a)*(sqrt(x))` [b])[/b]=

=(1/3sqrt(a))* [b]([/b]1*sqrt(x)+(x-3a)*(1/2sqrt(x)) [b])[/b]=

=(1/3sqrt(a))* [b]([/b](2x+x-3a)/2sqrt(x)) [b])[/b]=

=(1/3sqrt(a))* [b]([/b](3x-3a)/2sqrt(x)) [b])[/b]=

=(1/sqrt(a))* [b]([/b](x-a)/2sqrt(x)) [b])[/b]= (a-x)/2sqrt(ax)

Формула
L= ∫^(b)_(a)sqrt(1+(y`)^2)dx

Умножаем на два, так как две линии, выше оси оХ ( y ≥ 0) и ниже оси Ох (y ≤ 0)
Ответ выбран лучшим
Раскрываем модуль:

1)
Если
(5/х)-3 ≥ 0 ⇒ |(5/x)-3|=(5/x)-3

(5-3x)/x ≥ 0 ⇒ 0 < x ≤ 5/3

тогда уравнение принимает вид:

(5/x)-3 =ax-1

ax^2+2x-5=0
x ≠ 0

D=4-4*a*(-5)=4+20a

При D≥0 уравнение имеет один или два корня.

4+20a ≥ 0

[b]a ≥ 1/5[/b]

2)
Если
(5/х)-3 < 0 ⇒x < 0 или x ≥ 5/3

|(5/x)-3|=-(5/x)+3

Уравнение принимает вид:

-(5/х)+3=ax-1


ax^2-4x+5=0
x ≠ 0

D=16-4*a*5=16-20a

При D≥0 уравнение имеет один или два корня.

16-20a ≥ 0

[b]a ≤ 4/5[/b]

Требованию задачи не менее трех корней ( значит одно уравнение имеет один корень, второе два или оба уравнения имеют по два корня) удовлетворяют значения a ∈[1/5; 4/5]
(прикреплено изображение)
Линейное уравнение первого порядка.

y`+(1/(1-x))*y=(2-x)/(1-x)

y=u*v
y`=u`*v+u*v`


u`*v+u*v`+(1/(1-x))*u*v=(2-x)/(1-x)

u`*v+u*(v`+(1/(1-x))*v)=(2-x)/(1-x)

{v`+(1/(1-x))*v=0⇒ dv/v=dx/(x-1) ⇒ ∫ dv/v= ∫ dx/(x-1) ⇒ln|v|=ln|x-1|
{u`*v=(2-x)/(1-x) ⇒u`*(x-1)=(2-x)/(1-x)

⇒ u= ∫ (x-2)dx/(x-1)^2= ∫ (x-1)dx/(x-1)^2- ∫dx/(x-1)^2=

= ∫ (dx/(x-1)- ∫dx/(x-1)^2=ln|x-1|+ 1/(x-1) + C


y=u*v=(ln(x-1)+ 1/(x-1) + C)*(x-1)=(x-1)ln(x-1)+C*(x-1) + 1 - о т в е т.
ОДЗ:
{1/x| > 0 ⇒ x ≠0
{3-x > 0 ⇒ x < 3
{3-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 2

x ∈ (- ∞ ;0) U(0;2) U(2;3)

Так как

1= log_(3-x) (3-x) неравенство примет вид:

log_(3-x) 1/|x| >log_(3-x)(3-x)

Теперь все зависит от основания.

[b]Первый случай[/b].

Если основание логарифмической функции (3-х) > 1, логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
1/|x| > (3-x)
так как x≠ 0 умножаем обе части неравенства на |x|

Система (1)
{(3-x)*|x| < 1
{3-x > 1 ⇒ x < 2

на (- ∞;0)
|x|=-x неравенство примет вид: (3-х)*(-x) <1 ⇒x^2-3x-1 <0
ИЛИ
на (0;2)
|x|=x неравенство примет вид: (3-х)*х <1 ⇒ x^2-3x+1>0

x^2-3x-1 <0 ИЛИ x^2-3x+1 >0
D=9+4=13 ИЛИ D=9-4=5

x_(1,2)=(3 ± sqrt(13))/2 ИЛИ x_(3,4)=(3 ± sqrt(5))/2

x ∈ ((3-sqrt(13))/2;(3+sqrt(13))/2) ИЛИ x < (3-sqrt(5))/2 или x >(3+sqrt(5))/2
sqrt(c учетом x ∈ (- ∞;0) ИЛИ с учетом x ∈ (0;2)
о т в е т. ((3-sqrt(13))/2;0) ИЛИ о т в е т. (0;(3-sqrt(5))/2)

Объединяем ответы и получаем ответ первого случая:
((3-sqrt(13))/2;0) U (0;(3-sqrt(5))/2)

[b]Второй случай.[/b]

Если основание логарифмической функции 0 <(3-х) <1, т.е. 2 < x <3
логарифмическая функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
1/|x| < (3-x}
так как x≠ 0

Система (1)
{(3-x)*|x| >1
{0<3-x < 1 ⇒ 2 < x <3

|x|=x

{x^2-3x+1 >0 ⇒ x < (3-sqrt(5))/2 или x >(3+sqrt(5))/2
{2<x<3

Ответ второго случая (2;(3+sqrt(5))/2)

О т в е т. Объединяем ответы первого и второго случая

((3-sqrt(13))/2;0) U (0;(3-sqrt(5))/2) U (2; (3+sqrt(5))/2)
180 градусов = π радиан.

1)
135 градусов= π*(135/180) =(3π/4)

36 градусов= π*(36/180) =(π/5)

250 градусов= π*(250/180) =(25π/18)

330 градусов= π*(330/180) =(11π/6)

2)

(2/3)π=(2/3)*180 градусов= 120 градусов
(-3π/4)=(-3/4)*180 граусов = - 135 градусов

1 = (180/π)градусов

5=(180*5/π) градусов
Переходим к полярным координатам
x=rcos φ
y=rsin φ

(x+y)^3=(rcos φ+rsin φ)^3=r^3(cos φ +sin φ )^3

xy=rcos φ *rsinφ =r^2sinφcosφ


Уравнение петли:
r^3(cos φ +sin φ )^3=r^2sinφcosφ

r=sinφcosφ/(sin φ+cos φ)^3

0 ≤r ≤ sinφcosφ/(sin φ+cos φ)^3
0 ≤ φ ≤ π/2


S= ∫ ∫ _(D)dxdy= ∫^(π/2)_(0)dφ ∫ ^(sinφcosφ/(sin φ+cos φ)^3)_(0) rdr=

= ∫^(π/2)_(0) (r^2/2)|^(sinφcosφ/(sin φ+cos φ)^3)_(0) d φ=

=(1/2) ∫^(π/2)_(0)sin^2 φ cos^2 φdφ/(sin φ +cos φ )^6

По формулам тригонометрии:

sin^2 φ cos^2 φ=(1/4)sin^2 2φ

(sin φ +cos φ )^6=((sin φ +cos φ )^2)^3=(sin^2φ +2sinφcos φ+cos^2 φ)^3= (1+sin2 φ)^3

получаем

(1/8) ∫^(π/2)_(0)sin^22φ dφ/(1+sin2φ)^3
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
∠ АВС=(1/2) ∪AC как вписанный угол опирающийся на дугу АС.
∠МАС =(1/2) ∪ АС как угол между касательной и хордой.

∠АВС= ∠ МАС

Прямоугольные треугольники АСМ и ВСТ подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорциональность сторон:

СТ:МС=ВС:АС

Аналогично,прямоугольные треугольники АСТ и ВСК подобны.

СК:СТ=ВС:АС

СТ:МС=СК:СТ
с:а=b:c

[b]c^2=ab[/b] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{(x-2)^2>0 ⇒ x ≠ 2
{(x-2)^2 ≠1 ⇒ x-2 ≠ 1 и х-2 ≠ -1 ⇒ х ≠ 1; х ≠ 3
{(5-x)/(4-x) >0 ⇒ (x-5)/(x-4)>0 ⇒ x<4 или x>5
{x^2-9x+20>0 ⇒ (x-5)(x-4) >0 см третью строку

ОДЗ: (- ∞; 1)U(1;2) U(2;3) U(3;4) U(5;+ ∞ )

1=log_(a)a

Неравенство:

log_((x-2)^2)(5-x)/(4-x) ≤ log_((x-2)^2)(x-2)^2+log_((x-2)^2)(1/(x-5)(x-4))

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_((x-2)^2)(5-x)/(4-x) ≤ log_((x-2)^2) [b]([/b](x-2)^2/(x-5)(x-4) [b])[/b]

Рассматриваем два случая, в зависимости от основания логарифмической функции

1)
(x-2)^2>1 ⇒ (x-2)^2-1 >0 ⇒ (x-2-1)*(x-2+1) >0

x ∈ (- ∞ ;1) U (3;+ ∞ )
Логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(5-x)/(4-x) ≤(x-2)^2/(x-5)(x-4)

(x-5)/(x-4) - (x-2)^2/(x-5)(x-4) ≤0

((x-5)^2-(x-2)^2)/(x-5)(x-4)≤0

(x-5-x+2)(x-5+x-2)/(x-5)(x-4)≤0
Так как (x-5)(x-4) > 0 cм. третью строчку ОДЗ, то

(x-5-x+2)(x-5+x-2) ≤0
-3*(2x-7) ≤0

2x-7 ≥ 0
х ≥ 3,5

[3,5;4)U(5;+ ∞ )

C учетом x ∈ (- ∞ ;1) U (3;+ ∞ ) получаем
о т в е т. 1)
[3,5;4)U(5;+ ∞ )


2)

0 < (x-2)^2<1 ⇒ (x-2)^2-1 <0; x ≠ 2⇒ (x-2-1)*(x-2+1) <0

x ∈ (1;2) U (2;3 )

Логарифмическая функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

(5-x)/(4-x)≥(x-2)^2/(x-5)(x-4)

(2x-7)/(x-5)(x-4)≤0

Так как (x-5)(x-4) > 0 cм. третью строчку ОДЗ, то
2x-7 ≤0

С учетом x ∈ (1;2) U (2;3 )

о т в е т. 2)
(1;2) U (2;3 )

О т в е т. Объединяем ответ 1) и ответ 2) с учетом ОДЗ

(1;2) U (2;3 )U[3,5;4)U(5;+ ∞ )
Бросают две игральные кости. На каждой выпадает количество очков от 1 до 6.

Результаты появления чисел можно записать в виде пар.
(1;1) - на первой кости 1 и на второй кости 1
...
(1;6)
...
(6;6)
Всего 36 пар.

n=36

Cобытие А - ''произведение очков ,выбравших на обеих костях ,не больше 15''


Событию А благоприятствуют исходы

(1;1); (1;2); (1;3); (1;4);(1;5);(1;6)
(2;1); (2;2); (2;3);(2;4);(2;5);(2;6)
(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);(3;5)
(4;1);(4;2);(4;3)
(5;1);(5;2)(5;3)
(6;1);(6;2)

m=25

p(A)=m/n=25/36

можно рассмотреть противоположное событие

Это и второй способ и проверка.

Ā - ''произведение очков ,выбравших на обеих костях , больше 15''
Событию Ā благоприятствуют исходы

(3;6)
(4;4);(4;5);(4;6)
(5;4);(5;5);(5;6)
(6;3);(6;4);(6;5);(6;6)

m_(Ā)=11

p(Ā)=11/36

Тогда

p(A)=1-p(Ā)=1- (11/36)=25/36
Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

= ∫(4dx)/sin^2(3x)- ∫(4-3x^3)dx/x =

в первом интеграле постоянный множитель можно вынести за знак интеграла,
по формуле ∫dx/sin^2x= - сtgx
и по правилу
∫f(x)dx=F(x), то∫f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b), получим

∫(4dx)/sin^2(3x)=4*(1/3)*(-1/ctg^2(3x))+C=-4/(3ctg^2(3x))

во втором интеграле делим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель

∫(4-3x^3)dx/x = ∫ (4/х)dx - ∫ (3x^3/x)dx=4ln|x| -3∫x^2dx=

=4ln|x| -3*(x^3/3)=4ln|x|- x^3

О т в е т. ∫(4dx)/sin^2(3x)- ∫(4-3x^3)dx/x =-4/(3ctg^2(3x)) -4ln|x| +x^3+C

2. ∫ dx/х= ln|x|

так как d(x-1)= dx, то

∫ dx/(х-1)= ∫ d(x-1)/(х-1)=ln|x-1|

и

так как d(x+2)= dx, то

∫ dx/(х+2)= ∫ d(x+2)/(х+2)=ln|x+2|


Получим

=(4ln|x-1| +ln|x+2|)^4_(2)=

=4ln3+ln6-4ln1-ln4=4ln3+ln(2*3)-2ln2=4ln3+ln2+ln2-2ln2=5ln3-ln2

1.
Выражение под корнем должно быть ≥ 0

Составляем неравенство:

4^((x+1)/x)-17*2^(1/x) +4 ≥0

(x+1)/x=(x/x)+(1/x)=1+(1/x)

4^(1 + (1/x))-17*2^(1/x) +4 ≥0

4*4^(1/x) -17*2^(1/x) +4 ≥ 0

Квадратное неравенство.
Замена переменной

2^(1/x)=t

4*t^2-17t+4 ≥ 0

D=289 - 4*4*4=225

t_(1)=(17-15)/8=1/4; t_(2)=(17+15)/8=4

t ≤1/4 или t ≥ 4

Обратно

2^(1/x) ≤ 1/4 или 2^(1/x) ≥ 4

2^(1/x) ≤ 2^(-2) или 2^(1/x) ≥ 2^2

1/x ≤ -2 или (1/x) ≥ 2

(1+2x)/x ≤0 или (1-2x)/x ≥ 0

-1/2 ≤ x < 0 или 0 < x ≤1/2

О т в е т. [-1/2;0) U (0;1/2]

2.

ax/(x^2+4) < 1,5

ax/(x^2+4) - 1,5 <0

(ax-1,5x^2-6)/(x^2+4) < 0

(1,5x^2-ax+6)/(x^2+4) >0


x^2+4 > 0 при любом х

значит для выполнения требования задачи

должно выполняться неравенство:

1,5x^2 - ax +6 >0

D=a^2-4*1,5*6=a^2-36

Неравенство будет верно при любом х, если D <0

a^2-36 < 0 ⇒ -6 < a < 6

О т в е т. (-6;6)
Логарифмированием.

y=(7x)^(5/(4+lnx))

lny=ln(7x)^(5/(4+lnx))

По свойству логарифма степени:

lny=(5/(4+lnx)) * ln(7x)

lny=(5ln(7x))/(4+lnx)

Находим

lim_(x →0)lny=lim_(x →0)(5ln(7x))/(4+lnx)=неопределенность ( ∞/ ∞)
применяем правило Лопиталя

=lim_(x →0)(5ln(7x))`/(4+lnx)`=

=lim_(x →0)(5*7/(7x))/(1/x) = [b]5[/b]


lim_(x →0)y = e^(5) - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
2x^2 - 5x + 31 = 7^(2)
2x^2 - 5x - 18 = 0
D=25-4*2*(-18) = 169

x_(1)= (5 - 13)/4 = - 2 ; x_(2)= (5+13)/4=9/2
Решаем однородное уравнение:
y``- y`- y=0

Составляем характеристическое уравнение
k^2- k -1 = 0
D=1-4*(-1)=5

k_(1)=(1 - sqrt(5))/2; k_(2)=(1+sqrt(5))/2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x)

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

Справа многочлен третьей степени, значит
у_(ч)=ax^3+bx^2+cx+d

y`_(ч)=3ax^2+2bx+c
y``_(ч)=6ax+2b

Подставляем в данное уравнение:

6ax+2b- (3ax^2+2bx+c)-(ax^3+bx^2+cx+d)=x^3+6;

приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

-a =1 ⇒ a = - 1

- 3a - b =0⇒ b=-3a =3

6a - 2b - c = 0⇒ c=-12

2b - c - d = 6 ⇒ d=12


a = - 1
b = 3
c = - 12
d = 12

у_(ч)= - x^3+3x^2+6x+12

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(о) и у_(ч)

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x) -x^3+3x^2 +6x+12
Ответ выбран лучшим
[b]∫ ^(0)_(- ∞ )x*e^(x)dx[/b]

по частям

u=x ⇒ du=dx
dv=e^(x)dx ⇒ v= ∫ e^(x)dx=e^(x)

[b]∫ ^(0)_(- ∞ )x*e^(x)dx[/b] =(xe^(x))|^(0)_(-∞)- ∫^(0)_(- ∞)e^(x)dx=

= (xe^(x))|^(0)_(- ∞ )- (e^(x))| ^(0)_(- ∞ )=

=0*e^(0)- lim_(x → - ∞)xe^(x) - e^(0) + lim_(x → - ∞)e^(x)=

=0 - (неопределенность ∞*0) -1 + 0=

замена t=-x

=0 + lim_(t → +∞)(-t)*e^(-t) -1=

= im_(t → +∞)t/e^(t) - 1=

правило Лопиталя:

= lim_(t → +∞)(t)`/(e^(t))` + 1=

= lim_(t → +∞)1/e^(t) + 1=

= 0 - 1= -1

Сходится
x=x*1=x*lg10=lg10^(x)

x+lg(1+4^(x))=lg10^(x)+lg(1+4^(x))=lg(10^(x)*(1+4^(x))

Уравнение:


[b]lg(10^(x)*(1+4^(x))=lg50[/b]

lg(10^(x)*(1+4^(x))=lg50


10^(x)*(1+4^(x))=50

10^(x)+(10*4)^(x)=50

[b]10^(x)+(40)^(x)=50[/b]

Решаем графически

y=10^(x) возрастающая функция
y=(40)^(x) возрастающая функция

cумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

y=50 - график прямая || оси Ох

Возрастающая функция слева и прямая || оси Ох пересекаются ровно в одной точке.

Это точка х=1

О т в е т. [b]х=1[/b]

2.
ОДЗ:
{sinx>0
{cosx>0
{cosx ≠ 1

log_(cosx)sinx=1 ⇒ (cosx)^(1)=sinx

sinx=cosx

Делим обе части уравнения на cosx ≠ 0

tgx=1

x=(π/4) +πk, k ∈ Z

ОДЗ удовлетворяют корни в первой четверти, при k=2n


О т в е т. (π/4) +2πn, n ∈ Z
ОДЗ:
{(x+2)^2*(x+5)/5 >0 ⇒ _-_ ( -5) _+__ (-2) _+_ ⇒ х ∈ (-5;-2)U(-2;+ ∞)
{ (x+5)/20 >0 ⇒ x > -5 ⇒ x ∈ (-5;+ ∞ )

ОДЗ: х ∈ (-5;-2)U(-2;+ ∞)

lg^2(х+2)^2(х+5)/5 < lg^2 (x+5)/20

lg^2(х+2)^2(х+5)/5 - lg^2 (x+5)/20 <0

По формуле разности квадратов:

(lg(х+2)^2(х+5)/5 - lg (x+5)/20) *(lg(х+2)^2(х+5)/5 + lg (x+5)/20) < 0

Разность логарифмов заменим логарифмом частного, сумму логарифмов - логарифмом произведения

lg(4(x+2)^2) * lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) < 0

Произведение отрицательно, значит множители имеют разные знаки.
Получаем совокупность двух систем

(1)
{lg(4(x+2)^2)>0
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) < 0

или
(2)
{lg(4(x+2)^2)<0
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) > 0


0=lg1

(1)
{lg(4(x+2)^2)>lg1
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) < lg1

или
(2)
{lg(4(x+2)^2)<lg1
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) > lg1

y=lgt - возрастает,

(1)
{4(x+2)^2>1 ⇒ (2(х+2)-1)(2(х+2)+1) >0
{(x+2)^2*(x+5)^2/100) < 1⇒((x+2)(x+5)/10 - 1)*((x+2)(x+5)/10 + 1) <0

или
(2)
{4(x+2)^2)<1⇒ (2(х+2)-1)(2(х+2)+1) < 0
{(x+2)^2*(x+5)^2/100) > 1⇒((x+2)(x+5)/10 - 1)*((x+2)(x+5)/10 + 1) >0



(1)
{ (2х+3)(2х+5) >0 ⇒ x < -2,5 или х > -1,5
{(x^2+7x)(x^2+7x+20) <0⇒ x^2+7x < 0 ⇒ - 7 < x < 0

о т в е т. (1) (-7;-2,5)U(-1,5;0)

или
(2)
{(2x+3)(2x+5) < 0⇒ -2,5 < x < -1,5
{(x^2+7x)(x^2+7x+20) > 0⇒x^2+7x >0 ⇒ x < -7 или x >0

о т в е т (2) нет решений

Объединяем ответы (1) и (2) и с учетом ОДЗ
получаем
О т в е т. [b](-5; -2,5)U(-1,5;0)[/b]
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
y`=15x^4-20x^3+3
y``=60x^3-60x^2

y``=0
60x^3-60x^2=0

60x^2(x-1)=0

x=0; x=1

Знак второй производной

_-__ (0) _-__ (1) __+_

y``<0 на (- ∞ ; -1) вып вверх
y``>0 на (1;+ ∞ ) вып вниз
х=1 точка перегиба
(прикреплено изображение)
Из равнобедренного треугольника KDC:
cos α =(1/2)KC/CD=7,5k/25k=3/10
О т в е т. 0,3 (прикреплено изображение)
(2–3i)+(4+2i)–(2–7i)=2–3i+4+2i–2+7i=(2+4-2)+(-3i+2i+7i)=4+6i
О т в е т. 4+6i
2x-3iх-y=4+2i
(2x-y)-3х*i=4+2i
a)
{2x-y=4
{-3х=2

х=-2/3
у=2х-4=(-4/3)-4=-16/3


О т в е т. х=-2/3; у=-16/3

б)
y=ki
x=mi
тогда

(2-3i)*mi-ki=4+2i
2mi-3mi^2-ki=4+2i
(2m-k)*i+3m=4+2i
{3m=4 ⇒ m=4/3
{2m-k=2 ⇒ k=8/3-2=2/3

О т в е т. х=(4/3)i; y=(2/3)i
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

АМ:МB=АС:СB=30:45=2:3

Пусть
АМ=2k
MB=3k

AB=5k

По теореме Пифагора
AC^2+BC^2=AB^2

30^2+45^2=(5k)^2

k=15sqrt(13)

AM=30sqrt(13)

По теореме косинусов из Δ АМС

АМ^2=AC^2+MC^2-2*AM*MC*cos45^(o)

⇒ MC

S( Δ AMC)=(1/2)AC*MC*sin45^(o)
Ответ выбран лучшим
z=3-i
|z|=sqrt(sqrt(3)^2+(-1)^2)=sqrt(4)=2

argz= φ

cos φ =x/|z|=√3 /2
sin φ =y/|z|=-1 /2

tg φ =sin φ /cos φ =-1 /√3
φ =(-π / 6)

argz= (-π / 6)

z=2*(cos(-π/6)+isin(-π/6))

z=2*(cos(π/6)-isin(π/6)) - тригонометрическая форма данного
комплексного числа

По формуле Муавра

z^(50)=2^(50)*(cos(50π/6)-isin(50π/6))

z^(50)=2^(50)* [b]([/b] cos(8π+(π/3)) - i sin(8π+(π/3)) [b])[/b]=

=2^(50)* [b]([/b]cos(π/3) - sin(π/3) [b])[/b]=

= [b]2^(49)*(1-i√3 )[/b]
1)
S= ∫ ^(2√2)_(0) x^2*√(8-x^2)dx

Считаем интеграл заменой переменной.
Применяем тригонометрические подстановки
x=2√2 sint
8-x^2=8=8sin^2t=8*(1-sin^2t)=8*cos^2t
√(8-x^2)=2√2cost

dx=2√2 cost dt

Меняем пределы интегрирования:
x=2√2

2√2=2√2sint; sint=1⇒ t=π/2

x=0

t=0

S= ∫ ^(π/2)_(0) (8sin^2t)*(2√2cost)*(2√2 cost dt)=

=64 ∫ ^(π/2)_(0) (sintcost)^2dt=

=16∫ ^(π/2)_(0) (sin2t)^2dt=

=8∫ ^(π/2)_(0) (1-cos4t)dt=

=8*(t-(1/4)sin4t)| ^(π/2)_(0)=8*(π/2)= [b]4π[/b]

2)
S= ∫ ^(1)_(0) √(4-y^2)dy=

=((y/2)*sqrt(4-y^2)+2arcsin(y/2))|^(1)_(0)=

=(1/2)sqrt(3)+2arcsin(1/2)-0-2arcsin0=

=(1/2)sqrt(3)+2*(π/6)= [b](sqrt(3)/2)+(π/3)[/b]

3)
S= ∫ ^(4)_(0) x^2*√(16-x^2)dx

Считаем интеграл заменой переменной

Применяем тригонометрические подстановки
x=4sint
16-x^2=16-16sin^2t=16*(1-sin^2t)=16*cos^2t
√(16-x^2)=4cost

dx=4cost dt
Меняем пределы интегрирования:
x=4

4=4sint
sint=1

х=4 ⇒ t=π/2

x=0 ⇒ t=0

S= ∫ ^(π/2)_(0) (16sin^2t)*(4cost)*(4 cost dt)=

=256 ∫ ^(π/2)_(0) (sintcost)^2dt=

=64∫ ^(π/2)_(0) (sin2t)^2dt=

=32∫ ^(π/2)_(0) (1-cos4t)dt=

=32*(t-(1/4)sin4t)| ^(π/2)_(0)=32*(π/2)= [b]16π[/b]

4)
S= ∫ ^(6)_(0) x*√(36-x^2)dx

Считаем интеграл заменой переменной

Применяем тригонометрические подстановки
x=6sint
36-x^2=36-36sin^2t=36*(1-sin^2t)=36*cos^2t
√(36-x^2)=6cost

dx=6cost dt
Меняем пределы интегрирования:
x=6

6=6sint
sint=1

х=6 ⇒ t=π/2

x=0 ⇒ t=0

S= ∫ ^(π/2)_(0) (6sint)*(6cost)*(6 cost dt)=

=216 ∫ ^(π/2)_(0) (cost)^2*sindt=

=216∫ ^(π/2)_(0) (cos^2t)(-d(cost))=

= - 216*(cos^3t)/3)| ^(π/2)_(0)=72(cos0/3)= [b]24[/b]
Ответ выбран лучшим
Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''+5y'+6y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+5k+6=0
D=25-24=1

k_(1)=-3; k_(2)=-2 - корни действительные различные,

поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(-2x) - общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение
находим в виде
y_(частное неодн)=Аe^(2x)
y`_(частное неодн) =2Ae^(2x)
y``_(частное неодн)=4Ae^(2x)

Подставляем в данное неоднородное уравнение:
4Ae^(2x) +5 *2Ae^(2x)+6*Ae^(2x)=e^(2x)
20Ae^(2x)=e^(2x)
A=1/20

y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)

y=C_(1)e^(5x)+C_(2)x*e^(5x) +(1/20)*e^(2x) - общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Неопределенный интеграл
∫ f(x)dx=F(x)+C

∫(9x^2-4x+3)dx=9*(x^3/3) -4*(x^2/2)+3x=3x^3-2x^2+3x+C

Проверка
(3x^3-2x^2+3x+C)`=9x^2-4x+3


Формула Ньютона - Лейбница:
∫^(b)_(a) f(x)dx=F(x)|^(b)_(a)=F(b)-F(a)

∫^(4)_(3)(9x^2-4x+3)dx=(3x^3-2x^2+3x)|^(4)_(3)=

=3*4^3-2*4^2+3*4 - 3*3^3+2*3^2-3*3= 100
Ответ выбран лучшим
П,с,т,х - согласные
а,у - гласные

Одна согласная на первом месте, другая на четвертом:
a_ _ y _ _
y_ _ a _ _

На 4 места согласные можно разместить 4! способами
Всего 2*4!=32 слова.

Одна согласная на втором месте, другая на пятом:
_a_ _ y _
_y_ _ a _
Здесь тоже 32 слова

Одна согласная на третьем месте, другая на шестом:
_ _a_ _ y
_ _y_ _ a
Здесь тоже 32 слова

Всего 3*32=96 слов

[b]A на первом месте[/b], тогда на оставшихся трех местах размещаем ВСD
3! =6 способами

А ВСD
A BDC
A CBD
A CDB
A DBC
A DCB

[b]A на втором месте[/b], тогда B можно разместить только на 3 и 4 места двумя способами. С или D на оставшиеся свободными два места еще двумя способами, значит всего 4 способа

CA BD
CA DB
DA CB
DA BC

[b]А на третьем месте[/b], тогда В можно разместить на 4 место одним способом и на два оставшихся места C и D двумя способами.

CDA B
DCA B
О т в е т. 6 + 4 + 2= [b] 12 способов[/b]
Ответ выбран лучшим
[b]Замена переменной:[/b]

(1/8)х=t

Уравнение принимает вид:

cost*sin^3t-cos^3t*sint=(1/8)sqrt(3)

sint*cost*(sin^2t-cos^2t)=(1/8)sqrt(3)

По формулам:
sin2t=2*sint*cost
cos^2t - sin^2t= cos2t
2*sin2t*cos2t=sin4t

Умножаем данное уравнение на 4
2*(2sint*cost)*(sin^2t-cos^2t)=(1/2)sqrt(3)
2*sin2t*(-cos2t)=sqrt(3)/2

[b]sin4t = - sqrt(3)/2[/b]

4t=(-1)^(k)*arcsin(-sqrt(3)/2) +πk, k ∈ Z

4t=(-1)^(k)*(-π/3) +πk, k ∈ Z

4t=(-1)^(k+1)(π/3) +πk, k ∈ Z

Обратный переход от t к х:

x/2=(-1)^(k+1)(π/3) +πk, k ∈ Z

[b]x=(-1)^(k+1)(2π/3) +2πk, k ∈ Z[/b] - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
1) [b]Замена переменной:[/b]

(1/28)x=t
(1/14)x=2t

2)Уравнение принимает вид:

[b]sin2t=cos^4t-sin^4t[/b]

По формуле разности квадратов:

cos^4t-sin^4t=(cos^2t)^2-(sin^2t)^2=(cos^2t-sin^2t)*(cos^2t+sin^2t)=

=cos2t*1=cos2t

Применили формулы
косинуса двойного угла
cos2t=cos^2t-sin^2t
и
тригонометрической единицы:
cos^2t+sin^2t=1

3) Уравнение:
[b]sin2t=cos2t[/b] - однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

Делим на cos2t ≠0

4)
tg2t=1

2t=( π/4)+πk, k ∈ Z

5)
Обратная замена и [b]гра-дусы[/b]

(1/14)х=45^(o)+180^(o)*k, k ∈ Z

х=(14*45^(o))+14*180^(o)*k, k ∈ Z

[b]х=630^(o)+2520^(o)*k, k ∈ Z[/b]

(можно оставить 14*180^(o) вместо 2520^(o))

Наименьший положительный корень при n=0
x [b]=630^(o)[/b]



В решении задачи выделено 5 этапов
По формулам приведения
сos(x+50°)=sin(90°-(x+50 ° ))=sin(40°-x)

сos(x+50°)+sin(x+40°)= sin(40°-x)+sin(x+40°)=2sin40°cos(-x)
cosx(-x)=cosx

Уравнение принимает вид
2sin40°*cosx=1+2cos x* sin40°+cos90x

cos90x=-1

90x=-180°+360° *n, n ∈ Z

x=-2° +4°n, n ∈ Z

Наибольший отрицательный
х=-2 °
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{9^(x)+9 > 0 неравенство верно при любом х
{28-2*3^(x) >0 ⇒ 2*3^(x) < 28 ⇒ 3^(x) <14 ⇒ x < log_(3)14

так как
x=log_(3)3^(x), то неравенство принимает вид:
log_(3) (9^(x) +9) = log_(3)3^(x)+log_(3)(28−2*3^(x)).

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(3) (9^(x) +9) = log_(3)3^(x)*(28−2*3^(x)).

9^(x) + 9 = 3^(x)*(28 − 2*3^(x)).
3*(3^(x))^2-28*3^(x)+9 =0 - квадратное уравнение относительно 3^(x)

Замена переменной:
3^(x)=t; t >0

9^(x)=t^2

3*t^2 - 28*t + 9 = 0

D=(-28)^2-4*3*9=4*(49*4-36)=4*169=26^2

t=(28-26)/6=1/3 или t=(28+26)/6=9

Обратно:

3^(x)=1/3
3^(x)=3^(-1)
x=-1

или

3^(x)=9
3^(x)=3^(2)
x=2

Оба корня удовлетворяют ОДЗ

2 < log_(3)14, так как log_(3)9 <log_(3)14

О т в е т. [b]-1; 2 [/b]
Ответ выбран лучшим
a=12;
b=5
c=13

V=a*b*c=5*12*13= считаем самостоятельно

S_(полн. пов.)=2*ab+2*ac+2*bc=2*12*5+2*12*13+2*5*13= считаем самостоятельно

d^2=a^2+b^2+c^2=12^2+5^2+13^2=144+25+169=2*169
d= [b]13 sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)
Находим абсциссы точек пересечения графиков
x^2-1=-x+1
x^2+x-2=0
D=1+8=9
x=(-1-3)/2=-2; x=(-1+3)/2=1

S= ∫^(1)_(-2)(-x+1-(x^2-1))dx= ∫^(1)_(-2)(-x+1-x^2+1)dx=

= ∫^(1)_(-2)(2-x-x^2)dx=(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(-2)=

=2-(1/2)-(1/3) -(-4-2+8/3)= [b]4,5[/b] (прикреплено изображение)
Находим производную.
Применяем правило: производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель можно выносить за знак производной:
f`(x)=(2x^2-3x^3+10)`=(2x^2)`-(3x^3)`+10`=4x-9x^2+0= [b]4x-9x^2[/b]

Критические точки - точки в которых производная равна нудю или не существует.
Точек, в которых производная не существует - нет, так как производная квадратичная функция, определена при любом х

Находим точки, в которых производная равна 0

f`(x)=0

[b]4х-9x^2[/b]=0

x*(4-9x)=0

x=0 или 4-9х=0 ⇒ х=4/9

О т в е т. 0 и (4/9)
а)
Применяем правило нахождения производной частного (дроби)
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2


u=sin4x-2
Применяем правила:
1) производная суммы равна сумме производных
2)Правило нахождения производной сложной функции
u- функция зависящая от х

по формуле:
(sinx)`=cosx
для сложной функции
(sinu)`=(cosu)* u`


u`=(sin4x-2)=(sin4x)`-2`=(cos4x)*(4x)`-0=4cos4x



v=cos4x+3
Применяем правила:
1) производная суммы равна сумме производных
2)Правило нахождения производной сложной функции
u- функция зависящая от х

по формуле:
(cosx)`=-sinx
для сложной функции
(cosu)`=(-sinu)* u`

v`=(cos4x+3)=(cos4x)`+3`=(-sin4x)*(4x)`-0=-4sin4x


Само решение выглядит так:

f`(x)=((sin4x-2)`*(cos4x+3)-(sin4x-2)*(cos4x+3)`)/(cos4x+3)^2=

=(4cos4x*(cos4x+3) - (sin4x-2)*(-4sin4x))/(cos4x+3)^2=

=(4cos^24x+12cos4x+4sin^24x-8sin4x)/(cos4x+3)^2=

так как 4cos^24x+4sin^24x=4(cos^24x+sin^24x)=4*1=4

= [b](12cos4x-8sin4x+4)/(cos4x+3)^2[/b] - о т в е т.


б)

Применяем правила:
1) производная суммы равна сумме производных
2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
3) Правило нахождения производной сложной функции
u- функция зависящая от х

(tgx)`=1/cos^2x

(tgu)`=(1/cos^2u)*u`


(ctgx)`= -1/sin^2x

(ctgu)`=(-1/sin^2u)*u`


(lnx)`=1/x
(lnu)`=(1/u)*u`

f`(x)=(tg3x)`-(1/4)*(ctg4x)`+(ln(3x+1))`=

=(1/cos^23x)*(3x)` - (1/4)*(-1/sin^24x)*(4x)`+(1/(3x+1))*(3x+1)`=

[b]=(3/cos^23x) +(1/sin^24x)+(3/(3x+1)) [/b] - о т в е т.

Формула понижения степени:
cos^2α=(1+cos2α)/2


(1+cos2x)/2 +3*(1+cosx)/2=2

(1/2)cos2x +(3/2)cosx=0

cos2x+3cosx=0

cos2x=2cos^2x-1

2cos^2x+3cosx-1=0
D=9+8=17

cosx=(-3-sqrt(17)/4 уравнение не имеет корней, косинус ограниченная функция и не принимает значений меньших -1,

(-3-sqrt(17) )/4 <-1

cosx=(-3+sqrt(17)/4

[b]x= ± arccos((-3+sqrt(17))/4)+2πk, k ∈ Z[/b]
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго постоянными коэффициентами.

Решаем однородное дифференциальное уравнение второго постоянными коэффициентами.
y'' –4y'+8y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2 –4k+8=0
D=16-32=-16
sqrt(D)=4i

k_(1)=2-2i;k_(2)=2+2i;

α =2
β=2

y_(общ одн) находят по формуле:
y_(общ одн)=e^( α x)*(C_(1)cosβx+С_(2)sinβx)


y_(част неодн)=e^(x)(Asinx+Bcosx)
Замена
y``=z
тогда
y```=z`

xz`-z=sqrt(x) - линейное уравнение вида
z`-p(x)z=q(x)

Решается методом Бернулли (z=u*v) или методом вариаций.

z=y``

y`= ∫ zdx

y``= ∫ y`dx
Применяем радикальный признак Коши:

lim_(n→∞ ) (a_(n))^(1/n)= lim_(n→∞ )(n+1)/(2n+1) =1/2 < 1

Ряд сходится

Ответ выбран лучшим
2x^2+y^2=4 ⇒ выразим y^2=4-2x^2

Тогда
4x+y^2=4x+4-2x^2 - квадратный трехчлен, который принимает наибольшее значение при x=1
( в вершине параболы, абсцисса вершины х_(o)=-b/2a)

4*1+4-2*1^2= [b]6[/b] - максимальное значение, которое может принимать выражение 4x + y^2.


2x^2+y^2=4 ⇒ выразим x^2=(4-y^2)/2

x= ± sqrt((4-y^2)/2)

Наименьшее значение выражение
4x+y^2 принимает при x=-sqrt((4-y^2)/2)

х < 0 при любом |y|≤ 2

Чтобы сумма отрицательного числа и неотрицательного (y^2)
принимала наименьшее значение надо, чтобы y^2=0 ⇒

x=-sqrt((4-0)/2)=-sqrt(2)

4x+y^2=4*(-sqrt(2))+0= [b]-4sqrt(2) [/b] - минимальное значение, которое может принимать выражение 4x + y^2.
e^(7x^2)-1 ∼ 7x^2 при x → 0
ln(1+4x^3) ∼ 4x^3 при x → 0

7x^2/4x^3=4/4x → ∞ при x → 0

О т в е т.
Пусть АМ=3х; МВ=х
и АМ:МВ=3х:х=3:1
АВ=АМ+МВ=4х

Пусть СN=y; NB=7y
тогда
ВС=8y

S( Δ АВС)=(1/2)АВ*ВС*sin ∠ B= (1/2)*4x*8y*sin ∠B= [b]16xysin∠ B[/b]

S( Δ MВN)=(1/2)MB*ВN*sin ∠ B= (1/2)*x*7y*sin ∠B= [b]3,5xysin∠ B[/b]

S(AMNC)=S( Δ АВС) - S( Δ MВN)= [b]12,5xysin∠ B[/b]

12,5xysin∠ B составляют 100%
3,5xysin∠ B составляют p%

p=(3,5xysin ∠ B)*100%/(12,5xysin∠ B)=(3,5)*100%/(12,5)=28%
1.
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

9^(1,5-0,3x)-(1/27) >0
9^(1,5-0,3x)>1/27

так как
9=3^2

27=3^3

1/27=3^(-3)

3^(2*(1,5-0,3x)) > 3^(-3)

2*(1,5-0,3x) > -3

- 0,6x > -6

x < 10

[b](- ∞; 10)[/b]

2.

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

((2-3x)`*(x-1) - (2-3x)*(x-1)`)/(x-1)^2=(-3*(x-1)-(2-3x)*1)/(x-1)^2=

=(-3x+3-2+3x)/(x-1)^2=1/(x-1)^2

f`(2)=1/(2-1)^2= [b]1[/b]

3.

tg α =f`(x_(o))

f(x)=x^3-3x^2+x

x_(o)=2

f`(x)=3x^2-6x+1

f`(2)=3*2^2-6*2+1=1


tg α=1

α= [b] π/4[/b]
По теореме Виета:
x_(1)+x_(2)=a
x_(1)*x_(2)=a+1

x^2_(1)+x^2_(2)=(x_(1)+x_(2))^2-2x_(1)*x_(2)=a^2-2(a+1)= [b]a^2-2a-2[/b]

a^2-2a-2 >1

a^2-2a-3 >0

D=4+12=16

a_(1)= - 1; a_(2)=3

решение неравенства:

a < -1 или a > 3

О т в е т. [b](- ∞; -1) U (3;+ ∞ )[/b]
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1).

Значит k_(касательной)= - (1/а)

Геометрический смысл производной в точке:

k_(касательной)=f `(x_(o))

Пусть точка касания (x_(o);y_(o))
Так как точка находится на параболе, то
y_(o) = x^2_(o)

f`(x)=2x
f`(x_(o))=2x_(o)

2x_(o)=-1/a

a=-1/(2x_(o))



Если прямая пересекает касательную именно в точке касания, то
(x_(o); x^2_(o)) удовлетворяет уравнению прямой

х^2_(o)=a*x_(o)+(3/2) ⇒ a=-1/(2x_(o))

х^2_(o)=(-1/2)+(3/2)

x^2_(o)=1

x_(o)= ± 1 ⇒ [b]a=-1/2 или a=1/2[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Замена переменной входит в перечень необходимых умений и значительно экономит время на экзамене.Только в последней строчке пришлось делить на корень из трех! (прикреплено изображение)
По формулам приведения

cos((π/2)–x)=sinx
sin⁡(π+x)=-sinx
sin⁡((3π/2)–x)=-cosx
cos⁡(π+x)=-cosx

Уравнение:
4sinx *sinx+4*(-sinx)*cosx+2 *(-cosx)*(-cosx)=sin^2x+cos^2x

3sin^2x-4sinxcosx+cos^2x=0 - однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Делим на cos^2x ≠ 0

3tg^2x-4tgx+1=0
D=16-4*3*1=4

tgx=1/3 или tgx =1
x= [b] arcctg(1/3)+πk, k ∈ Z [/b] или x= [b](π/4)+πn, n ∈ Z[/b]
Ответ выбран лучшим
1=sin^2x+cos^2x

2sin^3x=1*cosx

2sin^3x=(sin^2x+cos^2x)*cosx

2sin^3x=sin^2x*cosx+cos^3x

получили однородное тригонометрическое уравнение третьей степени

Делим на cos^3x ≠ 0

2tg^3x=tg^2x+1

(tgx-1)*(2tg^2x+tgx+1)=0

tgx=1 - единственный корень уравнения ( D квадратного ур. отриц)

x= [b](π/4)+πk, k ∈ Z [/b] - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
1.
27^(1/2)=(3^(3))^(1/2)=3^(3/2)
(1/9)^(3/4)=(3^(-2))^(3/4)=3^(-6/4)=3^(-3/2)

27^(1/2)*(1/9)^(3/4)=3^(3/2)*3^(-3/2)=3^(0)=1

(27^(1/2)**(1/9)^(3/4))^(4/3)= [b]1^(4/3)=1[/b]

2.
2lg5+(1/2)lg16=lg5^2+lg16^(1/2)=lg25+lg4=lg(25*4)=lg100=2
[b]2lg5+(1/2)lg16=2[/b]

3.
tg(π/3)=sqrt(3)
tg^2(π/3)=3

cos(3π/4)=-sqrt(2)/2
cos^2(3π/4)=1/2

[b]tg^2(π/3)- cos^2(3π/4)=3-(1/2)=2,5[/b]

4.
ОДЗ: -x > 0 ⇒ x <0

Возводим в квадрат

20-х=(-x)^2
x^2+x-20=0
D=1-4*(-20)=81
x_(1)=(1-9)/2=-4; x_(2)=(1+9)/2=5

x=5 не является корнем, не удовл ОДЗ

О т в е т. [b]-4[/b]

5.

(1/5)^(3-x)=25^(1-2x)
(5^(-1))^(3-x)=(5^(2))^(1-2x)
5^(x-3)=5^(2-4x)
x-3=2-4x
x+4x=2+3
5x=5
[b]x=1[/b]

6.

1.
2 целых (4/7)-2 целых (5/10)=2 целых (4/7)-2 целых (1/2)=

=2 целых (8/14)-2 целых (7/14)=(2целых-2 целых) ((8/14)-(7/14)=

=0 целых (1/14)= [b]1/14[/b]

2.
2^(10)*3^(6) : 6^(5)=2^(10)*3^(6) / 6^(5)=2^(10)*3^(6) / (2*3)^(5)=

=2^(10-5)*3^(6-5)=2^(5)*3=32*3= [b]96[/b]

3.
400 - 100%
480 - p%

p=480*100/400=120%

120%-100%=20%

Повысилась на 20%

4.
q=sqrt(((sqrt(2))^2+3^2+17^2)/3)=sqrt(300/3)=sqrt(100)=10

5.
log_(a)(a/b^3)= логарифм частного= log_(a)a-log_(a)b^3=

логарифм степени=

=1-3log_(a)b=1-3*5=1-15= [b]-14[/b]

6
3000:100=30 руб составляет 1% от 3000
30*10=300 руб составляют 10% от 3000

3000 +300=3300 руб cтоимость со сборкой

7.
(1/5)^(5-x)=125

(1/5)^(5-x)=(1/5)^(-3)

5-x=-3
x=5+3
[b]x=8[/b]
Ответ выбран лучшим
Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
|a_(n)| → 0
{|a_(n)|} монотонно убывающая как сумма убывающих

при n четном
|a_(2n)|= |8+(-1)^(2n)|/sqrt((2n)^2+3)=9/sqrt(4n^2+3)

при n нечетном
|a_(2n-1)|= |8+(-1)^(2n-1)|/sqrt((2n-1)^2+3)=7/sqrt((2n-1)^2+3)


f(2n)=|a_(2n)|= |8+(-1)^2n|/sqrt((2n)^2+3)=9/sqrt(4n^2+3)

f(x)=9/sqrt(4x^2+3)

f`(x)=9*(-1/2)*(8x)/sqrt((4x^2+3)^3) <0


f(2n-1)=|a_(2n-1)|= |8+(-1)^(2n-1)|/sqrt((2n-1)^2+3)=7/sqrt((2x-1)^2+3)

f(x)=7/sqrt((2x-1)^2+3)

f`(x)=7*(-1/2)*(4*(4x-1))/sqrt(((2x-1)^2+3)^3) <0


Ряд из модулей
расходится, так как эквивалентен гармоническому.

О т в е т. сходится условно
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
см. решение задачи 26369 на этом сайте
L=10 cм - образующая.
В сечении равнобедренный треугольник АРВ, углы при основании 60 градусов, значит угол при вершине - угол АРВ= 60 градусов.

Осевое сечение конуса - равносторониий треугольник АРВ со стороной 10
В основании - диаметр конуса, значит радиус равен 5 см

R=5см

H^2=L^2-R^2=
H^2=10^2-5^2=75
H= [b]5sqrt(3)[/b]

S_(осевого сечения)=S_(равностороннего треугольника со стороной а)=

=(1/2)*a^2sqrt(3)/2=a^2sqrt(3)/4

При а=L=10

S_(осевого сечения)=10^2sqrt(3)/4=25sqrt(3) (кв. см)


S_(бок. конуса)=π*R*L=π*5*10=50*π (кв см)

S_(осн)=π*R^2=π*5^2=25*π ( кв. см)

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)==50*π+25*π=75*π(кв. см)
.

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*25*π*5sqrt(3)=75πsqrt(3)/3 (куб см) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Околоток=
буквы о
две к
одна л
одна т

P(4;2;1;1) =8!/(4!·2!·1!*1!)=840 слов всего.

Свяжем 3 буквы вместе
P(1;1;2;1;1)=6!/(1!·2!·1!*1!*1!)=360 слов, в которых три буквы "о" идут подряд
Среди них встречаются слова, в которых 4 буквы "о"
идут подряд

Свяжем 4 буквы вместе
Р(1;2;1;1)=5!.2!=60


P(3;1;2;1;1) - Р(1;2;1;1)=360-60=300 слов, в которых ровно 3 буквы «о» идут подряд.

О т в е т. 840-300=540
Ответ выбран лучшим
1.
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0

Cкалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат.

2*(n-3) +(-1)*(-n)+0*(-5)=2n-6+n=3n-6

3n-6=0

n=2

2.
По теореме Пифагора
d^2=10^2-8^2=100-64=36
d=6

3
V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн.) * Н

S_(осн.)=(1/2)*АВ*АС*sin ∠ BAC= (1/2)*5*8*sin120 ° =

=10 sqrt(3)

V=(1/3)*10 sqrt(3)*2= [b]20sqrt(3)/3[/b]
Ответ выбран лучшим
P(2;3;3)=8!/(2!*3!*3!)=80 всего перестановок.

Свяжем тройки в одну связку
Р(2;1;3)=6!/(2!*1!*3!)=60

Среди них встречаются такие расположения, когда три двойки тоже идут друг другом
5*P(2;1)=5*(3!/2!)=15

60+15=75

80-75=5


Общий член разложения по полиномиальной формуле имеет вид:
1^(m)*(x^7)^(n)*(-x^2)^(k)
При этом
m+n+k=25
7n+2k=48 ⇒ 7n=48-2k

n- четное, так как справа разность четных есть четное

k=24; n=0 и m=1
k=17; n=2 и m=6
k=10; n=4 и m=11
k=3; n=6 и m=16

Получаем 4 слагаемых, содержащих x^(48)

P(1;0;24)*1^(1)*(x^(7))^(0)*(-x^(2))^(24)
P(6;2;17)*1^(6)*(x^(7))^(2)*((-x^(2))^(17)
P(11;4;10)*1^(11)*(x^(7))^(4)*((-x^(2))^(10)
P(16;6;3)*1^(16)*(x^(7))^(6)*((-x^(2))^(3)

Cкладываем:
((25!*1^1)/(1!*0!*24!))-(25!*1^6)/(6!*2!*17!))+(25!*1^(11))/(11!*4!*10!))-(25!*(1^(16))/(16!*6!*3!)) )* x^(48)

Коэффициент

(25!*1^1)/(1!*0!*24!))-(25!*1^6)/(6!*2!*17!))+(25!*1^(11))/(11!*4!*10!))-(25!*(1^(16))/(16!*6!*3!))
Считаем самостоятельно
Ответ выбран лучшим
Раскладываем дробь на простейшие.

n^2+4n+3=(n+1)(n+3)

тогда

8/(n^2+4n+3)= A/(n+1)+ B/(n+3)

8=(A+B)n+(3A+B)

A+B=0
3A+B=8

2A=8
A=4
B=-4

S_(n)= ∑ ^(n)_(1)(4/(k+1) - 4/(k+3))=

=(4/2) - (4/4)+
+(4/3) - ( 4/5)+
+(4/4) - (4/6)+
+(4/5) - (4/7)+

...
+4/(n-1) - 4/(n+1)+

+(4/n) - 4/(n+2) +

+4/(n+1) - 4/(n+3)


S_(n)=(4/2) + (4/3) + ... - 4/(n+2) - 4/(n+3)

=(10/3)+ ... - 4/(n+2) - 4/(n+3)

По определению:

S=lim_(n → ∞ )S_(n)=10/3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть T_(k)=C^(k)_(19)*(3)^(k)*(sqrt(10))^(19-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)

T_(k-1)=C^(k-1)_(19)*(3)^(k-1)*(sqrt(10))^(19-k+1)=
=(19!/(k-1)!*(19-k+1)!)3^(k-1)*(sqrt(10))^(19-k+1)

T_(k)=C^(k)_(19)*(3)^(k)*(sqrt(10))^(19-k)=
=(19!/(k)!*(19-k)!)3^(k)*(sqrt(10))^(19-k)

T_(k+1)=C^(k+1)_(19)*(3)^(k+1)*(sqrt(10))^(19-k-1)=
=(19!/(k+1)!*(19-k-1)!)3^(k+1)*(sqrt(10))^(19-k-1)

{(3/k) > sqrt(10)/(19-k+1) ⇒ k < 57/(sqrt(10)+3) ≈ считаем самостоятельно
{sqrt(10)/(19-k) > 3/(k+1) ⇒ k > (57-sqrt(10))/(sqrt(10)+3) ≈ считаем самостоятельно

Тогда легко найти k

Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
n=12 (месяцев)
m=1 ( июль)

p=m/n=1/12
Выехали навстречу друг другу.

(60+100)км в час - cкорость сближения
386:160=2 целых 33/80 часа (прикреплено изображение)
Задача 3.
S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)

2S_(осн)=S_(пп)-S_(бп)=40 - 32=8

S_(осн)=4

Призма правильная, значит в основании квадрат
Пусть сторона квадрата равна х

S_(осн)=x^2

x^2=4

x=2

S_(бп)=P_(осн)*Н=P_(квадрата)*Н=4х*Н=4*2*Н=8Н
S_(бп)=32
8H=32
H=4

V=S_(осн)*H=4*4=16 см^3
Ответ выбран лучшим
x≠ 0
Умножим на х:

(a+6)x^2-2ax+1=0
При a=-6 уравнение не квадратное, оно линейное
12x+1=0
x=-1/12 - ровно одно решение

Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0

D=(-2a)^2-4*(a+6)*1=4*(a^2-a-6)

a^2-a-6=0
D=1+24=25
a_(1)=(1-5)/2=-2; a_(2)=(1+5)/2=3

О т в е т. При а=-6; а=-2; а=3 ровно одно решение
Ответ выбран лучшим
{х^2=2x+y⇒ y=x^2-2x и подставим во второе уравнение
{y^2=2y+x

(x^2-2x)^2=2*(x^2-2x)+x
x^4-4x^3+4x^2=2x^2-4x+x

x^4-4x^3+2x^2+3x=0

x*(x^3-4x^2+2x+3)=0

x*(x-3)*(x^2-x-1)=0

x_(1)=0 ⇒ y_(1)=0
или
x-3=0 ⇒ x_(2)=3;y_(2)=3
или
x^2-x-1=0
D=1+4=5
x_(3)=(1 - sqrt(5))/2 или x_(4)=(1 + sqrt(5))/2


y_(3)=(1 - sqrt(5))^2/4 - (1 - sqrt(5)) или y_(4)=(1 + sqrt(5))^2/4 - (1 + sqrt(5))

Выносим за скобки общий множитель:

y_(3)=(1 - sqrt(5))* [b]([/b](1 - sqrt(5))/4 - 1 [b])[/b] или y_(4)=(1 + sqrt(5))* [b]([/b](1 + sqrt(5))/4 - 1 [b])[/b]

y_(3)=(1 - sqrt(5))* [b]([/b](-3 - sqrt(5))/4 [b])[/b] или y_(4)=(1 + sqrt(5))* [b]([/b](-3 + sqrt(5))/4 [b])[/b]

y_(3)=(-3 +3 sqrt(5)-sqrt(5)+5)/4 или y_(4)=(-3 -3 sqrt(5)+sqrt(5)+5)/4

y_(3)=(1+ sqrt(5))/2 или y_(4)=(1 - sqrt(5))/2

Cистема имеет 4 решения:

(0;0)

(3:3);

((1-sqrt(5))/2;(1 + sqrt(5))/2)

((1+sqrt(5))/2;(1 - sqrt(5))/2)


x+y - наибольшая сумма 3+3=6

так как

(1-sqrt(5))/2 + (1 + sqrt(5))/2 = (1-sqrt(5)+1+sqrt(5))/2=1



О т в е т. 6
а)
Геометрический смысл производной в точке:

k_(касательной)=f `(x_(o))

f ` ( x) =(х*cosx)`=(x)`*cosx+x*(cosx)`=1*cosx+x*(-sinx)

f`(x)=cosx-x*sinx

f`(x_(o)) =f`(π/2)=cos(π/2) - (π/2)*sin(π/2)=0 - (π/2)*1 = - (π/2)

k= - (π/2)

б)

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

f(x_(o))=f(π/2)=(π/2)*cos(π/2)=(π/2)*0=0

f`(x_(o)) =f`(π/2)=- (π/2) ( найдено в а))


y - 0 = - (π/2)*(x - (π/2))

[b]y= - (π/2)*x - (π/2)^2 [/b] - уравнение касательной

Ответ выбран лучшим
По формулам приведения:

sin [b]((π/3)+x)[/b]=cos((π/2)- [b]((π/3)+x))[/b])=cos((π/6)-x))=cos(x-(π/6))

2cos^2(x-(π/6))+3cos(x-(π/6))=0

cos(x-(π/6)) * (2cos(x-(π/6))+3)=0

cos(x-(π/6)) =0 ⇒ x-(π/6)=2πn, n ∈ Z

[b]x=(π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

ИЛИ
2cos(x-(π/6))+3=0
cos(x-(π/6)) =-3/2 - уравнение не имеет корней, в силу ограниченности синуса.

О т в е т.(π/6)+2πn, n ∈ Z
y`=0,5*3t^2+0,6*2t+0,8
Составляем характеристическое уравнение
k^2-2k+10=0
D=4-40=-36
k_(1)=-i; k_(2)=i

Корни комплексно-сопряженные
α=0; β=1

y=C_(1)cosx+C_(2)*sinx - общее решение дифференциального уравнения
Ответ выбран лучшим
Тетраэдр BLKB' с вершиной в точке В, плоские углы при вершине - прямые.
Такой тетраэдр называется [b] прямоугольным тетраэдром[/b]
К нему применимы методы, которые мы применяем к прямоугольному треугольнику.

В частности, достраиваем прямоугольный треугольник до прямоугольника. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника - диагональ прямоугольника

Достраиваем тетраэдр BLKB' до параллелепипеда.

Значит [b] центр сферы, описанной около прямоугольного тетраэдра BLKB' - точка пересечения диагоналей K L' и K ' L прямоугольника KK'L'L. [/b] ( см. рис.1)

Q=K L' ∩ K ' L
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.
Q_(o) - проекция точки Q на плоскость основания ABCD.
KQ_(o)=Q_(o)L

Аналогично,
Тетраэдр CMLC' с вершиной в точке C, плоские углы при вершине - прямые. Значит центр сферы, описанной около тетраэдра - точка пересечения диагоналей прямоугольника
MM'L'L
R=M L' ∩ M ' L
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.
R_(o) - проекция точки R на плоскость основания ABCD.
R_(o) - cередина LM.

Тетраэдр AKNA' с вершиной в точке A, плоские углы при вершине - прямые. Значит центр сферы, описанной около тетраэдра - точка пересечения диагоналей прямоугольника
KK'N'N
P=K N' ∩ K 'N
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

См. рис. 2

P_(o) - проекция точки P на плоскость основания ABCD.
KP_(o)=P_(o)N

P_(o) - cередина KN.

Q_(o)R_(o)=QR=1 ⇒ [b] KM=2 [/b]

По условию
AB:BC=3:2
Обозначим АВ=3х; ВС=2х

Так как
АК : КВ = 4 :5
AK=(3x/9)*4=4x/3
KB=(3x/9)*5=5x/3

Так как
BL : LC = 3 : 1
BL=(2x/4)*3=3x/2
LC=(2x/4)*1=x/2

Так как
СМ : MD = 7:2
СМ=(3х/9)*7=7х/3
MD=(3x/9)*2=2x/3

Так как DN:NA = 3:1
DN=(2x/4)*3=3x/2
NA=(2x/4)*1=x/2

Из прямоугольной трапеции АКMD
KM^2=AD^2+(AK-MD)^2
KM^2=(2x)^2+((4x/3)-(2x/3))^2
KM^2=40x^2/9
KM=2xsqrt(10)/3

Так как ранее было отмечено, что КМ=2QR=2
2x*sqrt(10)/3=2
x=3/sqrt(10)

Из прямоугольной трапеции LCDN:
LN^2=CD^2+(ND-LC)^2
LN^2=(3x)^2+((3x/2)-(x/2))^2
LN^2=10x^2
LN=x*sqrt(10)=(3/sqrt(10))*sqrt(10)=3

P_(o)Q_(o)=(1/2)LN=3/2=1,5

PQ=P_(o)Q_(o)=1,5

О т в е т. 1,5 (прикреплено изображение)
а)
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

= ∫ x^2dx+ ∫ xdx- ∫ 3dx=(x^3/3)+(x^2/2)-3x+C - о т в е т.

б)
Так как ∫ cosxdx=sinx

и

∫ f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+C

k=1/2

∫ (-6cos(x/2))dx = -6*(2)*sin( x/2) + C=-12*sin( x/2) + C

О т в е т. -12*sin( x/2) + C

b)
Так как
∫ dx/x=ln|x|+C

и

∫ f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+C

k=4
∫ 5dx/(4x+5)=5*(1/4)ln|4x+5|+C

с)
Так как
∫ e^(x)dx=e^(x)+C
и

∫ f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+C

k=-2
∫ e^(-2x)dx=(-1/2)e^(-2x)+C
Ответ выбран лучшим
Решаем однородное:
y``-4y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k=0
k*(k-4)=0

k_(1)=0; k_(2)=4

Корни действительные различные

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)

[b] y=C_(1)e^(0x)+C_(2)*e^(4x)[/b] - общее решение однородного.

уравнения

или

[b] y=C_(1)+C_(2)*e^(4x)[/b] , так как e^(0x)=1


[b]f(x)=x^2[/b]

Так как x=0 - корень характеристического уравнения, то

y_(частное неоднородного)=х*(Аx^2+Bx+C)

y_(частное неоднородного)=Аx^3+Bx^2+Cx
y`_(ч.н)=3Ах^2+2Вx+C
y``_(ч.н)=6Ax+2B

Подставляем в уравнение
y``-4y`=x^2
6Ax+2B-4*(3Ах^2+2Вx+C)=x^2

-12Ax^2+(6A-8B)x+2B-4C=x^2

Равенство двух многочленов:

-12А=1
6А-8В=0⇒ 8B=6A; 8B=-6/12; 8B=-1/2
2В-4С=0⇒ 4C=2B; 4C=-1/8; C=-1/32

А=-1/12
В=-1/16
С=-1/32

[b]y_(частное неоднородного)=(-1/12)x^3-(1/16)x^2-(1/32)х[/b]

О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн неодн)

y= [b]C_(1)+C_(2)*e^(4x) - (1/12)x^3-(1/16)x^2-(1/32)х[/b]
Ответ выбран лучшим
2^(1-3x)=2^4
1-3x=4
-3x=4-1
-3x=3
[b]x=-1[/b]
Ответ выбран лучшим
a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

Уравнение принимает вид:
9*8*8^(-2x)=27^(2)*27^(-x)

8/64^(x)=81/27^(x)

(27/64)^(x)=81/8

x=log_(27/64)(81/8)

27/64=(3/4)^3

x=log_((3/4)^3)(81/8)

x=(1/3)log_(3/4)(81/8)

x=log_(3/4)∛(81/8)
Ответ выбран лучшим
x/2=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

x/2=(-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)*(2π/3) + 2πk, k ∈ Z - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
Первое уравнение решала бы так:
x ≠0; y ≠0

умножаем на ху

[b]x^3+y^3=12xy[/b]

Второе:

Применяем основное логарифмическое тождество:
[b]a^(log_(a)b)=b[/b]
a>0; b>0; a ≠ 1

и свойство логарифма степени:

[b]log_(a)b^k=klog_(a)b[/b]

a>0; b>0; a ≠ 1

2^(-log_(2)x)=2^(log_(2)x^(-1))=x^(-1)=1/x

5^(log_(5)(1/y))=1/y

Второе уравнение при x >0; y>0 принимает вид:

[b](1/x)+(1/y)=1/3[/b]

Система

[b]{x^3+y^3=12xy
{(1/x)+(1/y)=1/3⇒ 3*(y+x)=xy
{x>0
{y>0[/b]

Подставляем из второго в первое вместо ху

x^3+y^3=36(x+y)

Так как x^3+y^3=(x+y)^3-3x^2y-3xy^2=(x+y)^3-3xy(x+y), то

Уравнение принимает вид:

(x+y)^3-3xy(x+y)=36(х+y)

(x+y)* [b]([/b](x+y)^2-3xy-36 [b])[/b]=0

x>0; y>0; значит x+y≠ 0

(x+y)^2-3xy-36=0

xy=3(x+y)


(x+y)^2-9*(x+y)-36=0

квадратное уравнение относительно x+y

Замена переменной:

x+y=t

t>0

t^2-9t-36=0
D=81-4*(-36)=81+144=225

t_(1)=(9-15)/2<0

t_(2)=(9+15)/2=12

Итак,
x+y=12
xy=3*(x+y)

xy=36

Решаем систему способом подстановки:

{x+y=12
{xy=36

[b]x=y=6[/b]

О т в е т. (6;6)

{5-5x>0 ⇒ x<1
{x^2-3x+2 > 0 ⇒ x < 1 или х >2
{x+4 > 0 ⇒ x > -4
ОДЗ: х ∈ (-4;1)

Перепишем:
log_(3) (5–5х)+ log_(3) (x+4)≥log_(3) (x^2–3x+2)

Так как ОДЗ найдено

( если это не сделать, то область определения нового неравенства [b]расширяется[/b]что приведет к появлению посторонних корней),

заменим сумму логарифмов логарифмом произведения.

log_(3) (5–5х)*(x+4)≥log_(3) (x^2–3x+2)

(5–5х)*(x+4)≥x^2–3x+2

5*(1-x)*(x+4)-(x-1)*(x-2) ≥ 0

(x-1)* [b]([/b]-5*(x+4)-(x-2) [b])[/b] ≥ 0

(x-1) (-6x-18) ≥ 0
6*(x-1)*(x+3) ≤ 0

Решаем методом интервалов на ОДЗ:

(-4)____ [-3] __-___ (1)

О т в е т. [-3;1)
Ответ выбран лучшим
a; a+1;a+2 - стороны

По теореме Пифагора
(a+2)^2=a^2+(a+1)^2
a^2+4a+4=a^2+a^2+2a+1
a^2-2a-3=0
D=4+12=16
a=(2+4)/2=3 второй корень отрицат, не удовл смыслу задачи

3; 4; 5 -стороны треугольника

r=S/p

S=(1/2)3*4=6
p=(3+4+5)/2=6

r=6/6= [b]1[/b]

или

r=(a+b-c)/2 ( cм. приложение)

r=(3+4-5)/2= [b]1[/b] (прикреплено изображение)
x ≠ 0
Умножаем на х:

при этом [b]x*x^(-1)[/b]=x^(1+(-1))=x^(0)= [b]1[/b]

3^(x)*x+9=3x+3^(x+1)

3^(x)*x-3*3^(x)+9-3x=0

Раскладываем на множители способом группировки:

(3^(x)*x-3*3^(x))-(3x-9)=0

3^(x)*(x-3) -3(x-3)=0

(х-3)*(3^(x)-3)=0

Произведение равно 0 когда хотя бы один из множителей равен 0

x-3=0 или 3^(x)-3=0

х=3 или 3^(x)=3


[b]x=3 или x=1[/b]

О т в е т. 1; 3
Из данного уравнения плоскости 6x–8y–z+5=0
находим координаты ее нормального вектора
vector{n)=(6;-8;-1)

Параллельные плоскости имеют один и тот же нормальный вектор.


Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o))
c заданным нормальным вектором имеет вид:

[b]A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0[/b]

Подставляем
6*(x-3)-8*(y-0)-1*(z-(-1))=0

6х-18-8y-z-1=0

[b]6x-8y-z-19=0[/b]
1.
a) lim_(x → - 1)(2x^3-5x^2+x-4)=2*(-1)^3-5*(-1)^2+(-1)-4=-2-5-1-4=-12
б) lim_(x → 5)(x^2-8x+15)/(x^2-25)=(0/0)=

= lim_(x → 5)(x-3)(x-5)/(x-5)(x+5)= lim_(x → 5)(x-3)/(x+5)=(5-3)(5+5)=0,2

2.
По определению логарифма. Это показатель степени(0), в которую возводим основание (5) и получаем выражение под знаком логарифма:

5^(0)=2x^2-3x-1
1=2x^2-3x-1

2x^2-3x-2=0
В=9-4*2*(-2)=25
x_(1)=(3-5)/2= [b]-1[/b]; x_(2)=(3+5)/2= [b]4[/b]

Проверкой убеждаемся, что 4 и -1 - корни уравнения.

3.

tgx=sinx/cosx

ctgx=cosx/sinx

(sinx/cosx)^2*cos^2x+(cosx/sinx)^2*sin^2x=sin^2x+cos^2x= [b]1[/b]

Переносим х влево и сравниваем разность с нулем:

(x^2+2x+4)/(x+2)- x ≥ 0

Приводим к общему знаменателю:

(x^2+2x+4 - x *(x+2))/(x+2) ≥ 0

(x^2+2x+4 - x ^2-2x)/(x+2) ≥ 0

4/(x+2)≥ 0 ⇒ x+2≥ 0 и х+2≠0

Поэтому получаем

x+2 >0

х > -2

О т в е т. (-2;+ ∞ )
2cos^2(2^(4x-x^(?)))=a+sqrt(3)sin(2^(4x-x^( [b]8[/b])+1))

2^(4x-x^(?))=t
2^(4x-x^( [b]8[/b])+1)=2^(4x-x^( [b]8[/b]))*2^(1)=2t

2cos^2t=a+sqrt(3)sin2t

Формула
2cos^2t=1+cos2t

1+cos2t=a+sqrt(3)sin2t

cos2t-sqrt(3)sin2t=a-1

Делим на 2

(1/2)cos2t-(sqrt(3)/2)*sin2t=(a-1)/2

Вводим вспомогательный угол:

сos φ =1/2
sin φ =sqrt(3)/2

φ =π/3

сos(π/3)cos2t-sin(π/3)sin2t=(a-1)/2

[b]cos(2t-( π/3))=(a-1)/2[/b] (#)

последнее уравнение имеет решения

при |(a-1)/2| ≤ 1

-1 ≤ (a-1)/2 ≤ 1

-2 ≤ a-1 ≤ 2

[b]-1 ≤ a ≤ 3[/b]

Теперь возвращаемся к данному уравнению

2^(x^4-x^8)=t
t >0

Значит, имеем [b] ограничения [/b] на аргумент t в уравнении (#)

Найдем эти ограничения.

Чтобы решать задачу дальше, нужно точно знать какой аргумент.

Смущает восьмая степень???



(24:00-21:30)+10:30 =2:30+10:30=13 часов
1.
Делим и числитель и знаменатель на cos α

Получим
(2tg α -3)(/3+2tg α )

при tg α =2/3

О т в е т. (-5)/13

2.
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

f(x)=(3x-2)/(x+1)

х_(o)=1

f(x_(o))=f(1)=(3-2)/(1+1)=1/2

f ` ( x) = ((3x-2)/(x+1))` = ((3x-2)`*(x+1)-(3x-2)*(x+1)`)/(x+1)^2=

=(3x+3-3x+2)/(x+1)^2=5/(x+1)^2

f`(x_(o))=f`(1)=5/(1+1)^2=5/4

y-(1/2)=(5/4)*(x-1)

[b]y=(5/4)x - (3/4)[/b] - уравнение касательной


3. V_( данного цилиндра)=π*r^2*H

R=2r
h=H/2

V_( нового цилиндра)=π*R^2*h=

=π(2r)^2*(H/2)=2πr^2*H=2* V_( данного цилиндра)=2*100= [b]216[/b]

5.
ОДЗ: x>0
lg(10x^2)=lg10+lgx^2=1+2lgx

(1+2lgx)*lgx=1

2lg^2x+lgx-1=0
D=1+8=9
lgx=-1; lgx=-1/2
[b]x=0,1; x=1/sqrt(10)[/b]

6.
5^(x)=u
5^(y)=v

{u+v=3
{u*v=2

{u_(1)=2;
{v_(1)=1

или

{u_(2)=1;
{v_(2)=2

{5^(x)=2
{5^(y)=1

{[b]x_(1)=log_(5)2
{y_(1)=0[/b]
или

{5^(x)=1
{5^(y)=2

[b]{x_(2)=0
{y_(2)=log_(5)[/b]2

7.
Показательная функция с основанием 0,7 убывает:

|x+2| ≤ 0,5
-0,5 ≤ х + 2 ≤ 0,5

[b]-2,5 ≤ х ≤ -1,5[/b]
σ_(1)=x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)
σ_(2)=x_(1)x_(2)+x_(1)x_(3)++x_(1)x_(4)+x_(2)x_(3)+x_(2)x_(4)+x_(3)x_(4)
σ_(3)=x_(1)x_(2)x_(3)+x_(1)x_(2)x_(4) + x_(1)x_(3)x_(4)+x_(2)x_(3)x_(4)

σ_(4)=x_(1)x_(2)x_(3)x_(4)

- симметрические многочлены

f=x^2_(1)x^2_(2)x^2_(3) +x^2_(1)x^2_(2)x^2_(4) + x^2_(1)x^2_(3)x^2_(4)+x^2_(2)x^2_(3)x^2_(4)=

См. образец

Степени:
2220
2202
2022
0222

(прикреплено изображение)
1.
По определению:
F(x) первообразная функции на (a:b)
если для любого х∈(a,b)
F`(x)=f(x)

F`(x)=((x/2)-(3/x))`=(1/2)*x`-3*(1/x)`=(1/2)-3*(-1/x^2)=(1/2)+(3/x^2)=f(x)

2.
F(x)=-2*(-cosx)+C

F(x)=2cosx+C - общий вид первообразных

Подставляем координаты точки ( π/3;0)

0=2cos(π/3) + C
0=2*(1/2)+C
C=-1

F(x)=2cosx-1 - первообразная, проходящая через точку ( π/3;0)

3.
∫ e^(u)du=e^(u) + C

u=-2x
d(-2x)=-2dx ⇒ dx=d(-2x)/(2)

∫ e^(-2x)dx=∫ e^(-2x)d(-2x)/(-2)=(-1/2)∫ e^(-2x)d(-2x)= [b](-1/2) e^(-2x) + C[/b]

4.
а)
S= ∫ ^(2)_(-1) [b]([/b](1-x^2)-(-x-1) [b])[/b]dx =

= ∫ ^(2)_(-1) (1-x^2+x+1)dx= ∫ ^(2)_(-1) (2-x^2+x)dx=

= [b]([/b](2x- (x^3/3)+(x^2/2) [b])[/b]|^(2)_(-1)=

=
считаем самостоятельно

б)S= ∫ ^(3)_(1) [b]([/b](x^2-3х+2)-(x-1) [b])[/b]dx =

= ∫ ^(3)_(1)(x^2-3x+2-x+1)dx=

= ∫ ^(3)_(1)(x^2-4x+3)dx=

= [b]([/b](x^3/3)-4*(x^2/2)+3x [b])[/b]|^(3)_(1)=

cчитаем самостоятельно (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
f(x)=0

x^4+x^3-3*(x^2+2x+1)=0

x^3*(x+1)-3*(x+1)^2=0

(x+1)*(x^3-3x-3)=0

x=-1 - корень многочлена, значит при переходе через точку меняется знак многочлена

справа от этой точки минус f(0) =-3 <0
слева - плюс f(-2)=16-8-12+12-3>0

Теперь разбираемся с корнями многочлена

g(x)=x^3-3x-3

g(0)=-3 <0
g(1) =1-3-3 <0
[b]g(2) =8-6-3 <0
g(3)=27-9-3 >0[/b]

На концах отрезка [2;3] g(x) принимает значения разных знаков, значит корень многочлена 2 < x < 3

Делим отрезок пополам

g(2,5)=2,5^3-7,5-3 >0

Значит, корень на отрезке [2;2,5]

Делим пополам

g(2,25)=2,25^3-3*2,25-3 =2,25*(2,25^2-3) -3 >0

Значит, корень на отрезке [2;2,25]

Делим пополам

g(2,125)=2,125^3-3*2,125-3=2,125*(2,125^2-3)-3=2,125*1,52-3=3,22-3 >0

Значит корень на [2;2,125]
x_(o) ≈ 2,1

g`(x)=3x^2-3

g`(x)=0

x^2-1=0
x= ± 1

_+__ (-1) ___-__ (1) __+__

x=-1 - точка максимума

g(-1) <0

x=1 - точка минимума

функция возрастает на (- ∞ ;-1) и не пересекает ось оХ
на (-1;1) убывает и не пересекает ось Ох

на (1;+ ∞ ) возрастает и имеет один нуль,

Других корней нет

О т в е т. х=-1; х=2,1 - верхняя граница 2.125; нижняя 2
Ответ выбран лучшим
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+1=0
k_(1,2)= ± i
корни мнимые, комплексно-сопряженные
α =0
β =1

[b]y=C_(1)cosx+C_(2)sinx[/b]-общее решение
1.
20%=20/100=0,2
15*0,2=3 рубля составляет повышение
15+3=18 рублей стоит билет
100:18=6 билетов можно купить

3.
S( Δ)=(1/2)a*h=(1/2)*3*8=12

4
5^(x+3)=5^3
x+3=3
x=0

5.
V=S_(осн)*Н= (1/2)*a*b*H=(1/2)*3*6*10=90

8.
C=2*1+ln4^3-ln64=2+ln(64/64)=2+ln(1)=2+0= [b]2[/b]
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 - каноническое уравнение эллипса.

Делим данное уравнение на 9
(x^2/9)+(y^2/3)=1

a^2=9
[b]a=3[/b] - большая полуось

b^2=3
[b]b=sqrt(3)-[/b] малая полуось

b^2=a^2-c^2 ⇒ c^2=a^2-b^2=9-3=6

c=sqrt(6)

[b]F_(1)(-sqrt(6);0) ; F_(2)(sqrt(6);0)[/b]- фокусы

(прикреплено изображение)
S_(правильного треугольника)=a^2sqrt(3)/4
a^2sqrt(3)/4=sqrt(3)
a^2/4=1
a^2=4
a=2 - сторона основания

V=(1/3)*S_(осн)*Н

1/sqrt(3)=(1/3)*sqrt(3)*H

H=1

b=sqrt(H^2+R^2)

R=asqrt(3)/3=2sqrt(3)/3

b=sqrt(1+(2sqrt(3)/3)^2)=sqrt(1+(4/3))=sqrt(7/3)=sqrt(21)/3

О т в е т. sqrt(21)/3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Первый белый, значит осталось семь шаров
4+3=7

черных - три

n=7
m=3

По формуле классической вероятности:
p=m/n=3/7
АВ=ВС=АС

Δ SАB=Δ SBC=Δ SАC


[b]S_(бок)=3*S_( Δ SBC)[/b]

S_(бок)=3*(1/2)BC*SN


(3/2)BC*SN=72

SN=6


(3/2)BC*6=72
(3/2)BC=12
BC=(2/3)*12
BC=8
100%-80% =20 % составляет сухое вещество

20 кг составляют 100%
х кг составляют 20%

х=20*20/100=4 кг сухого вещества в 20 кг ягод

Через 12 часов эти 4 кг составляют 40%

4 кг составляют 40%
y составляет 100%

y=4*100/40=10 кг вес ягод через 12 часов.
2.
vector{a}+vector{b}=(3+2;-7+(-11);14+(-10))=(5;-18;4)
4*vector{a}-(1/2)*vector{b}=(4*3-(1/2)*2;4*(-7)-(1/2)*(-11);4*14-(1/2)*(-10))=(11;-45/2;61)
vector{a}*vector{b}=3*2+(-7)*(-11)+14*(-10)=6+77-140=

1.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Это функция, обратная пропорциональность. График гипербола.

Область определения (- ∞;3)U(3;+ ∞ )

Производная

y`=((4x)`*(3-x)-4x*(3-x)`)/(3-x)^2

y`=(4*(3-x)-4x*(-1))/(3-x)^2

y`=(12-4x+4x)/(3-x)^2

y`=12/(3-x)^2

y` > 0 на (- ∞;3) и на (3;+ ∞ )

Функция возрастает на (- ∞;3) и на (3;+ ∞ )

График см. рис. (прикреплено изображение)
Применяем свойства 7 и 8
Логарифм произведения и лограифм частного
получаем

=log_(π^2)a^2+log_(π^2)b-log_(π^2)π^3=


Применяем свойства 9,10,11
=(2/2)log_(π)a+(1/2)log_(π)b-(3/2)log_(π)π=

=log_(π)(sqrt(a))^2+(1/2)log_(π)b=(3/2)=

=2log_(π)sqrt(a)+(1/2)log_(π)b-(3/2)

При

log_(π)sqrt(a)=3
log_(π)b=5

=2*3+(1/2)*5-(3/2)=6+1=7

О т в е т. 3) 7 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Область определения функции:
4-3x^2 ≥ 0 ⇒ x^2≤ 4/3 ⇒ [b]-2/sqrt(3)≤ x≤ 2/sqrt(3)[/b]

Решаем уравнение

f(x)=0

sqrt(4-3x^2)-x=0
sqrt(4-3x^2)= х

при x < 0 уравнение не имеет смысла..

Возводим в квадрат при x ∈ [0;2/sqrt(3)]

4-3x^2=x^2
4=4x^2
x^2=1

x= ± 1

х=-1 не принадлежит [0;2/sqrt(3)]

Значит один корень х=1 является нулем функции

х=1 принадлежит отрезку [1;sqrt(2)]

О т в е т. 2)
Ответ выбран лучшим
О т в е т. 8334 раза. (прикреплено изображение)
Применяем интегральную теорему Лапласа.
( см. приложение)
P_(n) (k_(1) ≤ x ≤ k_(2))=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(k_(2)-np)/sqrt(npq)
x_(1)=(k_(1)-np)/sqrt(npq)

n=150

p=0,8
q=1-0,8=0,2

np=150*0,8=120
npq=150*0,8*0,2=24

a)
P_(150) (70 ≤ x ≤80)=?

k_(1)=70
k_(2)=80

x_(2)=(80-120)/sqrt(24)=-40/2sqrt(6)=-20/sqrt(6)
x_(1)=(70-120)/sqrt(24)=-50/2sqrt(6)=-25/sqrt(6)

Функция Лапласа нечетная
Ф(-х)= - Ф(х)

При x > 5 принимает значение [b]0,5[/b] !!!
См. таблицу

P_(150) (70 ≤ x ≤80)=0


[b]Формула нахождения наивероятнейшего числа:[/b]
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

120-0,2 ≤ k_(o) ≤ 120+0,8

k_(o)=120

Количество попаданий должно варьироваться вокруг числа 120.

От 110 до 130 или еще как-то.

Тогда будут нормальные ответы.

А так вероятность в самом деле близка к 0 (прикреплено изображение)
p_(1)=0,2 - вероятность попадания авиабомбы цель.
p_(2)=0,98 -вероятность взрыва бомбы.

p=p_(1)*p_(2)=0,2*0.98=0,196 вероятность поражения цели одной авиабомбой

P_(3)(3)=С^(3)_(3)p^3q^(0)=(0,196)^3

Ответ выбран лучшим
1 в)
(e^(x^2y^2)-x^4+y^4)`=5`

e^(x^2y^2)*(x^2y^2)`-4x^3+4y^3*y`=0

e^(x^2y^2)* [b]([/b](x^2)`*y^2+x^2*(y^2)` [b])[/b]-4x^3+4y^3*y`=0

e^(x^2y^2)* [b]([/b]2x`*y^2+x^2*2y*y` [b])[/b]-4x^3+4y^3*y`=0

e^(x^2y^2)*2x*y^2-4x^3=(-4y^3-e^(x^2y^2)*2x^2y)* [b]y`[/b]


[b]y`[/b]= (e^(x^2y^2)*2x*y^2-4x^3)/(-4y^3-e^(x^2y^2)*2x^2y)


2 в)

2y*y`+2x-cos(x^2y^2)*(2x*y^2+x^2*2y*y`)=0

2x-(2x*y^2)cos(x^2y^2)= (2x^2y*cos(x^2y^2)-2y) [b]*y`[/b]

[b]y`[/b]=2x-2x*y^2*cos(x^2y^2)/(2x^2y*cos(x^2y^2)-2y)

v(t)=s`(t)= [b]([/b](1/4)t^4-(1/3)t^3+2t+1 [b])[/b]`=t^3-t^2+2
v(0)=0^3-0^2+2=2
v(1)=1^3-1^2+2=2
v(2)=2^3-2^2+2=8-4+2=6
a)
(4x^(1/2)+4x^(-1/2)+3x^2)`=4*(1/2)x^(-1/2)+4*(-1/2)x^(-3/2)+6x=

= [b](2/sqrt(x))-2/sqrt(x^3))+6x[/b]

б)
(x^3tgx*e^(2x))=(x^3tgx)`*e^(2x)+(x^3tgx)*(e^(2x))`=

=((x^3)`*tgx+x^3*(tgx)`)*e^(2x)+(x^3tgx)*e^(2x)*(2x)`=

= [b]([/b]3x^2*tgx+(x^3/cos^2x)+2x^3tgx [b])[/b]*e^(2x)

в)

((sin^2x)`*(x^3+1)-sin^2x*(x^3+1)`)/(x^3+1)^2=

=(2sinx*cosx(x^3+1)-(sin^2x)*3x^2)/(x^3+1)^2=

= [b](x^3sin2x+sin2x-6x^2sin^2x)/(x^3+1)^2[/b]
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция является четной.
у(-х)=(1/2)*(-х)^4-(-x)^2= (1/2)*x^4-x^2
y(-x)=y(x)

3)lim_(x→ +бесконечность) [b]f(x)[/b]=+бесконечность
lim_(x→-бесконечность) [b] f(x)[/b]=+бесконечность.

Горизонтальных асимптот нет

Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→бесконечность)((1/2)*x^4-x^2)/x=бесконечность

4) f(x)=0
(1/2)*x^4-x^2=0
x^2*(x^2-2)=0
х=0; х=±sqrt(2)


(0;0) - точка пересечения с осью Оу и с осью Ох.
(-sqrt(2);0); (sqrt(2);0) - c осью Ох

5)
y`=(1/2)*4x^3-2x;
y`=0
2x^3-2x=0
2x*(x^2-1)=0
x=0 или x^2-1=0 ⇒х=±1

Знак производной
_-__ (-1) ___+___ (0) __–__ (1 ) __+__


x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на -

x=-1 и х=1 - точки минимума, производная меняет знак с - на +


Функция убывает при x∈ (-бесконечность;-1) и x∈ (0;1)
возрастает при x∈ (-1;0) и (1;+бесконечность)


7)y``=(2x^3-2x)`=6x^2-2

y``=0
6x^2-2=0
x= ± sqrt(1/3) -точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вниз на (- бесконечность ;-sqrt(1/3)) и на (sqrt(1/3);+ бесконечность )
выпукла вверх на (-sqrt(1/3);sqrt(1/3)) (прикреплено изображение)
Sin(2п–x)=-sinx
cos(3п/2+x)=sinx
tg(п/2+x)=-ctgx

Sin(2п–x)+cos(3п/2+x)–tg(п/2+x)=-sinx+sinx-(-ctgx)=ctgx

При x=п/3

ctgx=ctg(п/3)=(sqrt(3))/3
v(t)= ∫ a(t)dt= ∫ 5tdt=5*(t^2/2)+C

v(t)=2,5t^2+C

2=2,5*3^2+C

C=-20,5

О т в е т. [b] v(t)=2,5t^2-20,5[/b]
В геометрии [b] вектор[/b] — направленный отрезок [b] прямой[/b], то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является [b]началом[/b], а какая — [b]концом.[/b]


[b]Перемещение - это вектор.[/b]

Что такое вектор?

Это направленный отрезок прямой.
См. выше. (прикреплено изображение)
Н_(цилиндра)=Н_(параллелепипеда)

Поэтому максимальный объем будет в том случае, если площадь основания максимальная.

R=0,5 м ⇒ 2R=1 м

Пусть одна сторона прямоугольника x м, тогда вторая по теореме Пифагора sqrt(1-x^2)

S_(прямоугольника)=х*sqrt(1-x^2)

S`=(x)`*sqrt(1-x^2)+x*(sqrt(1-x^2))`

S`=sqrt(1-x^2)+x*(-2x)/(2*sqrt(1-x^2))


S`= (1-x^2-x^2)/sqrt(1-x^2)

S`=0
1-2x^2=0

x=sqrt(2)/2

S_(осн)=(sqrt(2)/2)*sqrt(1-(sqrt(2)/2)^2)=1/2

V=S_(осн)*5=(1/2)*5=5/2 [b]=2,5 м^3[/b] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{2x-1 >0 ⇒ x > 1/2
{x+5 > 0 ⇒ x > -5

ОДЗ: (1/2; + ∞)

Решаем неравенство графически

График y=log_(7)(2x-1) - красного цвета
он ниже графика
y=log_(4)(x+5) - синего цвета

О т в е т. неравенство верно при любом х из области определения.
Она и будет ответом.
[b](1/2; + ∞)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
25/9=(5/3)^2=(3/5)^(-2)

(3/5)^(2x-2) > [b]([/b] (3/5)^(-2) [b])[/b]^(2x+3)


(3/5)^(2x-2) >(3/5)^(-2*(2x+3));

(3/5)^(2x-2) >(3/5)^(-4х-6);


Показательная функция с основанием
0 <(3/5) <1
убывающая, большему значению функции соответствует
меньшее значение аргумента

2x-2 < -4x -6

2x+4x < -6+2

6x < -4

x< -2/3

О т в е т. [b](- ∞; -2/3) [/b]
Ответ выбран лучшим
Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
2x+3=0
x=-3/2

Находим нули знаменателя
x^2+x-12=0
D=1-4*(-12)=49
x_(1)=(-1-7)/2=-4; х_(2)=(-1+7)/2=3

Отмечаем полученные точки на числовой прямой:

__-__ (-4) __+__ (-3/2) __-___ (3) _+___

О т в е т. [b](- ∞ ; -4) U (-3/2;3)[/b]
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
а)
Правило нахождения производной произведения:
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(x^3*e^(tg3x))`=(x^3)`*e^(tg3x)+x^3*e^(tg3x)=

правило нахождения производной сложной функции

(e^(u))` = e^(u) * u`


=3x^2*e^(tg3x)+x^3*e^( tg3x)* [b](tg3x)`[/b]=

=3x^2*e^(tg3x)+x^3*e^( tg3x)* [b](1/cos^23x)*(3x)`[/b]=

=3x^2*e^(tg3x)+(3*x^3*e^( tg3x)* )/(cos^23x)



б)
Правило нахождения производной сложной функции

(lnu)`=u`/u

(ln( x^4-sin^3x))`=(x^4-sin^3x)`/(x^4-sin^3x)=

=(4x^3-3sin^2x*cosx)/(x^4-sin^3x)
Область определения (- ∞;+ ∞)

f`(x)=(x^4-4x^3+20)`=4x^3-12x^2

f`(x)=0

4x^3-12x^2=0

4х^2*(x-3)=0

x=0 или х= 3

Знак производной
__-_ (0) _-__ (3) __+__

y`< 0 на (- ∞; 0) и на (0;3)
значит функция убывает на (- ∞; 0) и на (0;3)

y`>0 на (3;+ ∞)
значит функция возрастает на (3;+ ∞)

x=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=12x^2-24x

y``=0

12x^2-24x=0

12x*(x-2)=0

x=0 и x=2

Знак второй производной

_+__ (0) _-_ (2) _+__

y``<0 на (0;2)
кривая выпукла вверх

y``<0 на (-∞;0) и на (2;+ ∞)
кривая выпукла вниз

x=0 и x=2 - точки перегиба

см. рис.
(прикреплено изображение)
1.
sqrt(3)(sin^2x+cos^2x)+2cos3x=0

2cos3x=-sqrt(3)
cos3x=-sqrt(3)/2

3х= ± arccos(-sqrt(3)/2) + 2πn, n ∈ Z

3х=± (π -arccos(sqrt(3)/2)) + 2πn, n ∈ Z

3х=± (π - (π/6)) + 2πn, n ∈ Z

3х=± (5π/6) + 2πn, n ∈ Z

[b]х=± (5π/18) + (2π/3)*n, n ∈ Z[/b]

2.

b^(1/5)*(b^(9/10))^2*0,9^2=b^(2/10)*b^(18/10)*0,81= b^(20/10)*0,81=0,81b^2

При b=8

0,81*8^2= 0,81*64= считайте...
ОДЗ;
x-2 ≥ 0 ⇒ [b]x ≥ 2[/b]


Замена переменной:
[b]sqrt(x-2)=u[/b]
[b]u≥0[/b]

⇒ x-2=u^2 ⇒ x=u^2+2

[b]∛(11-x)=v[/b] ⇒ 11-x = v^3 ⇒ x=11-v^3

{u+v=1
{u^2+2=11-v^3

{u=1-v
{(1-v)^2+2=11-v^3

{u=1-v
{v^3+v^2-2v-8=0 ⇒ уравнение имеет один корень: [b] v=2[/b]

⇒ u=1-2=-1

не удовлетворяет условию u ≥0

О т в е т. нет корней
Ответ выбран лучшим
13% или 0,13

18%+38%-49%=13%

См. рис. (прикреплено изображение)
σ_(1)=x_(1)+x_(2)+x_(3);
σ_(2)=x_(1)x_(2)+x_(1)x_(3)+x_(2)x_(3)
σ_(3)=x_(1)x_(2)x_(3)
- симметрические многочлены

f=x_(1)x_(2)x_(3) * [b]([/b]x_(1)x_(2)+x_(1)x_(3)+x_(2)x_(3) [b])[/b]+

+x_(1)x_(2)x_(3) * [b]([/b]x_(1)+x_(2)+x_(3) [b])[/b]

= σ_(3)* σ_(2)+ σ_(3)* σ_(1)
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл
∫ du/cos^2u=tgu+C

u=2x
d(2x)=2dx⇒ dx=(1/2)d(2x)
--------

=(1/2)*6 ∫^(π/6)_(-π/6) d( [b]2x[/b])/cos^2( [b]2x[/b])=

=3*(tg(2x))|^(π/6)_(-π/6)=

=3*(tg(π/3)-tg(-π/3))=3*(sqrt(3)-(-sqrt(3))=3*2sqrt(3)= [b]6sqrt(3)[/b]
V=π ∫ ^(b)_(a) ( f^2(x)-g^2(x))dx

V=π ∫ ^(1)_(0) ( (x)^2-(x^2)^2)dx= π ∫ ^(1)_(0) ( x^2-x^4)dx=

= [b]([/b](x^3/3)-(x^5/5) [b])[/b]|^(1)_(0)=(1/3)-(1/5)= [b]2/15[/b] (прикреплено изображение)
-3=-3*1=-3*log_(0,2)0,2=log_(0,2)0,2^(-3)= log_(0,2)(1/5)^(-3)=log_(0,2)5^3

[b]Неравенство принимает вид[/b]

log_(0,2)(4x-11) > log_(0,2)125

Логарифмическая функция с основанием 0,2 <1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

{4x-11>0
{4x-11 < 125

{4x>11
{4x<136

{x>11/4
{x < 34

{x>2,75
{x<34

О т в е т. [b] (2,75;34)[/b]
vector{a}=(2;-4) -это вектор направления l

Направляющие косинусы вектора vector{a}:
cos α =2/sqrt(2^2+(-4)^2)=2/sqrt(20)
cos β =-4/sqrt(2^2+(-4)^2)=-4/sqrt(20)

∂z/∂x=(x^2+2xy-4x+8y)`_(x)=2x+2y-4
∂z/∂y=(x^2+2xy-4x+8y)`_(y)=2x+8

(∂z/∂x)(A)=2*3+2*1-4=4
(∂z/∂y)(A)=2*3+8=14

∂z/∂l=(∂z/∂x)*cos α + (∂z/∂y)* cosβ

∂z/∂l_(A)=(∂z/∂x)A)*cos α + (∂z/∂y)(A)* cosβ=4*(2/sqrt(20))+14*(-4/sqrt(20))= [b]-44/sqrt(20)=-22/sqrt(5)[/b]
Ответ выбран лучшим
Находим абсциссы точек пересечения указанных линий:
x^2=-x^2+2
2x^2=2
x^2=1
x= ± 1

S= ∫ ^(1)_(-1)(-x^2+2-x^2)dx=∫ ^(1)_(-1)(2-2x^2)dx=

=(2x-2*(x^3/3))|^(1)_(0)=2-(2/3)= [b]4/3[/b] (прикреплено изображение)
{x-1>0 ⇒ x > 1
{x+1 >0 ⇒ x > -1
{2log_(sqrt(3))(x-1) > log_(sqrt(3))(x+1) ⇒log_(sqrt(3))(x-1)^2>log_(sqrt(3))(x+1)

Логарифмическая функция с основанием sqrt(3) >1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

{x>1
{(x-1)^2> x+1 ⇒ x^2-2x+1>x+1 ⇒ x^2-3x>0 ⇒ x*(x-3)>0 ⇒ x <0 или x>3

О т в е т. (3;+ ∞ )
Перепишем
y`+(x/(1-x^2))*y=1/(1-x^2) (#)

линейное уравнение первого порядка.

Решаем однородное уравнение
y`+(x/(1-x^2))*y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные.

y`=dy/dx

dydxy=-(x/(1-x^2)*y
dy/y=-xdx/(1-x^2)


Интегрируем
∫ dy/y= -∫ xdx/(1-x^2)

∫ dy/y= (1/2)∫ d(1-x^2)/(1-x^2)

ln|y|=(1/2)ln|1-x^2| +lnC

y=Csqrt(1-x^2)

[b]Метод вариации произвольной постоянной[/b]

y(x)=C(x)sqrt(1-x^2)

y`=(C`(x)*sqrt(1-x^2)-(x*C(x))/sqrt(1-x^2)



Подставляем в уравнение (#)

(C`(x)*sqrt(1-x^2)-(x*C(x))/sqrt(1-x^2)+(x/(1-x^2))*C(x)*sqrt(1-x^2)=1/(1-x^2);



C`(x)sqrt(1-x^2) =1/(1-x^2);
C`(x)=(1-x^2)^(-3/2)

C(x)= ∫ (1-x^2)^(-3/2)dx=[ тригонометрическая подстановка
x=sint
dx=costdt
1-x^2=1-sin^2t=cos^2t
(1-x^2)^(-3/2)=cos^(-3)t

C(x)= ∫ (1-x^2)^(-3/2)dx= ∫dt/cos^2t=tgt+C

sint=x
cost=sqrt(1-x^2)
tgt=sint/cost=x/sqrt(1-x^2)

[b]y(x)=(x/sqrt(1-x^2) +C)sqrt(1-x^2)[/b]- общее решение данного уравнения

y=x+Csqrt(1-x^2)

По условию
y(0)=1

1=0+С*sqrt(1-0)

С=1

[b]y=x+sqrt(1-x^2) - решение, удовлетворяющее условию y(0)=1[/b]
Ответ выбран лучшим
Решаем однородное:
y``–y`-2y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2–k-2=0
D=1+8=9
k_(1)=-1; k_(2)=2

y=C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(2x) – общее решение однородного.

f(x)=3e^(2x)


y_(частное неоднородного)=A*x*e^(2x)
2 – корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на х ^(1)


y`_(частное неодн)=A*(x)`*e^(2x)+A*x*(e^(2x))`=

=A*e^(2x)+A*x*e^(2x)*(2x)`=

=A*e^(2x)+2*A*x*e^(2x)

y``_(частное неоднород)=2Ae^(2x) + 2*(A*e^(2x)+2*A*x*e^(2x))=

=4Ae^(2x)+4Axe^(2x)


Подставляем в данное уравнение

4Ae^(2x)+4Axe^(2x) - A*e^(2x)-2*A*x*e^(2x) -2A*x*e^(2x)=3e^(2x)

3A=3

A=1

y_(частное неодн)=x*e^(2x)

О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн неодн)


y= C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(2x) +x*e^(2x)

y`=-C_(1)e^(-x)+2C_(2)e^(2x)+e^(2x)+2x*e^(2x)
Так как
y(0)=2
y`(0)=5,


2=C_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) +0*e^(0) ⇒ [b] С_(1)+С_(2)=2[/b]
5=-C_(1)e^(0)+2C_(2)e^(0)+e^(0)+2*0*e^(0) ⇒ [b]- С_(1)+2*С_(2)+1=5[/b]

3С_(2)=6
С_(2)=2
С_(1)=0

Решение удовлетворяющее начальным условиям ( решение задачи Коши)
y= 2*e^(2x) +x*e^(2x)
Ответ выбран лучшим
10.
∫ ^(3)_(0)dx/(9+x^2)=(1/3)arctg(x/3) |^(3)_(0)=

=(1/3)arctg(1)-(1/3)arctg 0=(1/3)*(π/4)= [b]π/12[/b]

11.
S(t)= ∫ v(t)dt= ∫ (2t-3)dt= ∫ 2tdt- ∫ 3dt=2*(t^2/2)-3*t+C=t^2-3t+C

при t=5; S(5)=2

2=5^2-3*5+C

2=25-15+C

С=-8

О т в е т.

[b]S(t)=t^2-3t-8 (м)[/b]
Нет, неправильно

В условии не было [b]xdx[/b]

Только dx

Поэтому не подкоренное выражение заменяем на t, а только

[b]2x=t[/b]

4x^2=t^2

∫ dt/sqrt(9-t^2) =arcsin(t/3)

я же Вам решала эту задачу и ответ (π/4) был.

Не поняли, спросить надо было....
По формуле
sin α *sin β =(1/2)cos( α - β )- (1/2) cos( α + β )

sin(x/2) · sin(3x/2)=(1/2)cosx - (1/2)cos 2x

cos(-x)=cosx


∫ sin(x/2) · sin(3x/2) dx = ∫ (1/2)cosx dx - ∫ (1/2)cos 2xdx=

= [b](1/2)*sinx - (1/2)*(1/2)sin2x+C[/b]
Проводим высоту A_(1)M в равнобедренном треугольнике А_(1)B_(1)C_(1)
Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является и медианой.
B_(1)M=MC_(1)=4
A_(1)B_(1) = A_(1)C_(1) = 5

A_(1)M=3 ( египетский прямоугольный треугольник А_(1)МВ_(1)


A_(1)M ⊥ плоскости ВСС_(1), так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
A_(1)M ⊥ B_(1)C_(1)
и
A_(1)M ⊥ ВВ_(1), так как призма прямая

Из прямоугольного треугольника ВВ_(1)М:

(BM)^2=(BB_(1))^2+(B_(1)M)^2

(BM)^2=3^2+4^2=9+16=25

BM=5

Значит, ВМ - проекция прямой А_(1)М на плоскость ВСС_(1)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Из прямоугольного треугольника А_(1)МВ

tg ∠ А_(1)МВ=A_(1)M/BM=3/5= [b]0,6[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл
∫ du/sqrt(9-u^2)= arcsin(u/3) + C

u=2x
du=d(2x)
d(2x)=2dx
dx=d(2x)/2

∫ ^(3/2)_(0) dx/sqrt(9-4x^2)= ∫^(3/2)_(0)d(2x)/2sqrt(9-(2x)^2)=

=(1/2)arcisn(2x/3)|^(3/2)_(0)=

=(1/2)arcsin1 - (1/2)arcsin0=(1/2)*(π/2)-(1/2)*0= [b]π/4[/b]
1.
vector{a}=(1;-3;-1)
vector{b}=(-1;2;0)
2*vector{b}=(-2;4;0)

vector{c}=vector{a}+2*vector{b}=(1+2*(-1);-3+2*2;-1+2*0)= [b](-1;1;-1)[/b]


2.
vector{a}=(2;-4;-6)
vector{b}=(-9;-3;6)
vector{c}=(3;0;-1)

vector{p}=vector{a}-(1/3)*vector{b}+2*vector{c}=
(2-(1/3)*(-9)+2*3; 4-(1/3)*(-3)+0;-6-(1/3)*6+(-1))= [b](11;5;-9)[/b]
3.
vector{2a}=(2;-4;0)
vector{3b}=(-6;0;12)
vector{2a}-vector{3b}=(2-(-6);-4-0;0-12)=(8;-4;-12)

Векторы vector{2a}-vector{3b} и vector{m} коллинеарны, значит их координаты пропорциональны:
8:m=-4:8=-12:n

из пропорции
8:m=-4:8
-4m=64
[b]m=-16[/b]

из пропорции
-4:8=-12:n
-4n=-96
[b]n=24[/b]

4.

По определению скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

vector{a}*vector{b}=|vector{a}| * |vector{b}| * cos ∠ (vector{a},vector{b})

vector{a}*vector{b}=9*16*cos135 ° =9*16*(-sqrt(2)/2)= [b]-72sqrt*(2)[/b]

5.
vector{a}=(4;-2;3)
vector{b}=(-1;-2;5)

Cкалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector{a}*vector{b}=8*(-1)+(-2)*(-2)+3*5= [b]11[/b]
1)
x= ±arccos (-(sqrt(3))/2)+2πn, n ∈ Z
x= ±(π -(π/6))+2πn, n ∈ Z
[b]x=±(5π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

2)
x=(-1)^(k)*arcsin(sqrt(2))/2)+πk, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

3)
3x= ±arccos ((sqrt(3))/2)+2πn, n ∈ Z
3x= ± (π/6)+2πn, n ∈ Z
[b]x=± (π/18)+(2π/3)*n, n ∈ Z[/b]

4)
x/2= ±arccos ((sqrt(3))/2)+2πn, n ∈ Z
x/2= ± (π/6)+2πn, n ∈ Z
[b]x= ± (π/3)+4πn, n ∈ Z[/b]

5)
(x/2)=(-1)^(k)arcsin(sqrt(2))/2)+πk, k ∈ Z
x/2=(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)*(π/2)+2πk, k ∈ Z[/b]

6)
3x=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(2))/2)+πk, k ∈ Z
3x=(-1)^(k)*(-π/4)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(-π/12)+(π/3)*k, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k+1)*(π/12)+(π/3)*k, k ∈ Z[/b]

7)
x=arctg(sqrt(3))+πk, k ∈ Z
[b]x=(π/3)+πk, k ∈ Z[/b]

8)
x+(π/3)=arctg(sqrt(3))+πk, k ∈ Z
x+(π/3)=(π/3)+πk, k ∈ Z
[b]x=πk, k ∈ Z[/b]

9)
x=arctg(-sqrt(3))+πk, k ∈ Z
[b]x=(-π/3)+πk, k ∈ Z[/b]

10)

уравнение не имеет корней, так как функция косинус ограничена и принимает значения от -1 до 1 и никогда не будет равняться 1,5

11)
уравнение не имеет корней, так как функция синус ограничена и принимает значения от -1 до 1 и никогда не будет равняться
- sqrt(2) ≈ -1,4

12)
2+sinx=(π/2)+πk, k ∈ Z

sinx=(π/2)-2 +πk, k ∈ Z

так как функция синус ограничена и принимает значения от -1 до 1

уравнение будет иметь решения при условии

[b]-1 ≤ (π/2)-2 +πk ≤ 1[/b] , k ∈ Z

Значит только уравнение при k=0
(π/2)-2 ≈-0,429

будет иметь корни

[b]sinx=(π/2)-2[/b]

[b]x=(-1)^(k) [b]arcsin((π/2)-2)[/b]+ πk, k ∈ Z[/b]

Пусть
M (х_(о);y_(o))- точка касания.

[b]Точка M принадлежит кривой[/b], значит
y_(o)=ax^2_(o)-6x_(o)-8
и
[b]точка М принадлежит касательной[/b]
y_(o)=8x_(o)-9

Приравниваем правые части

[b]ax^2_(o)-6x_(o)-8=8x_(o)-9[/b]
ax^2_(o)-14x_(o)+1=0

Квадратное уравнение имеет [b] один корень[/b], если [b] D=0[/b]

D=(-14)^2-4*a=196-4а

196-4a=0

a=49

О т в е т. [b]а=49[/b]


(прикреплено изображение)
См. вывод канонического уравнения эллипса.
sqrt((x-2)^2+y^2)+sqrt((x+2)^2+y^2)=2sqrt(5)
sqrt((x-2)^2+y^2)=2sqrt(5) -sqrt((x+2)^2+y^2)

Возводим в квадрат

(x-2)^2+y^2=20-4sqrt(5)*sqrt((x+2)^2+y^2) + (x+2)^2+y^2

sqrt(5)*sqrt((x+2)^2+y^2)=5+2x

Возводим в квадрат

5*(x+2)^2+5y^2=25+20x+4x^2

x^2+5y^2=5

[b](x^2/5)+y^2=1[/b]

Подставляем координаты точек в уравнение
А(3;1)
(9/5)+1=1 - неверно
B(-2;4)
(4/5)+16=1 - неверно
С(-1;3)
(1/5)+9=1 - неверно
D(2;-1)
(4/5)+1=1 - неверно.

Ни одна из указанных точек не принадлежит кривой

2. См вывод уравнения параболы

sqrt((x-2)^2+(y-2)^2)=y

(x-2)^2+(y-2)^2=y^2

(x-2)^2-4y+4=0

[b]y=(1/4)(x-2)^2+1[/b]

Подставляем координаты точек в уравнение
А(2;1)
1=(1/4)*0+1 - верно
B(0; -2)
-2=(1/4)*(0-2)^2+1 - неверно
С(-4;10)
10=(1/4)*(-4-2)^2+1 -верно
D(-4;3)
3=(1/4)*(-4-2)^2+1 - неверно.

A и С принадлежат



(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Поэтому

2+x^2+3x ≥ 0

x^2+3x +2 ≥ 0

D=9-4*2=9-8=1

x_(1)=(-3-1)/2=-2; х_(2)=(-3+1).2=-1

Геометрический смысл неравенства x^2+3x +2 ≥ 0

- множество тех х, при которых кривая y=x^2+3x+2 расположена выше оси Ох или пересекается с осью Ох

См. рис.

Неравенству удовлетворяют

x ≤ -2 или x ≥ -1

О т в е т. (- ∞ ;-2] U [-1;+ ∞ )

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
v(t)= ∫ a(t)dt= ∫ (4-6t)dt=4t-(6t^2/2)+C=4t-3t^2+C

При t=2
v(2)=1

1=4*1-3*1^2+C
C=0

v(t)=4t-3t^2

s(t)= ∫ v(t)dt= ∫ (4t-3t^2)dt=(4^2/2)-3t^3/3+C= [b]2t^2-t^3+C[/b]

s(2)=5

5=2*2^2-2^3+C
C=5
О т в е т. s(t) = 2t^2-t^3+5

2.

a)s=∫^(4)_(0) (6t^2+8t-3)dt=((6t^3/3)+(8t^2/2)-3t)|^(4)_(0)=

=(2t^3+4t^2-3t)|^4_(0)=2*4^3+4*4^2-3*4=180

б) s=∫^(4)_(3) (6t^2+8t-3)dt=(2t^3+4t^2-3t)|^4_(3)=2*4^3+4*4^2-3*4 -

- (2*3^3+4*3^3-3*3)=180 -81= 99

3.

v(t)=0
3t-t^2=0

t*(3-t)=0

t=0 или t=3

S==∫^(3)_(0)(3t-t^2)dt= [b]([/b](3t^2/2)-(t^3/3) [b])[/b]|^(3)_(0)=

=(27/2)-9=9/2=4,5
Ответ выбран лучшим
2 целых 7/12= (12*2+7)/12=31/12

1 целая 1/12=(12*1+11)/12=23/12

(31/12)-(23/12)=8/12=2/3

О т в е т. 2/3
Ответ выбран лучшим
f(x)=x^2+2x+1
g(x)=x^3+x^2+3x+4

Делим
g(x) на f(x) "углом"

x^3+x^2+3x+4=(x^2+2x+1)*(x-1) + (4x+5)

Делим

x^2+2x+1 на (4х+5) "углом"

x^2+2x+1=(x+(5/4)*(x+(3/4) + (1/16)

Умножаем на 16

16x^2+32x+16=(4x+5)(4x+3) [b]+ 1[/b]

Последний ненулевой остаток равен 1

Значит можно представить так:

1=16*f(x)-(4x+5)(4x+3)

Но из равенства (x^3+x^2+3x+4=(x^2+2x+1)*(x-1) + (4x+5) или f(x)=g(x)*(x-1)+4x+5)

легко выразить

[b]4х+5=g(x)-f(x)*(x-1)[/b], тогда


1=16*f(x)-(4x+3)*g(x)+(4x+3)*(x-1)*f(x)

1=-(4x+3)* [b]g(x[/b])+(4x^2-x+13) [b]*f(x)[/b]

Так как
g(a)=0, то

1=(4a^2-a+13)*(a^2+2a+1)

1/(a^2+2a+1)=4a^2-a+13

Значит

[b](a^2-3a+1)/(a^2+2a+1)=(4a^2-a+13)*(a^2-3a+1)[/b]
Ответ выбран лучшим
15.
{16-8x>0 ⇒ x < 2
{x^2-6x+8 >0 ⇒ D=36-32=4; корни 2 и 4; ⇒ x < 2 или x >4
{x+5>0 ⇒ x > -5
ОДЗ: х ∈ (-5;2)

Запишем так:
log_(1/5)(16-8x) +log_(1/5)(x+5) ≤ log_(1/5)(x^2-6x+8)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(1/5) (16-8x)(x+5) ≤ log_(0,1) (x^2-6x+8)

Логарифмическая функция с снованием (0 < 1/5 < 1) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

(16-8x)(x+5) ≤ (x^2-6x+8)

(x-2)(x-4) +8(x-2)(x+5) ≥ 0

(x-2)*(x-4+8x+40) ≥ 0

9*(х-2)*(х+4) ≥ 0

x ∈(- ∞ ;-4] U [2;+ ∞ )

С учетом ОДЗ получаем ответ:

(-5;-4]

13.
cos^2x=1-2sin^2x

Уравнение принимает вид:

1-2sin^2x+5sqrt(3)*sinx+8=0
-2sin^2x+5sqrt(3)*sinx+9=0

Квадратное уравнение относительно sinx

Замена переменной

sinx=t

2t^2-5sqrt(3)t-9=0

D=(-5sqrt(3))^2-4*2*(-9)=75+72=147

sqrt(147)=7sqrt(3)

t_(1)=(5sqrt(3)-7sqrt(3))/4; t_(2)=(5sqrt(3)+7sqrt(3))/4;

t_(1)=-sqrt(3)/2; t_(2)=3sqrt(3)

Обратно:

sinx=-sqrt(3)/2

х=(-1)^(k) arcsin(-sqrt(3))/2+πk, k ∈ Z

х=(-1)^(k)*(-π/3)+πk, k ∈ Z - о т в е т.

Отрезку [-5π/2;-π] принадлежит один корень

x=(-π/3)-2π=-7π/3

cм. рис. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)
y=(-1/3)x^3+x^2

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=-x^2+2x

y`=0
-x^2+2x=0
-х*(х-2)=0

x_(1)=0; x_(2)=2

Расставляем знак производной ( y`=-x^2+2x - графиком этой функции является парабола, ветви вниз, поэтому на (0;2) она положительна):

__-__ (0) __+___ (2) __-__

y`<0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ ), значит функция убывает

y`> 0 на (0 ;2), значит функция возрастает

х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(2)=(-1/3)*2^3+2^2=4-(8/3)=4/3

х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(0)=0

y``=-2x+2
y``=0
-2x+2=0
x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак с + на -
Функция выпукла вниз на ( (- ∞ ;1) и выпукла вверх на (1;+ ∞ )
См. график рис. 1



(прикреплено изображение)
y^2=x^3 ⇒ y=x^(3/2)

S= ∫ ^(4)_(0)(8-x^(3/2))dx=

=(8x- x^(5/2)/(5/2))|^(4)_(0)=

=(8*4-(2/5)*4^(5/2)=32-(64/5)= [b]96/5[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
tg^34x=tg^24x * tg4x=(1-(1/cos^24x))*tg4x=tg4x-(tg4x/cos^24x)

∫ tg^34xdx= ∫ tg4x - ∫ tg4x/cos^24x=

= ∫ sin4xdx/cos4x - ∫ tg4x/cos^24x=

= ∫ (-(1/4)cos4x)/cos4x- ∫ tg4x (1/4)d(tg4x)=

= [b]-(1/4)ln|cos4x|-(1/8)*tg^24x + C[/b]

2.
Тригонометрические подстановки
х=2sint
dx=2costdt
4-x^2=4-4sin^2t=4(1-sin^2t)=4cos^2t

∫ sqrt((4-x^2)^3)dx/x^4= ∫ sqrt((4cos^2t)^3)*2costdt/(2sint)^4=

= ∫ cos^4tdt/sin^4t= ∫ ctg^4tdt= ∫ ctg^2t*ctg^2tdt=

= ∫ ctg^2t*(1 - (1/sin^2t))dt= ∫ ctg^2tdt - ∫ ctg^2tdt/sin^2t=

= ∫ (1-(1/sin^2t))dt - ∫ ctg^2tdt/sin^2t=

= ∫ dt - ∫ dt/sin^2t - ∫ ctg^2tdt/sin^2t=

= [b]t +ctg t - (ctg^3t)/3+C[/b]

3.

Раскладываем подынтегральную дробь на простейшие:

(5х+13)/(х+1)(x^2+6x+13)= A/(x+1) + (Mx+N)/(x^2+6x+13)

5х+13=А*(x^2+6x+13) + (Mx+N)*(x+1)


5x+13=(A+M)x^2+(6A+M+N)x+13A+N

A+M=0
6A+M+N=5
13A+N=13


А=1
М=-1
N=0


∫ (5х+13)dx/(х+1)(x^2+6x+13)= ∫ dx/(x+1) +∫ (-x)dx/(x^2+6x+13) =

=ln|x+1|-(1/2) ∫ (2x+6- 6 )dx/(x^2+6x+13)

=ln|x+1|-(1/2) ∫ (2x+6)dx/(x^2+6x+13)+3∫ dx/((x+3)^2+4)=

= [b]ln|x+1|-(1/2)ln|x^2+6x+13| +(3/2)arctg((x+3)/2) + C[/b]
Ответ выбран лучшим
Решаем однородное:
y``-4y`+4y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+4=0
(k-2)^2=0
k=k_(1)= k_(2)=2

y=C_(1)e^(k)x)+C_(2)*x*e^(kx)

[b]y= C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x)[/b] - общее решение однородного.

f(x)=x^2+2e^(2x)

f_(1)(x)=x^2
y_(частное1 неоднородного)=Аx^2+Bx+C
y`_(ч. 1н)=2Ах+В
y``_(ч.1н)=2A

Подставляем в уравнение
y``-4y`+4y=x^2

2A - 4*(2Ax+B)+4*(Ax^2+Bx+C)=x^2
4Ax^2+(4B-8A)x+2A-4B+4C=x^2
4А=1
А=1/4
4B-8A=0
B=2A=1/2
2A-4B+4C=0
C=3/8
[b]y_(частное1 неоднородного)=(1/4)x^2+(1/2)x+(3/8)[/b]


f_(2)(x)=2e^(2x)
2 - корень характеристического уравнения кратности 2

y_(частное2 неоднородного)=Mx^2e^(2x)
y_(ч. 2н)=2Mх*e^(2x)+2Mx^2*e^(2x)
y``_(ч.2н)=2Me^(2x)+4Mxe^(2x)+4Mxe^(2x)+4Mx^2e^(2x)=

=4Mx^2e^(2x)+8Mxe^(2x)+2Me^(2x)

Подставляем в уравнение
y``-4y`+4y=2e^(2x)

4Mx^2e^(2x)+8Mxe^(2x)+2Me^(2x)-4*(2Mх*e^(2x)+2Mx^2*e^(2x))+4Mx^2e^(2x)=2e^(2x)

2Me^(2x)=2e^(2x)
M=1
[b]y_(частное2 неоднородного)=e^(2x)[/b]

О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн1 неодн)+у_(частн2 неодн)

y= [b]C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x) + (1/4)x^2+(1/2)x+(3/8) + e^(2x)[/b]
Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0

{|4х|-x-3-a=0
{x^2-x-a ≠ 0


Решаем первое уравнение.
Раскрываем модуль по определению:
если 4x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0
|4x|=4x
уравнение:
4х-х-3-а=0
3х=а+3
х=(а+3)/3 - корень данного уравнения, если входит в множество x ≥ 0

(a+3)/3 ≥ 0⇒ а+3 ≥0 ⇒ а≥-3

если 4x < 0 ⇒ x < 0
|4x|=- 4x
уравнение:
-4х-х-3-а=0
-5х=а+3
х=(-а-3)/5- корень данного уравнения, если входит в множество x < 0

(-a-3)/5 < 0 ⇒ - a - 3 < 0 ⇒ -a < 3 ⇒ a > -3

Пересечением множеств a≥-3 и a > -3 является
[b]a ∈(-3;+ ∞ )[/b]


Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.


Подставляем x=(a+3)/3 в знаменатель:

((a+3)/3)^2-((a+3)/3)-a=0
a^2-6a=0
a=0; a=6

Подставляем x=(-a-3)/5 в знаменатель:

((-a-3)/5)^2-((-a-3)/5)-a=0
a^2-14a+24=0
D=196-96=100
a=2; a=12

Исключаем a=0;a=2;a=6;a=12 из множества [b]a ∈(-3;+ ∞ )[/b]


О т в е т. [b] (-3;0) U (0;2) U(2;6)U(6;12)U (12;+ ∞)[/b]
Ответ выбран лучшим
a)
Производная частного
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=(e^(x)+lnx)`*(e^(x)-lnx)-(e^(x)+lnx)*(e^(x)-lnx)`/(e^(x)-lnx)^2

y`= [b]([/b](e^(x)+(1/x))*(e^(x)-lnx) - (e^(x)+lnx)*(e^(x)-(1/x)) [b])[/b]/(e^(x)-lnx)^2

y`= [b]([/b](e^(x))^2+(e^(x)/x)-e^(x)*lnx-(lnx/x)-(e^(x))^2-e^(x)*lnx+e^(x)/x+lnx/x [b])[/b]/(e^(x)-lnx)^2

y`= [b]((2e^(x)/x)-2e^(x)*lnx)/(e^(x)-lnx)^2[/b] - о т в е т.

б)
Производная произведения

(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(sqrt(x))`*(x^5+sqrt(x)-2)+sqrt(x)*((x^5+sqrt(x)-2))`=

=(1/(2*sqrt(x)))*(x^5+sqrt(x)-2)+sqrt(x)*((5x^4+(1/2sqrt(x))-0))=


=(x^5+sqrt(x)-2+10sqrt(x) * x^4+sqrt(x))/(2*sqrt(x))=

= [b](x^5+10sqrt(x)*x^4+2sqrt(x)-2)/(2*sqrt(x))[/b] - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
a)

Формула производной показательной функции:
(a^(x))`=a^(x)*lna

Производная суммы ( разности) равна сумме ( разности) производных:

y`=(1/2)^(x)*ln(1/2)- (1/3)^(x) * ln(1/3) +4^(x)*ln4

О т в е т. [b] (1/2)^(x)*ln(1/2)- (1/3)^(x) * ln(1/3) +4^(x)*ln4[/b]

б)
Формула производной степенной функции:
(x^(α ))`=α *x^(α -1)

Та же формула для сложного аргумента:
(u^(α ))`=α *u^(α -1)* u`, u- функция, зависящая от х

y`=3*(2sinx)*(sinx)`-(1/x)+3*2cosx*(cosx)`

y`=6sinx*cosx-(1/x) -6cosx*sinx

y`=(-1/x)


2 cпособ
можно заметить, что
sin^2x+cos^2x=1
y=3-lgx
y`=(3)`-(lgx)`
y`=0-(1/x)
y`=(-1/x)


О т в е т. [b] y`=(-1/х)[/b]

в)

3^(2x)/2^(2x)=(3/2)^(2x)

Формула производной показательной функции:
(a^(x))`=a^(x)*lna
Та же формула для сложного аргумента:
(a^(u))`=a^(u)*u` * lna

(3^(2x)/2^(2x))`=((3/2)^(2x))`=(3/2)^(2x)* (2x)`*ln(3/2)

((корень пятой степени из х) * lnx^5)`=

свойство логарифма степени

=5*((х^(1/5))*lnx)`=

правило вычисления производной произведения


=5*(x^(1/5))`*lnx+5*x^(1/5)*(lnx)`=
=5*(1/5)x^(-4/5)*lnx+(x^(1/5)/x)=

=x^(-4/5)*lnx+x^(-4/5)

[b]=x^(-4/5)*(lnx+1)[/b] - о т в е т. [b]жирный текст[/b]
a)
y`=(x/2)`*sqrt(x^2+k)+(x/2)*(sqrt(x^2+k))`+(k/2)*(x+sqrt(x^2+k))`/(x+sqrt(x^2+k));

y`=(1/2)*sqrt(x^2+k) + (x/2) * ((2x)/(2sqrt(x^2+k))) + (k/2)* (1/sqrt(x^2+k));

y`= [b](x^2+k+1)/(2*sqrt(x^2+k))[/b]

б)
y`=3sin^(2)2x*(sin2x)`-3cos^22x*(cos2x)`=

=3sin^(2)2x*(cos2x)*2-3cos^22x*(-sin2x)*2=

=6sin2x*cos2x*(sin2x+cos2x)

y`(π/8)=6*sin(π/4)*cos(π/4)*(sin(π/4)+cos(π/4))=

=6*((sqrt(2))/2)*((sqrt(2))/2)*((sqrt(2))/2 + (sqrt(2))/2)=

= [b]3sqrt(2)[/b]
Ответ выбран лучшим
Cм. Архив задач.
Задача 38067
Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0

{x^2+2x+a=0
{x^2-2x+a^2+8a ≠ 0

Квадратное уравнение x^2+2x+a=0 имеет два корня если дискриминант квадратного уравнения положителен, т.е

D=4-4a >0
-4a>-4
[b]a< 1[/b]

a ∈ (- ∞ ;1)

При a ∈ (- ∞ ;1) числитель раен 0

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.

( Если их нет, т.е D знаменателя отрицателен, [b]замечательно[/b], значит ничего и исключать не надо)

Приравниваем числитель к знаменателю:

x^2+2x+a=x^2-2x+a^2+8a
4x=a^2+7a

x=(a^2+7a)/4

x=a*(a+7)/4

подставляем в любое уравнение,например в первое

((a+7)^2*a^2)/16+a*(a+7)/2 +16a =0

a^2(a+7)^2+8*a(a+7)+16a=0

a*( a^3+14a^2+49a+8a+56+16)=0

a=0 или a^3+14a^2+57a+72=0 ⇒ (a+3)^2*(a+8)=0 ⇒

Исключаем
a=0
a=-9
a=-3

О т в е т. [b] (- ∞ ;-9) U(-9;-3)U(-3;0) U(0;1)[/b]

Ответ выбран лучшим
1.
4096=4*1024=4*32*32=64*64=4^6
1/64=64^(-1)=(4^(3))^(-1)=4^(-3)
4^(1/4)/4=4^((1/4)-1)=4^(-3/4)
(4^(1/2))^(1/5)=4^(1/10)
∛4=4^(1/3)

2.
[b]5^(x^2-x-2)=625[/b]
5^(x^2-x-2)=5^4
x^2-x-2=4
x^2-x-6=0
D=1+24=25
x_(1)=-2; x_(2)=3


[b]7^(x+2)+4* 7^(x-1)=347[/b]
7^(x-1)* (7^(x+2-x+1)+4)=347
7^(x-1)*(7^3+4)=347
7^(x-1)*(343+4)=347
7^(x-1)=1
7^(x-1)=7^(0)
x-1=0
x=1

[b]16^(x)=2^(8)[/b]
(2^4)^(x)=2^(8)
2^(4x)=2^(8)
4x=8
x=2

[b]3^(6-x)=3^2[/b]
6-x=2
x=4

3.
[b](1/2)^(x) < (1/8)[/b]

(1/2)^(x) < (1/2)^3

Показательная функция с основанием (1/2) убывающая.
Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента:
x > 3
О т в е т. [b](3;+ ∞) [/b]

3^(2x^2-x-2) > 1

1=3^(0)

3^(2x^2-x-2) > 3^(0)

Показательная функция с основанием 3 возрастающая.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
2x^2-x-2 > 0
D=1-4*2*(-2)=17
x_(1)=(1-sqrt917))/4; x_(2)=(1+sqrt(17))/4

О т в е т. ((1-sqrt(17))/4; (1+sqrt(17))/4)

4.
Возрастает на (- ∞;+ ∞ )
см. рис. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Возводим в квадрат
3х+4=0
3х=-4
х=-4/3

О т в е т. [b]-4/3[/b]

2.
Возводим в пятую степень
4x+19=-1
4x=-1-19
4x=-20
x=-5
О т в е т. [b]-5[/b]

3.
ОДЗ:
х+3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3
При x ≥ -3
sqrt(x+3) ≥0
sqrt(x+3)+3 > 0 и ни при каком х не равняется 0
О т в е т. [b]нет корней[/b]

4.
Возводим в квадрат
2-x^2=x^2
2=2x^2
x^2=1
x= ±1

Проверка:
при
х=-1
sqrt(2-(-1)^2)=-1 - неверно, противоречит определению арифметического квадратного корня.
При
х=1
sqrt(2-1^2)=1 - верно.

О т в е т. [b]1[/b]

5.
ОДЗ:
{x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1
{x+5 ≥ 0 ⇒ x ≥ -5
ОДЗ: [-1;+ ∞ )
Возводим в квадрат
16(x+1)=(x+5)^2
16x+16=x^2+10x+25
x^2-6x+9=0
(x-3)^2=0
x=3
3 ∈ ОДЗ
О т в е т. 3

6.
Квадратное уравнение относительно корня восьмой степени из х

ОДЗ: x ≥ 0

замена переменной:
t=корню восьмой степени из х
t≥ 0

t^2+t-2=0
D=1-4*(-2)=9
t_(1)=-2; t_(2)=1

Обратный переход от t к х

корень восьмой степени из х =1
х=1

О т в е т. [b]1[/b]

7.
Возводим в куб.

x^3-x^2-10x-25=x^3
-x^2-10x-25=0
-(x+5)^2=0
x=-5

О т в е т. [b] -5[/b]

3х+4=0
х=-4/3
{4-4x>0 ⇒ x <1
{x^2-4x+3>0 ⇒ D=16-12=4; корни 1 и 3; решение: x < 1 или x > 3
{x+2>0 ⇒ x > -2
[b]ОДЗ: (-2;1)
[/b]
Перепишем уравнение :
log_(3)(4-4x)+log_(3)(x+2) ≥ log_(3)(x^2-4x+3)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(3)(4-4x)*(x+2) ≥ log_(3)(x^2-4x+3)

Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
(4-4x)*(x+2) ≥x^2-4x+3
4х-4x^2+8-8x ≥ x^2-4x+3
-5x^2+5 ≥ 0
5x^2-5 ≤ 0
-1 ≤ x ≤ 1

С учетом ОДЗ:

о т в е т. [-1;1)
v(t)=0 ⇒ 2t-t^2=0 ⇒ t=0 или t=2

s= ∫ ^(2)_(0)(2t-t^2)dt=t^2-(t^3/3)|^(2)_(0)=2^2-(2^3/3)=4-(8/3)=4/3
Ответ выбран лучшим


a) s=∫^(3)_(0) (1-6t+3t^2)dt=(t-3t^2+t^3)|^(3)_(0)=3-3*3^2+3^3=3

б) s=∫^(3)_(2) (1-6t+3t^2)dt=(t-3t^2+t^3)|^(3)_(2)=3-3*3^2+3^3-2+3*2^2-2^3=5

Ответ выбран лучшим
v(t)= ∫ a(t)dt= ∫ (10+12t)dt=10t+6t^2+C
При t=0
v(0)=50
50=10*0+6*0^2+C
C=50
v(t)=10t+6t^2+50

s(t)= ∫ v(t)dt= ∫ (10t+6t^2+50)dt=5t^2+2t^3+50t+C
О т в е т. s(t)=5t^2+2t^3+50t+C
Ответ выбран лучшим
См. неравенство Чебышева и следствия из него. (прикреплено изображение)
1)
6^(1)*6^(-log_(6)5)=6*6^(log_(6)5^(-1))=6*5^(-1)=6*(1/5)=6/5

О т в е т 1,2

2)
log_(5)5^(-2)+lg10^(-1)=-2log_(5)5-1*lg10=-2-1=-3
О т в е т -3

3)
О т в е т. (-5)+|(-12)|=-5+12=7

4)
5^3=125
∛125=5
81=3^(4)
81^(1/4)=3

О т в е т. 5-3=2

5)
sin382 ° =sin(360 ° +22 ° )=sin22 °

О т в е т. 23

6)
sin2 α =2sin α *cos α

3*2sinα*cosα /cos α =6sin α =6*(-0,5)=-3

О т в е т. -3

7)
cos^2 421 ° =cos^2(360 ° +61 ° )=cos^261 °

sin^261 ° +cos^261 ° =1

О т в е т. (35/1)= [b]35[/b]

8)
Думаю, что там опечатка.
cos^227 ° +sin [b]^2[/b]387 ° =cos^227 ° +sin^227 ° =1

О т в е т. 2/1= [b]2[/b]
D=c^2-4q
корни действительные положительные, значит
D>0 ⇒ c^2>4q
⇒ q < c^2/4
На плоскости сОq строим параболу q=c^2/4
и квадрат, границы которого указаны в условии

Область, удовлетворяющая неравенству q<c^2/4 на рис.

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-c
x_(1)*x_(2)=q

Если x_(1) >0 и х_(2) >0 ⇒ -с >0 ⇒ c <0
Точек c отрицательной первой координатой нет внутри квадрата.
Событие невозможное, его вероятность равна 0

О т в е т. p=0 (прикреплено изображение)
Неправильная дробь. Выделяем целую часть. Делим "углом" числитель на знаменатель
(x^3-2x)/(x^2-3x+2)=(x+3) +(7x-6)/(x^2-3x+2)


x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)
Дробь

(7x-6)/(x^2-3x+2) раскладываем на две простейшие дроби

(7x-6)/(x^2-3x+2) =A/(x-1)+ B/(x-2)
7x-6=A*(x-2)+B*(x-1)
При x=2
8=A*0+B
B=8
При х=1
1=- А+B*0
А=-1

(x^3-2x)/(x^2-3x+2)=(x+3) -(1)/(x-1)+ (8)/(x-2)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

∫ (x^3-2x)/(x^2-3x+2)dx= ∫ (x+3)dx- ∫dx/(x-1) +8* ∫dx/(x-2)

=(x^2/2)+3x-ln|x-1|+8ln|x-2|+C
Найдем абсциссы точек пересечения
y=x^2-3 и y=2x-x^2

x^2-3=2x-x^2
2x^2-2x-3=0
D=4-4*2*(-3)=28

x_(1)=(2-2sqrt(7))/4=(1-sqrtz(7))/2; х_(2)=(1+sqrt(7))/2

∫ ∫ _(D)(x+2y)dxdy= ∫ ^(x_(2))_(x_(1))dx ∫^(2x-x^2)_(x^2-3) (x+2y)dy=

= ∫ ^(x_(2))_(x_(1)) (xy+y^2)|^(y=2x-x^2)_(y=x^2-3)dx=

= ∫ ^(x_(2))_(x_(1))(x*(2x-x^2)-x*(x^2-3) +(2x-x^2)^2/2 - (x^2-3)^2/2)dx=

= ∫ ^(x_(2))_(x_(1)) (2x^2-x^3-x^3+3x+2x-2x^3+(x^4/2) - (x^4/2)+3x^2-(9/2))dx=

= ∫ ^(x_(2))_(x_(1)) (5x^2-4x^3+5x-(9/2))dx=


=(5(x^3/3)-4(x^4/4)+(5x^2/2)-(9/2)x)|^(x_(2))_(x_(1))=

где x_(1)=(1-sqrt(7))/2
x_(2)=(1+sqrt(7))/2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
[b]Гиперболой [/b]называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_(1 )и F_(2) есть величина постоянная

Это гипербола с фокусами в точках
F_(1)(0;i)
F_(2)(5;0)
Ответ выбран лучшим
z=-9-(5/2)i
|z|=sqrt((-9)^2+(-5/2)^2)=sqrt(349)/2

∛z=∛(sqrt(349)/2)*(cos(( φ +2πk)/3)+isin( (φ+2πk)/3))

При k=0
z_(o)=
При k=1
z_(1)=
При k=3
z_(2)

z_(o);z_(1);z_(2) - три корня на единичной окружности, отстоящих друг от друга на 120 градусов.
Ответ выбран лучшим
|z|=sqrt((-1(^2+(-4)^2)=sqrt(1+16)=sqrt(17)

Пусть
argz=phi

sin(phi)=y/|z|=-4/sqrt(17)
cos(phi)=x/|z|=-1/sqrt(17)
phi=arcsin(-4/sqrt(17))=-arcsin(4/sqrt(17))


z=sqrt(17)*(cosphi+i*sinphi)

Argz=argz+2πn, n ∈ Z

Геометрическая интерпретация комплексного числа
z=x+iy - Точка с координатами (x;y) или вектор с такими же координатами. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z_(1)=8-i
z_(2)=2+5i

z_(1)+z_(2)=8-i+2+5i=10+4i
z_(1)-z_(2)=(8-i)-(2+5i)=8-i-2-5i=6-6i
z_(1)*z_(2)=(8-i)*(2+5i)=16-2i+40i-5i^2=16+5+38i=21+38i

z_(1)/z_(2)=(8-i)/(2+5i)=(8+i)*(2-5i)/((2+5i)*(2-5i))=(16+2i-40i-5i^2)/(4-25i^2)=(21-38i)/29=(21/29)-(38/29)i


|z_(1)|=sqrt(8^2+(-1)^2)=sqrt(64+1)=sqrt(65)
Обозначим
argz_(1)=phi
тогда
sin(phi)=-1/|z_(1)|=-1/sqrt(65)
cos(phi)=8/|z_(1))=8/sqrt(65)
phi=arcsin(-1/sqrt(65))

z_(1)=sqrt(65)*(cos(phi)+i*sin(phi)) - триг форма


z^(7)_(1)=(sqrt(65))^7(cos7phi+i*sin7phi)
Ответ выбран лучшим
Запишем кривую в параметрическом виде:
x(t)=acos^4t
y(t)=asin^4t

тогда
sqrt(x)=sqrt(a)cos^2t
sqrt(y)=sqrt(a)sin^2t

Складываем
sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(a)*(cos^2t+sin^2t)

sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(a)

Поэтому применяем формулу:
L= ∫ ^(t_(2))_(t_(1))sqrt [b]([/b] ((x`(t))^2+(y`(t))^2 [b])[/b]dt

x`(t)= 4acos^3t*(cost)`=4acos^3t*(-sint)
y`(t)=4asin^3t*(sint)`=4asin^3t*cost

(x`(t))^2+(y`(t))^2=16a^2*(cos^6t*sin^2t+sin^6t*cos^2t)=

=16a^2*sin^2tcos^2t*(cos^4t+sin^4t)=

формула понижения степени: sin^2x=(1-cos2x)/2;cos^2x=(1+cos2x)/2⇒

sin^4t+cos^4t=(sin^2t)^2+(cos^2t)^2=(2+2cos^2x)/4=(1+cos^2x)/2


=4a^2*(sin2t)^2*(1+cos^22t)/2=2a^2(sin^22t)*(1+cos^22t)


При x=0
t_(1)=π/2

При х=а ⇒ acos^4t=a ⇒ cos^4t=1 ⇒ cos^2t=1;
cost=1
t_(2)=0

∫ ^(0)_(π/2) = [b]-[/b] ∫ ^(π/2)_(0)


L= - ∫ ^(π/2)_(0) sqrt(2)a*sin2t*sqrt(1+cos^22t)dt=

=sqrt(2)a ∫ ^(π/2)_(0)sqrt(1+cos^22t)d(cos2t)/2=

=(sqrt(2)/2)* a* [b]([/b]cos2t+sqrt(1+cos^22t)+ln|cos2t+sqrt(1+cos^22t))/2|) | ^(π/2)_(0)=


=a*(sqrt(2)/4)(0 + +ln|cosπ+sqrt(1+cos^2π))/2|-ln|cos0+sqrt(1+cos^20))/2|=

[b]=a*sqrt(2)ln(sqrt(2)-1)/8- asqrt(2)*ln(sqrt(2)+1)/8[/b] (прикреплено изображение)
Пусть событие А -" при трех выстрелах горючее воспламенится"
тогда событие Ā- "при трех выстрелах горючее не воспламенится"
Это произойдет в следующих случаях:
при трех выстрелах нет ни одного попадания или при трех выстрелах есть одно попадание
Пусть
событие А_(o)- "при трех выстрелах нет ни одного попадания"
p(A_(o))=(1-0,2)^3=0,8^3=0,512

событие А_(1)- "при трех выстрелах произошло одно попадание"
p(A_(1))=С^(1)_(3)0,2*(1-0,2)^2=3*0,2*0,8^2=0,384

p(Ā)=p(A_(o)+A_(1))=p(A_(o))+p(A_(1))=0,512+0,384=0,896

Тогда

p(A)=1-p(Ā)=1-0,896=0,104

О т в е т. [b] 0,104[/b]
Дифференциальный бином.

См. приложение подстановки ( Чебышева)
x*x^(5/12)=x^(17/12)

m=-17/12; n=1/3; p=1/4
пункт 3
(m+1)/n+p=(-5/12)/(1/3) + (1/3)=(-5/4)+(1/4)=-4/4=-1 - целое

1+x^(1/3)=t^4x^(1/3) ⇒ x^(-1/3)+1=t^4 ⇒ t=(x^(-1/3)+1)^(1/4)

x^(1/3)=1/(t^4-1)

x^(1/3)=(t^4-1)^(-1)

x=(t^4-1)^(-3)

dx=-3(t^4-1)^(-4)*(t^4-1)`dt

dx=-12t^3(t^4-1)^(-4)dt


(1+x^(1/3))^(1/4)= (t^(4)x^(1/3))^(1/4)=tx^(1/(12))

x^(-17/12))*(1+x^(1/3))^(1/4)=x^(-17/12)*tx^(1/12)=tx^(-4/3)=t(t^4-1)^(4)


Тогда интеграл примет вид
-12 ∫t^4dt=12*(t^5/5) + C

где t=(x^(-1/3)+1)^(1/4) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Действие, обратное действию приведения к общему знаменателю:
делим первое слагаемое числителя на знаменатель и второе слагаемое числителя на знаменатель
(2х-5)/(3x^2-2)=(2x)/(3x^2-2) - (5)/(3x^2-2)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ (2x-5)dx/(3x^2-2)= ∫ 2xdx/(3x^2-2) - ∫ 5dx/(3x^2-2)=

первый интеграл сводим к интегралу ∫ du/u=ln|u|

второй по формуле ∫ du/(u^2-a^2)=(1/(2a))* ln|(u-a)/(u+a) + C


Итак, решение можно записать коротко так:

∫ (2x-5)dx/(3x^2-2)= ∫ 2xdx/(3x^2-2) - ∫ 5dx/(3x^2-2)=

=(1/3) ∫ (6xdx)/(3x^2-2) - 5*∫dx/((sqrt(3)x)^2-2)=

=(1/3) ∫ d(3x^2-2)/(3x^2-2)-(5/sqrt(3)) ∫ d(sqrt(3)x)/((sqrt(3)x)^2-2)=

=(1/3)ln|3x^2-2| -(5/sqrt(3))*(1/(2sqrt(2)))ln|(sqrt(3)x-sqrt(2))/(sqrt(3)x+sqrt(2))| + C=

= [b](1/3)ln|3x^2-2| -(5/(2sqrt(6)))*ln|(sqrt(3)x-sqrt(2))/(sqrt(3)x+sqrt(2))| + C[/b]
Ответ выбран лучшим
u=2-4x
dv=sin2xdx

du=-4dx
v=(1/2)(-cos2x)

[b] ∫ udv=u*v- ∫ vdu[/b]

∫ (2-4x)sin2xdx=(2-4x)*(1/2)*(-cos2x) - ∫ (1/2)*(-cos2x)*(-4dx)=

=(2x-1)cos2x-2∫cos2x=

=(2x-1)cos2x-2*(1/2)sin2x+C=

= [b](2x-1)cos2x - sin2x + C[/b]
Ответ выбран лучшим
vector{MN}=(6-3;5-1)=(3;4) -это вектор направления l

Направляющие косинусы вектора vector{MN}:
cos α =3/sqrt(3^2+4^2)=3/5
cos β =4/sqrt(3^2+4^2)=4/5

∂z/∂x=(x^3-3x^2y+3xy^2+1)`_(x)=3x^2-6xy+3y^2
∂z/∂y=(x^3-3x^2y+3xy^2+1)`_(y)=-3x^2+6xy

(∂z/∂x)M)=3*3^2-6*3*1+3*1^2=12
(∂z/∂y)(M)=-3*3^2+6*3*1=-9

∂z/∂l=(∂z/∂x)*cos α + (∂z/∂y)* cosβ

∂z/∂l_(M)=(∂z/∂x)(M)*cos α + (∂z/∂y)(M)* cosβ=12*(3/5)-9*(4/5)= [b]0[/b]
Ответ выбран лучшим
Пусть событие А - ''в мишени три пробоины ''

Введем в рассмотрение события-гипотезы
H_(1) - ''промахнулся первый''
H_(2) - ''промахнулся второй''
H_(3) - ''промахнулся третий''
Н_(4) -"промахнулся четвертый"

p(H_(1))=p(H_(2))=p(H_(3))=р(Н_(4))=1/4

p(A/H_(1))=0,6*0,6*0,7*0,8=0,2016
p(A/H_(2))=0,4*0,4*0,7*0,8=0,0896
p(A/H_(3))=0,4*0,6*0,3*0,8=0,0576
p(A/H_(4))=0,4*0,6*0,7*0,2=0,0336

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) +
+p(H_(3))*p(A/H_(3))+p(H_(4))*p(A/H_(4))=0,2016+0,0896+0,0576+0,0336=0,3824

По формуле Байеса:
р(Н_(4)/А)= (p(H_(4))*p(A/H_(4)))/р(А)= 0,0336/0,3624=0,087
a) Дифференциальный бином.
См. приложение подстановки( Чебышева)

m=-1/2; n=1/4; p=1/3

(m+1)/n=(1/2)/(1/4)=2 - цело число

Значит, подстановка имеет вид ( см. пункт 2)

1+x^(1/4)=t^3
x^(1/4)=t^3-1
x=(t^3-1)^4
sqrt(x)=(t^3-1)^2
dx=4(t^3-1)^3*(t^3-1)`dt
dx=12t^2(t^3-1)^3dt

Тогда интеграл примет вид
∫ (t/(t^3-1)^2)*12t^2(t^3-1)^3dt= 12 ∫ t^3*(t^3-1)dt=

=13 ∫(t^6-t^3)dt=12*(t^7/7)-12*(t^4/4) + C

t=∛(1+x^(1/4))

б)
Так как
1+tg^2x=1/cos^2x
и
tg^5x=tg^3x*tg^2x=tg^3x*((1/cos^2x)-1)=(tg^3x/cos^2x) - tg^3x
и
tg^3x=tg^2x*tgx=((1/cos^2x)-1)*tgx=(tgx/cos^2x)-tgx

Итак,
tg^5x=(tg^3x/cos^2x) -(tgx/cos^2x)+tgx

∫ tg^5xdx= ∫ (tg^3xdxcos^2x) - ∫(tgxdx/cos^2x)+ ∫ tgxdx=

= ∫ tg^3xd(tgx)- ∫ tgxd(tgx)- ∫ d(cosx)/cosx=

=((tg^4x)/4)-((tg^2x)/2)-ln|cosx|+C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Не менее двух
значит,
2,3,4,5,... до 500

Рассмотрим противоположное событие
"менее двух" - значит 0 и 1
p=0,004
n=500

p очень мало, n велико.

Применяем локальную формулу Лапласа.

P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

np=500*0,004=2
npq=500*0,004*(1-0,004)=1,992
sqrt(npq)=sqrt(1,992)=1,4

x=(k-np)/sqrt(npq)

при k=0
x=(-2)/1,4 ≈-1,43

P_(500)(0)=(1/1,4)*φ(-1,43) ≈0,71*0,1435=0,101885

при k=1
x=(1-2)/1,4 ≈-0,71

P_(500)(1)=(1/1,4)*φ(-0,71)=0,71*0,3101=0,220171


P_(500)(0)+P_(500)(1)=0,322

О т в е т. 1 -0,322=0,678 (прикреплено изображение)
г)
{8x+5>0 ⇒ x > -5/8
{6x+1> 0 ⇒ x > -1/6
{8x+5=6x+1 ⇒ 8x-6x=1-5; 2x=-4; x=-2
Нет корней
-2>-5/8 - неверно
-2>-1/6 - неверно

О т в е т. Нет корней

д)
Пусть 2x=t

tg t = sqrt(3) ⇒ t=arctg(sqrt(3))+πn, n ∈ Z

Обратный переход

2x=arctg(sqrt(3))+πn, n ∈ Z

2x=(π/3) + πn, n ∈ Z

Делим на 2

x=(π/6) + (π/2)*n, n ∈ Z - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
a)
Перенесем 2 влево:

((1-х)/х)-2=0
Приводим к общему знаменателю
(1-x-2x)/x=0

(1-3x)/x=0

Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0
{1-3x=0
{x ≠ 0

{х=1/3
{x ≠ 0

О т в е т. 1/3

б)
Возводим в квадрат
18-3х=(-х)^2

x^2+3x-18=0

D=3^2-4*(-18)=81

х_(1)=(-3-9)/2=-6; x_(2)=(-3+9)/2=3

Проверка

При x_(1)=-6

sqrt(18-3*(-6))=-(-6) - верно, так как sqrt(36)=6

При x_(2)=3

sqrt(18-3*3)=-3 - неверно, так как sqrt(9)=3

О т в е т. [b]-6[/b]

в) 0,25=1/4=2^(-2)

(2^(-2))^(x-3)=2^(3x-1)

2^(-2x+6)=2^(3x-1)

-2х+6=3х-1
-2х-3х=-1-6

-5х=-7

х=7/5

х= [b]1,4[/b]

О т в е т. 1,4
Ответ выбран лучшим
Уравнение с разделяющимися переменными
(y^2+4)dx=-xdy

dx/x=-dy/(y^2+4)

Интегрируем

∫dx/x= - ∫ dy/(t^2+4)

ln|x|=arcctgу + C- общее решение
Пусть случайное число равна х.
0 < x < 1

Так как по условию сумма восьми таких чисел больше 1, то
8x > 1 ⇒ х > 1/8

Переформулируем вопрос.
Какова вероятность, что случайное число

1/8 < x < 1

По формуле геометрической вероятности:

p=длина интервала (1/8;1)/ длина интервала (0;1}=

[b]=7/8[/b]
a)
∂z/∂x=z`_(x)=(sin(xy))`_(x)=(cos(xy))*(xy)`_(x)= [b]y*cos(xy)[/b]

∂z/∂y=z`_(y)=(sin(xy))`_(y)=(cos(xy))*(xy)`_(y)= [b]x*cos(xy)[/b]


б)

gdad u=(∂u/∂x)*vector{i}+(∂u/∂y)*vector{j}+(∂u/∂z)*vector{k}

∂u/∂x= (tgx-x+3sin^2y+z+ctgz)`_(x)=(1/cos^2x)-1= [b] tg^2x[/b]

∂u/∂y= (tgx-x+3sin^2y+z+ctgz)`_(y)=3*2*siny*(siny)`=6siny*cosy= [b]3sin2y[/b]

∂u/∂z= (tgx-x+3sin^2y+z+ctgz)`_(z)=1-(1/sin^2z)= [b]-ctg^2z[/b]


grad u_(M)=(∂u/∂x)_(M)*vector{i}+(∂u/∂y)_(M)*vector{j}+(∂u/∂z)_(M)*vector{k}

(∂u/∂x)_(M)=tg^2(π/4)=1

(∂u/∂y)_(M)=3sin(2*(π/3))=3*sqrt(3)/2

(∂u/∂z)_(M)=-ctg^2(π/2)=0


grad u_(M)= [b]1 *vector{i}+(3sqrt(3)/2)*vector{j}+0*vector{k}[/b]

Ответ выбран лучшим
tgx+ ctgx=(sinx/cosx)+ (cosx/sinx)
ОДЗ:
{sinx ≠ 0
{cosx ≠ 0


tgx + ctgx=(sin^2x+ cos^2x)/(sinxcosx)

tgx+ ctgx=1/(sinx*cosx)


Замена переменной

[b]sinx+ cosx=t[/b]


Возводим в квадрат:

sin^2x+ 2sinx*cosx + cos^2x=t^2 ⇒

2sinxcosx=t^2-1

sinx*cosx=(t^2-1)/2


Уравнение принимает вид:

√2 *t =2/(t^2-1)

{√2* t^3- √2t - 2 =0 ⇒ [b] t^3- t -√2=0[/b]
{t^2-1 ≠ 0 ⇒ [b]t ≠ ± 1[/b]

t^3- t -√2=0

t=√2- корень уравнения, так как (√2)^3-√2-√2=0 - верно.

(t-√2)*(t^2 + √2t + 1)=0

Квадратное уравнение
t^2 +√2t + 1 =0 корней не имеет, т.к D=2-4 < 0

Обратный переход

sinx + cosx=√2

sinx +sin((π/2)-x)=√2

[формула sinα+sinβ =]

2sin(π/4) * cos( x-(π/4))=√2

2*(sqrt(2)/2)*cos( x-(π/4))=√2

cos(x-(π/4))=1

х-(π/4)=2πn, n ∈ Z

[b]х=(π/4)+ 2πn, n ∈ Z[/b] удовлевторяет ОДЗ

О т в е т. (π/4) +2πn, n ∈ Z

dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy

z`_(x)=(x^2*y^2)`_(x)=

при этом y - константа

=y^2*(x^2)`_(x)=y^2*(2x)=2xy^2

z`_(y)=(x^2*y^2)`_(y)=


при этом х - константа

=x^2*(y^2)`_(y)=x^2*(2y)=2x^2y

О т в е т.
[b]dz=2xy^2*dx+2х^2y*dy[/b]


2) ∂^(2)z/ ∂ x^2=(z`_(x))`_(x)=(2xy^2)`_(x)=(2y^2)*(x)`_(x)=2y^2*1=2y^2

∂^(2)z/ ∂ y^2=(z`_(y))`_(y)=(2х^2у)`_(y)=(2x^2)*(y)`_(y)=2x^2*1=2x^2


3)
∂^(2)z/ ∂ y ∂ x=(z`_(x))`_(y)=(2xy^2)`_(y)=2x*(y^2)`_(y)=2x*(2y)=4xy

∂^(2)z/ ∂ x ∂ y=(z`_(y))`_(x)=(2х^2y)`_(x)=(2y)*(x^2)`_(x)=(2y)*(2x)=4xy

равны, что и требовалось доказать
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)
1-x=t
t → 0

x=t+1
tg((π/2)*x)=tg((π/2)*(t+1))=tg((π/2)t+(π/2))=-ctg((π/2)t)


=lim_(t → 0) t*(-ctg((π/2)t))= - lim_(t → 0) t/tg((π/2)t)=


=- lim_(t → 0)((π/2)t)/tg((π/2)t)* (1/(π/2))= [b]-2/π[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Производная в числителе

(2x)`=2

Производная в знаменателе:

e^(-2x)*(-2x)`=e^(-2x)*(-2)

получаем

lim_(x → - ∞ )2/((e^(-2x)*(-2))=lim_(x → - ∞ )(-e^(2x))=0

(-e^(- ∞ ))=-1/e^(+ ∞ )=-1/(+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Область определения (- ∞ ;+ ∞)

y`=(x^2-4x+3)`=2x-4

y`=0

2x-4=0

x=2

y`<0 при x < 2
Функция убывает на (- ∞ ;2)

y`>0 при x>2

Функция возрастает на (2;+ ∞ )

x=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=2 >0

Вторая производная положительна, кривая выпукла вниз

Точки пересечения с осями координат.

C осью Ох
y=0

Решаем уравнение:
x^2-4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=(4-2)/2=1; х_(2)=(4+2).2=3

C осью Оу

x=0
y=3 (прикреплено изображение)
y`=((x–3)^2/(x-2)^3)`=

[b](u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2[/b]


=(((x-3)^2)`*(x-2)^3-(x-3)^2*((x-2)^3)`) / (x-2)^6=


=(2(x-3)*(x-2)^3-(x-3)^2*3(x-2)^2)/(x-2)^6=

=(2x-4-3x+9)*(x-3)/(x-2)^4=

=(5-x)(х-3)/(x-2)^4=

=(8x-x^2-15)/(x-2)^4


y``=(y`)`=((8x-x^2-15)/(x-2)^4)


[b](u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2[/b]


=((8x-x^2-15)`*(x-2)^4-(8x-x^2-15)*((x-2)^4)`)/(x-2)^8 =

=((8-2x)*(x-2)^4-(8x-x^2-15)*4*(x-2)^3))/(x-2)^8=

=((8-2x)*(x-2)-4*(8x-x^2-15))/(x-2)^5=

=(8x-2x^2-16+4x-32x+4x^2+60)/(x-2)^5=

=(2x^2-20x+44)/(x-2)^5
Испытание состоит в том, что подбрасывают игральную кость, на которой 6 граней. На каждой грани одно число ( от 1 до 6)

n=6 - число исходов испытания. ( т.е. может выпасть любое число от 1 до 6, 6 результатов)

Пусть событие А - " выпало более трех очков"
Событию А благоприятствуют три исхода испытания ( выпало 4, 5, 6)
m=3

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=3/6=1/2
du/dx=(∂u/∂z)*(dz/dx)+ (∂u/∂y)*(dy/dx)

(∂u/∂z)=(z/2)`_(z)*ln(z/y) + (z/2)*(ln(z/y))`_(z)=

=(1/2)*ln(z/y)+(z/2)*(1/(z/y))*(z/y)`_(z)=

=(1/2)*ln(z/y)+(z/2)*(y/z)*(1/y)=

= (1/2)*ln(z/y)+(1/2)


(∂u/∂y)= (z/2)*(ln(z/y))`_(y)=(z/2)*(1/(z/y))*(z/y)`_(y)=(z/2)*(y/z)*z(1/y)`=

=(y/2)*(-1/y^2)=-1/(2y)

(dz/dx)=(tg^2x)`_(x)=2tgx*(tgx)`=2tgx/cos^2x

(dy/dx)= (ctg^2x)`_(x)=2ctgx*(ctgx)`=-2ctgx/sin^2x


du/dx=(1/2)(ln(z/y)+1)*(2tgx/cos^2x)+(-1/2y)*(-2ctgx/sin^2x)


О т в е т.
du/dx=(ln(z/y)+1)*(tgx)/(y*cos^2x)+(2ctgx)/(y*sin^2x)

2.


∂u/∂ξ =(∂u/∂x)*(∂x/∂ξ ) + (∂u/∂y)*(∂y/∂ξ )

∂u/∂η=(∂u/∂x)*(∂x/∂η) + (∂u/∂y)*(∂y/η )



(∂u/∂x)=(2x^2+3y^2)`_(x)=4x
(∂u/∂y)=(2x^2+3y^2)`_(y)=6y

(∂x/∂ξ) =(ξ+ η )`_(ξ)=1
(∂y/∂ξ)=(ξ- η )`_(ξ)=1

(∂x/∂η)=(ξ+ η )`_(η)=1
(∂y/∂η)=(ξ- η )`_(η)= - 1


∂u/∂ξ =(4x)*1 + (6y)*1

∂u/∂η=(4x)*1 + (6y)*(-1)


О т в е т.

∂u/∂ξ =4x + 6y

∂u/∂η=4x - 6y
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{1-x > 0 ⇒ x < 1
{2-x > 0 ⇒x < 2

ОДЗ: х ∈ (- ∞ ;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(9)(1-x)*(2-x) = log_(9)30

(1-х)*(2-х)=30

x^2-3x+2=30

x^2-3x-28=0

D=(-3)^2-4*(-28)=9+112=121

x_(1)=(3-11)/2=-4; x_(2)=(3+11)/2=7

x_(2) не принадлежит ОДЗ, поэтому не является корнем данного уравнения

О т в е т. -4
задача на применение формулы Байеса

Вводим в рассмотрение события- гипотезы
H_(1) - " в коробке лежит белый шар"
H_(2) - " в коробке лежит черный шар"

p(H_(1))=1/2
p(H_(2))=1/2

Событие А - " выбранный шар белый"
р(A/H_(1))=3/3=1
р(A/H_(2))=2/3

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(1/2)*1+(1/2)*(2/3)=5/6

[b]р(H_(1)/A)*p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))[/b] ⇒

р(H_(1)/A)=(p(H_(1))*p(A/H_(1))) /p(A) - формула Байеса

р(H_(1)/A)=(1/2)*1/(5/6)=0,6

О т в е т. 0,6
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
1)
Табличный интеграл
[b] ∫ 2^(u)du=2^(u)/ln2 + C
[/b]
u=2x-3
du=2dx
d(2x-3)=2dx
dx=(1/2)d(2x-3)

∫ ^(1)_(0)2^(2x-3)dx=(1/2) ∫ ^(1)_(0)2^(2x-3)d(2x-3)=

= (1/2)*(2^(2x-3)/ln2)|^(1)_(0)=(1/2)(2^(-1)/ln2)-(1/2)2^(-3)/ln2=

= [b]3/(16ln2)[/b]


2)
Табличный интеграл
[b] ∫ u^(2)du=u^(3)/3 + C
[/b]
u=(6-x)
du= - dx
d(6-x)=-dx
dx=-d(6-x)

∫ ^(1)_(-1)(6-x)^(2)dx=- ∫ ^(1)_(-1)(6-x)^(2)d(6-x)=

= - ((6-x)^3/3)|^(1)_(-1)=-(5^3/3)+(7^3/3)=(7^3-5^3)/3=...

3)
Табличный интеграл
[b] ∫ sinu du=-cosu + C
[/b]
u=(x/3)
du= (1/3) dx
d(x/3)=(1/3)dx
dx=3d(x/3)

∫ ^(3π)_(π/2) sin(x/3)dx=3 ∫ ^(3π)_(π/2) sin(x/3)d(x/3)=

=-3cos(x/3) | ^(3π)_(π/2)= -3* cos(π)+3cos(π/6)=-3*(-1)+3*(1/2)=4,5
Ответ выбран лучшим
2.
x_(1)=-1 - [b]точка непрерывности[/b], так как

lim_(x → -1-0)f(x)=lim_(x → -1+0)f(x)=f(-1)=(-2+4)/(-3+9)=2/6=1/3

х_(2)=-3 - [b]точка разрыва второго рода[/b], так как
lim_(x → -3-0)f(x)=+∞
lim_(x → -3+0)f(x)=- ∞

График на рис.1
2.1

=lim_(x → 0) ((e^(sinx)-1)/sinx)* [b]([/b]lim_(x → 0) (sinx/x) [b])[/b]*
lim_(x → 0) (x/(x^2+3x))=

=1*1*lim_(x → 0) (x/(x+3)*x)=lim_(x → 0) (1/(x+3))=1/(0+3)= [b]1/3[/b]

2.2
x=0 - [b]точка непрерывности[/b]
lim_(x →-0)f(x)=lim_(x →-0)1=1

lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)cosx=cos0=1

f(0)=cos0=1

х=(π/2)- [b] точка разрыва первого рода[/b]

lim_(x →(π/2)-0)f(x)=lim_(x →(π/2)-0)cosx=0

lim_(x → (π/2)+0)f(x)=lim_(x → (π/2)+0)(1-x)=1-(π/2)

Есть скачок:
1-(π/2) - 0 = 1 - (π/2) , который является конечным.

График на рис.2
(прикреплено изображение)
y=e^(x)*cosx
Правило:
производная произведения
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(e^(x))`*cosx+e^(x)*(cosx)`=(e^(x))*cosx+e^(x)*(-sinx)=

= [b]e^(x)*(cosx-sinx)[/b]
Область определения (– ∞ ;0) U (0;+ ∞ )
x=0 - точка разрыва второго рода

limx→–0 f(x)=+ ∞
limx→+0 f(x)=+ ∞

Прямая х=0 - вертикальная асимптота


y`=(x^(-2))`·e^(x)+(x^(-2))·(e^(x))`=
=-2x^(-3)·e^(x)+(x^(-2))·e^(x)=
=e^(x)·(-2x^3+x^(-2))=
=e^(x)·(x-2)/x^3

y`=0

x-2=0
x=2
Знак производной
__+__ (0)__–__ (2) ____ +

y` >0 на (– ∞ ; 0), и на (2; + ∞),
функция возрастает на (– ∞ ; 0), и на (2; + ∞),

y`< 0 на (0; 2),
функция убывает на (0; 2)

х= 2– точка минимума, производная меняет знак с – на +
(прикреплено изображение)
б)
Область определения (– ∞ ;2)U(2;+ ∞ )

х=2 – не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода

Прямая х=2 – вертикальная асимптота
limx→2-0 f(x)=- ∞
limx→2+0 f(x)=+ ∞

Прямая y=0 – горизонтальная асимптота,
limx→ ∞f(x)=0


y`=((x–3)^2/(x-2)^3)`=


=(((x-3)^2)`*(x-2)^3-(x-3)^2*((x-2)^3)`) / (x-2)^6=


=(2(x-3)*(x-2)^3-(x-3)^2*3(x-2)^2)/(x-2)^6=

=(2x-4-3x+9)*(x-3)/(x-2)^4

=(5-x)(х-3)/(x-2)^4

y`=0

5-x=0 или x-3=0

x=5 или x=3


Расставляем знак производной

_-__ ( 2) __-__ (3) ___+__ (5) ___-__

x=3- точка минимума, производная меняет знак с - на +
x=5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -


y` > 0 на (3;5 )

функция возрастает на (3;5 )

y` < 0 на y` >0 на (– ∞;2) и на (2;3 ) и на (5;+ ∞)

функция убывает на (– ∞;2) и на (2;3) и на (5;+ ∞) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
а)
Область определения (– ∞ ;+ ∞ )
y`=(x+4)`·e^(2x)+(x+4)·(e^(2x))`=
=1·e^(2x)+(x+4)·e^(2x)*(2x)`=
=e^(2x)+(x+4)·e^(2x)*2=
=e^(2x)·(1+2x+8)=
=e^(2x)·(2x+9)

y`=0

2x+9=0
x=-4,5
Знак производной
__–__ (4,5) ____ +

y`< 0 на (– ∞ ; –4,5), функция убывает
y` >0 на (–4,5; + ∞), функция возрастает

х= - 4,5 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
y(-4,5)=(-4,5+4)e^(2*(-4,5))=-0,5e^(-9) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.1
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным

2^(3x)-4 >0
2^(3x)>4
2^(3x)>2^2
3x>2
x>2/3

1.2

График данной функции см. рис.1
y=x ⇒ обратная (меняем х и у местами) x=y
если x ≤ 0, то y ≤ 0
Выражаем y через х

y=x^2 ⇒ обратная х=y^2
если x > 0, то y > 0

y=sqrt(x)
Обратная
y=sqrt(x)

[b]y=
{x, x ≤ 0,
{sqrt(x), x >0[/b]

рис.2

2.1

-x^2-5x+6 >0

x^2+5x-6 <0

D=25+24=49

x_(1)=(-5-7)/2=-6; x_(2)=(-5+7)/2=1

О т в е т. (-6;1)

2.2

см. рис.3

3.1

x^2+x > 0

x*(x+1)>0
x < -1 или x >0

можно написать такой же ответ как в задании

3.2

y=x-2
x < 1

Обратная
x=y-2
y=x+2

y=x^2-2
x=y^2-2
x+2=y^2

y=sqrt(x+2) (прикреплено изображение)
dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy

z`_(x)=(x^2+2xy+y^2+x^3-3x^2y-y^3+x^4-4x^2y^2+y^4)`_(x)=

при этом y - константа

=2x+2y+3x^2-6xy+4x^3-8xy^2

z`_(y)=(x^2+2xy+y^2+x^3-3x^2y-y^3+x^4-4x^2y^2+y^4)`_(y)=


при этом х - константа

=2х+2у-3x^2-3y^2-8x^2y+4y^3

О т в е т.
[b]dz=(2x+2y+3x^2-6xy+4x^3-8xy^2)*dx+(2х+2у-3x^2-3y^2-8x^2y+4y^3)*dy[/b]


2) ∂^(2)z/ ∂ x^2=(z`_(x))`_(x)=(2x+2y+3x^2-6xy+4x^3-8xy^2)`_(x)=

=2+6x-6y+12x^2-8y^2


∂^(2)z/ ∂ y^2=(z`_(y))`_(y)=(2х+2у-3x^2-3y^2-8x^2y+4y^3)`_(y)=


=2-6y-8x^2+12y^2

3)
∂^(2)z/ ∂ x ∂ y=(z`_(x))`_(x)=(2x+2y+3x^2-6xy+4x^3-8xy^2)`_(y)=

= [b]2-6x-16xy[/b]


∂^(2)z/ ∂ y ∂ x=(z`_(y))`_(x)=(2х+2у-3x^2-3y^2-8x^2y+4y^3)`_(x)=

= [b]2-6x-16xy[/b]


равны, что и требовалось доказать
Решаем однородное уравнение:
y``+y=0

Составим характеристическое уравнение:
k²+1=0 ;
k=±i ;
y_(однород)=C_(1)cosx+C_(2)sinx

Применяем метод вариации произвольных постоянных
Для этого константы С_(1) и С_(2) считаем зависящими от х

[b]y=C_(1)(х)*cosx+C_(2)(х)*sinx (#)[/b]


C_(1) x и С_(2)(х) находим из системы:

{ C’_(1)(x)cosx+C`_(2)(x)sinx=0;
{C`_(1)(x)*(-sinx)+C’_(2)(x)*cosx=tg²x;

Из первого уравнения: С’_(1)(x)=-C`_(2)(x)tgx,

подставляем во второе,

получаем

-C`_(2)(x)tgx*(-sinx)+C`_(2)(x)*cosx=tg²x

C`_(2)(x) * (1/cosx)=tg²x


C’_(2)(x)=sin²x/cosx


C_(2)(x)=∫sin²xdx/cosx =∫(1-cos²x )dx /cosx =

=∫(dx /cosx -∫(cos²x )dx /cosx =


=ln|tg((x/2)+(π/4)))-sinx+C_(3)

[b]C_(2)(x)=ln|tg((x/2)+(π/4)))-sinx+C_(2)[/b]

C`_(1)(x) =(-sin²x/cosx )*tgx

C`_(1)(x)=-sin^3x/cos^2x

С_(1)= ∫ (-sin^3x/cos^2x)dx=-∫ (sinx* sin^2xdx)/cos^2x=

=-∫ (sinx* (1-cos^2x)dx)/cos^2x=-∫ (sinx)dx)/cos^2x+∫ sinxdx=

=-(1/cosx) - cosx + C_(1)


и подставляем в (#)


[b]y=((-1/cosx)-cosx+C_(1))*cosx+(ln|tg((x/2)+(π/4)))-sinx+C_(2))*sinx [/b]

y=-1 -cos^2x+C_(1)cosx+sinx* ((ln|tg((x/2)+(π/4))) -sin^2x+ C_(2)sinx

[b]y=-2+C_(1)cosx+sinx* ((ln|tg((x/2)+(π/4))) + C_(2)sinx[/b] -
о т в е т.


(прикреплено изображение)
Пусть скорость велосипедиста,пришедшего к финишу вторым, равна х км в час, тогда скорость первого велосипедиста (х+14) км в час.

140/x ( часов) - время второго
140/(х+14) часов - время первого.

По условию первый едет прибывает к финишу на 5 часов раньше второго
140/(x+14) < 140/x на 5

Уравнение
140/(x+14) +5= 140/x

Умножаем на х*(х+14)

140x+5x*(x+14)=140*(x+14)

28x +x^2+14x=28x+28*14
x^2+14x- 28*14=0
D=14^2+4*28*14=196*9
x_(1)=(-14-14*3)/2 < 0 x_(2)=(-14+14*3)/2=14

О т в е т. 14 км в час
sqrt(15x^2+2x+8)=-4x

ОДЗ:
{15x^2+2x+8 > при любом х так как D=4-4*15*8 <0
{-4x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0

ОДЗ : x ∈ (- ∞ ; 0]

Возводим в квадрат
15x^2+2x+8=16x^2
x^2-2x-8=0
D=4-4*(-8)=36
x_(1)=(2-6)/2=-2; x_(2)=(2+6)/2=4

х_(2) не принадлежит ОДЗ

О т в е т. -2
Ответ выбран лучшим
y=1- (x+5)/(x*(x+5))

Область определения: (- ∞ ;-5)U(-5;0) U(0;+ ∞)

Условиях области определения можно сократить на (х+5)

y=1-(1/x)

График данной функции совпадает с графиком функции y=1-(1/x)

во всех точках, кроме точки -5

В этой точке данная функция не определена.
Поэтому строим график y=1-(1/x)
c выколотой точкой х=-5

y(-5)=1-(1/(-5)=6/5

О т в е т. [b]При а=1 и а=6/5[/b] (прикреплено изображение)
Область определения
(- ∞ ;1) U(1;+ ∞ )

[b]x=1 - вертикальная асимптота[/b]
так как

lim_(x→1+0)f(x)=+ ∞
lim_(x→1-0)f(x)=- ∞

[b]Горизонтальная асимптота y=0[/b],
так как
lim_(x→ ∞)f(x)= 0

Наклонной асимптоты нет, так

k=lim_(x→ ∞)f(x)/x= lim_(x→ ∞)х/((x-1)^3*x)=0



[b]Исследование функции с помощью первой производной[/b]

y`=((x)`*(x-1)^3-x*((x-1)^3)`)/(x-1)^6

y`=((x-1)^3-x*(3(x-1)^2))/(x-1)^6

y`=(x-1-3x)/(x-1)^4

y`=(-2x-1)/(x-1)^4

y`=0

-2x-1=0

x=-1/2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y`< 0 функция убывает на (-1/2;1) U(1;+∞)
Функция убывает на (-1/2;1) U(1;+∞)

y` > 0 на (-∞; -1/2)
Функция возрастает на (-∞; -1/2)




[b]Исследование функции с помощью второй производной[/b]

y``=((-2х-1)`*(x-1)^4 - (-2x-1)*((x-1)^4)`)/(x-1)^8


y``=(-2*(x-1)^4+4*(2x+1)*(x-1)^3)/(x-1)^8

y``=(-2x+2 +2x+1)/(x-1)^5

y``=3/(x-1)^5


y``<0 на (- ∞;1 )

кривая выпукла вверх на (- ∞;1 )

y``>0 на (1;+ ∞ )

кривая выпукла вниз на (1;+ ∞ )

точек перегиба нет (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя:
(2x-3)*(6+3x)=0 ⇒ 2x-3=0 или 6+3х=0
x=3/2 или х=-2

Отмечаем точки на числовой прямой закрашенным кружком ( здесь квадратные скобки)

Находим нули знаменателя:
7-4х=0
x=7/4

Отмечаем эту точку на числовой прямой пустым кружком ( здесь круглые скобки)

Расставляем знаки. Справа от крайней справа точки +, далее идет чередование знаков.

__-___ [-2] ___+___ [3/2] ____-____ (7/4) ___+__

О т в е т. [b] [-2; 3/2] U (7/4; + ∞ )[/b]
Ответ выбран лучшим
Универсальная подстановка
tg(x/2)=t

x/2= arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/*(1+t^2)


∫ dx/(2sinx+3cosx)= ∫ 2dt/(4t+3-3t^2)=(-2/3) ∫ dt/(t^2-(4/3)t+1)=

выделяем полный квадрат

t^2-2*(2/3)t+(4/9)-(4/9)+1=((t-(2/3))^2+(5/9)


=(-2/3)*(1/sqrt(5/9)) arctg (t/sqrt(5/9))+C=

= [b](-2/sqrt(5)) arctg (3tg(x/2))/sqrt(5) +C[/b]
192=2*92=4*48

sqrt(192)=2sqrt(48)

sqrt(48)=sqrt(16*3)=4sqrt(3)


Формулы тригонометрии

[b]cos2 α =1-sin^2 α [/b]

Формулы приведения

cos( 3π+ α )=cos(π + α)=- cos α


Поэтому

sqrt(48)-sqrt(192)sin^2(19π/12)= sqrt(48)*(1-2sin^219(π/12))=

=sqrt(48)*cos 2*(19π/12)=4sqrt(3)*cos(19π/6)=


=4sqrt(3)*cos((18π/6)+(π/6)= 4sqrt(3)*(-cos(π/6))=4sqrt(3)*(-sqrt(3)/2)=

[b]-6[/b] α π
Ответ выбран лучшим
1.
u`_(x)=sin^4y*(x^2)`_(x)=2x*sin^4y
u`_(y)=x^2*(sin^4y)`_(y)=x^2*4sin^3y*(siny)`=x^2(4sin^3y)*cosy

2.
x=r*cos φ

∂ x/ ∂ r=cos φ
∂ x/ ∂ φ =r*(-sin φ )


y=r*sin φ

∂ y/ ∂ r=sin φ
∂ y/ ∂ φ =r*(cos φ )


Раскрываем определитель второго порядка:
(∂ x/ ∂ r)*( ∂ y/ ∂ φ )- (∂ y/ ∂ r)*( ∂ x/ ∂ φ)=
= cos φ *r*(cos φ )-t*(-sin φ )*sin φ =r*(cos^2 φ +sin^2 φ )= [b]r[/b]
Ответ выбран лучшим
Из 20 кг получают 6 кг, значит из х кг получат 60 кг

Пропорция
20:6=x:60

x=20*60:6= [b]200 кг[/b]

3 ц=300 кг

Пропорция
20:6=x:300
х=20*300/6= [b]1 000 кг[/b]

3 т = 3 000 кг

Пропорция
20:6=x:3000
х=20*3000/6= [b]10 000 кг[/b]



Или так:
60 кг : 6 =10 раз, значит и картофеля надо взять в 10 раз больше
20*10 [b]=200 кг[/b]

3 ц=300 кг

300 кг : 6 =50 раз, значит и картофеля надо взять в 50 раз больше
20*50= [b]1 000 кг[/b]

3 т = 3 000 кг

3 000 кг : 6 =500 раз, значит и картофеля надо взять в 500 раз больше
20*500= [b]10 000 кг[/b]
Ответ выбран лучшим
1.

4=2^2
4^(x)=(2^2)^(x)=2^(2x)

4^(x)*2^(x^2+1)=2^(2x)*2^(x^2+1)=2^(x^2+2x+1)

16=2^4

Неравенство принимает вид:

2^(x^2+2x+1) > 2^(4)

Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x^2+2x+1 >4;

(x+1)^2-2^2 >0

Раскладываем а множители по формуле a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(х+1-2)*(х+1+2) >0

(x-1)(x+3) > 0

Решаем методом интервалов.

Нули функции:

x-1=0 или х+3=0

х=1 или x=-3

___+__ (-3) ______ (1) ___+__

x ∈ (- ∞ ;-3) U (1;+ ∞ )

3.

a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

5^(4log_(5)sqrt(3) + (1/2)log_(5)4)= 5^(4log_(5)sqrt(3)) * 5^((1/2)log_(5)4)

По свойству логарифма степени
log_(a)b^(k)=k*log_(a)b; a>0; a ≠1; b>0

и значит

k*log_(a)b=log_(a)b^(k)

Поэтому
5^(4log_(5)sqrt(3)) * 5^((1/2)log_(5)4)= 5^(log_(5)sqrt(3)^4) * 5^(log_(5)4^(1/2))

Основное логарифмическое тождество a^(log_(a)b)=b, a>0; a ≠1; b>0

Поэтому
5^(log_(5)sqrt(3)^4) * 5^(log_(5)4^(1/2))=sqrt(3)^4*4^(1/2)=9*2= [b]18[/b]

Все решение занимает две строчки:

5^(4log_(5)sqrt(3) + (1/2)log_(5)4)= 5^(4log_(5)sqrt(3)) * 5^((1/2)log_(5)4)=

=5^(log_(5)sqrt(3)^4) * 5^(log_(5)4^(1/2))=sqrt(3)^4*4^(1/2)=9*2= [b]18[/b]





ОДЗ:
{4x^2+1 > 0 - верно при любом х
{3x^2+4x+1>0 ⇒ D=16-12=4; корни -1 и (-1/3) ⇒ х < -1 или x > -1/3

По формуле перехода к другому основанию
log_(9)(4x^2+1)=log_(3)(4x^2+1)/log_(3)9=(log_(3)(4x^2+1))/2

2log_(9)(4x^2+1)=2*(log_(3)(4x^2+1))/2=log_(3)(4x^2+1)

Неравенство принимает вид:

[b]log_(3)(4x^2+1) ≥ log_(3)(3x^2+4x+1)[/b]

Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента
4x^2+1 ≥ 3x^2+4x+1
x^2-4x ≥ 0

x*(x-4) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или x ≥ 4

С учетом ОДЗ
[b](- ∞ ;-1) U (-1/3);0] U [4;+ ∞ )[/b] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{2x-1>0 ⇒ x > 1/2
{x-9 > 0 ⇒ x > 9

[b]х∈ (9;+ ∞ )[/b]

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
2=log_(3)9

log_(3)(2x-1)*(x-9) < log_(3)9

Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(2х-1)*(х-9) < 9

2x^2-x-18x+9 < 9

2x^2-19x <0

х*(2х-19) < 0

Находим нули функции y=x*(2x-19)
это х=0 и 2х-19=0 ⇒ х=9,5

Решением неравенства х*(2х-19) < 0 является множество
(0;9,5)
см. рис.
____ (0) ___-___ (9,5) _____

С учетом ОДЗ
о т в е т. [b](9; 9,5)[/b]
V=S_(осн)*Н
H=4
В основании треугольник, по формуле Герона
S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

p=(7+5+6)/2=9

S=sqrt(9*(9-7)*(9-6)*(9-5))=6sqrt(6)


V=6sqrt(6)*4=24sqrt(6) cм^2
Ответ выбран лучшим
так как

sin^2 α +cos^2 α =1, то

cos^2 α =1 - sin^2 α =1- (sqrt(2)/3)^2=1-(2/9)=7/9

cos α= ±(sqrt(7))/3

По условию угол α в первой четверти, косинус имеет знак +

сos α =(sqrt(7))/3

О т в е т. сos α =(sqrt(7))/3
Ответ выбран лучшим
На [1;2] х >0, значит корень четвертой степени из х +1 и подавно больше 0.
Никакого модуля нет, есть круглые скобки.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Первый интеграл
∫ ^(2)_(1)sqrt(x)dx/2=(1/2) ∫ ^(2)_(1)x^(1/2)dx=(1/2)*x^(3/2)/(3/2)|^(2)_(1)=

=(1/3)*2^(3/2)-(1/3)*1^(3/2)= [b](2sqrt(2)-1)/3[/b]

Второй интеграл

∫ ^(2)_(1)x^(1/4)dx= x^(5/4)(5/4)|^(2)_(1)= (4/5)*(2^(5/4)-1^(5/4))=[b]
=(4/5)*(4sqrt(2)-1)[/b]

Третий интеграл

∫ ^(2)_(1) ln |x^(1/4)+1|dx= ∫ ^(2)_(1) ln (x^(1/4)+1)dx=

считаем по частям

Сначала замена переменной:

x^(1/4)=t
x=t^4
dx=4t^3dt

∫ ^(2)_(1) ln (x^(1/4)+1)dx= ∫ ^(16)_(1) ln (t+1)4t^3dt=

=4 ∫ ^(16)_(1)t^3ln(t+1)dx

u=ln(t+1)
du=dt/(t+1)

dv=t^3dt
v=(t^4/4)


=4*(t^4/4)*ln(t+1)|^(16)_(1)- 4∫^(16)_(1)(t^4/4)8(dt/(t+1)=

=t^4*ln(t+1) - ∫ ^(16)_(1)t^4dt/(t+1)=


Последний интеграл от дроби. Дробь неправильная. Надо выделить целую часть.

Сделаем это так:

t^4/(t+1)= (t^4-1+1)/(t+1)=(t^2-1)(t^2+1)/(t+1) + (1/(t+1))=

=(t-1)(t^2+1) + (1/(t+1))=

= [b]t^3-t^2+t-1 + (1/(t+1))[/b]

∫ ^(16)_(1)t^4dt/(t+1)= ∫ ^(16)_(1)(t^3-t^2+t-1 + (1/(t+1)))dt=

=((t^4/4) - (t^3/3)+(t^2/2) - t + ln |t+1|)|^(16)_(1)


Итак,

4* ∫^(2)_(1)(x^(1/4))^2/2 + x^(1/4) + ln | x^(1/4)+1|)dx=

=4* ∫ ^(2)_(1)sqrt(x)dx/2 + 4 * ∫ ^(2)_(1)x^(1/4)dx + 4 * ∫ ^(2)_(1) ln (x^(1/4)+1)dx=

=4*(1/2)*x^(3/2)/(3/2)|^(2)_(1)+ 4* (4/5)*(2^(5/4)-1^(5/4)) + 4 * (t^4*ln(t+1)|^(16)_(1) - ((t^4/4) - (t^3/3)+(t^2/2) - t + ln |t+1|)|^(16)_(1)=

= подставляем пределы и считаем самостоятельно
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

f(x)=-2x-x^2
f`(x)=-2-2x

x_(1)=-2
f(-2)=-2*(-2)-(-2)^2=4-4=0
f`(-2)=-2-2*(-2)=-2+4=2

Уравнение касательной в точке x_(1)=-2
y - 0 =2*( x-(-2))
y=2x+4

Прямая y=2x+4 пересекает ось Ох в точке [b]А(0;-2)[/b]

x_(2)=1
f(1)=-2*1-(1)^2=-2-1=-3
f`(1)=-2-2*(1)=-2-2=-4

Уравнение касательной в точке x_(2)=1
y - (-3) =-4*( x-1)
y=-4x+7
Прямая y=-4x+1 пересекает ось Ох в точке [b]С(0;1/4)[/b]


Прямые y=2x+4 и y=-4x+1 пересекаются в точке [b]В (1/2;5)[/b], так как

2х+4=-4х+1
6х=-3
х=-1/2
y=2*(-1/2)+4=3

ВК=3
АС=(1/4)-(-2)=9/4

S_( АВС)=(1/2)АС*ВК=(1/2)*(9/4)*3 [b]=27/8[/b]

или

S= ∫^(-1/2) _(-2)(2x+4)dx+ ∫^(1/4) _(-1/2)(-4x+1)dx=

=(x^2+4x)|^(-1/2)_(-2) + (-2x^2+x)|^(1/4)_(1/2)=... получим 27/8 (прикреплено изображение)
2x=t

Неравенство
sin t ≥ -sqrt(3)/2

решаем на единичной окружности
(см. рис.1)

(-π/3)+2πk ≤ t ≤ (4π/3)+2πk, k ∈ Z

(-π/3)+2πk ≤ 2х ≤ (4π/3)+2πk, k ∈ Z

Делим на 2

(-π/6)+πk ≤ х ≤ (4π/6)+πk, k ∈ Z

[b](-π/6)+πk ≤ х ≤ (2π/3)+πk, k ∈ Z[/b] - о т в е т.

или в виде интервала

[b][(-π/6)+πk ;(2π/3)+πk], k ∈ Z[/b]

Можно решать и графически:
cм. рис. 2

(прикреплено изображение)
1)
В условиях задачи из трех выбранных изделий возможно, что все три стандартные,
2 стандартные, одна нестандартная
1 стандартная, две нестандартных

Других возможных вариантов нет


Считаем соответствующие вероятности:
p_(3)(3)=C^(3)_(4)/C^(3)_(6)=1/5
p_(3)(2)=(C^(2)_(4)*C^(1)_(2))/C^(3)_(6)=3/5
p_(3)(1)=(C^(1)_(4)*C^(2)_(2))/C^(3)_(6)=1/5

Закон ( см. таблицу)

2)
По определению
M(X)=1*(1/5)+2*(3/5)+3*(1/5)=10/5=2

D(X)=M(X^2) - (M(X))^2;

M(X^2)=1^2*(1/5)+2^2*(3/5)+3^2*(1/5)=22/5=4,4

D(X)=4,4 -2^2=0,4

σ(X)=sqrt(D(X))=sqrt(0,4)=


F(x)=
{0 , если x < 1
{1/5=0,2, если 1 ≤ х <2
{4/5=0,8, если 2 ≤ х<3
{1, если x ≥ 3

cм. рис.2
(прикреплено изображение)
1.
r=2
H=7

S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)=2πr*H+2*π*r^2=

=2π*2*7+2π*2^2=4π*(7+2)= [b]36π[/b]


S_(круга)=πR^2
S_(круга)=S_(пп)

πR^2=36π
R^2=36
R=6

2.

H:L=4:5
[b]L=(5/4)H[/b]

V_(конуса)=(1/3)πR^2*H

V_(конуса)=96π

(1/3)πR^2*H=96π

[b]R^2H=288[/b]

По теореме Пифагора
L^2=H^2+R^2

((5/4)*H)^2=H^2+R^2

R^2=(9/4)H^2
[b]R=(3/2)*H[/b]

Cистема
{R^2H=288
{R=(3/2)*H

(9/4)*H*H=288
H^2=(288*4)/9

H^2=128
H=8sqrt(2)

R=(3/2)*H=12sqrt(2)

L=(5/4)*H=10sqrt(2)

S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)= πRL+πR^2=

=π*12sqrt(2)*(10sqrt(2)+12sqrt(2))= [b]528π[/b]
8.
sin^2 α +cos^2 α =1

sin^2 α +ctg^2 α +cos^2 α =(sin^2 α +cos^2 α )+ctg^2 α =

=1+(cos^2 α /sin^2 α )=(sin^2 α +cos^2 α )/sin^2 α=1/sin^2 α

9.
Период синуса и косинуса 360°
360° *n, n∈Z
так же являются периодами фнкций


sin(-660 ° )=sin(-720 °+60 °)=sin60 ° = sqrt(3)/2

cos810 ° =cos(720 ° +90 ° )=cos90 ° =0

О т в е т. ( sqrt(3)/2)+0= sqrt(3)/2

10
T=360 ° /4 - период функции y=sin4x

у=sin4x +2 получаем из графика y=sin4x
параллельным переносом на 2 единицы вверх вдоль оси Оу.
(прикреплено изображение)
6a)
cos(π+x)=-cosx
sin(π/2)=1
Уравнение принимает вид:
-сosx=1
cosx=-1
x=π+2πn, n ∈ Z
О т в е т. π+2πn, n ∈ Z

б)
Разложим левую часть на множители:
cosx*(cosx-sqrt(3)sinx)=0

cosx=0 или сosx-sqrt(3)sinx=0
x=(π/2)+πk, k ∈ Z

сosx-sqrt(3)sinx=0
Однородное тригонометрическое уравнение.
Так как sinx и cosx одновременно не обращаются в 0, то делим либо на cosx ≠ 0, либо на sinx ≠ 0

tgx=1/sqrt(3)

x=(π/6)+πn, n∈ Z
О т в е т. (π/2)+πk, k ∈ Z; (π/6)+πn, n∈ Z

2.
sin( π/3)+ α)=sin (π/3)*cos α +cos(π/3)*sin α

sin^2 α =1-cos^2 α =1-(-15/17)^2=1-(225/289)=64/289
sin α =sqrt(64/289) =8/17
угол α во второй четверти, синус положителен


sin( π/3)+ α)=sin (π/3)*cos α +cos(π/3)*sin α =

=sqrt(3)/2)*(-15/17)+(1/2)*(8/17)=

= [b](-15sqrt(3)+8)/34[/b]
Ответ выбран лучшим
1)
4x-1 >0 ⇒ x> 1/4
О т в е т. (1/4;+ ∞ )
2)
8x+9 >0 ⇒ x> -9/8
О т в е т. (-9/8;+ ∞ )
3)
2-3x >0
-3x>-2
x< 2/3
О т в е т. (- ∞ ;2/3)
4)
7-2x >0
-2x>-7
x< 7/2
О т в е т. (- ∞ ;7/2)
Ответ выбран лучшим
Испытание состоит в том, что из N изделий выбирают n.
Это можно сделать C^(n)_(N) способами.

Событие A - " среди выбранных n не менее m стандартных"

Событию А благоприятствуют исходы, при которых среди выбранных n изделий стандартных
(m +1) стандартных изделий
или
(m+2) стандартных изделий
или
....
M стандартных изделий


p= [b]([/b]C^(m+1)_(M)*C^(n-m-1)_(N-M)+ C^(m+2)_(M)*C^(n-m-2)_(N-M)+...+C^(M)_(M)*C^(n-M)_(N-M) [b])[/b]/C^(n)_(N)
D:
0 ≤ х ≤1
-x^2 ≤y ≤∛x

∫ ∫_(D) (8xy+18x^2·y^2)dxdy=

= ∫ ^(1)_(0) dx ∫ ^(∛x)_(-x^2)(8xy+18x^2y^2)dy=

= ∫ ^(1)_(0) (8x*(y^2/2)+18x^2*(y^3/3))|^(y=∛x)_(y=-x^2) dx=


= ∫ ^(1)_(0)(8x*((∛x)^2/2)-8x*((-x^2)^2/2)+18x^2*((∛x)^3/3)-18x^2*((-x^2)^3/3) )dx=

= ∫ ^(1)_(0) ( 4x^(5/3) -4x^5+6x^3+6x^8)dx=

=(4*(x^(8/3)/(8/3))-4*(x^6/6)+6*(x^4/4)+6*(x^9/9))|^(1)_(0)=

=(12/8)-(2/3)+(3/2)+(2/3)= дальше- то сосчитаете самостоятельно.... (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a) Замена переменной
cosx=t
3t^2-4t-4 ≥ 0
D=(-4)^2-4*3*(-4)=16+48=64
t_(1)=(4-8)/6=-4/6=-2/3; t_(2)=(4+8)/6=2

Решение неравенства
-2/3 ≤ t ≤ 2

Обратный переход от t к переменной х:

-(2/3) ≤ cosx ≤ 2

Двойное неравенство равносильно системе:
{cosx ≤ 2
{cosx ≥ (-2/3)

Первое неравенство верно при любом х, так как |cosx| ≤ 1

Решение неравенства
cosx ≥ -2/3
на единичной окружности

См. рис. 1
О т в е т. а) - arccos(-2/3)+2πn ≤ x ≤ arccos(-2/3)+2πn, n ∈Z
так как
arccos(-2/3)=π-arccos(2/3), то ответ можно записать в виде:

- (π-arccos(2/3))+2πn ≤ x ≤ π-arccos(2/3)+2πn, n ∈Z

или

[b]-π+arccos(2/3))+2πn ≤ x ≤ π-arccos(2/3)+2πn, n ∈Z[/b]

б)
Делим обе части неравенства на sqrt(2)

(1/sqrt(2))sinx + (1/sqrt(2))*cosx > cos2x
Так как
sin(π/4)=cos(π/4)=1/sqrt(2)
неравенство примет вид:

sin(π/4)*sinx+cos(π/4)*cosx > cos2x

Применяем формулу

cos( α - β )=cos α *cos β + sin α sinx β

cos(x-(π/4)) > cos2x

или

cos(x-(π/4)) - cos2x >0

или

cos2x-cos(x-(π/4)) < 0

Применяем формулу

cos α -cos β=-2sin((1/2)*(α - β))*sin((1/2)*(α + β))

-2*sin((2x-(x-(π/4))/2)*sin((2x+(x-(π/4))/2)<0

sin((x/2)+(π/8)) * sin((3x/2)-(π/8)) >0

Произведение положительно, когда множители имеют одинаковые знаки.
Получаем совокупность систем
(1)
{sin((x/2)+(π/8)) >0⇒ 2πm < (x/2)+(π/8) < π+2πm, m∈ Z
{sin((3x/2)-(π/8)) >0 ⇒ 2πn < (3x/2)-(π/8) < π+2πm, m ∈ Z

или

(2)
{sin((x/2)+(π/8)) <0 ⇒ - π+2πn < (x/2)+(π/8) < 2πn, n∈ Z
{sin((3x/2)-(π/8))<0 ⇒ -π+ 2πn < (3x/2)-(π/8) < 2πn, n ∈ Z



(1)
{-(π/8)+ 2πm < (x/2) < -(π/8)+ π+2πm, m∈ Z
{(π/8)+ 2πm < (3x/2) < π+(π/8)+2πm, m ∈ Z

или

(2)
{-(π/8) - π+2πn < (x/2) <-(π/8) +2πn, n∈ Z
{(π/8)-π+ 2πn < (3x/2) < (π/8 + 2πm, n ∈ Z


(1)
[b]{-(π/4)+ 4πm < x < -(π/4)+2π+4πm, m∈ Z
{(π/12)+ (4π/3)*m < x) < (2π/3)+(π/12)+(4π/3)*m, m ∈ Z
[/b]
или

(2)
[b]{(π/4) - 2π+4πn < x <(π/4) +4πn, n∈ Z
{(π/12)-(2π/3)+ (4π/3)n < x < (π/12) + (4π/3)m, n ∈ Z[/b]

Осталось выбрать пересечение множеств.

Cм. графиечкое решение неравенства на рис.2

y=sinx+cosx - график красного цвета
y=sqrt(2)cos2x - график синего цвета

Красный выше синего на отрезках
[a+2πm;b+2πm] m∈ Z
и
на отрезках
[с+2πn;d+2πn] n∈ Z (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
p=70/100=0,7 - вероятность заболевания в одном случае.
q=1-p=1-0,7=0,3

Имеем повторные испытания с двумя исходами.
Cм. формула Бернулли.

[b]P_(n)(k)=C^(k)_(n)p^(k)*q^(n-k)[/b]


a) меньше половины:
половина из пяти 2,5

Значит меньше половины: ни один не заболеет (0), один, два

По формуле Бернулли
P_(5)(0)=C^(0)_(5)*0,7^(0)*0,3^(5)=1*0,3^(5)=
P_(5)(1)=C^(1)_(5)*0,7^(1)*0,3^(4)=5*0,7^(1)*0,3^(4)=
P_(5)(2)=C^(2)_(5)*0,7^(2)*0,3^(3)=10*0,7^(2)*0,3^(3)=

Осталось сложить так как по теореме сложения (или 0 или 1 или 2
означает сумму вероятностей этих трех событий)

О т в е т. P_(5)(0)+P_(5)1)+P_(5)(2)=

б)
Формула нахождения наивероятнейшего числа:
[b]np - q ≤ k_(o) ≤ np+p[/b]

n=5
p=0,3 ( [b] вероятность не заболеет[/b])
q=0,7 ( вероятность что заболеет)


np=5*0,3=1,5

1,5-0,7 ≤ k_(o) ≤ 1,5+0,3
0,8 ≤ k_(o) ≤ 1,8

[b]k_(o)=1[/b]
можно записать систему и так:
{x`(t)=2x+y+2e^(t)
{y`(t)=x+2y-3e^(4t)

Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение:
{y=x`(t)-2x-2e^(t)
{(x`(t)-2x-2e^(t))`=x+2*(x`(t)-2x-2e^(t))-3e^(4t)

Решаем второе уравнение:
x``(t)-2-2e^(t)=x+2x`(t)-4x-4e^(t)-3e^(4t)

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

x``-2x`+3x=-2e^(t)-3e^(4t)+2

Решаем однородное уравнение:
x``-2x`+3x=0

Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+3=0

D=4-4*3=-8

k_(1) = - 2sqrt(2)* [b]i[/b]; k_(2) = 2sqrt(2)* [b]i[/b]

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y=C_(1)cos(2sqrt(2))t +C_(2)sin(2sqrt(2)t)


Правая часть f(t)=f_(1)(t)+f_(2)t+f_(3)(t)


Находим три частных решения
[b]f_(1)(t)=-2e^(t)[/b]

y_(1 частное)= Ae^(t)
y`_(1 частное)=Ae^(t)
y``_(1 частное)=Ae^(t)

Подставляем в уравнение:
x``-2x`+3x=-2e^(t)

Ae^(t)-2Ae^(t)+3Ae^(t)=-2e^(t)
2А=-2
А=-1

[b]x_(1 частное)= - e^(t)[/b]


[b]f_(2)(t)=-3e^(4t)[/b]


x_(2 частное)= Вe^(4t)
x`_(1 частное)=4Вe^(4t)
x``_(1 частное)=16Вe^(4t)

Подставляем в уравнение:
x``-2x`+3x=-3e^(4t)

Вe^(4t)-2*4Вe^(4t)-3*16Вe^(4t)=-3e^(4t)
-55В=-3

В=3/55

[b]x_(2 частное)= (3/55) e^(4t)[/b]

f_(3)(t)=2

x_(3 частное)= M
x`_(1 частное)=M`=0
x``_(1 частное)=M``=0

Подставляем в уравнение:
x``-2x`+3x=2
3M=2
M=2/3

x(t)=C_(1)cos(2sqrt(2))t +C_(2)sin(2sqrt(2)t)-e^(t)+(3/55)e^(-4t)+(2/3)

Подставляем в первое уравнение

y=x`(t)-2x-2e^(t)

y=-2sqrt(2)C_(1)sin(2sqrt(2)t)+2sqrt(2)C_(2)cos(2sqrt(2)t)-e^(t)-(12/55)*e^(-4t)-2*(C_(1)cos(2sqrt(2))t +C_(2)sin(2sqrt(2)t)-e^(t)+(3/55)e^(-4t)+(2/3)) -2e^(t)

упрощаем:
y=

Ответ выбран лучшим
Пусть событие А - "система трех дублирующих друг друга приборов надежна"

Приборы функционируют независимо друг от друга.

Понятно, что отказ системы требует совместного отказа всех трех приборов, следовательно
Ā - "система трех дублирующих друг друга приборов отказала в работе"

Ā=Ā_(1) Ā_(2) Ā_(3)

р(Ā) = р(Ā_(1) Ā_(2) Ā_(3)) = р(Ā1)*р(Ā2)*р(Ā3)=(1-0,6)*(1-0,6)*(1-0,6)=

=0,4*0,4*0,4=0,4^3=0,064

p(A)=1-p(Ā)=1 - 0, 064 [b]=0,936[/b]
1 способ
Испытание состоит в том, что из 40 деталей отбирают 4
Это можно сделать
n=C^(4)_(40)=40!/(4!*(40-4)!)=(37*38*39*40/24)

Событие А - " Все отобранные детали без брака"
Событию А благоприятствуют исходы
n=C^(4)_(10)=10!/(4!*(10-4)!)=(7*8*9*10/24)

По формуле классической вероятности:
p(А)=m/n= [b](7*8*9*10)/(37*38*39*40)=
считаем самостоятельно[/b]

2 способ
p_(1)=(10/40) - вероятность отобрать небракованную деталь первый раз

После этого в партии 39 деталей, из них 9 небракованных
p_(2)=(9/39) - вероятность отобрать небракованную деталь первый раз

После этого в партии 38 деталей, из них 8 небракованных
p_(3)=(8/38) - вероятность отобрать небракованную деталь третий раз


После этого в партии 37 деталей, из них 7 небракованных
p_(4)=(7/37) - вероятность отобрать небракованную деталь четвертый раз

p=p_(1)*p_(2)*p_(3)*p_(4)=(10/40)*(9/39)*(8/38)*(7/37)=

= [b](7*8*9*10)/(37*38*39*40)=
считаем самостоятельно[/b]

Ответы одинаковые!
Вводим в рассмотрение события - [b] гипотезы[/b]
H_(1) – выбрана первая урна
H_(2) –выбрана вторая урна


p(H_(1))=1/2
p(H_(2))=1/2


событие A– "вынут белый шар "

p(A/H_(1))=5/10
p(A/H_(2))=3/5


По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=(1/2)*(5/10)+(1/2)*(3/5)=

=11/20

Переформулировать задачу можно так:
Наугад выбирается урна, из неё наугад выбирается шар. Вынутый шар оказался белым Какова вероятность того, что он взят
а) из первой урны
б) из второй урны

a) p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=(1/2)*(5/10)/(11/20)=5/11
б) p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=(1/2)*(3/5)/(11/20)=6/11


событие В– "вынут черный шар "

p(A/H_(1))=5/10
p(A/H_(2))=2/5


По формуле полной вероятности

p(В)=p(H_(1))*p(В/H_(1))+p(H_(2))*p(В/H_(2))=(1/2)*(5/10)+(1/2)*(2/5)=9/20

Переформулировать задачу можно так:
Наугад выбирается урна, из неё наугад выбирается шар. Вынутый шар оказался черным Какова вероятность того, что он взят
а) из первой урны
б) из второй урны

a) p(H_(1)/В)=p(H_(1))*p(В/H_(1))/p(В)=(1/2)*(5/10)/(9/20)=5/9
б) p(H_(2)/В)=p(H_(2))*p(В/H_(2))/p(В)=(1/2)*(2/5)/(9/20)=4/9
Ответ выбран лучшим
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

Дано:
f(x)=x^2–3x+2
x_(o)=0


[b]f(0)[/b]=0-3*0+2=0

f ` ( x) = ( x^2 - 3x + 2)` = 2x - 3

[b]f`(0)[/b]=2*0 - 3= -1

Подставляем найденные значения в уравнение:

y - 0 = -1*(x - 0)

[b]y= - х [/b]- уравнение касательной



Таблица будет законом, если сумма вероятностей в нижней строке равна 1

0,4+0,1+p+0,3=1
p=1-0,8
p=0,2

M(X)=-3·0,4+(-1)0,1+2·0,2+6*0,3=считаем самостоятельно

M(X^2)=(-3)^2·0,4+(-1)^2*0,1+2^2·0,2+6^2*0,3=считаем самостоятельно

D(X)=M(X^2)–(M(X))^2=считаем самостоятельно

F(X)=
{0, x < -3
{0,4, -3 ≤ х < -1
{0,5 , -1 ≤ x <2
{0,7, 2 ≤ x <6
{1, x ≥ 6

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Каноническое уравнение эллипса:

(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

[b] Уравнения директрис эллипса имеют вид:

x=±a/ε,[/b]

где

ε=c/a - эксцентриситет эллипса


Расстояние между директрисами гиперболы
2d=2a/ε

Фокусы эллипса имеют координаты
F_(1)(-с;0) и F_(2)(с;0)

Расстояние между фокусами:
F_(1)F_(2)=2c

По условию:
расстояние между фокусами в 4 раза больше расстояния между ее директрисами

2d*4=2c
4d=c

4*(a/ε)=c
4a=c*(c/a) ⇒4a^2=c^2 ⇒ c=2a

Тогда эксцентриситет эллипса
ε=с/a=2a/a=2

О т в е т. 2 (прикреплено изображение)
По формулам приведения
cos((π/2)-x)=sinx

Так как
cos^2x=1-sin^2x, то

2*(1-sin^2x)+2sqrt(2)sinx+1=0
2sin^2x-2sqrt(2)sinx-3=0

Квадратное уравнение относительно sinx.

Замена переменной
sinx=t

2t^2-2sqrt(2)t-3=0

D=(-2sqrt(2))^2-4*2*(-3)=8+24=32

sqrt(32)=sqrt(16*2)=4sqrt(2)

t_(1)=(2sqrt(2)-4sqrt(2))/4 или t_(2)=(2sqrt(2)+4sqrt(2))/4

t_(1)=(-sqrt(2))/2 или t_(2)=(3sqrt(2))/2

Обратная замена

[b]sinx=-sqrt(2)/2[/b]

х=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(2)/2) + πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)*(-π/4)+ πk, k ∈ Z

[b]x=(-1)^(k+1)*(π/4)+ πk, k ∈ Z[/b]

или

[b]sinx=3sqrt(2)/2 [/b] - уравнение не имеет корней, так как 3sqrt(2)/2 >1


б) При отборе корней удобно записать ответ в виде серии двух ответов
При k=2n
х=(-π/4)+ 2πn, n ∈ Z ( решения принадлежат 4-ой четверти)
и
при k=2n+1
х=(π/4)+π+ 2πn, n ∈ Z ( решения принадлежат 3-ей четверти)

см. рис. 1

Указанному промежутку принадлежит корень

x=(-π/4)+2π [b]=7π/4[/b]

см. рис. 2

О т в е т.
a)(-1)^(k+1)*(π/4)+ πk, k ∈ Z
б)7π/4 (прикреплено изображение)
y=x^2 - парабола ветви вверх, проходит через точки
(-3;9);(-2;4);(-1;1);(0;0);(1;1);(2;4);(3;9)

y=(x-2)^2 - сдвиг предыдущего графика на 2 единицы вправо

y=(x-2)^2+2 - параллельный перенос на 2 единицы вверх графиrf
y=(x-2)^2 (прикреплено изображение)
О т в е т. 1

По формулам приведения
sin((3π/2)- α )=-cos α
cos((3π/2)- α )=-sin α

Так как
cos^2 α +sin^2 α =1
и
tg γ *ctg γ =1

получаем

((-cos α )^2+(-sin α )^2)/(tg(π- α )*ctg(π- α ))^2=1/1=1
Возводим в квадрат
x-4=4
x=8
Проверка
sqrt(8-4)=sqrt(4)=2
2=2 - верно.
О т в е т. 8
x=5^(-2)
x=1/25
О т в е т. 1/25=0,04
(прикреплено изображение)
a=lnx-x^2-x
Строим два графика
y=a - прямая, параллельная оси Ох
и
y=lnx-x^2-x
Исследуем функцию с помощью производной
Область определения (0;+∞ )
y`=(1/x)-2x-1

y`=(-2x^2-x+1)/x

y`=0

-2x^2-x+1=0

2x^2+x-1=0

D=1-4*2*(-1)=9

х_(1)=-1 или x_(2)=1/2

x_(1) не входит в область определения

x=1/2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(1/2)=ln(1/2)-(1/2)^2-(1/2)=-ln2-(3/4)=--0,75 - ln2
О т в е т. при a ∈ (- ∞ ; -0,75- ln2) (прикреплено изображение)
Если прямые
ax+2y=3
и
8x+ay=a+2
параллельны.

{a/8=2/a ⇒ a^2=16 ⇒ a= ± 4
{a/8 ≠ 3/(a+2) ⇒ a^2+2a-24=0 ⇒ D=100; a_(1)=-6; a_(2)=4

{a= ± 4
{a ≠ 4; a ≠ -6

О т в е т. [b]a=-4[/b]
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
a)
[b](x^2/7^2)+(y^2/4^2)=1[/b]

б)
2с=24
ε =12/3 ( не может быть, наверноe ε =12/13)
потому что ε =c/a и ε <1

2c=24
с=12

c/a=12/13
а=13

b^2=a^2-c^2=13^2-12^2=169-144=25

[b](x^2/13^2)+(y^2/5^2)=1[/b]
ОДЗ:
{18х+1 ≥ 0 ⇒ х ≥ -1/18
{3x+1≥ 0 ⇒ х ≥ -1/3 (если 3x+1 < 0 уравнение не имеет смысла)

ОДЗ: х ∈ [-1/18;+ ∞ )

Возводим в квадрат

18x+1=(3x+1)^2
18x+1=9x^2+6x+1
9x^2-12x=0
3x*(3x-4)=0
х=0 или x=4/3

Оба корня принадлежат ОДЗ

О т в е т. [b]0; 4/3[/b]

В решении обязательно либо ОДЗ либо проверка.
S_( Δ АBC)=(1/2)BC*AK
АK - высота равнобедренного треугольника и одновременно медиана,
ВК=КС=20
По теореме Пифагора
АК^2=AB^2-BK^2=29^2-20^2=(29-20)*(29+20)=9*49=(3*7)^2
АК=21

DK^2=DA^2+AK^2=20^2+21^2=400+441=841
DK=29

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*(1/2)BC*AK*DA=

S_(пп)=S_( Δ DAB)+ S_( Δ DAC)+S_( Δ DBC)+S_( Δ АВС)=

=(1/2)AB*DA+(1/2)AC*DA +(1/2)BC*DK+ (1/2)BC*AK
Ответ выбран лучшим
V=(1/3)*S_(осн) * H=

=(1/3)*(1/2)*AB*BC*sin ∠ ABC * H=

=(1/6)*8m * 11m*sin45^(o)*3sqrt(2)=

=(1/6)*8m * 11m*(sqrt(2)/2)*3sqrt(2)=...
Ответ выбран лучшим
Область определения [0;+ ∞ )

y=6+12x-x^(3/2)

y`=(6)`+(12x)`+(x^(3/2))`

y`=12-(3/2)*x^(1/2)

y`=12-1,5sqrt(x)

y`=0

12-1,5sqrt(x)=0

sqrt(x)=8

x=64

Знак производной


[0] ___+___ (64) ___-___


х=64 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
Ответ выбран лучшим
1.
M(X)= x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)=

=4*(1/4) +6*(1/5) +10*(11/20)=7,7

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)=

=4^2*(1/4) +6^2*(1/5) +10^2*(11/20)=66,2

D(X)=M(X^2)- (M(X))^2=66,2-(7,7)^2= считаем самостотельно.

2.
Таблица является законом, если в нижней строке сумма вероятностей равна 1

Поэтому
1-(1/3)-(1/5)-(1/15)-(1/20)=7/20

Надо написать в последней клеточке (7/20)

M(X)= x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+x_(5)*p_(5)=

=(-1)*(1/3)+2*(1/5)+3*(1/15)+4*(1/20) +5*(7/20)=

считаем самостоятельно
Ответ выбран лучшим
S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)

2S_(осн)=S_(пп)-S_(бп)=40 - 32=8

S_(осн)=4

В основании квадрат
Пусть сторона квадрата равна х

S_(осн)=x^2

x^2=4

x=2

S_(бп)=P_(осн)*Н=P_(квадрата)*Н=4х*Н=4*2*Н=8Н
S_(бп)=32
8H=32
H=4

V=S_(осн)*H=4*4=16 см^3
Ответ выбран лучшим
1.
n=1
Один выстрел, попадание, p=1/5 стрельба закончилась.

n=2
Значит первый раз промахнулся, второй раз попал
(4/5)*(1/5)=4/25

n=3
Значит второй раз тоже промахнулся и на третий раз либо попал, либо промахнулся
(4/5)*(4/5)*(1/5) + (4/5)*(4/5)*(4/5)=(16/125)+(64/125)=80/125=16/25

См. таблицу

Если в нижней строке сумма вероятностей равна 1, то все верно, такая таблица является законом

2. (прикреплено изображение)
Второй катет находим по теореме Пифагора
b^2=c^2-a^2
b^2=37^2-12^2
b=35

V=S_(осн)*H=(1/2)a*b*H=(1/2)12*35*6= cчитаем самостоятельно

S_(полн. пов)=S_(бок. пов.) + 2 S_(осн.)=

=P_(осн)*H+ a*b=

=(37+35+12)*6+12*35= считаем самостоятельно
Ответ выбран лучшим
y`=dy/dx

dy/dx=x*(y+2) - уравнение с разделяющимися переменными.

dy/(y+2)=xdx

Интегрируем

∫ dy/(y+2)= ∫ xdx

ln|y+2| = (x^2/2)+C_(1)

y+2=e^((x^2/2)+C_(1))

y+2=C*e^(x^2/2) ( общее решение данного уравнения)

Так как

y(2)=-1

-1+2=С*e^(2^2/2)

С=1/e^2

y+2=e^(-2)*e^(x^2/2) - решение задачи Коши ( частное решение данного уравнения)
Однородное тригонометрическое уравнение третьего порядка.

Так как sinx и cosx одновременно не могут равняться, то делим на сos^3x ≠ 0 ( или sin^3x ≠0)

tg^3x-tg^2x+3=3tgx

Замена переменной
tgx=t

t^3-t^2+3-3t=0

t^2*(t-1)-3*(t-1)=0

(t-1)*(t^2-3)=0

t_(1)=1; t_(2,3)=± sqrt(3)

Обратно:

tgx=1 ⇒ x=(π/4)+πk, k ∈ Z
или
tgx=± sqrt(3) ⇒ x=± (π/3) +πn, n ∈ Z
О т в е т. (π/4)+πk, k ∈ Z; ± (π/3) +πn, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.

Так как sinx и cosx одновременно не могут равняться, то делим на сos^2x ≠ 0 ( или sin^2x ≠0)

2tg^2x-5tgx+2=0

Квадратное уравнение относительно tgx

Замена переменной
tgx=t

2t^2-5t+2=0
D=(-5)^2-4*2*2=9

t_(1)=(5-3)/4=1/2; t_(2)=(5+3)/4=2

Обратно:

tgx=1/2 ⇒ x=arctg(1/2)+πk, k ∈ Z
или
tgx=2 ⇒ x=arctg2 +πn, n ∈ Z
О т в е т. arctg(1/2)+πk, k ∈ Z; arctg2 +πn, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
Так как 1=sin^2x+cos^2x

2=2sin^2x+2cos^2x

Уравнение принимает вид:

3sin^2x–sinx⋅cosx=2sin^2x+2cos^2x
sin^2x-sinx*cosx-2cos^2x=0

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.

Так как sinx и cosx одновременно не могут равняться, то делим на сos^2x ≠ 0 ( или sin^2x ≠0)

tg^2x-tgx-2=0

Квадратное уравнение относительно tgx

Замена переменной
tgx=t

t^2-t-2=0
D=1-4*(-2)=9

t_(1)=(1-3)/2=-1; t_(2)=(1+3)/2=2

Обратно:

tgx=-1 ⇒ x=(-π/4)+πk, k ∈ Z
или
tgx=2 ⇒ x=arctg2 +πn, n ∈ Z
О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z;arctg2 +πn, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.

Так как sinx и cosx одновременно не могут равняться, то делим на сos^2x ≠ 0 ( или sin^2x ≠0)

tg^2x-tgx-2=0

Квадратное уравнение относительно tgx

Замена переменной
tgx=t

t^2-t-2=0
D=1-4*(-2)=9

t_(1)=(1-3)/2=-1; t_(2)=(1+3)/2=2

Обратно:

tgx=-1 ⇒ x=(-π/4)+πk, k ∈ Z
или
tgx=2 ⇒ x=arctg2 +πn, n ∈ Z
О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z;arctg2 +πn, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
Читайте теорема Ферма. Проблема не решена до сих пор.
Ответ выбран лучшим
Опечатка в условии.
СK:КА=6:1

KM || ВС по теореме Обратной теореме Фалеса.

AD - высота медиана и биссектриса основания.

Пусть Р- точка пересечения МК и АD

В Δ SAD проводим PE || SA

Через точку Е проводим HT || ВС.

Сечение МHТK проходит через MK параллельно SA.

Δ AKM ~ Δ ABC

AM:AC=AK:AB=1:7
угол А - общий.

KM:BC=AM:AC=AK:AB=1:7

KM:BC=1:7

BC=АВ=АС=7 ( треугольник АВС равносторонний)

[b]KM=1[/b]

Кроме того высоты подобных треугольников относятся как стороны
AP:AD=1:7 ⇒ PD:AD=6:7 и АР:РD=1:6

Значит
[b]SE:ED=AP:PD=1:6[/b]

Δ SAD ~ Δ PED ( PE || SA)

PD:AD=PE:SA
PE=(6/7)*8=(48/7)

HT|| BC
SH:SC=SE:SD=1:7
[b]SH:HC=1:6[/b]

б)
Расстояние от пл. МHТK до прямой SA - это [b]высота[/b] трапеции
APES

AS=8
PE=(48/7)
AP=(1/7)AD=(1/7)*7*sqrt(3)/2=sqrt(3/2)
SD- апофема боковой грани
SD^2=SC^2-CD^2=8^2-(7/2)^2=(256-49)/4=207/4
SD=sqrt(207/4)=3sqrt(23)/2
SE=(1/7)SD=(1/7)*(3sqrt(23)/2)=3 sqrt(23)/14 (прикреплено изображение)
ОДЗ:
x-2 >0 ⇒ х>2

По формуле перехода к новому основанию

log_(4)(x-2)=log_(2)(x-2)/log_(2)4=(log_(2)(x-2))/2= (1/2)*log_(2)(x-4)

log_(1/2)(x-2)=log_(2)(x-2)/(log_(2)1/2)=log_(2)(x-2)/(-1)

Уравнение принимает вид

(1/2) log_(2)(x-2) - log_(2)(x-2)=1/2

(1-(1/2))*log_(2)(x-2)=1/2

log_(2)(x-2)=-1

По определению логарифма

x-2=2^(-1)
x-2=1/2

x=2+(1/2)

x=5/2

5/2 > 2 найденный корень входит в ОДЗ

О т в е т. 5/2 (прикреплено изображение)
1)Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(8+x)+2

3x^2+11x-4=(3x-1)(x+4)


lim_(x → - 4 )(3x-1)*(x+4)*(sqrt(8+x)+2)/(8+x-4)=

=im_(x → - 4 )(3x-1)(sqrt(8+x)+2)=(-13)*4= [b]-52[/b]

2) Неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим и числитель и знаменатель на х

∛(1-x-8x^3)/x= ∛((1-x-8x^3)/x^3)=∛( (1/x^3)-(x/x^3)-8)

lim_(x → ∞)∛( (1/x^3)-(x/x^3)-8)/(3+(2/х)=

=∛(0-0-8)/(3+0)= [b]-2/3[/b]

3.
Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
2+sqrt(x-1)

lim_(x → 5) tg(x-5)*(2+sqrt(x-1))/(4-(x-1))=

=lim_(x → 5) tg(x-5)*(2+sqrt(x-1))/(5-x)=

=lim_(x → 5) tg(x-5)/(-(x-5)) * lim_(x → 5)(2+sqrt(x-1))=

=-1*(2+sqrt(5-1))=-1*(2+2)= [b]-4[/b]
BK:KF опечатка.
Должно быть BK:KA


KM || ВС по теореме Обратной теореме Фалеса.

AD - высота медиана и биссектриса основания.

Пусть Р- точка пересечения МК и АD

В Δ SAD проводим PE || SA

Через точку Е проводим HT || ВС.

Сечение МHТK проходит через MK параллельно SA.

Δ AKM ~ Δ ABC

AM:AC=AK:AB=2:9
угол А - общий.

KM:BC=AM:AC=AK:AB=2:9

KM:BC=2:9
BC=9
[b]KM=2[/b]

Кроме того высоты подобных треугольников относятся как стороны
AP:AD=2:9 ⇒ PD:AD=7:9 и АР:РD=2:7

Значит
[b]SE:ED=AP:PD=2:7[/b]

Δ SAD ~ Δ PED ( PE || SA)

PD:AD=PE:SA
PE=(7*9)/6=(14/3)

HT|| BC
SH:SC=SE:SD=2:9
[b]SH:HC=2:7[/b]

б)
Расстояние от пл. МHТK до прямой SA - это высота трапеции
APES
AS=6
PE=(14/3)
AP=(2/9)*AD=(2/9)*(9*sqrt(3)/2)= [b]sqrt(3)[/b]

SD- апофема боковой грани
SD^2=SC^2-CD^2=6^2-(9/2)^2=(144-81)/4=63/4
SD=sqrt(63/4)=3sqrt(7)/2
SE=(2/9)SD=(2/9)*(3sqrt(7)/2)=3sqrt(7)/9 [b]=sqrt(7)/3[/b] (прикреплено изображение)
Вводим полярные координаты
x=r*cos φ
y=r*sin φ

r≥ 0

0^(o) ≤ φ ≤ 360^(o)

1)
x=2y
r*cos φ=2r*sinφ ⇒ tgφ=2 - уравнение линии в полярных координатах

Луч под углом φ к полярной оси, причем tgφ =2

2)
x^2+y^2=169

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=169

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=13

r^2*1=169

r=13 - уравнение линии в полярных координатаx

Окружность с центром в точке О радиусом r=13

3)

x^2+y^2=-12x

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=-12*r*cosφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=-12*r*cosφ

r^2*1=-12r*cos φ

r=-12cos φ

так как r ≥ 0 ⇒ -12cosφ ≥ 0 ⇒ cos φ ≤ 0

Окружность в 2 и 3 четверти

4)
x^2+y^2=0,8y

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=0,8*r*sinφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=0,8*rsinφ

r^2*1=0,8r*sin φ

r=0,8sin φ

так как r ≥ 0 ⇒ 0,8*sinφ ≥ 0 ⇒ sin φ ≥ 0

Окружность в 1 и 2 четверти
(прикреплено изображение)
1.

Функция не определена в точке x=4

Так как
x^2-7x+12=(x-3)(x-4)

то
f(4-0)=lim_(x→4 -0) f(x)=lim_(x→4 -0)(х-3)(х-4).(х-4)=1
(x только стремится к четырем, но не равен 4, поэтому можно сократить на (х-4))

f(4+0)=lim_(x→4 +0) f(x)=lim_(x→4 +0)(х-3)(х-4).(х-4)=1

Предел слева равен пределу справа
Но функция не определена в точке.

Поэтому х=4 - точка устранимого разрыва.

2.
Функция не определена в точке x=-5/2
Так как
при х < -5/2
2x+5 <0
|2x+5|=-(2x+5)

lim_(x→ (-5/2)-0) (-(2x+5)/(2x+5))=-1
(x только стремится к (-5/2), но не равен (-5/2),поэтому можно сократить на (2х+5))

при х >-5/2
2x+5 >0
|2x+5|=(2x+5)

lim_(x→ (-5/2)+0) (2x+5)/(2x+5)=1
Предел слева не равен пределу справа.

Оба предела конечны и потому скачок
f((-5/2)+0)-f((-5/2)-0)=1-(-1)=2- конечное число.



3.
x=0 - точка непрерывности.
так как
f(-0)=lim_(x→ -0) (-x^2+1)=1
f(+0)=lim_(x→ +0) (x+1)=1
f(0)=-0^2+1=1
Предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке.

x=2 - точка разрыва первого рода
f(2-0)=lim_(x→ 2-0)(x+1)=3
f(2+0)=lim_(x→ 2+0)4=4

Предел слева не равен пределу справа.

Оба предела конечны и потому скачок
f(2+0)-f(2-0)=4-3=1
- конечное число.


Взятый в сумме 13 млн. руб кредит на след год увеличится на 20%, т.е становится равным 1,2*13 млн. руб

Затем идет погашение кредита, таким образом, чтобы выплаты были равными каждый год.

Предположим, что кредит взят на х (целое число) лет.

Тогда после первого года [b]выплата[/b] составит [b]
(13/х) +0,2*13 [/b] (млн. руб) (сумма кредита делится на х лет + проценты первого года)

Сумма долга составит
1,2*13-((13/х)+0,2*13)= 13-(13/х)=13*(х-1)/х млн. руб.


После второго года [b]выплата[/b] составит [b]
(13/х) +0,2*(13*(х-1)/х)) [/b] (млн. руб) (сумма кредита, деленного на х лет + проценты второго года)

Сумма долга составит
1,2*(13*(х-1)/х) -((13/х)+0,2*(13*(х-1)/х))= (13(х-1)/х)-(13/х)=13*(х-2)/х млн. руб.

Таким образом сумма долга через х лет будет равна 13*(х-х)/х = 0
млн. руб.
наименьший годовой платёж в последний год составит

(13/x)+0,2*(13*(x-(x-1))/x)=(13/x)+0,2*(13/x)=(13/x)*1,2

Что по условию равно 1,56 млн. руб

Уравнение:

(13/x)*1,2=1,56

[b]x=10[/b]


Размер выплат составит:

(13/х) +0,2*13 +(13/х) +0,2*(13*(х-1)/х))+ ... +(13/х) +0,1*(13*(х-(x-1))/х))=

=x*(13/x)+ 0,2*13*(1+(x-1)/x+ (x-2)/x+ ... +1/x)=

=13+0,2*13*((x/x)+(x-1)/x + (x-2)/x + ... +1/x)=

=13+0,2*13*(1/x)*(x+(x-1)+(x-2) + ... +1) =
считаем сумму по формуле суммы арифм. прогрессии

=13+13*0,2*(1/х)(1+x)*x/2= [b]13+13*0,1*(x+1)[/b]


При х=10

13+13*0,1*11= [b]27,3[/b] млн. руб


О т в е т. на 10 лет, сумма выплат 27,3 млн руб
Ответ выбран лучшим
Пусть высота CD прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе AB, пересекает биссектрису AE угла A в точке K.

AK:KE=1+sqrt(2)⇒ КЕ=АК/(1+sqrt(2))=AK*(sqrt(2)-1)/((sqrt(2))^2-1)=

=AK*(sqrt(2)-1)

АЕ=AK+KE= AK+ AK*(sqrt(2)-1)=AK*sqrt(2)

Δ ACD ~ ΔABC по двум углам ( один прямой, второй общий, угол А)

Значит, соответствующие элементы этих треугольников
( биссектрисы, высоты, медианы относятся как стороны)

[b]AK:AE=AC:AB[/b] ⇒

AK:AE=AK: AK*sqrt(2)=1:sqrt(2)

AC:AB=1/sqrt(2)

sin ∠ B=AC/AB=1/sqrt(2), значит

[b] ∠ B= ∠ A=45^(o) [/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Так как 5^2+12^2=13^2
то Δ А_(1)В_(1)С_(1) - прямоугольный.
A_(1); B_(1),C_(1) - основания высот

Продолжим высоты AA1 , BB1 и CC1 до пересечения с окружностью, описанной около Δ АВС, в точках A_(2) , B_(2) и C_(2) соответственно.

P- точка пересечения высот

Тогда A1 , B1 и C1 — середины отрезков РA_(2) , РB_(2) и РC_(2) ,
поэтому A1B1 , A1C1 и B1C1 — средние линии треугольников
A_(2)РB_(2) , A_(2)РC_(2) и B_(2)РC_(2) .

Значит, треугольник A_(2)B_(2)C_(2) подобен треугольнику A1B1C1

Треугольник A1B1C1 — прямоугольный , значит треугольника A_(2)B_(2)C_(2) также прямоугольный, причём его угол, лежащий против наибольшей стороны, равен 90 градусов .
Следовательно, диаметр описанной окружности треугольника A_(2)B_(2)C_(2) , а значит, и треугольника ABC , равен гипотенузе треугольника A_(2)B_(2)C_(2) , т.е. 26, а искомый радиус равен половине диаметра, т. е 13. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
AB=2x
CM=2x

Достраиваем до параллелограмма.
По свойству :
d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a^2+b^2)

(4х)^2+(2х)^2=2*(a^2+b^2)

18x^2=2*(a^2+b^2)

9x^2=a^2+b^2

3х=sqrt(a^2+b^)

x=sqrt(a^2+b^2)/3

АВ=2х

АВ=2sqrt(a^2+b^2)/3

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:
{2x–y+z-4=0
{x+y-z+1=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{2x+z-4=0
{x-z+1=0

Cкладываем
3х-3=0
х=1
z=2
[b]A(1;0;2)[/b]

Пусть третья координата точки, принадлежащей линии пересечения z=0

Тогда система принимает вид:

{2x–y-4=0
{x+y+1=0

Складываем
3х-3=0
х=1
y=-2

[b]B(1; -2; 0)[/b]

Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки

[b]A(1;0;2)[/b] и [b]B(1; -2; 0)[/b]]


(x-1)/1-1=(y-0)/(-2-0)=(z-2)/(0-2)

[b]x-1/0 =y/(-2) =(z-2)/(-2)[/b] - каноническое уравнение

прямой

Направляющий вектор прямой vector{s}=(0;-2;-2)

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P перпендикулярно данной прямой. В таком случае vector{s}=(0;-2;-2)
- нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) и направляющим вектором vector{n}=(A;B;C)
имеет вид:

A*(x-x_(o)) + B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

0*(x-3)-2*(y+1)-2*(z-2)=0

-2y-2-2z+4=0
-2y-2z+2=0
y+z - 1=0

Найдем координаты точки пересечения прямой [b]x-1/0 =y/(-2) =(z-2)/(-2)[/b] и плоскости 2x+2y+1=0

Запишем параметрические уравнения прямой
x-1/0 =y/(-2) =(z-2)/(-2)=t

{x=1
y=-2t
z=-2t+2
и подставим в уравнение
y+z-1=0

(-2t)+(-2t+2)-1=0
t=1/4

x=1; y=-1/2
z=3/2

K (1;-1/2;3/2)

KP=sqrt((3-1)^2+(-1+1/2)^2+(2-(3/2))^2)=sqrt(9/2)=3sqrt(2)/2 - расстояние от точки Р до прямой


(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1+cosx=0 или √2⋅sinx–1=0

1+сosx=0

cosx=-1

x=π+2πn, n ∈ Z



√2⋅sinx–1=0
sinx=1/√2

x=(-1)^(k)arcsin(1/√2)+πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z

О т в е т.
π+2πn, n ∈ Z

(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z
Ответ выбран лучшим
cos^22x=1-sin^22x

8*(1-sin^22x)+sin2x+1=0
8sin^22x-sin2x-9=0
Квадратное уравнение относительно sin2x
Замена переменной
sin2x=t
8t^2-t-9=0
D=1-4*8*(-9)=289
t_(1)=(1-17)/16 или t_(2)=(1+17)/16
t_(1)=-1 или t_(2)=9/8

Обратный переход

sin2x=-1
2x=(-π/2)+2πn, n ∈ Z
x=(-π/4)+πn, n ∈ Z

или

sin2x=9/8 - уравнение не имеет корней, 9/8 > 1, -1 ≤ sinx ≤ 1

О т в е т. (-π/4)+πn, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
sin^2x=1-cos^2x

6*(1-сos^2x)+5cosx-6=0
6cos^2x-5cosx=0

cosx*(6cosx-5)=0

cosx=0 ⇒ x= (π/2)+πn, n ∈ Z
или
6cosx-5=0 ⇒ cosx=5/6 ⇒ x= ± arccos(5/6)+2πk, k ∈ Z

О т в е т.
(π/2)+πn, n ∈ Z
± arccos(5/6)+2πk, k ∈ Z
Ответ выбран лучшим
tgx=sinx/cosx; ctgx=cosx/sinx

ОДЗ
{cosx ≠ 0
{sinx ≠ 0

(sinx/cosx)+(cosx/sinx)=2

(sin^2x+cos^2x)/(sinx*cosx)=2

2sinxcosx=1
sin2x=1
2x=(π/2)+2πn, n ∈ Z
x=(π/4)+πn, n ∈ Z

Удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. (π/4)+πn, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
n=3+5+2=10 шаров в ящике

а)
Событие А – "выбранный шар белый"
Событие В – "выбранный шар красный"
Cобытие A+B - " выбранный шар белый или красный
p(A+B)=(3+2)/10=5/10

p(A)=3/10
p(B)=2/10

p(A+B)=p(A)+p(B)

б)
Событие А –"выбранный шар белый"
Событие В – "выбранный шар чёрный"
Событие A+B - " выбранный шар белый или черный"
p(A+B)=(3+5)/10=8/10

p(A)=3/10
p(B)=5/10

p(A+B)=p(A)+p(B)


в)
Событие А – "выбранный шар белый"
Событие В – "выбранный шар не белый". а черный или красный
Событие A+B - " выбранный шар белый или черный или красный"
p(A+B)=1

p(A)=3/10
p(B)=7/10

p(A+B)=p(A)+p(B)


г)
Событие А – "выбранный шар не чёрный", а белый или красный
Событие В – "выбранный шар белый"
Событие A+B - " выбранный шар белый или красный"

p(A+B)=5/10
P(A)=5/10
p(B)=3/10

p(A+B) ≠ p(A)+p(B)
Ответ выбран лучшим
Прямая l задана как линия пересечения двух плоскостей:
{2x–3y–2z+6=0
{x–3y+z+3=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:

{-3y-2z+6=0
{-3y+z+3=0

Вычитаем из первого второе:

-3z+3=0
z=1

3y=z+3
y=4/3

[b]А(0; 4/3; 1)[/b]

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{2x-2z+6=0
{x+z+3=0

умножаем второе на 2 и складываем

{2x-2z+6=0
{2x+2z+6=0

4х+12=0
х=-3

z=0

[b]В(-3;0;0)[/b]


Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки

[b]А(0; 4/3; 1)[/b] и [b]В(-3;0;0)[/b]


(x-0)/-3-0=(y+(4/3))/(0-(4/3))=(z-1)/(0-1)

[b]x/(-3) =(y+(4/3))/(-4/3) =(z-1)/(-1)[/b] - каноническое уравнение

прямой l

Уравнение прямой l_(1) параллельной l есть уравнение прямой, проходящей через точку М (0;2;-1)
с таким направляющим вектором

vector{s}=(-3;4/3;-1)
[b]x-0/(-3) =(y-2)/(-4/3) =(z+1)/(-1)[/b] - каноническое уравнение

прямой l_(1)

Чтобы найти точку пересечния прямой l и плоскости Р.

Вводим параметр:
x/(-3) =(y+(4/3))/(-4/3) =(z-1)/(-1)=t

{x=-3t
{y=(-4/3)t-(4/3)
{z=-t+1

Подставляем в уравнение плоскости Р
(-3t)–2*((-4/3)t-(4/3))+3*(-t+1)–4=0

t=1/2

тогда

х=-3/2
y=-2
z=1/2

[b](-3/2;-2;1/2)[/b] - точка пересечения прямой l и пл. Р
По формулам приведения
cos((3π/2)+x)=sinx

2sin^2x+3sqrt(2)sinx+2=0
Квадратное уравнение относительно sinx
Замена переменной
sinx=t

2t^2+3sqrt(2)t+2=0
D=(3sqrt(2))^2-4*2*2=18-16=2

t_(1)=(-3sqrt(2)-sqrt(2))/4=-sqrt(2)
t_(2)=(-3sqrt(2)+sqrt(2))/4=-sqrt(2)/2

Обратный переход от t к переменной х:

sinx=-sqrt(2) - уравнение не имеет корней.
Так как
-sqrt(2) < -1
-1 ≤ sinx ≤ 1

sinx=-sqrt(2)/2

x=(-1)^(k) *arcsin(-sqrt(2)/2)+πk, k ∈ Z

arcsin(-sqrt(2)/2)=-π/4

[b]x=(-1)^(k) (-π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

о т в е т.(-1)^[b](k+1)[/b] (π/4)+πk, k ∈ Z



Можно записать и две серии ответов (это бывает полезно при отборе корней):
При k=2n
[b]x=(-π/4)+2πn, n ∈ Z [/b]

При k=2n+1
[b]x=(5π/4) +2πn, n ∈ Z[/b]
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{21-3x>0 ⇒ x < 7
{x^2-5x+8 >0 верно при любом х, так как D=25-4*8<0
{x+3>0 ⇒ x > -3
ОДЗ: х ∈ (-3;7)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(6) (21-3x) = log_(6) (x^2-5x+8)*(x+3)

Логарифмическая функция с снованием (6>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

21-3x = (x^2-5x+8)*(x+3)
(x^2-5x+8)*(x+3)+ 3(х-7) = 0

Все подобные задачи легко раскладывались на множители

Скорее всего в условии x^2-5x+8 написано с опечаткой

Уточните условие....
vector{BC}=(2-1;3-1;-1-2)=(1;2;-3)
Уравнение плоскости Р как плоскости, проходящей через точку А с нормальным вектором vector{n}= vector{BC}:
1*(x-x_(A))+2*(y-y_(A))-3*(z-z_(A))=0

1*(x-1)+2*(y-1)-3*(z-2)=0
P: [b]x+2y-3z+3=0[/b]

vector{n}=(1;2;-3)

Уравнение плоскости P_(1), как плоскости, проходящей через три точки ( см. рис.)
[b]x+y+z-4=0[/b]

vector{n_(1)}=(1;1;1)
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

Находим скалярное произведение векторов
( vector{n}*vector{n_(1)})=1*1+2*1-3*1=0

Значит векторы перпендикулярны, угол между плоскостями р и Р_(1) равен 90 °

Расстояние от точки D до плоскости x+2y-3z+3=0

cм приложение 2. (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Табличный интеграл
∫ du/sqrt(1-u^2)=arcsinu

u=3x
du=3dx

∫ ^(1/4)_(0)dx/sqrt(1-(3x)^2)= (1/3)* ∫ ^(1/4)_(0)d( [b]3x[/b])/sqrt(1-( [b]3x[/b])^2)=

=(1/3)arcsin(3x)|^(1/4)_(0)=(1/3)arcsin(3/4) - (1/3)arcsin0=

= [b](1/3)arcsin(3/4)[/b]
ОДЗ:
{18-18x>0 ⇒ x < 1
{x^2-6x+5 >0 ⇒ D=36-20=16; корни 1 и 5; ⇒ x < 1 или x > 5
{x+4>0 ⇒ x > -4
[b]ОДЗ: х ∈ (-4;1)[/b]

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

[b]log_(0,6) (18-18x) ≤ log_(0,6) (x^2-6x+5)*(x+4)[/b]

Логарифмическая функция с снованием (0 < 0,6 <1) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

18-18x ≥ (x^2-6x+5)*(x+4)
(x^2-6x+5)*(x+4)+ 18(х-1)≤ 0
(x-1)(x-5)*(x+4) + 18(х-1) ≤ 0

(x-1)*(x^2-x-20+18)≤ 0

(х-1)*(х^2-x-2)≤ 0

D=1-4*(-2)=9
корни
-1 и 2

[b](x-1)*(x+1)*(x-2) ≤ 0[/b]

Решаем неравенство методом интервалов
__-_ [-1] __+__ [1] __-__ [2] _+__

C учетом ОДЗ, согласно которому х ∈ (-4;-1]:

(-4) __-__[-1] _+_ (1)

О т в е т. [b] (-4;-1][/b]
V_(цилиндра)=S_(осн)*H=π*r^2*H

Так как осевое сечение цилиндра квадрат , то
[b]2r=H[/b]

Тогда V_(цилиндра)=π*(H/2)^2*H


Квадрат вписан в равнобедренный треугольник EMN, c острым углом α
[b]tg α[/b] =H/((a/2)-r)= [b]2H/(a-H)[/b]

где а - сторона квадрата

Используя "метод площадей" ( равенство выражений для нахождения площади одной и той же фигуры)
находим KD из треугольника ЕKD

EM*DC=EC*KD
ЕС=L
DC=a
ЕМ=sqrt(EC^2-МС^2)=sqrt(L^2-(a/2)^2)

sqrt(L^2-(a/2)^2)* a= L*KD

[b]KD=sqrt(L^2-(a/2)^2)* a/L[/b]
BK=KD

По теореме косинусов из треугольника BKD.

BD^2=BK^2+KD^2-2*BK^KD*cos2 α

BD=asqrt(2)- диагональ квадрата со стороной а

2a^2=2*(L^2-(a/2)^2)*a^2/L^2 - 2* *(L^2-(a/2)^2)*a^2cos2 α /L^2 ⇒

a^2*L^2=((L^2-(a/2)^2)*a^2/L^2)*(1-cos2 α ) ⇒ a выражаем через L и соs2 α

Из равенства [b]tg α[/b] =H/((a/2)-r)= [b]2H/(a-H)[/b] находим Н через a и угол α, а значит и через L и угол α

Подставляем в формулу

V_(цилиндра)=π*(H/2)^2*H [b]=π*(H^3)/4[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
3x^2-27=3*(x^2-9)=3*(x-3)*(x+3)

Неравенство

3*(х-3)*(х+3)/(2х+7) ≤ 0

решаем методом интервалов.

[b]Нули числителя[/b]: x=3 и х=-3 Отмечаем их на числовой прямой закрашенной точкой.
Здесь квадратные скобки

[b]Нули знаменателя:[/b] 2х+7=0 ⇒ х=-3,5
Отмечаем на числовой прямой пустым кружочком.
Здесь круглые скобки

Справа +, далее знаки чередуем справа налево:
__-__ (-3,5) _+_ [-3] __-___[3] __+__

О т в е т. [b](- ∞ ;-3,5) U [-3;3][/b]

3.
Выносим за скобки 2 в меньшей степени:

2^(x-1)*(8-2) > 48
2^(x-1)*6>48
2^(x-1)>8
2^(x-1)>2^3

Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x-1>3
x>4

О т в е т. [b](4;+ ∞)[/b]

4.
f`(x)=3*4x^3-4*3x^2

f`(x)=12x^2*(x-1)

f`(x)=0

12x^2*(x-1)=0

x=0 или x=1

Расставляем знак производной:
_-__(0) _-___ (1) ___+_

х=1 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

О т в е т. х=1

5.
По формулам приведения
sin(3π+x)=-sinx
sin((π/2)-x)=cosx

Уравнение примет вид:
-sinx-cosx=sqrt(2)

Делим на -sqrt(2)

(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2))*cosx=-1

Заменим (1/sqrt(2))=sin(π/4) и (1/sqrt(2))=cos(π/4)

sin(π/4) *sinx + cos(π/4)*cosx= -1

cos(x-(π/4))=-1

x-(π/4)=π+2πn, n ∈ Z

x=(5π/4)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. (5π/4)+2πn, n ∈ Z
ОДЗ:
{x+2>0; x+2 ≠ 1 ⇒ x ∈ (-2;-1)U(-1;+ ∞)
{x-1>0; x-1 ≠ 1⇒ x ∈ (1;2)U(2;+ ∞)
{2x^2-x-1 > 0 ⇒ D=9; корни (-1/2) и 1 ⇒ x < -1/2 или х >1
{x^2+2x+3 >0 ⇒ D=4-12< 0 неравенство верно при любом х
{log_(x-1)(x+2) ≠ 0 ⇒ x+2 ≠ 1 см первую строку.

ОДЗ: x ∈ (1;2)U(2;+ ∞)

По формуле перехода к другому основанию
log_(x–1)(x2+2x+3)/ log_(x–1)(x+2)=log_(x+2)(x^2+2x+3)

Неравенство принимает вид:
log_(x+2)(2x^2–x–1) ≤ log_(x+2)(x^2+2x+3)

Так как при х ∈ (1;2)U(2;+ ∞)
основание логарифмической функции
x+2 > 1, то логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента

2x^2-x-1 ≤ x^2+2x+3

x^2-3x-4 ≤ 0

D=25

корни
-1 и 4

решение неравенства
-1 ≤ x ≤ 4

С учетом ОДЗ
о т в е т. (1;2)U(2;4]
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(3/8)х=(4*8+7)/8
(3/8)х=39/8
х=(39/8):(3/8)
х=(39/8)*(8/3)
х=39/3
х=13

или

(3/8)х=39/8
Умножаем на 8
3х=39
х=39:3
х=13
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
w=(z^2+1)/2z
w=(z^2)/2z + (1/2z)
w=(1/2)z + (1/2)*(1/z)

1)
w(-4-i)=(1/2)*(-4-i)+(1/2)*(1/(-4-i))=-2-(1/2)i-(1/2)* (4-i)/(4^2-i^2)=

=-2 -(1/2)i - (1/2) ( 4-i)/17= -2 - (1/2)i - 2 +(1/34)i= = [b]-4 -(8/17)i[/b]

2)
w(-3+4i)=(1/2)*(-3+4i) +(1/2)*(1/(-3+4i))=

=(-3/2)+2i-(1/2)*(3+4i)/(9-16i^2)=

=(-3/2)+2i-(3/25)-(2i/25)=

[b](-81/50)+(48/50)i[/b]
{-x>0 ⇒ x <0
{4-2x>0 ⇒ x < 2
{-x < 4-2x ⇒ x < 4

О т в е т. (- ∞ ; 0)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
y`=dy/dx

dy/dx=tgx*tgy - уравнение с разделяющимися переменными

dy/tgy=tgxdx

интегрируем

∫ dy/tgy= ∫ tgxdx

∫cosydy/siny= ∫ sinxdx/cosx

∫ d(siny)siny=- ∫ d(cоsx)/cosx

ln|siny|=-ln|cosx|+lnC
ln|siny|=lnC/|cosx|

siny=C/cosx

[b]siny*cosx=C - общее решение[/b]
Дробь равна 0 если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.

Система
{x^2-4x+А=0
{5x^2-6Аx+А^2 ≠ 0

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант положителен.

D=(-4)^2-4*A=16 - 4A

D>0

16 - 4A >0

-4A> -16

[b] А< 4[/b]


Значит решение неравенства:
(-∞; 4)

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя являются корнями и знаменателя.

Корни знаменателя:
5x^2-6Ax+A^2= 0
D_(1)=(-6A)^2-4*5*A^2=16A^2

x_(1)=(6A-4A)/10=A/5; x_(2)=(6A+4A)/10=A

Подставляем в первое уравнение

(A/5)^2-4*(A/5)+A=0
(A^2/25)+(A/5)=0
A^2+5A=0
A*(A+5)=0
[b]A=0; A=-5[/b]

A^2-4A+A=0
A^2-3A=0
[b]A=0; A=3[/b]

О т в е т. [b] (- ∞;-5)U(-5;0) U(0;3)U(3;4)[/b]
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x+2 > 0 ⇒ x > -2
{x+3 > 0 ⇒ x > -3
{1-x > 0 ⇒ x < 1

ОДЗ: х ∈ (-2;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(2)(x+2)(x+3) > log_(2)(1-x)

Логарифмическая функция с снованием (2>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(x+2)(x+3) > 1-x
x^2+5x+6 -1+x >0
x^2+6x+5 >0
D=36-4*5=16
x_(1)=-5; x_(2)=-1

решение неравенства x^2+6x+5 >0
(- ∞ ;-5) U (-1;+ ∞ )

С учётом ОДЗ
о т в е т. (-1;1)
Ответ выбран лучшим
0=lg1

lg(x^2-8x+13)> lg1

Логарифмическая функция с снованием (10>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

x^2-8x+13>1
C учетом ОДЗ : x^2-8x+13 >0

Решаем только первое, так как решения второго входят в первое
( потому что
{ t>0;
{t>1
Решение системы t > 1)

x^2+8x +12 >0
D=64-4*12=16
x_(1)=-6; x_(2)=-2

Решение неравенства
(- ∞ ;-6)U (-2;+ ∞ )

О т в е т. (- ∞ ;-6)U (-2;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{24-12x>0 ⇒ x < 2
{x^2-7x+10 >0 ⇒ D=49-40=9; корни 2 и 5; ⇒ x < 2 или x > 5
{x+3>0 ⇒ x > -3
ОДЗ: х ∈ (-3;2)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(4) (24-12x) ≥ log_(4) (x^2-7x+10)*(x+3)

Логарифмическая функция с снованием (4>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

24-12x ≥ (x^2-7x+10)*(x+3)
(x^2-7x+10)*(x+3)+ 12(х-2) ≤ 0
(x-2)(x-5)*(x+3) + 12(х-2) ≤ 0

(x-2)*(x^2-2x-15+12)≤ 0

(х-2)*(х^2-2x-3)≤ 0

D=4-4*(-3)=16
корни
-1 и 3

(x-2)*(x+1)*(x-3) ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов
__-_ [-1] __+__ [2] __-__ [3] _+__

C учетом ОДЗ
х ∈ (-3;2)

(-3) __-__[-1] _+_ (2)

О т в е т. [b] (-3;-1][/b]
ОДЗ:
{6-x > 0 ⇒ x < 6
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0

x∈(-∞ ; 0) U (0;6)

Логарифмическая функция с снованием (0 < 1/2 < 1) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

6-x ≤ x^2

x^2+x-6 ≥ 0

D=1-4*(-6)=1+24=25

x_(1)=(-1-5)/2=-3; x_(2)=(-1+5)/2=2

решение неравенства

_+___ [-3] _____ [2] __+___

C учетом ОДЗ

о т в е т.(-∞ ; -3] U [2;6)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
2х-3 > 0
x>3/2

4=log_(sqrt(3))(sqrt(3))^4= log_(sqrt(3)) 3^2=log_(sqrt(3))9

log_(sqrt(3) (2x-3) < log_(3)9

Логарифмическая функция с снованием (sqrt(3) > 1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

2x-3 < 9

2x < 9+3

2x < 12

x < 6

Сучетом ОДЗ

о т в е т. (3/2; 6)
Ответ выбран лучшим
{6-6x>0 ⇒ x < 1
{x^2-4x+3 >0 ⇒ D=16-12=4; корни 1 и 3; ⇒ x < 1 или x >3
{x+4>0 ⇒ x > -4
ОДЗ: х ∈ (-4;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(0,1) (6-6x)≥ log_(0,1) (x^2-4x+3)*(x+4)

Логарифмическая функция с снованием (0 < 0,1 < 0) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

6-6x ≤ (x^2-4x+3)*(x+4)

(x^2-4x+3)*(x+4)+ 6(х-1) ≥ 0

(x-1)(x-3)*(x+4) + 6(х-1) ≥ 0

(x-1)*(x^2+x-12+6)≥ 0

(х-1)*(х^2+x-6)≥ 0

D=1-4*(-6)=25
корни
-3 и 2

(x-1)*(x+3)*(x-2)≥ 0

Решаем неравенство методом интервалов

_-__ [-3] __+__ [1] _-__ [2] _+__
на ОДЗ

х ∈ [-3;1] U [2;+∞)
С учетом ОДЗ

(-4) __-__[-3] _+_ (1)

О т в е т. [b] (-3;1)[/b]
Дробь равна 0 если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.

Система
{x^2-6x-a=0
{2x^2-аx-a^2 ≠ 0

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант положителен.

D=(-6)^2-4*(-a)=36+4a

D>0

36+4a >0

4a> -36

[b]a> -9[/b]


Значит решение неравенства:
(-9; +∞)

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя являются корнями и знаменателя.

Корни знаменателя:
2x^2-аx-a^2= 0
D_(1)=(-a)^2-4*2(-a)=9a^2

x_(1)=(a-3a)/4=-a/2; x_(2)=(a+3a)/4=a

Подставляем в первое уравнение

(-a/2)^2-6*(-a/2)-a=0
(a^2/4)+2a=0
a^2+8a=0
a*(a+8)=0
[b]a=0; a=-8[/b]

a^2-6a-a=0
a^2-7a=0
[b]a=0; a=7[/b]

О т в е т. (-9;-8) U(-8;0)U(0;7)U(7;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
sin^2x=1-cos^2x

Уравнение принимает вид:
2-2os^2x-2sqrt(2)cosx+1=0

Квадратное уравнение относительно косинуса
Замена переменной
cosx=t

[b]2t^2+2sqrt(2)t-3=0[/b]

D=(2sqrt(2))^2-4*2*(-3)=8+24=32

t_(1)=(-2sqrt(2)-4sqrt(2))/4=-3sqrt(2)/2; t_(2)=(-2sqrt(2)+4sqrt(2))/4=sqrt(2)/2

Обратный переход от t к х

[b]cosx=-3sqrt(2)/2 [/b] - уравнение не имеет решений, так как -1 ≤ cosx ≤1

-3sqrt(2)/2 < -1

[b]cosx=sqrt(2)/2[/b]

x= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. ± (π/4)+2πn, n ∈ Z

б) указанному отрезку принадлежат корни:
x=(-π/4)+2π=(7π/4) на [5π/4;2π)
и
х=(π/4)+2π=(9π/4) на [2π;4π]
х=(-π/4)+4π=(15π/4) на [2π;4π] (прикреплено изображение)
Область определения x ≥ 0

y`=(x^(3/2)-15x+16)`=(3/2)*x^((3/2)-1)-15+0= (3/2)x^(1/2)-15=(3/2)sqrt(x)-15

y`=0

(3/2)sqrt(x)-15=0

sqrt(x)=10

x=100

Отмечаем знак производной на области определения

x=100 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

О т в е т. 100
[0] ____-___ (100) _______+______
Скорее всего условие написано с опечаткой.

ОДЗ:
{25-25x>0 ⇒ x < 1
{x^2-4x-3 >0 ⇒ D=16+12=28; корни 2-sqrt(7) и 2+sqrt)7) ⇒ x < 2-sqrt(7) или x > 2+sqrt(7)
{x+7>0 ⇒ x > -7
ОДЗ: х ∈ (-7;2-sqrt(7))

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(5) (25-25x) > log_(5) (x^2-4x-3)*(x+7)

Логарифмическая функция с снованием (5>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

25-25x > (x^2-4x-3)*(x+7)
(x^2-4x-3)*(x+7)+ 25(х-1) < 0

Вот здесь и возникает проблема в связи с опечаткой.

Все задачи этой серии раскладываются на множители.ОДЗ:

Неравенство скорее всего имеет вид

log_(5)(25-25x) >log_(5) (x^2-4x [b]+[/b]3)+log_(5)(x+7)

[b]Решение.[/b]

{25-25x>0 ⇒ x < 1
{x^2-4x+3 >0 ⇒ D=16-12=4; корни 1 и 3 ⇒ x <1 или x > 3
{x+7>0 ⇒ x > -7
ОДЗ: х ∈ (-7;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(5) (25-25x) > log_(5) (x^2-4x+3)*(x+7)

Логарифмическая функция с снованием (5>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

25-25x > (x^2-4x+3)*(x+7)

(x^2-4x+3)*(x+7)+ 25(х-1) < 0

(х-1)(х-3)(х+7)+25(х-1) <0

(x-1)* ((x-3)*(x+7)+25) < 0

(х-1)*(х^2+4x-21+25) < 0

(х-1) *(х+2)^2 <0

__-__ (-2) _-___ (1) _+__

C учетом ОДЗ

(-7) ___-___ (-2) __-___ (1)

О т в е т. (-7;-2) U (-2; 1)
ОДЗ:
{21-7x>0 ⇒ x < 3
{x^2-8x+15 >0 ⇒ D=64-60=4; корни 3 и 5; ⇒ x < 3 или x > 5
{x+3>0 ⇒ x > -3
ОДЗ: х ∈ (-3;3)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(6) (21-7x) ≥ log_(6) (x^2-8x+15)*(x+3)

Логарифмическая функция с снованием (6>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

21-7x ≥ (x^2-8x+15)*(x+3)
(x^2-8x+15)*(x+3)+ 7(х-3) ≤ 0
(x-3)(x-5)*(x+3) + 7(х-3) ≤ 0

(x-3)*(x^2-2x-15+7)≤ 0

(х-3)*(х^2-2x-8)≤ 0

D=4-4*(-8)=36
корни
-2 и 4

(x-3)*(x+2)*(x-4) ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов
__-_ [-2] __+__ [3] __-__ [4] _+__

C учетом ОДЗ
х ∈ (-3;3)

(-3) __-__[-2] _+_ (3)

О т в е т. [b] (-3;-2][/b]
{6-6x>0 ⇒ x < 1
{x^2-4x+3 >0 ⇒ D=16-12=4; корни 1 и 3; ⇒ x < 1 или x >3
{x+4>0 ⇒ x > -4
ОДЗ: х ∈ (-4;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(0,1) (6-6x) ≤ log_(0,1) (x^2-4x+3)*(x+4)

Логарифмическая функция с снованием (0 < 0,1 < 0) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

6-6x ≥ (x^2-4x+3)*(x+4)

(x^2-4x+3)*(x+4)+ 6(х-1) ≤ 0

(x-1)(x-3)*(x+4) + 6(х-1) ≤ 0

(x-1)*(x^2+x-12+6)≤ 0

(х-1)*(х^2+x-6)≤ 0

D=1-4*(-6)=25
корни
-3 и 2

(x-1)*(x+3)*(x-2) ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов

_-__ [-3] __+__ [1] _-__ [2] _+__
на ОДЗ

х ∈ (-4;1)

(-4) __-__[-3] _+_ (1)

О т в е т. [b] (-4;-3][/b]
{48-16x>0 ⇒ x < 3
{x^2-8x+15 >0 ⇒ D=64-60=4; корни 3 и 5; ⇒ x < 3 или x >5
{x+3>0 ⇒ x > -3
ОДЗ: х ∈ (-3;3)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(1/4) (48-16x) > log_(1/4) (x^2-8x+15)*(x+3)

Логарифмическая функция с снованием (1/4) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

48-16x < (x^2-8x+15)*(x+3)

(x^2-8x+15)*(x+3) + 16(х-3) >0

(x-3)*(x-5)*(x+3)+16*(x-3) >0

(x-3)*(x^2-2x+1) >0

(х-3)*(х-1)^2>0

Решаем неравенство методом интервалов на ОДЗ

(-3) _-__ [1] _-__ (3)

Нет решений .


5.
{x ≤ -2,6
{x ≥ 1-5

{x ≤ -2,6
{x ≥ -4

О т в е т. [b] рис 2)[/b]

6.
∠ BAC= ∠ BCA - углы при основании равнобедренного треугольника равны.

∠ BCA и смежный с ним внешний угол, величина которого 123°
Сумма смежный углов равна 180 градусов.
Значит, ∠ BCA=180 ° -123 ° = 57 °

∠ BAC= [b]57 ° [/b]

7.
OK ⊥ хорде АВ
К- середина АВ, так как диаметр, перпендикулярный хорде делит хорду пополам.
(OK - часть диаметра)

По теореме Пифагора
АК^2=AO^2-OK^2=13^2-5^2=169-25=144
AK=12
AB=2AK=24

8.
1)
3)

9.
50%=50/100=1/2

50% от 198 руб равно (198/2)=99 руб

198*4+99*12= 792+1188= [b]1980 руб[/b] - стоимость поездки группы из 4-х взрослых и 12 детей (прикреплено изображение)
Дробь равна 0 если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.

Система
{x^2-2x+a^2-8a=0
{x^2+2x-a ≠ 0

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант положителен.

D=(-2)^2-4*(a^2-8a)=4-4a^2+32a

D>0

4-4a^2+32a >0

4a^2-32a-4 < 0

a^2-8a-1 <0

a_(1)= (8-sqrt(68))/2=4-sqrt(17); a_(2)=4+sqrt(17)

Значит решение неравенства:
(4-sqrt(17); 4+sqrt(17))

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя являются корнями и знаменателя.

x^2-2x+a^2-8a=x^2+2x-a

4х=a^2-7a

x=(a^2-7a)/4

то

((a^2-7a)/4)^2+2*(a^2-7a)/4 - a=0

(a^4-14a^3+49a^2)/16+(8a^2-56a)/16 - (16a/16)=0

a^4-14a^3+49a^2+8a^2-56a-16a=0

a*(a^3-14a^2+57a-72)=0

a=0 или a^3-14a^2+57a-72=0 ⇒ (a-3)^2*(a-8)=0 ⇒ a=3 или а=8

О т в е т. [b] (4-sqrt(17);0) U (0; 3) U(3;8)U(8;4+sqrt(17))[/b]
Ответ выбран лучшим
2,4/(2,9-1,4)=2,4/1,5=24/15=8/5=1,6
1.
(1/4)+0,7=(1/4)+(7/10)=(10/40)+(28/40)=38/40=19/20= [b]0,95[/b]
или так
(1/4)+0,7=0,25+0,7= [b]0,95[/b]

2.
7х-9=40
7х=40+9
7х=49
х=49:7
[b]х=7[/b]

3.
(9b^2/b)+(5a-9b^2)/(b)=(9b^2+5a-9b^2)/b=5a/b

при а=9; b=36

5a/b=(5*9)/36= [b]5/4[/b]

4.
А - парабола y=x^2
B- гипербола y=2/x
C- прямая y=x/2
∫(cos7x+(5xe^(x)–2)/x)dx

так как

(5xe^(x)–2)/x=(5xe^(x))/x–(2/x)

интеграл от суммы ( разности) равен сумме ( разности) интегралов



=∫cos7xdx +5∫e^(x)dx -2∫dx/x =


=(1/7)sin7x +5e^(x)-2ln|x|+C
Формула
2cos^2x=1+cos2x

sin((π/3)-2x)=-1-cos((π/6)+2x) -1

sin((π/3)-2x)=cs((π/2)-((π/3)-2x))=cos((π/6)+2x)


Уравнение примет вид:

cos((π/6)+2x)=-1 - cos((π/6)+2x)-1

2*cos((π/6)+2x)=-2

cos((π/6)+2x)=-1

(π/6)+2x=π+2πn, n ∈ Z

2x=(5π/6)+2πn, n ∈ Z

[b]x=(5π/12)+πn, n ∈ Z[/b]
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k=0

k*(k-3)=0
k_(1)=0 или k_(2)=3

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)

[b]y= C_(1) e^(0x)+C_(2)e^(3x)[/b] - общее решение

О т в е т. y= C_(1)+C_(2)e^(3x)
Формула
2cos^2x=1+cos2x

sin((π/3)-2x)=-1-cos((π/6)+2x) -1

sin((π/3)-2x)=cs((π/2)-((π/3)-2x))=cos((π/6)+2x)


Уравнение примет вид:

cos((π/6)+2x)=-1 - cos((π/6)+2x)-1

2*cos((π/6)+2x)=-2

cos((π/6)+2x)=-1

(π/6)+2x=π+2πn, n ∈ Z

2x=(5π/6)+2πn, n ∈ Z

[b]x=(5π/12)+πn, n ∈ Z[/b]
ОДЗ: x-4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4

При х=4

sqrt(4-4)*(5^(4-3)+6^(4-2)-40) ≤ 0 - верно, так как 0≤0

Заметим, что
5^(4-3)+6^(4-2)-40=5+6^2-40=41-40=1>0
Значит при всех x > 4
5^(x-3)+6^(x-2)-40 >0

х=4 - единственное решение неравенства

О т в е т. х=4
Ответ выбран лучшим
∫ ^(+ ∞ )_(0)x*e^(-x)dx=

по частям

u=x ⇒ du=dx
dv=e^(-x)dx ⇒ v= ∫ e^(-x)dx= - e^(-x)


[b] ∫ ^(+ ∞ )_(0)x*e^(-x)dx=[/b] =(- xe^(-x))|^(+ ∞ )_(0)+ ∫ ^(+ ∞ )_(0)e^(-x)dx=

=- (xe^(-x))|^(+ ∞ )_(0)- (e^(-x))| ^(+ ∞ )_(0)=

= - lim_(x →+∞)(x)e^(-x) - 0*e^(0) - lim_(x → ∞)e^(-x)+ e^(0) =

первый предел - неопределенность (∞*0)

= - lim_(x →+∞)(x)/e^(x) - 0 + 0 + 1=

применяем правило Лопиталя

= - lim_(x →+∞)(x)`/(e^(x))` + 1=

=- lim_(x →+∞)(1)/e^(x) + 1=

=0 + 1 = 1

1.
Формулы тригонометрии:

1+ctg^2x=1/sin^2x ⇒ sin^2x=1/*1+ctg^2x)

1+sin^2x=1+(1/(1+ctg^2x))=(1+ctg^2x+1)/ctg^2x=(2+ctg^2x)/ctg^2x

1/(1+sin^2x)=ctg^2x/(2+ctg^2x)

Замена
ctgx=t ⇒ x= arcctgt

dx=-1/(1+t^2)

Неопределенный интеграл

∫ dx/(1+sin^2x)= -∫ t^2dt/(2+t^2)*(1+t^2) - это интеграл от дроби.
Дробь нужно разложить на две дроби со знаменателями
(2+t^2) и (1+t^2)

- t^2/(2+t^2)*(1+t^2)= 1/(2+t^2) - 1/(1+t^2)

∫ dx/(1+sin^2x)= -∫ t^2dt/(2+t^2)*(1+t^2) =

=∫dt/(2+t^2)-∫dt/(1+t^2)=

=(1/sqrt(2))(- arcctgt/sqrt(2)) +arcctgt=

[b](1/sqrt(2))(- arcctg(x/sqrt(2))) +x[/b]


По формуле Ньютона-Лейбница

∫ ^(π/2)_(π/4)dx/(1+sin^2x)= ([b](1/sqrt(2))(- arcctg(x/sqrt(2))) +x[/b])|^(π/2)_(π/4)


3.

lnx=t
dx/x=dt

Подведение под дифференциал избавит от смены пределов
интегрирования


∫ ^(8)_(3)d(lnx)/sqrt(1-(lnx)^2)=

=arcsin(lnx)|^(8)_(3)= [b]arcsin(ln8)-arcsin(ln3)[/b]


4.

u=arccosx
dv=xdx
du=-1/(sqrt(1-x^2)

v=x^2/2

=((x^2*arccosx)/2)|^(π/2)_(0) - (1/2)* ∫ ^(π/2)_(0) (-x^2dx)/sqrt(1-x^2)=

=((x^2*arccosx)/2)|^(π/2)_(0) - (1/2)* ∫ ^(π/2)_(0) (1-x^2+1)dx/sqrt(1-x^2)=

((x^2*arccosx)/2)|^(π/2)_(0) - (1/2)* ∫ ^(π/2)_(0) sqrt(1-x^2)dx
- (1/2)∫ ^(π/2)_(0)dx/sqrt(1-x^2)=


2.
на [0; e-1]

x+1 >0
|x+1|=x+1

u=ln(x+1)
du=dx/(x+1)

dv=dx

v=x

=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - ∫^(e-1)_(0) xdx/(x+1)=


=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - ∫^(e-1)_(0) (x+1-1)dx/(x+1)=

=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - ∫^(e-1)_(0) (x+1)dx/(x+1)+ ∫^(e-1)_(0) dx/(x+1)=


=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - ∫^(e-1)_(0)dx+ ∫^(e-1)_(0) dx/(x+1)=

=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - x|^(e-1)_(0) +ln|x+1||^(e-1)_(0)=
Ответ выбран лучшим
Область определения (- ∞;+ ∞)

f`(x)=3x^2-4
f`(x)=0

3x^2-4=0

х= ± 2sqrt(3)/3

Знак производной
_+_ (-2sqrt(3)/3) __-__ (2sqrt(3)/3) __+__

y`< 0 на(-2sqrt(3)/3;2sqrt(3)/3)

значит функция убывает на(-2sqrt(3)/3;2sqrt(3)/3)


y`>0 на (- ∞; -2sqrt(3)/3) и на (2sqrt(3)/3;+ ∞)

значит функция возрастает на
(- ∞; -2sqrt(3)/3) и на (2sqrt(3)/3;+ ∞)

х=-2sqrt(3)/3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

x=2sqrt(3)/3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +


y``=6x

y`` < 0 при х < 0

кривая выпукла вверх на (- ∞;0)

y``>0 при x > 0

кривая выпукла вниз на (0;+ ∞)

х=0 - точка перегиба
см. рис (прикреплено изображение)
ОДЗ: x ≥ 9

При x=9

0*(2^(9-9)+3^(9-8)-11)≥ 0 - верно 0=0

При х=10
sqrt(1)*(2^(10-9)+3^(10-9)-11)≥ 0 - верно 0=0

При x > 10
2^(x-9)+3^(x-8)-11 >0 при любом х

О т в е т.{9} U [10;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
(x^2/4)+(y^2/2)=1 - уравнение кривой, ограничивающей область D на плоскости

V= ∫ ∫_(D) [b]([/b]1- ((x2/4)+(y2/2)) [b])[/b] dx dy

Вводим обобщенные полярные координаты

x=2 ρ cos θ
y=sqrt(2) ρ sin θ

0 ≤ ρ ≤ 1

dxdy= [b]2*sqrt(2)*[/b] ρ*d ρ d θ


V= ∫ ∫_(D)dxdy- [b]2*sqrt(2)[/b] ∫ ^(1)_(0)d ρ ∫ ^(2π)_(0) ρ ^2* ρ d θ


= S _ (D)- [b]2*sqrt(2)[/b]∫ ^(1)_(0)ρ ^3*(θ)|^(2π)_(0)d ρ=

= 2sqrt(2)*π-[b]2*sqrt(2)[/b]*(2π-0)*(ρ ^4/4)|^(1)_(0)= 2sqrt(2)*π- sqrt(2)*π=

=[b]πsqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
sqrt(32)=sqrt(16*2)=4sqrt(2)

Формула:

[b]2cos^2 α -1= cos2 α [/b]


4sqrt(2)cos^2(7π/8)-2sqrt(2)= 2sqrt(2)*(2cos^2(7π/8)-1)=

=sqrt(2)(cos14π/8)=sqrt(2)*(cos(7π/4))=sqrt(2)*(cos(2π - (π/4))=

=sqrt(2)*cos(π/4)=sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=1

2log^2_(0,75) (sinx)+3log _(0,75)(sinx)–2 =0

ОДЗ: sinx > 0 ⇒ x в 1 или 2 четверти

Квадратное уравнение относительно

log _(0,75)(sinx)


Замена

log _(0,75)(sinx)=t

2t^2+3t-2=0
D=9-4*2*(-2)=9+16=25

t_(1)=(-3-5)/4=-2; t_(2)=(-3+5)/4=1/2

Обратный переход от t к х

[b]log _(0,75)(sinx)=-2 [/b]

⇒ sinx=(0,75)^(-2)

0,75=3/4

sinx=(4/3)^2 - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ sinx ≤ 1

(4/3)^2>1

или

[b]log_(0,75)sinx=1/2[/b]

⇒ sinx=(3/4)^(1/2)

sinx=sqrt(3)/2

х=(π/3)+2πk или x=(2π/3) + 2πn, k и n - целые

Обе серии решений входят в ОДЗ

О т в е т. (π/3)+2πk; (2π/3) + 2πn, k и n - целые


б)[5π/4; 4π] принадлежат корни

(π/3)+2π= [b] (7π/3);[/b] (2π/3) + 2π= [b](8π/3)[/b]
(прикреплено изображение)
А зачем?

Решаем по определению
получаем равенство:

2^(2x)-sqrt(30cosx-sin2x=4^(x)
Так как 4^(x) > 0 при любом х, то

и выражение под логарифмом больше нуля при любом х
ОДЗ: x-3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

При х ≥ 3 знаменатель (х+5) ≥ 0 ⇒ х+5> 0

Умножаем обе части неравенства на (х+5)

sqrt(x-3)-2x+3 > - x -5

sqrt(x-3) > x-8

Если

x-8 < 0, ⇒ x < 8

неравенство верно при любом х из ОДЗ

решение [b] [3;8)[/b]

Если
x-8 ≥ 0 ⇒ x ≥ 8

Возводим в квадрат
x-3 > x^2-16x+64

x^2-17x+67 < 0

D=289-268=21

x_(1)=(17-sqrt(21))/2; x_(2)=(17+sqrt(21))/2

Решение неравенства x^2-17x+67 < 0:

(17-sqrt(21))/2 < x < (17+sqrt(21))/2

C учетом условия х ≥ 8

решение [b][8; (17+sqrt(21))/2)[/b]

О т в е т. [3;8) U [8; (17+sqrt(21))/2)= [b][3; (17+sqrt(21))/2)
[/b]
S= ∫ ^(2)_(-2)(8-x^2-x^2)dx= ∫ ^(2)_(-2)(8-2x^2)dx=(8x-(2x^3/3))|^(2)_(-2)=

=8*(2-(-2))-(2/3)*(2^3-(-2)^3)=8*4-(2/3)*16=32 - (32/3)= [b]64/3[/b] (прикреплено изображение)
{x^2-x-3>0⇒ D=13; x < (1-sqrt(13))/2 или х> (1+sqrt(13))/2
{2x^2+x-3>0⇒ D=25; x <-3/2 или x > 1
{(x^2-2)^2>0 ⇒ x^2-2 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± sqrt(2)

ОДЗ: (- ∞ ; -3/2) U ((1+sqrt(13))/2; + ∞ )

log_(3)(x^2-x-3)*(2x^2+x-3) ≥ log_(3)(x^2-2)^2+log_(3)9-log_(3)4

log_(3)(x^2-x-3)*(2x^2+x-3) ≥ log_(3)9*(x^2-2)^2/4

Логарифмическая функция с основанием 3 ↑ ⇒

(x^2-x-3)*(2x^2+x-3) ≥ 9(x^2-2)^2/4

(-x^4/4)-x^3-x^2 ≥ 0

-x^2*(x+2)^2/4 ≥ 0

верно при x=0: 0 ≥ 0
и
при x=-2: 0 ≥ 0

х=0 не входит в ОДЗ

О т в е т. [b]х=-2[/b]
Ответ выбран лучшим
Пусть радиус малого круга равен r
радиус большого R

r=2
R=6

R=3r

S_(маленького круга)=πr^2

По условию
[b]πr^2[/b]=4


S_(большого круга)=πR^2=π*(3r)^2=9πr^2=9*( [b]πr^2[/b])=9*4=36 (прикреплено изображение)
Незаштрихованная часть равна (1/8) круга.
Заштрихованная часть (7/8) круга

S_(заштрихованной части)=(7/8)*S(круга)

По условию
S_(заштрихованной части)=14

(7/8)*S(круга)=14
S_(незаштрихованной части)=(1/8)S(круга)=14:7=2

S(круга)=S_(заштрихованной части)+S_(незаштрихованной части)=14+2=16




(прикреплено изображение)
{x>0; x ≠
{3x+1>0
{x+2>0

x ∈ (0;1) U(1;+ ∞ )

{0<x<1, логарифмическая функция убывает и тогда
{3x+1 < x+2 ⇒ 2x < 1 ⇒ x < 1/2
⇒ о т в е т первого случая
[b](0;1/2)[/b]

{х>1, логарифмическая функция возрастает и тогда
{3x+1 > x+2 ⇒ 2x > 1 ⇒ x > 1/2
⇒ о т в е т второго случая
[b](1;+ ∞)[/b]

О т в е т. [b](0;1/2) U (1;+ ∞ )[/b]
Ответ выбран лучшим
1+cos^2x=1+(1+cos2x)/2=(3/2)+(1/2)cos2x

∫ ^(π)_(0)(1+cos^2x)dx=(3/2) ∫ ^(π)_(0)dx + (1/2)∫ ^(π)_(0)cos2xdx=

=(3/2)(x)|^( π)_(0) +(1/2)*(1/2)(sin2x)|^(π)_(0)= [b](3/2)π[/b]
Логарифмируем по основанию 3

log_(3)(3^(x^2)*5^(x-1)) ≥ log_(3)3

log_(3)3^(x^2)+log_(3)5^(x-1) ≥ 1

x^2+(x-1)log_(3)5 -1 ≥ 0

[b]x^2+x*log_(3)5-1-log_(3)5 ≥ 0[/b]

D=(log_(3)5)^2-4*(-1-log_(3)5)= log^2_(3)5+4log_(3)5+4=(log_(3)5+2)^2

x_(1)=(-log_(3)5-log_(3)5-2)/2=-log_(3)5-1; x_(2)=(-log_(3)5+log_(3)5-+2)/2=1

x ≤ x_(1) или x ≥ x_(2)

О т в е т. (- ∞ ;-log_(3)5-1] U [1;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
y`=(π/3)+sinx


так как (π/3) > 1; -1 ≤ sinx ≤ 1

y`> 0 значит функция возрастает на (- ∞ ;+ ∞ ) и наименьшее значение на [0;π] принимает в точке x=0

y(0)=(π/3)*0-cos0-3=-1-3=-4

О т в е т. -4
Ответ выбран лучшим
Составляем характеристическое уравнение
k^2+3k+2=0
D=9-8=1
k_(1)=-2; k_(2)=-1
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу.

у=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(-x)

так как y(0)=-1
-1=C_(1)e^(0)+C_(2)e^(0)
[b]C_(1)+C_(2)=-1[/b]


у`=-2*C_(1)e^(-2x)-C_(2)e^(-x)

так как y`(0)=3
3=-2*C_(1)e^(0)-C_(2)e^(0)
[b]-2*C_(1)-C_(2)=3[/b]

Из системы уравнений находим C_(1) и С_(2):
{C_(1)+C_(2)=-1
{-2*C_(1)-C_(2)=3

Cкладываем:

-C_(1)=2
C_(1)=-2
C_(2)=-1-С_(1)=-1-(-2)=1

О т в е т.
у=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(-x)- общее решение дифференциального уравнения

у=-2e^(-2x)+e^(-x)- частное решение дифференциального уравнения
Вводим в рассмотрение события-гипотезы
H_(1) - "выбрано n=1"
H_(2) - "выбрано n=2"
H_(3) - "выбрано n=3"

Всего чисел три, выбор любого из них равновозможен

p(H_(1))=p(H_(2))=p(H_(3))=1/3

событие A- "выбран белый шар"

p(A/H_(1))=8/20 ( в урне 8 белых и 13-1=12 черных)
p(A/H_(2))=8/19 ( в урне 8 белых и 13-2=11 черных)
p(A/H_(3))=8/18 ( в урне 8 белых и 13-3=18 черных)

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(1/3)*(8/20)+(1/3)*(8/19)+(1/3)*(8/18)=(8/3)*((1/20)+(1/19)+(1/18))=

считаем самостоятельно

По формуле Байеса

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(3))/p(a)=(8/60)/((8/3)*((1/20)+(1/19)+(1/18))

=(1/20)*((1/20)+(1/19)+(1/18))считаем самостоятельно
Ответ выбран лучшим
x=r*cos φ

∂ x/ ∂ r=cos φ
∂ x/ ∂ φ =r*(-sin φ )


y=r*sin φ

∂ y/ ∂ r=sin φ
∂ y/ ∂ φ =r*(cos φ )


Раскрываем определитель второго порядка:
(∂ x/ ∂ r)*( ∂ y/ ∂ φ )- (∂ y/ ∂ r)*( ∂ x/ ∂ φ)= cos φ *r*(cos φ )-t*(-sin φ )*sin φ =r*(cos^2 φ +sin^2 φ )= [b]r[/b]
Ответ выбран лучшим
u`_(x)=sin^4y*(x^2)`_(x)=2x*sin^4y
u`_(y)=x^2*(sin^4y)`_(y)=x^2*4sin^3y*(siny)`=x^2(4sin^3y)*cosy
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:x ≥ 4

При x ≥ 4
sqrt(x-4) ≥ 0, значит, второй множитель

5^(x-3)+6^(x-2) - 40 ≤ 0 ⇒
5^(x-3)+6^(x-2) ≤ 40

При х=4
5^(4-3)+6^(4-2)-40 ≤ 0 - неверно, так как 5+36=41
При х >4 и подавно.

Значит x=4 - единственное решение неравенства, обращающее в 0 первый множитель.

О т в е т. х=4

y=(1/3)x^3–3x^2+8x-3

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=x^2-6x+8

y`=0
x^2-6x+8=0
D=36-4*8=4
x_(1)=(6-2)/2=2; x_(2)=(6+2)/2=4

__+__ (2) __-___ (4) __+__

y`>0 на (- ∞ ;2) и на (4;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (2;4), значит функция убывает

х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(2=(1/3)*(2)^3-3*(2)^2+8*2-3=(8/3)+1= [b]11/3[/b]

х=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(4)=(1/3)*4^3-3*4^2+8*4-3=(64/3)-19= [b]7/3[/b]


y``=2x-6
y``=0
2x-6=0
x=3- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;3) и выпукла вниз на (3;+ ∞ )
См. график рис. 1 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Вводим в рассмотрение события-гипотезы
H_(1) - "выбрана коробка с лампочками"
H_(2) - "выбрана коробка с калькуляторами"
H_(3) - "выбрана коробка с очками"

Всего коробок 6+7+8=21

p(H_(1))=6/21
p(H_(2))=7/21
p(H_(3))=8/21

событие A- "у выбранной наугад коробки упаковка повреждена"

p(A/H_(1))=1/6
p(A/H_(2))=1/11
p(A/H_(3))=3/20

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(6/21)*(1/6) + (7/21)*(1/11) + (8/21)*(3/20)=(1/21) + (1/33) +(8/140) = #
считаем самостоятельно

По формуле Байеса

p(H_(3)/A)=p(H_(3))*p(A/H_(3))/p(a)=

=(8/140)/ #
Ответ выбран лучшим
2.
= ∫ ^(0)_(-1) (∫^(y)_(-sqrt(2-y^2))f(x;y)dx)dy (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
= ∫ ^(1)_(0)( [b] ∫ ^(x^3)_(-sqrt(x))(18x^2y^2-16x^3y^3)dy[/b])dx =

=∫ ^(1)_(0) (18x^2*(y^3/3)-16x^3*(y^4/4))|^(x^3)_(-sqrt(x))dx=

=∫ ^(1)_(0) (6x^2*(x^3)^3-6x^2*(-sqrt(x))^3 -4x^3*((x^3)^4)+4x^3*(-sqrt(x))^4)dx=

=∫ ^(1)_(0) (6x^(11)+6x^(7/2) -4x^(15)+4x^5)dx=

=((6x^(12)/12)+6x^(9/2)/(9/2) -4(x^(16)/4)+(4x^6/6))|^(1)_(0)=

=(1/2)+(12/9) -1+(4/6)= считаем самостоятельно (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Событие А - " из первого контейнера достали коробку с одеждой"

p(A)=m/n=2/6

Событие B - " из второго контейнера достали коробку с игрушками "

p(B)=m/n=5/11.

Событие С - "из первого контейнера достали коробку с одеждой, а из второго —c игрушками"

C=A ∩ B
P(C)=p(A)*p(B)=(2/6)*(5/11)= [b]5/33[/b]
Ответ выбран лучшим
Σn=1 ((–1)^n+1·(1/(2n–1)3/2))

Ряд сходится по признаку Лейбница
|a_(n)|=1/∛(2n-1)^2

lim_(n → ∞ )|a_(n)|=lim_(n → ∞ )1/∛(2n-1)^2=0

(|a_(n)|) - монотонно убывающая, так как

f(x)=1/∛(2x-1)^2 - монотонно убывающая функция

f`(x)=((2x-1)^(-3/2))`=(-3/2)*(2x-1)^(-5/2) < 0

Ряд из модулей сходится, так как ∑ 1/∛(2n-1)^2 и ∑ 1/∛n^2 ведут себя одинаково

Ряд ∑ 1/n^(p) - обобщенный гармонический ряд сходится при p>1
∑ 1/∛n^2
p=3/2

О т в е т. Данный ряд сходится абсолютно.


[b]Второй способ
[/b]

Рассматриваем ряд из модулей.
Он сходится, так как ∑ 1/∛(2n-1)^2 и ∑ 1/∛n^2 ведут себя одинаково

Ряд ∑ 1/n^(p) - обобщенный гармонический ряд сходится при p>1
∑ 1/∛n^2
p=3/2

Значит данный ряд сходится абсолютно.
Первый садится в любой вагон.
Вероятность попадания второго в этот же вагон - 1/20.
Значит, вероятность того, что второй не выберет этот вагон равна 19/20

Для третьего вероятность равна 18/20.

Для четвёртого - 17/20,
....
Для десятого - 11/20

Итого искомая вероятность - произведение указанных вероятностей

p=(19/20)*(18/20)*(17/20)*...*(11/20)= считаем самостоятельно
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: 5-х ≥ 0 ⇒ х ≤ 5 ⇒ х ∈ (- ∞ ;5]

При х=5 неравенство
0 ≤ 0- верно

Значит x=5 - решение неравенства.

При x < 5
sqrt(5-x) > 0, значит

8^(x-4)-9^(x-3) + 2 ≤ 0

8^(x-4)+2 ≤ 9^(x-3)

Cтроим графики функций

y=8^(x-4)+2 ( красного цвета)
y= 9^(x-3) ( синего цвета)

Неравенству удовлетворяют те х, при которых красный график расположен ниже синего
Значит,
x ≥3,373

О т в е т. [3,373 ;5] (прикреплено изображение)
2.
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤y ≤ 4
0 ≤ z ≤ π

= ∫^( π)_(0)z (∫ ^(1)_(0)x^2 (∫ ^(4)_(0)sin(πxy)/2dy)dx)dz=

=∫^( π)_(0)z (∫ ^(1)_(0)x^2*(-2/(πx))*cos(πxy)/2)^(y=4)_(y=0))dx)dz=

=∫^( π)_(0)z (∫ ^(1)_(0)(-2x/π)*(cos(4πx/2)-cos0)dx)dz=

=∫^( π)_(0)z (∫ ^(1)_(0)(-2x/π)*(cos(2πx)-1)dx)dz=

=∫^( π)_(0)z*( (2/π)( ∫ ^(1)_(0) dx - (2/π) ∫ ^(1)_(0)x*cos(2πx)dx)dz=

=∫^( π)_(0)z*( (2/π) *(x) ^(x=1)_(x=0) - (2/π) [b] ∫ ^(1)_(0)x*cos(2πx)dx[/b])dz=

считаем по частям
u=x
du=dx
dv=cos2πxdx
v=(1/(2π))sin2πx


=(2/π)*∫^( π)_(0)z*dz - (2/π)*∫^( π)_(0)z* [b]([/b](xsin2π/x)|^(1)_(0) -

-(1/(2π))∫ ^(1)_(0)sin2πxdx [b])[/b]dz=



=(2/π)*∫^( π)_(0)z*dz-(2/π)∫^( π)_(0)z[b]([/b](sin2π-0*sin0)-(1/(2π))*

*(-1/2π)(-cos2πx)|^(1)_(0) [b])[/b]dz=

=(2/π)*∫^( π)_(0)z*dz+ (2/π)*(1/4π^2)∫^( π)_(0)z[b]([/b](cos2π-cos0) [b])[/b]dz=

=(2/π)*∫^( π)_(0)z*dz+0= (2/π)*(z^2/2)|^(π)_(0)= [b]π[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
D=D_(1)+D_(2)

D_(1):
0 ≤ x ≤ 1
x^2 ≤ y ≤ e^(x)

D_(2):
1 ≤ x ≤ sqrt(e)
x^2 ≤ y ≤ e

О т в е т.
∫ ^(1)_(0)dx ∫ ^(e^(x))_(x^2)f(x;y)dy + ∫^(sqrt(e))_(1)dx ∫^(e)_(x^2)f(x;y)dy

(прикреплено изображение)
ОДЗ:
[b]{41+y-2ax >0
{12-x>0[/b]


(x^2+y^2-25)*(5y-x^2+10x-25)=0

x^2+y^2-25=0 или 5y-x^2+10x-25=0

x^2+y^2=25 или 5y=(x-5)^2


log_(3)(41+y-2ax)-log_(2)(12-x) =1 ⇒ log_(3)(41+y-2ax)/(12-x)=1 ⇒

(41+y-2ax)/(12-x)=3 ⇒ 41+y-2ax=36-3x; x ≠12



2ax=41+y-36+3x

[b]y=(-3-2a)x-5[/b]


Подставляем в (1)

x^2+((-3-2а)х-5)^2=25 ⇒

x^2+(9+12a+4a^2)x^2+2*(3+2a)*5x+5^2=25

[b](4a^2+12a+10)x^2 + (30+20a)*x=0[/b] (1#)


Подставляем в (2)

5*((-3-2а)х-5)=(x-5)^2

(-15-10а)х-25=x^2-10х+25

[b]x^2+(10a+5)x+50=0[/b] (2#)


получили два квадратных уравнения (1#) и (2#)

Система будет иметь три решения

в том случае, если первое уравнение имеет два корня, второе один или первое имеет один, второе- два, составляем систему относительно дискриминантов.

или каждое уравнение имеет по два решения, но одно не входит в ОДЗ
Ответ выбран лучшим
D:
0 ≤ x ≤ 1
-∛x ≤ y ≤ x^2

= ∫ ^(1)_(0)dx ∫ ^(x^2)_(-∛x)(12xy+27x^2y^2)dy=

= ∫ ^(1)_(0) (12x(y^2/2)+27x^2(y^3/3))|^(y=x^2)_(y=-∛x) dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x*(x^2)^2+9x^2*(-∛x)^3)dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x^5-9x^3)dx=

=((6x^6/6)-(9x^4/4))|^(1)_(0)=1-(9/4)= [b]-5/4[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a_(n)=1/n^2
R=lim_(n → ∞ )a_(n)/a_(n+1)lim_(n → ∞ )(n+1)^2/n^2=1
(-1;1)- интервал сходимости

При х=1
числовой знакоположительный ряд
∑ 1/n^2
сходится
p=2

Так как обобщенный гармонический ряд

∑ 1/n^(p) при p >1 cходится.
p ≤ расходится


При х=-1
числовой знакочередующийся ряд
∑ (-1)^(n)/n^2
сходится да при том абсолютно.

так как ряд из модулей ∑ 1/n^2
сходится

О т в е т. [-1;1]- область сходимости.
Ответ выбран лучшим
dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy

[b]z`_(x)[/b]=(cos^3(x^3y^2-1))`_(x)=

(u^3)`=3u^2*u`

=3cos^2(x^3y^2-1)*(cos(x^3y^2-1))`_(x)=

(cosu)`=(-sinu)*(u`)

=3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))*(x^3y^2-1)`_(x)=

= [b]3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))*(3x^2y^2)[/b]


[b]z`_(y)[/b]=(cos^3(x^3y^2-1))`_(y)=

(u^3)`=3u^2*u`

=3cos^2(x^3y^2-1)*(cos(x^3y^2-1))`_(y)=

(cosu)`=(-sinu)*(u`)

=3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))*(x^3y^2-1)`_(y)=

= [b]3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))*(2x^3y)[/b]



dz=3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))* ( 3x^2y^2 dx+ 2x^3ydy)
Ответ выбран лучшим
A-" выбран зеленый мяч"
B-" выбран красный мяч"
C=A ∪ B - выбран зеленый или красный

p_(A)=13/40 - вероятность выбрать зеленый

p_(B)=12/40 - вероятность выбрать красный

p(C)=p(A)+p(B)=(13/40)+(12/40)=(25/40)
Ответ выбран лучшим
1)
ОДЗ: x > 0

По свойству логарифма степени
lgx+ [b]lg16^(0,5)[/b]<lg80-lg2
По свойству логарифма произведения и логарифма частного:
lgx*16^(0,5) < lg(80/2)
lg4x < lg40
Логарифмическая функция с основанием 10 возрастает, поэтому
4x < 40
x<10

C учетом ОДЗ
О т в е т. (0;10)

2)
ОДЗ: 5x-2 > 0 ⇒ х > 2/5

По свойству логарифма степени
log_(6)(5x-2) > log_(6)2^3+ log_(6)6^2
По свойству логарифма произведения
log_(6)(5x-2) > log_(6)2^3*6^2
Логарифмическая функция с основанием 6 возрастает, поэтому
5х-2 <8*36;
5x< 300
x<60

C учетом ОДЗ
О т в е т. (0,4;60)

3)
log_(2)(7x-4)=log_(2)4+log_(2)13


log_(2)(7x-4)=log_(2)4*13
7x-4=52
7x=56
x=8

Проверка
log_(2)(7*8-4)=log_(2)52=log_(2)4*13=log_(2)4+log_(2)13=2+log_(2013- верно
О т в е т. 8
(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
1.
По определению логарифма
a^(t)=b

x^2-10x+10=(1/3)^(0)
x^2-10x+10=1
x^2-10x+9=0
D=100-36=64
x_(1)=(10-8)/2=1; x_(2)=(10+8)/2=9

О т в е т. 1;9

2.
Логарифмическая функция монотонно возрастает.
Значит каждое свое значение принимает ровно один раз
Если значения функции равны, то и аргументы равны

7x^2-200=50x
7x^2-50x-100=0
D=2500-4*7*(-100)=5300

x_(1)=(50-10sqrt(53))/2; x_(2)=(50+10sqrt(53))/2;

x_(1) < 0 значит log_(3)50x не существует

О т в е т. (50+10sqrt(53))/2;

3.
ОДЗ:
{x+2> 0 ⇒ x > -2
{x+3 > 0 ⇒ x > -3
{1-x > 0 ⇒ x < 1

x ∈ (-2;1)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(0,4)(x+2)*(x+3)=log_(0,4)(1-x)

(х+2)*(х+3)=1-х

x^2+5x+6=1-x
x^2+6x+5=0
D=36-20=16
x_(1)=(-6-4)/2=-5; x_(2)=(-6+4)/2=-1

х_(1) не принадлежит ОДЗ
О т в е т. -1

4.
ОДЗ: х > 0

Квадратное уравнение относительно log_(4)x

Замена переменной:
log_(4)x=t

t^2+t=2
t^2+t-2=0
D=9
t_(1)=(-1-3)/2=-2; t_(2)=(-1+3)/2=1

log_(4)x=-2 или log_(4)x=1
x=4^(-2) или x=4
x=1/16

Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 1/16; 1

5.
ОДЗ:
{x-2>0 ⇒ x > 2
{x>0

ОДЗ: х ∈ (2;+ ∞ )

log_(sqrt(3))(x-2)*log_(5)x - 2log_(sqrt(3))(x-2)=0

log_(sqrt(3))(x-2) *(log_(5)x -2)=0

log_(sqrt(3))(x-2) =0 или log_(5)x -2=0

x-2=(sqrt(3))^(0) или log_(5)x =2

x-2=1 или x=5^2

х=3 или x=25

Оба корня входят в ОДЗ

О т в е т. 3; 25
Ответ выбран лучшим
S= ∫^(1)_(0)((2+x^2)-(1-x^2))dx = ∫^(1)_(0)((2+x^2-1+x^2)dx =

=∫^(1)_(0)((2x^2+1)dx =(2x^3/3)|^(1)_(0)+(x)|^(1)_(0)=(2/3)+1= [b](5/3)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Подставляем вместо y=x^2+2x-3

x^2+2x-3 - a*(x^2+2x-3) + ((x^2+2x-3)/a)-x^2-ax-(x/a)-1=0

((1/a)-a)x^2 +(2+a+(1/a))x + (3a-(3/a))-4)=0

Квадратное уравнение имеет два корня, если
D>0
D=(2+a+(1/a))^2-4*((1/a)-a)*(3a-(3/a)-4)= упростить

Cоставить неравенство
(2+a+(1/a))^2-4*((1/a)-a)*(3a-(3/a)-4) > 0

и решить относительно а

Если в условии
[b]y^2[/b]–ay+(y/a)–x2–ax–(x/a)=1
Тогда

(x^2+2x-3)^2 - a*(x^2+2x-3) + ((x^2+2x-3)/a)-x^2-ax-(x/a)-1=0

Получаем уравнение четвертой степени относительно х
Пусть x и y - стороны прямоугольника
d^2=X^2+y^2

17^2=x^2+y^2

S=x*y
120=xy

Система
{x^2+y^2=289
{xy=120

Умножаем второе на 2
{x^2+y^2=289
{2xy=240

Вычитаем из первого второе
(x^2-2xy+y^2)=49
(x-y)^2=49
x-y=7 или x-y=-7

x=7+y или x=y-7

И подставляем во второе
(7+y)*y=120 или (y-7)*y=120

y^2+7y-120=0 или y^2-7y-120=0
D=49+480=529 или D=49+480=529

y_(1)=(-7-23)/2 < 0 или y_(3)=(7-23)/2 < 0
не соответствуют смыслу задачи

y-(2)=(-7+23)/2=8 или y_(4)=(7+23)/2=15

x_(2)=7+8=15 или x_(4)=15-7=8

О т в е т. 8 и 15
Примем объем бассейна за 1

Пусть первая труба заполняет бассейн за х часов.

Вторая труба заполняет бассейн за у часов.

1/х бас/час. пропускная способность первой трубы

1/у бас/час. пропускная способность второй трубы


1/40=1/40 бас/час - пропускная способность двух труб вместе

[b](1/x)+(1/y)=1/40[/b]


1-(1/3)=2/3 бас - заполнит ІІ труба


[b](1/3)x+(2/3)y=78[/b] ⇒ x+2y=234 ⇒ x = 234-2y


Система

{(1/x)+(1/y)=1/40
{ x = 234-2y

подставим значение х во второе уравнение:

(1/(234-2y))+(1/y)=1/40

40*(y+234-2y)=y*(234-y)

2y^2-274y+9360=0

y^2-137y+4680=0

D=137^2-4*4680=49

y_(1)=(137-7)/2=65 или y_(2)=(137+7)/2=72

x_(1)=104 или x_(2)=90

О т в е т. 104 и 65 или 90 и 72
Ответ выбран лучшим
[b]√(ax–x²–π²)=y[/b]

y ≥ 0

Уравнение примет вид:
siny +cos2y=0
siny+1-2sin^2y=0
2sin^2y-siny-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
siny=-1/2 или siny=1

Так как y ≥ 0, то
y=(7π/6)+2πn или y= (11π/6)+2πm или y=(π/2) +2πk, n, m , k ∈ Z

[b]√(ax–x²–π²)=y[/b] ⇒

ax-x²-π²=y²
Это уравнение окружности,
запишем его в виде:

(x-(a/2))²+y²=(a/2)²-π²

(a/2;0) R=sqrt((a/2)²-π²)

Изобразим полуокружность: (прикреплено изображение)
y=sqrt(12x)
y`=1/(2sqrt(12)) * (12x)`=6/sqrt(12x)

(y`)^2=36/12x=3/x

S_(поверхности Ох)=2π ∫ ^(12)_(0)sqrt(12x)*sqrt(1+(3/x))dx=

=2π ∫ ^(12)_(0)sqrt(12)*sqr(x+3)dx=

=2sqrt(12)*π ∫ ^(12)_(0)sqr(x+3)dx=

=4sqrt(3)*π *(x+3)^(3/2)/(3/2)| ^(12)_(0)=

= [b](8sqrt(3)/3)*π*( 15^(3/2)-3^(3/2))[/b] (прикреплено изображение)
V=2*(2/3) ∫ ^(π/2)_(0)(2sin2 φ )^3*sin φ d φ =

=(4/3)∫ ^(π/2)_(0)(8sin^32 φ )sin φ d φ =

=(32/3)∫ ^(π/2)_(0)(sin^32 φ )sin φ d φ


sin^32 φ =(3sin2 φ -sin6 φ)/4


=8∫ ^(π/2)_(0)(sin2 φ *sin φ) d φ-(8/3)∫ ^(π/2)_(0)(sin6 φ *sin φ) d φ

Формулы
sin α *sin β
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: 10-х ≥ 0 ⇒ х ≤ 10 ⇒ х ∈ (- ∞ ;10]

При х=10 неравенство
0 ≤ 0- верно

Значит x=10 - решение неравенства.

При x < 10
sqrt(10-x) > 0, значит

3^(x-7)-4^(x-6) + 5 ≤ 0

3^(x-7)+5 ≤ 4^(x-6)

Cтроим графики функций

y=3^(x-7)+5 ( красного цвета)
y= 4^(x-6) ( синего цвета)

Неравенству удовлетворяют те х, при которых красный ниже синего
Значит,
x ≥ 7,346

О т в е т. [7,346;10] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{3-|x| > 0 ⇒ |x| < 3
{|x-2|>0 ⇒ x ≠ 2
{|x-2| ≠ 1 ⇒ x-2 ≠ -1 и х-2 ≠ 1 ⇒ х ≠ 1 и х ≠ 3

ОДЗ : x ∈ (-3;1) U(1;2)U(2;3)

log_(|x-2|)(3-|x|) ≤ log_(|x-2|)1

[b]Если [/b]
|x-2| >1 ⇒ x-2 < -1 или x-2 >1⇒ x < 1 или x > 3

Логарифмическая функция с основанием больше 1 возрастает.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента
3-|x| ≤ 1 ⇒ |x| ≥ 2 ⇒ x ≤ -2 или x ≥ 2

В этом случае решением является x ≤ -2
C учетом ОДЗ: [b] (-3;-2][/b]

[b]Если [/b]
0 <|x-2| <1⇒ -1 < x-2 < 1, x ≠ 0 ⇒ 1 < x < 3; x≠ 0

Логарифмическая функция с основанием меньше 1 убывает.
Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
3-|x| ≥ 1 ⇒ |x| ≤ 2 ⇒ -2 ≤ х≤ 2
В этом случае решением является (1;2]
C учетом ОДЗ: [b] (1;2)[/b]

О т в е т. - объединяем ответы двух случаев [b](-3;-2] U (1;2)[/b]

[b]Второй способ[/b]

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(|x-2|-1)*(3-|x| -1) ≤ 0

(|x-2|-1)*(2-|x|) ≤ 0

Раскрываем модули
Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках x=0 и х=2

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка
(-∞;-0) ; (0;2) и (2;+∞)
C учетом ОДЗ на
[b](-3;0[/b]]

|x-2|=-x+2
|x|=-x

(-x+2-1)*(2+x) ≤ 0
(x-1)(x+2) ≥ 0
x ≤ -2 или x ≥ 1

С учетом рассматриваемого интервала (-3;0] о т в е т. (-3;-2]

на (0;2]
C учетом ОДЗ на [b](0;1)U(1;2)[/b]

|x-2|=-x+2
|x|=x

(-x+2-1)*(2-x) ≤ 0
(х-1)(х-2) ≤ 0
1 ≤x ≤ 2

С учетом рассматриваемого интервала о т в е т. (1;2)

[b]на (2;3)[/b]
|x-2|=x-2
|x|=x
(x-2-1)(2-x) ≤ 0
(x-3)(x-2) ≥0
x ≤ 2 или x ≥ 3
С учетом рассматриваемого интервала неравенство не имеет решений

О т в е т. [b](-3;-2] U (1;2)[/b]

Ответ выбран лучшим
Первый треугольник
Один катет х, второй катет y
По теореме Пифагора
x^2+y^2=29^2

S_(1)=(x*y/2)
Второй треугольник
Один катет (х-17), второй катет (y-17)
По теореме Пифагора
(x-17)^2+(y-17)^2=5^2

S_(2)=(x-17)*(y-17)/2

[b]S_(2)-S_(1)[/b]=(xy/2)-(1/2)(x-17)*(y-17)=

=(1/2)*(xy- xy+17x+17y-289)= [b]=(17/2)*(x+y-17)[/b]

Значит из системы двух уравнений

{x^2+y^2=29^2
{(x-17)^2+(y-17)^2=5^2

надо найти только сумму х+у

{x^2+y^2=841
{x^2-34х+289 +y^2-34y+289=25

Подставляем 841 из первого уравнения вместо x^2+y^2 во второе

841-34x+289-34y+289=25
34*(х+у)=1394
x+y=41

S_(2)-S_(1)=(17/2)*(x+y-17)=(17/2)*(41-17)=17*12

О т в е т. [b] на 204 кв. дм[/b]
Ответ выбран лучшим
Пусть один катет х, второй у.
По теореме Пифагора
[b]x^2+y^2=13^2[/b]

Увеличиваем каждый катет на 3:
(х+3) и (у+3) -катеты,
тогда 13+4=17 - гипотенуза
[b](x+3)^2+(y+3)^2=17^2[/b]

Первоначальная площадь
S_(1)=xy/2
Площадь после изменения длин
S_(2)=(x+3)*(y+3)/2

[b]S_(2)-S_(1)[/b]=(x+3)(y+3)/2-xy/2=(1/2)*(xy+3x+3y+9-xy)= [b]=(3/2)*(x+y+3)[/b]

Значит из системы двух уравнений

{x^2+y^2=13^2
{(x+3)^2+(y+3)^2=17^2
надо найти только сумму х+у

{x^2+y^2=169
{x^2+6х+9 +y^2+6y+9=289

Подставляем 169 из первого уравнения вместо x^2+y^2

169+6x+9+6y+9=289
6*(х+у)=102
x+y=17

S_(2)-S_(1)=(3/2)*(x+y+3)=(3/2)*(17+3)=30

О т в е т. [b] на 30 кв. м[/b]


Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
-21ctgx ≥ 0 ⇒ ctgx ≤ 0. значит х во 2 и 4 четвертях.
ctgx=cosx/sinx⇒sinx ≠0



2sin^2x+sqrt(2)sinx=0 или sqrt(-21ctgx)=0

sinx*(2sinx+sqrt(2))=0 или ctgx =0

sinx ≠0

2sinx+sqrt(2)=0 или ctgx =0


2sinx+sqrt(2)=0 ⇒ sinx=-sqrt(2)/2 ⇒ x=(-1)^(n)*(-π/4) + πn

при n=2m+1 получим
x=(-3π/4)+2πm, m ∈ Z расположены в третьей четверти и не удовлетворяют ОДЗ

при n=2m
[b] х=(-π/4)+2πm, m ∈ Z[/b] - корни уравнения

ctgx =0 ⇒ сosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]- удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. (-π/4)+2πm, m ∈ Z, x=(π/2)+πk, k ∈ Z
Ответ выбран лучшим
n=3+5+7=15 карандашей

Вероятность вынуть синий шар равна
7/15
После этого в корзине 14 шаров и 6 синих
Вероятность вынуть синий шар во второй раз равна
6/14
После этого в корзине 13 шаров и 5 синих
Вероятность вынуть синий шар в третий раз равна
5/13

p=(7/15)*(6/14)*(5/13)=

б)
Вероятность вынуть синий шар равна
7/15
После этого в корзине 14 шаров
3 красных и 5 зеленых
Вероятность вынуть красный шар во второй раз равна
3/14
После этого в корзине 13 шаров 5 зеленых
Вероятность вынуть зеленый шар в третий раз равна
5/13

p=(7/15)*(3/14)*(5/13)

Поскольку выбор цвета (синий, красный , зеленый) можно осуществить 6 способами.

p= 6* (7/15)*(3/14)*(5/13)= - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
Повторные испытания с двумя исходами
p=80/100=0,8 - вероятность события в одном испытании
q=1-p=1-0,8=0,2- вероятность того, что событие не наступит в одном испытании

Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

n=500
p=0,8

np=500*0,8=400

400-0,2 ≤ k_(o) ≤ 400+0,2
k_(o)=400 - наивероятнейшее число

Применяем локальную теорему Лапласа
P_(n)(k)≈(1/sqrt(npq))*φ((k-np)/sqrt(npq))

npq=500*0,8*0,2=80
sqrt(npq)=sqrt(80)≈9
(k-np)/sqrt(npq)=(440-400)/9=(40/9)

P_(500)(440)≈ (1/9) *φ(40/9)=(1/9)**φ(4,4)( cм приложение)
=(1/9)*0,5=5/90= [b]1/18 [/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x ≠ 0
{x+4 ≠ 0 ⇒ x ≠ -4

(1/9)^((2x+2)/(x+4))=3^(-4*(x+1)/(x+4))

27^(-(x+1)/(x+4))=3^(-3(x+1)/(x+4))

18^(2x)=(2*3^2)^(2x)=2^(2x)*3^(4x)=4^(x)*3^(4x)

3x^(-2)=3/x^2

12^(x)=(3*4)^(x)=3^(x)*4^(x)

1/(9x^2)=3^(-2)/x^2

Неравенство примет вид:

3^(-4*(x+1)/(x+4)) * 4^(x)*3^(4x)*3/x^2 ≤ =3^(-3(x+1)/(x+4))*3^(x)*4^(x)*3^(-2)/x^2

4^(x) > 0 при любом х
x^2>0 при любом х ≠ 0

Можно сократить на 4^(x)/x^2

3^(-4*(x+1)/(x+4)) * 4^(x)*3^(4x)*3/x^2 ≤ =3^(-3(x+1)/(x+4))*3^(x)*4^(x)*3^(-2)/x^2

3^(-4(x+1)/(x+4) + 4x + 1) ≤ 3^(-3(x+1)/(x+4)+ x - 2)

Показательная функция с основанием 3 возрастает, поэтому

-4(x+1)/(x+4) + 4x + 1 ≤ -3(x+1)/(x+4) + x - 2


-(х+1)/(x+4)+3x+3 ≤0;

(x+1)*(-1+3x+12)/(x+4) ≤ 0
(x+1)*(3x+11)/(x+4) ≤ 0

Решаем методом интервалов
Нули числителя:
х+1=0 или 3х+11=0

х=-1 или х=-11/3

Отмечаем на ОДЗ сплошным кружком ( здесь квадратные скобки)

Нули знаменателя:
x+4=0
x=-4

Отмечаем на ОДЗ пустым кружком ( здесь круглые скобки)

___–___ (–4) __+__ [–11/3] ____–___ [-1] _+__ (0) _+__

О т в е т ( – ∞ ;–4) U [–11/3;-1]
sqrt(x^2-2x+1)=sqrt((x-1)^2)=|x-1|
sqrt(x^2+2x+1)=sqrt((x+1)^2)=|x+1|

Уравнение имеет вид:
|x-1|+|x+1|=2

Решаем методом интервалов.

Подмодульные выражения равны 0 в точках х=-1 и х=1
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

Раскрываем знак модуля на каждом промежутке.
[b](- ∞ ;-1][/b]
|x-1|=-x+1
|x+1|=-x-1

-х+1-х-1=2
-2х=-2
х=1 не принадлежит (- ∞ ;-1]

[b](-1;1)[/b]
|x-1|=x-1
|x+1|=-x-1

х-1-х-1=2
-2=2 - неверное равенство.
нет корней на (-1;1]

[b][1;+ ∞ )[/b]

|x-1|=x-1
|x+1|=x+1

х-1+х+1=2
2x=2
x=1 - корень уравнения

О т в е т.
a)x = 1

б) 1 ∈ [1;2]
Ответ выбран лучшим
Область D - ограничена двумя параболами
y= sqrt(x)
y=2sqrt(x)

и линией, которую оставит плоскость z=6-x на пл. хОу.
Находим линию пересечения двух плоскостей

z=0 и z=6-х
6-x=0
x=6
См. область D

Само тело, представляет из себя криволинейный цилиндр, расположенный над областью D, образующие которого параллельны оси Оz/

z=6-x - плоскость, которая сверху "накрывает тело"

Примерный рис.


V= ∫ ∫ _(D) (6-x)dxdy= ∫^(6)_(0)dx ∫ ^(2sqrt(x)_(sqrt(x) (6-x) dy=

= ∫^(6)_(0)((6-x)*y)|^(2sqrt(x)_(sqrt(x)dx=

= ∫^(6)_(0)(6-x)*(2sqrt(x)-sqrt(x))dx=

= ∫^(6)_(0)(6-x)*sqrt(x)dx=

= ∫^(6)_(0)(6*sqrt(x)-xsqrt(x))dx= (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть A_(1)B ∩ AB_(1)=K

K- cередина A_(1)B
M-середина BC
MK - cредняя линия Δ A_(1)BC
MK || A_(1)C

MK лежит и в пл. АМВ_(1)
A_(1)C || пл. АМВ_(1) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
tg(-300 ° )=- tg(300 ° )= - tg (360 ° -60 ° )= - tg(-60 °)= -(-tg60 °)=tg60°= =sqrt(3)

2sqrt(3)tg(-300 ° )=2sqrt(3)*sqrt(3)=2*3= [b]6[/b]
ОДЗ: х≠ 0

(x+2)/x=(x/x)+(2/x)=1+(2/x)

5^((x+2)/x)=5^(1+(2/x))=5*5^(2/x)

(x-1)/x=(x/x)-(1/x)=1-(1/x)

10^((x-1)/x)=10^(1-(1/x))=10*10^(-1/x)=10/(2*5)^(1/x)=10/(2^(1/x)*5^(1/x))

2^(1/x)=u
u>0
5^(1/x)=v
v>0
5v^2-5/(u*v) +u-v >0

Умножаем на u*v>0
Знак неравенства не меняется

5uv^3-5+u^2v-uv^2 >0

Проверьте условие.
Ответ выбран лучшим
Строим графики:
x=4-y^4 ⇒ y^4=4-x
x=y+2 ⇒ y=x-2
y=0
y=-2
См. рис.

Что-то не так.

См рис. справа. Убрала все лишнее. Оставила полосу
-2 ≤ у ≤ 0

Провела черным цветом прямую, параллельную оси Ох.
Смотрю, что линия входа x=y+2 только на участке от точки пересечения красного и синего графиков. А должно быть на участке от -2 до 0 по оси Оу
То же самое с линией выхода.

Опечатка.Скорее всего верхний предел во втором интеграле не
4-y^4; a 4-y^2

Тогда
x=4-y^2
y^2=4-x
y=-sqrt(4-x)- нижняя часть красной параболы
y=+sqrt(4-x) - верхняя часть красной праболы

Тогда область состоит из двух частей.
Потому что разные лини входа и выхода. на участке от 0 до 3
входим в область на прямой, выходим на параболе.
На участке от 3 до 4 входим на нижней ветке параболы, выходим на верхней.

∫ ^(0)_(-2)dy ∫ ^(4-y^2)_(y+2) f(x;y)dx=

=∫ ^(3)_(0)dx ∫ ^(x-2)_(-sqrt(4-x)) f(x;y)dy+∫ ^(4)_(3)dx ∫ ^(sqrt(4-x))_(-sqrt(4-x)) f(x;y)dy (прикреплено изображение)
январь 2020 года
долг 1,05·1 000 000 =1 050 000 руб
С февраля по июнь выплата 100 000 руб.

(1,05·1 000 000 – 100 000) руб= [b]950 000[/b] руб остаток на конец 2020 года

январь 2021 года
долг 1,05·950 000 руб.=997 500
С февраля по июнь выплата Х руб.

[b](997 500 – Х)[/b]руб. –остаток на конец 2021 года

январь 2022 года

долг 1,05·(997 500 – Х) руб.
С февраля по июнь выплата 100 000 руб.
1,05·(997 500 – Х) – 100 000 = [b](947 375 – 1,05Х)[/b] руб. –остаток на конец 2022 года

январь 2023 года
долг 1,05·(947 375 – 1,05Х)=(994 743,75 –1,1025·Х) руб.

С февраля по июнь выплата (Х–50 000) руб.
(994 743,75 –1,1025·Х) – (Х–50 000) =

=(1 044 743,75- 2,1025Х) руб – остаток на конец 2023 года

январь 2024 года
долг 1,05*(1 044 743,75- 2,1025Х)=1 096 980,94 - 2,207625*Х

С февраля по июнь выплата 100 000 руб.

(996 980 - 2,207625*Х)руб. –остаток на конец 2024 года

январь 2025 года
долг
1,05*(996 980,94 - 2,207625*Х)=1 046 829,99 - 2,31800625*Х

С февраля по июнь выплата (Х–100 000) руб.
1 046 829,99 - 2,31800625*Х - (Х-100 000)=(1 146 829,99 -3,31800625*X)руб.-

остаток на конец 2025 года

январь 2026 года
долг
1,05*(1 146 829,99 -3,31800625*X)=1 204 171,49 - 3,48396562Х

С февраля по июнь выплата 100 000 руб.

1 204 171,49- 3,48396562*Х-100 000 = (1 104 171,49 -3,48396562Х) руб.–остаток на конец 2026 года

январь 2027 года
долг
1,05*(1 104 171,49 -3,48396562Х)
С февраля по июнь выплата (Х –150 000) руб.

1,05*(1 104 171,49 -3,48396562Х)- (Х- 150 000)
–остаток долга на июль.

По условию он равен 0

получим уравнение
1,05*(1 104 171,49 -3,48396562Х)- (Х- 150 000)=0
1 159 380,06 +150 000= 4,6581639*Х

Х=281093,6

4x^2=(2x)^2

u=2x
du=2dx ⇒ dx=(1/2)du

если
x=1, то u=2
x=0, то u=0

∫ ^(1)_(0)dx/(1+4x^2)= ∫ ^(2)_(0) (1/2)du/(1+u^2)=

=(1/2)arctgu|^(2)_(0)= [b](1/2)arctg2[/b]
Ответ выбран лучшим
V_(Ox)=π ∫^(2)_(0)(2x-x^2)^2dx= π ∫^(2)_(0)(4x^2-4x^3+x^4)dx=

=π*((4x^3/3)-(4*x^4/4)+(x^5/5))|^(2)_(0)=

=π*((4/3)*2^3-2^4+(2^5)/5)=π*((32/3)-16+(32/5))=
Ответ выбран лучшим
S=2* ∫ ^(1)_(0)(x-x^3)dx=2*((x^2/2)-(x^4/4))|^(1)_(0)=

=2*((1/2)-(1/4))=2*(1/4)=1/2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
u=x^2
dv=e^(x)dx

du=2xdx
v=e^(x)

∫ ^(2)_(1)x^2*e^(x)dx=(x^2*e^(x))|^(2)_(1)- ∫ ^(2)_(1)e^(x)*2xdx=

=(x^2*e^(x))|^(2)_(1)- 2*∫ ^(2)_(1)e^(x)*xdx=

u=x
dv=e^(x)dx

du=dx
v=e^(x)

=(x^2*e^(x))|^(2)_(1)- 2*(x*e^(x))|^(2)_(1)+2∫ ^(2)_(1)e^(x)dx=


=(x^2*e^(x))|^(2)_(1)- 2*(x*e^(x))|^(2)_(1)+2*(e^(x))| ^(2)_(1)=

=4e^2-e-2*2e^2+2e+2e^2-2e= [b]2e^2-e[/b]
Ответ выбран лучшим
3.
x^2=t
d(x^2)=dt
2xdx=dt
xdx=(1/2)dt

Пределы интегрирования
если х=0, то t=0
если x=1, то t=1

∫ ^(1)_(0)xdx/(1+(x^2)^2)=(1/2) ∫ ^(1)_(0)dt/(1+t^2)=

=(1/2)arctgt|^(1)_(0)=(1/2)arctg1=(1/2)*(π/4)= [b]π/8[/b]

4.
Здесь применим замену, но в обратную сторону.
Тогда не придется менять пределы интегрирования.
Так как
d(lnx)=dx/x,
то

∫ ^(3)_(2)ln^2dx/x= ∫ ^(3)_(2)ln^2xd(lnx)=((ln^3x)/3)|^(3)_(2)=

=(ln^33-ln^32)/3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Вводим полярные координаты:
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
x^2+y^2= ρ ^2*(cos^2 θ +sin^2 θ )
x^2+y^2=ρ ^2
(x^2+y^2)^2= ρ ^4
Элемент dxdy=ρdρd θ

0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ ρ ≤ 2

∫∫ _(D)(x^2+y^2)^2dxdy = ∫ ^(2π)_(0)∫^(2)_(0) ρ ^4 *(ρdρd θ)=

= ∫ ^(2π)_(0)d θ ∫ ^(2)_(0) ρ ^5dρ=

=2π*( ρ ^(6)/6)=2π*2^6/6=128π/6= [b]64π/3[/b]
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x ≠ 0
{2x+4≠ 0 ⇒ x ≠ -2

По свойствам степени:

0,5^(-(x-2)/(2x+4))=(2^(-1))^(-(x-2)/(2x+4))=2^((x-2)/(2x+4))
40^(x)=(10*4)^(x)=10^(x)*4^(x)


32^(-(x-2)/(2x+4))=(2^(5))^(-(x-2)/(2x+4))=2^(-5(x-2)/(2x+4))

4^(x)=(2^2)^(x)=2^(2x)

1/16=1/2^(4)=2^(-4)

x^(-2)=1/x^2

Неравенство примет вид:

2^((x-2)/(2x+4)) * 10^(x)/x^2 ≥ 2^(–5(x-2)/(2x+4)) *2^(2x)*10^(x)*2^(-4)/x^2

10^x > 0 при любом

можно сократить на

10^(x)/ x^2



2^((x-2)/(2x+4)) ≥ 2^(–5(x+2)/(2x+4)+2x-4)

при этом помним, что х ≠ 0

Показательная функция с основанием 2 возрастает, поэтому

(х–2)/(2x+4) ≥ -5(x-2)/(2x+4) + 2x - 4;

((х–2)/(2x+4))+(5(х–2)/(2x+4)) -2(x-2) ≥0;

6(x-2)/(2x+4)- 2(x-2) ≥0;

(x-2)*(6-2*(2x+4))/(2x+4) ≥0;

(x-2)(-4x-2)/(2x+4) ≥0

Решаем методом интервалов
Нули числителя:
х-2=0 или -4х-2=0

х=2 или х=-1/2

Отмечаем сплошным кружком ( здесь квадратные скобки)

Нули знаменателя:
2x+4=0
x=-2

Отмечаем пустым кружком ( здесь круглые скобки)

___–___ (–2) ____ [–1/2] _–_ (0) ________–____ [2] _____

О т в е т ( – ∞ ;–2) U [–1/2;0) U (0;2] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x+2> 0 ⇒ x > -2
{x+3 > 0 ⇒ x > -3
{1-x > 0 ⇒ x < 1

x ∈ (-2;1)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(0,4)(x+2)*(x+3)=log_(0,4)(1-x)

(х+2)*(х+3)=1-х

x^2+5x+6=1-x
x^2+6x+5=0
D=36-20=16
x_(1)=(-6-4)/2=-5; x_(2)=(-6+4)/2=-1

х_(1) не принадлежит ОДЗ
О т в е т. -1
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: х > 0

Квадратное уравнение относительно log_(4)x

Замена переменной:
log_(4)x=t

t^2+t=2
t^2+t-2=0
D=9
t_(1)=(-1-3)/2=-2; t_(2)=(-1+3)/2=1

log_(4)x=-2 или log_(4)x=1
x=4^(-2) или x=4
x=1/16

Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 1/16; 1

Ответ выбран лучшим
Логарифмическая функция монотонно возрастает.
Значит каждое свое значение принимает ровно один раз
Если значения функции равны, то и аргументы равны

7x^2-200=50x
7x^2-50x-100=0
D=2500-4*7*(-100)=5300

x_(1)=(50-10sqrt(53))/2; x_(2)=(50+10sqrt(53))/2;

x_(1) < 0 значит log_(3)50x не существует

О т в е т. (50+10sqrt(53))/2;
Ответ выбран лучшим
По определению логарифма
x^2-10x+10=(1/3)^(0)
x^2-10x+10=1
x^2-10x+9=0
D=100-36=64
x_(1)=(10-8)/2=1; x_(2)=(10+8)/2=9

О т в е т. 1;9
Ответ выбран лучшим
Применяем метод подведения под знак дифференциала:
d(5x^4-1)=20x^3dx

x^3dx=(1/20)d(5x^4-1)

∫e^(5x^4-1)x^3dx=(1/20) ∫e^(5x^4-1)d(5x^4-1)=(1/20) ∫e^(u)du

=(1/20)e^(u)+C=(1/20)e^(5x^4-1)+C

F(x)=(1/20)e^(5x^4-1)+C
По определению несобственного интеграла первого рода
∫ ^(1)_(- ∞ )e^(5x^4-1)*x^3dx=

=lim_(A→ - ∞ ) F(х)| ^(1)_(A )=

=(1/20)*lim_(A→ - ∞ )e^(5x^4-1)|^(1)_(A)=

=(1/20)*e^(5-1)-(1/20)lim_(A→ - ∞ )e^(5A^4-1)=

=(e^4/20)-(1/20)*e^(+ ∞)= - ∞

Расходится.
Ответ выбран лучшим
12|x^2–4|=2a+|a–12x+12|+36

Вынесем (-12) в выражении с модулем справа за скобки и за знак модуля:

12|x^2-4|=|(-12)|*|x-((a/12)+1)|+2a+36
Делим на 12
[b]|x^2-4|=|x-((a/12)+1)|+(a/6)+3[/b]

Строим график
y=|x^2-4|

График
y=|x-((a/12)+1)| +(a/6)+3 можно получить из графика y=|x| параллельным переносом вершины в точку ( ((a/12)+1); (a/6)+3}
Пусть x_(o)=(a/12)+1
y_(o)=(a/6)+1

(a/12)+1=x_(o) ⇒ a=12x_(o)-12
y=(12x_(o)-12)/6 + 1

[b]y_(o)=2x_(o)+1 [/b]

Так как график y=|x| представляет из себя прямой угол ("галочку"),то график |x-((a/12)+1)| +(a/6)+3
расположен так, что одна сторона этого прямого угла, параллельна прямой у=х, вторая параллельна прямой у=-х

"Уголок" прямого угла лежит на прямой y=2x+1

Смотрим в какой ситуации три решения
см. рис.

(-2;0) - одно из таких решений..

12|(-2)^2–4|=2a+|a–12*(-2)+12|+36

2a+36=-|a+36|

2а+36=-а-36
3a=-72
[b]a=-24[/b]
или

2а+36=а+36
a=0 ( не подходит, так как
уравнение
12*|x^2-4|=|-12x+12|+36
|x^2-4|=|x-1|+3
имеет четыре решения
cм. рис.2

Аналогично находим и второе значение
a=1

О т в е т. -24; 1 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x-3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3
{x+5 ≠ 0 ⇒ x ≠ -5

ОДЗ: х ∈ [3;+ ∞ )

(sqrt(x-3)-2x+3)/(x+5) +1 >0

(sqrt(x-3)-2x+3+x+5)/(x+5) >0

(sqrt(x-3)+8-x)/(x+5) >0

При x ∈ ОДЗ знаменатель дроби положителен, значит и числитель тоже положителен, так как дробь положительна.

Решаем неравенство:
sqrt(x-3) +8-x >0

sqrt(x-3) > x -8

Если
x-8 <0
то
неравенство верно при любом х ∈ [3;8)

Если
x-8 >0
то возводим в квадрат

x-3 > (x-8)^2
x^2-17x+67 <0

D=289-268=21

x_(1)=(17-sqrt(21))/2; x_(2)=(17+sqrt(21))/2

с учетом x > 8

решение в этом случае
(8; (17+sqrt(21))/2)

При х=8
sqrt(8-3) > 8-8 - верно.

О т в е т. [3;8)U{8}U(8; (17+sqrt(21))/2)=[3;(17+sqrt(21))/2)
Ответ выбран лучшим
1а) см. приложение1
1б и в) см. приложение 2


2а) см. приложение 3
Построение ничем не отличается. надо нарисовать не острый угол, а угол больше 90 градусов. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
Замена
y`=p(x)
y``=p`(x)

p`*(x-1)-p=0
Уравнение с разделяющимися переменными

p`=dp/dx
(x-1)dp/dx=p

dp/p=dx/(x-1)

Интегрируем
∫dp/p= ∫ dx/(x-1)
ln|p|=ln|x-1| + lnC

ln|p|=lnC*|x-1|

[b]p=C*(x-1)[/b]

y`= C_(1)*(x-1)

y`= C_(1)*x - C_(1)

y=∫y`(x)dx=∫(C_(1)x - C_(1))dx=(C_(1)x^2/2) - C_(1)x + C_(2)

О т в е т. [b] у= (C_(1)/2)*x^2 - C_(1)x + C_(2)[/b]

4)
Решаем однородное
Составляем характеристическое уравнение
k^2-2k+2=0
D=4-8=-4
k_(1)=2-2i; k_(2)=2+2i
Корни комплексно- сопряженные
α =1; β =2
Общее решение имеет вид:

y_(одн)=e^(x)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)

Частное решение находим по правилу ( см. приложение)

y_(частное)=(Acos2x+Bsin2x)*x^(0)

y`=(Acos2x+Bsin2x)=- 2Asin2x+2Bcos2x

y``=(-2Asin2x+2Bcos2x)`

=-4Acos2x-4Bsin2x

Подставляем в данное уравнение

-4Acos2x-4Bsin2x - 2 * (-2Asin2x+2Bcos2x)+2*(Acos2x+Bsin2x)=sin2x

Приравниваем коэффициенты слева и справа. перед косинусом
и слева и справа перед синусом.

{-4А-4В+2A=0
{-4B+4A+2B=1

B=-1/10
A=2/10

y_(частное)=0,2cos2x-0,1sin2x

О т в е т. y=y_(одн)+y_(частное)= e^(x)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)+0,2cos2x-0,1sin2x
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
9^(1,5)=(3^(2))^(3/2)=
( a^(m))^(n)=a^(m*n)
=3^(2*(3/2))=3^3=27

81^(0,5)=(9^(2))^(0,5)=
( a^(m))^(n)=a^(m*n)
=9^(2*0,5)=9

(10,5)^(-2)=(21/2)^(-2)=(2/21)^2=4/441

27-9-(4/441)=18-(4/441)= [b]17 целых 437/441[/b]

2.
0,008^(-2/3)=((0,2)^(3))^(-2/3)=0,2^(3*(-2/3))=0,2^(-2)=(1/5)^(-2)=(5^(-1))^(-2)=5^(2)=25

25*25^(-1)=25^(1+(-1))=25^(0)= [b]1[/b]

3.

64^((1/4)log_(8)25)=(8^(2))^((1/4)log_(8)25)=8^(2*(1/4)log_(8)25)=

=8^(1/2)log_(8)25)=

свойство логарифма степени log_(a)b^(k)=klog_(a)b

=8^(log_(8)25^(1/2))=8^(log_(8)5)=

основное логарифмическое тождество=

= [b]5[/b]

4
log_(3)x=log_(3)18-(1/4)log_(3)16+2log_(3)5

логарифм степени log_(a)b^(k)=klog_(a)b

log_(3)x=log_(3)18-log_(3)16^(1/4)+log_(3)5^2

log_(3)x=log_(3)18-log_(3)2+log_(3)25

разность логарифмов заменим логарифмом частного, сумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(3)x=log_(3)18*25/2

log_(3)x=log_(3)225

[b]x=225[/b] - о т в е т.
1) 17 + х > 37
x > 37 - 17
x> 20

___ (0) _____________ (20) /////////////////

Круглая скобка пустой кружок, квадратная заполненный.
О т в е т. (20;+∞ )

2) 5 – х ≤ 1
-х ≤ 1-5
-х ≤ -4
х ≥4

___ (0) _____ [4]///////////////

О т в е т. [4;+∞ )

3) 1 + 6х < 7
6x < 7-1
6x <6
x <1

\\\\\\\\\\\\ (1) _____

О т в е т. (-∞;1)

4) 6х + 1 > 0
6x > -1

x> (-1/6)

________ (-1/6) /////////////////

О т в е т. (-1/6;+∞ )

5) 4 + х < 1 – 2х
x + 2x < 1-4
3x < -3
x< -1

\\\\\\\\\\\\ (-1) _____

О т в е т. (-∞;-1)

6) 2 + 6х > 5 + 7х

6x-7x > 5-2
-x > 3

x< -3

\\\\\\\\\\\\ (-3) _____

О т в е т. (-∞;-3)
(прикреплено изображение)
∫ dt/cos^2t=tgt

t=x^2
dt=2xdx
xdx=(1/2)dt

∫ xdx/(cos^2x^2)=(1/2) ∫ dt/(cos^2t)=(1/2)tgt+C=(1/2)tgx^2+C
Область определения
{x^2+8 >0
{4x^4+8 >0

x - любое число.


log_(sqrt(2))sqrt(4x^4+8)=log_(2^(1/2))2sqrt(x^4+2)=

=2(log_(2)2+log_(2)sqrt(x^4+2)=2*(1+log_(2)(x^4+2)^1/2=

=2+2*(1/2)log_(2)(x^4+2)=

=2+log_(2)(x^4+2)



Уравнение принимает вид:
2+log_(2)(x^2+8)=2+log_(2)(x^4+2)

log_(2)(x^2+8)=log_(2)(x^4+2)

x^2+8=x^4+2

x^4-x^2-6=0

D=1+24=25

x^2=3 x= ±sqrt(3)
или
x^2=-2 - уравнение не имеет корней

О т в е т. ±sqrt(3)

По формуле:
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=2x^3+5
v=x^4+2x

y`=((2x^3+5)`*(x^4+2x)-(2x^3+5)*(x^4+2x)`)/(x^4+2x)^2=

=(6x^2*(x^4+2x)-(2x^3+5)*(4x^3+2))/(x^4+2x)^2=

=(6x^6+12x^3-8x^6-20x^3-4x^3-10)/(x^4+2x)^2=

=(-2x^6-12x^3-10)/(x^4+2x)^2= - 2*(x^6+6x^3+5)/(x^4+2x)^2
Ответ выбран лучшим
Пусть событие A_(1)- выигрыш по первому билету

p(A_(1))=0,1

тогда событие

vector{A_(1)} - невыигрыш по первому билету

p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,1=0,9


A_(2)- выигрыш по второму билету

p(A_(2))=0,3

тогда событие

vector{A_(2)} - невыигрыш по второму билету

p(vector{A_(2})=1-p(A_(2))=1-0,3=0,7


A_(3)- выигрыш по третьему билету

p(A_(3))=0,5

тогда событие

vector{A_(2)} - невыигрыш по третьему билету

p(vector{A_(3})=1-p(A_(3))=1-0,5=0,5

Пусть событие A-" выиграш по двум билетам"

A=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}+A_(1)vector{A_(2)}*A_(3)+vector{A_(1)}*A_(2)A_(3)


p=0,1*0,3*0,5+0,1*0,7*0,5+0,9*0,3*0,5= считаем и получаем ответ
Повторные испытания с двумя исходами.
p=0,008
n=500

p очень маленькое, n велико.
Формулу Бернулли применять нецелесообразно.

Применяем локальную теорему Лапласа ( см. приложение 1)
P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

P_(500)(3)=?

npq=500*0,008*0,992=3,986
sqrt(npq) ≈ sqrt(4)=2

x=(k-np)/sqrt(npq)=(3-4)/2≈(-1/2)=-0,5

P_(500)(3)=(1/2)* φ (-0,5)

Так φ(-х)=φ(х)

P_(500)(3)=(1/2)* φ (0,5) ≈ 0,5*0,3521= считайте самостоятельно.... (прикреплено изображение)
а)
sin(π/n) ~ (π/n) при n → ∞ ( sinx~x при х → 0)

Ряд ∑ (π/n) - расходится, так как это π* ∑ (1/n),
∑ (1/n)- гармонический ряд и он расходится.

Умножение ряда на константу не влияет на сходимость.

б)Σn=(1,1)/(3^n+2)

Ряд сходится, потому что сходится ряд ∑ 1/n^2

А значит сходится ряд ∑ 1,1/n^2
Умножение ряда на константу не влияет на сходимость.

1,1 /(3n^2+2) < 1,1/(n^2)

По признаку сравнения данный ряд сходится.
Ответ выбран лучшим
Случайная величина Х - число деталей первого сорта среди отобранных трёх.

Так как 5 деталей первого сорта и стало быть две детали не первого сорта, то случайная величина может принимать значения 1; 2; 3

(0 - не может, так как 3 детали из двух не первого сорта отобрать нельзя)

p_(1)=C^(1)_(5)*С^(2)_(2)/(C^(3)_(7))=(5*1)/(35)=5/35
p_(2)=C^(2)_(5)*С^(1)_(2)/(C^(3)_(7))=(10*2)/(35)=20/35
p_(3)=C^(3)_(5)*С^(0)_(2)/(C^(3)_(7))=(10*1)/(35)=10/35


Закон состоит из таблицы:
В первой строке значения 1; 2; 3
Под ними вероятности (5/35); (20/35); (10/35)

Если сумма вероятностей в нижней строке равна 1 ( а так и есть), то таблица в самом деле является законом.

M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)=1*(5/35)+2*(20/35)+3*(10/35)=(75/35)= [b]15/7[/b]

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)=

=1^2*(5/35)+2^2*(20/35)+3^2*(10/35)=(175/35)=5

D(X)=5-(15/7)^2=(245-225)/49= [b]20/49[/b]



Ответ выбран лучшим
27^((2/3)*(x-2))=(3^(3))^((2/3)(x-2))=3^(2*(x-2))=3^(2x-4)

3^(2*(x-1))=3^(2x-2)

Неравенство принимает вид:

3^(2x-4)+81 - 3^(2x-2) < 73

81-73 < 3^(2x-2)- 3^(2x-4)

Выносим справа за скобки 3 в меньшей степени.

Применяем свойство степени a^(m):a^(n)=a^(m-n)

8 < 3^(2x-4) *(3^2-1)

1 < 3^(2x-4)

Показательная функция с основанием 3 возрастает.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

0 < 2x-4

2x-4 >0
2x> 4
x>2
О т в е т. [b] (2; + ∞ )[/b]
Ответ выбран лучшим
Если элементы строки умножить на k, k>0, то определитель умножается на k
Если две строки меняем местами, то определитель меняет знак с + на - .
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x>0
{1-2log_(2)x ≠ 0 ⇒ log_(2)x ≠ 1/2; x ≠ sqrt(2)

Замена переменной:
log_(2)x=t
Решаем обычное дробно- рациональное неравенство.

(t-5)/(1-2t) ≥ 2t

(t-5)/(1-2t) -2t ≥ 0

(t-5-2t+4t^2)/(1-2t) ≥ 0

(4t^2-t-5)/(1-2t) ≥ 0

(4t^2-t-5)/(2t-1)≤ 0

Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
D=1-4*4*(-5)=81
t_(1)=-1 t_(2)=5/4
Отмечаем их на числовой прямой затушеванным кружком.
Находим нули числителя:
2t-1=0
t=1/2
Отмечаем на числовой прямой незаполненным, пустым кружком.
Расставляем знаки:
Cправа от наибольшей точки +, далее знаки чередуем

_-__ [-1] __+_ (1/2) ___-___ [5/4] __+__

t ≤-1 или (1/2) < t ≤ 5/4

Обратная замена:
log_(2)x ≤ -1 или (1/2) < log_(2)x ≤ 5/4

С учетом ОДЗ:
0 < x ≤1/2 или sqrt(2) < x ≤ 2^(5/4)=2*2^(1/4)

О т в е т. (0; 1/2] U (sqrt(2); 2*2^(1/4)]
Уравнение с разделяющимися переменными
3dy/ctgy=xdx
3 ∫ sinydy/cosy= ∫ xdx

3 ∫ (-dcosy)/cosy=x^2/2+C_(1)
-3ln|cosy|=x^2/2+C_(1)

ln|cosy|=(-2/3)x^2+C_(2); [C_(2)=(-1/3)C_(1) это можно не объяснять, константа и есть константа ; ]

cosy=Ce^((-2/3)x^2) ; [ C=e^(C_(2))это можно не объяснять, константа и есть константа]

О т в е т. cosy=Ce^((-2/3)x^2)
3х=t

cost=-1 умеем решать
t=π+2πk, k ∈Z

3x=π+2πk, k ∈Z
x=(π/3)+(2π/3)k, k ∈ Z - о т в е т
1.
1+tg^2 α =1/cos^2 α ⇒ cos^2 α =1/(1+tg^2 α )=1/(1+1)=1/2

sin^2 α =1-cos^2 α =1-(1/2)=1/2

cos α = [b]+ sqrt(1/2[/b]) - угол в 4-ой четверти, косинус имеет знак +
sin α =- [b]sqrt(1/2) [/b]- угол в 4-ой четверти, синус имеет знак -

ctg α =1/tg α [b]=-1[/b]

2.
1+sinxcosx-sinx-cosx=0
Разложим на множители левую часть
(1-sinx)-(cosx-sinxcosx)=0
(1-sinx)-cosx*(1-sinx)=0
(1-sinx)*(1-cosx)=0

1-sinx=0 ⇒ sinx=1 ⇒ [b]x=(π/2) + 2πk, k ∈ Z[/b]
1-cosx=0 ⇒ cosx=1 ⇒ [b]x=2πn, n ∈ Z[/b]

3.
∠ A= [b]30 ° [/b]
BC=(1/2)AB= [b]sqrt(3)/4[/b]
катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

AC=AB*sin ∠ B=sqrt(3)/2*sqrt(3)/2= [b]3/4[/b]

4.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам
a^2=(d_(1)/2)^2+(d_(2)/2)^2=(15/2)^2+(36/2)^2=(225/4)+324=1521/4
a=39/2
P=4a=2*39= [b]78[/b]

5.
S=2ab+2ac+2bc=2*(ab+ac+bc)=2*(10*22+10*16+22*16)=считайте смостоятельно
Ответ выбран лучшим
Разделим на х
y`-(1/x)*y=lnx/(x^2)

Линейное, первого порядка

Решают методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.

В любом случае приходится решить два уравнения с разделяющимися переменными.

Метод Бернулли.
Решение y представлено в виде произведения двух [b]произвольных [/b]функций.

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:

u`*v+u*v`-(1/x)*u*v=lnx/(x^2)

u`*v+u*(v`-(1/x)*v)=lnx/(x^2)


Функцию v=v(x) выбирают так, чтобы

[b]v`-(1/x)*v=0[/b]

тогда

[b]u`*v-u*0=lnx/(x^2)[/b]


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:
v`-(1/x)*v=0

dv/v=dx/x

ln|v|=ln|x|

[b]v=x[/b]

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:

u`*x=lnx/(x^2)

u`=lnx/(x^3)

u= ∫ lnxdx/(x^3)=-lnx/(-2x^2)+(1/2) ∫ dx/x^3=

=-lnx/(-2x^2)-(1/(4x^2))+C

cчитали по частям

u=lnx; du=dx/x

dv=dx/x^3
v=-1/(2x^2)

Общее решение: y=(-lnx/(-2x^2)-(1/(4x^2))+C)*х можно раскрыть скобки.

Так как
y(1)=0
найдем частное решение:

0=-ln1/(-2)-(1/4)+C
C=1/4

y=(-lnx/(-2x^2)-(1/(4x^2))+(1/4))*х- частное решение
Преобразования линейные - значит постоянный множитель можно выносить за знак преобразования

(T_(2) o T_(1))(v)=T_(2) (T_(1)v)=T_(2) (7v-7u)=7T_(2)v-7T_(2)u=

=7*(4v+5u)-7*(6v+2u)=28v+35u-42v-14u= [b]21u-14v [/b]

(T_(2) o T_(1))(u)=T_(2) (T_(1)u)=T_(2) (-7v-6u)=-7T_(2)v-6T_(2)u=

=-7*(4v+5u)-6*(6v+2u)=-28v-35u-36v-12u= [b]-64v-47u [/b]
Ответ выбран лучшим
Находим абсциссы точек пересечения графиков
3x^2+1=3x+7
3x^2–3x–6=0
x^2–x–2=0
D=9
x_(1)=–1; x_(2)=2

V=π ∫ ^(2)_(-1) ((3x+7)^2-(3x^2+1)^2)dx=

=π ∫ ^(2)_(-1) (9x^2+42x+49-9x^4-6x^2-1)dx=

=π ∫ ^(2)_(-1) (3x^2+42x+48-9x^4)dx=

=π*(x^3+21x^2+48x-(9x^5/5))|^(2)_(-1)=

=π*(2^3-(-1)^3+21*(4-1)+48(2-(-1))-(9/5)*(32-(-1)))=

=π*(9+63+144-(297/5))= [b]π*(183/5)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Находим абсциссы точек пересечения графиков
3x^2+1=3x+7
3x^2-3x-6=0
x^2-x-2=0
D=9
x_(1)=-1; x_(2)=2

S= ∫^(2)_(-1) (3x+7-(3x^2+1))dx= ∫^(2)_(-1) (3x+6-3x^2)dx=

=((3x^2/2)+6x-(3x^3/3))|^(2)_(-1)=

=(3/2)*(4-1)+6*(2-(-1))-(2^3-(-1)^3)=

=(9/2)+18-9= [b]13,5[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
б)
Наверное, там должно быть
-5х+2у=13 ( иначе -5 и 13 можно привести подобные)
Это линейное уравнение вида ax+by=с
[b]a=-5;
b=2
c=13[/b]
4,1*8,9 г=
Преобразования линейные - значит постоянный множитель можно выносить за знак преобразования

(T_(2) o T_(1))(v)=T_(2) (T_(1)v)=T_(2) (3v+5u)=3T_(2)v+5T_(2)u=

=3*(2v+5u)+5*(-6v-2u)=6v+15u-30v-10u= [b]5u-24v [/b]

(T_(2) o T_(1))(u)=T_(2) (T_(1)u)=T_(2) (-3v-5u)=-3T_(2)v-5T_(2)u=

=-3*(2v+5u)-5*(-6v-2u)=-6v-15u+30v=10u= [b]24v-5u [/b]
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)
ОДЗ: x>0
Замена переменной:
lgx=t
t^2-2t-3>0
D=4+12=16
t_(1)=(2-4)/2=-1; t_(2)=(2+4)/2=3

_+__ (-1) _____ (3) __+_

t < -1 или t > 3

Обратный переход от t к x:

lgx < -1 или lgx > 3
lgx<lg0,1 или lgx > lg 1000

Логарифмическая функция с основанием 10 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
Учитывая ОДЗ:
0< x<0,1 или х >1000

О т в е т. (0;0,1) U (1000;+ ∞ )

б)
(1/2)^(x-2)*((1/2)^2+1) > 5

(1/2)^(x-2)* (5/4) >5

Умножаем неравенство на (4/5)

(1/2)^(x-2)>4

(2^(-1))^(x-2) > 4

2^(-x+2)>2^2
Показательная функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:

-x+2 >2
-x>0
x<0
О т в е т. (- ∞;0)

в)

(x+3)^2 ≥ 0 при любом х

При х=-3 выполняется равенство.

(x+1)/(x+4) ≤ 0

Нули числителя: x=-1
Нули знаменателя: х=-4

__+__ (-4) __-__ [-1] __+__

-3 входит в (-4;-1]


О т в е т. (-4; -1]
1.
sin2x=2sinx*cosx

sqrt(3)cos^2x-sinx*cosx=0
cosx*(sqrt(3)cosx-sinx)=0
cosx=0 или sqrt(3)cosx-sinx=0

cosx=0 ⇒ x= [b](π/2)+πn, n ∈ Z[/b]
sqrt(3)cosx-sinx=0 ⇒ sinx/cosx=sqrt(3) ⇒ tgx=sqrt(3)

x= [b](π/3)+πk , k ∈ Z[/b]

Положительные корни: π/3; π/2;
Отрицательные (π/2)-π=-π/2; (π/3)-π=-2π/3

2.
Находим абсциссы точек пересечения графиков
-0,5x^2+2x=0,5x
-0,5x^2+2x-0,5x=0
-0,5x^2+1,5x=0
0,5x*(x-1,5)=0
x_(1)=0; x_(2)=1,5

S= ∫^(1,5)_(0) (-0,5x^2+2x-0,5x)dx= ∫^(1,5)_(0) (-0,5x^2+1,5x)dx=

=(-0,5*(x^3/3)+1,5*(x^2/2))|^(1,5)_(0)=

=(-1,5^3/6)+(3/4)*1,5^2= считаем самостоятельно.

3.
{x-1>0
{x-3>0
{log_(2)(x-1)*(x-3) <3 ⇒ log_(2)(x^2-4x+3)<log_(2)8

{x>3
{x^2-4x+3<8 ⇒ x^2-4x-5 <0 D=16=20=36; корни (-1) и 5

{x>3
{-1 < x < 5

О т в е т. [b](3;5)[/b]

4.
1=log_(3)3

1+log_(3)(x+2y)=log_(3)3 + log_(3)(x+2y)=log_(3)3*(x+2y)=log_(3)(3x+6y)

3^(log_(3)(3*x+6y))=[ основное логарифмическое тождество]=3x+6y

{3x+6y=6x ⇒ 6y=3x ⇒ x=2y
{3^(x^2-2y)=(3^(2))^(0,5x) ⇒ 3^(x^2-2y)=(3^(x) ⇒ x^2-2y=x

{x=2y
{(2y)^2-2y=2y ⇒4y^2-4y=0 ⇒ 4y*(y-1)=0 ⇒

y=0 или y=1
x=0 или х=2

(0;0) не удовлетворяем условию, так как log_(3)(0+2*0) не существует

О т в е т. (2;1)

5.
Пусть L - образующая конуса, r- радиус основания, H- высота конуса.
Р_(осевого сечения)=L+L+2r=2L+2r
По условию
P_(осевого сечения)=8
2L+2r=8
L+r=4
L=4-r
По теореме Пифагора
H^2=L^2-r^2=(4-r)^2-r^2=16-8r+r^2-r^2=16-8r
H=sqrt(16-8r)

V=(1/3)S_(осн.)*Н=(1/3)*π*r^2*sqrt(18-8r)

V(r)=(π/3)*r^2sqrt(16-8r)=(π/3)*sqrt(16r^4-8r^5)

Функция V(r) принимает наибольшее значение, когда
g(r)=16r^4-8r^5 принимает наибольшее значение

g`(r)=64r^3-40r^4
g`(r)=0
64r^3-40r^4=0
r^3*(64-40r)=0
r=0 не удовл условию задачи.
64-40r=0
r=64/40=16/10=1,6

1,6 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

V(1,6)=(π/3)*1,6^2sqrt(16-8*1,6)= считаем самостоятельно....
Ответ выбран лучшим
=(lg(3^2)/lg(2*3)+lg(2^2)/lg(2*3)=(2lg3)/(lg2+lg3)+(2lg2)/(lg2+lg3)=

=(2lg3+2lg2)/(lg2+lg3)=2*(lg3+lg2)/(lg2+lg3)= [b]2[/b]

2,7^(lg3/lg2,7)=2,7^(log_(2,7)3)=3

(2+3)^(lg7/lg5)=5^(log_(5)7)=7

О т в е т. [b]7[/b]
Уравнение прямой в отрезках имеет вид:
(x/a)+(y/b)=1
Так как прямая пересекает ось Oх в точке (3;0), ось Оу в точке (7;0)
то а=3; b=7 и уравнение прямой имеет вид:
(x/3)+(y/7)=1
или
[b]7x+3y=21[/b]

a_(1)=7;b_(1)=3; с_(1)=21
Так как система
{a_(1)x+b_(1)y=c_(1);
{a_(2)x+b_(2)y=c_(2)
не имеет решений, то значит прямые параллельны, а их коэффициенты при х и у пропорциональны

[b]a_(1):a_(2)=b_(1):b_(2) [/b] 7:a_(2)=3:b_(2)⇒ b_(2)=(3/7)a_(2)

Прямая a_(2)x+b_(2)y=c_(2) проходит через точку (5;3)

а_(2)*5 +(3/7)a_(2)*3=c_(2) ⇒ c_(2)=(44/7)a_(2)

тогда уравнение прямой примет вид:

a_(2)x + (3/7)a_(2)y=(44/7)a_(2)
Сократим на а_(2)
[b]7х+3у=44[/b] - о т в е т.
f(29–8√13)=sqrt(29-8√13)
g(4+√13)=3/(4+√13)=3*(4-√13)/(4^2-(√13)^2)=4-√13

Возведем каждое число в квадрат
(sqrt(29-8√13))^2=29-8√13
и
(4-13)^2=16-8√13+13=29-8√13

О т в е т. Равны.
Δ АВМ - прямоугольный равнобедренный. так как биссектриса АМ делит прямой угол ВАD пополам.
АВ=ВМ=АМ*sin45 ° =10sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=10

АС^2=AB^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676
AC=26
R=(1/2)AC=13 см.

О т в е т. 13 см
a)
5x*(2x+1)=0
x=0 или 2х+1=0
х=0 или х=-0,5

б)
(5-10х)*(5+10х)=0
5-10х=0 или 5+10х=0
х=1/2 или х=-1/2

О т в е т.-1/2; 1/2
ИЛИ так

б) 25*(1-4x^2)=0

1-4x^2=0
(1-2x)(1+2x)=0
1-2x=0 или 1+2х=0
х=1/2 или х=-1/2
О т в е т.-1/2; 1/2
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+225=0
k_(1)= -15i; k_(2)=15i

[b]y=C_(1)cos15x+C_(2)sin15x[/b] - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
a_(n+1)=a_(n)+10
a_(n+1)-a_(n)=d
d=10

a_(n)=a_(1)+(n-1)d

a_(1)=10

a_(15)=10+10*14=150
О т в е т. 150
y`= ∫ y``(x)dx= ∫ sqrt(1+x)dx= ∫ (1+x)^(1/2)d(1+x)=

=(1+x)^(3/2)/(3/2)+C_(1)=(2/3)x^(3/2)+C_(1)


y= ∫ y`(x)dx= ∫ ((2/3)x^(3/2)+C_(1))dx=

=(2/3) ∫x^(3/2)dx+C_(1)∫dx=

=(2/3)*(x^(5/2)/(5/2)+C_(1)x+C_(2)=

=(4/15)x^(5/2)+C_(1)x+C_(2)

y=(4/15)x^(5/2)+C_(1)x+C_(2) - общее решение

y`=(2/3)x^(3/2)+C_(1)

Условия задачи Коши:
y(0)=1,y’(0)=3

Подставляем в у и у`

1=(4/15)*0+C_(1)*0+C_(2)

⇒ C_(2)=1

3=(2/3)*0^(3/2)+C_(1)

⇒ C_(1)=3

y=(4/15)x^(5/2)+3x+1 - частное решение
Ответ выбран лучшим
Построим два прямоугольных треугольника.
Треугольники равны.
Обозначим острый угол α

tg α =2/10=0,2=1/5

ctgα=1/tgα=5



∠ AOB=90 ° -2 α

tg ∠ AOB=tg(90 ° -2arctg0,2)=по формулам приведения
=ctg(2arctg0,2)= применяем формулу котангенса двойного угла=

=(5^2-1)/2*5=(25-1)/10=2,4

О т в е т. [b]2,4[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение окружности
(x-1)^2+(y-1)^2=4

(y-1)^2=4-(x-1)^2

y-1=sqrt(4-(x-1)^2)

y=1+sqrt(4-(x-1)^2))



D: -1 < x < 3

1 < y < 1+sqrt(4-(x-1)^2)

∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy= ∫^(3) _(-1)dx ∫ ^(1+sqrt(4-(x-1)^2))_(1)f(x;y)dy

или


(x-1)^2+(y-1)^2=4

(х-1)^2=4-(у-1)^2

х-1=sqrt(4-(у-1)^2)

х=1+sqrt(4-(y-1)^2))


D: 1 < y < 3
1-sqrt(4-(y-1)^2) < x < 1+sqrt(4-(y-1)^2)

∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy= ∫^(3) _(1)dy ∫ ^(1+sqrt(4-(y-1)^2))_(1-sqrt(4-(y-1)^2))f(x;y)dx

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Умножаем первое уравнение на (-3)
{-3x-15y=-105
{3x+2y=27
Cкладываем
-13y=78
y=-6
x=35-5y=35-5*(-6)=65
О т в е т. [b](65;-6)[/b]

2.
Выражаем из первого уравнения х
{(1/4)x=4+(1/3)y⇒ x=16+(4/3)y
{(4/5)* (16+(4/3)y)-3y=7

{x=16+(4/3)y
{(64/5)+(16/15)y-3y=7

{x=16+(4/3)y
{(64/5)-7=3y-(16/15)y

{x=16+(4/3)y
{29/5=(29/15)y ⇒ y=3

x=16+(4/3)*3=20

О т в е т. [b](20;3)[/b]

3.
{x+y=2
{6-5x+5y-8x+2y=0

{y=2-x
{6-13x+7y=0

{y=2-x
{6-13x+7*(2-x)=0

{y=2-x
{6-13x+14-7x=0

{y=2-x
{20x=20

{y=2-x
{x=1

{y=1
{x=1
О т в е т. [b] (1;1)[/b]

4.
Подставляем координаты точек в уравнение:
2=k*6+b
-3=k*(-1)+b
Вычитаем из первого второе
5=7k
k=5/7
b=2-6k=2-6*(5/7)=-16/7

[b]y=(5/7)x-(16/7) -[/b] о т в е т.

5.
х+y=24
50x+10y=800

y=24-x
50x+10*(24-x)=800

y=24-x
40x=560

y=24-16=10
x=14

О т в е т. 14 пятидесятирублевых и 10 десятирублевых
Ответ выбран лучшим
а)
(2(1/3))^(-x^2-2x+3)=(2(1/3))^(0)
-x^2-2x+3=0
x^2+2x-3=0
D=4-4*(-3)=16
x_(1,2)=(-2 ± 4)/2
x_(1)=-3; x_(2)=1
О т в е т. [b]-3;1[/b]

б)

5^(3x-2)=5^(3x)*5^(-2)=5^(3x)/25
Выносим за скобки 5^(3x):

5^(3x)*(1+(3/25))=140

5^(3x)*(28/25)=140

5^(3x)=125

5^(3x)=5^3
3x=3
x=1

О т в е т. [b]1[/b]

в)
(1/4)=2^(-2)
4=2^2

(2^(-2)*(2^(2))^(x))^(x)=2^(2x+6)

2^((2x-2)*x)=2^(2x+6)

(2x-2)*x=2x+6

2x^2-2x-2x-6=0
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
х_(1)=(2-4)/2=-1; х_(2)=(2+4)/2=3

О т в е т. [b] -1;3[/b]

г)

5^(x-1)*(5^2+5+1)=155

5^(x-1)*31=155

5^(x-1)=5

x-1=1

x=2

О т в е т. [b]2[/b]
Ответ выбран лучшим
a)
3^(2x)–3^(x)=72
Квадратное уравнение относительно 3^(x)
3^(x)=t
3^(2x)=t^2

t^2-t-72=0
D=1-4*(-72)=289
t_(1,2)=(1 ± 17)/2
t_(1)=9; t_(2)=8

Обратный переход
3^(x)=9 ⇒ 3^(x)=3^2 ⇒ x=2
3^(x)=8 ⇒ x=log_(3)8

О т в е т. log_(3)8; 9

б)
Аналогично,
2^(x)=t
t^2-2t-48=0
D=4-4*(-48)=4*49
t_(1,2)=(2 ±7)/2
t_(1)=-5/2; t_(2)=9/2

Обратный переход
2^(x)= -5/2
уравнение не имеет корней 2^(x)> 0 при любом х
2^(x)=9/2 ⇒ x=log_(2)(9/2)
х=log_(2)9-log_(2)2
x=log_(2)3^2-1
x=2log_(2)3-1

О т в е т. 2log_(2)3-1

в) 5^(x+4)+3*4^(x+3)=4^(x+4)+5^(x+3)⋅4

3*4^(x+3)-4^(x+4)=5^(x+3)⋅4-5^(x+4)

4^(x+3)*(3-4)=5*(x+3)*(4-5)

4^(х+3)=5^(x+3)

(4/5)^(х+3)=1
x+3=0
x=-3
О т в е т. -3

г) 16⋅9^(x)–25⋅12^(x)+9⋅16^(x)=0

Делим на 16^(x) >0

16*(9/16)^(x)-25*(3/4)^(x) +9=0

Квадратное уравнение относительно (3/4)^(x)
(3/4)^(x)=t
(9/16)^(x)=t^2

16t^2-25t+9=0
D=25^2-4*16*9=49
t_(1,2)=(25 ±7)/32
t_(1)=9/16; t_(2)=1

Обратный переход
(9/16)^(x)=9/16 ⇒ x=1
(9/16)^(x)=1 ⇒ x=0

О т в е т. 0; 1
Ответ выбран лучшим
((a–5)(a+5)/(a+3)) * (1/a(a+5))- ((a+5)^2/a(a-3)^2)*(a-3)/(a+5)=

=(a-5)/(a*(a+3)) - (a+5)/(a(a-3))


=((a-5)*(a-3)-(a+5)*(a+3))/(a*(a-3)*(a+3))

=(a^2-8a+15-a^2-8a-15)/(a*(a-3)*(a+3))= [b]-30/(a*(a-3)*(a+3))[/b]


Далее проблема. Непонятно, что такое (4/a–3)^2?
Считаю, что это 16/(a-3)^2
Тогда:

-30/(a*(a-3)*(a+3)) + (4/a–3)^2=(-30*(a-3)+(16*a*(a+3))/(a*(a-3)^2*(a+3))=

=(16a^2+48a-30a+90)/(a*(a-3)^2*(a+3))=(16a^2+12a+90)/(a*(a-3)^2*(a+3))
1)
Замена переменной:
x^2=t
x^4=t^2

2t^2-t-1=0
D=1-4*2*(-1)=9

t_(1)=(1-3)/4=-1/2; t_(2)=(1+3)/4=1

Обратный переход

x^2=-1/2 - уравнение не имеет корней
x^2=1 ⇒ x= ± 1

О т в е т. -1; 1

2.
Из второго уравнения выражаем у и подставляем в первое:
{(1-x)^2+2x=1
{y=1-x

1-2х+x^2+2x=1
x^2=0
x=0
y=1-x=1-0=1

О т в е т. (0;1)

3.
Решаем первое неравенство системы
x^2-6x+8 ≤ 0
D=(-6)^2-4*8=36-32=4
х_(1)=(6-2)/2=2; х_(2)=(6+2)/2=4
2 ≤ х ≤ 4

{2 ≤ х ≤ 4
{x ≥ 8/3

О т в е т. [8/3;4]
(прикреплено изображение)
Область определения (- ∞;+ ∞ )
y`=-3x^2+6x
y`=0
-3x^2+6x=0
-3x*(x-2)=0
x=0 или x=2

Расставляем знак производной:

_-__ (0) _+_ (2) _-_

y`> 0 на (0;2)
Значит функция возрастает на (0;2)

y`< 0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

Значит функция убывает на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

х=0- точка минимума
x=2 - точка максимума

y``=(-3x^2+6x)`=-6x+6

y``=0

-6x+6=0

x=1 - точка перегиба.

y`` > 0 на (- ∞; 1)
Значит кривая выпукла вниз

y`` < 0 на (1;+ ∞ )
Значит кривая выпукла вверх.
(прикреплено изображение)
[b]январь 2020 года [/b]
долг 1,05*1 000 000 руб
С февраля по июнь выплата Х руб.

(1,05*1 000 000 - Х) руб- остаток на конец 2020 года

[b]январь 2021 года[/b]
долг 1,05*(1,05* 1 000 000 -X)руб.
С февраля по июнь выплата Y руб.
1,05*(1,05* 1 000 000 -X) - У=

=(1,05^2* 1 000 000 -1,05X -Y) руб. -остаток на конец 2021 года

[b]январь 2022 года[/b]
долг 1,05*(1,05^2* 1 000 000 -1,05X -Y) руб.
С февраля по июнь выплата Х руб.
1,05*(1,05^2*1 000 000 -1,05*Х - Y)- X=

=(1,05^3* 1 000 000 -1,05^2X -1,05Y - X) руб. -остаток на конец 2022 года

[b]январь 2023 года[/b]
долг 1,05*(1,05^3* 1 000 000 -1,05^2X -1,05Y - X) руб.
С февраля по июнь выплата (Y-50 000) руб.
1,05*(1,05^3* 1 000 000 -1,05^2X -1,05Y - X) - (Y-50 000) =

=(1,05^4* 1 000 000 -1,05^3*X -1,05^2*Y -1,05*X-Y+50 000) руб. -остаток на конец 2023 года


[b]январь 2024 года[/b]
долг 1,05*(1,05^4* 1 000 000 -1,05^3*X -1,05^2*Y -1,05*X-Y+50 000) руб.
С февраля по июнь выплата X руб.
1,05*(1,05^4* 1 000 000 -1,05^3*X -1,05^2*Y -1,05*X-Y+50 000) - X =

=(1,05^5* 1 000 000 -1,05^4*X -1,05^3*Y -1,05^2*X-1,05*Y+
+1,05*50 000- X ) руб. -остаток на конец 2024 года



[b]январь 2025 года[/b]
долг 1,05*(1,05^5* 1 000 000 -1,05^4*X -1,05^3*Y -1,05^2*X-1,05*Y+
+1,05*50 000- X )
С февраля по июнь выплата (Y-100 000) руб.
1,05*(1,05^5* 1 000 000 -1,05^4*X -1,05^3*Y -1,05^2*X-1,05*Y+
+1,05*50 000- X ) - Y+100 000=

=(1,05^6* 1 000 000 -1,05^5*X -1,05^4*Y -1,05^3*X-1,05^2*Y+
+1,05^2*50 000- 1,05X-Y+100 000 ) руб. -остаток на конец 2025 года


[b]январь 2026 года[/b]
долг 1,05*(1,05^6* 1 000 000 -1,05^5*X -1,05^4*Y -1,05^3*X --1,05^2*Y+1,05^2*50 000- 1,05X-Y+100 000 )
С февраля по июнь выплата Х руб.
1,05*(1,05^6* 1 000 000 -1,05^5*X -1,05^4*Y -1,05^3*X --1,05^2*Y+1,05^2*50 000- 1,05X-Y+100 000 ) - Х=

=(1,05^7* 1 000 000 -1,05^6*X -1,05^5*Y -1,05^4*X-1,05^3*Y+
+1,05^3*50 000- 1,05^2X-1,05*Y+1,05*100 000-X ) руб. -остаток на конец 2026 года

[b]январь 2027 года[/b]
долг 1,05*(1,05^7* 1 000 000 -1,05^6*X -1,05^5*Y -1,05^4*X--1,05^3*Y+1,05^3*50 000- 1,05^2X-1,05*Y+1,05*100 000-X )
С февраля по июнь выплата Y-150 000 руб.
,05*(1,05^7* 1 000 000 -1,05^6*X -1,05^5*Y -1,05^4*X--1,05^3*Y+
+1,05^3*50 000- 1,05^2X-1,05*Y+1,05*100 000-X )-Y+150 000

=(1,05^8* 1 000 000 -1,05^7*X -1,05^6*Y -1,05^5*X-1,05^4*Y+
+1,05^4*50 000- 1,05^3X-1,05^2*Y+1,05^2*100 000-1,05*X ) руб. -остаток долга на июль. По условию он равен 0

Уравнение.
1,05^8* 1 000 000 -1,05^7*X -1,05^6*Y -1,05^5*X-1,05^4*Y+
+1,05^4*50 000- 1,05^3X-1,05^2*Y+1,05^2*100 000-1,05*X =0


[b]1,05^8*1 000 000+1,05^4*50 000+1,05^2*100 000=

=(1,05^7+1,05^5+1,05^3+1,05)*X+(1,05^6+1,05^4+1,05^2)*Y

[/b]

Есть условие в котором указано, что Х = 100 000,
тогда У находим из уравнения
И считаем выплаты
Ответ выбран лучшим
168 слов.

A _ _ _ _ _

Слов, у которых буква А на первом месте
2^5=32 ( на каждое из пяти мест любая из букв Б или В, два способа)

_ A _ _ _ _

Слов, у которых буква А на втором месте
тоже 2^5=32

_ _ А _ _ _

Слов, у которых буква А на третьем месте
тоже 2^5 = 32

А А А _ _ _

Слов, у которых буква А занимает первые три места
2^3=8

2^6=64 слова без буквы А.
_ _ _ _ _ _

Всего

32+32+32+8+64=168
Замена переменной:
u=-x^4
du=-4x^3dx
x^3dx=(-1/4)du

∫ e^(-x^4)*x^3dx=(-1/4) ∫ e^(u)du=(-1/4)e^(-x^4)+C

Проверка:
((-1/4)e^(-x^4)+C)`=(-1/4)*e^(-x^4)*(-x^4)`+0=(-1/4)*e^(-x^4)*(-4x^3)+

=x^3*e^(-x^4) - получили подынтегральную функцию.

Решение выполнено верно
Ответ выбран лучшим
(36)^(2x–5)=36^(2x)·36^(–5)=36^(2x)/36^5=(36^2)^(x)/36^(5)

(1/64)^(5–x)=64^(x–5)=64^(x)/64^(5)

Неравенство принимает вид:

(36^2)^(x)/36^(5) < 64^(x)/64^(5)

Делим на 64^(x)/36^(5) > 0

((36^2)/64)^(x) < (36/64)^(5)

(81/4)^(x) < (9/16)^(5)

Логарифмируем по основанию 81/4 > 1

x <log_(81/4) (9/16)^(5)


log_(81/4) (9/16)^(5)= log_((9/2)^2)(3/4)^(10)=

=(10/2)log_(4,5)0,75=5log_(4,5)0,75
О т в е т. (- ∞; 5log_(4,5)0,75)
y`=sqrt(x^2+y^2)/x+(y/x)

y`=sqrt(1+(y/x)^2) + (y/x)

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u` ( x`=1, так как х - независимая переменная)

u+x*u`=sqrt(1+u^2)+u

x*u`=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

xdu/dx=sqrt(1+u^2)

du/sqrt(1+u^2)=dx/x

Интегрируем

∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x|+lnС

ln|(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)|=ln|x|+lnC

ln|(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)|=lnC*|x|

(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=C*|x|

y+sqrt(x^2+y^2)=C*x^2- общее решение.

Так как

y(1)=1

1+sqrt(1^2+1^2)=C*1^2

С=1+sqrt(2)

y+sqrt(x^2+y^2)=(1+sqrt(2))*x^2- частное решение.
y`=12x-6x^2

y`=0

12x-6x^2=0

6x*(2-x)=0

x=0 или x=2

Знак производной:

__-__ (0) __+__(2) __-__

x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y` < 0 на (- ∞ ;0) и на ( 2;+ ∞ )

значит функция убывает на (- ∞ ;0) и на ( 2;+ ∞ )


y`> 0 на (0;2)

значит функция возрастает на (0;2)


y``=(12x-6x^2)`=12-12x

y``=0

12-12x=0

x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак

y`` > 0 на (- ∞ ;1), значит кривая выпукла вниз

y`` < 0 на (1;+ ∞ ), значит кривая выпукла вверх.

Cм. рис. (прикреплено изображение)
ху`+2y=e^(–x^2)


y=3-e^(-x^2)

y`=(3-e^(-x^2))`=(3)` - (e^(-x^2))`=0-e^(-x^2)*(-x^2)`=-e^(-x^2)*(-2x)=

=2x*e^(-x^2)

Подставляем в данное уравнение y` и y:

x*2x*e^(-x^2)+2*(3-e^(-x^2))=e^(-x^2)-
2x^2*e^(-x^2)+6-2*e^(-x^2))=e^(-x^2) - равенство неверно.

Значит не является.

Уточните условие, прикрепите фото.
y`= ∫ y``(x)dx = ∫(2x^2+1+5x)dx=(2x^3/3)+x+(5x^2/2)+C_(1)

y= ∫ ((2x^3/3)+x+(5x^2/2)+C_(1))dx=

=(2/3)*(x^4/4)+(x^2/2)+(5/2)*(x^3/3)+C_(1)x+C_(2)=

=(1/6)*x^4+(1/2)x^2+(5/6)x^3+C_(1)x+C_(2).

О т в е т. [b] y=(1/6)*x^4+(1/2)x^2+(5/6)x^3+C_(1)x+C_(2).[/b]



Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

Пусть дуга равна α градусов.

∠ AOB= α градусов
Вписанный угол AKB, опирающийся на эту же дугу измеряется половиной дуги, поэтому равен ( α /2) градусов
∠ AKB= (α/2) градусов
По условию

α > ( α /2) на 30 °
( опечатка в тексте 300 это 30 градусов)

Уравнение

α - ( α /2)=30 °

α /2= 30 °

α =60 °

О т в е т. Центральный угол АОВ равен 60 ° , вписанный угол AKB, опирающийся на эту же дугу равен 30 ° (прикреплено изображение)
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9k=0
k*(k-9)=0
k_(1)=0; k_(2)=9

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x)
y=C_(1)e^(0*x)+C_(2)e^(9x)

О т в е т. y=C_(1)+C_(2)e^(9x)
Ответ выбран лучшим
Призма правильная, значит в основании квадрат.
Пусть АВ=ВС=CD=AD=x

Четыре диагонали квадрата равны между собой
Равные проекции имеют равные наклонные, поэтому
BD_(1)=B_(1)D=AC_(1)=A_(1)C=2x
A_(1)B_(1)CD - прямоугольник.

Прямоугольные треугольники
Δ A_(1)DC и ΔB_(1)DC равны между собой.

cos ∠ B_(1)DC=DC/B_(1)D=x/2x=1/2
∠ B_(1)DC=60 градусов

cos ∠ A_(1)DC=DC/A_(1)D=x/2x=1/2
∠ A(1)DC=60 градусов

В треугольнике DMC сумма углов равна 180 градусов.
Два угла по 60 градусов, значит и третий угол 60 градусов.
∠ DMC=60 градусов (прикреплено изображение)
Формула
1+ctg^2 α =1/sin^2 α ⇒ ctg^2 α =(1/sin^2 α) -1= 41^2/(16*41)-1=(41/16)-1=25/16

ctg α =5/4, так как угол α в третьей четверти и котангенс имеет знак +

tg α =1/ctg α =4/5
О т в е т. 4/5
y`=(6-4x)`*cosx+(6-4x)*(cosx)`+4*(sinx)`+(12)`;
y`=-4*cosx+(6-4x)*(-sinx)+4*cosx+0

y`=-*(6-4x)*sinx
[b]y`=(4x-6)*sinx[/b]

на (0;π/2) sinx > 0
4x-6 =0
x=3/2

3/2 ∈ (0;π/2) и является точкой минимума, так как производная меняет знак с - на +

О т в е т. 3/2

84 ° -45 ° = 39 °

cм. рис. (прикреплено изображение)
Проведем высоту BE, ∠ BEC=90 °, ВС– диаметр,
∠ BEC опирается на диаметр ВС.
Значит точка Е – точка пересечения полуокружности с диаметром ВС и стороны АС.

Достроим полуокружность до окружности и продолжим высоту AD до пересечения с окружностью,
получим точку F.

По условию AD=605, MD=550
Значит АМ=AD–MD= 605 – 550 = 55

MD = DF = 550
AF = AD+DF=605+550=1155

По свойству секущих
AM·AF=AE·AC

AM·AF=55·1155

Значит и AE·AC=55·1155

Δ AНЕ и Δ ADC подобны как прямоугольные треугольники, имеющие общий острый угол ∠ DAC.

Из подобия

AH:AC=AE:AD ⇒ AH = AE· AC/AD= 55*1155/605 =105

О т в е т. АН=105 (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
y`= ∫ arctgxdx=[по частям: u=arctgx; dv=dx ⇒ u=dx/(1+x^2); v=x]=

=x*arctgx - ∫ xdx/(1+x^2)=

=x*arctgx -(1/2) ln(1+x^2)+C_(1)

y= ∫(x*arctgx -(1/2) ln(1+x^2)+C_(1))=

= [b] ∫ x*arctgxdx - (1/2) ∫ ln(1+x^2)dx+ C_(1) ∫ dx[/b]

Считаем каждый интеграл отдельно:

∫ x*arctgxdx [по частям: u=arctgx; dv=xdx ⇒ u=dx/(1+x^2); v=x^2/2]=

=(1/2)x^2arctgx-(1/2) ∫x^2dx/(1+x^2)=

=(1/2)x^2arctgx-(1/2) ∫(x^2+1-1)dx/(1+x^2)=

=(1/2)x^2arctgx-(1/2) ∫dx +(1/2)∫dx/(1+x^2)=

= (1/2)x^2arctgx-(1/2)*x +(1/2)arctgx


∫ ln(1+x^2)dx= [по частям: u=ln(1+x^2); dv=dx ⇒du=2xdx/(1+x^2); v=x]

=x*ln(1+x^2)- ∫ x*(2dx)/(1+x^2)=

=x*ln(1+x^2) -2 ∫x^2dx/(1+x^2)=

=x*ln(1+x^2)-2 ∫(x^2+1-1)dx/(1+x^2)=

=x*ln(1+x^2)-2 ∫ dx+2 ∫ dx/(1+x^2)

=x*ln(1+x^2)-2x+2arctgx


Итак

∫ x*arctgxdx - (1/2) ∫ ln(1+x^2)dx+ C=

=(1/2)x^2arctgx-(1/2)*x +(1/2)arctgx-(1/2)x*ln(1+x^2)+x-arctgx +C_(1)x+C_(2)

y=(1/2)x^2arctgx+(1/2)*x -(1/2)arctgx-(1/2)x*ln(1+x^2)+C_(1)x+C_(2)- общее решение

y`=x*arctgx -(1/2) ln(1+x^2)+C_(1)

Из условий:
y(0)=0
y`(0)=0

0=С_(2)
0=С_(1)

y=(1/2)x^2arctgx+(1/2)*x -(1/2)arctgx-(1/2)x*ln(1+x^2) - частное решение
Ответ выбран лучшим
a_(n)=0,5+(0,1)^(n)

Ряд расходится так как общий член ряда не стремится к 0

lim_(n → ∞)a_(n)=0,5
Ответ выбран лучшим
Замена переменной
2^(x^2)=u
u>0 при любом х
2^(-x)=v
v>0 при любом х

Умножаем и числитель и знаменатель на u >0
(3*u^2+uv)/(4u-v) ≤ 2v

(3*u^2+uv)/(4u-v) - 2v ≤ 0


(3*u^2+uv-8uv+2v^2)/(4u-v) ≤ 0

(3*u^2-7uv+2v^2)/(4u-v) ≤ 0

D=(7v)^2-4*3*2v^2=25v^2
(7v±5v)/6 получим (1/3)v и 2v

(3u-v)*(u-2v)/(4u-v) ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов.

3u-v=0 ⇒ u/v=1/3
u-2v=0 ⇒ u/v=2
4u-v=0 ⇒ u/v=1/4

__-__ (1/4) _+_ [1/3] ___-____ [2] __+__

u/v < 1/4 или 1/3 ≤ u/v ≤ 2
Обратный переход

2^(x^2)/2^(-x) < 1/4 или (1/3) ≤ 2^(x^2)/2^(-x) ≤ 2

2^(x^2+x) < 2^(-2) или 2^(log_(2) (1/3)) ≤ 2^(x^2+x) ≤ 2

Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастающая, поэтому

x^2+x < -2 или log_(2)(1/3) ≤ x^2+x ≤ 1

x^2+x+2<0 D=1-4*2<0 неравенство не имеет решений.

log_(2)(1/3) ≤ x^2+x ≤ 1 ⇒

{x^2+x-1 ≤ 0⇒ D=5 ;x ∈ [(-1-sqrt(5))/2; (-1+sqrt(5))/2]
{x^2+x ≥ log_(2)(1/3) - верно при любом х см. рис.

О т в е т. [(-1-sqrt(5))/2; (-1+sqrt(5))/2] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
x^2–6x+8=0
D=26-4*8=4
x_(1)=(6-2)/2=2; x_(2)=(6+2)/2=4

2 ≤ х ≤4

{2 ≤ х ≤4
{x≥8/3=2 целых 2/3

О т в е т. [2 целых 2/3;4]
(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
2c=11-(-5)
c=8

Гипербола симметрична относительно прямой x=3

cм. рис.

2a=12
a=6
от х=3 влево и вправо откладываем 6

Вершины гиперболы (-3;0) и (9;0)


b^2=c^2-a^2=8^2-6^2=64-36=28

О т в е т. ((x-3)^2/36)-(y^2/28)=1 (прикреплено изображение)
m=200 г=0,2 кг

ρ =1000 кг/м^3

ρ =m/V ⇒ V=m/ ρ =0,2/1000=0,0002 м^3
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
sin^6x+coss^6x=(sin^2)^3+(cos^2)^3=

=(sin^2x+cos^2x)*(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)=

=1*(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)

О т в е т. (sin^2x+cos^2x)^2=1

(прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x+5>0 ⇒ x > -5 (прикреплено изображение)
Применяем формулу ( признак Коши) см. рисунок.

lim_(n → ∞) (a_(n))^(1/n)=

lim_(n → ∞ )(2n-1)/(n*2^((n-1)/n))=

=lim_(n → ∞ )(2n-1)/(n) * lim_(n → ∞ )(1/2^((n-1)/n))=

=2/ 2^(lim_(n → ∞ )(n-1)/n)=2/2=1

R=1

Значит

-1 < x+1 < 1

-2 < x < 0

(-2; 0) - интервал сходимости


Исследуем при

x=0


∑ (2n-1)^(n)/(2^(n-1)*n^n)

Признак Даламбера и Коши ответа не дают, так как получим 1

Признак сравнения:

??? (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Рассмотрим ряд из модулей
∑ π/4^(n) - сходится ( беск. уб геом прогрессия)

или по признаку Даламбера


Данный ряд сходится абсолютно
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
[b]ОДЗ:[/b]
{-1-x>0 ⇒x < -1
{-1 - x ≠ 1 ⇒ x ≠ -2
{(-4-x)/(x+1)>0 ⇒ так как в первом неравенстве х < - 1, т.е. 1+х < 0, то -4-х <0
х > -4

[b](-4; -2) U(-2;-1)[/b]



log_(-1-x)(-4-x)/(x+1) + 1 ≤ 0

1=log_(a)a, a>0; a ≠ 1

log_(-1-x)(-4-x)/(x+1) + log_(-1-x)(-1-x) ≤ 0

log_(-1-x) (-4-x)*(-1-x) /(x+1)≤ 0

log_(-1-x) (4+x)*(1+x) /(x+1)≤ 0

log_(-1-x) (4+x)≤ 0

Если

-1-x > 1, т.е х < -2, то логарифмическая функция возрастает большему значению функции соответствует большее значение аргумента
4+х ≤ 1 ⇒ х ≤ -3

C учетом ОДЗ [b] (-4;-3][/b]

Если

0<-1-x < 1, т.е -2 < х -1 , то логарифмическая функция убывает большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
4+х ≥ 1 ⇒ х ≥ -3
Решение в этом случае (-2;-1)


Объединяем ответы:

[b](-4;-3] U (-2;-1)[/b]- о т в е т.
Ответ выбран лучшим
D=(2(a-1))^2-4*a*(a-4)=8a+4
Если D>0 уравнение имеет два корня.

8a+4 > 0

a> -1/2


По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-2(a-1)
x_(1)*x_(2)=a-4

Найдем разность

x_(2)-x_(1)


Возведем первое уравнение в квадрат

x^2_(1)+2x_(1)x_(2)+x^2_(2)=-2a+2

Вычтем 4x_(1)x_(2)

x^2_(1)-2x_(1)x_(2)+x^2_(2)=-2a+2-4x_(1)x_(2)

(х_(2)-х_(1))^2= - 2a+2 -4*(a-4)

(х_(2)-х_(1))^2= 18-6a

x_(2)-x_(1)=sqrt(18-6a)

По условию

x_(2)-x_(1)>3

Значит

sqrt(18-6a) > 3

18-6a > 9

6a < 9

a < 3/2


О т в е т. (-1/2; 3/2)
f`_(x)=(x^2-xy+y^2)`_(x)=2x-y
f`_(y)=(x^2-xy+y^2)`_(y)=-x+2y

x_(o)=2
y_(o)=1


Δx=2,15-2=0,15
Δy=1,25-1=0,25


f`_(x)(x_(o);y_(o))=2*2-1=3
f`_(y)(x_(o);y_(o))=-2+2*1=0


Δz= 3*0,15+0*0,25= [b]0,45[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Раскладываем дробь на простейшие:

(x+1)/(x*(x^2+2x+2))= (A/x)+(Mx+N)/(x^2+2x+2)

x+1= A*(x^2+2x+2)+(Mx+N)*x

0=A+M
1=2A+N
1=2A

A=1/2
M=-1/2
N=0


= (1/2)∫ dx/(x+1) - (1/2) ∫ xdx/(x^2+2x+2)=

=(1/2)ln|x+1| - (1/4) ∫( 2x+2-2)dx/(x^2+2x+2)=

=(1/2)ln|x+1| - (1/4)ln|x^2+2x+2| +(1/2) ∫ dx/((x+1)^2+1)=

= [b](1/2)ln|x+1| - (1/4)ln|x^2+2x+2| +(1/2) arctgx + C[/b]
u=2x+1
dv=e^(-x)dx

du=2dx
v=-e^(-x)

=-(2x+1)*e^(-x) - ∫ (-e^(-x))2dx=

=-(2x+1)*e^(-x) - 2 ∫ (e^(-x))d(-x)=

= [b]- (2x+1)*e^(-x) - 2*(-e^(-x))+C[/b]
u=1+lnx
du=(1+lnx)`dx=dx/x

∫ sqrt(u)du= ∫ u^(1/2)du=u^(3/2)/(3/2)+C=(2/3)sqrt(u^3)+C=

= [b](2/3)sqrt((1+lnx)^3)+C[/b]
Замена
x=t^6
dx=6t^5dt
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

= ∫ 6t^5dt/(t^3+t^2)=6* ∫ t^3dt/(t+1)=6* ∫ (t^3-1+1)dt/(t+1)=

=6* ∫ (t^3-1)dt/(t+1)+ 6* ∫ dt/(t+1)=

=6* ∫(t^2+t+1)dt + 6* ∫ dt/(t+1)=

=6*(t^3/3)+6*(t^2/2)+6t + 6ln|t+1|+C=

[b]=2t^3+3t^2+6t+6ln|t+1)+C, t=x^(1/6)[/b]


О т в е т. 2sqrt(x)+3∛x+6x^(1/6)+6ln|x^(1/6)+1|+C
(1/9)^((2x+2)/(x+4))·18^(2x)·3x^(–2)≤ (27^((x+1)/(x+4)) · 12^(x))/(9x^2)

(1/9)^((2x+2)/(x+4))=(3^(-2))^((2x+2)/(x+4))=3^((-4x-4)/(x+4))

18^(2x)=(2*9)^(2x)=(2*3^(2))^(2x)=2^(2x)*3^(4x)=4^(x)*3^(4x)

3x^(–2)=3/x^2
27^((x+1)/(x+4))=(3^3)^((x+1)/(x+4))=3^((3x+3)/(x+4))
12^(x) =(3*4)^(x)=3^(x)*4^(x)
1/(9x^2)=3^(-2)/x^2

Неравенство принимает вид:

3^((-4x-4)/(x+4)) * 4^(x)*3^(4x)* (3/x^2) ≤3^((3x+3)/(x+4))* 3^(x)*4^(x)*3^(-2)/x^2

4^(x) > 0 при любом x
можно сократить обе части неравенства на
4^(x)/x^2
при x ≠ 0


Осталось собрать степени 3


3^((-4x-4)/(x+4) + 4x +1)≤ 3^((3x+3)/(x+4)+x-2)
х ≠ 0

Показательная функция с основанием 3 возрастает, поэтому

(-4x-4)/(x+4) + 4x +1≤(3x+3)/(x+4)+x-2

-4*(x+1)/(x+4) -3(x+1)/(x+4)+3x+3 ≤ 0

(x+1)*(3 - (7/(x+4))) ≤ 0

(x+1)*(3x+5)/(x+4)≤ 0

___–___ (–4) __+__ [- 5/3] ___–_____ [-1] __+__ (0) ___+___

О т в е т ( – ∞ ;–4) U [–5/3;-1)
Ответ выбран лучшим
Задача на применение формулы Байеса (Бейеса)

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(i) - утюг изготовлен на i- ом заводе
i=1;2

p(H_(1))=80/100=0,8
p(H_(2))=20/100=0,2

Событие А - "случайно выбранный утюг выдержал гарантийный срок"
р(A/H_(1))=0,8
р(A/H_(2))=0,95

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=0,8*0,8+0,2*0,95=0,83


По формуле Байеса

р(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)

р(H_(1)/A)=0,64/0,83=64/83 ≈0,77


[b]р(H_(1)/A)≈0,77 < p(H_(1))=0,8[/b]


По формуле Байеса

р(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)

р(H_(2)/A)=0,19/0,83=19/83 ≈ 0,22


[b]р(H_(2)/A) ≈ 0,22 > p(H_(2))=0,2[/b]
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=2x
z`_(y)=2y


{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x=0
{2y=0

x=0; y=0 - стационарная точка, принадлежит области

z``_(xx)=2
z``_(yy)=2
z`_(xy)=0

A=z``_(xx)(0;0)=2
B=z``_(yy)(0;0)=2
C=z``_(xy)(0;0)=0

Δ=AB-C^2=2*2-0=4 >0

(0;0) - является точкой минимума, так как Δ > 0; A=2 > 0

На границе.

В силу симметрии области и поверхности,

исследуем на границе 3x+4y=12

y=(12-3x)/4

Подставляем в данное выражение поверхности

z=x^2+((12-3x)/4)^2 - получаем функцию одной переменной.

Исследуем на экстремум на [0;4]

z=(25/16)x^2-(9/2)x+9

z`=(25/8)x-(9/2)

z`=0

(25/8)x-(9/2)=0

x=36/25

36/25 ∈ [0;4]

и является точкой минимума, производная меняет знак с - на +

z(36/25) > 0

значит

z(0;0)=0 - [b]наименьшее значение[/b]

Находим значения на концах

при х=0; y=3

z=9

при х=4; y=0

z=16- [b]наибольшее[/b]

Аналогично при х=-4; y=0
z=16 - [b]наибольшее[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
б), в) Ряды расходятся, так как общий член ряда не стремится к нулю

б) а_(n)=n/2
lim_(n → ∞ )a_(n)= ∞

в)
а_(n)=n/(2n+1)
lim_(n → ∞ )a_(n)= 1/2

г) a_(n)=((1+n)/(1+n^2)) ^2 ~ b_(n)=1/n^2

lim_(n → ∞ )a_(n)/b_(n)=1

Ряд ∑ b_(n) - cходится.

По признаку сравнения в предельной форме данный ряд тоже сходится
Ответ выбран лучшим
На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной 6 см наудачу брошена монета радиуса 2 см. Найдите вероятность того, что монета упадет внутрь квадрата.

О т в е т. p=(6-2*2)^2/6^2=4/36= [b]1/9[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Повторные испытания с двумя исходами. Схема Бернулли.
p=0,3
q=1-p=1-0,3=0,7
n=6

np=6*0,3=1,8

a)
Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p



1,8-0,7 ≤ k_(o) ≤ 1,8+0,3
1,1 ≤ k_(o) ≤ 2,1

[b]k_(o)=2[/b]

б)Применяем Формулу Бернулли

P_(6)(2)=С^(2)_(6)p^2*q^4=15*0,3^2*0,7^3= считаем самостоятельно...

в)
хотя бы 5 из шести - значит 5 или 6

P_(6)(5)+P_(6)^=С^(5)_(6)p^5*q^1+С^(6)_(6)p^6*q^0=

=6*0,3^5*0,7^1+1*0,3^6*0,7^0= считаем самостоятельно...

Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
= ∫ ^(1)_(0)(xy^2/2)|^(y=sqrt(x))_(y=x^2)dx=

= ∫ ^(1)_(0)((x*(sqrt(x))^2/2)- x*(x^2)^2/2) dx=

= ∫ ^(1)_(0)((x^2/2) - (x^5/2))dx=

=((x^3/6)-(x^6/12))|^(1)_(0)=(1/6)-(1/12)= [b]1/12[/b]
ρ =m/V=50/2=25 (кг/м^3) (прикреплено изображение)
а)
Характеристическое
k^2+6k=0
k_(1)=0; k_(2)=-6

y_(частное)=(ax^2+bx+c)*x

y`_(частное)=(ax^3+bx^2+cx)`=3ax^2+2bx+c

y``_(частное)=6ax+2b

6ax+2b+12*(3ax^2+2bx+c)=6x^2+2x+1

{36а=6 ⇒ a=1/6
{6a+24b=2 ⇒ 24b=1 ⇒ b=1/24
{2b+12c=1 ⇒ 12c=11/12⇒ c=11/144


y_(частное)= [b](x^3/6)+(x^2/24)+(11/144)x
[/b]

б)

Характеристическое
7k^3-k^2=0
k_(1,2)=0; k_(3)=1/7

y_(частное)=(ax+b)*x^2

y`_(частное)=(ax^3+bx^2)`=3ax^2+2bx

y``_(частное)=6ax+2b

y```_(частное)=6а


7*6а-(6ax+2b)=12x

-6a=12 ⇒ a = - 2

42a-2b=0 ⇒ b = - 42

y_(частное)= [b]-2x^3 - 42[/b]
Ответ выбран лучшим
a)
y_(общ одн.)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(0x)+C_(3)cos7x+C_(4)sin7x-общее решение

y_(частн. неодн)=Axcos7x+Bxsin7x

б)

f(x)=f_(1)(x)+f_(2)x

f_(1)=e^(-2x)*(3x+5)

y_(част. неодн.1)=(Ax+b)*e^(-2x)

f_(2)(x)=e^(x)

y_(част. неодн.2)=De^(x)
Ответ выбран лучшим
3.

d(arctg2x)=2dx/(1+(2x)^2) ⇒ dx/(1+4x^2)=(1/2)d(arctg2x)

=(1/2) ∫^(1/2)_(0) arctg(2x)d(arctg2x)=

=(1/2)*(arctg2x)^2/2=((arctg2x)/4)|^(1/2)_(0)=(1/4)*arctg1-(1/4)*arctg0=

=(1/4)*(π/4)=π/16


4.

d(x^2-5)=2xdx ⇒ xdx=(1/2)d(x^2-5)

=(1/2) ∫ ^(5)_(2) e^(x^2-5)d(x^2-5)=(1/2)e^(x^2-5)|^(5)_(2)=

= [b](1/2)e^(20)-(1/2)e^(-1)[/b]

Ответ выбран лучшим
1.
∫ ^(1/4)_(0)dx/sqrt(1-(3x)^2)=

d(3x)=3dx ⇒ dx=(1/3)d(3x)

=(1/3) ∫ ^(1/4)_(0)d(3x)/sqrt(1-(3x)^2)=

=(1/3)arcsin(3x)|^(1/4)_(0)=

=(1/3)arcsin(3/4)-(1/3)arcsin0=

=(1/3)arcsin(3/4)-(1/3)*0=

= [b](1/3)arcsin(3/4)[/b]

2.

∫ ^(6)_(2)sqrt(x-2)dx= ∫ ^(6)_(2)(x-2)^(1/2)d(x-2)=

=(x-2)^(3/2)/(3/2)|^(6)_(2)=

=(2/3)(x-2)^(3/2)|^(6)_(2)=

=(2/3)(6-2)^(3/2)-(2/3)*(2-2)^(3/2)=

=(2/3)*4^(3/2)=(2/3)*sqrt(4^3)=(2/3)*sqrt(64)=(2/3)*8= [b]16/3[/b]
Ответ выбран лучшим
а)
Составляем характеристическое уравнение
9k^2+6k+1=0
k_(1,2)=-1/3- корни действительные кратные

[b]y=C_(1)*e^((-1/3)x)+C_(2)*x*e^((-1/3)x)[/b]

б)
Составляем характеристическое уравнение
k^2+1=0
k_(1)=-i; k_(2)=i - корни комплексные

α =0; β =1

y=e^(0x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)

так как e^(0x)=1

[b]y=C_(1)cosx+C_(2)sinx[/b]
Ответ выбран лучшим
Находим абсциссы точек пересечения
y=x^3 и y=2x

x^3=2x

x*(x^2-2)=0

x=0 или х=± sqrt(2)

S= 2S_(1)=2* ∫ ^(sqrt(2))_(0)(2x-x^3)dx=

=2*(x^2-(x^4/4))|^(sqrt(2))_(0)=2*((sqrt(2))^2-(sqrt(2))^4/4)=

=2*(2-(4/4))=2*(2-1)= [b]2[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
u=x^2;
du=2xdx
dv=cosxdx
v=sinx

=(x^2*sinx)|^(2π)_(π) - ∫ ^(2π)_(π)sinx*(2x)dx=

=(x^2*sinx)|^(2π)_(π) - 2 ∫ ^(2π)_(π)x*sinxdx=

u=x
du=dx
dv=sinxdx
v=-cosx

=(x^2*sinx)|^(2π)_(π) - 2*(x*(-cosx)|^(2π)_(π)- ∫ ^(2π)_(π)(-cosx)dx)=

=(2π)^2*sin2π-π^2sinπ+2*2πcos2π-2*πcosπ+sinx|^(2π)_(π)=

=4π^2*0-π^2*0+4π-2π*(-1)+sin2π-sinπ=6π
Ответ выбран лучшим
Применяем радикальный признак Коши

lim_(n → ∞ ) (((2n)/(5+3n))^(4n))^(1/n)=

=lim_(n → ∞ )((2n)/(5+3n))^4=

=(2/3)^4 < 1

сходится
Ответ выбран лучшим
V_(Ox)=π ∫ ^(3)_(-1)((2x+3)^2-(x^2)^2)dx=

=π ∫ ^(3)_(-1)(4x^2+12x+9-x^4)dx=

=π*((4x^3/3)+(12x^2/2)+9x-(x^5/5))|^(3)_(-1)=

=π*((4/3)*27+6*9+9*3-(243/5)+(4/3)-6+9-(1/5))=...

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Применяем интегральный признак сходимости
∫ ^(+ ∞)_(1)dx/(sqrt(x)sin(sqrt(x)))= 2∫ ^(+ ∞)_(1)dsqrt(x)/sin(sqrt(x))=

=2ln|tg(sqrt(x)/2)|^(+ ∞)_(1) -

lim tg(sqrt(x)/2) на+ ∞ не существует

Интеграл расходится, значит и ряд расходится.
Ответ выбран лучшим
= ∫ ^(e)_(1)(lnx)^(-1/5)d(lnx)=

=(lnx)^((-1/5)+1)/((-1/5)+1)=(5/4)(lnx)^(4/5)|^(e)_(1)=

=(5/4)*(lne)^(4/5)-(5/4)ln1=(5/4)

Сходится.
Ответ выбран лучшим
Геометрическая вероятность:
p=площадь круга/площадь треугольника

S( Δ ABC)=a^2sqrt(3)/4= [ по условию а=10 ]= 100sqrt(3)/4= [b]25sqrt(3)[/b]

r=asqrt(3)/6=10sqrt(3)/6

S_(круга)=πr^2=π100/12

p=(100π/12)/25sqrt(3)=100π/300sqrt(3) [b]=π/(3*sqrt(3))[/b]
в)
По признаку Даламбера

a_(n)=(2n-1)!/n!

a_(n+1)=(2*(n+1)-1)!/(n+1)!=(2n+1)!/(n+1)!

lim_(n → ∞ )a_(n+1)/a_(n)=lim_(n → ∞ )((2n+1)!/(n+1)!)*(n!/(2n-1)!)=

=lim_(n → ∞ )(2n)*(2n+1)/(n+1)= ∞ >1

Ряд расходится
Ответ выбран лучшим
Геометрическая вероятность:
p=длина MN/длина АВ

AM:MB=12:13⇒ AM=(12/13)MB
AM+MB=50 ⇒ (12/13)MB+MB=50 ⇒ (25/13)MB=50;
MB=26

BN:NM=1:6
NM:BN=6:1

NM=6BN

MN+NB=MB

6BN+NB=26
7NB=26

NB=26/7

NM=6*(26/7)=156/7

p=(156/7)/50=156/350= [b]78/175[/b]
Испытание состоит в том, что на 9 мест распределяют 9 цифр

n=9!

Цифры записаны в порядке убывания в одном случае

m=1

p=m/n=1/9!

Цифры 2 и 3 свяжем в пару.

( вместо этого можно рассуждать и так: пара 2;3 может занять только 8 мест:
первое и второе;
второе и третье
...

восьмое и девятое

Всего 8 мест.)



получим 8! перестановок, умножим на результат перестановок 2 и 3 в паре

m=2*8!

p=2*8!/9!= [b]2/9[/b]
Ответ выбран лучшим
Пусть Марина выполнит работу за х дней, Аркадий за у дней.

Значит, производительность труда Марины (1/х) часть работы в день,производительность труда Аркадия (1/у) часть работы в день.

За четыре дня, работая вместе, Марина и Аркадий выполнят всю работу.
Первое уравнение:
4*((1/x)+(1/y))=1 или [b] (1/х)+(1/у)=1/4[/b]

Если Марина наберет 1 / 6 книги, а потом ее заменит Аркадий, то книга будет набрана за 7 дней
Второе уравнение:

(1/6)/(1/x) +(5/6)/(1/y)=7
или

[b](x/6)+(5y/6)=7[/b]

Cистема уравнений:
{(1/х)+(1/у)=1/4
{(x/6)+(5y/6)=7 ⇒ x+5y=42 ⇒ x=42-5y подставляем в первое

1/(42-5y) +(1/y)=1/4

(y+42-5y)/(y*(42-5y)=1/4

Пропорция.

4*(42-4y)=42y-5y^2

5y^2-58y+168=0

D=58^2-4*5*168=3364-3360=4

y=(58+2)/10=6 дней или y=(58-2)/10=5,6 дней

x=42-5*6=12 дней или х=42-5*5,6=14 дней

О т в е т. Марина за 12, Аркадий за 6
или
Марина за 14, Аркадий за 5,6 дней.

Если количество дней целое, то
о т в е т. 12 и 6
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
L= ∫ ^(e)_(1)sqrt(1+(1/x)^2)dx= ∫ ^(e)_(1)sqrt(x^2+1))dx/x=

=тригонометрические подстановки:

x=tgt
x^2+1=tg^2t+1=1/cos^2t
dx=1/cos^2t

∫ sqrt(x^2+1))dx/x= ∫ dt/(tgt*cos^3t)= ∫ dt/(sint*cos^2t)= ∫ (tg^2t+1)dt/sint=

= ∫ sintdt/cos^2t + ∫ dt/sint=

=- ∫ cos^(-2)td(cost)+∫ dt/sint=

[b]=(1/cost)+ln|tg(t/2)|+C[/b]


cos^2t=1/(1+tg^2t)=1/(1+x^2)

sin^2t=1-cos^2t=1-(1/(1+x^2))=x^2/(1+x^2)


tg(t/2)=sin(t/2)/cos(t/2)=sint/(1+cost)=x/(1+sqrt(1+x^2))

поэтому:

[b]=(1/cost)+ln|tg(t/2)|+C[/b]=sqrt(1+x^2)+ln|x/(1+sqrt(1+x^2))|+C

По формуле Ньютона-Лейбница

∫ ^(e)_(1)sqrt(x^2+1))dx/x= sqrt(1+x^2)+ln|x/(1+sqrt(1+x^2))|^(e)_(1)=

= [b]sqrt(1+e^2)-sqrt(2)+ln|e/(1+sqrt(1+e^2))|-ln(1/(1+sqrt(2))|[/b]-

можно упростить, заменив логарифм дроби разностью логарифмов

О т в е т
[b]sqrt(1+e^2)-sqrt(2)+1-ln|1+sqrt(1+e^2)|-0+ln(1+sqrt(2)|[/b] (прикреплено изображение)
Сложение одинаковых матриц В и А [b]возможно[/b]

Транспонирование любой матрицы [b] возможно[/b]


А^(T)- матрица размером (4×5)

При умножении матриц
количество столбцов первой должно равняться количеству строк второй

BA^(T)- [b]возможно[/b]

СВ - [b] возможно[/b] ( 5 столбцов матрицы С и 5 строк матрицы В)

О т в е т. АВСЕ
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: [b]cosx ≥ 0[/b]

Возводим в квадрат

4 cos2x-2sin2x=4cos^2x

2сos^2x=1+cos2x

тогда уравнение принимает вид:

4 cos2x-2sin2x=2*(1+cos2x)

2cos2x-2sin2x=2


cos2x-sin2x=1

cos2x=sin((π/2)-2x)

sin((π/2)-2x)- sin2x=1

Формула sin α - sin β=....

2sin((π/4)-2x)*cos(π/4)=1

sin((π/4)-2x)=1/sqrt(2)

sin(2x-(π/4))=-1/sqrt(2)

2x-(π/4)=(-1)^(k)*(-π/4) +πk, k ∈ Z

2x=(π/4)+(-1)^(k)*(-π/4) +πk, k ∈ Z

x= [b](π/8)+(-1)^(k)*(-π/8) +(π/2)*k, k ∈ Z[/b]- о т в е т.


Но лучше решение уравнения sin(2x-(π/4))=-1/sqrt(2)
записать в виде серии двух ответов ( см. рис.):

2x-(π/4)= [b](-π/4) +2πn, n ∈ Z[/b] или 2х-(π/4)= [b](-3π/4) +2πm, m ∈ Z
[/b]
2x=2πn, n ∈ Z или 2х-(π/4)=(-3π/4) +2πm, m ∈ Z

x=πn, n ∈ Z или 2x=(-π/2)+2πm, m ∈ Z ⇒ x=(-π/4)+πm, m ∈ Z

С учетом ОДЗ: cosx≥ 0

О т в е т. 2*πn, n ∈ Z ; (-π/4)+2πm, m ∈ Z
(прикреплено изображение)
V_(Ox)=π* ∫^(1) _(-1)(x^2-(x^3)^2)dx=2*π ∫^(1) _(0)(x^2-(x^3)^2)dx=

=2*π ∫^(1) _(0)(x^2-x^6)dx= 2*π *((x^3/3)-(x^7/7))|^(1)_(0)=

=2*π*((1/3)-(1/7))= [b]8*π/21[/b] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
x>0;
x ≠ 1

x=3/10 - корень уравнения, так как

При х=3/10
слева получаем
8/(10*(3/10))=8/3

При x=3/10 справа получаем

(10/3)^(log_(3/10)(3/8))= (10/3)^(log_((10/3)^(-1))3/8)=

=(10/3)^(-log_(10/3)(3/8))=(10/3)^(log_(10/3)(3/8)^(-1))=

основное логарифмическое тождество

=(3/8)^(-1)=8/3


8/3=8/3

Функция y=8/(10x), график гипербола
на х>0 монотонно убывает

Функция y=(10/3)^(t) , t=log_(x)(3/8)
- показательная функция с основанием (10/3)>1 монотонно возрастает

Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функция пересекаются только в одной точке!

О т в е т. х=3/10
1.
ОДЗ:
x>0

так как
log_(1/3)x=log_(3^(-1))x=-log_(3)x
то
2*(-log_(3)x)^2-5log_(3)x=7

2t^2-5t-7=0; t=log_(3)x

D=25-4*2*(-7)=25+56=81

t_(1)=(5-9)/4=-1/2; t_(2)=(5+9)/4=7/2

Обратный переход

log_(3)x=-1/2 ⇒ x=3^(-1/2);
[b]x=1/sqrt(3)
[/b]
log_(3)x=7/2 ⇒ x=3^(7/2)
[b]x=27sqrt(3)[/b]

2.
ОДЗ:
x>0

так как
lgx^2=2lgx

lg^2x^2=(lgx^2)^2=(2lgx)^2=4lg^2x,
то

4lg^2x+3lgx>1
4lg^2x+3lgx-1>0

D=9-4*4*(-1)=25 корни (-1) и (1/4)

lgx < -1 или lgx > 1/4
0 < x < 0,1 или x > 10^(1/4)

О т в е т. (0;1) U (10^(1/4);+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
О т в е т не соответствует условию

Первый множитель в знаменателе должен быть в квадрате.

Очень [b]непочетное это дело [/b]решать задачи с опечатками.....

(7x-2)/((x-1) [b]^2[/b](x^2+4))=A/(x-1)+B/(x-1)^2+ (Mx+N)/(x^2+4)

7х-2=А*(x^2+4)(x-1)+B*(x^2+4) +(Mx+N)*(x-1)^2

7x-2=Ax^3-Ax^2+4Ax-4A+Bx^2+4B+Mx^3-2Mx^2+Mx+Nx^2-2Nx+N


A+M=0
B-A-2M+N=0
4A+M-2N=7
-4A+4B+N=-2


A=-M
B-M+N=0 ⇒ M=B+N
-3M-2N=7 ⇒ -3*(B+N)-2N=7 ⇒ -3B-5N=7
4M+4B+N=-2 ⇒ 4*(B+N)+4B+N=-2 ⇒ 8B+5N=-2

Cкладываем

5B=5

B=1
N=-2
M=-1
A=1





= ∫ dx/(x-1)+ ∫dx/(x-1)^2+ ∫(-x-2)dx/(x^2+4)=

=∫ dx/(x-1)+ ∫dx/(x-1)^2 -∫ (xdx/(x^2+4) -2 ∫dx/(x^2+4)=

=ln|x-1|- (1/(x-1) - (1/2) ∫ d(x^2+4)/(x^2+4) -2*(1/2)* arctg(x/2)=

=ln|x-1|-- (1/(x-1)- (1/2)(ln(x^2+4) - arctg(x/2)+C


Замена переменной

x=t^6
dx=6t^5dt

sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

тогда данный интеграл сводится к интегралу от дроби

∫ (t^3-t^2)*6t^5dt/(t^2-t-1)

Дробь неправильная.

=6 ∫ t^8-t^7)dt/(t^2-t-1)=

=6 ∫ (t^6+t^4+t^3+2t^2+3t+5 + [b](8t+5/(t^2-t-1)[/b])dt=

=6 ∫ (t^6+t^4+t^3+2t^2+3t+5 + [b](8t-4+9/(t^2-t-1)[/b])dt=

=(6t^7/7)+(6t^5/5)+(6t^4/4)+(12t^3/3)+(18t^2/2)+30t+24ln|t^2-t-1|+

54/(2*sqrt(5/4)) ln|(t-1/2-sqrt(5)/2)/(t-1/2+sqrt(5)/2)|+C=

=(6t^7/7)+(6t^5/5)+(6t^4/4)+(12t^3/3)+(18t^2/2)+30t+24ln|t^2-t-1|+

+54/(sqrt(5)) ln|(2t-1-sqrt(5))/(2t-1+sqrt(5))|+C


Как считаем

∫ [b](8t+5)dt/(t^2-t-1)[/b]=

∫ (8t-4+9)dt/(t^2-t-1)=

=4* ∫ (2t-1)dt/(t^2-t-1) + 9* ∫dt/(t^2-t-1)=

первый интеграл табличный. По формуле ∫ du/u

во втором выделяем полный квадрат в знаменателе=

= 4* ln|t^2-t-1| +9 ∫ dt/(t-(1/2))^2-(5/4))=замена t-(1/2)=u

=4* ln|t^2-t-1|+9 ∫ du/(u^2-(5/4))=

=4ln|t^2-t-1|+9*(1/2sqrt(5/4))ln|(u-sqrt(5/4))/(u+sqrt(5/4))|


Это все надо умножить еще на 6.

Получим тот ответ, который и написан в скобках в приложении к вопросу

Ответ выбран лучшим
В знаменателе не должно быть корня шестой степени из разности
Там опечатка
см. приложение

Замена переменной

x=t^6
dx=6t^5dt

sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

тогда данный интеграл сводится к интегралу от дроби

∫ (t^3-t^2)*6t^5dt/(t^2-t-1)

Дробь неправильная. Надо выделить целую часть и разложить на простейшие....



(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)
1)
ОДЗ:
х>0;

Тогда х+2 >0
Дробь неотрицательна, числитель положителен, значит знаменатель тоже положителен
lgx >0 ⇒ x > 1
О т в е т. (1:+ ∞ )

2.
ОДЗ:
х>0

Замена
1-log_(1/9)x=t
Уравнение принимает вид:
|t|+1=|t+1|

Решаем на интервалах
[b](- ∞ ;-1][/b]
|t|=-t
|t+1|==t-1
Уравнение принимает вид:
-t+1=-t-1 - уравнение не имеет решений

[b](-1;0][/b]
|t|=-t
|t+1|=t+1
Уравнение принимает вид:
-t+1=t+1
t=0
обратный переход
log_(1/9)x=0
х=1- корень уравнения

(1;+ ∞)
|t|=t
|t+1|=t+1
Уравнение принимает вид:
t+1=t+1

Решением уравнения является любое t >1
обратный переход
1-log_(1/9)x >1 ⇒ log_(1/9)x <0 ⇒ x > 1
удовл. ОДЗ

О т в е т. {1}U(1;+ ∞) = [b][1;+ ∞)[/b]

3)
ОДЗ:
{х>0;
{lgx-2 ≠ 0
{lgx-3 ≠ 0

(0;100) U (100;1000) U (1000;+ ∞)

Замена
lgx=t

3/(t-2) + 2/(t-3)=-4
Приводим к общему знаменателю:

3*(t-3)+2*(t-2)=-4*(t-2)(t-3)

3t-9+2t-4+4t^2-20t+24=0
4t^2-15t+11=0
D=225-4*4*11=49
t_(1)=1;t_(2)=11/4

Обратный переход

lgx=1 ⇒ [b]x=10
[/b]
lgx=11/4 ⇒ x= [b]10^(11/4)[/b]
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x>0; (x/4) > 4x >0; 2x^2>0 ⇒ [b]x>0[/b]
{x ≠ 1
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4
х ∈ (0;1/4)U(1/4;1)U(1;+ ∞ )


|log_(x)(x/4)|*(log_(4x)(2x^2)-1) ≤ 0

|log_(x)(x/4)|≥0 при любом х из ОДЗ

При log_(x)(x/4)=0 получаем решение неравенства

x/4=1;

[b]х=4[/b]



[b]log_(4x)(2x^2)- 1 ≤ 0[/b]

log_(4x)(2x^2) ≤ 1

1=log_(a)a при любом a>0; a ≠ 1

log_(4x)(2x^2) ≤ log_(4x)(4x)

Два случая
Первый:
(1)
4х >1, логарифмическая функция возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента
2x^2 ≤ 4x

Cистема
[b]{4x-1>0
{2x^2-4x ≤ 0[/b]

{x>1/4
{0≤x ≤2

о т в е т. (1) (1/4;2]

Второй:
(1)
0 < 4х <1, логарифмическая функция убывает. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
2x^2 ≥ 4x

Cистема
[b]{0<4x-1<0
{2x^2-4x ≥0 [/b]

{0<x<1/4
{x ≤ 0 или x ≥ 2
о т в е т. (2) Нет решения

С учетом ОДЗ получаем
О т в е т. [b](1/4;1) U(1;2] U {4}[/b]
____________________________________________________


PS
Так как в обеих системах выражения слева в каждом неравенстве одинаковые, то произведение множителей неотрицательно.

Поэтому вместо решения двух систем можно решить на ОДЗ неравенство:

(4x-1)*(2x^2-4x) ≤ 0

2x*(4x-1)*(x-2) ≤ 0

(0) __+__ (1/4)__-__ (1) ___-__ [2] __+__

(1/4; 1) U (1;2]

Это неравенство можно получить применив [b]метод рационализации к решению log_(4x)(2x^2) ≤ 1[/b]

Тогда решение будет еще проще:

[b]2 cпособ.[/b]
_____________________________________________________

ОДЗ:
{x>0; (x/4) > 4x >0; 2x^2>0 ⇒ [b]x>0[/b]
{x ≠ 1
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4
х ∈ (0;1/4)U(1/4;1)U(1;+ ∞ )


|log_(x)(x/4)|*(log_(4x)(2x^2)-1) ≤ 0

|log_(x)(x/4)|≥0 при любом х из ОДЗ

При log_(x)(x/4)=0 получаем решение неравенства

x/4=1;

[b]х=4[/b]


[b]log_(4x)(2x^2)- 1 ≤ 0[/b]

Применяем [b]метод рационализации логарифмических неравенств[/b]

log_(4x)(2x^2) ≤ 1

(4x-1)*(2x^2-4x) ≤ 0

2x*(4x-1)*(x-2) ≤ 0

(0) __+__ (1/4)__-__ (1) ___-__ [2] __+__

(1/4; 1) U (1;2]

О т в е т. [b](1/4;1) U(1;2] U {4}[/b]

с_(2)=с_(1)+2=-8+2=-6
с_(3)=с_(2)+2=-6+2=-4
с_(4)=с_(3)+2=-4+2=-2
с_(5)=с_(4)+2=-2+2=0
с_(6)=с_(5)+2=0+2=2
с_(7)=с_(6)+2=2+2=4
с_(8)=с_(7)+2=4+2=6
с_(9)=с_(8)+2=6+2=8
y`=4x^3-4x

y`=0
4x^3-4x=0

4x*(x^2-1)=0
x=0 или х^2-1=0
x=0 или х= ± 1

Знак производной:

_-__ (-1) __+__ (0) __-__ (1) __+__

х=-1 и х=1 - точки минимума, производная меняет знак с - на +

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС)медиана ВМ, проведенная к основанию является одновременно и высотой.
S_( Δ ABC)=(1/2)*AC*BM

АС=2S/BM=2*6sqrt(13)/6= [b]2sqrt(13)
[/b]

2.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) биссектриса ВК, проведенная к основанию является одновременно и высотой.

Δ АВК= ΔВКС - прямоугольные треугольники с острым углом 60 градусов.
Значит, второй острый угол 30 градусов.
Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
ВК=АВ/2=12/2= [b]6 см[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Cумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов.
Противоположные углы ромба равны между собой.

Так как по условию: сумма двух углов равна 240 градусов, значит это
два противоположных угла, которые равны между собой, и значит каждый угол по 120 градусов. Это тупые углы.
Тогда острые углы ромба по 60 градусов.

Меньшая диагональ лежит против острого угла. Значит треугольник равносторонний и меньшая диагональ равна стороне,

Р=4а

36=4а

а=9


О т в е т. d=a=9 cм
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По свойству логарифма степени:

2log_(4)x=log_(4)x^2

Тогда
log_(4)x^2-log_(4)(2y-1)=0,5*1
Так как 1=log_(4)4

log_(4)x^2-log_(4)(2y-1)=0,5*log_(4)4

log_(4)x^2-log_(4)(2y-1)=log_(4)4^(0,5)

log_(4)x^2=log_(4)(2y-1)+log_(4)2

log_(4)x^2=log_(4)2*(2y-1)

x^2=2*(2y-1)

Система принимает вид:
{x+2y=13 ⇒ x= 13-2y
{x^2=2*(2y-1)

(13-2y)^2=2*(2y-1)

169-52y+4y^2=4y-2

4y^2-56y+171=0

D=56^2-4*4*171=3136-2736=400

y_(1)=(56-20)/8=26/8=13/4; y_(2)=(56+20)/8=76/8=38/4

x_(1)=13/2 x_(2)=-6 не удовлетворяет условию log_(4)(-6) не сущ.

О т в е т. [b](13/2; 13/4)[/b]
Ответ выбран лучшим

Для степенного ряда

∑a_(n)x^(n)


R=lim_(n → ∞)a_(n)/a_(n+1)

В данной задаче

a_(n)=n!/n^(n)


R=lim_(n → ∞)(n!/n^(n)) / (n+1)!/(n+1)^(n+1)=

=lim_(n → ∞)(n+1)^(n)/n^(n)=e

Интервал сходимости (-R;R) поэтому получаем [b]интервал (-е; е).[/b]

Проверяем сходимость в точках

х=e

получаем знакоположительный числовой ряд

∑ (n!*e^(n))/n^(n) - сходится по признаку Коши.

lim_(n → ∞)((n!*e^(n))/n^(n))^(1/n)=0 < 1


x= - e

получаем знакопеременный числовой ряд

∑ (n!*(-e)^(n))/n^(n) - сходится абсолютно так как ряд из модулей сходится.

[-е;е] - [b] область сходимости.[/b]
sin((2π/3) – x)=sin(2π/3)*cosx-cos(2π/3)*sinx=(sqrt(3)/2)*cosx-(-1/2)*sinx

2*sin((2π/3) – x)=sqrt(3)cosx +sinx

Уравнение принимает вид:

sqrt(2)sin^2x + √3cosx + sinx = √3cosx

sqrt(2)sin^2x + sinx = 0

sinx*(sqrt(2)sinx+1)=0

sinx=0 ⇒ [b]x=πk, k ∈ Z
[/b]
sqrt(2)sinx+1=0 ⇒ sinx=-1/sqrt(2) ⇒ [b] x=(-1)^(n)*(-π/4)+πn, n ∈ Z[/b]
Ответ выбран лучшим
cos2x=2cos^2x-1

По формуле приведения:

sin((π/2) – x)=cosx

6cos^2x-3+1-cosx=0

6cos^2x-cosx-2=0

D=1+4*6*2=49

cosx=-1/2 или cosx=2/3

x= [b] ± (2π/3)+2πn, n ∈Z [/b] или х= [b]± arccos(2/3)+2πm, m ∈ Z[/b]
Ответ выбран лучшим
1)
x^4+8x^3+8x–1=(x^4-1)+8x*(x^2+1)=(x^2-1)*(x^2+1)+8x*(x^2+1)=

=(x^2+1)*(x^2+1+8x)=(x^2+1)*(x^2+8x+1)

2)
x^3+9x^2+9x+8=


3)
x^3-6x^2+11x-6=x^3-6x^2+5x+6x-6=

=x*(x^2-6x+5)+6*(x-1)= x*(x-1)(x+5)+6*(x-1)=

=(x-1)*(x^2+5x+6)= [b](x-1)*(x+2)*(x+3)[/b]
Ответ выбран лучшим
Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках
х=-1; х=0; х=1

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 интервала.

Раскрываем модуль на каждом из четырех интервалов:
(1)
[b](- ∞ :-1][/b]

|x|=-x
|x+1|=-x-1
|x-1|=-x+1
Уравнение принимает вид:

[b]2^(x)=(1/2sqrt(2))*(-x-1-x+1)[/b]
2sqrt(2)*2^(x)=-2x
2^(x+(1/2))=-x
Решаем графически.
(см. рис.1)
единственная точка пересечения, одна кривая возрастает, вторая - прямая убывает.
х= - 0,808 ∉ (- ∞ :-1]
Уравнение не имеет корней на этом интервале
(2)
[b](-1;0][/b]
|x|=-x
|x+1|=x+1
|x-1|=-x+1
Уравнение принимает вид:

[b]2^(x)=(1/2sqrt(2))*(x+1-x+1)[/b]
2sqrt(2)*2^(x)=1
2^(x+(1/2))=1
Решаем графически.
(см. рис.2)
единственная точка пересечения, одна кривая возрастает, вторая -
константа

[b]x=-0,5 - корень, принадлежит интервалу (-1;0][/b]

(3)

[b](0;1][/b]

|x|=x
|x+1|=x+1
|x-1|=-x+1
Уравнение принимает вид:
[b]2^(-x)=(1/2sqrt(2))*(x+1-x+1)[/b]
sqrt(2)*2^(-x)=1

Решаем графически.
(см. рис.3)
единственная точка пересечения, одна кривая убывает, вторая -
константа

[b]x=0,5 - корень, принадлежит интервалу (0;1][/b]

(4)
[b](1;+ ∞ )[/b]

|x|=x
|x+1|=x+1
|x-1|=x+1
Уравнение принимает вид:
[b]2^(-x)=(1/2sqrt(2))*(x+1+x-1)[/b]
sqrt(2)*2^(-x)=х

Решаем графически.
(см. рис.4)
единственная точка пересечения, одна кривая убывает, вторая - прямая( возрастает)


x=0,808 не принадлежит интервалу(1;+ ∞ )

Уравнение не имеет корней на этом интервале

О т в е т. [b] ± 0,5 [/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: [b]cosx ≥ 0[/b]

Возводим в квадрат

4 cos2x-2sin2x=4cos^2x

2сos^2x=1+cos2x

тогда уравнение принимает вид:

4 cos2x-2sin2x=2*(1+cos2x)

2cos2x-2sin2x=2


cos2x-sin2x=1

cos2x=sin((π/2)-2x)

sin((π/2)-2x)- sin2x=1

Формула sin α - sin β=

2sin((π/4)-2x)*cos(π/4)=1

sin((π/4)-2x)=1/sqrt(2)

sin(2x-(π/4))=-1/sqrt(2)

2x-(π/4)=(-1)^(k)*(-π/4) +πk, k ∈ Z

2x=(π/4)+(-1)^(k)*(-π/4) +πk, k ∈ Z

x= [b](π/8)+(-1)^(k)*(-π/8) +(π/2)*k, k ∈ Z[/b]- о т в е т.


Но лучше решение уравнения sin(2x-(π/4))=-1/sqrt(2)
записать в виде серии двух ответов:

2x-(π/4)= [b](-π/4) +2πn, n ∈ Z[/b] или 2х-(π/4)= [b](-3π/4) +2πm, m ∈ Z
[/b]
2x=2πn, n ∈ Z или 2х-(π/4)=(-3π/4) +2πm, m ∈ Z

x=πn, n ∈ Z или 2x=(-π/2)+2πm, m ∈ Z ⇒ x=(-π/4)+πm, m ∈ Z

С учетом ОДЗ: cosx≥ 0

О т в е т. 2*πn, n ∈ Z ; (-π/4)+2πm, m ∈ Z
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
9^((3/2) x)=9^(3/2)*9^(x)=sqrt(9^3)*9^(x)=27*9^(x)

3^(x 1)=3^(x)*3^(1)=3*3^(x)

Неравенство принимает вид:

9*9^(x)-39*3^(x)+30 ≤0

Квадратное неравенство.

D=39^2-4*9*30=1521-1080=441

корни

(39 - 21)/18=1 или (39+21)/18=60/18=10/3;

1 ≤ 3^(x) ≤ 10/3

3^(0) ≤ 3^(x) ≤ 3^(log_(3)10/3)

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, поэтому

0 ≤ х ≤ log_(3)10/3=log_(3)10 - log_(3)3=log_(3)10 - 1

О т в е т. [0; log_(3)10 - 1]
Ответ выбран лучшим
сos^2x=1-sin^2x

Уравнение принимает вид:
2sin^3x - sin^2x-2sinx+1=0

Раскладываем левую часть на множители:

sin^2x(*2sinx-1)-(2sinx-1)=0

(2sinx-1)*(sin^2x-1)=0

2sinx-1=0 или sin^2x-1=0

2sinx=1
sinx=1/2 ⇒ x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

sinx= ± 1 ⇒ x= ± (π/2)+2πn, n ∈ Z

или x=(π/2)+πm, m ∈ Z

О т в е т. (-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z; (π/2)+πm, m ∈ Z

б)
(3π/2); (π/6)+2π=13π/6; 5π/2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
cos2x ≠ 0
2x≠(π/2)+πr, r ∈ Z
[b] x≠(π/4)+(π/2)r, r ∈ Z[/b]

ctg(2x-(π/2))=-ctg((π/2)-2x)

ctg((π/2)-2x)=tg2x


(1/cos^22x) - 1= (1-cos^22x)/cos^22x=sin622x/cos^22x=tg^22x

|-tg2x|=tg^22x

Раскрываем знак модуля.

(1)
Если
-tg2x ≥ 0 ⇒ tg2x ≤ 0, то

|-tg2x|=-tg2x

уравнение принимает вид:

- tg2x=tg^22x

tg^22x+tg2x=0
tg2x*(tg2x+1)=0

tg2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/2)*k, k ∈ Z [/b]
или
tg2x+1=0 ⇒ tg2x=-1 ⇒ 2x=(-π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(-π/8)+(π/2)n, n ∈ Z

условию tg2x ≤ 0
удовлетворяют решения:

[b]х=(-π/8)+ πm, m ∈ Z[/b]

(2)
-tg2x ≤ 0 ⇒ tg2x ≥0, то

|-tg2x|=tg2x

уравнение принимает вид:

tg2x=tg^22x

tg^22x-tg2x=0
tg2x*(tg2x-1)=0

tg2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/2)*k, k ∈ Z [/b]
или
tg2x-1=0 ⇒ tg2x=1 ⇒ 2x=(π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(π/8)+(π/2)n, n ∈ Z

условию tg2x ≥ 0
удовлетворяют решения:
[b] x=(π/8)+ πm, m ∈ Z[/b]

Найденные корни удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. (π/2)*k, k ∈ Z ; (-π/8)+ πm, m ∈ Z; (π/8)+ πm, m ∈ Z

Отрезку [0;π/2] принадлежат корни:

(π/8) и (π/2)
Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 12 и 4 равна
sqrt(12^2+4^2)=sqrt(160)=4sqrt(10)

sin( α/2)=4/(4sqrt(10))=1/sqrt(10)

cos( α /2)=12/(4*sqrt(10))=3/sqrt(10)

sin α 2sin( α /2)*cos( α /2)=2*(1/sqrt(10))*(3/sqrt(10))=6/10 [b]=0,6[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
25/30=5/6

2.
60/450=2/15

3.
600*0,03=18

4.
450-18=432 прибора небракованных

n=450

m=432

p=m/n=432/450=24/25=0,96

5.
n=200

"менее четырех"- значит, 1 или 2 или 3

m=22+17+21=60

p=m/n=60/200= [b]3/10[/b]

6.
Если числа больше 10-ти, то их произведение больше 100.
Это невозможное событие.
Его вероятность равна 0

7.

В году 12 месяцев.
Игроков 25
Согласно принципа Дирихле найдутся хотя бы три ребенка, которые родились в одном месяце.

Это невозможное событие. Его вероятность равна 0
1.
24/60=2/5=0,4

2.
n=1000 билетов всего
m=50 билетов выигрышных

p=m/n=50/1000=5/100=0,05

3.
600*0,05=30 человек

4.
400-6=394 приборов без брака
n=400
m=394

p=m/n=394/400

5.
n=300

Не менее пяти: пять и больше, т.е пять и шесть

m=64+36=100

p=m/n=100/300=1/3

6.

Это достоверное событие. Оба числа меньше 10, значит их сумма меньше двадцати
p=1

7.

В году 12 месяцев.
Детей 30.
Согласно принципа Дирихле найдутся хотя бы три ребенка, которые родились в одном месяце ( а два и тем более)

Это невозможное событие. Его вероятность равна 0
Переход к полярным координатам
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

x^2+y^2=ρ ^2

Уравнение кривой принимает вид:


(ρ ^2)^2=2*ρ cos φ * ρ sin φ

или

ρ ^2=2 cos φ *sin φ

ρ ^2=sin2φ


S= ∫ ∫ _(D)dxdy=4∫ ∫_(D_(1))dxdy=

D_(1):
0 < ρ < sqrt(sin2φ)

0 < φ <( π/4)

=4* ∫ ^(π/4)_(0)( ∫ ^(sqrt(sin2 φ )_(0))ρd ρ )d φ =

считаем внутренний интеграл

=4* ∫ ^(π/4)_(0)( ρ^(2)/2))|^(sqrt(sin2 φ )_(0))d φ =

=2* ∫ ^(π/4)_(0)sin2 φ d φ =

=2*(1/2)(-cos2 φ)|^( π/4)_(0)=

=(-cos(π/2)+cos0)= [b]1[/b] (прикреплено изображение)
= ∫^(2)_(0) ( ∫ ^(2-x)_(0)(x-y)dy)dx=

считаем внутренний интеграл

= ∫^(2)_(0) (xy - (y^2/2))|^(y=2-x)_(y=0) dx=

= ∫^(2)_(0) (x*(2-x) - ((2-x)^2/2)- 0) dx=

= ∫^(2)_(0) (2x-x^2 - (4-4x+x^2)/2) dx=

=∫^(2)_(0) (2x-x^2 - (4-4x+x^2)/2) dx=

=(1/2)∫^(2)_(0)(8x - 3x^2-4)dx=

=(1/2)*((8x^2/2) -3*(x^3/3) -4x)|^(2)_(0)=

=(1/2)*(4*4-8-8)=0
Переход к полярным координатам
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

1 < ρ <3

π/4 < φ < π/2 cм. рис.

∫ ∫ _(D)(x^2+y^2)dxdy= ∫ ^(3)_(1)( ∫^( π/2)_(π/4) ρ ^2* ρ d φ) d ρ =

= ∫ ^(3)_(1) ρ ^3*( φ)|^( π/2)_(π/4) dρ =

= (π/4)* ( ρ ^(4)/4)|^(3)_(1)=(π/16)*(3^4-1^4)=

=(π/16)*(81-1)=80*(π/16)= [b]5π[/b]

РS.

Выбрала меньшую область, но в принципе и на рис. 2 область тоже удовлетворяет условию.

В этой области угол меняется от (-π/2) до (π/4)

Тогда (π/4)-(-π/2)=3π/4

и тогда ответ (3π/16)*80=15π (прикреплено изображение)
Пусть трое рабочих изготовили х деталей.
Первый рабочий изготовил (3/10) всех деталей,
т.е
[b](3/10)*х деталей[/b]

x- (3/10)*x=(7/10)*x деталей- остаток

второй рабочий изготовил (3/5) от остатка,
т.е.
(3/5)*((7/10)*x= [b](21/50)*х [/b] деталей

третий рабочий изготовил остальные [b] 84 детали.[/b]

Уравнение:

(3/10)*х + (21/50)*х + 84 = х

84= x - (3/10)*х - (21/50)*х

84= (14/50)*x

x=300

(3/10)*х =(3/10)*300=90 деталей изготовил первый

(21/50)*х = (21/50)*300=126 деталей изготовил второй

О т в е т. Первый рабочий изготовил 90 деталей,

второй рабочий изготовил 126 деталей.

Всего 300 деталей изготовили трое рабочих.
V_(вращения Ох)=π ∫ ^(3/2)_(0)(2x)dx=

=2*π*(x^2/2)|^(^(3/2)_(0)=

=π*(3/2)^2 [b]=9π/4[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
8.
a)
Это знакочередующийся ряд.
Рассмотрим ряд из модулей
∑ 1/(n*sqrt(3^(n)))

Знакоположительный ряд. Применяем признак Даламбера

a_(n)=1/(n*sqrt(3^(n)))

a_(n+1)=1/((n+1)*sqrt(3^(n+1)))

lim_(n → ∞)a_(n+1)/a_(n)=

=lim_(n → ∞)(n*sqrt(3^(n)))/((n+1)*sqrt(3^(n+1)))=

=lim_(n → ∞)(n/(n+1)) * lim_(n → ∞)sqrt(3^(n))/sqrt(3^(n+1))=

=1* lim_(n → ∞)sqrt(3^(n)/3^(n+1))

=1*(1/sqrt(3))<1

Ряд из модулей сходится.
Данный ряд сходится абсолютно.

8
б)
a_(n)=1/(9n^2+1)

Рассмотрим ряд

∑1/(n^(p)) - обобщенный гармонический ряд

При p > 1 сходится, при p ≤ 1 расходится.

Значит
∑ 1/n^2 ( p=2>1) сходится.

Так как

a_(n)=1/(9n^2+1) < 1/n^2

по признаку сравнения данный ряд сходится.

8
в)
Знакоположительный ряд. Применяем признак Даламбера

a_(n)=2^(n)/(n+3)^2

a_(n+1)=2^(n+1)/((n+1)+3)^2

lim_(n → ∞)a_(n+1)/a_(n)=lim_(n → ∞)2*lim_(n → ∞)(n+3)^2/(n+4)^2=

=2*1=2> 1

Ряд расходится.
1) 64=2^6

128/4=32=2^5


2)
0,2^2=0,04
0,2^3=0,008
[b]0,2^5=0,00032[/b] (прикреплено изображение)
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОК ⊥ AK;
OM ⊥ AM

Δ MAO= Δ KAO по гипотенузе АО - общая и катетам ОК=ОМ=R

∠ МАО= ∠ КАО = 30 градусов

В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.

АО=2ОК=2*10=20 cм

О т в е т. 20 см. (прикреплено изображение)
Пирамида состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников.
см. рис.
1) SA и BC - скрещивающиеся прямые.

АН - проекция SA на пл. АВС
АН ⊥ ВС, высота равнобедренного треугольника одновременно и медиана

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция перпендикулярна ВС, то и наклонная SA перпендикулярна ВС

2)
АН - медиана.
ВН=НС=sqrt(6)

по теореме Пифагора.
SH^2=SB^2-BH^2=(sqrt(19))^2-(sqrt(6))^2=13

SH=AH=sqrt(13)

В треугольнике ASH - перпендикуляр из вершины Н на сторонy SA и есть расстояние между ВС и SA

Перпендикуляр из вершины Н на сторонy SA - высота равнобедренного треугольник АSH.

h^2=AH^2-((1/2)SA)^2=13-6=7

h= [b]sqrt(7)[/b]

О т в е т. sqrt(7) (прикреплено изображение)
4+cosx< 4+1=5

Особенность в точке х=2, но

∫ ^(3)_(2)5dx/∛(x-2)=5 ∫ ^(3)_(2)(x-2)^(-1/3)d(x-2)=

=5*((x-1)^(2/3)/(2/3))|^(3)_(2)=(15/2)*∛(x-2)^2|^(3)_(2)=(15/2) - сходится

Значит, по признаку сравнения и данный интеграл сходится
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
BC=AC*tg ∠ A ⇒ AC=BC/tg ∠ A=sqrt(26)/5

По теореме Пифагора:

АВ^2=AC^2+BC^2=(26/25)+(26)=26^2/25

АВ=26/5


Δ BCН~ ΔBAC ( по двум углам)

BH : BC= BC: AB

BH=BC^2/AB=26/(26/5)=5

О т в е т. [b]5[/b] (прикреплено изображение)
Формулы:
sinx*cosx=(1/2)sin2x
cos^2x=(1+cos2x)/2

sin^2x*cos^4x=(1/4)sin^22x*(1+cos2x)/2

=(1/8)*(sin^22x+sin^22x*cos2x)



∫ sin^2x*cos^4xdx=(1/8) ∫ (sin^22x+sin^22x*cos2x)dx=

=(1/8)* ∫sin^22x+(1/8) ∫ sin^22x* [b]cos2xdx[/b]=


[ sin^22x=(1-cos4x)/2 и подведение под дифференциал:

d(sin2x)=(sin2x)`dx=cos2x*(2)dx, поэтому cos2xdx=(1/2)d(sin2x)]


=(1/8)* ∫(1/2)* (1-cos4x)dx+(1/8) ∫ sin^22x* [b](1/2)d(sin2x)[/b]=

=(1/16)x-(1/16)*(1/4)sin4x+(1/16)*(sin^32x/3)+C=

= [b](1/16)x-(1/64)*sin4x+(1/48)*(sin^32x)+C[/b]
Ответ выбран лучшим
cos2x ≠ 0
2x≠(π/2)+πr, r ∈ Z
[b] x≠(π/4)+(π/2)r, r ∈ Z[/b]

ctg(2x-(π/2))=-ctg((π/2)-2x)

ctg((π/2)-2x)=tg2x


(1/cos^22x) - 1= (1-cos^22x)/cos^22x=sin622x/cos^22x=tg^22x

|-tg2x|=tg^22x

Раскрываем знак модуля.

(1)
Если
-tg2x ≥ 0 ⇒ tg2x ≤ 0, то

|-tg2x|=-tg2x

уравнение принимает вид:

- tg2x=tg^22x

tg^22x+tg2x=0
tg2x*(tg2x+1)=0

tg2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/2)*k, k ∈ Z [/b]
или
tg2x+1=0 ⇒ tg2x=-1 ⇒ 2x=(-π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(-π/8)+(π/2)n, n ∈ Z

условию tg2x ≤ 0
удовлетворяют решения:

[b]х=(-π/8)+ πm, m ∈ Z[/b]

(2)
-tg2x ≤ 0 ⇒ tg2x ≥0, то

|-tg2x|=tg2x

уравнение принимает вид:

tg2x=tg^22x

tg^22x-tg2x=0
tg2x*(tg2x-1)=0

tg2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/2)*k, k ∈ Z [/b]
или
tg2x-1=0 ⇒ tg2x=1 ⇒ 2x=(π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(π/8)+(π/2)n, n ∈ Z

условию tg2x ≥ 0
удовлетворяют решения:
[b] x=(π/8)+ πm, m ∈ Z[/b]

Найденные корни удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. (π/2)*k, k ∈ Z ; (-π/8)+ πm, m ∈ Z; (π/8)+ πm, m ∈ Z
Ответ выбран лучшим
Производная произведения:
(u*v)`=u`*v+u*v`

u=9x²+4x–1
v=3x²–2


y`=(9x²+4x–1)`•(3x²–2)+(9x²+4x–1)•(3x²–2)`=

=(18x+4)•(3x²–2)+(9x²+4x–1)•6x=

=54x^3+12x^2-36x-8+54x^3+24x^2-6x=

= [b]108x^3+36x^2-42x-8[/b]
3.
[b]∠ СВА=(1/2)( ∪ BD- ∪ BC)=[/b](1/2)*(70° -50 ° )=10 °
Cм. приложение 1.
4.
См. приложение 2. Свойство пересекающихся хорд.

[b]AK*KB=CK*KD[/b]
Пусть АК=x; тогда КВ=2х
AK:KB=x:2x=1:2

х*2х=2*9
x^2=9
x=3
АК=3; КВ=2х=2*3=6
АВ=АК+КВ=3+6=9 см (прикреплено изображение)
5-3sin2x+7sinx=7cosx
5-3sin2x=7*(cosx-sinx)

cosx-sinx=t
Возводим в квадрат
cos^2x-2cosxsinx+sin^2x=t^2

sin2x=1-t^2

5-3*(1-t^2)=7t

3t^2-7t+2=0
D=49-4*3*2=25
t_(1)=(7-5)/6=1/3; t_(2)=(7+5)/6=2

Обратный переход

cosx-sinx=1/3
Делим на sqrt(2)

(1/sqrt(2))cosx- (1/sqrt(2))sinx=1/(3*sqrt(2))

cos(x+ φ )=1/(3*sqrt(2))
φ =arcsin(1/sqrt(2))=π/4

cos(x+(π/4))=1/(3*sqrt(2))

x+(π/4)= ± arccos(1/(3*sqrt(2)))+2πn, n ∈ Z

[b]x=± arccos(1/(3*sqrt(2))) - (π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]

Указанному интервалу принадлежат корни

- arccos(1/(3*sqrt(2))) - (π/4);
arccos(1/(3*sqrt(2))) - (π/4)

Оба корня в 4 -ой четверти, т.е принадлежат (-π/2;0)
Ответ выбран лучшим
2^(x)=t

t+4t/(t-4) + (t^2+7t+20)/(t^2-12t+32) ≤ 1

t + 4t/(t-4) + (t^2+7t+20)/((t-4)(t-8)) - 1 ≤ 0

[b]([/b]t*(t^2-12t+32)+4t*(t-8)+(t^2+7t+20)-t^2+12t-32 [b])[/b]/((t-4)(t-8)) ≤ 0

(t^3-8t^2+19t-12)/((t-4)(t-8)) ≤ 0

t=1 - корень многочлена t^3-8t^2+19t-12, значит

t^3-8t^2+19t-12=(t-1)(t^2-7t+12)=(t-1)*(t-3)(t-4)


(t-1)*(t-3)(t-4)/((t-4)(t-8)) ≤ 0

(t-1)*(t-3)/(t-8) ≤ 0
t ≠ 4

__-__ [1] __+__ [3] _- _ (4) ____-_____ (8) ___+__

t ≤ 1 или 3 ≤ t < 4 или 4 < t < 8

2^(x) ≤ 1 или 3 ≤2^(x)< 4 или 4 <2^(x)< 8

2^(x) ≤ 2^(0) или 2^(log_(2)3) ≤2^(x)<2^2 или 2^2 <2^(x)< 2^3

О т в е т. [b](- ∞;0] U[ log_(2)3;2) U (2;3)[/b]
Пока только это.... (прикреплено изображение)
lim_(x→2; y→0) tg(xy)/y = lim_(x→2; y→0) (tg(xy)/(xy))*x=

= lim_(x*y→0) (tg(xy)/(xy))* lim_(x→2; y→0)x=

=1*2= [b]2[/b]
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции у=f(x); f(x)≥ 0; осью Оу и прямыми х=а; х=b

Т.е фигура расположена [b] выше оси Ох[/b]

Площадь такой фигуры вычисляется как определенный интеграл.

Кривая y=sinx на [0;2π] и ось Оу ограничивают фигуру, которая расположена как выше оси Ох, так и ниже оси Ох.

Поскольку обе части равны, то можно посчитать площадь одной части ( на отрезке [0; π]) и результат увеличить в два раза.

S=2* ∫^( π)_(0)sinxdx=2*(-cosx)|^(π)_(0)=2*(-cosπ- (-cos0))=2*(-(-1)+1)= [b]4[/b]

В общем случае можно взять f(x) по модулю.

(прикреплено изображение)
Выделяем полный квадрат
x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1

∫^(-3)_(- ∞ )dx/(x^2+2x)= ∫^(-3)_(- ∞ )dx/((x+1)^2-1)=

=(1/2)ln|(x+1-1)/(x+1+1)|^(-3)_(- ∞ )=

=(1/2)ln|(-3)/(-3+2)|- (1/2) lim_(A → - ∞ )ln|(A+1-1)/(A+1+1)|=

=(1/2)ln3 - (1/2) lnlim_(A → - ∞ )|(A/(A+2)|=

=(1/2)ln3-(1/2)ln1=

=(1/2)ln3-0= (1/2) ln3 - сходится
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
8 книг займут 8 мест.

На первое место можно поставить любую из восьми книг, 8 способов,
На второе место можно поставить любую из семи оставшихся книг, 7 способов,
...

8*7*6*5*4*3*2*1=40320 cпособов.

2)
Когда тома располагаются последовательно по возрастанию- это 1 способ, по убыванию - тоже один.

40320-2=40318 способов.


Ответ выбран лучшим
Правильная пирамида - в основании равносторонний треугольник,со стороной а, боковые грани - равнобедренные треугольники
с основанием а и боковыми сторонами b

[b]У тетраэдра все ребра равны а[/b]

Тетраэдр - это правильная пирамида, у которой боковые ребра b=a.


Правильная пирамида не является тетраэдром. (прикреплено изображение)
(x-3)^5+1=-(2-x)^5

(x-3)^5+1=(x-2)^5

x=3; x=2 cм. графическое решение (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
220:100*10=22 рубля составляют 10% от 220 рублей

220 + 22 =242 руб. придется платить
ОДЗ:
{x-3>0 ⇒ x > 3
{9-x >0 ⇒ x < 9

ОДЗ: х ∈ (3;9)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения.

Равенство

[b]log_(1/2)(x-3)+log_(1/2)(9-x)=log_(1/2)(x-3)*(9-x)[/b]

верно только на ОДЗ первоначального уравнения, т.е [b]при х ∈ (3;9)[/b]

Так как
-3=-3*1=-3*log_(1/2)(1/2)=log_(1/2)(1/2)^(-3)=log_(1/2)2^3=log_(1/2)8, то

данное неравенство принимает вид
log_(1/2)(x-3)*(9-x) ≥ log_(1/2)8

Логарифмическая функция с основанием 0 < (1/2) < 1 убывает,
поэтому

(x-3)*(9-x) ≤ 8

9x-27-x^2+3x-8 ≤ 0

x^2-12x+35 ≥ 0

D=4

корни 5 и 7

x ≤ 5 или x ≥ 7

С учетом ОДЗ получаем о т в е т.

[b](3;5] U [7;9)[/b]
ОДЗ:
5-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

При x ∈ ОДЗ

sqrt(5-x)>0 ⇒ 8^(x–4) – 9^(x–3) + 2 ≤ 0 ⇒ 8^(x–4) ≤ 9^(x–3) - 2

Cм. графическое решение.

О т в е т. [3,373;5] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1
{sqrt(x+1)-4≠ 0 ⇒ sqrt(x+1) ≠ 4⇒ x+1 ≠ 16⇒ x ≠ 15
{2+sqrt(x+1)≠ 0 ⇒ x - любое


Избавляемся от иррациональности в знаменателе каждой дроби:

(x-15)/(sqrt(x+1)-4)=(x-15)*(sqrt(x+1)+4)/(x+1-16)=sqrt(x+1)+4

(x-3)/(2+sqrt(x+1))=(x-3)*(2-sqrt(x+1))/(4-x-1)=sqrt(x+1)-2

Уравнение примет вид:

sqrt(x+1)+4+sqrt(x+1)-2=6

2sqrt(x+1)=4

sqrt(x+1)=2

x+1=4

[b]x=3[/b] удовл. ОДЗ

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим
Угол между прямыми - угол между направляющими векторами этих прямых

Угол между вектором vector{s_(1)}= [b](3;0;-1) [/b] и

вектором [vector{n_(1)} ×vector{n_(1)} ]= [b](-42;-21;12) [/b]

находим по формуле:

cosφ =(vector{a}*vector{b})/(|vector{a}|*|vector{b}|)=

=3*(-42)+0*(-21)-1*(12)/sqrt(3^2+1)*sqrt(42^2+21^2+12^2)=

=(-138)/(sqrt(10)*sqrt(2349))= [b]-46/sqrt(2610)[/b]

Как найти направляющие векторы см ниже.

x=-2+3*t;
y=0+0*t;
z=3+(-1)*t

vector{s}=(3;0;-1) - координаты направляющего вектора первой прямой.

Нормальный вектор плоскости x–6y–6z+2=0
vector{n_(1)}=(1;-6;-6)
Нормальный вектор плоскости 2x+2y+9z–1=0
vector{n_(2)}=(2;2;9)

(прикреплено изображение)
−7(4−b)+3(−2b−2)−6(−8+b)= -7*4-7*(-b)+3*(-2b)+3*(-2)-6*(-8)-6*b=

=-28+7b-6b-6+48-6b= [b]14-5b[/b]
-5,77+ 599-0,23+ 149=(-5,77-0,23)+ 599+149=-6+ 599 +149= [b]742[/b]
ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ x в первой и второй четв. ⇒ x∈(2πm; π+2πm), m ∈ Z
{cos^2x>0⇒ cosx≠ 0⇒ cosx≠ 0
[b]25^(log_(5)sinx)[/b]=(5^2)^(log_(5)sinx)=5^(2*log_(5)sinx)=

=5^(log_(5)sin^2x)= основное логарифмическое тождество= [b]sin^2x[/b]


[b]2^(log_(4)cos^2x)[/b]=2^(log_(2^2)cos^2x))=

=2^((1/2)log_(2)cos^2x))=2^(log_(2)(cos^2x)^(1/2))=2^(log_(2)|cosx|)=

= [b]|cosx|[/b]


sin^2x+0,5*|cosx|=1

0,5|cosx|-(1-sin^2x)=0

0,5|cosx|-cos^2x=0



Если cosx > 0, то |cosx|=cosx

0,5*cosx-cos^2x=0

cosx*(0,5-cosx)=0

cosx≠ 0 ⇒ cosx=0,5 ⇒ x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

x= - (π/3)+2πn, n ∈ Z не принадлежат ОДЗ

x= (π/3)+2πn, n ∈ Z - о т в е т. первого случая


Если cosx < 0, то |cosx|= - cosx

-0,5*cosx-cos^2x=0

cosx*(0,5+cosx)=0

cosx≠ 0 ⇒ cosx=- 0,5 ⇒ x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

x= - (2π/3)+2πn, n ∈ Z не принадлежат ОДЗ

x= (2π/3)+2πn, n ∈ Z - о т в е т. второго случая

Объединяем ответы. Получаем О Т В Е Т.

(π/3)+2πn, n ∈ Z ;
(2π/3)+2πn, n ∈ Z
cos ∠ B=BC/AB

AB=BC/cos ∠ B=6/(3/7)=42/3= [b]14 cм[/b] (прикреплено изображение)
Пусть Х- случайная величина, обозначающая число деталей первого сорта в партии из четырех выбранных деталей
Х может принимать значения 4; 3; 2

Находим вероятности.
Вероятность того, что из четрех выбранных деталей все 4 первого сорта находим по формуле классической вероятности.

Испытание состоит в том, что из семи деталей выбирают 4

n=C^(4)_(7)

m=C^(4)_(5) - все четыре детали выбраны из пяти деталей первого сорта

p_(4)=m/n=C^(4)_(5) /C^(4)_(7) =1/7

Аналогично

p_(3)=m/n=(C^(3)_(5)*C^(1)_(2)) /C^(4)_(7) =4/7

p_(3)=m/n=(C^(2)_(5)*C^(2)_(2)) /C^(4)_(7) =2/7

Закон распределения в виде таблицы:

x = 4; 3; 2

p= 1/7;4/7;2/7

В нижней строке сумма вероятностей должна равняться 1, иначе это не закон.

[b]M(X)[/b]=4*(1/7)+3*(4/7)+2*(2/7)= [b]20/7[/b]

M(X^2)=4^2*(1/7)+3^2*(4/7)+2^2*(2/7)=60/7

[b]D(X)[/b]=M(X^2)-(M(X))^2=(60/7)-(20/7)^2=(420/49)-(400/49)= [b]20/49[/b]
Ответ выбран лучшим
Уравнение имеет вид:
asinx+bcosx=c

Применяем метод введения вспомогательного угла.

Для этого делим уравнение на sqrt(a^2+b^2)

a/sqrt(a^2+b^2)* sinx + b/sqrt(a^2+b^2)*cosx=c/sqrt(a^2+b^2)

Вводим вспомогательный угол φ
a/sqrt(a^2+b^2=sin φ
b/sqrt(a^2+b^2)=cos φ

Уравнение примет вид
[b]sin φ* sinx +cos φ *cosx=c/sqrt(a^2+b^2)[/b]

По формуле косинуса разности
cos φ *cosx+sin φ* sinx =cos(x- φ )


[b]cos(x- φ )=c/sqrt(a^2+b^2)[/b]

Уравнение имеет решение, если число справа не превышает по модулю 1


В данной задаче
a=2
b=sqrt(60)

a^2+b^2=2^2+60=64

sqrt(a^2+b^2)=8

Уравнение имеет вид:
(2/8)sin3x+sqrt(60)/8 = a/8

cos(3x-φ )=a/8

При

|a/8| ≤ 1 ⇒ -8 ≤ a ≤ 8
уравнение имеет решения

О т в е т. [-8;8]
Ответ выбран лучшим
Из шести адресов выбираем три, порядок важен

A^(3)_(6)=6!/3!=4*5*6= [b]120 [/b]
S= ∫ ^(2)_(-4) (4-x-(1/2)x^2)dx=

=(4x-(x^2/2) -(1/2)*(x^3/3))|^(2)_(-4)=

=4*2-(2^2/2)-(1/6)*2^3- (-16- (16/2)-(1/6)*(-4)^3)= [b]14[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
В силу симметрии
S=2 ∫ ^(1)_(0)(1-∛x^2)dx= 2*(x - x ^(5/3)/(5/3))|^(1)_(0)=

=2*(1- (3/5)*1^(5/3))=2*(1-(3/5))2*(2/5)= [b]4/5[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
нули функции
y=(x-1)(x-2)
это х=1 и х=2

_+__ (1) __-__ (2) _+__

О т в е т. (1;2)

2)
Строим график функции у=0,5x^2-2x-6

Выделяем полный квадрат

0,5x^2-2x-6=0,5*(x^2-4x-12)=0,5*(x^2-2*x*2+2^2-2^2-12)=

=0,5*(x-2)^2-8

Вершина параболы в точке (2;-8

Находим точки пересечения параболы с осью Ох

Решаем уравнение

0,5x^2-2x-6=0

Умножаем уравнение на 2

x^2-4x-12=0

D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64

x_(1)=(4-8)/2=-2; x_(2)=(4+8)/2=6

Парабола расположена выше оси Ох

на (- ∞;-2) и на (6;+ ∞ )

Объединение двух множеств ( двух интервалов) и является решением неравенства

0,5x^2-2x-6 > 0

О т в е т. [b] (-∞;-2) U (6;+ ∞ )[/b]
(прикреплено изображение)
Строим график функции у=0,5x^2-2x-6

Выделяем полный квадрат

0,5x^2-2x-6=0,5*(x^2-4x-12)=0,5*(x^2-2*x*2+2^2-2^2-12)=

=0,5*(x-2)^2-8

Вершина параболы в точке (2;-8

Находим точки пересечения параболы с осью Ох

Решаем уравнение

0,5x^2-2x-6=0

Умножаем уравнение на 2

x^2-4x-12=0

D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64

x_(1)=(4-8)/2=-2; x_(2)=(4+8)/2=6

Парабола расположена выше оси Ох

на (- ∞;-2) и на (6;+ ∞ )

Объединение двух множеств ( двух интервалов) и является решением неравенства

0,5x^2-2x-6 > 0

О т в е т. [b] (-∞;-2) U (6;+ ∞ )[/b]
(прикреплено изображение)
Уравнение касательной к кривой у=f(x) в точке (x_(o);y_(o)) имеет вид:

[b]y - y _(o) = f`(x_(o))*(x-x_(o))[/b]

y(x_(o))=y(3)=2,5+2*3-0,5*3^2=4

f`(x)=2-x

f`(x_(o))=f`(3)=2-3=-1

y - 4 = -1* (x - 3)

y=-x + 7 - уравнение касательной.

В условии должна быть указана какая-нибудь ось, например, ось Оу Тогда получится фигура, ограниченная параболой, касательной к параболе и осью Оу ( рис. 2)

S= ∫ ^(3)_(0)(-x+7 - (2,5+2x-0,5x^2))dx=

= ∫ ^(3)_(0)(-x+7 - 2,5-2x+0,5x^2)dx=

= ∫ ^(3)_(0)(4,5-3x+0,5x^2)dx=

=(4,5x-3*(x^2/2)+0,5*(x^3/3))|^(3)_(0)=

=4,5*3-(27/2)+0,5*9=...

Если в условии указана ось Ох Тогда получится фигура, ограниченная параболой, касательной к параболе и осью Ох ( рис. 3)
(прикреплено изображение)
f(x)=(x-2)^2*(x-4)^2

Область определения (- ∞; + ∞)
y ≥ 0 при любом х, значит график расположен в верхней полуплоскости.

Точки касания с осью Ох

(x-2)^2*(x-4)^2=0

x=2; x=4


y`=((x-2)^2)`*(x-4)^2 + (x-2)^2*((x-4)^2)`

y`=2(x-2)*(x-4)^2 + (x-2)^2*2(x-4)

y`=2*(x-2)*(x-4)*(x-4+x-2)

y`=2*(x-2)*(x-4)*(2x-6)

y`=4*(x-2)*(x-3)*(x-4)

y`=0

4*(x-2)*(x-3)*(x-4)=0


x=2 ; x=3; x=4

Знак производной
_-_ (2) __+_ (3) _-__ (4) __+__

y`< 0 на (- ∞; 2) и на (3;4)
значит функция убывает на (- ∞; 2) и на (3;4)

y`>0 на (2;3) и на (4;+ ∞)
значит функция возрастает на (2;3) и на (4;+ ∞)

x=2 и х=4 - точки минимума, производная меняет знак с - на +
х=3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

см. рис.1
(прикреплено изображение)
S= ∫ ^(π)_(π/2)sinxdx= (- cosx)| ^(π)_(π/2)=-cosπ+cos(π/2)=-(-1)+0= [b]1[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
6)
Решаем однородное
y``+9y=0
Составляем характеристическое
k^2+9=0
k_(1)=-3i; k_(2)=3i
y_(одн.)=С_(1)*cos3x+C_(2)sinx3x

Правая часть f(x) =9/cos3x

Применяем метод вариации произвольных постоянных

Константы С_(1) и С_(2) выбираем как функции, зависящие от х

y=C_(1)(x)*cos3x+C_(2)(x)*sin3x

С_(1)(x) и С_(2)(х) находим из системы уравнений:

{C`_(1)(x)cos3x+C`_(2)(x)sin3x=0
{C`_(1)(x)*(-3sin3x)+C`_(2)(x)*(3cos3x)=9/cos3x


{C`_(1)(x)= - C_(2)`(x)tg3x
{-C_(2)`(x)(tg3x)*(sin3x)+C`_(2)(x)*(cos3x)=3/cos3x

-C_(2)`(x)(sin^23x)+C`_(2)(x)*(cos^23x)=3

C`_(2)(x)*(cos^23x-sin^23x)=3

C`_(2)(x)*(cos6x)=3

C`_(2)(x)=3/cos6x

С_(2)(x)= 3∫ dx/cos6x
Ответ выбран лучшим
Одну книгу из восьми можно взять [b] восьмью[/b] способами

Две книги можно взять 28 способами.

Первую книгу можно выбрать восьмью способами, вторую книгу можно выбрать семью способами.
8*7=56

Так как порядок выбора книг не важен,
то есть выбор (A;B) и (В;А) - это один и тот же.
Выбраны книги А и В и неважно какая из них выбрана первой, а какая второй.

56/2= [b]28[/b]

Три книги
Аналогично
8*7*6/(1*2*3)= [b]56[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
В пятизначном числе пять мест. Дано шесть цифр, которые могут повторяться.

На первое место можно разместить любую из шести цифр , 6 способов
на второе – любую из шести цифр , 6 способов
на третье – любую из шести цифр , 6 способов
на четвертое– любую из шести цифр , 6 способов
на пятое – любую изиз шести цифр , 6 способов

По правилу умножения способы выбора цифр надо умножить:
6·6·6·6·6= 6^5 чисел

2.
В пятизначном числе пять мест

На первое место можно разместить любую из шести имеющихся цифр, 6 способов
на второе – любую из пяти оставшихся цифр , 5 способов
на третье – любую из четырех цифр , 4 способа
на четвертое– любую из трех цифр,3 способа
на пятое – любую из двух цифр , 2 способа

По правилу умножения способы выбора цифр надо умножить:
6·5·4·3·2= 720 пятизначных чисел

3.
Четные числа оканчиваются либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо на 8.

На пятое – любую из четырех цифр , 4 способа
На первое - любую из пяти оставшихся цифр , 5 способов
На второе – любую из четырех оставшихся цифр , 4 способа
На третье – любую из трёх цифр , 3 способа
На четвертое– любую из двух цифр,2 способа

По правилу умножения способы выбора цифр надо умножить:
5·4·3·2*4= 480 чисел
Ответ выбран лучшим
3*5*2=30 способов
Ответ выбран лучшим
5*6*3*2=180 способов выбора костюма, состоящего из брюк, купртки, шляпы и маски
Ответ выбран лучшим
В команде:
2 "центровых",
4 защитника,
5 – "лёгкие форварды".

1 центрового выбираем двумя способами

2-х защитников из 4-х
4*3=12 способов (первого четырьмя способами, второго тремя), но неважно, кто из них первым выбран, кто вторым.
Поэтому делим на перестановку из двух элементов
12/2=6 ( или C^2_(4))

2 лёгких форварда из пяти
5*4=20 способов
и также делим на 2
20/2=10 (или C^2_(5))

Пятерку ( 1 центровой, 2 защитника и 2 лёгких форварда.)

2* 6*10= [b]120[/b]
Ответ выбран лучшим
Для двух флажков имеем 4·3=12 возможностей,
для трёх – 4·3·2=24 возможностей.
для четырех - 4*3*2*1=24 возможностей.

Всего 12+24+24= [b]60[/b]
Ответ выбран лучшим
1
В пятизначном числе пять мест

На первое место можно разместить любую из девяти цифр ( от 1 до 9), 9 способов
на второе - любую из десяти цифр ( от 0 до 9), 10 способов
на третье - любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов
на четвертое- любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов
на пятое - любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов

По правилу умножения способы выбора цифр надо умножить:
9*10*10*10*10= [b]90 000[/b] пятизначных чисел

2)
На первое место можно разместить любую из восьми цифр ( от 1 до 3 и от 5 до 9), 8 способов
на второе - любую из десяти цифр ( от 0до 3 и от 5 до 9), 9 способов
на третье - любую из десяти цифр ( от 0 до 3 и от 5 до 9),9 способов
на четвертое- любую из десяти цифр (от 0 до 3 и от 5 до 9),9 способов
на пятое - любую из десяти цифр (от 0 до 3 и от 5 до 9),9 способов

По правилу умножения способы выбора цифр надо умножить:
8*9*9*9*9= [b]...[/b]

3)
На 5 делятся числа, у которых последняя цифра либо 0, либо 5

На первое место можно разместить любую из девяти цифр ( от 1 до 9), 9 способов
на второе - любую из десяти цифр ( от 0 до 9), 10 способов
на третье - любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов
на четвертое- любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов
на пятое - либо 0 либо 5, 2 способа

По правилу умножения способы выбора цифр надо умножить:
9*10*10*10*2= [b]18 000[/b]
Ответ выбран лучшим
Составляем характеристическое уравнение
k^2-4k-21=0
D=16-4*(-21)=100

k_(1)=-3; k_(2)=7

y=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(7x)

Так как
y(0)=0

0=C_(1)e^(0)+C_(2)e^(0)

e^(0)=1

[b]0=C_(1)+C_(2)[/b]

y`=(C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(7x))`

y`=-3C_(1)e^(-3x)+7C_(2)e^(7x)

y`(0)=4

[b]4=-3C_(1)+7C_(2)[/b]

Из системы уравнений:
{0=C_(1)+C_(2) ⇒ C_(1)=-C_(2)
{4=-3C_(1)+7C_(2)



4=-3*(-C_(2))+7C_(2)
4=10С_(2)

C_(2)=0,4
C_(1)=-0,4

y=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(7x)- общее решение
y=-0,4*e^(-3x)+0,4*e^(7x) - частное решение
Ответ выбран лучшим
D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

Функция является нечётной.
у(–х)=4*(-х)/((–x)^2+4)=-4х/(x^2+4)
y(–x)= - y(x)


lim_(x→ +∞)f(x)=0
lim_(x→–∞)f(x)=0
[b]y=0 - горизонтальная асимптота[/b]

Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→∞)(f(x))/x=0


Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
4x/(x^2+1)=0
x=0

C осью Оу
х=0 ⇒ у=0
(0;0) – точка пересечения с осью Ох и с осью Оу.


y`=((4х)`*(x^2+4)-(x^2+4)`*(4x))/(x^2+4)^2;

y`=(4x^2+16-2x*4x)/(x^2+4)^2


y`=(16-4x^2)/(x^2+1)

y`=0
16-4x^2=0
x= ±

Знак производной

_–__ (-2) ___+___ (2) __-____

x=-2 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
x= 2 – точка максимума, производная меняет знак с + на -

Функция убывает при x∈ (–∞;-2) и x∈ (2;+∞)
возрастает при x∈ (-2;2)


y``=((16-4x^2)`(x^2+4)^2-((x^2+4)^2)`*(16-4x^2))/(x^2+4)^4=

y``=-2x(12-x^2)/(x^2+4)^3

y``=0

x= ± 2√3 –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вверх на (– ∞ ;–2√3) и на (2√3;+ ∞ )
выпукла вниз на (–2√3;2√3) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2.
ОДЗ:
{x+2>0 ⇒ x>-2
{x+2 ≠ 1 ⇒ x ≠ -1
{7x^2+11x-6>0 ⇒ D=289; x < -2 или x > 3/7

x ∈ (3/7;+ ∞ )

2=log_(x+2)(x+2)^2

Перепишем неравенство в виде:

log_(x+2) (7x^2+11x-6) < log_(x+2)(x+2)^2

При х ∈ (3/7;+ ∞ )

основание логарифмической функции (x+2)>1 , значит логарифмическая функция возрастает и тогда
7x^2+11x-6 < (x+2)^2

6x^2+7x-10 < 0

D=49-4*6*(-10)=289

x=(-7 ± 17)/12

-2 < x < 5/6

С учетом ОДЗ

[b](3/7; 5/6)[/b] - о т в е т.

3.
Дробь равна 0 ⇔ числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0

{2sinx+sqrt(3)=0
{2cosx-1≠ 0

{sinx = - sqrt(3)/2
{cosx ≠ 1/2

{х=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z
{x ≠ ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z

{х=(-1)^(k)(-π/3)+πk, k ∈ Z
{x ≠ ±π/3 +2πn, n ∈ Zππ

Cм. рис.

О т в е т. [b]-2π/3+2πk, k ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x-1>0 ⇒ x > 1
{x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{x/20>0⇒ x > 0
{log_(x-1)(x/20) ≠ 0 ⇒ x/20≠1⇒ x≠20

ОДЗ: [b]х ∈ (1;2) U (2;20) U (20;+∞ )[/b]

Переносим все слагаемые влево, приводим к общему знаменателю и сравниваем выражение с 0

1+log_(x-1)(x/20))/log_(x-1)(x/20) ≥ 0

1=log_(x-1)(x-1)

Сумму логарифмов в числителе заменим логарифмом произведения


(log_(x-1) (x-1)*x/20)/(log_(x-1)(x/20)) ≥ 0

Применяем формулу перехода к другому основанию

log_(c)b/log_(c)a=log_(a)b
a>0; b>0; c>0 ;c ≠ 1; a ≠ 1

log_(x/20) (x-1)*(x/20) ≥ 0

0=log_(x/20) 1

log_(x/20) (x-1)*(x/20) ≥log_(x/20) 1

Можно рассмотреть два случая:
{(x/20)>1, тогда логарифмическая функция возрастает и
{(x-1)*x/20 ≥ x/20

(2)

{(x/20)< 1, тогда логарифмическая функция убывает и
{(x-1)*x/20 ≤ x/20


или


(1)
{(x/20)-1>0,
{(x-1)*(x/20) - (х/20) ≥ 0

(2)

{(x/20)-1 < 0,
{(x-1)*(x/20) - (х/20)≤ 0


В первой системе оба выражения в первом и во втором неравенстве положительны, во второ1 системе отрицательны. Значит произведение выражений положительно и вместо рассмотрения двух систем можно рассмотреть неравенство, состоящее из произведения

((x/20)-1)*((x-1)*x/20 - (x/20)) ≥ 0


((х-20)/20)* (х/20)* (х-1-1)≥ 0 ( умножаем на 20*20=400)

x*(x-2)*(x-20) ≥ 0

метод интервалов на ОДЗ

(1) _+__ (2) ___-____ (20) ___+____

О т в е т. [b](1;2) U(20;+ ∞) [/b]


ОДЗ:
{x^2-2x>0 ⇒ x(x-2) > 0 ⇒ x < 0 или x > 2
{2-x > 0 ⇒ x < 2
ОДЗ: [b]х ∈ (- ∞; 0)[/b]

Логарифмируем по основанию e
e>1
Логарифмическая функция с основанием e возрастает, поэтому знак неравенства не меняется:

ln 7^(ln(x^2-2x)) ≤ ln(2-x)^(ln7)

Применяем свойство логарифма степени:
log_(a)b^k=klog_(a)b, a>0; a ≠ 1;b>0

ln(x^2-2x)*ln7 ≤ ln7*ln(2-x)

Делим на ln7,
ln7 > 0, знак неравенства не меняется:

ln(x^2-2x) ≤ ln(2-x)

x^2-2x ≤ 2-x

x^2-x-2 ≤ 0

D=1+8=9

корни
-1 и 2

___ (-1) __-__ (2) ___

С учетом ОДЗ получаем ответ
[b](-1;0)[/b]
Ответ выбран лучшим
Область определения (- ∞ ;0)U(0;+ ∞ )

х=0 - не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода

Прямая x=0 - вертикальная асимптота, так как

lim_(x→0) (2x+1)/x^2=+ ∞

Прямая y=0 - горизонтальная асимптота, так как
lim_(x→ ∞)(2x+1)/x^2= 0


k=lim_(x→ ∞)f(x)/x=lim_(x→ ∞)(2x+1)/x^3= 0

Наклонной асимптоты нет

Находим производную

y`=((2x+1)/x^2)`=((2х+1)`*x^2-(2x+1)*(x^2)`)/x^4=

=(2*x^2-(2x+1)*2x)/x^4=(2x-4x-2)/x^3=-2*(x+1)/x^3

y`=0

x+1=0

x=-1

Знак производной:

__-__ (-1) ___+__ (0) ___-__

y`> 0 на (-1 ; 0); функция возрастает
y` <0 на (- ∞; - 1) и на (0;+ ∞); функция убывает




х=- 1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

[b]y(-1)=-1[/b]

x=0 не является точкой экстремума, так как не входит в Область определениЯ


y``=-2*((x+1)`*x^3-(x+1)*3x^2)/x^6=-2*(x-3x-3)/x^4=(2x+3)/x^4

y``=0

2x+3=0

x=-3/2 - точка перегиба, вторая производная меняет знак.

y``< 0 на (-∞ ; -3/2); функция выпукла вверх
y`` >0 на (- 3/2; 0) и на (0;+ ∞); функция выпукла вниз
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть х сумма, взятая в кредит в банке.
1–го числа следующего месяца (февраль) долг составит:
1,04х.
Со 2–го по 14–е число должна быть произведена выплата в размере:
(х/16)+0,04х.

(1/16 часть кредита и проценты за месяц)
При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

После чего сумма долга составит
1,04*х–(х/16)–0,04*х=(15/16)*х.

1–го марта долг составит:
1,04·(15/16)*х.
Со 2–го по 14–е число должна быть произведена выплата в размере:
(х/16)+0,04·(15/16)*х.

После чего сумма долга составит:
1,04·(15/16)х–(х/16)–0,04·(15/16)*х=(14/16)*x.

и так далее
...


За 8 месяцев будет выплачено:
((х/16)+0,04·х)+((х/16)+0,04·(15/16)·х)+...+((х/16)+0,04·(9/16)·х)=


=8·(х/16)+ [b]([/b](0,04·х)/16 [b])[/b]·(16+15+14+13+12+11+10+9)=

=(8х/16)+(0,04х/16)·100=12х/16=3х/4

3x/4=900 000

[b]x=1 200 000[/b]
1.
Сумма углов треугольника 180 градусов.
∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 градусов
По условию
∠ A= ∠ B= ∠ C/2

∠ C/2 + ∠ C/2 + ∠ C=180 градусов
2 ∠ С= 180 градусов
∠ С= 90 градусов

∠ A= ∠ B= ∠ C/2=90 градусов/2=45 градусов

2.
∠ 1+ ∠ 2=180 градусов

Биссектриса делит угол пополам
∠ 3=(1/2) ∠ 1
∠ 4=(1/2) ∠2


∠ 3+∠ 4=(1/2) ∠ 1+ (1/2) ∠2=90 градусов

∠ 3+ ∠ 4+ ∠ 5=180 градусов

90 градусов+ ∠ 5=180 градусов

∠ 5= [b]90 градусов[/b]

Значит биссектрисы пересекаются под углом 90 градусов, т.е перпендикулярны.
(прикреплено изображение)
1.
Сумма углов треугольника 180 градусов.
∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 градусов
По условию
∠ A= ∠ B= ∠ C/2

∠ C/2 + ∠ C/2 + ∠ C=180 градусов
2 ∠ С= 180 градусов
∠ С= 90 градусов

∠ A= ∠ B= ∠ C/2=90 градусов/2=45 градусов

2.
∠ 1+ ∠ 2=180 градусов

Биссектриса делит угол пополам
∠ 3=(1/2) ∠ 1
∠ 4=(1/2) ∠2


∠ 3+∠ 4=(1/2) ∠ 1+ (1/2) ∠2=90 градусов

∠ 3+ ∠ 4+ ∠ 5=180 градусов

90 градусов+ ∠ 5=180 градусов

∠ 5= [b]90 градусов[/b]

Значит биссектрисы пересекаются под углом 90 градусов, т.е перпендикулярны.
(прикреплено изображение)
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекций на плоскость.
Так как DC ⊥ пл. ВВ_(1)С_(1)С, то
EC - проекция DC на пл. ВВ_(1)С_(1)С,

tg∠ DEC=DC/EC=8/sqrt(5^2+4^2)=8/sqrt(41)

О т в е т. ∠ DEC=arctg (8/sqrt(41)) (прикреплено изображение)
a)
n=7+11=18 всего
m=7 (желтых)

Формула классической вероятности.

p=m/n= [b]7/18[/b]


б) (черная и черная)
Вероятность вынуть черную пуговицу первый раз равна 11/18.
Затем в коробке останется 17 пуговиц из них черных 10

р=(11/18)*(10/17)= [b]110/306[/b]


в) (желтая и черная) или (черная и желтая).
Или - вероятности складывают
И- умножают
p=(7/18)*(11/17)+ (11/18)*(7/17)=(2*77)/(17*18)= [b]77/153[/b]

Ответ выбран лучшим
Не более двух - значит:
две, одна или ни одной

Повторные испытания с двумя исходами. Формула Бернулли
q=0,1 - вероятность того, что деталь нестандартная
p=1-q=1-0,1=0,9 - вероятность того, что деталь стандартная

p=P_(4)(2)+P_(4)(1)+P_(4)(0)=

=C^2_(4)p^2q^2+C^1_(4)p^1q^3+C^0_(4)p^0q^4=

=6*0,9^2*0,1^2+4*0,9^1*0,1^3+1*0,9^0*0,1^4=

=
Ответ выбран лучшим
Случайная величина равномерно распределена на отрезке [a;b], если плотность вероятности
f(x)=1/(b-a)

В данном случае [-1;1]

f(x)=1/(1-(-1))=1/2

Найдем функцию распределения
F(y)=F(x^3)

Пусть длина палки L, длина меньшей части - х, тогда длина большей части (L-x)

По условию меньшая часть должна быть длиннее половины большей части.

х > (L - x)/2 ⇒ 2x > L - x ⇒ 3x > L ⇒ x > L/3

(0) _____ (L/3) ______ (2L/3) ______L

Причем меньшая часть может находиться как справа, так и слева.

Значит, случайная точка деления палки на две части находится
на интервале (L/3; 2L/3), длина которого равна [b](1/3)L[/b]

По формуле геометрической вероятности

p=(L/3)/L= [b]1/3[/b]
Из равнобедренного треугольника АВС.

По теореме косинусов AC=6sqrt(3)
ВМ=3 - катет против угла в 30 градусов

Из прямоугольного треугольника А_(1)АВ по теореме Пифагора:
A_(1)B=10

ВС_(1)=А_(1)В=10

Треугольник А_(1)ВС_(1) - равнобедренный

BM^2_(1)=10^2-(3sqrt(3))^2=100-27=73

1)
S_( Δ А_(1)ВC_(1))=(1/2)A_(1)C_(1)*BM_(1)=(1/2)*6sqrt(3)*sqrt(73)=

= [b]3sqrt(219) [/b]

2)
tg( ∠ пл А1С1В , пл АСС1)=tg. ∠ BM_(1)M=BM/MM_(1)= [b]3/8[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
H_(пирамиды)=h_(основания)

h_(основания)=asqrt(3)/2=3sqrt(3)/2

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*(a^2sqrt(3)/4)*(asqrt(3)/2)=

=(1/3)*(3^2sqrt(3)/4)*(3sqrt(3)/2)= [b]27/8[/b] (прикреплено изображение)
1.
При вращении прямоугольника вокруг стороны 9 получается цилиндр

r=3
h=9
S_(цилиндра вращения)=2πrh=2π*3*9=54π

3.
(2;0;-2)- координаты центра
R=4

S_(сферы)=4πR^2=4π*4^2=64π


5.

2r=4 - катет, против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы

r=2

h^2=d^2=(2r)^2=8^2-4^2=48

[b]h=4sqrt(3)[/b]

S_(пол. пов.)=S_(бок. пов.) + 2S_(осн)=

=2πrh+2πr^2=2π*(2*4sqrt(3)+4)= [b]8π*(2sqrt(3)+1)[/b]
Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

1)2c=10 ⇒ c=5
a=3

a^2=c^2-b^2⇒

b^2=c^2-a^2 ⇒ b^2=5^2-3^2=16

О т в е т. [b] (x^2/3^2)-(y^2/4^2)=1[/b]

3)

b=6

Уравнения асимптот

y= ± (b/a)x

b/a=5/3

a=18/5=3,6


Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
О т в е т. [b](x^2/3,6^2)-(y^2/6^2)=1[/b]


1)
с=10
b/a=4/3

b=(4/3)a

a^2=c^2-b^2

a^2=10^2-((4/3)a)^2

(25/9)a^2=100

a^2=36

a=6

b=(4/3)a=8

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

О т в е т. [b](x^2/6^2)-(y^2/8^2)=1[/b]

3)
Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

Точка M(sqrt(3);sqrt(2)) лежит на гиперболе

Значит ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы

(3/a^2)-(2/b^2)=1

a^2=с^2-b^2

Система:

{(3/a^2)-(2/b^2)=1
{a^2=2-b^2

Находим a^2 и b^2

3/(2-b^2) - 2/b^2 =1

(3*b^2-4+2b^2)/b^2*(2-b^2)=1

3b^2-4+2b^2=b^2*(2-b^2)

b^4+3b^2-4=0

b^2=1

a^2=1

[b]x^2-y^2=1[/b]
Ответ выбран лучшим
D: -1 ≤ х ≤ 1
x^2 ≤ y ≤ 1
см. рис.

V= ∫ ∫ _(D) (x^2+y^2)dxdy=

= ∫ ^(1)_(-1)dx ∫ ^(1)_(x^2) (x^2+y^2)dy=

= ∫ ^(1)_(-1) (x^2y+(y^3/3))| ^(1)_(x^2) dx=

= ∫ ^(1)_(-1) (x^2+(1/3)- x^4-(x^6/3)) dx=((x^3/3)+(1/3)x-(x^5/5)-(x^7/21))| ^(1)_(-1) =

=(1/3)+(1/3)-(1/5)-(1/21)-((-1/3)-(1/3)+(1/5)+(1/21)=

= [b]88/105[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a_(n)=(sqrt(n^2+2)-sqrt(n^2-2))/n

умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(n^2+2)+sqrt(n^2-2)

a_(n)=4/(n*(sqrt(n^2+2)+sqrt(n^2-2)) ~ b_(n)=4/n^2, так как

lim_(n→ ∞ )a_(n)/b_(n)=1

Данный ряд и ряд ∑ 4/n^2 ведут себя одинаково. Одновременно сходятся или одновременно расходятся.

∑ 4/n^2 - обобщенный гармонический ряд, p=2>1
Такой ряд сходится.

О т в е т. [b]Сходится [/b]
Ответ выбран лучшим
О т в е т. СR=28.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
(прикреплено изображение)
857
На первой кости может выпасть любая цифра от 1 до 4, 4 способа выпадения первой цифры.

На второй кости может выпасть любая цифра от 1 до 8, 8 способов выпадения первой цифры.

Так как надо получить двузначное число, то можем получить 4*8=32 двузначных числа

858

n=32

Среди них чисел:

1) сумма цифр которого равна 3 всего 2, это 12 и 21.
m=2
p=m/n=2/32=1/16

2) сумма цифр которого равна 6 всего 4, это 15; 24;33;42.
m=4
p=m/n=4/32=1/8

3)сумма цифр которого меньше 6 всего 10,
это 11;12;13;14; 21; 22; 23; 31; 32; 41.

m=10

p=m/n=10/32=5/16

и так далее....
Ответ выбран лучшим
x + y - 4 = 0 ⇒ y= - x + 4

k=-1

Значит, касательные || прямой имеют вид

y=-x+b

Прямая y=-x+b и гипербола y^2=(4/5)x^2 - 4
имеют одну общую точку, т. е

уравнение

(4/5)x^2-4=(-x+b)^2 имеет единственное решение

(1/5)x^2-2bx+b^2+4=0

D=4b^2-4*(1/5)*(b^2+4)=(16/5)b^2-(16/5)

Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0

(16/5)b^2-(16/5)=0

b^2=1
b= ± 1

О т в е т. [b]y = - x - 1; y = - x + 1[/b]
Ответ выбран лучшим
[b]ОДЗ:[/b]
{x^2+8 > 0 ⇒ x - любое
{sqrt(4x^4+8) >0 ⇒ 4x^4+8 > 0 ⇒ х - любое

[b]х ∈(- ∞;+ ∞) [/b]

log_(sqrt(2))sqrt(4x^4+8)=log_(2^(1/2)sqrt(4x^4+8)=2log_(2)sqrt(4x^4+8)


=log_(2)(sqrt(4x^4+8))^2=log_(2)(4x^4+8)=log_(2)4*(x^4+2)=

=log_(2)4 + log_(2)(x^4+2)=2+log_(2)(x^4+2)

Уравнение принимает вид:

2+log_(2)(x^2+8)=2+log_(2)(x^4+2)


log_(2)(x^2+8)=log_(2)(x^4+2)

x^2+8=x^4+2

x^4-x^2-6=0

D=1+24=25

x^2=3 или x^2=-2 ( уравнение не имеет корней)

x= ± sqrt(3)

О т в е т. sqrt(3) ∈ [1,3;2,2]
Замена переменной:
sinx+cosx=t

Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2

1+2sinx*cosx=t^2

sinx*cosx=(t^2-1)/2

sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)*(sin^2x-sinx*cosx+cos^2x)=

=t*(1- (t^2-1)/2)=t*(3-t^2)/2

Уравнение принимает вид

t*(3-t^2)/2 + (t^2-1)/2=1

3t-t^3+t^2-1-2=0

3(t-1)-(t^3-t^2)=0

(t-1)*(3-t^2)=0

t=1 или t= ± sqrt(3)

Обратный переход
1)
sinx+cosx=1

(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx=1/sqrt(2)

cos(x-(π/4))=1/sqrt(2)

x-(π/4)=±(π/4)+2πn, n∈ Z

x=(π/4)±(π/4)+2πn, n∈ Z

[b]x=(π/2)+2πn, n∈ Z[/b] или [b] х=2πn, n∈ Z[/b]

2)
sinx+cosx=sqrt(3)
(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx=sqrt(3)/sqrt(2)
cos(x-(π/4))=sqrt(3)/sqrt(2) - уравнение не имеет корней, так как sqrt(3)/sqrt(2)>1

-1 ≤cos( x-(π/4))≤1

3)
sinx+cosx=-sqrt(3)
(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx= - sqrt(3)/sqrt(2)
cos(x-(π/4))= - sqrt(3)/sqrt(2) - уравнение не имеет корней, так как - sqrt(3)/sqrt(2) < - 1

-1 ≤cos( x-(π/4))≤1


О т в е т. x=(π/2)+2πn, n∈ Z[/b] ; [b] х=2πn, n∈ Z[/b]

dl=sqrt(1+(y`)^2)dx=sqrt(1+(1/2)^2)dx=sqrt(5/4)dx=sqrt(5)dx/2

∫ _(L)dl/(x-y)= ∫^(4)_(0)sqrt(5)dx/(2*(x - ( x/2 -2))=

=sqrt(5)/2 ∫ ^(4)_(0)dx/(x/2)+2)= (sqrt(5)/2) * 2*ln|(x/2)+2|| ^(4)_(0)=

= sqrt(5)*(ln4-ln2)=sqrt(5)ln(4/2)= [b]sqrt(5)*ln2[/b]
Ответ выбран лучшим
∠ AOC - центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.
∠ AOC= ∪ AC

∠ ABC - вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается.
∠ AВC= (1/2)∪ AC

∪ AC=2* ∠ AВC=2*67 градусов=134 градусов.

∠ AOC= ∪ AC = 134 градусов
Каждый из двенадцати столбов связан с четырьмя другими, всего 12⋅4=48 соединений.

Два столба связаны друг с другом одним проводом, значит, проводов будет протянуто в два раза меньше, чем соединений.

48:2=24.

Ответ: 24.
Ответ выбран лучшим
(16х^2+9)/(16х^2–9) - 1<0

(16x^2+9-16x^2+9)/(16x^2-9) <0

18/(16x^2-9) <0 ⇒ 16x^2-9 <0 ⇒ (4x-3)(4x+3) <0

-3/4 < x < 3/4

О т в е т. (-0,75; 0,75)
Ответ выбран лучшим
По формуле: 2sin^2( α /2)=1-cos α ;

2sin^2((π/4)-9x)=1-cos((π/2)-18x)

По формулам приведения

1-cos((π/2)-18x)=1-sin18x
cos(π–7x)=-cos7x

Уравнение принимает вид:

(7/2)*(1-sin18x)-cos7x=7/2

[b]7sin18x+2cos7x=0[/b]


Скорее всего уравнение выглядит так:
(5/2) sin^2((π/4)-7x)-cos(π-7x)=5/2;
Методом интегрирования по частям получена формула, которая
есть в таблице.
В данном задании
a^2=3
x=u
± заменяем только на + (прикреплено изображение)
y=(1+x-x^3)^(-1/2)

Применяем формулу вычисления производной степенной функции:

(x^(-1/2))`=(-1/2)*x^(-3/2)

и для сложной функции

(u^(-1/2))`=(-1/2)u^(-3/2)*u`

Решение.

y`=(-1/2)*(1+x-x^3)^(-3/2) * (1+x-x^3)`

y`=(-1/2)*(1+x-x^3)^(-3/2)* (1-3x^2)

О т в е т. [b]y`=(3x^2-1)/(2sqrt((1+x-x^3)^3) [/b]

Ответ выбран лучшим
Логарифмическое дифференцирование или готовая формула для вычисления производной показательно-степенной функции.

Решаю методом логарифмического дифференцирования.

lny = ln (tgsqrt(x))^(cos5x)

Применяем свойство логарифма степени

lny = cos5x* ln (tgsqrt(x))

Дифференцируем ( y- сложная функция, х - независимая переменная)

Справа - производная произведения:


y`/y = (сos5x)`*ln(tgsqrt(x))+ cos5x* (lntgsqrt(x))`

y`=y* [b]([/b](-5sin5x)*ln(tgsqrt(x))+cos5x* (1/tgsqrt(x)) * (tgsqrt(x))` [b])[/b]

y`=(tgsqrt(x))^(cos5x)* [b]([/b](-5sin5x)*ln(tgsqrt(x))+cos5x* (1/tgsqrt(x)) * (1/cos^2sqrt(x))*(sqrt(x))` [b])[/b]


y`=(tgsqrt(x))^(cos5x)* [b]([/b](-5sin5x)*ln(tgsqrt(x))+cos5x* (1/tgsqrt(x)) * (1/cos^2sqrt(x))*(1/2sqrt(x)) [b])[/b]
Ответ выбран лучшим
(x^2*y^5)`+(e^(3y))`+(e^(x))`=(cosx)`

2x*y^5+x^2*5y^4*y` + e^(3y)*(3y)`+e^(x)=-sinx

2x*y^5+x^2*5y^4* [b]y`[/b] + e^(3y)*(3)* [b]y`[/b]+e^(x)=-sinx

y`*(5x^2*y^4+3e^(3y))=-sinx-e^(x)-2x*y^5

[b]y`=(-sinx-e^(x) -2xy^5)/(5x^2*y^4+3e^(3y))
[/b]
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x>0
{log^2_(2)x-2log_(2)x ≠ 0 ⇒ log_(2)x*(log_(2)x-2) ≠ 0 ⇒

log_(2)x ≠ 0 и log_(2)x ≠ 2

x ≠ 1 и х ≠ 4

х ∈ (0;1) U(1;4) U(4;+ ∞ )

Замена переменной

log^2_(2)x-2log_(2)x=t; t ≠ 0 и t ≠ 2

45/t^2 - 18/t + 1 < 0

(t^2-18t+45)/t^2<0

D=18^2-4*45=324-180=144

t_(1)=3; t_(2)=15

__+____(0)__+__ (3) __-___ (15) __+___

3 < t < 15

[b] 3 < log^2_(2)x -2log_(2)x < 15[/b]

Система:

{log^2_(2)x -2log_(2)x >3
{log^2_(2)x -2log_(2)x < 15

Замена

log_(2)x=u

{u^2-2u-3>0 ⇒ D=16; u_(1)=-1; u_(2)=3;
{u^2-2u-15 <0 ⇒ D=4+60=64; u_(3)=-3; u_(4)=5

{u < -1 или u > 3
{-3 < u < 5

Решение системы:
-3 < u < -1 или 3 < u < 5


Обратный переход

-3 < log_(2)x < -1 или 3 < log_(2)x < 5


Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

1/8 < x < 1/2 или 8 < x < 32

С учетом ОДЗ
О т в е т. [b](1/8; 1/2) U (8;32)[/b]
Ответ выбран лучшим
d(x^2+2x+1)=(x^2+2x+1)`dx=(2x+2)dx

(x+1)dx=d(x^2+2x+1)/2

∫ ^(1)_(0)(x+1)dx/(x^2+2x+1)= ∫ ^(1)_(0)(d(x^2+2x+1)/2)/(x^2+2x+1)=

=(1/2)ln|x^2+2x+1|^(1)_(0)=

=(1/2)(ln4-ln1)=(1/2)ln2^2=2*(1/2)ln2= [b]ln2[/b]


d(x-2)=dx

∫ ^(3)_(2)sqrt(x-2)dx= ∫ ^(3)_(2)sqrt(x-2)d(x-2)=

=(x-2)^(3/2)/(3/2)|^(3)_(2)=

=(2/3)* [b]([/b](3-2)^3/2-(2-2)^(3/2) [b])[/b]=

=(2/3)*(1-0)= [b](2/3)[/b]
Ответ выбран лучшим
d(4x-5)=4dx

dx=d(4x-5)/4

∫^(1)_(0)(4x-5)^4dx= ∫^(1)_(0)(4x-5)^4d(4x-5)/4=

=(1/4)*(4x-5)^5/5|^(1)_(0)=(1/20)* [b]([/b](4*1-5)^5-(4*0-5)^5 [b])[/b]=


=(1/20)*(-1+5^5)=3124/20=781/5= [b]156,2[/b]


∫ ^(π/2)_(0)sin(x/2)dx=2 ∫ ^(π/2)_(0)sin(x/2)d(x/2)=

=2*cos(x/2)|^(π/2)_(0)=

=2cos(π/4)-2cos0=2sqrt(2)/2 - 2 = [b]sqrt(2)-2[/b]
Ответ выбран лучшим
х=0 - особая точка. В ней подынтегральная функция не существует

По определению

∫ ^(1)_(0)dx/sqrt(x)=lim_(ε→ 0) ∫ ^(1)_(ε)dx/sqrt(x)=

=lim_(ε→ 0)2sqrt(x)|^(1)_( ε )=lim_(ε→ 0)2sqrt(1)-2sqrt(ε)=2 -

интеграл сходится.
Ответ выбран лучшим
V_(Ох)=π ∫ ^(2)_(-4) [b]([/b](4-x)^2- ((1/2)x^2)^2 [b])[/b]dx=

=π ∫ ^(2)_(-4) (16-8x+x^2-(x^4/4))dx=

=π*( 16x -(8x^2/2)+(x^3/3)-(x^5/20))| ^(2)_(-4) =

=π*(16*2-4*2^2+(1/3)*2^3-(2^5/20) - 16*(-4)+4*(-4)^2+(1/3)*(-4)^3-(1/20)*(-4)^5)=

=π*((256/15) +128-(64/3)+(256/5))= (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Дано уравнение, сводящееся к квадратному с помощью замены:

ax-x^2=t

Тогда

4t+(1/t)+4=0

(4t^2+4t+1)/t=0

(2t+1)^2/t=0

2t+1=0
[b]t ≠ 0[/b]

[b]t=-1/2[/b]

ax-x^2=-1/2

Задача сводится к другой задаче.

При каком значении параметра а уравнение

[b]ax-x^2=-1/2[/b]

ax-x^2≠ 0 ⇒ х*(a - x)≠ 0⇒ х≠ 0 и х≠ а

имеет ровно два различных корня на [-1;1)

аx=x^2-(1/2)

a=x - 1/(2x)

Решаем графически

а=f(x)

Строим прямую y=a
и
Строим график f(x) = x - (1/2x)

Применяем исследование функции с помощью производной.

y`=1-(-1/2x^2)

y`=(2x^2+1)/(2x^2)>0 при любом х.

Функция монотонно возрастает на (- ∞ ;0) и на (0; + ∞)

Строим полосу, ограниченную х=-1 и х=1

При х=-1
y=-1+(1/2)=-1/2
При х=1
y=1-(1/2)=1/2

Т. е [-1;0) U(0;1) → [-1/2;0) U(0;1/2)

Значит при a ∈ [-1/2;0) U (0; 1/2) уравнение имеет два корня.

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Я думаю, что здесь корень кубический из дроби.

y=∛((2x-3)/(2x+3)).

Для вычисления производной надо знать формулу
(∛x)`=(x^(1/3))`=(1/3)*x^((1/3)-1)=(1/3)x^(-2/3)=1/(3∛x^2)


Для сложной функции

(∛u)`=(u^(1/3))`=u`/(3∛(u^2))


Решение будет выглядеть так:

y`=(1/3)*((2x-3)/(2x+3))^(-2/3)* ((2x-3)/(2x+3))`=

=применяем правило нахождения производной дроби=

=(1/3)* ∛((2х+3)/(2х-3))^2* [b]([/b] ((2x-3)`(2x+3)-(2x-3)*(2x+3)`)/(2x+3)^2 [b])[/b]=

=(1/3)* ∛((2х+3)/(2х-3))^2* [b]([/b] 2*(2x+3)-(2x-3)*2)/(2x+3)^2 [b])[/b]=


=(1/3)* ∛((2х+3)/(2х-3))^2* [b]([/b] (4x+6-4x+6)/(2x+3)^2 [b])[/b]=

=(1/3)* ∛((2х+3)/(2х-3))^2* [b]([/b] (12)/(2x+3)^2 [b])[/b]=

= [b]4/(∛(2x-3)^2*∛(2x+3)^4)[/b]
Ответ выбран лучшим
Могу предложить [b]графический метод[/b] решения....

Перепишем уравнение в виде:

ax=-x^3-5x^2-10

Делим обе части на х
х≠0

a=-x^2-5x-(10/x)

Уравнение имеет вид:

g(x)=f(x)

Строим графики функций

g(x)=a - прямая,параллельная оси Ох

f(x)=-x^2-5x-(10/x)

Исследуем функцию с помощью производной

f`(x) =-2x-5+(10/x^2)

f`(x)=0

-2x-5+(10/x^2)=0

Уравнение имеет один корень.
х=1,168
(см. рис. 1)

График y=10/x^2 пересекается с прямой y=- 2x-5 в одной точке.


График y=-x^2-5x-(10/x) ( cм. рис.2)

на [-2;0) имеет ед решение при а ∈ [11;+ ∞ )

При х=-2

y(-2)=-(-2)^2-5*(-2)-(10/(-2))=-4+10+5=11

На (0;2] ед решение в точке х=1,168

y=-15,766

При х=0 данное уравнение принимает вид 10=0
нет корней.


О т в е т {-15,766} U [11;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Замена
1/(x-1)=t

x-1=1/t
d(x-1)=d(1/t) ⇒ dx=-dt/t^2

x-1=1/t ⇒ x=(1/t) +1
1+х-х^2=1+(1/t) +1 -((1/t)+1)^2 ⇒

1+x-x^2=1-(1/t)-(1/t^2)=(t^2-t-1)/t^2

Тогда

∫ dx/(x-1)*sqrt(1+x-x^2)= ∫ (-dt/t^2)/ [b]([/b](1/t)*sqrt(t^2-t-1)/t [b])[/b]=

=- ∫ dt/(t^2-t-1)=

выделяем полный квадрат

t^2-t+1=(t-(1/2))^2-(5/4)

=- ∫ dt/sqrt((t-(1/2))^2-(5/4))= [b]- ln|t - (1/2)+sqrt(t^2-t-1)|+С[/b], где

t=1/(x-1)

=-ln|1/(x-1) -(1/2) + sqrt((1/(x-1))^2-(1/(x-1))-1)|+C=

=-ln|(1/(x-1) - (1/2) + sqrt((1-(x-1)-(x-1)^2)/(x-1))|+C=

= [b]-ln|1/(x-1) - (1/2) + sqrt((1+x-x^2)/(x-1))|+C
[/b]
Чтобы решить задачу, нужно знать, что

1.
Правило вычисления производной произведения:

(u·v)`=u`·v+u·v`

2.
Формулы вычисления производных:
(e^(x))`=e^(x)
(tgx)`=1/cos^2x

Эти же формулы для сложной функции:
(e^(u))`=e^(u)·u`

(tgu)`=u`/cos^2u
поэтому:

(e^(sinx))`=e^(sinx)*(sinx)`=e^(sinx)*cosx

(tg 7x^4)`=(7x^4)`/cos^2(7x^4)=28x^3/cos^2(7x^4)


Решение выглядит так:

y`=(e^(sinx)·tg7x^4 )`=

=(e^(sinx))`*tg(7x^4)+e^(sinx)*(tg7x^4))`=

=e^(sinx)*cosx*tg(7x^4) + e^(sinx)*(7x^4)`/cos^2(7x^4)=

= [b]e^(sinx)*cosx*tg(7x^4) + (28x^3*e^(sinx))/cos^2(7x^4)[/b]

можно вынести за скобки e^(sinx):


=e^(sinx) * [b]([/b]cosx*tg(7x^4) +(28x^3/cos^2(7x^4)) [b])[/b]

Ответ выбран лучшим
Чтобы решить задачу, нужно знать, что

1.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

2.
Правило вычисления производной произведения:

(u*v)`=u`*v+u*v`
3.
Формулы вычисления производных:
(cosx)`=-sinx
(x^3)`=3x^2

Эта же формула для сложной функции:
(u^3)`=3u^2*u`

поэтому:
(arcsin^32x)`=3arcsin^2x * (arcsin2x)`=3arcsin^22x*(1/sqrt(1-(2x)^2)) * (2x)`=6arsin^22x/sqrt(1-4x^2)

Итак,

y`=3*(cosx)`*arcsin^32x+cosx*(arcsin^32x)`=

=3*(-sinx)*arcsin^32x+cosx*(6arsin^22x/sqrt(1-4x^2))=

= [b]-3sinx*arcsin^32x+(6cosx* arsin^22x)/sqrt(1-4x^2)
[/b]


Ответ выбран лучшим
det A=-6e^(3t)sin3t*(-5e^(2t)sin3t-(-5^(3t)*cos3t*6e^(2t)*cos3t)=

=30e^(5t)*(sin^23t+cos^23t)=30e^(5t)·1=30e^(5t) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
Замена
y`=z
y``=z`
xz`=z+x^2

z`-(1/x)z=x - линейное первого порядка. Решается методом вариации или методом Бернулли y=u*v

2)
Линейное неоднородное второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляют характеристическое

k^2+6k+5=0

D=36-20=16

k_(1)=-5; k_(2)=-1

y=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x) - общее решение однородного.

Частное решение неоднородное находят в виде похожем на правую часть

Справа линейная функция умножается на экспоненту.

y_(част)=(Ах+В)*e^(2x)

y`_(част)=((Ах+В)*e^(2x))`

y``_(част)=(y`_(част))`

Подставляем в данное неоднородное уравнение и находим А и В.

См. у меня на странице раздел категории. Дифференциальные уравнения. Там есть похожие задачи....
ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ (0+2πn;π+2πn) n ∈ Z
{3cos^2x>0 ⇒ cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z

ОДЗ: (0+2πn;(π/2)+2πn)U((π/2)+2πn; π+2πn) n ∈ Z

25^(log_(5)(sinx))=5^(2*log_(5)(sinx))=5^(log_(5)(sinx)^2)=sin^2x

2^(log_(4)(3cos^2x))=2^(log_(2^2)(3cos^2x))=2^((1/2)*log_(2)(3cos^2x))=2^(log_(2)(3cos^2x)^(1/2))=(3cos^2x)^(1/2)=


=sqrt(3)|cosx|

Уравнение принимает вид

sin^2x+0,5*sqrt(3)*|cosx| =1

Раскрываем знак модуля на ОДЗ:

(1)

на (0+2πn;(π/2)+2πn), n ∈ Z
cosx>0
|cosx|=cosx

sin^2x+(sqrt(3)/2)cosx=1

sin^2x+(sqrt(3)/2)cosx-1=0

(sqrt(3)/2)cosx-(1-sin^2x)=0

(sqrt(3)/2)cosx-cos^2x=0

cosx*(sqrt(3)/2)-cosx)=0

Согласно ОДЗ
cosx ≠ 0

Значит
cosx=sqrt(3)/2
x= ± arccos(sqrt(3)/2)+2πm, m ∈ Z
x= ±(π/6) +2πm, m ∈ Z
х=- (π/6) +2πm, m ∈ Z находятся в четвертой четверти и не принадлежат ОДЗ

О т в е т (1) (π/6) +2πm, m ∈ Z


(2)

на((π/2)+2πn; π+2πn) n ∈ Z
cosx<0

|cosx|=- cosx

sin^2x-(sqrt(3)/2)cosx=1

sin^2x-(sqrt(3)/2)cosx-1=0

-(sqrt(3)/2)cosx-(1-sin^2x)=0

-(sqrt(3)/2)cosx-cos^2x=0

-cosx*(sqrt(3)/2)+cosx)=0

Согласно ОДЗ
cosx ≠ 0

Значит
cosx=- sqrt(3)/2
x= ± arccos(-sqrt(3)/2)+2πk, k ∈ Z
x= ±(5π/6) +2πk, k ∈ Z
х=- (5π/6) +2πk, k ∈ Z находятся в третьей четверти и не принадлежат ОДЗ

О т в е т (2) (5π/6) +2πk, k ∈ Z


О т в е т.
[b] (π/6) +2πm, m ∈ Z
(5π/6) +2πk, k ∈ Z[/b]
Метод параллельных сечений:
при

z=0
x^2 4y^2=8
(x^2/8) (y^2/(7/4))=1 - эллипс

при
z=1
1=8-x^2-4y^2


x^2 4y^2=7
x^2/7 (y^2/(7/4))=1 - эллипс

Причем a_(1)=sqrt(7) < a_(0)=sqrt(8)
b_(1)=sqrt(7/4) < a_(0)=sqrt(8/2)

т. е размеры эллипса уменьшаются.

и т. д.

при
z=8


x^2 4y^2=0
Точка (0;0;8) - вершина поверхности

При z > 8 нет линий
Так как x^2+4y^2 = - 1; -2 и т.д. не может

При z=-3; z=-4

эллипсы, причем размеры их все время увеличиваются.


При y=0
парабола, ветви вниз
z=8-x^2

при y=1
y=-1
параболы
и т. д.

При х=0
парабола ветви вниз
z=8-4y^2
при х=1
х=-1
параболы
....

О т в е т. Это эллиптический параболоид. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Δ АВЕ ~ Δ DBC ( АЕ || BC)

Из подобия следует пропорциональность сторон
AB: DB=AE:DC
6:18=AE:15

AE=6*15/18= [b]5[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Подкоренное выражение неотрицательно
x^2-4 ≥ 0
Выражение под знаком логарифма положительно
x^2+2x-3>0
Знаменатель дроби не должен равняться 0
log_(2)(x^2+2x-3) ≠ 0

Все три условия должны выполняться одновременно, поэтому ОДЗ
определяется системой:

{x^2-4 ≥ 0 ⇒ (x-2)*(x+2)≥ 0 __+_ [-2] ___ [2] _+__ ⇒ x ≤ -2 или x ≥2
{x^2+2x-3>0 ⇒ D=4+12=16; x_(1)=-3; x_(2)=1 ⇒ x<-3 или x > 1
{x^2+2x-3 ≠ 1 ⇒ x^2+2x-4 ≠ 0 ⇒ D=20; x_(3)≠-1-sqrt(5);x_(4)≠-1+sqrt(5)


О т в е т. (- ∞ ;-1-sqrt(5))U(-1-sqrt(5);-3) U [2;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Так как прямой угол опирается на диаметр, то гипотенуза с=10
Второй катет находим по теореме Пифагора
b^2=c^2-a^2=10^2-6^2=100-36=64

b=[b]8[/b]
S=(1/2)a*b=(1/2)*6*8=[b]24[/b]
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{2-x>0 ⇒ x < 2
{x>0
{log_(14)x-log_(49)x ≠ 0⇒ log_(14)x ≠ log_(49)x
Функция y=log_(14)x монотонно возрастает, значит каждое свое значение принимает в единственной точке

Функция y=log_(49)x монотонно возрастает, и тоже каждое свое значение принимает в единственной точке

Графики функции y=log_(14)x пересекается с графиком функции y=log_(49)x в точке х=1 ⇒ Значит равные значения функции принимают только в единственной точке х=1

Исключаем ее из области определения
х≠ 1

ОДЗ:
x ∈ (0;1)U(1;2)


Переходим к основанию 2.

В числителе:

log_(2)(2-x)/log_(2)4 - log_(2)(2-x)/log_(2)14=

=log_(2)(2-x) *((1/2) - 1/(log_(2)+log_(2)7))=

=log_(2)(2-x) * (1+log_(2)7-2)/(2*(1+log_(2)7))=

=log_(2)(2-x) * (log_(2)7-1)/(2*(1+log_(2)7))


В знаменателе:

log_(2)x/log_(2)14 - log_(2)x/log_92)49=

=log_(2)x*(1/(1+log_(2)7) - 1/(2log_(2)7))=

=log_(2)x*(2log_(2)7 - 1 - log_(2)7)/ (2log_(2)7*(1+log_(2)7)


Делим числитель на знаменатель.
Первую дробь умножаем на обратную второй

сокращаем на 2, на (log_(2)7-1) и на 2(1+log_(2)7)


Неравенство принимает вид:

log_(2)(2-x) * log_(2)7/log_(2)x ≤ log_(2^2)7^2

log_(2)(2-x) * log_(2)7/log_(2)x ≤(2/2) log_(2)7

log_(2)7 > 2 > 0
Делим обе части неравенства на log_(2)7

log_(2)(2-x) /log_(2)x ≤1

Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:

log_(x)(2-x) ≤ 1

1=log_(x)x

[b]log_(x)(2-x) ≤ log_(x)x[/b]

Если основание логарифмической функции x>1 функция возрастает,
большему значению функции соответствует большее значение аргумента
2-x ≤ x

{x>1
{2-x≤ x ⇒ 2≤2x ⇒ x ≥1
C учетом ОДЗ x ∈(1;2)


Если основание логарифмической функции 0 < x <1 функция убывает,
большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
2-x≥ x

{0<x<1
{2-x≥ x ⇒ 2≥2x ⇒ x ≤ 1
C учетом ОДЗ x ∈(0;1)

Объединяем два решения и получаем о т в е т. (0;1) U (1;2)

Можно вместо этого применить [b]метод рационализации логарифмических неравенств[/b], который позволяет заменить неравенство [b]log_(x)(2-x) ≤ log_(x)x[/b] равносильным ему на ОДЗ неравенством:

(x-1)*(2-x-x) ≤ 0

Сравните: в первой и второй системе множители
разных знаков, значит произведение множителей в обоих случаях неположительно ( < или = 0)

(x-1)*(2-2x) ≤ 0

2*(x-1)^2 ≥ 0

неравенство верно при любом х из ОДЗ

О т в е т. (0;1)U(1;2)
Равнобедренный треугольник ДЕF с основанием ДF ⇒
боковые стороны равны между собой
DE=EF

Δ DOE = Δ EOF по трем сторонам
DE=EF
DO=EO=OF=R

Из равенства треугольников следует равенство углов
∠ DOE= ∠ EOF=120^(o)

Тak как

∠ DOE+ ∠ EOF+∠ DOF=360^(o) ⇒ ∠ DOF= [b]120^(o) [/b]

∠ DOF- центральный, измеряется дугой, на которую опирается.
Значит, ∪ DF=120^(o)

∠ DEF - вписанный, измеряется половиной дуги, на которую опирается.

∠ DEF= [b]60^(o) [/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
∠ АBC - вписанный, он равен половине дуге на которую он опирается,
значит ∪AC=2*50 градусов=100 градусов
∠ АОC - центральный, он измеряется дугой АС, на которую опирается
∠ АОC=100 градусов

Δ АВО=Δ ВОС- по трем сторонам:
АВ=ВС - по условию; ОА=ОВ=ОС=R)
∠АОВ=∠ВОС

∠АОВ+∠ВОС+∠ АОC=360 градусов

∠АОВ+∠ВОС=360 градусов-∠ АОC=360 градусов-100 градусов=260 градусов
∠АОВ=∠ВОС=260 градусов/2=130 градусов

Ответ: угол BОC = 130 градусов

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Формула синуса двойного угла
sin2 α =2*sin α cos α

поэтому
sin81^(o)*cos81^(o)=(1/2)sin162^(о)

sin162^(o)=sin(180^(o)-18^(o))= [b]sin18^(o)
[/b]
Формула понижения степени

cos^2 α =(1+cos2 α) /2

поэтому

cos^251^(o)=(1+cos102^(o))/2

cos(102^o)=cos(90^(o)+12^(o))= [b]-sin12^(o)[/b]


sin81^(o)*cos51^(o)*cos81^(o)*cos51^(o)=

=sin81^(o)*cos81^(o)*cos51^(o)*cos51^(o)=

=(1/2)sin162^(o)*(1+cos102^(o))/2=

=(1/4)*(sin18^(o)*(1-sin12^(o))=

=(1/4)*(sin18^(o)-sin18^(o)*sin12^(o))=

формула sin α *sin β =(1/2)cos( α - β)-(1/2)cos( α + β )

(1/4)*(sin18^(o) - (1/2)cos6^(o)+(1/2)cos30^(o))=

=(1/4)sin18^(o) - (1/8)cos6^(o)+(1/8)*sqrt(3)/2
пл. А_(1)BD и пл. основания пересекаются по прямой BD
BD=1 , треугольник АВD - равнобедренный с углом 60 градусов при вершине, значит он равносторонний
AO=(1/2)AC
AO^2=AD^2-DO^2=1-(1/2)^2=3/4
AO=sqrt(3)/2

AA_(1) находим из прямоугольного треугольника АА_(1)О

AO=(1/2)AC=sqrt(3)/2
AA_(1)=AO*tg60^(o)=(sqrt(3)/2)*sqrt(3)= [b]3/2[/b]

S_(бок.пов)=P_(осн.)*H
H=AA_(1)
так как призма прямая
Р_(осн)= [b]4[/b]


S_(бп)=4*(3/2)= [b]6[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
У пирамиды ADA_(1)B_(1) в основании треугольник AA_(1)B_(1)
Высота равна AD

Будем считать,что у параллелепипеда
основание AA_(1)B_(1)B и высота AD

Тогда
V_(параллелепипеда )=S_(осн)*Н= [b]S_(AA_(1)B_(1)B)* AD[/b]

V_( пирамиды ADA_(1)B_(1) )==(1/3)*S_(осн.)*Н=

=(1/3)*S_( Δ AA_(1)B_(1)) * AD=

=(1/3)*(1/2) [b]S_(AA_(1)B_(1)B)* AD[/b]=(1/6)*V
Ответ выбран лучшим
А \ В - число оканчивается на 5
A ∩ B- число оканчивается нулем.
Ответ выбран лучшим
О-середина гипотенузы. Значит, АО=ОВ=ОС=R

BC=AB/2=2R/2=R - катет против угла в 30 градусов.

DO=BC=R
По теореме Пифагора из Δ ADO
AD=Rsqrt(2)

Проводим AF || BC
Получаем прямоугольник AFBC

Угол между AD и AF равен углу между AD и ВС.

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S_(прав. шестиуг.)=6S_(прав.треуг)=6*(a^2sqrt(3)/4)=(3/2)a^2sqrt(3)

V=(1/3)*S_(осн.)*h=(1/2)*(3/2)a^2sqrt(3)*h= [b](a^2sqrt(3)*h)/2[/b]
Ответ выбран лучшим
S= ∫ ^(1)_(0)(∛x-x^2)dx= ∫ ^(1)_(0)(x^(1/3)-x^2)dx=

=(x^(4/3)/(4/3)-(x^3/3))|^(1)_(0)=

=(3/4)*1-(1/3)*1= [b]5/12[/b]
(прикреплено изображение)
А)
Замена переменной
x-(π/2)=t
t→0

x=(π/2)+t
sin2x=sin2*((π/2)+t)=sin(π+2t)=-sin2t
tg4x=tg4*((π/2)+t)=tg(2π+4t)=tg4t

lim_(x →(π /2))sin2x/tg4x= lim_(t →0) (-sin2t/tg4t)= lim_( t → 0)(-2t/4t)=-1/2


sin2t~2t при t→0
tg4t~4t при t→0
Б)
Замена переменной
x-2=t
t→0

x=t+2

ctg(πx)=ctgπ*(t+2)=ctg(π*t+2π)=ctg(π*t)


lim_(x → 2)(x–2)·ctg(πx) = lim_(t →0) t*ctg (π*t)= lim_(t →0) t/tg (π*t)=1/π

В) lim x → 0(1–cos4x)/(2x·tg2x)=[ формула 2sin^2(α /2)=1-cosα ]=

= lim x → 0(2sin^22x)/(2x·tg2x)=

=lim x → 0(sin2x)*(sin2x)/(x·tg2x)= lim_( x → 0)(2x*2x)/(x*2x)=2

sin2x~2x при x→0
tg2x~2x при x→0


Г) lim_( x → 0)(arcsin7x/sin4x)= lim_( x → 0)(7x/4x)=7/4

arcsin7x~7x при xt→0
sin4x~4x при x→0

Д)lim_( x → ∝ )(x·sin(2/x)lim x)=[Замена 1/x=t; x → ∞ ; t → 0]=

= lim_( t → 0)(sint/t)=1
Ответ выбран лучшим
Подставляем х=-1 в числитель и знаменатель дроби:
(3*(-1)^2+2*(-1)+1)/(2*(-1)^2+3*(-1)+1)=(-2/0)=- ∞

величина обратная бесконечно малой (0) есть бесконечно большая (∞).

Между прочим и обратное верно
величина обратная бесконечно большой (∞) есть бесконечно малая (0).

2.
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=x`*arccos(x/2)+x*(arccos(x/2))`-(sqrt(4-x^2))`=

=arccos(x/2)+ x*(1/-sqrt(1-(x/2)^2))*(x/2)` - (4-x^2)`/(2*(sqrt(4-x^2))=

=arccos(x/2)- x/(2sqrt(1-(x^2/4))) + 2x/(2(sqrt(4-x^2))=


=arccos(x/2)- x/(sqrt(4-x^2)) + x/((sqrt(4-x^2))=

= [b]arccos(x/2)[/b]


3.

Табличный интеграл

∫ e^(u)du=e^(u)+C

u=x^2+3

du=2xdx

d(x^2+3)=2xdx

xdx=(1/2)d(x^2+3)



∫ e^(x^2+3)xdx= (1/2) ∫ e^(x^2+3)d(x^2+3)=

= [b](1/2)e^(x^2+3) + C[/b]
Ответ выбран лучшим
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''+y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+1=0

k_(1)=-i; k_(2)=i- корни комплексные

α=0; β=1

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(0x)(С_(1)*cosx+C_(2)*sinx)

e^(0x)=1

[b]y_(одн.)=С_(1)*cosx+C_(2)*sinx[/b]



Частное решение неоднородного уравнения находим в виде:

y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=хe^(x)

y_(част 1) =(Ax+B)*e^(x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част 1)=(Ax+B)`e^(x)+(Ax+B)*(e^(x))`

y`_(част 1)=A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)

y``_(част 1)=(A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x))`=

=A*e^(x)+=A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)=2*A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)

подставляем в данное уравнение:

2*A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)+(Ax+B)*e^(x) =x*e^(x)

(2А+2B)+2Ax=x

2A+2B=0
2A=1

[b]А=1/2; B=-1/2[/b]


y_(част 1)=(1/2)(x-1)*e^(x)



y_(част 2) соответствует f_(1)(x)=2e^(-x)


y_(част 2) =Me^(-x)

y`_(част 2) =-Me^(-x)

y``_(част 2) =Me^(-x)


Me^(-x)+Me^(-x)=2e^(-x)

2M=2

M=1

y_(част 2) =e^(-x)

[b]Общее решение :[/b]
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

= [b]=С_(1)*cosx+C_(2)*sinx +(1/2)(x-1)*e^(x) +e^(-x)[/b]

ОДЗ:
{-x > 0 ⇒ x < 0
{2x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1/2
{(x+2)/4 > 0 ⇒ x > -2

(-2;-1/2) U (-1/2; 0)

На ОДЗ
sqrt(-x) > 0,
поэтому
осталось решить неравенство:

3/(2x+1) + log_(2) (x+2)/4 > 0

3/(2x+1) + log_(2) (x+2)- log_(2)4 > 0

log_(2) (x+2) > 2- (3/(2x+1))

log_(2) (x+2) > (4x-1)/(2x+1)

Строим график у=log_(2) (x+2)
и
у= (4x-1)/(2x+1)

О т в е т. (-1/2;0) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)
∫ e^(x)*(2-(e^(-x))/sqrt(x))dx=
раскрываем скобки; применяем свойство интегрирования: интеграл от суммы равен сумме интегралов

= ∫ 2e(x)dx- ∫ dx/sqrt(x)= 2e^(x)-2sqrt(x)+C

б)
Табличный интеграл.
См. приложение

в)
замена
3e^(x)+1=t
3e^(x)=t-1

e^(x)=(t-1)/3

x=ln(t-1)/3

dx=dt/(t-1)


∫ (2*(t-1)/3)-1)dt/t(t-1)=(1/3) ∫ (2t-5)dt/(t-1)*t - неправильная дробь, раскладываем на простейшие дроби

Все системы решаются способом подстановки.
Из первого уравнения выражаем х=-3у-1
и подставляем во второе.
Получаем квадратное уравнение.
{(x/2)–(y/3)=1
{ x+y=7

{3x-2y=6
{2x+2y=14
5x=20
x=4
y=7-x=7-4=3

(4;3) - точка пересечения прямых

Она единственная. Две прямые пересекаются только в одной точке.

Проверим принадлежит ли она второму уравнению

4^2+4*3-2*3^2-4+3=5
9=5- неверно.

О т в е т. Не имеют
Ответ выбран лучшим
а)
{ x^2–4y^2=0 ⇒ (x-2y)*(x+2y)=0
{x^2+xy–y^2=20

Совокупность двух систем:
{x-2y=0......... ........ или.......... {x+2y=0
{x^2+xy–y^2=20..... или.......... {x^2+xy–y^2=20

Каждую решаем способом подстановки, ответы объединяем

в)
Из второго y=6-x
и подставляем в первое.
Получаем квадратное уравнение.
г)
Замена
х+у=t
t^2-2t=15- квадратное уравнение
Находим корни.
Обратный переход
x+y=t_(1); x+y=t_(2)

Выражаем у через х и подставляем во второе уравнение
1)
Делим на х
y`-(2/x)y=x^2*cosx (#)

Решаем однородное:

y`-(2/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y=2dx/x


∫ dy/y= 2∫ dx/x
ln|y|=2ln|x|+ lnC

y=Cx^2

Метод вариации

y=C(x)*x^2

y`=C`(x)*x^2+2*C(x)*x

Подставляем в неоднородное (#) :

C`(x)*x^2+2*C(x)*x-(2/x)*C(x)*x^2=x^2*cosx

C`(x)*x^2=x^2*cosx

C`(x)=cosx

C(x)= ∫ cosxdx=-sinx+C

y=(-sinx+C)*x^2

[b]y=-x^2*sinx+C*x^2[/b]

2)
y’–y ^2(x+1)=0

dy/dx=y^2*(x+1)

Это уравнение с разделяющимися переменными


dy/y^2=(x+1)dx

∫ dy/y^2= ∫ (x+1)dx

-1/у = (x^2/2)+x + C - [b] общее решение[/b]


y(2)=1

-1/1=(2^2)/2+2+C

C=-5

-1/у = (x^2/2)+x -5 - [b] частное решение[/b]
Ответ выбран лучшим
Пусть первоначальная дробь (x/y);
у ≠ 0

Если к числителю обыкновенной дроби прибавить 1, а к знаменателю 3, то значение дроби будет равно 1/2.
(x+1)/(y+3)=1/2

Если же из числителя вычесть 1, а к знаменателю прибавить 1, то получится дробь, после умножения которой на первоначальную будем иметь 1/5.

(x-1)/(y+1) *(x/y)=1/5

Система двух уравнений:
{(x+1)/(y+3)=1/2 ⇒ 2*(х+1)=у+3
{(x-1)/(y+1) *(x/y)=1/5 ⇒ 5*(х-1)*х=у*(у+1)


{y=2x-1
{5*(x-1)*x=(2x-1)*2x

5x^2-5x=4x^2-2x
x^2-3x=0
x=0; x=3

y=2*3-1=5

О т в е т. 3/5
Ответ выбран лучшим
Пусть первоначальная дробь (x/y);
[b]у ≠ 0[/b]

Если к числителю обыкновенной дроби прибавить 2, а к знаменателю 3, то значение дроби не изменится:

(x+2)/(y+3)=x/y

Если же к числителю прибавить 1, а к знаменателю 6, то значение дроби уменьшится на 1/6

(x+1)/(y+6) +(1/6)=x/y

Система двух уравнений:
{(x+2)/(y+3)=x/y
{x+1)/(y+6) +(1/6)=x/y


{(x+2)/(y+3)=x/y
{x+1)/(y+6) =(x/y)-(1/6)

{(x+2)/(y+3)=x/y
{x+1)/(y+6) =(6x-y)/(6y)

Применяем основное свойство пропорции

{(y*(x+2)=x*(y+3)
{6y*(x+1)=(6x-y)*(y+6)

{2y=3x ⇒ х=2у/3
{6y=-y^2+36х-6y

y^2+12y-36*(2y/3)=0
y^2-12y=0
у ≠ 0 ;

[b] y=12[/b]

[b]x=8[/b]

О т в е т. [b]8/12[/b]= [b]2/3[/b]

Ответ выбран лучшим
AF||BO

Значит, ∠ (AF, пл. МВС)= ∠ (BO, пл. МВС)

Δ BMC- равнобедренный, MK - высота и медиана
Δ BOC- равносторонний, ОК- медиана и высота


Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

В Δ MKO проводим высоту OP

BP - проекция BO

cos ∠ PBO=BP/BO


Из Δ MBO:

MO^2=MB^2-BO^2=2^2-1^2=3

MO=sqrt(3)

Находим из прямоугольного Δ МКО

MO*OK=MK*ОР

ОК=sqrt(3)/2 - высота равностороннего треугольника ВОС

MK^2=MB^2-BK^2=2^2-(1/2)^2-15/4

MK=sqrt(15)/2

OP=(sqrt(3)*sqrt(3)/2)/sqrt(15)/2=sqrt(15)/5

cos ∠ PBO=BP/BO=sqrt(15)/5

О т в е т. [b]arccos(sqrt(15)/5)[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Δ MBC- равносторонний
BD- медиана высота и биссектриса
BD=sqrt(3)/2
Проводим AD
Δ MAC- равносторонний
AD=BD=sqrt(3)/2

ΔADB - равнобедренный.
Проводим высоту DK.
BK=KA
BK- проекция BD

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Значит, надо найти угол DBK

cos ∠ DBK=BK/BD=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3
[b]∠ DBK= arccos(sqrt(3)/3)[/b] - о т в е т. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Угол между прямой и плоскостью- угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

См. рис.

ВЕ=2 - наибольшая диагональ шестиугольника
АC=sqrt(3) - диагональ шестиугольника

Δ MAC - равнобедренный, проводим MК ⊥ АС
Проводим высоту из точки Е на МK ⇒ проекция ME находится на MK
Значит, угол между прямой ME и плоскостью MAC - это угол KME

Находим его из треугольника KME по теореме косинусов.

МК^2=MA^2-AK^2=2^2-(sqrt(3)/2^2=4-(3/4)=9/4
MK=3/2
KE=BE-BK=2-(1/2)=3/2
ME=2

cos ∠ KME=(MK^2+ME^2-KE^2)/(2MK*ME)=2/3
∠ KME= [b]arccos(2/3)[/b] - о т в е т. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k-3=0
D=(-2)^2-4*(-3)=16

k_(1)=(2-4)/2=-1; k_(2)=(2+4)/2=3– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
[b]y=С_(1)e^(–x)+C_(2)e^(3x)[/b]

2)
Составляем характеристическое уравнение:
4k^2+4k+1=0
(2k+1)^2=0
2k+1=0
k_(1)= k_(2)=–1/2– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
[b]y=С1*e^((–1/2)*x)+C_(2)·x·e^((-1/2)*x)[/b]

3)
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+0,2k+2,01=0

D=0,04-4*2,01=-4

k_(1)=(-0,2-2i)/2=-0,1-i; k_(2)=-0,1+i – корни комплексные

α=-0,1; β=1

Общее решение однородного имеет вид:
[b]y=e^(-0,1x)*(С_(1)cosx+C_(2)sinx)[/b]
Ответ выбран лучшим
Это однородное уравнение, решается методом замены переменной.
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`; x`=1, так как x - независимая переменная.

Подставляем в уравнение

x*(u+xu`)=xu+x*e^(u)

x^2u`=x*e^(u)

xu`=e^(u)

u`=du/dx

x*du=e^(u)dx - уравнение с разделяющимися переменными.

du/e^(u)=dx/x

∫ e^(-u)du= ∫ dx/x

-∫ e^(-u)d(-u)= ∫ dx/x

-e^(-u)=lnx+lnC

-e^(-u)=lnCx

e^(-u)+lnCx=0

[b]e^(-y/x)+lnCx=0[/b] - общее решение
Ответ выбран лучшим
1.
y`=dy/dx

xydy=(1+y^2)dx

Разделяем переменные, делим на х*(1+y^2)

ydy/(1+y^2)=dx/x

Интегрируем

∫ ydy/(1+y^2)= ∫ dx/x

(1/2) ∫d(1+y^2)/(1+y^2)= ∫ dx/x

∫d(1+y^2)/(1+y^2)=2 ∫ dx/x

ln|1+y^2|=2lnx+lnC

ln|1+y^2|=lnx^2+lnC

ln|1+y^2|=lnC*x^2

[b]1+y^2=Cx^2[/b] - общее решение

2.
Линейное [b]неоднородное[/b] первого порядка.
Делим на х

[b]y`-(1/x)y=x*e^(x/2)[/b] (#)

Решаем однородное:

y`-(1/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y=dx/x


∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+ lnC

y=Cx

Метод вариации

y=C(x)*x

y`=C`(x)*x+C(x)

Подставляем в неоднородное (#) :

C`(x)*x+C(x)-(1/x)*C(x)*x=x*e^(x/2)

C`(x)*x=x*e^(x/2)

C`(x)=e^(x/2)

C(x)= ∫ e^(x/2)dx=2*∫ e^(x/2)d(x/2)=2e^(x/2)+C

y=C(x)*x

y=(2e^(x/2)+C)*x

[b]y=2*x*e^(x/2)+C*x[/b] - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
1)
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+1,44=0

k=-1,2i или k=1,2i
α=0
β=1,2
y=e^(0x)*(C_(1) cos1,2x+C_(2)sin1,2x)
[b]y= C_(1) cos1,2x+C_(2)sin1,2x[/b] - общее решение

y(0)=1
1=C_(1) cos1,2*0+C_(2)sin1,2*0
1==C_(1)*1+C_(2)*0

C_(1)=1

y`=1,2C_(1)(-sin1,2x)+1,2C_(2)cos1,2x

y`(0)=0

0=-1,2C_(1)(sin1,2*0x)+1,2C_(2)cos1,2*0

0=1,2C_(2)

C_(2)=0

[b]y=cos1,2x[/b] - частное решение

2)

y`= ∫ y``(x)dx= ∫ sin(x/2)dx=2* ∫ sin(x/2)d(x/2)=2*(-cos(x/2))+C_(1)

y= ∫ y`(x)dx= ∫ (2*(-cos(x/2))+C_(1)) dx=

=-2 ∫ cos(x/2)dx +C_(1) ∫ dx=

=-4 ∫ cos(x/2)d(x/2) +C_(1) ∫ dx=

= [b]-4sin(x/2)+C_(1)x+C_(2)[/b]- общее решение

y(π)=π
π=-4sin(π/2)+C_(1)*π+C_(2)

π=-4*1+C_(1)*π+C_(2)

π+4=C_(1)*π+C_(2)

y`=(-4sin(x/2)+C_(1)x+C_(2))`=

=-4*cos(x/2)*(1/2) +C_(1)

y’(π)=1

1=-2cos(π/2)+C_(1)
1=-2*0+C_(1)
[b]C_(1)=1[/b]

π+4=C_(1)*π+C_(2)
π+4=1*π+C_(2)
C_(2)=4

[b]y=-4sin(x/2)+x+4[/b]- частное решение
Ответ выбран лучшим
1.
Находим координаты точек пересечения графиков
y=x^3 и у =8

x^3=8
x=2

См. область на рисунке.

S= ∫ ^(2)_(0)(8-x^3)dx=(8x-(x^4/4))|^(2)_(0)=8*2-(2^4/4)=16-4=12

2.
V_(Ox)=π ∫ ^(b)_(a)f^2(x)dx=π ∫^(1)_(0)(-x^2)^2dx=[y=-x^2;f(x)=-x^2]

= π∫^(1)_(0)x^4dx=π*(x^5/5)|^(1)_(0)= [b](1/5)π[/b] (прикреплено изображение)
Формула разложения функции
(см. приложение).
sqrt(81+x^4)=sqrt(81*(1+(x^4/81))=9*sqrt(1+(x^4/81))

1/sqrt(81+x^4)=(1/9)*(1+(x^4/81))^(-1/2)/3=

=(1/9)*(1-(1/2)*(x^4/81)+(1/2!)*(-1/2)*((-1/2)-1)*(x^4/81)^2+...

=(1/9)-(1/(18*81))*x^4+(3/72)*(x^8/81^2)+...

(x/3)^4 < 1 ⇒ -3<x<3

∫ ^(1,5)_(0) dx/sqrt(81+x^4)=

= ∫ ^(1,5)_(0) [b]([/b](1/9)-(1/(18*81))*x^4+(3/72)*(x^8/81^2) [b])[/b]dx=

= [b]([/b](1/9)x- (1/1458)*(x^5/20) +(3/(72*81^2))*(x^9/9) [b])[/b]|^(1,5)_(0)=

=считайте... (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2.2.
8^(x)*(8^2-1)=126
8^(x)*(64-1)=126
8^(x)*63=126
8^(x)=2
8=2^(3)

(2^(3))^(x)=2
2^(3x)=2
3x=1
[b]x=1/3[/b]

2.3
f`(x)=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2=

= [b]([/b](4x-5)`*(x+2)-(4x-5)*(x+2)` [b])[/b]/(x+2)^2=

=(4*(x+2)-(4x-5))/(x+2)^2=

=(4x+8-4x+5)/(x+2)^2=

=13/(x+2)^2 > 0 при х ≠ -2

Производная положительна, значит функция возрастает на интервалах (- ∞ ;-2) и (-2;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Свойства логарифма степени:
2log_(6)3=log_(6)3^2=log_(6)9
(1/3)log_(6)64=log_(6)64^(1/3)=log_(6)4

2log_(6)3+(1/3)log_(6)64=log_(6)9+log_(6)4

cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(6)9*4=log_(6)36= [b]2 [/b]
Ответ выбран лучшим
Такие прямые дают три точки пересечения. А через три точкки можно провести только одну плоскость... (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y=3^(x) - показательная функция, график которой расположен выше оси Ох

Множество значений показательной функции y=3^(x)
(0;+ ∞ )

График y=3^(x) + 4 получается из графика y=3^(x) параллельным переносом вдоль оси Оу на 4 единицы вверх

Поэтому множество значений показательной функции y=3^(x)+4
[b](4;+ ∞ )[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S_(бок.)=2π*R*H=2π*4*14= [b]112π см^2[/b]
Ответ выбран лучшим
По формуле Ньютона - Лейбница

∫ ^(b)_(a)f(x)dx=F(x)|^(b)_(a)=F(b)-F(a)

∫ ^(4)_(2)x^3dx=(x^4/4)|^(4)_(2)=(4^4/4)-(2^4/4)=64-4=60
Ответ выбран лучшим
x^4-(1/3)^4=0
(x^2-(1/3)^2)*(x^2+(1/3)^2)=0
(x-(1/3))*(x+(1/3))*(x^2+(1/9))=0

x-(1/3)=0 или x+(1/3)=0

[b]x=1/3[/b] или [b] x=-1/3[/b]
Ответ выбран лучшим
Δ MBC- равносторонний
BD- медиана высота и биссектриса
BD=sqrt(3)/2
Проводим AD
Δ MAC- равносторонний
AD=BD=sqrt(3)/2

ΔADB - равнобедренный.
Проводим высоту DK.
BK=KA
BK- проекция BD

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Значит, надо найти угол DBK

cos ∠ DBK=BK/BD=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3
[b]∠ DBK= arccos(sqrt(3)/3)[/b] - о т в е т.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Формула косинуса двойного угла
cos 2α =cos^2 α -sin^2 α

cos^2 (22,50^(o) -sin^2(22,50^(o)=сos45^(o)=sqrt(2)/2

Ответ выбран лучшим
Основное логарифмическое тождество.

{3-x < 1
{3-x>0

0 < 3-x < 1
Прибавим (-3) ко всем частям неравенства

-3 < - x < -2

Умножаем на (-2) и меняем знак неравенства

2 < x < 3

О т в е т (2;3) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Угол между прямой и плоскостью- угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

См. рис.

ВЕ=2 - наибольшая диагональ шестиугольника
АC=sqrt(3) - диагональ шестиугольника

Δ MAC - равнобедренный, проводим MК ⊥ АС
Проводим высоту из точки Е на МK ⇒ проекция ME находится на MK
Значит, угол между прямой ME и плоскостью MAC - это угол KME

Находим его из треугольника KME по теореме косинусов.

МК^2=MA^2-AK^2=2^2-(sqrt(3)/2^2=4-(3/4)=9/4
MK=3/2
KE=BE-BK=2-(1/2)=3/2
ME=2

cos ∠ KME=(MK^2+ME^2-KE^2)/(2MK*ME)=2/3
∠ KME= [b]arccos(2/3)[/b] - о т в е т. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
С1K ⊥CD_(1)
Угол между прямой и плоскостью– угол между прямой и ее проекцией на плоскость. См. рис.
Это угол С1CD1

∠ С1CD1=45^(o). Диагональ квадрата образует такой угол с его стороной. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Вводим систему координат так, как показано на рисунке:

Cоставляем уравнение плоскости А_(1)Е_(1)BD, проходящей через три точки:
A_(1) (sqrt(3);0;1)
B(sqrt(3);1;0)
D(0;1;0)

Пусть М(х;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{DM}=(x;y-1;z)
vector{DA_(1)}=(sqrt(3);-1;1)
vector{A_(1)B}=(0;1;-1)
компланарны.
Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0

y+z-1=0
Нормальный вектор плоскости
vector{n}=(0;1;1)

vector{BC_(1)}=((sqrt(3)/2)-sqrt(3);(3/2)-1;1-0)=((-sqrt(3)/2);1/2;1)

Находим скалярное произведение
vector{n}*vector{BC_(1)}=1*(-sqrt(3)/2)+1*(1/2)+1*1=3/2

cos∠(vector{n},vector{BC_(1)})=(3/2)/(sqrt(2)*sqrt(2))= [b]3/4[/b]

Это угол между нормалью и прямой BC_(1)
А угол между прямой и проекцией дополняет данный угол до 90 градусов.
cos(90^(o)- φ)=3/4
sinφ=3/4

О т в е т. arcsin(3/4)

Геометрический способ решения:
(см. рис.2)
Пл. сечения А_(1)Е_(1)BD- прямоугольник ( можно доказать)
(FC⊥BD)

Угол между прямой и плоскостью- угол между прямой и ее проекцией на плоскость. См. рис.
Это угол С_(1)ВМ.
С_(1)M ⊥ PK

sin ∠ С_(1)ВМ=C_(1)M/C_(1)B

C_(1)M=sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной 2

PC_(1)=F_(1)C_(1)-F_(1)P=2-(1/2)=3/2

ΔC_(1)BK:
C_(1)K^2=C_(1)B^2-BK^2=(sqrt(2))^2-(sqrt(3)/2)^2=2-(3/4)=5/4
C_(1)K=sqrt(5)/2

Δ PC_(1)K
PK=A_(1)B=sqrt(2)

cos ∠ PC_(1)K=1/sqrt(5) по теореме косинусов из Δ PC_(1)K

sin ∠ PC_(1)K=2/sqrt(5)

C_(1)M*PK=PC_(1)*C_(1)K*sin ∠ PC_(1)K

C_(1)M=3/2sqrt(2)

sin ∠ С_(1)ВМ=C_(1)M/C_(1)B=3/(2*sqrt(2)*sqrt(2))= [b]3/4[/b]

О т в е т. arcsin(3/4) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Линейный в первой строке.
В самом деле: (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
S_(бок. пов.)=(1/2)h*(P_(верх. осн.)+P_(ниж.осн.)) ( см. приложение)
S_(верх. осн.)+S_(ниж.осн.)=6^2+3^2=36+9=45

По условию боковая поверхность равновелика сумме оснований.
(1/2)h*(P_(верх. осн.)+P_(ниж.осн.))=45

(1/2)h*(4*6+4*3)=45
18h=45
h=5/2
KK_(1)=h=5/2

Из прямоугольной трапеции ОО_(1)К_(1)К

(OO_(1))^2=(KK_(1))^2-(OK-O_(1)K_(1))^2=

=(5/2)^2-((6/2)-(3/2))^2=(25/4)-(9/4)=16/4=4

OO_(1)=H= [b]2[/b] (прикреплено изображение)
ОДЗ(3х+2)/(2х-7) >0

По определению логарифма

(3х+2)/(2х-7) =(1/4)^(-1)

или

(3x+2)/(2x-7)=4

4>0, корни будут удовлетворять ОДЗ


(3x+2)/(2x-7) - 4 =0

(3x+2)-4*(2x-7)=0
2x-7 ≠ 0

3x+2-8x+28=0
-5x=-30
x=6

x=6 удовл условию 2х-7 ≠ 0

О т в е т. 6
Ответ выбран лучшим
h_(основания)=asqrt(3)/2=4sqrt(3)/2=2sqrt(3)

H=h=2sqrt(3)

S_(осн)=a^2sqrt(3)/4=4^2*sqrt(3)/4=4sqrt(3)

V=(1/3)*S_(осн)*H=(1/3)*4sqrt(3)*2sqrt(3)=8 см^3
В основании пирамиды квадрат
Диагонали квадрата AC и BD равны
и в точке пересечения делятся пополам
Основание высоты - точка О - центр квадрата.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника РАО:

АО^2=PA^2-PO^2=6^2-2^2=36-4=32
AO=4sqrt(2)
Так как
AO=(1/2)AC, то
AC=2AO=2*4sqrt(2)=8sqrt(2)

BD=AC=8sqrt(2)
S_(квадрата)=(1/2)AC*BD=(1/2)*8sqrt(2)*8sqrt(2)= [b]64[/b] cм^2

С другой стороны
S_(квадрата)=a^2, где а - сторона квадрата
[b]64[/b]=а^2
а=8 см

О т в е т. 8 см
x_(2)=x_(1)*1,09+x_(1)=27*1,09+27=27*(1,09+1)

x_(3)=x_(2)*1,09+x_(1)=27*(1,09+1)*1,09+27=
=27*(1,09^2+1,09+1)

x_(4)=x_(3)*1,09+x_(1)=27*(1,09^2+1,09+1)*1,09+27=

=27*(1,09^3+1,09^2+1,09+1)

Закономерность можно продолжить

x_(39)=27*(1,09^(38)+1,09^(37)+...+1)

Считаем сумму
39 членов геометрической прогрессии cо знаменателем q=1,09

S_(39)= [b]1*(1,09^(39)-1)/(1,09-1)[/b]

x_(39)=27*((1,09^(39)-1)/(1,09-1)=27*(1,09^(39)-1)/0,09=

=300*(1,09^(39)-1)
(прикреплено изображение)
4.
MK ⊥ пл. АВС ⇒ MK ⊥ KN
и
К - проекция точки М ⇒ К- середина АС
KN - средняя линия Δ АВС
KN=1/2
MK=1

ΔKNM - прямоугольный.

tg ∠ KNM=MK/KN=1/(1/2)=2

5.
Пирамида правильная.
РС=РА=РВ
В основании равносторонний треугольник, основание высоты пирамиды - точка О - центр вписанной в Δ АВС и описанной около Δ АВС окружностей

Поэтому
CO=R=asqrt(3)/3=6sqrt(3)/3=2sqrt(3)
OK=r=asqrt(3)/6=sqrt(3)

В прямоугольном треугольнике РКО
∠ РКО=30 °

PO=OK*tg30 ° =sqrt(3)*(sqrt(3)/3)=1

Из прямоугольного треугольника РСО
PC^2=PO^2+OC^2=1^2+(2sqrt(3))^2=1+12=13

PC=sqrt(13)

РС=РА=РВ=sqrt(13) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y`=x-8+(12/x)

y`=0

x-8+(12/x)=0

x-8=-12/x

Решаем графически.

Строим прямую y=x-8 и гиперболу y=-12/x

Две точки пересечения.
x=2 или x=6

Расставляем знак производной:

на (2;6) y=-12/x выше прямой, поэтому разность (x-8) - (-12/x) < 0
y`=x-8+(12/x) < 0 на (2;6)

_+__ (2) __-__ (6) __+__

х=6 - точка минимума, производная меняет знак c - на +

О т в е т. 6

Cм график самой функции на втором рисунке. (прикреплено изображение)
y`=5*(√x+1)^4*(√x+1)`+3*(-sin3x)*(3x)`=

=5*(√x+1)^4*(1/(2*√x))-9sin3x=

= [b](5/2)*(√x+1)^4/√x) - 9 sin3x[/b]
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y``-2y`+y=0
Составляем характеристическое
k^2-2k+1=0
k_(1,2)=1 - кратные действительные корни

y=C_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)

Применяем метод вариации произвольных постоянных

y=C_(1)(x)e^(x)+C_(2)(x)*x*e^(x)


С_(1) и С_(2) находим из системы уравнений:

{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*x*e^(x)=0
{C`_(1)(x)(e^(x))`+C`_(2)(x)*(x*e^(x))`=2e^(x)/(x^2+6x+8)

{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*x*e^(x)=0
{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*(e^(x)+x*e(x))=2e^(x)/(x^2+6x+8)

Вычитаем из второго первое уравнение:
C`_(2)(x)e^(x)=2e^(x)/(x^2+6x+8)
C`_(2)(x)=2/(x^2+6x+8)

С_(2)(x)=2 ∫ dx/(x^2+6x+8)

Выделяем полный квадрат:
x^2+6x+8=x^2+6x+9-1=(x+3)^2-1
С_(2)(x)=2 ∫ d(x+3)/((x+3)^2-1)

С_(2)(х)=2*(1/2)*ln|(x+3-1)/(x+3+1)|

[b]С_(2)(х)=ln|(x+2)/(x+4)|[/b]

подставляем в первое уравнение системы:

C`_(1)(x)e^(x)+ln|(x+2)/(x+4)x*e^(x)=0

C`_(1)(x)+x*ln|(x+2)/(x+4)|=0

C_(1)(x)=- ∫ x*ln((x+2)/(x+4))dx

по частям:

u=ln((x+2)/(x+4))

du=((x+4)/(x+2) )*((x+2)/(x+4))`dx=((x+4)/(x+2))*(2/(x+4)^2)dx=

= [b]2dx/((x+2)(x+4))[/b]



dv=xdx

v=x^2/2

C_(1)(x)=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ (x^2/2)* [b](2dx/((x+2)(x+4)))[/b]=

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ (x^2+6x+8-6x-8)/(x^2+6x+8)=

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ (x^2+6x+8)dx/(x^2+6x+8)+

∫ (6x+8)dx/((x+3)^2-1)= замена в последнем х+3=t;dx=dt

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ dx+ ∫(6t-10)dt /(t^2-1)=

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - x + 3*∫ d(t^2-1)/(t^2-1) - 10 ∫ dt/(t^2-1)=

= [b](x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - x +3ln|x^2+6x+8|-(10/2)n((x+2)/(x+4))[/b]
Ответ выбран лучшим
∠ ADC - внешний угол треугольника ABD
равен сумме внутренних с ним не смежных

∠ BAD+∠ AВD=110 ° ⇒ ∠ AВD=110 ° - ∠ BAD=110 ° -20 ° =90 °

[b] ∠ В=90 ° [/b]

Биссектриса AD делит угол пополам, значит
∠ BAD= ∠ DAC=20 °
∠ ВАС= ∠ BAD+ ∠ DAC=20 ° +20 ° =40 °

[b] ∠ A=40 ° [/b]

Треугольник АВС - прямоугольный. Сумма острых углов равна 90 °

∠ А+ ∠ С=90 °

∠ С=90 ° - ∠ А= 90 ° -40 ° =50 °

[b]∠ С=50 ° [/b]

О т в е т. ∠ В=90 ° ; ∠ С=50 ° (прикреплено изображение)
p_(1)=0,004- вероятность получения бракованной детали на первой операции

тогда
q_(1)=1-p_(1)= 0,=996 - вероятность получения небракованной детали на первой операции

p_(2)= 0,005- вероятность получения бракованной детали на второй операции

тогда
q_(2)=1-p_(2)= 0,995 - вероятность получения небракованной детали на второй операции

p_(3)= 0,008, вероятность получения бракованной детали на третьей операции

тогда
q_(3)=1-p_(3)= 0,992 - вероятность получения небракованной детали на третьей операции

p_(4)= 0,001, вероятность получения бракованной детали на четвёртой операции

тогда
q_(4)=1-p_(4)= 0,999 - вероятность получения небракованной детали на четвёртой операции

Пусть событие А - " изготовленная деталь бракованная"


Рассматриваем противоположное событие
vector{A}- "изготовленная деталь не бракованная"



p(vector{А})=q_(1)*q_(2)*q_(3)*q_(4)=0,996*0,995*0,992*0,999=
=0,982108748

Тогда

p(A)=1-p(vector{A})=1-0,982108748=0,0178912518 ≈ [b] 0,01789[/b]
(прикреплено изображение)
y`=(e^(2x))*(2x)`-6e^(x)+0

y`=2e^(2x)-6e^(x)

y`=0

2e^(2x)-6e^(x)=0

2e^(x)*(e^(x)-3)=0

e^(x)-3=0
e^(x)=3

x=ln3

0 < ln3 <2

Расставляем знак производной на отрезке:

[0] _-__ (ln3) __+_ [2]

x=ln3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +


y(ln3)=e^(2ln3)-6*e^(ln3)+7=(e^(ln3))^2--6*e^(ln3)+7=

применяем основное логарифмическое тождество

=3^2-6*3+7= [b]-2[/b]
R=3 cм; H=5 см

[b]S_(пп)[/b]=S_(бп)+2S_(осн)=2π*R*Н+2π*R^2=2π*3*5+2*π*3^2=

[b]V[/b]=πR^2*H=π*3^2*5=

Ответ выбран лучшим
Значит R=5 cм; H=12 cм

L^2=R^2+H^2=25+144=169
L=13
[b]S_(пп)[/b]=S_(бп)+S_(осн)=π*R*L+π*R^2=π*5*13+π*5^2=

[b]V[/b]=(1/3)πR^2*H=(1/3)*π*25*12=
Ответ выбран лучшим
Находим координаты точек пересечения
y^3–y=x и x=0

y^3-y=0
y(y^2-1)=0
y=0; y= ± 1

V_(Оу)=π ∫ ^(b)_(a)g^2(y)dy

[b]g(y)=y^3-y[/b]

Так как области симметричны
V_(Оу)=2π ∫ ^(1)_(0)(y^3-y)^2dy=

=2π∫ ^(1)_(0)(y^6-2y^4+y^2)dy=

=2π*((y^7/7)-2(y^5/5)+(y^3/3))|^(1)_(0)=

=2π*((1/7)-(2/5)+(1/3))=16π/108= [b]4π/27[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Ясно, что тело ограничено снизу z=0, сверху z=xy

Это нижний и верхний пределы внутреннего интеграла ( третьего по счету) по переменной z

Область D на плоскости xOy ограничена
y=3x сверху; y=0 снизу

Они пересекаются в точке х=0

Поэтому пределы внешнего интеграла по х: от 0 до 2

= ∫^(2) _(0dx ∫ ^(3x)_(0)dy ∫ ^(xy)_(0)x^3zdz=

=∫^(2) _(0dx ∫ ^(3x)_(0) (x^3*z^2/2)|^(z=xy)_(z=0)dy=

=∫^(2) _(0dx ∫ ^(3x)_(0) (x^3*(xy)^2/2)dy=

=∫^(2) _(0)(x^5/2)dx ∫ ^(3x)_(0) y^2dy=

=∫^(2) _(0)(x^5/2) (y^3/3)| ^(3x)_(0)dx=

=∫^(2) _(0)(x^5/2) ((3x)^3/3)dx=

=(9/2)∫^(2) _(0)x^8dx=

=(9/2)*(x^9/9)|^(2)_(0)=(1/2)*2^(9)=2^(8)=256
p_(1)=0,6 - вероятность того, что 1-й спортсмен пройдет дистанцию без штрафных очков

q_(1)=1-p_(1)= 0,4- вероятность того, что 1-й спортсмен пройдет дистанцию со штрафными очками

p_(2)= 0,9- вероятность того, что 2-й спортсмен пройдет дистанцию без штрафных очков

q_(2)=1-p_(2)=0,1 - вероятность того, что 2-й спортсмен пройдет дистанцию со штрафными очкам

p_(3)= 0,8- вероятность того, что 3-й спортсмен пройдет дистанцию без штрафных очков
q_(3)=1-p_(3)=0,2- вероятность того, что 3-й спортсмен пройдет дистанцию со штрафными очкам




1)
Пусть событие А - " только 2 спортсмена пройдут дистанцию без штрафных очков "

p(А)=p_(1)*p_(2)*q_(3)+p_(1)*q_(2)*p_(3)+q_(1)*p_(2)*p_(3)=

= [b]0,6*0,9*0,2+0,6*0,1*0,8+0,4*0,9*0,8[/b]=

2)

Пусть событие B - " хотя бы двое спортсменов пройдут дистанцию без штрафных очков "

Значит какие-то двое или все трое

Пусть событие C - "три спортсмена пройдут дистанцию без штрафных очков "

B=AUC
A и С несовместны, поэтому
p(B)=p(A)+p(C)
p(C)=p_(1)*p_(2)*p_(3)=0,6*0,9*0,8


p(B)= [b]0,6*0,9*0,2+0,6*0,1*0,8+0,4*0,9*0,8[/b]+0,6*0,9*0,8=

3)

Пусть событие D - " не больше 2–х спортсменов пройдут дистанцию без штрафных очков"

Значит один какой-то пройдет или все не пройдут

p(D)=p_(1)*q_(2)*q_(3)+q_(1)*p_(2)*q_(3)+

+q_(1)*q_(2)*p_(3)+q_(1)*q_(2)*q_(3)=

=0,6*0,1*0,2+0,4*0,9*0,2+0,4*0,1*0,8+0,4*0,1*0,2=
Ответ выбран лучшим
Применяем радикальный признак Коши:
lim_(n → ∞ )(a_(n))^(1/n)= (надо бы написать корень n-oй степени из a_(n))

=lim_(n → ∞ )(1/3)*(n/(n+1))^(-n)=

=(1/3)*lim_(n → ∞ )((n+1)/n)^(n)=(1/3)e<1 сходится.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Решаем однородное:
5y``+14y`+8y=0

Составляем характеристическое уравнение
5k^2+14k+8=0
D=196-160=36

k_(1,2)=(-14±6)/10
k_(1)=-2; k_(2)=-0,8


y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(-0,8x)

f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)

f_(1)(x)=(32/2)x^3 +203 (непонятно почему 32/2 а не 16???)
f_(2)=18e^(-2x)

Частное решение y _ (частное)=y _ (частное 1) +y _ (частное 2)

[b]Находим y _ (частное 1)
[/b]

Решаем уравнение:

5y``+14y`+8y=(32/2)x^3 +203 (# 1)

y _ (частное 1)= ax^3+bx^2+cx+m


Находим y`_(частное 1); y``_(частное 1); подставляем в уравнение (# 1)
и находим a;b;c;m

и находим a;b;c;m


[b] Находим y _ (частное 2)[/b]


Решаем уравнение:

5y``+14y`+8y=18e^(-2x) (# 2)

y _ (частное 2)=А*х*e^(-2x)


Находим y`_(частное 2); y``_(частное 2); подставляем в уравнение (# 2)
и находим А
Ответ выбран лучшим
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Решаем однородное:
y```-4y``+5y`-2y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^3-4k^2+5k-2=0
k1=1 - корень
(k-1)*(k^2-3k+2)=0
k_(2,3)=(3±1)/2
k_(2)=1; k_(3)=2

k_(1)=k_(2)=1 - кратный корень


y=C_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)+C_(3)e^(2x)

Частное решение находим по алгоритму

y_(частное)=(Ax+B)*e^(-x)

Находим y`_(частное); y``_(частное); y```_(частное) подставляем в данное уравнение и находим А и В
Рисуем область:
y=2
y=0
x=2y-4
x=y^2-4

См. рис.

Входим в область по направлению оси Оу

-4 ≤ х ≤ 0

(х+4)/2 ≤ у ≤ sqrt(x+4)


О т в е т. ∫ ^(0)_(-4) dx∫ ^(sqrt(x+4))_((x+4)/2)f(x;y)dy (прикреплено изображение)
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Решаем однородное:
y``+9y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^2+9=0
k_(1)=-3i; k_(2)=3i

α =0; β =3

Общее решение однородного по правилу:

y=C_(1)cos3x+C_(2)sin3x

Далее метод вариации произвольных постоянных

y=C_(1)(x)cos3x+C_(2)(x)sin3x

С_(1)(х) и С_(2)(х) определяются из системы:

{C`_(1)(x)*cos3x+C`_(2)(x)*sin3x=0
{C`_(1)(x)*(-3sin3x)+C`_(2)(x)*3cos3x=9/(sin3х)
Делим на х
y`+(1/x)*y=(lnx+1)/x
Это линейное уравнение первого порядка.

Решаем однородное:
y'+(1/x)*y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными

y`=dy/dx

dy/dx=-y/x
dy/y=–dx/x
Интегрируем
∫ dy/y=– ∫dx/x
ln|y|=–ln|x|+ lnC_(1)
ln|y|=ln|C_(1)/x|
y=C_(1)/x

Применяем метод вариации произвольной постоянной

C_(1) заменяем на функцию С_(1)(х), зависящую от х
y=C_(1)(x)/x

y`=(С`_(1)(х)*x-C_(1)(x))/x^2


Подставляем в уравнение

(С_(1)`(х)*x-C_(1)(x))/x^2+(1/x)*(C_(1)(x)/x) = (lnx+1)/x

Упрощаем:

С_(1)`(х)/x = (lnx+1)/x

C_(1)`(x)= lnx+1

C_(1)(x)= ∫ (lnx+1)dx= ∫lnxdx + ∫ dx [первый интеграл считаем по частям
u=lnx; du=dx/x; dv=dx; v=x]

C_(1)(x)=x*lnx- ∫ x*(dx/x)+ ∫ dx= [b]x*lnx+C[/b]

y=(xlnx+C)/x

y=lnx+(C/x)- общее решение

0=ln1+(C/1)
C=0
y=xlnx - частное решение

Ответ выбран лучшим
Это линейное однородное [b]третьего [/b]порядка
Составляем характеристическое
k^3-4k^2=0
k^2*(k-4)=0
k_(1,2)=0 - кратные действительные
k_(3)=4

y=C_(1)e^(0x)+C_(2)x*e^(0x)+C_(3)e^(4x)

[b]y=C_(1)+C_(2)x+C_(3)e^(4x)[/b]
Ответ выбран лучшим
1. Уравнение с разделяющимися переменными
x^2dy=y*(2x+3)dx
Делим на x^2*y

2. Однородное.
u=y/x

[b]y=u*x[/b]

y`=u`*x+u*x` ( х`=1, х - независимая переменная)

[b]y`=u`*x+u[/b]

и приходим к уравнению с разделяющимися переменными
Ответ выбран лучшим
Так как
по формулам приведения:
сos(61π/12)=cos((60π/12) +(π/12))=cos(5π+(π/12))= [b]-cos(π/12)[/b]

и по формуле синуса двойного угла

2*sin(π/12)*cos(π/12)=sin(π/6)= [b]1/2[/b],

то


4/(sin(π/12)·cos(61π/12))= 4/(-sin(π/12)·cos(π/12))=

=-8/(2*sin(π/12)*cos(π/12))=-8/sin(π/6)= -8/(1/2)=-16

О т в е т. [b]-16[/b]
ОДЗ:
[b]sinx > 0[/b]

Замена переменной:
log_(8)sinx=t

3t^3-5t-2=0
D=25-4*3*(-2)=49
t=(5-7)/6=-1/3; t=(5+7)/6=2

Обратный переход

log_(8)sinx=(-1/3) ⇒ sinx=8^(-1/3); sinx=1/2; 1/2 входит в условие ОДЗ
⇒ x=(-1)^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z

log_(8)sinx=2 ⇒ sinx=8^(2)- уравнение не имеет корней в силу ограниченности синуса
-1 ≤ sinx ≤ 1

О т б о р корней на единичной окружности.
См. рис.

Корни удобнее записать в виде двух серий ответов:
при k=2n
[b]x=(π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]
и
при k=2m+1
x=(-π/6)+π+2πm, m ∈ Z ⇒ [b]x=(5π/6)+2πm, m ∈ Z [/b]

Первая серия дает корни:
(π/6) ∈ [0;2π]
(π/6)-2π=-11π/6∈ [-2π;0]

Первая серия дает корни:
(5π/6) ∈ [0;2π]
(5π/6)-2π=-7π/6∈ [-2π;0]
(5π/6)-4π=-19π/6∈ [-7π/2;-2π]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Замена
2^(x)=t
t>0
4^(x)=(2^2)^(x)=(2^(x))^2=t^2
8^(x)=t^3


t^3-3t^2-t+3=0

Раскладываем на множители способом группировки:

(t^3-t)-3*(t^2-1)=0

t*(t^2*-1)-3*(t^2-1)=0

(t^2-1)*(t-3)=0

t^2-1=0 или t-3=0
t= ± 1 или t=3

Обратный переход

2^(x)=-1 не имеет корней, 2^(x) > 0
2^(x)=1 ⇒ 2^(x)=2^(0) ⇒ x=0
2^(x)=3 ⇒ 2^(x)=2^(log_(2)3) ⇒ x=log_(2)3

О т в е т. [b]0; log_(2)3[/b]
Ответ выбран лучшим
1. см. рис. 1

1 вертикальная область
= ∫ ^(1)_(-1)dx ∫ ^(sqrt(2-x^2))_(x^2)f(x;y)dy


2 горизонтальная область
= ∫ ^(0)_(1)dy ∫ ^(sqrt(y))_(-sqrt(y))f(x;y)dx+
+ ∫^(sqrt(2)_(1)dy ∫ ^(sqrt(2-y^2)_(-sqrt(2-y^2)f(x;y)dx

2. cм рис.2
∫ ∫ _(D)(y-x)dxdy= ∫ ^(1)_(0)dx ∫ ^(x)_(x^2)(x-y)dy=

= ∫ ^(1)_(0) (xy-(y^2/2))|^(x)_(x^2)dx=

=∫ ^(1)_(0) [b]([/b] x^2-(x^2/2) - (x^3-(x^4/2)) [b])[/b]dx=

=∫ ^(1)_(0) [b]([/b] (x^2/2) - x^3+(x^4/2) [b])[/b]dx=

=(x^3/6)^(1)_(0) - (x^4/4)|^(1)_(0) + (x^5/10)^(1)_(0)=

=(1/6)-(1/4)+(1/10)=

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По частям:∫udv=u·v– ∫ vdu
u=x
du=dx

dv=cos(x+6)dx
v= ∫ cos(x+6)dx=[ так как d(x+6)=dx]= ∫ cos(x+6)d(x+6)=sin(x+6)

∫x cos(x+6)dx=х*sin(x+6) - ∫ sin(x+6)dx=х*sin(x+6) - ∫ sin(x+6)d(x+6)=

=х*sin(x+6) - (-cos(x+6)) + C=

=х*sin(x+6) +cos(x+6)) + C
Ответ выбран лучшим
По частям:∫udv=u·v– ∫ vdu
u=arcsin2x
du=(2x)`dx/sqrt(1-(2x)^2)
du=2/sqrt(1-4x^2)

dv=dx
v= ∫ dx=x

∫arcsin ⁡2xdx=x*arcsin2x- ∫ x*( 2dx)/sqrt(1-4x^2)=

=x*arcsin2x- ∫ 2xdx/sqrt(1-4x^2)=

=x*arcsin2x+ (1/4) ∫ ( -8x)dx/sqrt(1-4x^2)=

=x*arcsin2x+(1/4) ∫(1-4x^2)^(-1/2)d(1-4x^2)=

=x*arcsin2x+(1/4) *(1-4x^2)^(1/2)/(1/2) + C


= [b]x*arcsin2x +(1/2)sqrt(1-4x^2) +C[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
[b]M(X)[/b]=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+
+x_(5)*p_(5)+x_(6)*p_(6)+x_(7)*p_(7)+x_(8)*p_(8)+x_(9)*p_(9)=

=67*0,05 +68*0,1+ 71*0,11 + 74*0,15 + 76*0,17 + 78*0,15 +
+81*0,12 + 84*0,01+ 88*0,05=



M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)+x^2_(4)*p_(4)+
+x^2_(5)*p_(5)+x^2_(6)*p_(6)+x^2_(7)*p_(7)+x^2_(8)*p_(8)+x^2_(9)*p_(9)=

=67^2*0,05 +68^2*0,1+ 71^2*0,11 + 74^2*0,15 + 76^2*0,17 + 78^2*0,15 +
+81^2*0,12 + 84^2*0,01+ 88^2*0,05=

D(X)=M(X^2)-( [b]M(X)[/b])^2

σ (Х)=sqrt(D(X))

Берёте калькулятор и считаете...
По частям:∫udv=u*v- ∫ vdu
u=x-8
du=dx

dv=sinxdx
v= ∫ sinxdx=-cosx

∫(x-8)sinxdx=(x-8)*(-cosx)- ∫ (-cosx)dx=

= [b](8-x)cosx+sinx+C[/b]
Ответ выбран лучшим
F `(x)=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=sqrt(5x-x^2)
v=lg(2x-4)

u`=(5x-x^2)`/(2*sqrt(5x-x^2))= [b](5-2x)/(2*sqrt(5x-x^2))[/b]

v`=(2x-4)`/(2x-4)=2/(2x-4)= [b]1/(x-2)[/b]

Подставляем в первую строчку и получаем громоздкий ответ.
Упрощать ничего не надо.
[b]M(X)[/b]=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+
+x_(5)*p_(5)+x_(6)*p_(6)+x_(7)*p_(7)+x_(8)*p_(8)+x_(9)*p_(9)=

=107*0,05 +109*0,1+ 112*0,11 + 125*0,15 + 131*0,2 + 132*0,15 +
+133*0,1 + 140*0,09 + 141*0,05=



M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)+x^2_(4)*p_(4)+
+x^2_(5)*p_(5)+x^2_(6)*p_(6)+x^2_(7)*p_(7)+x^2_(8)*p_(8)+x^2_(9)*p_(9)=

=107^2*0,05 +109^2*0,1+ 112^2^2*0,11 + 125^2*0,15 + 131^2*0,2 + 132^2*0,15 + 133^2*0,1 + 140^2*0,09 + 141*0,05=


D(X)=M(X^2)-( [b]M(X)[/b])^2

σ (Х)=sqrt(D(X))

Берёте калькулятор и считаете...
Ответ выбран лучшим
[b]M(X)[/b]=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+
+x_(5)*p_(5)+x_(6)*p_(6)+x_(7)*p_(7)+x_(8)*p_(8)+x_(9)*p_(9)=

=65*0,02 +67*0,08+ 68*0,13 + 69*0,16 + 72*0,3 + 73*0,16 +
+74*0,1 + 78*0,04 + 79*0,01=



M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)+
+x^2_(4)*p_(4)+x^2_(5)*p_(5)+x^2_(6)*p_(6)+x^2_(7)*p_(7)+
+x^2_(8)*p_(8)+x^2_(9)*p_(9)=

=65^2*0,02 +67^2*0,08+ 68^2*0,13 + 69^2*0,16 +
+72^2*0,3 + 73^2*0,16 + 74^2*0,1 + 78^2*0,04 + 79^2*0,01=

D(X)=M(X^2)-( [b]M(X)[/b])^2

σ (Х)=sqrt(D(X))

Калькулятор и считайте...
Ответ выбран лучшим
Одна сторона х, другая 3х

Пусть АA_(1)=H=3х; AB=2R=x
R=x/2

Snn=Sбп+2*Sосн=2π*R*H+2*πR^2= 2π*R*(R+H)=2π*(x/2)*((x/2)+3x)=(7πx^2)/2

По условию
Snn=24

(7πx^2)/2=24
x^2=48/7π

V=πR^2*H=π(3x/2)^2*x=(9/4)πx^3=(9/4)π*(48/7π)*sqrt(48/7π)=

= [b]452 sqrt(3)/(7sqrt(7π))[/b]


или

Пусть АA_(1)=H=х; AB=2R=3x
R=3x/2

Snn=Sбп+2*Sосн=2π*R*H+2*πR^2= 2π*R*(R+H)=2π*(3x/2)*((3x/2)+x)=(15πx^2)/2

По условию
Snn=24

(15πx^2)/2=24
x^2=16/5π

V=πR^2*H=π(3x/2)^2*x=(9/4)πx^3=(9/4)π*(16/5π)*sqrt(16/5π)=

= [b]144/(5sqrt(5π))[/b] (прикреплено изображение)
r=h=12 cм
L=12sqrt(2)

Soc=πr^2=π*12^2=144π
Sбп=πrL=π*12*12sqrt(2)=144sqrt(2)π
Snn=Sбп+ Soc=144sqrt(2)π+144π

V=(1/3)Sос*h=144π*12/3=576π (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
243=3^5

log_(3)243=log_(3)3^(5)=5log_(3)3=5*1=5

512=8^3

log_(8)512=log_(8)8^(3)=3

[b]5*3=15[/b]
Ответ выбран лучшим
1.

(a^( [b]m[/b]))^(n)=a^(m*n)=(a^(n))^( [b]m[/b])

=( [b]7^(log_(7)2)[/b])^(log_(2)7)=

основное логарифмическое тождество

= 2^(log_(2)7)=

основное логарифмическое тождество

=7

2.

11* [b]13[/b]=143 [b]основное логарифмическое тождество[/b]

Ответ выбран лучшим
=разность логарифмов можно заменить логарифмом дроби=

=log_(6)270/7,5=log_(6)36=2
Ответ выбран лучшим
Свойство степени:
a^(m):a^(n)=a^(m-n)

3^(log_(13)507 - log_(13)3)= разность логарифмов заменим логарифмом частного=

=3^(log_(13)(507/3))=3^(log_(13)169)=3^(2)=9
Ответ выбран лучшим
4^(log_(2)6)=(2^(2))^(log_(2)6) = свойство степени (a^m)^(n)=a^(m*n)=

=2^(2log_(2)6)= свойство логарифма степени=

=2^(log_(2)6^2)= основное логарифмическое тождество=6^2=36
Основное логарифмическое тождество

[b]a^(log_(a)b)=b[/b]
a>0;b>0;a ≠ 1


[b]108/36=3[/b]


О т в е т. [b]3[/b]
Ответ выбран лучшим
∠ 1=32 градусов - внутренние накрест лежащие углы

Δ АВС - равнобедренный, так как
∠ 1= ∠ 2=32 градусов
∠ A=32 ° +32 ° =64 °
∠ A= ∠ C=64 ° ( противоположные углы параллелограмма равны (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: cosx > 0 ⇒ x в первой или четвертой четверти

Тогда

log_(2)(cosx)^2=2log_(2)|cosx|=(cosx>0)=2log_(2)cosx

2*(2log_(2)cosx)+7log_(2)cosx ≥ 1

11*log_(2)cosx ≥ 1

log_(2)cosx ≥ (1/11)*log_(2)2

log_(2)cosx ≥log_(2)2^(1/11)

cosx ≥ 2^(1/11) - неверно так как

-1 ≤ сosx ≤ 1

О т в е т. нет решений
8000=20^3
0,05=5/100=1/20=20^(-1)

log_(0,05)8000=log_((20^(-1)))20^3=-3
Ответ выбран лучшим
1. 80: [b]5[/b]=16 семей ( с тремя детьми +папа+мама= [b]5[/b] человек в семье)
2 60: [b]4[/b]=15 семей ( с двумя детьми +папа+мама= [b]4[/b] человека в семье)
3.16+15=31 семья
4. 31*2=62 взрослых
5.(80+60)-62= 78 детей ( мальчиков и девочек)


2м 70 см - 4 дм=2 м 70 см - 40 см=2 м 30 см прыжок Бориса
2м 70 см - 30 см=2 м 40 см прыжок Глеба

Кирилл - 2 м 70 см - 1 место
Глеб- 2 м 40 см - 2 место
Борис - 2 м 30 см - 3 место
[b]ОДЗ:[/b]
x-x^2+2>0 ⇒ x^2-x-2 < 0 D=9; x_(1)=-1;x_(2)=2
[b]x ∈ (-1;2)[/b]

log_(1/2)(x-x^2+2)=log_(2^(-1))(x-x^2+2)=-log_(2)(x-x^2+2)

Данное неравенство принимает вид

log^2_(2)(x-x^2+2)-3log_(2)(x-x^2+2) ≤ -2

log^2_(2)(x-x^2+2)-3log_(2)(x-x^2+2) +2 ≤ 0

Квадратное неравенство

Замена переменной
log_(2)(x-x^2+2)=t

t^2 - 3t + 2 ≤ 0

D=9-4*2=1

t_(1)=1; t_(2)=2

1 ≤ t ≤ 2

Обратный переход

1 ≤ log_(2)(x-x^2+2) ≤ 2

log_(2)2 ≤ log_(2)(x-x^2+2) ≤ log_(2)4

По свойству монотонного возрастания логарифмической функции

2 ≤ x- x^2+2 ≤ 4

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

{ x- x^2+2 ≤ 4 ⇒ x^2-x+2 ≥ 0 верно при любом х, D < 0
{ x- x^2+2 ≥ 2 ⇒ x - x^2 ≥ 0 ⇒ x*(1-x) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1

О т в е т системы [0;1]
Найденное решение входит в ОДЗ

О т в е т. [0;1]
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: выражения под знаком логарифма не могут быть отрицательными или равными 0, поэтому:

{2-x >0 ⇒ x < 2
{x-1 > 0 ⇒ x > 1

x ∈ (1;2)

Применяем свойства логарифмов ( см. рис.):

log_(1/2)(x-2)=log_(2^(-1))(x-1)=-log_(2)(x-1)

log_(sqrt(2))3=log_(2^(1/2))3=(1/(1/2))log_(2)3=2log_(2)3=

=log_(2)3^2=log_(2)9

Неравенство принимает вид:

log_(2)(2-x) - log_(2) (x-1) > log_(2)9

Разность логарифмов можно заменить логарифмом частного, но чтобы не связываться с дробями перепишем:

log_(2)(2-x) > log_(2) (x-1) + log_(2)9

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(2)(2-x) > log_(2)9*(x-1)

Далее применяем свойство монотонности логарифмической функции.

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(Знак логарифма убирается, знак неравенства остается таким же)


2- х > 9*(x-1)

2-х > 9x - 9

-x -9x > -9 - 2

-10x > -11

x< 11/10

x< 1,1

C учетом ОДЗ получаем ответ

(1; 1,1)
Ответ выбран лучшим
1.
Знаменатель первой дроби раскладываем на множители
2a-a^2=a*(2-a)

Приводим дроби к общему знаменателю.
Для этого вторую дробь умножаем на (2-а)
и числитель и знаменатель :

12/(2a-a^2) - 6*(2-a)/(a*(2-a))=

=(12- 6*(2-а))/(а*(2-а))=(12-12+6а)/(а*(2-а))= (6а)/(а*(2-а))
сокращаем на а и числитель и знаменатель
=6/(2-а)

При а=-23

6/(2-(-23))=6/25= [b]0,24[/b]

2.
Знаменатель первой дроби раскладываем на множители
a-a^2=a*(1-a)

Приводим дроби к общему знаменателю.
Для этого вторую дробь умножаем на (1-а)
и числитель и знаменатель :

1/(a-a^2) - 1*(1-a)/(a*(1-a))=

=(1- 1*(1-а))/(а*(1-а))=(1-1+а)/(а*(1-а))= (а)/(а*(1-а))
сокращаем на а и числитель и знаменатель
=1/(1-а)

При а=-99

1/(1-(-99))=1/100= [b]0,01[/b]
Ответ выбран лучшим
1)
(7/х)-(7/(2х)) = приводим к общему знаменателю 2х:

(14/(2х))-(-(7/(2х))=(14-7)/(2х)=7/(2х)

при х=-2

7/(2*(-2))=-7/4

2)
приводим к общему знаменателю 4х:

(12-1)/(4х)=13/(4х)

при х=-2,2

13/(4*(-2,2))=13/(-8,8)=-130/88=-65/44

4)
приводим к общему знаменателю 4х:

(28-5)/(4х)=23/(4х)

при х=-0,2

23/(4*(-0,2))=23/(-0,8)=-230/8=-115/4
Ответ выбран лучшим
∂z/∂x=-2x
∂z/∂x=-2y

∂z/∂x=0
∂z/∂x=0

-2x=0
-2y=0

х=0; y=0 - стационарная точка не принадлежит области:
(х-1)^2+(y-1)^2 ≤1
( cм. рис.)

Значит, исследуем функцию на экстремум на границе

(x-1)^2+(y-1)^2=1

(y-1)^2=1-(x-1)^2

y-1=sqrt(1-(x-1)^2) или y-1=-sqrt(1-(x-1)^2)

y=sqrt(1-(x-1)^2)+1 или y=-sqrt(1-(x-1)^2) + 1

подставляем в данное уравнение поверхности

z=1-x^2-(sqrt(1-(x-1)^2)+1)^2

Получили функцию одной переменной.
Исследуем ее при 0 ≤x ≤2, т.е на [0;2]
Ответ выбран лучшим
Стационарные точки – точки, в которых производная равна 0.

y`=3x^2-4
y`=0
3x^2-4=0
x^2=4/3
x= ± 2/sqrt(3)
или
[b]х=±2sqrt(3)/3[/b]
Ответ выбран лучшим
Стационарные точки - точки, в которых производная равна 0.
y`=(e^(3x))`-3*(e^(2x))`=e^(3x)*(3x)`-3*e^(2x)*(2x)`=e^(3x)*(3)-3*e^(2x)*(2)=3e^(3x)-6e^(2x)

y`=0
3e^(3x)-6e^(2x)=0
3e^(2x)*(e^(x)-2)=0
3e^(2x) ≠0
e^(x)-2=0
e^(x)=2
Логарифмируем по основанию е:
lne^(x)=ln2
x=ln2 - стационарная точка
Ответ выбран лучшим
ВС=AC*tg ∠ A=7AC

По теореме Пифагора
AB^2=AC^2+BC^2

AB^2=AC^2+(7AC)^2
AB^2=50AC^2
40^2=50AC^2
AC^2=32
AC=4sqrt(2)

Прямоугольные треугольники Δ АСН и Δ ABC имеют общий острый угол А, значит
Δ АСН ~ Δ ABC по двум углам

Из подобия получаем пропорциональность сторон:

AC : AB=AH : AC

AH=AC^2/AB=32/40= [b]0,8[/b]

(прикреплено изображение)
V=πR^2*H=π*(5sqrt(3))^2*10sqrt(3)= [b]750πsqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{ [b]x^2+2x-2[/b]>0 ⇒ D=12; x_(1)=-1-sqrt(3);x_(2)=-1+sqrt(3)
{(-x^2-2x+2)^2>0 ⇒ -x^2-2x+2≠0 ⇒ [b]x^2+2x-2 [/b]≠ 0
{x-1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x ∈ (- ∞ ; -1-sqrt(3))U(-1+sqrt(3);1) U(1;+ ∞)

Так как
(-x^2+2x-2)^2=(-(x^2-2x+2))^2=(x^2-2x+2)^2

lg(x^2-2x+2)^2=2lg|x^2-2x+2| = (В условиях ОДЗ)=2lg(x^2-2x+2)

Раскрываем [b]модуль в знаменателе[/b]:

[b]1) если х-1 >0[/b] ⇒ |x-1|=x-1
Неравенство принимает вид:

[b](x^2+x)lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 2lg(x^2+2x-2)/(x-1)[/b]

(x^2+x-2)*lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 0
x^2+x-2=(x+2)(x-1)

x-1 ≠ 0

(x+2)*lg(x^2+2x-2) ≥ 0 ⇒

{x+2 ≥ 0 .............. или......... {x+2 ≤ 0
{lg(x^2+2x-2) ≥ 0..или.......... {lg(x^2+2x-2) ≤ 0

{x+2 ≥ 0 .............. или......... {x+2 ≤ 0
{x^2+2x-2 ≥ 1......или.......... {x^2+2x-2 ≤ 1

{x+2 ≥ 0 .............. или......... {x+2 ≤ 0
{x^2+2x-3 ≥0........или.......... {x^2+2x-3 ≤ 0

D=4+12=16; корни (-3) и 1

[b]x ∈ [1;+ ∞ )[/b] ....... или...... х ∈[b] [-3;-2][/b] - не удовл условию x ≥1

2) если x-1 < 0 ⇒ |x-1|= - (x-1)

Неравенство принимает вид:

[b] - (x^2+x)lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 2lg(x^2+2x-2)/(x-1)[/b]

(-x^2-x-2)*lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 0

(x^2+x+2)*lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≤ 0

x^2+x+2 > 0 при любом х, так как D=1-4*2<0

lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≤ 0⇒

{x-1 < 0 .............. или......... {x-1 > 0
{lg(x^2+2x-2) ≥ 0..или.......... {lg(x^2+2x-2) ≤ 0

{x-1 < 0 .............. или......... {x-1 > 0
{x^2+2x-2 ≥ 1......или.......... {x^2+2x-2 ≤ 1

{x-1 < 0 .............. или......... {x-1 > 0
{x^2+2x-3 ≥0........или.......... {x^2+2x-3 ≤ 0

D=4+12=16; корни (-3) и 1

[b]x ∈ (- ∞;-3] ....... или...... х ∈∅ [/b]

Ответ первого и второго случаев (- ∞;-3] U [1;+ ∞ )

С учетом ОДЗ (- ∞;-3]U(1;+ ∞ )


О т в е т. [b](- ∞;-3]U(1;+ ∞ )[/b]
Значит треугольник POA- прямоугольный равнобедренный
PO=AO
h=r=4sqrt(3)

l=PO=sqrt((4sqrt(3))^2+(4sqrt(3))^2)=sqrt(96)= [b]4sqrt(6)[/b] (прикреплено изображение)
Вводим в рассмотрение функцию
z=arctg(y/x)

Применяем формулу ( см. рис.)

f`_(x)=(y/x)`_(x)/(1+(y/x)^2)=(-y/x^2)/((x^2+y^2)/x^2)= -y/(x^2+y^2)

f`_(y)=(y/x)`_(y)/(1+(y/x)^2)=(1/x)/((x^2+y^2)/x^2)= x/(x^2+y^2)

x_(o)=1
y_(o)=1
Δ x=0,95-1=-0,05
Δy=1,02-1=0,02

f`_(x)(x_(o);y_(o))= -1/(1^2+1^2)=-1/2

f`_(y)(x_(o);y_(o))=1/(1^2+1^2)=1/2

Осталось подставить в формулу и сосчитать (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
∂ z/ ∂ u= (∂ z/ ∂ x)*( ∂ x/ ∂u) + (∂ z/ ∂ y)*( ∂ y/ ∂u)
∂ z/ ∂ v= (∂ z/ ∂ x)*( ∂ x/ ∂v) + (∂ z/ ∂ y)*( ∂ y/ ∂v)

(∂ z/ ∂ x)= ((1/7)ln(x^2+3y^5))`_(x)=(1/7)*(2x)/(x^2+3y^5)=(2/7)*(x/(x^2+3y^5)
(∂ z/ ∂ y)= ((1/7)ln(x^2+3y^5))`_(y)=(1/7)*(15y^4)/(x^2+3y^5)=(15/7)*(y^4/(x^2+3y^5)

∂ x/ ∂u=(u*cosv)`_(u)=(cosv)*(u)`_(u)=cosv
∂ y/ ∂u=(u*sinv)`_(u)=sinv

∂ x/ ∂v=(u*cosv)`_(v)=u*(cosv)`_(v)=u*(-sinv)
∂ y/ ∂v=(u*sinv)`_(v)=u*cosv

Осталось подставить в формулы.


Ответ выбран лучшим
∂z/ ∂x= (xy)`_(x)/cos^2(xy)+(1/y)*(x)`_(x)= (y/cos^2(xy))+(1/y)

∂z/ ∂y=(xy)`_(y)/cos^2(xy)+x*(1/y)`_(y)= (x/cos^2(xy))+x*(-1/y^2)


∂^2z/ ∂x^2=(y/cos^2(xy))`_(x)+(1/y)`_(x)=

=y*(cos^(-2)(xy))`_(x)+0=y*(-2*cos^(-3)(xy))*(cosx(xy)`_(x)=

=(-2y/cos^3(xy))*sin(xy)*y= [b]-2y^2sin(xy)/(cos^3(xy))[/b]


∂^2z/ ∂y^2=(x/cos^2(xy))`_(y)+(-x/y^2)`_(y)=

=x*(-2cos^3(xy))*sin(xy)*x -x*(-2y^(-3)=

= [b](-x^2sin(xy)/cos^3(xy))+(2x/y^3) [/b]


-2x^2y^2sin(xy)/(cos^3(xy))+y^2x^2sin(xy)/cos^3(xy))-(2x/y)+

+x*(y/cos^2(xy))+(x/y)-y*(x/cos^2(xy))+x*(-y/y^2)=0 - верно

Ответ выбран лучшим
Применяем свойства логарифма степени:
z=ln(x^2+y)^(1/2)
[b]z=(1/2)ln(x^2+y)[/b]

∂z/ ∂x= (1/2)*(1/(x^2+y)) * (x^2+y)`_(x)=x/(x^2+y)

∂z/ ∂y= (1/2)*(1/(x^2+y)) * (x^2+y)`_(y)=1/(2*(x^2+y))

dz= (∂z/ ∂x) dx + (∂z/ ∂y) dy

dz=xdx/(x^2+y) + dy/(2*(x^2+y))

dx=(xdx+dy)/(x^2+y)

d^2z аналогично считаем вторые производные и применяем формулу
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{2x+3>0 ⇒ x> -1,5
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
х ∈(-1,5;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;+ ∞ )

[b]Решение.[/b]
Так как 1=log_(x^2)x^2

неравенство принимает вид:

[b]log_(x^2)(2x+3)≤log_(x^2)(x^2)[/b]


Рассматривают два случая.

Первый случай

Основание логарифмической функции x^2>1
Тогда логарифмическая функция возрастает и
2x+3 ≤x^2

Система неравенств:
{x^2>1⇒ x < -1 или x > 1
{x^2-2x-3 ≥ 0 D=4+12=16; корни -1 и 3; решение неравенства
x ≤ -1 или х ≥ 3

Решение системы : (- ∞;-1) U[3;+ ∞)
С учетом ОДЗ: [b] (-1,5;-1)U[3;+ ∞)[/b] - первый о т в е т.


Второй случай

Основание логарифмической функции 0 < x^2<1
Тогда логарифмическая функция убывает и
2x+3≥ x^2

Система неравенств:
{0 < x^2<1⇒ -1 < x < 0 или 0 < x < 1
{x^2-2x-3≤ 0 ⇒ -1 ≤ х ≤ 3


Решение системы : (- 1;0) U(0;1)
С учетом ОДЗ: [b](- 1;0) U(0;1) [/b] - второй о т в е т.

О т в е т. Объединение двух ответов:
(-1,5;-1)U(- 1;0)U(0;1)U[3;+ ∞)


А вот теперь смотрите, как далеко убежит( выиграет время для решения другой задачи) тот, кто пользуется [b]методом рационализации логарифмического уравнения.[/b]

Решение:
{2x+3>0 ⇒ x> -1,5
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
[b]{(x^2-1)*(2x+3-x^2) ≤ 0[/b]
D=16; корни (-1) и (3)
⇒ (x-1)(x+1)*(x+1)*(x-3) ≥ 0

(x+1)^2*(x-1)*(x-3)≥ 0

Решаем неравенство методом интервалов:
_+_ [-1] __+_ __ [1] __-__[3]___+__

С учетом первых трех неравенств (c учетом ОДЗ):

(-1,5) _+_ (-1) __+_ (0) _+__ (1) __-__[3]___+__

О т в е т. (-1,5;-1) U (-1;0)U(0;1)U[3;+ ∞)


Р.S.

Внимательный и думающий заметит, что в первом способе решения первый и второй случаи приводят к системам неравенств, в которых одинаковые выражения, но противоположных знаков.

Значит их произведение этих выражений отрицательно ( неположительно), поэтому фактически достаточно рассмотреть произведение ( вместо двух систем),

что и делается в случае, который назван методом рационализации!
1.
Проводим KK_(1)||BB_(1)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

KM ⊥ AK_(1)
K_(1)M-проекция KK_(1) на пл. АВ_(1)С_(1)

∠ AK_(1)K- искомый угол

Из Δ AK_(1)K

tg ∠ AK_(1)K=AK/KK_(1)=sqrt(3)/2

∠ AK_(1)K= [b]arctg(sqrt(3)/2)[/b]

3. ∠ ACB= 60 градусов

4.∠ CС_(1)B= 45 градусов

5.∠ CАС_(1)= 45 градусов

6. Как в 1. аналогично
tg ∠ В_(1)KВ=K_(1)В/KK_(1)=sqrt(3)/2
∠ В_(1)KВ=[b]arctg(sqrt(3)/2)[/b] (прикреплено изображение)
При x ≥ 0; y-1≥ 0
|x|=x; |y-1|=y-1

х+у-1 ≤ 4 ⇒ [b] х+y ≤ 3[/b]

Прямая x+y=3 разбивает координатную плоскость две части
Подставляем произвольную точку, например (0;0) и убеждаемся, что неравенству
х+y ≤ 3
удовлетворяет множество точек, расположенных в той же части, где точка (0;0)

Аналогично еще в трех случаях

При x <0; y-1≥ 0
|x|= - x; |y-1|= y - 1
[b]-x+y-1≤ 4[/b]


При x ≥ 0; y-1< 0
|x|=x; |y-1|=- y + 1
[b]x-y+1≤ 4[/b]


При x < 0; y-1< 0
|x|= - x; |y-1|= - y + 1
[b]-х-у+1 ≤ 4 [/b]
Ответ выбран лучшим
P_(14)=14!

C^(10)_(14)=14!/((14-10)!*10!)=14!/(4!*10!)

P_(14)/C^(10)_(14)=14!/(14!/(4!*10!))= [b]10!*4![/b]


A^(4)_(14)=14!/((14-4)!=14!/10!

C^(4)_(14)=14!/((14-4)!*4!)=14!/(10!*4!)

A^(4)_(14)/C^(4)_(14)=4!


P_(14)/C^(10)_(14) - A^(4)_(14)/C^(4)_(14)= 10!*4! - 4!= [b]4!*(10!-1)[/b]


О т в е т. 4!*(10!-1)

Считать факториалы необязательно, это пустая трата времени...
Ответ выбран лучшим
3.
ОДЗ:
x^2-2x+5≠0
D=4-4*5<0
Уравнение не имеет корней,
значит
ОДЗ (- ∞ ;+ ∞ )
y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=2*((x^2+3)`*(x^2-2x+5)-(x^2-2x+5)`*(x^2+3))/(x^2-2x+5)^2=

=2*(2x*(x^2-2x+5)-(2x-2)*(x^2+3))/(x^2-2x+5)^2=

=2*(2x^3-4x^2+10x-2x^3+2x^2-6x+6)/(x^2-2x+5)^2=

=2*(-2x^2+4x+6)/(x^2-2x+5)^2=-4*(x^2-2x-3)/(x^2-2x+5)^2

y`=0

x^2-2x-3=0
D=4-4*(-3)=16

x_(1)=(2-4)/2=-1 или x_(2)=(2+4)/2=3

Обе точки принадлежат [-3;3]

Находим значения функции в этих точках и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее

f(-3)=2*((-3)^2+3)/((-3)^2-2*(-3)+5)=24/20=1,2
f(-1)=2*((-1)^2+3)/((-1)^2-2*(-1)+5)=8/8=1- наименьшее
f(3)=2*(3^2+3)/(3^2-2*3+5)=24/8=3 - наибольшее

4.
Пусть стороны участка x и у.
S=x*y
По условию
S=200
x*y=200

y=200/x

L(длина забора)=х+у+х=2х+у

L(x)=2x+(200/x) - функция, зависящая от х, которую и надо исследовать на наименьшее значение с помощью производной

L`(x)=2-(200/x^2)=(2x^2-200)/x^2
L`(x)=0
2x^2-200=0
x^2-100=0
х= ± 10
х=-10 не удовлетворяет смыслу задачи

При переходе через х=10 производная L`(x) меняет знак с - на +
Значит это точка минимума.

y=200/10=20

L=10+20+10=40 км - наименьшая длина забора.

5.
Неопределенность (0/0
Применяем правило Лопиталя:
lim_(x → 0)f(x)/g(x)=lim_(x → 0)f`(x)/g`(x)=

=lim_(x → 0)(e^(x)-e^(-x)*(-x)`-2)/(1-cosx)=

=lim_(x → 0)(e^(x)+e^(-x)*-2)/(1-cosx)= (0/0)
Применяем второй раз правило Лопиталя:

=lim_(x → 0)(e^(x)+e^(-x)*-2)`/(1-cosx)`=

=lim_(x → 0)(e^(x)-e^(-x))/(sinx)=(0/0)=

Применяем третий раз правило Лопиталя:

=lim_(x → 0)(e^(x)-e^(-x))`/(sinx)`=

=lim_(x → 0)(e^(x)+e^(-x))/(cosx)=(1+1)/1= [b]2[/b]

Согласно второго замечательного предела

lim_(x → ∞ )(1+ (1/t))^(t)=e

Это верно и при t=x^2

Поэтому

lim_(x → ∞ ) (1+ (1/x^2))^(x)=

=lim_(x → ∞ ) [b]([/b] (1+ (1/x^2))^(x^2) [b])[/b]^(1/x)=e^(lim_(x→ ∞)(1/x))=

=e^(0)= [b]1[/b]
Ответ выбран лучшим
Выделяем полные квадраты.
Группируем переменные:
(x^2-4x)+4y^2+(9z^2+18z)+53=0
(х^2-4х+4)+4y^2+9*(z^2+2z+1)-4-9+53=0
(x-2)^2+4y^2+9(z+1)^2=-40 нет такой поверхности, слева все выражения неотрицательны, значит их сумма неотрицательна.
А справа отрицательное число
Ответ выбран лучшим
30=5*6
Логарифм произведения равен сумме логарифмов

log_(5)30=log_(5)5+log_(5)6=1+log_(5)6

log_(5)6=1/log_(6)5

1+ 1/log_(6)5 - 1/log_(6)5=1
Ответ выбран лучшим
Разность логарифмов заменим логарифмом частного
=log_(1,4)(5/7)=log_(1,4)*(7/5)^(-1)=-log_(1,4)1,4=-1
Ответ выбран лучшим
Раскрываем модуль по определению

[b]Первый случай[/b]

[b]Если x^2-x-2 ≥ 0[/b]
⇒ |x^2−x−2|=x^2−x−2 при [b]х≤ -1 или x ≥ 2[/b]

f(x)=x^2+(a-1)x-2a-3

f`(x)=2x+(a-1)

f`(x)=0

2x+(a-1)=0

x=(1-a)/2

y((1-a)/2)=((1-a)/2)^2+(a-1)*(1-a)/2-2a-3=(1-a)^2/4 -(1-a)^2/2 - 2a-3=

=(-(1-a)^2-8a-12)/4=(-a^2-6a-13)/4

Если абсцисса вершины x_(o)=(1-a)/2
находится между точками -1 и 2, т.е
-1 ≤ (1-a)/2 ≤ 2, то наименьшее значение не в вершине [b](!!!)[/b], а в точках x =-1 или x=2 ( cм. рис.1)

f(-1)=(-1)^2+(a-1)*(-1)-2a-3=-3a-1
f(2)=2^2+(a-1)*2-2a-3=-1 >-2

Поэтому
значение параметра а находим из системы
[b](1)[/b]
{-1 < (1-a)/2 < 2⇒ -3 < a < 3
{-3a-1<-2⇒ a > 1/3

О т в е т [b](1)[/b] (1/3;3)

Если абсцисса вершины x_(o)=(1-a)/2 находится вне (-1;2), то наименьшее значение в вершине ( неважно слева от -1
или справа от 2 см. рис. 2)
значение параметра а находим из системы
[b](2)[/b]
{(1-a)/2 ≤ -1 или (1-a)/2 ≥2 ⇒ a≥3 или а ≤ -3
{(-a^2-6a-13)/4<-2 ⇒ a^2+6a+5>0 ⇒ a < -5 или a> -1

О т в е т [b](2)[/b] (-∞; -5) U [3;+∞)

О т в е т первого случая объединение ответов [b](1)[/b] и [b](2)[/b]
(-∞; -5) U (1/3;3)U [3;+∞)= [b](-∞; -5) U (1/3;+∞)[/b]



[b]Второй случай[/b]

[b] Если x^2-x-2 < 0 [/b]
⇒ |x^2−x−2|=-x^2+x+2 при -1 ≤ x ≤ 2

f(x)=-x^2+(a+1)x-2a+1 - графиком служит парабола, ветви которой направлены вниз.

Значит в вершине параболы всегда наибольшее значение.
а наименьшее значение данная функция принимает на концах интервала
либо в точке х=-1 либо в точке х=2

Так как f(2)=-4+2(a+1)-2a+1=-1 > -2
Значит наименьшее значение в точке x=-1
f(-1)=-(-1)^2+(a+1)*(-1)-2a+1=-3a-1

-3a-1 < -2 ⇒ a > 1/3
О т в е т второго случая объединение ответов [b] (1/3;+∞)[/b]

О т в е т. Объединение ответов первого и второго случаев
[b](-∞; -5) U (1/3;+∞)[/b] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x-1>0 ⇒ x>1
{x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{x/6>0 ⇒ x>0
{log_(x-1)(x/6) ≠ 0 ⇒ x/6 ≠ 1 ⇒ x ≠ 6

x ∈ (1;2)U(2;6)U(6;+ ∞)


(1) / (log_(x-1)(x/6)) + 1 ≥ 0

(1+log_(x-1)(x/6)) / log_(x-1)(x/6) ≥ 0

1=log_(x-1)(x-1)

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(x-1)((x-1)*(x/6)) / log_(x-1)(x/6) ≥ 0

Применяем формулу перехода к другому основанию
log_(c)b/log_(c)a=log_(a)b

log_(x/6)((x-1)*(x/6)) ≥ 0

[b]Применяем метод рационализации логарифмических неравенств[/b]. Это [b]таблица перехода[/b] от одного сложного неравенства с логарифмами к простому рациональному неравенству.

((х/6)- 1)*(( x-1)*(x/6) -1) ≥ 0
Умножаем на 36:

(x-6)*(x^2-x-6) ≥ 0

(x-6)*(x+2)(x-3) ≥ 0

Решаем методом интервалов

___ [-2] _____+____ [3] ___-__ [6] ___+__

[-2;3] U[6;+ ∞ )

C учетом ОДЗ:

о т в е т. (1;2) U(2;3] U(6;+ ∞)

Р.S.
Метод рационализации логарифмических неравенств придуман
умными людьми, которые заметили, что рассмотрение друх случаев
1)
{ (x/6) < 1 - логарифмическая функция убывает и тогда
{x-1≤ 6/x
2)
{ (x/6) >1 - логарифмическая функция возрастает и тогда
{x-1 ≥ 6/x

Если внимательно посмотреть, то первая система
{(x/6)-1 <0
{x-1-(6/x)≤ 0
и вторая система
{(x/6)-1 >0
{x-1-(6/x) ≥0

состоят из одинаковых выражений
В первой оба выражения отрицательны, во второй положительны.
Это означает, что произведение выражений положительно.
Что легко записывается в виде одного неравенства

((x/6)-1)*(x-1-(6/x))≥0

которое легко получается после таких рассуждений.
Это и называется методом рационализации - методом экономного расходования времени на экзамене.


1 a)
S= ∫ ^(3)_(1)2(x-1)*(3-x)dx=2*∫ ^(3)_(1)(-x^2+4x-3)dx=

=2*((-x^3/3)+4*(x^2/2)-3x}|^(3)_(1)=2*(-9)+2*9-3*3 - 2*(-1/3)-2*(-1)^2+6*(-1)=


1б)
S= ∫ ^(2)_(1)(2lnx-lnx)dx= ∫ ^(2)_(1)lnxdx= интегрируем по частям=

[ u=lnx; du=dx/x; dv=dx; v=x]

=xlnx|^(2)_(1) - ∫ ^(2)_(1)x*dx/x=

=2ln2-1ln1-(x)^(2)_(1)= [b]2ln2-1[/b]

1в)
Найдем абсциссы точек пересечения:
{y=1/x
{x+y=5

х+(1/х)=5
x^2-5x+1=0
D=25-4=21
x_(1)=(5-sqrt(21))/2; х_(2)=(5+sqrt(21))/2


S= ∫ ^(x_(2))_(x_(1))(5-x-(1/x))dx=

=(5x-(x^2/2)-lnx)|^(x_(2))_(x_(1))

2.
y^2=x⇒ y=sqrt(x)
f(x)=sqrt(x)


y=x^2⇒ g(x)=x^2

По формуле:

V_(вращения Ох)=π ∫ ^(b)_(a) (f^2(x)-g^2(x))dx


V_(вращения Ох)=π ∫ ^(1)_(0)x dx - π ∫ ^(1)_(0)x^4 dx=

=π*(x|^(1)_(0) -(x^5/5)|^(1)_(0))=π*(1-(1/5))= [b]4π/5[/b] (прикреплено изображение)
1
D(z)={(x;y)| (x+y)/(y-3) >0}

(x+y)/(y-3) >0 ⇒ x+y>0 и y-3>0 ИЛИ x+y<0 и y-3 <0

См. приложение 1

2.
∂z/∂x=e^(x*lny) * (xlny)`_(x)=lny*e^(x*lny)
∂^2z/ ∂x∂y = (lny*e^(x*lny))`_(y)=

=(lny)`_(y)*e^(x*lny)+(lny)*e^(x*lny) * (xlny)`_(y)=

=(1/y)*e^(x*lny)+(lny)*e^(x*lny) *x*(1/y)

∂ ^2z/ ∂x∂y|_ (M_(o))=(1/e^2)*e^(2*lne^2)+(lne^2)*e^(2*lne^2) *2*(1/e^2)= [b]5e^2[/b]

3.
∂z/ ∂x=2x+y-3
∂z/ ∂y=2y+x-3

{2x+y-3=0
{2y+x-3=0
Вычитаем x-y=0
y=x
2х+х-3=0
3х=3
х=1
y=1

M(1;1) - стационарная точка.
Исследуем на экстремум
∂ ^2z/ ∂x^2=2
∂ ^2z/ ∂x∂ y =1
∂ ^2z/ ∂y^2=2

A=∂ ^2z/ ∂x^2|_(M)=2
B=∂ ^2z/ ∂x∂y|_(M) =1
C=∂ ^2z/ ∂y^2|_(M)=2

Δ=AB-C^2=2*2-1*1=3>0
A=2>0
M(1;1) - точка минимума
20 делится на 1;2;4;5;10;20

n=20
m=6
p=m/n=6/20=3/10
Ответ выбран лучшим
0 ≤ sin^2x ≤ 1
0 ≤ sin^4x ≤ 1
...
0 ≤ sin^(28)x ≤ 1
[b]0≤ 7*sin^(28)x ≤ 7[/b]

Аналогично
0 ≤ cos^2x ≤ 1
0 ≤ cos^4x ≤ 1
...
[b]0 ≤ cos^(14)x ≤ 1[/b]

Складываем
0 ≤ 7*sin^(28)x+cos^(14)x ≤ 7+1=8

8 < 9

[b]Уравнение не имеет корней.[/b]
3+4+5=12 способов
Ответ выбран лучшим
Розу 4 способами, к каждой розе 7 вариантов выбора открытки.

Пару роза и открытка можно выбрать 4*7=28 способов
Если прямоугольник вписан в окружность, его диагональ является диаметром.
АС= d=2R=34

Диагональ прямоугольника разбивает его на два прямоугольных треугольника АВС и ACD

Пусть ∪ DC=30 градусов.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Значит∠ DAC= 15 градусов.


СD=AC*sin∠ DAC=34*sin15^(o)
AD=AC*cos∠ DAC=34*cos15^(o)

S_(прямоугольника)=AD*CD=34*sin15^(o)*34*cos15^(o)=

=17*34*sin30^(o)=17*34*(1/2)=17*17 [b]=289 [/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Всего шариков 8+4+18=30
n=30
Испытание состоит в том, что из тридцати шариков вынимают один.

Пусть событие А - " извлечен желтый шарик"

Наступлению события А благоприятствуют 18 исходов, так как желтых шариков 18

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=18/30=3/5
Ответ выбран лучшим
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное

y``+4y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0

k1=-2i; k2=-2i– корни комплексные

α =0; β =2

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(0x)*(С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x)


1) f(x)=e^(x)cosx*(x^3-1)
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(x)((Ax^3+Bx^2+Cx+D)*sinx+(Ex^3+Fx^2+Gx+H)*cosx)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=

y``_(част)=


подставляем в данное уравнение:




2) f(x)=cos2x

f(x)=e^(0x)*(1*cos2x+0*sinx2x
z=0+2i - корень характеристического уравнения, то

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(0x)*х*(Asin2x+Bcos2x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=(Asin2x+Bcos2x)+x*(2Acos2x-2Bsin2x)

y``_(част)=2(2Acos2x-2Bsin2x)+x*(-2Asin2x-2Bcos2x)


подставляем в данное уравнение:
2(2Acos2x-2Bsin2x)+x*(-2Asin2x-2Bcos2x)+4*х*(Asin2x+Bcos2x)
=cos2x
4Аcos2x-4Bsin2x+x*(2Asin2x+2Bcos2x)=cos2x
4A+2Bx=1
-4B+2Ax=0




Приравниваем коэффициенты

3) f(x)=x^2*sin2x

f(x)=e^(0x)*(0*cos2x+x^2*sinx2x)
z=0+2i - корень характеристического уравнения, то
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=х*(Ax^2+Bx+C)*sin2x+(Dx^2+Ex+F)*cosx)



О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=

Ответ выбран лучшим
Условие написано ужасно

Вероятность поставки сырья [b]своевременно[/b] первым поставщиком равна p1=0,97,
вероятность поставки сырья [b]несвоевременно[/b] первым поставщиком равна q_(1)=1–p1= 0,03.

Вероятность поставки сырья [b]своевременно[/b] вторым поставщиком равна p2=0,95,
вероятность поставки сырья [b]несвоевременно[/b] вторым поставщиком равна q_(2)=1–p1= 0,05.


Вероятность поставки сырья [b]своевременно[/b] третьим поставщиком равна p3=0,99,
вероятность поставки сырья [b]несвоевременно[/b] первым поставщиком равна q_(3)=1–p3= 0,01.

Пусть событие А - "хотя бы один из поставщиков срывает поставку"

Рассмотрим противоположное событие
vector{A}- все поставщики своевременно выполняют доставку

p(vector{A})=p_(1)*p_(2)*p_(3)=0,97*0,95*0,99=

Тогда

p(А)=1-p(vector{А})=1-



Ответ выбран лучшим
Есть видео в ютубе с подробным объяснением:
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Есть видео в ютубе с подробным решением (прикреплено изображение)
Первый верстак дает 5% брака,т. е вероятность получения бракованной детали на первом станке p_(1)=0,05, вероятность получения небракованной детали на первом станке
q_(1)=1-p_(1)= 0,95.

Второй верстак дает 7% брака,т. е вероятность получения бракованной детали на втором станке p_(2)= 0,07, вероятность получения небракованной детали на втором станке
q_(2)=1-p_(2)= 0,93.


Третий верстак дает 9% брака,т. е вероятность получения бракованной детали на третьем станке p_(3)= 0,09, вероятность получения небракованной детали на третьем станке
q_(3)=1-p_(3)= 0,91.



1)
Пусть событие А - " извлечено 0 рабочих деталей"

p(А)=p_(1)*p_(2)*p_(3)=0,05*0,07*0,09=

Пусть событие B - " извлечена 1 рабочая деталь"


p(B)=q_(1)*p_(2)*p_(3)+p_(1)*q_(2)*p_(3)+p_(1)*p_(2)*q_(3)=

=0,95*0,07*0,09+0,05*0,93*0,09+=0,05*0,07*0,91=

Пусть событие C - " извлечены 2 рабочие детали"


p(С)=q_(1)*q_(2)*p_(3)+q_(1)*p_(2)*q_(3)+p_(1)*q_(2)*q_(3)=

=0,95*0,93*0,09+0,95*0,07*0,91+0,05*0,93*0,91=

Пусть событие D - " извлечены 3 рабочие детали"

p(D)=q_(1)*q_(2)*q_(3)=0,95*0,93*0,91=


2)
Пусть событие M- "извлечена хотя бы одна рабочая деталь"
Рассматриваем противоположное событие
vector{M}- "не извлечено ни одной рабочей детали"

vector{M}=A

p(vector{M})=p(A)=p_(1)*p_(2)*p_(3)=0,05*0,07*0,09=

Тогда

p(M)=1-p(vector{M})=


3)Пусть событие N- "извлечена хотя бы одна бракованная деталь"
Рассматриваем противоположное событие
vector{N}- "не извлечено ни одной бракованной детали", т. е все три извлеченные детали рабочие

vector{N}=D

p(vector{N})=p(D)=q_(1)*q_(2)*q_(3)=0,95*0,93*0,91=

Тогда

p(N)=1-p(vector{N})=



Ответ выбран лучшим
ак как
sin^2 α +cos^2 α =1.

то

- sin^2(x+3)/2 - cos^2( x+3)/2 =-1

Неравенство принимает вид:

sin(x+3)/2 ≥ -1

Замена

(x+3)/2=t

[b]sint ≥ -1[/b]

( cм. рис.)

неравенство верно при любом t ⇒

(x+2)/3 - любое ⇒ х - любое

О т в е т. [b] (- ∞ ;+ ∞ )[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Так как
sin^2 α +cos^2 α =1.

то

- sin^2(x+3)/2 - cos^2( x+3)/2 =-1

Неравенство принимает вид:

sin(x+3)/2 ≥ -1

Замена

(x+3)/2=t

sint ≥ -1

(см. рис.)

при любом t ⇒ (x+2)/3 - любое ⇒ х - любое

О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
Пусть k- коэффициент пропорциональности

Тогда
a=5k;
b=7k
a:b=5k:7k=5:7


P_(параллелограмма)=2*(a+b)=2*(5k+7k)=24k

По условию P=72 cм
Уравнение:
24k=72
k=3

Тогда
a=5*3= [b]15[/b] cм,
b=7*3= [b]21 [/b]см

S_(параллелограмма)=a*b*sin α =15*21*sin30^(o)=

=15*21*(1/2)=157,5 cм^2
Это интеграл от степенной функции
∫ u^2du

d(2x-7)=2dx
dx=(1/2)d(2x-7)

=(1/2) ∫ ^(1)_(0)(2x-7)^2d(2x-7)=((1/2)*(2x-7)^3/3)|^(1)_(0)=

=(1/6)*(2*1-7)^3-(1/6)*(2)*0-7)^3=(1/6)(-5)^3-(1/6)*(-7)^3=

=(1/6)*(7^3-5^3)=(1/6)*(7-5)*(7^2+7*5+5^2)=109/3= [b]36 (1/3)
[/b]
2.
Метод замены
x=t^6
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2
dx=6t^5dt

Пределы интегрирования:
если x=0, то t=0
если х=3, то t=3^(1/6)

= ∫^(3^(1/6))_(0) (sqrt(2)*t^3+t^2)6t^5dt=

=6sqrt(2) ∫^(3^(1/6))_(0)t^8dt+6 ∫^(3^(1/6))_(0)t^7dt=

=6sqrt(2)*(t^9/9)|^(3^(1/6))_(0)+6*(t^(8)/8)|^(3^(1/6))_(0)=

=(2/3)sqrt(2)*3^(3/2)+(3/4)3^(8/6)=

=(2/3)sqrt(2)*3sqrt(3)+(3/4)*3∛3=

= [b]2sqrt(6)+(9/4)*∛3[/b]
1.

Не меньше четырех, значит 4 или 5

n=5
p=0,3

q=1-p=1-0,3=0,7

Повторные испытания с двумя исходами.

Формула Бернулли
P_(5)(4)+P_(5)(5)=

=C^(4)_(5)0,3^(4)(0,7)^1+C^(5)_(5)0,3^(5)(0,7)^0=

=5*1*0,0081*0,7+1*0,3^5= считайте

2.

Повторные испытания с двумя исходами.
n=400
Поэтому формула Бернулли не применима.

Применяем формулы Лапласа.

n=400
p=0,2
q=1-p=0,8
np=400*0,2=80
npq=100*0,1*0,8=64
sqrt(npq)=8

1) Применяем локальную формулу Лапласа
k=60

(k-np)=60-80=-20
(k-np)/sqrt(npq)=-20/8=-2,5

φ (-2,5)=φ (2,5)
φ (2,5) = 0,0175 ( cм. таблица 1)

P_(400)(60) ≈ (1/8)*φ (-2,5)=0,0175/8=

2) n- велико, применяем интегральную формулу Лапласа
( см. приложение)
P_(n) (k_(1) ≤ x ≤ k_(2))=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(k_(2)-np)/sqrt(npq)
x_(1)=(k_(1)-np)/sqrt(npq)


P_(400) (70 ≤ x ≤100)=?

x_(2)=(100-80)/8=20/8=2,5

x_(1)=(70-80)/8=-10/8=-1,25

Ф(2,5)= 0,4938( см. таблицу 2)
Ф(-1,25)=-Ф(1,25)= -0,3944

О т в е т.
P_(400) (70≤ x ≤100)=0,4938-(- 0,3944)= (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
R=2/7^(1/4)

H=R*tg30^(o)=(2/7^(1/4))*(sqrt(3)/3)= [b]2sqrt(3)/(3*7^(1/4))[/b]

r=R/2=1/7^(1/4)

Тогда апофема боковой грани:

h^2=H^2+r^2=(2sqrt(3)/(3*7^(1/4)))^2+(1/7^(1/4))^2=

=((4/3)+1)/7^(1/2)

h=sqrt(7/3)/sqrt(7^(1/2)=7^(1/4)/sqrt(3)


a=R*sqrt(3)

S_(бок)=P_(осн)*h/2=3=(1/2)*3*R*sqrt(3)*(7^(1/4)/sqrt(3))=

=(3/2)*(2/7^(1/4))*(7^(1/4))= [b]3[/b] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2
{3x-1≥ 0 ⇒ x ≥ 1/3
{x-1≥ 0 ⇒ x ≥ 1

ОДЗ: х∈ [1;+∞)

√x+2 > √x–1 + √3x–1

Возводим в квадрат

x+2 > x-1+3x-1 +2√x–1 * √3x–1

2√x–1 * √3x–1 < 4-3x

4-3x ≥ 0 иначе нет смысла ( неотрицательная левая часть не может быть меньше отрицательной правой)

Возводим в квадрат
4*(x - 1)*(3x - 1) < 16 - 24x + 9x^2

12x^2 - 16x + 4 < 16 - 24x +9x^2

3x^2 +8x -12 <0

D=64+144=208
x_(1)=(-8-4sqrt(13))/6; x_(2)=(-8+4sqrt(13))/6
(-4-2sqrt(13))/3 < x <(-4+2sqrt(13))/3

C учетом ОДЗ и условия 4-3x ≥ 0 получаем ответ....
V=π ∫ ^(3)_(-3)(9-x^2)^2dx=

=π ∫ ^(3)_(-3)(81-18x^2+x^4)dx=

=π*(81x-18*(x^3/3)+(x^5/5))|^(3)_(-3)=

=π*(81*9-6*54+(1/5)486)=259,2π (прикреплено изображение)
1.
u=3x
du=3dx
dx=(1/3)du

1.=(1/3) ∫ ^(1/3)_(0)d(3x)/sqrt(1-(3x)^2)=

=(1/3)arcisn(3x)|^(1/3)_(0)=(1/3)arcsin1-(1/3)arcsin0=(1/3)*(π/2)-0=

= [b]π/6[/b]

2.
∫ sqrt(u)du= ∫ u^(1/2)du=u^(3/2)/(3/2)+C=(2/3)(u^(3/2)+C

Поэтому
∫ ^(6)_(2)sqrt(x-2)d(x-2)=(2/3)*(x-2)^(3/2)|^(6)_(2)=

=(2/3)(4^(3/2))-(2/3)(0^(3/2))=(2/3)*8= [b]16/3[/b]
Ответ выбран лучшим
3.
x^4=u
4x^3dx=du
x^3dx=du/4

∫ x^3dx/(1+x^8)= ∫ x^3/(1+(x^4)^2)= ∫ (du/4)/(1+u^2)=(1/4)arctgu


поэтому:

∫ ^(1)_(0)x^3dx/(1+x^8)=(1/4)∫ ^(1)_(0)d(x^4)/(1+(x^4)^2)=

=(1/4)(arctgx^4|^(1)_(0)=(1/4)arctg1=(1/4)*(π/4)= [b]π/16[/b]

4.
∫ ^(π/6)_(0)e^(sinx)cosxdx=∫ ^(π/6)_(0)e^(sinx) d(sinx)=

=e^(sinx)|^(π/6)_(0)=e^(sin(π/6))-e^(sin0)=e^(1/2)-e^(0)= [b]sqrt(e)-1[/b]
Ответ выбран лучшим
1.
S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)=2πR*H+2*π*R^2=2π*12*8+2*π*12^2=

=(192π+288π)см^2

S_(осев. сеч)=D*H=2R*H=2*12*8=192 см^2

2.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы
L=2H=8 см
По теореме Пифагора
R^2=L^2-H^2=8^2-4^2=64-16=48
R=4sqrt(3)

S_(осн)=πR^2=48π см^2

3.
Апофема BK=sqrt(14^2+2^2)=sqrt(200)=10sqrt(2)

S_(бп)=P_(осн)*BK/2=4*4*10sqrt(2)/2=80sqrt(2)
S_(осн)=4^2=16

S_(пп)=S_(бп)+S_(осн)=80sqrt(2)+16 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Повторные испытания с двумя исходами
Но формула Бернулли неприменима.
n- велико.

n=100
p=0,1
q=1-p=0,9
np=100*0,1=10
npq=100*0,1*0,9=9
sqrt(npq)=3

1) Применяем локальную формулу Лапласа
k=16

(k-np)=16-100*0,1=16-10=6
(k-np)/sqrt(npq)=6/3=2

φ (2)= 0,2420 ( cм. таблица 1)

P_(100)(16) ≈ (1/3)*φ (2)=0,2420= [b]0,0807[/b]

2) n- велико, применяем интегральную формулу Лапласа
( см. приложение)
P_(n) (k_(1) ≤ x ≤ k_(2))=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(k_(2)-np)/sqrt(npq)
x_(1)=(k_(1)-np)/sqrt(npq)

P_(100) (7 ≤ x ≤13)=?



x_(2)=(13-10)/3=1

x_(1)=(7-10)/3=-1

Ф(1)=0,3413 ( см. таблицу 2)
Ф(-1)=-Ф(1)= -0,3413

О т в е т.
P_(100) (7≤ x ≤13)=2Ф(1)= 2*0,3413= [b]0,6826[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Повторные испытания с двумя исходами
p=1/3
q=1-(1/3)=2/3
Формула Бернулли

P_(4)(2)=C^2_(4)*(1/3)^2*(2/3)^2=6*(1/9)*(8/9)=48/81= [b]16/27[/b]
Ответ выбран лучшим
1) cos((9π/2)+x)= cos(4π+(π/2)+x)=cos((π/2)+x)=-sinx
|cosx|+sqrt(3)sinx=1

cosx ≥ 0 ⇒ |cosx|=cosx
cosx+sqrt(3)sinx=1
Метод введения вспомогательного угла
(1/2)сosx+(sqrt(3)/2)*sinx=1/2
cos(x-(π/3))=1/2
x-(π/3)= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z
x=(π/3) ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

x= [b]2πn, n ∈ Z[/b] или х= [b](2π/3)+2πn, n ∈ Z[/b]

cosx<0 ⇒ |cosx|= -cosx
-cosx+sqrt(3)sinx=1
Метод введения вспомогательного угла
(1/2)сosx-(sqrt(3)/2)*sinx=-1/2
cos(x+(π/3))=-1/2

x+(π/3)= ± (2π/3)+2πm, m ∈ Z
x=(-π/3) ± (2π/3)+2πm, m ∈ Z

x= [b](π/3)+2πm, m ∈ Z[/b]
x= [b]- π+2πm, m ∈ Z[/b]


2.
cosx≥ 0 ⇒ [b]x в 1 или в 4 четверти[/b]

Возводим в квадрат
sinx*sin3x=cos^2x

Формулы
sin α *sin β =
cos^2α=(1+cos2α)/2


(1/2)cos2x-(1/2)cos4x=(1+cos2x)/2

cos2x-(2cos^22x-1)=1+cos2x

2cos^22x=0
cos2x=0
2x=(π/2)+πm, m ∈ Z
x=π/4+(π/2)m, m ∈ Z, но [b]x в 1 или в 4 четверти[/b]


[b]х= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z [/b]

3.

ОДЗ:
{сosx>0 - х в первой или четвертой четверти
{cosx ≠1 ⇒ х≠2πk, k ∈ Z

Так как
log_(cosx)(sin^2x+cos^2x)=log_(cosx)1=0

уравнение принимает вид:
-2sin^2x+5sin2x=0

-2sin^2x+5*2*sinx*cosx=0

-2sinx*(sinx-5cosx)=0

sinx=0 ⇒ x=πm, m ∈ Z

sinx-5cosx=0 ⇒ tgx=5 x=arctg5+πn, n ∈ Z

Так как согласно ОДЗ
сosx>0 и сosx≠1


[b]х=arctg5+2πn, n ∈ Z[/b] - о т в е т.
ОДЗ:
{3x^2-7x+3 ≥ 0
{x^2-2 ≥ 0
{3x^2-5x-1 ≥ 0
{x^2-3x+4 >0 при любом х, D <0

√(3·x^2–7·x+3)- √(3·x^2–5·x–1)√(x^2–2)= √(x^2–2)-√(x^2–3·x+4) [b](#)[/b]

Переводим иррациональность из числителя в знаменатель
по формуле
sqrt(a)-sqrt(b)=(a-b)/(sqrt(a)+sqrt(b))

(3x^2-7x+3-3x^2+5x+1)/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1))=

=(x^2-2-x^2+3x-4)/( √(x^2–2)+√(x^2–3·x+4) )

(4-2x)/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1))=(3x-6)/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1))


(х-2)* [b]([/b]2/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1))+ 3/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1) [b])[/b]=0

Выражение в [b]([/b] [b])[/b] положительно как сумма положительных выражений

x=2

О т в е т. [b]2[/b]

1. Замена переменной:
y`=z(x)
y``=z`(x)

(1+x^2)*z`=1+z^2

z`=dz/dx

(1+x^2)*dz=(1+z^2)dx

dz/(1+z^2)=dx/(1+x^2)


∫ dz/(1+z^2)= ∫ dx/(1+x^2)

arctgz=arctgx +C_(1)

обратный переход

acctgy`=arctgx+arctg C_(1)
y`=tg(arctgx+arctgC_(1))

Формула: tg( α+ β )=

y`=tg(arctgx)+tg(arctgC)/(1-tg(arctgx)*tg(arctgC))

y`=(x+C_(1))/(1-C_(1)x)

dy/dx=(x+C_(1))/(1-C_(1)x)

dy=(x+C_(1))dx/(1-C_(1)x)

y= ∫ (x+C_(1))dx/(1-C_(1)x)= ∫ xdx/(1-_(1)Cx) + ∫ C_(1)dx/(1-_(1)Cx)=

=(-1/C_(1))∫(-C_(1)x)dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=

=(-1/C_(1))∫(1-C_(1)x+1)dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=

=(-1/C_(1))∫(1-C_(1)x)dx/(1-C_(1)x) - (1/C_(1))∫dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=

=(-1/C_(1))∫(1-C_(1)x)dx/(1-C_(1)x) + (1/C^2_(1))∫(-C_(1))dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=


=(-1/С_(1))х +(1/C_(1)^2)ln|1-C_(1)x|- ln_(1-C_(1)x|+C_(2)


2.

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное

y``-9y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9=0

k1= k2=3– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Asinx+Bcosx


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=Acosx-Bsinx

y``_(част)=-Asinx-Bcosx


подставляем в данное уравнение:

-Asinx-Bcosx-9Asinx-9Bcosx=4sinx

Приравниваем коэффициенты у синусов:
-A-9A=4
и у косинусов
-B-9B=0

-10A=4
A=-0,4
B=0

О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=

= [b]С_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)-0,4sinx[/b]
Ответ выбран лучшим<