✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Профиль пользователя SOVA

Решения

Повторные испытания с двумя исходами
p=0,45 - вероятность выигрыша
q=1-p=1-0,45=0,55 - вероятность проигрыша

p^2q^3=0,45*0,45*0,55*0,55*0,55 = о т в е т.

По формулам приведения
sin((5π/2)-x)=cosx
По формулам двойного аргумента
cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1
тогда уравнение примет вид:
2sin2x*cosx -sqrt(3)*sin2x +2cos^2x-1 - sqrt(3)cosx+1=0
sin2x(2cosx-sqrt(3))+cosx*(2cosx-sqrt(3))=0
(2cosx-sqrt(3))*(sin2x+cosx)=0
2cosx-sqrt(3)=0 или sin2x+cosx=0

(1) уравнение
2cosx-sqrt(3)=0
cosx=sqrt(3)/2
[b]x= ± (π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

(2) уравнение
sin2x+cosx=0
2sinx*cosx+cosx=0
cosx=0 или 2sinx+1=0

cosx=0
[b]x= (π/2)+πm, m ∈ Z[/b]

2sinx+1=0
sinx=-1/2
[b]x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

Ответы ± (π/6)+2πn, n ∈ Z и (-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z
имеют пересечение в точке
- (π/6)+2πn, поэтому можно включить в ответ только один раз

О т в е т:
а)± (π/6)+2πn, (π/2)+πm, (-5π/6)+2πk, n , m, k ∈ Z
или
так:
а)(π/6)+πn, (-π/6)+2πk, (π/2)+πm, n , k, m ∈ Z

б)
(π/6);(π/2) и (7π/6) принадлежат отрезку [0;4] (прикреплено изображение)
ОДЗ:
сosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:
2sqrt(3)cos^3x+6cosx=3cos^2x+4sqrt(3)cos^2x
cosx*(2sqrt(3)cos^2x -(3+4sqrt(3))cosx+6)=0
cosx ≠ 0
Решаем квадратное уравнение
D=(3+4sqrt(3))^2-4*2sqrt(3)*6=(3-4sqrt(3))^2
cosx=2 - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ сosx ≤1

cos=sqrt(3)/2
[b]x= ± (π/6)+2πk, k ∈ Z[/b]

Отрезку [-1;3] принадлежат корни
x=(-π/6);(π/6)
Ответ выбран лучшим
3x+4y=25 ⇒ y=(25-3x)/4

z=x^2+((25-3x)^2/16)

z=(1/16)*(25x^2-150x +625)

z`_(x)=50x-150
z`_(x)=0
50x-150=0
x=3 - точка минимума

y=(25-9)/4
(3;4) - точка условного минимума

z(3;4)=25

О т в е т. z_(наименьшее)=25
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=6x^2-y^2+10x
z`_(y)=-2xy+2y


Находим стационарные точки
{z`x=0
{z`y=0

{6x^2-y^2+10x=0
{-2xy+2y=0

{6x^2-y^2+10x=0
{2y*(-x+1)=0 ⇒ y=0; x=1

При y=0
6x^2-10x=0
x=0; x=5/3

При х=1
y^2=16
y= ± 4

Ни одна из них не является внутренней точкой области D.

Исследуем функцию на границе:
при[b]y=x[/b]
z=2x^3-x^3+6x^2
z=x^3+6x^2

Это функция одной переменной, исследуем ее как обычную параболу
при 0 ≤ x ≤ 1


Если х=0; y=0
z(0;0)=0

z=x^3+6x^2 возрастает на [0;1]

При x=1; y=1
z(1;1)=2-1+5+1=7

при [b]y=0[/b]
z=2x^3+5x^2 – как функция одной переменной на [0;1], эта функция принимает наибольшее значение при х=1,
наименьшее при х=0,

Если x=0; y=0
z=(0;0)=0
Если x=1;y=0
z=2*1–0+5*1+0 = 7
z(1;0)=7

При [b]x=0[/b]
z=y^2 – как функция одной переменной 0 ≤ y ≤ 1
Эта функция принимает наименьшее при y=0,
наибольшее значение при y=1:

z(0;0)=0
z(0;1)=0-0+0+1=1

При [b]x=1[/b]
z=2-y^2+5 +y^2
z=7
Эта функция принимает постоянное значение,
наибольшее значение при y=1:

z(1;0)=7
z(1;1)=7
О т в е т.
Наибольшее значение функции в области D равно 7; наименьшее равно 0.

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=y-1
z`_(y)=x-2


Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{y-1=0
{x-2=0

Получили одну стационарную точку.

Применяем теорему: достаточное условие существования точек экстремума.
Находим вторые частные производные
z``_(xx)=0
z``_(xy)=1
z``_(yy)=0

Значения в стационарной точке
(2;1)
A=z``_(xx)(2;1)=0
C=z``_(xy)(2;1)=1
B=z``_(yy)(2;1)=0

Δ(2;1)=AB-C^2=0*0-1^2 < 0

Точка (2;1) не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

Исследуем функцию на границе:
[b]при y=x[/b]
z=x^2-3x
Это функция одной переменной, исследуем ее как обычную параболу
при 0 ≤ x ≤ 3
При х=0 и х=3 функция принимает наибольшее значение
При х=3/2 функция принимает наименьшее значение

При х=0; y=0
z(0;0)=0
При x=3; y=3
z(3;3)=3*3-3-2*3=0

Если поверхность z=xy-x-2y разрезать по прямой y=x, то на срезе будет
часть параболы как на рис. справа

[b]при y=0[/b]
z=-x - как функция одной переменной на [0;3], эта функция принимает
наибольшее значение при х=0,
наименьшее при х=3,

При x=0; y=0
z=(0;0)=0
При x=3;y=0
z=3*0-3-2*0=-3
z(3;0)=-3

[b]при x=3[/b]
z=3y-3-2y=y-3 - как функция одной переменной 0 ≤ y ≤ 3
Эта функция принимает наименьшее при y=0,
наибольшее значение при y=3,

z(3;0)=-3
z(3;3)=0

Из всех найденных выбираем наибольшее и наименьшее.

Геометрический смысл задачи на наибольшее и наименьшее значение в области.

На рис. над областью поверхности FPNT.
Точки экстремума нет. ( ни вершины "горы", ни "впадины" )

Поэтому исследуем только на границе.
При пересечении плоскостью x=x_(o) ( в задаче х=3) получили на срезе линию PN. Наибольшее значение в точке P, наименьшее в точке N.
При пересечении плоскостью y=y_(o) ( в задаче х=3) получили на срезе линию NT. Наибольшее значение в точке T, наименьшее в точке N.

На рис. наибольшее в точке F, наименьшее в точке N (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=3x^2-6y
z`_(y)=24y^2-6x

Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{3x^2-6y=0
{24y^2-6x=0

{x^2-2y=0
{4y^2 -x=0 ⇒ x=4y^2

(4y^2)^2-2y=0
16y^4-2y=0
2y*(8y^3-1)=0
y=0 или y=1/2

х=0 или х=1

Получили две стационарные точки.
Применяем теорему: достаточное условие существования точек экстремума.
Находим вторые частные производные
z``_(xx)=6x
z``_(xy)=-6
z``_(yy)=48y

Находим значения в стационарных точках
(1;1/2)
A=z``_(xx)(1;1/2)=6*1=6
C=z``_(xy)(1;1/2)=-6
B=z``_(yy)(1;1/2)=48*(1/2)=24

Δ(0;0)=AB-C^2=6*24-(-6)^2 > 0
Точка (1;1/2) является точкой экстремума
так как A=6 > 0 - то это точка минимума

Ответ выбран лучшим
Раскрываем модуль по определению
(1)
Если х+5 ≥ 0, т.е. [b] x ≥ -5 [/b], то
то второе уравнение принимает вид
(х+5)*(у+3х+15)=(х+5)^3;

(х+5)*(у+3х+15) - (х+5)^3 = 0;

(х+5)*(у+3х+15- x^2-10x-25)=0

(х+5)*(y-x^2-7x-10)=0

x=-5 или y=x^2 + 7x+ 10

Подставляем в первое уравнение
при x =-5 получаем y=-5+a
x=-5 удовлетворяет условию [b] x ≥ -5 [/b],
значит (-5;-5+a) - решение системы

при y=x^2 + 7x + 10

x^2 + 7x + 10 = х+a
x^2+6x + (10 - a) = 0

Квадратное уравнение.
D=36-4(10 - a)=36 -40+4a = -4 + 4a =4*(a - 1)
При D=0
a=1
уравнение имеет один корень
x=-3
система еще одно решение (-3;-2)

При D > 0, т. е а - 1 > 0, a > 1
уравнение имеет два корня:

x_(1)=(-6-2sqrt(a-1))/2=-3-sqrt(a-1) Или х_(2)= -3 + sqrt(a-1)
первый корень удовлетворяет условию[b] x ≥ -5 [/b]
если -3 - sqrt(a-1)≥ -5 ⇒2⇒sqrt(a-1)⇒ 4 ≥a-1 ⇒ 1<a≤5
второй корень удовлетворяет условию[b] x ≥ -5 [/b]
если -3 +sqrt(a-1)≥ -5 ⇒2⇒ sqrt(a-1) ≥ -2 при любом a < 1


(2)
Если х+5 < 0, т.е. [b]х < -5[/b], то второе уравнение принимает вид
(х+5)*(у+3х+15) = - (х+5)^3
(х+5)*(у+3х+15) + (х+5)^3 = 0
(х+5)*(у+3х+15 +x^2+10x+25)=0

(x+5)*(y+x^2+13x+40)=0
x=-5 или y=-x^2-13x-40

x=-5 не удовлетворяет условию [b]х < -5[/b],

Подставляем y=-x^2-13x-40 в первое:
-x^2-13x-40=x+a
x^2+14x+40+a=0
D=14^2-4*(40+a)=196-160-4a=4*(9-a)

При D=0
9-a=0
a=9 уравнение имеет один корень
x=-7
система еще одно решение (-7;-2)

При D > 0, т. е 9 - а > 0, a < 9
уравнение имеет два корня:

x_(3)=(-14-2sqrt(9-a))/2=-7-sqrt(9-a) Или х_(4)= -7 + sqrt(9-a)
первый корень удовлетворяет условию[b] x < -5 [/b]
если -7 - sqrt(9-a)< -5 ⇒sqrt(9-a) > -2 при любом а < 9
второй корень удовлетворяет условию[b] x < - 5 [/b]
если - 7 +sqrt(9-a) < -5 ⇒ sqrt(a-1) <2 ⇒ 5 < a < 9

Итак
a ∈ (1;9) три корня и один корень при любом а
это и есть ответ.


Графически:
График второго уравнения представляет из себя объединение двух линий:
прямой х=-5 и кривой y+3x+15=|x+5|^2

Прямая y=x+a пересекает прямую x=-5 при любом а, одно решение системы есть всегда.

Осталось найти при каких а прямая y = x+a пересекает кривую
y+3x+15=|x+5|^2
ровно в трех точках.

Можно найти при каких а касается (применить производную)
при a=1 и при a=9
Касается в одной и пересекает в одной. Всего два решения, а надо три.
О т в е т. (1;9) (прикреплено изображение)
к концу первого года
5 + Р + 0,2*5=6+P
к концу второго года
(6+P)+P + 0,2(6+P)=6+2Р+1,2+0,2*P=7,2+2,2P
к концу третьего года
(7,2+2,2P)+0,2*(7,2+2,2P)=1,2*(7,2+2,2P)
к концу четвертого года
1,2*1,2*(7,2+2,2P)
В эту сумму входит вклад 5 млн, дополнительные взносы 2P и проценты 8 млн

Требование задачи можно записать в виде неравенства:

1,44*(7,2+2,2Р) - 5 - 2Р > 8
4,368+1,168Р>8
1,168Р>8-4,368
1,168Р>3,632
Р>3
Р=4
О т в е т. 4
Ответ выбран лучшим
AD||BC
∠ MAD=60^(o) - угол равностороннего треугольника MAD (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ВВ_(1)||AA_(1)
∠ B_(1)BC=45^(o) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Cм. рис.
AB||A_(1)B_(1)
∠ B_(1)A_(1)C - угол между A_(1)C и A_(1)B_(1), а значит и между
A_(1)C и AВ

Его легко найти из равнобедренного треугольника А_(1)СВ_(1)
A_(1)C=B_(1)C=sqrt(2) - диагональ грани ( квадрата со стороной 1)
A_(1)B_(1)=1

cos∠ B_(1)A_(1)C=(1/2)A_(1)B_(1)/A_(1)C=

=0,5/sqrt(2)=1/2sqrt(2)=sqrt(2)/4

∠ B_(1)A_(1)C=arccos(sqrt(2)/4)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Свойство соседних членов арифметической прогрессии
То число, которое посередине равно среднему [b]арифметическому[/b] чисел слева и справа.
Уравнение:

2n-8=(5+n+12)/2
4n-16=5+n+12
n=
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{1-x>0 ⇒ x < 1
{1-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 0
По определению логарифма
a-x+2=(1-x)^2,
a-x+2=1-2x+x^2;
x^2-x-(a+1)=0
D=1+4(a+1)=4a+5
D ≥ 0
a ≥ -5/4

Пусть
f(x)=x^2-x-(a+1)
Графиком является парабола, ветви вверх.
Согласно требованию задачи, парабола либо пересекать ось Ох в двух точках [-1;1), при этом x ≠ 0 (при х=0 a=-1)
либо касаться оси Ох на [-1;1)

Рассмотрим условие: парабола пересекает ось ох в двух точках
Значит
f(-1) ≥0
f(1)>0

{1+1-(a+1) ≥ 0
{1-1-(a+1)>0

{a ≤ 1
{a<-1

C учетом a≥ -5/4
О т в е т. [-5/4;-1)

Рассмотрим условие парабола касается оси ох
Выделим полный квадрат
x^2-x-(a+1)=(x-(1/2))^2-(1/4)-a-1=(x-(1/2))^2-a-(5/4)

Значит
-a-(5/4)=0
a=-5/4
Ответ выбран лучшим
1) Неопределённость (0/0)
Раскладываем числитель и знаменатель на множители, один из которых (х-1)

lim_(x→1) (x-1)(4x+3)/(x-1)(3x+1)= сокращаем на х-1
=lim_(x→1) (4x+3)/(3x+1)=(4+3)/(3+1)=7/4

б) Неопределённость ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на x^2

lim_(x→∞) ((10/x^2)-(2/x)+7)/(1+(3/x)-(5/x^2))=(0-0+7)/(1+0-0)=7

в)б) Неопределённость ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на x^2
lim_(x→∞)(x+1-(2/x^2))/(1-(2/x)+(5/x^2))= ∞
Ответ выбран лучшим
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)
a_(15)=10,8-2,4*14=
Ответ выбран лучшим
a_(11)=a_(1)+10d
-6=19+10d
10d=-25
d=-2,5
a_(40)=a_(1)+39d=19-2,5*39=-78,5
S_(40)=(a_(1)+a_(40))*40/2=(19-78,5)*20=-1190
Ответ выбран лучшим
1.
если (5/x) - 3≥0 ⇒ (5-3x)/x ≥ 0, т. е (3x-5)/x≤ 0 ⇒ 0 < x ≤ 5/3

|(5/x)-3|=(5/x)-3
Уравнение
(5/x)-3=ax-2

ax^2+x-5=0
должно иметь один или два корня на (0;5/3],
т. е парабола
y=ax^2+x-5 должна пересекать ось ох в одной или двух точках на (0;5/3].

Необходимым и достаточным условием выполнения этого требования являются следующие

(1)
D=1-4*a*(-5)=1+20a ≥ 0 ( обеспечивает наличие одного или двух корней)

(2)
a*f(5/3) > 0 обеспечивает расположение параболы левее точки (5/3) или правее точки (5/3)

(3)
x_(o)=-1/(2a)
(-1/2a) < (5/3) ( исключает расположение параболы правее точки (5/3))

{1+20a ≥ 0 ⇒ a ≥ -1/20;
{a*((a*25/9)+(5/3)-5) >0 ⇒ a*(25a-30) > 0 ⇒ a < 0 или a > 6/5
{ (-1/2a)< 5/3 ⇒ (1/2a)+(5/3) > 0 ⇒ (3+10a)/(6a) > 0 ⇒ a < - 0,3 или a >0

[b]a∈ (6/5;+ ∞)[/b]


2.
если (5/x) - 3< 0 ⇒ (5-3x)/x < 0, т. е (3x-5)/x > 0 ⇒x < 0 или x > 5/3

|(5/x)-3|= - (5/x)+ 3
Уравнение
- (5/x)+3=ax- 2

ax^2-5x+ 5=0
должно иметь два корня на ( 5/3;+ ∞ )
т. е. парабола y=ax^2-5x+ 5 должна пересекать ось ох в двух точках на ( 5/3;+ ∞ ).

Необходимым и достаточным условием выполнения этого требования являются следующие
(1) D=25-4*a*5=25-20a ≥ 0 ( обеспечивает наличие одного или двух корней)
(2) a* f(5/3) > 0
(3) x_(o)=-1/a
5/2a > 5/3 ( вершина параболы правее точки х= 5/3 )

{25-20a ≥ 0 ⇒ a ≤ 5/4;
{a*((a*25/9)-5*(5/3)+5) > 0 ⇒ a*(25a-30) < 0 ⇒ a <0 или a> 6/5
{(5/2a)> 5/3 ⇒ (5/2a)-(5/3) > 0 ⇒ (3-2a)/(6a) > 0 ⇒ (2a-3)/(6a) < 0 0 < a < 3/2

О т в е т. a∈[5/4; 6/5)

на (0;5/3) один корень
на (5/3;+ ∞) - два
Cм. рис. График y=|(5/x)-3| .
Прямые y=(6/5)x-2 y=(5/4)x-2 пересекают кривую в одной точке
Прямые между ними пересекают в трех точках
Причем на (0;5/3) один корень, на (5/3;+ ∞ ) два корня (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Замена переменной
6^x=t
36^x=t^2
Квадратное уравнение
t^2 – (8a+5)t+(16a2+20a–14)=0
D=(8a+5)^2–4·(16a^2+20a–14)=64a^2+80a+25–64a^2–80a+56=
=81
Уравнение имеет два корня
t_(1)=(8a+5–9)/2 или t_(2)=(8a+5+9)/2
t_(1)=4a–2 или t_(2)=4a+7

Обратная замена
приводит к двум уравнениям
6x= 4a–2 или 6x = 4a+7

По требованию задачу одно из них не должно иметь корней.

Это возможно в том случае, если

{4a–2 <0⇒ a<1/2
{4a+7 >0⇒ a>–7/4
–7/4 < a < 1/2
или
наоборот
{4a+2>0⇒ a> –1/2
{4a+7 <0⇒ a < –7/4
система не имеет решений

О т в е т. (–7/4; 1/2)
Ответ выбран лучшим
Если их координаты пропорциональны
4 : m = (-2) : (-1) = n : 3

4 : m = (-2) : (-1) ⇒ -2m= -4; m=2
(-2) : (-1) = n : 3 ⇒ -6 = - n; n=6

О т в е т. m=2; n=6
Ответ выбран лучшим
vector{a}+vector{b}=(8+7; 0+2; -11+(-1))=(15;2;-12)
vector{a}*(vector{a}+vector{b})=8*15+0*2+(-11)*(-12)=120+132=252
О т в е т. 252
Ответ выбран лучшим
vector{AB}=(-3-2;2-(-3);-5-4)=(-5;5;-9)
vector{CD}=(7-3;2-0;-5-(-4))=(4;2;-1)

Находим скалярное произведение векторов
vector{AB}* vector{СD}=(-5)*4+5*2+(-9)*(-1)=-20+10+10=0

Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, значит векторы ортогональны, угол между ними 90 градусов.

О т в е т. 90 градусов
Ответ выбран лучшим
1.
F(x;y;z)=x^2+y^2-z-6
F`_(x)=2x
F`_(y)=2y
F`_(z)=- 1

F`_(x)(M_(o))=2*1=2
F`_(y)(M_(o))=2*(-1)= - 2
F`_(z)(M_(o))=-1

2*(x-1)-2*(y+1)-1*(z+1)=0 - уравнение касательной плоскости
2х-2y-z-5=0

(x-1)/2=(y+1)/(-2)=(z+1)/(-1)- уравнение нормали

2.
{x ≥ 0 - правая полуплоскость
{2- x - y >0 граница прямая y= -x +2 пунктиром, неравенству удовл.
та часть, в которой находится точка (0;0), так как 2-0-0>0 - верно

3.
u(x_(o)+ Δ x; y_(o)+Δy;z_(o)+Δ z)- u(x_(o);y_(o);z_(0)≈ du (M_(o))
или
u(x_(o)+ Δ x; y_(o)+Δy;z_(o)+Δ z)≈ u(x_(o);y_(o);z_(0)+ du (M_(o))
Значение функции в "неудобной для расчетов " точке равно значению функции в "хорошей" точке + значение дифференциала тоже в хорошей точке

u=x^3/(∛y*z^(3/4))
x_(o)=1; Δ x=0,03
y_(o)=1; Δy= - 0,02
z_(o)=1; Δ z=0,03

M_(o)(x_(o);y_(o);z_(o))= M_(o) (1;1;1)

u(M_(o))=1


u`_(x)=3x^2/((∛y*z^(3/4))
u`_(y)=(x^3/z^(3/4))*(-1/3)y^(-4/3)
u`_(z)=(x^3/∛y)*(-3/4)z^(-7/4))

u`_(x)(M_(o))=3
u`_(y)(M_(o))=(-1/3)
u`_(z)(M_(o))=(-3/4)

du=u`_(x) Δx+u`_(y) Δy + u`_(z) Δz

du(M_(o))=3*0,03+(-1/3)*(-0,02)+(-3/4)*0,03

О т в е т. 1+3*0,03+(-1/3)*(-0,02)+(-3/4)*0,03
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1) g(x)=-x, x ∈ (– ∞ ;0)
2) g(x)=x, x ∈ (– ∞ ;0)
3) g(x)=2x, x ∈ (– ∞ ;0) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Функция называется чётной ( нечётной), если
1) Область определения симметрична относительно начала координат
2) Выполняется равенство
f(-x)=f(x) для чётности
f(-x)= - f(x) для нечётности

а)y(x)=|x|/x

f(-x)=|-x|/(-x)=-|x|/x=-f(x)
нечётная

б)у(х)=|x+1|–|x–1|

f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|-(x-1)|-|-(x+1)|=|x-1|-|x+1|=-f(x)
нечётная

в) у(t)=|t–2|

f(-t)=|-t-2|=|-(t+2)|=|t+2|
ни чётной ни нечётной

г) z(y)= lny^3
ни чётной ни нечётной
не выполняется пункт (1) определения

д) f(x)={ x3, при x>=0
{ x при х<0
ни чётной ни нечётной
f(-x)≠ f(x)
и
f(-x)≠ - f(x)

e) f(t)={ t2, при t>0 –t2 при t<=0
f(-t)=f(t)
чётная

ж)
h(a)=arctg(2a/(a–1))

h(-a)=arctg (-2a/(-a-1))=arctg(2a/(a+1))
ни чётной ни нечётной
h(-a)≠ h(a)
и
h(-a)≠ - h(a)

з) f(x)=c

f(-x)=f(x)=c
четная
Ответ выбран лучшим

По определению
(1) область определения симметрична относительно начала 0
(2)f(x+T)=f(x-T)=f(x) для любого х из области определения

1) непериодическая, не выполняется пункт (1) определения
2) периодическая
T=π
Например,
для х=0
|cos0|=|cos(0+π)|=|cos(0-π)| - верно

3) Периодическая, T - любое действительное число
4) Периодическая, как частное периодических функций.

f(x)=sinx
Период 2π
f(х)=sin(5х)
Период [b] T_(1)=2π/5[/b]
f(x)=cosx
Период 2π
f(х)=cos(4х)
Период [b]T_(2)=2π/4=π/2[/b]

2π:(2π/5)=5 ∈ N
2π:(π/2)=4 ∈ N

5T_(1)=4T_(2)

Значит общий период функций
f(x)=sin5x и f(x)=cos(4x)
T=2π
Сумма, разность, произведение и частное периодических функция с периодом Т, есть функция периодическая с периодом Т

Период функции y=(sinx5x)/(cos4x-2) равен 2π
Ответ выбран лучшим
5. Решить иррациональное уравнение.

ОДЗ:
{3x+1 ≥ 0
{x ≥ 0
ОДЗ: x ≥ 0

Возводим в квадрат
3х+1 + 2*sqrt(3x+1)*sqrt(x)+x=121;
2*sqrt(3x+1)*sqrt(x)=120-4x
sqrt(3x+1)*sqrt(x)=60-2x

в ОДЗ этого уравнения дополнительно к имеющимся надо включить неравенство:
60-2x≥ 0 ⇒ x ≤30

Поэтому
ОДЗ: [b][0;30][/b]

(3x+1)*x=3600- 240x+4x^2;
3x^2+x=3600- 240x+4x^2;
x^2-241x+3600=0

D=241^2-4*3600=58081 - 14400=43681=209^2

x_(1)=(241-209)/2 =16 или х_(2)=(241+209)/2=225

x_(2)>30 не входит в дополнительное ОДЗ

О т в е т. 16

6.

ОДЗ:
{9-x ≥0 ⇒ x ≤ 9
{4 -x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
ОДЗ: (-∞;4]
Перепишем:
sqrt(9-x)=2+sqrt(4-x)
Возводим в квадрат
9-x=4+4sqrt(4-x)+4-x
4sqrt(4-x)=1
sqrt(4-x)=1/4
4-x=1/16
x=4-(1/16)
x=3 целых (15/16) входит в ОДЗ

О т в е т. 3 целых (15/16)

7. Решить иррациональное неравенство
sqrt(3x-2)> x-2
Рассматриваем два случая:

(1)
если
x-2 <0⇒ x < 2,
то при условии существования подкоренного выражения
3x-2 ≥ 0⇒ x ≥ 2/3

неравенство верно, при любом х ∈ [2/3; 2)

неотрицательное выражение слева > отрицательного справа

(2)
если
x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Возводим обе части в квадрат
(3 х-2) ≥ (х - 2 )^2 ( условие 3x-2 ≥ 0 не пишем, оно получается автоматически : (3 х-2) ≥ (х - 2 )^2 ≥ 0)

3x-2 ≥ x^2- 4x + 4
x^2 - 7x +6 ≤ 0
D=49-24=25
x_(1)=(7-5)/2=1 ; x_(1)=(7+5)/2=6
Решение неравенства
1 ≤ х ≤ 6
С учетом x ≥ 2
ответ (2): [2;6]

Объединяем ответы (1) и (2) случаев
[2/3; 2)U[2;6]=[2/3;6]

8. Решить иррациональное неравенство
sqrt(x^2+2x) > -3-x^2
Так как
-3 - x^2 <0⇒ x^2+3 > 0 - верно при любом х
тогда при условии существования подкоренного выражения, т. е при
x^2+2x ≥ 0⇒ x*(x+2) ≥ 0⇒ x ≤ -2 или x≥ 0

неравенство верно, при любом х ∈ (-∞ ;-2] U [0;+∞ )

О т в е т. (-∞ ;-2] U [0;+∞ )
Ответ выбран лучшим
1. см. рис1
Считаем объем четвертой части и умножаем его на 4
V_(Ох)=4* π ∫^(2)_(0)((4x)^2-(x^3)^2)dx=
=4π * ∫^(2)_(0)(16x^2-x^6)dx=
=4π*((16x^3/3)-(x^7/7))|^(2)_(0)=
=4π*((128/3)-(128/7))=4π*128*((1/3)-(1/7))=512π*(4/21)=2048π/21
.
из уравнения y=4x выражаем переменную x=y/4
из уравнения y=x^3 выражаем переменную x=∛y
см. рис.2
V_(Оy)=4* π ∫^(8)_(0)((y/4)^2-(∛y)^2)dy=

=4π * ∫^(8)_(0)((y^2/16)-y^(2/3))dx=

=4π*((y^3/48)-(y^(5/3)/(5/3)))|^(8)_(0)=

=4π*((8^3/48)-(3/5)*∛8^5)=

=4π((64/6)-(3/5)*8∛16) - о т в е т.

2.
V_(Ох)= π ∫^(π)_(0)sin^2xdx=π ∫^(π)_(0)(1/2)*(1-cos2x)dx=

=(π/2)*(x- (1/2)sin2x)|^(π)_(0)=π^2/2

3.
(1/2)x^2-2x=0
(1/2)*x*(x-4)=0
x=0 или x=4

V_(Ох)= π ∫^(4)_(0)((1/2)x^2-2x)^2dx=π ∫^(4)_(0)((1/4)x^4-2x^3+4x^2)dx=

=((1/4)*(x^5/5) -2*(x^4/4)+4*(x^3/3))|^(4)_(0)=

=(1/20)*4^5-(1/2)*4^4+(4/3)*4^3= (прикреплено изображение)
Две линии не образуют фигуру. Нужна третья.
См. рис.

если y=0, то фигура на рис.1
если х=1, то фигура на рис. 2

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y`=(lncosx+25)`=(1/cosx)*(cosx)`=(-sinx)/cosx=-tgx
sqrt(1+(y`)^2)=sqrt(1+tg^2x)=sqrt(1/cos^2x)=1/cosx

L= ∫ ^(π/6)_(0)dx/cosx=ln|tg((x/2)+(π/4))|^(π/6)_(0)=

=ln|tg((π/12)+(π/4))|-ln|tg(0+(π/4))|=

=ln|tg(π/3)|-ln|tg(π/4)|=

=ln(sqrt(3))-ln1=ln(sqrt(3)) (прикреплено изображение)
[b]y=2x^3-3x^2-5[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=2*(-x)^3-3*(-x)^2-5=-2x^3-3x^2-5
f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

Функция не является ни чЁтной, ни нечЁтной

Функция непрерывна на области определения как частное непрерывных функций.

Поведение функции на бесконечности
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = -∞

Исследование функции с помощью производной
y`=6x^2-6x
y`=0
6x^2-6x=0
6x*(x-1)=0
x=0 или x=1
Знак производной
_+__ (0) __-__(1) ___+_

Возрастает на (- ∞ ; 0) и на (1; + ∞ )
Убывает на (0 ; 1)

х= 0 - точка максимума y(0)=-5
x=1 - точка минимума y(1)=2-3-5=-6

y``=12x-6
y``=0
x=1/2 - точка перегиба, вторая производная при переходе через точку меняет знак с - на +
на (- ∞ ; 1/2) y``<0, кривая выпукла вниз
на (1/2; + ∞ ) y``>0 кривая выпукла вверх

См. рис.

(прикреплено изображение)
83.
Пусть ребро куба равно а.
Диагональ любой грани куба, в том числе
DC_(1) =аsqrt(2)
Любая из четырех диагоналей куба, в том числе
DB_(1)=asqrt(3)
Угол между прямой DC_(1) и плоскостью DА_(1)В_(1)C - это угол между прямой DC_(1) и её проекцией на плоскость DА_(1)В_(1)C

Проекцией прямой DC_(1) на плоскость АА_(1)В_(1)В
является прямая DB_(1).

Из прямоугольного треугольника
DB_(1)C_(1)
cos∠B_(1)DC_(1)=DC_(1)/B_(1)D=asqrt(2)/asqrt(3)=sqrt(2/3)

∠B_(1)DC_(1)=arccos(sqrt(2/3)) - о т в е т.
85.
Прямая DC_(1) || AB_(1), значит прямая DC_(1) || пл. AB_(1)С
О т в е т. Угол равно 0 градусов

87.
Пусть ребро куба равно а.
Угол между прямой А_(1)С и плоскостью АА_(1)В_(1)В - это угол между прямой А_(1)С и её проекцией на плоскость АА_(1)В_(1)В

Проекцией прямой А_(1)С на плоскость АА_(1)В_(1)В
является прямая A_(1)B.

Из прямоугольного треугольника
A_(1)BC
tg α =tg ∠ CA_(1)B=BC/A_(1)B=a/asqrt(2)=1/sqrt(2)
ctg α =1/tg α =sqrt(2)
О т в е т. х=2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
продолжение, начало в приложении
=-5х^2_(1)-8x_(1)x_(2)-3x_(1)x_(3)-8x_(1)x_(2)+8x^2_(2)+6x_(2)x_(3)-3x_(1)x_(3)+6x-92)x_(3)-6x_(3)^3
приводим подобные и получим все необходимые коэффициенты (прикреплено изображение)
1/(х+5) < 1/3

1/(х+5) - 1/3 < 0

(3 - x - 5) /(3*(x+5)) < 0

(-х-2)/(3*(x+5)) < 0

(х+2)/(3*(x+5)) > 0

__+__ (-5) _-__ (-2) __+_

Отрезку [-7;0] принадлежат целочисленные корни :
-7;-6; -1; 0

Cумма
-7-6-1=-14

О т в е т. -14
Ответ выбран лучшим
6a
По частям
u=ln(1-2x)
dv=dx
du=(-2)dx/(1-2x)=2dx/(2x-1)
v=x

=u*v- ∫ v*du=x*ln(1-2x) - ∫ 2xdx/(2x-1)=

(искусственный прием, прибавить и отнять)

=x*ln(1-2x) - ∫ (2x-1+1)dx/(2x-1)=

=x*ln(1-2x) - ∫ dx - ∫ dx/(2x-1)=

=x*ln(1-2x) - x - (1/2)ln|2x-1| + C


По частям
u=x
dv=5^(-4x)dx
du=dx
v= ∫ 5^(-4x)dx=[замена (-4х)=t; x=(-1/4)t; dx=(-1/4)dt]= (-1/4)∫ 5^(t)dt=
=(-1/4)* 5^(t)/ln5=5^(-4x)/(-4ln5)

u*v- ∫ v*du=(x*5^(-4x))/(-4ln5) - ∫ 5^(-4x)dx/(-4ln5)=

=(x*5^(-4x))/(-4ln5) + (1/(4ln5))∫ 5^(-4x)dx=

=(x*5^(-4x))/(-4ln5) + (1/(4ln5)) * (5^(-4x)/(-4ln5)) + C=


=- (5^(-4x)/(4ln5))*(x + (1/(4ln5))) + C
9. Это ромб
S_(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)=(1/2)*48*36=
10.
Cумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180 градусов
∠ А+ ∠ В=180 градусов
3 ∠ А =180 градусов
∠ А = 60 градусов
S=absin ∠ A=13*13*sin60^(o)=169sqrt(3)/2

11 Δ АВЕ - прямоугольный, с острым углов 60 градусов, значит второй острый угол
∠ А=30^(o)

Против угла в 30 градусов лежит катет равны половине гипотенузы
ВЕ=AB/2=8
AD=BC=20
S=AD*BE=20*8=160
Ответ выбран лучшим
(2-2х)/x ≤ 0

Умножим неравенство на (-1), при этом знак неравенства меняется на противоположный

2*(x-1)/x ≥ 0

Нуль числителя
x=1
Нуль знаменателя
х=0
Функция y=2*(x-1)/x положительна справа от 1

__+_ (0) __-__ [1] _+__

Ставим + и знаки чередуем
О т в е т. (- ∞ ;0) U [1;+ ∞ )

2 способ
(2-2х)х ≤ 0
Находим нули числителя
2-2х=0
х=1
Отмечаем заполненным кружком, здесь [ ]

Нуль знаменателя х=0
___(0) ____ [1] ___

Находим знак функции y=(2-2x)/x в интервале (1;+ ∞ )
Выбираем точку х=10

y(10)=(2-2*10)/(10) < 0

Ставим справа минус и знаки чередуем
_-__(0) __+__ [1] __-_

О т в е т. (- ∞ ;0) U [1;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
cos((3π/2)+x)=sinx

3sqrt(3)sinx-3=2sin^2x

2sin^2x-3sqrt(3)sinx +3=0

D=27-4*2*3=3

sinx=(3sqrt(3)-sqrt(3))/4 или sinx=(3sqrt(3)+sqrt(3))/4;
sinx=sqrt(3)/2 или sinx=sqrt(3) не имеет корней

x=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3))/2 +πk, k ∈ Z

х=(-1)^(k)(π/3) +πk, k ∈ Z - о т в е т.

х= (π/3) +2π=7π/3 ∈ [2π;3π]

х=(π-(π/3)+2π= 8π/3∈ [2π;3π] (прикреплено изображение)
сos^2x=1-sin^2x
8sinx+4(1-sin^2x)=7
4sin^2x-8sinx +3=0

D=64-48=16

sinx=1/2 или sinx=3/2 ( не имеет корней, |sinx| ≤ 1)

x=(-1)^(k)arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z

х=(-1))^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z

х=-7π/6 ∈ [-3π/2;-π/2] (прикреплено изображение)
y`=z
y``=z`
z`+(tgx)z=cosx- линейное первого порядка.
1)z`+tgx*z=0
dz/z=-tgxdx
Интегрируем
ln|z|=ln|cosx|+ lnC
z=C*cosx

Метод вариации
z=C(x)*cosx-C(x)*sinx

Подставляем в линейное

C`(x)*cosx-C(x)*sinx+tgx*C(x)cosx=cosx

tgx*cosx=sinx и второе и третье слагаемое дают 0

C`(x)cosx=cosx
C`(x)=1
C(x)=x+C_(1)

z=(x+C_(1))*cosx

y`=(x+C_(1))*cosx

y= ∫ (x+C_(1))*cosxdx


∫ xcosxdx cчитают по частям
u=x
dv=cosxdx
du=dx
v=sinx

y=xsinx- ∫ sinxdx + C_(1) ∫ cosxdx

[b]y=xsinx +cosx + C(1)sinx + C_(2)[b]

y`=(x+C_(1))*cosx
y`(0)=0
0=0+C_(1)*cos0
C_(1)=0

y(0)=1
1=0+cos0+)+C_(2)
C_(2)=1

О т в е т. [b]y=xsinx +cosx + C(1)sinx + C_(2)[b] - общее решение
[b]y=xsinx +cosx + 1 [b] - частное решение, решение задачи Коши
Ответ выбран лучшим
6. Это скрещивающиеся прямые
КТ лежит в плоскости AMD , а прямая МС пересекает эту плоскость в точке М, не принадлежащей первой прямой.

Так как КТ - средняя линия треугольника АMD и поэтому
KT|| MD
Угол между MC и MD равен углу между MC и КТ

О т в е т. ∠ СМD

7.Это скрещивающиеся прямые
CM лежит в плоскости CMD , а прямая АК пересекает эту плоскость в точке К, не принадлежащей первой прямой.

Проводим в Δ СMD
KF || CM
K- середина MD, значит проводим среднюю линию F- cередина D

Угол FKA - угол между прямой FK и KA, а значит и между прямой
CM|| FK и КА

8.
Проводим KF || BC
K- середина АС, значит F - середина АВ
KF - cредняя линия треугольника АВС

KF=3

Соединяем DF, DK
Треугольник DKF - искомое сечение

DF=DK=6sqrt(3)/2=3sqrt(3) - высота равностороннего
треугольника со стороной 6

Проводим BM ⊥ KF
BM - высота равнобедренного треугольника, а значит и медиана
KM=MF=3/2
По теореме Пифагора
BM^2=BK^2-KM^2=(3sqrt(3))^2-(3/2)^2=27-(9/4)=99/4

BM=3sqrt(11)/2

S_( ΔBKF)=(1/2)KF*BM=(1/2)*3*3sqrt(11)/2=9sqrt(11)/4 (прикреплено изображение)
На первом участке работают суммарно m^2 часов , и производят m единиц товара.
На втором участке работают суммарно m^2 часов и производят 1,5m единиц продукции
S=m+1,5m=2,5m - количество произведенной продукции.

По условию задачи изготовлено 600 единиц товара

600=2,5m
m=600:2,5=240 единиц продукции изготовлено на первом участке
1,5m=360 единиц продукции изготовлено на втором участке

m^2=240^2 часов работали на первом участке и изготовили 240 единиц продукции
m^2=240^2 часов работали на втором и изготовили 360 единиц продукции

За 1 час каждый рабочий получает 200 руб.

s=200*240^2 +200*240^2=2* (11 520 000) руб

Ответ выбран лучшим
y`=dy/dx

dy/dx=(2x-3)
dy=(2x-3) dx - дифференциал функции
y`=(x-y)/(x+y)

dy/dx=(x-y)/(x+y)

dy=((x-y)/(x+y)) dx

В отличие от предыдущего cправа есть и х и у

= ∫ (2)_(0) (∫ ^(2)_(x) (y2e^–xy/4)dy)dx

Считаем внутренний интеграл

(∫ ^(2)_(x) (y2e^(–xy)/4)dy)=(1/4)∫ ^(2)_(x) y^2*(e^(-x))^(y)dy

по частям два раза

u=y^2; du=2ydy
dv=(e^(-x))^(y)dy; v= ∫ (e^(-x))^(y)dy= (e^(-x))^(y)*ln(e^(-x))=- xe^(-xy)

по формуле ∫ a^(t)dt; a=e^(-x)

получим

(1/4)*y^2* (-xe^(-xy))| ^(y=2)_(y=x) - 2(∫ ^(2)_(x) y (-xe^(–xy)dy=

=-e^(-2x)+(1/4)(x^3)*(e^(-x^2)) + 2x(∫ ^(2)_(x) y (e^(–xy)dy=

еще раз по частям:

u=y; du=dy
dv=(e^(-x))^(y)dy; v= ∫ (e^(-x))^(y)dy= (e^(-x))^(y)*ln(e^(-x))=- xe^(-xy)

получим

-e^(-2x)+(1/4)(x^3)(e^(-x^2)) + 2*(x)*(-xy* e^(-xy))|^2_(x) -

2x∫ ^(2)_(x) y (e^(–xy)dy=


[b]-e^(-2x)+(1/4)x^3(e^(-x^2) - 4x^2*e(-2x) + 2x^3e^(-x^2)[b]

Теперь внешний по переменной x:

∫ (2)_(0) (-e^(-2x)+(1/4)x^3(e^(-x^2) - 4x^2*e(-2x) + 2x^3e^(-x^2))dx =

∫ (2)_(0) (-e^(-2x)+(9/4)x^3(e^(-x^2) - 4x^2*e(-2x) )dx =

первый интеграл табличный, второй по частям два раза
x^3=x^2*x
u=x^2
dv=x^e^(-x^2)dx

в третьем
u=x
dv=xe^(-x^2)dx

по частям один раз

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{3x^(-3) >0 ⇒ 3/x^3 > 0 ⇒ x > 0
{3x^2>0 ⇒ x - любое, кроме 0 ⇒ х ≠ 0
{3x^3>0 ⇒ x>0
{3x^3 ≠ 1 ⇒ x^3 ≠ 1/3 ⇒ x ≠ ∛1/3
{3x^(-2)>0 ⇒ 3/x^2 >0 ⇒ x ≠ 0
{3x^(-2) ≠ 1 ⇒ 3/x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± sqrt(1/3)

∛(1/3) > sqrt(1/3) так как при возведении в 6-ю степень:
(1/3)^2 > (1/3)^3

ОДЗ:(0; sqrt(1/3)) U (sqrt(1/3);∛1/3) U(∛1/3;1) U (1;+ ∞ )

Переходим к основанию х

log_(x)3x^(-3)=log_(x)3+log_(x)x^(-3)=log_(x)3-3
log_(x)3x^(2)=log_(x)3+log_(x)x^(2)=log_(x)3+2

log_(3x^3)x=log_(x)x/log_(x)(3x^3)=1/(log_(3)x+3)
log_(3x^(-2))x=log_(x)x/log_(x)(3x^(-2))=1/(log_(3)x-2)

Неравенство принимает вид:
(log_(x)3-3)*(log_(x)3+3)*(log_(x)3-2)*(log_(x)3+2) < 84

(log^2_(x)3-9)*(log_(x)3-4) < 84

log^4_(x)3 -13log^2_(x)3 - 48 < 0

Биквадратное неравенство

D=169-4*(-48)=169+192=361

корни - 3 и 16

(log^2_(x)3+3)*(log^2_(x)3-16) < 0

log^2_(x)3 + 3 > 0 при любом х из ОДЗ

(log_(x)3-4)(log_(x)3+4) < 0

-4 < log_(x) 3 < 4 ⇒ log_(x)x^(-4) < log_(x)3 < log_(x) x^4

При [b]х ∈ (0;1)[/b] логарифмическая функция убывающая, поэтому

⇒ x^4 < 3 < x^(-4) ⇒ x < 3^(1/4) < x^(-1) ⇒

{x< 3^(1/4)
{ 3^(1/4)< x^(-1) ⇒ x > 3^(-1/4)

x ∈ (3^(-1/4);1)

При [b]x > 1[/b] логарифмическая функция возрастающая
⇒ x^(-4) < 3 < x^4 ⇒ x^(-1) < 3^(1/4) < x ⇒

{x> 3^(1/4)
{ x < 3^(-1/4)

x ∈ (3^(1/4);+ ∞ )

С учетом ОДЗ о т в е т.
((1/3)^(1/4);1) U (3^(1/4);+ ∞ )

Ответ выбран лучшим
Можно делить многочлен на многочлен углом.
6x^6 + x^4 + x | 2x^4-3x^2

В частном 3x^2

6x6 -9x^4

вычитаем ( из 6x^6 + x^4 + x - (6x^6 -9x^4) ) получаем

. .10x^4+x

в частном 5

10x^4 - 15x^2

вычитаем ( из 10x^4 + x вычитаем 10x^4-15x^2) получаем


15x^2+x - степень меньше чем степень делителя. Это остаток

Запись:

(6x^6+x^4+x)/(2x^4-3x^2) = (3x^2+5) + (15x^2+x)/(2x^4-3x^2)


сравнить например, с 17/3 = 5 + (2/3)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x^2-2x>0 ⇒ x < 0 или x > 2
{x^-2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1 ± sqrt(2)
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{sqrt(x^2) ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
{x^6-2x^5>0 ⇔ x^2-2x>0

x ∈ (- ∞; -1) U(-1;1-sqrt(2))U(1-sqrt(2);0) U(2;1+sqrt(2))U(1+sqrt(2);+ ∞)

Главное выполнять преобразования, которые не сужают ОДЗ

log_(sqrt(x^2))(x^6-2x^5)=log_((x^2)^(1/2)) (x^6-2x^5)=

=1/(1/2) *log_(x^2) (x-2)*x^5=2 log_(x^2)((x-2)*x^5)

=2log_(x^2) (x^2-2x)+2log_(x^2)x^4=2log_(x^2)(x^2-2x)+4

Неравенство принимает вид:

log_(x^2-2x)x^2 + 2log_(x^2)(x^2-2x)+4 >4

log_(x^2-2x)x^2 + 2log_(x^2)(x^2-2x) >0

t + (2/t) > 0 ⇒ t > 0 ⇒

log_(x^2-2x)x^2 > 0

Применяем метод рационализации

(x^2-2x-1)(x^2-1) >0

__+__ (-1 ) _-__ (1-sqrt(2)) __+__ (1) __-__ (1+sqrt(2)) _+__

с учетом ОДЗ

(- ∞; -1) U(1-sqrt(2);0) U1+sqrt(2);+ ∞) - о т в е т
Ответ выбран лучшим
1.
y`=7*(cos5x)`-(2^(x+3))`
y`=7*(-sin5x)*(5x)`- 2^(x+3)*(x+3)`*ln2
y`=-35sin6x -ln2*(2^(x+3)
2.
y`=(sin4x)`*(e^(3x))+(sin4x)*(e^(3x))`+(cos4x)^(x)*((x)`*lncos4x+(x)/(cos4x)) *(cos4x)`)
вычисление производной второго слагаемого по формуле
производная показательно-степенной функции
(см. приложение)

y`=(cos4x)*(4x)`*(e^(3x)+(sin4x)*(e^(3x))*(3x)`+

+(cos4x)^(x)*(lncos4x+(-4xsin4x)/(x)) )

3.
y`=(arctg(1/x))`-2*(sqrt(5x+4))`=

=(1/(1+(1/x^2)^2)) * (1/x^2)`- 2*(1/(2*sqrt(5x+4)))*(5x+4)`=

=(1/(1+(1/x^2)^2)) * (x^(-2))` -(5/sqrt(5x+4))

=(-2x/(x^2+1)) - (5/sqrt(5x+4))

4.
y`=(arcsin2^(-x))`+(ctg(π/15)*4)`=(1/sqrt(1-(2^(-x))^2))*(2^(-x))` + 0=

=(1/sqrt(1-2^(-2x))*(2^(-x))*(ln2)*(-x)`=

= - ln2*(2^(-x)/sqrt(1-2^(-2x))

5.
y`=[b]([/b]((2-x)`*(x^2+lnx) - (2-x)*(x^2+lnx)`[b])[/b]/(x^2+lnx)^2

y`=[b]([/b]-1*(x^2+lnx)-(2-x)*(2x+(1/x)) [b])[/b]/(x^2+lnx)^2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{7^(-x^2)-6>0 ⇒7^(-x^2) >6 ⇒ 7^(-x^2) > 7^(log_(7)6)
{7^(-x^2+9)-1>0⇒ 7^(-x^2+9) > 1 ⇒ 7^(-x^2+9) > 7^(0)
{(7^(3-x^2)-5)^2>0 ⇒ 7^(3-x^2) ≠ 5

7^(-x^2) > 7^(log_(7)6)⇒ - x^2 > log_(7)6 ⇒ x^2 < - log_(7)6 ⇒
x^2 < log_(7)1/6
[b]-sqrt(log_(7)(1/6)) < x < sqrt(log_(7)(1/6))[/b]

7^(-x^2+9) > 7^(0)⇒ -x^2+9 > 0 ⇒ x^2-9 < 0 ⇒ [b]- 3 < x < 3[/b]

7^(3-x^2) ≠ 5⇒ 3-x^2≠ log_(7)5 ⇒ 3-x^2≠ log_(7)5

3-log_(7)5 ≠ x^2 ⇒ x ≠ ± sqrt( log_(7)(343/5))

ОДЗ:[b](-sqrt(log_(7)(1/6)) ;sqrt(log_(7)(1/6)) )[/b]


Сумму логарифмом заменим логарифмом произведения
(при этом область допустимых значений уравнения расширится, могут появиться посторонние корни, но мы сделали оговорки в ОДЗ)

log_(2)(7^(-x^2)-6)^2 > log_(2)(7^(3-x^2)-5)^2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

(7^(-x^2)-6)^2 > (7^(3-x^2)-5)^2
или
(sqrt(x^2)=|x|)
|7^(-x^2)-6| > |7^(3-x^2)-5|

Так как согласно ОДЗ 7^(-x^2)-6 >0 ⇒|7^(-x^2)-6| = 7^(-x^2)-6

Пусть 7^(3-x^2)-5 >0
тогда
|7^(3-x^2)-5|=7^(3-x^2)-5
неравенство принимает вид:

7^(-x^2)-6 > 7^(3-x^2)-5

7^(-x^2)-6>7^(3)*7^(-x^2)-5;

342*7^(-x^2)+1 < 0
Неравенство не имеет решений, так как
7^(-x^2) > 0 и 342*7^(-x^2)+1 > 0 при любом х

Пусть 7^(3-x^2)-5 < 0
тогда
|7^(3-x^2)-5|= - 7^(3-x^2)+5
неравенство принимает вид

7^(-x^2)-6 > -7^(3-x^2)+5

344* 7^(-x^2)>11

7^(-x^2) > 11/344

7^(-x^2) > 7^(log_(7)(11/344))
Показательная функция с основанием 7 возрастает


-x^2 > log_(7) (11/344)

x^2 < - log_(7)(11/344)
x^2 < log_(7)(344/11)

- sqrt(log_(7)(344/11) < x < sqrt(log_(7)(344/11)

Осталось учесть ОДЗ [b](-sqrt(log_(7)(1/6)) ;sqrt(log_(7)(1/6)) )[/b]

344/11 > 1/6

О т в е т. (-sqrt(log_(7)(1/6)) ;sqrt(log_(7)(1/6)) )
Ответ выбран лучшим
Из простого неравенства "умудрились" написать нерешаемое.

Во втором логарифме нет x^2 есть x + (1/(x-1))

[b]Проверьте условие [/b].

Решать то, что написано от руки - терять время.
Нужно прикреплять фото задания.


ОДЗ:
{x-1>0 ⇒ x>1
{(x^2+x-1)/2>0 ⇒ x^2+x-1 > 0 ⇒ D=5 ; x < (-1-sqrt(5))/2 или
x> (-1+sqrt(5))/2
(-1+sqrt(5))/2 < 1 ⇒ ОДЗ: (1;+ ∞ )

Применяем свойства логарифмов.
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(2)(x-1)*(x+(1/(x-1)) ≤ 2*(log_(2)((x^2+x-1)/2)

(1/2)log_(2)(x^2-x+1) ≤ log_(2)((x^2+x-1)/2)

log_(2) sqrt(x^2-x+1)≤ log_(2)((x^2+x-1)/2)

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому
sqrt(x^2-x+1)≤ (x^2+x-1)/2

x^2-x+1 ≥ 0 при любом х.
D=1-4 <0

(прикреплено изображение)
1.
Возводим в квадрат
x+1=9
x=8
Проверка sqrt(8+1)=3 - верно
О т в е т. 8

2.
Возводим в квадрат
x+3=5-x
2x=2
x=1
Проверка
sqrt(1+3)=sqrt(5-1) - верно.
О т в е т. 1

3.
Возводим в квадрат
x^2+2x+10=(2x-1)^2;
x^2+2x+10=4x^2-4x+1
3x^2-6x-9=0
x^2-2x-3=0
D=4-4*(-3)=16
x_(1)=-1 или x_(2)=3
Проверка
При х=-1
sqrt(1-2+10)=2*(-1)-1 - неверно, так как sqrt(9)=3 по определению корня квадратного.
При х=3
sqrt(3^2+2*3+10)=2*3-1 - верно, sqrt(25)=5
О т в е т. 3

4.
Возводим в квадрат
15+x + 2sqrt(15+x)*sqrt(3+x) + 3+x = 36
2sqrt(15+x)*sqrt(3+x) =18 -2x
Делим на 2
sqrt(15+x)*sqrt(3+x) =9 -x
Возводим в квадрат
(15+х)*(3+х)=(9-х)^2;
x^2+18x+45=x^2-18x+81
36x=36
x=1
Проверка
sqrt(15+1)+sqrt(1+3)=6 - верно
4+2=6
О т в е т. 1

5.
Перепишем
sqrt(1-2x)=sqrt(x+4)+sqrt(13+x)
Возводим в квадрат
1-2х=х+4 +2sqrt(x+4)*sqrt(13+x)+13+x
2sqrt(x+4)*sqrt(13+x)=-16-4x

sqrt(x+4)*sqrt(13+x)=-8-2x

(x+4)*(13+x)=(-8-2x)^2
x^2+17x+52=4x^2+32x+64
3x^2 + 15x + 12=0
x^2+5x+4=0
D=25-16=9
x_(1)=-4; x_(2)=-1
Проверка
х=-4
sqrt(1-2*(-4))-sqrt(13-4)=sqrt(-4+4)- верно
sqrt(9) - sqrt(9) = 0

x=-1
sqrt(1-2*(-1))-sqrt(13-1)=sqrt(-1+4)- неверно
sqrt(3) - sqrt(12) = sqrt(3)

О т в е т. -4

6.
Возводим в квадрат
4х+2sqrt(3x^2+4)=(x+2)^2
2sqrt(3x^2+4)=x^2+4
Возводим в квадрат
4*(3x^2+4)=x^4+8x^2+16

x^4 -4x^2=0
x^2*(x-2)(x+2)=0
x=0; x=2; x= -2
При х=0
sqrt(0+2sqrt(4))=2 - верно, sqrt(2*2)=2
При х=2
sqrt(4*2+2sqrt(3*2^2+4))=2+2
sqrt(8+2sqrt(16))=4 - верно
При х=-2
sqrt(4*(-2)+2sqrt(3*(-2)^2+4)= -2+2 - верно

О т в е т. -2; 0; 2

В тех случаях, когда проверку сделать трудно, приходится находить ОДЗ
и при возведении в квадрат, делать оговорку, что левая и правая части неотрицательны.
Потому что из неверно равенства
-3 =3
при возведении в квадрат
получим верное
9=9
Δ АВК - прямоугольный равнобедренный ⇒ АК=ВК=8
АК=КD=8 по условию
KBCD- квадрат.
S_(ABCD)=S( Δ АВК)+ S(квадрата KBCD)=(1/2)AK*BK+ KD*BK=

=(1/2)*8*8+8*8=32+64=96

или

S_( трапеции ABCD)=(AD+BC)*BK/2=(16+8)*8/2=96

О т в е т. 96 (прикреплено изображение)
{x+y+5 ≥ 0
{a+25=(x+5)^2+(y+5)^2

Если a+25< 0 второе уравнение системы не имеет решений и вся система не имеет решений

Уравнение
(x+5)^2+(y+5)^2=a+25
при a+25 ≥0
это уравнение окружности с центром (-5;5) R=sqrt(a+25)

Cм. рис.

Найдем при каких значениях параметра а эти окружности не входят в ОДЗ ( красного цвета)

Найдем, при каких значениях параметра а
прямая x+y+5=0 имеет с окружностью одну общую точку ( касается, см окр фиолетового цвета)

См. рис. 2
Наибольший радиус такой окружности
R=5sqrt(2)/2
т.е.
sqrt(a+25) < 5sqrt(2)/2
a+25 < 25/2
a< -25/2=-12,5

-25 ≤ a < -12,5


О т в е т. (- ∞ ;-25)U[-25;-12,5)=(- ∞ ;-12,5) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
12.
Неправильная дробь. Выделяем целую часть. Делим числитель на знаменатель "углом".
или так
x^5-2x+3=x^2*(x^3+2x)-2x^3-4x+2x+3=x^2*(x^2+2x)-2(x^3+2x) + 2x+3


[b] (x^5-2x+3)/(x^3+2x) = (x^2-2)+ (2x+3)/(x^3+2x)[/b]

Раскладываем правильную дробь на простейшие

x^3+2x=x(x^2+2)

(2x+3)/(x^3+2x) = (A/x) + (Mx+N)/(x^2+2)

2x+3=A*(x^2+2) + (Mx+N)*x

2x+3= (A+M)x^2+Nx+2A
A+M=0
2=N
3=2A
A=3/2
M=-A=-3/2

[b] ∫ (x^5-2x+3)dx/(x^3+2x) = ∫ (x^2-2)dx+ ∫(2x+3)dx/(x^3+2x)[/b]=

= ∫ (x^2-2)dx+ (3/2) ∫dx/x + ∫ ((-3/2)x+2)dx/(x^2+2)=

=(x^3/3)-2x+(3/2)ln|x| -(3/4)ln(x^2+2) + 2*(1/sqrt(2))arctg(x/sqrt(2))+C

∫dx/x =ln|x| - табличный

∫ хdx/(x^2+2)= замена u=x^2+2; du=2xdx; xdx=(1/2)du по формуле
∫du/u =ln|u|

∫dx/(x^2+2) =табличный ∫dx/(x^2+a^2)=1/a arctg(x/a)

14.
2cos^4y=2(cos^2y)^2=2*((1+cos4y)/2)^2=(1/2)*(1+2cos4y+cos^24y)=

=(1/2)*(1+2cos4y+(1+cos8y)/2)=(1/2)*((3/2)+2cos4y+(1/2)cos8y)

∫ 2cos^4ydy= (3/4) ∫ dx + ∫ cos4y dy +(1/4) ∫ cos8ydy=

=(3/4) ∫ dx + (1/4) ∫ cos4y d(4y) +(1/32) ∫ cos8y d(8y)=

=(3/4)x +(1/4)(sin4y) +(1/32)(sin8y) +C

16.
1/cos^3α=cosα/cos^4α
cos^4α=(cos^2α)^2=(1-sin^2α)^2

Замена
sin(x/4)=u; du=cos(x/4)*(x/4)`dx
du=(1/4)cos(x/4)dx
cos(x/4)dx=4du

∫ dx/cos^3(x/4)= ∫ 4du/(1-u^2)^2 = 4∫du/((u-1)(u+1))^2

-интеграл от правильной дроби. Разложить на 4 простейших

1/(1-u^2)^2= A/(u-1)+ B/(u-1)^2 + D/(u+1)+ F/(u+1)^2
1=A(u-1)(u+1)^2+B(u+1)^2+D(u+1)(u-1)^2+F(u-1)^2
u=1
1=4B
B=1/4
u=-1
1=4F
F=1/4
Осталось найти В и D


17.
ctg^4 α =ctg^2 α *ctg^2 α =ctg^2 α *(1/sin^2 α - 1)=

=ctg^2 α/sin^2 α - ctg^2 α = ctg^2 α/sin^2 α - (1/sin^2 α - 1)=

=ctg^2 α/sin^2 α - 1/sin^2 α + 1

∫ ctg^4(2x/3)dx= ∫ ctg^2(2x/3)dx/sin^2(2x/3)dx - ∫ dx/sin^2(2x/3) + ∫ dx

замена
(2х/3)=u
x=(3/2)u
dx=(3/2)du

=∫ ctg^2(2x/3)dx/sin^2(2x/3) - ∫ dx/sin^2(2x/3) + ∫ dx=

=∫ ctg^2u*(3/2)du/sin^2u - ∫ (3/2)du/sin^2u + ∫ dx=

=(3/2) ∫ ctg^2ud(ctgu) -(3/2) ∫ du/sin^2u + ∫ dx =

первый интеграл по формуле (1); второй по формуле (2)

=(3/2)сtg^3(2x/3) - (3/2)(-ctg(2x/3)) + x + C=

=(3/2)сtg^3(2x/3) +(3/2)*(ctg(2x/3)) + x + C=

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{2^(x+4) > 0 при любом х
{2^(x +4) ≠ 1 ⇒ x +4 ≠ 0 ⇒ x ≠ -4
{-8x>0 ⇒ x <0
{2^x>0 при любом х
{log_(1/2)2^x> 0 ⇒ log_(1/2)2^(x) > log_(1/2)1 ⇒ 2^(x) <1 ⇒ x <0

ОДЗ: ( - ∞ ;-4)U(-4;0)

Применяем свойства логарифмов:
log_(1/2)2^(x)=log_(2^(-1))2^(x)=-log_(2)2^(x)=-xlog_(2)2=-x
log_(2)(log_(1/2)2^(x))=log_(2)(-x)

Применяем формулу перехода к другому основанию

log_(c)b/log_(c)a=log_(a)b

(log_(2^(x +4))4)/(log_(2^(x +4))(-8x))=log_(-8x)4=log_(2)4/log_(2)(-8x)

log_(2)4=2
log_(2)(-8x)=log_(2)8+ log_(2)(-x)=3+ log_(2)(-x)

Неравенство принимает вид:

2/(3+ log_(2)(-x)) ≤ 1/log_(2)(-x);

Замена переменной

log_(2)(-x)=t

2/(3+ t) ≤ 1/t
(2t-3-t)/(t*(3+ t)) ≤0
(t-3)/(t*(t +3)) ≤ 0

_-__ (-3) __+ __ (0) __-__ [3] _+ __

t< -3 или 0 < t ≤ 3
Обратная замена

log_(2)(-x) < -3 ⇒ log_(2)(-x) < log_(2) 1/8
логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому
- x < 1/8 ⇒ [b]x > -1/8[/b]
или

0 < log_(2)(-x) ≤ 3 ⇒ log_(2)1 < log_(2) (-x) ≤ log_(2)8 ⇒ 1 < - x ≤ 8

умножаем на (-1)

[b]-8 ≤ х < -1[/b]

C учетом ОДЗ:
о т в е т. [-8; -4) U (-4; -1)U(-1/8;0)
(прикреплено изображение)
Правильный пятиугольник, у него все стороны равны и углы равны.
Правильный пятиугольник имеет ось симметрии

Cм построение.
А если нужна сторона 4, то можно использовать подобие (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a_(2)=3*a_(1)-2=3*5-2=13
a_(3)=3*a_(2)-2=3*13-2=37
a_(4)=3*a_(3)-2=3*37-2=109
Ответ выбран лучшим
Это неправильная дробь.
Выделяем целую часть
x^3/(x^3+8)=(x^3+8-8)/(x^3+8)=1 - (8/(x^3+8))

Дробь(1/(x^3+8)) надо разложить на простейшие

Раскладываем знаменатель на множители:
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)

Тогда подынтегральная дробь(1/(x^3+8)) раскладывается на две дроби

(1/(x^3+8)) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x^2-2x+4)

Приводим правую часть к общему знаменателю

Получим две дроби с равными знаменателями равны.

Приравниваем числители:

1= A*(x^2 -2x+4)+(Mx+N)(x+2)

1=Ax^2-2Ax+4A+Mx^2+Nx+2Mx+2N

1=(A+M)x^2+(N+2M-2A)+4A+2N


Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^2
0=A+M
при x
0=N+2M-2A
при x^0
1=4A+2N

M=-A
N=(1-4A)/2

и подставляем в среднее

0=(1-4А)/2 - 2A-2A
1-4A=8A
A=1/12
M=-1/12
N=1/3

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ x^3dx/(x^3+8)=∫( 1 - (8/12)*(1/(x+2)) - 8*((-x/12)+(1/3))/(x^2-2x+4))dx=

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

= x - (2/3)ln|x+2| +(8/24) ln|x^2-2x+4| -(8/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3))

- о т в е т

Как считали последний интгерал:

Выделяем полный квадрат в знаменателе последней дроби:

x^2-2x+4=(x^2-2х+1)+3=(x-1)^2 +3

∫ ((-x/12)+(1/3))dx/(x^2-2x+4)= -(1/12) ∫(x-4)dx/)((x-1)^2+3)
Замена
x-1=u
dx=du
x= u +1


=(-1/12)∫ (u+1-4)du/( u^2+3)=

=(-1/12)*(1/2)∫2udu/(u^2+3)+(3/12)*∫ du/( u^2+3)

=(-1/24)ln |u^2+3|+(1/(4sqrt(3)))arctg(u/sqrt(3))

=(-1/24) ln|x^2-2x+4| +(1/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3))
∫ sin^4x*cos^2x*cosxdx= замена
sinx=t
cosxdx=dt
= ∫ t^4*(1-t^2)dt= ∫ t^4dt- ∫ t^6dt=t^5/5 - t^6/6 + C=

=sin^5x/5 - sin^7x/7 + C
Ответ выбран лучшим
60 градусов.
Это скрещивающиеся прямые. Проводим прямую параллельную A_(1)D и проводящую через точку С, это прямая СВ_(1)
∠ В_(1)СА=60^(o), так как треугольник АВ_(1)С- равносторонний (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S_(параллелограмма)=a*h_(a)
S_(параллелограмма)=b*h_(b)

a*h_(a)=b*h_(b)
Меньшая высота проведена к большей стороне
10*h_(a)=15*8
h_(a)=12

О т в е т. 12
Решить систему.
Умножаем первое на 2 и складываем
x_(1)=2y_(1)+y_(2)

Умножаем первое уравнение на 7, второе на 4
7y_(1)=28x_(1)-7x_(2)
4y_(2)=-28x_(1)+8x_(2)

складываем
x_(2)=7y_(1)+4y_(2)

О т в е т.
x_(1)=2y_(1)+y_(2)
x_(2)=7y_(1)+4y_(2)
Ответ выбран лучшим
T_(2) o T_(1) (v)=T_(2)(T_(1)(v))=T_(2)(2v+5u)=2T_(2)(v)+5T_(2)(u)=
=2(-3v+7u)+5(-5v-5u)= раскройте скобки, получите ответ

T_(2) o T_(1) (u)=T_(2)(T_(1)(u))=T_(2)(-7v+5u)=-7T_(2)(v)+5T_(2)(u)=
=-7(-3v+7u)+5(-5v-5u)= раскройте скобки, получите ответ

Ответ выбран лучшим
Прямые TP и OB - скрещивающиеся, так как OB лежит в плоскости ТСВ, а ТР пересекает плоскость ТСВ в точке Т, не принадлежащей прямой ОВ.
В плоскости ТРС проводим прямую ОК || TP
∠ KOB - угол между ОК и ОВ
а значит и между TP||OK и ОВ (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
T(5u) = 5*T(u) = 5*(2;1)= (5*2;5*1) = (10;5)
T(-6v) = - 6T(v) = - 6*(-1;3)= (-6*(-1);-6*3) = (6;-18)
T(5u-6v)=T(5u+(-6)v)=T(5u)+T(-6v)=(10;5) + (6;-18)=(10+6;5-18)=(16; -13)
Ответ выбран лучшим
1.
∫ tg3xdx [замена 3х=u; u=(1/3)x; du=((1/3)x)`dx=(1/3)dx]

= ∫ tgu (1/3)du [ постоянный множитель можно вынести за знак

интеграла]

=(1/3)∫ tgudu
формула

=(-1/3)ln|cosu|+C

обратный переход от u к х

=(-1/3) ln|cos3x|+C - о т в е т.

2.
∫ dx/cos^27x [замена 7х=u; u=(1/7)x; du=((1/7)x)`dx=(1/7)dx]

= ∫(*(1/7)du )/cos^2u [ постоянный множитель можно вынести за знак интеграла]

=(1/7)∫ du/cos^2u
формула

=(1/7) tgu +C=

обратный переход от u к х

=(1/7)tg7x+C - о т в е т

3.
∫ tg2xdx/cos^22x [замена tg2х=u; du=(tg2x)`dx=(1/cos^22x)*(2x)`*dx;

du=2dx/cos^22x ⇒ dx/cos^22x=du/2 ]

= ∫u*(1/2)du ) [ постоянный множитель можно вынести за знак интеграла]

=(1/2)∫ udu
формула

=(1/2) (u^2/2)+C=

обратный переход от u к х

=(1/4)tg^22x+C - о т в е т

4.
замена
u=x^3+3
du=3x^2dx
x^2dx=(1/3)du

= ∫ (1/3)du/sqrt(u)=(2/3)*sqrt(u)+C = (2/3)sqrt(x^3+3) + C

5
u=cosx
du=(-sinx)dx
sinxdx=-du
= ∫ e^(u)*(-du)=- ∫ e^(u)du=-e^(u)+C=-e^(cosx) + C

21-25 отдельно каждый интеграл в вопросе выставляйте (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По теореме Пифагора
АВ^2=AC^2+BC^2=(sqrt(15))^2+7^2=15+49=64
AB=8
MN=(1/2)AB=4
О т в е т. 4
Ответ выбран лучшим
Не менее пяти, значит больше или равно 5
Меньше пяти, это 4 блока из десяти,
больше или равно пяти, это 6 блоков из десяти придется проверить

По формуле классической вероятности
n=10
m=6
p=m/n=6/10=0,6
По определению:
F_(ξ)(x)= ∫ ^(x )_(- ∞ )p_(ξ)(x)dx
A=1 найдено ранее

Так как функция задана двумя выражениями рассматриваем
два случая:
при x < 0

F_(ξ)(x)=∫ ^(x )_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx=0

При x ≥0

F_(ξ)(x)= ∫ ^(x )_(0)x*e^(-x)dx=
считаем по частям
u=x
dv=e^(-x)dx
du=dx
v=-e^(-x)

=x*(-e^(-x))|(х)_(0) - ∫^(х)_(0)(-e^(-x))dx

=-x*e^(-x)+0 - e^(-x)|^(x)_(0)=-x*e^(-x)-e^(-x)+1

Cм. рис. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Если знаменатель (2+sqrt(19-|3x+2|)), то
область определения
19-|3x+2| ≥ 0 ⇒ |3x+2| ≤ 19 ⇒ -19 ≤ 3x+2 ≤ 19 ⇒ -21 ≤ 3x ≤ 17 ⇒
-7 ≤ x ≤ 17/3
О т в е т. Наименьшее целое (-7)

1.
y`=(1/(2-x))*(1/ln3)*(2-x)`+(1/sqrt(1-(4x)^2))*(4x)`
y`=1/(ln3*(x-2)) + (4/sqrt(1-16x^2))
2.
y`=(cos5x)`*(sin10x)+(cos5x)*(sin10x)`+(x)^(ctg2x)*((ctg2x)`*lnx+((ctg2x)/(x)) *(x`)
вычисление производной второго слагаемого по формуле
производная показательно-степенной функции
(см. приложение)

y`=(-sinx5x)*(5x)`*(sin10x)+(cos5x)*(cos10x)*(10x)`+

+(x)^(ctg2x)*((ctg2x)`*lnx+((ctg2x)/(x)) *(x`)

= -5(sin5x)*(sin10x)+10(cos5x)*(cos10x) +

+(x)^(ctg2x)*[b]([/b](-2lnx/sin^22x)+((ctg2x)/(x))[[b])[/b]

3.
y`=((x^3+3)^(1/5))`-5*(arctg(1/x^2))`=

=(1/5)*(x^3+3)^((1/5)-1)*(x^3+3)`-5*(1/(1+(1/x^2)^2)) * (1/x^2)`=

=(1/5)*(x^3+3)^((-4/5))*(3x^2)-5*(1/(1+(1/x^2)^2)) * (x^(-2))`=

=(3x^2)/(5*(x^3+3)^(4/5)) +(10x/(x^2+1))

4.
y`=(sin9^(-3x))`+(4e^(10))`=(cos9^(-3x))*(9^(-3x))` + 0=

=(cos9^(-3x))*(9^(-3x))*(ln9)*(-3x)`=

=-3*(cos9^(-3x))*(9^(-3x))*(ln9)

5.
y`=[b]([/b](tg(3+x))`*(1+x)^2 - (tg(3+x))*((1+x^2)^2)`[b])[/b]/((1+x)^2)^2

y`=[b]([/b]((1+x)^2/cos^2(3+x))-2(1+x^2)*(2x)*(tg(3+x))[b])[/b]/((1+x)^2)^2 (прикреплено изображение)
непонятно, что нарисовано...
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
x ≠ 0; y ≠ 0

Умножим первое уравнение на второе
[b]([/b]x^2/y + y^2/x[b])[/b]*[b]([/b]1/x+1/y[b])[/b]=4;

(x/y) + (y^2/x^2) + (x^2/y^2) + (y/x) = 4;

Замена
[b]x/y + y/x = t[/b]
Возводим в квадрат
x^2/y^2 + 2*(x/y)*(y/x) + y^2/x^2= t^2

x^2/y^2 + 2 + y^2/x^2 = t^2 ⇒

x^2/y^2 + y^2/x^2 = t^2 - 2

t + (t^2 - 2) = 4

t^2+t-6=0

D=1+24=25
t=2 или t=-3

Обратные переходы:
(1) (x/y)+(y/x)=2 ⇒ (x/y)^2 - 2(x/y) + 1 = 0 ⇒ ( x/y - 1)^2=0 ⇒ x/y =1

Подставляем y=x во второе уравнение системы:
2/x=1/3
x_(1)=6
y_(1)=6

ИЛИ
(2)
(x/y) + (y/x) = - 3 ⇒ (x/y)^2+3(x/y)+1=0 D=9-4=5; уравнение имеет два корня:

x/y=(- 3 +sqrt(5))/2 ⇒ y=-2x/(3-sqrt(5)) подставляем во второе уравнение исходной системы
(3+sqrt(5))/(-2x)+(1/x)=(1/3) ⇒ (1/x)*(1 - (3+sqrt(5))/2)=1/3

x_(2)=(3/2)*(-1-sqrt(5);
y_(2)= (3+3sqrt(5))/(3+sqrt(5);


x/y=(- 3 +sqrt(5))/2 ⇒ y=-2x/(3+sqrt(5)) подставляем во второе уравнение исходной системы
(3-sqrt(5))/(-2x)+(1/x)=(1/3) ⇒ (1/x)*(1 - (3-sqrt(5))/2)=1/3

x_(3)=(3/2)*(-1+sqrt(5));
y_(3)= (3-3sqrt(5))/(3+sqrt(5)).

О т в е т.
(6;6);
((3/2)*(-1-sqrt(5));(3+3sqrt(5))/(3+sqrt(5));
((3/2)*(-1+sqrt(5)); (3-3sqrt(5))/(3+sqrt(5)).

x=ρ*cos φ =1*cos(π/4)=sqrt(2)/2;
y=ρ*sin φ =1*sin(π/4)=sqrt(2)/2;
∫ ∫ _(D) (18x2y2+32x3y3)dxdy=

= ∫ ^(1)_(0)( ∫ ^(x^3)_(-∛x)( 18x^2y^2+32x^3y^3)dy=

=∫ ^(1)_(0)(18x^2*(y^3/3) + 32x^3*(y^4/4))|^(y=x^3)_(y=-∛x) dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x^2*((x^3)^3-(-∛x)^3) +8x^3*(x^(3)^(4) - (- ∛x)^4)dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x^2*(x^9+x) +8x^3*(x^(12) - ∛(x^4))dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x^(11)+6x^3+8x^(15) - 8x^(13/3))dx=

=(6*(x^(12)/12) +6*(x^(4)/4)+8*(x^(16/16) -8*(x^(16/3)/(16/3))|^(1)_(0)=

=2*1+(3/2)*1+(1/2)*1-(3/2)*1=5/2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
АB=10
Гипотенуза - диаметр описанной окружности, прямой угол С опирается на диаметр
АВ=2R
2R=10
R=5
2=log_(3)9;

ОДЗ:
x>0
log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x+5 >0 - верно при любом t, так как D<0
log_(0,5)x=t

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому
log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x+5 ≤ 9

log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x-4 ≤ 0

log_(0,5)x=t

t^2-3t-4 ≤ 0
D=9+16=25
t=-1 или t=4

-1 ≤ t ≤ 4

-1 ≤ log_(0,5)x ≤ 4

log_(0,5)2 ≤ log_(0,5)x ≤ log_(0,5)(1/16)

логарифмическая функция с основанием 0,5 убывающая,
(1/16) ≤ х ≤ 2
входит в ОДЗ

О т в е т. [1/16;2]
Ответ выбран лучшим
=(1/2) ∫ x^(-1/2)dx=(1/2)*x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1) + C=

=x^(1/2)+C=sqrt(x)+C

Полезно запомнить как формулу
(sqrt(x))`= 1/(2*sqrt(x))

∫ dx/(2*sqrt(x))= sqrt(x)+ C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1685
(sqrt(x)+1)*(x-sqrt(x)+1)=(sqrt(x))^(3) +1^(3)=x^(3/2)+1

∫ (x^(3/2)+1)dx=
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

= ∫ (x^(3/2)dx+ ∫ dx=

по формуле
[b]∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1) + C [/b]


=x^((3/2)+1)/((3/2)+1) + x + C=

=x^(5/2)/(5/2) + x +C=

=(2/5)*x^(2)*sqrt(x)+x+C

1687
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

=-2 ∫ x^(-1,2)dx+3 ∫ x^(-0,8)dx-5 ∫ x^(0,38)dx=

по формуле
[b]∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1) + C [/b]

=-2*x^(-1,2+1)/(-1,2+1) +3*x^(-0,8+1)/(-0,8+1) -5*x^(0,38+1)/(0,38+1)
+C=

=(10/x^(0,2)) +15x^(0,2)-(250/69)x^(1,38) +C
Ответ выбран лучшим
Вероятность вынуть первую книгу в переплете
по формуле классической вероятности
p1=m/n=(3/7)
Всего книг 7,
удовлетворяют условию "книга в переплете" – 3 книги

Вероятность вынуть вторую книгу в переплете
p2=m/n=(2/6)
книг стало 6, в переплете 2

Вероятность вынуть две книги в переплете:

p=p_(1)*p_(2)=(3/7)·(2/6)=1/7

О т в е т. 1/7

2 способ

Испытание состоит в том, что из 7 учебников вынимают 2
n=C^(2)7=7!/(2!·5!)=6·7/2=21

Событие А – "оба вынутых учебника в переплете"

Событию А благоприятствуют
m=C^(2)_(3)=3 результатов.

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=3/21=1/7

О т в е т. 3/21=1/7
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
P_(6)=6*a
6a=12
a=2
S_(6)=6S_( Δ AOB)=6*(1/2)*6*6*sin60^(o)=54sqrt(3) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
3) Верно.
OB ∈ пл. В_(1)ОС_(1)
AP||OP
cм. рис.

ОВ_(1)РА - параллелограмм.
АО=(1/2)АА_(1)
B_(1)P=(1/2)BB_(1)
AA_(1)=BB_(1)
АО=B_(1)P

AA_(1)||BB_(1)
значит AO|| B_(1)P

Противоположные стороны четырехугольника равны и ||
Значит это параллелограмм

4.KD и OF - скрещивающиеся прямые,
так как три точки АОF лежат в одной плоскости, точка D так же принадлежит этой плоскости, потому как лежит на АО.

OF лежит в плоскости, а KD пересекает плоскость в точке, не принадлежащей OF
(прикреплено изображение)
1)
Значит разделить окружность на три равные части.
см. рис.1
Выбираем в любом месте окружности точку А.
Из нее радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечки на окружности и получаем еще 5 вершин

См. 6 засечек, красные точки.
Соединяем через одну

2) Значит разделить окружность на 8 частей.
см. рис. 2

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра AE и СG
Они разделили окружность на 4 части.
Проводим биссектрисы полученных прямых углов.
Соединяем точки A,B,C,D,E,F,G,H

3) как в 1)
Выберем произвольную вершину А на окружности. Из нее радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечки на окружности и получаем вершины А,В,С,D, E, F (красного цвета на рисунке) которые соединим отрезками. Получим правильный шестиугольник.
Далее построим серединные перпендикуляры к сторонам шестиугольника( получим 6 синих точек). 0ни разделят дуги окружности на 12 равных частей. Соединив эти точки отрезками с вершинами шестиугольника, получим 12-угольник. (прикреплено изображение)
1) z_(1)*z_(2)=( 4 + 3i)*(1 -sqrt(3) *i)=
= 4+3*i -4sqrt(3)*i -3sqrt(3)*i^2=
=(так как i^2=-1)=
= 4++3*i -4sqrt(3)*i +3sqrt(3)=
=(4+3sqrt(3))+(3-4sqrt(3))*i

z_(1)- z_(1)*z_(2)= (4+3*i) - (4+3sqrt(3))-(3-4sqrt(3))*i=

=[b] -3*sqrt(3) +4sqrt(3)*i [/b]

2) z_(1)/z_(2)=( 4 + 3i)/(1 -sqrt(3) *i)
( умножаем и числитель и знаменатель на (1+sqrt(3)*i))

=( 4 + 3i)(1+sqrt(3)*i)/((1 -sqrt(3) *i)(1+sqrt(3)*i))

=(4+3*i+4sqrt(3)*i+3sqrt(3)*i^2)/(1 -(sqrt(3))^2* i^2)=

=((4-3sqrt(3)) +(3+4sqrt(3))*)/(4)=

=[b](1/4)*(4-3sqrt(3)) + (1/4)*(3+4sqrt(3))*i[/b]


3)
z^6_(1)=(4+3*i)^6=((4+3*i)^2)^(3)=(7+24*i)^3=

можно возвести в куб по формуле (a+b)^3

=7^3+3*7^2*24*i-3*7*24^2-24^3*i


z^(12)_(2)=(1-sqrt(3)*i)^(12)

Запишем z_(2) в тригонометрической форме и применим формулу Муавра
( см. приложение)
z_(2)=(1-sqrt(3)*i)

|z_(2)|=sqrt(1^2+(-sqrt(3))^2)=sqrt(1+3)=sqrt(4)=2
argz_(2)=phi

sin(phi)=y/|z_(2)|=-sqrt(3)/2
cos(phi)=x/|z_(2))=1/2
phi=(-π/3)

z_(2)=2*(cos(-π/3)+i*sin(-π/3))

z^(12)_(2)=2^(12)*(cos(-π/3)*12+i*sin(-π/3)*12)=

=2^(12)*(cos(-4π)+i*sin(-4π))=

=2^(12)


z^6_(1)/z^(12)_(2)=((7^3-3*7*24)+(3*7^2*24-24^3)*i )/ 2^(12)

можно упростить.
4)
z_(1)=(4+3*i)

z^(2)_(1)=(4+3*i)*(4+3*i)=16+24*i-9=7+24*i

z_(3)=z^(2)_(1)/z_(2)=(7+24*i)/(1-sqrt(3)*i)=(7+24*i)(1+sqrt(3)*i)/4=

=(7+24*i+7sqrt(3)*i-24sqrt(3))/4=

=(7-24sqrt(3))+(24+7sqrt(3))*i

|z_(3)|=sqrt((7-24sqrt(3))^2+(24+7sqrt(3))^2)=

=sqrt(49-7*48*sqrt(3)+576*3+576-7*48sqrt(3)+49*3)=

=sqrt(49*4+576*4)=2*sqrt(49+576)=2*sqrt(625)=2*25=50
argz_(3)=phi

sin(phi)=y/|z_(3))=(24+7sqrt(3))/50
cos(phi)=x/|z_(2))=(7-24sqrt(3))/50
tg(phi)=(24+7sqrt(3))/(7-24sqrt(3))
???

Извлечь корень 4-ой степени можно по формуле извлечения корней, но аргумент не найден (прикреплено изображение)
Раскладываем знаменатель на множители:
x^3*(x^3-3)=x^3*(x-∛)*(x^2+∛3*x+∛9)

Тогда подынтегральная дробь раскладывается на четыре дроби

1/(x^3*(x^3-3) = (A/x)+(B/x^2)+(D/x^3)+(F/(x-∛3) + (Mx+N)/(x^2+∛3*x+∛9)

Приводим правую часть к общему знаменателю

Получим две дроби с равными знаменателями равны.

Приравниваем числители:

1= A*(x^2)*(x^3-3)+B*x*(x^3-3) +D*(x^3-3) +F*x^3*(x^2+∛3*x+∛9)+

+(Mx+N)*x^3*(x-∛3)

1=A*x^5-3Ax^2+Bx^4-3Bx+Dx^3-3D+F*x^5+F*∛3*x^4+F*∛9x^3+

+Mx^5+Nx^4-M*∛3*x^4- N∛3*x^3

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^5
0=A+F+M
при x^4
0=B+F*∛3+N-M*∛3
при x^3
0=D+F*∛9-N*∛3
при x^2
0=-3A ⇒[b]A=0[/b]
при x^(1)
0=-3B ⇒ [b] B=0[/b]
при x^(0)
1=-3D ⇒ [b]D=-1/3[/b]

D=-1/3; B=0; A=0
подставим в первые три равенства для коэффициентов

0=F+M ⇒[b] F = - M [/b]
0=F*∛3+N-M*∛3 ⇒[b]N= 2M*∛3=-2F*∛3 [/b]
1/3=F*∛9-N*∛3 ⇒[b](1/3)= F*∛9 +2F*∛3 [/b]

F=1/(3*(∛9 +2*∛3))



Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ dx/(x^3*(x^3-3))=D∫(dx/x^3) + F∫ (dx/(x- ∛3) + ∫ (Mx+N)dx/(x^2+∛3*x+∛9)

Первый интеграл
[b](1)[/b]D∫(dx/x^3) =D* ∫ x^(-3)dx=D*x^(-2)/(-2)=D/(-2x^2)=1/(6x^2) ( D=-1/3)
Второй интеграл
[b](2)[/b]F∫ (dx/(x- ∛3) =F*ln|x-∛3|, (F=1/(3*(∛9 +2*∛3)))

Третий интеграл
Выделяем полный квадрат в знаменателе

x^2+∛3*x+∛9=(x^2+2x*((∛3)/2)+(∛9)/4 -(∛9)/4 +∛9=

=(x+((∛3)/2))^2 +(3*(∛9)/4)

Замена
x+((∛3)/2)=u
dx=du
x= u - ((∛3)/2)
[b](3)[/b]
∫ (Mx+N)dx/(x^2+∛3*x+∛9)=

= ∫ M*(u- ((∛3)/2) )+N)du/(u^2+(3*(∛9)/4))=

=(M/2) ∫ 2u/( (u^2+(3*(∛9)/4)) +(N-((∛3)/2) ) *(1/a)arctg (u/a)

где
M= - F = -1/(3*(∛9 +2*∛3)))

N=-2F=-2/(3*(∛9 +2*∛3)))

a^2=(3*(∛9)/4)

О т в е т. сумма трех ответов (1) + (2) + (3) + С
Почленно делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.

2x/sqrt(1-x^2) - sqrt(arcsinx)/sqrt(1-x^2)

Интеграл от суммы ( разности) равен сумме ( разности) интегралов.

Cчитаем первый интеграл

∫ 2xdx/sqrt(1-x^2)

Замечаем, что в числителе производная от x^2
поэтому заменим
1-x^2=u
du=(1-x^2)`dx=-2xdx ⇒ 2xdx =-du

∫ 2xdx/sqrt(1-x^2)= - ∫ du/sqrt(u)=- 2sqrt(u)=-2sqrt(1-x^2)

Второй интеграл

∫ sqrt(arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)

Замена
u=arcsinx
du=dx/sqrt(1-x^2)

∫ sqrt(arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)= ∫ sqrt(u)du=

=∫ u^(1/2)du=u^((1/2)+1)/((1/2)+1)=u^(3/2)/(3/2)=(2/3)∛(u^2)=

=(2/3)∛(arcsin^2x)

Итак,
[b] ∫ (2x-arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)[/b]=

= ∫ 2xdx/sqrt(1-x^2) - ∫ sqrt(arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)=

=[b]-2sqrt(1-x^2) - (2/3) ∛(arcsin^2x) + C[/b]
АН=KD=(20-10)/2=5
По теореме Пифагора
BH^2+13^2-5^2=169-25=144
BH=12

S_(трапеции)=(ВС+AD)*BH/2=(10+20)*12/2=180 (прикреплено изображение)
vector{a}+3vector{b}-4vector{c}=(8+3*0-4*(-5); 2+3*7-4*0;-3+3*4-4*4)=

=(28; 23; -7)
|vector{a}+3vector{b}-4vector{c}|=sqrt(28^2+23^2+(-7)^2)=

=sqrt(784+529+49)=sqrt(1362)
Ответ выбран лучшим
∠ A=38° ;  ∠ B= 93°  
Сумма углов треугольника АВС равна 180 градусов.
Значит
  ∠ C = 180° - (38° +93° ) = 49°  
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается,
значит
∪   AB = 2·49° = 98°  
∪  AC = 2·93°   = 186 °       
 
∠АDС = 1/2· (∪AC -∪AB) = 1/2·( 186°   - 98°  ) = 93°   - 49°   = 44°
 
О т в е т.∠АDС = 44°

(прикреплено изображение)
Гипотенуза АВ по теореме Пифагора
AB^2=AM^2+BM^2=12^2+5^2=144+25=169
AB=13
Гипотенуза – диаметр описанной окружности, прямой угол С опирается на диаметр
AB=2R
13=2R
R=6,5
О т в е т. 6,5
Это точка пересечения плоскости, проходящей через серединный перпендикуляр M к прямой АВ
M(3;-3;-1)

vector {AB}=(2-4;-5+1;1+3)=(-2;-4;4)

vector {AB}=vector{n}=(-2;-4;4) - нормальный вектор этой плоскости.

-2*(x-3) -4*(y+3) +4*(z+1)=0

-2x -4y +4z -2=0

x+2y-2z +1=0

x=0;y=0;
z=1/2
О т в е т. (0;0; 1/2)
Ответ выбран лучшим
По теореме Пифагора гипотенуза
BK=10
Гипотенуза - диаметр описанной окружности, прямой угол С опирается на диаметр
ВК=2R
2R=10
R=5
Проводим прямую MN || AP
MN - средняя линия треугольника АРС
(АМ=МС)
Значит,
PN=NC

BP:PN=7:3
BP:BN=7:10
BP:BC=7:13

Пусть
S_( Δ ABC)=2s
тогда
S_( ΔMBC)=s ( основание MC=(1/2)AC, высота общая)

S_( ΔAPC):S_( ΔABC)=PC:BC=6:7

S_( ΔAPC)=6s/7

S_(MNC)=(1/4)S_( ΔAPC)=6s/28=3s/14

S_( ΔBMN)=S_( ΔMBC)-S_(MNC)=s-(3s/14)=11s/14

S_(ΔBKP):S_( ΔBMN)=7^2:10^2

[b]S_(ΔBKP)[/b]= 77s/200

S_(KPCM)=S_( Δ MBC)- S_( Δ BKP)=s-(77s/200)=123s/200

S_(ΔBKP):S_(KPCM)=77:123 (прикреплено изображение)
M(x;y;z)
vector{MP}=(x+1;y-2;z-1)
vector{QP}=(4;-6;1)
vector{n}=(2;4;-3)
Составляем определитель из координат векторов и приравниваем к 0
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2,25+8t-4t^2 >4

4t^2-8t + (7/4) < 0

4t^2-8t+(7/4)=0

t^2-2t+(7/16)=0

D=4-4*(7/16)=(64-28)/16=36/16
t_(1)=(2-(6/4))/2=1/4; t_(2)=(2+(6/4))/2=7/4

t_(2) - t_(1)=(7/4) - (1/4)=6/4=3/2=1,5 секунды
Ответ выбран лучшим
f`(x_(o))=k (касательной)=tg α
α -угол наклона касательной
tg α < 0, значит α во второй четверти, т. е 90^(o) < α < 180^(o)

Таких точек три. Отмечены на рисунке
(прикреплено изображение)
Делить ряды сложно, а вот умножать можно как многочлен на многочлен...

Задача: свести деление к умножению.


Разложение arcsinx известно ( см. приложение)

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
c |x| < 1
и есть разложение функции y=1/(1-x) в ряд

или

y=(1/(x-1)) * (-1)


y= (x+(x^3/6)+o(x^3))*(-1)*(1+x+x^2+x^3+o(x^3))=

=-x-(x^3/6)-x^2-(x^4/6)-x^3-(x^5/6)-x^4-(x^6/6)+o(x^6)=

=-x - x^2-(7/6)x^3 +o(x^3)

слагаемые это o(x^3)- бесконечно малые более высокого порядка,
чем x^3 ( т.е. стремящиеся к нулю, быстрее чем x^3) (прикреплено изображение)
Пусть М(x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда
vector{AM}=(x-3;y+2;z-1)
vector{AB}=(1-3;-3+2;2-1)=(-2;-1;1)
vector{n}=(2;-3;4)
компланарны.
Смешанное произведение таких векторов равно 0.
Значит определитель третьего порядка, составленный из координат векторов приравняем к 0
(прикреплено изображение)
Пусть ребро куба равно а.
S (грани)=a^2

Проведем сечение через диагональ BD.
BD=asqrt(2) - диагональ квадрата со стороной а
S_(cечения)=(1/2)*BD*h

(1/2)BD*h=a^2
(1/2)*asqrt(2)*h=a^2
h=asqrt(2)

Значит, ОК=h=asqrt(2)
Наибольшее значение, которое может принимать ОК
это положение OC_(1)
OC_(1)=sqrt(ОC^2+CC^2_(1))=sqrt((asqrt(2)/2)^2+a^2)=asqrt(3/2) < asqrt(2)

Значит, точка К расположена за точкой С_(1)
СK=asqrt(2)=2*OC

В этом случае в сечении трапеция и ее площадь меньше площади
треугольника BDK

ВЫВОД:
Значит, через диагональ грани можно провести сечение, равновеликое площади грани.

При этом высота треугольника BDK должна быть больше asqrt(2)
OC > asqrt(2)

[b]Основное решение[/b]:

В сечении равнобедренная трапеция.
Нижнее основание трапеции диагональ BD=asqrt(2)
Верхнее основание трапеции равно (a*sqrt(2))*k
k- коэффициент подобия

S_(трапеции)=(1/2)*(asqrt(2)+(asqrt(2))*k)H_(трапеции)

S_(трапеции)=S_(квадрата)=a^2

(1/2)a*sqrt(2)*(1+k)*H=a^2

[b](1+k)*H=asqrt(2)[/b] (#)

По теореме Пифагора

H^2=a^2+((1/2)asqrt(2)-(1/2)asqrt(2)*k)^2

H^2=a^2+(a^2/2)*(1-k)^2

Возводим равенство (#) в квадрат и подставляем H^2

(1+k)^2*(a^2+(a^2/2)*(1-k)^2)=2a^2

(1+k)^2*(2a^2+a^2-2a^2k+a^2k^2)=4a^2

(1+2k+k^2)*(3-2k+k^2)=4

4k^4+4k-1=0

Найдем k

k≈ 1/4

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)
142*142=20 164
143*143=20 449

1420*1420=2 016 400
1421*1421=2 019 241

О т в е т. 1421

б) 1422*1422= 2 022 084

14213*14213=202 009 369

О т в е т. 14213
Ответ выбран лучшим
Область определения
{x ≥ 0
{x-4>0 ⇒ x>4
x ∈ (4;+ ∞ )

y`=-8*(1/(2sqrt(x))) + (12/(x-4))

y`=0

-4*(x-4)-3sqrt(x))=0

x-4=3sqrt(x)

Возводим в квадрат

x^2-8x+16=9x

x^2-17x+16=0

D=289-64=225

x=1 или x=16

x=1 не принадлежит ОДЗ

(4) ___+__ (16) ___-___

Считаем производную в точке х=36
y `(36)=(-4/6)+(12/30) <0

значит y` < 0 на (16; +∞ )

x=16 - точка максимума. Производная меняет знак с + на -

О т в е т. 16
Ответ выбран лучшим
y=(u/v)
y`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=((x-8)`*(x^2+225)-(x+8)*(x^2+225)`)/(x^2+225)^2

y`=((x^2+225)-(x+8)*2x)/(x^2+225)^2

y`=(x^2+225-2x^2-16x)/(x^2+225)^2


y`=(-x^2-16x+225)/(x^2+225)^2

y`=0

-x^2-16x+225=0

x^2+16x-225=0

D=16^2-5*(-225)=256+900=1156=34^2

x=(-16-34)/2=-25; x=(-16+34)/2=9

Знак производной зависит от знака параболы y=-x^2-16x+225

ветви которой направлены вниз

на (-25;9) знак +
на остальных знак -

x=-25 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

__-_ (-25) __+__ (9)__-_

О т в е т. -25
Ответ выбран лучшим
y`=(5x^2-3x-3)`*e^(x+5)+(5x^2-3x-3)*(e^(x+5))*(x+5)`=

=(10x-3)*e^(x+5)+(5x^2-3x-3)*(e^(x+5))*1=

=e^(x+5)* (10x-3+5x^2-3x-3)=e^(x+5)*(5x^2+7x-6)

y`=0

e^(x+5) > 0,

5x^2+7x-6=0
D=49+120=169
x=(-7-13)/10=-2; x=(-7+13)/10=0,6

Знак производной зависит от знака параболы y=(5x^2+7x-6)
на (-2;0,6) парабола расположена ниже оси ох, ставим знак минус

___ (-2) ___-___ (0,6) ___

на смежных интервалах плюс:

__+_ (-2) ___-___ (0,6) __+_


х=-2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

О т в е т. -2
Ответ выбран лучшим
x^2-12x+40=(x^2-12x+36)+4=(x-6)^2+4>0 при любом х

в точке х=6 функция принимает наименьшее значение на всей числовой прямой, по определению точки минимума
х=6 - точка минимума

или

так
Область определения:
x2-12x+40 >0
D=144–4·40 <0

Неравенство верно при любом х

Значит, область определения (– ∞ ; + ∞ )

y=√u; u=x^2-12x+40

(√u)`=1/(2√u) · u` ( cм таблицу и правило нахождения производной сложной функции


y`=(x^2-12x+40)`/(2√x2-12x+40)

y`=(2x-12)/(2√x^2-12x+40)

y`=0

2x-12=0

x=6

При переходе через точку х=6 производная меняет знак с – на +

x=6 – точка минимума.
(прикреплено изображение)
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=4^(-25-10x-x^2)* (-10 - 2x) * ln4

y`=0

-10 - 2x =0

2x= -10

x=-5

x=-5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(-5)= 4^(0)=1 - наибольшее значение функции на (- ∞ ;+ ∞ )
Область определения:
x^2+2x+122 >0
D=4-4*122 <0

Неравенство верно при любом х

Значит, область определения (- ∞ ; + ∞ )

y=sqrt(u); u=x^2+2x+122

(sqrt(u))`=1/(2sqrt(u)) * u` ( cм таблицу и правило нахождения производной сложной функции


y`=(x^2+2x+122)`/(2sqrt(x^2+2x+122)

y`=(2x+2)/(2sqrt(x^2+2x+122)

y`=0

2x+2=0

x=-1

При переходе через точку х=-1 производная меняет знак с - на +

x=-1 - точка минимума.

-1 ∈ [-50;150]

f_( наим. [-50;150])=f (-1) = sqrt((-1)^2+2*(-1)+122)=sqrt(121)=11

О т в е т. 11
Область определения: х ≥ 0

y`=(2/3)*(3/2)*x^((3/2)-1)-5

y`=sqrt(x) -5

y`=0

sqrt(x)-5=0

sqrt(x)=5

x=25

Расставляем знак производной y`=sqrt(x) -5
на ОДЗ:

[0] _-_ (25) ___+__

x=25 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

О т в е т. 25
Область определения (0;+ ∞ )

y`=2x - 11 + 15*(1/x)

y`=(2x^2-11x+15)/x

y`=0

x>0,

2x^2-11x+15=0

D=121-4*2*15=1

x_(1)=(11-1)/4=5/2 или x=(11+1)/4=3

Расставляем знак производной y`=(2x^2-11x+15)/x на ОДЗ:

(0) ___+___ (5/2) _-_ (3) __+_

x=5/2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
y`=18*(-sinx)+9sqrt(3)

y`=0

18*(-sinx)+9sqrt(3)=0

sinx= sqrt(3)/2

x=π/3 - единственная критическая данного отрезка

[0]_+__ (π/3) _-_ [π/2]

y`(π/4)= - 9sqrt(2) +9sqrt(3) >0
cтавим знак + на [0;π/3), содержащем (π/4)
На смежном интервале знак -

x=π/3 - точка максимума на [0;π/2], значит в ней функция и принимает наибольшее значение

y(π/3)= 18cos(π/3)+9sqrt(3)*(π/3)-3sqrt(3)*π+16=

=18*(1/2)+16=25

О т в е т. y(π/3)=25
R : r =5 : 2
S : s=25: 4
S=25*12/4=75

S_(фигуры)=S-s=75-12=63 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
tgα =k(касательной)=f ` (x_(o))

f `(x)=0 ⇒ x_(o)=-4
О т в е т. -4 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
при f `(x) > 0 функция возрастает.
см. рис.
На нем отмечено два отрезка.
Длина наибольшего равна 3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
В точке производная меняет знак c + на -
это точка максимума, причем единственная точка экстремума
(прикреплено изображение)
ОДЗ: 13+х > 0
x > -13
По определению логарифма:

13+х= (1/3)^(-2)

13+x=9

x= - 4
входит в ОДЗ

О т в е т . -4
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
При h=3
основание а=6

S=a*h/2=6*3/2=9

Уравнение прямой в этом случае получим
из уравнения прямой y=1 параллельным переносом на 3 единицы вниз

y=1-3
y=-2
При a=-2
площадь треугольника равна 9
При всех а < -2 площадь треугольника больше 9 (прикреплено изображение)
1.
18=2*3*3
24=2*2*2*3
8=2*2*2
Общий знаменатель трех дробей
2*3*3*2*2=72
11/18=44/72
7/24=21/72
7/8=63/72

11/18–7/24–7/8= 44/72 - 21/72 - 63/72 = -40/72=-5/9

2.
1/(1/12)=1*(12/1)=12

1/(1/12) + (1/18)=12+(1/18)= 12 целых 1/18

По свойству плотности вероятности
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )p_(ξ)(x)dx=1

Считаем интеграл от данной функции.

Так как функция задана двумя выражениями рассматриваем интеграл как сумму интегралов:


∫^(+ ∞)_(- ∞ )p_(ξ)(x)dx=

=∫^(0)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx+∫^(+ ∞)_(0)[b]Axe^(-x)[/b]dx =

второй интеграл считаем по частям( константу А выносим за знак интеграла):
u=x
dv=e^(-x)dx
du=dx
v=-e^(-x)

=0 + A*(x*(-e^(-x))|(+ ∞)_(0) - ∫(+ ∞)_(0)(-e^(-x))dx=

=A*( 0 - e^(-x)|^(+ ∞)_(0)= A*(0- [b](0-1)[/b])=A

A=1

x*(-e^(-x))|(+ ∞)_(0)= lim_(x→+∞)(-x)/(e^(x)) - 0*e^(-0)=

предел по правилу Лопиталя равен 0

e^(-x))|(+ ∞)_(0)= lim_(x→+∞)1/(e^(x)) - e^(-0)=[b]0-1[/b]
Ответ выбран лучшим
Почленно делим каждое слагаемое в числителе на знаменатель.

(2^(2x) - 1)/sqrt(2^(x))= (2^(2x) - 1)/((2^(x))^(1/2)=

=(2^(2x) /(2^(x))^(1/2) - 1 /(2^(x))^(1/2) =

применяем свойство степени (a^(m))^(n)=a^(mn)=

(2^(2x) /(2^((1/2)*x)) - 1/(2^((1/2)*x)) =

применяем свойство степени a^(m)/a^(n)=a^(m-n)=

= 2^((2x)-(x/2)) - 2^(-(x/2))= 2 ^(3x/2) - 2^(x/2)


∫(2^(2x) - 1)dx /sqrt(2^(x))= ∫ (2 ^(3x/2) - 2^(x/2))dx=

Интеграл от суммы равен ( разности) сумме ( разности) интегралов:

= ∫ (2 ^(3x/2))dx - ∫ (2^(x/2))dx=

табличный интеграл

[b] ∫ a^(u)du=a^(u)/lna + C[/b]

Cчитаем первый интеграл

u=(3/2)x
du=(3/2)dx

dx=(2/3)du

∫ (2 ^(3x/2))dx = ∫ (2 ^(u))*(2/3)du= (2/3) ∫ 2^(u)du=(2/3)2^(u)/ln2

обратный переход

=(2*2^((3/2)x)/(3ln2)=2^((3/2)x+1)/(3ln2)

Cчитаем второй интеграл
Здесь за u принимаем
u=(-1/2)x
du=(-1/2)dx

dx=(-2)du

∫ (2 ^(-x/2))dx = ∫ (2 ^(u))*(-2)du= (-2) * ∫ 2^(u)du=(-2)2^(u)/ln2

обратный переход

=-2*2^(-x/2)/ln2

О т в е т. 2^((3/2)x+1)/(3ln2) + 2^((-x/2)+1)/ln2 + С
Ответ выбран лучшим
2 3/7=17/7
1 2/3=5/3
3 1/2=7/2

2 3/7:1 2/3·3 1/2= (17/7)*(3/5)*(7/2)=119/10=11,9
Ответ выбран лучшим
(3/7+2/3–11/21)·21=

=(9/21+14/21–11/21)·21=(12/21)*21=12
Ответ выбран лучшим
5/7=15/21

(5/7–7/21):3/7=(15/21–7/21):3/7=(8/21):3/7=(8/21)*(7/3)=8/9

3/7=6/14

2 целых 3/7+12+1целая 3/14=2 целых 6/14+12+1целая 3/14=

=15 целых 9/14
Ответ выбран лучшим
5/12=10/24

(13/24–5/12):3/10=(13/24–10/24):3/10=(3/24):3/10=

=(3/24)*(10/3)=10/24=5/12
Ответ выбран лучшим
3/4=0,75
(3 целых 3/4 – 0,6):3/10=(3,75-0,6):0,3=3,15:0,3=31,5:3=10,5
Ответ выбран лучшим
3 целых 6/9+4+2 целых 5/18=

=3 целых 12/18+4+2 целых 5/18 =

=9 целых 17/18
Ответ выбран лучшим
Приводим дроби к общему знаменателю
x^2-4=(x-2)(x=2):

(2x*(x-2)+(x+2)-4)/((x-2)(x+2))= 0

(2x^2-4x+x+2-4)/((x-2)(x+2)) = 0

(2x^2-3x-2)/((x-2)(x+4)) = 0

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

{2x^2-3x-2=0 ⇒D=9+16=25; x=(3-5)/4;[b] x=-1/2[/b]или x=(3+5)/4;[b]x=2[/b]
{(x-2)(x+2)≠ 0 ⇒ x ≠ 2 и x ≠ -2

Значит уравнение имеет единственный корень
х=-1/2
Обозначим
х_(o)=-1/2
тогда
4х^2_(o)=4*(-1/2)^2=4*(1/4)=1
О т в е т. 3)1
Ответ выбран лучшим
Дробь равна нулю тогда и только тогда,
когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

{x^2-3x+2=0 ⇒D=9-8=1;x=(3-1)/2;[b]х=1[/b] или x=(3+1)/2;[b]х=2[/b]
{x^2-4x+3 ≠ 0 ⇒ D=16-12=4; x ≠ (4-2)/2 и x ≠ (4+2)/2; [b]x ≠ 1[/b] и x ≠ 3
Значит уравнение имеет единственный корень
х=2
х_(o)=2

x^2_(o)+1=2^2+1=5
О т в е т. 2) 5
Ответ выбран лучшим
4.
Испытание состоит в том, что из 8+7+5=20 конфет выбирают три.
n=C^3_(20)=20!/(3!*(20-3)!)=3*19*20=1140 исходов испытания

(см. формулу в приложении)

Обозначим событие
А- "взяты три конфеты с разной начинкой"

Событию А благоприятствуют
m_(1)=C^(1)_(8)*C^(1)_(7)*C^(1)_(5)=8*7*5=280 исходов

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=280/1140=14/57 ≈0,25

событие
В-" взяты две конфеты с белой начинкой и одна с орехами"
Cобытию B благоприятствуют исходы:

m_(2)=С^2_(8)*C^(1)_(5)=((7*8)/2)*5=140

p(B)=m_(1)/n=140/1140=7/57

6.
Повторные испытания с двумя исходами.
p=0,4
q=1-0,4=0,6

1)

По формуле Бернулли:
P_(7)(4)=C^(4)_(7)*(0,4)^4*(0,6)^(3)=35*0,0256*0,216=0,0165888 ≈ 0,2

2)
P_(7)(3)+P_(7)(4)+P_(7)(5)+P_(7)(6)=

=C^(3)_(7)*(0,4)^3*(0,6)^(4)+C^(4)_(7)*(0,4)^4*(0,6)^(3)+
+C^(5)_(7)*(0,4)^5*(0,6)^(2)+C^(6)_(7)*(0,4)^6*(0,6)^(1)=

=35*0,064*0,1296+35*0,0256*0,216+21*0,01024*0,36+7*0,004096*0,6=

остальное считайте...на калькуляторе
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{1-(1/x) > 0 ⇒ (x-1)/x> 0 ⇒ x < 0 или x>1
{10-x>0 ⇒ x < 10
ОДЗ: х ∈ (- ∞ ;0) U(1;10)

В условиях ОДЗ заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

log_(2)(1-(1/x))*(10-x) ≤ 2
2=log_(2)4

log_(2)(1-(1/x))*(10-x) ≤ log_(2)4

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая.
БОльшему значению функции соответствует бОльшее значение аргумента

(1-(1/х))*(10-х)≤ 4;

((x-1)*(10-x)-4x)/x ≤ 0

(10x-10-x^2+x-4x)/x ≤ 0

(7x-10-x^2)/x ≤ 0 ⇒ (x^2-7x+10)/x ≥ 0

x^2-7x+10=0
D=49-40=9
x_(1)=(7-3)/2=2 или x_(2)=(7+3)/2=5

Применяем метод интервалов к решению неравенства
(x^2-7x+10)/x ≥ 0:

__-___ (0) __+___ [2] __-___ [5] __+__

C учетом ОДЗ:

(1;2] U [5;10)

О т в е т (1;2] U [5;10)
Ответ выбран лучшим
2^(2cos^2(x+(π/4)))=2^(1+cosx)
2cos^2(x+(π/4))=1+cosx;
По формуле: 2cos^2α=1+cos2α
1+cos(2x+(π/2))=1+cosx
cos(2x+(π/2))=cosx

По формулам приведения
cos( α +(π/2))=-sin α

-sin2x=cosx

2sinx*cosx+cosx=0
cosx*(2sinx+1)=0

cosx=0 или 2sinx+1=0
x=(π/2)+πn, n ∈ Z или sinx=-1/2; x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z

Отрезку [4π; 11π/2] принадлежат корни:
(π/2)+4π=9π/2;
(π/2)+5π=11π/2
(-5π/6)+6π=31π/6

О т в е т.
а)(π/2)+πn, n ∈ Z ; (-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z
б)9π/2;11π/2;31π/6 (прикреплено изображение)
О т в е т. 2*7!*6!=2*(5040)*(720) cпособов (прикреплено изображение)
V_(ABCA_(1)C_(1))=V_(призмы)-V_(пирамиды A_(1)B_(1)C_(1)B)=

=V_(призмы)- (1/3)V_(призмы)=(2/3)*12*6=48
=(1/π)S_(четверти круга радиуса 2)=(1/π)*(π*2^2)/4=1 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
4.

F(x;y;z)=x^3+y^3-e^(y^2+z^2)-3tgz

F `_(x)=3x^2
F`_(y)=3y^2-e^(y^2+z^2)*(2y)
F`_(z)=-e^(y^2+z^2)*2z- (3/cos^2z)

По формулам нахождения частных производных функции, заданной неявно:
z`_(x)= -F`_(x)/F`_(z)=-3x^2/(-e^(y^2+z^2)*2z- (3/cos^2z))=
=3x^2/(e^(y^2+z^2)*2z-(3/cos^2z))
z`_(y)=-F`_(y)/F`_(z)=(-3y^2-e^(y^2+z^2)*2y)/(-e^(y^2+z^2)*2z- (3/cos^2z))=
=(3y^2+e^(y^2+z^2)*2y)/(e^(y^2+z^2)*2z-(3/cos^2z))

5.

Уравнение касательной плоскости
F`_(x)(M_(o))*(x-x_(o))+F`_(y)(M_(o))*(y-y_(o))+F`_(z)(M_(o))*(z-z_(o))=0
Уравнение нормали:
(x-x_(o))/F`_(x)(M_(o))=(y-y_(o))/F`_(y)(M_(o))=(z-z_(o))/F`_(z)(M_(o))

F(x;y;z)=y^2-x^2-3xy+z

F `_(x)=-2x-3y
F`_(y)=2y-3x
F`_(z)=1

F `_(x)(M_(o))=-2*1-3*3=-11
F`_(y)(M_(o))=2*3-3*1=3
F`_(z)(M_(o))=1


-11*(x-1)+3*(y-3)+1*(z-1)=0
-11x+3y+z+1=0
[b]11x-3y-z-1=0[/b] - уравнение касательной плоскости

[b](x-1)/(-11)=(y-3)/3=(z-1)/1[/b] - уравнение нормали

6.
По формуле производной сложной функции:

z=arcsinu
z`=u`/sqrt(1-u^2)

z`_(x)=(x^2-2y)`_(x)/sqrt(1-(x^2-2y)^2)=2x/sqrt(1-(x^2-2y)^2);
z`_(y)=(x^2-2y)`_(y)/sqrt(1-(x^2-2y)^2)= -2/sqrt(1-(x^2-2y)^2);

z``_(xx)=(2x/sqrt(1-(x^2-2y)^2))`_(x)= производная частного=

=(2x)`_(x)*sqrt(1-(x^2-2y)^2)-2x*(sqrt(1-(x^2-2y)^2)`_(x)/(1-(x^2-2y)^2)=

=(2*sqrt(1-(x^2-2y)^2)-2x*(1/2(sqrt(1-(x^2-2y)^2)) * (1-(x^2-2y)^2)`_(x))/(1-(x^2-2y)^2)=

=[b]([/b]4*(1-(x^2-2y)^2)-2x*(-2(x^2-2y))*(2x)[b])[/b]/(2*(1-(x^2-2y)^2)^(3/2))=

=(4 - 4*(x^2-2y)^2+8x^2*(x^2-2y))/(2*(1-(x^2-2y)^2)^(3/2))=

=(2 - 2*(x^2-2y)^2+4x^2*(x^2-2y))/((1-(x^2-2y)^2)^(3/2))


По формуле производной сложной функции
y=1/sqrt(u):

y`=(u^(-1/2))`
y`=(-1/2)u^(-3/2) * u`

z``_(xy)=(2x/sqrt(1-(x^2-2y)^2))`_(y)=2x*((1-(x^2-2y)^2)^(-1/2))`_(y)=

=2x*(-1/2)*(1-(x^2-2y)^2)^(-3/2) * (1-(x^2-2y)^2)`_(x)=

=-x*(-2(x^2-2y))*(2x)/(1-(x^2-2y)^(3/2)=

=(4x^2*(x^2-2y))/(1-(x^2-2y)^(3/2)

По формуле производной сложной функции
y=1/sqrt(u):

y`=(u^(-1/2))`
y`=(-1/2)u^(-3/2) * u`

z``_(yy)=( -2/sqrt(1-(x^2-2y)^2))`_(y)=

=(-2)*(-1/2)*(1-(x^2-2y)^2)^(3/2))* (1-(x^2-2y)^2)`_(y)=

=-2(x^2-2y)*(-2)/((1-(x^2-2y)^(3/2)=4(x^2-2y)/((1-(x^2-2y)^2)^(3/2))
Ответ выбран лучшим
f ` (x)=(x-1)`*e^(2x-1) (x-1)*(e^(2x-1))`
f ` (x)=e^(2x-1) (x-1)*e^(2x-1)*(2x-1)`
f ` (x) = e^(2x-1) 2*(x-1)*e^(2x-1)
f `(x)=e^(2x-1)*(1 2*(x-1))
f `(x)=e^(2x-1)*(2x-1)
f ` (x)=0
e^(2x-1) > 0 при любом х
значит
2х-1=0
х=1/2

Знак производной

[-1] ____-____ (1/2) __+ __ [1]

x=1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Значение в этой точке находить не надо, оно наименьшее.

Находим значения на концах отрезка
f(-1)=-2e^(-3)
f(1)=0
и из них выбираем наибольшее
Это 0
О т в е т. Наибольшее значение на [-1;1] равно 0



Ответ выбран лучшим
y`=2x-3 (1/x)
y`=0
2x-3 (1/x)=0
x ≠ 0;
2x^2-3x 1=0
D=(-3)^2-4*2=1
x_(1)=(3-1)/4=1/2; x_(2)=(3 1)/4=1

x_(1) ∉ [3/4;5/4]
x_(2) ∈ [3/4;5/4]
Знак производной:
[3/4] ___-___(1) __ ____[5/4]

x=1- точка минимума, производная меняет знак с - на
Это единственная экстремальная точка на указанном отрезке,
поэтому эта точка является и точкой наименьшего значения на этом отрезке.
y(1)=(1)^2-3*1 ln1 10=8
О т в е т. 8
Пусть событие A- "среди двух случайно выбранных деталей окажется хотя бы одна стандартная деталь"
Рассмотрим противоположное событие vector{A}-" среди двух случайно выбранных деталей нет ни одной стандартной детали".
p(vector{A})=C^(2)_(2)/C^2_(10)=1/45

Так как p(A) p(vector{A})=1, то p(A)=1-(1/45)=44/45
Обозначим
t=sqrt(x-2sqrt(x-1))+sqrt(x+2sqrt(x-1))
Возведем в квадрат
t^2=x-2sqrt(x-1) + 2*sqrt(x^2-4*(x-1))+x+2sqrt(x-1)
t^2=2x+2sqrt((x-2)^2)
t^2=2x+2*|x-2|
При х=1,2007
|x-2|=2x+2*(2-x)
t^2=4
t=2
О т в е т. 2
Ответ выбран лучшим
Пусть x_(1) и x_(2) - корни данного уравнения.

Графиком функции f(x) = x^2+4ax+(1-2a+4a^2)
является парабола, пересекающая ось Ох в точках x_(1) и x_(2). Поскольку коэффициент перед x^2
a=1>0, ветви параболы направлены вверх.

Значит, одним из условий для выполнения требований задачи задачи является
(1)
{D>0 ( это гарантирует наличие двух корней)
При этом по отношению к (-1) возможны три случая расположения корней, оба корня слева от (-1), оба корня справа от (-1)
и (-1) между корнями
Условие
(2)
{f(-1)>0
исключает случай: один корень меньше (-1), другой больше (-1)
Условие
(3)
исключает второй случай
{x_(o) < -1

Оба корня слева от (-1)
См. рис.

Система трех неравенств - это необходимые и достаточные условия для выполнения требования задачи.

D=(4a)^2-4*(1-2a+4a^2)=16a^2-4+8a-16a^2=8a-4
f(-1)=(-1)^2+4a*(-1)+1-2a+4a^2
x_(o)=-b/2a= -4a/2=-2a

{8a-4 >0 ⇒ a > 1/2
{1-4a+1-2a+4a^2 >0 ⇒ 2a^2-3a+1 >0 ⇒ a < 1/2 или a > 1
{-2a<-1 ⇒ a>1/2

О т в е т. при а > 1 (прикреплено изображение)
НепочЁтное это дело решать такие уравнения, написанные от руки. Могут быть опечатки.. в условии.
Теряешь время, а уравнение оказывается с минусом в другом месте или с плюсом.

1.
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и получаем
x^4-5x^3-9x^2+32x-10=0

Левая часть уравнения раскладывается на множители:
(x^2+x-5)(x^2-6x+2)=0

Проверка подскажет как это делается. В пособиях иногда пишут
"нетрудно заметить".
Проверка:
x^4+x^3-5x^2 -6x^3-6x^2+30x+2x^2+2x-10=0

-5x^3 представляем как x^3-6x^3
-9x^2=-5x^2-6x^2+2x^2
32x=30x+2x

Итак,
x^4-5x^3-9x^2+32x-10=0
x^4+x^3-5x^2-6x^3-6x^2+30x+2x^2+2x-10=0
x^2(x^2+x-5)-6x(x^2+x-5)+2(x^2+x-5)=0
(x^2+x-5)*(x^2-6x+2)=0

x^2+x-5=0
D=21
x_(1,2)=(-1 ± sqrt(21))/2

x^2-6x+2=0
В=36-8=28
x_(3,4)=3 ± sqrt(7)
О т в е т. 4 корня в ответе
2.
Левая часть уравнения раскладывается на множители
(x^2+2(1+sqrt(7))x+3)*(x^2+2*(1-sqrt(7))x+3)=0
x^2+2*(1+sqrt(7))x+3=0
имеет два корня
x_(1)=1+sqrt(7)-sqrt(5+2sqrt(7));
x_(2)=1+sqrt(7)+sqrt(5+2sqrt(7)).

О т в е т. 2 корня в ответе

3. Замена переменной
x^2-3x+1=u
(x-1)=v
u^2+3uv=4v^2
u^2+3uv-4v^2=0
Это однородное уравнение ( в школе такие встречаются в тригонометрии).
Делим на u^2 ≠ 0 или v^2 ≠ 0

(u/v)^2+3*(u/v)-4=0
Квадратное уравнение
D=9+16=25
(u/v)=-4 или u/v=1

1) x^2-3x+1=-4(x-1)
x^2+x-3=0
D=1+12=13
x_(1)=(-1-sqrt(13))/2 или x_(2)=(-1+sqrt(13))/2
2) x^2-3x+1=x-1
x^2-4x+2=0
D=16-8=8
x_(3)=(4-2sqrt(2))/2=2-sqrt(2) или х_(4)=2+sqrt(2)
О т в е т. 4 корня в ответе
4.
Раскладываем каждый квадратный трехчлен на множители.
(x-2)(x-3)(x-3)(x-4)=20
Умножаем первую скобку на четвертую, вторую на третью
(x^2-6x+8)(x^2-6x+9)=20
Замена
x^2-6x+8=t
t*(t+1)=20
t^2+t-20=0
D=81
t=-5; t=4

Обратно
x^2-6x+8=-5
x^2-6x+13=0
D=36-4*13 < 0 уравнение не имеет корней

x^2-6x+8=4
x^2-6x+4=0
D=36-16=20
x_(1)=(6-2sqrt(5))/2=3-sqrt(5); x_(2)=3+sqrt(5)
О т в е т. 2 корня в ответе
1+sin2x=sin^2x+cos^2x+2*sinx*cosx=(sinx+cosx)^2dx
sqrt(q+sin2x)= ± (sinx+cosx)
Считаем выражение справа положительным
Получаем
∫ (sinx+cos)dx = - cosx + sin x+C (прикреплено изображение)
Замена переменной
u=lnx
du=(lnx)`dx
du=(1/x)*dx
получим:
∫ du/(5+u^2)=(1/sqrt(5))*arctg (u/sqrt(5)C=(1/sqrt(5))*arctg (5+ln^2x)/sqrt(5) + C (прикреплено изображение)
137.
Высота равностороннего треугольника со стороной а
h=a*sqrt(3)/2
Так как по условию a=1 и H_(призмы)=1, то
tg ∠ ( пл. АDE, пл. ВСС_(1))=tg ∠ AFK=tg ∠ APM=AM/PM=
=(1/2)h_(осн)/H_(призмы)=sqrt(3)/4

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Есть готовое решение. Координатный метод (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
а)
АВСD- квадрат.
Пусть АВ=BC=CD=AD=a
По условию
AQ:QB=1:2
AQ=a/3
QB=2a/3

Проведем ОМ || AB
OM - средняя линия треугольника АВD
OM=a/2

T- точка пересечения OM и DQ
OT - средняя линия треугольника QBD
OT=QB/2=(2a/3)/2=a/3
Значит
AQ=OT

Пусть К - точка пересечения АО и QD.
Треугольники AQK и KOT - равны по стороне AQ=QT и двум прилежащим к ней углам
∠ KAQ= ∠ KOT=45 градусов
∠KQA= ∠KTO - внутренние накрест лежащие при параллельных AB и MO и секущей DQ.

Значит AK=KO

В треугольнике ASO
AP=PS
AK=KO
Значит PK - средняя линия ASO
PK|| SO
SO ⊥ пл ABCD ⇒ PK ⊥ пл. АВСD ⇒ DPQ ⊥ пл.ABCD
PK=SO/2

б)
S(сеч. DSB)=(1/2)DB*SO/2
DB=asqrt(2) - диагональ квадрата АВСD
По условию
S( сеч. DSB)=6
(1/2)DB*SO/2=6
DB*SO=24
[b] a*sqrt(2)*SO=24 [/b] ⇒ [b] a*SO[/b] =24/sqrt(2)=[b]12sqrt(2)[/b]

S(сеч DPQ)=(1/2)*DQ*PK=(1/2)DQ*(SO/2)=(1/4)DQ*SO

Из треугольника ADQ
DQ=sqrt(AQ^2+AD^2)=sqrt((a/3)^2+a^2)=(a/3)*sqrt(10)

⇒ S(сеч DPQ)=(1/4)DQ*SO=(1/4)*(a/3)*sqrt(10)*SO=

=(sqrt(10)/12)*[b](a*SO)[/b]=(sqrt(10)/12)*[b]12 sqrt(2)[/b]=sqrt(20)=2sqrt(5)

О т в е т. S(сеч DPQ)=2sqrt(5)

а)
АК=15, KB=3 ⇒ AB=18
AM ⊥ BC
Проводим КT || BC и PF ||SM

Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой, такие плоскости параллельны.

Δ АКT подобен Δ АВС ( KT|| BC)
АP:AM=AK:AB=15:18
AK=5AM/6
PM=AM/6

В равностороннем треугольнике, точка О - центр треугольника

АО:ОМ=2:1 ⇒ OМ=AM/3

Значит в треугольнике SOM:
OP=PM=AM/6

PF - средняя линия Δ SOM
и делит сторону SO пополам

б) ? (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
ctgx не существует, когда знаменатель обращается в 0
sinx ≠ 0
x ≠ πm, m ∈ Z

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда
когда хотя бы один из них равен 0, [b] а другой при этом не теряет смысла[/b]
Для этого и находили ОДЗ

5сosx-5=0 или 2сtgx-2=0
cosx=1 или сtgx=1
x=2πk или х=(π/4) + πn, k,n ∈ Z

x=2πk, k ∈ Z не входит в одз
О т в е т. (π/4) + πn, n ∈ Z
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Ранг матрицы А ( количество ненулевых строк) должен быть равен рангу расширенной матрицы.
О т в е т. k-3=0, т.е при k=3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Замена
2^(x)=t
t>0
2^(x+3)=2^(x)*2^(3)=8t
4^(x)=(2^(2))^(x)=(2^(x))^2=t^2

t^2-8t+15=0
D=64-60=4
t=3 или t=5

2^x=3 ⇒ x= log_(2)3 < log_(2)4=2
не входит в указанный отрезок.

2^(x)=5 ⇒ х=log_(2)5<log_(2)8 =3 < sqrt(10)

О т в е т.
a) log_(2)3; log_(2)5
б) log_(2)5 ∈ [2; sqrt(10)]
y=u^(1/3)
y`=(1/3)u^((1/3)-1) * u`

y`=(1/3)*(sin4x)^(-2/3) * (sin4x)`

y`=(1/(3∛(sin4x)^2))* (cos4x)* (4x)`

y`= 4cos4x/(3∛(sin4x)^2) - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Арифметическая прогрессия
a_(1)=35
d=1
a_(13)=a_(1)+d*(13-1)=35+12=47
О т в е т. 47
y`=(4-2x)`/(4-2x) +2
y`=-2/(4-2x) +2

y`=1/(x-2) +2

y`=(1+2x-4)/(x-2)

y`=(2x-3)/(x-2)

y`=0

2x-3=0

x=1,5

[0] _+__ (1,5) _-__[1,7]

x=1,5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

[b]точка максимума в данном случае является точкой наибольшего значения функции на отрезке [0;1,7] [/b]

y(1,5)=ln(4-2*1,5)+2*1,5-7
y(1,5)=ln1-4
y=-4
ln1=0

Значения на концах находить не нужно,
это лишнее.

О т в е т. -4

y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=((x-5)`*(x^2+144)-(x-5)*(x^2+144)`)/(x^2+144)^2

y`=0

x^2+144-2x*(x-5)=0

x^2-10x-144=0

D=100-4*(-144)=100+576=676

x=(10-26)/2=- 8 или х=(10+26)/2=18

знак производной
__+_ (-8) __-__ (0) __-__ (18) _+__

x=- 8 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
Ответ выбран лучшим
y`=-3*(e^(x))*(2x)`+12*e^(x)
y`=-6*e^(2x)+12*e^(x)
y`=0
-6*e^(x)*(e^(x)- 2)=0
e^(x) > 0 при любом х
e^(x)-2=0
x=ln2

ln2<1=lne

Расставляем знак производной
[0] __+_ (ln2) _-__ [1]

х=ln2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(ln2)=-3*e^(2ln2)+12*e^(ln2)-7=-3*(e^(ln2)^2)+12*2-7=

=-3*4+24-7=5

О т в е т. 5

Основное логарифмическое тождество

e^(ln2)=2
Ответ выбран лучшим
y=25x+(25/x)
y`=25-(25/x^2)
y`=25*(x^2-1)/x^2
y`=0
x^2-1=0
x=-1 или х=1

Знак производной:

_+__ (-1) _-__ (0) _-__ (1) __+_

х=1 - точка минимума
Ответ выбран лучшим
y`=(x-5)`*(x^2+144)+(x-5)*(x^2+144)`
y`=(x^2+144)+(x-5)*2x
y`=3x^2-10x+144
y`=0

3x^2-10x+144=0
D=100-4*3*144 <0
Нет корней у квадратного уравнения.

Проверяйте условие
Ответ выбран лучшим
y`=(12-5x)`*sinx+(12-5x)*(sinx)`-5*(cosx)`
y`=-5sinx +(12-5x)*cosx-5*(-sinx)
y`=0
(12-5x)*cosx=0

12-5x=0
x=2,4

или

cosx=0
x=(π/2)+πk, k ∈ Z

x=2,4- внутренняя точка [π/2;π]

Других критических точек (точнее стационарных) нет

Знак производной

[π/2] _-__ (2,4) __+_ [π]

x=2,4 - точка минимума, производная меняет знак с - На +
Ответ выбран лучшим
f `(x_(o))=k( касательной)
k_(касательной)=-1

f `(x)=3x^2-7x+1

f `(x_(o))=3x^2_(o) -7x_(o) +1

3x^2_(o) - 7x_(o) + 1 = -1
3x^2_(o) - 7x_(o) + 2 = 0

D=(-7)^2-4*3*2=49-24=25

x_(o)=(7-5)/6=1/3 или x_(o)=(7+5)/6=2

Точка с абсциссой (1/3) не является точкой касания

В этой точке касательная параллельна прямой y=-x-3, но

y_(касательной)(1/3) ≠ y_(кривой)(1/3)

-(1/3) - 3 ≠ (1/3)^3 - 3,5*(1/3)^2 +(1/3) - 1

А вот в точке х=2
y_(касательной) (2)= y_(кривой)(2)=-5

О т в е т. 2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Это точки с целочисленными абсциссами интервалов, на которых функция убывает.
О т в е т. 4 (прикреплено изображение)
Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(o))=k(касательной)=tg α
α - угол наклона касательно к сои Ох

tg α = отношению противолежащего катета к прилежащему.
Находим на картинке треугольник с целочисленными координатами в вершинах

Значит и производная в точке х=-3 равна (6/4)=1,5 (прикреплено изображение)
26.5
Меняем знак в знаменателе дроби справа и в числителе:
Получаем дробь (-8)/(х-4)

Две долби с равными знаменателями равны, значит равны и их числители

3x^2-14x = - 8
но надо сделать оговорку, что x-4 ≠ 0
или система
{x-4 ≠ 0
{3x^2-14x=-8

Решаем второе уравнение системы
3x^2-14x +8=0
D=(-14)^2-4*3*8=196 - 96=100
x_(1)=(14-10)/6=2/3 или x_(2)=(14+10)/6=4
x_(2) не удовлетворяет первому условию, а именно 4-4=0
Поэтому в ответе один корень

x=2/3
б)
{x+6 ≠ 0
{-2x^2+6=11x

-2x^2-11x+6=0
2x^2+11x-6=0
D=11^2-4*2*(-6)=121+48=169

x_(1)=(-11-13)/4=-6 или х_(2)=(-11+13)/4=1/2

x_(1) не удовл первому неравенству.
О т в е т.1/2

25.6
Пропорция.
Перемножаем крайние и средние члены пропорции, при условии, что в знаменателях не нули
{x+2 ≠ 0
{3*(x^2+4x)=(2x+3)*(x+2)

3x^2+12x=2x^2+3x+4x+6;

x^2+5x-6=0
D=25+24=49
x=-6 или х=1
оба корня удовлетворяют услвовию первого неравенства
О т в е т.-6; 1

б)
{x ≠ 0
{x-3 ≠ 0
{(5x-3)*x=(2x-3)*(x-3)

5x^2-3x=2x^2-3x-6x+9
3x^2+6x-9=0
x^2+2x-3=0
D=4+12=16
x=-3 или х=1

оба корня удовлетворяют перечисленным условиям
О т в е т. -3; 1
По формулам приведения.
Если к аргументу х прибавляем (π/2) взятое нечетное число раз
( как в нашем случае 3), то название функции меняется на кофункцию.
А именно синус на косинус,
косинус на синус,
тангенс на котангенс,
котангенс на тангенс

Знак перед приведенной функцией ставится такой, какой имела исходная функция..
x- считается острый угол в первой четверти
(х+(3π/2)) - угол в четвертой четверти.
Косинус в четвертой четверти имеет знак +

О т в е т. + sinx
На [-7;-4] производная f`(x) > 0 , значит функция возрастает и наибольшее значение принимает в точке x=-4
Ответ выбран лучшим
Строим графики границ каждой области
x_(1)-9x_(2)=18 - прямая ( в привычных координатах хОу: х-9у=18
Эта прямая делит полуплоскость на две части
Выбираем точку (0;0)
Подставляем ее координаты в неравенство:
0 -9*0 ≤ 18 - верно
Заштриховываем ту часть, которой принадлежит (0;0)
см. рис.1
2x_(1)+4x_(2)=3 ( аналогично 2х+4у=3)
7x_(1)+3x_(2)=27 ( 7x+3y=27)


О т в е т. См. рис.2

Похоже что тройное пересечение состоит из одной точки

Решаем систему
{x_(1)-9x_(2)=18
{2x_(1)+4x_(2)=3
{7x_(1)+3x_(2)=27

Умножаем первое на (-2) и складываем со вторым
22х_(2)=-33
x_(2)=-3/2
x_(1)=18+9x_(2)=9/2

Подставляем в третье
7*(9/2)+3*(-3/2)=27 - верно

О т в е т. Одна точка (9/2; (-3/2)) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1+(3x/2)=1+1,5x
24x+56=8*(3x+7)
ОДЗ:
{1,5x+1>0 ⇒ x > - 2/3;
{1,5x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0;
{3x+7 > 0 ⇒ x > -7/3
в перечисленных условиях уже учтено, что
(24х+56)/(3х+2) >0
ОДЗ:
x ∈ (-2/3; 0) U (0; + ∞ )

Применяем свойства логарифмов ко второму логарифму
логарифм частного равен разности логарифмов

log_(1+(3x/2))(24x+56)/(3x+2)^3=

=log_(1+(3x/2))(24x+56)- log_(1+(3x/2))(3x+2)^3=

=log_(1+1,5x)(8*(3x+7)) -3log_(1+1,5x)*(2*(1+1,5x))=
логарифм произведения равен сумме логарифмов

= log_(1+1,5x)8 + log_(1+1,5x)(3x+7) - 3log_(1+1,5x)2-3log_(1+1,5x)(1+1,5x)=

=3log_(1+1,5x)2+log_(1+1,5x)(3x+7) - 3log_(1+1,5x)2-3=

=log_(1+1,5x)(3x+7)-3

Получаем уравнение

log_(1+1,5x)(3x+7)*[b](log_(1+1,5x)(3x+7)-3)[/b] ≤ -2

Замена переменной
[b]t=log_(1+1,5x)(3x+7)[/b]

t*(t-3) ≤ -2

t^2-3t+2 ≤ 0

D=9-8=1
t_(1)=(3-1)/2=1 или t_(2)=(3+1)/2=2

___ [1] _ -__ [2] __

1 ≤ t ≤ 2

Обратная замена

1 ≤ log_(1+1,5x)(3x+7) ≤ 2

{log_(1+1,5x)(3x+7) ≥ 1=log_(1+1,5x)(1+1,5x)
{log_(1+1,5x)(3x+7) ≤ log_(1+1,5x)(1+1,5x)^2

[b]
Применяем [b] метод рационализации логарифмических неравенств [/b] ( см. приложение) к каждому уравнению системы

{log_(1+1,5x)(3x+7) ≥ 1=log_(1+1,5x)(1+1,5x)
{log_(1+1,5x)(3x+7) ≤ log_(1+1,5x)(1+1,5x)^2

Получим
{(1+1,5x-1)*(3x+7-1-1,5x) ≥0
{(1+1,5x-1) *(3x+7-(1+1,5x)^2) ≤ 0

{1,5x*(1,5x+6) ≥ 0
{1,5x*(3x+7-1-3x-2,25x^2) ≤ 0

Так как множитель x есть в каждом неравенстве системе
рассматриваем два случая с учетом ОДЗ:
(1)
{(-2/3)< x<0;
{1,5x+6 ≤ 0⇒ x ≤ -4
{-2,25x^2+6 ≥ 0
первое и второе неравенства системы несовместны
cистема не имеет решений.

(2)
{x>0
{1,5x+6 ≥0 ⇒ x ≥ -4
{-2,25x^2+6 ≤ 0 ⇒x^2≥ 8/3

x≥ sqrt(8/3)=sqrt(24)/(3)=2sqrt(6)/3

О т в е т. [2sqrt(6)/3;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
y=(x^2+16x+64)*e^(x+52)
y`=(x^2+16x+64)`*e^(x+52)+(x^2+16x+64)*(e^(x+52))`
y`=(2x+16)*e^(x+52)+(x^2+16x+64)*(e^(x+52))*(x+52)`
y`=e^(x+52)*(2x+16+x^2+16x+64)
y`=e^(x+52)*(x^2+18x+80)
y`=0
e^(x+52)>0
значит только
x^2+18x+80=0
D=18^2-4*80=324-320=4
x_(1)=(-18-2)/2=-10; x_(2)=(-18+2)/2=-8
Знак производной
_+__ (-10) _- _ (-8) _+__


x=-8 - точка минимума, производная при переходе через точку меняет знак с - на +
О т в е т. -8
y`=(x-11)`*e^(x-10)+(x-11)*(e^(x-10))`
y`=1*e^(x-10)+(x-11)*(e^(x-10))*(x-10)`
y`=e^(x-10)*(1+x-11)
y`=e^(x-10)*(x-10)
y`=0
e^(x-10)>0
значит только
x-10=0
x=10
Знак производной
_-__ (10) __+_

10 - внутренняя точка отрезка [8;14], производная при переходе через точку меняет знак с - на +,
значит х=10 - точка минимума
наименьшее значение в точке x=10 равно
y(10)=(10-11)*e*(10-10)=-1*e^(0)=-1*1=-1
О т в е т. -1
(cм приложение, вторая строчка)

=(sqrt(10))^2-2^2=10-4=6 (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
5кг сухого белья составляют 100%
х кг воды в нем составляют 4%
х=5*4/100=0,2 кг воды в 5 кг сухого

Значит
5-0,2 =4,8 кг cухого вещества ( без влажности) в 5 кг сухого белья.

Это сухое вещество в выстиранном белье составляет 80%

4, 8 кг составляют 80%
у кг мокрого составляют 100%

у=4,8*100/80=6 кг

О т в е т. 6 кг
Ответ выбран лучшим
Вариант 3 аналогично, в задаче 3 отношения указанные в условии должны быть равны. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
x^4-(x-6)^2=0
(x^2)^2-(x-6)^2=0
Раскладываем на множители по формуле
a^2-b^2
(x^2-(x-6))*(x^2+(x-6))=0
(x^2-x+6)*(x^2+x-6)=0
x^2-x+6=0 или x^2+x-6=0

x^2-x+6=0
не имеет корней, так как D=1-24 <0

x^2+x-6=0
D=1-4*(-6)=25
x_(1)=(-1-5)/2=-3; x_(2)=(-1+5)/2=2
О т в е т. -3;2
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных
∠ ВАС+ ∠ АВС= ∠ ВСЕ
∠ АВС= ∠ ВСЕ- ∠ ВАС= 67 градусов - 45 градусов = 22 градусов (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
3.
(-3)*(-8)+3*(-6)+(-8)*3+7*10+(-7)*(-3)=24-18-24+70-21=31
4.
нельзя умножить. количество столбцов первой матрицы
должно быть равно количеству строк второй
5.
нельзя умножить
1. cм приложение
2.
нельзя (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Разложим на множители

(x-10)(x+10) < 0

Применяем метод интервалов

____ (-10) __-__ (10) ____

Этот метод означает, что находя значение в одной точке мы можем указать знак функции на всем интервале.
Например, при х=0 слева -100, значит минус
Можно рассуждать графически:

График у=x^2-100 пересекает ось Ох в двух точках x=-10 и х=10
ветви вверх,
график расположен ниже оси Ох на (-10;10)

О т в е т. (-10;10)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: 2^(x)-1 > 0
2^(x)> 1
2^(x)> 2^(0)
x>0

ОДЗ: х > 0

Применяем свойства логарифмов:
log_(1/2)(2^(x+1)-2)=log_(1/2)2*(2^x-1)= логарифм произведения
= log_(1/2)2+log_(1/2)(2^x-1) =
формула перехода к другому основанию ( к основанию 2)

= - 1 - log_(2)(2^(x)-1)

log_(2^x-1)*(-1-log_(2)(2^(x)-1) > -2

Квадратное неравенство
log_(2)(2^(x)-1)=t

t*(-1-t)>-2
t*(t+1) < 2

t^2+t-2 <0
D=9
t_(1)=(-1-3)/2=-2; t_(2)=(-1+3)/2=1
-2 < t < 1

Значит

-2 < log_(2) (2^(x)-1) < 1

log_(2)(1/4) < log_(2) (2^(x)-1) < log_(2)2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

(1/4) < 2^(x)-1< 2

(1/4)+1 < 2^(x) < 3

2^(log_(2)(5/4)) < 2^(x) < 2 ^(log_(2) 3)

log_(2)(5/4) x< x < log_(2)3
О т в е т. (log_(2)(5/4);log_(2)3)
Радиус вписанной и описанной окружности через сторону а равностороннего треугольника:
R=asqrt(3)/3;
r=asqrt(3)/6;

R=2r

24=2r

r=12
M_(11)=(-4)*3-(-9)*(-4)=-12-36=-48
C_(11)=(-1)^(1+1)*M_(11)=-48

M_(12)=(-7)*(3) - 4*(-4)=-21+16=-5
C_(12)=(-1)^(3)*M_(12)=5

M_(13)=(-7)*(-9)-4*(-4)=63+16=79
C_(13)=(-1)^(1+3)*M_(13)=79

M_(21)=(-6)*3-(-9)*7=-18+63=45
C_(21)=(-1)^3=-45

M_(22)=(-8)*3-4*7=-24-28=-52
C_(22)=52

M_(23)=(-8)*(-9)-4*(-6)=72+24=96
C_(23)=-96

M_(31)=(-6)*(-4)-(-4)*7=24+28=48
C_(31)=48

M_(32)=(-8)*(-4)-7*(-7)=32+49=81
C_(32)=-81

M_(33)=(-8)*(-4)-(-7)*(-6)=32-42=-10
C_(33)=10

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
О т в е т. ВСDE
При умножении:
количество столбцов первой должно равняться количеству строк второй
Вычитание одинаковых матриц А и В возможно
Транспонирование любой матрицы возможно (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(b+c-a)/(a*(b+c)) : (b+c+a)/(a*(b+c))=

= (b+c-a)/(b+c+a)

При а=0,01; b=8,21; с=1,78

(8,21+1,78-0,01)/(8,21+1,78+0,01)=9,98/10=0,998
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Cвойства корня ( см. приложение)
Применяем формулу в обратную сторону справа налево
sqrt(13/5)* sqrt(125/13)= sqrt((13/5)*(125/13))=sqrt(25)=5 (прикреплено изображение)
k=p=t=m
О т в е т. k=m
(13/18)+(15/18)=28/18

(28/18):(7/54)=(28/18)*(54/7)= 4*3=12
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Приводим к общему знаменателю:

(x-2a)*(x-a)+(x-1)*(x+2)=(x+2)*(x-a)
x ≠ -2;
x ≠ a
Раскрываем скобки
x^2-2ax-ax+2a^2+x^2-x+2x-2=x^2+2x-xa-2a;

x^2+(-1-2a)x+2a^2+2a-2=0

D=(-1-2a)^2-4*(2a^2+2a-2)=1+4a+4a^2-8a^2-8a+8=9-4a-4a^2

4a^2+4а-9=0
D_(1)=4^2-4*4*(-9)=16*10

При D > 0, т. е при
9-4a-4a^2>0 решить это неравенство

квадратное уравнение имеет два корня
x_(1)=((1+2a)- sqrt(9-4a-a^2))/2
x_(2)=(1+2a)+sqrt(9-4a-a^2))/2

Надо исключить те значения параметра а, при которых
x_(1) ≠ 2; x_(1) ≠ a
x_(2) ≠ 2; x_(2) ≠ a

При D=0
уравнение имеет один корень
х=(1+2a)/2
И то же надо исключить те значения параметра, при которых
(1+2a)/2=2
и
(1+2а)/2=a
ОДЗ: x>0

Знаменатель положителен ( арифметический кв.корень) при всех
x>0

Значит, числитель отрицателен:

1-log_(0,5) x <0
log_(0,5)x >1
log_(0,5) > log_(0,5)(0,5) Заменили 1=log_(a)a, a>1
Логарифмическая функция с основанием
0 <0,5<1
убывающая.
x<0,5
C учетом ОДЗ

о т в е т. (0;0,5)
30:5=42:7
30:42=5:7

15:5=9:3
15:9=5:3

Два других : нет множителей слева
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x>0;
{x+7>0
{x+12>0
{2^(x-1) ≠ 1 ⇒ x ≠ 1
x ∈ (0;1)U(1;+ ∞ )

Применяем формулу перехода к другому основания справа налево

2log_(x+7)|x| ≤ log_(x+7)(x+12);

Применяем формулу логарифма степени

log_(x+7)x^2 ≤ log_(x+7)(x+12)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(х+7-1)*(x^2-x-12) ≤ 0

(x+6)*(x+3)*(x-4) ≤ 0

Метод интервалов на ОДЗ:

(0)__-__ (1) __-__ [4] __+___

О т в е т. (0;1)U(1;4] (прикреплено изображение)
{x+1>0⇒ x > -1
{-x>0⇒ x <0

(-1;0) - ОДЗ

применяем свойства логарифмов ( см. приложение)
(2log_(2)(x+1)) * (-2log_(3)(-x)) - 4 log_(2)(x+1)+4log_(3)(-x)+4 ≤ 0

Делим на 4 и раскладываем на множители способом группировки:

- log_(2)(x+1)*(log_(3)(-x) +1) +(log_(3)(-x)+1) ≤ 0

(log_(3)(-x)+1)*( 1-log_(2)(x+1)) ≤ 0


Применяем обобщенный метод интервалов:

log_(3)(-x)+1=0 или log_(2)(x+1)-1=0

log_(3)(-x)=-1 или log_(2)(x+1)=1

-x=3^(-1) или x+1=2

x=-1/3 или х=-1

(-1) __+_ [-1/3] __-__ (0)

О т в е т. [(-1/3);0) (прикреплено изображение)
ОДЗ:
{x>0; x ≠ 1
{x-1>0 ⇒ x>1
{x+1>0; x +1≠ 1

ОДЗ: x ∈ (1;+ ∞ )

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(cм. приложение)

(x-1)*(x-1-1)*(x+1-1)*(x-1-1) <0;

(x-1)*x*(x-2)^2 <0

Применяем метод интервалов с учетом ОДЗ

(1) __+__ (2) __+__

нет решений (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Классическая формула вероятности
p=m/n
Здесь тоже самое.

Вводим прямоугольную систему координат, приняв для простоты, что встреча состоится между 0 и 2 часами
( вместо 12 и 14)

Студенты встретятся, если оба окажутся в многоугольнике, окрашенном розовым цветом.

p= площадь многоугольника/ площадь квадрата
( см. рис.2)
OA=OB=0,5 ( полчаса)
S_(квадрата ОКML)=2*2=4
BK=KC=(2-0,5)=1,5
S_( Δ BKC)=(1/2)*(1,5)*(1,5)=1,125

S_(OAKCMD)=4-2*1,125=4-2,25=1,75

p=1,75/4=7/16 (прикреплено изображение)
a) ∫ (2/sqrt(x) - (4∛(x^2))dx/x=

=2 ∫1dx/(x*sqrt(x))- 4∫ x^(2/3)dx/x=

=2 ∫ x^(-3/2)dx - 4 ∫ x^(-1/3)dx=

=2*x^((-3/2)+1)/((-3/2)+1) - 4*x^((-1/3)+1)/((-1/3)+1)+C=

=-4/sqrt(x^3) - 6* ∛(x^2) + C

б)
Замена
x^2=u
du=(x^2)`dx
du=2xdx
xdx=du/2

получаем
∫ (du/2)/sin^2u=(1/2)(-ctgu)+C=(-1/2)ctg(x^2)+C

2a)

u=3x^2+1
du=6xdx
xdx=(1/6)du

Меняем пределы
х=2sqrt(2)
u=3*(2sqrt(2))^2+1=25

x=sqrt(5)
u=3*(sqrt(5))^2+1=16

получаем

∫ ^(25)_(16)(1/6)du/sqrt(u)=(1/6)*(2sqrt(u))|^(25)_(16)=

=(1/3)*(5-4)=(1/3)

2б)

u=sinx
su=cosxdx

x=0
u=sin0=0

x=(π/6)
u=sin(π/6)=(1/2)

получаем
∫ ^(1/2)_(0)e^(u)du=e^(u)|^(1/2)_(0)=e^(1/2)-e^(0)=sqrt(e)-1
Ответ выбран лучшим
3.
Замена переменной
u=arcsinx
du=dx/sqrt(1-x^2)
Получаем
∫ u^3/du=u^4/4=(arcsin^4x)/4+C

Можно сразу без замены писать:
∫ arcsin^3xdx/sqrt(1-x^2)= ∫ arcsin^3xd(arcsinx)=(arcsin^4x)/4 + C

7.
∫ xdx/(2x^2-1)
u=2x^2-1
du=4xdx
xdx=(1/4)du

получаем
∫ (1/4)du/u=(1/4) ∫ du/u=(1/4)ln|2x^2-1|+C

8.

(xe^(x)-x)/x=x*(e^(x)-1)/x=e^(x)-1

получаем
∫ (e^(x)-1)dx= ∫ e^(x)dx- ∫ dx=e^(x)-x + C

9.
u=1+3x^3
du=9x^2dx
x^2dx=(1/9)du

получаем
∫ (1/9)u^(1/5)du= (1/9)*u^((1/5)+1)/((1/5)+1)=(5/54)u^(6/5)+C=

=(5/54)*(1+3x^3)^(6/5) + C

10.

Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов
получаем
∫ ∛arctgxdx/(1+x^2) - ∫ xdx/(1+x^2)=

= ∫ ∛u du - (1/2) ∫ dt/t=

=(3/4)(arctgx)^(4/3) - (1/2) ln (1+x^2) + C
Ответ выбран лучшим
p=511/1000=0,511
равноудалены от числа t на расстояние π
вправо, получим точку t+π
влево получим точку t -π
О т в е т. 5
О т в е т. совпадают. (прикреплено изображение)
∪ CM=4x
∪ MD=5x
∪ CD=90^(o)

∪ CD = 90^(o)
4x+5x=90^(o)
x=10^(o)

∪ CM=4x=4*10^(o)=40^(o)
∪ MD=5x=50^(o)

Аналогично
∪ AP=y
∪ PB=5y
∪ AB=90^(o)

y+5y=90^(o)
6y=90^(o)
y=15^(o)
∪ AP=15^(o)
∪ PB=5*15^(o)=75^(o)

∪ PM= ∪ PB+ ∪ BC+ ∪ CM=75^(o)+90^(o)+40^(o)=205^(o) (прикреплено изображение)
1.

OT- средняя линия треугольника АРС
OT|| AP ⇒ OT || AA_(1)B_(1)B

2.
прямая l параллельна плоскости SPT
так как
PT- средняя линия Δ АВС
PT|| AC

прямая l пересекает OK ребро SC в точке К

OK || AC

Значит по свойству транзитивности
OK || PT ⇒ OK || пл. SPT

см. рис.

3.

В Δ SDC медиана SP соединяет вершину S c серединой противоположной стороны DC точкой P
K- точка пересечения медиан Δ SDC
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
SK:KP=2:1

Треугольники SEK и SBP подобны, так как угол общий и стороны пропорциональны.

Значит EK || BP ⇒ EK || ABCD в том числе и АВС.

4.

См. приложение 2

диагонали боковой грани AA_(1)B_(1)B
A_(1)B и AB_(1)
пересекаются в точке E

A_(1)B=AB_(1)=8 sqrt(2) ( диагональ квадрата со стороной 8)

диагонали боковой грани СС_(1)B_(1)B
С_(1)B и СB_(1)
пересекаются в точке F

C_(1)B=CB_(1)=8 sqrt(2) ( диагональ квадрата со стороной 8)

Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам
BE=BF=4 sqrt(2)

EF- средняя линия Δ BA_(1)C_(1)

EF=(1/2)A_(1)C_(1)=4

P( Δ BEF)= BE+EF+FB=4sqrt(2)+4+4sqrt(2)=4+8sqrt(2)

5.
Соединяем точки В_(1) и С; В_(1) и Т.
B_(1)C=6*sqrt(2) ( диагональ квадрата со стороной 6)
В_(1)Т=sqrt(6^2+3^2)=sqrt(36+9)=sqrt(45)=3sqrt(5)

Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.

Поэтому проводим
ТК || B_(1) C || A_(1)D
A_(1)D=B_(1)C=6sqrt(2)

ТK=(1/2)A_(1)D=3sqrt(2)

KC=sqrt(KD^2+DC^2)=3sqrt(5)

Р (КТВ_(1)С)=КТ+ТВ_(1)+В_(1)С+СК=3sqrt(2)+3sqrt(5)+6sqrt(2)+3sqrt(5)=
=9sqrt(2)+6sqrt(5) (прикреплено изображение)
AC=13; CB= BC=5
AC:СB=13:5

AB=18
AC:AB=13:18

CB:AC=5:13

CB:АВ=5:18
Ответ выбран лучшим
Продолжаем высоту AD за точку D до пересечения с окружностью в точке Q
MD=DQ=6
AM=AD-MD=9-6=3

По свойству секущих
AM*MQ=AK*AC
Так как
AM*MQ=3*(6+6)=36
Значит
АК*АС=36

Из подобия прямоугольных треугольников
АHК и АDC ( ∠ A - общий)
AH : AC = AK : AD

AH*AD=AC*AK
AH * 9 = 36
AH=4 (прикреплено изображение)
4b=d;
для N
2a+2b=2c
для H
4a=2d


d=4b и d=2a

4b=2a

2b=a и подставляем в равенство для N

2a+a=2c

3a=2c ⇒ a- кратно 2; c - кратно 3

a=2

4b=2a ⇒ 4b=4 ⇒ b=1

d=4b=4

c=3

О т в е т. a=2; b=1; c=3;d=4
Ответ выбран лучшим
∠ ВАN= ∠ NAD ( AN - биссектриса)
и
∠ NAD= ∠ ANB - внутренние накрест лежащие углы

∠ ВАN= ∠ ANB

Δ ABN - равнобедренный
Значит,
AB=BN
Обозначим k - коэффициент пропорциональности.
Тогда
BN=5k
NC=3k
BN:NC=5k:3k=5:3

AB=BN=5k
BC=BN+NC=5k+3k=8k

P=2*(AB+BC)=2*(5k+8k)=26k

26k=70

k=70/26=35/13

Треугольники MNC и MAD подобны ( NC || AD)

NC:AD=MC:MD

Пусть MC=x, тогда MD=MC+CD=x+5k

3k:8k=x:(x+5k)

8x=3*(x+5k)

8x=3x+15k
5x=15k

x=3k

x=3*(35/13)


MD=(x+5k)=8k=8*(35/13)=280/13

P.S

Если бы в задаче P было кратным 13-ти, тогда ответ - целое число
(прикреплено изображение)
Составляем такие же уравнения для других точек и получаем систему четырех уравнений с четырьмя переменными
{T_(1)=(1/4)*(T_(2)+T_(3)+10)
{T_(2)=(1/4)*(T_(1)+T_(4)+30+0)
{T_(3)=(1/4)*(T_(1)+T_(4)+10+140)
{T_(4)=(1/4)*(T_(2)+T_(3)+20+30)

упростим

{4T_(1)-T_(2)-T_(3)=10
{T_(1)-4T_(2)+T_(4)=-30
{T_(1)-4T_(3)+T_(4)=-150
{T_(2)+T_(3)-4T_(4)=-50

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Произведение трех множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен 0, [b] а другой при этом не теряет смысла [/b]

x-sqrt(1-y^2)=0 ⇒ x= sqrt(1-y^2) правая полуокружность
окружности
x^2+y^2=1
с центром (0;0) радиусом r=1

xy+y-x-1=0 ⇒ y(x+1)-(x+1)=0 ⇒ (x+1)*(y-1)=0 ⇒
Две прямые x=-1 или y=1


y+1-x=0 ⇒ y=x-1 - прямая.

Строим фигуру.

S_(фигуры)=S_(трапеции)+(1/2)*S_(полукруга)+S_(Δ)

S_(трапеции)=(a+b)*h/2=(2+3)*1/2=5/2

(1/2)*S_(полукруга)=(1/4)π

S_( Δ)=(1/2)*1*1

О т в е т. (5/2)+(1/4)π+(1/2)=3+(π/4) ≈ 3+0,79=3,79 (прикреплено изображение)
1.
делим на 4
x^2+8x+12=0
D=8^2-4*12=64-48=16
х_(1)=(-8-4).2=-6; x_(2)=(-8+4)/2=-2
2.
Умножаем на (4/3)
x^2-12x+36=0
(x-6)^2=0
x=6
3.
Умножаем на (2/7)
x^2-17x+42=0
D=289-4*42=121
x_(1)=(17-11)/2=3 ; х_(2)=(17+11)/2=14
4.
делим на 3
x^2-2x-120=0
D=4-4*(-120)=484=22^2
x_(1)=(2-22)/2=-10; x_(2)=(2+22)/2=12
5.
умножаем на (-1)
x^2+8x+48=0
D=8^2-4*48 <0
уравнение не имеет корней
6.
Делим на (-4)
x^2-x-20=0
D=1+80=81
x_(1)=(1-9)/2=-4; x_(2)=(1+9)/2=5
7,
D=(-18)^2-4*120 <0
уравнение не имеет корней
8.
D=(-1)^2-4*7*2<0
уравнение не имеет корней
cos(x+(π/2)=-sinx

2sin^2x+7sinx-4=0
D=49-4*2*(-4)=81
sinx=-4 или sinx=1/2

sinx=-4 уравнение не имеет корней

sinx=1/2
x=(-1)^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z
можно записать как две серии ответов

при k=2n
x=(π/6)+2πn, n ∈ Z
Отрезку [-2π;-π/2] принадлежит корень (π/6)-2π=-11π/6

при k=2m+1
x=(5π/6)+2πm, m ∈ Z
Отрезку [-2π;-π/2] принадлежит корень (5π/6)-2π=-7π/6

О т в е т. (-1)^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z
-11π/6; -7π/6 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
y`=(5x^7-2x^3-∛x+3x^(-2)+15)`=
производная суммы ( разности) равны сумме ( разности) производных;
константу можно выносить за знак производной
(С)`=0
[b](x^( α ))`= α *x^( α -1)[/b]

=5*7x^(6) -2*3*x^2 -(1/3)x^(-2/3)+3*(-2)*x^(-3)+0=
=35x^6-6x^2-1/(3∛(x^2))-6/(x^3);
2
[b](x^( α ))`= α *x^( α -1)[/b]
y`=2*(x^(-2)/(-2))-3*(x^(-3)/(-3))+4*(x^(-4)/(-4))-(6/5)*(x^(-5)/(-5))=

=(-1/x)+(1/x^3)-(1/x^4)+(6/25)*(1/x^5)

3.
a^(m)*a^(n)=a^(m+n)
[b](x^( α ))`= α *x^( α -1)[/b]

y=3*x^(1/4)=10x^(11/3)-5x^(13/5)-4x^(-3)
y`=3*(1/4)*x^(-3/4)+10*(11/3)x^(8/3)-5*(13/5)x^(8/5)-4*(-3)x^(-4)
y`=(3/4)*(1/∛(x^4))+(110/3)x^2∛(x^2) -13x*(x^(3/5))+12/(x^4)

4. y=u*v
y`=u`*v+u*v`
y`=(5cosx-3tgx)`*sinx+(5cosx-3tgx)*(sinx)`=
=(5*(-sinx)-3*(1/cos^2x))*sinx+(5cosx-3tgx)*cosx

5.
y=(u/v)
y`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=(6ctgx)`*(sinx-2x)-6ctgx*(sinx-2x)`)/(sinx-2x)^2

y`=(-6/sin^2x)*(sinx-2x) - 6ctgx*(cosx-2))/(sinx-2x)^2

6.
y=cosu, u=5х+3
y`=(cosu)`*u`

y`=3*(-sin(5x+3))*(5x+3)`
y`=-15sin(5x+3)

7.
y=u^3
u=kn(arctgx-2x^3)

y`=3u^2*u`

y`=3ln^(2)(arctgx-2x^3) * (arctgx-2x^3)`;
y`=3ln^2(arctgx-2x^3) * (1/(1+x^2) - 6x^2)

8.
y`=(1/3)*(cos2x)*(2x)`+ (1/3)*(1/ctg2x)*(ctg2x)`

y`=(2/3)cos2x + (2/3)*(1/ctg2x)*(-1/sin^22x)

9.
y=log_(2)(1-tg6x) - log_(2)(1+tg6x)

(log_(2)u)`=(1/u)*(u`)*(1/ln2) - cм. формула 7

y`=(1/ln2)*(1/(1-tg6x))*(1-tg6x)`- (1/ln2)*(1/(1+tg6x))*(1+tg6x)`

y`=(1/ln2)*(1/(1-tg6x))*(-1/cos^26x)*(6x)` - (1/ln2)*(1/(1+tg6x))*(1/cos^2x)*(6x)`
(6x)`=6

y`=(6/ln2)*(1/cos^2x) * [b]((-1-tg6x-1+tg6x)/(1-tg^26x))[/b]=

=(6/ln2)*(1/cos^2x) * [b]((-2)/(1-tg^26x))[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33457
1)
y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
y`=((x)`*sqrt(4-x) -x*(sqrt(4-x))`)/(sqrt(4-x))^2
y`=(sqrt(4-x)- x*(4-x)`/(2sqrt(4-x)))`/(4-x)
y`=(4-x+x)/(2sqrt((4-x)^3))
y`=2/sqrt((4-x)^3)
2.
(lnu)`=u`/u
y`=(1+x^2)`/(1+x^2)
y`=2x/(1+x^2)
Ответ выбран лучшим
MN=AC/2=4,5 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
[link=https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33455]
6.
Пусть сторона основания а, высота призмы H
S_(осн)=6*S( равносторонних треугольников со стороной а)=6*a^2sqrt(3)/4;

По теореме Пифагора
(A_(1)C_(1))^2=(sqrt(5))^2-(sqrt(2))^2=3
AC=A_(1)C_(1)=sqrt(3) ⇒
AB=1
KC=2AB=2
CC_(1)=(sqrt(5))^2-2^2=5-4=1
[b]H=1[/b]
V=6*S( ΔAOB)*H=6*(1/2)*1^2*(sqrt(3)/2)*1=3sqrt(3)/2

8.
СС_(1)=КК_(1)=a
a=H
СD=KE
Значит
CC_(1)=CD
Треугольник CC_(1)D - прямоугольный равнобедренный c гипотенузой С_(1)D=sqrt(7)

CD=sqrt(7)*sqrt(2)/2=sqrt(14)/2

a=H=sqrt(14)/2
V=6*(1/2)*(sqrt(14)/2)*sqrt(14/2)*sqrt(3)/2*(sqrt(14)/2)=

=21sqrt(42)/8

12.
AA_(1)=АВ
а=H
DM=EM*sin ∠ DEM=a*sqrt(3)/2
DD^2_(1)=(sqrt(6))^2-(a*sqrt(3)/2)^2
DD_(1)=H=a
a^2=6-(3*a^2/4)
(7/4)a^2=6
a^2=12/7
a=sqrt(12/7)
H=sqrt(12/7)
V=6*(1/2)*(sqrt(12/7))^2*(sqrt(3)/2)*(sqrt(12/7))=

=(108sqrt(7))/49
Ответ выбран лучшим
Продолжаем высоту AD за точку D до пересечения с окружностью в точке Q
MD=DQ=6
AM=AD-MD=9-6=3

По свойству секущих
AM*MQ=AK*AC
Так как
AM*MQ=3*(6+6)=36
Значит
АК*АС=36

Из подобия прямоугольных треугольников
АHК и АDC ( ∠ A - общий)
AH : AC = AK : AD

AH*AD=AC*AK
AH * 9 = 36
AH=4 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Диаметр ( и радиус) перпендикулярный хорде делит хорду пополам.
R^2=16^2+12^2=256+144=400
R=20
(1/2)CD=sqrt(20^2-12^2)=sqrt(256)=16
CD=32 (прикреплено изображение)
m =9
две точки пересечения

m ∈ {0} U (9;+ ∞ )
одна точка пересечения

О т в е т. {0} U[9;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
s=(1/2)*a*h=(1/2)*6*3=9 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Трапеция равнобедренная (АВ=CD)
∠ A= ∠ D=∠BDA+∠BDC=35°+58°=93°.
Cумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции 180°

∠АBC=87°.

Сумма углов треугольника АВD равна 180 градусов
∠АBD=180 градусов - 93 градусов - 35 градусов=52 градусов (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
C=2πR - формула длины окружности

L_(1)=(2πR)*(15^(o))/(360^(o)) - длина дуги в 15 градусов

48=2πR/24
C= 2πR=48*24

L_(2)=C-L_(1)=48*24-48=48*23=1104
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По теореме косинусов
AC^2=AB^2+B^2-2AB*BC*cos ∠ BAC

сos ∠ BAC=(8^2+10^2-14^2)/(2*8*10)=-1/5

∠ BAC=arccos(-1/5)=180^(o)-arccos(1/5) - тупой угол
Ответ выбран лучшим
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде ( собственная скорость теплохода) х км в час
(х+4) скорость по течению

210/(х+4) час. - время по течению

(x-4) км в час - скорость против течения

210/(x-4) час - время против течения
Уравнение

210/(x+4) + (210/(х-4))= 27-9
210*(x-4+x+4)=18(x-4)(x+4)
210*2x=18(x^2-4)
3x^2-70x-12=0
D=4900-4*3*(-12)=4900+144=5044
x_(1)=(70-sqrt(5044))/6 или х_(2)=(70+sqrt(5044))/6

x_(1) < v _(реки), теплоход не сможет плыть против течения

О т в е т. х_(2)
Ответ выбран лучшим
428
a)s(6)=5*6+6=36
s=36
t=6
v_(cp)=s/t=36/6=5
б) s=s(6)-s(3)=5*6+6-(5*3+6)=30-15=15
s=15
t=6-3=3 c
v_(cp)=s/t=15/3=5

429
АМ=k*t^2
12=k*(2)^2
12=4k
k=3

s(t)=3t^2
a)
s(5)=5*5^2=75
v_(cp)=s/t=75/5=15

430
s=s(t+ Δt)-s(t)

1) s(4+2)-s(4)=(6^3)+(3/6)-(4^3+(3/4))=152-(1/4)=607/4
t=2
v=s/t=607/8
2)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
x-6 ≥ 0

x^2-3x -28=0
D=(-3)^2-4*(-28)=9+112=121
x_(1)=(3-11)/2=-4 или x_(2)=(3+11)/2=7
х_(2) не удовл. ОДЗ
О т в е т. -4
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33429
Ответ выбран лучшим
По теореме Пифагора
H^2=17^2-d^2=17^2-8^2=289-64=225
H=15 м (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Функция четная
Убывает на (- ∞ ;-2) и на (0;2)
возрастает на (-2;0) и на (2;+ ∞ )
x=-2 и х=2 - точки минимума
х=0 - точка максимума
Функция выпукла вниз на (- ∞ ;0) и на (0;+ ∞ )
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33428
Ответ выбран лучшим
-7x -3x ≤ -7-6
-10x ≤ -13
x ≥ 13/10
x ≥ 1,3
О т в е т. [1,3;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33433
21=[b](1/2)[/b]*7*d_(2)*(6/11)
Делим на 7 обе части
3=d_(2)*(3/11)

d_(2)=11 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(2+с)^2-с*(с-4)=4+4c+c^2-c^2+4с=4+8с
При с =-1
4+8c=4+8(-1)=-4
Ответ выбран лучшим
a_(2)=a_(1)+4=-9+4=-5
a_(3)=a_(2)+4=-5+4=-1
a_(4)=a_(3)+4=-1+4=3
a_(5)=a_(4)+4=3+4=7
a_(6)=a_(5)+4=7+4=11

S_(6)=(a_(1)+a_(6))*6/2=(-9+11)*6/2=6
Ответ выбран лучшим
n=25
m=24 пакета, в которых нет сока

p=m/n=24/25=0,96
Ответ выбран лучшим
2800 руб составляют 100%
2520 руб составляют p %

p=2520*100/2800=2520/28=90%

100%-90%=10%

или
2800-2520=280 на столько уменьшилась цена
2800 - это 100%
280% - это 10%
О т в е т. на 10%
Ответ выбран лучшим
x^2-5x+6=0
D=(-5)^2-4*6=25-24=1
x_(1)=(5-1)/2=2; x_(2)=(5+1)/2=3
О т в е т. 2
Ответ выбран лучшим
sqrt(64)+(sqrt(6,4))^2=8+6,4=14,4
О т в е т. 14,4
Ответ выбран лучшим
Уравнение
8x_(1)+7х_(2)-2x_(3)=0
говорит о том, что меняются две переменные, а третья легко выражается через две других, например так:
x_(3)=4x_(1)+(7/2)x_(2)
Значит, можно взять любые два неколлинеарных векторa на
плоскости х_(1)Ох_(2)
(1;0) и (0;1)
Для (1;0)
z=4
Для (0;1)
z=3,5

О т в е т. (4;1;0); (3,5;0; 1)
Повторные испытания с двумя исходами
p=0,51
q=1-p=1-0,51=0,49
Найдем вероятность того, что 1 или 2 мальчика:

P_(6)(k≤ 2)=C^(1)_(6)0,51*0,49^5+C^(2)_(6)80,51^2*0,49^4

=6*0,51*0,49+15*0,51^2*0,49^4

считайте

Найдем вероятность противоположного события:

P_(6)(k>2)=1-P_(6)(k ≤ 2)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)
{2*0+3*0 ≥ -1 - верно
{0+0 ≤ 2 - верно
(0;0) принадлежит
б)
{-2+1,5 ≥ -1 - верно
{1+0,5 ≤ 2 - верно
(-1; 0,5) принадлежит
в)
{2-3 ≥ -1 - верно
{1-1 ≤ 2 - верно
(1;-1) принадлежит
г)
{(2/3)+3 ≥ -1 - верно
{(1/9) +1 ≤ 2 - верно
(1/3;1) принадлежит.

Проверка на рис. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a_(n+1)=-2 целых(1/a_(n))

a_(2)= - 2 целых (1/4)=- (2+(1/4))= - 9/4
a_(3)= - 2 целых (1/(-9/4)= -2 целых (-4/9)=- (2+ (- 4/9))= -14/9


О т в е т. (-14/9)
Выносим за скобки 5 в меньшей степени и 3 в меньшей степени

Выносим - значит делим каждое слагаемое слева на 5^(x)

При этом применяем свойства степени с одинаковым основанием
5^(x+2)/5^(x)=5^(x+2-x)=5^2
5^(x+1)/5^(x)=5
5^(x)/5^(x)=1

Аналогично и справа

5^(x)*(5^2+5-1) < 3^((x/2)-1)*(3^2-3-1)
5^(x)*29 < 3^((x/2)-1)*5
5^(x)*29 < 3^(x/2) *3^(-1)*5
3^(-1)=1/3
3^(x/2)=((3^(1/2))^(x)=sqrt(3))^(x)


5^(x)*29 < 3^(x/2)*(5/3)
Делим обе части неравенства
на (sqrt(3))^(x) > 0 ( никогда 0 не равняется)

(5/sqrt(3))^(x) < 5/87
Показательная функция c основанием (5/sqrt(3))>1 возрастающая
БОльшему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому
x < log_(5/sqrt(3))(5/87)

О т в е т. (- ∞ ; log_(5/sqrt(3)) (5/87))
M(X)=1*(3/11)+8*(1/3)+13*(13/33)=(9+104+169)/33=282/33=94/11=8 целых 6/11

M(X^2)=1^2*(3/11)+8^2*(1/3)+13^2*(13/33)=
=(9+704+2197)/33=(2910/33)=970/11

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=(970/11)-(94/11)^2=(970*11-94^2)/121=

=(10670-8836)/121

Сумма вероятностей в последней строке должна быть равна 1.
Поэтому
p_(5)=1-(1/6)-3*(1/10)=(30-5-9)/30=16/30

M(X)=(-10)*(1/6)+(-6)*(1/10)+(-5)*(1/10)+(-4)*(1/10)+5*(16/30)=

=(-50-18-15-12+80)/30=-1/2



(прикреплено изображение)
x=-1 - корень, так как
(-1)^3-3*(-1)^2-2*(-1)+2=0
-4+4=0
Раскладываем левую часть на множители, один из которых уже известен

Это (х+1)

Этот прием называется "искусственным".
Надо прибавить и отнять.
x^3 прибавляем x^2, чтобы x^2*(x+1)
и отнимаем x^2, получим -4x^2

к (-4x^2) прибавляем (-4x), чтобы -4x^2-4x=-4x*(x+1)

и тогда прибавляем 4х, которые вместе с -2x
дают 2х


x^3+x^2-4x^2-4x+2x+2=0

x^2*(x+1)-4x*(x+1)+2*(x+1)=0

(x+1)*(x^2-4x+2)=0

x=-1 или

x^2-4x+2=0
D=16-8=8
x_(1)=(4-2sqrt(2))/2=2-sqrt(2)
x_(2)=(4+sqrt(2))/2=2+sqrt(2)
О т в е т. -1; 2 - sqrt(2); 2+sqrt(2)
ф)
[b]y=(x^3-2)/3x[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ;0) U(0; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=((-x)^3-2)/(3*(-x))=(x^3+2)/(3x)

f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
x^3-2=0
x= ∛2

6.интервалы знака постоянства

___+__ (0) __-__( ∛2) ____+__

y > 0 при x< 0 и x > ∛2
y < 0 при 0 < x < ∛2

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = +∞

9.асимптоты граф. функции
y=0 - вертикальная асимптота.
других асимптот нет.


3.) исследовать с помощью производной

y`=((3x^2)*3x-(3x)`*(x^3-2))/(3x)^2
y`=(9x^3-3x^3+6)/(9x^2)
y`=(6x^3+6)/9x^2

y`=0
x^3+1=0
x= - 1
_-__ (- 1) __+__(0) ___+_

Возрастает на (- 1 ; 0) и на (0; + ∞ )
Убывает на (- ∞ ; -1)

х= - 1 - точка минимума

y(-1)=((-1)^3-2)/3*(-1)=1

См. рис.1

б)
[b]y=(4lnx)/x[/b]

1.область определения функции D(y)=(0 ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(- ∞;(4/e)]
см. рис.
3. Четность или нечетность функции
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
4lnx=0
x=1
(1;0) - точка пересечения с осью Ох

6.интервалы знака постоянства

y > 0 при x >1
y < 0 при 0 < x < 1


2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)

lim_(x→+∞)(4lnx)/(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) 4/(x)/1=0

lim_(x→ - ∞) не рассматриваем Согласно области определения
x > 0

9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота на + ∞
x=0 - вертикальная асимптота ( справа)

3.) исследовать с помощью производной

y`=4*((lnx)`*x-(lnx)*x`)/(x^2)
y`=4*(1-lnx)/(x^2)

y`=

1-lnx=0
lnx=1
x=e


(0) ___+__ (e) __-__

Возрастает на (0;e)
Убывает на (e; + ∞ )

x=e - точка максимума

y(e)=4/e

См. рис.2
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Подставляем координаты каждой точки в систему.
A
{5 ≤ 0+4 - неверно
{5 ≥ 0-4 0 верно
не принадлежит
В
{3 ≤ -1+4 - верно
{3 ≥ -1- 4 - верно
принадлжит
С
{20 ≤ -20+4 - неверно
не принадлежит
D
{102 ≤ 100+4 - верно
{102 ≥ 100- 4 - верно
принадлежит
Ответ выбран лучшим
Решаем систему
{x^2+y^2=100
{x+y=14
cпособом подстановки

{x^2+(14-x^2)=100
{y=14-x

x^2+196-28x+x^2=100
2x^2-28x+96=0
x^2-14x+48=0
D=196-192=4> 0
квадратное уравнение имеет два корня.
Система имеет два решения
Графики имеют две общие точки
2)
{x^2+y^2=64
{y=12-x
x^2+(12-x)^2=64
x^2+144 - 24x +x^2 =64
2x^2 -24x +80=0
D=576-8*80 < 0
уравнение не имеет корней
система не имеет решений
графики не пересекаются
Ответ выбран лучшим
а)
Приравниваем у
y=x^2-3x+3
и
y=2x-1

x^2-3x+3=2x-1
x^2-5x+4=0
D=25-16=9
x_(1) = 1; x_(2) = 4
y_(1) =2*1-1=1; y_(2)=2*4-1=7
О т в е т. (1;1); (4;7)

2
Подставляем вместо x=1,5
y=(1,5)^2-1,5+1
y=2,25-1,5+1
y=1,75
О т в е т. (1,5; 1,75)
Ответ выбран лучшим
x=t^6
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

(t^3+t^2)/(t^3-t^2)=3
t^2*(t+1)/t^2*(t-1)=3

t+1=3(t-1)
t ≠ 0
t ≠ 1
2t=4
t=2

x=2^6=64
О т в е т. 64
Ответ выбран лучшим
sqrt(x-1)=t
t ≥ 0
Возводим в квадрат
x-1=t^2
x=t^2+1
t+sqrt(t^2+1-2t)=1
t+sqrt((t-1)^2)=1
t+|t-1|=1

При t-1 ≥ 0
|t-1|=t-1
t+t-1=1
2t=2
t=1

sqrt(x-1)=1
x-1=1
x=2

При t < 1
|t-1|=1-t
t+(1-t)=1
o*t=0
t - любое
0 ≤ t < 1
0 ≤ sqrt(x-1) < 1
0 ≤ x-1 < 1
1 ≤ x < 2

О т в е т. [1;2)U{2}=[1;2]
2.
sqrt(x+7)=t
t ≥ 0

Возводим в квадрат
x + 7 = t^2
x = t^2 - 7

x+8+2sqrt(x+7)=(t^2- 7) +8 + 2t = t^2 + 2t +1 = (t+1)^2

x+1-sqrt(x+7)=(t^2-7)+1 - t= t^2 - t -6

Уравнение принимает вид:

sqrt((t+1)^2) + sqrt(t^2 - t -6) =4

| t+1| +sqrt(t^2-t-6) =4

sqrt(t^2-t -6)= 4 - |t+1|

Возводим в квадрат при условии
4-|t+1| ≥ 0 ⇒ |t+1| ≤ 4 ⇒ - 4 ≤ t+1 ≤ 4 ⇒ -5 ≤ t ≤ 3
C учетом t≥ 0
получим
0 ≤ t ≤ 3

t^2 - t - 6 = 16 - 2*|t + 1| + (t +1)^2;

t^2 - t - 6 = 16 -8*|t + 1| + t^2 + 2t + 1;

8*|t+1|=23+3t

0 ≤ t ≤ 3

2*(t+1)=23+3t

8t+8=23+3t
8t-3t=23-8
5t=15
t=3

sqrt(x+7)=3
x+7=9
x=2

О т в е т. 2
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a) x^2+y^2 ≤ 0,9^2
б) x^2+y^2 ≥ 1,2^2
Ответ выбран лучшим
Способ подстановки
{y=-3x-4
{x^2-(-3x-4)^2=2 ⇒ x^2-(9x^2+24x+16)=2 ⇒ -8x^2-24x-18=0
4x^2+12x+9=0
(2x+3)^2=0
x=-3/2
y=-3*(-3/2)-4
y=1/2
О т в е т. (-3/2;1/2)

б) так же
y=2-3x
x^2-x*(2-3x)=3,36
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Множество точек на границе ( на окружности) описывает
уравнение
x^2+y^2=3^2
Множество точек
внутри круга задают неравенством:
x^2+y^2 < 3^2

Поэтому множество точек, принадлежащих кругу
задают неравенством
x^2+y^2 ≤ 3^2

Подставляем координаты каждой точки в это неравенство
и проверяем верно оно или неверно.

A(-1;1)
(-1)^2+1^2 ≤ 3^2- верно,
принадлежит
B(0;3)
0^2+3^2 ≤ 3^2 - верно,
принадлежит
С(0,5; 2)
(0,5)^2+2^2 ≤ 3^2- верно,
принадлежит
D(-2; 2,5)
(-2)^2+(-2,5)^2 ≤ 3 - неверно,
4+6,25 >9
не принадлежит
Ответ выбран лучшим
y ≥ 5
Один выстрел,
n=1
Значит попадание, с вероятностью p=1 - (7/11) = 4/11

p_(1)=4/11

n=2
Значит, первый раз промаx, второй попадание

p_(2)=(7/11)*(4/11)=28/121

n=3
Значит, два промаха
и с третьей попытки попадание или снова промах, патроны закончатся.

p_(3)= (7/11)*(7/11)*(4/11) +(7/11)*(7/11)*(7/11)=49/121

В законе распределения p_(1)+p_(2)+p_(3)=1
( это в самом деле так)


а)
[b]y=3-cos(x+(π/4))[/b]
cм.приложение 1
1) используем известный график у= сosx
(его нет на рисунке)

2) строим y = cos(x + (π/4)) c помощью сдвига первого графика на
(π/4) влево см. рис.1
3) строим y= - cos(x+(π/4)) - зеркальное отражение графика 2)
см. рис.2
4) y=3-cos(x+(π/4) - параллельный перенос графика 3) на 3 единицы вверх см. рис. 3

область определения (- ∞ ;+ ∞ )
так как
-1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ -1 ≤ cos(x+(π/4)) ≤ -1 ⇒ -1 ≤ -cos(x+(π/4)) ≤ 1 ⇒
3-1 ≤ 3-cos(x+(π/4)) ≤ 3+1;
2 ≤ 3-cos(x+(π/4)) ≤ 4
область изменения [2;4]
точки пересечения с осями координат.
с осью Ох нет точек пересечения, график расположен выше оси Ох
с осью Оу
x=0; y=3-cos(π/4)=3-(sqrt(2)/2)

функция y = -cos x возрастает на (0+2πn, π+2πn), n ∈ Z
поэтому
данная функция возрастает на ((-π/4)+2πn, (3π/4)+2πn), n ∈ Z

функция y = -cos x убывает на (-π+2πn, 0+2πn), n ∈ Z
поэтому
функция убывает на ((-5π/4)+2πn; (-π/4)+2πn), n ∈ Z

f(x) > 0 при любом х


б)
[b]y=tg(x+(π/6))[/b]

см. приложение 2
y=tg(x+(π/6)) получен из y=tgx сдвигом влево на (π/6)
соответственно точка (0;0) перемещается в точку (-π/6;0)
прямые х=(-π/2) и x=(π/2) - вертикальные асимптоты графика
y=tgx
в прямые
x=(- π/2)-(π/6)=-2π/3
и
y=(π/2) -(π/6)=π/3

Поэтому область определения данной функции
((-2π/3)+πn; (π/3)+πn), n ∈ Z

Область изменения (- ∞ ; +∞ )

Функция возрастает на каждом из интервалов
((-2π/3)+πn; (π/3)+πn), n ∈ Z

График y=tg(x+(π/6))+1 получен из y=tg(x+(π/6)) сдвигом на 1 единицу вверх.

в)
y=log_(1/3)x - см приложение 3 график 1)
y=-log_(1/3)x - зеркальное отражение первого относительно оси Ох
см там же график 2) черного цвета
y=-log_(1/3)x +1 - сдвиг на 1 единицу вверх
см. там же график 3)

г)
y=2^x - показательная функция с основанием 2, возрастающая на (- ∞ ;+ ∞ ) см. приложение 4 график синего цвета
y=2^(x) + 2 - сдвиг предыдущего графика на 2 единицы вверх
см. приложение 4, график зеленого цвета
д)y=∛x
см. приложение 5

P.S
Если бы каждая задача была выставлена отдельно, получили бы гораздо быстрее более подробное решение и без всяких фраз типа ( см. приложение номер, рис.. ) на что было потрачено лишнее время.
См. запись на моей стене
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x^2-3x-1>0 ⇒ D=13; x_(1)=(3-sqrt(13))/2 ; х_(2)=(3 sqrt(13))/2⇒x< x_(1) или x > x_(2)
{2x^2-3x-2>0 ⇒ D=25; x_(3)=-1/2; x_(4) =2⇒ x < x_(3) или х > x_(4)
{(x^2-2x-1)^2 >0 ⇒ x^2-2x-1 ≠ 0 ⇒ D=8 ⇒ x ≠ 1-sqrt(2); x ≠ 1 sqrt(2)

[b]Сравниваем[/b] ( между числами можно поставить любой знак: звездочка; больше; меньше и применять все правила действий с неравенствами)
(3+ sqrt(13))/2 [b]и[/b] 1+sqrt(2)
Умножаем на2
3+ sqrt(13) [b]и[/b] 2+ 2sqrt(2)
Уменьшаем обе части на2
1+ sqrt(13) [b]и[/b] 2*sqrt(2)
Возводим в квадрат
1 +2sqrt(13) +13) [b] и[/b] 8
ясно, что число слева больше

[b]1+ sqrt(2) < (3+ sqrt(13))/2[/b]

2 < 1+ sqrt(2), так как
2-1< 1-1+ sqrt(2)
1 < sqrt(2)
возводим в квадрат
1 < 2

Значит

2< 1 + sqrt(2) < (3 + sqrt(13))/2

Аналогично
(-1/2) < 1- sqrt(2)
sqrt(2) < (3/2)
2 < 9/4 - верно

1-sqrt(2) < (3-sqrt(13))/2;
2-2sqrt(2) <3-sqrt(13);
sqrt(13)< 3-2 +2sqrt(2)
13 < 1+ 4sqrt(2) +8
13-1-8 < 4 sqrt(2)
4< 4 sqrt(2) - верно.

ОДЗ: х ∈ (- ∞ ; -1/2) U ((3 sqrt(13))/2; ∞ )

Применяем формулу перехода в другому основанию:
переходим к основанию 3

-log_(3)(x^2-3x-1) - log_(3)(2x^2-3x-2) ≤ - log_(3)(x^2-2x-1)^2 log_(3)4 -log_(3)9

log_(3)(x^2-2x-1)^2 log_(3)9 ≤ log_(3)(x^2-3x-1) log_(3)(2x^2-3x-2) log_(3)4

log_(3)(x^2-2x-1)^2*9 ≤ log_(3)(x^2-3x-1)*(2x^2-3x-2)*4

3>1 Логарифмическая функция возрастает

9*(x^2-2x-1)^2 ≤ 4*(x^2-3x-1)*(2x^2-3x-2);

9*(x^4+ 4x^2+ 1-4x^3-2x^2+ 4x) ≤ 4(2x^4-6x^3-2x^2-3x^3+ 9x^2 +3x-2x^2+ 6x+ 2)

x^4 -2x^2+ 1 ≤ 0
(x^2-1)^2 ≤ 0
неравенство верно лишь при x^2-1=0
x= ± 1

x=1 ∉ ОДЗ
О т в е т. -1
1.
1) раскладываем знаменатель на множители:
x^3+5x^2-6=x^3-x^2+6x^2-6=x^2(x-1)+6*(x-1)(x+1)=
=(x-1)*(x^2+6x+6)

Дробь
x^2/(x^3+5x^2-6) раскладываем на простейшие дроби A/(x-1) + (Mx+N)/(x^2+6x+6)
x^2=A*(x^2+6x+6)+(Mx+N)*(x-1)
x^2=(A+M)x^2+(6A+M-N)x+(6A-N)
A+M=1
6A+M-N=0
6A-N=0
выражаем из третьего равенства N, из первого M
N=6A
M=1-A
и подставляем во второе
6A+(1-A)+(6A)=0
13A=-1
A=-1/13

N=-6/13
M=14/13

Выделяем полный квадрат
x^2+6x+6=(x^2+6x+9)-9+6=(x+3)^2-3;

∫ (x^2dx)/(x^3+5x^2-6) = (-1/13) ∫ dx/(x-1) + (1/13) ∫ (14x+6)/(x+3)^2-3)=

замена в последнем интеграле: х+3=t; x=t-3; dx=dt

=(-1/13)*ln|x-1|+(1/13)* ∫ (14t-8)dt/(t^2-3)=

=(-1/13)*ln|x-1| +(7/13)*ln|t^2-3|-(8/13)*(1/2sqrt(3))ln|(t-sqrt(3))/(t+sqrt(3))|+C

t=x+3

2.
5+2cos2x=5*(cos^2x+sin^2x)+2*(cos^2x-sin^2x)=

=7cos^2x+3sin^2x=cos^2x*(7+2tg^2x)

Замена
tgx=t
dt=(tgx)`dx
dt=dx/cos^2x

получим

∫ dt/(7+2t^2)=(1/2) ∫ dt/(t^2+(7/2))=

=(1/2)*(1/sqrt(7/2))*arctg(t/sqrt(7/2))+C=

= 1/sqrt(14) arctg((sqrt(2)*tgx)/sqrt(7)) + C

3.
Тригонометрическая подстановка
x=2sint
dx=2costdt
4-x^2=4-(2sint)^2=4-4sin^2t=4*(1-sin^2t)=4*cos^2t

получим

∫ (2cost)*(2costdt)=4 ∫ cos^2t dt= 4* ∫ (1/2)*(1+cos2t)dt=

=2t +2*(1/2)*sin2t+С

x=4sint ⇒
sint=(x/4) ⇒ t=arcsin(x/4)
и
cost=sqrt(1-(x/4)^2)
тогда
sin2t=2*(x/4)*sqrt(1-(x/4)^2)=x*sqrt(4-x^2)

можно воспользоваться методом интегрирования по частям, с помощью которого легко выводится формула в общем виде
см. приложение ( формула 15)
О т в е т. 2arcsinx +x*sqrt(4-x^2)+C

2.
Можно сделать замену переменной
t=lnx
dt=(lnx)`dx
dt=dx/x
но придется менять предела интегрирования.

Применяем тот же метод замены, но в обратном направлении
(см. приложение 2), этот метод называют "подведением под дифференциал".
Новая переменная t присутствует, но "в уме"

dx/x=d(lnx)

∫^(2)_(1) ([b]ln^2x[/b])d([b]lnx[/b])=(ln^3x/3)|^2_(1)=

=((ln2)^3-(ln1))/3=(ln2)^3/3

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )dx/(x^2+16)=arctgx|^(+ ∞ )_(- ∞ )= (π/2)-(-π/2)=π

2.
S=(1/2) *∫^(2π)_(0) ρ^2dφ =(9/2) ∫^(2π)_(0) (1+2cos φ +cos^2 φ )d φ =

=(9/2) ∫^(2π)_(0) (1+2cos φ +((1+cos2φ)/2) )d φ =

=(9/2)*( φ +2sin φ +(1/2) φ +(1/4)sin2 φ )|^(2π)_(0)=

=9,5π (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
S( Δ)=(1/2)*a*h=(1/2)*6*1=3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S_(боковая)=S_(основания)+S(осевого сечения)
πRL = πR^2 + (1/2)*2R*H
Cокращаем R

πL=πR+H

Возводим в квадрат
(πL)^2=(πR)^2+2π*R*H+ H^2

По теореме Пифагора

L^2=R^2+H^2;

π^2*(R^2+H^2)=(πR)^2+2π*R*H+ H^2

π^2*H^2=2π*R*H+ H^2

π^2*H=2π*R+ H

H=(2π*R)/(π^2-1)

V=(1/3)π*(R^2)*((2π*R)/(π^2-1))=(2π*R^2)/(3*(π^2-1))

О т в е т. 3)

2
AO=BO=CO=DO (диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам)
Δ SOA - прямоугольный равнобедренный
∠ SAO=45 градусов
SA=3sqrt(2)

SO=OA=3sqrt(2)*sin45^(o)=3

AC=BD=6

S_(квадрата)=(1/2)АС*BD=(1/2)*6*6=18

V=(1/3)S_(основания)*Н=(1/3)*18*3=18
О т в е т. 18
Ответ выбран лучшим
2.
ОДЗ:
{25-x^2>0 ⇒ -5 < x < 5

t^2-3t+2 ≥ 0; D=1; t_(1)=1 или t_(2)=2

t=log_(5)(25-x^2)

log_(5)(25-x^2) ≤ 1 или log_(5)(25-x^2) ≥ 2

(1)
log_(5)(25-x^2) ≤ log_(5)5
или
(2)
log_(5)(25-x^2) ≥ log_(5)25;

Решаем (1) с учетом ОДЗ
{-5 < x < 5
{25-x^2 ≤ 5 ⇒ x^2 ≥ 20

-5 < x ≤ -2sqrt(5) или 2 sqrt(5) ≤ x < 5

или

решаем (2) с учетом ОДЗ

{-5<x<5
{25-x^2 ≥ 25
x=0

Объединяем ответы (1) и (2)
О т в е т. (-5;-2sqrt(5)]U{0}U[2sqrt(5);5)

2.
ОДЗ:
{-log_(3)x > 0 ⇒ log_(3)x < 0 ⇒ 0 < x <1
{log^2_(3)x>0 ⇒ log_(3) x ≠ 0; x ≠ 1
x ∈ (0;1)

log_(2)log^2_(3)x=log_(2)(log_(3)x)^2=2log_(2)|log_(3)x|=

2*log_(2)(-log_(3)x)

Квадратное неравенство

t^2+2t-8 ≤ 0

t=log_(2)(- log_(3)x)

D=4+32=36

корни -4; 2

-4 ≤ t ≤ 2

-4 ≤ log_(2)(- log_(3) x) ≤ 2

2^(-4) ≤ - log_(3) x ≤ 2^2

1/16 ≤ - log_(3)x ≤ 4

-4 ≤ log_(3)x ≤ - 1/16

3^(-4) ≤ log_(3)x ≤ 3^(-1/16)

C учетом ОДЗ

о т в ет. [(1/81);3^(-1/16)]

4.
ОДЗ:
{3x > 0 ⇒ x > 0
{3x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/3
{27x > 0 ⇒ x>0
x ∈ (0;1/3) U (1/3;+ ∞ )

log_(3x)(1/27)=log_(3)(1/27) / log_(3)(3x)=-3/(log_(3)3+log_(3)x);
log_(3)(27x)=log_(3)27 + log_(3)x=3+log_(3)x
Замена
log_(3)x=t
((-3)/(1+t)) *(3+t)+9 ≥ 0

(-9-3t+9+9t)/(t+1) ≥ 0
(6t)/(t+1) ≥ 0

_+__ (-1) _-__ [0] _+__

t < -1 или t ≥ 0

log_(3)x < -1 или log_(3)x ≥ log_(3)1

0 < x < 1/3 или x ≥ 1

О т в е т. (0; 1/3) U[1;+ ∞ )
vector{MT}=(3-(-8);-7-6)=(11;-13)
Пусть образом точки А является точка В ( x_(B);y_(B))

vector{AB}=(x_(B)-(-1); y_(B)-(-9))=(x_(B)+1; y_(B)+9)

x_(B)+1=11
x_(B)=10

y_(B)+9=-13
y_(B)=-22

О т в е т. В (10;-22) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
216=6^3

6^(3x) - 37*6^(x) +(6^4/6^(x))=0
Квадратное уравнение
6^(4x)-222*6^(2x)+1296=0
D/4=111^2-1296=11025=105^2 ( см приложение, правая часть)
6^(2x)=(111-105)
6^(2x)=6
2x=1
x=1/2

или

6^(2x)=111+105
6^(2x)=6^3
2x=3
x=3/2

О т в е т. (1/2); (3/2)

[log(5) 4; log (5) 12]
1/2= log_(5)sqrt(5) < log _(5)4 < log_(5)5
(1/2) ∈ [log(5) 4; log (5) 12]

=3/2=log_(5)5sqrt(5) < log_(5)12
5sqrt(5) < 12, так как
25*5 < 144

(3/2 ) ∈[log(5) 4; log (5) 12] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть координаты точек
С(x_(3);y_(3))
D(x_(4);y_(4))

vector{CA}=(x_(3)-x_(1);y_(3)-y_(1))
vector{DB}=(x_(4)-x_(2);y_(4)-y_(2))
Пусть СА || оси Ох
vector{CA} коллинеарен вектору vector{i}=(1;0)
координаты коллинеарных векторов пропорциональны

x_(3)-x_(1)=k ⇒ [b]x_(3)[/b] = x_(1)+k
y_(3)-y_(1)=0 ⇒ [b]y_(3)[/b] = y_(1)

Аналогично
x_(4)-x_(2)=0⇒ [b]x_(4)[/b] = x_(2)
y_(4)-y_(2)=k ⇒ [b]y_(4)[/b] = y_(2)+k


(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
A)
y= ∫ y`(x)dx= ∫ (2x+1)^3dx= замена (2x+1)=t; x=(t-1)/2; dx=dt/2)
= ∫ t^3*(dt/2(=(1/2)*t^(4)/4+C=(1/8)*(2x+1)^4+C - общее решение
При х=0
y=1
1=(1/8)*+C
C=-7/8
y=(1/8)(2x+1)^4-(7/8) - О т в е т.
Б)
уравнение с разделяющимися переменными
xdx/e^(x^2)=ydy/(y^2+1)
x*e^(-x^2)dx=ydy/(y^2+1)

Интегрируем
-x^2=u
du=-2xdx
xdx=(-1/2)du
поэтому
(-1/2)e^(-x^2)=(1/2)ln|y^2+1|+C_(1)

-e^(-x^2) = ln|y^2+1| + C
При х=0
у=0
-1=С
О т в е т. -e^(-x^2)=ln(y^2+1) - 1

B)
Делим на х
y` +(1/x)y = (x+1)/x
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)*(u*v)=(x+1)/x
u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=(x+1)/x

(1)
v`+(1/x)*v=0
dv/v=-dx/x
ln|v|=-ln|x|
v=1/x

u`*(1/x)=(x+1)/x
u`=x+1
u=(x^2/2)+x+C

y=u*v=((x^2/2)+x+C)*(1/x)

y(2)=3

3=((2^2/2)+2+C)*(1/2)
6=4+2+C
C=0
О т в е т. y=(x/2)+1

Г)
Составляем характеристическое уравнение
k^2-k-2=0
D=9
k_(1)=-1; k_(2)=2
y=C_(1)e^(-x) + C_(2)e^(2x)
- общее решение
y`= -C_(1)e^(-x)+2C_(2)e^(2x0

{0=C_(1)+C_(2);
{1=-C_(1)+2C_(2)

С_(2)=1/3
С_(1)=-1/3

y=(-1/3)*e^(-x)+(1/3)e^(2x) - О т в е т.
Линейное уравнение первого порядка
Находим y в виде произведения двух произвольный функций
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-(1/(x+1))*u*v=e^(x)*(x+1)

u`*v + u*(v` - (1/(x+1))*v) = e^(x)*(x+1)

Функцию v выберем так, чтобы выражение в скобках равнялось 0
v`- (1/(x+1))*v=0
Тогда
u`*v +0=e^(x)*(x+1)

Решаем первое
Это уравнение с разделяющими переменными
dv/v=dx/(x+1)
ln|v|=ln|x+1|
v=(x+1)
подставляем во второе

u`*(x+1)=e^(x)*(x+1)
u`=e^(x)
u=e^(x)+C
y=u*v=(x+1)*(e^(x)+C)- общее решение

Находим частное решение
при х=0
у=1
1=(0+1)*(e^(0)+C)
1=1+C
C=0

y=(x+1)*e^(x) - частное решение
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Разложим знаменатель на множители
n^2-14n+48=(n-6)(n-8)
а дробь на простейшие дроби

2/(n^2-14n+48)=(1/(n-8))-(1/(n-6))

проверка
(1/(n-8))-(1/(n-6))=((n-6)-(n-8))/(n-6)(n-8)=2/(n^2-14n+48)

Находим n-yю частичную сумму:

S_(n)=∑^(n)_(9)((1/(k-8)) -(1/(k-6)))=

=(1- (1/3)) + ( (1/2) - (1/4)) + ( (1/3) - (1/5)) + ((1/4) - ( 1/6))+...

+ (1/(n-10))-(1/(n-8)) + (1/(n-9)) - (1/(n-7)) + (1/(n-8)) + (1/(n-6))

= 1 +(1/2) - (1/(n-7)) + (1/(n-6))

По определению
S=lim_(n→∞)S_(n)=3/2
vector{AB}=(1-(-2);5-8)=(3;-3) ; vector{BA}=(-3;3)
|vector{AB}|=sqrt(3^2+(-3)^2)=3sqrt(2)
vector{BC}=(4-1;1-5)=(3;-4)
|vector{BC}|=sqrt(3^2+(-4)^2)=5
vector{AC}=(4-(-2);1-8)=(6;-7)


|vector{AB}| ≠ |vector{BC}|
|vector{AB}| ≠ |vector{AC}|
|vector{BC}| ≠ |vector{AC}|

У ромба все стороны равны.

Можно построить параллелограмм. Например АВСD на рис.

S_(параллелограмма ABCD)=|vector{AB}|* |vector{BC}|* sin ∠ ABC

Находим скалярное произведение
vector{BA}*vector{BC}= -3*3+3*(-4)=-21
cos ∠ ВАС=(vector{BA}*vector{BC})/(|vector{BA}|*|vector{BC}|)=

=-21/(3*sqrt(2)*5)=-7/(5sqrt(2))

sin ∠ BAC = sqrt( 1- (-7/5sqrt(2))^2)= sqrt(1-(49/50))=sqrt(1/50)

S_(параллелограмма АВСD)=3sqrt(2)*5*sqrt(1/50)=3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
19a)

по частям
u=arctgx ⇒ du=dx/(1+x^2)
dv=(x+1)dx ⇒ v=(x^2/2)+x

u*v - ∫ v*du=

=((x^2/2)+x)*arctgx - ∫ ((x^2/2)+x)dx/(x^2+1)=

=((x^2/2)+x)*arctgx - (1/2)∫ (x^2+2x)dx/(x^2+1)=

=((x^2/2)+x)*arctgx - (1/2)∫ (x^2+1 +2x-1)dx/(x^2+1)=

=((x^2/2)+x)*arctgx - (1/2)∫ (1 + (2x-1)/(x^2+1))dx=

=((x^2/2)+x)*arctgx - (1/2)x - (1/2) ln(x^2+1) +(1/2)arctgx +C


19б)
по частям
u= x^2 ⇒ du=2xdx
dv=x*e^(-x^2)dx ⇒ v= ∫ x*e^(-x^2)dx= ( замена (-x^2=t; dt=-2xdx)=
=(-1/2) ∫e^(t)dt=(-1/2)e^(t)=(-1/2)e^(-x^2)

u*v - ∫ v*du=

=(-1/2)*x^2*e^(-x^2) - ∫ (-1/2) * e^(-x^2) *2xdx=

=(-1/2)*x^2*e^(-x^2) - (1/2) ∫ * e^(-x^2) *(-2x)dx=

=(-1/2)*x^2*e^(-x^2) - (1/2) * e^(-x^2) + C
Против бОльшей стороны лежит бОльший угол.
По теореме косинусов
4^2=2^2+3^2-2*2*3*cos φ
cos φ =(2^2+3^2-4^2)/(2*2*3)=-1/4
cos φ <0
φ > 90 ^(o)
О т в е т. тупоугольный
19a)
∫ cos^6xdx= ∫ (cos^2x)^3dx= ∫ ((1+cos2x)/2)^3dx=

=∫ (1+3cos2x+3cos^32x+cos^32x)dx/8

= ∫ ((1/8)+(3/8)*cos2x+(3/8)*((1+cos4x)/2) + (1/8)*(1-sin^2x)*cos2x)dx

=((1/8)+(3/16) )x +(3/8)*(1/2)sin2x + (3/16)*(1/4)sin4x +(1/8)*(1/2)sin2x-

-(1/8)*(1/2)*(sin^32x)/3) + C

19б

sec^44x=1/cos^4(4x)=(1/cos^24x)*(1/cos^24x)=(tg^24x+1)*(1/cos^24x)

получаем

Замена
tg4x=t
dt=(tg4x)`dt=
dt= 4dx/cos^24x
dx/cos^24x=(1/4)dt

∫ (2-tg^34x)sec^44x= ∫ (2-t^3)*(t^2+1)*(1/4)dt=

=(1/4) ∫ (2t^2-t^5-t^3+2)dt=

=(1/4)*(2t^3/3) - (1/4)*(t^6/6) -(1/4)*(t^4/4)+(1/4)*2t+ C, t=tg4x
19a)
Замена переменной
∛(2х+1)=t
2x+1=t^3
x=(t^3-1)/2
dx=3t^2dt/2

x+1=(t^3-1)/2 + 1= (t^3+1)/2

получаем
∫((t^3+1)/2)*(3t^2/2)dt/t= (3/4) ∫ (t^3+1)*tdt=(3/4) ∫ (t^4+t)dt=
=(3/4)*(t^5/5)+(3/4)*(t^2/2) + C

t=∛(2x+1)

=(3/20)∛(2x+1)^5 + (3/8)∛(2x+1)^2 + C

19б)

Замена
2+e^(2x)=t
e^(2x)=t-2
2x=ln(t-2)
x=(1/2)ln(t-2)
dx=(1/2)*(1/(t-2))dt

получаем
∫ (1/2)dt/(t*(t-2))=(1/2)*(1/2) ∫ (1/(t-2) - (1/t))dt=

=(1/4)ln| t -2| - (1/4) ln | t|+ C=

=(1/4) ln |e^(2x)| -(1/4) ln|2+e^(2x)|+C

= (1/4) ln (e^(2x)/(2+e^(2x)) + C

Дробь 1/(t*(t-2))= A/(t-2)+B/t A=1/2; B=-1/2

3
Тригонометрическая подстановка
x=5sint
25-x^2=25-25sin^2t=25*(1-sin^2t)=25cos^2t
dx=(5sint)`dt=5costdt

получим

∫( 5sint)^2*sqrt(25cos^2t)*(5costdt)=

=625 ∫ sin^2t*cos^2tdt= (формула sinx*cosx=(sin2x)/2)

=625/4 ∫ (sin2t)^2 dt=

=(625/4) ∫ (1- cos4t)dt/2=

=(625/8) ∫ (1-cos4t)dt=(625/8)*( t - (1/4) sin4t)+C=

(x/5=sint; t=arcsin(x/5))

=(625/8)*arcsin(x/5) - ( 625/32)*sin(4arcsin(x/5)) + C

4.
tg(x/2)=t
x/2=arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)

cos=(1-t^2)/(1+t^2)

получим

∫ ((2dt)/(1+t^2))/((2-2t^2 -2t+5+5t^2)/(1+t^2))=

= ∫ 2dt/(3t^2-2t+7)= (2/3) ∫ dt/(t-(1/3))^2+(20/9))=

=(2/3)arctg(t-(1/3))/sqrt(20/9) + C=

=(2/3)arctg (3t-1)/2sqrt(5) + C, t=tg(x/2)
Ответ выбран лучшим
Импортированы или в упаковке 66%.
Значит в упаковке 66-31=5%

p=35/66 (прикреплено изображение)
Это знакочередующийся ряд
Рассмотрим ряд из модулей
∑(1/(n+1)!)

Он сходится по признаку Даламбера.
lim_(n→∞)(1/(n+2)!)/(1/(n+1)!)=
=lim_(n→∞)(n+1)!/(n+2)!=lim_(n→∞)1/(n+2)=0 < 1

Данный ряд сходится абсолютно
Ответ выбран лучшим
Замена
(ax-x^2)=t
Уравнение принимает вид:
t+(1/t)+2=0

(t^2+2t+1)/t=0

t=-1

ax-x^2=-1
x^2-ax-1=0
При каких a уравнение имеет два корня на (-2;2]
перепишем
(x^2-1)/x=a
Решим графически
Построим график
y=(x^2-1)/x

при x=-2
y=((-2)^2-1)/(-2)
y=-3/2

при х=2
y=3/2

с=-3/2
d=3/2
c < a ≤ d
О т в е т. ((-3/2);(3/2)] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1. табличный.
Выносим 3 из-под знака корня:
1/sqrt(3) ∫ dx/sqrt((2/3)-x^2)=(1/sqrt(3))arcsin(x/sqrt(2/3))+C=

=(1/sqrt(3))arcsin((sqrt(3)x))/sqrt(2))+C

2. ∫ dx/(2x-3)^3
замена
2x - 3=t
x=(t-3)/2
dx=(1/2)dt
= (1/2)∫dt/t^(3)=(1/2) ∫ t^(-3)dt=(1/2)t^(-2)/(-2)=(-1/4)*(1/t^2)+C=
=(-1/4)*(1/(2x-3)^2)+C
3.
по частям
u=x
dv=cos(3x)dx
du=dx
v= ∫ cos(3x)dx=(1/3)sin(3x)

=u*v- ∫ v*du=

=x*(1/3)*sin(3x) - (1/3) ∫ sin(3x)dx=

=(x*sin3x)/3-(1/9)*(-cos3x) + C=
=(x*sin3x)/3 +(1/9) cos3x+C

4.
x^3+x^2=x^2*(x+1)
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие ( три !):

(x+2)/(x^3+x^2)=(A/x)+(B/x^2)+D/(x+1)

x+2= A*x*(x+1) + B*(x+1) + D*x^2
При х=0
2=В
При х=-1
1=D
При х=1
3=2А+2В+D
A=-1

О т в е т. -∫dx/x+2 ∫ dx/x^2+ ∫ dx/(x+1)= - ln|x| - (2/x) + ln|x+1| + C

5.
sin^23x*cos^23x=(1/4)*(4sin^23x*cos^23x)=(1/4)sin^26x

=(1/4) ∫ dx/sin^26x= (1/24)(-ctg6x)+C

6.
x^(1/4)=t
x=t^4
dx=4t^3dt
sqrt(x)=t^2
x^(3/4)=t^3

получаем
∫ (t^2)*(4t^3dt)/(t^3+1)=4 ∫ t^5dt/(t^3+1)
t^5/(t^3+1) - неправильная дробь

выделяем целую часть
t^5=t^5+t^2-t^2

t^5/(t^3+1)= (t^5+t^2)/(t^3+1)- (t^2)/(t^3+1)=t^2 - (t^2)/(t^3+1)

∫ t^5dt/(t^3+1)= ∫ t^2dt - ∫ (t^2dt)/(t^3+1)=

=(t^3/3)-(1/3) ∫ du/u ( u=t^3+1; du=3t^2dt; t^2dt=(1/3)du)

=(t^3/3)-(1/3)ln|t^3+1|+C, t=x^(1/4)
Ответ выбран лучшим
S_(основания)=S_(квадрата)=2^2=4

S(диагонального сечения)=(1/2)d_(квадрата)*Н_(пирамиды)

S(диагонального сечения)=S_(квадрата) ( равновелико по условию)

4=(1/2)d*H

d=2sqrt(2)

H= 2sqrt(2)

L^2=H^2+(a/2)^2=(2sqrt(2))^2+(2/2)^2=8+1=9
L=3
S_(боковая)=4*(1/2)*a*L=2*2*3=12
(прикреплено изображение)
Есть формула. Получается из теоремы косинусов.
m^2_(c)=(2a^2+2b^2-c^2)/4= (2*7^2+2*11^2-14^2)/4=144/4
m_(c)=12/2=6 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
5sqrt(2) -1=(5sqrt(2)-1)*(5sqrt(2)+1)/(5sqrt(2)+1)=

=((5sqrt(2))^2-1)/(5sqrt(2)+1)=(50-1)/(5sqrt(2)+1)

[b]sqrt(5sqrt(2)-1)=7/sqrt(5sqrt(2)+1) [/b]


sqrt(2)+1=(sqrt(2)+1)*(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)-1)=(sqrt(2))^2-1^2)/(sqrt(2)-1)=

=1/(sqrt(2)-1)

sqrt(sqrt(2)+1)=1/sqrt(sqrt(2)-1)

Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
раскладываем подынтегральную дробь на простейшие

(2x-3)/((x+1)*(x-2))=A/(x+1) + B/(x-2)
2x-3 =A*(x-2)+B*(x+1)
2x-3=(A+B)x -2A+B
2=A+B
-3=-2A+B
Вычитаем из первого второе
5=3А
А=5/3
В=1/3

Получаем два интеграла
(5/3) ∫^(2) _(1)dx/(x+1)- определенный интеграл, его вычисление приводит нас к числу.


=(5/3)(ln|x+1|)|^(2)_(1)= (5/3) ln 3-(5/3) ln2=(5/3) ln (3/2)

и

(1/3) ∫^(2) _(1)dx/(x-2) - несобственный интеграл 2 рода с особой точкой х=2

По определению

(1/3) ∫^(2) _(1)dx/(x-2)=

=(1/3)lim_(δ→0) ∫^(2-δ)_(1)dx/(x-2)=

=(1/3)lim_(δ→ 0)ln|2-δ-2|-(1/3) ln|1 - 2|=(1/3)lim_(δ→ 0)ln|-δ|= ∞ - 0 =

= ∞

Интеграл расходится
Сумма числа ( первый интеграл) и бесконечности есть бесконечность.
О т в е т. расходится.

Можно не раскладывать подынтегральную функцию на дроби, а раскрыть скобки в знаменателе и выделить полный квадрат.


(х+1)(х-2)=x^2-x-2=(x-(1/2))^2-(9/4)

∫ (2x-3)dx/(x+1)(x-2)= ∫ (2x-3)dx/((x-(1/2)^2-(9/4))

Замена
x-(1/2)=t
x=t+(1/2)
dx=dt

= ∫ (2t-2)dt/(t^2-(9/4))= ∫ (2t)dt/(t^2-(9/4)) - ∫ 2dt/(t^2-(9/4))=

=ln|t^2-(9/4)| -2ln|(t-(3/2))/(t+(3/2))|

...
Ответ выбран лучшим
Третий угол треугольника
180 градусов -60 градусов - 75 градусов= 45 градусов
По теореме синусов:
sqrt(6)/sin45^(o)=x/sin75^(o)
x=sqrt(6)*sin75^(o)/sin45^(o)

sin45^(o)=sqrt(2)/2
sin75^(o)= (sqrt(3)+1)(2sqrt(2))
(см. приложение)
О т в е т. sqrt(6)*(sqrt(3)+1)/2 (прикреплено изображение)
8a)
Замена
x^(1/6)=t
x=t^6
dx=6t^5dt
sqrt(x)=t^3
∛x =t^2

получим
∫ (t^2-1)6t^5dt/(t^3*(t^2+1)= 5 ∫ (t^2-1)*t^2dt/(t^2+1)

Неправильная дробь.
Выделяем целую часть и раскладываем дробь на простейшие

(t^4-t^2)/(t^2+1)=(t^2-2)+ (2/(t^2+1))

интегрируем получим
(t^3/3)-2t+2arctgt+C=

=(sqrt(x))/3-2*(x^(1/6)+2arctg (x^(1/6))+C - о т в е т.

8б)
1/x=t
dt=(-1/x^2)dx
sqrt(x^2-16)=sqrt((1/t)^2-16)=sqrt(1-16t^2)/(t) ⇒

∫ (-dt)/sqrt(1-(4t)^2)=

замена 4t=u ⇒ t=(1/4)u ⇒ dt =(1/4)du

=( - 1/4) ∫ du/sqrt(1-u^2)=

=( - 1/4)arcsinu+C=

=(-1/4) arcsin 4*(1/x) + C

c)
замена
e^(x)+1=t
e^(x)=(t-1)
x=ln(t-1)
dx=dt/(t-1)

Получим
∫ dt/(t*(t-1))= ∫ (-(1/t)+ (1/(t-1))dt= - ln|t| + ln|t-1| +C=

= ln|(e^x)/(e^(x)+1)| + C

8d)
cosx+sinx=sqrt(2)*((1/sqrt(2))*cosx+(1/sqrt(2))*sinx)=

=sqrt(2)*(cos(π/4)*cosx+sin(π/4)*sinx)=

=sqrt(2) * cos(x-(π/4))

тогда
∫ dx/(2sqrt(2)*cos(x-(π/4))=

=(1/2(sqrt(2)))* ∫ dt/cost=

=(1/(2sqrt(2)))ln|tg(t/2)+(π/4)| + C, cм. формулу 18

t=(x-(π/4)) (прикреплено изображение)
8a)

cos^52x*sin^32x=cos^52x*sin^22x*sin2x=

=cos^52x*(1-cos^22x)*sin2x= cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x


∫ сos^52x*sin^32xdx= ∫ ( cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x)dx


= ∫ cos^52x*(sin2x)dx - ∫ cos^72x*(sin2x)dx=

замена переменной
cos2x=t
dt=(cos2x)`*dx
dt=(-sin2x)*(2x)`dx
dt=-2sin2xdx
sin2xdx=(-1/2)dt

=(-1/2) ∫ t^5dt +(1/2) ∫t^7dt=

=(-1/2)t^6/(6) +(1/2)t^8/(8)+C=

=(-1/2)*(t^62x)/6 + (1/2) * (cos^82x)/8 + С

=(-1/12)cos^62x +(1/16)cos^82x+C


8б)
1/cos^25x= 1+tg^25x

tg^35x/cos^4x=tg^35x*(1/cos^2x)*(1/cos^2x)=tg^35x*(1+tg^25x)*(1/cos^25x)
Замена переменной
tg5x=t
dt=(tg5x)`dx
dt=(1/cos^25x)*(5x)`dx
dt=5dx/cos^25x
dx/cos^25x=(1/5)dt

∫ (tg^35x)dx/cos^4x= ∫ tg^35x*(1+tg^25x)*(1/cos^25x)=

= ∫ t^3*(1+t^2)*(1/5)dt=(1/5) ∫ t^3+t^5)dt=(1/5)*((t^4/4)+(t^6/6))+C=

=(1/20)tg^45x+(1/30)tg^65x+C
ф)
[b]y=x^3-x[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции-
нечётная, так как
f(-x)=-f(x)
(-x)^3 - (-x)= - x^3+x=-(x^3-x)

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
x^3-x=0
x*(x^2-1)=0
x=0; x=1; x=-1

6.интервалы знака постоянства

__-__ (-1) _+__ (0) __-__(1) ____+__

y > 0 при -1< x< 0 и x > 1
y < 0 при x < -1 и -1 < x < 0

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на R, как многочлен

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = - ∞

9.асимптоты граф. функции
Их нет

3.) исследовать с помощью производной

y`=3x^2 - 1
y`=0
3x^2-1=0
x= -1/sqrt(3) или х=1/sqrt(3)

_+__ (-1/sqrt(3)) ___-__ (1/sqrt(3)) __+__

Возрастает на (- ∞ ; -1/sqrt(3)) и на (1/sqrt(3); + ∞ )
Убывает на (-1/sqrt(3);1/sqrt(3))

x=-1/sqrt(3) - точка максимума
х=1/sqrt(3) - точка минимума

См. рис.1

б)
[b]y=x^2e^(-x)[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =[0 ; + ∞ )
см. рис.
3. Четность или нечетность функции
f(-x)=(-x)^2e^(-(-x))=x^2e^(x)

f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
x^2*e^(-x)=0 так как e^(-x) > 0 при любом х, то
x=0

6.интервалы знака постоянства

y ≥ 0 при любом х


2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на R, как произведение непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)

lim_(x→+∞)(x^2*e^(-x)= lim_(x→ +∞)2/e^(x) x^2/e^(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) 2x/e^(x)(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→ +∞)2/e^(x) =0

lim_(x→ - ∞)x^2*e^(-x) = + ∞

9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота на + ∞

3.) исследовать с помощью производной

y`=(x^2*e^(-x))`=(x^2)`*e^(-x)+x^2*(e^(-x))`=2x*e^(-x)+x^2*e^(-x)*(-x)`=
=2x*e^(-x)+x^2*e^(-x)*(-1)=x*e^(-x)*(2-x)
y`=0
x=0 или 2-х =0


_-__ (0) ___+__ (2) __-__

Возрастает на (0;2)
Убывает(- ∞ ;0) и на (2; + ∞ )

x=2 - точка максимума
х=0 - точка минимума

См. рис.2
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, при этом изменится (увеличится) область допустимых значений.
Поэтому начинаем с ОДЗ
{64x-9>0
{(1/x)-3 >0
{(1/x)+3 > 0
и четвертое уравнение:
{log_(3) ((1/x)-3)*((1/x)+3) ≤ log_(3)(64x-9)


{x>9/64 ⇒ значит x точно больше 0, поэтому в (2) и (3) считаем
{(1-3x)/x >0 ⇒ 1-3x > 0 ⇒ x < 1/3
{(1+3x)/x>0 ⇒ 1+3x > 0 ⇒ x > -1/3
{(1/x)-3)*((1/x)+3) ≤ 64x-9 потому что логарифмическая функция с основанием 3>1 возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента

9/64 сравниваем c 1/3
9*3/(64*3)=27/204 < (64/64*3)=1/3

{9/64 < x < 1/3
{(1/x)^2-9 ≤ 64x-9 ⇒ (1/x)^2 ≤ 64x ⇒ 64x^3 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1/4

9/64 сравниваем с 1/4
9/64 < 16/64=1/4

О т в е т. [1/4; 1/3)
ОДЗ:
cosx ≤ 0 ⇒ 3 или 4 четверть.

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом [b]не теряет смысла [/b]

(1)
4sin^2x+12sinx+5=0
Квадратное уравнение относительно sinx
D=144-4*4*5=64
sinx=1/2 или sinx=5/2 ( нет корней, так как |sinx| ≤ 1)
x=(-1)^(k)arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z
Учитывая ОДЗ берем только значения во второй четверти,
[b]х=(5π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

(2)
sqrt(-17cosx)=0
cosx=0
[b]x=(π/2)+πm, m ∈ Z[/b]
cos(x-π/2)=cos((π/2)-x)=sinx
cos^2x=1-sin^2x

sqrt(2)sinx+1-sin^2x=sqrt(2)sin^3x;
переносим влево:
sqrt(2)sinx+1-sin^2x-sqrt(2)sin^3x;
группируем
(sqrt(2)sinx-sqrt(2)sin^3x)+(1-sin^2x)=0
sqrt(2)sinx*(1-sin^2x)+1*(1-sin^2x)=0
выносим общий множитель за скобки
(1-sin^2x)*(sqrt(2)sinx+1)=0
1-sin^2x=0 или sqrt(2)sinx + 1=0

sin^2x=1 ⇒ sinx =1 или sinx = - 1 ⇒
x=(π/2)+2πn или х=(-π/2)+2πn, n ∈ Z
можно объединить в один ответ
и записать так
x= ± (π/2)+2πn, n ∈ Z
или
так
[b]х=(π/2)+πm, m ∈ Z[/b]

sqrt(2)sinx+1=0
sinx=-1/sqrt(2)
x=(-1)^(k)arcsin(-1/2)+πk, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

О т в е т. выделен жирным шрифтом

Указанному отрезку принадлежат корни
х=3π/2;
x=5π/2
и
х=(-π/6)+2π=11π/6
(прикреплено изображение)
Неопределенность 0/0
Умножаем и числитель и знаменатель на
(sqrt(1+2x)+3)*(sqrt(x)+2)
Применяем формулы сокращенного умножения
(sqrt(a)-sqrt(b))*(sqrt(a)+sqrt(b))=a-b

lim_(x→4)((1+2x-9)*(sqrt(x)+2))/((x-4)*(sqrt(1+2x)+3))=

=lim_(x→4)(2(x-4)*(sqrt(x)+2))/((x-4)*(sqrt(1+2x)+3))=

cокращаем на (х-4)

lim_(x→4)(2*(sqrt(x)+2))/(sqrt(1+2x)+3)= 2*(sqrt(4)+2)/(sqrt(1+8)+3)=8/6=4/3
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
(x^2+3x+2)/(x^2-3x+4) >0
x^2-3x+4 > 0 при любом х, D < 0
(x+1)(x+2) > 0

__+__ (-2) _-__ (-1) ___+__

x ∈ (- ∞ ;-2) U (-1;+ ∞ )

Применяем метод рационализации

(1+(1/(x+1)^2)-1)* (( x^2+3x+2)/(x^2-3x+4)-1) ≤ 0

(x^2+3x+2-x^2+3x-4)/((x-4)*(x+1)^3) ≤ 0

2*(3x-1)/((x-4)*(x+1)^3) ≤ 0

_-__ (-1) __+__ [1/3] ___-____ (4) __+__

C учетом ОДЗ:

О т в е т.
(- ∞ ; -2) U(-1;1/3]
Ответ выбран лучшим
1.
∫ arctgsqrt(5x-1)dx по частям
u=arctgsqrt(5x-1) ⇒
du=(sqrt(5x-1))1dx/(1+(sqrt(5x-1))^2=

=(5x-1)`dx/(2sqrt(5x-1)(1+5x-1)=

= dx/(2xsqrt(5x-1))
dv=dx ⇒ v=x

u*v- ∫ v*du=

=x*arctgsqrt(5x-1) - (1/2)∫dx/sqrt(5x-1)=

= x* arctg sqrt(5x-1)-(1/5)*(1/2)*2sqrt(5x-1) + C=

=x* arctg sqrt(5x-1)-(1/5)*sqrt(5x-1) + C

2.
∫ (1-8x^2)*cos4x dx по частям

u=(1-8x^2) ⇒ du = - 16xdx
dv=cos4xdx ⇒ v=(1/4) sin4x

u*v- ∫ v*du=

=[b](1/4)*(1-8x^2)*sin4x - (1/4)*(-16) ∫x sin4x dx[/b]
еще раз по частям

u= x ⇒ du = dx
dv=sin4xdx ⇒ v= (1/4)*(-cos4x)

=[b](1/4)*(1-8x^2)*sin4x +4*(x*(1/4)*(-cos4x) - (1/4)∫(-cos4x)dx[/b] =

=(1/4)sin4x -2x^2sin4x -x*cos4x +(1/4)sin4x + C

3.
Интеграл от неправильной дроби. Надо выделить целую часть
(3x^3-8)/(x^3-x)= ((3x^3-3x)+3x-8)/(x^3-x)=

=(3x^3-3x)/(x^3-x) + (3x-8)/(x^3-x)

=3 + (3)/(x^2-1) - 8/x(x^2-1)

интеграл от суммы равен сумме интегралов
Дробь
1/(х*(х-1)(х+1) разложим на простейшие (A/x)+(B/(x-1)+(D/(x+1))

1=A*(x+1)*(x-1)+B*x*(x+1)+D*x*(x-1)
При х=0
1=-A
A=-1
При х=1
1=В*1*2
B=1/2
При х=-1
1=(-1)*(-2)D
D=1/2

О т в е т.
3х + 3*(1/2)*ln|(x-1)/(x+1)| +8ln|x| -4ln|x-1| -4ln|x+1| + С



4
Интеграл от правильной дроби
Знаменатель (х+2)*(x+1)^2
Подинтегральная дробь представляет сумму простейших дробей

(x^2+x+1)/(x+2)(x+1)^2 = (A/(x+2)) + (B/(x+1)) + (D/(x+1)^2)

(x^2+x+1)=A*(x+1)^2 +B*(x+2)*(x+1)+D*(x+2)

При x=-1
1-1+1=A*0+B*0+D*(-1+2)
D=1
При x=-2
4-2+1=A*1+B*0+D*0
A=3
При x=0
1=A*1+B*2+D*2
B=-2

О т в е т. 3*ln|x+2| - 2*ln|x+1| -( 1/(x+1)) + C

6.
∫ сos^52x*sin^32xdx
cos^52x*sin^32x=cos^52x*sin^22x*sin2x=

=cos^52x*(1-cos^22x)*sin2x= cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x

∫ сos^52x*sin^32xdx= ∫ ( cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x)dx

=(-1/2) ∫ cos^52xd(cos2x)+(1/2) ∫ cos^72xd(cos2x)=

=(-1/2)*(cos^62x)/6 + (1/2) * (cos^82x)/8 + С
(прикреплено изображение)
По теореме Пифагора.
d^2=h^2+(5sqrt(2))^2=10+50=60
d=sqrt(60)=2sqrt(15) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Раскладываем левую часть на множители способом группировки:
(2x^3-x^2)-(2x-1)=0
x^2*[b](2x-1)[/b] -1*[b](2x-1)[/b]=0
[b](2x-1)[/b]*(x^2-1)=0
2x-1=0 или x^2-1=0
x=1/2 или х= ± 1

О т в е т. -1; 1/2; 1

2.
Поступим так же.
(x^4-9)-(4x^3-12x)=0
[b](x^2-3)[/b]*(x^2+3)-4x*[b](x^2-3)[/b]=0
[b](x^2-3)[/b]*(x^2+3-4x)=0
x^2-3=0 или x^2-4x+3=0
x= ± sqrt(3) или D=(16)-4*3=4 ⇒ x=(4-2)/2=1; x=(4+2)/2=3
От в е т. -sqrt(3); 1; 3; sqrt(3)
Через четырнадцать суток половина
Еще через 14 останется половина от половины, т.е одна четвертая
еще через 14 останется одна восьмая
...
О т в е т. в 32 раза
Ответ выбран лучшим
По свойству логарифмов:
log_(a^(k))b=(1/k)log_(a)b
a>0; b>0

y=2 log_(0,25)(3-x)- (1/2)log_(0,25)(3-x) +1
y=(3/2) log_(0,25x)(3-x) +1
??
логарифмическая функция монотонна на ОДЗ, поэтому не будет иметь ни наибольшего ни наименьшего значения.
Уточняйте условие. Прикрепите фото условия задачи с помощью знака фотоаппарата

Там второй логарифм в [ ] и поэтому, наверное, в квадрате?

Тогда (log_(0,25)^2(3-x))^2 =( (1/2)log_(0,25)x)^2= (1/4) log^2_(0,25)x

Получим квадратичную функцию

y=2t -(1/4)t^2+1

t=log_(0,25)(3-x)

Квадратичная принимает наибольшее значение в вершине параболы,
т. е в точке -b/2a=-2/(-(2/4)=4

y(4)=2*4-(1/4)*4^2+1=5

О т в е т 5
2+5=7
105:7=15 проголосовавших в одной части
5*15=75 проголосовавших в 5 частях
75 голосов получил победитель
ОДЗ;
{x ≠ 0
{4x>0 ⇒ x>0
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4
{2x-1 > 0 ⇒ x> 1/2

ОДЗ: х > 1/2
Применяем обобщенный метод интервалов.

Нули числителя:
4^(-1/x) - 16 =0
4^(-1/x)=4^2
(-1/x)=2
x=-1/2

x-2=0
x=2

Нули знаменателя:

log_(4x)(2x-1)=0

2x-1=1
x=1

Отмечаем нули на ОДЗ:

(1/2) __+__ (1) __-___ [2] __+___

и расставляем знаки.

О т в е т. (1;2]
1.
Формула
f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ f`(x_(o)) *Δx

x_(o)=1
x=0,97

Δx=x-x_(o) = 0,97 - 1 = - 0,03

f(x)=arctgx

f`(x)=1/(1+x^2)

f`(`)=1/2

arctg0,97-arctg1≈ (1/2)*(-0,03)
arctg0,97 ≈ (π/4) - 0,015=0,770398163
О т в е т. ≈ 0,77

2.
1)
y`=(lnx)`*sinx+(lnx)*(sinx)`=(1/x)*sinx+ (lnx)*(cosx);

2)
y`=(sqrt(cosx))`/(sqrt(1-(sqrt(cosx))^2)=
=(1/(2sqrt(cosx)))*(cosx)` /(sqrt(1-cosx))=

= (-sinx)/(2*sqrt(cosx)*sqrt(1-cosx))
3)
cм формулу в приложении

y`= (sinx)^(x) * (x`*ln(sinx) + (x/sinx)*(sinx)`)=

=(sinx)^(x) * (ln(sinx) + (x*cosx)/sinx);

4) Дифференцируем обе части уравнения. при этои х - независимая переменная
x`=1
y - зависит от х, функция,
cos y - сложная функция

y`*sinx+y*(sinx)`-x`*cosy -x*(cosy)`=0

y`*sinx +y*cosx - cosy -x*(-siny)*y`=0

y`*(sinx+x*siny)=cosy-y*cosx

y`=(cosy-y*cosx)/(sinx+x*siny)

5)
y`_(x)=y`_(t)/(x`_(t))

y`_(t)=1 - (1/cost)*(cost)`=1-(-sint)/(cost)=1+tgt
x`_(t)=1+(1/sint)*(sint)`=1+ctgt

y`=(1+tgt)/(1+ctgt)

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{4-x >0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{28-3x-x^2 > 0 ⇒ x^2+3x-28 < 0; D=121; x=-7; x=4 ⇒ -7 < x < 4

x ∈ (-7;3)U(3;4)

Применяем метод рационализации
(4 - х - 1)*(28 - 3x - x^2 - 4 + x) ≤ 0

(3-x)*(-x^2 -2x+24) ≤ 0

x^2+2x-24=0
D=100
x=-6; x=4

(x-3)*(x+6)*(x-4) ≤ 0

Метод интервалов на ОДЗ уравнения:

(-7)_-__ [-6] __+___ (3) __-__ (4)

Решение (1)
(-7;- 6] U (3;4)

(2)
x^2-4x=3=(x-1)(x-3)

((x+7)*(x^2-4x+3) +14x-24 - 5*(x-3))/((x-1)(x-3)) ≥ 0

(x^3-4x^2+3x+7x^2-28x+21+14x-24-5x+15)/((x-1)(x-3)) ≥ 0

(x^3+3x^2-16x +12)/((x-1)(x-3)) ≥ 0

x=1 - нуль числителя, так ак 1+3-16=12=0
Выделим (х-1) в числителе:
x^3-x^2+4x^2-4x -12x+12=x^2*(x-1)+4x(x-1)-12*(x-1)=
=(x-1)*(x^2+4x-12)=(x-1)*(x-2)(x+6)

(x-1)(x-2)(x+6)/((x-1)(x-3)) ≥ 0

(x-2)(x+6)/(x-3) ≥ 0; x ≠ 1

_-__ [-6] ____+____ (1) _+__ [2] __-__(3) _+__

решение (2)
[-6;1) U(1;2] U(3;+ ∞)

О т в е т. {-6} U(3;4)
Ответ выбран лучшим
(1)
ОДЗ:
{(3-x > 0 ⇒ x < 3
{3-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{(x+4)/(x-3)^2 > 0 ⇒ x >-4; x ≠ 3
(x-3)^2 > 0 при любом х, кроме х=3
x ∈ (-4;2)U(2;3)

Левая часть неравенства
-2=-2*1=-2*log_(3-x)(3-x)=log_(3-x)(3-x)^(-2)=log_(3-x)(1)/(3-x)^2;

Метод рационализации

(3- х -1)*((x+4)/(x-3)^2 - (1)/(3-x)^2)) ≥ 0

(2-x)*(x+4-1)/(3-x)^2 ≥ 0

(x-2)(x+3)/(x-3)^2 ≤ 0

метод интервалов на ОДЗ:
(-4)_+__ [-3] __-__ (2) ___+__ (3)

решение (1):
[-3;2)

(2)
((x^3+6x^2)*(x-4)+21x^2+3x-12 -3*(x-4))/(x-4) ≤ 0

((x^4+6x^3-4x^3-24x^2+21x^2+3x-12-3x+12)/(x-4)) ≤ 0

x^2*(x^2+2x-3)/(x-4) ≤ 0

x^2*(x+3)*(x-1)/(x-4) ≤ 0

метод интервалов:

__-__ [-3] _+__ [0] _+__ [1] __-__ (4) _+___

решение (2):
(- ∞ ;-3] U {0} U [1;4)

Пересечение множеств:

{-3;0} U [1;2) - о т в е т.
(1)

ОДЗ:
{7 - x > 0 ⇒ x < 7
{7 - x ≠ 1 ⇒ x ≠ 6
{14+5x-x^2 > 0 ⇒ x^2-5x -14 < 0 ; D= 81; x=-2;x=7 ⇒ -2 < x < 7
x ∈ (-2;6)U(6;7)
Метод рационализации
(7 - х - 1)*(14 + 5x - x^2 - 7 + x) ≤ 0
(x-6) * ( x^2 -6x -7 ) ≤ 0
(x-6)*(x+1)(x-7) ≤ 0
метод интервалов на ОДЗ:
(-2) _-__ [-1] ___+____ (6) ___-__ (7)

Решение (1)
(-2;-1] U(6;7)

(2)

((x-5)*(x^2+2x)-(11x+12)+5*x)/(x^2+2x) ≥ 0

(x^3+2x^2-5x^2-10x-11x-12+5x)/(x*(x+2)) ≥ 0

(x^3-3x^2-16x-12)/(x*(x+2)) ≥ 0

x= - 2 - нуль числителя,

поэтому выделим множитель (х+2)

у каждого слагаемого в числителе и разложим на множители способом группировки ( можно и разделить "углом")

(x^3+2x^2-5x^2-10x-6x-12)/(x*(x+2) ≥ 0
(х+2)*(x^2-5x-6)/(x*(x+2)) ≥ 0

(x+2)(x-6)*(x+1)/(x(x+2) ≥ 0

(x+1)*(x-6)/x ≥ 0
х ≠ -2
метод интервалов на

____-____ (-2) _-__ [-1] _+__ (0) __-___ [6] _+_

решение (2)
[-1; 0) U [6;+ ∞ )

Пересечение решений:

{-1}U(6;7)

О т в е т. { -1} U (6;7)
Ответ выбран лучшим
1) Область определения (- ∞ ;0) U(0;+ ∞ )

х=0- вертикальная асимптота

y`=(2x*x^3-3x^2*(x^2-1)/(x^6)
y`=0
x^2*(2x^2-3x^2+3)=0
x^2=3
x= ± sqrt(3)

_-__ (-sqrt(3) _+__ (0) _+__ (sqrt(3) _-__

x=-sqrt(3) - точка минимума
x=sqrt(3) - точка максимума

функция убывает на (- ∞ ;-sqrt(3) ) и на (sqrt(3);+ ∞ )
возрастает на (-sqrt(3);0) и на (0;sqrt(3))
см. рисунок 1

2.
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=e^(-x^2)*(-x^2)`
y`=e^(-x^2)*(-2x)
_+__ (0) __-_

x=0 - точка максимума
функция возрастает на (- ∞ ;0), убывает (0;+ ∞ )

cм рисунок 2

2.
1)
Замена
(e^(x)+5)=t
e^(x)=t-5
x=ln(t-5)
dx=dt/(t-5)

∫ dx/sqrt(e^x+5)= ∫ dt/(t-5)*sqrt(t)=

замена
sqrt(t)=u
t=u^2
dt=2udu
= ∫ 2udu/(u^2-5)*u=2 ∫ du/(u^2-5)=2*(1/2) ln |(u-sqrt(5))/(u+sqrt(5))|+C=

=ln|(sqrt(t)-sqrt(5))/(sqrt(t)+sqrt(5))|+C=

=ln|(sqrt(e^(x)+5)-sqrt(5)))/(sqrt(e^(x)+5)-sqrt(5))| + C

2) По частям два раза
u=x^2
du=2xdx
dv=sinxdx
v= ∫ sinxdx= - cosx

=u*v - ∫ vdu= x^2*(-cosx) - 2 ∫ x*(-cosx)dx=

= - x^2*cosx) + 2 ∫ x*cosxdx=


u=x
du=dx
dv=cosxdx
v=sinx

= - x^2*cosx +2*(x*sinx - ∫ sinxdx)=

= - x^2*cosx+2*x*sinx -2 * ∫ sinxdx=

= - x^2*cosx+2*x*sinx - 2*( -cosx) + C=

= - x^2*cosx +2*x*sinx +2*cosx + C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Известно, что в правильном треугольнике со стороной а
h=asqrt(3)/2
R=asqrt(3)/3
r=asqrt(3)/6

Так как
a=sqrt(3)
r=OM=asqrt(3)/6=1/2
∠ SMO=60^(o)
H=SO=r*tg60^(o)=(1/2)*sqrt(3)

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*(a^2sqrt(3)/4)*((1/2)*sqrt(3))=

=3/8 (прикреплено изображение)
пусть вектор vector{x}=(x_(1);x_(2)) - столбец
Тогда равенство
Ax=b
можно записать в виде системы уравнений:
{-4х_(1) -5х_(2)=13
{3x_(1)-4x_(2)=29
Решаем по правилу Крамера
Δ=(16-(-15))=31
Δ_(1)=13*(-4)-29*(-5)=-52+145=93
Δ_(2)=-4*29-3*13=-116 -39= - 155

x_(1)=3
x_(2)= -5
Ответ выбран лучшим
10.
Правильная дробь
Раскладываем знаменатель на множители
x^(4)-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)

Тогда правильная дробь раскладывается на простейшие:

x^2/(x^(4)-16) = ( A/(x+2)) + (B/(x-2)) + (Mx+N)/(x^2+4)

Приводим правую часть к общему знаменателю.
Две дроби с равными знаменателями равны, значит равны и их числители:
x^2=A*(x-2)*(x^2+4) + B*(x+2)(x^2+4) + (Mx+N)*(x+2)*(x-2)

можно раскрыть все скобки справа и получить многочлен третьей степени
Составить систему четырех уравнений, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

мне нравится метод частных значений
При x=2
2^2=A*0+B*(2+2)*(2^2+4) +0
B= 1/8
При х=-2
(-2)^2=A*(-2-2)*((-2)^2+4) +0+0
A= -1/8

При х=0
0=-8А +8B+(0+N)*(-4)
N=1/2

При x=1
1=A*(-1)*5 + B*(3)*(5)+(M+N)*(1-4)
M=1/4

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
получаем
( - 1/8) ∫ dx/(x+2) + (1/8) ∫ dx/(x-2) + ∫ ((1/4)x+(1/2))/(x^2+4)dx=

=(-1/8)ln|x+2| + (1/8) ln|x-2| +(1/8) ∫ (2xdx)/(x^2+4) + (1/2) ∫ dx/(x^2+4)=

=(-1/8)ln|x+2| + (1/8) ln|x-2| +(1/8) ln| x^2+4| + (1/2) arctg (x/2) + C

11.
Неправильная дробь. Выделяем целую часть
x^5 -2x + 3 = x^2*(x^3+2x^2)-2x^4-2x+3=

=x^2*(x^3+2x^2)-2x*(x^2+2x^2)+4*(x^3+2x^2)-8x^2-2x+3

x^5 -2x + 3 = (x^3+2x^2)*(x^2-2x+4) + (-8x^2-2x+3)

∫(x^5-2x+3)dx/(x^3+2x^2) = ∫ (x^2-2x+4) dx+ ∫ (-8x^2-2x+3)dx/(x^3+2x^2)

Первый интеграл:
∫ (x^2-2x+4)dx=(x^3/3) - x^2 +4x + C_(1)

Второй интеграл от правильной дроби.
Знаменатель
x^3+2x^2=x^2*(x+2)

Дробь раскладывается на [b] три [/b] простейших
(-8x^2-2x+3)/(x^3+2x^2) =(A/x)+(B/x^2) + (D/(x+2))

-8x^2-2x+3 = A*x*(x+2)+B*(x+2)+D*x^2

При х=0
3=2В
В=3/2
При х=-2
-32+4+3=А*0+В*0+4D
D=-27
При х=1
-8-2+3=3А+3B+D
A=31/6

О т в е т. (x^3/3) - x^2 +4x +(31/6)ln|x| +(3/2)*(-1/x) -27ln|x+2|+C

12.
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)
(3x-4)/(x^3+8) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x^2-2x+4)

3x-4 = A*(x^2-2x+4) +(Mx+N)(x+2)
3x-4= (A+M)x^2+(-2A+2M+N)*x +(4A+2N)

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
слева x^2 нет, значит коэффициент равен 0
0=А+М
3=(-2А+2М+N)
-4=4A+2N
...



Ответ выбран лучшим
1. Замена
cos2x=t
dt=(cos2x)`dx
dt=-sin2x*(2x)`dx
dt=-2sin2xdx
sin2xdx=(-1/2)dt

Получаем табличный интеграл (14)
(-1/2)∫dt/sqrt(9+t^2)=(-1/2) ln|t+sqrt(9 + t^2)|+C=

=(-1/2) ln | cos2x + sqrt(9 +cos^22x)|+ C

3
Замена
1-lnx=t
dt=(1-lnx)`dx
dt=(-1/x)dx
dx/x=-dt
Получаем табличный интеграл (3)

- ∫dt/t= - ln | t | + C = - ln | 1-lnx| + C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2.
9-49y^4=3^2-(7y^2)^2
Замена
7y^2=t
dt=(7y^2)`dy
dt=14ydy
ydy=dt/14
Получаем табличный интеграл ( см 12)

(1/14) ∫dt/sqrt(3^2-t^2)= (1/14) arcsin(t/3) + C=
=(1/14)arcsin((7y^2)/3) + C

4.
Интеграл от суммы ( разности) равен сумме ( разности) интегралов.

= ∫ 2х/sqrt(1-x^2) - ∫ sqrt(arcsinx)/sqrt(1-x^2)dx

первый интеграл табличный (формула 2)
замена
1-x^2=t
dt=(1-x^2)`dx
dt=-2xdx
2xdx=-dt
∫2х/sqrt(1-x^2) = ∫ (-dt)/sqrt(t)= - ∫ t^(-1/2)dt= - t^((-1/2)+1)/((-1/2)+1)+C_(1)=

= - 2sqrt(t)+C_(1)= -2 sqrt(1-x^2) + C_(1)

второй интеграл табличный ( формула 2)
замена
arcisnx=u
du=(arcsinx)`dx
du=dx/sqrt(1-x^2)

∫ sqrt(arcsinx)/sqrt(1-x^2)dx= ∫sqrt(u)du= ∫ u^(1/2)du=

=u^((1/2)+1)/((1/2)+1) + C_(2)= u^(3/2)/(3/2) + C_(2)=

=(2/3) arcsinx*sqrt(arcsinx) + C_(2)

О т в е т. - 2 sqrt(1-x^2) +(2/3) arcsinx*sqrt(arcsinx) + C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Диагонали параллелепипеда в точке пересечения делятся пополам
О- середина АС_(1)
Диагонали прямоугольника АА_(1)В_(1)В
в точке пересечения делятся пополам
Т- середина АВ_(1)
ОТ - средняя линия треугольника АВ_(1)С_(1)
поэтому ОТ || В_(1)С_(1) (прикреплено изображение)
(1) 2^(-x)=t; t>0
4^(-x)=t^2
(320-t^2)(64-t) ≥ 5;
(320-t^2)/(64-t) - 5 ≥ 0

(320-t^2-5*(64-t))/(64-t) ≥ 0
(-t^2+5t)(64-t) ≥ 0
(t*(t-5))/(t-64) ≥ 0

______ [0] ___+____ [5] ___-__ (64) _+__

С учетом t > 0
0 < t ≤ 5 или t > 64
0 < 2^(-x)≤5 или 2^(-x) > 2^(6)
-x ≤log_(2)5 или -x > 6
x ≥ - log_(2) 5 или x < - 6


(2)
{0,25x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{0,25x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 2
{(x+6)/4>0 ⇒ x > -6
(-6;-2) U(-2;0) U(0;2)U(2;+ ∞ )

Метод рационализации
(0,25x^2-1)((x+6)/4-0,25x^2) ≤ 0
(x-2)(x+2)(x+6-x^2) ≤ 0
(x-2)(x+2)(x+2)(x-3) ≥ 0
__+_ (-2) __+_ (2) ____ (3) _+__

C учетом ОДЗ
(-6;-2)U(-2;0) U(0;2)U(3;+ ∞ )

log_(2)5 > log_(2)4=2

-log_(2)5 < -2
Пересечение решений:
[-log_(2)5;-2) U(-2;0) U(0;2)U(3;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим
1)
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=(2*(1+x^2)-2x*2x)/(1+x^2)^2
y`=(2-2x^2)/(1+x^2)^2
y`=0
x= ± 1

_-__ (-1) _+__ ( 1) _-__

x=-1 - точка минимума
х=1 - точка максимума
функция возрастает на (-1;1); убывает на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
см. рис.1

2)
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=-27+36x-9x^2
y`=0
9x^2-36x+27=0
x^2-4x+3=0
D=16-4*3=4
x=1 или х=3
__-_ (1) _+__ (3) __-_

Функция убывает на (- ∞ ;1) и на (3;+ ∞ ), возрастает
на (1;3)
x=1 - точка минимума
х=3 - точка максимума
см. рис. 2 (прикреплено изображение)
1)
y`=1+cos2x*(2x)`=1+2cos2x
y`=0
1+2cos2x=0
cos2x=-1/2
2x= ± arccos(-1/2)+2πn, n ∈ Z
2x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z
x= ± (π/3)+πn, n ∈ Z
Во внутренних точках отрезка [0;π/3]
производная не обращается в 0
y` имеет один и тот же знак, положительный.
Значит функция возрастает на отрезке и наименьшее значение принимает при х=0
y=0
Наибольшее значение в точке x=π/3
y=(π/3)+sin(2π/3)=(π/3)+sqrt(3)/2

2
Имеем неопределенность (0/0)
Применяем правило Лопиталя
1)
lim_(x→1)(x-1)`/(1-sin(π/2)x)`=lim_(x→1)(1)/(-cos(π/2)x)*(π/2)=

=(2/π*0)= ∞
2)
lim_(x→2)((x-2)/2)/(tg(x-2))=(0/0)=

=lim_(x→2)((x-2)/2)`/(tg(x-2))`=

=lim_(x→2)(1/2)/(1/cos^2(x-2))=(1/2)

Ответ выбран лучшим
5.
x^2-5x-3=(x^2-2*(5/2)x+(25/4))-(25/4)-3=(x-(5/2))^2-(37/4)
Замена
x-(5/2)=t
x=t+(5/2)
dx=dt
2+3x=2+3*(t+(5/2)= 3t+(19/2)

= ∫ (3t+(19/2))dt/(t^2-(37/4))=

=(3/2) ∫ d(t^2-(37/4))/(t^2-(37/4)) +(19/2) ∫ dt/(t^2-(37/4))=

=(3/2)ln|t^2-(37/4)| +(19/2)*(1/sqrt(37))ln|(2t-sqrt(37)/(2t+sqrt(37)|+C

=(3/2)ln|x^2-5x-3|+(19/(2sqrt(37)))ln|(2x-5-sqrt(37))/(2x-5+sqrt(37))|+C

7.
По частям
u=arcctgx
du=-dx/(1+x^2)
dv=xdx
x=(x^2)/2

=u*v- ∫ vdu= (x^2*arcctgx)/2 + (1/2) ∫x^2dx/(1+x^2) =

=(x^2*arcctgx)/2 + (1/2) ∫(x^2+1-1)dx/(1+x^2) =

=(x^2*arcctgx)/2 + (1/2) ∫dx- (1/2) ∫ dx/(1+x^2)=

=(x^2*arcctgx)/2 + (1/2)x +(1/2) arcctgx + C
Ответ выбран лучшим
13.
sin^34x=sin^24x*sin4x=(1-cos^24x)*sin4x;

∫ sin^34xdx= ∫ (1-cos^24x)*sin4xdx= ∫ sin4xdx- ∫ cos^24x*sin4xdx=

=(1/4)*(-cos4x)- ∫ cos^24xd(cos4x)/(-4)=

=(1/4)*(-cos4x)+(1/4)*(cos^34x)/3+C=
=(-1/4)*cos4x+(1/12)cos^34x +C
14.
cos^4(x/5)=(cos^2(x/5))^2=((1+cos(2x/5))/2)^2=

=(1/4)+(1/2)cos(2x/5)+(1/4)cos^2(2x/5)=

=(1/4)+(1/2)cos(2x/5)+(1/4)*(1+cos(4x/5))/2=

(1/4)+(1/8)+(1/2)cos(2x/5)+(1/8)cos(4x/5)

∫cos^4(x/5)dx= ∫ ((3/8)+(1/2)cos(2x/5)+(1/8)cos(4x/5))dx=

=(3/8)x+(5/4)sin(2x/5)+(5/32)sin(4x/5)+C

15.
sin^4(x/3)*cos^2(x/3)=(sin^2(x/3))^2*cos^2(x/3)
применяем формулы понижения степени:
(1-cos(2x/3))^2*(1+cos(2x/3)=

=(1-cos^2(2x/3))*(1-cos(2x/3))=sin^2(2x/3)*(1-cos(2x/3)

∫ sin^4(x/3)*cos^2(x/3)dx= ∫ sin^2(2x/3)*(1-cos(2x/3)dx=

= ∫sin^2(2x/3)dx - ∫ sin^2(2x/3)cos(2x/3)dx=

= ∫ (1-cos(4x/3))dx/2 -(3/2) ∫ sin^2(2x/3)d(sin(2x/3))=

=(1/2)x - (3/8)*sin(4x/3)-(3/2)*(sin^3(2x/3))/3 +C=

=(1/2)x - (3/8)*sin(4x/3)-(1/2)*(sin^3(2x/3)) +C

17.
ctg^34x=ctg4x*(ctg^24x)=ctg4x*((1/sin^2x)-1)

d(ctg4x)=(ctg4x)`dx=(-1/sin^24x)*(4x)`=-4dx/sin^24x


∫ ctg^34xdx= ∫ ctg4x*dx(1/sin^2x)- ∫ ctg4x=

=(-1/4) ∫ ctg4x d(ctg4x)- ∫ cos4xdx/sin4x=

=(-1/4)(ctg^2(4x))/2-(1/4) ∫ d(sin4x)/sin4x=

(-1/8)ctg^2(4x)-(1/4)ln|sin4x|+С

18.
3cos4x-2sin4x+1=3*(cos^22x-sin^22x)-2*2sin2xcos2x+sin^22x+cos^22x=

=4cos^22x-4sin2x*cos2x-2sin^22x= cos^22x*(4-4tg2x-2tg^22x)

tg2x=t
-2t^2-4t+4=-2(t^2+2t+1)+6=-2(t+1)^2+6=6-2(t+1)^2
d(tg2x)=(tg2x)`dx=(2x)`dx/cos^22x
dx/cos^2(2x) = dt/2

получим табличный интеграл
(1/4)∫dt/(3-(t+1)^2)=(1/4) *(1/(2sqrt(3)))ln | (sqrt(3)+tg2x+1)/(sqrt(3)-tg2x-1)| + C
Ответ выбран лучшим
Находим направляющие векторы каждой прямой.
Для этого по две точки, принадлежащие каждой прямой.

Точек пересечения двух плоскостей бесчисленное множество.
Пусть
z=0
Две другие координаты находим из системы:
{x+y-1=0
{2x-y-2=0
Складываем
3x-3=0
x=1
y=0
A(1;0;0)
Пусть x=4
{4+y-3z-1=0
{8-y-9z-2=0

{y-3z+3=0
{-y-9z+6=0
Складываем
-12z=-9
z=3/4
y=-3/4
B(4;-3/4; 3/4)

vector{AB}=(3;-3/4;3/4)

Аналогично для второй прямой
z=0
{2x+y+5=0
{2x-2y+2=0
y=7
x=-6
M(-6;7;0)
x=0
{y+2z+5=0
{-2y-z+2=0

{2y+4z+10=0
{-2y-z+2=0
3z+12=0
z=-4
y=3
N(0;3;-4)

vector{MN}=(6;-4-4)

vector{AB}*vector{MN}=6*3-4*(-3/4)-4*(3/4) =18+3-3=18

По теореме синусов:
a/sinA=2r
r=15/(2sin150^(o))=15

По теореме Пифагора
R^2=r^2+(H/2)^2=15^2+(16/2)^2=225+64=289
R=17


2.
sin( α /2)=(a/2)/SA
SA=(a/2)sin( α /2)

AC=BD=asqrt(2)
AO=BO=CO=DO=asqrt(2)/2

SO^2=SA^2-AO^2=((a/2)sin( α /2))^2 - ((a/2)*sqrt(2))^2
SO=(a/2)*sqrt(sin^2( α /2) - 2)

SO=SM+MO
SM=R
MO=SO-R

По теореме Пифагора
из АМО
AM^2=MO^2+AO^2
R^2=(SO-R)^2+(asqrt(2)/2)^2

Подставить SO и найти R из квадратного уравнения (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Умножим второе на два
и сложим
x^2+2xy+y^2=3
(x+y)^2=3

Получим две системы:
x+y=-sqrt(3)
xy=1

Решаем способом подстановки:
{y=-x-sqrt(3)
{x*(-x-sqrt(3))=1
x^2+sqrt(3)x+1=0
D=3-4 <0
уравнение не имеет корней, система не имеет решений


{x+y=sqrt(3)
{xy=1

{y=sqrt(3)-x
{x*(sqrt(3)-x=1
x^2-sqrt(3)x+1=0
D=3-4<0
уравнение не имеет корней, система не имеет решений.
О т в е т. нет решений
x+y=2^3
y=8-x

log_(15)x=1-log_(15)y

log_(15)x+log_(15)y=1
log_(15)(xy)=1
xy=15
x*(8-x)=15
x^2-8x+15=0
D=64-60=4
x=(8-2)/2=3; y=(8+2)/2=5
Проверка
log_(2)(3+5)=2 - верно
log_(15)3+log_(15)5=1 верно
log_(15)15=1
О т в е т. 3; 5
Ответ выбран лучшим
x^4-5x^3-3x^2+13x+10=0
x=-1 - корень
1+5-3-13+10=0 - верно
x^4+x^3-6x^3-6x^2+3x^2+3x+10x+10=0
x^3*(x+1)-6x^2*(x+1)+3x*(x+1)+10*(x+1)=0
(x+1)*(x^3-6x^2+3x+10)=0
(x+1)*(x-2)(x^2-4x-5)=0
x_(1)=-1; x_(2)=2; x_(3)=-1; x_(4)=5

B={-1;2;5}

A ∪ B={-1;1;2;3;5}
B ⋂ A={-1;2}
A \ B={1;3}
B \ A={5}
A ∆ B={1;3;5}
C = (A ∆ B) ∆ A={1;3}

Верно
C ⊂ A

У трехэлементного множества 8 подмножеств
Пустое, оно само,
три одноэлементных
два двухэлементных
Ответ выбран лучшим
Правильно так:
D=4
x_(1)=2 ; x_(2)=4
Решение неравенства
х < 2 или x > 4

Второе
3x-2 ≤ 5x+4
3x-5x ≤ 2+4;
-2x ≤ 6;
x ≥ -3

Пересечение множеств
[-3;2) U (4; +∞ ) и есть О т в е т.
1)
x^3+x^2+2x+2+x^3+2x^2+x+2=2
2x^3+3x^2+3x+2=0
(2x^3+2)+3(x^2+x)=0
2(x+1)(x^2-x+1)+3x(x+1)=0
(x+1)(2x^2-2x+2-3x)=0
(x+1)(2x^2-5x+2)=0
x=-1; D=25-16=9; x_(2)=1/2; x_(3)=2

2)
x=2 корень
3*2^3-2^2-12*2+4=0 - верно.
Раскладываем на множители, один из них (x-2)
3x^3-24 -x^2+2x-14x+28=0
3*(x^3-8)-(x^2-2x)-(14x-28)
3*(x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)-14(x-2)=0
(x-2)*(3x^2+6x+12-x-14)=0
(x-2)(3x^2+5x-2)=0
x=2
3x^2+5x-2=0
D+25-4*3*(-2)=25+24=49=7^2
x=(-5-7)/6=-2; x=(-5+7)/6=1/3
О т в е т. -2; 1/3; 2
Ответ выбран лучшим
Решаем способом подстановки
Из второго
x=-y^2+27

(-y^2+27-11)/(y+4)=0
(y^2-16)/(y+4)=0

y= ± 4
y ≠ -4

y=4
x=27-16=11
О т в е т. (11;4)
Ответ выбран лучшим
6.
сtg3x=sqrt(3)/3
3x=arcсtg(sqrt(3)/3)+πk, k ∈ Z
3x=(π/3)+πk, k ∈ Z
х=(π/9)+(π/3)k, k ∈ Z
Указанному отрезку принадлежат корни:

x_(1)=(π/9)+(π/3)*1=4π/9
x_(2)=(π/9)+(π/3)*2=7π/9


8.
x-(π/6)=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

x=(π/6)+(-1)^(k)(-π/3)+πk, k ∈ Z


При k=2n получаем:
x=(π/6)+(-π/3)+2πn, n ∈ Z
[b]x=(-π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

При k=2m+1
x=(-π/6)+(π/3)+π+2πm, m ∈ Z
x=(7π/6)+2πm, m ∈ Z

Наименьший положительный корень
х=(7π/6)

10.
tg(πx-(π/3))=1/sqrt(3)
πx-(π/3)=arctg(1/sqrt(3))+ πk, k ∈ Z
πx-(π/3)=(π/6)+ πk, k ∈ Z
πx=(π/3)+(π/6)+ πk, k ∈ Z
πx=(π/2)+ πk, k ∈ Z
x=(1/2) + k, k ∈ Z

Интервалу (-2;1) принадлежат корни:
x=(1/2)-2=-3/2
x=(1/2)-1=-1/2
x=(1/2)+0=1/2

11.
4x+(π/4)= ± arccos(sqrt(2)/2)+2πn, n ∈ Z
4x+(π/4)= ± (π/4) +2πn, n ∈ Z

(1)
правая часть с +
4x+(π/4)= (π/4) +2πn, n ∈ Z
4x=2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/2)n, n ∈ Z[/b]

(2)
правая часть с -
4x +(π/4)= - (π/4) +2πm, m ∈ Z
4x=- (π/2) +2πm, m ∈ Z
[b]x=- (π/8) +(π/2)*m, m ∈ Z[/b]

Указанному интервалу принадлежат корни
x=(π/2)*(-2)=-π
x=(π/2)*(-1)=-π/2
x=(π/2)*0=0
x=(π/2)*1=π/2
и
x=(-π/8)+(π/2)*(-1)=-5π/8
x=(-π/8)+(π/2)*0=(-π/8)
x=(-π/8)+(π/2)*1=3π/8
x=(-π/8)+(π/2)*2=7π/8

12.

3x - (π/6)=(-1)^(k) arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z
3x - (π/6)=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

При k=2n, n ∈ Z
получим
(1)
3x-(π/6)=(π/6)+2πn, n ∈ Z
3x=(2π/6)+2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/9) +(2π/3)n, n ∈ Z[/b]

При k=2m+1, m ∈ Z
получим
(2)
3x - (π/6)=- (π/6)+π*(2m+1), m ∈ Z
3x - (π/6)=- (π/6)+π*(2m+1), m ∈ Z
3x=π+2πm, m ∈ Z
[b] x=(π/3)+(2π/3)*m, m ∈ Z[/b]

Указанному промежутку принадлежат корни:

x=(π/9) + (2π/3)*(-3)=(π/9)-2π=-17π/9
x=(π/9) + (2π/3)*(-2)=(π/9)-(4π/3)=-11π/9
x=(π/9) + (2π/3)*(-1)=(π/9)-(2π/3)=-5π/9
x=(π/9) + (2π/3)*0=(π/9)
x=(π/9) + (2π/3)*1=(π/9)+(6π/9)=7π/9
и
x=(π/3)+(2π/3)*(-3) = (π/3)-2π=- (5π/3)
х= (π/3)+(2π/3)*(-2) = (π/3)-(4π/3)= - π
х= (π/3)+(2π/3)*(-1)= (π/3)-(2π/3)= - (π/3)
х= (π/3)+(2π/3)*0 = (π/3)

1.
ctg^34x=ctg4x*(ctg^24x)=ctg4x*((1/sin^2x)-1)

d(ctg4x)=(ctg4x)`dx=(-1/sin^24x)*(4x)`=-4dx/sin^24x


∫ ctg^34xdx= ∫ ctg4x*dx(1/sin^2x)- ∫ ctg4x=

=(-1/4) ∫ ctg4x d(ctg4x)- ∫ cos4xdx/sin4x=

=(-1/4)(ctg^2(4x))/2-(1/4) ∫ d(sin4x)/sin4x=

(-1/8)ctg^2(4x)-(1/4)ln|sin4x|+С

2.

1-3cos^2x+sin^2x=sin^2x+cos^2x-3cos^2x+sin^2x=2sin^2x-2cos^2x=

= -2*cos2x

∫ dx/(-2cos2x)= ( - 1/4) ∫d(2x)/cos(2x)=

cм. таблицу

= ( -1/4) ln |tg x +(π/4)| + C

3.
Формула
sin α * cos β =(1/2)sin( α + β ) + (1/2) sin ( α - β )

sin 3x * cos 2x = (1/2)sin5x +(1/2) sinx

∫sin3x*cos2x=(1/2) ∫ sin5x dx +(1/2) ∫ sinx dx =

=(1/10)*(-cos5x)+(1/2)*(-cosx) + C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(1)
5^(x)=t
t>0
25t+(2/t) ≤ 51
25t^2-51t+2 ≤ 0
D=(-51)^2-4*25*2=2601-200=2401=49^2
t=1/25 или t=2
1/25 ≤ 5^(x) ≤ 2
-1 ≤ x ≤ log_(5)2

log_(5)2 < log_(4)2=1/2

(2)
{x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
x ∈ (0;1/2) U(1/2;+ ∞ )

log_(2)(0,25)/log_(2)(2x) ≥ log_(2)(2^5*x) -1;
-2/(1+log_(2)x) ≥5+log_(2)x -1
log_(2)x=u
(u^2+5u+6)/(u+1) ≤ 0

_-__ [-3] _+__ [-2] _-__ (-1) _+__

log_(2)x ≤ -3 или -2 ≤ log_(2)x < - 1;

0 < x ≤ 1/8 1/4 ≤ x < 1/2

О т в е т. (0; 1/8) U (1/4; log_(5)2] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S(параллелограмма)=a*h
[b]a*h=90[/b]
AB=CD=a

В трапеции DAEC
DC=a
AE=a/2
h такая же
S( трапеции DAEC)=(CD+AE)*h/2=(2a+a)*h/2=3ah/2=
=(3/2)*[b]a*h[/b]=(3/2)*90=135
10.
tg(πx-(π/3))=1/sqrt(3)
πx-(π/3)=arctg(1/sqrt(3))+ πk, k ∈ Z
πx-(π/3)=(π/6)+ πk, k ∈ Z
πx=(π/3)+(π/6)+ πk, k ∈ Z
πx=(π/2)+ πk, k ∈ Z
x=(1/2) + k, k ∈ Z

Интервалу (-2;1) принадлежат корни:
x=(1/2)-2=-3/2
x=(1/2)-1=-1/2
x=(1/2)+0=1/2

11.
4x+(π/4)= ± arccos(sqrt(2)/2)+2πn, n ∈ Z
4x+(π/4)= ± (π/4) +2πn, n ∈ Z

(1)
правая часть с +
4x+(π/4)= (π/4) +2πn, n ∈ Z
4x=2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/2)n, n ∈ Z[/b]

(2)
правая часть с -
4x +(π/4)= - (π/4) +2πm, m ∈ Z
4x=- (π/2) +2πm, m ∈ Z
[b]x=- (π/8) +(π/2)*m, m ∈ Z[/b]

Указанному интервалу принадлежат корни
x=(π/2)*(-2)=-π
x=(π/2)*(-1)=-π/2
x=(π/2)*0=0
x=(π/2)*1=π/2
и
x=(-π/8)+(π/2)*(-1)=-5π/8
x=(-π/8)+(π/2)*0=(-π/8)
x=(-π/8)+(π/2)*1=3π/8
x=(-π/8)+(π/2)*2=7π/8

12.

3x - (π/6)=(-1)^(k) arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z
3x - (π/6)=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

При k=2n, n ∈ Z
получим
(1)
3x-(π/6)=(π/6)+2πn, n ∈ Z
3x=(2π/6)+2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/9) +(2π/3)n, n ∈ Z[/b]

При k=2m+1, m ∈ Z
получим
(2)
3x - (π/6)=- (π/6)+π*(2m+1), m ∈ Z
3x - (π/6)=- (π/6)+π*(2m+1), m ∈ Z
3x=π+2πm, m ∈ Z
[b] x=(π/3)+(2π/3)*m, m ∈ Z[/b]

Указанному промежутку принадлежат корни:

x=(π/9) + (2π/3)*(-3)=(π/9)-2π=-17π/9
x=(π/9) + (2π/3)*(-2)=(π/9)-(4π/3)=-11π/9
x=(π/9) + (2π/3)*(-1)=(π/9)-(2π/3)=-5π/9
x=(π/9) + (2π/3)*0=(π/9)
x=(π/9) + (2π/3)*1=(π/9)+(6π/9)=7π/9
и
x=(π/3)+(2π/3)*(-3) = (π/3)-2π=- (5π/3)
х= (π/3)+(2π/3)*(-2) = (π/3)-(4π/3)= - π
х= (π/3)+(2π/3)*(-1)= (π/3)-(2π/3)= - (π/3)
х= (π/3)+(2π/3)*0 = (π/3)

25.
Применить формулу
1+tg^2x=1/cos^2x
Ответ выбран лучшим
sqrt(x+2)=∛(3x+2)
Возводим обе части уравнения в шестую степень
(x+2)^3=(3x+2)^2
x^3+6x^2+12x+8=9x^2+12x+4;
x^3-3x^2+4=0
x^3+1-3x^2+3=0
(x^3+1)-(3x^2-3)=0
(x+1)*(x^2-x+1)-3*(x-1)(x+1)=0
(x+1)*(x^2-x+1-3(x-1))=0
(x+1)*(x^2-x+1-3x+3)=0
x+1=0 или x^2-4x+4=0
x_(1)=-1 или х_(2)= х_(3)=2

Проверка
при x=-1
sqrt(-1+2)-∛(-3+2)=0
sqrt(1)-∛(-1)=0 - неверно
х=-1 - посторонний корень
при х=2
sqrt(2+2)-∛(3*2+2)=0 - верно
(sqrt(4)=∛8, так как 4^3=8^2-верно
О т в е т. х=2
Ответ выбран лучшим
(1)
Первое неравенство - квадратное
3^(-x)=t
t>0
9^(-x)=t^2
3t^2-28t+9 ≤ 0
D=(-28)^2-4*3*9=784-108=676=26^2
t_(1)=(28-26)/6=1/3; t_(2)=(28+26)/6=9
Решение неравенства
(1/3) ≤ t ≤ 9
Обратная замена
3^(-1) ≤ 3^(-x) ≤ 3^(2)
Показательная функция с основанием 3 возрастающая, поэтому
-1 ≤ (-х) ≤ 2 ⇒ -2 ≤ x ≤ 1
решение (1) [-2;1]

(2)
Логарифмическое неравенство:
ОДЗ:
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
{(x+1)^2 >0 ⇒ x ≠ -1
ОДЗ: х ∈(-∞;-1)U(-1;0) U (0;1)U(1;+ ∞ )

[b]Применяя метод рационализации логарифмических неравенств [/b]( cм приложение) решаем неравенство:
(x^2-1)*((x+1)^2-x^2) ≤ 0
с учетом ОДЗ
(x-1)(x+1)*(2x+1) ≤ 0
_-__ (-1) _+_ ( -1/2) _-_ (0) ___-_____ (1) _ +__

решение (2): (-∞;-1)U(-1/2;0) U (0;1)

Пересечение (1) и (2)
даст О т в е т. [-2;-1) U (-1/2;0) U(0;1)


Р.S

По свойству log_(a^(k))b^(n)=(n/k)log_(a)b
[b]a>0;b>0[/b]
Поэтому применение этого свойства
приводит к неравенству c модулями
(2/2)*log_(|x|)(|x+1|) ≤ 1
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств
решаем неравенство:
(|x|-1)*(|x+1|-|x|) ≤ 0

Первый вариант проще.


Ответ выбран лучшим
По свойству логарифма степени:
y=5-5ln(x+2)
y`=(5-5ln(x+2))`=(5)`-5*(ln(x+2))`=0-5*(1/(x+2))=-5/(x+2)
Матрица композиции T o S равна произведению матриц BA (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть vector{x}=(x_(1);x_(2))
Тогда
матричное равенство:
Ax=b
можно записать как систему двух уравнений:
{6x_(1)-3x_(2)=-36
{-5x_(1)+2x_(2)=28
Решаем по правилу Крамера
Δ=6*2-(-5)*(-3)=12-15=-3
Δ_(1)=-36*2-28*(-3)=-72+84=12
Δ_(2)=6*28-(-5)*(-36)=168-180=-12

x_(1)=-12/3=-4
x_(2)=12/3=4
О т в е т. (-4;4)
Ответ выбран лучшим
sqrt(2cos^2x-sqrt(2))=-sqrt(2)sinx

Возводим в квадрат, при условии sinx ≤ 0

2cos^2x-sqrt(2)=2sin^2x
2cos^2x-2sin^2x=sqrt(2)
2*(cos^2x-sin^2x)=sqrt(2)
2*cos2x=sqrt(2)
cos2x=sqrt(2)/2
2x= ± arccos(sqrt(2)/2)+2πn, n ∈ Z
2x= (± π/4)+2πn, n ∈ Z
x=( ± π/8)+πn, n ∈ Z
Условию sinx ≤ 0 удовлетворяют корни:
x=(-7π/8) + 2πk, k ∈ Z и х= (-π/8)+2πm, m ∈ Z
(cм. рис.) (прикреплено изображение)
О т в е т. (5; -39; -122) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Вопрос непонятен.


3.
от 100 до 999 трехзначные
На первом месте
2,8 или 7
на втором 0,2,8,7
на третьем, 0.2.8.7
3*4*4=48
Четырехзначных
1000 до 9999
3*4*4*4=192

Всего 48+192=240 чисел

5. С^(4)_(8)=8!/(4!*4!)= 70
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{ x>0
{ x ≠ 1
{ 2x ≠ 1
{2x^(-2)≠ 1 ⇒ x^2 ≠ 2 ⇒ x ≠ ±sqrt(2)

x ∈ (0;1/2)U(1/2;1) U (1;sqrt(2))U(sqrt(2); ∞ )

log_(x)(2x^(-1))=log_(x)2-1
log_(x)(2x^2)=log_(x)2+2
log_(2x)x=1/log_(x)(2x)= 1/(log_(2)x+1)
log_(2x^(-2))x=1/log_(x)(2x^(-1))=1/(log_(2)x-1)

log_(x)2=t

Неравенство примет вид:

(t-1)(t+1)(t-2)(t+2) < 40

или

t^4 -5t^2-36 <0

D=25-4*(-36)=25+144=169

(t^2-9)*(t^2+4) <0



-3 < t < 3

-3 < log_(x)2 < 3

{log_(x)2>-3
{log_(x)2 < 3

{log_(x)2 > log_(x)x^(-3);
{log_(x)2 < log_(x)x^3

Применяем метод рационализации ( c учетом ОДЗ):
{(x-1)*(2-x^(-3))>0 ⇒ (x-1)(2x^3-1)/x^3 >0
{(x-1)*(2-x^3) <0 ⇒ (x-1)(x^3-2) > 0

{(0) __+_ (1/2) _+_ (1/∛2) _-__ (1) _+__ (sqrt(2)) ___
x∈ (0;1/2)U(1/2;(1/∛2)) U (1;+sqrt(2))U(sqrt(2); ∞ )

{(0) ___+__ (1/2) _______+_____ (1) __-__ (∛2) _+ _ (sqrt(2)) __

x∈ (0;1/2)U(1/2;1) U(∛2;sqrt(2))U(sqrt(2); + ∞ )


Пересечение множеств решений (1) и (2) и есть
О Т В Е Т

(0;1/2) U (1/2; (1/∛2)) U (∛2; sqrt(2))U(sqrt(2);+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x^2+4x>0 ⇒ x*(x+4) > 0 ⇒ x < -4 или х > 0
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{log_(9)x^2 ≠ 0 ⇒ x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1

ОДЗ: (- ∞ ;-4) U(0;1) U(1;+ ∞ )

Разделим обе части неравенства на 2:

log_(9)(x^2+4x)/log_(9)x^2 ≤ 1/2

Применяем формулу перехода к другому основанию ( справа налево, cм приложение 1)

log_(x^2)*(x^2+4x) ≤ 1/2;

log_(x^2)(x^2+4x) ≤ (1/2) * log_(x^2)(x^2);

log_(x^2)*(x^2+4x) ≤ log_(x^2) sqrt(x^2)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств ( см таблицу)

(x^2-1) *(x^2+4x-|x|) ≤ 0

При x > 0
(x-1)(x+1)(x^2+3x) ≤0
x(x-1)(x+1)(x+3) ≤ 0

(0) _-_ [1] __+__
c учетом ОДЗ
x ∈ (0;1)

При x <0
(x-1)(x+1)(x^2+4x+x) ≤ 0
(x-1) (x+1) (x+5)*x ≤ 0
_+__ [-5] ___-__ [-1] __+__ (0)

[-5; -1]

c учетом ОДЗ:
[-5;-4)

О т в е т. [-5;-4) U(0;1) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2.

P(данного)=18+27+36=81
Р(подобного)=k*P(данного)
k=36/18=2
P(подобного)=2*81=162 cм

3.
Пусть СO=x, тогда АО=x+24
(АО-СO=24)

Треугольник ВOС подобен треугольнику AOD
BC : AD = CO : AO
7:15=x:(x+24)
7(x+24)=15x
7x+168=15x
15x-7x=168
8x=168
x=21
x+24=21+24=45
О т в е т. 21 см и 45 см

4.
Пусть k - коэффициент подобия.
Тогда катеты данного 3k и 4k
S=(1/2)*(3k)*(4k) , что по условию равно 54
Уравнение
(1/2)12k^2=54
12k^2=108
k^2=9
k=3
3k=3*3=9
4k=4*3=12
О т в е т. 9 см и 12 см

5.
S( маленького Δ) : S( четырехугольника)=1 : 8

S ( большого Δ ) = S( маленького Δ) + S( четырехугольника)=1 + 8= 9 частей

S( маленького Δ) : S ( большого Δ ) =1 : 9
( площади относятся как квадраты сторон)

P (маленького Δ) : P ( большого Δ ) =1 : 3
( периметры относят как длины сторон)

P=3*7=21 cм
∠ А= ∠ Х=123 ^(o)
Cумма углов треугольника АВС равна 180^(o)
∠ В = 180 ^(o) - ∠ A - ∠ C=180^(o) - 123^(o) - 18^(o) = 39^(o)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a) В и А две одинаковые матрицы, сложение определеноэ
б) Рперация транспонирования определена.
Строки становятся столбцами, а столбцы строками
в)
Умножение определено, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй.
(5×4)*(4 ×5)= (5 ×5)
d) (7 ×5)*(5 ×4)= (7×4)
О т в е т. А; В; С;D (прикреплено изображение)
236.
S( параллелограмма)=АВ*AD*sin ∠ BAD;
AD=BC=25
S=12*25*sin30^(o)=12*25*(1/2)=150

С другой стороны
S( параллелограмма)=a*h_(a)
h_(a)=S/a=150/25=6

S( параллелограмма)=b*h_(b)
h_(b)=12,5

Из точки О проводим перпендикуляр OK к стороне ВС=a
ОК=(1/2)h_(a)=3
По теореме Пифагора
MK^2=MO^2+OK^2=4^2+3^2=16+9=25
MK=5

Аналогично
Из точки О проводим перпендикуляр ON к стороне AB=b
ОN=(1/2)h_(b)=(1/2)*12,5=(25/4)=6,25
По теореме Пифагора
MN^2=MO^2+ON^2=4^2+6,25^2=16+(625/16)=(256+625)/16=881/16
MN=(sqrt(881))/4

О т в е т. 5 и (sqrt(881))/4
(прикреплено изображение)
1) сузится, так как потеряем корни |x|+3=0
(|x|+3)*f(x)=2(|x|+3)
(|x|+3)*f(x)-2(|x|+3)=0
(|x|+3)*(f(x)-2)=0
|x|+3=0 ИЛИ f(x)-2=0

2)расширится, так как не будет учтены значения х, при которых tgx не существует.
Нужно включить эти значения в ОДЗ
3) не изменится, так и надо поступать (x^2+3 > 0 и не обращается в 0)
4) расширится, могут быть лишние корни, при которых lgx не существует, а именно отрицательные х.
5) как 1)
6) как 1) и 5)
7) не изменится, так и надо поступать при решении
8) расширится, учесть ОДЗ: x >0; x ≠ 0
Ответ выбран лучшим
Теорема синусов:
a/sinA=2R
R=a/(2sinA)=2/(2*sin30^(o))=2/(2*(1/2))=2/1=2
Ответ выбран лучшим
2sin^2+11sinxcosx+14 cos^2x=0
Однородное тригонометрическое уравнение.
cosx и sinx одновременно не равняются 0 ( так как sin^2x+cos^2x=1)
Делим на сos^2x
2tg^2x+11tgx+14=0
D=121-4*2*14=121-112=9

tgx=--3,5 или tgx=-2
x=arctg(-3,5)x+πk или х=arctg(-2)+πn, k, n ∈ Z
x= - arctg(3,5)x+πk или х= - arctg2+πn, k, n ∈ Z

О т в е т. - arctg(3,5)x+πk; - arctg2+πn, k, n ∈ Z
Против меньшей стороны лежит меньший угол.
Применяем теорему косинусов:
2^2=3^2+4^2-2*3*4cos φ
cos φ =(3^2+4^2-2^2)/(2*3*4)=21/24=7/8
φ =arccos(7/8)
Ответ выбран лучшим
M_(11)=2*6-6*3=12-18=-6
C_(11)=(-1)^(1+1)*M_(11)=-6

M_(12)=4*6-(-7)*3=24+21=45
C_(12)=(-1)^(1+2)*M_(12)=(-1)*45=-45
M_(13)=7*6-(-7)*2=42-(-14)=56
C_(13)=(-1)^(1+3)*M_(13)=56
и так далее
см. приложение. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
detA=(-6e^(3t)*sin3t)*(-5e^(2t)sin3t)-(-5e^(3t)cos3t)*(6e^(2t)cos3t)=
=30e^(5t)*(sin^23t+cos^23t)=30e^(5t)

Алгебраические дополнения
A_(11)=(-1)^(1+1)*(-5e^(2t)sin3t)=-5e^(2t)sin3t
A_(12)=(-1)^(1+2)*(-5e^(3t)cos3t)=5e^(3t)cos3t
A_(21)=(-1)^(1+2)*(6e^(2t)cos3t=-6e^(2t)cos3t
A_(22)=(-1)^(2+2)*(-6e^(3t)sin3t)=-6e^(3t)sin3t

A^(-1)=(1/detA)* (A^(#))^(T)

Обозначим элементы матрицы A^(-1)=b_(ij)
Тогда
b_(11)=(-5e^(2t)sin3t)/(30e^(5t))=(e^(-3t)sin3t)/(-6) - левый верхний
b_(12)=(-6e^(2t)cos3t)/(30e^(5t))=(e^(-3t)cos3t)/(-5) правый верхний
b_(21)=(5e^(3t)cos3t)/(30e^(5t))=(e^(-2t)cos3t)/6 левый нижний
b_(22)=(-6e^(3t)sin3t)/(30e^(5t))=(e^(-2t)sin3t)/(-5) правый нижний угол
Ответ выбран лучшим
Замена
y`=z
y``=z`

Тогда уравнение принимает вид:
x^2*z`+xz=1
Делим на x^2
z`+(1/x)*z=1/x^2

Линейное уравнение первого порядка.
Решают методом Бернулли.
Находят решение в виде произведения двух функций
z=u*v
z`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=1/x^2

u`*v + u*(v`+(1/x)*v)=1/x^2

Выбираем функцию v так, чтобы
выражение в скобках было равно 0
1)
v`+(1/x)*v=0
тогда
от уравнения останется
2)u*v+u*0=1/x^2
Получили два уравнения с разделяющимися переменными
1)
dv/dx=-v/x
dv/v=-dx/x
ln|v|=-ln|x|
v=1/x

2)
u`*(1/x)=1/x^2
u`=1/x
du/dx=1/x
du=dx/x
u=ln|x|+lnC_(1)
u=ln|C_(1)x|
u=e^(C_(1)x)

z=e^(C_(1)x)/x

y`=z
y= ∫ zdx= ∫ e^(C_(1)x)dx/x интегрировать по частям
Ответ выбран лучшим
Дана область горизонтального входа, состоящая из двух частей:
0 < y < 1
0 < x < sqrt (y)
y=x^2
и
1<y<2
0<x< sqrt(2-y)
x^2=2-y
y-2-x^2

Область вертикального входа
0<x<1
Входим в область на параболе y=x^2 ( cм. зеленую линию)
выходим на параболе y=2-x^2
= ∫ ^(1)_(0)dx ∫ ^(2-x^2)_(x^2)f(x;y)dy (прикреплено изображение)
Главный определитель равен 0. ( три последние строки - нули)
Система имеет бесчисленное множество решений.
С помощью метода Крамера или матричного решить невозможно ( делить на 0 нельзя)
Остается метод Гаусса
С помощью метода Гаусса
{x_(1)-5x_(2)+7x_(3) - 5x_(6)=1
{x_(3)-6x_(5)+x_(6)=2
{x_(4)-7x_(5)-4x_(6)=5

Как записать с u; s; t не знаю.
D=36-4*2*17 < 0
Парабола y=2x^2+6x+17, ветви направлены вверх,
не пересекает ось Ох, а расположена выше оси Ох
О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) - " перебежал породистый кролик из 1 в 2"
p(H_(1))=4/9
H_(2) - " перебежал ,беспородный кролик из 1 в 2"
p(H_(2))=5/9
p(H_(1))+p(H_(2))=1
Гипотезы выбраны верно.

A- " из второй клетки достали беспородного"
p(A/H_(1))=6/10
p(A/H_(2))=7/10

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(4/9)*(6/10)+(5/9)*(7/10)=59/90

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=24/59
О т в е т. (5; -41; -342) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Формула Байеса.
Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1)- микросхема изготовлена на заводе А
p(H_(1))=5/11
H_(2)- микросхема изготовлена на заводе B
p(H_(2))=6/11

событие D-"изготовлена дефектная микросхема"

p(D/H_(1))=1/11
p(D/H_(2))=1/5

По формуле полной вероятности
p(D)=p(H_(1))*p(D/H_(1))+p(H_(2))*p(D/H_(2))

=(5/11)*(1/11)+(6/11)*(1/5)=(25+66)/605 =91/605


B- дефектная [b]лампочка[/b] изготовлена на заводе C
p (B) =2/13

Cобытие
M - выбранная микросхема дефектна
M= D U B
p(D)+p(B)=(91/605) +(2/13)=(91*13+2*605)/(605*13)=(1183+1210)/(605*13)


p(M/B)= (2/13)/(2393/605*13)=1210/2393 - вероятность отказа микросхемы из-за дефектной лампочки.

2393 - простое число
Ответ выбран лучшим
Универсальная подстановка
tg(x/2)=t
тогда
(x/2)=arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)

∫ dx/(5+4sinx)= ∫ (2dt/(1+t^2))/ (5+(8t)/(1+t2))=

= ∫ 2dt/(5t^2+8t+5)=
выделяем полный квадрат
[5t^2+8t+5=5(t^2+(8/5)t+1)=5·(t+(4/5))^2–(16/25)+1)]

=(2/5) ∫ dt/(t+(4/5))^2+(9/25))=

=(2/5)·(1/(3/5))arctg (t+(4/5))/(3/5)+C=

=(2/3)arctg ((5tg(x/2)+4)/3)+C
1.
Среди 11 человек есть два человека, которые должны пройти испытания. ( как два красных шара)
Остальные 11-2=9 человек ( синие шары)
Испытание состоит в том, что из 11-ти человек выбирают 6 n=C^(6)_(11)
Событие A : в очереди двое испытуемых (2 красных шара) и еще из 4 человека ( 4 синих)
m=С^(2)_(2)*C^(4)_(9)
p(A)=m/n=C^(2)_(2)*C^(4)_(9)/C^(6)_(11)=3/11

2. Испытание состоит в том, что из семиэлементного множества выбирают три без повторения.
n=C^(3)_(7)
Cобытие А - "слово состоит из трех букв 6-элементного подмножества семиэлементного множества"



p=(C^(3)_(6)/C^(3)_(7))=(6!/(3!*3!)) :(7!/4!*3!)=4/7
Ответ выбран лучшим
Квадратное уравнение относительно
log_(8)*(x+a)-log_(8)(x-a)=t

t^2-12at+35a^2-6a-9=0
D=(-12a)^2-4(35a^2-6a-9)=4a^2+24a+36=4*(a^2+6a+9)=4*(a+3)^2

D ≥0

При D=0, т.е при а = -3
уравнение
t^2-12at+35a^2-6a-9=0
имеет один корень
t_(1)=t_(2)=-18
Обратная замена

log_(8)(x-3)-log_(8)(x+3)=-18
log_(8)(x-3)/(x+3)=-18

(x-3)/(x+3)=8^(-18) - уравнение имеет один корень.
Прямая y=8^(-18) пересекает гиперболу y=(x-3)/(x+3) в одной точке

При всех остальных а уравнение
t^2-12at+35a^2-6a-9=0
имеет два корня:
t_(1)=(12a-2(a+3))/2=5a-3 или t_(2)=(12a+2(a+3))/2=7a+3

Обратная замена
log_(8)(x+a)-log_(8)(x-a)=5a-3
log_(8)(x+a)/(x-a)=(5a-3)

(x+a)/(x-a)=8^(5a-3)

или

(x+a)/(x-a)=8^(7a+3)

Надо учесть те случаи, когда найденное решение не входит в ОДЗ уравнения, тогда корней не будет два
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Записываем аналогичное равенство для трех других точек
Т_(2); Т_(3); Т_(4):

T_(2)=(T_(1)+T_(4)+0+110)/4
T_(3)=(T_(1)+T_(4)+210-20)/4
T_(4)=(T_(2)+T_(3)+100-90)/4

Получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными
{4T_(1)-T_(2)-T_(3)=-20
{T_(1)-4T_92)+T_(4)=-110
{T_(1)-4T_(3)+T_(4)=-190
{T_(2)+T_(3)-4T_(4)=-20

Решаем по правилу Крамера
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
log_(3)(y-x)=1 ⇒ y-x=3 ⇒ y=3+x

3^(x+1)*2^(3+x)=24
3*3^(x)*2^(3)*2^(x)=24
24*(6^(x))=24
6^(x)=1
x=0

Ответ выбран лучшим
3. ∠ АМК = ∠ АВС ( односторнние углы)
Значит МК || BC

Cумма углов, прилежащих к стороне МК равна 180 градусов.
Половина этой суммы 90 градусов

4.
Один угол х градусов, второй (х+20) градусов.
Сумма 180 градусов.

х + (х + 20) = 180

2х=160

х=80

х+20=80+20=100

О т в е т. 80 градусов; 100 градусов.

5.
Треугольник АВМ - равнобедренный, значит AB=BM.
Тогда ∠ ВАМ= ∠ ВМА

∠ ВМА= ∠ СВМ - внутренние накрест лежащие углы при BC||AD

Сумма углов, прилежащих к стороне АВ равна 180 градусов.

И больше ничего доказать нельзя.

Задача верна, если треугольник АВМ - равносторонний.

Тогда
∠ АВМ= 60 градусов

∠ ВАМ= ∠ ВМА=60 градусов.
∠ СВМ=60 градусов

BM - биссектриса ∠ АВС (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(x^3+1,3x^2-2x)-(1,3x+2x^2)=x^3+1,3x^2-2x-1,3x-2x^2=x^3-0,7x^2-3,3x)=x*(x^2-0,7x-3,3)=x*(x + 1,5 )*(x - 2,2)

Так как
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))*(x-x_(2))
x^2-0,7x-3,3=0
D=(-0,7)^2-4*(-3,3)=0,49+13,2=13,69
sqrt(D)=3,7
корни
x_(1)=(0,7-3,7)/2=-1,5 ; x_(2)=(0,7+3,7)/2=2,2

Функция f: x → 9x^2 + 8x - 2

f : t → 9t^2 + 8t - 2

Пусть
9x^2+8x-2=t
тогда

f(f(x))=f(t)=9t^2+8t-2=9*(9x^2+8x-2)^2+8*(9x^2+8x-2) - 2

Уравнение

9*(9x^2+8x-2)^2+8*(9x^2+8x-2)-2 = x


(9x^2+8x-2)*(81x^2+72x-18+8)=x+2

При x = - 1
(9*1+8*(-1)-2)*(81*1+72*(-1)-10) = -1+2
(-1)*(-1)=1 - верно

Значит, х_(1) = -1 - корень уравнения.

Тогда уравнение

9*(9x^2+8x-2)^2+8*(9x^2+8x-2)-2 = x
9*(81x^4+64x^2+4+144x^3-36x^2-32x)+72x^2+64x-16-2=x;

729x^4+1296x^3+324x^2-225x+18=0
можно разложить на множители:
9*(81x^4+144x^3+36x^2-25x+2)
9*(x+1)*(81x^3+63x^2-27x+18)=0
(x+1)*(81x^3+63x^2-27x+2)=0

81x^3+63x^2-27x+2=0

x_(2)=2/9 - корень,
так как
81*(8/(9*(81))+63*(4/81)-27*(2/9)+2=(8/9)+(28/9)-6+2=4-4=0

(9x-2)*(9x^2+9x-1)=0

9x^2+9x-1=0
D=81-4*9*(-1)=117
sqrt(D)=3sqrt(13)
x_(3)=(-9-3sqrt(13))/18=-(3+sqrt(13))/6
x_(4)=(-9+3sqrt(13))/18=-(3-sqrt(13))/6

21/64 < (21/63)=1/3
51/154 > (51/153)=1/3
71/214> 71/213=1/3

(21/64)+(51/154)+(71/124)<(1/3)+(1/3)+(1/3)=1

О т в е т.
1 > (21/64)+(51/154)+(71/124)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Оба уравнения однородные вида
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,
где P(x;y) и Q(x;y) - первой степени однородности ( k=1)
P( λx; λy)= λ ^(k)P(x;y)

Решают заменой
y/x=u ⇒ y=x*u
dy=xdu+udx

Подставляем y и dy в уравнение

1.
x*udx=(2sqrt(x^2+x^2u^2)+x)*(xdu+udx);
x*udx=х*(2sqrt(1+u^2)+1)*(xdu+udx)
делим на х
udx=(2sqrt(1+u^2)+1)*xdu+(2sqrt(1+u^2)+1)udx

u*(1-2sqrt(1+u^2)-1)dx=(2sqrt(1+u^2)+1)*xdu- уравнение с разделяющимися переменными
dx/x = (du/u)*(- 1- (1/(2sqrt(1+u^2)))
Интегрируем
∫ dx/x = (- ∫ du/u)-(1/2) ∫ du/(u*sqrt(1+u^2)

∫ du/(2u*sqrt(1+u^2)= замена переменной
1/u=t
u=1/t
du=-dt/t^2
sqrt(1+(1/t)^2)=sqrt(1+t^2)/t

∫ du/(u*sqrt(1+u^2)= -∫dt/sqrt(t^2+1)=-ln|t+sqrt(t^2+1)|

ln|x|=-ln|u|+(1/2)ln|1/u+ sqrt((1/u)^2+1)| + lnC,
ln|x|+ln|u|=ln C*|sqrt((1/u)+sqrt((1/u)^2+1))|
xu=C*sqrt((1/u)+sqrt(1/u)^2+1)),
где
u=y/x
y=C*sqrt((x/y)+sqrt((x/y)^2+1) - о т в е т.

2.
(x+2xu)dx+xu*(udx+xdu)=0
(x+2xu+xu^2)dx+x^2udu=0
x*(1+2u+u^2)dx= - x^2*udu
Делим на х
(1+2u+u^2)dx=-xudu - уравнение с разделяющимися переменными

dx/x=-udu/(u+1)^2
Интегрируем
∫ dx/x =- ∫ (u+1-1)du/(u+1)^2
∫ dx/x =- ∫ du/(u+1) + ∫ du/(u+1)^2
ln|x| = - ln|u+1| -(1/(u+1))+ C
ln|x|+ln|u+1|=-1/(u+1) + C
u=xy
ln|x*(xy+1)|=-1/(xy+1)+C - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:х>0

lg^2x-lg^2(10x)=(lgx-lg(10x))*(lgx+lg(10x))=lg(x/10x)*lg(x*10x)=
=lg(1/10)*lg(10x^2)=-1*(lg10+lgx^2)=-1*(1+2lgx)

lg(100x)=lg100+lgx=2+lgx
lg^2(100x)=(2+lgx)^2=4+4lgx+lg^2x

-1-2lgx=4+4lgx+lg^2x

lg^2x+6lgx+5=0
D=36-20=16
lgx=-5 или lgx=-1
x_(1)=10^(-5) или x_(2)=10^(-1)
x_(1)*x_(2)=10^(-6)=0,000001
Ответ выбран лучшим
H=6 см. катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы
r=sqrt(12^2-6^2)=sqrt(108)=6sqrt(3)

Фигура вращения - конус.

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)=πr*L+πr^2=

=π*(6sqrt(3))*12+π*(6sqrt(3))^2=
=π*(72sqrt(3)+108) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S_(полн)=S_(бок)+2S_(осн)
S_(бок)=1/2 S_(полн) ⇒
S_(бок)=2S_(осн)

2S_(осн)=2*π*R^2
S_(бок)=2πR*H

2πR*H=2*π*R^2
H=R

S_(осевого сечения)=2R*H
2R*H=5sqrt(3)

S_(бок)=2πR*H= π*(2R*H)=5πsqrt(3)

S_(полн)=2S_(бок)=10πsqrt(3)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Сумма углов при основании AD равна 90^(o),
значит, продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.

Δ AMD подобен Δ ВМС

AM:AB=AD:BC
AM:9=4:1
AM=36
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
sinx = 1/2
x=(-1)^(k)*arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

a) x_(1)=(π/6); x_(2)=(5π/6)
б) х_(1)=(-7π/6), x_(2)=(π/6)
в) x_(1)=(π/6); x_(2)=(5π/6)
г)х_(1)=(π/6); x_(2)=(5π/6); x_(3)=(7π/6); x_(2)=(12π/6)

2.
tgx=-sqrt(3)/3
x=arctg(-sqrt(3)/3)+πk, k ∈ Z
x=(-π/6)+πk, k ∈ Z

x_(1)=(-π/6)
x_(2)=(-π/6)+π=5π/6

3.
[b]2x[/b]= ± arccos(sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z
2x=±(π/6)+2πn, n ∈ Z
x= ± (π/12)+πn, n ∈ Z

x_(1)=(π/12)-π=-11π/12;
x_(2)= - (π/12)
x_(3) = (π/12)
x_(4)= - (π/12) + π = 11π/12

4.

[b]x/2[/b]= arctg(sqrt(3)/3)+πk, k ∈ Z
x/2=(π/6)+πk, k ∈ Z
x=(π/3)+2πk, k ∈ Z

x_(1)=(π/3)-2π= - (5π/3)
x_(2)=(π/3)
x_(3)=(π/3)+2π=(7π/3)

5.
x=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(2)/2)+πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)(-π/4)+πk, k ∈ Z

cosx > 0 в четвертой и в первой четверти



При k=2n получаем:
x=(-π/4)+2πn, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
x - независимая переменная.
x`=1
y- функция, зависящая от х

(sinx +yx -5y) ` = 0`
(sinx)`+y`*x+y*x`-5y`=0
cosx+y`*x+y-5y`=0 ⇒ y`=(cosx+y)/(5-x) - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
Переносим х влево и приводим к общему знаменателю:
((x^2-2x-1)*(x-3)+2*(x-2)-x*(x-2)(x-3))/((x-2)*(x-3)) ≤ 0
(x^3-2x^2-x-3x^2+6x+3+2x-4-x^3+5x^2-6x)/(x-2)(x-3) ≤ 0
(x-1)/((x-2)(x-3)) ≤ 0
метод интервалов:

__-_ [1] _+___ (2) __-__(3) __+__

О т в е т. (- ∞ ;-1] U (2; 3)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
M_(11)=(-5)*(-5)-7*2=25-14=11
C_(11)=(-1)^(1+1)*M_(11)=11
M_(12)=4*(-5)-(-7)*2=-20+14=-6
C_(12)=(-1)^(1+2)*M_(12)=(-1)*(-6)=6
M_(13)=4*7-(-7)*(-5)=28-35=-7
C_(13)=(-1)^(1+3)*M_(13)=1*(-7)=-7 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть
BC=AD=2x
Тогда ВЕ=ЕС=х
Обозначим высоту параллелограмма h.
S( параллелограмма)=2х*h
2x*h=288
x*h=144

S_(трапеции)=(ВЕ+AD)*h/2=(x+2x)*h/2=3x*h/2=3*144/2=72*3=216
О т в е т. 216 (прикреплено изображение)
См. интегрирование рациональных дробей.
Дробь правильная, степень числителя три меньше степени знаменателя четыре.
Раскладываем дробь на простейшие.
Их четыре
A/(x+2)
B/(x-2)
C/(x-2)^2
D/(x-2)^3

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители
x^3-6x^2+11x-10=A*(x-2)^3+B*(x+2)*(x-2)^2+C*(x+2)(x-2) +D*(x+2)

можно раскрыть скобки справа и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
После этого решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными

можно применить метод частных значений:
при х=2
2^3-6*2^2+11*2-10=A*0+B*0+C*0+D*4
D=-2
При х=-2
(-2)^3-6*(-2)^2+11*(-2)-10=A*(-2-2)^3+B*0+C*0+D*0
A=1
При х=0
-10=-8А +8В-4С+2D
При x=1
-4=-A+3B-3C+3D

{-10=-8*1+8B-4C+2*(-2)
{-4=-1+3B-3C+3*(-2)

B=
C=

∫ Adx/(x+2)=A*ln|x+2|
∫ Bdx/(x-2)=B*ln|x-2|
∫ Cdx/(x-2)^2=C* ∫ (x-2)^(-2)d(x-2)=C*(x-2)^(-1)/(-1)=-C/(x-2)
∫ Ddx/(x-2)^3=D* ∫ (x-2)^(-3)d(x-2)=D*(x-2)^(-2)/(-2)=-D/(2(x-2)^2)
Четырёхугольник АВСD - дельтоид.
В АВСD вписана окружность, центр O лежит на диагонали BD, которая является биссектрисой углов B и D.

Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны.

АС ⊥ BD
По условию:
MN=13
[b]b-a=r[/b] (прикреплено изображение)
Неопределенность 1^( ∞ ).
Применяем второй замечательный предел.

Так как
lim_(x→∞) (1 - (1/(x^2-5x+6)))^(x^2-5x+6)=e^(-1), то



lim_(x→∞) ((x^2-5x+5)/(x^2-5x+6))^(3х+2)=


lim_(x→∞) ((1 - (1/(x^2-5x+6)))^(x^2-5x+6))^((3x-2)/(x^2-5x+6))=(e^(-1))^(lim_(x→∞)((3x-2)/(x^2-5x+6)))= (e^(-1))^(0)=1




Уравнение АС:
y=kx+b
Подставляем координаты точек А и С и находим k и b
1=b
4=k*12+1 ⇒ k=1/4
y=(1/4)x+1

Так как произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1), то
k_(BK)= - 1/k_(AC) = - 1/(1/4)= - 4
y=-4x + m
Чтобы найти m подставляем координаты точки В
5=-4*2+m
m=13
Находим координаты точки К - точки пересечения прямых АС и ВК
(1/4)х+1=-4х+13
(17/4)х=12
х=48/17
y=(1/4)*(48/17)+1=29/17

K(48/17;29/17)
Находим координаты точки M- середины ВК
х_(M)=(x_(B)+x_(K))/2=41/17
y_(M)=(y_(B)+y_(K))/2=57/17

Cоставляем уравнение прямой АМ
Составляем уравнение прямой ВС
Находим координаты точки L
Ответ выбран лучшим
{3ctg^2x+4ctgx=0
{5cos^2x-4cosx ≠ 0
{sinx ≠ 0

{ctgx*(3ctgx+4)=0 ⇒ ctgx=0 или ctgx=-4/3
{cosx ≠ 0 и cosx ≠ 4/5
{sinx ≠ 0

cosx ≠ 0 ⇒ ctgx ≠ 0

остается решить уравнение
ctgx=-4/3 при условии, что cosx ≠ 4/5

x=arctg(-4/3)+πk, k ∈ Z, но учитывая условие cos x ≠ 4/5

получим о т в е т.x=arcctg(-4/3)+π+2πn, n ∈ Z

см. рис. (прикреплено изображение)
∠ ADB=90^(o), как угол, опирающийся на диаметр
∠ ACB=90^(o), как угол, опирающийся на диаметр

∠ АСВ = ∠ АВD, как углы, опирающиеся на дугу AD
∠ СAВ = ∠ CDB, как углы, опирающиеся на дугу BC

Треугольники СMD и BMA подобны по двум углам.
Из подобия
[b]DM: AM= CM: BM⇒ DM=k*AM и CM=k*BM[/b]



Так как
AC=AM+MC;
BD=BM+MD
и
AC*AM+BD*BM=169, то
(AM+MC)*AM+(BM+MD)*BM=169
и так как
DM=k*AM ;
CM=k*BM
то
AM^2+(k*BM)*AM+BM^2+BM*(k*AM)=169

AM^2+2*kAM*BM+BM^2= 169
а по теореме косинусов из треугольника АМВ

AB^2=AM^2+BM^2-2*AM*BM*cos ∠ АМВ

???
ОДЗ:
{3x-1 > 0 ⇒ x > 1/3
{3x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2/3

log_(2)(3x-1)=1/log_(3x-1)2
log_(2)(3x-1)^2=2log_(2)|3x-1| = в условиях ОДЗ=2log_(2)(3x-1)
log_(3x-1)4=log_(3x-1)2^2=2log_(3x-1)2

Замена
log_(2)(3x-1)=t

t^2+(1/t)^2 -2t- (2/t) + 2 ≤ 0

Замена
t+(1/t)=u
Возводим в квадрат
t^2+2*t*(1/t)+(1/t)^2=u^2

u^2-2u ≤ 0
u*(u-2) ≤ 0
0 ≤ u ≤ 2

Обратный переход
0 ≤ t + (1/t) ≤ 2

{t+(1/t) ≥ 0 ⇒ (t^2+1)/t ≥ 0 ⇒ t >0
{t+(1/t) ≤ 2 ⇒ (t^2-2t+1)/t ≤ 0 ⇒ t^2-2t+1 ≤ 0 при t >0 ⇒ t=1

log_(2)(3x-1)=1
3x-1=2
x=1 - входит в ОДЗ
О т в е т. х=1
Треугольник CED подобен треугольнику CAB
( ED || AB)
EC:AC=ED:AB
EC:AE=2:1 ⇒ EC:AC=2:3

ED:AB=2:3
AB=2
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Умножаем каждое слагаемое на 6
6x^2 -11x +3=0
D=121-4*6*3=49
x_(1)=(11-7)/12=4/12=1/3 или x_(2)=(11+7)/12=3/2
О т в е т. 1/3; 3/2
Ответ выбран лучшим
T( α u)= α T(u)
Поэтому
T(3u)=3T(u)=3*(2;1)=(6;3)
T(6v)=6T(v)=6*(-1;3)=(-6;18)

T( α u+ β v)= α T(u)+ β T(v)

T(3u-6v)=3*T(u)-6*T(v)=(6;3) - (-6;18)=(6-(-6); 3 - 18) =( 12; -15)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение касательной
y - f(x_(o) = f`(x_(o)) * ( х - x_(o))

f(x_(o))= -x^2_(o) - 5x_(o) - 6
f ` (x) = - 2x - 5
f ` (x_(o)) = - 2x_(o) - 5

y - (-x^2_(o) - 5x_(o) - 6) = (-2x_(o) -5)*(x - x_(o))

Подставляем координаты точки М(-1;-1)

-1 + x^2_(o) +5x_(o) + 6 = ( -2x_(o) - 5) *( -1 - x_(o))

-1 + x^2_(o) +5x_(o) + 6 = 2x_(o) + 5 + 2x^2_(o)) + 5x_(o)

x_(o)*(x_(o) + 2)=0

x_(o)=0 или x_(o)=-2

Получили две точки

При x_(o)=0
у + 6 = -5*(х - 0)
y=-5x-6

y_(касательной)=y_(функции)= -6
При х_(o)=-2
y - 0 = - (x+2)

y=-x-2

y_(касательной)=у_(функции)=0

О т в е т. y=-5x-6 или y=-x-2

2.
Пусть точка касания первой кривой (x_(1);y_(1))
y_(1)=f(x_(1)) = x^2_(1) -2x_(1) + 5
Уравнение касательной:
y - f(x_(1)) = f `(x_(1)) * ( х - x_(1))

f `(x)=2x - 2
f `(x_(1))=2x_(1) -2

[b] y - x^2_(1) +2x_(1) - 5 = (2x_(1) -2) *(x - x_(1)) [/b]

y= (2x_(1)-2)*x +3x^2_(1)+5


Пусть точка касания второй кривой (x_(2);y_(2))
y_(2)=f(x_(2)) = x^2_(2) + 2x_(2) -11
Уравнение касательной:
y - f(x_(2)) = f `(x_(2)) * ( х - x_(2))

f `(x)=2x + 2
f `(x_(2))=2x_(2) + 2

[b] y - x^2_(1) - 2x_(2) + 11 = (2x_(2) + 2) *(x - x_(2)) [/b]

y= (2x_(2)+2)*x -x^2_(2) - 11


Поскольку касательная общая,значит

(2x_(1)-2)*x +3x^2_(1)+5= (2x_(2)+2)*x -x^2_(2) - 11

(2x_(1) -2-2x_(2)-2)x = -3x^2_(1) - x^2_(2)-16

??
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(x-3)*(x-2) -6*(x-3)=0
(x-3)*(x-2-6)=0
(x-3)*(x-8)=0
x-3=0 или х-8=0
х=3 или х=8
О т в е т. 3; 8
Ответ выбран лучшим
(sqrt(10)-3)*(sqrt(10)+3)=(sqrt(10))^2-3^2=10-9=1
Значит
sqrt(10)-3=1/(sqrt(10)+3)=(sqrt(10)+3)^(-1);

(sqrt(10)+3)^(-x^2) ≤ ((sqrt(10)+3)^(-1))^(15-2x);

(sqrt(10)+3)^(-x^2) ≤ (sqrt(10)+3)^(2x-15)

sqrt(10)+3 > 1

Показательная функция с основанием больше 1
возрастает, поэтому
(-x^2) ≤ 2x-15
x^2+2x-15 ≥ 0
D=4-4*(-15)=64
корни x_(1)=(-2-8)/2=-5 или x_(2)=(-2+8)/2=3

x ≤ -5 или x ≥ 3

О т в е т (- ∞ ;-5] U[3;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
Через два вектора vector{a} и vector{b} можно провести плоскость и притом только одну.
Третий вектор vector{2a} такой же как вектор vector{a} только имеет длину в два раза больше.Значит все три вектора лежат в одной плоскости и их смешанное произведение равно 0 ( нет никакой пирамиды, нет и объема)

Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка из координат данных векторов Но одна строка пропорциональна другой. Такой определитель равен 0

О т в е т. 0
Ответ выбран лучшим
Координаты векторов пропорциональны, значит векторы коллинеарны ( сонаправлены или противоположно направлены)
А это и означает ответ D.
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
((1/2)^2)^(x) < (1/2)^(-5)*((1/2)^3)^(x^2-1) ;

(1/2)^(2x) < (1/2)^(-5+3x^2-3)

(1/2) < 1
Показательная функция убывает, поэтому
(2x) > (-5+3x^2-3)
3x^2-2x-8 <0
D=4-4*3*(-8)=100
x_(1)=(2-10)/6=-4/3 или x_(2)=(2+10)/6=2
О т в е т. (-4/3;2)
vector{A_(2)A_(4)}=(-5-2;2-(-3);-4-0)=(-7;5;-4)
vector{A_(2)A_(3)}=(-10-2;5-(-3);8-0)=(-12;8;8)
Находим длины векторов
|vector{A_(2)A_(4)}|=sqrt((-7)^2+5^2+(-4)^2)=sqrt(90)=3sqrt(10);
|vector{A_(2)A_(3)}|=sqrt((-12)^2+8^2+8^2)=sqrt(144+64+64)=
=sqrt(272)=4sqrt(17)
Находим скалярное произведение векторов
vector{A_(2)A_(4)}*vector{A_(2)A_(3)}=(-7)*(-12)+5*8+(-4)*8=
=92
cos φ =92/(3sqrt(10)*4sqrt(17))=(23/(3sqrt(10*17))

φ =arccos(23/(3sqrt(170))
Ответ выбран лучшим
cosx*cos5x=(1/2)*(cos(x+5x)+cos(x-5x))=(1/2)cos6x+(1/2)cos4x
F(x)=(1/12)sin6x +(1/8)sin4x +C
Чтобы найти С подставляем координаты точки В
1/24=(1/12)*sin(-3π/2)+(1/8)sin(-π)+C
1/24=(1/12)*1+(1/8)*0+C
C=1/12
О т в е т.F(x)=(1/12)sin6x +(1/8)sin4x +(1/12)
По теореме Пифагора
AB^2=L^2+H^2
AB=sqrt(L^2+H^2)
t=S/v
S=AB
v=v_(л)+v_(p)

t=sqrt(L^2+H^2)/(v_(л)+v_(p))
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
Треугольники AOD И BOD подобны.
∠ AOD = ∠ BOD
а стороны пропорциональны AO:СO=DO:BO=3
Значит,
∠ OAD= ∠ OCB
∠ ODA = ∠ OBC
А это внутренние накрест лежащие углы.
Значит BC || AD

2.
BD ⊥ AC
MP ⊥ BD

AC || MP и значит Δ BMP подобен Δ ВАС.
BM: BA= BP: BC
7:BA=9:(9+18)
BA=21

3.
ОДЗ:
-11tgx ≥ 0 ⇒ tgx ≤ 0 ⇒ ((π/2)+πk; π+πk]
(cм. рис)

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0, [b] а другой при этом не теряет смысла[/b]

1)
2cos^2x-cosx=0
cosx*(2cosx-1)=0
cosx=0 или сosx=1/2
x=(π/2)+πn или x= ± (π/3)+2πm, n,m ∈ Z
ОДЗ удовлетворяют решения
(-π/3)+2πm, m ∈ Z
(cиний цвет на рисунке)
Только при этих значениях подкоренное выражение существует, т.е. положительно.

2) tgx=0
x=πk, k ∈ Z
(красный цвет на рисунке)
О т в е т. πk, (-π/3)+2πm, k, m ∈ Z (прикреплено изображение)
По теореме Пифагора
АC^2=AB^2-BC^2
AC=8
Прямоугольные треугольники АВD и ABC подобны по двум углам
(угол A - общий)
Из подобия
BD: 6= 10:8
BD=60/8=7,5
x^2-(y-a)^2=9 ⇒ (x^2/9)-(y-a)^2/9=1 - гипербола
с центром в точке (0; a)

y=2-3|x| - ломаная, являющаяся объединением двух прямых
(см. рис.)

Чтобы ответить на вопрос задачи нужно определить при каких а
гипербола и ломаная будут иметь одну общую точку.

Гиперболу можно двигать вдоль оси Оу.
Если ниже подвинуть,то будет 2 решения - 2 точки касания и слева и справа.
или 4 решения, две точки пересечения.

Одной обще точки скорее всего нет

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
{a+b=c+5 ⇒ c=a+b-5
{ab=4c+5 ⇒ c=(ab-5)/4 ⇒ a+b-5= (ab-5)/4 ⇒ [b]4a+4b-20=ab-5[/b]

При a=b

4a+4a-20=a^2-5
a^2-8a+15=0
D=64-60=4
a_(1)=(8-2)/2=3 или a_(2)=(8+2)/2=5

Верно, при a=b=3; c=1 или a=b=c=5
Ответ выбран лучшим
Находим абсциссы точек пересечения графиков:
x^2-2x+1=-x^2+3x-1
2x^2-5x+2=0
D=25-16=9
x_(1)=(5-3)/4=0,5 ; x_(2)=(5+3)/4=2

S= ∫ ^(2)_(0,5)((-x^2+3x-1)-(x^2-2x+1))dx=

= ∫ ^(2)_(0,5)(-2x^2+5x-2)dx=

=(-2x^3/3)+(5x^2/2)-2x)|^(2)_(0,5)=

=(-2/3)*(2^3-0,5^3)+(5/2)(2^2-0,5^2)-2*(2-0,5)=

=(-2/3)*(63/8) +(5/2)*(15/4)-3=(-42/8)+(75/8)-3=(33-24)/8=9/8
Выберем две точки, принадлежащие линии пересечения плоскостей
x-2y+5=0
и
2x-5y+z=4=0
Точек на линии пересечения - бесчисленное множество.
Пусть y=0
Тогда
{x+5=0
{2x-z+4=0

{x=-5
{2*(-5)+z+4=0 ⇒ z=6
P(-5;0;6)
Пусть
х=0
{-2y+5=0 ⇒ y=2,5
{-5y+z+4=0 ⇒ z=7,5
Q(0; 2,5; 7,5)
Пусть M(x;y;z)- произвольная точка плоскости
Тогда векторы
vector{MP}=(x-(-5);y-0;z-6)=(x+5;y;z-6)
и
vector {PQ}=(0-(-5); 2,5-0; 7,5-6)=(5; 2,5;1,5)
лежат в плоскости, а направляющий вектор параллельной прямой vector{s}=(5;3;4) им коллинеарен.
Таким образом все три вектора компланарны.
Значит их смешанное произведение равно 0
Составляем определитель третьего порядка из координат векторов и приравниваем его к 0
Вместо вектора vector {PQ}=(5; 2,5;1,5) возьмем вектор
2*vector {PQ}=(10; 5; 3)
(прикреплено изображение)
detA=-30e^(3t+2t)*sin^2t-30e^(3t+2t)cos^2t=-30e^(5t)
A_(11)=-6e^(2t)sin5t
A_(12)=(1-)*(-6e^(3t)cos5t)=6e^(3t)cos5t
A_(21)=(-1)*(-5e^(2t)cos5t)=5e^(2t)cos5t
A_(22)=5e^(3t)sin5t

Обoзначим элементы матрицы A^(-1)
b_(ij)
i- номер строки
j- номер столбца
b_(11)=A_(11)/detA=sin5t/(5e^(3t)); первая строка левый угол
b_(12)=A_(21)/detA=cos5t/(-6e^(3t) первая строка правый угол
b_(21)=A_(12)/detA=cos5t/(-5e^(2t)) вторая строка левый угол
b_(22)=A_(22)/detA=sin5t/(-6e^(2t)) вторая строка правый угол
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
8^(x)=(2^(3))^(x)=(2*4)^(x)=2^(x)*4^(x)
2^(x+2)=2^(x)*2^(2)=4*2^(x)

4^(x)*(2^(x)+3)=4*(3+2^(x));
4^(x)*(2^(x)+3)-4*(3+2^(x)) = 0;
(2^(x)+3)*(4^(x)-4)=0
2^(x)+3 ≠ 0, так как 2^(x) > 0 при любом х
4^(x)-4=0
4^(x)=4
x=1
О т в е т. 1

2.
9^(x)*(3*3^(x)-1)=3*(3*3^(x)-1);
(3*3^(x)-1)*(9^(x)-3)=0
3*3^(x)-1=0 или 9^(x)-3=0
3^(x)=1/3 или 9^(x)=3
3^(x)=3^(-1) или 3^(2x)=3
x=-1 или 2х=1 ⇒ х=0,5
О т в е т. -1; 0,5
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
См. приложение.
a=-2
A_(o)=P(a)=f(-2)

A_(1)=P`(a)/1!=f`(-2)/1!=(-4/1!)
...
f(x) = 6 + (-4/1!)(x+2) + (6/2!)(x+2)^2+(-6/3!)(x+2)^3

f(x)=6-4*(x+2)+3*(x+2)^2-(x+2)^3

f(x)=6-4x-8+3*(x^2+4x+4)-(x^3+6x^2+12x+8)

f(x)=6-4x-8+3x^2+12x+12-x^3-6x^2-12x-8

О т в е т. f(x)=-x^3-3x^2-4x+2
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
x^(9)−4x^5+16x−1=0

-16x=x^(9)-4x^(5)-1
-64x=4x^(9)-16x^(5)-4

Тогда

x^(4)−64x+4=x^(4)+4x^(9)-16x^5-4+4=x^(4)+4x^(9)-16x^(5)=

=x^(4)*(1+4x^(5)-16x)=x^(4)*x^(9)=x^(13),

так как x^(9)−4x^5+16x−1=0 ⇒ x^(9)=4x^5-16x+1

О т в е т.

log_(x)(x^4−64x+4)=log_(x)x^(13)=13
112:28=4 часа.

Чтобы легковой автомобиль догнал грузовой, легковому надо сократить разницу между ними в 112 км.
Это происходит за счет скорости сближения, которая равна разности скоростей легкового и грузового. По условию разность 28 км в час.

Если скорости легкового и грузового одинаковые, то легковой никогда не догонит грузовой.

А так как скорость легкового больше, то значит в час он проходит на 28 км больше.

И чтобы сократить расстояние в 112 км потребуется 4 часа.
112:28=4 часа.

Чтобы легковой автомобиль догнал грузовой, легковому надо сократить разницу между ними в 112 км.
Это происходит за счет скорости сближения, которая равна разности скоростей легкового и грузового. По условию разность 28 км в час.

Если скорости легкового и грузового одинаковые, то легковой никогда не догонит грузовой.

А так как скорость легкового больше, то значит в час он проходит на 28 км больше.

И чтобы сократить расстояние в 112 км потребуется 4 часа.
Ответ выбран лучшим
так как ρ ≥ 0, то sin φ ≤ 0 ⇒ -π ≤ φ ≤ 0

Проводим в нижней полуплоскости лучи под углом:
φ =0^(o)
ρ=-5*sin0^(o)=-5*0=0
φ =-30^(o)
ρ=-5*sin(-30^(o))=2,5
φ =45^(o)
ρ=-5*sin(45^(o)) ≈ 3,5
φ =-60^(o)
ρ=-5*sin(-60^(o))=4,33
φ =-90^(o)
ρ=5
и далее симметрично
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
ОДЗ
{1-2x > 0 ⇒ x < 1/2;
{(1/x)- 2 > 0 ⇒ (1 - 2x)/x > 0 ⇒ x < 0 или x > 1/2
{4x^2+6x-1 > 0 ⇒ D=36-4*4*(-1)=52
x_(1)=(-6-2sqrt(13))/8 или x_(2)=(-6+2sqrt(13))/8

x< (-3-sqrt(13))/4 или x > (-3+sqrt(13))/4

ОДЗ x < (-3-sqrt(13))/4

По свойствам логарифма
log_(2)(1-2x)^2/((1/x)-2) ≤ log_(2)(4x^2+6x-1)
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая.
(1-2x)^2/((1-2x)/x) ≤ 4x^2+6x-1
(1-2x)/x ≤ 4x^2+6x-1
(4x^3+6x^2-x-1+2x)/x ≥ 0
(4x^3+6x^2+x-1)/x ≥ 0
(x+1)*(4x^2+2x-1)/x ≥ 0
D=4-4*4*(-1)=20
x_(3)=(-2-2sqrt(5))/8=(-1-sqrt(5))/4 или х_(4)=(-1+sqrt(5))/4;
x ≤ (-1-sqrt(5))/4 или x ≥ (-1+sqrt(5))/4
С учетом ОДЗ
x < (-3-sqrt(13))/4
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Плоскость проходит через прямую
(x–3)/2=(y+4)/1=(z–2)/(–3).
Значит, точка M_(o)(3;-4;2) и направляющий вектор этой прямой
vector{s_(1)}=(2;1;-3) лежат в этой плоскости.

Плоскость параллельна второй прямой. Значит направляющий вектор второй прямой vector{s_(2)}=(4;7;2) коллинеарен плоскости.
Выбираем произвольную точку M (x;y;z)
Три вектора
vector{M_(o)M}; vector{s_(1)} и vector{s_(2)} компланарны.

Составляем определитель третьего порядка из координат векторов и приравниваем к 0.
vector
(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть сторона квадрата равна а.
P(квадрата)=4а
4а=100
а=25
S=a^2=25^2=625
arctg3x ~ 3x при x→0

Ответ. lim_(x→0)3x/(x^2+5x)=lim_(x→0)3/(x+5)=3/5
Ответ выбран лучшим
Пусть прямая отcекает на оси Ох отрезок длины а, на оси Оу отрезок длины b.
Уравнение такой прямой ( уравнение прямой в отрезках)
(x/a)+(y/b)=1
Подставляем координаты точки (8;9)
(8/a)+(9/b)=1
[b]8b+9a=ab[/b]

S ( прямоугольного треугольника)=ab/2
По условию
ab/2=8;
ab=16

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
{8b+9a=ab
{ab=16

{8b+9a=16
{ab=16

Вырaжаем а из первого
a=(16-8b)/9
и подставляем во второе

b*(16-8b)/9=16
8b^2-16b +144=0
b^2-4b+18=0

Уравнение не имеет корней.
Условие неверное.
См. рисунок
Прямая проходящая через точку (8;9)
отсекает отрезки длиной 16 и 18
S=16*18/2=16*9=144 и никак не 8

Значит прямая проходит через точки (а;0) и (0;-b) ( см. рис.2)
и принимает вид:
(x/a)-(y/b)=1
Подставляем координаты точки (8;9)
(8/a)-(9/b)=1
8b-9a=ab
Система
{8b-9a=16
{ab=16

{a=(8b-16)/9
{b*(8b-16)/9=16
8b^2-16b-144=0
b^2-2b-18=0
D=4-4*(-18)=4*19
b=(2-2sqrt(19))/2=1-sqrt(19) или b=1+sqrt(19)
a=(8-8sqrt(19)-16)/9=(-8sqrt(19)-8)/9 или a=(8+8sqrt(19)-16)/9 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
{3-x+y>0 ⇒ y > x-3 ( строим график y = x-3 пунктиром)
{x+y-3 ≥ 0 ⇒ y ≥ -x+3 ( строим прямую y=-x+3)
см. рис.
Заштриховываем область y > x - 3 ( красным цветом)
область y ≥ -x + 3 ( cиним цветом)
Ответ - пересечение областей. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y=(u/v)
y`=(u`*v-u*v`)/v^2;
y`=((2^(x)+4)`*(7x^2-x)-(2^(x)+4)*(7x^2-x))/(7x^2-x)^2;
y`=(2^(x)*ln2*(7x^2-x) - (2^(x)+4)*(14x-1))/(7x^2-x)^2. - о т в е т.
F(x;y;z)=x^2+y^2+z^2-6z
F`_(x)=2x-6
F`_(y)=2y
F`_(z)=2z

Обычно считают, что z=f(x;y) и тогда находят
∂z/∂x=z`_(x)
и
∂z/∂y=z`_(y)
которые вычисляются по формулам
( cм. приложение)

По всей видимости в задании считают, что
y=g(x;z)
и тогда надо найти
∂y/∂x=y`_(x)
а
∂y/∂z=y`_(z) не надо.

y`_(x)=-F`_(x)/F`_(y)=-(2x-6)/(2y) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(-2+3i)*(-2-3i)*(2-3i)=
=(-1)*(2-3i)*(-1)(2+3i)*(2-3i)=
=(2-3i)*(2+3i)*(2-3i)=
=(4-(9i)^2)*(2-3i)=
=13*(2-3i)


(-2+3i)*(-2-3i)*(2-3i) + 2*(-2+3i)=13*(2-3i)-2*(2-3i)=11*(2-3i)

(1-i)+(2+3i)^2=1-i+4+12i+9i^2=11i-4

11*(2-3i)/(11i-4)= -11*(2-3i)/(4-11i)=-11*(2-3i)*(4+11i)/(16-(11i)^2)=

=-11*(8-12i+22i+121i^2)/(16+121)=-11*(10i-113)/137

Есть сомнение в условии.
Не расставлены скобки где числитель, где знаменатель.

Поэтому решение написано для условия
Числитель
(-2+3i)*(-2-3i)*(2-3i) + 2*(-2+3i)
Знаменатель
(1-i)+(2+3i)^2

Если это не так, исправляйте условие.
Ответ выбран лучшим
Пусть M(x;y;z)- произвольная точка плоскости.

Направляющий вектор прямой vector{s}=(3;1;2) лежит в плоскости.
Точка M_(o) (-5;2;1) через которую проходит прямая также лежит в плоскости. Точка P(0;2;0) лежит в плоскости.
Значит векторы
vector{PM}=(x;y-2;z)
vector{PM_(o)}=(-5-0;2-2;1-0)=(-5;0;1)
и
vector{s}=(3;1;2)
компланарны.
Составляем определитель третьего порядка из координат трех векторов и приравниваем к нулю. (прикреплено изображение)
Подкоренное выражение должно быть ≥ 0
Составляем неравенство
10x+2y+19-y^2 ≥ 0
10x+19 ≥ y^2 - 2y
10x+19 +1 ≥ y^2 - 2y +1
10*(x+2) ≥ (y-1)^2 - внутренняя часть параболы c вершиной
в точке (-2;1)
см. рис. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z_(x)=3x^2+3y^2-15
z`_(y)=6xy-12

Дифференциал
dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy=(3x^2+3y^2-15)dx+(6xy-12)dy
Ответ выбран лучшим
F(x;y;z)=(x^2/9)+(y^2/1)-(z^2/16)
F`_(x)=2x/9
F`_(y)=2y
F`(z)=-z/8

F`_(x)(М_(o))=(2*3)/9=2/3
F`_(y)(M_(o))=2*1=2
F`_(z)(M_(o))=-4sqrt(2)/8=-sqrt(2)/2

Подставляем в формулы (см. приложение)
(2/3)*(x-3) + 2*(y-1) - (sqrt(2)/2)*(z - 4sqrt(2))=0
4x-12 +12y-12 -3sqrt(2)z +24 =0

4x +12 y - 3sqrt(2)*z =0 - уравнение касательной плоскости.

(x -3)/(2/3) = ( y-1)/2 =(z-4sqrt(2))/(-sqrt(2)/2 - уравнение нормали (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(2*5^(2x)-3*2*(5^x*2^x)+4*2^(2x))/((2^x*5^x)-2^(2x)) - 1 ≤ 0;

(2*5^(2x)-6*(5^x*2^x)+4*2^(2x) - (2^x*5^x)+2^(2x))/((2^x*5^x)-2^(2x)) ≤ 0;

(2*5^(2x)-7*(5^(x)*2^(x))+5*2^(2x))/((2^x*5^x)-2^(2x)) ≤ 0

Делим и числитель и знаменатель на 2^(2x) > 0

(5/2)^(x)=t
(25/4)^(x)=t^2

(2t^2-7t+5)/(t-1) ≤ 0

D=49 -4*2*5=9

t=1 или t=5/2

_-__ (1) __-__ [5/2] __+_

(5/2)^x=5/2

x=1

(5/20^(x)=1

x=0

О т в е т. (- ∞ ;0) U(0;1]
Ответ выбран лучшим
p=(p_(1)*p_(3))+p_(4)+(p_(2)*p_(5))=0,43 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2sin(2x+(π/6))=2*sin2x*cos(π/6)+2cos2x*sin(π/6)=sqrt(3)sin2x+cos2x;

sqrt(3)sin2x+cos2x-cosx=sqrt(3)sin2x-1;
cos2x-cosx+1=0
cos^2x-sin^2x-cosx+sin^2x+cos^2x=0
2cos^2x-cosx=0
cosx*(2cosx-1)=0
cosx=0 ⇒ x= (π/2)+πk, k ∈ Z
Указанному промежутку принадлежит
х=(π/2)+3π=(7π/2)
(5π/2)< (7π/2) < 4π

2cosx-1=0
cosx=1/2
x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z
x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни:
х=(-π/3)+4π=11π/3
(5π/2) < (11π/3) < 4π

О т в е т. (π/2)+πk, k ∈ Z; ± (π/3)+2πn, n ∈ Z
б) (7π/2); (11π/3)
Ответ выбран лучшим
Замена переменной
2^(x)=t
[b] t > 0 [/b]
2^(x+1)=2^(x)*2=2t;
2^(2x+1)=2^(2x)*2=2t^2
2^(3x+1)=2^(3x)*2=2t^2

(t^4 -2t^3+2t^2-2t+1)/((t-2)^2+(t-3)^3-1) ≥ 0
(t-1)*(t^3-t^2+t-1)/((t-2)^2+(t-3)^3-1) ≥ 0
(t-1)*(t-1)*(t^2+1)/((t-2)^2+(t-3)^3-1) ≥ 0
метод интервалов.
Нули числителя t_(1)=t_(2)=1
Нули знаменателя:
(t-2)^2+(t-3)^3-1=0
t^2-4t+4+t^3-9t^2+27t-27-1=0
t^3-8t^2+23t-24=0
t^3-27 -(8t^2-24t)-(t-3)=0
(t-3)*(t^2-5t+8)=0
t=3
D=25-4*8<0

(0) _-__ [1] __-___ (3) __+___

t=1 или t > 3
2^(x)=2 или 2^(x) > 3
x=1 или x > log_(2)3

О т в е т. {1}U(log_(2)3;+ ∞ )
cos((π/6)-2x)=cos(2x-(π/6))
по свойству четности косинуса.

sin2x-sqrt(3)cos2x=2*((1/2)*sin(2x)-(sqrt(3)/2)*cos2x)=

=2*(cos(π/6)*sin2x- sin(π/6)*cos2x)=2*(sin(2x-(π/6))

Тогда

(sin2x-sqrt(3))^2=4*sin^2(2x-(π/6))=4*(1-cos^2(2x-(π/6)))

4 - 4 cos^2(2x-(π/6)) -5 -cos(2x-(π/6))=0

4cos^2(2x-(π/6)) + cos(2x+(π/6)) +1=0

D= 1 -4 * 4 < 0
Уравнение не имеет корней.
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Cтроим параболу y=x^2-x-2
Ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох, ( зачеркнуто на рисунке), отражаем симметрично оси Ох наверх
Рис. 2 ответ (прикреплено изображение)
ОДЗ
{(2x+2)/(5x-1) >0 ⇒ x < -1 или x > 0,2
{(2x+2)/(5x-1) ≠ 1 ⇒ 2x+2 ≠ 5x -1 ; x ≠ 1
{10x^2+x-2 > 0 ⇒ D=81; корни (-0,5) и 0,4 ⇒ x < -0,5 или x>0,4

ОДЗ: (- ∞ ;-1) U ( 0,4;1) U (1;+ ∞ )

Применяем метод рационализации:
((2x+2)/(5x-1) -1)*(10x^2+x-2-1) ≤ 0

(3-3x)(10x^2+x-3)/(5x-1) ≤ 0
(3x-3)(10x^2+x-3)/(5x-1)≥ 0

D=1+120=121; корни (-0,6) и 0,5

-0, 6 не входит в ОДЗ

_+__ (-1) (0,4) _-_ (0,5) ____+___ (1) __+____

О т в е т. (- ∞ ; -1) U (0,5;1)U(1;+ ∞ )
ОДЗ:
{x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1
{x-1 > 0 ⇒ x > 1
{x > 0

ОДЗ: x >1

О т в е т. (0;4]
(cм. график функции y=(10)/(x+1) + log_(1/3)(x-1) + log_(1/4)x)

Cтроим график каждой функции - это элементарные функции.
Затем складываем ординаты.

На рис. 2
(1;2) видно, что зеленые ординаты в каждой точке положительны, сиреневые положительны, черные отрицательны.
Если будем складывать
y_(1)+y_(2)+y_(3) получим положительную сумму

(2;4) зеленые ординаты каждой точки положительны, сиреневые и черные отрицательны.
Но если складывать
y_(1)+y_(2)+y_(3) >0 для всех x ∈ (2;4)
кроме точки 4
в точке х=4 зеленая ордината равна 2
10/(4+1)=2

сиреневая
log_(1/3)(4-1)=-1

черная

log_(1/4)4=-1

2+(-1)+(-1)=0

После точки x = 4
сиреневые и черные ординаты отрицательны и сумме меньше -2
а зеленые ординаты меньше 2
Поэтому сумма ординат трех графиков в любой точке ( x > 4) будет отрицательной (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Испытание состоит в том, что из 18 команд выбирают 9
Это можно сделать
n=C^(9)_(18)
Cобытию А благоприятствуют исходы испытания, при которых
из 5 команда мастеров все 5 в группе и 4 оставшиеся команды выбраны из 13 команд ( немастеров)
Причем эти 5 команд либо в одной группе либо в другой.
Поэтому результат выбора умножаем на 2
m=2*C^5_(5)*C^(4)_(13)
p(A)=m/n2* C(5)_(5)*C^(4)_(13)/C^(9)_(18)

p(B)=2*(C^(2)_(5)*C^(7)_(13)+C^(3)_(5)*C^(6)_(13))/C^(9)_(18)
Направляющий вектор прямой vector{s}=(5;8;-6)
становится нормальным вектором плоскости
vector{n}=vector{s}=(5;8;-6)

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o))
c направляющим вектором vector{s}=(a;b;c) имеет вид:
a*(x-x_(o)) +b*(y-y_(o))+c*(z-z_(o))=0

5*(х - (-7))+8*(у - (-2)) - 6*(z - (-9))=0

5x + 8y - 6z =3

a=5
b=8
c=-6
d=3
Ответ выбран лучшим
Выражаем t
t=(x-1)/7;
t=(y-2)/3
t=(z-3)/6
Приравниваем
(x-1)/7=(y-2)/3=(z-3)/6 - данная прямая
Направляющий вектор этой прямой vector{s}=(7;3;6)

Параллельные прямые имеют одинаковые (коллинеарные) направляющие векторы
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку Р с направляющим вектором vector{s}=(7;3;6)
(x-5)/7=(y-5)/3=(z-3)/6

Находим точку пересечения с плоскостью хОу
{z=0
{(x-5)/7=(y-5)/3=(z-3)/6
(x-5)/7=(0-3)/6
x-5=(-7/2)
x=3/2=1,5
(y-5)/3=(0-3)/6
y-5=-3/2
y=7/2=3,5

(1,5; 3,5; 0)

Находим точку пересечения с плоскостью хОz
{y=0
{(x-5)/7=(y-5)/3=(z-3)/6
(x-5)/7=(0-5)/3
x-5=(-35/3)
x=-20/3
(z-3)/6=(-5)/3
z-3=-10
z=-7

(-20/3;0;-7)

Находим точку пересечения с плоскостью yОz
{x=0
{(x-5)/7=(y-5)/3=(z-3)/6
(y-5)/3=(0-5)/7
y-5=(-15/7)
y=20/7
(z-3)/6=(0-5)/7
z-3=-30/7
z=-9/7

(0; 20/7; -9/7)

Ответ выбран лучшим
На прямой пересечения плоскостей бесчисленное множество точек.
Выберем две из них.
Пусть первая координата этой точки
х=0
Две другие координаты находим из системы
{3*0 - y -2z + 9 = 0
{0 + z - 3 = 0 ⇒ z = 3
-y -6+9=0
y=3
(0;3;3)
Пусть у второй точки третья координата z=0
{3x - y -2*0 + 9 =0
{x + 0 - 3 =0
x=3
3*3- y -0 + 9=0
y=18
(3;18;0)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через три точки
(0;3;3);(3;18;0) и (4;-2;-3)
(прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Направляющий вектор прямой vector{s}=(5;8;-6) становится нормальным вектором плоскости vector{n}=vector{s}=(5;8;-6)
Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку
M_(o)(-7;-2;-9) c заданным нормальным вектором vector{n}=(5;8;-6)
5*(x - (-7)) + 8*(y - (-2)) - 6*(z - (-9))=0
5x +8y - 6z = 3
a=5
b=8
c=-6
d=3
d(куба)=a*sqrt(3)
a=d/sqrt(3);
V=a^3=(d/sqrt(3))^3=d^3/(3*sqrt(3))=d^3*sqrt(3)/(9)
О т в е т. 1)
Ответ выбран лучшим
1)
a) (2*1^2-7*1-4)/(2*1^2-13*1+20)=(-9)/9=-1;
б) считаем как в а) и получаем (0/0)
устраняем неопределенность
Раскладываем и числитель и знаменатель на множители
(2x^2-7x-4)=(x-4)(2x+1)
(2x^2-13x+20)=(x-4)(2x-5)
cокращаем на (х-4)
lim_(x→4)(2x+1)/(2x-5)=(2*4+1)/(2*4-5)=9/3=3
в) (∞ /∞)
Делим и числитель и знаменатель на x^2

lim_(x → ∞ )(2 - (7/x) -(4/x^2))/(2 - (13/x) + (20/x^2))=(2-0-0)/(2-0+0)=1

2)
как 1б
2x^2-7x+6=(x-2)*(2x-3)
2x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

О т в е т. (2*2-3)/(2-3)=1/(-1)=-1
Ответ выбран лучшим
6. Замена
sqrt(x)=t
x=t^2
dx=2tdt
Получим
∫ (2tdt)/(t*(t^2+3))=2 ∫ dt/(t^2+3)=(2/sqrt(3))* arctg (t/sqrt(3))+C=

=(2/sqrt(3))* arctg (sqrt(x)/sqrt(3))+C

7.
sin^2 α= (1-cos2 α )/2
получаем
∫ ( 1 - cos (8x+6))/2dx=(1/2) ∫ dx - (1/2) ∫ cos(8x+6)dx=

=(1/2)x - (1/2)*(1/8) sin(8x+6)+C

8.
Замена
сosx+1=t
d(cosx+1)=dt
(cosx+1)`*dx=dt
-sinxdx=dt
sinxdx=-dt
получаем
∫ (-dt)/∛t=- ∫ t^(-1/3)dt=-t^((-1/3)+1)/((-1/3)+1) + C=

=(-3/2)*t^(2/3)+C =

=(-3/2)*∛(cosx+1)^2 + C

9.

=(1/10)*e^(10x+2) + C

10.

= ∫ xdx/(x^2+1/3) - (2/3) ∫ dx/(x^2+(1/3))=

=(1/2)ln|x^2+(1/3)| -(2/3)*(sqrt(3))arctg(sqrt(3)x) + C

13.
=(-1/3)ln|4-3x|+C

12.

2* ∫ xdx - ∫ x^(-3/2)dx +4 ∫ x^(-2)dx= (2x^2/2)- (x^(-1/2))/(-1/2) +4x^(-1)/(-1)+C=

=x^2+(2/sqrt(x))-(4/x) + C

11
u=arccos7x
du=-7dx/sqrt(1-49x^2)

dv=dx
v=x

=x*(arccos7x)+7 ∫ xdx/sqrt(1-49x^2)=

=x*(arccos7x) -(7/98) ∫ d(1-49x^2)/sqrt(1-49x^2)=

=x*(arccos7x) -(1/14)*2sqrt(1-49x^2)+C
Ответ выбран лучшим
Сумма первых девяти чисел равна 14*9=126
Сумма первых восьми чисел равна 13*8=104
126-104=22 - девятое число (прикреплено изображение)
1. Строим параболу y=x^2
2. Cтроим параболу y=x^2-3, параллельный перенос предыдущего графика на 3 единицы вниз
3. Строим y=|x^2-3|
Часть графика, y=x^2-3, расположенную ниже оси Ох, отражаем симметрично оси Ох
график синего цвета
4. Строим y=|x^2-3|+2 c помощью параллельного переноса на 2 единицы вверх
график красного цвета (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Составляем уравнение плоскости, проходящей через три точки: (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Найдем две точки принадлежащие каждой плоскости, а значит и линии их пересечения.
По условию одна такая точка M_(o) имеет третью координату z=0
Две другие координаты находим из системы:
{3x -4y +5*0=1;
{3x+4*0=1 ⇒ x=1/3
y=0

vector{a}=(-16;..;...)
vector{a}=vector{M_(o)M}
значит первую координату точки M находим из условия
х_(M)-x_(M_(o))=-16
x_(M)=-16+(1/3)=-47/3

Две другие координаты точки М из системы:
{3*(-47/3) - 4y + 5z = 1;
{3*(-47/3) + 4z =1 ⇒ z=12
- 4y =-12
y=3
О т в е т. vector{r}=(1/3;0;0)+t*(-16;3;12) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
k(касательной)= f `(x_(o)) = tg α

α =120 градусов ⇒ tg α = - sqrt(3)

Найдем сколько точек на графике, в которых

f `(x) =- sqrt(3)

Проводим прямую y= - sqrt(3) и смотрим сколько точек пересечения эта прямая имеет с графиком y= f ` (x)

О т в е т. Три точки (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
k(касательной)=f `(x_(o))

f`(-3)= 3 ( по графику)

О т в е т. k(касательной)=3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Формула полной вероятности.
Гипотезы
H_(i) - выбрана i-ая урна, i=1,2,3,4,5
p(H_(i))=1/5
A - вынут белый шар
p(A/H_(1))=p(A/H_(2))=1/4
p(A/H_(3))=p(A/H_(4))=p(A/H_(5))=2/4

p(A)=(1/5)*(1/4)+(1/5)*(1/4)+(1/5)*(2/4)+(1/5)*(2/4)+(1/5)*(2/4)=

=2*(1/5)*(1/4)+3*(1/5)*(2/4)=4/10=0,4
Ответ выбран лучшим
Запишем уравнение плоскости в параметрическом виде:
x=-5+3t
y=2+5t
z=1-t
и подставим в уравнение плоскости -x +y -z =12 :

- (-5 + 3t) +(2 + 5t) - (1 - t) = 12;

3t =6
t=2

При t=2
x=-5+3*2=1
y=2+5*2=12
z=1-2=-1
О т в е т (1;12;-1)
Находим координаты точки пересечения асимптот.
(5/8)х - 2 = (-5/8)х - 5;
(10/8)х=-3
х=-24/10=-2,4
y=-3,5
(-2,4; -3,5)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна,
2b=6
b=3.
Из уравнения асимптот
5/8=3/a
a=24/5

значит уравнение гиперболы

(х-(-2,4))^2/(24/5)^2 - (y-(-3,5))^2/3^2 = -1


c^2=a^2+b^2=(576/25)+9=(576+225)/25=(801)/25
c=sqrt(801)/5

Расстояние между фокусами
2с=2sqrt(801)/5

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(801)/(5*3) ≈ 1,88679622641 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Параллельные плоскости имеют одинаковые нормальные векторы.
Нормальный вектор данной плоскости vector{n}=(-10;10;6)

Уравнение плоскости, проходящей через точку (-9;-3;-1) с заданным нормальным вектором vector {n}=(-10;10;6)
-10*(x-(-9)) +10*(y-(-3))+6*(z-(-1))=0
-10x+10y+6z-54=0
Умножаем на (-1):
10х-10y-6z=-54
a=10
b=-10
c=-6
d=-54
Ответ выбран лучшим
=sqrt(32)*(cos^2(5π/8)-sin^2(5π/8)=

=sqrt(32)*(cos(2*5π/8)=

=sqrt(32)*cos(5π/4)=

=sqrt(32)*cos(π + (π/4))=

=sqrt(32)*(-sqrt(2)/2) = -8/4 = - 2
1)
(-7/8)+4 целых (2/3)=(-7/8)+(14/3)=(-21/24)+(98/24)=77/(24)

2)
(77/24)*9,6=(77/24)*(96/10)=(77*4)/10=308/10=30,8
Пусть сторона тетраэдра равна а.
Тогда
r=asqrt(3)/6
R=asqrt(3)/3
H^2=a^2-R^2=a^2-(asqrt(3)/3)^2=2a^2/3;

V(конуса)=(1/3)*π*r^2*H=(1/3)*π*(asqrt(3)/6)^2*(asqrt(2/3))=

=a^3*(sqrt(6)/108)*π

Приравниваем
a^3*(sqrt(6)/108)*π=16sqrt(6)*π
a^3=1728
a=∛1728
Апофема - высота равностороннего треугольника со стороной а:
h=asqrt(3)/2=(∛1728)*sqrt(3)/2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S (конуса)=π*R*L=π*11*11sqrt(2)=121*sqrt(2)*π (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Находим координаты точки пересечения асимптот.
(7/6)х + 5 = (-7/6)х + 1;
(14/6)х=-4
х=-12/7
y=3
(-12/7;3)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна,
2b=16
b=8.
Из уравнения асимптот
7/6=8/a
a=48/7

значит уравнение гиперболы

(х-(-12/7))^2/(48/7)^2 - (y-3)^2/8^2 = -1


c^2=a^2+b^2=(2304/49)+64=(2304+3136)/49=(5440)/49
c=sqrt(5440)/7

Расстояние между фокусами
2с=2sqrt(5440)/7

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(5440)/(7*8) ≈ 1,31707778 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
5.
По частям
u=5x+1
du=5dx
dv=e^(-2x)dx
v=(-1/2)e^(-2x)

Получаем
u*v- ∫ v*du=
=(5x+1)*(-1/2)*e^(-2x) - ∫ (-1/2)e^(-2x)*(5dx)=

=(-(5x+1)/2)*e^(-2x) +(5/2) ∫ e^(-2x)dx=

=(-(5x+1)/2)*e^(-2x) + (5/2)* (-1/2)* e^(-2x) + C=

= (-(5x+1)/2)*e^(-2x) - (5/4) * e^(-2x) + C.

6.
Замена переменной
(7x+8)^(1/6)=t ⇒ (7x+8)=t^6
∛(7x+8)^2=t^4
sqrt(7x+8)=t^3

d(7x+8)=d(t^6)
7dx=6t^5dt
dx=(6/7)t^5dt

Получаем
= ∫ ((t^6+8)*(6/7)t^5dt)/(t^4+t^3)=

=(6/7) ∫ (t^6+8)*t^2dt/(t+1)

=(6/7) ∫ (t^8+8t^2)dt/(t+1)

См. интегрирование неправильных рациональных дробей.
Делим числитель на знаменатель.

(t^8+8t^2)/(t+1)=t^7-t^6+t^5-t^4+t^3-t^2+9t-9+(9/(t+1))

Интегрируем правую часть:

=(t^8/8)-(t^7/7)+(t^6/6)-(t^5/5)+(t^4/4)-(t^3/3)+(9t^2/2)-9t+9ln|t+1|+C
где t=(7x+8)^((1/6)

7.
Выделяем полный квадрат
32-x^2-4x=-(x^2+4x+4)+36=6^2-(x+2)^2
Замена
x+2=u
dx=du

получаем
∫ du/(6^2-u^2)= табличный интеграл см. формулу в приложении а=6
= (1/12)*ln|(u+6)/(u-6)|+С, где u=x+2

8.
∫ sin^5xdx= ∫ sin^4x*sinxdx= ∫ (1-cos^2x)^2(sinxdx)=

= ∫ (1-2cos^2x+cos^4x)*(sinxdx)= так как d(cosx)=-sinxdx, поэтому

= - ∫ d(cosx) +2* ∫ cos^2xd(cosx) - ∫ cos^4xd(cosx)=

=-cosx +2*(cos^3x/3) -(cos^5x/5) + C (прикреплено изображение)
1.
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
a^(m) : a^(n)=a^(m-n)

табличные интегралы 1; 4; 9 и правило интегрирования сложной функции, аргументом которой является линейная ( см. приложение 2)
(выделено жирным шрифтом)

=5*∫ (x^(4-(1/2))dx - 4*[b] ∫ cos5xdx[/b] +3*∫ (1/(4+x^2))dx - 9* ∫ dx=

=5*(x^(3,5+1))/(3,5+1) -4 * (1/5) sin5x +3* (1/2)arctg (x/2) -9x +C=


=(10/9)x^(4,5)-(4/5)sin5x +(3/2)arctg(x/2)-9x+C

2.
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

табличные интегралы 12; 8; 2
и правило интегрирования сложной функции, аргументом которой является линейная ( см. приложение 2)
(выделено жирным шрифтом)

=6*ln|x+sqrt(x^2-5)|+[b](3/7)(-ctg7x)[/b]-2ln|x-3| + C

3.
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

табличные интегралы 11; 10; 12
и правило интегрирования сложной функции, аргументом которой является линейная ( см. приложение 2)
(выделено жирным шрифтом)

=2*[b](1/4)e^(4x)[/b]-6*arcsin(x/4)+4*ln|x+sqrt(x^2+13)|+C


4.
Замена переменной:
u=arcsinx;
du=dx/sqrt(1-x^2)
получим
= ∫ udu=(u^2/2)+C = ((arcsinx)^2/2) + C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.) Ответ. -2e^(-x)+C
Проверка.
(-2e^(-x)+C)`=-2*e^(-x)*(-x)`=2*e^(-x)=2/e^(x) - верно

2)
F(x)=x^3-2x+C
Подставляем координаты точки M
4=2^3-2*2+C
C=0
О т в е т. F(x)=x^3-2x

3)
F`(x)=(-2ctgx-3x+C)`=-2*(ctgx)`-3+0=-2*(-1/sin^2x)-3=(2/sin^2x)-3
О т в е т. 1) f(x)=(2/sin^2x)-3
Ответ выбран лучшим
Выразим t
t=(x-1)/7
t=(y-2)/5
t=(z-3)/3
Получили уравнение прямой
(x-1)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
направляющий вектор vector{s}=(7;5;3)

Составим уравнение прямой, проходящей через точку Р(4;2;3) с
направляющим вектором vector{s}=(7;5;3)

[b](x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3[/b]

точки пересечения этой прямой

с плоскостью xOy
z=0
{z=0
{(x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3

(x-4)/7=(y-2)/5=-3/3 ⇒
(x-4)/7=-1; x-4=-7; x=-3
(y-2)/5=-1; y-2=-5; y=-3

c плоскостью xOz
y=0

{y=0
{(x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3


(x-4)/7=(-2)/5=(z-3)/3
(x-4)/7=-2/5; x=(-14/5)+4=6/5
(z-3)/3=(-2/5); z=9/5

c плоскостью уOz
x=0

{x=0
{(x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
(-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
y=(-20)/7+(2)=-6/7
z=(-12/7)+3=9/7



Ответ выбран лучшим
Cоставляем уравнение плоскости, проходящей через три точки: (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(x-4)/5=(y-5)/2=(z+5)/4

плоскость хоу
z=0
(x-4)/5=(5/4)
x=(41)/4
(y-5)/2=5/4
y=(15)/(2)

плоскость xoz
y=0
(x-4)/5=(-5/2)
x=(-17)/2
(z+5)/4=(-5/2)
z=-15

плоскость yoz
x=0
(y-5)/2=(-4/5)
y=(17)/5
(z+5)/4=(-4/5)
y=(-41)/5
Ответ выбран лучшим
Последняя координата общей точки - точки пересечения плоскостей
z=0
Поэтому две другие координаты найдем из системы:
{2x-4y= 1
{2x = 1 ⇒ x = 1/2

y=0
M_(o)=(1/2; 0; 0)

x_(M)=-8,5
тогда
первая координата вектора vector{a} равна -8

Поэтому две другие координаты найдем из системы:
{2*(-8,5) - 4y + z = 1
{2*(-8,5)+ 2z = 1 ⇒ z = 9

-4у=9

y=-9/4

О т в е т. vecrot{r}=(1/2;0;0)+t*(-8; -9/4; 9)
Ответ выбран лучшим
vector{r}=(-3; 1; 5) + t*(-5;-5;1)
при t=0
получаем координаты точки Р
Ответ выбран лучшим
Нет

S(круга)=πR^2

πR^2 : R ≠ π
Ответ выбран лучшим
Направляющий вектор данной прямой
vector{s}=(9;-8;4)
Плоскость перпендикулярна прямой, значит направляющий вектор прямой - нормальный вектор плоскости.

vector{n}=(9;-8;4)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку (-3;-8;-5)
с заданным нормальным вектором vector{n}=(9;-8;4)

Cм. приложение:

9*(x-(-3))-8*(y-(-8)) +4*(z-(-5))=0
9x - 8y +4z - 17=0
или
9х - 8y +4z = 17
О т в е т.
a=9;
b=-8;
c=4
d=17
Ответ выбран лучшим
угол между плоскостями - угол между их нормальными векторами.

vector{n_(1)}=(2;-4;2)
vector{n_(2)}=(5;-2;5)

Находим длины векторов
|vector{n_(1)}=sqrt(2^2+(-4)^2+2^2)=sqrt(24)=2sqrt(6);
|vector{n_(2)}=sqrt(5^2+(-2)^2+5^2)=sqrt(54)=3sqrt(6)

Находим скалярное произведение векторов:
vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=2*(-5)+(-4)*(-2)+2*5)=8

cos ∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=(vector{n_(1)}*vector{n_(2)})/(|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|)=

=8/(2sqrt(6)*3sqrt(6))=8/36=2/9

∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=[b]arccos(2/9)[/b]
Ответ выбран лучшим
Пусть первоначальная цена товара х руб.

x:100*20= 0,2x руб составляют 20%

х-0,2х=0,8х руб цена товара после первой скидки

0,8x :100*13=0,104х руб. составляют 13% от 0,8х руб

0,8х-0,104х=0,696х руб - цена после второй скидки,

что по условию задачи равно 174 руб

0,696х=174
х=174:0,696
х=250
Область определения находим из системы неравенств:
{x^2-4x>0⇒ x*(x-4)>0⇒ x < 0 или x > 4
{sqrt(x^2-4x) -x+3 >0 ⇒ sqrt(x^2-4x) >3-x;
Если 3-х < 0, то sqrt(x^2-4x)>3-x при любом x <0 или x > 4,
тогда х >4

Если 3-x >0, т.е. x < 3
возводим обе части неравенства в квадрат
x^2-4x > 9-6x+x^2
2x> 9
x>4,5

О Д З: (- ∞ ;0) U (4,5;+ ∞ )

Наименьшее целое, положительное принадлежащее ОДЗ
x=5
Ответ выбран лучшим
Плоскость - 5x + 5y -5z=4 , нормальный вектор vector{n}=(-5;5;-5)
Для прямой, перпендикулярной плоскости, вектор vector{n}=(-5;5;-5)
является направляющим вектором.
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку Р (5;-2;-2)
с направляющим вектором vector{n}=(-5;5;-5)
(x-5)/(-5) = (y+2)/5 = (z+2)/(-5)
Cоставляем параметрическое уравнение.
Вводим параметр t:
(x-5)/(-5) = (y+2)/5 = (z+2)/(-5)=t;
x-5=-5t;
y+2=5t;
z+2=-5t

x=5-5t;
y=-2+5t
z=-2-5t

Что в вектором виде означает
vector{r}=(5;-2;-2)+t*(-5;5;-5)
Тогда первая координата вектора vector{r}
x=5+t*(-5);
вторая координата этого вектора
y=-2+t*5
третья координата этого вектора
z=-2+t*(-5)

При t=0
x=x(0)=5
y=y(0)=-2
z=z(0)=-2
Это и есть координаты точки Р
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(2;4) - центр эллипса.
a^2=9 ⇒ a=3- малая полуось на оси Ох
b^2=25 ⇒ b=5 - большая полуось на оси Оу.

малая ось 3+3=6
большая ось 5+5=10 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
MB ⊥ плоскости АВС, значит перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, в том числе и ВС
MC - наклонная,
ВС - проекция
По теореме о трех перпендикулярах,
если MC ⊥ AC, то и BC ⊥ AC
Δ ABC - прямоугольный, ∠ С=90 градусов.
По теореме Пифагора
АВ=sqrt(m^2+n^2)

(прикреплено изображение)
1 способ ( как на листочке)
(4*cosx*sinx)`=(4cosx)`*sinx (4cosx)*(sinx)`=4*(-sinx)*sinx 4cosx*(cosx)=4cos^2x-4sin^2x=
=4*(cos^2x-sin^2x)=4cos2x
2 способ
4сosx*sinx=4*(2sinx*cosx)=2sin2x
(2sin2x)`=2*(cos2x)*(2x)`=4cos2x
Найдем абсциссы точек переcечения графиков
4-x^2=3x;
x^2+3x-4=0
D=9+16=25
x=(-3-5)/2=-4; x=(-3+5)/2=1
S= ∫ ^(1)_(-4)((4-x^2)-(3x))dx=
=(4x-(x^3/3)-(3x^2/2))|^(1)_(-4)=
=4-(1/3)-(3/2)-(-16+(64/3)-24)=125/6 (прикреплено изображение)
V=S_(осн)*H
S_(осн)=(1/2)d_(1)*d_(2)*sin60^(o)

V=(1/2)*4*4*(sqrt(3)/2)*6=24sqrt(3) (прикреплено изображение)
B_(1)C_(1) ⊥ пл.С_(1)СDD_(1) ⇒ B_(1)C_(1) ⊥ DC_(1)
О т в е т. 90 градусов (прикреплено изображение)
lim_(x→ 2 - 0) f(x)=lim_(x→ 2 - 0) 2^(1/(x-2))=2^(- ∞ )=0

im_(x→ 2 +0) f(x)=lim_(x→ 2 - 0) (3x+a)=3*2+a=6+a

Для непрерывности функции требуем, чтобы предел слева был равен пределу справа ( и значению функции в точке. Оно такое же как предел справа)
6+а=0
а=-6
Ответ выбран лучшим
7.
log_(5)5+log_(0,25)64=1+ log_(1/4)4^3=1+3log_(1/4)4=1+3*(-1)=-2;
16.
3+log_(2)6=3*log_(2)2+log_(2)6=log_(2)2^3+log_(2)6=log_(2)(8*6)=log_(2)48
log_(2)48/log_(2)48=1
18.
log_(6)81/log_(6)9=log_(9)81=2
Формула перехода к другому основания справа налево.
20.
log_(sqrt(8))64=4, так как ((sqrt(8))^2)^2=64
log^(2)_(sqrt(8))64=4^2=16
21.
9^(3log_(9)11)=9^(log_(9)11^(3))=11^(3)
основное логарифмическое тождество
22.
4^(log_(2)sqrt(3))=2^(2log_(2)sqrt(3))=2^(log_(2)(sqrt(3))^2)=(sqrt(3))^2=3
25.
log_(1/8)sqrt(8)=log_(8^(-1))8^(1/2)=(-1/2)log_(8)8=-1/2
26.
4^(log_(6)72)/4^(log_(6_2)= (a^(m):a^(n)=a^(m-n))=
4^(log_(2)72 - log_(2)6)=4^(log_(6)72/2)=4^(log_(6)36)=4^(2)=16
27.
log_(3)sqrt(5)/log_(3)5=log_(5)sqrt(5)=log_(5)5^(1/2)=(1/2)log_(5)5=
=(1/2)*1=(1/2)
28.
(a^(m))^(n)=a^(m*n)

(5^(log_(3)7))^(log_(7)3)=5^(log_(3)7 * log_(7)3)=5^(1)=5

cм формула перехода к другому основанию
log_(a)b=1/log_(b)a ⇒
[b]log_(a)b*log_(b)a=1[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
замена переменной
3^(x)=t;
t>0
9^(x)=(3^(2))^(x)=(3^(x))^(2)=t^2
27^(x)=t^3
3^(2x+1)=3^(2x)*3=3t^2
3^(x+2)=3^(x)*3^(2)=9t

(t-3)^3/(2t-4) ≤ (t^3-6t^2+9t)(t-t^2+2);

Переносим все слагаемые влево, приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые

(t-3)^3/(2*(t-2))+((t-3)^2*t)/((t-2)(t+1)) ≤ 0

*(t-3)^2/(t-2))*((t-3)*(t+1)+2t)/(t+1)) ≤ 0

(t-3)^2*(t^2-3)/(2*(t-2)(t+1)) ≤ 0

Метод интервалов
_+__ [-sqrt(3)] __-__ (-1) __+_ [sqrt(3)] _-_(2) __+__ [3] ___+_

Учитывая, что t >0

t ∈ [sqrt(3);2) U{3}

Обратный переход

sqrt(3) ≤ 3^(x) < 2 или 3^(x)=3
(1/2) ≤ x < log_(3)2 или x=1

О т в е т. [1/2; log_(3)2) U {1}
ОДЗ:
{x^2+x-2>0 ⇒ x <-2 или х>1
{x^2+x-2 ≠ 1 ⇒ x^2+x-1 ≠ 0

По определению логарифма
x^3+2x^2-5x-5=(x^2+x-2)^(0)
x^3+2x^2-5x-6=0
x^3+1+2x^2-2-5x-5=0
(x+1)*(x^2-x+1+2x-2-5)=0
(x+1)*(x^2+x-6)=0
x=-1; x=-3; x=2 - корни
x=-1 не принадлежит ОДЗ

log_(3)0,25=log_(3)(1/4)<log_(3)(1/3)=-1
log_(3)0,25=log_(3)(1/4)>log_(3)(1/9)=-2

log_(3)17 < log_(3)27=3
log_(3)17 > log_(3)9=2
2<log_(3)17<3
-3 < log_(3)0,25 < log_(3)17 < 3
О т в е т. Указанному отрезку принадлежит корень x=2
Выражаем t
t=(x-1)/5
t=(y-2)/1
t=(z-3)/7
Приравниваем правые части:
(x-1)/5=(y-2)/1=(z-3)/7
получаем каноническое уравнение прямой
Направляющий вектор это прямой vector{s}=*(5;1;7)

Параллельная прямая имеет тот же направляющий вектор и проходит через точку Р(4;-1;2)

(x-4)/5=(y+1)/1=(z-2)/7

Точки пересечения с плоскостью xOy
z=0
(x-4)/5=(y+1)/1=(0-2)/7

(x-4)/5=(-2/7)
x=(-10/7)+4=18/7
(y+1)/1=(-2)/7
y=(-2/7)-1=(-9/7)
(18/7;-9/7;0)

Точки пересечения с плоскостью xOz
y=0
(x-4)/5=(0+1)/1=(z-2)/7

(x-4)/5=1
x=5+4=9
(z-2)/7=1
z-2=7
z=9
(9;0;9)

Точки пересечения с плоскостью yOz
x=0
(0-4)/5=(y+1)/1=(z-2)/7

(y+1)/1=(-4/5)
y=(-4/5)+1=1/5
(z-2)/7=1
z-2=7
z=9
(0;1/5;9)


Ответ выбран лучшим
а) Каноническое уравнение параболы вида
y^2=2px;
Вершина в точке (0;0) фокус в точке (p/2;0); уравнение директрисы х=-p/2)

(y`)^2=4(x`);
y`=y-7
x`=x-4

Параллельный перенос вершины из точки (0;0) в точку (4;7)

(4;7) - вершина
2p=4; p=2

F(5;7) - фокус
x= 3 - уравнение директрисы

b) y^2-8y=20x-16
(y-4)^2=20x
Вершина в точке (0;4)
2p=20
p=10
Фокус
F(10;4)
Уравнение директрисы
х = -10

с)
2p=20
p=10
Каноническое уравнение параболы вида
x^2=2py
Фокус в точке (0;p/2)
Уравнение директрисы у = - p/2

2p=20
p=10

Вершина в точке (1;1)
Фокус в точке (1;11)

Уравнение директрисы
y = - 9

d)x^2+8x=4y-28
(x^2+8x+16)=4y-12
(x+4)^2=4*(y-3)

Вершина в точке (-4;3)
2p=4
p=2
Фокус в точке F(-4;4)
Уравнение директрисы
y= 2

Cм рис d)

Если бы каждое задание было в отдельном вопросе,
то рисунок был бы приложен к каждому заданию,
а так только к последнему, чтобы не нарушать
последовательность . (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
а)
Прямая
3x-5y+4=0 имеет нормальный вектор vector{n}=(3;-5)
Параллельные ей прямые имеют такой же нормальный вектор.
Уравнение прямой, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o)) c нормальным вектором vector{n}=(A;B)
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))=0
5*(x-4)-3*(y-1)=0
[b]5x-3y-17=0[/b]

Можно записать уравнение прямой с угловым коэффициентом
y=(5/3)x+(4/3)
k=(5/3)
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
y=(5/3)x+b - множество прямых, параллельных данных
Выделим ту, которая проходит через точку С(4;1)
Подставим координаты точки С:
1=(5/3)*4+b
b=-17/3
y=(5/3)x-(17/3)
или
3у=5х-17
5x-3y-17=0

б)
Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом
3y=7x+8
y=(7/3)x+(8/3)
k=(7/3)
Произведение угловых коэффициентов
взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
k=-1/(7/3)=(-3/7) - угловой коэффициент прямой,
перпендикулярной данной
y=(-3/7)x+b
Чтобы найти b подставим координаты точки С
1=(-3/7)*4+b
b=19/7
[b] y=(-3/7)x+(19/7)
3x+7y-19=0[/b]
V = π ∫ ^(2)_(0)(x^2)^2dx = π*(x^5/5)|^(2)_(0)=32π/5;
5)
1-cos4x=2sin^22x

lim_(x→0) (2sin^22x)/sin^23x=(2*2*2)/(3*3)=8/9

lim_(x→0)(sin2x/2x)=1
lim_(x→0)(3x/sin3x)=1

4)
Неопределенность 0/0
Умножаем и числитель и знаменатель
на (sqrt(x+4)+1)*(sqrt(3-2x)+3)

Применяем формулу (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(sqrt(x+4)-1)*(sqrt(x+4)+1)=(sqrt(x+4))^2-1^2=(x+4-1);
(sqrt(3-2x)-3)*(sqrt(3-2x)+3)=(sqrt(3-2x))^2-3^2=(3-2x-9);

=lim_(x→ - 3)(x+4-1)*(sqrt(3-2x)+3)/(3-2x-9)*(sqrt(x+4)+1)=

=lim_(x→ - 3)(x+3)*(sqrt(3-2x)+3)/(-2*(x+3))*(sqrt(x+4)+1)=

сокращаем на (х+3)

=6/(-2*2)=-3/2
2) плоскость Q: -2х - 2у +z - 5 = 0
нормальный вектор vector{n}=(-2;-2;1)
совпадает с направляющим вектор прямой, перпендикулярной Q.

(x-2)/(-2)=(y-10)/(-2)=(z+7)/1
3)
Параметризуем, вводим t
(x-2)/(-2)=(y-10)/(-2)=(z+7)/1 =t ⇒
x-2=-2t
y-10=-2t
z+7=t

x=2-2t
y=10-2t
z=-7+t

и подставляем в уравнение плоскости
-2(2-2t)-2*(10-2t)+(-7+t)-5=0;
9t-36=0
t=4
При t=4
x=2-2*4=-6
y=10-2*4=2
z=-7+4=-3
(-6;2;-3) - точка пересечения прямой, перпендикулярной Q с плоскостью Q

Плоскость хОу
z=0
Подставляем в уравнение прямой
(x-2)/(-2)=(y-10)/(-2)=(0+7)/1
(x-2)/(-2)=7 ⇒ x = - 12
(y-10)/(-2)=7 ⇒ y = - 4
( -12; -4; 0)

Плоскость хОz
y=0
(x-2)/(-2)=(0-10)/(-2)=(z+7)/1
(x-2)/(-2)=5⇒ x = -8
(z+7)/1=5⇒ z = -2
(-8; 0; -2)

Плоскость уОz
x=0
(0-2)/(-2)=(y-10)/(-2)=(z+7)/1
(y-10)/(-2)=1 ⇒ y = 8
(z+7)/1=1 ⇒ z = - 7
( 0; 8; -7)
Ответ выбран лучшим
(sin3x-sinx)-sin2x=0
2sinxcos2x-sin2x=0
2sinxcos2x-2sinxcosx=0
2sinx*(cos2x-cosx)=0
2sinx*(-2sin(3x/2)sin(x/2))=0

sinx=0⇒ x=πk, k ∈ Z
или
sin(3x/2)=0⇒ (3x/2)=πm, m ∈ Z ⇒ x=(2π/3)m, m ∈ Z
или
sin(x/2)=0 ⇒ (x/2)=πn, n ∈ Z ⇒ x=2πn, n ∈ Z этот ответ входит в первый и входит во второй, его можно не писать

О т в е т. (2π/3)m, m ∈ Z ; π+2πk, k ∈ Z (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)
Замечаем, что
(x^2+3x+5)`=2x+3
Это означает,
что
d(x^2+3x+5)=(2x+3)dx
и
получаем табличный интеграл вида
∫du/sqrt(u)=2sqrt(u)
О т в е т. 2sqrt(x^2+3x+5) + C

2.
Замена
5-4x=u
-4dx=du
dx=(-1/4)du
4x=5-u
x=(1/4)(5-u)
Меняем пределы интегрирования
При х_(1)=-1 получаем u_(1)=9
При x_(2)=1 получаем u_(2)=1

Данный интеграл равен интегралу
(-1/16)∫ ^(1)_(9) (5-u)du/sqrt(u)=

=(-1/16) ∫^(1)_(9) (5/sqrt(u)du +(1/16) ∫^(1)_(9) sqrt(u)du=

(можно поменять пределы и знак перед интегралом)

=(-5/16)*2sqrt(u)|^(1)_(9) +(1/16)*(2/3)u^(3/2)|^(1)_(9)=

=(-10/16)*(1-3)+(1/24)*(1-27)=(20/16)-(26/24)=(15/12)-(13/12)=1/6

Можно
по-другому сделать замену

sqrt(5-4x)=t;
5-4x=t^2;
x=(5-t^2)/4;
dx=-2tdt/4;
dx=-dt/2;

Пределы
x_(1)=-1 ⇒ t_(1)=3
x_(2)=1 ⇒ t_(2)=1

= (-1/2)∫^(1)_(3) (5-t^2)dt/4=

=(1/8) ∫ ^(3)_(1)(5-t^2)dt=(1/8)*(5t-(t^3/3))|^(3)_(1)=

=(1/8)*(15-9)-(1/8)*(5-(1/3))=(3/4)-*(-7/12)=(9/12)-(7/12)=2/12=1/6
Ответ выбран лучшим
lim_(x→-5-0)f(x)=(-5)^2+10*(-5)+27=2
lim_(x→-5+0)f(x)=-(-5)^2-10*(-5)-23=2

Предел слева равен пределу справа и равен 2
Значит функция имеет предел в точке и он равен 2
Переопределив
f(-5)=2
Тогда и предел функции и значение функции в точке (-5) будут равны 2, а это определение непрерывности функции в точке.
Функция становится непрерывной
Ответ выбран лучшим
1) Подставляем 1 вместо х

=(1-3-2)/(1-16)=-4/(-15)=4/15
2.
cos(-3x)=cos3x

1-cos3x=2sin^2(3x/2)

cos(3x)-1=-2sin^2(3x/2)

lim_(x→0)(-2sin^2(3x/2))/(sin9x^2)=-1/2


lim_(x→0)(sin(3x/2))/(3x/2)=1
lim_(x→0)(9x^2)/(sin9x^2)=1
Ответ выбран лучшим
Выделяем полные квадраты
(x^2+2x)-(4y^2-16y)-7=0
(x^2+2x+1)-4(y^2-4y+4)-1+16-7=0
(x-1)^2-4*(y-2)^2=-8
(y-2)^2/2-(x-1)^2/8=1
это гипербола
c центром в точке (1;2)
действительной осью, параллельной оси Оу. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y`=14x +3*(-sinx)-e^(x)-sin(ctgx) * (ctgx)`=

=14x +3*(-sinx)-e^(x)-sin(ctgx) * (-1/sin^2x)
Ответ выбран лучшим
y=u*v
y`=u`*v+u*v`=(3x^2-4)`*lnx +(3x^2-4)*(lnx)`=

=6x*lnx +(3x^2-4)*(1/x)
Ответ выбран лучшим
y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
u=sinx
v=(4x+2)

y`=((sinx)`*(4x+2)-sinx*(4x+2)`)/(4x+2)^2=

=(cosx*(4x+2)-sinx*4)/(4x+2)^2

Ответ выбран лучшим
x^(10)−3x^6+9x^2−1=0

-9x^2=x^(10)-3x^(6)-1
-27x^2=3x^(10)-9x^(6)-3

Тогда

x^(4)−27x^(2)+3=x^(4)+3x^(10)-9x^6-3+3=3x^(10)-9x^(6)+x^(4)=

=x^(4)*(3x^(6)-9x^(2)+1)=

=x^(4)*(3x^6+x^(10)-3x^(6)-1+1)=x^4*x^(10)=x^(14)


log_(x)(x^4−27x^2+3)=log_(x)x^(14)=14
vector{r}=vector{r_(o)}+vector{a}

Причем третья координата vector{r_(o)} равна 0
Значит находим точку пересечения плоскостей, так, чтобы z=0
{5x+2y=-5
{5x=2
x=0,4
y=-3,5

M_(o)(0,4; -3,5; 0)
vector{a}=(6; ?; ?)
Значит, первая координата точки M равна 6,4

{5*6,4+2y-z=-5;
{5*6,4+3z=2
z= - 10
y= - 23,5

vector{a}=vector{M_(o)M}=(6,4-0,4; -23,5-(-3,5); -10-0)=(6;-20;-10)
О т в е т. vector{r}=(0,4; -3,5; 0)+t*(6; -20; -10) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
43.
vector{CA}=(1-(-3);1-(-2);5-5)=(4;3;0)
vector{CB}=(1-(-2);1-0;5-7)=(3;1;-2)
|vector{CA}|=sqrt(4^2+3^2+0^2)=5
|vector{CB}|=sqrt(3^2+1^2+(-2)^2)=sqrt(14)
Найдем скалярное произведение векторов:
vector{CA}*vector{CB}=4*3+3*1+0*(-2)=15

сos ∠ ACB=(vector{CA}*vector{CB})/|vector{CA}|*|vector{CB}|=

=15/(5*sqrt(14))=3sqrt(14)/14

∠ ACB=arccos(3sqrt(14)/14)

43.
vector{CA}=(1-(-3);1-(-2);5-5)=(4;3;0)
vector{CB}=(1-(-2);1-0;5-7)=(3;1;-2)
|vector{CA}|=sqrt(4^2+3^2+0^2)=5
|vector{CB}|=sqrt(3^2+1^2+(-2)^2)=sqrt(14)
Найдем скалярное произведение векторов:
vector{CA}*vector{CB}=4*3+3*1+0*(-2)=15

сos ∠ ACB=(vector{CA}*vector{CB})/|vector{CA}|*|vector{CB}|=

=15/(5*sqrt(14))=3sqrt(14)/14

∠ ACB=arccos(3sqrt(14)/14)

45.
vector{CA}=(2-(-1);4-0;5-3)=(3;4;2)
vector{BC}=(-1-(-3);0-2;3-2)=(2;-2;1)

Найдем скалярное произведение векторов:
vector{CA}*vector{BC}=3*2+4*(-2)+2*1=0

vector{CA} ⊥ vector{BC}

46.

vector{a} ⊥ vector{b} ⇒ vector{a}*vector{b}=0

Найдем скалярное произведение векторов:
vector{a}*vector{b}=(-2)*3+y*(-1)+1*2=- 4 - y

-4 -y =0
y= -4
Ответ выбран лучшим
Прямая перпендикулярна плоскости, значит нормальный вектор плоскости - направляющий вектор прямой.
(x-1)/(5)=(y-4)/(-2)=(z+5)/(-2)
Параметризуем, вводим t
(x-1)/(5)=(y-4)/(-2)=(z+5)/(-2)=t

x-1=5t
y-4=-2t
z+5=-2t

x=1+5t
y=4-2t
z=-5-2t

vector{r}=(1;4;-5)+t*(5;-2;-2)

При t=0
(1;4;-5) - координаты точки Р
6.
О т в е т. 4)
7.
О т в е т.
3)
3.
О т в е т.
3)
4.
О т в е т.
2)
5.
О т в е т.
3)
vector{r}=(5;0;5)+t*(8-5;5-0;3-5);
vector{r}=(5;0;5)+t*(3;5;-2)
При t=0
x=5+0*3=5
y=0+0*5=0
z=5+0*(-2)=5
vector{r}=vector{r_(o)}+vector{a}

Пропущено условие
[b]Одна из координат vector{r_(o)} должна быть указана.[/b]

Пусть z=0
{2x+5y=0
{2x=-5
x=-2,5
y=1

M_(o)(-2,5; 1 ; 0)

vector{a}=(5; ?; ?)

Значит, первая координата точки M равна 2,5

{2*2,5 + 5y + z = 0;
{2*2,5 + z = - 5
z= - 10
y= 1

vector{a}=vector{M_(o)M}=(2,5-(-2,5); 1-1; -10)=(5;0;-10)

О т в е т. vector{r}=(-2,5; 1; 0)+t*(5; 0; -10) (прикреплено изображение)
lim_(x→ 9-0)f(x)=9^2+7*9+5=81+63+5=
не 100 по крайней мере больше ста
lim_(x→ 9+0)f(x)=-3*9+2=-25
Ответ выбран лучшим
S= ∫^(ln3)_(ln2) (e^(3x)-e^(x))dx=((1/3)e^(3x)-e(x))|^(ln3)_(ln2)=

=(1/3)e^(3ln3)-e^(ln3)-(1/3)e^(3ln2)+e^(ln2)=

=(1/3)(e^(ln3))^3-3-(1/3)(e^(ln2))^3+2=

=(1/3)*3^3-(1/3)*2^3-1=

=(19/3)-1=16/3
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Находим координаты точки пересечения асимптот.
(9/2)х + 9 = (-9/2)х + 3;
9х=-6
х=-2/3
y=6
(-2/3;6)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна, b=7.
Из уравнения асимптот
9/2=7/a
a=14/9

значит уравнение гиперболы

(х-(2/3))^2/(14/9)^2 - (y-6)^2/7^2 = -1


c^2=a^2+b^2=(196/81)+49=(196+3969)/81=4165/81
c=sqrt(4165)/9

Расстояние между фокусами
2с=2sqrt(4165)/9

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(4165)/63 ≈ 1,02439383
Ответ выбран лучшим
Параллельные плоскости имеют одинаковые нормальные векторы
vector{n}=(a;b;c)
Значит уравнение искомой прямой
имеет вид:
-9*х+1*y+7*z=d
Плоскость, проходит через точку
(9;9;8)
Значит ее координаты удовлетворяют уравнению
-9*9+1*9+7*8=d
d=-16
-9x+1*y+7z=-16
или
умножим на (-1)
9х-1*у-7z=16
О т в е т.
a=9;
b=-1;
c=-7
d=16
Ответ выбран лучшим
Составляем уравнение прямой проходящей через две точки:
(x-1)/(-2-1)=(y-5)/(4-5)=(z-4)/(1-4)
(x-1)/(-3)=(y-5)/(-1)=(z-4)/(-3)
Параметризуем. Вводим параметр t
(x-1)/(-3)=(y-5)/(-1)=(z-4)/(-3)=[b] t[/b]
x=1-3t
y=5-t
z=4-3t

вектор{r}=(1;5;4)+t*(-3;-1;-3)
При t=0
получаем координаты точки Р
Ответ выбран лучшим
угол между плоскостями - угол между их нормальными векторами.

vector{n_(1)}=(5;-1;-3)
vector{n_(2)}=(-1;-2;-1)

Находим длины векторов
|vector{n_(1)}=sqrt(5^2+(-1)^2+(-3)^2)=sqrt(36)=6;
|vector{n_(2)}=sqrt((-1)^2+(-2)^2+(-1)^2)=sqrt(6)

vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=5*(-1)+(-1)*(-2)+(-3)*(-1)=0

Векторы ортогональны, их скалярное произведение равно 0
О т в ет. 90 градусов
Ответ выбран лучшим
Нормальный вектор vector{n}=(-3;3;2)
Прямая перпендикулярна плоскости, значит нормальный вектор плоскости есть ее направляющий вектор
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку Р(0;-5;4)
с направляющим вектором vector{n}=(-3;3;2)
(x-0)/(-3)=(y+5)/3=(z-4)/2
Параметризуем.
Вводим t:
(x-0)/(-3)=(y+5)/3=(z-4)/2=t
x=0-3t
y=-5+3t
z=4-2t

в векторно-параметрическом виде
vector{r}=(0;-5;4)+t*(-3;3;2)
Ответ выбран лучшим
Найдем координаты двух точек, принадлежащих линии пересечения плоскостей
Решаем систему
{3x-5y+5z=-2
{3x+3z=-1
Система имеет бесчисленное множество решений.

По условию третья координата точки M_(o)
z=0
{3x-5y=-2
{3x=-1
x=(-1/3)
y=1/5

М_(о)(-1/3;1/5;0)

По условию первая координата vector{M_(o)M}=vector{a}
равна (-15)
значит
x_(M)-x_(M_(o))=-15
x_(M)=-46/3

{3*(-46/3) -5y+5z=-2
{3*(-46/3)+3z=-1

z=15
5y=31
y=6,2

M(-46/3; 6,2; 15)
vector{a}=(-15; 6; 15)

vector{r}=vector{r_(o)} + t*vector{a}=

=(-1/3;1/5;0)+ t*(-15; 6; 15)

x=x(t)=(-1/3) - 15t
y=y(t)=(1/5) + 6t
z=z(t)=0 + 15t
Ответ выбран лучшим
x=5-5t
y=3+2t
z=2-5t
и подставляем
в уравнение плоскости
x+5y+4z=- 62

1*(5-5t)+5*(3+2t)+4*(2-5t)=-62;
-15t=-90
t=6

Находим координаты точки при t= 6
x=5-5*6=-25
y=3+2*6=15
z=2-5*6=-28
x=4+3t
y=-2-4t
z=-2+3t
и подставляем
в уравнение плоскости
2x-4y+3z=165

2*(4+3t)-4*(-2+4t)+3*(-2+3t)=165;
10-t=165
t=-155

Находим координаты точки при t= -155
x=4+3*(-155)=
y=-2-4*(-155)=
z=-2+3*(-155)=
Ответ выбран лучшим
Выразим t
t=(x-1)/7
t=(y-2)/5
t=(z-3)/3
Получили уравнение прямой
(x-1)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
направляющий вектор vector{s}=(7;5;3)

Составим уравнение прямой, проходящей через точку Р с
направляющим вектором vector{s}=(7;5;3)

[b](x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3[/b]

точки пересечения этой прямой

с плоскостью xOy
z=0
(x-4)/7=(y-2)/5=-3/3 ⇒
(x-4)/7=-1; x-4=-7; x=-3
(y-2)/5=-1; y-2=-5; y=-3

y=0
(x-4)/7=(-2)/5=(z-3)/3
(x-4)/7=-2/5; x=(-14/5)+4=6/5
(z-3)/3=(-2/5); z=9/5

x=0
(-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
y=(-20)/7+(2)=-6/7
z=(-12/7)+3=9/7
Ответ выбран лучшим
Находим координаты точки пересечения асимптот.
(8/3)х + 7 = (-8/3)х - 3;
(16/3)х=-10
х=-15/8
y=2
(-15/8;2)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна, b=9.
Из уравнения асимптот
8/3=9/a
a=27/8

значит уравнение гиперболы

(х+(15/8))^2/(27/8)^2 - (y-2)^2/9^2 = -1


c^2=a^2+b^2=(729/64)+81=(5913/64)
c=sqrt(5913)/8

Расстояние между фокусами
2с=sqrt(5913)/4

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(5913)/72= ≈ 1,06800047 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Находим координаты точки пересечения асимптот.
(9/5)х - 2=(-9/5)х-5;
(18/5)х=-3
х=-5/6
y=-7/2
(-5/6;-7/2)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна, b=10.
Из уравнения асимптот
9/5=10/a
a=50/9

значит уравнение гиперболы

(х+(5/6))^2/(50/9)^2 - (y+(7/2))^2/10^2 = -1


c^2=a^2+b^2=(2500/81)+100=(10600/81)
c=10sqrt(106)/9

Расстояние между фокусами
2с=20sqrt(106)/9

Эксцентриситет
ε=с/b=10sqrt(106)/90=(1/9)*sqrt(106) ≈ 1,1439589 (прикреплено изображение)
cos5x=sin^2x+cos^2x-2sin^2x
cos5x=cos^2x-sin^2x
cos5x=cos2x
cos5x-cos2x=0
-2sin(7x/2)*sin(3x/2)=0

sin(7x/2)=0
(7x/2)=πn, n ∈ Z
x=(2/7)πn, n ∈ Z

sin(3x/2)=0
(3x/2)=πk, k ∈ Z
x=(2/3)πk, k ∈ Z

О т в е т.(2/7)πn, n ∈ Z; (2/3)πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим
7,5+х+4=20
х=20-7,5-4
х=9,5


(прикреплено изображение)
cosx-cos2x= -2 sin(3x/2)*sin(-x/2)

sin3x=2sin(3x/2)cos(3x/2)

2*sin(3x/2)*sin(x/2) = 2*sin(3x/2)*cos(3x/2)
2*sin(3x/2)*sin(x/2) - 2*sin(3x/2)*cos(3x/2) = 0
2*sin(3x/2)*(sin(x/2)-cos(3x/2))=0
sin(3x/2)=0
(3x/2)=πk, k ∈ Z
Ответ выбран лучшим
sqrt(3)sin2x=cos9x-cos5x

cos9x-cos5x=-2sin7x*cos2x

sqrt(3)cos2x=2sin7x*cos2x

sqrt(3)cos2x - 2 sin7x*cos2x=0

cos2x*(sqrt(3)-2sin7x)=0

cos2x=0
2x=(π/2) +πn , n ∈ Z
x=(π/4)+(π/2)*n, n ∈ Z

или

sqrt(3)-2sin7x=0
sin7x=sqrt(3)/2
7x=(-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(π/21)+(π/7)k, k ∈ Z

О т в е т.(π/4)+(π/2)*n, n ∈ Z; (-1)^(k)*(π/21)+(π/7)k, k ∈ Z
Формула
cos^2 α =(1+cos2α)/2
В таком виде называется формула понижения степени.

(1+cos2x)/2 - (1+cos4x)/2 - (1+cos6x)/2 +(1+cos8x)/2=0

сos2x - cos4x - cos6x + cos8x=0

(cos2x+cos8x)-(cos4x+cos6x)=0

Формула - сумма косинусов

2cos5x*cos3x-2cos5x*cosx=0

cos5x*(cos3x-cosx)=0

cos5x=0
5x=(π/2)+πk, k ∈ Z
x=(π/10)+(π/5)k, k ∈ Z

cos3x-cosx=0
-2sin2x*sinx=0
sin2x=0
2x=πn, n ∈ Z
x=(π/2)n, n ∈ Z
или
sinx=0
x=πm, m ∈ Z

О т в е т.(π/10)+(π/5)k, k ∈ Z
(π/2)n, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
а) круговой цилиндр x^2+y^2=4
в основании (на плоскости хОу)
окружность x^2+y^2=4
Образующие параллельны оси Оz.

Параболический цилиндр - см. рисунки справа.
парабола z=4-x^2 в плоскости zOx
В пространстве - на прямой, || оси Оу, проходящей через точку z=4
"навешано" много -много парабол z=4-x^2

Главное не картинку нарисовать, а понимать, что в основании этого тела.
В основании круг x^2+y^2=4
Сверху поверхность z=f(x;y)
В данном случае z=4 - x^2

б) Два цилиндра.
В основании половинки парабол
y=sqrt(3x) - ближе к оси Ох - красного цвета.
y=6*sqrt(3x) - синего.
Образующие || оси Оz

Тело - между ними бесконечно и вверх и вниз и вправо.

z=0 плоскость xOy
Значит вниз не бесконечно.
Ограничено z=0

Теперь плоскость x+z=3
Она параллельна оси Оу
и по прямой z+x=3
(3;0;0) и (0;0;3)
И тогда ограничивает тело справа
по прямой х=3 на плоскости хОу.
И сверху этой же плоскостью.
Поэтому тело имеет основание - область D
а сверху накрыто плоскостью z+x=3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(4/5)^2=1-(16/25)=9/25
cos α = ± sqrt(9/25)= ± 3/5
По условию
π/2< α < π
Это вторая четверть, косинус во второй четверти имеет знак минус
cos α =-3/5
tg α =sin α /cos α = - 4/3
ctg α = -3/4
|vector{u}|=sqrt((-4)^2+3^2+3^2)=sqrt(34)
|vector{v}|=sqrt(1^2+10^2+(-2)^2)=sqrt(105)
(u*v)=-4*1+3*10+3*(-2)=20
Ответ выбран лучшим
Выразим t
t=(x-1)/5=(y-2)/2=(z-3)/4
Получили уравнение прямой
(x-1)/5=(y-2)/2=(z-3)/4
направляющий вектор vector{s}=(5;3;4)

Составим уравнение прямой, проходящей через точку Р с
направляющим вектором vector{s}=(5;3;4)

[b](x+3)/5=(y-5)/2=(z-1)/4[/b]

точки пересечения этой прямой

с плоскостью xOy
z=0
(x+3)/5=(y-5)/2=(-1/4) ⇒
x=(-5/4)-3=-17/4
y=(-2/4)+5=9/2

y=0
(x+3)/5=(-5)/2=(z-1)/4
x=(-25/2)-3=-31/2
z=-10+1=-9

x=0
(3)/5=(y-5)/2=(z-1)/4
y=(6/5)+5=31/5
z=(12/5)+1=17/5
Ответ выбран лучшим
ОДЗ: sinx > 0

2cos^2x+11cosx+5=0 или log_(18)(sinx)=0

2cos^2x+11cosx+5=0
D=121-4*2*5=81
cosx=-5 или сosx=-1/2

уравнение cosx = - 5 не имеет решений.
так как |cosx| ≤ 1

cosx=-1/2
x= ± arccos(-1/2)+2πn,n ∈ Z
x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z
Учитывая ОДЗ
х=(2π/3)+2πn, n ∈ Z

log_(18)(sinx)=0
sinx=1
x=(π/2)+2πk, k ∈ Z

О т в е т. (π/2)+2πk, k ∈ Z, (2π/3)+2πn, n ∈ Z

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Находим координаты точки пересечения асимптот.
(9/4)х - 8 = (-9/4)х - 5;
(18/4)х=3
х=2/3
y=-13/2
(2/3;-13/2)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна, b=6.
Из уравнения асимптот
9/4=6/a
a=8/3

значит уравнение гиперболы

(х-(2/3))^2/(8/3)^2 - (y+(13/2))^2/6^2 = -1


c^2=a^2+b^2=(64/9)+36=(388/9)
c=sqrt(388)/3

Расстояние между фокусами
2с=2sqrt(388)/3

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(388)/18= ≈ 1,109431753 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
4.
ОДЗ:
{x>0;
{x ≠ 1

(0;1)U(1;+ ∞ )
так как
log_(x)2=1/log_(2)x;
log_(2)sqrt(x)=log_(2)x^(1/2)=(1/2)*log_(2)x;

Замена переменной
log_(2)x=t

(1/t)- 1 = 2t;
(2t^2+t-1)/t=0

{2t^2+t-1=0; D=1+8=9; t_(1)=-1 или t_(2)=1/2
{t ≠ 0

log_(2)x=-1 ⇒ x=2^(-1); x=1/2
или
log_(2)x=1/2 ⇒ x=2^(1/2); x=sqrt(2)

О т в е т. 1/2; sqrt(2)

5.
(5^(-2))^(-y)=5^(2y)

1024=2^(10)
log_(2)1024=10

log_(27)x^3=log_(3^3)x^3=(3/3)log_(3)x;

{5^(2y)=5^(x+1) ⇒ 2y=x+1;
{log_(3)(4y+6x-12)=lg(10) + log_(3)x;

{2y=x+1;
{log_(3)(4y+6x-12)=1 + log_(3)x;

{2y=x+1;
{log_(3)(4y+6x-12)=log_(3)3 + log_(3)x ⇒ log_(3)(4y+6x-12)= log_(3)(3*x);

{2y=x+1;
{4y+6x-12=3x;

{2y=x+1;
{4y=-3x+12
2x+2=-3x+12
5x=10
x=2
y=3/2
проверка:
log_(3)(6+12_12)=1+log_(27)8 - верно
О т в е т. (2;3/2)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение касательной:
y - f (x_(o)) =f ` (x_(o))* (x - x_(o))
Уравнение нормали:
y - f (x_(o)) =( -1/f ` (x_(o)))* (x - x_(o))

x_(o) = π/6
f(x_(o)) = 1

f `(x) = 2 cosx
f `(x) = 2 cos(π/6)=sqrt(3)

y - 1 = sqrt(3)*(x - (π/6))- уравнение касательной ( синего цвета на рис.)

y - 1 = (-1/sqrt(3))*(x - (π/6)) - уравнение нормали (зеленого цвета на рис.)


y`(π/2)=0
касательная в точке х_(о)=π/2 параллельна оси ох

если касательная в точке образует острый угол с положительным направлением оси Ох,
то y `(x_(o)) > 0
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
В плоскости SBC проводим ЕК || SB
получаем Δ DEK
∠ DEK и есть угол между DE и SB.

Пусть все ребра пирамиды равны a.
Тогда Δ SDC - равносторонний
DE=a*sqrt(3)/2 - высота, медиана и биссектриса равностроннего треугольника.
EK=(1/2)SB=a/2 - средняя линия Δ SBC

Из прямоугольного треугольника DCK
DK^2=DC^2+CK^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4

По теореме косинусов из треугольника DEK
DK^2=DE^2+EK^2-2*DE*EK*cos ∠ DEK

cos ∠ DEK=(DE^2+EK^2-DK^2)/(2*DE*EK)=

=((3a^2/4)+(a^2/4)-(5a^2/4))/(a^2sqrt(3)/2)=(-1/(2sqrt(3))=(-sqrt(3)/6)<0
значит угол тупой, а смежный угол - острый.

О т в е т. arccos(sqrt(3)/6) (прикреплено изображение)
s_(1)=a_(1)=4/2=2
s_(2)=a_(1)+a_(2)=2+(16/7)=(30/7)
s_(3)=s_(2)+a_(3)=(30/7)+(64/12)
Последовательность (s_(n)) монотонно возрастает
s=lim_(n→ ∞ )s_(n)=+ ∞
Ряд расходится
Умножим второе на 2 и приравняем левые части
3x^2+y^2=4x^2+2xy-2y^2;
x^2+2xy-3y^2=0 - однородное
Делим на y^2
x/y=t
t^2+2t-3=0
D=16
t=-3 или t=1

x/y=-3
x=-3y

3*(-3y)^2+y^2=4
28y^2=4
y^2=1/7
y= ± sqrt(1/7)
x=-3*( ± sqrt(1/7)

x=y
3x^2+x^2=4
x^2=1
x= ± 1
y= ± 1

О т в е т. (sqrt(1/7);-3sqrt(1/7));(-sqrt(1/7);3sqrt(1/7));(-1;-1);(1;1)
Ответ выбран лучшим
первое однородное уравнение.
Делим на y^2
x/y=t

3t^2-4t+1=0
D=16-12=4
t=1/3 или t=1

x/y=1/3
y=3x
подставляем во второе
x^2+2*(3x)^2=19
19x^2=19
x^2=1
x= ± 1
y= ± 3

x/y=1
y=x
x^2+2x^2=19
x^2=19/3
x= ± sqrt(19/3)
y=± sqrt(19/3)

О т в е т . (1;3);(-1;-3);(sqrt(19/3);sqrt(19/3));(- sqrt(19/3);- sqrt(19/3))
Ответ выбран лучшим
Функция задана неявно.
Дифференцируем равенство:
(sqrt(x)-sqrt(y))`=(sqrt(a))`

x - независимая переменная, х`=1

(1/2sqrt(x))-(1/2sqrt(y))*y`=0
y`=sqrt(y)/sqrt(x)

sqrt(y)=sqrt(x)-sqrt(a)

y`(4a)=sqrt(a)/(2*sqrt(a))=1/2
Ответ выбран лучшим
y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)

y`_(t)=(e^(8t))`=e^(8t)*(8t)`=8e^(8t)
x`_(t)=(e^(-3t))`=e^(-3t)*(-3t)`=-3e^(-3t)

y`=8e^(8t)/(-3e^(-3t))=(-8/3)e^(8t-(-3t))=(-8/3)e^(11t)

y`(1)=(-8/3)e^(11)
Ответ выбран лучшим
Произведение угловых коэффициентов взаимно
перпендикулярных прямых равно (-1).

Прямая 4х-у=0 имеет угловой коэффициент k=4
Значит, угловой коэффициент касательной
k=-1/4
геометрический смысл производной в точке:
k(касательной)=f `(x_(o))

f(x)=sqrt(x) - 2
f `(x)= (sqrt(x) - 2)`=1/2sqrt(x)
f`(x_(o))=1/2sqrt(x_(o))

-1/4 = 1/2sqrt(x_(o))
[b]sqrt(x_(o))=-2[/b]

это уравнение не имеет решений.
и на рисунке видно, что нельзя провести касательную с
угловым коэффициентом (-1/4),т.е. под тупым углом к оси ох


и фокус в том, что из y=sqrt(x)-2⇒
sqrt(x)=y+2
⇒ х=(y+2)^2 - парабола
и касательная, удовлетворяющая условию
у=(-1/4)х - 3 проходит в точке с абсциссой х_(о)=4 к другой ветви параболы
y=-sqrt(x)-2

Поэтому либо опечатка в условии
и должно быть y=-sqrt(x)-2
либо...
Уравнение касательной:
y - f (x_(o)) =f ` (x_(o))* (x - x_(o))

f(x)= - sqrt(x) - 2
f `(x)= ( - sqrt(x) - 2)`=- 1/2sqrt(x)
f`(x_(o))= - 1/2sqrt(x_(o))

-1/4 = - 1/2sqrt(x_(o))
[b]sqrt(x_(o))=2[/b]
x_(o)=4

f(4)=-sqrt(4)-2=-4
y - (-4)= -(1/4)*(x - 4) - уравнение касательной
y=(-1/4)x -3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y=((2-x)/x)^(1/ln(2-x)) это показательно-степенная функция
поэтому применяем логарифмирование
lny=(1/ln(2-x))*ln((2-x)/x)
Находим предел lny
lim_(x→1)(ln((2-x)/x))/(ln(2-x))= неопределенность(0/0)
=применяем правило Лопиталя=

=lim_(x→1)(x/(2-x))*((2-x)/x)`/(-1/(2-x))=

=lim_(x→1) (-2/((2-x)*x)) : (-1/(2-x))=

=lim_(x→1) (2/x)=2 ⇒

lim_(x→1) y= e^2 - о т в е т
1.
-cosx≥ 0 ⇒ cosx ≤ 0
0≤ sqrt(-cosx)≤ 1
О т в е т. 1)[0;1]

2.
О т в е т.
[-3;1]
cм. рис.

3.
О т в е т. 3)

4.
О т в е т. 2)

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=32795 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение плоскости
ax+by+cz=d
По условию
a=11
11x+by+cz=d
Подставляем координаты каждой точки в уравнение.
Получаем систему трех уравнений:
{11*(-5)+b*(-3)+c*(-1)=d⇒ -3b-c=55+d
{11*(-2)+b*0+c*(-6)=d ⇒ -6c=22+d
{11*(-2)+b*1+c*(-4)=d ⇒ b-4c=22+d

b-4c=-6c
b=-2c

-3*(-2c)-c=55-6c-22
11c=33
c=3

b=-6

d=-40

ΔACB - равнобедренный
Высота СЕ является медианой
А значит и биссектрисой
∠ АСЕ= ∠ ВСЕ=60^(o)
∠ CBA=30^(o)
катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы
Значит,
АС=ВС=20
В прямоугольном треугольнике ACD
∠DAB=60 градусов
Так как ∠ САВ=30 градусов, то
∠ DAC=30 градусов
в прямоугольном треугольнике ADC
катет DC равен половине гипотенузы AC
DB=DC+CB=10+20=30

AD=DB*tg ∠ ABD=30*tg30 градусов=10sqrt(3)
1.
2log_((4x-x^2-5)^2)(4x^2+1) ≤ log_(x^2-4x+5)(3x^2+4x+1);

(4x-x^2-5)^2=(x^2-4x+5)^2

и по свойству логарифма:

log_(b^2)a=(1/2)log_(b)a, a>0; b> 0, получаем неравенство

[b]log_(x^2-4x+5)(4x^2+1) ≤ log_(x^2-4x+5)(3x^2+4x+1);[/b]

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(cм. таблицу)
(можно конечно рассматривать совокупность двух систем
в 2-х случаях
а) когда логарифмическая функция возрастает, основание >1 ;
б) когда логарифмическая функция убывает

{x^2-4x+5>0;
{x^2-4x+5 ≠ 1;
{4x^2+1>0
{3x^2+4x+1> 0
{(x^2-4x+5-1)(4x^2+1-3x^2-4x-1) ≤ 0

{неравенство верно при любом х;
{x ≠ 2
{неравенство верно при любом х;
{D=16-4*3*1=4, корни (-1) и (-1/3) ⇒ x < -1 или х > (-1/3)
{(x-2)^2*(x^2-4x) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 4
О т в е т. [0;2)U(2;4]

3.
ОДЗ:
x > 0

При х>0
log_(0,5)(4x)=log_(0,5)4+log_(0,5)x=-2+log_(0,5)x

log^2_(0,5)(4x)= (-2+log_(0,5)x)^2=4-4log_(0,5)x+log^2_(0,5)x

log_(0,25)(0,25x)^2=log_(0,5^2)(0,25x)^2=log_(0,5)(0,25x)=
=log_(0,5)(0,25)+log_(0,5)x=2+log_(0,5)x

log_(0,5)5*log_(5)(x/4)=log_(0,5)(x/4)=log_(0,5)x-log_(0,5)4=
=log_(0,5)x+2

получаем неравенство
(4-4log_(0,5)x+log^2_(0,5)x)*(2+log_(0,5)x) ≤ (2+log_(0,5)x)
(4-4log_(0,5)x+log^2_(0,5)x)*(2+log_(0,5)x) - (2+log_(0,5)x) ≤ 0

(2+log_(0,5)x) * ( 4 - 4 log_(0,5)x+log^2_(0,5)x - 1 ) ≤ 0

(t+2)*(t^2-4t+3) ≤ 0

__-__ (-2) __+__ [1] ___-___ [3] ___+___

t < - 2 или 1 ≤ t ≤ 3

log_(0,5)x < -2 или 1 ≤ log_(0,5)x ≤ 3
0,5 < 1
логарифмическая функция убывает
x > 4 или 1/8 ≤ х ≤ 1/2

О т в е т. [1/8;1/2]U (4;+ ∞ )
6.
0 ≤ sqrt(x) <+ ∞
0 ≤ 2*sqrt(x) <+ ∞
- 4 ≤ 2* sqrt(x) - 4 <+ ∞

О т в е т. 4) [-4;+ ∞)

8.
-1 ≤ sin5x ≤ 1
-2 ≤ 2*sin5x ≤ 2

О т в е т. 3)[-2;2]

9.
0 ≤ sqrt(x) <+ ∞
0 ≤ 5*sqrt(x) <+ ∞
2 ≤ 5* sqrt(x)+2 <+ ∞

О т в е т.2) [2;+ ∞)

10.
б) и в)

11.
А) и В)

12.
Область определения (- ∞;-1)U(-1;+ ∞ )
Область изменений (- ∞;-4)U(-4;+ ∞)
Cтроим прямую у=4х с выколотой точкой (-1;-4) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2х - 3у + 8z = d - множество плоскостей, параллельной данной.
Подставим координаты точки
2*(-2)-3*8+8*6= d
d=20
О т в е т. 2х - 3у + 8z = 20
a=2
b=-3
c=8
d=20
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
замена
u=2x^3+3
du=6x^2dx
x^2dx=(1/6)du

∫ ∛u* (1/6)du=(1/6)u^(4/3)/(4/3)+ C=(1/8)∛(2x^3+3)^4 +C

2
По частям
u=x
dv=cos4xdx
du=dx
v=(1/4)sin4x
=(1/4)x*sin4x-(1/4) ∫ sin4xdx=

=(1/4)x*sin4x-(1/16) (-cos4x)+ C
По теореме синусов:
AB/sinC=AC/sinB
sinB=6sin10^(o)/8=(3/4)sin10^(o)=(3/4)*0,1736481777 ≈ 0,130236133
B ≈ 7 градусов
угол А=180 градусов - 10 градусов - 7 градусов=163 градусов

По теореме синусов:
AB/sinC=ВC/sinА
ВС=8*sin163 градусов/sin 10 градусов
точка Р - это М_(о)
Q это М
vector{a}=(7-3;0-1;-7-(-4))=(4;-1;-3)

vector{r}=vector{r_(o)} + t*vector{a}=

=(3;1;-4)+ t*(4;-1;-3)

x=x(t)=3+4t
y=y(t)=1-1t
z=z(t)=-4-3t
при t=0
x=-3
y=1
z=-4
и есть координаты точки Р (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
уравнение с разделяющимися переменными.
(1+x^3)dx/x^3=(y^2-1)dy/y^3
Интегрируем
∫ ((1/x^3)+1)dx= ∫ ((1/y)-(1/y^3))dy

(-1/(2x^2)) + x = ln|y| +(1/(2y^2))+ C
Ответ выбран лучшим
S= S_(1)+S_(2)=
=∫^(2)_(0)(x-(1/2)x)dx+ ∫ ^(3)_(2)((-1/2)x^2+2x-(1/2)x)dx=

= (1/2)*(x^2/2)|^(2)_(0) +((-1/2)*(x^3/3)+(3/2)*(x^2/2))|^(3)_(2)=

=1 - 0 + (-1/2)*9+(3/4)*(9) - (-1/2)*(8/3)-(3/4)*4=

=1 - (9/2)+ (27/4) + (4/3) -3= (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
2.
Δ MNL подобен ΔМКN
по двум углам, угол М - общий
Из подобия
MN:MK=ML:MN
MN^2=MK*ML=(8+10)*8
x=MN=12
MN:MK=NL:NK
y=NL=12*21/18=14

7.
Δ RKO подобен Δ LМO
по двум углам
Из подобия
х:12=24:16
х=12*24/16=18
y=sqrt(18^2+24^2)=sqt(900)=30

12.
Δ BDE подобен Δ BCA
по двум углам, угол B - общий
8:(12+x)=12:24; BC=24
192=144+12x
x=4
Ответ выбран лучшим
b_(1)=n
b_(2)=n*q
b_(3)=nq^2
По условию
b_(3)=n^3
b_(1)+b_(2)+b_(3)=7b_(1)

{nq^2=n^3 ⇒ q^2=n^2
{n+nq+nq^2=7n ⇒ q^2+q-6=0
D=1+24=25
q=(-1-5)/2=-3 или q=(-1+5)/2=2

q=-3 не удовлетворяет смыслу задачи
При q=2
n=2
и прогрессия
2; 4;8
Ответ выбран лучшим
Пусть сторона основания равна а
Тогда
r=a*sqrt(3)/6 - выражение радиуса вписанной окружности через сторону основания правильного треугольника.

1,5sqrt(3)=a*sqrt(3)/6
a=9

В правильном треугольнике
R=2r

V=(1/3)S_(осн)*h
(по теореме Пифагора)
h^2=b^2-R^2=6^2-(3sqrt(3))=36-27=9
h=3

S_(осн)=(1/2)*a*a*sin60^(o)=81sqrt(3)/4

V=(1/3)*(81sqrt(3)/4)*3=81sqrt(3)/4 (прикреплено изображение)
V=π ∫^(3) _(0)(x^2)^2dx=π(x^5/5)|^(3)_(0)=π*243/5
Ответ выбран лучшим
7*e^(6+i)=7*e^(6)*e^(i)
e^(-i)=1*(сos1-isin1)
i*e^(-i)=sin1+i cos1
tgθ=cos1/sin1
tgθ=ctg1
ctg1= рад=0,64209
tgθ=0,64209
θ=arctg0,64209 = 0,5707944 ≈0,571
Ответ выбран лучшим
вторая производная
φ ``(t)= (φ `(t))`
Ответ выбран лучшим
Область определения(- ∞ ;+ ∞ )

f `(x)=(2x^3+3x^2+1)`=6x^2+6x

f `(x)=0

6x^2+6x=0

6x*(x+1)=0
x=0 или х=-1

__+__ (-1) __-___ (0) __+___

х=-1 - точка максимума
y(-1)=2
х=0- точка минимума
y(0)=1
функция возрастает на (- ∞ ;-1) и на (0;+ ∞ )
убывает на (-1;0) (прикреплено изображение)
Замена
y`=z
y``=z`
Получаем линейное уравнение
z`-(1/(1+x))z=(1+x)^2/2
Применяем метод Бернулли
z=u*v
z`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`-(1/(1+x))*u*v=(1+x)^2/2
u`*v+u*(v`-(1/(1+x))v)=(1+x)^2/2;
v`-(1/(1+x))v=0 -уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=dx/(1+x)
ln|v|=ln|1+x|
v=1+x
u`*(1+x)=(1+x)^2/2
u`=(1+x)/2
du=(1+x)dx/2
u=(1/2)x+(x^2/4)+C_(1)

z=u*v=((1/2)x+(x^2/4)+C_(1))*(1+x)=(1/2)x+(x^2/4)+C_(1)+(1/2)x^2+(x^3/4)+C_(1)x

y`=(x^3/4)+(3/4)x^2+(1/2)x+C_(1)x+C_(1)
интегрируем
y=(x^4/16)+(x^3/4)+(x^2/4)+C_(1)(x^2/2)+C_(1)x+C_(2) - о т в е т
(прикреплено изображение)
пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения
х=0
{2y-z=-5
{3z=2
z=2/3
y=-13/4

Пусть у=0
{5x-z=0
{5x+3z=2
умножаем первое на 3 и складываем
20х=2
х=1/10
z=5/10

Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки
(0;-13/4;2/3)
(1/10;0;5/10)
(x-0)/0,1=(y+13/4)/(-13/4)=z-(2/3)/((5/10)-(2/3))

Вводим параметр:
(x-0)/0,1=(y+13/4)/(-13/4)=z-(2/3)/((5/10)-(2/3))=t
{x=0,1t
{y=(-13/4)t-(13/4)
{z=(-1/6)t+(2/3)
Ответ выбран лучшим
y= (± a/b)x- уравнения асимптот для стандартной гиперболы
x^2/b^2-y^2/a^2=-1 c действительной осью Оу

Вершины гиперболы в точках(0;9) и (0;-9)
b=9
a/b=8/3
b=24

с^2=a^2+b^2=81+576=625
c=25
a=24
эксцентриситет с/а=25/24

данные асимптоты пересекаются в точке:
(8/3)x+7=(-8/3)x-3
(16/3)x=-10
x=-15/8
y=2

(x+(15/8))^2/81 - (у-2)^2/576= -1
Ответ выбран лучшим
большая ось АВ имеет длину 8
малая ось имеет длину 4
уравнение
(x-1)^2/4+(y-1)^2/16=1 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Cоставим уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Ответ. vector{n}=(7;10;-5) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Это уравнение можно решить методом замены переменной
умножаем первую скобку на четвертую, вторую на третью
(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=1
x^2+5x+4=t
t*(t+2)=1
t^2+2t-1=0
D=4+4=8
t=(-2-2sqrt(2))/2=-1-sqrt(2)
или
t=-1+sqrt(2)

x^2+5x+4=-1-sqrt(2)
x^2+5x+5+sqrt(2)=0
D=25-20-4sqrt(2) < 0

x^2+5x+4=-1+sqrt(2)
x^2+5x+5-sqrt(2)=0
D=25-20+4sqrt(2)=5+4sqrt(2)
x=(-5-sqrt(5+4sqrt(2)))/2; x=(-5+sqrt(5+4sqrt(2)))/2 - о т в е т
Ответ выбран лучшим
Первое - однородное уравнение.
Пара (0;0) не является решением системы

Делим на y^2
(x/y)^2-2(x/y)-3=0
D=4+12
x/y=-1 или х/у=3

х=-у
и подставляем во второе
y^2+2y+y^2=6
2y^2+2y-6=0
y^2+y-3=0
D=1+12=13
y=(-1-sqrt(13))/2 или у=(-1+sqrt(13))/2
x=(1+sqrt(13))/2 или х=(1-sqrt(13))/2

x=3y

9y^2-6y+y^2=6
5y^2-3y-3=0
D=9+60=69
y=(3-sqrt(69))/10 или у=(3+sqrt(69))/10
x=3*(3-sqrt(69))/10 или х=3*(3+sqrt(69))/10

О т в е т.
(3*(3-sqrt(69))/10; (3-sqrt(69))/10)
(3*(3+sqrt(69))/10; (3+sqrt(69))/10)
((1+sqrt(13))/2;(-1-sqrt(13))/2)
((1-sqrt(13))/2;(-1+sqrt(13))/2)
Ответ выбран лучшим
s=S_(большого круга)-S_(малого круга)=πR^2-πr^2=π*49-π16=33π
2.
Выделим полный квадрат
x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1
d(x+1)=dx

= ∫ ^(2)_(1)d(x+1)/((x+1)^2-1)=(1/2)ln|(x+1-1)/(x+1+1)|^(2)_(1)=

=(1/2)*(ln(2/4)-ln(1/3))=(1/2)*ln(3/2)

3.
Интегрирование по частям
u=x^2
du=2xdx
dv=x*e^(x^2)dx
v=(1/2)*e^(x^2)
∫x^3*e^(x^2)dx=(x^2/2)*e^(x^2)- ∫x*e^(x^2)dx=

=(x^2/2)*e^(x^2)-(1/2)*e^(x^2).

О т в е т. ∫^(1)_(0)x^3*e^(x^2)dx=((x^2/2)*e^(x^2)-(1/2)*e^(x^2))|^(1)_(0)=

=(e/2)-(e/2)+1/2=1/2. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
v(t)=S`(t)=t^3-t^2+1
v(2)=8-4+1=5 м/с

a(t)=v`(t)=3t^2-2t
a(2)=12-4=8м/с^2

2.
f `(x)=x^2-4
f `(3)=9-4=5
f(3)=9-12+1=-2

y+2=5(x-3)- уравнение касательной
у=5х-17
у+2=(-1/5)*(х-3)-уравнение нормали
у=(-1/5)x-(7/5)

3.
f `(x)=(1/2)*(-1/sin^2x)
f ` ( π/4)=-1
tg α =-1
α =135^(o)
D: 0<x<2; 0<y<2-x

V= ∫ ∫ _(D)x^2dxdy= ∫ ^(2)_(0) (∫ ^(2-x)_(0)dy)x^2dx=

= ∫ ^(2)_(0) (2x^2-x^3)dx=

=(2x^3/3)|^(2)_(0)-(x^4/4)|^(2)_(0)=

=(16/3)-(16/4)=16/12=4/3
Умножим первое уравнение на 7
35x^2-70y^2=35
приравняем правые части
3x^2-2xy+5y^2=35x^2-70y^2
получили [b]однородное[/b] уравнение второй степени

32x^2+2xy -75y^2=0
x=0;y=0 не является решением системы

Делим на у^2:
t=x/y

32t^2 +2t-75=0

D=4+4*32*75=9604=98^2

t=(-2-98)/64= или t=(-2+98)/64
t=-25/16 или t=3/2

x/y=-25/16
x=-(25/16)y
и
подставляем в первое уравнение
5*((-25/16)y)^2-10y^2=5
y^2=256/113

y_(1)=16/sqrt(113); y_(2)=-16/sqrt(113)
x_(1)=-25/sqrt(113);x_(2)=25/sqrt(113)

x/y=3/2
x=3y/2
и подставляем в первое уравнение

(9/4)y^2-2y^2=1
y^2=4
y_(3)=2;y_(4)=-2
x_(4)=3;x_(4)=-3

О т в е т. (-25/sqrt(113); 16/sqrt(113)); (25/sqrt(113);-16/sqrt(113);
(3;2);(-3;-2)
sin^2t+cos^2t=1
sin^2t=1-cos^2t=1-0,8^2=1-0,64=0,36
sint=0,6, cо знаком+ так как угол t в первой четверти
tgt=sint/cost=0,6/0.8=3/4
ctgt=4/3
y`=7*(3x-5)^(6)*(3x-5)`-6*(-sin2x)*(2x)`+0
y`=21*(3x-5)^(6)+12sin2x- о т в е т
Ответ выбран лучшим
tg α =k(касательной)=f`(x_(o))

f `(x)=9*(5x-8)^(8)*(5x-8)`
f `(x)=45*(5x-8)^(8)
f ` (-1)=45*(-13)^(8)

tgα=45*(-13)^8 - о т в е т
Ответ выбран лучшим
а) sinx > sqrt(3)/2
(π/3)+2πk< x < (2π/3)+2πk, k ∈ Z
cм. рис. 1
б)
sinx ≤ 1/2
(-7π/6)+2πk ≤ x ≤ ( π/6)+2πk, k ∈ Z
см. рис.2

a)
sinx*(5-2sinx) ≥ 0

__+__ [0] _-__ [2/5] __+__

sinx ≤ 0 или sinx ≥ 2/5

[-π+2πk;0+2πk], k ∈ Z или [arcsin(2/5)+2πn, π - arcsin(2/5)+2πn], n ∈ Z

отрезку [1;7] принадлежат решения
x=1; так как arcsin(2/5) < 1 < π - arcsin(2/5)

x=2; так как arcsin(2/5) < 2 < π - arcsin(2/5)
x=3; так как arcsin(2/5) < 3 < π - arcsin(2/5)
x=7 так как 2π+arcsin(2/5) < 7 < 3π - arcsin(2/5)

б)
2sinx +sin^2x ≤ 0
sinx*(2+sinx) ≤ 0
2+sinx> 0 при любом х
sinx ≤ 0
[π+2πk; 2π+2πk], k ∈ Z

Отрезку [3;7] принадлежат корни:
х=4 так как π < 4 < 2π
х=5 так как π < 5 < 2π
х=6 так как π < 6 < 2π (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Область определения (- ∞;+ ∞ )
y`=3(((x+1)^2)`*(3x^2-2x+3)-(x+1)^2*(3x^2-2x+3)`)/(3x^2-2x+3)^2

y`=3*(2*(x+1)*(x+1)`*(3x^2-2x+3)-(x+1)^2*(6x-2))/(3x^2-2x+3)^2

y`=0

(х+1)*(2(3x^2-2x+3)-6x^2-4x+2)=0

(х+1)*(-8х+8)=0

x=-1; x=1 - точки возможного экстремума

__-__ (-1) ___+__ (1) ___-__

х=-1 - точка минимума
х=1- точка максимума

Есть горизонтальная асимптота
у=1
lim_(x→∞)y=1 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Рассматриваем ряд из модулей
∑(1/(3n^2+1))
1/(3n^2+1)< 1/n^2

Ряд ∑1/n^2 cходится p=2 > 1
По признаку сравнения ряд
∑(1/(3n^2+1))
сходится.
данный ряд сходится абсолютно
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=6x^2-y^2
z`_(y)=-2xy+2y

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{6x^2-y^2=0
{-2xy+2y=0 ⇒ y=0 или х=1
(0;0) ; (1;sqrt(6)); (1;-sqrt(6)) - cтационарные точки
Рассматриваем
|(2n-5)/(3n+1)-(2/3)|=|(6n-15-6n-2)/(3*(3n+1)|=|(-15-2)/(3*(3n+1)|=17/(9n+3)

найдем при каких n выполняется неравенство
|(2n-5)/(3n+1)-(2/3)|< ε

Решаем неравенство
17/(9n+3) < ε
(9n+3)/17>1/ε
9n+3>17/ε
9n > (17/ε) - 3
n> (17-3ε)/9ε
для любого ε > 0 найдется номер n_(ε)=[(17-3ε)/9ε]
такой, что для всех n >n_(ε)
выполняется неравенство
|(2n-5)/(3n+1)-(2/3)|< ε

Это и означает по определению, что (2/3) является пределом
Ответ выбран лучшим
Применяем признак Даламбера:
lim_(n→∞)a_(n+1)/a_(n)

a_(n)=n/(2n+3)!
a_(n+1)=(n+1)/(2(n+1)+3)!

(2*(n+1)+3)!=(2n+5)!=(2n+3)!*(2n+4)*(2n+5)

lim_(n→∞)(n+1)/((n)*(2n+4)(2n+5))=0
0<1
сходится
Ответ выбран лучшим
логарифмируем
lny=x^2 *lnsinx
дифференцируем
y`/y=(x^2)`*(lnsinx)+x^2*(lnsinx)`
y`=y*(2x*(lnsinx)+x^2*(1/sinx)*(sinx)`

О т в е т. y`=(sinx)^(x^2) *(2x*(lnsinx)+x^2*ctgx)
Ответ выбран лучшим
Составляем характеристическое уравнение
k^2+6k+5=0
D=36-20=16
k_(1)=-5; k_(2)=-1
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x)

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

Справа квадратный трехчлен, значит
у_(ч)=ax^2+bx+c

y`_(ч)=2ax+b
y``_(ч)=2a

Подставляем в данное уравнение:
2a+6*(2ax+b)+5*(ax^2+bx+c)=25x^2-2;
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
5а=25
12a+5b=0
2a+6b+5c=-2

a=5
b=-12
c=12

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(о) и у_(ч)

y=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12

Применяем данные начальные условия
у(0)=12
y`_(0)=-12

Находим
y`=-5C_(1)*e^(-5x)-C_(2)e^(-x)+10x-12

{C_(1)+C_(2)+12=12
{-5C_(1)-C_(2)-12=-12

C_(1)=C_(2)=0

y=5x^2-12x+12-решение данного уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям

у(3)=5*9-36+12
у(3)=21
О т в е т. у(3)=21
Ответ выбран лучшим
9*e^(2+i)=9*e^(2)*e^(i)
e^(-i)=1*(сos1-isin1)
i*e^(-i)=sin1+i cos1
tgθ=cos1/sin1
tgθ=ctg1
ctg1= рад=0,64209
tgθ=0,64209
θ=arctg0,64209 = 0,5707944 ≈0,571
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
это возможно в двух случаях

1) каждый множитель равен 1

{sin(π+x)=1 ⇒ -sinx=1 ⇒ sinx=-1;
{sin(2x-(3π/2))=1 ⇒ -sin((3π/2)-2x)=1 ⇒ cos2x=1

{sinx=-1 ⇒ х=(-π/2)+2πn, n∈ Z
{cos2x=1 ⇒ 2x=2πk, k∈ Z; x=2πk, k∈ Z
Cистема не имеет решений

2) каждый множитель равен -1

{sin(π+x)=-1 ⇒ -sinx=-1 ⇒ sinx=1;
{sin(2x-(3π/2))=-1 ⇒ -sin((3π/2)-2x)=-1 ⇒ cos2x=-1

{sinx=1 ⇒ х=(π/2)+2πn, n∈ Z
{cos2x=-1 ⇒ 2x=π + 2πk, k∈ Z; x=(π/2)+ πk, k∈ Z
общее решение двух уравнений
(π/2)+2πn, n∈ Z

О т в е т. (π/2)+2πn, n∈ Z
1) подкоренное выражение неотрицательно
(x^2-3x+3)(x^2-3x-10) ≥ 0
x^2-3x+3>0 при любом х, так как D=9-12<0
x^2-3x-10 ≥ 0
D=9+40=49
x_(1)=(3-7)/2=-2; x_(2)=(3+7)/2=5
О т в е т . x ∈ (- ∞ ;-2]U[5;+ ∞ )

2)
(x-1)(x+2)(x^2-16) ≥ 0
(x-1)(x+2)(x-4)(x+4) ≥ 0

Применяем метод интервалов

__+__ [-4] __-__ [-2] ___+____ [1] ____-___ [4] ___+__

О т в е т. (- ∞ ;-4] U [-2;1] U [4;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
1)
z_(1)=-1-i

|z_(1)|=sqrt((-1)^2+(-1)^2)=sqrt(1+1)=sqrt(2)
argz_(1)=phi

sin(phi)=-1/|z_(1)|=-1/sqrt(2)
cos(phi)=x/|z_(1))=-1/sqrt(2)
phi=-3π/4

z_(1)=sqrt(2)*(cos(-3π/4)+i*sin(-3π/4))

Аналогично

|z_(2)|=sqrt(2^2+(2sqrt(3))^2)=sqrt(16)=4

argz_(2)=ψ

sinψ=y/|z_(2)|=2sqrt(3)/4=sqrt(3)/2
cosψ=x/|z_(2))=2/4=1/2
ψ=π/3

z_(2)=4*(cos(π/3)+i*sin(π/3))

Применяем формулу Муавра (cм. приложение)
a)
z^(3)_(1)=sqrt(2)^3(cos3*(-3π/4)+i*sin3*(-3π/4))=

=2sqrt(2)*(cos(-9π/4)+i*sin(-9π/4))=2sqrt(2)*(cos((-π/4)+i*sin(-π/4))=2-2*i

z^(4)_(2)=(4)^4*((cos4*(π/3)+i*sin4*(π/3))=
=256*(cos(4π/3)+i*sin(4π/3)=
=-128-128sqrt(3)*i
z^(3)_(1)*z^(4)_(2)=(2-2i*)(-128-128sqrt(3)*i)=
=-256+256*i-256sqrt(3)*i+256sqrt(3)*i^2=(-256sqrt(3)-256)+(256-256sqrt(3))*i

б)
z^(5)_(1)=(sqrt(2))^5(cos5*(-3π/4)+i*sin5*(-3π/4))=
=4sqrt(2)*(cos(-15π/4)+i*sin(-15π/4))=
=4sqrt(2)*(cos(-3π/4)+i*sin(-3π/4))=
=-4-4i

z^(3)_(2)=(4)^3*((cos3*(π/3)+i*sin3*(π/3))=
= 64*(cos(π)+i*sin(π))=-64


z^(5)_(1)/z^(3)_(2)=(-4-i*4))/(-64)=

=(1/16)+i*(1/16)



в)

z^(1/4)_(2)=(4)^(1/4)*cos(((π/3)/4)+(πk/2))+i*sin((((π/3)/4)+(πk/2))

k=0,1,2,3

при k=0
(z^(1/4)_(2))_(0)=sqrt(2)*(cos(π/12)+i*sin(π/12))

при k=1
(z^(1/4)_(2))_(1)=sqrt(2)*(cos(7π/12)+i*sin(7π/12))

при k=2
(z^(1/4)_(2))_(2)=sqrt(2)*(cos(13π/112)+i*sin(13π/12))

при k=3
(z^(1/4)_(2))_(2)=sqrt(2)*(cos(19π/12)+i*sin(19π/12))

4 числа и являются ответом.
Их расположение на рисунке:

Рисуем окружность радиуса sqrt(2)

Откладываем луч (π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(o)

Откладываем луч (7π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(1)

Откладываем луч (13π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(2)

Откладываем луч (19π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(3)
(прикреплено изображение)
log_(7)(x-4)=log_(7)24-log_(7)3;
log_(7)(x-4)=log_(7)(24/3)
log_(7)(x-4)=log_(7)8
x-4=8
x=12
1)
Выделим полный квадрат
(x^2-2xy+y^2)-4y^2=0 ⇒ (x-y)^2-4y^2=0 ⇒
(x-y-2y)(x-y+2y)=0 ⇒ (x-3y)=0 или (х+у)=0

получаем совокупность двух систем
{x-3y=0
{x^2-2x+y^2=6
или
{x+y=0
{x^2-2x+y^2=6
которые легко решаются способом подстановки

2)
{3x^2+y^2=4
{(x^2-y^2)+(x^2+xy)=2 ⇒ (x+y)*(2x-y)=2

Замена
х+у=u
2x-y=v
Ответ выбран лучшим
Замена переменной
x-y=u
x+y=v

x=(u+v)/2
y=(u-v)/2

{3v^2+u^2=28
{uv=3
способ подстановки
u=3/v
биквадратное уравнение
3v^4-28v^2+9=0
D=784-108=676
v^2=1/3 или v^2=9
v_(1)= - 1/sqrt(3); v_(2)=1/sqrt(3); v_(3)=-3;v_(4)=3
u_(1)=-3sqrt(3);u_(2)=3sqrt(3);u_(3)=-1;u_(4)=1

x_(1)=(-3sqrt(3))/2 - (1)/(2sqrt(3))
x_(2)=(3sqrt(3))/2+(1)/(2sqrt(3))
x_(3)=-2
x_(4)=2

y_(1)=(-3sqrt(3))/2+(1)/(2sqrt(3))
y_(2)=(3sqrt(3))/2-(1)/(2sqrt(3))
y_(3)=2
y_(4)=-1
Ответ выбран лучшим
найдем две точки на линии пересечения плоскостей.

пусть х=0
{2y+3z-5=0
{-2y-z+1=0
cкладываем
2z-4=0
z=2
y=-1/2
К(0;-1/2;2)

пусть z=0
{x+2y-5=0
{3x-2y+1=0
складываем
4х-4=0
х=1
у=2
N(1;2;0)

Координаты точек, отсекающих равные отрезки на осях Ох и Оz:
P(c;0;0) и Q(0;0;c)

Cоставим уравнение плоскости
Пусть М(х;у;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{KM}=(x- 0;y+(1/2);z-2);
vector{KN}=(1;5/2;-2)
vector{PQ}=(-c;0;c) компланарны
Условием компланарности трех векторов является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов.
(прикреплено изображение)
vector{AB}=(-3;4;4)
vector{AD}=(-2;2;1)
пр_(vector{AD})vector{AB}=vector{AB}*vector{AD}/|vector{AD}|=
=(6+8+4)/3=6
(прикреплено изображение)
Условие:
(х-4)sqrt(x^2-x-2)/(x-5) ≤ 0
ОДЗ:
{x^2-x-2 ≥ 0 ⇒ D=9; корни -1 и 2 ⇒ х ≤ -1 или х ≥ 2
{x-5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Решаем методом интервалов:

___+___ [-1] [2] ___+__ [4] __-_ (5) _+ _

О т в е т. (- ∞ ; -1]U[2;4]U(5;+ ∞)
Ответ выбран лучшим
3.3
g o h_(1) o f o h_(1)(x)=1/|sqrt(|x-1|)-1|
функция имеет разрывы второго рода в точках х=0 и х=2
при х=-8
у=1/2
при х=5
y=1
образ множества (-8;5]=(1/2; + ∞ )
cм. рис.1

3.4
h_(3)o g o f (x) =|(1/sqrt(x))-3|
Найдем при каких х
y=2
Решаем уравнение
|(1/sqrt(x))-3|=2
1/sqrt(x)=5
sqrt(x)=1/5;
x=1/25

прообраз множества (1;2]
множество (0;1/25]
cм. рис 2.

(0;1/25] → (1;2] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
строим параболу y=9x^2+31x-20
Ветви вверх.
Точки пересечения с осью Ох
9x^2+31x-20=0
D=31^2-4*9*(-20)=961+720=1681
x_(1)=(-31-41)/18=-4 или x_(2)=(-31+41)/18=5/9

О т в е т .(- ∞ ;-4]U[5/9;+ ∞) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
x*(x-8) > 0
___+__ (0) ___-___ (8) __+__
x< 0 или х > 8

О т в е т. (- ∞ ;0) U (8;+ ∞ )

парабола у = x^2 - 8x пересекает ось Ох в точках 0 и 8 и переходя через эти точки меняет свое расположение
на (- ∞;0) и на (8;+ ∞ ) расположена выше оси Ох.
Ответ выбран лучшим
y - f(x_(o))=f `(x_(o))*(x - x_(o))
x_(o)=-1
f(x)=x^2+1
f(x_(o))=(-1)^2+1=2
f ` (x)=2x
f `(x_(o))=2*(-1)=-2

y - 2 = - 2 * (x - (-1))
y=-2x
О т в е т у=-2х
Обозначим y=(ln2x)^(2/lnx)

Логарифмируем
lny=(1/lnx)*ln(2x)
Находим
lim_(x→+∞)lny=lim_(x→+∞)ln(2x)/(lnx)= неопределённость ( ∞/ ∞)
применяем правило Лопиталя:
=lim_(x →+∞)(ln2x)`/(lnx)`=lim_(x→+∞)(1/2x)/(1/x)=1/2

Тогда lim_(x→+∞)y=e^(1/2)=sqrt(e)
О т в е т. sqrt(e)
3.1
u_(a,b)=h_(a)(f(h_(b)(g(x))))=h_(a)(f(h_(b)(1/x)))=h_(a)(f(|(1/x)-b|))=

=h_(a)(sqrt(|(1/x)-b|))=

=|sqrt(|(1/x)-b|)-a|
Ответ выбран лучшим
M_(1)xM_(2)={(1;7);(3;7);(6;7);(8;7); (1;9);(3;9);(6;9);(8;9);(1;1);(3;1);(6;1);(8;1);(1;4);(3;4);(6;4);(8;4)}
R={(1;7);(1;9);(3;9);(1;1);(1;4)}
запишем уравнения прямой в параметрическом виде.
обозначим:
t=(x-1)/1=y/0=(z+3)/2

x=t+1
y=0
z=2t-3
и подставим в уравнение плоскости:
2*(t+1)-0+4*(2t-3)=0
10t-10=0
t=1
При t=1
x=1+1=2
y=0
z=2*1-3=-1
О т в е т (2;0;-1)
Замена переменной
2^(x)=t
4^(x)=t^2
8^(x)=t^3
2^(x+3)=2^(x)*2^(3)=8t
2^(x+2)=2^(x)*2^2=4t

Неравенство примет вид:
(t^3+3t-32)/(t-3) + (t^3-8t-7)/(t^2-8) ≥ t^2+4t+12;

(t^5+3t^3-32t^2-8t^3-24t+256+t^4-8t^2-7t-3t^3+24t+21 )/(t-3)(t^2-8) ≥
t^2+4t+12

(-7t-21)/(t-3)(t^2-8) ≥ 0
Применяем метод интервалов:
__+__[-3] _-__(-2sqrt(2)) __+___ (2sqrt(2)) _-__ (3) __+__

c учётом t > 0
(0;2sqrt(2))U(3;+ ∞)
Обратная замена:
2^(x) < 2sqrt(2) ⇒ x < 1,5
2^(x) > 3 ⇒ x > log_(2)3
О т в е т(- ∞ ;1,5) U(log_(2)3;+ ∞ )
По теореме косинусов.
Пусть
a=7; b=9; c=11
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
cosA=(9^2+11^2-7^2)/(2*9*11)=153/(2*9*11)=17/22
∠A=arccos(17/22)
Ответ выбран лучшим
sin ∠ A=1/6, так как
sin^A+cos^2A=1
АВ=ВС/sinA=90
АС=sqrt(90^2-15^2)=sqrt(7875)=15sqrt(35)
АН=АС*cosA=87,5
Ответ выбран лучшим
соединяем точку А_(1) с точкой L
соединяем точку А_(1) с точкой К
плоскость А_(1)LK пересекает параллельные плоскости AA_(1)B_(1)B и СС_(1)DD_(1) по параллельным прямым.
Проводим КМ || A_(1)L
Для этого проводим D_(1)E || A_(1)L
C_(1)E:EC=4:1;
K- cередина С_(1)D_(1)
Значит М - середина С_(1)E
C_(1)M : MC= 2 : 3

C_(1)C=15
значит
С_(1)М=6
С_(1)D_(1)=8
KC_(1)=4
По теореме Пифагора КМ=10
A_(1)K=sqrt(160)=4sqrt(10)

угол между плоскостями - угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения. Например из точки L

Рис и дальнейшие вычисления там где собирались копировать другие индивиды
Я написала, что получилось
x < x +1
f(x) < f(x+1)

если меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция возрастает.

на рис. функция возрастает на (- ∞;-11) ; на (-9;-7,5); на (-1;2)и на (8;+ ∞ )
Ответ выбран лучшим
10^(x) > 0 при любом
можно сократить обе части неравенства на 10^(x)
x^2 > 0 при x ≠ 0

можно сократить

Осталось собрать степени 2
2^((x-2)/(2x+4)) ≥ 2^((-5x+10+4x^2-16)/(2x+4))
х ≠ 0
Показательная функция с основанием 2 возрастает, поэтому
(х-2)/(2x+4) ≥ (4x^2-5x-6)/(2x+4);

(4x^2-6x-4)/(2x+4) ≤ 0

D=36+64=100
x_(1)=-1/2; x_(2)=2

___-___ (-2) ____ [-1/2] _-_ (0) ________-____ [2] _____

О т в е т ( - ∞ ;-2) U [-1/2;0) U (0;2]
Ответ выбран лучшим
ctgx=1/tgx;
3tg^2x-5tgx-2=0
tgx ≠ 0

D=25+24=49

tgx=-2 или tgx =1/3

x=arctg(-2)+πk, k ∈ Z или х=arctg(1/3) + πn, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
С\В={1}
[b]A x (C\B)={(1;1);(2;1)}[/b]

C ∩ B={3}

A x(C ∩ B)={(1;3);(2;3)}

A xC ={(1;1);(1;3);(2;1);(2;3)}

по определению симметрической разности:
(A x C) Δ(A x(C ∩ B))=
={(1;1);(1;3);(2;1);(2;3)}\{(1;3);(2;3)}

[b](A x C) Δ(A x(C ∩ B))={(1;1);(2;1)} [/b]

верно
Формула:
d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a^2+b^2);

18^2 + 26^2=2*((b+10)^2+b^2)
324+676=2*(2b^2+20b+100)
b^2+10b-200=0
D=100+800=900
квадратное уравнение
находим b=10
a=b+10=20
S=(1/2)AB*h
AB=sqrt((3-(-2))^2+(-2-4)^2)=sqrt(61)
h=2S/sqrt(61)=140/sqrt(61)
значит точка С расположена на прямой, параллельной АВ и находящейся на расстоянии 140/sqrt(61)
Составляем уравнение прямой АВ:
(х+2)/5=(у-4)/(-6)
6х+5у-8=0

По формуле расстояния между двумя параллельными прямыми
( см. приложение)
получаем
140/sqrt(61)=|8-c|/sqrt(61)

140=|8 - c |
8-с=140 или 8-с=-140
c= -132 или с= 148

О т в е т. на прямой 6х + 5у - 132 = 0 или на прямой 6х + 5у + 140 = 0
(прикреплено изображение)
составляем уравнение плоскости АВС
(см. приложение)
vector{n}=(4;-60;19)
плоскость АВС проходит через точку А перпендикулярно вектору
vector{n}=(4;-60;19)
О т в е т vector{n}=(4;-60;19) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1)По свойству плотсности:
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx=1 ⇒

a *∫ ^(π/6)_(0)sin2xdx=1
a*(-(1/2)cos(2x))|^(π/6)_(0)=1

a*((-1/2)*cos(π/3)+(1/2)cos0)=1

a*(1/2)=1

a=2

F(x)= ∫^(x) _(- ∞ )f(x)dx

При x < 0 f(x)=0
F(x)=0
При 0 < x < π/6
F(x)= ∫ ^(x)_(- ∞)f(x)dx= ∫^(0) _( ∞ )0dx + ∫ ^(x)_(0)2sin2xdx=

=0+(-cos2x)|^(x)_(0)=-cos2x+1

При x > π/6
F(x)= ∫^(x) _( -∞ )f(x)dx= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫ ^(π/6)_(0)2sin2xdx + ∫ ^(x)_(π/6)0dx=0+1+0

M(x)= ∫^(+ ∞)_( -∞) x*f(x)=0+ ∫ ^(π/6)_(0)x*(2sin2x)dx+0=

интегрируем по частям:
u=x; du=dx
dv=2sin2xdx; v=-cos2x

=(-xcos2x)|^(π/6)_(0) + ∫^(π/6)_(0) cos2xdx=

=-(π/6)*cos(π/3)+0 +(1/2)sin2x|^(π/6)_(0)=

=(-π/12)+(1/2)sin(π/3)=(sqrt(3)/4)-(π/12)

Р(x_(1)<x<x_(2))=F(x_(2))-F(x_(1))= -cos(2*(π/8))+1-(-cos0+1)=

=1-cos(π/4)=1-(sqrt(2)/2)
Ответ выбран лучшим
1.
1+5^(1-2x)=(5^(2x)+5)/5^(2x)
(1+5^(1-2x))^(-1/2)=(5^(2x)/(5^(2x)+5))^(1/2)=5^(x)/sqrt(5+5^(2x))

sqrt(5+5^(2x))=t

Неравенство принимает вид:
9*(5^(x)/t) -(1/2)*t ≥ sqrt(6)*(5^(x))^(1/2);
18*5^(x)-t^2-2sqrt(30)sqrt(5^(x))*t ≥ 0

или

t^2+2sqrt(30)u*t-18u^2 ≥ 0

u=sqrt(5^(x))

(t/u)^2+2sqrt(30)*(t/u)-18 ≥ 0
D=196

t/u >0
(t/u)=(2*sqrt(30)+14)/2 или (t/u)=(2*sqrt(30)-14)/2 - не имеет корней

t/u=sqrt(30)+7

sqrt(5+5^(2x))/sqrt(5^(x))=sqrt(30)+7

Возводим в квадрат:
(5+5^(2x)/5^(x))=(sqrt(30)+7)^2

5+5^(2x)=(79+14sqrt(30))*5^(x) - квадратное уравнение относительно 5^(x)

Решаете и получаете ответ

(прикреплено изображение)
A_(1)=(1-4;1+1]=(-3;2]
A_(2)=(2^2-4;2^2+1]=(0;5]
A_(1) U A_(2)=(-3;5]

A_(1,5)=(1,5^2-4;1,5^2+1]=(-1,75;3,25]

A_(1) U A_(2) \ A_(1,5) = (-3;-1,75] U (3,25;5]
Ответ выбран лучшим
4.

D=5^2-4*2*4=25-32=-7
sqrt(D)=sqrt(-7)=sqrt(7)*sqrt(-1)=sqrt(7)*[b]i[/b]
z_(1)=(-5-[b]i[/b]*sqrt(7))/2 или z_(2)=(-5+[b]i[/b]*sqrt(7))/2
О т в е т. (-5-[b]i[/b]*sqrt(7))/2 ; z_(2)=(-5+[b]i[/b]*sqrt(7))/2

5.

|1+z-2[b]i[/b]|=|z-(2[b]i[/b]-1)|- расстояние между произвольной точкой z и точкой
z_(o)=-1+2[b]i[/b]
По условию
|z - (2[b]i[/b]-1)| > 1 - внешняя часть круга с центром в точке z_(o)=-1+2[b]i[/b] и радиусом 1

cм. рис. 1 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение стороны запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом:
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)

β - α =45^(o)
( диагонали квадрата образуют угол 45 градусов со сторонами квадрата)
tg( β - α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )

(k_(1)-(1/4))/(1+(1/4)*k_(1))=1

k_(1)=5/3


y=(5/3)x+b - уравнение диагонали

Подставим координаты точки К (1,5; 2,5)

2,5=(5/3)*1,5+b
b=0
y=(5/3)x

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b

(-3/5)*(5/3)=-1

Подставим координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
Это точка (0;0)
{х-4у=0
{у=(5/3)х
x=0
y=0

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
{х-4у=0
{у=(-3/5)х+3,4

x=4
y=1

Координаты двух других точек можно найти из соображений симметрии.

О т в е т. (0;0); (4;1);(-1;4);(3;5)

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Составляем уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку B

3х+2у-1=0 ⇒ у=-(3/2)х+(1/2)
угловой коэффициент k=(-3/2)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
k=2/3 - угловой коэффициент искомой прямой
y=(2/3)x+b - множество прямых, перпендикулярных данной.
чтобы выделить прямую, проходящую через точку B
подставим координаты точки В

1=(2/3)*(-2)+b
b=7/3

y=(2/3)x+(7/3)

Найдем координаты точки М - точки пересечения двух прямых
{3x+2y-1=0
{y=(2/3)x+(7/3)

3x+2*((2/3)x+(7/3))-1=0
(13/3)x+(11/3)=0
x=(-11/13)
y=69/39=23/13

По свойству симметричных точек
ВМ=МА
x_(M)=(x_(B)+x_(A))/2 ⇒
x_(A)=2x_(M)-x_(B)=(-22/13)-(-2)=4/13

y_(M)=(y_(B)+y_(A))/2 ⇒ y_(A)=2y_(M)-y_(B)=2*(23/13)-1=33/13

О т в е т. (4/13; 33/13) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Составим уравнение плоскости АВС ( см. приложение 1)
24x-12y+12z+48=0
или
2х-у+z+4=0

Найдем проекцию точки D на плоскость 2х-у+z+4=0
Для этого составим уравнение прямой DD_(o), проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС.
Это означает, что нормальный вектор плоскости АВС
vector{n}=(2;-1;1) является направляющим вектором прямой
(x-(-1))/2=(y-7)/(-1)=(z-(-1))/1
Запишем это уравнение в параметрическом виде:
(x+1)/2=(y-7)/(-1)=(z+1)/1=t
x=2t-1
y=-t+7
z=t-1
и подставим в уравнение плоскости
2(2t-1)-(-t+7)+(t-1)+4=0
6t-6=0
t=1
При t=1
x=1
y=6
z=0
D_(o)(1;6;0) - проекция точки D на плоскость АВС
DD_(o)=sqrt((1-(-1))^2+(6-7)^2+(0-(-1))^2)=sqrt(4+1+1)=sqrt(6) - длина ребра куба.
V=a^3=(sqrt(6))^3=6sqrt(6)

б) Это и есть уравнение DD_(o)
(x+1)/2=(y-7)/(-1)=(z+1)/1
или в параметрическом виде:
x=2t-1
y=-t+7
z=t-1

в) Это уравнение плоскости, проходящей через точку D и имеющей нормальный вектор vector{n}=(2;-1;1)
2*(x+1)-(y-7)+(z+1)=0
2x-y+z+10=0

Между прочим, расстояние между этими плоскостями и равно ребру куба.

См. формулу (приложение 2)
d=|D_(2)-D_(1)|/sqrt(2^2+(-1)^2+1^2)=sqrt(6)

9.
Точек пересечения двух плоскостей бесчисленное множество.
Пусть первая координата х=0
{y+z-2=0
{-y-2z+2=0
Cкладываем
z=0
y=2
M(0;2;0) - принадлежит этой прямой
Пусть y=0
{x+z-2=0
{x-2z+2=0
вычитаем
3z-4=0
z=4/3
x=2/3
N(2/3;0;4/3) - принадлежит прямой.

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки M и N
(x-0)/(2/3)=(y-2)/(0-2)=(z-0)/(4/3)

x/(2/3)=(y-2)/(-2)=z/(4/3) (прикреплено изображение)
m^2-n^2=279-3m
(m-n)(m+n)=3(81-m)

{m-n=3
{m+n=81-n

{m-n=3
{m+2n=81
3n=78
n=26
m=29


или

{m+n=3
{m-n=81-n

{m+n=3
{m=81;

n=3-81=-78
Ответ выбран лучшим
(x_(o)+2a)(x_(o)+2b)=28;

(a+b+2a)(a+b+2b)=28

(3a+b)(a+3b)=28

3a^2+10ab+3b^2=28

(3a^2+6ab+3b^2)+4ab=28

3(a+b)^2+4ab=28

3(a+b)^2=28-4ab
3(a+b)^2=4*(7-ab)

Левая часть кратна 3, значит и правая кратна трем
7-ab кратно 3
(a+b)^2 кратно 4



Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Шашлык (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
6.4
∂z/∂x=z`_(x)=(1/(x^2+y))*(x^2+y)`_(x)=2x/(x^2+y);
∂z/∂y=z`_(y)=(1/(x^2+y))*(x^2+y)`_(y)=1/(x^2+y).

6.5
gradu=(∂u/∂x)*vector{i}+(∂u/∂y)*vector{i}+(∂u/∂z)*vector{k}

∂u/∂x=(1/(3-x^2))*(3-x^2)`+y^2z*(x)`=(-2x/(3-x^2))+y^2z

∂u/∂y=0 + xz*(y^2)`=2xyz

∂u/∂z=0+xy^2*(z)`=xy^2

gradu=((-2x/(3-x^2))+y^2z)*vector{i}+(2xyz)*vector{i}+(xy^2)*vector{k}


∂u/∂x _(M)=(-2/(3-2^2))+3^2*2=2+18=20

∂u/∂y_(M)=2*1*3*2=12

∂u/∂z_(M)=1*3^2=9

gradu(M)=20*vector{i}+12*vector{i}+9*vector{k}
Ответ выбран лучшим
f `(x) = cos(cosx)*(cosx)`+20x^4=(cos(cosx))*(-sinx)+20x^4;
f `(1)= (cos(cos1))*(-sin1)+20*1^4=(-sin1)*cos(cos1) +20

sin 1 (рад) = sin(180^(o)/π)=0,84147095
cos1 (рад) = сos(180^(o)/π)=0,540302306
cos(cos1)=cos(0,54 рад)=cos(0,54*180^(o)/π)=0,857708681

О т в е т. (-sin1)*cos(cos1) +20=-0,84147095*0,857708681+20=

=19,3035072 ≈ 19,3
1.
C={–7;–6;–5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4}
2.
D={10n+2, 1 ≤ n ≤ 9}
3.
A ∪ B={2;4;6;7;8;9;10}
A ∩ B={7;8;9}
A \ B={2;4;6}
4.
cм. рис. 1

8.
Х×У - декартово произведение двух множеств, т.е множество точек

(х;у) на координатной плоскости, первая координата которых из множества Х, вторая из множества У.

Осталось понять, что такое Х и что такое У.

9.
Венеция, Рим, Флоренция
Венеция, Флоренция, Рим
Рим, Флоренция,Венеция,
Рим, Венеция, Флоренция
Флоренция, Рим, Венеция
Флоренция, Венеция, Рим

10.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
C={-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4}
Ответ выбран лучшим
а)
lim_(x→0)(sinx+(1/(1+x^2))+(tgx/x))=

=lim_(x→0)(sinx)+lim_(x→0)(1/(1+x^2))+lim_(x→0)(tgx/x)=

=0+1+1=2

Функция не определена в точке х=0, но предел есть, он равен 2
Его и принимают за значение функции.
f(0)=2
Это называется доопределением функции по непрерывности

2)
f`(0)=lim_( Δx→0) Δf/ Δx

Δf=f(0+ Δx)-f(0)=sin(0+ Δx)+(1)/(1+(0+ Δx)^2)+tg(0+ Δx)/(0+ Δx)-2=

=sin Δx+(1)/(1+( Δx)^2)+tg(Δx)/( Δx) - 2

f `(0)=lim_( Δx→0)= lim_( Δx→0)sin Δx/ Δx =1

c)
f`(x)=cosx - 2x/(1+x^2)^2 + ((x/cos^2x)-tgx)/(x^2)

Прямые параллельны.
3x-4y+10=0
3x-4y-6,5=0

d=|C_(2) - C_(1)|/sqrt(A^2+B^2)=| - 6,5 -10|/sqrt(3^2+(-4)^2)=16,5/5=3,1

a(квадрата)=d

S(квадрата)=a^2=3,1^2=9,61
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{5+x ≥ 0 ⇒ x ≥ -5
{5-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

5+х - 2√(5+х)*√(5–х) + 5-х = (х-1)
2√(5+х)*√(5–х)=11-x
При x ∈[-5;5]
11-x ≥ 0
Возводим в квадрат

4(5+x)*(5-x)=(11-x)^2

100-4x^2=121-22x+x^2

5x^2-22x+21=0

D=(-22)^2-4*5*21=64

x_(1)=(22-8)/10=7/5 или х_(2)=(22+8)/10=3
Оба корня принадлежат ОДЗ

О т в е т. 7/5; 3
АВ=AС
sqrt((-1-0)^2+(-1-0)^2+(-6-z)^2)=sqrt((2-0)^2+(3-0)^2+(5-z)^2)

Возводим обе части в квадрат, упрощаем
2z+1=1
z=0


Ответ выбран лучшим
2.
О т в е т. 6 способов.
6 прямоугольников 1×5 и 2 квадрата 1×1
5 прямоугольников 1×5 и 7 квадратов 1×1
4 прямоугольника 1×5 и 12 квадратов 1×1
3 прямоугольника 1×5 и 17 квадратов 1×1
2 прямоугольника 1×5 и 22 квадрата 1×1
1 прямоугольник 1×5 и 27 квадратов1×1
3.
x+(1/x) - целое число, только при х=1 и х=-1
4x-x^2 при х=-1 и х=1 тоже целое.

Вася выписал два числа 1 и -1
Сумма модулей
|1| + |-1|=2
О т в е т. 2
Ответ выбран лучшим
6 прямоугольников 1×5 и 2 квадрата 1×1
5 прямоугольников 1×5 и 7 квадратов 1×1
4 прямоугольника 1×5 и 12 квадратов 1×1
3 прямоугольника 1×5 и 17 квадратов 1×1
2 прямоугольника 1×5 и 22 квадрата 1×1
1 прямоугольник 1×5 и 27 квадратов1×1
Ответ выбран лучшим
A5.
ΔABK= ΔAKC по стороне и двум прилежащим к ней углам
AC- общая сторона
∠ ВАК= ∠ САК ( АК - биссектриса и делит угол А пополам)
∠ АКВ= ∠ АКС=90^(o) - cмежные углы, их сумма 180 градусов, если один угол равен 90 градусов, то второй тоже 180 градусов - 90 градусов = 90 градусов.
ВК=КС=5,5
ВС=ВК+КС=5,5+5,5=11
АВ=АС=12
Р=АВ+АС+ВС=12+12+11=35 ( см)

В1.
Δ АМС= ΔАКС по стороне и двум прилежащим к ней углам
АС - общая сторона
∠ А= ∠ С ( по условию АВ=ВС, треугольник АВС - равнобедренный, значит углы при основании равны.)
∠ КАС= ∠ МАС ( биссектрисы АК и СМ делят равные углы А и С пополам)

Из равенства треугольников
АМ=КС=5 см
ВС=ВК+КС=8+5=13 см
АВ=ВС=13 см

В2.
АК=КВ

В треугольника АКС и ВКС
KC - общая сторона
АК=КВ
∠ ВКС= ∠ АСК

⇒ ∠ АКС= ∠ ВКС=90^(o)

B.3
∠ A= ∠ B
⇒ Δ АВС - равнобедренный ⇒ АС=ВС
Обозначим АВ=2k; BC=3k тогда АС=3k
Р( Δ АВС)=АВ+ВС+АС=2k + 3k + 3k = 8k
8k=48
k=6 ( коэффициент пропорциональности)
АВ=2k=2*6=12 cм

В.4
ВМ:ВС=1:2⇒ ВС=2ВМ

ВМ=МС

Значит ∠АМВ= ∠ АМС=90^(o)

∠ В= ∠ С
∠ 1=(1/2) ∠ С ⇒ ∠ С=2* ∠ 1=2*12^(o)=24^(o)
∠ 2 =∠ B= ∠ C=24^(o)

B.5

Δ АВС - равнобедренный⇒ ∠ BAC= ∠BCA=x^(o)
Δ АDC- равнобедренный ⇒ ∠ СAD= ∠ ACD= y^(o)

∠ BAD= ∠ BAC + ∠ CAD=x^(o)+y^(o)
∠ BCD= ∠ BCA + ∠ ACD=x^(o)+y^(o)

∠ BAD=∠ BCD

Δ ABD = Δ CBD по двум сторонам
АВ=ВС
AD=DC
и углу между ними:
∠ BAD=∠ BCD

Из равенства треугольников следует равенство углов.
∠ ABD= ∠ CBD
∠ BDA=BDC

BD - биссектриса ⇒
BD - высота, медиана и биссектриса равнобедренного Δ АВС и равнобедренного Δ АDС

⇒ ∠ ANB=90^(o)
Ответ выбран лучшим
4a)
y=x^2+4
f(x)=x^2+4
D(f)=(- ∞ ;+ ∞)
Е(f)=[4;+ ∞ ) ( график парабола, наименьшее значение при х=0 равно 4)

Чтобы составить обратную функцию,
меняем х и у местами

х=у^2+4 ⇒ y^2=x-4 ⇒ y=± sqrt(x-4)

y=x^2+4 на[b] [0;+∞ )[/b] имеет обратную функцию y=sqrt(x-4)

y=x^2+4 на [b]( - ∞; 0)[/b] имеет обратную функцию y= - sqrt(x-4)


Обратная функция f^(-1)=sqrt(x-4)
D(f^(-1))=E(f)=[4;+ ∞ )
E(f^(-1)=D(f)=[0 ;+ ∞ )

Обратная функция f^(-1)= - sqrt(x-4)
D(f^(-1))=E(f)=[4;+ ∞ )
E(f^(-1)=D(f)=(- ∞; 0 )

4б)

D(f)=(- ∞ ;+ ∞ )
E(f)=(- ∞ :+ ∞)

Чтобы составить обратную функцию,
меняем х и у местами

x=∛(8-y^3)
x^3=8-y^3
y^3=8-x^3
y=∛(8-x^3)-

f^(-1)=∛(8-x^3)

f=f^(-1)

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
4a)
x^3-6x^2+9x ≥ 0
x*(x^2-6х+9) ≥ 0
x*(x-3)^2 ≥ 0

_-__ [0] __+__ [3] __+__

О т в е т. [0;+ ∞ )

4б)
12+4x-x^2>0
x^2-4x-12 <0
D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64
x_(1)=(4-8)/2=-2; x_(2)=(4+8)/2=6
_+__ (-2) __-__ (6) __+_

О т в е т. (-2;6)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1 б)
2 б)
3
(4y-1)(4y+1)=(4y)^2-1^2=16y^2-1;
4
(x+0,3)(0,3-x)=(0,3+x)(0,3-x)=(0,3)^2-x^2=0,09-x^2
5
(-2a+b^2)(2a+b^2)=(b^2-2a)(b^2+2a)=(b^2)^2-(2a)^2=b^4-4a^2
6
16m^2-(1/49)n^4=(4m)^2-(n^2/7)^2=(4m-(n^2/7))(4m+(n^2/7))
7
(m+2)^2-(m-3)(m+3)=(m^2+4m+4)-(m^2-3^2)=

=m^2+4m+4-m^2+9=4m+13
8
654,68^2-345,32^2=(654,68-345,32)(654,68+354,32)=309,36*1=309,36
9
((1/2)m^2-(1/5)n^2)((1/2)m^2+(1/5)n^2)-((1/2)m^2-(1/5)n^2)^2=

=((1/2)m^2)^2 -((1/5)n^2)^2-[b]([/b]((1/2)m^2)^2-2*(1/2)m^2*(1/5)n^2+((1/5)n^2)^2[b])[/b]=

=(1/4)m^4-(1/25)n^4-(1/4)m^4+(1/5)m^2n^2-(1/25)n^4=

=(1/5)m^2n^2- (2/25)n^4
10
(a-2b)(a+2b)=a^2-(2b)^2=a^2-4b^2

(a^2-4b^2)(a^2+4b^2)=(a^2)^2-(4b^2)^2=a^4-16b^4

(a^4-16b^4)(a^4+16b^4)=(a^4)^2-(16b^4)^2=a^(8)-256b^(8)

О т в е т. a^(8)-256b^(8)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Дано уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные.
dy/y=cosxdx
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ cosxdx

ln|y|=sinx+C - общее решение

При х=0; у=1
ln1=sin0+C
C=0

ln|y|=sinx - частное решение, удовлетворяющее условию у=1 при х=0
Ответ выбран лучшим
Делим обе части уравнения на 45:
(x^2/9)-(y^2/5)=1
Левая вершина гиперболы
имеет координаты (-3;0)

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R
имеет вид:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

По условию задачи
a=0 b=(-6)

(x-0)^2+(y - (-6))^2=R^2

Чтобы найти R подставим координаты левой вершины
данной в условии гиперболы
(-3-0)^2+(0-6)^2=R^2
9+36=R^2
R^2=45


О т в е т. x^2+(y+6)^2=45
Ответ выбран лучшим
P(x;y)dx+Q(x;y)dy
является полным дифференциалом, если
∂P/∂y=∂Q/∂x.

∂P/∂y=((x+y)/(xy))`_(y)=((x+y)`_(y)*(xy)-(xy)`_(y)*(x+y))/(xy)^2= -x^2/(xy)^2= - 1/y^2

∂Q/∂x=(1/y^2)*(y-x)`_(x)=(1/y^2)*(-1)=-1/y^2
∂P/∂y=∂Q/∂x

Данное уравнение - уравнение в полных дифференциалах
Это значит
∂U/∂x=P(x;y)
∂U/∂y=Q(x;y)

Зная, частные производные можем найти U(x;y)

U(x;y)= ∫ (∂U/∂x)dx= ∫ P(x;y)dx= ∫ (x+y)dx/(xy)=

=(1/y) ∫ (x+y)dx/x=(1/y) ∫ (1+(y/x))dx=(1/y)*x+(1/y)*yln|x|+ φ (y)=

=(x/y)+ln|x|+ φ(y)

Находим
∂U/∂y= ((x/y)+ln|x|+ φ(y))`_(y)=x*(1/y)`+0+ φ `(y)= (-x/y^2)+φ `(y)
Так как
∂U/∂y=Q(x;y)
то
(-x/y^2)+φ `(y) =(y-x)/y^2;


φ `(y)=1/y

φ(y)=ln|y|+C

U(x;y)=(x/y)+ln|x|+ φ(y)=(x/y)+ln|x|+ln|y|+C


О т в е т.U(x;y)=(x/y)+ln|x*y|+C
Ответ выбран лучшим
а) y> 3x–0,5;

(0;0)
(1;5)
(-1;1)

б) y< x^2–1;
(1;-1)
(2;2)
(2;-2)

в) y+x–1>0;
(1;1)
(2;0)
(2;1)

г) xy<5.

(1;2) (2;1) (1;3) (3;1)
Ответ выбран лучшим
Подставляем координаты каждой точки в неравенство:

(0;0)
0+3*0+1 < 0 – неверно

Точка (0;0) не является решением неравенства

(0;-3)
0+3*(-3)+1 < 0 – верно

Точка (0;-3) является решением неравенства

(2;-2)
2+3*(-2)+1 < 0 – верно

Точка (2;-2) является решением неравенства

(-7,2;2)
-7,2+3*(2)+1 < 0 – верно

Точка (-7,2;2) является решением неравенства

(1;–2/3)
1+3*(-2/3)+1 < 0 – неверно

Точка (1;-2/3) не является решением неравенства
Ответ выбран лучшим
Область определения: (- ∞ ;+ ∞ )
Находим производную
y`=(u*v)`=u`*v+u*v`=
=(x^2-4)`*(x+3)+(x^2-4)*(x+3)`=2x*(x+3)+(x^2-4)*1=
=3x^2+6x-4

y`=0
3x^2+6x-4=0
D=36+48=84
x_(1)=(-6-2sqrt(21))/6=-1-(sqrt(21)/3) или х_(2)=(-6+2sqrt(21))/6=-1+(sqrt(21)/3)

Расставляем знак производной:

__+___ (-1-(sqrt(21)/3)) ____-_____ (-1+(sqrt(21)/3)) ___+___


На (- ∞ ; (-1-(sqrt(21)/3)) и на ((-1+(sqrt(21)/3)) ;+ ∞ )
функция возрастает
на ((-1-(sqrt(21)/3) ; (-1+(sqrt(21)/3))
функция убывает

x=-1-(sqrt(21)/3) - точка максимума
x=-1+(sqrt(21)/3) - точка минимума

y``=6x+6
x=-1 - точка перегиба (прикреплено изображение)
Найдем абсциссы точек пересечения графиков:
x^2+2x=x+2
x^2+x-2=0
D=1+8=9
x_(1)=(-1-3)/2= - 2 или х_(2)=(-1+3)/2=1

S=∫^(1)_(-2)(x+2-(x^2+2x))dx= ∫^(1)_(-2)(2-x^2- x)dx=

=(2x-(x^3/3)-(x^2/2))|^(1)_(-2)=

=2*(1-(-2)) - ((1/3)-(-8/3))-((1/2)-(4/2))=

=6-3+1,5=4,5

см. рис. (прикреплено изображение)
a)= 3*(sinx)|^(π)_(0)=3*sinπ-3sin0=0-0=0
б) = ∫^(9) _(1)x^(-3/2)dx=(x^((-3/2)+1)/((-3/2)+1))|^(9) _(1)=

=(-2/sqrt(x))|^(9)_(1)=-2/sqrt(9)-(-2/sqrt(1))=(-2/3)+2=4/3
Подставляем координаты каждой точки в неравенство:

А (0;2)
2≤ -0^2+5- верно
2 < 5
Точка А принадлежит множеству F

В (–1;1)
1≤ -(-1)^2+5- верно
1 < 4
Точка B принадлежит множеству F

С ( 10;–96)
-96≤ -10^2+5- верно
-96 < -95
Точка C принадлежит множеству F

D (20;–100).
-100≤ -20^2+5- неверно
-100 > -395
Точка D не принадлежит множеству F
Ответ выбран лучшим
Испытание состоит в том, что бросают две игральные кости.
Число исходов испытания равно
n=6*6=36
Это можно представить в виде пар, на первом месте число, выпавшее на первой кости, на втором число, выпавшее на втрой кости
(1;1);(1;2); ... (6;6)
Пусть событие А - "сумма выпавших очков равна 5 или 6"
Событию А благоприятствуют исходы:
(1;4);(4;1);(2;3);(3;2); (1;5);(5;1)(2;4);(4;2);(3;3)
m=9
По формуле классической вероятности:
p(A)=m/n=9/36=1/4
Ответ выбран лучшим
Пусть АВ + ВС= АС + СМ = k
Обозначим
АВ=х
АС=у
Тогда
ВМ=k-x;
CM=k-y.
По свойству биссектрисы угла треугольника
ВМ: СМ=АВ:АС
(k-x):(k-y)=x:y
y*(k-x)=x*(k-y)
ky-xy=kx-xy;
ky=kx
x=y
AB=АС
Треугольник АВС - равнобедренный
Ответ выбран лучшим
на (a;b) y` < 0 так как функция убывает, значит график y` на (a;b) расположен ниже оси Ох
Функция выпукла вверх, значит y``>0
График первой производной возрастает.
Касательная в точке x=b параллельна оси Ох, значит
график первой производной пересекает Ох в точке х=b
на (b;c) y` > 0 так как функция возрастает, значит график y` на (b;c) расположен выше оси Ох
Функция выпукла вверх, значит y``>0
График первой производной продолжает возрастать, переходя из нижней полуплоскости в верхнюю.

Точка х=с - точка перегиба, значит вторая производная меняет знак с + на -
Первая производная имеет в точке x=с максимум
Вторая производная обращается в точке х=с в 0.
График второй производной на (c;+ ∞ ) отрицателен, расположен ниже оси Ох
Первая производная на (с;+ ∞ ) убывает (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку А_(о), перпендикулярно плоскости.
Нормальный вектор плоскости
vector{n}=(a;b;c)
при этом является направляющим вектором прямой.
(x-x_(o))/a=(y-y_(o))/b=(z-z_(o))/c

(x-6)/0=(y-1)/4=(z-5)/2

Запишем это уравнение в параметрическом виде.
Введем параметр t
(x-6)/0=(y-1)/4=(z-5)/2= t ⇒

{x=0t+6
{y=4t+1
{z=2t+5

Подставим х;у;z в уравнение плоскости:
0x+4y+2z=0

0*(0t+6)+4*(4t+1)+2*(2t+5)=0
20t+14=0
t= - 14/20
t= -7/10

x=2

y=4*(-7/10)+1
y= - 18/10
y= - 1,8
z=2*(-7/10)+5
z=36/10
z=3,6
О т в е т. (6; - 1,8; 3,6)
Ответ выбран лучшим
a)
y`=x^2-2x-3

y`=0
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x_(1)=(2-4)/2=-1; x_(2)=(2+4)/2=3

__+__ (-1) __-___ (3) __+__

y`>0 на (- ∞ ;-1) и на (3;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (-1 ;3), значит функция убывает

х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(-1)=(1/3)*(-1)^3-(-1)^2-3*(-1)+2=(-1/3)+4=11/3

х=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(3)=(1/3)*3^3-3^2-3*3+2=9-9-9+2= - 7

y``=2x-2
y``=0
2x-2=0
x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;1) и выпукла вниз на (1;+ ∞ )
См. график рис. 1

б)
Область определения (- ∞ ;-6) U(-6;+ ∞ )

y`=(2*(x+6)-2x)/(x+6)^2

y`=12/(x+6)^2 > 0 при любом х из области определения, т.е
(- ∞ ;-6) U(-6;+ ∞ )

Функция возрастает на (- ∞ ;-6) и (-6;+ ∞ )

См. график рис. 2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку А_(о), перпендикулярно плоскости.
Нормальный вектор плоскости
vector{n}=(a;b;c)
при этом является направляющим вектором прямой.
(x-x_(o))/a=(y-y_(o))/b=(z-z_(o))/c

(x-2)/2=(y-4)/5=(z-7)/4

Запишем это уравнение в параметрическом виде.
Введем параметр t
(x-2)/2=(y-4)/5=(z-7)/4= t ⇒

{x=2t+2
{y=5t+4
{z=4t+7

Подставим х;у;z в уравнение плоскости:
2x+5y+4z-1=0

2*(2t+2)+5*(5t+4)+4*(4t+7)-1=0
45t+51=0
t= - 51/45
t= -17/15

x=2*(-17/15)+2
x= - 4/15

y=5*(-17/15)+4
y=-25/15
y= - 5/3
z=4*(-17/15)+7
z=37/15

О т в е т. (-4/15; -5/3; 37/15)
Cоставим уравнение прямой по данным задачи:
{x=1+10t
{y=2+12t
{z=-5+10t

и
плоскости:
х+у+3z-11=0

Подставим х; y; z в уравнение плоскости
(1+10t)+(2+12t)+3*(-5+10t)-11=0
10t+12t+30t-23=0
52t-23=0

t=23/52

x=1+10*(23/52)
x=282/52
y=2+12*(23/52)
y=380/52
z=-5+10(23/52)
z=-30/52

О т в е т. (282/52; 380/52; -30/52)
Ответ выбран лучшим
Даны три точки (-4;-9;4); (3;1;3);(5;6;-2)
Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
(x+4;y+9;z-4)
(3+4;1+9;3-4)=(7;10;-1)
(5+4;6+9;-2-4)=(9;15;-6)
коллинеарны.
Условием коллинеарности
является равенство 0 определителя третьего порядка. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Плоскости
a_(1)x+b_(1)y+c_(1)z+d_(1)=0;
a_(2)x+b_(2)y+c_(2)z+d_(2)=0
Нормальные векторы
vetor{n_(1)}=(a_(1);b_(1);c_(1))
vetor{n_(1)}=(a_(2);b_(2);c_(2))

Если плоскости параллельны, то и нормальные векторы коллинеарны, а значит их координаты пропорциональны.
Поэтому
если координаты нормальных векторов не пропорциональны, то векторы не коллинеарны, значит плоскости не параллельны.

По условию
vetor{n_(1)}=(-5;8;-3)
vetor{n_(2)}=(-3;0;4)
-5:(-3) ≠ 8:0 ≠ -3:4

Плоскости пересекаются.

Пусть М_(1)(x_(1);y_(1);z_(1)) и М_(1)(x_(2);y_(2);z_(2)) - точки, принадлежащие линии пересечения. Таких точек бесчисленное множество.

Пусть
z_(1)=0
{-5x_(1)+8y_(1)-3*0-9=0
{-3x_(1)+0*y_(1)+4*0+9=0 ⇒ x_(1)=3

-5*3+8y_(1)-9=0 ⇒ y_(1)=3
M_(1)(3;3;0)

Пусть z_(2)=3
{{-5x_(2)+8y_(2)-3*3-9=0
{-3x_(2)+0*y_(2)+4*3+9=0 ⇒ x_(2)=7

-5*7+8y_(2)-18=0
y_(2)=53/8

M_(2)(7;53/8;3)

Составим уравнение прямой пересечения как уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x-x_(1))/(x_(2)-x_(1))=(y-y_(1))/(y_(2)-y_(1))=(z-z_(1))/(z_(2)-z_(1));

(x-3)/(7-3)=(y-3)/((53/8)-3)=(z-0)/(3-0);

(x-3)/4=(y-3)/(29/8)=z/3

[b](x-3)/32=(y-3)/29=z/24[/b]

Запишем это уравнение в параметрическом виде.
Для этого введем параметр t:
(x-3)/32=(y-3)/29=z/24=t

{x-3=32t
{y-3=29t
{z=24t

[b]
{x=32t+3
{y=29t+3
{z=24t
[/b]


Ответ выбран лучшим
∠ A=120^(o) ⇒ ∠ B+ ∠ C=60^(o)
Биссектрисы ВВ_(1) и СС_(1) делят углы ∠ B и ∠ С пополам.
Значит,
∠ В_(1)ВС+ ∠ С_(1)CB=(1/2)*60^(o)=30^(o)

Пусть М- точка пересечения ВВ_(1) и СС_(1)

∠ ВМС=180^(o)- (∠ В_(1)ВС+ ∠ С_(1)CB)=150^(o)
∠ С_(1)МВ_(1)=∠ ВМС=150^(o) - вертикальные углы.

В четырехугольнике АQMP
∠АQM= ∠ АРМ=90^(o)
∠ QMP=∠ С_(1)МВ_(1)=150^(o)
Значит,
∠ РАQ=30^(o)

б)
Продолжим прямые АР и АQ до пересечения с ВС.
Получим точки К и Т.

В Δ ВАК прямая ВВ_(1) - биисектриса и высота, значит ВВ_(1) и медиана.
АР=РК=6
АК=12
Аналогично, АТ=2AQ=16

S( Δ ТАК)=(1/2)*АТ*АК*sin ∠ КАТ=(1/2)*16*12*(1/2)=48
Матричное уравнение имеет вид
А*Х*В=С

Умножаем на A^(-1) слева:

A^(-1)*A*X*B=A^(-1)*C

A^(-1)*A=E

X*B=A^(-1)*C

Умножаем на B^(-1) cправа:

Х*В*В^(-1)=A^(-1)*C*B^(-1)

так как В*В^(-1)= Е

Х=A^(-1)*C*B^(-1)

План решения.
1)Найти А^(-1)
2)Найти В^(-1)
Замечаем, что А=В
Значит A^(-1)=B^(-1)
3) Умножить A^(-1)*C*B^(-1) (прикреплено изображение)
∂u/∂MP=(∂u/∂x)(M)*cos α + (∂u/∂y)(M)*cos β +((∂u/∂z)(M)*cos γ

Находим частные производные:
∂u/∂x=u`_(x)=(xz^2/y)`_(x) + (xzy^2)`_(x) + (y/z^4)`_(x)=

= (z^2/y)*x`+(zy^2)*x`+0=

=(z^2/y) + zy^2;


∂u/∂y=u`_(y)=(xz^2/y)`_(y) + (xzy^2)`_(y) + (y/z^4)`_(y)=

=xz^2*(1/y)` + xz*(y^2)`+(1/z^4)*y`=

=xz^2*(-1/y^2) + 2xz*y+(1/z^4)


∂u/∂y=u`_(z)=(xz^2/y)`_(z) + (xzy^2)`_(z) + (y/z^4)`_(z)=

=(x/y)*(z^2)`+(xy^2)*(z)`+(y)*(z^(-4))`=

=(2xz/y)+(xy^2)-4yz^(-5).

Находим значения частных производных в точке M(1;1;-1):

(∂u/∂x) (M)= u`_(x)(M)=((-1)^2/1) + (-1)*1^2=0

(∂u/∂y) (M) = u`_(y)(M)=1*(-1)^2*(-1/1^2) + 2*1*(-1)*1+(1/(-1)^4)= -2

(∂u/∂z) (M) = u`_(z)(M)=(2*1*(-1)/1)+(1*1^2)-4*1*(-1)^(-5)=

= - 2 + 1 + 4 = 3

Находим координаты вектора
vector{MP}=(7-1;-2-1;1-(-1))=(6;-3;-2)
и его длину
|vector{MP}|=sqrt(6^2+ (-3)^2+(-2)^2)=sqrt(49)=7
Находим направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =6/7
cos β =-3/7
cos γ =-2/7

О т в е т.
∂u/∂MP(M)=(∂u/∂x) (M)*cos α +(∂u/∂y) (M)*cos β +(∂u/∂z) (M)*cos γ =

=0*(6/7)-2*(-3/7)+3*(-2/7) =[b] 0 [/b]
Функция непрерывна на (- ∞ ;0); на (0;2) и на (2;+ ∞ )
так как
функция y= - x непрерывна на (- ∞ ;0)
функция y= - (x - 1) ^2 непрерывна на (0 ;2)
функция y= (x - 3) непрерывна на (2; +∞ )

Исследуем точку
х=0
Находим
предел слева
f(-0)=lim_(x→-0)(-x)=0
предел справа
f(+0)=lim_(x→+0)(-(x-1)^2)= - 1
Предел слева не равен пределу справа, функция не имеет предела в точке х=0, точка х=0 - точка разрыва первого рода.
Скачок
f(+0) - f(-0) = -1 - 0 = - 1 ( функция в точке разрыва первого рода имеет конечный скачок)

Исследуем точку
х=2
Находим
предел слева
f(2-0)=lim_(x→2 - 0)(-(x-1)^2)= -1
предел справа
f(2+0)=lim_(x→2+0)(x-3)= - 1
Предел слева равен пределу справа, функция имеет предел в точке х=2,
f(2)=2-3=-1
предел в точке х=2 равен значению функции в точке х=2
[b]lim_(x→2)f(x)=f(2)[/b]
точка х=2 - точка непрерывности. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
a) a=10
F_(1)(-6;0); F_(2)=(10;0)⇒ 2c=(10-(-6))
2c=16
c=8
b^2=a^2-c^2=10^2-8^2=100-64=36=6^2

M- середина F_(1)F_(2)
x_(M)=(-6+10)/2=2
y_(M)=0
M(2;0)
Прямая x=2 -оcь симметрии эллипса

О т в е т.(x-2)^2/(10^2)+(y^2/6^2)=1

б) F_(1)(-3;5); F_(2)=(3;5)⇒
c=3
Прямая
y=5 - ось симметрии эллипса

b^2=a^2-c^2=25-9=16

О т в е т.(x^2/5^2)+((y-5)^2/4^2)=1

2. Если фокусы эллипса расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

а)
b=2
(x^2/a^2)+(y^2/4)=1
Подставляем координаты точки M_(1):
(12/a^2)+(1/4)=1
(12/a^2)=3/4
a^2=16
О т в е т. (x^2/4^2)+(y^2/2^2)=1

б)(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

Подставляем координаты точки M_(1) и М_(2):
{(0/a^2)+(7^2/b^2)=1 ⇒b^2=7^2 ⇒ b=7
{(8^2/a^2)+(0^2/b^2)=1 ⇒ a^2=8^2 ⇒ a=8

О т в е т. (x^2/8^2)+(y^2/7^2)=1

в)
2с=24 ⇒ с=12
2а=26 ⇒ а=13

b^2=a^2-с^2=13^2-12^2=169-144=25=5^2
О т в е т. (x^2/13^2)+(y^2/5^2)=1

г)
F( ± c;0) ⇒ c=7
ε=с/а
c/a=7/25
a=25
b^2=a^2-c^2=625-49=576=24^2
О т в е т. (x^2/25^2)+(y^2/24^2)=1
Тангенсоида имеет бесконечный разрыв в точке х= π/2

S_(тела вр. Оx на отрезке [a;b])=2π∫ ^(b)_(a)f(x)*sqrt(1+(f`(x))^2)dx
Тангенсоида имеет бесконечный разрыв в точке х= π/2
Рассмотрим половину такой площади, от вращения на [0;π/2]

f`(x)=(tgx)`=1/cos^2x
1+(f`(x))^2=1+(1/cos^2x)^2

S=2π* ∫ ^(π/2)_(0)tgx*sqrt(1+(1/cos^2x)^2)dx=

= 2 π* ∫ ^(π/2)_(0)( sin x/cos x) *( sqrt((cos^4 x + 1)/cos^4 x)) dx =

= 2 π * ∫ ^(π/2)_(0) (sqrt(cos^4 x + 1)/cos^3 x) * sin x dx =
= 2 π * ∫ ^(π/2)_(0) (cos^4 x + 1)^(1/2)/cos^3 x d(-cos x) =
= - 2 π * ∫ ^(π/2)_(0) (cos^4 x + 1)^(1/2)/cos^3 x d(cos x) =

Замена переменной t = cos x

= -2 * π * ∫ ^(+∞ )_(1) sqrt (t^4 + 1)dt/t^3 =

= - 2 * π * ∫ ^(+∞)_(1) (t^4 + 1)^(1/2) * t^(-3) dt =

Замена переменной

t^(-4) + 1 = z^2, z = (1 + 1/t^4)^(1/2), t^4 = 1/(z^2 - 1), t = (z^2 - 1)^(-1/4),
dt = -1/4 * (z^2 - 1)^(-5/4) * 2 * z

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1-(41)/(3n-5)<0 ⇒ 41/(3n-5) > 1 ⇒

41/(3n-5) - 1 > 0


(41-3n+5)/(3n-5) >0

(46-3n)/(3n-5) >0

(3n-46)/(3n-5) <0

Решаем методом интервалов:

____ (5/3) _-___ (46/3) ___

n=2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15.

О т в е т. 14
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2-(104)/(12n-5)<0 ⇒ 104/(12n-5) > 2 ⇒ 52/(12n-5) >1

52/(12n-5) - 1 > 0


(52-12n+5)/(12n-5) >0

(57-12n)(12n-5) >0

(12n-57)/(12n-5) <0

Решаем методом интервалов:

____ (5/12) _-___ (57/12) ___

n=1;2; 3;4

О т в е т. четыре: a_(1);a_(2);a_(3);a_(4)
Ответ выбран лучшим
∂u/∂MP=(∂u/∂x)(M)*cos α + (∂u/∂y)(M)*cos β +((∂u/∂z)(M)*cos γ

∂u/∂x=u`_(x)=(xz/y^2)`_(x) + (xz^4y^3)`_(x) + (yz^5)`_(x)=

= (z/y^2)*x`+(z^4*y^3)*x`+0=

=(z/y^2) + z^4y^3

∂u/∂y=u`_(y)=(xz/y^2)`_(y) + (xz^4y^3)`_(y) + (yz^5)`_(y)=

=xz*(1/y^2)` + xz^4*(y^3)`+z^5*y`=

=-(2xz/y^3) + 3xz^4y^2 + z^5


∂u/∂y=u`_(z)=(xz/y^2)`_(z) + (xz^4y^3)`_(z) + (yz^5)`_(z)=

=(x/y^2) +4xz^3y^3+5yz^4

M(2;1;-1)

(∂u/∂x) (M)= u`_(x)(M)=-1 +1=0

(∂u/∂y) (M) = u`_(y)(M)=4+6-1=9

(∂u/∂z) (M) = u`_(z)(M)=2-8+5=-1


vector{MP}=(6-2;0-1;-1-7)=(4;-1;-8)

|vector{MP}|=sqrt(4^2+ (-1)^2+(-8)^2)=sqrt(81)=9

Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =4/9
cos β =-1/9
cos γ =-8/9

О т в е т.
∂u/∂MP(M)=(∂u/∂x) (M)*cos α +(∂u/∂y) (M)*cos β +(∂u/∂z) (M)*cos γ =

=0*(4/9)+9*(-1/9)-1*(-8/9) = -1/9 о т в е т.
Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{PM}=(x-2;y-1;z+1)
vector{PQ}=(3-2;0-1;3-(-1))=(1;-1;4)
vector{n}=(3;4;-2)
компланарны.
Условием компланарности является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат данных векторов.
Раскрываем определитель и получаем уравнение плоскости. (прикреплено изображение)
u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(xz/y^2)`_(x) + (xz^4y^3)`_(x) + (yz^5)`_(x)=

= (z/y^2)*x`+(z^4*y^3)*x`+0=

=(z/y^2) + z^4y^3

u`_(y)=(xz/y^2)`_(y) + (xz^4y^3)`_(y) + (yz^5)`_(y)=

=xz*(1/y^2)` + xz^4*(y^3)`+z^5*y`=

=-(2xz/y^3) + 3xz^4y^2 + z^5


u`_(z)=(xz/y^2)`_(z) + (xz^4y^3)`_(z) + (yz^5)`_(z)=

=(x/y^2) +4xz^3y^3+5yz^4

M(2;1;-1)

u`_(x)(M)=-1 +1=0

u`_(y)(M)=4+6-1=9

u`_(z)(M)=2-8+5=-1


vector{MP}=(6-2;0-1;-1-7)=(4;-1;-8)

|vector{MP}|=sqrt(4^2+ (-1)^2+(-8)^2)=sqrt(81)=9

Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =4/9
cos β =-1/9
cos γ =-8/9

О т в е т.
∂u/∂MP(M)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ =

=0*(4/9)+9*(-1/9)-1*(-8/9) = -1/9 о т в е т.
Теорема Коши:
Если
1) f(x) и g(x) непрерывны на [a;b]
2) f(x) и g(x) дифференцируемы на (a;b)
3) g´(x) ≠ 0 на (a;b) ,
то существует точка ξ ∈ (a;b)такая, что

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f`( ξ)/g`(ξ)

1) выполняется
f(x) и g(x) непрерывны как сумма непрерывных функций
2) выполняется
f`(x)=2x;
g`(x)=3x^2
f`(x) и g`(x) непрерывны как произведение константы на непрерывные функции
3) g`(x) ≠ 0 при х ∈ (0;1)

f(1)=1+2=3
g(1)=1-1=0

f(0)=2
g(0)=-1

(3-2)/(0-(-1))=f`( ξ)/g`(ξ) ⇒ f`( ξ)/g`(ξ) =1 ⇒ f`( ξ)= g`(ξ)

2x=3x^2
2=3x
x=2/3

ξ=2/3
Ответ выбран лучшим
y`_(x)= - (F`_(x)/F`_(y))

F(x;y)=4x^3-3xy^2+6x^2-5xy-8y^2+9x+14

F`_(x)=12x^2-3y^2+12x-5y+9
F`_(y)=-6xy-5x-16y

y`_ (x) = - (12x^2-3y^2+12x-5y+9)/(-6xy-5x-16y)=

=(12x^2-3y^2+12x-5y+9)/(6xy+5x+16y)

y`(-2;3)=-9/2=-4/5

Уравнение касательной:

y - 3 =(-9/2)*( x +2) ⇒ [b] у = (-9/2)х - 6[/b]

Уравнение нормали:

y - 3 =(2/9)*( x +2) ⇒ [b]у = (2/9)x + (31/9) [/b]
Ответ выбран лучшим
vector{n}=(2;-3;5)

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o))
c нормальным вектором vector{n}=(A;B;C)
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

2*(x+2) -3*(y-5)+5*(z+6)=0

2x -3y +5z +49=0

О т в е т. [b]2x -3y +5z +49=0[/b]
Ответ выбран лучшим
y`=((x-e^(-x^2))`*2x^2-(2x^2)`*(x-e^(-x^2)))/(4x^4)=

=((1-e^(-x^2)*(-x^2)`)*2x^2-4x*(x-e^(-x^2)))/(4x^4)=

=((1-e^(-x^2)*(-2x))*2x^2-4x*(x-e^(-x^2)))/(4x^4)=

=(2x^2+4x^3e^(-x^2)-4x^2+4x*e^(-x^2))/(4x^4)=

=(2x^2e^(-x^2)-x+2e^(-x^2))/(2x^3)

Подставляем в уравнение:

(2x^2e^(-x^2)-x+2e^(-x^2))/(2x^2)+2*(x-e^(-x^2))/(2x^2)=e^(-x^2);

неверно.
Не является?

Ответ выбран лучшим
vector{n}=(0;0;1) - направляющий вектор искомой прямой

(x-2)/(0)=(y+5)/(0)=(z-3)/1

Напишем параметрические уравнения.
Обозначим:

(x-2)/(0)=(y+5)/(0)=(z-3)/1 = t

{x=0*t +2
{y=0*t-5
{z=t+3

О т в е т. [b]
{x=0*t +2
{y=0*t-5
{z=t+3[/b]
Ответ выбран лучшим
vector{n_(1)}=(1;-3;0)⇒ |vector{n_(1)}|=sqrt(10)
vector{n_(2)}=(2;-1;5)⇒ |vector{n_(2)}|=sqrt(30)

vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|*cos φ

cos φ =( 1*2+(-3)*(-1)+0*5)/(sqrt(10)*sqrt(30))=5/sqrt(300)=

=1/sqrt(12)=1/(2sqrt(3))

Плоскости пересекаются под углом arccos(1/(2sqrt(3)))
Ответ выбран лучшим
|vector{a}|=|vector{b}|=sqrt(1+1)=sqrt(2)

S=(1/2)|[vector{a}×vector{b}]|

Находим векторное произведение векторов vector{a} и vector{b} (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и проекцией ее на плоскость
Легко найти угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

Нормальный вектор плоскости vector{n}=(1;1;sqrt(2))
Запишем уравнение прямой в каноническом виде.
Для этого выразим t
t=x-1;
t=(y-2)/(-1)
t=z/sqrt(2)

(x-1)/1=(y-2)/(-1)=z/sqrt(2)
Направляющий вектор прямой:
vector{s}=(1;-1;sqrt(2))

cos φ =cos ∠ (vector{n},vector{s})=

=vector{n}*vector{s}/(|vector{n}|*|vector{s}|=

=(1*1+1*(-1)+sqrt(2)*sqrt(2))/sqrt(1+1+2)*sqrt(1+2+2)=2/4=1/2

φ=∠ (vector{n},vector{s})= arccos(1/2)=60^(o)

Искомый угол - угол, который дополняет найденный до 90^(o)

О т в е т.

90^(o)-60^(o)=30^(o) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Выделяем полные квадраты
(4x^2-8x)+(3y^2+12y)-32=0
4*(x^2-2x+1)-4+3*(y^2+4y+4)-12-32=0
4*(x-1)^2+3*(y^2+4y+4)-48=0
(x-1)^2/12+(y+2)^2/16=1- эллипс
а=sqrt(12)
b=4
Ответ выбран лучшим
Расстояние между параллельными плоскостями находят по формуле ( cм. приложение)

ρ=|11-(-4)|/sqrt(3^2+(-4)^2)=15/5=3

a=ρ=3

S(квадрата)=a^2=3^2=9
О т в е т. 9
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Cоставим уравнение прямой М_(1)М_(2)
(x-x_(1))/(x_(2)-x_(1))=(y-y_(1))/(y_(2)-y_(1))

(x+2)/(2)=(y-2)/(0)=(z-1)/(-2)

Запишем их в виде пересечения двух плоскостей:
{y=2
{(x+2)/(2)=(z-1)/(-2) ⇒ x+z+1=0

Находим точку принадлежащую трем плоскостям:
{y=2
{x+z+1=0
{x+2y–2z+6=0 .

{x+z+1=0
{x+2*2–2z+6=0 .

{x+z+1=0
{x–2z+10=0

{2x+2z+2=0
{x–2z+10=0

Складываем
3х+12=0

x=-4

z=-x-1=4-1=3

О т в е т. [b](-4;2;3)[/b]
Ответ выбран лучшим
Нормальный вектор плоскости 2x+3y+nz–1=0 имеет координаты
{2;3;n)
Нормальный вектор плоскости mx+6y–2z=1 имеет координаты
{m;6;-2)
Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны.
Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны
2:m=3:6=n:(-2) ⇒

2:m=3:6 ⇒ [b] m= 4[/b]

3:6=n:(-2) ⇒ [b]n= -1[/b]
Ответ выбран лучшим
z^2+(3i-2)z+(5-3i)=0
D=(3i-2)^2-4*(5-3i)=9i^2-12i+4-20+12i=-25
sqrt(D)=5i

z_(1)=(-3i+2-5i)/2=1-4i или z_(2)=(-3i+2+5i)/2=1+i

О т в е т. 1-4i; 1+i
Ответ выбран лучшим
cos((π/6)-2x)= cos(π/6)*cos2x - sin(π/6)*sin2x =

=sqrt(3)/2*cos2x-(1/2)si2x=(1/2)*(sqrt(3)cos2x-sin2x);

Замена
sin2x-sqrt(3)cos2x=t

t^2+(1/2)*t-5=0
2t^2+t-10=0
D=1-4*2*(-10)=81
t_(1)=(-1-9)/4=-5/2 или t_(2)=(-1+9)/2=2

sin2x-sqrt(3)cos2x=- 5/2 или sin2x-sqrt(3)cos2x=2

sin2x-sqrt(3)cos2x= 5/2 - уравнение не имеет корней

(1/2)sin2x-sqrt(3)/2cos2x=-5/4


sin(2x-(π/6))=-5/4 не имеет корней, так как |sin(2x-(π/6)| ≤ 1


sin2x-sqrt(3)cos2x=2

(1/2)sin2x-(sqrt(3)/2)cos2x=1
sin(2x-(π/6))=1

2x-(π/6)=(π/2)+2πn, n ∈ Z
2x=(π/2)+(π/6)+2πn, n ∈ Z
2x=(2π/3)+2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/3)+2πn, n ∈ Z[/b]
1) область определения функции
(-∞;0)U(0;+∞)
2) функция является нечетной
y(-x)=(2*(-x)^2-1)/(-x)=-(2x^2-1)/x = - y(x)

3)
x=0 - вертикальная асимптота

так как lim_(x→0)(2x^2-1)/x=∞

4) горизонтальной асимптоты нет, так как
lim_(x→∞)(2x^2-1)/x=∞

k=lim_(x→∞)(2x^2-1)/x^2=2

b=lim_(x→∞)((2x^2-1)/x)-2x=0

y=2x - наклонная асимптота

5) точки пересечения с осью Ох
y=0
2x^2-1=0
x=± sqrt(1/2)

6)
y`=((2x^2-1)`*x - (2x^2-1)*x`)/x^2=

=(4x^2-2x^2+1)/x^2=(2x^2+1)/x^2 >0 при любом х∈(-∞;0)U(0;+∞)

Значит функция возрастает на (-∞;0) и на (0;+∞)

Точек экстремума нет
7)
y``=((2x^2+1)`*x^2-(x^2)`*(2x^2+1))/x^4=

=(4x^3-4x^3-2x)/x^4=-2/x^3

y`` >0 при x < 0, кривая выпукла вниз

y`` <0 при x >0, кривая выпукла вверх (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Найдем координаты точки пересечения
{x+y-1=0⇒ y=1-x
{2x+3y+4=0

2x+3*(1-x)+4=0
2x-3x+7=
-x=-7
x=7
y=1-x=1-7=-6
М(7;-6)

Запишем уравнение прямой
3x–y+7=0 ⇒ в виде уравнения с угловым коэффициентом
y=3x+7
k=3
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

k=-1/3 - угловой коэффициент искомой прямой

y=(-1/3)x + b

Подставляем координаты точки М
-6=(-1/3)*7 + b ⇒ b=-11/3

y=(-1/3)x - (11/3)

x+3y+11=0

О т в е т . х+3у+11=0
Ответ выбран лучшим
Это однородное уравнение.

Замена
y/x=u
y=xu
dy=xdu+udx

(x+2xu)dx-x^2du-xudx=0

(x+xu)dx=x^2du - уравнение с разделяющимися переменными
dx/x=du/(1+u)
Интегрируем

ln|x|=ln|1+u|+lnC
x=C*(1+(y/x)) - общее решение
1.
Область определения х ≠ -3
Значит исследуем точку x=-3

При x → -3 -0
|x+3|=-x-3
y=x+(x+3)/(-x-3)=x+1
Предел слева
f(-3-0)=lim_(x → -3 -0 )(x-1)=-4

При x → -3 +0
|x+3|=x+3
y=x+(x+3)/(x+3)=x+1
Предел справа
f(-3+0)=lim_(x → -3 +0 )(x+1)=-2

в точке х=-3 функция имеет разрыв первого рода.
Скачок функции конечный и равен
f(-3+0)-f(-3-0)2-(-4)=2

2.
Область определения х ≠± 4

Значит исследуем точки x=-4 и х=4

х=-4

Предел слева
f(-4-0)=lim_(x → -4 -0 )f(x)=-∞
Предел справа
f(-4+0)=lim_(x → -4 +0 )f(x)=+ ∞

x=-4 - точка разрыва второго рода.


х=4

Предел слева
f(4-0)=lim_(x → 4 -0 )f(x)=(неопределенность0/0)
умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(21+x)+5)
lim_(x → 4 -0 )(x-4)/(x-4)(x+4)*sqrt((21+x)+5)=1/80

Предел справа
f(4+0)=lim_(x → 4 +0 )f(x)=(неопределенность0/0)
умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(21+x)+5)
lim_(x → 4 +0 )(x-4)/(x-4)(x+4)*sqrt((21+x)+5)=1/80

Предел слева равен пределу справа, но функция в точке х=4 не определена.

x=4 - точка устранимого разрыва
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
замена переменной
∛(х-1) = t ⇒ x-1=t^3 ⇒ x=t^3+1; dx=3t^2dt

∫ ( dx / (x ·∛(х-1)) = ∫ 3tdt/(t^3+1)

t^3+1=(t+1)*(t^2-t+1)
Раскладываем дробь на простейшие



3t=A*(t^2-t+1)+(Mt+N)*(t+1)
3t=(A+M)t^2+(M+N-A)t+A+N

{A+M=0⇒ M=-A
{M+N-A=3
{A+N=0 ⇒ N=-A
-A-A-A=3
A=-1
M=1
N=1

∫ 3t/(t^3+1)= - ∫ dt/(t+1) + ∫ (t+1)dt/(t^2-t+1)

∫ dt/(t+1)=ln|t+1|


∫ (t+1)dt/(t^2-t+1)= ∫(t+1)dt /((t-1/2)^2+(3/4)) замена

t-1/2=u
t=u+(1/2)
dt=du

=∫(u+(3/2))du /(u^2+(3/4))=

=(1/2)ln|u^2+(3/4) +(3/2)*(1/sqrt(3/4))arctg u/sqrt(3/4)=

=(1/2)ln|t^2-t+1| +sqrt(3) arctg((t-1)/2)


Итак,
∫ ( dx / (x ·∛(х-1)) = ∫ 3tdt/(t^3+1)= - ∫ dt/(t+1) + ∫ (t+1)dt/(t^2-t+1)=

= -ln|t+1| +(1/2)ln|t^2-t+1| +sqrt(3) arctg((t-1)/2) +С= обратная замена


= -ln|∛(х-1)+1| +(1/2)ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1| +sqrt(3) arctg((∛(х-1)-1)/2)
+С=

Несобственный интеграл
∫^(+∞ )_(1) ( dx / (x ·∛(х-1)) =

=(-ln|∛(х-1)+1| +(1/2)ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1| +sqrt(3) arctg((∛(х-1)-1)/2))|^(+∞ )_(1) =0+sqrt(3)* (π/2)-0 + sqrt(3)arctg (-1/2)

так как
(1/2)ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|- ln|∛(х-1)+1|=

=(1/2)* (ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|- 2ln|∛(х-1)+1|) =

=(1/2) * ln (|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|)/(|∛(х-1)+1|)^2

При подстановке верхнего предела считаем
lim_(x→∞) ln (|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|)/(|∛(х-1)+1|)^2=

знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами

=ln lim_(x→∞) (|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|)/(|∛(х-1)+1|)^2=ln1=0

О т в е т. sqrt(3)* (π/2) + sqrt(3)arctg (-1/2)
1.
Δ ABD = Δ ACD
по стороне AD ( общая сторона)
и двум углам
∠ CAD =∠ 1= ∠ 2 =∠ BDA
∠ BAD=∠ 1+ ∠ 3 =∠ 2+ ∠ 4 =∠ CDA

Из равенства треугольников ABD и ACD следует равенство углов В и С.

2.
Сумма смежных углов равна 180 градусов, один 110 градусов, значит смежный с ним угол 70^(o)

∠ CBA=70^(o) - углы при основании равнобедренного треугольника равны.

3.
∠ ADE= ∠ CDE - по условию
∠ BDA= ∠ BDC как смежные углы к двум равным углам.

Δ ABD = Δ CBD по стороне
BD - обща сторона и двум углам
∠ AВD= ∠ CВD - по условию
∠ BDA= ∠ BDC доказано ранее

ВС=АВ=21 см
a) vector{AB}=(4-(-4);7-1)=(8;6)
vector{СD}=(7-3;5-2)=(4;3)

б)| vector{AB}|=sqrt(8^2+6^2)=10
| vector{CD}|=sqrt(4^2+3^2)=5

в) vector{AB} * vector{CD}= 8*4+6*3=32=18=50

г) vector{AB} * vector{CD}=|vector{AB}| * |vector{CD}|* cos φ

cos φ =50/10*5=1
φ =0

д) 0 градусов.
Векторы сонаправлены ( параллельны прямые АВ и СD)

е) vector{СB} ⊥ vector{DQ} ⇒ vector{СB} * vector{DQ} =0

vector{СB} * vector{DQ}=(3-4)*x+(2-7)*4

(3-4)*x+(2-7)*4=0
-x -20=0
x=-20
О т в е т. -20
А

Дано. Вертикальная область интегрирования
0 ≤ x ≤ 4; x^2/2 ≤ y ≤ 4sqrt(x)

Полоса, ограничена [b] вертикальными[/b]прямыми
x=0 и х=4
и кривыми
y=x^2/2 и y=4sqrt(x)

Cм. рисунок слева

Рисунок справа, [b]горизонтальная[/b] полоса , ограничена прямыми
у =0 и у= 8
и уравнения кривых получим из данных уравнений, выразим х через у
y=x^2/2 ⇒ 2y=x^2 ⇒ x=sqrt(2y)
y=4sqrt(x) ⇒ y^2=16x ⇒ x=(1/16)y^2

О т в е т. ∫ ^(8)_(0)dy ∫ ^(sqrt(2y)_(y^2/16)dx

S= ∫^(4)_(0)dx ∫ ^(4sqrt(x))_(x^2/2)dy=

= ∫^(4)_(0)y|^(4sqrt(x))_(x^2/2)dx=

=∫^(4)_(0)(4sqrt(x)-(x^2/2))dx=

=4x^(3/2)/(3/2)|^(4)_(0)- (x^3/6)|^(4)_(0)=

=(8/3)*4^(3/2)-(4^3/6)=(64/3)-(64/6)=64/6=32/3


S= ∫ ^(8)_(0)dy ∫ ^(sqrt(2y)_(y^2/16)dx=

=∫ ^(8)_(0) x|^(sqrt(2y)_(y^2/16)dy=

=∫ ^(8)_(0) (sqrt(2y)- (y^2/16))dy=

=sqrt(2)(y^(3/2)/(3/2))|^(8)_(0) - (y^3/48)|^(8)_(0)=

=(2sqrt(2)/3)*8^(3/2)-(512/48)=

=(2sqrt(2)/3)*16sqrt(2)-(32/3)=

=(64/3)-(32/3)=32/3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)
u=x^4+2
du=4x^3dx ⇒ x^3dx=(1/4)du

=(1/4) ∫ du/u=(1/4)ln|u|+C=(1/4)ln |x^4+2|+C=(1/4)ln(x^4+2) + C

б)
u=e^(x)-1
du=e^(x)dx
= ∫ sqrt(u)du= ∫ u^(1/2)du=u^((1/2)+1)/((1/2)+1) + C=

=(2/3)usqrt(u)+C= (2/3)*(e^(x)-1)*sqrt(e^(x)-1) + C

в) по частям
u=x
dv=cos2xdx ⇒ v=(1/2)sin2x

=(1/2)*xsin2x - ∫ (1/2)sin2x dx=

=(1/2)*xsin2x - (1/2)(-cos2x)+C
Ответ выбран лучшим
8=8*(сos0+isin0)
∛8=8^(1/3)*(cos((0+2πn)/3)+isin((0+2πn)/3))

∛8=2*(cos((0+2πn)/3)+isin((0+2πn)/3))

n=0
z_(o)=2
n=1
z_(1)=2*(cos(2π/3)+isin(2π/3))=-1+isqrt(3)
n=2
z_(2)=2*(cos(4π/3)+isin(4π/3))=-1-isqrt(3)



(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
|z|=|-sqrt(3)+i|=2
cos φ =-sqrt(3)/2
sin φ =1/2
φ =(5π/6)

-sqrt(3)+i = 2*(cos(5π/6) + i sin (5π/6))

(-sqrt(3)+i)^5= 2^(5)*(cos5*(5π/6) + i sin 5*((5π/6) )=

=32*(cos(25π/6) +isin(25π/6))=

=32*(cos(4 π+(π/6))+ i sin (4π+(π/6))=

=32*(cos(π/6)+ i sin (π/6))=(32*sqrt(3)/2)+i*(1/2)= 16 sqrt(3) +16*i
Ответ выбран лучшим
u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(yz/x^2)`_(x) + (x/z^4)`_(x) + (z/y^5)`_(x)=

=yz*(x^(-2))`+ (1/z^4)*(x`)+ 0=-2yzx^(-3))+ (1/z^4)

u`_(y)=(yz/x^2)`_(y) + (x/z^4)`_(y) + (z/y^5)`_(y)=

=(z/x^2)*y`+0 +z*(y^(-5))`=

=(z/x^2)-(5z/y^6)

u`_(z)=(yz/x^2)`_(z) + (x/z^4)`_(z) + (z/y^5)`_(z)=

= (y/x^2)*z` +x*(z^(-4))`+(1/y^5)*(z)`=

= (y/x^2) -4x*(z^(-5))+(1/y^5)

M(-2;1;1)

u`_(x)(M)=(-2*1*/(-2)^3))+ (1/z^4)=3/4

u`_(y)(M)=(1/4)-5=-19/5

u`_(z)(M)=(1/4) -4*(-2)*1+(1/1)=37/4


vector{MP}=(0-(-2);0-1;-1-1)=(2;-1;-2)

|vector{MP}|=sqrt(2^2+ (-1)^2+(-2)^2)=sqrt(9)=3
Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =2/3
cos β =-1/3
cos γ =-2/3

О т в е т.
u`_(MP)(M)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ =

=(3/4)*(2/3)-(19/5)*(-1/3)-(37/4)*(-2/3) - о т в е т.
Ответ выбран лучшим
Разделим и числитель и знаменатель дроби на cos2α (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Разделим числитель и знаменатель дроби на cos2α

(прикреплено изображение)
Дифференцируем:

(tgy)`=(xy)`
(1/cos^2y)*y`=x`*y+x*y`
x`=1, так как х - независимая переменная

y`=y/((1/cos^2y)-x)
Ответ выбран лучшим
Cлучайная величина X может принимать значения от 0 до 4

p_(o)=5^4/6^4- вероятность того, что 6-ка не выпадет ни разу
p_(1)=4*5^3/6^4 - вероятность того, что 6-ка выпадет 1 раз
p_(2)=6*5^2/6^4 - вероятность того, что 6-ка выпадет 2 разa
p_(3)=4*5/6^4 - вероятность того, что 6-ка выпадет 3 разa
p_(4)=1/6^4 - вероятность того, что 6-ка выпадет 4 разa

Cумма вероятностей должна быть равна 1.
Закон распределения - таблица. (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
задача 2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
АВ: (x-1)/(2-1)=(y+3)(-1+3)
2(x-1)=y+3
2x-y-5=0

ВC: (x-2)/(1-2)=(y+1)(2+1)
3(x-1)=-(y+3)
3x+y=0

АC: x=1
Ответ выбран лучшим
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости 2х+3у–2z+6=0
При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(2;3;-2) является направляющим вектором прямой:
(x+5)/(2) = (y+11)/(3) =(z -7)/(-2)
Находим точку пересечения прямой и плоскости
Для этого запишем параметрическое уравнение прямой

(x+5)/(2) = (y+11)/(3) =(z -7)/(-2)=t

x=2t-5
y=3t-11
z=-2t+7

Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости

2*(2t-5)+3*(3t-11)-2*(-2t+7)+6=0

17t=51
t=3

При t=3
x=2*3-5=1
y=3*3-11=-2
z=-2*3+7=1

М(1;-2;1) - проекция точки А на плоскость
По свойству симметричных точек,
АМ=МА_(1)
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(-5+ x_(A_(1)))/2=1 ⇒ x_(A_(1))= 7
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=7
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-5

О т в е т. A_(1)(7 ;7;-5)

M- cередина ВС
x_(M)=(x_(B)+x_(C))/2=(-3-1)/2=-2;
y_(M)=(y_(B)+y_(C))/2=(-1-3)/2=-2;

Медиана АС проходит через точки А (1;7) и M(-2;-2)
Уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x+2)/(1+2)=(y+2)/(7+2)

3*(x+2)=y+2
3x-y+4=0 - уравнение медианы АМ

|AM|=sqrt((-2-1)^2+(-2-7)^2)=sqrt(9+81)=sqrt(90)=3sqrt(10)
Ответ выбран лучшим
По правилу сложения и вычитания векторов, одна диагональ является суммой векторов, вторая разностью.
vector{d_(1)}=vector{a}+vector{b}=(10;2;10)
vector{d_(2)}=vector{a}-vector{b}=(8;0;-8)

vector{d_(1)}*vector{d_(2)}=10*8+2*0+10*(-8)=0
Скалярное произведение равно 0, значит диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, угол между диагоналями 90^(o)

S=(1/2)d_(1)*d_(2)

|vector{d_(1)}|=sqrt(10^2+2^2+10^2)=sqrt(204)=2sqrt(51)
|vector{d_(2)}|=sqrt(8^2+0^2+(-8)^2)=8sqrt(2)

S=(1/2)*2sqrt(51)*8sqrt(2)=8sqrt(102)

С другой стороны
S=b*h
|vector{b}|=sqrt(1^2+1^2+9^2)=sqrt(83)
h=8sqrt(102)/sqrt(83)
Ответ выбран лучшим
Пусть a=8;b=15; ∠C =120^(o)

По теореме косинусов третья сторона
c^2=a^2+b^2-2ab*cos120^(o)
c^2=8^2+15^2-2*8*15*(-1/2)
c^2=409
c=sqrt(409)

По теореме косинусов найдем угол А
сos ∠A=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(225+409-64)/(2*15*sqrt(409))=

=570/(30sqrt(409))=19/sqrt(409)

Проведем медиану. Она делит сторону с пополам.
Имеем треугольник со сторонами
b;m_(c);c/2 и ∠А


(m_(c))^2=b^2+(c/2)^2-2b*(c/2)*cos ∠ A

(m_(c))^2=15^2+(sqrt(409)/2)^2-2*15*(sqrt(409)/2)*(19/sqrt(409))=

=225+(409/4)-285=(409/4)-60=(409-240)/4=169/4=(13/2)^2

m_(c)=6,5
Ответ выбран лучшим
u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(z/x^2)`_(x) (xz^2y^3)`_(x) (yz^4)`_(x)=

=z*(x^(-2))` (zy^3)*(x`) 0=-2zx^(-3)) (zy^3)

u`_(y)=(z/x^2)`_(y) (xz^2y^3)`_(y) (yz^4)`_(y)=

=0 xz^2*(y^3)` z^4*(y)`=

=3xz^2y^2 z^4

u`_(z)=(z/x^2)`_(z) (xz^2y^3)`_(z) (yz^4)`_(z)=

= (1/x^2)*z` (xy^3)*(z^2)` y*(z^(4))`=

=(1/x^2) 2xy^3z 4yz^3

M(-1;2;1)

u`_(x)(M)=2*1(-1)^(-3)) (1*2^3)=10

u`_(y)(M)=3(-1)*1^2*2^2 1^4=-11

u`_(z)(M)=(1/(-1)^2) 2*(-1)*2^3*1 4*2*1^3=

=1-16 8=-7


vector{MP}=(3 1;-6-2;2-1)=(4;-8;1)

|vector{MP}|=sqrt(4^2 (-8)^2 1^2)=sqrt(81)=9
Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =4/9
cos β =-8/9
cos γ =1/9

О т в е т.
u`_(MP)(M)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ =

=10*(4/9)-11*(-8/9)-7*(1/9)=121/9
Ответ выбран лучшим
Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{PM}=(x-1;y-1;z+2)
vector{PQ}=(3-1;-2-1;-1+2)=(2;-3;1)
vector{n}=(4;-2;-1)
компланарны.
Условием компланарности является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат данных векторов.
Раскрываем определитель и получаем уравнение плоскости. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Составим уравнение прямой ВС как прямой, проходящей через две точки:
(x+1)/(-4)=(y+2)/(-1)=(z+3)/1

Проводим плоскость через точку А перпендикулярно прямой ВС

Это значит, что направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости.
vector {n}=(-4;-1;1)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точкy
A(-4;-2;3) с нормальным вектором vector{n}=(-4;-1;1)
-4*(х+4) -1*(y+2)+1*(z+3)=0
-4x-y+z-15=0
[b] 4x + y - z +15 =0 [/b]

Найдем точку пересечения прямой и плоскости
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

((x+4)/(-4)=(y+2)/(-1)=(z+3)/1=t
x= - 4t - 4
y= - t - 2
z= t - 3
подставляем в уравнение плоскости

4*( -4t - 4) + (- t - 2) - (t - 3 ) + 15 =0

t=0

при t=0
x= - 4
y= - 2
z= - 3
M(-4 ;-2;-3) - проекция точки A на прямую

По свойству симметричных точек,
AМ=МA_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(-4+ x_(A_(1)))/2=-4 ⇒ x_(A_(1))= -4
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=-2
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-9

О т в е т. A_(1)(-4 ;-2;-9)


По теореме косинусов
a^2=b^2+c^2-2bc*cos ∠ A ⇒ cos ∠ A=(b^2+c^2-a^2)/2bc=

=(36+9-16)/(2*6*3)=29/36

∠ A= arccos(29/36)

b^2=a^2+c^2-2ac*cos ∠ B ⇒ cos ∠ B=(a^2+c^2-b^2)/2ac=

=(16+9-36)/(2*4*3)=-11/24

∠ B= arccos(-11/24)

c^2=a^2+b^2-2ab*cos ∠ C ⇒ cos ∠ C=(a^2+b^2-c^2)/2ab=

=(16+36-9)/(2*4*6)=43/48

∠ C=arccos (43/48)
u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(xz^4/y)`_(x) + (xzy^5)`_(x) + (y/z^2)`_(x)=

=(z^4/y)*(x`)+(zy^5)*(x`)+0=(z^4/y)+(zy^5)

u`_(y)=(xz^4/y)`_(y) + (xzy^5)`_(y) + (y/z^2)`_(y)=

=(xz^4)*(1/y)`+xz*(y^5)`+(1/z^2)y`=

=(xz^4)*(-1/y^2)+5xz*y^4+(1/z^2)


u`_(z)=(xz^4/y)`_(z) + (xzy^5)`_(z) + (y/z^2)`_(z)=

=(x/y)*(z^4)`+xy^5*(z)`+y*(z^(-2))`=

=(4xz^3/y)+xy^5-2yz^(-3)

M(1;1;-1)

u`_(x)(M)=1-1=0

u`_(y)(M)=-1-5+1=-5

u`_(z)(M)=-4+1+2=-1

vector{MP}=(3-1;-5-1;2-(-1))=(2;-6;3)

|vector{MP}|=sqrt(2^2+(-6)^2+3^2)=sqrt(49)=7
Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =2/7
cos β =-6/7
cos γ =3/7

О т в е т.
u`_(MP)(M)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ =

=0*(2/7)-5*(-6/7)+1*(3/7)=33/7
Ответ выбран лучшим
x`_(t)=a*(1-cost)
y`_(t)=a(-(-sint))=asint

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)=sint/*(1-cost)

y``_(x)=(y`_(x))`_(t)/x`_(t)=

=((sint)`*(1-cost)-(1-cost)`*sint)/a*(1-cost)^3=

=(cost-cos^2t-sin^2t)/a(1-cost)^3=(cost-1)/(a(1-cost)^3=-1/(a*(1-cost)^2) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По формулам приведения:

сos((3π/2)+x)=sinx

По формулам двойного аргумента

sin2x=2*sinx*cosx


4(cosx–1)sinx*cosx=3sinx

4(cosx–1)sinx*cosx- 3sinx=0

sinx* (4cos^2x-4cosx-3)=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z

или

4cos^2x-4cosx-3=0
D=16-4*4*(-3)=64

cosx=-1/2 или cosx =3/2

cosx=-1/2 ⇒ x= ± (2π/3) + 2πn, n ∈ Z

cosx=3/2 - уравнение не имеет корней, в силу свойства ограниченности косинуса |cosx| ≤ 1

О т в е т. πk ; ± (2π/3) + 2πn, k, n ∈ Z
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{-x^2+8x-7 >0 ⇒ x^2-8x+7 < 0; D=36; корни 1 и 7 ⇒ 1 < x < 7
{(x-7)^2 > 0 ⇒ x ≠ 7
{x-1>0; x-1 ≠ 1 ⇒ x> 1, x ≠ 2
ОДЗ: x ∈ (1;2) U(2;7)

Умножаем на 16
Неравенство принимает вид:

16 log_(x-1) (-x^2+8x-7) + log_(x-1)(x-7)^2 ≥ 32

По свойству логарифма степени

16 log_(x-1) (-x^2+8x-7)=log_(x-1)(-x^2+8x-7)^(16)

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(x-1) (-x^2+8x-7)^(16)*(x-7)^2 ≥32

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(х-1-1)*((-x^2+8x-7)^16*(x-7)^2 -(x-1)^32) ≥ 0

-x^2+8x-7=(1-x)*(x-7)
-x^2+8x-7)^16=(1-x)^16*(x-7)^16

(x-1)^(32)=(1-x)^32


(x-2)*(1-x)^16*((x-7)^(18)-(1-x)^(16)) ≥ 0


Метод интервалов:
x-2=0 ⇒ x=2
1-x=0 ⇒ x=1
(x-7)^(18) = (1-x)^16 ⇒(7-x)^(18)=(x-1)^(16)
По формуле разности квадратов:

(7-x)^(18) - (x-1)^(16)=((7-x)^(9) -(x-1)^(8))*((7-x)^(9) +(x-1)^(8))
((7-x)^(9) -(x-1)^(8))*((7-x)^(9) +(x-1)^(8))=0

(7-x)^(9) -(x-1)^(8)=0

Уравнение имеет корень на (4;5)


(1) ___ (2) ____(?)___ (7)

Уточняйте условие задачи.
При переписывании бывают пропуски..., опечатки и т.д
Задача может быть совсем другой, не вижу смысла решать нерешаемую
2.1
y`=(cos2x)*(2x)`=2cos2x
y`(π/4)=2cos(π/2)=2*0=0
2.2
(sqrt(x)-sqrt(y))`=(sqrt(a))`
1/(2sqrt(x)) - (1/2sqrt(y))*y`=0
y`=sqrt(y)/sqrt(x)
x_(o)=4a ⇒ sqrt(4a)-sqrt(y_(o))=sqrt(a)
y_(o)=a
y`(x_(o);y_(o))=sqrt(a)/sqrt(4a)=1/2

2.3
{x`_(t)=-3e^(-3t)
{y`_(t)=8e^(8t)

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)=8e^(8t)/(-3e^(-3t))=-(8/3)e^(11t)
y`_(x)(1)=(-8/3)e^(11)
Ответ выбран лучшим
Находим нули числителя

Отмечаем их на числовой прямой
пустым кружком ( круглые скобки) или
закрашенным кружком ( квадратные скобки)
если равенство нестрогое

Находим нули знаменателя

Отмечаем их на числовой прямой
пустым кружком ( круглые скобки)

И расставляем знаки:
справа +,
затем чередуем справа налево,

1.7.63
_+___ (-3) __-___ (9) ___+__

О т в е т. (-3;9)

1,7.64
___+___ [ -6] _____ (2) __+___

О т в е т. (- ∞ ;-6]U(2;+ ∞ )

1.7.67

_-__ [-7] __+___ [-1] __-___ [5/2] __+__

О т в е т. [-7;-1]U(5/2;+ ∞ )

1.7.68

Раскладываем на множители:
(-3x^3-3x^2)+(5x^2+5x)+(2x+2) <0
-3x^2(x+1)+5x(x+1)+2(x+1) <0
(x+1)(-3x^2+5x+2) <0
(x+1)(3x^2-5x-2) >0

3x^2-5x-2=0
D=(-5)^2-4*3*(-2)=25+24=49
x=(5-7)/6=-1/3 или x=(5+7)/6=2

_-__ (-1) __+___ (-1/3) __-___ (2) __+__

О т в е т. (-1;-1/3)U(2;+ ∞ )
88/11=(8*11)/11=8
D=(-3)^2-4*11 <0
уравнение x^2-3x+11=0 не имеет корней,
значит парабола y=x^2-3x+11 не пересекает ось Ох
и так как коэффициента a=1, ветви направлены вверх
то парабола расположена выше оси ох

Неравенство верно при любом х

О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ ) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(xz/y^5)`_(x) + (xz^3y^2)`_(x) + (y/z^2)`_(x)=

=(z/y^5)*(x`)+(z^3y^2)*(x`)+0=(z/y^5)+(z^3y^2)

u`_(y)=(xz/y^5)`_(y) + (xz^3y^2)`_(y) + (y/z^2)`_(y)=

=(xz)*(y^(-5)`)+(x*z^3)*(y^2)`+(1/z^2)*y`=

=-5xzy(-6) +2xz^3y+(1/z^2)


u`_(z)=(xz/y^5)`_(z) + (xz^3y^2)`_(z) + (y/z^2)`_(z)=

=(x/y^5)(z`)+(x*y^2)*(z^3)`+y*(z^(-2))`=

=(x/y^5)+3xy^2z^2-2yz^(-3)

u`_(x)(M)=(-1/1^5)+((-1)^3*1^2)=-2

u`_(y)(M)=-5*2*(-1)*1^(-6) +2*2(-1)^3*1+(1/(-1)^2)=10-4+1=7

u`_(z)(M)=(2/1^5)+3*2*1^2(-1)^2-2*1*(-1)^(-3)=2+6+2=10

vector{MP}=(4-2;-2-1;5-(-1))=(2;-3;6)

|vector{MP}|=sqrt(2^2+(-3)^2+6^2)=sqrt(49)=7
Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =2/7
cos β =-3/7
cos γ =6/7

О т в е т.
u`_(MP)(M)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ =

=-2*(2/7)+7*(-3/7)+10*(6/7)=36/7

Ответ выбран лучшим
{x+y-3 ≥ 0 граница области прямая х+у-3=0 красным цветом
{3-x+y>0 граница области прямая 3-х+у=0 синим цветом

О т в е т. Пересечение областей красного и синего, на рисунке фиолетовый цвет (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
df(x)=f `(x) dx
Найти производные и приписать справа dx

1)
f(x)=(2-e^(2x))^(-1)
f `(x)=-1*(2-e^(2x))^(-2)*(2-e^(2x))`
f `(x)=-1*(2-e^(2x))^(-2)*(-e^(2x))*(2x)`
f `(x)=-1*(2-e^(2x))^(-2)*(-e^(2x))*(2)

f `(x)=2*e^(2x)/(2-e^(2x))^(2)

df=2*e^(2x)dx/(2-e^(2x))^(2)

2)
f`(x)=(1/2sqrt(arcsinx))*(arcsinx)`

f`(x)=(1/2sqrt(arcsinx))*(1/sqrt(1-x^2))

df=dx/(2sqrt(arcsinx)*sqrt(1-x^2))

3)
f `(x)=coslg(x/2) * (lg(x/2))`

f `(x)=coslg(x/2) * (ln10/(x/2))*(x/2)`

f `(x)=coslg(x/2) * (ln10/(x/2))*(1/2)

f `(x)=(coslg(x/2))*(ln10) /(x)

df=(coslg(x/2))*(ln10)dx /(x)
Ответ выбран лучшим
S= ∫ ^(2)_(1)(x^2-1)dx=((x^3/3)-x)|^(2)_(1)=(8/3)-2-(1/3-1)=

=(7/3)-1=4/3 (прикреплено изображение)
∫^(3)_(a)dx/(3+x)^2= ∫^(3)_(a)d(3+x)/(3+x)^2=[ cм формулу 4; u=3+x]

(-1/(3+x))|^3_(a) =(-1/6)+(1/(3+a))

(-1/6)+(1/(3+a))=1/30

(1/(3+a))=1/5
3+a=5
a=2 (прикреплено изображение)
a)
1)Область определения (- ∞ ;-1/2) U (-1/2; 1/2)U(1/2;+ ∞)

2) функция четная, так как y(-x)=y(x)
y(-x)=(-x)^2/(4*(-x)^2-1)=x^2/(4x^2+1)


3)
Вертикальной асимптотой являются прямые х= ± (1/2), так как
lim_(x→-(1/2))y= ∞
lim_(x→+(1/2))y= ∞

4)
lim_(x→ ±∞)y= 1/4
Горизонтальная асимптота
y=1/4

k=lim_(x→+ ∞)f(x)/x= 0
Наклонных асимптот нет

5)
Точка пересечения с осью Ох

y=0
x^2=0 ⇒ x=0
(0;0) - точка пересечения с осью Ох и осью Оy

6)
y`=((x^2)`*(4x^2-1)-x^2*(4x^2-1)`)/(4x^2-1)^2
y`=-2x/(4x^2-1)^2

y`=0

-2x=0

x=0

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y` > 0 на (- ∞; -1/2)U(-1/2;0)
Функция возрастает на (- ∞; -1/2)U(-1/2;0)

y` <0 на (0;1/2)U(1/2;+ ∞)
Функция убывает на (0;1/2)U(1/2;+ ∞)

y``=(-2*(4x^2-1)^2+2x* 2*(4x^2-1)*8x)/(4x^2-1)^4

y``=(-8x^2+32x^2+2)/(4x^2-1)^3

y``=(24x^2+2)/(4x^2-1)^3

Знак второй производной:
_+___ (-1/2) ___-____ (1/2) __+__

Кривая выпукла вниз на (- ∞; -1/2) и на (1/2;+ ∞), так как y`` > 0
Кривая выпукла вверх на (- 1/2; 1/2) , так как y`` < 0


б)
1)Область определения (- ∞ ;+ ∞)

2) функция четная, так как y(-x)=y(x)
y(-x)=(4e^((-x)^2)-1)/e^((-x)^2)=(4e(^(x^2))-1)/e^(x^2)

3) Вертикальных асимптот нет

4) lim_(x→± ∞)y= 4
Горизонтальная асимптота
y=4

5) Точки пересечения с осью Оу:
x=0 ⇒ y=3
Точки пересечения с осью Оx:
y=0
4e^(x^2)-1=0
e^(x^2)=1/4 - уравнение не имеет корней, графики не пересекаются.
Точек пересечения с осью Ох нет ( см. рис. 3)

5)y`=(4 - e^(-x^2))`=-e^(-x^2)*(-x^2)`=2x*e^(-x^2)

y`=0
x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

функция убывает на (- ∞;0), так как y` <0
и возрастает на (0;+ ∞), так как y`>0

6) y``=-2*(e^(-x^2)-2x*e^(-x^2)*(-x^2)`=-2e^(-x^2)*(1-2x^2)

y``=0

1-2x^2=0

x= ± 1/sqrt(2) - точки перегиба, вторая производная меняет знак

Знак второй производной:
_+___ (-1/sqrt(2)) ___-____ (1/sqrt(2)) __+__

Кривая выпукла вниз на (- ∞; -1/sqrt(2)) и на (1/sqrt(2);+ ∞), так как y`` > 0
Кривая выпукла вверх на (- 1/sqrt(2); 1/sqrt(2)) , так как y`` < 0
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Область определения (- ∞ ; ∞ )
y`=6x^2-5x 3
y`=0
6x^2-5x 3=0
D=25-4*6*3< 0
Нет корней,
значит y `>0 при любом х
Функция возрастает на (- ∞ ; ∞ )

y``=12x-5
x=5/12 - точка перегиба, вторая производная меняет знак
y`` <0 на (- ∞ ;5/12 )
Функция выпукла вверх на (- ∞ ;5/12 )

y`` > 0 на (5/12; ∞ )
Функция выпукла вниз на (5/12; ∞ )
(прикреплено изображение)
(log_(4)x)^2 или log_(4)x^2
|vector{a}|=|vector{b}|=sqrt(5)

vector{a}+vector{b}=(-3;-1)
|vector{a}+vector{b}|=sqrt((-3)^2+(-1)^2)=sqrt(10)



1) Находим скалярное произведение
vector{a}*(vector{a}+vector{b})=-1*(-3)+(-2)*(-1)=5

cos α =vector{a}*(vector{a}+vector{b})/| vector{a}|*|vector{a}+vector{b}|=

=5/(sqrt(5)*sqrt(10))=1/sqrt(2)
α=π/4

2)
Находим скалярное произведение
vector{b}*(vector{a}+vector{b})=-2*(-3)+1*(-1)=5
cosβ =vector{b}*(vector{a}+vector{b})/| vector{b}|*|vector{a}+vector{b}|=

=5/(sqrt(5)*sqrt(10))=1/sqrt(2)
β =π/4
Ответ выбран лучшим
-1 ≤3х^2 +5х–1 ≤ 1 ⇒

{-1 ≤3х^2 +5х–1 ⇒ 3x^2+5x ≥ 0
{3х^2 +5х–1 ≤ 1 ⇒ 3x^2 +5x-2 ≤ 0

{x*(3x+5) ≥ 0 ⇒ x ≤ -5/3 или x ≥ 0
{D=25+24=49; корни -2 и 1/3 ⇒ -2 ≤ х ≤ 1/3

О т в е т. [-2;-5/3] U [0;1/3]
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
sinx=x-(x^(3)/3!)+(x^(5)/5!)+ ...

sinx^2=x^2-(x^(6)/3!)+(x^(10)/5!)+ ...

(sinx^2)/x^2=(x^2-(x^(6)/3!)+(x^(10)/5!)+...)/x^2=1-(x^(4))/3!+(x^(8)/5!)+...

∫^(0,5)_(0)( sin(x)^2/x^2) dx=

=∫^(0,5)_(0)(1-(x^(4))/3!+(x^(8)/5!)+...)dx=

≈(x -(x^5/30) +(x^(9)/(9*5!)))|^(0,5)_(0)=

=0,5 - (0,5)^(5)/30 + (0,5)^(9)/1080

Достаточно взять первые два слагаемых
Тогда точность не превышает первого отброшенного,
т. е (0,5)^(9)/1080
Ответ выбран лучшим
Теперь да, сможете!
Ответ выбран лучшим
Пусть T_(k)=C^(k)_(17)(2,8)^k(√6)^(17-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)

T_(k-1)=C^(k-1)_(17)(2,8)^(k-1)(√6)^(17-k+1)
T_(k+1)=C^(k+1)_(17)(2,8)^(k+1)(√6)^(17-k-1)


{C^(k)_(17)(2,8)^k(√6)^(17-k) > C^(k-1)_(17)(2,8)^(k-1)(√6)^(17-k+1)

{C^(k)_(17)(2,8)^k(√6)^(17-k)> C^(k+1)_(17)(2,8)^(k+1)(√6)^(17-k-1)


{2,8/k > sqrt(6)/(17-k+1) ⇒ 2,8*(17-k+1) > sqrt(6)k
{sqrt(6)/(17-k) > 2,8/(k+1) ⇒ {sqrt(6)*(k+1) > 2,8*(17-k)

{50,4> (sqrt(6)+2,8)k ⇒ k < 9,6
{(sqrt(6)+2,8)k > 47,6-sqrt(6) ⇒ k > 8,6

k=9

T_(9)=C^(9)_(17)(2,8)^(9)(√6)^(8) - наибольший член разложения данного бинома.
Ответ выбран лучшим
t_(o)=0

x_(o)=x(0)=0
y_(o)=y(0)=ln1=0


x`_(t)=t`*(1+cost)+t*(1+cost)`=1+cost+t*(-sint)=1+cost-tsint
y`_(t)=1/(t+1)

x`_(0)=1+1-0=2
y`_(0)=1/(0+1)=1

Применяем формулу ( см. приложение)

y - 0= (1/2)*(x-0)

y=(1/2)x

[b]y=x/2[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
а)
x_(o)=x(0)=0
y_(o)=y(0)=ln1=0


x`_(t)=t`*(1+cost)+t*(1+cost)`=1+cost+t*(-sint)=1+cost-tsint
y`_(t)=1/(t+1)

x`_(0)=1+1-0=2
y`_(0)=1/(0+1)=1

Применяем формулу ( см. приложение)

y - 0= (1/2)*(x-0)

y=(1/2)x

[b]y=x/2[/b]


б)
x_(o)=x(0)=1
y_(o)=y(0)=1


x`_(t)=((2t+1)`*(1+t)-(2t+1)*(1+t)`)/(1+t)^2=(2*(1+t)-(2t+1)))/(1+t)^2=1/(1+t^2)
y`_(t)=2t

x`_(0)=1/(1+0)=1
y`_(0)=0

Применяем формулу ( см. приложение)

y - 1= (0/1)*(x-1)

[b]y=1[/b]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть ребро куба равно а, тогда
d=asqrt(3);
8sqrt(3)=asqrt(3) ⇒ a=8

угол между диагональю куба и плоскостью одной из его сторон ( например, плоскостью основания) равна углу между диагональю куба и его проекцией на эту плоскость.

Проекцией диагонали куба является диагональ основания

d_(осн.)=asqrt(2)=8sqrt(2)

сos φ =asqrt(2)/asqrt(3)=sqrt(2/3)
tg(2π–x)=-tgx
cos(3π/2+2x)=sin2x
sin(–π/2)=-1

-tgx*(2sinx*cosx)=-1

cosx≠ 0

2sin^2x=1
sinx= ± 1/sqrt(2)

x= ±(π/4)+πk, k ∈ Zπ

б)(π/4)+2π=9π/4

(3π/4)+2π=11π/4

(5π/4)+2π=13π/4
Ответ выбран лучшим
24log_(9)(6sqrt(9))=24log_(9)6+24log_(9)sqrt(9)=

=24log_(9)(2*3)+24log_(9)9^(1/2)=

=24log_(9)2+24log_(9)3+24*(1/2)log_(9)9=

=24log_(3^2)2+24log_(3^2)3+24*(1/2)*1=

=(24/2)log_(3)2 +(24/2)*1+12=

=12log_(3)2+24


2*sin((2x+6x)/2)*cos((2x-6x)/2)=0
2*sin(4x) * cos(-2x)=0
cos(-2x)=cos2x

sin 4x=0 или cos 2x=0

4x=πk, k ∈ Z или 2х=(π/2)+πn, n ∈ Z

x=(π/4)k, k ∈ Z или х=(π/4)+(π/2)*n, n ∈ Z

вторая серия ответов содержится в первой

О т в е т. (π/4)k, k ∈ Z
4^(x-3)=(2^2)^(x-3)=(2^(x-3))^2

Замена переменной
2^(x-3)=t, t>0 при любом х
4^(x-3)=t^2

Неравенство принимает вид:

t^2 - t*(16-x^2)-16x^2 ≥ 0

t^2-16t+tx^2-16x^2 ≥ 0

Делим на t^2

1-(16/t)+(x/t)-16(x/t)^2 ≥ 0
vector{DM}=(9/14)vector{DA}=(9/14)vector{CB}=(9/14)vector{a}
vector{MA}=(5/14)vector{DA}=(5/14)vector{CB}=(5/14)vector{a}

По правилу треугольника сложения векторов:
[b]vector{СM}+vector{МD}=vector{DC}[/b]

vector{МD}= - vector{DМ}= - (9/14)vector{a}
vector{DC}= - vector{CD} = - vector{b}

[b]vector{СM} - (9/14)vector{a}=- vector{b}[/b] ⇒

vector{СM} = (9/14)vector{a}- vector{b}


По правилу треугольника сложения векторов:
[b]vector{MB}+vector{BA}=vector{MA}[/b]

vector{BA}= vector{CD}=vector{b}
vector{MA}=(5/14)vector{a}

[b]vector{MB} + vector{b}=(5/14) vector{a}[/b] ⇒

vector{MB} = (5/14)vector{a}- vector{b}

D=(-2)^2-4*5=4-20=-16
sqrt(D)= ± 4*i
x_(1)=(2-4i)/2=1-2i; x_(2)=(2+4i)/2=1+2i
Ответ выбран лучшим
Приближенная формула

f(x_(o)+ Δx) - f (x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx ⇒

f(x_(o)+ Δx) ≈ f (x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

Cправа - значение функции в точке х_(о) и производная в точке х_(о)
Точку х_(о) выбирают так, чтобы значения в этой точке легко считались.
Её иногда называют " хорошей" точкой

В нашем случае, х_(о)=1
Δх=1,05-1=0,05

f(1)=(2+3*1)^4=5^4=625
f ` (x)=4*(2+3x)^3
f `(1) =4*(2+3*1)^3=4*5^3=500

f(x_(o)+ Δx) ≈ f (x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

f(1,05) ≈ f (1) +500* 0,05=625+25=650
(х–7)^2 = (х+11)^2

(х–7)^2 - (х+11)^2 = 0

((x-7)-(x+11))*(x-7+x+11)=0
-18*(2x+4)=0
2x+4=0
x=-2 (прикреплено изображение)
Пусть путь S

t_(1)=(S/2) : 84= S/168 (час.) - время, затраченное на первую половину
t_(2)=(S/2) : 108= S/216 (час.) - время, затраченное на вторую половину

t=t_(1)+t_(2)(S/168)+( S/216) =S*(9+7)/(1512)=S*(2/189)

(час.) - время, затраченное на весь путь.

v_(cp)=S/t

v=189/2 (км в час)=94,5 км в час
x^2 + 4х +4=(x+2)^2

(x-1)*(x+2)^2-4*(x+2)=0
(x+2)*((x-1)*(x+2)-4)=0

(x+2)*(x^2+x-2-4)=0

(x+2)*(x^2+x-6)=0

x+2=0 или x^2+x-6=0

x=-2

x^2+x-6=0
D=1+24=25

x=(-1 ± sqrt(25))/2

x=-3 или х=2

О т в е т. -3; -2; 2
Ответ выбран лучшим
x=rcos φ
y=rsin

x^2+y^2=r^2

r^4=a^2*r^2(2cos^2φ +3sin^2φ )

r^2=a^2(2cos^2φ +3sin^2φ )
r=asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )- уравнение данной кривой
в полярных координатах
0 ≤ φ ≤ 2π

S= ∫ ∫ _(D)dxdy=

= ∫ ^( 2π)_(0)( ∫^(asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )) _(0)asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )dr)d φ =

= ∫ ^( 2π)_(0) asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )*r |^(asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )) _(0)d φ =


=a^2 ∫ ^( 2π)_(0) (2cos^2φ +3sin^2φ)d φ =

[ 2cos^2 φ +2sin^2 φ =1 ]

=a^2 ∫ ^( 2π)_(0) (2 + sin^2φ)d φ =

[sin^2 φ =(1-cos2 φ )/2]=

=a^2 ∫ ^( 2π)_(0) ((5/2)-(1/2)cos2 φ)d φ =

=a^2 * ((5/2) φ -(1/4)sin2 φ)|^( 2π)_(0)=5*πa^2 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
По правилу треугольника сложения векторов:
vector{AO}+vector{OD}=vector{AD}

vector{BC}=vector{AD}=vector{AO}+vector{OD}=vector{m}+vector{n}

[b]vector{BC}=vector{m}+vector{n}[/b]

По правилу треугольника сложения векторов:
vector{AВ}+vector{ВO}=vector{AО},
vector{ВO}=vector{OD}=vector{n}

vector{AВ}+vector{n}=vector{m} ⇒
[b]vector{AВ}=vector{m}-vector{n}[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Используем два табличных разложения:
sinx=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)+ ...
и
(1+x)^( α )
для α =1/2
и
x^2

sqrt(1 + x^2)^(1/2)=1+(1/2)*x^2+(1/2)*((1/2)-1)/2!x^4+ ...
Интегрируем и получаем разложение
ln(sqrt(1+x^2)+x)=x+(1/6)x^3-(1/40)x^5+...

Числитель:

x- ln (sqrt(1+x^2)+x)=x -(x+(1/6)x^3-(1/40)x^5+ ...)=

=- (1/6)x^3+(1/40)x^5

Знаменатель
x-sinx = x - x+ (x^3/3!)-(x^5/5!)+ ..=(x^3/6) - (x^5/5)+ ...

Выносим за скобки x^3 и в числителе и в знаменателе.
Сокращаем на x^3 и получаем ответ
предел равен

(-1/6)/(1/6)= - 1
Ответ выбран лучшим
Применяем разложение y=e^(x)

e^(x)=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!) +...+(x^(n)/n!)+ ...
Умножаем на х
x*e^(x)=x+x^2+(x^3/2!)+(x^4/3!) +...+(x^(n+1)/n!)+ ...

О т в е т. x*e^(x)=x+x^2+(x^3/2!)+(x^4/3!) +...+(x^(n+1)/n!)+ ...
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
EF||BC; EF||AD

Δ BOC подобен Δ AOD по двум углам:
∠ AOD = ∠ BOC как вертикальные;
∠ OBC = ∠ ODA как внутренние накрест лежащие при AD|| BC и секущей BD
AO:OC=OD : BO = AD : BC = 10: 15
AO=(2/3)OC
OD= (2/3)BO

Δ EOB подобен Δ ADB по двум углам:
∠ B - общий;
∠ BЕО = ∠ ВАD соответственные углы при ЕО||AD и секущей BD
EO:AD= BO : BD
BD=BO+OD=BO+(2/3)BO=(5/3)BO
EO:AD=BO:((5/3)BO)=3/5

EO=(3/5)*AD=(3/5)*10=6

Аналогично
OF=(3/5)AD=6

EF=EO+OF=6+6=12 (прикреплено изображение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
1.
(vector{a}-2vector{b})*(3vector{a}+vector{b})=

=3vector{a}*vector{a} -6vector{b}*vector{a}+
+vector{a}*vector{b}-2vector{b}*vector{b}=

=3*|vector{a}|*|vector{a}|cos)^(o) -6* |vector{b}|*|vector{a}|cos90^(o)+
+|vector{a}|*|vector{b}|*cos90^(o)-2*|vector{b}|*|vector{b}|*cos0^(o)=

=3*1*1*1-6*2*1*0+1*2*0-2*2*2*1=3-8=-5

2.
vector{c}=[vector{a}×vector{b}] = - 7j ( cм. приложение)

пр_(vector{c})vector{p}=vector{p}*vector{c}/|vector{c}|=

=(1*0+2*(-7)+(-1)*0)/7=-2

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=3x^2+y^2-5y^3
z`_(y)=2xy-15xy^2+5y^4

z``_(xy)=(z`_(x))`_(y)=(3x^2+y^2-5y^3)`_(y)=2y-15y^2
z``_(yx)=((z`)(y))`_(x)=(2xy-15xy^2+5y^4)`_(x)=2y-15y^2

z``_(xy)=z``_(yx)
Ответ выбран лучшим
F(x;y)= xe^y+ye^x–e^(xy)

dy/dx= - F `_(x)(x;y)/F `_(y)(x;y)

F `_(x)(x;y)=(xe^y+ye^x–e^(xy))`_(x)=

=e^(y)*(x)`_(x)+y*(e^(x))`_(x)-e^(xy)*(xy)`_(x)=

=e^(y)+y*e^(x)-y*e^(xy)

F `_(y)(x;y)=(xe^y+ye^x–e^(xy))`_(y)=

=x*(e^(y))`_(y)+e^(x)*(y)`_(y)-e^(xy)*(xy)`_(y)=

=x*e^(y)+e^(x)-x*e^(xy)

dy/dx= - (e^(y)+y*e^(x)-y*e^(xy))/(x*e^(y)+e^(x)-x*e^(xy))
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=(x√y)`_(x)+(y/∛x)`_(x)=√y*(x)`_(x)+y*(x^(-1/3)`_(x)=

=√y+y*(-1/3)x^(-4/3)=√y - y/(3x∛x)

z`_(y)=(x√y)`_(y)+(y/∛x)`_(y)=x*(√y)`_(y)+(1/∛x)(y)`_(y)=

= (x/2√y)+(1/∛x)
Ответ выбран лучшим
y=x^2*(9-6x+x^2)
y=9x^2-6x^3+x^4
y`=18x-18x^2+4x^3
y`=0
18x-18x^2+4x^3=0
2x*(2x^2-9x+9)=0
x=0 или 2x^2-9x+9=0 D=81-4*2*9=9 x=(9-3)/4=3/2 или х=(9+3)/4=3

Ни одна из найденных точек не является внутренней точкой [0;1]
Значит наибольшие и наименьшие значения функция принимает на концах отрезка
y(0)=0 - наименьшее значение
y(1)=1*(3-1)^2=4 - наибольшее значение
Ответ выбран лучшим
1)Область определения (- ∞ ;0) U (0;+ ∞)
2) функция ни четная, ни нечетная.
y(-x)=2*(-x)^2-(1/(-x))=2x^2+(1/x)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)
3)
Вертикальной асимптотой является прямая х=0, так как
lim_(x→-0)y=+ ∞
lim_(x→+0)y=- ∞

4)
lim_(x→+ ∞)f(x)= ∞
Горизонтальных асимптот нет.

k=lim_(x→+ ∞)f(x)/x= ∞
Наклонных асимптот нет

5)
Точек пересечения с осью Ох нет
y=0
2x^2-(1/x)=0 ⇒ (2x^3-1)/x=0 ⇒ 2x^3-1=0 ⇒ x=1/∛2
(1/∛3;0) - точка пересечения с осью Ох

Точек пересечения с осью Оy нет

6)
y`=4x+(1/x^2)
y`=(4x^3+1)/x^2

y`=0

4x^3+1=0

x=-1/∛4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y` <0 на (- ∞; -1/∛4)
Функция убывает на (- ∞; -1/∛4)

y` > 0 на (-1/∛4; + ∞)
Функция возрастает на (-1/∛4; 0) и на (0; + ∞) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
∠ CAB= ∠ EDB - односторонние углы при ED ∥ CA и секущей АВ.
∠ CAB=44^(o)
Сумма углов треугольника АВС равна 180 градусов.


∠ BCA=180 градусов - ∠ CBA - ∠ CAB =

=180 градусов - 67^(o)- 44^(o) =69^(o) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
vector{c}=(1;1;0)
пр_(vector{c})vector{a}=vector{a}*vector{c}/|vector{c}|=

=(5*1+4*1+4*0)/sqrt(1^2+1^2)=9/sqrt(2)
Ответ выбран лучшим
x^2-8x+17=x^2-8x+16+1=(x-4)^2+1

(x-4)^2 ≥ 0 при любом х ⇒ (x-4)^2+1 > 0 при любом х
Ответ выбран лучшим
Есть три варианта.
1) Дубки - Снежинск - Запрудный = 1,75+1,8 = 3,55
2)Дубки - Колхозная - Запрудный = 2 +1,5 = 3,5
3) Дубки - Колхозная - Снежинск - Запрудный = 2+1+1,8=4,8

Второй вариант короче
Ответ выбран лучшим
a)
x^2 ≥ 0 ⇒ x^2+4 >0 ⇒ y >0
График в верхней полуплоскости, т.е в 1 и 2 четвертях
б)
График и в верхней полуплоскости и в нижней, т.е в 1 , 2,3 и 4 четвертях
в)
xy=6>0 ⇒ x>0 и y>0 или x<0 и y < 0
График в 1 и 3 четвертях
г)
xy=-12 < 0 ⇒ x>0 и y<0 или x<0 и y > 0
График в 2 и 4 четвертях
Ответ выбран лучшим
а)
x=1; y=0
x=4; y=1

б)
x=3; y=1
x=1;y=0
Ответ выбран лучшим
1)Область определения:
cosx > 0 ⇒
x ∈ ((-π/2)+2πm, (π/2)+2πm), m ∈ Z

2) функция четная
y(-x)=ln(cos(-x))=ln(cosx)=y(x)

3) Функция периодическая

y(x+T)=y(x)

T=2π

ln(cosx+2π)=lncosx

4) lncosx=0
cosx=e^(0)
cosx=1
x=2πk, k ∈ Z

5) Вертикальные асимптоты следует искать в крайних точках области определения

lim_(x→ - (π/2)+2πk)+0)=+ ∞

lim_(x→ (π/2)+2πk)-0)=+ ∞

x=±(π/2)+2πk - вертикальные асимптоты

6)
y`=(1/cosx)*(cosx)`

y`=(-sinx)/cosx

y`=-tgx

y`=0

tgx=0

x=πn, n ∈ Z

Области определения принадлежат точки c четным n=2m


Знак производной
((-π/2)+2πm) _+__ (2πm) __-_ ( (π/2)+2πm), m ∈ Z

y`>0 на ((-π/2)+2πm;2πm), m ∈ Z
Функция возрастает на ((-π/2)+2πm;2πm), m ∈ Z

y`< 0 на (2πm;(π/2)+2πm), m ∈ Z
Функция убывает на ((-π/2)+2πm;2πm), m ∈ Z

Точки

x=2πm, m ∈ Z - точки максимума, производная меняет знак с + на -
7) y``=(-tgx)`=-1/cos^2x> 0 при любом х ∈ ((-π/2)+2πm, (π/2)+2πm), m ∈ Z

Функция выпукла вверх на каждом интервале

((-π/2)+2πm, (π/2)+2πm), m ∈ Z (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
f `_(vector{a})= f `_(x)*cos α +f `_(y)*cos β

vector{a}=(3;4)
|vector{a}|=sqrt(3^2+4^2)=5

cos α=a_(x)/|vector{a}|=3/5=0,6

cos β =a_(y)/|vector{a}|=4/5=0,8


f `_(x)=(x^2+(cosx/ √y))`_(x)=2x-sin(x/√y) * (x/√y)`_(x)=

=2x-sin(x/√y) * (1/√y)=2x- (1/sqrt(y))*sin(x/√y)


f `_(y)=(x^2+(cosx/ √y))`_(y)=0 - sin(x/√y) * (x/√y)`_(y)=

=- x*sin(x/√y) * (y^(-1/2))`= (x*sin(x/sqrt(y))/(2√(y^3))


f `_(vector{a})=(2x- (1/sqrt(y))*sin(x/√y))*0,6 + (x*sin(x/sqrt(y))/(2√(y^3))*0,8;

f `_(vector{a})(0;1)= -0,6+0*0,8=-0,6
Ответ выбран лучшим
df/du= f `_(u)=f `_(x)*x`_(u)+f `_(y)*y `_(u)

df/dv= f `_(v)=f `_(x)*x`_(v)+f `_(y)*y`_(v)

Находим
f `_(x)= siny*(sqrt(x))`_(x)+(ln(1/y))`_(x)=siny/(2sqrt(x)) + 0

f `_(y)=sqrt(x)*(siny)`_(y)+(ln(1/y))`_(y)=sqrt(x)*(siny)`_(y)-(lny)`_(y)=

=sqrt(x)*(cosy) - (1/y)


x`_(u)= (cosv)`_(u)=0

y `_(u)=(v^3/u)`_(u)= v^3*(1/u)`_(u)=-v^3/u2

x`_(v)=(cosv)`_(v)= - sinv

y`_(v)=(v^3/u)`_(v)= (1/u)*(v^3)`_(v)=3v^2/u

Подставляем и получаем ответ:

df/du=0*siny/(2sqrt(x)) -(-v^3/u2)*( sqrt(x)*(cosy) - (1/y))

df/dv=-sinv*( siny)/(2sqrt(x)) +(3v^2/u)*( sqrt(x)*(cosy) - (1/y))
Ответ выбран лучшим
1) x^(x)+x при х →∞ бесконечно большая(б.б,)

4/б.б=б.м=0

б.м- бесконечно малая, т.е 0

2)Выносим x^2 за скобки и сокращаем на него
2/б.м=б.б= ∞
Ответ выбран лучшим
φ=0 ⇒ ρ =3*(1+sin0)=3
φ=π/8 ⇒ ρ =3*(1+sinπ/8)=3*(1+0,3826)≈ 4,15
φ=π/6 ⇒ ρ =3*(1+sinπ/6)=3*(1+0,5)= 4,5
φ=π/4 ⇒ ρ =3*(1+sinπ/4)=3*(1+0,7071)≈ 5,12
φ=3π/8 ⇒ ρ =3*(1+sin3π/8)=3*(1+0,9239)≈ 5,77
φ=π/2 ⇒ ρ =3*(1+sinπ/2)=3*(1+1)=6

φ=5π/8 ⇒ ρ =3*(1+sin5π/8)=3*(1+0,9239)≈ 5,77
φ=3π/4 ⇒ ρ =3*(1+sin3π/4)=3*(1+0,7071)≈ 5,12
φ=7π/8 ⇒ ρ =3*(1+sin7π/8)=3*(1+0,3826)≈ 4,15
φ= π ⇒ ρ =3*(1+sinπ)=3*(1+0)=3 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
df/du= f `_(u)=f `_(x)*x`_(u)+f `_(y)*y `_(u)

df/dv= f `_(v)=f `_(x)*x`_(v)+f `_(y)*y`_(v)

Находим
f `_(x)= siny*(sqrt(x))`_(x)+(ln(1/y))`_(x)=siny/(2sqrt(x)) + 0

f `_(y)=sqrt(x)*(siny)`_(y)+(ln(1/y))`_(y)=sqrt(x)*(siny)`_(y)-(lny)`_(y)=

=sqrt(x)*(cosy) - (1/y)


x`_(u)= (cosv)`_(u)=0

y `_(u)=(v^3/u)`_(u)= v^3*(1/u)`_(u)=-v^3/u2

x`_(v)=(cosv)`_(v)= - sinv

y`_(v)=(v^3/u)`_(v)= (1/u)*(v^3)`_(v)=3v^2/u

Подставляем и получаем ответ:

df/du=0*siny/(2sqrt(x)) -(-v^3/u2)*( sqrt(x)*(cosy) - (1/y))

df/dv=-sinv*( siny)/(2sqrt(x)) +(3v^2/u)*( sqrt(x)*(cosy) - (1/y))
Ответ выбран лучшим
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(2/3)*(x+1)^((2/3)-1)

y`=(2/3)*(x+1)^(-1/3)

y`=2/(3*∛(x+1))

y` не существует при х=-1

На графике функции в точке х= -1 надо нарисовать ("излом")

y`>0 при х < -1

Это означает, что функция убывает на (- ∞ ;-1)

y`< 0 при х > -1

Это означает, что функция возрастает на (- 1 ;+ ∞)


y``=(2/3)*((x+1)^(-1/3))`=(2/3)*(-1/3)*(x+1)^((-1/3)-1)=

= -1/(9*(x+1)*∛(x+1))

y``< 0 при x ∈ (- ∞ ;-1) и при х ∈ (- 1 ;+ ∞)

Кривая выпукла вверх.

См. рис. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
S=S_(1)= ∫ ^(3)_(0)(2x)dx=(2x^2/2)|^(3)_(0)=9 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
а) Уравнение прямой y=kx+b
k_(прямой)=tgα

По условию α =(π/3)

k= tg (π/3)=sqrt(3)

y=sqrt(3)*x + b

Чтобы найти b подставим координаты точки

-6=sqrt(3)*0+b
b=-6
О т в е т. y=sqrt(3)*x - 6

б)О т в е т. y=2

в)
(x/3)+(y/4)=1
При х=0 получаем y=4 ( отрезок длины 4 на оси Оу)
При у=0 получаем х=3 ( отрезок длины 3 на оси Ох)


2.
(x/a)+(y/b)=1

Подставим A(4;4)
(4/a)+(4/b)=1

S=a*b/2

S=4

a*b=8

Система
{(4/a)+(4/b)=1
{a*b=8

{4*b+4*a=ab
{ab=8

{4b+4a=8
{ab=8

{b=2-a
{a*(2-a)=8

a^2-2a+8=0
D<0
нет решения.

Проверяйте данные задачи!

Самую маленькую площадь, будет иметь равнобедренный прямоуольный треугольник.
Прямая, проходящая через А, отсекает треугольник с катетами 8
Площадь такого треугольника 8*8/2=32

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
См. формулу.
f `(x)=(y^3)*(arcsin(x/y))`_(x)=y^3*(1/sqrt(1-x^2y^2))*(x/y)`_(x)=

=y^2/sqrt(1-x^2/y^2);


f `_(y)=(y^3)`_(y)*(arcsin(x/y))+ y^3*((arcsin(x/y))`_(y)=

=3y^2*(arcsin(x/y)) + y^3*(*(1/sqrt(1-(x^2/y^2))*(x/y)`_(y)=

=3y^2*(arcsin(x/y)) + y^3*(*(1/sqrt(1-(x^2/y^2))*(x/-y^2)=

=3y^2*(arcsin(x/y))-(xy/sqrt(1-x^2y^2))


y`_(x)=(lnx)`_(x)+(∛x)`_(x)= (1/x)+(1/3)*x^(-2/3)=(1/x) +(1/(3∛(x^2)))

и подставить все в формулу ( см. приложение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
F(x;y;z)=0 - функция трех переменных задана неявно.

tg(xy)+(x/z)=0 X_(o)=(1;0;1)

F(x;y;z)=tg(xy)+(x/z)


F`_(x)=(tg(xy)+(x/z))`_(x)=(1/cos^2(xy))*(xy)`_(x)+(x/z)`_(x)=

=(y/cos^2xy)+(1/z)

F`_(X_(o))=0+(1/1)=1


F`_(y)=(tg(xy)+(x/z))`_(y)= (1/cos^2(xy))*(xy)`_(y)+(x/z)`_(y)=

=(x/cos^2xy)+0

F`_(y)(X_(o))=1

F`_(z)=(tg(xy)+(x/z))`_(z)= 0+(x/z)`_(z)=0+ x*(-1/z^2)=-x/z^2




F`_(z)(X_(o))=-1

Подставить все в формулы ( см. приложение)

x_(o)=1
y_(o)=0
z_(o)=1

Касательная плоскость:
1*(x-1)+1*(y-0)-1*(z-1)=0
x+y-z=0

Нормаль:
(x-1)/(1)=(y-0)/(1)=(z-1)/(-1) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
df=f`_(x)dx+f`_(y)dy

f`_(x)=(∛y^3+cos(xy))`_(x)=0+ (-sinxy)*(xy)`_(x)=-ysinxy
f`_(y)=(∛y^3)`_(y)+(cos(xy))`_(y)=1+(-sinxy)* (xy)`_(y)=

=1- xsinxy

df=(-ysinxy)dx + ( 1-xsinxy)dy
Ответ выбран лучшим
df=f`_(x)dx+f`_(y)dy

f`_(x)=(∛y^3+arctg(xy))`_(x)=0+ (xy)`_(x)/(1+(xy)^2)=y/(1+x^2y^2);

f`_(y)=(∛y^3)`_(y)+(arctg(xy))`_(y)=1+ (xy)`_(y)/(1+(xy)^2)=

=1+(x/(1+x^2y^2)).

df=ydx/(1+x^2y^2) + ( 1+(x/(1+x^2y^2)))dy
Ответ выбран лучшим
F(x;y;z)=0 - функция трех переменных задана неявно.

3x+(siny/sinx)- √z=0

F(x;y;z)=3x+(siny/sinx)- √z


F`_(x)=(3x+(siny/sinx)- √z)`_(x)=3+(siny)*(1/sinx)`_(x)- 0=

=3+siny*(-1/sin^2x)*(sinx)`=3-(siny*cosx/(sin^2x))

F`_(X_(o))=3- (1/1)=2


F`_(y)=(3x+(siny/sinx)- √z)`_(y)= 0 +(1/sinx)*(siny)`_(y)+0=

=cosy/sinx

F`_(y)(X_(o))=1

F`_(z)=(3x+(siny/sinx)- √z)`_(z)=0+0-(z^(-1/2))`_(z)=(-1)*(-1/2)*z^(-3/2)

=1/(2∛z^2)


F`_(z)(X_(o))=1/2

Подставить все в формулы ( см. приложение)

x_(o)=π/2
y_(o)=0
z_(o)=1

Касательная плоскость:
2*(x-(π/2))+1*(y-0)+(1/2)*(z-1)=0
2x+y-π=0

Нормаль:
(x-(π/2))/(2)=(y-0)/(1)=(z-1)/(1/2) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
f `(x)=(-1/3)*(tg3x)`=(-1/3)*(1/cos^23x)*(3x)`=-1/cos^23x
f`(π/9)=-1/cos^2(π/3)=-4
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
расстояние от центра ромба до стороны, это половина высоты ромба
h=2
S=a*h=4*2=8 (прикреплено изображение)
См. формулу.
f `(x)=(x^3)`*ln(x^3/y)+ x^3*(ln(x^3/y))`_(x)=

=(3x^2)*ln(x^3/y)+ x^3*(y/x^3)*(x^3/y)`_(x)=

=(3x^2)*ln(x^3/y)+ x^3*(y/x^3)*(3x^2/y)=

=3x^2*(ln(x^3/y) + 1)

f `_(y)=x^3*(ln(x^3/y))`_(y)=x^3*(y/x^3)*(x^3/y)`_(y)=

=x^3*y*(-1/y^2)=(-x^3/y)

y`_(x)=(x*2^(x))=(x)`*2^(x)+x*(2^(x))`_(x)= 2^(x) =x*2^(x)*ln2

и подставить все в формулу ( см. приложение)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
F(x;y;z)= 0 - функция задана неявно
(y/x^2)+lnz^4-y=0

F(x;y;z)=(y/x^2)+lnz^4-y

F`_(x)=y*(x^(-2))`_(x)+(lnz^4)`_(x)-(y)`_(x)=(-2y/x^3)

F`_(M)=-2


F`_(y)=(1/x^2)*(y*)`_(y)+(lnz^4)`_(y)-(y)`_(y)=(1/x^2) - 1

F`_(y)(M)=0

F`_(z)=(y/x^2)`_(z)+(lnz^4)`_(z)-(y)`_(z)=4*(1/z)
F`_(z)(M)=4

Подставить все в формулы ( см. приложение)
Х_(o)=M
x_(o)=1
y_(o)=1
z_(o)=1

Касательная плоскость:
-2*(x-1)+4*(z-1)=0
2x-4z+2=0

Нормаль:
(x-1)/(-2)=(y-1)/(0)=(z-1)/4 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
f(b)-f(a)=f `(ξ)*(b-a)

b=1; a=0

f(b)=f(1)=sqrt(3)*1^3+3*1=sqrt(3)+3;
f(a)=f(0)=0

f `(ξ)=sqrt(3)+3

f `(x)=(sqrt(3)x^3+3x)`=3sqrt(3)x^2+3

f `(ξ)=3sqrt(3)ξ^2+3

3sqrt(3)ξ^2+3=sqrt(3)+3

3ξ^2=1

x^2=1/3
x= ± sqrt(1/3)

-sqrt(1/3) ∉ (0;1)

О т в е т. sqrt(1/3)
Ответ выбран лучшим
(x^4-xy+y^4)`=(1)`
4x^3-x`*y-x*y`+4y^3*y`=0

(4y^3-x)*y`=y-4x^3

y`=(y-4x^3)/(4y^3-x)

Дифференцируем равенство:
(4x^3-y-x*y`+4y^3*y`)`=0`

12x^2 -y` -x`*y`-x*y``+12y^2*y`*y`+4y^3*y``=0

(4y^3-x)*y``=12x^2-12y^2*(y`)^2-2y`

y``=(12x^2-12y^2*(y`)^2-2y`)/(4y^3-x)

где y`=(y-4x^3)/(4y^3-x) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y`=(ln(2x))`+(x^3/cosx)`= (1/2x)*(2x)`+((x^3)`*cosx-(x^3)*(cosx)`)/(cos^2x)=

=(1/x) +(3x^2*cosx+x^3*sinx)/cos^2x;

y``=(1/x)` +((3x^2*cosx+x^3*sinx)/cos^2x)`=

=(-1/x^2)+((3x^2*cosx+x^3*sinx)*cos^2x-(cos^2x)`*(3x^2*cosx+x^3*sinx))/(cos^4x)


y`=(-1/x^2)+ [b]([/b](6x*cosx-3x^2sinx+3x^2*sinx+x^3*cosx)*cos^2x-2cosx*(-sinx)*(3x^2*cosx+x^3*sinx)[b])[/b]/(cos^4x)

y`=(-1/x^2)+[b]([/b](6x*cosx+x^3*cosx)*cosx+2sinx*(3x^2*cosx+x^3*sinx)[b])[/b]/(cos^3x)

(-1/x^2)+[b]([/b](6x*cos^2x+x^3*cos^2x+3x^2*sin2x+2x^3*sin^2x)[b])[/b]/(cos^3x)


Ответ выбран лучшим
{x-2x > -6-4
{-x^2+2x>0

{-x>-10
{x^2-2x <0

{ x < 10
{x*(x-2) < 0 ⇒ 0 < x < 2

О т в е т. (0;2)
Ответ выбран лучшим
Область определения функции
1+x > 0
x> - 1

y`= 1- (1/(1+x))

y`=(1+x-1)/(1+x)

y`=x/(1+x)

y`=0

x=0

(-1) _-_ (0) ____+__

x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
{x-5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5
{x+3 ≥ ⇒ x ≥ -3

x ≥ 5

Возводим в квадрат
x-5 +6*sqrt(x-5)*sqrt(x+3)+9*(x+3)=100
6*sqrt(x-5)*sqrt(x+3)= 78-10x
3*sqrt(x-5)*sqrt(x+3)= 39-5x
Возводим в квадрат
{39-5x ≥ 0⇒ [b]x≤ 39/5=7,8[/b]
{9*(x-5)*(x+3)=(39-5x)^2 ⇒
9*(x^2-5x+3x-15)=1521-390x+25x^2

16x^2-372x+1656=0

4x^2-93x+414=0
D=(-93)^2-4*4*441=8649-6624=2025=45^2
x_(1)=(93-45)/8 или х_(2)=(93+45)/8
x_(1)=6 или x_(2)=17,25
x_(2) не удовл. условию x ≤ 7,8

О т в е т. один корень, х=6
Ответ выбран лучшим
Область определения:(- ∞;+ ∞ )

y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=3x^2+4x+4 ⇒ u`=6x+4
v=x^2+x+1 ⇒ v`=2x+1

y`=((6x+4)*(x^2+x+1)-(2x+1)*(3x^2+4x+4))/(x^2+x+1)^2;

y`=(-x^2-2x)/(x^2+x+1)^2

y`=0

-x^2-2x=0
-x*(x+2)=0

x=0 или х=-2 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума.
Расставляем знак производной:

_-__ (-2) _+__ (0) _-__

x=-2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
Ответ выбран лучшим
z`_(x)=4x-4-4y
z`_(y)=12y-4x

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{4x-4-4y=0 ⇒ x-1-y=0
{12y-4x=0 ⇒ x=3y

3y-1-y=0
y=1/2
x=3/2

Точка (3/2; 1/2) - точка возможного экстремума.

Применяем достаточное условие:
z``_(xx)=4
z``_(xy)=-4
z`_(yy)=12

Δ=4*12-(-4)*(-4)>0
Значит, в точке есть экстремум.
Так как z``_(xx)=4>0, это минимум.

О т в е т. (3/2;1/2) - точка минимума
Ответ выбран лучшим
cos α =cos60^(o)=1/2;
cos β =cos120^(o)=-1/2

cos^2 α +cos^2 β +cos^2 γ =1
(1/2)^2+(-1/2)^2+cos^2 γ =1
cos^2 γ =1/2
cos γ =- sqrt(2)/2

(1/2; -1/2; -sqrt(2)/2) - есть ось.
Обозначим vector{b}

пр_(vector{b}) vector{a}=(vector{a}*vector{b})/|vector{b}|=

=(1*(1/2)+3*(-1/2)-1*(-sqrt(2)/2))/sqrt((1/4)+(1/4)+(1/2))=

=(sqrt(2)-2)/2
Ответ выбран лучшим
2*vector{a}+vector{b}=(2*2+2;2*1+3;2*(-1)+(-1))=(6;5;-3)

пр_(vector{c})(2*vector{a}+vector{b})=((2*vector{a}+vector{b})*vector{c})/(|vector{c}|)=

=(6*1+5*(-1)+(-3)*2)/sqrt(1^2+(-1)^2+2^2)=

=-5/sqrt(6) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Используем правило параллелограмма сложения двух векторов.

Диагональ параллелограмма, выходящая из общей вершины векторов vector{a} и vector{и} - есть вектор суммы.

При каком условии диагональ - еще и биссектриса?
Если
|vector{a}|=|vector{b}|
|vector{a}|=sqrt(3^2+4^2)=sqrt(25)=5

Значит,
строим
vector{c}=5*vector{b}

vector{d}=vector{a}+vector{c}=(8;4)
|vector{d}|=sqrt(8^2+4^2)=sqrt(68)



О т в е т.vector{d}/sqrt(68) =(1/sqrt(68))*(vector{a}+5*vector{b})



(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Введем систему координат, так как на рисунке.
A(1;0)
B(0;1)
C(0;0)

M(1/3; 1/3)

vector{АМ}=(-2/3;1/3); |vector{АМ}|=sqrt((-2/3)^2+(1/3)^2)=sqrt(5/9)
vector{BМ}=(1/3;-2/3); |vector{BМ}|=sqrt((1/3)^2+(-/3)^2)=sqrt(5/9)

∠ BMA= ∠ (vector{АМ},vector{BМ})

cos∠ (vector{АМ},vector{BМ})=(vector{АМ}*vector{BМ})/(|vector{АМ}|*|vector{BМ}|)=

=(-2/9)+(-2/9)/sqrt(5/9)*sqrt(5/9)=-4/5

∠ (vector{АМ},vector{BМ})= arccos(-4/5)


Ответ выбран лучшим
vector{AC}=(2-4;4-2;0-(-3))=(-2;2;3)

vector{M}=[vector{P} × vector{AC}] = (-12;-24;8) ( cм приложение)

|vector{M}|=sqrt((-12)^2+(-24)^2+8^2)=sqrt(784)=28

cos α =-12/28=-3/7
cos β =-24/28=-6/7
cos γ =8/28=2/7 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Точки, в которых производная не существует - это точки резкой смены направления касательной.
Например,
кривая y=|x| имеет изгиб в точке х=0
Слева от точки 0 касательная y=-x, справа y=x

Таких точек на данной кривой нет.

В каждой из указанных точек, можно провести касательную.

f`(x_(o))=k

В точках х_(5) и х_(8)
k=0
f`(x_(5))=0
f`(x_(8))=0
f`(x_(11))=0

На приведенных ниже рисунках, точки, в которых производная не существует обозначены красным кружком.

На приведенном в условии задачи графике точек такого типа нет!!! (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
vector{p}=vector{a}+vector{b}=(-2+6;3-1;-2+5)=(4;2;3)

|vector{p}|=sqrt(4^2+2^2+3^2)=sqrt(29)

vector{q}=2vector{a}-vector{c}=(-4+2;6-1;-4+3)=(-2;5;-1)

|vector{q}|=sqrt((-2)^2+5^2+(-1)^2)=sqrt(30)

cos∠ (vector{p},vector{q})=vector{p}*vector{q}/(|vector{p}|*|vector{q}|) =

=(4*(-2)+2*5+3*(-1))/sqrt(29)*sqrt(30)=-1/(sqrt(29)*sqrt(30))

∠ (vector{p},vector{q})=arccos(-1/(sqrt(29)*sqrt(30)))
Ответ выбран лучшим
x_(M)=(x_(A)+x_(C))/2=(-1-5)/2=-3
y_(M)=(y_(A)+y_(C))/2=(1+3)/2=2

|BM|=sqrt((-3-(-2))^2+(2-1)^2)=sqrt(2)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
((x-2)/(x+3))^(3x+5)=((x-2)/(x+3))^(3x)*((x-2)/(x+3))^5

lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(3x+5)=lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(3x)*((x-2)/(x+3))^5=
предел произведения равен произведению пределов:
=lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(3x) * lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(5)

Cчитаем каждый предел:
lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(5)=1^(5)=1

lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(3x)= неопределенность 1^(∞)
применяем второй замечательный предел
делим числитель и знаменатель на х

lim_(x→∞)((1-(2/х))/(1+(3/х)))^(3x)=

= lim_(x→∞)((1-(2/x)^(-x/2))^(-6)/ lim_(x→∞)((1+(3/x)^(x/3))^9=

=e^(-6)/e^(9)=e^(-15)=1/e^(15)

О т в е т. 1/e^(15) (прикреплено изображение)
vector{d_(1)}=vector{a}+vector(b}=3vector{m}-vector{n}

|vector{d_(1)}|^2=vector{d_(1)}*vector{d_(1)}=

=(3vector{m}-vector{n})^2=9vector{m}*vector{m}-6vector{m}vector{n}+
vector{n}*vector{n}=9*1*1cos0^(o)-6*1*1*cos60^(o)+1*1*cos0^(o)=
=9-3+1=7
|vector{d_(1)}|=sqrt(7)


vector{d_(2)}=vector{a}-vector(b}=vector{m}+3vector{n}

|vector{d_(2)}|^2=vector{d_(2)}*vector{d_(2)}=

=(vector{m}+3vector{n})^2=vector{m}*vector{m}+6vector{m}vector{n}+
9vector{n}*vector{n}=*1*1cos0^(o)+6*1*1*cos60^(o)+9*1*1*cos0^(o)=
=1+3+9=13
|vector{d_(2)}|=sqrt(13)
Используем правило параллелограмма сложения двух векторов.
Диагональ параллелограмма - есть вектор суммы.

При каком условии диагональ - еще и биссектриса?
Если
|vector{a}|=|vector{b}|
|vector{b}|=sqrt(2^2+4^2)=sqrt(20)

Значит,
vector{c}=sqrt(20)*vector{a}

vector{d}=vector{c}+vector{b}=(sqrt(20)+2;0+4)=(2*(sqrt(5)+1);4)
|vector{d}|=sqrt(4*(sqrt(5)+1)^2+4^2)=sqrt(40+8sqrt(5))=

=2*(sqrt(10)+sqrt(20))

О т в е т.vector{d}/(2*(sqrt(10)+sqrt(20)))



(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
|vector{a}|=sqrt(3^2+m^2+1^2)
|vector{b}|=sqrt(2^2+1^2+n^2)

|vector{a}|=|vector{b}| ⇒

sqrt(3^2+m^2+1^2)=sqrt(2^2+1^2+n^2)

10+m^2=5+n^2;
[b]n^2-m^2=5[/b]

vector{a} ⊥ vector{b} ⇒ vector{a} * vector{b} =0
Cкалярное произведение векторов, заданных координатами равно сумме произведений одноименных координат

3*2+m*1+1*n=0

[b]m+n+6=0[/b]

Решаем систему двух уравнений:
{n^2-m^2=5
{m+n+6=0

{(n-m)*(n+m)=5
{m+n=-6

{n-m=-5/6
{n+m=-6

2n=-41/6
n=-41/12

m=-31/12

О т в е т. m=-31/12; n=-41/12
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Пусть (x_(o);y_(o)) - точка касания.

y_(o) (касательной)=k*x_(o)-5
y_(o) (функции)=4x^2_(o) -13x_(o)+11

они равны
k*x_(o)-5=4x^2_(o) -13x_(o)+11

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k

f`(x)=8x-13

f`(x_(o))=8x_(o)-13

8x_(o)-13=k

Решаем систему двух уравнений с двумя переменными:
{k*x_(o)-5=4x^2_(o) -13x_(o)+11
{8x_(o)-13=k

(8x_(o)-13)*x_(o)-5=4x^2_(o) -13x_(o)+11

4x^2_(o)=16

x^2_(o)=4


x_(o)=2 >0

О т в е т. 2

2.f(x)=-1

Cм. рис.
y=f(x) построен

Строим график y=-1

Графики пересекаются в точках с абсциссами
-2 и -4
Это и есть решения уравнения
Их сумма
-4-2=-6
О т в е т. -6
f(x)=-1
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
vector{a}=(-1;1;-1)
vector{b}=(2;-1;2)
vector{c}=(-2;1;-3)

vector{p}=vector{a}+vector{b}=(-1+2;1+(-1);-1+2)=(1;0;1)

|vector{p}|=sqrt(2)

vector{q}=2vector{a}- vector{c}=(2*(-1)+2;2*1-1;2*(-1)+3)=(0;1;1)

|vector{q}|=sqrt(2)

cos ∠ (vector{p},vector{q})=vector{p}*vector{q}/(|vector{p}|*|vector{q}|)=

=(1*0+0*1+1*1)/(sqrt(2)*sqrt(2))=1/2

О т в е т. π/3
Ответ выбран лучшим
c=5
2b=24
b=12

Условие связывающее параметры эллипса
a,b и c имеет вид:

b^2=a^2-c^2 ⇒ a^2=b^2+c^2=144+25=169

b^2=169

Каноническое уравнение эллипса
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

О т в е т. (x^2/169)+(y^2/144)=1
Ответ выбран лучшим
Пусть Р(x;y;z) - произвольная точка данной плоскости.
Тогда векторы
vector{MP}=(x-3;y+2;z-5) ;vector{MN}=(2-3;3-(-2);1-5)=(-1;5;-4) и vector{k}=(0;0;1) [b] компланарны[/b]

Условием компланарности векторов является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат данных векторов:

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)

β - α =45^(o)

tg( β - α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )

(k_(1)-(1/4))/(1+(1/4)*k_(1))=1

k_(1)=5/3


y=(5/3)x+b - уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

2,5=(5/3)*1,5+b
b=0
y=(5/3)x

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1):
k_(1)*k_(2)=-1
(5/3)*k_(2)= -1
k_(2)=-3/5

Значит уравнение второй диагонали имеет вид:
y=(-3/5)x+b

Подставляем координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

y=(-3/5)+3,4 - уравнение второй диагонали

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
{х-4у=0
{у=(5/3)х
x=0
y=0

Координаты другойвершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
{х-4у=0
{у=(-3/5)х+3,4

{x=4y
{y=(-3/5)*4y+3,4
17y=17
y=1
x=4

Координаты двух других точек см на рисунке
О т в е т. (0;0); (4;1) (-1;4) (3;5) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Так как фокусы гиперболы лежат в точках F_(1)(–5;6) , F_(2)(5;6)

то c=5 и

прямая y=6 - ось симметрии гиперболы

ε=с/а

1,25=с/а

а=5:(5/4)=4

Параметры a; b и c связаны соотношением

b^2=c^2-a^2=25-16=9
b=3

О т в е т. (x^2/16) - ((y-6)^2/9)=1 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Находим точку пересечения прямых .
Решаем систему уравнений:
{x+y-1=0
{2x+3y+4=0

Умножаем первое на (-2)
{-2x-2y+2=0
{2x+3y+4=0

Складываем
у+6=0
у=-6
х=7

vector{n}=(3;-1) - нормальный вектор данной прямой, является направляющим вектором перпендикулярной прямой.

(x-7)/3=(y+6)/-1

-x+7=3(y+6)
x + 3y +11 =0
О т в е т.x + 3y +11 =0

Ответ выбран лучшим
ОДЗ:
sin(x-(π/4)) > 0 ⇒ 0+2πn < x-(π/4) < π + 2πn, n ∈ Z ⇒

[b](π/4)+2πn <x < (5π/4) + 2πn, n ∈ Z [/b]

cos2x+sinx=0 ⇒

1-2sin^2x+sinx=0

2t^2-t-1=0

D=1-4*(-2)=9

t_(1)=(1-3)/4=-1/2 или t_(2)=(1+3)/4=1

sinx=-1/2 или sinx=1

1)
sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^k*(-π/6)+πk, k ∈ Z
Это множество решений удобнее записывать в виде серии двух ответов:
при k=2n
x=(-π/6)+2πn, n ∈ Z
и
при k=2n+1
x=(7π/6)+2πn, n ∈ Z
ОДЗ принадлежит только одно семейство решений
х=(7π/6)+2πn , n ∈ Z

2)
sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πm, m ∈ Z входит в ОДЗ

О т в е т. (7π/6)+2πn, n ∈ Z; (π/2)+2πm, m ∈ Z

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно прямой 3х+2y-1=0

нормальный вектор vector{n}=(3;2) будет направляющим вектором перпендиулярной прямой.
(x+2)/3=(y-1)/2
2*(x+2)=3(y-1)
2x-3y+7=0 - уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно данной прямой.

Находим точку пересечения прямых

{3x+2y-1=0
{2x-3y+7=0

Умножаем первое на 3, второе на 2

{9x+6y-3=0
{4x-6y+14=0

Складываем:
13x/3+11/3=0

x=(-11/13)

y=23/13

M(-11/13;23/13) - координаты проекции точки В на данную прямую

Так как по свойству симметричных точек:
AM=MB

x_(M)=(x_(A)+x_(B))/2

-11/13=(x_(A)+(-2))/2

x_(A)=4/13

y_(M)=(y_(A)+y_(B))/2

23/13=(y_(A)+1)/2

y_(A)=33/13

А( 4/13; 33/13)


Второй способ нахождения уравнения прямой ВМ:
2y=-3x+1
y=(-3/2)x+(1/2)

k_(1)=(-3/2)

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1

Значит
k_(2)=2/3

y=(2/3)x + b - множество прямых, перпендикулярных данной

Подставим координаты точки B

1=(2/3)*(-2)+b
b=7/3
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Каноническое уравнение гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

Так как ε=с/a, то
с/a=sqrt(2)
c=a*sqrt(2)

и параметры a;b и с
связаны соотношением
b^2=c^2-a^2 ⇒
b^2=2a^2-a^2
b^2=a^2

Подставляем координаты точки в уравнение:
(2^2/a^2)-((sqrt(3))^2/b^2)=1⇒
(4/a^2)-(3/b^2)=1

Подставляем вместо b^2 =a^2

1/a^2=1
a^2=1
b^2=1

О т в е т. x^2-y^2=1
Ответ выбран лучшим
М- проекция точки А на ось Оу.

M(0;-3;0)

Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x-2)/(0-2)=(y+3)/(-3-(-3))=(z-4)/(-0-4)

(x-2)/(-2)=(y+3)/(0)=(z-4)/(-4) - каноническое уравнение

Прямая как линия пересечения плоскостей
{y=-3
{(x-2)/(-2)=(z-4)/(-4) ⇒ 4x-2z=0

или
обозначив
t=(x-2)/(-2)=(z-4)/(-4)
запишем параметрические уравнения этой прямой
{y=-3
{x=-2t+2
{z=-4t+4
Ответ выбран лучшим
S=(a+b)*h/2

a=10-3=7
b=9-6=3
h=9-3=6

S=(3+7)*6/2=30 (прикреплено изображение)
Подставим А
3=0^2-3*0+c ⇒ c=3

y=x^2-3x+3

Решаем уравнение

x^2-3x+3=0
D=(-3)^2-4*3=9-12 <0
Уравнение не имеет корней, значит график не пересекает ось Ох (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
f(x_(o)+ Δx)= -ctg(x_(o)+ Δx) - (x_(o)+ Δx)

Δf=f(x_(o)+ Δx) - f(x_(o)) = -ctg(x_(o)+ Δx) - (x_(o)+ Δx) - -ctgx_(o) - x_(o)


Δf/ Δx=[b] -[/b] (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o)) + Δx) / ( Δx)

По определению:

f`(x_(o))=lim_( Δx→0) Δf/ Δx=

=lim_( Δx→0) - (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o)) + Δx) / ( Δx)
Минус можно вынести за знак предела

Предел суммы равен сумме пределов.
Второе слагаемое имеет предел равны 1
=lim_( Δx→0)( Δx) / ( Δx)=1


Поэтому проблемы только с первым слагаемым


неопределенность (0/0)

lim_( Δx→0) (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o))) / ( Δx)

Применяем формулу разности котангенсов ( см. приложение)

= - lim_( Δx→0) (sin(x_(o)+ Δx-x_(o)) /( ( Δx)*sin(x_(o)+ Δx)*sin(x_(o)))
=

=-1/sin^2x_(o)

Итак,
f`(x_(o))=-( (-1/sin^2x_(o)) +1) = (1/sin^2x_(o)) - 1

Так как х_(о) - произвольная точка, то равенство верно для любой точки х


О т в е т.f`(x)= (1/sin^2x) - 1




(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
a)
Во всех точках, кроме х=0 и х=2 функция f(x) непрерывна, так как входящие в нее функции непрерывны.

Исследуем
x=0
Находим предел слева
f(-0)= lim_(x→(-0))(-x)=0
Находим предел справа
f(+0)= lim_(x→(+0)) (-(x-1)^2) = -1

х=0 - точка разрыва первого рода

Есть конечный скачок
f(+0) -f(-0)=- 1

Исследуем
x=2
Находим предел слева
f(2-0)= lim_(x→(2-0))(-(x-1)^2)=-1

Находим предел справа
f(2+0)= lim_(x→(2+0)) (x-3)=1

х=2 - точка разрыва первого рода

Есть конечный скачок
f(+0) -f(-0)=1 - (-1) =2


б)

Область определения (- ∞ ;-3)U(-3;+ ∞ )

Исследуем
x_(1)= - 2
Находим предел слева
f(-2-0)= lim_(x→(-2-0)((x-5)/(х+3))= - 7

Находим предел справа
f(-2+0)= lim_(x→(-2+0)((x-5)/(х+3))= - 7

Находим значение функции в точке x = - 2

f( -2) = -7

Предел слева равен пределу справа равен значению функции в точке.

x=-2 - точка непрерывности


Исследуем точку х=-3

f(-3-0)= lim_(x→(-2-0)((x-5)/(х+3))= + ∞

f(-3+0)= lim_(x→(-2+0)((x-5)/(х+3))=- ∞

х=-3 - точка разрыва второго рода

( см. рис.)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
c=12
ε=12/13

ε=с/b ⇒ b=c/ε= 13

a^2+b^2=c^2 ⇒ a^2=13^2-12^2=169-144=25
a=5

Каноническое уравнение эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

Подставляем найденные а и b

(x^2/5^2)+(y^2/13^2)=1
x+y=1

Cм. приложение
a=b=1


При x=0
y=1
при y=0
x=1
Точки (0;1) и (1;0) лежат на координатных осях и отсекают отрезки длины 1 (прикреплено изображение)
Правило треугольников:

Δ= 4*(-5)*(-1)+2*3*8+1*7*1 - 8*(-5)*1-4*7*3-1*2*(-1)=

=20+48+7+40-84+2=33

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
1) Неопределенность (0* ∞ )

Запишем произведение (х-2)*сtgπx в виде дроби:

ctgπx/(1/(x-2))

lim_(x→2)ctgπx/(1/(x-2))= ∞ / ∞ = Применяем правило Лопиталя:

=lim_(x→2)(ctgπx)`[b]/[/b](1/(x-2))`=

=lim_(x→2)(- (πx)`/(sin^2πx)) [b] /[/b] (-1/(x-2)^2)=

=lim_(x→2) (π)(x-2)^2[b] /[/b](sin^2πx)=(0/0) Правило Лопиталя=

=(π)lim_(x→2) 2(x-2)[b] /[/b]2(sinπx)*(cosπx)*π=

=2*lim_(x→2) (x-2)[b] /[/b](sin2πx)=(0/0) Правило Лопиталя=

=2*lim_(x→2) 1[b] /[/b](cos2πx)*(2π)=(1/π)


2.

Делим и числитель и знаменатель дроби

(x^2+2)/(x^2-2) на x^2

(1+(2/x^2))/(1-(2/x^2))

=lim_(x→ ∞)(1+(2/x^2))^x^2[b]/[/b](1-(2/x^2))^(x^2)=

=e^(2)/e^(-2)=e^(4)


lim_(x→ ∞)(1+(2/x^2))^x^2=lim_(x→ ∞)((1+(2/x^2))^(x^2/2))^2=e^2

lim_(x→ ∞)(1-(2/x^2))^x^2=lim_(x→ ∞)((1-(2/x^2))^(-x^2/2))^(-2)=e^(-2)
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
∫ x^(3)*(x^2-2x)dx= ∫ (x^5-2x^4)dx=(x^6/6)-2*(x^5/5) + C=

=(1/6)x^6 -(2/5)x^5 + C

Проверка:
((1/6)x^6 -(2/5)x^5 + C)`=x^5-2x^4=x^3*(x^2-2x)
11 числа (прикреплено изображение)
d(куба)=asqrt(3)
6=asqrt(3)
a=6/sqr(3)=2sqrt(3)

AD⊥CC_(1)D_(1)D ⇒

AD⊥ C_(1)D

C_(1)D=asqrt(2)=2sqrt(3)*sqrt(2)=2sqrt(6)

О т в е т. 2sqrt(6) (прикреплено изображение)
z`_(x)=2x-2
z`_(y)=2y-2
Находим стационарные точки:
{2x-2=0
{2y-2=0

x=1; y=1 - точка не принадлежит области ( cм. рис.)


Исследуем на границах
x=0 при этом 0 ≤ y ≤ 1
z=y^2-2y+8 - обычная парабола, на [0;1] убывает
z(0;0)=8
z(0;1)=7

y=0 при этом 0 ≤ x ≤ 1
z=x^2-2x+8 - обычная парабола, на [0;1] убывает
z(0;0)=8
z(1;0)=7

x+y-1=0
y=1-x
z=x^2+(1-x)^2-2x-2*(1-x)+8
z=2x^2-2x+9
z`=4x-2
z`=0
x=1/2 ; y=1/2 - точка минимума

z(1/2; 1/2)= (1/4)+(1/4)-1-1+8=6,5 - наименьшее значение в области
z(0;0)=8 - наибольшее значение в области (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
y`=6x^2-8x
y`=0
6x^2-8x=0
2x*(3x-4)=0

x=0 или x=4/3

Расставляем знак производной:

_+__ (0) __-__ (4/3) _+__

Возрастает на (- ∞ ;0) и на (4/3; + ∞ )
Убывает (0;(4/3))

x=0 - точка максимума
х=4/3 - точка минимума
Ответ выбран лучшим
4a) = (0/0)=lim_(x→-1) (2x*(x+1))/(x+1)^2= (сокращаем на (х+1))=

=lim_(x→-1) (2x)/(x+1)= ∞
4б)
=(sin(π/2))/(5π/4)=1/(5π/4)=4/5π

5a)
y`=(x^2)*lnx+x^2*(lnx)`=2x*lnx+x^2*(1/x)=2x*lnx+x

5б)
y`=(3^(x))`*x-(3^(x))*(x)`/(x^2)=(x*3^(x)*ln3-3^(x))/x^2
Ответ выбран лучшим
7а)=(x^3/3)+(2^(x)/ln2)-7*(x^4/4) + С

7б) = ∫ (36х+12x*sqrt(x)+x^2)dx= 36*(x^2/2)+12*(x^(5/2))/(5/2) +(x^3/3)+C

7в)
=((3x^3/3) -(x^2/2)+5x)|^(2)_(1)=

=2^3-(2^2/2)+5*2-1-(1/2)-5=

8
Уравнение с разделяющимися переменными
dx/(xsqrt(x))=dy/∛y
Интгерируем
x^(-1/2)/(-1/2)=y^(2/3)/(2/3) + С
-2/sqrt(x)=(3/2)∛y^2 + C - Общее решение

При х=1 у =1

-2=(3/2) + С

С=-7/2

-2/sqrt(x)=(3/2)∛y^2 - (7/2) - частное решение
Ответ выбран лучшим
{x/2=sin (πt/3);
{y/3=cos((πt/3)

Возводим в квадрат
{(x/2)^2=sin^2 (πt/3);
{(y/3)^2=cos^2((πt/3)
и
складываем левые и правые части:

(x^2/4)+(y^2/9)=1 - уравнение эллипса

см. рис. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Формулы двойного и половинного аргументов:
2cos^2(2x)-1=cos4x;
2sinx2x*cos2x=sin4x

В числителе
cos4x+cos5x=2cos((4x+5x)/2)* cos((4x-5x)/2)=2(cos(4,5x))(cos(0,5x))

В знаменателе
sin5x+sin4x=2sin((5x+4x)/2)* cos((5x-4x)/2)=2(sin(4,5x))(cos(0,5x))

слева
сos4,5x/sin4,5x
справа
ctg4,5x

Они равны
Ответ выбран лучшим
Расположим параллелепипед в системе координат так как показано на рисунке.
Тогда вершины параллелепипеда имеют координаты ( см. там же)

a) M- середина АВ
M(0;1;0)
|MD_(1)|=sqrt((3-0)^2+(0-1)^2+(2-0)^2)=sqrt(14)
б)
vector{A_(1)M}=(0;1;-2)
vector{AD_(1)}=(3;0;2)

cos ∠ (vector{A_(1)M},vector{AD_(1)}) = (vector{A_(1)M}*vector{AD_(1)})/(|vector{A_(1)M}|*|vector{AD_(1)}|)=
=(0*3+1*0+(-2)*2)/sqrt(5)*sqrt(13)=-4/sqrt(65)
угол между векторами тупой,
cмежный угол - острый, его и принимаем за угол между прямыми.

∠ (A_(1)M},AD_(1)) = arccos(4/sqrt(65)

в)
Составляем уравнение плоскости
B_(1)CM
-2x+6y-3z-6=0
(прикреплено изображение)
а)
a=4
F(3;0) ⇒ c=3

b^2=a^2-c^2=4^2-3^2=7
Каноническое уравнение эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

О т в е т.

(x^2/16)+(y^2/7)=1


б)


b=2sqrt(10) ⇒ b^2= 40
F(-11;0) ⇒ c=11

a^2=c^2-b^2=121-40=81

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1


О т в е т. (x^2/81)-(y^2/40)=1

в)D: x= - 2

если каноническое уравнение параболы имеет вид
y^2=2px, то фокус параболы
F(p/2;0)
D: x= - p/2

Значит,
p/2=2

p=4

О т в е т. y^2 = 8x
Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через точку М

Это значит, что направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости.

vector{n}=(3;-1;2)

(x-1)/(3)=(y-4)/(-1)=(z-3)/2

Запишем это уравнение в параметрическом виде:

(x-1)/(3)=(y-4)/(-1)=(z-3)/2=t
x=3t+1
y=-t+4
z=2t+3

Найдем точку пересечения прямой и плоскости
Подставляем параметрические уравнения прямой
в уравнение плоскости

3*(3t+1) - (- t + 4) + 2* (2t+3) + 9 = 0

t= -1
При t= -1
x= - 3*(-1)+1= 4
y= - ( -1)+4 = 5
z=2*(-1) + 3 = 1
M_(o) (4;5;1) - проекция точки M на плоскость.

О т в е т. х_(о)=4; у_(о)=5; z_(o)=1
(прикреплено изображение)
1.
Область определения (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ )

Исследуем точку х=-2

f(-2-0)= lim_(x→(-2-0)2^(1/(x+2))=2^(- ∞)=0

f(-2+0)= lim_(x→(-2+0)2^(1/(x+2))=2^(+ ∞)=+ ∞

х=-2 - точка разрыва второго рода

Рис. 1
2.

x=-0
f(-0)= lim_(x→(-0))2x^2=0

f(+0)= lim_(x→(+0))cosx=cos0=1

х=0 - точка разрыва первого рода

Есть конечный скачок
f(+0) -f(-0)=1


f((π/2)-0)= lim_(x→((π/2)-0)cosx=cos(π/2)=0

f((π/2)+0)= lim_(x→(+0)(x-(π/2))=0


f(0)=0

Предел слева равен пределу справа равен значению функции в точке.

x=π/2 - точка непрерывности (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Повторные испытания с двумя исходами. Схема Бернулли
а) P_(10)(0)=C^(0)_(10)p^(0)q^(10)=1*(0,3)^(0)*(1-0,3)^(10)=
=0,7^(10)=...

б) Найдем вероятность противоположного события:
наступит 1 раз или ни разу.
P_(10)(0)+P_(10)(1)=C^(0)_(10)p^(0)q^(10)+ C^(1)_(10)p^(1)q^(9)=
=0,7^(10)+10*0,3*0,7^(9)=0,7^(9)*(0,7+3)=3,7*0,7^(9)

1- (P_(10)(0)+P_(10)(1))= 1 - 3,7*0,7^(9)
Испытание состоит в том, что бросают три игральные кости.
Число исходов испытания
n=6*6*6=216
Обозначим
a)
событие А – ''хотя бы на 1 кости выпадет 6 очков"
Рассмотрим событие vector{А} - ''ни на одной кости не выпадет 6 очков"
Событию vector{А} благоприятствуют исходы испытания, при которых на каждой кости выпадает любое число от 1 до 5.
m=5*5*125
p(vector{А})=125/216

Так как р(А) + p(vector{А})=1, то
р(А)= 1- (125/216)=91/216

б)
событие В – ''сумма выпавших очков на 1–й и 2–й кости будет равна 4 и сумма выпавших очков на 2–й и 3–й костях будет равна 8"

Событию B благоприятствуют исходы испытания
(1;3;5)
(2;2;6)
m=2
p(B)=m/n=2/216=1/108
Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная. ''

гипотезу H_(1) - ''деталь из первого ящика''
гипотезу H_(2) - ''деталь из второго ящика''
гипотезу H_(3) - ''деталь из третьего ящика''

p(H_(1))=p(H_(2))=p(H_(3))=1/3

p(A/H_(1))=15/20=3/4
p(A/H_(2))=26/30=13/15
p(A/H_(3))=8/10=4/5
а)
По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) +
+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(1/3)*(3/4)+(1/3)*(13/15)+(1/3)*(4/5)=

=(1/3)*((3/4)+(13/15)+(4/5))=

=(1/3)*((15+52+48)/60)=115/120=23/24

б) р(Н_(2)/А)= p(H_(2))*p(A/H_(2))/р(А)= (1/3)*(13/15)/(23/24)=

=104/115
Югославия

В стране наблюдались процессы национального самоопределения, которые подавить можно было лишь при сохранении власти в руках одного политического деятеля. К началу шестидесятых годов борьба между сторонниками реформ и приверженцами усиления централизма усилилась. В семидесятые республиканские движения в Хорватии, Словении и Сербии начали набирать силу.. С движением, вошедшим в историю под термином «хорватская весна», в 1971 году было покончено. Вскоре были разгромлены сербские либералы. Не избежали подобной участи и словенские "технократы". В середине семидесятых наблюдались опасные обострения в отношениях между сербским населением, хорватами, боснийцами.

В середине восьмидесятых в белградской газете был опубликован документ, который в какой-то мере стал одной из причин распада Югославии. Это был меморандум Сербской академии наук и искусств. Содержание документа: анализ политического положения в Югославии, требования сербского общества и диссидентов. Антикоммунистические настроения, которые нарастали в восьмидесятые годы, - еще одна причина распада Югославии. Манифест стал самым важным документом для всех сербских националистов. Он подвергся резкой критике официальных властей и политических деятелей других республик СФРЮ. Все же со временем идеи, которые содержались в меморандуме, получили распространение и использовались активно различными политическими силами. Последователи Тито с трудом удерживали идеологический и этнологический баланс в стране. Опубликованный меморандум существенно подорвал их силы. По всей Сербии были организованы митинги, участники которых выступали под лозунгом «В защиту Косово». 28 июня 1989 года произошло событие, которое можно рассматривать как следствие одной из причин распада Югославии. В день знаменательной битвы, свершившейся в 1989 году, Милошевич обратился к сербам с призывом «оставаться на своей родной земле, несмотря на трудности и унижения».

Развал страны, как и любого другого многонационального государства, происходил постепенно, сопровождался митингами, беспорядками, кровопролитием.
1.
D(y)=(- ∞ :-1)U(-1;0)U(0;1)U(1:+ ∞ ) ⇒

Возможные точки разрыва
x=-1 - точка разрыва второго рода
lim_(x→-1)1/(x^3-x)= ∞
x=0 - точка разрыва второго рода
lim_(x→0)1/(x^3-x)= ∞
x=1 - точка разрыва второго рода
lim_(x→1)1/(x^3-x)= ∞

Прямые x=-1; х=0; х=1 - вертикальные асимптоты

2.
x=-π/3
f((-π/3)-0)= lim_(x→(-π/3)-0)sin(x+(π/3))=sin0=0

f((-π/3)+0)= lim_(x→(-π/3)+0)tgx=tg(-π/3)=-sqrt(3)/3

f(-π/3)=tg(-π/3)=-sqrt(3)/3


х=(-π/3) - точка разрыва первого рода
Есть скачок


х=0
f(-0)= lim_(x→(-0)tgx=tg0=0

f(+0)= lim_(x→(+0)x^3=0^3=0


f(0)=0

Предел слева равен пределу справа равен значению функции в точке.
х=0 - точка непрерывности.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
α + β =180^(o)

α =5 β

5 β + β =180^(o)

6 β =180^(o)

β =20^(o) (прикреплено изображение)
1.x^2-10x+4x+y^2=7
Выделяем полный квадрат
(x^2-6x)+y^2=7
(x^2-2*3x+3^2) - 3^2 +y^2=7
(x-3)^2+y^2=16

Уравнение окружности вида (x-a)^2+(y-b)^2=R^2

a=3; b=0
R=4

Центр окружности C(3;0)
Прямая, проходящая через точку (-6;4), параллельно оси абсцисс
y=4

d(C;m)=4

2.
Cоставим уравнение прямой MN
y=kx+b
Подставляем координаты точек M и N
{9=k*2+b
{-3=k*(-1)+b

Вычитаем
12=3k
k=4


b=9-2k=9-2*4=1

y=4x+1

Прямая MN пересекает оси координат в точках:
x=0; y=1
B(0;1)
y=0;
4x+1=0
x=-1/4
A(-1/4;0)

Треугольник АОВ - прямоугольный.
S=(1/2)AO*OB=(1/2)*(1/4)*1=1/8

О т в е т. S=1/8

3.
{x-y=4
{x^2+y^2=16

{у=х - 4
{x^2+y^2=16

x^2+(x-4)^2=16

x^2+x^2-8x+16=16
2x^2-8x=0
2x*(x-4)=0
x=0 или x=4
y=4 или у=0

Прямая х - у = 4 пересекает окружность в двух точках
(0;4) и (4;0)

d=sqrt(2^2+2^2)=2sqrt(2) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Cоставим уравнение плоскости АВС: (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Графический способ.

Перепишем уравнение в виде:
2(k+1)cost - k =2sint + 2cost; sint + cost ≠ 1 ⇒ [b]t≠3π/4[/b]

2(k+1)cost - k =2sint + 2cost;

2kcost - k = 2sint

k*(2cost -1)=2sint

[b]k=2sint/(2cost-1)[/b]

Cтроим график

y=2sint/(2cost-1); cost ≠ 1/2


Исследуем функцию

y=2sint/(2cost-1);

y`=(2cost*(2cost-1)-2sint*(-2sint))/(2cost-1)^2;

y`=(4cos^2t-2cost+4sin^2t)/(2cost-1)^2;

y`=(4-2cost)/(2cost-1)^2;

y`> 0 при любом t области определения D(y)

Значит функция строго возрастает на[b][π/2;3π/4)[/b] и на [b](3π/4;π][/b]

Уравнение

k=2sint/(2cost-1)

имеет ровно одно решение на [π/2;3π/4) U (3π/4;π]

y(π/2)=-2
y(3π/4)=sqrt(2)/(-sqrt(2)-1)=sqrt(2)-2
y(π)=0

О т в е т. -2 ≤ k < sqrt(2)-2; sqrt(2)-2< k ≤ 0 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Проекцией BD_(1) на плоскость ВСС_(1)В является ВС_(1)

BC_(1)=a*sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной а
BD_(1)=a*sqrt(3) - диагональ куба со стороной а


Из прямоугольного треугольника BD_(1)C_(1)

cos ∠ C_(1)BD_(1)=BC_(1)/BD_(1)=sqrt(2)/sqrt(3)=sqrt(2/3)

∠ C_(1)BD_(1)= arccos(sqrt(2/3))
или

sin∠ C_(1)BD_(1)=1/sqrt(3)

tg∠ C_(1)BD_(1)=1/sqrt(2)

∠ C_(1)BD_(1)=arctg(1/sqrt(2)) (прикреплено изображение)
Проводим плоскость через точку В перпендикулярно прямой.
Это значит, что направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости.

Составляем уравнение прямой с направляющим вектором.

Находим две произвольные точки, принадлежащие этой прямой:

х=2
y=0
z=-2
M(2;0;-2)

x=2
y=-2
z=0
N(2;-2;0)

vector{MN}=vector{n}=(0;-2;2)


Составляем уравнение плоскости, проходящей через точкy
B(2;1;0) с нормальным вектором vector{n}=(0;-2;2)
0*(х-2) -2*(y-1)+2*(z-0)=0
-2y+2z+2=0
y-z-1=0

Параметрическое уравнение прямой:
(x-2)/(0)=y/(-2)=(z+2)/2=t
x=2
y=-2t
z=2t-2
подставляем в уравнение плоскости

-2t -2t+2-1=0
t=1/4

при t=1/4
x=2
y=-1/2
z=-3/2
M(2;-1/2;-3/2) - проекция точки В на прямую

По свойству симметричных точек,
ВМ=МВ_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(В)+x_(В_(1)))/2 ⇒(2+ x_(A_(1)))/2=2 ⇒ x_(A_(1))=2
y_(M)=(y_(В)+y_(В_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=-2
z_(M)=(z_(В)+z_(В_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-3

О т в е т. В_(1)(2;-2;-3)


(прикреплено изображение)
Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости

При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(2;3 ;-3) является направляющим вектором прямой.

(х + 6)/(2)=(y + 6)/(3)=(z - 10)/(-3)

Перейдем от этого уравнения к параметрическому:

(х + 6)/(2)=(y + 6)/(3)=(z -10)/(-3) = t ⇒

x=2t-6
y=3t -6
z=-3t+10

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

2*(2t-6)+3*(3t-6)-3*(-3t+10)-6=0

4t-12+9t-18+9t-30-6=0
22t=66
t=3

При t=3
x=0; y=3; z=1

M(0;3;1) - проекция точки А на плоскость.

По свойству симметричных точек,
АМ=МА_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(-6+ x_(A_(1)))/2=0 ⇒ x_(A_(1))=6
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=12
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-8

О т в е т. (6;12;-8)

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
cos(35π/36)=cos(π - (π/6))= - cos(π/6)

Первое и последнее слагаемое в сумме 0

cos(34π/36)=cos(π - (2π/6))= - cos(2π/6)

Второе и предпоследнее слагаемое в сумме 0

...

cos(19π/36)=cos(π - (17π/36))= - cos(17π/36)

cos(17π/36)+ cos(19π/36)=0

cos(18π/36)=cos (π/2)=0

О т в е т 0
Ответ выбран лучшим
f(x)=e^(1-x)
f(1)=e^(0)=1

f`(x)=(e^(1-x))`= e^(1-x)*(1-x)`=-e^(1-x)
f`(1)=-1

Уравнение касательной:
y - 1 = - 1( x - 1)

y - 1 = -x +1

y= - x + 2

О т в е т. y = - x + 2 (прикреплено изображение)
y(x)=(C_(1)e^(x)+C_(2)xe^(x)+C_(3)x^2e^(x)
Ay(x)=y(x+1)-y(x-1)=

=C_(1)*e^(x+1)+C_(2)(x+1)*e^(x+1)+C_(3)(x+1)^2*e^(x+1))-

-C_(1)*e^(x-1)-C_(2)(x-1)*e^(x-1)-C_(3)(x-1)^2*e^(x-1))=

=e*C_(1)e^(x)+e*C_(2)xe^(x)+e*C_(2)e^(x)+

+e*C_(3)x^2e^(x)+2e*C_(3)xe^(x)+eC_(3)e^(x)-

-(1/e)C_(1)e^(x)-(1/e)C_(2)xe(x)+(1/e)C_(2)e^(x) -

-(1/e(C_(3)x^2e^(x)+(2/e)C_(3)xe^(x) - (1/e)C_(3)e^(x)=

=(eC_(1)+eC_(2)+eC_(3)-(1/e)C_(1)+(1/e)C_(2)-(1/e)C_(3))*e^(x)+

+(eC_(2)+2eC_(3)-(1/e)C_(2)+(2/e)C_(3))* x*e^(x) +

+(eC_(3) - (1/e) C_(3))*x^2e^(x)

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
f`(x) = (1+(2/х))`=0+2*(x^(-1))`=-2x^(-2)=-2/x^2

f`(x) < 0 при любом х

f`(x) > 0 - ни при каких х
Ответ выбран лучшим
y`=(u^3)
u=arctg(2x-1)

y`=3u^2*u`

y`=(3arctg^2(2x-1)) * (arctg(2x-1))`=

=(3arctg^2(2x-1))* (1/(1+(2x-1)^2)*(2x-1)`=

=(3arctg^2(2x-1)) * (1/(1+(2x-1)^2)*(2)=

=(6arctg^2(2x-1) )* (1/(1+(2x-1)^2)=

=(6arctg^2(2x-1)) / (1+4x^2-4x+1)=

=(6arctg^2(2x-1)) / (4x^2-4x+2)=

[b]=(3arctg^2(2x-1) )/ (2x^2-2x+1)[/b]
Ответ выбран лучшим
∫ x^4dx /( x^2 – 1)=∫ (x^4-1+1)dx /( x^2 – 1)=

=∫ (x^4-1)dx /( x^2 – 1)+ ∫ (1dx /( x^2 – 1))=

= ∫ (x^2+1)dx)+ ∫ (1dx /( x^2 – 1))=

=(x^3/3)+x + (1/2) ln |(x-1)/(x+1)| + C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Составляем уравнение прямой ВС
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Область определения определеяется неравенствами:
{10-x > 0 ⇒ x < 10
{log_(?)(10–x) ≠ 0 ⇒ 10-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 9
{x-3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

От в е т. х ∈ [3;9)U(9;10)
ОДЗ:
x>0

В условиях ОДЗ
log_(3)x^4=4log_(3)|x| =4log_(3)x
log_(3)(9x)=log_(3)9+log_(3)x=2+log_(3)x

Замена переменной:
log_(3)x=t

(2+t-13)/(t^2+4t) ≤ 1

(t-11-t^2-4t)/(t^2+4t) ≤ 0

-(t^2+3t+11)/(t^2+4t) ≤ 0


t^2+3t+11 > 0 при любом t, D=9-44 <0



t^2+4t > 0

_+__ (-4) ___ (0) _+__

log_(3)x <-4 или log_(3)x >0

0<x <1/81 или х > 1

О т в е т. (0;1/81)U(1;+ ∞)
Ответ выбран лучшим
sin((π/10)-(x/2)) = - sin((x/2)-(π/10)) ⇒

sin((x/2)-(π/10)) = - sqrt(2)/2

Обозначим

u=((x/2)-(π/10))

sinu = - sqrt(2)/2

u=(-1)^(k)*arcsin(-sqrt(2)/2) + πk, k ∈ Z

u=(-1)^(k)*(-π/4) + πk, k ∈ Z

Обратный переход:

(x/2)-(π/10)= (-1)^(k)*(-π/4) + πk, k ∈ Z

получаем две серии ответов
при k=2n и k=2m+1

(x/2)-(π/10)= (-π/4) + 2πn,n ∈ Z или (x/2)-(π/10)= (5π/4) + 2πm,m ∈ Z

(x/2)= (-π/4)+ (π/10)+ 2πn,n ∈ Z или (x/2)= (5π/4)+(π/10) + 2πm,m ∈ Z

(x/2)= (-3π/20)+ 2πn,n ∈ Z или (x/2)= (27π/20) + 2πm,m ∈ Z

x= (-3π/10)+ 4πn,n ∈ Z или x= (27π/10) + 4πm,m ∈ Z

x= (-3π/10)+ 4πn,n ∈ Z или x= (7π/10) +2π+ 4πm,m ∈ Z

О т в е т. (-3π/10)+ 4πn,n ∈ Z; (7π/10) +2π+ 4πm,m ∈ Z
1-3x=7
-3x=7-1
-3x=6
x=-2
Линейное неоднородное первого порядка.
Решаем однородное:
y'+4xy=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=-4xdx
Интегрируем
∫ dy/y=-4 ∫xdx
ln|y|=-2x^2+C_(1)

y=e^(-2x^2+C_(1))

y=C*e^(-2x^2); e^(C_(1))=C

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y=C(x)*e^(-2x^2);

y`=C`(x)*e^(-2x^2)+C(x)*(e^(-2x^2))`

y`=C`(x)*e^(-2x^2)+C(x)*(e^(-2x^2))*(-2x^2)`

y`=C`(x)*e^(-2x^2)+C(x)*(e^(-2x^2))*(-4x)

Подставляем в уравнение

C`(x)*e^(-2x^2)-4х*C(x)*(e^(-2x^2))+4х*C(x)*e^(-2x^2)=2х*e^(-x^2)*sqrt(C(x)*e^(-2x^2))

C`(x)*e^(-2x^2)=2х*e^(-x^2)*sqrt(C(x)*e^(-2x^2))

C`(x)=2x*sqrt(C(x)) - уравнение с разделяющимися переменными

dC(x)/dx=2x*sqrt(C(x))

dC(x)/sqrt(C(x))=2хdx

Интегрируем

∫ dC(x)/sqrt(C(x))= ∫ 2хdx

2sqrt(C(x))=x^2 + c
4C(x)=(x^2+c)^2
C(x)=(x^2+c)^2/4


y=C(x)*e^(-2x^2)

y=e^(-2x^2)*(x^2+c)^2/4
Прямая y=4x имеет угловой коэффициент k=4
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1).
Значит угловой коэффициент касательной равен (-1/4)

Геометрический смысл производной в точке:

k_(касательной)=f`(x_(o))

f`(x)= 1/(2*sqrt(x))

f`(x_(o))= 1/(2*sqrt(x_(o)))

1/(2*sqrt(x_(o)))= -1/4

уравнение не имеет корней.
Нет такой точки на кривой, в которой касательная будет перпендикулярна прямой 4х-у=0
( см. рисунок)
Все касательные образуют с осью Ох острый угол (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
f(x_(o)+ Δx)=sqrt(2-(x_(o)+ Δx))

Δf=f(x_(o)+ Δx) - f(x_(o)) = sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) - sqrt(2 - x_(o))


Δf/ Δx=(sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) - sqrt(2 - x_(o))) / ( Δx)

f`(x_(o))=lim_( Δx→0) Δf/ Δx=lim_( Δx→0) (sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) - sqrt(2 - x_(o))) / ( Δx)

неопределенность (0/0)

умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) + sqrt(2 - x_(o)))


При этом в числителе применяем формулу разности квадратов
lim_( Δx→0) ( - Δx)/ ( Δx*(sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) +sqrt(2 - x_(o))) )=

=(-1)/2sqrt(2-x_(o))

f`(-7)=(-1)/sqrt(2-(-7))=-1/3
Ответ выбран лучшим
Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости

При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(2;-1 ;-3) является направляющим вектором прямой.

(х-6)/(2)=(y+5)/(-1)=(z+9)/(-3)

Перейдем от этого уравнения к параметрическому:

(х-6)/(2)=(y+5)/(-1)=(z+9)/(-3) = t ⇒

x=2t+6
y=-t -5
z=-3t-9

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

2*(2t+6)-1*(-t-5)-3*(-3t-9)-2=0

t=-3
При t=-3
x=0; y=-2; z=0

M(0;-2;0) - проекция точки А на плоскость.

По свойству симметричных точек,
АМ=МА_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(6+ x_(A_(1)))/2=0 ⇒ x_(A_(1))=-6
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=1
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=9

О т в е т. (-6;1;9)

(прикреплено изображение)
y`=(2^(2-cosx))`=2^(2-cosx)*ln2*(2-cosx)`=2^(2-cosx)*ln2*(sinx)

y`=0

2^(2-cosx) ≠ 0, 2^(2-cosx) > 0 при любом х

sinx=0
x=πk , k ∈ Z

Отрезку [π/2; 5π/3] принадлежит точка х=π

Расставляем знак производной:

[π/2] ___+__ (π) ___-__ [5π/3]

x=π - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(π)=2^(2-cos(π))=2^3=8 - наибольшее значение функции
Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости

При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(-2;-3 ;-2) является направляющим вектором прямой.

(х-1)/(-2)=(y+4)/(-3)=(z+3)/(-2)

Перейдем от этого уравнения к параметрическому:

(х-1)/(-2)=(y+4)/(-3)=(z+3)/(-2) = t ⇒

x=-2t+1
y=-3t -4
z=-2t-3

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

-2*(-2t+1)-3*(-3t-4)-2*(-2t-3)+1=0

t=-1
При t=-1
x=3; y=-1; z=-1

M(3;-1;-1) - проекция точки А на плоскость.

По свойству симметричных точек,
АМ=МА_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(1+ x_(A_(1)))/2=3 ⇒ x_(A_(1))=5
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=2
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=1

О т в е т. (5;2;1)

Составляем уравнение плоскости АВС.
-x - 2y +z -2 = 0
( cм. приложение)
Составляем уравнение прямой DE
(прикреплено изображение)
В урне 7 чёрных шара и 5 белых.

Всего шаров 12. Количество шаров не меняется, так как шары возвращаются

Первый участник выигрывает с первой попытки с вероятностью 5/12.

Если он не выиграл с первой попытки с вероятностью 7/12, то
второй выиграет со своей первой попытки в данном случае с вероятностью (7/12)*(5/12)

и не выиграет со своей первой попытки с вероятностью (7/12)*(7/12)


Первый участник выигрывает со второй своей попытки с вероятностью (7/12)*(7/12)*(5/12), и проигрывает с вероятностью

(7/12)*(7/12)*(7/12)


Вероятность выигрыша второго со своей второй попытки
7/12*(7/12)*(7/12)*(5/12)

Вероятность того, что и второй не выигрывает со своей второй попытки
7/12*(7/12)*(7/12)*(7/12)

Тогда у первого третья попытка
7/12*(7/12)*(7/12)*(7/12)*(5/12) - вероятность выигрыша первого с третьей попытки

...

7/12*(7/12)*(7/12)*(7/12)*(7/12)(7/12)*(5/12) - вероятность выигрыша с четвертой попытки


p=(5/12) + (7/12)*(7/12)*(5/12)+(7/12)*(7/12)*(7/12)*(7/12)*(5/12)+...

=(5/12)*(1+(7/12)^2+(7/12)^4+...)=

=(5/12) * 1/(1-(7/12)^2)=60/95=12/19

12/19 > 1/2, значит шансов
выиграть больше у начинающего игру (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Введем систему координат так как показано на рисунке.
Составим уравнение плоскости АB_(1)C_(1) :
x + z -1 =0
( cм. приложение 2)
vector{n}=(1;0;1)
и найдем координаты вектора vector{AD_(1)}=(0;1;1)

Находим косинус угла между векторами
vector{n}=(1;0;1) и vector{AD_(1)}=(0;1;1)

cos φ =(1*0+0*1+1*1)/sqrt(2)*sqrt(2)=1/2
φ = 60^(o)

О т в е т. 90^(o) - 60^(o)=30^(o) (прикреплено изображение)
5.
y`=2x-4
y`(-1)=-2-4=-6

y-8=(-6)*(x+1) - уравнение касательной
у=-6х+2

y-8=(1/6)*(x+1) - уравнение нормали
у=(1/6)х +(49/6)

6.
y`=-sinx - (1/sqrt(2))
y`=0
sinx=-1/sqrt(2)
x=-π/4 ∈ [-π/2;π/2]

[-π/2] __+__ (-π/4) ________-_________ [π/2]

x=-π/4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(-π/4)= cos(-π/4)- (-π/4sqrt(2))= (1/sqrt(2))* (1+(π/4)) - наиб. значение.

Наименьшее выбираем на концах:
y(-π/2)= cos(-π/2)- (-π/2sqrt(2))>0
y(π/2)= cos(π/2)- (π/2sqrt(2))< 0
Наименьшее в точке х=π/2

7.

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(2*(1+x^2)-2x*2x)/(1+x^2)^2

y`=2*(1-x^2)/(1+x^2)^2

y`=0
x= ± 1

__-____ (-1) ___+____ (1) __-__

y`<0 на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
Функция убывает на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )

y`>0 на (-1 ;1)
Функция возрастает на (- 1 ;1)

x=-1 - точка минимума
х=1 - точка максимума

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
сos^2x*(2cosx-1)+(2cosx-1)=0
(2cosx-1)*(cos^2x+1)=0
2cosx-1=0
cosx=1/2
x= ± (π/3) +2πn, n ∈ Z


(π/3) +2π=(7π/3)∈ [2π; 7π/2]
Ответ выбран лучшим
2.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости
При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(-2;1;-3) является направляющим вектором прямой.
(х-4)/(-2)=(y-2)/1=(z+8)/(-3)
Перейдем от этого уравнения к параметрическому:
(х-4)/(-2)=(y-2)/1=(z+8)/(-3) = t ⇒
x=-2t+4
y=t+2
z=-3t-8

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

4*(-2t+4)+(t+2)-3*(-3t-8)-4=0
t=-1
M(6;1;-5) - проекция точки А на плоскость.
По свойству симметричных точек, АМ=МА_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒ x_(A_(1))=8
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=0
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-2

О т в е т. (8;0;-2)

1. (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
S=(1/2)*AB*BC*sin ∠ B

если дан ∠ В=45^(o)

то

S=(1/2)*18sqrt(2)*9*(sqrt(2)/2=81 кв см
2cos(x+y)*(cos(x+y))`=1+y`
2cos(x+y)*(-sin(x+y))*(x+y)`=1+y`
2cos(x+y)*(-sin(x+y))*(1+y`)=1+y`
⇒ найти y`
vector{AB}=(5-4;-3+2;1-3)=(1;-1;-2)
vector{M_(A)(vector{F})}=[vector{F}×vector{AB}]

(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Строим прямую y=-2x+14 симметричную прямой y=2x-2 относительно прямой х=4
Далее из условия. Откладываем длину d=14

Вторая диагональ ромба имеет длину 6

S=(1/2)d_(1)*d_(2)=(1/2)*12*6=36 (прикреплено изображение)
(x^2 +1,7x+0,9)^2 + (x^2+3,8x+0,585)^2 ≤ (x^2+2,7x+0,72)^2+(x^2+2,8x+0,735)^2;

(x^2 +1,7x+0,9)^2 - (x^2+2,7x+0,72)^2 ≤(x^2+2,8x+0,735)^2- (x^2+3,8x+0,585)^2;

(x^2+1,7x+0,9 -x^2-2,7x-0,72)*(x^2+1,7x+0,9 +x^2+2,7x+0,72)
≤ (x^2+2,8x+0,735- x^2-3,8x-0,585) (x^2+2,8x+0,735+x^2+3,8x+0,585);

(-x-0,18)*(2x^2+3,4x+1,62) ≤ (-x-0,15)*(2x^2+6,4x+1,32)

(-x-0,18)*(x^2+1,7x+0,81) ≤ (-x-0,15)*(x^2+3,2x+0,66)

(x+0,18)*(x^2+1,7x+0,81) ≥ (x+0,15)*(x^2+3,2x+0,66)

x^3+1,7x^2+0,81x +0,18x^2+0,306x+0,1458 ≥ x^3+3,2x^2+0,66x+
0,15x^2+0,48x+0,99

1,88x^2+1,116x+ 0,1458 ≥ 3,35x^2+1,14x+0,99;

1,47x^2+0,014x+0,7442 ≤ 0
14700x^2+140x +7442 ≤ 0

D=140^2-4*14700*7442 < 0

Нет решений
Ответ выбран лучшим
делим и числитель и знаменатель на х:

lim_(x→0)(1+(arcsinx/x))/(2+(arctgx/x))=(1+1)/(2+1)=2/3
1.
S= ∫^(1) _(-1)(1-x^2)dx=2 ∫ ^(1)_(0)(1-x^2)dx=2(x-(x^3/3))|^(1)_(0)=

=2*(1-(1/3)=2*(2/3)=4/3

2.

S= ∫ ^(2)_(0)x^2dx=(x^3/3)|^(2)_(0)=8/3
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
cos^2x=1-sin^2x

2*(1-sin^2x)+3sinx=0

2sin^2x-3sinx-2=0

Замена переменной

sinx=t


2t^2-3t-2=0
D=9+16=25
t_(1)=(3-5)/4=-1/2 или t_(2)=(3+5)/4=2

Обратный переход

sinx=-1/2
[b]x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

sinx=2 - уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1


2.

2*(1-cos^2x)+5cosx+1=0

2t^2-5t-3=0

D=25+24=49

t_(1)=(5-7)/4=-1/2 или t_(2)=(5+7)/4=3

сosx=-1/2
x= ± (π - (π/3))+2πn, n ∈ Z

[b]x= ± (2π/3))+2πn, n ∈ Z[/b]
Ответ выбран лучшим
а) Замена переменной:
ctgx=t
Берем дифференциалы от обеих частей
d(ctgx)=d(t)
(ctgx)`dx=(t)`*dt
(-1/sin^2x)* dx=dt

(1/sin^2x)dx=-dt

∫ 2dx/(sqrt(cosx)*sin^2x)=-2∫ dt/sqrt(t)=-2*2sqrt(t) + C = -4 sqrt(ctgx) + C

б)а) Замена переменной:
3-cos^3x=t
Берем дифференциалы от обеих частей
d(3 - cos^3x)=d(t)
(3-cos^3x)`dx=(t)`*dt
(-3cos^2x*(cosx)`)* dx=dt

(-3cos^2x*(-sinx) dx=dt

3cos^2x*sinxdx=dt

cos^2x*sinxdx= dt/3

∫cos^2x*sinxdx/(3-cos^3x)=(1/3)∫ dt/t=(1/3)ln|t| + C = (1/3)ln|3-cos^3x| + C (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Находим скалярное произведение векторов:
(vector{a}+2 α *vector{b}) *(vector{a} - vector{b})=

=vector{a} *vector{a} +2 α *vector{b} *vector{a} - vector{a}*vector{b} -2 α vector{b} vector{b}=

= 0 +2 α |vector{b}| *|vector{a}|* cos 135^(o) - |vector{a}| *|vector{b}|* cos 135^(o) -2α * 0=

=(2 α -1)sqrt(2)*3*(-sqrt(2)/2)= 3*(2 α -1)

Ненулевые векторы vector{a}+2 α *vector{b} и vector{a} - vector{b} ортогональны, если их скалярное произведение равно 0

(vector{a}+2 α *vector{b}) *(vector{a} - vector{b})=0 ⇒ 2 α -1=0

α = 1/2

О т в е т. 1/2
Ответ выбран лучшим
Правило треугольников ( см. приложение):
2*2*5+5*(-1)*5+(-1)*13*3-5*2*3-2*13*(-1)-(-1)*5*5=

=20-25-39-30+26+25=-23 (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Интегрирование по частям:
u=ln(2x) ⇒ du=(ln(2x))`dx=(1/2x)*(2x)`dx=(1/x)dx
dv=dx ⇒ v= ∫ dx = x

Формула
∫ u*dv = u* v - ∫ v* du = x*ln(2x)- ∫ x*(1/x)dx= x*ln(2x)- ∫ dx=

= x*ln(2x) - x + C
Ответ выбран лучшим
268.
Пусть рабочий за х дней, ученик за 3х дней.
(1/x) - производительность рабочего
(1/3x) - производительность ученика

3*((1/х)+(1/3х))=1
4/х=1
х=4
3х=3*4=12 дней

О т в е т. за 12 дней.

269

пусть стоимость продукта х руб.

Пусть подешевел на p процентов
х:100*p=0,01*px (руб) составляют p%

x-0,01px=x*(1-0,01p) (руб) - стоимость после снижения цены

Товар подорожал на p процентов

x*(1-0,01p) :100*р (руб.)=0,01рх*(1-0,01р) (руб.) - составляют p% от x*(1-0,01p)(руб)


x*(1-0,01p) + 0,01рх*(1-0,01р) =х*(1-0,01р)*(1+0,01р)=

=х*(1-0,0001p^2) ( руб.) новая цена после повышения.

По условию новая цена составляет 99,75% от первоначальной

Уравнение:

х*(1-0,0001p^2) =0,9975х

1-0,0001p^2=0,9975

0,0001p^2=1-0,9975
p^2=25
p=5%

О т в е т. на 5%
5x^2–6z^2=30

(x^2/6) - (z^2/5)=1 - уравнение гиперболы с мнимой осью Оz ( см. рис.3)

При вращении вокруг оси Ох, гипербола высекает на плоскости хОу
гиперболу
(x^2/6) - (y^2/5)=1 - уравнение гиперболы с мнимой осью Оy

Получаем двуполостный гиперболоид

(x^2/6) - (y^2/5)-(z^2/5)=1
или
-(x^2/6) +(y^2/5)+(z^2/5)= - 1

см. пункт 5 таблицы
только с осью Ох
см. рис.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
Да, имеет
Возводим в квадрат:
x-2=1
x=3

sqrt(3-2)=1 - верно

cм. графическое решение на рисунке (прикреплено изображение)
1) CD ⊥ AB
Cоставляем уравнение прямой АВ:
(х–x_(A))/(x_(B)–x_(A))=(y–y_(A))/(y_(B)–y_(A))

(х–4)/(16-4)=(y–3)/(-6-3)

-3(х-4)=4(у-3)

y=-3x+24

k_(AB)=-3

CD ⊥ AB ⇒ k_(CD)*k_(AB)=-1
k_(CD)=1/3

y=(1/3)x + b

Чтобы найти b подставим координаты точки С
16=(1/3)*20+b

b=28/3
y=(1/3)x + (28/3) - уравнение СD

Длина СD равна расстоянию от точки С(20;16) до прямой АВ:
y=-3x+24 или 3х+у-24=0

CD=d=|3*20+16-24|/sqrt(3^2+1)=52/sqrt(10)

2)
Находим координаты точки М - cередины ВС

x_(М)=(x_(B)+x_(С))/2=(16+20)/2=18

y_(М)=(y_(B)+y_(С))/2=(-6+16)/2=5

Cоставляем уравнение прямой АM:
(х–x_(A))/(x_(M)–x_(A))=(y–y_(A))/(y_(M)–y_(A))

(х–4)/(18-4)=(y–3)/(5-3)

2(x-4)=14(y-3)
(x-4)=7(y-3)
x-7y+17=0 - уравнение медианы АМ

|AM|=sqrt((x_(M)–x_(A))^2+(y_(M)–y_(A))^2)=

=sqrt((18-4)^2+(5-3)^2)=sqrt(324+4)=sqrt(328)=2sqrt(82)

3)
Угол между прямыми CD и AM
k_(CD)=1/3 ⇒tg α =1/3
k_(AM)=1/7 ⇒ tg β =1/7

tg( α - β )=(tg α -tg β )/(1+tg α *tg β )=((1/3)-(1/7))/(1+(1/3)*(1/7))=

=4/22=2/11

∠ (CD, AM)=arctg (2/11)

4) BH ⊥ AM

k_(AM)=1/7 ⇒ k_(BH)=-7

y=-7x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки В
-6=(16/7)+b
b= - 58/7

y =-7x - (58/7) - уравнение ВН

Найдем координаты точки Н.
{x-7y+17=0
{y =-7x - (58/7)

x - 7*(-7x-(58/7))=0
x+49x+58=0
x=-58/50
x=-29/25
y=-7*(-29/25)-(58/7)
y=(7*29*7 -58*25)/(25*7)=-29/175

H(-29/25; -29/175)

5) vector{AC}=(20-4;16-3)=(16;13) - направляющий вектор искомой прямой

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через точку В с направляющим вектором vector{AC}

(х–x_(B))/16=(y–y_(B))/13

(х-16)/16=(у+6)/13

13(х-16)=16(у+6)
13х-16у-304=0
Логарифмическая функция с основанием 0 <0,5 < 1 убывающая, значит большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции

5 < 6

log_(0,5)5 > log_(0,5)6
Пусть М(х;у;z) - произвольная точка плоскости
Тогда
vector{AM}=(x+3;y-2;z-5)
vector{n_(1)}=(4;1;-3)
vector{n_(2)}=(1;-2;1)

компланарны.
Условие компланарности - равенство 0 смешанного произведения векторов.


О т в е т. (х+3)-3*(y-2)-8*(z-5)-(z-5)-6*(x+3)-4*(y-2)=0
-5*(x+3)-7*(y-2)-9*(z-5)=0
[b]5x+7y+9z-44=0[/b] (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
vector{MP}=(3-1;-5-1;2-(-1))=(2;-6;3)
|vector{MP}|=sqrt(2^2+(-6)^2+3^2)=sqrt(49)=7

Направляющие косинусы
cos α =2/7
cos β= -6/7
cos γ =3/7

Частные производные
u`_(x)=(z^4/y)+(zy^5)
u`_(y)=(-xz^4/y^2)+5xzy^4+(1/z^2)
u`_(z)=(4xz^3/y)+xy^5 -(2y/z^3)

Производная по направлению вектора vector{MP}

u`_(vector{MP})=u`_(x)*cosα +u`_(y)*cosβ +u`_(z)*cosγ

u`_(vector{MP})=((z^4/y)+(zy^5))*(2/7) +((-xz^4/y^2+5xzy^4+(1/z^2))*(-6/7)+((4xz^3/y)+xy^5 -(2y/z^3))*(3/7)

Частные производные в точке M
u`_(x)(M)=(z^4/y)+(zy^5)=1-1=0
u`_(y)(M)=(-xz^4/y^2)+5xzy^4+(1/z^2)=-1+5+1=5
u`_(z)(M)=(4xz^3/y)+xy^5 -(2y/z^3)=-4+1+2=-1

u`_(vector{MP})(M)=0*(2/7) +5*(-6/7)+(-1)*(3/7)=-33/7
2) R> 3
3) R=3 ( красная окружность) или R=5 ( фиолетовая окружность) (прикреплено изображение)
3x+2y+20=0 ⇒ y=(-3/2)x-10
k=(-3/2)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Значит, угловой коэффициент прямой L:
k_(L)=2/3

y=(2/3)x+b

Чтобы найти b подставляем координаты точки А

-9=(2/3)*(-2)+b
b=-23/3

Дальше вопрос задачи поставлен неверно.
Прямая не отсекает ничего на оси Ох

Прямая L пересекает ось Ох в точке

(2/3)х-(23/3)=0
х=23/2
х=11,5

Отсекать может на луче Ох ( на положительном направдении оси Ох)

(прикреплено изображение)
з)
∫ (x^5+∛(x^2)+(1/∛x))dx=

= ∫ x^5dx + ∫ x^(2/3)dx+ ∫ x^(-1/3)dx=

=(x^6/6) +x^(5/3)/(5/3) +x^(2/3)/(2/3)+C=

= (x^6/6) +(3/5)*x^(5/3) +(3/2)*x^(2/3)+C=

= (x^6/6) +(3/5)*x*∛(x^2) +(3/2)*∛(x^2)+C


м)
∫ (7x-2)^4dx= ∫ (7x-2)^(4)*(1/7)d(7x-2)=

=(1/7) ∫ u^4du=(1/7)(u^5/5) + C= (1/35)*(7x-2)^5 + C

u=7x-2
du=(7x-2)`=7dx ⇒ dx=(1/7)d(7x-2)


т)
=2 ∫ dx/(1+x^2)-3 ∫ dx/sqrt(1-x^2)=

=2arctgx - 3 arcsinx + C
1) Дано уравнение гиперболы.
Гипербола вращается вдоль оси Ох

В плоскости xОz остается след от вращения в виде гиперболы
15x^2-3z^2=1

Уравнение поверхности вращения
15x^2-3y^2-3z^2=1

или
-15x^2+3y^2+3z^2= - 1

см. пункт 5 таблицы
Это двуполостный гиперболоид.
с осью Ох

см. рис.
(прикреплено изображение)
z=-(1/3)x^2 - парабола, вращается вокруг оси Оz и оставляет в пл. yOz след в виде параболы
z=-(1/3)y^2

Получаем параболоид вращения
z=-(1/3)x^2-(1/3)Y^2
( см. эллиптический параболоид, пункт 7, но направленный вниз) (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
2) да
См. рис.1

1) нет
см. рис. 2

На плоскости верно (прикреплено изображение)
а)ε= √21/5 ; A(–5;0)

a=5
ε=c/a
c=ε*a=sqrt(21)
b^2=a^2-c^2=25-21=4

О т в е т.

(x^2/25)+(y^2/4)=1


б)A (√80;3) ,B(4 √6 ;3 √2)

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

чтобы найти а и b подставляем координаты точек А и В:
{(80/a^2)-(9/b^2)=1
{(96/a^2)-(18/b^2)=1

Умножаем первое уравнение на (-2):
{-(160/a^2)+(18/b^2)=-2
{(96/a^2)-(18/b^2)=1

Складываем
-64/a^2=-1
a^2=64

18/b^2=(96/a^2)-1

b^2=36

О т в е т. (x^2/64)-(y^2/36)=1

в)D: y=1

если каноническое уравнение параболы имеет вид
x^2=-2py, то фокус параболы
F(0;-p/2)
D: y=p/2

Значит,
p/2=1

p=2

О т в е т. x^2=-4y
Ответ выбран лучшим
(shu)`=chu * (u`)

u=ln(tg2x)

u=lnv

u`=(1/v)*v`

v=tg2x

v`=(1/cos^22x)*(2x)`

Итак,

sh(ln(tg2x))=ch(ln(tg2x)) * (ln(tg2x))`=

=ch(ln(tg2x))* (1/tg2x) * (tg2x)`=

=ch(ln(tg2x))* (1/tg2x) * (1/cos^22x)*(2x)`=

=ch(ln(tg2x))* (1/tg2x) * (1/cos^22x)*(2)

=2ch(ln(tg2x))* (1/tg2x) * (1/cos^22x)=

=2ch(ln(tg2x))* (cos2x/sin2x) * (1/cos^22x)=

=2ch(ln(tg2x))* (1/sin2x) * (1/cos2x)=

=4ch(ln(tg2x))*(1/(2*sin2x*cos2x))=

=4ch(ln(tg2x))*(1/sin4x)
Ответ выбран лучшим
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
lg^2x=lgx
lg^2x-lgx=0
lgx*(lgx-1)=0
lgx=0 или lgx-1=0

lgx=0 ⇒ x=10^(0); x_(1)=1
lgx=1 ⇒ x=10^(1); x_(2)=10

х_(1)*х_(2)=1*10=10

О т в е т. 1) 10
cos(x-(π/2))=cos((π/2)-x)=sinx

sqrt(2)sinx + cos^2x=sqrt(2)sin^3x

cos^2x=1-sin^2x

sqrt(2)sinx +1-sin^2x=sqrt(2)sin^3x

sqrt(2)sin^3x+sin^2x-1-sqrt(2)sinx=0

Раскладываем на множители:

sin^2x(sqrt(2)sinx+1)-(sqrt92)sqinx+1)=0

(sqrt(2)sinx+1)*(sin^2x-1)=0

sqrt(2)sinx+1 = 0 или sin^2x-1=0

sinx=-1/sqrt(2) или sinx = ± 1

x=(-1)^(k)*(-π/4)+πk, k ∈ Z или х= ± (π/2)+2πm, m ∈ Z ⇒ x=(π/2)+πn, n ∈ Z
Надо одну задачу задавать в одном вопросе,
тогда нам, решающим не придется нумеровать картинки.
Много времени на это приходится тратить, потому что под ответом картинку не прикрепить, приходится писать ответы на все задачи, потом прикреплять картинки и их нумеровать.


1.
- x^2/(1/9) +(y^2/(1/6)) + (z^2/(1/6))=1

a^2=1/9; b^2=1/6; c^2=1/6

cм.таблицу в приложении
Это пункт 4) - однополостный гиперболоид, но
так как знак минус перед х^2,
то однополостный гиперболоид с осью Ох

см. рис. в приложении 2


2.
y=(10/15)x^2 + (6/15)y^2

y=x^2/(3/2) + y^2/(5/2)

a^2=3/2
b^2=5/2
Это как 7) - эллиптический параболоид, только с осью Оу

см. рис. в приложении 3

(прикреплено изображение)
См. интегрирование иррациональных функций
Замена
sqrt((x+25)/(x+1))=t ⇒

(x+25)/(x+1)=t^2 ⇒ x = (t^2-25)/(1-t^2)

Находим dx= ((t^2-25)/(1-t^2))`dt

dx=-48dt/(1-t^2)

пределы интегрирования

если х=0, то t=5
х=7, то t=2

Получим интеграл

∫^(2)_(5)t*(-48)dt/(1-t^2)=

=24 ∫^(2)_(5)(- 2tdt)/(1-t^2)=

=24 ∫^(2)_(5)d(1-t^2)/(1-t^2)=

=24 ln |1-t^2|^(2)_(5)=

=24*ln|-24|-24ln|-3|=24ln8=72ln2
Ответ выбран лучшим
1703.
∫ udu=(u^2/2)+C

∫ sinxd(sinx)=(sin^2x/2)+C
1705.
∫ du/ sqrt(u)=2 sqrt(u)

∫d(1+x^2)/sqrt(1+x^2)=2sqrt(1+x^2)+C

1707.

∫ du/u^5= ∫ u^(-5)du=u^(-5+1)/(-5+1)+C= -1/(4*u^(4)) + C

d(2x-3)=(2x-3)`*dx=2dx ⇒

dx=[b](1/2)[/b]*d(2x-3)

∫ dx/(2x-3)^5=[b] (1/2)[/b]*∫ (2x-3)^(-5)d(2x-3)=

= [b](1/2)[/b]*(2x-3)^(-5+1)/(-5+1)+C= -1/(8*(2x-3)^(4)) + C

1709.

∫ u^(6/5)du=u^((6/5)+1)/((6/5)+1)+C

d(8-3x)=-3dx ⇒

dx=[b](1/3)[/b]*d(8-3x)


∫ (8-3x)^(6/5)dx=[b](1/3)[/b]∫ (8-3x)^(6/5)d(8-3x)=

=[b](1/3)[/b](8-3x)^((6/5)+1)/((6/5)+1)+C=

=[b](1/3)[/b](8-3x)^(11/5)/(11/5)+C=

=(5/33)(8-3x)^(11/5) + C
Ответ выбран лучшим
f(x)=2sinx
f(π/6)=1

f`(x)=2cosx
f`(π/6)=2*(sqrt(3))/2=sqrt(3)

y-1=sqrt(3)*(x-(π/6))

y=sqrt(3)*x +1-(sqrt(3)*π/6) - уравнение касательной

y-1=(-1/sqrt(3))*(x-(π/6))

y=(-x/sqrt(3))+1+(π/(6sqrt(3))) - уравнение нормали (прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
первый способ
(2a-3b)^2-(2a+3b)^2=(по формуле m^2-n^2=(m-n)*(m+n), m=2a-3b; n=2a+3b)=
=(2a-3b-2a-3b)*(2a-3b+2a+3b)=-6b*(4a)=-24ab

второй способ
по формулам
(m-n)^2=m^2-2mn+n^2;
(m+n)^2=m^2+2mn+n^2.
(2a-3b)^2-(2a+3b)^2=4a^2-12ab+9b^2-(4a^2+12ab+9b^2)=-24ab


При ab=0,25

-24ab=-24*(0,25)=-6
cos(x-(5π/2)=cos((5π/2)-x)= sinx;

4sin^3x=sinx

4sin^3x-sinx=0

sinx*(4sin^2x-1)=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z
или
sin^2x=1/4 ⇒ sinx=-1/2 или sinx =1/2
x= ± (π/6)+πn, n ∈ Z

О т в е т. а)πk, k ∈ Z ; ± (π/6)+πn, n ∈ Z

б) - (π/6)+2π=11π/6; 2π; (π/6)+2π=13π/6. (прикреплено изображение)
a_(n)=n!/(2n-1)!!
a_(n+1)=(n+1)!/(2n+1)!!

(2n+1)!!=1*3*5*...*(2n-1)*(2n+1)=(2n-1)!! *(2n+1)

(n+1)!=n!8(n+1)

Признак Даламбера

lim_(n→∞)(a_(n+1))/(a_(n))=lim_(n→∞)(n+1)/(2n+1)=1/2 < 1
По признаку Даламбера сходится.
(прикреплено изображение)
х=8+ 4 целых (1/5)

х=12 целых (1/5)



х=13 целых (5/6) - 12 целых (3/4)

х=13 целых (10/12) - 12 целых (9/12)

х=1 целая (1/12)




x=13 целых (1/7) - 10 целых (3/5)

х=12 целых (8/7)-10 целых (3/5)

х=12 целых (40/35)-10 целых (21/35)

х=2 целых 19/35



х=10 целых (1/4) - (15/16)

х=9 целых (20/16) - (15/16)

х=9 целых (5/16)
1) неверно.
2) верно
3) верно
4) неверно
О т в е т. 14
ширина - 1 часть, длина - 7 частей

периметр=2 ширины + 2 длины= 2 + 14 = 16 частей

128 см : 16 = 8 см в одной части

ширина 8 см, длина 8*7=56 см

площадь= длина * ширина = 56*8=448 кв см


2 способ

Уравнением
ширина a= х, длина b= 7х

Р=2*(a+b)=2*(x+7x)=16x

16x=128

x=8

7x=56

S=a*b=8*56=448 кв см
ширина - 1 часть, длина - 3 части

периметр=2 ширины + 2 длины= 2 + 6 = 8 частей

40 см : 8 = 5 см в одной части

5 ×15 размеры рамки.

2 способ

Уравнением
ширина a= х, длина b= 3х

Р=2*(a+b)=2*(x+3x)=8x

8x=40

x=5

3x=15

(прикреплено изображение)
Точная величина приращения
По определению:
Δ f (3,01)=f(3,01)-f(3)

f(3,1)=2*(3,01)^2+3*3,01-1=2*9,0601+9,03-1=26,1502
f(3)=2*(3)^2+3*3-1=18+9-1=26

О т в е т.

Приближенная формула

f(x_(o)+ Δx) - f (x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx ⇒

f(x_(o)+ Δx) ≈ f (x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

Cправа - значение функции в точке х_(о) и производная в точке х_(о)
Точку х_(о) выбирают так, чтобы значения в этой точке легко считались.
Её иногда называют " хорошей" точкой

В нашем случае, х_(о)=3
Δх=3,01-3=0,01

f(3)=26 cм. пункт 1

f`(x)=(2x^2+3x-1)`=4x+3

f`(3)=4*3+3=12+3=15

f(3,01) ≈ f (3) + f`(3)* 0,01 = 26 + 15* 0,01 = 26,15

Сравнить 26,1502 и 26,15
Отличаются на 0,0002
Ответ выбран лучшим
Область определения ( - ∞ ;+ ∞ )

y`=( (3x^2)`*(4+5x^2)-(3x^2)*(4+5x^2)`)/(4+5x^2)^2;

y`=( 6x*(4+5x^2)-(3x^2)*10x)/(4+5x^2)^2;


y`= 6x*(4+5x^2-5x^2)/(4+5x^2)^2;

y`= 24x/(4+5x^2)^2.


y`=0

24x=0

x=0 - точка возможного экстремума.

Расставляем знак производной:

___ - __ (0) __+___

y` < 0 на (- ∞;0)
Функция убывает на (- ∞;0)

y` > 0 на (0;+ ∞)
Функция возрастает на (0;+ ∞


х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(0)=0

y``=24*(x`*(4+5x^2)^2-x*((4+5x^2)^2)`)/((4+5x^2)^2)^2;

y``=24*(1*(4+5x^2)^2-x*2*(4+5x^2)(4+5x^2)`)/(4+5x^2)^4;

y``=24*(4+5x^2-x*2* 10x)/(4+5x^2)^3;

y``=24*(4-15x^2)/(4+5x^2)^3

y``=0

4-15x^2=0

x^2=4/15

x=- sqrt(4/15) или х=sqrt(4/15) - точки возможного перегиба.

Знак второй производной:

_-__ (-sqrt(4/15)) __+___ (sqrt(4/15)) __-__


y`` <0 на (- ∞ ; - sqrt(4/15)) и на ( sqrt(4/15); + ∞ )

Функция выпукла вверх

y`` > 0 на ( - sqrt(4/15); sqrt(4/15) )

Функция выпукла вниз.

График на рисунке.
(прикреплено изображение)
Ответ выбран лучшим
{3+x>0 ⇒ x > -3;
{7-x>0 ⇒ x < 7;

ОДЗ: x ∈ (-3;7)
{2-x>0 ⇒ x < 2;
{x>0; x ≠ 1

(0) ____ (1) ____ (2)

ОДЗ: x ∈ (0;1)U(1;2)
Пусть первая труба наполняет бак за х часов, вторая за у часов.
(1/х)– производительность первой, (1/(х+24)) – производительность второй.

При совместном действии двух труб бак может быть наполнен за 12 мин.
12·((1/х)+(1/у))=1

Если сначала полбака наполнить через одну трубу, а затем полбака – через другую, то бак наполнится чер