Профиль пользователя SOVA

Решения

Несколько раз отмечала [red]ОШИБКУ[/red] в решении, но она игнорируется.
Админ тоже ошибся и посчитал это решение ЛУЧШИМ.

А оно [b]НЕВЕРНОЕ[/b].

Из того, что [b]логарифмы равны[/b] не следует, что [b]равны их основания [/b]и [b]равны выражения под знаком логарифма. [/b]
Достаточно привести контрпример:
log_(2)4 и log_(3)9

И тот и другой логарифм равны 2. [b]Логарифмы равны,[/b] но [red]основания не равны[/red] и[blue] выражения под знаком логарифма не равны[/blue].

Пусть час работы днем стоит [b]х[/b], ночью [b]1,5 х[/b]
За 12 часов работы днем 12[b]х[/b], за 12 часов работы ночью 12* [b]1,5 х[/b] . Всего 3900
Уравнение:

12х+12*1,5х=3900

30х=3900

х=130

12х=12*130=[b]1560[/b] оплата днем

12*1,5*130=[b]2340[/b] оплата ночью

ОДЗ:[m]\left\{\begin{matrix} 7-5x^2>0\\ log_{6}(7-5x^2)\neq 0 \\ 49-5x^4>0 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x^2<\frac{7}{5}\\ 7-5x^2\neq 1 \\ (7-5x^2)(7+5x^2)>0 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} -\sqrt{\frac{7}{5}}<x<\sqrt{\frac{7}{5}}\\ x\neq \sqrt{\frac{6}{5}} \\ 7+5x^2>0 \Rightarrow 7-5x^2>0\end{matrix}\right.[/m]

x ∈ ([m]-\sqrt{\frac{7}{5}};-\sqrt{\frac{6}{5}})\cup(-\sqrt{\frac{6}{5}};\sqrt{\frac{6}{5}})\cup(\sqrt{\frac{6}{5}}; \sqrt{\frac{7}{5}})[/m]

По формуле перехода к другому основанию:

[m]\frac{1}{log_{6}(7-5x^2)}=log_{7-5x^2}6[/m]

По свойству логарифма произведения:
[m]log_{7-5x^2}(49-25x^4)=log_{7-5x^2}(7-5x^2)(7+5x^2)=[/m]
[m]=log_{7-5x^2}(7-5x^2)+log_{7-5x^2}(7+5x^2)=1+log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

Уравнение принимает вид:

[m]log_{7-5x^2}6+2=1+log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

[m]log_{7-5x^2}6+1=log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

Заменим

[m]1=log_{7-5x^2}(7-5x^2)[/m]

[m]log_{7-5x^2}6+log_{7-5x^2}(7-5x^2)=log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

Применяем свойство логарифма произведения и заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

[m]log_{7-5x^2}6\cdot(7-5x^2)=log_{7-5x^2}(7+5x^2)[/m]

[m]6\cdot(7-5x^2)=7+5x^2[/m]

[m]42-30x^2=7+5x^2[/m]

[m]35=35x^2[/m]

[m]x^2=1[/m]

[m]x=\pm[/m]

Корни входят в ОДЗ

О т в е т. ± 1

Это однородное тригонометрическое уравнение[i] второй[/i] степени.

2sin^24x –4=3*sin4x * cos4x – 4cos^24x

2sin^24x –4*(sin^24x+cos^24x)=3*sin4x * cos4x – 4cos^24x

-2sin^24x =3*sin4x * cos4x

2tg^24x+3tgx=0

tg4x*(2tg4x+3)=0

tg4x=0 или tg4x=-1,5

4x=arctg0+πk, k ∈ Z или 4x=arctg1,5+πn, n ∈ Z

x=(π/4)k, k ∈ Z или x=(1/4)arctg1,5+(π/4)*n, n ∈ Z

О т в е т. (π/4)k, (1/4)arctg1,5+(π/4)*n, k, n ∈ Z

Это однородное тригонометрическое уравнение[i] второй[/i] степени:
все слагаемые содержат либо sin^2x; kb,j cos^2x;kb,j sinx*cosx

1=sin^2x+cos^2x и потому тоже второй степени

5sin^2x –14sinx * cosx – 3cos^2x =2*(sin^2x+cos^2x)

3sin^2x –14sinx * cosx – 5cos^2x =0
Решают, разделив обе части уравнения на
sin^2 ≠ 0 или cos^2x ≠ 0
(потому что одновременно они не равны 0).

Делим на cos^2x ≠ 0

3tg^2x-14tgx-5=0

D=(-14)^2-4*3*(-5)=196+60=256=16^2

tgx=-1/3 или tgx=5

x=arctg(-1/3)+πk, k ∈ Z или x=arctg5+πn, n ∈ Z

О т в е т. arctg(-1/3)+πk, arctg5+πn, k, n ∈ Z

Однородное тригонометрическое уравнение.
Решают, разделив обе части уравнения на
sin(x/2) ≠ 0 или cos(x/2) ≠ 0
(потому что одновременно они не равны 0).

Делим на cos(x/2) ≠ 0

tg(x/2)=sqrt(3)

x/2=arctg (sqrt(3))+πn, n ∈ Z

x/2=(π/3)+πn, n ∈ Z

[b]x=(2π/3)+2πn, n ∈ Z[/b] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

[red]Если x ≤ 0 [/red] ⇒ x^(20)+x^(14)+x^2+1>0
и
- x ≥ 0

x^(17) ≤ 0 ⇒ -x^(17) ≥ 0
x^(3) ≤ 0 ⇒ -x^(3) ≥ 0

Тогда:
x^(20)- x^(17)+x^(14)-x^(3)+x^2-x+1 >0 - [i]неравенство верно[/i]

[red]Если x > 0[/red], то рассматриваем [i]два случая[/i]:

0 < x < 1 и x ≥ 1

Если 0 < x < 1

[m]x < 1[/m] ⇒ [m] x - 1 <0[/m], а значит [m] -x+1 >0[/m]

x^2 > x ^3 ⇒ x^2-x^3 >0

x^(14) > x ^(17) ⇒ x^(14)-x^(17) >0

Поэтому
x^(20)- x^(17)+x^(14)-x^(3)+x^2-x+1=[b]x^(20)[/b]+([blue]x^(14)-x^(17)[/blue])+[blue](x^2-x^3)[/blue]+[blue](-x+1)[/blue] >[b] x^(20)[/b] +0+0+0>0

неравенство верно

Если x ≥ 1

x^(20) > x^(17) ⇒ x^(20) - x^(17) >0

x^(14) > x^(3) ⇒ x^(14) - x^(3) > 0

x^2 > x ⇒ x^(2) - x > 0

Поэтому
x^(20)- x^(17)+x^(14)-x^(3)+x^2-x+1=([blue]x^(20)-x^(17)[/blue])+([blue]x^(14)-x^(3)[/blue])+([blue]x^(2) - x[/blue])+1 >0+0+0+1 >0

неравенство верно при любых х

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} -x^2-8x-7 >0\\ x^2+2x+1 >0 \\ x^2+2x+1\neq 1 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x^2+8x+7 <0\\ (x+1)^2 >0 \\ x^2+2x\neq 0 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} (x+7)(x+1) <0\\ x ≠ -1 \\ x ≠ 0 ∨ x ≠ -2 \end{matrix}\right.[/m]

x ∈ (-7;-2) U (-2;-1)

Так как
[m] log_{x^2+2x+1}256=\frac{1}{log_{256}(x^2+2x+1)}=\frac{1}{log_{2^{8}}((x+1)^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}log_{2}|x+1|}[/m]

В условиях ОДЗ : |x+1|=-(x+1)

уравнение принимает вид:

[m]\frac{log_{2}(-x^2-8x-7)}{\frac{1}{4}log_{2}(-x-1)}=4[/m]

[m]log_{2}(-x^2-8x-7)=log_{2}(-x-1)[/m]

[m]-x^2-8x-7=-x-1[/m]

[m]x^2+7x+6=0[/m]

D=49-24=25

[m]x_{1}=\frac{-7-5}{2}=-6[/m] или [m]x_{2}=\frac{-7+5}{2}=-1[/m]

[m]x_{2}=-1 [/m] не входит в ОДЗ

О т в е т. -6

Обозначим:
[m]y=\frac{2x+1}{x^2+x+1}[/m]

x- любое действительное число, так как x^2+x+1>0 при любом х:

D=1-4 <0

Тогда умножим обе части равенства на x^2+x+1:

x^2y+xy+y=2x+1

yx^2+(y-2)x+y-1=0

Квадратное уравнение имеет решения при D ≥ 0

D=(y-2)^2-4y(y-1)=y^2-4y+4-4y^2+4y=-3y^2+4

-3y^2+4 ≥ 0 ⇒ y^2 ≤ [m]\frac{4}{3} [/m] ⇒ |y| ≤ [m]\frac{2}{\sqrt{3}}[/m] ⇒

[m]-\frac{2}{\sqrt{3}}[/m] ≤ y ≤ [m]\frac{2}{\sqrt{3}}[/m]

[m]-\frac{2\sqrt{3}}{3}[/m] ≤ y ≤ [m] \frac{2\sqrt{3}}{3}[/m]

Наименьшее значение y:[m]-\frac{2\sqrt{3}}{3}[/m]

Наибольшее значение y:[m]\frac{2\sqrt{3}}{3}[/m]

Ответ выбран лучшим

tg ∠ A = BC/AC=2/5 ⇒

BC=(2/5)AC

По теореме Пифагора:

AB^2=BC^2+AC^2

29^2=((2/5)AC)^2+AC^2

29^2=(4/25)AC^2+AC^2

29^2=(29/25)AC^2

AC^2=25*29

AC=5sqrt(29)

BC=2sqrt(29)

S_( Δ АВС)=(1/2) BC*AC или S_( Δ АВС)=(1/2) АВ*CН ⇒

BC*AC = АВ*CН ⇒ СH=(5sqrt(29)*2sqrt(29))/29=[b]10[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]1.[/b]
1 способ

∠ B=90 ° ⇒ AE- диаметр, значит ∠ EFA=90 ° как угол, опирающийся на диаметр.

Пусть AD пересекает окружность в точке К.

Значит, ∠ АКЕ =90 °
Так как BC||AD, то ABEK - прямоугольник, вписанный в окружность

BE=AK=8
Значит KD=EC=4

По свойству секущих, проведенных из точки D к окружности:
DF*DE=DA*DK

Из подобия Δ ECF и Δ ADF

EF:DF=BC:AD=4:12=1:3 ⇒ DE=3EF и DE=4FE

DF*DE=DA*DK ⇒ 3EF*4EF=12*4 ⇒ EF=2

DE=4EF=4*2=8

CD^2=DE^2-СE^2=8^2-4^2=64-16=[b]48[/b]

AB=CD=sqrt(48)=[b]4sqrt(3)[/b]

Тогда из Δ АВЕ:

АЕ^2=AB^2+BE^2=48+8^2=48+64=112

Из Δ АЕF:

AF^2=AE^2_EF^2=112-4=108

AF=sqrt(108)=6sqrt(3)

S_(ABEF)=S(ABE)+S(AEF)=(1/2)AB*BE+(1/2) AF*FE=

=(1/2)8*4sqrt(3)+(1/2)6sqrt(3)*2=16sqrt(3)+6sqrt(3)=[b]22sqrt(3)[/b]

2 способ.

∠ B=90 ° ⇒ AE- диаметр, значит ∠ EFA=90 ° как угол, опирающийся на диаметр.

⇒ AC ⊥ ED

AECD- Трапеция, [i]диагонали которой перпендикулярны.[/i]

Проведем СP || ED

Получим прямоугольный треугольник АСР

Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное отрезками гипотенузы.

H=sqrt(12*4)=sqrt(48)=4sqrt(3)

Тогда DE=sqrt(4^2+48)=sqrt(64)=8

Из подобия ECF и ADF

EF:FD=BC:AD=4:12

FD=3EF

FE=4FE

Значит

FD=6; EF=2

AF^2=AE^2-EF^2= ( 8^2+48)=112-4=108

AF=sqrt(108)=6sqrt(3)

S_(ABEF)=S(ABE)+S(AEF)=(1/2)AB*BE+(1/2) AF*FE=

=(1/2)8*4sqrt(3)+(1/2)6sqrt(3)*2=16sqrt(3)+6sqrt(3)=[b]22sqrt(3)[/b]

[b]2.[/b]
[m] a_{20}=a_{1}+19d[/m]
[m] a_{2000}=a_{1}+1999d[/m]

Решаем систему:
{[m]a_{1}+19d=1[/m]
{[m]a_{1}+1999d=199[/m]

Вычитаем из второго первое:

1980 d=198
d=0,1
a=-0,9

[m] a_{2020}=a_{1}+2019d=-0,9+0,1\cdot 2019=-201[/m]
(прикреплено изображение)

d^2=a^2+b^2+c^2=6^2+4^2+12^2=36+16+144=196

d=sqrt(196)=14

О т в е т. [b]14[/b]

Ответ выбран лучшим

АВ=ВС=АС=1
SA=SB=SC=1

АО=(2/3) AD; D- cередина BC;

AD^2=AB^2-BD^2=1^2-(1/2)^2=1-(1/4)=3/4
AD=sqrt(3)/2

AO=sqrt(3)/3

SO^2=AS^2A-AO^2=1-(3/9)=2/3

SO=sqrt(2/3) (прикреплено изображение)

Треугольник АВС - равносторонний. Проводим высоту, медиану и биссектрису СМ и высоту, медиану и биссектрису AD
Точка О - точка их пересечения, центр вписанной и описанной окружностей.
Точка О - основание высоты SO
(прикреплено изображение)

[m]\sqrt[12]{9^{14}}\cdot \sqrt[6]{81}=\sqrt[6]{9^{7}}\cdot \sqrt[6]{9^{2}}=\sqrt[6]{9^{7}9^{2}}=\sqrt[6]{9^{9}}=\sqrt[2]{9^{3}}=9\cdot 3=27[/m]

О т в е т. а)

[m]\sqrt[12]{9^{14}}\cdot \sqrt[6]{81}=\sqrt[6]{9^{7}}\cdot \sqrt[6]{9^{2}}=\sqrt[6]{9^{7}9^{2}}=\sqrt[6]{9^{9}}=\sqrt[2]{9^{3}}=9\cdot 3=27[/m]

[m]log_{0,5}0,5=1[/m]

[m]log_{9}\frac{1}{81}=log_{9}9^{-2}=-2log_{9}9=-2[/m]

[m]7^{log_{7}2}=2[/m] - основное логарифм. тождество

О т в е т. [m]log_{0,5}0,5\cdot log_{9}\frac{1}{81}-7^{log_{7}2}=1\cdot (-2)-2=-4[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]sin(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]cos(\frac{5\pi}{3})=cos(2\pi-\frac{\pi}{3})=cos(-\frac{\pi}{3})=cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}[/m]

[m]tg(2π)=tg0=0[/m]

[m]ctg \frac{\pi}{2}=0[/m]

О т в е т. [m]2sin(-\frac{\pi}{4})+cos(\frac{5\pi}{3})+tg(2π)+ctg \frac{\pi}{2}=-\sqrt{2}+\frac{1}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АВК:

ВК=AB*sin ∠ A=5*0,8=4

АК^2=AB^2-BK^2=25-16=9
AK=3

AK=MD=3

AD=AK+KM+MD=3+5+3=11

h=BK
a=BC=5
b=AD=11

S_(трапеции)=(a+)*h/2=(5+11)*4/2=[b]32[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=6x-6x^2

y`=0 ⇒ 6x-6x^2=0 ⇒ x=0 и х=1 - не принадлежат отрезку [-4;0]

Значит на отрезке [-4;0]
производная функции имеет постоянный знак,
а именно y` <0, функция убывает

( решим неравенство:
6x-6x^2<0 ⇒ 6x(1-x) <0 ⇒ x(x-1) >0 ⇒ x < 0 или x > 1)

Наименьшее значение убывающая на отрезке функция принимает в левом конце, т. е в точке x=0

y_(наим)=y(0)=3*(0)^2-2*(0)^3+1=1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+6 >0 ⇒ x >-6
{x+2 >0 ⇒ x >-2

ОДЗ: x ∈ (-2; + ∞ )

1=log_(2)2

log_(2)(x+6)=log_(2)2+log_(2)(x+2)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(2)(x+6)=log_(2)2*(x+2) ⇒

x+6 =2*(x+2)
x+6=2x+4
[b]x=2[/b] принадлежит ОДЗ

О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

5cosx-2sinx*cosx=0

cosx*(5-2sinx)=0

cosx=0 или 5-2sinx=0

cosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z [/b]

5-2sinx=0 ⇒ sinx=2,5 - уравнение не имеет корней,

так как синус ограничен: -1 ≤ sinx ≤ 1

не принимает значения больше 1

[i]Наименьший положительный корень[/i] при k=0

равен (π/2) рад =[b]90 ° [/b]

Ответ выбран лучшим

sqrt(48)=sqrt(16*3)=sqrt(16)*sqrt(3)=4sqrt(3)

(5+sqrt(48))^2=(5+4sqrt(3))^2=

=5^2+2*5*4*sqrt(3)+48=73+10*4sqrt(3)=73+40 sqrt(3)

(5+sqrt(48))^2-40 sqrt(3)=73+40 sqrt(3)-40 sqrt(3)=73

Ответ выбран лучшим

а)
BB_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ AB
АВ ⊥ BD

AB ⊥ пл ВВ_(1)D_(1), так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости

Расстояние от точки А до ВВ_(1)D_(1) равно АВ=1

б)

АC ⊥ ВЕ
AC ∩ BE=K

BB_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ AK

AK ⊥ пл ВВ_(1)E_(1),так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости

Расстояние от точки А до ВB_(1)E_(1) равно АK=AC/2=sqrt(3)/2

( Рис. 1)

в)
АD⊥ ВF
AD ∩ BF=M

BB_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ AM

AM ⊥ пл ВВ_(1)E_(1),так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости

Расстояние от точки А до ВB_(1)E_(1) равно АM=AO/2=1/2
(прикреплено изображение)

ОПЕЧАТКА в условии:
f (x)=4x^3-12x^([b]2[/b])-3

f `(x)=(4x^3-12x^2-3)`

Применяем правила вычисления производных:
производная суммы равна сумме производных

f `(x)=(4x^3)`+(-12x^2)`+(-3)`

постоянный множитель можно выносить за знак производной:

f`(x)=4(x^3)`-12(x^2)`-(3)`

По таблице:
(x^3)`=3x^2
(x^2)`=2x
(C)`=0 ⇒ (3)`=0

y`=4*3x^3-12*2x

y`=12x^2-24x

y`=12x*(x-2)

y`=0

12x*(x-2)=0

x=0 или x-2=0 ⇒ x=2

Это точки, в [i]которых производная равна 0. [/i]
Чтобы узнать есть в них экстремум или нет надо применить
теорему ( достаточное условие существования экстремума ):
если в точке х_(о) производная равна 0
и
[i]при переходе через точку [/i] х_(о) производная меняет знак + на -,
то х_(о) - [i]точка максимума[/i]
( если же производная меняет знак - на +, то х_(о) - [i]точка минимума[/i])

В других случаях (при смене знака + на + или - на - ) [b]экстремума нет
[/b]

Находим знак производной.

y`=12x^2-24x

Производная - то же [i]функция.[/i]

В данном случае это [i]квадратичная функция[/i], графиком служит парабола, ветви вверх

Нашли нули этой функции: x=0; x=2

(прикреплено изображение)

По формуле производной сложной функции:
[m]y=\sqrt{u(x)}[/m] ⇒ [m]y`=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u`(x)[/m]

[m]u(x)=2x+sin4x[/m]

[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (2x+sin4x)`[/m]

По формуле производной сложной функции:
[m] (sinu)`=cosu \cdot (u)`[/m]

[m]u=4x[/m] ⇒ [m](sin4x)`=cos4x \ cdot(4x)`[/m]

[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (2+cos4x\cdot (4x)`)[/m]

[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (2+cos4x\cdot (4))[/m]

[m]y`=\frac{1}{\sqrt{2x+sin4x}}\cdot (1+2\cdot cos4x)[/m]

[m]y`=\frac{1+2cos4x}{\sqrt{2x+sin4x}}[/m]

[m]y`(\frac{\pi}{2})=\frac{1+2cos4\cdot (\frac{\pi}{2})}{\sqrt{2\cdot (\frac{\pi}{2})+sin4\cdot(\frac{\pi}{2}) }}=\frac{1+2cos 2 \pi}{\sqrt{\pi+sin2 \pi}}=\frac{3}{\sqrt{\pi}}=\frac{3\sqrt{\pi}}{\pi}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m] y`=(11tgx-11x-11\frac{\pi}{4}+12)`[/m]
Применяем правила:
производная суммы равна сумме производных
[m] y`=(11tgx)`+(-11x)`+(-11\frac{\pi}{4})`+(12)`[/m]
постоянный множитель можно вынести за знак производной:
[m] y`=11(tgx)`-11(x)`+(-11\frac{\pi}{4})`+(12)`[/m]
и формулы:
C`=0 ⇒ [m] (-11\frac{\pi}{4})`=0; (12)`=0[/m]
(x)`=1
[m](tgx)`=\frac{1}{cos^2x}[/m]
[m] y`=11\cdot \frac{1}{cos^2x}-11[/m]

[m] y`=0[/m]
[m]11\cdot \frac{1}{cos^2x}-11=0[/m] ⇒ [m] \frac{1}{cos^2x}-1=0[/m]

[m]cos^2x=1[/m] ⇒ [m]cosx=-1[/m] или [m] cosx=1[/m]

[m]x=-\pi+2 \pi k, k\in Z[/m] или [m]x=2 \pi k, k\in Z[/m]

x=0 -одна точка возможного экстремума,
принадлежащая [[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]]

Исследуем ее на экстремум.
Применяем теорему (достаточное условие):
Если f`(x_(o))=0 и при переходе через точку x_(o) производная меняет знак
( с + на -) то х_(о) - точка максимума,
( с - на +) то х_(о) - точка минимума.

Если нет смены знака, то точка x_(о) не является точкой экстремума.

Так как |cosx| ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos^2x ≤ 1

[m] y`=11\cdot \frac{1}{cos^2x}-11=11\cdot \frac{1-sin^2x}{cos^2x}=11tg^2x[/m]

[m] y` ≥ 0[/m] на [[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]] ⇒

функция возрастает на [[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]]

и принимает наименьшее значение в точке [m]x=-\frac{\pi}{4}[/m]

[m]y(-\frac{\pi}{4})=11tg(-\frac{\pi}{4})-11\cdot(-\frac{\pi}{4}) -11\frac{\pi}{4}+12=-11+12=1[/m]

О т в е т. y_(наим на[[m]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}[/m]] )=[m]y(-\frac{\pi}{4})=1[/m]

a) AB ⊥ BC
BC||B_(1)C_(1) ⇒
AB ⊥ B_(1)C_(1)
Расстояние от точки А до B_(1)C_(1) равно АВ=[b]2[/b]

б)
А_(1)D_(1)|| MN
АМ ⊥ MN ⇒ AM ⊥ А_(1)D_(1)
AM=A_(2)B_(2)=1
Расстояние от точки А до А_(1)D_(1) равно AM=A_(2)B_(2)=[b]1[/b]

в)
АВ ⊥ BC
B_(2)C_(2) || BC

A_(2)B_(2)|| AB

Расстояние от точки А до B_(2)C_(2) равно A_(2)B_(2)=[b]1[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Теорема Пифагора

а)
АС^2=2^2+2^2=8
AC^2_(1)=AC^2+CC^2_(1)=8+1=9
АС_(1)=[b]3[/b]

б)
АК^2=AA^2_(1)+A_(1)K^2=2^2+1^2=5
AD^2_(1)=AK^2+KD^2_(1)=5+1=6
AD_(1)=[b]sqrt(6)
[/b]
в)
АK^2=AA^2_(1)+A_(1)K^2=2^2+1^2=5
AC^2_(2)=AK^2+KC^2_(2)=5+2^2=9
AC_(2)=[b]3[/b]

г)BK^2=BC^2+CK^2=2^2+1^2=5
ВD^2_(1)=BK^2+KD^2_(1)=5+1=6
ВD_(1)=[b]sqrt(6)[/b]

д) BD^2=2^2+2^2=8
BD^2_(2)=BD^2+DD^2_(2)=8+2^2=8+4=12
BD^2=sqrt(12)=[b]2sqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим перпендикуляр из точки А на прямую ВС_(1) как высоту [i]равнобедренного [/i]треугольника АВС_(1), проведенную на боковую сторону.
Δ АВС_(1) - равнобедренный, так как

АС_(1)=ВС_(1)=sqrt(2) - диагонали боковых граней, которые являются [blue]квадратами.[/blue]

Найдем высоту [b]h[/b] равнобедренного треугольника АВС_(1)

h^2=AC^2_(1)-(AB/2)^2=(sqrt(2))^2-(1/2)^2=2-(1/4)=7/4
h =sqrt(7)/2

S_( Δ АВС_(1))=(1/2) * AB*h

C другой стороны

S_( Δ АВС_(1))=(1/2) * BС_(1)*AD

Приравниваем правые части:
(1/2) * AB*h=(1/2) * BС_(1)*AD ⇒ AD=AB*h/BC_(1)=(sqrt(7)/2)/sqrt(2)=sqrt(7)/(2sqrt(2))=sqrt(7)*sqrt(2)/(2*2)=[b]sqrt(14)/4[/b]

(прикреплено изображение)

Проводим АК ⊥ BC

Призма прямая, значит боковые ребра перпендикулярны плоскости АВС, а значит и любой прямой в этой плоскости
Поэтому BB_(1) ⊥ AK

⇒ АК ⊥ ВС и АК ⊥ ВВ_(1)

АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, значит АК ⊥ пл ВВ_(1)С_(1)С

АК^2=AB^2-BK^2=1-(1/2)^2=3/4

AK=sqrt(3)/2

О т в е т.[b] sqrt(3)/2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) AB ⊥ BD и BD- проекция BD_(1)
По теореме о 3-х перпендикулярах AB ⊥ BD_(1)
Значит расстояние от точки А до BD_(1) равно АВ=1

б) AС ⊥ СD и СD- проекция СD_(1)
По теореме о 3-х перпендикулярах AС ⊥ СD_(1)
Значит расстояние от точки А до СD_(1) равно АС=[b]sqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

При x ≥ 0
|x|=x
Получаем окружность:[b] (x-5)^2+(y-4)^2=1^2[/b]

При x < 0
|x|=-x
Получаем окружность: (-x-5)^2+(y-4)^2=3^2 ⇒[b] (x+5)^2+(y-4)^2=3^2[/b]

см. рис.

Пусть А (x_(1);y_(1)) принадлежит первой окружности:
(x_(1)-5)^2+(y_(1)-4)^2=1^2

В (x_(2);y_(2)) принадлежит второй окружности:
[b] (x_(2)+5)^2+(y_(2)-4)^2=3^2

Составим уравнения прямой О_(1)А
[m]\frac{x-5}{x_{1}-5}=\frac{y-4}{y_{1}-4}[/m]

и прямой О_(2)В
[m]\frac{x+5}{x_{2}+5}=\frac{y-4}{y_{2}-4}[/m]

Прямые параллельны, значит их угловые коэффициенты равны.

[m]\frac{y_{2}-4}{x_{2}+5}=\frac{y_{1}-4}{x_{1}-5}[/m]

Получаем систему уравнений:

{(x_(1)-5)^2+(y_(1)-4)^2=1^2
{(x_(2)+5)^2+(y_(2)-4)^2=3^2
{[m]\frac{y_{2}-4}{x_{2}+5}=\frac{y_{1}-4}{x_{1}-5}[/m]

Находим координаты точек А и В
Составляем уравнение касательной АВ.
Касательная АВ расположена ближе всех к точке М

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3 sinx+5cosx=3

Так как sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
1=cos^2(x/2)+sin^2(x/2) ⇒ 3=3cos^2(x/2)+3sin^2(x/2)

Подставляем в данное равенство:

3 *2sin(x/2)*cos(x/2)+5*(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))=3cos^2(x/2)+3sin^2(x/2)

Получаем:
6sin(x/2)*cos(x/2)+2cos^2(x/2)-8sin^2(x/2)=0

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

Делим на cos^2x ≠ 0

8tg^2(x/2)-6tg(x/2)-2=0

4tg^2(x/2)-3tg(x/2)-1=0

D=9+16=25

tg(x/2)=-1/4 или tg(x/2)=2

если
π < x <2π ⇒ (π/2) < (x/2) < π ⇒ (х/2) во второй четверти , тангенс во второй четверти отрицтельный

О т в е т [b]-1/4[/b]

r_(cечения):R_(основания)=3:4 ⇒ r_(cечения)=(3/4)*(4/sqrt(π))=[b]3/sqrt(π)[/b]

S_(cечения)=πr^2=π*(9/π)=9

Что найти не написано...

Ответ выбран лучшим

y=2e^(2x)-12e^(x)+20

y`=(2e^(2x)-12e^(x)+20)`=2*(e^(2x))`-12*(e^(x))+(20)`=

=2*e^(2x)*(2x)`-12*e^(x)+0=

=4e^(2x)-12e^(x)

y`=0

4e^(2x)-12e^(x)=0

4e^(x)*(e^(x)-3) =0

e^(x) > 0 при любом х

e^(x)=3

x=ln3

1=lne < ln 3 < ln e^2=2

x=ln3 - [i] единственная[/i] критическая точка на [1; 2]

Применяем [i]достаточное условие[/i] экстремума:

находим [i]знаки производной [/i]на отрезке:

y`<0, если e^(x)-3< 0 ⇒ x < ln3
y`>0, если e^(x)-3> 0 ⇒ x > ln3

[1] __-__ ( ln 3 ) __+__ [2]

x=ln3 - точка минимума данной функции на отрезке, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +

( [b]не надо считать значения на концах отрезка[/b]: если точка экстремума одна на отрезке, то она либо точка максимума, либо точка минимума)

y_(наим)=y(ln3)=2e^(2*ln3)-12e^(ln3)+20

Применяем [i]основное логарифмическое тождество[/i]:

a^(log_(a)b)=b, b >0; a >0; a ≠ 1

e^(2*ln3)=e^(ln3^2)=3^2

e^(ln3)=3

y_(наим)=y(ln3)=2*3^2-12*3+20=18-36+20=-18+20=2

О т в е т.[b] y_(наим)=2[/b]

(прикреплено изображение)

В тетраэдре две пары равнобедренных треугольников
со сторонами [b]5;5;6 [/b] и [b] 6;6;5[/b]

Проводим медианы МК и КР в треугольниках BDC и ADC.

МК || BC; [b]MК[/b]=2,5
KP || AD; [b] KP[/b]=3

[b] ∠ MKP[/b] - угол между скрещивающимися ребрами ВС и AD
найдем из треугольника МКР

Для этого найдем третью сторону этого треугольника [b]МР.[/b]М

МР найдем из треугольника АМС.

Но сначала найдем медианы СМ и АМ в треугольниках СВD и АВD

CМ - медиана и высота равнобедренного треугольника АВD с основанием 6 и боковыми сторонами 5.

[b]СМ=4[/b]

Для нахождения АМ применяем метод [i]достраивания до параллелограмма
[/i] ( или метод удваивания медианы)

Тогда по свойству сторон и диагоналей параллелограмма:

[b]d^2_(1)+d^2_(2)=2(a^2+b^2)[/b]

[b](2AM)^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)[/b] ⇒ (2AM)^2+6^2=2(5^2+6^2)

АМ=[m]\frac{\sqrt{86}}{2}[/m]

Для нахождения MP применяем метод [i]достраивания до параллелограмма [/i] ( или метод удваивания медианы)

[b](2MP)^2+AC^2=2(AM^2+CМ^2)[/b] ⇒ (2MP)^2+6^2=2(([m]\frac{\sqrt{86}}{2}[/m])^2+4^2)

4MP^2=39
[b]MP[/b]=[m]\frac{\sqrt{39}}{2}[/m]

Из Δ МКР по теореме косинусов:

МР^2=MK^2+KP^2-2*MK*KP*cos ∠MKP

[m]\frac{39}{4}=(\frac{5}{2})^2+3^2-2\cdot \frac{5}{2}\cdot 3 \cdot cos \angle MKP[/m]

[b]cos ∠MKP[/b]= [m]\frac{11}{30}[/m]

О т в е т. [m]\frac{11}{30}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пирамида правильная ⇒ в основании [i]правильный [/i]четырехугольник

Правильный четырехугольник - это квадрат.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам

АС ⊥ BD

BO - проекция SB

[b]По теореме о трех перпендикулярах[/b]

если АС ⊥ BD ( проекции), то значит АС ⊥ SB ( наклонной)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Призма правильная, значит в основании правильный шестиугольник. См. рис.

Все боковые ребра перпендикулярны плоскости снования.

AA_(1) ⊥ пл АВС ⇒ АА_(1) перпендикулярна любой прямой, лежащей в пл АВС

АА_(1) ⊥ АВ
АА_(1) ⊥ АF

Аналогично AA_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ AB

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости:

a) АА_(1) ⊥ АВ и АА_(1) ⊥ АF ⇒ AA_(1) ⊥ пл АВС

б) BB_(1) ⊥ AB и BD ⊥ AB ( см. рис.) ⇒ AB ⊥ пл ВВ_(1)DD_(1)

в) АС ⊥ СС_(1) и АС ⊥ СD ( см. рис.) ⇒ AС ⊥ пл СС_(1)DD_(1)

г) BB_(1) ⊥ пл АВС ⇒ BB_(1) ⊥ АС и АС ⊥ ВЕ ( cм. рис) ⇒

АС ⊥ пл ВВ_(1)ЕЕ_(1) (прикреплено изображение)

a)
Пирамида [i]правильная[/i] в основании [i]равносторонний[/i] треугольник.
AB=BC=AC=6

SA=SB=SC=4sqrt(3)

O-центр вписанной и описанной окружностей.

АО=ВО=СО=asqrt(3)/3=6sqrt(3)/3=[b]2sqrt(3)[/b];

Δ SOB - прямоугольный: SO ⊥ пл АВС

SB=4sqrt(3)

BO=2sqrt(3) ⇒ ∠ BSO=30 ° ⇒ SO=6

Проведем KP || SO ; Р ∈ ВО, а значит [b] Р ∈ BN[/b]

Δ SOB и Δ KPB подобны.

KP ⊥ пл. АВС.

Плоскость α проходит через перпендикуляр к другой плоскости и потому перпендикулярна пл. АВС.

Из подобия треугольников Δ SOB и Δ KPB

SO:KP=SB:KB ⇒ 6:KP=7:3 ⇒ [b]KP[/b]=[m]\frac{18}{7}[/m]

SK=[m]\frac{3}{7}SB=\frac{3}{7}\cdot 4\sqrt{3}=\frac{12\sqrt{3}}{7}[/m]

[red]BР[/red]=[m]\frac{6\sqrt{3}}{7}[/m]- катет против угла в 30 °

Докажем, что точка пересечения точка Е - точка пересечения СМ и ВN
совпадает с точкой P ( cм. рис. 2)

[b]Е ∈ BN[/b]

В Δ АВС: СТ=BN=3sqrt(3) - высоты равностороннего треугольника.

АМ=5; ВМ=1 ⇒ АТ=3; TM=2;

По теореме Пифагора из прямоугольного Δ CTM:

CМ^2=CT^2+TM^2=(3sqrt(3))^2+2^2=27+4=31

ВN - медиана, высота и [i]биссектриса[/i] Δ АВС ⇒

BN делит сторону СМ в отношении

СE:EM=CB:BA=6:1

CE=[m]\frac{6\sqrt{31}}{7}[/m]; EM=[m]\frac{\sqrt{31}}{7}[/m];

По теореме косинусов из Δ ВЕМ:

ЕМ^2=ВЕ^2+BM^2-2BE*BM*cos30 ° ⇒

[m](\frac{\sqrt{31}}{7})^2=ВЕ^2+1-2\cdot BE \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} [/m];

[m]BE^2-\sqrt{3}\cdot BE+\frac{18}{49}=0[/m]

D=[m](\sqrt{3})^2-4\cdot \frac{18}{49}=\frac{75}{49}[/m]

ВЕ=[m]\frac{\sqrt{3}\pm\frac{5\sqrt{3}}{7}}{2}[/m]

[red]ВЕ[/red]=[m]\frac{6\sqrt{3}}{7}[/m] или ВЕ=[m]\frac{\sqrt{3}}{7}[/m]
( не удовл условию задачи, тогда СЕ ≠ =[m]\frac{6\sqrt{31}}{7}[/m]

Так как [b] Р ∈ BN[/b] и [b] Е ∈ BN[/b]
и
[red]ВЕ=BP[/red] , то P=Е

б)
S_( Δ КМС)=[m]\frac{1}{2}CM\cdot KP=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{31}\cdot \frac{18}{7}=[/m]

[m]=\frac{9}{7}\sqrt{31}[/m]

О т в е т. S_(сечения)=[m]=\frac{9}{7}\sqrt{31}[/m]

(прикреплено изображение)

Пирамида правильная:

В основании правильный шестиугольник:
AB=BC=CD=DE=DF=AD=7

Боковые ребра равны: SA=SB=SC=SD=SE=SF=10

ОС=ОD=7

Δ OTD ∼ Δ MTC
3 : 7=ТС: (7-ТС) ⇒ 7ТС=21-3ТС ⇒ [b]ТС=2,1[/b]

Покажем, что Т- проекция точки K

Рассмотрим Δ SOC и Δ KTC
∠ SСО - общий.

SO:KO= 10:3
OC:ТС=7:2,1=10:3 ⇒ Δ SOC подобен Δ KTC

∠ SOC=90 ° ⇒ ∠ KTC=90 °

б)
По теореме Пифагора

KT^2=KC^2-CТ^2=3^2-2,1^2=0,9*5,1

КT=3sqrt(51)/10

V_(пирамиды СDKM)=(1/3)*S_( Δ CDM)*H=

=(1/3)*(1/2)*CМ*МD*sin120 °*KT=(1/6)*3*7*(sqrt(3)/2)*(3sqrt(51)/10)=

=[b]63sqrt(17)/40[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
CC_(1) ⊥ AB ⇒ ∠ AC_(1)C=90 °

∠ AA_(1)C= ∠ AC_(1)C=90 ° как углы опирающиеся на одну и ту же дугу АС

AA_(1) ⊥ BC
Медиана AA_(1) одновременно и высота, значит Δ АВС - равнобедренный
АВ=АС

б) АВ=АС
[b]A_(1)C_(1)=2[/b]

[m]\angle C_{1}AA_{1}=\angle A_{1}CC_{1}[/m] как углы,

опирающиеся на одну и ту же дугу A_(1)C_(1)

Δ АА_(1)В= Δ АА_(1)С ⇒ ∠ АА_(1)В= ∠ АА_(1)С ⇒ ∪ А_(1)С= ∪ А_(1)С_(1)=2

A_(1)C=2

BC=4

Пусть АА_(1)=3х; СС_(1)=2х

Из Δ ВС_(1)С:

[m] sin \angle B=\frac{CC_{1}}{BC}=\frac{x}{2}[/m]

[m] sin \angle C= sin \angle B=\frac{x}{2}[/m]

Из Δ AС_(1)С:

[m] sin \angle C=\frac{CC_{1}}{AC}=\frac{3x}{AC}[/m] ⇒

[m]\frac{x}{2}=\frac{3x}{AC}[/m] ⇒ АС=6; BC=6

Из Δ АА_(1)С:

[m]AA_(1)=\sqrt{AC^2-CA^2_{1}}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}[/m]

S_( Δ ABC)=[m]\frac{1}{2}BC\cdot AA_{1}=2\cdot 4\sqrt{2}=8\sqrt{2}[/m]

О т в е т. [m]8\sqrt{2}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) Δ АВС= ΔNCM по двум катетам ( cм. рис. 1)

Тогда в этих треугольниках равны соответствующие острые углы
( обозначим их α и β ) и высоты: [b]CH=CF[/b] ( см. рис.2)

∠ FCH= α + β =90 ° ( сумма острых углов прямоугольного треугольника АВС равна 90 ° :α + β=90 ° )

б)
ВС=4
АС=8

ΔBCM - прямоугольный равнобедренный BС=СM=4 ⇒ [b]BM=4sqrt(2)[/b]

ΔBLN - прямоугольный равнобедренный АС=СN=8 ⇒ [b]BL[/b]=LN=12*(sqrt(2)/2)=[b]6sqrt(2)[/b]

LM= BL-BM=6sqrt(2)-4sqrt(2)=2sqrt(2)

О т в е т. [b]LM=2sqrt(2)
[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cумма кредита S=400 тыс руб.

Каждый январь начисляются [i]проценты на остаток.[/i]
r%= 0,01*r

Обозначим
[b]1+0,01*r= k[/b]

( cм схему начисления и остатки к таблице)

Уравнение
k*(kS-A)-B=0

S=400
A=330
B=121

400k^2-330k-121=0

D=330^2-4*400*121=302500=550^2

k=1,1 второй корень отрицательный

1+0,01*r=1,1 ⇒ 0,01*r=0,1

[b]r=10%[/b]

О т в е т. [b]10%[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cумма кредита S=220 тыс руб.

Каждый январь начисляются проценты на остаток.
r%= 0,01*r

Обозначим
[b]1+0,01*r= k[/b]

( cм схему начисления и остатки к таблице)

Уравнение 1:
k*(kS-A)-A=0

Уравнение 2:
3*(kS-S)+2A=420
S=220

Решаем систему уравнений:

[m]\left\{\begin{matrix} k(220k-A)-A=0\\ 3(220k-220)+2A=420 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} 220k^2=A(k+1)\\ 660k-660+2A=420 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} A=\frac{220k^2}{k+1}\\ 660k+2\frac{220k^2}{k+1} =1080 \end{matrix}\right.[/m] [m]\left\{\begin{matrix} A=\frac{220k^2}{k+1}\\ 66k(k+1)+44k^2 =108(k+1)\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} A=\frac{220k^2}{k+1}\\ 55k^2-21k-54=0\end{matrix}\right.[/m] D=21^2-4*55*(-54)=441+11880=12321=[b]111^2[/b]

k=1,2 второй корень отрицательный

1+0,01r=k ⇒ 1+0,01r=1,2 ⇒ 0,01*r=0,2 ⇒ r=20%

О т в е т.[b] 20%[/b]

___ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Eсли xy >0 ⇒ |xy|= xy

Уравнение принимает вид:
|1-x-y-xy|+|2x^2y^2-2x^2y-2xY^2+2xy-9|=-2 что невозможно, так как

|z| ≥ 0

Eсли xy <0 ⇒ |xy|=- xy

Уравнение принимает вид:
|1-x-y-xy|+|2x^2y^2-2x^2y-2xy^2+2xy-9|=0 ⇒

{1-x-y-xy=0 ⇒ [m] y=\frac{1-x}{1+x}[/m] [red]x ≠ -1[/red]
{2x^2y^2-2x^2y-2xy^2+2xy-9=0

Решаем систему двух уравнений с двумя переменными и учитываем условие:xy <0

2x^2 * ([m] \frac{1-x}{1+x}[/m] )^2-2x^2*([m] \frac{1-x}{1+x}[/m]) -2x* ([m] \frac{1-x}{1+x}[/m] )^2+2x* ([m] \frac{1-x}{1+x}[/m]) -9=0

2x^2(1-x)^2-2x^2(1-x)(1+x)-2x*(1-x)^2+2x*(1-x)(1+x)-9(1+x)^2=0 ([red]x ≠ -1[/red])

4x^4-8x^3-5x^2-18x-9=0

x=3 - корень этого уравнения

Поэтому раскладываем на множители:

(x-3)*(4x^3+4x^2+7x+3)=0

x=-1/2 - корень уравнения 4x^3+4x^2+7x+3=0

поэтому раскладываем на множители:

(x-3)(2x+1)(2x^2+x+3)=0

x_(1)=3; x_(2)=-1/2; 2x^2+x+3=0 не имеет корней D <0
y_(1)=(1-3)/(1+3)=-1/2; y_(2)=(1-(-1/2))/(1+(-1/2)=- 3

x_(1)*y_(1) <0 и x_(2)*y_(2) <0

О т в е т. [b](3; (-1/2)); (-1/2; 3)[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x+2 > 0 ⇒ x > -2

Делим обе части уравнения на
[m] -log_{7} 2=log_{7}2^{-1}=log_{7}\frac{1}{2}[/m]

и применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:

[m]\frac{log_{\frac{1}{2}}(x+2)\cdot log_{7}(x+2)}{log_{7}\frac{1}{2}}=1[/m]

[m]log_{\frac{1}{2}}(x+2)\cdot log_{\frac{1}{2}}(x+2)=1[/m]

[m]log^2_{\frac{1}{2}}(x+2)=1[/m] ⇒

[m]log_{\frac{1}{2}}(x+2)=-1[/m] или [m]log_{\frac{1}{2}}(x+2)=1[/m]

По определению:

[m] x+2=(\frac{1}{2})^{-1}[/m] или [m] x+2=(\frac{1}{2})^{1}[/m]

[m] x+2=2[/m] или [m] x+2=\frac{1}{2}[/m]

[m] x=0[/m] или [m] x=-2+\frac{1}{2}=-1,5[/m]

Оба корня входя в ОДЗ

О т в е т. [b]-1,5; 0[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=sinx имеет период 2π

y=sin(kx) имеет период 2π/k

y=sin(2/6)x) имеет период 2π/(2/6)[b]=6π[/b]

Первый угол x , второй 2х , третий (2х - 30°) .

Cумма углов треугольника равна 180 °

х +2х +2х -30 ° =180 °
5х=210 °
х=42°

2х=84 °
2х-30 ° =84 ° -30 ° =54 °

[b]О т в е т.42 °; 84 ° ; 54 ° [/b]

Такого треугольника не существует.
Не выполняется неравенство треугольника
6 < 3+3 - неверно.

S=0 (прикреплено изображение)

Наибольшее двузначное 98
98:9=10( ост 8)

98+9=107 - наименьшее трехзначное.
107:9=11 (ост. 8)

О т в е т.[b] 107[/b]

Расстояние - это длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой.

См. решение аналогичных задач:

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=627

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=16047

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=1260

--------------------
(прикреплено изображение)

Наибольшее x равно 10; наибольшее y равно 8
Наименьшее х=(-7); наименьшее y равно (-11)
Наибольшее произведение xy равно 10*8 =80 или (-7)*(-11)=77
⇒[b] Наибольшее произведение xy равно 80[/b]

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:
Наибольшее x равно 10; наименьшее y равно (-11)
Наименьшее х=(-7);наибольшее y равно 8
наименьшее произведение ху выбираем среди
10*(-11)=-110 и 8*(-7)=-56

[b] Наименьшее произведение xy равно -110[/b]

О т в е т.[b]xy ∈ (-110;80)[/b]

Раскрываем знак модуля:

[b]если x ≥ 0[/b], то |x|=x
уравнение:
х-5х=20
-4х=20
х=-5 не удовлетворяет условию [b]x ≥ 0[/b]

[b]если x < 0[/b], то |x|=-x
уравнение:
х-5*(-х)=20
6х=20
х=20/6 не удовлетворяет условию [b]x < 0[/b]

О т в е т. Уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{8}{x}\leq 2[/m]

[m]\frac{8}{x}-2\leq 0[/m]

[m]\frac{8-2x}{x}\leq 0[/m]

Дробь ≤ 0 когда числитель и знаменатель имеют разные знаки:
[m]\left\{\begin{matrix} 8-2x\geq 0\\ x <0 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix} 8-2x\leq 0\\ x >0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} -2x\geq -8\\ x <0 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix} -2x\leq -8\\ x >0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x\leq 4\\ x <0 \end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix} x\geq 4\\ x >0 \end{matrix}\right.[/m]

x < 0 или x ≥ 4

[b]О т в е т. (- ∞ ;0) U [4;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (q^{n}-1)}{q-1}[/m] - формула суммы n- первых членов возрастающей геометрической прогрессии ( q >1)

[m]b_{1}=4[/m]
[m]b_{2}=16[/m]

[m]q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{16}{4}=4[/m]

[m]S_{8}=\frac{b_{1}\cdot (q^{8}-1)}{q-1}=\frac{4\cdot (4^{8}-1)}{4-1}=\frac{4\cdot (65536-1)}{3}=87380[/m]

[m]b_{3}+b_{4}+b_{5}+b_{6}+b_{7}+b_{8}=S_{8}-b_{1}-b_{2}=87380-4-16=87360[/m]

Ответ выбран лучшим

Две точки пересечения, значит два решения

Парабола y=x^2 строится по известным точкам: (-3;9);(-2;4);(-1;1);(0;0);(1;1);(2;4);(3;9) Парабола y=-x^2 по точкам: (-3;-9);(-2;-4);(-1;-1);(0;0);(1;-1);(2;-4);(3;-9) У параболы y=-x^2 все ординаты на +8 единиц больше: (-3;-9+8);(-2;-4+8);(-1;-1+8);(0;0+0);(1;-1+8);(2;-4+8);(3;-9+8), т.е(-3;-1);(-2;4);(-1;7);(0;8);(1;7);(2;4);(3;-1). А еще лучше, считая точку (0;8) за вершину параболы просто откладываем точки: влево и вправо на 1 клеточку, вниз на 1 ( т.е получим точки (-1;7) и (1;7)) влево и вправо на 2 клеточки вниз на 4 ( т. е получим точки (-2;4) и (2;4)) влево и вправо на 3 клеточки, вниз на 9 ( т.е получим точки (-3;-1) и (3;-1) ) ( см. рис.2) (прикреплено изображение)

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} x+6 >0\\ -x-4 >0 \end{matrix}\right.[/m]
[red]x ∈ (-6;-4)[/red]

[m]\frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}\leq 1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}[/m]

Перепишем неравенство в виде:

[m] 1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq\frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}[/m]

Получили неравенство вида: f(x) ≥ g(x)

Так как
[m]1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq 0[/m] при [red]x ∈ (-6;-4)[/red]

то рассматриваем два случая:

1)
Если [m] \frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}} ≤ 0[/m],

то неравенство верно при любых [red]x ∈ (-6;-4)[/red]

[m] \frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}} ≤ 0[/m] ⇒ [m]\sqrt{x+6} ≤ \sqrt{-x-4}[/m]

⇒ x+6 ≤ -x-4 ⇒ 2x ≤ -10; x ≤ -5

Ответ первого случая [b](-6;-5][/b]

2)

Если [m] \frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}} > 0[/m], т.е [blue] x >-5[/blue]

Левая и правая части неотрицательны, [i]возводим[/i] неравенство [i]в квадрат[/i]:

[m] (1+\frac{1}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}})^2\geq(\frac{1}{\sqrt{-x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}})^2[/m]

[m] 1+\frac{2}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}+ \frac{1}{(x+6)(-x-4)}\geq \frac{1}{-x-4}-\frac{2}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}+\frac{1}{x+6}[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq (\frac{1}{x+6}-1) -\frac{1}{-x-4}\cdot (\frac{1}{x+6}-1)[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq (\frac{1}{x+6}-1)\cdot (1 -\frac{1}{-x-4})[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq \frac{1-x-6}{x+6}\cdot (\frac{-x-4-1}{-x-4})[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{(x+6)(-x-4)}}\geq \frac{(-x-5)^2}{(x+6)(-x-4)}[/m]

Возводим в квадрат:

[m]\frac{16}{(x+6)(-x-4)}\geq \frac{(-x-5)^4}{(x+6)^2(-x-4)^2}[/m]

[m](-x-5)^{4}\leq16(x+6)(-x-4)[/m]

[i]Замена переменной:[/i]

-x-5=t ⇒ x=-t-5

x+6=-t-5+6=-t+1
-x-4=-(-t-5)-4=t+1

[m]t^{4}\leq16(-t+1)(t+1)[/m]

[m]t^{4}+16t^2-16\leq0[/m]

D=256+64=320=(64*5)

[m]t_{1}^2=\frac{-16+8\sqrt{5}}{2}=-8+4\sqrt{5} >0 [/m]

[m]t_{2}^2=\frac{-16-8\sqrt{3}}{2}=-8-4\sqrt{5} <0 [/m]

⇒ [m] (t^2-(-8+4\sqrt{5}))\cdot (t^2-(-8-4\sqrt{5})\leq0[/m]

так как [m]t^2-(-8-4\sqrt{5} \geq0[/m], то

[m]t^2\leq 4\sqrt{3}-8[/m] ⇒ [m] - \sqrt{4\sqrt{5}-8}\leq t \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}[/m] ⇒

[m] - \sqrt{4\sqrt{5}-8}\leq -x-5 \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}[/m] ⇒

[m] - \sqrt{4\sqrt{5}-8}+5 \leq -x \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}+5[/m] ⇒

[m] -\sqrt{4\sqrt{5}-8}-5 \leq x \leq \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5[/m]

C учетом условия второго случая x > -5

получаем: [m](-5; \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5][/m]

О т в е т.[m] (-6;-5][/m] U [m](-5; \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5] =(-6; \sqrt{4\sqrt{5}-8}-5][/m]

(прикреплено изображение)

Основное логарифмическое тождество:
[m]a^{log_{a}b}=b, a>0; b>0 a ≠ 1[/m]

[m]9^{log_{3}(x-4)}=(3^{2})^{log_{3}(x-4)}=3^{2\cdot log_{3}(x-4}=3^{log_{3}(x-4)^2}=(x-4)^2[/m]
при x-4 >0 ⇒ [red]x>4[/red]

Неравенство принимает вид:
(x-4)^2 ≤ 25 ⇒ |x-4| ≤ 5 ⇒ -5 ≤ x-4 ≤ 5 ⇒

-5+4 ≤ x ≤ 5+4

-1 ≤ x ≤ 9 с учетом [red]x>4[/red]

О т в е т. 4 [b]< x ≤ 9[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
(x^2-7x+12)^2 ≥ 0
(log_(4)x-1)^2 ≥ 0

Сумма двух неотрицательных чисел равна 0 тогда и только тогда, когда каждое из них равно 0.

Система уравнений:
[m]\left\{\begin{matrix} x^2-7x+12 = 0\\ log_{4}x-1= 0 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} D=7^2-4\cdot 12=1; x_{1}=3;x_{2}=4\\ log_{4}x= 1\Rightarrow x=4 \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т.[b] x=4[/b]

2. Во втором опечатка: не хватает последнего слагаемого

[m]\frac{5x-2}{x-1}-x-x^2-x^3--{?}=4[/m]

3.
P(x)=3x+4
P(2x-3)=3*(2x-3)+4=6x-9+4=6x-5
P(x-1)=3(x-1)+4
P(x-1)-3,5=3(x-1)+4-3,5=3x-3+4-3,5=3x-2,5

[m]log_{4}\frac{P(2x-3)}{P(x-1)-3,5}=log_{4}\frac{6x-5}{3x-2,5}=log_{4}2=\frac{1}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Основанием призмы ABCKLN является равнобедренный треугольник.
угол ACB=120°, AC=CB= 16 см.

По теореме косинусов:
АВ^2=AC^2+BC^2-2AC*BC*cos120 ° =16^2+16^2-2*16*16*(-1/2)=16^2*3

AB=4sqrt(3)

S_( Δ ABC)=(1/2)AC*BC*sin120 ° =(1/2)*16*16*(sqrt(3))/2=[b]64sqrt(3) cм^2[/b]

Призма[b] прямая[/b], значит боковые ребра АК, BL и СM перпендикулярны плоскости АВС.
Грань АКLB - прямоугольник.

По условию "Площадь грани AKLB равна 263√[red]3 [/red]см^2" и АВ=ВС=16 см

S_(AKLB)=AB*AK ⇒ АК= [m]\frac{S_{AKBL}}{AB}=\frac{263\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{263}{4}[/m]

Н_(призмы)=АК=[m]\frac{263}{4}[/m]
(прикреплено изображение)

[m]\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}\cdot (sinx+1)}=-cosx[/m]

ОДЗ: - сosx ≥ 0 ⇒ cosx ≤ 0 ⇒ x во 2 или 3 четв.

Возводим в квадрат:

[m]\frac{2-\sqrt{2}}{2}\cdot (sinx+1)=cos^2x[/m]

Так как cos^2x=1-sin^2x=(1-sinx)*(1+sinx)

[m]\frac{2-\sqrt{2}}{2}\cdot (sinx+1)=(1-sinx)\cdot (1+sinx)[/m]

[m]\frac{2-\sqrt{2}}{2}\cdot (sinx+1)-(1-sinx)\cdot (1+sinx)=0[/m]

[m](sinx+1)\cdot (\frac{2-\sqrt{2}}{2}-1+sinx)=0[/m]

[m]sinx+1=0[/m] или [m]\frac{2-\sqrt{2}}{2}-1+sinx=0[/m]

[m]sinx=-1[/m] или [m]sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m] x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z[/m] или [m]x=\frac{\pi}{4}+2 \pi k, k \in Z[/m]

или [m]x=\frac{3\pi}{4}+2 \pi m, m \in Z[/m]

[m]x=\frac{\pi}{4}+2 \pi k, k \in Z[/m] в первой четверти, не удовл ОДЗ

( см. рис.1)

О т в е т [m] x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z[/m] ; [m]x=\frac{3\pi}{4}+2 \pi m, m \in Z[/m]

б) Отрезку [[m]-\frac{11\pi}{2}; -4 \pi[/m]]
принадлежат корни: ( см. рис.2)
при n=-5
[m] x=-\frac{11\pi}{2}[/m]

при m=-4
[m]x=\frac{3\pi}{4}-6 \pi = -\frac{21\pi}{4}[/m]

[m]-\frac{11\pi}{2} < -\frac{21\pi}{4}< -4\pi=-\frac{16\pi}{4}[/m] - верно
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Так как
(x^2+x+1+(2a^2))^2=(x^2+x+1)^2+2*(2a^2)*(x^2+x+1)+(2a^2)^2=

=(x^2+x+1)^2+4a^2*(x^2+x+1)+4a^4

Уравнение принимает вид:

(x^2+x+1)^2+4a^2*(x^2+x+1)+4a^4=8a^2(x^2+x+1);

(x^2+x+1)^2+4a^2*(x^2+x+1)+4a^4-8a^2(x^2+x+1)=0;

(x^2+x+1)^2-4a^2*(x^2+x+1)+4a^4=0;

(x^2+x+1-(2a^2))^2=0 ⇒

x^2+x+1-2a^2=0

D=1^2-4(1-2a^2)=1-4+8a^2=8a^2-3

Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен 0

8a^2-3=0 ⇒ a^2=3/8 ⇒ a= ± sqrt(8/3)

a= ± 2sqrt(2/3)

О т в е т. При a= ± 2sqrt(2/3)

Ответ выбран лучшим

По свойствам правильного шестиугольника ( см. рис. 1) cторона которого равна а

BF ⊥ AD
BF=sqrt(3)*a

По условию [b]а=1[/b]

BF=sqrt(3)
BM=MF=sqrt(3)/2

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра проведенного из точки на прямую ( см. рис. 2)

Так как BM- проекция ВМ_(1) на прямую BF и ВМ ⊥ AD, тогда по теореме о трех перпендикулярах ВМ_(1) ⊥ AD
ВМ_(1) - есть расстояние от точки В до прямой A_(1)D_(1)

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
ВМ^2_(1)=BM^2+MM^2_(1)=(sqrt(3)/2)^2+1=(3/4)+1=7/4
BM=sqrt(7)/2

О т в е т. [b]sqrt(7)/2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(a −1)*4^(x) +(2a −3)*6^(x) =(3a − 4)*9^(x)

Делим уравнение на 4^(x)

[m](3a-4)\cdot (\frac{9}{4})^{x}-(2a-3)\cdot (\frac{3}{2})^{x}-(a-1)=0 [/m]

Замена переменной:
[m](\frac{3}{2})^{x}=t[/m]; [m] t > 0[/m]; [m](\frac{9}{4})^{x}=t^2[/m];

[m](3a-4)\cdot t^2-(2a-3)\cdot t-(a-1)=0 [/m]

1)
Если (3a-4)=0 ⇒ a=[m]\frac{4}{3}[/m], получим уравнение:

[m]-(2\cdot \frac{4}{3} -3)\cdot t-(\frac{4}{3}-1)=0 [/m]

[m]-( \frac{8}{3} - \frac{9}{3})\cdot t-(\frac{4}{3}-1)=0 [/m]

[m]\frac{1}{3}t=\frac{1}{3}[/m] ⇒ [m]t=1[/m] удовл. условию: [m] t > 0[/m]

При a=[m]\frac{4}{3}[/m] уравнение имеет [b]единственное решение:[/b]

[m](\frac{3}{2})^{x}=1[/m] ⇒ [b]x=0[/b]

2)
Квадратное уравнение

[m](3a-4)\cdot t^2-(2a-3)\cdot t-(a-1)=0 [/m]

имеет [b] единственный корень [/b] [m]t=\frac{2a-3}{2\cdot (3a-4)}[/m]

в случае, если дискриминант равен 0

D=(2a-3)^2+4(3a-4)(a-1)=4a^2-12a+9+12a^2-28a+16=16a^2-40a+25=(4a-5)^2

D=0 при 4a-5=0

При a=[m]\frac{5}{4}[/m] единственный корень уравнения:

[m]t=\frac{2a-3}{2\cdot (3a-4)}=\frac{2\cdot\frac{5}{4} -3}{2\cdot (3\cdot \frac{5}{4} -4)}=2[/m] - удовл условию : [m] t > 0[/m]

[m](\frac{3}{2})^{x}=2[/m] ⇒ [m]x=log_{\frac{3}{2}}2[/m]- [b]единственный корень[/b]

3)
Так как D > 0 при всех а ≠ [m]\frac{5}{4}[/m]

Квадратное уравнение

[m](3a-4)\cdot t^2-(2a-3)\cdot t-(a-1)=0 [/m]

имеет два корня:

[m]t_{1}=\frac{(2a-3)-(4a-5)}{2\cdot (3a-4)}[/m]; [m]t_{2}=\frac{(2a-3)+(4a-5)}{2\cdot (3a-4)}[/m]

[m]t_{1}=\frac{1-a}{3a-4}[/m]; [m]t_{2}=1 [/m]

Требование задачи будет выполнено, если [m]t_{1}\leq 0[/m];

решаем неравенство:

[m]\frac{1-a}{3a-4} \leq 0[/m] ⇒ [m]\frac{a-1}{3a-4} \geq 0[/m]

a ∈ (- ∞ ;1] U ([m]\frac{4}{3}[/m];+ ∞ )

Объединяем ответы трех случаев:

О т в е т. a ∈ (- ∞ ;1[b]][/b] U{[m]\frac{5}{4}[/m] }U [b][[/b][m]\frac{4}{3}[/m];+ ∞ )

Точка K делит ребро A1B1 так, что B1K:KA1=1:3.
A_(1)B_(1)=8
Значит
A_(1)K=6; K_(1)B=2

BM ⊥ AC
BM=8sqrt(3)/2=4sqrt(3) - высота равностороннего треугольника со стороной 8
KT|| AA_(1) ||BB_(1)

Проводим ТP||BM

ТР ⊥ АС ⇒ KP ⊥ AC [i]по теореме о трех перпендикулярах[/i]

Из подобия Δ АТР и Δ АВМ

ВМ:АВ=ТР:АТ
AT=A_(1)K=6
ВМ:8=ТР:6
[b]TP[/b]=(3/4)BM=[b]3sqrt(3)[/b]

По теореме Пифагора из Δ КРТ
KP^2=КТ^2+TP^2=(2sqrt(3))^2+(3sqrt(3))^2=12+27=39

[b]KP[/b]=[b]sqrt(39)[/b]

TF|| A_(1)C_(1)
Δ KB_(1)F - равностороний
KF=KB_(1)=[blue]2[/blue]

S_( сеч AKFC)=(1/2)*(AC+KF)*KP=(1/2)*(8+[blue]2[/blue])*sqrt(39)=[b]5sqrt(39)[/b] (прикреплено изображение)

Чтобы ответить на вопрос при каких значениях

[m]y=|\frac{2x+3}{x-2}|-2[/m] расположен выше оси Ох, надо решить

неравенство

[m]|\frac{2x+3}{x-2}|-2>0[/m] или [m]|\frac{2x+3}{x-2}|>2[/m], которое

равносильно совокупности неравенств ( см приложение):

[m]\frac{2x+3}{x-2}< -2 [/m] или [m]\frac{2x+3}{x-2}>2[/m]

[m]\frac{2x+3}{x-2}+2< 0 [/m] или [m]\frac{2x+3}{x-2}-2>0[/m]

[m]\frac{2x+3+2x-4}{x-2}< 0 [/m] или [m]\frac{2x+3-2x+4}{x-2}>0[/m]

[m]\frac{4x-1}{x-2}< 0 [/m] или [m]\frac{7}{x-2}>0[/m] ⇒ x-2 >0; x>2

Решаем первое методом интервалов:

_+__ ([m]\frac{1}{4}[/m]) __-__ (2) _+__

О т в е т. ([m]\frac{1}{4}[/m];2)U(2;+ ∞ )

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{[m]\frac{16}{x}>0[/m] ⇒ x >0
{[m]\frac{8}{x^2}>0[/m] ⇒ x ≠ 0

ОДЗ: [red]х>0[/red]

[i]По свойству логарифма частного и логарифма степени[/i]:

[m]log_{2}\frac{8}{x^2}=log_{2}8-log_{2}x^2=3-2log_{2}|x|=[/m]

(так как согласно ОДЗ: [red]х>0[/red][m])=3-2log_{2}x[/m]

[m]log_{2}\frac{16}{x}=log_{2}16-log_{2}x=4-log_{2}x[/m]
тогда

[m]log^2_{2}\frac{16}{x}=(4-log_{2}x)^2=16-8log_{2}x+log^2_{2}x[/m]

Уравнение принимает вид:

[m]16-8log_{2}x+log^2_{2}x=5+3-2log_{2}x[/m]

[m]log^2_{2}x-6log_{2}x+8=0[/m]

Квадратное уравнение:
D=36-32=4

[m]log_{2}x=2[/m] или [m]log_{2}x=4[/m]

[m]x=2^2[/m] или [m]x=2^4[/m]

[m]x=4[/m] или [m]x=16[/m] оба корня удовл ОДЗ

О т в е т. 4; 16

Решаем систему способом подстановки:

Из второго y=a+x

и подставляем в первое:

(a+x)^2+ax^2-a^2=4 ⇒

a^2+2ax+x^2+ax^2-a^2=4

(a+1)x^2+2ax-4=0 - квадратное уравнение.

Оно имеет один, два или ни одного корня в зависимости от D

Находим D

D=(2a)^2-4*(a+1)*(-4)=4a^2+16a+16=4(a^2+4a+4)=4*(a+2)^2

D=0 при a=-2 ⇒ уравнение имеет один корень, а система одно решение
D>0 при a ≠ -2 ⇒ уравнение имеет два кореня, а система два решения

BC|| АО ⇒ угол между прямыми SA и BC равен углу между

прямыми SA и AO ⇒ ∠ SAO=π/3

Пирамида правильная ⇒
∠ SAO= ∠ SBO= ∠ SCO= ∠ SDO= ∠ SFO= ∠ SEO=π/3 ⇒

Δ SAD и Δ SFC и Δ SBE - равносторонние.

⇒ SA=SB=SB=SC=SD=SF=SE=2AD=2AB=[b]2a[/b], [b]а[/b]- сторона основания шестиугольника

a)
пл. SCD и пл. SEF пересекаются по прямой SK
K- точка пересечения прямых CD и EF ( см. рис.2)

Δ ЕКD - равносторонний.

[b]FК= 2а
СК=2a[/b]

Чтобы найти угол между плоскостями, проводим перпендикуляры
к линии их пересечения.

CM ⊥ SK
FM ⊥ SK

∠ СМF- искомый.

Рассматриваем Δ SFK (рис.3):
SF=SE=[b]2a[/b]
FE=EK=[b]a[/b]

Находим SK из Δ SFK методом удвоения медианы SE
Продолжим медиану SE за точку E на длину [b]2a[/b]

Получим параллелограмм FSKP (рис.4)

По формуле, связывающей стороны и диагонали параллелограмма:
2*(a^2+b^2)=d^2_(1)+d^2_(2)

получим равенство:
2*((2а)^2+SK^2)=(4a)^2+(2a)^2 ⇒ 2SK^2=12a^2 ⇒ SK^2=6a^2

SK=[b]a sqrt(6)[/b]

Из Δ SEF:
SF=2a; SE=2a; EF=a

cos ∠ F=cos ∠ E=[m]\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}[/m]

sin ∠ F=sin ∠ E=sqrt{1-(1/4)^2)=sqrt(15)/4

Тогда h_(FE)=SF*sin ∠ F=2a*(sqrt(15)/4)=[b](a/2)*sqrt(15)[/b]

В Δ SFK

h_(FK)=h_(FE)=[b](a/2)*sqrt(15)[/b]

S_( ΔSFK)=(1/2) FK*h_(FK)

S_( ΔSFK)=(1/2) SK*FM ⇒ SK*FM=FK*h_(FK) ⇒ asqrt(6)*FM==2a*[b](a/2)*sqrt(15)[/b]

FM=2a*[b](a/2)*sqrt(15)[/b]/a sqrt(6)=[b]a*sqrt(5/2)[/b]

Аналогично,
CM=[b]a*sqrt(5/2)[/b]

Из Δ FMC по теореме косинусов:

FC^2=FM^2+CM^2-2FM*CM*cos∠ СМF ⇒

cos∠ СМF=[m]\frac{\frac{5a^2}{2}+\frac{5a^2}{2}-4a^2}{2\cdot a \sqrt{\frac{5}{2}}\cdot a\sqrt{\frac{5}{2}}}=[/m]

[m]=\frac{1}{5}[/m] ⇒

∠ СМF=[m]arccos\frac{1}{5}[/m]
(прикреплено изображение)

|z|=sqrt((-2)^2+1^2)=sqrt(5)

cos φ =x/|z|=-2/sqrt(5) ⇒ cos φ <0

sin φ =1/sqrt(5) ⇒ sin φ >0

значит φ - угол во второй четверти

φ =arccos(-2/sqrt(5))=[b]π-arccos(2/sqrt(5))

arccos(2/sqrt(5)) ≈ 0,464

φ ≈ 3,14-0,464 ≈ 2,7 (радиан) -главное значение аргумента комплексного числа

Ответ выбран лучшим

По свойствам степени:
9^(x)=(3^2)^(x)=(3^(x))^2
3^(x+1)=3^(x)*3^(1)=3*3^(x)

[i]Замена переменной:[/i]
3^(x)=t
Так как [i]показательная функция неотрицательна[/i] при любом х
⇒ [b]t>0 [/b]
9^(x)=t^2

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{t^2-t-2}{t^2-t}+\frac{5t-19}{t-4}\leq \frac{6t-2}{t}[/m]

[m]\frac{t^2-t-2}{t(t-1)}-\frac{6t-2}{t}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю первые две дроби:

[m]\frac{t^2-t-2-(6t-2)(t-1)}{t(t-1)}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

[m]\frac{t^2-t-2-6t^2+2t+6t-2}{t(t-1)}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

[m]\frac{-5t^2+7t}{t(t-1)}+\frac{5t-19}{t-4}\leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{(-5t^2+7t)(t-4)+(5t-19)(t^2-t)}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

[m]\frac{-5t^3+7t^2+20t^2-28t+5t^3-19t^2-5t^2+19t}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

[m]\frac{3t^2-9t}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

[m]\frac{3t(t-3)}{t(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

так как t > 0 ⇒ t ≠ 0

[m]\frac{t-3}{(t-1)(t-4)}\leq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

[i]нули числителя [/i]: t=3

отмечаем на числовой прямой закрашенным кружком ( квадратные скобки на рисунке)

[i]нули знаменателя [/i]: t=1; t=4

отмечаем на числовой прямой пустым кружком (круглые скобки на рисунке):

(0) __-__ (1) _____+____________ [3] __-__ (4) __+____

⇒ 0< t < 1 или 3 ≤ t <4

Обратная замена:

0< 3^(x) < 1 или 3 ≤ 3^(x) <4

Показательная функция с основанием 3 (3>1) возрастает, [i]большему[/i] значению функции соответствует [i]большее[/i] значение аргумента.

Знаки неравенства сохраняются:
[m]\left\{\begin{matrix} 3^{x}<1\Rightarrow 3^{x}<3^{0}\Rightarrow x <0\\ 3^{x}>0\Rightarrow x\in (-\infty ;\infty) \end{matrix}\right.[/m] или[m]1\leq x < log_{3}4[/m]

О т в е т. (- ∞ ;0) U[1;log_(3)4)

ОДЗ:
{x^2+0,5x ≥ 0 ⇒ x(x+0,5) ≥ 0 ⇒ x ≤ -0,5 или х ≥ 0
{x ≠ 0
{x^2-2x+1 ≥ 0 ⇒ x- любое, т. к (х-1)^2 ≥ 0

ОДЗ: x ∈ (- ∞ ;-0,5]U(0;+ ∞ )

Так как \sqrt(x^2)=|x|, то \sqrt(x^2-2х+1)=|x-1|

и неравенство принимает вид:

[m]\frac{\sqrt{x^2+0,5x}}{x}+\frac{|x-1|}{x}+2\leq 0[/m]

Если [b]х ≥ 1[/b], то |x-1|=x-1

[m]\frac{\sqrt{x^2+0,5x}}{x}+\frac{x-1}{x}+2\leq 0[/m]

или

[m]\sqrt{x^2+0,5x}+x-1+2x\leq 0[/m]

[m]\sqrt{x^2+0,5x}\leq 1-3x[/m]

Если
1-3x < 0 неравенство не имеет решений ( слева неотрицательное выражение и оно не может быть меньше отрицательного)

Если
1-3x ≥ 0 ⇒ [m] x\leq \frac{1}{3}[/m] что противоречит [b]случаю х ≥ 1[/b]

Если [b]х < 1[/b] , то |x-1|=-x+1

[m]\frac{\sqrt{x^2+0,5x}}{x}+\frac{1}{x}+1\leq 0[/m]

[m]\frac{\sqrt{x^2+0,5x}}{x}\leq-\frac{1+x}{x}[/m]

C учетом ОДЗ условие x < 1 распадается на два:

[b]Если x ∈ (0;1),[/b] то

[m]\sqrt{x^2+0,5x}\leq-(1+x)[/m] неравенство не имеет решений ( слева неотрицательное выражение и оно не может быть меньше отрицательного)

[b]Если x ∈ (- ∞ ;-0,5],[/b] то

[m]\sqrt{x^2+0,5x}\geq-(1+x)[/m]

Если (1+x) >0 ⇒ x > -1 неравенство [b]верно при всех x ∈ (-1;-0,5][/b]

Если (1+x) ≤ 0 ⇒ возводим в квадрат

[m]\left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ x^2+0,5x\geq(-(1+x))^2 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ -1,5x\geq1 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ x\leq-\frac{2}{3} \end{matrix}\right.[/m]

[b]x ∈ (- ∞ ;-1][/b]

О т в е т. [b]x ∈ (- ∞ ;-1][/b]U[b](-1;-0,5][/b]=[b](- ∞ ;-0,5][/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x>0
x ≠ 1

Пусть
[m]x^{2+log_{2}x}=t[/m]

Логарифмируем по основанию 2:

[m]log_{2}x^{2+log_{2}x}=log_{2}t[/m]

Тогда по свойству логарифма степени:

[m](2+log_{2}x)log_{2}x=log_{2}t[/m] ⇒ [m]t=2^{(2+log_{2}x)log_{2}x}[/m]

[m]\frac{1}{4}\cdot2^{(2+log_{2}x)log_{2}x}-2log^2_{2}x-4log_{2}x+4\leq 0[/m]

[m]2^{-2}\cdot2^{log^2{2}x+2log_{2}x}-2log^2_{2}x-4log_{2}x+4\leq 0[/m]

[m]2^{log^2{2}x+2log_{2}x-2}-2\cdot (log^2_{2}x+2log_{2}x-2)\leq 0[/m]

Пусть

[m]log^2_{2}x+2log_{2}x-2=u[/m]

Неравенство примет вид:

[m]2^{u}-2u\leq 0[/m]

Решаем графически ( см. рис.)

[m]1 ≤ u ≤ 2[/m]

[m] 1≤ log^2_{2}x+2log_{2}x-2 ≤ 2[/m] ⇒

[m]\left\{\begin{matrix} log^2_{2}x+2log_{2}x-2 \leq 2\\ log^2_{2}x+2log_{2}x-2 \geq 1 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} log^2_{2}x+2log_{2}x-4 \leq 0\\ log^2_{2}x+2log_{2}x-3 \geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\begin{matrix} log^2_{2}x+2log_{2}x-4 \leq 0 &log^2_{2}x+2log_{2}x-3 \geq 0 & \\ D=4+16=20 & D=4+12=16 & \\ -1-\sqrt{5}\leq log_{2}x\leq -1+\sqrt{5} & x\leq -3; x\geq 1 \end{matrix}[/m]

⇒

[m] -1-\sqrt{5}\leq log_{2}x\leq-2[/m]; [m] 1\leq log_{2}x\leq-1+\sqrt{5}[/m]

⇒ в силу возрастания логарифмической функции с основанием 2:

[m] 2^{-1-\sqrt{5}}\leq x\leq2^{-2}[/m]; [m] 2^{1}\leq x\leq 2^{-1+\sqrt{5}}[/m]

Найденные решения удовл ОДЗ

О т в е т. [m] [2^{-1-\sqrt{5}};2^{-2}]\cup[ 2^{1}; 2^{-1+\sqrt{5}}][/m] (прикреплено изображение)

Вычитаем из первого уравнения второе:

y-x=(a+3)(x^2-y^2)+(2a+1)(x-y)

x-y+(a+3)(x-y)(x+y)+(2a+1)(x-y)=0

(x-y)*((a+3)(x+y)+(2a+2))=0

x-y=0 или (a+3)(x+y)+(2a+1)=0

y=x или (a+3)x+(a+3)y+(2a+1)=0

Подставляем y=x в любое уравнение данной системы:

x=(a+3)x^2+(2a+1)+a

(a+3)x^2+(2a)x+a=0

При [b]a=-3[/b] уравнение принимает вид: -6х-3=0 ⇒ [b] x=-1/2 [/b] - [b]одно[/b] решение [b]y=x=-1/2[/b]

a ≠ -3
D=(2a)^2-4(a+3)*a=4a^2-4a^2-12a=-12a

Если D=0 квадратное уравнение имеет один корень
D=0 ⇒ -12a=0 ⇒ [b]a=0[/b]

[b]При а=0[/b] cистема принимает вид:

{y=3x^2+x
{x=3y^2+y

Cистема имеет одно решение [b]x=0; y=0[/b]

ИЛИ

(a+3)x+(a+3)y+(2a+1)=0 ⇒ 2а+1=-(а+3)х-(a+3)y

подставим в первое уравнение:

y=(a+3)x^2-((а+3)х+(a+3)y*)x+a ⇒

y=-(a+3)xy+a

[b]y((a+3)x+1)=a[/b]
...

Если выплаты 2030 и 2031 года равные, то

A=338 000/2=169 000,

уравнение принимает вид:

169 000+1,3·(1,3S–169 000)=338 000 ⇒

1,69·S=2,3·169 000 ⇒

S=230 000

Cумма выплат: 0,3S+0,3S+0,3S+338 000= 0,9·230 000+338 000=

545 000

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть сумма кредита равна S руб.

В январе 2021 года начислены проценты: 0,35*S руб.
Сумма долга составила S + 0,35S=1,35*S руб
Пусть ежегодные [i] равные[/i] выплаты равны А руб.

[b](1,35*S- A )[/b] руб. -[i] остаток[/i] на конец первого года

В январе 2022 года начислены проценты [i]на остаток[/i]:
0,35*(1,35*S-А) руб.

Сумма долга составила (1,35*S- A )+0,35*(1,35*S-А)=
[b]1,35*(1,35*S-А) руб[/b]

(1,35*(1,35*S- A ) - А ) =(1,35^2*S-1,35*A-A) руб.- остаток на конец второго года
Аналогично получаем:

1,35*(1,35^2*S-1,35*A-A) -А= (1,35^3*S-1,35^2*A-1,35*A-A) руб. - остаток на конец третьего года, который по условию равен 0 ( кредит выплачен)

Уравнение:
[b]1,35^3*S-1,35^2*A-1,35*A-A=0[/b]

Условие "общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы, взятой в кредит" позволяет составить второе уравнение:

[b]3А=S+78030[/b]

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:

[m]\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-1,35^2\cdot A-1,35\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-(1,35^2+1,35+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.[/m]

Удобнее считать в обычных дробях:

[m]1,35=\frac{135}{100}=\frac{27}{20}[/m]

Решаем первое уравнение:

[m] \frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0[/m]

[m] \frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot \frac{S}{3}=(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot 26010[/m]

[m] S\cdot (\frac{27^3}{20^3}-\frac{1669}{400}\cdot \frac{1}{3})=\frac{1669}{400}\cdot 26010[/m]

[m] S\cdot \frac{59049-33380}{20^3\cdot 3}=\frac{1669}{400}\cdot 26010[/m]

[m] S\cdot 25669=1669\cdot 60\cdot 26010[/m]

[b]Для случая 30% :[/b]

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:

[m]\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-1,3^2\cdot A-1,3\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-(1,3^2+1,3+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.[/m]

Решаем первое уравнение:

[m]2,197\cdot S-3,99\cdot\frac{S}{3}=3,99\cdot 26010[/m]

[m](2,197-1,33)\cdot S=3,99\cdot 26010[/m]

[m]0,867\cdot S=3,99\cdot 867\cdot 30[/m]

[m]S=\frac{3,99\cdot 30\cdot 0,867\cdot 1000}{0,867}=119 700[/m] руб.

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 8 студентов выбирают двух.

Это можно сделать

n=C^2_(8)=8!/(2!*(8-2)!)=28 способами

Событие А-"турист Б., входящий в состав группы, пойдет в магазин"

Событию А благоприятствуют

m=C^(1)_(1)*C^(1)_(7)=7 способов

По формуле классической вероятности:

p(А)=m/n=7/28=[b]1/4[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]\left\{\begin{matrix} 64-y^2 ≥ 0\Rightarrow -8 ≤ y ≤ 8\\ 64-a^2x^2 ≥ 0\Rightarrow-8 ≤ ax ≤ 8 \\ 64-y^2=64-a^2x^2\Rightarrow y^2=a^2x^2 \\ (x-1)^2+(y-4)^2=17 \end{matrix}\right.[/m]

(x-1)^2+(y-4)^2=17 - уравнение окружности с центром (1;4) и R=sqrt(17)

причем[i] окружность проходит через начало координат.[/i]

y^2=a^2x^2 ⇒ |y|=|ax| ⇒ y= ± ax - семейство двух пересекающихся прямых, проходящих через начало координат.

Эти прямые имеют с окружностью [i]три общие точки.[/i](Одна из них (0;0)

Условия 1) и 4)
64-y^2 ≥ 0
(x-1)^2+(y-4)^2=17 задают на плоскости область, см. рис.

Поэтому если прямые проходят внутри угла, ограниченного зелеными прямыми, то тогда они имеют только две точки пересечения с окружностью

y=ax

(2;8)

8=a*2

a=4

О т в е т.[b] a > 4[/b]
(прикреплено изображение)

[m]\left\{\begin{matrix} 16-y^2>0\Rightarrow -4<y<4\\ 16-a^2x^2>0\Rightarrow-4<ax<4 \\ 16-y^2=16-a^2x^2\Rightarrow y^2=a^2x^2 \\ (x-3)^2+(y-2)^2=13 \end{matrix}\right.[/m]

(x-3)^2+(y-2)^2=13 - уравнение окружности с центром (3;2) и R=sqrt(13)

причем окружность проходит через начало координат.

y^2=a^2x^2 ⇒ |y|=|ax| ⇒ y= ± ax - семейство двух пересекающихся прямых, проходящих через начало координат.

Эти прямые имеют с окружностью [i]три общие точки.[/i](Одна из них (0;0)

Условия 1) и 4)
16-y^2>0
(x-3)^2+(y-2)^2=13 задают на плоскости область, см. рис.

Поэтому если прямые проходят внутри угла, ограниченного зелеными прямыми, то тогда они имеют только две точки пересечения с окружностью

y=ax

(6;4)

4=a*6

a=2/3

О т в е т.[b] a > 2/3[/b]
(прикреплено изображение)

Пирамида - правильная.
АВ=ВС=АС=9
SA=SB=SC=sqrt(43)
О- центр вписанной и описанной окружностей

AL=LC=9/2
BL=h_( Δ ABC)=9sqrt(3)/2
BO=R=9sqrt(3)/3=3sqrt(3)
LO=r=9sqrt(3)/6

Из Δ SOB
SO^2=SB^2-BO^2=(sqrt(43))^2-(3sqrt(3))^2=43-27=16
SO=4

[red]Проекция точки К на плоскость АВС - точка F[/red]

Точка F лежит на высоте ВL треугольника АВС

Докажем, что точка F лежит на отрезке СМ

Составим уравнение прямой СМ на плоскости, как прямой, проходящей через две точки:

[m]\frac{x-0}{\frac{7\sqrt{3}}{2}}=\frac{y-9}{\frac{7}{2}-9}

[m]-11x=7\sqrt{3}y-63sqrt{3}[/m]

Найдем координаты точки F.

Из подобия Δ SBO и Δ KBF

BF=(6/11)BO=(18sqrt(3)/11)

KF=(6/11)*SO=24/11

LF=BL-BF=(9sqrt(3)/2)-(18sqrt(3)/11)=9sqrt(3)*((1/2)-(2/11))=(7/22)*9sqrt(3)=63sqrt(3)/22

F(63sqrt(3)/22;9/2;0)

Подставим в уравнение прямой СМ:

[m]-11\cdot \frac{63\sqrt{3}}{22}=7\sqrt{3}\cdot \frac{9}{2}-63sqrt{3}[/m]

[red]верно.[/red]
⇒ F лежит на СM
и

KF ⊥ пл АВС

Плоскость CКМ проходит через KF ⇒ пл СКМ ⊥ АВС

б)

[red]V_(пирамиды СВМК)[/red]=[m]\frac{1}{3}S_{ CBM}\cdot KF=

\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} \cdot 2\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{24}{11}=\frac{36\sqrt{3}}{11}[/m]

____________________________

[green]2 способ: координатный[/green]

Из подобия треугольников АВL и АМЕ
MЕ=7sqrt(3)/2

A(0;0;0)
C(0;9;0)
В(9sqrt(3)/2; 9/2;0)
M(7sqrt(3)/2; 7/2;0)

O(9sqrt(3)/6; 9/2;0)

S(9sqrt(3)/6; 9/2;4)

F(63sqrt(3)/22;9/2;0)

[b]K(63sqrt(3)/22;9/2;24/11)[/b]

Уравнение плоскости [b]ABC:[/b]

[b]z=0[/b]

vector{n_(ABC)}=(0;0;1)

Уравнение плоскости [b]СКМ:[/b]
[b]C(0;9;0)[/b]
[b]M(7sqrt(3)/2; 7/2;0)[/b]

[b]K(63sqrt(3)/22;9/2;24/11)[/b]

[m]\begin{vmatrix} x& y-9 &z \\ \frac{7\sqrt{3}}{2} &\frac{7}{2}-9 & 0\\ \frac{63\sqrt{3}}{22} &\frac{9}{2}-9 &\frac{24}{11} \end{vmatrix}=0[/m]

⇒

[m]-12x-\frac{63\sqrt{3}}{4}z+\frac{11}{2}\cdot (\frac{63\sqrt{3}}{22})z-\frac{24}{11}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot (y-9)=0[/m]

[m]-12x-\frac{24}{11}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot y-\frac{24}{11}\cdot \frac{7\sqrt{3}}{2}\cdot9=0[/m]

vector{n_(CKM)}=(-12; [m]\frac{84\sqrt{3}}{2}[/m];0)

vector{n_(ABC)}*vector{n_(CKM)}=-12*0+[m]\frac{84\sqrt{3}}{2}[/m]*0+0*1 =0

Векторы vector{n_(ABC} ⊥ vector{n_(CKM)} ⇒

[b]пл АВС ⊥ пл СМК[/b]

б)

[green]2 способ: координатный [/green]

[b]C(0;9;0)[/b]
[b]В(9sqrt(3)/2; 9/2;0)[/b]
[b]M(7sqrt(3)/2; 7/2;0)[/b]
[b]K(63sqrt(3)/22;9/2;24/11)[/b]

[red]V_(пирамиды СВМК)[/red]=[m]\frac{1}{6}\cdot |(\vec{CB},\vec{CM},\vec{CK})|[/m]

[m](\vec{CB},\vec{CM},\vec{CK})=\begin{vmatrix}\frac{9\sqrt{3}}{2} & \frac{9}{2}-9 &0 \\ \frac{7\sqrt{3}}{2} &\frac{7}{2}-9 & 0\\ \frac{63\sqrt{3}}{22} &\frac{9}{2}-9 &\frac{24}{11} \end{vmatrix}=\frac{24}{11}\cdot \begin{vmatrix}\frac{9\sqrt{3}}{2} & \frac{9}{2}-9 \\ \frac{7\sqrt{3}}{2} &\frac{7}{2}-9 \end{vmatrix}=[/m]

[m]=-\frac{24\cdot 9\sqrt{3}}{11}[/m]

[red]V_(пирамиды СВМК)[/red]=[m]\frac{1}{6}\cdot|-\frac{24\cdot 9\sqrt{3}}{11}|= \frac{36\sqrt{3}}{11}[/m]

(прикреплено изображение)

V_(призмы АВСА_(1)В_(1)С_(1))=9*6=54
V_(пирамиды А_(1)С_(1)В_(1)В)=
=(1/3)*S_( Δ А_(1)В_(1)С_(1))*BB_(1)=(1/3)*9*6=18

V_(многогранника АВСА_(1)С_(1))=V_(призмы АВСА_(1)В_(1)С_(1))-V_(пирамиды А_(1)С_(1)В_(1)В)=

=54-18=36

О т в е т. 36
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos(3π/2+x)=-sinx

Уравнение принимает вид:

sin^2x-sqrt(3)*sinx=0

sinx*(sinx-sqrt(3))=0

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

sinx=0 или sinx-sqrt(3)=0

[b]x=πk, k ∈ Z[/b] или sinx=sqrt(3)- уравнение не имеет корней, так как

-1 ≤ sinx ≤ 1; sqrt(3) > 1.

О т в е т.

a)[b]πk, k ∈ Z[/b]

бПри k=4
х=4π ∈ [7π/2;4π]

Ответ выбран лучшим

y`=(8+x)`*e^(x-8)+(8+x)*(e^(x-8))`=1*e^(x-8)+(8+x)*e^(x-8)*(x-8)`=

=e^(x-8)*(1+8+x)=e^(x-8)*(x+9)

y`=0 ⇒ e^(x-8)*(x+9)=0 ⇒ e^(x-8)> 0 [i]при любом х[/i] ⇒

x+9=0; [b] x=-9[/b]

x=-9 - точка минимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +:

f(-10)=e^(-10-8)*(-10+9)=-e^(-18) <0
f(-8)==e^(-8-8)*(-8+9)=e^(-16) >0

О т в е т. [b]х=-9[/b]

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
sin(π/2–x)=cosx

Уравнение принимает вид:

2cos^2x+sin2x=0

Так как sin2x=2sinx*cosx, то

2cos^2x+2sinx*cosx=0

2cosx*(cosx+sinx)=0

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

cosx=0 или cosx+sinx=0

[b]x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b] или sinx=-cosx; tgx=-1 ⇒[b] x=-(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

О т в е т.

a) [b](π/2)+πn, n ∈ Z[/b] ; [b] x=-(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

б) x=7π/2; x=9π/2; x=-(π/4)+4π=15π/4- корни,
принадлежащие отрезку [3π; 9π/2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos(π/2–x)=sinx

Уравнение принимает вид:

sin^2x-sqrt(3)*sinx=0

sinx*(sinx-sqrt(3))=0

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

sinx=0 или sinx-sqrt(3)=0

[b]x=πk, k ∈ Z[/b] или sinx=sqrt(3)- уравнение не имеет корней, так как

-1 ≤ sinx ≤ 1; sqrt(3) > 1.

О т в е т. [b]πk, k ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

{x+4>0 ⇒x >-4
{x^2+8x+16>0 ⇒x ≠ -4

ОДЗ: [red]x>-4[/red]

x^2log_(7^3)(x+4) ≤ log_(7)(x+4)^2

По свойствам логарифма с учетом ОДЗ:

x^2*(1/3)log_(7)(x+4) ≤ 2 log_(7)(x+4)

x^2*(1/3)log_(7)(x+4) - 2 log_(7)(x+4) ≤ 0

log_(7)(x+4)*((x^2/3)-2) ≤ 0

Применяем[i] обобщенный метод интервалов[/i] .

Находим нули функции f(x)=log_(7)(x+4)*((x^2/3)-2)

log_(7)(x+4)=0 ⇒ x+4=7^(0) ⇒ x+4=1; [b]x=-3[/b]

(x^2/3)-2=0 ⇒ x^2=6; x = ± sqrt(6)

-3 < - sqrt(6), так как 3 > sqrt(6) и 9 > 6

Расставляем знаки на ОДЗ ( методом чередования знаков):

(-4) _-__ [-3] __+__ [-sqrt(6)] ______-______ [sqrt(6)] ___+__

О т в е т. [b](-4;-3]U[-sqrt(6);sqrt(6)][/b]

Ответ выбран лучшим

{x+5>0
{x^2+10x+25>0 ⇒

ОДЗ: [red]x>-5[/red]

x^2log_(2^9)(x+5) ≥ log_(2)(x+5)^2

По свойствам логарифма с учетом ОДЗ:

x^2*(1/9)log_(2)(x+5) ≥ 2 log_(2)(x+5)

x^2*(1/9)log_(2)(x+5) - 2 log_(2)(x+5) ≥ 0

log_(2)(x+5)*((x^2/9)-2) ≥ 0

Применяем [i]обобщенный метод интервалов.
[/i]
Находим нули функции f(x)=log_(2)(x+5)*((x^2/9)-2)

log_(2)(x+5)=0 ⇒ x+5=2^(0) ⇒ x+5=1; [b]x=-4[/b]

(x^2/9)-2=0 ⇒ x^2=18; x = ± 3sqrt(2)

-3sqrt(2) < - 4, так как 3sqrt(2) >4 и 18>16

Расставляем знаки на ОДЗ ( методом чередования знаков):

(-5) _-__ [-3sqrt(2)] __+__ [-4] ______-______ [3sqrt(2)] ___+__

О т в е т. [b][-3sqrt(2);-4] U[3sqrt(2);+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

q=0,01-вероятность того, что работник [b] не[/b] выходит на работу

p=1-q=1-0,01=0,99-вероятность того, что работник выходит на
работу

Событие А-"из 5 работников, выбранных на удачу, на работе будет присутствовать не менее трёх"

Событие vector{А}-"из 5 работников, выбранных на удачу, на работе будет присутствовать менее трёх" (т.е. два или один):

p( vector{А})=C^(2)_(5)p^2q^3+C^(1)_(5)p^(1)q^4=

=[blue]10*(0,99)^2*0,01^3+5*(0,99)^2*0,01^4[/blue]=...

p(A)=1-p( vector{А})=1-([blue]10*(0,99)^2*0,01^3+5*(0,99)^2*0,01^4[/blue])=...

{x-6>0
{x^2-12x+36>0 ⇒

ОДЗ: [red]x>6[/red]

x^2log_(5^4)(x-6) ≤ log_(5)(x-6)^2
x^2*(1/4)log_(5)(x-6) ≤ 2 log_(5)(x-6)

x^2*(1/4)log_(5)(x-6) - 2 log_(5)(x-6) ≤ 0

log_(5)(x-6)*((x^2/4)-2) ≤ 0

log_(5)(x-6)=0 ⇒ x-6=5^(0) ⇒ x-6=1; x=7

(x^2/4)-2=0 ⇒ x= ± 2sqrt(2)

-2sqrt(2)<6 и

2sqrt(2) <6

(6) _-__ [7] __+___

О т в е т. (6;7]

n=C^(4)_(9)=9!/(4!*(9-4)!)=6*7*8*9/4!=126

m=C^(3)_(5)*[blue]C^(1)_(4)[/blue]=5!/(3!*(5-3)!)*([blue]4[/blue])=40

p=m/n=40/126=[b]20/63[/b]

{1-ctgx ≥ 0 ⇒ ctgx ≤ 1 ⇒ ( π/4)+πn ≤ x<π+πn, n ∈ Z
{1-tgx ≥ 0 ⇒ tgx ≤ 1 ⇒ (-π/2)+πk < x ≤( π/4)+πk , k ∈ Z
{sinx ≠ 0
{cosx ≠ 0

Возводим в квадрат:
(1-сtgx)*sin^2x=(1-tgx)*cos^2x

ctgx=1/tgx

(tgx-1)*(sin^2x/tgx)=(1-tgx)*cos^2x

(tgx-1)*(sinx*cosx+cos^2x)=0

tgx-1=0 или sinx+cosx=0

tgx=1 или tgx=-1

x=(π/4)+πm, m ∈ Z или x=-(π/4)+πm, m ∈ Z ⇒

х= ± (π/4)+πm, m ∈ Z входит в ОДЗ

О т в е т [b]± (π/4)+πm, m ∈ Z[/b]

Решаем систему способом подстановки:

{Ах+By+C=0 ⇒ y=-(A/B)x-C/A
{x^2-y^2=a^2

{y=-(A/B)x-C/A
{x^2-(-(A/B)x-C/A)^2=a^2 ⇒ (A^2+B^2)x^2+2ACx+C^2-a^2B^2=0

A^2+B^2 ≠ 0, тогда уравнение квадратное.

Квадратное уравнение имеет одно решение ⇔ D=0

D=(2AC)^2-4*(A^2+B^2)*(C^2-a^2B^2)=0 ⇒

[b]a^2(A^2+B^2)=C^2[/b] при A^2+B^2 ≠ 0

Δ АВС- равнобедренный.
Проведем высоту и медиану СК.

Из Δ АКС:
sin ∠ BAC=CK/AC ⇒ СК=18
По теореме Пифагора:
АК^2=AC^2-CK^2=27^2-18^2
АК=9sqrt(5)

AB=2AK=18sqrt(5)

S_( Δ ABC)=AB*CK/2 и S_( Δ ABC)=BC*AH/2 ⇒

AB*CK=BC*AH ⇒ АН=AB*CK/BC=18sqrt(5)*18/27=12sqrt(5)

Из Δ АBH по теореме Пифагора:
ВН^2=АВ^2-АН^2=(18sqrt(5))^2-(12sqrt(5))^2=5*(18-12)*(18+12)=30^2

[b]ВН=30[/b]

ВН> BC ⇒ ∠ C - [i]тупой[/i] См. рис
(прикреплено изображение)

По частям два раза

u=x^2+4x+3 ⇒ du=2x+4
dv=e^(2x)dx ⇒ v=(1/2)e^(2x)

∫ (x^2+4x+3)e^(2x) dx=(1/2)e^(2x) *(x^2+4x+3)- ∫ (1/2)e^(2x)*(2x+4)dx=

[b]=(1/2)e^(2x) *(x^2+4x+3)- ∫ e^(2x)*(x+2)dx=[/b]

u=x+2 ⇒ du=dx
dv=e^(2x)dx ⇒ v=(1/2)e^(2x)

[b]=(1/2)e^(2x) *(x^2+4x+3)- ((1/2)e^(2x) *(x+2)-∫ e^(2x)dx=[/b]

[b]=(1/2)e^(2x) *(x^2+4x+3- (1/2)x-1)+(1/2)* e^(2x)+C=[/b]

[b]=(1/2)e^(2x) *(x^2+(7/2)x+3)+C[/b]

ОДЗ: x >0

[m]log_{0,5}0,5^{1+lgx}\cdot (\frac{5^{1+lgx}}{0,5^{1+lgx}}-1)\leq lgx-1[/m]

[m]log_{0,5}0,5^{1+lgx}+log_{0,5}((\frac{5}{0,5})^{1+lgx}-1)\leq lgx-1[/m]

[m]1+lgx+log_{0,5}(10^{1+lgx}-1)\leq lgx-1[/m]

[m]log_{0,5}(10x-1)\leq -2[/m]

[m]log_{0,5}(10x-1)\leq log_{0,5}4[/m]

Логарифмическая функция убывает, поэтому

10х-1 ≥ 4

10х ≥ 5

x ≥ 0,5

Удовл ОДЗ

О т в е т. [0,5;+ ∞ )

sin(πx+πy)=0 ⇒ πx+πy=πk, k ∈ Z ⇒ x+y=k, k ∈ Z

Решаем систему способом подстановки: y=k-x

x^2+(k-x)^2=a ⇒ 2x^2-2kx+k^2-a=0

D=(-2k)^2-4*2*(k^2-a)=4k^2-8k^2+8a=8a-4k^2

D>0 квадратное уравнение имеет два корня:

2a-k^2>0 ⇒ [b]a>k^2/2[/b]

k= ± 1 ⇒ [red]a>1/2[/red]

{x+y=1
{x^2+y^2=a

или

{x+y=-1
{x^2+y^2=a

получим [red]4 решения
[/red]

Графическая интерпретация:
Прямые x+y= ± k (k ≠ 0) не должны являться касательными к окружности x^2+y^2=a

т.е. [b]a ≠ k^2/2; k - целое; k ≠ 0[/b] (прикреплено изображение)

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на плоскость

BA- проекция В_(1)А

Это угол BAB_(1)

f `(x)=-3x^2+12x+15

f `(x)=0 ⇒ -3x^2+12x+15=0 ⇒ x^2-4x-5=0 ⇒ x_(1)=-1; x_(2)=5

Знак производной: __+__ (-1) __-__ (5) _+__ ⇒

x=-1 - точка максимума

f(-1)=-(-1)^3+6*(-1)^2+15*(-1)+10=

ОДЗ:
16-x^2 >0 ⇒ -4 < x < 4

[i]Замена переменной:[/i]

log_(3)(16-x^2)=t

Неравенство:

t^2-9t+8 ≥ 0 ⇔ (t-1)(t-8) ≥ 0 ⇒ t ≤ 1 или t ≥ 8

Обратный переход:
log_(3)(16-x^2) ≤ 1 или log_(3)(16-x^2) ≥ 8

log_(3)(16-x^2) ≤ log_(3)3 или log_(3)(16-x^2) ≥log_(3)8^3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому:
(16-x^2) ≤ 3 или (16-x^2) ≥8^3

13-x^2 ≤0 или (16-x^2) ≥8^3 ⇒-(x^2+496) ≥ 0 - не имеет корней

13-x^2 ≤0 ⇒ -sqrt(13) ≤ x ≤ sqrt(13) - входит в ОДЗ

О т в е т. [b] [-sqrt(13); sqrt(13)][/b]

tg ∠ B=AC/BC

15/8=AC/BC ⇒ AC=(15/8)*BC

По теореме Пифагора:

AB^2=AC^2+BC^2

34^2=(15/8)^2*BC^2+BC^2 ⇒ [b]BC=16[/b]

(прикреплено изображение)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость

1)A_(1)В - проекция A_(1)C
2)DD_(1)-проекция DA_(1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
4^(x)=t ; [b]t>0[/b]⇒ 4^(x+1)=4t и 64^(x)=(4^(3))^(x)=(4^(x))^(3)=t^3

4^(-x)=1/4^(x)=1/t

4^(5-x)=4^5/t

[b]t>0[/b]

t^3-65*4t+4^5/t=0

Умножаем на t

t^4-260t^2+1032=0

D=260^2-4*1032=

Это задание на решение уравнений в целых числах.
Для решения нужно представить левую часть в виде произведения выражений, правую - в виде произведения чисел.

2m^2-2mn+3m-n=41

2m(m-n)+(m-n)+2m=41

2m*(m-n+1) + (m-n)=41

Прибавляем 1 слева и справа:

2m*(m-n+1) + (m-n+1)=41=1

(m-n+1)*(2m+1)=42

Вот и представили левую часть в виде произведения выражений, правую - в виде произведения чисел.
(m-n+1)*(2m+1)=2*3*7

2m+1- нечетное, значит возможны варианты:

{m-n+1=42
{2m+1=1

{m-n+1=14
{2m+1=3

{m-n+1=6
{2m+1=7

{m-n+1=2
{2m+1=21

Решив 4 системы получим ответ.

Ответ выбран лучшим

x^2-2(a+1)+a^2+2a=(x-(a+1))^2-1=(x-a-2)(x-а)

Рассматриваем координатную плоскость хОа:
(далее рассуждения аналогичны методу интервалов)

Прямые x=a+2 и x=a разбивают координатную плоскость хОа:
на три области: ( cм. рис.1)

Прямая x=0 разбивает координатную плоскость на две части (рис.2)

Раскрываем знаки модулей в каждой области:
Первый случай:
[b]I:[/b]
{x ≥ 0;
{(x-a-2)*(x-a) ≥ 0

[red]a>0[/red]

Функция принимает вид:f(x)=x–2x+x^2–2(a+1)x+a^2+2a

f(x)=x^2-(2a+3)x+a^2+2a

Наим значение в вершине при x_(о)=(2a+3)/2

y_(o)=(2a+3)^2/4-(2a+3)^2/2+a^2+2a=(-4a-9)/4

(-4a-9)/4 > 4 ⇒ -4a-9 >16 ⇒ -4a > 25 и учитывая , что [red]a >0[/red]⇒ [b]a < -25/4[/b], что противоречит [red]a>0[/red]

Первый случай [i]не имеет решений.
[/i]

и так еще 5 раз :

Второй случай:
[b]II:[/b]
{x < 0;
{(x-a-2)*(x-a) ≥ 0
[green]a ≤
0[/green] в области [b]II:[/b]

Функция принимает вид:f(x)=x+2x+x^2–2(a+1)x+a^2+2a

f(x)=x^2-(2a-1)x+a^2+2a

Наим значение в вершине при x_(о)=(2a-1)/2
y_(o)=(2a-1)^2/4-(2a-1)^2/2+a^2+2a=(4a-1)/4 ⇒

(4a-1)/4 > 4 ⇒ 4a-1 > 16 ⇒ 4a > 17 и учитывая , что [green]a ≤ 0[/green]⇒ [b]a < 17/4[/b] ⇒ a ≤ 0

... (прикреплено изображение)

{5x+4 ≥ 0 ⇒ x ≥ -4/5
{2x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/2
{3x+1 ≥ 0 ⇒ x≥ -1/3

⇒ [red]x ≥ 1/2[/red]

Возводим в квадрат:
5х+4+2*sqrt(5x+4)*sqrt(2x-1)+2x-1=3x+1 ⇒ 2*sqrt(5x+4)*sqrt(2x-1)=-4x-2

sqrt(5x+4)*sqrt(2x-1)=-2x-1

Возводим в квадрат, при условии:
-2x-1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1/2 противоречит условию [red]x ≥ 1/2[/red]

Нет корней

V_(вр._(Ox))=π ∫ ^(π)_(0)(3sinx)^2dx - π ∫ ^(π)_(0)(sinx)^2dx=

=π ∫ ^(π)_(0)8sin^2xdx=4π ∫ ^(π)_(0)(1-cos4x)dx=4π(x-(1/4)sin4x)|^(π)_(0)=

=4π(π-0) -4π(1/4)(sin4x-sin0)=4π^2

Ответ выбран лучшим

На [0;2] y=-3x отрицательная, поэтому:

S= ∫ ^(2)_(0)[b]|[/b](-3x)[b]|[/b]dx= ∫ ^(2)_(0)(3x)dx=3x^2/2=3*(2^2/2)=6 (прикреплено изображение)

[r]y=f(x_(o))+ f `(x_(o))(x-x_o) -уравнение касательной[/r]

f `(x)=3x^2

[red]в точке x_(o)=-1 [/red]

f (-1)=(-1)^3-1=-2

f `(-1)=3*(-1)^2=3

y=-2+3*(x-(-1))

y=3x+1

Для наглядности рисунок: (прикреплено изображение)

[m]rot \vec{a}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ x+6yz&y+6xz &z+6xy \end{vmatrix}=[/m]

[m]=6x\vec{i}+6y\vec{j}+6z\vec{k}-6z\vec{k}-6x\vec{i}-6z\vec{k}=0[/m]

⇒ поле [i]потенциальное[/i]

[m]u(M)= ∫ ^{x}_{0}xdx+ ∫ ^{y}_{0}ydy+ ∫ ^{z}_{0}(z+6xy)dz=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz[/m]

Проверка:

[m]grad u(M)=u`_{x}(M)\vec{i}+u`_{y}(M)\vec{j}+u`_{z}(M)\vec{k}=[/m]

[m]=(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz)`_{x}\vec{i}+[/m]

[m]+(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz)`_{y}\vec{j}+[/m]

[m]+(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+6xyz)`_{x}\vec{k}=[/m]

[m]=(x+6yz)\vec{i} + (y + 6xz)\vec{j} + (z + 6xy)\vec{k}[/m]

Ответ выбран лучшим

Ряд сходится по признаку сравнения в предельной форме

Ряд a_(n)=1/n^2 эквивалентен данному ряду.

Ответ выбран лучшим

y=-bx-a подставляем в первое уравнение:

x^2+(-bx-a)^2+10x-12*(-bx-a)+20=0

(1+b^2)x^2+(2ab+10-12b)x+a^2-12a+20=0 - квадратное уравнение имеет два различных решения, если

D=(2ab+10-12b)^2-4*(1+b^2)(a^2-12a+20) >0 ⇒

получить неравенство и его решить....

[m]\frac{(х–1)^2}{8}+\frac{8}{(х–1)^2}=7(\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1})–1[/m]

[i]Замена переменной:[/i]

[m]\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1}=t[/m]

Возводим в квадрат:

[m](\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1})^2=t^2[/m]

[m]\frac{(х–1)^2}{16} -2\cdot\frac{х–1}{4}\cdot \frac {2}{х–1} +\frac{4}{(х–1)^2}=t^2[/m] ⇒

[m]\frac{(х–1)^2}{16} -1 +\frac{4}{(х–1)^2}=t^2[/m]

Умножаем на 2:

[m]\frac{(х–1)^2}{8} -2 +\frac{8}{(х–1)^2}=2t^2[/m] ⇒

[m]\frac{(х–1)^2}{8} +\frac{8}{(х–1)^2}=2t^2+2[/m] ⇒

Уравнение принимает вид:

2t^2+2=7t-1

2t^2-7t+3=0

D=49-4*2*3=25

t_(1,2)=[m]\frac{7\pm5}{4}[/m]

t_(1)=[m]\frac{1}{2}[/m] или t_(2)=3

Обратный переход от переменной t к переменной х:

[m]\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1}=\frac{1}{2}[/m]или[m]\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1}=3[/m]

Решаем два дробно рациональных уравнения:
x ≠ 1 ⇒

[m]x^2-4x-5=0[/m] или [m]x^2-14x+5=0[/m]

x_(1)=-1;x_(2)=5 или x_(3)=7-sqrt(11); x_(4)=7+sqrt(11)

О т в е т.

a)x_(1)=-1;x_(2)=5 ; x_(3)=7-sqrt(11); x_(4)=7+sqrt(11)

б)[red]-1 ∈ [-2;3][/red]

S= ∫ ^(0)_(-2)(2-x-x^2)dx=(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^(0)_(-2)=

=0-(-4-2+8/3)=6-8/3=[b]10/3[/b] (прикреплено изображение)

dx=-3sintdt
dy=2costdt

= ∫ ^(π)_(0)((3cost*2sint-3)*(-3sint)+(2sint*3cost+2)*(2cost))dt=

= ∫ ^(π)_(0)(-18sin^2tcost+9sint+12sint*cos^2t+4cost)dt=

=(-18*(sin^3t/3)-9cost-12*(cos^3t/3)+4sint)|^(π)_(0)=

=-9*(cosπ-cos0)-4(cos^3π-cos^30)=

=18+8=[b]26[/b]

Ответ выбран лучшим

Правильная треугольная призма ⇒ в основании правильный треугольник
Призма описана около цилиндра ⇒ окружность вписана в правильный треугольник.

R=asqrt(3)/3

R=1 ⇒ a=sqrt(3)

S_(бок)=P_(осн)*Н

Н=2

S_(бок)=3a*Н=3*sqrt(3)*2=[b]6sqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

ax^2-4x+1+3а>0 при x ∈ (-1;0)

Пусть y=f(x;a)

f(x;a)=ax^2-4x+1+3а

(cм рис. ) На рис. неравенство верно при x ∈ [b][[/b]-1;0[b]][/b]

Требованию задачи удовлетворяет расположение кв трехчлена при котором

{[b]a <0[/b] ⇒ ветви параболы вниз
{x_(o)=4/2a =2/a ∈ (-1;0) ⇒ [b]-1 < 2/a < 0[/b] ⇒
{f(-1;а)=a+4+a+3a <0 ⇒[b] 5a+4<0[/b]
{f(0;а)=[b]1+3a <0 [/b]

См. тему расположение корней кв трехчлена (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

p=1/6
q=1-p=5/6

n=20

np=20/6

(20/6)-(5/6) ≤ k_(o) ≤ (20/6)+(1/6)

(15/6) ≤ k_(o) ≤ (21/6)

2,5 ≤ k_(o) ≤ 3,5
[b] k_(o)=3[/b]

Ответ выбран лучшим

{x^4+x^2-5a^2 ≥ 0
{x^4-4ax ≥ 0
{x^4+x^2-5a^2=x^4-4ax ⇒ x^2+4ax-5a^2=0 ⇒ D=16a^2+20a^2=36a^2

x_(1)=[b]-5a[/b]; x_(2)=[b]a[/b]

Чтобы уравнение имело ровно одно решение
достаточно, чтобы один корень удовлетворял первым двум неравенствам, а второй не удовлетворял хотя бы одному из них

x=-5a
{(-5а)^4+(-5а)^2-5a^2 ≥ 0 ⇒ 625a^4+20a^2 ≥ 0 при любых а -
{(-5а)^4-4а*(-5а) ≥ 0 ⇒ 625a^4+20a^2 ≥ 0 при любых а -

x=-5a - корень уравнения

x=a
{(а)^4+(а)^2-5a^2 ≥ 0 ⇒ a^4-4a^2 ≥ 0
{(а)^4-4а*(а) ≥ 0 ⇒ a^4-4a^2 ≥ 0

a^2*(a-2)(a+2) ≥ 0 ⇒ (a-2)(a+2) ≥ 0 ⇒ a ∈ (- ∞;-2]U[2;+ ∞ )U{0} ⇒

a ∈ (-2;2)- наоборот, [red]x=a не является корнем уравнения[/red]

Осталось уточнить, что получаем при x=0

√x4+x2=√x4 ⇒ x=0 - корень уравнения, [i]единственный
[/i]

a=0 включаем в ответ

Геометрическая иллюстрация ( просто так для наглядности):

Построим множество точек плоскости xOа, удовлетворяющих неравенствам:
{x^4+x^2-5a^2 ≥ 0
{x^4-4ax ≥ 0

Системе удовл множество точек сиреневого цвета.
cм. рис.

Прямая x=-5a принадлежит полностью сиреневой области.

Прямая x=a принадлежит [b]НЕ полностью[/b] сиреневой области.

По рисунку видно, что x=a не принадлежит ОДЗ

при a ∈ [b](-2;2)[/b] (прикреплено изображение)

Пусть вектор vector{c}=(x;y;z)

По условию |vector{c}|=sqrt(3) ⇒ [b]x^2+y^2+z^2=3[/b]

По условию вектор vector{c} компланарный векторам vector{a} и vector{b} ⇒

[m]\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & -1 &0 \\ 1 &-2 & 1 \end{vmatrix}=0[/m]

⇒ Раскрываем определитель третьего порядка:

[b]x+y+z=0[/b]

По условию вектор vector{c} ортогональный вектору vector{d}

⇒ скалярное произведение векторов vector{c}*vector{d}=0

[b]х*2+у*1+z*1=0[/b]

Cистема:
{[b]x^2+y^2+z^2=3[/b]
{[b]x+y+z=0[/b]
{[b]х*2+у*1+z*1=0[/b]

x+y+z=2x+y+z ⇒ x=0

{y^2+z^2=3
{y+z=0 ⇒ y=-z

2y^2=3 ⇒ y= ± sqrt(3/2)

z=[m]\mp[/m]sqrt(3/2)

О т в е т. (0; sqrt(3/2); - sqrt(3/2)); (0; -sqrt(3/2); sqrt(3/2))

Ответ выбран лучшим

О т в е т 1+12+4+12=29

2+2+2+2=8⇒ x=2;y=2;z=2;w=2 [b]ОДНО[/b]

1+3+2+2=8 ⇒ x=1;y=3;z=2;w=2 и x=1;y=2;z=3;w=2 и x=1;y=2;z=2;w=3 и x=3;y=2;z=1;w=2 и .... [b]ДВЕНАДЦАТЬ[/b]

На первом месте 1, тогда:
(1;3;2;2) ⇒ 3;2;2 на 3 места можно расположить тремя способами
На первом месте 3, тогда:
(3;1;2;2) ⇒ 1;2;2 на 3 места можно расположить тремя способами
На первом месте 2, тогда:
(2;1;2;3) ⇒ 1;2;3 на 3 места можно расположить шестью способами

3+3+6=12
1+1+1+5=8 ⇒ x=1;y=1;z=1;w=5 и x=1;y=1;z=5;w=1 и x=1;y=5;z=1;w=1 и x=5;y=1;z=1;w=1

[b]ЧЕТЫРЕ [/b]

1+1+2+4=8 ⇒
...
(1;1;2;4)(1;1;4;2)(1;2;1;4)(1;2;4;1)(1;4;1;2)(1;4;2;1) - 6 способов
(2;1;1;4)(2;1;4;1)(2;4;1;1)- три способа
(4;1;2;1)(4;1;1;2)(4;2;1;1)- три способа

6+3+3=12

[b]ДВЕНАДЦАТЬ[/b]

Ответ выбран лучшим

Достаточно убедиться, что на [1;2] функция
y=4x^3-x+5 принимает положительные значения и тогда

|4x^3-x+5|=[b]4x^3-x+5[/b]

Применяем исследование функции с помощью производной:

y`=12x^2-1 ⇒ y`=0 ⇒ x^2=1/12

[b]x= ± 1/sqrt(12)[/b]

Функция [i]возрастает[/i] на (- ∞ ;-1/sqrt(12))U(1/sqrt(12);+ ∞ )

[i]Убывает[/i] на (-1/sqrt(12);1/sqrt(12))

⇒ x=1/sqrt(12) - точка минимума

y_(1/sqrt(12))=(3/sqrt(12))-(1/sqrt(12))+5 >0

на (1/sqrt(12);+ ∞ ) функция возрастает

Cм. рис.

Наименьшее значение положительно, значит 4x^3-x+5 >0 на отрезке [1;2]

и |4x^3-x+5|=4x^3-x+5 на отрезке [1;2]

Тогда

∫^(2)_(1)|4x^3-x+5|dx= ∫^(2)_(1)(4x^3-x+5)dx=(4*(x^4/4)-(x^2/2)+5x)|^(2)_(1)=2^4-1-(1/2)*(2^2-1)+5*(2-1)=[b]18,5[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

vector{c}-2vector{d}={6-2*0;0-2*(-1);-3-2*(-5)}={6;2;7}

[m]v=1,2\cdot cos\frac{2 \pi 38}{2}=1,2cos 38 \pi=1,2 \cdot 1=1,2[/m]

[m]E=\frac{0,25\cdot 1,2^2}{2}=...[/m]

Первый раз между 2-мя и 3-мя часами

Второй раз между 3-мя и 4-мя часами

...

Девятый раз между 10-ью и 11-ти - часами

Десятый раз между 11-тью и 12-ти часами ⇒ в 12 часов

c 1 часа 30 минут до 12.00 пройдет 10 часов 30 минут[b]=630 минут[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=sqrt(g(x))

g(x)=-61-16x-x^2

g`(x)=-16-2x

g`(x)=0

-16-2x=0

[b]x=-8[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]\sqrt[5]{m}\cdot\sqrt[20]{m}=\sqrt[20]{m^4}\cdot\sqrt[20]{m}=\sqrt[20]{m^4\cdot m}=\sqrt[20]{m^5}=\sqrt[4]{m}[/m]

[m]\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{m}\cdot\sqrt[20]{m}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[4]{m}}[/m]

При m=625:

[m]\frac{\sqrt{625}}{\sqrt[4]{625}}=\frac{25}{5}=5[/m]

Ответ выбран лучшим

Решаем методом Бернулли

Решение представим в виде произведения двух функций u(x) и v(x):
y=u*v

Находим
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(u*v/xlnx)=[b]lnx/x[/b]

u`*v+u([blue]v`-v/xlnx[/blue])=[b]lnx/x[/b]

Выбираем функцию v так,чтобы
[blue]v`-v/xlnx[/blue]=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`/v=dx/xlnx ⇒ ∫ dv/v=-∫ x^2dx ⇒ ln|v|=ln|lnx| ⇒ [b]v=lnx[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*lnx+0=[b]lnx/x[/b]

u`=du/dx
du=dx/x

u=ln|x|+lnC

u=lnCx

y=u*v=(lnCx)*lnx

y(e)=0

0=(lnCe)lne

lne=1

lnCe=lnC+lne=lnC+1

lnC+1=0

lnC=-1

C=1/e

y=(lnx/e)*lnx=[b]ln^2x-lnx[/b]

y`=-3x^2+6x

y`=0

-3x^2+6x=0

-3x*(x-2)=0

x=0; x=2

Знак производной:
_-___ (0) _+__ (2) __-__

y`<0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )
Функция убывает на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

y`>0 на (0;2)
Функция возрастает на (0 ;2)

y``=-6x+6

y``=0

-6x+6=0

x=1 - точка перегиба

при x < 1

y`` <0 ⇒ кривая выпукла вверх

при x > 1

y``>0 ⇒ кривая выпукла вниз

График:

(прикреплено изображение)

Пусть [b]3x=t[/b]

sint=1 ⇒ [b]t[/b]=(π/2)+2πn, n ∈ Z

[b]3x[/b]=(π/2)+2πn, n ∈ Z

[b]x=(π/6)+(2π/3)*n, n ∈ Z[/b]- о т в е т

Ответ выбран лучшим

=2*(x^4/4)-6(x^3/3)+6(x^2/2)-5x+C=(1/2)x^4-2x^3+3x^2-5x+C

Ответ выбран лучшим

v(t)=s`(t)=(4t^3-6t+3)`=12t^2-6

v(2)=12*2^2-6=...

Ответ выбран лучшим

[m](\frac{1}{3})^{-2}\cdot 27^{\frac{1}{3}}-\sqrt{81}+0,19^{0}=(3^{-1})^{-2}\cdot (3^{3})^{\frac{1}{3}}-9+1=[/m]
[m]3^{2}\cdot 3-9+1=27-9+1=19[/m]

Ответ выбран лучшим

f `(x)=4x-20

f`(x)=0

4x-20=0

x=20 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат:
6х-2=4х+8
6х-4х=8+2
2х=10
[b]х=5[/b]

[i]Проверка:[/i]
sqrt(6*5-2)=sqrt(4*5+8)
sqrt(28)=sqrt(28)- верно

О т в е т. [b]5[/b]

Ответ выбран лучшим

log_(5)36-log_(5)3=log_(5)(36/3)=log_(5)12

log_(5)4x=log_(5)12 ⇒ 4x=12 ⇒[b] x=3[/b]

Ответ выбран лучшим

a)[m](\frac{1}{3})^{-2}\cdot 27^{\frac{1}{3}}=(3^{-1})^{-2}\cdot (3^{3})^{\frac{1}{3}}=3^{2}\cdot 3=27[/m]

б)
(1/3)^ (–2)* 27^(1/3) − √81 + 0,19^(0)=9*3-9+1=[b]19[/b]

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(π/2)_(-π/2)cosxdx=sinx|^(π/2)_(-π/2)=sin(π/2)-sin(-π/2)=1-(-1)=[b]2[/b]

Ответ выбран лучшим

sqrt(2)sin5x+2sin(5x)*cos(-2x)=0

sin5x*(sqrt(2)+2cos2x)=0

sin5x=0 ⇒ 5x=πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/5)*k, k ∈ Z[/b]- ответ

sqrt(2)+2cos2x=0 ⇒ cos2x=-sqrt(2)/2

2x= ± (arccos(-sqrt(2)/2))+2πn, n ∈ Z

2x= ± (3π/4)+2πn, n ∈ Z

[b]x= ± (3π/8)+πn, n ∈ Z[/b]- ответ

Условие, что события Н_(1) и H_(2) образуют [i]полную группу[/i] означает, что

p(H_(1))+p(H_(2))=1 ⇒ Пусть p(H_(1))=[b]x[/b], тогда p(H_(2))=[b]1-х[/b]

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=[blue][b]х[/b]*0,8+([b]1-х[/b])*0,2.[/blue]

По формуле Байеса:

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=[b]х[/b]*0,8/([blue][b]х[/b]*0,8+([b]1-х[/b])*0,2[/blue])

По условию

p(H_(1)/A)=0,5 ⇒ х*0,8/([blue]х*0,8+(1-х)*0,2[/blue]
)=0,5

[b]х[/b]*0,8=0,5*([b]х[/b]*0,8+([b]1-х[/b])*0,2)

[b]х[/b]*0,8=[b]х[/b]*0,4+0,1-0,1[b]х[/b]

[b]х[/b]*0,5=0,1

[b]х[/b]=1/5=[b]0,2[/b]

О т в е т. p(H_(1))=[b]0,2[/b]

Ответ выбран лучшим

2^(3-2x)=(2^3)^(x) ⇒
2^(3-2x)=2^(3x) ⇒

3-2x=3x ⇒

3=3x+2x

5x=3

x=3/5

x=[b]0,6[/b]

Площадь основания конуса [blue]9π[/blue] м^2 ⇒ π*r^2=9π ⇒ r^2=9; r=3
h^2=L^2-r^2=5^2-3^2=25-9=16
h=4

V=(1/3)[blue]S_(осн)[/blue]*h=(1/3)*[blue]9π[/blue]*4=12π м^3 (прикреплено изображение)

Находим точки пересечения сфер:

{2x^2+2y^2+2z^2+3x–2y+z–5=0
{x^2+y^2+z^2–x+3y–2z+1=0 ⇒ x^2+y^2+z^2=x-3y+2z-1

подставляем в первое:

2*(x-3y+2z-1)+3x–2y+z–5=0

Получаем множество точек(x;y;z), удовлетворяющих уравнению:

[b]5x-8y+5z-7=0[/b]

Это и есть уравнение плоскости

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение события-гипотезы
H_(i) - "выбрана i-ая линия"
i=1,2,3

p(H_(i))=[b]1/3[/b]

событие A- "наугад взятая деталь окажется стандартной;"

p(A/H_(1))=0,002
p(A/H_(2))=0,001
p(A/H_(3))=0,005
a)
По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))

P(A)=([b]1/3[/b])*0,002+([b]1/3[/b])*0,001+([b]1/3[/b])*0,005=[b]0,008/3[/b]

б) По формуле Байеса:
p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=(1/3)*0,002/0,008/3=[b]1/4[/b]

Задача на круги Эйлера.

50%- выбирали другие секции ⇒ 50% - посещают лыжи и волейбол.

Пусть х% ходят одновременно на лыжи и волейбол.
Тогда (35-х)% ходят только на лыжи
(45-х)% ходят только на волейбол

Всего 50%

х+35-х+45-х=50 ⇒ х=30%

30%=0,3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=0,8 - вероятность того, что ответил

q=1-p=1-0,8=0,2 - вероятность того, что не ответил

Случайная величина Х - число заданных вопросов.

Х принимает значения от 1 до 4

Х=1 задан один вопрос,
Студент не ответил на вопрос.

p_(1)=0,2

Х=2 задано два вопроса, значит на первый вопрос студент ответил, а на второй- нет

p_(2)=0,8*0,2=0,16

Х=3 задано три вопроса, значит на первый и второй вопросы студент ответил, а на третий - нет

p_(3)=0,8*0,8*0,2=0,128

Х=4 задано три вопроса, значит на первый ,второй, третий вопросы студент ответил, а на четвертый или ответил или не ответил

p_(3)=0,8*0,8*0,8*0,2+0,8*0,8*0,8*0,8=...

Закон распределения – таблица. В первой строке значения Х
от 1 до 4

Во второй их вероятности.

Пять бросков.
Значит число попаданий от 0 до 5

[b]X=0[/b]
[i]ни одного попадания, пять промахов[/i]

Для первого:
p_(0)=0,2*0,2*0,2*0,2*0,2=0,2^5
Для второго:
p_(0)=0,3*0,3*0,3*0,3*0,3=0,3^5

[b]X=1[/b]
[i]одно попадание, четыре промаха[/i]

Для первого:
p_(1)=[blue]С^(1)_(5)[/blue]p^1*q^4=[blue]5[/blue]*0,8*0,2*0,2*0,2*0,2=

Для второго:
p_(1)=[blue]С^(1)_(5)[/blue]p^1*q^4=blue]5[/blue]0,7*0,3*0,3*0,3*0,3=

[b]X=2[/b]
[i]два попадания, три промаха[/i]

Для первого:
p_(1)=[blue]С^(2)_(5)[/blue]p^2*q^3=[blue]10[/blue]*0,8^2*0,2^3=

Для второго:
p_(1)=[blue]С^(2)_(5)[/blue]p^2*q^3=blue]10[/blue]0,7^2*0,3^3=

И так далее.

Закон распределения - таблица. В первой строке значения Х
от 0 до 5

Во второй их вероятности.

см. аналогичное решение:

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=43378 ( задача 4)

или

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=52316

а) не более пяти: значит 0,1,2,3,4.

n=300
p=0,03 ⇒ q=1-p=1-0,03=0,97
np=300*0,03=9

npq=9*0,97=8,73

sqrt(npq)=sqrt(8,73) ≈

1 cпособ:

Применяем[i] локальную [/i]теорему Лапласа
[r]P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)[/r]

x=(k-np)/sqrt(npq)

P_(300)(0)=

P_(300)(1)=

P(300)(2)=

P_(300)(3)=

P_(300)(4)=

О т в е т.[b] P_(300)(0)+P_(300)(1)+P_(300)(2)+P_(300)(3)+P_(300)(4)[/b]

2 способ.

Применяем интегральную теорему Лапласа:

P_(300)(0 ; 4)=Ф(х_(2))-Ф(х_(1)) (прикреплено изображение)

V= ∫ ∫ ∫_( Ω ) dxdydz

Ω :
D: x^2+y^2 ≤ 9
0 < z < 3-x-y

V= ∫ ∫ _(D)(z|^(3-x-y)_(0))dxdy= ∫ ∫ _(D)(3-x-y)dxdy=

[i]полярные координаты:[/i]
0<ρ <3
0 <φ <2π

3-x-y=3- ρ cos φ - ρ sin φ

dxdy= ρ d ρ d φ

= ∫ ^(2π)_(0)([blue] ∫ ^(3)_(0)(3- ρ cos φ - ρ sin φ )d ρ[/blue]) =

=∫ ^(2π)_(0)(3 ρ - (ρ ^2/2)cos φ -( ρ ^2/2)sin φ )^(3)_(0)d φ =

=∫ ^(2π)_(0)(9-4,5cos φ -4,5sin φ )d φ =

=(9 φ -4,5sin φ +4,5cos φ )|^(2π)_(0)=

=9*2π+4,5*(cos2π-cos0)=[b]18π[/b]

Ответ выбран лучшим

S(t)= ∫^(4)_(1) v(t)dt=∫^(4)_(1) (3t^2-2t+1)dt=(t^3-t^2+t)|^(4)_(1)=

=(4^3-4^2+4)-(1^3-1^2+1)=52-1=51

Ответ выбран лучшим

По формуле перехода к другому основанию:
ln400=lg400/lge

ln400*lge=lg400

ln400*lge-2lg2=lg400-lg2^2=lg400/4=lg100=2

13^(ln400*lge-2lg2)=13^2=169

Требуется найти вероятность события
А-"среди отобранных деталей хотя бы одна нестандартная "

Находим вероятность [i]противоположного события[/i]:
vector{A}-"среди отобранных деталей все стандартные" .

n=C^3_(6)=6!/(3!*(6-3)!)=20

m=C^3_(4)=4!/(3!*(4-3)!)=4

p(vector{A})=m/n=4/20=1/5

p(A)+p(vector{A})=1 ⇒ p(A)=1-p(vector{A})=1-(1/5)=4/5

О т в е т. (4/5)

Ответ выбран лучшим

0,25^(x)=4^(-x)=(2^(-x))^2
[i]Замена:[/i]
2^(-x)=t
[red]t>0[/red]
Неравенство принимает вид:

(3-t^2)/(2-t) ≥ 1,5

(3-t^2)/(2-t) - 1,5 ≥ 0

(6-2t^2-6+3t)/(2-t) ≥ 0

(2t^2-3t)/(t-2) ≥ 0

t=0; t=3/2 - нули числителя

t=2 - нуль знаменателя.

___[0] __+__ [3/2] ____ (2) __+__

0 ≤ t ≤ 3/2 или t >2

Обратная замена:

0 ≤ 2^(-x) ≤ 3/2 или 2^(-x) >2

-x ≤ log_(2)(3/2) или -x >1

x ≥ log_(2)([b]2/3[/b])или x <-1

О т в е т. (- ∞ ;-1)U[log_(2)(2/3);+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

P(x;y)dx+Q(x;y)dy

P(x;y)=xy+e^(x) ⇒ ∂ P/ ∂ y=x
Q(x;y)=-x ⇒ ∂ Q/dx=-1

∂ P/ ∂ y ≠ ∂ Q/dx

Выражение не является полным дифференциалом

7^(-x^2)=t

t>0

log_(2)(t-6)(7^9t-1)+log_(2)(t-6)/(7^(9)t-1)>log_(2)(7^(3)t-5)^2

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(2)(t-6)^2>log_(2)(7^(3)t-5)^2 и с учетом ОДЗ получаем систему:

{log_(2)(t-6)^2>log_(2)(7^(3)t-5)^2
{(t-6)/(7^9t-1) >0 ⇒[b] t< 1/7^9[/b] или [b] t >6[/b]
{(t-6)*(7^9t-1) >0
{(7^(3)t-5)^2>0 ⇒ 7^(3)t-5 ≠ 1 ⇒[red] 7^3t ≠ 6[/red]

Решаем первое неравенство:

log_(2)(t-6)^2-log_(2)(7^(3)t-5)^2>0

Раскладываем на множители по формуле:a^2-b^2

[b]([/b]log_(2)(t-6)-log_(2)(7^3t-5)[b])[/b]*[b]([/b]log_(2)(t-6)+log_(2)(7^3t-5)[b])[/b]>0

log_(2)(t-6)/(7^3t-5) * log_(2)(t-6)*log_(2)(t-6)*(7^3t-5) >0

С учетом выделенных условий ОДЗ получаем ответ

Ответ выбран лучшим

{[m]\frac{-6y-x-6}{-3y+2x-1}=-3y-x[/m]
{(3^2)^(-3y+2x)+27=12*3^(-3y+2x); замена переменной: 3^(-3y+2x)=t; t>0

t^2-12t+27=0 ⇒ (t-9)(t-3)=0 ⇔ 3^(-3y+2x)=3^2 или 3^(-3y+2x)=3

Две системы.

Первая:
{[m]\frac{-6y-x-6}{-3y+2x-1}=-3y-x[/m]
{3^(-3y+2x)=3^2 ⇒ -3y+2x=2 ⇒ -3y+2x-1=1 подставляем в первое уравнение:

-6y-x-6=-3y-x ⇒ -6y+3y=6 ⇒ y=-2

-3*(-2)+2x=2

x=-2

(-2;-2)

Вторая:

{[m]\frac{-6y-x-6}{-3y+2x-1}=-3y-x[/m]
{3^(-3y+2x)=3 ⇒ -3y+2x=1 ⇒ знаменатель первой дроби равен 0, первое уравнение не имеет смысла

О т в е т. (-2;-2)

Ответ выбран лучшим

[m]y`=\frac{\pi}{2}cosx-\sqrt{5} <0 [/m] для всех x ∈ [0;π/4] ⇒

Наибольшее значение в 0

y(0)=1

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение в виде:
|x^2-2x-3|=|x^2-a|+2a-1

Уравнение имеет вид:

f(x)=g(x;a)

График y =f(x) cм. рис.1

График y=g(x;a) - получается из параболы y=|x^2-a| сдвигом

на (2a-1)единиц вдоль оси Оу:

⇒ Вершины парабол лежат на оси Оу ( см. рис.2)

См. рис. 3
Синяя и зеленая кривые имеют только две точки пересечения

Это и есть граничные значения a, при которых система имеет 3 решения

Для синей кривой, это значение [b]a=0[/b]

Для зеленой кривой надо подумать, как его найти... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
Универсальная подстановка
tg(x/2)=t

x/2= arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/*(1+t^2)

3cosx+sinx-2=3*(1-t^2)/(1+t^2) + 2t/(1-t^2)-2)=(3-3t^2+2t-2-2t^2)/(1+t^2)

∫ dx/(3cosx+sinx-2)= ∫ 2dt/(1-5t^2+2t)=-(2/5) ∫ dt/(t-(1/5)^2-6/25)=

=(-2/5)*(5/2sqrt(6))ln|(t-sqrt(6/25))/(t+sqrt(6/25)|+C=

[b]=(-1/sqrt(6))ln|(5tg(x/2)-sqrt(6))/(5tg(x/2)+sqrt(6))|+C[/b]

3-3x^2=0

x^2=1

x= ± 1

S= ∫ ^(1)_(-1)(3-3x^2)dx=(3x-(3x^3/3))|^(1)_(-1)=3*(1-(-1))-(1^3-(-1)^3)=

=6-2=4 (прикреплено изображение)

AA_(1)B_(1)B- квадрат

AB=AA_(1)=24

d^2=R^2-(AB/2)^2=13^2-12^2=169-144=25

d=5 (прикреплено изображение)

V_(вращения вокруг оси Ох)=π ∫ ^(b)_(a) f^2(x)dx

a=0
b=π
f(x)=(4/π)*sinx

V_(вращения вокруг оси Ох)=π ∫ ^(π)_(0) ((4/π)*sinx)^2dx=

=(16/π) ∫ ^(π)_(0) sin^2xdx =

sin^2x=(1-cos2x)/2

=(8/π) ∫ ^(π)_(0) (1-cos2x)dx=(8/π)*(x-(1/2)sin2x)=

=(8/π)*(π-0-(1/2)sin0+(1/2)sinπ)=[b]8[/b]

y`=1-4*(-sinx)

y`=1+4sinx

y`(π)=1+4*sinπ =1 + 4*0=[b]1[/b]

sinx+(cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=0

sinx+cosx=0

Делим на сosx:

tgx=-1

[b]x=(-π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

y`=(3x^2/3)-2*1,5x-4

y`=x^2-3x-4

y`(1)=1^2-3*1-4=[b]-6[/b]

Координаты точки М - середина отрезка АВ вычисляются по формулам:

[m]x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}[/m]

[m]y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}[/m]

[m]z_{M}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}[/m]

[m]x_{M}=\frac{3+(-5)}{2}=-1[/m]

[m]y_{M}=\frac{6+1}{2}=3,5[/m]

[m]z_{M}=\frac{-7+4}{2}=1,5[/m]

M(-1;3,5;1,5)

(прикреплено изображение)

Цилиндр, накрытый сверху и снизу куполом от эллипсоида:

[m]\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{\frac{1}{2}}=1[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=64
m=12*2=24 ( по два кубика на каждом ребре)

p=m/n=24/64=6/16=3/8
(прикреплено изображение)

Находим координаты точки персечения графиков в третьей четверти:
x <0; a<0
|x|=-x
|a|=-a

{4(-x)-a=4 ⇒ a=-4x-4
{x^2+2x=a+3

x^2+2x=-4x-4+3

x^2+6x+1=0
D=36-4=32
x_(1)=(-6-4sqrt(2))/2=-3-2sqrt(2); x_(2)=(-6+4sqrt(2))/2=-3+2sqrt(2);

a_(1)=-4(-3-2sqrt(2))-4=12+8sqrt(2)-4=8+8sqrt(2)>0 не удовл условию a<0

a_(2)=-4*(3+sqrt(2))-4=[b]8-8sqrt(2)[/b]<0

О т в е т. [8-8sqrt(2);4]

Cм графики в системе координат аОх (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Условие, что события Н_(1) и H_(2) образуют [i]полную группу[/i] означает, что

p(H_(1))+p(H_(2))=1 ⇒ p(H_(2))=1-p_(H_(1))=1-0,2=0,8

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=0,2*0,6+0,8*0,25=...

По формуле Байеса:

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=0,2*0,6/(0,2*0,6+0,8*0,25)

Ответ выбран лучшим

Решение аналогичной задачи (прикреплено изображение)

1.
-1 ≤ x-1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 ⇒ [0;2] → [-π/2;π/2]

Отношение монотонно, взаимно обратно.

2.
x ≠ 1

y*(x-1)=(y+1) ⇒ yx-y=y+1 ⇒ yx-2y=1 ⇒ y*(x-2)=1 ⇒ y=[m]\frac{1}{x-2}[/m]

x ≠ 2

График - точки с натуральными абсциссами, расположены на гиперболе y=[m]\frac{1}{x-2}[/m]( рис. 3)
кроме точек с абсциссами 1 и 2

[b]Таких точек только одна (3;1)[/b]( рис. 2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(AD_(1)CB_(1))=V_(параллелепипеда)-V_(ABCB_(1))-V_(AA_(1)D_(1)B_(1))-V_(ADCD_(1))-V_(CC_(1)B_(1)D_(1))=

=abc-(1/3)*(1/2)*(a*b)*c-(1/3)*(1/2)*(b*c)*a-(1/3)*(1/2)*(a*b)*c-
-(1/3)*(1/2)*(b*c)*a=a*b*c-(4/6)*a*b*c=(1/3)*a*b*c=10,5/5=2,1 (прикреплено изображение)

V_(оставшегося бруска)=V_(цилиндра)-V_(конуса)=

=π*R^2*H-(1/3)*π*R^2*H=(2/3)*π*R^2*H=(2/3)*π*2^2*5=40π/3

z=arcsinu

z`=[m]\frac{u`}{\sqrt{1-u^2}}[/m]

∂z/∂x= z`_(x)=[m]\frac{(xy)`_{x, y=const}}{\sqrt{1-(xy)^2}}=\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m]

∂z/∂y= z`_(y)=[m]\frac{(xy)`_{y,x=const}}{\sqrt{1-(xy)^2}}=\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m]

∂^2z/∂x^2= (z`_(x))`_(x)=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{x, y=const}=[/m]

[m]=y\cdot ((1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}})`_{x}=y\cdot(- \frac{1}{2})\cdot(1-x^2y^2)^{-
\frac{1}{2}-1}\cdot (1-x^2y^2)`_{x}=[/m]

[red][m]=\frac{xy^3}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m]
[/red]

∂^2z/∂x ∂y= (z`_(x))`_(y)=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y, x=const}=[/m]

[m]=y`\cdot (1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}}+y\cdot ((1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=(1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}}+[/m]

[m]+y\cdot(- \frac{1}{2})\cdot(1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot (1-x^2y^2)`_{y}=[/m]

[green][m]=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m] [/green]

∂^2z/∂y^2= (z`_(y))`_(y)=[m](\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y, x=const}=[/m]

[m]=x\cdot ((1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=x\cdot(- \frac{1}{2})\cdot(1-x^2y^2)^{-\frac{1}{2}-1}\cdot (1-x^2y^2)`_{y}=[/m]

[blue][m]=\frac{x^3y}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}=[/m] [/blue]

Подставляем найденные производные в уравнение:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла.

Находим ОДЗ уравнения:

2-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2

Решаем уравнение:

Первый множитель равен 0
x^2-25=0 ⇒ x= ± 5

x=5 не удовл ОДЗ

Второй множитель равен 0

sqrt(2-x)=0 ⇒ 2-x=0 ⇒ x=2

О т в е т. -5; 2

Решаем систему двух уравнений способом подстановки:

Замена переменной:
x+y=t
x → 1; y → - 1 ⇒ x+y → 0

x-y → 1-(-1)=2

x^2-y^2=(x+y)*(x-y) → 2t
получаем:

[m]\lim_{t \to 0 }\frac{tgt\cdot e^{2}}{2t}=\frac{e^2}{2}\cdot \lim_{t \to 0 }\frac{tgt}{t}=\frac{e^2}{2}\cdot 1=\frac{e^2}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Замена: x^2+y^2=t
x → 0; y → 0 ⇒ x^2+y^2 → 0 ⇒ t → 0

Получаем ответ 1
(см. следствие 3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) f(g(x;y);y^2)=g^2(x;y)+(y^2)^2=(x^2-y^2)^2+y^2=x^2-2x^2y^2+2y^4
б) g(f(x;y);g(x;y))=(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)^2=(x^2+y^2-x^2+y^2)(x^2+y^2+x^2-y^2)=2y^2*2x^2=4x^2y^2

Ответ выбран лучшим

Разность a-b кратна 5, если a кратно 5 и b кратно 5
ИЛИ
a и b дают при делении на 5[i] одинаковые остатки[/i]:

Выписаны [red]34[/red] числа от 59^2 до 92^2

Вычеркивают числа, разность которых кратна 5.

[i]Числа, кратные[/i] 5:

60^2; 65^2; 70^2;75^2;80^2;85^2;90^2
([red]7[/red] чисел)

[i]Числа, дающие при делении на 5 остаток 1:[/i]
59^2;61^2;64^2;66^2;69^2;71^2;74^2;76^2;79^2;81^2;84^2;86^2;89^2;91^2
([red]14[/red] чисел)

[i]Числа, дающие при делении на 5 остаток 4:[/i]

62^2;63^2;67^2;68^2;72^2;73^2;77^2;78^2;82^2;83^2;87^2;88^2;92^2
([red]13[/red] чисел)

Так как вычеркиваем парами, то значит на доске могло остаться число, кратное 5 и число, дающее при делении на 5 остаток 4
( потому что их количество [i]нечетно[/i])

[b]Требуется[/b], чтобы [b]частное [/b]таких чисел было [b]наибольшим[/b]

Значит, наибольшее число, которое могло остаться на доске 92^2,
а наименьшее 60^2

или

наибольшее число, которое могло остаться на доске 90^2, а наименьшее 62^2

92^2/60^2> 90^2/62^2 ⇒

92^2/60^2=(92/60)^2=[b](23/15)^2[/b]

Всего 2+4=6 символов.
12 символов в пароле. Значит символы повторяются.

Возможен пароль из 12-ти нулей. Из двенадцати букв А, и т.д.
На первое место любой из шести символов, на второе место - тоже любой из шести. ...

6*6*...*6*6[b]=6^(12)[/b]

Ответ выбран лучшим

Из 6 тетрадей в клетку две тетради можно выбрать:
С^(2)_(6)=6!/(2!*(6-2)!)=15 cпособов

Из 5 тетрадей в линейку три тетради можно выбрать:
С^(3)_(5)=5!/(3!*(5-3)!)=10 cпособов

Выбрать набор 2 тетради в клетку [red]и [/red]3 тетради в линейку по правилу умножения можно осуществить

15*10=150 cпособами

Выбор "или" соответствует теореме сложения
Выбор "и" соответствует теореме умножения

Ответ выбран лучшим

1)
F(0;-p/2) ⇒x^2=-2py
F(0;-6) ⇒ -p/2=-6; p=12
О т в е т. x^2=-24y

2)
F(p/2;0) ⇒ y^2=2px
F(2;0) ⇒ p/2=2; p=4
О т в е т. y^2=8x

Для эллипса:

[m]\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1[/m] ⇒ a^2=6; b^2=4 ⇒ c^2=a^2-b^2=2

F_(2)(-sqrt(2);0); F_(1)(sqrt(2);0) - фокусы эллипса.

Если x=sqrt(2) ⇒ [m]\frac{y^2}{4}=1-\frac{2}{6}[/m] ⇒ y= ± [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m]

M(sqrt(2); [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m])

N(sqrt(2); [m]- \sqrt{\frac{8}{3}}[/m])

P(-sqrt(2); [m]\sqrt{\frac{8}{3}}[/m])
T(-sqrt(2); [m]- \sqrt{\frac{8}{3}}[/m])

Уравнение гиперболы:

[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
b^2=c^2-a^2

так как фокусы эллипса и гиперболы совпадают, то с^2=2
⇒ [b]b^2+a^2=2[/b]

Подставляем координаты точки M в каноническое уравнение гиперболы:
[m]\frac{2}{a^2}-\frac{\frac{8}{3}}{b^2}=1[/m] ⇒[b] 6b^2-8a^2=3a^2b^2[/b]

Из системы уравнений:
{b^2+a^2=2 ⇒ b^2=2-a^2
{6b^2-8a^2=3a^2b^2 ⇒ 6*(2-a^2)-8a^2=3a^2*(2-a^2) ⇒

Биквадратное уравнение:

3a^4-20a^2+12=0
D=400-4*3*12=256
a^2=6 или a^2=(2/3)

b^2=2-a^2=2-6 < 0 или b^2=2-(2/3)=4/3

[m]\frac{x^2}{\frac{2}{3}}-\frac{y^2}{\frac{4}{3}}=1[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
log_(2)x=t

[m]\frac{|t^2-2t-6|-|t^2-6|}{\sqrt{6-t-t^2} }≥ 0[/m] [green](#)[/green]

[red]ОДЗ:[/red]
6-t-t^2>0 ⇒ t^2+t-6 <0
D=25
[red]-3 < t < 2[/red]

При -3 < t < 2
sqrt(6-t-t^2) >0

поэтому остается решить неравенство:
|t^2-2t-6|-|t^2-6| ≥ 0

Неравенство решаем методом интервалов:

t^2-2t-6=0 ⇒ D=28; t=1 ± sqrt(7) ⇒[blue] t^2-2t-6 <0 на (1-sqrt(7);1+sqrt(7))
[/blue]
t^2-6=0 ⇒ t= ± sqrt(6) ⇒[blue] t^2-6 <0 на (-sqrt(6);sqrt(6))[/blue]

ОДЗ принадлежат t=-sqrt(6) и t=1-sqrt(7)
и разбивают ОДЗ на три промежутка:

(-3) ____ (-sqrt(6)) ____ (1-sqrt(7)) _____ (2)

Раскрываем модули на каждом промежутке

На промежутке (-3;-sqrt(6)]:
|t^2-2t-6|=t^2-2t-6;|t^2-6|=t^2-6
неравенство принимает вид:
t^2-2t-6-t^2+6 ≥ 0
2t ≥ 0
t ≤ 0

⇒ [b]x ∈ (-3;-sqrt(6)][/b]

На промежутке (-sqrt(6);1-sqrt(7)]:
|t^2-2t-6|=t^2-2t-6;|t^2-6|=-t^2+6

неравенство принимает вид:
t^2-2t-6+t^2-6 ≥ 0
2t^2-2t-12 ≥ 0
t^2-t-6 ≥ 0
D=25 корни 3 и (-2)
Решение неравенства:
t ≤ -2; t ≥ 3

⇒ [b]x ∈ (-sqrt(6);-2][/b]

На промежутке (1-sqrt(7);2)
|t^2-2t-6|=-t^2+2t+6;|t^2-6|=-t^2+6

неравенство принимает вид:
-t^2+2t+6+t^2-6 ≥ 0
2t ≥ 0
t ≥ 0
Решение неравенства:
0 ≤ t <2

⇒ [b]x ∈ [0;2)[/b]

Решением неравенства [green](#)[/green] является объединение полученных решений:

(-3;-sqrt(6)]U (-sqrt(6);-2] U [0;2)=(-3;-2] U[0;2)

Обратный переход:

-3 < log_(2)x ≤ -2 или 0 ≤ log_(2)x < 2 ⇒

log_(2)2^(-3)<log_(2)x ≤ log_(2)2^(-2) или log_(2)1 ≤ log_(2)x <log_(2)2^2

Логарифмическая функция с основанием 2 > 1 возрастающая, поэтому:

2^(-3)<x ≤ 2^(-2) или 1 ≤ x <2^2

[m]\frac{1}{8}[/m] < x ≤ [m]\frac{1}{4}[/m] или 1 ≤ x <4

О т в е т.( [m]\frac{1}{8}[/m]; [m]\frac{1}{4}[/m] ] U [ 1 ;4)

Ответ выбран лучшим

a)
z^2-8iz-15=0
D=(-8i)^2-4*(-15)=-64+60=-4

sqrt(D)=sqrt(-4)=sqrt(4*(-1))=sqrt(4)*sqrt(-1)=2*i

x_(1)=[m]\frac{8i-2i}{2}[/m]=3i; x_(2)=[m]\frac{8i+2i}{2}[/m]=5i;

О т в е т. 3i;5i

б)
z=∛(-8i)

|-8i|=8
-8i=8*(cos(-π/2)+i* sin(-π/2))

Применяем формулу Муавра.

∛(-8i)=∛8*[m](cos\frac{-\frac{\pi}{2}+2 \pi k}{3}+isin\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3})[/m], k ∈ Z

при k=0
первый корень
z_(o)=2*[m](cos(-\frac{\pi}{6})+isin(-\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}-1[/m]

при k=1
второй корень
z_(1)=2*[m](cos\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+isin(\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})=2\cdot (cos{\frac{3\pi}[6}+isin(\frac{3\pi}{6})=2i[/m]

при k=2
третий корень
z_(2)=2*[m](cos\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+isin\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})=2\cdot (cos\frac{7\pi}{6}+isin\frac{7\pi}{6})=-\sqrt{3}-1[/m]

Корни расположены на окружности радиуса 2

Точки z_(o);z_(1);z_(2) делят окружность на три равные части, каждая по 120 градусов

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ:[/red]
[m]\left\{\begin{matrix} 5-9x-2x^2 >0\Rightarrow 2x^2+9x-5 <0\rightarrow (x+5)(2x-1) <0\\5-4x-x^2 >0\Rightarrow x^2+4x-5 <0\Rightarrow (x+5)(x-1) <0 \\ 5-4x-x^2\neq 1\Rightarrow x^2+4x-4\neq 0\Rightarrow D=32; x_{1,2}=-2\pm\sqrt{2} \\ 1-x > 0\Rightarrow x < 1\\1-x\neq 1\Rightarrow x\neq 0 \\ 1-2x>0\Rightarrow x < \frac{1}{2} \end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (-5; -2-2sqrt(2))U(-2-2sqrt(2);0)U(0;[m]\frac{1}{2})[/m][/red]

Неравенство принимает вид:

[m]log_{(x+5)(1-x)}(x+5)(1-2x) ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

По формуле перехода к другому основанию:

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)(1-x)} ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

Заменим логарифм произведения логарифмом суммы:

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-x)} ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ log_{1-x}(1-2x)[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} - log_{1-x}(1-2x) ≤ 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{log_{1-x}(x+5)+log_{1-x}(1-2x)-log_{1-x}(x+5)\cdot log_{1-x}(1-2x)-log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ 0[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)-log_{1-x}(x+5)\cdot log_{1-x}(1-2x)}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ 0[/m]

[m]\frac{log_{1-x}(x+5)(1- log_{1-x}(1-2x))}{log_{1-x}(x+5)+1} ≤ 0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

Находим нули числителя:

[m]log_{1-x}(x+5)=0[/m] или [m]1- log_{1-x}(1-2x)=0[/m]

[m]x+5=1[/m] или [m]1-2x=1-x[/m]

[m]x=-4[/m] или [m]x=0[/m]

нули знаменателя:

[m]log_{1-x}(x+5)+1=0[/m] ⇒ [m]x=-2\pm 2 \sqrt{2}[/m]

_+__ (-2-2sqrt(2)) _-__ [-4] ___+____ [0] _-__ (-2+2sqrt(2)) _+__

C учетом ОДЗ получаем
О т в е т. (-2-2sqrt(2); -4]U(0;[m]\frac{1}{2}[/m])

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ[/red]:
{x ≠ 0
{(9/2)-2*7^(-x) >0 ⇒ 7^(-x) < 9/4 ⇒ x > log_(1/7)(9/4)=-log_(7)9+log_(7)4=log_(7)(4/9)

[red]x ∈ (log_(7)(4/9);0) U (0; + ∞ )[/red]

По свойству логарифма степени

[m]\frac{1}{x}log_{7}(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})=log_{7}(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})^{\frac{1}{x}}[/m]

1=log_(7)7

Логарифмическая функция с основанием 7 возрастает, поэтому

[m](\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})^{\frac{1}{x}}> 7[/m]

Возводим в степень (х):

[m]\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x}> 7^{x}[/m]

Квадратное неравенство относительно [m]7^{x}=t[/m]

[m]\frac{9}{2}-2\frac {1}{t}>t[/m]; t >0

2t^2-9t+4 <0

D=81-32=49

t_(1)=1/2; t_(2)=4

(1/2) < t < 4

Обратно:

(1/2) < 7^(x) < 4

[b]log_(7)(1/2) < x < log_(7)4[/b]

c учетом ОДЗ и так как log_(7) (4/9) < log_(7) (1/2)<0, а log_(7)4 > log_(7)1 =0

получаем ответ

[b](log_(7)(1/2) ;0) U (0; log_(7)4)[/b]

Ответ выбран лучшим

S_(k)=[m]\frac{b_{1}\cdot (1-q^{k})}{1-q}[/m] - формула суммы k- первых членов геометрической прогрессии

Находим n-ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}(-\frac{2}{7})^{k}=\frac{-\frac{2}{7}\cdot (1-(-\frac{2}{7})^{n})}{1-(-\frac{2}{7}}[/m]

По определению сумма ряда
S=lim_(n → ∞ )S_(n)=[m]\frac{-\frac{2}{7}\cdot (1-(-\frac{2}{7})^{n})}{1-(-\frac{2}{7})}=-\frac{\frac{2}{7}}{\frac{9}{7}}=-\frac{2}{9}[/m]

α =2

Применяем интегральный признак:

∫ ^(+ ∞ )_(2)[m]\frac{dx}{x(lnx)^2}=-\frac{1}{lnx}|^(+ ∞ )_(2)=-0+\frac{1}{ln2}=\frac{1}{ln2}[/m]

Находим n-ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{12}{(2k-3)(2k+3)}=2\sum_{1}^{n}\frac{1}{2k-3}-\sum_{1}^{n}\frac{1}{2k+3}=[/m]

[m]=2(\frac{1}{1}-\frac{1}{7}+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{5}-\frac{1}{11}+\frac{1}{7}-\frac{1}{13}-\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}[/m]

По определению сумма ряда
S=lim_(n → ∞ )S_(n)=[m]2\cdot(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-0-0-0)=\frac{46}{15}[/m]

Ряд эквивалентен обобщенному гармоническому ряду ∑[m] \frac{1}{n^{p}}[/m]
который сходится при p > 1 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

3 и 4. Общий член ряда не стремится к 0. Ряд расходится

(прикреплено изображение)

Находим n-ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{1}{(k+3)(k+4)}=\sum_{1}^{n}\frac{1}{k+3}-\sum_{1}^{n}\frac{1}{k+4}=[/m]

[m]=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}[/m]

По определению сумма ряда
S=lim_(n → ∞ )S_(n)=[m]\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}[/m]

S_(k)=[m]\frac{b_{1}\cdot (1-q^{k})}{1-q}[/m] - формула суммы k- первых членов геометрической прогрессии

Находим n-ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{4^{k}-3^{k}}{12^{k}}=\sum_{1}^{n}\frac{4^{k}}{12^{k}}-\sum_{1}^{n}\frac{3^{k}}{12^{k}}=\frac{\frac{4}{12}\cdot (1-(\frac{1}{3})^{n})}{1-\frac{1}{3}}-\frac{\frac{3}{12}\cdot (1-(\frac{1}{4})^{n})}{1-\frac{1}{4}}[/m]

По определению сумма ряда
S=lim_(n → ∞ )S_(n)=[m]\frac{\frac{4}{12}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{\frac{3}{12}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/m]

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+13=0
D=16-4*13=-36
k_(1)=2-3i; k_(2)=2+3i- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)

Решаем задачу Коши:

По условию:
y(0)= α ⇒ α =e^(2*0)*(С_(1)sin3*0+C_(2)cos3*0) ⇒ [red]C_(2)= α [/red]

y`=e^(2x)*(2x)`*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)`

y`=2e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+e^(2x)*(3С_(1)cos3x-3C_(2)sin3x)

По условию:
y`(0)=0 ⇒ 0=2*(C_(1)*0+C_(2))+1*(3C_(1)-3C_(2)*0) ⇒

2C_(2)+3C_(1)=0 ⇒ 2* α +3C_(1)=0 ⇒ [red]C_(1)=-2 α /3[/red]

y=e^(2x)* α *((-2/3)sin3x+cos3x)

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0

k_(1)=-2i; k_(2)=2i- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)sin2t+C_(2)cos2t

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ae^(2t)

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=2Ae^(2t)

y``_(част)=4Ae^(2t)

4Ae^(2t)+4*(Ae^(2t))=8e^(2t)

8A=8

[b]A=1[/b]

y_(част)=e^(2t)

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)= [b]С_(1)sin2t+C_(2)cos2t+e^(2t)
[/b]

Решение задачи Коши:
По условию:
[b]y(0)=0[/b]
Подставляем в общее решение:
0=С_(1)*0+С_(2)*1+1

[b]С_(2)=-1[/b]

Находим производную:

y`=2C_(1)cos2t-2C_(2)sin2t+2e^(2t)

По второму условию

[b]y`(0)=3[/b]

3=2C_(1)-2C_(2)*0+2*1

[b]C_(1)=1/2
[/b]
у_(Коши)= [b](1/2)sin2t-cos2t+e^(2t)[/b]

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными.

ydy= α e^(x)dx/(1+e^(x))

∫ ydy= α ∫ e^(x)dx/(1+e^(x)

y^2/2= α ln(e^(x)+1)+lnC

y^2/2=lnC*(e^(x)+1)^( α )

[b]e^(y^2/2)=C*(e^(x)+1)^( α )[/b]

По теореме Пифагора OO_(1)=sqrt(17^2-15^2)=8

h=17-8=9

V=π*9^2*(17-(1/3)*9)=1134π (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
|z|=sqrt((-3)^2+4^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5

cos φ =-3/5
sin φ =4/5

tg φ =-4/3 ⇒ φ =arctg(-4/3)

z=5*(cos φ +isin φ )=5*(cos(arctg(-4/3)+isin(arctg(-4/3))- тригонометрич

z=5*e^(i φ )=5*e^(i*arctg(-4/3))- показательная

б)10 ° =π/18

z=3*(cos(π/18)+i*sin(π/18))- тригонометрическая
Показ:
z=3*e^(-iπ/18) - показательная

в)
x=1
y=tg1

|z|=sqrt(1+tg^21)

cos φ =1/sqrt(1+tg^21)
sin φ=tg1/sqrt(1+tg^21)
tg φ =tg1 ⇒ φ =1

z=sqrt(1+tg^21)*(cos1+isin1) -тригонометрическая

z=sqrt(1+tg^21)*e^(itg1) - показательная

P_(5)=5!=1*2*3*4*5=120

A^(3)_(7)=7!/(7-3)!=7!/3!=4*5*6*7=840

О т в е т. 120+840=960

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=2x-y+9
z`_(y)=-x+2y-6

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0 ⇒ 2x-y-9=0
{z`_(y)=0 ⇒ -x+2y-6=0 ⇒ x=2y-6 и подставляем в первое:

2*(2у-6)-у-9=0
3у-21=0
у=7
х=2*7-6=8

(8;6)

Исследуем на экстремум

z``_(xx)=2
z``(xy)=-1
z``_(yy)=2

Δ=2*2-(-1)*(-1)=3 > 0

(8;6) - точка минимума, так как z``_(xx)=2>0

z_(1)=x_(1)+iy_(1) ⇒ vector{z_(1)}=x_(1)-iy_(1)
z_(2)=x_(2)+iy_(2) ⇒ vector{z_(2)}=x_(2)-iy_(2)

a)
z_(1)+z_(2)=x_(1)+x_(2)+i*(y_(1)+y_(2))

vector{z_(1)+z_(2)}=[b]x_(1)+x_(2)-i*(y_(1)+y_(2))[/b]

vector{z_(1)}+vector{z_(2)}=x_(1)-iy_(1)+x_(2)-iy_(2)=[b]x_(1)+x_(2)-i*(y_(1)+y_(2)) [/b]⇒

vector{z_(1)+z_(2)}=vector{z_(1)}+vector{z_(2)}

б)
z_(1)*z_(2)=(x_(1)+iy_(1))*(x_(2)+iy_(2) )= x_(1)*x_(2)-y_(1)y_(2)+i*(y_(1)x_(2)+y_(2)x_(1))=

vector{z_(1)*z_(2)}=[b]x_(1)*x_(2)-y_(1)y_(2)-i*(y_(1)x_(2)+y_(2)x_(1))[/b]

vector{z_(1)}*vector{z_(2)}=(x_(1)-iy_(1))*(x_(2)-iy_(2))=[b]x_(1)x_(2)-y_(1)y_(2)-i*(y_(1)x_(2)+y_(2)x_(1)[/b]

⇒ vector{z_(1)*z_(2)}=vector{z_(1)}*vector{z_(2)}

Ответ выбран лучшим

Да. Каждому x соответствует один у и обратно: каждому у один х

(прикреплено изображение)

[b]Решаем способом подстановки[/b]

Рассматриваем два случая:
{[b]y=x[/b]
{x^2+x^2-4*(a+1)*x-2a*x+5a^2+8a+3=0

или
{[b]y=-x[/b]
{x^2+x^2-4*(a+1)*x-2a*(-x)+5a^2+8a+3=0

Решаем второе уравнение первой системы:
2x^2-(6a+4)*x+5a^2+8a+3=0

D=(6a+4)^2-4*2*(5a^2+8a+3)=36a^2+48a+16-40a^2-64a-24=-4a^2-16a-8=-4*(a^2+4a+2)

Если D >0 уравнение имеет два корня, система два решения:
a^2+4a+2 < 0⇒ [m]-2-\sqrt{2} < x < -2+\sqrt{2}[/m]

Решаем второе уравнение первой системы:
2x^2-(2a+4)*x+5a^2+8a+3=0

D=(2a+4)^2-4*2*(5a^2+8a+3)=4a^2+16a+16-40a^2-64a-24=-36a^2-48a-8=-4*(9a^2+12a+2)

D>0, уравнение имеет два корня, система два решения:

9a^2+12a+2<0 ⇒ [m]\frac{-2-\sqrt{2}}{3} < x < \frac{-2+\sqrt{2}}{3}[/m]

⇒ первая и вторая система имеют 4 решения при [red] a ∈ ( [m]\frac{-2-\sqrt{2}}{3}; -2+\sqrt{2}[/m])[/red]:

(-2-sqrt(2)) ____ ([m]\frac{-2-\sqrt{2}}{3}[/m]) \\\\\\\\\ (-2+sqrt(2)) ____ ([m]\frac{-2+\sqrt{2}}{3}[/m])

[b]2 способ Графический:[/b]

Выделяем полные квадраты в первом уравнении:

(x^2-4(a+1)x+(2a+2)^2)+(y^2-2ay+a^2)-(2а+2)^2-a^2+5a^2+8a+3=0

(x-(2a+2))^2+(y-a)^2=1

- уравнение окружности с центром в точке (2а+2;а) R=1

y^2=x^2 ⇒ |y|=|x| ⇒ y= ± |x| - две вертикальные прямые - биссектрисы 1-3 и 2-4 углов

Переформулируем задачу: при каких значения параметра а окружность пересекает прямые y= ± |x| в четырех точках

( см. рис.)

x_(o)=2a+2
y_(o)=a ⇒

центры окружностей находятся на прямой [green]x=2y+2
[/green]

Окружность [red]x^2+(y-1)^2=1[/red] имеет с прямыми три общие точки.

Сдвиг влево, про прямой [green]x=2y+2[/green] приведет к тому, что точек пересечения менее четырех.

Значит двигаем вправо.

[blue](x-2)^2+y^2=1[/blue] не имеет точек пересечения с прямыми.

Значит окружности расположены между красной и синей.

Как найти значения а при этом затрудняюсь ответить. См аналитическое решение выше.

(прикреплено изображение)

n=1000
p=0,7
q=1-p=1-0,7=0,3

np=1000*0,7=700
sqrt(npq)=1000*0,7*0,3=sqrt(210) ≈ 14,5

Применяем [i]интегральную[/i] формулу Лапласа
( см. приложение 1)

P_(1000) (0 ≤ x ≤ 725)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(725-700)/sqrt(210)=25/14,5 ≈ 1,7
x_(1)=(0-700)/sqrt(210)=-700/14,5=-48,3

Ф(x_(2))=Ф(1,7)=0,4554 ( cм таблицу )
Ф(x_(1))=Ф(-48,3)=-Ф(48,3)=-0,5
О т в е т.P_(1000) (0 ≤ x ≤725)=0,4554-(-0,5)= 0,4554+0,4999=

=[b]0,9553[/b] (прикреплено изображение)

D_(1)- область горизонтального вида:

-2<y<-1- это полоса ограниченная прямыми y=-2 и y =-1
-(2+y) < x < 0- это часть полосы, ограниченная графиком y=-2-x и осью Оу (x=0) рис. зеленого цвета

D_(2)- область горизонтального вида:

-1 < y < 0- это полоса ограниченная прямыми y=-1 и y =0

sqrt(-y)< x < 0 изобразить невозможно, потому что

х=sqrt(-y) график синего цвета и расположен правее оси Оу (x=0)

Если же
D_(2):-1 < y < 0- это полоса ограниченная прямыми y=-1 и y =0

-sqrt(-y)< x < 0 - это часть полосы, ограниченная графиком х=- sqrt(-y) и осью Оу (x=0)

Тогда область интегрирования D_(1) U D_(2) ( см. рис. 2)

и ее можно записать как область вертикального типа так:

-1 < x < 0

-2-x < y < -x^2

И ответ:

∫ ^(0)_(-1) dx ∫ ^(-x^2)_(-2-x)f(x;y)dy

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

= ∫ ^(1)_(0)dx ∫^(x^2)_(-sqrt(x)) (4xy+3x^2y)dy=

= ∫ ^(1)_(0)(4x+3x^2)*(y^2/2)|^(x^2)_(-sqrt(x))dx=

= ∫ ^(1)_(0)((4x+3x^2)*(x^4/4)-(4x+3x^2)*(x/2))dx=

= ∫^(1)_(0)(x^5+(3/4)x^6-2x^2-3x^3/2)dx=

=((x^6/6)+(3/4)*(x^7/7)-(2x^3/3)-(3x^4/8))|^(1)_(0)=

=(1/6)+(3/28)-(2/3)-(3/4)=(3/28)-(5/4)=-32/28=-8/7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Числа противоположны, длины равны:
|2-i|=sqrt(2^2+(-1)^2)=sqrt(5)
|-2+i|=sqrt(2^2+(-1)^2)=sqrt(5)

Пусть a и b - основания трапеции, c и d - боковые стороны

По условию задачи:
Трапеция вписана в окружность ⇒ она равнобедренная ⇒ с=d

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

a+b/2=25 ⇒ a+b=50

P=a+b+c+d=50+c+d

60=50+2c

2c=10

c=d=5

О т в е т. c=d=5

z`_(x)=cos α y*(cos2x)*(2x)`_(x)=2*cos( α y)*cos2x
z`_(y)=sin2x*(-sin (α y))*( α y)`_(y)=- α *sin2x*sin( α y)

z``_(xx)=2cos( α y)*(-sin2x)*(2x)`_(x)=-4*cos( α y)*sin2x

z``_(xy)=2cos2x*(-sin( α y)*( α y)`_(y)=-2 α *cos2x*sin( α y)

z``_(yy)= α *sin2x*(cos( α y))*( α y)`= α ^2*sin2x*cos( α y)

Дробь равна 0 тогда и только тогда, кода числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля

{9x^2-a^2=0 ⇒ x=a/3 или x=-a/3
{x^2+8x+16-a^2 ≠ 0

Уравнение имеет два корня x_(1)=a/3; x_(2)=-a/3, если [red]а ≠ 0 [/red] и эти корни не являются корнями знаменателя.

Надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.

Для этого можно найти корни x_(3) и x_(4) знаменателя:
x^2+8x+16-a^2 = 0

и решить неравенства:
x_(1) ≠ x_(3);
x_(1) ≠ x_(4)

и
x_(2) ≠ x_(3);
x_(2) ≠ x_(4)

[blue]Можно подставить[/blue] x_(1) и x_(2) во второе неравенство

(a/3)^2+8*(a/3)+16-a^2 ≠ 0 ⇒ a^2-3a-18 ≠ 0 ⇒ a ≠ -3; a ≠ 6
и
(-a/3)^2+8*(-a/3)+16-a^2 ≠ 0 ⇒ a^2+3a-18 ≠ 0 ⇒ a ≠ -3; a ≠ 6

[red]О т в е т. (- ∞ ;-6)U(-6;-3)U(-3;0)ГU(0;3)U(3;6)U(6; + ∞ )[/red]

можно посмотреть решения аналогичных задач:
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=47048

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37732

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37757

Находим абсциссу точки пересечения
y=17x и x-5y+5=0

17х=(х+5)/5

85х=х+5

84х=5

х=5/84

S= ∫ ^(3)_(5/84)(17x-(x+5)/5)dx= ∫ ^(3)_(5/84)(84x-5)/5dx=

=((84/5)*(x^2/2)-x)|^(3)_(5/84)=(84/5)(9/2)-3-(42/5)*(5/84)^2+(5/84)=

=(378/5)-3-(5/168)+(5/84)=61009/840 ≈ 72,6 (прикреплено изображение)

a)
z=x+iy
z- точка с координатами (x;y)

z`=x+iy-3=(x-3)+iy

z` - точка с координатами (x-3;y)

б)
z=x+iy
z- точка с координатами (x;y)

z`=ix-y
z`- точка с координатами (-y;x)

в)
z=x+iy
z- точка с координатами (x;y)

z`=x+iy+2-i=(x+2)+i(y-1)
z`- точка с координатами (x+2;y-1)

Ответ выбран лучшим

а)
x+y+i*(x-y)=3-i

x+y=3
x-y=1

2x=4
x=2
y=1

б)
x+y=0
xy=1

x=-y
-y^2=1
y^2=-1
нет действительных решений.

Ответ выбран лучшим

По частям:
u=4-x ⇒ du=(4-x)`dx=-dx
dv=cosxdx ⇒ v= ∫ cosxdx=sinx

∫ cosx*(4-x)dx=sinx*(4-x) - ∫ sinx*(-dx)=

=(4-x)*sinx-cosx+C

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=3x^2-15x^2*y
z`_(y)=3y^2-5x^3

Ответ выбран лучшим

u=5-3x^2
du=d(5-3x^2)=(5-3x^2)`dx=-6xdx

xdx=(-1/6)d(5-3x^2)

∫ (-1/6)*(5-3x^2)^(-7)d(5-3x^2)=(-1/6)*(5-3x^2)^(-7+1)/(-7+1)=

=(1/36)*(1/(5-3x^2)^6)+C

Ответ выбран лучшим

[i]Тригонометрическая подстановка[/i]
x=2sint; dx=2costdt

∫ sqrt(4-x^2)dx= ∫ sqrt(4-4sin^2t)*2costdt= ∫ 2cost*2costdt=

=4 ∫cos^2tdt= 2 ∫ (1+cos2t)dt=2t+2*(1/2)sin2t+C=

[blue]sint=x/2 ⇒ t=arcsin(x/2)

cost=sqrt(1-sin^2t)=sqrt(1-(x/2)^2)=sqrt(4-x^2)/2

sin2t=2sint*cost=2*(x/2)*sqrt(4-x^2)/2=x*sqrt(4-x^2)/2[/blue]

=2*arcsin(x/2)+(x*sqrt(4-x^2)/2)+C

Ответ выбран лучшим

u=x^6+7
du=d(x^6+7)=(x^6+7)`dx=6x^5dx ⇒ x^5dx=(1/6)d(x^6+7)

∫[m]\frac{x^5dx}{\sqrt{x^6+7}}=\frac{1}{6} ∫ (x^6+7)^{-\frac{1}{2}}d(x^6+7)=[/m] [m]
\frac{1}{6}\frac{(x^6+7)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}(x^6+7)^{\frac{1}{2}}+C[/m]

Ответ выбран лучшим

p=0,2
q=1-0,2=0,8

n=750
np=750*0,2=150
npq=750*0,2*0,8=120
sqrt(npq)=sqrt(120) ≈ 11

P_(750)(120 ≤ k ≤ 750)=?

Применяем интегральную формулу Лапласа.
P_(750) (120 ≤ x ≤750)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(750-150)/sqrt(120)=600/11
x_(1)=(120-150)/sqrt(120)=-30/11=

Ф(x_(2))=Ф(600,11)=0,5 ( cм таблицу )
Ф(x_(1))=Ф(-30/11)=-Ф(30/11)=-
О т в е т.P_(750) (120 ≤ x ≤ 750)=0,5-(-...)=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=C^(3)_(25)=25!/(3!*(25-3)!)=23*24*25/6=2300

m=C^(3)_(8)=8!/(3!*(8-3)!)=6*7*8/6=56

p=m/n=56/2300=

Ответ выбран лучшим

Решаем уравнение:
x^4[red]+[/red]2x^3–12x^2-18x+27=0

x=-3; x=1; x=3 - корни уравнения

A∪B={-3;-1;1;3;4}

B∩A={-3;1;3}

A\B={-1;4}

B\A= ∅

ИЛИ

x^4-2x^3–12x^2[red]+[/red]18x+27=0
x=-3;x=-1; x=3 - корни уравнения

A∪B={-3;-1;1;3;4}

B∩A={-3;-1;3}

A\B={1;4}

B\A= ∅

y`=2*(2x-3)*(2x-3)`*e^(2-x)+(2x-3)^2*e^(2-x)*(2-x)`

y`=4*(2x-3)*e^(2-x)+(2x-3)^2*e^(-x)*(-1)

y`=(2x-3)*e^(2-x)*(4-2x+3)

y`=(2x-3)*e^(2-x)*(7-2x)

y`=0

e^(2-x) >0

2x-3=0 или 7-2x=0

x=1,5 или х=3,5

Знак производной:

_-__ (1,5) __+__ (3,5) __-_

x=1,5 - точка минимума

Ответ выбран лучшим

log_(a)b=1/log_(b)a

log_(b)(a^(10)*b^(6))=log_(b)a^(10)+log_(b)b^(6)=

=10log_(b)a+6log_(b)b=10*(-1/2)+6*1=1

Ответ выбран лучшим

{1-3cosx ≥ 0 ⇒ [b]cosx ≤ 1/3[/b](#)
{3sin^2x-2=(1-3cosx)^2 ⇒ 3*(1-cos^2x)-2=1-6cosx+9cos^2x ⇒

12cos^2x-6cosx=0

6cosx*(2cosx-1)=0 ⇒ cosx=0 или сosx=1/2 не удовл усл. (#)

[b]x=π/2+πk, k ∈ Z[/b]

Указанному отрезку принадлежат корни:

[b]-3π/2;-π/2; π/2; 3π/2[/b]

z`_(x)=6x^2+8x-2y
z`_(y)=2y-2x

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{6x^2+8x-2y=0
{2y-2x=0 ⇒ y=x

6x^2+8x-2x=0

3x^2+6x=0

3x*(x+2)=0

x=0; x=-2
y=0; y=-2

Указанной области принадлежит только точка (0;0) и она является граничной.

Значит, исследуем функцию на границах:

[b]y=x^2[/b]

z=2x^3+4x^2+(x^2)^2-2x*x^2

z=x^4+4x^2

z`=4x^3+8x

z`=0
x=0;

y=4
z=2x^3+4x^2+4^2-2x*4

z=2x^3+4x^2-8x+16

z`=6x^2+8x-8

z`=0

6x^2+8x-8=0

3x^2+4x-4=0

D=16-4*3*(-4)=64

x=(-4-8)/6=-2; x=(-4+8)/6=2/3

z(0;0)=0- наименьшее значение

z(2/3; 4)=2*(2/3)^3+4*(2/3)^2+4^2-2*(2/3)*4=...

x^2-25lnx-1=0

x^2-1=25lnx

x=1- единственный корень уравнения

так как 1^2-1=25ln1; ln1=0

x=1 - точка максимума, при переходе через точку производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции:

2*(4cos α -sin α)=3*(sin α +2cos α)

8cos α -6cos α =3sin α +2sinα

2cos α =5sin α

2ctg α =5

[b]ctg α =5/2[/b]

Ответ выбран лучшим

x^2>0 ⇒ x - любое, кроме 0, потому что в нуле: 0 >0 - неверно

x^2 ≥ 0 ⇒ х - любое, в том числе и 0

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла

Первый множитель
2cosx+1=0 ⇒ cosx=-1/2 ⇒ x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

При этом корни должны удовлетворять условию:
9π- x ≥ 0, т. е. х ≤ 9π, т. е

[b]x= ± (2π/3)+2πn,[/b]
n ∈ {0,1,2,3,4}UN_(-)

N_(-) - числа, противоположные натуральным.

Второй множитель равен 0:
9π-х=0 ⇒[b]х=9π[/b]

Указанному отрезку принадлежат корни:
14π/3; 16π/3; 20π/3; 22π/3; 26π/3

Ответ выбран лучшим

Δ DSC- равносторонний ⇒ DC=L=4

Δ BSC- равнобедренный:

BC=2L*sin15 ° =8sin15 °

Δ BDC- прямоугольный, ∠ BCD=90 °

BD^2=DC^2+BC^2=4^2+64sin^215 °=16*(1+2*2sin^215 ° )=

=16*(1+2*(1-cos30 ° ))=16*(3-sqrt(3))

BD=4sqrt(3-sqrt(3))

BO=2sqrt(3-sqrt(3)) ⇒ R=2sqrt(3-sqrt(3))

SO^2=SB^2-BO^2=4^2-(2sqrt(3-sqrt(3)))^2=16-4*(3-sqrt(3))=4*(1+sqrt(3))

H=2*sqrt(1+sqrt(3))

V=(1/3)π*R^2*H=(1/3)*π*(2sqrt(3-sqrt(3)))^2*2*sqrt(1+sqrt(3))=...

S_(бок)=π*R*L=π*(2sqrt(3-sqrt(3))) * 4=...

S=2 ∫ ^(π)_(0)(sinx-(x-π))dx= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=1/x

1+(y`)^2=1+(1/x)^2=(x^2+1)/x^2

L= ∫ ^(sqrt(15))_(sqrt(8))sqrt(x^2+1)dx/x=...

Замена переменной:
sqrt(x^2+1)=t
x^2=t^2-1
x=sqrt(t^2-1)
dx=tdt/sqrt(t^2-1)

x=sqrt(15); t=4
x=sqrt(8); t=3

= ∫ ^(4)_(3)t^2dt/(t^2-1)= ∫^(4)_(3)dt+ ∫^(4)_(3)dt/(t^2-1)=

= [b]([/b] t+(1/2)ln|(t-1)/(t+1)|[b])[/b] |^(4)_(3)=(4-3)+(1/2)ln(3/5)-(1/2)ln(2/4)=

=[b]1+(1/2)ln(6/5)[/b]

Ответ выбран лучшим

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 ⇒ x^2=a^2*(1+(y^2/b^2))

ψ ^2(y)=a^2*(1+(y^2/b^2))

V=π ∫ ^(b)_(-b)a^2*(1+(y^2/b^2))dy=π(a^2)*(y+(y^3/(3b^2)))|^(b)_(-b)=π*a^2*(2b+(2/3)b)=(8/3)πa^2b (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x`_(t)=a*(1-cost)
y`_(t)=a*(sint)

(x`_(t))^2=a^2*(1-2cost+cos^2t)
(y`_(t))^2=a^2sin^2t

[b](x`_(t))^2+(y`_(t))^2=[/b] a^2([b]1-2cost+cos^2t+sin^2t[/b])=a^2([b]2-2cost[/b])=a^2*2*(2sin^2t/2)=4a^2sin^2(t/2)

sqrt((x`_(t))^2+(y`_(t))^2)=[red]2a*sin(t/2)[/red]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ BOC - равнобедренный:OB=OC=R
∠ B= ∠ C=75 °

Проводим ОК ⊥ ВС

ВК=КС =a/2

cos ∠ C=CK/OC ⇒

OB=OC=(a/2)/cos75° =a/(2cos75 °)

Δ BOC - равнобедренный: SB=SC=a

По теореме Пифагора
SO=sqrt(SB^2-OB^2) - высота

V=(1/3)π*R^2*H=(π/3)*(a^2)/(4cos^275 ° )*sqrt(a^2+(a^2/(4cos^275 °)))=

так как 2cos^275 ° =1+cos150 ° =1-cos30 ° =1-(sqrt(3)/2)

=(π/3)*(a^2/(2-sqrt(3)))* a*sqrt(3-sqrt(3))/(2-sqrt(3))=

=(a^3π/3)*sqrt ((3-sqrt(3))/(2-sqrt(3))^3)

S_(бок)=π*R*L=π*(a/2)*(1/cos^275 ° )*a=(a^3*π)/(2-sqrt(3))

=lim_(a → - ∞ ) ∫ ^(0)_(a)cos3xdx=lim_(a → - ∞ ) ( (1/3)sin3x)|^(0)_(a)=

=(1/3)*0-(1/3)lim_(a → - ∞ )sin3a не существует. Расходится

Ответ выбран лучшим

y=∛x - красного цвета

y=∛(x+1) - синего цвета, получен из красного сдвигом на 1 влево

y=∛(x+1) -1 - зеленого цвета, получен из синего сдвигом на 1 ед вниз (прикреплено изображение)

Возводим в квадрат:
2-sinx-sqrt(3)sinx>1 ⇒ -(1+sqrt(3))sinx>-1 ⇒

sinx< 1/(1+sqrt(3))=(sqrt(3)-1)/2

[b]
-π- arcsin((sqrt(3)-1)/2) +2πn < x <arcsin((sqrt(3)-1)/2) +2πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

sinx+cosx=t

(sinx+cosx)^2=t^2 ⇒ sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2 ⇒ 1+2sinx*cosx=t^2

3*(t^2-1)>t+1

3t^2-t-4 >0

D=1-4*3*(-4)=49

t_(1)=-1; t_(2)=4/3

t <-1 ИЛИ t > 4/3

sinx+cosx <-1

cosx=sin((π/2)-x)

sinx+cosx=sinx+sin((π/2)-x)=2sin(π/4)cos(x-(π/4))=2*(sqrt(2)/2)cos(x-(π/4))=sqrt(2)cos(x-(π/4))

sqrt(2)cos(x-(π/4)) < -1

cos(x-(π/4)) <-1/sqrt(2)

(3π/4)+2πn < x-(π/4) < (5π/4)+2πn

[b](π)+2πn < x < (3π/2)+2πn [/b]

ИЛИ
sqrt(2)cos(x-(π/4)) <4/3

cos(x-(π/4)) >2sqrt(2)/3

-arccos(2sqrt(2)/3)+2πn < x-(π/4) < arccos(2sqrt(2)/3)+2πn

[b](π/4)-arccos(2sqrt(2)/3)+2πn < x < arccos(2sqrt(2)/3)+(π/4)+2πn [/b]

n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1.
Образующая цилиндра и есть высота.
H=L=13

Тогда R=5 - лишнее данное в задаче

Если речь не о цилиндре, а о конусе,
то
H^2=L^2-R^2=13^2-5^2=169-25=144, H=12

2.

r^2_(cечения)=R^2-d^2=41^2-9^2=760

S_(сечения)=π*r^2=π*760=760*π

z`_(x)=3x^2-6y
z`_(y)=24y^2-6x

a)
z`_(x)(M_(o))=3(-1)^2-6*0=3
z`_(y)(М_(о))=24*(0)^2-6*(-1)=6

gradz(M_(o))=3*vector{i}+6*vector{j}

б)
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{3x^2-6y=0 ⇒ 2y=x^2
{24y^2-6x=0

6x^2-6x=0
x=0; x=1
y=0; y=1/2

K(0;0)

N(1;1/2)

z``_(xx)=6x
z``_(xy)=-6
z``_(yy)=48y

Находим значения вторых производных в точке К
A=z``_(xx)=6*0=0
B=z``_(xy)=-6
C=z``_(yy)=0

Определитель Δ =AC-B^2=-(-6)^2 <0

Точка К не является точкой экстремума

Находим значения вторых производных в точке N
A=z``_(xx)=6*1=6
B=z``_(xy)=-6
C=z``_(yy)=48*(1/2)=24

Определитель Δ =AC-B^2=6*24-(-6)^2 >0

Точка N является точкой экстремума, так как А=6 >0

N- точка минимума

Ответ выбран лучшим

2cos^2x=1+cos2x

sin^22x=1-cos^22x

2*(1-cos^22x)+1+cos2x-3 ≥ 0

2cos^22x-cos2x ≤ 0

cos2x*(2cos2x-1) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ cos2x ≤ 1/2

(-π/2)+2πn ≤ 2x ≤(-π/3)+2πn или (π/3)+2πn ≤ 2x ≤(π/2)+2πn, n ∈ Z

[b](-π/4)+πn ≤ x ≤(-π/6)+πn или (π/6)+πn ≤ x ≤(π/4)+πn, n ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Раcкроем скобки:
2cos^22x-2cos2x-sqrt(2)cos2x+sqrt(2)>0

Перегруппируем:
(2cos^22x-2cos2x)-(sqrt(2)cos2x-sqrt(2))>0

2сos2x*(cos2x-1)-sqrt(2)*(cos2x-1) >0

(cos2x-1)*(2cos2x-sqrt(2)) >0

cos2x < 1/2 или cos2x > sqrt(2)/2

(π/3)+2πn < 2x < (5π/3)+2πn, n ∈ Z или (-π/4)+2πk< 2x <(π/4)+2πk, k ∈ Z

(π/6)+πn < x < (5π/6)+πn, n ∈ Z или (-π/8)+πk< x <(π/8)+πk, k ∈ Z

О т в е т. (π/6)+πn < x < (5π/6)+πn, n ∈ Z или (-π/8)+πk< x <(π/8)+πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

sin2x=t

dt=d(sin2x)=(sin2x)`dx=cos2x*(2x)`dx=2cos2xdx ⇒

cos2xdx=dt/2

∫ sin^32x*cos2xdx= ∫ t^3*(dt/2)=(1/2) ∫ t^3dt=(1/2)(t^4/4)+C=

=(1/8)sin^42x+C

Ответ выбран лучшим

Формула
sin α *cos α =(1/2)sin2α

(1/2)sin((2π/3)-4x) ≥ -√3/4 ⇒ sin((2π/3)-4x) ≥ -√3/2

sin(4x-(2π/3) ≤ √3/2

(-4π/3) +2πn ≤ 4x-(2π/3) ≤ (π/3)+2πn, n ∈ Z

(-4π/3) +(2π/3)+2πn ≤ 4x ≤ (π/3)+(2π/3)+2πn, n ∈ Z

(-2π/3)+2πn ≤ 4x ≤ π+2πn, n ∈ Z

[b](-π/6)+(π/2)n ≤ x ≤ (π/4)+(π/2)n, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

1. Линейное уравнение с параметром:

px+9=11x+5p ⇒ (p-11)x=5p-9

если p-11=0, т.е p=11, уравнение принимает вид:

0x=55-9 - не имеет решений. 0 слева никогда не равен 46

если p-11 ≠ 0, то x=[m]\frac{5p-9}{p-11}[/m] - единственное решение.

О т в е т. при p=11 уравнение не имеет корней
при p ≠ 11 уравнение имеет единственное решение x=

2.
Если a ≥ 0, уравнение имеет решения:
5x-15=а или 5x-15=-a
5x=a+15 или 5x=-a+15

x=[m]\frac{a+15}{5}[/m] или x=[m]\frac{-a+15}{5}[/m]

О т в е т. при a < 0 уравнение не имеет корней
при a ≥ 0 уравнение имеет два корня:[m]\frac{a+15}{5}; \frac{-a+15}{5}[/m]

3.
9^(x+6,5) >0 при любом х.

Уравнение имеет решение при 2p-8 >0, т.е

при p > 4

О т в е т. p > 4

Ответ выбран лучшим

lim_(x → 1)[m]\frac{x^2-3x+2}{4-x-3x^2}=\frac {1^2-\cdot 1+2}{4-1-3\cdot 1^2}=\frac{0}{0}=[/m]- неопределенность.

Раскладываем и числитель и знаменатель на множители:

x^2-3x+2=0
D=9-4*2=1
x_(1)=1; x_(2)=2

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

-3x^2-x+4=0

3x^2+x-4=0
D=1^2-4*3*(-4)=49
x_(3)=-4/3; x_(4)=1

3x^2+x-4=3*(x-1)(x-(-4/3))=(x-1)*(3x+4)

4-x-3x^2=-(x-1)(3x+4)

lim_(x → 1)[m]\frac{x^2-3x+2}{4-x-3x^2}=[/m]lim_(x → 1)[m]\frac{(x-1)(x-2)}{-(x-1)(3x+4)}=[/m]

=lim_(x → 1)[m]\frac{x-2}{-(3x+4)}=\frac{1-2}{-(3+4)}=\frac{1}{7}[/m]

Ответ выбран лучшим

Вводим вспомогательный аргумент.
Делим на 2sqrt(3)

(1/2)sin2x-(sqrt(3)/2) cos2x ≥ 1 ⇒

(1/2)=sin(π/6)
(sqrt(3))/2=cos(π/6)

sin(π/6)*sin2x-cos(π/6)*cos2x ≥ 1

По формуле cos α cos β -sin α sin β =cos( α + β )

-cos(2x+(π/6)) ≥ 1 ⇒ cos(2x+(π/6)) ≤ -1 ⇒ cos(2x+(π/6)=-1

2x+(π/6)=π+2πn, n ∈ Z

2x=(5π/6)+2πn, n ∈ Z

[b]x=(5π/12)+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

=(x^2/2)|^(1)_(0)(y^2/2)^(1)_(0)=(1/2)*(1/2)=1/4

Cм графики y=sqrt(sinx) и y=sqrt(cosx) на рис.1

Тогда сумма y=sqrt(sinx)+sqrt(cosx) определена на [0;π/2] и принимает значения
1 ≤ y ≤ sqrt(sin(π/4))+sqrt(cos(π/4))=2sqrt(sqrt(2)/2) ≈ 1,67

(cм. рис.2)

В силу периодичности, ответ (0+2πn; (π/2)+2πn), n ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Истытание состоит в том, что из девяти человек выбирают пять.

Событие А - " в группе 2 маркетолога из четрыех и 3 дизайнера из пяти, при этом влюбленная пара входит в их число"

Так как пара влюбленных уже в группе.
Выбираем для загранкомандировки одного маркетолога из трех оставшихся и двух дизайнеров из четырех

p=C^(1)_(3)*C^(2)_(4)/C^(5)_(9)=18/126=1/7

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(1) - студент подготовлен отлично
H_(2) - студент подготовлен хорошо
H_(3) - студент подготовлен средне
H_(4) - студент подготовлен плохо

p(H_(1))=3/10
p(H_(2))=4/10
p(H_(3))=2/10
p(H_(4))=1/10

событие A- "случайно выбранный студент ответил на 3 случайных вопроса"

p(A/H_(1))=1
p(A/H_(2))=C^3_(16)/C^(3)_(20)=560/1140
p(A/H_(3))=C^3_(10)/C^(3)_(20)=120/1140
p(A/H_(4))=C^3_(5)/C^(3)_(20)=10/1140

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))+p(H_(4))*p(A/H_(4))=(3/10)*1+(4/10)*(560/1140)+(2/10)*(120/1140)+(1/10)*(10/1140)=...

По формуле Байеса:
a)p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=(3/10)/(...)

б))p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=(4/10)*(560/1140)/(...)

D=(-2)^2-4*5=-16
sqrt(-16)=sqrt(16)*sqrt(-1)=4i

x_(1)=(2-4i)/2=[b]1-2i[/b]; x_(2)=(2+4i)/2=[b]1+2i[/b]

Ответ выбран лучшим

|cos4x| ≤ 1; |sinx| ≤ 1

произведение равно (-1) когда один множитель (-1) второй 1
Так как cos^(14)4x ≥ 0 ⇒

{cos^(14)4x=1 ⇒ cos4x=1
{sinx=-1 ⇒ x=(-π/2)+2πn, n ∈ Z

подставляем в первое уравнение:

сos(4*((-π/2)+2πn)=cos(-2π+8πn)=cos(-2π)=cos(2π)=1- верно

О т в е т.(-π/2)+2πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

sin^4x-cos^4x=(sin^2x-cos^2x)*(sin^2x+cos^2x)=-cos2x

-cos2x ≤ √3/2 ⇒ cos2x ≥ -√3/2 ⇒ (-π/6)+2πn ≤2 x ≤ (π/6)+2πn, n ∈ Z

[b](-π/12)+πn ≤ x ≤ (π/12)+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

Преобразуем каждое уравнение:
y-3=sqrt(7+6x-x^2)
Возводим в квадрат:
(y-3)^2=7+6x-x^2

(x^2-6x+9)+(y-3)^2=16

(x-3)^2+(y-3)^2=16

Первое уравнение системы - верхняя [i]часть окружности[/i]
(x-3)^2+(y-2)^2=16
с центром (3;3)
R=4

Второе уравнение системы - верхняя [i]часть окружности[/i]
(x-a)^2+(y-a)^2=16
с центром (a;a)
R=4

При a=3 система имеет бесчисленное множество решений

О т в е т. [-1;3)U(3;7] (прикреплено изображение)

Применяем формулу:

sin α *sin β =(1/2)*((cos( α - β )-cos( α + β ))

cos(-x)-cos3x < cos(-x)-cos7x

cos7x-cos3x <0

Применяем формулу:

cos α -cos β =-2sin( α + β)/2*sin( α - β)/2

-2sin5x*sin2x <0

[m]\left\{\begin{matrix} sin5x>0\\sin2x>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} sin5x<0\\sin2x<0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 2 \pi n <5x< \pi +2 \pi n, n \in Z\\ 2 \pi m <2x< \pi +2 \pi m, m \in Z \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} -\pi+2 \pi n <5x< 2 \pi n, n \in Z\\-\pi+2 \pi m <2x< 2 \pi m, m \in Z\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{2\pi}{5} n <x<\frac{\pi}{5} +\frac{2\pi}{5} n, n \in Z\\ \pi m <x<\frac{\pi}{2} + \pi m, m \in Z \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} -\frac{\pi}{5} +\frac{2\pi}{5} n <x< \frac{2\pi}{5} n, n \in Z\\-\frac{\pi}{2}+ \pi m <x< \pi m, m \in Z\end{matrix}\right.[/m]

О т в е т ( см рис.)

[m](2\pi n;\frac{\pi}{5}+2\pi n)\cup ( \frac{2\pi}{5}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup(\frac{6\pi}{5}+2\pi n;\frac{7\pi}{5}+2\pi n)\cup[/m][m]\cup(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;-\frac{2\pi}{5}+2\pi k)\cup( -\frac{\pi}{5}+2\pi k; 2\pi k)\cup( \frac{3\pi}{5}+2\pi k;\frac{4\pi}{5}+2\pi k)[/m], k, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\sqrt[6]{a^6}=|a|[/m]

a < 0

|a|=-a

[m]\sqrt[9]{a^9}=a[/m]

-а+а=0
О т в е т.0

Асимптоты гиперболы

[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

имеют вид:

[m]y=\pm\frac{b}{a}[/m]⇒[m]\frac{b}{a}=\frac{4}{5}[/m]⇒[m]b=\frac{4}{5}a[/m]

[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{\frac{16}{25}a^2}=1[/m]

Подставляем координаты точки А и находим a:
[m]\frac{(5\sqrt{2})^2}{a^2}-\frac{1^2}{\frac{16}{25}a^2}=1[/m] ⇒

[m]a^2=\frac{25\cdot 31}{16}[/m]

[m]b^2= 31[/m]

О т в е т. [m]\frac{x^2}{\frac{775}{16}}-\frac{y^2}{31}=1[/m]

Ответ выбран лучшим

Делим на х:

y`-(1/x)*y=x*cosx

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-(1/x)*u*v=x*cosx

Группируем:

u`*v+(u*v`-(1/x)*u*v)=x*cosx

u`*v+u([blue]v`-(1/x)*v[/blue])=x*cosx

Полагаем,
[blue]v`-(1/x)*v=0[/blue] ⇒ урав с разд перем dv/v=dx/x ⇒ v=x

тогда

u`*v+u([blue]0[/blue])=x*cosx ⇒ u`*x=x*cosx ⇒ ⇒ u`=cosx

u=sinx+C

y=u*v=(sinx+C)*x

[b]y=x*sinx+Cx
[/b]

y=2+(1/x^2)

Область определения: x ≠ 0

x=0 - вертикальная асимптота

y=2 - горизонтальная асимптота

y`=-2/x^3

y` >0 если x < 0 ⇒ функция возрастает на (- ∞ ;0)

y` < 0, если x > 0 ⇒ функция убывает на (0;+ ∞ )

Нет экстремумов

y``=6/x^4 > 0 при x ≠ 0

функция выпукла вниз

(прикреплено изображение)

Cлучайная величина Х - число появления синих шариков среди трех наугад взятых.

Может принимать значения: 0;1;2;3

X=0 нет синих шаров, т.е из каждой урны вынут желтый шарик

p_(o)=(6/10)*(7/10)*(2/10)=84/1000

X=1 один синий шарик, т.е из какой-то одной урны вынут синий, а из двух других-желтый шарик

p_(1)=(4/10)*(7/10)*(2/10)+(6/10)*(3/10)*(2/10)+(6/10)*(7/10)*(8/10)=428/1000

X=2 два синих шарика, т.е из двух урн вынут синий шарик, а из третьей - желтый шарик

p_(2)=(4/10)*(3/10)*(2/10)+(4/10)*(7/10)*(8/10)+(6/10)*(3/10)*(8/10)=392/1000

X=3 все три шарика- синие
p_(3)=(4/10)*(3/10)*(8/10)=96/1000

закон распределения случайной величины Х - таблица, в верхней строке значения случайной величины от 0 до 3

Во второй - из вероятности ( см. приложение)

Функция распределения

0,084+0,428=0,512
0,084+0,428+0,392=0,904
0,084+0,428+0,392+0,096=1

[m]F(x)\left\{\begin{matrix} 0, x \leq 0\\ 0,084, 0 < x \leq 1 \\0,512, 1 < x\leq 2 \\ 0,904, 2 < x \leq 3\\1, x > 3 \end{matrix}\right.[/m]

График, ступенчатая функция (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

xy`=3-y - уравнение с разделяющимися переменными.

y`=dy/dx

dy/(3-y)=dx/x

∫ dy/(3-y)= ∫ dx/x

-ln|3-y|=ln|x|+lnC

[b]1/(3-y)=Cx[/b]

2.

Линейное первого порядка. Решение в виде произведения двух функций

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`- (u*v)/sinx=tg(x/2)

Группируем:

u`*v+(u*v`- (u*v/sinx))=tg(x/2)

u`*v+u*(v`- (v/sinx))=tg(x/2)

Полагаем
v`- (v/sinx)=0

Это уравнение с разделяющими переменными

dv/v=dx/sinx

∫ dv/v =∫dx/sinx ( табличный интеграл, см формулу в приложении)

ln|v|=ln|tg(x/2)| ⇒ v=tg(x/2)

Тогда

u`tg(x/2)+u*0=tg(x/2)

Это уравнение с разделяющими переменными

u= x+C

y=u*v=(x+C)*tg(x/2)

О т в е т. y=x*tg(x/2) + C*tg(x/2)

3.
y`-2y=2x

Линейное первого порядка. Решение в виде произведения двух функций

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-2u*v=2x

v`-2v=0 ⇒ dv/v=2dx ⇒ lnv=2x ⇒ ⇒ v=e^(2x)

u`*e^(2x)=2x

u`=2x/e^(2x)

u= ∫ e^(-2x)*(2x)dx= считаем по частям

... (прикреплено изображение)

H^2=L^2-R^2

L=4H
R=3

H^2=(4H)^2-3^2 ⇒15H^2=9 H=sqrt(3/5)

V=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*3^2*sqrt(3/5)=[b]3*π*sqrt(3)/sqrt(5)[/b]

Ответ выбран лучшим

Сходится по признаку Даламбера

lim_(n → ∞ ) a_(n+1)/a_(n)=lim_(n → ∞ ) (2n+1)/(3*(2n+3))=1/3 < 1

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+10k+25=0
k_(1) =k_(2)=-5 – корень действительный кратный

f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x) ⇒ y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1)=Ax^2e^(-5x)

y_(част 2)=(ax+b)*e^(x)

Ответ выбран лучшим

Уравнение Бернулли.

Делим на 4x

y`+(3/(4x))y=(-e^(x)/4x)y^5

Решаем методом Бернулли.

Решение находим в виде произведения u*v

y=u*v

Находим производную

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в данное уравнение:

u`*v+u*v`+(3/(4x))*u*v=(-e^(x)/4x)u^5*v^5

Группируем:

u`*v+u*([blue]v`+(3/(4x))*v[/blue])=(-e^(x)/(4x))u^5*v^5

Функцию v=v(x) выбираем так, чтобы:
[blue]v`+(3/(4x))*v=0[/blue]

Это уравнение с разделяющимися переменными

dv/v=-(3/4)dx/x

∫dv/v=-(3/4) ∫ dx/x

ln|v|=-(3/4)ln|x| ⇒ [b]v=x^(-3/4)[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид:
u`*(x^(-3/4))+u*([blue]0[/blue])=(-e^(x)/(4x))u^5*(x^(-3/4))^5

Уравнение с разделяющимися переменными:

du/u^5=-e^(x)x^(-3)dx

∫u^(-5)du=- ∫e^(x)dx/(4x^4)

....

Справа интеграл можно считать приближенно разложением в ряд e^(x)

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k+2=0
D=4-8=-4
k_(1)=-1-i; k_(2)=-1+i - корни[i] комплексно-сопряженные[/i]

α =-1; β =1

y_(част)=ax^2+bx+c

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x ≠ 0

Умножаем на x^2 ≠ 0

9^(x)*x^2+54 ≥ 7*x*3^(x+1)

3^(x+1)=3^(x)*3^(1)

9^(x)=(3^2)^(x)=(3^(x))^(2)

(3^(x))^2*x^2-21*(3^(x))*x+54 ≥ 0

Квадратное неравенство относительно (3^(x)*x)

(3^(x)*x)^2-21*(3^(x)*x)+54 ≥ 0

Решаем уравнение:

D=21^2-4*54=441-216=225
корни:
(3^(x)*x)=(21-15)/2=3; 3^(x)*x=(21+15)/2=18
Решение неравенства:

3^(x) ≤ 3/x или 3^(x) ≥ 18/x

Решаем графически:

0< x ≤ 1 ( рис.1) или x<0 или x ≥ 2

О т в е т. (- ∞; 0)U(0;1]U[2;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

sin2x=2sinx*cosx

По формулам приведения:
sin((π/2)-x)=cosx

Уравнение:
[b]2cos^3x=cosx+sinx*cosx[/b]

2cos^3x-cosx-sinx*cosx=0

cosx*(2cos^2x-sinx-1)=0

cosx*(2-2sin^2x-sinx-1)=0

cosx*(2sin^2x+sinx-1)=0

cosx=0 или 2 sin^2x+sinx-1=0

x=[b](π/2)+πn, n ∈ Z[/b] или D=1-4*2*(-1)=9 корни 1/2 и -1 ⇒

sinx=1/2 ⇒ x=[b](-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

sinx=-1 ⇒ x=[b](-π/2)+2πm, m ∈ Z[/b]

О т в е т.
а) (π/2)+πn, n ∈ Z; (-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

б)(π/2); (3π/2) ∈ (-π/2; 5π/2)
(π/6); (5π/6);(π/6)+2π=(13π/6) ∈ (-π/2; 5π/2) (прикреплено изображение)

[m](x-1)\sqrt{2x-a}=x-x^2[/m] ⇒[m](x-1)\sqrt{2x-a}+(x-1)\cdot x=0[/m]

[m](x-1)(\sqrt{2x-a}+x)=0[/m]

Произведение двух множителей равно 0, если хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла:

x-1=0 при 2-a ≥ 0, [b]a ≤ 2[/b]

[red]Уравнение имеет один корень х=1 при a ≤ 2
[/red]

ИЛИ

[m]\sqrt{2x-a}=-x[/m]

Уравнение имеет смысл при
-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0

так как только х=0 принадлежит указанному в условии отрезку, то

при x=0

[m]\sqrt{2\dot 0 - a} = 0 ⇒ a=0

Значит, уравнение имеет единственный корень x=1

при a ≤ 2, a ≠ 0

О т в е т. (- ∞ ;0)U(0;2]

Ответ выбран лучшим

"...не менее 3–х мячей" - это значит 3 или 4.

Повторные испытания с двумя исходами:

p=0,9; q=0,1

По формуле Бернулли:

P_(4)(3)=C^(3)_(4)p^3q^1=4*(0,9)^3*0,1
P_(4)(4)=C^(4)_(4)p^4q^0=0,9^4

p=P_(4)(3)+P_(4)(4)=4*(0,9)^3*0,1+0,9^4=(0,9)^3*(0,4+0,9)=[b]0,9477[/b]

Ответ выбран лучшим

Вводим систему координат:
A(0;0;0)
B(0;1;0)
C(1;1;0)
D(1;0;0)

A_(1)(0;0;1)
B_(1)(0;1;1)
C_(1)(1;1;1)
D_(1)(1;0;1)

E(0; 0,5; 1)

vector{AE}=(0;0,5;1) - направляющий вектор прямой АЕ

Составляем уравнение плоскости BDD_(1)B_(1):

Плоскость параллельна оси Оz и содержит прямую BD, уравнение которой на пл. ХОУ имеет вид: x+y=1

Поэтому уравнение плоскости BDD_(1)B_(1) имеет тот же вид:

[b]x+y=1[/b]

Нормальный вектор плоскости BDD_(1)B_(1)

vector{n}=(1;1;0)

Угол φ между прямой AE и плоскостью плоскостью BDD_(1)B_(1) равен
(90 ° - ∠vector{AE},vector{n})
φ= 90 ° - ∠vector{AE},vector{n}

Угол между векторами vector{AE}=(0;0,5;1) и vector{n}=(1;1;0) находим из определения скалярного произведения векторов:

cos( ∠ vector{AE},vector{n})=(vector{AE}*vector{n})/|vector{AE}|*|vector{n}|=

=(0*1+0,5*1+1*0)/sqrt(0,5^2+1^2)*sqrt(1^2+1^2)=1/sqrt(10)

Угол φ между прямой и плоскостью равен (90 ° - ∠vector{AE},vector{n})

φ =(90 ° - ∠vector{AE},vector{n})

sin φ =sin(90 ° - ∠vector{AE},vector{n})=cos∠vector{AE},vector{n}=1/sqrt(10) (прикреплено изображение)

D: 0 < y < 1; 0< x < arctgy

или

D:0 < x < π/4; tgx < y < 1

= ∫ ^(π/4)_(0)dx ∫ ^(1)_(tgx)dy (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f `(x_(o))=k_(касательной)

k_(касательной)=2

f`(x)=(2sinx+1)`=2cosx+0
f`(x_(o))=2cos x_(o)

2cosx_(o)=2
cosx_(o)=1

x_(o)=2πn, n ∈ Z

Cделаем [i]замену переменной[/i]:

[m]\frac{\pi x}{3}=t[/m]

Уравнение
[m]sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2} [/m] - [i]простейшее[/i]

[m]t= (-1)^{k}arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+ \pi k, k \in Z[/m] ⇒ [m]t=(-1)^{k}(- \frac{\pi}{3})+ \pi k, k \in Z[/m] ⇒ [m]t=(-1)^{k+1} \frac{\pi}{3}+ \pi k, k \in Z[/m]

Изменили показатель (-1)

Обратный переход:

[m]\frac{\pi x}{3}=(-1)^{k+1} \frac{\pi}{3}+ \pi k, k \in Z[/m]

Умножаем на 3

[m]\pi x=(-1)^{k+1} \pi+ 3\pi k, k \in Z[/m]

Делим на π:

[m]x= (-1)^{k+1}+ 3\cdot k, k \in Z[/m]

Наибольший отрицательный корень х=-1 при k=0
О т в е т.[m]x= -1[/m]

----------------
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)=2*(x^4/4)-12*(x^(-2)/(-2))+2ln|x|+C=(x^4/2)+(6/x^2)+2ln|x|+C

б)=(1/4) ∫ (x^4+3)^5d(x^4+3)=(1/4)*(x^4+3)^6/6+C=(x^4+3)/24 + C

Ответ выбран лучшим

Расходится, эквивалентен гармоническому.

[m]\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{5x-3}=\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{5x}\cdot(\frac{x+2}{x+4})^{-3} =[/m]

[m]=\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{5x}\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{-3}=[/m]

[m]=\lim_{x \to \infty }(\frac{x+2}{x+4})^{5x}\cdot 1=\lim_{x \to \infty }(\frac{\frac{x+2}{x}}{\frac{x+4}{x}})^{5x}=[/m]

[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{(1+\frac{2}{x})^{5x}}{(1+\frac{4}{x})^{5x}}=\frac{e^{10}}{e^{20}}=e^{-10}[/m]

Область определения x ≠ 0

y`=e^(1/x)*(1/x)`=(-1/x^2)*e^(1/x) <0 при всех x ≠ 0

Функция убывает на (- ∞ ;0) и на (0;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

f `(x_(o))=k_(касательной)

k_(касательной)=2

f`(x)=(1-2sinx)`=0-2cosx

f`(x_(o))=-2cosx_(o)

-2cosx_(o)=2

cosx_(o)=-1

x_(o)=π+2πn, n ∈ Z

{x^2-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или х ≥ 1
{x^2-x-2 ≠ 0 ⇒ D=9; x ≠ -1; x ≠ 2
{9-x >0 ⇒ x < 9

x ∈ (- ∞ ;-1) U(-1;0] U[1;2)U(2;9)
(прикреплено изображение)

Формула нахождения[i] наивероятнейшего[/i] числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

n=100
p=0,008
q=1-p=1-0,008=0,992
np=100*0,008=0,8

0,8-0,992 ≤ k_(o) ≤ 0,8+0,008

[b]k_(o)=0[/b]

По формуле Бернулли:

P_(100)(0)=C^(0)_(100)0,008^(0)*0,992^(100) невозможно вычислить.

Применяем формулу Лапласа:

а) Применяем[i] локальную [/i]теорему Лапласа ( см. приложение 1)
P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

npq=0,8*0,992=0,7936

sqrt(0,7936) ≈ 0,89

x=(k-np)/sqrt(npq)=(0-0,8)/0,89 ≈ -0,9

φ (-0,9)= φ(0,9) функция четная
[b]φ (0,9)[/b]=0,2661 ( см. таблицу 1)

P_(100)(0)=(1/0,89)*[b] φ (0,9)[/b] ≈ 0,2989

ближе всего ответ б) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть случайная величина Х - число отказавших элементов в одном опыте.
Элементов три.
p=0,3 - вероятность отказа каждого элемента в одном опыте
q=1-p=0,7 - вероятность того, что в одном опыте элемент не откажет

Случайная величина Х может принимать значения от 0 до 3

p_(0) = C^(0)_(3)p^(0)*q^(3) - вероятность того, что в одном опыте откажут 0 элементов
p_(0)=1*0,3^(0)*0,7^3=0,343

p_(1) = C^(1)_(3)p^(1)*q^(2) - вероятность того, что в одном опыте откажет 1 элемент
p_(1)=3*0,3*0,7^2=0,441

p_(2) = C^(2)_(3)p^(2)*q^(1) - вероятность того, что в одном опыте откажут 2 элемента
p_(2)=3*0,3^2*0,7=0,189

p_(3) = C^(3)_(3)p^(3)*q^(0) - вероятность того, что в одном опыте откажут 0 элементов
p_(3) = 1*0,3^3*0,7^(0)=0,027

Закон распределения - таблица, в которой указаны значения случайной величины и их вероятности.

Сумма вероятностей должна быть равна 1. Это так
0,343+0,441+0,189+0,027=1

Закон составлен правильно.

Функция распределения

0,343+0,441=0,784
0,784+0,189=0,973
0,973+0,027=1

[m]F(x)\left\{\begin{matrix} 0, x \leq 0\\ 0,343, 0 < x \leq 1 \\0,784, 1 < x\leq 2 \\ 0,973, 2 < x \leq 3\\1, x > 3 \end{matrix}\right.[/m]

График, ступенчатая функция (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

p=0,7
q=1-p=1-0,7=0,3

M(X)=np=100*0,7=70

D(X)=npq=100*0,7*0,3=21 (прикреплено изображение)

[m]=\lim_{x \to -2 }\frac{2x^2-x-10}{x^2+3x+2}=\frac{2\cdot (-2)^2-(-2) -10}{(-2)^2+3\cdot (-2)+2}=\frac{0}{0}=[/m]-

неопределенность (0/0)

Раскладываем и числитель и знаменатель на множители:

[m]=\lim_{x \to -2 }\frac{(x+2)(2x-5)}{(x+2)(x+1)}=\lim_{x \to -2 }\frac{2x-5}{x+1}=9[/m]

Ответ выбран лучшим

Ряд эквивалентен ряду ∑ b_(n), b_(n)=1/n

так как

lim_(n → ∞ )(a_(n)/b_(n))=1

( признак сравнения в предельной форме)

Ряд ∑ b_(n)- гармонический, расходится.

Данный ряд расходится.

Ответ выбран лучшим

Подставляем в первое уравнение вместо y=x+a

x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)=|x|*(x+a-2)

Раскрываем модуль по определению

[b]если x ≥ 0 ⇒ |x|=x[/b]

x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)=x*(x+a-2) ⇒ x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)-x*(x+a-2)=0

x*(x^2+x^2+2ax+a^2-x-a-2-x-a+2)=0

x*(2x^2+(2a-2)x+a^2-2a)=0

Это уравнение имеет три различных корня:

x_(1)=0 и квадратное уравнение в скобках имеет два [i]неотрицательных корня [/i] при D >0 и
их произведение и сумма положительны

С учетом теоремы Виета x_(2)*x_(3)=a^2-2a >0; x_(2)+x_(3)=-2a+2>0

D=(2a-2)^2-4*2(a^2-2a)=4a^2-8a+4-8a^2+16a=-4a^2+8a+4 ⇒

{-4a^2+8a+4 >0
{a^2-2a>0
{-2a+2 >0

Из системы находим :
{ a^2-2a-1 < 0 ⇒ D=8 корни 1 ± sqrt(2); 1-sqrt(2) < x < 1+sqrt(2)
{a<0; a >2
{a < 1

О т в е т (1-sqrt(2); 0)

[b]если x< 0 ⇒ |x|= - x[/b]

x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)=- x*(x+a-2) ⇒ x*(x^2+(x+a)^2-(x+a)-2)+x*(x+a-2)=0

x*(x^2+x^2+2ax+a^2-x-a-2+x+a-2)=0

x*(2x^2+2ax+a^2-4)=0

Это уравнение имеет три различных корня:

x_(1)=0 и квадратное уравнение в скобках имеет два [i]отрицательных корня [/i] при D >0 и
их произведение положительно ,а сумма отрицательна
С учетом теоремы Виета:
x_(2)*x_(3)=a^2-4 >0; x_(2)+x_(3)=-2a<0

D=(2a)^2-4*2(a^2-4)=4a^2-8a^2+[b]32[/b]=-4a^2+[b]32[/b]⇒

{-4a^2+[b]32[/b]>0 ⇒ a^2-[b]8[/b] <0 ≥ ⇒ -2sqrt(2)<x < 2sqrt(2)
{a^2-4>0 ⇒ a < -2 или a > 2
{-2a <0 ⇒ a > 0

О т в е т. a ∈ (2;2sqrt(2))

Окончательный ответ - ответ первого случая [b]а ∈ (1-sqrt(2);0)U(2;2sqrt(2))[/b]

В правильном шестиугольнике АС ⊥ FA
FA- проекция F_(1)A ⇒ ⇒

F_(1)A=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем способом подстановки:
{[m]y=\frac{2x+a}{3}[/m]
{|x^2-x-6|=([m]\frac{2x+a}{3}[/m]-1)^2+x-7;

Решаем второе уравнение:

|x^2-x-6|=([m]\frac{2x+a}{3}[/m])^2-2*([m]\frac{2x+a}{3}[/m])+1+x-7;

|x^2-x-6|=[m]\frac{4x^2+(4a-3)x+a^2-6a-54}{9}[/m]

Рассматриваем два случая

1)
x^2-x-6 ≥0 ⇒ |x^2-x-6|=x^2-x-6

x^2-x-6=[m]\frac{4x^2+(4a-3)x+a^2-6a-54}{9}[/m]

5x^2-(4a+6)*x-a^2+6a=0

D=(4a+6)^2-20(-a^2+6a)=36(a-1)^2 ≥ 0

x_(1,2)=[m]\frac{4a+6 ± 6(a-1)}{10}[/m]

при a=1;

x=1 не удовл условию x^2-x-6 ≥ 0

при a ≠ 1
x_(1)=[m]\frac{4a+6 -6(a-1)}{10}[/m];x_(2)=[m]\frac{4a+6 +6(a-1)}{10}[/m];

x_(1)=[m]\frac{6 -a)}{5}[/m];x_(2)=[m]a[/m];

Корни должны удовлетворять условию x^2-x-6 ≥ 0

{{a^2-a-6 ≥ 0 ⇒ a ≤ -2 или a ≥ 3
{[m](\frac{6 -a)}{5})^2-\frac{(6 -a)}{5}[/m]-6 ≥ 0 ⇒ a^2-7a-144 ≥ 0 ⇒ a ≤ -9;a ≥ 16
О т в е т случай 1)
[b]a ≤ -9 или a ≥ 16[/b]

2)
x^2-x-6 < 0 ⇒ |x^2-x-6|=-x^2+x+6

-x^2+x+6=[m]\frac{4x^2+(4a-3)x+a^2-6a-54}{9}[/m]

13x^2+(4a-12)x+a^2-6a-108=0

D=(4a-12)^2-52(a^2-6a-108)=-36a^2+216a+5760=-36*(a^2-6a-160)

D ≥ 0 ⇒ a^2-6a-160 ≤ 0 ⇒ a_(1)=-5; a_(2)=16 ⇒ -5 ≤ a ≤ 16

При этом корни:
x_(3)=[m]\frac{-4a+12 -6\sqrt{-a^2+6a+160}}{26}[/m];x_(2)=[m]\frac{-4a+12 +6\sqrt{-a^2+6a+160}}{26}[/m];

должны удовлетворять условию x^2-x-6 < 0

Cм графическое решение:

О т в е т. (- ∞ ;-9)U(-9;-2] U[3;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Упростить выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное числителю и на сопряженное знаменатель.

О т в е т. 1 (прикреплено изображение)

Чтобы построить угол между плоскостями, нужно к линии их пересечения провести перпендикулярны.

ВМ ⊥ AS

CM ⊥ AS

∠ BMC= φ ⇒

Из равнобедренного треугольника ВМС находим
BM=a/(2tg( φ /2))

ST - апофема боковой грани.
высота, медиана, биссектриса равнобедренного треугольника ASB

Δ ABM ~ ΔAST ( прямоугольные треугольники с общим углом SAB)

АМ:AT=BM:ST ⇒ ST=BM*AT/AM

АМ^2=AB^2-BM^2

АМ=[blue]sqrt(a^2-(a/2tg (φ /2))^2)[/blue]

ST=BM*AT/AM= (a/2tg (φ/2))*(a/2)/[blue]sqrt(a^2-(a/2tg (φ /2))^2)[/blue]

S_(бок)=(1/2)*3а*ST=(3a^2/8)*(1/tg( φ /2))*(1/[blue]sqrt(1-(1/2tg (φ /2))^2)[/blue] (прикреплено изображение)

Рассматриваем область D как область горизонтального вида:

= ∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2)) ([blue]∫ ^(2-y^2)_(0)y^2*(1+2x)dx[/blue])dy

= ∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))([blue]y^2*(x+x^2)|^(2-y^2)_(0)[/blue])dy

=∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))y^2*(2-y^2+(2-y^2)^2)dy=

=∫ ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))*(y^6-5y^4+6y^2)dy=

=((y^7/7)-5*(y^5/5)+6*(y^3/3))| ^(sqrt(2))_(-sqrt(2))=

=(2/7)(sqrt(2))^7-2(sqrt(2))^5+(2/3)*(sqrt(2))^3=

=((16/7)-8+(4/3))*sqrt(2)=...

Второй способ

Рассматриваем область D как область вертикального вида:

= ∫^(2)_(0)( [blue]∫ ^(sqrt(2-x))_(-sqrt(2-x))y^2*(1+2x)dy[/blue])dx =

= ∫^(2)_(0)[blue] (1+2x)*(y^3/3)| ^(sqrt(2-x))_(-sqrt(2-x)) [/blue]dx=

= ∫^(2)_(0)(1+2x)*(1/3)((sqrt(2-x))^3-(-sqrt(2-x))^2)dx=

= ∫^(2)_(0)(1+2x)*2*(sqrt(2-x))^3dx=

=2 ∫^(2)_(0)(1+2x)*(2-x)*sqrt(2-x)dx=

[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(2-x)=t

2-x=t^2
x=2-t^2
dx=-2tdt

...
Решение более громоздкое, но ответ тот же... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Делим на х:

y`-(3/x)*y=x^3*e^(x) - линейное неоднородное диф уравнение первого порядка

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(3/x)*u*v=x^3*e^(x)

u`*v+u(v`-(3/x)*v)=x^3*e^(x)

Выбираем функцию v так,чтобы
v`-(3/x)*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`-(3/x)*v=0 ⇒ dv/v=3dx/x ⇒ ∫ dv/v=3∫ dx/x ⇒ ln|v|=3ln|x| ⇒ [b]v=x^3[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*[b]x^3[/b]+u*0=x^3e^(x)

u`*x^3=x^3*e^(x)

u`=e^(x)

u=e^(x)+C

[b]y=u*v=(e^(x)+C)*x^3-[/b] общее решение диф уравнения

y(1)=e

e=(e+C)*1

C=0

[b]y=e^(x)*x^3[/b] - решение задачи Коши, удовлетворяющее условию y(1)=e

Ответ выбран лучшим

Преобразуем общий член ряда, умножив и разделив на выражение сопряженное данному

Полученный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
|a_(n)| -[i] монотонно убывающая последовательность[/i]
a_(n) → 0

Ряд из модулей эквивалентен ряду: ∑ n/n^(3/2)= ∑ 1/n^(1/2) - расходится, это обобщенный гармонический ряд ∑ 1/n^(p); p <1

О т в е т Сходится условно

1)
80 гр сухого пюре содержит 10% воды,

так как 10%=0,1

значит

0,1*80=8 г воды в 80 г сухого пюре

Добавим х г воды

Получим общую массу (х+80) г, в которой (х+8) г воды и это должно составлять 86 %

Уравнение:
0,86*(х+80)=х+8 ⇒0,14x=60,8 ⇒[b] x ≈ 434,3[/b]

2)
100 гр сухого пюре содержит 18% воды,

так как 18%=0,18

значит

0,18*100=18 г воды в 100 г сухого пюре

Добавим х г воды

Получим общую массу (х+100) г, в которой (х+18) г воды и это должно составлять 96 %

Уравнение:
0,96*(х+100)=х+18 ⇒0,04x=78 ⇒[b] x =1950[/b]

3).Сколько воды (в гр) нужно добавить к 20 гр сухого картофельного пюре с содержанием 2% воды, чтобы получить пюре с 75% содержанием воды???

20 гр сухого пюре содержит 2% воды,

так как 2%=0,02

значит

0,02*20=0,4 г воды в 20 г сухого пюре

Добавим х г воды

Получим общую массу (х+20) г, в которой (х+0,4) г воды и это должно составлять 75 %

Уравнение:
0,75*(х+20)=х+0,4 ⇒0,25x=14,6 ⇒[b] x =58,4[/b]

Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу извлеченная деталь оказалась бракованной ''

и события -гипотезы
H_(1) - ''деталь изготовлена первым автоматом''
H_(2) - ''деталь изготовлена вторым автоматом'''

p(H_(1))=0,6
p(H_(2))=0,4

p(A/H_(1))=0,02
p(A/H_(2))=0,03

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) =

=0,6*0,02+0,4*0,03=0,012+0,012=0,024

б) р(Н_(1)/А)= p(H_(1))*p(A/H_(1))/р(А)=0,012/0,024=0,5

р(Н_(2)/А)= p(H_(2))*p(A/H_(2))/р(А)=0,012/0,024=0,5

Вероятность того, что изготовлена первым автоматом равна вероятности того, что изготовлена вторым.

CA^2=CO^2+AO^2=4^2+(4^2*15/9)=16*(9+15)/9=16*24/9

CA=8sqrt(6)/3

CB=CA=AB=8sqrt(6)/3 ( Δ ABC - равносторонний, СА=СВ и ∠ АСВ=60 ° )

Δ АОВ - равнобедренный

ОК ⊥ АВ ⇒ АК=КВ=4sqrt(6)/3

ОК^2=OA^2-AK^2=(4^2*15/9)-(4^2*6/9)=16

ОК=4

Δ СОК - прямоугольный равнобедренный ⇒ [b] ∠ СКО=45 ° [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Всего 6 знаков, две цифры 1 и 0 и четыре буквы

На первое место можно выбрать любой из шести элементов, на второй тоже - любой из шести...

n=6*6*6*...*6=6^(12) паролей можно составить

Из 6 тетрадей в клетку 2 тетради можно выбрать
C^(2)_(6)=6!/(2!*(6-2)!)=15 способов.

Из 5 тетрадей в линейку 3 тетради можно выбрать
C^(3)_(5)=5!/(3!*(5-3)!)=10 способов.

Выбор и 2 тетрадей в клетку и 3 тетрадей в линейку по правилу произведения можно выполнить

15*10=150 способами (прикреплено изображение)

По теореме синуса:

a/sin ∠ A= 2R ⇒ [b]R=a/(2*sin ∠ A)[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

В основании пирамиды правильный шестиугольник. Сторона [b]a[/b] такого шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

По условию дан диаметр, значит, [b]а[/b] =d/2

S_(шестиугольника)=3a^2sqrt(3)/2=[b]3d^2sqrt(3)/8[/b]

Высота пирамиды по теореме Пифагора:
H^2=L^2-a^2=L^2-(d/2)^2
H=[blue]sqrt(L^2-(d/2)^2)[/blue]

Апофема пирамиды по теореме Пифагора:
h^2=L^2-(a/2)^2=L^2-(d/4)^2

h=sqrt(L^2-(d/4)^2)

Подставляем в формулы:

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H=a^2*H*sqrt(3)/2=sqrt(3)/8)*d^2*[blue]sqrt(L^2-(d/2)^2)[/blue]

S_(бок)=(1/2)*P_(осн)*h==3a*h=3*(d/2)*sqrt(L^2-(d/4)^2)=

=(3/2)*d*sqrt(L^2-(d/4)^2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим точку пересечения прямых:
{2x–5y–1=0
{x+4y–7=0 ( умножаем на (-2))

{2x–5y–1=0
{-2х-8y+14=0

Складываем: -13y+13=0 ⇒ y=1; x=7-4y=7-4=3

С(3;1)

Находим координаты точки М, делящей отрезок АВ в указанном отношении ( cм формулы в приложении)

Не указано, что считая от какой вершины 2:3
Считаю, что от А, т. е

AM:MB=2:3

[b]a) λ =[m]\frac{2}{3}[/m][/b]
x_(M)=[m]\frac{x_{A}+\lambda x_{B}}{1+\lambda }=\frac{4+\frac{2}{3}\cdot(-1)}{1+\frac{2}{3}}=2[/m]
y_(M)=[m]\frac{y_{A}+\lambda y_{B}}{1+\lambda }=\frac{-3+\frac{2}{3}\cdot 2}{1+\frac{2}{3}}=-1[/m]

M(2;-1)

Составляем уравнение прямой СМ, как прямой, проходящей через две точки
y=kx+b

C(3;1) ⇒ 1=k*3+b
M(2;-1) ⇒ -1=k*2+b

k=2
b=1-3k=-5

[b]y=2x-5- О т в е т. [/b] (прикреплено изображение)

Это линейное уравнение первого порядка.

Решают методом Бернулли или методом вариации произвольных постоянных

Метод Бернулли.

Решение ищем в виде

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение
u`*v+u*v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]u*v=x

u`*v+u*(v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]*v)=x

Выбираем функцию v так, чтобы

1)
v`+[m]\frac{x}{2+x}[/m]*v=0
тогда

2)u`*v+u*0=x

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными

1)[m]\frac{dv}{dx}=-\frac{x}{2+x}[/m]*v=0 ⇒ [m]\frac{dv}{v}=-\frac{xdx}{2+x}[/m]

[m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{xdx}{2+x}[/m]

Cправа неправильная дробь, выделяем целую часть:

[m] ∫ \frac{dv}{v}=- ∫ \frac{x+2-2dx}{2+x}[/m]

[m] ∫ \frac{dv}{v}=∫ \frac{2dx}{2+x}- ∫ dx[/m]

⇒ ln|v|=2ln|x+2|-x ⇒ применяем свойства логарифмов

[m]v=\frac{(x+2)^2}{e^{x}}[/m]

Подставляем v во второе уравнение и находим u

u`*[m]\frac{(x+2)^2}{e^{x}}[/m]=x

Уравнение с разделяющимися переменными:

[m]du=\frac{xe^{x}}{(x+2)^2}dx[/m]

[m] ∫ du= ∫ \frac{xe^{x}}{(x+2)^2}dx[/m]

Справа интегрируем по частям ?

Задача непростая . Условие верное?

Как звучит вопрос? Может быть применение рядов к решению диф уравнений?

ОДЗ:
{3-x>0 ⇒ x < 3
{x^2-4x+4 >0 ⇒ x ≠ 2
{log_(3)(x^2-4x+4) ≠ 0 ⇒ x^2-4x+4 ≠ 1 ⇒ x^2-4x+3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1;x ≠ 3

x ∈ (- ∞ ;1)U(1;2)U(2;3)

Решаем неравенство методом интервалов
( "обобщённый" метод интервалов):

Нули числителя:
log_(3)(3-x)=0 ⇒ 3-x=1 ⇒ x=2

Нули знаменателя:
x=1; x=3

Расставляем знаки функции:

__+__ (1) __-__ [2] __+__ (3)

О т в е т. (1;2]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

[m](\frac{1}{3})^{x}=t[/m]

Показательная функция строго положительна, поэтому t > 0

[m](\frac{1}{3})^{x-1}=(\frac{1}{3})^{x}\cdot (\frac{1}{3})^{-1} =3(\frac{1}{3})^{x}=3t[/m]

[m]3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{1-x}=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3})^{-x}=\frac{1}{3t}[/m]

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{4}{3t-9}-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{3t} >0[/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{4t(t-1)-3t(t-3)-(t-1)(t-3)}{3t(t-3)(t-1)} >0[/m]

Упрощаем числитель:
[m]\frac{9t-3}{3t(t-3)(t-1)} >0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

Нули числителя:

9t-3=0 ⇒ t=[m]\frac{1}{3}[/m]

Нули знаменателя:

3t(t-3)(t-1)=0 ⇒ t=0; t=1; t=3

Знаки функции:

_+__ (0) __-_ ([m]\frac{1}{3}[/m] ) __+__ (1) __-___ (3) __+__

t < 0 или [m]\frac{1}{3}[/m] < t < 1 или t > 3

C учетом t >0
[m]\frac{1}{3}[/m] < t < 1 или t > 3

Обратный переход
[m]\frac{1}{3}<(\frac{1}{3})^{x} < 1[/m] или [m](\frac{1}{3})^{x}>3[/m]

Показательная функция с основанием [m]\frac{1}{3}[/m] убывающая, поэтому
0 < x < 1 или x < -1

О т в е т. (- ∞ ;-1) U (0;1)

a_(11)=1

y`= ∫ y``(x)dx= ∫ (4cos2x)dx=4*(1/2) ∫ cos(2x)d(2x)=2sin2x+C_(1)

y= ∫(2sin2x+C_(1))dx=-cos2x+C_(1)x+C_(2)

y= - cos2x+C_(1)x+C_(2) - общее решение дифуравнения

y(0)=1
y`(0)=3

{1= - cos0+C_(1)*0+C_(2) ⇒ C_(2)=2
{3=2sin0+C_(1) ⇒ C_(1)=3

y= - cos2x+3x+2 - решение задачи Коши, удовл условию:
y(0)=1
y`(0)=3

(прикреплено изображение)

z`_(x)=6x-3x^2
z`_(y)=6y+4

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{6x-3x^2=0 ⇒ x=0; x=2
{6y+4=0 ⇒ y=-2/3

Две точки возможного экстремума:
(0;-2/3) и (2;-2/3)

Находим вторые частные производные:
z``_(xx)=6-6x
z``(xy)=0
z``_(yy)=6

Находим вторые частные производные в точке (0;-2/3)
A=z``_(xx)=6-6*0=6 >0
B=z``(xy)=0
C=z``_(yy)=6

Δ=AC-B^2=6*6-0 >0 есть экстремум

А=6>0 - минимум

[b](0:-2/3)- точка минимума
[/b]

Находим вторые частные производные в точке (2;-2/3)
A=z``_(xx)=6-6*2=-6 <0
B=z``(xy)=0
C=z``_(yy)=6

Δ=AC-B^2=-6*6-0 <0 нет экстремума

V= ∫ ∫ _(D)(2-x-y)dxdy= ∫ ^(2)_(0)([blue]∫ ^((6-3y)/4)_((2-y)/4)(2-x-y)dx[/blue])dy=

=∫ ^(2)_(0) (2x-(x^2/2)-yx)| ^((6-3y)/4)_((2-y)/4)dy=

=∫ ^(2)_(0) (2*(6-3y)/4) -(1/2)*(6-3y)/4)^2-y*((6-3y)/4)- 2*((2-y)/4)+((2-y)/4)^2/2+y*(((2-y)/4)) dy=...

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{3x>0 ⇒ x>0
{3x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/3

х ∈ (0;1/3)U(1/3;1)U(1;+ ∞ )

Применяем формулу перехода к другому основанию ( см. приложение):

[m]\frac{2}{log_{3}x}+\frac{3}{log_{3}3x} ≤ 2[/m]

так как [m]log_{3}3x=log_{3}3+log_{3}x=1+log_{3}x[/m], то

[m]\frac{2}{log_{3}x}+\frac{3}{1+log_{3}x} ≤ 2[/m]

[i]Замена переменной[/i]:

[m]log_{3}x=t[/m]

[m]\frac{2}{t}+\frac{3}{1+t} ≤ 2[/m]

[m]\frac{2}{t}+\frac{3}{1+t}-2 ≤ 0[/m]

[m]\frac{2(1+t)+3t-2t(1+t)}{t(1+t)} ≤ 0[/m]

[m]\frac{2+3t-2t^2}{t(1+t)} ≤ 0[/m]

[m]\frac{2t^2-3t-2}{t(1+t)} ≥ 0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

2t^2-3t-2 =0
D=9+4*2*2 =25
t_(1)=-1/2; t_(2)=2

__+___ (-1) __-__ [-1/2] __+__ (0) ___-____ [2] __+__

[m]log_{3}x<-1[/m] или [m]-\frac{1}{2} < log_{3}x<0[/m] или [m]log_{3}x>2[/m] ⇒

[m]log_{3}x<-1\cdot log_{3}3[/m] или [m]-\frac{1}{2}\cdot log_{3}3 < log_{3}x<log_{3}1[/m] или [m]log_{3}x>2log_{3}3[/m] ⇒

[m]log_{3}x< log_{3}3^{-1}[/m] или [m] log_{3}3^{-\frac {1}{2}} < log_{3}x<log_{3}1[/m] или [m]log_{3}x>log_{3}3^2[/m] ⇒

x<1/3 или 1/sqrt(3) < x < 1 или x >9

С учетом ОДЗ

О Т В Е Т. (0; 1/3) U(1/sqrt(3);1)U(9;+ ∞ )

(прикреплено изображение)

S_(кольца)=S_(большого круга)-S_(малого круга)

S_(круга)=π*R^2

R=4

r=sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5)

S_(кольца)=π*R^2-π*r^2=π*4^2-π*(sqrt(5))^2=16π-5π=[b]11π[/b]

О т в е т. 11 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Y=5X+3 ⇒

y_(1)=5x_(1)+3=5*(-2)+3=-10+3=-7

y_(2)=5x_(2)+3=5*(-1)+3=-5+3=-2

y_(3)=5x_(3)+3=5*0+3=0+3=3

y_(4)=5x_(4)+3=5*1+3=5+3=8

y_(5)=5x_(5)+3=5*2+3=10+3=13

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]lg^2\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}-lg^2\frac{x+5}{20} <0[/m]

Применяем формулу разности квадратов:

[m](lg\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}-lg\frac{x+5}{20})(lg\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}+lg\frac{x+5}{20}) <0[/m]

Заменим разность логарифмов логарифмом частного, сумму логарифмов логарифмом произведения ( при этом область определения данного неравенства расширится, что приведет к приобретению посторонних корней)Чтобы этого не произошло, нужно учесть область определения исходного уравнения, поэтому получаем систему неравенств:

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{(x+2)^2(x+5)}{5}>0\Rightarrow x+5>0; x\neq -2\\\\ \frac{x+5}{20}>0\Rightarrow x > -5\\ \\ lg\frac{(x+2)^2(x+5)\cdot 20}{5(x+5)}\cdot lg\frac{(x+2)^2(x+5)^2}{5\cdot 20}<0 \Rightarrow lg4(x+2)^2\cdot lg\frac{(x+2)^2\cdot (x+5)^2}{100} <0\end{matrix}\right.[/m]

Решаем третье неравенство методом интервалов:

[m]lg4(x+2)^2=0[/m] ; [m]lg\frac{(x+2)^2\cdot (x+5)^2}{100}=0[/m] ⇒

[m]4(x+2)^2=1[/m] ; [m] \frac{(x+2)^2\cdot (x+5)^2}{100}=1[/m]

[m](x+2)^2=\frac{1}{4}[/m] ; [m] (x+2)^2\cdot (x+5)^2=10^2[/m]

Извлекаем квадратный корень по формуле: [r]sqrt(x^2)=|x|[/r]

[m]|x+2|=\frac{1}{2}[/m] ; [m] |x+2|\cdot |x+5|=10[/m]

[m]x+2=-\frac{1}{2};x+2=\frac{1}{2}[/m];[m] (x+2)(x+5)=10[/m]или[m] (x+2)(x+5)=-10[/m]

[m]x_{1}=-2\frac{1}{2}; x_{2}=-1\frac{1}{2} [/m] ; [m] x^2+7x=0[/m]; [m]x^2+7x+20=0[/m]

[m]x_{3}=-7; x_{4}=0[/m]

____ (-7) __-__ (-[m]2\frac{1}{2}[/m]) __+__ (-[m]1\frac{1}{2}[/m]) _-__ (0) _+__

C учетом первого и второго неравенства системы, получаем ответ:

(-5;-2)U(-2;-[m]2\frac{1}{2}[/m])U(-[m]1\frac{1}{2}[/m];0)

Ответ выбран лучшим

1
a)sinycosx dy =sinxcosy dx - уравнение[i] с разделяющимися переменными[/i]

[m]\frac{siny}{cosy}dy=\frac{sinx}{cosx}dx[/m]

Интегрируем:

[m] ∫ \frac{siny}{cosy}dy= ∫ \frac{sinx}{cosx}dx[/m]

[m] - ∫ \frac{d(cosy)}{cosy}=- ∫ \frac{d(cosx)}{cosx}[/m]

[m] ∫ \frac{d(cosy)}{cosy}= ∫ \frac{d(cosx)}{cosx}[/m]

формула ∫ du/u=ln|u|

ln|cosy|=ln|cosx)+lnC ⇒

[b]cosy=C*cosx[/b]- общее решение
-------------

б) Делим обе части уравнения на х:

y`-(y/x)=tg(y/x) [red](#)[/red]

Это [i]однородное уравнение первой степени[/i].

[b]Замена :[/b]

y/x=u

y=x*u

y`=x`*u+x*u` ( x`=1, так как x - независимая переменная)

y`=u+x*u`
Подставляем в [red](#)[/red]

u+x*u`-u=tgu

x*u`=tgu - уравнение с разделяющимися переменными:

u`=du/dx

x*(du/dx)=tgu ⇒ du/tgu=dx/x ⇒ ∫ du/tgu= ∫ dx/x ⇒ ln|u|=ln|x|+lnC ⇒

u=Cx- общее решение.

-----------------

в)
[i]Составляем характеристическое уравнение[/i]
k^2+k-6=0
D=1+24=25
k_(1)=-3; k_(2)=2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
( см таблицу в приложении 1)

у=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(2x)

----------------------------------

г)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''+y=0

[i]Составляем характеристическое уравнение:[/i]
k^2+1=0

k_(1)=–i; k_(2)=i – корни комплексные

поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид ( cм таблицу приложение 1, третья строка)

[b]y_(общее одн)=C_(1)cosx+C_(2)sinx – общее решение однородного уравнения[/b]

Правая часть неоднородного уравнения f(x)=2cosx-(4x+4)sinx

имеет так называемый ''специальный'' вид, поэтому частное решение

находим в виде

y_(част)(x)=((Aх+В)cosx+(Mx+N)sinx)*x

( cм. таблицу приложения 2, пункт 5 :
0+i=k_(2)– корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на x^((1)) )

y_(част)(x)=(Aх^2+Вx)cosx+(Mx^2+Nx)sinx

Находим

y`_(част)=(Aх^2+Вx)`*cosx+(Aх^2+Вx)(cosx)`+(Mx^2+Nx)`*sinx+(Mx^2+Nx)*(sinx)`

y`_(част)=(2Ax+B+Mx^2+Nx)*cosx+(2Mx+N-Ax^2-Bx)*sinx

y``_(част)=(2A+2Mx+N)*cosx-(2Ax+B+Mx^2+Nx)*sinx+

+(2M-2Ax-B)*sinx+(2Mx+N-Ax^2-Bx)*cosx

y``_(част)=(2A+4Mx+2N-Ax^2-Bx)*cosx+(2M-4Ax-2B-Mx^2-Nx)*sinx

подставляем в данное уравнение, находим А, В, M, N

(2A+4Mx+2N-Ax^2-Bx)*cosx+(2M-4Ax-2B-Mx^2-Nx)*sinx+(Aх^2+Вx)cosx+(Mx^2+Nx)sinx=2cosx-(4x+4)sinx

(2A+4Mx+2N)*cosx+(2M-4Ax-2B)*sinx=2cosx-(4x+4)sinx

2А+4Mx+2N=2 ⇒ M=0 и 2А+2N=2
2M-4Ax-2B=-4x-4 ⇒ -4A=-4 ⇒ A=1 и 2M-2B=-4

M=0
A=1
N=0
B=2

y_(част)(x)=х^2cosx

y_(общее неодн)=у_(общее одн)+у_(част)=

=C_(1)cosx+C_(2)sinx+х^2cosx

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

p=0,15- вероятность того, что деталь нестандартная

q=1-p=1-0,15=0,85-вероятность того, что деталь стандартная

Повторные испытания с двумя исходами. Cхема Бернулли.

По формуле Бернулли

P_(100) (15)=C^(15)_(100)p^(15)q^(85) - счет трудоемкий...

Применяем локальную теорему Лапласа:

P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

n=100
p=0,15
q=0,85

np=100*0,15=15

npq=100*0,15*0,85=12,75

sqrt(npq)=sqrt(12,75) ≈ 3,57

x=(k-np)/sqrt(npq)=(15-15)/3,57=0

[b]φ (0)[/b]=0,3989 ( см. таблицу 1)

P_(100)(15)=(1/3,57)*[b] φ (0)[/b] = (1/3,57)*0,3989 ≈ считаем

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''-2y'-y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k-1=0
D=4+4=8

[b]Не нравится, что sqrt(D)=2sqrt(2)[/b]

Думаю, что у Вас опечатка... ⇒ y''-2y'[red]+[/red]y=0 тогда D=0

И тогда либо
k_(1) и k_(2)= - корни действительные различные,

либо k_(1)=k_(2)=1-[blue] корни действительные кратные[/blue]

поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x) - общее решение однородного уравнения

или
[blue]y_(общее одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)x*e^(k_(1)x) [/blue]- общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:

y_(частное неодн)=(Аx+B)*e^(x) или [blue]y_(частное неодн)=(Аx+B)*x*e^(x)[/blue]

y`_(частное неодн) =
y``_(частное неодн)=

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

находим А и В

y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)

- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Ответ выбран лучшим

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами:

y''''+y''=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^4+k^2=0

k^2*(k^2+1)=0

k_(1)=0; k_(2)=0 - корни действительные кратные,

k_(3)=-i; k_(4)=i - корни комплексные
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(0x)+C_(2)x*e^(0x)+C_(3)cosx+C_(4)sinx - общее решение однородного уравнения

Правая часть [i]неоднородного уравнения [/i] - сумма двух функций
f_(1)(x)=10sinx+6cosx

f_(2)(x)=4e^(x)

Каждая функция имеет так называемый ''специальный'' вид, поэтому частные решения находим в виде

y__(1)(x)=(Acosx+Bsinx)*x ( cм. таблицу пункт 5 :0+i=k_(4) - корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на x^(1))

y_(2)(x)=M*e^(4x) ( cм таблицу п.3; 4 не корень характ. уравнения, Q(x)=M)

y_(общее неодн)=у_(общее одн) +y_(1)+y_(2)=

=C_(1)e^(0x)+C_(2)x*e^(0x)+C_(3)cosx+C_(4)sinx +

+(Acosx+Bsinx)*x+M*e^(4x)

- общее решение неоднородного уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1^2+1^2+a*1+b*1=0 ⇒ a+b=-2
1^2+2^2+a*1+b*2=0 ⇒ a+2b=-5

Вычитаем из первого уравнения второе:
-b=3
b=-3
a=1

[b]x^2+y^2+x-3y=0 [/b] ⇒ (x+0,5)^2+(y-1,5)^2=3 - уравнение окружности с центром (-0,5; 1,5) и радиусом R=3

Ответ выбран лучшим

Знаменатель дроби не должен равняться 0 ⇒ 3х+7 ≠ 0 ⇒ х ≠ [m]-\frac{7}{3}[/m]

D(y)=(- ∞ ;[m]-\frac{7}{3}[/m])U([m]-\frac{7}{3};+ ∞[/m])

Графиком функции является гипербола ⇒ [m]y=\frac{1}{3}-\frac{\frac{19}{3}}{3x+7}[/m]

E(y)=(- ∞ ;[m]\frac{1}{3}[/m])U([m]\frac{1}{3};+ ∞[/m])

Ответ выбран лучшим

[m]N(3a)=\frac{3-3a}{2\cdot (3a)^2+3a}=\frac{3\cdot (1-a)}{3a\cdot (6a+1}=\frac{(1-a)}{a\cdot (6a+1}[/m]

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника SAO:
AO=4 ( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)

Наклонные SA=SB=SC равны, значит равны и проекции AO=BO=CO

O- центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника
АВС ( АВ=BC=6)

R=abc/4S_( Δ ABC);

АС=2х
BD=sqrt(6-x^2)

S_(Δ ABC)=(1/2)AC*BD=(1/2)*2x*sqrt(36-x^2)

4=6*6*(2x)/(4x*sqrt(36-x^2)) ⇒ 2*sqrt(36-x^2)=9;

Возводим в квадрат:

4*(36-x^2)=81

(2x)^2=63

2x=sqrt(63)

AC=2x=[b]sqrt(63)[/b]

Ответ выбран лучшим

На (- ∞ ;-1) функция непрерывна, так как y=-x^2+2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (-1;0) функция непрерывна, так как y=3x+2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо исследовать непрерывность функции в точках х=-1 и х=0

х=0

Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x →-1 -0)f(x)=lim_(x →-1 -0)(-x^2+2)=-1+2=1

Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → -1+0)f(x)=lim_(x → -1+0)(3x+2)=-1
предел слева ≠ пределу справа

Значит, не существует предела функции в точке х=-1

Определение непрерывности не выполняется

х=-1 - [i]точка разрыва первого рода [/i]

В точке существует [i]конечный[/i] скачок

х=0
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(3x+2)=2

Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(2)=2

предел слева = пределу справа
Предел в точке x=1 существует и равен значению функции в этой точке

х=1 - [i]точка непрерывности[/i]

2.
|x+6|=-x-6, при x <-6

|x+6|=x+6, при x >-6

[m]y=\left\{\begin{matrix} -1, x<-6\\1,x>-6 \end{matrix}\right.[/m]

Функция непрерывна на (- ∞ ;-6) и на (-6;+ ∞ )

В точке х=-6 функция имеет[b] разрыв первого рода
[/b]
предел слева ≠ пределу справа

Значит, не существует предела функции в точке х=-1

Определение непрерывности не выполняется

В точке существует [i]конечный[/i] скачок
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V= ∫ ∫ _(D)(4-x^2-4y^2)dxdy

D: x^2+y^2=1

Переходим к полярным координатам:

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

dxdy=[blue] ρ d ρ d φ
[/blue]
4-x^2-4y^2=[b]4- ρ^2cos^2φ -4 ρsin^2φ [/b]

0 ≤ ρ ≤ 1
0 ≤ φ ≤ 2π

V= ∫^(2π)_(0) ∫ ^(1)_(0) ( [b]4- ρ^2cos^2φ -4 ρ^2sin^2φ [/b]) [blue]ρ d ρ d φ[/blue]=

= ∫^(2π)_(0) (∫ ^(1)_(0) (4 ρ - ρ ^3 cos^2φ -4 ρ^3sin^2φ )d ρ )d φ =

=∫^(2π)_(0)(4( ρ ^2/2)-( ρ ^4/4) cos^2φ-4( ρ ^4/4)sin^2 φ )|^( ρ =1)_( ρ =0)d φ =

=∫^(2π)_(0)(2-(1/4)cos^2φ-sin^2 φ )d φ =

=2 φ|^(2π)_(0) -(1/4) ∫^(2π)_(0) (1+cos2 φ )d φ /2 - ∫ ^(2π)_(0)(1-cos2 φ )/2d φ =

=4π-(1/8)( φ +(1/2)sin2 φ)^(2π)_(0)-((1/2) φ -(1/4)sin2 φ )|^(2π)_(0)=

=4π-(π/4)-π=[b]11π/4 [/b]

Ответ выбран лучшим

p(A)= 0,5- вероятность попадания в цель стрелком А ⇒

q(A)=1-p(A)= 0,5- вероятность НЕпопадания в цель стрелком А

p(B)= 0,23- вероятность попадания в цель стрелком B ⇒

q(В)=1-p(В)= 0,77- вероятность НЕпопадания в цель стрелком В

p(C)= 0,47- вероятность попадания в цель стрелком C

р= p(A)+q(A)*p(B)+q(A)*q(B)*p(C)=0,5+0,5*0,23+0,5*0,77*0,47=...

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(4)_(1)(4-[m]\frac{4}{x}[/m])dx=

=(4x-4ln|x|)|^(4)_(1)=

=4*(4-1)-4(ln4-ln1)=4*3-4ln4+4*0=12-4ln4=12-4ln2^2=[b]12-8ln2[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

∂u/∂=(x^2–3xy–4y^2–x+2y+1)`_(y) (x=const)=

=(x^2)`_(y)-3x*(y)`_(y)-(4y^2)`_(y)–(x)`_(y)+2(y)`_(y)+(1)`_(y)=

=0-3x*1-4*2y-0-2+0= -3x-8y-2

Решаем кубическое уравнение.

Получаем три корня.

y`(x)=t_(1); y`(x)=t_(2); y`=t_(3);

где t_(1);t_(2); t_(3)- действительные числа

Получаем три решения

y_(1)(x)= ∫ t_(1)dx=t_(1)x+c_(1)

y_(2)(x)= ∫ t_(2)dx=t_(2)x+c_(2)

y_(3)(x)= ∫ t_(3)dx=t_(3)x+c_(3)

WolframAlpha выдает ответы:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это несобственный интеграл второго рода.

x=1/4 – особая точка

20x^2-9x+1=(5x-1)(4x-1)

[m]\frac{1}{20x^2-9x+1}=-\frac{5}{5x-1}+\frac{4}{4x-1}[/m]

[m]∫ ^{1}_{\frac{1}{4}}\frac{dx}{20x^2-9x+1}=[/m]

[m]=lim_{a → \frac{1}{4}-0} ∫ ^{1}_{a}(-\frac{5}{5x-1}+\frac{4}{4x-1})dx=[/m]

[m]=-5ln|5x-1|^{1}_{\frac{1}{4}}+4lim_{a → \frac{1}{4}-0}ln|4x-1|^{1}_{a}=[/m]

[m]=-5ln4+5ln\frac{1}{4}+4ln3-4lim_{a → \frac{1}{4}-0}ln(4x-1)=[/m]

[m]=-10ln4+4ln3-4\cdot(- ∞)[/m]

Расходится

Ответ выбран лучшим

Это несобственный интеграл второго рода.

x=1 - особая точка

[m]u=ln(1-x)[/m]

[m]du=\frac{1}{1-x}\cdot (1-x)`dx[/m] ⇒ [m]du=\frac{-1}{1-x}dx[/m]

[m]\frac{-1}{1-x}dx=-d(ln(1-x))[/m]

[m]\int^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{dx}{(1-x)ln^2(1-x)}=-lim_{a → 1-0}\int^{a}_{\frac{1}{2}}\frac{d(ln(1-x))}{ln^2(1-x)}=[/m]

[m]=-lim_{a → 1-0}\int^{a}_{\frac{1}{2}}ln^{-2}(1-x)d(ln(1-x))=[/m]

[m]=lim_{a → 1-0}ln^{-1}(1-x)|^{a}_{\frac{1}{2}}=

lim_{a → 1-0}\frac{1}{ln(1-x)}|^{1}_{\frac{1}{2}}=[/m]

[m]=lim_{a → 1-0}\frac{1}{ln(1-a)}-\frac{1}{ln(1-\frac{1}{2})}=0-\frac{1}{ln\frac{1}{2}}=\frac{1}{ln2}[/m]

Ответ выбран лучшим

x^2-3x-4=-x^2-x+8
2x^2-2x-12=0
x^2-x-6=0
D=1+24=25;
x_(1)=-2;x_(2)=3

S= ∫^(3)_(-2)(-x^2-x+8-x^2+3x+4)dx= ∫^(3)_(-2)(-2x^2+2x+12)dx=

=((-2x^3/3)+x^2+12x)|^(3)_(-2)=

=(-2/3)*3^3+3^2+12*3-(-2/3)*(-2)^3-(-2)^2-(12*(-2))=...=125/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

d^2=87^2+200^2=7569+40000=47569

d ≈ 218

205 cм < 218 см

О т в е т. Пройдет.

Ответ выбран лучшим

d^2=12^2+32^2=144+1024=1168

d=sqrt(1168)

L=12d=12*sqrt(1168) ≈ 410,11 cм (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[i]Универсальная подстановка[/i]

[m]tg\frac{x}{2}=t[/m] ⇒ [m]dx=\frac{2}{1+t^2}dt; sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/m]

[m] ∫ \frac{sinx}{1+sinx}dx=4 ∫ \frac{t}{(t+1)^2\cdot (1+t^2)}dt[/m]

Раскладываем дробь [i]на простейшие[/i] методом неопределенных коэффициентов:

[m]\frac{t}{(t+1)^2\cdot (1+t^2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{(t+1)^2}+\frac{Mt+N}{t^2+1}[/m]

t=A*(t+1)*(t^2+1)+B*(t^2+1)+(Mt+N)*(t+1)^2

комбинируем два способа:

Метод частных значений:
при
t=-1

-1=2B ⇒ [b]B=-1/2[/b]

равенство двух многочленов

t=At^3+At^2+At+A+Bt^2+B+Mt^3+2Mt^2+Mt+Nt^2+2Nt+N

A+M=0 ⇒ A=-M
A+B+2M+N=0 ⇒ -M-(1/2)+2M+N=0 ⇒ M+N=1/2
A+M+2N=1 ⇒ -M+M+2N=-1 ⇒ [b]N=-1/2[/b]
A+B+N=0 ⇒ A-(1/2)-(1/2)=0 ⇒[b] A=1[/b]

[b]M=-1[/b]

[m] ∫ \frac{sinx}{1+sinx}dx=4 ∫(\frac{1}{t+1}-\frac{\frac{1}{2}}{(t+1)^2}-\frac{t+\frac{1}{2}}{t^2+1})dt=[/m]

[m]=4 ∫(\frac{1}{t+1}-\frac{\frac{1}{2}}{(t+1)^2}-\frac{1}{2}\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1}{2}\frac{dt}{t^2+1})dt=[/m]

[m]=4(ln|t+1|+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{t}-\frac{1}{2}ln|t^2+1|+\frac{1}{2}\cdot arctgt)+C[/m]

где [m]t=tg\frac{x}{2}[/m]

По частям

[m]u=arctg\sqrt{4x-1}[/m]

[m]dv=dx[/m]

[m]du=\frac{1}{1+(\sqrt{4x-1})^2}\cdot (\sqrt{4x-1})`dx=\frac{1}{1+(\sqrt{4x-1})^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{4x-1}}\cdot (4x-1)`dx[/m]

[m]du=\frac{1}{2x\cdot\sqrt{4x-1}}dx[/m]

[m]v=x[/m]

[m] ∫ arctg\sqrt{4x-1}dx=x\cdot arctg\sqrt{4x-1}- ∫ \frac{1}{2\cdot\sqrt{4x-1}}dx=[/m]

формула (см. приложение)

[m]=x\cdot arctg\sqrt{4x-1}-\frac{1}{8}\cdot 2\sqrt{4x-1}+C=[/m]

[m]=x\cdot arctg\sqrt{4x-1}-\frac{1}{4}\sqrt{4x-1}+C[/m]

--------------------------- (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m] ∫ \frac{(arccosx)^3-1}{\sqrt{1-x^2}}dx= ∫ \frac{(arccosx)^3}{\sqrt{1-x^2}}dx- ∫ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=[/m]

d(arccosx)=[m]\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx[/m]

и формула ∫ u^3du

[m]=\frac{(arccosx)^4}{4}-arcsinx+C=\frac{(arccosx)^4}{4}+arccosx+C[/m]

Ответ выбран лучшим

Под знаком интеграла [i]неправильная дробь[/i]. Выделим целую часть:

[m]\frac{3x^3+1}{x^2-1}=\frac{3x^3-3x+3x+1}{x^2-1}=\frac{3x(x^2-1)+(3x+1)}{x^2-1}=\frac{3x(x^2-1)}{x^2-1}+\frac{3x+1}{x^2-1}=3x+\frac{3x+1}{x^2-1}[/m]

Разложим [i]правильную дробь[/i] [m]\frac{3x+1}{x^2-1}[/m] на [i]простейшие[/i] методом неопределенных коэффициентов:

x^2-1=(x-1)(x+1)

[m]\frac{3x+1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}[/m]

Приводим дроби справа к общему знаменателю и приравниваем числители:

3x+1=A(x+1)+B(x-1)

Применяем[i] метод частных значений:[/i]

При x=1
3*1+1=2A ⇒ A=2
При x=-1
3*(-1)+1=-2B ⇒ B=1

[m] ∫ \frac{3x^3+1}{x^2-1}= ∫ (3x+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1})dx=3\frac{x^2}{2}+2ln|x-1|+ln|x+1|+C[/m]

Ответ выбран лучшим

Неправильная дробь. Выделяем целую часть:

[m]\frac{-x^3(x^2-25)+1}{x(x^2-25)}=-x^3+\frac{1}{x(x-5)(x+5)}[/m]

Раскладываем дробь

[m]\frac{1}{x(x-5)(x+5)}[/m]

на простейшие

[m]\frac{1}{x(x-5)(x+5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-5}+\frac{D}{x+5}[/m]

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:

[m]1=А\cdot (x-5)(x+5)+B\cdot x\cdot (x+5)+D\cdot x\cdot (x-5)[/m]

При x=5

1=15B ⇒ B=[m]\frac{1}{5}[/m]

При x=-5

1=15D ⇒ D=[m]\frac{1}{5}[/m]

При x=0

1=-25A ⇒ A=-[m]\frac{1}{25}[/m]

[m]\frac{1}{x(x-5)(x+5)}=\frac{-\frac{1}{25}}{x}+\frac{\frac{1}{15}}{x-5}+\frac{\frac{1}{15}}{x+5}[/m]

[m]∫ \frac{–x^5+25x^3+1}{x^3–25x}dx= ∫ (-x^3+\frac{1}{x(x-5)(x+5)})dx=[/m]

[m] ∫ (-x^3+\frac{-\frac{1}{25}}{x}+\frac{\frac{1}{15}}{x-5}+\frac{\frac{1}{15}}{x+5})dx=[/m]

[m]=-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{25}ln|x|+\frac{1}{15}ln|x-5|+\frac{1}{15}ln|x+5|+C[/m]

Ответ выбран лучшим

Сходится, так как эквивалентен ряду

∑ [m]\frac{x}{\sqrt[3]{(x^3)^4}}[/m], который является обобщенным гармоническим рядом

p=3>1

Ответ выбран лучшим

5.
x-1=t
x=t+1

x^2=(t+1)^2=t^2+2t+1

dx=dt

Пределы: если x=5, то t=4
если x=2, то t=1

[m]\int^{5}_{2}\frac{x^2dx}{(x-1)\sqrt{x-1}}=\int^{4}_{1}\frac{t^2+2t+1}{t\sqrt{t}}dt=[/m]

[m]= \int^{4}_{1}(\sqrt{t}+\frac{2}{\sqrt{t}}+\frac{1}{t\sqrt{t}})dt=[/m]

[m]= \int^{4}_{1}(t^{\frac{1}{2}}+2\cdot t^{-\frac{1}{2}}+ t^{-\frac{3}{2}})dt=[/m]

[m]=(\frac{2}{3}\cdot t^{\frac{3}{2}}+4t^{\frac{1}{2}}-2t^{-\frac{1}{2}})|^{4}_{1}=7+\frac{8}{3}=9\frac{2}{3}[/m]

6.
x^2(1-y^2)dx=-y^2(1-x^2)dy - уравнение с разделяющимися переменными

x^2dx/(1-x^2)=-y^2dy/(1-x^2)

Прибавим 1- вычтем 1 в числителях

[m]\frac{x^2-1+1}{1-x^2}dx=\frac{1-1-y^2}{1-y^2}dy[/m]

Интегрируем

[m] ∫ (-1+\frac{1}{1-x^2})dx= ∫ (\frac{1}{1-y^2}+1)dy[/m]

[m]-x+\frac{1}{2}ln|\frac{1+x}{1-x}|=\frac{1}{2}ln|\frac{1+y}{1-y}|+y+lnC[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

[m]\frac{1}{x+1}=t[/m] ⇒ [m]x=\frac{1}{t}-1[/m]

[m]x^2-3x+2=(\frac{1}{t}-1)^2-3\cdot (\frac{1}{t}-1)+2=...=\frac{6t^2-5t+1}{t^2}[/m]

и

[m]dx=-\frac{dt}{t^2}[/m]
Тогда

[m] ∫ \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2-3x+2}}[/m] = - ∫ [m]\frac{dt}{\sqrt{6t^2-5t+1}}[/m]

Выделяем полный квадрат:

[m]6t^2-5t+1=6(t^2-\frac{5}{6}t+\frac{1}{6})=6((t-\frac{5}{12})^2-\frac{1}{144})[/m]

[m]=- \frac{1}{\sqrt{6}}∫\frac{dt}{\sqrt{(t-\frac{5}{12})^2-\frac{1}{144}}}=[/m]

cм. формулу в приложении

[m]=- \frac{1}{\sqrt{6}}ln|t-\frac{5}{12}+\sqrt{t^2-\frac{5}{6}t+\frac{1}{6}}|+C[/m]

где [m]t=\frac{1}{x+1}[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m] ∫ \frac{dx}{sinx\cdot 2sinx}= ∫ \frac{sin^2x+cos^2x}{2sin^2x\cdot cosx}dx=[/m]

[m]= ∫ \frac{1}{2cosx}dx+ ∫ \frac{cosx}{2sin^2x}dx=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|tg(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})|+\frac{1}{2} ∫ sin^{-2}xd(sinx)=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|tg(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})|+\frac{1}{2} \cdot(- \frac{1}{sinx})+C[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(u^2)`=2u*u`

u=(arctg(ctgx))^2

поэтому

y`=2arctg(ctgx)*(arctg(ctgx))`=

т.к (arctgt)`=[m]\frac{t`}{1+t^2}[/m], то

=2arctg(ctgx)*[m]\frac{(ctgx)`}{1+ctg^2x}[/m]

т.к (ctgx)`= - [m]\frac{1}{sin^2x}[/m]

=-2arctg(ctgx)*[m]\frac{1}{(1+ctg^2x)\cdot sin^2x}[/m]

т.к 1+ctg^2x=[m]\frac{1}{sin^2x}[/m]

=-2arctg(ctgx)

y`(π/6)=-2arctg(ctg(π/6))=-2arctg(sqrt(3))=-2*(π/3)=[b]-2π/3[/b]

О т в е т. -2π/3

Ответ выбран лучшим

[m]q=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}=\sqrt{\frac{8^2+9^2+(7\sqrt{2})^2}{3}}=\sqrt{\frac{243}{3}}=\sqrt{81}=9[/m]

[i]Линейное неоднородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка [i]с постоянными коэффициентами[/i].

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+8k+25=0

D=8^2-4*25=64-100=-36

k_(1)=-6*i; k_(2)=6i– корни комплексно-сопряженные

[i]Общее решение однородного уравнения[/i] имеет вид:
[b]y_(одн.)=С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x[/b]

Частное решение[i] неоднородного уравнения[/i] находим в виде:
y_(част)=Аe^(4х)

Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=4Аe^(4х)
y``_(част)=16Аe^(4х)

Подставляем в данное уравнение:
16Аe^(4х)+8*(4Аe^(4х))+25*(Аe^(4х))=18e^(4x)

73A=18

A=18/73

[b]y_(част)=(18/73)*e^(4х)[/b]

[b]y=y_(одн.)+y_(част)= С_(1)*cos6x+C_(2)sin6x+(18/73)*e^(4x)[/b]

Ответ выбран лучшим

[i]Линейное однородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка с[i] постоянными коэффициентами.[/i]

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-6k+9=0

k_(1)= k_(2)=3- корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y=С_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y-xy`=3+3x^2y` ⇒ y-3=(x+3x^2)*y`- уравнение с разделяющимися переменными

dy/(y-3)=dx/(x+3x^2)

∫ dy/(y-3)= ∫ dx/(x+3x^2)

1/(x+3x^2)=(A/x)+(B/(3x+1)) ⇒ A=1; B=-3

∫ dy/(y-3)= ∫ dx/x - ∫ 3dx/(3x+1)

ln|y-3|=ln|x|-ln|3x+1|+lnC

[b]y-3=Cx/(3x+1)[/b]

Ответ выбран лучшим

6x^2-5x*(ax-5)+(ax-5)^2+x-(ax-5)-2=0

6x^2-5ax^2+25x+a^2x^2-10ax+25+x-ax+5-2=0

(6-5a+a^2)x^2+(26-11a)x+28=0

если 6-5а+a^2=0 ⇒ а=2 или a=3

то уравнение принимает вид:

(26-22)х+28=0 или (26-33)х+28=0

x=-7 или x=4 - уравнения имеют одно решение

если 6-5а+a^2 ≠ 0, то квадратное уравнение имеет одно решение, если дискриминант квадратного уравнения D=0 ⇒

D=(26-11a)^2-4*(6-5a+a^2)*28=26^2-2*26*11a+121a^2-672+560a-112a^2=9a^2-12a+4=(3a-2)^2

D=0 ⇒ (3a-2)^2=0 ⇒ 3a-2=0 ⇒ a=2/3

О т в е т. 2;3;2/3

Ответ выбран лучшим

[m] ∫ u^{-\frac{5}{4}}du=\frac{u^{-\frac{5}{4}+1}}{-\frac{5}{4}+1}[/m]

u=16+x^2

du=(16+x^2)`*dx=2xdx ⇒

xdx=(1/2)du

[b]xdx=(1/2)d(16+x^2)[/b]

=[m] \frac{1}{2}[/m]∫ ^(+ ∞ )_(0)[m](16+x^2)^{-\frac{5}{4}}d(16+x^2)[/m]=

=[m]\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{-\frac{5}{4}+1}}{-\frac{5}{4}+1}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=

=[m]-\frac{2}{\sqrt[4]{16+x^2}}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=-0+1=1

[m]\frac{x^2-25x+26}{x-1} + \frac{x^2-7x+1}{x-7} \leq 2x-24[/m]

[m]\frac{x^2-25x+26}{x-1} + \frac{x^2-7x+1}{x-7}-(2x-24) \leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{(x^2-25x+26)(x-7)+(x^2-7x+1)(x-1)-(2x-24)(x-1)(x-7)}{(x-1)(x-7)} \leq 0[/m]

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:

[m]\frac{x^3-25x^2+26x-7x^2+175x-182+x^3-7x^2+x-x^2+7x-1-2x^3+40x^2-206x+168}{(x-1)(x-7)} \leq 0[/m]

[m]\frac{3x-15}{(x-1)(x-7)} \leq 0[/m]

[m]\frac{3(x-5)}{(x-1)(x-7)} \leq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

_-___ (1) __+___ [5] __-___ (7) __+__

О т в е т. (- ∞ ;1) U[5;7)

4^(2x+1,5)=4^(2x)*4^(1,5)=8*(4^(x))^2

9^(x+0,5)=9^(x)*9^(0,5)=3*(3^(x))^2

8*(4^(x))^2-2*(3^(x))*(4^(x))-3*(3^(x))^2 ≥ 0

Делим на (3^(x))^2

t=(4/3)^(x)

t >0

8t^2-2t-3 ≥ 0

t_(1)=-1/2; t_(2)=3/4

t ≥ 3/4 ⇒

(4/3)^(x) ≥ (3/4) ⇒ (4/3)^(x) ≥ (4/3)^(-1) ⇒ x ≥ -1

О т в е т. [-1;+ ∞ )

1,05*(1,1*(1,1А+х)+х) - 1.05*(1,1^2*A+2x)= чётное число тысяч рублей

1,05*(1,1^2A+1,1*x+x-1,1^2A-2x)= чётное число тысяч рублей

1,05*0,1*x=чётное число тысяч рублей

0,105x=чётное число тысяч рублей

если x=400 000

0.105*400 000=42000 руб

(прикреплено изображение)

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+25=0

k1=-5*i; k2=5i– корни комплексно-сопряженные

α =0 β=5

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*cos5x+C_(2)sin5x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=[blue]e^(х)*(Asin5x+Bcos5x)[/blue]

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x)

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x)

y``_(част)=e^(x)(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x)

y``_(част)=e^(x)(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Аsin5x-25Bcos5x)

подставляем в данное уравнение:

e^(x)(Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Аsin5x-25Bcos5x)+25*[blue]e^(х)*(Asin5x+Bcos5x)[/blue]=e^(x)*(cos5x-10sin5x)

Asin5x+Bcos5x+ 5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Аsin5x-25Bcos5x+25Asin5x+25Bcos5x=cos5x-10sin5x

(А-5В-5В-25А+A)sin5x+(B+5A+5A-25B+B)*cos5x=cos5x-10sin5x

А-5В-5В-25А+25A=-10
B+5A+5A-25B+25B=1

Cистема:
{А-5В-5В-25А+25A=-10
{B+5A+5A-25B+25B=1

{A-10B=-10 ⇒ А=10В-10 и подставляем во второе
{10A+B=1

10(10В-10)+В=1

B=1

A=0

y_(част)=e^(х)*cos5x

О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)*cos5x+C_(2)sin5x+e^(х)*cos5x

РЕШЕНИЕ задачи Коши:

y(0)=3
y`(0)=-4

Подставляем в общее решение:
х=0; y=3

3=С_(1)*cos0+C_(2)sin0+e^(0)*cos0

sin0=0; cos0=1;e^(0)=1

[b]3=С_(1)+1[/b] ⇒ C_(1)=2

Находим производную:

y`=(С_(1)*cos5x+C_(2)sin5x+e^(х)*cos5x)`

y`=-5С_(1)*sin5x+5C_(2)cos5x+e^(х)*cos5x+ e^(х)*5*(-sin5x)

y`(0)=-4

Подставляем:

[b]-4=5C_(2)+1[/b]⇒ C_(2)=-1

и получаем решение задачи Коши ( решение, удовлетворяющее условиям):

у=2*cos5x-sin5x+e^(х)*cos5x

2x+5=8 ⇒ 2x=8-5 ⇒ 2x=3 ⇒ x=3:2 ⇒ [b]x[/b]=1,5

2*(3x+1)+5=8 ⇒ 2*(3x+1)=8-5 ⇒ 2*(3x+1)=3 ⇒ (3x+1)=3:2 ⇒ [b]3x+1[/b]=1,5 ⇒

3x=1,5-1

3x=0,5

x=0,5:3

x=[m]\frac{1}{2}:3[/m]

x=[m]\frac{1}{2}\cdot {1}{3}[/m]

x==[m]\frac{1}{6}[/m]

Ответ выбран лучшим

Выделим полные квадраты:

[m](sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(cosx+\frac{\sqrt{3}}{2})^2=0[/m]

Cумма двух неотрицательных чисел равна 0 тогда и только тогда когда каждое из них равно 0:

[m]\left\{\begin{matrix} sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0\\ cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} sin2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 2x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{3})+\pi k , k\in Z\\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.[/m]

Запишем ответ первого уравнения в виде двух ответов

[m]\left\{\begin{matrix} 2x=(-\frac{\pi}{3})+2\pi k; 2x=(-\frac{2\pi}{3})+2\pi k , , k\in Z \\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x=(-\frac{\pi}{6})+\pi k; x=(-\frac{\pi}{3})+\pi k , , k\in Z \\ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. [m]\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z[/m]

б)
[m]\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6}[/m];
[m]\frac{5\pi}{6}+4\pi=\frac{29\pi}{6}[/m];

[m]\left\{\begin{matrix} x>0;x\neq 1\\ x-2>0; x-2\neq 1 \\log^2_{x}(x-2)-log^2_{x-2}(x)\leq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x>0;x\neq 1\\ x>2; x\neq 3 \\(log_{x}(x-2)-log_{x-2}(x))(log_{x}(x-2)+log_{x-2}(x))\leq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]log_{x}(x-2)=\frac{1}{log_{x-2}x}[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x>2\\ x\neq 3 \\(\frac{1}{log_{x-2}(x)}-log_{x-2}(x))(\frac{1}{log_{x-2}(x)}+log_{x-2}(x))\leq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x>2\\ x\neq 3 \\\frac{1-log^2_{x-2}(x)}{log_{x-2}(x)}\cdot \frac{1+log^2_{x-2}(x))}{log_{x-2}(x)}\leq 0 \end{matrix}\right.[/m]

При x >2; x ≠ 3

[m]1+log^2_{x-2}x >0[/m]

[m]log^2_{x-2}x >0[/m]

поэтому неравенство сводится к неравенству:

[m]1-log^2_{x-2}x ≤ 0 [/m]

[m]log^2_{x-2}x -1 ≥ 0 [/m]

[m](log_{x-2}x-1)( log_{x-2}x+1) ≥ 0 [/m]

__+___ [1-sqrt(2)] ____ [1+sqrt(2)] __+_

C учетом x >2; x ≠ 3 получаем ответ:

[1+sqrt(2);3)U(3;+ ∞ )

AC^2=AB^2+BC^2=64+80=144

AC=12

AO=AC/2=6

d(T, ABC)=TO=sqrt(TA^2+AO^2)=sqrt(10^2+6^2)=sqrt(136)

Проводим высоты параллелограмма:
BK ⊥ CD
BT ⊥ AD

⇒ ВК и ВТ - проекции МК и МТ, если проекция перпендикулярна
стороне, то и наклонная перпендикулярна

MK ⊥ CD
MT ⊥ AD

MK=17
MT=10

По теореме Пифагора:

ВК^2=MК^2-MB^2=17^2-8^2=289-64=225
BK=15

ВT^2=MT^2-MB^2=10^2-8^2=100-64=36
BТ=6

P_(ABCD)=56

2*(AD+DC)=56

AD+DC=28

S_(параллелограмма)=АD*ВТ

S_(параллелограмма)=CD*BK ⇒

[b]АD*ВТ=CD*BK[/b]

AD=x

CD=28-x

x*6=(28-x)*15

x=

S=
(прикреплено изображение)

Продолжаем PQ до пересечения с BC.Получаем точку в основании АВСD, принадлежащую одновременно и секущей плоскости и основанию АВСD. Соединяем эту точку с точкой Т. Секущая плоскость пересекает основание ABCD по прямой ТК. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Проводим через точку Р прямую, параллельную ТК. PF||TK Затем через точку T прямую, параллельную PQ (прикреплено изображение)

Решение векторно-координатным методом.

Вводим систему координат, как показано на рисунке.

Высота пирамиды
SO^2=SA^2-АО^2=1^2-(sqrt(2)/2)^2=1/2

h=SO=sqrt(2)/2

Точки G и F - cередины отрезков.

Находим их координаты как координаты середины

Составляем уравнения плоскостей

ABG:

[m]\begin{vmatrix} x-\frac{1}{2} &y+\frac{1}{2} &z \\ 0&1 &0 \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} &-\frac{\sqrt{2}}{4} \end{vmatrix}=0[/m]

⇒ sqrt(2)x+3z-sqrt(2)=0 ⇒

vector{n_(ABG)}=(sqrt(2);3)

CDF:

Угол между плоскостями - угол между их [i]нормальными[/i] векторами (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Осевое сечение - правильный треугольник, значит основание треугольника 6 sqrt(3).
Основание осевого сечения - это диаметр основания конуса.

d=6sqrt(3)

2R=6sqrt(3) ⇒ R=3sqrt(3)

По теореме Пифагора

h^2=L^2-R^2=(6sqrt(3))^2-(3sqrt(3))^2=108-27=81

h_(конуса)=9 (прикреплено изображение)

Вводим в рассмотрение события ( гипотезы)
H_(1)-" утеряна стандартная"
Н_(2) -" утеряна нестандартная"

p(H_(1))=25/35
p(H_(2)=10/35

p(H_(1))+p(H_(2)=1 ( гипотезы выбраны верно)

Событие А-"После этого из ящика наугад вынули одну деталь. Эта деталь оказалась стандартной"

p(A/H_(1))=24/34
p(A/H_(2))=25/34

По формуле полной вероятности:

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(25/35)*(24/34)+(10/35)*(25/34)=...

а) стандартная деталь

По формуле Байеса

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=...

б) нестандартная деталь

p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=...

Ответ выбран лучшим

S_(полн. конуса)=S_(бок)+S_(осн)=π*R*L+π*R^2

S_(полн. конуса)=32,5

[b]π*R*L+π*R^2=32,5[/b]

r_(сеч):R=4:5 ⇒ r_(сеч)=(4/5)*R

L_(отсеч. конуса):L=4:5 ⇒ L_(отсеч. конуса)=(4/5)*L

S_(полн. отсеч. конуса)=S_(сеч)+S_(бок. отсеч конуса)=

=π*r^2+π*r*L_(отсеч. конуса)=

=π*((4/5)*R)^2+π*((4/5)R)*(4/5)*L=

=(16/25)π*R^2+(16/25)πRL

так как
[b]π*R*L+π*R^2=32,5[/b]

=(16/25)(π*R^2+πRL)=(16/25)*32,5=0,64*32,5=20,8

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть первая бригада за х часов, тогда вторая за (х+5) часов

Значит первая [i]за час[/i] выполняет (1/х) часть;

вторая [i]за час[/i] выполняет

1/(х+5) часть.

Вместе выполняют за 6 часов, значит[i] за час[/i] (1/6) часть всей работы

Уравнение

(1/х) + (1/(х+5))=1/6

6*(x+5)+6x=x*(x+5)

x^2-7x-30=0

D=49-4*(-30)=169

x=(7+13)/2=10 часов; x=(7-13)/2 < 0 не удовл. смыслу здачи

О т в е т. 10 часов

(1/10)+(1/15)=1/6 - верно

Находим точку пересечения:
{x^2+y^2=5
{y^2=4x

x^2+4x=5 ⇒ x^2+4x-5=0;D=36; корни x_(1)=-5;x_(2)=1

⇒ y^2=-5 нет корней
или
y^2=1 ⇒ y= ± 1 по условию y >0

x=1
y=1

f`_(x_(o))=k_(касательной)=tg α ( α - угол наклона касательной к кривой y=f(x) в точке х_(о)

Первая кривая:

y^2=5-x^2 ⇒ y=sqrt(5-x^2)

y`=-x/sqrt(5-x^2)

y`(1)=-1/sqrt(5-1^2)=-1/2

k_(касательной 1)=-1/2

Вторая кривая:

y^2=4х⇒ y=2sqrt(x)

y`=1/sqrt(х)

y`(1)=1/sqrt(1)=1

k_(касательной 2)=1

tgα _(1)=-1/2
tg α _(2)=1

tg( α _(2)- α _(1))=(tgα _(2)-tgα _(1))/(1+tg α _(1)*tg α _(2))=

=(1-(-1/2))/(1+1*(-1/2)=(3/2)/(1/2)=[b]3[/b]

О т в е т. arctg 3

Ответ выбран лучшим

Скорый поезд за 108 сек проехал 400 м+ свою длину со скоростью

60-30 =30 км в час

30 км в час=30 000 /3600 м/сек=25/3 м/сек

(25/3)*108=900 м

900 м - 400 м =500 м длина скорого. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

||3x+8|–6|+5=6 или ||3x+8|–6|+5=-6

||3x+8|–6|=1 или ||3x+8|–6|=-11 ( неи имеет решений, |..| ≥ 0)

|3x+8|–6=1 или |3x+8|–6=-1

|3x+8|=7 или |3x+8|=5

3x+8=7 или 3х+8 =-7 или 3x+8=5 или 3х+8=-5

3x=-1 или 3х =-15 или 3x=-3 или 3х=-13

[b]x=-1/3 или х=-5 или х=-1 или х=-13/3[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Отсутствует при а=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx

2*2sinx*cosx+2cosx=0

2cosx*(2sinx+1)=0

cosx=0 или 2sinx+1=0 ⇒ sinx=-1/2 ⇒

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z

О т в е т. (π/2)+πm, m ∈ Z; (-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z

б)
Запишем ответ х=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z
в виде двух ответов:

при k=2n
получим
x=(-π/6)+2πn

при k=2n+1
получим
x=(7π/6)+2πn, n ∈ Z

Тогда легко найти корни, принадлежащие указанному отрезку

x=(-π/6)-2π= -13π/6

x=(7π/6)-4π=-17π/6

x=(π/2)-3π=-5π/2

k_(прямой ОВ)=3

k_(прямой ВА)=-1/3

k_(прямой ОВ)*k_(прямой ВА)=-1

⇒ АВ ⊥ ОВ ⇒ Δ АВО - прямоугольный и ∠ АВО=90 °

sin ∠ BOA=АВ/OA

Найдем по теореме Пифагора:

OA=sqrt(2^2+4^2)=sqrt(20)
BA=sqrt(1^2+3^2)=sqrt(10)

sin ∠ BOA=АВ/OA=sqrt(10)/sqrt(20)=1/sqrt(2)

О т в е т. (1/sqrt(2))*2sqrt(2)=2

Ответ выбран лучшим

tg ∠ AOD=3/3=1
∠ AOD=45 °

tg ∠ BOC=1/3 ⇒ ∠ BOC=arctg(1/3)

∠ BOA=45 ° -arctg(1/3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6^(x+9)>6^(-2)

Показательная функция с основанием 6 возрастающая.

По определению это означает, что [i]большему[/i] значению функции (y )соответствует [i]большее[/i] значение аргумента х.

Поэтому от неравенства со значениями функции переходим к неравенству с аргументами ( показателями)

Знак неравенства остается неизмененным (сохраняется).
x+9>-2

x>-11

Одно число х, другое (9-х)
x^2*(9-x)- произведение одного на квадрат другого

Обозначим его f(x)

f(x)=x^2*(9-x)

f(x)=9x^2-x^3

Исследуем функцию с помощью производной : [b]x > 0[/b]

f `(x)=18x-3x^2

f `(x)=0

18x-3x^2=0

3x*(6-x)=0

х=6 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

f(x)=6^2*(9-6)=36*3=[b]108 [/b]

Ответ выбран лучшим

Все [i]приближенные[/i] вычисления основаны на[i] приближенном[/i] равенстве ( cм. приложение)

Слева -значение функции в "нехорошей" точке M(x_(o)+ Δx;y_(o)+ Δy) , справа-значение функции в "хорошей" точке M_(o)(x_(o);y_(o)) и частные производные в "хорошей" точке M_(o)(x_(o);y_(o))

180 ° =π рад ⇒ 1 ° =(π/180) радиан

x_(o)=45 ° =(π/4)

x_(o)+ Δx=47 ° ⇒ Δх=2 ° =2*(π/180)=(π/90) радиан

y_(o)=30 ° = (π/6)

x_(o)+ Δx=28 ° ⇒ Δy=-2 ° =-2*(π/180)=(-π/90) радиан

df(x_(o);y_(o))=f`_(x)(x_(o);y_(o)) Δx+f`_(y)(x_(o);y_(o)) Δy

f`_(x)(x;y)=siny*(tgx)`_(x)=siny/cos^2x

f`_(y)(x;y)=tgx*(siny)`_(y)=tgx*cosy

f`_(x)(x_(o);y_(o))= f`_(x)(π/4;π/6)= sin(π/6)/cos^2(π/4)=1

f`_(y)(x_(o);y_(o))= f`_(y)(π/4;π/6)= tg(π/4)*cos(π/6)=1*sqrt(3)/2

df(x_(o);y_(o))=df(π/4;π/6)=1*(π/90)+(sqrt(3)/2)*(-π/90) ≈ считаем и подставляем в формулу

d^2(x_(o);y_(o))=f``_(xx)(x_(o);y_(o)) (Δx)^2+2f``_(xy)(x_(o);y_(o)) Δx* Δy+f``_(xx)(x_(o);y_(o)) (Δx)^2

f ``_(xx)(x;y)=(siny/cos^2x)`_(x)=2siny*(sinx)/cos^3x

f ``_(xy)(x;y)=(siny/cos^2x)`_(y)=cosy/cos^2x

f ``_(yy)(x;y)=(tgx*cosy)`_(y)=-tgx*siny

f ``_(xx)(x_(o);y_(o))=f ``_(xx)(π/4;π/6)=2

f ``_(xy)(x_(o);y_(o))=f ``_(xy)(π/4;π/6)=sqrt(3)

f ``_(yy)(x_(o);y_(o))=f ``_(yy)(π/4;π/6)=-1/2

d^2(x_(o);y_(o))=d^2(π/4;π/6)=2*(π/90)^2+2sqrt(3)*(π/90)*(-π/90)-(1/2)*(-π/90)^2 ≈ считаем и подставляем в формулу (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(бок)=π*R*L

S_(бок)=63

π*R*L=63

L=9

π*R*9=63 ⇒ [blue] π*R[/blue]=63:9=[blue]7[/blue]

C=2π*R=2*([blue]π*R[/blue])=2*[blue]7[/blue]=14

C=2π*R

По условию C=18 ⇒ 18=2π*R ⇒ R=9/π

S_(бок)=π*R*L=π*(9/π)*6=[b]54[/b]

Ответ выбран лучшим

∑^(∞)_(n=1) [m]\frac{П^{n}_{k=1}(2+3k)}{П^{n}_{k=1}(1+4k)}[/m]

По признаку Даламбера

lim_(n → ∞ )[m]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=[/m]

=lim_(n → ∞ )[m]\frac{\frac{П^{n+1}_{k=1}(2+3k)}{П^{n+1}_{k=1}(1+4k)}}{\frac{П^{n}_{k=1}(2+3k)}{П^{n}_{k=1}(1+4k)}}=[/m]

==lim_(n → ∞ )[m]\frac{2+3n+3}{1+4n+4}=\frac{3}{4} < 1[/m]

Сходится по признаку Даламбера

Ответ выбран лучшим

S_(трапеции)=(a+b)*h/2

a=10+23=33
b=5
h=24

S=(33+5)*24/2=...

tg ∠ A=BC/AC=2/5
tg ∠ B=AC/BC=5/2

[m]log_{a}\sqrt[4]{\frac{a}{b}}=log_{a}(\frac{a}{b})^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}log_{a}\frac{a}{b}=[/m]

[m]=\frac{1}{4}\cdot (log_{a}a-log_{a}b)=\frac{1}{4}\cdot (1-17)=-4[/m]

2.

Так как
(sqrt(7)+sqrt(6))^2=7+2sqrt(42)+6=13+2sqrt(42)

2log_(3)9-2log_(3)(sqrt(7)+sqrt(6))+log_(3)(sqrt(7)+sqrt(6))^2=

=2log_(3)9-2log_(3)(sqrt(7)+sqrt(6))+2log_(3)(sqrt(7)+sqrt(6))=

=2log_(3)9=2*2=4

Ответ выбран лучшим

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

2,65=(2,5+x)/2

5,3=2,5+x

x=5,3-2,5

x=2,8

S_(бок)=2π*R*Н

S_(бок)=24π

2π*R*Н=24π ⇒ [b]R*Н=12[/b]

d^2=(2R)^2+H^2

d=5

[b]5^2=(2R)^2+H^2[/b]

Система двух уравнений
{[b]R*Н=12[/b] ⇒ R=12/H подставляем во второе
{[b]5^2=(2R)^2+H^2[/b]

25=4*(12/H)^2+H^2

x^2 ≠ 0

Умножаем на x^2

Н^4-25H^2+576=0

D=(-25)^2-4*576<0

Нет решений

(прикреплено изображение)

S_(осн)=π*R^2

S_(осн)=49*π

π*R^2=49*π ⇒ R^2=49 ⇒ [blue] R=7[/blue]

S_(бок)=2π*R*Н

S_(бок)=70π

2π*R*Н=70π ⇒ 2π*[blue]7[/blue]*Н=70π

Н=[b]5[/b]

Ответ выбран лучшим

h=sqrt(10^2-5^2)=5sqrt(3) (прикреплено изображение)

z`_(x)=[m]\frac{(x-3y)`_{x}}{1+(x-3y)^2}[/m] ⇒z`_(x)=[m]\frac{1}{1+(x-3y)^2}[/m]

z`_(y)=[m]\frac{(x-3y)`_{y}}{1+(x-3y)^2}[/m] ⇒z`_(x)=[m]-\frac{3}{1+(x-3y)^2}[/m]

z``_(xy)=([m]\frac{1}{1+(x-3y)^2}[/m] )`_(y)=...

z``_(yx)=([m]-\frac{3}{1+(x-3y)^2}[/m] )`_(x)=...

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(1/4)*4x^3-(1/2)*2x

y`=x^3-x

y`=0

x^3-x=0

x(x-1)(x+1)=0

x=-1;x=0; x=1

Знак производной

__-_ (-1) _+_ (0) _-_ (1) __+__

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y`>0 при x ∈ (-1;0) U(1;+ ∞) ⇒ функция[i] возрастает[/i] при x ∈ (-1;0)
и x ∈ (1;+ ∞ )

y`<0 при x ∈ (- ∞ ;-1)U(0;1) ⇒ функция[i] убывает[/i]т при x ∈ (- ∞ ;-1) и x ∈ (0;1)

y``=3x^2-1

y``>0 при x ∈(- ∞ ;-1/sqrt(3))U (1/sqrt(3);+ ∞ ) - функция выпукла вверх

y`` <0 при x ∈ (-1/sqrt(3);1/sqrt(3)) - функция выпукла вниз
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть неизвестное число х, тогда [m]\frac{1}{x}[/m] - взаимно обратное.

[m]44x^2[/m] - квадрат этого числа ,увеличенный в 44 раза

Сумма взаимно обратного и квадрата этого числа увеличенного в 44

раза

[m]\frac{1}{x}+44x^2[/m]

Обозначим ее f(x)

f(x)=[m]\frac{1}{x}+44x^2[/m]

x>0

Исследуем функцию с помощью производной.

f `(x)=[m]-\frac{1}{x^2}+88x[/m]

f `(x)=[m]\frac{88x^3-1}{x^2}[/m]

f`(x)=0

[m]88x^3-1=0[/m]

x ≠ 0

[m]x^3=\frac{1}{88}[/m]

x=[m]\sqrt[3]{\frac{1}{88}}[/m]- точка минимума на (0;+ ∞ ), производная меняет знак с - на +

О т в е т. [m]\sqrt[3]{\frac{1}{88}}[/m]

PS.
Если увеличение в 4 раза, все смотрится гораздо интереснее:

f(x)=[m]\frac{1}{x}+4x^2[/m]

x>0

Исследуем функцию с помощью производной.

f `(x)=[m]-\frac{1}{x^2}+8x[/m]

f `(x)=[m]\frac{8x^3-1}{x^2}[/m]

f`(x)=0

[m]8x^3-1=0[/m]

x ≠ 0

[m]x^3=\frac{1}{8}[/m]

[m]x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}[/m]

[m]x=\frac{1}{2}[/m]- точка минимума на (0;+ ∞ ), производная меняет знак с - на +

О т в е т. [m]\frac{1}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Значит, в квадрат вписана окружность

2R=H

S_(полн. цилиндра)=S_(бок)+2S_(осн)=2π*R*H+2π*R^2

Н=2R

=2π*R*(2R)+2π*R^2=6πR^2

По условию

S_(полн. цилиндра)=12

6πR^2=12

[b]πR^2=2[/b]

S_(шара)=4π*R^2=4*([red]π*R^2[/red])=4*2=[b]8[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D=(2y)^2-4x*x=4y^2-4x^2=4*(y^2-x^2)

y`=(y ± sqty(y^2-x^2))/x (#)

Это однородные уравнения

Решаются заменой:

y/x=u

y=x*u

y`=x`*u+u`*x

x`=1

y`=u+x*u`+u

Подставляем в (#)

u+u`*x=u ± sqrt(u^2-1)

u`*x= ± sqrt(u^2-1)- уравнения с разделяющимися переменными

± du/sqrt(u^2-1)=dx/x

± ∫ du/sqrt(u^2-1)= ∫ dx/x

± ln|u+sqrt(u^2-1)|=ln|x|+lnC

± ln|u+sqrt(u^2-1)|=lnC|x|

ln|u+sqrt(u^2-1)|=lnC|x| или ln(|u+sqrt(u^2-1)|)^(-1)=lnC|x|
Сx=u+sqrt(u^2-1) или Cx=1/(u+sqrt(u^2-1))

Подставляем вместо u=y/x и получаем два ответа

Ответ выбран лучшим

2x–5y=10

Точек бесчисленное множество.

Выбираем любое значение х

x=0; тогда 2*0-5y=10 ⇒ -5y=10 ⇒ y=10^(-5)=-2

(0;2) - одна такая точка..

х=

r^2=L^2-H^2=10^2-5^2=100-25=75

r=sqrt(75)=5sqrt(3)

d=2r=10sqrt(3) - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Обозначим

arctg(3/4)= α ⇒ tg α =3/4 ⇒ α ∈ [0;π/2]

Найти 5 sin α

1+tg^2 α =1/cos^2 α ⇒ cos^2 α =16/25

sin^2 α =1-cos^2 α =1-(16/25)=9/25

sin α = ± 3/5

α ∈ [0;π/2]

sin α =+3/5

5sin α =3

О т в е т. 3

sqrt(x-2) ≥ sqrt(x-7)+1

Слева и справа положительные выражения, возводим в квадрат

При этом изменится область определения уравнения, а именно расширится.

Так как в исходном уравнении были выражения под корнем, а при возведении корни исчезнут.

Поэтому возводим в квадрат с оговоркой:
{x-2 ≥ 0
{x-7 ≥ 0
{x-2 ≥ x-7+2sqrt(x-7)+1

Решаем третье неравенство системы:

2sqrt(x-7) ≤ 4

sqrt(x-7) ≤ 2

Возводим в квадрат

x-7 ≤ 4

x ≤ 11

C учетом
{x-2 ≥ 0
{x-7 ≥ 0 ⇒ х ≥ 7

получаем ответ:[b] [7;11][/b]

Возводим в квадрат. Решаем квадратное уравнение и делаем [b]проверку.[/b]

х+6=4x^2-12x+9

4x^2-13x+3=0

D=169-4*4*2=121

x_(1)= 1/4 ; x_(2)=3

x_(1) - посторонний корень

sqrt((1/4)+6)=2*(1/4)-3 неверно, арифметический кв корень есть число положительное

sqrt(3+6)=2*3-3 - верно

О т в е т. 3

y`=3x^2-12x

y`=0

3x^2-12x=0

x=0; x=4

y` < 0 на (0;4)

y`>0 на (- ∞ ;0) U(4;+ ∞ )

x=0 - точка максимума
х=4 - точка минмума

Ответ выбран лучшим

cos [b]2x[/b]=cos^2x-sin^2x

sin^2x=1-cos^2x ⇒

cos[b]2x[/b]=2cos^2x-1

Тогда уравнение можно записать:

2cos^2x-1-8cosx+3=0

Квадратное уравнение:

2cos^2x-8cosx+2=0

cos^2x-4cosx+1=0

D=16-4=12

cosx=(4-2sqrt(3))/2 или cosx=2+sqrt(3) ( нет корней)

cosx=2-sqrt(3)

[b]x= ± arccos(2-sqrt(3))+2πn, n ∈ Z[/b]

y`=(x^(5)+20x^(3)-88)`=5x^4+60x^2 ≥ 0 при любых х ∈ [−2;5].

Значит функция возрастает на этом отрезке

y_(наим [-2;5])=y(-2)=(-2)^(5)+20*(-2)^(3)-88

y_(наиб [-2;5])=y(5)=5^(5)+20*5^(3)-88

Дана сложная функция

y=sqrt(u) ; u=u(x)

По правилу вычисления производной[i] сложной[/i] функции

y`=u`/(2sqrt(u))

y`=0 ⇒ u`=0

Поэтому исследование функции y=sqrt(u) сводится к исследованию

функции u(x)=x^3-75x+375

u`(x)=3x^2-75

u`(x)=0

3x^2-75=0

3*(x^2-25)=0

x= ± 5

обе точки принадлежат [-6;6]

Находим значение [b]данной функции[/b] в этих точках и на концах отрезка:

y(-6)=

y(-5)=

y(5)=

y(6)=

Выбираем наибольшее и наименьшее

Ответ выбран лучшим

Умножим и числитель и знаменатель на такое же выражение, но с +

sin( α -(3π/2))=-sin((3π/2)- α )

По формулам приведения
sin((3π/2)- α )=-cos α ⇒

[b]sin( α -(3π/2))=cos α [/b]

tg((π/2)- α )=ctg α

cos((π/2)- α )=sin α

sin(π+ α )=-sin α

sin^2(π+ α )=(-sin α)^2=sin^2 α

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{sin(55^{o}+5^{o})}{cos(65^{o}-5^{o})}\cdot \sqrt{3}=\frac{sin60^{o}}{cos60^{o}}\cdot \sqrt{3}=tg60^{o}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3[/m]

Ответ выбран лучшим

(135+0)-28=135-28=107

Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки:
(-4;-3) и (6;-1)
y=kx+b

-3=k*(-4)+b
-1=k*6+b

k=1/5

Это угловой коэффициент касательной

f `(x_(o))= k_(касательной)

Значит, f `(1)=1/5

Находим производную функции y:

y`=(x/2)`*f(x)+(x/2)*f `(x)+3

y`=(1/2)*f(x)+(x/2)*f`(x) +3

Так как точка касания имеет координаты (1;-2)

то и f(1)=-2

y`(1)=(1/2)*(-2)+(1/2)*(1/5)+3=... это ответ

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

f `(x)=3x^2-4x+1

f `(x)=0

3x^2-4x+1=0

D=(-4)^2-4*3*1=16-12=4

x_(1,2)=(4 ± 2)/6 - точки возможного экстремума.

x=(1/3) ∈ [0; 2/3]

f`(x) >0 на (0;1/3)

f`(x) < 0 на (1/3;2/3)

x=(1/3) - точка максимума

f_(наиб [0;2/3])=f(1/3)=(1/3)^3-2*(1/3)^2+(1/3)+3=...

Наименьшее выбираем на концах отрезка

f(0)=3
f(2/3)=(2/3)^3-2*(2/3)^2+(1/3)+3 =...

f_(наим [0;2/3])=f (2/3)=

Ответ выбран лучшим

F(x)=x^3-2x^2

F(5)-F(-1)=(5^3-2*5^2)-((-1)^3-2*(-1)^2)=125-50+1+2=78

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x+19 ≥ 0 ⇒ x ≥ -9,5

При x >-9,5
sqrt(2x+19) >0 ⇒

0,8^(x)-0,64 <0

0,8^(x)<0,8^2

Показательная функция с основанием 0 < 0,8 < 1 [i]убывающая [/i]

x>2

О т в е т. (2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

{x>0
{y>0
{10x+3y=(1/6)^(-2)
{log_(6)(24x/y)=2 ⇒ 24x/y=6^2

{x>0
{y>0
{10x+3y=6
{2x=3y

10x+2x=6

12x=6

x=0,5

2*0,5=3y

y=1/3

О т в е т. [b]х=0,5; y=1/3[/b]

Ответ выбран лучшим

Апофема
h^2=H^2+(a/2)^2

H=a

h^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4

h=a*sqrt(5)/2

По условию

h=15

15=a*sqrt(5)/2

a=30/sqrt(5)=6sqrt(5)

S_(сечения)=(a/2)^2=(6sqrt(5))/2)^2=(3sqrt(5))^2=[b]45[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y` <0 ⇒ функция убывает и обратно, функция убывает, производная неположительна (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(шара)=(4/3)π*R^3=(4/3)*π*5^3

V_(конуса)=(1/3)πr^2*h

h=20

V_(конуса)=V_(шара)

(1/3)πr^2*20=(4/3)*π*5^3 ⇒ r^2=25; [b]r=5[/b]

Ответ выбран лучшим

d^2=a^2+b^2+c^2=7^2+1^2+(5sqrt(2))^2=49+1+50=100

d=10

Ответ выбран лучшим

216=6^3

216^(log_(6)5)=(6^(3))^(log_(6)5)=6^(3*log_(6)5)=6^(log_(6)5^3)=5^3=125

Ответ выбран лучшим

(6-x)^7=2^(7)

6-x=2

x=6-2

х=4

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(15/16)=1/16

cos α= ± 1/4

(3π/2)< α <2π ⇒ cos α =+1/4

Ответ выбран лучшим

Дана область вертикального вида.

D: -1 ≤ х ≤ 2; x^2 ≤ y ≤ x+2

y=x^2- линия входа в область

y=x+2 - линия выхода из области

Направление входа в область как у оси Оу

y=x^2 ⇒ x= ± sqrt(y)

x=-sqrt(y) левая ветвь параболы
х=sqrt(y) - правая

y=x+2 ⇒ x=[blue]y-2[/blue]

Как область горизонтального, ее надо разбить на две области:

D_(1): 0 ≤ y ≤ 1, -sqrt(y) ≤ x ≤ sqrt(y)

D_(2): 1 ≤ y ≤ 4; [blue]y-2[/blue] ≤ x ≤ sqrt(x) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
y`=[m]\frac{1}{tg2x}*(tg2x)`=\frac{1}{tg2x}\cdot \frac{1}{cos^22x}\cdot (2x)`=\frac{2}{tg2x\cdot cos^22x}[/m]

y`([m]\frac{3 \pi}{8}[/m])=...

2.

y`=x`*e^(x)+x*(e^(x))`=e^(x)+x*e^(x)=e^(x)*(1+x)

y`=0

1+x=0

x=-1 - точка экстремума, в этой точке касательная || оси ОХ

y(-1)=-1e^(-1)=-1/e

О т в е т. y=1/e

3) Условие написано неверно. y=1,5+4,5 ???

4)
y`=3x^2-6x

y`=0

3x^2-6x=0

3x*(x-2)=0

x=0; x=2 - точки возможного экстремума

Применяем достаточное условие экстремума ( находим знак производной)

y` >0

3x^2-6x > 0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

y`<0

на (0;2)

__+__ (0) ___-__ (2) __+_

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

х=2 -точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

Первое уравнение умножаем на (-1)

{-10y+3x=+7
{10y+x=2

Складываем, т.е заменяем одно из уравнений системы суммой уравнений:

{4x=9 ⇒ x=2,25
{10y+x=2 ⇒ 10y+2,25=2

{x=2,25
{y=-0,025

Ответ выбран лучшим

SO ⊥ пл АВС ⇒ Δ SMO - прямоугольный.

SM=2SO ( катет против угла 30 градусов равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета)

SM=12

OM^2=12^2-6^2=144-36=108

OM=6sqrt(3)

Δ АВС - равносторонний

OM=(1/3)AM ( центр О делит медиану АМ в отношении 2:1 считая от вершины А)

[b]AM=18sqrt(3)[/b]

АМ- медиана и высота равнобедренного треугольника

Из прямоугольного треугольника АМС

sin ∠ C=AM/AC ⇒

АС=АM/sin60 ° =36

AB=AC=BC=36

S_( Δ ABC)=(1/2) BC*AM=(1/2)*36*[b]18sqrt(3)[/b]=[blue]324sqrt(3) [/blue]

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H=(1/3)* ([blue]324*sqrt(3)[/blue])* 6=648sqrt(3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7,3х-16х +14у-4,6у=-(16-7,3)х+(14-4,6)у=[b]-8,7[/b]*х+[b]9,4[/b]*у

10-12,3=х
-2,3=х

х=-2,3

4х-4*8=0,4

4х=32+0,4

4х=32,4

х=8,1

a)
2x ≤ 3-5

2x ≤ -2

x ≤ -1

-1 - наибольшее целое решение

б)
6x-2 < 4

6x<4+2

6x <6

x< 1

0 - наибольшее целое

в)

5,4-x >1,2

5,4-1,2 > x

4,2 > x

x < 4,2

4 - наибольшее целое

C=2π*R

R=C/(2π)=785/2π ≈ [b]125[/b]

По теореме косинусов:

AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BC*cos ∠ ACB=8^2+8^2-2*8*8*(-1/2)=

=64*3

AB=8sqrt(3)

S_(ABC)=(1/2)AC*BC*sin120 ° =(1/2)*8*8*sqrt(3)/2=[b]16sqrt(3)[/b]

S_(AKLB )=AB*AK

AK=H_(призмы)=S/AB=10sqrt(3)/8sqrt(3)=10/8=[b]5/4[/b]

∂u/∂x=(x)`*ln(xy)+x*(ln(xy))`_(x)=ln(xy)+x*(1/(xy))*(xy)`_(x)

=ln(xy)+(xy)/(xy)=ln(xy)

∂^2u/∂x^2=(ln(xy))`_(x)=(1/(xy)) * (xy)`_(x)=(y/xy)=1/x

∂^3u/∂x^2∂y =(1/x)`_(y)=0

∂u/∂y=x*(1/xy)*(xy)`_(y)=x^2/xy=x/y

∂^2u/∂y∂x=(x/y)`_(x)=(1/y)

∂^3u/ ∂y∂x^2=(1/y)`_(x)=0

Ответ выбран лучшим

Выделить полные квадраты:

(x^2-6x)+y^2+(z^2+10z)=-9

(x^2-6x+9)-9+y^2+(z^2+10z+25)-25=-9

(x-3)^2+y^2+(z+5)^2=25

(3;0;-5)
R=5 (прикреплено изображение)

S=(1/2)a*b*sin ∠ C=(1/2)*3*4*sin30 ° =[b]3[/b]

Ответ выбран лучшим

ctg x cos^2 y dx =- sin^2 x tg y dy - уравнение с разделяющимися переменными

-ctgxdx/sin^2x=tgydy/cos^2y

- ∫ ctgxdx/sin^2x= ∫ tgydy/cos^2y

∫ ctgx d(ctgx)= ∫ tgy d(tgy)

формула ∫ udu=u^2/2

(1/2)ctg^2x=(1/2)tg^2y + c

[b]ctg^2x=tg^2y+C[/b] С=2с

Ответ выбран лучшим

a)[-2;6)
б)(- ∞ ;3)
в)[1;+ ∞ )
г)[-1;0]
д)(-3;+ ∞ )
е)(- ∞ ;0]

Ответ выбран лучшим

x:36=2:3

х=36*2/3=24 мм

Первый меньше, раз отношение периметров 2:3

Если у второго меньшая сторона 36 мм, то у первого она меньше

О т в е т. 24 мм

Ответ выбран лучшим

2.
V_(шара)=(4/3)*π*R^3

32*π = (4/3)*π*R^3

R^3=24

R=2sqrt(6)

D=2R=[b]8sqrt(6)[/b]

1.
см. приложение 1
S_(1)=4π ⇒ r_(1)=2
S_(2)=25π ⇒ r_(2)=5

H=6

V=(1/6)*π*6^3+(1/2)*π*(2^2+5^2)*6=... (прикреплено изображение)

Подставляем и проверяем верное неравенство или нет

a)
-3*(-2)-7 <0
6-7 <0 - верно, так как -1 <0

О т в е т. а) является

б)
2*(-2) >1
-4 >1 - неверно.

О т в е т. б) не является

в)-5 < -2 ≤ 0 - верно

О т в е т. в) является

г)
(1/2)*(-2) ≥ -1 - верно, -1 ≥ -1 - верно

О т в е т. г)является

д)
не является

е)
не является

Ответ выбран лучшим

Три раза. Когда оказывался в точках выделенных синим цветом (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВС- прямоугольный.

cos ∠ C=AC/BC ⇒ BC=AC/cos ∠ C

sin^2 ∠ C+cos^2 ∠ C=1

cos^2 ∠ C=1-(11/36)=25/36

cos ∠ C= ± (5/6)

∠ С- острый ⇒ cos ∠ C= (5/6)

BC=5/(5/6)=[b]6[/b]

(прикреплено изображение)

x:12,5=24:8,1

x=12,5*24/8,1=

О т в е т. 3)37,5дм

Ответ выбран лучшим

1)
L=16;
Осевое сечение равнобедренный треугольник, его боковые стороны - это образующие. Основание - это диаметр конуса.
Угол при вершине 30 градусов.

По теореме косинусов основание осевого сечения, т.е
(2r)^2=L^2+L^2-2*L*L*cos30 °

4r^2=256+256-256*sqrt(3)

r^2=(256+256-256*sqrt(3))/4

r^2=[red]128-64sqrt(3)[/red]

h^2=L^2-(r/2)^2=16^2-(128-64sqrt(3)/4=256-32+16sqrt(3)

h=sqrt(224+16sqrt(3))=[blue]4sqrt(14+sqrt(3))[/blue]

V=(1/3)*πr^2*h=(1/3)*π*([red]128-64sqrt(3)[/red])*[blue]4sqrt(14+sqrt(3))[/blue]=...

Проверяйте условие, какой угол 30 ° ? Точно при вершине осевого сечения.

2)

см. рис.

h=(1/3)*2R=(2/3)*R

R=3 cм

h=2 см

V=(2/3)*π*3^2*2=... (прикреплено изображение)

S= ∫ ^(π)_(0)(2sinx-sinx)dx= ∫ ^(π)_(0)sinxdx=(-cosx)|^(π)_(0)=

=-cos(π)+cos0=-(-1)+1=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(y/x)+sin(y/x)

Cправа выражение, которое зависит от (y/x)

Значит это однородное, которое решают заменой

[b]y/x=u[/b] ⇒ y=u*x

y`=(u*x)`

y`=u`*x+u*1, так как x`=1

u`*x+u=u+sinu

u`*x=sinu уравнение с разделяющимися переменными

du/sinu=dx/x

∫ du/sinu= ∫ dx/x

ln|tg(u/2)|=ln|x|+lnC

tg(u/2)=Cx

[b]tg(y/(2x))=Cx[/b]

[blue]y(1)=π/2[/blue]

x=1; y=π/2

tg(π/4)=C

C=1

[blue]tg(y/(2x))=x[/blue]

Ответ выбран лучшим

[m]y`=\frac{xy}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}\cdot e^{-\frac{x}{y}}[/m]

Cправа выражение, которое зависит от (y/x)

Значит это однородное, которое решают заменой

[b]y/x=u[/b] ⇒ y=u*x

y`=(u*x)`

y`=u`*x+u*1, так как x`=1

u`*x+u=u+u^2*e^(-1/u)

u`*x=u^2*e^(-1/u) - уравнение с разделяющимися переменными

e^(1/u)*du/u^2=dx/x

∫ e^(1/u)*du/u^2= ∫ dx/x

-e^(1/u)=lnx+C

[b]-e^(x/y)=lnx+C[/b] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Если четырехугольник описан около окружности, значит окружность вписана в четырехугольник.

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.

Сумма углов C и D равна 180 ° ⇒ Биссектрисы углов С и D делят углы пополам

Δ COD - прямоугольный.

ОK ⊥ CD

OK^2=CK*KD

OK=sqrt(3*12)=6 радиус окружности

h_(трапеции)=2r=2*6=[b]12[/b]

Если четырехугольник описан около окружности, то
стороны четырехугольника касаются окружности.

и по свойству касательных к окружности, проведенных из одной
точки:

суммы противоположных сторон равны, т.е.

BC+AD=AB+CD

CD=CK+KD=3+12=15

AB=CD=15

BC+AD=AB+CD=15+15=30

S_(трапеции)=(a+b)*h/2=30*12/2=180

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

n=24

m=1

p=m/n=1/24 ≈

b; bq; bq^2;bq^3 - четыре члена возрастающей геом прог, q>1

Дано:

{b+bq^3=35
{bq+ bq^2=30

Система двух уравнений с двумя неизвестными

{b*(1+q^3)=35 формула [r]1+q^3=(1+q)*(1-q+q^2)[/r]
{bq(1+q)=30 ⇒ b=30/q*(1+q) и подставляем в первое

(30/q*(1+q)) * (1+q)*(1-q+q^2)=35

30*(1-q+q^2)=35q

6-6q+6q^2=7q

6q^2-13q+6=0

D=169-4*6*6=25

q=3/2; второй корень меньше 1

b=8

О т в е т. [b]8; 12; 18; 27[/b]

Понижение степени:

y`=z

z`*xlnx=z- уравнение с разделяющимися переменными

dz/z=dx/(x*lnx)

∫ dz/z= ∫ dx/(x*lnx)

ln|z|=ln|lnx|+lnC_(1)

z=C_(1)*lnx

y`=C_(1)*lnx

dy=C_(1)*lnxdx

∫ dy=C_(1) ∫ lnxdx ( интегрируем по частям: u=lnx; dv=dx; du=dx/x;v=x)

y=C_(1)*(x*lnx- ∫ dx)

[b]y=C_(1)*x*lnx-C_(1)*x+C_(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ: [/red] 16-x^2 >0 ⇒ [red]-4 < x< 4[/red]

[i]Замена переменной:[/i]

log_(3)(16-x^2)=t

t^2-9t+8 ≥ 0

t^2-9t+8 = 0
D=81-4*8=49
t_(1)=1; t_(2)=8

t^2-9t+8 ≥ 0 ⇒ t ≤ 1 или t ≥ 8

Обратный переход:

log_(3)(16-x^2) ≤ 1 или log_(3)(16-x^2) ≥ 8

log_(3)(16-x^2) ≤ log_(3)3 или log_(3)(16-x^2) ≥ log_(3)3^8

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, поэтому

16-x^2 ≤ 3 или 16-x^2 ≥ 3^8

x^2 ≥ 13 или x^2 ≤ 16-3^(8) - не имеет решений

|x| ≥ sqrt(13)

x ∈ (- ∞ ;-sqrt(13)]U[sqrt(13);+ ∞ )

C учетом ОДЗ

О т в е т. (-4; -sqrt(13)]U[sqrt(13);4)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{6\cdot 9^{x+1}-810}{81^{x}-81} ≥ 1[/m]

[m]\frac{6\cdot 9^{x}\cdot 9-810}{81^{x}-81} -1≥ 0[/m]

[m] \frac{54\cdot 9^{x}-810-81^{x}+81}{81^{x}-81} ≥ 0[/m]

[i]Меняем знак в числителе и знак неравенства[/i]

[m] \frac{(9^{x})^2-54\cdot 9^{x}+729}{81^{x}-81} ≤ 0[/m]

[m] \frac{(9^{x}-27)^2}{81^{x}-81} ≤ 0[/m]

Применяем метод интервалов:

Находим нули числителя:
[m]9^{x}-27=0[/m]

[m]x=log_{9}27=\frac{3}{2}=1,5[/m]

Отмечаем на числовой прямой закрашенным кружком ( я ставлю квадратные скобки)

Находим нули знаменателя:
[m]81^{x}-81=0[/m]

[m]x=1[/m]

Отмечаем на числовой прямой Незакрашенным кружком

( ставлю круглые скобки)

__-___ (1) ___+__ [1,5] __+__

О т в е т. (- ∞;1 )U{1,5}

Ответ выбран лучшим

Умножаем второе уравнение на 2 и складываем с первым

-10*|3y-x|=-30

|3y-x|=3

Тогда

2^(x-y)=128 ⇒ x-y=7

{3y-x=-3
{x-y=7

Складываем: 2y=4; [b]y=2 ⇒ x=9[/b]

{3y-x=3
{x-y=7

Складываем: 2y=10; [b]y=5 ⇒ x=12[/b]

Ответ выбран лучшим

f `(x)=(1-a)+3*(1-2a)*cos(x/3)*(x/3)`+(3/2)cos(2x/3)*(2x/3)`

f`(x)=(1-a)+(1-2a)*cos(x/3)+cos(2x/3)

f `(x)=0

(1-a)+(1-2a)*cos(x/3)+cos(2x/3)=0

cos(2x/3)=2cos^2(x/3)-1

2cos^2(x/3)+(1-2a)*cos(x/3)-a=0

D=(1-2a)^2-4*2*(-a)=1-4a+4a^2+8a=1+4a+4a^2=(1+2a)^2

cos(x/3)=-1/2 или cos(x/3)=a

cos(x/3)=-1/2
x/3= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

x= ± 2π+6πn, n ∈ Z ⇒ 2π ∈ (π;5π); -2π+6π=4π ∈ (π;5π)

две точки возможного экстремума

Значит, второе уравнение

cos(x/3)=a не должно иметь решений.

Это возможно, если |a| > 1 ⇒ a ∈ (- ∞ ;-1)U(1;+ ∞ )

О т в е т. a ∈ (- ∞ ;-1)U(1;+ ∞ )

Это уравнение.

cos^2x+15,25-cos2x=16

cos^2x-(cos^2x-sin^2x)=16-15,25

sin^2x=0,75

sinx=- sqrt(3)/2 или sinx=+ sqrt(3)/2

sinx=- sqrt(3)/2

[m]x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{3})+\pi k, k ∈ Z[/m]

при k=2n
получаем
[m]x_{1}=-\frac{\pi}{3}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

при k=2n+1
получаем
[m]x_{2}=-\frac{\pi}{3}+ \pi +2\pi n=\frac{4\pi}{3}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

sinx= sqrt(3)/2

[m]x=(-1)^{k}arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})+\pi k, k ∈ Z[/m]
[m]x=(-1)^{k}(\frac{\pi}{3})+\pi k, k ∈ Z[/m]

[m]x_{3}=\frac{\pi}{3}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m] или [m]x_{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

Все 4 серии ответов можно записать так

[m]x=\pm \frac{\pi}{3}+ \pi n, n ∈ Z[/m]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

[m]\sqrt{1-(\frac{0,6}{3\cdot 10^8})^2}=\sqrt{1-\frac{0,36}{9\cdot 10^{16}}}=\sqrt{1-\frac{36}{9\cdot 10^{18}}}=\sqrt{1-\frac{4}{10^{18}}}=[/m]

[m]=\sqrt{\frac{10^{18}-2^2}{10^{18}}}=\sqrt{\frac{(10^{9})^2-2^2}{(10^{9})^2}}=\frac{\sqrt{(10^{9}-2)(10^{9}+2)}}{10^{9}}[/m]

[m]\frac{1,673\cdot 10^{27}\cdot 0,6\cdot 10^{9}}{\sqrt{(10^{9}-2)(10^{9}+2)}}[/m]

10^9=1000000000

10^9-2=999999998

10^9+2=1000000002

4.
1)-4) решаются одинаково.

Решаю

1) (x+2)^2+(x-6)^2=2x^2

Раскрываем скобки:
x^2+4x+4+x^2-12x+36=2x^2
-8x=-40
x=5

5)-8)решаются одинаково.

Решаю

5) x^2+x+6=-x^2-3x+(-2+2x^2)
Раскрываем скобки:
x^2+x+6=-x^2-3x-2+2x^2
x+3x=-6-2
4x=-8
x=-2

5.
Теорема Виета.
x_(1)+x_(2)=-p
x_(1)*x_(2)=q

x_(1)+x_(2)=9+1 ⇒ 10=-р ⇒ р=-10
x_(1)*x_(2)=q ⇒ 9*1=q

О т в е т. p=-10; q=9

" более двух", значит 3 или 4 или 5

Повторные испытания с двумя исходами:
p=0,55
q=1-p=1-0,55=0,45

Формула Бернулли:

P_(5)(3)=С^(3)_(5)p^(3)q^(2)=10*0,55^3*0,45^2=...

P_(5)(4)=С^(4)_(5)p^(4)q^(1)=5*0,55^4*0,45^1=...

P_(5)(5)=С^(5)_(5)p^(5)q^(0)=1*0,55^5*0,45^(0)=...

3 или 4 или 5

Значит ответы сложить.

1=log_(3)3

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{3x-5}{x+1}\leq 3\\ \frac{3x-5}{x+1}>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} \frac{3x-5}{x+1}-3\leq 0\\ \frac{3x-5}{x+1}>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} \frac{3x-5-3x-3}{x+1}\leq 0\\ \frac{3x-5}{x+1}>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} \frac{-8}{x+1}\leq 0\\ \frac{3x-5}{x+1}>0 \end{matrix}\right.[/m]

-8 <0 ⇒ x+1 >0 ⇒ и (3x-5) >0

[m]\left\{\begin{matrix} x+1>0\\ 3x-5>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x>-1\\ x>\frac{5}{3} \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. ([m]\frac{5}{3}[/m];+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Функция y=cosx - четная, поэтому
сos(-x)=cosx

сos(-[m]\frac{\pi}{2}[/m]+x)=cos([m]\frac{\pi}{2}[/m]-x)

По правилам приведения

cos([m]\frac{\pi}{2}[/m]-x)

угол ([m]\frac{\pi}{2}[/m]-x) в первой четверти
косинус имеет знак +

Название функции меняется, так как [red]1[/red]*[m]\frac{\pi}{2}[/m]

[red]1[/red] - нечетное
О т в е т. sinx

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение относительно sinx

[i]Замена переменной:[/i]

sinx=t

t^2-3t-4=0

D=(-3)^2-4*(-4)=25

t_(1)=-1; t_(2)=4

Обратно:

sinx=-1 или sinx=4

Уравнение sinx=-1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=[m]\frac{y^2+2x^2}{xy}[/m]

Это однородное уравнение.

Значит, подстановка y/x=u ⇒ y=x*u

Ответ выбран лучшим

sin(-[m]\frac{5\pi}{2}[/m]+x)=-sin([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x) в силу нечетности синуса

А дальше формулы приведения

sin([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x)

[m]\frac{5\pi}{2}=5*\frac{\pi}{2}[/m] 5 - нечетное число

Название функции меняется на сходственную

( на кофункцию, синус на косинус, косинус на синус)

угол ([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x) во первой четверти

синус в первой четверти имеет знак +, поэтому

sin([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x)= +сosx

Итак

sin(-[m]\frac{5\pi}{2}[/m]+x)=-sin([m]\frac{5\pi}{2}[/m]-x)=-(+cosx)=-cosx

О т в е т. - сosx
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной [/i]:

[m]\frac{\pi(x+8)}{4}=t[/m]

sint=-[m]\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]x=(-1)^{k}arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})+\pi k, k ∈ Z[/m]

[m]x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{4})+\pi k, k ∈ Z[/m]

при k=2n
получаем
[m]x=-\frac{\pi}{4}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

при k=2n+1
получаем
[m]x=\frac{\pi}{4}+ \pi +2\pi n=\frac{5\pi}{4}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

Обратный переход:
[m]\frac{\pi(x+8)}{4}=-\frac{\pi}{4}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m] или [m]\frac{\pi(x+8)}{4}=\frac{5\pi}{4}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

[m]x+8=-1 + 8n, n ∈ Z[/m] или [m] x+8=5+ 8n, n ∈ Z[/m]

[m]x=-1 - 8 + 8n, n ∈ Z[/m] или [m] x=5 - 8 + 8n, n ∈ Z[/m]

[m]x=-9 + 8n, n ∈ Z[/m] или [m] x=-3 + 8n, n ∈ Z[/m]

Наибольший отрицательный [m]x=- 1 [/m]

x=-4
y=3

х=3
y=-4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

15:5=3 см в одной части

CЕ=3 см
DE=12 cм

Пусть АЕ=ВЕ=х

По свойству пересекающихся хорд ( см. рис)

3*12=х*х

x^2=36

x=6

AB=12 cм (прикреплено изображение)

y=x-1 и y=x+1 - прямые, параллельные биссектрисе 1 и 3 координатных углов.

см. рис.1

y=2x-1 и у =0,5х-1 проходят через точку (0;-1)

Но прямая y=2x-1 имеет больший угол наклона, k=2
чем прямая y=0,5x-1, k=0,5 (прикреплено изображение)

Выбираем точку с "хорошими" координатами, например (2;4)

Подставляем в выражение:

4=k/2

k=8

О т в е т k=8 (прикреплено изображение)

1. Независимы.
Но совместны.
Среди четных чисел, есть кратные пяти

2.

События:
А_(1) -"первый элемент выходит из строя"
А_(2) -"второй элемент выходит из строя"

p(A_(1))=0,4

p(А_(2))=0,7

a) A-" оба элемента выйдут из строя"

A=A_(1) ∩ A_(2)

События независимы. Применяем теорему умножения вероятностей:

p(A)=p(A_(1))*p_(A_(2))=0,4*0,7=0,28

б)
События:
vector{A_(1)} - "первый элемент НЕ выходит из строя"
p(A_(1))=0,4; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,4=0,6

vector{A_(2)} - "второй элемент НЕ выходит из строя"
p(A_(2))=0,7; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,7=0,3

Событие В- " оба элемента будут работать, оба не выйдут из строя"

B=vector{A_(1)} ∩ vector{A_(2)}

p(B)=p(vector{A_(1)})*p( vector{A_(2)})=0,6*0,3=0,18

3)
Применяем формулу классической вероятности

p(A)=m/n

Событие A-"студент ответит на все вопросы"

Всего вопросов 60. Из шестидесяти вопросов в билете 2

n=C^(2)_(60)=60!/(2!*(60-2)!)=59*60/2=1770 cпособами можно разместить два вопроса из шестидесяти по тридцати билетами

m=C^(2)_(50)=50!/(2!*(50-2)!)=49*50/2=1225 способов размещения двух вопросов в билетах так,что студент знает ответы на оба вопроса

p(А)=m/n=1225/1770 - вероятность того, что ответит на оба вопроса

Всего 30 задач
n=30

m=23 задач, которые студент умеет решать

p(B)=23/30 - вероятность того, что студент решит задачу.

С=A ∩ B - событие, состоящее в том, что студент ответит на два вопроса и решит задачу.

p(C)=p(A)*p(B)=(1225/1770) * (23/30)=

Ответ выбран лучшим

С_(окружности)=2*π*r=2*π*sqrt(2) ≈ 8,8

S_(развертки)=S_(прямоугольника)+2S_(круга)=2π*r*H+2*(πr^2)=

=2*π*sqrt(2)*7+2*π*(sqrt(2))^2 ≈ 8,8*7+4*π=... (прикреплено изображение)

[b]cos2x[/b]=cos^2x-sin^2x=1-sin^2x-sin^2x=[b]1-2sin^2x[/b]

1-2sin^2x+3sin^2x=1,25

sin^2x=0,25

sinx=0,5 или sinx=-0,5

Далее см.
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=45913

Все подробно расписано

Отрезок, соединяющий середины сторон треугольника называется [i]средней линией [/i]треугольника.

Длина средней линии треугольника равна половине длины основания

Значит, стороны треугольника вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равны 5,5 см; 3,5 см; 5 см

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(2)3,2-log_(2)0,2=log_(2)[m]\frac{3,2}{0,2}[/m]=log_(2)16=log_(2)2^(4)=4*log_(2)2=4*1=4

3^(log_(9)25)=3^(log_(9)5^2)=3^(2log_(9)5)=(3^2)^(log_(9)5)=9^(log_(9)5)=5 - основное логарифмическое тождество

О т в е т 4/5=0,8

ОДЗ:
{x^2>0 ⇒ [red]x ≠ 0[/red]
{|x| ≠ 1 ⇒ [red]x ≠ ± 1[/red]

log_(|x|)x^2=log_(|x|)(|x|)^2=2log_(|x|)(|x|)=2

log^2_(|x|)x^2=2^2=4

{4*(2^(x))^2-17*2^(x)+4 ≤ 0 ⇒ D=225; (1/4) ≤ 2^(x) ≤ 4
{4+log_(2)x^2 ≤ 8 ⇒ (log_(2)x-2)*(log_(2)x+2) ≤ 0 ⇒ -2 ≤ log_(2)x ≤ 2

{2^(-2) ≤ 2^(x) ≤ 2^2 ⇒ (-2) ≤ x ≤ 2
{log_(2)(1/4) ≤ log_(2)x ≤ log_(2)4 ⇒ (1/4) ≤ x ≤ 4

(1/4) ≤ х ≤ 2

C учетом ОДЗ

О т в е т. [1/4;1) U (1; 2]

D: -2 ≤ y ≤ 2; [m]\frac{1}{4}y -\frac{3}{2} ≤ x ≤ 2y+2[/m] ( см. рис.1)

Это область горизонтального вида

Надо рассмотреть эту же область как область вертикального вида.

( см. рис. 2)

Выражаем y через х:

⇒ [m]x=\frac{1}{4}y -\frac{3}{2} [/m] ⇒ [m]\frac{1}{4}y=x+\frac{3}{2} [/m]

[m]y=4x+6[/m]

[m]x=2y+2[/m] ⇒ [m] 2y=x-2[/m] ⇒ [m] y=\frac{1}{2}x-1[/m]

Как область вертикального вида D=D_(1)UD_(2)

D_(1): -2 ≤ x ≤ -1; [m]\frac{1}{2}x-1 ≤ y ≤ 4x+6[/m]

D_(2): -1 ≤ x ≤ 6 ; [m]\frac{1}{2}x-1 ≤ y ≤ 2[/m]

∫ ∫ _(D)= ∫ ∫ _(D_(1))+ ∫ ∫ _(D_(2)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,1^2=0,1*0,1=0,01=1/100

0,1^2*600=(1/100)*600=6

(1/16)^2=1/256

((1/16)^2)*(64)=64/256=1/4

6+(1/4)=6,25

Ответ выбран лучшим

Формула:
sin α *cos β -cos α *sin β =sin( α - β )

sin(x-(π/4))=sqrt(3)/2

Уравнение: sint=sqrt(3)/2 - простейшее тригонометрическое уравнение решают по формулам: t=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

х-(π/4)=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

х-(π/4)=(-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z

х=(-1)^(k)*(π/3)+(π/4)+πk, k ∈ Z - это ответ.

Так как (-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z можно записать в виде серии из двух ответов:

k=2n
(π/3)+2πn, n ∈ Z

k=2n+1
(2π/3)+2πn, n ∈ Z

то ответ можно записать и так.

х=(π/3)+(π/4)+2πn=(7π/12)+2πn, n ∈ Z или

х=(2π/3)+(π/4)+2πn=(11π/12)+2πn, n ∈ Z

Такая запись полезна при отборе корней

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам.

Δ АОВ - равнобедренный, с углом 60 градусов при вершине, значит Δ АОВ- равносторонний.

АО=ВО=10

АС=BD=20 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{ х²–4х+3≤х–1 ⇒ х²–5х+4≤0; D=25-16=9; корни 1 и 4; 1 ≤ x ≤ 4
{х–1>1 ⇒ x > 2

О т в е т. (2;4] (прикреплено изображение)

y`=(1/8)*(сosx)`-3*(tgx)=(1/8)*(-sinx)-3*(1/cos^2x)

y`=(-sinx)/(8) - (3)/(cos^2x)

Геометрический смысл производной в точке:

f `(x_(o))=k_(касательной)=tg α

α =45 ° ⇒ k_(касательной)=tg 45 ° =[b]1[/b]

f `(x) = 2x+a

f`(x_(o))=2x_(o)+a ⇒ 2x_(o)+a=[b]1[/b]

значение параметра а абцис точки соприкосновения равна –5

Не понимаю, что это

Не имеет решений.
Прямые параллельны:
{5x+3y=7
{5x+3y=7/6

Ответ выбран лучшим

если t-8=9, то прямые совпадут 12х+9у=9 это все равно что 4х+3у=3
и тогда б.м решений

Поэтому чтобы этого не произошло

t-8 ≠ 9 ⇒ t ≠ 17

[b](- ∞ ;17)U(17;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

t+3=18;
[b]t=15[/b]

Прямые совпадут
{2x+3y=6
{12x+18y=36 ⇒ 2x+3y=6

Ответ выбран лучшим

Умножаем второе уравнение на 4 и складываем с первым:

2^(x-y)-2^(x-y-1)*4=-256

2^(x-y)-2^(x-y+1)=-256

2^(x-y)*(1-2)=-256

2^(x-y)=256

2^(x-y)=2^(8)

x-y=8

|3y-x|=2^(8-1)-124

|3y-x|=4

{x-y=8
{3y-x=4 ⇒ 2y=12; y=6; x=14

{x-y=8
{3y-x=-4 ⇒ 2y=4; y=2; x=10

О т в е т. x_(1)=10; y_(1)=2; x_(2)=14;y_(2)=6

Ответ выбран лучшим

а)
Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница

|a_(n)| → 0

послед. {|a_(n)|} - монотонно убывает

Можно рассмотреть

f(n)=[m]\frac{1}{n+\sqrt{n}}[/m]

f`(x)=-[m]\frac{1}{(x+\sqrt{x})^2}\cdot (x+\sqrt{x})`[/m]

f`(x)=-[m] \frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(x+\sqrt{x})^2}[/m] <0

Ряд из модулей расходится, так как эквивалентен гармоническому

Данный знакочередующийся ряд [i]сходится
условно[/i]

б)
Ряд из модулей сходится, так как эквивалентен беск. уб. геом прогресии

∑ 1/(2^(n))

Значит данный знакочередующийся ряд [i]сходится абсолютно[/i]

Ответ выбран лучшим

1)
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+u*v=e^(-x)

v`+v=0 ⇒ dv/v=-dx ⇒ lnv=-x ⇒ [b] v=e^(-x)[/b]

u`*[b]v[/b]=e^(-x)

u`*[b]e^(-x)[/b]=e^(-x)

u`=1

u=x+c

y=u*v

y=[b](x+C)*e^(-x)[/b]

2)
(x-y)=-x*y`

y`=(x-y)/y

y`= φ (x/y)

Значит, замена:
[b]y/x=u[/b]

y=ux

y`=u`*x+u

x-ux=-x*(u`*x+u)

x-ux=-x*u`*x-xu

x=-x^2*u`

1=-x*u`

u`=-1/x

du=-dx/x

u=-ln|x|+lnC

u=ln(C/x)

y=u*x

y=x*ln(C/x)

[b]x=1; y=0[/b]

0=1*lnC

C=1

[b]y=x*ln(1/x)[/b]

Ответ выбран лучшим

log_(2)x=0;log_(3)y=1 ⇒ х=1;у=3
или
log_(2)x=1;log_(3)y=0 ⇒ x=2;y=1

Ответ выбран лучшим

∛x=-1
sqrt(y)=2

x=-1
y=4

Ответ выбран лучшим

R=a*sqrt(3)/3

4=a*sqrt(3)/3 ⇒ 12=a*sqrt(3) ⇒[red] a=4*sqrt(3)[/red]

r=R/2=2

a) Апофема h:

h^2=H^2+r^2=(2sqrt(3))^2+(2)^2=12+4=16

h=[blue]4[/blue]

б) S_(бок)=3*S_( Δ)=3*(1/2)*([red]4*sqrt(3)[/red])*([blue]4[/blue])=[b]24sqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
(1-x)dy=(y-1)dx- уравнение с разделяющимися переменными

dy/(y-1)=dx/(1-x)

∫ dy/(y-1)= -∫ dx/(x-1)

ln|y-1|=-ln|x-1|+lnC

ln|y-1|=lnC/|(x-1)|

y-1=C/(x-1)

[b](2;3)[/b]

3-1=C/(2-1)

x=2

y-1=2/(x-1)

[b]y=2/(x-1) +1[/b]
2)

y`=y-4

dy/dx=(y+4)

dy/(y+4)=dx

∫ dy/(y+4)= ∫ dx

[b]ln|y+4|=x+C[/b]

3)

y`=1/(2y)

dy/dx=(1/2y)

2ydy=dx

∫ 2ydy= ∫ dx

y^2=x+C

[b](2;1)[/b]

1=2^2+C

C=-3

[b]y^2=x-3
[/b]
4)
y`=dy/dx

(dy/dx)*sqrt(1-x^2)=x

dy=xdx/sqrt(1-x^2)

∫ dy= ∫ xdx/sqrt(1-x^2)

∫ dy= (-1/2)∫(-2 xdx)/sqrt(1-x^2)

∫ dy= (-1/2)∫(1-x^2)^(-1/2)d(1-x^2) табл интеграл ∫ u^(-1/2)du=2sqrt(u)

y=-sqrt(1-x^2) +C

[b](0;1)[/b]

1=sqrt(1-0)+C

C=0

[b]y=-sqrt(1-x^2)
[/b]

Ответ выбран лучшим

(x/y)=t

t-(1/t)=(5/6) ⇒ 6t^2-5t-6=0; D=25+4*36=169
t=3/2 или t=-2/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} x-1>0\\ x^2+\frac{1}{x-1}>0 \\ \frac{x^2+x-1}{2}>0\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x>1\\ x>1 \\ x<\frac{-1-\sqrt{5}}{2};x>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (1;+ ∞ )[/red]

[m]log_{2}(x-1)\cdot(x^2+\frac{1}{x-1}) ≤ log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]

[m]log_{2}((x-1)\cdot x^2+1) ≤ log_{2}(\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

[m](x-1)\cdot x^2+1 ≤ (\frac{x^2+x-1}{2})^2[/m]

[m](x-1)\cdot x^2+1 ≤ \frac{(x^2)^2+2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2}{4}[/m]

[m] \frac{(x^2)^2+2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2}{4}-(x-1)\cdot x^2-1 ≥ 0[/m]

[m] \frac{(x^2)^2+2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2-4(x-1)\cdot x^2-4}{4} ≥ 0[/m]

[m] (x^2)^2-2\cdot x^2(x-1)+(x-1)^2-4 ≥ 0[/m]

[m] (x^2-(x-1))^2-2^2 ≥ 0[/m]

[m] (x^2-x+1-2)(x^2-x+1+2) ≥ 0[/m]

[m] (x^2-x-1)(x^2-x+3) ≥ 0[/m]

x^2-x+3 >0 при любом х , так как D<0

x^2-x-1 ≥ 0

D=1+4=5

x_(1)=[m]\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/m]; x_(2)=[m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m]

x < x_(1) или x > x_(2)

C учетом ОДЗ получаем ответ:

О т в е т. [[m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m];+ ∞ )

∂z/ ∂x=z`_(x)=[m](x^2-y^2)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot (x^2-y^2)^{\frac{1}{2}-1}\cdot (x^2-y^2)`_{x}=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}[/m]

∂z/ ∂y=z`_(y)=[m](x^2-y^2)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot (x^2-y^2)^{\frac{1}{2}-1}\cdot (x^2-y^2)`_{y}=\frac{y}{\sqrt{x^2-y^2}}[/m]

Ответ выбран лучшим

∂z/ ∂x=[m]\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\cdot (xy)`_{x}=\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m];

∂z/ ∂y=[m]\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\cdot (xy)`_{y}=\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}}[/m].

∂^2z/ ∂x^2=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{x}=y\cdot ((1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}})`_{x}=[/m]

[m]=-\frac{1}{2}y(1-x^2y^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(1-x^2y^2)`_{x}=\frac{xy^3}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m];

∂^2z/ ∂x ∂y=[m](\frac{y}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y}=(y\cdot (1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=[/m]

[m]= (1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}}+(-\frac{1}{2})y(1-x^2y^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(1-x^2y^2)`_{y}=[/m]

[m]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2y^2}}+\frac{x^2y^2}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m];

∂^2z/ ∂y^2=[m](\frac{x}{\sqrt{1-(xy)^2}})`_{y}=x\cdot ((1-(xy)^2)^{-\frac{1}{2}})`_{y}=[/m]

[m]=-\frac{1}{2}x(1-x^2y^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(1-x^2y^2)`_{y}=\frac{x^3y}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}[/m].

Подставляем в уравнение и получаем доказательство

Ответ выбран лучшим

S_(бок.конуса)=π*R*L

L=16

S_(бок.конуса)=240*π

240*π = π*R*16

R=15

D=2R=2*15=30

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x>0; y>0
Разность логарифмов заменим логарифмом частного:

{log_(3)(x/y)=2 ⇒ (x/y)=3^2 ⇒ х=9у
{y^2-x=10

{x=9y
{x=y^2-10

9у=у^2-10

y^2-9y-10=0
y_(1)=-1 ( не удовл. ОДЗ); y_(2)=10
x_(2)=9*10=90

О т в е т. х=90; y=10

Ответ выбран лучшим

Умножим первое на 3, второе на 2
{9log_(2)x-6log_(2)y=-30
{4log_(2)x+6log_(2)y=4

Cкладываем

13log_(2)x=--26

log_(2)x=-2

x=2^(-2)=1/4

3log_(2)x-2log_(2)y=-10 ⇒ 3*(-2)-2log_(2)y=-10 ⇒ log_(2)y=4; y=2^(4)=16

О т в е т.

x=1/4

y=16

Ответ выбран лучшим

Секущая плоскость пересекает параллельные грани BB_(1)C_(1)C и
АА_(1)D_(1)D по параллельным прямым.

АЕ || C_(1)F

Аналогично

AF || C_(1)E

AFC_(1)E- параллелограмм.

б)
AC^2_(1)=3^2+2^2+5^2=38

AC_(1)=sqrt(38)

Пусть DE=x, AE=C_(1)E=а

Из Δ АЕD: a^2=3^2+x^2
Из Δ С_(1)ED_(1): a^2=2^2+(5-x)^2
Приравниваем праве части ⇒ x=2

a^2=3^2+2^2=13

a=sqrt(13)

d_(1)=AC_(1)

d_(2)=FE

[b](d_(1)/2)^2+(d_(2)/2)^2=a^2[/b]

(d_(2)/2)^2=13-(38/4)=14/4

d_(2)=sqrt(14)

d_(2)=FE

FE=sqrt(14)

S_(сечения)=S_(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)=sqrt(133)

Ответ выбран лучшим

3.
V=(4/3)πR^3=(4/3)*π*6^3=...

4. ( см приложение)

S_(1)=9π ⇒ r_(1)=3
S_(2)=16π ⇒ r_(2)=4

H=7

V=(1/6)*π*7^3+(1/2)*π*(3^2+4^2)*7=...

1.
(прикреплено изображение)

1.
S_(бок)=P_(осн)*Н=(3+3+3)*5=45 cм^2

2.
V=S_(осн)*Н=S_(ромба)*Н=(1/2)d_(1)*d_(2)*H=(1/2)*12*16*10=

=960 см^3

3.

см. рис.

ОА^2=b^2-H^2=5^2-3^2=25-8=16

ОА=4

АС=2ОА=8

d=8

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*Н=(1/3)*S_(квадрата)*3=

=(1/2)*(d^2)*3=(1/2)*8^2*3=96 см^3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

с^2=a^2+b^2=12^2+5^2=144+25=169

c=13

Наибольшая боковая грань - грань, в основании которой гипотенуза c, значит H_(призмы)=с=13

S_(бок)=S_(1)+S_(2)+S_(3)=12*13+13*13+5*13=390

S_(осн)=(1/2)a*b=(1/2)12*5=30

S_(полн)=S_(бок)+2S_(осн)=390+30=420

Ответ выбран лучшим

Кратный корень 1 у второго.

линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами имеет вид

y``-2y`+y=0

Ответ выбран лучшим

[m]\left\{\begin{matrix} a^2+12ax+18a-28x^2+108x+81 \leq 0 \\ x^2-8x-a\leq 0\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 28x^2-12(9+a)x-a^2-18a-81 \geq 0 \\ x^2-8x-a\leq 0\end{matrix}\right.[/m]

Решаем первое неравенство:
D_(1)=(12*(9+a))^2-4*28*(-a^2-18a-81)=144*(81+18a+a^2)+112(a^2+18a+81)=

=(a^2+18a+81)*(256)

sqrt(D_(1))=14*|a+9|

x_(1)= -(a+9)/16 или x_(2)=(a+9)/2

Решение первого неравенства:

x ≤ -(a+9)/16 или x ≥ (a+9)/2

Решаем второе неравенство:

x^2-8x-a ≤ 0

D_(2)=64+4a

D_(2) ≥ 0 ⇒ 64+4a ≥ 0 ⇒ [b] a ≥ -4[/b]

x_(3)=(8-2sqrt(16+a))/2 или x_(4)=(8+2sqrt(16+a))/2

x_(3)=4-sqrt(16+a) или x_(4)=4+sqrt(16+a)

Решение второго неравенства:
4-sqrt(16+a) ≤ x ≤ 4+sqrt(16+a)

При таком расположении корней
///////////// (x_(1) ) _____ (x_(3)) \\\\\\\\\\ (x_(4)) ____ (x_(2)) ///////////////

система не имеет решения.

Ясно, что для того чтобы имела одно решение

x_(4)=x_(2) ⇒ 2sqrt(16+a)=a+1
ИЛИ
x_(1)=x_(3) ⇒ 16sqrt(16+a)=a+73

Решаем два [i] иррациональных [/i] уравнения с учетом [b] a ≥ -4[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
3х+1=(х-1)^2

x^2-2x-3x=0

x=0;x=5

0 не удовл. уравнению
sqrt(1)=-1 - неверно
5- удовл

О т в е т 5

2.

6cos^24x+2*2sin4x*cos4x-5*(sin^24x+cos^24x)=0

5sin^24x -4sin4x*cos4x-cos^24x=0 - однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Делим на cos^24x ≠ 0

5tg^24x-4tg4x-1=0

D=16+20

tg4x=-1/2; tg4x=1

4x=arctg(-1/2)+πk, k ∈ Z или 4x=(π/4)+πn, n ∈ Z

x=(1/4)arctg(-1/2)+(π/4)k, k ∈ Z или x=(π/16)+(π/4)*n, n ∈ Z

1.
d(sin2x)=(sin2x)`dx=cos2x*(2x)`dx=2cos2xdx

cos2xdx=(1/2)d(sin2x)

∫ (cos2xdx)/sin^42x=(1/2) ∫ ([blue]sin2x[/blue])^(-4)d([blue]sin2x[/blue])=(1/2)*(sin2x)^(-3)/(-3)+C=

=-(1/6)*(1/sin^32x) +C

2.

d(3+2tgx)=(3+2tgx)`dx=(2/cos^2x)dx ⇒

dx/cos^2x=(1/2)d(3+2tgx)

∫ dx/(cos^2x*(3+2tgx))=(1/2) ∫ d([blue]3+2tgx[/blue])/([blue]3+2tgx[/blue])=(1/2)ln|3+2tgx|+C

3.

d(1/x)=(-1/x^2)dx ⇒ dx/x^2=[red]-[/red]d(1/x)

∫ cos(1/x)*(dx/x^2)=[red]-[/red] ∫ cos([blue]1/x[/blue]) d([blue]1/x[/blue])=[red]-[/red] sin([blue]1/x[/blue]) + C

Ответ выбран лучшим

27.

[b]x >0[/b]

Логарифмируем по основанию 10:

lg(x^(lgx))=lg10 000

lgx*lgx=4

lg^2x=4

lgx=-2 или lgx=2

x=10^(-2) или x=10^2

О т в е т. [b]0,01; 100[/b]

28.

b]x >0[/b]

Логарифмируем по основанию 3:

log_(3)(x^(log_(3)x-2))=log_(3)(1/9)

(log_(3)x-3)*log_(3)x=-2

log^2_(x)3-3log_(3)x+2=0

D=(-3)^2-4*2=1

log_(3)x=1 или log_(3)x=2

x=3^(1) или x=3^(2)

О т в е т. [b]3;9[/b]

29.
ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ x в первой или во второй четверти, x ≠ πk, k ∈ Z
{1-cos2x>0 ⇒ cos2x < 1 ⇒ cos2x ≠ 1 ⇒ x ≠ πk, k ∈ Z

1-cos2x=2sin^2x

Уравнение можно записать так:

3log^2_(2)sinx+log_(2)2sin^2x=2

3log^2_(2)sinx+log_(2)2+log_(2)sin^2x=2

3log^2_(2)sinx+1+2log_(2)sinx=2

3log^2_(2)sinx+2log_(2)sinx-1=0

D=2^2-4*3*(-1)=4+12=16

log_(2)sinx=-1 или log_(2)sinx=1/3

sinx=2^(-1) или sinx=2^(1/3)

sinx=1/2 или sinx=∛2 ( не имеет корней, |sinx| ≤ 1)

x=(-1)^(n)arcsin(1/2)+πn, n ∈ Z - удовл. ОДЗ

О т в е т. x=(-1)^(n)arcsin(1/2)+πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

23
lg(3^(x)+x-17)=x*(lg30-lg10)

lg(3^(x)+x-17)=x*(lg(30/10)

lg(3^(x)+x-17)=x*(lg3)

lg(3^(x)+x-17)=lg3^(x)

3^(x)+x-17=3^(x)

[b]x=17[/b]

24.
{x>0
{lgx>0⇒ x>1
{3-2lgx >0 ⇒ lgx <3/2 ⇒ lgx < lg10^(3/2)=lgsqrt(1000)

ОДЗ: 1 <x < sqrt(1000)

lg(lgx)^2=lg(3-2lgx)

(lgx)^2=3-2lgx

t^2+2t-3=0
t=lgx

D=4+12=16
t_(1)=-3; t_(2)=1

lgx=-3; lgx=1

x=10^(-3); x=10

C учетом ОДЗ

О т в е т. [b] 10[/b]

25
x*(1-lg5)=lg(2^(x)+x-3)

x*(lg10-lg5)=lg(2^(x)+x-3)

x*(lg(10/5))=lg(2^(x)+x-3)

lg2^(x)=lg(2^(x)+x-3)

2^(x)=2^(x)+x-3

[b]x=3
[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть ОС=х
S_(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)

(1/2)d_(1)*d_(2)=10 ⇒ d_(2)=10/x ⇒ OD=(1/2)d_(2)=5/x

По теореме Пифагора
из Δ MOC: MO^2=7^2-x^2
из Δ MOD: MO^2=5^2-(5/x)^2

7^2-x^2=5^2-(5/x)^2 ⇒ x^4-24x^2-25=0 ⇒ D=576+100=676
x^2=25; x^2=-1

x=5

АС=2ОС=2*5=10

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:

k^2-3k-4=0
D=9+16=25

k_(1)=-1; k_(2)=4 - корни действительные различные,

поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(-1*x)+C_(2)e^(4*x) - общее решение однородного уравнения

Частное решение:

Так как y(0)=1,
то
1=C_(1)e^(-1*0)+C_(2)e^(4*0) ⇒[b]1=C_(1)+C_(2) [/b]

Так как y ` (0)=-2

находим y`

y`=(C_(1)e^(-1*x)+C_(2)e^(4*x))`=C_(1)*(e^(-x))`+C_(2)*(e^(4x))`=

=C_(1)*e^(-x)*(-x)`+C_(2)*e^(4x)*(4x)`=

=C_(1)*e^(-x)*(-1)+C_(2)*e^(4x)*(4)=

=-C_(1)*e^(-x)+4*C_(2)*e^(4x)

[b]-2=-C_(1)+4*C_(2)[/b]

Решаем систему:
{[b]1=C_(1)+C_(2) [/b]
{[b]-2=-C_(1)+4*C_(2)[/b]

Cкладываем:

-1=5С_(2)

С_(2)=-1/5=-0,2

С_(1)=1-С_(2)=1-(-0,2)=1,2

О т в е т. y=1,2e^(-1*x)-0,2*e^(4*x) - решение задачи Коши.

Это кривая, которая проходит через точку (0;1) и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной, равный (-2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

v(t)= ∫a(t)dt=3*(t^2/2)-2t+C_(1)

S(t)= ∫ v(t)dt= ∫ ((3/2)t^2-2t+C_(1))dt=(3/2)*(t^3/3)-2*(t^2/2)+C_(1)*t+C_(2)=

=(t^3/2)-t^2+ C_(1)*t+C_(2)

a^(1/2)-2a^(1/4)-a^(1/2)-4a^(1/4)-4=-6a^(1/4)-4;

a=16

a^(1/4)=16^(1/4)=2

-6a^(1/4)-4=-6*2-4=-12-4=-16

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 4 cos 4α (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 1-5x ≥ 0 ⇒ -5x ≥ -1 ⇒ x ≤ 1/5

Если x+1 ≤ 0 неравенство не имеет решений, так как
слева неотрицательное выражение и оно не может быть меньше
неположительного

Если x+1 > 0, то
1-5x < (x+1)^2 ⇒ x^2+7x>0 ⇒ x*(x+7)>0 ⇒ x < -7 или х >0

x >0

С учетом ОДЗ

О т в е т. (0 ;1/5]=(0;0,2]

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2-12x

y`=0

3x^2-12x=0

3x*(x-4)=0

x=0 или х=4

x=0 - локальный максимум, производная меняет знак с + на -

х=4 - локальный минимум, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

∠ ABD= ∠ ACD=37 ° как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AD

2,3,5,7,11,13,17,19 - простые числа не больше 20

Дроби:
2/3;2/5;2/7;2/11;2/13;2/17;2/19- семь
3/5;3/7;3/11;3/13;3/17;3/19-шесть
...
17/19
1+2+3+4+5+6+7=28 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|vector{c}|^2=vector{c}*vector{c}

|vector{a}+vector{b}|^2=(vector{a}+vector{b})(vector{a}+vector{b})=

=vector{a}*vector{a}+vector{a}*vector{b}+vector{b}*vector{a}+vector{b}*vector{b}=|vector{a}|^2+2*vector{a}*vector{b}+|vector{b}|^2

24^2=13^2+ 2* vector{a}*vector{b}+19^2 ⇒

2* vector{a}*vector{b}=[blue]24^2-13^2-19^2[/blue]

|vector{a}-vector{b}|^2=(vector{a}-vector{b})(vector{a}-vector{b})=

=|vector{a}|^2-2*vector{a}*vector{b}+|vector{b}|^2=

=13^2[blue]-24^2+13^2+19^2[/blue]+ 19^2=[b]2*13^2+2*19^2-24^2[/b]

Ответ выбран лучшим

Делим на 45

[m]\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1[/m]

a^2=5 ⇒ a=sqrt(5)
b^2=9 ⇒ b=3

b>a Эллипс вытянут вдоль оси Оу. Фокусы на оси Оу

c^2=b^2-a^2=9-5=4

c=2

ε =c/b=2/3

Ответ выбран лучшим

n=1000
p=0,005
q=1-p=1-0,005=0,995

Повторные испытания с двумя исходами. Теорема Пуассона.

np=5
npq=4,975

a)
λ =np=5

событие A - " не более трех знаков"

Значит 0; 1; 2;3

Применяем формулу Пуассона
m=0

P_(1000)(0)= (5)^(0)/0!)e^(-5) ≈ 0,006738
( значение в таблице )

m=1

P_(1000)(1)= ((5)^(1)/1!)e^(-5) ≈ 0,033690

m=2

P_(1000)(2)= ((5)^(2)/2!)e^(-5) ≈ 0,084224

m=3
P_(1000)(3)= ((5)^(3)/3!)e^(-5)=

p(A)=P_(1000)(0)+P_(1000)(1)+P_(1000)(2)+P_(1000)(3) ≈

≈ 0,006738+0,033690+0,084224+

О т в е т.

б) событие B - " будет искажено более 10-ти знаков"

Рассмотрим противоположное событие
vector{В} - "искажено не более 10-ти знаков"
Значит 0,1,2,3,4,5,6,7,8.9,10

Считаем как пункте а)

P(vector{В})=P_(1000)(0)+P_(1000)(1)+P_(1000)(2)+...P_(1000)(10)=...

p(B)=1-p(vector{B})= ...

в)
решено в б)
P(vector{В})=P_(1000)(0)+P_(1000)(1)+P_(1000)(2)+...P_(1000)(10)=...
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
[m]\frac{3a^2}{2b^6}[/m]

2)
n^((-3*4)-(-15))=n^3

3)
sqrt(16b)=sqrt(16)*sqrt(b)=4b
sqrt(36b)=sqrt(36)*sqrt(b)=6b

sqrt(16b)-0,5*sqrt(36b)=4b-0,5*6b=4b-3b=[b]b[/b]

4.
Если знаменатель дроби отличен от нуля.
2x^2-x-6 ≠ 0
D=1-4*2*(-6)=49
x_(1)=-1,5; x_(2)=2

[b]x ∈ (- ∞ ;-1,5) U(-1,5;2) U(2;+ ∞ )[/b]

5.
РН- средняя линия Δ BCD
PH || BD
PH=BD/2

PH=7 ⇒ BD=14

S_( Δ BCD)=(1/2)BD*CK=(1/2)*14*12=[b]84 см^2[/b]

y`=-6x^2+12x

y`=0

-6x^2+12x=0

6x*(-x+2)=0

x=0; x=2

При 0 < x < 2
производная y`>0
При x > 2
производная y` <0

х=2- точка максимума, производная меняет знак с + на -

В ней и находится наибольшее значение на отрезке [0;3]

y(2)=...

vector{2a}=(2*(-2);2*0)=(-4;0)

vector{kb}=(k*1;k*(-1))=(k;-k)

vector{2a}-vector{kb}=(-4-k;0-(-k))=(-4-k;k)

vector{2a}-vector{kb} и vector{c} коллинеарны, если их

координаты пропорциональны:

(-4-k):2=k:3

2k=3*(-4-k)

2k=-12-3k

5k=-12

[b]k=-2,4[/b]

Ответ выбран лучшим

с-с^(0,5)*d^(0,5)=c^(0,5)*(c^(0,5)-d^(0,5))

c-d=(c^(0,5))^2-(d^(0,5))^2=(c^(0,5)-d^(0,5))*(c^(0,5)+d^(0,5))

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
{2y-x^2 ≥ 0 ⇒ |2y-x^2|=2y-x^2
{2y+x^2 ≥ 0 ⇒ |2y+x^2|=2y+x^2
{2y-x^2+2y+x^2 ≤ 2+x ⇒ [b]4y ≤ 2+x[/b]

2)
{2y-x^2 <0 ⇒ |2y-x^2|=-2y+x^2
{2y+x^2 <0 ⇒ |2y+x^2|=-2y-x^2
{-2y+x^2-2y-x^2 ≤ 2+x ⇒ [b]- 4y ≤ 2+x[/b]

3)
{2y-x^2 <0 ⇒ |2y-x^2|=-2y+x^2
{2y+x^2 ≥ 0 ⇒ |2y+x^2|=2y+x^2
{-2y+x^2+2y+x^2 ≤ 2+x ⇒ 2x^2 ≤ 2+x ⇒ 2x^2-x-2 ≤ 0 ⇒ D=1+16=17 корни
x_(1); x_(2)

4){2y-x^2 ≥ 0 ⇒ |2y-x^2|=2y-x^2
{2y+x^2 < 0 ⇒ |2y+x^2|=-2y-x^2
{2y-x^2-2y-x^2 ≤ 2+x ⇒ -2x^2 ≤ 2+x ⇒ 2x^2+x+2 ≥ 0 ⇒ D<0 нет корней

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

20%=0,2 всего времени тратит на выполнение приседаний

1-0,2=0,8 всего времени остается.

Из них 40%=0,4 уходят на бег,

т.е
0,4*0,8=0,32 уходят на бег,

По условию это 80 мин

80:0,32=250 мин вся тренировка

0,2*250=50 мин - приседания

80 минут на бег

250-50-80=120 мин на выполнение физических упражнений

Развёрнутый угол равен 180 °
40%=40/100=0,4
0,4*180 ° 45 ° - первый угол

(2/3)*45 ° =30 ° - второй

45 ° -25 ° =20 ° - третий

180 ° -45 ° -30 ° -20 ° =85 ° - четвертый

Ответ выбран лучшим

Секущая плоскость пересекает параллельные между собой плоскости боковых граней АА_(1)В_(1)В и
DD_(1)C_(1)C по параллельным прямым BE и D_(1)F,

a параллельные между собой плоскости боковых граней BB_(1)C_(1)C и
AA_(1)D_(1)D по параллельным прямым BF и D_(1)E

сечение BED_(1)- параллелограмм ED_(1)FB

Продолжим стороны cечения D_(1)F и DC до пересечения в точке N, а стороны D_(1)E и DA в точке М

MN- cлед секущей плоскости на плоскости АВСD

MN- линия пересечения плоскостями ABC и BED_(1)

Из подобия Δ EAM и D_(1)DM
MA:MA=4:7
MA=x
x:(x+3)=4:7
x=4

Из подобия Δ NFC и D_(1)DN
NC:ND=3:7
NC=y
y:(y+2)=3:7
y=1,5

Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно к линии их пересечения провести перпендикуляры

Это сделать непросто, потому как в основании прямоугольник.

Можно провести высоту из точки D на гипотенузу MN в прямоугольном треугольнике MND

MN^2=7^2+3,5^2

DH=DM*DM/MN=...считайте

DH- проекция D_(1)H на пл. АВСD

DH ⊥ MN ⇒ D_(1)H⊥ MN

[b] ∠ D_(1)HD - искомый.[/b]

Из прямоугольного Δ D_(1)HD

tg ∠ D_(1)HD=DD_(1)/DH=... считайте

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Геометрическая вероятность

p=S_( Δ)/S_(круга)

S_(круга)=π*R^2

R_(описанной окр)=a*sqrt(3)/3 ⇒ a=R*sqrt(3)

S_( Δ)=(1/2)a^2*sin60 ° =a^2sqrt(3)/4=3R^2sqrt(3)/4

p=(3sqrt(3))/(4π) (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

«x в 2 раза меньше у»

0 → 0
1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8
5 → 10
6 → 12

«x в 2 раза больше у»

0 → 0
1 → 0,5
2 → 1
3 → 1,5
4 → 2
5 → 2,5
6 → 3

Ответ выбран лучшим

Ищите, что-то похожее (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Правило треугольника:
=3*7*8+4*(-2)*2+(-5)*8*(-1)-2*7(-5)-(-1)*(-2)*3-8*8*4=

=... считаем (прикреплено изображение)

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k-4=0

D=(-3)^2-4*(-4)=25

k_(1)=-1; k_(2)=4- корни действительные кратные

Общее решение имеет вид:
y=С_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(4x)

y(0)=1

1=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) ⇒[b] 1=С_(1)+C_(2) [/b]

Находим производную общего решеня:

y`=(С_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(4x))` ⇒ y`=С_(1)*e^(-x)*(-x)`+C_(2)*e^(4x)*(4x)`

y`=(-1)*С_(1)*e^(-x)+4*C_(2)*e^(4x)

y`(0)=-2

-2=-С_(1)*e^(0)+4*C_(2)*e^(0) ⇒[b] -2=-С_(1)+4*C_(2) [/b]

Из системы:
{1=С_(1)+C_(2)
{-2=-С_(1)+4*C_(2)

Cкладываем
-1=5С_(2)

С_(2)=-0,2

С_(1)=1- С_(2)=1-(-0,2)=1,2

и подставляем в найденное общее решение.

Получаем ответ

y=1,2*e^(-x)-0,2*e^(4x)

Ответ выбран лучшим

Проводим СМ || B_(1)K

∠ (A_(1)C, B_(1)K)= ∠ (A_(1)C, CM)= ∠ A_(1)CM

Находим его из треугольника A_(1)CМ

Пусть ребро куба равно [b]а[/b].

A_(1)C=[b]a[/b]*sqrt(3)

A_(1)M=CM=sqrt(a^2+(a/2)^2)=a*sqrt(5)/2

По теореме косинусов:
A_(1)M^2=А_(1)С^2+CM^2-2*А_(1)С*CM*cos ∠ A_(1)CM ⇒

cos ∠ A_(1)CM=sqrt(3)/sqrt(5)=sqrt(0,6)

∠ A_(1)CM=arccos(sqrt(0,6))

Можно и по-другому.

Δ A_(1)CМ- равнобедренный

MN ⊥ A_(1)C

MN- медиана

A_(1)N=NC=a*sqrt(3)/2

сos ∠ A_(1)CM=NC/MC=sqrt(3)/sqrt(5)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Делим на 144

[m]\frac{16x^2}{144}-\frac{9y^2}{144}=1[/m]

[m]\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1[/m]

a^2=9;

b^2=16

b^2=c^2-a^2 ⇒ c^2=b^2+a^2=16+9=25

ε =c/a=5/3

Ответ выбран лучшим

M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)=(-2)*0,4+3*0,6=1

О т в е т. а)

Ответ выбран лучшим

∫ d[b]u[/b]/([red]a[/red]^2+[b]u[/b]^2)=(1/[red]a[/red])*arctg([b]u[/b]/[red]a[/red])+C

∫ dx/(9+4x^2)= ∫ dx/([red]3[/red]^2+(2x)^2)= [u=[b]2x[/b]; du=2dx; ]

=(1/2) ∫ 2dx/([red]3[/red]^2+(2x)^2)=

=(1/2) ∫ d([b]2x[/b])/([red]3[/red]^2+([b]2x[/b])^2)=

=(1/2)arctg([b]2x[/b])/([red]3[/red]) + C

Ответ выбран лучшим

vector{2a}+vector{b}=(2*(-1)+3; 2*0+2;2*1+1)=(1;2;3)=vector{i}+2vector{j}+3vector{k}

Ответ выбран лучшим

[m]A\cdot B=\begin{pmatrix} 2\cdot 3+1\cdot (-1) &2\cdot 5+1\cdot 0 &2\cdot 1+1\cdot(-1) \\ 0\cdot 3+(-1)\cdot (-1) &0\cdot 5+(-1)\cdot 0& 0\cdot 1+(-1)\cdot (-1) \end{pmatrix}[/m]

Считайте...

в) по- моему

Ответ выбран лучшим

Первый замечательный предел:

[m]lim_{x → 0}\frac{sinx}{x}=1[/m]

Причем это верно и так:

[m]lim_{x → 0}\frac{sin3x}{3x}=1[/m]

Поэтому в данном пределе стараемся выделить такое выражение:

[m]lim_{x → 0}\frac{2sin3x}{5x}=2\cdot lim_{x → 0}\frac{sin3x}{3x}\cdot \frac{3x}{5x}=[/m]

[m]=2\cdot 1\cdot lim_{x → 0}\frac{3x}{5x}=2\cdot \frac{3}{5}=\frac{6}{5}=1,2[/m]

Ответ выбран лучшим

∫ ^(-1)_(-2)(-1/x)dx=- ∫ ^(-1)_(-2)dx/x=(-ln|x|) |^(-1)_(-2)=

=-ln|-1|+ln|-2|=0+ln2=ln2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=x+iy

|z|=sqrt(x^2+y^2)

z=(1+2i)^2

z=1+4i+(2i)^2= ( так как i^2=-1)=1+4i-4=-3+4i

|z|=sqrt((-3)^2+4^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=[b]5[/b]

Ответ выбран лучшим

[m] ∫ (\frac{5}{sin^2x}+sinx)dx=5 ∫ \frac{1}{sin^2x}dx+ ∫ sinxdx=[/m]

[m]=5\cdot(-ctgx)+(-cosx)+C=-5ctgx-cosx+C[/m]

Правило треугольника:
=7*2*2+(-1)*7*(-6)+4*(-9)*1-(-6)*2*2-1*7*7-2*(-9)*(-1)=

=28+42-36+24-49-18=

=-9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V=V_(роз)+V_(зел)=5*6*10+3*6*2=300+36=336

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как |cosx| ≤ 1 ⇒ 5-cosx > 0 при любом х

log_(2)(10-2cosx)=log_(2)2*(5-cosx)=log_(2)2+log_(2)(5-cosx)=1+log_(2)(5-cosx)

[i]Замена переменной:[/i]
[blue]log_(2)(5-cosx)=t[/blue]

t^2-5*(1+t)=-11

t^2-5t+6=0

t_(1)=[b]2[/b] или t_(2)=[b]3[/b]

Обратный переход:
[blue]log_(2)(5-cosx)=[/blue][b]2[/b] или [blue]log_(2)(5-cosx)=[/blue][b]3[/b]

[blue]5-cosx=2[/blue]^([b]2[/b]) или [blue]5-сosx=2[/blue]^([b]3[/b])

cosx=1 или cosx=-3 ( не имеет корней, |cosx| ≤ 1)

x=2πn, n ∈ Z

О т в е т. [b]2πn, n ∈ Z[/b]

б)
x=2π принадлежит указанному отрезку

Ответ выбран лучшим

По частям:
[m]u=arcsinx[/m]

[m]dv=dx[/m]

[m]du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx[/m]

[m]v=x[/m]

[m] ∫ arcsinx dx=x\cdot arcsinx- ∫ x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=[/m]

[m]=x\cdot arcsinx- (-\frac{1}{2}) \frac{(-2x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=[/m]

[m]=x\cdot arcsinx+(\frac{1}{2})\cdot 2\sqrt{1-x^2}+C=[/m]

[m]=x\cdot arcsinx+\sqrt{1-x^2}+C=[/m]

Замена переменной:
[m]ln5x=t[/m]

[m]dt=(ln5x)`\cdot dx[/m]

[m]dt=\frac{(5x)`}{5x}dx[/m]

[m]dt=\frac{5}{5x}dx[/m]

[m]dt=\frac{1}{x}dx[/m]

[m] ∫\frac{ln5x}{x}dx= ∫ tdt= \frac{t^2}{2}+C= \frac{ln^25x}{2}+C[/m]

[m] ∫ \frac{4}{(x-\frac{1}{2})^3}dx=4\cdot ∫ (x-\frac{1}{2})^{-3}d(x-\frac{1}{2})=[/m] формула ∫ u^(-3)du=

[m]=4\cdot \frac{(x-\frac{1}{2})^{-3+1}}{-3+1}+C=-2\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2}+C[/m]

Пересекаются

Ответ выбран лучшим

4^(x)+2^(2x-1)=3^(x+0,5)+3^(x-0,5)

Заметим, что 2x-1=2*(x-0,5)

и

2^(2x-1)=2^(2*(x-0,5))=(2^(2))^(x-0,5)=4^(x-0,5)

4^(x)+(4)^(x-0,5)=3^(x+0,5)+3^(x-0,5)

Выносим за скобки степени с меньшим показателем:

4^(x-0,5)*(4^(0,5)+1)=3^(x-0,5)*(3+1)

4^(x-0,5)*3=3^(x-0,5)* 4

(4/3)^(x-0,5)=4/3

x-0,5=1

[b]x=1,5[/b]

3.

честно посчитать восемь раз:
a_(2)=a_(1)+12=9+12=21
a_(3)=a_(2)+12=21+12=33
a_(4)=a_(3)+12=33+12=45
a_(5)=a_(4)+12=45+12=57
a_(6)=a_(5)+12=57+12=69
a_(7)=a_(6)+12=69+12=81
a_(8)=a_(7)+12=81+12=[red]93[/red]

можно заметить, что разность между 1-м и 2-м равна 12
между 2-м и 3-м тоже 12

Это и есть d=12 - разность арифметической прогрессии

Применяем формулу:

a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(8)=a_(1)+d*7=9+7*12=9+84= [red]93[/red]

По определению арифметического квадратного корня:
4-x ≥ 0
[red]ОДЗ:[/red] 4-x ≥ 0 ⇒ [red]x ≤ 4[/red]

Возводим в квадрат ( при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому и нужна ОДЗ или проверка в конце решения)

x^3-5x^2-9x+22=(4-x)^2

x^3-5x^2-9x+22=16-8x+x^2

[green]x^3-6x^2-x+6=0[/green]

Раскладываем на множители способом группировки:

(x^3-6x^2)-(x-6)=0

x^2*(x-6)-(x-6)=0

(x-6)*(x^2-1)=0

(x-6)*(x-1)*(x+1)=0

[green]x= ± 1;x=6[/green] это корни уравнения [green]x^3-6x^2-x+6=0[/green]

Но
6 ∉ [red]ОДЗ:[/red]

О т в е т. -1;1

б) 1 ∈ [-sqrt(2)/2;2 sqrt(10)]

Ответ выбран лучшим

d^2=a^2+a^2+a^2

d^2=3a^2

(4sqrt(3))^2=3a^2

a^2=16

a=4

d^2_(грани)=a^2+a^2=4^2+4^2=32

[b]d_(грани)=4sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f `(x_(o))=0 ⇒ касательная в точке (x_(o);y_(o)) || оси ОХ

f `(x_(o))=0 ⇒ касательной в точке (x_(o);y_(o)) нет, график функции имеет [b]излом[/b] как на графике y=|x| (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a=-2

Ветви вниз, поэтому знак минус

Парабола y=2x^2

строится по точкам (0;0);(1;2); (2;8) (-1;2);(-2;8)

И здесь такая же закономерность...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,5:0,7=х:6 ⇒ 0,7*х=6*0,5

0,7х=3

х=30/7

Системе удовлетворяет пересечение этих множеств (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a,b- катеты
с- гипотенуза

S_(квадрата)=с^2

S_( Δ)=(1/2)*a*b
S_( Δ)=(1/8)c^2

(1/2)a*b=(1/8)c^2

{4a*b=c^2
{a^2+b^2=c^2 ⇒ 4a*b=a^2+b^2 ⇒

a^2-4ab+b^2=0

D=(-4b)^2-4b^2=12b^2

a=(4b-2sqrt(3)b)/2 или a=(4b+2sqrt(3)b)/2

a=2b-sqrt(3)b или a=2b+sqrt(3)*b

tg ∠ A=a/b=2-sqrt(3) или tg ∠ A=a/b=2+sqrt(3)

∠ A=arctg(2+sqrt(3)) - наибольший

ОДЗ:
{x ≠ πk, k ∈ Z ( точки в которых не сущ ctgx)
{-сtgx >0 ⇒ ctgx <0 ⇒ (π/2)+πn < x < π+πn, n ∈ Z
т.е
x во второй или четвертой четвертях ;
х ≠ (π/2)+πn
х ≠ πk, k ∈ Z

3*cos2x-5*cosx-1=0

3*(2cos^2x-1)-5*cosx-1=0

6*cos^2x-5*cosx-4=0

D=25-4*6*(-4)=25+96=121

сosx=-1/2 или cosx=1

x= ± (2π/3)+2πm, m ∈ Z или x=2πs, s ∈ Z (не входит в ОДЗ)

x во второй или четвертой четвертях ⇒

x= - (2π/3)+2πm в третьей

О т в е т. x= (2π/3)+2πm, m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

y`=∫dx/sin^22x=(1/2)*(-ctg2x)+C_(1)

y=∫(-1/2)*ctg2x+C_(1))dx=-(1/4)ln|sin2x|+C_(1)x+C_(2)

y=-(1/4)ln|sin2x|+C_(1)x+C_(2)

y(x_(o))=y(5π/4)=(-1/4)ln|sin(5π/2)+C_(1)*(5π/4)+C_(2)

y(5π/4)=C_(1)*(5π/4)+C_(2)

y(π/4)=1 ⇒ 1=-(1/4)ln|sin2*(π/4)|+C_(1)*(π/4)+C_(2)

y`(π/4)=1 ⇒ 1=(1/2)*(-ctg(2*(π/4))+C_(1)

Из системы уравнений находим C_(1) и С_(2):
{1=-(1/4)ln|sin2*(π/4)|+C_(1)*(π/4)+C_(2)
{1=(1/2)*(-ctg(2*(π/4))+C_(1) ⇒ [b] C_(1)=1[/b] ( ctg(π/2)=0)

1=-(1/4)ln1+(π/4)+C_(2) ⇒ C_(2)=1-(π/4)

Частное решение :
y=-(1/4)ln|sin2x|+x+1-(π/4)

Ответ выбран лучшим

R_(1)=4*(2*1+2*2+3)-0,01*1450=...
R_(2)=4*(2*3+2*2+4)-0,01*2030=...
R_(3)=4*(2*2+4*3+3)-0,01*1870=...

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(sqrt(7)/4)^2)=1-(7/16)=9/16

cos α = ± 3/4

π/2 < α <π ⇒ α во второй четверти, косинус во второй четверти имеет знак минус

cosα=-3/4

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos(2π-x)=cosx

2^(sin2x)=(2^(-3))^(5cosx)

2^(sin2x)=2^(-3*5cosx)

sin2x=-3*5cosx

2*sinx*cosx+15*cosx=0

cosx*(2sinx+15)=0 (-1 ≤ sinx ≤ 2 ⇒ 2sinx+15 >0)

cosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

S_(трапеции)=(6+8)*h/2

84=(6+8)*h/2 ⇒ h_(трапеции)=12

[b]R[/b]=h_(трапеции)=[b]12[/b]

V_(тела вращ)=2V_(конуса)+V_(цилиндра)=

=2*(1/3)π*12^2*1+π*12^2*6=(96+864)*π=960*π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
0,4^(x)-0,16 ≥ 0 ⇒ 0,4^(x) ≥ 0,4^2 ⇒ [red] x ≤ 2[/red]

При x ≤ 2 sqrt(0,4^(x)-0,16) ≥ 0 ⇒

10x-1 ≥ 0

x ≥ 0,1

О т в е т.[red] [0,1; 2][/red]

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника SOK:
SO^2=SK^2-OK^2=a^2-(a/2)^2=3a^2/4

SO=a*sqrt(3)/2

SO=18 ⇒ a*sqrt(3)/2=18 ⇒ a=[blue]36/sqrt(3)[/blue]

AC=a*[b]sqrt(2)[/b]- диагональ квадрата со стороной а

S_(диаг. сеч)=S_( Δ АSC)=(1/2)*AC*SO=(1/2) * ([blue]36/sqrt(3)[/blue])*[b]sqrt(2)[/b]*18=108sqrt(6)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

BB_(1)=6sqrt(3)
∪ АВ=120 °
ОК ⊥ АВ
ОК=1

∪ АВ=120 ° ⇒ ∠ АОВ=120 ( центральный угол)

Δ АОВ- равнобедренный (АО=ВО=R)

ОК ⊥ АВ ⇒ ОК - медиана и биссектриса

∠ АОК= ∠ ВОК=60 °

В прямоугольном треугольнике АОК
∠ ОАК=30 ° ( сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 ° )

ОА=2ОК=2 ( катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета)

По теореме Пифагора

AК=sqrt(2^2-1^2)=sqrt(3)

АВ=2АК=2sqrt(3)

S_(сеч)=AB*BB_(1)=2sqrt(3)*6sqrt(3)=[b]36[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В основании квадрат.
АС=BD=2sqrt(2)

AO=OC=BO=OD=sqrt(2)

BO ⊥ AC
BO- проекция B_(1)O на пл АВСD

⇒ B_(1)O ⊥ AC

∠ B_(1)OB- линейный угол двугранного угла между пл. АВСD и

пл.АВ_(1)С

Δ B_(1)OB- прямоугольный равнобедренный, BO=ВВ_(1)=sqrt(2)

∠ B_(1)OB=45 °
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(шара)=(4/3)*π*R^3=(4/3)*π*3^3=36*π

V_(конуса)=V_(шара)=36*π

V_(конуса)=(1/3)*π*r^2*H

36*π=(1/3)*π*2^2*H

[b]H=27[/b]

Ответ выбран лучшим

v(t)=S`(t)=0,6*2t-22=1,2t-22

v(t)=20 ⇒

1,2*t-22=20 ⇒ 1,2t=42; t=35 с

Ответ выбран лучшим

64=4^3

64^(log_(4)7)=(4^(3))^(log_(4)7)= [i]свойство степени[/i]: (a^(m))^(n)=a^(m*n)

=4^(3log_(4)7)= [i] свойство логарифма степени:[/i] [b]k[/b]*logb=logb^([b]k[/b])

=4^(log_(4)7^3)=

[i]основное логарифмическое тождество:
[/i]
[r]a^(log_(a)b)=b, a>0; b>0; a ≠ 1[/r]

=7^3 =[b]343[/b]

Ответ выбран лучшим

(11-x)^3=5^3 Функция y=x^3 монотонно возрастает на (- ∞ ;+ ∞ )

Поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:

11-х=5

11-5=x

x=6

Ответ выбран лучшим

Всего 50+4+46=100 деталей
n=100
4+3=7 бракованных
m=7

p=m/n=7/100=0,07

Ответ выбран лучшим

72*1,5=108 км
86*2=172 км

100*0,5=50 км

ВЕСЬ ПУТЬ:

S=108+172+50=230 км

ВРЕМЯ
t=1,5 +2+0,5=4 часа

v_(cредняя)=[m]\frac{S}{t}=\frac{230}{4}=57,5[/m] км в час

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

событие A_(1)-"купит брюки"
p(A_(1))=0,5
событие vector{A_(1)}-" не купит брюки"
p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,5=0,5

событие A_(2)-"купит рубашку"
p(A_(2))=0,8
событие vector{A_(2)}-" не купит рубашку"
p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,8=0,2

событие A_(3)-"купит cвитер"
p(A_(3))=0,9
событие vector{A_(3)}-" не купит свитер"
p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,9=0,1

X=0;1;2;3

[b]X=0 - Покупок 0[/b]

Cобытие B- " не купит ничего"

B=vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}
p(B)=0,5*0,2*0,1=0,01

[b]X=1 - купит одну вещь. Покупок 1[/b]

C-"купит одну вещь"

С=A_(1)*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}Uvector{A_(1)}*A_(2)*vector{A_(3)}U vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*A_(3)

p(C)=0,5*0,2*0,1+0,5*0,8*0,1+0,5*0,2*0,9=

[b]X=2 - купит две вещи. Покупок 2[/b]

D=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}U A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)U vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)

p(D)=0,5*0,8*0,1+0,5)0,2*0,9+0,5*0,8*0,9=

[b]X=3 - купит две вещи. Покупок 3[/b]

F=A_(1)*A_(2)*A_(3)

p(F)=0,5*0,8*0,9=

Закон распределения- таблица,
в первой строке значения
0; 1; 2; 3
во второй их вероятности.

https://reshimvse.com/category.php?name=sova_cat_300

Есть аналогичные задачи с решением.
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=31842

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=4x^3-4y^2*2x

z``_(xy)=-16xy

О т в е т. А

Ответ выбран лучшим

В) 8
Считаю по клеточкам. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Во первых, график пересекает ось Оу в точке (0;-2)
Значит это либо первый ответ, либо второй.

Во вторых, пересекает ось Ох в точке (3;0)

Подставляем в первое:
0=3*3-2 - неверно

Подставляем во второе

0=(2/3)*3-2- верно

О т в е т. второй

Ответ выбран лучшим

Пропорция. Перемножаем крайние и средние члены пропорции.

2*(х+3)=7*(3х-2)

2х+6=21х-14

6+14=21х-2х

20=19х

х=20/19

х=1 [m]\frac{1}{19}[/m]

Ответ выбран лучшим

y=-x-2
y=-x^2

-x^2=-x-2

x^2-x-2=0
D=9
x_(1)=-1; x_(2)=2

S= ∫ ^(2)_(-1) (-x^2-(-x-2))dx=((-x^3/3)+(x^2/2)+2x)|^(2)_(-1)=9/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Получили равнобедренный треугольник ( стороны R c углом при основании 120 ° /2=60 ° )

Значит это равновторонний треугольник и r - высота

h=asqrt(3)/2

r=R*sqrt(3)/2

1) r=3√6 ⇒ 3√6=R*sqrt(3)/2 ⇒ R=6sqrt(2) ⇒ S_(сферы)=4πR^2=

[b]=288π[/b]

2) r=4 ⇒ 4=R*sqrt(3)/2 ⇒ R=8sqrt(3)/3 ⇒ S_(сферы)=4πR^2=

[b]=256π/3[/b]

3) r=2√6⇒ 2√6=R*sqrt(3)/2 ⇒ R=4sqrt(2) ⇒ S_(сферы)=4πR^2=

[b]=128π[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(3-(-2);1-(-1))=(5;2)
vector{AС}=(1-(-2);(5-(-1))=(3;6)

|vector{AB}|=sqrt(5^2+2^2)=sqrt(29)

|vector{AC}|=sqrt(3^2+6^2)=sqrt(45)

Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами:
vector{AB}*vector{AС}=5*3+2*6=27

Cкалярное произведение векторов равно произведению длин на косинус угла между ними
vector{AB}*vector{AС}=vector{AB}*vector{AС}*cos ∠ A;

cos ∠ A=27/sqrt(29)*sqrt(45) > 0 ⇒ ∠ A - острый

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AC^2=AB^2+BC^2=3^2+3^2=18

AC=3sqrt(2)

Из Δ АСС_(1)

tg ∠ C_(1)AC=CC_(1)/AC=sqrt(6)/3sqrt(2)=sqrt(3)/3

∠ C_(1)AC=30 ° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

116.
в декартовой системе :
x=t^2 ⇒ t=sqrt(x)

y=sqrt(x)-(1/3)xsqrt(x)

Точки пересечения с осью Ох:
y=0

sqrt(x)-(1/3)xsqrt(x)=0

sqrt(x)*(1-(1/3)x)=0

x=0; x=3

x=t^2 ⇒ t= ± sqrt(3)

Найдем половину петли от t_(1)=0 до t_(2)=sqrt(3)

x`_(t)=2t
y`_(t)=1-t^2

(x`_(t))^2+(y`_(t))^2=(2t)^2+(1-t^2)^2=4t^2+1-2t^2+t^2=t^4+2t^2+1=(t^2+1)^2

sqrt((x`_(t))^2+(y`_(t))^2)=[b]t^2+1[/b]

(1/2)L= ∫ ^(sqrt(3))_(0)[b](t^2+1)[/b]dt=((t^3/3)+t)|^(sqrt(3))_(0)=

=2sqrt(3)

L=2*(2sqrt(3))=[b]4sqrt(3)[/b]

146.

V= ∫ ∫ _(D_(xOz))(6)dxdz= ∫ ^(1)_(0)( [blue]∫ ^(sqrt(z))_(-sqrt(z))6 dx[/blue])dz=6 ∫ ^(1)_(0)x| ^(sqrt(z))_(-sqrt(z))dz=

=6 ∫ ^(1)_(0)2sqrt(z)dz=10*(z^(3/2))/(3/2)=(24/3)z^(3/2)|^(1)_(0)=[b]8[/b]

Ответ выбран лучшим

1) A∪ B={1, 3, 7,23,137}
от А берем все,
потом добавляем от В то, что не брали

2) A∩ B= {3, 7} - то общее, что есть и в А и в В

3) (A ∩ B)UD={3,7}U{0,7,23, 2004}={0,3, 7,23, 2004}

4) C ∩(D ∩ B)={23}

D ∩ B= {7;23}

C ∩ {7;23}={23}

5) (A∪ B)={1, 3, 7,23,137}
(C∪ D)={0,1, 3, 7,23,2004}

(A∪ B) ∩ (C∪ D)={1,3,7,23}

6)B∩C={7,23}

A∪(B∩C)={1, 3, 7, 23, 137}

(A∪(B∩C))∩ D={7,23}

7)

C ∩ A={1,3}

C ∩ D={0,23}

A∪(C ∩ D)={0,1, 3, 7, 23,137}

(A∪(C ∩ D))∩ B={3, 7, 23}

(C ∩ A)∪((A∪(C ∩ D))∩ B)={1,3, 7, 23}

8)
(A∪ B)={1, 3, 7,23,137}

(C∩ D)={0,23}

(A∪ B) \ (C∩ D)={1,3,7,137}

9)
C \ D={1,3}
B \ (C \ D)={7,23}

A \ (B \ (C \ D))={1, 3, 137}

10)

B∪ D={0, 3, 7, 23, 2004}

A \ (B∪ D)={1,137}

(A \ (B∪ D)) \ C={137}

((A \ (B∪ D)) \ C)∪ B={3, 7, 23, 137},

Ответ выбран лучшим

F(x)=[m]\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+C[/m]

(1;3) ⇒ x=1; F(1)=3

3=[m]\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1^3}{3}+\frac{1^4}{4}+C[/m]

[m]C=3- \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}[/m]

[m]C=\frac{3\cdot 12-3-4}{12}- \frac{\sqrt{3}}{3}[/m]

[m]C=\frac{29}{12}- \frac{\sqrt{3}}{3}[/m]

[m]C=\frac{29-4\sqrt{3}}{12}[/m]

О т в е т.
F(x)=[m]\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{29-4\sqrt{3}}{12}[/m]

F(x)=[m]\frac{4\sqrt{3}x+4x^3+3x^4+(29-4\sqrt{3})}{12}[/m]

А
∫ dF(x)= F(x) + C

Ответ выбран лучшим

О т в е т 3) 4; 2; 7; 0 (прикреплено изображение)

A
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-3>0
{x-5>0
{x-2>0
{x-2 ≠ 1
{x-5 ≠ 1

x ∈ (5;6)U(6:+ ∞ )

применяем формулу перехода к другому основанию:

[m]log_{12}(x-3)+log_{12}(x-5) ≥ log_{x-2}(x-5)+log_{x-2}(x-3)[/m]

[m]log_{12}(x-3)(x-5) ≥ log_{x-2}(x-5)(x-3)[/m]

применяем формулу перехода к другому основанию:

[m]log_{12}(x-3)(x-5) ≥ \frac{log_{12}(x-5)(x-3)}{log_{12}(x-2)}[/m]

[m]log_{12}(x-3)(x-5) - \frac{log_{12}(x-5)(x-3)}{log_{12}(x-2)} ≥ 0[/m]

[m]log_{12}(x-3)(x-5)\cdot (1 - \frac{1}{log_{12}(x-2)}) ≥ 0[/m]

[m]log_{12}(x-3)(x-5)\cdot \frac{log_{12}(x-2)-1}{log_{12}(x-2)} ≥ 0[/m]

Применяем [i]обобщенный[/i] метод интервалов:

[m]log_{12}(x-3)(x-5)=0[/m]

[m](x-3)(x-5)=1[/m]

[m]x^2-8x-14=0[/m] ⇒[b] x=4 ± sqrt(2)[/b]

[m]log_{12}(x-2)-1=0[/m] ⇒ x-2=12; [b]x=14[/b]

[m]log_{12}(x-2) = 0[/m] ⇒ x=1

(5)_-__ [4+sqrt(2)] _[red]+[/red]__ (6) __-__ [14] _[red]+[/red]_

[4+sqrt(2);6)U[14;+ ∞ )

ОДЗ:
tgx ≠ 0
ctgx ≠ 0
sinx ≠ 0
cosx ≠ 0

[m]ctg2x=\frac{ctg^2x-1}{2ctgx}[/m]

[m]\frac{1}{tgx}=ctgx[/m]

[m]ctgx+\frac{1}{ctgx}-2\cdot \frac{ctg^2x-1}{2ctgx}-2=0[/m]

[m]\frac{ctg^2x+1-ctg^2x+1-2ctgx}{ctgx}=0[/m]

[m]\frac{2\cdot (1-ctgx)}{ctgx}=0[/m]

[m]ctgx=1[/m]

[m]x=\frac{\pi}{4}+\pi k [/m], k ∈ Z - о т в е т.

б)[m]x=\frac{\pi}{4}[/m]

[m]x=\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{3\pi}{4} [/m]

vector{AO}=(3-2;0-(-6))=(1;6)

|vector{AO}|=sqrt(1^2+6^2)=sqrt(37)

ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{x+2>0
{x+2 ≠ 1

[m]log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}[/m] a>0; b>0; a ≠ 1; b ≠ 1 ⇒

[m]log_{x}(x+2) ≤ \frac{1}{log_{x}(x+2)[/m]

[m]log^2_{x}(x+2) ≤ log^2_{x+2}x[/m]

[m]log^2_{x}(x+2) - log^2_{x+2}x ≤ 0[/m]

[m](log_{x}(x+2) - log_{x+2}x)\cdot (log_{x}(x+2) + log_{x+2}x ) ≤ 0[/m]

[m](log_{x}(x+2) - \frac{1}{log_{x}(x+2)})\cdot (log_{x}(x+2) +\frac{1}{log_{x}(x+2)} ) ≤ 0[/m]

[m]\frac{(log^2_{x}(x+2)-1)(log^2_{x}(x+2)+1)}{log^2_{x}(x+2)} ≤ 0[/m]

[m]^2_{x}(x+2)+1 ≥ 0[/m] при всех х принадлежащих ОДЗ

[m]log^2_{x}(x+2) > 0[/m] при всех х принадлежащих ОДЗ

[m]log^2_{x}(x+2)-1≤ 0[/m]

[m](log_{x}(x+2)-1)(log_{x}(x+2)+1)≤ 0[/m]

Применяем обобщенный метод интервалов:

[m]log_{x}(x+2)-1=0[/m] ; [m]log_{x}(x+2)+1=0[/m] ⇒ [m]x+2=\frac{1}{x}[/m] ⇒ [m]\frac{x^2+2x-1}{x}=0[/m]

D=4+4=8; корни -1 ± sqrt(2)

__+___ [-1-sqrt(2)] - _ (0) _+_ [-1+sqrt(2)] _-___ (1) __+__

С учетом ОДЗ: x >0

О т в е т. [-1+sqrt(2);1)

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и делятся пополам.
Находим координаты точки О - середины АС

x_(O)=(x_(A)+x_(C))/2=-1/2

y_(O)=(y_(A)+y_(C))/2=0

Теперь решаем обратную задачу.

Есть координаты точки О и В

О- середина BD

x_(O)=(x_(B)+x_(D))/2 ⇒ x_(D)=2x_(O)-x_(B)=2*(-1/2)-(-1)=0

y_(O)=(y_(B)+y_(D))/2 ⇒ y_(D)=2y_(O)-y_(B)=2*0-1=-1

Можно нарисовать и проверить

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(i) - выбран i-ый автомат
i=1,2,3
p(H_(1))=0,2 ( 20%=0,2)
p(H_(2))=0,3 ( 30%=0,3)
p(H_(3))=0,5 ( 50%=0,5)

событие A- "деталь бракованная"

p(A/H_(1))=0,002 (0,2%=0,002)
p(A/H_(2))=0,003 (0,3%=0,001)
p(A/H_(3))=0,001 (0,1%=0,001)

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=0,2*0,002+0,3*0,003+0,5*0,001=

y`= ∫ xsinxdx = [ интегрируем по частям: u=x; dv=sinxdx]=

=x*(-cosx)- ∫ (-cosx)dx=

=-xcosx+sinx+C_(1)

y= ∫(-xcosx+sinx+C_(1))dx=[ интегрируем по частям: u=x; dv=cosxdx]=

=-x*sinx+2*(-cоsx)+С_(1)х+С_(2) - ответ

Ответ выбран лучшим

Находим абсциссы точек пересечения:

3x=x^2+3x

x^2=0

Одна точка пересечения ( точка касания). Нет фигуры, ограниченной линиями (прикреплено изображение)

a)
0,2+0,25=0,45
0,1+0,1=0,2=0,20
0,15+0,2=0,35 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) cходится, так как
arcsin x~x при x → 0

arcsin[m]\frac{\pi}{n^2+2}[/m]~[m]\frac{\pi}{n^2+2}[/m]

Ряд ∑ ~[m]\frac{1}{n^2}[/m] сходится, p=2>1

2)

По признаку Даламбера

[m] lim_{n → \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= lim_{n → \infty}\frac{\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}}{\frac{(n)!}{2^{n}}}= lim_{n → \infty}\frac{n+1}{2}=[/m]+ ∞

Расходится

3) По радикальному признаку Коши:

[m]lim_{n → \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=lim_{n → \infty}\sqrt[n]{(\frac{3n-1}{2n+3})^{n}}=lim_{n → \infty}\frac{3n-1}{2n+3}=\frac{3}{2} >1[/m]

Расходится

4) Расходится. Не выполняется необходимое условие сходимости.
Общий член ряда не стремится к нулю

[m]lim_{n → \infty}\frac{3n^2+2}{2n^2-1}=\frac{3}{2} \neq 0[/m]

Ответ выбран лучшим

0,3+0,15+3p+2p+0,05=1

5p=0,5

p=0,1

M(X)=1*0,3+2*0,15+3*0,3+4*0,2+5*0,05=... cчитаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

x>0

По формуле перехода к другому основанию:

[m]log_{\frac{2}{3}}x=\frac{log_{3}x}{log_{3}\frac{2}{3}}=\frac{log_{3}x}{log_{3}2-log_{3}3}=\frac{log_{3}x}{log_{3}2-1}[/m]

[m]\frac{log_{3}x}{log_{3}2-1}=4-3log_{3}x[/m]

[m]\frac{log_{3}x}{log_{3}2-1}+3log_{3}x=4[/m]

[m]log_{3}x\cdot (\frac{1}{log_{3}2-1}+3)=4[/m]

[m]log_{3}x\cdot \frac{3log_{3}2-2}{log_{3}2-1}=4[/m]

[m]log_{3}x=\frac{4\cdot (log_{3}2-1)}{3log_{3}2-2}[/m]

Теперь попробуем упростить

[m]log_{3}x=\frac{4\cdot (log_{3}\frac{2}{3})}{log_{3}\frac{8}{9}}[/m]

[m]log_{3}x=log_{\frac{8}{9}}(\frac{2}{3})^4[/m]

[m]x=3^{log_{\frac{8}{9}}\frac{16}{81}}[/m] - это ответ. Удовл ОДЗ

Ответ выбран лучшим

1)
y`=4x^3-6x^2

y``=12x^2-12x

y``=0 ⇒ 12x^2-12x=0 ⇒ 12x*(x-1)=0 ⇒ x=0; x=1

y`` ≤ 0 0 ≤ x ≤ 1

2)

y`=(-1/9)*cos3x*(3x)`-(1/4)*(2x)

y`=(-1/9)*cos3x*(3)-(1/2)*x

y`=(-1/3)*cos3x-(1/2)*x

y``=(-1/3)*(-sin3x)*(3x)`-(1/2)

y``=sin3x -(1/2)

y``=0

sin3x=(1/2)

3x=(-1)^k*(π/6) +πk, k ∈ Z

В неравенствах и при отборе корней удобнее записывать как две серии ответов в первой (при четных k) и во второй ( при нечетных)

или

3х=(π/6) +2πn, n ∈ Z; 3х=-1*(π/6) +π+2π*n= (5π/6) +2πn, n ∈ Z;

y`` ≥ 0

(π/6) +2πn ≤ 3x ≤ (5π/6) +2πn, n ∈ Z;

Делим на 3

([b]π/18) +(2π/3)*n ≤ x ≤ (5π/18) +(2π/3)* n, n ∈ Z; [/b]- о т в е т

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Одна сторона x; вторая сторона y

x>0; y>0- стороны не могут быть отрицательными и 0

x*y=25 ⇒ y=25/x

P=2*(x+y)

P=2*(x+[m]\frac{25}{x}[/m]) - функция, зависящая от х

Обозначим

f(x)=x+[m]\frac{25}{x}[/m]

Исследуем на наибольшее, наименьшее значения

f`(x)=1- [m]\frac{25}{x^2}[/m]

f`(x)=0

x^2=25

x=5

При x < 5
f`(x) <0
При x>5
f`(x) >0

x=5 - точка минимума.

y=[m]\frac{25}{x}[/m]=5
О т в е т. P=2*(5+5)=20

Ответ выбран лучшим

6x^2-10x-1=2*(3x^2-5x-0,5)

[i]Замена переменной:[/i]

4^(3x^2-5x-0,5)=t

4^(6x^2-10x-1)=4^(2*(3x^2-5x-0,5))=(4^(3x^2-5x-0,5))^2=t^2

[m]\frac{t^2-25}{t-5}=13[/m]

t^2-25=(t-5)*(t+5) и [red] t ≠ 5[/red] ⇒

t+5=13

t=8

Обратный переход от t к х:

4^(3x^2-5x-0,5)=8

8=2^3

(2^2)^(3x^2-5x-0,5)=2^3

2*(3x^2-5x-0,5)=3

6x^2-10x-1=3

6x^2-10x-4=0

3x^2-5x-2=0

D=25-4*3*(-2)=25+24=49

x_(1)=(5-7)/6; x_(2)=(5+7)/6

x=-1/3; x=2

О т в е т. (-1/3); 2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
[m]\begin{matrix} x+4>0\\\frac{x+4}{(x+6)^2}>0 \end{matrix}\begin{matrix} x>-4\\x ≠ -6 \end{matrix}[/m]

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

[m]log_{2}\frac{(x+4)^2}{(x+6)^2} ≤ 0[/m]

0=log_(2)1

[m]log_{2}\frac{(x+4)^2}{(x+6)^2} ≤ log_{2}1[/m]

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая

[m]\frac{(x+4)^2}{(x+6)^2} ≤ 1[/m]

[m]\frac{(x+4)^2}{(x+6)^2} -1≤ 0[/m]

[m]\frac{(x+4)^2-(x+6)^2}{(x+6)^2} ≤ 0[/m]

Формула

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

[m]\frac{-2\cdot (2x+10)}{(x+6)^2} ≤ 0[/m]

[m]\frac{x+5}{(x+6)^2} ≥ 0[/m]

x ≥ -5

C учетом ОДЗ:

о т в е т. [-5;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Треугольник равнобедренный (АС=ВС)

Высота СК - одновременно и медиана.
делит сторону АВ пополам

АК=КВ=14

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Из прямоугольного треугольника АСК:

сos ∠ A=AK/AC=14/20=0,7

{2p_(1)+5p_(2)=2,2
{p_(1)-2p_(2)=-0,7

Решаем систему способом подстановки:
{2*(2p_(2)-0,7) +5p_(2)=2,2 ⇒ 9p_(2)=3,6 ⇒ p_(2)=0,4
{p_(1)=2p_(2)-0,7 ⇒ p_(1)=2*0,4-0,7=0,1

X=0;1;2

X=0 - ни один банк не обанкротился:
p_(o)=(1-р_(1))*(1-р_(2))=0,6*0,9=0,54

X=1 - один банк обанкротился:
p_(o)=0,6*0,1+0,4*0,9=0,42

X=2 - оба банка обанкротились
p_(2)=0,4*0,1=0,04

Закон - таблица, в первой строке значения
0;1;2
Во второй вероятности

M(X)=0*0,54+1*0,42+2*0,04=0,5

M(X^2)=0^2*0,54+1^2*0,42+2^2*0,04=0,42+0,16=0,58

О т в е т. а)

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=0,58-(0,5)^2=0,33

Ответ выбран лучшим

h^2=15^2-9^2=225-81=144
h=12
S_( Δ)=(1/2)*a*h=(1/2)*18*12=108

r=S/p=108/((18+15+15)/2)=4,5

R=a*bc/(4S)=(15*15*18)/(4*108)=75/8=9,375

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=3x^2-3y
z``_(xx)=6x

О т в е т. В

Ответ выбран лучшим

функциональным

Ответ выбран лучшим

О т в е т. С

S_(n)=[m]\frac{1}{3}\cdot ( 1-\frac{1}{4}+\frac {1}{4}-\frac {1}{7}+...+\frac{1}{3n+1})[/m]

Расходится.
Эквивалентен ряду:

∑ [m]\frac{\sqrt{n}\cdot (\sqrt{n}-1)}{n(n-1)}=[/m]
∑ [m]\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)}[/m] - который расходится как гармонический

Ответ выбран лучшим

M(X)=1*0,1+2*0,5+3*0,3+4*0,1=2,4

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

M(X^2)=1^2*0,1+2^2*0,5+3^2*0,3+4^2*0,1=0,1+2+2,7+1,6=6,4

D(X)=6,4-2,4^2=0,64

О т в е т. а)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x^4-2x^3-3x^2+6x ≥ 0 ⇒ (x^4-3x^2)-(2x^3-6x) ≥ 0

x^2(x^2-3)-2x*(x^2-3) ≥ 0

(x^2-3)*(x^2-x) ≥ 0

x*(x-2)*(x-sqrt(3))*(x+sqrt(3)) ≥ 0

_[red] +[/red]__ [-sqrt(3)] ____ [0] __[red]+[/red]__ [sqrt(3)] ___ [2] __[red]+[/red]_

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, (а другой при этом не теряет смысла, почему и находим ОДЗ)

sqrt(x^4-2x^3-3x^2+6x)=0 или cos x=0

x=0;x=2;x=sqrt(3);x=-sqrt(3) или x=(π/2)+πn, n ∈ Z , n ≠ -1.

Находим корни на интервале:
(-10;sqrt(21)).
x=-sqrt(3);x=0;x=2;x=sqrt(3);x=-sqrt(3)

Остальные находим из неравенств:

-10<(π/2)+πn<- sqrt(3)⇒ n=-2 и тогда -10 < (π/2)-2π < - sqrt(3)-верно
0 < (π/2)+πn < sqrt(3) ⇒ n=0 и тогда 0 < (π/2) < sqrt(3) - верно

2≤ (π/2)+πn < sqrt(21) ⇒ нет таких n

О т в е т. (π/2)-2π ; (π/2)

Ответ выбран лучшим

6^(x^2–x–1)·7^(x–2) ≥ 6

Делим на 6

6^(x^2–x–2)·7^(x–2) ≥1

x^2-x-2=(x+1)(x-2)

6^((x+1)(x-2))·7^(x–2) ≥1

(6^(x+1))^(x-2)·7^(x–2) ≥1

(6^(x+1)*7)^(x-2) ≥ 1

Если 6^(x+1)*7 > 1 функция возрастает, и тогда

x-2 ≥ 0

Если 6^(x+1)*7 < 1 функция убывает, и тогда

x-2 ≤ 0

Две системы:
{6^(x+1)*7 > 1 ⇒ 6^(x+1)>1/7 ⇒ x+1 > log_(6)(1/7) ⇒ x>-1+log_(6)1/7
{x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
⇒ x ≥ 2
или
{6^(x+1)*7 < 1 ⇒ 6^(x+1)<1/7 ⇒ x+1 < log_(6)(1/7) ⇒ x<-1+log_(6)1/7
{x-2 ≤ 0 ⇒ x ≤ 2

⇒ x<-1+log_(6)1/7=log_(6)(1/6)+log_(6)(1/7)=log_(6)(1/42)

О т в е т. (- ∞ ;log_(6)(1/42)) U [2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

2*(-3)+15=(-3)^2- верно, так как 9=9 - верно

n=6*6*6=216

Меньше семи:
(1;1;1)
(1;1;2); (1;2;1);(2;1;1)
(1;2;2); (2;2;1);(2;1;2)
(2;2;2)

m=216-8=208

p=m/n=208/216

Ответ выбран лучшим

1.

Вероятность вынуть первую стандартную деталь равна 14/15

Теперь в партии 14 деталей и 13 стандартных

Вероятность вынуть вторую стандартную деталь равна 13/14

Вынуть обе детали И первую и вторую по правилу умножения:

p=(14/15)*(13/14)=13/15
или

n=C^(2)_(15)=(15!)/((15-2)!*2!)=14*15/2=105
m=C^(2)_(14)=(14!)/((14-2)!*2!)=13*14/2=91

p=m/n=91/105=13/15

2.
События:
А_(1) - "сдаст первый экзамен",
vector{A_(1)} - "не сдаст первый экзамен".
p(A_(1))=0,8; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,8=0,2

А_(2) -"сдаст второй экзамен",
vector{A_(2)} " не сдаст второй экзамен",.
p(A_(2))=0,5; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,5=0,5

А_(3)-"сдаст третий экзамен",
vector{A_(3)} -" не сдаст третий экзамен",
p(A_(3))=0,7; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,7=0,3

Cобытие А - "сдаст хотя бы один экзамен"

Событие vector{А}- " не сдаст ни одного попадания"

vector{А}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{А})=0,2*0,5*0,3 =0,03

p(А)=1-p( vector{А})=1-0,03 =0,97

3.
События:
А_(1) первый стрелок попал, vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,65; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,65=0,35

А_(2) второй стрелок попал,vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,85; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,85=0,15

А_(3) третий стрелок попал, vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,75; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,75=0,25

1)
Cобытие А - "хотя бы одно попадание"

Событие vector{А}- "ни одного попадания"

vector{А}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{А})=0,35*0,15*0,25 =0,013125

p(А)=1-p( vector{А})=1-0,013125=...

2)

Cобытие В - "только два попадания"

В=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}+A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)+vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)

p(B)=0,65*0,85*0,25+0,65*0,15*0,75+0,35*0,15*0,75=

3)

Событие C - " все три стрелка попали в цель"

С=A_(1)*A_(2)*A_(3)

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

р(С)=0,65*0,85*0,75=

Ответ выбран лучшим

1) Формула ∫ e^(u)du=e^(u)

u=2x;

du=2dx

dx=(1/2)du=(1/2)d(2x)

=(1/2)e^(2x)|^(3)_(0)=(1/2)*(e^(6)-e^(0))=(1/2)*(e^(6)-1)

2)= (1/3) arctg(x/3)|^(3)_(0)=(1/3)(arctg1-arctg0)=(1/3)*((π/4)-0)=π/12

3)=((x^3/3)-2*(x^2/2)+3x)|^(2)_(1)=

=((2^3/3)-2*(2^2/2)+3*2)-((1^3/3)-2*(1^2/2)+3*1)=7/3

∂z/∂x=z`_(x)=[m]e^{\frac{x+y}{y}}\cdot (\frac{x+y}{y})`_{x}=e^{\frac{x+y}{y}}\cdot (\frac{x}{y}+1)`_{x}=e^{\frac{x+y}{y}}\cdot\frac{1}{y}[/m]

∂z/∂y=z`_(y)=[m]e^{\frac{x+y}{y}}\cdot (\frac{x+y}{y})`_{y}=e^{\frac{x+y}{y}}\cdot (\frac{x}{y}+1)`_{y}=e^{\frac{x+y}{y}}\cdot(-\frac{x}{y^2})[/m]

∂y/∂x=y`_(x)=[m]4cos^3x\cdot (cosx)`=-4cos^3x\cdot sinx[/m]

и подставляем в формулу ( см. приложение)

(прикреплено изображение)

1.
В основании квадрат.
диагональ квадрата по теореме Пифагора

d=6sqrt(2)

Диагональное сечение - равносторонний треугольник, высота этого треугольника

H=6sqrt(2)*sqrt(3)/2=[b]3sqrt(6)[/b]

V=(1/3)*S_(квадрата)*Н=(1/3)*6^2*[b]3sqrt(6)[/b]=36sqrt(6)

2.
ОК^2=15^2-12^2=81

ОК=9

АВ=18

V=(1/3)*S_(квадрата)*Н=(1/3)*AB^2*H=(1/3)*18^2*12=1296

3.
R=16sqrt(3)*sqrt(3)/3=16

r=8

H^2=h^2-r^2=17^2-8^2=225

H=15

V=(1/3)S_( Δ)*H=(1/3)*(16sqrt(3))^2(sqrt(3)/4)*15
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3)
ОДЗ: [red]x>0[/red]

[i]Замена переменной:[/i]

log_(3)x=t

3t^2+2t-5 ≥ 0
D=2^2-4*3*(-5)=4+60=64

t_(1)=-5/3; t_(2)=1

t ≤ -5/3 или t ≥ 1

Обратный переход:

log_(3)x≤ -5/3 или log_(3)x ≥ 1

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая

[red]0 <[/red] x ≤ 3^(-5/3) или x ≥ 3

2)
ОДЗ: [red]x>0[/red]
lnx*(lnx+1) ≤ 0

-1 ≤ lnx ≤ 0

-1*lne ≤ lnx ≤ ln1

lne^(-1) ≤ lnx ≤ ln1 Логарифмическая функция с основанием e возрастающая
⇒ [b]e^(-1) ≤ x ≤ 1[/b]

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+k–12=0

D=1-4*(-12)=1+48=49

k_(1)=-4; k_(2)=3– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(-4x)+C_(2)·e^(3x)

Частное решение:

y(0)=1

Подставляем:
1=С_(1)*e^(0)+C_(2)·e^(0) ⇒ 1=С_(1)+C_(2)

y`=(С_(1)*e^(-4x)+C_(2)·e^(3x))`

y`=С_(1)*(e^(-4x))`+C_(2)·(e^(3x))`

y`=С_(1)*e^(-4x)*(-4x)`+C_(2)·e^(3x)*(3x)`

y`=-4С_(1)*e^(-4x)+3C_(2)·e^(3x)

y`(0)=1

1=-4С_(1)+3C_(2)

Из системы:
{1=С_(1)+C_(2) умножаем на 4
{1=-4С_(1)+3C_(2)

{4=4С_(1)+4C_(2)
{1=-4С_(1)+3C_(2)

Складываем:

5=7С_(2) ⇒ С_(2)=7/5=1,4
С_(1)=1-С_(2)=1-1,4=-0,4

y_(част.)=-0,4*e^(-4x)+1,4·e^(3x)

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2–1=0

k_(1)=1; k_(2)=1– корни действительные [red]кратные[/red]

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)

частное решение неоднородного
y_(част)=Asinx+Bcosx

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=Acosx–Bsinx

y``_(част)=-Asinx–Bcosx

Подставляем в данное уравнение:

-Asinx–Bcosx-Asinx-Bcosx=2sinx–4cosx

Приравниваем

-2А*sinx-2B*cosx=2sinx–4cosx

-2А=2
-2В=-4

А=-1
В=2

О т в е т. y=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)-sinx+2cosx

1.
cм. рис. 1
y^2=9x ⇒ y=3sqrt(x) - верхняя ветвь.

S= ∫ ^(1)_(0)(3sqrt(x)-3x)dx=[m](3\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-3\cdot \frac{x^2}{2})[/m]|^(1)_(0)=2-1,5=0,5

2.
cм. рис.2

S= ∫ ^(4)_(1)(6/x)dx=(6ln|x|)|^(4)_(1)=6ln4-8ln1=6ln2^2=12ln2

3.
V_(Ох)=π ∫ ^(2)_(-2)((x-2)^2-4(x+2))dx=π ∫ ^(2)_(-2)(x^2-8x-4)dx=

=π*([m]\frac{x^3}{3}-4x^2-4x)[/m]|^(2)_(-2)=π*([m]\frac{16^3}{3}-16)[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5.
a).
Мастер за 3 часа, ученик за 3*2=6 часов делают каждый 72 ученических места

Мастер за час делает 72:3=24 ученических места
Ученик за час делает 72:6=12 ученических мест

24+12=36 ученических места за час изготовят вместе за час

144:36=4 часа

О т в е т. за 4 часа

б).
750:15=50 км в час скорость автобуса
750:10=75 км в час скорость автотуриста

75+50=125 км в час скорость сближения

750:125=6 часов

О т в е т. Если поедут навстречу друг другу, то встретятся через 6 часов

4
a)
S=5*4+3*1=23
б)
S=7*3+11*2=21+22=43 (прикреплено изображение)

Каноническое уравнение эллипса:
[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

a^2=13^2=169
Находим b:
b^2=a^2-c^2=169-121=48

[m]\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{48}=1[/m]

найти уравнения директрис
( см. приложение)

[m]d=\pm\frac{169}{11}[/m]

(прикреплено изображение)

p=0,02
n=200

np=4

npq=0,98*4=3,92

sqrt(npq)=sqrt(3,92) ≈ 1,98

Интегральная формула Лапласа ( cм приложение 1):

P_(200)(4 ≤ х ≤ 10)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(10-4)/sqrt(3,92)=6/1,98=3,03
x_(1)=(4-4)/sqrt(3,92)=0

Ф(x_(2))=Ф(3,03)=0,49865 ( cм таблицу 2)
Ф(x_(1))=Ф(0)=0
О т в е т.P_(200) (4 ≤ x ≤ 10)=0,49865 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Фалеса
11:5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(20x-19)`*cosx+(20x-19)*(cosx)`-20*(sinx)`+(19)`

y`=20*cosx+(20x-19)*(-sinx)-20*cosx+0

y`=-(20x-19)*sinx

y`=0

20x-19=0 или sinx=0 ⇒ [b]x=πk, k ∈ Z[/b]

x=19/20

Когда так небрежно публикуют условие задачи получают не простую задачу, а трудную

Обычно в таких задачах есть отрезок. Вы его не написали. Лень?
Или решили с`оригинальничать?

Без отрезка нет ответа на вопрос

Потому как
y(19/20)=0*cos(19/20)-20sin(19/20)+19=19-20сos(19/20)

y(2πn)=(20*2πn-19)*cos(2πn)-20sin(2πn)+19=(20*2πn-19)*1-0+19

=40[b]πn[/b]

Значение зависит от n

И потому что n может быть очень велико,
значит и максимум тоже может быть очень большим...

Ответ выбран лучшим

y=2x

2x+10*(2x)=28

2x+20x=28

22x=28

x=28/22

x=14/11

y=28/11

О т в е т. (14/11; 28/11)

Ответ выбран лучшим

Приведения, когда есть (π/2) или π
или кратные им углы, т.е

(3π/2) или 2π

(5π/2) или 3π

и т. д

Ответ выбран лучшим

Полярные координаты

x=rcos φ ; y=r*sin φ
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ φ ≤ (π/2)

= ∫ ^(1)_(0)dr ∫ ^(π/2)_(0)(2rcos φ+r^2sin^3 φ )d φ =

=2 ∫ ^(1)_(0)rdr ∫ ^(π/2)_(0)(cos φ)d φ + ∫ ^(1)_(0)r^3dr ∫ ^(π/2)_(0)(sin^3 φ )d φ =

=2 ∫ ^(1)_(0)rdr ∫ ^(π/2)_(0)(cos φ)d φ + ∫ ^(1)_(0)r^3dr ∫ ^(π/2)_(0)(sin^2 φ )*sin φ d φ

=2 ∫ ^(1)_(0)rdr ∫ ^(π/2)_(0)(cos φ)d φ + ∫ ^(1)_(0)r^3dr ∫ ^(π/2)_(0)(1-cos^2 φ )*sin φ d φ

1.
V_(1)=185*185*37

V_(2)=185*37*37

V_(1): V_(2)=185:37

2.
V=a*b*c

0,18=0,8*0,375*c

c=0,18:(0,8*0,375)=

3.
V=9,3*6,3*3,5=...

Чтобы найти ответ V делим на 6

4.
AC^2=4^2+4^2=32

AC=4sqrt(2)

AO=AC/2=2sqrt(2)

MO^2=MA^2-AO^2=6^2-(2sqrt(2))^2=36-8=28

MO=[blue]4sqrt(7)[/blue]

MO=H_(пирамиды)

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H=(1/3)*S_(квадрата)*Н=

=(1/3)*4^2*([blue]4*sqrt(7)[/blue])=[b]64sqrt(7)/3[/b]

Ответ выбран лучшим

r^2=R^2-d^2=25^2-20^2=625-400=225

S_(сечения)=π*r^2=[b]π*225[/b] (прикреплено изображение)

1.
a+12=23k- кратно 23
b-11=23m- кратно 23

(a+12)-(b-11)=23k-23m=23*(k-m) - кратно 23

2.
n=9k+4 - так можно записать числа, дающие при делении на 9 остаток 4

5n=5*(9k+4)=5*9k+5*4=5*9k+18 + 2 =9*(5k+2) + 2 = 9*m+2 - -

так записывают числа, дающие при делении остаток 2.

О т в е т. 2

3.

Число делится на 36, значит оно делится на 4 и на 9
На 4 оно делится если две последние цифры делятся на 4
Значит, вместо *
0;2; 3;4;6;8;

Кроме того, число должно делиться на 9, значит сумма цифр должна
делиться на 9

8+3+1+(#)+4=16+(#)

Значит, (#) может быть 2

16+2=18

О т в е т. 83 124

4.
x^2-3y=29 ⇒ x^2-29=3y

Cправа 3y - кратно 3,
значит и x^2-29 должно быть кратно 3

x^2>29

x=6

36-29=7 не кратно 3

x=7

49-29 =10 не кратно 3

х=8

64-29=35 не кратно 3

...

перебирайте...

5.

5^2=25
25:6=4 ( ост 1)

5^3=125
125:6=2 ( ост 5)

...

находим закономерность...

6.

18^(n)-1=p; p- простое ⇒ 18^(n)=p+1

18^(1)=18; ⇒ p=17

других нет. Формула (a^(n)-b^(n))=(a-b)*(a^(n-1)+...+b^(n-1))

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{2x^2-4x-21}{x-3}+x^2-7+x ≥ 0[/m]

[m]\frac{2x^2-4x-21+(x-3)\cdot(x^2+x-7)}{x-3} ≥ 0[/m]

[m]\frac{2x^2-4x-21+x^3+x^2-7x-3x^2-3x+21}{x-3} ≥ 0[/m]

[m]\frac{x^3-14x}{x-3} ≥ 0[/m]

Применяем метод интервалов:

[i]находим нули числителя:[/i]

x^3-14x=0
x*(x-sqrt(14))*(x+sqrt(14))=0

x=0; x=-sqrt(14); x=sqrt(14)

Отмечаем на числовой прямой закрашенным кружком ( я рисую квад. скобки)

[i]находим нули знаменателя:[/i]

x-3=0

x=3

Отмечаем на числовой прямой незакрашенным кружком ( я рисую круглые скобки)

____ [-sqrt(14)] _____ [0]_____ (3) __ [sqrt(14)] ____

Расставляем знаки:

При x=100 (100^3-14*100)/(100-3)>0; ставим + справа

____ [-sqrt(14)] _____ [0]_____ (3) __ [sqrt(14)] __[red]+[/red]__

Далее знаки чередуем справа налево:

__[red]+[/red]__ [-sqrt(14)] __-__ [0]___[red]+[/red]__ (3) _-_ [sqrt(14)] __[red]+[/red]__

О т в е т. (- ∞ ; - sqrt(14)] U [0;3) U [sqrt(14);+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

-0,19*(-0,78-0,22)=-0,19*(-1)=0,19

3,6*(1/2)=1,8

1,8:(-0,018)=1800:(-18)=-100

0,19: (-100)=-0,0019

-14*|x|=-2-4,5

-14*|x|=-6,5

|x|=(-6,5):(-14)

|x|=13/28

x= ± 13/28

711z-16=58:58

711z-16=1

711z=17

z=17/711

1-0,8=[b]0,2[/b] - точно не в Беларуси, только в России.
1-0,6=0,4 - точно не в России, только в Беларуси

[b]0,2[/b]+0,4=0,6 - только в России или только в Беларуси

Ответ выбран лучшим

{x=5+2y
{2*(5+2y)-3y=-2 ⇒ 10+4y-3y=-2 ⇒ y=12; x=5+2*12=29

R=asqrt(3)/3; r=asqrt(3)/6 ⇒ r=R/2=[b]2[/b]

a=[b]4sqrt(3)[/b]

H=2

h^2=H^2+r^2=2^2+2^2=8

a)
h(апофема)=[b]2sqrt(2)[/b]

б)

S_(бок)=P*h/2=3a*h/2=3*4sqrt(3)*2sqrt(2)/2=[b]12sqrt(6)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=36 (cм. таблицу 1)

m=6 (cм. таблицу 2)

p=m/n=6/36=1/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=7k+3

n^2+2n=(7k+3)^2+2*(7k+3)=(7k)^2+2*(7k)*3+[b]9[/b]+2*(7k)+[b]6[/b]=

=7k*(7k+8)+[b]15[/b]=

=7k*(7k+8)+14+[red]1[/red]

Остаток 1, все остальные слагаемы кратны 7

y`=44sqrt(3)*(-sinx)+22sqrt(3)

y`=0

44sqrt(3)*(-sinx)+22sqrt(3)=0

sinx=1/2

Решаем уравнение на [0;π/2]

x=π/6

[i]Находим знак производной:[/i]

y`=22sqrt(3)*(1-2sinx)

[b]y`>0[/b] ⇒ 1-2sinx>0 ⇒ sinx < 1/2 ⇒ решаем на [0;π/2]

[b]0 < x <π/6[/b]

[b]y` < 0 [/b]⇒ 1-2sinx < 0 ⇒ sinx>1/2 ⇒

[b] (π/6) < x < (π/2)[/b]

x=π/6 - точка [b]максимума[/b], производная меняет знак с [b]+[/b] на [b]-[/b]

Так как х=(π/6) - [i] единственная точка [/i]экстремума на отрезке [0;π/2]

то в этой точке функция принимает [i]наибольшее значение[/i]
y([b]π/6[/b])=44sqrt(3)* cos(π/6)+ [b]22sqrt(3)*(π/6)- 11sqrt(3)π*/3[/b]+19

y([b]π/6[/b])=66+19=[b]85[/b]

vector{abc}; vector{acb};vector{bac};vector{bca};vector{cab};vector{cba}
сумма цифр 6a+6b+6c=6*(a+b+c) - кратна 3 и 2

Дано, что сумма цифр равна 33

Значит, не все 6 чисел можно написать. Т.е. цифры повторяются.

Нечётная цифра встречается нечётное число раз

Например, так:

443
434
344

Cумма цифр 6*4+3*3=24+9=33

Наибольшее 443

p(A)=0,1 - вероятность брака с дефектом А
p(B)=0,12 - вероятность брака с дефектом B

p(C)=1-0,87=0,13 - вероятность того, что изделие бракованное

C=AUB

p(C)=p(A)+p(B)-p(A ∩ B) ⇒p(A ∩ B)= p(A)+p(B)-p(C)=0,1+0,12-0,13=...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

X=0, 1. 2

Х=0- нет нестандартных деталей
p_(0)=(8/12)*(7/11)=14/33

Х=1- одна нестандартная деталей
p_(1)=(4/12)*(8/11)+(8/12)*(4/11)=16/33

Х=2 - две нестандартные
р_(2)=(4/12)*(3/11)=1/11

закон распределения числа нестандартных деталей среди
отобранных - таблица.

В первой строке значения:

0; 1: 2

Во второй - вероятности

Ответ выбран лучшим

p=0,3*0,1*0,8=0,024

Ответ выбран лучшим

Центральный угол AOD равен 54°.
Значит
∪ AD=54 °

∪ BD=180 ° ⇒ ∪ AB=180 ° -54 ° =126 ° ⇒ ∠ ACB=(1/2) ∪ AB=[b]63 ° [/b]

[m]F(X)=\left\{\begin{matrix} 0; x \leq -7\\ 0,2; -7<x\leq -3\\ 0,35;-3<x\leq 1\\0,55; 1<x\leq 3 \\ 0,75;3 < x\leq 12\\0,9; 12<x\leq 23\\1,x > 23 \end{matrix}\right.[/m]

График - ступенчатая линия.

На каждом интервале отрезок, параллельный оси Ох

По определению
M(X)=-7*0,2+(-3)*0,15+1*0,2+3*0,2+12*0,15+23*0,1=.[red]?[/red]..

D(X)=M(X^2) - (M(X))^2;

M(X^2)=(-7)^2*0,2+(-3)^2*0,15+1^2*0,2+3^2*0,2+12^2*0,15+23^2*0,1=...

σ(X)=sqrt(D(X))

Отклонение:

| X- M(X)|=

считать для каждого значения Х из таблицы
|-7 - [red]?[/red]|=
|-3 - [red]?[/red]|=
|1 - [red]?[/red]|=
|3 - [red]?[/red]|=
|12 - [red]?[/red]|=
|23 - [red]?[/red]|=

Ответ выбран лучшим

События:
А_(1) - "сдаст первый экзамен",
vector{A_(1)} - "не сдаст первый экзамен".
p(A_(1))=0,5; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,5=0,5

А_(2) -"сдаст второй экзамен",
vector{A_(2)} " не сдаст второй экзамен",.
p(A_(2))=0,7; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,7=0,3

А_(3)-"сдаст третий экзамен",
vector{A_(3)} -" не сдаст третий экзамен",
p(A_(3))=0,8; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,8=0,2

Cобытие А - "сдаст хотя бы один экзамен"

Событие vector{А}- " не сдаст ни одного попадания"

vector{А}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{А})=0,5*0,3*0,2 =

p(А)=1-p( vector{А})=1-0,5*0,3*0,2 =...

События:
А_(1) первый стрелок попал, vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,85; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,85=0,15

А_(2) второй стрелок попал,vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,65; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,65=0,35

А_(3) третий стрелок попал, vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,75; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,75=0,25

1)
Cобытие А - "хотя бы одно попадание"

Событие vector{А}- "ни одного попадания"

vector{А}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{А})=0,15*0,35*0,25 =0,013125

p(А)=1-p( vector{А})=1-0,013125=...

2)

Cобытие В - "только два попадания"

В=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}+A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)+vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)

p(B)=0,85*0,65*0,25+0,85*0,35*0,75+0,15*0,65*0,75=

3)

Событие C - " все три стрелка попали в цель"

С=A_(1)*A_(2)*A_(3)

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

р(С)=0,85*0,65*0,75

Что значит долг в июле 2021 равен S. Значит в феврале - июне выплачены только проценты, начисленные в январе.
...

Что значит долг в июле 2023 равен 0,8*S. Значит в феврале - июне выплачены проценты, начисленные в январе и часть самого кредита, а именно 0,2*S

...

2021 год
янв
начислено 0,07*S выплачено 0,07*S остаток долга в июле S

2022 год
янв
начислено 0,07*S выплачено 0,07*S остаток долга в июлеS

2023 год
янв
начислено 0,07*S выплачено 0,07*S+0,2S остаток в июле 0,8S

2024 год
янв
начислено 0,07*(0,8S) выплачено 0,056*S+0,2S остаток 0,6*S

2025 год
янв
начислено 0,07*(0,6S) выплачено 0,042*S+0,2S остаток 0,4*S

2026 год
янв
начислено 0,07*(0,4S) выплачено 0,028*S+0,4S остаток 0

Выплаты в среднем столбце:

0,07*S + 0,07*S 0,07*S+0,2S +0,056*S+

+0,2S+0,042*S+0,2S+0,028*S+0,4S=360720

1, 336 * S=360720

[red]S=270 000[/red]

sinх=√3/2 ⇒ х=(-1)^(k) (π/3)+πk ,k ∈ Z

k=2n
получаем первую серию
х= (π/3)+2πn ,n ∈ Z

k=2n+1
получаем первую серию
х= (2π/3)+2πn ,n ∈ Z

О т в е т . (-1)^(k) (π/3)+πk ,k ∈ Z или

два ответа пишем
(π/3)+2πn ,n ∈ Z (2π/3)+2πn ,n ∈ Z

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=49919

ОДЗ:
{cosx ≠ 0 ( потому что он в знаменателе tgx и тогда tgx не сущ)

{65cos^2x+56cosx=0
{56tgx-33 ≠ 0

65cos^2x+56cosx=0

cosx*(65cosx+56)=0

cosx=0 или 65 cosx-56=0 ⇒

cosx=-56/65

x= ± arccos(-56/65)+2πn, n ∈ Z

Но tgx ≠ 33/56 ⇒

Если cosx=-56/65, то sin^2x=1-cos^2x

sin^2x=1- ([m]-\frac{56}{65}[/m])^2=[m]\frac{65^2-56^2}{65^2}[/m]

cosx < 0; tgx >0 ⇒ sinx <0

sinx=-[m]\frac {33}{65}[/m] ⇒ tgx =[m]\frac {33}{56}[/m]

т. е корни из третьей четверти не входят в ответ

Значит, в ответ входит

х= arccos(-56/65)+2πn, n ∈ Z

x=π-arccos(56/65)+2πn, n ∈ Z

б) π- arccos(56/65)-12π=-11π-arccos(56/65) - корень, принадлежащий указанному промежутку.

-25π/2 < -11π-arccos(56/65) < - 11π

---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

События:
А_(1) -"первая камера включена"
А_(2) -"вторая камера включена"
А_(3) -"третья камера включена"

p(A_(1))=p(А_(2))=p(А_(3))=0,6

3)

Событие А- " все три камеры включены"

A=A_(1)*A_(2)*A_(3)

Cобытия независимы

p(А)=0,6*0,6*0,6=[b] 0,216[/b]

2)

События:
vector{A_(1)} - "первая камера не включена"
p(A_(1))=0,6; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,6=0,4

vector{A_(2)} - "вторая камера не включена"
p(A_(2))=0,6; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,6=0,4

vector{A_(3)} -"третья камера не включена"
.p(A_(3))=0,6; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,6=0,4

Событие В- " включена только одна камера"

B=A_(1) *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}+vector{A_(1)} *A_(2) *vector{A_(3)}+vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *A_(3)

p(B)=0,6*0,4*0,4+0,4*0,6*0,4+0,4*0,4*0,6=3*0,6*0,4*0,4=[b]0,288[/b]

1)
Событие С- " включена хотя бы одна камера"

Событие vector{С}- "ни одна камера не включена"

vector{С}=vector{A_(1)} *vector{A_(2)} *vector{A_(3)}

p( vector{С})=0,4*0,4*0,4 =0,064

p(C)=1-p( vector{С})=1-0,064=[b]0,936[/b]

[m]\frac{x^2-vx-x}{u}[/m] нет ответа на вопрос

Сумма [red]острых[/red] углов прямоугольного треугольника равна 90 °

На рисунке три прямоугольных треугольника. Данный треугольник и два маленьких внутри него. Высота перпендикулярна гипотенузе

1. Угол с меньшим катетом равен 79°.

2. Угол с большим катетом равен 11°.
(прикреплено изображение)

n=36 ( cм рис 1) 36 пар
m=35 ( см. рис.2) 35 пар удовлетворяет условию задачи

p=m/n=35/36=... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Менее двух
Значит 0 или 1

P_(10)(0)=C^(0)_(10)0,25^(0)*(0,75)^(10)=0,75^(10)
P_(10)(1)=C^(1)_(10)0,25^(1)*(0,75)^(9)=10*0,25^(1)*(0,75)^(9)

p=P_(10)(0)+P_(10) (1)=(0,75)^(9)*(10*0,25+0,75)=...

P(A ∪ B)=p(A)+p(B)-p(A ∩ B)=0,2+0,8-0,2*0,8
События A и B независимы ⇒ p(A ∩ B)=p(A)*p(B)

p((A ∪ B)(A ∪ B))=(1-0,16)*(1-0,16)=

Ответ выбран лучшим

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos ∠ (vector{a},vector{b})=

=1*2*0,4=[b]0,8[/b]

Ответ выбран лучшим

[red]Ненулевые[/red] векторы перпендикулярны ⇔ скалярное произведение равно 0

Находим скалярное произведение ( см. рис.)
vector{a}*vectpr{c}=n*2+n*n+1*(-8)=2n+n^2-8

n^2+2n-8=0

D=4+32=36

n=(-2 ± 6)/2

n=-4; n=2

О т в е т. -4;2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
[blue]Замена переменной[/blue]

x^2+2x-3=t

x^2+2x+1=t+4

t*(t+4) ≤ 5

t^2+4t-5 ≤ 0

D=16+20=36

t_(1)=-5; t_(2)=1

___ [-5] __[green]-[/green]___ [1] ____

-5 ≤ t ≤ 1

-5 ≤ x^2+2x-3 ≤ 1

{x^2+2x-3 ≤ 1
{x^2+2x-3 ≥ -5

{x^2+2x-4≤ 0 ⇒ D=20 ⇒ -1 - sqrt(5) ≤ x ≤ -1 + sqrt(5)
{x^2+2x+2 ≥ 0 ⇒ D=4-4*2<0 неравенство верно при любом х

О т в е т. [ -1 - sqrt(5) ;-1 + sqrt(5)]

2.

5^(x+1)=5^(x)*5
[blue]Замена переменной[/blue]

5^(x)=t

t >0

5^(-x)=1/t

5t +([b]3[/b]/t) ≤ 16

Умножаем на t ≥ 0

5t^2-16t+[b]3[/b] ≤ 0

D=(-16)^2-4*5*3=256-60=196

t_(1)=(16-14)/10=1/5; t_(2)=(16+14)/10=3

Решение неравенства:

(1/5) ≤ 5^(x) ≤ 3

5^(-1) ≤ 5^(x) ≤ log_(5)3

О т в е т. [1/5; log_(5)3]

х_(2)=-1

p_(1)=0,2-0=0,2
p_(2)=0,46-0,2=0,26
p_(3)=0,9-0,46=0,44
p_(4)=1-0,9=1

P(-1,5 ≤ x ≤ 1)=F(1)-F(-1,5)=0,46-0,2=0,26 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=p_(1)q_(2)*q_(3)+q_(1)*q_(2)*p_(3)=

=0,4*(1-0,5)*(1-0,7)+(1-0,4)*(1-0,5)*0,7=... считайте...

Ответ выбран лучшим

C \ D={1,3}
B \ (C \ D)={7,23}

A \ (B \ (C \ D))={1, 3, 137}

Ответ выбран лучшим

C ∩ A={1,3}

C ∩ D={0,23}

A∪(C ∩ D)={0,1, 3, 7, 23,137}

(A∪(C ∩ D))∩ B={3, 7, 23}

(C ∩ A)∪((A∪(C ∩ D))∩ B)={1,3, 7, 23}

Ответ выбран лучшим

B∪ D={0, 3, 7, 23, 2004}

A \ (B∪ D)={1,137}

(A \ (B∪ D)) \ C={137}

:((A \ (B∪ D)) \ C)∪ B={3, 7, 23, 137},

Ответ выбран лучшим

B∩C={7,23}

A∪(B∩C)={1, 3, 7, 23, 137}

(A∪(B∩C))∩ D={7,23}

Ответ выбран лучшим

(A∪ B)={1, 3, 7,23,137}

(C∩ D)={0,23}

(A∪ B) \ (C∩ D)={1,3,7,137}

Ответ выбран лучшим

3) (A∩ B)∪ D={0, 3, 7, 23, 2004}

A∩ B= {3, 7}

(A∩ B)∪ D={0, 3 ,7, 23,2004} берем все D и добавляем от A∩ B

элемент 3

4) C ∩(D ∩ B)={23}

D ∩ B= {7;23}

C ∩ {7;23}={23}

Ответ выбран лучшим

Найдите множества:1) A∪ B={1, 3, 7,23,137}
от А берем все,
потом добавляем от В то, что не брали

2) A∩ B= {3, 7} - то общее, что есть и в А и в В

Ответ выбран лучшим

∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx=1

∫ ^(4)_(- ∞ )[b]0[/b]dx+ ∫^(5)_(4)cdx+ ∫ ^(6)_(5)cxdx+ ∫ ^(+ ∞ )_(6)[b]0[/b]dx=1

c*x|^(5)_(4)+c*(x^2/2)|^(6)_(5)=1

с*(5-4)+с(18-12,5)=1

6,5с=1

с=2/13

График такой:

на (- ∞; 4) y=0 красного цвета, справа "дырка"

на [4;5) y=2/13 зеленая,

на [5;6] y=(2/13)x сиреневая

на (6;+ ∞ ) y=0 красного цвета

P( ξ <5)= ∫ ^(5)_(- ∞ )f(x)dx= ∫ ^(5)_(4)(2/13)dx=(2/13)*(5-4)=2/13

'это площадь под графиком y=2/13
А там прямоугольник.

Функция распределения - первообразная от f(x) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

m=-5; -1 и -1<m ≤ 2,5

О т в е т. {-5}U[-1;2,5] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{2a}+vector{b}=(2*3+(-1);2*(-1)+(-2);2*(-2)+3)=(5;-4;-1)
vector{a}-vector{b}=(3-(-1);-1-(-2);-2-3)=(4;1;-5)

(vector{2a}+vector{b})*(vector{a}-vector{b})=5*4+(-4)*1+(-1)*(-5)=

=20-4+5=21

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(0-(-1);1-(-1);0-2)=(1;2;-2)
vector{AC}=(2-(-1);2-(-1);-2-2)=(3;3;-4)

|vector{AB}|=sqrt(1^2+2^2+(-2)^2)=sqrt(9)=3
|vector{AC}|=sqrt(3^2+3^2+(-4)^2)=sqrt(34)

Находим скалярное произведение

vector{AB}*vector{AC}=1*3+2*3+(-2)*(-4)=17

cos ∠ (vector{AB},vector{AC})=vector{AB}*vector{AC}/(|vector{AB}|*|vector{AC}|=

=17/(3*sqrt(34))

Ответ выбран лучшим

1.
ОДЗ: x>0; y>0

Заменяем 3=log_(2)8
и переносим log_(2)y вправо, чтобы не связываться с логарифмом частного:
{log_(2)x=log_(2)8+log_(2)y ⇒ log_(2)x=log_(2)8y ⇒ x=8y
{4y^2+x-5=0

Способ подстановки:
{x=8y
{4y^2+8y-5=0 ⇒ D=64+80=144; y_(1)=-5/2; y_(2)=1/2

x_(1)=-20; x_(2)=4

С учетом ОДЗ:

О т в е т. (4; 1/2)

2.

ОДЗ: x>0; y>0

Переносим lny вправо, чтобы не связываться с логарифмом частного:
{ln(x) =ln(y) +ln(3) ln(x) =ln(3y) ⇒ x=3y
{x–2y=2.

{ x=3y
{3y–2y=2

{x=3*2
{y=2

О т в е т. (6;2)

3.
ОДЗ:
x>0; y>0

{log_(2)(x+y) =4;
{log3_(x)+log_(3)y=log_(3)9+log_(3)7 ⇒ log_(3)xy=log_(3)9*7

{x+y=2^4
{xy=63

{y=16-x
{x*(16-x)=63 ⇒ x^2-16x+63=0 D=256-4*63=4

x_(1)=7; x_(2)=9

y_(1)=16-7=9; y_(2)=16-9=7

О т в е т. (7;9); (9;7)

Ответ выбран лучшим

Только координатный метод.
Вводим систему координат.
А(0;0;0)
B(0;1;0)
C(1;1;0)
D(1;0;0)
O(0,5;0,5;0)
P(0,5;0,5;sqrt(2)/2)

AC=sqrt(2); AO=OC=sqrt(2)/2
PO=sqrt(1-(sqrt(2)/2)^2)=sqrt(1-(1/2))=[b]sqrt(2)/2[/b]

M(1;0,5;0)
K-середина PC

K(0,75;0,75;sqrt(2)/4)

Находим координаты векторов
vector{PM}=
vector{DK}=

Находим их длины
|vector{PM}|=
|vector{DK}|=

Находим скалярное произведение векторов:

vector{PM}*vector{DK}=

тогда

сos ∠ (vector{PM},vector{DK})=(vector{PM}*vector{DK})/(|vector{PM}|*|vector{DK}|) (прикреплено изображение)

Возводим в квадрат:

x+5=(0,5x+1)^2

x+5=(0,5x)^2+2*0,5*x+1

0,25x^2=4

x^2=16

x= ± 4

Проверка

x=4

sqrt(4+5)=0,5*4+1 - верно, 3=3

х=-4

sqrt(-4+5)=0,5*(-4)+1 -неверно, 1 ≠ -1

О т в е т. -4

При возведении в квадрат могли приобрети посторонние корни.
поэтому либо находим ОДЗ, либо делаем проверку.

B(0;y;z)
vector{AB}=(0-(-6);y-0;z-2)=(6;y;z-2)

vector{AB} колінеарний vector{a}=(3;1;–2)

Значит их координаты пропорциональны:

[m]\frac{6}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-2}[/m]

[m]\frac{6}{3}=\frac{y}{1}[/m] ⇒ y=2

[m]\frac{6}{3}=\frac{z-2}{-2}[/m] ⇒ -12=3*(z-2); z=-2

Ответ выбран лучшим

vector{BA}=(0-(-1);3-1;-2-0)=(1;2;-2)

|vector{BA}|=sqrt(1^2+2^2+(-2)^2)=3

vector{b}=([m]\frac{1}{3};\frac{2}{3};-\frac{2}{3}[/m])

|vector{b}|=1

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{x+1}{x-1} ≥ 0[/m]

Метод интервалов.

Нуль числителя:

х=-1 ( закрашенный кружок на рисунке, я рисую квадратные скобки)

Нуль знаменателя:

х=1 ( незакрашенный кружок на рисунке, я рисую круглые скобки)

Знаки:

___+__ [-1] ___-___ (1) ___+__

О т в е т. (- ∞ ;-1] U(1;+ ∞ )

РS
Метод интервалов основан на том, что при переходе через нуль числителя, кривая меняет знак ( см. рис. 1), прямая y=x-1 меняет знак при переходе через точку х=1

при переходе через нуль знаменателя тоже ( как гипербола, например) (см. рис.2) (прикреплено изображение)

vector{A_(1)C}=vector{A_(1)A}+vector{AC}

vector{AC}=vector{AB}+vector{BC}=-vector{B_(1)A_(1)}-vector{C_(1)B_(1)}=-vector{a}-vector{c}

vector{A_(1)A}=-vector{DD_(1)}=-vector{b}

vector{A_(1)C}=-vector{a}-vector{b}-vector{c}

Ответ выбран лучшим

1)
[m]x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 2\cdot (-2)}}{2\cdot 2}[/m]

[m]x_{1}=\frac{-3-\sqrt{25}}{4}[/m];[m]x_{2}=\frac{-3+\sqrt{25}}{4}[/m]

[m]x_{1}=-2[/m];[m]x_{2}=\frac{1}{2}[/m]

2)
[m]x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 4\cdot (-12)}}{2\cdot 4}[/m]

[m]x_{1}=\frac{-2-\sqrt{196}}{8}[/m];[m]x_{2}=\frac{-2+\sqrt{196}}{8}[/m]

[m]x_{1}=-2[/m];[m]x_{2}=\frac{3}{2}[/m]

3)
[m]x_{1,2}=\frac{13\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot 2\cdot (-7)}}{2\cdot 2}[/m]

[m]x_{1}=\frac{13-\sqrt{225}}{4}[/m];[m]x_{2}=\frac{13+\sqrt{225}}{4}[/m]

[m]x_{1}=-\frac{1}{2}[/m];[m]x_{2}=7[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{[m]log_{3}x ≠ 0 ⇒ x ≠ 1[/m]
{[m]log_{3}\frac{x}{81} ≠ 0 ⇒ \frac{x}{81} ≠ 1⇒ x ≠ 81[/m]

[m]log^2_{3}x-log_{3}x^4 =log^2_{3}x-4log_{3}x[/m]

[i]Замена переменной[/i]:
[m]log_{3}x=t[/m]

[m]\frac{t}{t-4}+ \frac{3}{t}+\frac{8}{t^2-4t}\geq 0[/m]

[m]\frac{t}{t-4}+ \frac{3}{t}+\frac{8}{t(t-4)}\geq0[/m]

[m]\frac{t^2+3(t-4)+8}{t(t-4)}\geq 0[/m]

[m]\frac{t^2+3t-4}{t(t-4)}\geq 0[/m]

[m]\frac{(t-1)(t+4)}{t(t-4)}\geq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

___+__ [-4] ___-___ (0) _+__ [1] __-__ (4) ___+___

t ≤ -4 или 0 < t ≤ 1 или t > 4

Обратно:

[m]log_{3}x ≤ -4 [/m] или [m]0 < log_{3}x ≤ 1[/m] или [m]log_{3}x ≥ 4[/m]

[m]x ≤ \frac{1}{81} [/m] или [m]1 <x ≤ 3[/m] или [m]x>81 [/m]

C учетом ОДЗ:
О т в е т. (0;[m]\frac{1}{81} [/m]] U(1;3]U(81;+ ∞ )

ОДЗ:
[m](x-7\pi)(17\pi-x) ≥ 0 [/m]⇒[m] 7\pi ≤ x ≤ 17 \pi[/m]

[m]\begin{matrix} 4cos^2x-1=0 & ; \sqrt{(x-7\pi)(17\pi-x)}=0 & \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix} cosx=\pm\frac{1}{2} & ; x=7\pi; x=17\pi & \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix} x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z & ; x=7\pi; x=17\pi & \end{matrix}[/m]

Так как [m] 7\pi ≤ x ≤ 17 \pi[/m]

[m]x=\frac{\pi}{3}+\pi n, [/m] n=7, .... 16

или

[m]x=-\frac{\pi}{3}+\pi m, [/m] m=8, ... , 17

О т в е т.
[m]x=\frac{\pi}{3}+\pi n, [/m] n=7, .... 16
[m]x=-\frac{\pi}{3}+\pi m, [/m] m=8, ... , 17
[m]x=7 \pi;[/m]
[m] x=17 \pi [/m]

Указанному отрезку принадлежат корни:

21 <[m]7 \pi;[/m]<27

[m]\frac{\pi}{3}+7 \pi =\frac{22 \pi}{3}[/m]; [m]21 <\frac{22 \pi}{3}<27[/m]

[m]63 <22 \pi < 81[/m]

[m]-\frac{\pi}{3}+8 \pi =\frac{23 \pi}{3}[/m];[m]21 <\frac{23 \pi}{3}<27[/m]

[m]63 <23 \pi < 81[/m]

[m]\frac{\pi}{3}+8 \pi =\frac{25 \pi}{3}[/m];[m]21 <\frac{25 \pi}{3}<27[/m]

[m]63 <25 \pi < 81[/m]

По частям

u=arctgx
dv=dx

du=dx/(1+x^2)
v=x

=x*arctgx- ∫ xdx/(1+x^2)=x*arctgx-(1/2)* ∫ (2xdx)/(1+x^2)=

=x*arctgx-(1/2)ln|1+x^2|+C

Ответ выбран лучшим

По частям
u=x
dv=cos(x+4)dx

du=dx
v=sin(x+4)

=x*sin(x+4)- ∫ sin(x+4)dx=x*sin(x+4)+cos(x+4)+C

3,7*3-2,5*4+7,4*5=11,1-10+37=

По частям
u=x+9
dv=sinxdx

du=dx
v=-cosx

=-(x+9)*cosx- ∫ (-cosx)dx=

=-(x+9)*cosx+ ∫ cosxdx=

=-(x+9)*cosx+sinx+C

Ответ выбран лучшим

1.
О т в е т. Б

2.
О т в е т.А

3.

Δ MNK - равнобедренный, MK - основание ⇒ MN=NK

Δ M`N`K`- равнобедренный, M`N`=N`K`

∠ N= ∠ N`=100 °
∠ M`= ∠ K`=(180 ° -100 ° )/2=40 °

4.
x=-2
y=-4

5.
vector{CD}=(2-(-1);-5-(-3))=(3;-2)

vector{YZ}=(-1-(-4);4-6)=(3;-2)

vector{CD}=vector{YZ}

6.
см. рис.1

7.
Находим координаты точек пересечения прямой -3х+4у-12=0
С осью Ох:
y=0 ⇒ -3x-12=0; x=-4

C осью Оу:
х=0 ⇒ 4у-12=0; у=3

см. рис.2 (прикреплено изображение)

2. ∠ ВАО= ∠ BDO=90 °
AO=OD=R
OB- общая сторона ⇒ Δ АВО= Δ ADO

BO- биссектриса,
От в е т 24 °

4. Четырехугольник описан около окружности, то суммы противоположных сторон равны.
Сумма оснований = сумме боковых строн =15

3.
АМ=АК=6
BM=BP=4
AC=8 ⇒ CK=8-6=2
CK=CP=2

P=AC+CP+PB+MB+AM=8+2+4+4+6=

5.
a=2R=2*2,5=5
S_(квадрата)=5^2=25

События:
А_(1) первый стрелок попал
А_(2) второй стрелок попал
А_(3) третий стрелок попал

p(A_(1))=0,4
p(А_(2))=0,5
p(А_(3))=0,7

[b]Найти вероятность того, что попадут в цель все стрелки одновременно.[/b]
Событие

A=A_(1)*A_(2)*A_(3)- три стрелка попали в цель

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

p(А)=0,4*0,5*0,7= считаем сам-но

[b]Найти вероятность того, что будет только два попадания в цель.
[/b]

События:
vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,4; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,4=0,6

vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,5; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,5=0,5

vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,7; p(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,7=0,3

Событие

В=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}+A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)+vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)- только два попадания в цель

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

p(B)=0,4*0,5*0,3+0,4*0,5*0,7+0,6*0,5*0,7=

= считаем

[b]Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]4x^2+6x-13=(2x)^2+2\cdot (2x)\cdot \frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-13=[/m][m]=(2x+\frac{3}{2})^2-\frac{61}{4}[/m]

2x+1=t

d(2x+1)=dt

2dx=dt

dx=(1/2)dt

4x+2=2t

4x+8=2t+6

[m]=\frac{1}{2} \int \frac{2t+6}{t^2-\frac {61}{4}}dt=\frac{1}{2}ln|t^2-\frac{61}{4}|+3\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{61}{4}}}ln|\frac{t-\sqrt{\frac{61}{4}}}{t+\sqrt{\frac{61}{4}}}|+C=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|4x^2+6x-13|+3\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{\sqrt{61}}{2}}\cdot ln|\frac{t-\frac{\sqrt{61}}{2}}{t+\frac{\sqrt{61}}{2}}|+C=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|4x^2+6x-13|+\frac{3}{\sqrt{61}}\cdot ln|\frac{2t-\sqrt{61}}{2t+\sqrt{61}}|+C=[/m]

[m]=\frac{1}{2}ln|4x^2+6x-13|+\frac{3}{\sqrt{61}}ln|\frac{4x+2-\sqrt{61}}{4x+2+\sqrt{61}}|+C[/m]

Ответ выбран лучшим

d(cos4x)=(cos4x)`dx=(-sin4x)*4dx=-4sin4xdx

sin4xdx=(-1/4)d(cos4x)

∫ cos^34xsin4xdx=(-1/4) ∫ cos^34xd(cos4x)=

формула ∫ u^3du=u^4/4

=(-1/4)*(cos^44x)/4)+C=-(1/16)cos^34x+C

Ответ выбран лучшим

[m]\int\frac{x-3}{9\cdot (x^2+\frac{7}{9})}dx=\frac{1}{9}\cdot (\int\frac{x}{x^2+\frac{7}{9}}dx-\int\frac{3}{x^2+\frac{7}{9}}dx)=[/m]

формулы:[r] [m]\int\frac{du}{u}=ln|u|+C; \int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C[/m]; [/r]

[m]a^2=\frac{7}{9}[/m]

[m]=\frac{1}{9\cdot 2}\cdot\int\frac{2x}{x^2+\frac{7}{9}}dx-\frac{1}{9}\cdot 3\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{7}{9}}} arctg \frac{x}{\sqrt{\frac{7}{9}}}+C=[/m]

[m]=\frac{1}{18}\cdot ln |x^2+\frac{7}{9}|-\frac{1}{\sqrt{7}}arctg \frac{3x}{\sqrt{7}}+C[/m]

[m]\int\frac{2x+3}{5\cdot (x^2+\frac{2}{5})}dx=\frac{1}{5}\cdot (\int\frac{2x}{x^2+\frac{2}{5}}dx+\int\frac{3}{x^2+\frac{2}{5}}dx)=[/m]

формулы:[r] [m]\int\frac{du}{u}=ln|u|+C; \int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C[/m]; [/r]

[m]a^2=\frac{2}{5}[/m]

[m]=\frac{1}{5}\cdot ln |x^2+\frac{2}{5}|+\frac{1}{5}\cdot 3\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{5}}} arctg \frac{x}{\sqrt{\frac{2}{5}}}+C=[/m]

[m]=\frac{1}{5}\cdot ln |x^2+\frac{2}{5}|+\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}arctg \frac{x\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+C[/m]

1.
[m]\begin{matrix} cosx<- \frac{\sqrt{2}}{2}& ;cosx >\frac{\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix} \frac{3\pi}{4}+2\pi n <x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n & ;-\frac{\pi}{4}+2\pi n <x<\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z & \end{matrix}[/m]

2.
[m]\begin{matrix}sinx\cdot (sinx- \frac{\sqrt{2}}{2}) <0& \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix}sinx <0 &; sinx> \frac{\sqrt{2}}{2}& & \end{matrix}[/m]

[m]\begin{matrix}\pi +2 \pi n < x < 2 \pi +2\pi n, &; \frac{\pi}{4}+2\pi n <x< \frac{3 \pi}{4}+2\pi n, n \in Z& \end{matrix}[/m]

3.
ctgx=t
t^2-4t+3 <0
D=16-4*3=16-12=4
t_(1)=1; t_(2)=3

1 < t < 3

1 < ctgx < 3

y=ctgx - убывающая функция, бОльшему значению функции соответствует мЕньшее значение аргумента

[m]\begin{matrix}arctg3 + \pi n < x < \frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z& \end{matrix}[/m]

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=49791

y`=4*(x^2)`-3*(x)`+(7)`

y`=4*2x-3+0

y=8x-3

a=2sqrt(2)*sqrt(2)=4

P=4a=4*4=16 км (прикреплено изображение)

256=4^4

4^(-3+x)=4^4

-3+x=4

x=4+3

x=7

Находим y из второго уравнения:
y=[m]\frac{2x+a}{3}[/m]

и подставляем в первое

|x^2-x-6|=([m]\frac{2x+a}{3}[/m]-1)^2+x-7

Возводим в квадрат, умножаем на 9, упрощаем:

9*|x^2-x-6|=4x^2+(4a-3)*x+a^2-12a-54;

Раскрываем модуль по определению и решаем две системы:

[m]\left\{\begin{matrix} x^2-x-6 ≥ 0\\ 9\cdot(x^2-x-6)=4x^2+(4a-3)x+a^2-12a-54 \end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} x^2-x-6 <0\\ -9\cdot (x^2-x-6)=4x^2+(4a-3)x+a^2-12a-54 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x ≤ -2; x ≥ 3\\ 5x^2+(3-4a)\cdot x-a^2+12a =0\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} -2<x<3\\ 13x^2+(4a-12)x+a^2-12a-108=0 \end{matrix}\right.[/m]

Квадратное уравнение имеет корни, если D ≥ 0

[m]\left\{\begin{matrix} x ≤ -2; x ≥ 3\\(3-4a)^2-4\cdot 5 \cdot (-a^2+12a) ≥ 0; x_{1}=;
x_{2}=\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} -2<x<3\\ (4a-12)^2-4\cdot 13\cdot (a^2-12a-108) ≥ 0; x_{3}=; x_{4}=\end{matrix}\right.[/m]

Корни каждой системы должны удовлетворять первому неравенствy и
необходимо выполнить требования задачи

Область определения (- ∞ ;-1) U (-1;1) U(1;+ ∞ )

y`= ((x^3)`*(x^2-1)-x^3*(x^2-1)`)/(x^2-1)^2

y`=((3x^2*(x^2-1)-x^3*(2x))/(x^2-1)^2

y`=(x^4 -3x^2)/(x^2-1)^2

y`=0

x^4 - 3x^2=0
x^2*(x^2-3)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=
x=0 или х = ± sqrt(3)

Знак производной:
__+___ (-sqrt(3)) _-_ (-1) __-__ (0) _-__ (1) __-__ (sqrt(3)) __+__

Функция монотонно убывает на (-sqrt(3); - 1) и на (-1; 1 ) и на (1; sqrt(3))
Функция монотонно возрастает
на (- ∞ ;-sqrt(3)) и на (sqrt(3);+ ∞ )

x=-sqrt(3) - точка максимума
f(-sqrt(3))=(-sqrt(3))^3/((-sqrt(3))^2-1)= -3sqrt(3)/2

х=sqrt(3) - точка минимума
f(sqrt(3))=(sqrt(3))^2/((sqrt(3))^2-1)= 3sqrt(3)/2

1.2 E(y)=(- ∞ ;+ ∞ ) можно найти по рисунку. Поэтому вначале исследования ответа на вопрос нет

(прикреплено изображение)

{x>0
{2x-2>0 ⇒ x >1

x ∈ (1;+ ∞ )

1=log_(2)2
2log_(2)x=log_(2)x^2

log₂x^2> log₂(2x–2)+log₂2

log₂x^2> log₂(2x–2)*2 Лог функция с основанием 2 возрастает

⇒
x^2> (2x–2)*2

x^2-4x+4 >0

(x-2)^2 >0 ⇒ x - любое, кроме х=2

О т в е т. (1;2) U(2;+ ∞ )

x>0

Тогда
log_(3)9x=log_(3)9+log_(3)x=2+log_(3)x

log_(3)x^4=4log_(3)|x|=4log_(3)x

Замена: log_(3)x=t и дробно- рациональное неравенство:

[m]\frac{2+t-13}{t^2+4t}-1 ≤ 0[/m]

[m]\frac{2+t-13-t^2-4t}{t^2+4t} ≤ 0[/m]

[m]\frac{-t^2-3t-11}{t^2+4t} ≤ 0[/m]

[m]\frac{t^2+3t+11}{t^2+4t} ≥ 0[/m]

t^2+3t+11>0 при любом t, так как D=9-4*11 <0

Значит знаменатель:

t^2+4t >0

t*(t+4) >0

t < -4 или t > 0

Обратная замена

log_(3)x< - 4 или log_(3)x >0

0 < x < 3^(-4) или x > 1

О т в е т. (0; 1/81) U(1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу:
(k+1)^3=k^3+3*k^2+3*k+1

При k=1
(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1
При k=2
(2+1)^3=2^3+3*2^2+3*2+1
При k=3
(3+1)^3=3^3+3*3^2+3*3+1
...

При k=9
(9+1)^3=9^3+3*9^2+3*9+1
При k=10
(10+1)^3=10^3+3*10^2+3*10+1

Складываем эти десять строчек:

2^3+3^3+...+11^3=(1^3+...+10^3)+3*(1^2+2^2+...+10^2)+3*(1+2+...+10)+10

⇒
3*(1^2+2^2+...+10^2)=11^3-1-3*(1+2+...+10)-10

Так как (1+...+10)=(1+10)*10/2=55, то

3*(1^2+2^2+...+10^2)=121*11-1-3*55-10 ⇒

(1^2+2^2+...=10^2)=

Ответ выбран лучшим

В теории вероятностей события А и vector{A} - противоположные.

p(A)+p( vector{A} )=1

Поэтому иногда проще найти
p( vector{A} )

Тогда
p(A)=1- p( vector{A} )

Событие А-"хотя бы один экзамен сдаст"

Событие vector{A}-" ни одного не сдаст"

q_(1)=1-p_(1)=1-0,4=0,6 - вероятность, что не сдаст первый
q_(2)=1-p_(2)=1-0,6=0,4 - вероятность, что не сдаст второй
q_(3)=1-p_(3)=1-0,7=0,3 - вероятность, что не сдаст третий

p( vector{A} )=0,6*0,4*0,3 - вероятность не сдаст все три

p(A)=1- p( vector{A} )=1- (0,6*0,4*0,3 )=... посчитайте...

Ответ выбран лучшим

lg(x+1)+lg(2x-6) ≤ 1

1=lg10

{lg(x+1)*(2x-6) ≤ lg10
{x+1 >0
{2x-6>0

{(x+1)*(2x-6) ≤ 10
{x+1 >0
{2x-6>0

M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2) ⇒ p_(1)+p_(2)=1 и

3,2=x_(1)*0,8+x_(2)*0,2

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

0,16=M(X^2)-(3,2)^2 ⇒ M(X^2)=[b]10,4[/b]

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)

10,4=x^2_(1)*0,8+x^2_(2)*0,2

Из системы уравнений:

{3,2=x_(1)*0,8+x_(2)*0,2
{10,4=x^2_(1)*0,8+x^2_(2)*0,2

{16=4x_(1)+x_(2) ⇒ x_(2)=16-4x_(1)
{52=4x^2_(1)+x^2_(2)

52=4x^2_(1)+(16-4x_(1))^2 ⇒

См. рис.
x:y=6:5

x=(6/5)y

P=(x+y)+(x+y)+(x+x)=4x+2y=4*1,2y+2y=6,8y

P=6 cм

6,8y=6

y=60/68=15/17

x=1,2*(15/17)=18/17

Основание
2х=36/17

Бокова сторона

х+у=(18/17)+(15/17)=33/17

Проверка:

P=(33/17)+(33/17)+(36/17)=102/17=6 cм - верно.

Свойство касательных к окружности, проведенных из одной точки: (прикреплено изображение)

log_(1/3)(2x+5) < -2*log_(1/3)(1/3) ⇒

log_(1/3)(2x+5) < log_(1/3)(1/3)(-2)

log_(1/3)(2x+5) < log_(1/3)9

Логарифмическая функция с основанием (1/3) убывающая

2x+5 >9

2x+5 >0 ( ОДЗ логарифмической функции выполняется автоматически, можно не решать)

2x>4

[b]x>2[/b]

Ответ выбран лучшим

Всего 15 деталей

Первая стандартная:
p_(1)=13/15
Теперь в урне 14 деталей, из них 12 стандартных
Вторая стандартная
p_(2)=12/14

Обе детали стандартные ( И первая И вторая, умножаем)
p=p_(1)*p_(2)= (13/15)*(12/14)=[b]26/35[/b]

Второй способ
Классическое определение вероятности
p=m/n

n=C^2_(15)=(15!)/((15-2)!*2!)=14*15/2=105 способов вынуть две детали из пятнадцати

m=C^2_(13)=(13!)/((13-2)!*2!)=12*13/2=78 способов вынуть две стандартные 13-ти стандартных

p=m/n=78/105=26/35

Ответ выбран лучшим

Первый черный:
p_(1)=12/20
Теперь в урне 8 белых и 11 черных Всего 19 шаров
Второй черный:
p_(2)=11/19

Оба черных ( И первый И второй)
p=p_(1)*p_(2)= (12/20)*(11/19)=[b]66/190=33/95[/b]

Второй способ
Классическое определение вероятности
p=m/n

n=C^2_(20)=(20!)/((20-2)!*2!)=19*20/2=190 способов вынуть два шара из 20-ти

m=C^2_(12)=(12!)/((12-2)!*2!)=11*12/2=66 способов вынуть два шара из 12-ти черных

p=m/n=66/190=33/95

Ответ выбран лучшим

Первый белый:
p_(1)=15/25
Теперь в урне 14 белых и 10 черных
Второй белый:
p_(2)=14/24

Оба белых ( И первый И второй)
p=p_(1)*p_(2)= (15/25)*(14/24)=7/20

Второй способ
Классическое определение вероятности
p=m/n

n=C^2_(25)=(25!)/((25-2)!*2!)=24*25/2=12*25 способов вынуть два шара из 25-ти

m=C^2_(15)=(15!)/((15-2)!*2!)=14*15/2=7*15 способов вынуть два шара из 15-ти белых

p=m/n=7*15/(12*25)=7.20

2.
В теории вероятностей события А и vector{A} - противоположные.

p(A)+p( vector{A} )=1

Поэтому иногда проще найти
p( vector{A} )

Тогда
p(A)=1- p( vector{A} )

Событие А-"хотя бы один экзамен сдаст"

Событие vector{A}-" ни одного не сдаст"

q_(1)=1-p_(1)=1-0,7=0,3 - вероятность, что не сдаст первый
q_(2)=1-p_(2)=1-0,8=0,2 - вероятность, что не сдаст второй
q_(3)=1-p_(3)=1-0,6=0,4 - вероятность, что не сдаст третий

p( vector{A} )=0,3*0,2*0,4 - вероятность не сдаст все три

p(A)=1- p( vector{A} )=1- (0,3*0,2*0,8)=... посчитайте...

Ответ выбран лучшим

В теории вероятностей события А и vector{A} - противоположные.

p(A)+p( vector{A} )=1

Поэтому иногда проще найти
p( vector{A} )

Тогда
p(A)=1- p( vector{A} )

Событие А-"хотя бы один экзамен сдаст"

Событие vector{A}-" ни одного не сдаст"

q_(1)=1-p_(1)=1-0,6=0,4 - вероятность, что не сдаст первый
q_(2)=1-p_(2)=1-0,85=0,15 - вероятность, что не сдаст второй
q_(3)=1-p_(3)=1-0,75=0,25 - вероятность, что не сдаст третий

p( vector{A} )=0,4*0,15*0,25 - вероятность не сдаст все три

p(A)=1- p( vector{A} )=1- (0,4*0,15*0,25) =... считаем

Ответ выбран лучшим

2. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
4,5*0,7=3,15 км путь по полю
5,31-3,15=2,16 км - путь по лесу
2,16:0,9=2,4 км в час

2.
(x+5,7)*3,6=120,6

x+5,7=33,5

x=33,5-5,7

x=

3.

5x+3,2=9x-2,4

3,2+2,4=9x-5x

4x=5,6

x=5,6:4

x=[b]1,4[/b]

(3а+2)/(а) + ( 2а–1)/(2а) = 5

a ≠ 0

Приводим к общему знаменателю:

(6a+4+2a-1)/(2a)=5

(8a+3)/(2a)=5

a ≠ 0

Умножаем на 2a

8a+3=10a

2a=3

a=1,5

Ответ выбран лучшим

1.
R=8
S_(сферы)=4πR^2=4*π·8^2=256π (см^2)

2.
S_(cечения)=π*R^2

S_(cечения)=15*π

π*R^2=15*π

R^2=15

[b]R=sqrt(15)[/b] cм

Ответ выбран лучшим

x=√(1–k)/(1+k) ⇒ x^2=(1-k)/(1+k)

1-x^2=1-(1-k)/(1+k)=(1+k-1+k)/(1+k)=2k/(1+k)

1+x^2=1+(1-k)/(1+k)=(1+k+1-k)/(1+k)=2/(1+k)

(1-x^2)/(1+x^2)=2k/2=k

О т в е т. f(√(1–k)/(1+k) )=k

Ответ выбран лучшим

1,
Делим на 2:

(1/2)sinx+(sqrt(3)/2)cosx=sqrt(3)/2

Вводим вспомогательный угол:
sin(π/6)=1/2
cos(π/6)=sqrt(3)/2

sin(π/6)sinx+cos(π/6)cosx=sqrt(3)/2

cos(x-(π/6))=sqrt(3)/2

x-(π/6)= ± arccos(sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z

x=(π/6) ± (π/6)+2πn, n ∈ Z

x=(π/3)+2πn, n ∈ Z или х=2πn, n ∈ Z

2.

Делим на 5:

(4/5)sinx-(3/5)cosx=1

Вводим вспомогательный угол:
sin φ =4/5 ⇒ φ =arcsin(4/5)
cos φ =-3/5

sin^2 φ +cos^2 φ =(4/5)^2+(-3/5)^2=1

sin φ *sinx+cos φ *cosx=1

cos(x- φ )=1

x- φ =2πn, n ∈ Z

x=[b] φ +2πn, n ∈ Z[/b], где φ =arcsin(4/5)

О т в е т. [b] arcsin(4/5) +2πn, n ∈ Z[/b]

3.
Делим на 2:

(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2))cosx>-1

Вводим вспомогательный угол:
sin(π/4)=1/sqrt(2)
cos(π/4)=1/sqrt(2)

sin(π/4)sinx+cos(π/4)cosx>-1

cos(x-(π/4))>-1 неравенство верно при всех х, кроме

x-(π/4)=π+2πk, k ∈ Z

x=(5π/4)+2πk, k ∈ Z

О т в е т. [b]x ≠ (5π/4)+2πk, k ∈ Z[/b]

4.

2sqrt(3)sin^2x-2sinxcosx=sqrt(3)+1

Так как
1=sin^2x+cos^2x,
то

2sqrt(3)sin^2x-2sinxcosx=(sqrt(3)+1)*(sin^2x+cos^2x)

2sqrt(3)sin^2x-2sinxcosx=sqrt(3)sin^2x+sin^2x+sqrt(3)cos^2x+cos^2x

[b]Странно. Написано было. Значит, поторопилась и не сохранила.[/b]

Уравнение:

(sqrt(3)-1)sin^2x-2*sinx*cosx-(sqrt(3)+1)*cos^2x=0

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

делим на сos^2x ≠ 0

(sqrt(3)-1)tg^2x-2tgx-(sqrt(3)+1)=0

D=(-2)^2+4*(sqrt(3)-1)*(sqrt(3)+1)=4+4*2=12

sqrt(D)=2sqrt(3)

tgx=(2 ± 2sqrt(3))/(2*(sqrt(3)-1))

tgx=-1; [b] x=-(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

или

tgx=(sqrt(3)+1)/(sqrt(3)-1)

tgx=2+sqrt(3)

[b]x=arctg(2+sqrt(3))+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x ≠ 0

Умножаем на x^2 ≠ 0

9^(x)*x^2+54 ≥ 7*x*3^(x+1)

так как

3^(x+1)=3^(x)*3^(1)

9^(x)=(3^2)^(x)=(3^(x))^(2), то

(3^(x))^2*x^2-21*(3^(x))*x+54 ≥ 0

Квадратное неравенство относительно ([b]3^(x)*x[/b])

([b]3^(x)*x[/b])^2-21*([b]3^(x)*x[/b])+54 ≥ 0

Решаем уравнение:

D=21^2-4*54=441-216=225
корни: 3 и 18

Решение неравенства:

3^(x)*x ≤ 3 или 3^(x) ≥ 18

Делим на x ≠ 0

[b]3^(x) ≤ 3/x [/b] или [b]3^(x) ≥ 18/x[/b]

Решаем графически:

0< x ≤ 1 ( рис.1) или x<0 или x ≥ 2 ( рис. 2)

О т в е т. (- ∞; 0)U(0;1]U[2;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+x_(5)*p_(5)=

=3*0,1+4*0,2+6*0,4+7*0,2+8*0,1=[b]5,7[/b]

2)
D(X)=M(X^2)-M(X)

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)+x^2_(4)*p_(4)+x^2_(5)*p_(5)=

=3^2*0,1+4^2*0,2+6^2*0,4+7^2*0,2+8^2*0,1=0,9+3,2+14,4+9,8+6,4=

=34,7

D(X)=M(X^2)-M(X)=34,7-(5,7)^2=2,21

M(2X)=(2*4)*0,2+(2*5)*0,3+(2*6)*0,5=[b]10,6[/b]

M(X)=4*0,2+5*0,3+6*0,5=0,8+1,5+3=5,3

M(2X)=2*M(X)=2*5,3=[b]10,6[/b]

Ответ выбран лучшим

a)0,3+0,15+3р+2р+0,05=1 ⇒ 5р=0,5
p=0,1

b) P(X<3)=0,3+0,15=0,45

c) M(X)=1*0,3+2*0,15+3*0,3+4*0,2+5*0,05=[b]2,28[/b]

d) 3*M(X)=3*2,28=[b]6,84[/b]

e) D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

M(X^2)=1^2*0,3+2^2*0,15+3^2*0,3+4^2*0,2+5^2*0,05=0,3+0,6+2,7+2,8+1,25=[b]7,65[/b]

D(X)=7,65-(2,28)^2=2,4516

f) |X-M(X)|=?

X=1; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|1-2,28|=1,28

X=2; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|2-2,28|=0,28

X=3; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|3-2,28|=0,72

X=4; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|4-2,28|=1,72

X=5; M(X)=2,28

|X-M(X)|=|5-2,28|=2,72

Разброс случайной величины от ее среднего значения ( от математического ожидания)

Разброс большой, о чем говорит дисперсия. Она тоже большая.

Ответ выбран лучшим

ДАНО:
M(X)=5
M(Y)=-9
X и Y - независимые случайные величины ( см свойства)

1)M(Z)=3*M(X)+M(Y)=3*5+(-9)=15-9=6
2)M(Z)=2*M(X)-M(Y)+M(5)=2*5-(-9)+5=24
3)M(Z)=M(X)*M(Y)=5*(-9)=-45 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,25

Ответ выбран лучшим

1.
Находим вероятность противоположного события
"ни один мяч не попал в корзину":

p=0,3*0,4*0,8=0,096

Тогда

1-p =1-0,096= - о т в е т.

2.
0,85*0,99+0,15*0,97- "Самолет совершил посадку"

p=0,15*0,97/(0,85*0,99+0,15*0,97)

3^(|x|)=t

t >0

9^(|x|)=t^2

[m]\frac{4a}{a-6}t=t^2+\frac{3a+4}{a-6}[/m]

a ≠ 6

(a-6)t^2-4a*t+(3a+4)=0

D=(-4a)^2-4*(a-6)*(3a+4)=16a^2-12a^2+56a+96=4*(a^2+14a+24)

[red]Если[/red]
D=0, т.е

a^2+14a+24=0

D=196-96=100
a_(1,2)=(-14 ± 10)/2

a=-2; a=-12

t_(1)=t_(2)=[m]\frac{4a}{a-6}[m]

При a=-2

t_(1)=t_(2)=[m]\frac{4\cdot (-2)}{-2-6}=1[m]

3^(|x|)=1 ⇒ |x|=0 - один корень, а=-2 не удовл требованиям задачи

При a=-12

t_(1)=t_(2)=[m]\frac{4\cdot (-12)}{-12-6}=\frac{8}{3}[m]

3^(|x|)=[m]\frac{8}{3}[m] ⇒ |x|=log_(3)[m]\frac{8}{3}[m] -уравнение имеет два корня , а=-12 [i]удовлетворяет [/i]требованиям задачи

[red]Если D >0[/red] , т.е -12 < a < -2

[i]квадратное уравнение [/i]имеет два корня

t_(1) и t_(2)

Тогда обратная замена приводит к уравнениям:

3^(|x|)=t_(1); 3^(|x|)=t_(2)

В соответствии с требованием задачи два уравнения с модулями должны в ответе привести в двум корням

Значит, либо одно уравнение вообще не имеет не решений, т.е t_(1) или t_(2) отрицательны.

Но даже если t_(1) и t_(2) положительны, но одно из них не должн0 быть меньше 1 ( уравнение 3^(|x|)=1/3 не будет иметь решений, |x| ≠ -1)

Итак,
из условий:
{-12 < a < -2
{t_(1)>0
{t_(2) >0
{0 < t_(1) <1
{t_(2) >1

Находим ограничения на а

1.
a)=[m]\frac{3a}{8b}[/m];

б)=[m]\frac{y\cdot (y+1)}{y^2}=\frac{y+1}{y}[/m].

2.

а)=[m]\frac{12x-7+3x-2}{15x}=\frac{15x-9}{15x}=\frac{3\cdot (5x-3)}{15x}=\frac{5x-3}{5x}[/m];

б) =[m]\frac{a(x+y)}{xy^2}\cdot \frac{x^2y}{3(x+y)}=\frac{ax}{y}[/m].

3.
=[m]\frac{(y-3)^2}{(y-3)(y+3)}\cdot \frac{y(y+3)}{10(y-3)}=\frac{y}{10}[/m]

при y=70

о т в е т. 7

x_(T)=[m]\frac{x_{M}+x_{P}}{2}[/m]

y_(T)=[m]\frac{y_{M}+y_{P}}{2}[/m]

2x_(T)=x_(M)+x_(P) ⇒ x_(P) =2x_(T)-x_(M)=2*2-3=1

2y_(T)=y_(M)+y_(P) ⇒ y_(P) =2y_(T)-y_(M)=2*2-3=1

О т в е т. P(1;1)

Ответ выбран лучшим

AB=sqrt((-1-(-9))^2+(5-1)^2)=sqrt(8^2+4^2)=sqrt(64+16)=sqrt(80)=4sqrt(5)

Средняя линия треугольника cоединяет середины двух сторон И

параллельна третьей стороне

Длина средней линии равна половине длины этой третьей стороны.

О т в е т.(1/2) АВ=2sqrt(5) (прикреплено изображение)

[link=https://reshimvse.com/zadacha.php?id=46385]

СС_(1)=[m]\frac{AA_{1}+BB_{1}}{2}=\frac{18+10}{2}=14[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрическая вероятность

p=S_(квадрата со стороной 1)/S_( квадрата со стороной 2)=1*1/(2*2)=0,25

См. рис. (прикреплено изображение)

1.

g `(x) < 0 на (- ∞ ;0)

g `(x) > 0 на (0;+ ∞)

x=0 - критическая точка, производная (не существует или равна 0) . В данном случае не существует и потому не является точкой экстремума, хотя производная и меняет знак с - на + при переходе через точку
О т в е т. Б

2.
О т в е т. Г

3.
b< 0

Кривая пересекает ось Оу в точке (0;b)

y`=3x^2-4x+a

y`(0)>0

Кривая возрастает

y`(0)=a

a>0

О т в е т. Б

4.
О т в е т. Б

f `(-1)=0 (касательная в точке x=-1 - сама ось Ох)

f `(0) <0 ( функция убывает на (-0,5;0,5) производная отрицательна в любой точке этого интервала, в том числе и в точке x=0

f `(1) >0

f `(0) < f `(-1) < f `(1)

Ответ выбран лучшим

1.
a=R*sqrt(2)=2sqrt(2)*sqrt(2)=4

S_(квадрата)=a^2=4^2=16

2.
n=360°/24°=15

α _(15-ти угольника)=(15-2)*180 ° /15=156 °

3.
С_(окружности)=2π*R

По условию:

С_(окружности)=36π

36π=2π*R

R=18 ( cм)

С_(дуги)=(2π*R/2π)* α =R* α

По условию

C_(дуги)=20π [b]мм [/b]

R=18 см=180[b] мм[/b]
α =C_(дуги)/R=20π /180=[b]π/9[/b]

О т в е т. [b]π/9[/b]

4.

S_(1)=S_(сегмента АnC)=πR^2*(150 ° /360 °) - S _( ΔABP)=

=(125π/12)-(1/2)*5*5*sin150 ° =(125π/12)-(25/4)

S_(2)=S_(сектора ВРК)=πR^2*(150 ° /360 °) =π*5^2*(5/12)=125π/12

S_(3)=S_(сектора КРS)=πR^2*55 ° /360 ° =π*5^2*(11/72)=(275π/72)

S=S_(1)+S_(2)+S_(2)= (125π/12)-(25/4)+(125π/12)+ (275π/72)=

=(1775π/72)-(25/4)

О т в е т.(1775π/72)-(25/4)

Правило треугольника сложения векторов:
vector{[red]A[/red][b]B[/b]}+vector{[b]B[/b][red]C[/red]}=vector{[red]AC[/red]}

a)
vector{AB}+vector{BB_(1)}=vector{AB_(1)}

[blue]vector{AB}+vector{BB_(1)}+vector{B_(1)A}[/blue]=vector{AB_(1)}+vector{B_(1)A}=vector{0}

vector{B_(1)C}+vector{AB}+vector{BB_(1)}+vector{B_(1)A}=

=vector{B_(1)C}+([blue]vector{AB}+vector{BB_(1)}+vector{B_(1)A}[/blue])=

= vector{B_(1)C}+vector{0}=vector{B_(1)C}

О т в е т. vector{B_(1)C}

б)
vector{DC}=vector{A_(1)B_(1)}

vector{BB_(1)}=-vector{B_(1)B}

vector{DC}-vector{BB_(1)}=vector{A_(1)B_(1)}+vector{B_(1)B}=

=vector{A_(1)B}

О т в е т. vector{A_(1)B}

Ответ выбран лучшим

Δ АВС - равнобедренный.
ВК- высота, медиана и биссектриса

Из прямоугольного треугольника АВК:
АК^2=AB^2-BK^2=45^2-27^2=(45-27)*(45+27)=18*72=(9*4)^2=36^2

DA ⊥ пл АВС ⇒ DA ⊥ АК

Из прямоугольного треугольника DAK:

DK^2=DA^2+AK^2=28^2+36^2=(4*7)^2+(4*9)^2=4^2*(7^2+9^2)=

=16*(49+81)=16*130

[b]DK=4sqrt(130)[/b]

DB и DС - наклонные
AB и АC - проекции

Проекции равны ⇒ наклонные равны
AB=AС ⇒ DB и DС

Δ DBC- равнобедренный. К - середина ВС

DK - высота равнобедренного треугольника DBC

S_(бок)=S_( Δ ADB)+S_(ADC)+S_( Δ BDC)=

=(1/2)*AB*DA+(1/2)*AC*DA+(1/2)*BC*DK=

=(1/2)*45*28+(1/2)*45*28+(1/2)*54*4sqrt(130)=

=1260+108sqrt(130) (прикреплено изображение)

[m]\frac{7^{x}+1}{7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^{x}+7}+\frac{1}{25} ≥ 0[/m]

[m]\frac{25\cdot (7^{x}+1)+(7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^{x}+7)}{25\cdot (7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^{x}+7)} ≥ 0[/m]

[m]\frac{25\cdot 7^{x}+25+7\cdot 7^{2x}-50\cdot 7^{x}+7}{25\cdot (7\cdot 7^{2x}-49\cdot 7^{x}-7^{x}+7)} ≥ 0[/m]

[m]\frac{7\cdot 7^{2x}-25\cdot 7^{x}+32}{25\cdot (7\cdot 7^{x}\cdot ( 7^{x}-7)-(7^{x}-7))} ≥ 0[/m]

[m]\frac{7\cdot 7^{2x}-25\cdot 7^{x}+32}{25\cdot (7^{x}-7)\cdot(7\cdot 7^{x}-1)} ≥ 0[/m]

Числитель

[m]7\cdot 7^{2x}-25\cdot 7^{x}+32>0[/m], так как D=(-25)^2-4*7*32 <0

Значит знаменатель

[m](7^{x}-7)\cdot(7\cdot 7^{x}-1) > 0[/m]

Решаем методом интервалов:

[m]7^{x}-7=0[/m] или [m]7\cdot 7^{x}-1=0[/m]

[m]7^{x}=7[/m] или [m]7\cdot 7^{x}=1[/m]

[m]x=1[/m] или [m] 7^{x}=7^{-1}[/m] ⇒ x=-1

Расставляем знаки:

__[red]+[/red]___ (-1)___-___ (1)__[red]+[/red]__

О т в е т. (- ∞ ;-1) U (1;+ ∞ )

[m](\frac{1}{3})^{-x}=(3^{-1})^{-x}=3^{x}[/m]

[m]3^{x}>0[/m]

[m]3^{x}-3 >-3[/m]

Все числа, которые больше (-3)

Ответ выбран лучшим

AK=AB; CK=CD

Δ АВК - равнобедренный ⇒ ∠ АВК= [b]∠ ВКА[/b]
[b]∠ ВКА[/b]= ∠ СВК внутренние накрест лежащие ⇒
∠ АВК=∠ СВК ⇒ ВК - биссектриса угла В

Аналогично доказать СК - биссектриса ∠ С

б)
Проводим высоты ВM и СN

Δ АВМ - прямоугольный равнобедренный

АМ=ВМ=6

Δ CDN - прямоугольный, СD=10; CN=6
DN=8

AD=AB+BC=6sqrt(2)+10

AM+ND=6+8=14

BC=AD-(AM+ND)=6sqrt(2)+10-14=[b]6sqrt(2)-4[/b]

Ответ выбран лучшим

81^(2-x)=1/9

(3^(4))^(2-x)=3^(-2)

3^(4*(2-x))=3^(-2)

4*(2-x)=-2

8-4x=-2

-4x=-2-8

-4x=-10

x=2,5

Ответ выбран лучшим

1) y=(3^(-1))^(1-x); y=3^(x-1) - возрастающая осн 3 >1
2) y=5^(x)-4 - возрастающая 5>1
3) y=log_(1/2)(1-x) ;

y=-log_(2)(1-x)

возрастающая

y=log_(2)(1-x) - убывающая

y=-log_(2)(1-x) - график симметричен y=log_(2)(1-x) отн оси Оу

- возрастающая

4) y=-log_(sqrt(3))x - убывающая

y=log_(sqrt(3))x - возрастающая

График y=-log_(sqrt(3))x симметричен графику y=log_(sqrt(3))x отн оси Оу, возрастает

Ответ выбран лучшим

-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 - ограниченная

-1 ≤ cos(1/y) ≤ 1 - ограниченная

Произведение ограниченной на б.м. есть б.м

Пусть y=kx, т. е y → 0 по прямой y=kx

Если в таком случае предел не зависит от k, то он существует:

lim_(x → 0;kx → 0)(x+kx)sin(1/x)*cos(1/kx)=

=(1+k)*lim_(x → 0;)x*sin(1/x)*cos(1/kx)=(1+k)*0=[b]0[/b]

Ответ выбран лучшим

3*(sin^2 α +cos^22 α )+tg α *ctg α = 3*1+1=4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(π+x)= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z

(π+x)= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

x= ± (π/3) - π+2πn, n ∈ Z

x=(-2π/3)+2πn, n ∈ Z или х=(-4π/3)+2πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{4}{25}-(\frac{2}{5})^{x+4} ≥ 0[/m]

[m]\frac{4}{25} ≥ (\frac{2}{5})^{x+4}[/m]

[m](\frac{2}{5})^{x+4} ≤ (\frac{2}{5})^2[/m]

x+4 ≤ 2

x ≤ -2

(- ∞ ;-2]

Ответ выбран лучшим

5^(x)*3^(x)-5*5^(x)-6*3^(x)-3*3^(x)+45 ≤ 0

5^(x)*3^(x)-5*5^(x)-9*3^(x)+45 ≤ 0

5^(x)*(3^(x)-5)-9*(3^(x)-5) ≤ 0

(3^(x)-5)*(5^(x)-9) ≤ 0

Метод интервалов.

3^(x)=5 или 5^(x)=9

x=log_(3)5 или х=log_(5)9

log_(5)9 ≤ х ≤ log_(3)5

___ [log_(5)9] ___[green]-[/green]__ [ log_(3)5] ___

Надо написать как сравниваем.
Можно конечно графически (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(3)(2-x)=3

2-x=3^3

2-x=27

2-27=x

x=-25

Ответ выбран лучшим

4^(log_(2)6)*4^(-0,5)=(2^2)^(log_(2)6)*(2^(2))^(-0,5)=

=2^(2log_(2)6) *2^(2*(-0,5))=[b]2^(log_(2)6^2[/b])*2^(-1)=6^2*(1/2)=18

[b]2^(log_(2)6^2)[/b]=6^2 - основное лог тождество

Ответ выбран лучшим

81=3^4
50=25*2=5^2*2
16-2^4
8=4*2

=3+5sqrt(2)-2-2sqrt(2)=1+3sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{(a^{\frac{1}{5}})^2\cdot a^{-\frac{1}{10}}}{a^{-\frac{1}{2}}}=
\frac{a^{\frac{1}{5}\cdot 2}\cdot a^{-\frac{1}{10}}}{a^{-\frac{1}{2}}}=\frac{a^{\frac{2}{5}+(-\frac{1}{10})}}{a^{-\frac{1}{2}}}=\frac{a^{\frac{4}{10}+(-\frac{1}{10})}}{a^{-\frac{1}{2}}}=\frac{a^{\frac{3}{10}}}{a^{-\frac{1}{2}}}=[/m]

[m]=a^{\frac{3}{10}-(-\frac{1}{2})}=a^{\frac{3}{10}+\frac{5}{10}}=a^{\frac{8}{10}}[/m]

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной:[/i]

sqrt(8x^2+6x+1)=t , [red]t ≥ 0[/red]

Возводим в квадрат:

8x^2+6x+1=t^2 ⇒ 8x^2+6x=t^2-1

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{1}{t^2-1} ≥ \frac{1}{t-1}[/m]

[m]\frac{1}{t^2-1} - \frac{1}{t-1} ≥ 0[/m]

[m]\frac{1-t-1}{t^2-1} ≥ 0[/m]

[m]\frac{t}{t^2-1} ≤ 0[/m]

c учётом[red] t ≥ 0[/red]

[0] __-__ (1) __+_

[b] 0 ≤ t <1[/b]

Обратный переход:

0 ≤ sqrt(8x^2+6x+1) < 1

0 ≤ sqrt(8x^2+6x+1) < 1 ⇒ 0 ≤ 8x^2+6x+1 <1

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

[m]\left\{\begin{matrix} 8x^2+6x+1 <1\\ 8x^2+6x+1 \geq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 8x^2+6x <0\\ 8x^2+6x+1 \geq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 2x\cdot (4x+3) <0\\ (2x+1)(4x+1) \geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

Решаем каждое методом интервалов:

____ (-[m]\frac{3}{4}[/m]) _________[green]-[/green]________ (0) ___

О т в е т первого неравенства системы:( -[m]\frac{3}{4}[/m];0)

_____[red]+[/red]____ [-[m]\frac{1}{2}[/m]] ____ [-[m]\frac{1}{4}[/m]] __[red]+[/red]__

О т в е т второго неравенства системы:( - ∞ ;-[m]\frac{1}{2}[/m]]U[-[m]\frac{1}{4}[/m]+ ∞ )

Пересечение ответов первого и второго неравенства:
(-[m]\frac{3}{4}[/m]; -[m]\frac{1}{2}[/m]] U [-[m]\frac{1}{4}[/m];0)

О т в е т. (-[m]\frac{3}{4}[/m]; -[m]\frac{1}{2}[/m]] U [-[m]\frac{1}{4}[/m];0)

[m]y`=\frac{1+2\frac{y}{x}}{4-\frac{y}{x}}[/m]

[m]y`=\phi (\frac{y}{x})[/m]

Значит это однородное первой степени

Решается заменой:

[m]\frac{y}{x}=u[/m]

y=u*x

y`=u`*x+u*x`

x`=1

y`=u`*x+u

и подставляем в уравнение:

u`*x+u=[m]\frac{1+2u}{4-u}[/m]

Уравнение с разделяющимися переменными:

u`*x=[m]\frac{1+2u}{4-u}-u[/m]

x*du=[m]\frac{1-2u+u^2}{4-u}[/m]dx

[m]\frac{(4-u)du}{1-2u+u^2}=\frac{dx}{x}[/m]

Ответ выбран лучшим

(x / a) + (y / b) = 1 ⇒ y/b=1-(x/a)

y=b-(b/a)*x

y`=-(b/a)

1+(y`)^2=1+(b^2/a^2)=(a^2+b^2)/b^2

dl=sqrt(1+(y`)^2)dx=sqrt(a^2+b^2)dx/b

∫ ^(a)_(0)x*sqrt(a^2+b^2)dx/b=(sqrt(a^2+b^2)/b)*(x^2/2)|^(a)_(0)=...

Ответ выбран лучшим

2^(x)*2^((2/3)*x)=2^3

2^(x+(2x)/(3))=2^3

x+(2x)/(3)=3

3x+2x=9

x=1.8

Ответ выбран лучшим

1/4=2^(-2)
4=2^2
4^(x)=(2^(2))^(x)=2^(2x)

(1/4)*4^(x)=2^(-2)*2^(2x)=2^(2x-2)

(2^(2x-2))^(x)=2^(2x+6)

2^((2x-2)*x)=2^(2x+6)

(2x-2)*x=2x+6

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix} x>0\\-log_{2}x>0 \\log^2_{2}x >0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x>0\\log_{2}x<0 \\log_{2}x \neq 0 \end{matrix}\right.[/m]

x ∈[red] (0;1)[/red]

Пусть
[m]log_{2}x=t[/m]

и t < 0 ( cм вторую строку системы)

[m]log^2_{2}(-t)+log_{2}t^2 ≤ 3[/m]

[m]log^2_{2}(-t)+2log_{2}|t| ≤ 3[/m]

(t<0, |t|=-t)

[m]log^2_{2}(-t)+2log_{2}(-t) ≤ 3[/m]

[m](log_{2}(-t))^2+2log_{2}(-t)-3 ≤0[/m]

Квадратное неравенство относительно [m] log_{2}(-t)[/m]

D=4-4*(-3)=16 корни (-3) и 1

[m]-3 ≤ log_{2}(-t) ≤ 1[/m]

[m]-3\cdot log_{2}2 ≤ log_{2}(-t) ≤ 1\cdot log_{2}2[/m]

[m] log_{2}2^{-3} ≤ log_{2}(-t) ≤ log_{2}2[/m]

[m] \frac{1}{8}=2^{-3} ≤ (-t) ≤ 2[/m]

[m] -2 ≤ t ≤ -\frac{1}{8}[/m]

Обратная замена:
[m] -2 ≤log_{2}x ≤ -\frac{1}{8}[/m]

[m]-2\cdot log_{2}2 ≤ log_{2}x ≤ -\frac{1}{8}\cdot log_{2}2[/m]

[m] log_{2}2^{-2} ≤ log_{2}x ≤ log_{2}2^{ -\frac{1}{8}}[/m]

[m] 2^{-2} ≤ x ≤ 2^{ -\frac{1}{8}}[/m]

[m] \frac{1}{2^2}≤ x ≤ \frac{1}{2^{ \frac{1}{8}}}[/m]

[m] \frac{1}{4}≤ x ≤ \frac{1}{\sqrt[8]{2}}[/m] - удовлетворяет ОДЗ

О т в е т. [m] [\frac{1}{4}; \frac{1}{\sqrt[8]{2}}][/m]

Ответ выбран лучшим

D=16-12=4

tg^2x=1 или tg^2=3

tgx=1 или tgx =-1 или tgx=-sqrt(3) или tgx=sqrt(3)

x=(π/4)+πk или x=- (π/4)+πk или x=(π/3)+πk или x=- (π/3)+πk. k ∈ Z

О т в е т. ± (π/4)+πk, ± (π/3)+πk, k ∈ Z

Отбор корней: (π/4)+2π=9π/4; -(π/4)+3π=11π/4; (π/4)+3π=13π/4;
(π/3)+2π=7π/3; -(π/3)+3π=8π/3; (π/3)+3π=10π/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]log_{7−x}\frac{x+4}{(7−x)^{−3}}≥3[/m]

ОДЗ:

[m]\left\{\begin{matrix} 7-x >0\\ 7-x \neq 1\\ \frac{x+4}{(7-x)^{-3}}>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x<7 \\ x \neq 6\\ (x+4)(7-x)^{3}>0 \Rightarrow x>-4\end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (-4;6)U(6;7)[/red]

[m]log_{7−x}(x+4)-log_{7-x}(7-x)^{-3} ≥ 3[/m]

[m]log_{7−x}(x+4)+3 ≥ 3[/m]

[m]log_{7−x}(x+4) ≥ 0[/m]

так как [m]0=log_{7−x}1[/m]

[m]log_{7−x}(x+4) ≥log_{7−x}1 [/m]

Если [red]x ∈ (-4;6)[/red], тогда 7-x > 1 и

логарифмическая функция [i]возрастает[/i], поэтому

x+4 ≥ 1 ⇒ x ≥ -3

x ∈ [-3;6)

Если [red]x ∈ (6;7)[/red], тогда 0< 7-x < 1 и

логарифмическая функция [i]убывает[/i], поэтому

x+4 ≤ 1 ⇒ x ≤ -3

Нет решений

О т в е т. [-3;6)

Ответ выбран лучшим

V_(шара)=(4/3)πR^3=(4/3)*π*2^3=32π/3

V_(конуса)=(1/3)*π*r^2*h=(1/3)*π*6*h=2πh

32π/3=2πh

[b]h=16/3[/b]

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(sqrt(7)/4)^2=1-(7/16)=9/16

cos α = ± sqrt(9/16)= ± 3/4

α во второй четв, косинус отрицательный
О т в е т. -3/4

Ответ выбран лучшим

125-5^(x) ≥ 0 ⇒ 5^(x) ≤ 5^3 ⇒ x ≤ 3

При x ≤ 3

sqrt(125-5^(x)) ≥ 0

Первый множитель уравнения неотрицательный, произведение отрицательно, значит

6x-15 <0 ⇒ 6x < 15 ⇒ x < 2,5

О т в е т. (- ∞ ;2,5)

Ответ выбран лучшим

16=2^4
8=2^3

4*sin2x=9sinx

8*sinx*cosx-9sinx=0

sinx*(8cosx-9)=0

sinx=0 8cosx-9=0

sinx=0

[b]x=πk, k ∈ Z[/b]

8cosx-9=0

cosx=9/8 уравнение не имеет корней, |cosx| ≤ 1

Ответ выбран лучшим

v=S`(t)=2*0,6*t=1,2t

v=20

20=1,2*t

t=20:1,2=...

Ответ выбран лучшим

(9-4x)^5=3^5

9-4x=3

9-3=4x

x=1,5

Ответ выбран лучшим

Остальных 240-39-101=100

p=100/240=10/24=5/12

Ответ выбран лучшим

115+50*2+40*1,5[b]=275 км[/b] проехал за 1+2,5+1,5=[b]5 часов[/b]

275:5=... км в час средняя скорость

Ответ выбран лучшим

Р=(6+7)*2=26 м

S_(стен)=26*3=78 кв м.

S_(под покраску или оклеивание)=S_(стен)-S_(окна)-S_(двери)=

=78-[b]4[/b]= [red]74[/red]

Итак надо поклеить или покрасить [red] 74[/red] м^2

Считаем сколько краски уйдет:

74:5= ≈ [b]25[/b] л

банки 2-литровые, значит надо купить 13 банок

одна банка стоит 350 рублей

13*350=.... рублей стоит покраска

Теперь оклеивание

Ширина рулона 1,5 м Длина 10 м

Из одного рулона вырежем 3 куска размерами 1,5*3 Их хватит, чтобы поклеить часть стены.

Р=26 м

26:4,5 ≈ 6 рулонов

650*6=... рублей стоит оклеивание

Ответ выбран лучшим

y=4/x; y=5-x
Находим абсциссы точек пересечения графиков:
4/x=5-x

4=5x-x^2

x^2-5x+4=0

D=(-5)^2-4*4=25-16=9

x=(5 ± 3)/2

x=1; x=4

S= ∫ ^(4)_(1) (5-x-(4/x))dx=(5x-(x^2/2)-4ln|x|)|^(4)_(1)=... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=6x/(3x^2-2y^2)

z`_(y)=-4y/(3x^2-2y^2)

dz=6xdx/(3x^2-2y^2) + (-4ydy)/(3x^2-2y^2)

О т в е т. dz=(6xdx-4ydy)/(3x^2-2y^2)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x^3+x^2-4x-4 ≥ 0 ⇒ x^2*(x+1)-4*(x+1) ≥ 0 ⇒ (x+1)*(x^2-4) ≥ 0

__-__ [-2] __+___ [-1] _____-___________[2] __+___

[red]x ∈ [-2;-1]U[2;+ ∞ )[/red]

Перепишем неравенство в виде:

2*sqrt((2x-1)^2)+4x-2 +sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) ≤ 0

Так как sqrt(x^2)=|x|, то
2*|2x-1|+2*(2x-1) +sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) ≤ 0

Пусть x ∈[red] [-2;-1][/red], тогда |2x-1|=-(2x-1)

неравенство принимает вид:

2*(-2(x-1)+2*(x-1)+sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) ≤ 0 ⇒ sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) ≤ 0

По определению арифметического квадратного корня он принимает только неотрицательные значения, поэтому возможно лишь равенство
sqrt((x+1)(x-2)(x+2)) =0 ⇒[b] x=-2;x=-1;x=0[/b]

Пусть x ∈[red] [2;+ ∞ )[/red], тогда |2x-1|=2x-1

Но при x ≥ 2

2x-1 ≥ 2*2-1=3 >0

неравенство принимает вид

2*(2х-1)+2*(2x-1)+sqrt((x+1)(x+2)(x-2)) ≤ 0

4*(2х-1)[red]+[/red]sqrt((x+1)(x+2)(x-2)) ≤ 0 невозможно, так как

4*(2x-1) ≥ 12

sqrt((x+1)(x+2)(x-2)) ≥ 0

О т в е т. -2;-1;2

Cоставляем характеристическое уравнение:
k^4+(18/25)k^2+(81/625)=0

Решаем биквадратное уравнение

D=(18/25)^2-4*(81/625)=(324-324)/625=0

Решение уравнения является двукратная комплексно сопряженная пара:

k^2=(-9/25) ⇒ k_(1,2)=k_(3,4)= ± 0,6*i

α =0; β =0,6

[b]y=(C_(1)+C_(3)*х)*cos0,6x+(C_(2)+C_(4)*x)sin0,6x[/b]

С_(основания)=С_(окружности)=2π*r=2π*5=[b]10π[/b]

Длина этой окружности равна длине дуги сектора, который представляет собой развертку боковой поверхности.

Радиус R=8
L=[b]10π[/b]

L=(2π*R/(2π))* [red]α [/red] ⇒L=R* [red]α [/red] ⇒ 10π=8* [red]α [/red]

[red] α [/red]=10π/R=10π/8=[blue]5π/4[/blue]

Развертка сектор круга радиуса 8 см с углом [blue]5π/4[/blue] (прикреплено изображение)

1) v=150/t

2)s=3x- прямая пропорциональность, чем больше цена, тем больше стоимость.

3)b=s/4

4)P=3b- прямая пропорциональность, чем больше b, там больше периметр

|x-2|+x=ax+2a-2

|x-2|+x+2=a*(x+2)

[m]\frac{|x-2|+|x|+2}{x+2}=a[/m]

Найдем при каких значениях параметра а прямая y=a

имеет с графиком [m]y=\frac{|x-2|+|x|+2}{x+2}[/m]

ровно две общие точки.

x=0; x=2 - нули подмодульных выражений.

Они разбивают числовую прямую на три промежутка.

Раскрываем знак модуля на каждом промежутке

[red](- ∞ ;0][/red]
[m]y=\frac{-x+2-x+2}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{-2x+4}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{-2x-4+8}{x+2}[/m]

[m]y=-2+\frac{8}{x+2}[/m] - гипербола

на (- ∞ ;0] ( рис. 1)

[red](0;2][/red]
[m]y=\frac{-x+2+x+2}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{4}{x+2}[/m] - гипербола
на (0 ;2] ( рис. 2)

[red](2;+ ∞ )[/red]
[m]y=\frac{x-2+x+2}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{2x}{x+2}[/m]

[m]y=\frac{2x+4-4}{x+2}[/m]

[m]y=2-\frac{4}{x+2}[/m] - гипербола

на (2 ;+ ∞ ] ( рис. 3)

график функции [m]y=\frac{|x-2|+|x|+2}{x+2}[/m] cм
рис 4

О т в е т. (- ∞ ;-2)U{1}U[2;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

y=3,5sqrt(g(x))

g(x)=4cos2x+6sin^2x+5

g`(x)=4*(-sin2x)*(2x)`+6*2sinx*(sinx)`+0

g`(x)=-8sin2x+6*(2sinx*cosx)

g`(x)=-2sin2x

g`(x)=0

sin2x=0

2x=πk, k ∈ Z

x=(π/2)*k, k ∈ Z

Знак производной ( знак функции g`(x)=-2sin2x):

... (-π) __-_ (π/2)__+__(0) __-__ (π/2) __+__ (π) __ ...

... x=-π; x=0 ; x=π - точки максимума.

y(-π)=y(0)=y(π)=...

y(0)=3,5sqrt(4*cos0+6*sin0+5)=3,5*sqrt(9)=3,5*3=10,5

y_(наиб. целое)=[b]10[/b]

12.
y`=13+11*cosx

так как -1 ≤ сosx ≤ 1 ⇒ -11 ≤ 11сosx ≤ 11 ⇒ 13 -11 ≤ 13+11сosx ≤13+ 11

y` ≥ 2 >0

Производная положительная при любом х, значит функция возрастает на (- ∞ ;+ ∞ ) и в том числе функция возрастает на [-2π/3;0]

Значит, наибольшее значение на отрезке [-2π/3;0] функция принимает в правом конце отрезка в точке x=0

y(0)=13*0-7+11*sin0=-7

О т в е т. y_(наиб [-2π/3;0])=-7

13.

y`=-2sqrt(5)*([m]\frac{x}{x^2+5}[/m])`

y`=-2sqrt(5)*[m]\frac{x`\cdot(x^2+5)-x\cdot (x^2+5)`}{(x^2+5)^2}[/m]

y`=[red]-[/red]2sqrt(5)*[m]\frac{x^2+5-x\cdot 2x}{(x^2+5)^2}[/m])

y`=2sqrt(5)*[m]\frac{x^2-5 }{(x^2+5)^2}[/m])

y`=0

5-x^2=0

x= ± sqrt(5)

-sqrt(5) ∉ [-2;3]

Находим знак производной на отрезке:

[-2] ____-___ (sqrt(5)) _+__ [3]

x=sqrt(5) - точка минимума, производная при переходе через точку меняет знак с - на +

( см. теорему достаточное условие экстремума)

y_(наим. [-2;3])=y(sqrt(5))=-2*[m]\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2+5}=-1[/m]

Ответ выбран лучшим

в отношении 3:2 считая от высоты ( это неверно)

Считаю от вершины:

SP:PO=3:2

SP:SO=3:5

S_(сечения):S_( осн)=3^2:5^2

S_( осн)=60 ⇒ S_(сечения)=(9/25)*60=108/5=21,6 cм^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию : U ≥ 1

2*cos(150 ° *t-60 ° ) ≥ 1 ⇒

cos(150 °*t-60 ° ) ≥ 1/2

-arccos(1/2)+360°*n ≤ (150°*t-60°) ≤ arccos(1/2)+360°*n, n ∈ Z

⇒
-(60°)+360°*n ≤ (150°*t-60°) ≤ (60°)+360°*n, n ∈ Z

60°-(60°)+360°*n ≤ (150°*t-60°) ≤ (60°)+60°+360°*n, n ∈ Z

360°*n ≤ 150°*t ≤ 120°+360°*n, n ∈ Z ( Делим на 150 ° )

[b]2,4*n ≤ t ≤ 0,8+2,4*n, n ∈ Z[/b]

Сигнал имеет периодичность 2,4 с

Так как нас интересует первая секунда, n=0

[b]0 ≤ t ≤ 0,8[/b]

Значит лампочка загорится с начала работы и погаснет через 0,8 с

Значит будет гореть 0,8 c

О т в е т. 80%

Ответ выбран лучшим

y=f(x_(o))+f `(x_(o))*(x-x_(o))

x_(o)=2
f(x_(o))=2^2+3*2+5=15

f `(x)=2x+3

f `(x_(o))=2*2+3=7

y=15+7*(x-2)

[b]y=7x+1[/b] - о т в е т

= ∫ _(D_(1))+ ∫ _(D_(2))=

D_(1):
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ x ≤ y

D_(2):
1 ≤ y ≤ 2
0 ≤ x ≤ sqrt(2-y) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВС- равносторонний
АВ=ВС=АС=1

AO ⊥ BC

O(0;0;0)

Н- точка пересечения высот, медиан, биссектрис

АН:НО=2:1 ⇒ НО=[m]\frac{1}{3}AH[/m]

H([m]\frac{\sqrt{3}}{6};0;0[/m])

АО=[m]\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/m]

По теореме Пифагора
HD^2=DA^2-AO^2=1-[m](\frac{\sqrt{3}}{3})^2[/m]

D([m]\frac{\sqrt{3}}{6};0;\sqrt{\frac{2}{3}}[/m])

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма углов четырехугольника АРВТ равна 360 °
∠ АТВ=180 ° -70 ° =110 ° ( сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180 ° )

∠ РАТ=90 ° (РА ⊥ МТ)
∠ РВТ=90 ° (РВ ⊥ КТ)

∠ АРВ=360 ° - ∠ РАТ-∠ РВТ- ∠ АТВ=360 ° -90 ° -90 ° -110 ° =70 °

О т в е т. 70 ° (прикреплено изображение)

x^2+6x+9=(x+3)^2

sqrt(x^2+6x+9)=|x+3|

a=||x+3|-1|+2

Строим график y=||x+3|-1|+2

a=2; a>3

Наименьшее 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

=3(-cosx)-sinx)|^(π)_(0)=-3cosπ-sinπ+3cos0+sin0=(-3)*(-1)-0+3*1+0=6

Ответ выбран лучшим

x>0; x ≠ 1
По свойству степени a^(n^2)=a^(n*n)=(a^(n))^(n)

[m]5^{log^2_{5}x}=(5^{log_{5}x})^{log_{5}x}=x^{log_{5}x}[/m]

Поэтому

[m]x^{log_{5}x}+x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]

[m]2\cdot x^{log_{5}x} ≥ 2\sqrt[4]{5}[/m]

[m]x^{log_{5}x} ≥ \sqrt[4]{5}[/m]

Логарифмируем по основанию [b]5[/b]

Логарифмическая функция с основанием 5 возрастающая, знак неравенства сохраняется:

[m]log_{5}x^{log_{5}x} ≥log_{5}5^{\frac{1}{4}}[/m]

свойства логарифма степени:

[m]log_{5}x\cdot log_{5}x ≥\frac{1}{4}[/m]

[m]log^2_{5}x-\frac{1}{4} ≥ 0[/m]

[m](log_{5}x-\frac{1}{2})(log_{5}x+\frac{1}{2}) ≥ 0[/m]

[m]-\frac{1}{2} ≤ log_{5}x ≤ \frac{1}{2}[/m]

[m]-\frac{1}{2} log_{5}5≤ log_{5}x ≤ \frac{1}{2} log_{5}5[/m]

[m] log_{5}5^{-\frac{1}{2}} ≤ log_{5}x ≤ log_{5}5^{ \frac{1}{2}}[/m]

[m] 5^{-\frac{1}{2}} ≤x ≤5^{ \frac{1}{2}}[/m]

О т в е т. [1/sqrt(5); sqrt(5)]

Ответ выбран лучшим

a=-1; a=-2
Сумма -3 (прикреплено изображение)

k=0,4 (прикреплено изображение)

|x-5|=t

at^2-at+5=0

D=a^2-4a*5=a^2-20a

D≥ 0 квадратное уравнение имеет два корня t_(1) и t_(2)

Причем по теореме Виета
t_(1)+t_(2)=1
t_(1)*t_(2)=5/a

Обратный переход
|x-5|=t_(1) или |x-5|=t_(2)

Чтобы выполнялось требование задачи- одно из этих уравнений не должно иметь корней, значит одно из чисел t_(1) или t_(2)
отрицательно, значит их произведение отрицательно

{a^2-20a ≥ 0 ⇒ a*(a-20) ≥ 0 ⇒ a ≤ 0 или a ≥ 20
{5/a < 0 ⇒ a < 0 ⇒ положительных а нет ???

Ответ выбран лучшим

|x^2-6|-a+8=-3 или |x^2-6|-a+8=3

|x^2-6|+11=a или |x^2-6|+5=a

Cм графическое решение каждого уравнения.

О т в е т. Прямая y=11 имеет 5 точек пересечения с графиками
и y=20

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2-a+1=-3 или x^2-a+1=3
x^2-a+4=0 или x^2-a-2=0
D=a^2-16 или D=a^2+8 >0 при любом а, значит второе уравнение имеет два корня.

Чтобы выполнялось требование задачи, первое уравнение должно иметьодин корень.
А это возможно, если D первого уравнения равен 0

a^2-16=0
a= ± 4

Их сумма равна 0
О т в е т. 0

Ответ выбран лучшим

В вершине параболы y=35+2x-x^2

-2х+2=0

x=1

y_(наиб)=sqrt(35+2*1-1^2)=sqrt(36)=[b]6[/b]

Ответ выбран лучшим

f`(x_(o))=k_(касательной)

f`(x)=2x+b

x_(o)=5

f`(5)=2*5+b

k_(касательной)=3

2*5+b=3

b=-7

(5;0) находится на касательной и на кривой.

f(5)=0
0=5^2+b*5+c ⇒ 25+(-7)*5+с=0 ⇒ с=1-

О т в е т.b=-7; с=-10

f(x)- возрастает ⇒ f`(x) >0

x_(1); x_(3), x_(5),x_(7)

S_( Δ) находим по формуле Герона
p=(11+14+19)/2=22

S=sqrt(22*(22-11)*(22-14)*(22-19))=66

Большая высота проведена к меньшей стороне.

S_( Δ)=(1/2)*a*h ⇒ h=2S/a=2*66/11=12

S_(cечения)=S_(прямоугольника)=12*7sqrt(3)=84sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
sinx>0 ⇒ 2πm < x < π+2πm, m ∈ Z ( 1 и 2 четверти, без точек πk)

2cos^2x+11cosx+5=0 или log_(18)(sinx)=0

2*t^2+11*t+5=0 или sinx=18^(0)

D=11^2-4*2*5=81 или [b] sinx=1[/b] ⇒ [b]x=(π/2)+2πm, m ∈ Z
[/b]

cosx=1/2 или cosx=-5 ( это уравнение не имеет корней, |cosx| ≤ 1)

cosx=1/2 ⇒ x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

Корни х= - (π/3)+2πn, n ∈ Z не удовл ОДЗ, так как находятся в 4-й четверти.

О т в е т. [b]x=(π/2)+2πm, m ∈ Z; (π/3)+2πn, n ∈ Z
[/b]

Ответ выбран лучшим

15=3*5

15^(cosx)=(3*5)^(cosx)=3^(cosx)*5^(cosx)

3^(cosx)*5^(cosx)=3^(cosx)*5^(sinx)

Переносим влево и раскладываем[b] на множители ![/b]

3^(cosx)*5^(cosx)-3^(cosx)*5^(sinx)=0

3^(cosx)*(5^(cosx)-5^(sinx))=0

3^(cosx) >0 при любом х, показательная функция принимает только положительные значения, график любой показательной функции выше оси Ох!)

5^(cosx)-5^(sinx)=0

5^(cosx)=5^(sinx) ⇒ cosx=sinx

Это однородное тригонометрическое уравнение

Делим на cosx ≠ 0

tgx=1

[b]x=(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

б)(π/4)+5π=[b]21π/4[/b] ∈ [5π;13π/2]=[20π/4; 26π/4]
(π/4)+6π=[b]25π/4[/b] ∈∈ [5π;13π/2]=[20π/4; 26π/4]

20π/4 < [b]21π/4[/b]<26π/4

20π/4 < [b]25π/4[/b]<26π/4

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения

cos(x-(π/2))=sinx

Уравнение принимает вид:

2sin^3x=sinx

Переносим в одну часть и[b] раскладываем на множители![/b]

2sin^3x-sinx=0

sinx*(2sin^2x-1)=0

sinx=0 или 2sin^2x-1=0

sinx=0 ⇒ x=πm, m ∈ Z

2sin^2x-1=0 ⇒ sin^2x=1/2 ⇒ sinx=-1/sqrt(2) или sinx=1/sqrt(2)

sinx=-1/sqrt(2) ⇒ x=(-1)^(k)*(-π/4)+πk, k ∈ Z

sinx=1/sqrt(2)⇒ x=(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z

Можно объединить в одну формулу:
x=(π/4)+(π/2)n, n ∈ Z

О т в е т. а) πm; (π/4)+(π/2)n, m, n ∈ Z

б) - (5π/4); -π; -(3π/4)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos^2x=1-sin^2x

4*(1-sin^2x)+4sinx-1=0

4sin^2x-4sinx-3=0

D=16-4*4*(-3)=64

sinx=-1/2 или sinx=3/2 ( это уравнение не имеет корней, синус ограничен отрезком [-1;1], график внутри полосы y=-1; y=1)

sinx=-1/2

[m]x=(-1)^{k}arcsin (-\frac{1}{2})+\pi k, k ∈ Z[/m]
[m]x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{6})+\pi k, k ∈ Z[/m]

О т в е т. а)[m]x=(-1)^{k[red]+[/red]1}(\frac{\pi}{6})+\pi k, k ∈ Z[/m]

б)

при k=2n ( при четных)[m]x=-\frac{\pi}{6}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

или

при k=2n+1( при нечетных) [m]x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

Тогда отбор корней:
[m]x=-\frac{\pi}{6}+ 2\pi =\frac{11\pi}{6}[/m]
[m]x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{7\pi}{6}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4^(x-(1/2))=4^(x)*4^(-1/2)=4^(x)*(1/2)

2^(x-1)=2^(x)*2^(-1)=2^(x)*(1/2)

4^(x)*(1/2)-5*2^(x)*(1/2)+3=0

Умножаем на 2:

4^(x)-5*2^(x)+6=0

2^(x)=t

4^(x)=t^2

t>0

t^2-5t+6=0

t_(1)=2; t_(2)=3

2^(x)=2 ⇒ x=1

2^(x)=3 ⇒ 2^(x)=2^(log_(2)3) ⇒ x=log_(2)3

О т в е т.
a)1; log_(2)3

б)1 ∉ (1;(5/3))
log_(2)3 ∈ (1; 5/3)

Очевидно, что 1 < log_(2)3=log_(2)∛27 < log_(2)∛32

Так как

(5/3)=(5/3)*1=(5/3)*log_(2)2=log_(2)2^(5/3)=log_(2)∛32

Ответ выбран лучшим

Производная сложной функции по формуле:

(27*u^(1/3))=27*(1/3)*u^(-2/3)*u`=9u`/∛(u)^2

и так три раза

f`_(x)=9(x+y^2+z^3)`_(x)/∛(x+y^2+z^3)^2=9/∛(x+y^2+z^3)^2

f`_(y)=9(x+y^2+z^3)`_(y)/∛(x+y^2+z^3)^2=9*2y/∛(x+y^2+z^3)^2=

=18y/∛(x+y^2+z^3)^2

f`_(z)=9(x+y^2+z^3)`_(z)/∛(x+y^2+z^3)^2=9*3z^2/∛(x+y^2+z^3)^2=

=27z^2/∛(x+y^2+z^3)^2

Теперь в точке М_(о)(3;4;2)

f`_(x)(M_(o))=9/∛(3+4^2+2^3)^2=9/∛27=3

f`_(y)(M_(o))=18*4/∛27=24

f`_(z)(M_(o))=27*2^2/∛27=4

Ответ выбран лучшим

Выражение под корнем четной степени не должно быть отрицательным:
6-х ≥ 0 ⇒ -х ≥ -6 ⇒ x ≤ 6
Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
[m]\sqrt[4](6-x)[/m] ≠ 0 ⇒ 6-x ≠ 0 ⇒ x ≠ 6

Получаем:

x <6

О т в е т. (- ∞ ;6)

Ответ выбран лучшим

Разделим на 2 части

S_(1)=S_(треуг)=(1/2)a*h=(1/2)4*6=12

S_(2)=S_(трапеции)=(1/2)(a+b)*h=(1/2)(4+8)*2=12

S=S_(1)+S_(2)=12+12=24 (прикреплено изображение)

А(3;2)
В(-3;1)
С(-3;-4)
D(5;-4) (прикреплено изображение)

∠ AMD=(1/2) ∪ AD-(1/2) ∪ BC ( cм. 4-ую колонку)

∪ BC= ∪ AD-2 ∠ AMD=115 ° -2*45 ° =25 °

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4x^4+28 >0 при любом х
5x^2+1>0 при любом х

log_(2)(4x^4+28)=log_(2)(4*(x^4+7))=log_(2)4+log_(2)(x^4+7)=2+log_(2)(x^4+7)

log_(sqrt(2))sqrt(5x^2+1)=log_(2)(5x^2+1) ( см. приложение формула 11)

Уравнение:
log_(2)(x^4+7)=log_(2)(5x^2+1) ⇒

x^4+7=5x^2+1 - биквадратное уравнение

x^4-5x^2+6=0

x^2=2 или x^2=3

x= ± sqrt(2); x= ± sqrt(3)

О т в е т.
а)± sqrt(2); ± sqrt(3).

б)
-9/5=-1,8
7/5=1,4

sqrt(2) ≈ 1,41 >1,4=7/5;
sqrt(3) ≈ 1,7 > 1,4=7/5

sqrt(2) ∉ [-9/5;7/5]
sqrt(3) ∉ [-9/5;7/5]

-sqrt(2) ≈ -1,41 >-1,8=-9/5
-sqrt(3) ≈ 1,7 > -1,8=-9/5

-sqrt(2) ∈ [-9/5;7/5]
-sqrt(3) ∈ [-9/5;7/5]

О т в е т б)-sqrt(2) ∈ [-9/5;7/5]:-sqrt(3) ∈ [-9/5;7/5]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-1 ≤ x+y ≤ 1

{x+y ≤ 1
{x+y ≥ -1

Прямая x+y=1 pазбивает плоскость на две части
Плоскость x+y=-1 pазбивает плоскость на две части
Две плоскости, параллельные оси Оz
Область определения часть плоскости между прямыми.

Ответ выбран лучшим

Точки, в которых касательная || оси ОХ
Таких точек 6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]log_(7)343[/b]=log_(7)7^(3)=[b]3[/b]

log_(3)([b]log_(7)343[/b])=log_(3)[b]3[/b]=1

{x=t^2/4 ⇒ t=2sqrt(x)
{y=t-(t^3/24) ⇒ y=2sqrt(x)-[m]\frac{1}{3}[/m]sqrt(x^3)

Формула:
L= ∫ ^(b)_(a)sqrt(1+(y`)^2)dx

y`=(2sqrt(x)-[m]\frac{1}{3}[/m]sqrt(x^3))`

y`=[m]\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2}[/m]

(y`(x))^2=[m]\frac{1}{x}-1+\frac{x}{4}[/m]

1+(y`(x))^2=[m]\frac{1}{x}+\frac{x}{4}[/m]

L= ∫ ^(1/4)_(0)sqrt([m]\frac{1}{x}+\frac{x}{4}[/m])dx=

= ∫ ^(1/4)_(0)[m]\frac{\sqrt{4+x^2}}{2\sqrt{x}}[/m]dx

cм. интегрирование иррациональных функций.
Можно тригонометрические подстановки

[b]x=2tgz[/b]

Можно подстановки Чебышева.

Ответ выбран лучшим

S_(прямоугольника)=14*18=252 cм^2

S_(прямоугольника)= S_(круга)

S_(круга)=252

S_(круга)=πR^2

πR^2=252

R^2=[m]\frac{252}{\pi}[/m]

R=[m]\sqrt{\frac{252}{\pi}}[/m]

Ответ выбран лучшим

S_(круга)=πR^2

πR^2=169π

R^2=169

R=[b]13[/b]

S_(квадрата)=a^2

a=R=13

S_(квадрата)=13^2=[b]169[/b]

Ответ выбран лучшим

y/x=u ⇒ y=x*u ⇒ y`=x`*u+x*u`

так как x`=1, ( х - независимая переменная)

y`=u+xu`

Подставляем в уравнение:

2*(u+x*u`)=1+u

2*u+2x*u`=1+u

2x*u`=1-u

u`=du/dx

2xdu=(1-u)dx - уравнение с разделяющимися переменными

2du/(1-u)=dx/x

∫ 2du/(1-u)= ∫ dx/x

-2ln|1-u|=ln|x|+lnC

[b]Cx=1/(1-u^2) [/b] где u=(y/x)

y^2=R^2-x^2
y=sqrt(R^2-x^2)- уравнение окружности в верхней полуплоскости

в первой четверти

0 ≤ x ≤ R

dl=sqrt(1+(y`)^2)dx

y`=(1/2sqrt(R^2-x^2))*(R^2-x^2)`=-2x/(2sqrt(R^2-x^2))=-x/sqrt(R^2-x^2)

1+(y`)^2=1+(x^2)/(r^2-x^2)=R^2/(R^2-x^2)

sqrt(1+(y`)^2)=R/sqrt(R^2-x^2)

∫ _(L)x^2*ydl= ∫ ^(R)_(0)x^2*sqrt(R^2-x^2)* (R/sqrt(R^2-x^2)dx=

= R∫ ^(R)_(0)x^2dx=r*(x^3/3)|^(R)_(0)=[b]R^4/3[/b]

Ответ выбран лучшим

dl=sqrt((x`_(t))^2+(y`_(t))^2+(z`_(t))^2)dt

x`_(t)=1
y`_(t)=2t
z`_(t)=3t^2

dl=sqrt(1^2+(2t)^2+(3t^2)^2)dt=[blue]sqrt(1+4t^2+9t^4)dt[/blue]

f(x;y;z)=sqrt(1+4y+9xz)=sqrt(1+4t^2+9t*t^3)=sqrt(1+4t^2+9t^4)

∫ _(L)sqrt(1+4y+9xz)dl= ∫ ^(1)_(0)sqrt(1+4t^2+9t^4)[blue]sqrt(1+4t^2+9t^4)dt[/blue]=

= ∫ ^(1)_(0)(1+4t^2+9t^4)dt=(t+(4t^3/3)+(9t^5/5))|^(1)_(0)=

=1+(4/3)+(9/5)=...

Ответ выбран лучшим

[m]y=\frac{x^3-15x+16}{x}[/m]

[m]y=\frac{x^3}{x}-\frac{15x}{x}+\frac{16}{x}[/m]

[m]y=x^2-15+\frac{16}{x}[/m]

[m]y`=(x^2-15+\frac{16}{x})`[/m]

[m]y`=2x-\frac{16}{x^2}[/m]

y`=0

[m]2x-\frac{16}{x^2}=0[/m]
x^2 ≠ 0

[m]2x^3-16=0[/m]

[m]x^3=8[/m]

[m]x=2[/m]- точка возможного экстремума

2 ∈ [1;7]

Проверяем знак производной на [1;7]:

[1] __-__ (2) ___+__ [7]

x=2- точка минимума

В этой точке наименьшее значение

y(2)=2^2-15+[m]\frac{16}{2}[/m]=-3

О т в е т. y_(наим [1;7])=y(2)=-3

См. рис.
На нем отчетливо видно, что если x=2 - точка минимума, то значения на концах выше, чем (-3)
Поэтому [b]не надо считать значения на концах[/b], если дан отрезок и в нем одна критическая точка
Это пустая трата времени.... (прикреплено изображение)

SO ⊥ пл квадрата

SO ⊥ OK

OK=r(вписанного круга)

SK ⊥ AB по теореме о трех перпендикулярах

SO^2=SK^2-KO^2=(4sqrt(5))^2-8^2=80-64=16

SO=4 (прикреплено изображение)

Функция не определена в точке M_(o)(0;4)

lim_(M → M_(o))f(x;y)=[ замена xy^2=t]= lim_(t → 0)[m]\frac{ln(1+t)}{3t}=\frac{1}{3}[/m]

Функция имеет конечный предел в точке, но не определена в этой точке.

О т в е т. M_(o)- точка устранимого разрыва

z=ln(x^2+y^2)^(1/2)

z=(1/2)ln(x^2+y^2)

z`_(x)=(1/2)*[m]\frac{(x^2+y^2)`_{x}}{x^2+y^2}[/m]

z`_(y)=(1/2)*[m]\frac{(x^2+y^2)`_{y}}{x^2+y^2}[/m]

z`_(x)=[m]\frac{x}{x^2+y^2}[/m]

z`_(x)=[m]\frac{y}{x^2+y^2}[/m]

z``_(xx)=([m]\frac{x}{x^2+y^2}[/m])`_(x)

z``_(xy)=([m]\frac{x}{x^2+y^2}[/m])`_(y)

z``_(yy)=([m]\frac{y}{x^2+y^2}[/m])`_(y)

Применяем формулу производная частного.

2+x-x^2=x+2
x^2=0
x=0

Указанные линии имеют одну общую точку. Нет фигуры, которую они образуют.
(прикреплено изображение)

F(x;y;z)=[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1[/m]

F`_(x)=[m]\frac{2x}{a^2}[/m]

F`_(y)=[m]\frac{2y}{b^2}[/m]

F`_(z)=[m]\frac{2z}{c^2}[/m]

z`_(x)=[m]-\frac{F`_{x}}{F`_{z}}=-\frac{c^2x}{a^2z}[/m]

z`_(y)=[m]-\frac{F`_{y}}{F`_{z}}=-\frac{c^2y}{b^2z}[/m]

vector{AB}+vector{BC}=vector{AC}, поэтому

vector{AC}+vector{CD}=vector{AD}

vector{AC}+vector{CD}+vector{DF}=vector{AD}+vector{DF}=vector{AF}

vector{AF}+vector{FA}=0

vector{AC}+vector{CD}+vector{DF}+vector{FA}=vector{AF}+vector{FA}=0

vector{KM}+[b]vector{DF}[/b]+[b]vector{AC}[/b]+vector{FK}+[b]vector{CD}[/b]+vector{FА}

=vector{KM}+( (vector{AC}+vector{CD})+vector{DF})+vector{FА}+vector{FK}=

=vector{KM}+vector{FK}=vector{FK}+vector{KM}=vector{FM}

Ответ выбран лучшим

a)(x-7)^2+(y-11)^2=5^2
б)(x-9)^2+(y-4)^2=7^2
в)(x+2)^2+(y-3)^2=1^2
г)(x+3)^2+(y+4)^2=2^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=12x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3

f`_(x)=12*3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3
f`_(y)=12x^3*2y-x^4*2y-x^3*3y^2

{f`_(x)=0
{f`_(y)=0

{12*3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3=0 ⇒ 36-4x-3y=0;x=0;y=0
{12x^3*2y-x^4*2y-x^3*3y^2=0 ⇒ 24-2x-3y=0

{36-4x-3y=0
{ 24-2x-3y=0

x=6
y=4

Исследуем эту точку на экстремум.
Находим вторые частные производные

f ``_(xx)=72xy^2-12x^2y^2-6xy^3
f ``_(xy)=72x^2y-8x^3y-9x^2y^2
f ``_(yy)=24x^3-2x^4-6x^3y

Находим вторые частные производные в точке
A=f ``_(xx)(6;4)
B=f ``_(xy)(6;4)
C=f ``_(yy)(6;4)

Δ=AC-B^2

Если Δ>0 есть экстремум в точке
A>0- минимум
А<0 - максимум

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

6^(x)=t

Показательная функция принимает только положительные значения. ⇒

[red]t > 0[/red]

Решаем квадратное уравнение:

t^2-(8a-1)*t+(16a^2-4a-2)=0

D=(8a-1)^2-4*(16a^2-4a-2)=64a^2-16a+1-64a^2+16a+8=9

D>0

Уравнение имеет два корня t_(1) и t_(2)

Обратный переход

6^(x)=t_(1) или 6^(x)=t_(2)

Одно из этих показтельных уравнений не должно иметь корней.

Это возможно только в том случае, когда t_(1) и t_(2)

имеют разные знаки, т.е произведение корней отрицательно

По теореме Виета
t_(1)*t_(2)=16a^2-4a-2

16a^2-4a-2 < 0

(4a-2)*(4a+1) <0

Решаем методом интервалов

__+__ (-1/4) __-___ (1/2) __+___

О т в е т. (-1/4; 1/2)

1.

0,08*35=2,8 г воды

Пусть х г воды надо добавить, тогда общий вес смеси (35+х)
в нем должно быть 86% воды

(2,8+x) - 86% от (35+х)

2,8+х=0,86*(35+х)

2.
16% раствор йода
16% в нем йода

0,16*735 =117,6 г йода в данном растворе

Пусть добавили х г спирта

(735+х) - вес нового раствора

В нем 10% йода, т.е 0,1*(735+х) Это равно 117,6 г

Уравнение:

0,1*(735+х)=117,6 г

Δz ≈ dz

Δz=z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy)-z(x_(o);y_(o))

dz=z`_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+z`_(y)(x_(o);y_(o))* Δy

z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy)-z(x_(o);y_(o)) ≈ z_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+
z_(y)(x_(o);y_(o))* Δy

z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy) ≈ z(x_(o);y_(o))+z`_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+z`_(y)(x_(o);y_(o))* Δy

z=sqrt(x^2+y^2)

x_(o)=1
y_(o)=3
Δx=0,04
Δy=0,01

z(x_(o);y_(o))=sqrt(1^2+3^2)=sqrt(10)

z`_(x)=2x/2sqrt(x^2+y^2)

z`_(y)=2y/2sqrt(x^2+y^2)

z`_(x)(x_(o);y_(o))=2*1/2sqrt(10)=1/sqrt(10)

z`_(y)(x_(o);y_(o))=2*3/2sqrt(10)=3/sqrt(10)

sqrt((1,04)^2+(3,01)^2) ≈ sqrt(10)+(1/sqrt(10))*(0,04+3*0,01)=...

Известно, что число стульев, оставшихся в кабинетах, было одинаковым
Приравняем.
Получаем уравнение:
x-9=2x-34

2x-x=34-9
x=25

О т в е т. 25

S_( Δ ABC)=(1/2)*AB*AC*sin ∠ BAC

60=(1/2)*AB*15*(1/2)

AB=16

Ответ выбран лучшим

1)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВС - равнобедренный, ∠ А= ∠ С

Cумма углов треугольника АВС равна 180 °

[red]∠В=54 ° [/red]

∠ А + ∠ С=180 ° -[red]54 ° [/red]=126 ° ⇒ ∠ А= ∠ С=53 °

Cумма острых углов прямоугольного треугольника АМС равна 90 °

∠ МАС=90 ° - ∠ С=90 ° -53 ° =[b]27 ° [/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Обобщенные полярные координаты
x=3*r*cos φ
y=4*r*sin φ ⇒ (x^2/9)+(y^2/16)=1 ⇒ r^2=1 ⇒ r=1

Якобиан
abr=[red]3*4*r[/red]

y=4sqrt(3)*x

4*r*sin φ =4*sqrt(3)*3*r*cos φ ⇒ tg φ =3sqrt(3) ⇒ φ =arctg 3sqrt(3)
y=-4x/sqrt(3)
4*r*sin φ =-4*3*r*cos φ/sqrt(3) ⇒ tg φ =-sqrt(3) ⇒ φ =2π/3

= ∫^(1)_(0) dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))(3*r*cos φ )^2*(4*r*sin φ )^2* ([red]12 r[/red])d φ =

=3^2*4^2*12 ∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))((1+cos 2φ )/2)*((1-cos2φ)/2 ) d φ =

=432∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))(1-cos^2 2φ )d φ =

=432∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))(sin^2 2φ )d φ =

=432∫^(1)_(0)r^5 dr ∫ ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3))((1-cos4φ )/2)d φ =

=216*(r^6/6)|^(1)_(0) ( φ -(1/4)sin4 φ )| ^(2π/3)_(arctg3sqrt(3)) =...

Ответ выбран лучшим

НM проводим и продолжаем до пересечения с АВ
Получаем точку Е

НК проводим и продолжаем до пересечения с ВC
Получаем точку F

EF - след секущей плоскости на АВСD

EF проходит через точку D

Это следует из подобия FHB и FKC
FC=BC

АС - средняя линия Δ ВFE

Сечение МНКD- искомое сечение

(прикреплено изображение)

Составляем уравнение прямой:
[b]y=kx[/b]

π/3=k*(π/6)
[b]k=2[/b]

y=[green]2x[/green]
dy=[blue]2dx[/blue]

= ∫ ^(π/6)_(0) (cosx-[green]2x[/green])dx+(x+tg[green]2x[/green])[blue]2dx[/blue]=

определенный интеграл
=[b]2[/b]*∫ ^(π/6)_(0) (cosx-2x+x+tg2x)dx=

=[b]2[/b]*(sinx-(x^2/2)-(1/2)ln|cos2x|)|^(π/6)_(0)=...

A(-1:1)
B(3;1)
C(3;2)

∫ ^(C)_(A)= ∫ ^(B)_(A)+ ∫ ^(C)_(B)

Считаем первый
от А до В
y=1 - уравнение АВ
dy=0
∫ ^(B)_(A)
это определенный интеграл
∫ ^(3)_(-1)(2*1*x)dx-(1-x^2)*0= ∫ ^(3)_(-1)(2*1*x)dx=... считаем

Считаем второй
от В до С
x=3 - уравнение ВC
dx=0
∫ ^(C)_(B)
это определенный интеграл
∫ ^(2)_(1)(2*y*3)*0-(y-3^2)*dy= ∫ ^(2)_(1)(9-y)dy=... считаем

Cкладываем два ответа..

Ответ выбран лучшим

p=0,6 - вероятность того, что изделие признано стандартным
q=1-p=1-0,6=0,4 - вероятность того, что изделие НЕ признано стандартным

X=0;1;2;3;4;5

Считаем шесть раз вероятности по формуле Бернулли
X=0 - все изделия не признаны стандартными
p_(0)=С^(0)_(5)p^(0)q^(5)=0,4^5
X=1 - одно изделие признано стандартным
p_(1)=С^(1)_(5)p^(1)q^(4)=0,6*0,4^4
...

X=5
p_(5)=С^(5)_(5)p^(5)q^(0)=0,6^5

Закон - это таблица
в верхней строке значения Х от 0 до 5
во второй их вероятности.

Как считать М.о., дисперсию и ср. кв. отклонение см. здесь

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=31748

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=31842

Ответ выбран лучшим

1)Все написано.
Теорема синусов
АС/sin ∠ B=BC/sin ∠ A

10/sin70 ° =BC/sin54 °

Пропорция.

BC=10*sin54 ° /sin70 ° Калькулятор и считаем...

2.
Теорема косинусов:
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos ∠ A=

=5^2+8^2-2*5*8*cos70 ° =...

S_(осн)=49π
S_(осн)=π*R^2 ⇒ π*R^2=49*π ⇒ R^2=49 ⇒ R=7

S_(бок. конуса)=π*R* L=π*7*9=63π

Ответ выбран лучшим

1)
S_(квадрата)=a^2; где а - сторона квадрата

64=a^2 ⇒ a=8

a=H=2R

Н=8
2R=8
R=4

О т в е т. H=8; R=4

2.
S_(прямоугольника)=a*b

a*b=60
a=10
b=60/a=60/10=6

Одна сторона прямоугольника 6, другая 10
Меньшая -6

Вращают вокруг меньшей.

Значит Большая сторона -радиус

S_(осн)=πR^2=π*10^2=100π

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

диаметр его основания равен 12 см ⇒ R=6 см

H^2=L^2-R^2=12^2-6^2=144-36=108

H=sqrt(108)=6sqrt(3)

V=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*6^2*6sqrt(3)=72sqrt(3)*π

Ответ выбран лучшим

r^2_(cечения)=R^2-d^2=12^2-8^2=144-64=80

s_(сечения)=π*r^2_(cечения)=π*80=[b]80π[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
|ab|=sqrt((5-3)^2+(8-4)^2)=sqrt(2^2+4^2)=sqrt(20)
|bc|=sqrt((9-5)^2+(6-8)^2)=sqrt(4^2+(-2)^2=sqrt(20)
|ac|=sqrt((9-3)^2+(6-4)^2)=sqrt(6^2+2^2)=sqrt(40)

Треугольник равнобедренный

b)
x_(к)=(x_(a)+x_(c))/2=(3+9)/2=6
y_(к)=(y_(a)+y_(c))/2=(4+6)/2=5

с)
Треугольник равнобедренный
вк- медиана и высота

|вк|=sqrt((6-5)^2+(5-8)^2)=sqrt(1+9)=sqrt(10)

S_( Δ авс)=(1/2) ac*вк=(1/2)*sqrt(40)*sqrt(10)=(1/2)sqrt(400)=(1/2)*20=[b]10[/b]

H=[blue]2R[/blue]

([blue]2R[/blue])^2+H^2=(6sqrt(2))^2

([blue]2R[/blue])^2+([blue]2R[/blue])^2=72

[blue]8R[/blue]^2=72
[blue]R[/blue]^2=9

S_(осн)=π[blue]R[/blue]^2=π*9=[b]9π[/b]

Ответ выбран лучшим

H=5 - катет против угла в 30 градусов
R^2=10^2-5^2=100-25=75
R=5sqrt(3)
Диаметр
D=2R=2*5sqrt(3)=10sqrt(3)

S=(1/2)D*H=(1/2)*10sqrt(3)*5=25sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{2^{x}\cdot 11^{x}-8\cdot 11^{x}}{(x\cdot 2^{x}-10\cdot 2^{x})-(8x-80)}-\frac{1}{x-10} ≤ 0[/m]

[m]\frac{11^{x}(2^{x}-8)}{2^{x}(x-10)-8(x-10)}-\frac{1}{x-10} ≤ 0[/m]

[m]\frac{11^{x}(2^{x}-8)}{(x-10)(2^{x}-8)}-\frac{2^{x}-8}{(x-10)(2^{x}-8)} ≤ 0[/m]

[m]\frac{11^{x}(2^{x}-8)-(2^{x}-8)}{(x-10)(2^{x}-8)} ≤ 0[/m]

[m]\frac{(2^{x}-8)(11^{x}-1)}{(x-10)(2^{x}-8)} ≤ 0[/m]

Применяем обобщенный метод интервалов.

Нули числителя:

[m]2^{x}-8=0[/m] или [m]11^{x}-1=0[/m]

x=3 или x=0

Нули знаменателя:
[m]2^{x}-8=0[/m] или [m]x-10=0[/m]

x=3 или х=10

_+___ [0] __-__ (3) ___-___ (10) ___+___

О т в е т. [0;3)U(3;10)

Ответ выбран лучшим

1.
25-4а=25-4*4=25-16=9

2.
1-4а=1-4*(-6)=1+24=25

3.
64-80с=64-80*(-1)=64+80=144

4.
b^2+1120=36+1120=1156

5.
b^2+55=(-3)^2+55=9+55=64 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sqrt(3x+4)=2+sqrt(x)

Возводим в квадрат

3х+4=4+4sqrt(x)+x

4sqrt(x)-2x=0
2sqrt(x)*(2-sqrt(x))=0

sqrt(x)=0 ⇒ x=0

2-sqrt(x)=0 ⇒ x=4

Проверка.
обязательна, так как возводили в квадрат и могли преобрести
посторонние корни.

О т в е т. 0; 4

Ответ выбран лучшим

1.
|vector{a}|=sqrt((-1)^2+(-5)^2+(-3)^2)=sqrt(35)

О т в е т. А

2.
7^(x) ≤ 7^(-3) ⇒ x ≤ -3

О т в е т. D

3.
3x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1/3

О т в е т. А

Ответ выбран лучшим

[m]d(arctg2x)=(arctg2x)`dx=\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot (2x)`dx=\frac{1}{1+4x^2}\cdot 2=[/m][m]=\frac{2}{1+4x^2}dx[/m] ⇒

[m]\frac{1}{4+x^2}dx=\frac{1}{2}d(arctg2x)[/m]

∫ ^(+ ∞ )_(0)[m](arctg2x)^{\frac{1}{2}})\cdot \frac{1}{2}d(arctg2x)=[/m]

[m]= \frac{1}{2}\cdot \frac{(arctg2x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=

[m]=\frac{1}{3}(arctg2x)^{\frac{3}{2}}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=

[m]=\frac{1}{3}(\frac{\pi}{2})^{\frac{3}{2}}-0=[/m]

[m]=\frac{\pi}{6}\cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}}[/m]

y`=3*3x^2+2*2x-2

y`=9x^2+4x-2

y`(1)=9*1^2+4*1-2=11

О т в е т. С

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

sqrt(x)=t
x=t^2
dx=2tdt

Пределы:
x=1 ⇒ t=1
x=4 ⇒ t=2

= ∫ ^(2)_(1)[m]\frac{2t}{1+t}dt[/m]= неправильная дробь выделяем целую часть

=2∫ ^(2)_(1)[m]\frac{t+1-1}{1+t}dt[/m]=

=2*∫ ^(2)_(1)([m]1-\frac{1}{1+t})dt[/m]=

=[b]([/b]2t-2ln(1+t)[b])[/b]|^(2)_(1)=

=2*(2-1)-2ln3+2ln2=2+2ln(2/3)

Ответ выбран лучшим

[m]d(arctg\frac{x}{2})=(arctg\frac{x}{2})`dx=\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}\cdot (\frac{x}{2})`dx=\frac{4}{4+x^2}\cdot \frac{1}{2}dx=\frac{2}{4+x^2}dx[/m] ⇒

[m]\frac{1}{4+x^2}dx=\frac{1}{2}d(arctg\frac{x}{2})[/m]

∫ ^(+ ∞ )_(0)[m](arctg\frac{x}{2})^{-\frac{1}{2}})\cdot \frac{1}{2}d(arctg\frac{x}{2})=[/m]

[m]= \frac{1}{2}\cdot \frac{(arctg\frac{x}{2})^{-\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}}[/m]|^(+ ∞ )_(0)=

=sqrt((π/2))-0=sqrt((π/2))

Ответ выбран лучшим

1.
а)Нет. Не выполняется неравенство треугольника.
2+4=6
б) нет
2,4+2=4,4 < 4,8

в) да

7< 3+5
5<7+3
3<7+5

2.
Cумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов.
∠ А=90 ° - ∠ В=90 ° -60 ° =30 °

Катет ВС против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

О т в е т. ВС=24

3.
Это биссектриса угла АВС

|vector{b}|=sqrt((-1)^2+2^2)=sqrt(5)

(vector{a}*vector{b})=|vector{a}|*|vector{b}|*cos ∠( vector{a},vector{b}) ⇒ (vector{a}*vector{b})=2

С другой стороны
(vector{a}*vector{b})=x_(a)*x_(b)+y_(a)*y_(b)

Два условия:
(vector{a}*vector{b})=2
vector{b}|=1

приводят к системе:
{x_(a)*x_(b)+y_(a)*y_(b)=2
{sqrt(x^2_(b)+y^2_(b))=1

{x_(b)+2y_(b)=2 ⇒ x_(b)=2-2y_(b)
{x^2_(b)+y^2_(b)=1

(2-2y_(b))^2+y^2_(b)=1 ⇒ кв. уравнение: 5y^2_(b)-8y_(b)+3=0;D=4

Ответ выбран лучшим

1.

[m]\frac{11}{14}-\frac{1}{6}=\frac{33}{42}-\frac{7}{42}=\frac{33-7}{42}=\frac{26}{42}=\frac{13}{21}[/m]

[m]\frac{7}{39}\cdot \frac{13}{21}=\frac{7\cdot 13}{39\cdot 21}=\frac{1}{9}[/m]

2.

[m]\frac{24}{49} : \frac{6}{7}=\frac{24}{49}\cdot \frac{7}{6}=\frac{24\cdot 7}{49\cdot 6}=\frac{4}{7}[/m]

[m]\frac{4}{7}+\frac{1}{14}=\frac{8}{14}+\frac{1}{14}=\frac{9}{14}[/m]

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ e^([b]u[/b])d[b]u[/b]=e^([b]u[/b])+C

u=[b]x^2[/b]
du=2xdx

xdx=(1/2)du

xdx=(1/2)d([b]x^2[/b])

О т в е т. ∫^(1)_(0) xe^(x^2)dx=(1/2) ∫^(1)_(0) e^([b]x^2[/b])d([b]x^2[/b])=(1/2)*e^([b]x^2[/b])|^(1)_(0)=(1/2)*[b](e-1)[/b]

Ответ выбран лучшим

1.

Пусть [b]х[/b] кур и[b] (19-х)[/b] поросят

У курицы [b] две[/b] ноги, значит всего у х кур
[b]2х[/b] ног

У поросенка 4 ноги, значит у всего у (19-х)поросят
[b]4*(19-х)[/b] ног

По условию у всех кур и у всех поросят 54 ноги.
уравнение:
[b]2x+4*(19-x)=54[/b]

2.

[b]Всего 10 животных .
[/b] Коров и гусей, или поросят и кур.
Важно, что у одних по две ноги. У ДРУГИХ - 4
Нельзя брать коров и поросят. Нельзя гусей и кур.
А именно двуногих и четвероногих

[b]Всего 38 ног[/b]

Во дворе бегают куры и поросята, причем число голов равно 10, а число ног – 38. Сколько тех и других?

3.

2x+4*(72-x)=200

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2–2=0
k1=-sqrt(2); k2=sqrt(2)– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(-sqrt(2)*x)+C_(2)e^(sqrt(2)*x)

y_(част)=Ax^2+B·x +C

y`=2Ax+B

y``=2A

2A-(Ax^2+Bx+C)=x^2

-A=1
-B=0
2A-C=0

A=-1
C=-2

y_(част)=-x^2-2

y=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)e^(-sqrt(2)*x)+C_(2)e^(sqrt(2)*x)-x^2-2

Ответ выбран лучшим

Среднее:

18,4*5+18,6*10+19,3*20+19,6*15=

Дисперсию:

(18,4-найденное среднее)^2*5+(18,6-найденное среднее)^2*10+(19,3-найденное среднее)^2*20+(19,6-найденное среднее)^2*15=...

среднеквадратичное отклонение = корень квадратный из дисперсии

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Cосчитайте сколько раз встречается:
3-
4-
5-

n= сколько всего здесь чисел
m_(1)/n - частота троек
m_(2)/n - частота четверок
m_(3)/m - частота пятерок

Это и будет ряд:

3 4 5 - первая строка таблицы
во второй дроби, которые найдете

Ответ выбран лучшим

V= ∫ ∫ _(D)(x^2+y^2)dxdy

D: x^2+y^2=4 - круг радиуса 2

Полярные координаты

V= ∫ ^(2π)_(0)d φ ∫ ^(2)_(0)r*(r^2)dr=

= ∫ ^(2π)_(0)d φ(r^4/4)|^(2)_(0)=

=4* ∫ ^(2π)_(0)d φ =4* φ |^(2π)_(0)=[b]8π[/b]

Ответ выбран лучшим

y=e^(x) ⇒ x=lny

= ∫ ^(2)_(1)dy( ∫ ^(lny)_(0)e^(x+y)dx)=

=∫ ^(2)_(1) e^(y)dy( ∫ ^(lny)_(0)e^(x)dx)=

=∫ ^(2)_(1) e^(y)dy (e^(x))|^(lny)_(0)=

e^(lny)=y - основное лог таждество

=∫ ^(2)_(1) e^(y)*(y-1)dy=

=по частям: u=y-1; dv=e^(y)dy

=((y-1)*e^(y))|^(2)_(1)-(e^(y))|^(2)_(1)= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

cos((π/4)- β )*cos((π/4)+ β )=(1/2)cos((π/4)- β +(π/4)+ β )*cos((π/4)- β -(π/4)- β )=(1/2)*cos(π/2)*cos(-2 β )=(1/2)*0*(-cos2 β )=0

2.

Сгруппировать:

(sin α +sin5 α )+sin3 α

Применить формулу

sin α +sin β =2sin( (α + β )/2) * cos (( α - β )/2)

(sin α +sin5 α )=2*sin3 α * cos(-2 α )=2*sin3 α *cos 2 α

Аналогично в знаменателе

(cos α +cos5 α )+cos3 α

Применить формулу

cos α +cos β =2cos( (α + β )/2) * cos (( α - β )/2)

cos α +cos5 α=2*cos3 α *cos(-2 α )=2*cos3 α *cos2 α

Вынести за скобки:

sin3 α *(2cos2 α +1)

cos3 α *(2cos2 α +1)

Выражения в скобках одинаковые на них сократить и получим tg3 α

Ответ выбран лучшим

10^(9)=(0,1*10^(-1)+2,1)=10^(9)*(0,01+2,1)=2,11*10^(9)

Осевое сечение проходит через диаметр основания.
И является прямоугольником с основанием 2R=12
высота H=5

d^2=5^2+12^2=169
d=13

sin α =5/13
cos α =12/13
tg α =5/12

α =arcsin(5/13) или α =arccos(12/13) или α =arctg(5/12)

S_(осевого сеч.)=S_(прямоугольника)=12*5=60 кв см

V=πR^2*H=π*6^2*5=180π куб. см

С=2πR=2*π*6=12π см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{LP}+vector{PC}+vector{CA}+vector{AL}=vector{0}

Выразим векторы
vector{PC}
vector{CA}
vector{AL}
через
vector{AB}=vector{a}
vector{AD}=vector{b}
vector{AA_(1)}=vector{c}

vector{PC}=(1/2)vector{C_(1)C}= - (1/2)vector{c}

vector{CA}=-vector{a}-vector{b}, так как
vector {AC}=vector{AB}+vector{BC}=vector{AB}+vector{AD}

vector{AL}=vector{AA_(1)}+vector{A_(1)B_(1)}=vector{c}+(1/2)vector{a}

vector{LP} - (1/2)vector{c}-vector{a}-vector{b}+vector{c}+(1/2)vector{a}=vector{0}

vector{LP} + (1/2)vector{c}-(1/2)vector{a}-vector{b}=vector{0}

vector{LP}=(1/2)vector{a}+vector{b}-(1/2)vector{c} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
=(12x-7+3x-2)/(15x)=(15x-9)/(15x)=(3*(5x-3))/(15x)=(5x-3)/(5x)

б)
=a*(x+y)*(x^2*y)/(xy^2)*3*(x+y)=

=(a*x)/(3y)

Ответ выбран лучшим

Сгруппировать:

(sin α +sin5 α )+sin3 α

Применить формулу

sin α +sin β =2sin( (α + β )/2) * cos (( α - β )/2)

Аналогично в знаменателе

(cos α +cos5 α )+cos3 α

Применить формулу

cos α +cos β =2cos( (α + β )/2) * cos (( α - β )/2)

Вынести за скобки:

(sin α +sin5 α )+sin3 α =sin3 α *(2cos2 α +1)

(cos α +cos5 α )+cos3 α =cos3 α *(2cos2 α +1)

Выражения в скобках одинаковые на них сократить и получите tg3 α

0,4х+110=0,8*(х+110)

0,4х+110=0,8х+88

0,4х=110-88

0,4х=22

Это и есть ответ 22 г соли

22=2,2*10 - стандартный вид ответа

Ответ выбран лучшим

Диаметр перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемую дугу пополам.
∠ ОКА= ∠ ОКВ=90 °

AK=KB=8 cм

Если дан угол
∠ АОВ- центральный угол, то 6-7 класс задачу не решит

Но если дан ∠ ОВА=45 ° или ∠ ОАВ=45 °

то Δ АОК и Δ ВОК - прямоугольные равнобедренные, тогда

ОК=АК=ВК=8

(прикреплено изображение)

1)
а) рис 1
7+5=12
б)
рис.2
7-5=2

2)
Радиус ОС перпендикулярный хорде делит хорду пополам
AD=AE=14

Δ ODE- равнобедренный ( OD=OE=R); OC=R

∠ ODC=45 °

3)
ОА ⊥ АС
ОВ ⊥ ВС

АВ=АС

Δ АОВ - равнобедренный
рис.4 (прикреплено изображение)

[m]\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{\frac{n}{2^{n-1}\cdot 3^{n}}} {\frac{(n+1)}{2^{n}\cdot 3^{n+1}}}=6\cdot \frac{n}{n+1}[/m]

[m]\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=6[/m]

R=6

(-6;6) - интервал сходимости

Исследуем сходимость числового ряда
при R=6

∑ (n/3) - расходится, общий член ряда не стремится к 0

при R=-6

∑ (-1)^(n-1)(n/3) - расходится

О т в е т. (-6;6)

ОА ⊥ АС
ОВ ⊥ ВС

АВ=АС

Δ АОВ - равнобедренный (прикреплено изображение)

(1+2sqrt(3))^2=1+2*2sqrt(3)+(2sqrt(3))^2=1+4sqrt(3)+12=13+4sqrt(3)=13+sqrt(48)

⇒ sqrt(13+sqrt(48))=sqrt((1+2sqrt(3))^2)=|1+2sqrt(3)|=1+2sqrt(3)

sqrt(5-sqrt(13+4sqrt(3)))=sqrt(5-1-2sqrt(3))=sqrt(4-2sqrt(3))

слева 4, справа (-2 sqrt(3))

sqrt(4-2sqrt(3)) ≈ sqrt(4-2*1,732)=sqrt(0,536)=0,732

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{z^2}{1-z}\cdot \frac{1-z^3}{(z^2-2z)(1+z+z^2)}=\frac{z^2}{1-z}\cdot \frac{(1-z)(1+z+z^2)}{z(z-2)(1+z+z^2)}=[/m]

Ответ выбран лучшим

p=0,05
q=1-p=0,95 вероятность того, что небракованная

X=0;1;2;3

Х=0 - нет бракованных
p_(o)=0,95*0,95*0,95=0,95^3

X=1- одна бракованная
p_(1)=0,05*0.95*0.95+0.95*0.05*0.95+0.95*0.95*0.05=3*0,05(0,95)^2=

Х=2 - две бракованные
p_(2)=3*0,05^2*0,95=

X=3 - три бракованных
р_(3)=0,05*0.05*0.05=0.05^3=

ряд распределения числа бракованных изделий - таблица

в первой строке Х=0,1,2,3
во второй их вероятности

в ) уравнение Бернулли
Решается тем же способом, что и линейное

y=u*v

г)
Это однородное первого порядка.

y`=(y/x)-e^(y/x)

правая часть есть функция, завиясящая от дроби (y/x)

Решается заменой
u=y/x

y=u*x

y`=u`*x+u*x`

x`=1, так как независимая переменная

y`=u`*x+u

А далее все сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

См. аналогичное решения...

Ответ выбран лучшим

Здесь не нужно никакое ОДЗ

По определению логарифма
выражение под логарифмом равно 1

2cos^2x+3cosx-1=1>0

Ответ выбран лучшим

С=[b]π*d[/b]

π ≈ 22/7

d=3 ⇒ C=(22/7)*3=66/7 ≈ 9,428571
d=12 ⇒ C=(22/7)*12=(22*12)/7 ≈ 37,71

d=28 ⇒ C=(22/7)*28=22*4=88

...

Ответ выбран лучшим

Решение треугольника состоит в том, чтобы по трем элементам найти остальные элементы.
В предложенной задаче в треугольнике АВС даны два угла и нет третьего элемента.

Про точку D вообще ничего не сказано.

[b]Чтобы получить здесь помощь надо правильно задавать вопрос[/b] (прикреплено изображение)

Одна особая точка x=sqrt(π/2)

так как
d(x^2)=2xdx

то

∫ ^(sqrt(π/2))_(0+ ε )xdx/cos^2(x^2)=

=(1/2)lim_( ε → 0) ∫ ^(sqrt(π/2)- ε )_(0)d([b]x^2[/b])/cos^2([b]x^2[/b])=

=lim_( ε → 0)tg(x^2)|^(sqrt(π/2)- ε )_(0 )=lim_( ε → 0)tg(sqrt(π/2)- ε) ^2 -tg0=+ ∞

Ответ выбран лучшим

Бесчисленное множество
Это точки находятся на линии пересечения этих плоскостей.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) Линейное уравнение первого порядка:

Делим обе части уравнения на (1+x^2)
Получаем
y`-(2x)/(1+x^2) * y=(1+x^2)

Можно решить двумя способами
1)Метод вариации произвольной постоянной

Решают однородное, потом константу С заменяют на C(x)

или

2)метод Бернулли

Решение неоднородного уравнения находят в виде y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение

u`*v+u*v`- (u*v)*2x/(1+x^2)=(1+x^2)

u`*v+u* [b](v`- 2x*v/(1+x^2)[/b]=1+x^2

Функцию v выбираем так, чтобы
[b](v`-2x*v/(1+x^2))[/b]=0

Тогда
u`*v=1+x^2

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v`-2x*v/(1+x^2))=0 ⇒ dv/v=2xdx/(1+x^2) ⇒ ∫ dv/v= ∫ d(1+x^2)/(1+x^2)

ln|v|=ln|1+x^2|

v=1+x^2

u`*v=(1+x^2)

v`=1

v=x+C

y=u*v=(x+C)*(1+x^2)

[b]y=x+x^3+C(1+x^2)[/b]

б) С разделяющимися переменными
x*lnxdy=ydx

dy/y=dx/(x*lnx)

∫ dy/y= ∫ dx/(x*lnx)

ln|y|=ln|lnx|+lnc

y=C*lnx- общее решение

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+5=0

D=4-20=-16

k_(1)=(2-4*i)/2=1-2*i; k_(2)=1+2*i–
корни комплексно-сопряженные

α =1 β=2

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
[b]y_(одн.)=e^(x)*(С_(1)*cos2x+C_(2)sin2x[/b]

f(x)=e^(-х)*(Asin2x+Bcos2x)

α =-1 β =2

-1 ± 2i не корни характеристического уравнения

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(-х)*(Asin4x+Bcos4x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=

y``_(част)=

подставляем в данное уравнение:

находим А и В

y=y_(одн)+у_(част)- о т в е т

см здесь аналогичное решение.
для нахождения А и В
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=34898

Ответ выбран лучшим

V=a*b*c=3*4*5=60 кв см.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Понижение степени:

Пусть:
z(y(x)))=y`(x)
тогда

y``(x)= z`*y`(x)=z`*z

z`*z=z*e^(y)

dz/dy=e^(y)

dz=e^(y)dy

z=e^(y)+C

y`(x)=e^(y)+C

dy/dx=(e^(y)+C)

dy/(e^(y)+C)=dx

Ответ выбран лучшим

F`(x)=5-x^4

По определению
( cм приложение)

F`(x)=(5-x^4)`=0-4*x^(3)=f(x)

F`(x)=f(x)- верно для любого х

О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

sin2x=2*sinx*cosx
sin((π/2)-x)=cosx

2cos^3x=cosx+0,5*2sinx*cosx

2cos^3x-cosx-sinx*cosx=0

cosx*(2cos^2-1-sinx)=0

cosx=0 или 2cos^2x-1-sinx=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πn, n ∈ Z

2cos^2x-1-sinx=0

cos^2x=(1-sin^2x)

2*(1-sin^2x)-1-sinx=0

2sin^2x+sinx-1=0

D=1-4*2*(-1)=9

[blue]sinx=-1 [/blue] или sinx=1/2

x=(-π/2)+2πm, m ∈ Z входят в найденные ранее корни (π/2)+πn, n ∈ Z

sinx=1/2

x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

О т в е т. [b](π/2)+πn, (-1)^(k)*(π/6)+πk, n, k,∈ Z
[/b]

первый граф:
v_(1)v_(2)v_(3)
v_(1)v_(3)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(7)
v_(1)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(4)v_(7)

второй граф;
v_(1)v_(2)v_(7)
v_(1)v_(2)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(7)

[b]Объединение[/b]
от первого все
v_(1)v_(2)v_(3)
v_(1)v_(3)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(7)
v_(1)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(4)v_(7)
от второго то, чего не было
v_(1)v_(2)v_(7)
v_(1)v_(2)v_(4)v_(5)
v_(1)v_(3)v_(4)v_(5)

К первому дорисовываем недостающие линии второго:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x-x_(o))^2+(y-y_(o))^2=R^2

Подставляем координаты каждой точки в уравнение и получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

{(2-x_(o))^2+(2-y_(o))^2=R^2
{(5-x_(o))^2+(1-y_(o))^2=R^2
{(-2-x_(o))^2+(-6-y_(o))^2=R^2

(2-x_(o))^2+(2-y_(o))^2=(5-x_(o))^2+(1-y_(o))^2 ⇒
(2-x_(o))^2+(2-y_(o))^2=(-2-x_(o))^2+(-6-y_(o))^2 ⇒

из этих двух уравнений находим х_(о) и у_(о)

Подставляем в любое из трех и находим R

Ответ выбран лучшим

x^2+2x+y^2+z^2+4z-91=0

(x^2+2x)+y^2+(z^2+4z)=91

(x^2+2x+1)+y^2+(z^2+4z+4)-1-4=91

(x+1)^2+y^2+(z+2)^2=98

(-1;0;-2) - центр сферы

R^2=98

R=7sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

1.
Составить неравенство:
x^2-4x-12 <0

Решить его.

Корни квадратного трехчлена x^2-4x-12=0
D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64
x_(1)=(4-8)/2=-2; x_(2)=(4+8)/2=6

___ (-2) __[green]-[/green]__ (6) ___

y=x^2-4x-12 график парабола, пересекает ось ох в точках -2 и 6
ветви вверх, отрицательна на (-2;6)

О т в е т. (-2;6)

2.
Решаем методом интервалов. ( см. аналогичное решение с подробным объяснением https://reshimvse.com/zadacha.php?id=27248)

____ [-2] __[red]+[/red]__ (-1,5) ____________ [2] __[red]+[/red]___

О т в е т. [-2;-1,5)U[2;+ ∞ )

3.
{(x-2)(x+2) ≥ 0 ⇒ __[red]+[/red]__ [-2] ____ [2] __[red]+[/red]__
{x>12

О т в е т. (12;+ ∞ )

F(x)=x^(-2)/(-2)-10*(x^(5)/5)+3x+C

F(x)=(-2/x^2)-2*x^5+C

Подставляем координаты точки М (1;5)

x=1
F(x)=5

5=-2-2+C

С=9

[b]F(x)=(-2/x^2)-2*x^5+9[/b]

Уравнение с разделяющимися переменными:
(sina/cosa)da=(sinb/cosb)db

∫ (sina/cosa)da= ∫ (sinb/cosb)db

-ln|cosa|=-ln|cosb}+lnC

[b]C*cosa=cosb[/b] - о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными:

3*e^(x)dx/(e^(x)-1)=secydy/siny

secy=1/cosy

∫ 3*e^(x)dx/(e^(x)-1)= ∫dy/(siny*cosy)

3* ∫ e^(x)dx/(e^(x)-1)=∫ 2dy/sin2y

3*ln|e^(x)-1|=ln|tgy|+lnC

[b]С*tgy=(e^(x)-1)^3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение события-гипотезы:
H_(1) - "из первой во вторую переложили 2 белых"
H_(2)- "из первой во вторую переложили 2 черных"
H_(3)-"из первой во вторую переложили один белый, другой черный"

p(H_(1))=(4/10)*(3/9)=4/30
p(H_(2))=(6/10)*(5/9)=10/30
p(H_(3))=16/30

Cобытие A- " из второй урны достали белый шар"

p(A/H_(1))=3/8 ( в урне (1+2)=3 белых и 5 черных)

p(A/H_(2))=1/8 ( в урне 1 белый и (5+2)=7 черных)

p(A/H_(3))=2/8 ( в урне (1+1)=2 белых и (5+1)=6 черных)

По формуле полной вероятности

p(A)=

Тогда по формуле Байеса

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=

Ответ выбран лучшим

По определению:
∫ ^(+ ∞ )_(1/3)f(x)dx=lim_(A → + ∞ ) ∫ ^(A)_(1/3) f(x)dx

По формуле Ньютона-Лейбница
∫ ^(A)_(1/3) f(x)dx=F(x)|^(A)-F(1)

∫ ^(+ ∞ )_(1/3)πdx/((1+9x^2)arctg^23x)=

=π*(1/3)* ∫ ^(+ ∞ )_(1/3)arctg^(-2)3x*(3dx/((1+9x^2))arctg^23x))=

=(π/3)* ∫ ^(+ ∞ )_(1/3)arctg^(-2)3xd(arctg3x)=

=(π/3)*(-1/arctg3x)|^(+ ∞ )_(1/3)=

=(-π/3)*lim_(A → + ∞ )(1/arctg3A)+(π/3)*(1/arctg1)=

=(-π/3)*(2/π)+(π/3)*(4/π)=-(2/3)+(4/3)=(2/3)

относительно
пл Оху: (2;3;-4)
пл Оyz: (-2;3;4)
пл Oxz: (2;-3;4)

Ответ выбран лучшим

3=x+2,
2=y+0,
0=z+3

х=1
у=2
z=-3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

[b]3+3^2+3^3+3^4=..[/b].

3*3*3*3=3^4- четырехбуквенных
3*3*3=3^3- трехбуквенных
...

f`(x)=15x^4-20x^2+3

f `` (x)=60x^3-40x

f ``(x)=0

60x^3-40x=0

20x*(3x^2-1)=0

x=0; x= ± 1/sqrt(3) - точки перегиба,
вторая производная меняет знаки:

__-_ (-1/sqrt(3)) __+__ (0) __-___ (1/sqrt(3)) __+__

там где y`` > 0 выпуклость вниз, как у параболы y=x^2( y``=2 >0)
там где y`` < 0 - вверх

Ответ выбран лучшим

Разбираемся с условием:
f(x+4)=f(x) - говорит, что функция периодическая. Т=4

7.
Отрезок интегрирования (-1;1)
На этом отрезке значение функции функции равно 0.

Считаем коэффициенты Фурье. Получаем ряд
Три интеграла посчитать, от f(x)=1 на (-1;1)

Какие проблемы???

Равноудаленную. Значит речь идет о расстояниях.
Находим эти расстояния по формуле ( см. приложение):

AD=sqrt((x-0)^2+(y-2)^2+(0-(-2))^2)
BD=sqrt((x-(-2))^2+(y-0)^2+(0-2)^2)
CD=sqrt((x-0)^2+(y-(-2))^2+(0-0)^2)

РАВНОудаленную, значит расстояния равны:
AD=BD
AD=CD
BD=CD

Составляем эти равенства, получаем систему.
Достаточно только двух уравнений.
Возводим каждое в квадрат, чтобы избавиться от корней.
Решаем и получаем ответ.
(прикреплено изображение)

Формула
cosx+cosy=

ОДЗ:

[m]\left\{\begin{matrix} 2^{(x-1)^2-1}>0\\2^{(x-1)^2-1}\neq 1 \\2x^2-2x+3>0\\2x^2-2x+3\neq 1 \\ x^2-4x+3>0 \\ log_{2^{(x-1)^2-1}}(x^2+4x+5)\neq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x \in (-\infty;+\infty)\\(x-1)^2-1\neq 0; \Rightarrow x\neq0; x \neq 2 \\x \in (-\infty;+\infty), D < 0\\x\in (-\infty;+\infty) , D < 0\\ x\in(-\infty;1)\cup (3;+\infty) \\ x^2+4x+5\neq 1;\Rightarrow x\neq-2 \end{matrix}\right.[/m]

x ∈ (- ∞ ;-2)U(-2;0) U(0;1)U(3;+ ∞ )

Применяем [i]обобщенный[/i] метод интервалов.

Находим нули числителя

[m] log_{2^{(x-1)^2-1}}(log_{2x^2-2x+3}(x^2-4x+3))= 0[/m]

[m]log_{2x^2-2x+3}(x^2-4x+3))= 1[/m]

[m]x^2-4x+3=2x^2-2x+3[/m]

[m]x^2+2x=0[/m]

[m]x=0; x=-2[/m]

Находим нули знаменателя:( см последнюю строчку ОДЗ)

[m]log_{2^{(x-1)^2-1}}(x^2+4x+5)=0 [/m] ⇒ x=-2

__-___ (-2) ___-__ (0) __+__

x>0

C учетом ОДЗ получаем ответ

(0;1)U(3;+ ∞ )

p=m/n
n- площадь большого круга радиуса 2
m- площадь серой части

n=π*2^2=4π
m=π*2^2-π*1^2=3π

О т в е т. p=3/4=0,75 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
a=2R- ребро куба равно диаметру сферы.

a=15

V_(куба)=a^3=15^3=15*15*15=...

2.
a)

Площадь основания нижнего ( можно считать разными способами)
см. рис. 1
5*6-3*3=21
Площадь верхних граней ( их две)
3*3+2*6=21

Площадь передней грани:
5*6-3*2=24
Площадь задних граней(их две):
4*3+2*6=24

Площадь грани справа:
6*6=36
Площадь граней слева(их две)
6*6=36

О т в е т. S=2* (21+24+36)=...

2.
б)

cм. рис. 2

4*5+4*5=40 - площади оснований
2*(5*4-2*1)=2*18=36 - площадь боковых граней
2*(5*5)=50 - площадь передней и задней граней

О т в е т. S=40+36+50=...

(прикреплено изображение)

sin^2 β +cos^2 β =1 ⇒ cos^2 β =1-sin^2 β =1-0,8^2=1-0,64=0,36

cos β = ± 0,6

Так как

π/2 < β <π ⇒ угол во второй четверти, косинус во второй четверти имеет знак -, тогда

cos β =-0,6

sin((π/4)+ β )=sin(π/4)*cos β +cos(π/4)*sin β =

=... подставляем и считаем...

Ответ выбран лучшим

A(0;0;0)
B(a;0;0)
C(a*sqrt(3)/2; a/2;0)

A_(1)(0;0;b)
B_(1)(a;0;b)
C_(1)(a*sqrt(3)/2; a/2;b)

K(a*sqrt(3)/2; a/2;b)

1)
Составляем уравнение прямых АК и BC, как прямых проходящих через две точки:

( cм. приложение 1)

Тогда направляющий вектор прямой АК

vector{s_(AK)}=(asqrt(3)/2; a/2; b/2)

направляющий вектор прямой BC

vector{s_(BC)}=((asqrt(3)/2)- a; a/2;0)

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Угол между векторами, заданными своими координатами находим из свойств скалярного произведения

cos( ∠ (vector{m}, vector{n})=(vector{m}*vector{n})/(|vector{m}|*|vector{n}|)

cos( ∠ (vector{s_(AK)}, vector{s_(BC)})=(vector{s_(AK)}*vector{s_(BC)})/(|vector{s_(AK)}|*|vector{s_(BC)}|)=

=... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Один угол х ° , второй (х ° +30 ° ). Сумма углов, прилежащих к одной стороне 180 °
Уравнение
х+х+30=180
х=

2.
Одна сторона х, вторая 4х
Р=х+4х+х+4х=10х

10х=90

х=
4х=

3.

13;
13+6=19

4.
a^2=9^2+13^2=81+169=250
a=5sqrt(2)
P=4a=20sqrt(2)

5.
h=(a-b)/2=(26-18)/2=4

(прикреплено изображение)

С_(окружности)=2π*R

С_(дуги)=(2π*R/2π)* α

α в радианах

С_(окружности)=42

С_(дуги)=(42/2π)*(5π/12)=(35π/4) км

Ответ выбран лучшим

1.
В

2.
Б

3.

Δ C`L`N`- равнобедренный, С`L`=C`N`

⇒ Δ CLN - равнобедренный
СL=CN

∠ L= ∠ L`=35 °
∠ C= ∠ N=(180 ° -35 ° )/2=72,5 °

4.
x=-3
y=-2

5.
vector{AB}=(1-(-1);-3-1)=(2;-4)

vector{PT}=(4-2;-1-3)=(-2;-4)

vector{AB}=vector{PT}

6.
см. рис.1

7.

С осью Ох:
y=0 ⇒ 2x-12=0; x=6

C осью Оу:
х=0 ⇒ -3у-12=0; у=-4

см. рис.2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(1)=πR^2*150 ° /360 ° =π*8^2*5/12=80π/3

S_(2)=πR^2*150 ° /360 ° - S _( ΔABP)=(80π/3)-(1/2)*8*8*sin150 ° =

=(80π/3)-16

S_(3)=πR^2*80 ° /360 ° =π*8^2*8/36=128π/9

S=S_(1)+S_(2)+S_(2)=(608π/9)-16 - о т в е т (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=360°/20°=18

α _(18-ти угольника)=(18-2)*180 ° /18=160 °

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть
arccos[m]\frac{3}{5}[/m]= α ⇒ cos α =[m]\frac{3}{5}[/m]=0,6 и α ∈ [0;[m]\frac{\pi}{2}[/m]] угол в первой четверти

sin α =+ sqrt(1-cos^2 α )=sqrt(1-0,6^2)=0,8

arcctg (-[m]\frac{1}{2}[/m])= β ⇒ ctg β =-[m]\frac{1}{2}[/m]; β ∈ [[m]\frac{\pi}{2}[/m];π]

По условию задачи требуется вычислить

[m]ctg(\frac{1}{2}\alpha-2\cdot \beta)[/m]

cм (формулу в приложении)

Вычисляем:
[m]ctg(\frac{1}{2}\alpha)=ctg \frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos \alpha}{sin\alpha} =\frac{1+0,6}{0,8} =2[/m]
Вычисляем:
[m]ctg2\beta= \frac{ctg^2\beta -1}{2ctg\beta} =\frac{(-\frac{1}{2})^2-1}{2\cdot (-\frac{1}{2})}=\frac{3}{4}[/m]

Итак,
[m]ctg(\frac{\alpha}{2}-2\cdot \beta)=\frac{2\cdot \frac{3}{4}+1}{\frac{3}{4}-2}=-2[/m]

О т в е т. -2 (прикреплено изображение)

Повышалась с 12 до 21
Понижалась с 0 до 12 и 21 до 24

Ответ выбран лучшим

x=(π/2)+πk, k ∈ Z
y=πm, m ∈ K

В этих точках tgx и ctgy не существуют

О т в е т. ((π/2)+πk, πm), k, m ∈ Z

Логарифмируем:

ln(y^(x))=ln(x^(y))

xlny=y*lnx

Дифференцируем

x`*lny+x*(lny)`=y`*lnx+y*(lnx)`

lny+x*(1/y)*y`=y`*lnx+y*(1/x) переносим слагаемые с y`

в одну сторону, без y` в другую

Находим y`

Дифференцируем еще раз равенство:
(lny+x*(1/y)*y`)`=(y`*lnx+y*(1/x))`

(lny)`+x*(1/y)`*y`+x*(1/y)*(y`)`=(y`)`*lnx+y`*(lnx)`+y`*(1/x)+y*(1/x)`

(y`)`=y``

Находим так же, y` заменим выражением, найденным ранее

В Δ АВС:

∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 °

∠ A= ∠ C

cos ∠ A=cos ∠C=sqrt(2/3)

cos^2 ∠ A=cos^2 ∠ C=2/3

sin^2 ∠ A=sin^2 ∠ C=1/3

cos ∠ B=cos(180 ° - ∠ A- ∠ B)=cos(180 ° -2 ∠ A)=

формула: 2 sin^2 α =1-cos2 α

=(1/2)*sin^2 ∠ A=1/6

Пусть АВ=BC=4x
Тогда CD=x
BD=3x

По теореме косинусов:

AD^2=AB^2+BD^2-2*AD*BD*cos ∠ B

(3/4)^2=(4x)^2+(3x)^2-2*4x*3x*(1/6)

(9/16)=21x^2

x^2=1/48

AB=4/sqrt(48)=1/sqrt(3)

cos ∠ B=1/6

sin ∠ B=sqrt(35)/6

S_( Δ ABC)=(1/2)*AB*BC*sin ∠ B)=(1/2)*(1/sqrt(3))*(1/sqrt(3))*(sqrt(35)/6)=...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
p=36/40=4/10=0,4
2.
p=3/12=1/4=0,25
3.
p=0,1+0,55=0,65
4.
p=(1200-72)/1200=
5.
p=1-0,13=0,87
6.
p=27/900
7.
p=9/36=1/4 (прикреплено изображение)

1.
S=(1/2) ∫ ^(2π)_(0)[b]([/b]2*(2+cos φ )[b])[/b]^2d φ =

=2* ∫ ^(2π)_(0)(4+4cos φ +cos^2 φ )d φ =

cos^2 φ =(1+cos2 φ )/2

=(8 φ +8*(sin φ )+(1/2)sin2 φ) |^(2π)-(0)=16π

2.
V=π ∫ ^(1/4)_(0)((1/4)x-x^2)dx=

=π*[b]([/b](x^2/2)-(x^3/3)[b])[/b]|^(1/4)_(0)=π*((1/32)-(/192))=... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению:

log_(a)b=c ⇒ b=a^(c)

x^2-5x+33=3^3

x^2-5x+33=27

x^2-5x+6=0

D=

x_(1); x_(2)

Призму они образуют,если попарно пересекаются и линии пересечения параллельны.

Имеем три системы:
{ x+2y–z–4=0
{3x–2y+3z–6=0

{x+2y–z–4=0
{4x–3z+3=0

{3x–2y+3z–6=0
{4x–3z+3=0

Это означает, что три раза нужно решить стандартную задачу.
Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей, написать каноническое уравнение прямой.

Как решить такую задачу см, например, здесь
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37792

В каждой прямой будут направляющие векторы.
Если они пропорциональны, то ребра призмы параллельны.

Ответ на первую часть есть.

Ответ на вторую часть вопроса.

Если плоскость параллельна прямой, то направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости.
Значит их скалярное произведение равно 0

Кроме того плоскость проходит через три точки.

Эти точки надо выбрать на первых двух прямых.

sqrt(4x^2+4)=sqrt(4*(x^2+1))=2*sqrt(x^2+1)

по формуле 17 (см. приложение)
a=1

=[red]2[/red]*((x/2)*sqrt(x^2+1)+(1/2)ln|x+sqrt(x^2+1)|)|^(π)_(0)=

=[red]2[/red]*[b]([/b](π/2)*sqrt(π^2+1)+(1/2)ln|π+sqrt(π^2+1)|[b])[/b]=

=... считайте.

(прикреплено изображение)

3.
30-20 = 10 км проезжает за 12 минут,
значит 50 км проедет за 60 минут

О т в е т. 50 км в час

4.
2х+3=(1/3)-3х
5х=-8/3
х=-8/15

О т в е т. d=|-8/15|=8/15

5. Сумма углов треугольника 180 °
∠ А = 180 ° -100 ° -40 ° = 40 °

Пусть высота АН, биссектриса АЕ.
Биссектриса делит угол пополам
∠ ВАЕ=20 °

Δ АВН - прямоугольный, ∠ B=100 ° ⇒ ∠ ABH=80 ° ( смежный с В)

∠ НАЕ=20° + 20 °= 40 °

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(3)_(-4)(2-y-(-y))dy=∫ ^(3)_(-4)(2)dy=2y|^(3)_(-4)=2*(3+4)=14 (прикреплено изображение)

По формулам приведения:

sin( 2α+4π)=sin2 α

cos(3 α +4,5π)= - sin3 α

sin(4 α -7π)=-sin4 α

Числитель:

sin2 α -sin3 α +sin4 α =(sin2 α +sin4 α )-sin3 α

Применить формулу

sin α +sin β =

Знаменатель аналогично.

Потом сократить

останется sin3 α /cos3 α это и есть tg3 α

Ответ выбран лучшим

3.
30-20 = 10 км проезжает за 12 минут,
значит 100 км проедет за 120 минут

О т в е т. 120 минут =2 часа

4.
2х-3=(1/3)-3х
5х=10/3
х=2/3

y=-1

О т в е т. d=|-1|=1

5. Сумма углов треугольника 180 °
∠ А = 180 ° -50 ° -60 ° = 70 °

Пусть высота АН, биссектриса АЕ.
Биссектриса делит угол пополам
∠ ВАЕ=35 °

Δ АВН - прямоугольный, ∠ B=50 ° ⇒ ∠ BAH=40 °

∠ НАЕ=35 ° - 30 °= 5 °

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами

p- вероятность попадания
q- вероятность промаха.
p+q=1

В условии задачи не дано ни р, ни q.

Пусть cобытие A-" хотя бы одно попадание в результате двух выстрелов"

p(A)=p*q+q*p+p*p

Cобытие vector{A}-" ни одного попадания в результате двух выстрелов"

p(vector{A})=q*q

Так как

p(A)+p(vector{A})=1

По условию p(A)=0,96
значит,
p(vector{A})=1-p(A)=1-0,96=0,04

q*q=0,04
q=0,2
p=0,8

Теперь уже все просто:

Событие B - " три попадания при четырех выстрелах"

p(B)=ppp*q+p*q*p*p+pp*q*p+ppp*q= подставляем p и q и считаем

Ответ выбран лучшим

[m]z=(x^2+y^2)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}[/m]

Производная произведения:

(u*v)`=u`*v+u*v`

[m]z`_{x}=(x^2+y^2)`_{x}\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+(x^2+y^2)\cdot (\frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}})`_{x}[/m]=

[m]z`_{x}=(2x)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+[/m]
[m]+(x^2+y^2)\cdot (\frac{(1-\sqrt{x^2+y^2})`_{x}\cdot (1+\sqrt{x^2+y^2})-(1-\sqrt{x^2+y^2})\cdot (1+\sqrt{x^2+y^2})`_{x}}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^2}=[/m]

[m]z`_{x}=(2x)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+[/m]
[m]+(x^2+y^2)\cdot (\frac {(0-\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)`_{x}(1+\sqrt{x^2+y^2})-(1-\sqrt{x^2+y^2})\cdot (0+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(x^2+y^2)`_{x}}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^2}=[/m]

[m]z`_{x}=(2x)\cdot \frac{1-\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}}+[/m]
[m]+(x^2+y^2)\cdot (\frac {(-\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x)(1+\sqrt{x^2+y^2})-(1-\sqrt{x^2+y^2})\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(2x)}{(1+\sqrt{x^2+y^2})^2}=[/m]

В принципе это ответ, но можно и упростить.

z`_(y) аналогично

dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy

Дифференцируем равенство:
(x*e^(2y)-y*lnx)`=(8)`
x`*e^(2y)+x*(e^(2y))`-y`*lnx-y*(lnx)`=0

x - независимая переменная, y - зависимая, сложная функция.

x`=1
(lnx)`=1/x

(e^(2y))`=e^(2y)*(2y)`=e^(2y)*2y`

e^(2y)+x*(e^(2y)*2y`-y`*lnx-y*(1/x)=0 ⇒

y`=

Биквадратное уравнение:
x^2=t

t^2-2x-24=0
D=4+96=100
t=-4 или t=6

x^2=-4 нет корней
x^2=6 ⇒ [b]x= ± sqrt(6)[/b]

Кредит на [b]31 месяц[/b]

1)[i] условие [/i]
–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца

См первый столбик ( начисление процентов на долг)

2) [i]условие [/i]
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо [b]выплатить одним платежом часть долга;[/b]

[red]и так, чтобы
выполнялось условие [/red]
3)[i] условие [/i]
15–го числа каждого месяца с 1–го по 30–й месяц ( 30 раз) долг должен быть [b]на одну и ту же сумму меньше долга [/b]на 15–е число [b]предыдущего месяца;[/b]

Это показано в правом столбце таблицы

4)[i] условие [/i]

к 15–му числу 31–го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Поэтому остаток 30-го месяца неизвестен. Пусть он равен B

С него и начинаем решать задачу, так называемым [i]"методом решения задачи с конца" [/i]

Пусть долг ежемесячно уменьшается на одну и ту же величину[b] х тыс руб[/b]

Тогда в конце 29-го месяца долг составит [b](B+х) тыс руб.[/b]
В конце 28-го месяца долг составит[b] (B+2х) тыс. руб.[/b]
.....
В конце первого месяца от будет [b](B+29x) тыс руб
И поскольку согласно условия 3) долг за 1-ый месяц уменьшился на х тыс. руб, то значит

[/b] сумма кредита составляет [b](B+30х)тыс руб[/b]

В первом столбце показано как начисляют проценты.

[b]Проценты начисляют на остаток долга[/b]

Поэтому за [b] 1-ый месяц проценты[/b] начислены на весь кредит.
1%=0,02

0,02*(B+30х) - % , начисленные за первый месяц

[b]Клиент выплачивает[/b] со второго по 14 число первого месяца ( одним платежом)
проценты и часть кредита х тыс руб:
0,02*(B+30х) + [b]x [/b]
Остаток долга на х меньше и равен (B+30x)-x=B+29x

Остаток долга уменьшится на х тыс. руб.

[b]Цикл повторяется 30 раз[/b]

Таким образом, останов к концу 30 месяца равен В тыс. руб

1 числа 31-го месяца начисляют проценты на этот остаток. Клиент выплачивает проценты на остаток 30-го месяца и сам остаток:
0,02*B + B

до 15 числа 31 месяца долг составит 0

Уравнение:

[b]0,02*((B+30х)+(B+29х)+(B+28х)+,,,(B+2х)+(B+х))+30*х+ 0,02*B+B=1503[/b]

Второе условие: сумма кредита равна 1100 тыс руб

[b] B+30*x=1100[/b]

Система двух уравнений:
{B+30*x=1100
{0,02*(30B+(30x+....+x))+[b]30*x+B[/b]+0,02*B=403 ⇒ 0,02*31*B+0,02(31x*30/2))=403

{B=1100-30x
{0,02*31*(1100-30x)+0,02*31x*15=403 ⇒ 682-9,3x=403;
[b]x=30[/b]
B=1100-30*30=200

О т в е т. 200 тыс. руб - долг к концу 30 месяца

(прикреплено изображение)

Применяем так называемый [b]"метод решения задач с конца".[/b]

Описываю ОБЩУЮ СХЕМУ:

Поскольку последний долг равен 0, то долг[blue] (n-1) -го[/blue] года равен [b]х[/b] млн. руб,
тогда долг предыдущего [blue](n-2)-[/blue]го года на такую же сумму больше и равен[b] 2х[/b] млн. руб
...
и так далее
долг [blue]1-го[/blue] месяца равен [b] (n-1)*x[/b] млн. руб.
А сам кредит [b]n*x [/b] млн. руб.

Таким образом [b]погашение основного кредита [/b] происходит равными суммами.

Каждый год погашаем сумму, равную[b] х[/b] млн. руб,
каждый год сумма долга уменьшается на[b] х[/b] млн. руб.

[red]Но кредит берется под проценты.[/red]
Какова схема начисления и выплачивания процентов.

Первый месяц начисляют проценты на[b] весь кредит.[/b]
[green]0,2*(nx)[/green] млн. руб.
Выплачивают эти проценты и часть кредита равную х
Остаток на х меньше, те. (n-1)*x

Второй месяц начисляют % на остаток
[green]0,2*(n-1)*x[/green] млн. руб

Выплачивают эти проценты и часть кредита равную х
Остаток на х меньше, т. е (n-2)*x

Таким образом погашение основного кредита происходит равными долями.
Каждый раз сумма долга становится на одно и то же число меньше.

Выплата каждого года( в феврале - июне) состоит из выплаты начисленных процентов в январе и части кредита, равной [b]х[/b] млн. руб.

[b]Наименьшая выплата в последней строке:[/b]

[b]0,2[/b]*х+х=0,24
1,2х=0,24
[b]x=0,2[/b]

Кредит
nx=[red]3[/red]
[b]x=0,2[/b]

n=3:0,2

[b]n=15 [/b] срок кредита.

Кредит взят на 15 лет.

Выплата процентов ( первый столбик)

S=[green]0,2[/green]*(15x+14x+13x+12x+...+x)

В скобках сумма арифметической прогрессии( считаем методом Гаусса как в 5-м классе):

S=[green]0,2[/green]*((16x)*15)/2)=[green]0,2[/green]*8x*15=[green]0,2[/green]*8*[b]0,2[/b]*15=4,8 млн руб. - выплаты %

Общая сумма выплат:

4,8 + [red]3[/red]=7,8 млн. руб.

О т в е т. 7,8 млн. руб (прикреплено изображение)

1)
Из первого уравнения выражаем y = 2x-1
и подставляем во второе:
7x-6*(2x-1)=4
Решим это уравнение, найдем х, потом у

2)
Умножим первое уравнение на 3
{12x+6y=15
{4x-6y=-7

Cкладываем:
получим уравнение с х

3)
Упрощаем, раскрывая скобки
{2*5а-2*4-3*3+3*4b=5
{6*7b-6-2-3a=31

{10a+12b=22
{-3a+42b=37

{5a+6b=11
{-3a+42b=37

Умножаем первое на 3, второе на 5 и складываем

4)
v_(по течению)=v_(лодки)+v_(реки)
v_(против течению)=v_(лодки)-v_(реки)

Пусть v_(лодки)=х
v_(реки)=y

Первое предложение:
"За 3 часа по течению и 4 часа против течения лодка прошла 114 км"
Первое уравнение:
3*(x+y)+4*(x-y)=114

Второе предложение:
"За 5 часов по течению проходит такой же путь как за 6 часов против течения"
Второе уравнение:
5*(x+y)=6*(x-y)

Cистема уравнений:
{3*(x+y)+4*(x-y)=114
{5*(x+y)=6*(x-y)

Ответ выбран лучшим

Cобытие А -"хотя бы на одной базе не окажется нужного материала"

Противоположное событие:
vector{А} -"на всех базах есть нужный материал"

p(vector{А})=p_(1)*p_(2)*p_(3)*p_(4)=0,7*0,9*0,75*0,8=

По свойству вероятности:

p(A)+p(vector{А})=1

p(A)=1-p(vector{А})

4.
Вторая х
Первая 0,6х
Третья (0,6х+3)

Периметр- сумма всех сторон

7.
См. рис.

Δ ABD= Δ BDM
⇒ AB=BC=6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

SM=MC
MK||AD, AD||BC ⇒

MK||BC

MK- средняя линия Δ SBC

MK=(1/2)BC=AD

MKAD- параллелограмм, противоположные стороны которого
AD и MK параллельны и равны.

Чтобы показать, что MKAD- прямоугольник, надо доказать что хотя бы один угол прямой.

Это угол КАD
SA ⊥ AD, AB ⊥ AD ⇒ AD ⊥ пл SAD, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Значит AD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе прямой AK

AD ⊥ AK ⇒ ∠ KAD - прямой.

б)

Прямые AM и CD - [i]cкрещивающиеся[/i].
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между [i]пересекающимися [/i]прямыми, параллельными этим прямым.

Поэтому через точку А проводим прямую AF, AF|| CD
∠ MAF - угол между AM и AF, а значит и между AM и СD.

Его можно найти из Δ MAF по теореме косинусов

Но второе условие задачи написано некорректно, непонятно, что там. Поэтому не решаю (прикреплено изображение)

21y-18y=21-3
3y=18
y=18:6
y=3

d(4x^2+4x+5)=(4x^2+4x+5)`*dx=8x+4

∫ ^(+ ∞ )_(0)(xdx)/(4x^2+4x+5)=(1/8) ∫ ^(+ ∞ )_(0)(8xdx)/(4x^2+4x+5)=

=(1/8)∫ ^(+ ∞ )_(0)(8x+4-4)dx/(4x^2+4x+5)=

=(1/8)∫ ^(+ ∞ )_(0)(8x+4)dx/(4x^2+4x+5)- (1/2)∫ ^(+ ∞ )_(0)dx/((2x+1)^2+4)=

[blue]4x^2+4x+5=(4x^2+4x+1)+4=(2x+1)^2+4=(2x+1)^2+2^2[/blue]

=(1/8) ln |4x^2+4x+5||^(+ ∞ )_(0)-(1/2)*(1/2)*(1/2)arctg((2x+1)/2)|^(+ ∞ )_(0)= ln (+ ∞ )=+ ∞ остальные слагаемые - числа ( не бесконечности),
поэтому
ответ расходится

∞ + ∞ = ∞
∞ - ∞ неопределенность, поэтому и написала оговорку про то, что остальные не повлияют на ответ

Ответ выбран лучшим

Пусть u=x^2
тогда du=2xdx

т.е d(x^2)=2xdx

∫ ^(1)_(0)d(x^2)/sqrt(1-(x^2)^2)=arcsinx^2|^(1)_(0)=arcsin1-arcsin0=π/2

Cредняя линия трапеции m равна полусумме оснований:

[b]a+b=76[/b]

Если из вершины верхнего основания провести высоту на нижнее основание, то высота разделит нижнее основание на отрезки:
(a-b)/2 и (a+b)/2 (см. рисунок)
Из прямоугольного треугольника:
tg α= [m]\frac{h}{\frac{a-b}{2}}[/m]

tg α=[m]\frac{2h}{a-b}[/m]

0,9=tg α=[m]\frac{2\cdot 18}{a-b}[/m]

[b]a-b=40[/b]

Система:

{a-b=40
{a+b=76

2a=116
[b]a=58[/b]

[b]b=76-58=18[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

35.
162=2*9^2
48=3*4^2

{2^(x)*9^(y)=2*9^2
{3^(x)*4^(y)=3*4^2

Решение системы
x=1; y=2 получено простым подбором.

Но такое решение НЕПОЛНОЕ.
Нужно доказать, что других корней нет

Это доказывается с помощью возрастания функции справа и убывания функции слева и ссылкой на соответствующую теорему.

{2^(x-1)=9^(-y+2)
{3^(x-1)=4^(-y+2)

Логарифмируем по основанию 10:

{lg(2^(x-1))=lg(9^(-y+2)
{lg(3^(x-1))=lg4^(-y+2)

Применяем свойства логарифма степени:

{(x-1)lg2=(-y+2)lg9
{(x-1)lg3=(-y+2)lg4

Далее способ подстановки:

{(x-1)=(-y+2)*(lg9/lg2)
{(-y+2)*(lg9/lg2)=(-y+2)lg4 ⇒ (-y+2)*(lg9/lg2)-(-y+2)lg4 =0 ⇒

(-y+2)*((lg9/lg2)-lg4)=0 ⇒ y=2 - ед решение, ⇒ x=1

О т в е т. (1;2)

36.
Показательная функция с основанием 3 возрастает, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента

3^(x-1) ≤ 3^(0,5)

{x-1 ≤ 0,5 ⇒ x ≤ 1,5
{3x^2-2=2x^2+x+4 ⇒ x^2-x-6=0 ⇒ D =25; x=-2; x=3

3 не удовл неравенству x ≤ 1,5

О т в е т. [b]x=-2[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{3+x}{2-x}>0\\6-x-x^2>0
\\(x-5)^2>0, (x-5)^2\neq 1
\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix}
(x+3)(x-2)<0\\
\\x ≠ 5; x ≠ 6; x ≠ 4
\end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (-3;2)[/red]

(x-5)^2=(5-x)^2

[m]log_{(5-x)^2}\frac{3+x}{2-x}=log_{(x-5)^2}(3+x)-log_{(x-5)^2}(2-x)[/m]

[m]log_{(5-x)^2}(6-x-x^2)=log_{(x-5)^2}(3+x)+log_{(x-5)^2} (2-x)[/m]

Неравенство примет вид:
[m]2log_{(x-5)^2}(2-x) >1[/m]

[m]1=log_{(x-5)^2}(x-5)^2[/m]

[m]2log_{(x-5)^2}(2-x) >log_{(x-5)^2}(x-5)^2[/m]

[m]log_{(x-5)^2}(2-x)^2 >log_{(x-5)^2}(x-5)^2[/m]

Если основание логарифмической функции
(x-5)^2>1 ⇒ (x-5)^2-1 >0 ⇒ ⇒ (x-5-1)*(x-5+1)>0 ⇒ ⇒ (x-6)*(x-4) >0 ⇒

x < 4 или x > 6

то функция возрастает.

Так как согласно ОДЗ:[red]x ∈ (-3;2)[/red], что удовлетворяет неравенству

x< 4, то

(2-x)^2 > (x-5)^2 ⇒ (2-x)^2-(x-5)^2 >0 ⇒ ((2-x)-(x-5))*(2-x+x-5) >0

(-2x+7)(-3) >0

3*(2x-7) >0

2x>7

x>3,5

Нет решения
Не пересекается с ОДЗ.

Ответ выбран лучшим

Апофема боковой грани:
h^2=13^2-(10/2)^2=169-25=144
h=12

S_(Бок)=(1/2) P_(осн)*h=(1/2)*6*10*12= (прикреплено изображение)

Пропорция:
перемножаем крайние и средние чрены пропорции:
sqrt(2)*7=(4+sqrt(2))*(2sqrt(2)-1)

7sqrt(2)=8sqrt(2)+4-4-sqrt(2)

7sqrt(2)=7sqrt(2)- верно, значит и данное равенство верно

Получить одно из другого можно переводом иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот.

Для этого умножают и числитель и знаменатель любой из дробей на сопряженное выражение: например, так

[m]\frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot (4-\sqrt{2})}{(4+\sqrt{2})(4-\sqrt{2})}=\frac{4\sqrt{2}-2}{4^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{2\cdot (2\sqrt{2}-1)}{14}[/m]

Попробуйте справа налево
Вторую дробь умножьте на
2sqrt(2)+1

Ответ выбран лучшим

По условию :АС пересекает ось цилиндра ⇒ проекциями АС на плоскости оснований являются диаметры оснований АР и СF.

( проекция точки А - точка F, проекция точки С - точка P)

Пусть точка В ∈ образующей KM ⇒ проекциями точки В на плоскости оснований являются точки K и М.
( cм. рис.)

ΔFMC и Δ АКР - прямоугольные, угол, опирающийся на диаметр, равен 90 °

MC - проекция BC
MC ⊥ MF ⇒ BC ⊥ MF

MF- проекция BA
MF ⊥ MC ⇒ ⇒ BA ⊥ MC

б) По теореме косинусов из Δ АВС:
АС^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos120 ° =3^2+5^2-2*3*5*(-1/2)=49
[b]АС=7[/b]

Пусть высота цилиндра равна 2х.
ВК=ВМ=х

Из Δ АСР:
AP^2=AC^2-(2x)^2=49-4x^2

Δ АРК:
АР^2=АК^2+KP^2=3^2-x^2+5^2-x^2=34-2x^2

Уравнение:
49-4x^2=34-2x^2
15=2x^2
x^2=15/2

АP^2=49-4x^2=49-4*(15/2)=49-30=19

AP=sqrt(19)

R=AP/2=sqrt(19)/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению:
∫ ^(+ ∞ )_(0)xcosxdx=lim_(A → + ∞ ) ∫ ^(A)_(0)x*cosxdx=

=lim_(A → + ∞ ) (-x*cosx+sinx)|^(A)_(0)=

=lim_(A → + ∞ ) (-A*cosA+sinA)+0*cos0-sin0= не существуе.

О т в е т. [i]Интеграл расходится.[/i]

z=arccos t;
D(z)=[-1;1]

-1 ≤ y/x ≤ 1

См. рис.

О т в е т. Пересечение двух областей красного и зеленого цвета
(прикреплено изображение)

Кредит на [red]n[/red] месяцев.

1)[i] условие [/i]

–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца

[blue]2%=0,02[/blue]

т. е ([i]ежемесячное[/i] начисление процентов [b]на остаток долга[/b])

2) [i]условие [/i]
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо [b]выплатить одним платежом часть долга;[/b]

[red]и так, чтобы
выполнялось условие [/red]

3)[i] условие [/i]
15–го числа каждого месяца с [red]1[/red]–го по [red]n[/red]–й месяц долг должен быть [b]на одну и ту же величину А меньше долга [/b]на 15–е число [b]предыдущего месяца[/b]

S- сам кредит
(S-A) - остаток первого месяца
(S-2A) - остаток второго месяца
...

(S-(n-1)*A) - [b]остаток (n-1) месяца[/b] и он по условию задачи также равен А

⇒ S=n*A ⇒ [b] A=S/n[/b]

Тогда условию задачи удовлетворяет[b] следующая схема[/b]:

[b]каждый месяц (выплачивается одним платежом):[/b] проценты начисленные на остаток предыдущего месяца и часть кредита А.

Начисление процентов:

0,03*S; 0,03*(S-A); 0,03*(S-2A); ...;0,03*A.

Выплаты
:

A+A+...+A + =(n-1)*A+S-(n-1)*A=[b]S[/b] ( то, что брали, то и выплатили)

Тогда условию задачи удовлетворяет следующая схема:

[b]каждый месяц выплачивается одним платежом следующая сумма[/b]:
проценты начисленные на остаток предыдущего месяца и n-ая часть кредита S, равная А

Поэтому:

4-ая выплата:
0,03*(S-3A)+A=17 700

9-ая выплата
0,03*(S-8A)+A=16 200

Решаем систему находим A

Вычитаем из первого уравнения второе:
0,03*5A=1500

A=10 000

0,03*(S- 30 000)+10 000= 17 700

0,03*(S- 30 000)=7 700

0,03*S-900=7 700

0,03*S=7 800

S=260 000

n=S/A=26

D=0,03*260 000 + 0,03*(260 000- 10 000) + 0,03* (260 000 - 20 000) + ...+ 0,03*(26 000- 25*10 000)=

=0,03*(260 000+250 000 + 240 000 + ... 10 000)=

=0.03*(270 000)*26/2=[b]105 300[/b]

Ответ выбран лучшим

а)
Решаем [i]по определению логарифма[/i]

3^(2x)-sqrt(2)sinx-sin2x=9^(x)

Так как 9^(x) > 0 при любом х, выражение под знаком логарифма положительно, и потому нет ОДЗ

Так как 9^(x)=3^(2x)

уравнение принимает вид:

2*sinx*cosx+sqrt(2)sinx=0 (применили формулу синуса двойного угла)

Раскладываем левую часть на множители:

sinx* (2cosx+sqrt(2))=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z

2cosx+sqrt(2)=0 ⇒ cosx=-sqrt(2)/2 ⇒ x= ± arccos(-sqrt(2)/2)+2πn, n ∈ Z

x= ± (π- arccos(sqrt(2)/2))+2πn, n ∈ Z;

x= ± (3π/4)+2πn, n ∈ Z;

О т в е т. πk, ± (3π/4)+2πn, k, n ∈ Z ( см. рис.1)

б)
Указанному промежутку принадлежат три корня:
-3π; -2π;

- (3π/4)-2π=-11π/4

( см. рис. 2)

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Кредит на [b]11 месяцев.[/b]

1)[i] условие [/i]
–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца

См первый столбик ( начисление процентов на долг)

2) [i]условие [/i]
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо [b]выплатить одним платежом часть долга;[/b]

[red]и так, чтобы
выполнялось условие [/red]
3)[i] условие [/i]
15–го числа каждого месяца с 1–го по 10–й долг должен быть [b]на одну и ту же сумму меньше долга [/b]на 15–е число [b]предыдущего месяца;[/b]

Это показано в правом столбце таблицы

4)[i] условие [/i]

15–го числа [b]10–го месяца[/b] долг составит 300 тысяч рублей

С него и начинаем решать задачу, так называемым [i]"методом решения задачи с конца" [/i]

Пусть долг ежемесячно уменьшается на одну и ту же величину[b] х тыс руб[/b]
Тогда в конце 9-го месяца он составит [b](300+х) тыс руб.[/b]
В конце 8-го месяца долг составит[b] (300+2х) тыс. руб.[/b]
.....
В конце первого месяца от будет [b](300+9x) тыс руб
И поскольку согласно условия 3) долг за 1-ый месяц уменьшился на х тыс. руб, то значит

[/b] сумма кредита составляет [b](300+10х)тыс руб[/b]

В первом столбце показано как начисляют проценты.

[b]Проценты начисляют на остаток долга[/b]

Поэтому за [b] 1-ый месяц проценты[/b] начислены на весь кредит.
1%=0,01

0,01*(300+10х) - % , начисленные за первый месяц

[b]Клиент выплачивает[/b] со второго по 14 число первого месяца :
0,01*(300+10х) - % + [b]x тыс. руб[/b]

И [i]при таких выплатах[/i] получается, что остаток долга уменьшится на х тыс. руб.

[b]Цикл повторяется 10 раз[/b]

Уравнение:

0,01*((300+10х)+(300+9х)+(300+8х)+,,,(300+2х)+(300+х))+0,01*300+

10*х+300=1388

0,01*(3000+11х*5)+3+10х+300=1388

10,55х=1055

х=100

300+10*х=300+10*100=1300 -кредит в тыс руб (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''–6y'+13y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-6k+13=0

D=(-6)^2-4*13=-16

k_(1,2)=(6± 4i)/2

k_(1)=3+2i; k_(2)=3-2i– корни комплексные

α =3; β =2

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(3х)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)

Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=A*e^(2x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=A*e^(2x)*(2x)`=2A*e^(2x)

y``_(част)=4A*e^(2x)

подставляем в данное уравнение:

4A*e^(2x)-6*2A*e^(2x)+13*A*e^(2x)=3e^(2x)

5A=3

A=0,6

О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)=

[b]y=e^(3х)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)+0,6*e^(2x)[/b]

Ответ выбран лучшим

Он расходится.
=(ln|x+2|)|^(+ ∞ )_(2)=lim_(x → ∞)ln(x+2)-ln(2+2)= +∞

Ответ выбран лучшим

∫ ^( + ∞)_(1)xdx/((4x^2)^2-1)=

=(1/8) ∫ ^( + ∞)_(1)(8xdx)/((4x^2)^2-1)=

=(1/8) * (1/2) ln |(4x^2-1)/(4x^2+1)|^(+ ∞ )_(1)=

=(1/16)lim_(x → ∞ )ln |(4x^2-1)/(4x^2+1)|-(1/16)ln (3/5)=

=(1/16)*ln1-(1/16)*(3/5)=[b]-3/80[/b]

Р=a+b+a+b=2*(a+b)

a=3,4*10^(-1)=0,34
b=4,5*10^(-2)=0,045

Р=2*(0,34+0,045)=2*0,385=0,77=7,7*10^(-1)

Пропорция, умножаем крайние и средние члены пропорции:

12sin α +9cos α -3=5sin α +2cos α -3

7sin α =-7cos α

[b]tg α =-1[/b]

Точка С - середина отрезка AB

x_(C)=[m]\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-3+3}{2}=0[/m]
y_(C)=[m]\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{0+4}{2}=2[/m]

О т в е т. (0;2)

4b*(3b+6)=4b*3b+4b*6=12b^2+24b-12b^2=[b]24b[/b]

2*(b+1)^2-4b=2*(b^2+2b+1)-4b=2b^2+4b+1-4b=[b]2b^2+1[/b]

Ответ выбран лучшим

sin2x*(2cos2x+sin2x)=0

sin2x=0 или 2cos2x+sin2x=0

sin2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ [b] x=(π/2)*k, k ∈ Z[/b]

2cos2x+sin2x=0

однородное тригонометрическое уравнение первого порядка

Делим на cos2x ≠ 0

tg2x=-2

2х=arctg (-2)+πn, n ∈ Z

[b]x=-(1/2) arctg(2)+(π/2)*n, n ∈ Z[/b]

18 Треугольник МКТ -прямоугольный, так как MT - диаметр,

∠ МКТ=90 °

Значит по теореме Пифагора найдем гипотенузу

MT^2=12^2+16^2=400
MT=20

[b]KO=R=10[/b]

24

CO=OB=OA=R

R=10

O- центр правильного треугольника, точка пересечения медиан, биссектрис, высот.

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Значит
BO:OD=2:1

[b]BD=15[/b]

Ответ выбран лучшим

15,73x-9,3x-x+27,6=5,43x+27,6

{x>0
{x>3
{x^2-3x>0 ⇒ x < 0 или x > 3

[red]ОДЗ: x > 3[/red]

log_(2)x*log_(2)(x-3)+1=log_(2)x*(x-3)

[b]В условиях ОДЗ[/b]
log_(2)x*log_(2)(x-3)+1=log_(2)x+ log_(2)(x-3)

(Записав справа [b]логарифм произведения [/b]как сумму логарифмов, изменили область существования правой части, а именно сузили... её: она была x < 0 или x > 3) Но так как общая область определения найдена и она как раз сужена до неравенства x > 3, то все ок)

Переносим все слагаемые влево, раскладываем на множители:

log_(2)x*log_(2)(x-3)+1-log_(2)x-log_(2)(x-3)=0
log_(2)x*log_(2)(x-3)-log_(2)x+1-log_(2)(x-3)=0

log_(2)x*(log_(2)(x-3) -1) - (log_(2)(x-3)-1)=0

(log_(2)(x-3) -1)*(log_(2)x-1)=0

log_(2)(x-3)=1 или log_(2)x=1

x-3=2 или x=2 не входит в ОДЗ
x=5

О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

Периметр - сумма всех сторон
P_(прямоугольника)=4+7+4+7=22
P_(квадрата)=12+12+12+12=48 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем каждое неравенство отдельно.

Первое квадратное, относительно 2^(x)

2^(x)=t

t^2-6t+8 ≥ 0
D=36-32=4
t_(1)=2; t_(2)=4

t ≤ 2 или t ≥ 4

Обратно:

2^(x) ≤ 2 или 2^(x) ≥ 4
Показательная функция с основанием 2 возрастает

x ≤ 1 или x ≥ 2

Логарифмическое.
Так как
1=log_(3)3
и логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая:
[m]\left\{\begin{matrix}
\frac{2x^2+3x-5}{x+1}>0\\
\frac{2x^2+3x-5}{x+1}\leq 3
\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix}
\frac{(2x+5)(x-1)}{x+1}>0\\
\frac{2x^2+3x-5-3x-3}{x+1}\leq 0
\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix}
\frac{(2x+5)(x-1)}{x+1}>0\\
\frac{2(x-2)(x+2)}{x+1}\leq 0
\end{matrix}\right.[/m]

Метод интервалов:
____ (-2,5) _[red]+[/red]__ (-1) ____ (1) __[red]+[/red]__

____ [green]- [/green]__ [-2] _____ (-1) _______[green] -[/green] ______ [2] ____

О т в е т второго неравенства: (-2,5; -2] U(1;2]

Пересечение ответов:(-2,5; -2] U{2}

Ответ выбран лучшим

Если обозначить
u=2x+1
то
du=d(2x+1)

du=(2x+1)`*dx

du=2dx

dx=(1/2)du

dx=(1/2)d(2x+1)

Не применяю замену переменной в определенном интеграле, чтобы не менять пределы интегрирования.

Поэтому решение записываю так:

[m]∫^{3}_{2}\frac{dx}{(2x+1)^3}= \frac{1}{2}∫^{3}_{2}\frac{d(2x+1)}{(2x+1)^3}=[/m]

табличный интеграл:

[m] ∫\frac{du}{u^3}= ∫ u^{-3}du=\frac{u^{-2}}{-2}[/m]

[m]=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x+1)^{-2}}{-2} | ^{3}_{2}=[/m]

[m]=-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{(2x+1)^2}|^{3}_{2}=[/m]

[m]=-\frac{1}{4}(\frac{1}{7^2}-\frac{1}{5^2})=[/m]

[m]=\frac{1}{4}(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2})=\frac{1}{4}\frac{24}{25\cdot 49}=\frac{6}{1225}[/m]

Если обозначить
u=ln(2-3x), то

[red]du=d(ln(2-3x))[/red]

du=(2-3x)`dx/(2-3x)

du=-3dx/(2-3x)

dx/(2-3x)=-(1/3)du

[b]dx/(2-3x)[/b]=(-1/3) d(ln(2-3x))

[b]Не применяю замену переменной в определенном интеграле,[/b] чтобы не менять пределы интегрирования.
(разберитесь, что требует преподаватель, потому что жалуются, что вроде правильное решено, а препод все зачеркнул)

Поэтому решение записываю так:

∫ ^(2/3)_(0) sqrt(ln(2-3x)[b]dx/(2-3x)[/b]=(-1/3)∫ ^(2/3)_(0) sqrt(ln(2-3x)d(ln(2-3x))=

=(-1/3)∫ ^(2/3)_(0) (ln(2-3x)^(1/2)d(ln(2-3x))=

табличный интеграл ∫ u^(1/2)du

=(-1/3) * (ln(2-3x))^(3/2)/(3/2)=

=(-2/9)*(ln(2-3x))^(3/2)|^(2/3)_(0)=

=(-2/9)ln1+(2/9)ln2=[b](2/9)ln2[/b]

1) sqrt(3)*sinx+cosx=0 Это однородное уравнение первого порядка

⇒ делим на сosx ≠ 0

tgx=-sqrt(3)/3 ⇒

x=(-π/6)+πn, n ∈ Z

О т в е т. (-π/6)+πn, n ∈ Z

2) Это однородное уравнение первого порядка

⇒ делим на сosx ≠ 0

5tgx+3=0

tgx=-3/5

x=arctg(3/5)+πn, n ∈ Z

О т в е т. x=arctg(3/5)+πn, n ∈ Z

3) Это однородное уравнение второго порядка
⇒ делим на сos^2x ≠ 0

tg^2x+3tgx-4=0
D=25
tgx=-4 или tgx=1
x=arctg(-4)+πn, n ∈ Z или x=arctg(1)+πk, k ∈ Z

x=-arctg(4)+πn, n ∈ Z или x=(π/4)+πk, k ∈ Z

О т в е т. -arctg(4)+πn, (π/4)+πk, n, k ∈ Z

4) 1=cos^2x+sin^2x

4=4sin^2x+4cos^2x

далее как 3)

5)Это однородное уравнение третьего порядка
⇒ делим на сos^3x ≠ 0

Раскладываем на множители левую часть, способом группировки

Ответ выбран лучшим

Решаем методом интервалов:

_+__ (-2) ___-___ (3) ___-__ (7) ___-__ (10) ___+__

О т в е т. (-2;-3)U(-3;-7)U(-7;-10)

Ответ выбран лучшим

Найти абсциссы точек пересечения:
{y=(1/2)x^2-3x-1
{y=-(1/2)x^2-x+2

Приравниваем правые части:
(1/2)x^2-3x-1=-(1/2)x^2-x+2

x^2-2x-3=0

D=4+12=16

x_(1)=-1; x_(2)=3

S= ∫ ^(3)_(-1)[b]([/b] (-1/2)x^2-x+2-((1/2)x^2-3x-1)[b])[/b]dx=

= ∫ ^(3)_(-1)(-x^2+2x+3)dx=

=[b]([/b](-x^3/3)+2*(x^2/2)+3x[b])[/b]|^(3)_(-1)=

=(-3^3/3)+3^2+3*3- (1/3)-1+3=[b]10 (2/3)[/b]
(прикреплено изображение)

∫ ^(2)_(0) х*sqrt(4-x^2)dx=(-1/2) ∫ ^(2)_(0) sqrt(4-x^2)d(4-x^2)=

=(-1/2)*(4-x^2)^(3/2)/(3/2)|^(2)_(0)=

=-(1/3)*sqrt((4-x^2)^3)|^2_(0)=

=-(1/3)*0+(1/3)*sqrt(4^3)=

=(1/3)*4=4/3

Применили табличный интеграл
∫ x^(1/2)dx=x^(3/2)/(3/2)
для сложной функции
∫ [b]u[/b]^(1/2)d[b]u[/b]=[b]u[/b]^(3/2)/(3/2)

u=4-x^2
du=-2xdx

xdx=(-1/2)du

xdx=(-1/2)d(4-x^2)

Ответ выбран лучшим

а)
∫ ^(π/2)_(0)(-2sinx)dx=-2*(-cosx)|^(π/2)_(0)=2cos(π/2)-2cos0=2*0-2*1=-2

б)
Функция y=1/sqrt(2x+3) не существует в точке x=-1,5

Это несобственный интеграл второго рода.

Разбиваем область интегрирования на две области:
[-2;-1,5) и (-1,5;2]

∫ ^(-1,5)_(-2)dx/sqrt(2x+3)dx+∫ ^(2)_(-1,5)dx/sqrt(2x+3)dx=

Так как

∫ ^(-1,5)_(-2)dx/sqrt(2x+3)dx=sqrt(2x+3)|^(-1,5)_(-2)=0-1=-1
∫ ^(2)_(-1,5)dx/sqrt(2x+3)dx=sqrt(2x+3)|^(2)_(-1,5)=sqrt(2*2+3)-0=3

О т в е т. ∫ ^(-1,5)_(-2)dx/sqrt(2x+3)dx+∫ ^(2)_(-1,5)dx/sqrt(2x+3)dx= -1+3=2

Ответ выбран лучшим

Левая часть
∫ ^(π/2) cosxdx=sinx|^(π/2)_(0)=sin(π/2)-sin0=1

Правая часть
∫^(∛3)_(0)x^2dx=(x^3/3)|^(∛3)_(0)=1

Левая часть равна правой, справедливость доказана

Ответ выбран лучшим

y=12*x

x=30

y=12*30

∠ LMP= ∠ NKP внутренние накрест лежащие при параллельных прямых KN и LM и секущей KM.
Прямоугольные треугольники
KPN и LPM равны по гипотенузе ( KP=PM) и острому углу.
Из равенства треугольников следует, что LP=PN
и
KN=LM=64

Треугольник LKN равен треугольнику PKN по двум катетам

КР- общий
LP=PN ⇒
LK=KN=64

Треугольник LMP равен треугольнику PMN по двум катетам

РM- общий
LP=PN ⇒
ML=MN=64

Р_(четырехугольника LKNM)=64+64+64+64=...

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos((7π/2)-x)= sinx

-2cos^2x=3sinx

cos^2x=1-sin^2x

-2+2sin^2x=3sinx

Квадратное уравнение

2sin^2x-3sinx-2=0
D=25

sinx=-1/2 или sinx=2 ( это уравнение не имеет корней, |sinx| ≤ 1)

sinx=-1/2 - простейшее по формулам

[r]sinx=a

x=(-1)^(k)arcsina+πk, k ∈ Z[/r]

[m]x=(-1)^{k}arcsin(-\frac{1}{2})+\pi k, k ∈ Z[/m]

[m]arcsin(-\frac{1}{2})=-\frac {\pi}{6}[/m], так как [m] sin(-\frac {\pi}{6})=-\frac{1}{2}[/m] и [m]-\frac {\pi}{6}\in [-\frac {\pi}{2};\frac {\pi}{2}][/m]

[m]x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{6})+\pi k, k ∈ Z[/m]

при k=2n
получаем
[m]x=-\frac{\pi}{6}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

при k=2n+1
получаем
[m]x=\frac{\pi}{6}+ \pi +2\pi n=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

или
[m]x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

см. рис. 1

Отрезку [5π/2; 4π]

принадлежат корни:
[m]-\frac{\pi}{6}+ 2\pi =\frac{11 \pi}{6}[/m]
[m]-\frac{5\pi}{6}+ 2\pi =\frac{7 \pi}{6}[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными:
dx/sqrt(9-x^2)=-dy/sqrt(4-y^2)
∫ dx/sqrt(9-x^2)=- ∫ dy/sqrt(4-y^2)

arcsin(x/3)=-arcsin(y/2)+C

arcsin(x/3)+arcsin(y/2)=C - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

в)
lg(2x-1)*(x-9)=2

(2x-1)*(x-9)=10^2
2x^2-x-18x+9-100=0
2x^2-19x-91=0
D=361+728=1089=33^2
x_(1)=(19-33)/4=-3,5; x_(2)=(19+33)/4=13

Проверка
при х=-3,5
lg_(2x-1) не существует
при х=13
lg(2*13-1)+lg(13-9)=lg(25)+lg4=lg25*4=lg100

lg100=2 - верно

О т в е т. 13

г) плохо написано условие. Основание первого логарифма (2/5)?

a)
1)45+27=72 школьника в кружке
2)4*72=288 м проволоки

второй способ
1)4*45=180 м проволоки для младшей группы
2)4*27=108 м проволоки для старшей
3)180+108=288 м всего

б)

1)9*8=72 больших батареек
2)18*8=144 маленьких
3)72+144=216 батареек всего

второй способ

1) 8*(9+18)=18*27=216 батареек

а)
1)16326:6=2721 стальные
2)16326-2721-2725=10880 - алюминиевые

б)
1)425*236=100300
2) 100300 :25=4012 на ремонт
3) 100300-4012=96288 оставшиеся
4)96288:2=46138 на изготовление новой техники

[m](u\cdot v)`=u`\cdot v+u\cdot v`[/m]

u=arcctg 3x*log^(3)_(2)x+cos^4(3x/5)

u`=(arcctg3x)`*log^(3)_(2)x+(acctg3x)*(log^3_(2)x)`+4*cos^3(3x/5)*(cos(3x/5))`

u`=((3x)`/(1+(3x)^2))*log^(3)_(2)x +(acctg3x)*(3*log^2_(2)x)*(log_(2)x)`+4*cos^3(3x/5)*(-sin(3x/5))*(3x/5)`

u`=(3/(1+(3x)^2))*log^(3)_(2)x +(acctg3x)*(3*log^2_(2)x)*(1/x)*(1/ln2) +4cos^3(3x/5)*(-sin(3x/5))*(3/5)

u`=(3*log^(3)_(2)x) /(1+(3x)^2)) +(3/ln2) *(acctg3x)*(log^2_(2)x)*(1/x) -(12/5)*cos^3(3x/5)*(sin(3x/5))

v`=4^(ctgx)*(ctgx)`-6*arccos^5(3/x) * (arccos(3/x))`

v`= 4^(ctgx)*(ctgx)`-6*arccos^5(3/x) * (arccos(3/x))`

v`= 4^(ctgx)*(1/sin^2x)-6*arccos^5(3/x) * (-1/sqrt(1-(3/x)^2))(3/x)`

v`=( 4^(ctgx)/sin^2x)-6*arccos^5(3/x) * (-1/sqrt(1-(3/x)^2))(-3/x^2)

v`=( 4^(ctgx)/sin^2x)-18 *arccos^5(3/x) * (x/sqrt(x^2-9))(1/x^2)

v`=( 4^(ctgx)/sin^2x)-18 (arccos^5(3/x))/(x*sqrt(x^2-9))

Ответ выбран лучшим

[m]dy=y`(x)dx[/m]

[m](\frac{u}{v})`=\frac{u`\cdot v-u\cdot v`}{v^2}[/m]

[m]y`=\frac{(tgx-5x)`\cdot e^{arcsinx}-(tgx-5x)\cdot (e^{arcsinx})`}{(e^{arcsinx})^2}[/m]

[m]y`=\frac{(\frac{1}{cos^2x}-5)\cdot e^{arcsinx}-(tgx-5x)\cdot e^{arcsinx}\cdot (arcsinx)`}{(e^{arcsinx})^2}[/m]

[m]y`=\frac{(\frac{1}{cos^2x}-5)\cdot e^{arcsinx}-(tgx-5x)\cdot e^{arcsinx}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(e^{arcsinx})^2}[/m]

[m]dy=\frac{\frac{1}{cos^2x}-5- \frac{tgx-5x}{\sqrt{1-x^2}}}{e^{arcsinx}}dx[/m]

Ответ выбран лучшим

(x-1)*y`-y=y^2

y`=1/x`

(x-1)=(y+y^2)*x`

x`=dx/dy

(x-1)dy=(y+y^2)dx - уравнение с разделяющимися переменными

dx/(x-1)=dy/(y+y^2)

∫ dx/(x-1)= ∫dy/(y+y^2)

Раскладываем дробь справа на простейшие:

∫ dx/(x-1)= ∫dy/y-∫ dt/(1+y)

ln|x-1|=ln|y|-ln|y+1|+lnC

[b]x-1=Cy/(y-1)[/b]

X^2-8x+25=10;
x^2-8x+15=0
D=64-60=4
x_(1)=(8-2)/2=3; x_(2)=(8+2)/2=5
О т в е т. 3; 5

Ответ выбран лучшим

1)
y`+y=0
dy/dx=-y
dy/y=-dx

lny=-x+c

y=e^(-x+c)

y=C*e^(-x)

Метод вариации

y=C(x)*e^(-x)

y`=C`(x)*e^(-x)+C(x)*e^(-x)*(-x)`

C`(x)*e^(-x)-C`(x)*e^(-x)+C(x)*e^(-x)=5x

C(x)*e^(-x)=5x

C(x)=5x*e^(x)

С(х)= ∫ 5x*e^(x)dx по частям:

С(х)=5*x*e^(x)-5 ∫ e^(x)dx

C(x)=5*x*e^(x)-5 * e^(x)+C

О т в е т. y=(5*x*e^(x)-5 * e^(x)+C)*e^(-x)

Ответ выбран лучшим

В равностороннем

32:16=x:10

x=20 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
n=121
p=0,6
P_(121) (60 ≤ k ≤ 120)=?

np=121*0,6=72,6
q=1-p=1-0,6=0,4
npq=29,04
sqrt(npq)=sqrt(29,04) ≈ 5,4

Применяем интегральную формулу Лапласа.
P_(121) (60 ≤ k ≤ 120)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(120-72,6)/sqrt(29,04)=?
x_(1)=(60-72,6)/sqrt(29,04)= ??

Ф(x_(2))= ( cм таблицу значений функции Лапласа)
Ф(x_(1))=
О т в е т.

2.
Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

n=121
p=0,6
q=1-p=1-0,6=0,4
np=121*0,6=72,6

72,6-0,4 ≤ k_(o) ≤ 72,6+0,4

k_(o)=73

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]Геометрия.[/b]
a) нет.
не выполняется неравенство треугольника.
самая большая сторона 6, над ней должна быть ломаная, у которой длина больше 6, тогда получим треугольник, а у нас ломаная 2+4=6

б) нет
2,4 дм =24 см
2 дм =20 см.

самая большая сторона 24 см. А ломаная 20+3,8 см меньше

2.
3+7=10 частей
90 ° :10=9 ° в одной части

9 ° *3=27 °
9 ° *7=63 °

3.
Катет DS против угла в 30 °
Значит, гипотенуза в два раза больше.

4.

Откладываем отрезок АВ=3,5

От точки А откладываем угол в 50 ° и проводим луч АК
От точки B откладываем угол в 50 ° и проводим луч ВМ

Лучи пересекаются в точке С
(см. рис.)

[b]Алгебра[/b]
1) из второго уравнения выражаем у:
{2x+7y=11
{4x-7=y
и подставляем в в первое:
{2x+7*(4х-7)=11
{4x-7=y

{2x+28*х-49=11
{4x-7=y

{2x+28*х=11+49
{4x-7=y

{x=2
{y=4*2-7

{x=2
{y=1

2.
Умножаем первое уравнение на (-2) второе на 3
{-6x+10y=-28
{6x-21y=6

Складываем
{-11y=-22
{2x-7y=2

{y=2
{2x-7*2=2

{y=2
{2x=16

{y=2
{x=8

3.
{6a-8b-4b-20=4
{24b-15-7+2a=-42

{6a-12b=24
{2a+24b=-20

{12a-24b=48
{2a+24b=-20

Складываем
{14a=28
{2a+14b=-20

{a=2
{b= cчитаем самостоятельно

4.
{8x+6y=29
{4y-2x=1

Решаем систему.
Умножаем второе на 3 и складываем.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
С_(окр)=2π*R

C_(дуги α ° )=(2π*R/360°) * α=(2π)*R*( α °/360 ° )

C_(дуги 195 ° )=(2π)*R*(195 ° /360°)

R=6/13

l=C_(дуги 195 ° )=(2π) *(6/13)*(195 °/360 °)=π*(2*6*195)/(13*360)=

=π*(15/30)=π/2

2l/π – 1=(2/π)*l -1=(2/π)*(π/2)-1=1-1=[b]0[/b]

2.
OB⊥ AB ⇒ ∠ OBA=90 °

r=4 см- катет против угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике ОАВ. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Мальчик нарисовал 15 фигур: квадраты и треугольники.
Всего 53 вершины.
Сколько квадратов и сколько треугольников нарисовал.

Решение.
Пусть х квадратов,
(15-х) треугольников.

У квадрата 4 вершины, значит 4x вершин у квадратов
У треугольника три вершины, значит 3*(15-х) вершин у треугольников

Всего

4*x+3*(15-x) и это равно 53

Уравнение:
4*x+3*(15-x) =53

4х +45-3x=53
x=8

О т в е т. 8 квадратов,7 треугольников

4*8+3*(15-8)=53 - верно

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-6x+10>0 - верно при любом х
{x^2-6x+10 ≠ 1 ⇒ x^2-6x+9 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3
{5x^2+3 >0
{4x^2+7x+3 >0

Свойство логарифма:

log_(a^(k))b=(1/k)log_(a)b; a>0; b>0; a ≠ 1

Поэтому неравенство принимает вид:

log_(x^2–6x+10)(5x^2+3) ≤ log_(x^2–6x+10)(4x^2+7x+3)

Два случая.
1) основание x^2-6x+10 >1 функция возрастает
2) основание 0 < x^2-6x+10 <1 функция убывает

Решаем первую систему
{x^2-6x+10 >1
{5x^2+3 ≤ 4x^2+7x+3
с учетом одз получим ответ

Решаем вторую систему
{0 <x^2-6x+10 <1
{5x^2+3 ≥ 4x^2+7x+3
с учетом одз получим ответ

О т в е т. Объединяем первый и второй ответы

11+8+5=24 части
360 ° :24=15 °
∪ AB=11*15 ° =165 °
∪ AC=5*15=75 °

∠ ВМА=(1/2)*(165 ° -75 ° )=45 ° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5+6+2+1+6=20
Окружность разделена на 20 частей

360 ° :20=18 ° в одной части

∪ BС=6*18 ° =108 °
∪ DЕ=18 °

Рассмотрим Δ ВЕМ

∠ BEM=54 ° как опирающийся на ∪ BС=108 °
∠ DBE=9 ° как опирающийся на ∪ DE=18 °

Cумма углов треугольника равна 180 °
∠ BME=180 ° -54 ° -9 ° =

В ответе написать смежный, он наименьший (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
a=0
39+0=39
a=6
39+6=45
a=15
39+15=
a=31
39+31=
a=46
39+46=
a=52
39+52=

Область определения
0; 6; 15; 31; 46; 52
Область значений:
39;45 и остальные числа, которые получились.

б)
10

10-9=1

11

11-9=2

12

12-9=3

Область определения
10; 11; 12
Область значений:
1;2; 3

2+6+6+6+6+6+6=2+3*6=

y=2+3*x

x - любое натуральное число : 1;2;3;...

y - натуральные числа 5;8;11;...

Построить точки:

(1;5)
(2;8)
(3;11)
...

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+1>0; [b]x+1 ≠ 1[/b]
{a+x-6 >0

По определению логарифма:
a+x-6=(x+1)^2
x^2+x+7-a=0
D=1-4*(7-a)=1-28+4a=4a-27
D ≥ 0 ⇒ [b] a ≥ 27/4[/b]

x_(1)=(-1-sqrt(4a-27))/2; x_(1)=(-1+sqrt(4a-27))/2;

⇒
[b](-1-sqrt(4a-27))/2 > -1[/b]
или
[b](-1+sqrt(4a-27))/2 ≤ 1[/b]

P_(1)=3*28
Второй треугольник образован средними линиями первого, значит его стороны в два раза меньше.
P_(2)=3*14
...
P_(3)=3*7
P_(4)=3*3,5

S=3*(28+14+7+3,5+...)

в скобках сумма б. уб геометрической прогрессии q=1/2

S=3*(28/(1-(1/2))=168 (прикреплено изображение)

cos^2 α +sin^2 α =1 ⇒ sin^2 α =1-cos^2 α =1-(-0,6)^2=0,64

sin α = ± 0,8

(π/2)< α <π - вторая четверть синус положительный

sin α = 0,8

Аналогично

cos β =0,8

Формула

cos( α + β )=cos α *cos β -sin α *sin β =(-0,6)*0,8-0,8*(-0,6)=-0,48+0,48=0

Ответ выбран лучшим

b_(2)=b_(1)*q=7*4=28
b_(3)=b_(2)*q=28*4=
b_(4)=b_(3)*q=28*4*4

Cумма: b_(1)+b_(2)+b_(3)+b_(4)=7+28+28*4+28*4*4=

Ответ выбран лучшим

q=b_(2):b_(1)=54:9=6

b_(3)=b_(2)*q=54*6=324

b_(4)=b_(3)*q=324*6=...

q=b_(2):b_(1)=6:2=3

b_(3)=b_(1)*q^2=2*3^2=18

или

b_(3)=b_(2)*q=6*3=18

f `(x)=4x^3-4x

f `(x)=0

4x^3-4x=0

4x*(x^2-1)=0

x=0 или x^2-1=0

x=0; x= ± 1 - критические точки.

Точки, в которых возможен экстремум,

Для того, чтобы убедиться, что он есть применяют признак ( достаточное условие, теорема)

А теорема говорит о том, что при переходе через точку производная должна менять знак.

Вот и смотрим какой знак у производной:

___ (-1) ____ (0) ____ (1) ____

Например в точке х=10
f `(10)= 4*10^3-4*10 >0 ставим + справа от 1

Далее знаки чередуются. Но можно в каждом промежутке выбирать точки и смотреть какой знак.
_[green]-[/green]__ (-1) __[red]+[/red]__ (0) __[green]-[/green]__ (1) __[red]+[/red]__

Там где + функция возрастает, там где минус убывает
Если при переходе через точку производная меняет знак
с + на - , то точка максимума,

[b]Теперь на отрезке[/b]

решение выглядит так:

f `(x)=4x^3-4x

f `(x)=0

4x^3-4x=0

4x*(x^2-1)=0

x=0 или x^2-1=0

x=0; x= ± 1 - критические точки.

Отрезку принадлежат только две точки: -1 и 0:

[-2] __[green]-[/green]__ (-1) _[red]+[/red]__ (0) _[green]-[/green]_ [0,5]

x=0 - точка максимума. В ней не может быть наименьшего.

Значит считаем в точках:

x=-2 подставляем в данную функцию:
y=(-2)^4-2*(-2)^2+5=16-8+5=13

x=-1
y=(-1)^4-2*(-1)^2+5=1-2+5=4

x=0,5
y=(0,5)^4-2*(0,5)^2+5=(1/16)-(1/2)+5 >4

О т в е т Наименьшее 4 в точке x=-1

На рисунке кривая y=x^4-2x^2+5

Функция четная, график симметричен, отн оси Оу.

Нам нужен только "кусочек" этой кривой на отрезке.

На этом отрезке график нарисован сплошной линией, а остальной не стерла, просто нарисовала пунктиром.

Вот и смотрите, наименьшее в точке x=-1 и оно равно 4 (прикреплено изображение)

|vector{a}+vector{b}|^2=(vector{a}+vector{b})*(vector{a}+vector{b})=

= векторная АЛГЕБРА, поэтому раскрываем скобки как в алгебре

=(vector{a}*vector{a})+(vector{b}*vector{a})+(vector{a}*vector{b})+(vector{b}*vector{b})=

=|vector{a}|^2+2*(vector{a}*vector{b})+|vector{b}|^2

|vector{a}-vector{b}|^2=(vector{a}-vector{b})*(vector{a}-vector{b})=

= векторная АЛГЕБРА, поэтому раскрываем скобки как в алгебре

=(vector{a}*vector{a})-(vector{b}*vector{a})-(vector{a}*vector{b})+(vector{b}*vector{b})=

=|vector{a}|^2-2*(vector{a}*vector{b})+|vector{b}|^2

Cистема:
{|vector{a}|^2+2*(vector{a}*vector{b})+|vector{b}|^2=9
{|vector{a}|^2-2*(vector{a}*vector{b})+|vector{b}|^2=1

Вычитаем из первого второе:

4*(vector{a}*vector{b})=8 ⇒ (vector{a}*vector{b})=2

Ответ выбран лучшим

1.
Написать уравнение касательной.
y–f(xo)= f `(xo)·(x–xo)

f (x) = – x^2+3
f (xo) = f(2)=-(2^2)+3=-1

f `(x) = –2x

f`(xo)=f `(2)=-2*2=-4

y- (-1)=-4*(x-1) ⇒ y=-4x+3

S= ∫ ^(1)_(0) ((-4x+3) –(-x^2+3)) dx=...

2.

F(x) – первообразная, значит F`(x)=f(x)

y=7x–3 – касательная к F(x) это прямая вида y=kx+b
k=7
b=–3

Написать уравнение касательной для F(x) в точке xo
(точка неизвестна, ее нам надо найти)

y – F (xo)= F `(xo)·(x–xo)
запишем в привычном виде:

y=F `(xo)·x + F (xo) – F `(xo)·xo – это прямая вида

y=kx+b

k=F `(xo)

b= F (xo) – F `(xo)·xo

F`(x)=f(x)=2x+5

7=2xo+5 ⇒ xo=1

yo=?

1) ответ В)
2) ответ А)
3) ответ Б)

Ответ выбран лучшим

6)
5)
y`=3*(-sinx)+1,5
y`=0
-3sinx+1,5=0

sinx=0,5

x=(-1)^(k)*(π/6) + πk, k ∈ Z

О т в е т. МНОГО.
Наверное, спрашивают на каком-нибудь конкретном отрезке.

По тому как задают вопрос, можно многое узнать... о человеке...

6)
f `(x)=-12+3x^2

f`(x)=0

-12+3x^2=0 ⇒ 3x^2=12 ⇒x^2=4 ⇒ x= ± 2 -критические точки

x=2- точка максимума, производная меняет знак с + на -

y_(max)=-12*2+2^2= cчитайте...

7)

1.f (x) = – 1.25x + 0.5 ответ. Г. (–∞; + ∞)
2. f (x) = x²–4x + 4 ответ.B. (–∞; 2]
3.f (x) = 1 \ 3x³–1 \ 2x² = 6x + 5 ответ.
4. f (x) = 10x–3 \ 2x²–4 \ 3x³ ответ.

3. и 4. написаны некорректно. Почему два знака дроби \??
Неиспользованы ответы :
A. (–∞; –4]U [1.25; + ∞)
Б. (–∞; –2] и [3, + ∞)
Д. [–2; 3]

4
f `(x)=0 ⇒ x²–9x=0 ⇒ x*(x-9)=0 ⇒ x=0; x=9 - критические точки функции f (x)

9.
y`=4x^3-10x
y`=0
4x^3-10x=0
2x*(2x^2-5)=0

x=0; x^2=2,5
x=0; х= ± sqrt(2.5) - критические точки

График: см. рис. (прикреплено изображение)

1)
скорость изменения функции f (t) это производная

f `(t)=( t³–4t²)`=3t²-8t

Найти значение f `(t) в точке t = 5

Подставить и посчитать.

2)
угловой коэффициент касательной к графику функции f (x) в точке равен значению производной в точке

f `(x)=(2x-x^3)`=2-3x^2

в точке 0 считаем:

3)

Условие написано некорректно (двойной смысл, что в числителе? что в знаменателе)

1.
находим f `(x)=
приравниваем к нулю

2.
находим значения ФУНКЦИИ в критических точках, принадлежащих отрезку и на концах отрезка

сosx < 1,99 - верно для любого х

потому что -1 ≤ cosx ≤ 1

и

cosx> – 1,1- верно для любого х

потому что -1 ≤ cosx ≤ 1

1.
a)
[m]\frac{a^3+a}{a^2}=\frac{a\cdot (a^2+1)}{a}[/m]
сократим на а, получим ответ.
б)
[m]\frac{x^2-2x}{x^2-4}=\frac{x\cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)}[/m]
сократим на (x-2) и получим ответ.

2.

[m]\frac{5}{x}+\frac{x-4}{x+3}=[/m]
приводим к общему знаменателю, умножаем первую дробь на (x+3) и числитель и знаменатель, вторую на х

[m]=\frac{5\cdot (x+3)}{x\cdot (x+3)}+\frac{x\cdot (x-4)}{x\cdot (x+3)}[/m]

Складываем две дроби с ОДИНАКОВЫМИ знаменателями:

[m]\frac{5\cdot (x+3)+x\cdot (x-4)}{x\cdot (x+3)}[/m]

раскрываем скобки
[m]\frac{5x+15+x^2-4x}{x\cdot (x+3)}[/m]

[m]\frac{x^2+x+15}{x\cdot (x+3)}[/m]

б) аналогично.

Чтобы научиться чему-то надо иметь образец, я Вам написала, поэтому б) САМОСТОЯТЕЛЬНО.

3.
Сначала упростить

a^2–6a+9=(a-3)^2
a^2–9=(a-3)(a+3)

10a–30=10(a-3)
a^2+ 3a=a*(a+3)

Разделим одну дробь на другую. Сократим. Потом считаем при
a=50.

4.
Если x/y =а ⇒ х=

y/z = 1/a ⇒ y=

подставим в дробь
x/z
сократим
и получим ответ

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=1/(x+y)

z`_(y)=/(x+y)

z`_(x) (M_(o))=1/4

z`_(y) (M_(o))=1/4

Составим векторное уравнение линии [b]s[/b]:
y^2=9x

{x=t
{y=sqrt(9t)

{x=t
{y=3sqrt(t)

{x`_(t)=1
{y`_(t)=3/(2sqrt(t))

касательный вектор к этой линии [b]s[/b] в произвольной точке М(х;y) имеет вид:

vector{ r }=s`_(t)=x`_(t)*vector{i}+y`_(t)*vector{j}

vector{ r }=1*vector{i}+(3/(2sqrt(t)))*vector{j}

Это и есть направляющие косинусы, которые и нужны для формулы производной по направлению ( см приложение)

M_(o)(1;3) ⇒ x_(o)=1
⇒ t=x ⇒ t_(o)=1

y`(t_(o))=(3/2)

(∂z/∂s)|_(M_(o))=(1/4)*1+(1/4)*(3/2)=[b]5/8[/b] (прикреплено изображение)

Имеем неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим числитель и знаменатель на x^2:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x-7}{x^2}}{\frac{3x^2-4}{x^2}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^2 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^2:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x}{x^2}-\frac{7}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2}}=[/m]

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{1}{x}-\frac{7}{x^2}}{3-\frac{4}{x^2}}=\frac{0+0}{3-0}=0[/m]

[m] \frac{1}{x}[/m]- б. малая → 0 при x → ∞
[m] \frac{1}{x^2}[/m]- б. малая → 0 при x → ∞

1.
Написать уравнение касательной.
y-f(x_(o))= f `(x_(o))*(x-x_(o))

f (x) = - x^2+3
f (x_(o)) = f(2)=...

f `(x) = -2x

f`(x_(o))=f `(2)=...

y=

S= ∫ ^(1)_(0) ( касательная - кривая) dx=

2.

F(x) - первообразная, значит F`(x)=f(x)

y=7x-3 - касательная к F(x) это прямая вида y=kx+b
[b]k=7[/b]
[blue]b=-3[/blue]

Написать уравнение касательной для F(x) в точке x_(o)
(точка неизвестна, ее нам надо найти)

y - F (x_(o))= F `(x_(o))*(x-x_(o))
запишем в привычном виде:

y=F `(x_(o))*x + F (x_(o)) - F `(x_(o))*x_(o) - это прямая вида

y=kx+b

[b]k=F `(x_(o))[/b]

[blue]b= F (x_(o)) - F `(x_(o))*x_(o)[/blue]

F`(x)=f(x)=2x+5

7=2x_(o)+5 ⇒ x_(o)=1

y_(o)=?

а) Секущая плоскость пересекает нижнее основание по прямой DЕ.
В верхнем проходит через точку А_(1)

Основания параллельны между собой. Поэтому если секущая плоскость пересекает и верхнее и нижнее основания, то линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием || прямой DE.

Такой прямой в верхнем основании, проходящей через точку A_(1)
является А_(1)B_(1)

Проекция точки В_(1) - точка В продолжаем ребро ВС до пересечения с DE. Получаем точку M.

Cоединяем точку М с точкой В_(1). Прямая B_(1) M пересекает ребро CC_(1) в точке К

Аналогично строим точку P на ребре FF_(1)

Сечение A_(1)PEDKB_(1) - искомое сечение.

2.

Расстояние от точки А равно расстоянию от точки S, где S - cередина АВ.
SТ ⊥ QR

SТ - высота прямоугольногго треугольника SQR

SQ=AA_(1)=1
SR=2*1=2
SR=sqrt(1+2^2)=sqrt(5)

ST=1*2/sqrt(5)

S=a*b/2; S=c*h/2 ⇒ a*b=c*h ⇒ h=a*b/c

a, b - катеты
с- гипотенуза
h- высота к гипотенузе.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(vector{a}*vector{a})=|vector{a}|*|vector{a}|*cos0
cos0=1
(vector{a}*vector{a})=|vector{a}|*|vector{a}|

|vector{a}|^2=(vector{a}*vector{a})

Поэтому:
|vector{a}+vector{b}|^2=(vector{a}+vector{b})*(vector{a}+vector{b})=

= векторная АЛГЕБРА= раскрываем скобки как в алгебре

=(vector{a}*vector{a})+(vector{b}*vector{a})+(vector{a}*vector{b})+(vector{b}*vector{b})=

=|vector{a}|^2+2*|vector{a}|*|vector{b}|*cos120 ° +|vector{b}|^2=

=9+2*3*4*(-1/2)+4^2=13

|vector{a}+vector{b}|=sqrt(13)

Ответ выбран лучшим

Находим внутренний.
Внешний, смежный с внутренним и равен 180 - внутренний
По теореме косинусов

cos ∠ A=(b^2+c^2-a^2)/2bc

a=BC=|vector{BC}|=sqrt((x_(C)-x_(B))^2+(y_(C)-y_(B))^2+(z_(C)-z_(B))^2)=...

аналогично:
b=AC=
c=AB=

7. Замена переменной:
t^2+(3a^2+5a+7)t-2a+3=0

Кв. уравнение имеет корни D ≥ 0
Когда корни найдены, то
обратный переход, приведет к тому, что
решаем два уравнения

lg (2x^2-4x+3)=t_(1); lg_(2x^2-4x+3)=t_(2)

Каждое уравнение квадратное, имеет самое большее два корня,
Всего 4.

Не все корни удовл ОДЗ: 2x^2-4x+3 >0

8.
cos^2x=1-sin^2x

a*sin^2x-6a*sinx+9a+2a+1-sin^2x-4 <0
(a-1)*sin^2x-6a*sinx+2a-3 <0

Замена переменной:
sinx=t

(a-1)*t^2-6a*t+(2a-3) <0 ⇒

{a-1 <0
{D <0

⇒ любое

Обратный переход
sinx=t

имеет решение при

|t| ≤ 1 ⇒

Переформулируем вопрос.
При каких значениях а неравенство
(a-1)*t^2-6a*t+(2a-3) <0
выполняется для все t ∈ [-1;1]

53+х=4x[red]+[/red]69
x-4x=69-53
-3x=16
x=-16/3
x=-5 целых (1/3)

Уточняйте, что не так

1.
AB=sqrt((x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2)
По условию АВ=4

Находим координаты точек и подставляем в равенство:
одна точка (a;2a); вторая точка (a; -a^2+6a+12)

x_(B)-x_(A)=0
[b]sqrt((2a)^2 -(-a^2+6a+12)^2)=4[/b] - решаем два квадратных уравнения, находим а

2.
Если a>0, то парабола имеет ветви расположенные вверх, неравенство будет выполняться при всех х, если D <0

Из системы:
{a>0
{D>0
получим ответ

1. Задача составлена [b]некорректно[/b], так и скажите... Не понятно, может ли он купить пять рубашек или десять брюк ?

p_(брюки)=0,5 - вероятность того, что купит брюки.
q_(брюки)=1-p_(брюки)=0,5 - вероятность того, что не купит брюки.
p_(рубашка)=0,8 - вероятность того, что купит рубашку.
q_(рубашка)=1-p_(рубашку)=0,2 - вероятность того, что не купит рубашку.
p_(свитеp)=0,9 - вероятность того, что купит свитер.
q_(свитер)=1-p_(свитер)=0,1 - вероятность того, что не купит свитер

Вероятность того, что покупатель ни купит ничего:
X=0
p_(0)=q_(брюки)*q_(рубашка)*q_(свитер)=0,5*0,2*0,1=0,01
Вероятность того, что купит три изделия:
X=3
p_(3)=p_(брюки)*p_(рубашка)*p_(свитер)=0,5*0,8*0,9=0,36

Значит, остались еще значения:
X=1
купит что-то одно:
p_(1)=p_(брюки)*q_(рубашка)*q_(свитер)+q_(брюки)*p_(рубашка)*q_(свитер)+q_(брюки)*q_(рубашка)*p_(свитер)=
считайте

X=2
купит две вещи:

p_(2)=p_(брюки)*p_(рубашка)*q_(свитер)+p_(брюки)*q_(рубашка)*p_(свитер)+q_(брюки)*p_(рубашка)*p_(свитер)=
считайте

Таблица - закон распределения.

В первой строке 0:1:2:3
Во второй под ними: p_(0);p_(1);p_(2);p_(3)

Если все верно, то сумма вероятностей в нижней строке равна 1

9.
y=q|x|+p подставляем в первое:
x^2+(q|x|+p)^2=1
(1+q^2)x^2+2pq|x|+p^2-1=0

два квадратных уравнения:
[m]\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ (1+q^2)x^2+2pqx+p^2-1=0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x < 0\\ (1+q^2)x^2-2pqx+p^2-1=0 \end{matrix}\right.[/m]

Единственное решение, значит D=0 и одна система имеет решение, вторая нет

10.
Значит, график функции расположен выше прямой y=2

Т.е требуется решить задачу:
При каких значениях параметра a неравенство:

f(x) > 2 выполняется для любого x из отрезка [-1;1]

По-моему, похожее что-то уже Вам решала...

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного Δ SOA:
H=SO=[blue]a*sin α [/blue]
AO=a*cos α

AO- радиус описанной окружности,
так как радиус описанной окружности это (2/3) высоты треугольника АВС, то известна формула:
R_(окр)=AB*sqrt(3)/3 ⇒ AB=R*sqrt(3) - cторона основания.

[b]AB=sqrt(3)*a*cos α [/b]
AB=AC=BC

S_( ΔАВС)=(1/2) AB*AC*sin60 ° =(1/2)*a^2*3cos^2 α * sqrt(3)/2=

=(3a^2sqrt(3)/4)*cos^2 α

V=(1/3)S_( Δ ABC)*H=(1/3)* (3a^2*sqrt(3)/4)*cos^2 α * [blue]a*sin α [/blue]=

=(a^2sqrt(3)/4)*cos^2 α * sin α - о т в е т (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2+24x+95=x^2+5x+19x+95=(x^2+5x)+(19x+95)= x*(x+5)+19*(x+5)=

=(x+5)*(x+19) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подобие прямоугольных треугольников
Пусть х - высота башни.

x:1=3:0,3

0,3x=3

x=10 м (прикреплено изображение)

arccos(-sqrt(2)/2)=3π/4

так как cos (3π/4)=- sqrt(2)/2 и (3π/4) ∈ [b][0; π][/b]

arcctg(-sqrt(3))=5π/6
так как tg (5π/6)=-sqrt(3) и (5π/6) ∈[b] [0; π][/b]

О т в е т. (3π/4)+2*(5π/6)=(3π/4)+(5π/3)=...

Ответ выбран лучшим

arcsin(sqrt(3)/2)=π/3

так как sin (π/3)=sqrt(3)/2 и (π/3) ∈ [-π/2; π/2]

arctg(-1)=-π/4
так как tg (-π/4)=-1 и (-π/4) ∈ [-π/2; π/2]

О т в е т. (π/3)+2*(-π/4)=(π/3)-(π/2)=

Ответ выбран лучшим

1.
n=C^(2)_(5)=5!/(2!*(5-2)!)=10
m=C^(1)_(3)*C^(1)_(2)=3*2=6

p=m/n=6/10

или

первую взяли окрашенную ( окрашенных 3, всего 5), вторую неокрашенную( неокрашенных 2, всего 4 ( одну уже взяли) или
наоборот
первую взяли неокрашенную (2 из пяти), потом окрашенную (3 из 4)

p=(3/5)*(2/4)+(2/5)*(3/4)=(6/20)+(6/20)=6/10

2.
n=C^(4)_(8)=8!/(4!*(8-4)!)=70
m=C^(2)_(5)*C^(2)_(3)=10*3=30

p=m/n=30/70=3/7

Ответ выбран лучшим

1.
n=30
m=5 выигрышных

p=m/n=5/30

2.
d)p =0,7, так как

0 ≤ p ≤ 1

S_(квадрата)=a^2

По условию
S_(квадрата)=36 дм^2

Значит,
36=a^2
a=6 дм

Cторона квадрата 6 дм ⇒ Диаметр окружности 6 см, а радиус 3 см

С_(окр)=2π*R=2*π*3=[b]6π[/b] дм

S_(круга)=π*R^2=π*9^2=[b]9*π [/b] дм ^2

S_(круга)=πR^2

S_(сектора )=(πR^2/360 ° ) * α

α - угол в гра дусах

S_(круга)=π*4^2=16π

S_(1)=(π*4^2/360 ° )*18 °= [b]0,8π[/b]

S_(2)=S_(круга)-S_(1)=16π-0,8π=[b]15,2π[/b]

Решить уравнение:
5x-3=-8x+10
5x+8x=3+10
13x=13
x=1

y=5x-3=5*1-3=2

О т в е т. (1;2)

О т в е т. Вариант 1.

D=21^2-4*68=441-272=169
x_(1)=(-21-13)/2=-17; x_(2)=(-21+13)/2=-4

x^2+21x+68=(x-(-17))*(x-(-4))

x^2+21x+68=[b](x+17)*(x+4)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2sinx-sqrt(3)*sin^2x=0

sinx*(2-sqrt(3)sinx)=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z
или
2-sqrt(3)sinx=0 ⇒ sinx=sqrt(3)/2 ⇒ x=(-1)^(n)(π/3)+πn, n ∈ Z

О т в е т. πk, (-1)^(n)(π/3)+πn, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Вероятность появления события А в одном испытании равна p.
Тогда вероятность появления события А в серии из n испытаний ровно m раз найдем по формуле Пуассона:

P_(k)(m)=[m]\frac{k^{m}\cdot e^{-k}}{m!}[/m]

(если n - велико, p очень мало)

n=200
p=0,01

k=np=200*0,01=2

Найти P_(k) (m ≥ 1)

Найдем вероятность противоположного события

Ни одной фальшивой купюры:

P_(k) (m=0)

P_(k)(m=0)= [m]\frac{2^{0}\cdot e^{-2}){0!}[/m]≈ 0,1353

( cм . приложение. Таблица значений)

Тогда P_(200)(m ≥ 1)=1-P_(200)(m=0)=1-0,1353=0,8643

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4.
M(X)=-3*0,2+2*0,8=-0,6+1,6=1

5.
M(X)=8*0,3+10*0,7=2,4+7=9,4

6.
M(X)=-2*0,4+3*0,6=-0,8+1,8=1

Ответ выбран лучшим

5.
Это возможно если (a-2) < 0, т.е ветви параболы направлены вниз

и решением неравенства будет (x_(1); x_(2))

При этом
D=(2a+3)^2-4*(a-2)*(a+1)=4a^2+12a+9-4a^2+4a+8=16a+17

Если D ≥ 0, тогда уравнение имеет один x_(1)= x_(2) или два корня x_(1) и x_(2).

Значит, 16 a+ 17 ≥ 0 ⇒ ⇒ a ≥ -17/16

Итак, к найденным значениям a ∈[-17/16;2) надо добавить условия:
-1 < x_(1) < x_(2) < 1

6.

Замена переменной:

2^(|x|)=t, так как показательная функция неотрицательна при любых х,

[red]t >0[/red]

Решаем неравенство

t^2-2t+a ≥ 0 при [red]t >0[/red]

D=4-4a

Если
D< 0 ⇒ a > 1

Квадратное уравнение t^2-2t+a=0 не имеет корней, значит неравенство t^2-2t+a > 0 при всех t, но так как t > 0, то значит при всех х.

При a=1
Квадратное неравенство
t^2-2t+1 ≥ 0 верно при всех t, но так как t > 0, то значит при всех х.

При a < 1 - квадратное уравнение имеет два корня.

t_(1) и t_(2)

Неравенство верно при t ≤ t_(1) или t ≥ t_(2)

Теперь знаки этих t учитывая, что

[red]t >0[/red]

Ответ выбран лучшим

x=π/4

предел слева tg (π/4) =1
предел справа 2

ОДЗ:
3-2x ≥ 0

[b]x ≤ 1,5[/b]

две точки: x=-1/2; x=1

Функция непрерывна в точке 1
Функция имеет разрыв первого рода в точке 3,
предел слева равен 6
предел справа 5

Поэтому если есть отрезки из которых можно выбрать ответ, надо выбрать тот отрезок, который содержит точку 3.

Если нет выбора, то указать любой, например [2;4]

1.
По определению
M(X)=-1*0,3+2*0,7=-0,3+1,4=1,1

2,
По определению
M(X)=-1*0,4+4*0,6=-0,4+2,4=2

3.
По определению
M(X)=-5*0,5+6*0,5=-2,5+3=0,5

Ответ выбран лучшим

По определению
M(X)=-1*0,4+4*0,6=-0,4+2,4=2

Ответ выбран лучшим

По определению
M(X)=-1*0,3+2*0,7=-0,3+1,4=1,1

Ответ выбран лучшим

По определению
M(X)=-5*0,5+6*0,5=0,5

Ответ выбран лучшим

События:
А_(1) первый стрелок попал, vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,8; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,8=0,2

А_(2) второй стрелок попал,vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,6; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,6=0,4

А_(3) третий стрелок попал, vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,7; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(3))=1-0,7=0,3

А_(4) четвертый стрелок попал, vector{A_(4)} - четвертый стрелок не попал.
p(A_(4))=0,9; p(vector{A_(4)})=1-p(A_(4))=1-0,9=0,1

Событие

A=vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}*vector{A_(4)}- все стрелки промахнулись

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

p=0,2*0,4*0,3*0,1=0,0024

Ответ выбран лучшим

События:
А_(1) первый стрелок попал, vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,8; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,8=0,2

А_(2) второй стрелок попал,vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,6; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,6=0,4

А_(3) третий стрелок попал, vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,7; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(3))=1-0,7=0,3

А_(4) четвертый стрелок попал, vector{A_(4)} - четвертый стрелок не попал.
p(A_(4))=0,9; p(vector{A_(4)})=1-p(A_(4))=1-0,9=0,1

Событие A - " хотя бы один стрелок попал"

Событие vector{A}-" все стрелки промахнулись"

vector{A}=vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}*vector{A_(4)}

p(vector{A})=0,2*0,4*0,3*0,1=0,0024

p(A)=1-p(vector{A})=1-0,0024=[b]0,9976[/b]

События:
А_(1) первый стрелок попал, vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,8; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,8=0,2

А_(2) второй стрелок попал,vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,6; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,6=0,4

А_(3) третий стрелок попал, vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,7; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(3))=1-0,7=0,3

А_(4) четвертый стрелок попал, vector{A_(4)} - четвертый стрелок не попал.
p(A_(4))=0,9; p(vector{A_(4)})=1-p(A_(4))=1-0,9=0,1

Событие

A=A_(1)*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}*vector{A_(4)}+vector{A_(1)}*A_(2)*vector{A_(3)}*vector{A_(4)}+vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*A_(3)*vector{A_(4)}+vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}*A_(4) - только одно попадание

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

p=[b]0,8[/b]*0,4*0,3*0,1+0,2*[b]0,6[/b]*0,3*0,1+0,2*0,4*[b]0,7[/b]*0,1+0,2*0,4*0,3*[b]0,9[/b]=

= считаем

События:
А_(1) первый стрелок попал
А_(2) второй стрелок попал
А_(3) третий стрелок попал
А_(4) четвертый стрелок попал

p(A_(1))=0,8
p(А_(2))=0,6
p(А_(3))=0,7
p(А_(4))=0,9

Событие

A=A_(1)*A_(2)*A_(3)*A_(4)- все четыре попали

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

p=0,8*0,6*0,7*0,9= считаем

События:
А_(1) первый стрелок попал, vector{A_(1)} - первый стрелок не попал.
p(A_(1))=0,8; p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,8=0,2

А_(2) второй стрелок попал,vector{A_(2)} - второй стрелок не попал.
p(A_(2))=0,6; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,6=0,4

А_(3) третий стрелок попал, vector{A_(3)} -третий стрелок не попал.
p(A_(3))=0,7; p(vector{A_(2)})=1-p(A_(3))=1-0,7=0,3

А_(4) четвертый стрелок попал, vector{A_(4)} - четвертый стрелок не попал.
p(A_(4))=0,9; p(vector{A_(4)})=1-p(A_(4))=1-0,9=0,1

Событие

A=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}*vector{A_(4)}+A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)*vector{A_(4)}+vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)*vector{A_(4)}+

+vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*A_(3)*A_(4)+vector{A_(1)}*A_(2)*vector{A_(3)}*A_(4)+A_(1)*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}*A_(4)- только два попадания

Cобытия независимы, стрелки стреляют независимо друг от друга.

p=0,8*0,6*0,3*0,1+0,8*0,4*0,7*0,1+0,2*0,6*0,7*0,1+

+0,2*0,4*0,7*0,9+0,2*0,6*0,3*0,9+0,8*0,4*0,3*0,9=

= считаем

Ответ выбран лучшим

Три точки:
x=0;x=-2 - точки разрыва второго рода
х=-1 - точка устранимого разрыва.

Предел есть, но значение функции в точке не существует

Функция определена на (-3;3)

x=1 единственная точка принадлежащая этому интервалу.

О т в е т. одна

точкой разрыва первого рода

при x → -3-0
(x+3) → -0
2/(x+3) → - ∞

4^(- ∞ ) → 0

f(x) → [b]-5[/b]

при x → -3+0
(x+3) → +0
2/(x+3) → -+∞

4^(+ ∞ ) → ∞

f(x) →[b]0[/b]

Оба предела различные, конечные, есть скачок. Конечный.

Первого рода

Ответ выбран лучшим

1. Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Один угол х градусов, тогда второй (х+34) °

x+(x+34) °=90 °

2x=90 ° -34 °

2x=56 °

x=28 °

x+34 ° =28 ° +34 ° =62 °

О т в е т. 28 ° ; 62 °

2.
Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Если ∠ О=60 ° , то ∠ С=30 °

Катет FO лежит против угла С

Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

FO =21 см

О т в е т. 21 см

Ответ выбран лучшим

a_(5)=(1-5)/(5*6)=-1/6

n*(ln(n+2)-lnn)=n*ln[m]\frac{n+2}{n}[/m]=ln[m](1+\frac{2}{n})^n[/m] → 2

так как [m](1+\frac{2}{n})^n[/m] → e^(2)

xy=8 ⇒ y=8/x

Cумма квадратов:

x^2+y^2=x^2+(8/x)^2=x^2+(64/x^2) - выражение, зависящее от х

Обозначим

f(x)=x^2+(64/x^2)

Найдем производную:

f `(x)=2x- (128/x^3)

f`(x)=0

2x- (128/x^3)=0

(2x^4-128)/x^3=0

x^4=64

x^2=8

x= ± sqrt(8)

О т в е т. sqrt(8)*sqrt(8) или (-sqrt(8))*(-sqrt(8))

сумма квадратов 8+8=16

Ответ выбран лучшим

Найти координаты точек пересечения:
РЕШИТь уравнение
sqrt(x^3)=8sqrt(x)-2x

х=0; х=4

D:
0 ≤ х ≤ 4
sqrt(x^3) ≤ y ≤ 8sqrt(x)-2x

= ∫ ^(4)_(0)dx ∫ ^( 8sqrt(x)-2x)_(sqrt(x^3))(y-3x)dy=

= ∫ ^(4)_(0)((y^2/2)-3xy)|^( 8sqrt(x)-2x)_(sqrt(x^3))dx=

=... (прикреплено изображение)

1.
sqrt(x+5)=sqrt(2a-3)

Возводим в квадрат

x+5=2a-3

x=2a-3-5

x=2a-8

2a-8 > 0 a>4

При a > 4
2a-3 > 2*4-3 =5 >0

О т в е т. a>4

2.
Вычитаем из первого второе:
2x=p-2
x ≤ 0 ⇒ p-2 ≤ 0

Умножаем второе уравнение на (-3) и складываем
-2y=-p-4

y=(p+4)/2

y ≤ 0 ⇒ p+4 ≤ 0

Оба условия должны выполняться одновременно:

система:
{p-2 ≤ 0 ⇒ p ≤ 2
{ p+4 ≤ 0 ⇒ p ≤ -4

О т в е т. (- ∞ ;-4]

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}[/m]

[m](\frac{1}{2}-\frac{1}{8})^3=(\frac{3}{8})^3=\frac{27}{512}[/m]

[m]\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}[/m]

[m](\frac{1}{3}-\frac{1}{4})^2=(\frac{1}{12})^2=\frac{1}{144}[/m]

[m](\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}[/m]

[m]\frac{27}{512}:\frac{1}{144}=\frac{27}{512}\cdot 144=\frac{243}{32}[/m]

[m]\frac{243}{32}\cdot \frac{9}{4}=\frac{2187}{128}=17 \frac{11}{128}[/m]

По определению, не имеет предела.

Ограничена.

a_(1)=2/9

a_(2)=-5/13

Значит, вся последовательность внутри отрезка

[-5/13; 2/9]

Но нет такого числа [b]а[/b], к которому бы все члены последовательности стремились, начиная с некоторого очень большого номера.

можно еще так,

lim_(n → ∞ )|a_(n)|=lim_(n → ∞ ) (1-3n)/(4n+5)=-3/4

Общий член послед не стремится к 0, не выполняется необходимое условие сходимости.

1.
a) По формулам приведения
tg89 ° =ctg1 °;
tg88°=ctg 2°
...
По формуле tg α *ctg α =(sin α /cos α )*(cos α /sin α )=[b]1[/b]
и тогда
tg1 ° *ctg1 ° =1
tg2 ° *ctg2 ° =1
Поэтому[b] tg 1 °[/b] [green]*tg2 °[/green] *tg3 ° *...tg44 ° [red]tg45 ° [/red]*ctg 44 ° *...[green] ctg2 °[/green] [b]*ctg1 °[/b] =tg45 ° ( только ему нет пары)
но tg45 ° =1

О т в е т .1

б) аналогично

2. Дано :[m] tg \beta =-4[/m]

По формуле:
[m]1+tg^2 \beta =\frac{1}{cos^2 \beta}[/m]

[m]cos^2 \beta =\frac{1}{1+tg^2 \beta}=\frac {1}{17}[/m]

Найти:

[m]\frac{2sin \beta cos \beta +3}{4cos^2 \beta+sin^2 \beta}[/m]

Вынесем за скобки [m] cos^2 \beta[/m] и в числителе и в знаменателе:

[m]\frac{cos^2 \beta \cdot (2tg \beta +\frac {3}{cos^2 \beta})}{cos^2 \beta \cdot (4+tg^2 \beta)}=[/m]

[m]=\frac{2tg \beta +\frac {3}{cos^2 \beta}}{4+tg^2 \beta}=\frac{2\cdot (-4)+\frac{3}{\frac{1}{17}}}{4+(-4)^2}=[/m]

б) аналогично

3.

cos 20 ° - sin20 ° =cos20 ° -cos70 ° = формула

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{x>0
{2x^4>0
{log_(2)x-2 ≠ 0
{log^2_(2)x-log_(2)(2x^4)+5 ≠ 0

Замена:

log_(2)x=t

log_(2)(2x^4)=log_(2)2+log_(2)x^4=1+4log_(2)|x|, так как x > 0 ( cм в ОДЗ). то= 1+4log_(2)x

Получаем дробно-рациональное неравенство:

[m]1+\frac{7}{t-2}+\frac{6}{t^2-4t+4} ≥ 0[/m]

[m]\frac{t^2-4t+4+7(t-2)+6}{(t-2)^2} ≥ 0[/m]

[m]\frac{t^2+3t+4}{(t-2)^2} ≥ 0[/m]

t^2+3t+4 > 0 при любом t; D=9-16 <0

Неравенство верно при любых t ≠ 2

Обратный переход:

log_(2)x ≠ 2 ⇒ x ≠ 4

О т в е т. (0; 4) U(4;+ ∞ )

ОДЗ:
{x^2-8x+8 >0 ⇒ D=8^2-32=32; x_(1,2)=4 ± 2sqrt(2)
{(2-x)^4>0 - верно при всех х, кроме х=2, в точке х=2: 0>0 - неверно

[red]x ∈ (- ∞ ;4-2sqrt(2)) U(4+2sqrt(2);+ ∞ )[/red]

log_(16)(2-x)^4=log_(4^2)((2-x)^2)^2=log_(4)|(2-x)^2|=log_(4)(2-x)^2

Уравнение можно записать:

log_(4)(x^2-8x+8)=log_(4)(2-x)^2 ⇒ x^2-8x+8=(2-x)^2 ⇒ x^2-8x+8=4-4x+х^2

-4x=-4

x=1

1 ∈ [red]ОДЗ[/red]

Так как
1 < 4-2sqrt(2) ⇒ 0 < 3-2sqrt(2) ⇒ 2sqrt(2) < 3 ⇒ 8 < 9 - верно

О т в е т. 1

б)
log_(7)3 < log_(7)7=1

1< sqrt(7)

О т в е т. б) 1

9.
Решить уравнение:
x^2-9=3x-5
x^2-3x-4=0

Два решения x=-1; x=4

Так как точка А в правой полуплоскости, у нее х положительный,
значит, х=4 ответ, а y=x^2-9=4^2-9=16-9=7 или y=3x-5=3*4-5=7

О т в е т. А(4;7)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-12x+36>0 ⇒ (x-6)^2 >0 верно при всех х, кроме x=6
{x-1>0 ⇒ x>1

x ∈ (1;6)U(6;+ ∞ )
Метод интервалов:
Нули числителя:
log_(5)(x^2-12x+36)=0 ⇒ x^2-12x+36=5^(0) ⇒ x^2-12x+35=0
x_(1)=5; x_(2)=7
Нули знаменателя:
log_(3)(x-1)=0 ⇒x-1=3^(0)⇒x=2

__[green]-[/green]__ (2) __+__ [5] __[green]-[/green]__ [7] ___+__

C учетом ОДЗ, получаем ответ.

(1)__[green]-[/green]__ (2) _____ [5] __[green]-[/green]_ (6) __[green]-[/green]__ [7]

(1;2) U[5;6) U(6;7]

Ответ выбран лучшим

так как (arctg 3x)`=[m]\frac{(3x)`}{1+(3x)^2}[/m], то

d(arctg 3x)==[m]\frac{3}{1+(3x)^2}dx[/m]

Несобственный интеграл первого рода с бесконечным верхним пределом.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница

∫ ^(+ ∞ )_(a)f(x)dx=F(x)|^(+ ∞ )_(a)=F(+ ∞ )-F(a),

где F(+ ∞ )=lim_(x → + ∞ )F(x)

[m] \int ^{+\infty}_{\frac{1}{3}} \frac{dx}{(1+9x^2)\cdot arctg^23x}=

\frac{1}{3}\int ^{+\infty}_{\frac{1}{3}} \frac{d(arctg3x)}{arctg^23x}dx=[/m]

[m]=\frac{1}{3}\int ^{+\infty}_{\frac{1}{3}} arctg^{-2}3x d(arctg 3x)=[/m]

[m]=\frac{1}{3}(-\frac{1}{arctg3x})|^{+\infty}_{\frac{1}{3}}=[/m]

F(+ ∞ )=lim_(x → + ∞ )F(x)

arctg(+ ∞ ) = lim_(x → + ∞ )arctg3x=[m]\frac{\pi}{2}[/m]

[m]=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{arctg1}=[/m]

arctg1=[m]\frac{\pi}{4}[/m]

[m]=-\frac{2}{3 \pi}+\frac{4}{3 \pi}=\frac{2}{3 \pi}[/m]

Ответ выбран лучшим

так как (1-x^5)`=-5x^4dx, то

d(1-x^5)=-5x^4dx, значит

[m] \int ^{1}_{0} \frac{x^4}{\sqrt[3]{1-x^5}}dx=

-\frac{1}{5}\int ^{1}_{0} \frac{(-5x^4)}{\sqrt[3]{1-x^5}}dx=-\frac{1}{5}\int ^{1}_{0}(1-x^5)^{-\frac{1}{3}} d(1-x^5)=[/m]

формула ∫ u^( α )du

[m]=\frac{(1-x^5)^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}|^{1}_{0}=[/m]

[m]=\frac{3}{2}(1-x^5)^{\frac{2}{3}}|^{1}_{0}=0-\frac{3}{2}=-1,5[/m]

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час - скорость грузовой, (х+15) км в час - скорость легковой.

[m]\frac{10}{x+15}[/m] час - время легковой.

[m]\frac{10}{x}[/m] час - время грузовой.

По условию легковая машина выехала на 2 мин позже грузовой , значит,

[m]\frac{10}{x}[/m] - [m]\frac{10}{x+15}[/m]=[m]\frac{2}{60}[/m]

300*(x+15-x)=x*(x+15)

x^2+15x-4500=0

D=225+4*4500=18225=135^2

x=(-15+135)/2=60 второй корень отрицательный (-15-135)<0

не считаю

О т в е т. 60 км в час грузовая, 75 км в час легковая

Ответ выбран лучшим

Уравнение плоскости, проходящей через точку М_(о) c нормальным вектором vector{n}=(A;B;C)

[m]A\cdot (x-x_{0})+B\cdot (y-y_{0})+C\cdot (z-z_{0})=0[/m]

1) x_(0)=-2; y_(0)=0;z_(0)=2
A=0;B=3;C=-1

[m]0\cdot (x-(-2))+3\cdot (y-0)+(-2)\cdot (z-2)=0[/m] ⇒

[m]3y-2z+4=0[/m]

2)x_(0)=1; y_(0)=1; z_(0)=-1
A=1;B=1;C=-1

[m]1\cdot (x-1)+1\cdot (y-1)+(-1)\cdot (z-(-1))=0[/m] ⇒

[m]x-1+y-1-z-1=0[/m]

[m]x+y-z-3=0[/m]

Ответ выбран лучшим

A(3;2;5)
x=3;y=2;z=5
Подставляем координаты в уравнение плоскости:
3+3*2-5-4=0- верно, точка А принадлежит плоскости

B(-1;-2;8)
x=-1;y=-2;z=8
Подставляем координаты в уравнение плоскости:
-1+3*(-2)-8-4=0- неверно, точка B не принадлежит плоскости

С(2;1;3)
x=2;y=1;z=3
Подставляем координаты в уравнение плоскости:
2+3*1-3-4=0- неверно, точка С не принадлежит плоскости

О(0;0;0)
x=0;y=0;z=0
Подставляем координаты в уравнение плоскости:
0+3*0-0-4=0- неверно, точка О не принадлежит плоскости

О т в е т
a) A
б) B; C; O

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{0,1}{x+6}=\frac{0,6}{x-5}[/m]

Умножаем крайние и средние члены пропорции:

0,1*(x-5)=0,6*(x+6)

0,1x-0,5=0,6x+3,6

0,1x-0,6x=3,6+0,5
-0,5=4,1

x=4,1:(-0,5)

x=-8,2

О т в е т.[b] -8,2[/b]

∠ PAO=45 ° ⇒ ΔPAO - прямоугольный равнобедренный.

а)[b]H[/b]=PO=AO=12*sin45 °12*sqrt(2)/2[b]=6sqrt(2)[/b]

AO=AC/2

AC=2AO=12*sqrt(2) ⇒ Из Δ АСD:

AD=12sqrt(2)*sin45 ° =[b]12[/b]

Апофема боковой грани:
h^2=PD^2-DK^2=(12)^2-6^2=144-36=108
h=sqrt(108)=6sqrt(3)

б) S=P_(осн)*h/2=(4AD)*h/2=2AD*h=[b]24*6sqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

y`=dy/dx

dy=(2+y)dx - уравнение с разделяющимися переменными

dy/(2+y)=dx

∫ dy/(2+y)= ∫ dx

ln|2+y|+lnc=x ⇒

x=lnc(y+2) ⇒

c(y+2)=e^(x)

y+2=C*e^(x)

[b]y=C*e^(x)-2[/b] - общее решение

y(0)=3

3=C*e^(0)-2 ⇒ 3+2=C ⇒ C=5

[b]y=5*e^(x)-2[/b] - частное решение или решение задачи Коши

Ответ выбран лучшим

а)

y`=dy/dx

dy=7^(x+y)dx

dy=7^(x)*7^(y)dx - уравнение с разделяющимися переменными

7^(-y)dy=7^(x)dx

Интегрируем:

∫ 7^(-y)dy= ∫ 7^(x)dx

-7^(y)/ln7 =( 7^(x)/ln7)+C

7^(y)+7^(x)=C- о т в е т.

б)

1+y`=e^(y)

y`=e^(y)-1

y= ∫ (e^(y)-1)dy

y=e^(y)-y+C- о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Замена;

y`=z(y)

y``=z`(y)*y`=z`(y)*z

1-z^2=2y*z`(y)*z

2z`(y)*z=(1-z^2)/2y

2z*z`(y)/(1-z^2)=1/y

2zdz/(1-z^2)=dy/y

∫ 2zdz/(1-z^2)= ∫ dy/y

lnC_(1)-ln|1-z^2|=ln|y| ⇒ z=?

и подставляем

y`=z(y) ⇒ найдем у

(прикреплено изображение)

Числа с 1 по 9 занимают всего [b]9 мест[/b]

Двузначные числа с 10 по 99 занимают [b]180 мест[/b]

2 цифры в каждом числе и (99-9)=90 ( чисел двузначнх)

Итак занято

180+9=189 мест

до 234 места осталось немного. Все трехзначные числа считать нет смысла.

Считаем по частям, например

числа [b]с 100 по 109[/b] займут [b] 30 мест[/b]

3 цифры и 10 чисел

[b]189+30=219 мест заняли[/b]

Осталось 234-219=15 мест. Можно честно выписать и посмотреть:

11011111211311[b]4[/b]- это 234 -е место

О т в е т. цифра 4

x=3;y=-7
Подставляем в каждое уравнение.
Если получаем верное равенство- ответ проходит.

1)
-3*|3|-(-7)=-4 - неверно, -2 ≠ -4
2)
6*(-7)*3+2*3=-122 -
3)
-6*3-2*(-7)=-2- неверно, -4 ≠ -2
4)
6*(-7)*3+2*3=-120

5)
(-7)*3-5*(-7)=14-верно, 14=14 Проходит

6)
(-7)*3-5*(-7)=16 -

Ответ выбран лучшим

0,2*(y-5)=0,4*(y+4)
0,2*y-0,2*5=0,4*y+0,4*4
0,2*y-1=0,4*y+1,6
0,,2*y-0,4*y=1,6+1
-0,2*y=2,6

y=2,6:(-0,2)

y=-13

Но я бы умножила на 5:
0,2*(y-5)=0,4*(y+4) ⇒ (у-5)=2*(y+4) так быстрее и проще

y-5=2y+8
y-2y=8+5
-y=13
y=-13

Ответ выбран лучшим

p=7/12 - вероятность того, что составлены неверно
q=1-p=1-(7/12)=5/12 - вероятность того, что составлены верно

Повторные испытания с двумя исходами p и q. Cхема Бернулли.

a) См формула Бернулли.

P_(5)(3)=C^(3)_(5)*(7/12)^3*(5/12)^2

=(5!/(3!*(5-3)!)*(7/12)^3*(5/12)^2= 10*(7^3*5^2)/12^5)= считайте...

б)
Событие A - " не менее трех договоров"
Противоположное событие vector{A}- " менее трех"
значит, 0,1,2.

Cчитаем как в а)

P_(5)(0)=C^(0)_(5)*(7/12)^0*(5/12)^5=1*5^5/12^5=...

P_(5)(1)=C^(1)_(5)*(7/12)^1*(5/12)^4=5*7*5^4/(12^5)=...

P_(5)(2)=C^(2)_(5)*(7/12)^2*(5/12)^3=10*(7/12)^2*(5/12)^3=...

p(vector{A})=P_(5)(0)+P_(5)(1)+P_(5)(2)=....считайте

Тогда

p(A)=1-p(vector{A})= считайте...

Ответ выбран лучшим

Высота пирамиды - перпендикуляр к плоскости SCD,
NT ⊥ пл. SCD ⇒ NT перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой SM.

∠ NTS= ∠ NTM=90 ° ⇒ TM ⊥ NT и ST ⊥ NT

Из точки T можно провести к NT только один перпендикуляр.

T ∈ SM

Ответ выбран лучшим

[i]Cумма углов треугольника[/i] АВС равна 180 °

∠ B=70 ° ; ∠ C=25 ° ⇒ ∠ A=85 °

BD- [i]диаметр окружности[/i], значит ∠ BCD= ∠ BLD= ∠ BAD=90 °

∪ AB=50 ° ; ∪ BD=180 ° ⇒ [b] ∪ DLA=130 [/b](180 ° -50 ° )

∠ ABD=65 ° , так как опирается на дугу DLA

∠ СBD=5 ° ( ∠ B=70 ° по условию) ⇒ [b] ∠ СAD=5 °[/b], как опирающийся

на ту же дугу CD.

BH ⊥ АС ( по условию BH- высота)
BL ⊥ DL (∠ BLD= 90 °, опирается на диаметр)

DL || AC как перпендикуляры к BL

[b] ∠ CAD[/b]= ∠ ADL - внутренние накрест лежащие при параллельных
прямых DL и AC и секущей AD.

∠ ADL=∠ CAD=5 ° ⇒ [blue]∪ AL= ∪ CD=10 ° [/blue]

∠[b] ACD= ∠ CAL [/b]как опирающиеся на равные дуги.
∪ AD= [blue]∪ AL[/blue]+[b] ∪ DL[/b]
∪ СL=[blue] ∪ CD[/blue]+[b] ∪ DL[/b]

б)
∪ AD=∪ СL ⇒ ∪ DL=120 ° ⇒ ∠ DBL=60 °

Δ BDL - прямоугольный, ∠ DBL=60 °
∠ BDL=30 °
BD=2R=8sqrt(3) ⇒ DL/sin60 ° =BD ⇔ [b]DL=12[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
SA ⊥ плоскости основания ABCD ⇒
Δ SAD и Δ SAB - прямоугольные.

Пусть SA=[b]a[/b]
так как по условию BC = 2SA, то BC=2a;
ABCD - квадрат,
ВС=AD=AB=2a

M- середина ребра АВ ⇒ АМ=МВ=a

Проводим прямую MK || BD

MK- средняя линия Δ ADB.

MK=BD/2=sqrt((2a)^2+(2a)^2)/2=sqrt(8a^2)/2=2sqrt(2)a/2=[b]asqrt(2)[/b]

Значит, АК=КD=a

Прямоугольные треугольники Δ AKSи Δ АМS равны по двум катетам:
AS- общий
АК=АМ=a

Значит, SK=SM=sqrt(a^2+a^2)=[b]a*sqrt(2)[/b]

Сечение SKM - равнобедренный треугольник (SK=SM)
и BD || пл SKM, так как BD || MK.
и так как MK=SK=SM=[b]a*sqrt(2)[/b], то Δ SKM - равносторонний.

б)

Введем систему координат.

D(0;0;0); C(2a;0;0); B(2a; 2a;0); A(0;2a;0)
S(0;2a;a)

M(a;2a;0); K(0;a;0)

Составим уравнение плоскости SKM, как плоскости, проходящей через три точки: S(0;2a;a); M(a;2a;0); K(0;a;0)

[m]\begin{vmatrix} x &y-2a &z-a \\ a & 0 & -a\\ 0 & -a &-a \end{vmatrix}=0[/m]

[m] x +y-z-a=0[/m]

Расстояние от прямой BD до плоскости, это расстояние от точки O - середины BD до плоскости.

O (a;a)

По формуле расстояния от точки до плоскости ( см формулу в приложении)

[m]d=\frac{|a+a-0-a|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}[/m]

По условию
АВ=6sqrt{3}

АВ=[m]2а[/m] и [m]2а=6 \sqrt{3}[/m] ⇒[m] а=3 \sqrt{3}[/m]

[m]d=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3[/m]

б) О т в е т. [b]3[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость первого х км в час, скорость второго у км в час.
S км - весь путь.

{4y-4x=(2/5)S ⇒ умножаем на 2,5: S=10y-10x и подставляем во второе
{(S/x)-(S/y)=5/3 ⇒ S*(y-x)/(xy)=5/3 ⇒ 3S(y-x)=5xy

3*(10y-10x)(y-x)=5xy
Делим на 5
6(y-x)*(y-x)=xy

[b]6x^2-13xy+6y^2=0[/b]- квадратное уравнение относительно х ( как уравнение с параметром)

D=169y^2-4*6*6y^2=25y^2

x_(1)=8y/12 или x_(2)=18y/12;
x_(1)=2y/3 или x_(2)=3y/2

x_(2) говорит о том, что скорость первого больше скорости второго, это не удовлетворяет смыслу задачи, первый не отстанет.

при
x=2y/3 ⇒ y=(3/2)x

S=10*(y-x)

S=10*((3/2)x-х)

S=10*0,5x ⇒ S=5*x

[b]S/x[/b]=5 - ответ 5 часов понадобится первому

Пусть скорость печатания второй машинистки [b]х[/b] страниц в час.

Пусть она работала [b]t[/b] часов до того момента, когда догнала первую.

Значит напечатала[b] xt[/b] страниц

Первая работала на час больше, т.е [b](t+1) [/b]час.

И напечатала [b]5*(t+1)[/b] страниц

Уравнение:
[b] xt= 5*(t+1)[/b]

Еще через полчаса, т.е через [b](t+0,5)[/b] часов третья догнала вторую

Вторая к этому времени работала (1+t+0,5) часов

и напечатала

[b]x*(1+t+0,5) [/b] страниц

Уравнение:
[b]x*(t+0,5)=6*(1+t+0,5)[/b]

Cистема:
{xt= 5t+5
{xt+0,5x=6t+9

{xt=5t+5
{5t+5+0,5x=6t+9 ⇒ 0,5x=t+4 ⇒ x=2t+8

(2t+8)*t=5t+5

2t^2+3t-5=0
D=9+40=49
t=1

x=2t+8=2*1+8=10

О т в е т. 10 страниц

Ответ выбран лучшим

Пусть правительство [i]закроет[/i] [b]х [/b]шахт, [i]откроет[/i] [b]y[/b] заводов и [b]z[/b] фабрик.

Тогда
(170y+110z-180 x) - суммарное число новых рабочих мест.

52x+43y+20z - сумма всех затрат, что по условию равно 714 млн руб

Уравнение:

[b]52x+43y+20z=714[/b]

Переформулируем задачу:

Найти максимально возможное значение функции

[b]f(x;y;z)=170y+110z-180 x[/b]

при условии

[b]52x+43y+20z=714[/b]

При этом x; y; z - натуральные числа.

20z=714-52x-43y

⇒ 714-52x-43y кратно 20

кроме того, очевидно, что y - [i]четное,[/i] потому что все остальные числа в равенстве четные.

Далее перебор различных вариантов с учетом сказанного выше.

Например, при

[b]x=1; y=14; z=3[/b]

f(x;y;z)=170*14+110*3-180*1=[b]2530[/b]

[b]x=2; y=10; z=9[/b]

f(x;y;z)=170*10+110*9-180*2=[b]2330[/b]

[b]x=8; y=6; z=2[/b]

f(x;y;z)=170*6+110*2-180*8=[b]-200[/b] уменьшение ....

О т в е т. 2530 мест

Ответ выбран лучшим

ВM - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС
По свойству биссектрисы BK треугольника АВН:
АК:KH=AB:BН

Пусть АВ=5x; тогда ВС=3х
Треугольник АВН- прямоугольный.
По теореме Пифагора
АН^2=AB^2-BH^2=(5x)^2-(3x)^2=25x^2-9x^2=16x^2
АН=4х

AH=AK+KH=8

4х=8

х=2

Значит
АВ=ВС=10
СН=6

АН=8

S_( Δ АВН)= (1/2)АН*СН=(1/2)*8*6=24

В треугольниках АВК и ВКН общая высота, значит

S_( Δ ABK): S_( Δ КВН) = AK : KH=5:3

S_( Δ ABK)=(5/8)S_( Δ АВН)=(5/8)*24=15

О т в е т. [b]15[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

315-144=171

171:19=9 страниц в день - производительность первого.

144:12=12 страниц в день производительность второго

Пусть у первого надо забрать х страниц,
тогда у него останется (171-х) страниц
тогда у второго станет (144+х) страниц

(144+x)/12 дней понадобится второму.

(171-x)/9 дней понадобится первому

По условию это [b]одно и то же количество[/b] дней.

Уравнение:
(144+x)/12 =(171-x)/9

Пропорция.

Умножаем крайние и средние члены пропорции:

12*(171-х)=9*(144+x)

Делим на 3

4*(171-х)=3*(144+х)

684-4х=432+3х

684-432=4х+3х

252=7х

х=36

144+36=180 cтраниц должно быть у второго

144 страницы второго составляют 100 %

180 страниц - составляют p%

p=180*100/144=125%

125%-100%=25%

О т в е т. на 25% нужно увеличить часть работы второго оператора

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания равна [b]x[/b]. Тогда боковое ребро равно
[b]1,2*x[/b].

MK- расстояние между серединами двух непараллельных ребер, принадлежащих разным основаниям.

MN- проекция MK на плоскость основания АВС.

MN - средняя линия треугольника АВС.

MN=x/2

По теореме Пифагора из треугольника МКN

MK^2=MN^2+NK^2

13^2=(x/2)^2+(1,2x)^2

169=1,69x^2

x^2=100

x=10

Сторона основания равна 10, высота призмы 12.

S_(бок)=P_(осн)*Н=(10+10+10)*12=360

О т в е т.[b] 360.[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что бросаются две игральные кости, на каждой очки от 1 до 6.

Результаты испытания удобнее расположить в виде таблицы:
(cм. таблицу 1)

Число исходов испытания n=36

Событие А - "сумма выпавших очков будет больше, чем их произведение"

Cобытию А благоприятствуют исходы:
( cм таблицу 2)

m=11

По формуле классической вероятности

p(A)=m/n=11/36 [b]≈ 0,31[/b]

О т в е т. 0,31 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:

[m]\left\{\begin{matrix}
x^2-8x+12>0\\ x+4>0\\x+4 ≠ 1\\(2-x)^2>0\\|x-2|>0\\|x-2| ≠ 1

\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix}
x<2; x > 6\\ x>-4\\x ≠ -3\\x≠2\\x≠2\\x-2 ≠\pm 1

\end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (-4;-3) U (-3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )[/red]

В условиях ОДЗ:

[m]\frac{1}{2}log_{|x-2|}(2-x)^2=log_{|x-2|}((x-2)^2)^{\frac{1}{2}}=log_{|x-2|}|x-2|=1[/m]

Неравенство принимает вид:

[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < 1[/m], так как [m]1=log_{x+4}(x+4) [/m], то

[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < log_{x+4}(x+4)[/m]

Если основание логарифмической функции 0 < x+4 < 1, т.е
[red]x ∈ (-4;-3) [/red], то

[i]логарифмическая функция убывает [/i] и
[m]x^2–8x+12 > x+4[/m]
[m]x^2–9x+8 >0[/m]
D=81-32=49
x=1; x=8

решение неравенства : x < 1 или x > 8

C учетом [red]x ∈ (-4;-3) [/red], о т в е т. [b]x ∈ (-4;-3) [/b],

Если основание логарифмической функции
x+4 > 1, т.е
[red]x ∈ (-3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )[/red]

[i]логарифмическая функция возрастает[/i] и
[m]x^2–8x+12 < x+4[/m]
[m]x^2–9x+8 <0[/m]
D=81-32=49
x=1; x=8

решение неравенства : 1 < x < 8

C учетом [red]x ∈ (-3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )[/red] о т в е т. [b]x ∈(1;2) U(6;8) [/b]

Объединяем оба ответа:

О т в е т. [b]x ∈ (-4;-3) U(1;2) U(6;8) [/b]

РS

Метод рационализации логарифмических неравенств позволяет не рассматривать два случая ( возрастания и убывания логарифмический функции).

От неравенства:

[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < log_{x+4}(x+4)[/m]

переход к неравенству:

[m](x+4-1)(x^2–8x+12-x-4) <0[/m]

[m](x+3)(x^2–9x+8) <0[/m]

[m](x+3)(x-1)(x-8) <0[/m]

и с учетом ОДЗ тот же ответ.

Ответ выбран лучшим

a) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(параллелограмма АBCD)=a*h

a=BC=AD

Проведем в треугольникаx ВМС и АМD из точки M высоты на стороны BC и AD
h_(1) - высота Δ ВMC; h_(2) - высота Δ АMD
h_(1)+h_(2)=h

так как BC|| AD и потому из точки М можно провести только одн перпендикуляр к BC и AD

S_( Δ ВMC)=(1/2)a*h_(1)
S_( Δ AMD)=(1/2)a*h_(2)

S_( Δ ВMC)+S_( Δ AMD)=(1/2) a*(h_(1)+h_(2))=(1/2)a*h=(1/2)S_(АBCD)=5

Значит, S_( Δ AMB)+S_( Δ CMD)=S_(АBCD)- S_( Δ ВMC)-S_( Δ AMD)=10-5=5

О т в е т 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(3x-e^(3x))`
y`=3-e^(3x)*(3x)`
y`=3-3e^(3x)

y`=0

3-3e^(3x)=0

3*(1-e^(3x))=0

1-e^(3x)=0

e^(3x)=1

3x=0

x=0

0 ∈ [-1;1]

Знак производной:

[-1] _+__ (0) __-__[1]

x=0 - точка максимума

y(0)=3*0-e^(0)
y(0)=-1

О т в е т. -1 - наибольшее значение функции y = 3x–e^(3x)
на отрезке [–1;1]

Ответ выбран лучшим

√15x2+2x+8=-4x

ОДЗ: -4x ≥ 0 ⇒ [b]х ≤ 0[/b]

Возводим в квадрат
15x^2+2x+8=16x^2
x^2-2x-8=0
D=(-2)^2-4*(-8)=36
x_(1)=-2; x_(2)=4

x_(2) не удовл условию [b]х ≤ 0[/b]

О т в е т. [b]-2[/b]

Правильным будет и решение без ОДЗ, но с проверкой:

Проверка:
x=-2
sqrt(15*(-2)^2+2*(-2)+8)+4*(-2)=0

sqrt(64)-8=0

8-8=0 - верно

x=4
sqrt(15*(4)^2+2*4+8)+4*4=0

sqrt(256)+16=0 -неверно

Ответ выбран лучшим

Центр окружности (0;0) перейдет в точку (0;1)
радиус останется таким же, т.е равным 2

Уравнение c центром (x_(o);y_(o)) имеет вид:

(x-x_(o))^2+(y-y_(o))^2=R^2

(x_(o);y_(o)) - это (0;1)

О т в е т. x^2+(y-1)^2=4

Ответ выбран лучшим

Центр круга имеет координаты (2;2)

Точка (2;2) принадлежит прямой y=x - биссектриса первого координатного угла

Поворачиваем эту прямую на 90 градусов вокруг точки (0;0) против часовой стрелки и оказываемся во второй четверти.

Точка (2;2) перейдет в точку (-2;2)

[b]ОА=ОВ
∠ АОВ=90 °
[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

N(0;1) ⇒ m=0; σ =1

P( α <X< β )=Ф( ( β -m)/ σ )- Ф(( α -m)/ σ )

[b]Значения функции Ф(х) в таблице.[/b]

а)

P( 1 <X< 3 )
α =1
β =3
( β -m)/ σ=(3-0)/1=3
( α -m)/ σ=(1-0)/1=1

Cм таблицу ( рисунок)

Ф(1)=0,3413

Ф(3)= 0,49865

P( 1 <X< 3 )=Ф(3)-Ф(1)=0,49865-0,3413=считаем...

Кривая на рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2-2y^2+3z^2-yz-y=2 ⇒ x^2-2y^2+3z^2-yz-y-2=0

F(x;y;z)=0

F(x;y;z)=[b]x^2-2y^2+3z^2-yz-y-2[/b]

F`_(x)=2x
F`_(y)=-4y-z-1
F`_(z)=6z-y

z`_(x)=-F`_(x)/F`_(z)=-(2x)/(6z-y)

z`_(y)=-F`_(y)/F`_(z)=-(-4y-z-1)/(6z-y)

z`_(x)(M_(o))=-(2)/(6-1)=

z`_(y)(M_(o))=-(-4-1-1)/(6-1)=

Ответ выбран лучшим

Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом α ⇒

∠ PNO= ∠ PMO= α

Шар вписан в пирамиду ⇒ окружность вписана в Δ MPN

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис

⇒ ∠ SNO= α /2

Из Δ SON
ON=Rctg( α /2)

⇒ MN=2ON=2R*ctg( α /2) - сторона основания пирамиды

Из Δ PON:
PO=ON*tg α =Rctg( α /2) * tg α - высота пирамиды

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*MN^2*PO=

=(1/3)*(2R*ctg( α /2) )^2 *( Rctg( α /2) * tg α) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) D(y)=(–∞;0)U(0;+ ∞)

точка x=0 не входит в область определения
Находим пределы слева и справа:
f(-0)=lim_(x→-0)f(x)=- ∞
f(+0)=lim_(x→+0)f(x)=- ∞

Они бесконечные, значит

х=0 - [b]точка разрыва второго рода[/b]

х=0 - [i]вертикальная асимптота.[/i]

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(-х)=(2*(-х)-1)/(-x)^2=(-2х-1)/x^2

y(-x)≠y(x)
y(-x)≠-y(x)

3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=0
lim_(x→-бесконечность)f(x)=0

[i]Горизонтальная асимптота[/i] y=0

4)
Наклонных асимптот нет

k=lim_(x→ ∞ )(2x-1)/x^3=0

5) f(x)=0
2х-1=0
x=1/2 - точка пересечения с осью Ох

f(0)=не существует.
Точек пересечения с осью Оу нет.

[b]Исследование функции с помощью производной[/b]

6)
y`=(2*x^2-2x*(2x-1))/x^4

y`=(2x^2-4x^2+2x)/x^3

y`=(1-х)/x^3

y`=0

x=1 – точка [b]максимума[/b], производная меняет знак с + на -

Знак производной:
_____–__ (0 ) __+__ (1) __- ___

y`>0 на (0; 1)
функция [b]возрастает[/b] на (0; 1)

y`<0 на (- ∞ ;0) и на (1;+ ∞ )
функция [b]убывает[/b] на (- ∞ ;0) и на (1;+ ∞ )

у(1)=(2-1)/1=1

7)
y``=(-1*x^3-3x^2*(1-x))/x^6

y``=(2x-3)/x^4

x=3/2- точка перегиба

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость автомобилиста х, скорость мотоциклиста у.
Весь путь S:

{2x+y=(4/9)S
{(S/y)-(S/x)=3 ⇒ S=3xy/(x-y) и подставляем в первое

6x^2-7xy-3y^2=0

D=121y^2

x=(7y+11y)/(12)=[b](3/2)y[/b] второй корень отриц. не удовл смыслу задачи

и подставляем во второе:
{(S/y)-(2S/3y)=3 ⇒ (1/3)(S/y)=3 ⇒ S/y=9

О т в е т. 9 часов

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль:
[b]Если
1-cos2x ≥ 0[/b] ⇒ cos2x ≤ 1 - верно при любых х ⇒ случай 1-cos2x <0 поэтому не рассматриваем

1-cos2x=1-cos2x

Уравнение принимает вид:
1-cos2x=cosx4х+1

cos4x+cos2x=0 ⇒ формула cos α +cos β =

Левая часть раскладывается на множители.

2cos(3x)*cos(x)=0

Решаем простейшие уравнения.

cos3x=0 ⇒ 3x=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/6)+(π/3)k, k ∈ Z

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πn, n ∈ Z входят в серию x=(π/6)+(π/3)k, k ∈ Z

О т в е т. x=(π/6)+(π/3)k, k ∈ Z

Интервалу [-π; π/2] принадлежат корни:

-5π/6; -π/2; -π/6; π/6;π/2

cм. рис.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]ОДЗ: x^2-1 ≥ 0[/b] ⇒ (- ∞ ;-1]U[1;+ ∞ )

35^(x+√x2–1)·13^(2·√x2–1)[red]-[/red]35^(x–√x2–1) >0

Раскладываем на множители:
35^(x–√x2–1)*(35^(2sqrt(x^2-1))-13^(2sqrt(x^2-1))>0

35^(x–√x2–1)> 0 при любом x из [b]ОДЗ[/b]

35^(2sqrt(x^2-1))-13^(2sqrt(x^2-1))>0

(35/13)^(2sqrt(x^2-1)) > 1 ⇒ 2sqrt(x^2-1) > 0 строгое, а в ОДЗ не строгое
значит неравенство будет верно при любом x из [b]ОДЗ[/b], кроме x= ± 1

О т в е т.(- ∞ ;-1)U(1;+ ∞ )

Это неоднородное второго порядка .

Решаем однородное:

y``-2y`=0

Составляем характеристическое

k^2-2k=0

k*(k-2)=0

k=0; k=2 - корни действительные различные

Общее решение однородного:

y_(одн)=С_(1)e^(0x)+C_(2)e^(2x)

y_(одн)=С_(1)+C_(2)e^(2x)

Теперь метод вариации

y_(част)=С_(1)(х)+С_(2)(х)*e^(2x)

y`_(част)=

y``_(част)=

Далее по образцу см. здесь
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=36614

Ответ выбран лучшим

Понижение степени:

y`(x)=z(y)

y``=z`(y)*y`(x)=z`(y)*z

подставляем в уравнение:
4y^3*(z`(y)*z)=y^4-1

и получаем уравнение первого порядка, неизвестной функцией является z(y)

так как z`(y)=dz/dy, то

4y^3*(z*dz/dy)=y^4-1 - уравнение с разделяющимися переменными

z*dz=(y^4-1)dy/4y^3

Интегрируем:

∫ zdz=(1/4) ∫ (y^4-1)dy/y^3

Cправа делим почленно на y^3

z^2/2=(1/4) ∫ (y^4dy/y^3)-(1/4) ∫ (dy/y^3)

z^2/2=(1/4) ∫ ydy-(1/4) ∫ y^(-3)dy

z^2/2=(1/4) * (y^2/2)-(1/4) ( y^(-2)/(-2) + c_(1)

⇒ z^2=(1/4)y^2+(1/4)*(1/y^2)+C_(1); C_(1)=2c_(1)

z=sqrt((1/4)y^2+(1/4)*(1/y^2)+C_(1))

и возвращаемся к замене:

y`(x)=z(y)

y`(x)= sqrt((1/4)y^2+(1/4)*(1/y^2)+C_(1))

y`=dy/dx

dy/dx=sqrt((1/4)y^2+(1/4)*(1/y^2)+C_(1))

dy/sqrt((1/4)y^2+(1/4)*(1/y^2)+C_(1))=dx

(1/4)y^2+(1/4)*(1/y^2)=((1/2)y+(1/2)*(1/y))^2-1/2

dy/sqrt(((1/2)y+(1/4)*(1/y))^2+C_(1)-(1/2))=dx

Интегрируем...
Но это не просто...

Возвращаюсь к условию

4y^3* y``=y^4-1

Если
u=y^4-1
то
u`=4y^3*y`

Уравнение принимает вид:

(u`*y`)*y``=u

y``=(y`)`

(u`*y`)*(y`)`=u

Может быть воспользоваться тем, что

[b]y`_(x)=1/(x`_(y))
[/b]

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+9=0

k1=-3i; k2=3i– корни комплексно-сопряженные
α =0 β=3

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*cos3x+C_(2)sin3x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(0)*(A*sin2x+B*cos2x)

y_(част)=A*sin2x+B*cos2x

Находим производную первого, второго порядка

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=2A*cos2x-2B*sin2x

y``_(част)=-4A*sin2x-4B*cos2x

подставляем в данное уравнение:

-4A*sin2x-4B*cos2x+9A*sin2x+9B*cos2x=5sin⁡2x–10 cos⁡2x

Cистема:
{-4A+9A=5
{-4B+9B=-10

{A=1
{B=-2

О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=[b]С_(1)*cos3x+C_(2)sin3x+sin2x-2cos2x
[/b]

2.
Находим гипотенузу АВ по теореме Пифагора
АВ^2=12^2+16^2=144+256=400
AB=20
cos ∠ A=AC/AB=16/20=0,8

1.

См. рис. Δ АВЕ - [b]равнобедренный [/b] ⇒ ВЕ=2,5

EC=8,5-2,5=6

CD=AB=2,5

Из треугольника СЕD по теореме Пифагора

ED^2=6^2+2,5^2=
ED= (прикреплено изображение)

Все есть
N(3;2) ⇒ m=3; σ =2

P( α <X< β )=Ф( ( β -a)/ σ )- Ф(( α -а)/ σ )

[b]Значения функции Ф(х) в таблице.[/b] ( см.приложение)

1)
P( -3 <X< 5 )=?
α =-3
β =5

( β -a)/ σ=(5-3)/2=1
( α -а)/ σ=(-3-3)/2=-3

Ф(1)=0,3413
Ф(-3)=-Ф(3)=-0,49865

P( -3 <X< 5 )=Ф( 1 )- Ф(-3 )=0,3413+0,49865= считаем

2)
P( X ≤ 4 )=?
α =- ∞
β =4

( β -a)/ σ=(4-3)/2=0,5
( α -а)/ σ=(- ∞ -3)/2=- ∞

Ф(0,5)=0,1915
Ф(- ∞ )=-Ф(+ ∞ )=-0,499999999...=-0,5

P( X ≤ 4 )=Ф(0,5 )- Ф(-3 )=0,1915+0,5= считаем

3)

P( |X-3| <6 )=P( -6+3 <X< 6+3 )=P( -3 <X< 9)=Ф(3 )- Ф(-3 )=2Ф(3)=2*0,49865=считаем

α =-3
β =9
( β -a)/ σ=(9-3)/2=3
( α -а)/ σ=(-3 -3)/2=- 3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m](z^{\frac{1}{2}}+z^{\frac{1}{3}}+z^{\frac{1}{5}})^{10}=(z^{\frac{1}{5}}\cdot (z^{\frac{3}{10}}+z^{\frac{2}{15}}+1))^{10}=[/m]

[m]=z^2\cdot (z^{\frac{3}{10}}+z^{\frac{2}{15}}+1))^{10}[/m]

По условию:

[m]z^2\cdot (z^{\frac{3}{10}})^{m}\cdot (z^{\frac{2}{15}})^{n}\cdot 1^{k}=z^3[/m]

или ситуация упростилась:

[m](z^{\frac{3}{10}})^{m}\cdot (z^{\frac{2}{15}})^{n}\cdot 1^{k}=z[/m] ⇒

[m]\frac{3m}{10}+\frac{2n}{15}=1[/m]

[m]9m+4n=30[/m]

Уравнение в натуральных числах
Можно решить простым методом подбора.

Далее полиномиальная формула...

Ответ выбран лучшим

1.

114=2*57=2*3*19

133=19*7

[m]\frac{114}{133}=\frac{2\cdot 3\cdot 19}{19\cdot 7}=\frac{2\cdot 3}{7}=\frac{6}{7}[/m]

2.

1176=2*588=2*2*294=2*2*147=2*2*7*21=2*2*7*7*3=[b]2^2*3*7^2[/b]

Ответ выбран лучшим

Полоса, параллельная оси Оу, ограниченная прямыми x=-1 и x=4

Ответ выбран лучшим

из первого
k=10:4
k=2,5

и подставляем во второе:
2,5+m=-9
находим m

(прикреплено изображение)

Пусть производительность первой фабрики x плит в сутки.
Тогда производительность второй фабрики - 0,95*х плит в сутки.

После модернизации производства вторая фабрика увеличила выпуск плит на 23% от х, т.е 0,23*х
и стала выпускать
0,95*х+0,23*х=1,18*х

Причем,
1,18*х > 1000

Система:
{x ≤ 950
{1,18*x >1000 ⇒ x> 847,5 Так как x- целое число, то x ≥ 848

Учитывая, что 0,23*x - целое число, то х кратно 100

О т в е т. [b]х=900 плит[/b]

Очень подробно написано здесь:
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=45913

1. см здесь аналогичное решение:
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=45708

2 и 3
здесь
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=45477

4 .
ctgx ≠ 0
квадратное:
ctg^2x+5ctgx+4=0 ⇒ D=9; ctgx=-4 ⇒ x=arcctg(-4)+πk, k ∈ Z или
ctgx =-1 ⇒ x=arcctg(-1)+πk, k ∈ Z ⇒ x=(3π/4)+πn, n ∈ Z
5.
(tg^3-1)-(tg^2x-2tgx+1)=0

(tgx-1)*(tg^2x+tgx+1-tgx+1)=0

(tgx-1)*(tg^2x+2)=0

tgx-1=0

x=(π/4)+πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1. Область определения функции: x ≥ 0
y`=((2/3)*x^(3/2) -6x-5)`=(2/3)*(3/2)*x^(1/2)-6=x^(1/2)-6=sqrt(x)-6

y`>0

sqrt(x)-6>0 ⇒ x >36

y` <0

sqrt(x)-6 <0 ⇒ 0 ≤ x <36

Функция убывает на [9;36]

Значит наибольшее значение в точке x=9, наименьшее в точке x=36

y(36)=(2/3)*36*sqrt(36)-6*36-5=4*36-6*36-5=36*(-2)-5=-72-5=-77

2.
f `(x)=e^(2х)*(2x)`-4e^(x)=2*e^(2x)-4*e^(x)
f ` (x)=0

2*e^(2x)-4*e^(x)=0

2*e^(x)*(e^(x)-2)=0

e^(x) > 0 при любом х

e^(x)-2=0

e^(x)=2 ⇒ x=ln2

-1 < ln (1/e) < ln2 < lne=1

в точке x=ln2 наименьшее значение

f(ln2)=e^(2ln2)-4e^(ln2)+7

Основное логарифмическое тождество:

e^(lnx)=x
x >0

f(ln2)=4-4*2+7=[b]3[/b] - наименьшее значение

3.
f`(x)=((x-5)^2)`*e^(x-7)+(x-5)^2*(e^(x-7))`=

=2*(x-5)e^(x-7)+(x-5)^2*e^(x-7)*(x-7)`=

=(x-5)*e^(x-7)*(2+x-5)=

=(x-5)*e^(x-7)*(x-3)

e^(x-7) > 0 при любом х

f`(x)=0

x-5=0 или x-3=0

x=5 или x=3

Знак производной:

___+__ (3) __-___ (5) __+__

х=3 - точка максимума

Ответ выбран лучшим

V=S_(осн)*Н

В основании прямоугольный треугольник

S_(осн)=S_(прямоугольного треугольника)=a*b/2=3*4/2=6

V=S_(осн)*Н=6*8=48 cм^3

Рис.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Дробь равна 0 ⇒ числитель равен 0, знаменатель не равен 0

Cистема:
{2cosx-sqrt(3)=0
{sqrt(7sinx) ≠ 0 ⇒ [b]sinx>0[/b] ( под корнем не может быть отрицательное выражение и исключаем случай sinx=0)

2cosx-sqrt(3)=0 ⇒

cosx=sqrt(3)/2

Это простейшее уравнение:

cosx=a, его решение x= ± arccosa+2πn, n ∈ Z

cosx=sqrt(3)/2 ⇒

x= ± arccos (sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z

[b] x= ± (π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

Второму условию системы, т е условию

sinx >0 удовлетворяют корни в 1 и во 2 четверти

x= - (π/6)+2πn, n ∈ Z в четвертой, не удовл.

О т в е т. (π/6)+2πn, n ∈ Z

Отрезку [π; 5π/2] удовлетворяет корень:

(π/6)+2π=13π/6

Ответ выбран лучшим

Весь круг, т. е 360 градусов , составляет 100%
x градусов - составляют 45%

Пропорция:
360 ° :100=х : 45

x=360 ° *45/100=162 ° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

30 заданий составляют 100%
26 заданий составляют p%

p=26*100/30 ≈ 87%

1=lg10
2lg5=lg5^2=lg25 - [i]cвойство логарифма степени[/i]

lg(x+3)=lg10+lg25 [i]справа сумма логарифмов
[/i]
lg(x+3)=lg250 [i]заменили логарифмом произведения[/i]

x+3=250

[b]x=247[/b]

b) 2

Ответ выбран лучшим

Формула:
(a-b)^2=a^2-2*a*b+b^2

[m]=(\sqrt{7-2\sqrt{6}})^2-2\cdot \sqrt{7-2\sqrt{6}}\cdot \sqrt{7+2\sqrt{6}}+(\sqrt{7+2\sqrt{6}})^2=[/m]

[m]=7-2\sqrt{6}-2\sqrt{7^2-(2\sqrt{6})^2}+7+2\sqrt{6}

=14-2\sqrt{49-24}=[/m]

[m]=14-10=4[/m]

y=2^(2-x) - строго убывающая функция

y=1+2^(x-1) -строго возрастающая

Графики строго возрастающей и строго убывающей пересекаются в [b]одной точке
[/b]
Такая точка находится подбором.

Все, что выше, доказательство того, что корень один.

График построила просто для наглядности...

(прикреплено изображение)

событие Г - выпал герб
p(Г)=1/2 - вероятность выпадения герба
событие Р- выпал Р
q=1-p=1/2 - вероятность выпадения решки

Тогда событие А -выпадут и герб, и решка,
в двух бросаниях можно записать так:
А=ГP + PГ

p(А)=(1/2)*(1/2)+(1/2)*(1/2)=(1/4)+(1/4)=2/4=1/2=0,5

Что останется:
В=ГГ
С=РР

p(В)=(1/2)*(1/2)=1/4 - вероятность выпадения два раза ГЕРБ

p(С)=(1/2)*(1/2)=1/4 - вероятность выпадения два раза РЕШКА

p(A)+p(B)+p(C)=1 и[b] это главное в вероятности.[/b]

⇒

событие
А U B - хотя бы один раз выпал герб

Вероятность можно считать двумя способами

p(A)+p(B)=1-p(C) =1-(1/4)=3/4

p(A)+p(B)=0,5+(1/2)=3/4

Ответ выбран лучшим

a)
Первый способ

(30+40)=70 детей в кружке
70:10=7 групп

Второй способ

30:10=3 группы девочек
40:10=4 группы мальчиков
3+4=7 групп

б)
Первый способ

2*6=12 тюбиков в боксе
25*12=300 тюбиков в контейнере

Второй способ
25*2=50 рядов в 25-ти контейнерах
6*50=300 тюбиков в контейнере

в)
Первый способ
10*12=120 боксов в контейнере
16*120=1920 кг в секции

Второй способ
12*16=192 кг в 12-ти боксах
192*10=1920 кг в секции из 10 рядов

Ответ выбран лучшим

1)
Δ АСВ - равнобедренный. Проводим высоту СM
Она медиана и биссектриса
Значит, Δ АСM - прямоугольный, ∠ САM=30 °

Против угла в 30 ° кате СM=АС/2=9

По теореме Пифагора
AM^2AC^2-CM^2=18^2-9^2=(18-9)*(18+9)=9*27=9*9*3
AM=9sqrt(3)

AM=MB=9sqrt(3)

AB=[b]18sqrt(3)[/b]

S_( Δ АВС)=(1/2)AC*CM=(1/2)*18sqrt(3) * 9=[b]81sqrt(3)[/b]

2)
Площадь грани AKLB равна [red]383√ 3[/red] ???

грань AKLB - прямоугольник

AB=[b]18sqrt(3)[/b]- основание, площадь дана.

Площадь делим на длину АВ находим высоту

Δ ABD - равнобедренный ( AB=BD)
Значит, высота из точки В - медиана.
BK ⊥ AD и AK=KD

Δ ACD - равнобедренный ( AC=CD)
Значит, медиана CК - высота.
⇒ СК ⊥ AD

AD ⊥ BK и AD ⊥ СK ⇒ AD ⊥ пл. ВСК

Теперь понятно, как строить плоскость через точку М

Параллельно пл. ВСК

проводим MN || BK. продолжаем до пересечения с BD в точке F
и проводим NE || CK

FNE - искомое сечение

(прикреплено изображение)

Значит точка касания имеет координаты
y=2
а
x=0 и z=0

Расстояние от начала координат до этой точки равно 2, а это означает, что

R_(сферы)=2

[b]x^2+y^2+z^2=2^2[/b]

[b]x^2+y^2+z^2=4[/b] - о т в е т

2)
[b](x-(-5))^2+(y-7)^2+(z-0)^2=4^2[/b] ⇒ [b](x+5)^2+(y-7)^2+z^2=25[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
Две точки даны, чтобы найти радиус
MC=sqrt((2-2)^2+(0-(-3))^2+(0-4))^2)=sqrt(25)=5

[b](x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=5^2[/b]

2)
Подставляем координаты точки А в уравнение:
x=5
y=m
z=-3

(5-3)^2+m^2+(-3+5)^2=9

4+m^2+4=9

m^2=1

[b]m= ± 1[/b]

Чтобы полученная система не имела решений, нужно, чтобы данная прямая и выбранная не пересекались.

Не пересекаются ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые

Данная прямая:
x-y=4 ⇒ [b]y=x-4[/b]

Методом проб можно подобрать, что это прямая [b]y=x+2[/b]

( построить все три прямые:
Сделайте это хотя бы один раз и все поймете)

А то так и будете решать такие задачи с завязанными глазами.

Итог прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) параллельны, если их угловые [b]коэффициенты равны[/b].

Тогда ответ на второй вопрос:

y+x=-4 ⇒ y=x-4 это та, данная прямая.
Параллельную нашли, это точно не 2х-у=5

и точно они не совпадают.

Потому что прямые совпадающие с данной это
2y=2x-8 ( умножили все слагаемые на 2)

о т в е т. 2) пересекаются

Производная частного
(u/v)`

u=3x-2
v=(5x+8)

u`=(3x-2)`=3
v`=(5x+8)`=5

Ответ выбран лучшим

Сделайте по образцу
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=47117

Группируем:
х^2+(у^2+2y)+(z^2–4z)=4
Выделяем полные квадраты:
х^2+(у^2+2y[b]+1[/b])[b]-1[/b]+(z^2–4z[b]+4[/b])[b]-4[/b]=4

х^2+(у+1)^2+(z-2)^2=4+1+4

х^2+(у+1)^2+(z-2)^2=9

См приложение.

x_(o)=0
y_(o)=-1
z_(o)=2
R=3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Во второй таблице
если x=-1,5; y=-6
то у в 4 раза больше чем х
Значит, если х=2
y=2*4=8
если x=0
то у=2*0=0
если x=2,5
то y=2,5*4=10 (прикреплено изображение)

С^(y+2)_(x)=(x)!/((y+2)!*(x-y-2)!)

С^(y+1)_(х)=(x)!/((y+1)!*(x-y-1)!)

С^(y)_(х)=(x)!/((y)!*(x-y)!)

1)
С^(y+2)_(x+1) : C^(y+1)_(x+1) = 3:5

(x)!/((y+2)!*(x-y-2)!): (x)!/((y+1)!*(x-y-1)!)= 3 : 5;

(x-y-1)/(y+2)= 3 : 5 ⇒ 5x-5y-5=3y+6 ⇒[b] 5x-8y=11[/b]

2)
C^(y+1)_(x+1) : C^(y)_(x+1) = 5:5

(x)!/((y+1)!*(x-y-1)!): (x)!/((y)!*(x-y)!) = 5 : 5

(x-y)/(y+1)=5:5 ⇒ x-y=y+1 ⇒ [b]x-2y=1[/b]

Решаем систему двух уравнений и получаем ответ

Система двух уравнений:
{5x-8y=11;
{x-2y=1

Умножаем второе уравнение на 4:

{5x-8y=11;
{4x-8y=4

Вычитаем из первого уравнения второе
х=7
у=3

О т в е т. х=7; у=3

Ответ выбран лучшим

В разложении (sqrt(11)+4)^(14)

(14+1)=15 слагаемых

k-ый член бинома - ( k+1)-е слагаемое имеет вид

T_(k)=C^(k)_(14)*(sqrt(11))^(k)*(4^(14-k))

k=0,1, 2, ... 14

Согласно условию задачи T_(k) - наибольший член разложения.
Значит должны выполняться условия:
T_(k) > T_(k-1)
и
T_(k) > T_(k+1)

Система:
{C^(k)_(14)*(sqrt(11))^(k)*4^(14-k) >C^(k-1)_(14)*(sqrt(11))^(k-1)*4^(14-k+1)
{C^(k)_(14)*(sqrt(11))^(k)*4^(14-k)>C^(k+1)_(14)*(sqrt(11))^(k+1)*4^(14-k-1)

Упрощаем и получаем неравенства:
{1/k > 4/(sqrt(11)*(14-k+1) ⇒ k <
{4/(14-k) > sqrt(11)/(k+1)⇒ k>

И найдем k

Ответ выбран лучшим

Всего три варианта размещения двух согласных букв из пяти:
A^(2)_(5)=5*4=20

Остальные 6 букв размещаем на 6 мест
Из них 3 согласных, три гласных, буква и повторяется дважды

Это перестановки с повторениями
P(4;2)=6!/2!=360

По правилу умножения результаты умножаем
20*360

Делим на x в высшей степени это x^(9/4)

О т в е т. (0+0)/(1+0)=0/1=0

(прикреплено изображение)

Пусть путь BC=x км
Тогда путь AB=x-(1/6)BC=x-(x/6)=5x/6 км
Путь СD=(5x/4)

Тогда весь путь АD=AB+BC+CD

S=(5x/6)+x+(5x/4)=37x/12

Время:
на участке AB
t_(AB)=(5x/6):5=(х/6) час.

на участке BС
t_(BC)=x:3=(х/3) час.

на участке СD:
t_(CD)=(5x/4):7,5=(x/6) час

Общее время
t=(х/6) +(х/3) +(х/6) =(2х/3)

v_(средняя)=S/t= (37x/12):(2x/3)=(37x/12)*(3/2x)=(37/8) км в час

Ответ выбран лучшим

Чтобы найти угол между плоскостями надо пстроить линейный угол двугранного угла.
Для этого в каждой плоскости надо провести перпендикуляр к линии пересечения.

Линия пересечения плоскостей граней BCC1B1 и ACC1A1
это СС_(1)

Так как CC_(1) ⊥ пл. АВС, то CC_(1) ⊥ВС и CC_(1) ⊥АС

А это означает, ∠ ВСА - линейный угол.

Из прямоугольного треугольника АВС
sin ∠ BCA=AB/AC=3/6=1/2 ⇒ ∠ BCA=30 °

3
x^2=t

t^2-20t+100=0
D=20^2-4*100=0
t_(1)=t_(2)=10

x^2=10
[b]x= ± sqrt(10)[/b]

или
применить формулу
t^2-20t+100=(t-10)^2

4.
метод введения новой переменной
3x+1=t

t^2+2t-24=0

D=2^2-4*(-24)=100=10^2

t_(1)= (-2-10)/2=-6; t_(2)=(-2+10)/2=4

3х+1=-6
3х=-7
[b]х=-7/3[/b]

3х+1=4
3х=-3
[b]х=-1[/b]

Ответ выбран лучшим

6 букв: три буквы а, согласные т. м, н

Значит согласные можно расположить на 2, 4, 6 местах и тогда слов 6
атаман атанам
аматан аманат
анамат анатам

или на 1,3, 5 и тогда еще 6:
тамана танама
матана маната
намата натама

О т в е т. 12

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-10k+9=0

D=100-36=64

k_(1)=1; k_(2)=9- корни действительные кратные

Общее решение имеет вид:
y=С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(9x)

Ответ выбран лучшим

∠ A= ∠ C ( в равнобедренном треугольнике углы при основании равны)

Cумма углов треугольника 180 ° .
∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 °

∠ B=12 °

∠ A+ ∠ C=180 °-12 ° =168 ° ⇒ ∠ A= ∠ C=84 °

В прямоугольном треугольнике АМС сумма острых углов равна 90 °

∠ МАС+ ∠ МСА=90 °

∠ MCA=84 ° ( это угол С)

∠ МАС=90 ° -84 ° =6°

О т в е т. 6 °

Ответ выбран лучшим

4.
260-24*n

При n=8

260-24*8=260-192=68

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Первое неравенство задает область на плоскости с границей x+y=5
x+y=5 прямая.
Она делит плоскость на две части.
В одной есть, например, точка (0;0)
Подставяем координаты точки в неравенство:
0+0 ≤ 5

Значит первому неравенству принадлежит та часть плоскости, в которой есть точка (0;0)

См. рис. 1

Аналогично с другими...

Получаем область на клетчатой бумаге:
cм. рис. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
x<15 и x>12

б)
[m]\left\{\begin{matrix}
x < 8\\
x>4
\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}
x < 5\\
x>1
\end{matrix}\right.[/m]

Второе так же нарисовать
Только 1 и 5 точки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном треугольнике АBС сумма острых углов равна 90 °

∠ А+ ∠ B=90 °

пусть ∠ A=60 ° , тогда ∠ B=90 ° -60 ° =30 °

Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы

Значит гипотенуза в два раза больше катета

Пусть катет [b]х.[/b]гипотенуза 2х, тогда гипотенуза 2х

2х+x=36

3x=36

x=12
Длина короткого катета равна 12см.

(прикреплено изображение)

∠ A= ∠ C ( в равнобедренном треугольнике углы при основании равны)

Cумма углов треугольника 180 ° .
∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 °

∠ B=66 °

∠ A+ ∠ C=180 °-66 ° =114 ° ⇒ ∠ A= ∠ C=57 °

В прямоугольном треугольнике АМС сумма острых углов равна 90 °

∠ МАС+ ∠ МСА=90 °

∠ MCA=57 ° ( это угол С)

∠ МАС=90 ° -57 ° =33 °

О т в е т. 33 °

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-10k+16=0

D=100-64=36

k_(1)=2; k_(2)=8- корни действительные кратные

Общее решение имеет вид:
y=С_(1)*e^(2x)+C_(2)*e^(8x)

y(0)=4

4=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) ⇒[b] 4=С_(1)+C_(2) [/b]

y`=(С_(1)*e^(2x)+C_(2)*e^(8x))` ⇒

y`=2*С_(1)*e^(2x)+8*C_(2)*e^(8x)

y`(0)=26

26=2*С_(1)*e^(0)+8*C_(2)*e^(0) ⇒[b] 26=2*С_(1)+8*C_(2) [/b]

Из системы:
{4=С_(1)+C_(2)
{26=2*С_(1)+8*C_(2)

находим С_(1) и С_(2) и подставляем в найденное общее решение.
Получаем ответ

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ y``dx= ∫sinx dx=[red]-cosx+C_(1)[/red]

y= ∫ y`dx= ∫ ([red]-cosx+C_(1)[/red])dx= - sinx+C_(1)x+C_(2)

[b]y= - sinx+C_(1)x+C_(2)[/b] - общее решение

y(π/2)=π

π=-sin(π/2) +C_(1)*(π/2)+C_(2) ⇒ [b]C_(1)*(π/2)+C_(2)=π+1[/b]

y`=[red]-cosx+C_(1)[/red]

y`(π/2)=2

2=-cos(π/2)+C_(1) ⇒ [b]C_(1)=2[/b] ⇒ [b]2*(π/2)+C_(2)=π+1[/b] ⇒ С_(2)=...

И подставляем в общее решение, получим частное решение или решение задачи Коши

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Повторные испытания с двумя исходами. Схема Бернулли
p=0,8
q=1-p=1-0,8=0,2

n=100
k ≤ 90

Интегральная формула Лапласа.

cм решение аналогичных задач ЗДЕСЬ:

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=43377

[b]случай б)[/b]

[m]\frac{2\cdot3^{2x+1}-7\cdot 6^{x}+2\cdot4^{x}}{3\cdot 9^{x}-3^{x}\cdot 2^{x+1}}\leq 1[/m]

[m]3^{2x+1}=3^{2x}\cdot 3=3\cdot (3^{x})^2[/m]

[m]6^{x}=(2\cdot 3)^{x}=2^{x}\cdot 3^{x}[/m]

[m]3^{x}\cdot 2^{x+1}=3^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2[/m]

Переносим 1 влево
[m]\frac{6\cdot (3^{x})^2-7\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}+2\cdot4^{x}}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}-1\leq 0[/m]

и приводим к общему знаменателю

[m]\frac{6\cdot (3^{x})^2-7\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}+2\cdot4^{x}-3\cdot (3^{x})^2+2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}\leq 0[/m]

Приводим подобные слагаемые в числителе.

Получаем неравенство:

[m]\frac{3\cdot(3^{x})^2-5\cdot6^{x}+2\cdot (2^{x})^2}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}\leq 0[/m]

Раскладываем на множители числитель и знаменатель:

[m]\frac{3\cdot 9^{x}-3\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}+2\cdot (2^{x})^2}{3^{x} \cdot(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}\leq 0[/m]

[m]\frac{3\cdot 3^{x}\cdot (3^{x}-cdot 2^{x})-2\cdot 2^{x} \cdot (3^{x}- 2^{x})}{3^{x} \cdot(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}\leq 0[/m]

[m]\frac{(3^{x}-2^{x})(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}{3^{x}(3\cdot3^{x}-2\cdot2^{x})}\leq 0[/m]

Применяем обобщенный метод интервалов:

находим нули числителя:

(3^(x)-2^(x))*(3*3^(x)-2*2^(x))=0 ⇒
3^(x)-2^(x)=0 или 3*3^(x)-2*2^(x)=0
3^(x)=2^(x) ⇒ x=1 или 3*3^(x)=2*2^(x) ⇒ x=-1

Находим нули знаменателя:

3^(x) > 0 при любом х
3*3^(x)-2*2^(x)=0
3*3^(x)=2*2^(x)
3^(x+1)=2^(x+1) ⇒ x=-1

__-__ (-1) __-___ [1] __+__

О т в е т. (- ∞ ;-1) U(-1;1]

−1,9y - 3,8y = 55,1+19

-5,7у = 74,1

y=-13

а)
если x=3, то y=[m]\frac{9}{3}=3[/m]

если x=1,5, то y=[m]\frac{9}{1,5}=6[/m]

б)
если y=3, то 3=[m]\frac{9}{x}[/m] ⇒ x=[m]\frac{9}{3}=3[/m]
eсли y=[m]\frac{1}{2}[/m], то [m]\frac{1}{2}=\frac{9}{x}[/m] ⇒

x=[m]\frac{9}{\frac{1}{2}}=18[/m]

Ответ выбран лучшим

x ≥ 0
y ≥ 0

Возводим первое уравнение в квадрат:
{4x+8sqrt(xy)+4y=9xy
{x-y=5 ⇒ x=y+5

4*(y+5)+8*sqrt(y*(y+5))+4y=9*y*(y+5)

8*sqrt(y*(y+5))=9y^2+45y-8y-20

8*sqrt(y*(y+5))=9y^2+37y-20

Еще раз в квадрат

64(y^2+5y)=81y^4+1369y^2+400+666y^3-360y^2-1480y

81y^4+1369y^2+400+666y^3-360y^2-1480y-64y^2-320y

81y^4+666y^3+945y^2-1800y+400=0

Ответ приближенный

y ≈ 1
x ≈ 6

Скорее всего проблема в условии.

Ответ выбран лучшим

4x^2+4=4(x^2+1)

sqrt(4x^2+4)=2sqrt(x^2+1)

Есть готовая формула( см. 18)

∫ ^(π)_(0)sqrt(4x^2+4) dx=2 ∫ ^(π)_(0)sqrt(x^2+1)dx=

=2*(x/2)*sqrt(x^2+1)|^(π)_(0) +(1/2)ln|x+sqrt(x^2+1)||^(π)_(0)=

=π*sqrt(π^2+1)-0 + (1/2) ln |π+sqrt(π^2+1)|-(1/2)ln|0+sqrt(1+0)|=

=π*sqrt(π^2+1)+ (1/2) ln |π+sqrt(π^2+1)|

Эти формулы были получены с помощью интегрирования по частям два раза.

Так же можно получить их с помощью тригонометрических подстановок.

Поэтому можно решать по частям.
u=sqrt(x^2+1)
dv=dx

Тригонометрические подстановки ( cм приложение 2)

x=tgt ⇒
x^2+1=tg^2t+1

Формула

tg^2t+1=1/cos^2t

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Значит диаметр

MN= 4+1=5 cм

а радиус R=2,5 cм

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду пополам.

AC=CB
OC=ON-CN=2,5-1=1,5

Половину хорды AC находим по теореме Пифагора из Δ АОС:

AC^2=AO^2-OC^2=2,5^2-1,5^2=6,25-2,25=4

AC=sqrt(4)=2

АВ=2 *AC=2*2=[b]4[/b] (прикреплено изображение)

Четных три : 2,6,8
Значит, они на нечетных местах:

На нечетных местах их можно расположить 6-ю способами

На остальных местах либо 3 либо 7 всего два способа

6*2=12 чисел

Ответ выбран лучшим

f (0)=4

f `(x)=2x-3

f `(0)=-3

y-4=(1/3)*(x-0)

[b]y=(1/3)x+4[/b] (прикреплено изображение)

y`(x)= ∫ y``(x)dx= ∫ (x^2+1)dx=(x^3/3)+x+C_(1)

y(x)= ∫ y`(x)dx= ∫ ((x^3/3)+x+C_(1))dx=(1/3)*(x^4/4)+(x^2/2)+C_(1)x+C_(2)

[b]y(x)= (1/12)*x^4+(1/2)*x^2+C_(1)x+C_(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

vector{CO}+vector{OD}=vector{CD}
vector{OD}=-vector{OB} ⇒

vector{CO}-vector{OB}=vector{CD}

|vector{CD}|= длине стороны ромба

a^2=[m](\frac{d_{1}}{2})^2+(\frac{d_{2}}{2})^2[/m]

a^2=5^2+12^2=25+144=169

a=13

|vector{CD}|=13

(sqrt(5)+2)*(sqrt(5)-2)=5-4=1,

Значит

[m]\sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}[/m]

Неравенство принимает вид:

[m](\sqrt{5}+2)^{x+1} ≥ (\frac{1}{\sqrt{5}+2})^{\frac{x+1}{x-1}}[/m]

[m](\sqrt{5}+2)^{x+1} ≥ ((\sqrt{5}+2)^{-1})^{\frac{x+1}{x-1}}[/m]

[m](\sqrt{5}+2)^{x+1} ≥ (\sqrt{5}+2)^{-\frac{x+1}{x-1}}[/m]

sqrt(5)+2 > 1

Показательная функция возрастает, поэтому

[m]x+1 ≥ -\frac{x+1}{x-1}[/m]

[m]x+1+\frac{x+1}{x-1} ≥0[/m]

[m]\frac{x^2+x}{x-1} ≥0[/m]

_____-___ [-1] __+__ [0] __-___ (1) __+___

О т в е т. [-1;0] U(1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначим центр большой окружности О, её радиус R=3
Центр окружности, касающейся большой окружности внутренним образом Q, её радиус r=2,
центр третьей окружности, касающейся этих двух Р, радиус х.
См. рисунок.
Рассмотрим треугольник POQ.
Прямая, соединяющая центры касающихся окружностей проходит через точку касания.
АВ- линия центров окружностей, касающихся внутренним образом, проходит через точки О и Q.
AB=6; CD=4 ⇒ OQ=OB-QB=3-2=1.
РО=3-x
PQ=2+x

б)Рассматриваем два прямоугольных треугольника.
МРО и МРQ.
М- точка касания третьей окружности с линией центров первых двух.
Значит РМ⊥АВ.

Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО:
МО^2=PO^2-PM^2=(3-x)^2-x^2 ⇒
МО= sqrt(9-6x)

Находим МQ по теореме Пифагора из Δ МРQ:
МQ^2=PQ^2-PM^2=(2+x)^2-x^2 ⇒
МQ= sqrt(4+4x)

Так как MQ=MO+OQ, приравнивая получаем иррациональное уравнение:
sqrt(4+4x)=sqrt(9-6x)+ 1.

Возводим в квадрат.
4+4x=9-6x+2sqrt(9-6x)+1
sqrt(9-6x)=5x-3

Возводим в квадрат.
9-6x=25x^2-30x+9

25x^2-24x=0
x=0,96 или х=0- не удовл. условию задачи
О т в е т. [b]0,96[/b] (прикреплено изображение)

Вводим в рассмотрение события -гипотезы
H_(1) - "выбран лыжник"
H_(2) - "выбран велосипедист"
H_(3) - "выбран бегун"

p(H_(1))=20/30
p(H_(2))=6/30
p(H_(3))=4/30

событие A- "спортсмен выполнил квалификационную норму"

p(A/H_(1))=0,9
p(A/H_(2))=0,8
p(A/H_(3))=0,75

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(20/30)*0,9 + (6/30)*0,8 + (4/30)*0,75= считайте

p(H_(2)/А)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=(6/30)*0,8 /((20/30)*0,9 + (6/30)*0,8 + (4/30)*0,75)

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ y``dx= ∫ dx/x^2=(-1/x)+C_(1)

y= ∫ y`dx= ∫ ((-1/x)+C_(1))dx=-ln|x|+C_(1)x+C_(2)

[b]y=-ln|x|+C_(1)x+C_(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]y`= ∫ y``dx= ∫\frac{1}{2 \sqrt{x}} dx=\sqrt{x}+C_{1}[/m]

[m]y= ∫ y`dx= ∫ (\sqrt{x}+C_{1})dx=[/m]

[m]y=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C_{1}x+C_{2}[/m]

[m]y= \frac{2}{3}\cdot x\sqrt{x}+C_{1}x+C_{2}[/m] - общее решение

[m]y(1)=\frac{2}{3}[/m]

[m]\frac{2}{3}= \frac{2}{3}\cdot 1 \cdot \sqrt{1}+C_{1} \cdot 1+C_{2}[/m] ⇒

[m]C_{1}+C_{2}=1[/m]

[m]y`=\sqrt{x}+C_{1}[/m]

[m]y`(1)=2[/m]

[m]2=\sqrt{1}+C_{1}[/m] ⇒ [m]C_{1}=1[/m] ⇒[m]C_{2}=0[/m]

[m]y= \frac{2}{3}\cdot x\sqrt{x}+x[/m] - частное решение

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ y``dx= ∫(sinx+1)dx=-cosx+х+C_(1)

y= ∫ y`dx= ∫ (-cosx+х+C_(1))dx= - sinx+(x^2/2)+C_(1)x+C_(2)

[b]y= - sinx+(x^2/2)+C_(1)x+C_(2)[/b] - общее решение

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ y``dx= ∫(sinx+1)dx=-cosx+х+C_(1)

y= ∫ y`dx= ∫ (-cosx+х+C_(1))dx= - sinx+(x^2/2)+C_(1)x+C_(2)

[b]y= - sinx+(x^2/2)+C_(1)x+C_(2)[/b] - общее решение

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ y``dx= ∫ dx/x^2=(-1/x)+C_(1)

y= ∫ y`dx= ∫ ((-1/x)+C_(1))dx=-ln|x|+C_(1)x+C_(2)

[b]y=-ln|x|+C_(1)x+C_(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ y``dx= ∫sinx dx=[red]-cosx+C_(1)[/red]

y= ∫ y`dx= ∫ ([red]-cosx+C_(1)[/red])dx= - sinx+C_(1)x+C_(2)

[b]y= - sinx+C_(1)x+C_(2)[/b] - общее решение

y(π/2)=π

π=-sin(π/2) +C_(1)*(π/2)+C_(2) ⇒ [b]C_(1)*(π/2)+C_(2)=π+1[/b]

y`=[red]-cosx+C_(1)[/red]

y`(π/2)=2

2=-cos(π/2)+C_(1) ⇒ [b]C_(1)=2[/b] ⇒ [b]2*(π/2)+C_(2)=π+1[/b] ⇒ С_(2)

И подставляем в общее решение, получим частное решение или решение задачи Коши

a)

[m]sin2 α =2sin α \cdot cos α [/m]

[m]\frac{sin2\alpha}{sin\alpha}=\frac{2 sin\alpha \cdot cos\alpha}{sin\alpha}=2cos \alpha [/m]

б)
По формулам приведения:

[m]ctg (\frac{\pi}{2}+\alpha)= - tg\alpha[/m]

[m]tg (\pi-\alpha)= - tg\alpha[/m]

[m]sin (\frac{3 \pi}{2}-\alpha)= - cos \alpha[/m]

[m] cos (\pi+\alpha)= - cos\alpha[/m]

[m]=\frac{ - tg\alpha - (- tg\alpha)- cos\alpha }{-cos\alpha}=\frac{ 0- cos\alpha }{-cos\alpha}=1[/m]

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ y``dx= ∫ dx/x^2=(-1/x)+C_(1)

y= ∫ y`dx= ∫ ((-1/x)+C_(1))dx=-ln|x|+C_(1)x+C_(2)

[b]y=-ln|x|+C_(1)x+C_(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+5=0
D=4-4*5=-16
k_(1)=1-2i; k_(2)=1+2i- корни комплексные сопряженные

Общее решение имеет вид:
y=e^(x)*(С_(1)sin2x+C_(2)cos2x)

1.
p=0,8
q=1-p=1=0,8=0,2
n=100

np=

npq=

Применяем

a) Локальную формулу Лапласа
P_(100)(k=10)=
б) интегральную формулу Лапласа
P_(100)(75 < k < 90)=
2.

n=750
p=0,008

np= 6

λ =6

k=10

Формула Пуассона:

(прикреплено изображение)

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+5=0
D=4-4*5=-16
k_(1)=1-2i; k_(2)=1+2i- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(x)*(С_(1)*sin2x+C_(2)*cos2x)

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ sin^2 α=1-cos^2 α =1-(1/2)^2=1-(1/4)=3/4

sin α = ± sqrt(3)/2

Так как 0 < α < π/2, угол в первой четверти, синус имеет знак +

О т в е т. sin α = sqrt(3)/2

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4k-32=0

D=16+128=144

k_(1)=-8; k_(2)=4- корни действительные кратные

Общее решение имеет вид:
y=С_(1)*e^(-8x)+C_(2)*e^(4x)

y(0)=8

8=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) ⇒[b] 8=С_(1)+C_(2) [/b]

y`=(С_(1)*e^(-8x)+C_(2)*e^(4x))` ⇒

y`=-8*С_(1)*e^(-8x)+4*C_(2)*e^(4x)

y`(0)=-4

-4=-8*С_(1)*e^(0)+4*C_(2)*e^(0) ⇒[b] -4=-8*С_(1)+4*C_(2) [/b]

Из системы:
{8=С_(1)+C_(2)
{-8*С_(1)+4*C_(2)

находим С_(1) и С_(2) и подставляем в найденное общее решение.
Получаем ответ

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-7k+12=0

D=49-48=1

k_(1)=3; k_(2)=4- корни действительные кратные

Общее решение имеет вид:
y=С_(1)*e^(3x)+C_(2)*e^(4x)

Ответ выбран лучшим

[m]M (x_{o};\frac{a^2}{x_{o}})[/m] - точка касания.

[m]f `(x)=-\frac{a^2}{x^2}[/m]

[m]f `(x_{o})=-\frac{a^2}{x^2_{o}}[/m]

Уравнение касательной:

[m]y=\frac{a^2}{x_{o}}-\frac{a^2}{x^2_{o}}\cdot (x-x_{o})[/m]

Находим координаты точек пересечения касательной с осью ОХ:
А(x_(A);0)

[m]\frac{a^2}{x_{o}}-\frac{a^2}{x^2_{o}}\cdot (x-x_{o})=0[/m] ⇒ x_(A)=

с осью ОY:

B(0;y_(B))

[m]y=\frac{a^2}{x_{o}}-\frac{a^2}{x^2_{o}}\cdot (0-x_{o})[/m] ⇒ y_(B)=

S_( Δ)=OA*OB/2=x_(A)y_(B)/2= ... (прикреплено изображение)

[i]Замена переменной:[/i] [b]универсальная подстановка[/b].

[m]tg\frac{x}{2}=t[/m] ⇒ [m]\frac{x}{2}=arctg t[/m] ⇒[m]x=2 arctg t[/m]

[m]dx=\frac{2dt}{1+t^2}[/m]

[m]cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/m]

[m]sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/m]

Пределы интегрирования

[m]x=-\frac{\pi}{2}[/m] ⇒ [m] t=tg(-\frac{\pi}{4})=-1[/m]

[m]x=\frac{\pi}{2}[/m] ⇒ [m] t=1[/m]

Получаем

[m]\int^{1}_{-1} \frac{4\cdot \frac{2t}{1+t^2}}{2+2\cdot \frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2dt}{1+t^2}=[/m]

[m]\int^{1}_{-1} \frac{16t dt}{(t^2+4t+3)(1+t^2)}[/m]

Под интегралом дробь ее раскладываем на простейшие:
[m]\frac{16t dt}{(t^2+4t+3)(1+t^2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+3}+\frac{Mt+N}{t^2+1}[/m]

Находим коэффициенты A, B, M и N.

Ответ выбран лучшим

3^(x+2)=3^(x)*3^2=9*3^(x)

3^(2-x)=3^2*3^(-x)

(9*3^(x)+9*3^(-x))*x^2 ≥ 45x^2/2

3^(x) > 0 при любом х

Делим на 9 и умножаем на 2*3^(x)

(2*3^(2x) + 2)*x^2 ≥ 5*x^2*3^(x)

(2*3^(2x) + 2- 5*3^(x))*x^2 ≥ 0 - неравенство нестрогое

При[b] x=0 [/b]- верно. Значит[b] x = 0 - решение неравенства[/b]

Так как

x^2 ≥ 0 при любом х ⇒

2*3^(2x) + 2- 5*3^(x) ≥ 0

Решаем уравнение:

[b]2*3^(2x) + 2- 5*3^(x)=0[/b] - это квадратное уравнение

3^(x)=t

2t^2-5t+2=0

D=25-4*2*2 =9

t_(1)=(5-3)/4=1/2; t_(2)=(5+3)/4=2

__+__ [1/2] _____ [2] __+___

Решение неравенства:

2*3^(2x) + 2- 5*3^(x) ≥ 0

[b]3^(x) ≤ (1/2)[/b] или [b]3^(x) ≥ 2[/b]⇒

Показательная функция с основанием 3 возрастает, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента:

x ≤ log_(3)(1/2) или x ≥ log_(3)2

log_(3)(1/2) < log_(3)1=0

[b]log_(3)(1/2)< 0[/b]

log_(3)2 > log_(3)1=0

[b]log_(3)2 >0[/b]

О т в е т. (- ∞ ; log_(3)(1/2)] U {0} U[ log_(3)2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

-20-14у=214+4у

-14у-4у=214+20

-18у=234

y= [b]- 13[/b]

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:

f`(x_(o))=k_(касательной)

y=9x-5
k_(касательной)=9

f `(x)=24x-3

f `(x_(o))=24x_(o)-3

24x_(o)-3=9

24x_(o)=12

х_(о)=0,5

Точка касания принадлежит одновременно и касательной и кривой:

[b]у_(касательной)(x_(o))=у_(кривой)(x_(o))[/b]

у_(касательной)(0,5)=9*0,5-5=...

у_(кривой)(x_(o))=12*0,5^2-3*0,5+c=...

Приравниваем и находим с

Ответ выбран лучшим

7⋅(7+y)−5y=3y−63
7*7+7*у-5у=3у-63
49+7у-5у-3у=-63
-у=-63-49
-у=-112
у=112

Ответ выбран лучшим

Чтобы найти точку экстремума, надо производную приравнять к нулю.
На графике это точка пересечения графика производной с осью Ох

Такая точка одна!

Производная меняет знак с - на +
Это точка минимума (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=F`(x)

f(x)=0 ⇒ F`(x)=0

F`(x_(o))=0 ⇒

Геометрический смысл производной в точке:

F`(x_(o))=k_(касательной)

F`(x_(o))=0 ⇒ k_(касательной)=0, значит

касательная к кривой в этой точке || оси ОХ

Таких точек 4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(2x^3-15x^2+24x+3)`

y`=6x^2-30x+24

y`=0

6x^2-30x+24=0

x^2-5x+4=0

x_(1)=1; x_(2)=4

Знак производной - знак квадратного трехчлена 6x^2-30x+24

А это парабола, которая между корнями имеет минус.

___ (1) __-__ (4) ____

1 ∉ (2;3)

4 ∉ (2;3)

Функция убывает на (2;3) Нет наиб и наим на интервале.

Но на отрезке [2;3]
принимает наибольшее значение в точке x=2
наименьшее в точке x=3

x_(1)=8 или x_(2)=-8

Умножайте

Ответ выбран лучшим

F(x;y)=1 ⇒ x^2-y=1 ⇒[b] y=x^2-1[/b] - парабола соответствует уровню 1

F(x;y)=2 ⇒ x^2-y=2 ⇒[b] y=x^2-2[/b] - парабола соответствует уровню 2

F(x;y)=3 ⇒ x^2-y=3 ⇒[b] y=x^2-3[/b] - парабола соответствует уровню 3

т. е если мы сделаем срез поверхности по уровню 1 получим на срезе параболу [b] y=x^2-1[/b]

а если на уровне 3, то [b] y=x^2-3[/b]

См. рис. 2 Там хорошо видны уровни и срезы.

По сетке линий внизу надо представить как выглядит этот "холм".

Или наоборот впадина

Данная поверхностьF(x;y) =x^2-y

похожа на носовую часть лодки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m](y-3)^2=\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}[/m]- коническая поверхность в вершиной в точке (0;3;0)

[m]y-3=\pm\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}}[/m]- две части верхняя (выше y=3)
и нижняя ( ниже y=3, c минусом)

Так как y=1 ниже y=3, то

[m]y=3-\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}}[/m]

V= ∫ ∫ _(D)f(x;z)dxdz

f(x;z)= [m]3-\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}}[/m]

D:
y=1 ⇒

[m](1-3)^2=\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}[/m]

[m]\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}=4[/m]

[m]\frac{x^2}{8}+\frac{z^2}{8}=1[/m] эллипс на пл. хОz

Вводим обобщенные полярные координаты:
x=2sqrt(2)rcos φ
z=2sqrt(2)r*sin φ

Якобиан :
8*r

f(x;z)= [m]3-\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}}[/m]

В полярных:

f(x;z)= [m]3-\sqrt{r^2}=3-r[/m]

V=∫^(2π)_(0) [b] ∫^(2sqrt(2))_(0)(3- r)(8*r)dr[/b] d φ=

p=0,002
n=1000

Повторные испытания с двумя исходами.

Формула Бернулли неприменима
n - велико, р- мало

Значит формула Пуассона.

cм. приложение.

Не более четырех - значит 0,1,2,3

P_(0)+P(1)+P(2)+P(3)=

[b]p[/b]- вероятность улучшить в первой попытки

[b]qp[/b]- вероятность улучшить со второй

(p+qp)- ответ. Улучшит с первого раза ИЛИ со второго

"или" при меняем на теорему сложения
"и" применяем на теорему умножения

Δ ADM - прямоугольный, (DM ⊥ AC по условию)
DM=sqrt(3)
AD=2sqrt(3)
AM^2=AD^2=DM^2=9
[b]AM=3 [/b]
⇒ ∠ DAM=30 ° ⇒ ∠ А=30 ⇒ ∠ В=60 °

Δ DMС - прямоугольный равнобедренный (CD- биссектриса) ⇒

CM=DM=[b]sqrt(3)[/b]

AC=AM+MC=3+sqrt(3)

BC=AC*tg A=[b]sqrt(3)+1[/b]

(прикреплено изображение)

1)
a)
y`=9(x^6)`-4(x^2)`+(x)`=9*6x^5-4*2x+1=54x^5-8x+1
y`(x_(o))=y`(1)=54*1-8*1+1=...

б)
y`=6*(cosx)`-(ctgx)`=6*[m](-sinx)-(-\frac{1}{sin^2x})=-6sinx+\frac{1}{sin^2x}[/m]

y`(x_(o))=-6[m]sin\frac{\pi}{2} + \frac{1}{sin^2\frac{\pi}{2}}[/m]=-6+1=-5

2.
a)
Правила вычисления производных:
[i]Производная суммы равна сумме производных[/i].
[i]Постоянный множитель можно вынести за знак производной[/i].
[m]y`=7\cdot(\sqrt{x})`-8 \cdot (\frac{1}{x})`-(cosx)`-(4)`[/m]

Формулы из таблицы производных :

[m](\sqrt{x})`= \frac{1}{2\sqrt{x}}[/m]

[m] (\frac{1}{x})`=-\frac{1}{x^2}[/m]

[m](cosx)`=-sinx[/m]

[m]y`=\frac{7}{2\sqrt{x}} +\frac{8}{x^2}-(-sinx)-0[/m]

[m]y`=\frac{7}{2\sqrt{x}} +\frac{8}{x^2}+sinx[/m]

б)

y=x^(-3)

y`=-3*x^(-3-1) = - [m]\frac{3}{x^4}[/m]

в)

(u*v)=u`*v+u*v`

u=(x^5-7)
v=cosx

y`=(x^5-7)`*cosx+(x^5-7)*(cosx)`

y`=5x^4*cosx+(x^5-7)*(-sinx)

y`=5x^4*cosx-(x^5-7)*sinx

г)
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2 (#)

u=sinx
v=x^3-2

u`=cosx
v`=3x^2

подставляем в (#)

Ответ выбран лучшим

1.
5x=11-1
5x=10
x=10:5
x=2

2.
14-y=19-11

14-y=8
14-8=y
y=6

6.
Формула:

[m]sin \alpha \cdot sin\beta =\frac{1}{2}sin ( \alpha+\beta)+ \frac{1}{2}sin ( \alpha-\beta)[/m]
[m]4sin \frac{13 \pi}{36} \cdot sin\frac{4 \pi}{36}=4\cdot \frac{1}{2}sin( \frac{13 \pi}{36}+ \frac{4 \pi}{36})+4\cdot \frac{1}{2} sin ( \frac{13\pi}{36}- \frac{4\pi}{36})=...[/m]

7.
Формула:

[m]cos \alpha \cdot cos \beta =\frac{1}{2}cos( \alpha+\beta)+ \frac{1}{2}cos( \alpha-\beta)[/m]

[m]2cos \frac{\pi}{18} \cdot cos\frac{5 \pi}{18}=2\cdot \frac{1}{2}cos( \frac{\pi}{18}+ \frac{5 \pi}{18})+2\cdot \frac{1}{2}cos( \frac{\pi}{18}- \frac{5\pi}{18})=...[/m]

Количество тетрадей, получившихся в каждой пачке, было [b]одинаковым.[/b]

Это главное слово в предложении означает " поставить знак равенства"

[b]2x − 17=x+30[/b]

2x-x=30=17
x=47

О т в е т.
1.
2x − 17=x+30

2.
47 тетрадей во 2–й пачке было

Пусть R- радиус круга
[b]S[/b]=S_(круга)=πR^2

a_(шестиугольника)=R

S_(шестиугольника)=6*S_(треугольника)=6*R^2sqrt(3)/4=3R^2sqrt(3)/2

[b]S_(1)[/b]=S_(оставшейся части)=πR^2 - 3R^2sqrt(3)/2=...

Геометрическая вероятность:

p=[m]\frac{S_{1}}{S}[/m]

S_(бок. пов.)=6*S_(трапеции)=6*(2+6)*h/2=24*h

h- высота боковой грани, т.е высота трапеции.

Как ее найти, если боковое ребро образует угол 30 градусов со стороной МЕНЬШЕГО основания - не понимаю

Со стороной меньшего основания угол тупой!

Поэтому, если на самом деле угол со стороной большего основания,
то ребро 4, высота трапеции sqrt(4^2-2^2)=sqrt(12)=2sqrt(3)

О т в е т. 24*2sqrt(3)=48 sqrt(3) (прикреплено изображение)

Это логарифмическое дифференцирование.

Логарифмируем:

lny=ln(x+1)^(x^2)

Применяем свойство логарифма степени
lny=x^2*ln(x+1)

Дифференцируем:

x- независимая переменная
y- зависимая переменная ( cложная функция)

y`/y=(x^2*ln(x+1))`

y`/y=2x*ln(x+1)+x^2*[m]\frac{1}{1+x}[/m])

y`=[b]y[/b]*(2x*ln(x+1)+x^2*[m]\frac{1}{1+x}[/m])

y`=(x+1)^(x^2)*(2x*ln(x+1)+[m]\frac{x^2}{1+x}[/m])

Ответ выбран лучшим

Продолжим FE до пересечения с АВ.

Δ ВКЕ ~ ΔCFE по двум углам ⇒ ВК:СF=ВЕ:ЕС=1:2

Пусть ВК=x, тогда [b]CF=2x,[/b] тогда FE=10x ( СF:FE=1:5),

MF : МЕ = 1 : 4 ⇒ [b]MF=2x[/b], [blue]ME=8x[/blue] ⇒ Δ FCM - равнобедренный

Δ FCM ~ Δ KMA

Δ KMA- равнобедренный

[b]КМ=АК[/b]

AK=AB+BK=4+x

KM=4+x

[blue]ME=8x[/blue] ⇒[b] КЕ[/b]=КМ-МЕ=4+х-8х=[b]4-7х[/b]

Δ ВКЕ ~ ΔCFE ⇒ KE:EF=1:2

(4-7x):10x=1:2 ⇒ x=1/3

FE=10/3
CF=2/3
CE=(2/3)BC=10/3

ΔEFC по теореме косинусов:
FE^2=CE^2+CF^2-2*CE*CF*cos ∠ C ⇒

cos ∠ C=0,1

По теореме косинусов из Δ BCD:

BD^2=4^2+5^2-2*4*5*0,1=16+25-4=37 ⇒ BD=sqrt(37)

По свойству диагоналей параллелограмма:
AC^2+BD^2=2*AB^2+2*AD^2 ⇒ AC^2=2*16+2*25-37=45

АС=3sqrt(5)

О т в е т.[b] sqrt(37) [/b] и[b] 3sqrt(5)[/b]

(прикреплено изображение)

1.
ВВ_(1)||СС_(1)
B_(1)C_(1)|| BC
ВВ_(1)С_(1)С - параллелограмм,

Чтобы доказать, что это прямоугольник надо доказать, что хотя бы один угол прямой. СМ приложение.

2.
AA_(1)B_(1)B - параллелограмм, площадь параллелограмма
S_(параллелограмма)=a*b*sin α

S_(AA_(1)B_(1)B)=AA_(1)*AB*sin α =2a*a*sin α =[b]2a^2*sin α [/b]

3.
S_(поверхности)=2S_(осн)+[b]S_(AA_(1)B_(1)B)[/b]+[b]S_(AA_(1)C_(1)C)[/b]+
S_(BB_(1)C_(1)C)=

=2*(a^2sqrt(3)/4) + [b]2a^2*sin α [/b]+[b]2a^2*sin α [/b]+2a*a=

4.
Найти S_(осн) - см. пункт 3
Найти A_(1)O- высоту призмы

V=S_(осн) *A_(1)O

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=0,15 - вероятность [b]отказа[/b] одного элемента
q=1-1-0,15=0,85 - вероятность исправности одного элемента

p_(o)=0,85*0,85*0,85*0,85 - все исправны, нет отказов в работе

p_(1)=0,15*0,85*0,85*0,85 +0,85*0,15*0,85*0,85 +0,85*0,85*0,15*0,85 +

+0,85*0,85*0,85*0,15=4*0,15*0,85^3 - вероятность [b]отказа[/b] ровно одного элемента

p_(2)=6*0,15^2*0,85^2- вероятность [b]отказа[/b] двух элементов

p_(3)=4*0,15^3*0,85- вероятность [b]отказа[/b] трех элементов

p_(4)=0,15^4- вероятность [b]отказа[/b] четырех элементов

1.

[m]\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\frac{1}{2}\int \frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}+C=-\sqrt{1-x^2}+C[/m]

2.
По частям
u=1+2x
dv=cosxdx

du=2dx
v= ∫ cosxdx=sinx

[b] ∫ (1+2x)cosxdx=(1+2x)*sinx- ∫ (sinx)*2dx=(1+2x)*sinx- 2∫ sinxdx=

=(1+2x)*sinx- 2(-cosx)+C=(1+2x)*sinx+2cosx+C[/b]

3.
Неправильная дробь.

Выделить целую часть:
[m]\frac{x^5+x^4-8}{x^3-4x}=x^2+x+4+\frac{4x^2+x-8}{x^3-4x}[/m]

Дробь
[m]\frac{4x^2+x-8}{x^3-4x}[/m]

на простейшие:
[m]\frac{4x^2+x-8}{x^3-4x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{D}{x+2}[/m]

далее по образцу

( например, здесь https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33734)

Плотность вероятности и есть дифференциальная функция, а функция распределения - F(x)

F`(x)=f(x)

(прикреплено изображение)

Формула:
1-cos2x=2sin^2x

∫ ^([b]100π[/b])_(0)sqrt(2sin^2x)dx=[red]sqrt(2)[/red] ∫ ^(100π)_(0) |sinx|dx=

=[red]sqrt(2)[/red]* (100∫ ^([b]π[/b])_(0) sinx+ 100∫ ^([b]2π[/b])_(π)(-sinx)dx)=

=[red]sqrt(2)[/red]*(100 (-cosx)|^(π)_(0)+100*(cosx)|^(2π)_(0))=

=[red]sqrt(2)[/red]*(100*(-(-1)+1)+100*(1-(-1)))=[b]400sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

1)
Группируем:
(4x^2-8x)+(y^2+4y)=0
Выделяем полные квадраты:
4*(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=8
Делим на 8:

(x-1)^2/2 + (y+2)^2/8 =1

Эллипс c центром в точке (1;-2)

a^2=2
b^2=8

2)
Аналогично.
16(x^2-4x+4)-9(y^2-6y+9)=144

(x-2)^2/9 - (y-3)^2/16=1

гипербола с центром в точке (2;3)
a^2=9
b^2=16

Здесь много задач по теме:
https://reshimvse.com/category.php?name=sova_cat_296 (прикреплено изображение)

f(x)=5e^(-5x) ⇒ F(x)=1-e^(-5x)

P(0,4 < X < 1)=F(1)-F(0,4)= считайте (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2)
2x+8 ≤ -4 или 2x+8 ≥ 4
2x ≤ -4-8 или 2x ≥ -8+4
2x ≤ -12 или 2x ≥ -4
x ≤ -6 или x ≥ -2

О т в е т. (- ∞ ;-6] U [-2;+ ∞ )

3)

-4x-7 ≤ 6x-1 ≤ 4x+7

{ 6x-1 ≤ 4x+7
{ 6x-1 ≥ - 4x-7

Решайте...

{2x-16 ≤ -3x+7
{5x-8 > 8x-16

{2x+3x ≤ 7+16
{5x-8x > -16+8

{5 ≤ 23
{-3x> -8

{x ≤ 4,6
{x<8/3

О т в е т. {- ∞ ;8/3)

1)
9х-8 ≥ 5х+10-24+3х
9х-5х-3х ≥ 10-24+8
х ≥ -6

О т в е т.[b] [-6; + ∞ )[/b]

2)
x^2-4x+12x-48 ≥ x^2+8x+16-7

x^2+8x-x^2-8x ≥ 48+16-7
0*х ≥ 57 неверно ни при каких х

О т в е т. нет решений

3)
8*(x-3)-5*(х-9) > 2*(x+4)
8x-24-5x+45>2x+8
8x-5x-2x > 24-45+8
x> -13
О т в е т. [b](-13; + ∞ )[/b]

1.
1)
6b-2a=6b[red]+[/red](-2a)

4<a<5 ⇒ Умножаем на 2: 8 < 2a < 10 ⇒ Умножаем на (-1):

[b]-10 < -2a < -8[/b]

2<b<7 ⇒ Умножаем на 6: [b]12 <6b < 42[/b]

[b]12 <6b < 42[/b]
[b]-10 < -2a < -8[/b]

Складываем:
12+(-10) < 6b[red]+[/red](-2a) < 42+(-8)

2 < 6b-2a < 34 - это ответ.

2)

a/b= a*(1/b)
2<b<7 ⇒ тогда [b]1/7 <1/b < 1/2[/b]

[b]4<a<5[/b]
[b]1/7 <1/b < 1/2[/b]

Умножаем:
4*(1/7) < a*(1/b) < 5*(1/2)

4/7 < a/b <5/2 - это ответ

3)
Найти 3b
Найти 3b-5
Найти 1/(3b-5)
Найти 4*(1/3b-5)

Ответ выбран лучшим

1)
см. решение здесь
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=23649
2)
p=0,9
q=1-p=1-0,9=0,1

По меньшей мере 9 - " 9 или 10"

По формуле Бернулли:

P_(10)(9)=C^(9)_(10)p^9q^(10-9)=

[m]=\frac{10!}{9!\cdot(10-9)!}[/m]0,9^9*0,1=10*0,9^9*0,1

P_(10)(10)=C^(10)_(10)p^(10)q^(0)=

=1*0,9^(10)

p=P_(10)(9)+P_(10)(10)=[b]10*0,9^9*0,1+0,9^(10)[/b]

= о т в е т

3)

p=(площадь квадрата со стороной 3)/(площадь квадрата со стороной 4)=

=[b]9/16[/b]

Ответ выбран лучшим

x^2+2x+5=(x^2+2x+1)+4=(x+1)^2+2^2

Замена переменной:

x+1=t

x=t-1

dx=dt

пределы

при x=-1, получим t=0
при x=1, получим t=2

= ∫ ^(2)_(0)(t-2)dt/(t^2+2^2)=(1/2) ∫ ^(2)_(0)(2tdt)/(t^2+4-2∫ ^(2)_(0)dt/(t^2+2^2)=

=(1/2)*ln|t^2+4|^(2)_(0)- 2*(1/2)arctg(t/2)|^(2)_(0)=

=(1/2)*ln8-(1/2)*ln4-arctg1=(1/2)ln(8/4)-(π/4)=[b](1/2)ln2-(π/4)[/b]

p=0,02
q=1-p=1-0,02=0,98

По формуле Бернулли:

P_(6)(4)=C^(4)_(6)p^4q^(6-4)=

[m]=\frac{6!}{4!\cdot(6-4)!}[/m]0,02^4*0,98^2

=15*0,02^4*0,98 - о т в е т

Раскрываем модуль по определению:

Если 2x-6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

|2x-6|=2x-6

y=x^2-(2x-6)
y=x^2-2x+6

Точка x_(o)=5 принадлежит [3;+ ∞ )

Значит. задача сводится к простой задаче:
написать уравнение касательной к кривой
y=x^2-2x+6 в точке x_(o)= 5

Если 2x-6 < 0 ⇒ x < 3

|2x-6|=-(2x-6)

y=x^2+(2x-6)
y=x^2+2x-6

Точка x_(o)= - 5 принадлежит (- ∞:-3 )

Значит. задача сводится к простой задаче:
написать уравнение касательной к кривой
y=x^2+2x-6 в точке x_(o)= - 5

Куда исчезли два решения??? (прикреплено изображение)

(x^2 +([b]2x–a[/b]))^2=2*(x^2)^2+2*([b]2x–a[/b])^2

(x^2)^2+2*x^2*(2x-a)+(2x-a)^2=2(x^2)^2+2*(2x-a)^2

(x^2)^2-2*x^2*(2x-a)+(2x-a)^2=0

(x^2[red]-[/red](2x-a))^2=0

⇒

x^2-2x+a=0

D=4-4a

кв уравнение имеет корни, если D ≥ 0

x_(1)=1-sqrt(1-a); x_(2)=1-sqrt(a)

единственное решение на отрезке [0,3] ⇒

либо оба корня равны, т.е D=0 и[b] a=1[/b]; x_(1)=x_(2)=1 ∈ [0,3]

либо только один корень принадлежит отрезку:

D>0 ⇒ 4-4a>0 ⇒ [b] a < 1[/b]

0 ≤ 1-sqrt(1-a) ≤ 3 или 0 ≤ 1+sqrt(1-a) ≤ 3 ⇒ находим границы для а

Ответ выбран лучшим

vector{2a}=(2*2;2*(-1);2*0)=(4;-2;0)

vector{mb}=(m*4;m*3;m*1)=(4m;3m;m)

vector{2a}+vector{mb} =(4+4m;-2+3m;0+m)

vector{b}-vector{a}=(4-2;3-(-1);1-0)=(2;4;1)

Находим[i] скалярное произведение[/i] векторов (vector{2a}+vector{mb}) и(vector{b}-vector{a})

Cкалярное произведение векторов, заданных координатами,
равно сумме произведений одноименных координат.

(vector{2a}+vector{mb})*(vector{b}-vector{a})=(4+4m)*2+(-2+3m)*4*(0+m)*1=8+8m-8+12m+m=21m

[b]ненулевые [/b]векторы(vector{2a}+vector{mb}) и (vector{b}-vector{a}) [b]ортогональны[/b] , если их [b]скалярное произведение[/b]
(vector{2a}+vector{mb})*(vector{b}-vector{a})[b] равно 0[/b]

21m=0

[b]m=0[/b] - о т в е т

[m]d(tgx)=\frac{1}{cos^2x}[/m]

[m]\int \frac{\sqrt{tg^3x}}{cos^2x}dx=\int tg^{\frac{3}{2}}d(tgx)=\frac{tg^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C=\frac{2}{5}\sqrt{tg^5x}+C[/m]

Проверка:

[m](\frac{2}{5}\sqrt{tg^5x}+C)`=\frac{2}{5}(tg^{\frac{5}{2}}x)`+(C)`=[/m]

[m]=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}\cdot (tg^{\frac{5}{2}-1}x)\cdot (tgx)`=tg^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{cos^2x}=\frac{\sqrt{tg^3x}}{cos^2x}[/m]

[i]Выделяем полный квадрат в знаменателе:[/i]

[m]3x^2-x+1=3\cdot (x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3})=3\cdot (x-\frac{1}{6})^2+\frac{11}{36})[/m]

Замена переменной:

[m]x-\frac{1}{6}=t[/m]

[m]x= t + \frac{1}{6} [/m]

[m] dx=dt[/m]

Пределы:

[m]x=\frac{1}{6}[/m] ⇒ [m]t=0[/m]

[m]x=2[/m] ⇒ [m]t=\frac{11}{6}[/m]

[m]\int_{\frac{1}{6}}^{2}\frac{xdx}{3x^2-x+1}=\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{11}{6}}\frac{(t+\frac{1}{6})dt}{t^2+\frac{11}{36}}=\frac{1}{6}\int_{0}^{\frac{11}{6}}\frac{2tdt}{t^2+\frac{11}{36}}+\frac{1}{18}\int_{0}^{\frac{11}{6}}\frac{dt}{t^2+\frac{11}{36}}=[/m]

[m]=\frac{1}{6}ln|t^2+\frac{11}{36}||_{0}^{\frac{11}{6}}+\frac{1}{18}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\cdot arctg \frac{t}{\sqrt{\frac{11}{36}}}|_{0}^{\frac{11}{6}}= [/m]

считайте...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;0) U (0;2) U(2;+ ∞ )

Прямые x=0 и х=2 - вертикальные асимптоты

lim_(x → -0)[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=- ∞ [/m]

lim_(x → +0)[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=+∞ [/m]

lim_(x → 2-0)[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=- ∞ [/m]

lim_(x → 2+0)[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=+∞ [/m]

y=1 - горизонтальная асимптота, так как

lim_(x → ∞ )[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=1 [/m]

наклонных асимптот нет, так
lim_(x → ∞ )[m]\frac{f(x)}{x} [/m]=lim_(x → ∞ )[m]\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}=0 [/m]

Точки пересечения с осью Ох:
y=0 ⇒ x^2-x-1=0 Решаем кв уравнение и находим точки

Исследование с помощью первой производной:

y`= [m]\frac{(x^2-x-1)`\cdot (x^2-2x)-(x^2-x-1)\cdot (x^2-2x)`}{(x^2-2x)^2}[/m]

y`= [m]\frac{(2x-1)\cdot (x^2-2x)-(x^2-x-1)\cdot (2x-2)}{(x^2-2x)^2}[/m]

y`=[m]\frac{-x^2+2x-2}{(x^2-2x)^2}[/m]

y`<0

при любом х ∈(- ∞ ;0) U (0;2) U(2;+ ∞ ) , так как
-x^2+2x-2 <0 при любом х ∈ (- ∞ ;0) U (0;2) U(2;+ ∞ ) (D<0)
(x^2-2x) > 0 при любом х ∈ (- ∞ ;0) U (0;2) U(2;+ ∞ )

Функция убывает на (- ∞ ;0) и на (0;2) и на (2;+ ∞ )

Экстремумов нет (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]sin\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

⇒ [m]sin^2\frac{π}{4}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}[/m]

[m]tg \frac{π}{4}=1[/m]

tg²a – sin²a – tg²a[red].[/red]sin²a= 1-(1/2)-1*(1/2)=0

Испытание состоит в том, что каждый из трех студентов выбирает один из 5-ти назначенных дней

Первый студент может выбрать любой из пяти дней,
второй студент может выбрать любой из пяти дней
третий студент может выбрать любой из пяти дней.

n=5*5*5=125 исходов выбора.

Cобытие A-"студенты выбрали разные дни"

(1;2;3) и соответственно 6 перестановок трех студентов на эти три дня
(1;2;4)
(1;2;5
(2;3;4)
(2;3;5)
(2;4;5)
(3;4;5)

m=6*7=42

p=42/125

cos(-6π+8х)=cos(8x-6π) по свойству четности косинуса

cos(8x-6π) =√2/2 ⇒

(8x-6π) = ± arccos(√2/2)+2πn, n ∈ Z

(8x-6π) = ±(π/4)+2πn, n ∈ Z

8х=6π ±(π/4)+2πn, n ∈ Z

[b]х=(1/8)*(6π ±(π/4)+2πn), n ∈ Z[/b]

f(x)=3tg2x+1

f(x_(o))=3tg(2*(π/2))+1=3*tgπ+1=3*0+1=1

f `(x)=3*((2x)`/cos^2(x))=6/cos^22x

f `(π/2)=6/(cos^2(π))=6/(-1)^2=6

Подставляем и получаем о т в е т (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{x}{x^2+3}+\frac{3x}{x^2-2x+3}=\frac{7}{4}[/m]

Правую часть приводим к общему знаменателю

[m]\frac{x\cdot (x^2-2x+3)+3x\cdot (x^2+3)}{(x^2+3)\cdot (x^2-2x+3)}=\frac{7}{4}[/m]

Упрощаем
[m]\frac{4x^3-2x^2+12x}{(x^2+3)\cdot (x^2-2x+3)}=\frac{7}{4}[/m]

Вроде ничего... получилось.

Пропорция:

4*x*(4x^2-2x+12)=7*(x^2+3)*(x^2-2x+3)

Скобки, конечно же раскрывать нет никакого смысла...

Замечаю, что есть x^2+3

8*x(2*([b]x^2+3[/b])-x)=7*([b]x^2+3[/b])*([b]x^2+3[/b]-2x)

[b]16x*(x^2+3)[/b]-8x^2=7*(x^2+3)^2-[b]14x*(x^2+3)[/b]

7*(x^2+3)^2-30x*(x^2+3)+8x^2=0

Это однородное уравнение вида:

au^2+bu*v+cv^2=0

Делим на v^2

Получаем квадратное: at^2+bt+c=0, t=u/v

7t^2-30t+8=0

t=[m]\frac{x^2+3}{x}[/m]

D=900-4*7*8=676=26^2

t_(1)=; t_(2)=

и обратный переход в переменной

Еще два квадратных уравнения...

Ответ выбран лучшим

Обозначим скорость первого пешехода v_(1)
скорость первого пешехода v_(2)
скорость третьего пешехода v_(3)

Скорость третьего на 0,5 км/ч больше скорости второго пешехода.
v_(3)=v_(2)+0,5 ⇒ v_(2)=v_(3)-0,5

Расстояние между поселками 12км

Значит,
[m]t_{1}=\frac{12}{v_{1}}[/m]
[m]t_{2}=\frac{12}{v_{3}-0,5}[/m]
[m]t_{3}=\frac{12}{v_{3}}[/m]

По условию:
первый пешеход проходит на 20 мин дольше второго пешехода и на 36 мин дольше третьего.
t_(1)>t_(2) на 20 мин=[m]\frac{1}{3}[/m] час

t_(1)>t_(3)на 36 мин=[m]\frac{3}{5}[/m] час

⇒

t_(2)+ [m]\frac{1}{3}[/m]=t_(3)+ [m]\frac{3}{5}[/m]

[m]\frac{12}{v_{3}-0,5}+ \frac{1}{3}=\frac{12}{v_{3}}+\frac{3}{5}[/m]

[m]2v^2_{3}-v_{3}-45=0[/m]

D=361

[b]v_{3}=5
[/b]

Переводим каждое предложение на язык математики:

Первый бегун пробегает дистанцию на 1 сек дольше второго бегуна
t_(1)>t_(2) на 1 сек
Математическая модель этого предложения:
[b]t_(1)-t_(2)=1[/b]

и на 2 сек дольше третьего
t_(1)>t_(3) на 2 сек
Математическая модель этого предложения:
[b]t_(1)-t_(3)=2[/b]

[b]t_(1)-t_(2)=1[/b] и [b]t_(1)-t_(3)=2[/b] ⇒[red] t_(2)=t_(3)+1[/red]

Скорость второго бегуна составляет 10/11 скорости третьего
[b]v_(2)=(10/11)v_(3)[/b]

и на 25/33 м/сек больше скорости первого бегуна.

[b]v_(2)=v_(1)+(25/33)[/b]

⇒[green] (10/11)v_(3)=v_(1)+(25/33)[/green]

Главное: все они пробегают одну и ту же дистанцию

v_(1)*t_(1)=v_(2)t_(2)=v_(3)t_(3)

[b]v_(2)t_(2)=v_(3)t_(3)[/b]

(10/11)v_(3)*t_(2)=v_(3)t_(3) ⇒ [red]t_(3)=(10/11)t_(2)[/red]

[red] t_(2)=t_(3)+1[/red] и [red]t_(3)=(10/11)t_(2)[/red]

t_(2)=(10/11)t_(2)+1

(1/11)t_(2)=1 ⇒ t_(2)=[red]11 сек[/red]

t_(3)=(10/11)t_(2)=[red]10 сек[/red]

t_(1)=t_(2)+1=11+1=[red]12 сек[/red]

[b]Найти v_(3)[/b]

Так как

v_(1)*t_(1)=v_(3)t_(3), то

v_(1)*12=v_(3)*10 ⇒ v_(1)=(10/12)v_(3)

и так как [green] (10/11)v_(3)=v_(1)+(25/33)[/green]

(10/11)v_(3)=(10/12)(v_(3)+(25/33) ⇒ [b](10/132)v_(3)=25/33[/b]

v_(3)=10

О т в е т. 10 м/с

Ответ выбран лучшим

Дифференцируем
(x^2+y^2)`=(siny)`
x- независимая переменная
x`=1
(x^2)`=2x

y- зависимая переменная ( сложная функция)

(y^2)`=(2y)*y`

(siny)`=(cosy)*(y`)

2x+2y*y`=(cosy)*(y`)

2x=(cosy)*(y`)-2y*y` ⇒ [b] y`=(2x)/(cosy-2y) [/b] - это ответ

Дифференцируем равенство:
(2x+2y*y`)`=((cosy)*(y`))`

2+(2y*y`)*(y`)+2y*y``=cosy*(y`)*(y`)+(cosy)*(y``)

2+(2y*y`)*(y`)-cosy*(y`)*(y`)=(cosy)*(y``)-2y*y`` ⇒

[b]y``=(2+2y*(y`)^2-cosy*(y`)^2)/(cosy-2y),[/b] где y`=(2x)/(cosy-2y)

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной:[/i]
x^2+4=t

t^2-7t+10=0

D=49-40=9

t_(1)=(7-3)/2=2; t_(2)=(7+3)/2=5;

Обратный переход:

x^2+4=2 или x^2+4=5
x^2=-2 или x^2=1

x^2=-2 уравнение не имеет корней

x^2=1 ⇒ х= ± 1

О т в е т. ± 1

Второе решение СПИСАНО с интернета. Есть вероятность того, что пользователя УДАЛЯТ

Ответ выбран лучшим

f ` (x)=(x^3-12x-4)`

f ` (x)=3x^2-12

f `` (x)=6x

f``(x) > 0 при 6х>0, т. е

при x > выпуклость[b] вниз[/b]

При x < 0 выпуклость [b]вверх[/b]

x=0 - [b]точка перегиба[/b], вторая производная [b]меняет знак[/b]

Ответ выбран лучшим

f ` (x)=((4/3)x^3+2x62-1)`

f ` (x)=(4/3)*3x^2+4x

f ` (x)=4x^2+4x

f `` (x)=8x+4

f``(x) > 0 при 8х+4>0, т. е

при x > 1/2 выпуклость[b] вниз[/b]

( как у параболы y=x^2; y`=2x; y``=2 >0)

При x < 1/2 выпуклость [b]вверх[/b]

x=1/2 - [b]точка перегиба[/b], вторая производная [b]меняет знак[/b]

( неважно как, с + на -, или с - на +)

Ответ выбран лучшим

Строим границу области
x+3y=2- это прямая
Для ее построения достаточно двух точек:
(2;0);(-1;1)
Эта прямая разделила плоскость на две части ( cм рис. 1)

Выбираем любую точку плоскости, например (0;0)

Подставляем в первое неравенство:
0-3*0 ≥ 2 - неверно

Значит область, задаваемая первым неравенством та, в которой нет точки (0;0)

Аналогично поступаем со вторым неравенством
(см. рис.2)
2x-y <3
Неравенство строгое. Поэтому границу рисуем [b]пунктирной[/b] линией , проходящей через точки:
(0;-3) (2;1)

Cистеме неравенств удовлетворяет пересечение областей
(см. рис.3)- область темного цвета

Одна граница сплошная линия, вторая - пунктирная. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
a кратно 3, значит имеет вид:
a=3k, k ∈ [b]N[/b]
b кратно 7, значит имеет вид:
b=7m, m ∈ [b]N[/b]

Находим их сумму
7a+3b=7*(3k)+3*(7m)=[b]21[/b]*k+[b]21[/b]*m=[b]21[/b]*(k+m) - [b]кратно 21[/b]

2.
[b]m+7[/b] кратно 11, значит имеет вид:
[b]m+7[/b]=[b]11[/b]*k, k ∈ [b]N[/b] ⇒ m=[b]11[/b]k-7

[b]n-29[/b] кратно 11, значит имеет вид:
[b]n-29[/b]=[b]11[/b]*p, p ∈ [b]N[/b] ⇒ n=[b]11[/b]p+29

Находим сумму:
m+n=11k-7+11p+29=11*k+11*p+22=[b]11[/b]*(k+p+2) - [b]кратно 11[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
В Δ SAM проводим высоту MF
Из точки D проводим DE || MF

2)
Δ SBC - прямоугольный равнобедренный.

MN ⊥ SC, CN=NS

DK|| MN так, что NK=KS=SC/4
(прикреплено изображение)

Найти стороны по формуле:
(прикреплено изображение)

[m]\left\{\begin{matrix} x^2+\sqrt{x}-3\geq 0\\ 2x-\sqrt{x}\geq 0\\x\geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

Возводим в квадрат

[m]x^2+\sqrt{x}-3=2x-\sqrt{x}[/m]

Так как все остальные уравнения этой работы

решаются элементарно, есть подозрение,

что в условии [b]опечатка.[/b]

Пусть х км в час -первоначальная скорость поезда.

[m]\frac{60}{x}[/m] час - запланированное время

2x км - проехал до остановки

(60-х) км - осталось проехать cо скоростью (х+10) км в час

Уравнение:

[m]\frac{60}{x}=2+\frac{20}{60}+\frac{60-2x}{x+10}[/m]

x^2+70x-1800=0

D=4900+7200=12100

x=(-70+110)/2=20, второй корень отриц

Ответ выбран лучшим

Если 0° ≤ α ≤ 180°, то
0≤ sin ⁡ α ≤1
,
-1≤ cos ⁡ α ≤1

Находим координаты точки
K - середины АВ

Точка K - середина отрезка AB
x_(K)=[m]\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=[/m]
y_(K)=[m]\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=[/m]
z_(K)=[m]\frac{z_{A}+z_{B}}{2}=[/m]

Точка Е делит отрезок CK в отношении 2:1, считая от вершины С

Применяем формулу вычисления координат точки, делящей отрезок в данном отношении
CE:EK=2:1

λ =2
x_(E)=[m]\frac{x_{C}+2\cdot x_{K}}{1+2 }[/m]
y_(E)=[m]\frac{y_{C}+2\cdot y_{K}}{1+2 }[/m]
z_(E)=[m]\frac{z_{C}+2\cdot z_{K}}{1+2}[/m]

[m]3\cdot x_{E}=x_{C}+2\cdot x_{K}[/m] ⇒

[m]x_{C}=3\cdot x_{E}- 2\cdot x_{K}[/m]

Аналогично

[m]y_{C}=3\cdot y_{E}- 2\cdot y_{K}[/m]

[m]z_{C}=3\cdot z_{E}- 2\cdot z_{K}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V=a*b*c

a=AD
b=AB
AA_(1)=c

Так как
S_(AA_(1)BB_(1))=b*c=40
AD=a

V=6*40=240 куб см

Ответ выбран лучшим

{2x+9 ≥ 0 ⇒ x ≥ -4,5
{1-2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0,5
{4-3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4/3

[red]x ∈[-4,5; 0,5][/red]

Возводим в квадрат:

(2x+9)+2sqrt(2x+9)*sqrt(1-2x)+1-2x=4-3x

2sqrt(2x+9)*sqrt(1-2x)=4-3x-1-9

2sqrt(2x+9)*sqrt(1-2x)=-6-3x

Возводим в квадрат при условии[red] -6-3x ≥ 0[/red]

4(2x+9)*(1-2x)=(-6-3x)^2

4*(2x+9-4x^2-18x)=36+36x+9x^2

25x^2+100x=0

25x(x+4)=0

х_(1)=0; x_(2)=-4

х_(1)=0 не удовлетворяет условию [red] -6-3x ≥ 0[/red]

О т в е т. -4;

Ответ выбран лучшим

{2cos^2x+3sinx-3=0
{cosx ≠ 0

{2*(1-sin^2x)+3sinx-3=0
{cosx ≠ 0

{2sin^2x-3sinx+1=0
{cosx ≠

{D=9-8=1; sinx=1 или sinx=0,5
{cosx ≠ 0

sinx=1 не удовлетворяет второму условию, так как если sinx=1, cosx=0 (так как sin^2x+cos^2x=1)

sinx=0,5

Решаем по формуле:

[r]sinx=a ⇒ x=(-1)^(k)arcsina+πk, k ∈ Z[/r]

[m]x=(-1)^{k}arcsin\frac{1}{2}+\pi k, k ∈ Z[/m]

[m]arcsin\frac{1}{2}=\frac {\pi}{6}[/m], так как [m] sin\frac {\pi}{6}=\frac{1}{2}[/m] и [m]\frac {\pi}{6}\in [-\frac {\pi}{2};\frac {\pi}{2}][/m]

[m]x=(-1)^{k}\frac{\pi}{6}+\pi k, k ∈ Z[/m]

при k=2n
получаем
[m]x=\frac{\pi}{6}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

при k=2n+1
получаем
[m]x=-\frac{\pi}{6}+ \pi +2\pi n=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

Тогда легко отобрать корни:
[m]\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6}[/m]

----------------------------
О т в е т.
а) [m]\frac{\pi}{6}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m][m]\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

б)[m]\frac{17\pi}{6}[/m]

(прикреплено изображение)

0< α <π/2 ⇒ tg α >0

По формулам приведения:
1)вторая четверть знак -
2)первая четверть знак +
3)вторая четверть знак -
4)четвертая четверть знак +
5)третья четверть знак -
6)первая четверть знак +

Ответ выбран лучшим

x=r*cos φ
y=r*sin φ

0 ≤ r ≤ R

π ≤ φ ≤ 2π

dxdy=r* drd φ

x^2+y^2=r^2

= ∫ ^(2π)_(π)d φ ∫ ^(R)_(0) ( sinr/r)* r dr=

=∫ ^(2π)_(π)d φ ∫ ^(R)_(0) sinr dr=

=(-cosR+cos0)*(2π-π)=[b]π*(1-cosR)[/b]
(прикреплено изображение)

[i]Замена переменной:[/i]
[m]\sqrt{x}=t[/m] ⇒ [m] x=t^2[/m]

[m]dx=2tdt[/m]

[i]Пределы интегрирования[/i]

если x=4, то [m]\sqrt{4}=t[/m], t=2
если x=9, то [m]\sqrt{9}=t[/m], t=3

[m] ∫ ^{3}_{2}\frac{2tdt}{(t^2-3)\cdot }= ∫ ^{3}_{2}\frac{2tdt}{t^2-1}=∫ ^{3}_{2}\frac{d(t^2-3)}{t^2-1}=[/m]

[m]=\frac{1}{2\cdot \sqrt{3}} ln|\frac{t-\sqrt{3}}{t+\sqrt{3}}|^{3}_{2}=[/m]

[m]=\frac{1}{2\sqrt{3}}ln|\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}|-\frac{1}{2\sqrt{3}}ln|\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}| [/m]

Ответ выбран лучшим

p=0.9

[b]p=m/n[/b]

n=10

p=0,9

m=9

О т в е т. [b]9[/b]

15. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠ АВС=82 °
∠ АВС опирается на дугу АDC
Значит
∪ АDC= 164 °

∠ CАD=55 °
∠CAD опирается на дугу CD
Значит
∪ СD= 110 °

∪ AD=∪ АDC- ∪ CD=164 ° -110 ° =54 °

∠ ABD опирается на ∪ AD и измеряется половиной этой дуги

∠ ABD= 27 °

16.
OM ⊥ AB

AM=MB (в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОМ одновременно и медиана)

По теореме Пифагора
AM^2=13^2-12^2=25
AM=5

AB=10

S_(сечения)=AB*H=10*18=180

19.

Число делится на 24, значит оно делится на 2, поэтому четное,
делится на 4, значит две последние цифры делятся на 4.

Число расположено между числами 2000 и 2500

2024 - удовлетворяет двум условиям:
расположено между числами 2000 и 2500
и делится на4

Но сумма цифр 2+2+4=8 не равна 18
и получается что на второе место надо написать число 10.
А такой цифры нет

Значит берем например следующее число:

2048
расположено между числами 2000 и 2500
и делится на 4

сумма цифр: 2+4+8=14

Не хватает 4

2448:24
сумма цифр 2+4+4+8=18

О т в е т.[b] 2448[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вероятность появления события А в серии из n испытаний ровно m раз по формуле Пуассона:

P(m)=((лямбда )^(m)/m!)*e^(-лямбда)
лямбда=0,8
m=5

P(5)=(0,8)^5)/(5!)*e^(-0,8)

а)
B_(1)E в пл [b]ВВ_(1)E_(1)E[/b]

Это прямоугольник

B_(1)E - диагональ.

Задача : провести перпендикуляр из точки F на диагональ прямоугольника.

Проводим BM ⊥ B_(1)E

(ВМ- высота прямоугольного треугольника из вершины В на гипотенузу)

Проводим FK ||BM

б) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Задачи даны на то, чтобы разобраться в arccos и arcsin
arccos b ⇒[b] b ∈ [-1;1];[/b]
это угол, косинус которого равен b
arccos b = α ⇒ cos α = b и [b] α ∈ [0;π][/b]

Из первого уравнения

[b]-1 ≤ 6x-x^2-10 ≤ 1[/b]

cos(πx/3)= 6x-x^2-10

[b]0 ≤ (πx/3) ≤ π[/b]

Решить систему неравенств:

{[b]-1 ≤ 6x-x^2-10 ≤ 1[/b] двойное неравенство заменим на систему
{[b]0 ≤ (πx/3) ≤ π[/b]

{[b] 6x-x^2-10 ≤ 1[/b] ⇒ x^2-6x+11 ≥ 0- верно при любых х , D <0
{[b]6x-x^2-10 ≥ -1[/b] ⇒ x^2-6x+9 ≤ 0 ⇒ x=3
{[b]0 ≤ (πx/3) ≤ π[/b] ⇒ делим на π ⇒ 0 ≤ (x/3) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ х ≤ 3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Область горизонтального вида:
0 ≤ y ≤ 8
∛y ≤ x ≤ 3

= ∫ ^(8)_(0)dy ∫ ^(3)_(∛y)(x+y)dx=

= ∫ ^(8)_(0) ((x^2/2)+yx)|^(3)_(∛y)dx=

= ∫ ^(8)_(0)((9/2)-y∛y)dy=

=(9/2)y|^(8)_(0)-(y^(7/3)/(7/3))|^(8)_(0)=

=(9/2)*8-(3/7)*2^7=

(прикреплено изображение)

Пусть точка на оси Оу- точка (0;c)

Составляем уравнение касательных к кривой в точках
(x_(1);y_(1)) и (x_(2);y_(2))

y_(1)=(sqrt(3)/6)*(1-x^2_(1))

y_(2)=(sqrt(3)/6)*(1-x^2_(2))

f `(x)=(sqrt(3)/6)*2x

f `(x_(1))=(sqrt(3)/6)*2x_(1)=k_(1) - угл коэф первой касат. ⇒

tg α =(sqrt(3)/6)*2x_(1)=

f `(x_(2))=(sqrt(3)/6)*2x_(2)=k_(2) - угл коэф второй касат. ⇒

tg β =(sqrt(3)/6)*2x_(2)

угол между касательными в точке (0;c) равен 120 градусов, ⇒

α - тупой, β - острый ⇒ α - β=60 ° ⇒

tg( α - β )=tg(60°)=sqrt(3)

По формуле:

tg( α - β )=(tg α -tg β) /(1+tg α *tg β )=(k_(1)-k_(2))/(1+k_(1)*k_(2))

1=log_(a)a
a>0; a ≠ 1

3=3*1=[b]3[/b]*log_(x+3)(x+3)=log_(x+3)(x+3)^[b]3[/b]

Основание логарифмической функции зависит от х

Поэтому

Если это оcнование больше 1, то логарифмическая функция возрастает и тогда большему значению функции соответствует большее значение аргумента

Если это оcнование меньше 1, но больше 0, то логарифмическая функция убывает и тогда большему значению функции соответствует большее значение аргумента

две системы

{x+3>1
{x^2+7 ≥ (x+3)^3

{0<x+3<1
{x^2+7 ≤ (x+3)^3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

[b]Внешнее интегрирование по х[/b]
две области
D_(1):
-2 ≤ x ≤ -1
-sqrt(2-x^2) ≤ y ≤ 0

D_(2):
-1 ≤ x ≤ 0
x ≤ y ≤ 0

Сумма интегралов по области D_(1) и области D_(2)

[b]Внешнее интегрирование по y[/b]
две области
--sqrt(2) ≤ y≤0
-sqrt(2-y^2) ≤ x ≤ y (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

х=-2; y=5*(-2)-3=-13 точка (-2;-13)

х=-1; y=5*(-1)-3=-8 точка (-1;-8)

х=0; y=5*0-3=-3 точка (0;-3)

x=1; y=5*1-3=2 точка (1;2)

x=2; y=5*2-3=7 точка (2;7)

x=3; y=5*3-3=12 точка (3;12)

Посмотрите на какой линии эти точки расположены.

Это и есть зависимость. Чем чаще точки выбирать, тем больше будет точек на графике....

y=ax^2+bx+c

Подставляем координаты точек:
{-6=a*0^2+b*0+c ⇒ c=-6
{10=a*5^2+b*5-6 ⇒ 25a+5b=16
{-5=a*(-5)^2+b*(-5)-6 ⇒ 25a-5b=1

{25a+5b=16
{25a-5b=1

Складываем
50a=17

a=17/50

b=(25a-1)/5=-3/2

x_(o)=-b/2a=[b]75/34[/b]

(прикреплено изображение)

Достроить до прямоугольного треугольника.
Найти катеты по клеточкам
Найти длину гипотенузы по теореме Пифагора.
(прикреплено изображение)

Число стульев, оставшихся в кабинетах, было одинаковым.

Переводим на язык математики: надо поставить знак равенства между

(х-7) и (2х-33)

Получаем уравнение:

х-7=2х-33

33-7=2х-х

26=х

Ответ

Число стульев в 1–м кабинете: было 26
Число стульев в 2–м кабинете: было 52

Пункты а) и б) означают, что

график расположен[b] внутри прямоугольника:[/b]
-3 ≤ x ≤ 4
-4 ≤ y ≤ 4

Пункт в)
функция [b]возрастает т[/b]ам, где производная положительна, т.е на [0;2]
[b]убывает[/b], на [-3;0] и на [2;4]

[red]г)
Одна касательная- значит одна точка, в которой производная равна 0[/red]

Это посложнее.

У нас получается две точки экстремума, в которых производная может равняться 0:

x=0 - при переходе через эту точку производная меняет знак с - на +, это точка минимума.

х=2- при переходе через эту точку производная меняет знак с + на -, это точка максимума.

Значит, в одной из этих точек надо нарисовать такую кривую, чтобы не было касательной.

Мы знаем такую кривую.

y=|x| имеет минимум в точке 0, но касательной в точке 0 не имеет.

Вот так и надо нарисовать.

Теперь все готово. Берем и смело рисуем. Не выходим за границы прямоугольника

Задача в помощь
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=47441

Это система:
{c+d=20
{c*d=100

Из первого выражаем с и подставляем во второе:
{c=20-d
{(20-d)*d=100 ⇒ d^2-20d+100=0 ⇒ (d-10)^2=0 ⇒ [b]d=10[/b]

и тогда[b] c=10[/b]

Ответ выбран лучшим

(- ∞ ; ?) - выпукла вверх

(?; + ∞ ) - выпукла вниз (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

PK ⊥ NP
PK ⊥ MK

(прикреплено изображение)

1
Длина окружности радиуса 2
C=2π*R=2π*2=[b]4π[/b]
2
4 длины окружности радиуса 1
С=4*(2πr)=8π*1=[b]8π[/b] (прикреплено изображение)

y`=dy/dx

dy/dx=xe^(-y) - уравнение с разделяющимися переменными.

e^(y)dy=xdx

Интегрируем:
∫ e^(y)dy= ∫ xdx

[b]e^(y)=x^2/2+C[/b]- общee решение

y(1)=0

подставляем
x=1
y=0

e^(0)=(1/2)+C

С=1/2

[b]e^(y)=(1/2)*(x^2+1)[/b]- частное решение

а) y= ∫ 7^(x+y)dx=(7^(x+y)/ln7)+С- - о т в е т.

или так

y`=dy/dx

dy=7^(x+y)dx

dy=7^(x)*7^(y)dx - уравнение с разделяющимися переменными

7^(-y)dy=7^(x)dx

Интегрируем:

∫ 7^(-y)dy= ∫ 7^(x)dx

-7^(y)/ln7 =( 7^(x)/ln7)+C

7^(y)+7^(x)=C- о т в е т.

или

y= ∫ 7^(x+y)dx=(7^(x+y)/ln7)+С

б)

1+y`=e^(y)

y`=e^(y)-1

y= ∫ (e^(y)-1)dy

y=e^(y)-y+C- о т в е т.

y`=dy/dx

dy=(2+y)dx - уравнение с разделяющимися переменными.

dy/(2+y)=dx

Интегрируем:

∫ dy/(2+y)= ∫ dx

ln|2+y)+lnC_(1)=x

x=lnC_(1)(2+y)

С_(1)(2+у)=e^(x)

2+y=Ce^(x)

[b]y=Ce^(x)-2[/b]- общее решение

y(0)=3

3=Ce^(0)-2

C=5

[b]y=5e^(x)-2[/b]- частное решение

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
k^2+k-6=0
D=1+24=25
k_(1)=-3; k_(2)=2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(2x)

y(0)=3
3=C_(1)e^(0)+C_(2)e^(0) ⇒ [b]3=C_(1)+C_(2)[/b]
y`=-3*C_(1)e^(-3x)+2*C_(2)e^(2x)

y`(0)=1
1=-3*C_(1)e^(0)+2*C_(2)e^(0) ⇒[b] 1=-3C_(1)+2C_(2)[/b]

Решаем систему уравнений:
{[b]3=C_(1)+C_(2)[/b]
{[b] 1=-3C_(1)+2C_(2)[/b]

{[b]9=3C_(1)+3C_(2)[/b]
{[b] 1=-3C_(1)+2C_(2)[/b]

5С_(2)=10 ⇒ С_(2)=[red]2[/red]

С_(1)=3-С_(2)=3-2=[green]1[/green]

у=[green]1[/green]*e^(-3x)+[red]2[/red]e^(2x)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]y`+\frac{4x}{x^2+1}y=\frac{3}{x^2+1}[/m]

Это линейное первого порядка.

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:

[m]u`\cdot v+u\cdot v`+\frac{4x}{x^2+1}u\cdot v=\frac{3}{x^2+1}[/m]

Группируем

[m]u`\cdot v+u\cdot( v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)=\frac{3}{x^2+1}[/m]

Выбираем функцию v так,чтобы

[m]( v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)=0[/m]

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

[m]\frac{dv}{v}=-\frac{4x}{x^2+1}dx[/m]

[m]\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{4x}{x^2+1}dx[/m]

[m] ln|v|=-2ln|x^2+1|[/m] ⇒ [m]v=\frac{1}{(x^2+1)^2}[/m]

Тогда данное уравнение принимает вид

[m]u`\frac{1}{(x^2+1)^2}+u\cdot 0=\frac{3}{x^2+1}[/m]

[m]u=3(x^2+1)[/m]

[m]u=x^3+3x+C[/m]

[m]y=(x^3+3x+C)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]- общее решение

Чтобы найти частное, подставляем данные:

x=0; y=0

[m]0=C\cdot 1[/m]

[m]y=(x^3+3x)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]- частное решение

Ответ выбран лучшим

2)
y`+y=e^(-x)/(1-x)

Это линейное уравнение.

Решаем способом Бернулли.

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v` +u*v=e^(-x)/(1-x)

Сгруппируем:

u`*v+u(v`+v)=e^(-x)/(1-x)

Выбираем функцию v так,чтобы
v`+v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`+v=0 ⇒ dv/dx=-v

⇒ ∫ dv/v=-∫ dx ⇒ ln|v|=-x ⇒ [b]v=e^(-x)[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*e^(-x)+u*(0)=e^(-x)/(1-x)

du=dx/(1-x)

∫ du= ∫ dx/(1-x)

u=-ln|1-x|+C

y=u*v

[b]y=(-ln(1-x)+C)*e^(-x)[/b]

Ответ выбран лучшим

Делим уравнение на (х)

y`-(2/x)*y=2x^3

Это линейное уравнение.

Решаем способом Бернулли.

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v` -(2/x)*u*v=2x^3

Сгруппируем:

u`*v+u(v`-(2/x)v)=2x^3

Выбираем функцию v так,чтобы
v`-(2/x)v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`-(2/x)v=0 ⇒ dv/dx=2v/x

⇒ ∫ dv/v=2∫ dx/x ⇒ ln|v|=2ln|x| ⇒ [b]v=x^2[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*x^2+u*(0)=2x^3

u`=2x

du=2xdx

∫ du=2 ∫ xdx

u=x^2+C

y=u*v

y=(x^2+C)*x^2

[b]y=x^4+Cx^2[/b] - общее решение

y(1)=0

x=1; y=0

0=1+C*2

C=-1

[b]y=x^4-x^2[/b] - частное решение, соответствующее условию y(1)=0

Ответ выбран лучшим

−2,17x+7,2x−19,8x=-14,77х

D=3^2-4*(-10)=49
x_(1)=(3-7)/2=-2 <0
x_(2)=(3+7)/2=5 >0

О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

a)
Область определения (- ∞ ;-2) U(-2;+ ∞ )

На (- ∞ ;-2) и на (-2;+ ∞ ) функция непрерывна как частное непрерывных функций

Исследуем точку x=-2

Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -2-0)f(x)=lim_(x → -2-0)(x-1)/(x+2)=(-2-0-1)/(-2-0+2)=+ ∞

Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → -2+0)f(x)=lim_(x → -2+0)(x-1)/(x+2)=(-2+0-1)/(-2+0+2)=- ∞

x=-2 - [i]точка разрыва второго рода[/i]
(один или оба односторонних предела -[i] бесконечные[/i])

б)
x ≠ 1
e^(|x|/(x-1))=1 ⇒ |x|/(x-1) ≠ 0⇒ |x| ≠ 0⇒ x ≠ 0
Область определения (- ∞ ;0) U(0;1)U(1;+ ∞ )

На (- ∞ ;0) и на (0;1) и на (1;+ ∞ )функция непрерывна как композиция непрерывных функций

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=1

х=0

Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)y=+∞

(x=-0,0001 и считайте... e^(-0,0000) < 1, знаменатель маленькое
положит, 1/+0=+∞)

Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)y=+∞

x=0 - [i]точка разрыва второго рода[/i]
(один или оба односторонних предела -[i] бесконечные[/i])

х=1

Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → -0)y=1/(1-e^(-∞))=1

|x|/(x-1) →- ∞ ( см. рис.2)

e^(|x|/(x-1)) → e^(- ∞ ) → 0

Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →1+0)f(x)=lim_(x → 2+0)y=1/(1-e^(+∞))=-0

|x|/(x-1) →+ ∞ ( см. рис.2)

e^(|x|/(x-1)) → e^(+ ∞ ) →+ ∞ , 1-(+ ∞ )= - ∞ ⇒ 1/(- ∞ )=-0 ( см на рис. 3 график под осью Ох) стремится к 0, оставаясь отрицательным.

Это все и нужно для того, чтобы правильно изобразить график

[b]предел слева ≠ пределу справа[/b]

х=1 -[i] точка разрыва первого рода[/i]

Функция имеет [i]конечный скачок[/i] в точке

(прикреплено изображение)

y`=dy/dx

(1+y^2)dy=-4dx/(xlnx)

∫ (1+y^2)dy=-4 ∫ dx/(xlnx)

[b]y+(y^3/3)=-4ln|lnx|+C[/b]

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx

y^2dy=(1-2x)dx

∫ y^2dy= ∫ (1-2x)dx

[b](y^3/3)=x-2(x^2/2)+C[/b]

vector{СС_(2)}+vector{С_(2)E}=vector{СЕ} ⇒

[b]vector{С_(2)E}=-vector{СС_(2)} +vector{СE}[/b]

vector{СС_(2)} =[b](1/2)vector{СС_(1)}=-(1/2) vector{С_(1)С}[/b]

vector{CE}=-(1/2)vector{ВC}=-(1/2)vector{В_(1)C_(1)}

[b]vector{С_(2)E}=(1/2) vector{С_(1)С}-(1/2)vector{В_(1)C_(1)} [/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ц - цифра, Г - герб

не более 3 раз- значит ни разу, один раз или два

ни разу:
ЦЦЦЦЦЦ

p_(1)=(1/2)^6

один раз
ЦЦЦЦЦГ+ЦЦЦЦГЦ+...

p_(2)=5*(1/2)^6

два раза

ЦЦЦЦГГ+ЦЦЦГЦГ+...

p_(3)=10*(1/2)^6

О т в е т. p_(1)+p_(2)+p_(3= (1/2)^6+ 5*(1/2)^6+10*(1/2)^6=...

считайте

О т в е т. 0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если прямые параллельны, то они не будут пересекаться, система не будет иметь решений
Прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) параллельны, если их угловые коэффициенты равны:
k_(1)=k_(2)

y=x+2 ⇒ [red] k_(1)=1[/red]

Данная прямая [b] x-y=2[/b] ⇒ y=x-2 ⇒ [red] k_(2)=1[/red]

[red] k_(1)= k_(2)=1[/red]
прямые параллельны.

О т в е т. y=x+2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника равны, так как трапеция описана около окружности, то

стороны a;с;b;c,

c+c=a+b

c+c=14+14=28 см

a+b=2с=28 см

P=a+b+c+c=(с+c)+(a+b)=28+28=56

[b]Р=56 см[/b]

Суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника равны

Если стороны a;b;c;d, то

a+c=b+d

По условию одна пара: a+c=15

Значит и вторая b+d=15

P=a+b+c+d=(a+c)+(b+d)=15+15=30

[b]Р=30 см[/b]

Суммы противоположных углов должны быть равны 180 °

1)[b]90 °[/b],90 °[b],60 °[/b],120 °. - нельзя

90 °+60 ° ≠ 180 °

2)[b]70 °[/b],130 °[b],110 °[/b],50 °. можно

70 ° +110 ° =130 ° +50 ° =180 °

QPRV -[b]параллелограмм[/b]
так как
PR|| A_(1)C_(1)
PR=(1/2) A_(1)C_(1)

QV|| AC
PR=(1/2) AC

AC=A_(1)C_(1)

vector{PQ} и vector{RV} как стороны параллелограмма
QPRV (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=4x-8 - прямая

строим по точкам:

(0;-8) и (2;0)

y=2x−6 -прямая

строим по точкам:

(0;-6) и (3;0)

Постройте и найдете координаты точки пересечения

Ответ выбран лучшим

раскрываем скобки:
=[b]-3,75[/b]+6 целых (7/9)[b]-0,25[/b]+2 целых (2/9)=

=([b]-3,75-0,25[/b])+(6 целых (7/9)+2 целых (2/9))=

=[b]-4[/b]+6+2+((7/9)+ (2/9))=

=[b]-4[/b]+6+2+1=5

Я знаю правило треугольника:
vector{AB}+vector{BC}=vector{AC}

Первый вектор начинается в точке А, заканчивается в товке В
второй начинается в точке В заканчивается в точке С.
Тогда [i]результирующий вектор [/i]начинается в точке А заканчивается в точке С и называется суммой vector{AB} и vector{BC}

Еще я знаю, что vector{BC} и vector{СB} - противоположные.

Поэтому vector{BC} =- vector{СB} или vector{СB} =- vector{BC}

Другими словами
в равенстве
vector{AB}+vector{BC}=vector{AC}
заменим vector{BC} =- vector{СB}
получим:
vector{AB}-vector{СB}=vector{AC}
переносим vector{СB} вправо с противоположным знаком
получим:
vector{AB}=vector{AC}+vector{СB}
и так далее

Я знаю про другие правила, но плохо их помню

Итак, решаю Вашу задачу.

vector{A_(1)E}+vector{EA}=vector{A_(1)A} ⇒

[b]vector{A_(1)E}=vector{A_(1)A} -vector{EA}[/b]

vector{A_(1)A} =[b]vector{B_(1)B} [/b]

осталось вектор
vector{EA} выразить через стороны основания:

vector{EA}+vector{AВ}=vector{ВE}

vector{AВ}=-vector{ВА}=-vector{В_(1)А_(1)}

vector{ВE} =(1/2)vector{ВС} =(1/.2)vector{В_(1)С_(1)}

vector{EA}-vector{В_(1)А_(1)}=(1/.2)vector{В_(1)С_(1)} ⇒

vector{EA}=(1/.2)vector{В_(1)С_(1)} + vector{В_(1)А_(1)}

Итог:
[b]vector{A_(1)E}=vector{A_(1)A} -vector{EA}[/b]

[b]vector{A_(1)E}=vector{B_(1)B} -(1/2)vector{В_(1)С_(1)} - vector{В_(1)А_(1)}[/b]

Ответ выбран лучшим

8х=1000+200
8х=1200
х=150

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Все три вектора сонаправлены, потому как лежат на параллельных прямых
A_(2)P - средняя линия Δ АА_(1)В_(1)

A_(2)P|| АВ_(1)

vector{A_(2)P} сонаправлен vector{АВ_(1)}

AB_(1)C_(1)D - прямоугольник,
Противоположные стороны AB_(1)||C_(1)D

Отрезок, соединяющий середины B_(1)C_(1) и AD

QR||AB_(1)||C_(1)D

См. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

У первого 50+7=57 деталей

Всего 57+43=100 деталей

7+2=9 бракованных

p=m/n=9/100=0,09

Ответ выбран лучшим

BB_(1) ⊥ пл А_(1)В_(1)С_(1)D_(1)E_(1)F_(1) ⇒ BB_(1) ⊥ А_(1)В_(1)

BB_(1) и есть расстояние.

Расстояние - длина перпендикуляра, проведенного из точки в прямой

BB_(1) =1

V_(цилиндра)=π*r^2*H=π*(0,6)^2*1,6=...
V_(шара)=(4/3)π*R^3=(4/3)*π*(0,8)^3=... (прикреплено изображение)

30.

--------------- (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D ≥ 0

D=(2a)^2-4*(a-2)*(a+3)=....

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=2a/(a-2)

x_(1)*x_(2)=(a+3)/(a-2)

все корни положительные ⇒
x_(1)+x_(2)>0
x_(1)*x_(2)>0

Система:
{2a/(a-2) > 0
{(a+3)/(a-1) >0

2х+2a+5ax-x^2+3ax^2+3=0

(3a-1)x^2+(5a+2)*x+(2a+3)=0

D=(5a+2)^2-4*(3a-1)*(2a+3)=...

D>0 кв уравнение имеет два корня.

Ответ выбран лучшим

1)
Решаем каждое:
ax-x=5+a

x*(a-1)=5+a ⇒ при a=1 нет решения, так как 0*x=6 уравнение не имеет корней.

x=[m]\frac{a+5}{a-1}[/m]

a^2x-x=a^2+3

x*(a-1)(a+1)=a^2+3 ⇒ при a=1; a=-1 не имеет корней

x=[m]\frac{a^2+3}{(a-1)(a+1)}[/m]

Приравниваем правые части:

[m]\frac{a+5}{a-1}=\frac{a^2+3}{(a-1)(a+1)}[/m] ⇒

(a+5)*(a+1)=a^2+3;

a^2+6a+5=a^2+3

6a=-2

a=-1/3

О т в е т. при a=-1/3

3) привести к виду
[red](...)[/red]*x=[blue](...)[/blue]

Выражение[red] (...)[/red]=0 а справа [blue](...)[/blue] не 0, значит не имеет
Ну и при а=0 тоже не имеет

4) x^2-3ax=a или x^2-3ax=-a
x^2-3ax-a=0 или x^2-3ax+a=0

Два квадратных

Когда они имеют три корня.

Одно уравнение имеет два корня ( у первого D>0) второе один ( у второго D=0) или наоборот

Или когда оба имеют два корня, но один корень[b] общий[/b]

Общий знаменатель 72.
Умножаем первую дробь на 3, вторую на два.

Дальше вы уже знаете как

Ответ выбран лучшим

1.
u=arctgx dv=xdx

du=dx/(1+x^2)

v=x^2/2

∫х*arctgx dx=(x^2/2)*arctgx - ∫ (x^2/2)*(dx/(1+x^2))=

=(x^2/2)*arctgx -(1/2)∫ (x^2+1-1)dx/(1+x^2)=

=(x^2/2)*arctgx-(1/2)∫dx + (1/2)∫dx/(1+x^2)=

=(x^2/2)*arctgx-(1/2)*x + (1/2)arctgx +C

2.
Есть в любом учебнике
Это вывод формулы

3.
u=x
dv=e^(-x)dx

du=dx
v= - (1/2)e^(-x)

∫xe^(–2x)dx= - (1/2)х*e^(-x) - (1/2) ∫( -e^(-2x))dx=

= - (1/2)х*e^(-x) +(1/4)*(e^(-2x) +C

4.
см аналогичную задачу

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=38032
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

v=0 ⇒ 15-3t=0 ⇒ t=5 c

s(t)=15t-3t^2/2

s(5)=15*5-3*(5^2)/2=75-(75/2)=75/2 м

Ответ выбран лучшим

-12/13 < (-4/13)

потому, что 12/13 > 4/13 и значит

12/13 расположено правее, значит дальше от 0

Умножая на (-1) все меняется,

-12/13 дальше от 0, значит левее, а значит меньше

Сравни с температурой воздуха на термометре:

25 > 20

но

-25 < -20

Ответ выбран лучшим

LN ⊥ KM ⇒ ∠ KLN= ∠ MLN

LN- биссектриса ⇒ ∠KNL = ∠MNL

Δ KLN = ΔLMN по стороне LN ( общая) и двум прилежащим к ней углам

∠ LMN=45 °

Ответ выбран лучшим

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты

y=7+3x - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=3

Значит,

k_(касательной)=3

Геометрический смысл производной функции в точке:

f `(x_(o))=k_(касательной)

Задача сводится к нахождению точек x_(o), в которых производная равна 3

f `(х) = (x^3/3)`−3(x^2)`+12(x)`−7.

f `(х) = (1/3)*3x^2-6x+12

f `(х) = x^2-6x+12

f`(x_(o)) = x_(o)^2-6x_(o)+12

x_(o)^2-6x_(o)+12=3

x_(o)^2-6x_(o)+9=0

x_(o) = [b]3[/b]

Ответ выбран лучшим

[i]Параллельные прямые[/i] имеют[b] одинаковые[/b] [i]угловые коэффициенты[/i]

y=1+2х - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=2

Значит,

k_(касательной)=2

Геометрический смысл производной функции в точке:

f `(x_(o))=k_(касательной)

Задача сводится к нахождению точек x_(o), в которых производная равна 2

f `(x)=(x^3/3)`-5(x^2)`+27*(x)`-(10)`

f `(x)=(1/3)*3x^2-10x-27

f `(x)=x^2-10x-27

f`(x_(o))=x_(o)^2-10x_(o)+27

x_(o)^2-10x_(o)+27=2

x_(o)^2-10x_(o)+25=0

[b]x_(o)=5
[/b]

C_(1)=2π*r

C_(2)=9С_(1)

С_(2)=2π*R

2π[b]R[/b]=[b]9[/b]*2π*[b]r[/b]

R=9r

Увеличится в 9 раз

Находим длины сторон
AB=sqrt((-2-1)^2+4^2+0^2)=5
BC=sqrt(3-(-2))^2+(1-4)^2+(0-2)^2)=sqrt(38)
AC=sqrt((3-1)^2+(1-0)^2+(0-2)^2)=3

По теореме косинусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]Приближенно[/b] в математике, это на кухне приблизительно

5,3333333 ≈ 5,333

Ответ выбран лучшим

[m]q=\sqrt{\frac{3^2+3^2+9^2}{3}}=\sqrt{\frac{99}{3}}=\sqrt{33}[/m] (прикреплено изображение)

Число - четное и кратное 9
Число кратно 9 если сумма цифр кратна 9
2+4+6+4+2=18
18 кратно 9

[b]24642[/b]

Ответ выбран лучшим

Общий знаменатель 60
Первую дробь умножаем на 3
Получаем 33/60
Вторую на 2
Получаем 34/60

Сравниваем

33/60 < 34/60

33/60=11/20 < 17/30=34/60

Ответ выбран лучшим

∠ ВАЕ=90 ° ⇒ ВА ⊥ AE

Расстояние равно [b]ВА=1[/b]

Это линейное уравнение Бернулли третьего порядка
n=3

Решаем методом Бернулли.

Решение в виде
y=u*v

Находим
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-x*u*v=(u*v)^3*e^(-x)

u`*v+u[b](v`-x*v[/b])=(u*v)^3*e^(-x)

Выбираем функцию v так,чтобы
[b]v`-x*v[/b]=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

[b]v`-x*v=0 [/b]⇒ dv/dx=x*v⇒ dv/v=xdx ⇒ ∫ dv/v=∫ xdx ⇒ ln|v|=x^2/2 ⇒ [blue]v=e^(x^2/2)[/blue]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`[blue]*e^(x^2/2)[/blue]+0=(u)^3*([blue]e^(x^2/2)[/blue])^3*e^(-x)

u`=u^3*e^(x^2)*e^(-x)
u`=du/dx

du/u^3=e^(x^2-x)dx

Интегрируем:

[i]Замена переменной:[/i]

19^(x)=t, t >0
19^(-x)=1/t

19*t+(19/t)=362

Умножаем на t >0

19t^2-362t+19=0

Так как 362=361+1, а 361=19^2, ≅

Раскладываем на множители:

19t^2-361t-t+19=0

19t(t-19)-(t-19)=0

(t-19)*(19t-1)=0

t=19 или t=1/19

19^(x)=19 ⇒ [b] x=1[/b]

19^(x)=1/19 ⇒ [b] x=-1[/b]

Cумма квадратов корней:
[b](-1)^2+1^2[/b]

Четырехугольник АВСМ вписан в окружность, значит суммы противоположных углов составляют 180 °

∠ МСВ+ ∠ ВАМ=180 °

∠ СВА + ∠ ВАМ=180 ° - сумма углов, прилежащих к стороне АВ параллелограмма

⇒ ∠ МСВ= ∠ СВА

BC||AD ⇒ Четырехугольник АВСМ - равнобедренная трапеция.

СM=AB=CD=[b]3[/b]

BM- диагональ равнобедренной трапеции

BM[b]=4[/b]

Из точки D к окружности проведены две секущие.
Значит, по свойству секущих

[b]DM[/b]*DA=DN*[b]DC[/b]

DA:DN=DC:DM=3:2

Δ DMN~ ΔACD так как угол D - общий и стороны пропорциональны.

⇒ AC:MN=3:2

AC=BM=4 как диагонали равнобедренной трапеции

MN=[b]8/3[/b]

(прикреплено изображение)

AD^2=AB^2-BD^2=12^2-6^2=108

MD^2=MA^2+AD^2=25+108=133

MD=sqrt(133)

S_(ceч)=(1/2)ВС*MD=(1/2)*12*sqrt(133)[b]=6sqrt(133)[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

[b]S(z)=[b]k[/b]/z^2[/b] - это значит обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат до точки с координатой z

k найдем из условия
S(3)=20

20=k/3^2

k=180

V= ∫ ^(4)_(1)(180/z^2)dz=180*∫ ^(4)_(1)(z^(-2))dz=

=(-180/z)|^(4)_(1)=(-180/4)+180=180*(3/4)=[b]135[/b]

Ответ выбран лучшим

АВ^2=АC^2+BC^2=24^2+10^2=576+100=676
AB=26

sin∢B=[m]\frac{AC}{AB}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}[/m]

cos∢B=[m]\frac{BC}{AB}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}[/m]
(прикреплено изображение)

См. решение такой же задачи (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

26+26+15+15+15=52+45=97 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

500:26=[b]19, ...[/b]

или так, как на практике

20*26=520 руб надо, чтобы купить 20.

500 руб не хватит, значит 19

Ответ выбран лучшим

40%=40/100=0,4

40% от 70 находим также как часть от числа:

0,4*70=28

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x`_(t)=-2Rsint+2Rsin2t
y`_(t)=2Rcost-2Rcos2t

(x`_(t))^2=(-2Rsint+2Rsin2t)^2=4R^2sin^2t-8R^2sint*sin2t+4R^2sin^22t
(y`_(t))^2=(2Rcost-2Rcos2t)^2=4R^2cos^2t-8R^2cos*cos2t+4R^2cos^22t

[b](x`_(t))^2+(y`_(t))^2=[/b] 4R^2*([b]sin^2t+cos^2t[/b])+4R^2*([b]sin^22t+cos^22t[/b])+

-8R^2*(sint*sin2t+cost*cos2t)=8R^2*(1-cost)=8R^2*2sin^2(t/2)=[red]16R^2sin^2(t/2)[/red]

[b]sin^2t+cos^2t[/b]=1
[b]sin^22t+cos^22t[/b]=1

cost*cos2t+sintsin2t=cos(2t-t)=cost

sqrt((x`_(t))^2+(y`_(t))^2)=[red]4R*sin(t/2)[/red]

S=2π ∫ ^(2π)_(0)(2Rsint-Rsin2t)4R*sin(t/2) dt=

=2π ∫ ^(2π)_(0)2Rsint*4R*sin(t/2) dt-2π ∫ ^(2π)_(0)Rsin2t*4R*sin(t/2) dt=

=16πR^2 ∫ ^(2π)_(0)sint*sin(t/2) dt-8πR^2 ∫ ^(2π)_(0)sin2t*sin(t/2) dt=...

Применяем формулы

sin α *sin β = (прикреплено изображение)

[m]\frac{3}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}[/m]

[m]\frac{1}{2}:\frac{5}{8}=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{5}=\frac{1\cdot 8}{2\cdot 5}=0,8[/m]

Ответ выбран лучшим

2.
K(0;6)=K(6; π/2)
L(-2;0)=L(2;π)
M(-1;1)=M(sqrt(2);3π/4)
N(sqrt(3);1)=N(2;π/6)

3. Cм. рис.

А(0;0)
B(1;0)
C(sqrt(3); π/6)
D(2;π/3)
E(sqrt(3);π/2)
F(1; 2π/3)

4.
а) S_(1) ( ρ ; φ -π );

б) S_(2) ( ρ ; - φ )
(прикреплено изображение)

V= ∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy

D:
z=0 ⇒ [m]x^2+\frac{y^2}{4}=1[/m] - эллипс на пл. хОу

z=3 ⇒ [m]x^2+\frac{y^2}{4}=10[/m] - эллипс на пл. хОу

Область D - область между двумя эллипсами)

f(x;y)= [m]\sqrt{ x^2+\frac{y^2}{4}-1}[/m]

Вводим обобщенные полярные координаты:
x=rcos φ
y=2r*sin φ

Якобиан :
2*r

f(x;y)= [m]\sqrt{ r^2-1}[/m]

V=∫^(2π)_(0) ([blue] ∫^(2)_(1) r \sqrt(r^2-1)dr [/blue])d φ=

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-8k+16=0

k_(1)= k_(2)=4- корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y=С_(1)*e^(4x)+C_(2)*x*e^(4x)

--------------- (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y(-2)=-1,5-0,5*(-2)=-1,5+1=-0,5 - наиб
y(-1)=-1,5-0,5*(-1)=-1,5+0,5=-1
y(0)=-1,5-0,5*0=-1,5
y(-2)=-1,5-0,5*1=-1,5-0,5=-2
y(-2)=-1,5-0,5*2=-1,5-1=-2,5 - наим (прикреплено изображение)

1)

[b]sin( α + β )[/b]–sin(p/2– α )sin β =
=[b]sin α *cos β+cos α *sin β[/b] –cos α *sin β =sin α *cos β

2)
cos4 α cos α +sin4 α sin α =cos(4 α - α )=cos3 α

cos3 α /sin3 α =ctg3 α

2.Известно что
tg α =2,tg β =1

[m] tg(\alpha+\beta)=\frac{tg\alpha+tg \beta}{1-tg\alpha\cdot tg\beta}=\frac{3}{-1}=-3[/m]

Ответ выбран лучшим

P=AB+BC+AC=400+300+300=1000 мм=100см=1 м

S_(1)=6^2*sqrt(3)/4=9sqrt(3)
S_(2)=20^2*sqrt(3)/4=100sqrt(3)

sqrt(S_(1)*S_(2))=sqrt(9*100*3)=30sqrt(3)

V=(1/3)*(7/3)*(9*sqrt(3)+100*sqrt(3)+30*sqrt(3))=

=7*139*sqrt(3) (прикреплено изображение)

Находим точки пересечения

8cos^3t=1 ⇒ cost=1/2 ⇒ t_(1)=-π/3; t_(2)=π/3

dx=8*3cos^2t*(cost)`dt=-24cos^2t*sint dt

S= ∫ ^(t_(2))_(t_(1))y(t)x`(t)dt=

= ∫^(π/3)_(-π/3)8*sin^3t*(-24cos^2t)*sint dt=

=-192 ∫^(π/3)_(-π/3) sin^4t*cos^2tdt=

понижаем степень:

=-192 ∫^(π/3)_(-π/3)[m](\frac{1-cos2t}{2})^2\cdot \frac{1+cos2t}{2}[/m]dt=

=-24 ∫^(π/3)_(-π/3)(1-cos^22t-cos2t+cos^32t)dt=

cos^32t=cos^22t*cos2t=(1-sin^22t)*cos2t и раз понижаем четную степень:

=-24 ∫^(π/3)_(-π/3)(1-[m]\frac{1+cos4t}{2}[/m]-cos2t+cos2t-sin^22t*cos2t)dt=

=-24 ∫^(π/3)_(-π/3)([m]\frac{1}{2}-\frac{cos4t}{2}[/m]-sin^22t*cos2t)dt=

=-24*([m]\frac{1}{2}t-\frac{sin4t}{8}-\frac{1}{2}\cdot \frac{sin^32t}{3}[/m])|^(π/3)_(-π/3)=

пределы-то подставите? самостоятельно....

[r]cos α *cos β +sin α *sin β =cos( α - β )[/r]

cos70 ° cos10 ° +sin70 ° sin10 ° =cos(70 ° - 10 ° )=cos60 °

[r] sin α *cos β +cos α *sin β =sin( α + β )[/r]

sin50 ° cos10 ° +cos50 ° sin10 ° =sin60 °

сtg60 ° =sqrt(3)/3 - о т в е т

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной:[/i]
[m]\sqrt[4]{x}=t[/m] ⇒ [m] x=t^4[/m]

[m]dx=4t^3dt[/m]

[i]Пределы интегрирования[/i]

если x=1, то [m]\sqrt[4]{1}=t[/m], t=1
если x=16, то [m]\sqrt[4]{16}=t[/m], t=2

[m] ∫ ^{2}_{1}\frac{4t^3dt}{t^4+t}= ∫ ^{2}_{1}\frac{4t^2dt}{t^3+1}=[/m]

[m]=\frac{4}{3}∫ ^{2}_{1}\frac{3t^2dt}{t^3+1}=\frac{4}{3}(ln|t^3+1|)|^{2}_{1}=[/m]

Ответ выбран лучшим

По частям
u=lnx
dv=dx
du=dx/x
v=x

[r] ∫ udv=u*v- ∫ v*du[/r]

∫ x*lnxdx=x*lnx - ∫ x*(dx/x)=

=x*lnx- ∫ dx

=x*lnx - x +C

∫^(1)_(0) x*lnx dx=(x*lnx-x)|^(1)_(0)=1*ln1-1=-1

Ответ выбран лучшим

1)
Составляем характеристическое уравнение
k^2-5k+6=0
D=25-24=1
k_(1)=2; k_(2)=3
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=C_(1)e^(2x)+C_(2)e^(3x)

2)
Составляем характеристическое уравнение
k^2+k-6=0
D=1+24=25
k_(1)=-3; k_(2)=2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(2x)

(прикреплено изображение)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠ АВС=56 ° ⇒ ∪ ADC=112 °

∠ CAD=42 ° ⇒ ∪ DC=84 °

⇒ ∪ AD=112 ° -84 ° =28 °

∠ ABD=(1/2) ∪ AD=14 °

Ответ выбран лучшим

Достроим до полного параллелепипеда:

И из объема полного вычитаем объем вырезанного
V=5*8*4-3*2*4=160-24=[b]136[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sqrt(75)=sqrt(25*3)=sqrt(25)*sqrt(3)=5sqrt(3)

О т в е т. 8*5=40

Ответ выбран лучшим

Формула общего члена геометрической прогрессии:

b_([b]n[/b])=b_(1)*q^([b]n-1[/b])

b_([b]7[/b])=b_(1)*q^([b]6[/b])

b_([b]9[/b])=b_(1)*q^([b]8[/b])

Дано:
b_([b]7[/b])=8
b_([b]9[/b])=72

Значит,
b_(1)*q^([b]6[/b])=9
b_(1)*q^([b]8[/b])=72

Cистема.

Уравнения в системах можно
складывать ( т. е одно заменять суммой двух)
вычитать ( т.е одно заменять разностью)
умножать ( левые части на левые, правые на правые)
делить (левые части на левые, правые на правые)

Я бы разделила, второе на первое

q^2=8
q= ± sqrt(8)

Применяем основное [i]свойство арифметической прогрессии[/i]
( см. рис.)

Составляем равенство:

2х-1=[m]\frac{(x-2)+(x^2-4)}{2}[/m]

Решаем это уравнение и получаем ответ.

2*(2x-1)=x-2+x^2-4;

4x-2=x-2+x^2-4;

x^2-3x-4=0

D=25

x_(1)=(3-5)/2=-1; x_(2)=(3+5)/2=4

При x_(1)=-1 получаем:
-3; -3; -3
это не прогрессия

При x_(1)=4 получаем:
2; 7;12
это прогрессия

следующее больше предыдущего на одно и то же число 5

О т в е т. [b]5[/b]
(прикреплено изображение)

[m]z=2+x^2+9y^2[/m]- эллиптический параболоид

с осью Оz и вершиной в точке (0;0;2)

Пересекаем плоскостью[m] z=z_{o}[/m]

Решаем систему:

{[m]z=z_{o}[/m], [b]2< z_(o) < 4[/b]
{[m]z=2+x^2+9y^2[/m]

[m]2+x^2+9y^2=z_{o}[/m]

[m]x^2+9y^2=z_{o}-2[/m]

[m]\frac{x^2}{z_{o}-2}+\frac{y^2}{\frac{z_{o}-2}{9}}=1[/m] - эллипс

[m]a^2=z_{o}-2[/m]

[m]b^2=\frac{z_{o}-2}{9}[/m]

[m]S(z_{o})=\pi \cdot \sqrt{z_{o}-2}\cdot \sqrt{\frac{z_{o}-2}{9}}[/m]

Значит

[m]S(z)=\pi \cdot \sqrt{z-2}\cdot \sqrt{\frac{z-2}{9}}=\frac{\pi}{3}(z-2)[/m]

[m]V= ∫ ^{4}_{2}\frac{\pi}{3}(z-2)dz=\frac{\pi}{3}(\frac{z^2}{2}-2z)|^{4}_{2}=[/m]

Ответ выбран лучшим

Задача на движение:
Дано: путь, скорость
Найти время

путь 120 км, скорость 60 км в час,
Сколько времени заняло движение.

120:60=2 часа - находим время.

Производная задача, т.е задача с такими же числовыми данными
Дано:
путь, время
Найти: скорость

120 км, времени потратил 2 часа.
120:2=60 км в час - нашли скорость

Дано:
скорость, время
Найти: путь

60 км в час - скорость

2 часа - время

60*2=120 км - нашли путь

Ответ выбран лучшим

1)
В первый день перевезли 7/18 всего груза

(7/18)*540=210 т груза перевезли в первый день

Это и есть простая первая задача.

[i]Нахождение части от числа.[/i]

2)
Во второй день перевезли 4/18
(4/18)*540=120 т

Это и есть простая задача.

[i]Нахождение части от числа.[/i] как и в пункте 1)

3)
540-210-120=210 тонн осталось перевезти

Это и есть простая вторая задача.

[i]Найти остаток[/i]

О т в е т. 220 тонн

Ответ выбран лучшим

∑ (-1)^(n)*a_(n)(x+7)^(n+1)

a_(n)=tg(11/4^n)

Ряд из модулей:

∑ a_(n)(x+7)^(n+1) - степенной ряд

R=lim_(n → ∞ )a_(n)/a_(n+1)=lim_(n → ∞ )tg(11/4^(n))/tg(11/4^(n+1))=[b]4[/b]

( применили следствие из [i]первого замечательного предела[/i]: tgx~x при x → 0)
tg (11/4^n )~(11/4^(n)) при n → ∞

tg (11/4^(n+1) )~(11/4^(n+1)) при n → ∞
(11/4^(n)) : (11/4^(n+1))=[b]4[/b]

Степенной ряд ∑ a_(n)x^(n) имеет радиус сходимости R
т.е сходится в интервале (-R;R)

Cтепенной ряд ∑ a_(n)(x-x_(o))^(n)имеет радиус сходимости R
т.е сходится в интервале (x_(o)-R;x_(o)+R)

В задаче
R= 4
x_(o)=-7

(-7-4; -7+4)=(-11;:-3)- интервал сходимости

Ответ выбран лучшим

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`+x^2*u*v=x^2

u`*v+u(v`+x^2*v)=x^2

Выбираем функцию v так,чтобы
v`+x^2*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`+x^2*v=0 ⇒ dv/dx=-x^2*v⇒ dv/v=-x^2dx ⇒ ∫ dv/v=-∫ x^2dx ⇒ ln|v|=-x^3/3 ⇒ [b]v=e^(-x^3/3)[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*e^(-x^3/3)+0=x^2

u`=x^2*e^(x^3/3)
u`=du/dx

du=x^2*e^(x^3/3)

Интегрируем:

∫ du= ∫ x^2*e^(x^3/3)dx [ [i]замена переменной[/i]: t=x^3/3; dt=(3x^2/3)dx=x^2dx; ∫ e^(t)dt=e^(t)]

[red]u=e^(x^3/3)+C[/red]

u=e^(x^3/3)+C

y=u*v

y=([red]e^(x^3/3)+C[/red])[b](-x^3/3)[/b] о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Подставляем каждую пару в уравнение:
4;5
x=4; y=5
4^2+2*5-6=0 - неверно.
–2;5
x=-2; y=5
(-2)^2+2*5-6=0 - неверно

1, 2,5
x=1; y=2,5
1^2+2*2,5-6=0 - верно

6; -15
x=6; y=-15

6^2+2*(-15)-6=0
36-30-6=0 - верно

О т в е т. 1, 2,5 и 6; -15

[i]Первый сплав[/i]

некоторое количества первого слитка, т. е [b]х кг[/b]

10%=0,1

В первом слитке:
0,1*x кг меди

Второй слиток 10 кг

40%=0,4
во втором слитке
0,4*10 кг= 4 кг меди

[b](0,1х+4) кг меди в первом сплаве[/b]

Процентное содержание меди в первом сплаве:

[red](0,1х+4)*100% /(x+10) [/red]

[i]Второй сплав[/i]

некоторое количества первого слитка, т. е [b]х кг[/b]

10%=0,1

В первом слитке:
0,1*x кг меди

Во втором слитке 2,5 кг

40%=0,4
во втором слитке
0,4*2,5 кг= 1 кг меди

[b](0,1х+1) кг меди во втором сплаве[/b]

Процентное содержание меди во втором сплаве:

[red](0,1х+1)*100% /(x+2,5) [/red]

По условию [b]содержание меди [/b] ( процентное содержание!) в первом сплаве на 10% больше, чем во втором

[red](0,1х+4)*100% /(x+10) [/red] больше [red](0,1х+1)*100% /(x+2,5) [/red] на 10%

Уравнение:

(0,1х+4)*100% /(x+10) -(0,1х+1)*100% /(x+2,5) = 10%

([b]0,1x+4)*10/(x+10)-(0,1x+1)*10/(x+2,5)=1
[/b]

(x+40)/(x+10) -(x+10)/(x+2,5)=1

(x+40)*(x+2,5)-(x+10)^2=(x+2,5)(x+10)

x^2+40x+2,5x+100 - x^2-20x-100=x^2+12,5x+25;

x^2-10x+25=0

[b]x=5
[/b]

Ответ выбран лучшим

Это график y=3sin3x
Амплитуда в три раза больше, т.е если обычный синус находится в полосе от -1 до1, то этот в полосе от -3 до 3

Период обычного синуса T=2π
Это означает, что полная волна синуса расположена на отрезке 2π

Период функции y=sin3x в три раза меньше, т.е равен (2π/3)

На рисунке, та часть синуса, которая выше оси оси Ох расположена на отрезке [0; π/3]

А обычный синус на отрезке [0; π]

Теперь Ваш вопрос, взять часть этого графика на отрезке [π/6;π/3]

До точки х=π/6 - прямая y=0 ( сама ось Ох), после точки x=π/3 - прямая y=0

По определению:

[r]F(x)= ∫ ^(x)_(- ∞ )f(x)dx[/r]

[b]При x ≤ π/6[/b]

F(x)= ∫ ^(x)_(- ∞ )[b]0[/b]dx=0

При [red] π/6 [/red]< x ≤ π/3

F(x)= ∫ ^(x)_([red]π/6[/red] )[b]3sin3x[/b]dx=(-cos3x)|^(x)_(π/6)=

=-cos3x+cos(3*π/6)=-cos3x+cos(π/2)=-cos3x+0=-cos3x

[green]При x > π/3[/green]

F(x)= ∫ ^(π/3)_(π/6)3sin3x=(-cos3x)|^(π/3)_(π/6)=-cos(3*π/3)+cos(3*π/6)=

=-cosπ+0=-(-1)=1

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(Ох)=π ∫ ^(1)_(0)(-3x^3)^2dx= π∫ ^(1)_(0)(9x^4)dx=

=π*9*(x^5/5)|^(1)_(0)=[b](9/5)*π[/b]

Формулы приведения и формулы тригонометрии.
1)
cos100 ° =cos(90 ° +10 ° )=-sin10 °
cos110 ° =cos(90 ° +20 ° )=-sin20 °

(-sin10 ° )*(-sin20 ° )+cos20 ° *cos10 ° =cos(20 ° -10 ° )=cos10 °

[r]cos α *cos β +sin α *sin β =cos( α - β )[/r]

2)
Формула: [b] сos α *cos β =[/b]
для cos47 ° *cos73 °

sin64 ° =sin(90 ° -26 ° )=cos26 °

2.9

1)
Умножить и разделить на sin β

Формула синуса двойного угла справа налево:

sin2 α =2*sin α *cos α

[b]2*sin α *cos α=sin2 α [/b]

Тогда в числителе

[b]2[/b]*cos β *sin β *(4*cos2 β *cos4 β )=sin2 β *(2cos2 β *2cos4 β )=

=(2sin2 β *cos2 β )*2cos4 β =sin4 β *(2cos4 β )=sin8 β

V_(Ох)=π ∫ ^(3)_(0)(x-3)^2dx= π∫ ^(3)_(0)(x^2-6x+9)dx=

=π*([blue]((x^3/3)-6*(x^2/2)+9*x[/blue])|^(3)_(0))=

=π*((3^3/3)-3*(3^2)+9*3)=[b]9π[/b] (прикреплено изображение)

x^2+3x=0
x*(x+3)=0
x=0;x=-3

V_(Ох)=π ∫ ^(0)_(-3)(x^2+3x)^2dx= π∫ ^(0)_(-3)(x^4+6x^3+9x^2)dx=

=π*([blue](x^5/5)+6*(x^4/4)+9*(x^3/3)|^(-3)_(0)[/blue])=

считайте... (прикреплено изображение)

y`=dy/dx

dy=dx/(1-2x)

∫ dy= ∫ dx/(1-2x)

[b]y=-(1/2)ln|1-2x|+C[/b] -общее решение

1=-(1/2)ln1+C

C=1
[b]y=-(1/2)ln|1-2x|+1[/b] - частное решение

|-100|=100
5,4:3=1,8

100+1,8=101,8

АС^2=AD^2+DC^2=6^2+5^2=61

СС^2_(1)=AC^2_(1)-AC^2=sqrt(65)^2-61=4

СС_(1)=2

S=2*ab+2*ac+2*bc=2*(6*5+6*2+5*2)=104

Ответ выбран лучшим

8

4 треугольника в вершинах и 4 шестиугольника

Ответ выбран лучшим

AA_(1) ⊥ пл АВСD ⇒ AA_(1) ⊥ AK
KK_(1)||AA_(1) ⇒ KK_(1) ⊥ AK

Аналогично,
AA_(1) ⊥ пл А_(1)В_(1)С_(1)D_(1) ⇒ AA_(1) ⊥ A_(1)K_(1)
KK_(1)||AA_(1) ⇒ KK_(1) ⊥ A_(1)K_(1)

ВК:КС=1:2 ⇒ ВС разделена на три равные части

ВК содержит одну часть, т.е ВК=а/3

По теореме Пифагора
АК^2=AB^2+BK^2=a^2+(a/3)^2=10a^2/9

AK=a*sqrt(10)/3

S_(сечения)=АК*АА_(1)=(a*sqrt(10)/3)*3a=a^2*sqrt(10) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[i]Подмодульные [/i]выражение обращаются в ноль в точках:

x=1 и х=3

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
Раскрываем модули на этих промежутках:

1) x ≤[b] 1[/b]
|x-1|=-x+1
|2x-6=-2x+6
Неравенство принимает вид:
-x+1-2x+6<5
-3x<-2 - верно
Значит x >2/3

решение (2/3;[b]1[/b]]

2) 1 < x ≤ 3
x-1-2x+6<5
-x<0 ⇒ x>0

решением неравенства является (1;3]

3) x > 3
х-1+2х-6 <5

3x<12

x<4

Решение (3;4)

Объединяем ответы трех случаев:

(2/3;1]U(1;3]U(3;4)=[b](2/3;4)
[/b]

Второй способ [i]Графическое решение[/i] (прикреплено изображение)

n=1
a_(1+1)=a_(1)+6=5+6=11 - это a_(2)

Значит

[green]d[/green]=a_(2)-a_(1)=11-5=[green]6[/green]

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

[b]a_(n)=a_(1)+d*(n-1)[/b]

n=20

a_(20)=[red]a_(1)[/red]+[green]d[/green]*19=[red]5[/red]+[green]6[/green]*19=[b]119[/b]

KD-средняя линия Δ АВМ
KD=MB/2=a

Аналогично,
КЕ=а
DE-средняя линия Δ АВC
DE=BC/2=[b]a/2[/b]

P=a+a+(a/2)=[b]5a/2[/b]

Δ KDF - равнобедренный

DF=FE=DF/2=a/4

KF^2=KD^2-DF^2=a^2-([b]a/4[/b])^2=15a^2/4

KF=a*sqrt(15)/2

S_( Δ DKE)=(1/2)DE*KF=(1/2)(a/2)*(asqrt(15)/2)=(a^2sqrt(15))/8

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Рассматриваем область как область горизонтального вида
y в полосе от 0 до 4

Уравнения переписываем в виде x= ..; x=..

Cм на рис..

= ∫ ^(4)_(0)dy ∫ ^(sqrt(y))_(y/2)f(x;y)dx

2)
x^2+y^2=1 ⇒ r^2cos^2 φ +r^2sin^2 φ =1 ⇒ r^2=1 ⇒ r=1
Линия входа в область

Линия выхода красная кардиоида r=2+cos φ
∫ ^(2π)_(0)d φ ∫ ^(2+cos φ )_(1)f(rcos φ ; rsin φ )rdr

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=1
a_(1+1)=a_(1)+8=10+8=18 - это a_(2)

Значит

d=a_(2)-a_(1)=8

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

[b]a_(n)=a_(1)+d*(n-1)[/b]

n=12

a_(12)=a_(1)+d*11=10+8*11=[b]98[/b]

S_(пов. шара)=4π*R^2 ⇒ R^2=S/4π=[b]23*E/4[/b]

R=sqrt(23E/4)

V_(шара)=(4/3)πR^3=(4/3)*π*(sqrt(23E/4))^3=ответ 1)

Ответ выбран лучшим

Шар вписан в конус ⇒ в осевое сечение конуса, вписана окружность

Осевое сечение - равнобедренный треугольник,
боковые стороны 9, высота, 7,2
Найдем AO_(1)

АО^2_(1)=9^2-7,2^2=(9-7,2)*(9+7,2)=1.8*16.2

AO_(1)=5,4

AB=10,8

P=9+9+10,8=28,8

p=P/2=14,4

S_( Δ PAB)=(1/2)AB*PO_(1)=(1/2)*10,8*7,2

[b]r_(шара)=S_(Δ PAB)/p[/b]=(5,4*7,2)/14,4=5,4/2=[b]2,7[/b]

S_(пов. шара)=4πr^2=4π*(2,7)^2=[b]29,16π[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В цилиндре: sin10 ° =BC/AC

BC=48

AC=48/sin10 °

В шаре:
AC=2R

R=24/sin10 °

V_(шара)=(4/3)*πR^3=(4/3)*π*(24/sin10 ° )^3=([b]18432[/b])*π/sin^310 °

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
7x-6=x^2

x^2-7x+6=0

x_(1)=1; x_(2)=6

Оба корня удовлетворяют уравнению

О т в е т. 1;6

Ответ выбран лучшим

Площадь поверхности шарового сегмента вычисляется по формуле S=2⋅π⋅R⋅h ,
R — радиус шара,
h — высота шарового сегмента.

По условию h_(1):h_(2)=13:14

S_(1):S_(2)=2⋅π⋅R⋅h_(1)/(2⋅π⋅R⋅h_(2))=13/14

О т в е т. 3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

нет.

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=6x^2-(1/2)*4x^3

y`=0

6x^2-2x^3=0

2x^2(3-x)=0

x=0; x=3

Знак производной

__+_ (0) __+__ (3) _-__

x=3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y`>0 функция[i] возрастает,[/i] т. е при x ∈ (- ∞ ;3)
y`<0 функция[i] убывает,[/i] т. е при x ∈ (3;+ ∞ )

y``=12x-6x^2

y``>0 при x ∈ (0;2) - функция выпукла вверх

y`` <0 при x ∈ (- ∞ ;0) и при х ∈ (2;+ ∞ ) - функция выпукла вниз
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
OB ⊥ AB
∠B = 90°.

ΔАОВ - прямоугольный, с углом в 30 °
∠AOB = 30°.

AB=AO/2 =1,6 см - катет против угла в 30 градусов равен[b] половине[/b] гипотенузы.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Секущая плоскость пересекает верхнее основание призмы по прямой B_(1)D_(1)

А нижнее по параллельной ей прямой, проходящей через точку F

Проводим BD || B_(1)D_(1)

и проводим прямую через точку F || BD

Эта прямая - "[b]след секущей плоскости[/b]".

Продолжаем DE до пересечения с прямой в точке K

Соединяем точки K и D_(1) получаем точку Q на ребре ЕЕ_(1)

Соединяем Q c F

Аналогично получаем точку P на ребре АА_(1)

Cечение - [i]пятиугольник[/i] [red]FPB_(1)D_(1)Q[/red]

B_(1)D_(1)=BD=a*sqrt(3)=2sqrt(3)*sqrt(3)=[b]6[/b]

Из подобия QEK и DD_(1)K

QE:DD_(1)=a/2/(3a/2)=1/3

QE=(1/3)DD_(1)=[b]1[/b]

E_(1)Q=2
D_(1)Q^2=2^2+(2sqrt(3))^2=4+12=16
D_(1)Q=4

FQ^2=1^2+(2sqrt(3))^2=13

S _ (пятиуг) = 6*4+(1/2)*6*2=24+6=[b]30[/b]

( см. рис)

(прикреплено изображение)

[i]Геометрический смысл определенного интеграла[/i] от неотрицательной функции на [a;b] - это площадь криволинейной трапеции

[i]Формула Hьютона -Лейбница[/i] - формула для вычисления определенного интеграла

∫ ^(b)_(a)f(x)dx=F(b)-F(a)= F(x)|^(b)_(a)

Справа первообразная, вычислена в точке b и в точке а

Поэтому если есть первообразная, то площадь равна приращению первообразных, т. е разности

F(b)-F(a)

b=5
a=1

Значит, считаем

F(5)=-(1/2)*5^3+(9/2)*5^2-(15/2)*5-1
F(2)=-(1/2)*1^3+(9/2)*1^2-(15/2)*1-1

S=(-125/2)+(225/2)-(75/2)[b]-1[/b] +(1/2)-(9/2)+(15/2)[b]+1[/b]=

=50-34=[b]16[/b]

Ответ выбран лучшим

log_(2)(x+14)*(x+2)=6

2^(6)=(x+14)(x+2)

64=x^2+14x+2x+28;

x^2+16x-36=0

D=256+144=400

x_(1)=-18; x_(2)=2

При x=-18 log_(2)(x+2) не существует
Это посторонний корень

При х=2

log_(2)(2+14)+log_(2)(2+2)=6 - верно, так как 4+2=6

О т в е т. [b]2[/b]

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат

8x-7=(x-2)^2

8x-7=x^2-4x+4

x^2-12x+11=0

x_(1)=1; x_(2)=11

Проверка
при x=1

sqrt(8*1-7)=1-2 - равенство неверно, так как по определению арифметический корень есть число [b]неотрицательное[/b]

при x=11

sqrt(8*11-7)=11-2 - равенство верно, sqrt(81)=9

О т в е т. 11

Ответ выбран лучшим

y`=85-83cosx

y`>0 так как

-1 ≤ cosx ≤ 1

- 83 ≤ 83 cosx ≤ 83 ⇒ умножаем на -1 и меняем знак:

83 ≥ -83cosx ≥ -83,

запишем в привычном виде

- 83 ≤ -83 cosx ≤ 83

Прибавим 85:

[b]2[/b]≤ 85-83cosx ≤ 168

y` ≥ 2>0

Производная[i] положительна[/i], функция[i] возрастает[/i], значит наибольшее значение в правом конце отрезка, в точке х=0

y(0)=55

О т в е т. 55

Ответ выбран лучшим

3^(x)=3^(4) ⇒ x=4

log_(4)x=1 ⇒ x=4

Уравнение 3^(x)=3^(4)
Равносильно
уравнению log_(4)x=1

Ответ выбран лучшим

365:4=91,25 < 100

Значит надо купить 4 упаковки по 25 пакетиков.

Ответ выбран лучшим

[m]y`=\frac{x`\cdot (x^2+324)-x\cdot (x^2+324)`}{(x^2+324)^2}[/m]

[m]y`=\frac{x^2+324-x\cdot (2x)}{(x^2+324)^2}[/m]

[m]y`=-\frac{-x^2+324}{(x^2+324)^2}[/m]

[m]y`=\frac{x^2-324}{(x^2+324)^2}[/m]

y`=0

x^2-324=0

x= ± 18

Знак производной

_+__ (-18) __-__ (18) _+___

x=18- точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

{2y−15x=3,
{5x−y=−1 ⇒ выражаем y=5x+1 и подставляем в первое

{-2*(5x+1)-15x=3 ⇒ -10x-2-15x=3 ⇒ -25x=5 ⇒ x=[m]-\frac{1}{5}[/m]
{y=5x+1 подставляем x=[m]-\frac{1}{5}[/m] ⇒ y=0

{4x=−8, ⇒ [b]x=-2[/b]
{2y−x=6 подставляем [b]x=-2[/b] ⇒ 2*(-2)-у=6; -4-y=6; -y=-6+4; -y=-2

y=2

(-2;2)

(a+1,6)–(a+2,4) =a+1,6−a-2,4=-0,8

–(3,4–x)+(–x+1,6)=-3,4+x-x+1,6=-1,8

[r]y=f(x_(o))+ f `(x_(o))(x-x_o) -уравнение касательной[/r]

f `(x)=(x^2-x-1)`=2x-1

[red]в точке x_(o)=- 2 [/red]

f (-2)=(-2)^2-(-2)-1=4+2-1=5

f `(-2)=2*(-2)-1=-5

y=5+(-5(*(x-(-2))

[b]y=-5x-5[/b]

Ответ выбран лучшим

[red]1.[/red]
Находим[i] точки пересечения [/i]
f(x)=x^3-x^4 [i]с осью [/i]Ох

x^3-x^4=0

x^3*(1-x)=0

x=0; x=1

[red]2.[/red]

Cоставим [b]два уравнения [/b]касательной

в точке x_(o)=0 и в точке x_(o)=1

[r]y=f(x_(o))+ f `(x_(o))(x-x_o) -уравнение касательной[/r]

f`(x)=3x^2-4x^3

[red]в точке x_(o)=0 [/red]

f (0)=0

f`(0)=0

[b]y=0
[/b]

[red]в точке x_(o)=1 [/red]

f `(1)=3*1-4*1=-1

f(1)=0

y=0 -1*(x-1)

[b]y=-x+1[/b]

ЕС:АЕ=1,5 ⇒ЕС:АЕ=[m]\frac{3}{2}[/m]

АС разделена на 5 частей,
ЕС содержит три части, АЕ содержит две части

CD:CB = 0.6 ⇒ CD:CB =[m]\frac{3}{5}[/m]

СВ разделена на 5 частей,
СD содержит три части, DB содержит две части

Треугольники ACB и ECD подобны, в них угол С - общий, а стороны заключающие этот угол пропорциональны.

∠ CED = ∠ CAB равны.

значит их разность равна 0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ:[/red]
{x>0
{log_(2)x-5 ≠ 0 ⇒ log_(2)x ≠ 5 ⇒ x ≠ 2^5; x ≠ 32
{log^2_(2)x-log_(2)(32x^5)+5 ≠ 0 ⇒ log^2_(2)x-log_(2)32-log_(5)x^5+5 ≠ 0 ⇒ log^2_(2)x-5-5log_(2)x+5 ≠ 0 ⇒ log_(2)x*(log_(2)x-5) ≠ 0 ⇒
log_(5)x ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

[red]x ∈ (0;1)U(1;32)U(32;+ ∞ )[/red]

[i]Замена переменной:[/i]
log_(2)x=t

[m]1+\frac{10}{t-5}+\frac{16}{t^2-5t} ≥ 0[/m]

упрощаем, решаем методом интервалов:

[m]\frac{t^2-5t+10t+16}{t^2-5t} ≥ 0[/m]

[m]\frac{t^2+5t+16}{t^2-5t} ≥ 0[/m]

t^2+5t+16 ≥ 0 при любом t, так как D=25-4*16 <0

[m]t^2-5t ≥ 0[/m]

_+_ (0) ___ (5) __+_

log_(2)x<0 или log_(2)x>5

x<1 или x>32

С учетом ОДЗ получаем ответ

[b](0;1) U(32;+ ∞ )[/b]

8x=10+y
x=[m]\frac{10+y}{8}[/m]

Ответ выбран лучшим

{2a+b=7 ⇒ b=7-2a
{3a−5b=4 ⇒ 3a-5*(7-2a)=4; ⇒ 3a-35+10a=4 ⇒ 13a=39; [b]a=3[/b]

[b]b[/b]=7-2a=7-2*3[b]=1[/b]

Ответ выбран лучшим

Решить систему
{ y = 5x – 3
{y = –8x + 10.

Приравнять правые части
5x – 3 = –8x + 10
5x+8x=10+3
13x=13
x=1

y=5x-3=581-3=2

(1:2)

Ответ выбран лучшим

36*5=180

Первое число увеличила в сто раз

0,36*100=36

Второе наоборот уменьшила в сто раз
500:100=5

Ответ выбран лучшим

Найдем три "хорошие точки" графика,их координаты целые числа

Подставим в уравнение

(0;4)
4=0+8+c

c=4

(2;4)

4=a*2^2+b*2+4 ⇒ [b]4a+2b=0[/b]
(
1;6)

6=a*1^2+b*1+4 ⇒[b] a+b=2[/b] умножаем на (-2): [b]-2a-2b=-4[/b]

[b]4a+2b=0[/b]
[b]-2a-2b=-4[/b]

Cкладываем:

2a=-4

a=-2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{x^2–4x-a}{15x^2-8ax+a^2}=0[/m]

{x^2–4x-a=0 ⇒ D=16-4*(-a)=16+4a
{15x^2-8ax+a^2 ≠ 0 ⇒ D=(-8a)^2-4*15*a^2=4a^2

{D>0 ( уравнение имеет два корня x_(1,2)=2 ± sqrt(4+a)
{ x_(3) ≠ a/5; x_(4) ≠ a/3

Из этих условий найдем a

{16+4a>0
{2 ± sqrt(4+a) ≠ a/5; 2 ± sqrt(4+a) ≠ a/3;

[m]\frac{x^2–2x+a^2–4a}{x^2–a}=0[/m]

{x^2-2x+a^2-4a=0 ⇒ D=4-4*(a^2-4a)=4-4a^2+16a=4(4a-a^2-1)
{x^2-a ≠ 0

{D>0 ( уравнение имеет два корня x_(1) и x_(2))
{ x^2_(1)-a ≠ 0; x^2_(2)-a ≠ 0

Из этих условий найдем a

По теореме Виета:
x_(1)+x_(2)=2
x_(1)*x_(2)=a^2-4a

Возводим первое в квадрат

(x_(1)+x_(2))^2=4

x^2_(1)+2*x_(1)*x_(2)+x^2_(2)=4

x^2_(1)+x^2_(2)=4-2x_(1)*x_(2)=4-2*(a^2-4a)=[b]4-2a^2+8a[/b]

x^2_(1) ≠ a; x^2_(2) ≠ a ⇒ x^2_(1)+x^2_(2) ≠ 2a

{4a-a^2-1>0 ⇒ a^2-4a+1 <0 ⇒ 2-sqrt(3)<a<2+sqrt(3)
{4-2a^2+8a ≠ 2a ⇒ a^2-3a-4 ≠ 0 ⇒ a ≠ -1; a ≠ 4

Ответ выбран лучшим

7,7x+15y-12x-7,4y=[b]-4,3x+7,6[/b]

Ответ выбран лучшим

ln(x+4)*(2x+3)=ln(1-2x)

(x+4)*(2x+3)=1-2x

2x^2+8x+3x+12-1+2x=0

2x^2+13x+11=0

D=81

x_(1)=-5,5; x_(2)=-1

При x_(1)=-5,5
ln(x+4) не существует.[b] Это посторонний корень
[/b]
При x=-1
ln(-1+4)+ln(2*(-1)+3)=ln(1-2*(-1))- верно

Ответ выбран лучшим

AD-биссектриса угла АКС
По свойству биссектрисы:
[m]\frac{AD}{DK}=\frac{AC}{CK}[/m] ⇒ [m]DK=\frac{AD\cdot CK}{AC}[/m]

CK-биссектриса угла DСB
По свойству биссектрисы:
[m]\frac{DK}{KB}=\frac{DC}{BC}[/m]⇒ [m]DK=\frac{DC\cdot BK}{BC}[/m]

[m]\frac{AD\cdot CK}{AC}=\frac{DC\cdot BK}{BC}[/m]

По условию
BC=3AC

[m]\frac{AD\cdot CK}{AC}=\frac{DC\cdot BK}{3\cdot AC}[/m]

[m]3\cdot AD\cdot CK=DC\cdot BK[/m]

Находим точку пересечения прямой y=x/2 и прямой y=3-x

x/2=3-x

x=6-2x
3x=6

x=2

y=1

Если рассматривать область горизонтального вида,

помещаем ее в полосу, параллельно оси ох, то
D: 0 ≤ y≤ 1
y=x/2 ⇒ x=2y - линия [b]входа[/b] в область
x+y=3 ⇒ x=3-y- линия [b]выхода [/b]из области
x/2 ≤ y ≤ 3-x

∫ ∫ f(x;y)dxdy= ∫ ^(1)_(0)( [b]∫ ^(3-y)_(2y)f(x;y)dx[/b]) dy

Если рассматривать область вертикального вида, то

получим две полосы, параллельно оси оу,
D_(1): 0 ≤ x≤ 2
0 ≤ y ≤ x/2

и

D_(2): 2 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 3-x

∫ ∫ f(x;y)dxdy= ∫ ^(2)_(0)( [b]∫ ^(x/2)_(0)f(x;y)dy[/b]) dx+ ∫ ^(3)_(2)( [b]∫ ^(3-x)_(0)f(x;y)dy[/b]) dx (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Делим на (x^2+1)

[m]y`+\frac{4x}{x^2+1}y=\frac{3}{x^2+1}[/m]

Это линейное первого порядка.

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:

[m]u`\cdot v+u\cdot v`+\frac{4x}{x^2+1}u\cdot v=\frac{3}{x^2+1}[/m]

Группируем

[m]u`\cdot v+u\cdot( v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)=\frac{3}{x^2+1}[/m]

Выбираем функцию v так,чтобы

[m]( v`+\frac{4x}{x^2+1}\cdot v)=0[/m]

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

[m]\frac{dv}{v}=-\frac{4x}{x^2+1}dx[/m]

[m]\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{4x}{x^2+1}dx[/m]

[m] ln|v|=-2ln|x^2+1|[/m] ⇒ [m]v=\frac{1}{(x^2+1)^2}[/m]

Тогда данное уравнение принимает вид

[m]u`\frac{1}{(x^2+1)^2}+u*0=\frac{3}{x^2+1}[/m]

[m]u=3(x^2+1)[/m]

[m]u=x^3+3x+C[/m]

[m]y=(x^3+3x+C)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]- общее решение

Чтобы найти частное, подставляем данные:

x=0; y=0

[m]0=C\cdot 1[/m]

[m]y=(x^3+3x)\cdot\frac{1}{(x^2+1)^2} [/m]- частное решение

Ответ выбран лучшим

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(2/x)*u*v=2x^3

u`*v+u(v`-(2/x)*v)=2x^3

Выбираем функцию v так,чтобы
v`-(2/x)*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`-(2/x)*v=0 ⇒ dv/v=2dx/x ⇒ ∫ dv/v=2 ∫ dx/x ⇒ ln|v|=2ln|x| ⇒ [b]v=x^2[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*v+u*0=2x^3

u`*x^2=2x^3

u`=2x

u=x^2+C

y=u*v=(x^2+C)*x^2

[b]y=x^4+Cx^2[/b] о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Это уравнение не является однородным.

Однородное - правая часть функция от дроби (y/x) или (x/y)

Если справа почленно поделить на х

получим

y`=(y/x)+x

y`-(1/x)*y=x

Это линейное первого порядка.

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(1/x)*u*v=x

Сгруппируем:

u`*v+u(v`-(1/x)*v)=2x^3

Выбираем функцию v так,чтобы
v`-(1/x)*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`-(1/x)*v=0 ⇒ dv/v=1dx/x ⇒ ∫ dv/v=∫ dx/x ⇒ ln|v|=ln|x| ⇒ [b]v=x[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*v+u*0=2x^3

u`*x=x

u`=1

u=x+C

y=u*v=(x+C)*x

[b]y=x^2+Cx[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
Замена:
y/x=u ⇒ y=u*x

y`=u`*x+u*x` ( x - независимая переменная, поэтому x`=1)

[b]y`=u`*x+u[/b]

Подставляем в уравнение:

u`*x+u=u-1

u`*x=-1

u`=-1/x

u=-ln|x|+C

y=u*x

[b]y=(-lnx+C)*x[/b]

2)

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`+x^2*u*v=[b]x^2[/b]

u`*v+u(v`+x^2*v)=[b]x^2[/b]

Выбираем функцию v так,чтобы
v`+x^2*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`+x^2*v=0 ⇒ dv/dx=-x^2*v⇒ dv/v=-x^2dx ⇒ ∫ dv/v=-∫ x^2dx ⇒ ln|v|=-x^3/3 ⇒ [b]v=e^(-x^3/3)[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*e^(-x^3/3)+0=[b]x^2[/b]

u`=x^2*e^(x^3/3)
u`=du/dx

du=x^2*e^(x^3/3)

∫ du= ∫ x^2*e^(x^3/3)dx [ [i]замена переменной[/i]: t=x^3/3; dt=(3x^2/3)dx=x^2dx; ∫ e^(t)dt=e^(t)]

[red]u=e^(x^3/3)+C[/red]

y=u*v=(e^(x^3/3)+C)(-x^3/3)

y=([red]e^(x^3/3)+C[/red])[b](-x^3/3)] [/b]о т в е т.

y`=(y/x)+x

y`-(1/x)*y=x

Это линейное первого порядка.

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(1/x)*u*v=x

Сгруппируем:

u`*v+u(v`-(1/x)*v)=2x^3

Выбираем функцию v так,чтобы
v`-(1/x)*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`-(1/x)*v=0 ⇒ dv/v=1dx/x ⇒ ∫ dv/v=∫ dx/x ⇒ ln|v|=ln|x| ⇒ [b]v=x[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*v+u*0=2x^3

u`*x=x

u`=1

u=x+C

y=u*v=(x+C)*x

[b]y=x^2+Cx[/b]

Ответ выбран лучшим

Нет. Первое уравнение имеет корни 4 и (-4)
Второе имеет корни 4 и 1
Равносильны, значит одинаковые корни

Ответ выбран лучшим

Δ АВС- равнобедренный ( АВ=ВС), значит углы при основании равны
∠ САВ= ∠ АСВ=30 °

ВН - высота равнобедренного треугольника АВС, проведенная к основанию

высота равнобедренного треугольника АВС, проведенная к основанию, является и медианой и биссектрисой

[b]СН=АН=АВ/2[/b]

Обозначим BH=[b]x[/b]

В прямоугольном АВН треугольнике катет ВН расположен против угла в 30 градусов и равен половине гипотенузы АВ,

значит АВ=[b]2х[/b]

В прямоугольном АСD треугольнике катет CD расположен против угла в 30 градусов и равен половине гипотенузы AC,

[b]CD=AB/2=CH[/b]

Значит, прямоугольные Δ СВН и ΔCBD равны по гипотенузе (СB- общая) и катету (СН=СD=AB/2)

Из равенства треугольников:

DB=BH=[b]x[/b]

Так как[b] AD=[/b]АВ+ВD=2x+x=[b]3x[/b]

По условию

AD=20

3x=20
x=20/3=6 целых 2/3

О т в е т. BH=6 целых 2/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a*(a^3-3a^2-2)=0
a*(a^3+1-3a-3)=0

a*((a+1)*(a^2-a+1)-3*(a+1))=0

a*((a+1)*(a^2-a+1-3))=0

a*(a+1)*(a^2-a-2)=0

a*(a+1)*(a+1)*(a-2)=0

a*(a+1)^2*(a-2)=0

[b]a=0; a=-1; a=2[/b]

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Это однородное уравнение вида:
av^2+bu*v+cu^2=0

сводящееся к квадратному:
at^2+bt+c=0

u=4x-x^2

v=x

Делим уравнение на v^2=x^2

5- 6*[m]\frac{4x-x^2}{x}[/m]+([m]\frac{4x-x^2}{x}[/m])^2=0

Замена переменной:
t=[m]\frac{4x-x^2}{x}[/m]

Получаем

t^2-6t+5=0

D=(-6)^2-4*5=16

t_(1)=(6-4)/2=1 или t_(2)=(6+4)/2=5

[i]Обратный переход:[/i]

[m]\frac{4x-x^2}{x}[/m]=1 или [m]\frac{4x-x^2}{x}[/m]=5

[b]4x-x^2=x [/b] или [b]4x-x^2=5x[/b]

x^2-3x=0 или x^2-+x=0

x*(x-3)=0 или x*(x+1)=0

x=0; x=3 или х=0; х=-1

О т в е т. [b]-1; 0; 3[/b]

Ответ выбран лучшим

{2a-x^2+3x=0
{x-a^2 ≠ 0 ⇒ x ≠ a^2

x^2-3x-2a=0

D=9-4*(-2a)=9+8a

D>0 ⇒

9+8a > 0 ⇒ 8a > -9

a> -9/8

x_(1)=3-sqrt(9+8a)/2; x_(2)=3+sqrt(9+8a)/2;

x_(1) ≠ a^2 и x_(2) ≠ a^2

3-sqrt(9+8a)/2≠ a^2 и 3+sqrt(9+8a)/2≠ a^2

3-sqrt(9+8a)/2≠ a^2

3-2a^2 ≠ sqrt(9+8a)

9-12a^2+4a^4 ≠ 9+8a

4a^4-12a^2-8a ≠ 0

4a(a^3-3a-2) ≠ 0

a*(a^3+1-3a-3) ≠ 0

a*(a+1)*(a^2-a+1-3) ≠ 0

a*(a+1)^2*(a-2) ≠ 0

a ≠ 0; a ≠ -1; a ≠ 2

3+sqrt(9+8a)/2≠ a^2

2a^2-3 ≠ sqrt(9+8a)

4a^4-12a^2+9 ≠ 9+8a

то же самое уравнение:

О т в е т.[b] ((-9/8);-1)U(-1;0)U(0;2)U(2;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть первоначальный радиус цилиндра r. высота h

V=πr^2*h

V=720
r=[red]6[/red]

720=π*[red]6[/red]^2*h ⇒

[b]20=π*h[/b]

S_(бок. пов.1)=2π*r*h=(2*r)*([b]πh[/b])=(2*[red]6[/red])*([b]20[/b])=[blue]240[/blue]

Высоту увеличили и она стала равной[green] (h+5)[/green]

S_(бок. пов.2)=2π*r*(h+5)=(2*r)*(π*[green](h+5)[/green])=12*(π*h+π*5)=

=12*(πh)+12*(π*5)=

=[blue]240[/blue] +60*π

Боковая поверхность увеличилась на 60*π

S_(бок. пов.2)/S_(бок. пов.21)=(240+60π)240=(4+π)/4 раз

Δ АВК - прямоугольный
sin ∠ BAK=[m]\frac{BK}{AB}[/m]

[b]BK[/b]=AB*sin45 °=4*sqrt(2)/2=[b]2sqrt(2)[/b]

Δ ВСM - прямоугольный
sin ∠ BCM=[m]\frac{BM}{BC}[/m]

[b]BM[/b]=BC*sin45 °=5*sqrt(2)/2=[b]2,5sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть [m]AC=x[/m].
Из Δ АBC

[m]tg \alpha =\frac{BC}{AC}[/m]

[m]BC=AC\cdot tg α =x\cdot tg α [/m]

По теореме Пифагора
[m]AC^2+BC^2=AB^2[/m]

[m]x^2+(x\cdot tg \alpha)^2=k^2[/m]

[m]x^2=\frac{k^2}{1+tg^2\alpha}[/m]

[m]x=\sqrt{\frac{k^2}{1+tg^2\alpha}}[/m]

[m]x=\frac{k}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}[/m]

[m]AC=\frac{k}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}[/m]

[m]BC=\frac{k\cdot tg\alpha }{\sqrt{1+tg^2\alpha}}[/m]

Из Δ BCD

[m]сos\alpha =\frac{AD}{AC}[/m] ⇒[m] AD=AC\cdot cos α =x\cdot cos α[/m]

[m] AD=\frac{k\cdot cos\alpha}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7sin^2β + 9cos^2β = 2*[b]1[/b]

Так как
[b]1[/b]=sin^2 β +cos^2 β

7sin^2β + 9cos^2β = 2*(sin^2 β +cos^2 β )

5sin^2 β =-7cos^2 β ⇒ 5tg^2 β =-7 ⇒ [b]tg^2 β =-7/5[/b]

Ответ выбран лучшим

-1,8у-3,6у=46,8+18

-5,4y=64,8

y=64,8:(-5,4)

y=-12

{3x+4y=−8,
{2x−3y=1.

Умножаем первое на (2), второе на (-3)
{6x+8y=-16
{-6x+9y=-3

Такой системы нет в ответах.

Подходит предпоследняя, но там (-9y)

Или у Вас опечатка...
Во втором уравнении
2x+3у=1

[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{2x^5+x^4}{x^6-1}=[/m]

Неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим числитель и знаменатель на x^6:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{2x^5+x^4}{x^6}}{\frac{x^6-1}{x^6}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^6 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^6:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{2x^5}{x^6}+\frac{x^4}{x^6}}{\frac{x^6}{x^6}-\frac{1}{x^6}}=\frac{0+0}{1-0}=0[/m]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=(x^2+12x+36)*(x-4)+3
y=x^3+12x^2+36x-4x^2-48x-144+3

y=x^3+8x^2-12x-141

y`=3x^2+16x-12

y`=0

3x^2+16x-12=0

D=(16)^2-4*2*(12)=256+144=400

x_(1)=-6; x_(2)=2/3

Знак производной: ( это знак квадратичной функции y`=3x^2+16x-12, которая имеет знак + справа от наибольшего корня и слева от наименьшего)

__+__ (-6) __-__ (2/3) __+__

-6 ∈ [-11;-1]

Это единственная точка экстремума, значит в ней и наибольшее значение.

y(-6)=(-6+6)^2*(-6-4)+3=[b]3[/b]

можно и нужно производную считать [b]как производную произведения:[/b]

y`=2*(x+6)*(x-4)+(x+6)^2=(x+6)*(2x-8+x+6)=(x+6)*(3x-2)

тогда вычисления получаются [b]рациональнее.[/b]

Ответ выбран лучшим

(4/15)у+(3/20)у=6,3-2,8

Приводим дроби к общему знаменателю 60. Для этого первую дробь умножаем на 4 ( и числитель и знаменатель)
Вторую на (3)

(16/60)у+(9/60)y=3,5

(25/60)y=3,5

(5/12)y=3,5

y=3,5 : (5/12)

y=(35/10)*(12/5)

y=84/10

y=8,4

Область определения (-5;+ ∞ )

[m]y`=\frac{1}{x+5}-4[/m]

[m]y`=\frac{1-4x-20}{x+5}[/m]

[m]y`=\frac{-4x-19}{x+5}[/m]

y`=0

-4x-19=0

x=-(19/4)

x=-4,75

точка максимума, производная меняет знак с + на -

(-5) ____ (-4,75) ____

y`(0)=-19/5 < 0

справа от (-4,75) ставим "-"

Ответ выбран лучшим

1)
Формула

[m]S_{n}=\frac{с_{1}\cdot (q^{n}-1)}{q-1}[/m]

[m]-99=\frac{(-9)\cdot ((-2)^{n}-1)}{-2-1}[/m]

[m]-33=(-2)^{n}-1[/m]

[m]-32=(-2)^{n}[/m]

[m]n=5[/m]

2)
q=-10/5=-2

5;-10;20;-40;80

[m]S_{5}=5+(-10)+20+(-40)+(80)=55[/m]

или по формуле:

[m]S_{n}=\frac{с_{1}\cdot (q^{n}-1)}{q-1}[/m]

[m]S_{5}=\frac{5\cdot ((-2)^{5}-1)}{-2-1}[/m]

[m]S_{5}=\frac{5\cdot (-33)}{-3}[/m]

[m]S_{5}=5\cdot 11=55[/m]

3) так же

4)

[m]b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}[/m]
[m]b_{2}=b_{1}\cdot q^{2-1}=b_{1}\cdot q[/m]
[m]b_{3}=b_{1}\cdot q^{3-1}=b_{1}\cdot q^{2}[/m]

Система уравнений с двумя неизвестными:
[m]b_{1}[/m] и [m]q[/m]

{[m]b_{1}+b_{1}\cdot q=108[/m]
{[m]b_{1}\cdot q+b_{1}\cdot q^{2}=135[/m] ⇒ [m]q\cdot (b_{1}+b_{1}\cdot q)=135[/m] ⇒ [m]q\cdot 108=135[/m] ⇒[m] q=\frac{135}{108}[/m]

1)
tg32^(o)=4/AC ⇒ АС=4/tg32^(o)
о т в е т. 2)

2)
sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-(5/13)^2=144/169;

cos α = ± 12/13

tg α =sin α /cos α = ± (5/12)

О т в е т. 1)

3)
Высота СD из вершины С на сторону КР является и медианой и биссектрисой.
В прямоугольном треугольнике ΔКСD
КС=12
∠ KCD=35 °

KD=KC*sin35 ° =12*sin35 °
KP=2KD=2*12*sin35 °

О т в е т. 3

4)

sin60 ° =sqrt(3)/2

sin^260 ° =3/4

tg45 ° =1

(3/4)-3=-9/4=-2.25

Остальные задачи отдельными вопросами, каждую задачу в одном вопросе.
Нужно рисовать рисунок.

Текст задачи сейчас уже не перед глазами.
Приходится возвращаться назад. А это лишняя трата времени для решающего....

О т в е т. 1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(a-b)*(a+b)=a^2-b^2

а) (√20–2)(√20+2)= (√20)^2–2^2=20-4=[b]16[/b]
б) (√11–√6)(√11+ √6)=(√11)^2–(√6)^2=11-6=[b]5[/b]

[i]Логарифмируем:[/i]

lny=ln5^[b](tgx[/b])

По свойству логарифма степени, показатель - множитель перед логарифмом:

lny=[b]tgx[/b]*ln5

Дифференцируем:

(lny)`=(tgx*ln5)`

y- зависимая переменная, считаем производную lny по правилу вычисления производной сложной функции:

y`/y=ln5/cos^2x

y`=y*(ln5/cos^2x)

[b]y`=5^(tgx)*ln5/cos^2x[/b] - о т в е т.

[i]Второй способ:[/i]

y`=(5^(u))`=5^(u)*ln 5* u`

y`=5^(tgx)*ln5*(tgx)`

[b]y`=5^(tgx)*ln5*(1/cos^2x)[/b]

dy/(y^2-3y+2)=dx/tgx

∫ dy/(y^2-3y+2)= ∫ dx/tgx

выделяем полный квадрат,

y^2-3y+2=( y-1,5)^2-0,25

∫ dy/(( y-1,5)^2-0,5^2)= ∫ cosxdx/sinx

(1/2*(0,5)) * ln |(y-1,5-0,5)/(y-1,5+0,5)||=-ln|sinx|+lnC

ln (y-1,5-0,5)/(y-1,5+0,5)=lnC/sinx

[b](y-2)/(y-1)=C/sinx[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
x*(1 +y^2)dx=-y *(1-x^2)dx

x *dx/(1-x^2)=ydx/(1+y^2)

(-1/2) ∫ 2xdx/(1-x^2)=(1/2) ∫ 2ydx/(1+y^2)

(-1/2) ln|(1-x^2)|+ln C=(1/2) ln|(1+y^2)|

ln|(1-x^2) |^(-1) +2ln C =ln|(1+y^2)|+2ln C

ln|(1-x^2) |^(-1)+ln C^2=ln|(1+y^2)|

⇒ [b]1+y^2=c/(1-x^2)[/b]

2)

dy/(y^2-3y+2)=dx/tgx

∫ dy/(y^2-3y+2)= ∫ dx/tgx

выделяем полный квадрат,

y^2-3y+2=( y-1,5)^2-0,25

∫ dy/(( y-1,5)^2-0,5^2)= ∫ cosxdx/sinx

1/2*(0,5) ln |(y-1,5-0,5)/(y-1,5+0,5)||=-ln|sinx|+lnC

ln (y-1,5-0,5)/(y-1,5+0,5)=lnC/sinx

[b](y-2)/(y-1)=C/sinx[/b]

3)e^(y)dy=e^(x)dx

∫ e^(y)dy= ∫ e^(x)dx

[b]e^(y)=e^(x) + C [/b]

Ответ выбран лучшим

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла

Два условия в этом предложении:

[b]1) хотя бы один из множителей равен 0[/b]

[b] 2) другой не теряет смысла:[/b]

О т в е т.

a)
y`=dy/dx

(1+e^(x))ydy=e^(x)dx - уравнение с разделяющимися переменными

ydy=e^(x)dx/(1+e^(x))

Интегрируем:

y^2/2=ln|e^(x)|+lnC

y^2/2=lnCe^(x)

y^2=2lnCe^(x)

y^2=lnCe^(2x)

[b]Ce^(2x)=e^(y^2)[/b]

б)
уравнение с разделяющимися переменными

dx/(1+x^2)=(y/(1+y^2) - 1/sqrt(1+y^2))dy

arctgx =(1/2)ln|1+y^2|-ln|y+sqrt(1+y^2)|+lnC

[b]arctgx=lnC(1+y^2)^(1/2)/sqrt(1+y^2)
[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Пусть высоты АА_(1); ВВ_(1) и СС_(1)

Δ АBA_(1)- прямоугольный.
∠ АВА_(1)=90 ° ⇒ ∠ ВАА_(1)=90 ° - 51 ° =39 °

Δ АBB_(1)- прямоугольный.
∠ ABВ_(1)=90 ° ⇒ ∠ AВB_(1)=90 ° - 50 ° =40 °

Сумма углов треугольника АОВ равна 180 °

∠ АОВ=180 ° - ∠ АВО- ∠ ВАО= 180 ° -40 ° -39 ° =[b]101 ° [/b]

Уравнения равносильны, если корень одного уравнения является корнем другого и наоборот.

О т в е т. 1)

Ответ выбран лучшим

|vector{a}|=sqrt(x^2_(a)+y^2_(a)+z^2_(a))=sqrt(1^2+(-1)^2+1^2)=sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

y=2*(4x+3)^(1/2)-3*(x^3+x+1)^(-1/2)

y`=2*(1/2)*(4x+3)^(-1/2)*(4x+3)` - 3*(-1/2)*(x^3+x+1)^(-3/2)*(x^3+x+1)`;

y`=4*(4x+3)^(-1/2)+(3/2)*(3x^2+1)*(x^3+x+1)^(-3/2)

y``=4*(-1/2)*(4x+3)^(-3/2)*4 +(3/2)*(3x^2+1)`*(x^3+x+1)^(-3/2)+(3/2)*(3x^2+1)*(-3/2)*(x^3+x+1)^(-5/2)*(x^3+x+1)`

y``=-8*(4x+3)^(-3/2)+9x^2*(x^3+x+1)^(-3/2)+(9/4)(3x^2+1)^2*(x^3+x+1)^(-5/2)

а)

y`=dy/dx

dy=7^(x+y)dx

dy=7^(x)*7^(y)dx - уравнение с разделяющимися переменными

7^(-y)dy=7^(x)dx

Интегрируем:

∫ 7^(-y)dy= ∫ 7^(x)dx

-7^(y)/ln7 =( 7^(x)/ln7)+C

7^(y)+7^(x)=C- о т в е т.

или

y= ∫ 7^(x+y)dx=(7^(x+y)/ln7)+С

б)

1+y`=e^(y)

y`=e^(y)-1

y= ∫ (e^(y)-1)dy

y=e^(y)-y+C- о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Если рассматривать внешний интеграл по переменной х, область интегрирования надо разбить на две области, и получим сумму интегралов:

∫ ∫_(D) 2*ydxdy=2* ∫^(1)_(0)( ∫^(sqrt(x))_(0)ydy)dx+ 2* ∫^(2)_(1)( ∫^(2-x)_(0)ydy)dx=

Наоброт, то

0 ≤ y ≤ 1

и тогда из уравнения y=sqrt(x)получим уравнение линии входа в область [b]x=y^2[/b]; а из уравнения x+y=2
получим уравнение линии выхода из области [b]x=2-y[/b]

y^2 ≤ x ≤ 2-y

∫ ∫_(D) 2*ydxdy=2* ∫ ^(1)_(0)( ∫ ^(2-y)_(y^2)ydx)dy=

=2* ∫ ^(1)_(0)( y*x)| ^(2-y)_(y^2)dy=

=2*∫ ^(1)_(0)((2-y)*y-(y*y^2))dy=

=2*∫ ^(1)_(0)(2y-y^2-y^3)dy=

=это определенный интеграл считайте...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Перепишем каждое неравенство как квадратное относительно x

Первое:
x^2+3a^2+4ax-2a-1 ≥ 0

x^2+4ax+(3a^2-2a-1) ≥ 0

D=(4a)^2-4*(3a^2-2a-1)=16a^2-12a^2+8a+4=4a^2+8a+4=4*(a+1)^2

sqrt(D)=2(a+1)

x_(1)=-2a-(a+1)=-3a-1; x_(2)=-2a+(a+1)=3a+1

Решение первого неравенства:

x ≤-3a-1 или x ≥ 3a+1

Второе:
x^2+a^2+2ax-a ≥ 0

x^2+2ax+(a^2-a) ≥ 0

D=(2a)^2-4*(a^2-a)=4a^2-4a^2+4a=4a

sqrt(D)=2sqrt(a)

x_(3)=-a-sqrt(a); x_(4)=-a+sqrt(a)

Решение второго неравенства:

x ≤-a-sqrt(a) или x ≥ -a+sqrt(a)

каждое решение неравенства x²+3a²+4ax≥2a+1 является решением неравенства x²+a²+(2x–1)a≥0

означает, что

{-a-sqrt(a) < -3a-1
{3a+1> -a+sqrt(a)

Решаем систему, получаем ответ....

Ответ выбран лучшим

Обозначим
u=(x^2-2x-a^2+4a-3)

Уравнение принимает вид:

sqrt(1-u^5)+sqrt(1+u^5)=2

Возводим в квадрат

1-u^5+2*sqrt(1-u^5)*sqrt(1+u^5)+1+u^5=4

2*sqrt(1-u^5)*sqrt(1+u^5)=2

sqrt(1-u^5)*sqrt(1+u^5)=1

Возводим в квадрат:

(1-u^5)(1+u^5)=1

1-u^(10)=1

u^(10)=0 ⇒

u=0

Обратный переход:

x^2-2x-a^2+4a-3=0

Выделяем полный квадрат

(x^2-2x+1)-(a^2-4a+4)=0

(x-1)^2-(a-2)^2=0

(x-1)^2=(a-2)^2

|x-1|=|a-2|

x-1=a-2 или x-1=-a+2

x=a-1 или x=-a+3

Один корень положительный, второй неположительный.

И наоборот. Две системы:

[m]\left\{\begin{matrix} a-1 >0\\-a+3 \leq0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} a-1 \leq 0\\-a+3 >0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} a >1\\-a \leq -3 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} a \leq 0\\-a >-3 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} a >1\\a\geq 3 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} a \leq1\\a < 3 \end{matrix}\right.[/m]

При x^2-2x-a^2+4a-3=0

sqrt(1)+sqrt(1)=0 - верно, значит

x^2-2x-(a^2-4a+3)=0

D=4+4*(a^2-4a+3)=4a^2-16a+16=4*(a^2-4a+4)=4*(a-2)^2

Если D=0, т.е при a=2

уравнение имеет один корень

x=2/2=1>0

О т в е т. a ∈ (- ∞ ; 1] U {2}U[3;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Составляем уравнение прямой ВС, как прямой , проходящей через две точки ( см формулу в приложении)

[m]\frac{x-5}{-2-5}=\frac{y-1}{4-1}[/m]

[m]3(x-5)=-7(y-1)[/m]

[b]3x+7y-22=0[/b]

Применяем формулу нахождения расстояния от точки А до прямой
ВС: 3х+7y-22=0

(cм. приложение 2)

d=[m]\frac{3\cdot 3+7\cdot 7 -22}{\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{36}{\sqrt{58}}[/m]

[i]Второй способ[/i]

Составляем уравнение прямой ВС в виде y=kx+b

Подставляем координаты точек B и C

4=k*(-2)+b
1=k*5+b

Вычитаем из первого уравнения второе
3=-7k
k=-3/7 ⇒ b=1-5*(-3/7)=22/7

y=([b]-3/7[/b])x+(22/7)

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

Значит прямая, перпендикулярная ВС имеет угловой коэффициент
(7/3)

Уравнение таких прямых
y=(7/3)x+b

Чтобы найти b подставляем координаты точки А

7=(7/3)*3+b

b=0

y=(7/3)x - уравнение прямой, перпендикулярной ВС и проходящей через точку А

Находим точку пересечения этой прямой с прямой ВС

{y=-(3/7)x+(22/7)
{y=(7/3)x

x=33/43

y=77/43

Это координаты точки Н - основания перпендикуляра АН на сторону ВС

Находим расстояние АН

AH=sqrt((x_(H)-x_(A))^2+(y_(H)-y_(A))^2)=

считаем самостоятельно.
Ответы должны быть одинаковые (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|x| ≥ 0 по определению ⇒

x=0 - единственное решение неравенства

Ответ выбран лучшим

[m]3\cdot 9^{x^2-2x}-84\cdot 12^{x^2-2x-1}+4\cdot 16^{x^2-2x}=0[/m]

[m]3\cdot 9^{x^2-2x}-84\cdot 12^{x^2-2x}\cdot 12^{-1}+4\cdot 16^{x^2-2x}=0[/m]

[m]3\cdot (3^{2})^{x^2-2x}-84\cdot (3\cdot 4)^{x^2-2x}\cdot 12^{-1}+4\cdot (4^{2})^{x^2-2x}=0[/m]

Делим на [m](4^{2})^{x^2-2x}[/m]

[m]t=(\frac{3}{4})^{x^2-2x}[/m]

получаем квадратное уравнение:

[m]3t^2-7t+4=0[/m]

D=49-48=1

t=(7 ± 1)/6

t=4/3 или t=1

Обратный переход

[m]\frac{3}{4})^{x^2-2x}=\frac{4}{3}[/m] или [m]\frac{3}{4})^{x^2-2x}=1[/m]

x^2-2x=-1 или x^2-2x=0

[b]x=1[/b] или [b]x=0; x=2[/b]

Ответ выбран лучшим

Ответ. 3

[m]3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=3^{\frac{7}{12}}[/m]

[m]\sqrt[12]{3}=3^{\frac{1}{12}}[/m]

[m]3^{\frac{7}{12}} :3^{\frac{1}{12}}=3^{\frac{7}{12}-\frac{1}{12}}
=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}[/m]

[m]\frac{3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[12]{3}}=(\sqrt{3})^2=3[/m]

Ответ выбран лучшим

q=0,12 - вероятность выхода из строя
1=q=1-0,12=0,88 - вероятность исправной работы

n=46
k=36

a)
Найти
P_(46)(36)=?
б) P_(46)(23 ≤ k ≤ 46)

Формула Бернулли
P_(n)(k)=C^(k)_(n)p^(k)q^(n-k) не поможет, вычисления громоздкие.

Значит формула Лапласа

a) локальная формула
б) интегральная формула

см. решение аналогичное решение
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=35976

Ответ выбран лучшим

Уравнение вида
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0

[m]\frac{y}{x^2}dx-(y+\frac{1}{x})dy=0[/m]

[m]P(x;y)= \frac{y}{x^2}[/m]

[m]Q(x;y)=-(y+\frac{1}{x})[/m]

[m]\frac{ ∂ P}{ ∂y}=\frac{ ∂ Q}{ ∂ x}=\frac{1}{x^2}[/m]

Уравнение в полных дифференциалах

Ответ выбран лучшим

a) верно
y=-(1/2)x ⇒ x=-2y
-2< y <0
y^2< x < -2y

и

с) верно.
x=y^2 ⇒ x= ± sqrt(y)

Верхняя ветвь : x=sqrt(y)
Нижняя ветвь : х=-sqrt(y)
0 < x < 4

Cм. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=4+sqrt(y^2+2z^2) ⇒ (x-4)^2=y^2+2z^2

Каноническое уравнение [b]конуса:[/b]

[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0[/m]

с вершиной (0;0) с осью Оz

Поверхность
y^2+2z^2-(x-4)^2=0 - конус c осью Ох, с вершиной (4;0;0)

Пересечем эту поверхность плоскостью x=x_(o)

4 < x_(o) < 5

Получим эллипс:

y^2+2z^2=(x_(o)-4)^2

или
[m]\frac{y^2}{(x_{o}-4)^2}+\frac{z^2}{\frac{(x_{o}-4)^2}{2}}=1[/m]

Так как

[r][m]\frac{x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1[/m]

S_(эллипса)=π*a*b[/r]

Площадь сечения

S_(x_(o))=π *[m](x_{o}-4)\frac{(x_{o}-4)}{\sqrt{2}}[/m]

Значит

S(x)=π *(x-4)*[m]\frac{(x-4)}{\sqrt{2}}[/m]

V= ∫ ^(5)_(4)π [m]\frac{(x-4)^2}{\sqrt{2}}dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\frac{(x-4)^3}{3}|^{5}_{4}=[/m]

Ответ выбран лучшим

∫ ^(6)_(3) (∫^((x/2)-1)_((-2x/3)+6) dy)dx=

= ∫ ^(6)_(3) (y)|^((x/2)-1)_((-2x/3)+6)dx=

=∫ ^(6)_(3)((x/2)-1 -((-2x/3)-6)dx=

=∫ ^(6)_(3)((7x/6)+5)dx= определённый интеграл считаем самостоятельно...

(прикреплено изображение)

s= ∫ (3t^2+4sint)dt=3*(t^3/3)+4*(-cost)+C

[b]s=t^2-4cost+C[/b]

-1=0^2-4cos0+C

4-1=C
C=3

[b]s=t^2-4cost+3[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
a)
[m]=\lim_{x \to(-1) }\frac{x^2-3x+2}{-3x^2-x+4}=\frac{(-1)^2-3\cdot (-1)+2}{-3\cdot (-1)^2-(-1)+4}=\frac{6}{2}=3[/m]

б)
[m]=\lim_{x \to 1 }\frac{x^2-3x+2}{-3x^2-x+4}=\frac{0}{0}[/m]

Неопределенность (0/0)

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(-3x-4)}=[/m]

сокращаем на (х-1)
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{x-2}{-3x-4}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}[/m]

в)

[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^2:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^2-3x+2}{x^2}}{\frac{-3x^2-x+4}{x^2}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^2 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^2:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{-3x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{4}{x^2}}=[/m]

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{-3-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}=\frac{1-0+0}{-3-0+0}=-\frac{1}{3}[/m]

2.
см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{2x-1}{2x+1})^{x}=[/m]

Делим и числитель и знаменатель дроби [m] \frac{2x-1}{2x+1}[/m] на 2х

[m]=\lim_{x \to\infty}\frac{(1-\frac{1}{2x})^{x}}{(1+\frac{1}{2x})^{x}}=\lim_{x \to\infty}\frac{(1-\frac{1}{2x})^{2x\cdot \frac{1}{2}}}{(1+\frac{1}{2x})^{2x\cdot \frac{1}{2}}}=

\frac{e^{-\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}=e^{-1}[/m]

Ответ выбран лучшим

x^2-2=3x+2
x^2-3x-4=0
x_(1)=-1; x_(2)=4

S= ∫ ^(4)_(-1)(3x+2-(x^2-2))dx=∫ ^(4)_(-1)(3x+2-x^2+2))dx=

=∫ ^(4)_(-1)(4+3x-x^2)dx=(4x+3*(x^2/2)-(x^3/3))|^(4)_(-1)=

=4*(4-(-1))+(3/2)*(4^2-(-1)^2)-(1/3)*(4^3-(-1)^3)=

=20+(3/2)*15 -(1/3)*65= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как
[m]d(2x+5)=2dx[/m],
то
можно умножить на число [b]2[/b] и разделить:
( так появляется [m]\frac{1}{2}[/m])

[m]\int^{2}_{-2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{2}\int ^{2}_{-2}\frac{2dx}{\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{2}\int ^{2}_{-2}\frac{d(2x+5)}{\sqrt{2x+5}}=[/m]

[m]=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2x+5}|^{2}_{-2}=\sqrt{2\cdot 2+5}-\sqrt{2\cdot (-2)+5}=[/m]

[m]=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2[/m]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{1+sqrt(3)tgx ≠ 0 ⇒ tgx ≠ [m]\frac{1}{\sqrt{3}}[/m]

[b]Пропорция.[/b]

Умножаем крайние и средние члены пропорции

sqrt(3)-tgx=1+sqrt(3)tgx

(1+sqrt(3))*tgx=sqrt(3)-1

tgx=[m]\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}[/m]

tgx=[m]\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}[/m]

tgx =[m]\frac{(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1}[/m]

tgx =[m]\frac{4-2\sqrt{3}}{2}[/m]

tgx=[m]2-\sqrt{3}[/m]

x=arctg [m](2-\sqrt{3})[/m] + πk, k ∈ Z

Пропорция.

Умножаем крайние и среднике члены пропорции

3*(х+3)=4*(3х-2)
3х+9=12х-8
3х-12х=-8-9
-15х=-17

х=17/15

А)3·(2–7)= + 3·2 - 3·7
Б)(–5)·(–6–7)= + 5·6 + 5·7
В)(–2)·(6+9)= - 2·6 - 2·9
Г)(–2)·(6–9)= - 2·6 + 2·9

Ответ выбран лучшим

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{k+m}{6}-\frac{k-m}{3}=12\\\frac{k-m}{6}-\frac{3k+2m}{3}=-13 \end{matrix}\right.[/m]

Умножаем каждое уравнение на 6

[m]\left\{\begin{matrix}
(k+m-2(k-m)=72\\(k-m)-2(3k+2m)=-78
\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix}
k+m-2k+2m=72\\k-m-6k-4m=-78
\end{matrix}\right. [/m]

[m]\left\{\begin{matrix}
-k+3m=72\\-5k-5m=-78
\end{matrix}\right.[/m]

Теперь самостоятельно...

[m]dx=\frac{5}{t-2}[/m]

[m]\int dx=\int \frac{5}{t-2}[/m]

[m]x=5ln|t-2|+lnC[/m]

[m]x=ln|t-2|^5+lnC[/m]

[m]x=ln(C\cdot|( t-2)^5|)[/m]

[m]-3=ln(C\cdot (3-1)^5)[/m]

lnC=-3

C=e^(-3)

[m]x=ln(e^{-3}\cdot (t-2)^5)[/m]

Ответ выбран лучшим

Сделаем замену переменной:
x+m=u
y+n=v

x=u-m
y=v-n

dy=dv
dx=du

Тогда уравнение принимает вид:

dv/du=[m]\frac{u-m+3v-3n-4}{5u-5m-v+n-4}[/m]

пусть
-m-3n-4=0
-5m+n-4=0
m=-1; n=-1 ⇒

[b]x-1=u
y-1=v[/b]

Тогда
[m]\frac{dv}{du}=[m]\frac{u+3v}{5u-v}[/m]

[m]\frac{dv}{du}=\frac{1+3\frac{v}{u}}{5-\frac{v}{u}}[/m]

Получили однородное уравнение вида

v`= φ ([m]\frac{v}{u}[/m])

Замена
[m]\frac{v}{u}=t[/m]

[m]v=tu[/m]

[m]dv=tdu+udt[/m]

[m]\frac{tdu+udt}{du}=\frac{1+3t}{5-t}[/m]

[m]udt=(1+3t-5t+t^2)du[/m] - уравнение с разделяющимися переменными

[m]\frac{dt}{(t-1)^2}=\frac{du}{u}[/m]

[m]\int \frac{dt}{(t-1)^2}=\int \frac{du}{u}[/m]

[m]-\frac{dt}{t-1}=ln|u|+lnC[/m] - общее решение, где

[m]\frac{v}{u}=t[/m]

[m]x-1=u[/m]
[m]y-1=v[/m]

Ответ выбран лучшим

a_(12)=a_(1)+d*11=4+11*0,5=9,5

S_(12)=(a_(1)+a_(12))*12/2=(4+9,5)*12/2= (прикреплено изображение)

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ sin^2 α =1-cos^2 α =1-0,8^2=1-0,64=0,36

sin α= ± sqrt(0,36)= ± 0,6

Так как
0<a<π/2

угол α в первой четверти, синус имеет знак +

О т в е т. 0,6

Ответ выбран лучшим

Δ DEC подобен Δ ВАС ( ED || AB)

EC:AC=ED: AB

3:4=(6/4):AB

AB=2 (прикреплено изображение)

О т в е т. 3) (прикреплено изображение)

Обозначим
p_(i)- вероятность попадания в мишень i-го стрелка
q_(i)-вероятность НЕпопадания в мишень i-го стрелка

i=1,2,3

Вводим в рассмотрение события ([b]гипотезы[/b]):

Н_(1) – первый стрелок поразил мишень;
H_(2) – первый стрелок не попал в мишень.

p(H_(1))=p_(1)=0,6
P(H_(2))=q_(1)=0,4

Введем в рассмотрение [b]событие A[/b]- " две пули поразили мишень "

Найдем [b]условные вероятности[/b]
[b]p(A/H_(1))[/b]
т. е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем одна из них принадлежит первому стрелку
p(A/H_(1))=p_(2)*q_(3)+q_(2)*p_(3)=0,5*0,6+0,5*0,4=0,5

[b]p(A/H_(2))[/b]
т. е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем первый стрелок промахнулся
Другими словами вероятность того, что второй и третий стрелки поразили мишень
Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения
p(A/H_(2))=0,6*0,4=0,24

[b]По формуле полной вероятности[/b]
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))

=0,6*0,5 + 0,4*0,24=...

[b]По формуле Байеса
[/b]
p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)= (0,4*0,24)/(0,6*0,5 + 0,4*0,24)=...

1) нули подмодульных выражений

x^2+2x-3=0

D=4+12=16

x_(1)=-3; x_(2)=1

x2+3x+5=0
D=9-20 < 0 ⇒ x^2+3x+5 > 0 при любом х

Значит, |x^2+3x+5|=x^2+3x+5

при x^2+2x-3 ≥ 0, т. е при x ∈ (- ∞ ;-3] U[1;+ ∞ )

|x^2+2x-3|=x^2+2x-3

при x^2+2x-3 < 0, т. е при x ∈ (-3 ;1)

|x^2+2x-3|=-(x^2+2x-3)

[m]\left\{\begin{matrix} x^2+2x-3 ≥ 0 \\ \frac{x^2+2x-3-(x^2+3x+5)}{2x+1}\geq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x^2+2x-3 < 0 \\ \frac{-(x^2+2x-3)-(x^2+3x+5)}{2x+1}\geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x ≤ -3; x ≥ 1 \\ \frac{-x-8}{2x+1}\geq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} -3 <x< 1 \\ \frac{-2x^2-5x-2}{2x+1}\geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

Ответ выбран лучшим

Формула включений и исключений

n(XUФUИ)=n(X)+n(Ф)+n(И)-n(X ∩Ф)-n(Ф∩И)-n(X ∩ И)+n(X ∩ Ф ∩ И)

n(XUФUИ)=30

n(X)=15
n(Ф)=?
n(И)=13
n(X ∩Ф)=8
n(Ф∩И)=5
n(X ∩ И)=6
n(X ∩ Ф ∩ И)=0

(прикреплено изображение)

1.
tg(- α )=-tg α
ctg(- α )=-ctg α
sin(- α )=-sin α
cos(- α )=cos α

(1-tg α )*(1+ctg α )+tg α =[red]1[/red][b]-tg α [/b]+ctg α [red]-tg α*ctg α[/red]+[b]tg α[/b]= ctg α

235

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos α = ± sqrt(1-sin^2 α )= ± sqrt(1-0,6^2)= ± 0,8

Так как
0 < α < π/2 ( первая четверть, косинус имеет знак +)

cos α = 0,8

sin^2 β +cos^2 β =1 ⇒ sin β = ± sqrt(1-cos^2 β )= ± sqrt(1-0,28^2)= ± 0,96

Так как
3π/2< β < 2π ( четвертая четверть, синус имеет знак -)

sin β = - 0,96

Формула

sin( α + β )=sin α *cos β +cos α *sin β =0,6*0,28+0,8*(-0,96)

Ответ выбран лучшим

0<9x<360

0<(9x/13) < 360/13 ≈ 27,6

Значит от 1 до 27

2х–33=х–8

2х–х=33–8

[b]х=25[/b]

2х-33=х-8

2х-х=33-8

[b]х=25[/b]

3) Да (прикреплено изображение)

M- середина DA

Проводим MN || DC
NK|| BC

Cоединяем К и M

MN=a/2, MN - средняя линия Δ ACD
NK=a/2, NK - средняя линия Δ ABC
KM=a/2, KM - средняя линия Δ ADB

S_( Δ KMN)=(a/2)^2*sqrt(3)/4=[b]a^2*sqrt(3)/16[/b]

Ответ выбран лучшим

cosx*(2cosx+sqrt(2))=0
cosx=0 или 2cosx+sqrt(2)=0

cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

cosx=-sqrt(2)/2 ⇒ ± arccos(-sqrt(2)/2) +2πn, n ∈ Z

[b]x=±(3π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

f`(x)=-2x-8

f`(x)=0

-2x-8=0

x=-4

Знак производной:

_+__ (-4) _-__

возрастает, там, где производная больше 0

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты

y=4x-4 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=4

Значит,

k_(касательной)=4

Геометрический смысл производной функции в точке:

f `(x_(o))=k_(касательной)

Задача сводится к нахождению точек x_(o), в которых производная равна 4

f `=(x^3/3)`

f `=(1/3)*3x^2

f `=x^2

f`(x_(o))=x_(o)^2

x_(o)^2=4

x_(o)=-2 или x_(o)=2

Теперь надо составить два уравнения касательной

в точке x_(o)=-2 и в точке x_(o)=2

[r]y=f(x_(o))+ f `(x_(o))(x-x_o) -уравнение касательной[/r]

[red]в точке x_(o)=-2 [/red]

f(-2)=(-2)^3/3=-8/3

y-(-8/3)=4*(x-(-2))

y+(8/3)=4x+8

[red]y=4x+(16/3)[/red]

[red]в точке x_(o)=2 [/red]

f(2)=(2)^3/3=8/3

y-(8/3)=4*(x-2)

[red]y=4x- (16/3)[/red]

[m]\frac{b+4}{3}>\frac{5-2b}{2}[/m]

[m]\frac{b+4}{3}-\frac{5-2b}{2}>0[/m]

[m]\frac{2(b+4)-3(5-2b)}{6}>0[/m]

[m]\frac{2b+8-15+6b}{6}>0[/m]

[m]\frac{8b-7}{6}>0[/m]

8b-7 >0

b>[m]\frac{7}{8}[/m]

Логарифмическая функция с основанием (1\2) убывающая.

[i]Большему[/i] значению аргумента соответствует [i]меньшее [/i]значение функции.

Сравниваем

(3/4) < (4/5) так как приводим к знаменателю 20 и

(15/20) < (16/20)

Значит log_(1/2) (3/4)>log_(1/2) (4/5)

Смотрим на графике (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

d=a_(2)-a_(1)=-6-(-2)=-4

[r]a_(n)=a_(1)+d*(n-1) [/r] - формула общего члена арифметической прогрессии

Подставляем
n=4 ⇒ n-1=4-1=3
a_(1)=-2
d=-4

a_(4)=-2+(-4)*3=-2-12=-14

[r]S_([b]n[/b])=(a_(1)+a_([b]n[/b]))*[b]n[/b]/2[/r] - формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Подставляем

S_(4)=(-2+(-14))*4/2= cчитаем

x=0 не входит в область определения

f`(x)=(-2/x^2)+2x

f`(x)=(2x^3-2)/x^2

f`(x)=0

x^3-1=0

x=1

__ (0) _-__ (1) __+__

x=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Это исследование.

Есть промежутки возр и уб.

А вот так на самом деле, на графике (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{x}{8}[/m]

[b]1;3;5;7[/b]

p=1/2 - вероятность того что выпадет
q=1-p=1/2 - вероятность того, что [b]не[/b] выпадет

Схема Бернулли

На 5 мест нужно расставить p и q так чтобы p было расставлено не менее двух раз

Проще посчитать, что q ,будет расставлено 0 раз или 1 раз

P(q менее двух раз)= P(q один раз)+P(q ноль раз)=

=qpppp+pqppp+ppqpp+pppqp+ppppq+ppppp=

А теперь от 1 - вычитаем эту вероятность

D:0 ≤ x ≤ 1; -x^3 ≤ y ≤ √x

= ∫ ^(1)_(0)[blue]( ∫ ^(√x)_(-x^3)(4/5)xy+9x^2y^2)dy) [/blue] dx

Cчитаем внутренний интеграл, по переменной y ( x - как константа)

[blue]( ∫ ^(√x)_(-x^3)(4/5)xy+9x^2y^2)dy) [/blue] =

=((4/5)x*(y^2/2)+9x^2*(y^3/3)) | ^(y=√x)_(y=-x^3)=

Применяем формулу Ньютона-Лейбница

подставляем верхний предел,
потом нижний, считаем упрощаем получаем выражение, зависящее от х
получаем [red]#[/red]
и

потом считаем внешний интеграл

∫ ^(1)_(0)([red]#[/red])dx= определенный интеграл, находим первообразную и применяем формулу Ньютона-Лейбница

Ответ выбран лучшим

MK:KP=4:1

[b]a) λ =4[/b]
x_(K)=[m]\frac{x_{M}+\lambda x_{P}}{1+\lambda }=\frac{-2+4\cdot2}{1+4}=[/m]
y_(K)=[m]\frac{y_{M}+\lambda y_{P}}{1+\lambda }=\frac{2+4\cdot10}{1+4}=[/m]

считайте
(прикреплено изображение)

1) D(y)=(–∞;-2)U(-2;+ ∞)

точка x=-2 не входит в область определения

Находим пределы слева и справа:

f(-0)=lim_(x→(-2)-0)f(x)=- ∞
f(+0)=lim_(x→(-2)+0)f(x)=+ ∞

Они бесконечные, значит

х=-2 - [b]точка разрыва второго рода[/b]

Прямая х=-2 - [i]вертикальная асимптота.[/i]

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(-х)=((-х)^2-3)/(-x+2))=- (х^2-3)/(x-2)

y(-x)≠y(x)
y(-x)≠-y(x)

3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=+бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=-бесконечность.

[i]Горизонтальных асимптот[/i] нет

4)
Наклонная асимптота это прямая y=kx+b

Находим

k=lim_(x→ ∞ )[m]\frac{x^2-3}{(x+2)\cdot x}[/m]=1

Находим

b=lim_(x→∞ )(f(x)-kx)=lim_(x→∞ ) (m]\frac{x^2-3}{x+2}[/m]-x)=

= lim_(x→ ∞ ) m]\frac{x^2-3-x^2-2x}{x+2}=-2[/m]

[b]y=x-2 [/b] - [i]наклонная асимптота.[/i]

5) f(x)=0
x^2-3=0
x= ± sqrt(3) - точка пересечения с осью Ох

f(0)=-3/2
Точка пересечения с осью Оу
(0;1,5)
[b]Исследование функции с помощью производной[/b]

6) (u/v)`=(u*v-u*v`)/v^2

y`=(2x(x=2)-x^2+3)/(x+2)^2

y`=(x^2+4x+3)/(x+2)^2

y`=0
x^2+4x+3=0

x=-;1; x=-3

Знак производной:
_____+_ (-3 ) __-__ (-2) __- ___ (-1) __+ _

x=-1 – точка [b]минимума[/b], производная меняет знак с – на +

y(-1)=-2

x=-3 – точка [b]максимума[/b], производная меняет знак с + на -

y(-3)=-6

y`>0 на ( - ∞ ; -3) и на (-1; + ∞ )
функция [b]возрастает[/b] на ( - ∞ ;-3) и на (-1; + ∞ )

y`<0 на (- 3 ; -2) и на (-2; -1 )
функция [b]убывает[/b] на (- 3 ; -2) и на (-2; -1 )

y``=((2x+4)*(x+2)^2-2(x+2)*(x^2+4x-3)/(x+2)^4

y``=(2x^2+8x+8-2x^2-8x-6)/(x+2)^3

y``=(2x^2+2)/(x+2)^3

y``>0 на (-2;+ ∞ )

y`` <0 на (- ∞ ;-2)

Функция [b]выпукла вниз [/b] на (-2;+ ∞ ) и выпукла вверх на (- ∞ ;-2)

Точек перегиба нет.
(прикреплено изображение)

Составляем касательную к параболе:
y=3x^2+4x+2 в точке x_(o)=3

[r]y=f(x_(o))+ f `(x_(o))(x-x_o) -уравнение касательной[/r]

По пунктам

f(x_(o))=f(3)=3*3^2+4*3+2=27+12+2=41

f `(x)=(3x^2+4x+2)`=3*2x+4=6x+4

f `(x_(o))=6*3+4=22

y=41+ 22(x-3)

[b]y=22x-25[/b]

Составляем касательную к параболе:
y=y=5x^2−4x+a. в точке x_(o)

По пунктам

f(x_(o))=f(3)=5*x_(o)^2-4x_(o)+a

f `(x)=(5x^2-4x+a)`=5*2x-4=10x-4

f `(x_(o))=10x_(o)-4

y= 5*x_(o)^2-4x_(o)+a+(10x_(o)-4)*(x-x_(o)

y=(10x_(o)-4)*x + 5*x_(o)^2-4x_(o)+a-10^2x_(o)+4x_(o)

y=[b]22[/b]x[red]-25[/red]

и

y=([b]10x_(o)-4[/b])*x +[red] 5*x_(o)^2-4x_(o)+a-10^2x_(o)+4x_(o)[/red]

должны быть равны:

22=10x_(o)-4

-25=5*x_(o)^2-4x_(o)+a-10^2x_(o)+4x_(o)

22=10x_(o)-4 ⇒ 10x_(o)=26 ⇒ x_(o)=2,6

и подставляем во второе

-25=-5*(2,6)^2+a

найдем а=[b]8,8[/b]

Задача повышенной трудности по теме Касательная к кривой

Ответ выбран лучшим

[r]y=f(x_(o))+ f `(x_(o))(x-x_o) -уравнение касательной[/r]

По пунктам

f(x_(o))=f(2,5)=6/(2,5)=[b]2,4[/b]

f `(x)=(6/x)`=6*(x^(-1))`=6*(-1)*x^(-2)=[b]-6/x^2[/b]

f `(x_(o))=-6/(2,5)^2=-6/6,25=[red]-0,96[/red]

y-[b] 2,4[/b] =[red] -0,96[/red]*(x[blue]-2,5[/blue])

y=-0,96*x+4,8

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной функции в точке:

[r]f `(x_(o))=k_(касательной)=tg α [/r]

α - угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох

Находим производную

[i]можно по формуле[/i] (u*v)`=u`*v+u*v`

f(x)=1*(x^2+4x+16)+(x-4)*(2x+4)

f(1)=1+4+16+(-3)*(2+4)=3

f`(1)=3 ⇒

tg α =3

[i]можно упростить[/i] f(x) раскрыв скобки

f(x)=x^3-64

f `(x)=3x^2

f`(1)=3

tg α =3

Ответ выбран лучшим

2sin^2x=1-cos2x

4sin^4x=(1-cos2x)^2

(1-сos2x)^2/4 = 1-cos2x

(1-сos2x)^2/4 - (1-cos2x)=0

(1-cos2x)*((1-cos2x)/4 -1)=0

1-cos2x=0 ИЛИ (1-cos2x)/4 - 1=0

1-сos2x=0 ⇒ cos2x=1 ⇒ 2x=2πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=πk, k ∈ Z [/b]

(1-cos2x)/4 - 1=0 ⇒ 1-cos2x=4 ⇒ cos2x=-3 уравнение не имеет корней.
|cos2x| ≤ 1

отрезку [–3π/6; 9π/4] принадлежат корни

0; π; 2π

–3π/6=–π/2

Поэтому странно, что написано –3π/6

Ответ выбран лучшим

Пусть 2x-4y=[b]a[/b]

Надо найти наименьшее значение [b]параметра а[/b], при условии, что x^2+y^2=36

Решаем систему уравнений:

{2x-4y=a
{x^2+y^2=36

{x=[m]\frac{a+4y}{2}[/m]
{([m]\frac{a+4y}{2}[/m])^2+y^2=36 ⇒ a^2+8ay+16y^2+4y^2+144;

20y^2+8ay+a^2-144=0

уравнение имеет решения при

D=(8a)^2-4*(20)*(a^2-144)=64a^2-80a^2+144*80=-16a^2+144*80

D ≥ 0

-16a^2+144*80 ≥ 0 ⇒ a^2 ≤ 720 ⇒ -12sqrt(5) ≤ a ≤ 12sqrt(5)

О т в е т. Наименьшее значение выражения [b]-12sqrt(5)[/b]

Ответ выбран лучшим

А)

y`=3x^2+6x-7

y= ∫ (3x^2+6x-7)dx

y=3*(x^3/3)+6*(x^2/2)-7x+C

y=x^3+3x^2-7x+C

При x=1; y=6

6=1^3+3*1^2-7*1+C

С=9

О т в е т. y=x^3+3x^2-7x+9

A)

y`=e^(-x)*(-x)`+1

y`=-e^(-x)+1

Подставляем

(-e^(-x)+1) + (e^(-x)+x)=1+x - верно

является

Б)

y^2=x^2-4x ⇒ y=sqrt(x^2-4x)

dy=(sqrt(x^2-4x))`dx=[m]\frac{(x^2-4x)`dx}{2 \sqrt {x^2-4x}}=\frac{(2x-4)dx}{2 \sqrt {x^2-4x}}[/m]

Теперь подставляем в данное уравнение

x*[m]\frac{(2x-4)dx}{2\sqrt {x^2-4x}}[/m] -sqrt(x^2-4x)dx=x^2dx

x*[m]\frac{(x-2)dx}{\sqrt {x^2-4x}}[/m] -sqrt(x^2-4x)dx=x^2dx

Умножаем на sqrt(x^2-4x)

(x^2-2x)dx-(x^2-4x)dx =x^2*sqrt(x^2-4x)dx

2xdx=x^2*sqrt(x^2-4x)dx

Не является

1) vector{p}=0,5* vector{a}+3* vector{b}

vector{p}=(0,5*(-8)+3*(-2); 0,5*4+3*4; 0,5*1+3*0,5)=( ? ; ? ; ?)

2)
vector{c}= vector{a}+ vector{b}=(0+(-1); 1+0; 2+(-2))=(-1;1;0)

3)
Если производная отрицательна, функция убывает

x-5 <0 ⇒ x < 5

функция убывает на (- ∞ ; 5)

4)
f `(x)=24-2*3x^2

f`(x)>0

24-6x^2>0

x^2-4 < 0

(x-2)(x+2) <0

Функция возрастает на (- 2 ;2)

Ответ выбран лучшим

Это простейшее тригонометрическое уравнение.

Решаем по формуле.

[r]sinx=a ⇒ x=(-1)^(k)arcsina+πk, k ∈ Z[/r]

[m]6\pi x=(-1)^{k}arcsin(-\frac{1}{2})+\pi k, k ∈ Z[/m]

[m]arcsin(-\frac{1}{2})=-\frac {\pi}{6}[/m],

[m]x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{6})+\pi k, k ∈ Z[/m]

при k=0
получаем
[m]x=-\frac{\pi}{6}[/m]

наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ выбран лучшим

ctgx=cosx/sinx ⇒ sinx ≠ 0 ⇒ x ≠ πk, k ∈ Z

2sinx+cos^2x=0

cos^2x=1-sin^2x

2sinx+1-sin^2x=0

sin^2x-2sinx-1=0

t=sinx

t^2-2t-1=0

D=4+4=8

sqrt(D)=sqrt(8)=2sqrt(2)

t_(1)=2-2sqrt(2)/2=1-sqrt(2); t_(2)=1+sqrt(2)

sinx=1-sqrt(2) - уравнение имеет два корня на (-π;0)

(cм. рис.)

sinx=1+sqrt(2) не имеет корней .

так как |sinx| ≤ 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx

3*sinx-2*sinx*cosx=0

sinx*(3-2cosx)=0

sinx=0 илии 3-2cosx=0

sinx=0 ⇒ x=πk , k ∈ Z

3-2cosx=0 ⇒ 2cosx=3 ⇒ cosx=3/2 - уравнение не имеет корней,

так как |cosx| ≤ 1

Отбираем корни, принадлежащие интервалу (-5π;3π)

(-4π); (-3π); (-2π); (-π); 0; π; 2π

Cкладываем:

получаем [b]-7π[/b] - это о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Пусть 2x-4y=a

Надо найти наименьшее значение параметра а, при условии, что x^2+y^2=36

Решаем систему уравнений:

{2x-4y=a
{x^2+y^2=36

{x=[m]\frac{a+4y}{2}[/m]
{([m]\frac{a+4y}{2}[/m])^2+y^2=36 ⇒ a^2+8ay+16y^2+4y^2+144;

20y^2+8ay+a^2-144=0

D=(8a)^2-4*(20)*(a^2-144)=64a^2-80a^2+144*80=-16a^2+144*80

D ≥ 0

-16a^2+144*80 ≥ 0 ⇒ a^2 ≤ 720 ⇒ -12sqrt(5) ≤ a ≤ 12sqrt(5)

О т в е т. Наименьшее значение выражения [b]-12sqrt(5)[/b]

Ответ выбран лучшим

ОВ ⊥ АВ; ОС ⊥ АС ⇒ в прямоугольном треугольнике
ВО равен половине гипотенузы.

∠ ВАО=30 ° ⇒
∠ ВАС=60 °

∠ ВОС =120 °

.а) R – «x– больше у в 3 раза»
(9;3);(18;6).

б) R – «x больше у на 3».
(3;0);(6;3);(9;6);(12;9);(15;12);(18;15)

3. Запишите в виде равенства предложение:
а)
y-x=2
или
х+2=y
б) Число x меньше у в 2 раза
x=2/y

4.
а)
«x равен у »

б)

нет

5.

а) {(4,2), (6, 2), (8, 2), (6,4), (8, 4), (8, 6), (2,2), (4, 4), (6, 6), (8, 8)};
не задает "х делится на y" не подходят элементы:(8, 6) и (6,4)
б) {(4,2), (6,4), (8,6)} это «х больше у на 2».
в) {(2,2), (4,4), (6,6), (8, 8)} это «х = у»

Ответ выбран лучшим

H=d*cos α
d(основания)=d*sin α

V=S_(осн)*H=a^2*H=(1/2)d^2*H=(1/2)*(d*sin α )^2*d*cos α =

=[b](1/2)d^3*sin^2 α *cos α [/b]

Ответ выбран лучшим

Надо найти зависимость y от х

Возводим в квадрат и складываем:

x^2+y^2=p^ 2(cos^2 φ +sin^2 φ )

x^2+y^2= ρ ^2

Это уравнение окружности,

Так как

0 ≤ ρ ≤ 1 и 0 ≤ φ ≤ 2π⇒

это внутренность круга с
радиуса ρ =1 вместе границей, т е с окружностью

Это на тему [b]"Логарифмическое дифференцирование"[/b]

Поэтому решаем так:

Логарифмируем:

lny=ln(cos4x* e^(sin2x))

Логарифм произведения равен сумме логарифмов

и свойство логарифма степени: показатель степени умножаем на логарифм основания

lne=1

lny=ln(cos4x)+sin2x

Дифференцируем:

y`/y=(cos4x)`/(cos4x)+ cos2x*(2x)`

y`/y =[m]\frac{ -4\cdot sin4x}{cos4x} +2\cdot cos2x[/m]

Умножаем на y

О т в е т.

y`=cos4x* e^(sin2x)* ([m]\frac{ -4\cdot sin4x}{cos4x} +2\cdot cos2x[/m])

1.
a)
[m]=\lim_{x \to 2 }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=\frac{2^2-3\cdot 2+2}{2^2-4*2+3}=\frac{0}{-1}=0[/m]

б)
Уточните, -1 или 1

(-1) неинтересно, это как в а)
[m]=\lim_{x \to -1 }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=\frac{(-1)^2-3\cdot(-1)+2}{(-1)^2-4*(-1)+3}=\frac{1+3+2}{1+4+3}=\frac{3}{4}[/m]

[b]А вот при x=1[/b]

[m]=\lim_{x \to 1 }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=[/m]

[b]Неопределенность (0/0)[/b]

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)}=[/m]

сокращаем на (х-1)
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{x-2}{x-3}=\frac{0}{-2}=0[/m]

в).
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^2:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^2-3x+2}{x^2}}{\frac{x^2-4x+3}{x^2}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^2 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^2:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-4\frac{x}{x^2}+\frac{3}{x^2}}=[/m]

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{}{x^2}}=\frac{1-0+0}{1-0+0}=1[/m]

2)
см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{x+2}{x-2})^{x}=[/m]

Делим числитель и знаменатель дроби [m]\frac{x+2}{x-2}[/m] на х

[m]=\lim_{x \to\infty}\frac{(1+\frac{2}{x})^{x}}{(1-\frac{2}{x})^{x}}=

\frac{e^{2}}{e^{-2}}=e^{2-(-2)}=e^{4}[/m]
(прикреплено изображение)

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ sin^2 α =1-cos^2 α =1-(-2sqrt(6)/5)^2=

=1-(24/25)=1/25

sin α = ± sqrt(1/25)

sin α = ± 1/5

Так как 90° < α < 180°, это вторая четверть, синус во второй четверти имеет знак +

О т в е т. sin α =1/5

Ответ выбран лучшим

1.
a)
[m]=\lim_{x \to 2 }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=\frac{2^2-3\cdot 2+2}{2^2-4*2+3}=\frac{0}{-1}=0[/m]

б)
[m]=\lim_{x \to 1 }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=[/m]

Неопределенность (0/0)

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)}=[/m]

сокращаем на (х-1)
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{x-2}{x-3}=\frac{-1}{-2}=0,5[/m]

в)

[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^2:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^2-3x+2}{x^2}}{\frac{x^2-4x+3}{x^2}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^2 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^2:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-4\frac{x}{x^2}+\frac{3}{x^2}}=[/m]

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{}{x^2}}=\frac{1-0+0}{1-0+0}=1[/m]

2.
см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{x+2}{x-2})^{x}=[/m]

[m]=\lim_{x \to\infty}\frac{(1+\frac{2}{x})^{x}}{(1-\frac{2}{x})^{x}}=

\frac{e^{2}}{e^{-2}}=e^{2-(-2)}=e^{4}[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

График пересекает соь Оу в точке (0;1)

Значит с=1

у=ax^2+bx+1

Две другие точки выбираем такие, чтобы у них были хорошие целочисленные координаты.

Это (2;5) и (-1;5)

Подставляем в уравнение и получаем систему:
{5=a*2^2+b*2+1
{5=a*(-1)^2-b+1

{4=4a+2b
{4=a-b

Умножаем второе на 2
{4=4a+2b
{8=2a-2b

Складываем

12=6a

[b]a=2[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

искомое натуральное число имеет вид (запиши числа):
4⋅k+1

Сколько имеется таких натуральных чисел, которые не превосходят 180:

180: 4=[b]45 чисел делится на 4[/b]

Всего же среди 180-ти чисел

[b]45 чисел[/b], которые дают при[b] делении на 4 остаток 1[/b]
Это числа, начиная с [b]1[/b] и до [b]177[/b].

45 чисел , которые дают при делении на 4 остаток 2
Это числа, начиная с 2 и до 178.

45 чисел , которые дают при делении на 4 остаток 3
Это числа, начиная с 3 и до 179.

3. Запиши сумму заданных чисел:

Sn=(a_(1)+a_(n))*n/2

S=([b]1[/b]+[b]177[/b])*[b]45[/b]/2=89*45= умножаем... и получаем ответ

Третье число х
Первое 2х
Среднее 5,4

Основное свойство арифметической прогрессии

a_(n)=(a_(n−1)+a_(n+1))/2

(2x+x)/2=5,4

2х+х=10,8

3х=10,8

х=3,6

2х=2*3,6=7,2

Первое число равно 7,2
третье число равно 3,6

Использовано

4)
a_(n)=(a_(n−1)+a_(n+1))/2

1%=[m]\frac{1}{100}[/m] =0,01 ( cм приложение)

18%=[m]\frac{18}{100}[/m]=0,18

18% от числа 250 это 0,18 от 250

0,18*250=45

Или

250:100= 2,5 составляет 1%

18% в 18 рвз больше:

218*2,5=45

Или

250:100*18=45
(прикреплено изображение)

Так как
d(1-4x)=(1-4х)`dx
d(1-4x)=-4dx

значит (-4dx) надо заменить d (1-4x)

А есть только dx

но на (-4) всегда можно умножить и тут же разделить.

∫e^(1-4x)dx= ∫ (-1/4)*(-4) e^(1-4x)dx=(-1/4) ∫ e^(1-4x)*(-4dx)=

вот здесь и получаем подведение под дифференциал!!!

=(-1/4) ∫ e^([b]1-4x[/b])*d([b]1-4x[/b])

а это формула ( ∫ e^([b]u)[/b]d[b]u[/b]=e^([b]u[/b])+C)

т. е замену переменной делаем [red]устно[/red]....

У С Т Н О найти это [b]коррелирующее [/b]число (-1/4)

=(-1/4) e^(1-4x) + C

В чем это выражается, в том, что действия дифференцирования и интегрирования взаимно обратны ( как и многое в математике:
возведение в квадрат и извлечение корня, логарифмирование и обратный переход, потенцирование...)

Поэтому проверка:

(-1/4)*e^(1-4x)+C)`=(-1/4)*e^(1-4x) *(1-4x)`=(-1/4)*e^(1-4x)*(-4)=e^(1-4x)

АВ || А_(1)В_(1)

Значит угол между прямыми AB и B1C равен углу между
прямыми A_(1)B_(1) и B1C

Это угол А_(1)В_(1)С треугольника А_(1)В_(1)С

А_(1)В_(1) ⊥ грани ВВ_(1)С_(1)С ⇒А_(1)В_(1) перпендикулярна [i]любой прямой [/i]в этой грани ⇒

А_(1)В_(1) ⊥ B1C

∠ А_(1)В_(1)С=90 °

Ответ выбран лучшим

a)
Находим плотность
f(x)=F `(x)

f(x)=
{0, x ≤ 0
{2cosx, если 0 < x ≤π/6
{ 0, x >π/6

б)
[red]M(X)[/red]=∫ ^(∞ )_(- ∞ )x*f(x)dx=

Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):

= ∫ ^(π/6)_(0)(x*(2cosx))dx=

cчитаем по частям

...

в)
По формуле:

[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2[/red]

Считаем

[red]M(X^2)[/red]=∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )x^2*f(x)dx= ∫ ^(π/6)_(0)(x^2*(2cosx))dx=

cчитаем по частям два раза

...

г)
[red]σ (Х)=sqrt(D(X))[/red]

д)
По формуле:

P( α ≤ x ≤ β )=F( β )-F( α )

P( 0 ≤ x ≤ π/6 )=F( π/6 )-F( 0 )=2sin(π/6)=1

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
f `(x)=6x-6

f `(x)=0

6x-6=0

x=1

При x>1

f `(x)=6x-6 > 0 функция возрастает

При x < 1
f `(x)=6x-6 < 0 функция убывает

О т в е т. функция возрастает на (1;+ ∞ )
функция убывает на (- ∞ ; 1)

2)
f `(x)=3x^2-9

f`(x)=0

3x^2-9=0

x^2-3=0

x= ± sqrt(3) - критические точки, точки в которых производная равна 0 или не существует.

Точек в которых не существует нет.

3) Не указана функция, считаю для пункта 2)

Так как знак производной

_+__ (-sqrt(3)) __-__ ( sqrt)3)) _+__

( производная квадратичная функция 3x^2-9, графиком квадратичной функции является парабола, a=3 > 0 ветви которой вверх, значит ниже оси Ох между (-sqrt(3)) и sqrt(3)) там и поставлен минус, справа и слева +

x= - sqrt(3) - точка максимума, производная меняет знак с + на -
x= sqrt(3) - точка минимума, производная меняет знак с - на +

4) как в 3)

f `(x)=3x^2-3

f`(x)=0

3*(x^2-1)=0

x= ± 1 - критические точки,

но они не принадлежат указанному отрезку.

Значит находим значения на концах.

Они и будут
наибольшее и наименьшее.

AD=2AO=2*23=46
DD_(1)=23

tg ∠ AD_(1)D=AD/DD_(1)=46/23=2

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) нет действительный корней, так как r^2 ≥ 0

Cумма неотрицательного и 25 точно больше нуля

2) Раскладываем на множители по формуле разности квадратов.

(4k-3)*(4k+3)=0

4k-3=0 ИЛИ 4k+3=0

[b]k=3/4 [/b] ИЛИ [b] k=-3/4[/b]

3)

32-2a^2=0

2*(16-a^2)=0

Раскладываем на множители по формуле разности квадратов.

2*(4-а)*(4+а)=0

4-а=0 ИЛИ 4+а=0

[b]а=4 [/b]ИЛИ [b] а=-4[/b]

4) Перенесем вправо

0=x^2-5

Раскладываем на множители по формуле разности квадратов.

(x-sqrt(5))*(x+sqrt(5))=0

x-sqrt(5)=0 ИЛИ x+sqrt(5)=0

[b]x=sqrt(5)[/b] ИЛИ [b] x= - sqrt(5)[/b]

Находим плотность
f(x)=F `(x)

f(x)=
{0, x ≤ A
{0,5x, если A < x ≤ B
{ 0, x >B

Свойство плотности

∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx=1

Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам.
Первый и последний =0

∫ ^(B)_(A)0,5xdx=1

(0,5x^2/2)^(B)_(A)=1

⇒( B^2-A^2)/4=1

B^2-A^2=4 ⇒ [b]B^2=4+A^2[/b]

[red]M(X)[/red]=∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )x*f(x)dx= ∫ ^(B)_(A)x*(0,5x)dx=

=(0,5x^3/3)|^(B)_(A)=(1/6)x^3|^(B)_(A)=(B^3-A^3)/6=...

при условии, что [b]B^2=4+A^2[/b]

[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2[/red]

[red]M(X^2)[/red]=∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )x^2*f(x)dx= ∫ ^(B)_(A)x^2*(0,5x)dx=

=(0,5x^4/4)|^(B)_(A)=(1/8)x^4|^(B)_(A)=(B^4-A^4)/8=...

при условии, что [b]B^2=4+A^2[/b]

[red]D(X)[/red]= ((B^4-A^4)/8) - ((B^3-A^3)/6)^2=...

при условии, что [b]B^2=4+A^2[/b]

[red]σ (Х)=sqrt(D(X))[/red]

Считайте...

Cкорость в км в час означает сколько км проехал за час

Первый в час проезжает 80 км.
Второй в час проезжает 60 км

Значит за первый час машины приближаются к друг другу на
80+60 =140 км

cм. верхний рисунок.

Между ними останется 300- 140=160 км

За второй час, они приблизятся еще на (80+60)=140 км.

Через два часа между ними будет

300-(80+60)-(80+60)=300-2*(140)=20 км

Чтобы найти время оставшийся путь (20 км)
делим на скорость сближения 140

20:140=1/7 часа понадобится, чтобы преодолеть оставшиеся 20 км и встретиться.

Через 2 часа+ (1/7)= 2 целых (1/7) часа машины встретятся.

(прикреплено изображение)

Переносим вправо:
7х^2+2х+15-15+4x-x^2=0
6x^2+6x=0

6*x*(x+1)=0

x=0 ИЛИ x+1=0

x=0 ИЛИ x=-1

О т в е т. 0; -1

б)
Раскрываем скобки:
18x-6x^2+6x=18x-36
Переносим вправо:
18x-36-18x+6x^2-6x=0

6x^2-6х-36=0

x^2-x-6=0

D=1+24=25

x_(1,2)=(1 ± 5)/2

x_(1)=-2; x_(2)=3

О т в е т. -2; 3

Ответ выбран лучшим

Формула n-го члена арифметической прогрессии

[b]a_(n)=a_(1)+d*(n-1)[/b]

при n=17

a_(17)=a_(1)+d*(17-1)

По условию

a_(17)=7,14

Значит,

7,14=a_(1)+d*(17-1)

[b]7,14=a_(1)+d*16[/b]

Аналогично для a_(18)

при n=18

a_(18)=a_(1)+d*(18-1)

По условию

a_(18)=15,71

Значит,

15,71=a_(1)+d*(18-1)

[b]15,71=a_(1)+d*17[/b]

Решаем систему двух уравнений:

{[b]7,14=a_(1)+d*16[/b]
{[b]15,71=a_(1)+d*17[/b]

Вычитаем из второго первое находим d=

Подставляем найденное d любое из двух, находим a_(1)

Зная a_(1) и d

по той же формуле

[b]a_(n)=a_(1)+d*(n-1)[/b]

можно написать любой член этой прогресссии

ВВ_(1) || CC_(1)

Значит угол между BB_(1) и АС_(1) равен углу между СС_(1) и АС_(1)

А это угол АС_(1)С

Δ АС_(1)С - прямоугольный .
АС- проекция AС_(1)

АС=17
CC_(1)=17

tg ∠ АС_(1)С=AC/CC_(1)=1

∠ АС_(1)С=arctg (1)=45 °

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В трехзначном числе три места.
Цифр девять:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

На первое место можно выбрать любую из девяти цифр. 9 способов.
На второе место - любую из восьми оставшихся. 8 способов.
На третье место - любую из семи оставшихся. 7 способов.

По [b]правилу умножения[/b], выбор [b] И [/b]первой, [b]И [/b]второй , [b]И [/b]третьей цифр

9*8*7=? cпособов или столько чисел получим

a)
Так же только цифр семь: 1; 2; 3; 4; 5; 8; 9
8*7*6 = ? чисел

б) цифра 8 последняя, значит третье место занятою
Осталось занять 1 и 2 место.
Цифр для первого места 9
цифр для второго 8
Умножаем:
9*8=72 числа

Ответ выбран лучшим

D(y)=(–∞;+ ∞)

y`=3x^2-2x-1

y`=0

3x^2-2x-1=0
D=16
x_(1)=(-1/3); x_(2)=1

Знак производной

__+_ (-1/3) __-__ (1) __+__

y`>0 на (- ∞ ;-1/3) и на(1;+ ∞ )
функция возрастает на (- ∞ ;-1/3) и на (1;+ ∞ )

y`<0 на (-1/3; 1)
функция убывает на (-1/3; 1)

x=(-1/3) -точка максимума, производная меняет знак с +на -

x=1 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

7)y``=6х-2

y``=0

6х-2=0

х=1/3- точка перегиба

y``<0 на (- ∞ ;1/3), функция выпукла вверх

y`` >0 на (1/3; + ∞ ), функция выпукла вниз (прикреплено изображение)

Геометрический смысл производной в точке:

f`(x_(o))=k(касательной)=tg α

α - угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох

tg α находим из прямоугольного треугольника.

По определению тангенс острого угла треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Сами выбираем такой треугольник, у которого гипотенуза на касательной, катеты параллельны оси Ох и Оу и длины катетов хорошо вычисляются

tg α =12/4=3 ( на рис. 1) можно tg α =9/3=3 или tg α =6/2=3

f `(x_(o))=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) D(y)=(–∞;0)U(0;+ ∞)

точка x=0 не входит в область определения
Находим пределы слева и справа:
f(-0)=lim_(x→-0)f(x)=+ ∞
f(+0)=lim_(x→+0)f(x)=+ ∞

Они бесконечные, значит

х=0 - [b]точка разрыва второго рода[/b]

х=0 - [i]вертикальная асимптота.[/i]

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(-х)=(4-(-х)^3)/(-x)^2=(4+x^3)/x^2

y(-x)≠y(x)
y(-x)≠-y(x)

3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=-бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=+бесконечность.

[i]Горизонтальных асимптот[/i] нет

4)
Наклонная асимптота это прямая y=kx+b

Находим

k=lim_(x→ ∞ )(4-x^3)/x^3=-1

Находим

b=lim_(x→∞ )(f(x)-x)=lim_(x→+ ∞ )1/x^2=0

[b]y=-x [/b] - [i]наклонная асимптота.[/i]

5) f(x)=0
4-x^3=0
x=∛4 - точка пересечения с осью Ох

f(0)=не существует.
Точек пересечения с осью Оу нет.

[b]Исследование функции с помощью производной[/b]

6) y=(4/x^2)-x

y`=4*(-2)*x^(-3)-1

y`=(-8/x^3)-1

y`=0
x=2 – точка [b]минимума[/b], производная меняет знак с – на +

Знак производной:
_____–__ (-2 ) __+__ (0) __+ _

y`>0 на (-2; 0)
функция [b]возрастает[/b] на (-2; 0)

y`<0 на (- ∞ ;-2) и на (0;+ ∞ )
функция [b]убывает[/b] на (- ∞ ;-2) и на (0;+ ∞ )

у2)=(4-(-2)^2)/2^2=2

7)y``=-8*(-3)x^(-4)

y``=24/x^4 >0 при всех х≠0

Функция [b]выпукла вниз [/b]

Точек перегиба нет.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S=S_(прямоугольника)+2*S_(большой полукруг)+2S_(малый полукруг)=3*9+π*(9/2)^2+π*(3/2)^2=[b]27+22,5*π[/b]

Два полукруга это круг.
S_(1 круга)=πR^2=π*(9/2)^2
S_(2 круга)=πr^2=π*(3/2)^2 (прикреплено изображение)

Геометрический смысл производной в точке:

f`(x_(o))=k(касательной)=tg α

α - угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох

tg α >0 ⇔ k > 0 - угол острый.

k <0, значит касательная составляет с положительным направлением оси Ох [b]тупой [/b]угол.

Это точки x_(2), x_(3),x_(5)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим косинус смежного угла с катетами 4 и 2

По теореме Пифагора найдем гипотенузу
OB^2=4^2+2^2=16+4=20
OB=sqrt(20)=sqrt(4*5)=sqrt(4)*sqrt(5)=2sqrt(5)

cos α =2/2sqrt(5)

Тогда косинус смежного угла

∠ AOB=180 ° - α

cos( ∠ AOB) cos(180 ° - α )= по формулам приведения

[b]-[/b]cos α = [b]-[/b]2/(2sqrt(5))

О т в е т. (-2/2sqrt(5))*2sqrt(5))=-2

Ответ выбран лучшим

15x-12=2x+1
15x-2x=12+1

13x=13

x=1

Так как логарифмы определены только для положительных чисел

обязательно делать проверку.

[b]Проверка[/b]

log_(11)(15*1-12)=log_(11)(2*1+1)

log_(11)3=log_(11)3 - верно

О т в е т. [b]1[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]ODЗ[/b]:

{x+5>0 ⇒ x>-5
{x-2>0 ⇒ x>2
{x-2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
[b]x ∈ (2;3)U(3;+ ∞ )[/b]

По формуле перехода к другому основанию:

[m]log_{b}a=\frac{log_{c}a}{log_{c}b}[/m], a>0;b>0;c>0;b ≠ 1;c ≠ 1

[m]log_{7}(x-2)\cdot log_{x-2}(x+5)=\frac{log_{x-2}(x+5)}{log_{x-2}7}=log_{7}(x+5)[/m]

и неравенство принимает вид;

[m]log^{2}_{7}(x+5) ≥log_{7}(x+5) [/m]

или

[m]log_{7}(x+5) \cdot ( log_{7}(x+5)-1) ≥0 [/m]

Применяем обобщенный метод интервалов:

[m]log_{7}(x+5)=0[/m] ; [m] log_{7}(x+5)-1=0 [/m]

[m]x+5=1[/m] или [m]x+5=7[/m]

[m]x=-4[/m] или [m]x=2[/m]

__[red]+[/red]__ [-4] ____ [2] __[red]+[/red]___

С учетом ОДЗ

[b]x ∈ (2;3)U(3;+ ∞ )[/b]

Уравнение прямой в каноническом виде получается из параметрического, если выразить из каждой строчки t

t=[m]\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-7}{-8}[/m]

т. е t - коэффициент

одинаков и для координаты х и для у для z

[b]Точка А[/b]

3=1+t ⇒ t=2
-1=2-3t ⇒ t=-1
-1=7-8t ⇒ t=-1
Нет

[b]Точка В[/b]
1=1+t ⇒ t=0
2=2-3t ⇒ t=0
7=7-8t ⇒ t=0
Да

[b]Точка C[/b]

-5=1+t ⇒ t=-3
14=2-3t ⇒ t=-4
-3=7-8t ⇒ t=5/4
Нет

Если пара (x_(o);y_(o)) является решением системы, то и пары (-x_(o);-y_(o)) ;

(y_(o); x_(o)) ; (-y_(o);- x_(o)) также являются решением системы

При a=0

x=0; y=0
решение системы.

ОДНО РЕШЕНИЕ

При a ≠ 0
система имеет два решения, если пары
(x_(o);y_(o)) и (у_(o);х_(o)) совпадают
и
(x_(o);y_(o)) и (-у_(o);-х_(o)) совпадают

Т.е
x_(o)=y_(o) или x_(o)=-y_(o)

{x^2_(o)+x^2_(o)=a^2
{x_(o)*x_(o)=a^2-3a

a^2=2*(a^2-3a)
a^2=2a^2-6a
a^2-6a=0

a=0; [red]a=6[/red]

или
{x^2_(o)+(-x_(o))^2=a^2
{x_(o)*(-x_(o))=a^2-3a

6a-a^2=a^2
6a-2a^2=0
a=0; [green]a=3[/green]

При a=3 в силу симметрии получаем четыре решения

см. рис.

О т в е т. [b] 6[/b] (прикреплено изображение)

По свойству модуля

|t|=a

t=a или t=-a

[b]x^5-512x+32=32-x^5 [/b] или [b] x^5-512x+32=-32+x^5[/b]
2x^5-512x=0 или -512х=-64

2x(x^4-256)=0 или [b]х=1/8[/b]

x*(x^2-16)(x^2+16)=0

[b]х=0;[/b] [b]х= ± 4[/b]

О т в е т.
[b]-4; 0; 1/8; 4[/b]

8,8 +6,8*х < 30,8*x + 15,6*x

Не нравится, что справа х два раза. Так не бывает в условиях
Проверьте

Возможно так:

4*(2,2 + 1,7*х) < 30,8 + 15,6*х

8,8 +6,8*х < 30,8 + 15,6*x

8,8-30,8 < 15,6*x-6,8*x

-22 < 8,8*x

8,8*x > -22

[b]x> -2,5[/b]

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos(x+(π/2))= -sinx
По свойству нечетности:
sin(x–3π)=- sin(3π-x)
и по формулам приведения:
sin(3π-x)=sinx

(-sinx)^2-sinx+2=0

[i]Квадратное уравнение[/i]

t^2-t+2=0

D=1-4*2 <0 ??? что-то не так в условии

можно предположить, что там не [red]+[/red]2, а [red]-[/red]2

Решите уравнение sin^2(x–3π)+cos(x+(π/2))[red]-[/red]2=0

t^2-t[red]-[/red]2=0

D=9
корни
t_(1)=-1; t(2)=2

Обратный переход:

sinx=-1

x=-(π/2)+2πk, k ∈ Z

второе уравнение
sinx=2
не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1

О т в е т. [b]а)-(π/2)+2πk, k ∈ Z[/b]

б)[0,3π/2] принадлежит один корень

-(π/2)+2π=3π/2

Среднее арифметическое и есть этот корень

Умножаем на
(12/π)

получаем

(12/π)*(3π/2)=18

О т в е т. б) [b]18[/b]

График на отрезке [a;b]

Тогда

S= ∫ ^(b)_(a)f(x)dx

Так как по формуле Ньютона - Лейбница:

∫ ^(b)_(a)=F(b)-F(a)

и по условию

F(x)=(1/3)* x^3 – x^2+ 2x–1

Осталось найти
F(b)=(1/3)* b^3 – b^2+ 2b–1
и
F(a)=(1/3)* a^3 – a^2+ 2a–1

S=(1/3)* b^3 – b^2+ 2b - (1/3)* a^3 + a^2- 2a

Ответ выбран лучшим

Свойство неравенств:

a>0 ; b>0

и

a < b, тогда [m]\frac{1}{a} >\frac{1}{b}[/m]

[m]\frac{5}{100} <x<\frac{125}{1000}[/m] ⇒ [m]\frac{100}{5} >\frac{1}{x}>\frac{1000}{125}[/m]

[m]20 >\frac{1}{x}>8[/m]

Запишем в привычном виде:

[m] 8 < \frac{1}{x} < 20[/m]

О т в е т. [m] 8 < \frac{1}{x}< 20[/m]

Ответ выбран лучшим

x+2y=7 ⇒ x=7-2y

Подставим в данное выражение:

3x^2-6xy+y^2+5x+96y-68=3*(7-2y)^2-6*y(7-2y)+y^2+5*(7-2y)+96y-68=

=([b]7-2y[/b])*(3*([b]7-2y[/b])-6y)+y^2+35-10y+96y-68

раcкрываем скобки

=(7-2y)*(21-12y)+y^2+86y-33=

=147[red]-42y-84y[/red]+[b]24y^2[/b]+[b]y^2[/b]+35+[red]86y[/red]-33=

и получим квадратный трехчлен:

=25y^2+40y+114

f(y)=25y^2+40y+114

принимает наименьшее значение при y=[m]-\frac{40}{50}=-\frac{4}{5}[/m]

f([m]-\frac{4}{5}[/m])=25*([m]-\frac{4}{5}[/m])^2+40*([m]\frac{-4}{5}[/m]))+114=

=16-32+114=130-32=[b]98[/b]

13 и (30-17)
cм. рис. (прикреплено изображение)

[red]По определению[/red]:

Последовательность является[i] возрастающей[/i], если x_(n+1) > x_(n)

[i]убывающей[/i], если x_(n+1) < x_(n)

[m]x_{n}=\frac{6}{n+1}[/m]; [m]x_{n+1}=\frac{6}{(n+1)+1}[/m];

Рассмотрим[red] разность[/red]

[m]x_{n+1}-x_{n}=\frac{6}{(n+1)+1}-\frac{6}{n+1}[/m];

и сравним с 0

Ответ выбран лучшим

[red]Первый способ[/red]

Раскрываем скобки

применяем формулы [r] (a ± b)^2=a^2 ± 2ab+b^2[/r]

x^2-8x+16=x^2+22x+121
-30x=105
[b]x=-3,5[/b]

[red]Второй способ[/red]

Переносим влево

(x-4)^2-(x+11)^2=0

Применяем формулу[r] a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/r]

(x-4-x-11)*(x-4+x+11)=0

-15*(2x+7)=0

2x+7=0

[b]x=-3,5[/b]

[red]Третий способ[/red]

Извлекаем квадратный корень:

применяем формулу [r] sqrt(x^2)=|x|[/r]

sqrt((x-4)^2)=sqrt((x+11)^2)

|x-4|=|x+11|

Модули[b] равны[/b] ⇒ [i] подмодульные [/i]выражения

имеют равные знаки или противоположные

(равные оба + или оба с - приводят к уравнению 1)

x-4= x+11

противоположные (-слева и + справа или + слева, - справа приводят к уравнению 2)

x-4=- (x+11)

первое уравнение не имеет корней; второе имеет корень[b] х=-3,5[/b]

О т в е т. -3,5

Шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.
HА=HF=HE=HD=AF=FE=ED и т.д. см рис.

Поэтому по теореме Пифагора из Δ SHD

SD^2=SH^2+HD^2=(4sqrt(3))^2+1=48+1=49

SD=[b]7[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Мне не нравится, что y=3x; y=2x и y=0

4а)

Рассуждаем так. z=0 - это пл. ХОУ

y=3x; y=2x - это плоскости, проходящие по таким же прямым на пл ХОУ и эти пл-ти || оси Оz

x=2 - тоже понятно

cм. вырисовывается такой кусочек (серый) : см. рис на пл.

Получим треугольную призму, которую сверху накрывает перевернутый зонтик-эллиптический параболоид

z=2x^2+y^2

4б)

x^2+y^2 ≤ 4 - на пл ХОУ это внутренность круга.

В пространстве это неограниченный цилиндр, простирающийся и вверх и вниз.

x ≥ 0 - на пл. ХОУ это правая полуплоскость.

В пространстве это половинка этого бесконечного цилиндра.

x^2+y^2+z^2=16- это сфера. которая спрячет цилиндр внутри себя.

Накроет его и сверху и снизу.

получится половина цилиндра накрытая сверху куполом и симметрично снизу, купол вниз

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)

log(2)8=3, так как 2^3=8

Спрашиваем в какую степень возвести 2, чтобы получить 8

В третью

Поэтому

log_(2)8=3

Поэтому:
log_(3) [b](log_(2)8)[/b])=log_(3)3=1

2)

log_(1/3)sqrt(3)=log_(1/3)*3^([red]1/2[/red])

свойство логарифма степени

=([red]1/2[/red])log_(1/3)3=(1/2)*(-1)=-1/2=-0,5

так как

log_(1/3)3=?

в какую степень возвести (1/3) чтобы получилось 3

ответ в (-1)

(1/3)^(-1)=3

3)

log_(7) (7^(1/4)/49)=log_(7) 7^((1/4)-2)=log_(7)7^([b]-7/4[/b])=

свойство логарифма степени

=([b]-7/4[/b])log_(7)7=-(7/4)

log_(7)7=1

7^(1)=7

[green]a[/green]^([red]x[/red])=[b]b [/b]⇒ log_([green]a[/green])[b]b[/b]=[red]x[/red]

Ответ выбран лучшим

Касательная параллельна прямой y=x

Что это значит.

Значит их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент прямой y=x равен 1

Угловой коэффициент касательной равен производной в точке.

k_(касательной)=f ` (x_(o))

Чтобы узнать в каких точках
f `(x_(o))=1
проводим прямую y=1

Она пересекает график в двух точках
См. рис.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

если угол α быд в четвертой четверти, то тогда мы окажемся в третьей четверти, а там как раз косинус отрицательный. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сначала находим абсциссы точек пересечения

6x+23-x^2=x^2-6x-9

2x^2-12x-32=0

x^2-6x-16=0

D=(-6)^2-4*(-16)=36+64=100

x_(1)=(6-10)/2=-2; x_(2)=(6+10)/2=8

S= ∫ ^(8)_(-2) (( 6x+23-x^2)-(x^2-6x-9))dx

=∫ ^(8)_(-2)(32+12x-2x^2)dx=

=(32x+12*(x^2/2)-2*(x^3/3))|^(8)_(-2)=

=(32*8+6*8^2-(2/3)*8^3 - 32*(-2)+6*(-2)^2+(2/3)*(-2)^3=...

Ответ выбран лучшим

Это (1/4) и (1/8) части круга.

Так как :

S_(круга)=πR^2=π*4^2=[b]16π[/b]

Делим эту площадь на 4 части, получаем площадь одной четвертой.
16π:4=4π

Делим эту площадь на 8 частей, получаем площадь одной восьмой
16π:8=2π

Складываем:
4π+2π=[b]6π[/b] - о т в е т (прикреплено изображение)

x=sqrt(2x)
x^2=2x

x^2-2x=0
x(x-2)=0
x=0; x-2=0

[b]х=0; х=2[/b]

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 2

(sqrt(m)-sqrt(n))*(sqrt(m)+sqrt(n))=(sqrt(m))^2-(sqrt(n))^2=m-n

2*(m-n)=2*(8-4)=2*4=8

sqrt(2*m*n)=sqrt(2*8*4)=sqrt(64)=8

О т в е т. 8/8=[b]1[/b]

1/8 < 1/3 < 5/6 < 3 целых 1/6 < 3,4

1/3=2/6

2/6 < 5|6

3 целых 1/6 = 19/6

3,4=34/10 = 17/5

19/6=95/30

17/5=102/30

95/30 < 102/30

3 целых 1/6 < 3, 4

Ответ выбран лучшим

АВ- диаметр

АВ=2R

R=7,5 cм

Δ AOC - равнобедренный (АО=ОС=R)

Угол при вершине 60 ° . Значит Δ AOC - равносторонний

AC=OC=AO=7,5

О т в е т. 7,5 (прикреплено изображение)

складываем
cosx*cosy + sinx*siny = sin²y+ cos²y

cos(x-y)=1

вычитаем

cosx*cosy - sinx*siny = sin²y- cos²y

cos(x+y)=-cos2y

{cos(x-y)=1 ⇒ [b] x-y=2πk, k ∈ Z[/b]
{cos(x+y)=-cos2y ⇒ cos(x+y)+cos2y=0

cos(x+y)+cos2y=0

2cos[m]\frac{x+y+2y}{2}[/m]*cos[m]\frac{x+y-2y}{2}[/m]=0

2cos[m]\frac{x+3y}{2}[/m]*cos[m]\frac{x-y}{2}[/m]=0

cos[m]\frac{x+3y}{2}[/m]=0 или cos[m]\frac{x-y}{2}[/m]=0

[m]\frac{x+3y}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n, [/m]n ∈ Z или [m]\frac{x-y}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi m, [/m]m∈ Z

Две системы:
{[m]\frac{x+3y}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n, [/m]n ∈ Z
{[b]x-y=2πk, k ∈ Z[/b]

или

{[m]\frac{x-y}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi m, [/m]m∈ Z
{[b]x-y=2πk, k ∈ Z[/b]

их решаем и находим х и y

{[m]x+3y=\pi+ 2\pi n, [/m]n ∈ Z
{[b]x-y=2πk, k ∈ Z[/b]

Умножаем второе на 3
{[m]x+3y=\pi+ 2\pi n, [/m]n ∈ Z
{[b]3x-3y=6πk, k ∈ Z[/b]

и складываем

[m]4x=\pi+ 2\pi n+6\pi k[/m]n, k ∈ Z

[m]x=\frac{\pi}{4}+2\pi \cdot (3k+n)[/m]

[m]y=x-2\pi k = \frac{\pi}{4}+2\pi \cdot (3k+n)-2\pi k[/m]

[m]x=\frac{\pi}{4}+2\pi \cdot m[/m], m=3k+n

[m]y=x-2\pi k = \frac{\pi}{4}+2\pi \cdot (2k+n)[/m]

Вторая система:

{[m]\frac{x-y}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi m, [/m]m∈ Z
{[b]x-y=2πk, k ∈ Z[/b]

{[m]x-y=\pi+2\pi m, [/m]m∈ Z
{[b]x-y=2πk, k ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

Прямоугольный параллелепипед ⇒ основание прямоугольник.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра ⇒

основание описано около окружности.

Значит, прямоугольник - квадрат

Сторона квадрата

a=2R=2*6=12

S_(квадрата)=a^2=12^2=144

V+( параллелепипеда)= S_(квадрата) * H

H=720:144=[b]5[/b]

Н_(цилиндра)=Н_( параллелепипеда)

Ответ. 5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ctg^2x - ctgx -sqrt(3)ctgx +sqrt(3)=0

ctgx не существует, если [b] sinx=0[/b], поэтому x ≠ πm, m ∈ Z

Сгруппируем:

(ctg^2x - ctgx) -(sqrt(3)ctgx -sqrt(3))=0

ctgx(ctgx-1) - sqrt(3) *(ctgx -1)=0

(ctgx - 1)*(ctgx - sqrt(3))=0

ctgx-1 =0 или ctgx-sqrt(3)=0

ctgx=1 или ctgx =sqrt(3)

x=[m]\frac{\pi}{4}+\pi k[/m], k ∈ Z или x=[m]\frac{\pi}{6}+\pi n[/m], n ∈ Z

О т в е т.
[m]\frac{\pi}{4}+\pi k[/m], k ∈ Z
[m]\frac{\pi}{6}+\pi n[/m], n ∈ Z

б)
[m]\frac{\pi}{4}+2\cdot \pi=\frac{\pi}{4} [/m],
[m]\frac{\pi}{6}+2\cdot \pi=\frac{13 \pi}{6} [/m].

Ответ выбран лучшим

y`=6x^2-6x-12

y`=0

6x^2-6x-12=0

x^2-x-2=0

D=9

x_(1)=-1; x_(2)=2

Знак производной:

__+_ (-1) __-___ (2) __+___

y`>0 на (- ∞ ;-1) и на (2;+ ∞ )

⇒ функция возрастает на (- ∞ ;-1) и на (2;+ ∞ )

y` <0 на (-1;2)

⇒ функция убывает на (-1;2)

О т в е т.
функция непрерывна и определена на концах промежутков

функция возрастает на (- ∞ ;-1] и на [2;+ ∞ )

функция убывает на [-1;2]

[m]1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}[/m] ⇒ [m]tg^2x=\frac{1}{cos^2x}-1[/m] ⇒

Уравнение принимает вид

[m]\frac{1}{cos^2x}-1=\frac{sin2x}{cos^2x}-1[/m]

или

[m]\frac{1}{cos^2x}=\frac{sin2x}{cos^2x}[/m]

{[m]sin2x=0[/m]
{[m]cos^2x ≠ 0[/m] ⇒[m] x ≠ \frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z[/m]

[m]sin2x=1[/m]

[m]2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z[/m]

[m]x=\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in Z[/m] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

АС^2=5^2+3^2=25+9=34

АВ^2=BC^2+AC^2=15^2+34=225+34=259 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3x^2=9x
3x^2-9x=0
3x*(x-3)=0
x=0; x=3

V=π ∫ ^(3)_(0) ((9x)^2-(3x^2)^2)dx=

=π* ∫ ^(3)_(0)(81x^2-9x^4)dx=

=π*(81*(x^3/3)-9*(x^5/5))|^(3)_(0)=

=π*(27x^3-(9/5)x^5)|^(3)_(0)=

=π*(27*3^3-(9/5)*3^(5))=π*(27*27-(243*9)/5)=...

Ответ выбран лучшим

Там, где производная равна 0

y=x^2*(x^2-4x+4)

y=x^4-4x^3+4x^2

y`=4x^3-12x^2+8x

y`=0

4x^3-12x^2+8x=0

4x*(x^2-3x+2)=0

x=[b]0; 1; 2[/b]

V_(1)[b]=π*r^2*H[/b]

V_(2)=π*R^2*h

R=5r
h=H/9

V_(2)=π*R^2*h=π*(5r)^2*(H/9)=(25/9)*[b]πr^2*H[/b]=(25/9)[b]V_(1)[/b]=(25/9)*36=100

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(b)_(a)(f(x)-g(x))dx

a=0
b=13
f(x)=(1/9)x-1
g(x)=(1/6)^(x)

S= ∫ ^(13)_(0)((1/9)(x)-1)-(1/6)^(x)dx=

=((1/9)*(x^2/2) - x -(1/6)^(x)/ln(1/6))|^(13)_(0)=

=(1/18)*(13^2-13-(1/6)^(13)/ln(1/6)-(1/6)^(0)/ln(1/6)=

=[b](169/18)-13+(1/ln6)*(1-(1/6)^(13))[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∫ ^(2π)_(3π/2) (6+sinx)dx=(6x-cosx)|^(2π)_(3π/2)=

=6*(2π-(3π/2))- (cos2π-cos(3π/2))[b]=3π-1[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это треугольная призма А_(1)ВDCBB_(1)

V=(1/2) V_(призмы)=(1/2)*7*6*4=[b]84 [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

16x^2=8sqrt(x)

256x^4=64x

4x^4=x

x=0; x=(1/∛4)

S= ∫ ^(1/∛4)_(0)(8*sqrt(x)-16x^2)dx=

=(8* x^(3/2)/(3/2)-(16x^3/3))|^(1/∛4)_(0)=

=(16/3)( x^(3/2)-x^3)|^(1/∛4)_(0)=

=(16/3)*((1/2)-(1/4)=(16/3)*(1/4)=16/12=[b]4/3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

q=b_(2):b_(1)=-140:(-175)=4/5

q=b_(3):b_(2)=-112^(-140)=4/5

q=4/5

Формула общего члена геометрической прогрессии:

[r]b_(n)=b_(1)*q^(n-1)[/r]

b_(5)=?

[b]n=5[/b]

[b]b_(1)=-175;[/b]

[b]q=4/5[/b]

получаем:

b_(5)=(-175)*(4/5)^4=(-7*256)/(25)= - 71,68

Составляем уравнение плоскости, проходящей через три точки
(cм. рис.1)

Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки
(cм. рис. 2)

Решаем систему уравнений:
{x+4y-4z-28=0
{x=-17t-22
{y=8t+12
{z=8t-2

Подставляем три последних в первое и находим t

-17t-22+4*(8t+12)-4*(8t-2)-28=0

t=6/17

x=-6-22=-28
y=(12*21)/17
z=12/17

О т в е т[b]. (-28; (12*21)/17; 12/17)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

17!=[b]1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11812*13*14[/b]*15*16*17=

=14!*15*16*17

17!-14!=14!(15*16*17-1)

14!=12!*13*14

(17!-14!)/12!=13*14*(15*16*17-1)

Находим абсциссы точек пересечения:
x^2-2x-4=2x+2-x^2

2x^2-4x-6=0

x^2-2x-3=0

D=16

x_(1)=-1; x_(2)=3

S= ∫ ^(b)_(a)(f(x)-g(x)dx

S=∫ ^(3)_(-1)(2x+2-x^2-(x^2-2x-4))dx=

=∫ ^(3)_(-1)(6+4x-2x^2)dx=(6x+2x^2-(2/3)x^3)|^(3)_(-1)=

=6*(3-(-1))+2*(3^2-(-1)^2)-(2/3)*(3^3-(-1)^3)=

=24+16-(2/3)*28=[b]64/3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(1)=15*10-3*10=150-30=120 Площадь передней грани
См. рис.1
S_(2)=15*5=75- площадь боковой грани
См. рис. 2
S_(3)=5*10=50- площадь основания как нижнего так и верхнего.

S=2*S_(1)+2*S_(2)+2*S_(3)=2*120+2*75+2*50=240+150+100=[b]490[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

область определения
х+2 ≠ 0 ⇒ х ≠ -2

Находим производную по правилу производная частного:

f `(x)=((2x-2,5)*(x+2)-(x^2-2,5x))/(x+2)^2

f `(x)=(2x^2-2,5*x+4x-5-x^2+2,5x)/(x+2)^2

f `(x)=(x^2+4x-2,5)/(x+2)^2

f ` (x)=0
x^2+4*x-5=0
х+2 ≠ 0 ⇒ х ≠ -2 не входит в область определения

D=16+20=36

x_(1)=(-4-6)/2; x_(2)=(-4+6)/2

x_(1)=-5; x_(2)=1

Расставляем знак производной:

_+__ (-5) __-__(-2) __-___ (1) _____+___

x=-5 - точка[b] максимума[/b], производная меняет знак с + на -

См. рис.

x=1- точка [b]минимума[/b]

Возрастает
x ∈ (- ∞; -5) и (1;+ ∞ )
Убывает
x ∈ (-5;-2) и (-2;1)
(прикреплено изображение)

S= ∫ ^(6)_(1)x^2dx=(x^3/3)|^(6)_(1)=(6^3/3)-(1^3/3)=(216/3)-(1/3)=

=[b]215/3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=3x^2-6y-39
z`_(y)=2y-6x+18

Находим стационарные точки - точки, в которых частные производные равны 0

Решаем систему уравнений:
{3x^2-6y-39=0
{2y-6x+18=0 ⇒ y=3x-9 и подставляем в первое

3x^2-6*(3x-9)-39=0

находим точки (x_(o));y_(o))

Затем исследуем каждую точку с помощью достаточного условия.

Для этого находим частные производные:

z``_(xx)=(3x^2-6y-39)`_(x)=12x

z``_(уу)=(2y-6х+18)`_(у)=2

z``_(xy)=(3x^2-6y-39)`_(y)=-6

Считаем эти производные в найденных точках:

A=z``_(xx)(x_(o)y_(o))=12x_(o)

B=2

C=-6

Δ=АВ-C^2

Если Δ>0 есть экстремум , если А=12x_(o) < 0, то максимум

если А=12x_(o) > 0, то минимум

Ответ выбран лучшим

Найти производную и убедиться, что она положительна.

Если производная положительна, функция возрастает

f `(x)=3x^2

Ответ выбран лучшим

tg ∠ F=DE/FE

FE=DE/tg ∠ F=8/0,4=80/4=20

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В основании равносторонний треугольник со стороной 8

S_(осн)=a^2*sqrt(3)/4=8^2*sqrt(3)/4=16sqrt(3)

V=S_(осн)*H=16sqrt(3)*6sqrt(3)=96*3=288 (прикреплено изображение)

1)
sin(-60 °) =-sin60 ° =-sqrt(3)/2
cos(-45 ° )=cos45 ° =sqrt(2)/2
tg30 ° =sqrt(3)/3

[b]2 sin(– 60°)+ соs(– 45° )+tg 30°=[/b] -sqrt(3)+sqrt(2)/2+(sqrt(3)/3)=

=(3sqrt(2)-4sqrt(3))/6

2) cos135 ° - cos75= -2 sin(1/2)*(135 ° +75 ° )* sin(1/2)*(135 ° -75 ° )

=-2 sin (105 ° )*sin45 °

sin105 ° =sin(60 ° +45 ° )=sin60 ° *cos45 ° +cos60 ° *sin45 ° =

так как sin45 ° =cos45 ° =sqrt(2)/2

=sqrt(2)/2 * (sqrt(3)+1)/2

3)
[b]cos105 ° +cos135 °[/b] =2 cos(1/2)*(105 ° +135 ° )*cos(1/2)(105 ° -135 ° )=

=2cos(120 ° )*cos(-15 ° )=-sqrt(2+sqrt(3))/2

cos120 ° =cos(180- ° 60 ° )=-cos60 ° =-1/2

cos(-15 ° )=cos15 °

cos^215 ° =(1+cos30 ° )/2=(2+sqrt(3))/4

cos15 ° =2)=sqrt(2+sqrt(3))/2

Ответ выбран лучшим

162 : 1
162 :2
162:6=

Ответ выбран лучшим

a)
y`=2*(x-sinx)^2((x-sinx)`=2*(x-sinx)^2*(1-cosx)

y`(π)=2*(π-sinπ)^2*(1-cosπ)=2*(π-0)^2*(1-(-1))=4π^2

Ответ выбран лучшим

a)
z`_(x)=6x
z`_(y)=-2y

z`_(x)(M_(o))=6*1=[b]6[/b]
z`_(y)(M_(o))=-2*1=[b]-2[/b]

и подставляем в формулу ( см. рис. 1)

б)
F`_(x)=2x/a^2

F`_(y)=2y/b^2

F`_(z)=2z/c^2

F`_(x)(M_(o))=2sqrt(3)/(3a);

F`_(y)(M_(o))=2sqrt(3)/(3b);

F`_(z)(M_(o))=2sqrt(3)/(3c);

и подставляем в формулу ( см. рис. 2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∂z/ ∂x= z`_(x)=

[m]=\frac{(sin(x-y))`_{x}\cdot x-x`\cdot sin(x-y)}{x^2}=\frac{x\cdot cos(x-y)\cdot (x-y)`_{x}-1\cdot sin(x-y)}{x^2}[/m]=

=[m]\frac{x\cdot cos(x-y)-sin(x-y)}{x^2}[/m]

∂z/ ∂y=z`_(y)=

[m]=\frac{1}{x}\cdot(sin(x-y))`_{y}=\frac{1}{x}\cdot cos(x-y)\cdot (x-y)`_{y}=\frac{1}{x}\cdot cos(x-y)\cdot (-1)= [/m]

=[m]-\frac{1}{x}\cdot cos(x-y)[/m]

∂^2z/ ∂y^2=(z`_(y))`_(y)=([m]-\frac{1}{x}\cdot cos(x-y)[/m])`_(y)=

=-[m]\frac{1}{x}\cdot (-sin(x-y))\cdot (x-y)`_{y}=-\frac{1}{x}\cdot sin(x-y)[/m]

∂ / ∂ x(x^2* ∂ z/ ∂ x)=[m](x\cdot cos(x-y)-sin(x-y))`_{x}=[/m]

[m]=cos(x-y)+x(-sin(x-y))-cos(x-y)=-xsin(x-y)[/m]

Подставляем в уравнение:

-xsin(x-y) - х* [m](-\frac{1}{x}\cdot sin(x-y))=0[/m] - верно

Ответ выбран лучшим

1) Да, если точки находятся на одинаковом расстоянии по одну сторону от плоскости.

В противном случае нет

2) Да

МК || АС как средняя линия Δ ADC
MP || BD как средняя линия Δ ADB

Признак параллельности прямой и плоскости:
прямая АС должна быть была параллельна прямой, лежащей в этой плоскости

3)
а)
что значит прямая проходит через две стороны?
Если прямая пересекает эти стороны, то да лежит.

б) не обязательно. Это может быть скрещивающая прямая.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

d=a_(2)-a_(1)=6,4-7,8=-1,4
d=a_(3)-a_(2)=5-6,4=-1,4

d=-1,4 - разность арифметической прогрессии

a_(n)=a_(1)+d*(n-1) - формула общего члена арифметической прогрессии

двадцатый член арифметической прогрессии
n=20:

a_(20)=a_(1)+d*(20-1)
a_(1)=7,8
a=-1,4
a_(20)=7,8+(-1,4)*(19)=считаем самостоятельно

Найдем сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия.

Решим неравенство:

a_(n) >0

a_(1)+d*(n-1) >0

7,8+(-1,4)*(n-1) >0

-1,4*(n-1)>-7,8

1,4*(n-1) < 7,8
n-1 < 7,8:1,4
n-1 < 5,..считаем самостоятельно
n < 6,...считаем самостоятельно

Значит 6 положительных членов содержит арифметическая прогрессия.

a_(7)
a_(8)
a_(9) - третий отрицательный член арифметической прогрессии.

По формула общего члена арифметической прогрессии
при n=9

a_(9)=a_(1)+d*(9-1)

a_(9)=7,8+(-1,4)*8= считаем самостоятельно

Так как x^2-10x+26=x^2-10x+25+1=(x-5)^2+1

и

[m] \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=ln|x+\sqrt{x^2+1}+C[/m], то

[m] \int \frac{dx}{\sqrt{(x-5)^2+1}}=\int \frac{d(x-5)}{\sqrt{(x-5)^2+1}}=ln|x-5+\sqrt{x^2-10+26}|+C[/m]

[red]а)[/red]
По условию секущая плоскость делит боковые ребра противоположной грани SED [b]пополам.[/b]

Пусть M- середина SE, N- середина SD.
MN - средняя линия Δ SED.
MN || ED, ED || AB

[b]MN || AB[/b]

Cекущая плоскость пересекает плоскость основания АВСDEF по прямой АВ, значит АВ- [i]след секущей плоскости[/i].

Продолжаем сторону DC до пересечения с прямой АВ в точке L.
Соединяем L c N
Р.- точка пересечения LN с ребром SC..
Аналогично находим точку Q на ребре SF.

Шестиугольник AQMNPB - искомое сечение.

Cм выносной чертеж грани SCD.

LC=[b]CD[/b]
SN=ND ⇒ [b]CN[/b]- [b]средняя линия[/b] Δ SLD

В Δ LND проводим прямую CK через точку С параллельно LN.
CK [i]- средняя линия [/i] Δ LND
DК=КN=(1/2)ND=(1/4)SD ⇒ по т Фалеса СP:SP=1:2
[b]SP=(2/3)SС[/b]
[b]SN=(1/2)SD[/b]

S_( ΔSCD)=(1/2)SC*SD*sin ∠ CSD
S_( Δ)SPN=(1/2)SP*SN*sin ∠ CSD=(1/2)*(2/3)SC*(1/2)SD*sin ∠ CSD=
=(1/3)*(1/2)SC*SD*sin ∠ CSD=(1/3)S_( ΔSCD)

S_( Δ)SPN: S_( ΔSCD)=1:3 ⇒ S_( Δ)SPN:S_( Δ)CPND=1:2,
что и требовалось доказать.

[red]б)[/red]
По условию сторона основания равна [b]1[/b], а высота пирамиды равна [b]3/2[/b]

Пусть G- середина MN, H- середина АВ.

Из точки G проводим перпендикуляр GW к пл АВСDEF;

Этот перпендикуляр - средняя линия треугольника, образованного высотой SO и апофемой боковой грани
GW=SO/2=3/4

Апофема боковой грани по теореме Пифагора
(sqrt(3)/2)^2+(sqrt(3)/2)^2)=sqrt(12/4)=sqrt(3)

Точка W делит прямую делит высоту шестиугольника проведенную к АВ в точке H в отношении 3:1, считая от точки Н

Тогда

GH^2=AW^2+GW^2=((3/4)*sqrt(3))^2+(3/4)^2=36/16

GH=[b]3/2[/b]

Δ SQP ~ Δ SEC

SP:SC=PQ:FC
PQ[b]=4/3[/b]

Прямая PQ делит высоту GH на части 2:1 считая от точки H

S_(cечения)=S_(трапеции АВPQ)+S_(трапеции PQMN)

=[m]\frac{1+\frac{4}{3}}{2}\cdot1+\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}{2}\cdot 0,5=\frac{11}{24}+\frac{7}{6}=\frac{39}{24}=\frac{13}{8}[/m]

О т в е т.[m]\frac{13}{8}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[red]a)[/red]
Δ ABD вписан в окружность.
По теореме синусов:

[m]\frac{AB}{sin\angle ADB}=2R[/m]

По условию
AB=sqrt(2)
R=1

Значит,
[m]sin\angle ADB=\frac {\sqrt{2}}{2}[/m] ⇒ [m]\angle ADB=45^{o}[/m]

[m]\angle ABE= \angle ADE=45^{o}[/m], как углы, опирающиеся на

одну и ту же дугу AE

∠ BDE= ∠ ADB+ ∠ ADE=45 ° +45 ° =90 °

BE-[i] диаметр окружности.[/i]

Центр окружности О лежит на диагонали BD пятиугольника

[red]б)[/red]

По теореме синусов для Δ BED

[m]\frac{ED}{sin30^{o}}=2[/m] ⇒ ED=1;

BE-[i] диаметр окружности.[/i] ⇒ ВЕ=2

По теореме Пифагора

[b]BD=sqrt(3)[/b]

⇒ sin ∠ BCD=sqrt(3)/2; ∠ BCD=120 °

BC=CD=[b]1[/b]

Четырехугольник ABDE вписан в окружность.

Сумма противолежащих углов равна 180 °

⇒ ∠ BAE + ∠ BDE=180 ° ⇒ ∠ BAE =90 °

Δ BAE - прямоугольный равнобедренный, АВ=АЕ=[b]sqrt(2)[/b]

S_(пятиугольника)=S_( Δ АВЕ)+S_( Δ BDE)+S_( Δ BCD)=

=[m]\frac{1}{2}AB\cdot AE +\frac{1}{2}BD\cdot DE + \frac{1}{2}1\cdot 1\cdot sin \angle BCD=[/m]

[m]=1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=1+\frac{3\sqrt{3}}{4}[/m]

О т в е т. [m]1+\frac{3\sqrt{3}}{4}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
[m]=2\int \frac {1}{\sqrt{4-x^2}}dx+\int \frac{4x^2}{x^3}dx -\int \frac{1}{x^3}dx-2\int x^{\frac{3}{8}}dx=[/m]

[m]=2\int \frac {1}{\sqrt{2^2-x^2}}dx+4\int \frac{1}{x}dx -\int x^{-3}dx-2\int x^{\frac{3}{8}}dx=[/m]

[m]=2arcsin\frac{x}{2}+4ln|x|-\frac{x^{-3+1}}{-3+1}-2\cdot \frac{x^{\frac{3}{8}+1}}{\frac{3}{8}+1}+C=[/m]

[m]=2arcsin\frac{x}{2}+4ln|x|+\frac{2}{x^{2}}-2\cdot \frac{x^{\frac{11}{8}}}{\frac{11}{8}}+C=[/m]

[m]=2arcsin\frac{x}{2}+4ln|x|+\frac{2}{x^{2}}-2\cdot\frac{8}{11} \sqrt[8]{x^{11}}+C[/m]

б)

[m]\int ( \frac{6}{3(x^2-3}+\frac{3sin^3x}{sin^2x}-5\frac{1}{sin^2x})=[/m]

[m]=2\cdot \int \frac{dx}{x^2-(\sqrt{3})^2}+3\int sinxdx-5\int \frac{1}{sin^2x}dx=[/m]

[m]=\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot ln |\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}| + 3\cdot (-cosx) - 5(-ctgx)+C[/m]

[m]=\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot ln |\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}| - 3\cdot cosx+5\cdot ctgx+C[/m]

u=7x-1
dv=cosxdx

du=7dx
v= ∫ cosxdx=sinx

∫ udv=u*v- ∫ vdu

∫ (7x-1)*cosxdx=(7x-1)*sinx - 7 ∫ sinxdx=

=(7x-1)*sinx - 7*(-cosx) +C=

=[b](7x-1)*sinx+7cosx+C[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
f(x)=4+x^(5);

f`(x)=5x^4

f`(x) ≥ 0 при любом х

Функция [b]возрастает[/b] на (- ∞ ;+ ∞)

б)
f(x)=–6/x+9

f`(x)=-6*(x^(-1))`=-6*(-1x^(-2))=6/x^2 >0 при x ≠ 0

Функция [b]возрастает [/b]на (- ∞ ;0) U (0;+ ∞ )

–·–= +
+·+=+
+·–=-
–·+=-

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\int_{1}^{3}(x^2-16x+3)dx=(\frac{x^{3}}{3}-16\cdot \frac{x^{2}}{2}+3x)|_{1}^{3}=[/m]

[m]=(\frac{3^{3}}{3}-16\cdot \frac{3^{2}}{2}+3\cdot 3)-(\frac{1^{3}}{3}-16\cdot \frac{1^{2}}{2}+3\cdot 1)=[/m]

[m]=9-8\cdot 9+9-\frac{1}{3}+8-3=-49\frac{1}{3}[/m]

а) 48–12·(–5)=48+60=108
б)69–(–12)·(–5)=69-60=9
в)129–15·9=129-135=-6
г)456–45·(–6)=456+270=726
д)158–45·7=158-315=-157
е)258–13·(–7)=258+91=349

Ответ выбран лучшим

2 буквы м
3 буквы а
2 буквы т
1 буква и
1 буква е

Вынуть первый раз букву т
p_(1)=2/9

Вынуть второй букву е
p_(2)=1/8

Вынуть букву м
p_(3)=2/7

p_(4)=3/6

p=p_(1)*p_(2)*p_(3)*p_(4)=(2/9)*(1/8)*(2/7)*(3/6)=1/252

f`(x)=3x^2-6x+2

x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2

2x+4=(x-2)^2

2x+4=x^2-4x+4

x^2-6x=0

х*(х-6)=0

x=0; x=6

x=0 не удовл. усл. x ≥ 2

О т в е т [b]6[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
1-3x=t
d(1-3x)=dx

(1-3x)`dx=dt

-3dx=dt ⇒ dx=(-1/3)dt

∫ e^(1-3x)dx=(-1/3) ∫ e^(t)dt=(-1/3)e^(t)+C=(-1/3)e^(1-3x)+C

2)
2+x^2=t

2xdx=dt

xdx=(1/2)dt

∫ xdx/sqrt(2+x^2)=(1/2) ∫ dt/sqrt(t)=(1/2)*2sqrt(t) + C=sqrt(t)+C=

=sqrt(2+x^2)+C

Ответ выбран лучшим

Δ MNK - прямоугольный.
MK- образующая, MK ⊥ пл. основания

По теореме Пифагора
KN^2=MN^2-MK^2=4^2-3^2=16-9=7

Δ KNP - прямоугольный, так как KPдиаметр

По теореме Пифагора

NP^2=KP^2-KN^2=(2+2)^2-7=16-7=9

AO=d

AO- средняя линия Δ KNP

AO=NP/2=1,5

О т в е т. 1,5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3x=t

x=t/3

dx=(1/3)dt

∫ dx/sin^23x=(1/3) ∫ dt/sin^2t=(1/3)*(-ctgt)+C=-(1/3)ctg3x+C

Ответ выбран лучшим

1)
См. рис. 1

О т в е т. (- ∞ ;-2) U (2;+ ∞ )
5)
Cм. рис. 2
О т в е т. (1;2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2x^2+3x=6x+2
2x^2-3x-2=0
D=9+16=25
x_(1)=(3-5)/4=-1/2; x_(2)=(3+5)/4=2

При x=-1/2

lg(2*(1/4)+3*(-1/2)) не существует, т.к логарифм отрицательного числа не существует

При x=2

lg(2*2^2+3*2)=lg(6*2+2)
lg14=lg14 - верно.

О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

1=log_(5)5

log_(5) (6^(x+1)-36^(x)) ≤ log_(5)5

Логарифмическая функция с основанием 5 возрастает, поэтому
6^(x+1)-36^(x) ≤ 5
Выражение под знаком логарифмической функции должно быть положительным
6^(x+1)-36^(x) >0

Система двух неравенств:
{6^(x+1)-36^(x) >0 ⇒ 6^(x)*(6-6^(x))>0 ⇒ 6-6^(x)>0 ⇒ 6^(x)<6 ⇒[b] x<1[/b]
{6^(x+1)-36^(x) ≤ 5 ⇒ (6^(x)-1)*(6^(x)-5) ≥ 0 ⇒

6^(x) ≤ 1 ⇒ x ≤ 0 ИЛИ 6^(x) ≥ 5 ⇒ 6^(x) ≥ 6^(log_(6)5) ⇔ x ≥ log_(6)5

О т в е т. [b]x ≤ 0 Или log_(6)5 ≤ x <1[/b]

Ответ выбран лучшим

Если нужен ответ, то
Это площадь по клеточкам
S_(трапеции)=(15+1)*7/2=[b]56[/b]

Если через интеграл нужно решение, то

S= ∫ ^(7)_(0) (15-x-x)dx (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{-0,7+1}{-0,3}=\frac{0,3}{-0,3}=-1[/m]

О т в е т. в)

Область определения функции определяется неравенством:
-x^2+6x-5 ≥ 0 ⇒ x^2-6x+5 ≤ 0
D=36-20=16
x_(1)=1; x_(2)=5

[b]x ∈ [1;5][/b]

Так как
sqrt((–x^2+6x–5))–3 < 0 при всех х ∈ [1;5]

√(–x^2+6x–5) < 3 ⇒

-x^2+6x-5 <9;

-x^2+6x-14<0;

D <0 , то

|√(–x^2+6x–5)–3|=3-sqrt((-x^2+6x-5))

f(x)=3-sqrt((-x^2+6x-5))+sqrt((-x^2+6x-5))+x^3+6x^2

f(x)=x^3+6x^2+3

Требуется найти наименьшее значение этой функции при [b] х ∈ [1;5][/b]

f`(x)=3x^2+12x

f`(x)=0

3x^2+12x=0

3x*(x+4)=0

[i]Знак производной[/i]:

__+__ (-4) _-__ (0) __+__

f`(x) > 0 при x >0

Значит f(x)=x^3+6x^2+3 возрастает на [b][1;5][/b]

Наименьшее значение при x=1

f_(наим)=f(1)=1^3+6*1+3=10

О т в е т. [b]10[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть производительность
первого насоса x цистерн в сутки,
второго насоса y цистерн в сутки,
третьего насоса z цистерн в сутки.

По условию суммарная производительность всех насосов равна семи цистернам в сутки.

Получаем равенство:

x+y+z=7

Первый насос работал [m]\frac{4}{x}[/m] суток

второй насос работал [m]\frac{16}{y}[/m] суток

третий насос работал [m]\frac{1}{z}[/m] суток

Суммарно время

t=[m]\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}[/m]

Требуется найти минимально возможное значение t при условии,

что x+y+z=7

Умножаем равенство на 7

7t=7*([m]\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}[/m])

Заменяем 7 справа на (x+y+z).

Получаем

[m]7t=(x+y+z)\cdot(\frac{4}{x}+\frac{16}{y}+\frac{1}{z}[/m])

[m]7t=4+4\frac{y}{x}+4\frac{z}{x}+16\frac{x}{y}+16+16\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1[/m]

[m]7t=21+4(\frac{y}{x}+4\frac{x}{y})+(16\frac{z}{y}+\frac{y}{z})+(4\frac{z}{x}+\frac{x}{z})[/m]

Дроби [m]\frac{x}{y}[/m] и [m]\frac{x}{y}[/m] - взаимно - обратны.

Их произведение равно 1.

Воспользуемся неравенством:
[m] (2\sqrt\frac{x}{y}-\sqrt\frac{y}{x} )^2 ≥ 0[/m] ⇒

[m]4\frac{x}{y}-2\cdot 2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot \frac{y}{x}}+\frac{y}{x} ≥ 0 [/m] ⇒

[m]4\frac{x}{y}+\frac{y}{x} ≥2\cdot 2\cdot \sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=4 [/m]

Аналогично
[m]16\frac{z}{y}+\frac{y}{z} ≥2\cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{z}{y}\cdot\frac{y}{z}}=8 [/m]

[m]4\frac{z}{x}+\frac{x}{z} ≥2\cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{z}{y}\cdot\frac{y}{z}}=4 [/m]

Значит
[m]7t≥21+4\cdot 4+ 8+4=49[/m]

Поэтому наименьшее значение t получим
при
[m]2\sqrt\frac{x}{y}=\sqrt\frac{y}{x}[/m] ⇒

[m]4\frac{x}{y}=\frac{y}{x}[/m] ⇒ [b]y^2=4x^2[/b]

[m]16\frac{z}{y}=\frac{y}{z}[/m] ⇒ [b]16z^2=y^2[/b]

[m]4\frac{z}{x}=\frac{x}{z}[/m] ⇒[b] 4z^2=x^2[/b]

так как x>0; y>0;z>0

значит

при
y=4z
x=2z
y=2x=2*2z)=4z

x+y+z=7

2z+4z+z=7 ⇒ 7z=7 ⇒ z=1

При z=1
x=2
y=4

и

[m]t=\frac{4}{2}+\frac{16}{4}+\frac{1}{1}=7[/m]

О т в е т. 7 суток.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
-cosx ≥ 0 ⇒ cosx ≤ 0 ⇒ x во 2 или 3 четв.

Возводим в квадрат:

sin^2x+3sinx-(17/9)=cos^2x

sin^2x+3sinx -(17/9)=1-sin^2x

2sin^2x+3sin -(26/9)=0

sinx=t

18t^2+27t-26=0

D=27^2-4*18*(-26)=729+1872=2601=51^2

t_(1)=(-27+51)/36; t_(2)=(-27-51)/36

t_(1)=24/36; t_(2)=(-78)/36

t_(1)=2/3

t_(2) > - 2

sinx=2/3

x=(-1)^(k)arcsin(2/3)+πk, k ∈ Z

Корни x=arcsin(2/3)+2πk, k ∈ Z не входят в ОДЗ

Во второй четверти расположены решения
x=π-arcsin(2/3)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. [b]π-arcsin(2/3)+2πn, n ∈ Z[/b]

б)

Отрезку [-3π/2; 3π]

Принадлежат корни:
при n=-1
π-arcsin(2/3)-2π=[b]-π-arcsin(2/3)[/b]
и
при n=0
[b]π-arcsin(2/3)[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть первый раствор [b]15 литров.[/b]

Тогда в нем [b]0,2*15=3 литров[/b] азотной кислоты и[b] 0,8*15= 12
литров[/b] воды

Пусть второй раствор [b]x литров.[/b]
Тогда в нем [b]0,6*x литров[/b] азотной кислоты и[b] 0,4*х
литров[/b] воды

[red]Первая смесь:[/red]

15 литров первого раствора и x литров второго.
Всего [i] в смеси [/i](15+х) литров.

В нем (3+ 0,6*х) литров азотной кислоты и (12+0,4х) литров воды

[i]Процентное содержание кислоты:[/i]

[b](3+0,6x)*100%/(15+x) [/b]

[green]Вторая смесь:[/green]
5 литров первого раствора
в нем [b]0,2*5=1 литр[/b] азотной кислоты и[b] 0,8*5= 4
литров[/b] воды

Всего [i]в смеси :[/i](5+х) литров

В нем (1+ 0,6*х) литров азотной кислоты и (4+0,4х) литров воды

[i]Процентное содержание воды[/i]

[b](4+0,4x)*100%/(5+x) [/b]

По условию
[b](4+0,4x)*100%/(5+x) [/b] в 2 раза больше [b](3+0,6x)*100%/(15+x) [/b]

Уравнение:

2* (3+0,6x)*100%/(15+x) =(4+0,4x)*100%/(5+x)

(6+1,2*х)*(5+x)=(4+0,4x)*(15+x)

30+6x+6x+1,2x^2=60+6x+4x+0,4x^2

0,8x^2+2x-30=0

D=4+4*0,8*30=4(1+24)=4*25=100

x_(1)=(-2+10)/1,6=5; x_(2)=(-2-10)/1,6 < 0

О т в е т. [b]5 литров

[/b]

Ответ выбран лучшим

v(t)=S`(t)

v(t)=(1,8*10^5+0,5*10^(5) sqrt(t))`;

v(t)=0,5*10^(5)*(1/2sqrt(t))

v(t)=0,5*10^(5)/(2*sqrt(t)) [red](#)[/red]

По условию

v(t)=10^3

Подставляем в [red](#[/red])

10^(3)=0,5*10^(5)/(2*sqrt(t))

1=0,5*10^2/(2*sqrt(t))

2sqrt(t)=50

sqrt(t)=25

t=25^2

t=625

О т в е т. 625 c

Ответ выбран лучшим

[m]0,2=\frac{1}{5}[/m]

[m]0,04=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}=(\frac{1}{5})^2[/m]

Уравнение принимает вид:

([m]\frac{1}{5})^{x+3}=\frac{1}{5}\cdot ((\frac{1}{5})^{2})^{x}[/m]

[m](\frac{1}{5})^{x+3}=\frac{1}{5}\cdot (\frac{1}{5})^{2\cdot x}[/m]

[m](\frac{1}{5})^{x+3}=(\frac{1}{5})^{1+2\cdot x}[/m]

[m]x+3=1+2\cdot x[/m]

[m]x-2x=1-3[/m]

[m]-x=-2[/m]

[m]x=2[/m]

О т в е т. [m]2[/m]

Ответ выбран лучшим

Всего 10 цифр - от 0 до 9

Испытание состоит в том, что выбирают две цифры.

Первую цифру можно выбрать из 10 цифр, 10 способов.

Вторую цифру можно выбрать из 10 цифр, 10 способов.

Выбор и первой и второй цифр по теореме умножения равен:

n=10*10

Событие А-"сумма этих цифр окажется больше 16"

Событию А благоприятствуют наборы
(8;9)(9:8);(9;9)
8+9 >16
9+8 >16
9+9 > 16

m=3
три случая благоприятствуют наступлению события А

m=3

По формуле классической вероятности:
p(А)=m/n=0,03

Ответ выбран лучшим

при n=1
a_(1+1)=[b]a_(1)[/b]+8,
т. е.
a_(2)=[b]15[/b]+8=23

при n=2
a_(2+1)=[red]a_(2)[/red]+8,

т. е.
a_(3)=[red]23[/red]+8=31

при n=3
a_(3+1)=[green]a_(3)[/green]+8,

т. е.
a_(4)=[green]31[/green]+8=39

d=a_(2)-a_(1)=[b]8[/b]

Формула n-го члена
a_(n)=a_(1)+[b]d[/b]*(n-1)

a_(6)=15+[b]8[/b]*(6-1)

a_(6)=15+[b]8[/b]*5=55

Ответ выбран лучшим

|-1,25|=1,25
|25|=25
|-54|=54

1,25:25+54=0,05+54=[b]54,05[/b]

f(x) = 2x^2 –11x

f(x)=6

Приравниваем правые части
2x^2-11x=6

Решаем квадратное уравнение

2x^2-11x-6=0

D=(-11)^2-4*2*(-6)=121+48=169=13^2

x_(1)=(11-13)/4; x_(2)=(11+13)/4

В_(1) → В
А → А
С → С

Проекцией треугольника АВ_(1)С на пл АВСD является треугольник
АВС

S_( ΔABC)=(1/2)S_(квадрата ABCD)=(1/2)*6^2=[b]18[/b] кв см

Между отрезками T= { AB; CD; KL; XY} и числовым множеством N={7; 12; 15}

P={ каждому отрезку множества T соответствует его длина из множества N}

Граф: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Особая точка x=1, cчитаем по определению

[m]\int^{1}_{0}\frac{x^2dx}{\sqrt[4]{1-x^3}} =\lim_{\varepsilon\to 0}\int^{1-\varepsilon }_{0}\frac{x^2dx}{\sqrt[4]{1-x^3}} =-\frac{1}{3}\lim_{\varepsilon \to 0}\int^{1-\varepsilon }_{0}\frac{(-3x^2dx)}{\sqrt[4]{1-x^3}}=[/m][m]-\frac{1}{3}\lim_{\varepsilon \to 0}\int^{1-\varepsilon }_{0}(1-x^3)^{-\frac{1}{4}}d(1-x^3) =[/m]

[m]=-\frac{1}{3}\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{(1-x^3)^{-\frac{1}{4}+1}}{-\frac{1}{4}+1}|^{1-\varepsilon }_{0}=-\frac{4}{9}\cdot (\lim_{\varepsilon \to 0}\sqrt[4]{(1-x^2)^3}|^{1-\varepsilon }_{0}=[/m]

[m]=-\frac{4}{9}\cdot (\lim_{\varepsilon \to 0}\sqrt[4]{(1-(1-\varepsilon)^2)^3}-1)=\frac{4}{9}[/m]

[b]Cходится.[/b]

Ответ выбран лучшим

Разобьем его на два:

∫ ^( +∞ )_(1)dx/(x∛(ln^2x))=∫ ^( 2)_(1)dx/(x∛(ln^2x))+∫ ^( +∞ )_(2)dx/(x∛(ln^2x))

Первый несобственный интеграл второго рода.
Особенность в точке x=1

По определению:
∫ ^( 2)_(1)dx/(x∛(ln^2x))=lim_( ε → +0)∫ ^( 2)_(1- ε )dx/(x∛(ln^2x))=

=lim_( ε → +0)3∛(lnx)|^( 2)_(1- ε )=3*∛ln2 - 3*∛ln1=3*∛2-3*0=3∛2

Второй - несобственный интеграл первого рода

По определению:

∫ ^( +∞ )_(2)dx/(x∛(ln^2x))=lim_(A → + ∞ )∫ ^( A )_(2)dx/(x∛(ln^2x))=lim_(A → + ∞ )3∛(lnx)|^( A)_(2)=3*(lim_(A → + ∞ )∛ln(A))-3*∛(ln2)= [b]+ ∞[/b] -3∛(ln2)= +∞

Один сходится, второй расходится.
Сумма расходится....

Ответ выбран лучшим

Меняем местами эелементы.
Вторые становятся первыми:

S_(1)={(1;1),(0;3),(1;3),(0;4),(1,4);(6;1)}

На рис. стрелки для S_(1) поставить в обратном направлении

Как это сделать на одном рисунке не знаю.

Можно еще изобразить S и S_(1) точками на координатной плоскости. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В трехзначном числе три места.

На первое место - можно расположить любую из пяти цифр, 5 способов
На второе - 4 способа
На третье - 3 способа

Все три места можно занять
5*4*3=60 способов ( 60 чисел получим)

Ответ выбран лучшим

n=15 000
p=0,02

np=15 000*0,02=300

q=1-p=0,98

np-q ≤ k_(o) ≤ np+p

300-0,98 ≤ k_(o) ≤ 300+0,02

k_(o)=[b]300[/b]

1.
Ненулевые векторы ортогональны (перпендикулярны )
тогда и только тогда когда их скалярные произведения равны 0

vector{a}*vector{b}=2*5+3*9+1*2 ≠ 0

vector{a}*vector{c}=2*(-3)+3*1+1*3 =0 ⇒ [b]vector{a} ⊥ vector{c}[/b]

vector{b}*vector{c}=5*(-3)+9*1+2*3 ≠ 0

2.
vector{AB}=(-3-5;4-2;0-1)=(-8;2;-1)
vector{AC}=(3-5;0-2;4-1)=(-2;-2;3)

vector{AB}*vector{AC}=(-8)*(-2)+2*(-2)+(-1)*3=16-4-3=[b]9[/b]

Ответ выбран лучшим

14!=[b]1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12[/b]*13*14=([b]12![/b])*13*14

а)13*14=

б)30/2!=15

в)1/(2*16)=1.32

г)24

Ответ выбран лучшим

Первое можно выбрать 7–ю способами.
Тогда для выбора второго карандаша останется 6 способов.
...

7*6*5*4*3*2*1=

Ответ выбран лучшим

Первый карандаш можно выбрать 12-ю способами.
Тогда для выбора второго карандаша останется 11 способов.

Выбор " и первый и второй" по правилу умножения

12*11=[b]132 способа[/b]

Ответ выбран лучшим

"выбрать букву" это можно сделать 10-ю способами.

"выбрать цифру" это можно сделать 5-ю способами.

" выбрать набор из одной буквы [b]и[/b] одной цифры"

( союз "и" заменяют на пересечение )

и применяют теорему умножения.

10*5=[b]50 способов.[/b] - это о т в е т

РS
( союз "или" заменяют на объединение)

и применяют теорему сложения.

Ответ выбран лучшим

5.3
[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(x-3)=t
x-3=t^2
x=t^2+3

dx=(t^2=3)`dt

dx=2tdt

Тогда интеграл принимает вид

∫ (t^2+3)^2*(2tdt)/t= 2∫ (t^2+3)^2dt=2 ∫ t^4+6t^2+9)dt=

=2*(t^5/5)+12*(t^3/3)+18t + C=

=(2/5)t^5+4t^3+18t+C

Обратная замена и

о т в е т:
[b](2/5)*sqrt((x-3)^5)[red]+[/red]4*sqrt((x-3)^3)+18*sqrt(x-3)+C[/b]

5.4
[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(x+4)=t
x+4=t^2
x=t^2-4

dx=(t^2+4)`dt

dx=2tdt

Тогда интеграл принимает вид

∫ (t^2-4)*(2tdt)/(2+t)=2 ∫ (t-2)(t+2)*t/(t+2)dt =

сокращаем на (t+2)

=2 ∫ (t-2)*tdt=2 ∫( t^2-2t)dt=2*(t^3/3)-2t^2 +C

Обратная замена и

о т в е т:[red](2/3)sqrt((x+4)^3)-2(x+4) [/red]+C

5.5
[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(x+1)=t
x+1=t^2
x=t^2-1

dx=(t^2-1)`dt

dx=2tdt

Тогда интеграл принимает вид

∫ (t^2-1)^3*(2tdt)/t=2 ∫ (t^2-1)^3dt=

=2* ∫ (t^6-3t^4+3t^2-1)dt=

=2*(t^7/7)-6*(t^5/5)+6*(t^3/3)-2t+C=

=(2/7)*sqrt((x+1)^7)-[red](6/5)[/red]sqrt((x+1)^5) +[red]2[/red]sqrt((x+1)^3)[red]-2[/red]sqrt(x+1) +C

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=46035

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=46038

Приращение функции в точке x_(o) приближенно равно
дифференциалу функции в точке x_(o)

Δf(x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx ⇒

так как Δf(x_(o)) =f(x_(o))+ Δx)-f(x_(o))

f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx

f(x_(o)+ Δx) ≈ f(x_(o))+f`(x_(o))* Δx

Cлева значение функции в "плохой точке"
Cправа значение функции в "хорошей точке" и производная в "хорошей точке"

"хорошая точка": x_(o)=8

плохая точка: x_(o)-0,24=8-0,24

Δх=-0,24

f(x_(o))=∛8=2

f`(x)=(1/3)x^(-2/3)

f`(x_(o))=(1/3)*(8)^(-2/3)=(1/12)

f(7,76) ≈ f(8)+f `(8)*(-0,24)

f(7,76) ≈ 2+(1/12)*(8)*(-0,24)

считайте...

Ответ выбран лучшим

Так как
5+x^6=5+(x^3)^2
и
d(x^3)=(x^3)`dx=3x^2dx, получаем
табличный интеграл

∫ dx/(sqrt(k+x^2))= ln|x+sqrt(x^2+k)|+C

Решение можно оформить так:

[b]∫ (3x^2)dx/sqrt(5+x^6)=∫ (3x^2)dx/sqrt(5+(x^3)^2)=

= ∫ d(x^3)/(sqrt(5+(x^3)^2))= ln|x^3+sqrt((x^3)^2+5)|+C[/b]

Ответ выбран лучшим

a) не является ни четной, ни нечетной, так как

f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=-sinx+cosx

f(-x) ≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

б) является чётной, так как

f(-x)=∛(-x +1)^2 +∛(-x –1)^2

f(-x)=∛(-(x -1))^2 +∛(-(x+1))^2

f(x)=∛(x –1)^2+∛(x +1)^2

f(-x) =f(x)

Ответ выбран лучшим

-(3π/4)+2π*n ≤( x/3) ≤ -(π/4)+2π*n, n ∈ Z

Умножаем на 3:

[b]-(9π/4)+6π*n ≤ x ≤ -(3π/4)+6π*n, n ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1=log_(3) 3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

Под знаком логарифма выражение должно быть положительным.

Поэтому система:

{[m]\frac{2x^2+3x-5}{x+1} >0[/m] ⇒ (x-1)(2x+5)/(x+1) >0
{[m]\frac{2x^2+3x-5}{x+1} ≤ 3[/m] ⇒ (2x^2+3x-5-3x-3)/(x+1) ≤ 0 ⇒
(x-2)(x+2)/(x+1) ≤ 0

{ ___ (-2,5) __+__ (-1) _____ (1) __+__

{ _____-___ [-2] __ (-1) ______-_________ [2] ____

(-2,5;2] U(1;2]

a)
f`(x)=(-x^4+4x^2-3)`=-4x^3+8x

f`(x)=0

-4x^3+8x=0

-4x*(x^2-4)=0

x*(x-2)*(x+2)=0

__-__ (-2) __+___ (0) __-__ (2) __+__

x=0 - точка максимума

x= ± 2 - точки минимума

б)
f(x)=12x^2-14x+48x-56

f`(x)=24x+34

f`(x)=0

x=-34/24=-17/12 - точка минимума

2.

y`=9x^2-9

y`=0
9x^2-9=0
x= ± 1

__+___ (-1) __-__ (1) __+__

x=-1 - точка максимума

х=1 - точка минимума

График
см. рис
(прикреплено изображение)

[red]0[/red]+2πn ≤ x - (π/3) ≤ [red]π[/red]+2πn, n ∈ Z

(π/3) +2πn ≤ x ≤ π+(π/3) +2πn, n ∈ Z

[b](π/3) +2πn ≤ x ≤ (4π/3) +2πn, n ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[red](2π/3)[/red]+2πn ≤ (π/2)-5x ≤ [red](4π/3)[/red]+2πn, n ∈ Z

(2π/3)-(π/2)+2πn ≤ -5x ≤ (4π/3)-(π/2)+2πn, n ∈ Z

(π/6)+2πn ≤ -5x ≤ (5π/6)+2πn, n ∈ Z

-(π/30)-(2π/5)*n ≥ x ≥ -(π/6)-(2π/5)*n, n ∈ Z

-(π/6)+(2π/5)*k ≤ x ≤ (-π/30) +(2π/5)*k, k ∈ Z, k=-n (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg2x ≤ -1 или tg2x ≥ 1

-(π/2)+πn <2x [b]≤ [/b]-(π/4)+πn или (π/4)+πk [b] ≤[/b] 2x < (π/2)+πn

-(π/4)+(π/2)*n <x [b]≤ [/b]-(π/8)+(π/2)*n или (π/8)+(π/2)*k [b]≤[/b] x < (π/4)+(π/2)*n, k, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b](π/4) +πk < x < (π/2)+πk, k ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0< cosx < 1/2

-(π/2)+2πn < x < -(π/3)+2πn или (π/3) + 2πk < x < (π/2)+2πk, n, k ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-sqrt(2)/2 < cosx < sqrt(2)/2

[red]-(3π/4)[/red]+2πn < x < -[red](π/4[/red])+2πn или[green] (π/4) [/green]+ 2πk < x < [green](3π/4)[/green]+2πk, n, k ∈ Z

Можно объединить в один ответ:
(π/4) + [b]π[/b]m < x < (3π/4)+[b]π[/b]m, m ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле

tg2 α =2tg α /(1-tg^2 α )

tg2x ≥ -1

-(π/4)+πn < 2x < (π/2)+πn, n ∈ Z

[b]-(π/8)+(π/2)*n < x < (π/4)+(π/2)*n, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

cos^4(2x)-sin^4(2x)=(cos^2(2x)-sin^2(2x))*(cos^2(2x)+sin^2(2x)=

=(cos^2(2x)-sin^2(2x))*1=cos(2*2x)=cos4x

cos4x ≤ 0

(π/2)+2πn ≤ 4x ≤ (-π/2)+2π+2πn, n ∈ Z

(π/2)+2πn ≤ 4x ≤ (3π/2)+2πn, n ∈ Z

(π/8)+(π/2)*n ≤ x ≤ (3π/8)+(π/2)*n, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Формула:

sin2 α =2sin α *cos α ⇒ sin α *cos α =(1/2)sin2 α

sin4x/5 cos4x/5=(1/2)sin(8x/5)

(1/2)sin(8x/5) ≥ -1/4

sin(8x/5) ≥ -1/2

-(π/6)+2πn < 8x/5 < (-5π/6)+2π+2πn, n ∈ Z

-(π/6)+2πn < 8x/5 < (7π/6)+2πn, n ∈ Z

Делим на (8/5) или умножаем на (5/8)

- (5/8)*(π/6)+2*(5/8)πn < x < (5/8)*(7π/6)+2*(5/8)πn, n ∈ Z

[b]-(5π/48)+(5/4)*π*n < x < (35π/48)+(5/4)*π*n, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

Формула:

cos^2x-sin^2x=cos2x

сos2x > - sqrt(3)/2

-(2π/3)+2πn < 2x < (2π/3)+2πn, n ∈ Z

Делим на 2

[b]-(π/3)+πn < x < (π/3)+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin(-2x-(π/3) ≤ sqrt(3)/2

i]Замена переменной:[/i]
-2x - (π/3)=t

sint ≤ sqrt(3)/2 ⇒ cм. рис.

arcsin (sqrt(3))/2)=π/3

-π -(π/3)+2πn ≤ t ≤ (π/3)+2πn, n ∈ Z

-(4π/3)+2πn ≤ t ≤ (π/3)+2πn, n ∈ Z

Обратная замена:

-(4π/3)+2πn ≤ -2x - (π/3) ≤ (π/3)+2πn, n ∈ Z

Прибавляем (π/3)

-(4π/3)+(π/3)+2πn ≤ -2x ≤ (π/3)+(π/3)+2πn, n ∈ Z

-π+2πn ≤ -2x ≤ (2π/3) + 2πn, n ∈ Z

Делим на (-2), меняем знак:

(π/2)-πn ≥ x ≥ - (π/3) - πn, n ∈ Z

Пишем в привычном виде:

- (π/3) - πn ≤ х ≤ (π/2)-πn, n ∈ Z

обозначим

-n=k

[b]- (π/3) +πk ≤ х ≤ (π/2)+πk, k ∈ Z[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной:[/i]
x+(π/4)=t

cost > 1 ⇒ Так как

-1 ≤ cos t ≤ 1

Неравенство не имеет корней

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной:[/i]
2x=t

cost > sqrt(3)/2 ⇒ cм. рис.

arccos(sqrt(3))/2)=π/6

-(π/6)+2πn < t< -(π/6)+2πn, n ∈ Z

Обратная замена:

-(π/6)+2πn < 2x< -(π/6)+2πn, n ∈ Z

Делим на 2:

[b] -(π/12)+πn < x< -(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
D=(-18)^2-4*106=324-424=-100
sqrt(D)=sqrt(-100)=sqrt(100*(-1))=10*sqrt(-1)

sqrt(-1) обозначают i

x_(1)=(18-10i)/2=[b]9-5i[/b]; z_(2)=(18+10i)/2=[b]9+5i[/b]

2)
i^2=-1
i^3=i*i*i=(i^2)*i=-1*i=-i
i^4=i*i*i*i=i^2*i^2=(-1)*(-1)=1

Далее цикл повторяется

i^{33}=i^(32)*i=i

i^(51)=i^(48)*i^3=-i

i^(33)+i^(51)+5-26*i=i-i+5-26i=[b]5-26i[/b]

3)

z_(1)+z_(2)=5-18*i+25+4*i=[b]30-12*i[/b]

z_(1)-z_(2)=5-18*i-25-4*i=[b]-20-22*i[/b]

z_(1)*z_(2)=(5 -18*i)*(25 +4 *i)=

=125-450*i+20*i-72*i^2=

(так как i^2=-1)

=125-450*i+20*i+72

[b]=197-430*i[/b]

[m]\frac {z_{1}}{z_{2}}=\frac{ 5 -18\cdot i}{25+4\cdot i}[/m]

( умножаем и числитель и знаменатель на (25-4*i)

[m]=\frac{( 5 -18\cdot i)(25-4\cdot i)}{(25+4 \cdot i)(25-4 \cdot i)}

=\frac{125-450*i-20\cdot i+72\cdot i^2}{25^2-(4i)^2}=

=\frac{53-470\cdot i}{25+4}=\frac{53}{29}-\frac{360}{29}\cdot i[/m]

Ответ выбран лучшим

Формула Муавра:

[m]z=r\cdot (cos \phi+i\cdot sin\phi)[/m] ⇒ [m]z^{n}=r^{n}\cdot (cos (n\cdot \phi)+i\cdot sin (n\cdot \phi))[/m]

[m]z_{1}=14\cdot (cos\frac{5\pi}{27}+i\cdot sin\frac{5\pi}{27})[/m]

[m]z^{2}_{1}=14^{2}\cdot (cos(2\cdot \frac{5\pi}{27})+i\cdot sin(2\cdot \frac{5\pi}{27}))[/m]

[m]z^{2}_{1}=196 \cdot (cos \frac{10\pi}{27}+i\cdot sin \frac{10\pi}{27})[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]z_{1}=14\cdot e^{i\frac{5 \pi }{27}}[/m]

[m]z_{2}=19\cdot e^{i\frac{-4\pi }{9}}[/m]

[m]z_{1}\cdot z_{2}=14\cdot e^{i\frac{5 \pi }{27}}\cdot 19\cdot e^{i\frac{-4\pi }{9}}[/m]

[m]=(14\cdot 19) e^{i(\frac{5 \pi }{27}+\frac{-4 \pi }{9})}=266 \cdot e^{\frac{5 \pi }{27}-\frac{8 \pi }{27}}=266 \cdot e^{-\frac{3 \pi }{27}}=266 \cdot e^{-\frac{ \pi }{9}}[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]z_{1}=5\cdot (cos\frac{9\pi}{5}+i\cdot sin\frac{9\pi}{5})[/m]
[m]z_{2}=9\cdot (cos\frac{\pi}{10}+i\cdot sin\frac{\pi}{10})[/m]

[m]z_{1}\cdot z_{2}=(5\cdot (cos\frac{9\pi}{5}+i\cdot sin\frac{9\pi}{5})\cdot ( 9\cdot (cos\frac{\pi}{10}+i\cdot sin\frac{\pi}{10})=[/m]

[m]=45\cdot ((cos\frac{9\pi}{5}\cdot cos\frac{\pi}{10}+i\cdot sin\frac{9\pi}{5}\cdot cos\frac{\pi}{10}+i\cdot cos\frac{9\pi}{5}\cdot sin\frac{\pi}{10}+i^2\cdot sin\frac{9\pi}{5}\cdot sin\frac{\pi}{10})=[/m]

i^2=-1

[m]=45\cdot (cos\frac{9\pi}{5}\cdot cos\frac{\pi}{10}- sin\frac{9\pi}{5}\cdot sin\frac{\pi}{10})+i(sin\frac{9\pi}{5}\cdot cos\frac{\pi}{10}+ cos\frac{9\pi}{5}\cdot sin\frac{\pi}{10}))[/m]

[m]=45\cdot (cos({9\pi}{5}+{\pi}{10})+i*(sin({9\pi}{5}+{\pi}{10}))=[/m]

[m]=45\cdot (cos \frac{19\pi}{10}+i\cdot sin\frac{19\pi}{10})[/m]

Формулы:

[m]cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha\cdot sin\beta=cos(\alpha+ \beta )[/m]

[m]sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha\cdot sin\beta= sin(\alpha+ \beta )[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=x+iy ⇔ z=|z|*(cos φ +i*sin φ )- тригонометрическая формa;

|z|=r=sqrt(x^2+y^2)

[m]z=19\cdot (cos\frac{\pi}{23}+i\cdot sin\frac{\pi}{23})[/m]- тригонометрическая формa;

Ответ выбран лучшим

[b]-(π/2)+2πn < x < (π/2)+2πn[/b], n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-(π/2)+πk < x < πk, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ sinx не может быть меньше -1.

остается только равенство

sinx=-1

x=-(π/2)+2πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(π/4) +πk < x < (π/2)+πk, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-(π/2)+πk < x < -(π/6)+πk, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-(π/3) +πk < x < (π/2)+πk, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

arcsin(sqrt(3)/2)=π/3

(-π-(π/3))+2πn ≤ x ≤ (π/3)+2πn, n ∈ Z

(-4π/3)+2πn ≤ x ≤ (π/3)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. ((-4π/3)+2πn ; (π/3)+2πn),n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

arcsin(1/2)=π/6

(π/6) +2πn<x < (π-(π/6)+2πn, n ∈ Z

((π/6) +2πn; (5π/6)+2πn), n ∈ Z

О т в е т. ((π/6) +2πn; (5π/6)+2πn), n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,98*x= 10 целых 1/3 - (8/15)

0,98*x=(31/3)-(8/15)

0,98*x=(155/15)-(8/15)

0,98*x=(147/15)

x=(147/15):(98/100)

x=(147/15)*(100/98)

x=(3/15)*(100/2)

x=300/30

x=10

Думаю, что нет.
См определение в приложении

Не вы полняется свойство [b]транзитивности [/b]

21 имеет одинаковые с 82, а 82 имеет одинаковые с 87,

но 21 не имеет одинаковых цифр с 87

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB} *vector{BC} =|vector{AB}| *|vector{AC}|* cos ∠ BAC

vector{AB}=(-3-5;4-2;0-1)=(-8;2;-1)

vector{BC} =(3-(-3);0-4;4-0)=(6;-4;4)

vector{AB} *vector{BC} =-8*6+2*(-4)+(-1)*4=-60
|vector{AB}|=sqrt((-8)^2+2^2+(-1)^2)=sqrt(69)
|vector{BC}| =sqrt(6^2+(-4)^2+4^2)=sqrt(68)
cos ∠ BAC=[m]\frac{-60}{\sqrt{60}\cdot \sqrt{69}}[/m]

Ответ выбран лучшим

vector{a} *vector{a} =|vector{b}| *|vector{a}|* cos φ
3.67

1)
vector{a} *vector{a} =|vector{b}| *|vector{a}|* cos φ =3*sqrt(2)*cos45^(o)=

=3*sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=3

2)
vector{a} *vector{a} =|vector{b}| *|vector{a}|* cos φ =0,5*16*cos60^(o)

=0,5*16*0,5=4

3)
vector{a} *vector{a} =|vector{b}| *|vector{a}|* cos φ=

=sqrt(3)*3*cos30^(o)=sqrt(3)*3*(sqrt(3)/2)=4,5

4)vector{a} *vector{a} =|vector{b}| *|vector{a}|* cos φ

=4*3*cos120^(o)=4*3*(-0,5)=-6

3.68

vector{a}×vector{b}=a_(1)*b_(1)+a_(2)*b_(2)+a_(3)*b_(3)=

=2*1-1*sqrt*(2)+0*(-5)=2-2sqrt(2)

4)

(vector{a}-vector{b})*(vector{a}+vector{c})=

= применяем законы векторной [b]алгебры[/b]=

=vector{a}*vector{a}-vector{b}*vector{a} +vector{a}*vector{c}-vector{b}*vector{c}

=([blue]2*2+(-1)*(-1)+0*0[/blue])-(1*2+sqrt(2)*(-1)+(-5)*0)+([blue]2*1+(-1)*2+0*5[/blue])-(1*1+sqrt(2)*2+(-5)*5)=

Ответ выбран лучшим

а) такое же, как дано.
([red]-3[/red];[green]3[/green]); ([red]-2[/red];[green]2[/green]);([red]-1[/red];[green]1[/green]); ([red]1[/red];[green]1[/green]);([red]2[/red];[green]2[/green]);([red]3[/red];[green]3[/green])

Обратно, оно же ([green]-3[/green];[red]3[/red]); ([green]-2[/green];[red]2[/red]);([green]-1[/green];[red]1[/red]); ([green]1[/green];[red]1[/red]);([green]2[/green];[red]2[/red]);([green]3[/green];[red]3[/red])

б)
Прямые. Для прямой достаточно двух точек.
([red]-2[/red];[green]4[/green]) и ([red]0[/red];[green]0[/green])

Обратно ([green]0[/green];[red]4[/red]); ([green]4[/green];[red]-2[/red]) строим прямую, через эти точки...

в)
[b]Парабола [/b]через точки
(0;-2); (1;-1); (2;2) (7;3)

Обратная через точки:

(-2;0);(-1;1);(2;2)(7;3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) каждому х → единственный y

б) у второго не так:
одному и тому же х [b]не единственный [/b]у (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=sqrt(x–1) ⇒ y^2=x-1 ⇒ x=y^2+1

S= ∫ ^(1)_(0) x(y)dy= ∫ ^(1)_(0)(y^2+1)dy=((y^3/3)+y)|^(1)_(0)=(1/3)+1=4/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть [b]x[/b] лип.
Кленов на p% больше, чем лип.

p% от х :
(x/100)*p=0,01*px штук

Кленов на 80 штук больше, чем лип.

Значит
[b]0,01px=80[/b]

[b](x+80)[/b] штук кленов высадили

Считаем тополя:

p% от (х+80):

((x+80)/100)*p =0,01*p*(x+80) штук

(x+80) + 0,01*p*(x+80) штук - кленов

Это по условию равно 392

Составляем второе уравнение:
[b](x+80) + 0,01*p*(x+80)=392[/b]

Решаем систему двух уравнений:
{ [b]0,01px=80[/b]
{[b](x+80) + 0,01*p*(x+80)=392[/b]

Ответ выбран лучшим

∂ z/ ∂ x=[m]\frac{1}{1+(x-3y)^2}\cdot (x-3y)`_{x}=\frac{1}{1+(x-3y)^2}[/m]

∂ ^2z/ ∂ x^2=[m](\frac{1}{1+(x-3y)^2})`_{x}=-\frac{1}{(1+(x-3y)^2)^2}[/m]

∂ z/ ∂ y=[m]\frac{1}{1+(x-3y)^2}\cdot (x-3y)`_{y}=-\frac{3}{1+(x-3y)^2}[/m]

∂ ^2z/ ∂ y^2=[m](-3\frac{1}{1+(x-3y)^2})`_{y}=9\frac{1}{(1+(x-3y)^2)^2}[/m]

∂ z/ ∂ x=[m]\frac{1}{1+(x-3y)^2}\cdot (x-3y)`_{x}\frac{1}{1+(x-3y)^2}[/m]

∂ ^2z/ ∂ x ∂ y=[m](\frac{1}{1+(x-3y)^2})`_{y}=-\frac{3}{(1+(x-3y)^2)^2}[/m]

Ответ выбран лучшим

По формуле расстояния между двумя точками:

AB=sqrt((x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y(A))^2+(z_(B)-z_(A))^2)

AC=sqrt((1-1)^2+(2-0)^2+(2-0)^2)=sqrt(4+4)=sqrt(8)
AB=sqrt((x-1)^2+(0-0)^2+(2-0)^2)=sqrt((x-1)^2+4)

АВ=АС

sqrt((x-1)^2+4)=sqrt(8)

Возводим в квадрат

(x-1)^2+4=8

(х-1)^2=8-4

(х-1)^2=4

x-1=2 или x-1=-2

x=3 или x=-1

Ответ выбран лучшим

a_(2)=a_(1)+6=12+6=18
Значит
d=a_(2)-a_(1)=18-12=6

a_(n)=a_(1)+(n-1)*d

тогда

n=10

a_(10)=a_(1)+9*d=12+9*6=12+54=66

1)
Треугольник BCD - прямоугольный. Сумма острых углов равна 90 ° . Биссектриса каждого острого угла делит острый угол пополам.
Значит, сумма острых углов треугольника, образованного биссектрисами равна 45 °
Третий угол
180 ° -45 ° =135 °

2) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанный угол АВС равен 30 °
Значит дуга АС равна 60 °
Центральный угол АОВ измеряется дугой АС

Тогда центральный угол АОВравен 60 °
Треугольник АОВ равносторонний
АО=ВО=АВ=R=23 длина хорды равна радиусу

Ответ выбран лучшим

OC_(1)=r=sqrt(7)
A_(1)C_(1)=2r=2sqrt(7)

A_(1)C_(1)- диагональ квадрата А_(1)B_(1)C_(1)D_(1)
A_(1)B_(1)=AC*sin45 ° =2sqrt(7)*sqrt(2)/2=[b]sqrt(14)[/b]

АВ=2ОК=2sqrt(7)

S_(A_(1)B_(1)C_(1)D_(1)):S_(ABCD)=(A_(1)B_(1))^2:(AB)^2=

=(sqrt(14))^2:(2sqrt(7))^2=14:(4*7)=[b]1:2[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Деление отрезка в данном отношении

[b]a) λ =1/3[/b]
x_(M)=[m]\frac{x_{A}+\lambda x_{B}}{1+\lambda }=\frac{-7+\frac{1}{3}\cdot5}{1+\frac{1}{3}}=-4[/m]
y_(M)=[m]\frac{y_{A}+\lambda y_{B}}{1+\lambda }=\frac{4+\frac{1}{3}\cdot 0}{1+\frac{1}{3}}=3[/m]
z_(M)=[m]\frac{z_{A}+\lambda z_{B}}{1+\lambda }=\frac{0+\frac{1}{3}\cdot(-8)}{1+\frac{1}{3}}=-2[/m]

[b]б) λ =1/3[/b]
[m]x_{M}=\frac{x_{A}+\lambda x_{B}}{1+\lambda }[/m] ⇒

[m](1+\lambda)\cdot x_{M}=x_{A}+\lambda x_{B}[/m] ⇒

[m]x_{B}=\frac{(1+\lambda)\cdot x_{M}-x_{A}}{\lambda }[/m]

[m]x_{B}=\frac{(1+\frac{1}{3})\cdot 1-2}{\frac{1}{3}} =-2[/m]

[m]y_{M}=\frac{y_{A}+\lambda y_{B}}{1+\lambda }[/m] ⇒

[m](1+\lambda)\cdot y_{M}=y_{A}+\lambda y_{B}[/m] ⇒

[m]y_{B}=\frac{(1+\lambda)\cdot y_{M}-y_{A}}{\lambda }[/m]

[m]y_{B}=\frac{(1+\frac{1}{3})\cdot 4-6}{\frac{1}{3}} =-4[/m]

[m]z_{M}=\frac{z_{A}+\lambda z_{B}}{1+\lambda }[/m] ⇒

[m](1+\lambda)\cdot z_{M}=z_{A}+\lambda z_{B}[/m] ⇒

[m]z_{B}=\frac{(1+\lambda)\cdot z_{M}-z_{A}}{\lambda }[/m]

[m]y_{B}=\frac{(1+\frac{1}{3})\cdot (-6)-(-9)}{\frac{1}{3}} =3[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3x- первое;
2,4- среднее
x- третье

2,4=(3x+x)/2

2,4=2x

x=1,2

О т в е т. 3,6; 2,4; 1,2 (прикреплено изображение)

Точка С - середина отрезка MN

x_(C)=[m]\frac{x_{M}+x_{N}}{2}[/m]
y_(C)=[m]\frac{y_{M}+y_{N}}{2}[/m]
z_(C)=[m]\frac{z_{M}+z_{N}}{2}[/m]

a)
Точка С - лежит на оси ординат, значит
x_(C)=0 и z_(C)=0

[m]\frac{a+(-2)}{2}=0[/m]
a=2

[m]\frac{-3+b}{2}=0[/m]
b=3
О т в е т. a=2; b=3

б)
{a-b=-1
{a+2b=-4

Умножаем первое на 2
{2a-2b=-2
{a+2b=-4

Складываем
3a=-6
[b]a=-2[/b]

a-b=-1 ⇒
b=a+1=-2+1=-1
О т в е т.a=-2; b=-1

Ответ выбран лучшим

∂ z/ ∂ x=z`_(x)= (u/v)`_(x)=(u`_(x)*v-u*v`_(x))/v^2

u=cos(5+2x-7y)
u`_(x)=-sin(5+2x-7y) * (5+2x-7y)`_(x)=-sin(5+2x-7y) * (2)
v`_(x)=(1+x^4y^5)`_(x)=y^5*4x^3

∂ z/ ∂ y=z`_(y)= (u/v)`_(y)=(u`_(y)*v-u*v`_(y))/v^2

u=cos(5+2x-7y)
u`_(y)=-sin(5+2x-7y) * (5+2x-7y)`_(y)=-sin(5+2x-7y) * (-7)
v`_(y)=(1+x^4y^5)`_(y)=x^4*5y^3

Подставляем и получаем ответ

vector{KM}=(4-1;6-1}=(3;5}
|vector{KM}|=sqrt(3^2+5^2)=sqrt(34)
Направляющие косинусы:

cos α =3/sqrt(34)
cos β =5/sqrt(34)

f`_(x)=2*(10+4x^(-2)-3y^3-x^3y^3)*(10+4x^(-2)-3y^3-x^3y^3)`_(x)=

=2*(10+4x^(-2)-3y^3-x^3y^3)*(4*(-2)*x^(-3)-y^3*3x^2)

f`_(y)=2*(10+4x^(-2)-3y^3-x^3y^3)*(10+4x^(-2)-3y^3-x^3y^3)`_(y)=

=2*(10+4x^(-2)-3y^3-x^3y^3)*(3*3y^2-x^3*3y^2)

Подставляем координаты точки К

f`_(x)(K)=

f`_(y)(K)=

Подставляем в формулу:

∂ f/∂ _(vector{KM})(K)=f`(x)(K)*cos α +f`(y)(K)*cos β

сtgx*(ctgx+1) ≥ 0

_+__ [-1] ___ [0] __+__

ctgx ≤ -1 или ctg x ≥ 0

(-π/4)+πk ≤ x <0+πk или πk< x ≤ (π/2)+πk, k ∈ Z

О т в е т.[b] [(-π/4)+πk ;πk)U(πk; (π/2)+πk], k ∈ Z[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]tg^42x=tg^22x\cdot tg^22x=tg^22x\cdot (\frac{1}{cos^22x}-1)[/m]

[m]\int tg^42xdx=\int tg^22x\cdot (\frac{1}{cos^22x}-1)dx=\int tg^22x\cdot \frac{dx}{cos^22x}-\int tg^22xdx=[/m]

Так как [red] дифференциал [/red]
[m]d(tg2x)=\frac{(2x)`dx}{cos^22x}=\frac{2dx}{cos^22x}[/m], тогда
[m]\frac{dx}{cos^22x}=\frac{1}{2}d(tg2x)[/m]

Первый интеграл и второй интеграл табличные:
∫ u^( α )du
∫ du/cos^2u=tgu

[m]u=tg^2x[/m]
[m]du=\frac{2dx}{cos^22x}[/m]

[m]=\frac{1}{2}\int tg^42x\cdot \frac{2dx}{cos^22x}-\int (\frac{1}{cos^22x}-1)dx=[/m]

[m]=\frac{1}{2}\cdot \frac{tg^32x}{3}-\frac{1}{2}\cdot \int \frac{2dx}{cos^22x}+\int dx=[/m]

[m]=\frac{1}{6}tg^32x-\frac{1}{2}tg2x+x+C[/m]

[m]x^2-3x+3=(x-1,5)^2+0,75[/m]
[i]Замена переменной[/i]:
x-1,5=t
x=t+1,5
dx=dt

3x+2=3*(t+1,5)+2=3t+6,5

[m]∫ \frac{(3x+2)dx}{(x^2–3x+3)^2}= ∫ \frac{(3t+6,5)dt}{(t^2+0,75)^2}=[/m]

[m]=3 ∫ \frac{tdt}{(t^2+0,75)^2}+6,5 ∫ \frac{dt}{(t^2+0,75)^2}[/m]

Считаем [i]первый [/i]интеграл:

[m]∫\frac{ tdt}{(t^2+0,75)^2}=\frac{1}{2}\cdot ∫ \frac{2tdt}{(t^2+0,75)^2}=
= \frac{1}{2}\cdot ∫ \frac {d(t^2+0,75)}{(t^2+0,75)}=[/m]
по формуле:
[r] ∫ du/u^2= ∫ u^(-2)du=u^(-1)/(-1)=-1/u[/r]
получаем:
=[m]\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{t^2+0,75})[/m]

Cчитаем [i]второй [/i] интеграл :
[m]∫ \frac{dt}{(t^2+0,75)^2}[/m]

[red]по рекуррентной формуле[/red] ( см приложение)
для n=2; a^2=0,75=[m]\frac{3}{4}[/m]
[m]a=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

[m]I_{2}= ∫ \frac{dt}{(t^2+0,75)^2}=\frac{1}{0,75}(\frac{2\cdot2-3}{2\cdot2-2}\cdot I_{1}+\frac{t}{2\cdot(2-1)\cdot(t^2+0,75)^{2-1}})=[/m]
[m]=\frac{1}{0,75}(\frac{1}{2}\cdot I_{1}+\frac{t}{2\cdot(t^2+0,75)})[/m]

[m]I_{1}=\int \frac{dt}{t^2+0,75}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}arctg \frac{t}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t}{\sqrt{3}} [/m]

Тогда [i]решение задачи[/i] запишем так:

[m]∫ \frac{(3x+2)dx}{(x^2–3x+3)^2}= ∫ \frac{(3t+6,5)dt}{(t^2+0,75)^2}=[/m]

[m]=3 ∫ \frac{tdt}{(t^2+0,75)^2}+6,5 ∫ \frac{dt}{(t^2+0,75)^2}[/m]

[m]=3 ∫ \frac{tdt}{(t^2+0,75)^2}+6,5\frac{1}{0,75}(\frac{1}{2}\cdot\int \frac{dt}{t^2+0,75}+\frac{t}{2\cdot(t^2+0,75)}) [/m]

[m]=\frac{3}{2} \cdot \int \frac{2t}{(t^2+0,75)^2}dt+6,5\cdot \frac{1}{2\cdot 0,75}\cdot( \int \frac{dt}{t^2+0,75}+\frac{t}{t^2+0,75})=[/m]

[m]=-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{t^2+0,75}+ \frac{13}{3}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}arctg\frac{2t}{\sqrt{3}}+ \frac{13}{3}\cdot \frac{t}{t^2+0,75}+C=[/m]

[m]=\frac{1}{t^2+0,75}\cdot (-\frac{3}{2}+\frac{13}{3}t)+\frac{26\sqrt{3}}{9}arctg\frac{2t}{\sqrt{3}}+C=[/m]

[m]=\frac{26t-9}{6(t^2+0,75)}+\frac{26\sqrt{3}}{9}arctg\frac{2t}{\sqrt{3}}+C=[/m]

[b]t=x-1,5[/b]

[m]=\frac{26(x-1,5)-9}{6(x^2-3x+3)}+\frac{26\sqrt{3}}{9}arctg\frac{2(x-1,5)}{\sqrt{3}}+C=[/m]

[m]=\frac{26x-48}{6(x^2-3x+3)}+\frac{26\sqrt{3}}{9}arctg\frac{2x-3}{\sqrt{3}}+C=[/m]

[m]=\frac{13x-24}{3(x^2-3x+3)}+\frac{26\sqrt{3}}{9}arctg\frac{2x-3}{\sqrt{3}}+C=[/m]
(прикреплено изображение)

sinx(2sinx+1) >0

__+_ (-1/2) ___ (0) _+__

sinx < -1/2 или sinx > 0

-(5π/6)+2πn < x < -(π/6)+2πn или πn < x < π+2πn , n ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

m^4-225c^(10)=(m^2)^2-([b]15c^5[/b])^2=(m^2-[b]15c^5[/b])(m^2+[b]15c^5[/b])

(прикреплено изображение)

tg^3x+3>3tgx+tg^2x

tg^3x+3-3tgx-tg^2x>0
(tg^3x-tg^2x)+(+3-3tgx)>0
tg^2x(tgx-1)-3(tgx-1)>0
(tgx-1)(tg^2x-3)>0
(tgx-1)(tgx-sqrt(3))(tgx+sqrt(3))>0

___ (-sqrt(3)) __+__ (1) ___-__ (sqrt(3)) __+__

- sqrt(3) < tgx < 1 или tgx > sqrt(3)

[b]-(π/3)+πn <x<(π/4)+πn[/b] или [b] (π/3)+πn < x <(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

ctg^3x+2ctgx–ctg^2x-2>0
(ctg^3x-ctg^2x)+(2ctgx-2) >0
ctg^2x*(ctgx-1)+2(ctgx-1) >0
(ctgx-1)*(ctg^2x+2) >0

сtg^2x+1 > 0 при любом х, сtg^2x ≥ 0, 0+1 >0

ctgx-1 >0

ctgx>1
[b]πn <x<(π/4)+πn, n ∈ Z[/b] - это ответ.

Можно так записать (πn ;(π/4)+πn), n ∈ Z

См. рис.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть cosx=0, тогда sin^2x-2*sinx*0-3*0 >0 - верно [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b] являются решениями неравенства

Пусть cosx ≠ 0, тогда
cos^2x(tg^2x-2tgx-3)>0

cos^2x>0

и
tg^2x-2tgx-3>0

D=4+12=16

корни -1 и 3

tgx < -1 или tg x > 3

[b](-π/2)+πn < x < (-π/4)+πn [/b] или [b] arctg (1/3) +πn < x < (π/2)+πn, n ∈ Z[/b]

Объединяя ответы получаем

О т в е т. [(-π/2)+πn ; (-π/4)+πn)U(arctg (1/3) +πn; (π/2)+πn], n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ctgx=cosx/sinx

Упросим правую часть

sin2x+cos2x*ctgx=sin2x+cos2x*(cosx/sinx) =
=(sin2x*sinx+cos2x*cosx)/sinx=cos(2x-x)/sinx=cosx/sinx=ctgx

Неравенство примет вид:

[b]ctgx>1[/b]
[b]πn <x<(π/4)+πn, n ∈ Z[/b] - это ответ.

Можно так записать (πn ;(π/4)+πn), n ∈ Z

См. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=0,7 ⇒ q=1-p=0,3
m_(o)=20 - наивероятнейшее число

Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np – q ≤ m_(o) ≤ np+p

0,7*n-0,3 ≤ 20 ⇒ 0,7*n ≤ 20,3 ⇒ n ≤ 29
0,7*n+0,7 ≥ 20 ⇒ 0,7n ≥ 19,3 ⇒ n ≥ 27,6

О т в е т. 28 или 29

Ответ выбран лучшим

Стороны треугольника - касательные к окружности.
Поэтому
BP=BQ=x
AP=AR=y
CQ=CR=z

АВ=АР+РВ=у+х
BC=BQ+QC=x+z
AC=AR+RC=y+z

Система:
{y+x=67
{x+z=49
{y+z=44

Складываем:
2(x+y+z)=160

x+y+z=80 [b]и[/b] y+x=67 ⇒ z=13
x+y+z=80 [b]и[/b] x+z=49 ⇒ y=31
x+y+z=80 [b]и[/b]y+z=44 ⇒ х=36

BQ=x=36

О т в е т. 36 (прикреплено изображение)

Пусть ребро куба равно [b]а.[/b]

a) Диагональ АС_(1) принадлежит плоскости AD_(1)C_(1)B

В прямоугольник AD_(1)C_(1)B:
AD_(1)=BC_(1)=[b]a[/b]*sqrt(2)
AC_(1)=[b]a[/b]*sqrt(3)

Центр куба точка О - точка пересечения диагоналей AC_(1) и BD_(1)

В прямоугольнике AD_(1)C_(1)B:
через точку О - проводим [b]MN[/b] ⊥ AC_(1).
АО=ОС_(1) и ∠ D_(1)AO= ∠ OC_(1)N ⇒ АМ=С_(1)N; D_(1)N=BN

BP=a*sqrt(2)/sqrt(3) (высота прямоугольного треугольника АВС_(1))
По теореме Пифагора АР^2=AB^2-BP^2=a^2-(a*sqrt(2)/sqrt(3))^2=a^2/3 ⇒
AP=a*sqrt(3)/3
Аналогично С_(1)Т=a*sqrt(3)/3;
Тогда PT=AC_(1)-AP-CT=a*sqrt(3)/3
O-середина PT ⇒PO= OT=a*sqrt(3)/6
РО:ОС_(1)=[b]1:3 [/b]⇒ BN:NC_(1)=[b]1:3[/b]

Точка М ∈ грани АD_(1)D, N ∈ BB_(1)C

BN:NC1=[b]1:3[/b] ⇒ BN_(1):N_(1)C=[b]1:3[/b] и DM_(1):M_(1)A=[b]1:3[/b]

По теореме о 3-х перпендикулярах диагональ АС_(1) ⊥ B_(1)C, так как BC_(1)-проекция АС_(1) и BC_(1) ⊥ B_(1)C - диагонали квадрата ВB_(1)C_(1)С

Через точку N проводим EF || B_(1)C.

EF⊥ АС_(1)

и АС_(1) перпендикулярна двум пересекающимся прямым
MN и EF пл. MEF

пл. МЕF= α - искомая плоскость сечения.

Плоскость α пересекает грань BC_(1) ⊥ B_(1)C по отрезку ЕF

EF=(1/2)B_(1)C.=a*sqrt(2)/2

И так в каждой грани. Все шесть сторон сечения - параллельным соответствующим диагоналям граней куба и равны a*sqrt(2)/2

б)

tg ∠ АС_(1)B=AB/BC_(1)=[b]1/sqrt(2)=sqrt(2)/2[/b]

sin∠ АС_(1)B=AB/AC_(1)=1/sqrt(3)

cos∠ АС_(1)B=BC_(1)/AC_(1)=sqrt(2/3)

О т в е т. ∠ АС_(1)B=arctg [b]sqrt(2)/2[/b]

Есть решение cлучая а) координатным методом.
Не мое. Из интернета.
Диагонали BD_(1) и АС_(1) взаимозаменяемы. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
Если внутри четырехугольника есть точка М, не принадлежащая всем четырем окружностям, то из этой точки все стороны четырехугольника видны по острым углом.
∠ 1 <90 °
∠ 2 <90 °
∠ 3 <90 °
∠ 4 ∠ 90 °

Но тогда 360 °[b] =[/b] ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4[b] < 360 ° [/b]
Что невозможно. Значит
M- точка, в которой пересекаются все четыре окружности
и
∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4=90 ° ⇒ диагонали четырехугольника [i]взаимно перпендикулярны.[/i]

б)
На рис. 2
К-середина АВ
L-середина ВС
M- середина CD
N- середина AD
Тогда
KL=MN ( KL - средняя линия Δ АВС, MN - средняя линия Δ АDС)
KN=LM (KN-средняя линия Δ АВD, MN - средняя линия Δ BCD)

⇒ KLMN - параллелограмм, диагонали которого взаимно перпедикулярны.
Значит KLMN- ромб

KL || AC
KN|| BD

AC ⊥ BD ⇒ KLMN - квадрат ⇒ BD=AC

S_(ABCD)=(1/2)AC*BD=(1/2)*sqrt(2)*sqrt(2)=1

О т в е т. 1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ордината это y
5x-3*0-12=0
5x=12
x=12:5
[b]x=2,4[/b]

m=97-39
m=58

Ответ выбран лучшим

По формуле
∫ du/u=ln|u|+C

[m]∫ ctgxdx= ∫ \frac{cosxdx}{sinx}= ∫ \frac{d(sinx)}{sinx}=ln|sinx|+C[/m]

так как

d(cosx)=(cosx)`dx=sinxdx

Для этого и изучали [i]дифференциалы[/i].

Ответ выбран лучшим

По частям:
u=8x-1
dv=sin2xdx

du=(8x-1)`dx
du=8*dx

v= ∫ sin2xdx= (1/2) ∫ sin[b]2x[/b] d([b]2x[/b])=(1/2)(-cos2x)=(-1/2)cos2x

∫ udv=u*v- ∫ vdu

∫ (8x-1)*sin2xdx=(8x-1)*(-1/2)cos2x - ∫ (-1/2)cos2x(8dx)=

=(8x-1)*(-1/2)cos2x + 4 ∫ cos2xdx=

=(-1/2)*(8x-1)*cos2x + 4*(1/2) ∫ cos(2x)d(2x)=

=[b]-(1/2)*(8x-1)*cos2x + 2 sin(2x) +C[/b]

Ответ выбран лучшим

45

Формула ∫ sin u du=-cosu + C

cправедлива для любого u

В том числе для 7x она выглядит так:

∫ sin[b]7x[/b] d([b]7x[/b])= -cos [b]7x[/b]+ C

но

d(7x)=(7x)`dx=7*dx

Вот 7-ки то у нас и не в условии.

Но на число всегда можно умножить и разделить:

∫ sin [b]7x[/b] d[b]x[/b] = (1/7) ∫ sin7x 7dx=(1/7) ∫ sin[b]7x[/b] d([b]7x[/b])=(1/7)(-cos7x) + C

О т в е т. [b]-(1/7) cos7x + C[/b]

Ответ выбран лучшим

Оба интеграла от степенной функции
[b] ∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1)[/b]

2
α =1/3

О т в е т. x^(4/3)/(4/3) + C=[b](3/4)x∛x + C[/b]

г)
Здесь
α =-2
и вместо x целое выражение
(2+e^(t))

Оба интеграла от степенной функции
[b] ∫ u^( -2 )du=u^(-2 +1)/( -2 +1)=-1/u^2[/b]

u=2+e^(t)

du=(2+e^(t))`dt

du=e^(t)dt

Получаем о т в е т. -1/(2+e^(t)) + C

Ответ выбран лучшим

Пусть девочек х, тогда мальчиков y
x+y=9
y=2x (прикреплено изображение)

Я Опубликую, посмотрите, может то. Потом удалю (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подставляем вместо y =0
7x+16*0=28
7x=28
x=4

y`=2x*e^(2x)+x^2*e^(2x)*(2x)
`
y`=2x*e^(2x)+x^2*e^(2x)*(2)

y`=e^(2x)*(2x+2x^2)

y`=0

e^(2x) >0 при любом х, показательная функция!

2x+2x^2=0

2x(1+x)=0

x=0; x=-1

Знак производной :
( это знак квадратичной функции u=2x+2x^2,
график парабола, ветви вверх, отрицательна она между -1 и 0)

Ставим на (-1;0) минус, на остальных интервалах +

___+___ (-1) _-_ (0) __+___

x=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

[m]sinx=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}[/m]
и
[m]1=sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}[/m]

Тогда
[m]\int \frac{1}{sinx}dx=\int \frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=[/m]

[m]=\int \frac{sin^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}+\int \frac{cos^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=[/m]

[m]=\int \frac{sin\frac{x}{2}}{2cos\frac{x}{2}}+\int \frac{cos\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}}=[/m]

[m]=-\int \frac{d(cos\frac{x}{2})}{cos\frac{x}{2}}+\int \frac{d(sin\frac{x}{2})}{2sin\frac{x}{2}}=[/m]

[m]=-ln|cos\frac{x}{2}|+ln|sin\frac{x}{2}|+C=ln|tg\frac{x}{2}|+C[/m]

так как

[m]d(sin\frac{x}{2})=(sin\frac{x}{2})`dx=cos\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})`dx=\frac{1}{2}\cdot cos\frac{x}{2}[/m]

[m]d(cos \frac{x}{2})=(cos \frac{x}{2})`dx=(-sin\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})`dx=\frac{1}{2}\cdot(-sin\frac{x}{2})[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это простейшие тригонометрические уравнения.

Они решаются по формулам.

[r]sinx=a

x=(-1)^(k)arcsina+πk, k ∈ Z[/r]

a)
[m]x=(-1)^{k}arcsin\frac{1}{2}+\pi k, k ∈ Z[/m]

[m]arcsin\frac{1}{2}=\frac {\pi}{6}[/m], так как [m] sin\frac {\pi}{6}=\frac{1}{2}[/m] и [m]\frac {\pi}{6}\in [-\frac {\pi}{2};\frac {\pi}{2}][/m]

[m]x=(-1)^{k}\frac{\pi}{6}+\pi k, k ∈ Z[/m]

при k=2n
получаем
[m]x=\frac{\pi}{6}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m]

при k=2n+1
получаем
[m]x=-\frac{\pi}{6}+ \pi +2\pi n=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

На рисунке ( см. рис.1):

г)
[m]x=(-1)^{k}arcsin (-\frac{1}{2})+\pi k, k ∈ Z[/m]
[m]x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{6})+\pi k, k ∈ Z[/m]
[m]x=-\frac{\pi}{6}+ 2\pi n, n ∈ Z[/m] или [m]x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n ∈ Z[/m]

ж)

[r]cosx=a

x= ± arccos a+2*πk, k ∈ Z[/r]

[m]x=\pm arccos\frac{1}{2}+2 \pi k, k ∈ Z[/m]

[m]arccos \frac{1}{2}=\frac {\pi}{3}[/m], так как [m] cos\frac {\pi}{3}=\frac{1}{2}[/m] и [m]\frac {\pi}{3}\in [0;\pi ][/m]

[m]x=\pm \frac{\pi}{3}+ 2\pi k, k ∈ Z[/m]

На рисунке ( см. рис.2)

к)
[m]x=\pm arccos(-\frac{1}{2})+2 \pi k, k ∈ Z[/m]

[m]arccos(- \frac{1}{2})=\pi - arccos\frac{1}{2}=\pi - \frac {\pi}{3}=\frac {2\pi}{3}[/m],
так как [m] cos\frac {2\pi}{3}=-\frac{1}{2}[/m] и [m]\frac {2\pi}{3}\in [0;\pi ][/m]
(cм. приложение 2)
[m]x=\pm \frac{2\pi}{3}+ 2\pi k, k ∈ Z[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]dy=f `(x)dx[/m]

4.
[m]y`= f`(x)=\frac{(2-5x)`}{2\sqrt{2-5x}}+6\cdot(3x-5)^{5}\cdot(3x-5)`[/m]

[m]y`=\frac{(-5)}{2\sqrt{2-5x}}+6\cdot(3x-5)^{5}\cdot 3[/m]

[m]y`=-\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}+18\cdot(3x-5)^{5}[/m]

[m]dy=(-\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}+18\cdot(3x-5)^{5})dx[/m]

5.
Логарифмируем:

[m]lny=ln(3x-5)^{4}-ln(2x-4)^{3}[/m]

[m]lny=4ln(3x-5)-3ln(2x-4)[/m]

Дифференцируем обе части:

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{(3x-5)`}{3x-5}-3\frac{(2x-4)`}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{3}{3x-5}-3\frac{2}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=\frac{12}{3x-5}-\frac{6}{2x-4}[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot (\frac{2}{8-5x}-\frac{1}{2x-4})[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot\frac{2(2x-4)-(3x-5)}{(8-5x)(2x-4)}[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot\frac{(4x-8-3x+5)}{(8-5x)(2x-4)}[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{3}\cdot (x-3)}{(2x-4)^{4}}[/m]

[m]dy=6\frac{(3x-5)^{3}\cdot (x-3)}{(2x-4)^{4}}dx[/m]

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
|z|=sqrt(x^2+y^2)
cos φ =x/|z|
sin φ =y/|z|

z=|z|*(cos φ +isin φ ) - тригонометрическая форма

z=e^(i φ ) - показательная форма

13.
z=-5-5i
x=-5
y=-5
|z|=sqrt((-5)^2+(-5)^2=sqrt(50)=5sqrt(2)

cos φ =x/|z|=-5/(5*sqrt(2))=-1/sqrt(2)
sin φ =y/|z|=-5/(5*sqrt(2))=-1/sqrt(2)

косинус отрицательный, синус отрицательный, угол в 3-й четверти
⇒ φ =(-3π/4)

[b]z=5sqrt(2)*(cos(-3π/4)+isin(-3π/4))[/b]- тригонометрическая форма

[b]z=5sqrt(2)*e^(i(-3π/4))[/b]- показательная форма.

14.
|z|=8/sqrt(3)

cos φ =x/|z|=1/2

sin φ =y/|z|=-(sqrt(3))/2

косинус положительный , синус отрицательный, угол в 4-й четверти

φ =(-π/3)

[b]z=(8/3)sqrt(3)*(cos(-π/3)+isin(-π/3))[/b]- тригонометрическая форма

[b]z=(8/3)sqrt(3)*e^(i(-π/3))[/b]- показательная форма.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

X={ ∠ A; ∠ B; ∠ C}
Y={a;b;c}

Т-" угол А против стороны а и угол В против стороны b и угол С против стороны с"

Т_(1)="сторона а против угла А и сторона b против угла b и сторона с против угла С"

б)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула для вычисления производной сложной функции

[m](sqrt(u))`=\frac{u`}{2\sqrt{u}}[/m]

[m]u= u(x)[/m] - функция, зависящая от х

[m]y`=\frac{((x-3)(x^2-7x+12))`}{2\sqrt{(x-3)(x^2-7x+12)}}[/m]

Находим производную в числителе по правилу вычисления производной произведения:

[m]((x-3)(x^2-7x+12))`=[/m]

[m]=(x-3)`\cdot(x^2-7x+12)+(x-3)\cdot(x^2-7x+12)`=[/m]

[m]=1\cdot (x^2-7x+12)+(x-3)\cdot(2x-7)=[/m]

[m]=(x-3)(x-4)+(x-3)(2x-7)=(x-3)(x-3+2x-7)=[/m]

[m]=(x-3)(3x-10)[/m]

Ответ выбран лучшим

P_(1):P_(2)=a_(1):a_(2) - периметры относятся как длины сходственных сторон.

S_(1):S_(2)=a^2_(1):a^2_(2) площади относятся как квадраты длин сходственных сторон.

S_(1):S_(2)=4^2:7^2

S_(2)=171,5
S_(1):171,5=16:49
S_(1)=16*171,5:49=

Ответ выбран лучшим

масса раствора ( m_(p-pa)), масса вещества (m_(в-ва)) и массовая доля растворённого вещества ( ω _(в-ва)) связаны равенством:

[m] ω_{b-ba}=\frac{m_{p-pa}}{m_{b-ba}}[/m]

m_(1 раствора)* ω _(1)=m_(3 раствора)* ω _(3 вещества) [red](#)[/red]

По условию:
m_(1 раствора)=450 г
ω _(1)=10%=10/100=0,1
m_( 2 воды)= неизвестна, обозначим х г
m_(3 раствора)=(450+х) г
ω _(3 вещества)=4%=4/100=0,04

Подставляем в[red] (#)[/red]

450*0,10=(450+х)*0,04
45=18+0,04*х
0,04х=45-18
0,04х=27
х = 675

О т в е т. 675г

Ответ выбран лучшим

Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому

(x-3)(x^2-7x+12) ≥ 0

Раскладываем x^2-7x+12 на множители

по формуле:

[r]ax^2+bx+c=a(x-x_(1))(x-x_(2))[/r]

Находим дискриминант

D=(-7)^2-4*12=49-48=1

x_(1)=(7-1)/2=3; x_(2)=(7+1)/2=4

x^2-7x+12 =(x-3)(x-4)

Неравенство принимает вид:
(x-3)(x-3)(x-4) ≥ 0

(x-3)^2*(x-4) ≥ 0

[red]Решаем методом интервалов[/red].

Находим нули функции. Это точки, в которых кривая пересекает ось Ох ( или касается!!!)
x=3 или x=4
и расставляем знаки:
_____ [3] ___ [4] ______

(см. рис.)

О т в е т. {3} U [4;+ ∞ )

Вывод. При переходе через точку х=3 знак не меняется.
Кривая касается оси Ох в точке х=3.

См. рис. 2 как она на самом деле выглядит

Расставляя знаки мы представляем себе именно расположение кривой.
Даже если еще не умеем ее строить.

Смотрите на графике
-,-,+
так же как на синей картинке

Особо хочу подчеркнуть, когда есть квадратный трехчлен,
например,
y=x^2-7x+12

Мы нашли его корни 3 и 4. График y=x^2-7x+12- парабола,
ветви вверх, значит знаки:

___+_ (3) __-__ (4) __+___

График квадратичной функции помогает быстро расставить знаки

Это полезно, если дана функция третьей степени, а ее[i] производная [/i]как раз[i] квадратичная функция[/i]

-------------------------------- (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]Назовите координаты трех точек, принадлежащих этому графику[/b]
- любые три точки внутри прямоугольника,
(0;2); (1;3);(-2;1)

[b]задайте множество X[/b]
это отрезок [-3;2]
-3 ≤ x ≤ 2

[b]задайте множество Y[/b]
это отрезок [1;4]
1 ≤ y ≤ 4

Ответ выбран лучшим

1)Неопределенность 0/0

Умножаем и числитель и знаменатель на выражение
[m]\sqrt(10-x)+3[/m]

Получаем:

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{10-x}-3)(\sqrt{10-x}+3)}{(1-x)(\sqrt{10-x}+3)}=[/m]

Применяем формулу разности квадратов [r]a^2-b^2=(a-b)*(a+b)[/r]

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{10-x})^2-3^2}{(1-x)(\sqrt{10-x}+3)}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{10-x-9}{(1-x)(\sqrt{10-x}+3)}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{1-x}{(1-x)(\sqrt{10-x}+3)}=[/m]

Сокращаем (на (1-x)

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{1}{\sqrt{10-x}+3}=\frac{1}{\sqrt{10-1}+3}=\frac{1}{6}[/m]

2)[m]=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{sin4x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2}\cdot \frac{4x}{sin4x}=\frac{1}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

S_(1)={(1;1),(0;3),(1;3),(0;4),(1,4);(6;1)} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

На (- ∞ ;1) функция непрерывна, так как y=x^2+2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=-1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → 1-0)f(x)=lim_(x →1 -0)(x^2+2)=(1-0)^2+2=3

Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)(x^2+2)=(1+0):2+2=3
предел слева = пределу справа

Значит, существует предел функции в точке х=0
lim_(x →1 )f(x)=3

Но он не равен значению функции в точке, значение функции в точке равно (-1)

х=1 - [i]точка устранимого разрыва [/i]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(-10)^(5)=(-10)*(-10)*(-10)*(-10)*(-10)=-10^(5)

0,7=7*0,1=7*10^(-1)

0,7*(-10^(5))=7*10^(-1)*(-10^(5))=-7*10^(-1+5)=-7*10^(4)=-70 000

[b]86 −0,7⋅(−10)⁵=86-(-70 000) = 70 086[/b]

Замена переменной:
sqrt(2x-1)=t
2x-1=t^2
x=(1/2)*(t^2+1);
dx=(1/2)*(t^2+1)`dt

dx=t*dt
х-1=(1/2)*(t^2+1) - 1=(1/2)(t^2+1-2)=(1/2)*(t^2-1)

∫ (x–1)dx/√2x–1)= (1/2) ∫(t^2-1)*tdt/t=(1/2) ∫ (t^2-1)dt=(1/2)*(t^3/3)-(1/2)*t+C=

=[b](1/6)*sqrt((2x-1)^3) -(1/2)*sqrt(2x-1) + C[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]\int \frac{dx}{cos^2x(4tg^2x+9)}=\int \frac{d(tgx)}{4tg^2x+9}=\int \frac{d(tgx)}{(2tgx)^2+3^2}=\frac{1}{2}\int \frac{d(2tgx)}{(2tgx)^2+3^2}=[/m]

[m]=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} arctg\frac{2tgx}{3}+C=\frac{1}{6} arctg\frac{2tgx}{3}+C[/m]

[m]x^2+2x+3=x^2=2x+1+2=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2[/m]

[m]\int \frac{x-1}{((x+1)^2+2)^2}dx[/m]

[i]Замена переменной[/i]:
[m]x+1=t[/m]
[m]x=t-1[/m]
[m]dx=dt[/m]

=[m]\int \frac{t-2}{(t^2+2)^2}dt=\int \frac{t}{(t^2+2)^2}dt-\int \frac{2}{(t^2+2)^2}dt=[/m]

Первый интеграл по формуле:

[m]\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}[/m]

второй по рекуррентной формуле при [m]n=2[/m](cм приложение):

учитываем, что [m]a^2=2[/m]

[m]I_{2}=\frac{1}{2}(\frac{2\cdot2-3}{2\cdot2-2}\cdot I_{1}+\frac{t}{2\cdot(2-1)\cdot(t^2+2)^{2-1}})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\cdot I_{1}+\frac{t}{2\cdot(t^2+2)})[/m]

[m]I_{1}=\int \frac{dt}{t^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg \frac{t}{a} [/m]

получаем:

[m]\int \frac{t}{(t^2+2)^2}dt-\int \frac{2}{(t^2+2)^2}dt=[/m]

[m]=\frac{1}{2} \cdot \int \frac{2t}{(t^2+2)^2}dt-2\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2}\cdot \int \frac{dt}{t^2+a^2}+\frac{t}{2(t^2+2)})=[/m]

[m]=\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{t^2+2}) -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{t}{\sqrt{2}}-\frac{t}{2(t^2+2)}+C[/m]

упрощаем:

[m]=-\frac{t+1}{2(t^2+2)} -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}arctg\frac{t}{\sqrt{2}}+C[/m].

где
[m] t=x+1,[/m]
[m] t^2+2=x^2+2x+3[/m]

О т в е т.[m] -\frac{x+2}{2(x^2+2x+3)} -\frac{1}{2\sqrt{2}}arctg\frac{x+1}{\sqrt{2}}+C[/m].
(прикреплено изображение)

x^2-2x+1=(x-1)^2

Правильную дробь разложим на простейшие дроби:
[m]\frac{3x^2-4}{(x+7)(x-1)^2}=\frac{A}{x+7}+\frac{B}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}[/m]

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:
3x^2-4=A*(x-1)^2+B*(x+7)*(x-1)+D*(x+7)

Применяем [b]метод частных значений[/b]

Выбираем такие значения, при которых выражения в скобках обращаются в нуль:
При x=1
3*(-1)^2-4=A*0+B*0+D*(1+7)

-1=8D ⇒ [m]D=-\frac{1}{8}[/m]

При х=-7
143=64А ⇒ [m]A=\frac{143}{64}[/m]
и любое третье значение, например,
при x=0
-4=A-7B+7D
7B=4+ [m]\frac{143}{64}[/m])+7* [m](-\frac{1}{8})[/m]

7B=[m]\frac{343}{64}[/m]

[m]В=\frac{49}{64}[/m]

[m]\int \frac{3x^2-4}{(x+7)(x^2-2x+1)}dx=
\int (\frac{A}{x+7}+\frac{B}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2})dx=[/m][m]=Aln|x+7|+Bln|x-1|-D\frac{1}{x-1}+C[/m]

где

[m]D=-\frac{1}{8}[/m]
[m]A=\frac{143}{64}[/m]
[m]В=\frac{49}{64}[/m]

[i]Универсальная подстановка[/i]:
[m]tg\frac{x}{2}=t[/m] ⇒ [m]\frac{x}{2}=atctgt[/m] ⇒[m] x=2arctgt[/m] ⇒[m]dx=\frac{2dt}{1+t^2}[/m]

[m]sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/m]
[m]cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/m]

[m]2sinx-cosx+5=2\cdot \frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}+5=\frac{4t-(1-t^2)+5(1+t^2)}{1+t^2}=\frac{3t^2+2t+2}{1+t^2}[/m]

подставляем [m]dx=\frac{2dt}{1+t^2}[/m] ; [m]2sinx-cosx+5=\frac{3t^2+2t+2}{1+t^2}[/m] в данный интеграл и

получим интеграл от дроби:

[m]\int \frac{dx}{2sinx-cosx+5}=\int \frac{dt}{3t^2+2t+2}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^2+\frac{2}{3}t+\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{(t+\frac{1}{3})^2+\frac{5}{9}}=[/m]

[m]=\frac{1}{3}\int \frac{d(t+\frac{1}{3})}{(t+\frac{1}{3})^2+\frac{5}{9}}=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{9}}}\cdot arctg\frac{t+\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{5}{9}}}+C=[/m]

[m]=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot arctg\frac{3(t+\frac{1}{3})}{\sqrt{5}}+C=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot arctg\frac{3t+1}{\sqrt{5}}+C[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]\sqrt{(x-1)^3(x-2)}=\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}\cdot\frac{1}{(x-1)(x-2)}[/m]

Замена
[m]\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}=t[/m] ⇒ [m]x=\frac{t^2-2}{t^2-1}[/m]

[m]dx=\frac{2tdt}{(t^2-1)^2}[/m]

[m]\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{(\frac{t^2-2}{t^2-1}-1)(\frac{t^2-2}{t^2-1}-2)}=\frac{(t^2-1)^2}{t^2}[/m]

Подставляем
[m]\int\frac{dx}{\sqrt{(x-1)^3(x-2)}}=\int2dt=2t+C=2\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}+C[/m]

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx

cosxdy=-y(1+y)sinxdx - уравнение с разделяющимися переменными

dy/y(1+y)=-tgxdx

интегрируем

∫ dy/y(1+y)=- ∫ tgxdx

Cлева дробь, раскладываем на простейшие.
Справа табличный ∫ du/u

Ответ выбран лучшим

Это неправильная дробь.
Выделяем целую часть.
Можно делить углом.
Можно "искусственно" выделить в числителе знаменатель:
x^4-1=x^4+4x^2-4x^2-1=(x^4+4x^2)-(4x^2+1)=x*(x^3+4x)-(4x^2+1)

И делим это выражение на знаменатель:

[m]\frac{x^4-1}{x^3+4x}=\frac{x\cdot(x^3+4x)}{x^3+4x}-\frac{4x^2+1}{x^3+4x}=x-\frac{4x^2+1}{x^3+4x}[/m]

Раскладываем правильную дробь [m]\frac{4x^2+1}{x^3+4x}[/m]

на простейшие [i]методом неопределенных коэффициентов.[/i]

Для этого знаменатель раскладываем на множители

x^3+4x=x*(x^2+4)

[m]\frac{4x^2+1}{x^3+4x}=\frac{A}{x}+ \frac{Mx+N}{x^2+4}[/m]

Коэффициенты А, M, N и есть неопределенные, их надо найти
из равенства дробей.

Приводим дроби справа к общему знаменателю:

[m]\frac{4x^2+1}{x^3+4x}=\frac{A\cdot (x^2+4)+x\cdot (Mx+N)}{x\cdot (x^2+4)}[/m]

Дроби равны, знаменатели равны, осталось приравнять числители:
[m]4x^2+1=A\cdot (x^2+4)+x\cdot (Mx+N)[/m]

[m]4x^2+1=Ax^2+4A+Mx^2+Nx[/m]

[m]4x^2+1=(A+M)x^2+4A+Nx[/m]

Два многочлена равны, если равны степени ( у нас оба квадратные)
и равны коэффициенты при одинаковых степенях перемнных:

при x^2
4=A+M
при х
0=N
при x^(0)
1=4A

A=1/4
M=4-(1/4)=15/4
[m]\int \frac{x^4-1}{x^3+4x}dx=\int xdx- \frac{1}{4}\int\frac{dx}{x}-\frac{15}{4}\int \frac {xdx}{x^2+4}=[/m] [m]\frac{x^2}{2}- \frac{1}{4}ln|x|-\frac{15}{8}ln|x^2+4|+C[/m]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

AD=8; BC=3
MN=[m]\frac{2\cdot 3\cdot 8}{3+8}=\frac{48}{11}[/m] (прикреплено изображение)

Надо ознакомиться с темой, свойства сочетаний, бином Ньютона. Уметь доказывать следующие тождества (прикреплено изображение)

1)
cos2xdy=dx

dy=dx/cos^2x

∫ dy= ∫ dx/cos^2x

[b]y=tgx+C[/b]

x=π/4, у=3

3=tg(π/4)+C

C=2

[b]y=tgx+2[/b]

2)
уdx=dy/3x^2

3x^2dx=dy/y

∫ 3x^2dx= ∫ dy/y

[b]x^2=ln|y|+C[/b]

х=0, у=1

0=ln1+C

C=0
[b]x^2=ln|y|[/b]

3)
(х+3)dy=(y+1)dx
dy/(y+1)=dx/(x+3)

∫ dy/(y+1)= ∫ dx/(x+3)

ln|y+1|=ln|x+3|+lnC

ln|y+1|=lnC|x+1|

[b]y+1=C(x+1)[/b]

Модули можно не учитывать, ± в С

при х=1 ,у=3

3+1=С/2
С=8
[b]y+1=8(x+1)[/b]

Ответ выбран лучшим

б)
[m] ∫ \frac{2 ν -3 ν ^3}{5 ν }d ν =[/m]
делим на [m]5 ν [/m] каждое слагаемое числителя:

=[m] ∫( \frac{2 ν }{5 ν }- \frac{3 ν ^3}{5 ν })d ν=[/m]

интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

=[m] ∫ \frac{2 }{5 ν}d ν -∫ \frac{3 ν ^2}{5 }d ν =[/m]

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

=[m] \frac{2 }{5 } ∫d ν - \frac{3 }{5 } ∫ν ^2d ν =[/m]

Применяем таблицу:

=[m] \frac{2 }{5 }\cdot ν - \frac{3 }{5 }\cdot \frac{ν ^3}{3}+C =[/m]

=[m] \frac{2 }{5 }\cdot ν - \frac{1 }{5 }\cdot ν ^3+C [/m]

г)
[m] ∫(cosx +\frac{3}{x})d x =[/m]

интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

[m]= ∫cosxdx + ∫\frac{3}{x }d x =[/m]

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

[m]= ∫cosxdx + 3∫\frac{1}{x }d x =[/m]

Применяем таблицу:

[m]= sinx + 3ln|x| + C[/m]

д) [m]=3\cdot (-ctgx)-2\cdot (arctgx)+C =[/m]

[m]=-3\cdot ctgx-2\cdot arctgx+C [/m]
(прикреплено изображение)

z^2=sin^2x-y^2;

z= ± sqrt(sin^2x-y^2)

Cчитаем площадь одной поверхности

z=sqrt(sin^2x-y^2)

S_(поверхности)= ∫ ∫ _(D) sqrt(1+(z`_(x))^2+(z`_(y))^2)dxdy

z`_(x)=[m]\frac{(sin^2x-y^2)`_{x}}{2\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m]

z`_(y)=[m]\frac{(sin^2x-y^2)`_{y}}{2\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m]

z`_(x)=[m]\frac{2sinx\cdot (sinx)`}{2\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m] ⇒ z`_(x)=[m]\frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m]

z`_(y)=[m]\frac{-y}{\sqrt{sin^2x-y^2}}[/m]

S_(поверхности)= ∫ ∫ _(D) [m]\sqrt{1+(\frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{sin^2x-y^2}})^2+(\frac{-y}{\sqrt{sin^2x-y^2}})^2}[/m]dxdy

S_(поверхности)= ∫ ∫ _(D)[m] \sqrt{\frac{sin^2x-y^2+sin^2x\cdot cos^2x+y^2}{sin^2x-y^2}}[/m]dxdy

S_(поверхности)= ∫ ∫ _(D)[m] \sqrt{\frac{sin^2x+sin^2x\cdot cos^2x}{sin^2x-y^2}}[/m]dxdy

1)
Уравнение с разделяющимися переменными.

y`=dy/dx

dy=tgx*tgydx

dy/tgy=tgx*dx

∫ ctgydy= ∫ tgxdx

Два табличных интеграла.

ln|siny|=-ln|cosx|+ln C ⇒ ln|siny|=lnC/|cosx| ⇒

siny=C/cosx

siny*cosx=C - [b]общее решение[/b]

3.
Делим на x:
y`-(1/x)y=8x^2*cos^2x [red](#)[/red]

Линейное неоднородное первого порядка. Решают[i] методом Бернулли [/i] (y=u(x)*v(x) )или [i]методом вариации произвольной постоянной[/i].

Решаем однородное:

y`-(1/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y=dx/x

∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+ lnC

y=Cx

[i]Метод вариации[/i]

y=C(x)*x

y`=C`(x)*x+C(x)

Подставляем в неоднородное [red](#)[/red] :

C`(x)*x+C(x)-(1/x)*C(x)*x=8x^2*cos^2x

C`(x)*x=8x^2*cos^2x

C`(x)=8x*cos^2x

C(x)= ∫8x*cos^2xdx

По частям
u=x ⇒ du=dx
dv=cos^2xdx ⇒ v= ∫ cos^2xdx= ∫ (1+cos2x)dx/2 =(1/2)x+(1/4)sin2x

C(x)=x*((1/2)x+(1/4)sin2x)- ∫ ((1/2)x+(1/4)sin2x)dx

C(x)=(1/2)x^2+(1/4)x*sin2x-(1/4)x^2 -(1/8)*(-cos2x)+c

C(x)=(1/4)x^2+(1/4)x*sin2x-(1/8)*(-cos2x)+c

y=C(x)*x

у=(1/4)x^3+(1/4)x^2*sin2x -(1/8)x*(-cos2x)+cx - о т в е т.

(прикреплено изображение)

Если каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), то уравнение 2 следствие уравнения 1

1)(нет; [b]да[/b])
x=2 - корень уравнения (1) одновременно и корень уравнения (2)
значит (2) -[b] следствие[/b] (1)
уравнение (2) имеет два корня, но только один из них является корнем уравнения (1)

Поэтому (1) [b]не [/b]является следствием (2)

Остальные также, не списывайте, вникайте.
Может где и не так.
2)(да;да)
3)(нет;нет)
4) (да; нет)
5) (да; нет)
6)(да;да)

Ответ выбран лучшим

1. cos ∠ B =ВС/АВ
BC=AB*cos ∠ B=25*( 7/25)=7
По теореме Пифагора
AC^2=AB^2-BC^2=25^2-7^2=[b](25-7)(25+7)[/b]=18*32=9*2*32=9*64=(3*8)^2
Учимся считать [i]без калькулятора[/i].
АС=24

2.
ΔАВС - равнобедренный ( АС=ВС)
Высота CМ из вершины С является одновременно и медианой
АМ=МВ
Из прямоугольного треугольника АМВ
sin ∠ A=MC/AC
MC=AC*sin ∠ A=6,5*(12/13)=(13/2)*(12/13)=6

По теореме Пифагора находим МС
АС=2МС

3.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
В треугольниках АВС и СНВ общий угол СВН. ⇒
∠ ВАС= ∠ ВСН

По теореме Пифагора
СН^2=ВС^2-ВН^2=26^2-24^2=[b](26-24)(26+24)[/b]=2*50=100
CH=10
tg ∠ BCH=BH/CH=24/10=2,4

tg∠ ВАС= tg∠ ВСН=2,4

4,[m]sin 60^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

[m]S=\frac{a\cdot b\cdot sin\angle C}{2}=\frac{7\cdot 10\sqrt{3}\cdot sin 60^{o}}{2}=\frac{210}{4}=\frac{105}{2}=52,5[/m]

5.
[m]S=\frac{a\cdot h_{a}}{2}[/m] ⇒ [m]a=24; h_{a}=6[/m]

Далее из двух прямоугольных треугольников находим проекцию стороны 9 на сторону 24, потом проекцию неизвестной стороны
и саму сторону.
Сравниваем какая из трех сторон наибольшая. Наверное 24
Высота есть она 6

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-cosx>0 ⇒ cosx <0 - х во 2-й или в 3-й четв.

sqrt(-cosx)+1>0, так как sqrt(-cosx) ≥ 0, а 0 +1 >0

2sinx-1=0 ⇒ sinx=0,5 ⇒ x=(-1)^(m) arcsin(0,5) +πm, m ∈ Z

[b]x=(-1)^(m) (π/6) +πm, m ∈ Z[/b]

из этой формулы при
при [b]m=2k[/b] ( чётные m) получаем [b]x=(π/6) +2πk, k ∈ Z [/b]

при [b]m=2n+1[/b] (нечётные m) получаем x=-(π/6)+π(2n+1) ⇒

[b] x=(5π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

x=(π/6) +2πk, k ∈ Z не удовл усл. х во 2-й или в 3-й четв.

О т в е т. (5π/6)+2πn, n ∈ Z

б) x= (5π/6)+2π=17π/6 - корень, принадлежащий [3π/2; 3π] (прикреплено изображение)

∠ ADB=90 ° как угол опирающийся на диаметр.

BD:DC=2:1
Значит ВС разделена на три части:
BD=4; CD=2

По теореме Пифагора
AD^2=AB^2-BD^2=6^2-4^2=20

По теореме Пифагора
AC^2=AD^2+DC^2=20+2^2=24

AC=sqrt(24)=[b]2sqrt(6)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{x ≥ 0
{x+4 ≥ 0
{sqrt(x)-sqrt(x+4) ≠ 0 ⇒ sqrt(x) ≠ sqrt(x+4) ⇒ x ≠ x+4 - верно

ОДЗ: [red]x ≥ 0[/red]

при x ≥ 0
sqrt(x) < sqrt(x+4)

Значит sqrt(x)-sqrt(x+4) <0

Поэтому
3^(x^2+2x)-4*(\sqrt(3))^(x^2+2x)+3 ≥ 0

[i]Замена переменной:[/i]
sqrt(3)^(x^2+2x)=t

t^2-4x+3 ≥ 0
D=16-12=4
t=1 или t=3

t ≤ 1 или t ≥ 3

Обратно:
sqrt(3)^(x^2+2x) ≤ 1 ⇒ x^2+2x ≤ 0 ⇒ x*(x+2) ≤ 0 ⇒ -2 ≤ x ≤ 0

Только [b]х=0 удовлетворяет ОДЗ[/b]

sqrt(3)^(x^2+2x) ≥ 3 ⇒ sqrt(3)^(x^2+2x) ≥ (sqrt(3))^2 x^2+2x ≥ 2 ⇒

x^2+2x-2 ≥ 0

D=4+8=12

x_(1,2)=(-2 ± 2sqrt(3))/2

x_(1,2)=-1 ± sqrt(3)

x ≤ -1 -sqrt(3) или x ≥ -1+ sqrt(3) -

x ≤ -1 -sqrt(3) не удовл ОДЗ

О т в е т. {0}U(-1+sqrt(3);+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

По свойству диагоналей параллелограмма:
[r]d^2_(1)+d^2_(2)=2(a^2+b^2)[/r]

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны.

a=b

d^2_(1)+d^2_(2)=4a^2

d^2_(1)=4a^2-d^2_(2)=4*(26)^2-20^2=4*(26)^2-(4*5)^2=4*(26)^2-4*4*5^2=

=4*(26^2-100)=4*24^2=(2*24)^2=48^2

d_(2)=48

а)
Призма АВСА1В1С1 - прямая, значит АА_(1); ВВ_(1) и СС_(1) перпендикулярны пл. оснований.

Значит перпендикулярны любой прямой, лежащей в этих плоскостях, в частности
ВВ_(1) ⊥ AB и ВВ_(1) ⊥ AC.

ВВ_(1) ⊥ AB ⇒ MB- проекция АР на пл АВС

Так как треугольник АВС - равнобедренный, его медиана BM одновременно и высота.
BM ⊥ АС

По теореме о трех перпендикулярах

АС ⊥ MP

A_(1)C_(1) || AC ⇒ A_(1)C_(1) ⊥ MP. Что и требовалось доказать.

б)
причём ВР : РВ1 = 1:3,
значит 24:4=6
ВР=[b]6[/b]; РВ1 = [b]18[/b]

Так как треугольник АВС - равнобедренный, его медиана BM одновременно и высота.
Треугольник ВМС - прямоугольный, ВС=20; МС=АС/2=32/2=16
ВМ=[b]12[/b]

пл А1В1С1 || пл АВС.

∠ PMB - линейный угол двугранного угла между пл. АВС и АРС
по определению: BM ⊥ AС и PM ⊥ AC

tg∠ PMB=PB/BM=6/12=1/2

Значит, тангенс угла между между плоскостями А1B1C1 и АСР равен 1/2

О т в е т. 1/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем диагональ прямоугольника ABCD
BD^2=AB^2+AD^2=5^2+(sqrt(11))^2=25+11=36
[b]BD=sqrt(36)=6[/b]

Прямые АС и B_(1)D_(1) расположены в параллельных плоскостях оснований АВСD и A_(1)B_(1)C_(1)D_(1).

Расстояние между ними есть длина общего перпендикуляра к ним.
Таким перпендикуляром является боковое ребро призмы.
AA_(1)=BB_(1)=CC_(1)=DD_(1)=12

Прямоугольные треугольники Δ D_(1)BD и MDD_(1) подобны по двум углам.
( равные острые углы отмечены на рисунке)

Из подобия: DD_(1):BD=MD_(1):DD_(1)
12:6=MD_(1):12

MD_(1)=[m]\frac{144}{6}=24[/m]

Тогда
B_(1)M=[m]24-6=18[/m]

[b]B_(1)D_(1):B_(1)M[/b]=6:18=[b]1:3[/b]

б)
∠ KDB - угол между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы

∠ KDB= ∠ DMD_(1) внутренние накрест лежащие при параллельных BD и B_(1)D_(1) и секущей MD

tg∠ DMD_(1) =DD_(1):MD_(1)=12:24=[b]0,5[/b]

tg∠ KDB= [b]0,5[/b]

О т в е т. [b]0,5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
[m] x-5y=20[/m]

точка (0;-4) [b]принадлежит[/b] графику,
так как её координаты удовлетворяют уравнению
0-5*(-4)=20 - верно

точка (5;-3) [b]принадлежит[/b] графику,
так как её координаты удовлетворяют уравнению
5-5*(-3)=20 - верно

точка (1;-2) [b]не принадлежит [/b]графику,
так как её координаты не удовлетворяют уравнению
1-5*(-2)=20 - неверно

точка (4;-1) [b]не принадлежит[/b] графику,
так как её координаты не удовлетворяют уравнению
4-5*(-1)=20 - неверно

2)
[m] 4x+9y=36[/m]
(0;4) и (9;0) [b]принадлежат[/b]
(-3;4) и (1;2) [b]не принадлежат[/b]

3)
[m] -3x+7y=21[/m]
(0;3) и (-7;0) [b]принадлежат[/b]
(-3;4) и (1;2) [b]не принадлежат[/b]

и так далее

Найдем диагональ прямоугольника ABCD
BD^2=AB^2+AD^2=12^2+(sqrt(31))^2=144+31=175
[b]BD=sqrt(175)[/b]

Прямые АС и B_(1)D_(1) расположены в параллельных плоскостях оснований АВСD и A_(1)B_(1)C_(1)D_(1).

Расстояние между ними есть длина общего перпендикуляра к ним.
Таким перпендикуляром является боковое ребро призмы.
AA_(1)=BB_(1)=CC_(1)=DD_(1)=5

Прямоугольные треугольники Δ D_(1)BD и KDD_(1) подобны по двум углам (равные углы отмечены на рисунке)
∠ MDB= ∠ DKD_(1) внутренние накрест лежащие при параллельных BD и B_(1)D_(1) и секущей KD

Из подобия: DD_(1):BD=KD_(1):DD_(1)

KD_(1)=[m]\frac{5\sqrt{7}}{7}[/m]
Тогда
B_(1)K=5sqrt(7)-[m]\frac{5\sqrt{7}}{7}[/m]=[m]\frac{30\sqrt{7}}{7}[/m]

[b]B_(1)K:KD_(1)=30:5=6:1[/b]

б)
∠ MDB - угол между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы

∠ MDB= ∠ DKD_(1) внутренние накрест лежащие при параллельных BD и B_(1)D_(1) и секущей KD

Из Δ DKD_(1):
tg ∠ DKD_(1)=DD_(1):KD_(1)=5: [m]\frac{5\sqrt{7}}{7}=\sqrt{7}[/m]

tg∠ MDB=[m]\sqrt{7}[/m]

cos∠ MDB=[m]\frac{1}{\sqrt{1+tg^2\angle MDB}}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}[/m]

О т в е т. cos∠ MDB=[m]\frac{\sqrt{2}}{4}[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[red]1.[/red]

x_(10)=4*10+5=
x_(25)=4*25+5

[red]2.[/red] 2)и 4)

Проверяем выполняется ли определение.
Каждый следующий член на одно и то же число больше ( меньше) предыдущего.
2)
d=2-4=0-2=-2 -[i] разность[/i] прогрессии
4)
d=21-11=11-1=10 - [i]разность[/i] прогрессии

или
проверяем выполняется ли свойство:
каждый член прогрессии равен [i]среднему арифметическому [/i]соседей слева и справа

Почему она и называется[i] арифметической прогрессией[/i]
2) 2=(4+0)/2- верно
4) 11=(1+21)/2 - верно

[red]3.[/red]
1) и 2)
Проверяем выполняется ли определение.
Каждый следующий член получен из предыдущего умножение на одно и то же число.

-14:7=-2
28:(-14)=-2
q=-2 [i] знаменатель[/i] прогрессии
2:4=0,5
1^2=0,5
q=0,5- [i]знаменатель[/i] прогрессии

[red]4[/red].
36; 32; 28;24; 20
О т в е т. 20 страниц прочитал в пятый день

[red]5.[/red]
d=a_(2)-a_(1)=8-5=3

a_(n)=a_(1)+(n-1)d - формула[i] общего[/i] члена арифметической прогрессии

a_(7)=a_(1)+6d=5+6*3=
a_(12)=a_(1)+11d=5+11*3=

S_(n)=(a_(1)+a_(n))*n/2 - формула суммы n-первых членов прогрессии

S_(12)=(a_(1)+a_(12))*12/2=(5+38)*6=

[red]6[/red]

b_(6)=b_(1)*q^5=-1*2^5=-32

S_(8)=(-1)*(2^8-1)/(2-1)=...

[red]7[/red]
2,5=18,5+(n-1)*(-1,5) ⇒ -1,5*(n-1)=2,5-18,5 ⇒ -1,5(n-1)=-16

n-1= получаем дробное число. Не может, так как n- натуральное

5=18,5+(n-1)*(-1,5) ⇒ -1,5*(n-1)=5 -18,5 ⇒ -1,5(n-1)=-13,5
n-1=9
n=10
может

[i]8.[/i]

540:6=90 чисел кратных 6

первое 6 последнее 540

S_(90)=(6+540)*90/2= ....

a)
Пирамида правильная, в основании квадрат АВСD.
Высота пирамиды MO, O-центр квадрата.

MO ⊥ ABCD ⇒ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой АО:
MO ⊥ AO
AC ⊥ BD - диагонали квадрата взаимно перпендикулярны

⇒ AO ⊥ двум пересекающимся прямым плоскости ВМО, значит
перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой LO

[b]АО ⊥ LO[/b]

б)
Медиана LO прямоугольного треугольника ВОМ является средней линией равнобедренного треугольника ВMD
LO=MD/2
LO||MD

Поэтому угол между прямыми MD и AL равен углу между прямыми
LO и AL

В прямоугольном треугольнике АLO

tg ∠ ALO=АО/LO

По условию tg ∠ ALO= sqrt(2)

Значит, LO=AO/tg ∠ ALO

AO=(1/2)AC=(1/2)*ABsqrt(2)=(1/2)*(10)=5

LO=5/sqrt(2)=5sqrt(2)/2

Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Значит BM=5sqrt(2)

АМ=ВМ=СМ=DM=5sqrt(2)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОМ
МO^2=AM^2-AO^2=(5sqrt(2))^2-5^2=50-25=25
MO=[b]5[/b]

О т в е т. [b]5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) это же обратная пропорциональность ( график гипербола, в точке (0;0) не определена функция)
Значит является функциональным на (- ∞ ;0)U(0;+ ∞ )
2)Биективным,значит взаимно-однозначным
На этом же и является.
Каждому х свой у и обратно, каждому у свой х

Ответ выбран лучшим

34-30=4 невыученных

Первый раз взял невыученный билет
p_(1)=4/34=2/17
Второй раз билетов 33
Выученных 30
p_(2)=30/33=10/11

p=p_(1)*p_(2)=(2/17)*(10/11)=[b]20/187[/b]

Ответ выбран лучшим

1)нет.
Во множестве А есть элемент {1;2}
Во множестве В такого элемента нет
2)нет
Во множестве А есть элементы a; b
Таких элементов в В нет, там упорядоченная пара (a;b)

1){b,d,f}
2) (2;4)U[6;10]
3) {0}

Повторные испытания с двумя исходами. Схема Бернулли
p=0,75
q=1-0,75=0,25

Найти:
P_(6)(k ≥ 1)

Находим вероятность противоположного события
P_(6)(0)=C^(0)_(6)p^(0)*q^(6)=1*(0,25)^6

Тогда
P_(6)(k ≥ 1)=1- (0,25)^(6)

Ответ выбран лучшим

S_( Δ BMC)=(1/2)BC*H
S_( Δ BMC)=60
BC=10
Н=12

В равнобедренном треугольнике ВОC:
BC=10; H=12
OB=OC=13
AD=AO+OA=26

S_(трапеции)=(1/2)(BC+AD)*H=(1/2)(10+26)*12=[b]216[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

События Ai -"первый контроллер принял i–й изделие",
i = 1; 2; 3
Событие vector{Ai }-"первый контроллер НЕ принял i–й изделие"

Bj -"второй контроллер принял j–й изделие",
j = 1; 2

Событие vector{Bj }-"второй контроллер НЕ принял j –й изделие"

Значит всего пять изделий. Пять мест.
Надо раскидать два отрицания на 5 мест:

C=A_(1)A_(2)A_(3)vector{B_(1)}*vector{B_(2)} + +A_(1)A_(2)vector{A_(3)}B_(1)*vector{B_(2)}+
+A_(1)*vector{A_(2)}A_(3)*B_(1)*vector{B_(2)}+
+vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)*B_(1)*vector{B_(2)}+...

десять штук таких должно быть

C^(2)_(5)=5!/(2!*3!)=10

Ответ выбран лучшим

Это объединение двух прямых
x+y=4 или х+y=-2
[b]y=2-x [/b] или [b]у=-2-х[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это вектор vector{EF}
Его координаты (x_(F)-x_(E);y_(F)-y_(E))=(5-1;5-1)=(4;4)

Такие же координаты имеет вектор, соединяющий начало координат и точку (4;4) (прикреплено изображение)

Пусть М - середина АF; N - середина СD.

AF||CD||BE

ABEF и BCDE - равнобедренные трапеции.

Пусть O- [i]середина[/i] BD

Тогда MO ⊥ AF и NO ⊥ CD

Так как из точки О к параллельным прямым AF и CD можно провести только один перпендикуляр.
O ∈ MN

SO ⊥ пл. АВСDEF,
плоскость SMN пpоходит через перпендикуляр к другой плоскости, поэтому плоскости перпендикулярны.

б)

Прямая АС || MN

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией на плоскость.

Δ SMN - равнобедренный,

NK ⊥ SM, значит проекцией MN на пл. SAF является MK,
K ∈ SM

OM=sqrt(3)/2
SM^2=SA^2-AM^2=2^2-(1/2)=4-(1/4)=15/4
SM=sqrt(15)/2

cos ∠ SMO=OM/SM=sqrt(3)/2/sqrt(15)/2=1/sqrt(5)=[b]sqrt(5)/5[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение события-гипотезы
H_(i) - выбран i-ый обменный пункт
i=1,2,3
p(H_(1))=0,2
p(H_(2))=0,5
p(H_(3))=0,3

событие A- "обмен проведен "

p(A/H_(1))=1-0,4=0,6
p(A/H_(2))=1-0,6=0,4
p(A/H_(3))=1-0,7=0,3

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=0,2*0,6+0,5*0,4+0,3*0,3=

По формуле Байеса:

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)= =0,2*0,6/(0,2*0,6+0,5*0,4+0,3*0,3)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(3+2x-x^2)(x-2)>0 ⇒ (x+1)(x-3)(x-2) <0 ⇒ x < -1 или 2 < x < 3
{(4-4x+x^2)*(8x-16) >0 ⇒ (x-2)^3>0 ⇒ x-2>0 ⇒ x >2

x ∈ (2;3)

В условиях ОДЗ:

log_(2)(3+2x-x^2)*(x-2)-log_(2)(4-4x+x^2)*(8x-16)+1 >0

log_(2)(3+2x-x^2)+log_(2)(x-2)-log_(2)((x-2)^3*8)+1>0

log_(2)(3+2x-x^2)+log_(2)(x-2)-3log_(2)(x-2)-log_(2)8+1 >0

log_(2)8=3

log_(2)(3+2x-x^2)-2log_(2)(x-2)-2 >0

log_(2)(3+2x-x^2)>2log_(2)(x-2)+2

log_(2)(3+2x-x^2)>log_(2)(x-2)^2*4

3+2x-x^2>4*(x-2)^2

5x^2-18x+13 <0

D=64

x_(1)=1; x_(2)=2,6

1 < x < 2,6

С учетом ОДЗ:
О т в е т. (2;2,6)

Ответ выбран лучшим

u=lnx; du=dx/x
dv=xdx ⇒ v= ∫ xdx; v=x^2/2 ( C=0,)

u*v- ∫ v*du

=(x^2/2)*lnx - ∫ (x^2/2)*(dx/x)=

=(x^2/2)*lnx - ∫ (x/2)*dx=

=(x^2/2)*lnx - (x^2/4)+C

Ответ выбран лучшим

Это интеграл вида
∫ du/u=ln|u|+C

u=9x+7

du=(9x+7)`dx
du=9dx

∫ dx/(9x+7)= на число всегда можно умножить и разделить =

=(1/9) ∫ (9dx)/(9x+7)=(1/9) ∫ d([b]9x+7[/b])/([b]9x+7[/b])=

=(1/9)ln|[b]9x+7[/b]|+C

Ответ выбран лучшим

Делим на х:

y`=e^([b]y/x[/b])+([b]y/x[/b])

y`= φ ([b]y/x[/b])

Однородное.

Замена:
[b]y/x[/b]=u

y=xu
y`=x`*u+x*u`

x`=1

y`=u+x*u`

Уравнение принимает вид:
u+x*u`=e^(u)+u

x*u`=e^(u) - уравнение с разделяющимися переменными

e^(-u)du=dx/x

Интегрируем:

∫ e^(-u)du= ∫ dx/x

-e^(-u)=ln|x| + lnC

-e^(-u)=lnCx - подставляем вместо u=y/x и это ответ

Ответ выбран лучшим

Стороны угла - касательные к окружности.
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки:
[b]АО=ОВ[/b]
Обозначим центр окружности Р.
Так как касательная [i]перпендикулярна[/i] радиусу, проведенному в точку касания, то[b] РА ⊥ OA[/b] и [b]PB ⊥ OB[/b]
и
[b]ОР[/b]- [i]биссектриса[/i] угла О

∠ САО - угол между касательной и хордой, измеряется половиной дуги АС, заключенной между ними.
∠ АВС - вписанный угол, измеряется половиной дуги АВ, на которую он опирается.

[b]∠ САО=∠ АВС [/b]

б)
Проводим СD ⊥ AB
Δ АКС~ Δ CDB
ΔACD~ ΔOCM

CD=sqrt(CK*CM)=sqrt(8*18)=[b]12[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[red]1 способ
[/red]
(2/7)*14=4 папужок лише цвiрiнькають та свистять
(3/7)*14=6 папужок умiють спiвати
4+6=10 папужок поки що не вмiють

14-4-6=4 папужок умiють розмовляти,

[red]2 способ[/red]
(2/7)+(3/7)=(5/7)

1-(5/7)=2/7 - умiють розмовляти,

14*(2/7)=4 - папужок умiють розмовляти,

14-4=10 - папужок поки що не вмiють

Значит,
D=2R=16
d=2r=6

См. рис.
Центры окружностей и точка касания лежат на одной прямой.
O_(1)K=8
PK=3+3=6
O_(1)P=8-6=2

Касательная [i]перпендикулярна[/i] радиусу,
проведенному в точку касания.

Δ О_(1)О_(2)М- прямоугольный,

O_(1)O_(2)=2+3=[b]5[/b]
O_(2)M=[b]3[/b]

[red]О_(1)М=4[/red]

б)
МК=?

Δ О_(1)О_(2)М- прямоугольный,

сos ∠ О_(1)О_(2)М=3/5

⇒ сos ∠ KО_(2)М=-3/5

По теореме косинусов

KM^2=3^2+3^2-2*3*3*(-3/5)=28,8=144/5

KM=sqrt(28,8)=sqrt(144/5)=12/sqrt(5)=12sqrt(5)/5

О т в е т. б) [b]12sqrt(5)/5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Особая точка x=1, cчитаем по определению как предел:

[m]\int^{1}_{0}\frac{x^2dx}{\sqrt[4]{1-x^3}} =\lim_{\varepsilon\to 0}\int^{1-\varepsilon }_{0}\frac{x^2dx}{\sqrt[4]{1-x^3}} =-\frac{1}{3}\lim_{\varepsilon \to 0}\int^{1-\varepsilon }_{0}\frac{(-3x^2dx)}{\sqrt[4]{1-x^3}}=[/m][m]-\frac{1}{3}\lim_{\varepsilon \to 0}\int^{1-\varepsilon }_{0}(1-x^3)^{-\frac{1}{4}}d(1-x^3) =[/m]

[m]=-\frac{1}{3}\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{(1-x^3)^{-\frac{1}{4}+1}}{-\frac{1}{4}+1}|^{1-\varepsilon }_{0}=-\frac{4}{9}\cdot (\lim_{\varepsilon \to 0}\sqrt[4]{(1-x^2)^3}|^{1-\varepsilon }_{0}=[/m]

[m]=-\frac{4}{9}\cdot (\lim_{\varepsilon \to 0}\sqrt[4]{(1-(1-\varepsilon)^2)^3}-1)=\frac{4}{9}[/m]

[b]Cходится.[/b]

Ответ выбран лучшим

Расходится.

Cчитаем по формуле
∫ u^(-2/3)du=u^(1/3)/(1/3)=3∛u

По определению:

∫ ^( +∞ )_(1)dx/(x∛(ln^2x))=lim_(A → + ∞ )∫ ^( A )_(1)dx/(x∛(ln^2x))=lim_(A → + ∞ )3∛(lnx)|^( A)_(1)=3*(lim_(A → + ∞ )∛ln(A))-3*∛(ln1)= [b]+ ∞[/b] -3*0= +∞

Но можно применять формулу Ньютона-Лейбница так же как в случае определенного интеграла, понимая, что подстановка + ∞ - это вычисление предела на + ∞ :

∫ ^( +∞ )_(1)dx/(x∛(ln^2x))=3∛lnx)|^( +∞)_(1)=3*(∛ln(+ ∞))-3*∛(ln1)= [b]+ ∞[/b] -3*0= +∞

Ответ выбран лучшим

1)
НЕСТАНДАРТНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ

12sinx+5cosx= 13*([m]\frac{12}{13}\cdot sinx+\frac{5}{13}\cdot cosx) =13\cdot [/m]cos(x- φ )

φ - [i]вспомогательный угол[/i], cos φ =[m]\frac{5}{13}[/m]; sin φ =[m]\frac{12}{13}[/m]

-1 ≤ cos(x- φ ) ≤ 1 ⇒ -1 3≤ 13*cos(x- φ ) ≤ 13

2y^2-8y+21 - квадратичная функция, которая принимает наименьшее значение в вершине
y_(o)=8/4=2

2*(2^2)-8*2+21=13

Левая часть ≤ 13, а правая наоборот ≥ 13

Возможно только равенство: значение 13 получено при [b]y=2[/b]

⇒ решаем уравнение

12 sinx+5cosx=13

13*cos(x- φ )=13

cos(x- φ )=1

x- φ =2πk, k ∈ Z

x= φ +2πk, k ∈ Z

x=arcsin=[m]\frac{12}{13}[/m]+2πk, k ∈ Z

О т в е т. arcsin=[m]\frac{12}{13}[/m]+2πk, k ∈ Z; 2)

2)
cos^4 α +sin^4 α =(cos^2 α )^2+(sin^2 α )^2=

[m]=(\frac{1+cos2 α}{2})^2+(\frac{1-cos2 α}{2})^2=[/m]

[m]=\frac{2+2cos^22 α}{4}=\frac{1+cos^22 α }{2}=\frac{1+(1-sin^22 α)}{2}= \frac{2-sin^22 α}{2}[/m]

При sin2 α =[m]\frac{2}{3}[/m]

[m]= \frac{2-(\frac{2}{3})^2}{2}= \frac{7}{9}[/m]

Ответ выбран лучшим

В копилку.
ХОРОШАЯ ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЗНАЧЕНИЙ

[m]cosx-sinx=sin(\frac{π}{2}-x)-sinx=[/m]

[m]=2\cdot sin(\frac{π}{4}-x)\cdot cos(\frac{π}{4})=\sqrt{2}\cdot sin(\frac{π}{4}-x)[/m]

Так как
[m]-1 ≤ sin(\frac{π}{4}-x) ≤ 1[/m] ⇒

[m]-\sqrt{2} ≤ \sqrt{2}\cdot sin(\frac{π}{4})-x) ≤ \sqrt{2} [/m]

[m]√0,125(cos x – sin x)=\frac{1}{2}\cdot sin(\frac{π}{4}-x)[/m]

[m]-\frac{1}{2} ≤ \frac{1}{2}\cdot sin(\frac{\pi}{4}-x) ≤\frac{1}{2}[/m]

Арккосинус- [i]убывающая [/i]функция, поэтому меняем знак:

[m] \frac{2\pi}{3}≥ arccos(-\frac{1}{2}) ≥ arccos(\frac{1}{2}\cdot sin(\frac{\pi}{4}-x) ≥ arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}[/m]

[m]\frac{\pi}{3}≤ arccos\sqrt{0,125}\cdot (cosx-sinx) ≤ \frac{2\pi}{3}[/m]

Умножаем на [m]\frac{3}{\pi}[/m]

[m]1≤ \frac{3}{\pi}arccos\sqrt{0,125}\cdot (cosx-sinx) ≤2[/m]

O т в е т. [1; 2]

Выразим из второго уравнения

sint=y/R

найдем

sin^2t=(y^2/R^2)

cos^2t=1-sin^2t=1-(y/R)^2

и подставим в первое:
x=R-(y^2/R) - парабола вдоль оси Ох, ветви в противоположную сторону, симметрична отн Ох, поэтому считаем одну часть и умножаем на 2

S=2 ∫ ^(R)_(0)(R-[m]\frac{y^2}{R}[/m])dy=2*(Ry - (y^3/3R))|^(R)_(0)

=2*(R^2-(R^2/3))=[b](4/3)R^2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Одна сторона прямоугольника b; вторая bn
d^2=b^2+(bn)^2=b^2*(1+n^2)
d=b*sqrt(1+n^2)

Высота, проведенная из вершины прямого угла на диагональ прямоугольника
h=[m]\frac{b\cdot bn}{b\sqrt{1+n^2}}[/m]
H=htg φ

Проводим перпендикуляр АК

АК=[m]\frac{h\cdot H}{\sqrt{h^2+H^2}}[/m]

BK- проекция АВ на пл α
sin ∠ ABK =[m]\frac{AK}{AB}[/m]
DK- проекция AD на пл α
sin ∠ ADK=[m]\frac{AK}{AD}[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.
[m]y`=4\cdot (4x^6-7x^2+9x+\frac{\pi}{4})\cdot (4x^6-7x^2+9x+\frac{\pi}{4})`[/m]

[m]y`=4\cdot (4x^6-7x^2+9x+\frac{\pi}{4})\cdot (24x^5-14x+9+0)[/m]

[m]y`=4\cdot (24x^5-14x+9)\cdot (4x^6-7x^2+9x+\frac{\pi}{4})[/m]

4.

[m]y`=5\cdot(9x-1)^{4}\cdot(9x-1)`+\frac{(5-x^2)`}{2\sqrt{5-x^2}}[/m]

[m]y`=5\cdot(9x-1)^{4}\cdot 9+\frac{(-2x)}{2\sqrt{5-x^2}}[/m]

[m]y`=45 \cdot (9x-1)^{4}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}[/m]

5.
Логарифмируем:

[m]lny=ln(5-2x)^{3}-ln(3x+7)^{4}[/m]

[m]lny=3ln(5-2x)-4ln(3x+7)[/m]

Дифференцируем обе части:

[m]\frac{y`}{y}=3\frac{(5-2x)`}{5-2x}-4\frac{(3x+7)`}{3x+7}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=3\frac{(-2)}{5-2x}-4\frac{3}{3x+7}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=-\frac{6}{5-2x}-\frac{12}{3x+7}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=-6(\frac{(3x+7)+2\cdot (5-2x)}{(5-2x)(3x+7)})[/m]

[m]\frac{y`}{y}=-6(\frac{3x+7+10-4x}{(5-2x)(3x+7)})[/m]

[m]y`=-6\cdot y \cdot (\frac{17-x}{(5-2x)(3x+7)})[/m]

[m]y`=-6\frac{(5-2x)^{3}}{(3x+7)^{4}}\cdot (\frac{17-x}{(5-2x)(3x+7)})[/m]

[m]y`=-6\frac{(5-2x)^{2}\cdot (17-x)}{(3x+7)^{5}}[/m]

Ответ выбран лучшим

1.
Правила вычисления производных:
[i]Производная суммы равна сумме производных[/i].
[i]Постоянный множитель можно вынести за знак производной[/i].
[m]y`=4\cdot(x^6)`-7\cdot(x^2)`+9\cdot (x)`+(\frac{\pi}{4})`[/m]

Формулы из таблицы производных для независимой переменной:
[m] (x^{6})`=6\cdot x^{6-1}=6x^{5}[/m]

[m] (x^{2})`=2\cdot x^{2-1}=2x[/m]

[m] (x)`=1\cdot x^{1-1}=x^{0}=1[/m]

[m] (C)`=0[/m] , C - постоянная, поэтому [m](\frac{\pi}{4})`=0[/m]

[m]y`=4\cdot 6 \cdot x^5-7\cdot 2\cdot x+9+0[/m]

[m]y`=24\cdot x^5- 14 \cdot x+9[/m] -О т в е т.

2.

[m]y`= (-\frac{5}{x})`-7(\sqrt{x})`+(sin2x)`-(e^{3x})`=\frac {5}{x^2}-\frac{7}{2\sqrt{x}}+2cos2x-3e^{3x}[/m]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{tgx>0 ⇒ x в первой четв или в третьей и x ≠ πn, x ≠ [m]\frac{\pi}{2}+πk, k ∈ Z[/m]
{1-sin^2x>0 ⇒ sin^2x-1 <0 ⇒ (sinx-1)(sinx+1) <0 ⇒ -1 < sinx < 1 ⇒

x ≠ [m]\frac{\pi}{2}+πk, k ∈ Z[/m]

ОДЗ: x в первой четв или в третьей четв
и x ≠ πn, x ≠ [m]\frac{\pi}{2}+πk, k ∈ Z[/m]

2sin^2x-1=0 ⇒ sin^2x=1/2 ⇒ sinx= ± sqrt(2)/2 ⇒ x=(π/4)m, m ∈ Z

исключаем корни из второй и четвертой четверти:

⇒[b] x= (π/4)+πm, m ∈ Z [/b]

или

log_(22)(1-sin^2x)=0 ⇒ 1-sin^2x=1 ⇒ sin^2x=0 ⇒ sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z не входит в ОДЗ; tg x > 0 значит tgx ≠ 0 ⇒ sinx ≠ 0 и потому эти значения исключены.

О т в е т. (π/4)+πm, m ∈ Z [/b]

Ответ выбран лучшим

[red]a)[/red]
Из точки А к каждой окружности проведены[i] касательная[/i] и [i]секущая[/i].
По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки:
CK^2=CB*CA и СT^2=CB*CA
Правые части равны, значит CK^2=CT^2 ⇒ [b]CK=CT[/b]

[red]б)[/red]
СТ=1; ∪ KP+ ∪ TH = 60 °
Найти KT
∠ PO_(1)K и ∠ TO_(2)H - [i]центральные[/i], они измеряются величиной дуги, на которую опираются

∠ PO_(1)K= ∪ KP
∠ TO_(2)H= ∪ TH

∠ PO_(1)K+ ∠ TO_(2)H = 60 °

В четырехугольнике СКО_(1)В
∠ СКО_(1)=90 ° и СМО_(1)=90 °
Значит,
∠ КО_(1)B + ∠ KCB=180 °
∠ КО_(1)B - смежный с ∠ PO_(1)K
∠ KCB=∠ PO_(1)K

Аналогично, из четырехугольника СМО_(2)Т
∠ ВСТ= ∠ TO_(2)H

∠ KCB+ ∠ ВСТ= ∠ PO_(1)K+∠ TO_(2)H=60 ° ⇒
[b] ∠ КСТ=60 ° [/b]

Δ СКТ равнобедренный, угол при вершине 60 ° ; значит это равносторонний треугольник и КТ=1

О т в е т. [b]1[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Наименьшее в точке x=b;
Наибольшее в точке x=1

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=f(x) ⇒ по определению dy=f`(x)dx

1)
y=tg(2arccos sqrt(1-x^2))

Находим производную сложной функции по формуле
[m](tgu)`=\frac{u`}{cos^2u}[/m]

[m]y`=\frac{(2arccos\sqrt{1-x^2})`}{cos^2(2arccos\sqrt{1-x^2}}[/m]

считаем
[m](2arccos\sqrt{1-x^2})`[/m]

постоянный множитель 2 можно вынести за знак производной:

[m]2\cdot (arccos\sqrt{1-x^2})`[/m]

Применяем формулу:
[m](arccosu)`=-\frac{u`}{\sqrt{1-u^2}}[/m]

[m]2*(arccos\sqrt{1-x^2})`=-2\cdot\frac{(\sqrt{1-x^2})`}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2}^2}}=-2\cdot\frac{(\sqrt{1-x^2})`}{\sqrt{1-1+x^2}}=-2\cdot\frac{(\sqrt{1-x^2})`}{\sqrt{x^2}}= [/m]

применяем формулу [m]\sqrt{x^2}=|x|[/m]

=[m]-2\cdot\frac{(\sqrt{1-x^2})`}{|x|}= [/m]

и считаем производную:

[m](\sqrt{1-x^2})`[/m]

по формуле:

[m](\sqrt{u})`=\frac{u`}{2\sqrt{u}}[/m]

итак,

[m]dy=\frac{-2\cdot\frac{(1-x^2)`}{|x|\cdot 2\sqrt{1-x^2}}}{cos^2(2arccos\sqrt{1-x^2})}dx[/m]

[m]dy=\frac{4x}{|x|\cdot 2\sqrt{1-x^2}\cdot cos^2(2arccos\sqrt{1-x^2})}dx[/m]

2.

Применяем правило нахождения производной произведения

dy=((-2x)*ln^2x+(3-x^2)*2lnx*(lnx)`)dx

dy=(-2x*ln^2x+2(3-x^2)*[m]\frac{lnx}{x}[/m])dx

Ответ выбран лучшим

Разместим двух сотрудников (один молодой сотрудник фирмы, а второй его наставник) в четырехместное бюро.
Там останется два места.
Тогда остальных восемь человек можем разместить:
P(3,3,2)=8!/(3!*3!*2!)=

Ответ выбран лучшим

Правила интегрирования:
постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
и формулы ( см. приложение)
a)=3 *arctgx+C
б)=(x^5/5)-2*(x^2/2)-2sqrt(x)+C

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

в)
∫ (3x-4)^(3)dx= замена переменной :
u=3x-4
du=(3x-4)`dx
du=3dx ⇒ dx=[m]\frac{1}{3}[/m] du

= ∫ u^3*[m]\frac{1}{3}[/m] du=
постоянный множитель можно вынести за знак производной:
=[m]\frac{1}{3}\cdot [/m] ∫ u^3du
табличный интеграл
[r] ∫ u^( α )=[m]\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C[/m]

=(1/3)*[m]\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C=[/m]

подставляем вместо u выражение 3x-4

[m]=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3x+4)^{3+1}}{3+1}+C=\frac{(3x+4)^{4}}{12}+C[/m]

Можно решать и так:
[m] \int (3x-4)^{3}dx=[/m] делим на 3 и умножаем на 3

=[m]\frac{1}{3} \int (3x-4)^{3}\cdot 3dx=[/m]

3dx=d(3x-4) поэтому

=[m]\frac{1}{3} \int (3x-4)^{3}d(3x-4)=[/m]

не вводим новую переменную u, понимая, что 3x-4 это u

[m]=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3x+4)^{3+1}}{3+1}+C=\frac{(3x+4)^{4}}{12}+C[/m]

г) ∫ sin2xdx= (1/2) ∫ sin[b]2x[/b] d([b]2x[/b])=(1/2)*(-cos[b]2x[/b])+C=

=-(1/2)cos2x+C - о т в е т

Ответ выбран лучшим

5000*(0,01*x) =50х руб - повышение цены на х%
(5000+50х) руб - цена после повышения

(х-10)% - процент снижения
(5000+50х)*(0,01*(х-10)) руб - снижение цены на (х-10)%
(5000+50х) - (5000+50х)*(0,01*(х-10)) = (5000+50х)*( 1 + 0,01*(х-10)) руб. цена после снижения.

По условию она равна 5200

Уравнение:
(5000+50х)*( 1 + 0,01*(х-10)) =5200

50х+ (5000+50х)*( 0,01*(х-10)) =200

Ответ выбран лучшим

3.
[m]y`=3\cdot (3x^5+8x^3+7x^2-\sqrt{3})^{4}\cdot (3x^5+8x^3+7x^2-\sqrt{3})`[/m]

[m]y`=3\cdot (3x^5+8x^3+7x^2-\sqrt{3})^{4}\cdot (15x^4+24x^2+4x)[/m]

[m]y`=3\cdot (15x^4+24x^2+4x)\cdot 3x^5+8x^3+7x^2-\sqrt{3})^{4}[/m]

4.

[m]y`=\frac{(2-5x)`}{2\sqrt{2-5x}}+6\cdot(3x-5)^{4}\cdot(3x-5)`[/m]

[m]y`=\frac{(-5)}{2\sqrt{2-5x}}+6\cdot(3x-5)^{4}\cdot 3[/m]

[m]y`=-\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}+18\cdot(3x-5)^{4}[/m]

5.
Логарифмируем:

[m]lny=ln(3x-5)^{4}-ln(2x-4)^{3}[/m]

[m]lny=4ln(3x-5)-3ln(2x-4)[/m]

Дифференцируем обе части:

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{(3x-5)`}{3x-5}-3\frac{(2x-4)`}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{3}{3x-5}-3\frac{2}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=\frac{12}{3x-5}-\frac{6}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=\frac{12(2x-4)-6(3x-5)}{(3x-5)(2x-4)}[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot (\frac{2(2x-4)-(3x-5)}{(3x-5)(2x-4)})[/m]

[[m]y`=6\frac{(3x-5)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot \frac{4x-8-3x+5)}{(3x-5)(2x-4)}[/m]
[m]y`=6\frac{(3x-5)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot (\frac{x-3}{(3x-5)(2x-4)})[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{3}\cdot (x-3)}{(2x-4)^{4}}[/m]

1.
Правила вычисления производных:
[i]Производная суммы равна сумме производных[/i].
[i]Постоянный множитель можно вынести за знак производной[/i].
[m]y`=7\cdot (\frac{1}{x})`+3\cdot (\sqrt{x})`-(tg2x)`-(3^{x})`[/m]

Формулы из таблицы производных ( x - независимая переменная):
[m] (\frac{1}{x})`=-\frac{1}{x^2}[/m]

[m](\sqrt{x})`= \frac{1}{2\sqrt{x}}[/m]

[m](3^{x})`=3^{x}\cdot ln 3[/m]

Формулы из таблицы производных для случая U -функции, [i]зависящей [/i]от х ( см. формулы в правом столбце):

[m](tgu)`=\frac{u`}{cos^2u}[/m]

u - функция, зависящая от x

[m]y`=7\cdot (-\frac{1}{x^2})+3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{(2x)`}{cos^22x}-3^{x}\cdot ln 3[/m]

[m]y`=(-\frac{7}{x^2}+\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{cos^22x}-3^{x}\cdot ln 3[/m]

2.
Правила вычисления производных:
[i]Производная суммы равна сумме производных[/i].

Формулы из таблицы для производных для случая [i]сложной [/i]функции:

[m](cosu)`=u`\cdot (-sinu)[/m]

[m](tgu)`=\frac{u`}{cos^2u}[/m]
u - функция, зависящая от x

[m]y`= (x+\frac{2\pi}{3})`\cdot (-sin(x+\frac{2\pi}{3})-\frac{1}{cos^2(x-\frac{\pi}{4})}\cdot (x-\frac{\pi}{4})`[/m]

[m]y`=-sin(x+\frac{2\pi}{3}) \cdot1-\frac{1}{cos^2(x-\frac{\pi}{4})}\cdot 1[/m]

[m]y`=-sin(x+\frac{2\pi}{3})-\frac{1}{cos^2(x-\frac{\pi}{4})}[/m]

(прикреплено изображение)

Пусть первое повышение на p%
4000*p/100=40p

(4000+40p) руб - цена после первого повышения.

Второе повышение на (р+10)%
(4000+40p) : 100 * (p+10)=0,01*(4000+40p)*(p+10)

(4000+40p)+ 0,01*(4000+40p)*(p+10)- цена после второго повышения.

Она и равна 4830

Уравнение:
(4000+40p)+ 0,01*(4000+40p)*(p+10)=4830

Вычитаю 4000 и слева и справа:

40p+ 0,01*(4000+40p)*(p+10)=830

Ответ выбран лучшим

[red]1)[/red]

vector{a}=(-6;-9;х) и vector{b}=(-4;y;2) [b] коллинеарны[/b],
если координаты векторов пропорциональны:
-6: (-4)=(-9):y=x:2
Это пропорция
В ней три пропорции:
-6: (-4)=(-9):y
(-9):y=x:2
-6: (-4)=x:2

Умножаем крайние и средние члены пропорции:
-6*y=(-4)*(-9)
-6y=36
[b]y=-6[/b]

-9*2=y*x
y=-6
-9*2=-6*x
[b]x=3[/b]

Третью можно и не решать, а можно подставить x=3 и убедиться, что все верно

[red]2)[/red]

Если vector{a}=(x;y;z), то
длина вектора vector{a} вычисляется по формуле:
[r]|vector{a}|=√(x^2+y^2+z^2)[/r]

vector{с}= (2; у; –6) ⇒ |vector{a}|=√(2^2+у^2+(-6)^2)
|vector{с}|= 7.
Cоставляем уравнение:
√(2^2+y^2+(-6)^2)=7
Возводим в квадрат
2^2+y^2+(-6)^2=49 ⇒ найдем y: y^2=9; [b]y= ± 3[/b]

[red]3)[/red]

vector{a}= (–1, 5, 3√5)
|vector{a}|=√((-1)^2+5^2+(3√5) ^2) ⇒ о т в е т

[red]4)
[/red]
А (1; 3; 5) и В (–4, 5, 1) ·
vector{АВ}=(x_(В)-x_(А);y_(В)-y_(А);z_(В)-z_(А))=(-4-1;5-3;1-5)=(-5;2;-4)

[red]5)
[/red]
и
[red]6)
[/red]
Решить невозможно. Нет данных

[red]7)[/red] как[red] 1)[/red]
[red]8) [/red]как [red]3)[/red] потом ответ умножить на (1/2)

Пусть процент p%
Через год:
Процентная прибавка это 0,01*p * 12 000=120p
Половина: 60p
На вкладе (12 000 + 60p)

Еще через год:
Процентная прибавка:
0,01*p* (12 000 + 60p)
На вкладе:
(12 000 + 60p)+0,01*p* (12 000 + 60p)=(12 000 +60р)*(1+0,01р)
И по условию это 36 000

Уравнение:
(12 000 +60р)*(1+0,01р)=36 000
Находим р

Ответ выбран лучшим

[red]108.[/red]
32=2^5
и
1/2=2^(-1)

32^(5x-11)=2^(-1) ⇒ (2^(5))^(5x-11)=2^(-1) ⇒ 2^(5*(5x-11))=2^(-1)

2^(25x-55)=2^(-1)

25x-55=-1
25x=55-1
25x=54
x=54/25
[b]x=2,16[/b]

[red]109[/red]

3^(x+4)=(3/8)*8^(x+4)

Делим на 8^(x+4)

(3/8)^(x+4)=(3/8)

x+4=1

[b]x=-3[/b]

[red]110.[/red]
По определению логарифма.
log_(a)b=c ⇔ a^(c)=b, a>0; a ≠ 1, b>0

(1/3)^(-2)=13-х

3^(2)=13-x ⇒ 9=13-x;

x=13-9

[b]x=4[/b]

[red]111.[/red]
По определению логарифма.
(4-x)^2=4
(4-x)^2-4=0 формула[r] a^2-b^2=[/r]
((4-x)-2)(4-x+2)=0
(2-x)(6-x)=0
2-x=0; 6-x=0
[b]x=2[/b] или [b]х=6[/b]

[red]112.[/red]
По определению логарифма.
9^2=3^(2x-1)
3^4=3^(2x-1)
4=2x-1
4-1=2x
2x=3
x=3/2
[b]x=1,5[/b]

[red]113.[/red]
Логарифмическая функция монотонна ( строго возрастает или строго убывает), т.е каждое свое значение принимает ровно в одной точке.
Поэтому если [i]значения[/i] логарифмической функции[i] равны,[/i] то и[i] аргументы равны.[/i]

x+5=5x-3
x-5x=-5-3
-4x=-8
[b]x=2[/b]

Так как логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента, обязательна[b] проверка[/b]:
При x=2
log_(7)(2+5)=log_(7)(5*2-3)
log_(7)7=log_(7)7 - верно.
О т в е т. [b]2[/b]

[red]114.[/red]

Свойство логарифма степени [r]log_(a)b^(k)=klog_(a)b; a>0; a ≠ 1; [/r]b>0
Применяем его справа налево: [r][b]k[/b]log_(a)b= log_(a)b^([b]k[/b])[/r]

log_(11)(3-x)=log_(11)2^2
log_(11)(3-x)=log_(11)4
Далее как 113.
3-х=4
3-4=х
х=-1

[b]Проверка[/b]:
log_(11)(3-(-1))=2log_(11)2
log_(11)4=2log_(11)2
log_(11)2^2=2log_(11)2 - верно
О т в е т. -1

[red]115[/red]

[b]3[/b]=3*1=3*log_(2)2=[b]log_(2)9[/b]

log_(2)(15+x)=log_(2)(3x-1)+log_(2)9

Свойство логарифма произведения: [r]log_(a)b*с=log_(a)b+log_(a)с; a>0; a ≠ 1; b>0; с>0[/r]
Применяем его справа налево: [r]log_(a)b+log_(a)с= log_(a)b*с; a>0; a ≠ 1; b>0 ; с>0[/r]

log_(2)(15+x)=log_(2)(3x-1)*9
15+x=(3x-1)*9
15+x=27x-9
15+9=27x-x
26x=24
x=24/26
[b]x=12/13[/b]

Проверка.
Потом ответ

[red]116[/red]

1=2^(0)
2^(log_(4)(x+3))=2^(0) ⇒ log_(4)(x+3)=0 ⇒ по определению логарифма.
4^(0)=x+3
1=x+3
x=1-3
x=-2
Проверка.
Потом ответ

Ответ выбран лучшим

40 это 0,8

40:0,8=50 (прикреплено изображение)

(41-38,7)*8,8 +4:0,8

Это не уравнение. ( в уравнении должен быть знак равенства)
Это выражение с переменными, в которое нужно подставить указанные значения переменных и получить числовое выражение.

По действиям:
Сначала в скобках:
(41-38,7)=
потом умножение
(41-38,7)*8,8=
и
деление
4:0,8=

Сложить

и получим ответ

В прямоугольном треугольнике АВС
∠ ВАС= α
∠ ВСА= β
α + β =90 ° - cумма острых углов прямоугольного треугольника 90 °

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:
OP ⊥ AB
OQ ⊥ AC

В прямоугольном треугольнике РАО
∠ РАО= α , значит ∠ POA= β

В прямоугольном треугольнике CQО
∠ QCО= β , значит ∠ COQ= α

Δ APO ~ ΔCQO по двум углам.

AO=√5/3; AK=AO+OK=(√5/3)+(2/3)=(√5+2)/3
AF=AO-OF=(√5/3)-(2/3)=(√5-2)/3

По свойству касательной и cекущей, проведенных из точки А:
AP^2=AF*AK

AP^2=(√5-2)/3 * (√5+2)/3 = 1/9

AP=1/3

[b]AB[/b]=AP+PB=(1/3)+(2/3)=[b]1[/b]
Δ APO ~ ΔCQO
OP:QC=AP:OQ

QC=4/3
[b]BC[/b]=BQ+QC=(2/3)+(4/3)=[b]2[/b]

S_( ΔABC)=(1/2)AB*BC=(1/2)*1*2=1

О т в е т. S_( ΔABC)=1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=600
p=1/2
q=1-p=1-(1/2)=1/2

a)
P_(600)(105)
Формулa Бернулли не применима.

Применяют [i]локальную формулу Лапласа[/i]
np=300
npq=150
sqrt(npq)=sqrt(150) ≈
x=(k-np)/sqrt(npq)=(105-300)/sqrt(105) ≈
P_(600)(105) =(1/sqrt(npq)) φ (x)=
φ (x) находим в таблице

б) P_(600)(105 ≤ k ≤ 120)
Применяют [i]интегральную формулу Лапласа[/i]
x_(2)=(120-300)sqrt(105) ≈
x_(1)=(105-300)sqrt(105) ≈
P_(600)(105 ≤ k ≤ 120)=Ф(x_(2))-Ф(x_(1))=
Ф (x) находим в таблице значний функции Лапласа.

Cм аналогичные решения в категории
https://reshimvse.com/category.php?name=sova_cat_299

Ответ выбран лучшим

[m]log_{6}(1+(\sqrt[12]{3})^{3x^2-34x}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25})\leq 2[/m]
ОДЗ:
{9x-8>0 ⇒ x>8/9
{[m]1+(\sqrt[12]{3})^{3x^2-34x}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25}>0[/m]

2=log_(6)36

[m]log_{6}(1+(\sqrt[12]{3})^{3x^2-34x}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25})\leq log_{6}36[/m]

Логарифмическая функция с основанием 6 возрастающая, поэтому
[m]1+(\sqrt[12]{3})^{3x^2-34x}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25}\leq 36[/m]

[m]3^{\frac{3x^2-34x}{12}}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25}\leq 35[/m]

может быть [i]перегруппировать[/i]

[m](3^{\frac{3x^2-34x}{12}}-9)+(26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25}-26)\leq 0[/m]

[m](3^{\frac{3x^2-34x}{12}}-3^{2})+26\cdot( log_{4}\frac{9x-8}{25}-1)\leq 0[/m]

здесь нужно обоснование почему каждое слагаемое сравниваем с нулем.

{[m]\frac{3x^2-34x}{12} ≤ 2[/m] ⇒ -1 ≤ x ≤ 12
{ [m]log_{4}\frac{9x-8}{25} ≤ 1[/m] ⇒ 9x-8 ≤ 100 ⇒ x ≤ 12

О т в е т. 1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12

FE- средняя линия Δ SDC
FE=0,5

BE=AF=sqrt(3)/2 ( высоты равносторонних треугольников SBC и SDC cо стороной 1)

Продолжим стороны AF и DE до пересечения.
см. рис.

FE - средняя линия Δ АВК
AF=FK
AK=BK=sqrt(3)

По теореме косинусов:
AB^2=AF^2+BF^2-2AF*BF*cos φ

1=3+3-2*sqrt(3)*sqrt(3)*cos φ

cos φ =[b]5/6[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямые BC и D_(1)C_(1) лежат в параллельных плоскостях оснований. Расстояние между ними - равно расстоянию между плоскостями.

CC_(1) ⊥ ABCDEF
CC_(1) ⊥ A_(1)B_(1)C_(1)D_(1)E_(1)F_(1)

d=CC_(1)=1

Ответ выбран лучшим

p=1/6- вероятность появления числа очков, кратного трем в одном испытании
q=1-p=5/6
n=10

а)
k=4
По формуле Бернулли

P_(10)(k=4)=C^(4)_(10)*(1/6)^4*(5/6)^(6)=(10!/(4!*(10-4)!)*(5^6)/(6^10)=
=210*(5^6)/(6^10)- считаем самостоятельно, калькулятор в помощь

б)
не менее 4-х раз: 4;5;6;7;8;9;10
P_(10)(4 ≤ k ≤ 10)=P_(10)(4)+P_(10)(5)+P_(10)(6)+P_(10)(7)+P_(10)(8)+P_(10)(9)+P_(10)(10)= считаем 7 раз как в п.а)
или
Cчитаем вероятность противоположного события
P_(10)(k <4)=P_(10)(0)+P_(10)(1)+P_(10)(2)+P_(10)(3)

здесь всего четыре таких же подсчета
P_(10)(k <4)+P_(10)(4 ≤ k ≤ 10)=1 ⇒

[red]P_(10)(4 ≤ k ≤ 10)=1 - P_(10)(k <4)[/red]

в)P_(10)(3 ≤ k ≤ 5)=P_(10)(3)+P_(10)(4)+P_(10)(5)

г) наивероятнейшее число
np-q ≤ k_(o) ≤ np+p

10*(1/6)-(5/6) ≤ k_(o) ≤ 10*(1/6)+(1/6)
5/6≤ k_(o) ≤11/6
k_(o)=[b]1[/b]

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение события-гипотезы
H_(i) - "выбрана i-ая партия"
i=1,2,3
p(H_(i))=1/3

p_(Н_(1))=p(Н_(2))=p(Н_(3))=1/3

A-"Из наудачу взятой партии
взята деталь, которая оказалась нестандартной"

p(A/H_(1))=12/15
p(A/H_(2))=10/15
p(A/H_(3))=13/15

По формуле [i]полной вероятности[/i]
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))

P(A)=(1/3)*(12/15)+(1/3)*(10/15)+(1/3)*(13/15)=7/9

По формуле Байеса:
p(H_(1)/A)=(1/3)*(12/15)/p(A)=12/35
p(H_(2)/A)=(1/3)*(10/15)/p(A)=10/35
p(H_(3)/A)=(1/3)*(13/15)/p(A)=13/35 - наиболее вероятно, что из третьей

Ответ выбран лучшим

Центр окружности, описанной около треугольника АВС- точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

ОK; ОМ и ОN - серединные перпендикуляры к сторонам АВ; АС и ВС соответственно
ОК ⊥ АВ и AK=KB
ОМ ⊥ АС и AM=MC
ON ⊥ BC и BN=NC

AO=BO=CO=R=12

Точки O_(1); O_(2) и O_(3) - точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам равнобедренных треугольников
АОВ, АОС, ВОС
O_(1)F ⊥ AO
AF=FO=(1/2)AO=(1/2)R=6

O_(2)P ⊥ BO
BP=OP=(1/2) BO=(1/2)R=6

O_(2)T ⊥ CO
CT=OT=(1/2) CO=(1/2)R=6
AF=FO=BP=OP=CT=OT=r_(вписанной окружности)=R/2=6

О т в е т. 6

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В Δ АВС: АС- катет и ВС - катет ⇒ ∠ С=90 ° или ∠АСB=90 °

ACDE- квадрат ⇒ ∠ ACD=90 ° и АС=DC
BCFG- квадрат ⇒ ∠ BCF=90 ° и BС=CF

∠ АCB=90 °

Значит ∠ FCD=90 °

Прямоугольные треугольники СDF и ABC равны по двум катетам.
АС=DC =4
BС=CF=1

Значит и соответствующие углы в этих треугольниках равны
∠ BAC= ∠ CDF= ∠ 1 ( расположены против сторон ВС и СF)
∠ ABC= ∠ DFC= ∠ 2 ( расположены против сторон AD и DC)

∠ВАС= ∠ MСA= ∠ 1, так как медиана СМ прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы и Δ АМС - равнобедренный
Аналогично
∠МВС= ∠ МСВ= ∠ 2.

∠ FCN=∠ МCA= ∠ 1 как вертикальные

Значит ∠ FCN+ ∠ CFN= ∠ 1+ ∠ 2 = 90 ° ⇒ ∠ СNF=90 °

и СN ⊥ DF

По теореме Пифагора:
DF^2=DС^2+СF^2=1^2+4^2=17

Так как

S_( ΔDFC)=(1/2)DF*CN и S (ΔDFC)=(1/2)DC*CF, то

DF*CN=DC*CF

СN=1*4/sqrt(17)=[b]4sqrt(17)/17[/b]

О т в е т. [b]4sqrt(17)/17[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-0,96^2=0,0784

cos α = ± sqrt(0,0784)= ± 0,28

В условии α ∈ (0;0,5π)
это первая четверть, там косинус положительный,
значит
cos α =0,28

По формулам приведения:
sin (3π/2–α )=-сos α

-4sin (3π/2–α )=-4*(-cos α )=4cos α

cos α =0,28

4*0,28=

Ответ выбран лучшим

по условию:
x^2+px+q =0
x_(1)=1; x_(2)=2

По теореме Виета
{x_(1)+x_(2)=-p
{x_(1)*x_(2)=q

Значит,
{1+2=-p ⇒ p=-3
{1*2=q ⇒ q=2

Значит [b]y_(2)=x^2-3x+2[/b]

Абсцисса вершины параболы y=ax^2+bx+c
[b]x_(o)=-b/2a[/b]

Для параболы y_(1)=3x^2–2x–1
абсцисса вершины[b] x_(o)[/b]=2/6=[b]1/3[/b]

Находим ординату, подставив х=1/3 в выражение:
y(1/3)=3*(1/3)^2-2*(1/3)-1
y(1/3)=-4/3

Для параболы y_(3)=x^2–3x+2
абсцисса вершины[b] x_(o)[/b]=[b]3/2[/b]

Находим ординату, подставив х=3/2 в выражение:
y(3/2)=(3/2)^2-3*(3/2)+2
y(1/3)=-1/4

Находим расстояние между двумя точками
A(1/3; -4/3) и В (3/2;(-1/4))

по формуле

d^2=(x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2

d^2=((7/6)^2+(13/12)^2=(49/36)+(169/144)=(49*9+169)/144=610/144

d=sqrt(610)/12

Рисунок для наглядности.... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Всего N+M=5+4 шаров.

Испытание состоит в том, что из 9 шаров выбирают три.
Это можно сделать

n=C^(3)_(9) cпособами

Событие А - "один шарик будет белым, а два [b]черных[/b]" (красных шаров нет)

Событию А благоприятствуют исходы:

m=C^(1)_(5)*C^(2)_(4)

По формуле классической вероятности:

p=m/n=C^(1)_(5)*C^(2)_(4)/C^(3)_(9)

Число сочетаний считаем по формуле: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Две окружности вписаны в угол с вершиной А.
Радиусы O_(1)E и O_(1)F, проведенные в точки касания , [i]перпендикулярны [/i]сторонам угла.

По [i]свойству касательных[/i] к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны:
[red]АE[/red]=[red]АF[/red]
и образуют [i]равные углы [/i]с прямой, проходящей через вершину А и центры окружностей.
Значит
центры O_(1) и O_(2) лежат на [i]биссектрисе[/i] угла А

BC - касательная к этим окружностям, проходящая через точку К,
значит О_(1)K ⊥ BC

AK - биссектриса и высота треугольника АВС, значит Δ АВС - равнобедренный и [b]АВ=АС[/b].

и AK - медиана Δ АВС ⇒ BK=CK

Прямоугольные треугольники
Δ AEO_(1)~ Δ APO_(2) по двум углам
( ∠ EAO_(2)- общий)
⇒ [b]∠ АО_(1)E= ∠ AO_(2)P [/b]

O_(1)EPO_(2) - прямоугольная трапеция.
O_(1)E=r
O_(2)E=2r

O_(1)O_(2)=3r

⇒ O_(1)M=r

Δ AEO_(1)= Δ O_(1)MO_(2) ⇒ [b] AO_(1)[/b]=O_(1)O_(2)=[b]3r[/b]

AE^2=AO^2_(1)-O_(1)E^2=(3r)^2-r^2=8r^2

[blue]AE=2√2*r[/blue]

AK=[b]AO_(1)[/b]+O_(1)K=[b]3r[/b]+r=4r

Δ AEO_(1)~ Δ ABC

[blue]AE:[/blue] AB=EO_(1):ВК

[blue]2√2*r[/blue]:√3=r:BK ⇒ BK=√3/(2√2)

BC=√(3/2)

По теореме Пифагора из треугольника АВК

AK^2=AB^2-BK^2=(√3)^2-(√3/(2√2))^2=3-(3/8)=21/8

AK=[m]\sqrt\frac{21}{8}[/m]

S_( Δ ABC)=(1/2)BC*AK

R=AB*BC*AC/4S_( Δ ABC)= AB^2/2AK=3/2sqrt(21/8)=sqrt(6/7)

О т в е т. [m]\sqrt\frac{6}{7}[/m] (прикреплено изображение)

Квадратное уравнение относительно косинуса.
[i]Замена переменной:[/i]
cosx=t

2t^2+t-1=0
D=1-4*2*(-1)=9

t=[m]\frac{-1 ± 3}{4}[/m]

t=-1; t=[m]\frac{1}{2}[/m]

Обратно:

cosx=-1 ⇒ [m]x=\pi +2\pi k, k \in Z[/m]

cosx=1/2 ⇒ [m]x=\pm arccos0,5+2\pi n, n \in Z[/m] ⇒

[m]x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z[/m]

Ответ. [m]\pi +2\pi k, k \in Z[/m], [m]\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z[/m]

Обозначим объем производства
V(t)=12 000 - 2t
Тогда
Q(t)=V(t)*t - налоговый сбор

Q(t)=(12 000 -2t)*t

Q(t)=12 000 t - 2t^2

Q`(t)=12 000 -4t

Q`(t)=0

12 000 - 4t=0

t= 3 000 - точка максимума функции Q(t)

Т. е налоговый сбор достигает максимума при t= 3 000 руб за единицу продукции.

При t=t_(o) налоговые собры составили:

Q(t_(o))=12 000 t_(o) - 2t^2_(o)

При t_(1)=4t_(o) налоговые собры составили:

Q(t_(1))=12 000*4*t_(o) - 2(4t_(o))^2=48 000*t_(o) - 32 t^2_(o)

По условию [i]сумма налоговых поступлений не изменилась[/i]

Q(t_(o))=Q(t_(1))

12 000 t_(o) - 2t^2_(o)=48 000*t_(o) - 32 t^2_(o)

30t^2_(o)-36 000 t_(o)=0

6t_(o)*(5t_(o)-6 000)=0

t_(o)=1 200

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере
1 200 рублей за единицу товара.
Государство увеличило налог в 4 раза (до 4*1 200=4 800 рублей)

А максимум достигается при t= 3 000 руб.

Значит надо уменьшить налог в размере 4 800 руб за единицу до налога в размере 3 000 руб за единицу .

4 800 руб составляют 100%
3 000 руб составляют p %

p=62,5%

100%-62,5%=37,5%

О т в е т уменьшить на 37,5%

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 4 и 8
Решение.

Пусть АВ=[b]х[/b]; тогда BC=[b]2x[/b]

Δ АBF - равнобедренный
∠ BAK= ∠ KAD - так как АК - биссектриса
∠BKP= ∠ KAD - [i]внутренние накрест лежащие[/i] при параллельных ВС и AD и секущей AK

По свойству транзитивности:
[b]∠BKP= ∠ BAK[/b]

Тогда ВК=х; KC=x

∠ АВС= ∠ КСN -[i] внутренние накрест лежащие[/i] при параллельных AB и CD и секущей BC
∠ ВКA= ∠ NKC как [i]вертикальные[/i]
Δ АВK= Δ KCN по стороне и двум прилежащим к ней углам.

⇒ AB=BC=KC=CN=x

∠ ВAF= ∠ FDM -[i] внутренние накрест лежащие[/i] при параллельных AB и CD и секущей AD
∠ ВFA= ∠ DFM как [i]вертикальные[/i]
Δ AВF= Δ FDM по стороне (AF=FD=x) и двум прилежащим к ней углам.

⇒ AB=AF=FD=DM=x

MN=MD+DC+CN=x+x+x

По условию MN = 12

x+x+x=12

3x=12

[b]x=4
[/b]

2х=2*4=8

О т в е т. 4 и 8

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
АВСD – трапеция, вписанная в окружность.

Если четырехугольник вписан в олружность, то суммы противолежащих углов четырехугольника равна 180

∠ А+ ∠ С=180 °
и

∠ В+ ∠ D=180 °

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 ° .

∠ А+ ∠ В=180 °

и ∠ С+ ∠ D=180 ° .

Вычитаем из первого равенства третье: ∠ С- ∠ B=0 ° ⇒

∠ B= ∠ C;

Тогда
∠ А+ ∠ В= ∠ A+ ∠ C

∠ A+ ∠ C=180 °
∠ С+ ∠ D=180 ° .

∠ A- ∠ D=0 ° ⇒

∠ A= ∠ D;

Углы при основаниях равны, трапеция [i]равнобедренная.[/i]

б)
Из треугольника МОС:
MO^2=25^2-7^2=(25-7)*(25+7)=18*32=36*16=6^2*4^2=(24)^2
MO=24
Из треугольника KОD:
DO^2=25^2-20^2=(25-20)*(25+20)=5*45=(15)^2
MO=15

MK=MO+OD=24+15=[b]39[/b]

или

МК=24-15=[b]9[/b] ( cм. рис.2)

О т в е т. 39 или 9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) Δ АВС - прямоугольный ( ∠ С=90 ° )

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 °

Тогда
∠ ВСК= ∠ВАС ( выделены зелёным цветом на рис. 2)
∠ АВС= ∠ АСК ( выделены синим цветом на рис.2)

Δ ВСК ~ Δ АСК по двум углам

Из подобия:

[m]\frac{BK}{CK}=\frac{CK}{AK}[/m]

[m]CK^2=BK\cdot AK[/m]

[m]СK=\sqrt{BK\cdot AK}[/m] - высота прямоугольного треугольника проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу есть [i]среднее геометрическое [/i]между отрезками гипотенузы, на которые основание высоты делит гипотенузу

б)
BK=1; AK=4

[m]СК=\sqrt{1\cdot 4}[/m]=2

О т в е т. б) 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания ( см. рис.2)
ОВ ⊥ АВ и OC ⊥ AC
OB=OC=R

Δ AOB и ΔAOC - прямоугольные,
Δ AOB= ΔAOC по двум катетам
OB=OC=R
АО - общий катет.

Из равенства треугольников следует равенство
AB=AC=12

б)

Δ АВС - равнобедренный:
АВ=АВ=12
ВС=14,4
Медиана AK - одновременно является и высотой

ВК=КС=7,2

Δ АВК ∼ Δ АОВ по двум углам: ∠ ВАК - общий, ∠ АКВ= ∠ АВО=90 °

По теореме Пифагора
AK^2=AB^2-BK^2=[b]12^2-7,2^2[/b]=(12-7,2)(12+7,2)=4,8*19,2=[b]9,6^2[/b]

( cчитаем рационально, калькуляторов нет)

[m]\frac{BK}{AK}=\frac{OB}{AB}[/m]

[m]OB=\frac{BK\cdot AB}{AK}=\frac{BK\cdot AB}{AK}=9[/m]

[red]Второй способ [/red]

Из прямоугольного треугольника ABK:
sin ∠ ВAK=BK/AB=7,2/12=0,6 ⇒ cos∠ BАK=0,8

tg∠ BАK=[m]\frac{3}{4}[/m]

Из прямоугольного треугольника AОВ:
tg∠ BAK=OB/AB

OB=ABtg∠ BAK=12[m]\frac{3}{4}=9[/m]

О т в е т. [b]9[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АМ - [i]медиана[/i] Δ АВС, значит BM=MC=2

Достраиваем треугольник до параллелограмма ABDС.
Откладываем отрезок MD=AM=3
AD=6

Диагонали ВС и AD в точке пересечения делятся пополам, значит четырехугольник ABDС - параллелограмм.

Пусть АС=x

По свойству диагоналей параллелограмма:

[r]d^2_(1)+d^2_(2)=2a^2+2b^2[/r]

6^2+4^2=2*(4^2+x^2)

2x^2=20

x^2=10

x=sqrt(10)

[b]АС=sqrt(10)[/b]

По теореме косинусов из треугольника АМВ:
AB^2=AM^2+BM^2-2AM*BM*cos ∠ AMB

[m]cos\angle AMB=\frac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM\cdot BM}=\frac{3^2+2^2-4^2}{2\cdot 3\cdot 2}=\frac{-3}{12}=-\frac{1}{4}< 0[/m]

∠ AMB - [b]тупой[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
O( 0;0 ); R = 6
Из формулы канонического уравнения окружности с центром в начале координат и радиусом R.

Уравнение имеет вид:
[r]x^2+y^2=R^2[/r]

x^2+y^2=6^2

2.
O(-1;3); R =2
Из формулы канонического уравнения окружности с центром в точке С(a;b) и радиусом R.

Уравнение имеет вид:
[r](x-a)^2+(y-b)^2=R^2[/r]

(x-(-1))^2+(y-3)^2=2^2

масса раствора ( m_(p-pa)), масса вещества (m_(в-ва)) и массовая доля растворённого вещества ( ω _(в-ва)) связаны равенством:

[m] ω_{b-ba}=\frac{m_{p-pa}}{m_{b-ba}}[/m]

m_(1 раствора)* ω _(1)+m_( 2 вещества)=m_(3 раствора)* ω _(3 вещества) [red](#)[/red]

По условию:
m_(1 раствора)=450 г
ω _(1)=10%=10/100=0,1
m_( 2 вещества)= неизвестна, обозначим х г
m_(3 раствора)=(450+х) г
ω _(3 вещества)=14%=14/100=0,14

Подставляем в[red] (#)[/red]

450*0,10+х=(450+х)*0,14
45+х=63+0,14*х
х-0,14х=63-45
0,86х=18
х ≈ 20,9 г

Ответ выбран лучшим

Два участка прямой
первый y=kx на [0;4]
проходит через точку (4;0,5)
подставляем координаты и находим k;
0,5=k*4 ⇒ k=[m]\frac{1}{8}[/m],

Вторая прямая вида y=kx+b
проходит через точки
(5;0,5) и (6;1)
{0,5=5k+b
{1=6k+b
Вычитаем из второго первое: k=0,5
b=0,5-5k=0,5-5*0,5=0,5-2,5=-2

Функция F(x)задана 6 разными выражениями. Одна большая фигурная скобка на 6 строк и в ней:

{0, если x ≤ 0
{[m]\frac{1}{8}x[/m], если 0 < x ≤ 4
{0,5, если 4 < x ≤ 5
{[m]\frac{1}{2}x-2[/m],если 5 < x ≤ 6
{1, если x > 6

f(x)=F `(x)
Одна большая фигурная скобка на 6 строк и в ней:
{0, если x ≤ 0
{[m]\frac{1}{8}[/m], если 0 < x ≤ 4
{0, если 4 < x ≤ 5
{[m]\frac{1}{2}[/m],если 5 < x ≤ 6
{0, если x > 6

Ответ выбран лучшим

a; a+d;a+2d;a+3d - Четыре числа образуют арифметическую прогрессию
Возрастающую арифметическую прогрессию значит d >0

a+5; a+d+6; a+2d+9;a+3d+15 - составят геометрическую прогрессию

Основное свойство геометрической прогрессии:

[b]b_(n)=sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))[/b] ⇒ b^2_(n)=(b_(n-1)*b_(n+1)

Составляем систему уравнений:

{(a+d+6)^2=(a+5)*(a+2d+9) ⇒ d^2+2d-2a-9=0 ⇒ d^2-9=2a-2d
{(a+2d+9)^2=(a+d+6)*(a+3d+15) ⇒ d^2+3d-3a-9=0 ⇒ d^2-9=3a-3d

Приравниваем правые части: 2a-2d=3a-3d ⇒ a=d
d^2-9=0
d= ± 3
d=-3 не удовл. требованию возрастающей прогрессии

a=d=3

получаем ответ 3;6;9;12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Введем систему координат, так как показано на рисунке.
Тогда
С(0;0;0)
B(0;a;0)
А([m]\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0[/m])

H- точка пересечения медиан Δ АВС и проекция вершины S на пл. Δ АВС
H([m]\frac{a\sqrt{3}}{6};\frac{a}{2};0[/m])
S([m]\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};\frac{5a}{\sqrt{6}}[/m])

N- середина АС

N (([m]\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{4};0[/m])

D_(1)- проекция точки D на пл. Δ АВС
D_(1) ([m]\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{6}}{2};\frac{\frac{a}{2}+\frac{a}{4}}{2};0[/m])

D_(1) ([m]\frac{5a\sqrt{3}}{24};\frac{3a}{8};0[/m])

D([m]\frac{5a\sqrt{3}}{24};\frac{3a}{8};\frac{5a}{2\sqrt{6}}[/m])

vector{BD}=([m]\frac{5a\sqrt{3}}{24};\frac{3a}{8}-a; \frac{5a}{2\sqrt{6}}[/m])

vector{BD}=([m]\frac{5a}{8\sqrt{3}};-\frac{5a}{8}; \frac{5a}{2\sqrt{6}}[/m])

|vector{BD}|=[m]\frac{5a}{4}[/m]

Составим уравнение плоскости SCH. Так как С(0;0;0), то уравнение плоскости в общем виде:
Ах+By+Cz=0
Подставим координаты точек S и Н
получим:
[m] \sqrt{3}x-y=0[/m]

Нормальный вектор плоскости имеет координаты:
vector{n}=(sqrt(3);-1)
|vector{n}|=2

[red]a) [/red] угол между прямой и плоскостью - это [i]угол между
прямой и ее проекцией[/i] на плоскость.

Этот угол является [i]дополнительным[/i] к углу между
направляющим вектором этой прямой - вектором vector{BD}
и нормальным вектором плоскости:

[m]cos\angle (\vec{BD},\vec{n})=\frac{\vec{BD}\cdot\vec{n}}{|\vec{BD}|\cdot|\vec{n}|}=\frac{1}{2}[/m]

[m]\angle (\vec{BD},\vec{n})=\frac{\pi}{3}[/m]

Итак,
[m]\angle (BD,\Delta SCH)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}[/m]

[red]б)[/red]

[i]Расстоянием между скрещивающимися прямыми[/i] называется
расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, про-ходящей через другую прямую.

В плоскости АSC проведем прямую DK || SC ( рис.2)
SC|| пл BDK
BD ⊂ пл BDK

Так как D - середина SN, то DK - средняя линия Δ SNC

K([m]\frac{a\sqrt{3}}{8};\frac{a}{8};0[/m])

[b]По условию:
[/b]
[m] a=3 [/m]
B(0;3;0)

D([m]\frac{15\sqrt{3}}{24};\frac{9}{8};\frac{15}{2\sqrt{6}}[/m])

K([m]\frac{3\sqrt{3}}{8};\frac{3}{8};0[/m])

C(0;0;0)

Составляем уравнение плоскости BDK:

[m]7\sqrt{6}x+3\sqrt{2}y-2\sqrt{3}z-9\sqrt{2}=0[/m]

[m]|\vec{n_{BDK}}|=\sqrt{(7\sqrt{6})^2+(3\sqrt{2})^2+(-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{324}=18[/m]

Находим расстояние от точки С (0;0;0) до плоскости BDK ( см формулу в приложении 3)

d=[m]\frac{|0+0-0-9\sqrt{2}|}{18}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

О т в е т.
а) [m]\angle (BD,\Delta SCH)=\frac{\pi}{6}[/m]
б) d=(BD, SC)=[m]\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а).
[m]\lim_{x \to 2 }\frac{3x-8}{4x+2}=\frac{3\cdot 2-8}{4\cdot 2 +2} =\frac{2}{10}=0,2=\frac{1}{5}[/m]

б).
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{3x+5}{2x+7}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x+5}{x}}{\frac{2x+7}{x}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x и
каждое слагаемое знаменателя делим на x:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x}{x}+\frac{5}{x}}{\frac{2x}{x}+\frac{7}{x}}=[/m]

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{3+\frac{5}{x}}{2+\frac{7}{x}}=\frac{3+0}{2+0}=\frac{3}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Решение записывают в виде трех столбиков : (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4.

[m]y`=10\cdot(2x-9)^{9}\cdot(2x-9)`+\frac{(3x-1)`}{2\sqrt{3x-1}}[/m]

[m]y`=10\cdot(2x-9)^{9}\cdot 2+\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}[/m]

[m]y`=20\cdot(2x-9)^{9}+\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}[/m]

5.

Логарифмируем:

[m]lny=ln(8-5x)^{4}-ln(2x-4)^{3}[/m]

[m]lny=4ln(8-5x)-3ln(2x-4)[/m]

Дифференцируем обе части:

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{(8-5x)`}{8-5x}-3\frac{(2x-4)`}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{(-5)}{8-5x}-3\frac{2}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=\frac{(-20)}{8-5x}-\frac{6}{2x-4}[/m]

[m]y`=\frac{(8-5x)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot (\frac{-20(2x-4)-6(8-5x)}{(8-5x)(2x-4)}[/m]

[m]y`=\frac{(8-5x)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot (\frac{-40x+80-48+30x}{(8-5x)(2x-4)}[/m]

[m]y`=\frac{(8-5x)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot (\frac{32-10x}{(8-5x)(2x-4)}[/m]

[m]y`=\frac{(8-5x)^{3}(32-10x)}{(2x-4)^{4}}[/m]

Ответ выбран лучшим

13.
Наливаем в 9-ведерную.
Переливаем из нее в 5-ти ведерную
В 9 ведерной останется 4 литра.
Выливаем из пятиведерной назад в большую бочку.
Переливаем из девятиведерной в пятиведерную 4 литра.

Наливаем в 9 ведерную бочку 9 литров и выливаем из нее в пятиведерную литр ( в пятиведерной 4, наполнив ее отольем именно 1 литр)
Тогда в 9 ведерной бочке останется 8 литров. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cобытие A -"неисправен прибор А"
Cобытие В_(1) -"неисправен прибор В_(1)"
Cобытие В_(2) -"неисправен прибор В_(2)"
p(A)=0,81
p(В_(1))=0,37
p(В_(2))=0,84

p(vector{A})=1-p(A)=1-0,81=0,19
p(vector{В_(1)})=1-p(В_(1))=1-0,37=0,63
p(vector{В_(2)})=1-p(В_(2))=1-0,84=0,16

X - принимает значения
0
1
2
3

0 - значит все приборы исправны.
Вероятность этого события
p_(0)=0,19*0,63*0,16

1- значит один неисправен, два других исправны.
Вероятность этого события
p_(1)=0,81*0,63*0,16+0,19*0,37*0,16+0,19*0,63*0,84=

2-значит два неисправны, а один исправный.
Вероятность этого события

р_(2)=0,81*0,37*[b]0,16[/b]+[b]0,19[/b]*0,37*0,84+0,81*[b]0,63[/b]*0,84=

3 - значит все приборы неисправны.
Вероятность этого события
p_(3)=0,81*0,37*0,84

Таблица - закон распределения.
В первой строке значения случайной величины: 0,1,2,3
Во второй вероятности p_(0);p_(1);p_(2);p_(3)

По определению математическое ожидание:

M(X)=0*p_(0)+1*p_(1)+2*p_(2)+3*p_(3)=

Считаем математическое ожидание квадрата случайной величины

M(X^2)=0^2*p_(0)+1^2*p_(1)+2^2*p_(2)+3^2*p_(3)=

Тогда по формуле:
дисперсия
D(X)=M(X^2) - (M(X))^2

Считайте....

Событие A-" стрелок А попал"
p(A)=0,52
Событие vector{A}-" стрелок А [b]не[/b] попал"
p( vector{A})=1-0,52=0,48

Аналогично
p(B)=0,62
p( vector{B})=1-0,62=0,38

p(C)=0,3
p( vector{B})=1-0,3=0,7

Событие vector{A}*B -"стрелок А промахнулся, стрелок В попал"

Событие vector{A}*vector{B}*C-" стрелок А промахнулся, стрелок В промахнулся, стрелок С попал"

Событие D -" не все стрелки выстрелят"
означает, что либо А попадает, либо А промахивается, а B - попадает

p(D)=p(A)+p(vector{A})*p(B) =0,52+0,48*0,62

По свойству касательной и секущей, проведенных из точки А:
АК*KD=AB^2

Пусть АК=х, тогда AD=x+10

x*(x+10)=(5sqrt(3))^2
x^2+10x-75=0
D=100+4*75=400
x=5; x_(2) <0

AD=15

ABCK - параллелограмм, противоположные стороны BC и АК параллельны и равны ⇒ АВ=СK=5sqrt(3)

Трапеция KBCD вписана в окружность, значит BK=CD
и СК=BD=5sqrt(3)

BD^2=AD*BC - верно, так как [b](5sqrt(3))^2=15*5[/b]

Радиус окружности описанной около равнобедренной трапеции KBCD

Проводим высоту СM
MD=(KD-BC)/2=2,5
KM=KD-MD=7,5

СM^2=KC^2-KM^2=(5sqrt(3))^2-(7,5)^2=75/4

CD^2=CM^2+MD^2=(75/4)+(5/2)^2=25
CD=5

Находим радиус окружности, описанной около Δ КСD по формуле:

R=abc/4S

S_( ΔKCD)=(1/2)KD*CM=25sqrt(3)/2

[b]R=5[/b]

О т в е т.[b] 5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]y`=-15\cdot \frac{-1}{x^2}+2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-(-\frac{1}{sin^2x})[/m]

[m]y`= \frac{15}{x^2}+ \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{sin^2x})[/m]

vector{AB}=(0-(-4);-2-1)=(4;-3)
vector{CD}=(x-(-5);y-(-8))=(x+5;y+8)

Векторы коллинеарны, значит координаты пропорциональны

[m]\frac{x+5}{4}={y+8}{-3}[/m] ⇒

3x+4y+47=0

|vector{CD}|=sqrt((x+5)^2+(y+8)^2)

|vector{CD}|=sqrt(225)

{(x+5)^2+(y+8)^2=225
{3x+4y+47=0

О т в е т. (7;-17)

Пусть vector{a}=(x;y;z)
Тогда
sqrt(x^2+y^2+z^2)=sqrt(75) ⇒[b] x^2+y^2+z^2=75[/b]

vector{a}* vector{b}=-9x+4y-5z

vector{a}* vector{b}=0 ⇒ -9x+4y-5z=0

vector{a}* vector{с}=5x-7y-2z

vector{a}* vector{с}=0 ⇒5x-7y-2z=0

Решаем систему уравнений:
{x^2+y^2+z^2=75
{ -9x+4y-5z=0
{5x-7y-2z=0

3)
[m]y`=4\cdot (4x^3-9x^2+3x-\frac{1}{3})^3\cdot (4x^3-9x^2+3x-\frac{1}{3})`[/m]

[m]y`=4\cdot (4x^3-9x^2+3x-\frac{1}{3})^3\cdot (12x^2-18x+3)[/m]

[m]y`=4\cdot (12x^2-18x+3)\cdot (4x^3-9x^2+3x-\frac{1}{3})^3[/m]

Ответ выбран лучшим

1)
[m]y`=(\frac{4}{x}+5\sqrt{x}+ctg2x+5^{x})`[/m]

[m]y`=4\cdot(-\frac{1}{x^2})+5\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{(2x)`}{sin^22x}+5^{x}\cdot ln5[/m]

[m]y`=-\frac{4}{x^2}+\frac{5}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{sin^22x}+5^{x}\cdot ln5[/m]

2)
[m]y`=cos(x-\frac{\pi }{4})\cdot (x-\frac{\pi }{4})`-\frac{(x+\frac{\pi }{6})`}{cos^2(x+\frac{\pi}{6})}[/m]

[m]y`=cos(x-\frac{\pi }{4})\cdot 1-\frac{1}{cos^2(x+\frac{\pi}{6})}[/m]

[m]y`=cos(x-\frac{\pi }{4})-\frac{1}{cos^2(x+\frac{\pi}{6})}[/m]

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y;z)- произвольная точка плоскости АВС
Тогда векторы
vector{AM}=(x-(-1);y-(-1);z-4}=(x+1;y+1;z-4}
vector{АВ}=(3-(-1);1-(-1);6-4}={4;2;2}
vector{АC}=(3-(-1);2-(-1);6-4}={4;3;2}
лежат в одной плоскости.
Значит
[m]\begin{vmatrix} x+1 &y+1 &z-4 \\ 4 & 2 & 2\\ 4 & 3 & 2 \end{vmatrix}=0[/m]

-2x+4z-18=0
[b]x-2z+9=0[/b]

Уравнение прямой, проходящей через две точки D (x_(D);y_(D);z_(D))
и E (x_(E);y_(В);z_(E)) имеет вид:

[m]\frac{x-x_{D}}{x_{E}-x_{D}}=\frac{y-y_{D}}{y_{E}-y_{D}}=\frac{z-z_{D}}{z_{E}-z_{D}}[/m]

[m]\frac{x-5}{26-5}=\frac{y-3}{17-3}=\frac{z-6}{20-6}[/m]

Решаем систему уравнений:

[m]\left\{\begin{matrix} x-2z+9=0\\ \frac{x-5}{26-5}=\frac{y-3}{17-3}=\frac{z-6}{20-6}\\ \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x-2z+9=0\\ \frac{x-5}{26-5}=\frac{y-3}{17-3}\Rightarrow 14x-70=21y-63\\\frac{y-3}{17-3}=\frac{z-6}{20-6}\Rightarrow y-3=z-6\end{matrix}\right.[/m]

x=11; y=7; z=10

Ответ выбран лучшим

x^4–11x^2–18x–8=0
x=-2;x=-1;x=4 - корни

В={-2;-1;4}
А{–2,1,3,4},

A ∪ B={-2;-1;1;3;4}
B ∩ A={-2;4}
A \ B={1;3}
B \ A={-1}

Ответ выбран лучшим

p_(1)=0,9
20%=0,2
1-0,2=0,8
p_(2)=0,8*0,9=0,72
p_(3)=(0,9+0,72)/2=0,81

1)
p=p_(1)*p_(2)*p_(3)=0,9*0,72*0,81=
2)
только первое (второе и третье нет) ИЛИ только второе ИЛИ только третье
ИЛИ заменяем на +
p=p_(1)*(1-p_(2))*(1-p_(3))+(1-p_(1))*p_(2)*(1-p_(3))+(1-p_(1))*(1-p_(2))*p_(3)=0,9*0,28*0,19+0,1*0,72*0,19+0,1*0,28*0,81=

Ответ выбран лучшим

1)
4х-2=24,5 или 4х-2=-24,5
4х=26,5 или 4х=-22,5
х=26,5:4 или х=-22,5:4
х=6,625 или х=-5,625

2)
3+|5х+2,1|=0.7
|5х+2,1|=0.7-3

|5х+2,1|=-2,3 - уравнение не имеет корней, |5х+2,1| ≥ 0

|х+2,7|–4=[red]02.[/red]
|×+2,7|=4+[red]02.[/red]

Пусть центр малой окружности Р.
КР=x

Прямая АО- биссектриса угла А, значит ∠ PAM=30 °
PM ⊥ АМ
В прямоугольном треугольнике АPM катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы:
PM=x ⇒ AK=2x

KP=x; AK=x

Аналогично в треугольнике АОN
AT=TO=ON=6

AT=AK+KP+PT=x+x+x

3х=6
[b]х=2[/b]

О т в е т. [b]2[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2001 год, прибыль увеличилась [b]на [/b]

10 000*3=[b]30 000 руб.[/b]

стала 10 000 + 30 000 =[b]40 000 руб.[/b]

2002 год прибыль увеличилась[b] на [/b]

40 000*3=[b]120 000 руб.[/b]

стала равной

160 000 руб.

2003 год прибыль увеличилась[b] на [/b]
160 000*3=[b]480 000 руб.[/b]

стала равной
480 000 руб.+160 000 руб.=640 000 руб.

2003 год прибыль увеличилась[b] на [/b]
640 000*3=[b]1 920 000 руб.[/b]

стала равной
640 000 руб.+1 920 000 руб.=[b]2 560 000 руб.[/b]

О т в е т. 2 560 000 руб.

Ответ выбран лучшим

3 часа 55 минут = 235 минут
3 часа 8 минут = 188 минут
2 часа 21 минута=141 минута

Марина и Оля за минуту выполняют 1/235часть работы,
Оля и Настя за минуту выполняют 1/ 188 часть работы,
Настя и Марина за минуту выполняют 1/141 часть работы

235=5*47
188=4*47
141=-3*47

Все три девочки за минуту выполняют

[m]\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{235}+\frac{1}{188}+\frac{1}{141})=\frac{47}{120\cdot 47}=\frac{1}{120}[/m]

Значит втроем они вымоют окно за[b] 120 минут=2 часа[/b]

О т в е т. 2 часа

Ответ выбран лучшим

Маша и Настя за минуту выполняют 1/12 часть работы,
Настя и Лена за минуту выполняют 1/ 20 часть работы,
Маша и Леназа минуту выполняют 1/15 часть работы,

Все три девочки за минуту выполняют

[m]\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{15})=\frac{12}{120}=\frac{1}{10}[/m]

Значит втроем они вымоют окно за[b] 10 минут[/b]

О т в е т. 10 минут

Ответ выбран лучшим

√2sin^2x = sinx;

sinx( √2sinx-1) =0

[blue]sinx=0 [/blue]или [blue]√2sinx-1=0
[/blue]

[blue]sinx=0[/blue]

x=πk, k ∈ Z

неравенству cosx < 0 удовлетворяют корни:
[b]x=π+2πn, n ∈ Z[/b]

[blue]√2sinx-1=0 =0 [/blue]

[blue]sinx=1/sqrt(2)[/blue]

x=(-1)^(m) arcsin(1/sqrt(2))+πm, m ∈ Z

x=(-1)^(m) (π/4)+πm, m ∈ Z

можно записать так:

х=(π/4)+2πk, k ∈ Z или x=(3π/4)+2πk, k ∈ Z

неравенству cosx < 0 удовлетворяют корни:
x=(3π/4)+2πk, k ∈ Z

О т в е т. π+2πn, n ∈ Z, (3π/4)+2πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

а)
сos2x=2сos^2x-1;

2*(2cos^2x-1)-12cosx+7=0

4cos^2x-12cosx+5=0

D=(-12)^2-4*4*5=144-80=64

сosx=0,5 или сosx =2,5

сosx=0,5

[m]x=\pm arccos 0,5+2\pi n, n \in Z[/m] ⇒
[m]x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z[/m]

cosx=2,5 - уравнение не имеет корней, -1 ≤ cosx ≤ 1

О т в е т. а)
[m]x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z[/m]

б) [–π; 5π/2] принадлежат корни:
[m]x=\pm \frac{\pi}{3}[/m]: [m]x= \frac{5\pi}{3}[/m]; [m]x= \frac{7\pi}{3}[/m] [–π; 5π/2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
[red]cosx ≠ 0[/red]

сos^2x-7cosx+6=0

D=(-7)^2-4*6=25

cosx=1 или cosx=6

сosx=1

x=2πk, k ∈ Z

cosx=6 - уравнение не имеет корней в силу ограниченности косинуса.

О т в е т. a) 2πk, k ∈ Z

б)
Отрезку [–3π; –π] принадлежит корень
x=-2π

О т в е т. б) -2π

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ:[/red]
{x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
{6-x>0; x <6
{3^(x) ≠ 720 ⇒ 3^(x) ≠ 720⇒ x ≠ log_(3)720 < 6

[red]x ∈ [2;log_(2)720)U(log_(2)720;6)[/red]

На ОДЗ:
sqrt(x-2) ≥ 0

log^2_(0,5)(6-x) ≥ 0

Применяем [i]обобщенный метод интервалов[/i]:

Находим нули числителя:
sqrt(x-2)=0 ⇒ x=2
81-3^(x)=0 ⇒ [b]x=4[/b]
log^2_(0,5)(6-x)=0 ⇒ log_(0,5)(6-x)=0 ⇒6-x=1; [b]x=5[/b]

[2] ___-____ [4] __+__[5] __+__ (log_(3)720)_-_ (6)

О т в е т. [2;4]U{5}U(log_(3)720;6)

Ответ выбран лучшим

[m]2sin^2{x}{2}=1-cosx[/m]
[m]ctgx=\frac{cosx}{sinx}[/m]

Уравнение принимает вид:
[m]\frac{cosx}{sinx}-sinx=1-cosx[/m]

[red]sinx ≠ 0[/red]

[m]cosx-sin^2x=sinx-sinx\cdot cosx[/m]

[m](cosx-sinx)+sinx(cosx-sinx)=0[/m]

[m](cosx-sinx)(1+sinx)=0[/m]

[m]cosx-sinx=0[/m] или [m]1+sinx=0[/m]

[m]tgx=1[/m] или [m]sinx=-1[/m]
[m]x=\frac{\pi}{4}+\pi k, k \in Z[/m] или [m]x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z[/m]
О т в е т. [m]x=\frac{\pi}{4}+\pi k, k \in Z[/m] или [m]x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z[/m]

2.
Возводим в квадрат, при условии, что правая часть неотрицательна.
Система
[m]\left\{\begin{matrix} 5-2sinx=(6sinx-1)^2\\ 6sinx-1\geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 5-2sinx=36sin^2x-12sinx+1\\ 6sinx\geq 1 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 36sin^2x-10sinx-4=0\\ sinx\geq \frac{1}{6}\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} 18sin^2x-5sinx-2=0\\ sinx\geq \frac{1}{6}\end{matrix}\right.[/m]

D=25+144=169

[m]sinx=1[/m] или [m]sinx=-\frac{4}{9}[/m] ( не удовл. условию второго неравенства.

[m]x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z[/m]

О т в е т.[m] \frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]sin(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4})=sin\frac{3x}{2}\cdot cos\frac{\pi}{4}+cos\frac{3x}{2}\cdot sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(sin\frac{3x}{2}+cos\frac{3x}{2})[/m]

[m]-2\sqrt{2} sin(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4})=-2(sin\frac{3x}{2}+cos\frac{3x}{2})[/m]

[m]sin3x=2sin\frac{3x}{2}\cdot cos\frac{3x}{2}[/m]

[m]\frac{4}{\sqrt{3}+1}=\frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt(3))^2-1)}=\frac{4(\sqrt{3}-1)}{2}=2\sqrt{3}-2[/m]

[m]tg14x=\frac{sin14x}{cos14}[/m]

[m]ctg7x=\frac{sin14x}{1-cos14x}[/m]

[m]tg14x+3ctg7x=\frac{sin14x}{cos14x}+\frac{3sin14x}{1-cos14x}=\frac{sin14x\cdot(1-cos14x+3cos14x}{cos14x\cdot (1-cos14x)}=\frac{sin14x\cdot(1+2cos14x}{cos14x\cdot (1-cos14x)}=[/m][m]=tg14x\cdot \frac{1+2cos14x}{1-cos14x}[/m]

Итак:

[m] tg14x+3ctg7x+sin3x-2\sqrt{2} sin(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4})=\frac{4}{\sqrt{3}+1}[/m]

[m]tg14x\cdot \frac{1+2cos14x}{1-cos14x}-2\sqrt{3}+(2sin\frac{3x}{2}cos\frac{3x}{2}-2sin\frac{3x}{2}-2cos\frac{3x}{2}+2)=0[/m]

M(X)=131*0,05+140*0,10+160*0,25+180*0,60=

M(X^2)=131^2*0,05+140^2*0,10+160^2*0,25+180^2*0,60=

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=

σ (X)=sqrt(D(X))

калькулятор и считайте...

Ответ выбран лучшим

Находим вероятность противоположного события:
vector{A}-" нет попаданий"
p(vector{A})=0,4*0,7=0,28

Тогда
p(A)=1-p(vector{A})=1-0,28=0,72

8.
sin2x=2sinx*cosx
ctgx=(cosx)/(sinx)

8-4sin^2x=2cos^2x-9cosx, [red]sinx ≠ 0[/red]

[r]sin^2x=1-cos^2x[/r]

8-4*(1-cos^2x)-2cos^2x+9cosx=0

2cos^2x+9cosx+4=0

[i]Замена переменной:[/i]
cosx=t

2t^2+9t+4=0
D=81-4*2*4=49

t=(-9 ± 7)/4

t=-4; t=-1/2

Обратный переход:

cosx=-4 не имеет корней, в силу ограниченности косинуса
cosx=-1/2 ⇒ [m]x=\pm arccos(-0,5)+2\pi n, n \in Z[/m] ⇒
[m]x=\pm (\pi - arccos 0,5)+2\pi n=\pm (\pi - \frac{\pi}{3})+2\pi n=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in Z[/m]

Это ответ. [m]\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in Z[/m]

9.
Формула
[r]sin α sin β =[/r]

(1/2)cos(-2x)-(1/2)cos(4x)+(1/2)cos(-4x)-(1/2)cos12x=0

cos(-2x)=cos(2x)
cos(-4x)=cos4x

cos2x-cos12x=0

Формула
[r]cos α -cos β [/r]

-2sin(7x)*sin(-5x)=0

sinx7x=0 ⇒ 7x=πk, k ∈ Z ⇒ х=(π/7)k, k ∈ Z

sin5x=0 ⇒ 5x=πn, n ∈ Z⇒ х=(π/5)n, n ∈ Z

О т в е т.
(π/7)k, k ∈ Z

(π/5)n, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

p=1/2 - вероятность того, что в одном испытании герб выпадет
q=1-p=1/2 - вероятность того, что в одном испытании герб не выпадет
а)
Формула Бернулли:
P_(8)(3)=C^(3)_(8)p^3q^(8-3)= считайте

б)
А-"выпадет не менее семи раз"

Находим вероятность противоположного события:
vector{A}-" выпадет 8 раз"

p(vector{A})=P_(8)(8)=C^(8)_(8)p^8q^(8-8)=1*(1/2)^8

Тогда
p(A)=1-p(vector{A})=1-(1/2)^(8)=считайте

S= ∫ ^(4)_(0)(2x-(-x/2))dx=(5/2) ∫ ^(4)_(0)xdx=(5/2)*(x^2/2)|^(4)_(0)= (5/4)*(4^2-0^2)=20 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Два попали:
p=[b]0,4*0,3[/b]*0,5+[b]0,4[/b]*0,7*[b]0,5[/b]+0,6*[b]0,3*0,5[/b]=?

p=[b]0,4*0,3[/b]*0,5/ ?

p=0,02 - ( маленькое)
n=800 - (большое)

q=1-p=1-0,02=0,98

np=800*0,02=16

npq=800*0,02*0,98=15,68

sqrt(npq)=sqrt(15,68) ≈ 3,96

а) Применяем[i] локальную [/i]теорему Лапласа ( см. приложение 1)
P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

x=(k-np)/sqrt(npq)=(20-16)/(3,96) ≈ 1,01
[b]φ (1,01)[/b]=0,2420 ( см. таблицу 1)

P_(800)(20)=(1/3,96)*[b] φ (1,01)[/b] ≈0,2420/3,96= считаем

б) Применяем [i]интегральную[/i] формулу Лапласа
( см. приложение 1)

P_(800) (x ≤ 500)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(500-16)/sqrt(15,68)=484/(3,96)=122,2
x_(1)=(0-16)/sqrt(64)=-16/(3,96)=-4,04

Ф(x_(2))=Ф(122,5)=0,5 ( cм таблицу 2)
Ф(x_(1))=Ф(-4,04)=-Ф(4,04)=-0,5

О т в е т.P_(800) ( x ≤ 500)=0,5-(-0,5)=1

1) Уравнение прямой, проходящей через две точки А (x_(А);y_(А))
и В (x_(В);y_(В)) имеет вид:

[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

A(7;0)
B(1;4)

[m]\frac{x-7}{1-7}=\frac{y-0}{4-0}[/m]

[m]\frac{x-7}{-6}=\frac{y}{4}[/m]

4x-28=-6y
4x+6y-28=0

2x-3y-14=0 ⇒ y=(2/3)x-(14/3)
Угловой коэффициент прямой АВ:
k_(AB)=-2/3

2) Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1). Значит
k_(CH)=3/2

y=(3/2)x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки С:
-4=(3/2)*(-8)+b
b=8
CH: [b]y=(3/2)x+8[/b] или [b]3x-2y+8=0[/b]

3) Находим координаты точки М как середины ВС
М(-3,5;0)

Уравнение медианы АМ:[b]y=0[/b]

A(7;0) и М(-3,5;0)

4)
Уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ- уравнение прямой проходящей через точку С с направляющим вектором vector{AB}=(-6;4)

[m]\frac{x-x_{C}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{C}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

[m]\frac{x-(-8)}{1-7}=\frac{y-(-4)}{4}[/m]

[m]\frac{x+8}{-6}=\frac{y+4}{4}[/m]

-6y-24=4x+32

4x+6y+56=0

[b]2x+3y+28=0[/b]

5) Расстояние от точки С до прямой АВ - это длина высоты СН.
Можно найти координату точки Н как точки пересечения АВ и CН
{2x-3y-14=0=0
{3x-2y+8=0

Можно по формуле:
[m]d=\frac{|2x_{C}-3y_{C}-14|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{|2\cdot (-8)-7\cdot(-4)-14|}{\sqrt{13}}=\frac{/-2/}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}[/m] - это ответ

Можно через площадь
[m]CH=\frac{2S_{\triangle ABC}}{|AB|}[/m]

Иногда преподы, чтобы проверить понимает ли студент то, что написал, дают задание вычислить то, что уже найдено другим способом.

6) Координаты точки N получим решив систему:
{2x+3y+28=0
{3x-2y+8=0

Умножаем первое на 2, второе на 3:
{4x-6y+56=0
{9x-6y+24=0

Складываем
13x+80=0
x=-80/13
y=(-2x-28)/3=... считайте (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5) Расстояние от точки С до прямой АВ - это длина высоты СН.
Можно найти координату точки Н как точки пересечения АВ и CН
{6x-7y+14=0
{7x+6y-33=0

Можно по формуле:
[m]d=\frac{|6x_{C}-7y_{C}+14|}{\sqrt{6^2+(-7)^2}}=\frac{|6\cdot 3-7\cdot 2+14|}{\sqrt{6^2+(-7)^2}}=\frac{18}{\sqrt{85}}[/m] - это ответ

Можно через площадь
[m]CH=\frac{2S_{\triangle ABC}}{|AB|}[/m]

Иногда преподы, чтобы проверить понимает ли студент то, что написал, дают задание вычислить то, что уже найдено другим способом.

6) Координаты точки N получим решив систему:
{3x-2y+4=0
{7x+6y-33=0

Умножаем первое на 3:
{9x-6y+12=0
{7x+6y-33=0

Складываем
16x-21=0
x=21/16
y=(3x+4)/2=127/32 (прикреплено изображение)

14)
[m]\int_{3}^{4}2xdx=2\int_{3}^{4}xdx=2\cdot( \frac{x^2}
{2})|_{3}^{4}=x^2|_{3}^{4}=4^2-3^3=16-9=7[/m]

15)
[m]\int_{-1}^{1}2x^3dx=2\int_{-1}^{1}x^3dx=2\cdot( \frac{x^4}
{4})|_{-1}^{1}=\frac{1}{2}x^4|_{-1}^{1}=\frac{1}{2}\cdot(1^4-(-1)^4)=0[/m]

16)
[m]\int_{1}^{2}(2x+1)dx=2\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}dx=2\cdot( \frac{x^2}
{2})|_{1}^{2}+(x)|_{1}^{2}=[/m][m]=x^2|_{1}^{2}+x|_{1}^{2}=2^2-1^2+2-1=4-1+2-1=4[/m]

19)
[m]S=\int_{1}^{2}(2x^2)dx=2\int_{1}^{2}x^2dx=2\cdot \frac{x^3}{3}|_{1}^{2}=\frac{2}{3}\cdot(2^3-1^3)=\frac{14}{3}[/m]

20)
[i]Криволинейной трапецией[/i] называется фигура, ограниченная кривой
y=f(x), [red]f(x) ≥ 0[/red]
и прямыми y=0; x=a; x=b (a<b)

Площадь криволинейный трапеции вычисляется как определенный интеграл

[b]S= ∫^(b)_(a) f(x)dx[/b].

Если f(x) не является положительной, то применяется формула:

[b]S= ∫^(b)_(a) | f(x)| dx[/b]:

y=3x^2-4 на [-2;1] расположена как выше оси Ох, так и ниже оси Ох
Поэтому

[m]S=\int_{-2}^{1}|3x^2-4|dx=[/m]

Теперь раскрываем модуль:

Парабола y=3x^2-4 пересекает ось Ох в точках:
3x^2-4=0 ⇒ x^2=4/3 ⇒ x= ± 2/sqrt(3)

на [-2; 2/sqrt(3)]
|3x^2-4|=3x^2-4

на [2/sqrt(3);1]
|3x^2-4|=-3x^2+4

[m]S=\int_{-2}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}(3x^2-4)dx+\int^{1}_{\frac{2}{\sqrt{3}}}(-3x^2+4)dx=[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Хорошие задачи. Полезно тем, кто начинает решать тригонометрические уравнения.
1.

[i]Простейшие тригонометрические уравнения[/i].
Решают по формулам.
Cм. приложения 1 и 2:
a)[m]x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z[/m]
( это [b]частный случай[/b] формулы для синуса)
б)[m]x=\pm arccos\frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi k, k \in Z[/m] ⇒ [m]x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k, k \in Z[/m]
в) [m]x=arctg(-\sqrt{3})+\pi n=-\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z[/m]

2.
Квадратные уравнения или уравнения сводящиеся к квадратным.
[i]Замена переменной[/i]:
a)[red]cosx=t[/red]
t^2-t-2=0 ⇒ t=-1 или t=2
Получаем
cosx=-1 - простейшее как в п.1
cosx=2 не имеет решений, |cosx| ≤ 2
б)
сos^2x=1-sin^2x
[i]Замена переменной[/i]: [red]sinx=t[/red]

3.
[i]Однородные тригонометрические уравнения.[/i]
Делим
a) первое уравнение на cosx ≠ 0
б)второе уравнение cos^2x ≠ 0
Получаем
а) [i]простейшее уравнение [/i]относительно tgx
tgx=-1
[m]x=arctg(-1)+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z[/m]

б) квадратное уравнение относительно tgx
[m]3tg^2x-2\sqrt{3}tgx+1=0[/m]
[m](\sqrt{3}tgx-1)^2=0[/m]
[m]\sqrt{3}tgx-1=0[/m]
[m]tgx=\frac{1}{\sqrt{3}}[/m]
[m]x=arctg(\frac{1}{\sqrt{3}})+\pi k=\frac{\pi}{6}+\pi k, k \in Z[/m]

4.
[i]Простейшие тригонометрические уравнения[/i].
Решают по формулам.
Cм. приложения 1 и 2:
a)[m]x=\pm arccos(-0,5)+2\pi n, n \in Z[/m] ⇒
[m]x=\pm (\pi - arccos 0,5)+2\pi n=\pm (\pi - \frac{\pi}{3})+2\pi n=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in Z[/m]

б)
[m]=(-1)^{k}\cdot arcsin\frac{1}{4}+\pi k, k \in Z[/m]
в) [m]x=arctg2+\pi k, k \in Z[/m]

5.
a) Решаем [i]методом введения вспомогательного угла[/i]
Делим уравнение на [m]\sqrt{2}[/m]

[m]\frac{1}{\sqrt{2}}sinx-\frac{1}{\sqrt{2}}cosx=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
Вспомогательный угол φ :
sin φ =[m]\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
cos φ =[m]\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
φ =[m]\frac{\pi}{4}[/m]

Уравнение принимает вид:
[m]sin \frac{\pi}{4}sinx-cos\frac{\pi}{4}cosx=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

Cлева формула:
[r]cos α cos β -sin α sin β =cos( α + β )[/r]

[m]-cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

[m]cos(x+\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

Простейшее уравнение, см. [i]приложение 2[/i]

[m]x+\frac{\pi}{4}=\pm arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}})+2\pi n, n \in Z[/m]

[m]x+\frac{\pi}{4}=\pm (\pi - arccos\frac{1}{\sqrt{2}})+2\pi n, n \in Z[/m]

[m]x=\pm(\pi -\frac{\pi}{4})-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z[/m]

[m]x=\pm(\frac{3 \pi}{4})-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z[/m]

Запишем как две серии ответов:
[m]x=\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z[/m]
или
[m]x=-(\frac{3 \pi}{4})-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z[/m]

О т в е т. [m]x=\frac{ \pi}{2}+2\pi n, n \in Z[/m]
или
[m]x=-\pi +2\pi n, n \in Z[/m]

5
б)
Применяем формулу:
[r]2 cos^2 α =1+cos2 α [/r]
Уравнение принимает вид:
cos2x-sin4x=0
Применяем формулу:
[r]sin2 α =2sin α cos α [/r]

cos2x-2sin2x*cos2x=0
cos2x*(1-2sin2x)=0

Простейшие уравнения:
сos2x=0 или 1-sin2x=0

[m]2x=\pm \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z[/m] ( это тоже [i]частный[/i] случай)

[m]x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} k, k \in Z[/m]

или

[m]sinx= \frac{1}{2}[/m]

[m]x=(-1)^{k}arcsin \frac{1}{2}+ \pi k, k \in Z[/m]

[m]x=(-1)^{k} \frac{\pi}{6}+ \pi k, k \in Z[/m]

О т в е т. [m]x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} k, k \in Z[/m];[m]x=(-1)^{k} \frac{\pi}{6}+ \pi k, k \in Z[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[red]1 способ.[/red]

Cобытие С-"два участника Тоша и Гоша окажутся в одной группе"

С=AUB

событие A-"два участника Тоша и Гоша окажутся в первой группе"

событие B-"два участника Тоша и Гоша окажутся во второй группе"

Cчитаем вероятность события А

Испытание состоит в том, что из 26 участников выбирают 13
[m]n=C^{13}_{26}=\frac{26!}{(26-13)!13!}[/m]

[m]m=C^{2}_{2}\cdot C^{11}_{24}=\frac{2!}{2!\cdot(2-2)!}\cdot \frac{24!}{(24-11)!\cdot 11!}[/m]

По формуле классической вероятности:

[m]p(A)=\frac{m}{n}=\frac{\frac{2!}{2!\cdot(2-2)!}\cdot \frac{24!}{(24-11)!\cdot 11!}}{\frac{26!}{(26-13)!13!}}=\frac{24!\cdot 13!\cdot13!}{13!\cdot11!\cdot26!}=\frac{12\cdot13}{25\cdot26}=\frac{12}{50}=0,24[/m]

[m]p(B)=P(A)=0,24[/m]

[m]p(C)=p(A)+p(B)=0,48[/m]

О т в е т. 0,48

[red]2cпособ[/red]

Пусть Тоша оказался в одной групп, тогда в этой группе осталось 12 мест. Вероятность того, что Гоша попадает в эту же группу равна
p=\frac{12}{25}=0,48

О т в е т. 0,48

[red]3 cпособ[/red]

В первой группе 13 мест.
Вероятность того, что Тоша попадет в эту группу
[m]p_{1}=\frac{13}{26}=\frac{1}{2}[/m]

Теперь в группе свободных 12 мест. Оставшихся участников 25.
Вероятность того, что Гоша попадет в эту же группу
[m]p_{2}=\frac{12}{25}[/m]

Вероятность того, что Тоша и Гоша попадут в эту же группу
[m]p=p_{1}\cdot p_{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{25}=\frac{12}{50}=0,24[/m]

Так как для второй группы ситуация полностью повторяется,
О т в е т. 0,48

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение события
A_([i]i[/i]) -" [i]i[/i]-ый продавец [b]занят[/b] "
[i]i[/i]=1,2,3
p(A_(1))=p(A_(2))=p(A_(3))=0,4

cобытие A-"в случайный момент времени все три продавца [b]заняты одновременно[/b]"

A=A_(1) ∩ A_(2) ∩ A_(3)

Так как события A_(i) [i]независимы,[/i] по теореме умножения:
вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей.

p=p(A_(1))*p_(A_(2))*p_(A_(3))=0,4*0,4*0,4=0,064

О т в е т. 0,064

Ответ выбран лучшим

масса раствора ( m_(p-pa)), масса вещества (m_(в-ва)) и массовая доля растворённого вещества ( ω _(в-ва)) связаны равенством:

[m] ω_{b-ba}=\frac{m_{p-pa}}{m_{b-ba}}[/m]

m_(1 раствора)* ω _(1)+m_( 2 вещества)=m_(3 раствора)* ω _(3 вещества) [red](#)[/red]

По условию:
m_(1 раствора)=150 г
ω _(1)=10%=10/100=0,1
m_( 2 вещества)= неизвестна, обозначим х г
m_(3 раствора)=(150+х) г
ω _(3 вещества)=15%=15/100=0,15

Подставляем в[red] (#)[/red]

150*0,10+х=(150+х)*0,15
15+х=22,5+0,15*х
х-0,15х=22,5-15
0,85х=7,5
х ≈ 8,8 г

О т в е т. [b]8,8 г[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-tgx >0 ⇒ tgx <0 ⇒ x в 2 четв. или 4 четв.

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0.

2cosx-sqrt(3)=0 ⇒ cosx=sqrt(3)/2 ⇒

x= ± arccos(sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z

x= ± (π/6)+2πn, n ∈ Z

x=(π/6)+2πn, n ∈ Z в 1 -й четв, не входят в ОДЗ

значит [b]x=- (π/6)+2πn, n ∈ Z[/b] - корни уравнения

log_(6)(-tgx)=0

-tgx=6^(0)

-tgx=1

tgx=-1

[b]x=(-π/4)+πk, k ∈ Z[/b]- корни уравнения

О т в е т. - (π/6)+2πn ; (-π/4)+πk, k, n ∈ Z

б)(3π/4); (7π/4); (11π/6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V=V_(o)-gt

V_(o)=500 м/с

0=500 -10*t

10*t=500

t=50 c

H=V_(o)*t- (gt^2/2)=500*50 - (10*50^2/2)=25000-12500=12500 м=12,5 км

через 50 сек

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу извлеченная деталь из наудачу взятой партии [b]бракованная.[/b] ''

гипотезу H_(1) - ''деталь из первой партии''
гипотезу H_(2) - ''деталь из второй партии''
гипотезу H_(3) - ''деталь из третьей партии''

p(H_(1))=p(H_(2))=p(H_(3))=1/3

p(A/H_(1))=0,25=1/4
p(A/H_(2))=0
p(A/H_(3))=0

По формуле [i]полной вероятности[/i]

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) +p(H_(3))*p(A/H_(3))=
p(A)=(1/3)*0,25+(1/3)*0+(1/3)*0=1/12

Ответ выбран лучшим

1.

[m]y`=-2\cdot (7x^6)+4\cdot(5x^4)-\sqrt{3}[/m]

[m]y`=-14\cdot x^6+20\cdot x^4-\sqrt{3}[/m]

2.
[m]y`=-15\cdot (-\frac{1}{x^2})+2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-(-\frac{1}{sin^2x})[/m]
[m]y`=\frac{15}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{sin^2x}[/m]

4.
[m]y`=5\cdot(9x-1)^{4}\cdot(9x-1)`+\frac{(5-x^2)`}{2\sqrt{5-x^2}}[/m]

[m]y`=5\cdot(9x-1)^{4}\cdot 9+\frac{(-2x)}{2\sqrt{5-x^2}}[/m]

[m]y`=45\cdot(3x-1)^{4}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}[/m]

[m]z_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}-i}=\frac{\sqrt{3}+i}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}+i\cdot \frac{1}{4}[/m]

точка[m] (\frac{\sqrt{3}}{4};\frac{1}{4})[/m]

[m]z_{2}=\frac{1}{(\sqrt{3}-i)^4}=\frac{1}{((\sqrt{3}-i)^2)^2}=\frac{1}{(2-2\sqrt{3}i)^2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{(-2-2\sqrt{3}\cdot i)}=[/m][m]=-\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{(1+\sqrt{3}\cdot i)}=-\frac{1}{8}\cdot \frac{1-\sqrt{3}\cdot i}{(1-3)}=-\frac{1}{16}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{16}[/m]

точка[m] (-\frac{1}{16}; \frac{\sqrt{3}}{16})[/m]

и так далее
[m]z_{3}=\frac{1}{(\sqrt{3}-i)^9}[/m]

Можно формулу Муавра применить для возведения в степень

[m]z=|z|(cos\phi+isin \phi)[/m]

[m]z^{n}=|z|^{n}(\cdot(cos(n\phi)+isin (n\phi))[/m]

[m]z=\sqrt{3}-i[/m]

[m]|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2)}=2[/m]

[m]cos \phi=\frac{x}{|z|}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]sin \phi=\frac{y}{|z|}=-\frac{1}{2}[/m]

[m]\phi=-\frac{\pi}{6}[/m]

[m]\sqrt{3}-i=2\cdot (cos(-\frac{\pi}{6})+isin(-\frac{\pi}{6}))[/m]

[m](\sqrt{3}-i)^{4}=2^{4}\cdot (cos(-\frac{4\pi}{6})+isin(-\frac{4\pi}{6}))=2^{4}\cdot(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})[/m]

[m](\sqrt{3}-i)^{9}=2^{9}\cdot (cos(-\frac{9\pi}{6})+isin(-\frac{9\pi}{6}))=[/m][m]=2^{9}\cdot (cos(-\frac{3\pi}{2})+isin(-\frac{3\pi}{2}))=-i\cdot 2^{9}[/m]

[m](\sqrt{3}-i)^{16}=2^{16}\cdot (cos(-\frac{16\pi}{6})+isin(-\frac{16\pi}{6}))=2^{16}\cdot(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})[/m]

[m](\sqrt{3}-i)^{25}=2^{25}\cdot (cos(-\frac{25\pi}{6})+isin(-\frac{25\pi}{6}))=2^{25}\cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})[/m]

[m]y`=5\cdot (3x^5-8x^3+7x^2-\sqrt{3})^{4}\cdot (3x^5-8x^3+7x^2-\sqrt{3})`[/m]

[m]y`=5\cdot (3x^5-8x^3+7x^2-\sqrt{3})^{4}\cdot\cdot (15x^5-24x^2+14x)[/m]

[m]y`=5\cdot (15x^5-24x^2+14x)\cdot (3x^5-8x^3+7x^2-\sqrt{3})^{4}[/m]

Ответ выбран лучшим

4.
[m]y`=\frac{(2-5x)`}{2\sqrt{2-5x}}+6\cdot(3x-5)^{5}\cdot(3x-5)`[/m]

[m]y`=\frac{(-5)}{2\sqrt{2-5x}}+6\cdot(3x-5)^{5}\cdot 3[/m]

[m]y`=-\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}+18\cdot(3x-5)^{5}[/m]

5.
Логарифмируем:

[m]lny=ln(3x-5)^{4}-ln(2x-4)^{3}[/m]

[m]lny=4ln(3x-5)-3ln(2x-4)[/m]

Дифференцируем обе части:

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{(3x-5)`}{3x-5}-3\frac{(2x-4)`}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{3}{3x-5}-3\frac{2}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=\frac{12}{3x-5}-\frac{6}{2x-4}[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot (\frac{2}{8-5x}-\frac{1}{2x-4})[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot\frac{2(2x-4)-(3x-5)}{(8-5x)(2x-4)}[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot\frac{(4x-8-3x+5)}{(8-5x)(2x-4)}[/m]

[m]y`=6\frac{(3x-5)^{3}\cdot (x-3)}{(2x-4)^{4}}[/m]

Ответ выбран лучшим

4.
[m]y`=10\cdot(2x-9)^{9}\cdot(2x-9)`+\frac{(3x-1)`}{2\sqrt{3x-1}}[/m]

[m]y`=10\cdot(2x-9)^{9}\cdot 2+\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}[/m]

[m]y`=20\cdot(2x-9)^{9}+\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}[/m]

5.
Логарифмируем:

[m]lny=ln(8-5x)^{4}-ln(2x-4)^{3}[/m]

[m]lny=4ln(8-5x)-3ln(2x-4)[/m]

Дифференцируем обе части:

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{(8-5x)`}{8-5x}-3\frac{(2x-4)`}{2x-4}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=4\frac{(-5)}{8-5x}-3\frac{2}{2x-4}[/m]

[m]y`=\frac{(8-5x)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot (-\frac{20}{8-5x}-\frac{6}{2x-4})[/m]

[m]y`=\frac{(8-5x)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot (-\frac{20}{8-5x}-\frac{6}{2x-4})[/m]

[m]y`=\frac{(8-5x)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot\frac{-20(2x-4)-6(8-5x)}{(8-5x)(2x-4)}[/m]

[m]y`=\frac{(8-5x)^{4}}{(2x-4)^{3}}\cdot\frac{-40x+80-48+30x)}{(8-5x)(2x-4)}[/m]

[m]y`=\frac{(8-5x)^{3}\cdot (32-10x)}{(2x-4)^{4}}[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]y`= (7x^5-2x^3+8x+\frac{π}{2})`=7\cdot 5 x^4-2\cdot 3x^2+8=[/m]

[m]=35\cdot x^4-6\cdot x^2+8[/m]

[m]y`= (-\frac{5}{x}-7\sqrt{x}+sinx)`=\frac {5}{x^2}-\frac{7}{2\sqrt{x}}+cosx[/m]

Ответ выбран лучшим

1.
Правила вычисления производных:
[i]Производная суммы равна сумме производных[/i].
[i]Постоянный множитель можно вынести за знак производной[/i].

[m]y`= (cos3x)`-(\frac{1}{x})`+6\cdot (\sqrt{x})`-(-e^{4x})`[/m]

Формулы из таблицы производных для независимой переменной:
[m] (\frac{1}{x})`=-\frac{1}{x^2}[/m]

[m](\sqrt{x})`= \frac{1}{2\sqrt{x}}[/m]

Формулы из таблицы производных для случая [i]сложной [/i]функции

( см. формулы в правом столбце):
[m](cosu)`=u`\cdot (-sinu)[/m]

[m](e^{u})`=e^{u}\cdot u`[/m]

[m]y`=cos3x\cdot (3x)`-(-\frac{1}{x^2})+6\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-e^{4x}\cdot (4x)`=[/m]

[m]y`=3cos3x+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{\sqrt{x}}-4\cdot e^{4x}[/m]

2.
Правила вычисления производных:
[i]Производная суммы равна сумме производных[/i].

Формулы из таблицы для производных для случая [i]сложной [/i]функции:

[m](cosu)`=u`\cdot (-sinu)[/m]

[m](tgu)`=\frac{u`}{cos^2u}[/m]

u - функция, зависящая от x

[m]y`=-sin(x-\frac{\pi}{4}) \cdot (x-\frac{\pi}{4})`-\frac{1}{cos^2(x+\frac{2\pi}{3})}\cdot (x+\frac{2\pi}{3})`[/m]

[m]y`=-sin(x-\frac{\pi}{4}) \cdot1-\frac{1}{cos^2(x+\frac{2\pi}{3})}\cdot 1[/m]

[m]y`=-sin(x-\frac{\pi}{4})-\frac{1}{cos^2(x+\frac{2\pi}{3})}[/m]

3.
[m]y`=5\cdot (8x^6-25x^2-8x+π)^{4}\cdot (8x^6-25x^2-8x+π)`[/m]

[m]y`=5\cdot (8x^6-25x^2-8x+π)^{4}\cdot (48x^5-50x-8)[/m]

[m]y`=5\cdot (48x^5-50x-8)\cdot (8x^6-25x^2-8x+π)^{4}[/m]

4.

[m]y`=5\cdot(3x-8)^{4}\cdot(3x-8)`+\frac{(5-2x)`}{2\sqrt{5-2x}}[/m]

[m]y`=5\cdot(3x-8)^{4}\cdot 3+\frac{(-2)}{2\sqrt{5-2x}}[/m]

[m]y`=15\cdot(3x-8)^{4}-\frac{1}{\sqrt{5-2x}}[/m]

5.
Логарифмируем:

[m]lny=ln(4-8x)^{3}-ln(6-5x)^{4}[/m]

[m]lny=3ln(4-8x)-4ln(6-5x)[/m]

Дифференцируем обе части:

[m]\frac{y`}{y}=3\frac{(4-8x)`}{4-8x}-4\frac{(6-5x)`}{6-5x}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=3\frac{(-8)}{4-8x}-4\frac{(-5)}{6-5x}[/m]

[m]\frac{y`}{y}=-\frac{24}{4-8x}+20\frac{1}{6-5x}[/m]

[m]y`=4\frac{(4-8x)^{4}}{(6-5x)^{3}}\cdot (-\frac{6}{4-8x}+\frac{5}{6-5x})[/m]

[m]y`=6\frac{(4-8x)^{4}}{(6-5x)^{3}}\cdot\frac{-6(6-5x)+5(4-8x)}{(4-8x)(6-5x)}[/m]

[m]y`=6\frac{(4-8x)^{4}}{(6-5x)^{3}}\cdot\frac{(-36+30x+20-40x)}{(4-8x)(6-5x)}[/m]

[m]y`=-12\frac{(4-8x)^{3}\cdot (5+8x)}{(6-5x)^{4}}[/m]

Найти дифференциалы также

3.
[m]dy=f `(x)dx[/m]

[m]y`=5\cdot (4x^6-7x^2+9x+\frac{\pi}{4})^{3}\cdot (4x^6-7x^2+9x+\frac{\pi}{4})`[/m]

[m]y`=5\cdot (4x^6-7x^2+9x+\frac{\pi}{4})^{3}\cdot (24x^5-14x+9)[/m]

[m]y`=5 \cdot (24x^5-14x+9)\cdot (4x^6-7x^2+9x+\frac{\pi}{4})^{3}[/m]

[m]dy=5 \cdot (24x^5-14x+9)\cdot (4x^6-7x^2+9x+\frac{\pi}{4})^{3}dx[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5(14а+5):5=14а+5

Есть свойство неравенств:
0 < a 1/b

Поэтому из неравенства:
5/(4n^3+2) < ε

получаем
(4n^3+2)/5 > (1/ ε )

4n^3+2 > (5/ ε )

4n^3> (5/ ε )-2

n^3> 5/(4 ε )-(1/2)

n> ∛( 5/(4 ε)-(1/2)) , ε очень маленькое, 5/(4 ε ) большое, гораздо больше чем 1/2
Даже если ε=1 видно, что под корнем (5/4)-(1/2) больше нуля.

n_( ε )=[∛( (5/4 ε )-(1/2))] + 1

Ответ выбран лучшим

0 < x < 40
0 < 9x < 360

0 < 9x/7 < 360/7

86.
[b]|i|=|i^2|=|i^3|=|i^4|=1[/b]

|i+n^2|=sqrt(i^2+(n^2)^2)=sqrt(n^4-1)
[m]|c_{n}|=|\frac{i^{3n}}{i+n^2}|=\frac{|i^{3n}|}{|i+n^2|}=\frac{1}{\sqrt{n^4-1}}[/m]

Ряд ∑ |c_(n)| сходится, так как он эквивалентен ряду ∑ 1/n^2
(эквивалентен, значит предел отношения общего члена одного ряда к общему члену другого ряда равен 1)
Значит данный ряд сходится абсолютно.

87.
[m]|c_{n}|=|\frac{n^{2}}{(3i)^{n}}|=\frac{n^2}{3^{n}\cdot |i^{n}|}=\frac{n^2}{3^{n}}[/m]
Ряд из модулей сходится по признаку Даламбера.

Ответы на вопросы:
[m]e^{i\phi}=cos\phi+i\cdot sin\phi[/m]

значит
[m]e^{in^2}=cosn^2+i\cdot sinn^2[/m]

[m]|e^{in^2}|=\sqrt{(cosn^2)^2+(sinn^2)^2}=1[/m]

94

z=5in-4;
x=-4; y=5n
|z|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt((-4)^2+(5n)^2)

Ответ выбран лучшим

1) Неверно б) потому что корень четной степени равен неотрицательному числу. Это определение арифметического корня.
Его надо найти и выделить главное слово: неотрицательное число, такое, что....

2)
Формула:
[m]\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}; a\geq 0; b\geq 0[/m]

поэтому

[m]\sqrt[5]{27}\cdot \sqrt[5]{9}=\sqrt[5]{27\cdot 9}=\sqrt[5]{3^5}=3[/m]

[m]\sqrt[3]{-625}=\sqrt[3]{-5\cdot5^3}=5\cdot\sqrt[3]{-5}=-5\cdot\sqrt[3]{5}[/m]

[m]\sqrt[5]{27}\cdot \sqrt[5]{9}+\frac{\sqrt[4]{-625}}{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[5]{3^{5}}+ \frac{5\cdot (-\sqrt[3]{5})}{\sqrt[3]{5}}=3-5=-2[/m]

4)
sqrt(x+1)=1-x
Возводим в квадрат
x+1=(1-x)^2
x+1=1-2x+x^2
x^2-3x=0
x(x-3)=0
x=0 или х-3=0 ⇒ х=3

Так как возводили в квадрат, то иогли приобрести посторонние корни.
(Корни являются корнями уравнения x+1=(1-x)^2, но не являются корнями данного)
Поэтому делаем проверку:
sqrt(0+1)=1-0 - верно
sqrt(3+1)=1-3 - неверно, так как sqrt(4)=[b]2[/b]
О т в е т. 0

5)
a) не имеет корней, так как сумма двух положительных чисел равняется 0
когда каждое 0, а подкоренные выражения не обращаются одновременно в 0
Первое при х=-3/2, второе при х=3
Общего х нет

6)
sqrt(3x+1)-sqrt(2x-1)=1
Возводим в квадрат
3х+1-2sqrt(3x+1)*sqrt(2x-1)+2x-1=1
2sqrt(3x+1)*sqrt(2x-1)=1-5x
Возводим в квадрат
4*(3х+1)*(2х-1)=1-10x+25x^2;
4*(6x^2-x-1)=1-10x+25x^2;
x^2-6x+5=0
D=16
x=1; x=5
Проверка
При х=1
sqrt(4)-sqrt(1)=1 - верно
При x=5
sqrt(16)-sqrt(9)=1-верно.
О т в е т. 1 + 5=6 - cумма корней

7) sqrt(2-x)*(3-x-2x^2)=0

ОДЗ: 2-х ≥ 0 ⇒ x ≤ 2

sqrt(2-x)=0 или 3-x-2x^2=0
2-х=0 или 2x^2+x-3=0
x=2

2x^2+x-3=0
D=25
x=1; x=-3/2 оба корня входят в ОДЗ

О т в е т. уравнение имеет три корня:2;1;(-3/2)

Рассматриваем разность

[m]|z_{n}-0|=|(\frac{1}{\sqrt{3} -i})^{n^2}-0|=|(\frac{1}{2})^{n^2}|=(\frac{1}{2})^{n^2}[/m]

Решаем неравенство:
[red][m](\frac{1}{2})^{n^2}[/m] < ε[/red]

[m]2^{n^2}>\frac{1}{ ε }[/m]

[m] n^2>log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]

Поэтому достаточно взять номер n_( ε )=[[m] n>\sqrt{log_{2}\frac{1}{ ε }}[/m]]+1

А дальше все как обычно:
для любого ε > 0 найдется номер n_( ε )=[[m] \sqrt {log_{2}\frac{1}{ ε }}[/m] ]+1
такой, что для всех номер n > n_( ε )

выполняется неравенство

[m]|z_{n}-0|=(\frac{1}{2})^{n^2}[/m] <[red] ε [/red]

(дробь в середине вообще-то не нужна, это для пояснения)

Что и означает, что limz_(n)=0 при n → ∞

Ответ выбран лучшим

y``+2y`+y=0 - однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
λ ^2+2 λ +1=0
λ _(1,2)=-1 - корни действительные равные

y=C_(1)e^(kx)+C_(2)x*e^(kx) - общее решение в такой ситуации, когда корни действительные равные

Подставляем k=-1

[b]у=C_(1)e^(-x)+C_(2)x*e^(-x) [/b]- о т в е т.

{x+1>0 ⇒ x > -1
{x-1>0 ⇒ x>1
{x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2

О т в е т. x>1 и x ≠ 2 (прикреплено изображение)

Общий член разложения по полиномиальной формуле имеет вид:
1^(m)*(x^(14))^(n)*(-x^4)^(p)
При этом
m+n+p=15
14n+4p=60 ⇒ 7n+2p=30 ⇒ 2p=30-7n

p=1; n=4 и m=10
p=8; n=2 и m=5
p=15; n=0 и m=0

Итак получаем 3 слагаемых, содержащих x^(60)

a_(1)=P(10;4;1)*1^(10)*(x^(14))^(4)*(-x^(4))^(1)=[m]-\frac{14!}{10!4!}x^{60}=-1001x^{60}[/m]

a_(2)=P(5;2;8)*1^(5)*(x^(14))^(2)*((-x^(4))^(8)=[m]\frac{14!}{8!5!2!}x^{60}=9009x^{60}[/m]

a_(3)=P(0;0;15)*1^(0)*(x^(14))^(0)*((-x^(4))^(15)=x^(60)

Cчитаем и складываем ( приводим подобные):

a_(1)+a_(2)+a_(3)=-1001x^(60)+9009x^(60)+x^(60)=8009x^(60)
О т в е т.

Ответ выбран лучшим

Параллельными. Так как две пересекающиеся прямые плоскости трапеции параллельны пл. α

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MBE (∢M=90°)

MB^2=BE^2-ME^2=10^2-8^2=100-64=36
[b]MB=6[/b]

CB ⊥ пл.МВЕ

ВM ⊥ ME ( ∢M=90°)
⇒ CM ⊥ ME по теореме о 3-х перпендикулярах

СМ - расстояние от С до МЕ

По теореме Пифагора из из прямоугольного треугольника СBМ (∢СВM=90°)

CM^2=CB^2+BM^2=5^2+36=25+36=61

[b]CM=sqrt(61)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2=log_(4)16

log_(4)(5+4х)=log_(4)(1+3х) +log_(4)16

[i]Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения[/i]:

log_(4)(5+4х)=log_(4)(1+3х) *16

5+4x=(1+3x)*16

5+4x=16+48x

4x-48x=16-5

-44x=11

[b]x=-1/4[/b]

[b]Проверка[/b]:

При x =-1/4

log_(4)(5+4*(-1/4)=log_(4)(1+3*(-1/4)) +2

log_(4)(5-1)=log_(4)(1-(3/4)) +2

log_(4)4=log_(4)(-1/4) +2

1=-1+2 - верно.

О т в е т.[b] -1/4[/b]

Одно решение - (1;-3)
x=1; y=-3
xy=-3
Второе решение (-4;-8)
x=-4;y=-8
xy=32

Наименьшее значение произведения (-3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Рассматриваем разность

[m]|z_{n}-c|=|\frac{(2i)^{n}-1}{(2i)^{n}}-1|=|\frac{(2i)^{n}-1-(2i)^{n}}{(2i)^{n}}|=|\frac{-1}{(2i)^{n}}|=\frac{1}{2^{n}}[/m]

так как
[m]|2i|=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2[/m]

[m]|2i|^{n}=2^{n}[/m]

Решаем неравенство:
[red][m]\frac{1}{2^{n}}[/m] < ε ;[/red]

[m]2^{n}>\frac{1}{ ε }[/m]

[m] n>log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]

Поэтому достаточно взять номер n_( ε )=[[m] n>log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]]+1

(Целой части числа [m] log_{2}\frac{1}{ ε }[/m] и с запасом +1)

А дальше все как обычно:
для любого ε > 0 найдется номер n_( ε )=[[m] log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]]+1
такой, что для всех номер n > n_( ε )

выполняется неравенство

[m]|z_{n}-c|=\frac{1}{2^{n}}[/m] <[red] ε [/red]

(дробь в середине вообще-то не нужна, это для пояснения)

Что и означает, что limz_(n)=1 при n → ∞

Ответ выбран лучшим

12x–10y+6x–22y=18х-32у

Наибольший коэффициент 18

V=π ∫ ^(3)_(1)x^2dx=π(x^3/3)|^(3)_(1)=(π/3)*(3^3-1^3)=26π/3

О т в е т. в) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(1)_(0)(sqrt(x)-x^2-sqrt(x))dx=(x^(3/2)/(3/2))|^(1)_(0)-(x^3/3)|^(1)_(0)=
=(2/3)-(1/3)=1/3
О т в е т. 1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Фигура расположена ниже оси Ох.
Это не криволинейная трапеция,
поэтому площадь через интеграл не выражается.

Но площадь этой трапеции равно площади трапеции, ограниченной кривой y=4x и расположенной уже выше оси Ох

S= ∫ ^(4)_(1)4xdx=4*(x^2/2)|^(4)_(1)=2*4^2-2*1^2=32-2=[b]30[/b]

Или так можно записать решение:
S= ∫ ^(4)_(1)|-4x|dx= ∫ ^(4)_(1)4xdx=4*(x^2/2)|^(4)_(1)=2*4^2-2*1^2=32-2=[b]30[/b]

Можно вычислить как площадь по клеточкам:

S=(a+b)*h/2=(4+16)*3/2=30
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(0)_(-2)(-2x-x^2)dx=((-2x^2/2)-(x^3/3))|^(0)_(-2)=-0^2+(-2)^2-(0^3/3)+(-2)^3/3=4-(8/3)=4/3=1 целая 1/3

О т в е т б) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)cosx*cosx+sinx*(-sinx) ≤ 1/2

cos^2x-sin^2x ≤ 1/2
cos2x ≤ 1/2
(-π/3) +2πn ≤ 2x ≤ (π/3)+2π+2πn, n ∈ Z

(-π/3) +2πn ≤ 2x ≤ (7π/3)+2πn, n ∈ Z

(-π/6) +πn ≤ x ≤ (7π/6)+πn, n ∈ Z

б)
cosx-xsinx ≤ cosx
-xsinx ≤ 0
xsinx ≥ 0

{x ≥ 0
{sinx ≥ 0 ⇒ x ∈ 1 четверти

или

{x ≤ 0
{sinx ≤ 0 ⇒ x ∈ 3 четверти

О т в е т. (πk; (π/2)+πk), k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Графік функції y=kx проходить через точку А(4;2)
2=k*4
k=1/2

y=(1/2)x
В(9;4,5)
4,5=(1/2)*9=
4,5=4,5 - верно

Проходит

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2-2x-1

y`=0

3x^2-2x-1=0
D=4+12=16

x_(1)=-1/3; x_(2)=1

Знак производной( производная это квадратичная функция, график парабола, ветви вверх a=3>0; пересекает ось Ох в точках (-1/3) и 1):
меньше нуля на (-1/3;1)

__-__ (-1/3) __-__ (1) __+__

Там, где y`>0 функция [b]возрастает[/b]
то есть [b]на (- ∞ ; -1/3) и на (1;+ ∞ )[/b]

Если y`<0 , то функция [b]убывает[/b]
то есть на[b] ( -1/3;1)[/b]

Всего
n=4+6=10 коробок.

p(H_(1))=4/10 - вероятность того, что коробка с завода №1
p(H_(2))=6/10 - вероятность того, что коробка с завода №2

A- "деталь виявилася стандартною"

p(A/H_(1))=0,8
p(A/H_(2))=0,9

P(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(4/10)*0,8+(6/10)*0,9

р(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=(6/10)*0,9/((4/10)*0,8+(6/10)*0,9)=54/86

Ответ выбран лучшим

a)
[m]6\cdot\frac{(5x-9)`}{5x-9}=3\cdot \frac{(7-5x)`}{7-5x}[/m]

[m]6\cdot\frac{5}{5x-9}=3\cdot \frac{(-5)}{7-5x}[/m]

[m]2\cdot\frac{1}{5x-9}=-\cdot \frac{1}{7-5x}[/m]

2*(7-5x)=5x-9

14-10x=5x-9

-10x-5x=-14-9

15x=23

x=[m]\frac{23}{15}[/m]

б)
[m]-\frac{1}{sin^2x}=2[/m]

[m]sin^2x=-\frac{1}{2}[/m] - уравнение не имеет корней,

sin^2x ≥ 0

Ответ выбран лучшим

49.
первый корень

z_(o)=1
точка с координатами (1;0) на единичной окружности.

Второй корень на луче в (π/4)

третий на луче в в (π/4)

и т.д.

Все корни отстоят друг от друга на 45 °

46.
Радиус окружности у Вас верно найден.

Первая точка z_(o) на луче в (π/32)
Все остальные отличаются друг от друга на (π/4)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
[m]f `(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-5[/m]
По условию
[m]f `(x)=2[/m]

[m]2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-5=2[/m]

[m] \frac{1}{\sqrt{x}}=7[/m]

[m]\sqrt{x}=\frac{1}{7}[/m]

[m]x=\frac{1}{49}[/m]

б)
[m]f `(x)=3- \frac{1}{2\sqrt{x}}[/m]
По условию
[m]f `(x)=1[/m]

[m]3- \frac{1}{2\sqrt{x}}=1[/m]

[m] \frac{1}{2\sqrt{x}}=2[/m]

[m]\sqrt{x}=\frac{1}{4}[/m]

[m]x=\frac{1}{16}[/m]

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f `(x_(o))= k_(касательной)

касательные параллельны, значит угловые коэффициенты равны.
a)
f `(x)=6x^5
f `(a)=6a^5

g `(x)=7x^6
g `(a)=7a^6

f `(a)=g `(a)

6a^5=7a^6

6a^5-7a^6=0

a^5*(6-7a)=0

a=0 или 6-7а=0 ⇒ а=6/7

О т в е т. 0; 6/7

б)
f `(x)=4x^3
f `(a)=4a^3

g `(x)=5x^4
g `(a)=5a^4

f `(a)=g `(a)

4a^3=5a^4

4a^3-5a^4=0

a^3*(4-5a)=0

a=0 или 4-5а=0 ⇒ а=4/5

О т в е т. 0; 4/5

Ответ выбран лучшим

a)
y`=(2sinx)`=2cosx
Подставляем в уравнение:

2cosx*2sinx+(2sinx)^2=0

2sinx*(2cosx+2sinx)=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z
или
2cosx+2sinx=0 ⇒ делим на cosx ≠ 0
tgx=-1
x=(-π/4)+πn, n ∈ Z

О т в е т.[b] πk, (-π/4)+πn[/b], k, n ∈ Z

б)
y`=1/(2sqrt(x))

(sqrt(x))^2+(1(/2sqrt(x)))^2=1

x+(1/(4x))=1

4x^2-4x+1=0
(2x-1)^2=0

2x-1=0

x=1/2

Ответ выбран лучшим

1)Найдите значение функции y=2x+1,
если значение аргумента равно 4
x=4
y=2*4+1=9

[b]О т в е т
4)9[/b]

2) Укажите, для какого значения аргумента
значение функции y=8x+5 равно –3.
y=-3

-3=8x+5
-3-5=8x
-8=8x
x=-1

[b]О т в е т
1)–1 [/b]

3) Укажите координаты точки пересечения
графика функции у= 0,4х + 5 с осью абсцисс.

Уравнение оси абсцисс: y=0

0,4х+5=0

0,4х=-5

х=-12,5

[b]О т в е т
2)(0;–1,25)[/b]

4) Задайте формулой линейную функцию, если известен
угловой коэффициент соответствующей прямой k = –4
и прямая проходит через точку А(2;7).

y=-4x+b

Чтобы найти b подставляем координаты точки А
x=2; y=7

7=-4*2+b

b=15

[b]О т в е т
2) y = –4х + 15 [/b]

5) Какие из точек М(–1;1), N(0;–2), Р(0;2), Q(1;3)
принадлежат графику линейного уравнения 2у — 3х — 4 = 0?

Подставляем координаты точки в уравнение. Если получаем верное равенство
точка принадлежит графику.

1)Точка Р.
2*2-3*0-4=0 - верно,
[b]принадлежит[/b]
2)Точка М.
2*1-3*(-1)-4- неверно,
не принадлежит

3)Точка N
2*(-2)-3*0-4=0- неверно,
не принадлежит

4) Точка Q
2*3-3*1-4=0- неверно,
не принадлежит

(0,6748+0,3252)*t−70,9=t-70,9

Если t= 770
t-70,9=770-70,9=699,1

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(10)_(0)v(t)dt= ∫ ^(10)_(0)0,03t^2dt=(0,03t^3/3)|^(10)_(0)=0,03*(10^3/3)=100 м

v_(cр)=S/t=100/10=10 м/с

Ответ выбран лучшим

a=40 дм
b=20 дм
c=5 дм

A=40*20*(0,8*5)^2/2=6400 кг (прикреплено изображение)

y=(1/3)x^3-3x^2

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=x^2-6x

y`=0
x^2-6x=0
х*(х-6)=0

x_(1)=0; x_(2)=6

Расставляем знак производной ( y`=x^2-6x - графиком этой функции является парабола, ветви вверхз, поэтому на (0;6) она отрицательна, на смежных с этим интервалом положительна):

__+__ (0) __-___ (6) __+__

y`>0 на (- ∞ ;0) и на (6;+ ∞ ), значит функция возрастает убывает

y`> 0 на (0 ;2), значит функция убывает

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(0)=(1/3)*0^3-3*0^2=0

х=6 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(6)=(1/3)*6^3-3*6^2=-36

y``=2x-6
y``=0
2x-6=0
x=6- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;3) и выпукла вниз на (3;+ ∞ )
См. график рис. 1

(прикреплено изображение)

V=π ∫ ^(b)_(a)(f^2(x)-g^2(x))dx

x^2+(y-1)^2=1 ⇒ y-2= ± sqrt(1-x^2)

y=2 ± sqrt(1-x^2)

f(x)=2+sqrt(1-x^2)

g(x)=2-sqrt(1-x^2)

f^2(x)-g^2(x)=(2+sqrt(1-x^2))^2-(2-sqrt(1-x^2))^2=

=(2+sqrt(1-x^2)-2+sqrt(1-x^2))*(2+sqrt(1-x^2)+2-sqrt(1-x^2))

=8sqrt(1-x^2)

a=-1; b=1, можно взять
a=0; b=1 и умножить вычисленное значение интеграла на 2

V=2π ∫ ^(1)_(0)(8*sqrt(1-x^2))dx=( cм. табличный интеграл 17)

=16π*((1/2)х*sqrt(1-x^2)+(1/2)arcsinx)|^(1)_(0)=

=8π*1*sqrt(0)-8π*0*sqrt(1)+8πarcsin1-8πarcsin0=8π*(π/2)=4π^2 (прикреплено изображение)

р=0,25- вероятность попадания
q=1-p=1-0,25=0,75- вероятность непопадания

Найдем вероятность противоположного события:
vector{A}-"Ни разу не попал":
p(vector{A})=(0,75)^6

Тогда вероятность события А -" хотя бы одно попадание":

p(A)=1-p(vector{A})[b]=1-0,75^(6)[/b]

MA^2=AD^2+MD^2=6^2+10^2=136
MA=sqrt(136)

AD=6 - проекция МА

MC^2=DC^2+MD^2=6^2+10^2=136
MC=sqrt(136)

DC=6 - проекция МС

DB^2=DA^2+AB^2=6^2+6^2=36+36=72

DB=sqrt(72)=6sqrt(2) - проекция MB

MB^2=MD^2+DB^2=100+72=172
MB=sqrt(172) (прикреплено изображение)

S= ∫ ^(2)_(0)|3x^2-6x|dx= ∫ ^(2)_(0)(-3x^2+6x)dx=((-3x^3/3)+(6x^2/2))|^(2)_(0)=-8+12=4
О т в е т. 4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Значит высота призмы
H^2=d^2-a^2=10^2-6^2=64
H=8

S_(бок.)=P_(осн.)*Н=(3*6)*8=144 кв см.
S_(полн.)=S_(бок.)+2S_(осн)=144+2*6*6*(sqrt(3)/4)=[b]144+18sqrt(3)[/b]

2.

в)
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{x^2-6x+8}{x^2-4}=[/m]

Неопределенность (0/0)

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-4)}{(x-2)(x+2)}=[/m]

сокращаем на (х-2)
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{x-4}{x+2}=\frac{2-4}{2+2}=\frac{-2}{4}=-0,5[/m]

г)
[m]=\lim_{x \to 0}\frac{tg4x}{sin3x}=\lim_{x \to 0}\frac{tg4x}{4x}\cdot \frac{3x}{sin3x}\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{3}[/m]

а).
[m]=\lim_{x \to 3 }\frac{x^3-2x-3}{x^2+3x+3}=\frac{3^3-2\cdot 3-3}{3^2+3*3+3}=\frac{18}{21}=\frac{6}{7}[/m]

б).
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{3x^3-2x^2+3x+1}{4x^3-x^2-7x+8}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^3:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3-2x^2+3x+1}{x^3}}{\frac{4x^3-x^2-7x+8}{x^3}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^3 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^3:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3}{x^3}-\frac{2x^2}{x^3}+\frac{3x}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3}-\frac{x^2}{x^3}-\frac{x}{x^3}+\frac{8}{x^3}}=\frac{1-0+0+0}{4-0-0+0}=\frac{1}{4}[/m]

Пусть вкладчик имеет х руб

1) Рублевый вклад х руб - под 500% годовых,
получим (x+5*х)=6*x руб

Инфляция составит 500%, значит уменьшится в 5 раз :
останется 6х/5=[b]1,2*x[/b] руб.

2)
Переводим в доллары: (x/450) дол

1,35*(x/450) дол вклад через год

Считаем в рублях:

1,35*(x/450)*1350=1,35*3x=4,05х

Инфляция уменьшит в 5 раз

4,05х/5=[b]0,81x руб.[/b]

В рублях... выгоднее

{x>0; x ≠ 1
{x-3>0 ⇒ x>3
{9-x>0 ⇒ x < 9
{x-1>0; x-1 ≠ 1 ⇒ x>1; x ≠ 2

x ∈ (3;9)

[m]log_{x}(x-3)-log_{x}(9-x)=log_{x}\frac{x-3}{9-x}[/m]

[m]\frac{log_{x}\frac{x-3}{9-x}}{log_{x-1}x}<0\Rightarrow log_{x}\frac{x-3}{9-x}\cdot log_{x}(x-1)<0 [/m]

(прикреплено изображение)

[red]ОДЗ:[/red]
{2x^2-4x+6>0 при любом х, так как D <0
{x^2+x>0 ⇒x(x+1) > 0 _+__ (-1) __ (0) _+_ ⇒ x < -1; x >0
{2^(x) ≠ 1 ⇒ 2^(x) ≠ 2^(0) ⇒ x ≠ 0

[red]x ∈ (- ∞ ;-1) U (0;+ ∞ )[/red]
Если
2^(x)>1 логарифмическая функция[i] возрастает[/i], тогда
2x^2-4x+6 ≤ x^2+x

Если
2^(x)<1 логарифмическая функция[i] убывает[/i], тогда
2x^2-4x+6 ≥ x^2+x

Вместо того чтобы решать две системы,
в которых одинаковые выражения отличающиеся знаками:

{2^(x)>1 ⇒ 2^(x)-1[b]>[/b]0
{2x^2-4x+6 ≤ x^2+x ⇒ 2x^2-4x+6 -(x^2+x)[b]≤[/b]0

или

{2^(x)<1 ⇒ 2^(x)-1[b]<[/b]0
{2x^2-4x+6 ≥ x^2+x⇒ 2x^2-4x+6 -(x^2+x)[b] ≥ [/b]0

рассматривают [i]произведение[/i]:
(см. также [i]метод рационализации[/i] логарифмических уравнений):

(2^(x)-1)*(2x^2-4x+6-x^2-x) [b]≤[/b] 0

(2^(x)-1)*(x^2-5x+6) [b]≤[/b] 0

__-__ (0) __+__ [2] __-__ [3] _+__

(- ∞ ;0) U(2;3)

С учетом[b] ОДЗ[/b]

О т в е т. [b](- ∞ ;-1)U[2;3][/b]

25% =0,25
25% от 80 тыс

0,25*80=20 тыс. - потери работника,

Ответ выбран лучшим

По формуле:

[r]L= ∫ ^( β )_( α ) sqrt((r( φ ))^2+(r`( φ ))^2)d φ [/r]

r=(1/ φ )
r`( φ )=-1/ φ ^2

sqrt(r^2+(r`)^2)=sqrt((1/φ)^2+(-1/ φ ^2)^2)d φ=(1/ φ )sqrt( φ ^2+1)

L= ∫ ^( 4/3 )_(3/4 ) (sqrt( φ ^2+1)/ φ )d φ =

[i]замена переменной:[/i]
φ =tgt ⇒ d φ =dt/cos^2t

φ ^2+1=tg^2+1=1/cos^2t

sqrt(φ ^2+1)=1/cost

=∫ ^(arctg( 4/3) )_(arctg(3/4) )(1/cost)/ tgt )d t/cos^2t =

=∫ ^(arctg( 4/3) )_(arctg(3/4) ) dt/(sint*cos^2t)

1=cos^2t+sin^2t

=∫ ^(arctg( 4/3) )_(arctg(3/4) ) (sin^2t+cos^2t)dt/(sint*cos^2t)

=∫ ^(arctg( 4/3) )_(arctg(3/4) ) (sint/cos^2t)dt + ∫ ^(arctg( 4/3) )_(arctg(3/4) ) dt/sint=

=((1/cost)+ln |tg(t/2)|)|^(arctg(4/3)_(arctg(3/4)=

=1/cos(arctg(4/3))-1/cos(arctg(3/4))+ln|tg(arctg(4/3))/2|-ln|tg(arctg(3/4))/2|

Теперь упрощаем

arctg(4/3)= α ⇒ tg α =(4/3) ⇒ cos α =? tg( α /2)=?

cos α =sqrt(1/(1+tg^2 α ))=sqrt(9/25)=3/5 ⇒ sin α =4/5

tg( α /2)=sin α /(1+cos α )=1/2

arctg(3/4)= β ⇒ tg α =(3/4) ⇒ cos α =? tg( α /2)=?

cos α =sqrt(1/(1+tg^2 α ))=sqrt(16/25)=4/5 ⇒ sin α =3/5

tg( α /2)=sin α /(1+cos α )=1/3

О т в е т. =(5/3)-(5/4)+ln(1/2|-ln|1/3|=[b](5/12)+ln(3/2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле:

[r]L= ∫ ^(t_(2))_(t_(1)) sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)dt[/r]

x`(t)=(cost+tsint)`=(cost)`+t`*sint+t*(sint)`=-sint+sint+t*cost=t*cost

y`(t)=(sint-tcost)`=(sint)`-t`*cost-t*(cost)`=cost-cost-t*(-sint)=t*sint

(x`(t))^2+(y`(t))^2=t^2cos^2t+t^2sin^2t=t^2(sin^2t+cos^2t)=t^2*1=t^2

sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)=t

L= ∫ ^(π/4)_(0) tdt=(t^2/2)|^(π/4)_(0)=[b]π^2/32[/b]

Ответ выбран лучшим

Надо найти сумму длин дуг окружностей.

Для этого найти точки пересечения окружностей.

Удобнее перейти к полярным координатам:

x= ρ cos θ
y= ρ sin θ

Тогда
x^2+y^2= ρ ^2cos^2 θ + ρ ^2sin^2 θ ⇒

x^2+y^2=p^2

ρ ^2=4* ρ cos θ

ρ =4cos θ - уравнение окружности x^2+y^2=4y

ρ =2sin θ - уравнение окружности x^2+y^2=2y

4cos θ =2sin θ

tg θ =2

[b]θ =arctg2[/b]

С=2π*R - формула длины окружности

[r]C=R* α - формула длины дуги в α радиан[/r]

L_(1)- длина дуги синей окружности радиуса 1

L_(1)=arctg2

L_(2)- длина дуги синей окружности радиуса 2

L_(2)=2((π/2)-arctg2)=π-2arctg2

P=L_(1)+L_(2)=arctg2+π-2arctg2=π-arctg2

О т в е т.[b] π-arctg2[/b]

(прикреплено изображение)

V_(оси Ox)=π ∫^(b)_(a) (f^2(x)-g^2(x))dx

a=0; b=1
f(x)=sqrt(6x)
g(x)=sqrt(6)*x^2

f^2(x)=6x
g^2(x)=(sqrt(6)*x^2)^2=6x^4

V_(оси Ox)=π ∫^(1)_(0) (6x-6x^4)dx=6π*((x^2/2)-(x^5/5))|^(1)_(0)=

=6π*((1/2)-(1/5))=6π*(3/10)=[b]1,8π[/b]

а)

φ `(x)=cosx

φ `(x_(o))=cosx_(o)

[r]φ `(x_(o))=tg α [/r]

α - тупой угол, значит tg α < 0

cosx_(o) < 0

[b](π/2)+2πn < x_(o) < (3π/2)+2πn, n ∈ Z[/b]

б)
φ `(x)=(0,2x^5-(10/3)x^3+9x)`=x^4-10x^2+9

φ `(x_(o))=x^4_(o)-10x^2_(o)+9

[r]φ `(x_(o))=tg α [/r]

α - тупой угол, значит tg α < 0

x^4_(o)-10x^2_(o)+9 < 0

Биквадратное неравенство.
корни :1 и 9

Раскладываем на множители:

((x^2_(o)-1)*(x^2_(o)-9) <0

(x_(o)-1)(x_(o)+1)(x_(o)-3)(x_(o)+3) <0

____ (-3) _-__ (-1) ___ (1) __-__ (3) ___

О т в е т. [b](-3;-1) U(1;3)[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
h`(x)=3x^2-6x
h`(x_(o))=3x^2_(o)-6x_(o)

h`(x_(o))=tg α

α - острый угол, значит tg α >0

h`(x_(o))>0

3x^2_(o)-6x_(o)>0

3x_(o)(x_(o)-2) >0

__+__ (0) ____ (2) _+__

[b]x_(o) ∈ (- ∞ ;0)U(2;+ ∞ )[/b]

б)

[m] h`(x)=\frac{4}{2\sqrt{x}}-1[/m]

[m] h`(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-1[/m]

[m] \frac{2}{\sqrt{x}}-1 >0[/m]

[m] \frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}} >0[/m]

[b]0 < x < 4[/b]

Ответ выбран лучшим

По определению : [r] log_(a)x=b ⇔ a^(b)=x; x >0; a>0; a ≠ 1[/r]

(x+2)^2=x^2-6x+14

x^2+4x+4=x^2-6x+14

4x+6x=14-4

10x=10

x=1

[i]Проверка[/i]:

log_(3)(1-6+14)=log_(3)9=2
2=2 - верно

О т в е т. 1

д)
[i]Замена переменной[/i]:
cosx=t

2t^2+t-1=0
D=1-4*2*(-1)=9

t=(-1 ± 3)/4

t=-1 или t=1/2

Обратный переход:

cosx=-1 ⇒ x=π+2πn, n ∈ Z

cosx=1/2 ⇒ x= ± arccos(1/2)+2πm, m ∈ Z ⇒ x= ± (π/3)+2πm, m ∈ Z

О т в е т. π+2πn,± (π/3)+2πm, n, m ∈ Z

е)

sinx*(sinx-sqrt(3)cosx)=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z или sinx-sqrt(3)cosx=0 ⇒ делим на сosx ≠ 0

tgx=sqrt(3) ⇒

x=(π/3)+πn, n ∈ Z

О т в е т. πk, (π/3)+πn, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

в)
x-(π/3)=arctg(sqrt(3))+πk, k ∈ Z

x-(π/3)=(π/3)+πk, k ∈ Z

x=(π/3)+(π/3)+πk, k ∈ Z

[b]x=(2π/3)+πk, k ∈ Z[/b]

г)
уравнение не имеет корней.

так как (-5/3) < -1, a -1 ≤ cos3x ≤ 1

Ответ выбран лучшим

в)
[m]=\lim_{x \to 5}\frac{x-5}{x^2-25}=[/m]

Неопределенность (0/0)

Раскладываем на множители знаменатель:

[m]=\lim_{x \to 5}\frac{x-5}{(x-5)(x+5)}=[/m]

сокращаем на (х-5)

[m]=\lim_{x \to 5}\frac{1}{x+5}=\frac{1}{5+5}=\frac{1}{10}=0,1[/m]

а)
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{3x-8}{4x+2}=\frac{3\cdot 2-8}{4\cdot 2+2}=-0,2[/m]

Ответ выбран лучшим

a)
3x -(π/4)=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3))/2)+π*k, k ∈ Z

3x -(π/4)=(-1)^(k)(π/3)+π*k, k ∈ Z

3x =(-1)^(k)(π/3)+(π/4)+π*k, k ∈ Z

[b]x =(-1)^(k)(π/9)+(π/12)+(π/3)*k, k ∈ Z[/b]

можно и лучше так:

3x -(π/4)=(π/3)+2π*k, k ∈ Z или 3x -(π/4)=(2π/3)+2π*n, n ∈ Z

3x=(π/3)+(π/4)+2π*k, k ∈ Z или 3x =(2π/3)+(π/4)+2π*n, n ∈ Z

3x=(7π/12)+2π*k, k ∈ Z или 3x =(11π/12)+2π*n, n ∈ Z

[b]x=(7π/36)+(2π/3)*k, k ∈ Z [/b] или [b]x =(11π/36)+(2π/3)*n, n ∈ Z [/b]

б)
(x/3)-(π/4)= ± arccos(1/2)+2π*n, n ∈ Z

x/3=(π/4) ± (π/3)+2π*n, n ∈ Z

x=(3π/4) ± π+6π*n, n ∈ Z

x=(-π/4) +6π*n, n ∈ Z или x=(7π/4) +6π*n, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

a) (-π/4)+2πn ≤ x ≤ (5π/4)+2πn, n ∈ Z
см. рис.

б) (π/6)+2πn ≤ [b]4[/b]x ≤ (11π/6)+2πn, n ∈ Z
cм. рис.

(π/24)+(π/2)n ≤ x ≤ (11π/24)+(π/2)n, n ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y/x=u
y=xu
dy=udx+xdu

(xu–x)dx+(xu+x)(udx+xdu)=0

(u–1)xdx+x(u+1)udx+x^2(u+1)du=0

x(u–1+u^2+u)dx=-x^2(u+1)du- уравнение с разделяющимися переменными

(u^2+2u-1)dx=-x(u+1)du

dx/x=-(u+1)du/(u^2+2u-1)

Интегрируем:
∫ dx/x=- ∫ (u+1)du/((u+1)^2-2), t=u+1

∫dx/x=- ∫ tdt/(t^2-2)

ln|x|=-(1/2)ln|t^2-2+lnC

ln|x|=lnC-lnsqrt(u^2+2u-1)

x=C/sqrt(u^2+2u-1)

u=y/x

[b]x=C/sqrt((y/x)^2+(2y/x)-1)[/b]

Пусть первоначальная цена х руб.
Понизилась на 25%.
25%=0,25
25% от х это 0,25х

x-0,25x=0,75x руб - цена после первого понижения.

можно и так считать: 100%-25%=75%
75%=0,75
0,75х руб - цена после первого понижения.

Теперь эта цена понижается на 20%

100%-20%=80%

0,8*0,75*x руб - - цена после второго понижения.

И по условию это равно 12 000 руб.

Уравнение:
0,8*0,75*x=12 000

х=

Ответ выбран лучшим

1.
[m]=\lim_{x \to 2 }\frac{x^3-4x+5}{x^2+6}=\frac{2^3-4\cdot 2+5}{2^2+6}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}[/m]

2.
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{x^3+3x-2}{4x^4-2x^3+3x-1}=[/m]

Неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим числитель и знаменатель на x^4:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^3+3x-2}{x^4}}{\frac{4x^4-2x^3+3x-1}{x^4}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^3 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^3:
[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^3}{x^4}+\frac{3x}{x^4}-\frac{2}{x^4}}{\frac{4x^4}{x^4}-\frac{2x^3}{x^4}+\frac{3x}{x^4}-\frac{1}{x^4}}
=\frac{0+0-0}{4-0+0-0}=0[/m]

Ответ выбран лучшим

в)
[m]=\lim_{x \to 3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}=[/m]

Неопределенность (0/0)

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=[/m]

сокращаем на (х-3)

[m]=\lim_{x \to 3}\frac{x-2}{x+3}=\frac{3-2}{3+3}=\frac{1}{6}=[/m]

г)
[m]=\lim_{x \to 0}\frac{sin2x}{sin3x}=\lim_{x \to 0}\frac{sin2x}{2x}\cdot \frac{3x}{sin3x}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}[/m]

Ответ выбран лучшим

1.
[m]=\lim_{x \to 3 }\frac{x^3-2x-3}{x^2+3x+3}=\frac{3^3-2\cdot 3-3}{3^2+3*3+3}=\frac{18}{21}=\frac{6}{7}[/m]

2.
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{3x^3-2x^2+3x+1}{4x^3-x^2-7x+8}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^3:

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3-2x^2+3x+1}{x^3}}{\frac{4x^3-x^2-7x+8}{x^3}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^3 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^3:
{x^3}+\frac{1}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3}-\frac{x^2}{x^3}-\frac{7x}{x^3}+\frac{8}
[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3}{x^3}-\frac{2x^2}{x^3}+\frac{3x}{x^3}}=\frac{1-0+0+0}{4-0-0+0}=\frac{1}{4}[/m]

3.
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{x^2-6x+8}{x^2-4}=[/m]

Неопределенность (0/0)

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-4)}{(x-2)(x+2)}=[/m]

сокращаем на (х-2)
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{x-4}{x+2}=\frac{2-4}{2+2}=\frac{-2}{4}=-0,5[/m]

4.
[m]=\lim_{x \to 0}\frac{tg4x}{sin3x}=\lim_{x \to 0}\frac{tg4x}{4x}\cdot \frac{3x}{sin3x}\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{3}[/m]

Ответ выбран лучшим

a)f `(x)=(x^2)`*sinx+x^2*(sinx)`=2x*sinx+x^2*cosx

f `(π/2)=2*(π/2)*sin(π/2)+(π/2)^2*cos(π/2)=

так как sin(π/2)=1; cos(π/2)=0

=2*(π/2)*1+0=[b]π[/b]

б)
f `(x)=(x)`*(1+cosx)+x*(1+cosx)`=(1+cosx)+x*(-sinx)=1+cosx-x*sinx

f `(π)=1+cosπ-π*sinπ=

так как sinπ=0; cosπ=-1

=1+(-1)-π*0=[b]0[/b]

в)
[m]f `(x)=\sqrt{3}\cdot cosx+\frac{2x}{\pi}+sin\frac{\pi}{6}[/m]

[m]f `(\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}\cdot cos\frac{\pi}{6}+\frac{2\cdot \frac{\pi}{6}}{\pi}+sin\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{3}[/m]

г)
[m]f `(x)=\sqrt{3}\cdot (-sinx)-cos\frac{\pi}{6}+\frac{2x}{\pi}[/m]

[m]f `(\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\cdot sin\frac{\pi}{3}-cos\frac{\pi}{6}+\frac{2\cdot \frac{\pi}{3}}{\pi}=-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{3}=[/m]

Ответ выбран лучшим

p=0,2
q=1-p=1-0,2=0,8

По формуле Бернулли:

P_(5)(3)=C^(3)_(5)p^3q^(5-3)=[m]\frac{5!}{3!\cdot(5-3)!}[/m]0,2^3*0,8^2=

=10*0,008*0,64= о т в е т

Решить уравнение:
[m]\frac{4cos^2x-3}{\sqrt{\frac{1}{3}-sinx}}=0[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 4cos^2x-3=0\\\\ \frac{1}{3}-sinx>0\end{matrix}\right.[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим частные производные:
z`_(x)=2x
z`_(y)=4y

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x=0 ⇒ х=0
{4y=0 ⇒ у=0

(0;0) - стационарная точка

Рисуем область
(0;0) - стационарная точка этой области не принадлежит.

Значит, наибольшее и наименьшие значения функция принимает на границах области.

[b]y=1[/b]
z=x^2+2*1^2+1
z=x^2+3 - парабола на [0;2] cм рис. y=1 рассматривается при
0 ≤ х ≤ 2
Парабола возрастает, z`=2x>0 при любом х ∈ [0;2] ⇒
При х=0 наименьшее [b]z=3[/b]
При х=2 наибольшее [b]z=7[/b]

[b]x=0[/b]
z=0^2+2*y^2+1
z=2y^2+1 - парабола на [1;3] cм рис.
прямая x=1 рассматривается при
1 ≤ х ≤ 3
Парабола возрастает, z`=4y>0 при любом y ∈ [1;3] ⇒
При y=1 [b]z=3[/b]
При y=3 [b]z=2*3^2+1; z(0;3)=19[/b]

x+y=3 ⇒ x=3-y
z=(3-y)^2+2*y^2+1
z=3y^2-6y+10 - парабола на [0;2] cм рис.
отрезок прямой x+y=3 при
0 ≤ х ≤ 2
z`=6y-6
z`=0
y=1 ⇒ x=2
z(2;1)=7
При х=0 ⇒ y=3 [b]z(0;3)=19[/b]
При х=2 ⇒ y= 1 [b]z=7[/b]

Выбираем наибольшее и наименьшее
z_(наибольшее)=[b]19[/b]
z_(наименьшее)=[b]3[/b]
(прикреплено изображение)

Обозначим
4-5x=u
тогда
du=(4-5x)`dx
du=-5dx

dx есть под знаком интеграла, нет (-5). Умножим и разделим на (-5):

Решение можно оформить так:

[m]\int \frac{3dx}{4-5x}=3\cdot \frac{1}{(-5)}\int \frac{(-5)dx}{4-5x}=-\frac{3}{5}\int \frac{d(4-5x)}{4-5x}=[/m][m]=-\frac{3}{5} \int \frac{du}{u}=-\frac{3}{5}ln|u|+C=-\frac{3}{5}ln|4-5x|+C[/m]

причем среднюю часть с вычислением табличного интеграла
можно и не писать:

[m]\int \frac{3dx}{4-5x}=3\cdot \frac{1}{(-5)}\int \frac{(-5)dx}{4-5x}=-\frac{3}{5}\int \frac{d(4-5x)}{4-5x}=-\frac{3}{5}ln|4-5x|+C[/m]

Геометрический смысл производной в точке

[r]f`(x_(o))=tg α ,[/r]

где α - угол наклона касательной к кривой y=f(x) в точке с абсциссой
x_(o)

Находим производную.

Применяем правило производной произведения:

f `(x)=(x-7)`*(x^2+7x+49)+(x-7)*(x^2+7x+49)`

f `(x)=1*(x^2+7x+49)+(x-7)*(2x+7)

f`(x)=x^2+7x+49+2x^2-14x+7x-49

f`(x)=3x^2

[b]f`(x_(o))[/b]= f `(3)=3*3^2=27

[b]tg α[/b] =27

О т в е т. 27

f `(x_(o))=tg α
α - это угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох

a) α =45 ° ⇒ tg α = tg 45 ° =1

f `(x_(o))=1

f ` (x)=2x-3

f `(x_(o))=2x_(o)-3

2x_(o)-3=1

2x_(o)=4

[b]x_(o)=2[/b]

б)
α =135 ° ⇒ tg α = tg 135 ° = - 1

f `(x_(o))=- 1

f ` (x)=(4/(х+2))`

f ` (x)=-4/(х+2)^2

f `(x_(o))=-4/(х_(o)+2)^2

-4/(х_(o)+2)^2=-1

(х_(o)+2)^2=4

x_(o)+2=-2 или x_(o)+2=2

[b]x_(o)=-4[/b] или [b]x_(o)=0[/b]

cм. рис.
Две касательные к гиперболе в точках
[b]x_(o)=-4[/b] и [b]x_(o)=0[/b]
образуют тупой угол в 135 ° с осью Ох (прикреплено изображение)

[m]\left\{\begin{matrix} 2^{2-x}=4y\sqrt{2}\\ \sqrt{(x-1)^2-y^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=\sqrt{5} \end{matrix}\right.[/m]

Делим первое уравнение на 4sqrt(2)=2^(2,5)

[m]\left\{\begin{matrix} 2^{2-x-2,5}=y\\ \sqrt{(x-1)^2-y^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=\sqrt{5} \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}y=2^(-x-0,5)\\\sqrt{(x-1)^2-y^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}=\sqrt{5} \end{matrix}\right.[/m]

Подставляем y во второе уравнение:

[m]\left\{\begin{matrix}y=2^{-x-0,5}\\ \sqrt{(x-1)^2-(2^{-x-0,5})^2}+\sqrt{(x-3)^2+(2^{-x-0,5}-1)^2}=\sqrt{5} \end{matrix}\right.[/m]

Ответ выбран лучшим

SD=SE=4 ⇒ ΔSDE~ ΔSBC
DE:BC=SD:SB
DE=6

Получаем Δ DEF подобен треугольнику ABC
F- точка на ребре SA, SF=4

Около усеченной пирамиды DEFBCA можно описать сферу, если около ее оснований DEF и ABC - можно описать окружности.

Так как треугольники правильные, то окружности описать можно.
см. рис.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной [b]а[/b] вычисляется по формуле:
[b]a*sqrt(3)/3[/b]

Поэтому радиус окружности, описанной около Δ ABC
r_(1)=18*sqrt(3)/3=6sqrt(3)

радиус окружности, описанной около Δ DEF
r_(1)=6*sqrt(3)/3=2sqrt(3)

BP=r_(1)
SP= SB^2-BP^2=12^2-(6sqrt(3))^2=36
SP=6

DT=r_(2)
ST=SD^2-DT^2=4^2-(2sqrt(3))^2=4
ST=2

[b]TP[/b]=SP-ST=6-2=[b]4[/b]

Теперь задача свелась к планиметрической задаче:
( см. рис.2) Так как TP=4; BP=6sqrt(3); DT=2sqrt(3), то [i]центр сферы[/i] О- вне трапеции TDBP

Пусть ОР=х, тогда OT=4+x

По теореме Пифагора:
OP^2=R^2-(6sqrt(3))^2
OT^2=R^2-(2sqrt(3))^2

OP^2+(6sqrt(3))^2=OT^2+(2sqrt(3))^2

x^2+108=(4+x)^2+12
(4+x)^2-x^2=96
(4+x-x)*(4+x+x)=96
(4+2x)*4=96
4+2x=24
2x=20
x=10

R^2=OP^2+(6sqrt(3))^2=100+108=208

R=sqrt(208)

О т в ет. R_(cферы)=sqrt(208)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p_(1)V_(1)=p_(2)V_(2)

101325*200=p_(2)*183

p_(2)=20265000/183=110737,7 Паскаль

1) уравнение с разделяющимися переменными:
(1+e^(x))ydy=e^(x)dx
ydy=e^(x)dx/(1+e^(x))

Интегрируем
∫ ydy= ∫ e^(x)dx/(1+e^(x))

[b]y^2/2=ln|1+e^(x)|+lnC[/b]

можно упростить:

y^2/2=lnC(1+e^(x))

[b]e^(y^2/2)=C(1+e^(x))[/b]

2)

В таблице 40 чисел
"3" встречается 8 раз ⇒ частота 8/40
"7" встречается 7 раз ⇒ частота 7/40
"11" встречается 6 раз ⇒ частота 6/40
"15" встречается 6 раз ⇒ частота 6/40
"19" встречается 4 раз ⇒ частота 4/40
"23" встречается 9 раз ⇒ частота 9/40

Эмпирическая функция распределения ( cм приложение)

Поэтому
при X ≤ 3
F(X)=0
при 3 < X ≤ 7
F(X)= 8/40
при 7 < X ≤ 11
F(X)= (8/40)+(7/40)=(15/40)
при 11 < X ≤ 15
F(X)=(8/40)+(7/40)+(6/40)=(21/40)
при 15 < X ≤ 19
F(X)=(8/40)+(7/40)+(6/40)+(6/40)=27/40
при 19 < X ≤ 23
F(X)=(8/40)+(7/40)+(6/40)+(6/40)+(4/40)=31/40
при X > 23 F(X)=1

Записывают в фигурной скобке, в ней 7 строк.

График: ступенчатая функция. См. рис.

[b]Выборочная средняя[/b]

vector{x}=(1/40)*(3*8+7*7+11*6+15*6+19*4+23*9)=[b]12,8[/b]

[b]Выборочная диcперсия[/b]
D=(1/40)*[b]([/b](3-12,8)^2*8+(7-12,8)^2*7+(11-12,8)^2*6+
+(15-12,8)^2*6+(19-12,8)^2*4+(23-12,8)^2*9[b])[/b]

cчитайте...

[b]Выборочное среднеквадратичное отклонение[/b]

Это корень квадратный из дисперсии (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=sqrt(4x)
f(x)=2sqrt(x)

f ` (x)=1/sqrt(x)

S=2π ∫ ^(3)_(0)2*sqrt(x)*sqrt(1+(1/sqrt(x))^2)dx=

=4π∫ ^(3)_(0)sqrt(x+1)dx=4π(x+1)^(3/2)/(3/2)|^(3)_(0)=

=(8/3)πsqrt((x+1)^3)|^(3)_(0)=(8/3)π*(sqrt(64)-sqrt(1))=(56/3)π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть T_(k)=C^(k)_(70)*(1)^(k)*(sqrt(13))^(70-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)

T_(k-1)=C^(k-1)_(70)*(sqrt(13))^(70-k+1)=
=(70!/(k-1)!*(70-k+1)!)*(sqrt(13))^(70-k+1)

T_(k)=C^(k)_(70)*(sqrt(13))^(70-k)=
=(70!/(k)!*(70-k)!)*(sqrt(13))^(70-k)

T_(k+1)=C^(k+1)_(70)*(sqrt(13))^(70-k-1)=
=(70!/(k+1)!*(70-k-1)!)*(sqrt(13))^(70-k-1)

{(1/k) > sqrt(13)/(70-k+1) ⇒ k < 71/(sqrt(13)+1) ≈ 15,4
{sqrt(13)/(70-k) > 1/(k+1) ⇒ k > (70-sqrt(13))/(sqrt(13)+1) ≈14,4

k=15

T_(15)=C^(15)_(70)*(sqrt(13))^(55)

1=cos0+isin0 - тригонометрическая форма комплексного числа z=1

Применяем формулу Муавра:

∛1=∛1*[m](cos\frac{0+2 \pi k}{3}+isin\frac{\frac{0+2\pi k}{3})[/m], k ∈ Z

при k=0
первый корень
z_(o)=1*[m](cos\frac{0}{3}+isin\frac{0}{3})=cos0+isin0=1[/m]

при k=1
второй корень
z_(1)=1*[m](cos \frac{0+2\pi}{3}+isin \frac{0+2\pi}{3})=1\cdot (cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}+i\cdot (\frac{-\sqrt{3}}{2})[/m]

при k=2
третий корень
z_(2)=1*[m](cos\frac{0+4\pi}{3}+isin\frac{0+4\pi}{3})=1\cdot (cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3})=\frac{1}{2}+i\cdot (\frac{-\sqrt{3}{2}})[/m]

Корни расположены на окружности радиуса 1, делят окружность на три равные части, между точками углы в 120 градусов

первый корень z_(o) - точка с координатами (1;0)

второй корень z_(1) -точка во второй четверти, с координатами

[m](-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})[/m]

между ними угол в 120 градусов.

третий корень z_(2) -точка в третьей четверти, с координатами
[m](-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})[/m]

между ними угол в 120 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)F(x)=-8x+6

проверка: F`(x)=-8

2) F(x)=(7x^2/2)+C

3) F(x)=2x-(x^5/5)+C

4) F(x)=(x^3/3)-(3x^2/2)+C

5)F(x)=(x^8/8)-(8x^3/3)+(4x^3/3)+10x+C

Ответ выбран лучшим

7-2x-x^2=-(x^2+2x-7)=-(x^2+2x+1-8)=8-(x-1)^2

х-1=t

x=t+1
dx=dt

[m]\int \frac{(4x+3)}{\sqrt{7-2x-x^2}}dx=\int \frac{4(t+1)+3)}{\sqrt{8-t^2}}dt=\int \frac{4t}{\sqrt{8-t^2}}dt+\int \frac{7}{\sqrt{8-t^2}}dt[/m]

Первый интеграл считаем по формуле

∫ du/sqrt(u)=2u

u=8-t^2

du=-2t*dt

[m]\int \frac{4t}{\sqrt{8-t^2}}dt=-2\int \frac{(-2t)}{\sqrt{8-t^2}}dt=-2\cdot \sqrt{8-t^2}[/m]

Второй табличный:
∫ du/sqrt(a^2-u^2)=arcsin[m]\frac{u}{a}[/m]

[m]\int \frac{7}{\sqrt{8-t^2}}dt[/m]=7arcsin[m]\frac{t}{2\sqrt{2}}[/m]

О т в е т. -2sqrt(7-2x-x^2)+7 arcsin[m]\frac{x-1}{2\sqrt{2}}[/m]+C

Ответ выбран лучшим

Это астроида. Фигура симметрична относительно оси оу.
Поэтому считаем площадь только в первой четверти и умножаем ответ на 2.

Формула для вычисления площади кривой, заданной параметрически:
S= ∫ ^(t_(2))_(t_(1)) y(t)*x`(t)dt

Точке x=0 соответствует значение параметра t=π/2
Точке x=2 соответствует значение параметра t=0

S=2* ∫ ^(0)_(π/2)2sin^3t*2*(3cos^2t)*(-sint)dt=

=24*∫ ^(π/2)_(0)sin^4tcos^2tdt=

понижаем степени:

=24*∫ ^(π/2)_(0)((1-cos2t)/2)^2*(1+cos2t)/2dt=

Ответ выбран лучшим

в)
под интегралом [i]неправильная[/i] дpобь, степень числителя равна степени знаменателя.
Выделяем целую часть:

[m]\frac{4x^3+2x^2+1}{x(x^2-2x+1)}=\frac{4x^3+2x^2+1}{x^3-2x^2+x}=4+\frac{10x^2-4x+1}{x(x-1)^2}[/m]

Правильную дробь разложим на простейшие дроби:
[m]\frac{10x^2-4x+1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}[/m]

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:
10x^2-4x+1=A*(x-1)^2+B*x*(x-1)+D*x

Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
10=A+B
-4=-2A-B+D
A=1

B=9
D=7

Итак,
[m]\int \frac{4x^3+2x^2+1}{x(x-1)^2}dx=\int (4+\frac{1}{x}+\frac{9}{x-1}+\frac{7}{(x-1)^2})dx=4x+ln|x|+9ln|x-1|-\frac{7}{x-1}+C[/m]

г)

[m]\int \frac{dx}{2+5cos^2x}=\int \frac{dx}{2sin^2x+7cos^2x}=\int \frac{dx}{cos^2x\cdot(2tg^2x+7)}=\frac{1}{2}\int \frac{d(tgx)}{tg^2x+\frac{7}{2}}=[/m]

табличный интеграл:
[m]=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{7}{2}}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{\frac{7}{2}}}+C=\frac{1}{\sqrt{14}}arctg\frac{\sqrt{2}tgx}{\sqrt{7}}+C[/m]

Ответ выбран лучшим

Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) параллельны, то

их угловые коэффициенты k_(1)=k_(2)

y=4x+2 ⇒ k=4

Значит k_(касательной ) тоже равен 4

[r]Геометрический смысл производной в точке

f`(x_(o))= k_(касательной )[/r]

f `(x)=((x^3/3)-5x^2+29x-8)`

y`=x^2-10x+29

f` (x_(o))=x^2_(o)-10*x_(o)+29

[b]f` (x_(o))=4[/b]

x^2_(o)-10*x_(o)+29=4

x^2_(o)-10*x_(o)+25=0

(x_(o))-5)^2=0

x_(o)=5

y_(o)=[m]\frac{5^3}{3}-5\cdot 5^2+29\cdot 5-8=\frac{161}{3} ≈ 53,7[/m]

О т в е т.
касательная параллельна заданной прямой в точке с координатами
(5;53,7)

vector{a}*vector{b}=(-2)*(-2)+2*(-4)+3*5=4-8+15=11
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Думаю, что в условии ОПЕЧАТКА.

При каких значениях n и m векторы a (6; –1; n) и b (m; 3; 2) коллинеарны?

[b]Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:[/b]
[m]\frac{6}{m}=\frac{-1}{3}=\frac{n{2}[/m]

Первая пропорция
[m]\frac{6}{m}=\frac{-1}{3}[/m]
-m=18

m=-18

Противоречит второй:
[m]\frac{-1}{3}=\frac{n}{2}[/m]

-2=3n

n=-2/3

Или буквы расставлены так:

a (6; –1; m) и b (n; 3; 2) коллинеарны?
тогда
n=-18
m=-2/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

128
a) (π/4)-(π/3)=
б) (π/4)-(-π/4)=
в)(-π/3)+0
г)(-π/6)+(π/3)=

2vector{a}+3vector{b}=(2*(-3)+3*2;2*2+3*(-5);2*1+3*0)=(0;-11;2)

a)
arccos(-0,5)=2π/3, так как cos(2π/3)=-0,5; (2π/3) ∈ [0;π]

arcsin(-0,5)=-π/6;так как sin(-π/6)=-0,5; (-π/6) ∈ [-π/2;π/2]

[b]arccos(-0,5)+arcsin(-0,5)=(2π/3)+(-π/6)=(4π/6)-(π/6)=3π/6=π/2[/b]

б)
arccos(-sqrt(2)/2)=3π/4, так как cos(3π/4)=-sqrt(2)/2 и (3π/4) ∈[0;π]
arcsin(-1)=-π/2; так как sin(-π/2)=-1; (-π/2) ∈ [-π/2;π/2]

[b]arccos(-sqrt(2)/2) - arcsin(-1)= (3π/4)-(-π/2)=5π/4[/b]
в)
arccos(-sqrt(3)/2)=5π/6, так как cos(5π/6)=-sqrt(3)/2 и (5π/6) ∈ [0;π]
arcsin(-sqrt(3)/2)=-π/3, так как sin(-π/3)=-sqrt(3)/2; (-π/3) ∈ [-π/2;π/2]

[b]arccos(-sqrt(3)/2)+arcsin(-sqrt(3)/2)=(5π/6)+(-π/3)=(5π/6)-(2π/6)=3π/6=π/2
[/b]

г)
arccos(sqrt(2)/2)=π/4, так как cos(π/4)=sqrt(2)/2 и (π/4) ∈[0;π]
arcsin(sqrt(3)/2)=π/3, так как sin(π/3)=sqrt(3)/2; (π/3) ∈ [-π/2;π/2]

[b]arccos(sqrt(2)/2)-arcsin(sqrt(3)/2)=(π/4)-(π/3)=-π/12[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
y`=(cosx-sinx+7)`=(cosx)`-(sinx)`+(7)`=-sinx-cosx+0=-sinx-cosx

б)
y`=(x^3)`*e^(x)+(x^3)*(e^(x))`=3x^2*e^(x)+x^3*e^(x)=e^(x)*(3x^2+x^3)

в)
...
условие написано неверно

Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) параллельны, то

их угловые коэффициенты k_(1)=k_(2)

y=5x+7 ⇒ k=5

Значит k_(касательной )=5

Геометрический смысл производной в точке

f`(x_(o))= k_(касательной )

f `(x)=x^2-6x+14

f` (x_(o))=x^2_(o)-6*x_(o)+14

f` (x_(o))=5

x^2_(o)-6*x_(o)+14=5

x^2_(o)-6*x_(o)+9=0

(x_(o))-3)^2=0

x_(o)=3

y_(o)=[m]\frac{3^3}{3}-3\cdot 3^2+14\cdot 3-9=15[/m]

О т в е т.
касательная параллельна заданной прямой в точке с координатами
(3;15)

Ответ выбран лучшим

-х+1=sqrt(1-x)

-x+1 ≥ 0 ⇒ x ≤ 1

sqrt(1-x)-(1-x)=0

sqrt(1-x)*(1-sqrt(1-x))=0

sqrt(1-x)=0 ⇒ x=1

или

1-sqrt(1-x))=0

sqrt(1-x)=1

1-x=1

x=0

О т в е т. 0; 1

Ответ выбран лучшим

1.
Так как плоскость можно провести через две параллельные прямые, необходимо посчитать, сколько пар параллельных прямых образуют данные параллельные прямые - 5 данных параллельных прямых образуют 10 пар прямых, следовательно столько плоскостей можно провести.

C^(2)_(5)=5!/(2!(5-2)!)=20/2=10

2.

Так как плоскость можно провести через две пересекающиеся прямые, необходимо посчитать, сколько пар образуют данные лучи - 5 данные лучи образуют 10 пар пересекающихся прямых, следовательно столько плоскостей можно провести.

3.
Так как плоскость можно провести через три точки не лежащие на одной прямой, необходимо посчитать, сколько троек образуют 7 данных точек. Они образуют 35 троек точек, следовательно столько плоскостей можно провести.

C^3_(7)=7!/(3!*(7-3)!)=5*6*7/6=35

Здесь [i]замена переменной[/i]:

x-π=t
x=π+t

[m]=\lim_{t \to 0 }(-t)\cdot tg\frac{\pi+t}{2}=-\lim_{t \to 0 }t\cdot tg(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2})=-\lim_{t \to 0 }t\cdot (-ctg\frac{t}{2})[/m]

[m]=\lim_{t \to 0 }\frac{t}{tg\frac{t}{2}}=\lim_{t \to 0 }\frac{2\frac{t}{2}}{tg\frac{t}{2}}=2\lim_{t \to 0 }\frac{\frac{t}{2}}{tg\frac{t}{2}}=2\cdot 1=2[/m]

Это сочетания с повторениями
vector{C}^(4)_(7)=C^(4)_(7+4-1)=C^(4)_(10)=10!/((10-4)!*4!)=

=7*8*9*10/24=210

О т в е т. 210 наборов (прикреплено изображение)

Формула
1-cos^2 α =sin^2 α

1-cos^2(4x)=sin^2(4x)

[m]\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{1-cos^2(4x)}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{sin^24x}=[/m]
[m]=\lim_{x \to 0}\frac{x}{sin4x}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{x}{sin4x}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}[/m]

так как
[m] \lim_{x \to 0}\frac{x}{sin4x}= \lim_{x \to 0}\frac{4x}{4sin4x}=\frac{1}{4}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{4x}{sin4x}=\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{4}[/m]

Ответ выбран лучшим

движение по кривой x=5t-0,1t^2
Это парабола

5t-0,1t^2=0
t(5-0,1t)=0

t_(1)=0 t_(1)=50

Остановиться через 50 сек.
(прикреплено изображение)

[m]\lim_{x \to \infty }x\cdot (ln(x-1)-ln(x+3))=\lim_{x \to \infty }x\cdot ln\frac{x-1}{x+3}=[/m]

[m]=\lim_{x \to \infty }x\cdot ln\frac{x+3-4}{x+3}=

\lim_{x \to \infty }x\cdot ln(1-\frac{4}{x+3})=[/m]

[m]=\lim_{x \to \infty } ln(1-\frac{4}{x+3})^{x}=\lim_{x \to \infty } ln((1-\frac{4}{x+3})^{-\frac{x+3}{4}})^{-\frac{4x}{x+3}}=[/m]

[m]=ln\lim_{x \to \infty } ((1-\frac{4}{x+3})^{-\frac{x+3}{4}})^{-\frac{4x}{x+3}}=ln e^{lim_{x \to \infty }\frac{-4x}{x+3}}=[/m]

[m]=lne^{-4}=-4lne=-4[/m]

Ответ выбран лучшим

а)
vector{DC}=(x_(D)-x_(C);y_(D)-y_(C);z_(D)-z_(C)}=(1-3;-1-0;2-(-2))=(-2;-1;4)

б)vector{AB}=(2;-1;4)
Длина вектора вычисляется по формуле:
|vector{AB}|=sqrt(x^2+y^2+z^2)

|vector{AB}|=sqrt(2^2+(-1)^2+4^2)=sqrt(21)

в) координаты разности векторов равны разности координат этих векторов.
vector{AB}-vector{DC}=(2-(-2);-1-(-1); 4-4)=(4;0;0)

Ответ выбран лучшим

1
y`=3x^2-12x

y`=0

3x^2-12x=0

3x*(x-4)=0

x=0 или х-4=0

__+__ (0) __-__ (4) __+_

x=0 - точка минимума
х=4 - точка максимума

2
у = –х^2 + 2х – 3

y`=-2x+2

y`=0

-2x+2=0

x=1

y`<0 при x >1
функция убывает на (1;+ ∞ )

y`>0 при x < 1
функция возрастает на (- ∞ ;1)

3.
y-f(x_(o))=f `(x_(o))*(x-x_(o)) - уравнение касательной к графику функции

y=f(x) в точке с абсциссой х_(o)

f(x)=x^3-x^2

x_(o)=1

f(1)=1^3-1^2=0

f `(x)=3x^2-2x

f `(x_(o))=3*1-2*1=1

y-0=1*(x-1)

4.
y`=4+3x^2>0 при любом х

Функция возрастает

Значит наибольшее значение принимает в правом конце отрезка, наименьшее в левом

f(3)=4*3+3^3=39 - наибольшее значение
f(0)=0 - наименьшее

y=x-1 - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Написать уравнения стороны BC треугольника, как прямой проходящей через две точки

y=kx+b
4=5k+b
2=8k+b
3k=-2
k=-2/3
b=22/3

область D:
5 ≤ х ≤ 8
2 ≤ y ≤ (-2/3)x+(22/3)

∫ ∫ _(D)(2x-3y+2)dxdy= ∫ ^(8)_(5)[b]([/b] ∫ ^((-2/3)x+(22/3))_(0)(2x-3y+2)dy)[b])[/b]dx=

Считаем внутренний интеграл, потом внешний

= ∫ ^(8)_(5) [b]([/b](2xy-(3y^2/2)+2y)|^(y=(-2/3)x+(22/3))_(y=0)[b])[/b]dx=

= ∫ ^(8)_(5)[b]([/b]2x*((-2/3)x+(22/3))-(3/2)*((-2/3)x+(22/3))^2+2*((-2/3)x+(22/3))[b])[/b]dx=

=∫ ^(8)_(5) ( (-4/3)x^2+(44/3)x-(3/2)*((4/9)x^2-(88/9)x+(484/9))-(4/3)x+(44/3)[b])[/b]dx=

=∫ ^(8)_(5) ((-4/3)x^2+(44/3)x-(2/3)x^2+(44/3)x-(242/3)-(4/3)x+(44/3))dx=

=∫ ^(8)_(5) (-2x^2+(84/3)x-(192/3))dx=(-2x^3/3)+28(x^2/2)-64x)|^(8)_(5)=

=(-2/3)*(8^3-5^3)+14*(8^2-5^2)-64*(8-5)=... считайте
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

126
a)arcisn0=0;
arccos0=π/2, так как cos(π/2)=0
arcsin0+arccos0=[b]π/2[/b]

б)
arcisn(-sqrt(2)/2)=-π/4, так как sin(-π/4)=sqrt(2)/2 и (-π/4) ∈ [-π/2;π/2];
arccos(1/2)=π/3, так как cos(π/3)=1/2 и (π/3) ∈ [0;π]
arcsin(-sqrt(2)/2)+arccos(1/2)=(-π/4)+(π/3)=[b]π/12[/b]

Ответ выбран лучшим

а)
Логарифмируем:

lny=ln(4x-3)^(arccosx)

lny=arccosx*ln(4x-3)

y - зависимая переменная.

[m]\frac{y`}{y}=(arccosx)`\cdot ln (4x-3)+arccosx\cdot (ln(4x-3))`[/m]

[m]\frac{y`}{y}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot ln (4x-3)+arccosx\cdot\frac{4}{4x-3}[/m]

[m]y`=y\cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot ln (4x-3)+arccosx\cdot\frac{4}{4x-3})[/m]

[m]y`=(4x-3)^{arccosx}\cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot ln (4x-3)+arccosx\cdot\frac{4}{4x-3})[/m]

б)
Логарифмируем

lny=ln(x-3)^(7)*(x+2^(3x))*8^(cos3x)

Применяем свойства логарифма:

lny=ln(x-3)^(7)+ ln (x+2^(3x))+ ln8^(cos3x)

lny =7ln(x-3) +ln (x+2^(3x))+ cos3x*ln8

Дифференцируем:

(lny)` =(7ln(x-3) +ln (x+2^(3x))+ cos3x*ln8)`

[m]\frac{y`}{y}=\frac{7}{x-3}+\frac{1+2^{3x}3\cdot ln2}{x+2^{3x}}-3ln8\cdot sin3x[/m]

[m]y`=y\cdot (\frac{7}{x-3}+\frac{1+2^{3x}3ln2}{x+2^{3x}}-3ln8\cdot sin3x)
[/m]

[m]y`=(x-3)^{7}(x+2^{3x})8^{cos3x}\cdot (\frac{7}{x-3}+\frac{1+2^{3x}3ln2}{x+2^{3x}}-3ln8\cdot sin3x)[/m]

Ответ выбран лучшим

(5^(x)-5^(y))`=(5^(x+y))`

х- независимая переменная, поэтому x`=1
y-зависимая переменная, функция поэтому y` есть y`
ее-то и ищем

5^(x)*ln5 - 5^(y)*y`*ln5=5^(x+y)*(x+y)`*ln5

5^(x)*ln5 - 5^(y)*y`*ln5=5^(x+y)*(1+y`)*ln5

5^(x)*ln5 - 5^(y)*y`*ln5=5^(x+y)*ln5+5^(x+y)*y`*ln5

Делим на ln5

Переносим слагаемые с y` вправо:

5^(x) - 5^(x+y)=(5^(x+y)+5^(y))*y`

[m]y`=\frac{5^{x}-5^{x+y}}{5^{x+y}+5^{y}}[/m]

Ответ выбран лучшим

Координаты точки М - середина отрезка АВ вычисляются по формулам:

[m]x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}[/m]

[m]y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}[/m]

[m]z_{M}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}[/m]

[m]x_{M}=\frac{7+3}{2}=5[/m]

[m]y_{M}=\frac{3+(-1)}{2}=1[/m]

[m]z_{M}=\frac{-3+1}{2}=-1[/m]

О т в е т. M(5;1;-1)

Ответ выбран лучшим

a)
[m]\int \frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{\sqrt{9-x^2}}dx=\int \frac{\sqrt{3-x}}{\sqrt{9-x^2}}dx+\int \frac{\sqrt{3+x}}{\sqrt{9-x^2}}dx=[/m]

[m]\int \frac{1}{\sqrt{3+x}}dx+\int \frac{1}{\sqrt{3-x}}dx=\int \frac{d(3+x)}{\sqrt{3+x}}dx-\int \frac{d(3-x)}{\sqrt{3-x}}dx=[/m]

[m]=2\sqrt{3+x}-2\sqrt{3-x}+C[/m]

б).
по частям
[m]u=x^2-6[/m]
[m]dv=3^{x}dx[/m] ⇒

[m]du=2xdx[/m]
[m]v=\frac{3^{x}}{ln3}[/m]

[m]∫ (x^2-6)3^{x}dx=[/m]

[m]=(x^2-6)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\int \frac{2x\cdot 3^{x}}{ln3}dx=[/m]

[m]=(x^2-6)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2}{ln3}\int 3^{x}dx=[/m]

второй интеграл так же считаем по частям:

по частям
[m]u=x[/m]
[m]dv=3^{x}dx[/m] ⇒

[m]du=dx[/m]
[m]v=\frac{3^{x}}{ln3}[/m]

=[m](x^2-6)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2}{ln3}( x\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\int\frac{3^{x}}{ln3}dx)=[/m]

=[m](x^2-6)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2 \cdot 3^{x}}{ln^23} \cdot x +\frac{2}{ln^23}\int 3^{x}dx=[/m]

[m](x^2-6)\cdot \frac{3^{x}}{ln3}-\frac{2\cdot 3^{x}}{ln^2 3}\cdot x +\frac{2\cdot 3^{x}}{ln^33}+C[/m]

в) под интегралом неправильная дpобь, степень числителя равна степени знаменателя:
надо выделить целую часть.
Разделив числитель на знаменатель.
Затем правильную дробь разложить на простейшие:

г)

Так как

1+tg^2x=[m]\frac{1}{cos^2x}[/m], то

cos^2x=[m]\frac{1}{1+tg^2x}[/m]

Замена переменной
tgx=t

x=arctgt

dx=dt/(1+t^2)

д) в знаменателе в подкоренном выражении
7-2x-x^2

выделяем полный квадрат:

7-2x-x^2=-(x^2+2x-7)=-(x^2+2x+1-8)=8-(x-1)^2

Замена переменной:

x-1=t
x=t+1

dx=dt

[m]=\int \frac{4(t+1)+3}{\sqrt{8-t^2}}dt=\int \frac{4t}{\sqrt{8-t^2}}dt+\int \frac{7}{\sqrt{8-t^2}}dt=[/m]

[m]=-2\int \frac{d(8-t^2)}{\sqrt{8-t^2}}dt+\int \frac{7}{\sqrt{8-t^2}}dt=-2\cdot2\sqrt{8-t^2}+7arcsin\frac{t}{\sqrt{8}}+C[/m]

осталось вместо t=x+1

Ответ выбран лучшим

4^(4sin^2x)=(4^(2sin^2x))^2

[i]Замена переменной[/i]
4^(2sin^2x)=t

t>0

8t^2-63t-8=0

D=(-63)^2-4*8*(-8)=3969+256=4225=65^2

t=-1/8; t=8

t=-1/8 не удовл. условию t>0

4^(2sin^2x)=8

(2^2)^(2sin^2x)=2^3

2^(4sin^2x)=2^3

4sin^2x=3

sinx= ± sqrt(3)/2

[r]sinx=sqrt(3)/2[/r]

x=(π/3) + 2πn, n ∈ Z или х=(2π/3) +2πn, n ∈ Z

см. рис.1 ( зеленый цвет)

[r]sinx=-sqrt(3)/2[/r]

x=-(π/3) + [b]2[/b]πn, n ∈ Z или х=-(2π/3) +[b]2[/b]πn, n ∈ Z

см. рис.1 ( голубой цвет)

Иногда решения простейшего уравнения sinx =a
лучше записывать не по формуле
(-1)^(k) arcsin a + πk, k ∈ Z

а именно так, как две серии ответов с периодом 2π

cм. рис.

Ответы можно объединить так:
cм. рис. 2

О т в е т. ± (π/3)+πm, m ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

B(2;0;2) рис.1

В(-2;0;2) рис.2

В(2;0;-2) рис.3

B(-2;0;-2) рис. 4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) параллельны, то

k_(1)=k_(2)

y=5x+11 ⇒ k_(1)=5

Значит k_(2)=5

Уравнение параллельной прямой принимает вид
y=5x+b_(2)

Чтобы найти b_(2) подставляем координаты точки (1;7)
x=1; y=7

7=5*1+b_(2)

b_(2)=2

О т в е т.[b] y=5x+2[/b]

Геометрический смысл производной в точке:

f`(x_(o))=k(касательный)=tg α

α угол α , который образует касательная(к графику функции в этой точке ) с положительным направлением оси Ох

f`(x_(o)) < 0 ⇔ tg α < 0 значит угол α , который образует касательная - [i]тупой.[/i]

Таких точек - две

О т в е т. x_(5) и x_(6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{[m]log_{8}x ≠ 0 ⇒ x ≠ 1[/m]
{[m]log_{8}\frac{x}{64} ≠ 0 ⇒ \frac{x}{64} ≠ 1⇒ x ≠ 64[/m]

[m]log^2_{8}x-log_{8}x^2 =log^2_{8}x-2log_{8}x[/m]

[i]Замена переменной[/i]:
[m]log_{8}x=t[/m]

[m]\frac{t}{t-2}\geq \frac{2}{t}+\frac{3}{t^2-2t}[/m]

[m]\frac{t}{t-2}- \frac{2}{t}-\frac{3}{t(t-2)}\geq0[/m]

[m]\frac{t^2-2(t-2)-3}{t(t-2)}\geq 0[/m]

[m]\frac{t^2-2t+1}{t(t-2)}\geq 0[/m]

[m]\frac{(t-1)^2}{t(t-2)}\geq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

___+___ (0) _-__ [1] __-__ (2) ___+___

t < 0 или t=1 или t>2

Обратно:

[m]log_{8}x<0[/m] или [m]log_{8}x=1[/m] или [m]log_{8}x> 2[/m]

[mx < 1[/m] или [m]x=8[/m] или [m]log_{8}x>log_{8}64[/m] ⇒ x>64

C учетом ОДЗ:
О т в е т. (0; 1) U{8}U(64;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

[m]sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}[/m]

[m]2^3\cdot (2^4)^{\frac{1-cos2x}{2}}-2\cdot (2^2)^{cos2x}-63=0[/m]

[m]2^3\cdot (2)^{2\cdot (1-cos2x)}-2\cdot 2^{2cos2x}-63=0[/m]

[m]2^5\cdot 2^{-2cos2x}-2\cdot 2^{2cos2x}-63=0[/m]

Умножаем на [m]2^{2cos2x}>0[/m]

[m]32-2\cdot (2^{2cos2x})^2-63\cdot 2^{2cos2x}=0[/m]

Квадратное уравнение:

[i]замена переменной[/i]

[m]2^{2cos2x}=t[/m]

t > 0

2t^2+63t-32=0

D=63^2-4*2*(-32)=3969+256=4225=65^2

t_(1)=-32; t_(2)=[m]\frac{1}{2}[/m]

t_(1) не удовл условию t>0

Обратный переход:

[m]2^{2cos2x}=\frac{1}{2}[/m]

[m]2^{2cos2x}=2^{-1}[/m]

[m]2cos2x=-1[/m]

[m]cos2x=-\frac{1}{2}[/m]

[m]2x= \pm arccos(-\frac{1}{2})+2 \pi n, n \in Z[/m]

[m]2x= \pm (\pi - arccos(\frac{1}{2})+2 \pi n, n \in Z[/m]

[m]2x= \pm (\pi - \frac{\pi}{3})+2 \pi n, n \in Z[/m]

[m]2x= \pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z[/m]

[m]x= \pm \frac{\pi}{3}+ \pi n, n \in Z[/m]

О т в е т.
a)[m]\pm \frac{\pi}{3}+ \pi n, n \in Z[/m]

б)
[m]-\frac{\pi}{3}+ 4\pi=\frac{11 \pi}{3}[/m]
[m]\frac{\pi}{3}+ 4\pi=\frac{13 \pi}{3}[/m]
[m] -\frac{\pi}{3}+\pi + 4\pi =\frac{14 \pi}{3} [/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) D(y)=(-бесконечность;0)U(0;+ бесконечность)

x=0 - точка разрыва второго рода, так как
lim_(x → 0)f(x)=+ ∞

x=0 - вертикальная асимптота

2) функция не является ни чётной, ни нечётной:

y(-x)=(1-(-x)^3)/(-x)^2=(1+x^3)/x^2

y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ - y(x)

3)
lim_(x → +∞ )f(x) = - ∞
lim_(x → -∞ )f(x) = + ∞

Горизонтальных асимптот нет

4)
Вертикальная асимптота:
k=lim_(x → +∞ )f(x)/x = -1

b=lim_(x → +∞ )(f(x)-kx)=0

y=-x - наклонная асимптота
6)
y=(1/x^2)-x

y`=(1/x^2)`-x`

y`=(-2/x^3)-1

y`=(-2-x^3)/x^3

y`=0

x=-∛2- точка возможного экстремума

Знак производной:
___-____ (0) __+__ (∛2 ) __-__

у`>0 на (0;2)

функция возрастает на (0;2)

y`<0 на (- ∞ ;0) и на (∛2; + ∞ )

функция убывает на (- ∞ ;0) и на (∛2; + ∞ )

x=-∛2 - точка минимума, производная меняет знак с + на -

у(-∛2)=2/(-∛2)^2

7)y``=(-(2/x^3)-1)`=6/x^4

y``>0 при x ∈ (- ∞ ;0) и (0;+ ∞ )

Кривая выпукла вниз на (- ∞ ;0) и (0;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 24 человек выбирают 4
n=C^(8)_(24) = ...исходов испытания
cчитаем по формуле
[r]С^(k)_(n)=n!/((n-k)!*k!)[/r]

Событие А-" в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее 2", значит 2; 3 или 4

m=C^2_(16)*C^(2)_(8)+C^3_(16)*C^(1)_(8)+C^(4)_(16)*C^(0)_(8)=...

cчитаем по формуле
[r]С^(k)_(n)=n!/((n-k)!*k!)[/r]

По формуле классической вероятности
p(А)=m/n

5m=5n-48

[m]m=\frac{5n-48}{5}[/m]

Пусть катеты равны а, тогда
по теореме Пифагора
с^2=a^2+a^2=2a^2
и гипотенуза
c=asqrt(2)

sin45 ° =cos45 ° =a/c=a/(asqrt(2))=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2

tg45 ° =sin45 ° /cos45 ° =(sqrt(2)/2)/(sqrt(2)/2)=1

сtg45 ° =1/tg45 ° =1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим перпендикуляр ВК из точки B на FD

ВК=ВО+ОК=1+(1/2)=[b]1,5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=2x-2

y`=0

2x-2=0

x=2 - точка максимума

2 ∈ [1;3]

Точка экстремума одна, значит в этой точке наибольшее значение

f(2)=2^2-2*2+a=[b]а[/b]

По условию

f(2)=5

[b]a[/b]=5

О т в ет. 5

Ответ выбран лучшим

y`=(x)`*∛(3x^2+2)+x*(∛(3x^2+2))`=1*∛(3x^2+2)+x*(1/3)*(3x^2+2)^(-2/3)*(3x^2+2)`=

=∛(3x^2+2)+x*(1/3)*(3x^2+2)^(-2/3)*(6x)=

=∛(3x^2+2)+2x^2*(3x^2+2)^(-2/3)=

=∛(3x^2+2)+(2x^2/∛(3x^2+2)^2);

[m]y`=\sqrt[3]{3x^2+1}+\frac{2x^2}{\sqrt[3]{(3x^2+2)^2)}}[/m]

Ответ выбран лучшим

Область определения:
{x>0
{lnx ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x ∈ (0;1)U(1;+ ∞ )

y`=(x`*lnx-(lnx)`*x)/(ln^2x)

y`=(lnx-1)/ln^2x

y`=0

lnx-1=0

lnx=1

[b]x=e[/b]

(0) _+_ (1) _-__ (e) __+___

y`>0 на (0;1) и на (e;+ ∞ )

функция возрастает на (0;1) и на (e;+ ∞ )

y`<0 на (1;e)

функция убывает на (1;e)

x=e- точка минимума, производная меняет знак с - на +

в точке x=1 производная как и функция не определены ( не существуют)

Ответ выбран лучшим

Сторона квадрата х, глубина - y

S_(площади покрытой плиткой)=x^2+4*x*y

По условию

V=256

[m]x^2\cdot y=256[/m] ⇒ [m] y=\frac{256}{x^2}[/m]

[m]S_(x)=x^2+4\cdot x\cdot \frac{256}{x^2}[/m]

[m]S(x)=x^2+\frac{1024}{x}[/m]

Исследуем функцию на минимум с помощью производной

[m]S `(x)=2x-\frac{1024}{x^2}[/m]

[m]S ` (x)=\frac{2x^3-1024}{x^2}[/m]

S`(x)=0

2x^3-1024=0

x^3=512

x=8

[m] y=\frac{256}{x^2}=\frac{256}{64}=4[/m]

О т в е т.
8 × 8 × 4

Ответ выбран лучшим

BF ⊥ FE

BF и является расстоянием

BF=[b]sqrt(3)[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из точки B проводим перпендикуляр ВК на AD

ВК=h_(равностороннего Δ со стороной sqrt(3))=sqrt(3)*sqrt(3)/2=3/2=[b]1,5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем абсциссы общих точек графиков.

Решаем уравнение:

x^2+ax+3=-3x-1

x^2+(a+3)x+4=0 - квадратное уравнение

D=(a+3)^2-4*4=a^2+6a+9-16=a^2+6a-7

квадратное уравнение имеет один корень, если D=0

a^2+6a-7=0

D=36-4*(-7)=64

a=-7; a=1

От в е т. -7;1

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной[/i]:
[m]3^{x}=t[/m]
[m]9^{x}=t^2[/m]
[m]3^{x+1}=3^{x}\cdot 3=3t[/m]

Получим:

[m]\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-51}{t-9} ≤ t+5[/m]

[m]\frac{t^2-6t+4}{t-5}+\frac{6t-51}{t-9} -( t+5) ≤0 [/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{(t^2-6t+4)\cdot (t-9)+(6t-51)\cdot(t-5)-(t+5)\cdot (t-5)\cdot(t-9)}{(t-5)(t-9)} ≤ 0[/m]

Раскрываем скобки:
[m]\frac{t^3-6t^2+4t-9t^2+54t-36+6t^2-51t-30t+255-t^3+25t+9t^2-225}{(t-5)(t-9)} ≤ 0[/m]

[m]\frac{2t-6}{(t-5)(t-9)} ≤ 0[/m]

Решаем[i] методом интервалов[/i]:

__-__ [3] ___+___ (5) __-___ (9) __+__

[m]t ≤ 3[/m] или [m] 5 < t < 9[/m]

[i]Обратная замена:[/i]

[m]3^{x} ≤ 3 [/m] или [m] 5 < 3^{x} < 3^2[/m]

[m]3^{x} ≤ 3[/m] или [m]3^{log_{3}5} < 3^{x} < 3^2[/m]

Показательная функция с основанием 3 возрастающая,
большему значению функции соответствует большее значение аргумента:

[m]x ≤ 1[/m] или [m] log_{3}5 < x < 2[/m]

О т в е т.[b] (- ∞ ;1] U (log_(3)5;2)[/b]

Ответ выбран лучшим

BK ⊥ DF_(1)

Δ FF_(1)D:
F_(1)D^2=FD^2+FF^2_(1)=(sqrt(3))^2+1^2=4
F_(1)D=[b]2[/b]

BD=sqrt(3)

BF_(1)=F_(1)D=2

S_( ΔBF_(1)D)=(1/2)BD*h=(1/2)*sqrt(3)*sqrt(2^2-(sqrt(3)/2)^2)=sqrt(39)/4

С другой стороны
S_( ΔBF_(1)D)=(1/2)F_(1)D*BK

BK=2S_( ΔBF_(1)D)/F_(1)D=[b]sqrt(39)/4[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

BK ⊥ F_(1)C_(1)

ВК - высота трапеции ВАF_(1)C_(1)

BA=1
F_(1)C_(1)=2
BC_(1)=AF_(1)=sqrt(2)

BK^2=BC_(1)^2-((2-1)/2)^2=2-(1/4)=7/4

BK=sqrt(7)/2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

SO ⊥ ABCD ⇒ SO ⊥ любой прямой пл. АВСD, в том числе SO ⊥ BC
ОК ⊥ BC ⇒ SK ⊥ BC по теореме о трех перпендикулярах.

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра из точки на прямую.
Это SK

SK - высота и медиана равностороннего Δ SBC)

SK^2=SB^2-BK^2=(sqrt(3))^2-(sqrt(3)/2)^2=3-(3/4)=9/4

SK=3/2=1,5
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим высоту СК.
Треугольник АВС - равнобедренный, высота СК одновременно и медиана.
АК=КВ=4

Из прямоугольного Δ АСК
cos ∠ A=АК/АС=4/16=[b]1/4[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cвойство плотности:
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ ) ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )p(x,y)dxdy=1

∫ ^(1,4 )_(0,1 ) ∫ ^(1,2 )_(0,4)A*(0,4x+0,7y+1,1)dxdy=1

A*∫ ^(1,4 )_(0,1 ) (0,4xy+0,7*(y^2/2)+1,1y)|^(1,2 )_(0,4)=1

A*∫ ^(1,4 )_(0,1 ) (0,4x*(1,2-0,4)+0,7*((1,2^2-0,4^2)/2)+1,1*(1,2-0,4)=1

2cos+sqrt(3)=0

cosx=-sqrt(3)/2

x= ± arccos(-sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z

x= ± (π-arccos(sqrt(3)/2))+2πn, n ∈ Z

x= ± (5π/6)+2πn, n ∈ Z

Отрезку [π/2; 3π/2] принадлежат корни
x=5π/6 и х=(-5π/6)+2π=7π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Свойство плотности вероятности:
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )p(x)dx=1

Так как p(x) задана на 4 промежутках, то разбиваем интеграл на 4 части:
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )p(x)dx= ∫ ^(-4,3)_(- ∞ )0dx+ ∫ ^(2,65 )_(- 4,3)[m]\frac{A}{193,21}(x+4,3)[/m]dx+ ∫ ^(9,6 )_(2,65 )[m]-\frac{A}{193,21}(x-9,6)[/m]dx+ ∫ ^(+ ∞ )_(9,6 )0dx=первый и последний равны 0
осталось сосчитать два интеграла и приравнять ответ к 1
Таким образом из уравнения находим А:

Очень долго и аккуратно надо сосчитать:

[m]\frac{A}{193,21}[/m] ((x^2/2)+4,3x)|^(2,65) _((-4,3)) -[m]\frac{A}{193,21}[/m] ((x^2/2)-9,6x)|^(9,6)_(2,65)= 1

[m]\frac{A}{193,21}[/m]* [b]([/b](2,65^2/2)+4,3*2,65- ((-4,3)^2/2)-4,3*(-4.3) -

-(9,6^2/2)+9,6*9,6+(2,65)^2/2-9,6*2,5[b])[/b]=1;

[m]\frac{A}{193,21}[/m]* [b]([/b]2,65^2+2,65*(9,6-4,3)+(9,6^2/2)-9,6*2,5+(4,3^2/2)[b])[/b]=1

[m]\frac{A}{193,21}[/m]* [b]([/b]2,65*(-2,65)+9,6*(4,8-2,5)+(4,3^2/2)[b])[/b]=1 ⇒

A=

M(X)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )x*p(x)dx

и также считаем 4 интеграла ( вместо А подставите то значение, которое найдете):

= ∫ ^(-4,3)_(- ∞ )[b]x[/b]*0dx+ ∫ ^(2,65 )_(- 4,3)[m]\frac{A}{193,21}[b]x[/b]*(x+4,3)[/m]dx+ ∫ ^(9,6 )_(2,65 )[m]-\frac{A}{193,21}[b]x[/b]*(x-9,6)[/m]dx+ ∫ ^(+ ∞ )_(9,6 )[b]x[/b]*0dx=...первый и последний равны 0

M(X^2)=∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )[b]x^2[/b]*p(x)dx

и также считаем 4 интеграла ( вместо А подставите то значение, которое найдете):

= ∫ ^(-4,3)_(- ∞ )x^2*0dx+ ∫ ^(2,65 )_(- 4,3)[m]\frac{A}{193,21}[b]x^2[/b]*(x+4,3)[/m]dx+ ∫ ^(9,6 )_(2,65 )[m]-\frac{A}{193,21}[b]x^2[/b]*(x-9,6)[/m]dx+ ∫ ^(+ ∞ )_(9,6 )[b]x^2[/b]*0dx=...первый и последний равны 0

Теперь находим
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

Ответ выбран лучшим

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

M(X)=-4,3*0,14+4,3*0,12+(-2,7)*0,29 считаем

M(X^2)=(-4,3)^2*0,14+(4,3)^2*0,12+(-2,7)^2*0,29 считаем

и подставляем в формулу, написанную в первой строчке (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию пл. АВС и пл. АDC [i]перпендикулярны. [/i]

Чтобы найти линейный угол двугранного угла между пл. АВС и пл. АDC нужно провести в каждой плоскости перпендикуляры к линии их пересечения.

Проводим DO ⊥ AC и BO ⊥ AC
Δ АВС и ΔАDС - равнобедренные прямоугольные, высоты DO
и ВО являются одновременно и медианами.

∠ BOD - линейный угол двугранного угла между пл. АВС и пл. АDC
∠ BOD=90 °

Из прямоугольного Δ BOD
BD^2=BO^2+DO^2=3^2+3^2=18
BD=[b]3sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

D=2R
2R=40
R=20

S_(cферы)=4πR^2=4π*20^2=[b]1600π кв см[/b]

ξ может принимать значения:
0; 1; 2; 3;4

0
значит первый ни разу не попал, и второй ни разу не попал
p_(o)=0,4*0,4*0,3*0,3=0,0144

1
значит первый попал один раз или второй попал один раз
p_(1)=0,6*0,4*0,3*0,3+0,4*0,6*0,3*0,3+0,4*0,4*0,7*0,3+0,4*0,4*0,3*0,7=
=0,1104

2
значит первый два раза попал, второй оба раза не попал или наоборот, первый не попал, а второй оба раза попал или
один раз первый попал и один раз второй:
p_(2)=0,6*0,6*0,3*0,3+0,4*0,4*0,7*0,7+0,6*0,4*0,7*0,3+0,4*0,6*0,7*0,3+
+0,6*0,4*0,3*0,7+0,4*0,6*0,3*0,7=

3
значит три попадания: два раза один попал и один раз второй
p_(3)=0,6*0,6*0,7*0,3+0,6*0,6*0,3*0,7+0,4*0,6*0,7*0,7+0,6*0,4*0,7*0,7=

4
оба попали 4 раза
p_(4)=0,6*0,6*0,7*0,7=0,1764

p_(0)+p_(1)+p_(2)+p_(3)+p_(4) должна получиться 1

Если это так , то закон составлен верно.

Закон - таблица
в верхней строке 0; 1; 2; 3; 4
в нижней их вероятности.

M ξ=0*p_(o)+1*p_(1)+2*p_(2)+3*p_(3)+4*p_(4)=

10.
По формуле Муавра ( см. приложение)
z^[b]2[/b]_(1)=13^2*(cos((5π/24)*[b]2[/b])+isin((5π/24)*[b]2[/b]))

z^2_(1)=169*(cos(10π/24)+isin(10π/24))

z^2_(1)=169*(cos(5π/12)+isin(5π/12))

13
z=x+iy ⇔ z=|z|*(cos φ +i*sin φ )- тригонометрическая формa;
z=|z|*e^(i φ ) - показательная форма

z=-1-i
x=-1
y=-1

|z|=sqrt(x^2+y^2)
|z|=sqrt((-1)^2+(-1)^2)=sqrt(2)

cos φ =[m]\frac{x}{|z|}=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
sin φ =[m]\frac{y}{|z|}=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

угол в третьей четверти:

[m] φ =-\frac{3\pi}{4}[/m]

[m]z=\sqrt{2}\cdot (cos(\frac{-3\pi}{4})+i\cdot sin(\frac{-3\pi}{4}))[/m] -
тригонометрическая формa;

в силу четности косинуса и нечетности синуса можно записать так:
[m]z=\sqrt{2}\cdot (cos\frac{3\pi}{4}-i\cdot sin\frac{3\pi}{4})[/m]

[m]z=\sqrt{2}\cdot e^{i(\frac{-3\pi}{4})}[/m] - показательная форма

14.

z=2sqrt(3)-2*i
x=2sqrt(3)
y=-2

|z|=sqrt(x^2+y^2)
|z|=sqrt((2sqrt(3))^2+(-2)^2)=sqrt(16)=4

cos φ =[m]\frac{x}{|z|}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
sin φ =[m]\frac{y}{|z|}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}[/m]

угол в четвертой четверти:

[m] φ =-\frac{\pi}{6}[/m]

[m]z=4\cdot (cos\frac{\pi}{6}+i\cdot sin\frac{\pi}{6})[/m] -
тригонометрическая формa;

[m]z=4\cdot e^{i\frac{\pi}{6}}[/m] - показательная форма

Ответ выбран лучшим

z=x+iy ⇔ z=|z|*(cos φ +i*sin φ )- тригонометрическая формa;
z=|z|*e^(i φ ) - показательная форма

z=sqrt(6)+i*sqrt(2)
x=sqrt(6)
y=sqrt(2)

|z|=sqrt(x^2+y^2)
|z|=sqrt(6+2)=sqrt(8)=2sqrt(2)

cos φ =[m]\frac{x}{|z|}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
sin φ =[m]\frac{y}{|z|}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}[/m]

[m] φ =\frac{\pi}{6}[/m]

[m]z=2\sqrt{2}\cdot (cos\frac{\pi}{6}+i\cdot sin\frac{\pi}{6})[/m]- тригонометрическая формa;

[m]z=2\sqrt{2}\cdot e^{i\frac{\pi}{6}}[/m] - показательная форма

Ответ выбран лучшим

z=x+iy ⇔ z=|z|*(cos φ +i*sin φ )- тригонометрическая формa;
z=|z|*e^(i φ ) - показательная форма

x=-4
y=4

|z|=sqrt(x^2+y^2)
|z|=sqrt((-4)^2+4^2)=sqrt(32)=4sqrt(2)

cos φ =[m]\frac{x}{|z|}=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
sin φ =[m]\frac{y}{|z|}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

[m] φ =\frac{3\pi}{4}[/m]

[m]z=4\sqrt{2}\cdot (cos\frac{3\pi}{4}+i\cdot sin\frac{3\pi}{4})[/m] -тригонометрическая формa;

[m]z=4\sqrt{2}\cdot e^{i\frac{3\pi}{4}}[/m] - показательная форма

Ответ выбран лучшим

z=17*(cos(π/19)+isin(π/19)) - тригонометрическая

z=17*e^(π/19) - показательная

---

z_(1)=5*e^(7π/5)

z_(2)=7*e^(π/10)

z_(1)*z_(2)=5*e^(7π/5) * 7*e^(π/10)= (5*7)*e^((7π/5)+(π/10))=

=35*e^((14π/10)+(π/10))=35*e^(15π/10)=[b]35*e^(3π/2)[/b]=

=[b]35*(cos(3π/2)+i*sin(3π/2))[/b]=35*(0+i*(-1))=[b]-35*i[/b]

Ответы выделены жирным шрифтом
первый в показательной, второй в тригонометрической, третий в обычной записи

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{12 \cdot e^{i\frac{5\pi}{21}}}{17\cdot e^{i\frac{-2\pi}{7}}}=\frac{12}{17} e^{i\frac{5 \pi }{21}-i\frac{-2\pi}{7}} =\frac{12}{17}e^{i\frac{5 \pi }{21}+i\frac{6\pi}{21}}=\frac{12}{17}e^{i\frac{11 \pi }{21}}[/m]

Применяем формулу Муавра:

z^2_(1)=17^2*(cos((-2π/7)*[b]2[/b])+i*sin((-2π/7)*[b]2[/b]))=289(cos(-4π/7)+i*sin(-4π/7))=

в силу четности косинуса и нечетности синуса, получаем о т в е т:

=[b]289(cos(-4π/7)-i*sin(4π/7))[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{m}=vector{c}+vector{d}=(-2+6;7+5)=(4;12)
О т в е т. В
vector{n}=vector{a}-vector{b}=(5-2;-9-1)=(3;-10)
О т в е т. Г

vector{p}*vector{n}=-3*2+4*5=-6+20=14

О т в е т. A

vector{AB}=(3-(-2);15-3)=(5;12)

|vector{AB}|=sqrt(5^2+12^2)=sqrt(25+144)=sqrt(169)=[b]13[/b]

завдання за 20.03

vector{l}=(1/3)*vector{a}-2*vector{b}=((1/3)*9-2*2; (1/3)*(-6)-2*3)=

=(-1;-8)

vector{a}=(-2;y) [b]колінеарні;[/b] vector{b}=(4;10)
если координаты векторов пропорциональны:
-2:4=у:10
-2*10=4y
[b]y=-5[/b]

vector{a}=(-2;y) [b]перпендикулярні.[/b] vector{b}=(4;10)
если скалярное произведение векторов равно 0:

-2*4+у*10=0
10у=8

[b]у=0,8[/b]

vector{c}=(–3;0) ; vector{d}=(–1;1)
|vector{c}|=sqrt)(–3)^2+0^2) ;
| vector{d}}=sqrt((–1)^2+1^2)=sqrt(2)

vector{c}*vector{d}=(-3)*(-1)+0*1=3

cos ∠( vector{c},vector{d})=3/(3*sqrt(2))=1/sqrt(2)

∠( vector{c},vector{d})=π/4=45 °

РОМБ- параллелограмм, у которого стороны равны

vector{MN}=(8-6;8-2)=(2;6)
vector{NK}=(6-8;14-8)=(-2;6)
vector{KL}=(4-6;8-14)=(-2;-6)
vector{LM}=(6-4;2-8)=(2;-6)

vector{MN}=(2;6) коллинеарен vector{KL}=(-2;-6)
vector{NK}=(-2;6)коллинеарен vector{LM}=(2;-6)

Противоположные стороны четырехугольника параллельны.
Значит, MNKL - параллелограмм

|vector{MN}|=sqrt(2^2+6^2)=[b]sqrt(40)[/b]
|vector{NK}|=sqrt((-2)^2+6^2)=[b]sqrt(40)[/b]
|vector{KL}|=sqrt((-2)^2+(-6)^2)=[b]sqrt(40)[/b]
|vector{LM}|=sqrt(2^2+(-6)^2)=[b]sqrt(40)[/b]

Все стороны равны. Это ромб

z_(1)+z_(2)=5-14*i+25+2*i=[b]30-12*i[/b]

z_(1)-z_(2)=5-14*i-25-2*i=[b]-20-16*i[/b]

z_(1)*z_(2)=(5 -14*i)*(25 +2 *i)=

=125-350*i+10*i-28*i^2=

(так как i^2=-1)

[b]=153-340*i[/b]

z_(1)/z_(2)=( 5 -14*i)/(25+2 *i)

( умножаем и числитель и знаменатель на (25-2 *i)

=[b]([/b]( 5 -14*i)(25-2*i)[b])[/b]/[b]([/b](25+2 *i)(25-2 *i)[b])[/b]

=(125-350*i-10*i+28*i^2)/(25^2-(2i)^2)=

=(97-360*i)/(25+4)=[b](97/29)-(360/29)*i
[/b]

Ответ выбран лучшим

x^2-14x+74=0
D=(-14)^2-4*74=196-296=-100

sqrt(D)=sqrt(-100)=sqrt(100*(-1))=10*i

x_(1)=[m]\frac{14-10\cdot i}{2}=7-5\cdot i[/m]; x_(1)=[m]\frac{14+10\cdot i}{2}=7+5\cdot i[/m];

О т в е т. 7-5*i; 7+5*i

Ответ выбран лучшим

12. z*4(3+i)=2(4-5i)
Делим на 2
z*2(3+i)=4-5i
тогда
[m]z=\frac{4-5i}{2(3+i)}=[/m]

умножаем и числитель и знаменатель на (3-i)

[m]=\frac{(4-5i)(3-i)}{2(3+i)(3-i)}=\frac{12-15i-4i+15i^2}{2(3^2-(i)^2)}=

=\frac{-3-19i}{20}=-0,15-0,95\cdot i[/m]

i^2=-1

2)
|z|=sqrt((sqrt(2))^2+(-sqrt(2))^2=sqrt(4)=2

cos φ =x/|z|=sqrt(2)/2
sin φ =y/|z|=-sqrt(2)/2
⇒ φ =(-π/4)
косинус положительный, синус отрицательный, угол в 4-й четверти

z=2*(cos(-π/4)+isin(-π/4))

cos(-π/4)=cos(π/4) - в силу четности косинуса

sin(-π/4)=-sin(π/4) - в силу нечетности косинуса

z=2(cos(π/4)-i*sin(π/4)) - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла.

Первый множитель равен 0
[b]2cosx+1 =0 [/b]
cosx=-1/2

x= ± arccos(-1/2)+2πn, n ∈ Z
x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

Второй множитель:
[b]sqrt(-sinx)-1[/b]
[i]не имеет смысла[/i], если подкоренное выражение отрицательно, поэтому
-sinx ≥ 0 ⇒ sinx ≤ 0 ⇒ x в третьей или четвертой четвертях

значит, надо исключить те решения, которые не удовлетворяют этому условию:
x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z - две серии ответов во 2-й и 3-й четвертях
синус отрицательный в третьей, значит исключаем корни из второй четверти: x=(2π/3)+2πn, n ∈ Z

[i] в ответ[/i] войдут корни
[b]х= -(2π/3)+2πn, n ∈ Z [/b]

Второй множитель равен 0
[b]sqrt(-sinx)-1=0[/b]
Здесь тоже
-sinx ≥ 0 ⇒ sinx ≤ 0 ⇒ x в третьей или четвертой четвертях

sqrt(-sinx)=1
возводим в квадрат
-sinx=1

sinx=-1 ( удовлетворяет условию sinx ≤ 0)

[b]x=(-π/2)+2πk, k ∈ Z[/b]

О т в е т. а)[red] -(2π/3)+2πn, n ∈ Z; (-π/2)+2πk, k ∈ Z[/red]

б)

Отбор корней проводим [i]на единичной окружности[/i]

x=(-2π/3)+2π=4π/3 ∈ [0;3π/2]
x-(-π/2)+2π=3π/2∈ [0;3π/2]

О т в е т. б)[red]4π/3; 3π/2[/red]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{TA}=(-1-1;0-(-1);1-3)=(-2;1;-2)
vector{TC}=(1-1;3-(-1);3-3)=(0;4;0)

vector{TA}*vector{TC}=-2*0+1*4+(-2)*0

|vector{TA}|=sqrt((-2)^2+1^2+(-2)^2)=3

|vector{TC}|=sqrt(0^2+4^2+0^2)=4

сos ∠ T=[m]\frac{\vec{TA}\cdot\vec{TC}}{|\vec{TA}|\cdot|\vec{TC}|}=\frac{1}{3}[/m]

-3*6+3*x+(-8)*(-2)=4
3x=6
x=[b]2[/b]

z=x+iy

z=sqrt(2)-sqrt(3)*i

x=sqrt(2)

y=-sqrt(3)

Argz= φ

tg φ =y/x=-sqrt(3)/sqrt(2)=-sqrt(3/2) ≈ -1,2247

φ =arctg(-1,2247) ≈ -50,767

Ответ выбран лучшим

vector{a}*vector{b}=(-1)*5+2*x+(-2)*(-8)=-5+2x+16=11-2x

По условию

vector{a}*vector{b}=29

11-2x=29

-2х=29-11

-2х=18

х=-9

О т в е т. -9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
vector{z}=x-iy
z^2=x^2+2xy+i^2y^2=x^2-y^2+2i*xy
[m]\frac{z^2}{\vec{z}}=\frac{x^2-y^2+2i\cdot xy}{x-iy}=\frac{(x^2-y^2+2i\cdot xy)(x+iy)}{(x-iy)(x+iy)}=\frac{x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)}{x^2+y^2}[/m]

[m]Im{\frac{z^2}{\vec{z}}}=\frac{3x^2y-y^3}{x^2+y^2}[/m]

О т в е т. 1)

Ответ выбран лучшим

i^1=i
i^2=i*i=-1
i^3=i*i*i=(i*i)*i=-1*i=-i
i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1
Поэтому
i^8=i^(12)=i^(16)=...=i^(40)=[b]1[/b]

i^(13)=i^(12)*i=1*i=i
i^(41)=i^(40)*i=1*i=i
i^(37)=i^(36)*i=1*i=1

[m]z=\frac{3i-2i}{1-2i}=\frac{i}{1-2i}=\frac{i*(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{i+2i^2}{1-(2i)^2}=\frac{i-2}{5}[/m]

vector{z}=[m]\frac{i+2}{5}[/m]

Revector{z}=2/5=[b]0,4[/b] - действительная часть vector{z}

Ответ выбран лучшим

(2i+1)^2=4i^2+4i+1
i^2=-1
4i^2+4i+1=-4+4i+1=4i-3

z=(2+i)*(4i-3)(-i)*(i)-i=(8i+4i^2-6-3i)*(-(-1)) - i=5i-10-i=4i-10

x=-10
y=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

Как изменится объём пирамиды, если ее высоту увеличить в 3 раза, а[i] диаметр основания[/i] увеличить в 4 раза?

У пирамиды в основании треугольник или многоугольник
и диаметра основания нет, но рассуждаем так:

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*h

S_(осн) выражается через d^2

и объем через[b] d^2*h[/b]

По условию новая высота H =3h
новый диаметр D=4d

тогда S_(нового осн) выражается через D^2

и объем через[b] D^2*H[/b]=(4d)^2*(3h)=[b]48d^2*h[/b]

Увеличится в 48 раз

2.Как относятся объемы двух конусов, если их диаметры равны, а отношение высот равно 7 ?

V_(конуса _(1))=(1/3)*S_(осн_(1))*h_(1)
V_(конуса _(2))=(1/3)*S_(осн_(2))*h_(2)

Так как диаметры равны ⇒ S_(осн_(1))=S_(осн_(2))

h_(1):h_(2)=7

h_(1)=7h_(2)

V_(конуса _(1))=(1/3)*[green]S_(осн)[/green]*7*[blue]h_(2)[/blue]
V_(конуса _(2))=(1/3)*[green]S_(осн)[/green]*[blue]h_(2)[/blue]

V_(1):V_(2)=7

3.
[b]S_(пов. шара)=4π*R^2[/b]

S_(пов. шара_(1)):S_(пов. шара_(2)) =9

4π*R^2_(1):4π*R^2_(2)=9 ⇒ (R_(1)/R_(2))^2=9

[red]R_(1)/R_(2)=3[/red]

[b]V_(шара)=(4/3)π*R^3[/b]

V_( шара_(1)):V_(шара_(2)) =([red]R_(1)/R_(2)[/red])^3=[red]3[/red]^3=[red]27[/red]

4.
[i]По условию[/i] V_( шара_(1)):V_(шара_(2))=1:125

[b]V_(шара)=(4/3)π*R^3[/b]

V_( шара_(1)):V_(шара_(2))=[red]R^3_(1)/R^3_(2)=(R_(1)/R_(2))^3[/red]

⇒ (R_(1)/R_(2))^3=1/125
⇒ [green]R_(1)/R_(2)=1/5[/green]

[b]S_(пов. шара)=4π*R^2[/b]

S_(пов. шара_(1)):S_(пов. шара_(2)) =(4π*R^2_(1))/(4π*R^2_(2))=
= (R_(1)/R_(2))^2=(1/5)^2=1/25

О т в е т .[b] 1:25[/b]

Очень [i]неудобно[/i] читать огромный текст условия задач, а тем более набирать
решение. Приходится постоянно возвращаться то в начало вопроса, то в конец решения.
Пожалуйста [red]публикуйте одну- две задачи[/red] в вопросе....

5.
5.Две кружки имеют форму цилиндра.
Первая кружка в полтора раза выше второй,
вторая втрое шире первой в полтора раза.
Во сколько раз[i] объем[/i] первой кружки меньше объема второй кружки?

V_(цилиндра)=S_(осн)*H=π*R^2*H

V_(первой кружки)=π*R^2_(1)*H_(1)

V_(второй кружки)=π*R^2_(2)*H_(2)

По условию: H_(1)=1,5*H_(2) ⇒ [b]H_(2)=2H_(1)/3[/b]
D_(2)=3D_(1) ⇒ 2R_(2)=3*2R_(1) ⇒ [b]R_(2)=3R_(1) [/b]

V_(первой кружки)=π*R^2_(1)*H_(1)

V_(второй кружки)=π*R^2_(2)*H_(2)=π*(3*R_(1))^2*(2H_(1)/3)=

=π*9*(2/3)R^2_(1)*H_(1)=6*V_(первой кружки)

О т в е т. в 6 раз

6. Через середину высоту конуса параллельно его основанию проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем большего конуса, если объем меньшего конуса равен 11.

7.Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найти объем цилиндра , если объем конуса равен 17

У вас опечатка в условии: найти угол abc, если величина угла abc равна 54
Поэтому если дан ∠ АВС=54 °
то ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3=54 °

Сумма углов треугольника АВС 180 °
∠ ВАС+3*54 ° =180 °
∠ ВАС =180 ° -3*54 °

∠ ВАС=180 ° -162 ° =18 °

О т в е т если ∠ АВС=54 °, то ∠ ВАС=18 °

Если дан ∠ ВАС=54 °, то ∠ АВС=х
∠ 1= ∠ 2= ∠ 3=х

Тогда
54 ° +3x=180 °
3x=180 ° -54 °
3x=126 °
x=42 °

О т в е т если ∠ ВАС=54 °, то ∠ АВС=42 ° (прикреплено изображение)

формула:
[m]1+tg^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }[/m]

⇒ [m]cos^2\alpha =\frac{1}{1+tg^2\alpha }[/m]

[m]tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1+tg^2\alpha }[/m]

[m]ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }[/m]

[i]Уравнение принимает вид:[/i]

[m]\frac{2tgx }{1+tg^2x }=\frac{4}{1+tg^2x }-\frac{1}{tgx }[/m]

[m]\frac{4-2tgx}{1+tg^2x }=\frac{1}{tgx }[/m]

Пропорция.

(4-2tg x )*tg x =1+tg^2x

3tg^2x - 4tg x +1=0

D=(-4)^2-4*3=16-12=4

tg x =1/3; tg x =1

x=arctg(1/3)+πk, k ∈ Z или х=(π/4)+πn, n ∈ Z

О т в е т. [red]arctg(1/3)+πk, k ∈ Z ; (π/4)+πn, n ∈ Z[/red]

Решаем первое неравенство:

[m]\frac{2^{3x}-5\cdot 2^{x}}{2^{x}-\frac{2^4}{2^{x}}}\geq 0[/m]

[m]\frac{((2^{x})^2-5)\cdot (2^{x})^2}{(2^{x})^2-16}\geq 0[/m]

[m]\frac{(2^{x}-\sqrt{5})(2^{x}+\sqrt{5})\cdot (2^{x})^2}{(2^{x}-4)(2^{x}+4)}\geq 0[/m]

2^(x) >0 при любом х

(2^(x))^2 >0 при любом х

2^(x)+4 >0 при любом х

2^(x)+sqrt(5) > 0 при любом х

[m]\frac{2^{x}-\sqrt{5}}{2^{x}-4}\geq 0[/m]

Решаем методом интервалов
2^(x)-sqrt(5)=0

2^(x)=sqrt(5)

x=log_(2)sqrt(5)

2^(x)-4=0

2^(x)=2^2

x=2

__+____ [log_(2)sqrt(5)] ___-___ (2) _+___

1=log_(2)2 <[b] log_(2)sqrt(5)[/b] < log_(2)4=2

[b](- ∞ ;log_(2)sqrt(5)]U (2;+ ∞ ) [/b]

Решаем второе неравенство:

ОДЗ:
{x^2>0
{x^2 ≠ 1
{(2/x^2)-(1/x)>0 ⇒ (2-x)/x^2>0 ⇒ x<2

x ∈ (- ∞ ;-1)U(-1;0) U(0;1)U(1;2)

Применяем метод рационализации:
(x^2-1)*((2/x^2)-(1/x)-1) ≤ 0

(x-1)(x+1)(-x^2-x+2) ≤ 0

(x-1)(x+1)(x^2+x-2) ≥ 0

(x-1)(x+1)(x-1)(x+2) ≥ 0

(х-1)^2(x+1)(x+2) ≥ 0

Решаем методом интервалов

+____ [-2] ____-___ [-1] ___+___ [1] __+__

[b]x ∈ (- ∞ ;-2] U[-1;+ ∞ )[/b]

c учетом ОДЗ этого уравнения

x ∈ (- ∞ ;-2] U(-1;0)U(0;1) U(1;2)

Пересечение множеств решений первого и второго неравенств и есть ответ:

[red]x ∈ (- ∞ ;-2) U(-1;0)U(0;1) U(1;log_(2)sqrt(5)][/red]

Ответ выбран лучшим

Уравнение оси абсцисс: y=0
Кривая y=a^2x^2–(2a–1)x+1 касается прямой y=0

Значит надо найти точку пересечения y=0 и y=a2x2–(2a–1)x+1

Приравниваем правые части
a2x2–(2a–1)x+1=0
Квадратное уравнение должно иметь один корень.

Значит, его дискриминант должен равняться 0
D=(2a-1)^2-4*a^2*1=4a^2-4a+1-4a^2=1-4a
1-4a=0
4a=1
a=1/4
О т в е т. 1/4

Ответ выбран лучшим

1)
1200=400*3
sqrt(1200)=sqrt(400*3)=sqrt(400)*sqrt(3)=20sqrt(3)

sqrt(2,43)=[m]\sqrt{\frac{243}{100}}=\sqrt{\frac{81\cdot 3}{100}}[/m]=[m]\frac{9}{10}[/m]sqrt(3)

sqrt(0,48)=[m]\sqrt{\frac{48}{100}}=\sqrt{\frac{16\cdot 3}{100}}[/m]=[m]\frac{4}{10}[/m]sqrt(3)

√1200–20√2,43+4,5√0,48=20sqrt(3)-18sqrt(3)+1,8sqrt(3)=3,8sqrt(3)

2)
[m]\sqrt{\frac{20}{81}}-\frac{2}{9}\sqrt{\frac{45}{49}}-\frac{11}{20}\sqrt{\frac{80}{121}}=\sqrt{\frac{4\cdot 5}{81}}-\frac{2}{9}\sqrt{\frac{5\cdot 9}{49}}-\frac{11}{20}\sqrt{\frac{16\cdot 5}{121}}=[/m]

[m]=\frac{2}{9}\sqrt{5}-\frac{2}{9}\cdot \frac{3}{7}\sqrt{5}-\frac{11}{20}\cdot \frac{4}{11}\sqrt{5}=\frac{2}{9}\cdot \frac{4}{7}\sqrt{5}-\frac{1}{5}\sqrt{5}=-\frac{23}{315}\sqrt{5}[/m]

Ответ выбран лучшим

1)
f`(x)=-2 <0 при любом х ∈ (- ∞ ;+ ∞ )
функция убывает на (- ∞ ;+ ∞ )
2)
область определения:
(- ∞ ;0) U(0;+ ∞ )
f`(x)=-10/x^2 <0 при х ∈ (- ∞ ;0) U(0;+ ∞ )
функция убывает на (- ∞ ;0) и на (0;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
f`(x)=5 >0 при любом х ∈ (– ∞ ;+ ∞ )
функция возрастает на (- ∞ ;+ ∞ )
2)
область определения:
(- ∞ ;0) U(0;+ ∞ )
f`(x)=3/x^2 >0 при х ∈ (- ∞ ;0) U(0;+ ∞ )
функция возрастает на (- ∞ ;0) и на (0;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Теорема ( достаточный признак):
Если f`(x) >0 , функция возрастает
Если f`(x) < 0, функция убывает

1)
f`(x)=7>0 при любом х ⇒ функция возрастает на (- ∞ ;+ ∞ )

2)
f`(x)=-2 <0 при любом х ⇒ функция убывает на (- ∞ ;+ ∞ )

3)

f`(x)=2x-3
f`(x) >0 ⇒ 2x-3 >0 ⇒ x>1,5
функция возрастает на (1,5 ;+ ∞ )

f`(x)<0 ⇒ x <1,5
функция убывает на (- ∞ ;1,5 )

4)
f`(x)=-3x^2 <0 при любом х ∈ (- ∞;0)U(0;+ ∞ )
f`(x)=0 при x=0
Функция возрастает на (- ∞;0)и на (0;+ ∞ )
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

См. рисунок.
Скорее всего ∠ ВАС=54 °
Cумма углов треугольника 180 °
Уравнение 54 ° +3х=180 °
3х=126
х=42 °
О т в е т. ∠ АВС=42 ° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
В призме все диагонали равны.
BD_(1)=B_(1)D=AC_(1)=A_(1)C=2a
Это угол между диагоналями прямоугольника BA_(1)D_(1)C
Диагонали в точке пересечения делятся пополам
А_(1)О=D_(1)O=a

ΔA_(1)D_(1)O - равносторонний.
∠ A_(1)OD_(1)=60 °

О т в е т 60 °

2.
Плоскости СDA_(1) и СВ_(1)D_(1) пересекаются по прямой СB_(1)
Чтобы построить линейный угол двугранного угла надо провести к линии пересечения перпендикуляры в каждой плоскости.

пл. СВ_(1)D_(1) - равнобедренный треугольник
D_(1)B_(1)=D_(1)C=sqrt(5)
Высота D_(1)K - медиана и биссектриса, точка К - середина B_(1)C

А_(1)В_(1) ⊥ пл ВВ_(1)С_(1)С ⇒ А_(1)В_(1) ⊥ B_(1)C

KM ||А_(1)В_(1) ⇒ КМ⊥ B_(1)C

∠ D_(1)KM - линейный угол двугранного угла между пл. СDA_(1) и
пл.СВ_(1)D_(1)

В Δ D_(1)KM:

KM=2
D_(1)K^2=(sqrt(5))^2-(sqrt(2)/2)^2=9/2 ( из ΔD_(1)В_(1)K)
D_(1)M^2=1^2-(sqrt(2)/2)^2=1/2 (из ΔD_(1)A_(1)M)

Δ D_(1)KM- прямоугольный, так как D_(1)K^2=D_(1)M^2+KM^2

tg ∠ D_(1)KM =D_(1)M/KM=sqrt(2)/4

(прикреплено изображение)

[m]\frac{1}{7+\sqrt{47}}+\frac{1}{7-\sqrt{47}}=\frac{7-\sqrt{47}+7+\sqrt{47}}{(7+\sqrt{47})(7-\sqrt{47})}=\frac{14}{7^2-(\sqrt{47})^2}=\frac{14}{2}=7[/m]

1)
x^2-16=0; так как x^2-16=(x-4)(x+4), то
(x-4)(x+4)=0

x-4=0 или х+4=0
х=4 или х=-4

О т в е т. -4; 4

2)
-9-6х > 9x+9
-6x-9x>9+9
-15x > 18

x< -18/15

x<-6/5

x<-1,2

О т в е т. (- ∞ ; -1,2)

3)
-12*8,6=-103,2
-103,2-9,4=-112,6

[m]a=\frac{\sqrt{5-4x-x^2}}{3-x}[/m]

Строим графики прямой y=a и функции

[m]y=\frac{\sqrt{5-4x-x^2}}{3-x}[/m]

Для этого исследуют функцию с помощью производной
Область определения:
5-4x-x^2 ≥ 0 ⇒ x^2+4x-5 ≤ 0 D=36

-5 ≤ x ≤ 1

Наибольшее значение в точке x=0

y(0)=sqrt(5)/3

О т в е т. (0; sqrt(5)/3] (прикреплено изображение)

25.
Треугольники прямоугольные, в каждом из них есть равные вертикальные. Значит треугольники подобны по двум углам

23
y=[m]\frac{0,5x\cdot(x+4)\cdot|x|}{x+4}[/m]

Еcли х ≠ -4

y=0,5x*|x|

Поэтому строим график y=0,5*x*|x| при всех кроме х=-4

Если x ≥ 0, то y=0,5x*x; y=0,5x^2
Если x <0, то y=0,5x*(-x); y=-0,5x^2

см. рис. 1

Прямая y=-8 не имеет с графиком общей точки (прикреплено изображение)

При х=0,7:

х-1=0,7-1=-0,3
|x-1|=|-0,3|=0,3

При y=1,7:

3-y=3-1,7=1,3
|3-y|=|1,3|=1,3

Поэтому: при х=0,7 и у=1,7

3*|x-1|-2*|3-y|=3*|0,7-1|-2*|3-1,7|=3*0,3-2*1,3=0,9-2,6=-1,7

Ответ выбран лучшим

Делим второе уравнение на 4:

{3x^2+2y^2=50
{3x^2+2y^2=12,5x

Приравниваем правые части:
12,5x=50
x=4

тогда
2y^2=50-3x^2

2y^2=50-3*4^2

2y^2=2

y^2=1

y= ± 1

О т в е т. [b](4;1); (4;-1)[/b]

Ответ выбран лучшим

3*х- [m]\frac{x}{2}[/m]=345
2,5x=345
x=138

Ответ выбран лучшим

2,34+1,82=4,16

Ответ выбран лучшим

3.
=8*(x^6/6)+6*(x^4/4)-(1/2)*(x^3/3)-7x+C=

=(4/3)*x^6+(3/2)*x^4-(1/6)*x^3-7x+C
4.
5x^2+17x+16=0
D=17^2-4*5*16=289-320<0
Уравнение не имеет действительных корней
5.
S_(бок)=2π*R*H=2π*8*6=96π
6.
{3x-9y=12 ⇒ x-3y=4
{4x-12y=16 ⇒ x-3y=4

Система имеет бесчисленное множество решений

Ответ выбран лучшим

7; 8 и 9 числа ( см. рис.)
О т в е т. 3 (прикреплено изображение)

∠ A=40 ° +40 ° =[b]80 градусов[/b] это и есть ответ
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В силу нечетности синуса:
sin( α -3π)=-sin(3π- α )

Выделяем период 2π
sin(3π- α )=sin(2π+π- α )=sin(π- α )

По формулам приведения
sin(π- α )=sin α

[b]sin( α -3π)=-sin α [/b]

По формулам приведения
[b]cos((3π/2)+ α )=sin α [/b]

В силу нечетности синуса:
sin( α -π)=-sin(π- α )

По формулам приведения
sin(π- α )=sin α

[b]sin( α -π)=-sin α [/b]

[m]\frac{4sin(\alpha-3\pi)-cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}{5sin(\alpha-\pi}=\frac{-4sin\alpha-sin\alpha}{-5sin\alpha}=\frac{-5sin\alpha}{-5sin\alpha}=1[/m]

Испытание состоит в том, что из пятидесяти вопросов выбирают один.
Это можно сделать пятьюдесятью способами.
n=50 - исходов испытания ( результатов выбора)

Событие А - "в случайно выбранном билете нет вопроса о прогрессиях"

Вопросов на прогрессию 12 из пятидесяти, значит
50-12=38 вопросов не на прогрессию

Событию А благоприятствуют исходы, когда выбор вопроса осуществляется из этих 38 вопросов,
m=38

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=38/50=76/100=0,76

a) уравнение с разделяющимися переменными:
y`=dy/dx

dy/dx=ysqrt(x)

dy/y=sqrt(x)dx

Интегрируем:

∫ dy/y= ∫ sqrt(x)dx

ln|y|=(2/3)xsqrt(x)+C - общее решение

y(0)=1

ln|1|=(2/3)0*sqrt(0)+C ⇒ C=0

ln|y|=(2/3)xsqrt(x) - частное решение

б)
y`-yx-x-y+1=0

y`-(x+1)*y=x-1
Линейное неоднородное первого порядка

Решаем [i]однородное[/i]

y`-(x+1)*y=0

Это уравнение с [i]разделяющимися переменными[/i]:

dy/dx=(x+1)*y

dy/y=(x+1)*dx

∫ dy/y=∫ (x+1)*dx

ln|y|=(x^2/2)+x+c

Применяем метод вариации произвольной c

ln|y|=(x^2/2)+x+c(x)

y`=

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное первого порядка

[m]y`+\frac{1}{x}\cdot y =\frac{sinx}{x} [/m] [red](#)[/red]

Решаем [i]однородное[/i]

y`+(1/x)*y=0

Это уравнение с [i]разделяющимися переменными[/i]:

dy/dx=-y/x

dy/y=-dx/x

∫ dy/y=- ∫ dx/x

ln|y|=-ln|x|+lnc

ln|y|=ln[m]\frac{c}{|x|}[/m]

y=[m]\frac{c}{x}[/m]

Применяем метод вариации произвольной c

y=[m]\frac{c(x)}{x}[/m]

y`=[m]\frac{c`(x)\cdot x-c(x)\cdot x`}{x^2}[/m]

y`=[m]\frac{c`(x)}{x}-\frac{c(x)}{x^2}[/m]

Подставляем в [red](#)[/red]

[m]\frac{c`(x)}{x}-\frac{c(x)}{x^2}+\frac{1}{x}\cdot \frac{c(x)}{x} =\frac{sinx}{x} [/m]

[m]\frac{c`(x)}{x} =\frac{sinx}{x} [/m]

c`(x)=sinx

c(x)= ∫ sinxdx=-cosx + C

y=[m]\frac{c(x)}{x}[/m]

y=[m]\frac{-cosx + C}{x}[/m]

y=[m]-\frac{cosx}{x}+\frac{c}{x}[/m] - общее решение

По условию:
при x_(o)=[m]\frac{\pi}{2}[/m]
y=1

1=[m]-\frac{cos\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}+\frac{C}{\frac{\pi}{2}}[/m] , cos (π/2)=0;

1=[m]\frac{C}{\frac{\pi}{2}}[/m]

C=[m]\frac{\pi}{2}[/m]

частное решение:
y=[m]-\frac{cosx}{x}+\frac{\pi}{2x}[/m]

Ответ выбран лучшим

Н=2R

АВ=H=2R
AD=2R

AB=AD

ABCD- квадрат (прикреплено изображение)

f`(x)=(4x^2-3x+5)`=4*(x^2)`-3*(x)`+(5)`=4*2x-3*1+0=8x-3

О т в е т. f`(x)=[b]8x-3[/b]

Пусть они встретятся через t час.
Тогда один проедет путь 65t км
Второй проедет путь 85 км

Один проедет на 6 км больше ( так как находится на расстоянии полукруга от другого)

85t-65t=6
20t=6
t=3/10 часа=18 мин

О т в е т. 18 мин (прикреплено изображение)

Линейное неоднородное первого порядка
Делим на х

y`-(1/x)*y=x*sinx [red](#)[/red]

Решаем [i]однородное[/i]

y`-(1/x)*y=0

Это уравнение с [i]разделяющимися переменными[/i]:

dy/dx=y/x

dy/y=dx/x

∫ dy/y= ∫ dx/x

ln|y|=ln|x|+lnC

ln|y|=lnC*|x|

y=Cx

Применяем метод вариации произвольной С

y=C(x)*x

y`=C`(x)*x+C(x)*x`

y`=C`(x)*x+C(x)

Подставляем в [red](#)[/red]

C`(x)*x+C(x)-C(x)=x*sinx

C`(x)*x=x*sinx

C`(x)=sinx

C(x)= ∫ sinxdx=-cosx + c

О т в е т. y=C(x)*x=(-cosx + c)*x=[b]-x*cosx+cx[/b]

Ответ выбран лучшим

1) уравнение второго порядка, допускающее понижение степени:
Замена:
y`=u(x)
y``=u`(x)

u`-2u*ctgx=0

du/dx=2u*ctgx - уравнение с разделяющимися переменными

du/u=2ctgxdx

Интегрируем:

∫ du/u= ∫ 2ctgxdx

ln|u|=2ln|sinx|+lnC_(1)

u=C_(1)sin^2x

y`=C_(1)*sin^2x

y=C_(1)* ∫ sin^2xdx=C_(1)* ∫ (1-cos2x)dx/2 =

=[b]C_(1)*(1/2)*x-C_(1)*(1/4)sin2x+C_(2)[/b] это о т в е т

3) Однородное с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое:

k^2-k-6=0
D=25
k_(1)=-2; k_(2)=3

[b]y=C_(1)*e^(-2x)+C_(2)*e^(3x)[/b]это о т в е т

Ответ выбран лучшим

1.1)
у`=e^(x^3)*(x^3)`=3x^2*e^(x^3)

y``=(3x^2)`*e^(x^3)+(3x^2)*(e^(x^3))`=6x*(e^(x^3))+3x^2*3x^2*e^(x^3)=

=(6x+9x^4)*e^(x^3)

y```=(6x+9x^4)`*e^(x^3)+(6x+9x^4)*(e^(x^3))`=

=(6+9*4x^3)`*e^(x^3)+(6x+9x^4)*(e^(x^3))*(3x^2)=

=(6+36x^3+18x^3+27x^6)*e^(x^3)=

=[b](6+54x^3+27x^6)*e^(x^3).[/b]

2
x`_(t)=e^(2t)*2
y`_(t)=e^(3t)*3

y`_(x)=[m]\frac{y`_{t}}{x`_{t}}=\frac{3e^{3t}}{2e^{2t}}=\frac{3}{2}e^{t}[/m]

y``_(xx)=[m]\frac{(y`_{x})`_{t}}{(x`_{t})`_{t}}=\frac{3}{2}\frac{e^{t}}{4e^{2t}}=\frac{3}{8e^{t}}[/m]

3.
(x^3+y^3-3axy)`=0
3x^2+3y^2*y`-3ay-3ax*y`=0

(3y^2-3ax)*y`=3ay-3x^2

y`=[m]\frac{3ay-3x^2}{3y^2-3ax}[/m]

Ответ выбран лучшим

Чтобы найти точки пересечения прямой y=x-1 и параболы
y=2x^2+ax+1 приравниваем правые части:

x-1=2x^2+ax+1

Абсицсса -это координата по оси х, т.е по условию x=2

Подставляем 2 вместо х и получаем уравнение относительно а:

2-1=2*2^2+а*2+1

2а=-8

a=[b]-4[/b]

Ответ выбран лучшим

2m кг [i]раствора[/i] составляют 100%
x кг [i]воды [/i]составляют 99%

х=2m*99/100=[b]1,98m кг [/b]воды в растворе

1,98m - m =0,98 m кг воды осталось после того как выпарили m кг воды

2m-m=m кг - масса всего раствора после того как выпарили m кг воды

Рассуждаем так же:

m кг[i] раствора[/i] составляют 100%
0,98m кг [i] воды[/i] составляют p%

p=0,98*m*100/m=98%

О т в е т. [b]98%[/b] [i] воды[/i] в растворе

Ответ выбран лучшим

Уравнение оси ох: y=0

По требованию задачи нужно найти при каких k график
y=kx^2+(2k-1)*x+(k-3) и y=0 имеют одну общую точку

Приравниваем правые части.
Получаем уравнение
kx^2+(2k-1)*x+(k-3) =0

Когда квадратное уравнение имеет один корень?
Когда его D=0

D=(2k-1)^2-4*k*(k-3)=4k^2-4k+1-4k^2+12k=8k+1

8k+1=0

k=-1/8

k=[b]- 0,125[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть участников турнира n человек, каждый сыграл (n-1) партию,
( потому что сам с собой не играют)
Получили n*(n-1)
Но так как партия А с В и В с А - это одна и таже партия, то полученный ответ делим пополам

n*(n-1)/2=91

Раскрываем скобки и решаем кв. уравнение
n^2-n-182=0
D=1+728=729

n=(1 ± 27)/2

n=14

О т в е т. 2)

Ответ выбран лучшим

Формула:
sqrt(x^2)=|x|

Поэтому

sqrt((a-1)^2)=|a-1|

Если a<1, значит a-1 < 0, тогда |a-1|= - (a - 1)= - a + 1

sqrt((a-1)^2)+a=|a-1|+a=-a+1+a=[b]1[/b]

О т в е т. [b]1[/b]

Ответ выбран лучшим

Если число четное, то его можно записать формулой
x=2n
x^2=(2n)^2=4n^2
4n^2 делится на 4 нацело, остаток от деления на 4 равен 0

Если число нечетное:
x=2n+1
x^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1

4n^2 кратно 4
4n кратно 4
значит
остаток от деления равен 1

О т в е т. 1) 0 или 1

Ответ выбран лучшим

А _________ М ( место встречи) _________ В

x км в час - скорость того, что выехал из А ( первый)
y км в час - скорость того, что выехал из В ( второй)

Исследуем что произошло [i]после вcтречи[/i]:

Первый проехал путь МВ со скоростью х км в час за 45 мин=3/4 часа
[m]МВ=\frac{3}{4}\cdot х[/m]
Второй проехал путь АМ со скоростью у км в час за 20 мин=1/3 часа
[m]АМ=\frac{1}{3}\cdot y[/m]

Весь путь 80 км,значит

АМ+МВ=80

Первое уравнение:

[m]\frac{1}{3}\cdot y+\frac{3}{4}\cdot х=80[/m]

До встречи, наоборот, первый ехал [m]АМ[/m] со скоростью х км в час
и затратил
[m]\frac{\frac{1}{3}\cdot y}{x}=\frac{y}{3x}[/m]

Второй ехал[m] ВМ [/m]со скоростью у км в час и затратил

[m]\frac{\frac{3}{4}\cdot x}{y}=\frac{3x}{4y}[/m]

Выехали одновременно и встретились, значит время одинаковое.Можно приравнять:
[m]\frac{y}{3x}=\frac{3x}{4y}[/m]

Получаем систему уравнений:
{[m]\frac{y}{3x}=\frac{3x}{4y}[/m]⇒ 4y^2=9x^2 ⇒ 2y=3x и подставим во второе
{[m]\frac{1}{3}\cdot y+\frac{3}{4}\cdot х=80[/m] ⇒ [m]\frac{1}{3}\cdot y+\frac{1}{4}\cdot 3х=80[/m] ⇒ [m]\frac{1}{3}\cdot y+\frac{1}{4}\cdot 2y=80[/m]

[m]\frac{5}{6}\cdot у=80[/m]

[m]у=96[/m]

[m]х=\frac{2\cdot 96}{3}=64[/m]

О т в е т. 64 км в час и 96 км в час

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
[b]cos(2π- β )[/b]= cos(- β)=[b]cos β [/b]

По свойству нечетности синуса
sin((-π/2)+ β )= - sin((π/2)- β )=

По формулам приведения
sin((π/2)- β )= cos β

Поэтому [b]sin((-π/2)+ β )= - cos β[/b]

По свойству четности косинуса
cos( β -3π)=cos(3π- β )

cos(3π- β )= выделяем период 2π=cos(2π+π- β )= период можно исключить
=cos( π-β )=

по формулам приведения
= - cos β

[b]cos( β -3π)= - cos β [/b]

Итак:

(2cos β +3cos β )/(-2cos β )=-5/2=-2,5

Ответ выбран лучшим

cos(3π- β )= выделяем период 2π=cos(2π+π- β )= период можно исключить
=cos( π-β )=

по формулам приведения
= - cos β

По свойству нечетности синуса
sin((-π/2)+ β )= - sin((π/2)- β )=

По формулам приведения
sin((π/2)- β )= cos β
По свойству четности косинуса
cos( β -π)=cos(π- β )
По формулам приведения
cos(π- β )=- cos β

[m]\frac{-2cos\beta+cos\beta}{-5cos\beta}=\frac{-1}{-5}=0,2[/m]

Ответ выбран лучшим

Пропорция, умножаем крайние и средние члены:
3*(2sin α +cos α +1)=4sin α +2cos α +3
6sin α +3cos α +3=4sin α +2cos α +3
6sin α +3cos α =4sin α +2cos α
2sin α =-cos α
Делим на cos α ≠ 0 ( так как если сos α =0, тогда и sin α=0, а косинус и синус одновременно равняться 0 не могут)
2tg α =-1

tg α =-1/2

Ответ выбран лучшим

32.13
см. рис. 1

p=V_(шара)/V_(куба)=[m]\frac{\frac{4}{3}\pi(\frac{a}{2})^3}{a^3}=\frac{\pi}{6}[/m]

32.14
d_(куба)=2R_(шара)

d_(куба)=asqrt(3)

p=V_(куба)/V_(шара)=[m]\frac{a^3}{\frac{4}{3}\pi(\frac{a\sqrt{3}}{2})^3}=\frac{2\sqrt{3}}{3\pi}[/m] (прикреплено изображение)

Делим и числитель и знаменатель на cos α

[m]\frac{7cos\alpha-6sin\alpha}{3sin\alpha+2cos\alpha}=\frac{\frac{7cos\alpha-6sin\alpha}{cos\alpha}}{\frac{3sin\alpha+2cos\alpha}{cos\alpha}}[/m]

Получим:

[m]\frac{7-6tg α}{3tg α +2}[/m]

при tg α =3

О т в е т. [m]\frac{7-6\cdot 3}{3\cdot 3+2}=-\frac{11}{11}=-1[/m]

Ответ выбран лучшим

1=sin^2x+cos^2x

5sin^2x-14sinx*cosx-3cos^2x=2*(sin^2x+cos^2x)

3sin^2x-14*sinx*cosx-5cos^2x=0

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.

Делим на соs^2x ≠ 0

3tg^2x-14tgx-5=0

D=(-14)^2-4*3*(-5)=196+60=256

tgx=-1/3 или tgx=5

x=arctg(-1/3)+πk, k ∈ Z или x=arctg5+πn, n ∈ Z

О т в е т. - arctg(1/3)+πk, k ∈ Z; arctg5+πn, n ∈ Z

прошли 3/7, осталось пройти 4/7 или 24 км

1/7 составляет 24:4=6 км

весь маршрут 7/7, т. е в 7 раз больше

6*7=42 км весь маршрут

Каноническое уравнение гиперболы:
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

Асимптоты гиперболы:
y= ± [m]\frac{b}{a}[/m]

По условию они перпендикулярны, значит произведение угловых коэффициентов равно (-1):

(b/a)*(-b/a)=-1 ⇒ b^2=a^2 ⇒ b=a

т. е уравнение гиперболы имеет вид:

x^2-y^2=a^2

b^2=c^2-a^2

a=b ⇒ c^2=2a^2

c=a*sqrt(2)
ε =с/a=sqrt(2)- эксцентриситет гиперболы.

r_(2)=F_(1)M=sqrt((-6-c)^2+y^2)
r_(1)=F_(2)M=sqrt((-6+c)^2+y^2)

r_(2):r_(1)=3+2sqrt(2)

(прикреплено изображение)

а) кривая рассматривается на [-5;2]

б) график расположен в полосе между прямыми
y=-2 и y=5

в)
f `(x) < 0 на (-3;-1) ⇒
кривая убывает на (-3;-1)

f `(x) >0 на (-5;-3) и на (-1;2) ⇒
кривая возрастает на (-5;-3) и на (-1;2)

f`(x)=0 при х=3 ⇒ касательная к кривой в точке x=-3 параллельна оси Ох

г) кривая пересекает ось ох в точках
(-4;0) и (-1;0)

cм. рис. (прикреплено изображение)

Все восемь на второй,
один на первой и семь на второй,
два на первой и шесть на второй
три на первой и пять на второй
четыре на первой и четыре на второй
пять на первой и три на второй
шесть на первой и два на второй
семь на первой и один на второй
все восемь на первой

Всего 9 способов

Первым может быть быть любой из шести, 6 способов
Вторым может быть любой из пяти оставшихся.
5 способов.
и так далее

По правилу умножения результаты выбора первого умножаем на результат выбора второго...

6*5*4*3*2*1=6!=720 способов..

260 и 206
268 и 286
280 и 208

620 и 602
680 и 608
682 и 628

820 и 802
860 и 806
826 и 862

О т в е т. 6*3=[b]18[/b]

Каждый обменялся с 11-тью одноклассниками

12*11=132

Все пять мячей во второй,
один в первой четыре во второй,
два в первой и три во второй
три в первой и два во второй
четыре в первой и один во второй
все пять мячей в первой

Всего 6 случаев

y`=dy/dx

(x^2-2x-1)dy=ydx

dy/y=dx/(x^2-2x-1)

∫ dy/y= ∫ dx/(x^2-2x-1)

x^2-2x-1=x^2-2x+1-2=(x-1)^2-2

∫ dy/y= ∫ dx/((x-1)^2-2)

ln|y|=ln|(x-1-sqrt(2))/(x-1+sqrt(2)|+lnC

y=C*(x-1-sqrt(2))/(x-1+sqrt(2)) - это [b]ответ[/b]

Ответ выбран лучшим

p=21/36=[b]7/12[/b]

Шесть случаев.

Если у первого выпадает 1, то у второго должна выпасть тоже только 1
p_(1)=(1/6)*(1/6)=1/36

Если у первого выпадает 2, то у второго должно выпасть только 1
или 2
p_(2)=(1/6)*(2/6)=2/36

...

p=p_(1)+p_(2)+...+p_(6)=(1/36)+(2/36)+(3/16)+(4/36)+(5/36)+(1/6)=

=21/36=[b]7/12[/b]

Из прямоугольного треугольника АС_(1)С основание треугольника
АС=a*cos α
СС_(1)=а*sin α

H_(призмы)=а*sin α

По теореме синусов:
АС/sin β =2R

R=(a*cos α)/(2sin β )

S_(бок. пов. цилиндра)=2π*R*H=2π*(a^2*cos α*sin α )/(2sin β )=

=[b]2π*(a^2sin(2 α ))/(4sin β )[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Имеем неопределенность ( ∞ / ∞ )
Устраняем.
Делим на n высшей степени. Определяем эту степень.
В знаменателе многочлен 98-ой степени, и в числителе тоже 98-ой:
(2+n)^(100)-n^(100)-200n^(99)=
раскрываем скобки по формуле Ньютона:

n^(100)+100n^(99)*2+(100*99/2)n^98*2^2+...2^(100)-n^(100)-200n^(99)= это и есть многочлен 98-ой степени

99*100*2x^(98)+... + 2^(100)

Предел дроби равен отношению коэффициентов при старших членах:

99*100*2/1=19800.

Это и есть верный ответ.
Все остальное "от лукавого".
Правила не применяются,
начинаются ошибки.
С какой стати предел знаменателя 1.
n^(98)
n → ∞
знаменатель → ∞

Ответ выбран лучшим

z=x+iy ⇔ z=|z|*(cos φ +i*sin φ )

x=-4
y=4

|z|=sqrt(x^2+y^2)
|z|=sqrt((-4)^2+4^2)=sqrt(32)=4sqrt(2)

cos φ =[m]\frac{x}{|z|}=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
sin φ =[m]\frac{y}{|z|}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

[m] φ =\frac{3\pi}{4}[/m]

[m]z=4\sqrt{2}(cos\frac{3\pi}{4}+i\cdot sin\frac{3\pi}{4})[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]cos^23x=\frac{1+cos6x}{2}[/m]

[m]\int cos^23xdx=\int \frac{1+cos6x}{2}dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\cdot sin6x+C[/m]

Катет против угла в 30 градусов равен [b]половине гипотенузы.[/b]
Значит меньшая сторона прямоугольника равна [b]4sqrt(3) [/b]

S=12*4sqrt(3)=48sqrt(3) (прикреплено изображение)

n=36 - число исходов испытания. См. таблицу.
m=26 - число исходов, на которых сумма выпавших чисел более 5
36-10=26
10 выделено зелёным цветом там сумма меньше или равна 5

p=m/n=26/36=[b]13/18[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Центры окружностей О_(1) и О_(2) лежат на биссектрисе угла В
см. рис.
Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Из О_(1)О_(2)К:
r_(2)=8
r_(1)=x
r_(2)=r_(1)+(x+8)/2=x+(x/2)+4

x+(x/2)+4=8

1,5x=4
x=4:1,5
x=8/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1=cos^2x+sin^2x

cos^2x+sin^2x-3cos^2x=2sinx*cosx

sin^2x-2sinx*cosx-2cos^2x=0

Это однородное тригонометрическое уравнение.
Делим на cos^2x:

tg^2x-2tgx-2=0

D=4+8=12

tgx=1-sqrt(3); tgx=1+sqrt(3)

x=[b]arctg(1-sqrt(3))+πk, [/b]k ∈ Z или х=[b]arctg(1+sqrt(3))+πn[/b], n∈ Z

2cos((π/6)–3x) ≤ –3 ⇒cos((π/6)–3x) ≤ –1,5

неравенство не имеет решений, так как -1 ≤ cos((π/6)–3x) ≤ 1

Если в условии:

[b]2cos((π/6)–3x) ≤ –sqrt(3)[/b], то

cos((π/6)–3x) ≤ –sqrt(3)/2,

((π/6)–3x) =cos(3x-(π/6)) в силу четности косинуса

cos(3x-(π/6)) ≤ –sqrt(3)/2,

(5π/6)+2πn ≤ 3x-(π/6) ≤ (7π/6)+2πn, n ∈ Z

(5π/6)+(π/6)+2πn ≤ 3x ≤ (7π/6)+(π/6)+2πn, n ∈ Z

(π)+2πn ≤ 3x ≤ (8π/6)+2πn, n ∈ Z

(π/3)+(2π/3)n ≤ x ≤ (4π/9)+(2π/3)n, n ∈ Z это О т в е т

[m]\frac{2}{log_{2}x}+\frac{5}{log^{2}_{2}x-log_{2}x^3}=\frac{log_{2}x}{log_{2}\frac{x}{8}}[/m]

ОДЗ:
{x>0
{[m]log_{2}x ≠ 0[/m] ⇒ x ≠ 1
{[m]log^2_{2}x -log_{2}x^3 ≠ 0 [/m]⇒ [m]log_{2}x^2 ≠ 3log_{2}x [/m]
{[m]log_{2}\frac{x}{8} ≠ 0[/m] ⇒[m]\frac{x}{8} ≠ 1[/m]

x ∈ (0;1)U(1;8)U(8;+ ∞ )

Тогда

[m]log_{2}x^3 =3log_{2}x[/m]
[m]log_{2}\frac{x}{8}=log_{2}x-log_{2}8=log_{2}x-3[/m]

[i]замена переменной:[/i]
[m]log_{2}x=t[/m]

и уравнение принимает вид:

[m]\frac{2}{t}+\frac{5}{t\cdot(t-3)}=\frac{t}{t-3}[/m]

[m]\frac{2}{t}+\frac{5}{t\cdot(t-3)}-\frac{t}{t-3}=0[/m]

[m]\frac{2\cdot(t-3)+5-t^2}{t\cdot(t-3)}=0[/m]

[m]\frac{(t-1)^2}{t\cdot(t-3)}=0[/m]

t=1
t ≠ 0; t ≠ 3

[m]log_{2}x=1[/m]

x=2
2 ∈ ОДЗ

О т в е т. [b]2[/b]

Ответ выбран лучшим

Случайная величина Х - число деталей первого сорта среди отобранных может принимать значение 1; 2; 3

Находим вероятности этих событий
p_(1) = (С^(1)_(5)*C^(2)_(2))/C^(3)_(7)=5/35
p_(2) = (С^(2)_(5)*C^(1)_(2))/C^(3)_(7)=20/35
p_(3) = С^(3)_(5)/C^(3)_(7)=10/35

Cчитаем по формуле:

C^(k)_(n)=n!/((n-k)!*k!)

Сумма вероятностей p_(1)+p(2)+p_(3) =1

Таблица
в первой строке:1;2;3
во второй 5/35;20/35);10/35

По определению
M(X)=1*(5/35)+2*(20/35)+3*(10/35)=75/35=[b]15/7[/b]

[b]D(X)=M(X^2) - (M(X))^2;[/b]

M(X^2)=(1)^2*(5/35)+2^2*(20/35)+3^2(10/35)=5

D(X)=5-(15/7)^2= легко сосчитать

F(X) - ступенчатая функция,
на (- ∞ ;1) она равна 0
на [1;2) она равна 5/35
на {2;3) она равна (5/35)+(20/35)=25/35
на [3;+ ∞ ) 1

P(X ≤ 2)=P(X=1)+P(X=2)=25/35

cм. рис.

L^2=R^2+R^2;

L^2=(28sqrt(2))^2+(28sqrt(2))^2=28^2*2+28^2*2=28^2*(2+2)=28^2*4=(28*2)^2

L=sqrt((28*2)^2)=56

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) z_(1)+z_(2)=( 5 - i)+(1+3*i)= 5-i+1+3i=[b]6+2i[/b]
2)z_(1)*z_(2)=( 5 - i)*(1+3*i)= 5*1-i*1+5*3i-5*3i-i*3i=

(так как i*i=i^2=-1)

=5-i+15i+3=[b]8+14i[/b]

3)z_(1)- z_(2)==( 5 - i)-(1+3*i)= 5-i-1-3i=[b]4-4i[/b]

4) z_(1)/z_(2)=[m]\frac{ 5-i}{1 +3i}[/m]
( умножаем и числитель и знаменатель на (1-3*i))

=[m]\frac{ (5-i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\frac{ 5\cdot 1-i\cdot 1-5\cdot 3i+i\cdot 3i}{1-9i^2}=\frac{ 5-i-15i+3i^2}{1+9}=\frac{2-16i}{10}[/m]=[b]0,2-0,8i[/b]

5)z^2_(1)=( 5 - i)^2=5-10i+i^2=5-10i-1=[b]4-10i[/b]

6)z^2_(2)=(1+3\cdot i)^2=1+6i+9i^2=6i+1-9=[b]-8+6i[/b]

Ответ выбран лучшим

Находим m чистого в–ва в первом растворе
m_(1)=200·0,05=10 г.

Находим m чистого в–ва во втором растворе
m_(2)=150·0,45=67,5 г.

Масса раствора стала равной 200+150=350.

Находим массовую долю растворённого вещества в образовавшемся растворе.

w=([m]\frac {10+67,5}{350}[/m])·100%=22%

Ответ выбран лучшим

1.
[m]\lim_{x \to 1}\frac{1-x}{1-sin\frac{\pi x}{2}}=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)`}{(1-sin\frac{\pi x}{2})`}=[/m]
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{-1}{-cos\frac{\pi x}{2}\cdot (\frac{\pi x}{2})`}=\lim_{x \to 1}\frac{-1}{-cos\frac{\pi x}{2}\cdot (\frac{\pi }{2})}=

\frac{-2}{\pi\cdot(-cos\frac{\pi}{2})}=\infty[/m]

2.
[m]\lim_{x \to\infty }\frac{e^{x}}{x^5}=\lim_{x \to\infty }\frac{(e^{x})`}{(x^5)`}=\lim_{x \to\infty }\frac{e^{x}}{5x^4}=[/m]

[m]=\lim_{x \to\infty }\frac{(e^{x})`}{(5x^4)`}=\lim_{x \to\infty }\frac{e^{x}}{5\cdot 4 x^3}=...=[/m]

[m]\lim_{x \to\infty }\frac{e^{x}}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\infty[/m]

3.
[m]\lim_{x \to0 }arcsin2x\cdot ctg3x=\lim_{x \to0 }\frac{arcsin2x}{tg3x}=[/m]

[m]=\lim_{x \to0 }\frac{(arcsin2x)`}{(tg3x)`}=
\lim_{x \to0 }\frac{\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}{\frac{3}{cos^23x}}=\frac{2}{3}[/m]

Проще через эквивалентность:
[m]\lim_{x \to0 }arcsin2x\cdot ctg3x=\lim_{x \to0 }\frac{arcsin2x}{tg3x}=\lim_{x \to 0 }\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}[/m]

4.
[m]\lim_{x \to 4}(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x^2-16})=\lim_{x \to 4}\frac{x+4-1}{x^2-16}=\lim_{x \to 4}\frac{(x+3)`}{(x^2-16)`}=[/m]
[m]=\lim_{x \to 4}\frac{1}{2x}=\frac{1}{8}[/m]

5.
Обозначим
[m]y=(sin5x)^{3x}[/m]
Логарифмируем

[m]lny=3x\cdot ln(sin5x)[/m]

[m]lim_{x→0}lny= lim_{x→0}3x\cdot ln(sin5x)=3 lim_{x→0} \frac{ln(sin5x)}{\frac{1}{x}}=[/m]

неопределённость (∞/∞).

Применяем правило Лопиталя:

[m]lim_{x→0}\frac{(lnsin5x)`}{\frac{1}{x})`}=lim_{x→0}\frac{\frac{(sin5x)`}{sin5x}}{-\frac{1}{x^2}}=[/m]

[m]=lim_{x→0}\frac{5cos5x\cdot x^2}{sin5x}=0[/m]

Получили

lim_(x→0)lny= 0

Меняем знак предела и знак непрерывной функции

ln(lim_(x→0)y)=0

lim_(x→0)y=e^(0)=1

О т в е т. [b]1[/b].

Ответ выбран лучшим

Находим m чистого в-ва (ортофосфорной кислоты):
m=700*0,35=245 г.

Добавили 200 г воды и масса раствора стала равной 700+200=900.

Находим массовую долю растворённого вещества в образовавшемся растворе.

w=([m]\frac{245}{900}[/m])*100%=27,2%

Так как сумма членов с четными номерами меньше суммы членов с нечётными номерами, то прогрессия содержит нечётное число членов.

Пусть в прогрессии (2m+ 1) членов.

Тогда (m+1) членов с[i] нечётными [/i]номерами и m членов с[i] чётными [/i]номерами

Члены прогрессии с нечётными номерами образуют новую прогрессию:
a_(1); a_(3); a_(5),..., a_(2m+ 1)

S_(нечёт)= [m]\frac{a_{1}+ a_{2m+ 1}}{2}\cdot (m+1)[/m]

Члены прогрессии с чётными номерами образуют новую прогрессию:
a_(2); a_(3); a_(5),..., a_(2m)

S_(чёт)= [m]\frac{a_{2}+ a_{2m}}{2}\cdot m[/m]

Так как [m] a_{2}=a_{1}+ d[/m] и [m]a_{2m}=a_{2m+ 1}-d[/m],
то
S_(чёт)= [m]\frac{a_{1}+ d+ a_{2m+ 1}-d}{2}\cdot m[/m]

S_(чёт)= [m]\frac{a_{1}+ a_{2m+ 1}}{2}\cdot m[/m]

По условию S_(чёт)=0,9*S_(нечёт)

Уравнение:
[m]\frac{a_{1}+ a_{2m +1}}{2}\cdot m[/m]=0,9* [m]\frac{a_{1}+ a_{2m+ 1}}{2}\cdot (m+1)[/m]

m=0,9*(m+ 1)
0,1m=0,9
m=9

n=2m 1=2*9+ 1=18

О т в е т. 18

Куб вписан в шар, значит диагональ куба равна диаметру шара.
см. рис.

Все диагонали куба равны между собой.

Диагональ параллелепипеда вычисляется по формуле:
[r]d^2=a^2+b^2+c^2 [/r]

У куба все ребра равны: a=b=c

Значит

d^2=a^2+a^2+a^2

[b]d^2=3a^2[/b]

так как [b]d[/b]=2R=[b]2sqrt(3)[/b]

(2sqrt(3))^2=3a^2 ⇒ 4*3=3a^2 ⇒ a^2=4; [b]a=2[/b]

V_(куба)=a^3=2^3=[b]8 [/b]

О т в е т. 8
(прикреплено изображение)

[i]Замена переменной:[/i]
[m]x^2+y^2=u[/m]
[m]x\cdot y=v[/m]
тогда

[m]x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=u^2-2v^2[/m]

[m]x^4+x^2y^2+y^4==u^2-2v^2+v^2=u^2-v^2[/m]

Система принимает вид:

{[m]u+v=19[/m]
{[m]u^2-v^2=133[/m]

{[m]u+v=19[/m]
{[m](u-v)\cdot (u+v)=133[/m]

{[m]u+v=19[/m]
{[m](u-v)\cdot 19=133[/m]

{[m]u+v=19[/m]
{[m]u-v=7[/m]

Складываем:
{[m]2u=26[/m]
{[m]u-v=7[/m]

{[m]u=13[/m]
{[m]v=u-7=6[/m]

Обратный переход:

{[m]x^2+y^2=13[/m]
{[m]x\cdot y=6[/m]

Второе умножаем на 2:
{[m]x^2+y^2=13[/m]
{[m]2\cdot x\cdot y=12[/m]

Складываем:
[m](x+y)^2=25[/m] ⇒ [m] x+y=5 [/m] или [m]х+у=-5[/m]
Вычитаем
[m](x-y)^2=1[/m] ⇒ [/m] x-y=1[m] или [/m]x-y= -1[m]

(прикреплено изображение)

Существует шесть случаев расположения квадратного трехчлена в зависимости от коэффициента а и дискриминанта D
см. рис.

На каждом рисунке неравенство
ax^2+bx+c >0
имеет решения или не имеет

При a > 0
(см. верхние рисунки) ветви параболы направлены вверх

На первом рисунке неравенство верно при любом х
На втором - верно при всех х, кроме одного значения.
На третьем верно при x_(1) < x < x_(2)

Поэтому если в вопросе задачи спрашивается про неравенство, которое верно для любых х, значит спрашивают про случай рис. 1

{a>0 ⇒ a>0
{D>0 ⇒ (-1/2) < a < (1/14)

D=(-1)^2-4a*(7a+3)=1-28a^2-12a=-28a^2-12a+1

-28a^2-12a+1 > 0

28a^2+12a-1 < 0

Решаем квадратное неравенство относительно а:

находим дискриминант:

D=144-4*28*(-1)=144+112=256

a_(1)=(-12-16)/56=-1/2; a_(2)=(-12+16)/56=1/14

28a^2+12a-1 < 0 верно

при (-1/2) < a < (1/14)

Решение системы 0 < a < 1/14

О т в е т. При а ∈ (0; 1/14) неравенство выполняется для любого х

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,6*480=288 деталей обточили
480-288=192 детали осталось обточить

Ответ выбран лучшим

15х+6-10х+14=5х+20

при х=0,7

5*0,7+20=3,5+20=23,5

Ответ выбран лучшим

0,4 га убрал
осталось
1-0,4=0,6 площади

0,6 составляют 12 га

0,1 составляет 2 га

все поле в десять раз больше, т.е
20 га

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=44958

Ответ выбран лучшим

0,7*350=245 км проехал

350-245=... км - осталось

Ответ выбран лучшим

b_(2)=b_(1+1)=2b_(1)=2*3=6
b_(3)=b_(2+1)=2b_(2)=2*6=12
...
числа кратны 6

О т в е т. В. 96

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=44957

Ответ выбран лучшим

На 7 делится каждое седьмое число:
250:7=[b]35[/b] чисел делится на 7 из первых 250-ти чисел

a_(1)=7

d=7

a_(n)=7+7*(n-1)

a_(n) < 250

7+7*(n-1) <250

7*(n-1) < 250-7

7*(n-1) < 243

n-1 < 34,7
n<35,7

[b]n=35[/b]

[m]c_{1}=\frac{(-1)^{1}}{1}=-1[/m]

[m]c_{2}=\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2}[/m]

[m]c_{3}=\frac{(-1)^{3}}{3}=-\frac{1}{3}[/m]

[m]c_{4}=\frac{(-1)^{4}}{4}=\frac{1}{4}[/m]

[m]c_{5}=\frac{(-1)^{5}}{5}=-\frac{1}{5}[/m]

[m]c_{6}=\frac{(-1)^{6}}{6}=\frac{1}{6}[/m]

О т в е т. Г

Ответ выбран лучшим

Делим на 2:

sin2x=(1/2)sinx-(sqrt(3)/2)cosx

Вводим вспомогательный угол:

sin2x=cos(π/3)sinx-sin(π/3)cosx

sin2x=sin(x-(π/3))

sin2x-sin(x-(π/3))=0

2sin((x/2)+(π/6))*cos((3x/2)-(π/6))=0

(x/2)+(π/6)=πk, k ∈ Z

x/2=-(π/6)+πk, k ∈ Z

[b]x=-(π/3)+2πk, k ∈ Z[/b]

или

(3x/2)-(π/6)=(π/2) +πn, n ∈ Z

(3x/2)=(2π/3)+πn, n ∈ Z

[b]x=(4π/9)+(2/3)πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

a; a-d; a-2d - три числа образуют убывающую арифм. прогрессию

a^2; (a-d)^2; (a-2d)^2 - геометр. прогрессия,
основное свойство которой:

[red](a-d)^2 = sqrt(a^2*(a-2d)^2)[/red]

a+ a-d+ a-2d=36

3a-3d=36

[b]a-d=12[/b] ⇒ a=12+d

и подставляем в равенство основного свойства:

[red]12^2=sqrt((12+d)^2*(12-d)^2)[/red]

144=sqrt((144-d^2)^2)

144=|144-d^2|

144=d^2-144

d^2=288

d= ± sqrt(288)= ± 12sqrt(2)

a=[b]12+12sqrt(2)[/b]

a-d=[b]12[/b]

a-2d=[b]12-12sqrt(2) [/b]

Начиная с какого номера члены этой прогрессии меньше 100, т. е найти n, если
a_(n) < 100

a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(n)=380+(-6)*(n-1)

Cоставляем неравенство
380+(-6)*(n-1) < 100
и его решаем

380-100 < 6(n-1)

6(n-1)>280

n-1 > 280/6

n> 1+(280/6)

n>1+46,6

n>47,6

n=48

b_(n)–геометрическая прогрессия.
b_(5)=5
b_(9)=12,5
Найдите b_(1)

Решение

b_(5)=b_(1)*q^4
b_(9)=b_(1)*q^8

Делим b_(9) на b_(5)
получим
b_(1)*q^8/b_(1)*q^4= q^4

b_(9) / b_(6)=12,5/5=2,5

q^4=2,5

Подставляем в b_(5)

b_(5)=b_(1)*q^4

5=b_(1)*2,5

b_(1)=2

b_(n)–геометрическая прогрессия.
b_(4)=8
b_(6)=12.
Найдите b_(8)

Решение

b_(4)=b_(1)*q^3
b_(6)=b_(1)*q^5

Делим b_(6) на b_(4)
получим
b_(1)*q^5/b_(1)*q^3= q^2

b_(6) / b_(4)=12/8=3/2

b_(8)=[b]b_(7)[/b]*q=([b]b_(6)*q[/b])*q=b_(6)*q^2=12*(3/2)=18

0,2=0,2+0,02+0,002 +... - сумма б. уб. геом. прогрессии q=0,1=

=0,2/(1-0,1)=0,2/0,9=2/9

0,36=0,36 +0,0036 +... сумма б. уб. геом. прогрессии q=0,01=

=0,36*/(1-0,01)=36/99

198 * (2/9)*(36/99)=16 (прикреплено изображение)

[m]\frac{2}{log_{6}x+1}\leq 1[/m]

[m]\frac{2}{log_{6}x+1}-1\leq 0[/m]

[m]\frac{2-log_{6}x-1}{log_{6}x+1}\leq 0 [/m]

[m]\frac{1-log_{6}x}{log_{6}x+1}\leq 0 [/m]

[m]\frac{1-t}{t+1}\leq 0 [/m]

_+__ (-1) __-__ [1] _+__

-1 < log_(6)x ≤ 1

log_(6)6^(-1) < log_(6)x ≤ log_(6)6

6^(-1) < x ≤ 6

О т в е т. (1/6; 6]

Ответ выбран лучшим

1 м =100 см
1 см=10 мм

1м=1000 мм

[b]90 см=0,9м[/b]

[b]90 см=900 мм[/b]

ОДЗ: x > 0

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки

1)
{log_(2)x>0
{log_(3)x -1 <0 ⇒ log_(3)x < 1

Система
{log_(2)x>0 ⇒ x > 1
{ log_(3)x < log_(3)3⇒ x <3

имеет решения при

[b]1< x<3[/b]

ИЛИ

2)
{log_(2)x<0
{log_(3)x -1 >0 ⇒ log_(3)x >1

Система
{log_(2)x<0 ⇒0 < x < 1
{ log_(3)x >log_(3) 3 ⇒ x >3

не имеет общего решения

О т в е т. (1;3)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

Произведение двух множителей положительно, когда множители имеют одинаковые знаки

[i]Оба положительны:[/i]
{log_(3)x>0
{log_(2)x -3 >0 ⇒ log_(2)x > 3

Система
{log_(3)x>0 ⇒ x > 1
{ log_(2)x > 3⇒ x > 8

имеет решения при

[b]x>8[/b]

Оба отрицательны
{log_(3)x<0
{log_(2)x -3 <0 ⇒ log_(2)x <3

Система
{log_(3)x<0 ⇒ x < 1
{ log_(2)x < 3 ⇒ x <8
имеет решения при
l
[b]x<1[/b]

C учетом ОДЗ:
(0;1)U(8;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

1)
2sinwt*coswt=sin2wt ⇒ sinwt*coswt=(1/2)sin(2wt)

sinwt*coswt*cos(2wt)=(1/2)sin(2wt)*cos(2wt)=(1/4)(sin4wt)

= ∫ (1/4)(sin4wt)=(1/16)(-cos4wt)+C

2)
d(1+2x)=(1+2x)`dx=2dx

dx есть под интегралом.
Не хватает 2.
Умножаем на 2 в числителе и выносим (1/2) за знак интеграла

[m]\int \frac{dx}{(1+2x)^3}=\frac{1}{2}\int (1+2x)^{-3}d(1+2x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1+2x)^-2}{-2}+C=[/m]
[m]=-\frac{1}{4\cdot (1+2x)^2}+C[/m]

3)Формула
∫ du/u= ln|u|+C

d(15e^(x)+4)=(15e^(x)+4)`*dx=15e^(x)dx

e^(x)*dx есть под интегралом.
Не хватает 15.
Умножаем на 15 в числителе и выносим (1/15) за знак интеграла

[m]\int \frac{e^{x}dx}{15e^{x}+4}=\frac{1}{15} \cdot \int \frac{d(15e^{x}+4)}{15e^{x}+4}=\frac{1}{15} \cdot ln|15e^{x}+4|+C[/m]

4)
25+z^2=u
du=2zdz
zdz есть под интегралом.
Не хватает 2.
Умножаем на 2 в числителе и выносим (1/2) за знак интеграла

=[m]\frac{1}{2}\int \frac{2zdz}{\sqrt{25+z^2}}=\frac{1}{2}\int (25+z^2)^{-\frac{1}{2}}d(25+z^2) =[/m]

[m]=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt(25+z^2)+C=\sqrt{25+z^2}+C[/m]

5)=(1/8)ln(1+x^8)+C

Формула
∫ du/u=ln|u)+C
u=1+x^8
du=8x^7dx

x^7dx есть
Умножаем на 8 в числителе и выносим (1/8) за знак интеграла

6) Формула

[m]\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=arcsinu +C[/m]

u^2=4t^2 ⇒ u=2t ⇒ du=[b]2*[/b]dt

dt есть под интегралом.
Не хватает 2.
Умножаем на 2 в числителе и выносим (1/2) за знак интеграла

[m]\frac{1}{2}\int \frac{d(2t)}{\sqrt{1-(2t)^2}}=\frac{1}{2}arcsin2t+C[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]1=log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}[/m]

[m]log_{\frac{1}{3}}\frac{3x-1}{x+2}< log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}[/m]

Область существования логарифмической функции:
[m]\frac{3x-1}{x+2}>0[/m]

Функция с основанием [m]\frac{1}{3}[/m]монотонно убывает и потому:

[m]\frac{3x-1}{x+2}>\frac{1}{3}[/m]

Cистема
{t>0
{t>1/3

имеет решения при t > 1/3

Поэтому решаем только второе неравенство

[m]\frac{3x-1}{x+2}>\frac{1}{3}[/m]

[m]\frac{3x-1}{x+2}-\frac{1}{3}>0[/m]

[m]\frac{3(3x-1)-(x+2)}{3(x+2)}>0[/m]

[m]\frac{3(3x-1)-(x+2)}{3(x+2)}>0[/m]

[m]\frac{8x-5}{3(x+2)}>0[/m]

__+__ (-2) __-__ (5/8) _+___

[b](- ∞ ;-2) U (5/8; + ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

n=100
p=0,2
q=1-p=1-0,2=0,8

np=100*0,2=20
npq=100*0,2*0,8=16

sqrt(npq)=sqrt(16)=4

Применяем [i]интегральную[/i] формулу Лапласа

P_(100) (8 ≤ x ≤ 20)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(20-20)/sqrt(16)=0
x_(1)=(8-20)/sqrt(16)=-12/4=-3

Ф(x_(2))=Ф(0)=0
Ф(x_(1))=Ф(-3)=-Ф(3)=-0,4986

О т в е т.P_(100) (8 ≤ x ≤ 20)=0-(-0,4986)=[b] 0,4986[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]1.[/b]
Рассматриваем события
А-" сдает первый экзамен"
В-"сдает второй"
С- "сдает третий"

p(A)=0,9
p(B)=0,7
p(C)=0,8

D-" сдает все три экзамена" ( и первый и второй и третий)

Союз "и" в теории вероятностей - умножение
"или" - сложение

D=A*B*C

P(D)=p(A)*p(B)*p(C)=0,9*0,7*0,8= считаем

2.
5+3+7=15 шаров всего

Испытание состоит в том, что из 15 шаров вынимают три.
Это можно сделать
[b]n[/b]=C^(3)_(15)=15!/(15-3)!*3!)=13*14*15/6=13*35=...

А - " из трех вынутых шаров один белый"

значит, два других: [b]или[/b] оба синие, или оба черные [b]или[/b] один черный, другой синий

Или - складываем

[b]m[/b]=С^(1)_(5)*С^(2)_(7)[b]+[/b]С^(1)_(5)*С^(2)_(2) [b]+[/b]С^(1)_(5)С^(1)_(7)С^(1)_(3)
=... считаем

p(A)=[b]m/n[/b]

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Математическое ожидание a=3
Дисперсия D= δ ^2=25
Средне квадратичное отклонение δ =5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

M( ξ )= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )xf_( ξ )(x)dx

f_( ξ )(x)=F`_( ξ )(x)

[m]\left\{\begin{matrix} 0,& x\leq 0\\ 18x, &0 < x \leq \frac{1}{3} \\ 0, & x>\frac{1}{3} \end{matrix}\right.[/m]

Так как функция задана на трех интервалах, то считаем интеграл как сумму интегралов на каждом интервале:

M( ξ )= ∫ ^(0)_(- ∞ )x[b]0[/b]dx+ ∫ ^([m]\frac{1}{3}[/m] )_(0 )x*(18x)dx+ ∫^(+ ∞ ) _([m]\frac{1}{3}[/m] )x*[b]0[/b]dx=

= ∫ ^([m]\frac{1}{3}[/m] )_(0 )x*(18x)dx=

=(18[m]\frac{x^3}{3}[/m])| ^([m]\frac{1}{3}[/m] )_(0 )=6*([m]\frac{1}{3}[/m])^3=[m]\frac{2}{9}[/m]

9M( ξ )=2

Ответ выбран лучшим

M(X)=1/ λ

значит, M(X)=5/4

M(4X+3)=M(4X)+M(3)=4*M(X)+3=4*(5/4)+3=5+3=[b]8[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(ln2)_(0)sqrt(e^(y)-1)dy=[i] замена переменной[/i]:

sqrt(e^(y)-1)=t
e^(y)-1=t^2
e^(y)=t^2+1
y=ln(t^2+1)
dy=2tdt/(t^2+1)

y=ln2 ⇒ t=sqrt(e^(ln2)-1)=sqrt(2-1)=1
y=0 ⇒ t=sqrt(e^(0)-1)=sqrt(1-1)=0

S= ∫ ^(1)_(0)[b]([/b]t*(2tdt/(t^2+1))[b])[/b]=

=∫ ^(1)_(0)(2t^2+2-2)dt/(t^2+1)=

=∫ ^(1)_(0)2dt-2∫ ^(1)_(0)dt/(t^2+1)=

=(2t)|^(1)_(0)-(2arctgt)|^(1)_(0)=2*1-2arctg1=2-2*(π/4)=[b]2-(π/2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке

f`(x_(o))=k_(касательной)=tg α

f `(x)= ((1/3)*x^3+5)`=(1/3)*3*x^2+0=x^2

f `(x_(o))=f`(-1)=(-1)^2=1

tg α =[b] 1[/b]

α =45 °

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке

k_(касательной)=f`(x_(o))

f `(x)= (0,5*x^2-1)`=0,5*2x-(1)`=x-0=x

f`(-3)=-3

k_(касательной)=[b] -3[/b]

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

f(x_(o))=f(-2)=(-2)^2+2*(-2)+1=1

f ` ( x) = (x^2+2x+1)` =2x+2

f `(x_(o))=f`(-2)=2*(-2)=2=-2

y - 1 = -2*(x-(-2))

y=-2x-3 - уравнение касательной

Ответ выбран лучшим

0 ≤ x ≤ π/6 или 5π/6≤ х ≤ π

Cм. рис. График y=sinx
(прикреплено изображение)

q=b_(2)/b_(1)=-1/5

q=b_(3)/b_(2)=(1/5)/(-1)=-1/5

S_(8)=[m]\frac{b_{1}\cdot(1-q^{8})}{1-q}[/m]

S_(8)=[m]\frac{5\cdot(1-(-\frac{1}{5})^{8})}{1-(-\frac{1}{5})}[/m]

5^2=25
5^4=625
5^8=625*625=390625

S_(8)=[m]\frac{5\cdot(1-\frac{1}{390625})}{1+(\frac{1}{5})}[/m]=

=[m]\frac{5\cdot(\frac{390625-1)}{390625}}{\frac{6}{5}}[/m]=

=[m]\frac{390624}{6\cdot 15625}=\frac{65104}{15625}=4\frac{2604}{15625}=4,166656[/m]

[i]Основное свойство[/i] геометрической прогрессии:

[r]b_(n)=sqrt(b_(n+1)*b_(n-1))[/r],

т.е каждый член прогрессии равен среднему геометрическому ( почему и называние такое) двух соседних членов:

[r]b^2_(n)=b_(n+1)*b_(n-1)[/r]
⇒
b^2_(4)=b_(3)*b_(5)

b_(3)=[blue]2sqrt(2)[/blue]; b_(5)=sqrt(2)

b^2_(4)=2sqrt(2)*sqrt(2)

b^2_(4)=4

[b]b_(4)=2[/b], по условию все члены положительны

b_(4)=b_(3)*q

2=[blue]2sqrt(2)[/blue]*q

1=sqrt(2)*q

q=[m]\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m] - о т в е т.

b_(4)=b_(1)*q^3
b_(7)=b_(1)*q^6

Делим:
b_(7)/b_(4)=(b_(1)*q^6)/(b_(1)*q^3)=q^3

b_(7)/b_(4)=125/1=125

q^3=125

b_(4)=b_(1)*q^3

1=b_(1)*125

b_(1)=1/125

a_(4)+a_(12)=a_(1)+3*d+a_(1)+11*d=2a_(1)+14d=2([b]a_(1)+7d[/b])=2[b]a_(8)[/b]
По условию:
a_(4)+a_(12)=-5+17
значит
2a_(8)=12
a_(8)=[b]6[/b]

[m]S_{5}=\frac{a_{1}+a_{5}}{2}\cdot 5[/m]

[m]S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot 10[/m]

{(a_(1)+a_(5))*5=45*2
{(a_(1)+a_(10))*10=190*2

{a_(1)+a_(1)+4*d=18⇒ 2a_(1)=18-4*d
{a_(1)+a_(1)+9*d=38 ⇒ 18-4*d+9*d=38 ⇒ 5d=20; d=4

2a_(1)=18-4*4
2a_(1)= 2
a_(1)=[b] 1[/b]

a_(n)–арифметическая прогрессия.
а_(3)+а_(11)=12.
Найдите а_(7)
Решение
a_(3)+a_(11)=a_(1)+2*d+a_(1)+10*d=2a_(1)+12d=2([b]a_(1)+6d[/b])=2[b]a_(7)[/b]
По условию:
a_(3)+a_(11)=12
значит
2a_(7)=12
a_(7)=6

a_(2)+a_(12)=a_(1)+d+a_(1)+11*d=2a_(1)+12d=2([b]a_(1)+6d[/b])=2[b]a_(7)[/b]
a_(2)+a_(12)=8
2a_(7)=8
a_(7)=4

[m]S_{5}=\frac{a_{1}+a_{5}}{2}\cdot 5[/m]

[m]S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot 10[/m]

{(a_(1)+a_(5))*5=40*2
{(a_(1)+a_(10))*10=165*2

{a_(1)+a_(1)+4*d=16 ⇒ 2a_(1)=16-4*d
{a_(1)+a_(1)+9*d=33 ⇒ 16-4*d+9*d=33 ⇒ 5d=17; d=3,4

2a_(1)=16-4*3,4
2a_(1)= 2,4
a_(1)=[b] 1,2[/b]

a_(3)+a_(11)=a_(1)+2*d+a_(1)+10*d=2a_(1)+12d=2([b]a_(1)+6d[/b])=2[b]a_(7)[/b]
a_(3)+a_(11)=5+17=22
2a_(7)=22
a_(7)=11

Ответ выбран лучшим

[m]d=a_{n+1}-a_{n}=\frac{5-6(n+1)}{3}-\frac{5-6n}{3}=\frac{5-6n-6-5+6n}{3}=-2[/m]

Ответ выбран лучшим

a_(5)+a_(7)=a_(1)+4d+a_(1)+6d=2([b]a_(1)+5d[/b])=2[b]a_(6)[/b]
2a_(6)=10
a_(6)=5

Ответ выбран лучшим

S_( Δ BDK)=BD*KO/2

BD=AC=2sqrt(2) - диагонали квадрата АВСD со стороной 2
ОС=СК=АС/2=sqrt(2)
По теореме Пифагора из ΔОСК
KO^2=(sqrt(2))^2+sqrt(2)^2=4
KO=2

S_( Δ BDK)=[b]2sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскрываем знак модуля по определению:

если (x-a^2) ≥ 0, [b] x ≥ a^2[/b]
|x-a^2|=x-a^2
f(x)=x^2-2*(x-a^2)-4x

f(x)=x^2-6x+2a^2- квадратичная функция имеет [b]точку минимума x=3[/b]
при [b] x ≥ a^2[/b]

если (x-a^2) < 0, [b] x < a^2[/b]
|x-a^2|=-x+a^2
f(x)=x^2-2*(-x+a^2)-4x

f(x)=x^2-2x-2a^2- квадратичная функция имеет [b]точку минимума x=1[/b]
f(1)=1-2-2a^2=-1-2a^2 <0
при [b] x < a^2[/b] ⇒

При

1 < a^2 < 3

функция имеет точку максимума. См. рис. 3
(прикреплено изображение)

а)Табличный интеграл ∫ u^(-2/5)du=u^((-2/5)+1)/((-2/5)+1)+C=(5/3)u^(3/5)+C

u=sinx
du=cosxdx

О т в е т. (5/3)* sin^(3/5)+C

в)
По частям:

u=ln(x^2+1)
du=2xdx/(x^2+1)
dv=xdx
v=(x^2/2)

=(x^2/2)*ln(x^2+1)- ∫ (x^2/2)(2xdx/(x^2+1))=

= (x^2/2)*ln(x^2+1)- ∫ (x^3/dx)/(x^2+1)= неправильная дробь...

Второй способ:
можно сделать замену

t=x^2+1
dt=2xdx

∫ хln(x^2+1)dx=(1/2) ∫ lntdt= и теперь по частям

u=lnt
dv=dt
du=dt/t
v=t

=t*lnt- ∫ dt=t*lnt-t+C=

=(x^2+1)*ln(x^2+1)-x^2-1+C

-1+ С=с в ответе можно считать просто константой.

и потому в ответе -1 может не быть

(x^2+1)*ln(x^2+1)-x^2+с

Ответ выбран лучшим

1) 2tg α -sin α +5cos α -10=0 ⇒

[m]sin \alpha \cdot(\frac{2}{cos \alpha}-1)-5cos \alpha\cdot(\frac{2}{cos \alpha}-1)=0[/m]

[m](\frac{2}{cos\alpha}-1)\cdot (tg\alpha-5)=[/m]

⇒
[m]tg \alpha-5=0[/m] ⇒

[m]tg \alpha=5 [/m] - это ответ

Остальное по образцу - САМОСТОЯТЕЛЬНО!

Ответ выбран лучшим

Переходим к логарифму по основанию 3 по формуле

[r]log_(a^(k))x=(1/k) log_(a)x [/r], x>0,а >0,a ≠ 1

(1/(1/2))log_(3)x+(1/(1/3))log_(3)x-1/((1/6))log_(3)x ≥ -2;

2*log_(3)x+3*log_(3)x-6*log_(3)x ≥ -2;

-log_(3)x ≥ -2

log_(3)x ≤ 2

log_(3)x ≤ 2*log_(3)3;

log_(3)x ≤ log_(3)3^(2)

{x ≤ 3^(2), так как лог функция с основанием 3 возрастает
{x>0 , область определения лог функции

(0;9]

О т в е т. (0;9]

Ответ выбран лучшим

а)
Пусть сторона основания равна х, высота призмы [b]H[/b]=2х

В основании квадрат.

ОС=AC/2=х*sqrt(2)/2

Из треугольника ОСС_(1) по теореме Пифагора:
ОС^2_(1)=OC^2+CC^2_(1)=(xsqrt(2)/2)^2+(2x)^2=9x^2/2
OC_(1)=3х*sqrt(2)/2

Расстояние от точки О_(1) BDC1- длина перпендикуляра О_(1)К проведенного к ОС_(1)

Это высота прямоугольного треугольника ОО_(1)С_(1), проведенного к гипотенузе ОС_(1)

О_(1)К *OC_(1)= [b]OO_(1)[/b]*O_(1)C

O_(1)C=OC_(1)=х*sqrt(2)/2

О_(1)К *(3xsqrt(2)/2)= H*x*sqrt(2)/2)

O_(1)K=[b]H/3[/b]

б)

[red]АВ=ВС=АС=AD=1[/red]

[red]H=2[/red]

Чтобы найти расстояние между [i]скрещивающимися прямыми[/i] АВ и О_(1)С, проводим плоскость α через ОС_(1) || AB.
Проводим прямую, параллельную АВ через точку О_(1)
Через точку С такая прямая есть - Это СD ( см. рис. б)

Через точку Р - середину АВ и M - середину CD проводим плоскость
PO_(1)M

Высота PT - расстояние между АВ и пл. α

Находим ее ( [i]методом площадей [/i])из равенства :
(1/2)PM*OO_(1)=(1/2)PT*О_(1)М

Из Δ О_(1)ОМ по теореме Пифагора

O_(1)M^2=OM^2+OO^2_(1)=(1/2)^2+(2)^2=17/4

O_(1)P=O_(1)M=sqrt(17)/2

PT=PM*OO_(1)/O_(1)M=1*2/sqrt(17)/2=[b]4/sqrt(17)[/b]

О т в е т. [b]4/sqrt(17)=4sqrt(17)/17[/b]

(прикреплено изображение)

{(x+1)/(x-1)>0 ⇒ x < -1 или х > 1
{(x+1)/(x-1) < (7/9) ⇒ (2x+16)/(9*(x-1)) <0 ⇒ -8 < x < 1

О т в е т. (-8;-1)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
F(x)=(x^2/2)+x+C

Подставляем координаты точки M
x=-2
y=F(-2)=3

3=((-2)^2/2)+(-2) + C

С=3

О т в е т. [b]F(x)=(x^2/2)+x+3[/b]

3.
F(x)=-cosx+C

1=-cos(π/2)+C

C=1

О т в е т.[b] F(x)=-cosx+1[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
f`(x)=(2*arccos4x+2√3)`

f`(x)=2*(arccos4x)`+0

f`(x)=2*(-(4x)`/sqrt(1-(4x)^2)

f`(x)=-8/sqrt(1-16x^2)

Объяснение см. в предыдущем вопросе.
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=44868

2.
f`(x) =4/(1+(4x)^2) +2;

3.
f`(x)=2sin3x*(sin3x)`+(1/6)*(cos6x)`-1

f`(x)=2sin3x*(cos3x)*(3x)`+(1/6)*(-sin6x)*(6x)` - 1

f`(x)=2sin3x*(cos3x)*(3)+(1/6)*(-sin6x)*(6)` - 1

так как 2sin3x*cos3x=sin6x

f`(x)=3sin6x-sin6x - 1

f`(x)=2sin6x-1

Ответ выбран лучшим

1.
(arcsinx)`=1/sqrt(1-x^2)

Для сложной функции:
(arcsin[b]u[/b])`=[b]u[/b]`/sqrt(1-[b]u[/b]^2)

(arcsin[b]2x[/b])`=([b]2x[/b])`/sqrt(1-([b]2x[/b])^2)=2/sqrt(1-4x^2)

Далее аналогично

CM=MD=4

MK- cредняя линия трапеции
KB=KA=4,5

BM ⊥ AB

Δ KBM - прямоугольный
По теореме Пифагора
KM^2=KB^2+BM^2=4,5^2+6^2=20,25+36=56,25=7,5^2

[b]KM=7,5[/b]
BC+AD=2KM=15

P ( трапеции АВСD)=AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(BC+AD)=(9+8)+15=32 см

О т в е т. 32 см

================================================
PS.

Лучше считать в обыкновенных ( не десятичных ) дробях

KB=9/2
KM^2=KB^2+BM^2=(9/2)^2+6^2=(81/4)+36=(81+144)/4=225/4=(15/2)^2

[b]KM=15/2[/b]

(прикреплено изображение)

Сечение через ось цилиндра - это осевое сечение, проведенное через диаметр АВ=2R

Второе сечение проходит через хорду AC, образующую с диаметром AB угол 45 °

Угол опирающийся на диаметр ∠ АСВ=90 °

Из прямоугольного треугольника АВС:

AC=AB*cos45 °=[b]R*sqrt(2)[/b]

S_(бок. пов цилиндра)=2π*R*H

По условию: S_(бок. пов цилиндра)=18π*sqrt(2)

2π*R*H=18π*sqrt(2)

[b]R*H[/b]=9*sqrt(2)

S_(cечения)=АС*H=R*sqrt(2)*H=[b]R*H[/b]*sqrt(2)=9sqrt(2)*sqrt(2)=

=[b]18[/b]

О т в е т.[b]18[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле геометрической вероятности

p=S_(кольца)/S_(большого круга)

p=(π*5^2-π*3^2)/(π*5^2)=16/25=[b]0,64[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ:[/red]
{(x+1)^2>0 ⇒ x ≠ -1
{3x+9>0 ⇒ x>-3

[red]x ∈ (-3;-1)U(-1;+ ∞ )[/red]

Так как
log_(3)(3x+9)=log_(3)(3*(x+3))=log_(3)3+log_(3)(x+3)=1+log_(3)(x+3)

[i]уравнение принимает вид:[/i]

log_(9)(x+1)^2=log_(3)(x+3)

[i]Применяем свойство[/i]:

[r]log_(a^(k))b^(n)=(n/k)log_(a)b, a>0; b>0 a ≠ 1[/r]

[red]log_(9)(x+1)^2[/red]=log_(3^2)(x+1)^2=(2/2)log_(3)|x+1|=[red]log_(3)|x+1|[/red]

Знак модуля, так как формула верна при a>0; b>0 a ≠ 1

[i]Уравнение принимает вид:[/i]

[b]log_(3)|x+1|=log_(3)(x+3)[/b]

На основании свойства монотонности логарифмической функции

аргументы равны:

|x+1|=x+3

Так как х+3 >0

возводим в квадрат

x^2+2x+1=x^2+6x+9
-4x=8
x=-2
-2 ∈[red] (-3;-1)U(-1;+ ∞ )[/red]

О т в е т. -2
===============

PS
после того как получено уравнение

log_(9)(x+1)^2=log_(3)(x+3)

лучше [i]применить свойство[/i]

[r]log_(a^(k))b^(n)=(n/k)log_(a)b, a>0; b>0 a ≠ 1[/r]

к правой части ( так как согласно ОДЗ: (x+3) > 0 ):

log_(3)(x+3)=log_(3^2)(x+3)^2=log_(9)(x+3)^3

Тогда получаем уравнение:

[b]log_(9)(x+1)^2=log_(9)(x+3)^2 ⇒ [/b]

(х+1)^2=(x+3)^2

(x+1)^2-(x+3)^2=0

(x+1-x-3)*(x+1+x+3)=0
-2*(2x+4)=0

2x+4=0

x=[b]-2[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть объем бассейна V м^3, а
производительность первой трубы х м^3 в час,
второй - у м^3 в час

Тогда за 1 час первая и вторая за четыре часа наполнят (х+4y) м^3.
По условию это не менее чем на четверть, т. е 0,25 V и не более 40% от V. т. е 0,4V

Двойное неравенство:
[b] 0,25*V ≤ x+4y ≤ 0,4*V[/b]

А за 3 часа первая и вторая за два часа наполнят (3х+2y) м^3.

По условию это не менее чем на 30%, т. е 0,3* V и не более 50% от V. т. е 0,5*V

Двойное неравенство:
[b]0,3*V ≤ 3x+2y ≤ 0,5*V[/b]

Cистема неравенств:
{0,25*V ≤ x+4y ≤ 0,4*V - умножаем на (-1)
{0,3*V ≤ 3x+2y ≤ 0,5*V - умножаем на 2

{0,6*V ≤ 6x+4y ≤V
{-0,4*V ≤ -x-4y ≤ -0,25*V

Складываем:
0,2*V ≤5x ≤0,75*V
0,04*V ≤ x ≤ 0,15*V

0,15*V это 15% от V

Наибольшее значение 15%

О т в е т. 15%

Ответ выбран лучшим

А ____ 60 км _____ В _______ С

Пусть x км в час - скорость поезда из А,
у км в час - скорость поезда из B,
Пусть путь ВС = S
тогда путь
АС=60+S

Поезд из А затратил на путь АС
(60+S)/x час.
Поезд из В затратил на путь ВС
S/y час.

По условию: выехали одновременно и одновременно прибыли на станцию C

Первое уравнение:
[b](60+S)/x =S/y[/b]

Из условия "если бы один из них увеличил свою скорость на 25 км/ч, а другой – на 20 км/ч, то они прибыли бы одновременно на станцию C,"
Поезд из А имеет более длинный путь, поэтому именно ему следует увеличить скорость на 25 км/ч

(x+25) км/ч - скорость поезда из А
(y+20) км/ч - скорость поезда из В

Второе уравнение:

[b](S+60)/(x+25)=S/(y+20) [/b]

Из условия:" прибыли бы одновременно на станцию C, но на 2 часа раньше"
(S/y) > S/(y+20) на 2 часа получаем третье уравнение

Третье уравнение:
[b](S/y) - S/(y+20) = 2[/b]

Решаем систему трех уравнений с тремя неизвестными :
{[b](60+S)/x =S/y[/b] ⇒ S*x=[b]S*y+60*y[/b]
{[b](S+60)/(x+25)=S/(y+20) [/b] ⇒ [b]S*y+60*y[/b]+20*S+1200=S*x+25S
{[b](S/y) - S/(y+20) = 2[/b]

Из второго уравнения 1200=5S
S=240

Подставляем в третье:

(240/y)-(240/(y+20))=2;

y^2+20y-2400=0
D=400+4*2400=400*(1+24)=400*25
sqrt(D)=100
y=40 второй корень уравнения отрицательный

x=50

50 км в час; 40 км в час- скорости поездов

40+50=90

О т в е т. 90 км в час

[m]1+сtg^2x=\frac{1}{sin^2x}[/m]

[m]f(x)=\frac{2-cos^2x-cos^4x}{sin^2x}[/m]

cos^2x=1-sin^2x

cos^4x=(1-sin^2x)^2=1-2sin^2x+sin^4x

[m]f(x)=\frac{2-1+sin^2x-1+2sin^2x-sin^4x}{sin^2x}[/m]

[m]f(x)=\frac{3sin^2x-sin^4x}{sin^2x}[/m]

[m]f(x)=3-sin^2x[/m]

Так как
[m]-1 ≤ sinx ≤ 1[/m]
и
[m]0 ≤ sin^2x ≤ 1[/m]

[m]-1 ≤- sin^2x ≤ 0[/m]
то
[m]3-1 ≤ 3-sin^2x ≤ 3+0[/m]

[m]2 ≤ 3-sin^2x ≤ 3[/m]

Наименьшее значение функции равно [b]2[/b]

О т в е т. [b]2[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть вклад Х руб под p процентов годовых.
(X/100)*p руб - проценты за первый год.
По условию это 400 руб.
Уравнение:
(X/100)*p=400

(X+400+600) руб =(X+1000) руб.- сумма вклада на начало второго года
(X+1000)*p/100)руб - проценты за второй год.
По условию сумма вклада с процентами стала равной 5500 руб
Второе уравнение:
(X+1000)+(X+1000)*p/100=5500

Cистема:
{X*p/100=400
{(X+1000)+(X+1000)*p/100=5500

Упрощаем второе уравнение:
(X+1000)+(Xp/100) + 1000*p/10=5500

(X+1000)+400 + 1000*p/10=5500

X+10p=4100

Решаем систему:
{X*p/100=400
{X+10p=4100 ⇒ X=4100-10p и подставим в первое:

(4100-10p)*p= 40 000
p^2-410*p+4 000=0
D=410^2-4*4 000=168100-16000=152100=390^2

p_(1)=10 или p_(2)=400

X_(1)=4100-10p=4000

X_(2)=4100-10*400=100 руб ( не удовл усл. вклад > 1000)

О т в е т. 4000 руб.

[b]PS.[/b]
=============================================

Можно ввести обозначение

100%+p%=k %

Тогда

после первого года вклад увеличится в [b]k[/b] раз и станет равным
[b]k*Х[/b]

Первое уравнение:
[b]k*Х-Х=400[/b]

На начало второго года добавлен 600 руб.

(k*X+600) руб

После второго года вклад также увеличится в k раз

k*(k*Х+600) руб, что составит 5500 руб

Второе уравнение:

k*(k*Х+600) =5500

Решаем систему:
{k*Х-Х=400 ⇒ X=400/(k-1) и подставляем во второе
{k*(k*Х+600) =5500

k^2*(400/(k-1))+600k=5500

4k^2+6k*(k-1)-55*(k-1)=0

[b]10k^2-61k+55=0[/b]

D=61^2-4*10*55=3721-2200=1521=39^2

k=(61 ± 39)/20

k_(1)=1,1; k_(2)=5
[b]X=4000[/b] или X=100 ( не удовл. условию задачи)

Ответ выбран лучшим

{x + y − z + 2 = 0,
{2x − y + 3z − 1 = 0

Пусть точка М принадлежащая линии пересечения этих плоскостей такова, что ее первая координата равна 0
{y − z + 2 = 0,
{ − y + 3z − 1 = 0
Складываем
2z+1=0
z=-0,5
y=z-2=-0,5-2=-2,5

[b]M(0;-2,5;-0,5)[/b]

Пусть точка К принадлежащая линии пересечения этих плоскостей такова, что ее третья координата равна 0
{х+y + 2 = 0,
{ 2х− y − 1 = 0
Складываем
3х+1=0
z=-1/3
y=-х-2=-(-1/3)-2=-5/3

[b]К(-1/3;-5/3;-0)[/b]

Уравнение прямой МК, как прямой, проходящей через две точки:

Аналогично поступаем со второй парой плоскостей.

1.
Применить переместительный закон сложения:

[m]-\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+(-3\frac{2}{7})=0+(-3\frac{2}{7})=-3\frac{2}{7}[/m]

2.
|-1,2|=1,2
|4|=4
|-10|=10

|-1,2|:|4|*|10|=1,2:4*10=3
так как

1,2:4=0,3

0,3*10=3

О т в е т. [b]3[/b]

Ответ выбран лучшим

S _(бок. куба)+S_(бок призмы) +2S _(осн)=

=4*1*1+4*0,5*1+2*(1^2-0,5^2)=4+2+1,5=7,5

Ответ выбран лучшим

y=F(x) + C - совокупность первообразных функции y=f(x)

Для данной функции

[m]f(x)=\frac{3}{sin^2x}+cos2x-\frac{2}{\pi}[/m]

[m]F(x)=3\cdot (-ctgx)+\frac{1}{2}sin2x-\frac{2}{\pi}x+C[/m]

Подставляем координаты точки [m](\frac{\pi}{2};0)[/m] в это равенство

y=0, т.е вместо F(x) подставляем 0

[m]0=3\cdot (-ctg\frac{\pi}{2})+\frac{1}{2}sin2\cdot (\frac{\pi}{2})-\frac{2}{\pi}\cdot (\frac{\pi}{2})+C[/m]

C=1

[m]F(x)=3\cdot (-ctgx)+\frac{1}{2}sin2x-\frac{2}{\pi}x+1[/m]

Подставляем [m]x=\frac{\pi}{4}[/m] и находим

[m]F(\frac{\pi}{4})=3\cdot (-ctg\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}sin2\cdot (\frac{\pi}{4})-\frac{2}{\pi}\cdot (\frac{\pi}{4})+1[/m]

Ответ выбран лучшим

∫ sin[b]u[/b] d[b]u[/b]=- cosu+C

u=x/2
du=1/2dx

∫ sin(x/2)dx=2 ∫ sin(x/2)*(1/2)dx=2 ∫ sin(x/2)d(x/2)=-2cos(x/2)

∫ ^(3π/2)_(π/2)sin(x/2)dx=-2cos(x/2)|(3π/2)_(π/2)=

=-2cos(3π/4)+2cos(π/4)=+2sqrt(2)/2 +2sqrt(2)/2=[b]2sqrt(2)[/b]

масса 40% раствора [b]х[/b], в нем [b]0,4*х[/b] кислоты
масса 70% раствора [b]у[/b], в нем [b]0,7*у[/b] кислоты
[b]20 кг[/b] воды в нем 0% кислоты

Cмешали:
масса (х+у+20), получили 41% раствор, т. е в нем 0,41(х+y+20) кислоты, что равно 0,4х+0,7y

Первое уравнение:
0,41(х+y+20) = 0,4х+0,7y

Если бы...
масса 40% раствора [b]х[/b], в нем [b]0,4*х[/b] кислоты
масса 70% раствора [b]у[/b], в нем [b]0,7*у[/b] кислоты
[b]20 к[/b]г 60 % раствора, в нем 0,6*20=[b]12[/b] кг кислоты

Cмешали:
масса (х+у+20), получили 53% раствор, т. е в нем 0,53(х+y+20) кислоты, что равно 0,4х+0,7y +12
Второе уравнение:
0,53(х+y+20) = 0,4х+0,7y +12

Cистема:
{0,41(х+y+20) = 0,4х+0,7y
{ 0,53(х+y+20) = 0,4х+0,7y +12

найти х

Умножаем оба уравнения на 100
{41(x+y+20)=40x+70y
{53(x+y+20)=40x+70y+1200

{41x+41у+820=40х+70у
{53x+53y+1060=40x+70y+1200

{x=29y-820
{13x=17y+140

Чтобы найти х надо бы выразить у из одного уравнения и подставить во второе, но такой путь приведет к вычислениям с дробями
Поэтому просто подставляем х из первого уравнения во второе:

13*(29у-820)=17у+140
360у=10800
y=30
Находим у
хоть и не спрашивается.
А потом легко находим х

x=29*30-820=50

О т в е т. 50 кг

Ответ выбран лучшим

По определению. Последовательность имеет предел, если начиная с некоторого очень большого номера N ( зависящего от ε ) [b]все[/b] члены последовательности находятся в ε - окрестности числа а, которое и является пределом.

Т. е сгущаются и приближаются к этой точке, неважно с левой
стороны или с правой, или чередуются, то слева, то справа.

Но такого числа здесь нет.

Все члены с номерами, дающими при делении на 4 остаток 1 (4n+1)
a_(21);a_(25); ... это 1,
значит находятся в очень маленькой окрестности точки 1.
(0,999999...; 1,0000000...1)

Все члены с номерами дающими при делении на 4 остаток 3
(4n+3)
a_{23}; a_{27};... это 0,
и они никак не попадают в очень маленькую окрестность точки 1.

Виноград содержит 100-85=15% сухого вещества,
а изюм содержит 100-6=94% сухого вещества.

30 кг изюма содержит 0,94*30=28,2 кг сухого вещества

Пусть требуется х кг винограда, в нем сухого вещества 0,15*х кг.

Cухое вещество винограда и сухое вещество изюма это одно и то же.
Уравнение:
0,15*х=28,2
х=188

О т в е т. 188 кг

Ответ выбран лучшим

Пусть х - масса раствора, тогда 0,13х - масса вещества в нем
Во втором растворе масса такая же, 0,23 х - масса вещества.

Новый раствор:
масса (х+х)=2х
масса вещества
0,13х+0,23х=0,4х

2x - 100%
0,4x- p%

p=0,4x*100/2x= 20%

( х сокращается и потому неважно в чем измеряется в кг или г)

Угол между высотой ВН и медианой СМ найти как угол между векторами.
(прикреплено изображение)

1.
Применить формулу
[m]S=p\cdot r[/m]
[m]p=\frac{a+b+c}{2}[/m] - полупериметр треугольника;
r- радиус вписанной окружности.

[m]p=\frac{S}{r}[/m]

[m]P=2p[/m] - периметр

2.
Применить теорему синусов:
[m]\frac{a}{sin ∠ A}=\frac{b}{sin ∠ B}[/m]

[m]\frac{RS}{sin ∠ RTS}= \frac{TS}{sin ∠ TRS}[/m] ⇒

[m]sin ∠ TRS=\frac{TS\cdot sin∠ RTS}{RS}[/m]

3.
Cумма углов треугольника АВС равна 180 градусов
∠ С=180 ° - ∠ А- ∠ В=180 ° -60 ° -30 ° =90 °
∠ С=90 °
Δ АВС - прямоугольный.

АВ - гипотенуза

АВ=2000 м

АС=1000м - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

Ответ выбран лучшим

15.
Замена переменной
2^(2-x)+1=t
t>0

Уравнение:
[m]\frac{15}{t^2}-\frac{8}{t}+1\geq 0[/m]

[m]t^2-8t+15\geq 0[/m]

D=

корни t _(1)=3 и t_(2)=5

Обратная замена:

2^(2-x)+1 ≤3 или 2^(2-x)+1 ≥ 5

2^(2-x) ≤2 или 2^(2-x) ≥ 4

2-х ≤ 1 или 2-х ≥ 2

Пусть долг после 15-го числа 10 месяца Х тыс руб.

(1000 - X) тыс. руб. будет выплачено за 10 месяцев

Делим на 10:

[m]\frac{1000-X}{10}[/m] тыс руб - [b]ежемесячное [/b] погашение основного долга
таким образом с15–го числа каждого месяца с 1–го по 10–й долг будет на одну и ту же сумму меньше долга на 15–е число предыдущего месяца, а именно на [m]\frac{1000-X}{10} [/m]

И каждый месяц выплата процентов на остаток

За [i]первый[/i] месяц проценты составят:
0,03*1000 тыс руб=30 тыс руб.

За [i]второй [/i]месяц.
Сумма долга уменьшится на [m]\frac{1000-X}{10} [/m] и остаток долга составит:

(1000 - [m]\frac{1000-X}{10} [/m] =[m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}[/m] тыс руб

Проценты на остаток:
0,03* [m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}[/m] тыс руб

За [i] третий[/i] месяц
Сумма долга опять уменьшится на [m]\frac{1000-X}{10} [/m] и остаток долга составит:
1000 - [m]\frac{1000-X}{10} [/m]- [m]\frac{1000-X}{10} [/m]=[m]\frac{8\cdot 1000+X}{10}[/m] тыс руб

Проценты на остаток:
0,03* [m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}[/m]

и так далее

За 10-й месяц долг:
[m]\frac{1000+X}{10}[/m] тыс руб

Проценты на остаток:
0,03* [m]\frac{1000+X}{10}[/m] тыс руб

За 11-й месяц остаток Х

Проценты на этот остаток: 0,03*X тыс руб

Сумма выплат 1231 состоит из взятого кредита 1000 ( деленного на равные части 10 месяцев и Х) и начисленных процентов.

Выплата процентов составит:
1231-1000=[b]231[/b] тыс руб.

Составляем уравнение:

30+ 0,03* [m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}[/m]+0,03*[m]\frac{8\cdot 1000+X}{10}[/m] + ... +0,03* [m]\frac{1000+X}{10}[/m] + 0,03X=[b]231[/b]

0,03* ( [m]\frac{9\cdot 1000+X}{10}+\frac{8\cdot 1000+X}{10} + ... +\frac{1000+X}{10}[/m] ) + 0,03X=[b]201[/b]

Применяем формулу суммы n членов арифметической прогрессии:

(X/10)+(2Х/10)+... +(9Х/10)=(1/10)*(Х+9Х)*9/2)=4,5Х

(9*1000/10 + 8*1000/10 + ... + 1000/10)=(1/10)*(1000+9000)*9/2=45

0,03*(4500+4,5Х)+0,03Х=201

0,165*Х=66

X=400

О т в е т. 400 тыс руб.

[b]Второй способ.[/b]

Кредит на [b]11 месяцев.[/b]

1)[i] условие [/i]
–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца

См первый столбик ( начисление процентов на долг)

2) [i]условие [/i]
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо [b]выплатить одним платежом часть долга;[/b]

[red]и так, чтобы
выполнялось условие [/red]

3)[i] условие [/i]
15–го числа каждого месяца с 1–го по 10–й долг должен быть [b]на одну и ту же сумму меньше долга [/b]на 15–е число [b]предыдущего месяца;[/b]

Это показано в правом столбце таблицы

4) долг в конце 10-го месяца [b]неизвестен.[/b]

Обозначим его [b]А[/b] тыс руб.

Решаем задачу, так называемым [i]"методом решения задачи с конца" [/i]

Пусть долг ежемесячно уменьшается на одну и ту же величину[b] х [/b] тыс руб

Тогда в конце 10-го месяца он составит [b](A+х) [/b] тыс руб

В конце 9-го месяца долг составит[b] (A+2х) [/b]тыс. руб
.....
В конце первого месяца от будет [b](A+9x)[/b] тыс руб

И поскольку согласно условия 3) долг и за 1-ый месяц уменьшился на х тыс. руб, то значит

[/b] сумма кредита составляет [b](A+10х)[/b] тыс руб

В первом столбце показано как начисляют проценты.

[i]Проценты[/i] начисляют [/b] на остаток долга[/b]

Поэтому за [b] 1-ый месяц проценты[/b] начислены на весь кредит.

[green]3%=0,03[/green]

[green]0,03[/green]*([b]A+10x[/b]) тыс руб - проценты, начисленные за [i]первый[/i] месяц

[b]Клиент выплачивает[/b] со 2-го по 14-е число первого месяца :

([green]0,03[/green]*([b]A+10x[/b])+ [b]x [/b] )тыс. руб

[i]При таких выплатах[/i] остаток долга уменьшится на х тыс. руб.

[b]Цикл повторяется 10раз[/b]

Уравнение:

[green]0,03[/green]*(А+10x)+[b]x[/b]+ [green]0,01[/green]*(А+9x)+x+[green]0,03[/green]*(А+8x)+[b]x[/b]+...+[green]0,03[/green]*(А) +[b]А[/b]=1231

[green]0,03[/green]*(11А+10x+9x+...+x)+[b]10*x[/b]+А=1231

10x+A=1000 (это cумма кредита) ⇒ 10*x=1000-A

[green]0,03[/green]*(11A)+[green]0,03[/green]*(10x+9x+...+x)=231

в скобках сумма 10-ти членов арифметической прогрессии

[green]0,03[/green]* (11A)+[green]0,03[/green](10х+х)*10/2=231

0,33A+0,03*11*[b]10*x[/b]/2=231

Но 10*х=1000-A

0,33А+0,165*(1000-А)=231

0,165*А=231-165

0,165*А=66

A=400 тыс руб.

О т в е т. 400 тыс руб. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y_(1)+y_(2)+y_(3)+y_(4)=-40

y_(1)+y_(1)*q+y_(1)*q^2+y_(1)*q^3=-40

q=-3

y_(1)+y_(1)*(-3)+y_(1)*(-3)^2+y_(1)*(-3)^3=-40

-20y_(1)=-40

y_(1)=2

S_(8)=[m]\frac{y_{1}\cdot(q^8-1)}{q-1}=2\cdot \frac{(-3)^8-1}{-3-1} =-\frac{6560}{2}=-3280[/m]

3^8=(3^4)^2=81^2=6561

По теореме Пифагора гипотенуза АВ=10
Радиус вписанной окружности :
r=(a+b-c)/2=(8+6-10)/2=2

Эта же самая окружность описана около ΔDEK

r=DE*EK*DK/4S_(ΔDEK) ⇒

[b]S_(ΔDEK)[/b] =DE*EK*DK/4r=[b](DE*EK*DK)/8[/b]

Осталось найти стороны треугольника ΔDEK

см. рис.

DK=2sqrt(2) из Δ CDK ( равнобедренного прямоугольного)

В Δ АВС:

cos ∠ A=BC/AB=8/10=0,8

cos ∠ B=AC/AB=6/10=0,6

Тогда
Из Δ DBE по теореме косинусов
DE^2=6^2+6^2-2*6*6*cos ∠ B=72-72*0,6=72*(1-0,6)=72*0,4
DE=6*sqrt(0,8)

Из Δ AKE по теореме косинусов
KE^2=4^2+4^2-2*4*4*cos ∠ A=32-32*0,8=32*(1-0,8)=32*0,2
KE=4*sqrt(0,4)

[b]S_(ΔDEK) =[/b](DE*EK*DK)/8=(2sqrt(2)*6sqrt(0,8)*4*sqrt(0,4))/8=

=6*sqrt(2)*sqrt(0,32)=[b]4,8[/b] (прикреплено изображение)

|z|–3,401=–4,9+2,15
|z|=3,401–4,9+2,15
|z|=0,651

z= ± 0,651

О т в е т. –0,651; 0,651.

|z|-3,401=-4,9+2,15
|z|=3,401-4,9+2,15
|z|=0,651

z= ± 0,651

О т в е т. [b]-0,651; 0,651.[/b]

Ответ выбран лучшим

y_(n)=y_(1)*q^(n-1) - формула общего члена геометрической прогрессии

{y_(1)+y_(1)*q^2=-10
{y_(1)*q+y_(1)*q^3=-20

{[b]y_(1)*(1+q^2)[/b]=-10
{y_(1)*q*(1+q^2)=-20

q*[b]y_(1)(1+q^2)[/b]=-20
q*(-10)=-20

q=2

y_(1)*(1+2^2)=-10

y_(1)=-2

S_(7)=[m]\frac{y_{1}\cdot(q^7-1)}{q-1}=\frac{y_{1}\cdot(q^7-1}{q-1}=-2\cdot 127=-254[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]1\frac{3}{8}=1,375[/m]
[m]1\frac{3}{4}=1,75[/m]

[m]1\frac{3}{8}+1\frac{3}{4}-0,411=1,375+1,75-0,411[/m]=

Что непонятно???

Получите ответ и его надо разделить на 0,59

И это разобрали. Перенести запятую на две цифры и делить...

Ответ выбран лучшим

Это задание на полную вероятность, формулу Байеса.

Вводим события-гипотезы:
Н_(1)-"изделие попадет к первому контролеру"

p(H_(1))=0,6

Н_(2)-"изделие попадет ко второму контролеру"

p(H_(1))=0,4

Событие А - "изделие при проверке признано стандартным"

p(A/H_(1))=0,9

p(A/H_(2))=0,95

Тогда по формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=0,6*0,9+0,4*0,95=

По формуле Байеса

p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/ p(A)=0,4*0,95/(0,6*0,9+0,4*0,95)=

считайте.

6.
даны уравнения прямых в виде уравнений с угловым коэффициентом:
y=k_(1)x+b_(1);
y=k_(2)x+b_(2);

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1):

[r]k_(1)*k_(2)=-1[/r]

Первое уравнение запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом:

3x-y+2=0 ⇒ y=3x+2; k_(1)=3

Второе уже так записано

y=kx+1 ⇒ k_(2)=k

k_(1)*k_(2)=-1 ⇒ 3*k=-1 ⇒ k=

7. cм решение 6, так же

4.
Находим скалярное произведение векторов
2vector{m}*vector{n}=2*2*3+2*(-1)*5+2*4*(-6)=
Находим длины

vector{m}=sqrt(3^2+(-1)^2+4^2))=
vector{n}=sqrt(2^2+5^2+(-6)^2))=

cos φ см. формулу в приложении
5.

Уравнение прямой, проходящей через две точки
А (x_(А);y_(А)) и В (x_(В);y_(В)) имеет вид:

[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

Подставить координаты точек в уравнение

(прикреплено изображение)

1. Векторы коллинеарны, если координаты пропорциональны.
Составляем пропорцию из координат:
2:(-1)=(-4):m=8:(-4)

Из пропорции находим m=

2.
Ненулевые векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

см. рис.1

3.
Находим длины
|vector{p}|=sqrt(1^2+(-3)^2+0^2)

|vector{q}|= sqrt(α ^2+2^2+0^2)

Приравниваем и
возводим в квадрат:
1^2+(-3)^2+0^2)= sqrt(α ^2+2^2+0^2

решаем, находим α

(прикреплено изображение)

k+(11/12)+(13/12)=2 целых (5/12)

k+(24/12)=2 целых (5/12)

k+2=2 целых (5/12)

k=2 целых (5/12) -2

k= (5/12)

1.
[m]\int \frac{2x^2+3\sqrt{x}-1}{2x}dx=\int(\frac{2x^2}{2x}+\frac{3\sqrt{x}}{2x}-\frac{1}{2x})dx=[/m]

[m]=\int xdx+\frac{3}{2}\int x^{-\frac{1}{2}}dx-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}=[/m]

Применить таблицу интегралов и получить ответ

4.
Замена переменной:
[m]\sqrt[6]{x+1}=t[/m]

[m]x+1=t^6[/m] ⇒ [m]x=t^6-1[/m]

[m]dx=6t^5dt[/m]

тогда

[m]\sqrt[3]{x+1}=t^2[/m]

[m]\sqrt{x+1}=t^3[/m]

[m]\sqrt[3]{(x+1)^2}=t^4[/m]

Получим интеграл от рациональной дроби:

[m]\int \frac{t^4+t}{t^3+t^2}6t^5dt=6\int \frac{t^6\cdot(t^3+1)}{t^2(t+1)}dt=[/m]

[m]6\int \frac{t^4\cdot(t+1)(t^2-t+1)}{(t+1)}dt=6\int (t^6-t^5+t^4)dt=[/m]

Применить таблицу интегралов и получить ответ, сделав обратную замену вернуться к переменной х

17.

Применить формулу
(прикреплено изображение)

[b]vector{d_(1)}[/b]=vector{a}+vector{b}=5vector{p}+2vector{q}+vector{p}-3vector{q}=[b]6vector{p}-vector{q}[/b]

[b]vector{d_(2)}=[/b]vector{a}-vector{b}=
=5vector{p}+2vector{q}-vector{p}+3vector{q}=[b]4vector{p}+5vector{q}[/b]

Так как

|vector{a}|^2=vector{a}*vector{a}

|vector{d_(1)}|^2=vector{d_(1)}*vector{d_(1)}=

=(6vector{p}-vector{q})*(6vector{p}-vector{q})*=

=36vector{p}*vector{p}-12vector{p}*vector{q} +vector{q}*vector{q}=

=36*|vector{p}|^2-12*|vector{p}|*|vector{q}|*cos ∠ (vector{p},vector{q})+

+|vector{q}|^2=36*(2sqrt(2))^2-12*2sqrt(2)*3* sqrt(2)/2+3^2=

= считаем.

|vector{d_(2)}|^2=vector{d_(2)}*vector{d_(2)}=

=(4vector{p}+5vector{q})*(4vector{p}+5vector{q})*=

аналогично.

2.
По теореме Пифагора гипотенуза АВ=10
Радиус вписанной окружности :
r=(a+b-c)/2=(8+6-10)/2=2

Эта же самая окружность описана около ΔDEK

r=DE*EK*DK/4S_(ΔDEK) ⇒

[b]S_(ΔDEK)[/b] =DE*EK*DK/4r=[b](DE*EK*DK)/8[/b]

Осталось найти стороны треугольника ΔDEK

см. рис.

DK=2sqrt(2) из Δ CDK ( равнобедренного прямоугольного)

В Δ АВС:

cos ∠ A=BC/AB=8/10=0,8

cos ∠ B=AC/AB=6/10=0,6

Тогда
Из Δ DBE по теореме косинусов
DE^2=6^2+6^2-2*6*6*cos ∠ B=72-72*0,6=72*(1-0,6)=72*0,4
DE=6*sqrt(0,8)

Из Δ AKE по теореме косинусов
KE^2=4^2+4^2-2*4*4*cos ∠ A=32-32*0,8=32*(1-0,8)=32*0,2
KE=4*sqrt(0,4)

[b]S_(ΔDEK) =[/b](DE*EK*DK)/8=(2sqrt(2)*6sqrt(0,8)*4*sqrt(0,4))/8=

=6*sqrt(2)*sqrt(0,32)=[b]4,8[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма углов треугольника 180 градусов.
180 ° -80 ° -30 ° =70 ° - третий угол этого треугольника

Д5.7
Из условия: "рабочему 4-го разряда требуется для выполнения такого же задания 10 часов"
Значит,
один рабочий четвертого разряда выполняет за [b]1 час[/b] ([b]1/10) [/b]часть работы.
5 рабочих четвертого разряда выполнят за [b]1 час[/b] ([b]5/10 [/b]) работы.

Четверо рабочих 5-го разряда выполнят за [b]1 час[/b] такой же объем работы, т.е [/b] ([b]5/10 [/b] )

Значит, один рабочий 5-го разряда выполняет за [b]1 час[/b] ([b]5/10)^:4=(5/40)=1/8 [/b]часть работы.

Значит, всю работу рабочий 5-го разряда выполнит за 8 часов.

Д.5.8
[red]3 рабочих[/red] 4-го разряда и[green] 4 рабочих[/green] 5-го разряда выполняют за 1 час [b]1/6 [/b]часть работы

[red]3+3=6 рабочих[/red] 4-го разряда и[green] 4 рабочих[/green] 5-го разряда выполняют за 1 час [b]1/5 [/b]часть работы

Значит ([red]6-3=3 рабочих[/red]) 4-го выполняют за час
(1/5)-(1/6)=[b]1/30[/b] часть работы

А [green]4 рабочих[/green] 5-го разряда выполняют за час
(1/6)-(1/30)=([b]4/30)[/b] часть работы

(1/3)-(4/30)=6/30 выполнят [green]рабочие 4-го разряда[/green] и 4 рабочих 5-го за 3 три часа

[green]3 рабочих[/green]) 4-го выполняют за час [b]1/30[/b] часть работы, значит (6/30) выполнят за час 18 рабочих

О т в е т.
к трем рабочим 4-го разряда надо добавить 15 рабочих 4-го разряда, тогда они выполнят (6/30) работы и 4 рабочих 5-го
выполнят (4/30) т.е вместе они и выполнят (10/30)=1/3 часть работы за 1 час, а всю работу за 3 часа.

Д.5.9
Пусть рубашка стоит х руб. это 100%
Брюки на 20% дороже, т.е 100+20=120%; это 1,2*х руб.

Брюки на 46% дешевле пиджака, т.е. составляют
100-46=54% стоимости пиджака.

Пусть
пиджак стоит у руб. теперь это 100%

Брюки стоят 1,2х руб, это 54% от стоимости пиджака ( от 100%)

у=1,2х·100%: 54% = (20х/9) руб - стоит пиджак.

Рубашка стоит дешевле пиджака на

(20х/9) - х = (11х/9) руб,

( 20х/9) руб - 100%

(11х/9) руб. это p%

p= (11х/9)*100: (20х/9) = 55%

Ответ: на 55% рубашка дешевле пиджака

Д. 5.10

Пусть x кг никеля, у кг меди и z кг марганца

[b]x+y+z=221[/b]

x=0,3(y+z)
y=0,7*(x+z)

Система трех уравнений с тремя переменными.
z=221-x-y

x=0,3*(y+221-x-y)
y=0,7*(x+221-x-y)

Решаем и получаем ответ

1.
a)
y`=5^(x)*ln5
y``=5^(x)*(ln5)^2
y```=5^(x)*(ln5)^3

б)y`=1/(x+2)
y``=-1/(x+2)^2
y```=2/(x+2)^3

в)
(u*v)```=u```+3u``v`+3u`v``+v``` (#)

u=x^3
u`=3x^2
u``=6x
u```=6

v=sinx
v`=cosx
v``=-sinx
v```=-cosx

Подставляем в формулу (#) и получаем ответ

2
y`_(t)=3acos^2t*(-sint)
x`_(t)=3asin^2t*cost

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)=

y``_(xx)=(y``_(t)*x`_(t)-y`_(t)*x``_(t))/(x`_(t))^3 (# #)

y``_(t)=6acost*(sin^2t)-3acos^2t*(cost)

x``_(t)=6asint*cos^2t-3asin^2t*sint

Подставляем в формулу (# #) и получаем ответ

3.

(2^(x)+2^(y))`=(2^(x+y))`

2^(x)ln2+2^(y)*y`*ln2=2^(x+y)*ln2*(x+y)`

2^(x)ln2+2^(y)*y`*ln2=2^(x+y)*ln2*(1+y`)

2^(x)+2^(y)*y`=2^(x+y)*(1+y`)

2^(x)+2^(y)*y`=2^(x+y)+y`*2^(x+y)

2^(y)*y`-y`2^(x+y)=2^(x+y)-2^(x)

y`*(2^(y)-2^(x+y))=2^(x+y)-2^(x)

[b]y`=(2^(x+y)-2^(x))/(2^(y)-2^(x+y))[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

1.
y`_(t)=2t
x`_(t)=t^2-1

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)=...подставьте и получите ответ

y``(t)=2
x``(t)=2t

y``_(xx)=(y``(t)*x`(t)-y`(t)*x``(t))/(x`(t))^3=... подставьте и получите ответ

2.
Логарифмируем
lnx^(y)=lny^(x)

y*lnx=x*lny

х независимая переменная

y- зависимая, т.е сложная функция

x`=`
(lnx)`=1/x
(lny)`=y`/y

(y*lnx)`=(x*lny)`

y`*lnx+y*(lnx)`=x`*lny+x*(lny)`
y`*lnx+(y/x)=lny+(xy`/y)

y` находим из равенства как из уравнения

Ответ выбран лучшим

) a(a+1)–(a–3)^2=a^2+a-a^2+6a-9=7a-9
при a=–1
7*(-1)-9=[b]-16[/b]

2) (2–x)^2 –x(x+4)=4-4x+x^2-x^2-4x=4-8x
при x=0,5

4*0,5-8=2-8=[b]-6[/b]

3) (4–c)^2 –с(с+1)=16-8c+c^2-c^2-c=16-9c
при с=–1/9
16-9*(-1/9)=16+1=[b]17[/b]

1.
n=5
p=0,02
A-" из 5 наудачу взятых деталей бракованных будет меньше двух"

значит 0 [b]или[/b]1 детали будут бракованными.

По формуле Бернулли считаем:

P_(5)(0)[b]+[/b]P_(5)(1)

=C_(5)^(0)0,023^(0)(1-0,02)^5+C^(1)_(5)0,02^(1)(1-0,02)^4

C^(0)_(5)=1
C^(1)_(5)=5

калькулятор и считаем

2.
f(x)=F`(x)

[m]f(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x \leq 0\\ \frac{1}{4}, 0 < x \geq 2\\ 0, x > 2 \end{matrix}\right.[/m]

M(X)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )xf(x)dx=∫ ^(0 )_(- ∞ )x*0dx+∫ ^(2)_(0 )x*(1/4)dx+∫ ^(+ ∞ )_(2)x*0dx=0+(1/4)*(x^2/2)|^(2)_(0)+0=

=(1/4)*(2^2/2)=[b]1/2[/b]

Ответ выбран лучшим

(y-5)^2-y*(10+y)=y^2-10y+25-10y-y^2=25-20y

При y=-1/20
25-20y=26-20*(-1/20)=25+1[b]=26[/b]

Ответ выбран лучшим

A.4
радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной а, это высота одного из шести правильных треугольников со стороной а:
r=asqrt(3)/2
a=2r/sqrt(3)=2*3/sqrt(3)=2sqrt(3)

S_(полн)=S_(осн)+S_(бок)=

=6*S_( Δ)+6*(a*h/2)=[b] [h--апофема, h=7][/b]

=6*(1/2)*a^2sin60^(o)+(6*2sqrt(3)*7/2)

=3*(2sqrt(3))^2*(sqrt(3)/2)+42sqrt(3)=(18+42)sqrt(3)=[b]50sqrt(3)[/b]
A2 - верно

А3
Апофема h^2=DC^2+CK^2=8^2+6^2=64+36=100

S_(бок)=3*S_( Δ)=3*(12*10)/2=180 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.
[m]log_{\frac{1}{3}}\sqrt[4]{\frac{1}{3}}=log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})=\frac{1}{4}[/m]

Неравенство принимает вид:

[m]log_{\frac{1}{2}}(x-5)> -4\cdot \frac{1}{4}[/m]

так как

[m]-1=log_{\frac{1}{2}}2[/m]

[m]log_{\frac{1}{2}}(x-5)> log_{\frac{1}{2}}2[/m]

Логарифмическая функция с основанием [m]0 <
\frac{1}{2} < 1[/m] убывающая

[m]\left\{\begin{matrix} x-5>0& \\ x-5<2& \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x>5& \\ x<7& \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. [b](5;7)[/b]

3.
[m]log_{27}3=log_{3^{3}}3=\frac{1}{3}log_{3}3=\frac{1}{3}[/m]

[m]8^{log_{2}5-log_{27}3}=(2^{3})^{log_{2}5-\frac{1}{3}}=2^{3log_{2}5-1}=2^{log_{2}5^3}\cdot2^{-1}=\frac{125}{2}=62,5[/m]

4.
[red]ОДЗ:[/red]
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{3+x>0 ⇒ x>-3
{3+x ≠ 1 ⇒ x ≠ -2
{x+4>0 ⇒ x>-4

[red]x ∈ (-3;-2)U(-2;0)U(0;+ ∞ )[/red]

Заменим[i] сумму [/i]логарифмов логарифмом [i]произведения
[/i]
log_(3+x)(3x^2) ≤ log_(3+x)(x+4)

Рассматриваем[i] два случая[/i]:

1) [i]Основание логарифмической функции[/i]
0<3+x<1 ⇒[green] -3 < x < -2[/green]
логарифмическая функция [i]убывающая[/i]
3x^2 ≥ x+4
3x^2-x-4 ≥ 0
D=1-4*3*(-4)=49
x_(1)=(1-7)/6=-1; x_(2)=(1+7)/6=4/3
x ≤ -1 или х ≥ 4/3

Множества -3 < x < -2 и x ≤ -1 пересекаются
О т в е т первого случая с учетом ОДЗ
[b](-3;-2)[/b]
2)

[i]Основание логарифмической функции[/i]
3+x>1 ⇒ [green]x> -2[/green]
логарифмическая функция [i] возрастающая[/i]
3x^2 ≤ x+4
3x^2-x-4 ≤ 0
D=1-4*3*(-4)=49
x_(1)=(1-7)/6=-1; x_(2)=(1+7)/6=4/3
[b]-1 ≤ x ≤ 4/3[/b]

О т в е т второго случая с учетом ОДЗ
[b][-1;0)U(0;4/3][/b]

Объединяем ответы:
[b](-3;-2)U[-1;0)U(0;4/3][/b]

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

3.
vector{c}*(vector{d}-3*vector{c})=vector{c}*vector{d}-3*vector{c}*vector{c}=

=|vector{c}|* |vector{d}|* cos 30^{o)-3*|vector{c}|*|vector{c}|8cos0^(o)=

=3*6*(1/2)-3*3*6*0=[b]9[/b]

4.
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1).

Запишем данное уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом
3y=2x+1
y=(2/3)x+(1/3)

k=(2/3)

Значит, угловой коэффициент перпендикулярной прямой
равен (-3/2).

5.
Перпендикулярно оси Ох
[b]x=-3[/b]

Перпендикулярно оси Оy
[b]y=2[/b]

d^2=a^2+b^2+c^2

a=x
b=x
c=2x

тогда
a:b:c=1:1:2

d^2=x^2+x^2+(2x)^2

12^2=x^2+x^2+4x^2

144=6x^2

x^2=24

x=sqrt(24)

x=2sqrt(6)

а)[b] a=2sqrt(6); b=2sqrt(6); c=4sqrt(6)[/b]

б) sin ∠ α =[b]c/d[/b]=4sqrt(6)/12=[b]sqrt(2/3)[/b]

4)
Умножаем обе части уравнения на 5
100х+4,6=3*5

100х+4,6=15

100х=15-4,6

100х=10,4

x=0,104

Ответ выбран лучшим

Стопки по 14 монет легко разложить в стопки по 7 монет.
Получится стопок в два раза больше.

11 монет= 7+4

возьмем 7 монет и получим новую стопку. А останется 4 монеты.

О т в е т. 4 монеты

[b]а)[/b]

[red]ОДЗ:[/red]
{x>0
{2x+6>0 ⇒ x > -3

[red]x>0 [/red]

[m]log_{7}x+log_{7^{2}}6^{2}=log_{7^{-1}}(2x+6)+log_{7}48[/m]

По формуле:

[r][m]log_{a^{k}}b^{n}=\frac{n}{k}log_{a}b[/m], a >0; b>0; a ≠ 1[/r]

[m]log_{7}x+\frac{2}{2}log_{7}6=-log_{7}(2x+6)+log_{7}48[/m]

[m]log_{7}x+log_{7}6+log_{7}(2x+6)=log_{7}48[/m]

По формуле:

[r][m]log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c[/m], a >0; b>0; c>0 a ≠ 1[/r]

[m]log_{7}(x\cdot 6\cdot (2x+6))=log_{7}48[/m]

[m]x\cdot 6\cdot (2x+6)=48[/m]

[m]x\cdot (2x+6)=8[/m]

[m]2x^{2}+6x-8=0[/m]

[m]x^{2}+3x-4=0[/m]

[m]D=9+16=25[/m]

[m]x=\frac{3-5}{2}=-1[/m]; [m]x=\frac{3+5}{2}=4[/m]

x=-1 не входит в ОДЗ

О т в е т. [b]4[/b]

[b]б)[/b]

[red]ОДЗ[/red]: 4-x >0

[red]x <4[/red]

По формуле:

[r][m]log_{a^{k}}b^{n}=\frac{n}{k}log_{a}b[/m], a >0; b>0; a ≠ 1[/r]

[m]log_{4}9=log_{2^2}3^{2}=log_{2}3[/m]

По формуле:[m] a^{log_{a}b}=b[/m]a >0; b>0; a ≠ 1

[m]2^{log_{4}9}=2^{og_{2}3}=3[/m]

По формуле:

[r][m]log_{a}\frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c[/m], a >0; b>0; c>0 a ≠ 1[/r]

[m]log^{2}_{2}(4-x)+log_{\frac{1}{2}}8-log_{\frac{1}{2}}(4-x)=3[/m]

[m]log^{2}_{2}(4-x)+log_{2^{-1}}8-log_{2^{-1}}(4-x)=3[/m]
По формуле:

[r][m]log_{a^{k}}b^{n}=\frac{n}{k}log_{a}b[/m], a >0; b>0; a ≠ 1[/r]

[m]log^2{2}(4-x)-log_{2}8+log_{2}(4-x)-3=0[/m]

[m]log_{2}8=3[/m]

[m]log^{2}_{2}(4-x)+log_{2}(4-x)-6=0[/m]

Квадратное уравнение относительно
[m]log_{2}(4-x)[/m]

Лучше ввести новую переменную

[m]log_{2}(4-x)=t[/m]

[m]t^{2}+t-6=0[/m]

[m]D=25[/m]

[m]t_{1}=-3[/m] или [m] t_{2}=2[/m]

Обратный переход

[m]log_{2}(4-x)=-3[/m] или [m] log_{2}(4-x)=2[/m]

[m]4-х=2^{-3}[/m] или [m] 4-x=2^{2}[/m]

[m]4-x=\frac{1}{8} [/m] или [m] x=0 [/m]

[m]x=4-\frac{1}{8}[/m]

[m]x=\frac{31}{8}[/m]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. [m]0; \frac{31}{8} [/m]

Ответ выбран лучшим

Такси : 1400 руб
Автобус: семейный билет и билет на второго ребенка 950+550=1500 руб.
Электричка 260*4=1040 руб.

О т в е т. На электричке за 1040 руб.

Ответ выбран лучшим

3)
Умножаем обе части уравнения на 2
16,3-100х=10
100х=16,3-10
100х=6,3
х=0,063

4) 100х+4,6=15
100х=15-4,6
100х=10,4

x=0,104

Ответ выбран лучшим

S_( Δ)=[m]\frac{1}{2}a\cdot h_{a};

S_( Δ)=[m]\frac{1}{2}b\cdot h_{b};

Приравниваем правые части.

a*h_(a)=b*h_(b)

8*6=5*h_(b)

h_(b)=48:5

h_(b)=[b]9,6 cм[/b]

a)2,1*x=4,9*1,5

0,7*3x=0,7*7*0,5*3

x=7*0,5

x=3,5

Ответ выбран лучшим

а)
[m]3\frac{1}{2}=3\frac{5}{2\cdot 5}=3,5[/m]
x-3,6=6,1
x=6,1+3,5
x=9,8

Ответ выбран лучшим

1)
1,5-3,25*0,2=1,5-6,5=-5 ( разве вы знаете отрицательные числа???)

a)
[m]\frac{1}{2}=\frac{5}{2\cdot 5}=0,5[/m]

[m]\frac{1}{2}+0,5=0,5+0,5=1[/m]

б)
[m]\frac{1}{4}=\frac{25}{4\cdot 25}=0,25[/m]

[m]\frac{1}{4}+0,3=0,25+0,3=0,25+0,30=0,55[/m]

в)
[m]\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 2}{5\cdot 2}=0,4[/m]

[m]\frac{2}{5}-0,4=0,4-0,4=0[/m]

[m]\frac{3}{4}=0,75[/m]

[m]\frac{7}{25}=0,28[/m]

[m]\frac{6}{25}=0,24[/m]

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2+3 > 0 при любом х
Функция монотонно[i] возрастает[/i] на (- ∞ ;+ ∞ )

при x=0; y=-5
при х=1; у=1+3-5=-1
при х=2; у=2^3+3*2-5=9

Кривая пересекает ось Ох в одной точке
1 < x _(o) < 2 (прикреплено изображение)

a)19,95*199,6[b]=[/b]1,995*1996
в числе 19,95 перенесем запятую на одну цифру влево ( число[b] уменьшится в 10 раз[/b], а в числе 199, на одну цифру вправо ( число[b] увеличится в 10 раз[/b])
Произведение [i]не изменится[/i]

б)19,96*1,997[b]<[/b]199, 6*19,97
так как
19,96 < 19,97
1,997 < 199,6
то и произведение меньше

в)199,7*199,8[b]>[/b]1,997*1,998
так как
199,7>1,997
199,8>1,998
то и произведение больше

г)1,998*[b]199,9[/b][b]<[/b]1,998*[b]1999[/b]
так как
1,998=1,998
199,9 < 1999
то и произведение меньше

Логарифмируем по основанию 4:

log_(4)x^(log_(4)x-2)=log_(4)2^(3log_(4)x-3)

(log_(4)x-2)*log_(4)x=3log_(4)x-3)*log_(4)2

(log_(4)x-2)*log_(4)x=3log_(4)x-3)*(1/2)

2log^2_(4)x-7log_(4)x+3=0

D=49-4*2*3=25

log_(4)x=1/2; x=2

log_(4)x=3; x=4^3=64

Ни один из корней не принадлежит указанному отрезку

Ответ выбран лучшим

7 изделий с дефектом и 13 без дефекта.

n=C^(2)_(20)

m=C^(2)_(7)*C^(0)_(13)

p=m/n

4 изделия с дефектом и 10 без дефекта.

n=C^(4)_(14)

m=C^(3)_(10)*C^(1)_(4)

p=m/n

По теореме синусов

AB/sin 30 ° =2R

R=6 cм

Радиус окружности, описанной около треугольника АВС равен 6

Тетраэдр вписан в сферу ( см. рис.) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
lg(3x-2)=t

[m]\frac{1}{t}+\frac{2}{t-2}=-1[/m]

[m]\frac{t-2+2t+t^2-2t}{t(t-2)}=0[/m]

[m]\frac{t^2+t-2}{t(t-2)}=0[/m]

[m]\frac{(t-1)(t+2)}{t(t-2)}=0[/m]

t=1; t=-2

lg(3x-2)=1
3x-2=10
x=4
принадлежит

lg(3x-2)=-2

3х-2=10^(-2)

3x=2+0,01

x=2,01/3

x=0,67 > sqrt(0,5)

принадлежит

Ответ выбран лучшим

log_(9)x=log_(3^2)x=(1/2)log_(3)x

log_(3)x+9log_(x)3=10

t+(9/t)=10

t ≠ 0

t^2-10t+9=0

t=1; t=9

log_(3)x=1
x=3 принадлежит

log_(3)x=9
x=3^(9)> 3^([b]8[/b]) не принадлежит

log_(2)256=log_(2)2^(8)=[b]8[/b]

Ответ выбран лучшим

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения.

И справа применяем свойство логарифма степени.

log_(2) (x+2)^2*(x+10)^2=log_(2)3^(4)

((x+2)*(x+10))^2=81

(x^2+12x+20)^2-9^2=0

(x^2+12x+20-9)*(x^2+12x+20+9)=0

x^2+12x+11=0
D=100
корни -1 и -11

-1 принадлежит указанному промежутку.

или

x^2+12x+29=0
D=144-4*29=144-116=28

x=-6 ± sqrt(7)
-6-sqrt(7) <-8 не принадлежит
-6+sqrt(7) < 0 принадлежит

[red]РS[/red]
Можно было применить свойство логарифма степени
и так
2log_(2)|x+2|+2log_(2)|x+10|=4log_(2)3
Делим на 2
log_(2)|x+2|+log_(2)|x+10|=2log_(2)3

И применяем свойство произведение логарифмов

log_(2)|x+2|*|x+10|=log_(2)9

|x+2|*|x+10|=9

Ответ выбран лучшим

log_(2)x=t

log_(x)2=1/t

t+(5/t)=6

t^2-6t+5=0

t=1 или t=5

log_(2)x=1;

x=2

log_(2)x=5

x=2^2=32

32^2=1024 > 1000

32 > sqrt(1000) и не принадлежит указанному промежутку, 2 принадлежит

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
lg(x+7)=t
[m]\frac{6}{t+2}-\frac{6}{t-3}=5[/m]

[m]\frac{6(t-3-t-2)}{(t+2)(t-3)}=5[/m]

(t+2)(t-3)=-6
t^2-t=0
t=0; t=1

lg(x+7)=0
x+7=1
x=[b]-6[/b]

lg(x+7)=1
x+7=10
x=[b]3[/b]

log_(2)1/64=log_(2)2^(-6)=-6
log_(2)7 <log_(2)8=3

-6 ∈ указанному интервалу
3 ∉ указанному интервалу

Ответ выбран лучшим

S_(заштрихованной фигуры)=S_(большого круга)-S_(среднего круга)-S_(маленького круга)=

=π*10^2-π*6^2-π*2^2=π*(100-36-4)=60π

Ответ выбран лучшим

1.Область определения (– ∞;+ ∞)
Функция четная
y(-x)=(1/4)*(-x)^4-2*(-x)^2+(7/4)=(1/4)x^4-2x^2+(7/4)

y`=x^3-4x

y`=0

x^3-4x=0

x*(x^2-4)=0

x=0; x= ± 2

__-__ (-2) _+___ (0) __-__ (2) __+_

y`< 0 на(- ∞; –2) и на (0;2)

значит функция убывает на(- ∞; –2) и на (0;2)

y`>0 на (– 2; 0) и на (2;+ ∞)

значит функция возрастает на
(– 2; 0) и на (2;+ ∞)

х=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

x= ± 2 – точки минимума, производная меняет знак с – на +

y``=3x^2-4

3x^2-4=0
x^2=4/3
x= ± 2sqrt(3)/3

y``>0 на (– ∞; –2√3/3) и на (2√3/3;+ ∞)
функция выпукла вниз

y``< 0 на(–2√3/3;2√3/3)
функция выпукла вверх

2.
Область определения (– ∞;+ ∞)

f`(x)=3x2–4
f`(x)=0

3x2–4=0

х= ± 2√3/3

Знак производной
_+_ (–2√3/3) __–__ (2√3/3) __+__

y`< 0 на(–2√3/3;2√3/3)

значит функция убывает на(–2√3/3;2√3/3)

y`>0 на(– ∞; –2√3/3) и на (2√3/3;+ ∞)

значит функция возрастает на
(– ∞; –2√3/3) и на (2√3/3;+ ∞)

х=–2√3/3 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

x=2√3/3 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

y``=6x

y`` < 0 при х < 0

кривая выпукла вверх на (– ∞;0)

y``>0 при x > 0

кривая выпукла вниз на (0;+ ∞)

х=0 – точка перегиба
см. рис (прикреплено изображение)

sin∠ A=CH/AC

AC=[b]CH[/b]/sin ∠ A

sin^2 ∠ A + cos^2 ∠ A=1

sin^2 ∠ A=1-cos^2 ∠ A=1-0,2^2=0,96

sin ∠ A=sqrt(0,96)=sqrt(96/100)=4sqrt(6)/10

АС=([b]2sqrt(6)[/b])* (4sqrt(6)/10)=[red]4,8[/red]

Ответ выбран лучшим

Дано:
[b]2a–5b[/b]=–27

18a-45b=9*([b]2a-5b[/b])=9*(-27)=-252

Ответ выбран лучшим

1)
(u^2)`=2u*u`(x), u(x)- функция, зависящая от х

u(x)=3x-1

f`(x)=2*(3x-1)*(3x-1)`=2*(3x-1)*3=[b]6(3x-1)[/b]

2)
(u^(-3))`=-3*u^(-3-1)*u`=-3*u^(-4)*u`

u(x)=2-3x

f`(x)=-3*(2-3x)^(-4)*(2-3x)`=-3*(2-3x)^(-4)*(-3)=9*(2-3x)^(-4)=[b]9/(2-3x)^4[/b]

Ответ выбран лучшим

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=5x^2-3x-1
v=x-3

u`=(5x^2-3x-1)`=10x-3
v`=(x-3)`=1

f`(x)=((10x-3)*(x-3)-(5x^2-3x-1)*1)/(x-3)^2

f`(x)=(10x^2-3x-30x+9-5x^2+3x+1)/(x-3)^2

[b]f`(x)=(5x^2-30x+10)/(x-3)^2[/b]

f`(x)=0

{5x^2-30x+10=0
{x-3 ≠ 0

{x^2-6x+2=0 ⇒ D=36-8=28; x_(1,2)=3 ± sqrt(7)
{x ≠ 3

О т в е т. 3 ± sqrt(7)

2.
1)
f`(x)=(x^2+1,2x-2sqrt(3))`=2x+1,2

f`(x)=2x+1,2

f`(x) ≥ 0 ⇒ 2x+1,2 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ -1,2 ⇒ [b]x ≥ -0,6[/b]

О т в е т. [-0,6;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Переносим запятую в делителе 0,8 на 1 цифру вправо, получаем 8
и в делимом на одну. Получаем 0,04

0,004:0,8=0,04:8=0,005

0 целых делим на 8 получаем в частном 0
0 десятых делим на 8 получаем 0
4 сотых делим на 8 получаем 0
40 тысячных делим на 8 получаем 5

0=log_((2x+2)/(5x-1))1

log_((2x+2)/(5x-1))(10x^2+x-2) ≤ log_((2x+2)/(5x-1))1

Два случая:
1)
(2x+2)/(5x-1)>1 ⇒(3-3x)/(5x-1) >0 ⇒ x < 1/5 или х> 1
Логарифмическая функция возрастает ( знак неравенства не меняем):
10x^2+x-2 ≤1 ⇒ 10x^2+x-3 ≤ 0

и учитываем область существования логарифмической функции
10x^2+x-2>0

Система
{x < 1/5 или x>1
(10x^2+x-3 ≤ 0
{10x^2+x-2>0

2)
{0 < (2x+2)/(5x-1) < 1
{10x^2+x-2 ≥ 1 ⇒ 10x^2+x-3 ≥ 0
{10x^2+x-2>0 можно не брать, второе неравенство "сильнее"
в нем левая часть больше 1 а значит и подавно больше 0

Объединяем решения систем и получаем ответ

[m]\sqrt{x+4}>\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1}[/m]

Возводим в квадрат с учетом существования подкоренных выражений:

{x+4 ≥ 0
{x-2 ≥ 0
{x-1 ≥ 0
{[m]x+4> x-2+2\cdot \sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x-1}+x-1[/m]

{x ≥ 2
{[m]2\cdot \sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x-1}< 7-x[/m]

Возводим в квадрат при условии, что правая часть положительна:

{x ≥ 2
{7-x > 0 ⇒ x < 7
{[m]4\cdot (x-2)(x-1)<(7-x)^2[/m]

Решаем неравенство:
3x^2+2x-41 < 0

при x ∈ [2;7)

D=4+4*3*41=4*124=16*31

sqrt(d)=4sqrt(31)

[m]x_{1}=\frac{-1-2\sqrt{31}}{3}[/m] ; [m]x_{2}=\frac{-1+2\sqrt{31}}{3} [/m]

Решение неравенства [m] ( \frac{-1-2\sqrt{31}}{3} ; \frac{-1+2\sqrt{31}}{3} ) [/m] c учетом х ∈ [2;7)

даёт ответ

О т в е т. [m][2;\frac{-1+2\sqrt{31}}{3} )[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]140=1,4\cdot\frac{4200 \cdot 0,5}{21}log_{2}\frac{85-25}{T-25}[/m]

[m]log_{2}\frac{60}{T-25}=1[/m]

[m]\frac{60}{T-25}=2[/m]

60=2*(T-25)

60+50=2T

T=55 ° (C)

О т в е т. [b]55 ° (С)[/b]

Ответ выбран лучшим

Делим обе части уравнения на 5^(3+5x)

[m]\frac{4^{3+5x}}{5^{3+5x}}=0,8[/m]

[m](\frac{4}{5})^{3+5x}=\frac{4}{5}[/m]

3+5x=1

5x=1-3

5x=-2

x=-0,4

О т в е т.[b] -0,4[/b]

Ответ выбран лучшим

4=4*1=4*log_(x-3)(x-3)=log_(x-3)(x-3)^4

log_(x-3)(x^2-4x)^2 ≤ log_(x-3)(x-3)^4

Два случая:
1)
x-3 >1 ⇒ x>4
Логарифмическая функция возрастает ( знак неравенства не меняем):
(x^2-4x)^2 ≤ (x-3)^4 ⇒ (x^2-4x)^2 - (x-3)^4 ≤ 0 формула a^2-b^2

и учитываем область существования логарифмической функции
(x^2-4x)^2>0

Система
{x>4
(x^2-4x-(x-3)^2)*(x^2-4x+(x-3)^2) ≤ 0
{x^2-4x ≠ 0

2)
{0 < x-3 < 1
{(x^2-4x)^2 ≥ (x-3)^4 ⇒ (x^2-4x)^2 - (x-3)^4 ≥ 0
{(x-3)^4>0 ⇒ x ≠ 3

Объединяем решения систем и получаем ответ

Из второго уравнения выражаем y=(3x-a+1)/4 и подставляем в первое уравнение:

[m](x+2a)^2+(\frac{3x-a+1}{4}+3a+1)^2=a+1[/m]

[m](x+2a)^2+(\frac{3x+11a+5}{4})^2=a+1[/m]

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:

[m]16x^2+64ax+64a^2+9x^2+121a^2+25+66ax+30x+110a=[/m]
[m]=16a+16[/m]

Получаем квадратное уравнение относительно x c параметром а:

[m]25x^2+(130a+30)x+185a^2+86a+9=0[/m]

Квадратное уравнение имеет не больше одного решения, значит дискриминант квадратного уравнения < 0 или равен 0.

[m]D=(130a+30)^2-4\cdot 25\cdot (185a^2+86a+9)=[/m]

[m]=100(13a+3)^2-100(185a^2+86a+9)=[/m]

[m]=100(169a^2+78a+9-185a^2-86a-9)=[/m]

[m]=100(-16a^2-8a)[/m]

[m]-16a^2-8a ≤ 0[/m]

[m]16a^2+8a ≥ 0[/m]

[m]8a(2a+1) ≥ 0[/m]

__+_ [[m]-\frac{1}{2}[/m]] ___ [0] _+__

О т в е т. (- ∞ ;[m]-\frac{1}{2}[/m]] U[0;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат при условии, что подкоренные выражения неотрицательны:
{x ≥ 0
{6-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 6
{x < sqrt(6-x)

и еще раз в квадрат ( x ≥ 0)

x^2 < 6-x
x^2+x-6 <0
D=1+24=25
корни: -3 и 2
-3 < x < 2

С учетом: x ≥ 0 и х ≤ 6

О т в е т. [b]0 ≤ x < 2[/b]

Ответ выбран лучшим

[red]1.[/red]
Проводим ОР || CB_(1)
PK|| AB_(1)

Δ ОРК ∼ ΔАВ_(1)С

ВО:ОС=1:3 ⇒

ВО:ВС=1:4 ⇒

[red]ОК:СА=1:4[/red]

Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных сторон

S_( Δ ОРК ): S_( ΔАВ_(1)С)=1^2:4^2=[red]1:16[/red]

S_( ΔАВ_(1)С)=288

S_( Δ ОРК )=288:16=18

О т в е т. [b]18[/b] (прикреплено изображение)

а)48:4,8=480:48=10
б)536:5,36=53600:536=100
в)921:92,1=9210:921=10
г)39:0,39=3900:39=100
д)4:0,4=40:4=10
е)999:99,9=9990:999=10

Ответ выбран лучшим

sqrt(9-x^2) и слева и справа.
Переносим в одну сторону и они в сумме дадут 0

Но уравнение имеет смысл, если:
{x+2>0 ⇒ x > -2
{x+3>0 ⇒ x > -3
{9-x^2>0 ⇒ x^2-9 <0 ⇒ -3 < x < 3

-2 < x < 3 - это ОДЗ

[i]Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения[/i].

[r]Формула log_(a)xy=log_(a)x+log_(a)y[/r] справедлива если x>0 и y >0

Поэтому и находим сначала ОДЗ

log_(2)(x+2)*(x+3) < 1

1=log_(2)2

log_(2)(x+2)*(x+3) < log_(2)2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, поэтому

(x+2)*(x+3) < 2 ( знак неравенства [i]не меняем[/i])

x^2+5x+4 <0

D=9

корни: 1 и 4

1 < x < 4

С учетом ОДЗ: О т в е т. (1;3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(3)_(0)x^2dx=(x^3/3)|^(3)_(0)=(3^3/3)-0=9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Два случая.
x> 1 Логарифмическая функция возрастает и тогда (3х+1) > (х+2)

и

0 < x <1 Логарифмическая функция убывает и тогда (3х+1) < (х+2)

Под знаком логарифма выражение не должно быть отрицательным.

Поэтому первая система:
{x>1
{3x+1>x+2 ⇒ х >1/2
{x+2 > 0 ( тогда 3х+1 > x+2 тоже будет больше 0) ⇒ x>-2

Пересечение трех множеств ответ первой системы: [b]х > 1[/b]

Вторая система:
{0<x<1
{3x+1<x+2 ⇒ х <1/2
{3x+1 > 0 ( тогда х+2 >3 x+1 тоже будет больше 0) ⇒ x>-1/3

Пересечение трех множеств ответ второй системы: [b]0 <х < 1/2[/b]

О т в е т. объединение двух множеств:
(0;1/2) U (1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

2 целых 3/13 < 2, 38 < 2,5

А левее С и между 2 и 2,5 (прикреплено изображение)

[m]\frac{4}{3^{-x+1}-9}-\frac{1}{3^{-x}-1}-3^{x-1}\leq 0[/m]

Замена переменной:
3^(-x)=t
t>0
Тогда
3^(-x+1)=3^(-x)*3=3t
3^(x-1)=1/(3t)

[m]\frac{4}{3(t-3)}-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{3t}\leq 0[/m]

Рациональное неравенство, упрощаем:
приводим к общему знаменателю.

[m]\frac{4t^2-4t-3t^2+9t-t^2+4t-3}{3t(t-3)(t-1)}\leq 0[/m]

[m]\frac{9t-3}{3t(t-3)(t-1)}\leq 0[/m]

Решаем методом интервалов.

__+___ (0)__-_ (1) __+__ (3)_+__

C учетом t >0

1 < t < 3 или t > 3

Обратная замена
1 < 3^(-x) < 3 или 3^(-x) > 3

1 < -x < 3 или -х>3

-3 < x < -1 или x < -3

О т в е т.[b] (- ∞ ;3) U (-3;1) [/b]

S=основание * высота=3*9=27 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=2x-2

y`=0

2x-2=0

x=1

Находим знак производной:

y`(10)=2*10-2>0 Ставим справа +

___ (1) _+__

слева минус

Там где производная больше нуля, функция возрастает,
там где меньше - убывает

на (- ∞ ;1) функция убывает

на (1;+ ∞ ) функция возрастает

x=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

(прикреплено изображение)

∠ АОВ=90 °

Cумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне
∠ А+ ∠ В=180 °

Биссектрисы AL и BE делят эти углы пополам.
Значит
∠ ABE+ ∠ BAL=90 °

Cумма углов треугольника АОВ равна 180 градусов.

Два угла в сумме 90 °
Значит третий угол 90 °

10,60=10,6

10,6 < 10,61
10,6<10,62
...

10,67 - о т в е т

10,6 < 10,67 < 10,7

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Я выбрала основание b=5
высота, проведенная к этому основанию равна 6
S=b*h=5*6=30

Первую фигуру разделим на две части:
( проведена линия белого цвета)
Получили труегольник с основанием 4 и высотой 3 и
параллелограмм с основанием 4 и высотой 3

S=(1/2)4*3+4*3=6+12=18 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1+ctg^2 α =1/sin^2 α ⇒

1+(7/24)^2=1/sin^2 α ⇒ 1+(49/576)=1/sin^2 α ⇒ 625/576=1/sin^2 α

sin^2 α =576/625

cos^2 α =1-sin^2 α =1-(576/625)=49/625

cos α = ± 7/25

так как 360°<α<450°

это первая четверть, косинус в первой четверти

положительный

[b]cos α = 7/25[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть один из российских участников конференции поселился в номере на любом из трех этажей

После этого осталось свободных мест 21-1=20
из них 7-1=6 мест свободных на этом же этаже

n=20
m=6

По формуле классической вероятности:

p=m/n= 6/20=0,3

О т в е т. [b]0,3[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В силу нечетности синуса:

[m]sin(-x)=-sinx[/m]

По формуле:

[m]1-cosx=2sin^2\frac{x}{2}[/m]

Уравнение принимает вид:

[m]\sqrt{(2sin^2\frac{x}{2})\cdot (2sin^2\frac{x}{2})}=sinx-5cosx[/m]

[m]|2sin^2\frac{x}{2}|=sinx-5cosx[/m]

Так как

[m] 2 sin^2\frac{x}{2} ≥ 0[/m], то

[m]|2sin^2\frac{x}{2}|=2sin^2\frac{x}{2}[/m]

и

[m]sinx=2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}[/m]

[m]cosx=cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}[/m]

Уравнение принимает вид:

[m]2sin^2\frac{x}{2}
=2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}-5(cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2})[/m]

[m]3sin^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}-5cos^2\frac{x}{2}=0[/m]

Это однородное тригонометрическое уравнение.

Делим на [m]cos^2\frac{x}{2}[/m]

Получаем квадратное уравнение:

[m]3tg^2\frac{x}{2}+2tg \frac{x}{2}-5=0[/m]

[m]D=4-4\cdot 3\cdot (-5)=64[/m]

[m]tg\frac{x}{2}=-\frac{5}{3}[/m] или [m] tg\frac{x}{2}=1[/m]

[m]\frac{x}{2}=arctg(-\frac{5}{3}) +\pi n, n \in Z [/m] или [m]\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi k, k \in Z[/m]

[m]x=2arctg(\frac{-5}{3})+2\pi n, n \in Z [/m] или [m]x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z[/m]

О т в е т.
a)[m]2arctg(\frac{-5}{3})+2\pi n, [/m] ; [m]\frac{\pi}{2}+2\pi k, n, k \in Z[/m]

б)

[m]\frac{5}{3}[/m] ≈ 1,666... <[m] \sqrt{3}[/m] ≈ 1,71...⇒

[m] -\sqrt{3} < -\frac{5}{3} < -1[/m]

Функция y=arctgx монотонно возрастающая на (- ∞ ;+ ∞ )

поэтому:

[m]arctg(-\sqrt{3}) < arctg(-\frac{5}{3})< arctg(-1)[/m]

[m]-\frac{\pi}{3} < arctg(-\frac{5}{3})< - \frac{\pi}{4} [/m]⇒

[m]-\frac{2\pi}{3} < 2arctg(-\frac{5}{3})> - \frac{\pi}{2}[/m]

Указанному промежутку принадлежат корни:

[m]x=\frac{\pi}{2}[/m] и [m]х=2arctg(-\frac{5}{3})+\pi =\pi-2arctg\frac{5}{3}[/m]

О т в е т.

б)[m]\frac{\pi}{2}[/m] ;
[m]\pi-2arctg\frac {5}{3}[/m]

Ответ выбран лучшим

C_(окружности)=2*π*R

С_(дуги в α радиан)=[m]\frac{2\pi R}{2\pi }\cdot \alpha =R\cdot \alpha[/m]

По условию

С_(дуги)=10 ⇒[m] R\cdot \alpha[/m]=10

R=4

S_(круга)=π*R^2

S_(сектора с углом α радиан)=[m]\frac{\pi \cdot R^2}{2\pi }\cdot \alpha =[/m]

S_(сектора с углом α радиан)=[m]\frac{ R}{2 }\cdot R\cdot \alpha [/m]

S_(сектора с углом α радиан)=[m]2 \cdot 10=20 [/m]
О т в е т. 20

Ответ выбран лучшим

Пусть х руб – первоначальная цена товара,

25%=0,25

25% от х это[b] 0,25*х[/b] руб.

х+0,25х=[b]1,25х[/b] руб. - цена товара после повышения на 25%
Аналогично
1,1*([b]1,25*x[/b]) руб- цена товара после повышения еще на 10%

1,12*1,1*([b]1,25*x[/b]) руб=1,54 *x руб. - цена товара после повышения еще на 12%

х руб. составляют 100%
1,54*х руб составляют p %

p=1,54*х*100%/х=154%

154%-100%=54%
О т в е т. На 54% повысилась цена

Ответ выбран лучшим

25.20
[b]Формула[/b]

[r]sin( α - β )=sin α *cos β -cos α *sin β [/r]

Применяем ее и получим

sin(45 ° - β )=sin45 ° *cos β -cos45 ° *sin β =

так как sin45 ° =cos45 ° =sqrt(2)/2

получаем

sin β +cos β +sqrt(2)*[b]([/b](sqrt(2)/2)*cos β -(sqrt(2)/2)*sin β [b])[/b]=

=sin β +cos β +cos β -sin β =2cos β

Второе решается АНАЛОГИЧНО.

Не буду решать. Получите радость от того, что сделали самостоятельно

25.21.
Это вообще-то[b] формула[/b]
тангенс разности.

[r]tg( α - β )= (tg α -tg β )/(1+tg α *tg β )[/r]

Доказательство стандартное. См. приложение.

Аналогично для тангенса суммы.
[r]tg( α + β )= (tg α +tg β )/(1-tg α *tg β )[/r]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{|x-1|>0 ⇒ x ≠ 1
{|x-1| ≠ 1 ⇒ x-1 ≠ ± 1 ⇒ x ≠ 0; x ≠ 2
{(x-3)^2>0 ⇒ x ≠ 3
{5^(x)+31≠0 так как 5^(x)+31 >0 при x ∈ (- ∞ ;+ ∞ )
{5^(x+1)-1 ≠ 0 ⇒ 5^(x)*5≠1 ⇒ 5^(x)≠5^(-1) ⇒ x≠ -1

____ (-1) ___ (0) ___ (1) ____ (2) ____ (3) ____

x ∈ (- ∞ ;-1) U(-1;0)U(0;1)U(1;2)U(2;3)U(3;+ ∞ )

[i]Решаем первое неравенство системы:[/i]
log_(|x-1|)(x-3)^2 ≤2* log_(|x-1|)(|x-1|) ( так как 1=log_(a)a)) ⇒

log_(|x-1|)(x-3)^2 ≤ log_(|x-1|)(|x-1|)^2

Если |x-1| >1, т. е [b]x <0 или x > 2[/b] логарифмическая функция [i]возрастает[/i] и
(x-3)^2 ≤ (|x-1|)^2
x^2-6x+9 ≤ x^2-2x+1
-4x ≤ -8
x ≥ 2
c учетом [b]x <0 или x > 2[/b] получаем ответ этого случая
[b]x > 2[/b]

Если 0 < |x-1|<1 ⇒ [b]0 < x < 1; 1 < x < 2 [/b]⇒ логарифмическая функция [i]убывает[/i] и
(x-3)^2 ≥ (|x-1|)^2
x^2-6x+9 ≤ x^2-2x+1
-4x ≥ -8
[b]x ≤ 2[/b] c учетом [b]0 < x < 1; 1 < x < 2 [/b]

получаем ответ этого случая [b]0 < x < 1; 1 < x < 2 [/b]

Объединение ответов первого и второго случая дает ответ первого неравенства:
(0;1)U(1;2)U(2;+ ∞ )

c учетом ОДЗ:
[red](0;1)U(1;2)U(2;3)U(3;+ ∞ )[/red]

[i]Второе неравенство системы:[/i]
[m]\frac{1}{5^{x}+31}\leq \frac{4}{5^{x+1}-1}[/m]

[m]\frac{1}{5^{x}+31}-\frac{4}{5^{x}\cdot 5-1}\leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{5^{x}\cdot 5-1-4(5^{x}+31)}{(5^{x}+31)(5^{x}\cdot 5-1)}\leq 0[/m]

[m]\frac{5^{x}\cdot 5-1-4\cdot 5^{x}-124)}{(5^{x}+31)(5^{x}\cdot 5-1)}\leq 0[/m]

[m]\frac{5^{x}-125)}{(5^{x}+31)(5^{x}\cdot 5-1)}\leq 0[/m]

так как 5^(x)+31 >0

[m]\frac{5^{x}-125)}{5^{x}\cdot 5-1}\leq 0[/m]

Решаем методом интервалов.
Нули числителя:
5^(x)-125=0
5^(x)=5^3
x=3
Нули знаменателя найдены ранее
x=-1

Расставляем знаки:

_+__ (-1) __-__ [ 3] __+__

x ∈ (-1;3]

C учетом ОДЗ:

[green]x ∈ (-1;0)U(0;1)U(1;2)U(2;3)[/green]

Решение системы- пересечение множеств:

[red](0;1)U(1;2)U(2;3)U(3;+ ∞ )[/red] и [green] (-1;0) U(0;1) U(1;2) U(2;3)[/green]

О т в е т.(0;1) U(1;2) U(2;3)

1.
ΔАА_(1)С- прямоугольный
АА_(1) ⊥ пл АВСD ⇒ АА_(1) ⊥ AC

tg ∠ A_(1)CA=AA_(1)/AC=6sqrt(3)/6=sqrt(3)
∠ A_(1)CA=arctg(sqrt(3))=[b]60 ° [/b]

2.
S_(бок)=P_(осн)*H=6a*H
а- сторона основания, H- боковое ребро
а=Н=6
S_(бок)=6a*H=6*6*6=216

S_(полн)=2S_(осн.)+S(бок)

S_(осн)=S_(прав шестиуг)=6*S_(прав треуг)=6*(1/2)*6*6*sin60 ° =

=54sqrt(3)

S_(полн)=2*54sqrt(3)+216=[b]108sqrt(3)+216[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В делителе число 2,24
переносим запятую на 2 знака вправо, получаем 224
Но и в делимом надо перенести запятую на два знака вправо.

1209,6

12,096:2,24 = 1209,6:224 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4.
Условие написано неверно. В знаменателе sqrt(x)+1,
скорее всего sqrt(x+1)

5.
По частям
u=x+2
dv=sin(x/2)dx

du=dx
v=-2cos(x/2)
получаем:
=u*v- ∫ vdu=

=(x+2)*(-2cos(x/2)) - ∫ (-2cos(x/2))dx=

=-(2x+4)cos(x/2)+ 4∫ cos(x/2)d(x/2)=

=-(2x+4)cos(x/2)+ 4sin(x/2)+C

6
По частям
u=arccosx
dv=dx

u=-dx/sqrt(1-x^2)
v=x

получаем:
=u*v- ∫ vdu=

=x*arccosx- ∫ x*(-dx/sqrt(1-x^2))=

=x*arccosx-(1/2) ∫ (-2xdx/sqrt(1-x^2))=

=x*arccosx-(1/2) *2sqrt(1-x^2) + C

=x*arccosx-sqrt(1-x^2) + C

7.
2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)

1/(2x^2-3x+1)=-1/(2x-1)+(1/2)*(1/(x-1)

∫ dx/(2x^2-3x+1)=- ∫ dx/(2x-1) +(1/2) ∫ dx/(x-1)=

=[b]-ln|2x-1|+(1/2)*ln|x-1|+C[/b]

8.

3x^2+2x-7=3*(x^2+(2/3)x)-7=3*(x^2+2*(1/3)*x+(1/9)-(3/9)-7=

=3*(x+(1/3))^2-(22/3)

Замена переменной:

[b]x+(1/3)=t[/b]

x=t-(1/3)

dx=dt

∫ (2x+3)dx/(3x^2+2x-7)= ∫ (2t-(2/3)+3)dt/(3t^2-(22/3))=

= (1/3)∫ 2tdt/(t^2-(22/9)+(7/9) ∫ dt/(t^2-(22/9)=

=(1/3)ln|t^2-(22/9)| +(7/9) *(1/2) ln |(t-(22/9))/(t+(22/9)| + C

=(1/3)ln|x^2+(2/3)x-(7/3)| + (7/18) ln |(9t-22)/(9t+22)|+C=

[b]=(1/3)ln|x^2+(2/3)x-(7/3)| + (7/18) ln |(9x-19)/(9x+25)|+C[/b]

d(tgx)=dx/cos^2x

= ∫ sqrt(tg^3x)d(tgx)= ∫ tg^(3/2)xd(tgx)=tg^((3/2)+1)/((3/2)+1) + C=

=(2/5) sqrt(tg^5x)+C

1-9ln^2x=1-(3lnx)^2

3lnx=u

d(3lnx)=(3lnx)`dx=3*(dx/x)

d(3lnx)=3dx/x

Умножаем dx на 3 и делим на (1/3), которую вынесем за знак интеграла.

[i]В квадратных скобках подсказка, какой табличный интеграл получим[/i] и ее можно не записывать

[m]\int \frac{dx}{x\sqrt{1-9ln^2x}}=\frac{1}{3}\int \frac{3dx}{x}\frac{1}{\sqrt{1-(3lnx)^2}}=[\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=]=\int \frac{d(3lnx)}{\sqrt{1-(3lnx)^2}}[/m]

=[b]arcsin(3lnx)+C[/b]

z=x+iy

sinz=sin(x+iy)=

применяем формулу:
[r]sin( α + β i)=sin α *ch β +i*cos α *sh β [/r]

=sinx*chy+i*cosx*shy

где chy и shy - гиперболический косинус и гиперболический синус

sinz=sinx*chy+i*cosx*shy

Re(sinz)=sinx*chy
Im(sinx)=cosx*shy

Проверяем выполнение условий Коши-Римана:

Находим частные производные:

(sinx*chy)`_(x)=
(sinx*chy)`_(y)=

(cosx*shy)`_(x)=
(cosx*shy)`_(y)=

Теорема о непрерывности прямой и обратной функций, говорит о том, что такого примера привести нельзя.

Каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох:
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
b^2=c^2-a^2

По условию гипербола проходит через точки
M_(1)(6;1) и M_(2)(-8;-2sqrt(2))

подставляем координаты этих точек в уравнение и решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

{[m]\frac{6^2}{a^2}-\frac{(-1)^2}{b^2}=1[/m]
{[m]\frac{(-8)^2}{a^2}-\frac{(-2\sqrt{2})^2}{b^2}=1[/m]

{36b^2-a^2=a^2b^2
{64b^2-8a^2=a^2b^2

36b^2-a^2=64b^2-8a^2
7a^2=28b^2
a^2=4b^2 ⇒

36b^2-a^2=a^2b^2
36b^2-4b^2=4b^2*b^2
32=4b^2
b^2=8
a^2=32

[m]\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{8}=1[/m] - о т в е т

[m]1-cosx=2sin^{2}\frac{x}{2}[/m]

[m]sinx+\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 2sin^{2}\frac{x}{2}}=0[/m]

[m]sinx+\sqrt{3}|sin\frac{x}{2}|=0[/m]

[m]2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cdot |sin\frac{x}{2}|=0[/m]

Раскрываем знак модуля:
1)
[m]sin\frac{x}{2} ≥ 0[/m] ⇒ [m] 0+2πm ≤ \frac{x}{2} ≤ π+2πm, m ∈ Z ⇒ 4πm ≤ x ≤ 2π+4πm, m ∈ Z[/m]
тогда
[m]|sin\frac{x}{2}|=sin\frac{x}{2}[/m]
уравнение примет вид:

[m]2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cdot sin\frac{x}{2}=0[/m]

[m]sin\frac{x}{2}\cdot (2cos\frac{x}{2}+\sqrt{3})=0[/m]

[m]sin\frac{x}{2}=0[/m] ⇒ [m] \frac{x}{2}=πk, k ∈ Z [/m]⇒

[red]x=2πk, k ∈ Z [/red]

или

[m]2cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}=0[/m] ⇒ [m] cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]\frac{x}{2}= ± \frac{5π}{6}+2πn, n ∈ Z[/m] ⇒[m] x= ± \frac{5π}{3}+4πn, n ∈ Z[/m]

Условию [m] sin\frac{x}{2} ≥ 0[/m] удовлетворяют корни:

[red][m] x= \frac{5π}{3}+4πn, n ∈ Z[/m][/red]

2)
[m]sin\frac{x}{2} <0 ⇒ -π+2πm ≤ \frac{x}{2} ≤ 2πm, m ∈ Z
⇒[/m]
[m]-2π+ 4πm ≤ x ≤4πm, m ∈ Z[/m]
тогда
[m]|sin\frac{x}{2}|=- sin\frac{x}{2}[/m]

уравнение принимает вид:

[m]2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2} - \sqrt{3}\cdot sin\frac{x}{2}=0[/m]

[m]sin\frac{x}{2}\cdot (2cos\frac{x}{2}-\sqrt{3})=0[/m]

[m]sin\frac{x}{2}<0[/m] ⇒

[m]2cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}=0 ⇒ cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

[m]\frac{x}{2}= ± \frac{π}{6}+2πn, ⇒ ± \frac{π}{3}+4πn, n ∈ Z [/m]

Условию [m]sin\frac{x}{2} < 0[/m] удовлетворяют корни:

[red][m] x= - \frac{π}{3}+4πk, k ∈ Z[/m]
[/red]

[red][m]- \frac{π}{3}+4πn, \frac{5π}{3}+4πn[/m]
[/red]
можно объединить в ответ:

[m] - \frac{π}{3}+2πn [/m]
О т в е т.
a)
[red][m] 2πk[/m] [/red]

[red][m] - \frac{π}{3}+2πn [/m][/red]
[red][m] n, k ∈ Z[/m] [/red]

2.
S_(мн)=S_(проекции)/сos45 ° =6srqt(2)/(sqrt(2)/2)=[b]12[/b]

3.
а)DA ⊥ пл АВС ⇒ DA ⊥ BC

AM ⊥ BC

BC ⊥ DA и ВС ⊥ АМ ⇒ ВС ⊥ пл DAM ⇒ BC ⊥ DM

б)
ВМ=МС
АМ- медиана равностороннего треугольника, а значит и высота
AM ⊥ BC

По теореме Пифагора из треугольника AВM:

АМ^2=AB^2-AM^2=6^2-3^2=27

Из прямоугольного треугольника DAM
DM^2=DA^2+AM^2=4^2+27=43

DM=sqrt(43)

4.
Пусть МК ⊥ пл β
АК- проекция МA
ВК-проекция MB

МК=МА*sin60 ° =(8sqrt(3))*(sqrt(3)/2)=12

MK=KB=12 ( Δ МКВ - прямоугольный равнобедренный)

MB^2=MK^2+MK^2=12^2+12^2=288

MB=[b]12sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

[red]A2.[/red]
Пусть ребро куба равно а.

Cечение через два противоположных ребра это диагональное сечение.

Основание этого сечения - диагональ квадрата.

AC=BD=asqrt(2)

АА_(1)=СС_(1)=а

S_(сеч)=a*sqrt(2)*a=a^2*sqrt(2)

По условию 64 sqrt(2)
a^2*sqrt(2)= 64 sqrt(2)
a^2=64
a=[b]8[/b]

d_(куба)=a*sqrt(3)=[b]8sqrt(3)[/b]

[red]A3.[/red]
Проводим МK ⊥ BC

MK|| CC_(1); MK||BB_(1)
МК=СС_(1)/2=3sqrt(2)/2

АК- высота Δ АВС

АK=a*sqrt(3)/2=(3sqrt(2))*(sqrt(3)/2)=3sqrt(3/2)

∠ МАК угол между прямой АМ и ее проекцией на пл. АВС

tg∠ МАК=MK/AM=(3sqrt(2)/2):(3sqrt(3/2))=1/sqrt(3)
∠ МАК =30 °

[red]B.1[/red]
AM=(2/5)AA_(1)=(2/5)*15=6

S_( Δ ABC)=sqrt(24*(24-10)*(24-17)*(24-21))=3*4*7

АК ⊥ ВС

AK=2S_( Δ ABC)/BC=8

По теореме Пифагора
MK^2=6^2+8^2=100
MK=10

S_( ΔMBC)=(1/2)*BC*MK=(1/2)*21*10=[b]105[/b]

Ответ выбран лучшим

[m](\frac{5^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[6]{5}})^2=(\frac{5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{6}}})^2=(\frac{5^{\frac{5}{6}}}{5^{\frac{1}{6}}})^2=(5^{\frac{5}{6}-\frac{1}{6}})^2=(5^{\frac{4}{6}})^2=5^{\frac{4}{3}}[/m]=

=∛(5^4)=∛625

Ответ выбран лучшим

3^(log^2_(3)x)=(3^(log_(3)x))^(log_(3)x)=x^(log_(3)x)

Уравнение принимает вид:
x^(log_(3)x)+x^(log_(3)x)=16

2(x^(log_(3)x))=16

(x^(log_(3)x))=8

Логарифмируем по основанию 3

[b]log_(3)[/b](x^(log_(3)x))=[b]log_(3)[/b]8

log_(3)x*(log_(3)x)=log_(3)8

(log_(3)x)^2=log_(3)8

Ответ выбран лучшим

log_(sqrt(3))x=log_(3^(1/2))x=2log_(3)x

|2log_(3)x-2|-|log_(3)x-2|=2

Замена переменной:

log_(3)x=t

|2t-2|-|t-2|=2

Это рациональное уравнение с модулем.

Решаем методом интервалов.

(- ∞ ;1]
-2t+2+t-2=2
-t=2
t=-2 - входит в (- ∞ ;1]

(1;2]
2t-2+t-2=2
3t=6
t=2 входит в (1 ;2]

(2;+ ∞ )
2t-2-t+2=2
t=2 не входит (2;+ ∞ )

t= ± 2

log_(3)x=-2; log_(3)x=2

x=3^(-2); x=3^2

x=1/9; x=9

оба корня удовл одз

о т в е т. (1/9); 9

Ответ выбран лучшим

Формула логарифма степени:

log_(a)b^(n)=nlog_(a)b если a>0; b>0

Эта же формула для x неизвестного знака ( как + так -)
требует модуля:
log_(2)x^2=2log_(2)|x|

Но если вначале решения Вы указали ОДЗ уравнения:
{2x>0 ⇒ x>0
{x^2 >0 ⇒ x ≠ 0

то формула примет вид:
log_(2)x^2=2log_(2)|x|=2log_(2)x

Поэтому можно написать:

в условиях ОДЗ
log^2_(2)x^2=(2log_(2)|x|)^2=4log^2_(2)|x|=4log^2_(2)x

и

log_(2)2x=log_(2)2+log_(2)x=1+log_(2)x

Уравнение принимает вид:

4log^2_(2)x-16*(1+log_(2)x)+31=0

Далее кв. уравнение и корни

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x>0

log_(3)x^3=3log_(3)x
log_(2)x^2=2log_(3)x

log_(2)x*log_(3)x=3log_(3)x+2log_(2)x-6

log_(2)x*log_(3)x-3log_(3)x-2log_(2)x+6=0

Раскладываем на множители способом группировки:

(log_(3)x-2)*(log_(2)x-3)=0

log_(3)x-2=0 или log_(2)x-3=0

log_(3)x=2 или log_(2)x=3

[b]x=3^2[/b] или [b] x=2^3[/b]

б) 9 принадлежит, 8 нет

Ответ выбран лучшим

Нет, на такой вопрос не ответить.

Надо бы прикрепить фото.

Может быть у Вас был lg^2t=4

t= выражение зависящее от х

и извлекли корень из обеих частей

|lgt|= ± 2

|lgt|=2 ⇒ решаем это уравнение

|lgt|=-2 уравнение не имеет решений

Ответ выбран лучшим

lg10x=lg10+lgx=1+lgx

lgx^2=2lgx

lg^2x^2=(2lgx)^2=4lg^2x

4lg^2x+1+lgx-6=0

4lg^2x+lgx-5=0

D=1-4*4*(-5)=81

lgx=-5/4; lgx=1

x=10^(-5/4) или x=10

10 ∈ [1/10;sqrt(101)]

10^(-5/4) < 10^(-1)=0,1

10^(-5/4) ∉ [1/10;sqrt(101)]

б)
log_(2)(x+3)+1=log_(2)(4+x)

1=log_(2)2

log_(2)(x+3)+log_(2)2=log_(2)(4+x)

log_(2)(x+3)*2=log_(2)(4+x)

(x+3)*2=4+x
2x+6=x+4
x=-2

Проверка:
log_(2)(-2+3)+1=log_(2)(4-2)
log_(2)1+1=log_(2)2
1=1 - верно

О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1

i^(14)=i^(12)*i^2=(i^4)^3*i^2=1^3*i^2=-1
i^(39)=i^(36)*i^3=1*i^3=-i
i^(32)=(i^4)^8=1

[m]z=-\frac{-4-5(-i)}{3+7}=0,4+0,5i[/m]

vector{z}=0,4-0,5i

Revector{z}=x=0,4

(1-3i)*(4+3i)=4-12i+3i-9i^2=4-12i+3i+9=13-9i

i*(1-3i)*(4+3i)=13i-9i^2=13i+9

(i-1)^2=i^2-2i+1

z=13-9i+13i+9=4i+22=22+4*i
x=22
y=4

Ответ выбран лучшим

1)f`(x)=x`·(x–3)+x·(x–3)`=1·(x–3)+x·1=x-3+x=2x-3

f`(x_(o))=f`(4)=2*4-3=8-3=[b]5[/b]

2)f`(x)=(x^2–5)`·(x–3)+(x2–5)·(x–3)`=2x·(x–3)+(x^2–5)·1=

=2x^2-6x+x^2-5=3x^2-6x-5

f`(x_(o))=f`(1,1)=3*(1,1)^2-6*1,1-5 считайте

Ответ выбран лучшим

1)f`(x)=(3x–√3)`=
правило: производная суммы ( разности) равна сумме ( разности) производных:
=(3x)`-(√3)`=

производная константы равна 0 ((√3)`=0)
постоянный множитель можно выносить за знак производной:
=3*(x)`-0=3*1=3

2)f`(x)=(x^2+3x–√2)`=(x^2)+(3x)`-(√2)`=2x+3-0=2x+3

3)f`(x)=(5x^(–4)+2x–√5)`=-4*5*x^(-4-1)+2-)=20x^(-5)+2=(20/x^5)+2
4)f`(x)=3x(x–1)=(3x)`*(x-1)+3x*(x-1)`=3*(x-1)+3x*1=3x-3+3x=6x-3
5)f`(x)=(x^2+3)(x–5)=(x^2+3)`*(x–5)+(x^2+3)*(x–5)`=2x*(x–5)+(x^2+3)*1=2x^2-10x+x^2+3=3x^2-10x+3

6)f`(x)=x–2/x+3 –5x Где здесь дробь? числитель и знаменатель надо взять в скобки
Напишите в комментах как должно быть

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение прямой MN
как[i] прямой, проходящей через две точки[/i]:

[m]\frac{x-0}{\frac{\pi }{6}-0}=\frac{y-0}{\frac{\pi }{3}-0}[/m]

y=2x

dy=(2x)`dx=2dx

y на 2x

dy на 2dx и считаем как определенный интеграл от 0 до [m]\frac{\pi }{6}[/m]

∫ ^([m]\frac{\pi }{6}[/m])_(0)(cosx-2x)dx+(x+tg(2x))2*dx=

=∫ ^([m]\frac{\pi }{6}[/m])_(0)(cosx+2tg(2x)dx=

=(sinx)|^([m]\frac{\pi }{6}[/m])_(0)+∫ ^([m]\frac{\pi }{6}[/m])_(0)[m]\frac{sin2x}{cos2x}[/m]d(2x)=

[m]=sin \frac{\pi}{6}-sin 0[/m]-ln|cos2x|^([m]\frac{\pi }{6}[/m])_(0)=

[m]=\frac{1}{2}-lncos\frac{\pi}{3}[/m]=

[m]=\frac{1}{2}-ln\frac{1}{2}[/m]=

[m]=\frac{1}{2}+ln2[/m]

1) параллельны, так как их нормальные векторы
vector{n_(1)}=(3;4;-1)
и
vector{n_(2)}=(6;8;-2)
[i]коллинеарны[/i] ( их координаты пропорциональны)

3) так как скалярное произведение нормальных векторов
vector{n_(1)}=(1;2;-5)
и
vector{n_(2)}=(2;4;2)

vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=1*2*4+(-5)*2=0

{x`(t)=t/y ⇒ y=t/x`(t) ⇒ y`=(t`*x`(t)-t*x``(t))/x``(t) подставим во второе
{y`(t)=-t/x

(t`*x`(t)-t*x``(t))/x``(t) =-t/x

Получим дифференциальное уравнение второго порядка

a)
{x ≥ 0
{y ≥ 0

(x:y) в 1 и 3 четвертях

Из второго
sqrt(y)=5-sqrt(x)

Подставляем в первое:
x*(5-sqrt(x))-(5-sqrt(x))^2*sqrt(x)=30

(5-sqrt(x))*(x-5sqrt(x)+x)=30

(5-sqrt(x))*(2x-5sqrt(x))=30

sqrt(x)=t
x=t^2

(5-t)*(2t^2-5t)=30

10t^2-2t^3-25t+5t^2-30=0

[b]2t^3-15t^2+25t+30=0[/b]

б)
Замена
x-y=u
sqrt(xy)=v

xy ≥ 0 ⇒ (x;y) в первой или третьей четверти

v ≥ 0

{v^2=64 ⇒ v=8
{u+v=20 ⇒ u=12

sqrt(xy)=8

{xy=64
{x-y=12 ⇒ y=x-12

x*(x-12)=64
x^2-12x-64=0

D=144+256=400

x_(1)=(12+20)/2=16; x_(2)=(12-20)/2=-4

y_(1)=12; y_(2)=-4-12=-16

x_(1)*y_(1) >0
x_(2)*y_(2)>0

О т в е т. (-4;-16);(16;4)

Ответ выбран лучшим

1)
Замена
x+y=u
sqrt(xy)=v;
xy ≥ 0 ⇒ (x;y) в первой или третьей четверти

v ≥ 0

{u-v=7
{v^2=9 ⇒ так как v ≥ 0, v=3

и подставляем в первое

u=10

{x+y=10
{xy=9

[b]x=1;y=9[/b]
или
[b]x=9;y=1[/b]

О т в е т.(1;9);(9;1)
2) x-y=(sqrt(x)-sqrt(y))*(sqrt(x)+sqrt(y))

x-y=6*(sqrt(x)-sqrt(y))

Cистема примет вид:
{sqrt(y)+sqrt(x)=6
{6*(sqrt(x)-sqrt(y))=12 Делим на 2

{sqrt(y)+sqrt(x)=6
{sqrt(x)-sqrt(y)=2

Складываем:
2sqrt(x)=8
sqrt(x)=4 ⇒[b] x=16[/b]

y=x-12=16-12=[b]4[/b]

О т в е т.(16;4)

1.
Знаменатель дроби отличен от 0:
x+3 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3

О т в е т. В и С

2.
-1 ≤ cosx ≤ 1
-7 ≤ 7cosx ≤ 7

О т в е т. В) [-7;7]

3.
Показательная функция с основанием 3>1 возрастает на области определения.
О т в е т. С)

4. Вершина параболы в точке (-2;1), ветви вверх

О т в е т. б)

5.
тригонометрические функции А-В-С периодические.

О т в е т. Д.

Ответ выбран лучшим

Во-первых упростить
Первое уравнение разделить на 3, второе на 4

{x-3y=4
{x-3y=4

Это одно и то же уравнение.

Уравнение ax+by=c определяет прямую на плоскости.

Прямые, в первом и втором уравнениях, совпадают. А значит система уравнений имеет бесчисленное множество точек

Ответ выбран лучшим

vector{u}= α *vector{w_(1)}+ β *vector{w_(2)}+ γvector{w_(3)}

Покоординатное равенство вектора слева и линейной комбинации векторов справа приводит к системе трех уравнений с тремя неизвестными α , β , γ :

{-1= α *(-1)+ β *3+ γ *0
{2=α *2+ β *0+ γ *(-2)
{-2=α *1+ β *1+ γ *1

Решаем ее любым способом: методом Гаусса, правило Крамера.
α =-4/7
β = 1/7
γ =-11/7

О т в е т. vector{u}= -(4/7) *vector{w_(1)}+ (1/7)*vector{w_(2)}+(-11/7)*vector{w_(3)}

Ответ выбран лучшим

vector{a}= α *vector{u}+ β *vector{v}+ γvector{w}

Покоординатное равенство векторов слева и линейной комбинации векторов справа приводит к системе трех уравнений с тремя неизвестными α , β , γ :

{0= α *1+ β *3+ γ *1
{2=α *1+ β *6+ γ *(-2)
{7=α *1+ β *9+ γ *4

Решаем ее любым способом: методом Гаусса, правило Крамера.
α =-10/3
β = 1
γ =1/5

О т в е т. vector{a}= -(10/3) *vector{u}+ vector{v}+(1/5)*vector{w}

Ответ выбран лучшим

1)
Решаем систему трех уравнений:
{x-y+4z-6=0
{2x+y-z+3=0
{3x-y+6z-12=0

Δ=0

Прямая и плоскость либо не имеют общих точек, т е параллельны
либо имеют бесчисленное множество общих точек (прямая лежит в пл.).

Запишем уравнение прямой в каноническом виде как в п.2
и убедимся, что направляющий вектор прямой:
vector{s} и нормальный вектор плоскости
vector{n} коллинеарны или нет.

Прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей:
{x-y+4z-6=0
{2x+y-z+3=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:

{-y+4z-6=0
{y-z+3=0

Cкладываем

3z-3=0
z=1

y=z-3
y=-2

[b]А(0; -2; 1)[/b]

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{x+4z-6=0
{2x-z+3=0

умножаем второе на 4 и складываем

{x+4z-6=0
{8x-4z+12=0

9х+6=0
х=-2/3

z=2х+3=2*(-2/3)+3=5/3

[b]В(-2/3;0;5/3)[/b]

vector{s}=vector{AB}=(-2/3;2;2/3)
Нормальный вектор плоскости
vector{n}={3;-1;6}

Векторы не коллинеарны.

Значит прямая L лежит в плоскости Q.

2)
Направляющий вектор прямой:
vector{s}=(2;17;13)
Нормальный вектор плоскости
vector{n}=(5;0;-1}

Векторы vector{s}=(2;17;13) и vector{n}=(5;0;-1} не коллинеарны и не ортогональны.

Прямая и плоскость пересекаются

Вычитаем из первого уравнения второе:
{x^2-x-y^2+y=0 ⇒ x^2-y^2+(x-y)=0 ⇒ (x-y)*(x+y+1)=0
{x+y^2-20=0

{x-y=0
{x+y^2-20=0 или

{x+y+1=0
{x+y^2-20=0

{x=y
{y+y^2-20=0 ⇒ y=-5;y=-4 ⇒ x=-5;x=-4

{x=-y-1
{-y-1+y^2-20=0 ⇒ y^2-y-21=0 y=(1 ± sqrt(85))/2 ⇒

x=(1 ± sqrt(85))/2 - 1

О т в е т. (-5;-5);(-4;-4);(sqrt(85)-1)/2; (sqrt(85)-1)/2); (-sqrt(85)-1)/2; (-sqrt(85)-1)/2)

Ответ выбран лучшим

vector{c}= α *vector{a}+ β *vector{b}= α *2*vector{i}+ β *(3*vector{i}+3*vector{j})=

=(2 α +3 β )*vector{i}+3 β *vector{j}

vector{c}=(2 α +3 β )*vector{i}+3 β *vector{j} и vector{c}=2*vector{i}+6*vector{j}

{2 α +3 β =2
{3 β =6 ⇒ β =2

2 α +3*2=2
α =-2

О т в е т. vector{c}= -2 *vector{a}+ 2 *vector{b}

1.
{x>0;
{x ≠ 1
{9x^2+13=x^4-4x^3+4x^2+13

x^4-4x^3-5x^2=0
x^2*(x^2-4x-5)=0

x^2=0 или x^2-4x-5=0 D=36;x=-1; x=5
x=0

Первому неравенству удовлетворяет только х=5
О т в е т. 5

2.
{x-2>0
{(х-3)(х-2)>0 ⇒так как (х-2)>0, то (х-3)>0 ⇒ x>3

Умножаем обе части уравнения:
[m]5\sqrt{\frac{x-2}{x-3}}-\sqrt{\frac{x-3}{x-2}}=\frac{9}{\sqrt{(x-3)(x-2)}}[/m]

на sqrt((x-3)(x-2))

Так как x-3>0, то

sqrt(x-2)*sqrt(x-2)=(sqrt(x-2))^2=x-2
аналогично
sqrt(x-3)*sqrt(x-3)=(sqrt(x-3))^2=x-3
5(x-2)-(x-3)=9
5x-10-x+3=9
4x=16
x=4

4>3

О т в е т. 4

Найти Матрицу A^2=A*A=

[m]\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 &-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot 0 & 1\cdot 0+0\cdot(-1)\\ 0\cdot 1+(-1)\cdot 0& 0\cdot 0+(-1)\cdot (-1) \end{pmatrix}=[/m][m]=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/m]

[m]f(A)=2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=[/m]

[m]\begin{pmatrix} 2-3+1 &0 \\ 0& 2+3+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0& 0\\ 0& 6 \end{pmatrix}[/m]

Пусть АВ=х
тогда
АС=х+2

Из треугольника АВО по теореме Пифагора
АО^2=АВ^2-ВО^2=[b]x^2-5^2[/b]

Из треугольника АCО по теореме Пифагора
АО^2=АC^2-CО^2=[b](x+2)^2-9^2[/b]

Приравниваем правые части:
[b]x^2-5^2=(x+2)^2-9^2[/b]

x^2-5^2=x^2+4x+4-9^2

9^2-5^2-4=4x

4x=52
x=13

АО^2=13^2-5^2=169-25=144
[b]AO=12 [/b]
(прикреплено изображение)

Нас интересует пара, в которой есть Иван Петров из Волгограда.
Осталось 8 конкурсантов из Волгограда, которые могут находиться
как в его паре, так и в других парах.
Требуется найти вероятность того, что один из этих 8 конкурсантов окажется в паре с Иваном Петровым.

Так как оставшихся свободных мест 25, и из них место в паре с Иваном Петровым только одно, то вероятность того, что на этом месте окажется один из 8 конкурсантов из Волгограда
равна 8/25 = 0,32.

Ответ: 0,32

Ответ выбран лучшим

По свойству степени

[r]a^(m)*b^(m)=(a*b)^(m)[/r]

(2*5)^(log_(2)x)=10^3

(10)^(log_(2)x)=10^3 ⇒ log_(2)x=3

x=2^3

x=[b]8[/b]- о т в е т

1)
y`=4x^3
y`=0
4x^3=0
x=0- точка минимума, производная меняет знак с - на +

__-_ (0) _+__

функция убывает на (- ∞ ;0)

функция возрастает на (0;+ ∞)

y``=12x^2

y`` ≥ 0 ⇒ функция выпукла вниз

см. рис. 1

2)
y`=12x^2
y` ≥ 0 при любом х ⇒ функция возрастает на(- ∞ ;+ ∞)

y``=24x

y`` > 0 при х ∈ (0;+ ∞) функция выпукла вниз
y`` < 0 при х ∈ (- ∞;0) функция выпукла вверх

см. рис 2
(прикреплено изображение)

3^(x)=t;
t>0
9^(x)=t^2

[m]\frac{13-5t}{t^2-12t+27}\geq \frac{1}{2}[/m]

[m]\frac{13-5t}{t^2-12t+27}-\frac{1}{2} \geq 0[/m]

[m]\frac{26-10t-t^2+12t-27}{2\cdot (t^2-12t+27)} \geq 0[/m]

[m]\frac{-t^2+2t-1}{2\cdot (t^2-12t+27)} \geq 0[/m]

[m]\frac{(t-1)^2}{2\cdot (t^2-12t+27)} \leq 0[/m]

[m]\frac{(t-1)^2}{2\cdot (t-3)(t-9)} \leq 0[/m]

___+_ [1] __+__ (3) ____-___ (9) ___+____

t=1 или 3<t<9

3^(x)=1 или 3 < 3^(x) < 3^2

x=0 или 1< x < 2

О т в е т. {0}U(1;2)

Ответ выбран лучшим

[r]1ц=100 кг[/r]

2 ц=200 кг=2*100 кг
1,246 ц=1,246*100 кг=124,6 кг

a)1,246 ц=124,6 кг
б)12,46 ц=1246 кг
в)=12460 кг

[r]1т=1000 кг[/r]

д) =1524,5 кг
e)=15245 кг
ж)=152450 кг

[r]1 кг = 1000 г[/r]

7548 г:1000=7,548 кг

и)=7,548 кг
к)=0,238 кг
л)=0,045 кг

Ответ выбран лучшим

Замена:
7^(x)=t

Так как множество значений показательной функции положительно, то
t>0

[m]\frac{7}{t-7}\geq \frac{5}{t-4}[/m]

[m]\frac{7}{t-7}-\frac{5}{t-4}\geq 0 [/m]

[m]\frac{7\cdot(t-4)-5\cdot (t-7)}{(t-7)(t-4)}\geq 0[/m]

[m]\frac{7t-28-5t+35}{(t-7)(t-4)}\geq 0[/m]

[m]\frac{2t+7}{(t-7)(t-4)}\geq 0[/m]

__-__ [-3,5] __+__ (4) _-___ (7) __+__

с учетом t >0

(0;4)U(7;+ ∞ )

0 < 7^(x) <4 или 7^(x) > 7

x <log_(7)4 или x >1

О т в е т. (- ∞ ;log_(7)4) U(1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Надо [b]знать[/b] и уметь применять формулу:

cos( α - β )=cos α cos β +sin α sin β

[b]знать[/b] значения тригонометрических функций
cos(π/4)=sin(π/4)=sqrt(2)/2

Уметь выполнять преобразования

Уравнение примет вид:

cos2x+cos2x+sin2x=sin2x-1
2cos2x=-1
cos2x=-1/2

Простейшее уравнение вида:

cosx=a

Решаем по формуле:
х= ± arccos(-1/2)+2πn, n ∈ Z

Уметь решать простейшие уравнения

Знать как найти arccos

1) Найти ОДЗ

Под знаком логарифма должно быть положительное выражение
Основание логарифмической функции должно быть положительным и не равно 1

{27x>0 ⇒
{81x>0 ⇒
{81x ≠ 1 ⇒

2)
Перейти к логарифмам по одинаковому основанию. Лучше всего к основанию 3

Применить свойства логарифма ( логарифм произведения, логарифм степени)

log_(a)xy=log_(a)x+log_(a)y

log_(a)x^(k)=klog_(a)x

3) В результате получить логарифмическое квадратное неравенство

[m]\frac{log_{3}9}{log_{3}(81x)}\cdot (\frac{log_{3}(27x)}{log_{3}\frac{1}{3}})^2\leq 4,5[/m]

Удобнее ввести замену переменной:

log_(3)x=t

α =3,1м=310см=3100 мм=3,1*10^3 мм
β =4,2м=420см=4200 мм=4,2*10^3 мм
γ =23м=2300 см=23000 мм=2,3*10^4 мм

1.
log(1/2)(x+2)>-2 ⇒ log(1/2)(x+2)>log_(1/2)*4

так как

log(1/2)(x+2)>-2*1, 1=log_(1/2)(1/2)

log(1/2)(x+2)>-2*log_(1/2)*(1/2)

log(1/2)(x+2)>log_(1/2)*(1/2)^(-2)

log(1/2)(x+2)>log_(1/2)*4

Логарифмическая функция с основанием (1/2) [i]убывающая[/i].
[b]Большему[/b] значению функции соответствует [b]меньшее[/b] значение аргумента

Это означает, что
(x+2) < 4

Знак неравенства сменился на противоположный по смыслу

Но логарифмическая функция не определена на множестве отрицательных чисел, поэтому при переходе
необходимо учесть, что
x+2 >0

Получаем двойное неравенство

0 < x +2 < 4

Прибавляем к каждой части (-2):

-2 < x < 2

x=-1;0;1 - целые решения.

О т в е т. 1- наибольшее целое.

Остальные решаются [b]аналогично[/b]

Решайте. Есть вопросы : спрашивайте. Это полезнее чем просто [b]переписать готовое решение.[/b]

2.
x^2-3x+2 ≤ 2
Знак неравенства сменился на противоположный.

0<x^2-3x+2 ≤ 2
Получаем двойное неравенство

0 < x^2+3x+2 ≤ 2,

которое можно заменить[b] системой[/b] двух неравенств:
{x^2-3x+2 >0 D=9-8=1; корни 1 и 2 ⇒ х < 1 или x > 2
{x^2+3x+2 ≤ 2 ⇒ x^2+3x ≤ 0 ⇒ x*(x+3) ≤ 0 ⇒ -3 ≤ x ≤ 0

Решение системы:
-3 ≤ x ≤ 0

целые: -3;-2;-1;0

О т в е т. 4 целых решения

3.
Отличается от первых двух тем, что основание логарифмической функции 5.
Функция возрастает.
Поэтому знак неравенства не меняется:

{(x+2)< 18/(7-x) ⇒ (x^2-5x+4)/(x-7)<0 ⇒ x<1; 4 < x < 7
{x+2>0 ⇒ x > -2

x ∈ (-2;1)U(4;7)

Целые: -1;0; 5;6
Cумма 10

4.

{(1-2x)/x ≥ 1
{(1-2х)/х>0
⇒
только первое решаем. Решения второго входят в решение первого

( например:
{t ≥ 1
{t>0 ⇒
t ≥ 1)

(1-2x)/x - 1 ≥ 0 ⇒

(1-2x-x)/x ≥ 0
(1-3x)/x ≥ 0

____ (0) __+__ [1/3] ___

x ∈ (0;1/3]

Ответ выбран лучшим

a)
По правилу производная произведения:

[r](u*v)`=u`*v+u*v`[/r]

f`(x)=(sqrt(x)-2)`*(5-6sqrt(x))+(sqrt(x)-2)*(5-6sqrt(x))`=

=[m]\frac {1}{2\sqrt{x}}[/m]*(5-6sqrt(x))+(sqrt(x)-2)*[m](-6)\frac {1}{2\sqrt{x}}[/m]=

=[m]\frac {5-6\sqrt{x}-6\sqrt{x}+12}{2\sqrt{x}}=\frac {19-12\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}[/m]

б)
По правилу производная дроби
[r](u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2[/r]

f`(x)=((2x^2)`*sinx-2x^2*(sinx))/sin^2x

f`(x)=(4x*sinx-2x^2*cosx)/sin^2x - о т в е т

z=x+iy

Rez=x
Imz=y
| Rez|⩽1 ⇒ |x| ≤ 1 ,
| Imz|⩽1 ⇒ |y| ≤ 1

Квадрат со стороной 2. Его площадь 4

Imz⩽Re(3z) ⇒ y ≤ 3x

См. рис.

Площадь области (красного цвета внутри квадрата) равна половине площади квадрата.

p=S_(области)/S_(квадрата)=2/4=[b]1/2[/b]
(прикреплено изображение)

sin(2x+5) ≥ 0 ⇒ 0+2πk ≤ 2x+5 ≤ π+2πk, k ∈ Z

-5+2πk ≤ 2x ≤ π-5+2πk, k ∈ Z

-2,5+πk ≤ x ≤ (π/2)-2,5+πk, k ∈ Z - о т в е т

Ответ выбран лучшим

x^2+(a-6)^2=|x+a-6|+|x-a+6|

a-6=b

x^2+b^2=|x+b|+|x-b|

[b](- ∞ ;-b)[/b]
x^2+b^2=-x-b-x+b ⇒ x^2+2x+b^2=0 D=4-4b^2

Это уравнение имеет один или два корня при D ≥ 0

Если получаем два корня, то один должен быть "лишним",
т. е не принадлежащим (- ∞ ;-b)

[b](-b;b)[/b]
x^2+b^2=x+b-x+b ⇒ x^2+b^2-2b=0

x= ± sqrt(2b-b^2)

2b-b^2 ≥ 0

те же указания

[b](b;+ ∞ )[/b]
x^2+b^2=x-b+x+b ⇒ x^2-2x+b^2=0 ⇒ D=4-4b^2

те же указания

Можно графически:
x^2+b^2=|x+b|+|x-b|

y=x^2+b^2 - парабола, ветви вверх

y=|x+b|+|x-b| ломаная.

cм рис. для b=1

Из рис. видно, что один корень в том случае, когда прямая y=|x+b|+|x-b| касается параболы y=x^2+b^2 в вершине:

Вершина в точке (0;b^2)

Значит уравнение прямой y=b^2

b^2=2b

b=0; [b]b=2[/b] ( см. рис. для b=2)

⇒
a-6=0; [b]a-6=2[/b]
a=6; a=8

О т в е т. 6;8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos8x=cos(2*(4x))=cos^24x-sin^24x=2cos^24x-1

2cos^2(2x)=1+cos4x

4sin^22x=2*(1-cos4x)

Уравнение:

2*(1-cos4x)-(1+cos4x)=2cos^24x-1

2-2cos4x-1-cos4x=2cos^24x-1

Квадратное уравнение:

2сos^24x+3cos4x-2=0

D=9+16=25

cos4x=-2 - уравнение не имеет корней (|cos4x| ≤ 1)

cos4x=1/2 ⇒ 4x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒ [b]x=± (π/12)+(π/2)*n, n ∈ Z[/b]
это о т в е т.

f`(x)=(x^5+3*sinx)`=
производная суммы равна сумме производных
=(x^5)`+(3*sinx)`=
постоянный множитель можно вынести за знак производной:
=(x^5)+3*(sinx)`=
применяем формулы:
(x^( α ))`= α x^( α -1)
(sinx)`=cosx

=5x^4+3cosx - о т в е т

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначим
2x+3=t

Уравнение принимает вид:

|t-2a|+|t-4a|=4

t-2a=0 ⇒ t=2a

t-4a=0 ⇒ t=4a

Рассмотрим плоскость аОt ( это координатно-параметрический метод)

Строим прямые

t=2a и x=4a

см. рис.

Прямые разбивают всю плоскость аОt на 4 части

Раскрываем знак подмодульных выражений в каждой части

t-2a>0 в II и III областях
t-2a < 0 в I и IY областях

(см. рис.2)
t-4a > 0 во III и IY областях
t-4a < 0 в I и II областях

Тогда уравнение принимает вид:
в I области: -t+2a-t+4a=4 ⇒ -2t+6a=4 ⇒t=3a-2
во II области: t-2a-t+4a=4 ⇒ 2a=4 ⇒ a=2
в III области: t-2a+t-4a=4 ⇒2t-6a=4 ⇒ t=3a+2
в IY области -t+2a+t-4a=4 ⇒ -2a=4 ⇒a=-2

Строим в каждой области прямую, соответствующую уравнению:

cм. рис. 3

a ∈ (- ∞ ;-2) нет решений

a=-2
t_(1)=-4; t_(2)=-8 ( cм замена : 2х+3=t) ⇒ x_(1)=-3,5; x_(2)=-5,5

a ∈ (-2;2)
два решения:
t=3a-2;
t=3a+2

( cм замена : 2х+3=t) ⇒2x+3=3a-2; 2x+3=3a+2
x=(3a-5)/2
x=(3a-1)/2

a=2
t_(3)=4
t_(4)=8
x_(1)=-0,5
y_(2)=-2,5

a>2 нет решений

О т в е т.
При a ∈ (- ∞ ;-2) U(2;+ ∞ ) нет решений
При a ∈ [-2;2] два решения:

при а=-2
x=-3,5; x=-5,5

при a ∈ (-2;2) x=3a-5)/2; x=(3a-1)/2

при а=2
х=-0,5; х=-2,5
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

64c 36=4*(16c 9)

и тогда

(64c 36):4=4*(16c 9):4=16c 9

или

[m]\frac{64c 9}{4}=\frac{4\cdot(16c 9)}{4}=16c 9

Вероятность того, что 24.02 хорошая погода
0,5
Вероятность того, что 24.02 отличная погода
0,5

Хорошая погода 25.02 может быть в двух случаях:
Погода 24.02 была хорошей и не изменилась.
Вероятность равна 0,5*0,5=0,25
Погода 24.02 была отличной и изменилась.
Вероятность равна 0,5*0.5=0,25

Вероятность того, что 25.02 хорошая погода
0,25+0,25=0,5

Вероятность того, что 25.02 отличная погода
1-0,5=0,5

Далее процесс зацикливается...

О т в е т. [b]0,5[/b]

Ответ выбран лучшим

Биссектриса CL делит угол С пополам:
∠ АСL= ∠ DCL

Это вписанные углы, значит и дуги, на которые они опираются тоже равны:
∪ AK= ∪ BK

∠ АВК= ∠ ВАК как углы, опирающиеся на равные дуги.

Δ АВК - равнобедренный ⇒ АК=ВК

∠ АСL= ∠ DCL=∠ АВК= ∠ ВАК

Рассмотрим окружность, описанную около Δ AKL

∠ AKL=∠ АPL⇒ как углы, опирающиеся на ∪ AL

Δ BCL= Δ PCL по общей стороне СL и двум прилежащим к ней углам:

∠ АСL= ∠ DCL
и
∠ AKL=∠ АPL

Из равенства треугольников следует равенство сторон:
ВС=РС

б)
Дано:
ВС=6, АВ=5, АС=4.

ВС=РС=6

АР=РС-АС=6-4=2

Δ АРК :

S_( Δ АКР)=

О т в е т.

(прикреплено изображение)

а)
В основании призмы квадрат АВСD.
АВ=ВС=СD=AD

Обозначим сторону основания [b]а[/b].
АВ=ВС=СD=AD=[b]а[/b]

КР-средняя линия Δ АВС
КР || АС

AC=a*sqrt(2)
KP=(a*sqrt(2))/2

AD ∩ KP=M
DC ∩ KP=N

D_(1)M ∩ AA_(1)=T
D_(1)N ∩ CC_(1)=E

Сечение KTD_(1)EP - пятиугольник.

ΔMND ∼ ΔACD (MN||AC)

∠ CAD=45 ° ( диагональ квадрата является его биссектрисой)
∠ KMA=45 °

Δ KMА - прямоугольный с острым углом 45 ° , значит это равнобедренный треугольник и
КА=МА

КА=(1/2)АВ=a/2
МА=KA=a/2
MK=(asqrt(2))/2

MD=MA+AD=(a/2)+a=3a/2

Аналогично ΔMND ∼ ΔPNC (MN||AC)

DN=(3a/2)

Δ MAT ∼ Δ MDD_(1) ( AT || DD_(1))

AT:DD_(1)=MA:MD=(a/2):(3a/2)=1:3

Аналогично ΔENC ∼ ΔND_(1)D

EC:DD_(1)=1:3

ТЕ || AC
AC||KP

[b]TE|| KP[/b]

D_(1)T=D_(1)E ⇒ ΔD_(1)TE - равнобедренный

Аналогично ТК=РЕ

КТЕР - равнобедренная трапеция ( TE || AC и ТК=РЕ)

б)
АВ=ВС=СD=AD[b]=8[/b]
АА_(1)=ВВ_(1)=СС_(1)=DD_(1)=[b]6[/b]

AC=8*sqrt(2)
KP=(8*sqrt(2))/2=4sqrt(2)

A_(1)T=(3/4)AA_(1)=(2/3)*6=4

AT=(1/3)*6=2

TD^2_(1)=8^2+4^2=80

TD_(1)=sqrt(80)=[b]4sqrt(5)[/b]

KT^2=АT^2+AK^2=2^2+4^2=20
KT=2sqrt(5)

P=2*KT+2*TD_(1)+KP=sqrt(265)+sqrt(337)+4sqrt(2)

О т в е т. 4sqrt(5)+8sqrt(5)+4sqrt(2)=[b]12sqrt(5)+4sqrt(2)[/b]

(прикреплено изображение)

Саша:
Пусть сумма кредита S тысяч рублей.
Платеж состоит из величины ежемесячного долга (S/12) и начисленных на остаток процентов:

Каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же величину (на S/12)

Значит сумма выплат Саши

S+0,1* (S+(S-(S/12))+(S-(2S/12))+... (S-(11S/12))=

S+0,1*(S+(11S/12)+(10S/12)+...(S/12))=S+0,1*(13S/12)*2)

( применяем формулу суммы арифметической прогрессии)

=[b]1,65S[/b]

Паша:
Пусть сумма кредита S тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля следующим образом:
S; S − 50; S − 100; ... [b]S − 550[/b]; 0.

Первого числа каждого месяца долг возрастает на 10%, значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число такова:
1,1S; 1,1(S − 50); ... 1,1(S − 550).

Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими:
0,1S + 50; 0,1(S − 50) + 50; ... 0,1(S − 500) + 50+0,1(S − 550)+[b](S-550)[/b]

Всего следует выплатить
50*11+S-550+12*0,1*S -0,1*(50+…+550)=

=S+0,1*S*12-0,1*3300[b]=2,2S-330[/b]

Очевидно, что

2,2S-330>1,65S

2,2S-330-1,65S=429

0,55*S=759

S=1 380 000

О т в е т. 1 380 000 руб

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что на три места расставляем цифры от 0 до 9

n=10*10*10=1000 - число исходов испытания.

Событие А -"то последние три цифры — это цифры 1 , 2 и 3 в каком–то порядке"

Событию А благоприятствуют шесть случаев
123; 132
213; 231
312; 321

m=6

По формуле классической вероятности

p(A)=m/n=6/1000=0,006

О т в е т. 0,006

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла

[red]Первый множитель равен 0:[/red]

{4sin^2x-3=0 ⇒ sin^2x=3/4 ⇒ sinx= ± sqrt(3)/2
{36π^2-x^2 ≥ 0 ⇒ (6π-x)(6π+x) ≥ 0 ⇒ -6π ≤ x ≤ 6π

Так как уравнение
sinx=sqrt(3)/2

имеет корни в первой и во второй четверти:

x=(π/3)+2πn, n ∈ Z и х=(2π/3) +2πm, m ∈ Z

а уравнение

sinx=-sqrt(3)/2

имеет корни в третьей и четвертой четверти:
x= -(π/3)+2πn, n ∈ Z и х= - (2π/3) +2πm, m ∈ Z,

то корни уравнения можно записать в виде:

x= [b](π/3)+πk, k ∈ Z[/b] или x= [b] - (π/3)+πm, m ∈ Z
[/b]

Второму неравенству системы удовлетворяют корни:

при k=-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5

и

при m=-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

[red]о т в е т первого случая[/red]
x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k = -6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5
x= - (π/3)+πm, m ∈ Z
m = -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

[red]Второй множитель равен 0[/red]

sqrt(x^2-36π^2)=0 ⇒ x^2-36π^2=0 ⇒ x= ± 6π

[red]о т в е т второго случая[/red] x= ± 6π

б) Так как -6π ≤ x ≤ 6π

и -20 < -6π, то находим корни, принадлежащие

[-6π;-15]

Указанному промежутку принадлежат корни:

при k=-6;
x_(1)=(π/3)-6π=-17π/3

при m=-5
x_(2)=-(π/3)-5π=-16π/3

-16π/3 < -15; -16π<-15*3

x_(3)=-6π

О т в е т.
a)
x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k = -6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5
x= - (π/3)+πm, m ∈ Z
m = -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

б)-6π; -17π/3; -16π/3; (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{29*10^(x-1)-25^(x)>0

2,9*2^(x)-5^(x)>0

(5/2)^(x) <2,9
[red]x<log_(5/2)2,9[/red]

2x=2x*1=2x*log_(2)2=log_(2)2^(2x)

Неравенство принимает вид:
log_(2)2^(2x)≥ log_(2)(29·10^(x–1)–25^(x))

Логарифмическая функция с основанием 2>1 [b]возрастающая[/b],
[i]большему[/i] значению функции соответствует [i]большее[/i] значение аргумента.

2^(2x)≥29·10^(x–1)–25^(x);

10^(x-1)=10^(x)*10^(-1)=0,1*(2*5)^(x)

25^(x)=(5^(2))^(x)=(5^(x))^(2)

5^(2x)+2,9*2^(x)*5^(x)+2^(2x) ≥ 0

Так как множество значений показательной функции положительно, т.е 2^(2x)>0, делим неравенство на 2^(2x)

(5/2)^(2x)-2,9*(5/2)^(x)+1 ≥ 0

Замена переменной:

(5/2)^(x)=t
t>0

t^2-2,9*t+1 ≥ 0

D=2,9^2-4*1=8,41-4=4,41

t_(1)=2/5; t_(2)=5/2

Решение неравенства:

t ≤ 2/5 или t ≥ 5/2

Обратный переход от t к х:

(5/2)^(x) ≤ 2/5 или (5/2)^(x) ≥ (5/2)

x ≤ -1 или x ≥ 1

О т в е т. (- ∞ ;-1] U [1;log_(5/2)2,9)

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла

[red]Первый множитель равен 0:[/red]

{4cos^2x-1=0 ⇒ cos^2x=1/4 ⇒ cosx= ± (1/2)
{49π^2-x^2 ≥ 0 ⇒ (7π-x)*(7π+x) ≥ 0 ⇒ -7π ≤ x ≤ 7π

Так как уравнение
cosx= 1/2

имеет корни в первой и в четвертой четвертях:

x=(π/3)+2πn, n ∈ Z и х=- (π/3) +2πm, m ∈ Z

а уравнение
сosx=-1/2

имеет корни во второй и третьей четвертях:

x= (2π/3)+2πn, n ∈ Z и х= - (2π/3) +2πm, m ∈ Z

, то корни уравнения можно записать в виде:

x= (π/3)+πk, k ∈ Z или x= -(π/3)+πm, m ∈ Z

[i]Второму неравенству[/i] системы удовлетворяют корни:

при k=-7;-6; -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

и

при m=-6; -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7

[red]о т в е т первого случая[/red]
x= (π/4)+πk, k ∈ Z
k=-7;-6; -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6
x=- - (π/4)+πm, m ∈ Z
m=-6; -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7

[red]Второй множитель равен 0[/red]

sqrt(49π^2-x^2)=0 ⇒ 49π^2-x^2=0 ⇒ x= ± 7π

[red]о т в е т второго случая[/red] x= ± 7π

б)
Так как -7π ≤ x ≤ 7π
и 7π<25
то выбираем корни, принадлежащие [20;7π]

(π/3)+6π< 20, так как 19*π< 60

и
6π<20<7π

Указанному промежутку [15;20] принадлежат корни:

[b]x_(1)[/b]=-(π/3)+7π=[b]20π/3[/b]

[b]x_(2)=7π[/b]

cм. рис.

О т в е т.

x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k=-7;-6; -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6
x=- (π/3)+πm, m ∈ Z
m=-6; -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7

б)[b] 20π/3; 7π[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

R=a*sqrt(3)/2 ( cм фото)

По условию
R=sqrt(3)

sqrt(3)=a*sqrt(3)/2 ⇒ а=2

S_(бок)=P_(шестиуг)*Н=6а*Н=6*2*6=72

О т в е т. [b]72[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

√2·(cos(3п/8)–sin(3п/8))·(cos(3п/8)+sin(3п/8))=

=√2·(cos^2(3п/8)–sin^2(3п/8))=

=√2·(cos(2*(3п/8))=

=√2·(cos(3п/4))=

=√2·(-√2/2)=-1

О т в е т. -1

Применили формулу разности квадратов:

[r](a-b)*(a+b)=a^2-b^2[/r]

и формулу косинуса двойного угла:

[r]cos2 α =cos^2 α -sin^2 α [/r]

Ответ выбран лучшим

red]ОДЗ:[/red]
{x>0
{x ≠ 1
{5-x>0 ⇒ x < 5
{5-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 4

[red]x ∈ (0;1)U(1;4)U(4;5)[/red]

В условиях ОДЗ:

[m]\frac{1}{log_{5-x}x}=log_{x}(5-x)[/m]

Неравенство принимает вид:

x^2*log_(x)(5-x)-(5x-4)log_(x)(5-x) ≤ 0

log_(x)(5-x)*(x^2-5x+4) ≤ 0

Применяем метод интервалов:

x^2-5x+4=0
D=25-24=1
x=1; x=4

[u]x^2-5x+4 ≥ 0[/u] на [u](0; 1) и на (4;5)[/u]

x^2-5x+4 ≤ 0 на (1;4)

log_(x)(5-x)=0 ⇒ 5-x=1;
x=4

log_(x)(5-x) ≥ 0 по методу рационализации ⇔ (х-1)(5-х-1) ≥ 0 ⇒

(х-1)(х-4) ≤ 0

на (1;4)

[u]log_(x)(5-x) ≤ 0[/u] по методу рационализации ⇔ (х-1)(5-х-1) ≤ 0 ⇒

(х-1)(х-4) ≥ 0

[u]на (0; 1) и на (4;5)[/u]

Замечаем, что на (0;1); (1;4) и (4;5)

множители имеют противоположные знаки.
Значит на этих промежутках произведение отрицательно.

Равенство в точках 1 и 4, но они не входят в ОДЗ

О т в е т. (0;1)U(1;4)U(4;5)

sin2x=2sinx*cosx

2*sinx*cosx+sqrt(3)*cosx-sqrt(3)*sinx=1,5

Умножаем на 2:

4*sinx*cosx+2*sqrt(3)*cosx-2*sqrt(3)*sinx=3;

4*sinx*cosx+2*sqrt(3)*cosx-2*sqrt(3)*sinx-3=0;

Группируем:

(4*sinx*cosx+2*sqrt(3)*cosx)-(2*sqrt(3)*sinx+3)=0;

2*cosx*(2*sinx+sqrt(3))-sqrt(3)(2*sinx+sqrt(3))=0;

(2*sinx+sqrt(3))*(2*cosx-sqrt(3))=0

Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0,
а другие при этом не теряют смысла.
(в данном уравнении оба множителя имеют смысл при любом х)

2*sinx+sqrt(3)=0 ⇒ sinx=-sqrt(3)/2

x=(-1)^(k)*(-π/3)+πk, k ∈ Z

x=(-π/3)+2πk, k ∈ Z или x=(-2π/3)+2πm, m ∈ Z

2*cosx-sqrt(3)=0 ⇒ cosx=sqrt(3)/2

x= ± (π/6) +2πn, n ∈ Z

б)

Запишем корни (-1)^(k)*(-π/3)+πk, k ∈ Z

в виде:

(-π/3)+2πm или x=(-2π/3)+2πm, m ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни при m=-1

[b]-8π/3; -7π/3[/b]

x= ± (π/6) +2πn, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежит корень
- (π/6) -2π=-13π/6

О т в е т.
a)(-1)^(k)*(-π/3)+πk, ± (π/6) +2πn, k,n ∈ Z

б)
[b]-8π/3; -7π/3; -13π/6[/b]

(прикреплено изображение)

Пусть масса первого сплава равна х кг, масса второго сплава у кг

По условию у <x на 90 кг.

Можно составить первое уравнение:

[b]х-у=90[/b]

5%=0,05
5% меди в первом сплаве составляют 0,05*х кг
95%=0,95
95% во втором сплаве составляют 0,95*у кг
Третий сплав имеет массу (х+у) кг, в нем 45% меди, т.е
0,45*(x+y) кг
Это равно количеству меди в первом и втором сплавах

Составляем второе уравнение:
[b]0,45*(x+y)=0,05*x+0,95*y[/b]
0,45*x+0,45*y=0,05*x+0,95*Y
0,4*x=0,5*y
4x=5y
[b]x=1,25y[/b]

Подставляем в первое уравнение:
1,25у-у=90
0,25у=90
y=360
x=90+у=90+360=450

x+у=450+360=810 кг

О т в е т. 810 кг

Ответ выбран лучшим

Формулы:
R=a*b*c/4S

r=S/p

p=(a+b+c)/2=(16+30+34).2=40

S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))=sqrt(40*24*10*6)=240

r=240/40=6

R=16*30*34/(4*240)=17

Теорема синусов
b/sin ∠ B= 2R

2R - диаметр

О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

8a^2+(12x-2x^2)a+x^3-8x^2 ≤ 0

8a^2+(12x-2x^2)a+x^3-8x^2 =0

D=(12x-2x^2)^2-4*8*(x^3-8x^2)=144x^2-48x^3+4x^4-32x^3+256x^2=
=400x^2-80x^3+4x^4=4x^2*(100-20x+x^2)=4x^2*(x-10)^2

sqrt(D)=2x*(x-10)

a_(1)=6x-x^2-x*(x-10); a_(2)=6x-x^2+x*(x-10);

a_(1)=16x-2x^2; a_(2)=-4x;

8a^2+(12x-2x^2)a+x^3-8x^2 =8*(a-16x+2x^2)*(a+4x)

Неравенство принимает вид:
8*(a-16x+2x^2)*(a+4x) ≤ 0

Решаем...

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: ax-x^2-π^2 ≥ 0 ⇒ x^2-ax+π^2 ≤ 0
D=a^2-4π^2
Если D < 0 уравнение x^2-ax+π^2 =0 не имеет корней и
неравенство не выполняется ни при каких х.

Значит, D ≥ 0
a^2-4π^2 ≥ 0
⇒
[b]|a| ≥ 2π[/b]

Неравенство верно при
(a-sqrt(a^2-4π^2))/2 ≤ x ≤ (a+sqrt(a^2-4π^2))/2

Теперь решаем уравнение.
[i]Замена переменной.[/i]
sqrt(x^2-ax+π^2)=у

При любых x из ОДЗ
sqrt(x^2-ax+π^2) ≥ 0

[red]у ≥ 0[/red]

sinу+cos2у=0
sinу+(1-2sin^2у)=0
2sin^2у-sinу-1=0
D=1-4*2*(-1)=9

siny=-1/2 или siny=1

y=(-1)^(k)*(-π/6)+πk ИЛИ y=(π/2)+2πn, [b] k,n ∈ Z[/b]

Корни y=(-1)^(k)*(-π/6)+πk удобнее записать в виде:

(-π/6)+2πk, k ∈ [b]Z[/b] и (-5π/6)+2πm, m ∈ [b]Z[/b]

Так как [red] y≥ 0[/red] то корни:
y=(-π/6)+2πk, k ∈[b] N[/b] или y= (-5π/6)+2πm, m ∈ [b]N[/b]
ИЛИ
y=(π/2)+2πn, n ∈[b]{0}UN[/b]

Так как y ≥ 0, то

sqrt(x^2-ax+π^2)=у- уравнение полуокружности.
с учетом [b]|a| ≥ 2π[/b]

[b]ax-x²-π²=y² [/b]-это уравнение окружности,

запишем его в виде:

(x-(a/2))²+y²=(a/2)²-π²

(a/2;0) R=sqrt((a/2)²-π²)

Значит y ограничено этой полуокружностью,
[green]0 ≤ у ≤ sqrt((a/2)²-π²)[/green]

Надо посмотреть какие y:

[green]y[/green]=(-π/6)+2πk, k ∈[b] N[/b] или [green]y[/green]= (-5π/6)+2πm, m ∈ [b]N[/b]
ИЛИ
[green]y[/green]=(π/2)+2πn, n ∈[b]{0}UN[/b]

удовлетворяют этому неравенству

Неравенство можно умножать га положительное число .
Умножаем все части на (3/5):

0<(3/5)x<(3/5)*40
0<(3/5)x< 24

О т в е т. 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23

Ответ выбран лучшим

Примем весь бак за 1.

1:18=1/18 бака заполняется за 1 мин через два крана

1:30=1/30 бака заполняется за 1 мин через первый кран

1/18-1/30=5/90-3/90=2/90=1/45 бака заполняется за 1 мин через второй кран

1:1/45=1*45/1=45 минут потребуется, чтобы наполнить бак через второй кран

Ответ выбран лучшим

[m]2х-\frac{5}{12}=2\cdot \frac {5}{2}-\frac{5}{12}=5-\frac{5}{12}=4 \frac{7}{12}[/m]

[m]|4 целых\frac{7}{12}|=4 \frac{7}{12}[/m]

[m]2\cdot |4 \frac{7}{12}|=2\cdot 4 \frac{7}{12}=2\cdot \frac{55}{12}=\frac{110}{12}=\frac{55}{6}[/m]

[m]\frac{55}{6}+\frac{1}{8}=\frac{(55\cdot 4+3)}{24}=\frac{223}{24}=9 \frac{ 7}{24}[/m]

Ответ выбран лучшим

7) По формулам приведения:
cos(3π+3 α )=-cos3 α
cos(1,5π-3 α )=-sin 3 α

1-cos3 α *cos2 α +sin3 α *sin2 α =1-(cos3 α *cos2 α-sin3 α *sin2 α)=

=1-cos(5 α )=2 sin^2(2,5 α )

Применили формулы:
[r]cos( α + β )=cos α cos β -sin α *sin β [/r]
cos3 α *cos2 α-sin3 α *sin2 α=cos(3 α +2 α )=cos5 α
и
[r]2sin^2 α =1-cos2 α [/r]
1-cos5 α =2sin^2(5 α /2) или 1-cos 5 α =2sin^22,5x

8)
Решается аналогично.
Однотипные задачи не решаю.
Достаточно того, что показано в первой задаче.

Учитесь решать самостоятельно.

Лучше глубоко подышать, сосредоточив внимание на дыхании. И тогда "плохие" мысли уйдут....

За час первый автомобиль проехал 80 км
и расстояние между первым и вторым стало на 80 км меньше, т.е

530-80=450 км

Теперь автомобили выезжают одновременно и движутся навстречу другу, один проезжает в час 80 км, второй 70 км, т.е за час они оба [b]приближаются[/b] на
80+70=150 км

Значит расстояние в 450 км они преодолеют за 3 часа

Второй проедет
70 км в час *3=210 км ( от В до М)
Первый проедет
80*4=320 км (от А до М)

А ___80__С ________ М ______ В

[b]М- место встречи.[/b]

Первый из А проехал путь АС за час и путь СМ за три часа
т.е путь АМ за 4 часа

1) Находи путь СВ=СМ+МВ
530-80=450 км
2) 80+70=150 км в час - [b]скорость приближения ( сближения)[/b]
3) 450:150=3 часа ( с момента выезда второго из В)
4) 3+1=4 часа ( с момента выезда первого из А)
5)4*80=320 км - на расстоянии 320 км от А автомобили встретятся

PS Задача на движение навстречу друг другу.

Ответ выбран лучшим

62,2-2,8=59,4

59,4:2=29,7 га убрал первый

29,7+2,8=32,5 га убрал второй

или

уравнением:
пусть х га убрал первый

(х+2,8) га убрал второй

Вместе (всего) убрали 62,2 га

х+(х+2,8)=62,2
2х=59,4
х=29,7 га убрал первый

х+2=29,7+2,8=32,5 га убрал второй

Ответ выбран лучшим

400м=0,4 км

2 км/ час - скорость удаления первого от второго

Путь делим на скорость удаления:
0,4 :2=0,2 часа=12 минут

О т в е т. через 12 минут

Второе объяснение

Первый удаляется за счет того, что его скорость на 2 км / час больше, значит, за час он удалится на 2 км

2км=2000 м

2000:400 =5

1 час : 5=60 минут : 5 = 12 минут

PS Задача на движение в одном направлении

Ответ выбран лучшим

||2x+9|–6|+3=6 или ||2x+9|–6|+3=-6

||2x+9|–6|=3 или ||2x+9|–6|=-9 - это уравнение не имеет решений

||2x+9|–6|=3
|2x+9|–6=-3 ИЛИ |2x+9|–6=3

|2x+9|=3 ИЛИ |2x+9|=9

2х+9=-3 или 2х+9=3 ИЛИ 2х+9=-9 или 2х+9=9

x=-6 или х=-3 ИЛИ х=-9 или х=0

О т в е т. -9; -6; -3; 0

Решение уравнения с модулем по определению

Ответ выбран лучшим

y=x^3+3x^2
y`=3x^2+6x

y`=0

3x^2+6x=0

3x*(x+2)=0

x=0 или х+2=0

х=0 или х=-2

Отрезку [-3;-1] принадлежит точка х=-2

Исследуем точку на экстремум с помощью знака производной

[-3] __+__ (-2) __-__[-1]

x=-2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

1) 90 + 60 = 150 (км/ч) − скорость сближения поездов;

150 (км/ч) = 150 000 : 60 = 2500 (м/мин)

15с=15/60 мин=0,25 мин

скорость умножаем на время = получаем путь, т.е длину поезда

3) 2500 * 0,25 = 625 (м) − длина поезда.

Ответ: 625 метров.

Ответ выбран лучшим

(5^(3))^(sinx*cosx)=5^(3cos(x/2))

или

(5^(3))^(sinx*cosx)=5^((3cosx)/2)

Решаю второй вариант:

5^(3*sinx*cosx)=5^(3cosx)/2)

[b]3*sinx*cosx=(3cosx)/2[/b]

Делим на 3 и умножаем на 2

2sinx*cosx=cosx

2sinx*cosx-cosx=0

cosx*(2sinx-1)=0

cosx=0 или 2sinx-1=0

cosx=0 или sinx=1/2

cosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]

sinx=1/2 ⇒ x=(π/6)+2πk, k ∈ Z или x=(5π/6)+2πm, m ∈ Z

б)
Указанному отрезку принадлежат корни:

-π/2; π/6; π/2

x²–4xy+4y²–4x+8y+7=(x²–4xy+4y²)-(4х-8у)+7=
=(x-2y)²-4(x-2y)+7=4²-4*4+7=16-16+7=7

AP ⊥ пл β
ВТ ⊥ пл β
⇒
AP||BT

AK ⊥ [i]l[/i]
BM ⊥ [i]l[/i]

Δ АРК ∼ ΔВТМ ( по двум углам)
∠ АКР= ∠ВМТ
∠ АРК= ∠ ВТМ=90 °

Из подобия треугольников

8:14=x:42

x=24 (прикреплено изображение)

BC ⊥ AC ⇒ DC ⊥ AC по теореме о 3-х перпендикулярах

∠ BCD - линейный угол двугранного угла

cos ∠ BCD=BC/DC=6/12=1/2

∠ BCD=60 °

Ответ выбран лучшим

Пусть было х

Первый взял (1/13)*x осталось (12/13)*x

Второй взял (1/17) от (12/13)*x

(1/17) *(12/13)*x

Осталось:

(12/13)*x - (1/17) *(12/13)*x= (12/13)*(1-(1/17))*x=(12/13)*(16/17)*x

Это равно 150

(12/13)*(16/17)*x=150

(192/221)x=150

x=150:(192/221)

x=150*(221/192)

x=5525/32

Ответ выбран лучшим

Пусть было х
(1/5)*x - заплатил за первую игрушку.
x-(1/5)x=(4/5)x - первый остаток

(3/7)*(4/5)x - заплатил за вторую игрушку.
(4/5)x -(3/7)*(4/5)*x=(4/5)*(4/7)*x - второй остаток

Уравнение:

(1/5)х+(3/7)*(4/5)*x+(3/5)*(4/5)(3/7)*x+1,92=x

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: -6x-x^2 ≥ 0 ⇒ x^2+6x ≤ 0 ⇒ -6 ≤ x ≤ 0

sqrt(-6x-x^2) ≥ 0 при любом x : -6 ≤ x ≤ 0

Неравенство ( нестрогое) и оно верно в случае, если sqrt(-6x-x^2)=0

т.е при[b] x= - 6 [/b] и [b] х=0[/b] [green](#)[/green]

Поэтому неравенство примет вид:

(x+4)/(x+3) - (1/x^2+7x+12) ≥ 0

Так как

x^2+7x+12=(x+3)*(x+4)

Приводим выражение в скобках к общему знаменателю:

[m]\frac{x+4}{x+3}-\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{x+4}{x+3}-\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{(x+4)^2-1)}{(x-3)(x+3)(x+4)}[/m]

В числителе формула разности квадратов:

[m]=\frac{((х+4)-1)((x+4)+1)}{(x+3)(x+4)}[/m]

Неравенство принимает вид:
[m]\frac{(x+3)(x+5)}{(x+3)(x+4)} ≥ 0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

Рассмотрим функцию

_+__ [-5] _-_ (-4) __+__ (-3) _+__

( - ∞ ;-5] U (-4;-3)

C учетом ОДЗ и решения[green] (#)[/green]:

[-6;-5]U(-4;-3)U(-3;0]

1)так как

[m]2sin^2\frac{\alpha }{2}=1-cos\alpha[/m], то

[m]\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{cos\alpha }{2}}=|sin\frac{\alpha }{2}|[/m]

2.
так как
(1/2)-(1/2)sin α =(1/2)*(cos^2( α /2)-2sin( α /2)*cos( α /2)+sin^2( α /2)=

=(1/2)(cos( α /2)-sin( α /2))^2, то

sqrt((1/2)-(1/2)sin α)=sqrt(1/2)*|cos( α /2)-sin( α /2)|

3)
=|cos2 α |
4)
=(1/2)*|sin3 α |

1)
Область определения:
x^2+2x ≥ 0 ⇒ x*(x+2) ≥ 0 ⇒ x ≤ -2 или х ≥ 0

[b]D(y)=(- ∞ ;-2]U[0;+ ∞ )[/b]

При этих значения sqrt(x^2+2x) принимает значения от 0 до + ∞

[b]E(y)=[2;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной показательно степенной функции вида

y=u(x)^(v(x))

Такие функции на втором листочке.

1.
y=(3+x)^(sin5x)

u(x)=3+x
v(x)=sin5x

Логарифмируем:
lny=ln(3+x)^(sin5x)

Применяем свойство логарифма степени: показатель выносим перед логарифмом основания

lny= (sin5x)*ln(x+3)

Логарифмируем равенство.

Cлева:
(lnx)`=1/x
по правилу производной сложной функции
(lny)`=y`/y

Справа:
применяем правило нахождения производной произведения:

y`/y = (sin5x)`*ln(x+3)+(sin5x)*(ln(x+3))`

y`/y=cos5x*(5x)`*ln(x+3)+(sin5x)*(1/(x+3))*(x+3)`

y`=y*(5*ln(x+3)cos5x+(sin5x)/(x+3))

Вместо y подставляем функцию

О т в е т. y=(3+x)^(sin5x) * (5*ln(x+3)cos5x+(sin5x)/(x+3))

2,3,4 решаются аналогично.

5.

Логарифмируем:

lny=2ln(5x^3+4)+(3/7)ln(x^2+2x)-4ln(3x-15)

y`/y=2*(15x^2/(5x^3+4))+(3/7)*(2x+2)/(x^2+2x) - 4 *(3/3x-15)

Можно выражение справа упростить.

Умножив на y, получим ответ

На любом промежутке, не содержащем точку х_(о)

См рис. (прикреплено изображение)

Во всех, кроме тех, в которых знаменатель равен 0

x^3+1=0
x=-1

(- ∞ ;-1)U(-1;+ ∞ )- множество точек непрерывности функции

Правая часть:

25-y^2 ≥ 0 ⇒ -5 ≤ y ≤ 5

0 ≤ sqrt(25-y^2) ≤ 5
0 ≤ 3*sqrt(25-y^2) ≤ 15

5 ≤ 3*sqrt(25-y^2) +5≤ 20

Левая часть

x ≤ -4
9*(-x+1)+4*(-x-4)=-13x-7

-4<x ≤ 1
9*(-x+1)+4*(x+4)=-5x+25

x>1
9*(x-1)+4*(x+4)=13x+7

9*|x-1|+4*|x+4| ≥ 20

Поэтому левая часть если и равна правой, то только в случае:
9*|x-1|+4*|x+4|=20 ⇒
x=1

3*sqrt(25-y^2) +5= 20 ⇒ sqrt(25-y^2)=5 ⇒ 25-y^2=25
y^2=0
y=0

О т в е т. (1;0)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{7}{2}\cdot (-\frac{1}{3})-\frac{2}{3}\cdot \frac{7}{2}=\frac{7}{2}\cdot (-\frac{1}{3}-\frac{2}{3})=\frac{7}{2}\cdot (-1)=-\frac{7}{2}=-3,5 [/m]

Ответ выбран лучшим

Пусть x км в час - скорость течения реки
тогда
(40+х) км в час - скорость по течению реки
(40-х) км в час - скорость против течения реки

По течению реки лодка шла 6 ч.
6*(40+х) км путь по течению

Против течения реки лодка шла за 9 ч.
9*(40-х) км путь против течения

Путь по течению АБ равен пути против течения БА

6*(40+x)=9*(40-x)
240+6x=360-9x

6x+9x=360-240
15x=120
x=8

8 км в час - скорость течения реки

6*(40+8)=288 км -расстояние между пунктами.

Ответ выбран лучшим

18;
27;
36
45
54
63
72
81
90
99

1818=18*(100+1)=18*101;
2727=27*(100+1)=27*101;
3636=36*(100+1)=36*101;
4545=45*(100+1)=45*101;
5454=54*(100+1)=54*101
6363=63*(100+1)=63*101
7272=72*(100+1)=72*101
8181=81*(100+1)=81*101
9090=90*(100+1)=90*101
9999=99*(100+1)=99*101

Только последнне число кратно 11, так как 99 кратно 11.

О т в е т. 99

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В основании усеченного конуса- два круга с радиусами R и r

Площадь круга находится по формуле
S_(круга)=π*R^2

S_(1)=π*r^2
S_(2)=π*R^2

По условию:
S_(осевого сечения)=S_(2)-S_(1)

Осевое сечение усеченного конуса - равнобедренная трапеция с основаниями r и R
Значит
S_(осевого сечения)=S_(трапеции)=(R+r)*h/2

(R+r)*h/2=πR^2-πr^2 ⇒

(R+r)*h/2=π(R-r)*(R+r)

h/2=π*(R-r)

h_(осевого сечения)=h_(конуса)=[b]2π*(R-r)[/b]

Подставляем в формулу ( см. рис) и получаем ответ.

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k_(касательной)=tg α

α - угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох

По условию α =30 °

tg α =tg30 ° =sqrt(3)/3 [b]≈0,57[/b]

Значит
f`(x_(o))=[b]0,57[/b]

Проводим прямую y=0,57 на графике y=f `(x)

Прямая y=0,57 пересекается с графиком y=f `(x) в трех точках

см. рис.

О т в е т. 3

PS
Хорошая задача по теме
Геометрический смысл производной в точке: (прикреплено изображение)

p=1/2 - вероятность выпадения "орла"
q=1-(1/2)=1/2 - вероятность выпадения "решки"

Не менее двух из трех: значит 2 или все три"

Два раза p и один раз q или все три раза p

ppq+pqp+qpp+ppp=4/8=1/2

8*|3–x|–5*|–y|=8*|3-(-1)|-5*|-4|=8*4-5*4=32-20=12

3-(-1)=4

Ответ выбран лучшим

Двузначное число записанное цифрами
x и y
это 10х+у

"Если двухзначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке [b]6[/b]", составляем равенство:
10x+y=4*(x+y)+6 ⇒ 6x-3y=6 ⇒ y=2x-2

"Если двухзначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1 и в остатке [b]22[/b]".
10х+у=ху+22

10x+2x-2=x*(2x-2)+22 ⇒ 2x^2-14x+24=0

x^2-7x+12=0

x=3; y=4
x=4; y=6

Число 34

34:(3+4)=4(ост6)

34:(3*4)=2 ( ост. 10) не удовл.

Число 46

46:(4+6)=4 (ост 6)

46:(4*6)=1 ( ост.22) удовл.

О т в е т. 46

5a=33-b

если b=1; 5a=32, то a=6,4 - не является натуральным числом
если b=2; 5a=31,то a=6,2 - не является натуральным числом

если b=3; 5a=30, a=6
если b=8; 5a=25, a=5
если b=13; 5a=20, a=4
если b=18; 5a=15, a=3
если b=23; 5a=10, a=2
если b=28; 5a=5, a=1

О т в е т. 1; 2; 3; 4; 5; 6

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=29263

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=27438

cм. решение здесь

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=22145

Здесь решена аналогичная задача

Одно число x; второе число (5-x).

Сумма кубов:
x^3+(5-x)^3

Обозначим ее

f(x)=x^3+(5-x)^3 - это функция, зависящая от х

Находим производную:

f`(x)=3x^2+3*(5-x)^2*(5-x)`

f`(x)=15*(2x-5)

f`(x)=0

x=5/2

О т в е т. 5/2 и 5/2

2.

Пусть АВС - равнобедренный треугольник,

АВ = ВС = а;
∠ ВАС = ∠ ВСА = α .

ВД ⊥ AC
ВД - высота и медиана и биссектриса

В треугольнике ВДС:
[b]ВД[/b] = а*sin α, [b]ДС[/b]= а*cos α

Пусть KPMN - вписанный прямоугольник,

ΔВДС ∼ Δ MNС

ВД/ДС = MN/NС,

NC=ДС-ДN

(а*sin α) /( a*cos α ) = MN/(a*cos α -ДN)

MN = a*sin α - NC*tg α

Площадь прямоугольника:
S_(прямоугольника) = 2ДN*MN

Пусть ДN=x

тогда
S_(прямоугольника)=KN*MN=2ДN*MN

S_(прямоугольника)=2*х*(a*sin α - x*tg α ) =

2*х*a*sin α - 2*х^2*tg α

S(x)=2*х*a*sin α - 2*х^2*tg α

Находим производную
S '(x) = 2*a*sin α - 4*х*tg α

приравниваем ее к нулю.

S`(x) = 0

х = а*sin α /(2*tg α )

x= (1/2)*а*cos α - точка максимума.

ДN=x=(1/2)*а*cos α

Подставляем найденное значение ДN в выражение для MN:

MN = a*sin α - x*tg α = a*sin α - (1/2)*а*cos α *(1/2)*tg α =

=(1/2)a*sin α

Значит, стороны прямоугольника:

KN=2ДN=a*cos α

MN=(1/2)a*sin α (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
y`=8-2x
y`=0
8-2x=0
x=4 - точка возможного экстремума, но она не принадлежит отрезку [-2;1]
Значит функция на этом отрезке [i]монотонна [/i]
( а именно возрастает:y`>0 если 8-2х> 0, т.е при x<4)

[-2;1] ⊂ (- ∞ ;4)

Наибольшее значение в правом конце:
х=1
y(1)=3+8-1=10

Наименьшее значение в левом конце:
х=-2
y(-2)=3+8*(-2)-(-2)^2=-17

см. рисунок.

Нас интересует не весь график функции, а только его часть, расположенная на отрезке [-2;1]
Остальная часть на рис. изображена пунктиром.
Хорошо видно, что х=4 - точка максимума,
находится на участке, который исследованию не подлежит.... (прикреплено изображение)

F(x_(o)+ Δx)-F(x_(o)) ≈ F`(x_(o))* Δx

1)
x_(o)=1;
x_(o)+ Δx=1,012 ⇒ Δx=0,012

F(x)=x^3

F`(x)=3x^2
F`(x_(o))=3*(1)^2=3

1,012^3-1^3 ≈ 3*0,012 ⇒ 1,012^3 ≈ 1+0,036=[b]1,036[/b]

Ответ выбран лучшим

a ≥ 0

x ≥ 0

sqrt(a)-sqrt(x) ≠ 0 ⇒ sqrt(x) ≠sqrt(a) ⇒ x≠a

При x=0

[m]\frac{a–\sqrt{0}}{\sqrt{a}–\sqrt{0}}=\frac{a}{\sqrt{a}}[/m] ⇒ a≠0

⇒ x ≠ 0

Получаем, что [red]x >0[/red] и [green] a>0[/green]
Упростим выражение:

[m]\frac{a–\sqrt{ax}}{\sqrt{a}–\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{a}\cdot(\sqrt{a}–\sqrt{x}}{\sqrt{a}–\sqrt{x}}=\sqrt{a}[/m]

Выражение не зависит от х:

[m](\frac{a+\sqrt{a}+1}{3a+3})^{-3}=\frac{27(a+1)^3}{(a+\sqrt{a}+1)^3}[/m]

так как

[m](\sqrt{a}+1)^{2}-\sqrt{a}=a+2\sqrt{a}+1-\sqrt{a}=a+\sqrt{a}+1[/m]

[m](\sqrt{a}+1)^{3}–a\sqrt{a}+2=a\sqrt{a}+3a+3 \sqrt{a}+1-a\sqrt{a}+2=3a+3\sqrt{a}+3[/m]

[m](\frac{a+\sqrt{a}+1}{3a+3\sqrt{a}+3})^{-3}=\frac{27(a+\sqrt{a}+1)^3}{(a+\sqrt{a}+1)^3}=27[/m] - получилось число , которое не зависит ни от х, ни от а

Но поскольку x > 0, то ответ на вопрос:

"Найдите произведение целых значений х, принадлежащих промежутку (-5;4)"

такой:

[b]Это x>0 и принадлежащие промежутку (-5;4)[/b]

x=1;2;3;

Произведение 1*2*3

О т в е т. [b]1*2*3=6[/b]

Ответ выбран лучшим

Достраиваем до параллелепипеда.

Из объема большого параллелепипеда вычитаем объем надстроенной части

V_(параллелепипеда)=[b]a*b*c[/b]

V=2*3*4-1*3*2=24-6=18 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5. По теореме синусов из Δ АСD:

[m]\frac{AC}{sin ∠ ADC}=2R[/m]

[m]\frac{2}{\frac{1}{2}}=2R[/m]

2R=4

R=2

S_(сферы)=4π*R^2=4*π*4^2=[b]16π[/b]

6.
Δ АВС - равнобедренный (АВ=ВС - образующие конуса)
∠ ВАС= ∠ ВСА=(180 ° -120 ° )/2=30 °

По теореме синусов из Δ АВС:

[m]\frac{AB}{sin ∠BCA}=2R[/m]

2R=4

R=2

S_(сферы)=4π*R^2=4*π*2^2=[b]16π[/b]

10 000 руб составляют 100%
10 600 руб составляют p%

p=10 600 *100/(10 000)=106%

106%-100%=6%

О т в е т. 6% выплачивается по вкладу.

А____ M _________B

АМ =3k
MB=6k

МВ > AM на 24

6k-3k=24
3k=24
k=8

АB=АМ+МB=3k+6k=9k

при k=8
9k=9*8=72 км

Ответ выбран лучшим

а)
По свойству плотности
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx=1

Считаем:

∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫ ^(π)_(0)Csinxdx+ ∫ ^(+ ∞ )_(π)0*dx=

=0+C*(-cosx)|^(π)_(0)+0=C*(-(-1)+1)=2C

2С=1

С=1/2

б)
P(π/3 ≤ X ≤ 5π/4)=F(5π/4)-F(π/3)-

F(x)= ∫ ^(x )_(- ∞ )f(x)dx

x<0
F(x)=0

0 ≤ x<π

F(x)= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫ ^(x )_(0 )(1/2)sinxdx=

=0+(1/2)*(-cosx)|^(x)_(0)=

=(1/2)-(1/2)cosx

x≥ π

F(x)= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫ ^( π)_(0 )(1/2)sinxdx+ ∫ ^(+ ∞ )_(π)0*dx=

=1

P(π/3 ≤ X ≤ 5π/4)=F(5π/4)-F(π/3)=

=1-(1/2)+(1/2)cos(π/3)=(1/2)+(1/2)*(1/2)[b]=3/4[/b]

в) M(X)=∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )x*f(x)dx=

∫ ^(0)_(- ∞ )x*0dx+ (1/2)∫ ^(π)_(0)x*sinxdx+ ∫ ^(+ ∞ )_(π)x*0dx=

=0 + считаем по частям + 0= ...

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов из Δ АВС находим
AB^2=8^2+8^2-2*8*8*(cos120 ° )=3*8^2
AB=8sqrt(3)

S_(AKBL)=AB*BL

BL=263/8

Н_(призмы)=BL=[b]263/8[/b]

S_( Δ ABC)=(1/2)*AC*BC*sin120 ° =[b]16sqrt(3)[/b]

Составить уравнение прямой MN как прямой, проходящей через две точки:
[m]\frac{x-0}{\frac{\pi }{6}-0}=\frac{y-0}{\frac{\pi }{3}-0}[/m]

y=2x

dy=(2x)`dx=2dx

Заменитm

y на 2x

dy на 2dx и считать как определенный интеграл от 0 до [m]\frac{\pi }{6}[/m]

Формула суммы арифметической прогрессии
[m]S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}[/m]

n=20
(20 месяцев)

(16+12,2)*20/2=

Ответ выбран лучшим

Первый путь:

состоит из двух движений:
a)(-1;1) → (3;1)
-1 ≤ х ≤ 3
y=1 ⇒ [b]dy=0[/b]

б)(3;1) → (3;2)
1 ≤ y ≤ 2
x=3 ⇒ [b]dx=0[/b]

Тогда
= ∫^(3) _(-1)(2*1x)dx-(1-x^2)*0= 2∫^(3) _(-1)(x)dx=2*(x^2/2)|^(3)_(-1)=
=9-1=8

б)
∫ ^(2)_(1)2y*3*0-(y-9)^2dy=-∫ ^(2)_(1)(y-9)^2dy=-(y-9)^3/2|^(2)_(1)=

=171

Складываем оба ответа

8+171=[b]179[/b]

Второй путь
а)(-1;1) → (-1;3)
1 ≤ у ≤ 3
x=-1 ⇒ dx=0

считаем интеграл:

б)(-1;3) → (2;3)

-1 ≤ х ≤ 2
y=3 ⇒ dy=0

считаем интеграл

Складываем

Ответы должны быть равны

АМ ⊥ ВС ⇒ НМ ⊥ ВС ( теорема о 3-х перпендикулярах. Третий АН)

∠ НМА - угол между пл. АВС и пл. НВС.

Чтобы построить такой угол, надо к линии пересечения провести перпендикуляры, что и сделано
АМ ⊥ ВС и НМ ⊥ ВС

∠ НМА=60 ° (прикреплено изображение)

Достраиваю до квадрата ( сторона 4 на рис. красный цвет)

И из площади квадрата вычитаем площади прямоугольных треугольников ( серого, синего,сиреневого), розового треугольника и синего прямоугольника

S=4^2-(1/2)*4*1-(1/2)*3*3-(1/2)*3*1-(1/2)*1*1-1*3=[b]4,5[/b] кв. см

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=x^3
dl=sqrt(1+(x^3)^2)dx

= ∫ ^(1)_(0)(1+x^6)dx=(x+(x^7/7))|^(1)_(0)=1+(1/7)=8/7

(прикреплено изображение)

Первая часть см приложение.
Чтобы ответить на вопросы второй части, нужно нарисовать каждый график в обычном масштабе. Чтобы 3 была там, где она и должна быть.
И некоторые точки найти [i]алгебраически.[/i]

Например, для функции f(x)=3-0,5x^2 это выглядит так

3-0,5x^2=0 ⇒ x^2=6;
x= ± sqrt(6) - точки пересечения с осью Ох

f(x)=1 ⇒ 3-0,5x^2=1 ⇒ x^2=4; ⇒ x= ± 2

cм. рис.

Тогда ответы для функции
1) y=3-0,5x^2 cм приложение 3

( там и другие ответы остались)

Задание большое. Времени надо потратить немало, чтобы правильно решить. Дерзайте...

(прикреплено изображение)

ΔАВС - равнобедренный (AB=AC)
∠ BAC=60 ° ⇒ ∠ АВС= ∠ АСВ=60 °
ΔАВС - равностронний

BC=AB=AC=3sqrt(2)

ΔОВС - равнобедренный ( ОВ=ОС- равные проекции равных наклонных)
ОВ=ОС=3sqrt(2)*sin45 ° =3sqrt(2)*(sqrt(2))/2=3

или по теореме Пифагора
ОВ=ОС=х
x^2+x^2=(3sqrt(2))^2
2x^2=18
x^2=9
x=3

По теореме Пифагора из ΔАОВ
АО^2=(3sqrt(2))^2-3^2=18-9=9
[b]AO=3[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

BC - проекция АВ на горизонтальную плоскость

∠ ABC - угол между АВ и ВС

sin ∠ ABC=AC/AB=6/12=1/2

[b]∠ ABC=30 ° [/b]

AD - проекция АВ на вертикальную плоскость

∠ BАD - угол между АВ и AD

sin ∠ BAD=AD/AB=6sqrt(3)/12=sqrt(3)/2

[b] ∠ BAD=60 ° [/b]

PS. Хорошая задача на проекции и наклонные

Если две прямые лежат в одной плоскости, то они любо пересекаются, либо параллельны. Но никак не скрещиваются

SA ⊥ AC
SA ⊥ AB

SA перпендикулярна двум [i]пересекающимся[/i] ( именно пересекающимся, а не параллельным между собой) прямым плоскости АВС

SA ⊥ пл АВС ⇒ SA ⊥ любой прямой, лежащей в этой плоскости.

SA ⊥ BC

Да.
АВ лежит в плоскости АВС.
SC пересекает плоскость АВС в точке, не принадлежащей прямой АВ

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{19\cdot 8+19\cdot 6}{7+12}=\frac{19\cdot(8+6)}{19}=\frac{19\cdot14}{19}=14[/m]

Ответ выбран лучшим

По теореме синусов:
[m]\frac{a}{sin ∠ A}=2R[/m]

По теореме косинусов найдем сторону a

a^2=b^2+c^2-2bc*cos ∠ A

a^2=6^2+8^2-2*6*8*(1/2)=100-48=52

a=sqrt(52)=sqrt(4*13)=2sqrt(13)

2R=2sqrt(13)/(sqrt(3)/2)

R=sqrt(13)/(sqrt(3)/2)

R=2sqrt(13)/sqrt(3)

считайте ≈

Ответ выбран лучшим

Это по формуле Герона.
p=(12+16+21)/2=(49/2)=24,5

S=sqrt(24,5*(24,5-12)*(24,5-16)*(24,5-21))= считайте.

В обыкновенных дробях проще:

(49/2)
(49/2)-12=(49-24)/2=25/2
(49/2)-16=(49-32)/2=17/2
(49/2)-21=1/2

[b]S=9*5sqrt(17)/4[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Вершина параболы
y=ax^2+bx+c
находится в точке (x_(o);y_(o))

x_(o)=-b/2a

y_(o)=ax^2_(o)+bx_(o)+c

1)
a=5
b=-3
c=4

x_(o)=-(-3)/(2*5)=0,3

y_(o)=5*(0,3)^2-3*0,5+4=считаем самостоятельно

ось симметрии- прямая, проходящая через вершину параллельно оси Оу ( перепендикулярно оси Ох)

y=0,3 - ось симметрии

График: (прикреплено изображение)

Пусть куб расположен в системе координат таким образом, что
A(0;0;0)
B(1;0;0)
C(1;1;0)
D(0;1;0)

A_(1)(0;0:1)
B_(1)(1;0;1)
C_(1)(1;1;1)
D_(1)(0;1;1)

Тогда координаты точки Р - середины отрезка A_(1)D_(1)

[b]P(0;1/2;1)[/b]
координаты точки Q - координаты вектора vector{AQ}
vector{AQ}=(2/3)vector{AB_(1)}
[b]Q(2/3;0;2/3)[/b]
координаты точки R - середины отрезка B_(1)C
[b]R(1;1/2;1/2)[/b]

vector{PQ}=(2/3;-1/2;-1/3)
vector{PR}=(1;0;-1/2)

|vector{PQ}|=sqrt((2/3)^2+(-1/2)^2+(-1/3)^2)=sqrt(29)/6;

|vector{PR}|=sqrt(1^2+0^2+(-1/2)^2)=sqrt(5)/2;

vector{PQ}*vector{PR}=(2/3)*1+(-1/2)*0+(-1/3)*(-1/2)=5/6

cos ∠ P=(vector{PQ}*vector{PR})/(|vector{PQ}|*|vector{PR}|)=[b]2*sqrt(5/29)[/b]

sin ∠ P=3/sqrt(29)

S_( ΔPQR)=(1/2)*PQ*PR*sin ∠ P=[b](sqrt(5))/8[/b]

Можно найти площадь треугольника через векторное произведение
[m][\vec{PQ},\vec{PR}]=\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j} &\vec{k}\\ \frac{2}{3} &-\frac{1}{2} & -\frac{1}{3}\\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}=\frac{1}{4}\vec{i}+0\cdot \vec{j}+\frac{1}{2}\cdot \vec{k}[/m]

S_( ΔPQR)=(1/2)|[\vector{PQ},\vector{PR}]|=(1/2)sqrt((1/4)^2+(1/2)^2)=[b](sqrt(5))/8[/b]
a)
О т в е т. S_( ΔPQR)=[b](sqrt(5))/8[/b]

б)
Составим уравнение плоскости PQR:

[m](\vec{PM},\vec{PR},\vec{PQ})=\begin{vmatrix}x &y-\frac{1}{2} & z-1 \\\frac{2}{3} &-\frac{1}{2} & -\frac{1}{3}\\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}=\frac{x}{4}+\frac{z-1}{2}[/m]

[m]\frac{x}{4}+\frac{z-1}{2}=0[/m]

[m]x+2z-2=0[/m] - уравнение плоскости PQR

Уравнение прямой АС_(1):

[m]\frac{x-0}{1-0}=\frac{y-0}{1-0}=\frac{z-0}{1-0}[/m]

x=y=z

Находим точку пересечения T прямой АС_(1) и плоскости PQR:

x+2x-2=0
x=2/3
y=2/3
z=2/3

T((2/3);(2/3);(2/3))

vector{AT}=(2/3)*vector{AC_(1)}

точка Т делит диагональ АС_(1) в отношении 2:1
О т в е т.

Задача подробно решена ЗДЕСЬ
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=44302

1.
d=16
2.
Теорема Пифагора
3.
a+b>c
4.
сторона основания.

ХОРОШАЯ ЗАДАЧА на арифметическую прогрессию и трапецию

Трапеция АВСД

АВ=ВС=x - меньшие стороны образуют прямой угол.

Вторая сторона x+d
Третья x+d+d=x+2d

Наибольшая сторона - основание АД.
Почему?

Проводим высоту из точки С на сторону АД

Возможны два варианта

CД=x+d; АД=х+2d

ИЛИ

CД=x+2d; АД=х+d

В прямоугольном треугольнике СКД проверяем справедливость теоремы Пифагора.

В первом случае:

x^2+(2d)^2=(x+d)^2 ⇒

x^2+4d^2=x^2+2xd+d^2 ⇒
3d^2=2xd
[b]3d=2x[/b]

Во втором случае:
x^2+d^2=(x+2d)^2 ⇒

2xd+3d^2=0

x>0; d>0 сумма двух положительных чисел равна 0, возможно когда каждое слагаемое равно 0

d=0 нет никакой прогрессии

Теперь используем условие про периметр:

x+x+(x+d)+(x+2d)=144

4x+3d=144

4x+2x=144

6x=144

x=24

d=2x/3=16

x+d=40

x+2d=56

24+24+40+56=144 - все верно

Наибольшая 56 (прикреплено изображение)

Первое действие в скобках:
[m]7\frac{5}{12}-2\frac{4}{9}=(7-2) + \frac{5}{12}-\frac{4}{9}[/m]

7-2 =5

Далее дроби с разными знаменателями:12 и 9

12=3*4
9=3*3

Общий знаменатель 3*4*3=36

Значит первая дробь :

[m]\frac{5}{12}=\frac{5\cdot 3}{12 \cdot 3}=\frac{15}{36}[/m]

Вторая дробь:

[m]\frac{4}{9}=\frac{4\cdot 4}{9 \cdot 4}=\frac{16}{36}[/m]

Итак

[m]7\frac{5}{12}-2\frac{4}{9}=5+ \frac{15}{36}-\frac{16}{36}=[/m]

[m]=4+\frac{36}{36}+ \frac{15}{36}-\frac{16}{36}[/m]=

[m]=4+\frac{36+15-16}{36}=4\frac{35}{36}[/m]

Хорошая задача на ТЕМУ :
[red]ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ[/red]

[red]1)[/red]Первое уравнение ОДНОРОДНОЕ:
вида
au^2+b*u*v+cv^2=0

9^(x)=3^(2x)=(3^(x))^2

u=3^(x)

Показательная функция всегда положительна.[b] u>0[/b]

6^(x)=(2*3)^(x)=2^(x)*3^(x)=u*v

v=2^(x)

[b]v>0[/b]

4^(x+1)=4*4^(x)=4*(2^(2x))=4*(2^(x))^2=4v^2

2u^2-11u*v+12v^2=0

Его можно решать, разделив на v^2>0:

2*(u/v)^2-11*(u/v)+12=0

D=121-4*2*12=25

([b]u/v)=4 [/b] или [b](u/v)=3/2[/b]

или как квадратное относительно одной из переменных:

D=121v^2-4*2*12v^2=25v^2
[b]u=4v [/b] или [b]u=(3/2)v[/b]

Как видно из двух решений получим один и тот же результат.

Обратный переход

3^(x)=4*2^(x) ⇒ (3/2)^x=4 ⇒ [b]x=log_(3/2)4[/b]

3^(x)=(3/2)*2^(x) ⇒ (3/2)^(x)=(3/2) ⇒[b] x=1[/b]

б) Оба корня входят в указанный промежуток
log_(3/2)4=log_(4)4/log_(4)(3/2);
log_(4)(3/2)>log_(4)1 =0
Значит log_(3/2)4>0 ну и естественно < 3

После того как понятен принцип решения, можно записывать решения коротко так:

2*(3^x)^2-11*(2^x)*(3^(x))+12*(2^x)^2=0

Делим на (2^(x))^(2):

2*((3/2)^(x))^2-11*(3/2)^x+12=0

2t^2-11t+12=0;

t=(3/2)^(x)

D=25

t=4 или t= 3/2

(3/2)^(x)=4 ; (3/2)^(x)=(3/2)

Далее написано выше

[b]По этому принципу решаем 2,7,8.[/b]

Остальные просто КВАДРАТНЫЕ, решаем методом замены переменной.

[red]3)[/red]

[blue]2[/blue]*(4^(x))*[blue]4[/blue]-33*(2^(x))+4=0

[b]t=2^(x)[/b]
t>0
[b]t^2[/b]=(2^(x))^2=(2^(2))^(x)=[b]4^(x)[/b]
[blue]8[/blue]t^2-33t+4=0

D=(-33)^2-4*8*4=1089-128=961

t_(1)=(33-31)/16=1/8 или t_(2)=(33+31)/16=4

Обратный переход:

2^(x)=(1/8)
2^(x)=2^(-3)
[b]x=-3[/b]

ИЛИ

2^(x)=4
2^(x)=2^2

[b]x=2[/b]

б) отрезку [1;3] принадлежит один корень х=2

Ответ выбран лучшим

[i]Замена переменной:[/i]
2x-x^2=t

Так как в этом иррациональном уравнении справа корень ( а он неотрицателен), то выражение справа тоже должно быть неотрицательным:
2x-x^2 ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 тогда [red] 0 ≤ t ≤ 1[/red]

Задача принимает вид:
Решить уравнение:

[b]sqrt(3a+sqrt(3a+t))=t[/b]

при [red]0 ≤ t ≤ 1[/red]

[i]Возводим в квадрат:[/i]
3a+sqrt(3a+t)=t^2 ⇒

sqrt(3a+t)=t^2-3a

[i]Возводим в квадрат:[/i]

{t^2-3a ≥ 0 ⇒ a ≤ [m]\frac{t^2}{3}[/m]
{3a+t=t^4-6at^2+9a^2

Решаем квадратное уравнение относительно а

9a^2-(6t^2+3)*a+t^4-t=0

D=(6t^2+3)^2-36*(t^4-t)=36t^4+36t^2+9-36t^4+36t=36t^2+36t+9=

=9*(2t+1)^2 ≥ 0 при любом t.

Значит уравнение имеет корни при любом t:

a_(1)=[m]\frac{6t^2+3-3*(2t+1)}{18}[/m]; a_(2)=[m]\frac{6t^2+3+3*(2t+1)}{18}[/m]

a_(1)=[m]\frac{t^2-t}{3}[/m] ; a_(2)=[m]\frac{t^2+t+1}{3}[/m]

Подставляем в первое неравенство системы:

[m]\frac{t^2-t}{3}[/m] ≤ [m]\frac{t^2}{3}[/m] верно, так как [red]0 ≤ t ≤ 1[/red]

При [red]0 ≤ t ≤ 1[/red]
a_(1) ∈ [-1/12;0]

[m]\frac{t^2+t+1}{3}[/m]≤ [m]\frac{t^2}{3}[/m] ⇒ неверно для [red]0 ≤ t ≤ 1[/red]

О т в е т. [b][-1/12;0] [/b]

Ответ выбран лучшим

Всего семь вариантов движения из точки А:

n=7

ABG;ABF;ABE;ABD; ACH;ACK;ACL

m=1
Это путь АВG

По формуле клаcсической вероятности
p=m/n=1/7

О т в е т. 1/7

Ответ выбран лучшим

Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Перенесем диагональ BD в точку С

Получим равнобедренный треугольник АСМ c основанием
AM=AD+DM=a+b

Высота равнобедренного треугольника ( она же высота трапеции)
делит АМ пополам

Так как cos ∠ CAM=sqrt(2)/10

и cos∠ CAM=((a+b)/2)/10

то

a+b=2sqrt(2)

По теореме Пифагора:

h^2=10^2-(sqrt(2))^2=98

h=7sqrt(2)

S_(трапеции)=(a+b)*h/2=[b]14[/b]

О т в е т. [b]14[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 90 °

BA=BC=AC=6

АВС - равносторонний треугольник, со стороной основания 6

SO- высота пирамиды.

О- центр вписанной и центр описанной около АВС окружности

Точка О лежит на прямой KL и
делит высоту основания ВF отношении 2:1 считая от вершины B.
BO:OK=2:1
BL:LC=4:2=2:1

SO ⊥ KL ⇒ SO ⊥ ABC

Ответ выбран лучшим

а)
По условию ∪ AB=60 ° ⇒ центральный угол АОВ=60 °

Δ АОВ - равнобедренный ( АО=ОВ) c ∠ АОВ=60 ° при вершине,значит Δ АОВ - равносторонний
АО=ОВ=АВ=R=sqrt(3)

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

∠ FAO= ∠ FBO=90 °

Сумма углов четырехугольника FAOB равна 360 °

Значит, ∠ АFB=120 °

По свойству касательных проведенных к окружности из одной точки
FA=FB
Пусть FA=FB=x

По теореме косинусов из Δ FAB:
АВ^2=FA^2+FB^2-2*FA*FB*cos120 °

(sqrt(3))^2=x^2+x^2-2*x*x*(-1/2) ⇒ 3=3x^2⇒ x^2=1 ⇒ x=1

(x=-1 не удовл смыслу задачи)

Так как AC=BD=2 и FA=FB=1
⇒ FС=FA+AC=1+2=3

BD=BF+FD ⇒ FD=1

Треугольник Δ FAD- равносторонний,

АD=1

В треугольнике BAD:

AB^2+AD^2=BD^2

(sqrt(3))^2+1^2=2^2

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ВАD - прямоугольный

б)
По теореме косинусов из Δ FCD:

FD^2=1^2+3^2-2*1*3*(1/2)
FD^2=7
FD=sqrt(7)

По теореме косинусов из Δ FВC:

FВ^2=1^2+3^2-2*1*3*(-1/2)
FD^2=13
FD=sqrt(13)

Пусть медиана DK=m

Достроим треугольник BCD до параллелограмма

MCDB

Диагональ DM=2DK=2m

По свойству диагоналей и сторон параллелограмма:

2(a^2+b^2)=d^2_(1)+d^2_(2)

2*((sqrt(7))^2+2^2)=(2m)^2+(sqrt(13))^2

4m^2=9

m=3/2

О т в е т. б) 3/2=1,5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле

log_(a^(m))b^(n)=(n/m)log_(a)b; a.0;b>0;a ≠ 1; b ≠ 1

0,5*log_(2^2)24^2-log_(2^2)3^(2)=

=(0,5)*(2/2)*log_(2)24-(2/2)log_(2)3=

=0,5log_(2)24-log_(2)3=

=0,5log_(2)8*3-log_(2)3=

=0,5log_(2)8+0,5log_(2)3-log_(2)3=

=0,5log_(2)8-0,5log_(2)3=

=0,5*3-log_(2)3^(0,5)=[b]1,5-log_(2)sqrt(3)[/b]

Ответ выбран лучшим

Г (город) ________ М (место встречи) _______ Д (деревня).

Пусть первоначальная скорость пешехода П_(1) и пешехода П_(2) равна [b]v[/b] км в час

На обратном пути от места встречи до деревни МД скорость пешехода П_(2) уменьшилась в полтора раза, т.е

v:1,5=[b](2v/3)[/b] км в час.

Вводим разные обозначения для времени:

Пусть до встречи Б и П_(2) прошло [b]х[/b] час.

Время стоянки равно[b] y[/b] час,

Б на путь МД затратил [b]z[/b] час.

и по условию на путь МД пешеход П_(2) затратил [b]2y[/b] час.

Путь Б: ГM=12x; [green]MД=12z[/green]
Путь П_(2): [green] ДМ=vx[/green]; MД=(2/3)v*(z+2y) ⇔ vx=(2/3)v(z+2y) ⇒ [b]x=(2/3)(z+2y)[/b]
Время П_(2): x + y +z+2y=x+3y+z

Время П_(1) равно времени П_(2)

Cо скоростью v км в час П_(1) прошел путь: ГД= v*(x+3y+z)

ГД=ГМ+МД

[red] v*(x+3y+z)=12x+12z[/red]

Получаем систему:

{[b]x=(2/3)(z+2y)[/b] ⇒ y=[m]\frac{3}{4}[/m]x-[m]\frac{1}{2}[/m]z
{[green]12z=vx[/green]
{[red] v*(x+3y+z)=12x+12z[/red]

{v=[m]\frac{12z}{x}[/m]
{y=[m]\frac{3}{4}[/m]x-[m]\frac{1}{2}[/m]z
{[m]\frac{12z}{x}[/m]*(x+3*([m]\frac{3}{4}[/m]x-[m]\frac{1}{2}[/m]z)+z)=12x+12z

Решаем третье уравнение:
[m]\frac{z}{x}[/m]*(x+3*([m]\frac{3}{4}[/m]x-[m]\frac{1}{2}[/m]z)+z)=x+z

[b]4x^2-9xz+2z^2=0 [/b]

D=(-9z)^2-4*4*2z^2=81z^2-32z^2=49z^2

x=2z или x=z/4

И подставляем в выражение для v:

v=[m]\frac{12z}{2z}=6[/m] или v=[m]\frac{12z}{\frac{z}{4}}=48[/m]

О т в е т. 6 км в час. ( 48 не подходит по смыслу задачи)

пусть дано число х

100%-20%=80%

80%=80/100=0,8

x*0,8 - уменьшенное на 20% число

Пусть это число надо увеличить на p%

p%=0,01*p

0,01*p*(0,8x) составляют p% от уменьшенного числа, т.е от 0,8*х

0,8x и его увеличение на 0,01*p*(0,8x) дает все число х

Уравнение:

0,8x +0,01*p*(0,8*x)=х

0,01*p*(0,8*x)=х-0,8*x

0,01*p*(0,8*x)=0,2*x

0,01*p*4=1

p=25%

О т в е т. 25%

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке

k_(касательной)=f`(x_(o))

y=1,5x+3,5 уравнение касательной

k_(касательной)=1,5

f`(x_(o))=1,5

Находим производную функции y=2*f(x)-1

y`=(2*f(x)-1)`=2*f`(x)-(1)`=2f`(x)

y`(x_(o))=2*1,5=3

О т в е т. y`(x_(o))=3

Ответ выбран лучшим

CША; Австралия; Словения; Россия; Великобритания; Венгрия; Япония.

О т в е т. 7 стран (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем свойства логарифма:

log_(a^(k))b=[m]\frac{1}{k}[/m]log_(a)b

log_(1/8)x=log_(2^(-3))x=(-1/3)log_(2)x

log_(4)x=log_(2^2)x=(1/2)log_(2)x

log_(sqrt(2))x=log_(2^(1/2))x=2log_(2)x

(-1/3)log_(2)x+(5/2)log_(2)x+2log_(2)x=50/3

(25/6)log_(2)x=50/3

log_(2)x=4

x=2^4

[b]x=16[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть изделий первого типа х штук, изделий второго типа y штук,
изделий третьего типа z штук

По условию:
12x+16y+15z=326

Тогда общая стоимость

400x+500y+600z ( руб)

Обозначим эту сумму

f(x;y;z)=400x+500y+600z

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения
функции f(x;y;z)

при условии

[b]12x+16y+15z=326[/b]

x>0; y>0; z>0

x; y;z - целые.

В силу целочисленности х;y;z применяем метод перебора

[b]12x+16y+15z=326[/b] ⇒

15z=326-12x-16y

15z=2*(163-6x-8y) ⇒

z-[i] кратно[/i] 2, и тогда

[b]z=2n[/b]; n ≥ 0 ; n - целое

[b]12x+16y+15*2n=326[/b]

[b]6x+8y+15n=163[/b] ⇒ n- нечётное, так как сумма[i] четных[/i] 6х+8у есть число [i]четное[/i],

[b]n=2k+1[/b], k ≥ 0, k -целое

6x+8y+15*(2k+1)=163;

6x+8y+30k=148;

Делим на 2

[b]3x+4y+15k=74[/b] ⇒ 3x и 15k кратны трем

74 при делении на 3 дает остаток 2, значит и y при делении на 3 дает остаток 2

[b]y=3m+2[/b], m ≥ 0; m- целое

3x+4*(3m+2)+15k=74;

3x+12m+8+15k=74

3x+12m+15k=66

Делим на 3:

[b]x+4m+5k=22[/b] ⇒ x=22-4m-5k

Упростим

f(x;y;z)=400x+500y+600z

f(x;y;z)=100*(4x+5*y+6*z)=100*(4x+5*(3m+2)+6*2*n)=

=100*(4x+15m+10+12*(2k+1))=

=100*(4x+15m+24k+22)=

=100*(4*(22-4m-5k)+15m+24k+22)=

=100*(110-m+4k)

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения

[red]g(m;k)=110-m+4k,[/red]

при условии [b]x+4m+5k=22[/b]
m ≥ 0
k ≥ 0
m, k- целые

Из условия [b]x+4m+5k=22[/b]
k ≤ 4 ⇒

[red]g(m;k)=110-m+4k,[/red] при m=0 наибольшее значение.

x=2; m=0; k=4 g(2;0;4)=110-0+16=126, тогда f=100*126=12 600- наибольшее
x=2; m=5;k=0 g(2;5;9)=110-5=105; f=100*105=10500 - наименьшее

О т в е т. 10 500 тыс. руб. - наименьшее
12 600 тыс. руб.- наибольшее

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{1}{log_{2}(3+2x-x^2)}=log_{3+2x-x^2}2[/m]

[m]\log_{3+2x-x^2}\frac{sinx+sqrt{3}cosx}{sin3x}=log_{3+2x-x^2}2[/m]

{3+2x-x^2>0
{3+2x-x^2 ≠ 1
{[m]\frac{sinx+\sqrt{3}cosx}{sin3x}=2[/m]
{sin3x ≠ 0

x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x_(1)=-1; x_(2)=3

x^2-2x-2=0
D=4-4*(-2)=12
x_(3)=1-sqrt(3); x_(4)=1+sqrt(3)

_-_ (-1) __[red]+[/red]_ (1-sqrt(3)) _[red]+[/red]__ (1+sqrt(3)) _[red]+[/red]__ (3) _-_

[red]ОДЗ:[/red]
[red]x ∈ (-1;1-sqrt(3))U(1-sqrt(3);1+sqrt(3))U(1+sqrt(3);3)[/red]
x ≠ [m]\frac{π}{3}[/m]k, k ∈ Z

( cм. рис. 1)

[m]\frac{sinx+\sqrt{3}cosx}{sin3x}=2[/m] ⇒

[m]sinx+\sqrt{3}cosx=2sin3x[/m]

Делим на 2:

[m]\frac{1}{2}\cdot sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot cosx=sin3x[/m]

Применяем вспомогательный угол:

cos φ =[m]\frac{1}{2}[/m]
sin φ =[m]\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

[m]sin(x+\frac{\pi}{3})=sin3x[/m]

[m]sin(x+\frac{\pi}{3})-sin3x=0[/m]

[m]2 \cdot sin\frac{x+\frac{\pi}{3}-3x}{2}\cdot cos \frac{x+\frac{\pi}{3}+3x}{2}=0 [/m]

[m] - sin(x-\frac{\pi}{6}) \cdot cos (2x+\frac{\pi}{6})=0 [/m]

[m] sin(x-\frac{\pi}{6})=0[/m] ⇒ [m] x-\frac{\pi}{6}=\pi n,[/m]n ∈ Z

[m] x=\frac{\pi}{6}+\pi n,[/m]n ∈ Z

[m] cos (2x+\frac{\pi}{6})=0 [/m] ⇒[m] 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi m[/m], m ∈ Z
[m]2x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\pi m[/m], m ∈ Z

[m]2x=\frac{\pi}{3}+\pi m[/m], m ∈ Z

[m]x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2} m[/m], m ∈ Z

[m]x=\frac{\pi}{6}[/m] - единственный корень принадлежащий ОДЗ

(cм. рис. 2)

б) нет корней принадлежащих указанному отрезку

О т в е т.

a)[m]x=\frac{\pi}{6}[/m]
б) нет корней принадлежащих указанному отрезку (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+2>0 ⇒ x>-2
{log_(6)(x+2) ≠ 0 ⇒ x+2 ≠ 1 ⇒ x ≠ -1
{(x-3)^2>0 ⇒ x ≠ 3
{log_(7)(x-3)^2 ≠ 0 ⇒ (x-3)^2 ≠ 1 ⇒ x-3 ≠ ± 1 ⇒ x ≠ 2 и x ≠ 4

x ∈ (-2;-1) U (-1;2) U(2;3) U (3;4) U (4;+ ∞ )

Так как в условиях ОДЗ:

(log_(7)(x-3)^2)^4 >0

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{14^{x}}{7\cdot log_{6}(x+2)}\leq \frac{(4\cdot 2^{x})^{x}}{4\cdot log_{6}(x+2)}[/m]

[m]\frac{2^{x}\cdot 7^{x-1}-4^{x-1}2^{x^2}}{ log_{6}(x+2)}\leq 0[/m]

2^(x) > 0 при любом х

[m]\frac{ 7^{x-1}-4^{x-1}2^{x^2-x}}{ log_{6}(x+2)}\leq 0[/m]

[m]\frac{ 7^{x-1}-4^{x-1}\cdot (2^{x})^{x-1}}{ log_{6}(x+2)}\leq 0[/m]

Применяем обобщенный метод интервалов:

Нули знаменателя:
[m]log_{6} (x+2) =0[/m] ⇒ [m]x=-1 [/m] (было в нахождении ОДЗ)

Нули числителя:

[m] 7^{x-1}-4^{x-1}\cdot (2^{x})^{x-1}=0 [/m]

[m](\frac{7}{4})^{x-1}=(2^{x})^{x-1}[/m]

логарифмируем по основанию 2

[m]log_{2}(\frac{7}{4})^{x-1}=log_{2}(2^{x})^{x-1}[/m]

[m](x-1)\cdot log_{2}\frac{7}{4}=(x-1)\cdot log_{2}2^{x}[/m]

[m](x-1)\cdot ( log_{2}\frac{7}{4}- log_{2}2^{x})=0[/m]

[m](x-1)\cdot ( log_{2}\frac{7}{4}-x)=0[/m]

[m]x-1=0[/m] ⇒[m] x=1[/m] или [m] x=log_{2}\frac{7}{4}[/m]

[m]0= log_{2}1<log_{2}\frac{7}{4}< log_{2}2=1[/m]

Знаки числителя на ОДЗ:

(-2)_ -_ (-1) _-_ [[red]log_(2) (7/4)[/red]] _+_ [[red]1[/red]] _ -_ (2) _-_ (3) _-_ (4) _- __

(-2)_ -_ (-1) _+_ [[red]log_(2) (7/4)[/red]] _+_ [[red]1[/red]] _ +_ (2) _+_ (3) _+_ (4) _+ __

так как:
log_(6)(x+2) <0 ⇒ x < -1 на (-2;-1)

log_(6)(x+2)>0 ⇒ x>-1

Дробь принимает отрицательные значения там, где числитель и знаменатель имеют разные знаки:

(-1;[m]log_{2}\frac{7}{4}]\cup[1;2) \cup (2;3) \cup (3;4) \cup(4;+ ∞ )[/m]

О т в е т. (-1;[m]log_{2}\frac{7}{4}]\cup[1;2) \cup (2;3) \cup (3;4) \cup(4;+ ∞ )[/m]

Ответ выбран лучшим

x ≠ 0

[m]y=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{x}+\frac{9}{x}-x^2[/m]

[m]y=x^2+x+\frac{9}{x}-x^2[/m]

[m]y=x+\frac{9}{x}[/m]

[m]y`=1-\frac{9}{x^2}[/m]

y`=0

[m]1=\frac{9}{x^2}[/m]

x^2=9

x= ± 3 - точки возможного экстремума

Отрезку [1;10] принадлежит только х=3

Применяем достаточные условия точки экстремума

Исследуем знак производной:
[1] __-__ (3) ______+________[10]
x=3 - точка минимума функции, так как производная меняет знак
с - на +

Так как x=3 единственная точка экстремума на отрезке, то в этой точке функция принимает наименьшее значение

[m]y=3+\frac{9}{3}=6[/m] - наименьшее значение функции на отрезке
[1;10]

О т в е т. [b]6[/b]

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

2ab=40sqrt(2)=2*4*5*sqrt(2)

Возможны разные комбинации a и b

Условию удовлетворяет

a=4sqrt(2)

b=5

Поэтому

[b]40sqrt(2)+57[/b]=(4sqrt(2))^2+2*4sqrt(2)*5+(5)^2=[b](4sqrt(2)+5)^2;[/b]

[b]sqrt(40sqrt(2)+57)[/b]=sqrt((4sqrt(2)+5)^2)=|4sqrt(2)+5|=[b]4sqrt(2)+5[/b]

Так как

|40sqrt(2)-57|= 57-40sqrt(2)

и аналогично приведенным выше рассуждениям

[b] 57-40sqrt(2)=(4sqrt(2)-5)^2[/b]

[b]sqrt(|40sqrt(2)-57|)[/b]=sqrt((4sqrt(2)-5)^2)=|4sqrt(2)-5|=[b]4sqrt(2)-5[/b]

4sqrt(2) >5 ⇒ |4sqrt(2)-5|=4sqrt(2)-5

sqrt(|40sqrt(2)-57|)-sqrt(40sqrt(2)+57)=4sqrt(2)-5-(4sqrt(2)+5)=-10

О т в е т.[b]-10[/b]

Ответ выбран лучшим

∠ AOB - центральный
∠ АСВ - вписанный, опирающийся на ту же дугу АВ

Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Поэтому вписанный угол в два раза меньше центрального
∠ AOB =2 *∠ АСВ

По условию

"Центральный угол на 36 ° больше острого вписанного угла"

∠ AOB > ∠ АСВ на 36 °

∠ AOB - ∠ АСВ =36 °

2 *∠ АСВ - ∠ АСВ =36 °

∠ АСВ =36 °

О т в е т. 36 °

Ответ выбран лучшим

(x^2+bx+4)*(ax^2+x-3)=ax^4+abx^3+4ax^2+x^3+bx^2+4x-3x^2-3bx-12

[blue]ax^4[/blue]+(ab+1)x^3+(4a+b-3)x^2+(4-3b)x[green]-12[/green]=[blue]ax^4[/blue]-9x^3+cx[green]-12[/green] ⇔

ax^4=ax^4
(ab+1)x^3=-9x^3 ⇒ ab+1=-9 ⇒ ab=-10
(4a+b-3)x^2=0*x^2 ⇒ 4a+b-3=0 ⇒ [red]b=3-4a[/red]
(4-3b)x=cx ⇒ [red]4-3b=c[/red]

Решаем систему:
{ ab=-10
{b=3-4a подставляем в первое
{4-3b=c

a*(3-4a)=-10
4a^2-3a-10=0
D=9+160=169=13^2
a=2; a=-5/4

b=3-8=-5 или b=8
c=19 или с=-20

О т в е т. 2;-5;19 или (-5/4); 8; -20

Ответ выбран лучшим

A _____ M ____ B

Пусть скорость первого х км в час, второго y км в час.

ПОСЛЕ ВСТРЕЧИ:

время первого 20 мин=1/3 часа. Первый проехал (1/3)x км. Это МВ

время второго 45 мин=45/60=3/4 часа. Второй проехал (3/4)y км. Это АМ

Всего MB+AM=80

Уравнение:

[b](1/3)x+(3/4)y=80[/b]

До встречи первый проехал путь АМ= (3/4) y

cо скоростью х км в час

(3/4)(y/x) час. - время первого до встречи

второй проехал путь ВМ= (1/3)х

cо скоростью у км в час

(1/3)(x/y) час - время второго до встречи

Выехали они одновременно, время одинаковое.

[b](3/4)(y/x) =(1/3)(x/y)[/b] ⇒ (9/16)y^2=x^2 ⇒ y=(4x/3)

Подставляем в первое:

(1/3)x+ x=80

(4/3)x=80

x=60

y=80

О т в е т. 60 км в час и 80 км в час

Ответ выбран лучшим

log_(5)2+log_(5)6=log_(5)2*6=log_(5)12

25^(log_(5)12)=(5^(2))^(log_(5)12)=5^(2log_(5)12)=5^(log_(5)12^2)=12^2

12^2-1,4=144-1,4=142,6

Ответ выбран лучшим

По свойству логарифма степени:

log_(5)25^(-1)=-log_(5)25

log_(5)(75)-log_(5)(25)=

разность логарифмов равна логарифму частного:

log_(5)(75/25)=log_(5)3

Ответ выбран лучшим

Свойство аддитивности интеграла.

Если область интегрирования разбита на несколько "мелких "областей, то

интеграл по области равен сумме интегралов по всем "мелким "
областям

2+5+(-3)+(-1)=[b]3[/b] - о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Удобнее рассматривать область горизонтального вида:

2 ≤ y ≤ 4

y=4/x ⇒ x=4/y
y=x-1 ⇒ x=y+1
Поэтому:

4/y ≤ x ≤ y+1

Получим:

= ∫ ^(4)_(2)[b]([/b] ∫^(y+1) _(4/y)xdx[b])[/b]dy=

= ∫ ^(4)_(2)[b]([/b](x^2/2)|^(y+1)_(4/y)[b])[/b]dy=

= ∫ ^(4)_(2)[b]([/b] ((y+1)^2/2) -(8/y^2)[b])[/b]dy=

=((y+1)^3/6)+(8/y)|^(4)_(2)=((5^3-3^3)/6)+8*((1/4)-(1/2) ) =(49/3)-2=[b]43/3[/b]

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

=3* ∫ ∫ d(x;y)dxdy-2 *∫ ∫ g(x;y)dxdy=3*4-2*7=12-14=[b]-2[/b]

Ответ выбран лучшим

m= ∫ ∫ _(D) δ (x;y)dxdy

D cм рис.

1 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ (4-x)/2

m= ∫^(2)_(1) [b]([/b] ∫ ^((4-x)/2)_(0)3x dy[b])[/b]dx=

=∫^(2)_(1) 3x [b]([/b] y)|^((4-x)/2)_(0) dx=

=(3/2)∫^(2)_(1) (4x-x^2)dx=

=(3/2)*(2x^2-(x^3/3))|^(2)_(1)=

=(3/2)*(2*(2^2-1)-(1/3)*(8-1))=

считайте...
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Переход к полярным координатам:
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ

x^2+y^2= ρ^2

Якобиан |J|= ρ

x^2+y^2=π^2 ⇒ ρ ^2=π^2 ⇒ ρ =π

x^2+y^2=4π^2⇒ ρ ^2=4π^2 ⇒ ρ =2π

D:
π ≤ ρ ≤ 2π
0 ≤ θ ≤ 2π

∫ ∫ _(D)(sin ρ )* ρ d ρ d θ = ∫ ^(2π)_(0)[b]([/b] ∫ ^(2π)_(π) ρ *sin ρ d ρ[b])[/b] d θ=

считаем внутренний интеграл по частям:

u= ρ dv=sin ρ d ρ
du=d ρ ; v=-cos ρ

= ∫ ^(2π)_(0)[b]([/b](- ρ cos ρ )|^(2π)_(π)+ ∫^(2π)_(π) cos ρ d ρ [b])[/b]d θ =

= ∫ ^(2π)_(0)[b]([/b] -(2π)*cos2π+π*cosπ+sin ρ |^(2π)_(π)[b])[/b]d θ =

=∫ ^(2π)_(0)[b]([/b](-3π+0)d θ =

=-3π θ |^(2π)_(0)=-[b]6π[/b]

Область D cм на рис.

Внешний интеграл лучше брать по переменной y
по переменной х область придется разбивать на две.

y=2x ⇒ x=(1/2)y
y=x ⇒ x=y

D: 0 ≤ y ≤ 2
(1/2)y ≤ x ≤ y

S= ∫ ∫ _(D)dxdy= ∫ ^(2)_(0) [b]([/b]∫ ^(y)_((1/2)y)dx[b])[/b]dy=

= ∫ ^(2)_(0)[b]x[/b]|^(y)_((1/2)y) dy= ∫ ^(2)_(0)(y-(1/2)y) dy=

= ∫ ^(2)_(0)((1/2)y) dy= (1/2)**y^2/2)|^(2)_(0)=

=(1/4)*(2^2-0)=1

О т в е т. 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как LA -биссектриса , то
[red] ∠ КLA= ∠ MLA[/red]
По условию
"биссектриса LA делит пополам угол между высотой LB и медианой LC"
Значит,
[green] ∠ ВLA= ∠ CLA[/green]

Поэтому
∠ KLB= [red]∠ КLA[/red]- [green]∠ ВLA[/green]
∠ MLC=[red]∠ MLA[/red]- [green]∠ CLA[/green]

∠ KLB=∠ MLC

Опишем около Δ KLM окружность.
Продолжим высоту LB, биссектрису LA и медиану MC до пересечения с окружностью, обозначим точки пересечения
P, F и D соответственно.

∠ KLB и ∠ MLC вписанные, они равны, значит и дуги, на которые они опираются тоже равны:
∪ KP= ∪ DM ⇒

PD || KM ⇒

LB ⊥ KM, LB ⊥ PD; LB это LP

LP ⊥ PD ⇒ ∠ LPD=90 °

LD - диаметр окружности

LD это медиана LC
∪ PF= ∪ FD

FC- серединный перпендикуляр с КM

С- центр окружности.

КМ - диаметр,

[b] ∠ KLM=90 ° [/b]

б) По теореме Пифагора
KM^2=6^2+8^2=100
KM=10

KC=CM=LC=5

Пусть KB=x, тогда ВМ=10-х

По теореме Пифагора из Δ KLB:

LB^2=6^2-x^2

По теореме Пифагора из Δ MLB:

LB^2=8^2-(10-x)^2

Приравниваем правые части:

6^2-x^2=8^2-(10-x)^2;

36-x^2=64-100+20x-x^2

72=20x
x=3,6

KB=3,6 ⇒ LB^2=6^2-3,6^2=(6-3,6)*(6+3,6)=4,8^2

[b]LB=4,8[/b]

LA делит сторону KM в отношении 6:8 считая от K

KA=(6/8)AM=(3/4)AM

KA+AM=10 ⇒ (3/4)AM + AM=10 ⇒ AM=40/7

KA=30/7

BA=KA-KB=(30/7)-3,6=[b]24/35[/b]

По теореме Пифагора из Δ LBA

LA^2=LB^2+BA^2=4,8^2+(24/35)^2=(24/5)^2+(24/35)^2=

считайте, найдете LA

О т в е т.
б)
LC=5
LB=4,8
LA=24sqrt(2)/7

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:

[m]cos\frac{5\pi }{12}=cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{12})=sin\frac{\pi }{12}[/m]

[m]\frac{1}{2} sin\frac{\pi }{12}cos\frac{5\pi }{12}-sin^2\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2} sin\frac{\pi }{12}sin\frac{\pi }{12}-(sin\frac{\pi }{3})^2=\frac{1}{2} \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2=0[/m]

S= ∫ ^(π/2)_(0)sinxdx=(-cosx)|^(π/2)_(0)=-cos(π/2)+cos0=-0+1=[b]1[/b] (прикреплено изображение)

-1 ≤ cos(x*y) ≤ 1

если cos(x*y)=1 ⇒ (x*y)=2πn, n ∈ Z

и тогда уравнение принимает вид:

(x-1)^2=0 ⇒ x=1

y=2πn, n ∈ Z

бесконечно много положительных корней

x=1; y=2π
x=1; y=4π
и т.д.

О т в е т. д)

X принимает значения
0;1;2;3

Надо решить 4 задачи.

Найти вероятность:

1) никто не попал
p_(o)=0,3*0,2*0,1=

2) один попал, два других промах
p_(1)=0,7*0,2*0,1+0,3*0,8*0,1+0,3*0,2*0,9=

3) два попали, третий промах

p_(2)=0,7*0,8*0,1+0,3*0,8*0,9+0,7*0,2*0,9=

4) все три попали

p_(3)=0,7*0,8*0,9=

[b]Cчитайте.[/b]

Ряд распределения. Таблица

В первой строке 0;1;2;3

Во второй их вероятности.

Многоугольник распределения:

4 точки с координатами
(0;p_(o)); (1;p_(1));(2;p_(2));(3;p_(3))

Ответ выбран лучшим

а) В основании параллелограмм или прямоугольник или квадрат
Всегда
vector{AB}+vector{BC}+vector{CD}+vector{DA}=0

Второе основание тоже.

Осталось 4 ребра.
Они равны по длине.
Два из них должны иметь одинаковое направление, а два других им противоположное.

0,45*0,45=0,2025 - вероятность того, что оба места заняты.

1-0,2025=0,7975 - вероятность того, что хотя бы одно свободно

Ответ выбран лучшим

p=S_(шестиуг)/S_(круга)

S_(круга)=πR^2

S_(шестиуг)=6*S_( Δ)=6*(1/2)R*R*sqrt(3)/2=3sqrt(2)R^2/2

p=3sqrt(3)/(2π) ≈
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x>0
x ≠ 1

Логарифмируем по основанию 2 ( y=log_(2)t возрастающая, знак не меняем):
[m]log_{2}x^{4log_{2}x-7}\leq log_{2}4[/m]

Применяем свойства логарифма степени:

(4*log_(2)x-7)*log_(2)x ≤ 2

4t^2-7t-2 ≤ 0

D=49-4*4*(-2)=49+32=81

t_(1)=(-1/4); t_(2)=2

-1/4 ≤ t ≤ 2

(-1/4) ≤ log_(2)x ≤ 2 ⇒

[b]1/16 ≤ x ≤ 4 [/b]

О т в е т. [red][1/16;1)U(1;4][/red]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x+4 >0 ⇒ x > -4

Метод интервалов:

x^2-9=0 ⇒ x= ± 3

[m]log_{\frac{1}{3}}(x+4)=0[/m] ⇒ x+4=1; x=-3

Расставляем знак:
(-4) _+__ [-3] __+___ [3] ___-__

Так как:

x^2-9 ≥ 0 на (-4;-3) и на (3; + ∞ )

[m]log_{\frac{1}{3}}(x+4) ≥ 0[/m] ⇒ x+4 ≤ 1 ⇒ x ≤ -3

[m]log_{\frac{1}{3}}(x+4) ≤ 0[/m] ⇒ x+4 ≥ 1 ⇒ x ≥ -3

О т в е т. [b](-4;3][/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{sinx ≠ 0
{cos ≠ 0

Умножаем обе части уравнения на sinx*cosx

cosx+sinx=2sqrt(2)sinx*cosx ( уравнение #) (прикреплено изображение)

[red]ОДЗ:[/red]

{x>0;x ≠ 1
{log_(3)x >0 ⇒ x > 1

[red]x ∈ (1;+ ∞ )[/red]

В условиях ОДЗ

[m]log_{x}3=\frac{1}{log_{3}x}[/m]

Поэтому неравенство принимает вид:

[m]\sqrt{log_{3}x}+2\cdot \sqrt{ \frac{1}{log_{3}x}}\geq 3[/m]

Замена переменной:

[m]\sqrt{log_{3}x}=t;[/m]

t >0

[m]\sqrt{ \frac{1}{log_{3}x}}=\frac{1}{t}[/m]

[m]t+\frac{2}{t}\geq 3[/m]

[m]\frac{t^2-3t+2}{t}\geq 0[/m]

t>0

t^2-3t+2 ≥ 0

D=9-8=1

t_(1)=1; t_(2)=2

t ≤ 1 или t ≥ 2

__+__ [1] ____ [2] __+__

[b]Обратная замена[/b]:

[m]\sqrt{log_{3}x}[/m] ≤ 1 или [m] \sqrt{log_{3}x}[/m] ≥ 2

[m]log_{3}x[/m] ≤ 1 или [m] log_{3}x ≥ 4[/m]

[m]log_{3}x ≤ log_{3}3[/m] или [m] log_{3}x ≥ log_{3}81[/m]

Так как логарифмическая функция с основанием 3 > 1 [i]возрастает[/i] и
с учетом[red] ОДЗ[/red] получаем

[m]1 < x ≤ 3 [/m] или [m] x ≥ 81[/m]

О т в е т. [b](1;3] U [81;+ ∞ )[/b]

В точке х=2 производная меняет знак с - на +

Значит это точка минимума

О т в е т. x=2

Ответ выбран лучшим

Надо принцип понять.
На первом рисунке участок длины 4 (от 0 до 4)повторяется,
на втором рисунке участок длины 9 ( от 0 до 9) повторяется
На третьем можно продолжить от 9 до 10 как угодно. Я нарисовала прямую. И этот кусочек длины 10 ( от 0 до 10) повторяется

На четвертом надо продолжить от точки 9 до точки 4π
Как угодно. Прямой, ломаной.
И этот "кусочек" повторять.... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

12%=0,12

m( нитрата натрия в растворе)=m(раствора)*W(нитрата серебра)=86*0,12 =10,32 г

m(нового раствора)=86+50=136 г

W(нитрата серебра в новом растворе)=m(нитрата серебра)/m(нового раствора)=10,32/136=0,0758823529 ≈ 0,076=[b]7,6%[/b]

m(щавелевой кислоты в растворе)=m(раствора)*W(щавелевой кислоты)=200*0,05=10 г

Пусть х г- масса добавленной кислоты.

Тогда
(200+х) г - масса нового раствора

m(щавелевой кислоты в новом растворе)=m(нового раствора)*W(щавелевой кислоты)=(200+х)*0,08

Уравнение:
х+10=(200+х)*0,08

х+10=16+0,08х

х-0,08х=16-10

0,92х=6

х=6:0,92

х=6,521739 ≈ 6,5 г

О т в е т. 6,5 г

Ответ выбран лучшим

9.По определению:
f(a+T)=f(a-T)=f(a)=A
f(b+T)=f(b-T)=f(b)=В
T>0

a+T ≠ b ⇒ T ≠ b-a, T>b-a (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{4+y}{2}-\frac{y+2}{7}<y+3[/m]

Умножим на 14

7*(4+y)-2*(y+2) < 14*(y+3)

Раскрываем скобки:

28+7y-2y-4 < 14y +42

7y-2y-14y < 42-28+4

-9у < 18

9y> -18

y>-2

1.
ОДЗ:
{5-x >0 ⇒ x <5
{sqrt(3-x)>0 ⇒ 3-x>0 ⇒ x <3

x ∈ (- ∞ ;-3)

По свойству логарифма степени:

2log_(3)sqrt(3-x)=log_(3)(sqrt(3-x))^2=log_(3)(3-x)

В условиях ОДЗ сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(3)(5-x)*(3-x)=1

По определению

3^(1)=(5-x)*(3-x)

x^2-8x+12=0

D=64-48=16

x_(1)=2; x_(2)=6 ( не входит в ОДЗ)

О т в е т. 2

2.

1=log_(0,25)0,25

log_(0,25)x^2 < log_(0,25)0,25 ⇒

{x^2>0,25
{x^2>0 ( область определения логарифм. функции)

x^2>0,25 ⇒ x^2-0,25 >0 ⇒ (x-0,5)(x+0,5) > 0 ⇒

x<-0,5 или x > 0,5

О т в е т. (- ∞ ;-0,5)U(0,5;+ ∞ )

3.

{2x-7>0 ( область определения первой логарифм. функции)
{x+1>0 ( область определения второй логарифм. функции)
{2x-7 <x+1 - на основании свойства убывания логар функции с осн 0,5

{x>3,5
{x>-1
{x< 8

О т в е т. (3,5 ; 8)

Формула косинуса двойного угла:
cos^2 α -sin^2 α =cos[b]2 *α [/b]

Поэтому
cos^2(x/2) -sin^2(x/2) =cos[b]2*[/b](x/2)=cos[b]x[/b]

уравнение

cosx=-sqrt(3)/2

x= ± arccos(-sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z

x= ± (π- arccos(sqrt(3)/2))+2πn, n ∈ Z

x= ± (π- (π/3))+2πn, n ∈ Z

[b]x=± (2π/3)+2πn, n ∈ Z[/b] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла

[red]Первый множитель равен 0:[/red]

{4sin^2x-3=0 ⇒ sin^2x=3/4 ⇒ sinx= ± sqrt(3)/2
{x^2-26π^2 ≥ 0 ⇒ (x-6π)*(x+6π) ≥ 0 ⇒ x ≤ -6π или x ≥ 6π

Так как уравнение
sinx=sqrt(3)/2

имеет корни в первой и во второй четверти:

x=(π/3)+2πn, n ∈ Z и х=(2π/3) +2πm, m ∈ Z

а уравнение
sinx=-sqrt(3)/2
имеет корни в третьей и четвертой четверти:
x= -(π/3)+2πn, n ∈ Z и х= - (2π/3) +2πm, m ∈ Z

( см. рис.1)

, то корни уравнения можно записать в виде:

x= (π/3)+πk, k ∈ Z или x= -(π/3)+πm, m ∈ Z

( cм рис. 2)

Второму неравенству системы не удовлетворяют корни:

при k=-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5(см. рис.3)

На нем 6 витков окружности
от [-6π;-4π]; [-4π;-2π]; ... [0;2π]; ...[4π;6π]

на первом из них расположены корни при k=-6;-5;

на последнем при k=4;5

и

не удовлетворяют корни при

m=-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

(см. рис.4)

На нем 6 витков окружности
от [-6π;-4π]; [-4π;-2π]; ... [0;2π]; ...[4π;6π]

на первом из них расположены корни при m=-5;-4;

на последнем при m=5;6

[red]о т в е т первого случая[/red]
x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k ≠ -6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5
x= (π/3)+πm, m ∈ Z
m ≠ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

[red]Второй множитель равен 0[/red]

sqrt(x^2-36π^2)=0 ⇒ x^2-36π^2=0 ⇒ x= ± 6π

[red]о т в е т второго случая[/red] x= ± 6π

б)
4π<15<5π
6π<20<7π

Указанному промежутку [15;20] принадлежат корни:
[b]x_(1)[/b]=(π/3)+6π=[b]19π/3[/b]

[b]x_(2)=6π[/b]

О т в е т.
а)x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k ≠ -6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5
x= (π/3)+πm, m ∈ Z
m ≠ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6

б)x= ± 6π (прикреплено изображение)

p([b]x[/b])=[b]x[/b]+2

Найдем
p(6x) и p(x+5)

p([b]6x[/b])=[b]6x[/b]+2

p([b]x+5[/b])=[b]x+5[/b]+2=x+7

Тогда

2*(p([b]6x[/b])-6p([b]x+5[/b]))=2*(6x+2-6*(x+7))=2*(6x+2-6x-42)=2*(-40)=-80

О т в е т. -80

[m]p(x)=\frac{x\cdot (-20-x)}{x+10}=-\frac{x\cdot (20+x)}{x+10},x\neq -10[/m]

Найдем p (-20-x)

Для этого в выражение p(x) вместо х подставим (-20-x):

[m]p(-20-x)=-\frac{(-20-x)(20+(-20-x)))}{-20-x+10}=-\frac{(-20-x)\cdot (-x)}{-x-10}=\frac{(20+x)\cdot x}{x+10}[/m]

Итак,
[m]p(x)+p(-20-x)=-\frac{x\cdot (20+x)}{x+10}+\frac{(20+x)\cdot x}{x+10}=0[/m]

О т в е т. 0

ОДЗ: x>0; x ≠ 1 ⇒ x ∈ (0;1)U(1:+ ∞ )

49=7^2

49^(log_(x)5)=(7^2)^(log_(x)5)=7^(2*log_(x)5)=[b]([/b]7^(log_(x)5))^2[b])
[/b]

[i]Замена переменной:[/i]

7^(log_(x)5)=t

Так как показательная функция по любому положительному основанию принимает только положительные значения,

t > 0

Данное неравенство принимает вид:

t^2-t-2 ≥ 0

D=1-4*(-2)=9; корни (-1) и 2

__+__ [-1] ___[red]-[/red]___ [2] __+__

t ≤ -1 или t ≥ 2

с учетом при t > 0 решение неравенства t ≥ 2

Обратная замена:

7^(log_(x)5) ≥ 2

[i]Логарифмируем [/i]по основанию 7 ( 7 > 1, функция возрастает, знач неравенства не меняется):

log_(7) 7^(log_(x)5) ≥ log_(7)2

По [i]свойству[/i] логарифма степени:

log_(x)5 * log_(7) 7 ≥ log_(7)2

Так как log_(7)7=1

log_(x)5 ≥ log_(7)2

По формуле перехода к другому основанию:

[m]\frac{lg5}{lgx}\geq \frac{lg2}{lg7}[/m]

При x ∈ (0;1)
lgx <0
[m]\frac{lg5}{lgx} <0[/m]

[m\frac{lg2}{lg7}>0[/m]

отрицательное выражение не может быть больше положительного

Неравенство не имеет решений

При x ∈ (1:+ ∞ )
lgx > 0 ⇒

[m]lgx ≤ \frac{lg7\cdot lg5}{lg2}[/m]

[m]x ≤ 10^{\frac{lg7\cdot lg5}{lg2}}[/m]

x ∈ (1; [m] 10^{\frac{lg7\cdot lg5}{lg2}}[/m]]

Но возможны варианты:

[m] (10^{lg5})^{\frac{lg7}{lg2}}=5^{\frac{lg7}{lg2}}=5^{log_{2}7}[/m]

[m] (10^{lg7})^{\frac{lg5}{lg2}}=7^{\frac{lg5}{lg2}}=7^{log_{2}5}[/m]

и все варианты записи ответа будут верными

О т в е т. (1; [m]7^{log_{2}5}[/m]]

4=2^(2)

4^(x)=(2^(2))^(x)=2^(2x)

8=2^3

8^(sqrt(x+1))=(2^(3))^(sqrt(x+1))=2^(3sqrt(x+1))

2^(2x) ≤ 2^(3sqrt(x+1))

Показательная функция с основанием 2 > 1 [i]возрастающая[/i], большему значению функции соответствует большее значение аргумента:

2x ≤ 3sqrt(x+1)

Это иррациональное неравенство.

3sqrt(x+1) ≥ 2x

1)

{x+1 ≥ 0 - подкоренное выражение не должно быть отрицательным
{2x ≤ 0 - тогда неравенство верно , так как неотрицательное больше или равно неположительного

решение системы[b] [-1;0][/b]

2)
возводим в квадрат при условии, что подкоренное выражение неотрицательное

{x+1 ≥ 0
{9(x+1) ≥ 4x^2

4x^2-9x-9 ≤ 0 ⇒ D=81+4*4*9=9*(9+16)=9*25=(3*5)^2=15^2

x_(1)=-3/4; x_(2)=3

{x ≥ -1
{-3/4 ≤ x ≤ 3

решение системы:[b] [-3/4;3][/b]

О т в е т. Объединяем решения первого и второго случая: [b][-1;0] U [-3/4;3]=[-1;3][/b]

Ответ выбран лучшим

log_(4)x=t

[b]x > 0[/b]

[m]\frac{11t-28}{2t-1}\geq 4-3t[/m]

[m]\frac{11t-28}{2t-1}+3t-4\geq 0[/m]

[m]\frac{11t-28+(3t-4)(2t-1)}{2t-1}\geq 0[/m]

[m]\frac{11t-28+6t^2-8t-3t+4}{2t-1}\geq 0[/m]

[m]\frac{6t^2-24}{2t-1}\geq 0[/m]

[m]6\frac{(t-2)(t+2)}{2t-1}\geq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

__-__ [-2] __+__ (1/2) __-___ [2] __+__

-2 ≤ t < 1/2 или t ≥2

Обратная замена:

-2 ≤log_(4)x < 1/2 или log_(4)x ≥ 2

1=log_(4)4

[green]-2[/green]*log_(4)4 ≤log_(4)x < ([red]1/2 [/red])*log_(4)4 или log_(4)x ≥ 2*log_(4)4

Применяем свойство логарифма степени

log_(4)4^([green]-2[/green]) ≤log_(4)x < log_(4)4^([red]1/2[/red]) или log_(4)x ≥ log_(4)4^(2)

log_(4)(1/16) ≤log_(4)x < log_(4)2 или log_(4)x ≥ log_(4)16

Логарифмическая функция с основанием 4 >1 возрастающая,

[b](1/16) ≤ x < 2[/b] или [b]x ≥ 16[/b]

удовл. условию [b]x > 0[/b]

О т в е т. [(1/16);2) U[16;+ ∞ )

A _______ M _____ B

Пусть скорость первого ( из А) равна х км в час, скорость второго равна у км в час.

56 мин =56/60 час.

Первый прошел AM= (56/60)*х км, второй прошел BM=(56/60)*y км,

( скорость умножили на время)

Сумма этих расстояний и есть путь АВ

Получаем уравнение:

[b](56/60)*х + (56/60)*y = 112 [/b]

Умножим на (60/56)

[b]x+y=120[/b]

Разбираемся с тем, что произошло после встречи:

Поезд, вышедший из А прошел путь MB на 15 мин =1/4 часа быстрее чем другой поезд путь АМ

Находим время каждого. Путь делим на скорость

Пусть ВМ первый прошел со скоростью х

(56/60)*y/x час. - время первого после встречи

(56/60)*х/у час. - время второго после встречи

Время второго на (1/4) больше.

Второе уравнение:
(56/60)*х/у - (56/60)*y/x =1/4

Умножим на (60/56)

[b](х/у) - (y/x) =15/56[/b]

Решаем систему:
{[b]x+y=120[/b]
{[b](х/у) - (y/x) =15/56[/b] ⇒ замена x/y=t; y/x=1/t; t-(1/t)=15/56 ⇒

56t^2-15t-56=0; D=225+4*56^2=12769=113^2

x/y=125/112, второй корень не удовл смыслу задачи Он отриц.

{x+y=120
{112x=125y

Умножаем первое уравнение на 125:

{125x+125y=125*120
{112x-125y=0

Cкладываем

237x=125*120

x=125*120/237

y=112*120/237

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{y(90-0,5x+x+y)}{x+y}=90[/m]

В числителе приводим подобные слагаемые в скобках:
-0,5х+х=0,5х

[m]\frac{y(90-0,5x+x+y)}{x+y}=90[/m]

[m]\frac{y(90+0,5x+y)}{x+y}=90[/m]

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:

y(90+0,5x+y)=90*(x+y)

Ответ выбран лучшим

A _______ М _____ В

М - место встречи.

Разберемся с тем, [i]что произошло после встречи.[/i]
"первый турист шёл после встречи 2 ч. 30 мин"

После встречи первый прошел путь МВ за 2 часа 30 мин=2,5 часа,
второй прошел путь МА на 6 мин быстрее первого, значит за 2 часа 24 мин=2,4 часа

Пусть
[i]скорость первого[/i] [b] х км в час,[/b]
[i]скорость второго[/i] [b]у км в час.[/b]

2,5*[b] х[/b] км - путь МВ
2,4*[b]у[/b] км - путь АМ

По условию АМ > BM на 2 км

Значит можно составить[i] первое[/i] уравнение:
[b]2,4y-2,5x=2[/b]

Теперь обратимся к условию:
" Через час после выхода туриста из пункта А"
Значит до встречи первый шел на 1 час больше
и прошел путь АМ со скоростью х км в час

Путь АМ равен 2,4y; cкорость первого х км в час
значит

(2,4*y)/x час - время первого на пути АМ

(2,5x)/y час - время второго на пути ВМ

Второе уравнение:

2,4*(y/x) -2,5(x/y) =1 ⇒ замена t=y/x; 1/t=x/y

2,4t-(2,5/t)=1

2,4t^2-t-2,5=0

D=1-4*2,4*(-2,5)=25

t_(1)=(1+5)/4,8=[b]5/4[/b]; t_(2) <0

y/x=5/4

y=(5/4)x

Подставляем в первое уравнение:

2,4*(5/4)*х-2,5х=2

3х-2,5х=2

0,5x=2

x=4

y=5

О т в е т. Скорость первого [b]4 км в час[/b], скорость второго 5 [b]км в час[/b]

Ответ выбран лучшим

Так как
2x=2x*[b]1[/b]=2x*[b]log_(2)2[/b]=log_(2)2^(2x)

Неравенство принимает вид:

[m]log_{2}2^{2x}\geq log_{2}(\frac{35}{3}\cdot 6^{x-1}-2\cdot9^{x-\frac{1}{2}})[/m]

Так как логарифмическая функция с основанием 2>1 возрастает, а выражение под знаком логарифма должно быть положительным
неравенство равносильно системе:

[m]\left\{\begin{matrix} 2^{2x}\frac{35}{3}\cdot 6^{x-1}-2\cdot9^{x-\frac{1}{2}}\\ \frac{35}{3}\cdot 6^{x-1}-2\cdot9^{x-\frac{1}{2}}>0\end{matrix}\right.[/m]

Упрощаем ( умножаем на 18 и первое и второе неравенство):

[m]\left\{\begin{matrix} 18\cdot2^{2x}\geq 35\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}-12\cdot3^{2x}\\ 35\cdot 6^{x}-12\cdot3^{2x} >0\end{matrix}\right.[/m]

первое - однородное второй степени, значит сводится к квадратному

Делим каждое неравенство системы на [m]3^{2x}[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 18\cdot (\frac{2}{3})^{2x}\geq 35\cdot (\frac {2}{3})^{x}-12 \\ 35\cdot (\frac{2}{3})^{x}-12 >0\end{matrix}\right.[/m]

[b]Замена переменной:
[/b]
[m](\frac{2}{3})^{x}=t, t>0[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}18t^2-35t+12 ≥ 0\\ 35\cdot t-12 >0\end{matrix}\right.[/m]

[m]18t^2-35t+12 ≥ 0[/m]

[m]D=(35)^2-4\cdot 18\cdot 12=1225-864=361[/m]

[m]t= \frac{4}{9}[/m] или [m]t= \frac{3}{2}[/m]

Система принимает вид:

[m]\left\{\begin{matrix}(9t-4)(2t-3) ≥ 0\\ 35\cdot t-12 >0\end{matrix}\right.[/m]

[m]\frac{12}{35} < \frac{4}{9}[/m], так как[m]\frac{12\cdot 9}{35\cdot 9} < \frac{4\cdot 35}{9\cdot 35}[/m]

12*9=108 < 4*35=140

(прикреплено изображение)

Область определения (– ∞ ;+ ∞ )

y`=(x^2)`·e^(-x)+x^2·(e^(-x))`=
=2x·e^(-x)+x^2·e^(-x)*(-1)=
=e^(-x)·(2х-x^2)

y`=0

2x-x^2=0
x=0; x=2

Знак производной
__-__ (0)__+__ (2) ____ -

y` <0 на (– ∞ ; 0), и на (2; + ∞),
функция убывает на (– ∞ ; 0), и на (2; + ∞),

y`> 0 на (0; 2),
функция возрастает на (0; 2)

х= 0– точка минимума, производная меняет знак с – на +

x=2 - точка максимума

y(0)=0
y(2)=4e^(-2)

y(-1)=e

y(4)=16e^(-4)

Выбираем наибольшее и наименьшее (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=-x^3+4x

f`(x)=0

-x^3+4x=0

x*(4-x^2)=0

x=0; x= ± 2 - точки возможного экстремума.

Применяем достаточный признак экстремума.
А именно: проверяем как меняет знак производная.

__+__ (-2) __-__ (0) __+__ (2) __-__

О т р е з к у [-1;2] принадлежат две точки:

[-1] __-__ (0) ___ + ___ [2]

x=0 - точка минимума, производная менет знак с - на +

y(0)= -7/4, это наименьшее значение на отрезке

Значит на одном из концов отрезка функция принимает наибольшее значение:

Считаем

y(-1)=

y(2)=2,25 - наибольшее ( см. рис)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Три последние цифры могут быть любыми от 000 до 999

На первое место можно поставить любую из десяти цифр, на второе тоже и на третье тоже

n=10*10*10=1000

Считаем m

Пусть на первом месте 9
тогда на втором месте 8
на третьем месте 7

987

876
765
654
543
432
321
210

m=8

p=8/1000=[b]0,008[/b]

Ответ выбран лучшим

vector{x}=(2k;k;-k}

|vector{x}|=sqrt((2k)^2+k^2+(-k)^2)=k*sqrt(6)

ksqrt(6)=sqrt(12)

k=sqrt(2)

vector{x}=(2sqrt(2);sqrt(2);-sqrt(2)}

Ответ выбран лучшим

Находим производную ( правило : производная произведения)

y`=(1/4)*(x-3)`*(x+3)^2+(1/4)*(x-3)*((x+3)^2))`

y`=(1/4)*(x+3)*(x+3)+2)

y`=(1/4)*(x+3)*(x+5)

y`=0

x=-5 или x=-3

Знаки производной:

__+_ (-5) __-__ (-3) __+__

y`>0 функция возрастает
y`<0 функция убывает

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Запишем параметрическое уравнение прямой:

x+1=-t
y+1=-3t
z-1=t

x=-t-1
y=-3t-1
z=t+1

Подставляем в уравнение плоскости:

(-t-1)+(-3t-1)-3*(t+1)+5=0

Находим t и подставляем в

x=-t-1
y=-3t-1
z=t+1

Ответ выбран лучшим

14.
так как (dx/x)=d(lnx), то

∫ ^(+ ∞ )_(1)ln^(-2/3)d(lnx)=ln^((-2/3)+1)x/((-2/3)+1)|^(+ ∞ )_(1)=

=lim_(x → + ∞ )3ln^(1/3)x-3ln1= + ∞

Расходится.

15.

sin2x=0 ⇒ 2x=πk,k ∈ Z ⇒ x=(π/2)k, k ∈ Z

Особая точка x=0 и х=π/2

Ответ выбран лучшим

y=2cosx
y=x^2
y=3-2x
непрерывные функции,
значит необходимо проверить непрерывность в двух точках:

x=0
и

x=1

По определению
Функция непрерывна в точке x_(o) если предел справа равен пределу слева и равен значению функции в точке.

х=0

Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(2сosx)=2

Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →+0)f(x)=lim_(x → 2+0)(x^2)=0

предел слева ≠ пределу справа

Определение непрерывности не выполняется

х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]

Так как оба предела [b]есть[/b], они конечны, но [b]не [/b]равны.
Есть [i]скачок[/i], [i]конечный[/i].

х=1

Находим
[green]предел слева:[/green]
lim_(x → 1-0)f(x)=lim_(x →1-0)(x^2)=(1-0)^2=1

Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x →1+0)f(x)=lim_(x → 1+0)(3-2х)=3-2*1=1
предел слева = пределу справа

х=1 - точка[i] непрерывности[/i][
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

abc
acb
bac
bca
cab
cba

[b]Шесть чисел[/b] Все они трехзначные, значит цифра 0 не используется.

Сумма цифр числа abc
(a+b+c)

Аналогично у каждого из оставшихся чисел

6*(a+b+c)=42

a+b+c=7

Возможны варианты:
a=1; b=1;c=5
a=2; b=1; c=4
a=3; b=1;c=3
...
Наибольшее 511

26676:20520=1,3 раза увеличился

20520 ден.ед составляют 100%
26676 ден.ед составляют p%

p=130%

130-100=30%

О т в е т.[b] на 30%[/b]

Ответ выбран лучшим

и) квадратное

t^2+t-2=0; t>0
t=1; t=-2
О т в е т.
[b]x=1[/b]

k) пропорция

7*(x-sqrt(x+5)=x+sqrt(x+5)

6x=8sqrt(x+5)

Возводим в квадрат.

Обязательно сделать проверку.

л)

t^2-t^3=0

t=[m]\sqrt[6]{3x+1}[/m]

м)
Замена

x^2+225=t

x^2=t-225

x^2-47=t-225-47

sqrt(t)=t-272

Возводим в квадрат

н)

Замена:
∛(х-2)= t

x-2=t^3

t=t^3 ⇒ t^3-t=0 ⇒ t*(t-1)*(t+1)=0

Ответ выбран лучшим

[b]e)[/b] Квадратное уравнение.

2t^2+t-3=0

Замена переменной:
[m]\sqrt[4]{x-1}=t[/m]

[m]\sqrt{x-1}=t^2[/m]

2t^2+t-3=0

[b]ж)[/b]Умножаем на сопряженное

(х+7)-(х-2)=9*(sqrt(x+7)-sqrt(x-2))

Получим два уравнения:
sqrt(x+7)+sqrt(x-2)=9

sqrt(x+7)-sqrt(x-2)=1

2sqrt(x+7)=10

sqrt(x+7)=5

x+7=25

x=18

з) Квадратное:
2t^2-t=6

з)

[m]\sqrt{x}=\frac{4}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+2}[/m]

[m]\sqrt{x}=\frac{4+(x+2)}{\sqrt{x+2}}[/m]

Пропорция.

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:

sqrt(x)*sqrt(x+2)=4+(x+2)

возводим в квадрат

x*(x+2)=36+12x+x^2

10x=-36

x=-3,6

Нужна проверка, так как возводили в квадрат и могли появиться посторонние корни.

Ответ выбран лучшим

Пусть гипотенуза х, тогда катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

Второй острый угол 60 градусов.

Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

Одна сторона - гипотенуза, вторая катет, угол между ними 60 градусов.

(1/2)*х*(х/2)*sin60 ° =25sqrt(3)/2

x^2sqrt(3)/8=25sqrt(3)/2 ⇒ x^2=100 ⇒ x=10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АВС - равносторонний треугольник, так как ∠ АВС=60 °
АВ=ВС
АВ=ВС=АС=12 cм

Проводим высоты
ВК в треугольнике АВС: ВК=12sqrt(3)/2=6sqrt(3)
DK в треугольнике ADC
DK - медиана и биссектриса

DK=KC/tg60 ° =6/sqrt(3)=2sqrt(3)

По теореме косинусов из треугольника ВDK:

BD^2=BK^2+DK^2-2BK*DK*cos60 ° =

=(6sqrt(3))^2+(2sqrt(3))^2 -2*6sqrt(3)*2sqrt(3)*(1/2)=

=108+12-36=84

BD=sqrt(84)=2sqrt(21)

(прикреплено изображение)

h=asqrt(3)/2

asqrt(3)/2=6

a=12/sqrt(3)

[b]a=4sqrt(3)[/b]

S=a^2sqrt(3)/4

S=(4sqrt(3))^2*sqrt(3)/4=12sqrt(3)

О т в е т. S/sqrt(3)=[b]12[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

h=a*sqrt(3)/2 ⇒ a*sqrt(3)/2=15

a=10sqrt(3)

S=a*h/2=10sqrt(3)*15/2=75sqrt(3)

О т в е т. 75 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]1)[/b]
АА_(1)В_(1)В

[b]2)[/b] РТ || AC ( РТ - средняя линия Δ АВС)

[i]l[/i] || AC

[i]l[/i] || PT ⇒ l || пл Δ SPT ( cм. признак в приложении)

[b]3)[/b]

SK:KP=2:1 ( медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1)
ЕК || ВР по теореме обратной теореме Фалеса ( или из подобия Δ SBP и ΔSEK)

EK || пл. АВС ( см признак в приложении)

[b]4)[/b] Боковые грани квадраты со стороной 8
АВ_(1)=A_(1)B=8sqrt(2)- диагонали боковой грани АA_(1)В_(1)В
ВС(1)=В_(1)С=8sqrt(2)- диагонали боковой грани BB_(1)С_(1)С

BE=(1/2)A_(1)B=4sqrt(2)
BF=(1/2)BC_(1)=4sqrt(2)

EF - средняя линия Δ АВ_(1)С

EF=AC/2=4

Р( Δ ВЕF)=BE+EF+BF=4sqrt(2)+4+4sqrt(2)=[b]8sqrt(2)+4[/b]

[b]5)[/b]

Соединяем С с В_(1) это линия пересечения секущей плоскости
с гранью ВВ_(1)С_(1)С

Соединяем Т с В_(1) это линия пересечения секущей плоскости
с гранью АА_(1)В_(1)В

Продолжаем АВ до пересечения с ТВ_(1) в точке М

Соединяем М с точкой С
МС - линия пересечения секущей плоскости с пл. основания.

МС пересекает AD в точке Р

P cоединяем с точкой Т

PTB_(1)C - сечение

(прикреплено изображение)

S_(многоугольника) =S_(проекции)/cos α

cos α =S_(проекции)/S_(многоугольника)

cos α =12sqrt(3)/24=sqrt(3)/2

α =30 градусов

Из двух рациональных чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее

меньше то, которое левее

а) -8,1 < 3 так как 3 положительное, оно больше отрицательного и расположено правее
б)-2 > -12 так как -12 левее чем -2, а (-2) правее (-12)
в)0 > (-3/7) так как отрицательное число левее 0, а 0 правее (-3/7)
г) 1/15 > 0 так как положительное число 1/15 правее 0

a) + и вычитаем из большего меньшее 6-2,4 получаем=[b]3,6[/b]
б) - и складываем 3,7+0,8 получаем =[b]-4,5[/b]
в)0
г)- и вычитаем из большего по модулю 0,2 меньшее 0,07
получаем =[b]-0,13[/b]
д) -5,1
е) -9,8

Ответ выбран лучшим

a) -15 > -25 так как -15 правее чем -25
б) -4,08 < -4,07 так как -4,07 правее чем - 4,08
в) -2,591 > -2, 594
г) -1,8106 < -1,8087

Ответ выбран лучшим

a) -15 > -25 так как 15 < 25
б)-4,08 <-4,07 так как 4, 08 > 4,07
в) -2,591>-2,594 так как 2,591 < 2,594
г)-1,8106 < -1,8087 так как 1,8106 > 1,8087

60%=0,6

60% от 5 см это 0,6*5=3 cм

3+1,4=4,4 см - третья сторона

Откладываем отрезок длины 5.
Обозначаем АВ

Из точки А радиусом, равным 3 см проводим окружность.

Из точки В радиусом 4, 4 см проводим окружность.

Окружности пересекаются в точках С и С_(1)

Соединяем точки А, В и С

и А,В и С_(1)

Получаем два треугольника (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[i]Первый замечательный предел:[/i]
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{sinx}{x}=1[/m]

1)

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{sinx}{3x}=\frac{1}{3}\lim_{x \to 0 }\frac{sinx}{x}=[/m]

[m]=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}[/m]

3)

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{2sin2x}{5x}=\lim_{x \to 0 }\frac{2\cdot 2sin2x}{5\cdot (2x)}=\frac{4}{5}\lim_{x \to 0 }\frac{sin2x}{2x}=[/m]

[m]=\frac{4}{5}\cdot 1=\frac{4}{5}[/m]

формула

sinx-sin5x=2sin(-2x)*cos3x=-2*sin2x*cos3x

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{sinx-sin5x}{sin2x}=-2\lim_{x \to 0 }\frac{1}{cos3x}=-2\cdot 1=-2[/m]

[m]\lim_{x \to 0 }cosx=1[/m]

[m]\lim_{x \to 0 }cos3x=1[/m]

Ответ выбран лучшим

[i]Первый замечательный предел:[/i]
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{sinx}{x}=1[/m]
[i]Следствие:[/i]
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{tgx}{x}=1[/m]

1)
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{tgx}{2x}=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0 }\frac{tgx}{x}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}[/m]

2)[m]\lim_{x \to 0 }\frac{2tg2x}{5x}=\frac{4}{5}\lim_{x \to 0 }\frac{tg2x}{2x}=\frac{4}{5}\cdot 1=\frac{4}{5}[/m]

Ответ выбран лучшим

2)
[m]\lim_{x \to 0 }(\frac{arcsinx}{3x}+\frac{sinx}{2x})=[/m]

предел суммы равен сумме пределов:

[m]=\lim_{x \to 0 }\frac{arcsinx}{3x}+\lim_{x \to 0 }\frac{sinx}{2x}=[/m]

постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[m]=\frac{1}{3}\lim_{x \to 0 }\frac{arcsinx}{x}+\frac{1}{2}\lim_{x \to 0 }\frac{sinx}{x}=[/m]

[m]=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}[/m]

[i]Первый замечательный предел:[/i]
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{sinx}{x}=1[/m]
[i]Следствие:[/i]
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{arcsinx}{x}=1[/m]

3)
[m]\lim_{x \to 0 }(\frac{arctg3x}{x}-\frac{sin3x}{3x})=[/m]

предел разности равен разности пределов:

[m]=\lim_{x \to 0 }\frac{arctg3x}{x}-\lim_{x \to 0 }\frac{sin3x}{3x}=[/m]

Умножим числитель и знаменатель дроби на 3:

[m]=\lim_{x \to 0 }\frac{3arctg3x}{3x}-\lim_{x \to 0 }\frac{sin3x}{3x}=[/m]

постоянный множитель 3 вынесем за знак предела:
[m]=3\lim_{x \to 0 }\frac{arctg3x}{3x}-\lim_{x \to 0 }\frac{sin3x}{3x}=[/m]

[m]=3 - 1 = 2[/m]

[i]Первый замечательный предел:[/i]
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{sin3x}{3x}=1[/m]
[i]Следствие:[/i]
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{arctg3x}{3x}=1[/m]

5)

Предел каждого слагаемого не существует.

Нет предела.

6)

[m]\lim_{x \to \infty }(\frac{2x+1}{x-1}+\frac{sin6x}{3x})=\lim_{x \to \infty }\frac{2x+1}{x-1}+\lim_{x \to \infty }\frac{sin6x}{3x}=2+0=2[/m]

[m]\lim_{x \to \infty }\frac{2x+1}{x-1}=\frac {\infty } {\infty }=[/m]

делим числитель и знаменатель на х, причем почленно.
Каждое слагаемое числителя делим на х и каждое знаменателя..

[m]\lim_{x \to \infty }\frac{1}{3x}=0[/m]

|sinx| ≤ 1 при любом х ∈ (- ∞ ;+ ∞ )

Произведение бесконечно малой и ограниченной есть бесконечно малая, т. е 0

Ответ выбран лучшим

Функция четная:
y(-x)=(-x)^4-4*(-x)^2=x^4-4x^2=y(x)

y`=4x^3-8x

y`=0

4x^3-8x=0

4x*(x^2-2)=0

x=0 или x= ± sqrt(2) - точки возможного экстремума.

Применяем достаточное условие, т.е проверяем знак производной:

__-_ (-sqrt(2)) __+___ (0) ___-___ ( sqrt(2)) __+___

y`<0 ⇒ функция убывает на (- ∞ ;-sqrt(2)) и на (0; sqrt(2))

y`> 0 ⇒ функция возрастает на (-sqrt(2); 0) и на (sqrt(2); + ∞ )

x= ± sqrt(2) - точки минимума, производная меняет знак с - на +

y(± sqrt(2) )=(± sqrt(2) )^4-4*(± sqrt(2) )^2=4-4*2=-4

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(0)=0

y``=(4x^3-8x)`

y``=12x^2-8

y``=0

12x^2-8=0

3x^2-2=0

x= ± sqrt(2/3) - точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак:

_+_ ( -sqrt(2/3)) __-__ ( sqrt(2/3)) __+__

Функция выпукла вниз на (-sqrt(2/3); sqrt(2/3))

выпукла вверх на (- ∞ ;-sqrt(2/3)) и на (sqrt(2/3); + ∞ )

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов из треугольника АСD:
АС^2=3^2+3^2-2*3*3*cos135 градусов=9+9+9sqrt(2)=18+9sqrt(2)

АС=sqrt(18+9sqrt(2))=sqrt(9*(2+sqrt(2))=3*sqrt(2+sqrt(2)) (прикреплено изображение)

По теореме косинусов из треугольника BСD:

BD^2=3^2+5^2-2*3*5*cos60 ° =9+25-15=19
BD=sqrt(19) (прикреплено изображение)

Найти
vector{AB}
vector{BC}
vector{CD}
vector{AD}

Найти их длины.

Применить один из признаков параллелограмма.

Ответ выбран лучшим

sin([b]x/4[/b])= ± sqrt(3)/2

Пусть [b]x/4[/b]=t

Решаем два уравнения:

sint=sqrt(3)/2 или sint= - sqrt(3)/2

t=(-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z или t=(-1)^(n)*(π/3)+πn, n ∈ Z

Обратная замена

[b]x/4=[/b](-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z или [b]x/4[/b]=(-1)^([red]n[/red])*(-π/3)+πn, n ∈ Z

Умножаем на 4, находим х:

x=(-1)^(k)*(4π/3)+4πk, k ∈ Z или x=(-1)^([red]n+1[/red])*(4π/3)+4πn, n ∈ Z

Это о т в е т.

Можно записать его по другому:

x=(π/3)+πk, k ∈ Z
x= - (π/3)+πm, m ∈ Z

см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Умножаем на

sqrt(5-x)-sqrt(1-x)

Получим

5-x-(1-x)=2*(sqrt(5-x)-sqrt(1-x))

4=2*(sqrt(5-x)-sqrt(1-x))

2=sqrt(5-x)-sqrt(1-x)

Два уравнения
sqrt(5-x)+sqrt(1-x)=2
sqrt(5-x)-sqrt(1-x)=2

Cкладываем:

2sqrt(5-x)=4

sqrt(5-x)=2

5-x=4

x=5-4

x=1

Проверка:

Ответ выбран лучшим

3.

ОДЗ: х-2 ≥ 0 ⇒ х ≥ 2

Замена
sqrt(x-2)=u ⇒ x-2=u^2 ⇒ x=u^2+2

∛(11-x)=v ⇒ 11-x=v^3 ⇒ x=11-v^3

Приравниваем правые части

u^2+2=11-v^3

Cистема:
{u+v=1
{u^2+2=11-v^3

4.

Произведение двух множителей равно 0 когда[b] хотя бы[/b] один из них равен 0, а другой не теряет смысла

Первый множитель:

x^2+x-72=0
При этом
[m]\frac{x+9}{x-9} ≥ 0[/m]

Второй множитель :

[m]\sqrt[4]{\frac{x+9}{x-9}} = 0[/m]

Решаем систему:
{x^2+x-72=0 ⇒ x=8 или x=-9

{[m]\frac{x+9}{x-9} ≥ 0[/m] при x=8 неверно, при х=-9 верно.

Решаем уравнение

x+9=0 ⇒ x=-9

О т в е т. -9

5.
Замена

3x^2+5x+1=u
3x^2+5x+8=u+7

sqrt(u+7)-sqrt(u)=1

sqrt(u+7)=1-sqrt(u)

Возводим в квадрат два раза.

Обязательна проверка

Можно умножить на сопряженное, как уравнение

sqrt(u+7)-sqrt(u)=1

Так и исходное уравнение

(3x^2+5x+8)-(3x^2+5x+1)=sqrt(3x^2+5x+8)+sqrt(3x^2+5x+1)

sqrt(3x^2+5x+8)+sqrt(3x^2+5x+1)=7

Cкладываем:
sqrt(3x^2+5x+8)-sqrt(3x^2+5x+1)=1
и
sqrt(3x^2+5x+8)+sqrt(3x^2+5x+1)=7

2sqrt(3x^2+5x+8)=8

sqrt(3x^2+5x+8)=4

Возводим в квадрат, находим корни и делаем проверку

Ответ выбран лучшим

Можно записать систему и так:
{x`(t)=4x-y
{y`(t)=х+2y

Выразим из первого уравнения y
y=4x-x`(t)

Найдем производную

y`=4-x``(t)

и подставим во второе уравнение:

4-x``(t)=x+2*(4x-x`(t))

Решаем второе уравнение:
x``(t)-2*x`(t)+9x-4=0

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
x``(t)-2*x`(t)+9x = 4

Решаем однородное уравнение:
x``(t)-2*x`(t)+9x=0

Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+9=0

D=(-2)^2-4*9=-34

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

vector{n_(1)}=(1;1;-3)

vector{n_(1)}=(1;-1;1)

Далее считаем самостоятельно по формуле: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Первое поле S га, второе поле 2*S га.

С первого поля собрали 156*S ц

Пусть урожайность на втором поле х ц/га

Тогда со второго поля собрали

x*2*S ц

Всего собрали

156*S+2*x*S=(156+2*x)*S

Чтобы найти среднюю урожайность

делим собранный урожай на общую площадь полей:

[m]\frac{(156+2x)S}{S+2S}[/m]

что по условию равно 150

Уравнение:

[m]\frac{(156+2x)S}{S+2S}[/m]=150

[m]\frac{(156+2x)S}{3S}[/m]=150

[m]\frac{156+2x}{3}[/m]=150

156+2x=450

2x=450-156

2x=294

x=147

О т в е т 147 ц/га

3.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Проведем медиану SF до пересечения со стороной АВ в точке К.

SF:SK=2:3

Проведем медиану ST до пересечения со стороной ВC в точке M.

ST:SM=2:3

ΔSFT ∼ ΔSKM

∠ КSM - общий, а стороны заключающие этот угол пропорциональны. ⇒

∠SFT = ∠ SKM

∠ STF= ∠ SMK

Соответственные углы равны, прямые параллельны

5. (прикреплено изображение)

7/28=1/4

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ sin^2 α =1-cos^2 α =1-(7/28)^2=1-(1/4)^2=15/16

3π /2< α <2π

α в четвертой четверти, синус в четвертой четверти имеет знак минус:
sin α =-sqrt(15)/4

sin2 α =2sin α *cos α =2*(1/4)*( - sqrt(15)/4)= - sqrt(15)/8

cos2 α =cos^2 α -sin^2 α =(1/4)^2-(15/16)=-14/16=-7/8

Зачем же отмечать ошибку в решении. Дуга СD найдена верно. Угол САD и угол DBC опираются на дугу СD.

КF=x
FM=y

По теореме Пифагора

x^2+y^2=4^2

S=(1/2) KF*FM

2=(1/2)x*y

Система
{x^2+y^2=16
{x*y=4

{x^2+y^2=16
{2x*y=8

Складываем

x^2+y^2+2x*y=24

(x+y)^2=24

x+y=sqrt(24)

Решаем систему:
{xy=4
{x+y=sqrt(24)

Находим катеты и находим любую функцию угла, хоть синус, хоть тангенс

Сторона куба равна x

Тогда объем куба V=x^3

Кубик разрезали на 512 одинаковых кубиков:

x^3=512 ⇒ [b]x=8[/b]

[b]Значит каждую сторону разрезали на 8 частей [/b]

У куба 6 граней
У куба 8 вершин

У куба 12 ребер

a) cм рис. Но там кубик разрезан на 10 частей.

В условии задачи кубиков с одной окрашенной гранью

6*6*6=216

[b]p=216/512[/b]

Две грани окрашены

12*6=72 кубика.

На каждом ребре 6

Кубиков, у которых три окрашенных грани 8

б)

Кубиков, у которых нет ни одной окрашенной грани

512-216-72-8=( считайте....)

p=

в)
Кубиков, у которых три окрашенных грани 8

p=8/512=1/64 (прикреплено изображение)

Из условия
f(x)=ax^2 для 0 ≤ x ≤ 8/3 и f(x) - четная, с периодом T=16/3

делаем вывод:

f(x)=ax^2 на [-8/3; 8/3]

см. рис. ( для a >0)

На всех отрезках [8/3; 24/3], ...

длины 16/3 график см. рис. 2 (прикреплено изображение)

В основании пирамиды прямоугольник.
Диагонали прямоугольника [i]равны[/i] и в точке пересечения делятся [i]пополам[/i]

АО=ВО=СО=DO

SO ⊥ пл. АВСD

АО - проекция SA.

Значит SA=SB=SC=SD ( равные проекции имеют равные наклонные)

[b]a) [/b]Δ SAB - равнобедренный (SA=SB)

По условию AP ⊥ SB

Проведем SF ⊥ АВ.

Пусть АВ=x

AF=FB=x/2

Δ SFB ∼ APB ( они прямоугольные и ∠ B - общий )

Из подобия пропорциональность сторон:

ВР: AF=AB:SA ⇔ [b]BP=x^2/(2SA)[/b]

Аналогично,

Δ SBС - равнобедренный (SВ=SС)

По условию СQ ⊥ SB

Проведем SК ⊥ ВС.

Пусть ВС=2АВ=2x

ВК=КС=x

Δ SKB ∼ CQB ( они прямоугольные и ∠ B - общий )

Из подобия пропорциональность сторон:

ВQ: BK=BC:SB ⇔ [b]BQ=2x^2/(SB)[/b]

[b]SA=SB[/b]

[red]BP:BQ=1:4[/red] ⇒ BP:PQ=1:3

О т в е т. [b]a) BP:PQ=1:3[/b]

[b]б)[/b]

В треугольнике SBC проведем
PM || CQ

CQ ⊥ SB ⇒ PM ⊥ SB

∠ APM -[i] линейный угол [/i]двугранного угла при ребре SB

Найдем его из треугольника АРМ.

Для этого найдем стороны треугольника АРМ.

По условию б) SB=BC

ВС=2х, SB=2x

Δ SBC - равносторонний, высота CQ - медиана

BQ=QS=x

CQ=2xsqrt(3)/2=xsqrt(3)
(высота равностороннего треугольника со стороной а равна a*sqrt(3)/2 )

Δ ВМР ∼ ВQC (PM || CQ)

BP: BQ=BM:BC

[red]BP:BQ=1:4[/red] ⇒ BM[/b]=BC/4=x/2

[b]PM[/b]=CQ/4=[b]xsqrt(3)/4[/b]

Из прямоугольного Δ АВМ:

АМ^2=AB^2+BM^2=x^2+(x^2/4)=5x^2/4

[b]AM=x*sqrt(5)/2[/b]

Из прямоугольного Δ АРВ ( АВ=х; BP=(1/4)BQ=x/4)

АР^2=AB^2-BP^2=x^2-(x/4)^2=15x^2/16

[b]AP=xsqrt(15)/4[/b]

Итак, по теореме косинусов из Δ АРМ

сos ∠ APM=(AP^2+PM^2-AM^2)/(2*AP*PM)

AP=xsqrt(15)/4

PM=xsqrt(3)/4

AM=x*sqrt(5)/2

сos ∠ APM=-sqrt(5)/15

[b]∠ APM=arccos(-sqrt(5)/15)[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

872 (прикреплено изображение)

869.
D=2R
D=5 см

2R=5

R=2,5 см (прикреплено изображение)

2)
28-23x-x^3=(3-x)^3

28-23x-x^3=27-27x+9x^2-x^3

9x^2-4x-1=0

Квадратное уравнение.

D=

корни:

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0; x ≠ 1
{y>0; y ≠ 1

В условиях ОДЗ:

[m]\frac{1}{log_{x}2}=log_{2}x[/m]
[m]\frac{1}{log_{y}2}=log_{2}y[/m]

[m]log_{2}x+log_{2}y=log_{2}xy[/m]

Cистема принимает вид:
{y=a*(x-3)
{log_(2)xy=1

или

{y=a*(x-3)
{xy=2
{x>0; x ≠ 1
{y>0; y ≠ 1

Подставляем у из первого уравнения во второе:

x*a*(x-3)=2

ax^2-3ax-2=0

При a =0 это уравнение не квадратное.
И оно не имеет решений.

При a ≠ 0

D=(-3a)^2-4*a*(-2)=9a^2+8a

Квадратное уравнение не имеет корней при
D <0

9a^2+8a<0 ⇒

a*(9a+8) < 0 ⇒ a ∈ (-8/9; 0)

Осталось найти те значения параметра а, при которых x =1:

a*(1-2)=2
a=-1

О т в е т.[b] {-1} U (-8/9;0] [/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть куплено х путевок первого типа, у путевок второго типа и z путевок третьего типа

Значит, согласно условию "имеется 2 млн. рублей, которые надо полностью истратить" составим равенство:

21000* х+40 000*y+ 60 000*z=2 000 000

Упростим:

21*х+40*y+60*z=2 000 ⇔

21*x=2 000 -40*y - 60*z

a)

x=[m]\frac{2000-40y-60z}{21}[/m]

x=[m]\frac{20(100-2y-3z)}{21}[/m]

Так как x- целое число, то дробь должна быть сократимой

20 и 21 несократимы,

x=[m]20\cdot \frac{100-2y-3z}{21}[/m]

значит 100-2y-3z должно быть кратно кратно 21

100-2y-3z=21k

k=1

100-21=2y+3z

79=2y+3z

y=[m]\frac{79-3z}{2}[/m]

z - нечетное
z=1; y=38;x=20
z=3;y=35;x=20
z=5; y=32; x=20

Из этих рассуждений должно быть понятно, что х кратно 20 и не может равняться 15

б)

О т в е т. y=2 -наименьшее число путевок второго типа

Если x=0, то
21*0+40*y+60*z=2000 ⇒ 2y+3z=100

z=32;
[b]y=2[/b]

Если x=20, то

21*20+40*y+60*z=2000 ⇒ 2y+3z=79

z=25 ⇒ [b]y=2 [/b]
х=20

Если x=40, то

21*40+40*y+60*z=2000 ⇒ 2y+3z=58

z=18
[b]y=2[/b]

Если x=80
21*80+40*y+60*z=2000 ⇒ 2y+3z=16

z=4
[b]y=2[/b]

x=120 не удовлетворяет условию. (21*120 > 2 000)

в)
t (x;y;z)=15x+27y+45z должно принимать наибольшее значение.
ри условии:
21*х+40*y+60*z=2 000
x>0
y>0
z>0

x,y,z - целые.

Так как x=0 или x=20 или x=40 или x=80, то

t(0;2;32)=15*0+27*2+45*32=[b]1494 дней[/b] - наибольшее
t(20;2;25)=15*20+27*2+45*25=1479 дней
t(40;2;27)=15*40+27*2+45*18=1464 дней
t(80;2;4)=15*80+27*2+45*4=1434 дней

О т в е т.

a) нет
б) y=2
в) 0 первого типа; 2 второго; 32 третьего

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:

f`(x_(o))=k_(касательной)=tg α

α - угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох

Если угол α - острый, то tg α -[i]положительный[/i]

если угол α - тупой, то то tg α -[i]отрицательный[/i]

Касательные в точках x=-2 и х=3
образуют тупые углы с осью с положительным направлением оси Ох

Касательные в точках x=2 и х=4
образуют острые углы с осью с положительным направлением оси Ох

Наибольший острый угол имеет касательная, проведенной в точке х=4

Тангенс этого угла и есть наибольший

И значит наибольшее значение производная имеет в точке х=4

О т в е т. х=4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АКВ - равнобедренный.
∠ ВАК= ∠ КВА=х ° ⇒[b] ∠ В=х ° [/b]

∠ АКС - внешний угол Δ АКВ

Внешний угол равен сумме внутренних, с ним не смежных

∠ ВАК+∠ КВА= ∠ АКС

∠ АКС=2х °

Δ АКС - равнобедренный.
∠ КАС= ∠АКС=2х °

Δ АВС - равнобедренный

[b]∠ А= ∠ С=2х ° [/b]

Сумма углов треугольника АВС равна 180 градусов.

∠ А+ ∠ В+ ∠ С=180 °

2х ° +х ° +2х ° =180 °

5х ° =180 °

х=36 °

О т в е т. ∠ В= ∠ АВС=36 °

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма.

Логарифм - это показатель степени (4), в которую нужно возвести основание ( sin(π/4)), чтобы получить выражение, стоящее под знаком логарифма:
(sin(π/4))^4=x+2

Так как
sin(π/4)=1/sqrt(2),

то

(1/sqrt(2))^4=x+2

1/4=x+2

x=(1/4)-2

x=-7/4

x=-1,75

О т в е т. [b]-1,75[/b]

Ответ выбран лучшим

В колоде 4 дамы и 4 туза.

Испытание состоит в том, что из 52 карт вынули две карты, одна из них дама.

Значит в колоде 51 карта, вероятность вынуть туз равна

p_(1)=4/51

После того как вынутые карты перемешивают и одну из них берут наугад, вероятность вынуть туз равна

p_(2)=1/2

О т в е т. p=p_(1)*p_(2)=(4/51)*(1/2)=[b]2/51[/b]

Ответ выбран лучшим

Высота пирога поставленного в духовку 5 см,
5*1,5 см=7,5 см.

Пирог достигает высоты в 7,5 см при t=0,75 часа

О т в е т. через 0, 75 часа

( cм. рис.) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(цилиндра)=π*R^2*H

Пусть высота кастрюли - H cм.
По условию "диаметр дна равен 30 см". значит R=15 cм

V_(воды в кастрюле)=[b]π*15^2*H[/b]

По условию "диаметром дна новой кастрюли равен 15 см",
значит r=15/2=7,5 cм

v_(новой кастрюли)=π*r^2*H=π*(15/2)^2*H=(1/4)*[b]π*15^2*H[/b]=

=(1/4)V_(воды в кастрюле)

4*v_(новой кастрюли)=V_(воды в кастрюле)

О т в е т. 4 новых кастрюли

Ответ выбран лучшим

Пусть производительность первой линии Х ; второй У; третьей Z

Из условия "производительность всех трёх одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно" получаем уравнение:

[m]X+Y+Z=1,5(X+Y) ⇒ 0,5X+0,5Y=Z [/m]

[m]\frac{1}{X}[/m] час - время выполнения сменного задания первой линией

[m]\frac{1}{Y+Z}[/m] час - время выполнения этого же задания второй и третьей линиями

По условию "сменное задание для первой линии вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия.

Получаем второе уравнение:

[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y+Z}[/m]=4 часа 48 мин

так как 4 часа 48 мин=4 целых (48/60)=4,8 час

[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y+Z}=4,8[/m]

Из условия "это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой линией" получаем:

[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y}=2[/m]

Получаем систему трех уравнений:
{[m]0,5X+0,5Y=Z[/m] ⇒ подставим вместо Z во второе уравнение:
{[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y+Z}=4,8[/m]
{[m]\frac{1}{X}-\frac{1}{Y}=2[/m] выразим [m]\frac{1}{Y}[/m]

{[m]0,5X+0,5Y=Z[/m]
{[m]\frac{1}{Y}-\frac{1}{0,5X+1,5Y}=4,8[/m]
{[m]\frac{1}{Y}=\frac{1}{X}-2[/m] ⇒ [m]\frac{1}{Y}=\frac{1-2X}{X}[/m] ⇒ [m]Y=\frac{X}{1-2X}[/m] подставим во второе уравнение

[m]\frac{1}{X}-\frac{X}{1-2X}=4,8[/m]

[m]\frac{1+X}{X(1-2X)}=4,8[/m]

Пропорция. Перемножаем крайние и средние члены пропорции:

X ≠ 0; X ≠ 0,5

1+Х=4,8*(2Х-Х^2)

4,8X^2-8,6X+1=0

24X^2-43X+5=0

D=43^2-4*24*5=1849-480=1369=37^2

X_(1)=(43-37)/48 или X_(2)=(43+37)/48

X_(1)=1/8 или X_(2)=5/3

1/X_(1)=8 часов

1/Х_(2)=3/5 не удовл условию " вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой линией"

(3/5)часа - 2 часа < 0

О т в е т. [b]8 часов[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть нужно приобрести Х станков первого типа и У станков второго типа.
Тогда согласно условию завод за смену будет производить

f(X;Y)=5 000*X + 3 000*Y ( станков)

Требуется выбрать Х и У так, чтобы произведенное количество станков было наибольшим при ограничениях:

7*X+4*Y ≤ 50

4*X+3*Y ≤ 34

X ≥ 0

Y ≥ 0

X и Y - целые.

Целочисленность позволяет решить задачу перебором всех вариантов.

0 ≤ X ≤ 7

X=7 ⇒ 7*7+4*Y ≤ 50 ⇒Y=0

X=7; Y=0 ⇒

f(7;0)=5 000*7+3 000*0=35 000

X=6⇒ 7*6+4*У ≤ 50 ⇒ Y=2

f(6;2)=5 000*6+3 000*2=[b]36 000[/b]

X=5 ⇒ 7*5+4Y ≤ 50 ⇒ Y=3

f(5;3)=5 000*5+3 000*3=34 000

X=4 ⇒ 7*4+4Y ≤ 50 ⇒ Y=5

f(4;5)=5 000*4+3 000*5=35 000

X=3 ⇒ 7*3+4Y ≤ 50 ⇒ Y=7

f(3;7)=5 000*3+3 000*7=[b]36 000[/b]

X=2 ⇒ 7*2+4Y ≤ 50 ⇒ Y=9 и 4*2+3Y ≤ 34 ⇒ Y=8

f(2;8)=5 000*2+3 000*8=34 000

X=1 ⇒ 7*1+4Y ≤ 50 ⇒ Y=10 и 4*1+3Y ≤ 34 ⇒ Y=10

f(1;10)=5 000+3 000 *10=35 000

О т в е т. 6 станков первого типа и 2 станка второго или
3 станка первого типа и 7 станков второго

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=[b]([/b](x-2)*(x+2)[b])[/b]*[b]([/b](x-1)*(x+1)[b])[/b]

f(x)=(x^2-4)*(x^2-1)

f(x)=x^4-4x^2-x^2+4

f(x)=x^4-5x^2+4

Находим производную:

f`(x)=4x^3-10x

f`(x)=0

4x^3-10x=0

2x*(2x^2-5)=0

x=0 и x= ± sqrt(2,5) - точки возможного экстремума

Отрезку [-1;2] принадлежат точки x=0 и х=sqrt(2,5)
Расставляем знак производной

[-1] __+___ (0) __-___ (sqrt(2,5)) ___+__[2]

x=0 - точка максимума

х=sqrt(2,5) - точка минимума, производная меняет знак с - на +

f(sqrt(2,5))=((sqrt(2,5))^2-4)*((sqrt(2,5))^2-1)=(2,5-4)*(2,5-1)=[b]-2,25[/b]

Значения на концах отрезка:

f(-1)=((-1)^2-4)*((-1)^2-1)=(1-4)*0=0
f(2)=(2^2-4)*(2^2-1)=0*3=0

О т в е т. Наименьшее значение функции на [-1;2] равно
[b]-2,25[/b]

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ:[/red]
{x-2>0 ⇒ x>2
{4^(x)-8 ≠ 0 ⇒ 4^(x) ≠ 8 ⇒ x ≠ log_(4)8; x ≠ log_(2^2)2^3;x ≠ 3/2
{|x|-5 ≠ 0 ≠ |x| ≠ 5 ⇒ x ≠ ± 5

[red]x ∈ (2;5)U(5;+ ∞ )[/red]

Решаем методом интервалов.

Нули числителя:

log_(0,2)(x-2)=0

x-2=0,2^(0)

x-2=1

x=3

Нули знаменателя найдены в ОДЗ

Отмечаем на ОДЗ х=3 заштрихованным кружком ( здесь квадратные скобки)

(2) __-___ [3] _____+______(5) ___-____

x ∈ [3;5)

Ответ выбран лучшим

Применяем признак Даламбера

[m]\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{2^{n+1}((n+1)+1)}{5^{n+1}}}{\frac{2^{n}(n+1))}{5^{n}}}=\lim_{n \to \infty}\frac{2(n+2)}{5(n+1)}=\frac{2}{5}<1[/m]

О т в е т. сходится

x=0; x=4
y=x^2/2; y=4sqrt(x)

см. рис.1

y=0; y=8
x=sqrt(2y); x=y^2/16 см. рис. 2

О т в е т.

[m]=\int_{0}^{8}dy\int_{\frac{y^2}{16}}^{\sqrt{2y}}dx[/m]

(прикреплено изображение)

в) см. объяснение к предыдущему заданию.

{7x^2-3x-4=0 ⇒ D=9+112=121; x=1 или х=-4/7
{|7x+4|*(x^2-1)^2=0 ⇒ x=-4/7 или х= ± 1

О т в е т. -4/7; 1

г) Выражение справа неотрицательно, значит и выражение слева должно быть неотрицательно.

6х-9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/2

Раскрываем знак модуля:

если x < 3, то |x-3|=-(x-3)
если x ≥ 3, то |x-3|=x-3

Итак?
[red]первый случай[/red]

[b]3/2 ≤ х < 3[/b]
уравнение принимает вид:

6x-9= -x^2*(x-3)+x^2

x^3-4x^2+6x-9=0

x=3 - [i]единственный[/i] корень уравнения ( проверить подстановкой),
[i]единственный[/i] так как кривая

y=x^3-4x^2+6x-9 возрастает на (- ∞ ;+ ∞ ),

потому что ее производная

y`=3x^2-8x+6>0 при любом х, дискриминант D=(-8)^2-4*3*6 <0

(см. рис.)

Но х=3 не принадлежит области [b]3/2 ≤ х < 3[/b], на которой рассматривается этот первый случай, поэтому уравнение не имеет корней.

Аналогично во[red] втором случае:[/red]

[b]x ≥ 3[/b]

6x-9=x^2*(x-3)+x^2

x^3-2x^2-6x+9=0

x=3 - корень уравнения, так как принадлежит области[b]x ≥ 3[/b]

Другие корни этой области не принадлежат.

Можно найти производную и показать, что функция на [3;+ ∞ ) возрастает
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x^2-5x+6)^2 ≥ 0 при любом х
|x-3| ≥ 0 при любом х

Cумма двух неотрицательных выражений равна 0, когда каждое из них одновременно равно 0

{(x^2-5x+6)^2=0 ⇒ x^2-5x+6=0 ⇒ D=25-24=1; x=2 или х=3
{|x-3|=0 ⇒ x=3

Cистема имеет решение
х=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

x=40-15
x=25

При a=0

неравенство принимает вид:

x^3-8x^2 ≤ 0

x^2*(x-8) ≤ 0

__-__ [0] ___-__ [8] __+__

x ∈ (- ∞ ;8]

При a ≠ 0

График y=x^3-2*(a+4)x^2+12ax+8a^2

пересекает ось Оу в точке (0;8a^2)

8a^2>0

График имеет вид как на рис. 1 или на рис. 2 или рис. 3
Это можно установить, исследовав функцию на экстремум.

Находим

y`=3x^2-4*(a+4)x+12a

y`=0

3x^2-4*(a+4)x+12a=0

D=16*(a+4)^2-4*3*12a=16a^2+128a+256-144a=16a^2-16a+256=

=16*(a^2-a+16) >0 при любом а, так как дискриминант квадратного трехчлена в скобках отрицательный.

Уравнение
3x^2-4*(a+4)x+12a=0

имеет два корня, а кривая имеет и точку максимума и точку минимума

x_(1)= ..... x_(2)= ... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение имеет вид:
g(x)=f(x)

f(x)=[m]\frac{2x+1}{2x^2+x}[/m]

g(x)=kx

Решаем графически.

f(x)=[m]\frac{2x+1}{2x^2+x}[/m]

Область определения 2x^2+x ≠ 0 ⇒ x*(2x+1) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0; x ≠ -1/2

График

y=f(x) и график y=[m]\frac{1}{x}[/m] совпадают всюду, кроме х=-1/2

Строим график y=[m]\frac{1}{x}[/m] c "выколотой" точкой,

абсцисса которой х=-1/2

y=g(x)

g(x)=kx

График

y=kx - прямая, проходящая через начало координат.

Если построить множество прямых, проходящих через начало координат, то легко заметить, что прямая, проходящая через точку М будет иметь с кривой только одну общую точку.

Подставим координаты этой точки в уравнение:

-2=k*(-1/2)

k=4

Прямая y=4x имеет с кривой одну точку пересечения

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Проекцией прямой A_(1)B на плоскость ВВ_(1)С_(1)С является
прямая ВВ_(1)

Угол А_(1)ВВ_(1)=45 градусов.

2.

АС_(1)- проекция АВ_(1)

АВ_(1)=sqrt(2)

АС_(1)=sqrt(3)

Угол В_(1)АС_(1) находим из прямоугольного треугольника АВ_(1)С_(1)
sin ∠ В_(1)АС_(1) =В_(1)С_(1)/ АС_(1)=1/sqrt(3)

Функция y=3-x монотонно убывает.
Значит каждое значение принимает только в одной точке.

Любому х соответствует только один у

Значит и обратно любому у только один х (прикреплено изображение)

Делим на х:

y`+(1/x)y=-y^2

y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v + u*v` + (1/x)*u*v = - (u*v)^2

u`*v + u*(v`+ (1/x)*v) = - (u*v)^2

Полагаем:
v`+ (1/x)*v=0

тогда

u`*v + u*0 = - (u*v)^2 ⇒[blue] u`=-u^2*v[/blue]

Решаем уравнение v`+ (1/x)*v=0

Это уравнение с разделяющимися переменными:

dv/v=-dx/x

lnv=-lnx

v=1/x

и подставляем в [blue] u`=-u^2*v[/blue]

Решаем еще одно уравнение с разделяющимися переменными

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=44010
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=44009

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой y=kx+b

График пересекает ось Оу в точке (0;-2)

Подставляем координаты точки в уравнение:

0=k*0+b

b=-2

и

уравнение имеет вид:

y=kx-2

Нужно найти такую точку на графике, чтобы ее координаты выражались целыми числами.

График проходит через точку с координатами (5;2)

Подставляем координаты точки в уравнение:

2=k*5-2

4=5*k

k=4/5

О т в е т. [b]y=(4/5)x-2[/b]

2 целых (19/45) < 2 целых (19/38)=2,5

2 целых (19/45)=2 целых (38/90) > 2,4=2 целых 4/10=2 целых 36/90

(прикреплено изображение)

О т в е т. 8 cм

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую

[m]\frac{34}{74}\cdot(\frac{122}{55}-\frac{48}{55})=\frac{34}{74}\cdot \frac{122-48}{55}=\frac{34}{74}\cdot \frac{74}{55}=\frac{34}{55}[/m]

((2x-1)^2+0,5)*((y+2)^2+4)((z-1)^2+2,5)=5

(2x-1)^2=u ≥ 0
(y+2)^2=v ≥ 0
(z-1)^2=t ≥ 0

(u+0,5)*(v+4)*(t+2,5)=5 ⇒

uvt+(1/2)vt+4ut+2t+2,5u+(5/4)v+10u+5=5

uvt+(1/2)vt+4ut+2t+2,5u+(5/4)v+10u=0

Так как
u ≥ 0
v ≥ 0
t ≥ 0

равенство возможно лишь при

u=0; v=0;t=0

(2x-1)^2=0 ⇔ x=1/2
(y+2)^2=0 ⇒ y=-2
(z-1)^2= 0 ⇒ z=1

x+y+z=(1/2)-2+1=-1/2

О т в е т. (-1/2)

sin(π/3)=sqrt(3)/2

cos^2 α -sin^2 α =cos2 α

cos^2(π/6)-sin^2(π/6)=cos(π/3)=1/2

О т в е т. 2sqrt(3) * (sqrt(3)/2) * (1/2)=3/2

t^2-5t ≥ 0 ⇒ t ≤ 0 или t ≥ 5

log_(3)(x^2-16) ≤ 0 ⇒ log_(3)(x^2-16) ≤ log_(3)1 ⇒

[b]0 < x^2-16 ≤ 1[/b]

или

log_(3)(x^2-16) ≥ 5 ⇒ log_(3)(x^2-16) ≥ log_(3)3^(5) ⇒

[b]x^2-16 ≥ 3^(5)[/b]

1000 Н на Луне соответствует 100 кг
10Н на Луне соответствует 1 кг

На Земле в 6 раз больше, т.е 6 кг.

О т в е т. Да

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2+4ax=6a или x^2+4ax=-6a

x^2+4ax-6a=0 или x^2+4ax+6a=0

Два квадратных уравнения.

Чтобы имело три корня, должно быть следующее

либо первое уравнение имеет два корня ( значит его дискриминант положительный, а второе - один, т.е его дискриминант равен 0)

либо наоборот

{16a^2+24a >0 ⇒ a<-3/2 или a >0
{16a^2-24a=0 ⇒ a=3/2; a=0

[b]a=3/2[/b]

или

{16a^2+24a =0 ⇒ a=-3/2; a=0
{16a^2-24a>0 ⇒ a<0 или a>3/2

[b]a=-3/2[/b]

О т в е т. При а= ± 3/2

Ответ выбран лучшим

Это квадратное уравнение
Ax^2+Bx+C=0

A=a^2-6a+8
B=a^2-4
C=10-3a-a^2

Квадратное уравнение имеет 1 или 2 корня или вообще не имеет корней.

Более двух корней не может быть

Если
D=B^2-4AC>0 - два корня

Если D=0 один

Если D < 0 не имеет корней

Ответ выбран лучшим

a^2-7a+12=0 ⇒ D=1; корни 3 и 4

О т в е т. 3 и 4

Ответ выбран лучшим

3х–5=10

3x=10+5

3x=15

x=5

–х+6,5=х+0,5

-x-x=0,5-6,5

-2x=-6

x=3

12–х=3(х–4)

12-x=3x-12

-x-3x=-12-12

-4x=-24

x=6

Х²–2=х(х–0,2)

x^2-2=x^2-0,2x

-2=-0,2x

x=10

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

xу'+у=x+1- линейное [b]неоднородное[/b] первого порядка.

Делим на х

[b]y`+(1/x)y=(x+1)/х[/b] (#)

Решаем однородное:

y`+(1/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y=-dx/x

∫ dy/y= -∫ dx/x

ln|y|=-ln|x|+ lnC

y=C/x

Метод вариации

y=C(x)/x

y`=(C`(x)*x-C(x))/x^2

Подставляем в неоднородное (#) :

(C`(x)*x-C(x))/x^2 +(1/x)y=(x+1)/х

C`(x)/x=(x+1)/х

C`(x)=x+1

C(x)= ∫ (x+1)dx=(x^2/2)+x+c

y=C(x)/x

y=(x/2)+1+(c/x)

[b]y=y=(x/2)+1+(c/x)[/b] - о т в е т.

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''+4y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0

k_(1,2)=± 2i - корни комплексные

α=0
β=2

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(αх)*(С_(1)*cosβx+C_(2)*sinβx))

В данном случае

y_(одн.)=e^(0*х)*(С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x)

y_(одн.)=С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x

Находим общее решение неоднородного уравнение

y=y_(одн)+у_(част)

Так как правая часть содержит 3cosx

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Acosx+Bsinx

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=-Asinx+Bcosx

y``_(част)=-Acosx-Bsinx

подставляем в данное уравнение:

-Acosx-Bsinx+4*(Acosx+Bsinx)=3cosx

3Acosx+3Bsinx=3cosx

A=1

B=0

О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)

[b]y=С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x+cosx[/b]

При начальных условиях
y(0)=1 y'(0)=2
найдем значения коэффициентов
C_(1) и С_(2)

y(0)=1, т.е

[b]1=С_(1)*cos0+C_(2)sin0+cos0[/b]

C_(1)=1

y`=(С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x+cosx)`

[blue]y`=-2*С_(1)sinx+2*C_(2)*cos2x-sinx[/blue]

y'(0)=2

[blue]2=-2*С_(1)*sin0+2*C_(2)*cos0-sin0[/blue]

2C_(2)=2

C_(2)=1

Решение при начальных условиях:

[b]y=cos2x+sin2x+cosx[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть тупой угол В
Тогда большая диагональ параллелограмма АС
АС=2^2+7^2-2*2*7*cos120^(o)=4+49+14=67

По теореме Пифагора диагональ
AC^2_(1)=AC^2+CC_(1)^2=67+6^2=67+36=103

AC_(1)=sqrt(103)

tg α =CC_(1)/AC=6/sqrt(67)

Уравнение x_(3)=-8/13 можно записать: 13x_(3)=-8

Так можно записать все строчки без дробей. Умножаем все члены строки на знаменатель (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)

dz/dt=z`-(t)=(2*t^(-1)+t^(4/3)+π^2)`=

Правила:
1 ° производная суммы равна сумме производных;
2 ° постоянный множитель можно выносить за знак производной
и
применяем формулу (t^(α) )`= α ·t^( α –1)

=2*(-1)*t^(-2)+(4/3)*t^(1/3)+0=

=-(2/t^2)+(4/3)∛t

Cм. приложение

2)
y`=2(x^(-1/3))`+(1/2)(x^(1/4))`-(1/4)*(x^(-2))`+(sqrt(5))`=

=2*(-1/3)*x^(-4/3)+(1/2)*(1/4)*x^(-3/4)+(2/4)x^(-3)+0=

=-2/(3x∛x)+1/(8* корень четвертой степени(x^3))+1/(2*x^3)

см. приложение

3)
По формул производная дроби:
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

f`(x)=[b]([/b](2a-x)`*(2a+x)-(2a-x)*(2a+x)`[b])[/b]/(2a+x)^2

f`(x)=[b]([/b]-1*(2a+x)-(2a-x)*1[b])[/b]/(2a+x)^2

f`(x)= - 4a/(2a+x)^2

f`(a)= - 4a/(2a+a)^2= - 4/(9a)

4)
v(t)=s`(t)=((1/4)t^4–4t^3+16t^2)`=

Правила:
1 ° производная суммы равна сумме производных;
2 ° постоянный множитель можно выносить за знак производной

=(1/4)·(t^4)`–4·(t^3)`+16·(t^2)`=

применяем формулу (t^(α) )`= α ·t^( α –1)

=(1/4)·4·t^3–4·3·t^2+16·2·t=

=t^3–12t^2+32t

v(t)=0 ⇒ t^3–12t^2+12t=0 ⇒ t·(t2–12t+12)=0

t_(1)=0 или t^2–12t+32=0 D=122–4·32=144–128=16

t_(2)=(12–4)/2=4 или t_(3)=(12+4)/2=8
[b]
О т в е т. 0; 4; 8[/b]

5)

f`(x_(o))=tg α

α – угол, который образует касательная к кривой y=f(x) в точке с абсциссой хо с положительным направлением оси Ох

По условию
α =135 °

tg135 ° =–1

f`(x)=x`·((1/4)·x+1)+x·((1/4)·x+1)`

f`(x)=(1/4)·x+1+x·(1/4)

f`(x)=(1/2)·x+1

f`(xo)=(1/2)·xo+1

Уравнение:

(1/2)xo+1=–1

(1/2)xo=–2

xo=–4

y_(o)=(-4)*((1/4)*(-4)+1)=(-4)*0=0

О т в е т. [b](-4;0)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0=log_(x-1)1

log_(x-1)9 > log_(x-1)1

1)
{0<x-1<1
{9<1- неверно

Cистема не имеет решений

2)
{x-1>1 ⇒ х > 2
{9>1-верно
Система имеет решение :х ∈ (2;+ ∞ )

О т в е т. (2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

1)[m]85\frac{1}{4}+18\frac{3}{20}=85\frac{5}{20}+18\frac{3}{20}=103\frac{8}{20}=103\frac{2}{5}[/m] ц собрали со второго участка.

2)[m]103\frac{2}{5}+25\frac{4}{25}=103\frac{10}{25}+25\frac{4}{25}=128\frac{14}{25}[/m] ц собрали с третьего участка

3) [m]85\frac{1}{4}+103\frac{2}{5}+128\frac{14}{25}=317\frac{21}{100}[/m] ц собрали с трёх участков

или в десятичных дробях

[m]85\frac{1}{4}=85,25[/m]
[m]103\frac{2}{5}=103,4[/m]
[m]128\frac{14}{25}=128,56[/m]

8
а) Решаем графически:
y=20^(x)+21^(x) - возрастающая на (- ∞ ;+ ∞ ) функция., как сумма возрастающих y=20^(x) и y=21^(x)
(график красного цвета)

y=29^(x) - возрастающая на (- ∞ ;+ ∞ ) функция
(график синего цвета)

При x=0
20^(0)+21^(0)=2

29^(0)=1

2>1

График красного цвета выше графика синего цвета

Кривые не пересекаются.

Уравнение не имеет корней.

б)
Решаем графически:

y=5^(-x) - убывающая на (- ∞ ;+ ∞ ) функция

y=log_(5)(x+6)+4 - возрастающая на (-6 ;+ ∞ ) функция

Одна точка пересечения.

Подбором ее находим: x=-1

5^(-(-1))=log_(5)(-1+6)+4

5=5 - верно

Других корней нет

О т в е т. x=-1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла

Первый множитель:

x^2+2x-35=0 ⇒ x=-7 или x=5

При этом подкоренное выражение должно быть неотрицательно.

Но так как в условии сказано, что
-7 и 5 не являются корнями данного уравнения,
значит при этих значениях х подкоренное выражение отрицательно:

Так как

2^(x^2+2x-35)=2^(0)=1

тогда подкоренное выражение имеет вид:

1+a^2-9a-53

Решаем неравенство
1+a^2-9a-53 < 0

и получаем ответ

Ответ выбран лучшим

1=log_(x)x
4=4*1=4*log_(x)x=log_(x)x^4

Неравенство:

log_(x)(2x^2+8) ≤ log_(x)x^4

Два случая:
1)
{0<x<1 ⇒ функция убывает
{2x^2+8 ≥ x^4

2)
{x>1 ⇒ функция возрастает
{2x^2+8 ≤ x^4

или метод рационализации логарифмических неравенств:

log_(x)(2x^2+8) ≤ log_(x)x^4 ⇒ x > 0 ; x ≠ 1 и (x-1)*(2x^2+8-x^4) ≤ 0

Ответ выбран лучшим

x^2-(a-4)-4a=0
D=(a-4)^2-4*(-4a)=a^2-8a+16+16a=a^2+8a+16=(a+4)^2
x_(1)=-4; x_(2)=a

x^2-(a-4)-4a=(x+4)(x-a)

x^2-(a+6)+6a=0
D=(a+6)^2-4*6a=a^2+12a+36-24a=a^2-12a+36=(a-6)^2
x_(3)=a; x_(4)=6

x^2-(a+6)+6a=(x-a)(a-6)

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{(x+4)(x-a)}{(x-a)(x-6)} < 0[/m] ⇒ x ≠ a

[m]\frac{x+4}{x-6}<0[/m]

x ≠ a

__+__ (-4) __-__ (6) __+___

Ответ (-4;6), а надо объединение двух интервалов. Значит х=а

должна находиться на (-4;6)

тогда ответ[b] (-4;а)U(a;6)[/b] и есть объединение двух

непересекающихся интервалов

От в е т. -4 < a < 6

Ответ выбран лучшим

BD ⊥ AC

Прямая, перпендикулярная высоте BD, параллельна АС

Δ MBP ∼ ΔABC

ВМ:ВА=ВР:ВС

ВР:ВС=9:(9+18)=9:27=1:3

BA=21

S_( Δ MBP):S_( ΔABC)=1:9 (прикреплено изображение)

ОДЗ: g>0

Замена переменной:
log_(2)g=t

t^2>5t-6

Решаем уравнение: t^2-5t+6=0

D=25-4*6=1

корни:
t_(1)=2; t_(2)=3;

Решение квадратного неравенства t^2-5t+6 >0
t< 2 или t > 3

Обратная замена:

log_(2)g < 2 или log_(2)g >3

log_(2)g < 2*log_(2)2 или log_(2)g >3*log_(2)2

log_(2)g < log_(2)2^2 или log_(2)g >log_(2)2^3

C учетом ОДЗ

0 < g < 4 или g > 8
О т в е т. (0;4) U (8;+ ∞ )

ОДЗ: [red]s > 0[/red]

Замена переменной:
log_(4)s=t

2t^2+5t+2 ≤ 0

Решаем уравнение:

D=25-4*2*2=9

корни:
t_(1)=(-5-3)/4=-2; t_(2)=(-5+3)/4=-1/2;

Решение квадратного неравенства
-2 ≤ t ≤- 1/2

Обратная замена:

-2 ≤ log_(4)s ≤ -1/2

-2*log_(4)4 ≤ log_(4)s ≤ -1/2*log_(4)4

log_(4)4^(-2) ≤ log_(4)s ≤ log_(4)4^(-1/2)

log_(4)1/16 ≤ log_(4)s ≤ log_(4)1/2

[b]1/16 ≤s ≤1/2[/b]

входит в ОДЗ

О т в е т. 1) [1/16;1/2]

[i]Замена переменной[/i]:
x^2+2x=t

[m]t+\frac{5}{t-3}<0[/m]

[m]\frac{t^2-3t+5}{t-3}<0[/m]

t^2-3t+5 > 0 при любом t, так как D=9-4*5<0

t-3 < 0

x^2+2x-3 < 0

(x-1)(x+3) <0

___ (-3) __[green]-[/green]__ (1) ____

О т в е т. (-3;1)

[i]Замена переменной[/i]:

[m]\frac{10}{5x-21}=t[/m] ⇒

[m]\frac{5x-21}{10}=\frac{1}{t}[/m]

[red]t ≠ 0[/red]

[m](t+\frac{1}{t})^2\leq \frac{25}{4}[/m]

[m](t+\frac{1}{t})^2-\frac{25}{4}\leq 0[/m]

Применяем формулу a^2-b^2=(a-b)(a+b)

[m](t+\frac{1}{t}-\frac{5}{2})(t+\frac{1}{t}+\frac{5}{2})\leq 0[/m] ⇒

[red]t ≠ 0[/red]

(2t^2-5t+2)[blue](2t^2+5t+2)[/blue] ≤ 0

(2t-1)(t-2)*[blue](2t+1)(t+2)[/blue] ≤ 0

__+__ [-2] _-_ [-1/2] __+__ [1/2] _-_ [2] _+__

[b]-2 ≤ t ≤ -1/2[/b] или [b] 1/2 ≤ t ≤ 2[/b]

-2 ≤ [m]\frac{10}{5x-21}[/m]≤ -1/2 или 1/2 ≤ [m]\frac{10}{5x-21}[/m] ≤ 2

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

1)
{ [m]\frac{10}{5x-21}[/m]≤ -1/2
{ [m]\frac{10}{5x-21}[/m] ≥ 2

или

2)
{ [m]\frac{10}{5x-21}[/m]≤2
{ [m]\frac{10}{5x-21}[/m] ≥1/ 2

Решаем каждую систему и получаем ответ

dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy

z`_(x)=-16x
z`_(y)=+40/(1+y^2) -4y

[b]dz=(-16x)*dx+(40/(1+y^2)-4y)*dy[/b]

z`_(x)(M_(o))=-16*1=-16

z`_(y)(M_(o))=40/(1+(-2)^2)-4*(-2)=(40/5)+8=16

dx=0.01
dy=0.02

dz(M_(o))=-16*0,01+16*0,02=16*0,01=0,16

x+2=t ⇒ x=t-2

f(t)=5*(t-2)^2-9*(t-2)-8

f(f)=5t^2-29t+30

B=-29
C=30

Повторные испытания с двумя исходами.

0,2%=0,2/100=0,002

p=0,002
n=1000

n- велико, p- мало

np=1000*0,002=2

λ =np=2

m=6

Применяем формулу Пуассона.

P_(1000)(6)= ((2)^(6)/6!)e^(-6)=0,0120 ( cм таблицу в приложении 1 выделено красным цветом)

О т в е т. (прикреплено изображение)

z_(1)=2
z_(2)=2*((-1/2)+isqrt(3)/2)=-1+isqrt(3)

z=z_(1)+z_(2)=2+(-1+isqrt(3))=1+isqrt(3)

|z|=sqrt(1^2+(sqrt(3))^2)=2

cos φ =1/2

sin φ =sqrt(3)/2 ⇒

φ - в первой четверти

φ =π/3

z=2*(cos(π/3) + isin(π/3))- тригонометрическая форма комплексного числа z

Что еще надо вычислить непонятно

Ответ выбран лучшим

[m]z`_{x}=\frac{1}{1+(5x-y)^2}\cdot(5x-y)`_{x}=\frac{5}{1+(5x-y)^2}[/m]
[m]z`_{y}=\frac{1}{1+(5x-y)^2}\cdot(5x-y)`_{y}=-\frac{1}{1+(5x-y)^2}[/m]

d^2z/dx^2=[m]z``_{xx}=(z`_{x})`_{x}=(\frac{5}{1+(5x-y)^2})`_{x}=-\frac{5}{(1+(5x-y)^2)^2}\cdot (1+(5x-y)^2)`_{x}=[/m]

[m]=-\frac{50\cdot(5x-y))}{(1+(5x-y)^2)^2}[/m]

d^2z/dy^2=[m]z``_{yy}=(z`_{y})`=\frac{1}{(1+(5x-y)^2)^2}\cdot(1+(5x-y)^2)`_{y}=-\frac{2\cdot(5x-y))}{(1+(5x-y)^2)^2}[/m]

Ответ выбран лучшим

АВСD- квадрат
АВ=ВС=СD=AD=a

АС=BD=asqrt(2)

NA=NB=NC=ND ⇒

Δ ANB= ΔBNC=ΔCND= ΔAND - равнобедренные

∠ АNB= ∠ BNC= ∠ CND= ∠ AND= α

NA=NB=NC=ND =[m]\frac{a}{2sin\frac{\alpha }{2}}[/m]

Δ АNF - равнобедренный
АF=NF=R

FK ⊥ AN

FK- медиана и биссектриса.

AK=KN=NA/2

Из подобия прямоугольных треугольников NKF и NOA
NK:NO=[b]NF[/b]:NA ⇒ [b]R[/b]=NF=NK*NA/NO=[b]NA^2/(2NO)[/b]

NO=H_(пирамиды)
NO^2=NA^2-AO^2=[m](\frac{a}{2sin\frac{\alpha }{2}})^2-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=\frac{a^2(1-2sin^2\frac{\alpha}{2})}{4}[/m]

NO=[m]\frac{a\sqrt{1-2sin^2\frac{\alpha }{2}}}{2}[/m]

R=[m]\frac{a}{4sin^2\frac{\alpha }{2}\cdot\sqrt{1-2sin^2\frac{\alpha }{2}}}[/m]- о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов из Δ АВС

AB^2=18^2+18^2-2*18*18*cos120^(o)

AB=18sqrt(3)

Δ АВС - равнобедренный.
Вычислим высоту CT

T- cередина АВ
( в равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является одновременно и медианой и биссектрисой)

СТ=СА/2 ( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы СА

СT=9

S_( Δ ABC)=AB*CT/2=18sqrt(3)*9/2=[b]81sqrt(3)[/b]

S_(грани АКLB)=AB*AK

AK=S_(грани АКLB) : AB=14/18=[b]7/9[/b]

ОДЗ: d>0

Замена переменной:
log_(2)d=t

t^2>5t-6

Решаем уравнение: t^2-5t+6=0

D=25-4*6=1

корни:
t_(1)=2; t_(2)=3;

Решение квадратного неравенства t^2-5t+6 >0
t< 2 или t > 3

Обратная замена:

log_(2)d < 2 или log_(2)d >3

log_(2)d < 2*log_(2)2 или log_(2)d >3*log_(2)2

log_(2)d < log_(2)2^2 или log_(2)d >log_(2)2^3

log_(2)d < log_(2)4 или log_(2)d >log_(2)8

C учетом ОДЗ

0 < d < 4 или d > 8
О т в е т. (0;4) U (8;+ ∞ )

ОДЗ: [red]v > 0[/red]

Замена переменной:
log_(4)v=t

2t^2+5t-3 ≤ 0

Решаем уравнение:

D=25-4*2*(-3)=49

корни:
t_(1)=(-5-7)/4=-3; t_(2)=(-5+7)/4=1/2;

Решение квадратного неравенства
-3 ≤ t ≤ 1/2

Обратная замена:

-3 ≤ log_(4)v ≤ 1/2

-3*log_(4)4 ≤ log_(4)v ≤ 1/2*log_(4)4

log_(4)4^(-3) ≤ log_(4)v ≤ log_(4)4^(1/2)

log_(4)1/64 ≤ log_(4)v ≤ log_(4)2

[b]1/64 ≤v ≤ 2[/b]

входит в ОДЗ

О т в е т. 2) [1/64;2]

p=0,52
q=1-p=1-0,52=0,48

Повторные испытания с двумя исходами ( вероятность появления события в одном испытании р, вероятность непоявления q)

"Не более трех" - значит 0,1,2,3

По формуле Бернулли

[b]P_(n) (k)=C^(k)_(n)p^(k)*q^(n-k)[/b]

P_(7)(0 ≤ k ≤ 3)=C^(0)_(7)p^0*q^7+C^(1)_(7)p^1*q^6+C^(2)_(7)p^2*q^5+C^(3)_(7)p^3*q^4=

=1*0,48^(7)+7*0,52*0,48^(6)+21*0,52^(2)*0,48^(5)+35*0,52^(3)*0,48^(4)=

cчитайте....

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=(x^2-xy+y^2+x+y+2)`_(x)=2x-y+1
z`_(y)=(x^2-xy+y^2+x+y+2)`_(y)= - х+2y+1

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x-y+1=0
{-х+2y+1=0 ⇒x=2y+1
и подставим в первое уравнение:

2*(2y+1)-y+1=0
3y= - 3
y= - 1

x=2*(-1)=1= - 1

Исследуем точку M(-1;1) на экстремум

Находим вторые частные производные:
z``_(xx) = 2
z``_(xy) = -1
z``_(yy) = 2

А=z``_(xx)(М) = 2
B=z``_(xy)(М) = - 1
C=z``_(yy)(М) = 2

Δ=AC-B^2=2*2-(-1)^2>0

точка M является точкой экстремума
Так как
А=z``_(xx)(M) = 2 >0,
то М - точка минимума

z_(наим)=z(-1;1)= (-1)^2-(-1)*1+1^2+(-1)+1+1 = cчитаем самостоятельно...

1)161+34=195 ц собрали со второго поля
2)161+195=356 ц собрали с двух полей

3)356 ц=35600 кг

35600 : 80 = 445 [i]мешков[/i]

4) 445 - 280 =165 [i]мешков[/i]

5) 280*80=22400 кг[i] отправили[/i] на элеватор

6) 165*80=13200 кг [i]оставили[/i] на семена

Проверка 22400 +13200=35600 кг = 356 ц собрали

Нестрогое неравенство состоит из [i]равенства [/i]
и
[i]строгого неравенства[/i]

[green]Равенство[/green]:
[m]\frac{\sqrt{x^2-1}(x^2-3x+18)(4x^2-4x+1)}{(x^2-5x+6)(x^2-3x+14)}= 0[/m]

Дробь равна 0, когда числитель равен 0, т.е

sqrt(x^2-1)*(x^2-3x-18)*(4х^2 – 4х +1)=0

⇒

Произведение нескольких множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом не теряют смысла.

sqrt(x^2-1)=0 ⇒ x^2-1=0 ⇒ x^2=1 ⇒ x= ± 1
x^2-3x-18=0 ⇒ D=(-3)^2-4*(-18)=81; корни x=-3; x=6

при этих значениях sqrt(x^2-1) имеет смысл
4х^2 – 4х +1=0 ⇒ =(2x-1)^2= 0 ⇒ х=0,5

при х=0,5
sqrt(x^2-1) не имеет смысла

О т в е т. равенство выполняется при [b]х= ± 1; x=-3; x=6[/b]

[green]Строгое неравенство[/green]:
[m]\frac{\sqrt{x^2-1}(x^2-3x+18)(4x^2-4x+1)}{(x^2-5x+6)(x^2-3x+14)}< 0[/m]

sqrt(x^2-1) не определено при x^2-1 < 0,
т.е [i] не имеет смысла [/i] при [green] -1 < x < 1[/green]

Квадратные трехчлены:
x^2-3x-18=(x+3)*(x-6) ( cм приложение 1)
x^2-5x+6=(x-2)*(x-3)

4х^2 – 4х +1=(2x-1)^2 ≥ 0 при любом х

3x^2-8x+14>0 при любом х, так как D=(-8)^2-4*3*14 < 0

остается решить неравенство на (- ∞ ;-1)U(1;+ ∞ ):
[m]\frac{(x+3)(x-6)}{(x-2)(x-3)}< 0[/m]

Решаем методом интервалов:
Находим нули числителя:x=-3; x=6
Находим нули знаменателя:x=2;x=3

Расставляем знаки:

_+__ (-3) __[red]-[/red]__ (2) _+_ (3) __[red]-[/red]___ (6) _+__

C учетом х ∈ (- ∞ ;-1)U(1;+ ∞ ): получаем ответ строгого неравенства

(-3;-1)U(1;2)U(3;6)

Объединяем оба ответа:

[b](-3;-1]U[1;2)U[3;6][/b]- о т в е т

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем
(sin α +cos α )^2=9/5

sin^2 α +2sin α *cos α +cos^2 α =9/5

так как sin^2 α +cos^2 α = 1, то

2sin α *cos α =(9/5)-1

2sin α *cos α =4/5

так как sin2 α =2sin α *cos α , то

sin2 α =4/5

sin^22 α +cos^22 α =1 ⇒ cos^22 α =1-sin^22 α =1-(4/5)^2=1-(16/25)=9/25

cos2 α = ± 3/5

так как по условию:

π/4 < α < π/2 ⇒ π/2 < 2 α < π

это вторая четверть, во второй четверти

косинус имеет знак минус:

cos2 α = - 3/5

Так как

sin4 α =2*sin2 α *cos2 α =2*(4/5)* ( - 3/5)= - 24/25 - о т в е т.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) 2*2-3*(-5)=4+15=19

б)
Раскрываем определитель по правилу треугольника:
=1*4*6+3*7*1+4*2*5-4*4*1-1*7*5-3*2*6=

в)
=d*e*d+e*d*e+f*f*f*-f*e*e-d*f*f-e*f*d=

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

|sin2x| ≤ 1
|sin(x+(π/4))| ≤ 1

⇒ sin2x·sin(x+(π/4))=1 ⇒

{sin2x=1 ⇒ 2x=π/2+2πn, ⇒ x=(π/4)+πn, n ∈ Z
{sin(x+(π/4))=1 ⇒ x+(π/4)=2πk, k ∈ Z⇒ x=(π/4)+2πk, k ∈ Z

ответ первой системы x=(π/4)+2πk, k ∈ Z

Или

{sin2x=–1 ⇒ 2x=–(π/2)+2πn, ⇒ x=–(π/4)+πn, n ∈ Z
{sin(x+(π/4))=–1 ⇒x+(π/4)=π+2πk, k ∈ Z⇒x=π-(π/4)+2πk, k ∈ Z

ответ второй системы x=π-(π/4)+2πk=(3π/4)+2πk, k ∈ Z

О т в е т. (π/4)+2πk, k ∈ Z;(3π/4)+2πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Здесь не применяют метод Крамера.

Это определитель третьего порядка.

Его считают раскладывая по любой строке или столбцу

Или по правилу треугольника.

3*х*4-1*2*2-х*1*х-х*х*2-3*2*х-1*1*4=0

12х-4-x^2-2x^2-6x-4=0

-3x^2+6x-8=0

3x^2-6x+8=0

D=36-4*3*8<0

Нет действительных корней

Ответ выбран лучшим

б) При сложении и вычитании матрицы должны иметь одинаковый размер
Сумму и разность найти нельзя.
Только произведение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|sin2x| ≤ 1
|cosx| ≤ 1

⇒ sin2x*cosx=1 ⇒

{sin2x=1 ⇒ 2x=π/2+2πn, ⇒ x=(π/4)+πn, n ∈ Z
{cosx=1 ⇒ x=2πk, k ∈ Z

система не имеет решений

Или

{sin2x=-1 ⇒ 2x=-(π/2)+2πn, ⇒ x=-(π/4)+πn, n ∈ Z
{cosx=-1 ⇒ x=π+2πk, k ∈ Z

система не имеет решений

О т в е т. Нет решений

P(3)=3^3+5*3^2+3*3+3p=27+45+15+3p=[b]87+3p[/b] о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскрываем скобки справа. Приводим подобные слагаемые.
Два многочлена равны, если равны степени и коэффициенты при одинаковых степенях, т.е
2x^2+7x+9=ax^2+bx+c ⇔ 2=a; 7=b;9=c

составляете систему и решаете.

Второй способ. Делим данный многочлен на первый множитель.

Cм. приложение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВС - равносторонний.
AD- высота и медиана.

AD^2=24^2-12^2=432

AD=12sqrt(3)

MD^2=AM^2+AD^2=7^2+432=481
MD=sqrt(481)
MD- медиана и высота Δ ВМС (МВ=МС- равные наклонные, так как их проекции АВ=АС)

S_( Δ BMC)=(1/2)*BC*MD=(1/2)*24*sqrt(481)=[b]12sqrt(481)[/b]

(прикреплено изображение)

14=2*7

Значит, в записи присутствуют цифры 2;7

Остальные цифры - любые от 1 до 9 ( 0 быть не может нигде, иначе произведение 0)

С цифрами 2 и 7

27####
#27###
##27##
###27#
####27

или

72####
#72###
##72##
###72#
####72

[b]10*9*9*9*9=[/b]

Но могут быть еще числа
содержащие
4 и 7 и не содержащие 2

[b]10*8*8*8*8[/b]

6 и 7 и не содержащие 2 и 4

[b]10*7*7*7*7[/b]

8 и 7 и не содержащие 2; 4; 6

[b]10*6*6*6*6[/b]=

Найти сумму

2^x=t
t>0
2^(-x)=1/t

Квадратное уравнение

2t^2+pt+2q=0

D=p^2-4*2*2q=p^2-16q

D>0

p^2-16q>0

t_(1)=(-p-sqrt(p^2-16q))/4; t_(2)=(-p+sqrt(p^2-16q))/4;

[b]Обpатная замена[/b]:
2^x=(-p-sqrt(p^2-16q))/4;2^x=(-p+sqrt(p^2-16q))/4;

По условию "[i]уравнение имеет два различных корня[/i]", значит каждое из уравнений:
2^x=(-p-sqrt(p^2-16q))/4;2^x=(-p+sqrt(p^2-16q))/4;

имеет корень, стало быть правые части неотрицательны.

x_(1)=log_(2)(-p-sqrt(p^2-16q))/4 x_(2)=log_(2)(-p+sqrt(p^2-16q))/4

По условию

x_(1)+x_(2)=4 ⇒

log_(2)(-p-sqrt(p^2-16q))/4+log_(2)(-p+sqrt(p^2-16q))/4=4

Применяем свойство суммы логарифмов ⇒

q=1/16

x^2-5x-300=(x-20)*(x+15)

Значит корни второго квадратного трехчлена
x^2-px+q не -15 и не 20

Ответ выбран лучшим

([b]x-a[/b])^4-(2a+4)([b]x-a[/b])^2+2a+3=0
биквадратное уравнение
D=(2a+4)^2-4*(2a+3)=4a^2+16a+16-8a-12=4a^2+8a+4=

=4*(a^2+2a+1)=4*(a+1)^2 ≥ 0

(x-a)^2=(2a+4-2(a+1))/2; (x-a)^2=(2a+4+2(a+1))/2;

(x-a)^2=1; (x-a)^2=2a+3

x-a= ± 1; x-a= ± sqrt(2a+3)

x=a ± 1; x=a ± sqrt(2a+3)

Осталось учесть условие: положительных корней больше, чем отрицательных и выбрать ответ

Ответ выбран лучшим

AB ≠ BA не выполняется свойство коммутативности умножения (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) 3*2-4*(-3)=6+12=18

б)
Раскрываем определитель по правилу треугольника:
=2*4*5+(-3)*7*1+4*2*6-4*4*1-2*7*6-(-3)*2*5=

в)
=e*f*e+d*d*e+f*d*d-f*f*e-e*d*d-d*d*e=

Ответ выбран лучшим

Раскрываем определитель по правилу Саррюса ( правило треугольника):
12x+10+x^2-5x^2-4x-6=0

-4x^2+8x+4=0

x^2-2x+1=0

(x-1)^2=

x=1

Ответ выбран лучшим

М(х;у)

АМ=sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)
BM=sqrt((x+3)^2+(y-3)^2)

АМ^2+BM^2=20

(x-1)^2+(y-1)^2+(x+3)^2+(y-3)^2=20

Упрощаем, раскрываем скобки:

2x^2+4x+2y^2-8y=0

x^2+2x+y^2-4y=0

Выделим полные квадраты:

(x+1)^2+(y-2)^2=5 - уравнение окружности с центром в точке (-1;2)
R=sqrt(5)

(прикреплено изображение)

Раскрываем определитель по правилу Саррюса ( правило треугольника):
6x^2+21+8x-4x-7x^2-36=0

-x^2+4x-15=0

x^2-4x+15=0

D=16-4*15 < 0

Нет корней

3.
Вводим в рассмотрение гипотезы:
Н_(1)- стекло изготовлено на первой фабрике
p(H_(1))=0,45;
Н_(2)- стекло изготовлено на второй фабрике
p(H_(2))=0,55

А- "стекло бракованное"
p(A/H_(1))=0,03
p(A/H_(2))=0,01

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(1))*p(A/H_(1))=

=0,45*0,03+0,55*0,01= считаем

vector{C}^(4)_(7)- сочетания с повторениями.

=C^(4)_(7+4-1)=C^(4)_(10)=10!/(4!*6!)=(7*8*9*10)/(1*2*3*4)- cчитайте

Четных 5

n=10
m=5

p=5/10=1/2

1-0,06=0,94 - вероятность того что исправна

p=0,94*0,94= считайте...

n=25
m=25-10=15
p=15/25=3/5

24*23=

x^2-8x+86 принимает наименьшее значение в вершине
x_(o)=4

4^2-8*4+86=70 - это наименьшее значение.

Обратная функция ( дробь) принимает в этой точке наибольшее значение (1/70)

4y^2+12y+25 принимает наименьшее значение в вершине
x_(o)=-12/8=-1,5

4*(-1,5)^2+12*(-1,5)+25=16 - это наименьшее значение.

Обратная функция ( дробь) принимает в этой точке наибольшее значение (1/16)

Выражение принимает наибольшее значение
(1/70)+(1/16)= считайте....

Ответ выбран лучшим

{x^2-4>0
{log_(3)(x^2-4)-1>0 ⇒ log_(3)(x^2-4)>log_(3)3
{log_(0,5)(log_(3)(x^2-4)-1) ≥ -1log_(0,5)0,5 =log_(0,5)2 ⇒ функция убывает

{x^2-4>0
{x^2-4>3 ⇒x^2-7>0
{log_(3)(x^2-4)-1 ≤ 2 ⇒ log_(3)(x^2-4) ≤ 3 ⇒ x^2-4 ≤ 27

О т в е т. [-sqrt(31);-sqrt(7)) ∪ (sqrt(7);sqrt(31)]

Ответ выбран лучшим

f`9x)=1/(2sqrt(1-4x))*(1-4x)`

f`(x)=-2/sqrt(1-4x)

f`(x_(o))=f`(-6)=5

f(x_(o))=sqrt(1-4*(-6))=5

y-f(x_(o))=f`(x_(o))*(x-x_(o))

y-5=(-2/5)(x+6)

y=(-2/5)x+(13/5)

S=S_( Δ АВС) - S_(криволинейного треугольника АВК)=

=(1/2)*5*((13/5)-(-6))- ∫ ^(1/4)_(-6)sqrt(1-4x)dx=

=(5*12,5)/2-(-1/4)*(1-4x)^(3/2)/(3/2)|^(1/4)_(-6)=

=... (прикреплено изображение)

ОДЗ

|x-5|>0;
|x-5| ≠ 1

ОДЗ: x ≠ 5; x ≠ 6; x ≠ 4

По определению логарифма.

|x-5|^(1)=|x-2|-3

Подмодульные выражения обращаются в нуль в точках:

x=5 и х=2

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка

Раскрываем знак модуля на каждом промежутке

(- ∞ ;2]: |x-5|=-x+5; |x-2|=-x+2

[b]-x+5=-x+2-3 -[/b] нет корней

(2;5]

-x+5=x-2-3
-2x=-10

[b]x=5[/b]

(5;+ ∞ )

x-5=x-2-3 верно при любом х

С учетом ОДЗ получаем
О т в е т.(5;6) U(6;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

n=5+7+4=15 пирожков

m=5

p=m/n=5/15=1/3

a=2R

4=2R

R=4/2=2

S_(круга)=πR^2=π*2^2=4π

S_(квадрата)=4^2=16

p=S_(круга)/S_(квадрата)=4π/16=[b]π/4[/b]

На первое место любой из шести- 6 способов
На второе- любой из пяти оставшихся-5 способов
На третье место любой из четырех оставшихся- 4 способа
....

6*5*4*3*2*1=720 способов

На первое место любую из девяти цифр, кроме 0=9 способов
На второе любую из восьми оставшихся и плюс 0= 9 способов
На третье место любую из восьми =8 способов

9*9*8= считайте

C^(5)_(12)=12!/(5!*(12-5)!)=8*9*10*11*12/(1*2*3*4*5)=

∫ ^(2) _(1/4)f(x)dx= ∫ ^(1) _(1/4)f(x)dx+ ∫ ^(2)_(1)f(x)dx=

= ∫ ^(1) _(1/4)(dx/sqrt(x))+ ∫ ^(2)_(1)x^3dx=

=2sqrt(x)| ^(1) _(1/4)+(x^4/4)| ^(2)_(1)= считайте....

[b]x+y=(2,3+3,7) ± (0,1+0,2)[/b]
x+y=6 ± 0,3

2,3-0,1≤ х ≤ 2,3+0,1
3,7-0,2 ≤ у ≤ 3,7+0,2

2,2 ≤ х ≤ 2,4
3,5 ≤ у ≤ 3,9

Складываем:

5,7 ≤ x+y ≤ 6,3

x+y=6 ± 0,3

[m]1)y`=\frac{(sin2x)`}{sin2x}=\frac{(cos2x)(2x)`}{sin2x}=\frac{2cos2x}{sin2x}=2ctg2x[/m]

[m]y``=(2ctg2x)`=2\cdot(- \frac{1}{sin^22x})\cdot(2x)`)=\frac{4}{sin^22x}[/m]

[m]2) y=\frac{x^5}{x^4}-\frac{2x^3}{x^4}=x-\frac{2}{x}=x-2x^{-1}[/m]

[m]y`=(x-2x^{-1})=(x)`-2\cdot(x^{-1})`=1-2\cdot (-1)x^{-2}=1+\frac{2}{x^2}[/m]

y`(-1)=1+2=3

[m]3)y`=-\frac{(3x)`}{\sqrt(1-(3x)^2)}=-\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}[/m]

[m]4)y`=(cosx)`+6(tgx)`=-sinx+6\cdot\frac{1}{cos^2x}[/m]

[m]y`(\frac{\pi }{3})=-sin\frac{\pi }{3}+6\cdot\frac{1}{cos^2\frac{\pi }{3}}=-\frac{1}{2}+6\cdot\frac{1}{(\frac{\sqrt{3} }{2})^2}=7,5[/m]

5)
v(t)=s`(t)=3*t^2+2*2t-3

v(10)=3*(10)^2+4*10-3=337

a(t)=v`(t)=6t+4

a(10)=6*10+4=64

(e^(u))`=e^(u)*u`

y`=e^(sqrt(x))*(sqrt(x))`=e^(sqrt(x))*(1/(2sqrt(x)))=e^(sqrt(x))/(2sqrt(x))

Ответ выбран лучшим

y`=(1/5)*(x^5)`-(16/3)*(x^3)`=(1/5)*5x^4-(16/3)*3x^2=[b]x^4-16x^2[/b]

y`(-1)=(-1)^4-16*(-1)^2=1-16=[b]-15[/b]

Ответ выбран лучшим

Производная произведения

(u*v)`=u`*v+u*v`

u=x^2
v=arctgx

y`=(x^2)`*arctgx+x^2*(arctgx)`= (2x)*arctgx+x^2*(1/(1+x^2))=

=(2x)*arctgx + (x^2)/(x^2+1)

Ответ выбран лучшим

(lnu)`=u`/u; u- функция, зависящая от х

y`=(x^2-3)`/(x^2-3)

y`=[b](2x)/(x^2-3)[/b]

По формуле производная частного:

y``=[b] ([/b](2x)`*(x^2-3)-(2x)*(x^2-3)`[b])[/b]/(x^2-3)^2

y``=[b]([/b]2*(x^2-3)-(2x)*(2x)[b])[/b]/(x^2-3)

y``=(2x^2-6-4x^2)/(x^2-3)^2

y``=[b](-4x^2-6)/(x^2-3)^2[/b]

Ответ выбран лучшим

По формуле

sin2 α =2sin α *cos α

y=sin8x

y`=(cos8x)*(8x)`=8cos8x

y`(π/3)=8*cos(8π/3)=8*cos(2π+ (2π/3)=8*cos(2π/3)=8*(-1/2)=-4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение приводится к виду:
(a+2x-x^2-1)*log_(2)x=a*(a+2x-x^2-1)

или

(a+2x-x^2-1)*(log_(2)x-a)=0

Левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей.

Произведение равно нулю тогда и только тогда когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом [i]не теряет смысла
[/i].

Первый множитель равен 0, а второй не теряет смысла, получим систему:
{a+2x-x^2-1=0
{x>0

Второй множитель равен 0, а первый имеет смысл при любом х, получим уравнение:
log_(2)x-a=0 ⇒ x=2^(a) - уравнение имеет корень всегда.

Значит осталось ответить на вопрос, при каких значениях параметра а система
{a+2x-x^2-1=0
{x>0
имеет одно решение

1)
(x+1)^2=x^2+2x+1

([b]x^2+2x[/b]+1)*([b]x^2+2x[/b])-12=0

Замена

[b]x^2+2x[/b]=t

(t+1)*t-12=0

2)
Замена

[b]x^2+3x+1[/b]=t

x^2+3x+3=([b]x^2+3x+1[/b])+2=t+2

t*(t+2)-3=0

3)
Замена

[b]x^2+x[/b]=t

t^2+4t-12=0

4)
[b]x^2+x+1[/b]=t

x^2+x+2=([b]x^2+x+1[/b])+1=t+1

t*(t+1)-6=0

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Неопределенность 0/0

Числитель раскладываем на множители:

2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)

Умножаем и числитель и знаменатель на выражение
2+sqrt(2-x)

Получаем:

[m]=\lim_{x \to -2}\frac{(2x-1)(x+2)(2+\sqrt{2-x})}{(2-\sqrt{2-x})(2+\sqrt{2-x})}=[/m]

Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=(a-b)*(a+b)

[m]\lim_{x \to -2}\frac{(2x-1)(x+2)(2+\sqrt{2-x})}{2^2-(\sqrt{2-x})^2}=\lim_{x \to -2}\frac {(2x-1)(x+2)(2+\sqrt{2-x})}{4- (2-x)}=[/m]

[m]=\lim_{x \to -2}\frac {(2x-1)(x+2)(2+\sqrt{2-x})}{x+2}=[/m]

Сокращаем на ( x+2)

[m]=\lim_{x \to -21}(2x-1)(2+\sqrt{2-x})=(2\cdot (-2) -1)(2+\sqrt{2-(-2)})=[/m]

[m]=-5\cdot 2=-10[/m]

2) Неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим и числитель и знаменатель на x

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{x}}{\frac{\sqrt[3]{x}+x}{x}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x и
каждое слагаемое знаменателя делим на x:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt[3]{x}}{x}+\frac{x}{x}}[/m]

Применяем свойства корня:

[m]\lim_{\to \infty }\frac{\sqrt{\frac{x^2+4}{x^2}}+1}{\sqrt[3]{\frac{x}{x^3}}+1}=[/m]

[m]\lim_{\to \infty }\frac{\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}+1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}}+1}=\frac{\sqrt{1+0}+1}{\sqrt{0}+1}=2[/m]

3) Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
(x^2-x)*x^2

[m]\lim_{x\to 0 }\frac{sin(x^2-x)\cdot x^2\cdot (x^2-x))}{x\cdot x^2\cdot (x^2-x)\cdot tg^2x}=[/m]

Применяем cвойства первого замечательного предела:

[m]\lim_{x\to 0 }\frac{sin(x^2-x)}{x^2-x}=1[/m]

[m]\lim_{x\to 0 }\frac{x}{tgx}=1[/m]

[m]\lim_{x\to 0 }\frac{x\cdot x}{tgx\cdot tgx}=1[/m]

[m]\lim_{x\to 0 }\frac{sin(x^2-x)}{(x^2-x)}\cdot \frac{x^2}{tg^2x}\cdot\frac{x^2-x}{x^3} =\lim_{x\to 0 }\frac{x\cdot(x-1)}{x^3}=\lim_{x\to 0 }\frac{x-1}{x^2}=-\infty[/m]

Ответ выбран лучшим

1)
Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

[m]y`=5\cdot (cos\frac{a}{x})`=5\cdot sin\frac{a}{x}\cdot (\frac{a}{x})`=5\cdot sin\frac{a}{x}\cdot a(x^{-1})`=-5a\frac{sin\frac{a}{x}}{x^2}[/m]

О т в е т. 3)

2)
[m]f`(x)=cos\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x})`=cos\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{cos\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}[/m]

[m]f`(\frac{\pi ^2}{9})=\frac{cos\sqrt{\frac{\pi ^2}{9}}}{2\sqrt{\frac{\pi ^2}{9}}}=\frac{cos\frac{\pi }{3}}{2\cdot\frac{\pi }{3}}=\frac{3}{4\pi }[/m]

О т в е т. 3)

3)
[m]f`(x)=\frac{1}{cos^2x}+\frac{1}{3}\cdot 3 \cdot tg^2x\cdot (tgx)`=[/m]

[m]=\frac{1}{cos^2x}+ tg^2x\cdot\frac{1}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}\cdot(1+tg^2x)=\frac{1}{cos^2x}\cdot\frac{1}{cos^2x}=\frac{1}{cos^4x}[/m]

О т в е т. 4)

Ответ выбран лучшим

1.
[m]s`=3\cdot cos\frac{t}{a}\cdot (\frac{t}{a})`+0=\frac{3}{a}cos\frac{t}{a}[/m]

2.
y`=-sinx-(1/3)*3cos^2x=cos^2x-sinx

3.

Так как sin2 α =2sin α cos α ⇒ sin α cos α=(1/2)sin2 α

и

[m]sin\frac{x}{8}\cdot cos\frac{x}{8}=\frac{1}{2}sin\frac{x}{4}[/m]

[m]sin\frac{x}{4}\cdot cos\frac{x}{4}=\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}[/m]

тогда

[m]f(x)=\frac{1}{4}sin\frac{x}{2}[/m]

[m]f`(x)=\frac{1}{4}cos\frac{x}{2}\cdot (\frac{x}{2})`=\frac{1}{8}cos\frac{x}{2}[/m]

[m]f`(\frac{\pi }{2})=\frac{1}{8}cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{16}[/m]

Ответ выбран лучшим

f`(x)=-1/sin^2x

f`(x_(o))=-1/sin^2x_(o)

f`(x_(o))=k_(касательной)

Касательная [i]параллельна[/i] прямой y=-x,

k_(прямой)=-1

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты:

k_(касательной)=k_(прямой)=-1

-1/sin^2x_(o)=-1 ⇒

sin^2x_(o)=1 ⇒

sinx_(o)=1 или sinx_(o)=-1

x_(o)=(π/2)+2πk или x_(o)= - (π/2)+2πn, k,n ∈ Z

Интервалу (0;π) принадлежит точка x_(o)=[b]π/2[/b]

В полярной системе координат, откладывают лучи от начала О.
Эти лучи заполняют всю плоскость.

В условии задачи предлагают провести лучи
φ =0
φ =π/8
φ =2π/8=π/4
и так далее.

На каждом таком луче откладывается расстояние.

Например при φ =π/2
откладываем r=4/(2-3*0)=2

На луче откладываем расстояние только в одну сторону, т.е

r ≥ 0

4/(2-3cos φ ) >0 ⇒ 2-3cos φ >0 ⇒[b] cos φ <2/3[/b]

Вообще-то это гипербола.

Надо перейти от полярных координат к декартовым

r=sqrt(x^2+y^2)
cos φ =x/r

⇒
sqrt(x^2+y^2)=4/(2-3*x/sqrt(x^2+y^2))

упростить и получить уравнение в декартовых координатах

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4^(x)=-2x

Строим график функции y=4^(x) и y=-2x

Из рисунка видно, что корень находится на [-0,5;0]

---------------------------------

Пусть f(x)=4^(x)+2x

(cм. приложение 2) Постановка задачи.

Если на концах отрезка [-0,5;0] функция y=f(x) имеет разные знаки, то внутри [-0,5;0] находится корень уравнения.

f(-0,5)=4^(-0,5)+2*(-0,5)<0
f(0)=4^(0)+0=1>0

[b]Корень находится [/b]на [-0,5;0]

Делим отрезок [-0,5;0]пополам

Получаем два отрезка:

[-0,5;-0,25] и [-0,25;0]

Проверяем корень на принадлежность первому отрезку или второму.

4^(-0,25)+2*(-0,25)>0

так как
[m]4^{-0,25}=\frac{1}{4^{0,25}}=\frac{1}{\sqrt[4]{4}}=\frac{1}{\sqrt[2]{2}}[/m] ≈ 0,7считаем

-2*(-0,25)=0,5

0,7-0,5>0

Значит, корень на [-0,5;-0,25]

Далее снова делим отрезок пополам.

Получаем два отрезка:

[-0,5;-0,375] и [-0,375;-0,25]

...
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

s(t)=-(1/5)*cos5t + C

s(π/2)=2

2=(-1/5)*cos(5π/2)+C, так как cos(5π/2)=cos(2π+(π/2))=cos(π/2)=0

C=[b]2[/b]

s(t)=-(1/5)*cos5t + [b]2[/b] ⇒

s(π)=(-1/5)cos5π+2=(-1/5)*(-1)+2=2 целых(1/5)=2,2

Ответ выбран лучшим

4*(x^(-4+1))/(-4+1)+6*(x^(-3+1)/(-3+1))+C

О т в е т. 4)

Ответ выбран лучшим

3*(x^2/2)+9*(x^5/5)+C=(9/5)x^5+(3/2)x^2+C

О т в е т. 5)

1) верный ответ 2)

2) верный ответ 4)

3) верный ответ 3)

4)
v(t)=s`(t)=((1/4)t^4–4t^3+16t^2)`=

Правила:
1 ° производная суммы равна сумме производных;
2 ° постоянный множитель можно выносить за знак производной

=(1/4)·(t^4)`–4·(t^3)`+16·(t^2)`=

применяем формулу (t^(α) )`= α ·t^( α –1)

=(1/4)·4·t^3–4·3·t^2+16·2·t=

=t^3–12t^2+32t

v(t)=0 ⇒ t^3–12t^2+12t=0 ⇒ t·(t2–12t+12)=0

t_(1)=0 или t^2–12t+32=0 D=122–4·32=144–128=16

t_(2)=(12–4)/2=4 или t_(3)=(12+4)/2=8
[b]
О т в е т. 0; 4; 8[/b]

5)

f`(x_(o))=tg α

α – угол, который образует касательная к кривой y=f(x) в точке с абсциссой хо с положительным направлением оси Ох

По условию
α =135 °

tg135 ° =–1

f`(x)=x`·((1/4)·x+1)+x·((1/4)·x+1)`

f`(x)=(1/4)·x+1+x·(1/4)

f`(x)=(1/2)·x+1

f`(xo)=(1/2)·xo+1

Уравнение:

(1/2)xo+1=–1

(1/2)xo=–2

xo=–4

y_(o)=(-4)*((1/4)*(-4)+1)=(-4)*0=0

О т в е т. [b](-4;0)[/b]

Ответ выбран лучшим

x^2+a^2=9

x^2=9-a^2

Уравнение имеет решения при

9-a^2 ≥ 0 ⇒ |a| ≤ 3 ⇒ [b]-3 ≤ a ≤ 3[/b]

Графиком уравнения x^2=9-a^2
является пара вертикальных прямых

x= ± sqrt(9-a^2)

Графиком квадратного трехчлена
3x^2+(3+8a)*x+(9a-3a^2)
является парабола, ветви которой направлены вверх( коэффициент при x^2=3 >0)

D=(3+8a)^2-4*3*(9a-3a^2)=9+48a+64a^2-108a+36a^2=100a^2-6a+9>0
при любом а

Значит, парабола пересекает ось в двух точках и
неравенство верно при всех x, расположенных между корнями квадратного трехчлена.
x_(1) ≤ x ≤ x_(2)

Вопрос задачи:

При каком значении параметра а совокупность прямых
x= ± sqrt(9-a^2) имеет с той частью параболы, которая расположена не выше оси Ох одну точку

Ответ выбран лучшим

F(x)=(x^2/2)-4x+C
F(2)=0 ⇒
(2^2/2)-4*2+C=0

C=6

F(x)=(x^2/2)-4x+6

F(4)=(4^2/2)-4*4+6=-2

О т в е т. [b]F(4)=-2[/b]

Ответ выбран лучшим

=4*(-cosx)-4*(x^3/3)+C

О т в е т. 2)

Ответ выбран лучшим

9*(sinx)-5*(x^2/2)+C

О т в е т. 4

Можно проверить дифференцированием

Ответ выбран лучшим

[m]3\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+3\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=2x^{\frac{3}{2}}+6\sqrt{x}+C[/m]

боковая поверхность есть средняя пропорциональная между площадью основания и полной поверхностью:

S_(бок)=sqrt(S_(осн)*S_(полн)) ⇒

[red]S^2_(бок)=S_(осн)*S_(полн)[/red]

Пусть
R- радиус основания конуса
L- образующая

S_(бок)=π*R*L
S_(осн)=πR^2
S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)=π*R*L+πR^2=πR*(L+R)

Подставляем в выражение (выделено красным):

(π*R*L)^2=πR^2*πR*(L+R)

Упрощаем и получаем ответ

[b]L^2=R*(L+R)[/b]

Ответ выбран лучшим

4)
v(t)=s`(t)=((1/4)t^4-4t^3+16t^2)`=

Правила:
1 ° [i]производная суммы равна сумме производных[/i];
2 ° [i]постоянный множитель можно выносить за знак производной[/i]

=(1/4)*(t^4)`-4*(t^3)`+16*(t^2)`=

[i]применяем формулу[/i] (t^ α )`= α *t^( α -1)

=(1/4)*4*t^3-4*3*t^2+16*2*t=

[b]=t^3-12t^2+32t[/b]

v(t)=0 ⇒ t^3-12t^2+12t=0 ⇒ t*(t^2-12t+12)=0

t_(1)=0 или t^2-12t+32=0 D=12^2-4*32=144-128=16

t_(2)=(12-4)/2=4 или t_(3)=(12+4)/2=8

О т в е т. 0; 4; 8

5)

f`(x_(o))=tg α

α - угол, который образует касательная к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х_(о) с положительным направление оси Ох

По условию
α =135 °

tg135 ° =-1

f`(x)=x`*((1/4)*x+1)+x*((1/4)*x+1)`

f`(x)=(1/4)*x+1+x*(1/4)

f`(x)=(1/2)*x+1

f`(x_(o))=(1/2)*x_(o)+1

Уравнение:

(1/2)x_(o)+1=-1

(1/2)x_(o)=-2

[b]x_(o)=-4[/b]

Ответ выбран лучшим

[i]Произведение[/i] равно 0 тогда и только тогда, когда [i]хотя бы один [/i]из множителей равен 0, а другой при этом [b]не теряет смысла.[/b]

[red]первый множитель[/red] равен 0:
{4sin^2x+12sinx+5=0
{ -17cosx ≥ 0 ⇒ cosx ≤ 0 ⇒ x ∈ 2-й или 3-й четверти
Решаем квадратное уравнение
D=12^2-4*4*5=64

sinx=(-12-8)/8; sinx=(-12+8)/8

первое уравнение не имеет решений, так как (-12-8)/8 < -1

а синус ограниченная функция и принимает значения от -1 до 1

второе уравнение

sinx=-1/2

имеет корни в 3 и 4 четвертях ( см. рис. )

учитывая условие второго неравенства системы cosx ≤ 0 , решением являются значения в третьей четверти

получаем ответ:

х=(-5π/6)+2πk, k ∈ Z

или

[red]второй множитель[/red] равен 0:
sqrt(-17cosx)=0 ⇒

-17cosx=0

cosx=0

x=(π/2)+πn, n ∈ Z

О т в е т. (-5π/6)+2πk, k ∈ Z; (π/2)+πn, n ∈ Z

б) Отрезку [π/2; 2π] принадлежат корни:

[b]π/2[/b]; (-5π/6)+2π=[b]7π/6[/b]; [b]3π/2[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой АВ, как прямой, проходящей через две точки А и В:

[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

[m]\frac{x-3}{-2-3}=\frac{y-(-1)}{5-(-1)}[/m]

[m]\frac{x-3}{-5}=\frac{y+1}{6}[/m]

6*(x-3)=(-5)*(y+1)

6х-18=-5у-5

6х+5у-13=0

Высота СН это расстояние от точки С до прямой АВ.

[m]CH=d=\frac{|6\cdot (-3)+5\cdot (-2)-13|}{\sqrt{6^2+5^2}}=[/m]

cчитаем и получаем ответ (прикреплено изображение)

6*5=30 cм длина
30-5=25 см высота

V=30*6*25=4500 куб. см

[red]1.[/red]
Делим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель:

[m]f(x)=\frac{x^2}{2\sqrt{x}}-\frac{3x}{2\sqrt{x}}+\frac{6}{2\sqrt{x}}[/m]

[m]f(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}}[/m]

[m]f`(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}+3\cdot(-\frac{1}{2}) x^{-\frac{3}{2}}[/m]

f`(9)=(3/4)*3 -(9/4)*(1/3)-(3/2)*(1/27)=[b]35/18[/b]

[red]2.[/red]
dz/du=z`_(u)=t^2*((t^2-u^2)^(-1))`_(u)=t^2*(-1)*((t^2-u^2)^(-2)) * (t^2-u^2)`_(u)=

[m]=\frac{t^2}{(t^2-u^2)^2}\cdot (0-2u)=\frac{2ut^2}{(t^2-u^2)^2}[/m]

[red]3.[/red]
y`=(a*(x^(-3)))`-(b*x^(-3/2))`+(cx^4)`+(π^2)`=

=a*(-3)*x^(-4)-b*(-3/2)*x^(-5/2)+c*4x^(3)+0=

=[b](-3a/x^4)+(3/2)b*(1/sqrt(x^5))+4cx^3[/b]

[red]4.[/red]
v(t)=s`(t)=-(2/t^2)+6t

v(2)=-(2/4)+6*2=[b]11,5[/b]

[red]5.[/red]
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х_(o) имеет вид

[b]y-f(x_(o))=f`(x_(o)*(x-x_(o))[/b]

f(x_(o))=f(-1)=2*(-1)^5-5*(-1)^2=-2-5=-7

f`(x)=2*5x^4-5*2x=10x^4-10x

f`(-1)=10*(-1)^4-10*(-1)=20

y-(-7)=20*(x-(-1))

y+7=20x+20

[b]y=20x+13[/b]

V_(цилиндра)=πR^2*H

Фигура на рисунке состоит из цилиндра R=4; H=5

из которого вырезана половина цилиндра
R=4; h=5-3=2

V=πR^2*H- (1/2)πR^2*h= π*4^2*(5-(1/2)*2)=16π*4=[b]64π[/b]

Ответ выбран лучшим

a^(m)*a^(n)=a^(m+n)
a^(m):a^(n)=a^(m-n)

[m]\frac{a^{7+9-4}}{a^{16-6+2}}=\frac{a^{12}}{a^{10}}=a^{12-10}=a^2[/m]

При a=(-2)

(-2)^2=4
[b]
О т в е т. 4[/b]

1.
[m]=15\cdot(\frac{15}{15}+\frac{5}{15}-\frac{3}{15})=15\cdot\frac{15+5-3}{15}=17[/m]

2.
[m]=\frac{7\cdot 0,3\cdot 0,5\cdot 7}{7\cdot 7}=0,3\cdot0,5=0,15[/m]

n=5*5*5*5*5*5=5^6 способами могут 5 человек выйти на 6 этажах ( начиная со второго по 7-й)

m=3*3*3*3*3 = 3^5 способами могут выйти оставшиеся на 5 этажах, начиная с третьего по 7-ой

p=m/n=3^5/5^6=

n=C^(2)_(54)=54!/(2!*(54-2)!)=53*54/2=53*27

m=C^(2)_(2)=1

p=m/n=1/(53*27) считаем и получаем

О т в е т.

"только один"- значит какой-то один сработает, а второй не сработает

p_(1)=0,95
p_(2)=0,9

q_(1)=1-p_(1)=0,05
q_(2)=1-p_(2)=0,1

p=p_(1)*q_(2)+q_(1)*p_(2)=

=0,95⋅0,1+0,05⋅0,9= cчитаем и получаем

Ответ

Значит окружность основания цилиндра вписана в квадрат основания призмы.

a=2r=2*3=6

V_(призмы)=S_(осн)*Н=S_(квадрата)*H=a^2*H

18=6^2*H

H=18/36=1/2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D: x= ±R
y=-R/2; x^2+y^2=R^2;

D:-R ≤ x ≤ R
-R/2 ≤ y ≤ sqrt(R^2-x^2)

Находим центр окружности.
Для этого выделяем полные квадраты:
(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)-4-1-24=0
(x-2)^2+(y+1)^2=29

O(2;-1)

Составляем уравнение прямой ОA. как прямой, проходящей через две точки:

Уравнение прямой, проходящей через две точки
А (x_(A);y_(A)) и О (x_(О);y_(О)) и имеет вид:

[m]\frac{x-x_{O}}{x_{A}-x_{O}}=\frac{y-y_{O}}{y_{A}-y_{O}}[/m]

[m]\frac{x-2}{-3-2}=\frac{y-(-1)}{1-(-1)}[/m]

[m]\frac{x-2}{-5}=\frac{y+1}{2}[/m]

Умножаем крайние и средние члены пропорции, упрощаем и получаем ответ

V_(цилиндра)=S_(осн)*Н=π*R^2*H

R=6
H=7

V_(цилиндра)=π*6^2*7=252π

V_(части)=(1/4)V_(цилиндра)=[b]63π[/b]

Одна касательная - Это ось Ох
Уравнение y=0

Вторая - перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Вот точку касания и нужно найти.
Или угловой коэффициент k, исходя из геометрических соображений.

По свойству касательных, проведенных к оружности из одной точки, отрезки касательных равны.

Угол между касательными обозначим 2 α

Из прямоугольного треугольника

tg α =2/4=1/2

tg2 α =2tg α /(1+ tg^2 α )=1/(1+(1/4))=4/5

k_(касательной)=tg2 α =4/5

О т в е т. [b]y=(4/5)x[/b]

(прикреплено изображение)

V_(первоначальный)=10 л
V_(новый)=1,9*10=19 л

v_(детали)=19-10=9 л

Ответ выбран лучшим

V_(воды)=S_(осн)*h

1500=S_(осн)*25

S_(осн)=1500:25=60

V_(вода+деталь)=S_(осн)*Н=60*28=1680 cм^3

v_(детали)=V_(вода+деталь)-V_(воды)=1680-1500=180 cм^3

Ответ выбран лучшим

(∛2√16)^2=∛( ∛2)^2*(√16)^2=∛(2^2)* 16=16∛4

Диагональ этого прямоугольника есть диаметр окружности.

Диагональ находим по теореме Пифагора:

d^2=24^2+10^2=576+100=676

d=26

R=d/2=13 см

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y-f(x_(o))=f`(x_(o)*(x-x_(o))

f(x_(o))=f(-1)=2*(-1)^5-5*(-1)^2=-2-5=-7

f`(x)=2*5x^4-5*2x=10x^4-10x

f`(-1)=10*(-1)^4-10*(-1)=20

y-(-7)=20*(x-(-1))

y+7=20x+20

[b]y=20x+13[/b]

Ответ выбран лучшим

v(t)=s`(t)=-(2/t^2)+6t

v(2)=-(2/4)+6*2=[b]11,5[/b]

Ответ выбран лучшим

y`=(a*(x^(-3)))`-(b*x^(-3/2))`+(cx^4)`+(π^2)`=

=a*(-3)*x^(-4)-b*(-3/2)*x^(-5/2)+c*4x^(3)+0=

=[b](-3a/x^4)+(3/2)b*(1/sqrt(x^5))+4cx^3[/b]

Ответ выбран лучшим

dz/du=z`_(u)=t^2*((t^2-u^2)^(-1))`_(u)=t^2*(-1)*((t^2-u^2)^(-2)) * (t^2-u^2)`_(u)=

[m]=\frac{t^2}{(t^2-u^2)^2}\cdot (0-2u)=\frac{2ut^2}{(t^2-u^2)^2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Делим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель:

[m]f(x)=\frac{x^2}{2\sqrt{x}}-\frac{3x}{2\sqrt{x}}+\frac{6}{2\sqrt{x}}[/m]

[m]f(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}}[/m]

[m]f`(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}+3\cdot(-\frac{1}{2}) x^{-\frac{3}{2}}[/m]

f`(9)=105/54=35/18

Ответ выбран лучшим

Ряд сходится по признаку Даламбера.
lim_(n→∞)a_(n+1)/a_(n)=1/5

"хотя бы одно"- значит какое-то одно сработает, а второе не сработает или оба сработают.

p_(1)=0,7
p_(2)=0,9

q_(1)=1-p_(1)=0,3
q_(2)=1-p_(2)=0,1

p=p_(1)*q_(2)+q_(1)*p_(2)+p_(1)*p_(2)=

=0,7⋅0,1+0,05⋅0,9+0,7*0,9=0,745

Ответ:[b] 0,745[/b]

(прикреплено изображение)

2=log_(2)4

log_(2)(x+11)>log_(2)(x^2-5x+4)+log_(2)4

log_(2)(x+11)>log_(2)4*(x^2-5x+4)

Функция y=log_(2)t монотонно возрастает

{x+11>0
{x^2-5x+4>0
{x+11>4*(x^2-5x+4) ⇒ 4x^2-19x+5 <0

{x>-11
{x < 1 или x > 4
{5/4 < x < 6

О т в е т. (4;6)

Ответ выбран лучшим

Пусть производительность первого цеха завода - [b] х[/b] телевизоров в сутки
По условию х ≤ 770

Производительность второго цеха завода до реконструкции составляла 75% от производительности первого цеха.

75%=75/100=0,75

Тогда [b]0,75*х[/b] телевизоров в сутки- производительность второго цеха

После реконструкции второй цех увеличил производительность на 10% и стал выпускать более 600 телевизоров в сутки.

100%+10%=110% производительность второго цеха завода после реконструкции

110%=1,1

1,1*[b]0,75*х[/b] телевизоров в сутки- производительность второго цеха завода после реконструкции

По условию:
1,1*[b]0,75*х[/b] > 600

Из системы неравенств
{х ≤ 770
{1,1*[b]0,75*х[/b] > 600

находим х, при условии, что х - целое число телевизоров.

Ответ выбран лучшим

1)
(x^3+2x^2)+(x+2)=(x+2)*(x^2+1)

x=-2 - корень

2)
± 1; ± 3; ± 9 - возможные корни

x=1- корень, так как (1+4-2-12+9=0- верно)

x=-3 корень,

(x+3)*(x-1)*(x^2+2x-3)=0

(x+3)(x-1)*(x-1)*(x-3)=0

x=-3;x=1; x=3 - корни

3)

корни 1/2; (2/3); (3/4)

(4х-3)*(3x+2)*(2x-1)*(x^2+x+1)

4)
± 1; ± 5 - возможные корни

(х-5)*(x^2+x+1)

x=5 - корень

Ответ выбран лучшим

cos^24x=(1+cos8x)/2

sin^23x=(1-cos6x)/2

[b]cos8x-cos6x=0[/b]

-2sin7x*sinx=0

sin7x=0 или sinx=0

7х=πk или х=πn, k, n ∈ Z

x=(π/7)k или х=πn, k, n ∈ Z

О т в е т. x=(π/7)k ( второй ответ входит в первый при k=7n)

2.
sin(x+π)=-sinx

sin^2(x+π)=(-sinx)^2=sin^2x

sin2x=2sinx*cosx

sin^2x=4sin^2x*cos^2x=4sin^2x*(1-sin^2x)=4sin^2x-4sin^4x

6*sin^2x=4sin^2x-4sin^4x+(1-sin^2x)

4sin^4x+3sin^22x-1=0

D=9+16=25

sin^2x=1/4 ⇒ sinx= ± 1/2 ⇒ x= ± (π/6)+π*k, k ∈ Z

sin^2x=-1 уравнение не имеет корней

x=30 ° ; x=150 ° ; x=210 ° - корни принадлежащие указанному интервалу

sin^2(45°+x)-sin^2(45°-x)=sqrt(7)*cosx

По формуле a^2-b^2

(sin(45°+x)-sin(45°-x))*((sin(45°+x)+sin(45°-x))=sqrt(7)*cosx

Применяем формулы разности и суммы синусов ( см. приложение)

(2sinx*cos45 ° )*(2sin45 ° cosx)=sqrt(7)*cosx

2sin45 ° *cos45 ° =sin90 ° =1

2sinx*cosx=sqrt(7)*cosx

2sinx*cosx-sqrt(7)*cosx=0

cosx*(2sinx-sqrt(7))=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

или

2sinx-sqrt(7)=0 ⇒ sinx=sqrt(7)/2 не имеет корней, sqrt(7)/2>1

О т в е т. (π/2)+πk, k ∈ Z

2.

2cos^22x=1+cos4x

2sin^23x=1-cos6x

Уравнение принимает вид:

sin3x+sin5x=cos4x+cos6x

2sin4x*cos(-x)=2cos5x*cos(-x)

cos(-x)=cosx

2*cosx*(sin4x-cos5x)=0

cosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

или

sin4x-cos5x=0 ⇒ sin4x-sin((π/2)-5x)=0 ⇒

2sin((9/2)x-(π/4)) * sin((π/4)-x)=0

sin((9/2)x-(π/4))=0 ⇒ (9/2)x-(π/4)=πk, k ∈ Z ⇒ x=[b](π/18)+(2π/9)k, k ∈ Z[/b]

sin((π/4)-x)=0 ⇒ - sin(x- (π/4))=0 ⇒ x- (π/4)=πn, n ∈ Z ⇒ [b]x=(π/4)+πn, n ∈ Z[/b]

1.
sin^4x-cos^4x=(sin^2x)^2-(cos^2x)^2=(sin^2x-cos^2x)*(sin^2x+cos^2x)=

=-(cos^2x-sin^2x)*1=-cos2x

-cos2x=1/2

cos2x=-1/2

2x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

[b]x=± (π/3)+πn, n ∈ Z[/b]- о т в е т

х=60 ° ∈ (0 ° ;90 ° )

2.

sin^4x+cos^4x+(1/2)=sin2x

так как

sin^4x=(sin^2x)^2=((1-cos2x)/2)^2

cos^4x=(cos^2x)^2=((1+cos2x)/2)^2

тогда

sin^4x+cos^4x=(1/2)+(cos^22x)/2

Уравнение

1+(cos^22x)/2=sin2x

cos^22x=1-sin^22x

Квадратное уравнение:

sin^22x+sin2x-2=0
D=9
sin2x=1 или sin2x=-2 ( не имеет корней)

2x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

[b]x=(π/4)+πn, n ∈ Z[/b] - о т в е т

cos7x-sqrt(3)sin7x=sin5x+sqrt(3)cos5x

Делим обе части уравнения на 2:

[m]\frac{1}{2}cos7x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin7x=\frac{1}{2}sin5x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos5x[/m]

Заменим слева
[m]\frac{1}{2}=cos\frac{\pi}{3}[/m]

[m]\frac{\sqrt{3}}{2}=sin\frac{\pi}{3}[/m]

справа:

[m]\frac{1}{2}=sinx\frac{\pi}{6}[/m]

[m]\frac{\sqrt{3}}{2}=cos\frac{\pi}{6}[/m]

[m]cos\frac{\pi}{3}\cdot cos7x-sin\frac{\pi}{3}\cdot sin7x=sin\frac{\pi}{6}\cdot sin5x+cos\frac{\pi}{6}\cdot cos5x[/m]

Применяем формулу ( см приложение)
[m]cos(3x+\frac{\pi}{3})=cos(x-\frac{\pi}{6})[/m]

[m]cos(3x+\frac{\pi}{3})-cos(x-\frac{\pi}{6})=0[/m]

Применяем формулу разности косинусов:

cos α -cos β

2.

Так же как преобразовали справа, только не делим на 2, а выносим 2 за скобки, а в квадрате это дает 4

Получим:

[m]4\cdot(sin\frac{\pi}{6}\cdot sinx+cos\frac{\pi}{6}\cdot cosx)^2-5=cos(\frac{\pi}{6}-x)[/m]

Замена
[m]cos(\frac{\pi}{6}-x)=cos(x-\frac{\pi}{6})=t[/m]

Квадратное уравнение

4t^2-t-5=0

D=1-4*4*(-5)=81

t_(1)=-1; t_(2)=5/4

Обратная замена
[m]cos(x-\frac{\pi}{6})=-1[/m] ⇒ [m]x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,[/m] n ∈ Z

[m]cos(x-\frac{\pi}{6})=\frac{5}{4}[/m] - не имеет корней

О т в е т. [m]x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,[/m] n ∈ Z (прикреплено изображение)

Делим обе части уравнения на sqrt(2)

[m]\frac{1}{\sqrt{2}}cos3x+\frac{1}{\sqrt{2}}sin3x=1[/m]

Заменим
[m]\frac{1}{\sqrt{2}}=cos\frac{\pi}{4}[/m]

[m]\frac{1}{\sqrt{2}}=sin\frac{\pi}{4}[/m]

[m]cos\frac{\pi}{4}\cdot cos3x+sin\frac{\pi}{4}\cdot sin3x=1[/m]

[m]cos(3x-\frac{\pi}{4})=1[/m]

[m]3x-\frac{\pi}{4}=2\pi n[/m], n ∈ Z ⇒

[m]3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n[/m], n ∈ Z ⇒

[m]x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi}{3} n[/m], n ∈ Z - о т в е т

4.44
cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)*(cosx+sinx)

1+sin2x=sin^2x+cos^2x+2sinx*cosx=(sinx+cosx)^2

(cosx-sinx)*(cosx+sinx)+(sinx+cosx)^2=0

(cosx+sinx)*(cosx-sinx+sinx+cosx)=0

cosx+sinx=0 или 2cosx=0

tgx=-1 или cosx =0

x=[b](-π/4)+πk, k ∈ Z[/b] или x=[b](π/2)+πn, n ∈ Z[/b]

(прикреплено изображение)

tg(x-(5π/2))=-tg((5π/2)-x)=-tgx

sin(13π/2)=sin(6π+(π/2))=sin(π/2)=1

[b]tgx-5*(-tgx)=6[/b]

6tgx=6

tgx=1

x=(π/4)+πn, n ∈ Z

-π ≤ [b](π/4) [/b]≤ π

2.

cos2x=1-2sin^2x

Получаем биквадратное уравнение относительно sinx

8sin^4x-26sin^2x+6=0

4sin^4x-13sin^2x+3=0

D=(-13)^2-4*4*3=169-48=121

sin^2x=1/4; sin^2x=3

⇒ sinx= ± 1/2; sinx= ± sqrt(3)

sinx= 1/2 ⇒ (-1)^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z

sinx=-1/2⇒ (-1)^(m)(π/6)+πm, m ∈ Z

можно объединить и записать так:
[b] ± (π/6)+πn, n ∈ Z[/b]

sinx=sqrt(3) - уравнение не имеет корней

sinx=-sqrt(3) - уравнение не имеет корней

О т в е т. [b] ± (π/6)+πn, n ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ax-x-9x>5
(a-10)x>5

При a=10 получим

0*х > 5 - неверно, так как 0 < 5

О т в е т. а=5

Перепишем в виде
|x+2+|−x−4||=x+8

Решаем графически: см рис.
О т в е т. 2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
b=2
F(c;0) ⇒ c=4sqrt(2)

[green]a^2-c^2=b^2[/green]

a^2=b^2+c^2=2^2+(4sqrt(3))^2=4+48=52

[i]Каноническое уравнение [/i]эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

О т в е т.

[b](x^2/52)+(y^2/2)=1[/b]

б) a = 7; ε= √85/7
ε =c/a

ε = √85/7 ⇒ c= √85

[red]c^2-a^2=b^2[/red]

b^2=85-49=36

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

О т в е т. [b](x^2/49)-(y^2/36)=1[/b]

в)D: x= 4

если каноническое уравнение параболы имеет вид
y^2=-2px, то фокус параболы

F(-p/2;0)

D: x= p/2

Значит,
p/2=4

p=8

О т в е т. [b]y^2 = -16x [/b]

a) 3x^2+y^2+9z^2=9

Делим на 9

(x^2/3)+(y^2/9)+z^2=1

Это каноническое уравнение эллипсоида

a^2=3
b^2=9
c^2=1

См. рис. 1

б) x^2+2y^2=2z - это эллиптический параболоид

см. рис. 2 (прикреплено изображение)

Это (-2)-ой уровень,
а (-1)-ый слева (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

так как
1=sin^2x+cos^2x, тогда

1+sin2x=sin^2x+cos^2x+2sinx*cosx=(sinx+cosx)^2

так как
cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)*(cosx+sinx)

(sinx+cosx)^2+(cosx-sinx)*(cosx+sinx)+(sinx+cosx)=0

(cosx+sinx)*(sinx+cosx+cosx-sinx+1)=0

(cosx+sinx)*(2*cosx+1)=0 ⇒

cosx+sinx=0 или 2сosx+1=0

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном параллелепипеде все грани - прямоугольники.

Диагонали BD_(1) и В_(1)D равны между собой.

ВВ_(1)=СС_(1)=3

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекций на плоскость.

ВD- проекция B_(1)D на плоскость основания .

Из прямоугольного треугольника ВВ_(1)D

sin ∠ B_(1)DB=BB_(1)/B_(1)D=3/5=0,6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

q=0,9 - вероятность того, что не сделает заказ ( дано)

p=1-q=0,1 - вероятность того, что сделает заказ
n=900
k=90

np=90

Применяем локальную теорему Лапласа

P_(n)(k)≈(1/sqrt(npq))*φ((k-np)/sqrt(npq))

npq=900*0,1*0,9=81
sqrt(npq)=9

(k-np)/sqrt(npq)=(90-90)/sqrt(81)=0

P_(900)(90)≈ (1/9) *φ(0)=(1/9)*0,3989 ( cм приложение)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(1+sqrt(x+5))=3*3^(sqrt(x+5))

3^(2-sqrt(x+5))=3^2*3^(-sqrt(x+5))

Замена
3^(sqrt(x+5))=t

t > 0

3^(-sqrt(x+5))=1/t

Неравенство принимает вид:

(t^2-3t)/(t-3) < 27

t(t-3)/(t-3) < 27

t < 27; t ≠ 3

Обратная замена:

3^(sqrt(x+5)) <3 или 3 < 3^(sqrt(x+5)) <27

sqrt(x+5) < 1 или 1 < sqrt(x+5) < 3

0 <x+5 <1 или 1 < x+5 < 9

-5 < x < -4 или -4 < x < 4

О т в е т. (-5;-4)U(-4;4)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(5-(-7);11-2)=(12;9)
vector{AB}=12*vector{i}+9*vector{j}
|vector{AB}|=sqrt(12^2+9^2)=sqrt(144+81)=sqrt(225)=[b]15[/b]

На рисунке вектор vector{AB} соединяет точки А и В

Вектор из начала координат, равный vector{AB} имеет координаты 12 и 9

vector{BC}=(3-5;-3-11)=(-2;-14)
vector{BC}=-2*vector{i}-14*vector{j}
|vector{AB}|=sqrt((-2)^2+(-14)^2)=sqrt(4+196)=sqrt(200)=[b]10sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2-x^3

y`=0

3x^2-x^3=0

x^2*(3-x)=0

x=3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y``=6x-3x^2

y``=0

6x-3x^2=0

3x*(2-x)=0

x=0; x=2 - точки перегиба

(прикреплено изображение)

По условию "боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов", угол между боковой гранью и плоскостью основания - двугранный.

Чтобы построить [i]линейный угол[/i] двугранного угла нужно провести перпендикулярны к линии пересечения, т. е к стороне основания.

Это угол между апофемой боковой грани и высотой основания.

h_(основания)=8*sqrt(3)/2=4sqrt(3)

H=h*tg30 ° =(4sqrt(3))*(sqrt(3)/3)=4

Апофема боковой грани:

[i]l[/i]^2=H^2+h^2=4^2+(4sqrt(3))^2=16+48=64
[i]l[/i]=8

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)=3*(8*8/2)+(8sqrt(3)/4)=96+2sqrt(3)

Здесь три пропорции (cм. приложение)

Берем две любые ( например, первую и вторую)

Считаем по формуле С^(k)_(n) ( см. приложение 2)

и получаем систему двух уравнений:

{[m]\frac{\frac{(y+1)!}{x!\cdot(y+1-x)!}}{\frac{y!}{x!\cdot (y-x)!}}=\frac{14}{8}[/m]

{[m]\frac{\frac{y!}{x!\cdot(y-x)!}}{\frac{(y-1)!}{x!\cdot (y-1-x)!}}=\frac{8}{3}[/m]

[m]\frac{\frac{y+1}{y+1-x}{\frac{1}{1}}=\frac{14}{8}[/m] ⇒

8(y+1)=14(y+1-x) ⇒ [b]6y-14x+6=0[/b]

[m]\frac{\frac{y}{y-x}}{\frac{1}{1}}=\frac{8}{3}[/m] ⇒

8(y-x)=3y ⇒[b] 5y-8x=0[/b]

Решаем систему двух уравнений и находим х и у (прикреплено изображение)

Перестановки с повторениями:

10!/(8!*2!)=9*10/2=45

Ответ выбран лучшим

По частям
u=arcsin(x/4)
dv=dx ⇒ v=x

[m]du=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{4})^2}}\cdot(\frac{x}{4})`dx=\frac{dx}{2\sqrt{4-x^2}}[/m]

[m]=x\cdot arcsin\frac{x}{4}-\int \frac{dx}{2\sqrt{4-x^2}}=x\cdot arcsin\frac{x}{4}-\frac{1}{2}\cdot arcsin\frac{x}{4}+C[/m]

По частям

u=5x-2
dv=2^(x)dx

du=5dx
v=2^(x)/ln2

[m]=\frac{(5x-2)2^{x}}{ln2}-\int \frac{2^{x}}{ln2}5dx=\frac{(5x-2)2^{x}}{ln2}-\frac{5}{ln2}\cdot\frac{2^{x}}{ln2}+C[/m]

sin^5x=sin^4x*sinx=(sin^2x)^2*sinx=(1-cos^2x)^2*sinx=(1-2cos^2x+cos^4x)*sinx

[m]\int \frac{sin^5x}{cos^3x}dx=\int \frac{1-2cos^2x+cos^4x}{cos^3x}sinxdx=[/m]

[m]=\int \frac{sinxdx}{cos^3x}-2\int \frac{sinxdx}{cosx}+\int cosx\cdot sinxdx=[/m]

[m]=-\int cos^{-3}d(cosx)+2\int \frac{d(cosx)}{cosx}-\int cosxd(cosx)=[/m]

[m]=-\frac{cos^{-3+1}}{-3+1}+2\cdot ln|cosx|-\frac{cos^2x}{2}+C=\frac{1}{3cos^2x}+2\cdot ln|cosx|-\frac{cos^2x}{2}+C[/m]

Замена
[m]\frac{1}{x}=t[/m]

⇒

[m]x=\frac{1}{t}[/m]

[m]dx=-\frac{1}{t^2}[/m]

[m]\int \frac{dx}{x^2\sqrt{3+x^2}}=\int \frac{(-\frac{dt}{t^2})}{\frac{1}{t^2}\sqrt{3+\frac{1}{t^2}}}=-\int \frac{tdt}{\sqrt{3t^2+1}}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\int \frac{d(t^2+\frac{1}{3})}{\sqrt{t^2+\frac{1}{3}}}[/m]

[m]-\frac{1}{2\sqrt{3}}\int (t^2+\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} d(t^2+\frac{1}{3})=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{(t^2+\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}+1}}{(-\frac{1}{2}+1)}+C=-\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{t^2+\frac{1}{3}}+C[/m]

[m]t=\frac{1}{x}[/m]

x^2+6x+13=x^2+6x+9+4=(x+3)^2+4

Замена
x+3=t
x=t-3

dx=dt

[m]\int \frac{9-4x}{x^2+6x+13}dx=\int \frac{9-4\cdot(t-3)}{t^2+4}dt=\int \frac{21-4t}{t^2+4}dt=[/m]

[m]=21\int \frac{1}{t^2+4}dt-2\int \frac{d(t^2+4)}{t^2+4}=\frac{21}{2}arctg\frac{t}{2}-2ln|t^2+4|+C=[/m]

[m]=10,5arctg\frac{x+3}{2}-2ln|x^2+6x+13|+C[/m]

Ответ выбран лучшим

(30; 31) (30;32)(30;33)(30;34);(30;35)(30;36) - 6 cпособов

(31; 30) (31;32) (31;33)(31;34);(31;35)(31;36) - 6 способов.

....

7*6=42
.

Откладываем в сторону 4 короля и 4 дамы,
осталось 52 - 4 - 4 = 44 карты ( без королей и дам)

Из 44 карт нужно выбрать одну.
Это можно сделать 44 способами.

Теперь из 4 королей выбираем два, из 4-х дам выбираем две.

Выбора 2 короля, 2 дамы - находим умножением:

C^(2)_(4)*C^(2)_(4)=6*6 = 36 способов выбрать 2 короля из четырех и дамы из четырех

По правилу умножения перемножаем

44*36=

Ответ выбран лучшим

512=2^9

⇒

sqrt(x)+sqrt(y)=9

{sqrt(xy)=20
{sqrt(x)+sqrt(y)=9 ⇒

sqrt(x) и sqrt(y) корни квадратного уравнения
t^2-9t+20=0
t=4 или t=5

{sqrt(x)=4
{sqrt(y)=5

или

{sqrt(x)=4
{sqrt(y)=5

{x=16
{y=25

или

{x=25
{y=16

Ответ выбран лучшим

1=lg10

1+lg2=lg10+lg2=lg20

lgsqrt(xy)=lg20 ⇒ sqrt(xy)=20 ⇒ xy=400; xy>0

{sqrt(xy)=20
{sqrt(x)+sqrt(y)=9 ⇒

sqrt(x) и sqrt(y) корни квадратного уравнения
t^2-9t+20=0
t=4 или t=5

{sqrt(x)=4
{sqrt(y)=5

или

{sqrt(x)=4
{sqrt(y)=5

{x=16
{y=25

или

{x=25
{y=16

Ответ выбран лучшим

x^2 +y^2=4 - круговой цилиндр, в основании окружность x^2+y^2=4
с центром (0;0) и радиусом R=2

z=2x - плоскость пересекающая пл. хОу по оси Оу

z=0 - пл. хОу

y=0 - пл. хОz

D- четверть круга x^2+y^2=4 в первом октанте

Тело, ограниченное сверху пл. z=2x
С боков цилиндрической поверхностью

V= ∫ ∫ _(D)2xdxdy= ∫ ^(2)_(0) (∫^(sqrt(4-x^2) _(0)dy)dx=

=∫ ^(2)_(0) y|^(sqrt(4-x^2) _(0)dx=

=∫ ^(2)_(0)2x*(sqrt(4-x^2) -0)dx=

=-∫ ^(2)_(0)sqrt(4-x^2)d(4-x^2)dx=

[m]=-\frac{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{1}_{0}=[/m]

Ответ выбран лучшим

D: 0 ≤ x ≤ 1; sqrt(x) ≤ y ≤ x^2

∫ ∫ x2 ydxdy= ∫^(1)_(0) (∫^(x^2)_(sqrt(x)) x^2dy)dx=
D

= ∫^(1)_(0)x^2*y)|(y=x^2)_(y=sqrt(x))dx=

= ∫^(1)_(0)x^2*(x^2-sqrt(x))dx=

= ∫^(1)_(0)(x^4 - x^(2,5))dx=(x^5/5)|^(1)_(0)- x^(3,5)/(3,5)|^(1)_(0)=

=(1/5)-(1/3,5)=(1/5)-(2/7)=[b]-3/35[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A(2;2)=(m=2 ≥ 1; n=2 ≥ 1 это четвертая строка)=[red]A(1,A(2,1))[/red]

Так как A(2,1)=(m=2 ≥ 1; n=1, это третья строка)=2

[red]A(1,A(2,1))[/red]=А(1;2)=(m=1 ≥ 1 и n ≥ 2 это четвертая строка )=

=А(1-1,А(1,2-1))=[green]А(0,А(1,1))[/green]

Так как
А(1,1)=(m=1 ≥ 1 и n=1; это третья строка)=2

[green]А(0,А(1,1))[/green]=А(0;2)=(m=0 это первая строка ,2n и так как n=2)=2*2=[b]4[/b]

остальные аналогично

Ответ выбран лучшим

1.

[m]x\overset{h}{\rightarrow}(x^2+1)\overset{v}{\rightarrow} \frac{1}{(x^2+1)}\overset{u}{\rightarrow}arctg(\frac{1}{x^2+1}) [/m]

поэтому сложная функция

[m] u(v(h(x)))=f(x)=arctg\frac{1}{x^2+1} [/m]

[m]x\overset{u}{\rightarrow}arctgx\overset{h}{\rightarrow} (arctg^2x+1)\overset{v}{\rightarrow}\frac{1}{(arctg ^2x+1)} [/m]

поэтому сложная функция

[m] v(h(u(x)))=g(x)=\frac{1}{arctg^2x+1} [/m]

2.

На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x+1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0

Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)1=1

Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(x+1)=1

предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке 0

х=0 - [i]точка непрерывности [/i]

а) буквы не повторяются
7*6*5=210 слов
б) буквы повторяются
7*7*7=343 слова

СВ ⊥ ВА ( так как ∠В=90°)

CB - проекция DB

По теореме о трех перпендикулярах.
Проекция перпендикулярна АВ, значит и наклонная перпендикулярна АВ
Δ DAB - прямоугольный
∠DВA=90° (прикреплено изображение)

Это угол В_(1)СВ

Чтобы найти линейный угол двугранного угла надо к линии пересечения СD провести в каждой пл. перпендикуляры.

Они есть

BC ⊥ CD ( как стороны прямоугольника)

В_(1)С ⊥ СD по теореме о трех перпендикулярах, проекция B_(1)C - это ВС. Проекция перпендикулярна, значит и наклонная перпендикулярна (прикреплено изображение)

ρ ≥ 0 ⇒ 4-3cos φ ≥ 0 ⇒ cos φ ≤ 4/3 ⇒ верно при любом φ

Берем разные значения углов и находим ρ

Например

φ =0

ρ =7/(4-3)=7

Проводим луч φ =0 и откладываем точку 7

φ =π/3

cosπ/3=1/2

ρ =7/(4-3*0,5)=7/2,5

Проводим луч φ =π/3 и откладываем точку 7/2,5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ctg α =1/tg α

3*tg α -(3/tg α) =8

3tg^2 α -8tg α -3=0

D=64-4*3*(-3)=100

tg α =3 или tg α =-1/3

Так как по условию

-π/2 < α <0 tg α =3 не удовл этому условию

sin2 α =2tg α /(1+tg^2 α )=2*(-1/3)/(1+(1/9))=[b]-0,6[/b]

Ответ выбран лучшим

S_(поверхности шара)=4πR^2 ⇒ R^2[b]=S/4π[/b]

r^2=R^2-d^2=(37/(4π^2))-(1/(2π_)^2=36/(4π^2)=9/(π^2)

r=3/π

C=2π*r=6

Характеристическое
λ ^2+6 λ +9=0

Корень кратный действительный

λ _(1,2)=-3

а)f(x)=(x-2)e^(3x)

у_(частное)=(ax+b)*e^(3x)

б)
y_(частное)=Аcosx+Bsinx

Ответ выбран лучшим

Пропорция:

(3x+4)*(4x+3)=(x-6)*(x-2)

x-6 ≠ 0
4x+3 ≠ 0

12x^2+16x+9x+12=x^2-6x-2x+12

11x^2+33x=0

11*х*(х+3)=0

x=0 или x+3=0 ⇒ x=-3

Ответ выбран лучшим

y= ∫ tgxdx/(cos^2x)= ∫ tgx d(tgx)=(tg^2x)/2+C

Так как

y(0)=1/2

1/2=(tg^20)/2+C ⇒ C=1/2

частное решение в точке (0;1/2)

y=(tg^2x)/2 + (1/2)

Ответ выбран лучшим

по условию a=52; σ =6

Для случайной величины,распределенной по нормальному закону известны формулы вычисления вероятности попадания случайной величины в интервал [x_(1);x_(2)] и формулы вычисления вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания

см. приложение

В вопросе а) указаны границы значения случайной величины
> 55
Значит [x_(1);x_(2)]=[55;+ ∞ )

P( ξ >55)=P(55< ξ < ∞ )=Ф( ∞ )- Ф((55-52)/6)=Ф( ∞ )-Ф(0,5)

По таблице значений функции Лапласа:

Ф( ∞ )=0,5
Ф(0,5)=0,1915

О т в е т. 0,5-0,1915=

б) Не знаю.
Если только так
P( ξ =53)=Ф((53-52)/6)=Ф(1/6)=Ф(0,16666) ≈ Ф(1,7)=0,0675 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cначала надо избавиться от i в знаменателе.
Умножить и числитель и знаменатель
на (1+i*√3)

В знаменателе формула разности квадратов:
[green](1-i*√3)(1+i*√3)[/green]=1-(i*√3)^2=1-i^2*3=1+3=[green]4[/green]

получим

a=-8*(1+i*√3)/[green]4[/green]=2*(1+i√3=2+2i√3 - это алгебраическая форма

a=x+iy

x=2
y=2sqrt(3)

|a|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(2^2+(2sqrt(3))^2)=4

cos φ =x/|a|=2/4=1/2
sin φ =y/|a|=2sqrt(3)/4=sqrt(3)/2 угол в первой четверти

⇒ φ =π/3

a=4*(cos(π/3)+isin(π/3)) - тригонометрическая форма

========

a^2=(2+2isqrt(3))^2=4+8isqrt(3)-12=-8+8*isqrt(3)

Теперь для этого числа надо найти тригонометрическую форму

|a^2|=sqrt((-8)^2+(8*sqrt(3))^2)=16

cos φ =-8/16
sin φ =sqrt(3)/2 ⇒ угол во второй четверти

φ =2π/3

a^2=16*(cos(2π/3)+i*sin(2π/3))

Применяем формулу Муавра.

∛(-8+8*isqrt(3))=∛16*[m](cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2 \pi k}{3}+isin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{3})[/m], k ∈ Z

при k=0
первый корень
z_(o)=∛16*[m](cos\frac{2\pi}{9}+isin\frac{2\pi}{9})=[/m]

при k=1
второй корень
z_(1)=∛16*[m](cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3}+isin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3})=∛16(cos\frac{8\pi}{9}+isin\frac{8\pi}{9})[/m]

при k=2
третий корень
z_(2)=∛16*[m](cos\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3}+isin\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3})=∛16(cos\frac{14\pi}{9}+isin\frac{14\pi}{9})[/m]

Корни расположены на окружности радиуса ∛16

Первая точка z_(o) на пересечении окружности радиуса ∛16 и радуса, образующего угол 2π/9 c осью Ох

Вторая точка z_(1) на пересечении окружности радиуса ∛16 и радиуса, образующего угол 8π/9 c осью Ох

Вторая точка z_(2) на пересечении окружности радиуса ∛16 и радиуса, образующего угол 14π/9 c осью Ох

Точки z_(o);z_(1);z_(2) делят окружность на три ( потому что корень третьей степени) равные части, каждая по 120 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

январь 2017 долг S + 15% от S=[b]1,15S[/b]
Июнь 2017 выплата 1,15S-0,7S=0,45S и тогда долг 0,7S

январь 2018 долг 0,7S + 15% от 0,7S=[b]1,15*0,7S[/b]
Июнь 2018 выплата 1,15*0,7S-0,6S=0,205*S и тогда долг 0,6S

январь 2019 долг 0,6S + 15% от 0,6S=[b]1,15*0,6S[/b]
Июнь 2019 выплата 1,15*0,6S-0,5S=0,19*S и тогда долг 0,5S

январь 2020 долг 0,5S + 15% от 0,5S=[b]1,15*0,5S[/b]
Июнь 2019 выплата 1,15*0,5S=0,575*S и тогда долг 0

По условию все выплаты
0,45S=(9/20)*S
0,205*S=(41/200)*S
0,19*S=(19/100)*S
0,575*S=(23/40)*S
должны быть целыми:

Значит S должно делиться на 20; 200; 100; 40

НОК (20;200;100;40)=200

наименьшее S=200 тыс руб

Ответ выбран лучшим

[m]4^{log^2_{4}(x-1)}=4^{log_{4}(x-1)\cdot log_{4}(x-1)}=4^{n\cdot n}=(4^{n})^{n}=(4^{log_{4}(x-1)})^{log_{4}(x-1)}=[/m]

[m]a^{log_{a}b}=b\Rightarrow 4^{log_{4}(x-1)}=x-1[/m]

[m](x-1)^{log_{4}(x-1)^2}=(x-1)^{2log_{4}(x-1)}=((x-1)^{log_{4}(x-1)})^{2}[/m]

Уравнение сводится к квадратному

11t-3t^2=-4

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) - " из 1 в 2 переложили белый шар"
p(H_(1))=8/12
H_(2) - " из 1 в 2 переложили красный шар"
p(H_(2))=4/12
p(H_(1))+p(H_(2))=1
Гипотезы выбраны верно.

A- " из второй урны достали красный шар"
p(A/H_(1))=2/9 ( во второй 6 белых, 2 красных и переложили белый)
p(A/H_(2))=3/9

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(8/12)*(2/9)+(4/12)*(3/9)= считаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

По свойству плотности вероятности
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx=1

Считаем интеграл от данной функции.

Так как функция задана тремя выражениями рассматриваем интеграл как сумму интегралов:

∫^(+ ∞)_(- ∞ )f(x)dx=

=∫^(0)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx+∫^(1)_(0)[b]a(x+10)[/b]dx+∫^(+ ∞ )_(1)[b]0[/b]dx=

=0+a*((x^2/2)+10x)|^(1)_(0)+0=

=a*((1/2)+10)=10,5a

10,5a=1 ⇒[b] a=2/21[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]\lim_{x \to\infty }(\frac{x+1}{x+3})^{4x-1}=\lim_{x \to\infty }(\frac{x+1}{x+3})^{4x}\cdot(\frac{x+1}{x+3})^{-1} =[/m]

[m]=\lim_{x \to\infty }(\frac{x+1}{x+3})^{4x}\cdot\lim_{x \to\infty }(\frac{x+1}{x+3})^{-1}=[/m]

[m]\lim_{x \to\infty }(\frac{x+1}{x+3})^{-1}= 1^{-1}=1[/m]

[m]\lim_{x \to\infty }(\frac{x+1}{x+3})^{4x}=\lim_{x \to\infty }(\frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x+3}{x}})^{4x}=[/m]

[m]=\lim_{x \to\infty }\frac{(1+\frac{1}{x})^{x})^{4}}{(1+\frac{3}{x})^{x})^{4}}=\frac{e^{4}}{(e^{3})^{4}}=e^{4-12}=e^{-8}[/m]

Ответ выбран лучшим

1)
х^3–2х^2–х+2=(x-a)*(x-b)*(x-c)

Раскрываем скобки

х^3–2х^2–х+2=(x^2-ax-bx+ab)*(x-c)

x^3-2x^2-x+2=x^3-ax^2-bx^2-cx^2+abx+acx+bcx-abc

Два многочлена равны, если степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях равны:

-2=-a-b-c
-1=ab+ac+bc
2=-abc

[b]a=2;b=1;c=-1[/b]

Система трех уравнений с тремя неизвестными.

Проще разложить на множители способом группировки:

(x^3-2x^2)-(x-2)=x^2*(x-2)-(x-2)=[b](x-2)*(x-1)*(x+1)[/b]

2)

x^4-13x^2+36=(x^2-a)*(x^2-b)

x^4-13x^2+36=x^4-ax^2-bx^2+ab

-13=-a-b

36=ab

Проще разложить на множители по формуле разложения кв трехчлена

D=13^2-4*36=169-144=25

x^2=(13-5)/2=4; x^2=(13+5)/2=9

x^4-13x^2+36=(x^2-4)*(x^2-9)

Ответ выбран лучшим

1)xdx+xy^2dx=yx^2dy+ydy

(x+xy^2)dx=(yx^2+y)dy

x(1+y^2)dx=y*(x^2+1)dy

xdx/(1+x^2)=ydy/(1+y^2)

∫ xdx/(1+x^2)= ∫ ydy/(1+y^2)

(1/2)ln (1+x^2)=(1/2)ln(1+y^2)+(1/2)ln C

[b]1+x^2=C(1+y^2)[/b]

2)

Делим на х:
y`=3sqrt(2x^2+y^2)/x + (y/x)

y`=3sqrt(2(x/y)^2+1) + (y/x)

Справа функция, зависящая от (y/x)

Значит, это однородное уравнение первой степени

Решается заменой

y/x=u

y=x*u

y`=x`*u+x*u`

x`=1

y`=u+x*u`

u+xu`=3sqrt(2(u)^2+1) + u

xu`=3sqrt(2(u)^2+1)

Это уравнение с разделяющимися переменными

du/sqrt(2u^2+1)=3dx/x

∫ du/sqrt(2u^2+1)= ∫ 3dx/x

(1/sqrt(2))*∫ du/sqrt(u^2+(1/2))=3 ∫ dx/x

(1/sqrt(2))ln|u+sqrt(u^2+(1/2))|=3ln|x|+lnC

V=25*64*1

ОДЗ:
{1-2x >0 ⇒ x < 0,5
{1-2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 0
{3-x >0 ⇒ x < 3
{3-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{ 2x^2-7x+3 > 0 ⇒ D=49-4*2*3=25; корни 0,5 и 3; x < 0,5 или x > 3

x ∈ (- ∞ ;0) U (0;0,5)

2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)=(1-2x)(3-x)

log_(3-x)sqrt(2x^2-7x+3)=log_((3-x)(2x-1)(x-3))^(1/2)=

=(1/2)log_(3-x)(1-2x) +(1/2) log_(3-x)(3-x)=(1/2)log_(3-x)(1-2x) + (1/2)

Уравнение принимает вид:

log_(1-2x)(3-x) +(1/2)log_(3-x)(1-2x) + (1/2)=2

Замена:
log_(1-2x)(3-x) =t

log_(3-x)(1-2x) =1/t

t + (1/2t)-3/2=0

2t^2-3t+1=0

D=9-4*2*1=1

t_(1)=1/2 или t_(2)=1

Обратная замена:
log_(1-2x)(3-x) =1/2 или log_(1-2x)(3-x) =1

log_(1-2x)(3-x) =1/2

2*log_(1-2x)(3-x) =1

log_(1-2x)(3-x)^2 =1

1-2x=(3-x)^2

x^2-4x+8=0

D < 0 нет корней

log_(1-2x)(3-x) =1

1-2х=3-х

x=-2 входит в ОДЗ

О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

4a)
1*5-2*3=-1
б)
4*4*6+3*1*1+1*5*3-1*4*1-4*2*3-5*3*6=
д)
a^3+b^2c+c^2b-ac^2-ab^2-abc

5.
6x^2+21+8x-4x-7x^2-36=0

-x^2+4x-15=0

x^2-4x+15=0

D=16-4*15=16-60 <0

нет корней

3. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

сумма арифметической прогрессии

(1+2+...+n)=(1+n)*n/2

[m]\lim_{n \to \infty }\frac{1+2+...+n}{(3+n^3)}=\lim_{n \to \infty }\frac{(1+n)\cdot n}{2(3+n^3)}=[/m]

получили неопределенность( ∞ / ∞ )

Делим и числитель и знаменатель на n^3

[m]=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{(1+n)n}{n^3}}{\frac{2(3+n^3)}{n^3}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{6}{n^3}+2}=\frac{0+0}{0+2}=0[/m]

dy/dx=y`

y`=-y/(2sqrt(xy)-x)

Делим и числитель и знаменатель дроби справа на х:

y`=(y/x)/(2sqrt(x/y)-1)

Справа функция, зависящая от (y/x)

Значит, это однородное уравнение первой степени

Решается заменой

y/x=u

y=x*u

y`=x`*u+x*u`

x`=1

y`=u+x*u`

u+xu`=-(xu)/(2sqrt(x*ux)-x)

Это уравнение с разделяющимися переменными

не нравится.

Громоздко.

Поскольку переменные х и у равноправны, то можно сделать и так:

dx/dy=x`

y*x`=-2sqrt(xy)+x

x`=-2sqrt(x/y)+(x/y)

[b]Замена лучше так:[/b]

x/y=u

x=u*y

x`=u`*y+u*y` ( y`=1)

x`=u`*y+u

тогда

u`*y+u=-2sqrt(u)+(u)

u`*y=-2sqrt(u) - уравнение с разделяющимися переменными

y*du=-2sqrt(u)dy

du/2sqrt(u)=-dy/y

Интегрируем:

∫ du/2sqrt(u)=- ∫ dy/y

sqrt(u)=-lny+c

или вместо c лучше написать lnC

sqrt(u)=-lny+lnC

sqrt(u)=ln(C/y)

C/y=e^(sqrt(u)

u=x/y

С/у=e^(sqrt(x/y)) - [b]общее решение
[/b]

Ответ выбран лучшим

Однородное уравнение имеет вид:

y''–y'–6y=0

Составляем характеристическое уравнение:

λ ^2-λ -6=0

D=25

λ _(1)=-2 или λ_(2)=3

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, значит общее решение уравнения
имеет вид:

y=C_(1)e^( λ _(1)x)+C_(2)*e^( λ _(2)x)

Подставляем
λ _(1)=-2 или λ _(2)=3

[b]y_(одн)= C_(1) e^(-2x)+C_(2)e^(3x)[/b] - общее решение однородного уравнения

Общее решение неоднородное дифференциального уравнения

y=y_(одн)+у_(частное)

у_(частное)- решение неоднородного уравнения:

y''–y'–6y=f(x)

f(x)=9cosx-sinx

у_(частное)=Asinx+Bcosx

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное уравнение:
y``+4y`+20y=0

Составляем характеристическое уравнение
λ^2+4 λ +20=0
D=16-80=-64

λ_(1)=-2-4i; λ_(2)=-2+4i - комплексно-сопряженные корни

α=-2
β=4

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=e^(-2x)*(C_(1)cos4x+C_(2)sin4x)

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

у_(част)=Acos4x+Bsin4x

y`_(част)=-4Аsin4x+4Bcos4x

y``_(част)=-16Acos4x-16Bsin4x

Подставляем в данное уравнение:

-16Acos4x-16Bsin4x+(-16Asin4x+16Bcos4x)+20*(Acos4x+Bsin4x)=

=4cos4x-52sin4x

(4A+16B)*cos4x+(4B-16A)sin4x=4cos4x-52sin4x

⇒
{4A+16B=4
{4B-16A=-52

Упростим второе уравнение ( разделим на 4)

{4A+16B=4
{-4A+B=-13

Складываем:

17В=-9

Упростим первое уравнение ( разделим на 4)
{A+4B=1
{16A-4B=52

Складываем:

17A=53

А=53/17
В=-9/17

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(одн) и у_(част)

y=e^(-2x)*(C_(1)cos4x+C_(2)sin4x)+(53/17)cos4x - (9/17)sin4x

Ответ выбран лучшим

ВЕ- высота равнобедренного треугольника, а значит и медиана.

АЕ=ЕС=sqrt(35)

По теореме Пифагора

AB^2=AE^2+BE^2=35+1=36

АВ=6

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx

lny*dy=(e^(2x))dx - уравнение с разделенными переменными

Интегрируем:

∫ lny*dy= ∫(e^(2x))dx

∫(e^(2x))dx=(1/2) ∫(e^([b]2x[/b]))d([b]2x[/b])=(1/2)*e^(2x)

Интеграл слева считаем по частям:

∫ udv=u*v- ∫ vdu

u=lny ⇒ du=(1/y)dy
dv=dy ⇒ v=y

y*lny-y=(1/2)* (e^(2x)) +C - общее решение

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx

dy=(e^(x^2))*x*(1+y^2)dx - уравнение с разделяющимися переменными

dy/(1+y^2)=(e^(x^2))*xdx

Интегрируем:

∫ dy/(1+y^2)= ∫ (e^(x^2))*xdx

arctgy = (1/2)∫ (e^([b]x^2[/b]))d([b]x^2[/b])

arctgy = (1/2)* (e^(x^2)) +C - общее решение

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Область определения (4;+ ∞ )

y`=1/(x-4) - 4

y` = 0

1/(x-4) - 4 =0

(1-4x+16)/(x-4)=0

1-4x+16=0

x=17/4

(4) _ +__ (17/4) __-__

x=17/4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

y`=x^2-9

y`=0

x^2-9=0

x= ± 3

_+__ (-3) _-__ (3) _+__

x=-3 - точка максимума

х=3 - точка минимума.

Наиб и наим нет. См график

Есть значения, которые больше чем в точке максимума и меньше чем в точке минимума.

Поэтому можно говорить о наибольшем и наименьшем значении на отрезке. Отрезок не задан (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''+36y=0

Составляем характеристическое уравнение:
λ^2+36=0

λ _(1,2)= ± 6i

– корни комплексные

α=0 β=6

Общее решение однородного имеет вид:

y_(одн.)=e^(αx)*(С_(1)*cosβх+C_(2)*sinβx)

В данном случае

y_(одн.)=e^(0)*(С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x)

y_(одн.)=С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=(ax+b)*e^(x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=a*e^(x)+(ax+b)*e^(x)=e^(x)*(ax+a+b)

y``_(част)=e^(x)*(ax+a+b)+e^(x)*(a)=e^(x)*(ax+2a+b)

подставляем в данное уравнение:

e^(x)*(ax+2a+b)+36*(ax+b)*e^(x) = x e^(x)

сокращаем на e^(x)
ax+2a+b+ax+b=x

2a=1 ⇒ a=1/2

2a+2b=0 ⇒ a=-b ⇒ b=-a=-1/2

y_(част)=((1/2)x-(1/2))*e^(x)

О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)=С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x+((1/2)x-(1/2))*e^(x)

Ответ выбран лучшим

y`=6*(-sinx)+3sqrt(3)

y`=0

6*(-sinx)+3sqrt(3)=0

sinx=sqrt(3)/2

x=(-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z

отрезку [0;π/2] принадлежит x= (π/3)

[0] __+__ (π/3) __-_ [π/2]

х=π/3 - точка максимума, значит в этой точке наибольшее значение на отрезке

О т в е т. y(π/3)= 6*cos(π/3)+3sqrt(3)*(π/3)-sqrt(3)*π+8=6*(1/2)+8=[b]11[/b]

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ sin^2xdx

y`= ∫ (1-cos2x)dx/2=(1/2)x-(1/4)sin2x+C_(1)

y= ∫ ((1/2)x-(1/4)sin2x+C_(1))dx=

=(1/2)*(x^2/2) +(1/8)cos2x+C_(1)x+C_(2)

y(0)=–π^2/16, y'(0)=0 ⇒

{-π^2/16=(1/2)*0+(1/8)cos0+C_(1)*0+C_(2) ⇒ C_(2)=(-π^2/16)-(1/8)
{0=(1/2)*0-(1/4)sin0+C_(1) ⇒ C_(1)=0

[b]y=(1/2)*(x^2/2) +(1/8)cos2x- (π^2/16)-(1/8)[/b]

y(π/12)=(1/2)*(π^2/288) +(1/8)cos(π/6)- (π^2/16)-(1/8) - считайте

Ответ выбран лучшим

Область определения функции:

(- ∞ ;0) U (0;+ ∞ )

f(x)=[m]\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}[/m]

f(x)=[m]x+\frac{1}{x}[/m]

f(x)=[m]x+x^{-1}[/m]

Находим производную:

f`(x)=[m]1+(-1)\cdot x^{-2}[/m]

Приравниваем ее к нулю:

[m]1+(-1)\cdot x^{-2}=0[/m]

[m]1-\frac{1}{x^2}=0[/m]

[m]\frac{1-x^2}{x^2}=0[/m]

1-x^2=0

x= ± 1

_ +___ (-1) __-__ (0) __-___ (1) __+__

x=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

см график на рисунке

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Однородное уравнение имеет вид:

y''–y'–6y=0

Составляем характеристическое уравнение:

λ ^2-λ -6=0

D=25

λ _(1)=-2 или λ_(2)=3

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, значит общее решение уравнения
имеет вид:

y=C_(1)e^( λ _(1)x)+C_(2)*e^( λ _(2)x)

Подставляем
λ _(1)=-2 или λ _(2)=3

[b]y_(одн)= C_(1) e^(-2x)+C_(2)e^(3x)[/b] - общее решение однородного уравнения

Общее решение неоднородное дифференциального уравнения

y=y_(одн)+у_(частное)

у_(частное)- решение неоднородного уравнения:

y''–y'–6y=f(x)

f(x)=2xe^3x

Запишем общий вид таких функций:

f(x)=(ax+b)*e^(λx)

a=2; b=0; λ =3

Так как λ _(2)=3 является корнем характеристическое уравнение:

то частное решение находим в виде, похожем на правую часть и умножаем на х

у_(частное)=(ax+b)*e^(λx) * x

Нахордим
y`
y``

и подставляем в данное уравнение

Ответ выбран лучшим

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Составляем характеристическое уравнение:

λ ^2+6 λ =0

λ *( λ +6)=0

λ _(1)=0 или λ_(2)=-6

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, значит общее решение уравнения
имеет вид:

y=C_(1)e^( λ _(1)x)+C_(2)*e^( λ _(2)x)

Подставляем
λ _(1)=0 или λ _(2)=-6
[b]y= C_(1) e^(0x)+C_(2)e^(-6x)[/b] - общее решение

О т в е т. y= C_(1)+C_(2)e^(-6x) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Избирательное право - это совокупность юридических норм, закрепляющих права граждан[red] избирать[/red] и [green]быть избранными[/green] в органы государственной власти, а также право отзыва избирателями избранных лиц, не оправдавших их доверия.

(прикреплено изображение)

T=AB1⋂A1B
Т- точка пересечения диагоналей грани ABB1А1

Боковая грань ABB1А1- прямоугольник. Диагонали в точке пересечения делятся [i]пополам[/i].

Диагонали параллелепипеда ( их четыре: BD_(1);B_(1)D; AC_(1) и А_(1)С) - пересекаются в точке О.

На рисунке только две диагонали BD_(1);B_(1)D.

Принадлежат одной плоскости BB_(1)D_(1)B. Это прямоугольник.
Диагонали прямоугольника в точке О делятся [i]пополам[/i].

Рассмотрим треугольник АВ_(1)D

OТ- средняя линия ΔАВ_(1)D

ОТ || AD, так как

AD || BC || B_(1)C_(1) ⇒ ОТ || B_(1)C_(1) (прикреплено изображение)

Применяем свойство логарифма степени справа налево:
klog_(c)a=log_(c)a^(k)

( cм. фото в приложении)

[i]Уравнение[/i] принимает вид:

[b]log_(2)(8-x)=log_(2)(4+x)^2[/b]

Логарифмическая функция [b]строго монотонна[/b],
это значит, что каждое свое [i]значение[/i] функция
принимает только [i]один раз.[/i]

Поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:

8-x=(4+x)^2

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение

x^2+9x +8=0

По теореме[i] Виета[/i] находим корни
x_(1)=-1; x_(2)=-8

Обязательно делаем [red]проверку[/red] ( или находим [green]ОДЗ[/green] вначале решения).

Иногда проверку сделать проще, чем решить систему неравенств в ОДЗ.

При x=-1

log_(2) (8-(-1))=2log_(2)(-1+4)

log_(2)9=2log_(2)3- верно,

т.к log_(2)9=log_(2)3^2=2log_(2)3

При x=-8

log_(2)(-8+4) не существует

О т в е т. x=-1 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

ОДЗ: x>0

Логарифмируем по десятичному логарифму

[m]lgx^{lg\frac{100x}{3}}=lg9[/m]

Применяем свойства логарифма степени:

[m]lg\frac{100x}{3}lgx=lg9[/m]

Применяем свойства логарифма дроби и произведения:

(lg100+lgx-lg3)*lgx=lg9

2lgx+lg^2x-lg3*lgx-lg3^2=0

(2lgx-2lg3)+lgx*(lgx-lg3)=0

(lgx-lg3)*(2+lgx)=0

lgx-lg3=0 или 2+lgx=0

lgx=lg3 или lgx=-2

x=3 или x=10^(-2)

О т в е т. 0,01 и 3

Ответ выбран лучшим

vector{AB}+vector{BC}=vector{AC}

(6[b]p[/b]+18[b]q[/b]-10[b]r[/b])+(-20[b]p[/b]-16[b]q[/b]-14[b]r[/b])= α [b]p[/b]+ β [b]q[/b]+ γ[b] r[/b]

-14[b]p[/b]+2[b]q[/b]-24[b]r[/b]= α [b]p[/b]+ β [b]q[/b]+ γ[b] r[/b]

α =-14
β =2
γ =-24

Пусть x км/ч - скорость течения реки,

тогда (17+х) км/ч - скорость катера по течению

(17-х) км/ч - скорость катера против течения

154/(17+x) ч - время катера по течению

154/(17-x) ч - время катера против течения

Общее время 18 часов 42 минуты=18 целых (42/60)=18,7 часов

Уравнение:

[b]154/(17+x) + 154/(17-x) =18,7
[/b]

ОДЗ: x > 0

Замена переменной:

lgx=t

lg^2x=t^2

Квадратное неравенство

t^2-2t-3 <0

верно при

-1 < t < 3

Обратный переход
-1 < lgx< 3

-1*lg10 < lgx < 3*lg10

lg10^(-1)< lgx < lg 10^3

0,1 < x < 1000 - ответ

Из второго уравнения

t=-y/3

подставляем в первое

x=-4*(-y/3)^2+1

x=(-4/9)y^2+1 - парабола, ветви направлены в сторону, противоположную направлению оси Ох

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию рассматривается произведение цифр, значит в записи числа цифры 0 быть не должно

6- значные числа занимают шесть мест, на эти места записывают цифры от 1 до 9

Цифры могут повторяться.

По условию "произведение цифр делится на 28"

так как

28=7*4

в записи числа обязательно должны быть
7 и 4

или

7 и 2 и 2

Цифра 7 занимает любое из шести мест шестизначного числа
6 способов. На оставшиеся пять мест можно расположить цифру 4
5 способов. На оставшиеся 4 места - любую из цифр от 1 до 9 девять способов, затем на оставшиеся три места - любую из цифр от 1 до 9 девять способов...

n_(1)=6*5*9*9*9*9=

Цифра 7 занимает любое из шести мест шестизначного числа
6 способов. На оставшиеся пять мест можно расположить цифру 2
5 способов. На оставшиеся 4 места - цифру 2 (4 способа)
затем на оставшиеся три места - любую из цифр от 1 до 9 девять способов...

n_(2)=6*5*4*9*9*9=

О т в е т. n_(1)+n_(2)=6*5*9*9*9*9+6*5*4*9*9*9=

=6*5*9*9*9*(9+4)=284310

а) 27·45·36·72 =(3*3*3)*(3*3*5)*(2*2*3*3)*(2*2*2*3*3)=2^6*3^9*5

Делители:
[b]2[/b];[b]3[/b];[b]4[/b]=2*2;[b]5[/b];[b]6[/b]=2*3;[b]8[/b]=2*2*2; [b]9[/b]=3*3;[b]10[/b]=2*5;[b]12[/b]=2*2*3; [b]15[/b]=3*5; [b]16[/b]=2*2*2*2; и так далее

б) 55·54·66 =(5*11)*(2*3*3*3)*(2*2*11)=2^3*3^3*5*11^2

2
3;
2^2
5;
2*3
2^3
3^2
2*5
11
2^2*3
3*5
2*3^2
2^2*5
2*11
2^3*3
...

в) 68·89·48=(2*2*17)*89*(2*2*2*2*3)=2^6*3*17*89

Ответ выбран лучшим

По формуле ( см рисунок):
cos120 ° + cos(-40 °) + cos240 ° + cos(-80 °) + cos200 ° + cos120 °

По свойству четности косинуса
cos(-40 °)=cos40 °
cos(-80 °)=cos80 °

По формулам приведения:

cos120 °=cos(180 °- 60 °)=-cos60 °
cos240 ° =cos(180 °+60 °)=-cos60 °
cos200 ° =cos(180 °+20 °)=-cos20 °

получим:
=-cos60 ° +cos40 ° - cos60 ° +cos80 ° -cos20 ° -cos60 °

так как cos60 ° =0,5

то

=cos40 ° +cos80 ° -cos20 ° -1,5

далее формула разности косинусов:

cos80 ° -cos20 °=-2sin50 ° sin30 ° =-2sin50 ° *(0,5)=-sin50 °=-cos40 °

О т в е т. cos40 ° -cos40 ° -1,5=[b]-1,5 [/b]

(прикреплено изображение)

y`=(1/2)+2sinx*cosx

y`=(1/2)+sin2x

y`=0

(1/2)+sin2x=0

sin2x=-1/2

2x=(-π/6)+2πk, k ∈ Z или 2x=(-5π/6)+2πn, n ∈ Z

x=(-π/12)+πk, k ∈ Z или x=(-5π/12)+πn, n ∈ Z

(-π/12) ∈ [-π/2; π/2]

(-5π/12) ∈[-π/2; π/2]

Знак производной:

[-π/2] _+_ (-5π/12) _-__ (-π/12) ___+____ [π/2]

x=-5π/12 - точка максимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с + на -

Можно посчитать это значение, но оно отрицательное.

Поскольку

y` > 0 на [-π/12;π/2]

то функция возрастает на [-π/12;π/2] потому наибольшее значение принимает в точке x=π/2

y(π/2)=[b](π/4)+1[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]x\overset{v}{\rightarrow}\frac{1}{x}[/m]

[m]x\overset{u}{\rightarrow}\left\{\begin{matrix} tgx, x <0\\ lnx, x \geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

поэтому сложная функция u(v(x)):

[m]x\overset{v}{\rightarrow}\frac{1}{x}\overset{u}{\rightarrow}\left\{\begin{matrix} tg\frac{1}{x}, x <0\\ ln\frac{1}{x}, x \geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

f(x)=u(v(x))=[m]\left\{\begin{matrix} tg\frac{1}{x}, x <0\\ ln\frac{1}{x}, x \geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

a сложная функция v(u(x)):

[m]x\overset{u}{\rightarrow}\left\{\begin{matrix} tgx, x <0\\ lnx, x \geq 0 \end{matrix}\right.\overset{v}{\rightarrow}\left\{\begin{matrix}\frac{1}{tgx}, x <0\\ \frac{1}{lnx}, x \geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

g(x)=v(u(x))=[m]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{tgx}, x <0\\ \frac{1}{lnx}, x \geq 0 \end{matrix}\right.[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx

sin2x/cosx=2sinx

(sin2x/cosx)-sinx=2sinx-sinx=sinx

v(t)=s`(t)=(2t^3-t-4)`=6t^2-1

v(0)=6*0^2-1=-1
v(2)=6*2^2-1=23
v(5)=6*5^2-1=149

Ответ выбран лучшим

y - f(x_(o))=f `(x_(o))*(x - x_(o))- уравнение касательной

y - f(x_(o))=(-1/f `(x_(o)))*(x - x_(o))- уравнение нормали

x_(o)=-1
f(x_(o))=4-(-1)^2=4-1=3

f`(x)=-2x

f`(x_(o))=-2*(-1)=2

y-3=2*(x+1) -уравнение касательной

[b]y=2x+5[/b]

y-3=(-1/2)*(x+1)-уравнение нормали

[b]y=(-1/2)x+(5/2)[/b]

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:

f`(x_(o))=k_(касательной)=tg α

α - угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох

x_(o)=2

f`(x)=2x-3

f`(x_(o))=2*2-3=1

tg α =1

α =45 °

y-y_(o)=f`(x_(o))*(x-x_(o))

y-3=1*(x-2)

[b]y=x+1[/b] уравнение касательной

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:

f`(x_(o))=k_(касательной)=tg α

α - угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох

По условию

α =135 °

tg 135 ° =-1

f`(x)=2x+3

f`(x_(o))=2x_(o)+3

f`(x_(o))=-1

2x_(o)+3=-1

2x_(o)=-4

x_(o)=[b]-2[/b]

y_(o)=(-2)^2+3*(-2)-10=[b]-12[/b]

Ответ выбран лучшим

D( μ )=D( ξ )+D(-sqrt(2) η )=D( ξ )+(-sqrt(2))^2*D( η )=4+2*1=6

σ ( μ )=sqrt(D( μ ))=sqrt(6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=log_(1,2)(3/8) < log_(1,2)1=0

q=log_(2)8(2/5)>log_(2)8=3>0

r=log_(1,4)0,3<log_(1,4)1=0

l=log_(0,4)(3/4)>log_(0,4)1=0

О т в е т. q и l (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения функции:

(- ∞ ;1) U (1;+ ∞ )

f(x)=[m]\frac{(x-1)^2}{x-1}+\frac{1}{x-1}[/m]

f(x)=[m](x-1)+\frac{1}{x-1}[/m]

f(x)=[m](x-1)+(x-1)^{-1}[/m]

Находим производную:

f`(x)=[m]1+(-1)\cdot (x-1)^{-2}[/m]

Приравниваем ее к нулю:

f`(x)=0

(x-1)^2-1=0

(x-1-1)*(x-1+1)=0

(x-2)*x=0

x-2=0 или х=0

х=2 или х=0

Отмечаем эти точки на области определения и ставим знак производной:

_+__ (0) _-__ (1) _-__ (2) _+__

x=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

f(0)=[m]\frac{(2-1)^2+1}{2-1}=2[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]log_{4}45=log_{4}3^2\cdot5=log_{4}3^2+log_{4}5=2log_{4}3+log_{4}5=[/m]

[m]=2\cdot\frac{1}{log_{3}4}+\frac{1}{log{5}4}=2\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{b}[/m]

[m]x\overset{g}{\rightarrow}\frac{1}{x^2}[/m]

[m]x\overset{f}{\rightarrow}\frac{x^2-1}{x^2}[/m]

поэтому сложная функция f(g(x)):

[m]x\overset{g}{\rightarrow}\frac{1}{x^2}\overset{f}{\rightarrow}\frac{(\frac{1}{x^2})^2-1}{(\frac{1}{x^2})^2}[/m]

f(g(x))=[m]\frac{(\frac{1}{x^2})^2-1}{(\frac{1}{x^2})^2}[/m]

f(g(x))=[m]\frac{\frac{1}{x^4}-1}{\frac{1}{x^4}}[/m]

f(g(x))=1-x^4

f(g(x))=1-2^4=1-16=[b]-15[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть в первом ящике х кг, во втором - (х+3) кг, в третьем

(8/9)*x кг.

Из условия "третьего ящика составляет 96% от массы четвёртого ящика" находим массу четвертого ящика

Пусть в четвертом y кг, тогда 0,96*y кг в третьем и из равенства

(8/9)x=0,96y

находим

y=(8/9)*x:0,96=(25/27)*x кг ( у выразили через х)

Так как по условию

" в четырёх ящиках 106 кг фруктов" составим уравнение

x+(x+3)+(8/9)*x+(25/27)x=106

(103/27)*х=103

х=27

27 кг в первом ящике

(х+3) кг = 27+3=30 кг во втором ящике

(8/9)*х =(8/9)*27=24 кг в третьем ящике

(25/27)*x=(25/27)*27=25 кг в четвертом ящике

D( μ )=D( ξ -2 η )=D( ξ )+D(-2 η )=D( ξ )+(-2)^2*D( η )=1+4*0,5=1+2=[b]3[/b]

cм свойства дисперсии
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

случайная величина ξ - число попаданий.

ξ принимает значения
0; 1; 2; 3; 4

Считаем вероятность для каждого значения.

ξ=0 - нет попаданий, значит 4 промаха: и первый промахнулся и второй и третий и четвертый:

p_(o)=0,25*0,25*0,25*0,25=0,25^4

ξ=1- одно попадание:
или первый попал, остальные промахнулись
или второй попал, остальные промахнулись
или третий попал, остальные промахнулись
или четвертый попал, остальные промахнулись

и так далее

p_(1)=0,75*0,25*0,25*0,25+0,25*0,75*0,25*0,25+

+0,25*0,25*0,75*0,25+0,25*0,25*0,25*0,75=4*0,75*0,25^3

p_(2)=6*0,75^2*0,25^2

p_(3)=4*0,75^3*0,25

p_(4)=0,75^4

Закон распределения - таблица

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^4+4x^3+4ax-16x-(a-4)^2=0;

x^4-(a-4)^2+4x^3+4ax-16x=0

(x^2-a+4)*(x^2+a-4)+4x(x^2+a-4)=0

(x^2+a-4)*(x^2-a+4+4x)=0

Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0

x^2+a-4=0 или x^2-a+4+4x=0

x^2=4-a или x^2+4x+(4-a)=0

при 4-а <0 первое уравнение не имеет корней, этот случай не устраивает, так как второе уравнение квадратное и может иметь не более двух корней.

при 4-a=0 первое уравнение имеет один корня x_(1)=x_(2)=0

второе уравнение принимает вид x^2+4x=0 которое имеет два корня

x_(3)=0; x_(4)=-4

этот случай не устраивает, так как уравнение имеет только два корня
x_(1)=x_(2)=x_(3)=0; x_(4)=-4

Итак

при 4-a >0, т. е [b]a < 4[/b] первое уравнение имеет два корня, тогда

второе- квадратное уравнение должно иметь хотя бы один, это возможно, если дискриминант

D=16-4*(4-a)=16-16+4a=4a

D ≥ 0 ⇒

При D=0, т. е при 4a =0,

[b]a=0 [/b] x_(3)=x_(4)=-2

При D>0, т. е при 4a >0,

[b]a> 0[/b] x_(3) =(-4-sqrt(4a))/2= -2-sqrt(a); x_(4)=-2+sqrt(a)

О т в е т. [0;4]

[m]=-\frac{4\cdot 5}{15\cdot 8}-\frac{3\cdot 4}{4\cdot 9}=-\frac{1\cdot 5}{15\cdot 2}-\frac{3}{ 9}=-\frac{1}{3\cdot 2}-\frac{1}{ 3}=[/m]

[m]=-\frac{1}{6}-\frac{2}{ 6}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}[/m]

Находим две точки, принадлежащие графику с хорошими координатами. См. рис.
Одна на оси Оу
(0;-4)
Вторая на оси Ох
(6;0)

Уравнение прямой в общем виде
y=kx+b

Подставляем координаты точек и находим k и b

-4=k*0+b ⇒ b=-4
0=k*6-4 ⇒ k=2/3

О т в е т. [b]y=(2/3)x-4[/b] (прикреплено изображение)

1)
[i]1 cпособ: [/i]
подставляем и считаем:
Р(a)=P(-3)=(-3)^3+4*(-3)^2+3*(-3)+11=-27+36-9+11=11
[i]2 способ[/i]

Делим многочлен Р(х)=х^3+4х^2+3х+11 на двучлен (х-(-3))=х+3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
(x+2)*(x-0)*(x-2)*(x+3)=0
раскрываем скобки
(x^3-4x)*(x+3)=0
[b]x^4+3x^3-4x^2-12x=0[/b]

2)
(x+3)*(x+1)*(x-1)*(x-3)=0
(x^2-1)*(x^2-9)=0
[b]x^4-10x^2+9=0[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
Неопределенность 0/0

Числитель раскладываем на множители:

3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)

Умножаем и числитель и знаменатель на выражение
sqrt(8+x)+3

Получаем:

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(3x-1)(x-1)(\sqrt{8+x}+3)}{(\sqrt{8+x}-3)(\sqrt{8+x}+3)}=[/m]

Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=(a-b)*(a+b)

[m]\lim_{x \to 1}\frac{(3x-1)(x-1)(\sqrt{8+x}+3)}{(\sqrt{8+x})^2-3^2}=\lim_{x \to 1}\frac {(3x-1)(x-1)(\sqrt{8+x}+3)}{8+x-9}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 1}\frac {(3x-1)(x-1)(\sqrt{8+x}+3)}{x-1}=[/m]

Сокращаем (на x-1)

[m]=\lim_{x \to 1}(3x-1)(\sqrt{8+x}+3)=(3\cdot 1 -1)(\sqrt{8+1}+3)=[/m]

[m]=2\cdot 6=12[/m]

2) Неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим и числитель и знаменатель на x^2

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{\sqrt[4]{x^8+1}+x}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^4+2}}{x^2}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^2 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^2:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{\sqrt[4]{x^8+1}}{x^2}+\frac{x}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^4+2}}{x^2}}[/m]

Применяем свойства корня:

[m]\lim_{\to \infty }\frac{\sqrt[4]{\frac{x^8+1}{x^8}}+\frac{x}{x^2}}{\sqrt{\frac{x^4+2}{x^4}}}=[/m]

[m]\lim_{\to \infty }\frac{\sqrt[4]{1+\frac{1}{x^8}}+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^4}}}=\frac{\sqrt[4]{1+0}+0}{\sqrt{1+0}}=1[/m]

3) Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(x+1)+1

[m]\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{sinx}\cdot(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}=[/m]

Применяем формулу разности квадратов и получаем:

[m]\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{sinx}\cdot(\sqrt{x+1}+1)}{x}=\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{x}}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x}}=1\cdot\frac{\sqrt{0+1}+1}{0}=\infty[/m]

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Дискретная случайная величина Х - число выигрышных билетов
распределена [i]по биномиальному закону.[/i]

p=10/100=0,1 - вероятность выигрыша
q=1-p=1=0,1=0,9 - вероятность невыигрыша

событие A-" выигрыш хотя бы по одному билету

P(A) ≥ 0,986

P(A)=1-P(vector{A})=1-0,9^(n)

Решаем неравенство:

1-0,9^(n) ≥ 0,986 ⇒

0,9^n ≤ 0,014

Логарифмируем по основанию 10

lg0,9^n ≤lg 0,014

n*lg0,9 ≤ lg0,014

(lg0,9=-0,045757... <0 и lg0,014=-1,85387... <0)

Делим на отрицательное число, знак неравенства меняется:
n ≥ 40,5 ⇒

О т в е т. 41 и больше

Область определения:
{x>0; x ≠ 1
{x-4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4

ОДЗ: x ∈ [4;+ ∞ )

Дробь меньше или равна 0, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
[m]\left\{\begin{matrix} log_{2}x+3\sqrt{3}log_{x}2-6-a\geq 0\\ a-(2sin\sqrt{x-4}-4)<0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} log_{2}x+3\sqrt{3}log_{x}2-6-a\leq 0\\ a-(2sin\sqrt{x-4}-4)>0 \end{matrix}\right.[/m]

Второе тригонометрическое неравенство в первой системе

[m]a-(2sin\sqrt{x-4}-4)<0 \Rightarrow sin\sqrt{x-4}>\frac{a+4}{2}[/m]

Неравенство не имеет решений при
[m]\frac{a+4}{2} ≥ 1[/m] ⇒ a ≥ -2

Значит и вся система не имеет решений при a ≥ -2

Второе тригонометрическое неравенство во второй системе

[m]a-(2sin\sqrt{x-4}-4)>0 \Rightarrow sin\sqrt{x-4}<\frac{a+4}{2}[/m]

Неравенство не имеет решений при
[m]\frac{a+4}{2} ≤ -1[/m] ⇒ a ≤ -6

Значит и вся система не имеет решений при a ≤ -6

[b]При -6 < a < -2[/b] второе неравенство имеет решения, но тогда проверим, будет ли первое неравенство хотя бы в одной системе иметь решения

Ответ выбран лучшим

y^2-4y+4+x-4=2

(y-2)^2-6=-x

x=6-(y-2)^2 - парабола, ветви в направлении противоположном направлению оси Ох, вершина в точке (6;2) (прикреплено изображение)

1.
Составим уравнение перпендикуляра, который проходит через начало координат и точку Р

y=(3/2)x

Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых в произведении дают -1

Значит угловой коэффициент прямой (-2/3)

y=(-2/3)x+b

Чтобы найти b подставим координаты точки Р и получим ответ

2.
vector{x}=(m;k;n)

xa=9
[b]3m-k+5n=9[/b]

xb=4
[b]m+2k-3n=4[/b]

vector{x} перпендикулярен к оси OZ ⇒
x*i=0
[b]m*1=0[/b]

Решаем систему трех уравнений
находим координаты вектора х

3. Составляем уравнение прямой, перпендикулярной

4x+3y+1=0 и проходящей через точку (2;-4)

4x+3y+1=0 ⇒ y=-(4/3)x -(1/3)
k= -4/3

перпендикулярная прямая

y=(3/4)x+b

Подставляем координаты точки A(2;-4) и находим b

b=-11/2

y=(3/4)x-(11/2)

Находим координаты точки O- точки пересечения прямых
{4x+3y+1=0
{y=(3/4)x-(11/2)

4x+3*((3/4)x-(11/2))+1=0

Координаты точки А_(1), симметричной точке А находим из условия, что О-середина АА_(1)

точка
(прикреплено изображение)

Находим длины данных векторов

длина первого вектора
sqrt(2^2+(-1)^2+2^2)=3
тогда единичный вектор первого направления:
vector{e_{1}}=(2/3)[b]i[/b]-(1/3)[b]j[/b]+(2/3)[b]k[/b]

длина второго вектора
sqrt(3^2+4^2)=5
тогда единичный вектор первого направления:
vector{e_{2}}=(3/5)[b]i[/b]+(4/5)[b]k[/b]

Находим векторное произведение:

vector{e_(1)} × vector{e_(2)}=Векторное произведение двух векторов- вектор:
[m]\begin{vmatrix} i & j & k\\ \frac{2}{3} & - \frac{1}{3}&\frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} & 0 & \frac{4}{5} \end{vmatrix}=[/m]

раскрываем определитель и получаем ответ

[m]=-\frac{4}{15}i-\frac{2}{15}j+\frac{3}{15}k[/m]

[m]\begin{vmatrix} -5-\lambda & 3\\ 3 & 3-\lambda \end{vmatrix}=0[/m]

(-5- λ )*(3- λ )-9=0

λ ^2+2 λ -24=0

λ _(1)=-6; λ _(2)=4 - собственные значения

Вектор (i+3j+k) имеет координаты (1;3;2)
Вектор (-i+2j) имеет координаты (-1;2;0)

Векторное произведение двух векторов- вектор:
[m]\begin{vmatrix} i & j & k\\ 1 & 3& 2 \\ -1& 2 &0 \end{vmatrix}=-2j+2k+3k-4i=-4i-2j+5k[/m]

Векторы неколлинеарны, так как их координаты непропорциональны

-4:(-4) ≠ 2:(-2)
О т в е т.

x^2-4x+4y^2-8y=0
Выделяем полные квадраты
x^2-4x+4-4+4(y^2-2y+1-1)=0

(x-2)^2+4*(y-1)^2=8

Делим на 8

(x-2)^2/8 +(y-1)^2/2 = 1

Это каноническое уравнение эллипса

a^2=8
b^2=2 (прикреплено изображение)

Область определения данной функции
x^2+x^2 ≠ 0 ⇒ x^2*(1+x) ≠ 0 ⇒ [b] x ≠ 0 и х ≠ -1[/b]

[m]y=1+\frac{(x+1)}{x^2+x^3}[/m]

[m]y=1+\frac{1}{x^2}[/m] область определения функции x ≠ 0

Области определения к данной функции и [m]y=1+\frac{1}{x^2}[/m]

разные.

Но внешний вид функции и графиков одинаковый.

В чем разница, в том, что надо построить график [m]y=1+\frac{1}{x^2}[/m] и исключить точку с абсциссой (-1)

у этой точки ордината y=1

Прямая y=1 имеет с графиком ровно одну общую точку (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{sinπx>0 ⇒ 2πn < πx < π+2πn, n ∈ Z
{cosπx>0 ⇒(-π/2)+ 2πm < πx < (π/2)+2πm, m ∈ Z

2πm < πx < (π/2)+2πm, m ∈ Z

sinπx=cosπx ⇒ tgπx=1 ⇒

[b]πx=(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

Отбираем корни с учетом ОДЗ:

πx=(π/4)+2πk, k ∈ Z

x=(1/4)+2k, k ∈ Z - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ ⇒

1) [b] y=-5x[/b] - прямая
в полярных координатах
ρ sin φ=-5 ρ cos φ ⇒ sin φ=-5 cos φ ⇒[b] tg φ =-5 [/b]

Это уравнение прямой в полярных координатах

2)
x^2+y^2=sqrt(3) - уравнение окружности с центром (0;0) и

радиусом R=[m]sqrt[4]{3}[/m]

(ρ cos φ)^2+( ρ sin φ)^2=sqrt(3) ⇒ ρ ^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=sqrt(3)

ρ ^2=sqrt(3)

ρ =sqrt(sqrt(3))

ρ =[m]sqrt[4]{3}[/m] - уравнение окружности с центром (0;0) и

радиусом R=[m]sqrt[4]{3}[/m]

3)
x^2+y^2=-20x

x^2+20x+y^2=0

Выделяем полный квадрат

(x^2+2*10x+10^2)+y^2=10^2

(x+10)^2+y^2=10^2 - уравнение окружности с центром (-10;0) и

радиусом R=10

(ρ cos φ)^2+( ρ sin φ)^2=-20 ρ cos φ ⇒

ρ ^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=-20 ρ cos φ

ρ ^2=-20 ρ cos φ

ρ=-20cos φ

ρ ≥ 0 ⇒ -20cos φ ≥ 0 ⇒ cos φ ≤ 0 ⇒

график расположен в 2 и 3 четвертях

4)
x^2+y^2=15y

x^2+y^2-15y=0

Выделяем полный квадрат

(x^2+(y^2-2*7,5y+7,5^2)=7,5^2

x^2+(y-7,5)^2=7,5^2 - уравнение окружности с центром (0;7,5) и

радиусом R=7,5

(ρ cos φ)^2+( ρ sin φ)^2=15ρ sin φ ⇒

ρ ^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=15ρ sin φ

ρ ^2=15ρ sin φ

ρ=15sin φ

ρ ≥ 0 ⇒ 15sin φ ≥ 0 ⇒ sin φ ≥ 0 ⇒

график расположен в 1 и 2 четвертях

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. нет вопроса?

3.

5/12=25/60
7/15=28/60

25/60 < 28/60

-25/60 > -28/60

-5/12 > - 7/15

4.
|-3,5|=-(-3,5)=3,5
|7|=7
|3 целых 2/5|=3 целых 2/5=17/5
|-17|=-(-17)=17

Cчитаем
3,5*7+(17/5):17=24,5+(1/5)=24,5+0,2=24,7

5.

-a > a

-a-a > 0

-2a > 0 ⇒ a < 0

О т в е т. при a < 0

2.

(прикреплено изображение)

Замена переменной:
6x-17=t

Квадратное уравнение:
t^2-5t+6=0

D=(-5)^2-4*6=1

t_(1)=(5-1)/2=2; t_(2)=(5+1)/2=3

Обратный переход

6х-17=2 или 6x-17=3

6x=19 или 6х=20

х=19/6 или х=20/6

О т в е т. х_(1)=19/6; х_(2)=20/6

1.
[m]p( \alpha <X<\beta )=F( \beta) -F( \alpha)[/m]

F( β )=F([m]\frac{1}{3})=1-\frac{(\frac{1}{3}-1)^2}{2}=\frac{7}{9}[/m]

F( α )=F([m]-\frac{3}{2}[/m])=0

p([m]-\frac{3}{2}<X<\frac{1}{2})=\frac{7}{9}-0=\frac{7}{9}[/m]

2.

По определению
M(X)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )x*f(x)dx

f(x)=F`(x)
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\leq -1; x >1\\ (x+1),-1<x\leq 0\\ -(x-1)=1-x,0<x\leq 1 \end{matrix}\right.[/m]

M(X)= ∫ ^(0 )_(- 1 )x(x+1)dx+ ∫ ^(1 )_(0 )x(1-x)dx=

= ∫ ^(0 )_(- 1 )(x^2+x)dx+ ∫ ^(1 )_(0 )(x-x^2)dx=

=[b]([/b](x^3/3)+(x^2/2)[b])[/b]|^(0)_(-1)+[b]([/b](x^2/2)-(x^3/3)[b])[/b]|^(1)_(0)=

=0-((-1/3)+(1/2))+(1/2)-(1/3)-0=[b]0[/b]

Аналогично считаем и D(X)

См. формулы в приложении (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а=120
σ =20
[m]p( 0 <X<130 )=?[/m]

[m]p( \alpha <X<\beta )=\Phi (\frac{ \beta -a}{ \sigma })-\Phi (\frac{ \alpha -a}{\sigma })[/m]

[m]\frac{ \beta -a}{ \sigma }=\frac{130-120}{20}=0,5[/m]

[m]\frac{ \alpha -a}{ \sigma }=\frac{0-120}{20}=-6[/m]

cм. таблицу значений функции Лапласа

[m]\Phi (\frac{ \beta -a}{ \sigma })=\Phi(0,5) ≈0,1915 [/m]

[m]\Phi (\frac{ \alpha -a}{ \sigma })=\Phi(-6)=-\Phi(6) ≈-0,5 [/m]

[m]p( 0 <X<130 )=0,1915-(-0,5)=0,6915[/m]

(прикреплено изображение)

По формулам приведения:
cos((5π/2)-x)=sinx
и
cos^2x=1-sin^2x

Уравнение принимает вид:
2sinx-sin^2x+2*(1-sin^2x)=1

3sin^2x-2sinx-1=0

D=(-2)^2-4*3*(-1)=16

sinx=-1/3 или sinx =1

x=(-1)^(k)arcsin(-1/3)+πk или х=(π/2)+2πn, k, n ∈ Z

x=(-1)^(k+1)arcsin(1/3)+πk или х=(π/2)+2πn, k, n ∈ Z

О т в е т.[b] (-1)^(k+1)arcsin(1/3)+πk ;(π/2)+2πn, k, n ∈ Z[/b]

4x^2=25

4x^2-25=0

(2x-5)*(2x+5)=0

2x-5=0 или 2х+5=0

x=5/2 или х=-5/2

О т в е т. -5/2; 5/2

(6q+1)(3–4q)=0

6q+1=0 или 3-4q=0

q=-1/6 или q=3/4

О т в е т. -1/6; 3/4

-h*(7+8h)=0

h=0 или 7+8h=0 ⇒ h=-7/8

О т в е т. 0; -7/8

a)
M(X)=12*0,2+16*0,3+18*0,1+26*0,4=(#)- считаем

б)
D(X)=(M(X^2))-(M(X))^2

M(X^2)=12^2*0,2+16^2*0,3+18^2*0,1+26^2*0,4=(##) считаем

D(X)=(##)-(#)^2

в)
σ (Х)=sqrt(D(X))= считаем

График

4 точки ( 12;0,2) (16;0,3) (18; 0,1); (26;0,4)

М(X) - точка на оси Ох. абсцисса которой равна полученному числу.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Парабола.
Ветви вверх, так как коэффициент при x^2=1 >0

Вершина в точке x_(o)=-b/2a=-1/2

y(-1/2)=(-1/2)^2+(-1/2)-2=-2 целых 1/4

Точки пересечения с осью Ох

y=0

x^2+x-2=0

D=1-4*(-2)=9

x_(1)=(-1-3)/2=[b]-2;[/b] х_(2)=(-1+3)/2[b]=1[/b]

Дополнительные точки

x=-4 тогда y=(-4)^2+(-4)-2=16-4-2=10
x=-3 тогда y=(-3)^2+(-3)-2=9-3-2=4
x=2 тогда y=2^2+2-2=4
x=3 тогда y=3^2+3-2=10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.
Вводим в рассмотрение гипотезы:
Н_(1)- деталь дефектная
p(H_(1))=0,07;
Н_(2)- - деталь не имеет дефекта
p(H_(2))=0,93

А- "деталь забракована"
p(A/H_(1))=0,85
p(A/H_(2))=0,1

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(1))*p(A/H_(1))=

=0,07*0,85+0,93*0,1= считаем

4.

5 книг - неправильно сброшюрованных
9-5=4 книги - правильно сброшюрованных

Из 9 книг выбирают 3

X- число неправильно сброшюрованных книг

Х может принимать значения

0;1;2;3

p_(0)=(C^(0)_(5)*C^(3)_(4))/С^(3)_(9)=
p_(1)=C^(1)_(5)*C^(2)_(4)/С^(3)_(9)=
p_(0)=C^(2)_(5)*C^(1)_(4)/С^(3)_(9)=
p_(0)=C^(3)_(5)*C^(0)_(4)/С^(3)_(9)=

Считаем вероятности.

С^(k)_(n)=n!/(k!*(n-k)!)

C^(3)_(9)=9!/(3!*(9-3)!)=7*8*9/3!=84
(C^(0)_(5)=1
C^(3)_(4))=4

p_(0)=(C^(0)_(5)*C^(3)_(4))/С^(3)_(9)=4/84

Составляем таблицу

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2x=2x*log_(2)2=log_(2)2^(2x)

log_(2)2^(2x) ≥ log_(2) ((35/3)*6^(x-1)-2*9^(x-0,5))

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

2^(2x) ≥(35/3)*6^(x-1)-2*9^(x-0,5)

(2^(x))^2 ≥(35/18)*2*3)^(x)-(2/3)*9^(x)

неравенство, сводящееся к квадратному.

Делим на 2^(2x) >0

(2/3)t^2-(35/18)t+1 ≥ 0

t=(3/2)^x

12t^2-35t+18 ≥ 0

D=(-35)^2-4*12*18=1225-864=361

t_(1)=16/24=2/3; t_(2)=9/4

t ≤ (2/3) или t ≥ 9/4

(3/2)^x ≤ (2/3) или (3/2)^x≥ 9/4 ⇒

x ≤ -1 или x ≥ 2

[m]\frac{2\cdot3^{2x+1}-7\cdot 6^{x}+2\cdot4^{x}}{3\cdot 9^{x}-3^{x}\cdot 2^{x+1}}\leq 1[/m]

[m]3^{2x+1}=3^{2x}\cdot 3=3\cdot (3^{x})^2[/m]

[m]6^{x}=(2\cdot 3)^{x}=2^{x}\cdot 3^{x}[/m]

[m]4^{x}=(2\cdot 2)^{x}=2^{x}\cdot 2^{x}=(2^{x})^2[/m]

[m]3^{x}\cdot 2^{x+1}=3^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2[/m]

Переносим 1 влево
[m]\frac{6\cdot (3^{x})^2-7\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}+2\cdot(2^{x})^2}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}-1\leq 0[/m]

и приводим к общему знаменателю

[m]\frac{6\cdot (3^{x})^2-7\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}+2\cdot (2^{x})^2-3\cdot (3^{x})^2+2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}\leq 0[/m]

Приводим подобные слагаемые в числителе.

Получаем неравенство:

[m]\frac{3\cdot(3^{x})^2-5\cdot6^{x}+2\cdot (2^{x})^2}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}\leq 0[/m]

Раскладываем на множители числитель и знаменатель:

[m]\frac{3\cdot 9^{x}-3\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}+2\cdot (2^{x})^2}{3^{x} \cdot(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}\leq 0[/m]

[m]\frac{3\cdot 3^{x}\cdot (3^{x}-cdot 2^{x})-2\cdot 2^{x} \cdot (3^{x}- 2^{x})}{3^{x} \cdot(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}\leq 0[/m]

[m]\frac{(3^{x}-2^{x})(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}{3^{x}(3\cdot3^{x}-2\cdot2^{x})}\leq 0[/m]

Применяем обобщенный метод интервалов:

находим нули числителя:

(3^(x)-2^(x))*(3*3^(x)-2*2^(x))=0 ⇒
3^(x)-2^(x)=0 или 3*3^(x)-2*2^(x)=0
3^(x)=2^(x) ⇒ x=1 или 3*3^(x)=2*2^(x) ⇒ x=-1

Находим нули знаменателя:

3^(x) > 0 при любом х
3*3^(x)-2*2^(x)=0
3*3^(x)=2*2^(x)
3^(x+1)=2^(x+1) ⇒ x=-1

__-__ (-1) __-___ [1] __+__

О т в е т. (- ∞ ;-1) U(-1;1]

n=400
p=0,2
q=1-p=1-0,2=0,8

np=400*0,2=80
npq=400*0,2*0,6=64

sqrt(npq)=sqrt(64)=8

а) Применяем[i] локальную [/i]теорему Лапласа ( см. приложение 1)
P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

x=(k-np)/sqrt(npq)=(80-80)/8=0
[b]φ (0)[/b]=0,3989 ( см. таблицу 1)

P_(600)(410)=(1/8)*[b] φ (0)[/b] = (1/8)*0,3989 ≈ считаем

б) Применяем [i]интегральную[/i] формулу Лапласа
( см. приложение 1)

P_(400) (70 ≤ x ≤ 90)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(90-80)/sqrt(64)=10/8=1,25
x_(1)=(70-80)/sqrt(64)=-10/8=-1,25

Ф(x_(2))=Ф(1,25)=0,3944 ( cм таблицу 2)
Ф(x_(1))=Ф(-1,25)=-Ф(1,25)=-0,3944
О т в е т.P_(400) (70 ≤ x ≤ 90)=0,3944-(-0,3944)= 0,3944+0,3944=

=[b]0,7888[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

M- cередина ВС

АМ - расстояние от т. А до точки М

АМ=6 клеточек, 1 клеточка = 1 см

АМ=6 см (прикреплено изображение)

z*(z-10)=0
z=0 или z-10=0 ⇒ z=10

О т в е т. 0; 10

-1 < -0,85 <0

2< 2 целых 2/3 < 3

2 целых 2/3=8/3=2,66666 < 2,7 (прикреплено изображение)

6.51

х=0 не входит в область определения функции

Значит во всех остальных точках функция непрерывна, как частное непрерывных функций : 1 и x

x=0 - точка разрыва второго рода, так как

lim_(x → +0)(1/х)=[b](1/(+0))[/b]=+ ∞

( см. второй столбик приложения. Один или оба односторонних предела равны ∞ )

то, что жирным шрифтом не пишем, считаем 1 делим на очень маленькое положительное число +0
это 0, 00000000000001
получим очень большое положительное
100000000000000

6.51

х=-1 не входит в область определения функции

Значит во всех остальных точках функция непрерывна, как частное непрерывных функций : x и x+1

x=-1 - точка разрыва второго рода, так как

lim_(x → -1+0)(х)/(х+1)=[b]((-1+0)/(-1+0+1))=(-1/(+0)=[/b]- ∞

( см. второй столбик приложения. Один или оба односторонних предела равны ∞ )

6.55

x= ± 1 не входит в область определения функции

x=1 - точка разрыва второго рода, так как

lim_(x → 1+0)(х+1)/(x^2-1)=[b]((1+0+1)/((1+0)^2-1))=(2/+0)[/b]=+ ∞

x=-1 - точка устранимого разрыва.

lim_(x → - 1)(x+1)/(x^2-1)=lim_(x → - 1)1/(x-1)=1/(-2)=-0,5

Предел есть, но функция не определена в этой точке

6.58
На [0;1) функция задана формулой y=2x и потому функция непрерывна
На (1;2]функция задана формулой y=2x и потому функция непрерывна

Значит надо исследовать функцию в точке x=1

Находим предел слева
lim_(x → 1-0) 2x= [b]2*(1-0)[/b]=2

Находим предел справа
lim_(x → 1+0)( 2 - x) = [b]2- (1+0)[/b]=1

Предел слева не равен пределу справа ⇒

функция не имеет предела в точке.

Оба пределы конечные, значит х=1 - точка разрыва первого рода

6.59

Так же
надо исследовать функцию в точке x=2
Находим предел слева
lim_(x → 2-0) x^2= [b](2-0)^2[/b][b]=4[/b]

Находим предел справа
lim_(x → 2+0) (20-8x) = [b]20 - 8*(2+0)[/b][b]=4[/b]

Предел слева не равен пределу справа ⇒

функция имеет предел в точке x=2

Значение функции в точке х=2 равно 2^2=4

Функция непрерывна в точке x=2

Не имеет точек разрыва на [0;3] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=2^6
см приложение

a=2
b=x
x=6

2^6=x (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
f(2)=2*2^3–3*2^2+5 =
h(2)=3*2^2–2–6 =

f(3)=2*3^3–3*3^2+5 =
h(3)=3*3^2–3–6 =

f(-1)=2*(-1)^3–3*(-1)^2+5 =
h(-1)=3*(-1)^2–(-1)–6 =

2) так же

3)
[b]2a[/b]x[red]-(a+1)[/red]=[b]4[/b]x[red]+(3b-a+11)[/red]

2a=4 ⇒ a=2
-(a+1)=3b-a+11 ⇒ - (2+1)=3b-2+11 ⇒ 3b=-12 ⇒ b=-4

О т в е т. a=2; b=-4

Ответ выбран лучшим

1.
Пусть k - коэффициент пропорциональности, тогда
АВ=2k
ВС=3k
B_(1)B=4k

Сумма все длин 4*(2k+3k+4k)=4*9k=36k

36k=72
k=2

AB=2k=2*2=4 cм
BC=3k=3*2=6 cм
В_(1)В=4k=4*2=8 cм

2.
d^2=a^2+b^2+c^2
1)
d^2=4^2+3^2+12^2=16+9+144=169
d=sqrt(169)=13 cм

2)
d^2=1+1+2=4
d=2 cм

3)
d^2=81+64+25= 170
d=sqrt(170) cм

4)
d^2=81+49+39=169
d=13 cм

Ответ выбран лучшим

11,5% это 11,5/100=0,115

Вклад увеличится на 11,5% значит через год
100% + 11,5% =111,5%

Это 1, 115

а)
(150 000 *0,115)/4 руб. - начислено за первый квартал

150 000 руб + (150 000/4)*0,115 руб = 150 000 *(1+(0,115/4)) руб после первого квартала

Теперь с этой суммы считаем проценты:

150 000 *(1+(0,115/4))*0,115/4=(150 000/4)*(1+(0,115/4))*(0,115/4) руб - начислено за второй квартал

150 000 руб +(150 000/4)*(1+(0,115/4))*(0,115/4) руб
после второго квартала

и так далее

б)150 000 * 1,115=167 250 руб- через год

167 250 * 1,115= 186 483,75 руб - через два

и так далее

150 000 * 1,115^9руб. =150 000 * 2,38890533=

=399 544, 416 руб. через 9 лет

Значит удвоится сумма чуть раньше, чем 6 или 7 лет.

1,115^6=1,92153938 немного не в 2 раза
1,115^7=2,14251641

О т в е т. [b]Через 7 лет[/b]

Ответ выбран лучшим

25 руб < 36 руб < 40 руб

Условие
"У Оли не меньше 30-ти", означает, то у Оли 36 руб. или 40 руб.

Условие
"у Кати больше чем у Оли", означает, что у Оли может быть только 36 руб, потому что 36 < 40
и значит 40 руб. у Кати
Катя - 40
Оля- 36
третья девочка 25

Δ РКМ:
∠ РМК=90 ° (КМ ⊥ РС)
∠ КРМ=30 ° ⇒ РК=2КМ=8/sqrt(13)

PO=3*PK=24/sqrt(13)

Из Δ РСО

tg(π/3)=PO/CO ⇒

СО=PO/tg60 ° =24/sqrt(39)

CO=R ⇒

R=a/sqrt(3) ⇒

a=R*sqrt(3)=24/sqrt(13)

V=(1/3)S_(осн)*h=(1/3)*(a^2*sqrt(3)/4)*PO=

=(1/3)*(24/sqrt(13))^2*(sqrt(3)/4)*(24/sqrt(13))=...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
По свойству плотности вероятности
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f_(ξ)(x)dx=[b]1[/b]

Считаем интеграл от данной функции.

Так как функция задана тремя выражениями рассматриваем интеграл как сумму интегралов:

∫^(+ ∞)_(- ∞ )f_(ξ)(x)dx=

=∫^(1)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx+∫^(a)_(1)(x-0,5)dx+∫^(+ ∞)_(a)[b]0[/b]dx =

=0 + ( (x^2/2)-0,5x)|^(a)_(1)+0=

=(a^2/2)-0,5a-((1/2-(1/2))=a^2/2-0,5a

a^2/2-0,5a=[b]1[/b] ⇒ a^2-a-2=0 ⇒ a=2 или a=-1 ( не удовл условию задачи)

2)
По определению:
F_(ξ)(x)=∫ ^(x )_(- ∞ )f_(ξ)(x)dx
Так как функция задана тремя выражениями, то

при x ≤ 1

F_(ξ)(x)=∫^(x)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx=0

при 1 < x ≤ 2

F_(ξ)(x)=∫^(1)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx+∫^(x)_(1 )(x-0,5)dx=

=(x^2/2)|^(x)_(1)-(0,5x)|^(x)_(1)=

=(x^2/2)-0,5x

при x >2

F_(ξ)(x)=∫^(1)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx+∫^(2)_(1 )(x-0,5)dx+∫ ^(+ ∞ )_(2 )[b]0[/b]dx

=1

3)
P(-1 < ξ <2)=F(2)-F(-1)=(2^2/2)-0,5*2-0=2-1-0=1

Ответ выбран лучшим

Это у Вас верно решено.
Это ОДЗ уравнения.

т.е. решаем уравнение и находим корни, проверяем удовлетворяют они ОДЗ или нет.

Но когда решаем уравнение возводим в квадрат.
Здесь уже накладываем условие на правую часть уравнения, по определению арифметического квадратного корня

Поэтому возводя в вкадрат делаем огоровку,

cosx ≥ 0
и
sinx*cosx=cos^2x

При этом автоматически получается, что выражение

sinx*cosx =cos^2x ≥ 0

и можно неравенство sinx*cosx ≥ 0 не решать вообще.

Как Вам и написали во втором решении (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ ( cм приложение)

[b]sinx*cosx ≥ 0[/b], так как подкоренное выражение не может быть <0

Неравенство ≥ 0 включает в себя неравенство >0 и равенство =0

[i] равенство [/i]

cosx=0 , тогдa sqrt(sinx*0)=0 - [b]верно при любом х[/b], при котором cosx=0

и
[i] неравенство[/i]

sinx* cosx> 0

Теперь само уравнение.

Условие cosx ≥ 0 - это условие существования корней уравнения
Потому что при возведении в квадрат ([red] ! [/red]возможно появление посторонних корней)

Получили два уравнения

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

[b]или[/b]

sinx-cosx=0 ⇒ tgx =1 ⇒ x=(π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ исключаем корни в третьей четверти, так как

х=(π/4)+π+2πm, m ∈ Z не удовлетворяют ОДЗ

[i]Проверка:[/i]

sqrt(sin(5π/4)*cos(5π/4))=cos(5π/4) ⇒

sqrt(1/2)=-sqrt(2)/2 - неверно

Поэтому, о т в е т

[b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z [/b]

[b]x=(π/4)+[b]2[/b]πn, n ∈ Z[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Условие написано плохо, выделите числитель и знаменатель скобками
(11log_(4)x–28)/(2log_(4)x–1)

и уточните, что справа.
Так как я понимаю или нет:
4^(-3log_(4)x)=4^(log_(4)x^(-3))=x^(-3)=1/x^3

1.
Р_(АВСD)=2*(AB+AD) ⇒

2*(AB+AD) =42 ⇒

AB+AD=21
CD=AB

[b]CD+AD=21[/b]
по условию
[b]AD-CD=3[/b]

Cистема двух уравнений.
Складываем
2AD=24
AD=12
CD=AB=21-12=9

a=AD=12
b=AB=9
c=17

d^2=a^2+b^2+c^2=12^2+9^2+17^2=514
d=sqrt(514)

2.
АВ=СВ=6
ВС=AD=4

Тогда из прямоугольного треугольника ЕВ_(1)С_(1)
EC_(1)=5

MC_(1)=2,5

KC_(1)=(2/3)*CC_(1)=(2/3)*4sqrt(5)=8sqrt(5)/3

СС_(1) ⊥ А_(1)В_(1)С_(1)D_(1) ⇒ CC_(1) ⊥ EC_(1)

По теореме Пифагора из прямоугольного ΔKMC_(1)

KM^2=KC^2_(1)+C_(1)M^2=(8*sqrt(5)/3)^2+2,5^2=1505/36

KM=(sqrt(1505))/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Значит vector{n}=(3;0;-2) - нормальный вектор искомой плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) с нормальным вектором vector{n}=(А;В;С) имеет вид:
A(x-x_(o))+B(y-y_(o))+C(z-z_(o))=0

В данной задаче:
3*(x-0)+0*(y-0)+(-2)*(z-0)=0

[b]3x-2z=0[/b] - о т в е т

По формулам приведения:
sin(x+(3π/2))= - cosx

sin2x=2sinx-2*(-cosx)+1

sin2x=2*(sinx+cosx)+1

Замена переменной

sinx+cosx=t

Возводим в квадрат

sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2

1+sin2x=t^2 ⇒ sin2x=t^2-1

t^2-1=2t+1

t^2-2t=0

t*(t-2)=0

sinx+cosx=0 или sinx+cosx=2

tgx=-1

[b]x=(-π/4)+2πk, k ∈ Z[/b]

sinx+cosx=2 -уравнение не имеет корней, так как

sinx+cosx=sqrt(2)*((1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2))cosx)=sqrt(2)*sin(x+π/4)

|sinx+cosx| ≤ sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

∠ 3= 180 ° -∠ 2=180 ° -143 ° =37 ° ⇒

∠ 1= ∠ 3=37 °
внутренние накрест лежащие углы равны, значит прямые параллельны

Пусть(1/х)+1=t
тогда
1/х=t-1

х=1/(t-1)

x^2-4=(1/(t-1))^2-4=1-4(t^2-2t+1)/(t-1)^2=(8t-4t^2-3)/(t-1)^2

f(t)=(8t-4t^2-3)/(t-1)^2

О т в е т. f(x)=(8x-4x^2-3)/(x-1)^2,
ОДЗ: x ∈ (- ∞ ;1)U(1;+ ∞ )

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных
∠ ALC= ∠ BAL+ ∠ ABL ⇒ ∠ BAL =∠ ALC- ∠ ABL=121 ° -101 ° =20 ° ⇒
∠ BAL= ∠ LAC

∠ ВАС= ∠ BAL+ ∠ LAC=20 ° +20 ° =40 °

∠ ACB=180 ° - ∠ ВАС-∠ ABL=180 ° -40 ° -101 ° =[b]39 ° [/b]

ctg β =cos β /sin β ⇒

sin β =cos β / ctg β = (√8/3)/√8=[b]1/3[/b]

Ответ выбран лучшим

s=v*t

t=s/v=0,5км/18(км/ч)=1/36 часа=(60/36) минут=(10/6) минут=(5/3) минут=1 целая (2/3) минуты

ОДЗ: x > 0

log_(4)(64x)=log_(4)64+log_(4)x=3+log_(4)x

log_(4)x^4=4log_(4)|x|

так как согласно ОДЗ: х >0, |x|=x, то

4log_(4)|x|=log_(4)x

Значит,

log_(4)x^4=4log_(4)x

log^2_(4)x-9 =по формуле разности кадратов=(log_(4)x-3)(log_(4)x+3)

Неравенство принимает вид:
(3+log_(4)x)/(log_(4)x-3) + (log_(4)x-3)/(3+log_(4)x) ≥ 4log_(4)x-9/(log_(4)x-3)(log_(4)x+3)

Замена переменной

log_(4)x=t

(3+t)/(t-3) + (t-3)/(3+t) ≥ (4t-9)/(t-3)(t+3)

Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю:

((3+t)^2+(t-3)^2-(4t-9))/(t-3)(t+3) ≥ 0

(2t^2-4t+27)/(t-3)(t+3) ≥ 0

2t^2-4t+27> 0 при любом t, так как D=(-4)^2-4*2*27 <0

Значит,
(t-3)(t+3) < 0 ⇒

-3 < t < 3

Обратная замена:

-3 < log_(4)x < 3

-3*log_(4)4 < log_(4)x < 3*log_(4)4

log_(4)4^(-3) < log_(4)x < log_(4)4^3

log_(4)(1/64) < log_(4)x < log_(4)64

Логарифмическая функция с основанием 4 монотонно возрастающая, поэтому

(1/64) < x < 64

полученное решение входит в ОДЗ

О т в е т. (1/64; 64)

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(i) - выбрана i-ая упаковка
i=1,2,3

m_(1)=60%
60% это 60/100=0,6

p(H_(1))=0,6

m_(2)=20%
20% это 20/100=0,2

p(H_(3))=0,2

m_(3)=20%
20% это 20/100=0,2

p(H_(3))=0,2

событие A- "выбрано первосортное изделие"

p(A/H_(1))=0,7
p(A/H_(2))=0,8
p(A/H_(3))=0,9

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=0,6*0,7+0,2*0,8+0,2*0,9=

По формуле Баейса

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=

=0,6*0,7/(0,6*0,7+0,2*0,8+0,2*0,9)

π/2 < α < α ⇒ [red] α во второй четверти[/red]

cos^2 α =1-sin^2 α ⇒

cos^2 α =1-(0,8910)^2=

cos α =-sqrt(1-0,8910^2) считаем самостоятельно

косинус во второй четверти имеет знак -

tg α =cos α /sin α = считаем сасмостоятельно

30.6
1)x+y
2)x^2+xy+y^2
3)x^3+x^2y+xy^2+y^3
4)x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4+y^5

30.7
1)=[b]a^5b^2[/b]-a^4b^3+[b]4a^5b^2[/b]-[b]2a^5b^2[/b]+[b]7a^5b^2[/b]-3a^4b^3=
= [b]10a^5b^2[/b]-4a^4b^3

Дано каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
(x_(o);y_(o);z_(o))
c направляющим вектором (m;n;p)

x_(o)=2
y_(o)=-1
z_(0)=-1

m=[red]2[/red]
n=[red]-1[/red]
p=[red]-2[/red]

Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы

У точки М

x_(M)=[green]2[/green]
y_(M)=[green]-1[/green]
z_(M)=[green]1[/green]

О т в е т.

(x–[green]2[/green])/[red]2[/red]=(y+[green]1[/green])/([red]–1[/red])=(z-[green]1[/green])/([red]–2[/red])

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

dy/dx=y`_(t)/x`(t)

x`(t)=(cost+sint)`=-sint+cost
y`(t)=(sint-t*cost)`=cost-(t`*cost+t*(cost)`)=cost-(cost+t*(-sint))=

=cost-cost+t*sint=t*sint

О т в е т. dy/dx=(t*sint)/(-sint+cost)

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k_(касательной)=tg α
α - угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох

Это верно и для функции
y=g(x)

В задаче

g(x)=(1/4)*f(x)-5

g`(x)=(1/4)*f`(x)-5`

g`(x)=(1/4)*f`(x)-0

g`(x)=(1/4)f`(x)

g`(x_(o))=(1/4)*f`(x_(o))

при х_(o)=-5

g`(-5)=(1/4)*f`(-5)

f`(-5) смотрим на картинке.

Находим тангенс угла, смежного углу α из прямоугольного треугольника
( желтого цвета)
тангенс угла равен отношению противолежащего катета 4 к прилежащему катету 1
tg(180 ° - α )=4

По формулам приведения
tg(180 ° - α )= - tg α ⇒

- tg α = 4

[red]tg α = - 4[/red] ⇒ f`(-5)=[red] - 4[/red]

Тогда

g`(-5)=(1/4)*f`(-5)=(1/4)*([red]-4[/red])= -1

О т в е т. -1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2,7*t км прошел первый,
4,5*t км прошел второй.

2,7*t+4,5*t=8

7,2*t=8

t=10/9

2,7*(10/9)=3 км

О т в е т. 3 км

первый пройдет 3 км, второй 4 км до опушки и 1 км=5 км

Вместе они пройдут 8 км (прикреплено изображение)

72% это 72/100=0,72;
46% это 46/100=0,46

p_(1)=0,72 вероятность доброкачественного изделия в первой партии

тогда q_(1)=1-0,72=0,28- вероятность бракованного изделия в первой партии

p_(2)=0,46- вероятность доброкачественного изделия во второй партии

тогда q_(2)=1-0,46=0,54- вероятность бракованного изделия во второй партии

a) 1- p_(1)*p_(2)=1-0,72*0,46=
б)q_(1)*q_(2)=0,28*0,54=
в)p_(1)*q_(2)+q_(1)*p_(2)=0,72*0,54+0,28*0,46

Некорректно написано условие.
Найти площадь прямоугольника, но какого? находящегося внутри какой-то области. Кривые, указанные в условии не образуют замкнутой области, в которой можно разместить прямоугольник (прикреплено изображение)

1 час 45 мин= 1 целая (45/60) часа=1,75 часа

40 км/ч * 1, 75 ч= 70 км

14см это 70 км

значит

1 см это 5 км

5 км =5 000 м = 500 000 см

1 : 500 000 - масштаб

778.
Неопределенность (0/0)
Применяем правило Лопиталя:

[m]=\lim_{x\to1}\frac{(1-x)`}{(1-sin\frac{\pi x}{2})`} =\lim_{x\to1}\frac{(-1)}{(-cos\frac{\pi x}{2})\cdot (\frac{\pi x}{2})`}=[/m]

[m]=\lim_{x\to1}\frac{1}{(cos\frac{\pi x}{2})\cdot (\frac{\pi }{2})}=\frac{1}{0}=\infty[/m]

785
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Применяем правило Лопиталя:

[m]\lim_{x\to0}\frac{(\frac{\pi }{x})`}{(ctg\frac{\pi x}{2})`}= \lim_{x\to0}\frac{(-\frac{\pi }{x^2})}{\frac{1}{(-sin^2\frac{\pi x}{2}})\cdot (\frac{\pi x}{2})`}=[/m]

[m]= \lim_{x\to0}\frac{(-\frac{\pi }{x^2})}{\frac{1}{(-sin^2\frac{\pi x}{2}})\cdot (\frac{\pi }{2})}= \lim_{x\to0}\frac{2sin^2\frac{\pi x}{2}}{x^2}=[/m]

[m]=2\lim_{x\to0}\frac{sin\frac{\pi x}{2}}{x}\cdot \lim_{x\to0}\frac{sin\frac{\pi x}{2}}{x}=[/m]

[m]2\cdot \frac{\pi }{2} \lim_{x\to0}\frac{sin\frac{\pi x}{2}}{\frac{\pi x}{2}}\cdot\frac{\pi }{2} \lim_{x\to0}\frac{sin\frac{\pi x}{2}}{x}=\frac{\pi ^2}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Уравнение сферы с центром в точке (a;b;с) и радиусом R
имеет вид:
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2

R=5

(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=5^2
подставим координаты точек С;D;E в это уравнение и получим систему трех уравнений с неизвестными a;b;с

C: x=-5;y=4;z=3
(-5-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2=5^2
D: x=2;y=-4;z=-2
(2-a)^2+(-4-b)^2+(-2-c)^2=5^2
E: x=–3;y=-2, z=4
(-3-a)^2+(-2-b)^2+(4-c)^2=5^2

{(-5-a)^2+(4-b)^2+(3-c)^2=25
{(2-a)^2+(-4-b)^2+(-2-c)^2=25
{(-3-a)^2+(-2-b)^2+(4-c)^2=25

Находим расстояние от точки О до касательной плоскости
( см формулу в приложении)

[m]d=\frac{|8\cdot(-4)-6\cdot 7+2\cdot 4 -3|}{\sqrt(8^2+(-6)^2+2^2)}=\frac{69}{\sqrt{104}}[/m]

d=R_(сферы)

(x+4)^2+(y-7)^2+(z-4)^2=[m](\frac{69}{\sqrt{104}})^2[/m]- о т в е т
(прикреплено изображение)

1)(х–1)(х+1)(х–3)=(x^2-1)(x-3)=x^3-3x^2-x+3
2)(х–1)(х+3)(х–3)=(x-1)(x^2-9)=x^3-x^2-9x+9

Метод интервалов:
1)
Находим нули функции:
2х-3=0 или х+6=0 или х-3=0
х=1,5 или х=-6 или х=3

__-__ [-6] __+__ [1,5] __-___ [3] __+__

О т в е т.[b](- ∞ ;-6]U[1,5;3][/b]

2)
Находим нули числителя
2х^2–5х+3=0
D=25-24=1
x=1 или х=1,5

Находим нули знаменателя
х-3=0
х=3
отмечаем незакрашенным кружком ( в круглых скобках)

__-__ [1] ___+__ [1,5] ___-____ (3) ___+__

О т в е т. [b](- ∞ ;1] U [1,5;3)[/b]

Ответ выбран лучшим

Возводим второе в квадрат:
x^4+2x^2*y+y^2=a^2+2a+1

x^4+y^2 заменим на a^2

y=|a+1|-x^2

a^2+2x^2*(|a+1|-x^2)=a^2+2a+1

Биквадратное уравнение:

2x^4-2*|a+1|*x^2+2a+1=0

x^2=t

2t^2-2*|a+1|*t+2a+1=0

D=4(a+1)^2-4*2*(2a+1)=4a^2+8a+4-16a-8=4a^2-8a-4=4*(a^2-2a-1)

D>0 ⇒ квадратное уравнение имеет два корня
t_(1) и t_(2)

По теореме Виета
t_(1) + t_(2)=2*|a+1| > 0
t_(1) * t_(2)=2a+1

Если оба корня положительны, то обратная замена

x^2=t_(1) или x^2=t_(2)
приводит к двум уравнениям.

Каждое уравнение имеет по два корня, тогда и будет 4 решения:
у системы

Из условий:
{a^2-2a-1>0 ⇒ D=8; корни 1-sqrt(2) и 1+sqrt(2)
{2a+1>0 ⇒ a>-0,5

О т в е т.

(-0,5;1-sqrt(2))U(1+sqrt(2);+ ∞ )

a ≤4x- sqrt(35x-14x^2+21)+sqrt(4x^2-10x-6)

Строим графики:

y=a
y=4x- sqrt(35x-14x^2+21)+sqrt(4x^2-10x-6)

Вторую функцию исследуем
1)находим область определения

{35x-14x^2+21 ≥ 0
{4x^2-10x-6 ≥ 0

{14x^2-35x-21 ≤ 0 ⇒[b] 2x^2-5x-3[/b] ≤ 0 ⇒ D=25+24=49; корни -0,5 и 3
{[b]2x^2-5x-3[/b] ≥ 0

ОДЗ cостоит из двух точек:
x=-0,5 и x=3

При x=-0,5

y=4*(-0,5)-sqrt(0)+sqrt(0)=-2

При x=3

y=4*3-sqrt(0)+sqrt(0)=12

График тоже из двух точек
(-0,5;-2) и (3;12)

При а ∈ (- ∞ ;-2) неравенство верно

При a ∈ (12;+ ∞ ) неравенство не имеет решений
(прикреплено изображение)

Замена
x-1=t
х=t+1

если x → 1 ⇒ то t → 0

x^2-x=x*(x-1)=(t+1)*t

[m]=\lim_{t\to 0 }\frac{sint}{(t+1)t}=\lim_{t\to 0 }\frac{sint}{t}\cdot \frac{1}{t+1}=\lim_{t\to 0 }\frac{sint}{t}\cdot\lim_{t\to 0 }\frac{1}{t+1}=[/m]

[m]=1\cdot \frac{1}{0+1}=1[/m]

Не имеет решений, если прямая y=bx расположена выше графика y=sqrt(x-a) и таким образом графики не пересекаются.
как на рис. 1

Одно, если прямая y=bx касается графика y=sqrt(x-a)

Два, если прямая пересекается с графиком (прикреплено изображение)

179 ^(o)- во второй, там углы от 90 градусов до 180 градусов
325^(o) - в четвертой, там углы от 270 градусов до 360 градусов.

Это первый виток окружности.

Предыдущий: ( от -360 градусов до 0 градусов)
-150 градусов в третьей четверти там углы от -180 градусов до -90 градусов

–10°в четвертой, там углы от -90 градусов до 0 градусов.

Далее: третий виток, начинается в 720 градусов ( там же где и 0, заканчивается в 1080 - там же где 360)

800°=720°+80°=360°*2+80°

800° в первой, там углы от 720 градусов до 810 градусов.

10000°в четвертой, там углы от 9990 градусов до 10080 градусов.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

4)
y`=(y/x)+(sqrt(x^2-4y^2)/x) ⇒

y`=(y/x)+sqrt(1-4(y/x)^2)

( cм. приложение)

Решается заменой:
y/x=u ⇒ y=x*u

y`=x`*u+x*u` (x`=1, так как x - независимая переменная)

Подставляем в уравнение:

x*(u+xu`)=x*u+sqrt(x^2-4*(x*u)^2)

x*u`=sqrt(1-4u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

du/sqrt(1-4u^2)=dx/x

Интегрируем

∫ du/sqrt(1-4u^2)= ∫ dx/x

(1/2)* ∫ d(2u)/sqrt(1-(2u)^2)= ∫ dx/x

(1/2)arcsin 2u+C=ln|x|

u=y/x

(1/2)arcsin(2y/x)+C=ln|x|- общее решение (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Опечатка в условии, у точек А; В; О вторая координата у=2
Так как высота из точки С перпендикулярна АВ, то точка С лежит на зеленой линии
АО ⊥ ВС
ВО ⊥ АС
Нельзя такой треугольник построить

А вообще, решение такое:

Cоставляем уравнения высот АО и ВО как прямых, проходящих через две точки ( см. приложение 1):

AO:
BO:

Cоставляем уравнение сторон
ВС и АС как прямых, перпендикулярных АО и ВО и проходящих через точки В и А

Находим координаты точки С как точки пересечения ВС и АС (прикреплено изображение)

Это угол между их нормальными векторами
vector{n_(1)}=(1;-1;2)
vector{n_(2)}=(2;-1;1)

vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|cos ∠ (vector{n_(1)}*vector{n_(2)}) ⇒

cos ∠ (vector{n_(1)}*vector{n_(2)}) =(vector{n_(1)}*vector{n_(2)})[b]/[/b](|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|)

vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=1*2+(-1)*(-1)+2*1=5
|vector{n_(1)}|=sqrt(1^2+(-1)^2+2^2)=sqrt(6)
|vector{n_(2)}|=sqrt(2^2+(-1)^2+1^2)=sqrt(6)

cos ∠ (vector{n_(1)}*vector{n_(2)}) =5/6

∠ (vector{n_(1)}*vector{n_(2)})=arccos(5/6)

P(x;y)=ye^(x)+e^(y)–12x
Q(x,y)=e^(x)+xe^(y)+10y

P`_(y)(x;y)=e^(x)+e^(y)

Q`_(x)(x;y)=e^(x)+e^(y)

P`_(y)(x;y)=Q`_(x)(x;y)

Значит это уравнение в полных дифференциалах

F`_(x)(x;y)=P(x;y) ⇒

F(x;y)= ∫(ye^(x)+e^(y)–12x)dx=ye^(x)+xe^(y)-6x^2+C(y)

Тогда

F`_(y)=(ye(x)+xe^(y)-6x^2+C(y))`_(y)=e^(x)+xe^(y)+C`(y)

Cравниваем с Q(x;y)=e^(x)+xe^(y)+10y ⇒

C`(y)=10y ⇒ C(y)=5y^2+C

О т в е т. [b]ye^(x)+xe^(y)-6x^2+5y^2+C=0[/b]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
|x+1|+|x-a|=t
[red]t ≥ 0[/red]
(|x+1|+|x-a|)^2=t^2

Получаем квадратное уравнение:
t^2-2t+4a(1-a)=0

D=(-2)^2-4*4a*(1-a)=4-16a+16a^2=4*(4a^2-4a+1)=4*(2a-1)^2 ≥ 0

При a=1/2
D=0

уравнение имеет один корень

t=[green]1[/green]

Обратный переход:

|x+1|+|x-a|=[green]1[/green]

Переформулируем вопрос:

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно два корня:

|x+1|+|x-a|=[green]1[/green]

или

|x-a|=1-|x+1|

Решаем графически

y=1-|x+1|

y=|x-a|

cм. графики на рис.

О т в е т. [b](-2;0)[/b]

При D>0 уравнение имеет два корня, надо определить условие, при которых корни оба положительны или один положительный, второй отрицательный.

И далее смотреть в каком случае обратный переход приведет к двум корням (прикреплено изображение)

Δ EDC ∼ Δ ABC ( ED || AB) ⇒

EC/AC=ED/AB

ЕС/АЕ=2 ⇒ EC/AC=2/3 (AE - одна часть, ЕС - две части, АС - три части)

ED/AB=2/3

3ED=2AB

AB=3ED/2=3*43/2=64,5 (прикреплено изображение)

Раскладываем по третьей строке:
=[m]\begin{vmatrix} 1+sin\alpha &1 \\ 1+cos\alpha & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1+cos\alpha &1 \\ 1-sin\alpha & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1+cos\alpha &1+sin\alpha \\ 1-sin\alpha & 1+cos\alpha \end{vmatrix}=[/m]

=1+sin α -1-cos α -1-cos α +1-sin α+(1+cos α )*(1+cos α )-

-(1-sin α )*(1+sin α )=-2cos α +1+2cos α +cos^2 α -cos^2 α =1

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

2cos^4x+3*(1-cos^2x)-2=0

2cos^4x-3cos^2x+1=0

D=9-4*2*1=1

cos^2x=1/2 или cos^2x=1

cos^2x=1/2 ⇒ cosx= -sqrt(2)/2 или cosx= sqrt(2)/2 ⇒

х=[b] ± (3π/4)+2πn, n ∈ Z [/b] или х=[b] ± (π/4)+2πk, k ∈ Z[/b] ⇒

[red]x=(π/4)+(π/2)m, m ∈ Z[/red]

cos^2x=1 ⇒ cosx= -1 или cosx= ⇒

х=[b](π)+2πn, n ∈ Z [/b] или х=[b] 2πk, k ∈ Z[/b] ⇒

[red]x=πm, m ∈ Z[/red]

О т в е т. или 4 ответа жирным шрифтом или два - красным

e^(x)+1=[blue]u[/blue]

[green]du[/green]=u`*dx=(e^(x)+1)`dx=(e^(x)+0)dx=[green]e^(x)dx[/green]

∫ [green]e^(x) dx[/green]/([blue]e^(x) +1[/blue])= ∫ [green]du[/green]/[blue]u[/blue]=ln|[blue]u[/blue]|+C=ln|e^(x)+1|+C

Неопределенность (0/0)
Раскладываем и числитель и знаменатель на множители:

x^2–4x+3=(x-1)(x-3)

x^2–5x+4=(x-1)(x-4)

lim_(x → 1) (x^2–4x+3)sinx /(x^2–5x+4)=

=lim_(x → 1) (x-1)(x-3)sinx /(x-1)(x-4)=

=lim_(x → 1) (x-3)sinx /(x-4)=(1-3)*sin1/(1-4)=(2/3)sin1

a)Уравнение прямой, проходящей через точку M(-3;3) с направляющим вектором vector{s}=(5;4) имеет вид:
Каноническое уравнение прямой:
[m]\frac{x-(-3)}{5}=\frac{y-3}{4}[/m]

[m]\frac{x+3}{5}=\frac{y-3}{4}[/m]

4*(x+3)=5*(y-3)

4x+12=5y-15

[b]4x-5y+27=0[/b] - в общем виде

б)
[m]\frac{x+3}{5}=\frac{y-3}{4}=t[/m]

x+3=5t
y-3=4t

x=5t-3
y=4t+3- параметрическое уравнение прямой

A(2;7)

принадлежит прямой, так как
[m]\frac{2+3}{5}=\frac{7-3}{4}[/m] - верное равенство, 1=1

2=5t-3 ⇒[b] t=1[/b]
7=4t+3⇒[b] t=1[/b]

Находим координаты точки А - точки пересечения высоты АМ и стороны АВ

Решаем систему:
{x+y=6
{4x+y=12

{3x=6 ⇒ х=2
{y=12-4х=12-8=4

А(2;4)

Составляем уравнение прямой АС,[i]перпендикулярной[/i] ВН и проходящей через точку А:
Уравнение ВН: 5x–4y=12

y=(5/4)x-3

k=5/4

Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1)

Поэтому k_(AC)=-4/5

y=(-4/5)x+b

Подставляем координаты точки A и находим b

4=(-4/5)*2+b

b=28/5

y=(-4/5)x+(28/5)

[b]4х+5у-28=0[/b]- уравнение АС

Аналогично получим уравнение прямой ВС

Находим координаты точки В - точки пересечения высоты BH и стороны АВ

Решаем систему:
{5x–4y=12
{4x+y=12

{5x–4y=12
{16x+4y=48

Складываем:
{21х=60 ⇒ х=20/7
{4x+y=12 ⇒ y=12-4x=4/7

B(20/7;4/7)

Составляем уравнение прямой BС,[i] перпендикулярной[/i] АМ и проходящей через точку В:

Уравнение прямой, проходящей через точку M(2;7) с направляющим вектором vector{N}=(8;3) имеет вид:
Каноническое уравнение прямой
[m]\frac{x-2}{8}=\frac{y-7}{3}[/m]

Перемножаем крайние и средние члены пропорции

3(х-2)=8(y-7)
3x-6-8y+56=0
3x-8y+50=0

или

y=[m]\frac{3}{8}x+\frac{50}{8}[/m]

Угловой коэффициент k=[m]\frac{3}{8}[/m]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

Поэтому угловой коэффициент перпендикулярной прямой:
k=[m]-\frac{8}{3}[/m]

y=[m]-\frac{8}{3}x+b [/m]

Подставляем координаты точки М и находим b

7=[m]-\frac{8}{3}\cdot 2+b [/m]

b=
y=[m]-\frac{8}{3}x+\frac{37}{3}[/m]

8x+3y-37=0

d=|8*0+3*0-37|/sqrt(8^2+3^2)=37/sqrt(73)

Ответ выбран лучшим

Два уравнения

1) при cosx ≥ 0
тогда |cosx|=cosx

Уравнение принимает вид:
5sin^2x+8cosx+1=cosx+cos^2x

Заменим
sin^2x=1-cos^2x
получим квадратное уравнение:
6cos^2x-7cosx-6=0
D=49-4*6*(-6)=49+144=193

сosx=[m]\frac{7-\sqrt{193}}{12}[/m]; сosx=[m]\frac{7+\sqrt{193}}{12}[/m];

первое уравнение имеет корни во второй и третьей четверти,
не выполняется условие первого случая cosx ≥ 0
второе вообще не имеет корней, так как
[m]\frac{7+\sqrt{193}}{12}[/m] > 1

о т в е т первого случая : нет корней

2)

cosx < 0
тогда |cosx|= - cosx

Уравнение принимает вид:
5sin^2x+8cosx+1= - cosx+cos^2x
Заменим
sin^2x=1-cos^2x
получим квадратное уравнение:

6cos^2x-9cosx-6=0
D=81+144=225

сosx=[m]\frac{9-15}{12}[/m]; сosx=[m]\frac{9+15}{12}[/m];

[m]\frac{9-15}{12}=\frac{-1}{2}[/m];

cosx=-1/2

[b]x=(2π/3)+2πn, n ∈ Z[/b]

[m]\frac{9+15}{12}=2[/m].

сosx=2 - уравнение не имеет корней |cosx| ≤ 1

О т в е т. [b](2π/3)+2πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение прямой
[m]\frac{x-x_{o}}{m}=\frac{y-y_{o}}{n}=\frac{z-z_{o}}{k}[/m]

содержит направляющий вектор прямой vector{q}=(m;n;k)

и координаты точки (x_(o);y_(o);z_(o)), принадлежащей данной прямой

Каноническое уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0
содержит нормальный вектор плоскости vector{n}=(A;B;C)

[red]б) [/red] точку пересечения находим из системы:
{[m]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-4}{1}[/m]
{x-2y+4z-19=0

{[m]\frac{x-1}{2}=\frac{z-4}{1}[/m] ⇒ 2z=x+7⇒ 4z=2x+14
{y-2=0 ⇒ y=2
{x-2y+4z-19=0

x-2*2+(2x+14)-19=0
3x=9
x=3
2z=x+7; 2z=3+7; z=5

(3:2;5)

[red]в)[/red]
Направляющий вектор прямой, перпендикулярной плоскости P, коллинеарен вектору vector{n}
vector{n}=(1;-2;4) можно принять за направляющий вектор искомой прямой
Каноническое уравнение прямой имеет вид
[m]\frac{x-x_{o}}{m}=\frac{y-y_{o}}{n}=\frac{z-z_{o}}{k}[/m]

О т в е т. Каноническое уравнение прямой
[m]\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{4}[/m]

[green]a)[/green]
x_(o)=1;y_(o)=2;z_(o)=4

vector{q}=(2;0;1)
vector{n}=(1;-2;4)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекций на плоскость.

Находим угол между векторами vector{q} и vector{n}

из скалярного произведения:
vector{q} * vector{n}=| vector{q}|*| vector{n}}*cos φ

vector{q} * vector{n}=2*1+0*(-2)+1*4=6

|vector{q}|=sqrt(2^2+0^2+1)=sqrt(5)
| vector{n}|=sqrt(1^2+(-2)^2+4^2)=sqrt(21)

cos φ =6/sqrt(105)

φ =arccos(6/sqrt(105))

cм. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть T_(k)=C^(k)_(19)(2,8)^k(√7)^(19-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)

T_(k-1)=C^(k-1)_(19)(2,8)^(k-1)(√7)^(19-k+1)
T_(k+1)=C^(k+1)_(19)(2,8)^(k+1)(√7)^(19-k-1)

{C^(k)_(19)(2,8)^k(√7)^(19-k) > C^(k-1)_(19)(2,8)^(k-1)(√7)^(19-k+1)

{C^(k)_(19)(2,8)^k(√7)^(19-k)> C^(k+1)_(19)(2,8)^(k+1)(√7)^(19-k-1)

{2,8/k > sqrt(7)/(19-k+1) ⇒ 2,8*(20-k) > sqrt(7)k
{sqrt(7)/(19-k) > 2,8/(k+1) ⇒ {sqrt(7)*(k+1) > 2,8*(19-k)

{56> (sqrt(7)+2,8)k ⇒ k < 10,3
{(sqrt(7)+2,8)k > 53,2- sqrt(7) ⇒ k > 9,3

k=10 ( так как k - целое)

T_(10)=C^(10)_(19)(2,8)^(10)(√7)^(9) - наибольший член разложения данного бинома.

Ответ выбран лучшим

Здесь три пропорции (cм. приложение)

Берем две любые ( например, первую и вторую)

Считаем по формуле С^(k)_(n) ( см. приложение 2)

и получаем систему двух уравнений:

{[m]\frac{\frac{(y+1)!}{x!\cdot(y+1-x)!}}{\frac{y!}{x!\cdot (y-x)!}}=\frac{15}{24}[/m]

{[m]\frac{\frac{y!}{x!\cdot(y-x)!}}{\frac{(y-1)!}{x!\cdot (y-1-x)!}}=\frac{24}{28}[/m]

[m]\frac{\frac{y+1}{y+1-x}{\frac{1}{1}}=\frac{15}{24}[/m] ⇒

24(y+1)=15(y+1-x) ⇒ [b]3y+5x+3=0[/b]

[m]\frac{\frac{y}{y-x}}{\frac{1}{1}}=\frac{24}{28}[/m] ⇒

24(y-x)=28y ⇒[b] 4y+24x=0[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем графический метод

Рассматриваем плоскость xOa

Первое неравенство равносильно системе, поэтому получим две системы неравенств:

1)
{x+ax+a ≥ 0
{x-2a-2 >0
{x+ax>8

2)
{x+ax+a ≤ 0
{x-2a-2 <0
{x+ax>8

Уравнение
x+ax+a=0 определяет на плоскости xOa гиперболу

[m]x=\frac{-a}{a+1}[/m]

Гипербола разбивает плоскость хОа на две области ( внутреннюю - между двумя ветвями и внешнюю за ветвями)

Неравенству x+ax+a ≥ 0 удовлетворяет та часть, которая содержит, например точку (1;0), так как
0+1*0+1 ≥ 0 верно

см. рис.1 ( это внешняя область), красного цвета

Уравнение
x-2а-2=0 определяет на плоскости xOa

[i]прямую[/i] x=2a+2

Неравенству x-2a-2 >0 удовлетворяет та часть, которая содержит, например точку (-2;0), так как
0-2*(-2)-2 ≥ 0 верно 4-2 ≥ 0

рис. 2 ( область синего цвета, граница пунктиром, неравенство строгое)

Уравнение
x+ах=8 определяет на плоскости xOa

[i]гиперболу[/i]

[m]x=\frac{8}{a+1}[/m]

Гипербола разбивает плоскость хОа на две области ( внутреннюю - между двумя ветвями и внешнюю за ветвями)

Неравенству x+aх >8 удовлетворяет та часть, которая содержит, например точку (1;8), так как
8+1*8>8 верно 16 > 8
рис. 3( это внешняя область), зеленого цвета

Системе 1 удовлетворяет множество рис. 4

(см. темно зеленую область, пересечения трех областей: красной, синей и зеленой)

Не удовлетворяют неравенству точки координаты которых находятся вне темно зеленой области.

Это точки

a ∈ [-3;-1]

Точно также вторая система
( см. рис. 5)
х ∈ [-1; 1]

О т в е т. Объединение указанных множеств

[-3;-1]U[-1; 1]=[-3; 1] (прикреплено изображение)

a=1,6
σ =1

α =1
β =2

[m]p( \alpha <X<\beta )=\Phi (\frac{ \beta -a}{ \sigma })-\Phi (\frac{ \alpha -a}{\sigma })[/m]

[m]\frac{ \beta -a}{ \sigma }=\frac{2-1,6}{1}=0,4[/m]

[m]\frac{ \alpha -a}{ \sigma }=\frac{1-1,6}{1}=-0,6[/m]

[m]\Phi (\frac{ \beta -a}{ \sigma })=\Phi(0,4) ≈0,1554 [/m]

[m]\Phi (\frac{ \alpha -a}{ \sigma })=\Phi(-0,6)=-\Phi(0,6) ≈ -0,2257[/m]

cм. таблицу значений функции Лапласа

[m]p( 1 <X<2 )=0,1554-(-0,2257)=0,1554+0,2257=0,3811[/m]

- вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону с m=1,6 и σ =1 в интервал (1;2)

Введем в рассмотрение событие А

A-"при четырех испытаниях Х попадает хотя бы один раз в интервал (1.2)"

Тогда
vector{A}-"при четырех испытаниях Х не попадает ни разу в интервал (1;2)"

p(vector{A})=P_(4)(0)

По формуле Бернулли:

P_(4)(0)=C^(0)_(4)p^(0)q^4

p=0,3811
q=1-p=1-0,3811=0,6189

p(vector{A})=P_(4)(0)=4*(0,6189)^4

p(A)=1-p(vector{A})=1-4*(0,6189)^4 считаете и получаете ответ

(прикреплено изображение)

y`_(-0) =-1
y`_(+0)=1

Производная - предел, предел не существует.

Функция не является дифференцируемой в точке х=0

Функция недифференцируема в точке x=1,

1 ∈ [0;3]

Условие теоремы Лагранжа не выполняются.

Теорема не справедлива, точку найти нельзя

D(y)=(- ∞ ;+ ∞ )

y`=(2+x)`*e^(-x)+(2+x)*(e^(-x))`

y`=e^(-x)+(2+x)*e^(-x)(-x)`

y`=e^(-x)*(1-2-x)

[green]y`=e^(-x)*(-1-x)[/green]

так как e^(-x) > 0 при любом х, то y`=0 при х=-1

х=-1 - точка экстремума, именно точка максимума, так как производная меняет знак с + на -

y(-1)=(2-1)e=e

y``=(e^(-x))`*(-1-x)+e^(-x)*(-1-x)`

y``=-e^(-x)*(-1-x)-e^(-x)

y``=e^(-x)(1+x-1)

[red]y``=x*e^(-x)[/red]

y``=0

x=0

x=0 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

на (- ∞ ;0) кривая выпукла вверх, на (0;+ ∞ ) - вниз (прикреплено изображение)

Первое уравнение системы - окружность с центром (3а+4; a-2) и радиусом r=1
Первое уравнение системы - окружность с центром (4а+ 3; -3) и радиусом R=3

Вычитаем из первого уравнения второе:

(x-3a-4)^2-(x-4a-3)^2+(y-a+2)^2-(y+3)^2=-8

Применяем формулу разности квадратов:

(x-3a-4-x+4a+3)(x-3a-4+x-4a-3) + (y-a+2-y-3)(y-a+2+y+3)=-8

(a-1)(2x-7a-7)+(-a-1)(2y-a+5)+8=0 уравнение прямой:

Заменим данную систему равносильной ей, первое уравнение заменим разностью двух уравнений, а второе оставляем без изменения.

Система принимает вид:
{(a-1)(2x-7a-7)+(-a-1)(2y-a+5)+8=0
{(x-4a-3)^2(y+3)^2=9

Переформулировка задачи:
При каких значениях параметра а прямая (a-1)(2x-7a-7)+(-a-1)(2y-a+5)+8=0

имеет с окружностью (x-4a-3)^2(y+3)^2=9

Решаем способом подстановки:

выражаем y из первого уравнения и подставляем во второе:

Получаем квадратное уравнение с параметром ( громоздкое)

Оно имеет одно решение, если дискриминант равен 0

Надо много поработать, чтобы все вычислить.

Ответ выбран лучшим

[m]y`_{x}=\frac{y`_{t}}{x`_{t}}[/m]

[m]y`_{t}=(sint)`=cost[/m]

[m]x`_{t}=(cost)`=-sint[/m]

[m]y`_{x}=\frac{cost}{-sint}=[/m]

[m]y``_{xx}=\frac{(y`_{x})`_{t}}{x`(t)}[/m] ⇒

[m]y``_{xx}=\frac{(\frac{y`_{t}}{x`_{t}})`_{t}}{x`(t)}[/m] ⇒

[m]y``_{xx}=\frac{y``_{tt}\cdot x`(t)-y`(t)\cdot x``(t)}{(x`(t))^3}[/m]

y``_(tt)=(cost)`=-sint

x``_(tt)=(-sint)`=-cost

[m]y``_{xx}=\frac{-sint\cdot (-sint)-cost\cdot (-cost)}{-sin^3t}=-\frac{1}{sin^3t}[/m]

можно проще, так:

[m]y`_{x}=\frac{cost}{-sint}=-ctgt[/m]

[m]y``_{xx}=\frac{(y`_{x})`_{t}}{x`(t)}[/m] ⇒

[m]y``_{xx}=\frac{(-ctgt)`_{t}}{(-sint)}=\frac{\frac{1}{sin^2t}}{-sint}=-\frac{1}{sin^3t}[/m]

Ответ выбран лучшим

1.

S=p*r

p=(a+b+c)/2

a=b=c=12

p=18

r=S/p=3√3

2.

Против меньшего угла лежит меньшая сторона.

По теореме косинусов:
28^2=35^2+42^2-2*35*42*cos φ ⇒

cos φ =[m]\frac{35^2+42^2-28^2}{2\cdot 35\cdot 42}=\frac{3}{4}[/m]

φ =arccos(3/4) ≈ 41градусов 24 `=41,4000^(o) (прикреплено изображение)

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда
катеты 3х и 4х.

По теореме Пифагора гипотенуза
c^2=a^2+b^2=(3x)^2+(4x)^2=9x^2+16x^2=25x^2

с=5х

[i]Гипотенуза[/i] прямоугольного треугольника является [red]диаметром [/red]описанной окружности, поэтому

R=с/2 ( см. приложение 1)

В данной задаче:

R=2,5x

r- [i]радиус вписанной[/i] окружности

см. приложение 2:

r=(a+b-c)/2

В данной задаче:

r=(3x+4x-5x)/2=x

По условию:

R-r=27

2,5x-x=27

1,5x=27

x=18

r=x=18

О т в е т. 18 cм

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(b)-f(a)=f`(c)*)(b-a)

f`(c)=[m]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/m]

b=1/2
a=1/3
f(b)=1/(1/2)=2
f(a)=1/(1/3)=3

b-a=1/6

f(b)-f(a)=2-3=-1

[m]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/m]=-6

f`(x)=-1/x^2

f`(c)=-1/c^2

-1/с^2=-6

c^2=1/6

c=1/sqrt(6)

c=sqrt(6)/6

Ответ выбран лучшим

Находим корни уравнения:
x^4 -11x^2 -18x -8 = 0.

x=-1 - корень уравнения, так как (-1)^4-11*(-1)^2-18*(-1)-8=0 -верно,
-19+19=0

Значит, уравнение принимает вид:
(х+1)*(x^3-x^2-10x-8)=0

(x+1)^2*(x^2-2x-8)=0

(x+1)^2*(x+2)(x-4)=0

B={-2;-1;4}

Вопрос непонятен, зачем тогда даны U и А ?

3.
Над множествами определены операции:
объединения, пересечения, разности, симметрической разности, декартово произведение

2B- умножение на число.

Такая операция не определена

Ответ выбран лучшим

180=2*[green]90[/green]

x-12=k*[b]90[/b]

так как x < 180 ⇒ k <2 ⇒ k=1

x-12=90

x=[b]102[/b]

102-12=90

НОД(90;180)=90

C помощью кругов Эйлера доказано, что α ⇒ β
( cм. приложение)

Значит α -[i] достаточное[/i] условие для β

Осталось установить или опровергнуть :

верно ли, что β ⇒ α (прикреплено изображение)

25^(x+0,5)=25^(x)*25^(0,5)=(5^(x))^2* 5=5*([blue]5^(x)[/blue])^2
4^(2x+1,5)=4^(2x)*4^(1,5)=(4^(x))^2**sqrt(4^3)=8*([green]4^(x)[/green])^2

20^(x)=(4*5)^(x)=[green]4^(x)[/green]*[blue]5^(x)[/blue]

Неравенство принимает вид:

3*5*([blue]5^(x)[/blue])^2+8*([green]4^(x)[/green])^2-22*([green]4^(x)[/green])*([blue]5^(x)[/blue]) ≤ 0

Делим на (4^(x))^2 > 0

15t^2-22t+8 ≤ 0; t=(5/4)^(x)

D=(-22)^2-4*15*8=484-480=4

t_(1)=(22-2)/30=2/3 или t_(2)=(22+2)/30=24/30=4/5

2/3 ≤ t ≤ 4/5

(2/3) ≤ (5/4)^(x) ≤ 4/5

(5/4)^(log_(5/4)(2/3)) ≤ (5/4)^(x) ≤ (5/4)^(-1)

log_(5/4)(2/3) ≤ x ≤ -1

О т в е т.[ log_(5/4)(2/3);-1]

Ответ выбран лучшим

ВК=КВ_(1)=3
Проводим
ВМ ⊥ АС
ΔАВС - равносторонний, значит высота ВМ - медиана и биссектриса.
ВМ - проекция КМ на АВС

KM ⊥ AC по теореме о трех перпендикулярах

Из треугольника АВС:

ВМ=АВ*sin CAB=8*sin60^(o)=8*(sqrt(3)/2)=4 sqrt(3)

По теореме Пифагора из треугольника КМВ:

KM^2=KB^2+BM^2=3^2+(4sqrt(3))^2=9+48=57

KM=sqrt(57)

S_(сечения)=S_( Δ ACK)=(1/2)АС*КМ=(1/2)*8*sqrt(57) (прикреплено изображение)

Расстояние между скрещивающимися прямыми ВС и А_(1)С_(1) это длина общего перпендикуляра, т.е длина СС_(1)

СС_(1)=16

BB_(1)=CC_(1)=16

ВK:KB_(1)=3:5 ⇒ BK=(3/8)BB_(1)=(3/8)*16=6

Проводим
ВМ ⊥ АС
ΔАВС - равносторонний, значит высота ВМ - медиана и биссектриса.
ВМ - проекция КМ на АВС

KM ⊥ AC по теореме о трех перпендикулярах

∠ КМВ - линейный угол двугранного угла между пл АВС и пл АКС)

Из треугольника АВС:

ВМ=АВ*sin ∠CAB=8sqrt(3)*sin60^(o)=8sqrt(3)*(sqrt(3)/2)=12

tg∠ КМВ= BK/BM=6/12=1/2=0,5

О т в е т. 0,5

(прикреплено изображение)

В_(1)С_(1) ⊥ DD_(1)C_(1)C

Поэтому
DC_(1) - проекция B_(1)D на плоскость DD_(1)C_(1)C

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

О т в е т. Это угол B_(1)DC_(1)
(прикреплено изображение)

ОДЗ: x+3 >0 ⇒ x>-3

Перепишем:
[m]\left\{\begin{matrix} x^2+2^{x}+36 ≤ 78\cdot log_{3}(x+3) & \\ 78\cdot log_{3}(x+3) ≤ 12x+2^{x} & \end{matrix}\right.[/m]

Cкладываем:
[m]x^2+2^{x}+36+78\cdot log_{3}(x+3) ≤ 78\cdot log_{3}(x+3)+ 12x+2^{x}[/m]

[m]x^2-12x+36 ≤ 0[/m]

[m](x-6)^2 ≤ 0[/m]

x=6

x=6 удовл ОДЗ.

О т в е т. х=6

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{3x}{x-4}=1[/m]

x-4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4

Дробь равна 1, тогда и только тогда когда числитель равен знаменателю
3х=x-4 ⇒ 3х-х=-4 ⇒ 2х=-4 ⇒ [b]х=-2[/b]

[m]\frac{x-6}{7x+3}=\frac{x-6}{5x-1}[/m]

7x +3 ≠ 0
5х-1 ≠ 0

Пропорция.
Умножаем крайние и средние члены пропорции:
(x-6)*(5x-1)=(7x+3)*(x-6)

(x-6)*(5x-1)-(7x+3)*(x-6)=0

(х-6)*(5х-1-7х-3)=0

(х-6)*(-2х-4)=0

[b]x=6 [/b]или[b] х=-2[/b]

О т в е т. 6 - наибольший

3^(x-1)=27
3^(x-1)=3^3
x-1=3
x=4

О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{\pi x}{4}=(-1)^{k}arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\pi k, k \in Z[/m]

[m]\frac{\pi x}{4}=(-1)^{k}\frac{\pi }{4}+\pi k, k \in Z[/m]

Правую часть лучше записать в виде двух серий ответов:

при k=2n

[m]\frac{\pi x}{4}=\frac{\pi }{4}+ \pi\cdot (2n), n \in Z[/m]

или

при k=2n+1

[m]\frac{\pi x}{4}=-\frac{\pi }{4}+ \pi \cdot (2n+1), n \in Z[/m]

см. рис.

Делим обе части равенства на π

[m]\frac{x}{4}=\frac{1 }{4}+ 2n, n \in Z[/m]

и умножаем на 4

[m]x=1+8n \in Z[/m] : это ...[b] -15; -7; 1; 9; 17; ..[/b].

или

Делим обе части равенства на π

[m]\frac{x}{4}=-\frac{1}{4}+ 2n+1, n \in Z[/m]

и умножаем на 4

[m]x=3+ 8n, n \in Z[/m] : это[b] -13; -5; 3; 11; ...[/b]

при n=-1

[b]x=-5 - наибольшее отрицательное [/b]

О т в е т. [m]x=1+8n \in Z[/m] или [m]x=3+ 8n, n \in Z[/m]

корни чередуются так:

... -15;-13;-7;-5; 1;3; 9;11; 17; 19; ...

[b]x=-5 - наибольшее отрицательное [/b]

(прикреплено изображение)

3.
y=ax^2+bx+c

y=-x^2+x-2

a=1 - старший коэффициент
b=1 - средний коэффициент
с=-2 - свободный член

4.
x^2=a-5
При a-5=0 ⇒ при а=5
уравнение имеет один корень х=0

5.
Δ Прямоугольный, так как верно равенство: b^2=a^2+c^2
5^2=3^2+4^2
25=9+16
Значит, ∠ B=90 градусов и ∠ А+ ∠ С=90 градусов.

∠ А- ∠ С=36 градусов.
∠ А+ ∠ С=90 градусов.

складываем оба равенства:

2* ∠ А=126 градусов.

∠ А=63 градусов.

6.

По формулам приведения:

cos((3π/2)-x)=-sinx

sin^2x+sinx-2=0
D=9
sinx=-2 или sinx=1

sinx=-2 уравнение не имеет корней, -1 ≤ sinx ≤ 1

sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πk, k ∈ Z или х=90 ° +360 ° *k, k ∈ Z

Найдем корни, принадлежащие указанному отрезку с помощью неравенства:

-286 ° ≤ 90 ° +360 ° *k ≤ 204 °

-286 °-90 ° ≤ 360 ° *k ≤ 204 ° -90 °

-376 ° ≤ 360 ° *k ≤ 114 °

Неравенство верно при k=[green]-1[/green] и k=[red]0[/red]

Значит, указанному отрезку принадлежат два корня:

x=90 ° +360 °* ([green]-1[/green])=-270 °

и

x=90 ° +360 °*[red]0[/red]=90 °

7. KT- средняя линия трапеции:

KT=(AD+BC)/2

S_(трапеции)=(AD+BC)*h/2=KT*h

Cредняя линия трапеции делит высоту трапеции пополам ( см. рис)

Высоты треугольников АКО и СОК равны половине высоты трапеции

По условию:

S_( Δ АКО)+S_( Δ COK)=44

S_( Δ АКО)=(1/2)*KO*(h/2)=КО*(h/4)
S_( Δ COK)=(1/2)*OT*(h/2)=OT*(h/4)

S_( Δ АКО)+S_( Δ COK)=KO*(h/4) +OT*(h/4)=

=(h/4)(KO+OT)=KT*(h/4)=(KT*h)/4=(1/4)*S_(трапеции)

(1/4)*S_(трапеции)=44 ⇒ *S_(трапеции)=4*44

О т в е т. [b]176[/b]

8.
(2+sqrt(5))^2=2^2+2*2*sqrt(5)+(sqrt(5))^2=9+4sqrt(5)

[m]\frac{\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^2}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^2(2+\sqrt{5})}}{\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}}=\frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^3}}{\sqrt[3]{2^2-(\sqrt{5})^2}}=[/m]

[m]=\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt[3]{4-5}}=-2-\sqrt{5}[/m]

[m]\frac{\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}}+\sqrt{5}=-2-\sqrt{5}+\sqrt{5}=-2[/m]

B=-2
[i]l[/i]=8 - количество ребер четырехугольной пирамиды

B^(-8)=(-2)^(-8)=[m]\frac{1}{128}[/m]

О т в е т.[m]\frac{1}{128}[/m]

9.
{0,001+x^2 ≥ 0 - неравенство верно при любом х
{7-|x| > 0 ⇒ |x|<7 ⇒ -7<x<7

Целые неположительные:
-6;-5;-4;-3;-2;-1;0

О т в е т. 7

10.
Пусть число х, увеличим на 12, получим х+12

x - это 100% ⇒ [m]\frac{1}{x}[/m] - это 1%

Число x увеличили на 12, значит на [m]\frac{12}{x}[/m] - процентов

[m]\frac{12}{x}[/m] - процентов от (х+12) равно (x+12)*[m]\frac{12}{x}[/m]

Уравнение:

x+12+(x+12)*[m]\frac{12}{x}[/m]=49

x^2+12x+12x+144-49x=0

x^2-25x+144=0

D=(-25)^2-4*144=625-576=49

x=(25-7)/2=9 или x=(25+7)/2=16 не однозначное число

О т в е т. [b]9[/b] (прикреплено изображение)

7. KT- средняя линия трапеции:

KT=(AD+BC)/2

S_(трапеции)=(AD+BC)*h/2=KT*h

Cредняя линия трапеции делит высоту трапеции пополам ( см. рис)

Высоты треугольников АКО и СОК равны половине высоты трапеции

По условию:

S_( Δ АКО)+S_( Δ COK)=44

S_( Δ АКО)=(1/2)*KO*(h/2)=КО*(h/4)
S_( Δ COK)=(1/2)*OT*(h/2)=OT*(h/4)

S_( Δ АКО)+S_( Δ COK)=KO*(h/4) +OT*(h/4)=

=(h/4)(KO+OT)=KT*(h/4)=(KT*h)/4=(1/4)*S_(трапеции)

(1/4)*S_(трапеции)=44 ⇒ *S_(трапеции)=4*44

О т в е т. [b]176[/b]

8.
(2+sqrt(5))^2=2^2+2*2*sqrt(5)+(sqrt(5))^2=9+4sqrt(5)

[m]\frac{\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^2}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^2(2+\sqrt{5})}}{\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}}=\frac{\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^3}}{\sqrt[3]{2^2-(\sqrt{5})^2}}=[/m]

[m]=\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt[3]{4-5}}=-2-\sqrt{5}[/m]

[m]\frac{\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}}+\sqrt{5}=-2-\sqrt{5}+\sqrt{5}=-2[/m]

B=-2
[i]l[/i]=8 - количество ребер четырехугольной пирамиды

B^(-8)=(-2)^(-8)=[m]\frac{1}{128}[/m]

О т в е т.[m]\frac{1}{128}[/m]

9.
{0,001+x^2 ≥ 0 - неравенство верно при любом х
{7-|x| > 0 ⇒ |x|<7 ⇒ -7<x<7

Целые неположительные:
-6;-5;-4;-3;-2;-1;0

О т в е т. 7

10.
Пусть число х, увеличим на 12, получим х+12

x - это 100% ⇒ [m]\frac{1}{x}[/m] - это 1%

Число x увеличили на 12, значит на [m]\frac{12}{x}[/m] - процентов

[m]\frac{12}{x}[/m] - процентов от (х+12) равно (x+12)*[m]\frac{12}{x}[/m]

Уравнение:

x+12+(x+12)*[m]\frac{12}{x}[/m]=49

x^2+12x+12x+144-49x=0

x^2-25x+144=0

D=(-25)^2-4*144=625-576=49

x=(25-7)/2=9 или x=(25+7)/2=16 не однозначное число

О т в е т. [b]9[/b] (прикреплено изображение)

Призма правильная - в основании квадрат ABCD.

Призма прямая, значит боковые ребра перпендикулярны пл. основания

Из прямоугольного треугольника BB_(1)D

BD^2=B_(1)D^2-B_(1)B^2=17^2-(sqrt(161)^2=289-161=128

BD=sqrt(128)=8sqrt(2)

Из прямоугольного равнобедренного (AB=AD) треугольника АBD

[b]AD[/b]=AB=BD*sin45^(o)=8sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=8

[green]B_(1)C_(1)[/green]=[b]AD[/b]=8

Из прямоугольного треугольника DC_(1)C:

DC^2_(1)=DC^2+CC^2_(1)=8^2+(sqrt(161)^2=64+161=225

[red]DC_(1)[/red]=15

S_(AB_(1)C_(1)D)=[red]DC_(1)[/red] *[green] B_(1)C_(1)[/green]=15*8=120 кв. см (прикреплено изображение)

1)
S= ∫ ^(32)_(1)x^(-0,4)dx=[m]\frac{x^{-0,4+1}}{-0,4+1}[/m]|^(32)_(1)=

=[m]\frac{x^{0,6}}{0,6}[/m]|^(32)_(1)=[m]\frac{32^{0,6}}{0,6}-\frac{1^{0,6}}{0,6}[/m]=[m]\frac{2^{5\cdot 0,6}}{0,6}-\frac{1^{0,6}}{0,6}=[/m]

=[m]\frac{2^{3}}{0,6}-\frac{1^{0,6}}{0,6}=\frac{8-1}{0,6}=\frac{35}{3}[/m]

2)
S= ∫ ^(2)_(0)(2^(x)-1)dx=[m]\frac{2^{x}}{ln2}-x[/m]|^(2)_(0)=

=[m]\frac{2^{2}}{ln2}-\frac{2^{0}}{ln2}-(2-0)=]\frac{4-1}{ln2}-2=\frac{3}{ln2}-2[/m]

3)
S= ∫ ^(2)_(0,5) (2-[m]\frac{1}{x}[/m])dx=

=(2x-ln|x|)|^(2)_(0,5)= 2*2-ln2-(2*0,5-ln0,5)=3-ln2+ln0,5=3-ln2+ln2^(-1)=

=3-ln2-ln2=3-2ln2

4)

S= ∫ ^(0)_(-1)(1+e^(x))dx=(x+e^(x))|^(0)_(-1)=0+e^(0)- (-1+e^(-1))=

=0+1+1-(1/e)=[b]2-(1/e)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Пусть второе основание трапеции равно х.
x>15

h^2=15^2-[m](\frac{x-15}{2})^2[/m]

S_(трапеции)(x)=[m]\frac{x+15}{2}\cdot \sqrt{15^2-(\frac{x-15}{2})^2} [/m]

S(x)=[m]\frac{x+15}{2}\cdot \sqrt{(15-\frac{x-15}{2})(15+\frac{x-15}{2})}[/m]

S(x)=[m]\frac{x+15}{4}\cdot \sqrt{(45-x)(15+x)}[/m]

Исследуем функцию с [i]помощью производной[/i], находим [i]точку максимума[/i], находим наибольшее значение площади

Подкоренное выражение квадратный трехчлен, коэффициент при x^2 равен (-1), наибольшее значение в вершине, х_(о)=30

О т в е т. При х=30 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть боковая сторона равна х, тогда

по теореме косинусов:

m^2=(x/2)^2+x^2-2*x*(x/2)*cos α ,

α - угол при вершине.

cos α =[m]\frac{5}{4}-(\frac{m}{x})^2[/m] ⇒

sin^2 α =1-cos^2 α ⇒

sin^2 α =1 - ([m]\frac{5}{4}-(\frac{m}{x})^2[/m])^2

sin α =[m]\sqrt{\frac{5m^2}{2x^2}-(\frac{m}{x})^4-\frac{21}{4}}[/m]

Применяем формулу нахождения площади треугольника:

S( Δ)=(1/2)ab*sin ∠ C

получим

S(x)= (1/2)*x*x*sin α =(1/2)*x^2*[m]\sqrt{\frac{5m^2}{2x^2}-(\frac{m}{x})^4-\frac{21}{4}}[/m]

Далее исследуем функцию с помощью производной и находим точку максимума и наибольшее значение

Ответ выбран лучшим

1) - верно, см. пункт 4 приложения
2) неверно, не должно быть множителя х
3) неверно
4) верно, см. пункт 1 приложения

О т в е т. 2) и 3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения
x^4-1 ≠ 0 ⇒ (x^2-1)(x^2+1) ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1

Прямые x= ± 1 - вертикальные асимптоты, так как

lim_(x → 1-0)f(x)= - ∞ и lim_(x → 1+0)f(x)= +∞

и
lim_(x → -1-0)f(x)= +∞ и lim_(x → -1+0)f(x)= -∞

Прямая y=0 - горизонтальная асимптота, так как
lim_(x → ∞ )f(x) = 0

Функция четная, [m]y(-x)=\frac{1}{(-x)^4-1}=\frac{1}{x^4-1}=y(x)[/m]

График симметричен относительно оси Оу

y`=-(1/(x^4-1)^2)*(x^4-1)`= (- 4x^3)/(x^4-1)^2

y`>0 при x ∈ (- ∞ ;-1)и при х ∈ (-1;0)

функция возрастает на (- ∞ ;-1) и на (-1;0)

y`<0 при x ∈ (0 ;1) и при х ∈ (1;+ ∞ )

Функция убывает на (0 ;1) и на (1;+ ∞ )

(прикреплено изображение)

X*A=B
Умножаем на A^(-1) cправа:
X*A*A^(-1)=B*A^(-1)

[b]X=B*A^(-1)[/b]

Находим матрицу А^(-1)
Умножаем В на А^(-1)

B*A^(-1)=C

X=C- о т в е т (прикреплено изображение)

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=3151

Ответ выбран лучшим

Капитаном может быть любой из пяти
5 способов.
Тогда замом - любой из четырех оставшихся.
4 способа.

По правилу умножения выбор и капитана и зама,

5*4=20 способов..

(союз "[red]и[/red]" в тексте - применяем [red]умножение[/red];
союз " [green]или[/green]" в тексте - применяем[green] сложение[/green])

Ответ выбран лучшим

Всего
n=12+16=28 учащихся

m=12 мальчиков

p=m/n=12/28=3/7

О т в е т. а)

Ответ выбран лучшим

По условию:
PO ⊥ пл. основания ⇒ РО ⊥ АО ⇒ ∠ РАО=90 градусов

ОК ⊥ AP ⇒ ∠ PKO=90 градусов
∠ POK = β
Из прямоугольного треугольника РКО
∠ КРО = 90 градусов - β

В прямоугольном треугольнике АРО

AP=[blue]m[/blue]

∠ АРО= ∠ КРО = 90 градусов - β ⇒

∠ PAO= β

AO=R=AP*cos β =[blue]m*[/blue]cos β
PO=H=AP*sin β =[blue]m[/blue]*sin β

V_(конуса)=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*([blue]m[/blue]*cos β)^2*( [blue]m[/blue]*sin β )=

[b]=([blue]m[/blue]^3*cos^2 β *sin β )/3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2-x^2-5y^2=0
x^2+5y^2=2 - поперечное сечение эллипс

(x^2/2)+(y^2/0,4)=1 - его каноническое уравнение

a^2=2
b^2=0,4

S(x)= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

x^2+y^2+4x+2y=-4

Выделяем полные квадраты:
сгруппируем
(x^2+4x+4)+(y^2+2y)=0
(x+2)^2+(y+1)^2=1
Окружность с центром (-2;-1)
радиусом R=1

2.

vector{AB}=(x_(B)-x_(A); y_(B)-y_(A))=

=[m](-2+\frac{\sqrt{3}}{2} - (-2+\frac{\sqrt{3}}{2});0- (-\frac{1}{2}))=

(0;\frac{1}{2})[/m]

Находим направляющие косинусы вектора vector{AB}
( см. формулы в приложении):

cos α =0

cos β =[m]\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{0^2+(\frac{1}{2})^2}}=1[/m]

grad u- вектор, координаты, частные производные

grad u (A)- вектор, координаты, частные производные, вычисленные в точке А

Считаем:

∂u/∂x=u`_(x)=(x^2+y^2+4x+2y)`_(x)=2x+4

∂u/∂y=u`_(y)=(x^2+y^2+4x+2y)`_(y)=2y+2

∂u/∂x_(A)=(2x+4)_([m]x=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}[/m])=[m]2\cdot (-2+\frac{\sqrt{3}}{2}+4)=\sqrt{3}+4[/m]

∂u/∂y_(A)=(2y+2)_(y=[m]-\frac{1}{2}[/m])=[m]2\cdot (-\frac{1}{2}+2)=3[/m]

gradu_(A)=∂u/∂x_(A) * cos α + ∂u/∂y_(A)* cos β =[m](\sqrt{3}+4)\cdot 0+3\cdot1=3[/m]
(прикреплено изображение)

см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{2x-1}{2x+3})^{1-4x}=\lim_{x \to\infty}(\frac{2x-1}{2x+3})^{-4x}\cdot(\frac{2x-1}{2x+3})^{1} =[/m]

Предел произведения равен произведению пределов:
[m]=\lim_{x \to\infty}(\frac{2x-1}{2x+3})^{-4x}\cdot \lim_{x \to\infty}(\frac{2x-1}{2x+3})^{1}[/m]

Так как
[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{2x-1}{2x+3})^{1}=1^{1}=1[/m]

и

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{2x-1}{2x+3})^{-4x}=\lim_{x \to\infty}\frac{(\frac{2x-1}{2x})^{-4x}}{(\frac{2x+3}{2x})^{-4x}}=

=\lim_{x \to\infty}\frac{(1-\frac{1}{2x})^{-4x}}{(1+\frac{3}{2x})^{-4x}}=[/m]

[m]=\lim_{x \to\infty}\frac{((1-\frac{1}{2x})^{-2})^{2}}{((1+\frac{3}{2x})^{\frac{2x}{3}})^{-6}}=\frac{e^{2}}{e^{-6}}=e^{2-(-6)}=e^{8}[/m]

Ответ выбран лучшим

(х-0)/(-2-0)=(у+3)/(1+3)

x/(-2)=(y+4)/4

4x=-2*(y+4)

[b]2x+y+4=0[/b]

Вводим в рассмотрение гипотезы:
[blue]H_(1) [/blue]- " из 1 во 2-й переложили два черных"
В первом 14 белых и 10 черных, всего 24 шара

p(H_(1))=С^2_(10)/C^2_(24)=(10*9)/(24*23)=[blue]90/552[/blue]

[green]H_(2) [/green]- " из 1 во 2-й переложили два белых"

В первом 14 белых и 10 черных, всего 24 шара

p(H_(2))=С^2_(14)/C^2_(24)=(14*13)/(24*23)=[green]182/552[/green]

[red]H_(3)[/red] - " из 1 во 2-й переложили черный и белый или белый и черный"
В первом 14 белых и 10 черных, всего 24 шара

p(H_(3))=(С^(1)_(10)*С^(1)_(14))/C^2_(24)+=(С^(1)_(14)*С^(1)_(10))/C^2_(24) =2*(14*10)/(24*23)=[red]280/552[/red]

Если гипотезы выбраны верно, то
p(H_(1))+p(H_(2))+p(H_(3))=1

Проверяем (90/552)+(182/552)+(280/552)=552/552=1

[i]Гипотезы выбраны верно.
[/i]
A- " из второго ящика вынули два разноцветных шарика"
Если произошло событие Н_(1), т.е во второй ящик добавили два черных шара, то в нем 12 белых и 17 черных, всего 29 шаров

p(A/H_(1))=(С^(1)_(12)*C^(1)_(17))/C^2_(29)=[blue]204/406[/blue]

Если произошло событие Н_(2), т.е во второй ящик добавили два белых шара, то в нем 14 белых и 15 черных, всего 29 шаров

p(A/H_(2))=(С^(1)_(14)*C^(1)_(15))/C^2_(29)=[green]210/406[/green]

Если произошло событие Н_(3), т.е во второй ящик добавили один белый и один черный, то в нем 13 белых и 16 черных, всего 29 шаров

p(A/H_(3))=(С^(1)_(13)*C^(1)_(16))/C^2_(29)=[red]208/406
[/red]

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))p(A/H_(3))=

=([blue]90/552[/blue])*([blue]204/406[/blue])+([green]182/552[/green])*([green]210/406[/green])+([red]280/552[/red])([red]208/406[/red])=

считаем:

(90*204+182*210+280*208)/(552*406)=

=(18360+38220+57400)/=113980/224112 ≈ [b]0,51[/b]

Дифференцируем равенство:
(x*siny+y*sinx)`=0

(x*siny)`+(y*sinx)`=0

Применяем правило

(u*v)`=u`*v+u*v`

x`*siny+x*(siny)`+y`*sinx+y*(sinx)`=0

Так как х - независимая переменная, то
x`=1
(sinx)`=cosx

y=y(x) -зависимая переменная,
y`(x)=y` ( ≠ 1)

и по правилу вычисления производной сложной функции

(siny)`=cosy*(y`)=y`*cosy

Поэтому

siny+x*(cosy)*y`+y`sinx+y*(cosx)=0

y`*(x*cosy+y*sinx)=-siny-y*cosx

[b]y`=-(siny+y*cosx)/(x*cosy+y*sinx)[/b]

Расставляем все что дано: (прикреплено изображение)

Левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей.

Произведение равно нулю тогда и только тогда когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом [i]не теряет смысла
[/i].

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,25=0,5^2

[m]\frac{0,25\cdot3^4}{0,5\cdot2^2}=\frac{0,5^{2}\cdot81}{0,5\cdot4}=\frac{0,5\cdot 81}{4}=\frac{40,5}{4}=10,125[/m]

см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+1}{5x-4})^{12x-5}=\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+1}{5x-4})^{12x}\cdot (\frac{5x+1}{5x-4})^{-5}=[/m]
Предел произведения равен произведению пределов:
[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+1}{5x-4})^{12x}\cdot\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+1}{5x-4})^{-5}=[/m]

[m]=\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+1}{5x-4})^{12x}\cdot 1^{-5}=

\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+1}{5x-4})^{12x}=[/m]

Делим и числитель и знаменатель дроби на 5х:

[m]=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{5x+1}{5x}}{\frac{5x-4}{5x}})^{12x} =[/m]

[m]\lim_{x \to\infty}\frac{(1+\frac{1}{5x})^{12x}}{(1-\frac{1}{5x})^{12x}}=[/m]

[m]\lim_{x \to\infty}\frac{((1+\frac{1}{5x})^{5x})^{\frac{12}{5}}}{((1-\frac{4}{5x})^{-5x})^{\frac{-12}{5}}}=\frac{e^{\frac{12}{5}}}{e^{\frac{-12}{5}}}=e^{\frac{12}{5}-(-\frac{12}{5})}=e^{4,8}[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]\lim_{x \to 0}\frac{log_{2}(1+5x)}{5x}=log_{2}e=\frac{1}{ln2}[/m]

[m]\lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}+1}{2x}=1[/m]

(1-2x)^4-1=((1-2x)^2-1)((1-2x)^2+1)=(1-2x-1)(1-2x+1)(1-4x+4x^2+1)=

=-2x(2-2x)*(2-4x+4x^2)=2x*(2x-2)(4x^2-4x+2)

[m]\lim_{x \to 0}\frac{log_{2}(1+5x)\cdot (e^{2x}+1)}{(1-2x)^{4}-1}=

\lim_{x \to 0}\frac{log_{2}(1+5x)}{5x}\cdot \frac{e^{2x}+1}{2x}\cdot \frac{5x\cdot 2x}{2x(2x-2)(4x^2-4x+2)}=[/m]

[m]=\frac{1}{ln2}\cdot 1\cdot \lim_{x \to 0}\frac{5x}{(2x-2)(4x^2-4x+2)}=\frac{1}{ln2}\cdot 1\cdot 0=0 [/m]

Ответ выбран лучшим

положительное число 3 в числителе делится на очень маленькое в положительное число знаменателе (2+0-2 > 0 ).
Получим очень большое положительное число (+ ∞ ) по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми:
обратная б.м есть б.б

lim_(t →+ ∞ )arcctg t=0 ( cм график y =arcctg x)

lim_(x →2+0)f(x)= знак непрерывной функции и знак предела можно менять местами=

arcctglim_(x →2+0)[m]\frac{3}{x-2}[/m]=

acctg [m]\frac{3}{2+0-2}[/m]=arcctg(+ ∞ )=0

Ответ выбран лучшим

Пусть М_(o)(x_(o);y_(o);z_(o)0 - точка, отстоящая от плоскости
2х+у–z+3=0 на расстоянии √6

По формуле:
[m]d=\frac{|2x_{o}+y_{o}-z_{o}+3|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}[/m]

[m]\sqrt{6}=\frac{\frac{|2x_{o}+y_{o}-z_{o}+3|}{\sqrt{6}}[/m]

[m]6=|2x_{o}+y_{o}-z_{o}+3|[/m]

Так как точка М_(о) принадлежит линии пересечения плоскостей
2х–3у+4[b]z[/b]–5=0 и Оху, то

z_(o)=0
2х_(o)–3у_(o)–5=0
6=|2x_(o)+y_(o)+3| ⇒ 2x_(o)+y_(o)+3= ± 6

y_(o)=-0,5; x_(o)=1,75
или
y_(o)=-3,5; x_(o)=-2,75

О т в е т. (-2,75; -3,5;0); (1,75;-0,5;0)
(прикреплено изображение)

xdx=ydy - уравнение с разделенными переменными

Интегрируем:
∫ xdx= ∫ ydy

(x^2/2)+ c=(y^2/2)

или

x^2+C=y^2

[b]y^2=x^2+C[/b] - общее решение дифференциального уравнения

Подставляя данные в условии
x=3; y=4

4^2= 3^2+C
находим С

С=16-9=7

получаем частное решение:
[b]y^2=x^2+7
[/b]

Дано каноническое уравнение прямой

[m]\frac{x–1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-7}{3}[/m]
это уравнение прямой, проходящей через точку
Mo(1;-1;7)
с направляющим вектором vector{q}=(2;-3;3)

Параллельные прямые имеют коллинеарные направляющие векторы (можно считать, что направляющие векторы одинаковые )

Уравнение искомой прямой, как прямой, проходящей через точку

M_(1)(1;0;-3) с направляющим вектором vector{q}=(2;-3;3)

имеет тот же вид:

[m]\frac{x–1}{2}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-(-3)}{3}[/m]

О т в е т. [m]\frac{x–1}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{3}[/m]
(прикреплено изображение)

2.Тема Двойной интеграл. Поэтому решение будет выглядеть так:

S= ∫ ∫ _(D)dxdy

D: 0 < x < 1; x < y < 2-x^2

S= ∫ ^(1)_(0)( ∫ ^(2-x^2)_(x)dy)dx= ∫ ^(1)_(0)(y|^(2-x^2)_(x))dx=

= ∫ ^(1)_(0)(2-x^2-x)dx=

(прикреплено изображение)

cos^2x=(1+cos2x)/2

По формуле Тейлора ( см формулы в приложении)

[m]cos2x=1-\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^4}{4!}+o(x^{4})[/m]

тогда

[m]1+cos2x=2-\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^4}{4!}+o(x^{4})[/m]

[m]cos^2x=\frac{2-\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^4}{4!}+o(x^{4})}{2}[/m]

[m]cos^2x=1-\frac{2x^2}{2!}+\frac{2^3x^4}{4!}+o(x^{4})[/m]

[m]e^{-x^2}=1 +(-x^2)+\frac{(-x^2)^2}{2!}+o(x^{4})[/m]

[m]e^{-x^2}=1 -x^2+\frac{x^4}{2!}+o(x^{4})[/m]

[m]\frac{cos^2x-e^{-x^2}}{x^4}=\frac{1-\frac{2x^2}{2!}+\frac{2^3x^4}{4!}-1 +x^2-\frac{x^4}{2!}+o(x^{4})}{x^4}[/m]

[m]\frac{cos^2x-e^{-x^2}}{x^4}=\frac{-\frac{x^4}{6}+o(x^{4})}{x^4}[/m]

Тогда
[m]\lim_{x \to 0 }\frac{cos^2x-e^{-x^2}}{x^4}=\lim_{x \to 0 }\frac{-\frac{x^4}{6}+o(x^{4})}{x^4}=-\frac{1}{6}[/m]
(прикреплено изображение)

Cоставляем неравенство:

[m]\frac{log^{2}_{0,35}(10-x)}{17-4x}<\frac{19}{4x-17}[/m]

[m]\frac{log^{2}_{0,35}(10-x)}{17-4x}-\frac{19}{4x-17}<0[/m]

[m]\frac{log^{2}_{0,35}(10-x)+19}{17-4x}<0[/m]

Так как log^{2}_(0,35)(10-x)+19 > 0 при любом х, при котором

логарифм существует, т.е при 10-х >0, то знаменатель дроби отрицателен и получаем систему :

[m]\left\{\begin{matrix} 10-x>0 & \\ 17-4x<0 & \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x<10 & \\ x>4,25 & \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. (4,25; 10)

Ответ выбран лучшим

Решают либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной:

Метод Бернулли.
Ищут решение y в виде произведения u*v

y=u*v
y`=u`*v + u*v`

Уравнение принимает вид:

u`*v + u*v`-[m]\frac{2x-5}{x^2}[/m]u*v=5[/m]

Выносим за скобки u:

u`*v + u(v`-[m]\frac{2x-5}{x^2}[/m]v)=5

Так как функции u и v - произвольные, то выбираем их так, чтобы
v`-[m]\frac{2x-5}{x^2}[/m]v=0
тогда
u`*v =5

Осталось решить два уравнения с разделяющимися переменными

1)v`-[m]\frac{2x-5}{x^2}[/m]v=0 ⇒ [m]\frac{dv}{dx}=\frac{2x-5}{x^2}v[/m]

[m]\frac{dv}{v}= \frac{(2x-5)dx}{x^2}[/m]

Интегрируем, при этом С=0
[m]\int \frac{dv}{v}= 2\int \frac{dx}{x}-5\int \frac{dx}{x^2}[/m]

ln|v|=2ln|x|+[m]\frac{5}{x}[/m]

v=x^2*e^([m]\frac{5}{x}[/m])

Решаем второе уравнение

2)
u`*v =5

u`*x^2*e^([m]\frac{5}{x}[/m]) =5

du=5*x^(-2)*e^(-[m]\frac{5}{x}[/m])

u=e^(-[m]\frac{5}{x}[/m])+C

y=u*v=(e^(-[m]\frac{5}{x}[/m])+C)*x^2*e^([m]\frac{5}{x}[/m])

y=x^2+C*x^2*e^([m]\frac{5}{x}[/m]) - общее решение.

Подставляем вместо х=2;вместо y=4
находим С и получаем частное решение

n_(1)=(3;-4;6)
n_(2)=(0;0;1}

|3x+4y+6z-2|/sqrt(9+16+36)=|0x+0y+z|/1

|3x+4y+6z-2|=sqrt(61)*|z|

3x+4y+6z-2=sqrt(61)*z

или
3x+4y+6z-2=-sqrt(61)*z

Ответ выбран лучшим

Так как y=y(x); y`=dy/dx
Уравнение принимает вид:

2x-y+4x*(dy/dx)-2y*(dy/dx)+3*(dy/dx)=0

Замена
u=4x-2y+3
4x-2y=u-3
2x-y=(u-3)/2

u`=4-2y` ⇒ y=2-(u`/2)

Уравнение принимает вид:

(u-3)/2+u*(2-(u`/2))=0

u-3+4u-u*u`=0

u*u`-5u+3=0

udu=(5u-3)dx - уравнение с разделяющимися переменными

udu/(5u-3)=dx

Интегрируем

(1/5) ∫ ((5u-3)+3)du/(5u-3)= ∫ dx

x=(1/5)u+(3/25)ln|5u-3|+C, где

u=4x-2y+3

Ответ выбран лучшим

V_(тела вращения)=V_(цилиндра)-V(криволинейного конуса)=

=π ∫ ^(0)_(-1)(4^2- (-4x^3)^2)dx=πR^2*H- 16π ∫ ^(0)_(-1)(x^6)2dx=

=π*4^2*1-π(16x^7/7)|^(0)_(-1)=

=16π-π*(16/7)=[b]96π/7[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. F(x)=-cosx-sinx+C
О т в е т. 1)

2)
Функция определена при x>0
Значит график в правой полуплоскости.
Остаются два варианта A или Б
Функция y=log_(3)x - возрастает, основание 3 > 1
Функция y=-log_(3)x - убывает.
О т в ет. Б) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если векторы перпендиулярны ( ортогональны), то их скалярное произведение равно 0

Верно и обратное. Если скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, то векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector{a}*vector{b}=(-2)*4+3*0+(-1)*(-7) ≠ 0
vector{a}*vector{c}=(-2)*1+3*4+(-1)*9 ≠ 0
vector{a}*vector{m}=(-2)*4+3*1+(-1)*(-5)= 0
vector{a}*vector{n}=(-2)*2+3*(-3)+(-1)*(1) ≠ 0

О т в е т. vector{a} ⊥ vector{m}

Ответ выбран лучшим

1.6
V_(цилиндра)=S_(осн)*Н=π*R^2*H

H=R

V_(цилиндра)=π*R^2*R=[b]π*R^3[/b]

О т в е т. в)

1.7.
На плоскости хОz расположены точки, у которых y=0
О т в е т. в) точка С

Ответ выбран лучшим

Точка E - середина AВ
x_(E)=[m]\frac{x_{A}+x_{B}}{2}[/m]
y_(E)=[m]\frac{y_{A}+y_{B}}{2}[/m]
z_(E)=[m]\frac{z_{A}+z_{B}}{2}[/m]

x_(B)=2x_(E)-x_(A)=2*3-14=-8
y_(B)=2y_(E)-y_(A)=2*(-2)-(-8)=4
z_(B)=2z_(E)-z_(A)=2*(-7)-5=-19

О т в е т. а)

Ответ выбран лучшим

Показательная функция с основанием большим единицы является возрастающей

a) 0 < 0,2 < 1, убывающая
б)3> 1, возрастающая
в) 0<(5/6) < 1, убывающая
г) у=(1/2)^(x), (1/2) < 1, убывающая

О т в е т. б)

Ответ выбран лучшим

Диаметр конуса D=2R

2R=6

R=3 cм

V_(конуса)=(1/3)S_(осн.)*H=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*3^2*4=12π куб. см

Ответ выбран лучшим

Б) У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, значит боковые грани - прямоугольники.

Ответ выбран лучшим

1.6
Δ MAB - равнобедренный ( MA=MB - образующие конуса равны между собой)
MO ⊥ AB ⇒

МО - высота, медиана и биссектриса
АО=ОВ
∠ АМО= ∠ ВМО=60 °
Из прямоугольного треугольника АМО
sin ∠ AMO=AO/MA

MA=AO/sin60 ° =12/(sqrt(3)/2)=24/sqrt(3)=24sqrt(3)/3=[b]8sqrt(3)[/b]

1.7
|vector{a}|=sqrt(4^2+(-4)^2+2^2)=sqrt(36)=6
|3*vector{a}|=3*|vector{a}|=3*6=[b]18[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4.
МО=6
МА=МВ=МС=МD=8

По теореме Пифагора из прямоугольного (МО ⊥ пл АВСD) Δ МОА
ОА^2=MA^2-MO^2=8^2-6^2=64-36=28
OA=sqrt(28)=sqrt(4*7)=2sqrt(7)
AC=2OA=4sqrt(7)

AC=BD=4sqrt(7)

5.
NB:BK=4:3 ⇒ BK:NK=3:7

Δ BDK ∼ Δ NMK (BD || NM)

Из пообия:
BD:MN=BK:NK
BD:14=3:7
BD=6

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
Катет 8 см, значит гипотенуза 16 см. Это и есть наклонная.

3. KK_(1) - средняя линия трапеции M_(1)MNN_(1)

КК_(1)=(ММ_(1)+NN_(1))/2
⇒ NN_(1)=2KK_(1)-MM_(1)=2*9-16=2 см

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т следует записать в стандартном виде многочлена, т. е так:
[b]-0,64a^2+9[/b]

Ответ выбран лучшим

1. Это В_(1)С_(1) ( cм. рис. 1)
2. АВ; СD; AD; BC
3.BB_(1)C_(1)C и A_(1)B_(1)C_(1)D_(1)
4.АВ; A_(1)B_(1); AD; A_(1)D_(1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение эллипса
[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

с^2=a^2-b^2

3a) По условию:
2b=24 ⇒ b=12
2c=10⇒ c=5

с^2=a^2-b^2

тогда
a^2=c^2+b^2=5^2+12^2=25+144=169

a=13

Уравнение эллипса принимает вид:
[m]\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1[/m]

3б)
По условию
2а=20 ⇒ a=10
Эксцентриситет ε =3/5

Эксцентриситет
ε =с/а⇒с=a*ε=10*(3/5)=6

b^2=a^2-c^2⇒ b^2=10^2-6^2=100-36=64

b=8
Уравнение эллипса принимает вид:
[m]\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1[/m]

3в)

Директрисы эллипса: x= ± a/ ε

d=(2a)/( ε ) - расстояние между директрисами ( cм. рисунок)

По условию:
d=5 ⇒[b](2a)/(ε)=5 [/b] и эксцентриситет ε =с/а
2c=4 ⇒ c=2

(2a)/(с/a)=5
2a^2=5c
2a^2=10
a^2=5

b^2=a^2-c^2=5-2^2=5-4=1

Уравнение эллипса принимает вид:
[m]\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{1}=1[/m]

3г)

Директрисы эллипса: x= ± a/ ε

d=(2a)/( ε ) - расстояние между директрисами ( cм. рисунок)

По условию:
d=13 ⇒[b](2a)/(ε)=13 [/b] и эксцентриситет ε =с/а
2b=6 ⇒ b=3

(2a)/(с/a)=13

[b]2a^2=13c[/b]
и
[blue]c^2[/blue]=a^2-b^2

a^2=[blue]c^2+9[/blue]

2*([blue]c^2+9[/blue])=13c
2c^2-13c+18=0

D=169-4*2*(18)=25

c=(13-5)/4=2 Или c=(13+5)/4=9/2 ⇒
a^2=c^2+9=13 или a^2=(81/4)+9=117/4

Уравнение эллипса принимает вид:
[m]\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{9}=1[/m] или [m]\frac{4x^2}{117}+\frac{y^2}{9}=1[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_( Δ АВС)=(1/2)*AC*h

Высота h - общая для Δ АВС и Δ ABD

Если
AD=AC/3

тогда

S_(Δ ABD)=(1/2)AD*h=(1/2)*(AC/3)*h=(1/3)*((1/2)*AC*h)=(1/3)S_( Δ АВС) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

50.

[m](\sqrt[3]{3a^{2}x^{3}c})^{5}=(\sqrt[3]{3})^{5}\cdot(\sqrt[3]{a^2})^{5}\cdot \sqrt[3]{x^{3}})^{5}\cdot (\sqrt[3]{c})^5=[/m]

[m]=\sqrt[3]{3^{5}}\cdot \sqrt[3]{a^{10}}\cdot \sqrt[3]{x^{15}}\cdot \sqrt[3]{c^{5}}=3ax^5c\sqrt[3]{3^{2}}\cdot\sqrt[3]{a} \cdot\sqrt[3]{c^{2}}=3ax^5c\sqrt[3]{9ac^{2}}[/m]

[m]\sqrt[10]{2^5x^5(x-y)^{15}}=\sqrt{2x(x-y)^3}=|x-y|\sqrt{2x(x-y)}[/m]

[m]\sqrt[10]{2^5}=2^{\frac{5}{10}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}[/m]

[m]\sqrt[10]{x^5}=x^{\frac{5}{10}}=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}[/m]

[m]\sqrt[10]{(x-y)^5}=(x-y)^{\frac{15}{10}}=(x-y)^{\frac{3}{2}}=[/m]

[m]=|x-y|\sqrt{x-y}=(x-y)\sqrt{x-y}[/m] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x-5>0 ⇒ x > 5
{2x+5 > 0 ⇒ x > -2,5

x ∈ (5;+ ∞ )

Перепишем:
log_(2)(x–5)=log_(2)(2x+5)+3*log_(2) 2

Применяем свойство логарифма степени
log_(2)(x–5)=log_(2)(2x+5)+log_(2) 2^3

и свойство логарифма произведения
log_(2)(x–5)=log_(2)8*(2x+5)

Логарифмическая функция монотонная ( в нашем случае возрастающая, так как основание логарифма 2 >1). Это означает, что каждое свое значение они принимает в единственной точке.

Если значения функции равны, то и аргументы равны:

х-5=8*(2х+5)

х-5 =16х +40

-15х=45
х=-3

-3 ∉ ОДЗ

О т в е т. Уравнение не имеет корней

ОДЗ: x>0

Замена переменной: t=lgx

Квадратное уравнение:

t^2-t-6=0

D=1-4*(-6)=1+24=25

t_(1)=(1-5)/2=-2; t_(2)=(1+5)/2=3

lgx=-2 или lgx=3
x=10^(-2) или х=10^3

x=[b]0,01[/b] или х=[b]1000[/b]

D=100-4*34=4*(25-34)=4*(-9)=-36 < 0
sqrt(D)=6i
x_(1)=(10-6i)/2; x_(2)=(10+6i)/2
x_(1)=5-3i; x_(2)=5+3i

(6–2i)(6–2i)=6^2 - 2i*6+6*(-2i) + (2*i)^2 = 36 - 12*i -12*i + 4*i^2 =36 - 24i - 4 =[b]32 - 24i[/b]

(3–7i)^2 = 3^2 - 2*3*7*i + (7*i)^2 = 9 - 42*i + 49*i^2 = 9 - 42i - 49 =- 40 - 42i

D=4^2-4*53=4*(4-53)=4*(-49) <0
sqrt(D)=sqrt(4*49)*sqrt(-1)=2*7*i=14i

x_(1)=(-4-14i)/2; x_(2)=(-4+14i)/2
x_(1)=-2-7i; x_(2)=-2+7i

(прикреплено изображение)

Коэффициенты возведения бинома в степень есть в треугольнике Паскаля: ( см. приложение

При возведении в квадрат
(a+b)^2=[red]1[/red]*a^2+[red]2[/red]*a*b+[red]1[/red]*b^2

При возведении в куб
(a+b)^3=[red]1[/red]*a^3+[red]3[/red]*a^2*b+[red]3[/red]*ab^2+[red]1[/red]*b^3

Возведение в четвертую степень:
1; 4; 6; 4; 1

Возведение в пятую степень:

1; 5; 10; 10; 5; 1

Возведение в шестую степень:

1;6;15;20;15;6;1

Возведение в седьмую степень:

1;7;21;35;35;21;7;1

Итак

1)= (2+1)^6= опечатка, нет переменной

2) (x+y)^7=1*x^7+7*x^6y+21*x^5y^2+35*x^4y^3+35*x^3y^4+21*x^2y^5+7*x^6y+1*y^7

3) (x-y)^5=1*x^5+5*x^4*(-y)^1+10x^3*(-y)^2+10x^2(-y)^3+5*x*(-y)^4+1*(-y)^5= упрощаем=[b]x^5-5x^4+10x^3y^2-10x^2y^3+5xy^4-y^5[/b]

4)(2x–1)^6=1*(2x)^6+6*(2x)^5*(-1)+15*(2x)^4*(-1)^2+20*(2x)^3*(-1)^3+

+15*(2x)^2*(-1)^4+6*(2x)^1*(-1)^5+1*(-1)^6=упрощаем=

=[b]64x^6-192x^5+240x^4-160x^3+60x^2-12x+1[/b]
(прикреплено изображение)

y`=4x^3-36x^2+96x

y``=12x^2-72x+96

y``=0

12x^2-72x+96=0

x^2-6x+8=0

D=36-32=4

x_(1)=(6-2)/2=2; x_(2)=(6+2)/2=4

Знак второй производной:

__+__ (2) ___-__ (4) __+__

Вторая производная (y``=12x^2-72x+96) квадратичная функция, графиком служит парабола, ветви вверх, два корня, т.е две точки персечения с осью Ох

Парабола расположена ниже оси Ох на (2;4) там ставим минус.

x=2 и х=4- точки перегиба, так как вторая производная при переходе через точки, меняет знак

y`` < 0 на (2;4) кривая [green]выпукла вверх[/green] ( как парабола y=-x^2, у нее y``=-2 <0)

y`` > 0 на (- ∞ ;2) и (4;+ ∞ ) кривая выпукла вниз ( как парабола y=x^2, у нее y``=2 >0)

Ответ выбран лучшим

Строим график функции
y=x^3+x^2-x

Как обычно проводим исследование функции с помощью производной:
y`=3x^2+2x-1

y`=0

3x^2+2x-1=0

D=4+12=16

x_(1)=(-2-4)/6=-1; x_(2)=(-2+4)/6=1/3

Расставляем знак производной:

__[red]+[/red]_ (-1) __[green]-[/green]__ (1/3) __[red]+[/red]__

x_(1)=1- точка максимума

y(1)=1^3+1^2-1=1

x_(2)=1/3 - точка минимума

y(1/3)=(1/3)^3+(1/3)^2-(1/3)=-5/27

см. рис.

Прямые y=1 и y=-5/27 пересекается с графиком ровно в двух точках

Наибольшее значение параметра а равно 1. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x^2+4x)–(3y^2+5y)+1=0
Выделяем полные квадраты:
(x^2+4x+4)-4- 3*(y^2+2*(5/6)+(5/6)^2)+3*(5/6)^2+1=0

(x+2)^2-3*(y+(5/6))^2=33/36

Делим обе части уравнения на 33/36

[m]\frac{()x+2)^2}{\frac{33}{36}}-\frac{()y+\frac{5}{6})^2}{\frac{11}{36}}=1[/m]

a^2=33/36;
b^2=11/36

Это каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью

a=sqrt(33)/6

мнимой ( которую гипербола не пересекает)
b=sqrt(11)/6

и вершиной в точке О (-2; -5/6)

От точки О вправо откладываем отрезок длины а, вверх, отрезок длины b
Строим прямоугольник с центром в точке О и сторонами 2а и 2b.

Диагонали этого прямоугольника - асимптоты гиперболы.
Гипербола их не пересекает, но на бесконечности ветви гиперболы приближаются к этим прямым (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение прямой

(x-2)/3=y/(-2)=z/1 -
это уравнение прямой, проходящей через точку
M_(1)(2;0;0)
с направляющим вектором vector{s_(1)}=(2;-2;1)

Каноническое уравнение прямой

x/1=(y+1)/4=(z+3)/(-5) -
это уравнение прямой, проходящей через точку
M_(2)(0;-1;-3)
с направляющим вектором vector{s_(2)}=(1;4;-5)

Находим вектор vector{s}= vector{s_(1)} × vector{s_(2)}=[m]\begin{vmatrix} i & j & k\\ 2 & -2 &1 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix}[/m]=6[i]i[/i]+11[i]j[/i]+10[i]k[/i]

vector{s} ⊥ vector{s_(1)} и vector{s} ⊥ vector{s_(2)}

vector{s} - направляющий вектор искомой прямой:

Уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o) с заданным направляющим вектором vector{s}={m;n;k)имеет вид:

[m]\frac{x-x_{o}}{m}=\frac{y-y_{o}}{n}=\frac{z-z_{o}}{k}[/m]

Подставляем известные значения и получаем ответ

Ответ выбран лучшим

Найдем точку пересечения сторон:
{x + 2y + 2 = 0
{x + y–4= 0,

Вычитаем из первого второе:
{y+6=0 ⇒ y=-6
{x + y–4= 0, ⇒ x-6-4=0 ⇒ x=10

[b](10;-6)[/b] - координата вершины А

Так как точка А не принадлежит диагонали x-2=0

то диагональ пересекается со сторонами x + 2y + 2 = 0 и x + y–4= 0

в точках В и С

Их координаты легко найти:
{x-2=0 ⇒ x=2
{x+2y+2=0 ⇒ 2+2y+2=0 ⇒ y=-2
[b]B(2;-2)[/b]

{x-2=0 ⇒ x=2
{x+y-4=0 ⇒ 2+y-4=0 ⇒ y=2
[b]C(2;-2)[/b]

Середина ВС - точка О

О(2;0)

Так как О- середина AD, то координаты точки D легко найти из формул середины отрезка DA

x_(O)=(x_(D)+x_(A))/2 ⇒ x_(D)=2x_(O)-x_(A)
y_(O)=(y_(D)+y_(A))/2 ⇒ y_(D)=2y_(O)-y_(A)

x_(D)=2*2-10=-6
y_(D)=2*0-(-6)=6

[b]D(-6;6)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{\pi (4x+1)}{3}=\pm arccos\frac{1}{2}+2\pi k, k\in Z[/m] ⇒

[m]\frac{\pi (4x+1)}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in Z[/m] ⇒

[m]\frac{4x+1}{3}=\pm\frac{1}{3}+2 k, k\in Z[/m] ⇒

4x+1= ± 1+6k, k ∈ Z

4x=-1 ± 1+6k, k ∈ Z

x[b]=-0,5+1,5k [/b] или х=[b]1,5k[/b], k ∈ Z

2х+х+(х+6)=166 ⇒ х=40

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(i) - "кресло изготовил i-ый столяр"
i=1,2,3

p_(H_(1))=80/166
p_(H_(1))=40/166
p_(H_(3))=46/166

событие A- "выбранное кресло оказалось качественным"

p(A/H_(1))=0,9
p(A/H_(2))=0,89
p(A/H_(3))=0,85

По формуле полной вероятности
[b]p(A)[/b]=[blue]p(H_(1))*p(A/H_(1))[/blue]+[green]p(H_(2))*p(A/H_(2))[/green]+[red]p(H_(3))*p(A/H_(3))[/red]=

=[blue](80/166)*0,9[/blue]+ [green](40/166)*0,89[/green]+[red](46/166)*0,85[/red]=

По формуле Байеса:

p(H_(1)/A)=[blue]p(H_(1))*p(A/H_(1))[/blue]/[b]p(A)[/b]=[blue](80/166)*0,9[/blue]/[b]p(A)[/b]

p(H_(2)/A)=[green]p(H_(2))*p(A/H_(2))[/green]/[b]p(A)[/b]=[green]p(H_(2))*p(A/H_(2))[/green]/[b]p(A)[/b]

p(H_(3)/A)=[red]p(H_(3))*p(A/H_(3))[/red]/[b]p(A)[/b]=[red](46/166)*0,85[/red]/[b]p(A)[/b]

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

x^2+y^2=(ρ cos φ )^2+( ρ sin φ )^2= ρ ^2cos^2 φ + ρ ^2sin^2=

= ρ ^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )= ρ ^2*1= ρ ^2

(ρ ^2)^3=4*(ρ cos φ )^2*( ρ sin φ )^2

ρ ^6=4 ρ ^4(sin φ cos φ )^2, так как sin2 φ =2sin φ cos φ , то

получим уравнение:

[b] ρ ^2=sin^2(2 φ )[/b]

См. рис. 4-х лепестковая роза. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx

sin2x-3sinx=0
2sinx*cosx-3sinx=0
sinx*(2cosx-3)=0
sinx=0 или 2cosx-3=0

sinx=0
x=πk, k ∈ Z

2cos-3=0
cosx=3/2 - уравнение не имеет решений, так как -1 ≤ cosx≤ 1

О т в е т.[b] πk, k ∈ Z[/b]

1)
Отбор корней с помощью единичной окружности:

Корни уравнения:
x=2πk, k ∈ Z отмечены на единичной окружности красным цветом
x=(2π/3)+2πk, k ∈ Z отмечены на единичной окружности синим цветом
x=-(2π/3)+2πk, k ∈ Z отмечены на единичной окружности зеленым цветом
см. рис.

О т в е т. (2π/3)-2π=-4π/3 и (-2π)

2) Отбор корней с помощью неравенства:

-2π ≤ 2πk ≤ -π ⇒[red] -2 ≤ 2k ≤ -1 [/red] ⇒ k- целое, значит единственное число, удовлетворяющее неравенству : [red]k=-1[/red]

При k=-1 получаем корень[red] x=-2π[/red]

-2π ≤ (2π/3)+2πk ≤ -π ⇒[blue]-2 ≤ (2/3)+2k ≤ -1[/blue] ⇒ k- целое, значит единственное число, удовлетворяющее неравенству :[blue] k=-1[/blue]

При k=-1 получаем корень[blue] x=(2π/3)-2π=-4π/3[/blue]

-2π ≤ -(2π/3)+2πk ≤ -π ⇒[green]-2 ≤ -(2/3)+2k ≤ -1 [/green]⇒ k- целое,
ни при каком целом k неравенство не выполняется

нет корней, удовлетворяющих неравенству. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ АОВ= α ( по условию)
АО=ОВ=R ⇒ ΔAOB - равнобедренный
Проводим высоту ОС, ОС ⊥ АВ
В равнобедренном треугольнике высота одновременно и медиана и биссектриса
∠ АОС= α/2
Из прямоугольного ΔАОС:
AC=Rsin(α/2)
AB=2AC=2Rsin(α/2)

∠ BAB_(1)= ρ ( по условию) ⇒ Из прямоугольного ΔBAB_(1):
H_(цилиндра)=ВВ_(1)=АВ*tg ρ
a)
S_(сеч АВВ_(1)А_(1))=АВ*ВВ_(1)=(2Rsin(α/2))*(2Rsin(α/2))*tg ρ =

=[b]4R^2*(sin^2α/2))*tg ρ [/b]

б) S_(осевого сечения)=2R*H=2R*(АВ*tg ρ)=2R*( 2Rsin(α/2))*tg ρ=

=[b]4R^2*(sin(α/2))*tg ρ[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Точка пересечения прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку А и есть проекция точки А на прямую
5x–4y–3=0 ⇒ [b]y=(5/4)x-(3/4)[/b]

угловой коэффициент данной прямой k=(5/4)

Перпендикулярные ей прямые имеют вид:

y=-(4/5)x+b

Подставляем координаты точки А:
6=(-4/5)*4+b

b=46/5

Координаты точки пересечения прямых получим из системы:
{y=(5/4)x-(3/4)
{y=-(4/5)x+(46/5)

(5/4)x-(3/4)=-(4/5)x+(46/5)

(5/4)x+(4/5)x=(46/5)+(3/4)
(41/20)х=(199)/20

х=[b]199/41[/b]

y=[b](5/4)*(199/41) - (3/4)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2x=3sinx
sin^2x-3sinx=0
sinx*(sinx-3)=0
sinx=0 или sinx-3=0

sinx=0
x=πk, k ∈ Z

sinx-3=0
sinx=3 - уравнение не имеет решений, так как -1 ≤ sinx ≤ 1

О т в е т. πk, k ∈ Z

ax^2+bxy+cy^2=x^2+xy-2y^2

a=1
b=1
c=-2

Значит сумма коэффициентов
a+b+c=1+1-2=0
получается из выражения
x^2+xy-2y^2
при х=1; y=1

(a+b+c)^(20)=0^(20)=0

б)
b=0;c=0
ax^2=x^2
a=1
(1+0+0)^(20)=1

О т в е т. а)0; б) 1

2.1

F(x)=-2e^(-x)+(1/3)sin3x+C - общий вид первообразных функции y=f(x)

Чтобы найти первообразную, проходящую через точку, надо найти значение С
Для этого подставим координаты точки А:
x=0
y=F(0)=2

2=-2*e^(-0)+(1/3)sin(3*0)+C

2=-2*1+(1/3)*0 + C

C=4

О т в е т. [b]F(x)=-2e^(-x)+(1/3)sin3x+4[/b]

3.1

S=S_(ABCD)-S_(криволинейной трапеции АВМD)=

=3*4- ∫ ^(4)_(1)(4/x)dx=12-4ln|x||^(4)_(1)=12-4ln4+4ln1=

=12-4ln2^2+4*0=[b]12-8ln2[/b]

3.2

1. D(y):
{x>0;
{lnx ≠ 0

D(y)=(0;1)U(1;+ ∞ )

y`=((x)`*lnx-x*(lnx)`)/ln^2x=(1*lnx- (x) *(1/x))/ln^2x=(lnx-1)/ln^2x

y`=0

lnx-1 =0

x=e

Производная при переходе через точку меняет знак - на +

x=e - точка минимума.

[b]y(e)[/b]=e/lne=1[/b]

(0) _-__ (1) __-__ (e) __+____
Функция убывает на (0;1) и на (1;e) и возрастает на (e;+ ∞ )

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.1
Находим абсциссы точек пересечения графиков:

x^2=2-x

x^2+x-2=0
D=9
x_(1)=-2 или х_(2)=1

S= ∫ ^(1)_(-2) (2-x-x^2)dx=(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(-2)=

=2*1-(1/2)-(1/3)-(2*(-2)-((-2)^2/2)-((-2)^3/3))=2-(1/2)-(1/3)+4+2-(8/3)=[b]4,5[/b]
3.2

По определению логарифма:

5^(1-x)=5^(x)-4

5^(1)*5^(-x)=5^(x)-4

Умножим на 5^(x) > 0

5=5^(x)*5^(x) - 4*5^(x) - квадратное уравнение:

(5^(x))^2-4*(5^(x))-5=0

D=(-4)^2-4*(-5)=36

5^(x)=-1 уравнение не имеет корней, т.к 5^(x) > 0
или
5^(x)=5 ⇒ x=1

О т в е т. 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АВСD - прямоугольник.
BD=5 ( египетский прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4)
B_(1)D^2=BD^2+BB^2_(1)=5^2+5^2=50
B_(1)D=5sqrt(2)

C_(1)D^2=CD^2+CC^2_(1)=3^2+5^2=34
C_(1)D=sqrt(34)

Угол [i]между прямой и плоскостью[/i] равен углу между [i]прямой и ее проекцией [/i]на эту плоскость

С_(1)D- проекция В_(1)D на пл. DCC_(1),

так как В_(1)С_(1) ⊥ пл. DCC_(1)

Из прямоугольного треугольника В_(1)С_(1)D:

cos ∠ B_(1)DC_(1)=C_(1)D/B_(1)D=sqrt(34)/(5sqrt(2))=[b]sqrt(17)/(5)[/b]

Ответ выбран лучшим

1.7 В прямой призме боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, значит боковые грани прямоугольники
( в частных случаях могут быть и квадраты, но здесь такого ответа дать нельзя, никаких частностей нет)
б)
3.3
S_(бок. пов. конуса)= π*R*L
L- образующая , по условию L=m
R найден в приложении
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим точку пересечения прямыхx+2y–10=0 и 3х–7у–7=0

Решаем систему уравнений:
{x+2y–10=0
{3х–7у–7=0

Умножаем первое уравнение на (-3)
{-3x-6y+30=0
{3х–7у–7=0

Cкладываем ( т. е заменяем второе уравнение суммой:
{x+2y–10=0
{-13y+23=0 ⇒ у=23/13

х=10-2у=10-(46/13)=(130-46)/13=84/13

Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) [red]параллельны[/red], то угловые коэффициенты равны: [red]k_(1)=k_(2)[/red]

3х+3у–7=0 ⇒ 3y= - 3x+7 ⇒ y =-x+(7/3)
k=-1

Прямые, параллельные прямой 3х+3у–7=0 имеют вид:

y=-x +b

По условию искомая прямая проходит через точку M(84/13; 23/13)

Подставляем координаты точки М в уравнение:

23/13=- 84/13+b

b=107/13

О т в е т. y=-x+(107/13) или 13х+13у-107=0

Испытание состоит в том, из 20 учебников выбирают два.
n=C^(2)_(20)=20!/(2!*(20-2)!)=19*20/(2)=190 cпособов.

Пусть событие А - "хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете"
Событию А благоприятствует
m=C^1_(4)*C^(1)_(16)+C^2_(4)=4*16+6=64+6=70 случаев

p(A)=m/n=70/190=7/19

1.1
x_(o)
x_(o)+ Δx

f(x_(o))=2+x_(o)
f(x_(o)+ Δx)=2+x_(o)+ Δx

Δf= f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)=2+x_(o)+ Δx-(2+x_(o))=2+x_(o)+ Δx-2-x_(o)= Δx

f`(x_(o))=[m]\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1[/m]

в любой точке, в том числе и х_(o)=11

x_(o)=11
x_(o)+ Δx=11+ Δx

f(11)=2+11=13
f(11+ Δx)=2+11+ Δx=13+ Δx

Δf= f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)=f(11)-f(11+ Δx)=2+11+ Δx-(2+11)=13+ Δx-13= Δx

f`(11)=[m]\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1[/m]

1.2
x_(o)
x_(o)+ Δx

f(x_(o))=[m]3^{x_{o}sin\frac{1}{x_{o}}}[/m]
f(x_(o)+ Δx)=[m]3^{(x_{o}+\Delta x)sin\frac{1}{x_{o}+\Delta x}}[/m]

Δf= f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o))=[m]3^{(x_{o}+\Delta x)sin\frac{1}{x_{o}+\Delta x}}-3^{x_{o}sin\frac{1}{x_{o}}}=[/m]

[m]=3^{x_{o}\cdot sin\frac{1}{x_{o}+\Delta x}}\cdot 3^{\Delta x \cdot sin\frac{1}{x_{o}+\Delta x}}-3^{x_{o}sin\frac{1}{x_{o}}}=[/m]

Ответ выбран лучшим

Пусть А - множество чисел от 1 до 10000, делящихся на 19
Их число
n(А)=|A|=10 000 : 19=526

B - множество чисел от 1 до 10000, делящихся на 5
Их число
n(B)=|B|=10 000 : 5=2 000

C - множество чисел от 1 до 10000, делящихся на 10
Их число
n(C)=|C|=10 000 : 10=1 000

D - множество чисел от 1 до 10000, делящихся на 10
Их число
n(D)=|D|=10 000 : 2=5 000

C=B ∩ D

n(C)=n(B ∩ D)=1 000 чисел, делящихся и на 5, и на 2

Далее формула включений и исключений

n(BUD)=n(B)+n(D)-n(B ∩ D)=2000 + 5000 - 1000 = 6 000 чисел, делящихся или на 5 или на 2 или на 10

526+6000 =6526 чисел, делящихся или на 19 или на 5 или на 2 или на 10

О т в е т. 10 000 - 6526= 3 744 чисел, не делящихся ни на 19, ни на 5, ни на 2,ни на 10

Уравнение высот AO и BO как прямых, проходящих через две точки имеет вид ( см. приложение)
[m]\frac{x-x_{A}}{x_{O}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{O}-y_{A}}[/m] ⇒ [m]\frac{x-(-1)}{5-(-1)}=\frac{y-5}{-3-5}[/m]⇒[red]-8*(x+1)=6*(y-5)[/red]
[m]\frac{x-x_{B}}{x_{O}-x_{B}}=\frac{y-y_{B}}{y_{O}-y_{B}}[/m] ⇒ [m]\frac{x-3}{5-3}=\frac{y-2}{-3-2}[/m]⇒[green]-5*(x-3)=2*(y-2)
[/green]
Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) перпендикулярны, то произведение угловых коэффициентов равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1

Значит, уравнение стороны BC - уравнение прямой, перпендикулярной АО([red]y=(-4/3)x+(11/3)[/red]) и проходящей через точку В(3:2)

y=(3/4)x+b
2=(3/4)*3+b
b=-1/4

[b]y=(3/4)x -(1/4) или 3x-4y-1=0[/b]

уравнение стороны АC - уравнение прямой, перпендикулярной ВО ( [green]y=-(5/2)x+(19/2) [/green]) и проходящей через точку А(–1;5)

y=(2/5)x+m

5=(2/5)*(-1)+m
m=27/5

y=(2/5)x+(27/5) или [b]2x-5y+27=0[/b]

Уравнение стороны АВ как прямой проходящей через две точки имеет вид:
[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

[m]\frac{x-(-1)}{3-(-1)}=\frac{y-5}{2-5}[/m]

-3*(x+1)=4(y-5) ⇒ y=(-3/4)x+(17/4) или [b] 3x+4y-17=0[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x(t)=cos(t) ⇒ cost=x(t)
y(t)=e^(2t)·sin(t) ⇒ sint=(y(t)/e^(2t))
z(t)=e^(2t)

cos^2t+sin^2t=1 ⇒

x^2(t)+y^2(t)/e^(4t)=1

так как e^(2t)=z(t) ⇒ e^(4t)=z^(2)(t)

x^2(t)+(y^2(t)/z^(2)(t))=1 уравнение поверхности неявно

Уравнение касательной плоскости и нормали к кривой, заданной неявно ( см. приложение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

При t=0

x=3*0+3*0^2=0 - начальная координата

x`(t)=3+6t скорость

x`(0)=3+6*0=3 начальная скорость.

x``(t)=6 - ускорение

Ответ выбран лучшим

1.
Умножим обе части уравнения на
[m]e^{2y}[/m]

[m]1+y`=4e^{2y}[/m]

[m]\frac{dy}{dx}=4e^{2y}-1[/m] - уравнение с разделяющимися переменными

[m]\frac{dy}{4e^{2y}-1}=dx[/m]

Интегрируем:
[m]\int \frac{dy}{4e^{2y}-1}=\int dx[/m]

Замена
e^(y)=t
y=lnt
dy=dt/t
[m]\int \frac{dt}{t(4t^{2}-1)}=\int dx[/m]

Слева рациональная дробь, ее надо разложить на простейшие дроби:

[m]\int\frac{4tdt}{4t^{2}-1}- \int\frac{dt}{t}=\int dx[/m]

[m]\frac{1}{2}ln|4t^{2}-1|-ln|t|+lnC=x[/m]

[m]x=C\frac{\sqrt{4e^{2y}-1}}{e^{y}}[/m] - общее решение данного уравнения

2.
Так как справа
φ (y/x)=(y/x)+sin(y/x), т.е уравнение вида

y`= φ (y/x)

Это однородное уравнение
Решается заменой
[blue]y/x=u[/blue]
y=xu
y`=x`*u+x*u` ( x`=1, т.к х - независимая переменная)
[blue]y`=u+x*u`[/blue]

Подставляем в уравнение:

u+x*u`=u+sinu

x*u`=sinu - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

xdu=sinudx

Разделяем переменные:

du/sinu=dx/x

Интегрируем:

∫ du/sinu= ∫ dx/x

ln|tg(u/2)|+lnC=ln|x|
lnC*|tg(u/2)|=ln|x|

Ctg(u/2)=x

u=y/x

C*[m]tg\frac{y}{2x}=x[/m] - общее решение данного уравнения (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6x^2-y^2+3z^2=12
Делим на 12:
(x^2/2)-(y^2/12)+(z^2/4)=1 - это каноническое уравнение
однополостного гиперболоида[b] с осью симметрии Оу[/b]

a^2=2; b^2=12; c^2=4

см. приложение (прикреплено изображение)

Пусть М - середина ВС
N- середина AD

Дополнительное построение:
проводим CK|| BD

CK=BD=14

Из Δ ACD по теореме косинусов:

АС=10; СК=14; АК=AD+DK=AD+BC=15+5=20

cos ∠ D=(14^2+20^2-10^2)/(2*14*20)=31/35

Проводим СF || MN

CF=MN
FN=2,5
AN=ND=7,5
FD=ND-NF=5
FK=FD+DK=5+BC=5+5=10

Из Δ СFK по теореме косинусов:

CF^2=CK^2+FK^2-2CK*FK*cos ∠ D=14^2+10^2-2*14*10*(31/35)=48

CF=4sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

Двойное неравенство равносильно системе:

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{7x^2-5x+7}{x^2+1} <6& \\ \frac{7x^2-5x+7}{x^2+1} >3& \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{7x^2-5x+7}{x^2+1}-6 <0 &\\ \frac{7x^2-5x+7}{x^2+1}-3 >0& \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}\frac{7x^2-5x+7-6x^2-6}{x^2+1}<0 &\\ \frac{7x^2-5x+7-3x^2-3}{x^2+1} >0& \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix}\frac{x^2-5x+1}{x^2+1}<0 &\\ \frac{4x^2-5x+4}{x^2+1} >0& \end{matrix}\right.[/m]

x^2+1 > 0 при любом х

[m]\left\{\begin{matrix}x^2-5x+1<0 &\\ 4x^2-5x+4 >0& \end{matrix}\right.[/m]

[red]x^2-5x+1=0 [/red]⇒ D=(-5)^2-4*1=21

x_(1)=[m]\frac{5-\sqrt{21}}{2}[/m]; x_(2)=[m]\frac{5+\sqrt{21}}{2}[/m];

Неравенство x^2-5x+1<0 верно при
[m]\frac{5-\sqrt{21}}{2}<x<\frac{5+\sqrt{21}}{2} [/m]

[red]4x^2-5x+4=0 [/red]⇒ D=(-5)^2-4*4*4 < 0 уравнение не имеет корней,

Неравенство 4x^2-5x+4> 0 верно при любом х

[m]\left\{\begin{matrix}\frac{5-\sqrt{21}}{2}<x<\frac{5+\sqrt{21}}{2} &\\-\infty<x<+\infty& \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. ([m]\frac{5-\sqrt{21}}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2} [/m])

Множество значений функции y=log_(5)x это (– ∞ ;+ ∞ )

Множество значений функции y=log-_(5)(x – 13) то же самое, (– ∞ ;+ ∞ )

График y=log_(5)(x-13) получен из графика y=log_(5)x
сдвигом вдоль оси Оx на 13 единиц вправо

Области определения разные:
x>0 и x-13>0 ⇒ x>13

А множество значений по оси Оу не меняется.
Принимает значения от - ∞ до + ∞ (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Высота СК перпендикулярна стороне АB.

Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) перпендикулярны, то произведение угловых коэффициентов равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1

Уравнение CK:
х+10у-19=0 ⇒ y=-(1/10)x+19/10 ⇒ k_(CK)=-1/10

k_(АB)=10

Уравнение АB: y=10x+m

Чтобы найти m подставим координаты точки А.
5=10*(2)+m
b=-15

[b]y=10x-15 - уравнение АB[/b]

Уравнение BH:
-3х-3у-12=0 ⇒[b] y=-x-4 [/b]

Точка B - точка пересечения АВ и ВН.
Координаты точки В находим из системы:
{y=10x-15
{y=-x-4

10x-15=-x-4
11x=11
x=1
y=-1-4=-5

(1;5) - о т в е т.

Каноническое уравнение прямой

(x-2)/1=(y-3)/2=(z+1)/2
это уравнение прямой, проходящей через точку
M_(o)(2;3;-1)
с направляющим вектором vector{s}=(1;2;2)

Пусть M (x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.

Тогда векторы vector{M_(o)M};vector{AM_(o)}; vector{s} компланарны.
vector{M_(o)M}=(x-2;y-3;z-(-1)=(x-2;y-3;z+1)
vector{AM_(o)}=(2-3;3-4;-1-0)=(-1;-1;-1)

Условие компланарности трех векторов - равенство нулю их смешанного произведения

Смешанное произведение векторов - определитель третьего порядка составленный из координат этих векторов

Искомое уравнение плоскости получим из равенства:

[m]\begin{vmatrix} x-2 & y-3 & z+1\\ -1 & -1 &-1 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель:
0*(x-2)+3(y-3)-3(z+1)=0

[b]y-z-4=0[/b]

О т в е т. y-z-4=0

Ответ выбран лучшим

5.
Уравнение AВ, как уравнение прямой проходящей через две точки:
[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

[m]\frac{x-4}{-3-4}=\frac{y-1}{-1-1}[/m]

-2*(x-4)=-7*(y-1)

y=(2/7)x -(1/7) - уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом

[blue]k_(AB)=2/7[/blue]

CН ⊥ АВ
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1).
Значит угловой коэффициент высоты СН (-7/2)

[blue]k_(CH)=-7/2[/blue]

y=(-7/2)x +b

Подставляем координаты точки С и находим b

-3=(-7/2)*(7)+b

b=43/2

y=(-7/2)x+(43/2)

7x+2y-43=0 - уравнение СН

4.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.1
Так как
(1-sqrt(2))^2=1-2sqrt(2)+2=3-2sqrt(2), то

[m]\sqrt[6]{3-2\sqrt{2}}=\sqrt[6]{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1[/m]

Поэтому

[m]\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}\cdot \sqrt[6]{3-2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}=[/m]

[m]= \sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)\cdot(\sqrt{2}-1)}=\sqrt[3]{(\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt[3]{2-1}=1[/m]

3.3
Призма правильная - в основании квадрат ABCD.

Призма прямая, значит боковые ребра перпендикулярны пл. основания

Из прямоугольного треугольника АС_(1)С

AC^2=AC^2_(1)-C_(1)C^2=17^2-(sqrt(161)^2=289-161=128

AC=sqrt(128)=8sqrt(2)

Из прямоугольного равнобедренного (AB=BC) треугольника АBС

AB=BC=AC*sin45^(o)=8sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=8

[green]B_(1)C_(1)[/green]=BC=8

Из прямоугольного треугольника АB_(1)B:

AB^2_(1)=AB^2+BB^2_(1)=8^2+(sqrt(161)^2=64+161=225

[red]AB_(1)[/red]=15

S_(AB_(1)C_(1)D)=[red]AB_(1)[/red] *[green] B_(1)C_(1)[/green]=15*8=120 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.1
f`(x)=(x^3-3x^2-sin(π/4))`=(x^3)`-3*(x^2)`-(sin(π/4))`=3x^2-3*2x-0=3x^2-6x

f`(x)=0

3x^2-6x=0

3x*(x-2)=0

x=0 или x=2

Знак производной:

_+__ (0) __-__ (2) __+__

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

х=2- точка минимума, производная меняет знак с - на +

2.
Так как

sin7x*sin5x=(cos(2x)-cos(12x))/2=(1/2)cos2x-(1/2)cos12x, то

∫ sin7x*sin5x dx=(1/2) ∫ cos2xdx-(1/2) ∫ cos12xdx=

[b]=(1/4)sin2x-(1/24)sin12x+C[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

2^(x)=t, [red] t > 0[/red]

2^(x+3)=2^x*2^3=8t

4^(x)=(2^[green]2[/green])^(x)=(2^x)^[green]2[/green]=t^2

[m]\frac{t^2-8t+7}{t^2-5t+4}\leq \frac{t-9}{t-4}+\frac{1}{t-6}[/m]

[green]t ≠ 4; t ≠ 6;[/green]

t^2-5t+4 ≠ 0 ⇒[green] t ≠ 1 и t ≠ 4[/green]

[m]\frac{t^2-8t+7}{t^2-5t+4}- \frac{t-9}{t-4}-\frac{1}{t-6}\leq 0[/m]

[m]\frac{t^2-8t+7}{(t-4)(t-1)}- \frac{t-9}{t-4}-\frac{1}{t-6}\leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю

Иногда бывает полезно приводить к общему знаменателю поэтапно:

[m]\frac{t^2-8t+7-(t-9)(t-1)}{(t-4)(t-1)}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]

[m]\frac{t^2-8t+7-t^2+9t+t-9}{(t-4)(t-1)}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]

[m]\frac{t^2-8t+7-t^2+9t+t-9}{(t-4)(t-1)}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]

[m]\frac{2(t-1)}{(t-4)(t-1)}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]

[green]t ≠ 1[/green]

[m]\frac{2}{t-4}-\frac{1}{t-6} \leq 0[/m]

[m]\frac{2(t-6)-(t-4)}{(t-4)(t-6)} \leq 0[/m]

[m]\frac{2t-12-t+4}{(t-4)(t-6)} \leq 0[/m]

[m]\frac{t-8}{(t-4)(t-6)} \leq 0[/m]

(0) _-_ (1) _-__ (4) __+___ (6) __-___ [8] __+___

0 < t < 1; 1< t < 4 ; 6 < t ≤ 8

2^(x) < 1; 1 < 2^(x) < 4; 6 < 2^(x) ≤ 8

x < 0; 0 < x < 2; log_(2)6 < x ≤ 3

О т в е т. (- ∞ ;0) U (0;2) U (log_(2)6; 3]

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов:
с^2=a^2+b^2-2abcos ∠ C ⇒

cos ∠ C=(a^2+b^2-c^2)/2ab=(16+25-49)/(2*4*5)=-1/5
∠ C=arccos(-1/5)
Аналогично

По теореме косинусов:
a^2=b^2+c^2-2bccos ∠ A ⇒

cos ∠ A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(25+49-16)/(2*5*7)=58/70=29/35
∠ A=arccos(29/35)
По теореме косинусов:
b^2=a^2+c^2-2accos ∠ B⇒

cos ∠ B=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(16+49-25)/(2*4*7)=5/7
∠ B=arccos(5/7) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{log^2_(2)x-36 ≠ 0 ⇒ {log_(2)x ≠ ± 6 ⇒ x ≠ 2^6 и x ≠ 2^(-6)

log_(2)4x^2=log_(2)4+log_(2)x^2=2+2log_(2)|x|

В условиях ОДЗ: x > 0

2+2log_(2)|x|=2+2log_(2)x

log^2_(2)4x^2=(2+2log_(2)x)^2=4+8log_(2)x+4log^2_(2)x

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{4+8log_{2}x+4log^{2}_{2}x+35}{log^{2}_{2}x-36} ≥ -1[/m]

[m]\frac{4+8log_{2}x+4log^{2}_{2}x+35}{log^{2}_{2}x-36}+1 ≥ 0[/m]

[m]\frac{4+8log_{2}x+4log^{2}_{2}x+35+log^{2}_{2}x-36}{log^{2}_{2}x-36}≥ 0[/m]

[m]\frac{5log^{2}_{2}x+8log_{2}x+3}{log^{2}_{2}x-36}≥ 0[/m]

[m]\frac{(5log_{2}x+3)(log_{2}x+1)}{(log_{2}x-6)(log_{2}x+6)}≥ 0[/m]

__[red]+_[/red]_ (-6) ___ [-1] _[red]+[/red]_ [-3/5] ___________ (6) ___[red]+[/red]__

log_(2)x < -6 или -1 ≤ log_(2)x ≤ -3/5 или log_(2)x >6

С учетом ОДЗ: x >0

0 < x < 2^(-6); 2^(-1) ≤ x ≤ 2^(-3/5); x > 2^(6)

О т в е т. (0; 1/64) U [1/2; (1/8)^(1/5)] U (64;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

2^(x^2)=u
2^(2x)=v

тогда

2^(2x^2)=u^2
2^(4x)=v^2

[i]Уравнение имеет вид[/i]:

u^2+4u*v=32v^2

Это [i]однородное уравнение второго порядка[/i], сводящееся к квадратному.
Делим все уравнение на v^2 ≠ 0 или u^2 ≠ 0

Получаем уравнение

t^2+4t-32=0

t=u/v=2^(x^2)/2^(2x)=2^(x^2-2x)

D=16-4*(-32)=16+128=144

t_(1)=(-4-12)/2=-8; t_(2)=(-4+12)/2=4;

Обратный переход:
2^(x^2-2x)=- 8 - уравнение не имеет корней, 2^(x^2-2x)>0 при любом х

2^(x^2-2x)=4 ⇒ 2^(x^2-2x)=2^2 ⇒ x^2-2x=2

x^2-2x-2=0

D=(-2)^2-4*(-2)=4+8=12

x=(2 ± 2sqrt(3))/2

x=1 ± sqrt(3)

О т в е т. 1 ± sqrt(3)

Решение без замены переменной будет выглядеть так:

[m]2^{2x^2}+2^{x^2}\cdot 2^{2x}\cdot 2^2=2^5\cdot 2^{4x}[/m]

[m]2^{2x^2}+4\cdot 2^{x^2}\cdot 2^{2x}=32\cdot 2^{4x}[/m]

делим на [m]2^{4x}[/m]

[m]\frac{2^{2x^2}}{2^{4x}}+4\frac{2^{x}\cdot 2^{2x}}{2^{4x}}=32\frac{2^{4x}}{2^{4x}}[/m]

Квадратное уравнение:

[m](\frac{2^{x^2}}{2^{2x}})^2+4(\frac{2^{x^2}}{2^{2x}})-32=0[/m]

[m](2^{x^2-2x})^2+4\cdot 2^{x^2-2x}- 32=0[/m]
D=144

[m]2^{x^2-2x}=- 8[/m] или [m]2^{x^2-2x}=4[/m]

далее см. решение выше

первое уравнение не имеет корней, 2^(x^2-2x)>0 при любом х

[m]2^{x^2-2x}=4[/m] ⇒ [m]x=1 ± \sqrt{3}[/m]

Ответ выбран лучшим

x=rcos φ ⇒ cos φ =x/r
y=rsin φ

r=sqrt(x^2+y^2)

r=3cos φ ⇒ sqrt(x^2+y^2)=3*(x/sqrt(x^2+y^2) ⇒

x^2+y^2=3x - уравнение окружности

Выделим полный квадрат :

(x^2-3x+2,25)+y^2=2,25

(x-1,5)^2+y^2=1,5^2

центр окружности

(1,5;0) R=1,5

1.D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

Функция не является ни четной, ни нечетной
lim_(x→ +∞)f(x)=+∞

lim_(x→–∞)f(x)= -∞

горизонтальной асимптоты нет

y`=((x+2)^2)`*(x-1)+(x+2)^2*(x-1)`
y`=2(x+2)*(x-1)+(x+2)^2*1
y`=(x+2)*(2x-2+x+2)
y`=3x(x+2)

y`=0

x=0; x=-2

_+__ (-2) __-_ (0) _+__

y`< 0 при x∈ (–2;0)
Функция [i]убывает[/i] при x∈ (–2;0)

y`>0 при x∈(-∞;-2) и при х∈ (0;+∞)
Функция [i]возрастает[/i] при x∈(-∞;-2) и при х∈ (0;+∞)

x=0– точка минимума, производная меняет знак с – на +
у(0)=-4 - [i]наименьшее[/i] значение функции

x=-2 - точка максимума
y(-2)=0 -[i] наибольшее[/i] значение функции

y``=(3x^2+6x)`=6x+6
y``=0
x=-1- точка перегиба

y`` <0 на ( - ∞ ;-1) ⇒
Функция выпукла вверх на ( - ∞ ;-1)

y`` > 0 на
Функция выпукла вниз на (-1;+ ∞)
2.
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция не является ни четной, ни нечетной
у(–х)=(–х-1)^2/((–x)^2+1)=(х+1)^2/(x^2+1)
y(–x) ≠ y(x)
y(–x) ≠- y(x)
3)lim_(x→ +∞)f(x)=lim_(x→ +∞)(х-1)^2/(x^2+1)=1

lim_(x→–∞)f(x)=lim_(x→ -∞)(х-1)^2/(x^2+1)=1

y=1 -[i] горизонтальная асимптота[/i]

Наклонной асимптоты нет, так как
k=limx→∞(f(x))/x=0

4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
(x-1)^2/(x^2+1)=0
(x-1)^2=0
x-1=0
x=1

(1;0)-точка пересечения с осью Ох.

C осью Оу
х=0 ⇒ у=(-1)^2/1=1

(0;1)-точка пересечения с осью Оу.

5)
y`=((x-1)^2)`*(x^2+1)-(x^2+1)`*(x-1)^2)/(x^2+1)^2;
y`=(2(x-1)*(x^2+1)-2х*(x-1)^2)/(x^2+1)^2;

y`=2(х-1)(х+1)/(x^2+1)
y`=0
x-1=0 или x+1=0
x=1 или x=-1

Знак производной

__ + __ (-1) _–_ (1) ___+__

y`< 0 при x∈ (–1;1)
Функция [i]убывает[/i] при x∈ (–1;1)

y`>0 при x∈(-∞;-1) и при х∈ (1;+∞)
Функция [i]возрастает[/i] при x∈(-∞;-1) и при х∈ (1;+∞)

x=1– точка минимума, производная меняет знак с – на +
у(1)=0 - [i]наименьшее[/i] значение функции

x=-1 - точка максимума
y(-1)=2 -[i] наибольшее[/i] значение функции

6)y``=(2(x^2-1)`*(x^2+1)-2(x^2-1)(x^2+1)`)/(x^2+1)^2

y``=(2x*(-x^2+3)/(x^2+1)^2
y``=0

x=0; x=± √3 –точки перегиба,

вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вниз на (– ∞ ; - √3 ) и на (0;√3)

выпукла вверх на ( - √3;0 ) и на (√3 ;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos^2x=1-sin^2x
и
по формулам приведения
cos(3π/2+x)=sinx;

1-sin^2x+3*sinx-2=0

sin^2x-3sinx+1=0

D=9-4=5

sinx=(3-sqrt(5))/2 или sinx=(3+sqrt(5))/2

sinx=(3-sqrt(5))/2 ⇒ х=(-1)^(k) arcsin((3-sqrt(5))/2)+πk, k ∈ Z

sinx=(3+sqrt(5))/2 - уравнение не имеет корней

О т в е т (-1)^(k) arcsin((3-sqrt(5))/2)+πk, k ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни:

х_(1)=[b]arcsin((3-sqrt(5))/2) -4π;
[/b]
х_(2)=π-arcsin((3-sqrt(5))/2) -4π= [b]-arcsin((3-sqrt(5))/2) -3π;[/b]

(прикреплено изображение)

-x^2+5=x+3
x^2+x-2=0
x_(1)=-2; x_(2)=1

S= ∫ ^(1)_(-2)(-x^2+5-(x+3))dx=∫ ^(1)_(-2)(-x^2-x+2)dx=

=((-x^3/3)-(x^2/2)+2x)|^(1)_(-2)=(-1/3)-(1/2)+2-(8/3)+2+4=4,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ряд имеет вид:
∑ a_(n)*(x+2)^n,

где

a_(n)=1/(n+4)

тогда
a_(n+1)=1/((n+1)4)=1/(n+5)

R=lim_(n → ∞ )((a_(n)/a_(n+1))|=lim_(n → ∞ )(n+5)/(n+4)=1

Из неравенства

|x+2| < 1 получаем

-1 < x+2 < 1

-3 < x < -1

(-3; -1) - интервал сходимости ряда

Чтобы найти область сходимости, нужно проверить как будет вести себя ряд на концах этого интервала

При x=-3

∑ (-1)^n/(n+4) - знакочередующийся[i] числовой[/i] ряд, который сходится по признаку Лейбница

При x=-1

∑ 1/(n+4) - знакоположительный[i] числовой[/i] ряд, который
расходится как гармонический.

Поэтому
[-3;1) - область сходимости ряда

Ответ выбран лучшим

3.1
8-x^2=4
x^2=4
x= ± 2

S= ∫ ^(2)_(-2)(8-x^2-4)dx= ∫ ^(2)_(-2)(4-x^2)dx=(4x-(x^3/3))|^(2)_(-2)=

=4*2-(2^3/3)-(4*(-2)-(-2)^3/3))=16-(16/3)=32/3

3.2
f`(x)=x`*e^(-x)+x*(e^(-x))`=e^(-x)+x*e^(-x)*(-x)`=e^(-x)+x*e^(-x)*(-1)=

=e^(-x)*(1-x)

f`(x)=0

1-x=0

x=1

[0] _+__ (1) __-_ [2]

х=1 - точка максимума, в ней наибольшее значение

f(1)=1*e^(-1)=[green]1/e[/green]

наименьшее на одном из концов:
x=0
f(0)=[red]0[/red]

x=2
f(2)=2e^(-2)

0< 2e^(-2)

Наименьшее в 0 равно [red]0[/red]

Ответ выбран лучшим

25x^2-10x-8 ≠ 0

25x^2-10x-8=0
D=(-10)^2-4*25*(-8)=100+800=900
x_(1)=-0,4; x_(2)=0,8

Замена переменной:
[m]\frac{2}{25x^2-10x-8}=t[/m]
тогда
[m]\frac{25x^2-10x-8}{2}=\frac{1}{t}[/m]

Неравенство принимает вид:

[m](t+\frac{1}{t})^2 ≥ 4[/m]

или

[m](t+\frac{1}{t})^2 -4 ≥ 0[/m]

Применяем формулу разности квадратов:

[m](t+\frac{1}{t} -2 )(t+\frac{1}{t}+2)≥ 0[/m]

[m]\frac{(t-1)^2(t+1)^2}{t^2}≥ 0[/m]

неравенство верно при любом t, кроме t=0

Значит
t ≠ 0

Обратный переход:
[m]\frac{2}{25x^2-10x-8} ≠ 0[/m]

Верно при любом х, х ≠- 0,4 и х ≠ 0,8

О т в е т.(- ∞ ;- 0,4)U(-0,4;0,8)U(0,8;+ ∞ )

Второй способ.

Возводим в квадрат

[m](\frac{2}{25x^2-10x-8})^2+2+(\frac{25x^2-10x-8}{2})^2 ≥ 4[/m]

[m](\frac{2}{25x^2-10x-8})^2-2+(\frac{25x^2-10x-8}{2})^2 ≥ 0[/m]

[m](\frac{2}{25x^2-10x-8}-\frac{25x^2-10x-8}{2})^2 ≥ 0[/m]

верно при любом х, кроме тех значений при которых знаменатель обращается в 0

Ответ выбран лучшим

1.1
f(x)=[m]\frac{2}{x^3}[/m]
f`(x)=[m]2\cdot x^{-3}[/m]
f`(x)=[m]2\cdot (-3)\cdot x^{-3-1}[/m]
f`(x)=[m]\frac{-6}{x^4}[/m]

2.2
f`(x)=[m]\frac{1}{2\sqrt{x^2-4x-1}}\cdot (x^2-4x-1)`[/m]

f`(x)=[m]\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x-1}}[/m]

f`(x)=[m]\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x-1}}[/m]

f`(5)=[m]\frac{5-2}{\sqrt{5^2-4\cdot 5-1}}[/m]

f`(5)=[m]\frac{3}{\sqrt{4}}=1,5[/m]

Ответ выбран лучшим

Так как

sin7x*sin5x=(cos(2x)-cos(12x))/2=(1/2)cos2x-(1/2)cos12x, то

∫ sin7x*sin5x dx=(1/2) ∫ cos2xdx-(1/2) ∫ cos12xdx=

[b]=(1/4)sin2x-(1/24)sin12x+C[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

F(x)=(4x^4/4)-4*(x^2/2)+6x+C

F(x)=x^4-2x^2+6x+C

5=1^4-2*1^2+6*1+C

C=0

О т в е т. F(x)=x^4-2x^2+6x

1.4
v=sinx

v`=cosx

v`(-π/2)=cos(-π/2)=0

1.5
k=f`(x_(o))=tg α

f`(3)=1 ⇒
k=1 ⇒

tg α =1

α =45^(o)

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой ОА: y=2x
f(x)=2x
f`(x)=2

ds=sqrt(1+(f`(x))^2)dx=sqrt(1+2^2)dx=sqrt(5)dx

= ∫ ^(1)_(0)sqrt(5)dx/sqrt(x^2+(2x)^2+4)= ∫ ^(1)_(0)sqrt(5)dx/sqrt(5x^2+4)=

= ∫ ^(1)_(0)d(sqrt(5)x)/sqrt((sqrt(5)x)^2+4)=(ln|sqrt(5x)+sqrt(5x^2+4|)|^(1)_(0)=

=ln|sqrt(5)+sqrt(9)|-ln|0+sqrt(4)|=ln|3+sqrt(5)|-ln|2| - о т в е т

Ответ выбран лучшим

[blue]t=2^(x)[/blue]
[red]t>0[/red]

t^2=(2^(x))^2

Уравнение:
t^2-t-12=0
D=1-4*(-12)=49

t_(1)=(1-7)/2 =-3 <0 ( противоречит [red]t>0[/red])
t_(2)=(1+7)/2=4

Обратный переход
2^(x)=4
2^(x)=2^2

x=2

О т в е т. [b]2[/b]

Ответ выбран лучшим

3.
tg(2π(x+1))=tg(2πx+2π)=tg2πx [i]по формулам приведения[/i]

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{tg2\pi x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}\cdot \frac{x}{tg2\pi x}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}\cdot \frac{2\pi x}{tg2\pi x}\cdot \frac{1}{2\pi }=[/m]

[m]= \frac{1}{2\pi }\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}\cdot\lim_{x \to 0} \frac{2\pi x}{tg2\pi x}= \frac{1}{2\pi }\cdot1\cdot1= \frac{1}{2\pi }[/m]

4.
Так как
[m](\frac{2n+1}{2n-1})^{n+1}=(\frac{2n+1}{2n-1})^{n}\cdot (\frac{2n+1}{2n-1})[/m]

и

[m]\frac{2n+1}{2n-1}=\frac{\frac{2n+1}{2n}}{\frac{2n-1}{2n}}=\frac{1+\frac{1}{2n}}{1-\frac{1}{2n}}[/m]

то
[m]\lim_{n \to \infty }(\frac{2n+1}{2n-1})^{n+1}=\lim_{n \to \infty }(\frac{2n+1}{2n-1})^{n}\cdot \lim_{n \to \infty }(\frac{2n+1}{2n-1})=[/m]

[m]=\lim_{n \to \infty }(\frac{2n+1}{2n-1})^{n}\cdot1=\lim_{n \to \infty }(\frac{2n+1}{2n-1})^{n}=[/m]

[m]=\lim_{n \to \infty }(\frac{1+\frac{1}{2n}}{1-\frac{1}{2n}})^{n}=\frac{\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{2n})^{n}}{\lim_{n \to \infty }(1-\frac{1}{2n})^{n}}=\frac{\lim_{n \to \infty }((1+\frac{1}{2n})^{2n})^{\frac{1}{2}}}{\lim_{n \to \infty }((1-\frac{1}{2n})^{-2n})^{-\frac{1}{2}}}=\frac{e^{\frac{1}{2}}}{e^{-\frac{1}{2}}}=e[/m]

Ответ выбран лучшим

f(x)=5e^(x)

Общий вид первообразных данной функции:
F(x)=5e^(x)+C

Подставляем координаты точки А
x=0
F(x)=-2

-2=5*e^(0)+C

-2=5*1+C

-2-5=C

C= - 7

О т в е т. Б)

Ответ выбран лучшим

[red]3.2[/red]
f`(x)=5x^2+20x
f`(x)=0
5x^2+20x=0
5x*(x+4)=0
x=0 или x=-4

__+_ (0) __-__ (4) _+__

y`>0 на (- ∞;0) и на (4;+ ∞)

значит функция[i] возрастает[/i] на
(- ∞;0) и на (4;+ ∞)

y`< 0 на(0;4)

значит функция [i]убывает[/i] на(0;4)

[red]3.1[/red]
S= ∫ ^(2)_(1)(4x+1-(5/x))dx=(2x^2+x-5lnx)|^(2)_(1)=

=2*2^2+2-5ln2-2*1^2-1+5ln1=

=7-5ln2 (прикреплено изображение)

2.1
f`(x)=x^3-4x

f`(x)=0

x^3-4x=0

x*(x^2-4)=0

x=0; x =± 2

Только
2 ∈ (0;4) -внутренняя точка отрезка [0;4]

Находим знак производной:

[0] _-__ (2) __+_ [4]

Значит, х=2 - точка минимума на отрезке [0;4]

Наименьшее значение на отрезке равно значению функции в этой точке

f(2)=(2^4/4)-2*2^2=4-8=[b]-4[/b]

См. рис. График функции на отрезке [0;4] - это сплошная линия, на других интервалах обозначен пунктирной линией

2.
Общий вид первообразных данной функции:
F(x)=4sqrt(x)-5x+C

Так как F(4)=-10,
то

-10=4sqrt(4)-5*4+C

C=2

О т в е т. [b]F(x)=4sqrt(x)-5x+2[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos( ∠ vector{a},vector{b})

⇒
cos( ∠ vector{a},vector{b})=6/(2*3)=1

[b]∠ vector{a},vector{b}=0[/b] ⇒

sin( ∠ vector{a},vector{b})=6/(2*3)=0

|vector{a} × vector{b}|=|vector{a}|*|vector{b}|*sin( ∠ vector{a},vector{b})=0

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.
x ≠ 2

При x ≠ 2 данная функция непрерывна как частное непрерывных функций.

Исследуем на непрерывность точку х=2

Находим [red]предел слева[/red]:
lim_(x →2-0)f(x)=cos(2-0)/(2-0-2)=+ ∞ , так как

cos2 < 0 делится на очень маленькое отрицательное в знаменателе.
Получим очень большое отрицательное (+∞ )

Находим[red] предел справа[/red]:
lim_(x →2+0)f(x)=cos(2+0)/(2+0-2)=+ ∞

Функция имеет [i]бесконечный[/i] предел в точке ( хотя бы один или слева или справа, а здесь вообще оба)
Значит х=2 - точка разрыва [i]второго [/i]рода

4.

На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=cosx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;1) функция непрерывна, так как y=x^2 +1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=1

Находим [red]предел слева[/red]:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)cosx=cos0=1

Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(x^2+1)=(+0)^2+1

предел слева ≠ пределу справа

Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=0
х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]

x=1

Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)(x^2+1)=(1-0)^2+1=2

Находим [green]предел справа[/green]:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)x=1

предел слева ≠ пределу справа

Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=1
х=1 - [i]точка разрыва первого рода[/i]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть T_(k)=C^(k)_(20)*(2,3)^(k)*(sqrt(8))^(20-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1) этот член больше предыдущего
{T_(k) > T_(k+1)и больше следующего за ним

T_(k-1)=C^(k-1)_(20)*(2,3)^(k-1)*(sqrt(8))^(20-k+1)=
=(20!/(k-1)!*(20-k+1)!))*(2,3)^(k-1)*(sqrt(8))^(20-k+1)

T_(k)=C^(k)_(20)*(2,3)^(k)*(sqrt(8))^(20-k)=
=(20!/(k)!*(20-k)!)(2,3)^(k)*(sqrt(8))^(20-k)

T_(k+1)=C^(k+1)_(20)*(2,3)^(k+1)*(sqrt(8))^(20-k-1)=
=(20!/(k+1)!*(20-k-1)!)(2,3^(k+1)*(sqrt(8))^(20-k-1)

{(2,3/k) > sqrt(8)/(20-k+1) ⇒ k < ≈ считаем самостоятельно
{sqrt(8)/(20-k) > 2,3/(k+1) ⇒ k > ≈ считаем самостоятельно

Тогда легко найти k

Ответ выбран лучшим

8.1)

x ≠ 2

3^(1/x-2) >0, так как 3^(t) > 0 при любом t
3^(1/x-2) +1 >0

Функция y=1/(x-2) непрерывна на (- ∞ ;2)U(2;+ ∞ )

Функция y=f(x) непрерывна на (- ∞ ;2)U(2;+ ∞ ) как композиция непрерывных функций.

Исследуем точку х=2

Находим [red]предел слева[/red]:
lim_(x → 2-0)f(x)=2/(0+1)=2, так как

1/(x-2) → - ∞ при х → 2-0 [b]([/b] слева от х=2, см график гиперболы y=1/(x-2) [b])[/b]

3^(1/(x-2)) → 0 при x → 2-0, так как 3^(- ∞ ) → 0

Находим[red] предел справа[/red]:
lim_(x →+0)f(x)=1/(+ ∞ +1)=0, так как

1/(x-2) → + ∞ при х →2+0 [b]([/b] справа от х=2, см график гиперболы y=1/x[b])[/b]

3^(1/(x-2)) → + ∞ при x → 2+0, так как e^(+ ∞ ) →+ ∞

Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке
Значит х=2 - точка разрыва [i] первого[/i] рода

8. 2)

На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=cosx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;1) функция непрерывна, так как y=x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=ln(x-1) непрерывна на области определения (1 ;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=1

х=0

Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)cosx=cos0=1

Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)x=0
предел слева ≠ пределу справа

Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=0
х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]

x=1

Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)x=1

Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)ln(x-1)=ln0 → - ∞

Так как хотя бы один из односторонних пределов → ∞ , значит
х=1 - [i]точка разрыва второго рода[/i]

(прикреплено изображение)

1)
x ≠ ± 2

При x ≠ ± 2 данная функция непрерывна как частное непрерывных функций.

Исследуем на непрерывность точку х=-2

Находим [red]предел слева[/red]:
lim_(x →-2-0)f(x)=1/((-2-0)^2-4)=+ ∞ , так как

положительное число в числителе делится на очень маленькое положительное в знаменателе.
Получим очень большое положительное (+ ∞ )

Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →2+0)f(x)=1/((-2+0)^2-4)=- ∞

Функция имеет [i]бесконечный[/i] предел в точке ( хотя бы один или слева или справа, а здесь вообще оба)
Значит х=-2 - точка разрыва [i]второго [/i]рода

Аналогично
x=2- точка разрыва [i]второго [/i]рода

2)
На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=sinx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;1) функция непрерывна, так как y=2x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=1

х=0

Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)sinx=0

Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)2x=0

предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке x=0
х=0 - [i]точка непрерывности [/i]

x=1

Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)2x=2

Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)x=1

предел слева ≠ пределу справа

Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=1
х=1 - [i]точка разрыва первого рода[/i]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.
По формуле Муавра:

z^(8)=(sqrt(2))^8*(cos8*5^(o)+isin8*5^(o))=2^4*(cos40^(o)+isin40^(o))
О т в е т. 1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

12.
{t=(1-x)/2
{y=-((1-x)/2)^2+(1-x)/2 ⇒ y=-(x^2/4)+(1/4)

a) (-1;0)
0=-(1/4)+(1/4) верно
точка принадлежит

б) (-3;-2)

-2=-(9/4)+(1/4)- верно
точка принадлежит

в)
(1;1)
1=-(1/4)+(1/4) - неверно
точка не принадлежит

г)
-3=-(25/4)+(1/4)- неверно
точка не принадлежит

Ответ выбран лучшим

3.
Функция y=log_(2/3)x - убывающая на (0;+ ∞ )

Значит, наибольшее значение принимает в х=8/27

y(8/27)= log_(2/3)(8/27)=log_(2/3)(2/3)^3=3*log_(2/3)(2/3)=3*1=[b]3[/b]

2.
Cтроим график y=x^(2/3) и y=x-4
О т в е т. [b](8;4)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямая [i]l[/i] задана как линия пересечения двух плоскостей:
{3х+y–z–6=0
{3x–y+2z=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:

{y–z–6=0
{–y+2z=0

Складываем
z-6=0
z=6

тогда y=2z=12
[b]А(0; 12; 6)[/b]

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{3х–z–6=0
{3x+2z=0

умножаем первое уравнение на 2

{6x-2z-12=0
{3x+2z=0

9x-12=0
x=4/3
[b]В(4/3;0;2/3)[/b]

Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки

[b]А(0; 12; 6)[/b]и [b]В(4/3;0;2/3)[/b]

Уравнение прямой, проходящей через две точки А и В имеет вид:

[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}=\frac{z-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}[/m]

Дальше самостоятельно

sin^2x=1-cos^2x

1-cos^2x+4cosx=4

cos^2x-4cosx+3=0

D=16-12=4

сosx=1 ⇒ x= 2πk, k ∈ Z
или
cosx=3 - уравнение не имеет корней, |cosx| ≤ 1 и никогда не будет равно 3

О т в е т. 2πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{sin3\alpha+sin\alpha}{sin3\alpha-sin\alpha}=

\frac{2sin\frac{3\alpha +\alpha }{2}\cdot cos\frac{3\alpha -\alpha }{2}}{2sin\frac{3\alpha -\alpha }{2}\cdot cos\frac{3\alpha +\alpha }{2}}

=\frac{sin2\alpha\cos\alpha}{sin\alpha\cdot cos2\alpha }=tg2\alpha\cdot ctg\alpha[/m]

Ответ выбран лучшим

На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=x+1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;2) функция непрерывна, так как y=(x+1)^2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=-x+4 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=2

Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(x+1)=1

Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(x+1)^2=1

предел слева = пределу справа= значению функции в точке х=0

х=0 -[i]точка непрерывности [/i]

Находим предел слева:
lim_(x →2 -0)f(x)=lim_(x → 2-0)(x+1)^2=(2+1)^2=9

Находим предел справа:
lim_(x →2 +0)f(x)=lim_(x → 2+0)(-x+4)=-2+4=2

х=2 -[i]точка разрыва первого рода[/i]
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=2

Cкачок равен 2-9 =-7

Ответ выбран лучшим

Область определения:(- ∞ ;-1)U(-1;1)U(1;+ ∞ )

х=-1

Находим предел слева:
lim_(x →-1-0)f(x)=(1)/(-1-0)^2-1)=- ∞ , так как

положительное число в числителе делится на очень маленькое в знаменателе.
Получим очень большое отрицательное (- ∞ )

Если функция имеет [i]бесконечный[/i] предел в точке ( хотя бы один или слева или справа), то

Значит х=-1 - точка разрыва [i]второго [/i]рода

Аналогично
х=1 - точка разрыва [i]второго[/i] рода.

На
(- ∞ ;-1)
на
(-1;1)
на
(1;+ ∞ )

функция непрерывна как частное непрерывных функций:1 и x^4-1
на отрезке [0;2]
имеет точку разрыва второго рода х=1
на отрезке [-3;1]
имеет точку разрыва второго рода х=-1

на отрезке [4;5] ∈ (1;+ ∞ ) непрерывна

Ответ выбран лучшим

При |q|<1
q^n → 0 при n → ∞
о т в е т:
[b]1/(1-q)[/b]

При |q|>1
q^n → ∞ при n → ∞
о т в е т:
[b]∞[/b]

Ответ выбран лучшим

Проводим СК ⊥ АВ

Δ АВС - равносторонний, СК - медиана и биссектриса

ВК=КА=6

СК=6*sqrt(3)

Равные наклонные имеют равные проекции. Верно и обратное.
ВС=АС ⇒ DB=DA=6sqrt(7)
Δ АВD - равнобедренный, DК - медиана и биссектриса и высота

DK ⊥ AB

Pасстояние от точки D до прямой AB есть длина перпендикуляра DK

DK^2=DB^2-BK^2=(6sqrt(7))^2-6^2=216

DK=6sqrt(6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прибавим ко всем частям неравенства (-1):
-2+(-1) < 2x+1 +(- 1) < 5+(-1)
-3 < 2x < 4
Делим на 2

[b]-1,5 < x < 2[/b]

Прибавим ко всем частям второго неравенства (-1):
-5+(-1) < 3x+1 +(- 1) < 5+(-1)
-6 < 3x < 4
Делим на 3

[b]-2 < x < 4/3[/b]

Диагональ основания
АС^2=12^2+16^2=144+256=400
AC=20 см

Диагональ параллелепипеда
AC^2_(1)=12^2+16^2+(20sqrt(3))^2=144+256+1200=1600
AC_(1)=40

Катет АС в два раза меньше гипотенузы AC_(1)

угол АС_(1)С равен 30 градусов

Значит, угол между АС и AC_(1) 60 градусов

Ответ выбран лучшим

Радиус окружности соединяет точки С(3:-1) и M (3;2)

x=3 - уравнение прямой, проходящей через С и М

Ответ выбран лучшим

Делим на 36:
[m]\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1[/m]

Каноническое уравнение эллипса:
[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

a^2=12
b^2=3

с^2=a^2-b^2=12-3=9
c=3

F_(1)=(-3;0); F_(2)=(3;0);

a=sqrt(12)=2sqrt(3)

Большая ось имеет длину 2а

2а=4sqrt(3)

b=sqrt(3)

Малая ось имеет длину 2b

2b=2sqrt(3)

Эксцентриситет эллипса:

ε =c/a=[b]3/(2*sqrt(3))=sqrt(3)/2[/b]

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение гиперболы:
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

a^2=9 ⇒ a=3 ⇒ Вершины гиперболы в точках (-3;0) и (3;0)
b^2=7 ⇒ b=sqrt(7)

c^2=a^2+b^2=9+7=16

c=4

F_(1)=(-4;0); F_(2)=(4;0);

Вершины
(-3;0) и (3;0)

ε =c/a=[b]4/3[/b] - эксцентриситет гиперболы

Ответ выбран лучшим

Выделяем полные квадраты:

(x^2+4x)+(y^2-12y+36)=0

(x^2+4x+4)+(y^2-12y+36)=4

(x+2)^2+(y-6)^2=4

C(-2;6)
R=2

Ответ выбран лучшим

СD^2=CH^2+HD^2=(8sqrt(3))^2+6^2=192+36=228

CD=sqrt(228)=sqrt(4*57)=[b]2sqrt(57)[/b] - о т в е т (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

12%=12/100=0,12

12% от 300 равно 0,12*300=36
10% от 140 равно 0,1*140=14

х+y=36+14=50

40% от 50 равно 0,4*50=[b]20[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{x^2-8x +11}{x-6}+ \frac{x^2-9x+ 2}{x-9}-(2x-2)\leq 0[/m]

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{(x^2-8x +11)(x-9) +(x^2-9x+ 2)(x-6)-(2x-2)(x-6)(x-9)}{(x-6)(x-9)}\leq 0[/m]

[m]\frac{x-3}{(x-6)(x-9)}\leq 0[/m]

Метод интервалов:

__[green]-[/green]__ [3] __ +__ (6) __[green]-[/green]__ (9) __ +__

О т в е т. (- ∞ ;3]U (6;9)

(x^3-8x^2 +11x - 9x^2+72x-99)+ (x^3-9x^2+ 2x-6x^2+54x-12)-(2x-2)(x^2-15x+54)=

=2x^3-32x^2+139x-111-2x^3+30x^2-108x+2x^2-30x+108=

=x-3

Ответ выбран лучшим

1.
Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное тому, что в знаменателе, т.е на такое же но с +:
sqrt(2x+1)+1
[m]=\lim_{x \to 0}\frac{sin3x(\sqrt{2x+1}+1)}{(\sqrt{2x+1}-1)(\sqrt{2x+1}+1)}=\lim_{x \to 0}\frac{sin3x(\sqrt{2x+1}+1)}{(\sqrt{2x+1})^2-1^2}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{sin3x(\sqrt{2x+1}+1)}{2x+1-1}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{sin3x(\sqrt{2x+1}+1)}{2x}\cdot \lim_{x \to 0}(\sqrt{2x+1}+1) =[/m]

[m]=\frac{3}{2}\cdot (\sqrt{2\cdot 0+1}+1) =3[/m]

2.
Неопределенность (0/0)
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to -2}\frac{x\cdot (x+2)^2}{(x+2)(x-3)}=[/m]

сокращаем на (х+2)

[m]=\lim_{x \to -2}\frac{x\cdot(x+2)}{x-3}=\frac{-2\cdot\ 0}{-2-3}=\frac{0}{-5}=0[/m]

3.
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^3

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^3+3x-1}{x^3}}{\frac{x^3+x^2+7}{x^3}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^3 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^3:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{3x}{x^3}-\frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{x^2}{x^3}+\frac{7}{x^3}}=\frac{1+0-0}{1+0+0}=1[/m]

4.

[m]\lim_{x \to 0}\frac{sin^23x}{x^2}=(\frac{0}{0})=\lim_{x \to 0}\frac{3\cdot 3\cdot sin3x\cdot sin3x}{3x\cdot 3x}=[/m]

[m]=9\lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{3x}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{3x}=9[/m]

9.

[m]\lim_{x \to \infty }(\frac{x+5}{x})^{2x}=\lim_{x \to \infty }((1+\frac{5}{x})^{\frac{x}{5}})^{\frac{5}{x}\cdot 2x}=e^{10}[/m]

Ответ выбран лучшим

1.
Из прямоугольного треугольника АСВ ( АВ ⊥ пл. ⇒ АВ ⊥ ВС, ∠AВC=90 градусов)
АВ=АС/2=12 cм ( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)

ВС^2=AC^2-AB^2=24^2-12^2=432
BC=12sqrt(3)

Из прямоугольного треугольника АDВ ( АВ ⊥ пл. ⇒ АВ ⊥ ВD, ∠ AВD=90 градусов)
∠ BAD=90 градусов-60 градусов=30 градусов

BD=x
AD=2x

Катет BD против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы AD

AD^2=AB^2+BD^2

(2x)^2=12^2+x^2

3x^2=144

x^2=48

x=4sqrt(3)

BD=4sqrt(3)
AD=8sqrt(3)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

r - радиус сферы вписанной в куб ( cм. рис. 1)

S_(сферы вписанной в куб)=4πr^2

По условию
S_(сферы вписанной в куб)=25π

Уравнение:
[b]4πr^2=25π[/b]

r^2=25/4

[b]r=5/2[/b]

a- сторона ( ребро) куба

a=2r=2*(5/2)=5

R- радиус сферы описанной около куба

R=A_(1)C/2

A_(1)C^2=A_(1)A^2+AC^2=A_(1)A^2+AB^2+BC^2=

=a^2+a^2+a^2=3a^2

R=a*sqrt(3)/2=5sqrt(3)/2

S_(сферы описанной около куба)=4πR^2=4π*(5sqrt(3)/2)^2=[b]75π[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{2^{x}\cdot 2^{-y}}{3^{x}cdot 3^{-y}}=\frac{24}{81}[/m]

[m]\frac{2^{x-y}}{3^{x-y}}=\frac{8}{27}[/m]

[m](\frac{2}{3})^{x-y}=(\frac{2}{3})^{3}[/m]

[b]x-y=3[/b]

Ответ выбран лучшим

243=3^(-5)

3^(-5)-4*3^(-x)*3^(-3)+(3^(-x))^2=0

Умножаем на 3^(5):

1-36*3^(-x)+243*(3^(-x))^2=0

3^(-x)=t
t>0
3^(-2x)=(3^(-x))^2=t^2

Квадратное уравнение:

243t^2-36t+1=0

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой АВ:
y=kx+b
Подставляем координаты точек А и В
-3=k*(1)+b
5=k*5+b

k=2
b=-5

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты
k
Значит, k ( касательной )=2

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))= k ( касательной )

f(x)=x^2-4x

f`(x)=2x-4

f`(x_(o))=2x_(o)-4

2x_(o)-4=2

2x_(o)=6

x_(o)=3 ⇒

y_(o)=3^2-4*3=9-12=-3

Уравнение касательной к кривой в точке (х_(о); у_о))

y - y_(o)=k*(x-x_(o))

y-(-3)=2*(x-3)

[b]y=2x-9[/b]- yравнение касательной к кривой в точке (3;-3)
(прикреплено изображение)

По определению:

[blue][m]F(x)= ∫^{x} _{- ∞ } f(x)dx[/m][/blue]

Поэтому:

при x ≤ 1 f(x)=0
и
[m]F(x)= ∫ _{- ∞ }^{x} f(x)dx=∫ _{- ∞ }^{x}0\cdot dx=0[/m]

[b]F(x)=0[/b]

При 1 < x ≤ 2

[m]F(x)=∫^{1}_{- ∞ }0dx+ ∫^{x}_{1 }(x-\frac{1}{2}) dx=(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x)|^{x}_{1} =\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}- (\frac{1}{2}-\frac{1}{2})[/m]

F(x)=[m]\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}[/m]

При x >2

[m]F(x)=∫^{1} _{- ∞ }0dx+ ∫ _{1 }^{2}(x-\frac{1}{2}) dx+∫^{x} _{2}0dx=[/m]

[m]=(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x)|^{2}_{1}=1[/m]

[b]F(x)=1[/b]

[m]F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 &, x \leq 1 \\ \frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2} &, 1 < x\leq 2 \\ 1 &, x > 2 \end{matrix}\right.[/m]

Ответ выбран лучшим

7^(x+2)=7^(1/3)

x+2=1/3

[b]x=-5/3[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ln(x+3)-lnx=ln[m]\frac{x+3}{x}[/m]=ln(1+[m]\frac{3}{x}[/m])

так как
x → ∞ и (1/х) → 0

и
lim_(x → ∞ )[m]\frac{ln(1+\frac{3}{x})}{\frac{3}{x}}=1[/m], то

то
lim_(x → ∞ )[m]x\cdot ln(1+\frac{3}{x})=lim_(x → ∞ )x\frac{ln(1+\frac{3}{x})}{\frac{3}{x}}\cdot \frac{3}{x}=lim_(x → ∞ )x\cdot 1\cdot \frac{3}{x}=3[/m]

Ответ выбран лучшим

n=C^(2)_(28)=28!/((28-2)!*2!)=27*28/2=378

Дублей 7

28-7=21 костей без дубля

m=C^{2)_(21)=21!/((21-2)!*2!)=20*21/2=210

p=m/n=C^(2)_(21)/C^(2)_(28)=210/378=можно сократить (прикреплено изображение)

x^4+3x^3-3x^2-7x+6=0

x^3*(x+3)-(3x^2+7x-6)=0

x^3*(x+3)-(x+3)*(3x-2)=0

(x+3)*(x^3-3x+2)=0

(x+3)*(x-1)*(x^2+x-2)=0

(x+3)*(x-1)^2*(x+2)=0

x_(1)=-3; x_(2)=1; x_(3)=-2

B={-3;-2;1}

A ∪ B= {1,2,3,4}U{-3;-2;1}={-3;-2;1,2,3,4}
B ⋂ A={1}
A \ B={2,3,4}
B \ A={-3;-2}
A ∆ B=(A \ B)U (B \ A)={2,3,4}U{-3;-2}={-3;-2;2;3;4}
C = (A ∆ B) ∆ A= (A ∆ B)\B)U (B\(A ∆ B))={2;3;4}U{2;3;4}={2;3;4}

C ⊂ A

3.
P(B)- число подмножеств?

Ответ выбран лучшим

надо найти

[m]\lim_{x \to 0 }\alpha (x)=0[/m]

[m]\lim_{x \to 0 }\beta (x)=0[/m]

Надо найти [m]\lim_{x \to 0 }\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}[/m]

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{e^{x-1}-1)}{ln(2-x)}[/m][red]=[/red]

так как
[m]\lim_{x \to 0}\frac{e^{x-1}-1)}{x-1}=1[/m],то

и

[m]\lim_{x \to 0}\frac{1-x)}{ln(2-x)}=\lim_{x \to 0}\frac{1-x}{ln(1+(-x))}=1[/m],то

Поэтому

[red]=[/red][m]\lim_{x \to 0}\frac{e^{x-1}-1}{x-1}\cdot \frac{1-x}{ln(1+(1-x))} =-1[/m]

О т в е т. см определение 1) случай q - [i]конечное[/i] число (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

t=x^2 непрерывна в любой точке R.

lim_(x → x_(o))x^2=x^2_(o)=t_(o)

y=sint непрерывна при любом t

lim_(t → t_(o))sint=sint_(o)=sin(lim_(t → t_(o))t)

Знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами!!!

[red]lim_(x → x_(o))(1+sinx^2)[/red]=lim_(x → x_(o))1+lim_(x → x_(o)sinx^2 =[red]1+ sinx^2_(o)[/red]

Ответ выбран лучшим

a) 4x=16-y^2-z^2 эллиптический параболоид

В плоскости х=0 ( пл. уоz)
16-y^2-z^2=0 ⇒ y^2+z^2=16 - окружность (0;0); R=4

В плоскости y=0 ( пл. xоz)
4x=16-z^2 парабола вдоль оси Ох, вершина в точке (4;0)
ветви вдоль оси Ох направлены "вниз" ( в направлении обратном стрелке)

В плоскости z=0 ( пл. xоy)
4x=16-y^2 парабола вдоль оси Ох, вершина в точке (4;0)
ветви вдоль оси Ох направлены "вниз" ( в направлении обратном стрелке)

cм. рис.1

б)
Делим на 4

[m]\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{2}=-1[/m]

каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вдоль оси Оу

см. рис.2
(прикреплено изображение)

10)

[m]\lim_{x \to \infty }(\frac{2x-1}{2x+1})^{\frac{x+1}{2}}=\lim_{x \to \infty }((1-\frac{2}{2x+1})^{-\frac{2x+1}{2}})^{-\frac{2}{2x+1}\cdot\frac{x+1}{2}= }[/m]

[m]\lim_{x \to \infty }((1-\frac{2}{2x+1})^{-\frac{2x+1}{2}})^{\lim_{x \to \infty }(-\frac{x+1}{2x+1}})=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}[/m]

11)

[m]\lim_{x \to 0}\frac{1-e^{-x}}{arctg2x}=\lim_{x \to 0}\frac{1-e^{-x}}{-x}\cdot \frac{2x}{arctg2x}\cdot( -\frac{1}{2})=1\cdot 1\cdot(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}[/m]

12)

[m]y=(cosx+sinx)^{\frac{1}{x}}[/m]

Логарифмируем:

[m]lny=\frac{1}{x}ln(cosx+sinx)[/m]

[m]\lim_{x \to 0}lny=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(cosx+sinx)=\lim_{x \to 0}\frac{cosx+sinx}{x}=\frac{1+0}{0}=\infty[/m]

⇒

[m]\lim_{x \to 0}y=\lim_{x \to 0}(cosx+sinx)^{\frac{1}{x}}=e^{\infty }=\infty[/m]

Ответ выбран лучшим

vector{MP}=(10-2;-5-(-1);3-2)=(8;-4;1) -это вектор направления [i]l[/i]

Направляющие косинусы вектора vector{MP}:
cos α =8/sqrt(8^2+(-4)^2+1^2)=[blue]8/9[/blue]
cos β =-4/sqrt(8^2+(-4)^2+1^2)=-4/9
cos γ =1/sqrt(8^2+(-4)^2+1^2)=1/9

∂u/∂x=((xz/y^3) +xz^2y^3+yz^2)`_(x)=(z/y^3)+z^2y^3
∂u/∂y=((xz/y^3 +xz^2y^3+yz^2)`_(y)=xz*(-3/y^4)+3xz^2y^2+z^2
∂u/∂z=((xz/y^3 +xz^2y^3+yz^2)`_(z)=(x/y^3)+2xzy^3+2yz

((∂u/∂x)(M)=(2/(-1)^3)+2^2*(-1)^3=[green]-6[/green]
(∂u/∂y)(M)=
(∂u/∂z)(M)=

∂u/∂[i]l[/i]=(∂u/∂x)*cos α + (∂u/∂y)*cosβ + (∂u/∂z)* cos γ

∂z/∂[i]l[/i]_(M)=(∂u/∂x)(M)*cos α + (∂u/∂y)(M)* cosβ+(∂u/∂z)(M)* cos γ =

=[green]-6[/green]*([blue]8/9[/blue]) + (

Уравнение линии падения:

y=kx+b

k=tg α

По условию: α =arctg (-2) ⇒

k=-2

y=-2x+b

Чтобы найти b подставляем координаты точки А

n+1=-2*(-n)+b

b=-n+1

[b]y=-2x+(-n+1) [/b] - [i]уравнение линии падения..[/i]

Линия падения пересекается с осью Ох в точке B:
y=0

0=-2*x+(-n+1)

x=(-n+1)/2

B((-n+1)/2; 0)

Линия отражения составляет угол arctg 2 c осью Ох

Значит, угловой коэффициент линии отражения равен 2

Линия отражения проходит через точку B

y=2x+p

Чтобы найти p надо подставить координаты точки B

0=2*(-n+1)/2+p

p=n-1

[b]y=2x+(n-1)[/b] - [i]уравнение линии отражения[/i] от оси Ох

Эта прямая пересекает ось Оу в точке

C (0; n-1)

Образует с осью Оу угол

(π/2)- arctg 2

а с осью Ох угол

arctg (-2)

Поэтому уравнение этой линии

y=-2x+q

Чтобы найти q

подставляем координаты С

[b]y=-2x+(n-1) [/b] - [i]уравнение линии отражения[/i] от оси Оу
(прикреплено изображение)

F(x)=(1/2)* (2x-3)^(5+1)/(5+1) + C

F(x)=(1/12)*(2x-3)^6

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;-1) U (-1;1) U(1;+ ∞ )

Прямые x=-1 и х=1 - вертикальные асимптоты

так как

lim_(x→-1-0) f(x)= - ∞

lim_(x→-1+0) f(x)=+ ∞

и

lim_(x→1-0) f(x)=+∞

lim_(x→1+0) f(x)=-∞

Прямая y= [b]- 1 [/b] - горизонтальная асимптота, так как
lim_(x→ ∞)f(x)=lim_(x→ ∞)x^2/(1-x^2) = ( ∞/∞) делим числитель и знаменатель на x^2 =lim_(x→ ∞)1/((1/x^2)-1)=1/(0-1)= [b]-1[/b]

y`= ((x^2)`*(1-x^2)-x^2*(1-x^2)`)/(1-x^2)^2

y`=((2x*(1-x^2)-x^2*(-2x))/(1-x^2)^2

y`=(2x)/(1-x^2)^2

y`=0

2x=0
x=0

Знак производной:

_-_ (-1) __-__ (0) _+__ (1) __+__

f`(x) < 0 на (- ∞ ; -1) и на (-1;0)

Функция монотонно убывает на (- ∞ ; -1) и на (-1;0)

f`(x) > 0 на (0;1) U (1;+ ∞ )
Функция монотонно возрастает
на (0;1) U (1;+ ∞ )

х=0- точка минимума, производная меняет знак с - на +

f(0)=0^2/(1-0^2)=0/1=0

f``(x)=(2x/(1-x^2)^2)`=((2x)`*(1-x^2)^2-2x*((1-x^2)^2)`)/(1-x^2)^4

f`(x)=(6x^2+2)/(1-x^2)^3

f``(x)> 0 на (- ∞ ; -1) и на (-1;0)

Функция выпукла вверх на (- ∞ ; -1) и на (-1;0)

f``(x) < 0 на (-1;1)

Функция выпукла вниз

на (-1;1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) n=6
M(X)=3,6 ⇒ np=3,6 ⇒ p=3,6/n=3,6/6=0,6

q=1-p=1-0,6=0,4

D(X)=npq=6*0,6*0,4= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

F(x)=[m]-\frac{1}{2}\cdot \frac{(3-2x)^{-5+1}}{-5+1}+\frac{1}{5}\cdot 3\cdot \frac{(5x-2)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}[/m]

F(x)=[m]\frac{1}{8\cdot (3-2x)^{4}}+\frac{6}{5}\sqrt{5x-2}+C[/m]

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(1)_(-1)(2x^2+1)dx= ((2x^3/3)+x)^(1)_(-1)=(2/3)+1-((-2/3)-1)=10/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

L^2=H^2+r^2=8^2+6^2=64+36=100
L=10 -образующая

S_(полн)=S_(осн)+S(бок)

S_(полн)=πr^2+π*r*L=π*6^2+π*6*10=96π

Область определения:
4-x^2 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 2

x ∈ (-∞ ;-2)U(-2;2)U(2;+ ∞ )

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

f`(x)=(x`(4-x^2)-x*(4-x^2)`)/(4-x^2)^2

f`(x)=(1*(4-x^2)-x*(-2x))/(4-x^2)^2

f`(x)=(x^2+4)/(4-x^2)^2

f`(x)> 0 при любом х из области определения.

Функция возрастает на (-∞ ;-2) возрастает на (-2;2) и возрастает на (2;+ ∞ )

Точек экстремума нет.

Замена переменной:
xy/(x+3y)=u
xy/(x-y)=v

Система
{u+(1/u)=2
{v+(1/v)=5/2

{u^2-2u+1=0 ⇒ u=1
{2v^2-5v+2=0 ⇒ D=25-16=9 ⇒ v=(5 ± 3)/4

Обратная замена
{xy/(x+3y)=1
{xy/(x-y)=1/2

или

{xy/(x+3y)=1
{xy/(x-y)=2

Решив две последние системы получим ответ

Ответ выбран лучшим

Прямые
y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2)
[i]параллельны[/i] тогда и только тогда когда [red] k_(1)=k_(2)[/red]

Уравнение прямой y=x+5 ⇒ k=1
Касательная параллельна прямой, значит k _ (касательной)=1

Геометрический смысл углового коэффициента касательной к кривой y=f(x) в точке x_(o)

[b]k_(касательной)=f`(x_(o))[/b]

f(x)=x^2-3x+2

f`(x)=2x-3

f`(x_(o))=2x_(o)-3

[b]2x_(o)-3=1[/b]

х_(o)=2

Уравнение касательной:

[green]y-f(x_(o))=f`(x_(o))*(x-2)[/green]

x_(o)=2

f`(x_(o))=1

f(x_(o))=f(2)=2^2-3*2+2=0

О т в е т y-0=1*(x-2) ⇒[blue] y=x-2[/blue]

Область определения (- ∞ ;-2) U(-2;+ ∞ )

f`(x)=[blue]([/blue](4x-5)`*(x+2)-(4x-5)*(x+2)`[blue])[/blue]/(x+2)^2

f`(x)=(4*(x+2)-4x+5)/(x+2)^2

f`(x)=13/(x+2)^2 > 0 при любом х ∈ (- ∞ ;-2) U(-2;+ ∞ )

Функция возрастает на (- ∞ ;-2) и на (-2;+ ∞ )

Для наглядности см график
(прикреплено изображение)

См. определение в приложении.

Составляем разность

|x_(n)-a|=[m]|\frac{3n+2}{n+1}-3|=|\frac{3n+2-3n-3}{n+1}|=|\frac{-1}{n+1}|=\frac{1}{n+1}[/m]

Найдем при каких n, выполняется неравенство

|x_(n)-a|< ε ,

в данном случае

[m]\frac{1}{n+1}[/m]< ε

ε >0; n>0

1< ε *(n+1)

n+1>1/ ε ⇒ n> (1/ ε )-1

Если взять номер N( ε )= [(1/ ε )-1] - квадратные скобки означают целая часть числа

ε - очень маленькое ( ну например 3/777777777)

(1/ ε ) - очень большое число ( 777777777/3) не обязательно целое

(1/ ε )-1 тоже

Поэтому берем целую часть этого числа, без знаков после запятой.

Получили ∀ очень маленького ε >0

∃ номер ( натуральное число) N( ε ), что для всеx n > N( ε )

выполняется неравенство:

|x_(n)-a| < ε

Геометрически это означает, что для любой очень маленькой

ε - окрестности точки а ( для каждого ε своя окрестность)

найдется номер N( ε ) ( для каждого ε свой номер)

что для всех номеров больших этого номера все члены последовательности сгущаются к точке а и попадают в эту окрестность. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.5 формула:

cos( α - β )= cos α cos β + sin α *sin β ⇒

cos α cos β + sin α *sin β =cos( α - β )

[b]a)[/b]

1.6

Ненулевые векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Составляем пропорцию:

-10 : (-2) = k:(-4) = 5:1 ⇒ k:(-4) = 5 ⇒ k=-20

[b]б)[/b]

Ответ выбран лучшим

Область определения:
x^2-4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 2

x ∈ (-∞ ;-2)U(-2;2)U(2;+ ∞ )

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

f`(x)=(x`(x^2-4)-x*(x^2-4)`)/(x^2-4)^2

f`(x)=(1*(x^2-4)-x*(2x))/(x^2-4)^2

f`(x)=(-x^2-4)/(x^2-4)^2

f`(x)=-(x^2+4)/(x^2-4)^2

f`(x)< 0 при любом х из области определения.

Функция убывает на (-∞ ;-2) и на (-2;2) и на (2;+ ∞ )

Точек экстремума нет.

См для наглядности график

(прикреплено изображение)

4) приводим выражение в скобках к общему знаменателю:

[m]=\lim_{x \to 2}\frac{x+2-x}{x^2-4}=\lim_{x \to 2}\frac{2}{x^2-4}=\infty[/m]

5)Неопределенность (0 /0 )

Раскладываем и числитель и знаменатель
на множители:
[m]\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x}\cdot (1-\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}[/m]

Cокращаем на (sqrt(x)-1)

[m]\lim_{x \to 1}\frac{(-\sqrt{x})}{\sqrt{x}+1}=-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}+1}=-\frac{1}{2}[/m]

1) Неопределенность ( ∞ / ∞ ) Делим на n! и числитель и знаменатель.

=(1+0)/(0+0)=1/0= ∞

2) = (sin(π/3)+2cos(π/3))/(sqrt(1+(π/3)^2)=(sqrt(3)/2 + 2*(1/2))/(1+(π^2/9))=9*(sqrt(3)+2)/(2*(9+π^2))

3)Неопределенность (0 /0 )

Значит х=1 - корень и числителя и знаменателя. Надо сократить и числитель и знаменатель на (х-1)

Для этого надо разложить и и числитель и знаменатель
на множители:

x^3-3x+2=(x-1)*(x^2+x-2)
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

=lim_(x → 1)(x^2+x-2)/(x-3)=(1+1-2)/(1-3)=0/(-2)=0

Ответ выбран лучшим

D=(2*(a+3))^2-4*a*(a+4) =4a^2+24a+36-4a^2-16=24a+20
D>0 ⇒ уравнение имеет два корня.

В уравнении ax^2+bx+c=0
разность корней:
x_(2)-x_(1)=(-b-sqrt(D))/2a - (-b+sqrt(D))/2a=sqrt(D)/a

Требования задачи в системе:
{24a+20>0 ⇒ a > -5/6
{sqrt(24a+20)/a > 2 ⇒ (sqrt(24a+20)-2a)/a > 0 ⇒

решаем второе неравенство, находим пересечение решений первого и второго неравенств и получаем ответ

Ответ выбран лучшим

(lny+e^(sin(x+y))`=0`

(lny)`+(e^(sin(x+y))`=0

так как
(lny)=y`/y

и
(e^(sin(x+y)))`=e^(sin(x+y))*(sin(x+y))`=e^(sin(x+y))*(cos(x+y))*(x+y)`=

=e^(sin(x+y))*(cos(x+y))*(1+y`)

то

y`/y + e^(sin(x+y))*(cos(x+y))*(1+y`)=0

y`/y + e^(sin(x+y))*(cos(x+y))+y`*e^(sin(x+y))*(cos(x+y))=0

y`*(e^(sin(x+y))*(cos(x+y)+(1/y))=-e^(sin(x+y))*(cos(x+y))

y`=-e^(sin(x+y))*(cos(x+y))/[b]([/b]e^(sin(x+y))*(cos(x+y)+(1/y))[b])[/b] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Замена
x-1=t
x=t+1

cos(3π(t+1))/2= cos((3πt/2)+(3π/2)) по формулам приведения sin(3πt/2)

=lim_(t → 0) (-t)/sin(3πt/2)= - (2/(3π)) lim_(t → 0) (3πt/2)/sin(3πt/2)=(-2)/(3π)

Ответ выбран лучшим

7.
1-cos2x=2sin^2x

[m]=\lim_{x \to 0 }\frac{x}{\sqrt{2sin^2x}}=\lim_{x \to 0 }\frac{x}{|sinx|\cdot \sqrt{2}}=[/m]
[m]=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} &; sinx <0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &;sinx >0 \end{matrix}\right.[/m]

8.
Умножаем и числитель и знаменатель на
1+sqrt(cosx)

[m]=\lim_{x \to 0 }\frac{1-cosx}{x^2\cdot (1+\sqrt{cosx})}=\lim_{x \to 0 }\frac{2sin^2\frac {x}{2}}{x^2\cdot (1+\sqrt{cosx})}=[/m]

[m]=2\lim_{x \to 0 }\frac{sin\frac {x}{2}\cdot sin\frac {x}{2}}{4\cdot \frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}}\cdot \lim_{x \to 0 }\frac{1}{1+\sqrt{cosx}}=\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{1+1}=\frac{1}{4}[/m]

9.
x-π=t

x=π+t

t → 0

[m]=\lim_{t \to 0 }\frac{1-sin \frac{\pi +t}{2}}{t}=\lim_{t \to 0 }\frac{1-sin (\frac{\pi }{2}+\frac{t }{2})}{t}=\lim_{t \to 0 }\frac{1-cos\frac{t }{2}}{t}=[/m]

[m]=\lim_{t \to 0 }\frac{2sin^2\frac{t }{4}}{t}=0[/m]

Ответ выбран лучшим

x^2-8=0 ⇒ x^2=8 извлекаем квадратный корень из обеих частей:
sqrt(x^2)=sqrt(8)
|x|=2sqrt(2) ⇒ x= ± 2sqrt(2)

неравенство x^2-8 >0 выполняется при x<-2sqrt(2) или x>2sqrt(2)

x^2+9x-10=0
D=81+40=121
x=(-9 ± 11)/2; х=-10; x=1

А все решение занимает три строчки:

{x^2-8 >0 ⇒ x<-2sqrt(2) или x>2sqrt(2) (cиний цвет)
{2-9x >0 ⇒ 9x<2 ⇒ x < 4,5 ( зеленый)
{x^2-8 ≤ 2-9x ⇒ x^2+9x-10 ≤ 0 ⇒ -10 ≤ x ≤ 1 ( красный)

О т в е т. [-10; -2sqrt(2))
(прикреплено изображение)

|z_(1)|=sqrt((-7)^2+6^2)=sqrt(49+36)=sqrt(85)
|z_(2)|=sqrt((0)^2+3,5^2)=sqrt(3,5^2)=3,5
|z_(3)|=sqrt((4,5)^2+0^2)=sqrt(4,5^2)=4,5
|z_(4)|=sqrt(5^2+(-3)^2)=sqrt(25+9)=sqrt(34)

[m]\frac{z_{3}}{z_{2}}=\frac{4,5i}{-3,5i}=\frac{9}{7}[/m]

[m]|\frac{z_{3}}{z_{2}}|=\frac{9}{7}[/m]

φ _(1)
cos φ _(1)=-7/sqrt(85)
sin φ _(1)=6/sqrt(85) ⇒
φ _(1) во второй четверти
φ _(1)=π- arcsin(6/sqrt(85))

φ _(2)
cos φ _(2)=0
sin φ _(2)=-3,5/3,5=-1 ⇒
φ _(2) =-π/2

φ _(3)
cos φ _(3)=1
sin φ _(3)=0 ⇒
φ _(3)=0

По определению логарифма

6-5^(x)=5^(1-x)

Умножаем обе части уравнения
на 5^(x)

(5^(x))^2-6*5^(x)+5=0
D=36-20=16

5^(x)=1 или 5^(x)=5
[b]x=0[/b] или [b] x=1[/b]

Ответ выбран лучшим

Функция f(x) кусочно монотонная, ограниченная, значит она допускает разложение в ряд Фурье.

Находим b_(k) ( cм. приложение)

[m]b_{k}=\frac{2}{\pi }\int^{\pi }_{0} f(x)sinkxdx=\frac{2}{\pi }\int ^{\frac{\pi }{2}}_{0}x\cdot sinkxdx+\frac{2}{\pi }\int^{\pi} _{\frac{\pi }{2}}0\cdot sinkxdx[/m][red]=[/red]

Интегрирование по частям
u=x
dv=sinkxdx ⇒

du=dx
v= ∫ sinkxdx =[m]\frac{1}{k}[/m](-coskx)

[red]=[/red] [m]\frac{2}{\pi }\cdot(-\frac{x}{k}coskx)|^{\frac{\pi }{2}}_{0}+\frac{2}{\pi }\cdot \frac{1}{k}\int ^{\frac{\pi }{2}}_{0}coskxdx=[/m]

[m]\frac{2}{\pi }\cdot(-\frac{\frac{\pi }{2}}{k}cos\frac{\pi }{2}k-0)+\frac{2}{\pi k^2}(sinkx)|^{\frac{\pi }{2}}_{0}=[/m]

[m]=-\frac{1}{k}\cdot cos\frac{\pi }{2}k+\frac{2}{\pi k^2}sin\frac{\pi }{2}k
[/m][green]=[/green]

[blue]при k=2n-1[/blue]

[m]cos\frac{\pi }{2}k=0[/m]

[m]sin\frac{\pi }{2}k=sin\frac{\pi }{2}(2n-1)=sin(\pi n-\frac{\pi }{2})=-cos\pi n=-(-1)^{n}=[/m]

[m]=(-1)^{n+1}[/m]

[blue]при k=2n[/blue]

[m]cos\frac{\pi }{2}2n=cos\pi n=(-1)^{n}[/m]

[m]sin\frac{\pi }{2}k=sin\frac{\pi }{2}\cdot 2n=sin\pi n=0[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подставляем в первое уравнение вместо y
ax:

(x*(ax)^2-2x*(ax)-6*(ax)+12)*sqrt(6-x)=0

(a^2x^3-2ax^2-6ax+12)*sqrt(6-x)=0

(х^2*(ax-2)-6*(ax-2))*sqrt(6-x)=0

(ax-2)*(х^2-6)*sqrt(6-x)=0

Произведение [i]равно нулю[/i], когда хотя бы один из множителей равен 0, а [i]другой[/i] при этом [i]не теряет смысла[/i]

Множитель sqrt(6-x) имеет смысл при 6-х ≥ 0

[red]x ≤ 6[/red]

ax-2=0 или x^2-6 =0 или sqrt(6-x)=0

Получается

4 корня:

x=2/a [b]([/b] а ≠ 0, так как при а=0 первое уравнение принимает вид

12*sqrt(x-6)=0 и ни о каких трех решениях неи может быть речи[b])[/b]

либо x= ± sqrt(6) либо x=6

По требованию задачи система должна иметь ровно три решения

x= ± sqrt(6) удовлетворяет ОДЗ;

x=6 удовлетворяет ОДЗ

Значит, x=2/a не должно удовлетворять в ОДЗ
т.е получаем неравенство :

2/a ≥ 6 ⇒ a ∈ (0;1/3]

О т в е т. (0;1/3]

р_(1)=1/6 - вероятность открыть c первой попытки.

p_(2)=(5/6)*(1/5)=1/6 - вероятность открыть со второй попытки.
( первый раз не открыто, вероятность (5/6)
умножаем на вероятность того, что второй ключ подходит.
Ключей 5, тот который откроет 1, вероятность (1/5)

p_(3)=(5/6)*(4/5)*(1/5)=1/6

p_(4)=(5/6)*(4/5)*(3/4)*(1/3)=1/6

Не более четырех, значит 1 попытка, 2 попытки, 3 попытки или 4 попытки

p=p_(1)+p_(2)+p_(3)+p_(4)=(1/6)+(1/6)+(1/6)+(1/6)=4/6=2/3

Точка M - середина AB
x_(M)=[m]\frac{x_{A}+x_{B}}{2}[/m]
y_(M)=[m]\frac{y_{A}+y_{B}}{2}[/m]
z_(M)=[m]\frac{z_{A}+z_{B}}{2}[/m]

x_(M)=[m]\frac{1+(-1)}{2}=0[/m]
y_(M)=[m]\frac{4+(-3)+5}{2}=0,5[/m]
z_(M)=[m]\frac{5+(-5)}{2}=0[/m]

M(0;0,5;0)

Точка K - середина CD
x_(K)=[m]\frac{x_{C}+x_{D}}{2}[/m]
y_(K)=[m]\frac{y_{C}+y_{D}}{2}[/m]
z_(K)=[m]\frac{z_{C}+z_{D}}{2}[/m]

x_(K)=[m]\frac{0+(-1)}{2}=-0,5[/m]
y_(K)=[m]\frac{0+4}{2}=2[/m]
z_(K)=[m]\frac{3+0}{2}=1,5[/m]

K(-0,5;2;1,5)

Точка P - середина MK
x_(P)=[m]\frac{x_{M}+x_{K}}{2}[/m]
y_(P)=[m]\frac{y_{M}+y_{K}}{2}[/m]
z_(P)=[m]\frac{z_{M}+z_{K}}{2}[/m]

x_(P)=[m]\frac{0+(-0,5)}{2}=-0,25[/m]
y_(P)=[m]\frac{0,5+2}{2}=1,25[/m]
z_(P)=[m]\frac{0+1,5}{2}=0,75[/m]

Что такое r_(1) и r_(2)
Условие написано не полностью

1)
" ∃ x ∈ R|sinx>2" - "существует x-действительное, такое, что синус х > 2"

При составлении отрицания:
Знак ∃ меняем на ∀
знак > меняем на ≤

"vector{ ∃ x ∈ R|sinx>2}" [red]=[/red]" ∀ x ∈ R|sinx ≤ 2" - при любом действительном х, sinx ≤ 2

2)

"Множество М является ограниченным сверху или снизу"

" ∃ а ∨ b, a ∈ R, b ∈R, a b"

3)

"Множество М называется ограниченным сверху , если
найдется такое очень большое действительное число b,что для любого x из множества М выполняется неравенство x ≤ b

Cимволически:
фраза " выполняется неравенство" заменяется на :

"∃ b ∈R | ∀ x ∈ M : x ≤ b"
"vector{∃ b ∈R |∀ x ∈ M : x ≤ b}" [red]=[/red] " ∀ b ∈ R| ∃ x ∈ M : x > b"

4)

[m]\frac{1}{2-ln3}[/m] это постоянный множитель.

Правило:

Постоянный множитель k можно выносить за знак интеграла
∫ k*f(x)dx=k* ∫ f(x)dx

[m]\int^{3}_{1} \frac{1}{2-ln3}x^2dx=\frac{1}{2-ln3}\int^{3}_{1} x^2dx=\frac{1}{2-ln3}\cdot(\frac{x^2}{2})|^{3}_{1}=[/m]

[m]=\frac{1}{2-ln3}\cdot(\frac{3^2}{2}-\frac{1^2}{2})=\frac{1}{2-ln3}\cdot4=\frac{4}{2-ln3}[/m]

Ответ выбран лучшим

1).
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^3

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3+8x-2}{x^3}}{\frac{x^3-2x^2+1}{x^3}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^3 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^3:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3}{x^3}+\frac{8x}{x^3}-\frac{2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2x^2}{x^3}+\frac{1}{x^3}}=\frac{3+0-0}{1-0+0}=3[/m]

2)Неопределенность (0/0)
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(2x+7)}{(x-1)(3x+2)}=[/m]

сокращаем на (х-1)

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{2x+7}{3x+2}=\frac{2\cdot 1+7}{3\cdot 1+2}=\frac{9}{5}=1, 8[/m]

3.

По формулам приведения:

sin(2π(x+5))=sin(2πx+[blue]10π[/blue])=sin2πx

Применяем первый замечательный предел и следствия из него
( см. приложение)

[m]\lim_{x \to 0}\frac{2 \pi x}{sin2 \pi x}=1[/m]

[m]\lim_{x \to 0}\frac{ arctg2x}{2x}=1[/m]

[m]\lim_{x \to 0}\frac{ arctg2x}{sin(2 \pi (x+5))}=\lim_{x \to 0}\frac{2 \pi x}{sin2 \pi x} \cdot lim_{x \to 0}\frac{ arctg2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{2x}{2 \pi x}=\frac{1}{\pi}[/m]

4.

[m]\frac{n^3+1}{n^3-1}=\frac{n^3-1+2}{n^3-1}=1+\frac{2}{n^3-1}[/m]

Так как
[m]\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^{n}=e[/m]

( cм. тему число "e")

и потому

[m]\lim_{n \to \infty }(1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}}=e[/m]

Тогда
[m]\lim_{n \to \infty }(\frac{n^3+1}{(n^3-1)})^{2-n^3}=[/m]

[m]=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}\cdot \frac{2}{n^3-1}\cdot (2-n^3)}=[/m]

[m]=\lim_{n \to \infty }((1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}})^{ \frac{2(2-n^3)}{n^3-1}}=[/m]

[m]\lim_{n \to \infty }((1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}})^{lim_{n \to \infty }\frac{2(2-n^3)}{n^3-1}}=e^{lim_{n \to \infty }\frac{2(2-n^3)}{n^3-1}}=e^{-2}[/m]

так как

[m]lim_{n \to \infty }\frac{2(2-n^3)}{n^3-1}=\frac{\infty }{\infty }=[/m]

Делим на n^3 как в примере 1

[m]=lim_{n \to \infty }\frac{\frac {4-2n^3}{n^3}}{\frac{n^3-1}{n^3}}=\frac{-2}{1}=-2[/m]

1)x ≠ -2

Функция t(x)=1/(x+2) непрерывна на (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ )

Функция y=f(t) непрерывна на (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ ) как композиция непрерывных функций y=f(t) и t=t(x)

Исследуем точку х=-2

Находим [i]предел слева[/i]:
lim_(x → -2-0)f(x)=0, так как

1/(x+2) → - ∞ при х → -2-0 ( слева от точки х=-2, см график гиперболы y=1/(x+2))

2^(1/(x+2)) → 0 при x → -2-0, так как 2^(- ∞ ) → 0

Находим [i]предел справа[/i]:
lim_(x →-2+0)f(x)=0, так как

1/(x+2) → + ∞ при х → -2+0 ( справа от точки x=-2, см график гиперболы y=1/(x+2))

2^(1/(x+2)) → + ∞ при x →-2+0, так как 2^(+ ∞ ) → + ∞

Функция имеет один бесконечный предел в точке
Значит х=- 2 - точка разрыва [i] второго[/i] рода

2)
На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=2x^2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;π/2] функция непрерывна, так как y=cosx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (π/2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x-(π/2) непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=π/2

[red]x=0[/red]

Находим[i] предел слева[/i]:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(2x^2)=0

Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)cosx=1

предел слева ≠ пределу справа

х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]

[red]х=π/2[/red]

Находим [i]предел слева[/i]:
lim_(x →(π/2) -0)f(x)=lim_(x → (π/2)-0)cosx=cos(π/2)=0

Находим [i]предел справа[/i]:
lim_(x →(π/2) +0)f(x)=lim_(x → (π/2)+0)(x-(π/2))=0

х=π/2 - [i]точка непрерывности [/i]

предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке π/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ctg^2 α +1=1/sin^2 α ⇒

ctg^2 α +1=1/(-2/sqrt(5))^2

ctg^2 α +1=5/4

ctg^2 α =1/4

ctg α = ± 1/2

т.к. α ∈ (3π/2;2π) это 4-я четверть, знак -

сtg α =-1/2

tg α =1/ctg α =[b]-2[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1.
z`_(x)=siny*(x*e^(x))`=siny*(e^(x)+xe^(x))
z`_(y)=(x*e^(x))*cosy

2.

D: 1/4 < y < 1; y^2 < x < sqrt(y)

∫ ∫ _(D)(x/y)dxdy= ∫ ^(1)_(1/4)( ∫ ^(sqrt(y)_y^2)(x/y)dx)dy=

= ∫ ^(1)_(1/4)(1/y)*(x^2/2)|^(sqrt(y)_y^2)dy=

= ∫ ^(1)_(1/4)(1/y)*((y/2)-(y^4/2))dy=

= ∫ ^(1)_(1/4)((1/2)-(y^3/2))dy=[b]([/b](1/2)y - (1/2)*(y^4/4)[b])[/b]|^(1)_(1/4)=

=(1/2)-(1/8)-(1/8)+(1/2)*(1/4^5)=

(прикреплено изображение)

s_(квадрата)=5^2=25 кв. дм.

1/5=0,2

1/5 %=0,2/100=0,002

5 дм *0,002=0,01дм составляют 1/5 % от 5 дм

5+0,01=5,01 дм - новая длина стороны квадрата

S_(нового квадрата)=5,01^2=25,1001 кв. дм.

S_(нового квадрата)-s_(квадрата)=25,1001-25=0,1001

О т в е т. Увеличится на [b]0,1001[/b]

По признаку Даламбера:
находим
[m]\lim_{n \to \infty }\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_{n}(x)|}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{|x+1|^{n+1}}{2(n+1)}}{\frac{|x+1|^{n}}{2n}}= |x+1|\lim_{n \to \infty }\frac{2n}{2n+1}=|x+1|[/m]

Если
|x+1| < 1 ряд сходится,
т.е при -2 < x < 0

При x=-2
получаем знакочередующийся числовой ряд ∑ ^( ∞ )_(1)(-1)^n/2n, который сходится по признаку Лейбница
|а_(n)|=1/2n → 0 при n → ∞
и
числовая последовательность
{|a_(n)|}^(+ ∞ )_(1)={1/(2n)} ^(+ ∞ )_(1)монотонно убывает,

потому что функция

f(x)=1/(2x) -монотонно убывает,потому что проивзодная функции

f`(x)=-1/(2x^2) < 0

f(n)=|a_(n)|

При x=0
получаем числовой ряд ∑ ^( ∞ )_(1)1/(2n)=(1/2)*∑ ^( ∞ )_(1)1/n,

который расходится, так как расходится гармонический ряд ∑ ^( ∞ )_(1)1/n,

умножение ряда на константу не влияет на его сходимость

Ответ выбран лучшим

Множество значений функции y=log_(5)x это (- ∞ ;+ ∞ )

Множество значений функции y=log_(5)x - 13 то же самое, (- ∞ ;+ ∞ )

a ⊥ плоскости АВС ⇒ а ⊥ любой прямой этой плоскости, в том числе прямой АМ
а ⊥ АМ

АМ ⊥ ВС по условию АМ - высота.

По теореме о трех перпендикулярах

PM ⊥ BC

Расстояние от точки Р до прямой ВС - [i]длина перпендикуляра[/i], опущенного из точки Р на ВС.

Так как из точки на прямую можно провести только один перпендикуляр,
Расстояние от точки Р до ВС это[b] РМ[/b] (прикреплено изображение)

2.2

[m]\frac{sin\alpha+sin5\alpha}{cos\alpha+cos5\alpha}=\frac{2sin\frac{\alpha +5\alpha }{2}cos\frac{\alpha -5\alpha }{2}}{2cos\frac{\alpha +5\alpha }{2}cos\frac{\alpha -5\alpha }{2}}=\frac{sin3\alpha }{cos3\alpha }=tg3\alpha[/m]

2.3
[m]\left\{\begin{matrix} 8-x\geq 0 & \\ x-3 >0 &\end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x\leq 8 & \\ x>3& \end{matrix}\right.[/m]

О т в е т. (3;8]

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{1-lg^{2}5}{2lg\sqrt{10}-lg5}-lg5=\frac{1-lg^{2}5}{lg(\sqrt{10})^{2}-lg5}-lg5=\frac{1-lg^{2}5}{lg10-lg5}-lg5=[/m]

[m]=\frac{(1-lg5)(1+lg5)}{l-lg5}-lg5=1+lg5-lg5=1[/m]

Ответ выбран лучшим

1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

APC_(1)M - параллелограмм:
PC_(1) и AM[i]параллельны [/i](лежат на параллельных прямых А_(1)С_(1) и АС

PC_(1) и AM [i]равны[/i]

PC_(1)=(1/2)А_(1)С_(1) и АМ=(1/2)АС

А_(1)С_(1) = АС ⇒ PC_(1)=АМ

Значит и вторая пара сторон параллелограмма
AP и МC_(1) параллельна

⇒ АР|| МС_(1)

РК- cредняя линия Δ А_(1)В_(1)С_(1)
PK|| A_(1)B_(1)

МО- cредняя линия Δ АВС

МО|| AB

AB||A_(1)B_(1) ⇒ PK|| MO

Две пересекающиеся прямые одной плоскости || двум пересекающимся прямым другой ⇒ плоскости MC1O и APK параллельны .

(прикреплено изображение)

Да, так как OP- средняя линия Δ SAB, OP || АВ.

Угол между СO и OP равен углу между СO и АВ. (прикреплено изображение)

8.
∫^(π/3)_(π/36)[m]\frac{cos^{3}⁡x}{sin^{2}⁡x}[/m] dx

Cчитаем неопределённый интеграл:

∫[m]\frac{cos^{3}⁡x}{sin^{2}⁡x}[/m] dx[red]=[/red]

так как [m]\frac{cos⁡x}{sin⁡x}=сtgx[/m], то

[red]=[/red]∫cos(x)ctg²(x)dx[red]=[/red]

так как

[m]сtg^2x+1=\frac{cos^{2}⁡x}{sin^{2}⁡x}+1=\frac{cos^{2}⁡x+sin^{2}x}{sin^{2}⁡x}=\frac{1}{sin^2x}[/m], то
[m]сtg^2x=\frac{1}{sin^2x}- 1[/m]

[green][ [/green][m]\frac{1}{sinx}=сosecx[/m] -[b] ко[/b]секанс
и
([m]\frac{1}{cosx}=secx[/m] - секанс[green]][/green]

[red]=[/red]∫cos(x)*([m]\frac{1}{sin^2x}−1)dx=∫(\frac{cosx}{sin^2x}dx[/m]-cosxdx)[red]=[/red]

Применим [i]линейность[/i], т.е применяем свойство: интеграл от суммы ( разности) равен сумме (разности) интегралов:

[red]=[/red]∫[m]\frac{cosx}{sin^2x}dx[/m]- ∫cosxdx

Теперь вычисляем
первый интеграл:∫[m]\frac{cosx}{sin^2x}[/m]dx

Это табличный интеграл:

∫ du/u^2=-1/u

u=sinx; du=(sinx)`dx=[blue]cosxdx[/blue]

Поэтому

∫[m]\frac{cosx}{sin^2x}dx=-\frac{1}{sinx}[/m]

Теперь вычисляем
второй интеграл :∫cos(x)dx

Это известный табличный интеграл: он равен sin(x)

Подставим уже вычисленные интегралы:
∫[m]\frac{cosx}{sin^2x}dx[/m]- ∫cosxdx=

[m]-\frac{1}{sinx}[/m]-sinx + [red]C[/red]

Вычислен неопределенный интеграл, поэтому здесь константа [red]С[/red] должна быть написана.

А вот в следующей строке ее быть не должно:

∫π/6π/3▒cos3⁡x/sin2⁡x dx =−sin(x)−csc(x)+[green]C[/green]

Это неправильно.

Должно быть так:
∫^(π/3)_(π/6)[m]\frac{cos^{3}⁡x}{sin^{2}⁡x} dx=

по формуле Ньютона_Лейбница

= (-\frac{1}{sinx}-sinx[/m])|^(π/3)_(π/6)=

= [m]-\frac{1}{sin\frac{\pi }{3}}-sin\frac{\pi }{3}+\frac{1}{sin\frac{\pi }{6}}+sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{\sqrt{3} }{2}+\frac{1}{\frac{1 }{2}}+\frac{1}{2}=[/m]

[m]=-\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3} }{2}+2+\frac{1}{2}=\frac{15-7\sqrt{3}}{6}[/m] - это ответ

Да, приближенно он равен 0,47927405

Но такие решения обычно выдают калькуляторы ... интегралов.
Они-то Вас и подводят

A_(1)FCО - параллелограмм, так как противоположные стороны
A_(1)F и ОC - [i]параллельны [/i](лежат на параллельных прямых А_(1)С_(1) и АС
A_(1)F и ОC [i]равны[/i]

A_(1)F=(1/2)А_(1)С_(1) и ОC=(1/2)АС

А_(1)С_(1) = АС ⇒ A_(1)F= ОC

Значит и вторая пара A_(1)O и PC параллельна

ОК - средняя линия Δ АВС
ОК || BC

FP - средняя линия Δ А_(1)В_(1)С_(1)
FP|| B_(1)C_(1)

BC|| B_(1)C_(1) ⇒ ОК ||FP

Две пересекающиеся прямые одной плоскости || двум пересекающимся прямым другой
(прикреплено изображение)

б)
TP- средняя линия Δ BDC
TP|| BD

OP-средняя линия Δ SDC
OP|| SD

Две пересекающие прямые одной плоскости || двум пересекающимся прямым другой

Ответ выбран лучшим

[m]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{\sqrt{x^{2}+4}-2}=\frac{0}{0}[/m]

Умножаем и числитель и знаменатель на
(sqrt{x^{2}+9}+3)*(sqrt{x^{2}+4}+2)

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x^{2}+9}-3)(\sqrt{x^{2}+9}+3)(\sqrt{x^{2}+4}+2)}{(\sqrt{x^{2}+4}-2)(\sqrt{x^{2}+9}+3)(\sqrt{x^{2}+4}+2)}=[/m]

Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=(a-b)*(a+b)

[m]\lim_{x \to 0}\frac{((\sqrt{x^{2}+9})^2-3^2)(\sqrt{x^{2}+4}+2)}{(()\sqrt{x^{2}+4})^2-2^2)(\sqrt{x^{2}+9}+3)}=\lim_{x \to 0}\frac{x^{2}(\sqrt{x^{2}+4}+2)}{x^{2}(\sqrt{x^{2}+9}+3)}=[/m]

Сокращаем на x^2

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^{2}+4}+2}{\sqrt{x^{2}+9}+3}=\frac{\sqrt{4}+2}{\sqrt{9}+3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/m]

a)
Найти предел произведения u*v
u → ∞
v → 0

Запишем произведение в виде дроби:

[m]u\cdot v=\frac{u}{\frac{1}{v}}=\frac{v}{\frac{1}{u}}[/m]

[m]\lim_{x \to \infty }\frac{ln(\frac{2}{\pi }arctgx)}{\frac{1}{x}}=\frac{0}{0}[/m]

Применяем правило Лопиталя:
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{(ln(\frac{2}{\pi }arctgx))`}{(\frac{1}{x})`}=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{(\frac{2}{\pi }arctgx)`}{\frac{2}{\pi }arctgx}}{-\frac{1}{x^2}}=[/m]

[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1}{1+x^2}\cdot (-x^2)}{arctgx}=\frac{-1}{\frac{\pi }{2}}=-\frac{2}{\pi }[/m]

P.S. логарифмическая функция определена только при положительных значениях аргумента,
значит
arctgx >0 и потому x → [b]+[/b] ∞ arctgx → π/2

б)
[m]y=(\frac{1}{x})^{ln(1-x)}[/m]

Логарифмируем

[m]lny=ln(\frac{1}{x})^{ln(1-x)}[/m]

Применяем свойство логарифма степени:

[m]lny=ln(1-x)\cdot ln\frac{1}{x}[/m]

Получили
u*v
u → 0
v → ∞

[m]\lim_{x \to +0 }\frac{ln\frac{1}{x}}{\frac{1}{ln(1-x)}}=\frac{\infty }{ \infty }[/m]

Применяем правило Лопиталя:

[m]\lim_{x \to +0 }\frac{(ln\frac{1}{x})`}{(\frac{1}{ln(1-x)})`}=\lim_{x \to +0 }\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot(\frac{1}{x})`}{-\frac{1}{ln^2(1-x)}\cdot(ln(1-x))`}=[/m]

[m]=\lim_{x \to +0 }\frac{\frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot(-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{ln^2(1-x)}\cdot\frac{(1-x)`}{1-x}}=-\lim_{x \to +0 }\frac{ln^2(1-x)\cdot(1-x)}{x}=[/m]

[m]=-\lim_{x \to +0 }\frac{ln^2(1-x)}{x}\cdot 1=\frac{0}{0}[/m]

Применяем правило Лопиталя:

[m]=-\lim_{x \to +0 }\frac{(ln^2(1-x))`}{(x)`}=-\lim_{x \to +0 }\frac{2ln(1-x)}{(1-x)\cdot(-1)}=[/m]

[m]=\lim_{x \to +0 }2ln(1-x)=0[/m]

Итак,
[m]\lim_{x \to +0 }lny=0[/m] ⇒ [m]\lim_{x \to +0 }y=e^{0}=1[/m] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

y=3^(x)

1.
Пусть это точка D(x;y)
vector{AB}=(-5-1;3-4)=(-6;-1)
vector{CD}=(x-7;y-2)
vector{AB}=vector{CD}
x-7=-6
y-2=-1

x=1
y=1

D(1;1)

2)
[b] vector{AC}[/b]= vector{AB}+ vector{BC}=vector{AB}+ vector{AD};

[b] vector{CM}[/b]=[m]\frac{1}{2}[/m]vector{BA}=-[m]\frac{1}{2}[/m]vector{AB}+0*vector{AD};

[b]vector{OD}[/b]=[m]\frac{1}{2}[/m]vector{BD}=[m]\frac{1}{2}[/m]*(vector{AD}-vector{AB})=[m]\frac{1}{2}[/m]vector{AD}-[m]\frac{1}{2}[/m]vector{AB}

vector{KD}=vector{BD}-vector{BK}=(vector{AD}-vector{AB})-[m]\frac{2}{3}[/m]vector{BC}=

=vector{AD}-vector{AB}-[m]\frac{2}{3}[/m]vector{AD}=

=[m]\frac{1}{3}[/m]vector{AD}-vector{AB}

3)

x²+y²–8x–4y+11=0 и x²+y²+4x+12y+4=0
(x^2-8x)+(y^2-4y)+11=0 и (x^2+4x)+(y^2+12y)+4=0

(x-4)^2+(y-2)^2=9 и (x+2)^2+(y+6)^2=36

С_(1)(4;2) и C_(2)(-2;6)

d=C_(1)C_(2)=sqrt((-2-4)^2+(6-2)^2)=sqrt(36+16)=sqrt(52)=4sqrt(13)

4)
Найти
AB
AC
BC

Проверить выполняется ли неравенство треугольника

5)
d=|3*(-2)-4*4+1|/sqrt(3^2+(-4)^2)=21/5=[b]4,2[/b]

см. формулу
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т.
При λ _(1)=1 ; λ _(2)=0 получим ответ: b
При λ _(1)=0 ; λ _(2)=1 получим ответ: d
Поэтому выбираем в ответ оба
[b]b;d[/b] (прикреплено изображение)

ОДЗ: a-2x>0
πx/2 ≠ (π/2)+πm, m ∈ Z ⇒ [red]x ≠ 1+2m, m ∈ Z[/red]

tg(πx/2)log_(3)(a–2x) + log_(3)(a–2x) =0

log_(3)(a–2x)*(tg(πx/2)+1)=0

Произведение равно 0 если хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла

tg(πx/2)+1=0

tg(πx/2)=-1

πx/2 =- (π/4)+πm, m ∈ Z

2х=-1+2m, m ∈ Z

x=-0,5 + m, m∈ Z удовл условию[red]x ≠ 1+2m, m ∈ Z[/red]

ИЛИ

log_(3)(a–2x)=0

а-2х=3^(0)

a-2x=1

2x=a-1

[green]x=(a-1)/2[/green] исключаем те а, при которых [red]x ≠ 1+2m, m ∈ Z[/red]

(a-1)/2 ≠ 1+2m

a ≠ 3+4m, m ∈ Z

Область D: 0 ≤ x ≤ 2; x^2 ≤ y ≤ 2x

∫ ∫ _(D)xy^2dxdy= ∫ ^(2)_(0) ([blue]∫ ^(2x)_(x^2)xy^2dy[/blue])dx[red]=[/red]

Считаем внутренний интеграл:
[blue]∫ ^(2x)_(x^2)xy^2dy[/blue]=x*∫ ^(2x)_(x^2)y^2dy=

=x*(y^3/3)|^(2x)_(x^2)=x*((8x^3/3)-(x^6/3))=(8x^4/3)-(x^7/3)

[red]=[/red] ∫ ^(2)_(0) ((8x^4/3)-(x^7/3))dx=

=((8/15)x^5-(1/24)x^8)|^(2)_(0)=(8/15)*2^5 - (1/24)*2^(8)=

=(256/15)-(256/24)=256*((1/15)-(1/24))=256/40=[b]6,4[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

На оси абсцисс расположены точки, у которых вторая координата равна 0

Пусть X(x;0)

MX=sqrt((x+3)^2+(0+2)^2)=sqrt(x^2+6x+13)
NX=sqrt((x-4)^2+(0+5)^2)=sqrt(x^2-8x+41)

сумма расстояний:

MX+NX=sqrt(x^2+6x+13)+sqrt(x^2-8x+41) -
функция, зависящая от х

Обозначим

[b]f(x)=sqrt(x^2+6x+13)+sqrt(x^2-8x+41)[/b]

x^2+6x+13 >0 при любом х, так как D=36-4*13 <0
x^2-8x+41>0 при любом х, так как D=64-4*41 <0

Переформулировка задачи:

[i]Найти x, при котором f(x) принимает наименьшее значение.[/i]

По формуле:
(sqrt(u))`=[m]\frac{u`}{2\sqrt{u}}[/m]

f`(x)=[m]\frac{2x+6}{2\cdot \sqrt{x^2+6x+13}} +\frac{2x-8}{2\cdot \sqrt{x^2-8x+41}}[/m]

f`(x)=[m]\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+13}} +\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+41}}[/m]

f`(x)=0

[m]\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+13}} +\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+41}}[/m]=0

[m]\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x+13}} =-\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+41}}[/m]

Возводим в квадрат при условии
{x+3 ≥ 0 ⇒ x ≥-3 [red]⇒ [/red]
{-(x-4) ≥ 0 ⇒ x ≤ 4 [red]⇒ [/red]
{[m]\frac{(x+3)^2}{x^2+6x+13}=\frac{x-4)^2}{x^2-8x+41}[/m]

[red]-3 ≤ x ≤ 4[/red]

К третьей строчке применяем основное свойство пропорции:

[b](x+3)^2*(x^2-8x+41)=(x^2+6x+13)*(x-4)^2 [/b]

([green]x^2+6x[/green]+9)*([blue]x^2-8x[/blue]+41)=([green]x^2+6x[/green]+13)*([blue]x^2-8x[/blue]+16)

Сделаем замену переменной:
x^2+6x+9=u
x^2-8x+16=v

u*(v+25)=(u+4)*v

uv+25u=uv+4v ⇒

[blue]25u=4v[/blue]

25*(x^2+6x+9)=4*(x^2-8x+16)

[b]21x^2+182x+161=0[/b]

D=182^2-4*21*161=19600

x_(1)=(-182+140)/42=-1; x_(2)=(-182-140)/42 ∉[ -3; 4]

Применяем достаточное условие экстремума.

[-3] __-__ (-1) ____+___ [4]

x=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

f(-1)=sqrt((-1)^2+6*(-1)+13)+sqrt((-1)^2-8*(-1)+41)=

=sqrt(8)+sqrt(50)=2sqrt(2)+5sqrt(2)=7sqrt(2)

это и есть наименьшее расстояние d

О т в е т. [b]Х (-1; 0)[/b]

[b]d=7sqrt(2)[/b]

АВ_(1)||DC_(1)
Находим угол АВ_(1)С

АС=sqrt(АВ^2+BC^2)=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)

АВ_(1)=В_(1)С=sqrt(2^2+4^2)=sqrt(20)=2sqrt(5)

По теореме косинусов:

AC^2=АВ^2_(1)+В^2_(1)С-2АВ_(1)*В_(1)С*cos ∠ АВ_(1)С

cos ∠ АВ_(1)С=(АВ^2_(1)+В^2_(1)С-AC^2)/(2АВ_(1)*В_(1)С)=

=(20+20-8)/(2*(20))=32/40=8/10=0,8 (прикреплено изображение)

АВТОР ЗАДАЧИ ВЕДЕТ СЕБЯ НА САЙТЕ НЕПОРЯДОЧНО!!!

ВЫСТАВЛЯЕТ СПИСАННЫЕ С ИНТЕРНЕТА ОТВЕТЫ.

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ И ОСТОРОЖНЫ.

Я бы пожалела 2 часа личного времени, чтобы решить такое количество задач такому пользователю нашего сайта!!!

1. Диагонали параллелепипеда в точке пересечения делятся пополам.
АО=ОС_(1)
Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам.
АТ=ТС
⇒
OT-средняя линия Δ АСС_(1)
⇒
ОТ|| CC_(1)

2.

Диагонали параллелепипеда в точке пересечения делятся пополам.
АО=ОС_(1)
Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам.
DO=OС_(1)
⇒
OP-средняя линия Δ АDС_(1)
⇒
ОP|| AD (прикреплено изображение)

См. формулу Муавра
n=2

z=cos(2*(π/2))+i*sin(2*(π/2))=[b]cosπ[/b]+i*sinπ

О т в е т. 1) сosπ (прикреплено изображение)

y``+(1/x)y`+1=0

y`=z
y``=z`

z`+(1/x)*z=-1 - Линейное первого порядка

z=u*v

z`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=-1

u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=-1

v`+(1/x)*v=0 ⇒ dv/v=-dx/x ⇒ lnv=-lnx ⇒ v=1/x
u`*v=-1

u`*(1/x)=-1
du=-xdx

du=-x^2/2+C_(1)

z=(1/x)*(-x^2/2 + C_(1))

z=(-x/2)+(C_(1)/x)

y`=z

y`=(-x/2)+(C_(1)/x)

y=-x^2/4 +C_(1)lnx+C_(2) - общее решение

y(0)=0 ⇒ опять ерунда не существуют в 0 ни у ни у`

y'(0)=0
проверьте может там все таки не такие начальные условия и вы ошиблись при переписывании

Делим уравнение на
x^2 (1–lnx)

y``+y`/(x*(1-lnx)) =y/(x^2(1-lnx))

y``+y`/(x*(1-lnx)) =0 - однородное

y`=z
y``=z`

z`+(1/x(1-lnx))z=0

z`=dz/dx

dz=dx/(x*(lnx-1))

Интегрируем:

z=ln|(lnx-1)|+C_(1)

y`=ln|(lnx-1)|+C_(1) ⇒

y= ∫ (ln|(lnx-1)|+C_(1)) dx= ??

cм уравнение Штурма-Лиувилля

(y`)^2-2y*y`+1=0
y`=t

t^2-2yt+1=0
D=4y^2-4

t=(2y ± 2sqrt(y^2-1))/2

t=y ± sqrt(y^2-1)

Два уравнения:

[i]первое[/i]
y`=sqrt(y^2-1) ⇒ dy/dx=sqrt(y^2-1) ⇒ dy/sqrt(y^2-1)=dx

Интегрируем

∫ dy/sqrt(y^2-1)= ∫ dx

[blue]x=C+ln|y+sqrt(y^2-1)|[/blue]

[i]второе[/i]

y`=-sqrt(y^2-1) ⇒ dy/dx=-sqrt(y^2-1) ⇒ -dy/sqrt(y^2-1)=dx

Интегрируем

- ∫ dy/sqrt(y^2-1)= ∫ dx

[blue]x=C-ln|y+sqrt(y^2-1)|[/blue]

Начальные условия:

y(1)=1 ⇒ 1=C+ln|1+sqrt(0)| ⇒ C=1

и

во втором случае:
1=C-ln|1+sqrt(0)| ⇒ C=1

Зачем даны вторые : не знаю

Решение дифференциального уравнения первого порядка имеет одну константу.
Начальное условие обычно одно.

Решение дифференциального уравнения второго порядка имеет две константы.
Начальное условие содержит два условия для y и для y`

На пл. хоz

y=0

Это характеристическое [i]свойство [/i]пл. хоz

( так же как на координатной плоскости на оси ох вторая координата y=0;на оси оу первая координата х=0)

Значит, (-4;0;5)

z_(1)+z_(2)=5+4i+5-4i=10
z_(1)*z_(2)=(5+4i)*(5-4i)=5^2-(4i)^2=25-16i^2=25+16=41

По теореме, обратной теореме Виета:
z^2-10z+41=0

О т в е т. 4
(прикреплено изображение)

x=1
y=2
z=x+iy=1+i*2=1+2i

О т в е т. 2)

y=cos5x

x=0 ⇒ y=cos(5*0)=cos0=1

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{1-5i}{1-i}=\frac{(1-5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1-5i+i-5i^2}{1^2-i^2}=\frac{6-4i}{2}=3-2i[/m]
такого ответа нет среди предложенных

2-5i-1*i-2i*i=2-5i-i+2=4-6i
О т в е т 4)

r=sqrt((1/2)^2+((-sqrt(3))/2)^2)=sqrt((1/4)+(3/4))=sqrt(1)=1

Поэтому сразу видно, что это ответ 1)
только в ответе 1) r=1

и угол в ответе 1 соответветвенно

cos φ =x/r=1/2
sin φ =y/r=-sqrt(3)/2

φ =[b](-π/3)[/b]

(прикреплено изображение)

(3-2i)*(3+4i)=3*3-2i*3+3*4i-2i*4i=9-6i+12i-8i^2=(9+8)+(12i-6i)=17+6i

О т в е т. 2)

z_(1)*z_(2)=(3-5i)*(5-4i)=(3*5+5i*4i)-5i*5+3*(-4i)=(15-20)-25i-12i=

=-5-37i

Действительная часть (-5)

1 [i]способ[/i]
2+6+10=18 частей

Развернутый угол 180 градусов.

180 градусов : 18 = 10 градусов в одной части

10 градусов * 2=20 градусов в первой части
10 градусов * 6= 60 градусов в средней части
10 градусов * 10 = 100 градусов в третьей части

2 [i]cпособ [/i]
Пусть в одной части х, тогда в двух частях 2х, в шести - 6х, в десяти - 10х.

Cумма всех частей составляет развернутый угол.

Уравнение:
2x+6x+10x=180^(o)
18x=180^(o)
x=10^(o)

2x=2*10^(o)=20^(o)
6x=6*10^(o)=60^(o)
10x=10*10^(o)=100^(o)

Раскрываем скобки:
х+i*x+у–i*y=3–i

перегруппировываем:
(х+у)+i*(x-y)=3-i

Приравниваем действительные части и мнимые:
{x+y=3
{x-y=-1

Складываем
2х=2
х=1
y=3-x=3-1=2

О т в е т. 4) x=1; y=2

z_(1)+z_(2)=1+i√3+1–i√3=2
z_(1)*z_(2)=(1+i√3)*(1–i√3)=1^2-(i√3)^2=1-3i^2=1+3=4

По теореме, обратной теореме Виета:
z^2-2z+4=0

О т в е т. 1) (прикреплено изображение)

z_(1)*z_(2)=(4–i)*(3–7i)=4*3-i*3+4*(-7i)+(-i)*(-7i)=12-3i-28i+7i^2=

[так как i^2=-1]=

12-7-3i-28i=5-31i

о т в е т. 2)

2z_(1)–3z_(2)=2*(2–i)-3*(3+5i)=4-2i-9-15i=-5-17i - ответ 2)

1) действие в скобках:
[m]\frac{2}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}+\frac{2}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} =\frac{2(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})+2(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})}{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}=[/m]

[m]=\frac{2a^{\frac{1}{2}}+2b^{\frac{1}{2}}+2a^{\frac{1}{2}}-2b^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}})^2-(b^{\frac{1}{2}})^2}=\frac{4a^{\frac{1}{2}}}{a-b}[/m]

2) умножение:
[m]\frac{4a^{\frac{1}{2}}}{a-b}\cdot \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}}=4[/m]

Ответ выбран лучшим

Обозначим проекции точек А;В;С;D и точки О - точки пересечения диагоналей :
A_(1);B_(1);C_(1);D_(1); O_(1)

Рассмотрим прямоугольные трапеции AA_(1)D_(1)D и ВВ_(1)С_(1)С
пересекаются по прямой ОО_(1)

ОО_(1)- средняя линия трапеции AA_(1)D_(1)D
ОО_(1)- средняя линия трапеции ВВ_(1)С_(1)С

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то

из трапеции AA_(1)D_(1)D:

ОО_(1)=(АА_(1)+DD_(1))/2

из трапеции ВВ_(1)С_(1)С :

ОО_(1)=(BB_(1)+CC_(1))/2

Приравниваем правые части:

(АА_(1)+DD_(1))/2=(BB_(1)+CC_(1))/2 ⇒ [b]АА_(1)+DD_(1)=BB_(1)+CC_(1)[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если 3а+0,5 ≠ 0 ( см приложение последняя строка)
то x_(3)=0 ⇒
x_(2)=0
x_(1)=0
единственное решение

Если 3а+0,5 =0,
то х_(3) - любое действительное число ⇒x_(3)=a
x_(2)=x_(3)/3 - любое действительное число
x_(1)- любое действительное число
бесчисленное множество решений (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6а)
Область определения :
x^2-10x+25 ≠0 ⇒ x ≠ 5

На (- ∞ ;5) и на (5;+ ∞ ) функция непрерывна как частное непрерывных функций.

Исследуем точку х=5
Находим предел слева:
lim_(x → 5-0)y=lim_(x → 5-0)(x/x^2-10x+25)=(5-0)/(5-0)^2-10*(5-0)+25)=+ ∞
Так как хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ , то х=5 - точка разрыва второго рода

6б)
На (- ∞ ;0) функция y=2x непрерывна,
так как y=2x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ).

На [0;1)функция y=x^2-1 непрерывна,
так как y=x^2-1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ).

На [1;+ ∞ ) функция y=sqrt(x-1) непрерывна.

Исследуем точки х=0 и х=1

x=0

Находим предел слева:
lim_(x → -0)y=lim_(x → -0) 2х=2*0=0

Находим предел справа:
lim_(x → +0)y=lim_(x → +0) (x^2-1)=0^2-1=-1

предел слева ≠ пределу справа, значит функция не имеет предела в точке.
Так как скачок ) разность между пределом справа и пределом слева
[i]конечный[/i]), то х=0 - точка разрыва первого рода

x=1

Находим предел слева:
lim_(x → 1-0)y=lim_(x →1 -0) (x^2-1)=(1-0)^2-1=0

Находим предел справа:
lim_(x → 1+0)y=lim_(x →1+0) sqrt(x-1)=sqrt(1+0-1)=0

предел слева = пределу справа, значит функция имеет предел в точке.

y(1)=sqrt(1-1)=0

предел слева = пределу справа= значению функции в точке

x=1 - точка непрерывности. (прикреплено изображение)

1.
{если 2x+1 ≥ 0, то возводим в квадрат
{(sqrt(x-a))^2 ≥ (2x+1)^2

2.
{если 2х+1 < 0, то
{ неравенство верно при любых х, таких, что x-a ≥0

1.
{x ≥ -0,5
{x-a ≥ 4x^2+4x+1 ⇒ 4x^2+3x+a+1 ≤ 0 ⇒ D
D<0 неравенство верно при любом х ⇒ решение x ≥ -0,5
D=0 неравенство верно при одном значении, надо чтобы это решение удовлетворяло первому неравенству
D>0 неравенство верно при x_(1) ≤ x ≤ x_(2)надо чтобы это решение удовлетворяло первому неравенству

и тогда получаем ответ

2.
{x <-0,5
{ x ≥ a ⇒

a ≤ x<-0,5 ⇒ a <-0,5 неравенство верно при любом х

О т в е т. объединение ответов первого и второго случаев

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=2a
x_(1)*x_(2)=[green]a+6[/green]

(x_(1)+x_(2))^2=(2a)^2

x^2_(1)+2[green]x_(1)*x_(2)[/green]+x^2_(2)=4a^2

x^2_(1)+2[green](a+6)[/green]+x^2_(2)=4a^2

x^2_(1)+x^2_(2)=4a^2-2a-12

4a^2-2a-12 - квадратный трехчлен.

Принимает наименьшее значение при a=2/8=1/4

4*(1/4)^2-2*(1/4)-12 =? и есть наименьшее значение

Это решается координатно-параметрическим методом. Вводим систему координат xOa ( роль y играет а, или лучше ось x - это ось a, ось оу - ось это ох) .

Раскрываем модуль как в методе интервалов, только теперь на плоскости:

[i]первый случай[/i]
x+2a ≥ 0
Это область на плоскости хОа.
Строили в 8-9 классе, см уравнения и неравенства с двумя переменными.
Граница области прямая x=2a ( строили y=2x)

При x +2a ≥ 0
уравнение имеет вид:
x*(x+2a)+1-a=0
[b]x^2+2ax+1-a=0[/b]

Находим корни и проверяем принадлежат ли они области.

[i]второй случай[/i]
x+2a ≥ 0
Это область на плоскости хОа.
Строили в 8-9 классе, см уравнения и неравенства с двумя переменными.
Граница области прямая x=2a ( строили y=2x)

При x +2a ≥ 0
уравнение имеет вид:
x*(x+2a)+1-a=0
[b]x^2+2ax+1-a=0[/b]

Находим корни и проверяем принадлежат ли они области.
x+2a <0
уравнение имеет вид:
x*(-x-2a)+1-a=0
[b]x^2+2ax+a-1=0[/b]

Ответ выбран лучшим

х-||2x|-1|=a

Графически:
y=x-||2x|-1| и y=a

см. рис.

y=|2x|-1
y=||2x|-1|
y=-||2x|-1|

y=x-||2x|-1| складываем два графика:

точки на прямой х=2
синяя (2;2) красная (2;-3)
сумма - сиреневая (2; 2+-3)=(2;-1)

и так далее (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
2^(x-2)*(2^(x+1-x+2)+5*1)=104

2^(x-2)*(8+5)=104

2^(x-2)=8

2^(x-2)=2^3

x-2=3

[b]x=5[/b]

2.

Умножаем на 3^(x) обе части уравнения:

3*3^(2x)-2*3=7*3^(x)

3^(x)=t
t>0
Квадратное уравнение

3t^2 - 7t - 6 = 0

D=(-7)^2-4*3*(-6)=49+72=121

t=(7 ± 11)/6

t_(1)=3; t^2<0

3^(x)=3

[b]x=1[/b]

3.
Замена переменной:
64^(x)=u, u >0
64^(y)=v, v > 0

64^(x+y)=64^(x)*64^(y)=u*v

64^(2x)=(64^(x))^2=u^2
64^(2y)=(64^(y))^2=v^2

{u^2+v^2=12
{u*v=4sqrt(2) ⇒ v=4sqrt(2)/u

и подставляем в первое уравнение:

u^2+(32/u^2)=12 ( умножаем на u^2>0)

u^4-12u^2+32=0
D=144-4*32=144-128=16

u^2=(12 ± 4)/2

u^2=4 или u^2=8

u_(1)=2, u_(3)=-2 <0 не удовл условию, см замена переменной
v_(1)=2sqrt(2)

u^2=8 ⇒
u_(2)=2sqrt(2), v_(4)=-2sqrt(2)
v_(2)=2

Cм рис. графическое решение системы.
Графиком уравнения u^2+v^2=12 является [i]окружность[/i] с центром (0;0)
радиусом sqrt(12)
графиком уравнения u*v=4sqrt(2) является[i] гипербола[/i] в 1 и 3 четверти.
Значит возможны 4 точки пересечения окружности и гиперболы в 1-й и 3-ей четвертях
Но в третьей четверти, координаты точек пересечения[i] отрицательны [/i]

Умение решать задачу не с завязанными глазами, а представляя
откуда и как получатся 2 решения или 4 решения пригодится в дальнейшем при[red] решении задач с параметрами.[/red]

Обратный переход

{64^(x)=2
{64^(y)=2sqrt(2)

2^(6x)=2 ⇒ 6x=1 ⇒ [blue]x=1/6[/blue]
2^(6y)=2^(1,5) ⇒ 6y=1,5 ⇒ [blue]y=1/4[/blue]

{64^(x)=2sqrt(2)
{64^(y)=2

2^(6x)=2^(1,5) ⇒ 6x=1,5 ⇒[red] x=1/4[/red]
2^(6y)=2 ⇒ 6y=1 ⇒[red] y=1/6[/red]
О т в е т. (1/6; 1/4); (1/4;1/6)

(прикреплено изображение)

a=(|x-3|-4)/|x-1|

Строим график y=(|x-3|-4)/|x-1|

Раскрываем модуль по определению

При x ≥ 3

y=(x-7)/(x-1) - гипербола.

При x < 1

y=(x+1)/(x-1)

О т в е т. [b](- ∞ ;1)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Рассматриваем 4 случая:
{x-1 ≥ 0
{y-2 ≥ 0
{x-1+y-2 ≤ 10

{x-1 ≥ 0
{y-2 < 0
{x-1-y+2 ≤ 10

{x-1 <0
{y-2 ≥ 0
{-x+1+y-2 ≤ 10

{x-1< 0
{y-2 < 0
{x-1+y-2 ≤ 10

Получим квадрат.

S=(1/2)d^2=(1/2)*20^2=200 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выразим z из второго:

z=(х-3у-а)/4

и подставим в первое:

-x-3y+((x-3y-a)/2)=x^2+3y^2

-2x-6y+x-3y-a =2x^2+3y^2

(2x^2+x)+(3y^2+9y)+a=0

2*(x^2+(1/2)x+(1/4)^2)+3*(y^2+2*(3/2)y+(9/4))-2*(1/16)-3*(9/4)+a=0

2*(x+(1/4))^2+3*(y+(3/4))=(55/8)-a

Это уравнение имеет ед решение
x=-1/4
y=-3/4
при а=55/8

z=((1/4)+(9/4)-(55/8))/4=-35/32

О т в е т. 55/8

Ответ выбран лучшим

Логарифмируем по основанию 10

lg|x-3|^(3x^2-10x+3)=lg100

Применяем свойство логарифма степени:

(3x^2-10x+3)*lg|x-3|=2

lg|x-3|=2/(3x^2-10x+3)

Решаем графически:

y=lg|x-3| (cм. рис. график красного цвета)

y=2/(3x^2-10x+3) (cм. рис. график синего цвета)

Два корня (прикреплено изображение)

1)
|x-1|=log_(4)8

log_(4)8=log_(2^2)2^3=(3/2)log_(2)2=(3/2)

x-1= ±3/2

x=1-1,5 или x=1+1,5
x=-0,5 или х=2,5

2)

1=5^(0)

5>1

Показательная функция с основанием 5 возрастающая
поэтому

(x^2-4)/(x-1) < 0

(x-2)(x+2)/(x-1)< 0

_-_ (-2) _+_ (1) _-_ (2) __+_

О т в е т. (- ∞ ;-2)U(1;2)

3)Однородное уравнение вида:
a*u^2+b*u*v+c*v^2=0
cводящееся к квадратному

(такие встречались в тригонометрии
asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x=0 )

Делим на 4^(-1/x)

t^2-t-1=0

t=(3/2)^(-1/x)

t^2=(9/4)^(-1/x)

Ответ выбран лучшим

а)

y=(1/2)^(x) - показательная функция с основанием 0 < 1/2 < 1
Убывающая. График расположен выше оси Ох.
Проходит через точку (0;1)

y=1+(1/2)^x получаем из предыдущего параллельным переносом вдоль оси Оу на 1 единицу вверх

б)
y=log_(1/3)(x) - логарифмическая функция с основанием 0 < 1/3 < 1
Убывающая. График расположен в правой полуплоскости.
Проходит через точку (1;0)

y=log_(1/3)(x) - 2 получаем из предыдущего параллельным переносом вдоль оси Оу на 2 единицы вниз

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x^2+4x-4>0 ⇒ (- ∞ ;-2-2sqrt(2))U(-2+2sqrt(2);+ ∞ )
{(-x^2-4x+4)^6>0 ⇒ -x^2-4x+4 ≠ x ≠ -2 ± 2sqrt(2)
{x-2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2

ОДЗ: x ∈ (- ∞ ;-2-2sqrt(2))U(-2+2sqrt(2);2)U(2;+ ∞ )

[i]Первый случай[/i]
при x ∈ (- ∞ ;-2-2sqrt(2))U(-2+2sqrt(2);2)

x-2 <0
|x-2|=-x+2

Уравнение принимает вид:

[m]\frac{(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{-x+2}\geq \frac{log_{8}(-x^2-4x+4)^6}{x-2}[/m]

так как (-x^2-4x+4)^6=(-1*(x^2+4x-4))^6=(-1)^6*(x^2+4x-4)^6=(x^2+4x-4)^6

[m]\frac{log_{8}(x^2+4x-4)^6}{x-2}+\frac{(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\leq0[/m]

Применяем свойство логарифма степени:

log_(8)(x^2+4x-4)^6=6*log_(8)|x^2+4x-4|=(cм. первое неравенство ОДЗ)=

=6*log_(8)(x^2+4x-4)

[m]\frac{6log_{8}(x^2-4x+4)+(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\leq0[/m]

[m]\frac{(x^2+x+6)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\leq0[/m]

Решаем методом интервалов:

Находим нули числителя:

x^2+x+6 > 0 при любом х, D=1-4*6 <0

log_(8)(x^2+4x-4)=0 ⇒ x^2+4x-4=8^(0) ⇒ x^2+4x-5=0

D=4^2-4*(-5)=16+20=36

x_(1)=-5; x_(2)=1

Расставляем знаки на (- ∞ ;-2-2sqrt(2))U(-2+2sqrt(2);2)

_-__ [-5] __+_ (-2-2sqrt(2)) ||||||||| (-2+2sqrt(2)) _+__ [1] __-__ (2)

О т в е т первого случая (- ∞ ;-5] U[1;2)

[i]Второй случай [/i]
при x ∈ (2;+ ∞ )

x-2 >0
|x-2|=x-2

Уравнение принимает вид:

[m]\frac{(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\geq \frac{log_{8}(-x^2+4x-4)^6)}{x-2}[/m]

[m] \frac{(x^2+x)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}- \frac{6log_{8}(x^2-4x+4)}{x-2}\geq0[/m]

[m]\frac{(x^2+x-6)log_{8}(x^2+4x-4)}{x-2}\geq0[/m]

Решаем методом интервалов:

Находим нули числителя:

x^2+x-6 = 0 , D=1+4*6=25

x_(3)=-3; x_(4)=2

как и в первом случае:
log_(8)(x^2+4x-4)=0 ⇒ x^2+4x-4=8^(0) ⇒ x^2+4x-5=0

x_(1)=-5; x_(2)=1

Ни один из найденных корней не принадлежит промежутку (2;+ ∞)
рассматриваемому во втором случае.

О т в е т второго случая х ∈ (2;+ ∞)

О т в е т. Объединяем ответы 1 и 2

(- ∞ ;-5] U[1;2) U (2;+ ∞)

Ответ выбран лучшим

1.
Неопределенность (0/0)
Раскладываем на множители и числитель:

x^3-3x^2-x+3=(x^3-3x^2)-(x-3)=x^2*(x-3)-(x-3)=(x-3)*(x^2-1)=(x-3)(x-1)(x+1)

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(x-3)(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x \to 1}(x-3)(x+1)=(1-3)(1+1)=-4[/m]

2.
Неопределенность (0/0)
Раскладываем на множители числитель:

x^4-64=(x^2)^2-8^2=(x^2-8)*(x^2+8)

[m]=\lim_{x \to \sqrt{8}}\frac{(x^2-8)(x^2+8)}{x^2-8}=\lim_{x \to \sqrt{8}}(x^2+8)=(\sqrt{8})^2+8=16[/m]

3.

Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^2

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{10x^2-x+6}{x^2}}{\frac{3x-2x^2+1}{x^2}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^2 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^2:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{10x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{6}{x^2}}{\frac{3x}{x^2}-2\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}=\frac{10-0+0}{0-2+0}=-\frac{10}{-2}=-5[/m]

4.Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное тому, что в знаменателе, т.е на такое же но с +:
sqrt(3+x)+sqrt(3-x)

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{(x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}{(\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x})(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}=\lim_{x \to 0}\frac{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}{(\sqrt{3+x})^2-(\sqrt{3-x})^2}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}{3+x-3+x}=[/m]

сокращаем на x :

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}{2}=\sqrt{3}[/m]

1.
Точка M - середина ВC
x_(M)=[m]\frac{x_{B}+x_{C}}{2}[/m]
y_(M)=[m]\frac{y_{B}+y_{C}}{2}[/m]

x_(M)=[m]\frac{2+(-3)}{2}=-0,5[/m]
y_(M)=[m]\frac{-3+5}{2}=1[/m]

M(-0,5;1)

Уравнение AМ, как уравнение прямой проходящей через две точки:
[m]\frac{x-x_{A}}{x_{M}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{M}-y_{A}}[/m]

[m]\frac{x-6}{-0,5-6}=\frac{y-2}{1-2}[/m]

Умножаем обе части на (-13):

2*(x-6)=13*(y-2)

[b]2х-13у+14=0[/b] - уравнение медианы AМ

2.
Каноническое уравнение эллипса
[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

с^2=a^2-b^2

[m]\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1[/m]

a^2=49
b^2=24

c^2=a^2-b^2=49-24=25

с=5

Эксцентриситет
ε =с/а=5/7

3.
Каноническое уравнение параболы:
y^2=2px
F(p/2;0)

y^2=4x ⇒ 2p=4 ⇒ [b]p=2[/b]

F(1;0)

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых
k_(1)*k_(2)=-1

x-3y+1=0 запишем в виде y=[m]\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}[/m]

k_(1)=[m]\frac{1}{3}[/m]

k_(2)=-3

Общий вид прямых перпендикулярных прямой x-3y+1=0

y=-3x+b

Прямая проходит через фокус параболы, т.е через точку F(1;0)

Подставляем координаты точки F:

0=-3*1+b

b=3

О т в е т. [b]y=-3x+3[/b]

(прикреплено изображение)

пусть x_(o) - произвольная точка ∈[b] [i]R[/i][/b]

Функция t(x) =x+1 непрерывна в точке x_(o), т.к

lim_(x → x_(o))(x+1)=x_(o)+1=t_(o)

Сложная функция

y=sint, t=x+1 непрерывна в точке x_(o),

[b]lim_(x → x_(o))sin(x+1)[/b]=lim_(x → x_(o))sint=sint_(o)=

=sin (lim_(x → x_(o))(x+1))=[b]sin(x_(o)+1)[/b]

Ответ выбран лучшим

Теорема синусов:
AC/sin ∠ B=AB/sin ∠ C

AC=10,5

x`_(t)=e^(t)*cost+e^(t)*(-sint)
y`_(t)=e^(t)*sint+e^(t)*(cost)

(x`_(t))^2+(y`_(t))^2=2e^(2t)*(cos^2t+sin^2t)=2e^(2t)

L= ∫ ^(lnπ)_(0)2e^(2t)dt=∫ ^(lnπ)_(0)e^(2t)d(2t)=e^(2t)|^(lnπ)_(0)=

=e^(2lnπ)-e^(0)=e^(lnπ^2)-1=[b]π^2-1[/b] (прикреплено изображение)

f(x)=lnsinx
f`(x)=(1/sinx)*(sinx)`=cosx/sinx=ctgx

L= ∫ ^(π/2)_(π/3)sqrt(1+(ctgx)^2) dx= ∫ ^(π/2)_(π/3)sqrt(1/sin^2x) dx=∫ ^(π/2)_(π/3)(1/sinx) dx=ln|tg(x/2)|)||^(π/2)_(π/3)=

=ln|tg(π/4)|-ln|tg(π/6)|=ln1-ln(1/sqrt(3))=0-ln3^(-1/2))=(1/2)ln3

О т в е т. (1/2)ln3 (прикреплено изображение)

Полуокружность на отрезке АВ имеет центр в середине в точке О
Радиус этой полуокружности AO=OB=a/2

Центр полуокружности, построенной на АО обозначим K;
радиус АК=a/4

AK=KO=a/4

Центр полуокружности, построенной на ОВ обозначим М;
радиус MB=a/4

OM=MB=a/4

Пусть радиус окружности, касающейся трех полуокружностей х,
центр в точке Р (PO ⊥ AB)

РК=х+(а/4)
PM=x+(a/4)

OP=(a/2)-x

По теореме Пифагора из треугольника КОР:
PK^2=PO^2+KO^2

(x+(a/4))^2=((a/2)-x)^2+(a/4)^2 ⇒ [blue]x=a/6[/blue]

так как
(x+(a/4))^2-((a/2)-x)^2=(a/4)^2

Применяем формулу разности квадратов: [red]m^2-n^2=(m-n)(m+n)[/red]

(x+(a/4)-(a/2)+x)*([green]x[/green]+(a/4)+(a/2)[green]-x[/green])=(a/4)^2

(2x-(a/4))*(3a/4)=(a/4)^2

2x-(a/4)=a/12

2x=a/3

x=a/6

S=π*x^2=π*([blue]a/6[/blue])^2=[b]πa^2/36[/b]

О т в е т. πa^2/36
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что бросают две игральные кости.

На верхней грани первой может выпасть любое число от 1 до 6
6 способов, на верхней грани второй - тоже

Одновременно и на первой и на второй могут выпасть:

(1;1); (1;2); ... (1;6); (2;1).. и т.д. до (6;6)

n=6*6=36 - вариантов выпадения двух цифр

a)Событие А-"произведение числа очков делится на 20"

Событию А благоприятствует 2 случая (4;5) или (5;4)
m=2

p(А)=m/n=2/36=1/18

б)Событие В-"сумма числа очков не больше 6"

Событию В благоприятствуют случаи
(1;1); (1;2); ... (1;5);
(2;1); (2;2);(2;3);(2;4)
(3;1);(3;2);(3;3)
(4;1);(4;2)
(5;1)

m=15
p(B)=m/n=15/36=5/12

(прикреплено изображение)

На (- ∞ ;-π/2) функция непрерывна, так как y=-2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (-π/2;π/2) функция непрерывна, так как y=2sinx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (π/2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции

в точке х=-π/2 и в точке х=π/2

х=-π/2

Находим предел слева:
lim_(x →(-π/2) -0)f(x)=lim_(x →(-π/2) -0)(-2)=-2

Находим предел справа:
lim_(x →(-π/2) +0)f(x)=lim_(x →(-π/2) +0)2sinx=2*(sin(-π/2))=2*(-1)=-2

предел слева = пределу справа
Функция не определена в точке x=(-π/2)
х=(-π/2) - [i]точка устранимого разрыва [/i]

если условие написано верно и в самом деле нет знака ≤ ни в первой строке ни во второй относительно (-π/2)

х=π/2

Находим предел слева:
lim_(x →(π/2) -0)f(x)=lim_(x → (π/2)-0)2sinx=2*(sin(π/2))=2

Находим предел справа:
lim_(x →(π/2) +0)f(x)=lim_(x → (π/2)+0)1=1

предел слева ≠ пределу справа

х=(π/2) - [i]точка разрыва первого рода [/i]

функции в точке (π/2) имеет скачок ( конечный)

предел справа - предел слева:
1-2=-1 - скачок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{n^2+3n}}{n+2}=(\frac{\infty}{ \infty})=[/m]

Делим и числитель и знаменатель на n
[m]=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{\sqrt{n^2+3n}}{n}}{\frac{n+2}{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{\frac{n^2+3n}{n^2}}}{1+\frac{2}{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\sqrt{1+\frac{3}{n}}}{1+\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{1+0}}{1+0}=1[/m]

Ответ выбран лучшим

Область определения: x ≠ 1

Во всех точках, кроме x = 1, функция непрерывна как композиция (сложная функция) непрерывных функций:
t=2/(х-1)
и
y=arctgt

Поэтому исследуем точку х_(o)=1

Находим предел слева:
lim_(x → 1-0)f(x)=lim_(x → 1-0)arctg(2/(x-1))=-π/2

так как (2/(x-1))→ - ∞ при x → 1-0

arctg t → -(π/2) при t → - ∞

Находим предел справа:
lim_(x → 1+0)f(x)=lim_(x → +0)arctg(2/(x-1))=π/2

так как (2/(x-1))→ ∞ при x → 1+0

arctg t → (π/2) при t → ∞

предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=1
х_(o)=1 - [i]точка разрыва первого рода[/i]

Ответ выбран лучшим

См. рис.
Нули на [-π;2π] : -π; 0; π; 2π

Нули на (-π;2π) : 0; π; (прикреплено изображение)

Раскрываем скобки как в алгебре:

=3*vector{a}*2*vector{a}-vector{b}*2*vector{a}+3*vector{a}*vector{b}-vector{b}*vector{b}=

скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Между векторами vector{a} и vector{a} угол равен 0, косинус 0 равен 1

=3*3*2*3 -2sqrt(3)2*3cos150^(o)+3*3*2sqrt(3)cos 150^(o)-2sqrt(3)*2sqrt(3)=

От того, что
|x|=x при x ≥ 0
|x|=- при x < 0

Поэтому

2x - 3 ≥ 0 при x ≥ 1,5

2x + 1 ≥ 0 при x ≥ -0,5

Поэтому надо бы
(- ∞ ; -0,5)

[-0,5; 1,5)

[1,5;+ ∞ )

Но чаще всего так:
(- ∞ ; -0,5]
(-0,5; 1,5]
{1,5;+ ∞ )

правый край- входит.

Как у вас вижу первый раз.

Но правильно и так и так и так.

Просто куда вы знак равенства отнесли, раскрывая модуль

Можно же
и так раскрывать модуль:
|x|=x при х >0

|x|=-x при x ≤ 0

Ответ выбран лучшим

11*(27+46) делится на 11
О т в е т. 27 +46

⇒
если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11

С помощью подобия
см. похожую задачу
(прикреплено изображение)

cos ∠ BAC=[m]\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BA}|\cdot|\vec{BC}|}[/m]

vector{BA}=(3;-3;0)
vector{BC}=(-1;-3;4)

vector{BA}*vector{BC}=3*(-1)+(-3)*(-3)+0*4=-3+9+0=6

|vector{BA}|=sqrt(3^2+(-3)^2)=sqrt(18)
|vector{BA}|=sqrt((-1)^2+(-3)^2+4^2)=sqrt(26)

cos ∠ BAC=[m]\frac{6}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{13}}[/m]

∠ BAC=arccos[m]\frac{1}{\sqrt{13}}[/m]

Ответ выбран лучшим

надо найти

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1-arctg^{3}x)}{\sqrt[3]{x^2+1}-1}[/m]

так как
[m]\lim_{x \to 0}\frac{ln(1-arctg^3x)}{(-arctg^3x)}=1[/m],то

и

[m]\lim_{x \to 0}\frac{arctg^3x)}{x^3}=\lim_{x \to 0}(\frac{arctgx}{x})^3=1[/m],то

ln(1-arctg^3x) ∼ -arctg^3x∼-x^3 при x → 0

так как
[m]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{x^2+1}-1}{\frac{1}{3}x^2}=1[/m],то

[m]\sqrt[3]{x^2+1}-1 ∼ \frac{1}{3}x^2[/m] при x → 0

Поэтому

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1-arctg^{3}x)}{\sqrt[3]{x^2+1}-1}=\lim_{x \to 0 }\frac{-x^3}{\frac{1}{3}x^2}=0[/m]

О т в е т. см определение ( случай q=0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

30.

y`=3x^2-3

y``=6x

y``=0

6x=0

x=0

при переходе через точку х=0 вторая производная меняет с - на +

х=0 - точка перегиба

31.

y`=3x^2+6x

y`=0

3x^2+6x=0

3x*(x+2)=0

x=0 или х=-2

Расставляем знак производной:

__+___ (-2) __-___ (0) ___+___

там где + возрастает
там где - убывает

32.

y`=3x^2-12x+1

y``=6x - 12

y``=6x-12

y``=0

6x-12=0

x=2

___-___ (2) __+___

там где + вогнутость

Ответ выбран лучшим

К первому слагаемому надо применить формулу перехода к другому основанию:

[m]log_{3x}(\frac{3}{x})=\frac{{log_{3}\frac{3}{x}}}{{log_{3}(3x)}}[/m]

Теперь формулы логарифма частного и логарифма произведения

[m]log_{3}\frac{3}{x}=log_{3}3-log_{3}x[/m]

[m]log_{3}(3x)=log_{3}3+log_{3}x[/m]

и
сделать замену переменной:

log_(3)x=t

получаем рациональное уравнение ( 9 класс):

[m]\frac{1-t}{1+t}+t^2=1[/m]

Находим t

и возвращаемся к замене.

...

Ответ выбран лучшим

n=800 (велико и )
p=0,0025 ( очень маленькая!!!. значит применяем формулу Пуассона )
np=2

λ =np=2
m=5

P_(600)(5)= ((2)^(5)/5!)e^(-2)= ( cм таблицу )

О т в е т.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=6
p=1/2; q=1/2

Повторные испытания с двумя исходами. Схема Бернулли.

a)P_(6)(3)=C^3_(6)p^3*q^3=(6!/(3!*3!))*(1/2^6)=20/64=[b]5/16[/b]

б)Не менее пяти: значит 5 или 6
P_(6)(5)+P_(6)(6)=C^5_(6)p^5*q^1+C^6_(6)p^6*q^0=

=6*(1/2)^6+1*(1/2)^6=(1/2)^6*(6+1)=[b]7/64[/b]

Ответ выбран лучшим

n=900
p=0,9
q=1-p=1-0,9=0,1

np=810
npq=810*0,1=81
sqrt(npq)=9

1)
Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

810-0,1 ≤ k_(o) ≤ 810+0,9
k_(o)=810

2) Применяем интегральную формулу Лапласа
( см. приложение)
P_(900) (790 ≤ x ≤ 820)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(820-810)/sqrt(81)=10/9≈1,11
x_(1)=(790-810)/sqrt(81)=-20/9≈-2,22

Ф(x_(2))=Ф(1,11) ≈ 0,3665 ( см. таблицу)
Ф(x_(1))=-Ф(2,22)≈-0,4868

О т в е т.P_(900) (790 ≤ x ≤ 820)≈0,3665-(-0,4868)=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Умножаем и числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е на (1+i)

a=4*(1+i)/(1-i)*(1+i)=(4+4i)/(1-i^2)=(4+4i)/(1-i^2)=(4+4i)/2=2+2i - в алгебраической форме вида x+iy

при этом
x=2; y=2

см. переход от алгебраической к тригонометрической в приложении 1

|z|=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)

tg φ =y/x=2/2=1 ⇒ φ =π/4

[b]a=sqrt(8)*(cos(π/4)+isin(π/4))[/b] - в тригонометрической форме

2)

a^2=(2+2i)^2=4+8i+4i^2=4+8i-4=8i

Запишем a^2 в тригонометрической форме:

a^2=8*(cos(π/2)+isin(π/2))

Решаем уравнение:

z^3=8i

Извлекаем корень кубический . Применяем формулу

( см. приложение 2)

∛(8i)=∛8*[m](cos\frac{\frac{\pi}{2}+2 \pi k}{3}+isin\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3})[/m], k ∈ Z

при k=0
первый корень
z_(o)=2*[m](cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}+i[/m]

при k=1
второй корень
z_(1)=2*[m](cos \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}+isin \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{3})=2\cdot (cos\frac{5\pi}{6}+isin\frac{5\pi}{6})=-\sqrt{3}+i[/m]

при k=2
третий корень
z_(2)=2*[m](cos\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}+isin\frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}{3})=2\cdot (cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2})=-i[/m]

Корни расположены на окружности радиуса 2

Точки z_(o);z_(1);z_(2) делят окружность на три ( потому что корень третьей степени) равные части, каждая по 120 градусов
(cм. рис 3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составить уравнение прямой АВ, как прямой проходящей через две точки ( см. формулы в приложении 1)

Применить формулу расстояния от точки до прямой
( приложение 2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Делим обе части уравнения на 12

(x^2/4)+(y^2/3)=1 - каноническое уравнение эллипса.

a=2
b=sqrt(3)

c^2=a^2-b^2=2^2-3=4-3=1
c=1

Значит координаты фокусов:
F_(1)(-1;0); F_(2)(1;0)

Верхняя вершина А(0;2)

Составить уравнение окружности с центром в точке А(0;2)

и проходящей через точки:F_(1)(-1;0); F_(2)(1;0)

Уравнение окружности с центром в точке А(0;2)

(x-0)^2+(y-2)^2=R^2

Для нахождения R подставим координаты точек F_(1)(-1;0); F_(2)(1;0)

Расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю

a_(n) → cos0=1 при n → ∞

Ответ выбран лучшим

1.
Какие значения принимает Х?
0; 1; 2

Значит фактически надо решить три задачи.
1) При двух бросках попаданий 0
Значит оба раза не попал.
Вероятность попадания 0,3
промаха 1-0,3=0,7

p_(o)=0,7*0,7=0,49

2)При двух бросках попаданий одно
Первый раз попадание, второй промах или первый раз промах, второй попадание

p_(1)=0,3*0,7+0,7*0,3=0,42

3) При двух бросках попаданий два

p_(2)=0,3*0,3=0,09

Закон распределения дискретной случайной величины - таблица

в верхней строке значения

___0 ___ 1 ___ 2

в нижней соответствующие вероятности.
_0,49 _ 0,42 _ 0,09

Cумма вероятностей в нижней строке должна быть равна 1
Если это так, то закон составлен верно.

Функция распределения дискретной случайно величины - ступенчатая линия.

При x ≤ 0
F(x)=0
При 0 < x ≤ 1
F(x)=0,49
При 1 < x ≤ 2
F(x)=0,49+0,42=0,91
При x > 2
F(x)=0,49+0,42+0,09=1

p(1< X < 2)=F(2)-F(1)=0,91-0,49=0,42

2.
а можно найти из свойства плотности вероятности:
[red] ∫_(- ∞ ) ^(+ ∞ )f(x)dx=1[/red]

[m]\int^{+\infty }_{-\infty }\frac{(-a(1-x))}{x}dx=\int^{1 }_{-\infty }0dx+\int_{1 }^{3 }\frac{(-a(1-x))}{x}dx+\int_{3}^{+\infty }0dx[/m]

Из равенства:
[m]\int_{1 }^{3 }\frac{(-a(1-x))}{x}dx[/m]=1

[m]-a\int_{1 }^{3 }(\frac{1}{x}-1)dx[/m]=1
находим a:

-a*(lnx-x)|^(3)_(1)=1

-a*(ln3-3-ln1+1)=1

a=[m]\frac{1}{2-ln3}[/m]

По определению:

[blue][m]F(x)= ∫ _{- ∞ }^{x} f(x)dx[/m][/blue]

Поэтому:

при x ≤ 1 f(x)=0
и
F(x)= 0

При 1 < x ≤ 3
[m]F(x)= -\frac{1}{2-ln3}∫ _{1 }^{x}\frac{(1-x)}{x} dx=-\frac{1}{2-ln3}\cdot (lnx-x+1)[/m]

При x >3
F(x)=1

[m]F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & , x\leq 1 & \\- \frac{1}{2-ln3}\cdot (lnx-x+1) &,1 < x \leq 3 & \\ 1& & ,x > 3 \end{matrix}\right.[/m]
По определению:

[blue][m]M(x)= ∫ ^{+ ∞}_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m][/blue]

[m]M(x)=- \frac{1}{2-ln3}\cdot \int_{1 }^{3 }\frac{(x\cdot(1-x))}{x}dx[/m]

[m]M(x)= \frac{1}{2-ln3}\cdot \int_{1 }^{3}(x-1)dx[/m]

[m]M(x)=\frac{1}{2-ln3}\cdot (\frac{x^2}{2}-x)|^{3}_{1}=\frac{1}{2-ln3}\cdot (\frac{3^2}{2} - 3 + \frac{1}{2})=\frac{2}{2-ln3}[/m]

Ответ выбран лучшим

cos α =(r_(2)-r_(1))[i]/l[/i]

По условию:
π(r_(1)+r_(2))*[i]l[/i]=2*4πR^2

(r_(1)+r_(2))*[i]l[/i]=8*R^2 ⇒[i] l[/i]=8R^2/(r_(1)+r_(2))

cos α =(r_(2)-r_(1))[i]/l[/i]=(r_(2)-r_(1))(r_(1)+r_(2))/8R^2=

=(r^2_(2)-r^2_(1))/8R^2

Осталось выразить числитель через R^2, используя тот факт, что осевое сечение конуса - равнобедренная трапеция (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Расстояние между параллельными прямыми одно и то же.

По теореме Пифагора
с одной стороны:
d^2=x^2-a^2

C другой стороны:
d^2=(c-x)^2-b^2

Приравниваем правые части

x^2-a^2=(c-x)^2-b^2
x^2-a^2=c^2-2cx+x^2-b^2

2cx=c^2-b^2+a^2

x=(c^2+a^2-b^2)/2c

c-x=c - ((c^2+a^2-b^2)/2c)=(2c^2-c^2-a^2+b^2)/2c=(c^2+b^2-a^2)/2c

О т в е т. (c^2+a^2-b^2)/2c и (c^2+b^2-a^2)/2c (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В треугольниках ADC и ВEC:
1) ∠ СBE= ∠ CAD по условию
2) АС=ВС по условию
3) ∠ С - общий

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам
(прикреплено изображение)

sinx*cosx=(1/2)sin2x

sin^4x*cos^4x=(1/16)sin^42x=(1/16)*(sin^22x)^2=(1/16)*((1-cos4x)/2)^2=

=(1/64)*(1-2cos4x+cos^24x)=(1/64)*(1-2cos4x+ (1+cos8x)/2)=

=(1/64)-(1/32)cos4x +(1/128)+(1/128)cos8x=

=(3/128)-(1/32)cos4x+(1/128)cos8x

∫ sin^4x*cos^4x dx= (3/128) ∫ dx - (1/32) ∫ cos4xdx+(1/128) ∫ cos8xdx=

=[b](3/128)x-(1/128)sin4x+(1/1024)sin8x+C[/b]

tg^4(x/2)=tg^2(x/2)*tg^2(x/2)=tg^2(x/2) *((1/cos^2(x/2)) -1)=

=tg^2(x/2)*(1/cos^2x/2) - tg^2(x/2)=

=tg^2(x/2)*(1/cos^2x/2) - ((1/cos^2(x/2)) -1)=

=tg^2(x/2)*(1/cos^2x/2) - (1/cos^2(x/2)) +1

∫ tg^4(x/2) dx= ∫ tg^2(x/2)*(1/cos^2x/2)dx - ∫ (1/cos^2(x/2))dx + ∫ dx=

= 2 ∫ tg^2(x/2) d(tg(x/2)) - 2 ∫ d(x/2)/cos^2(x/2) +x +c=

=2(tg^3(x/2))/3-2tg(x/2) + x + C=

=[b](2/3)*tg^3(x/2)-2tg(x/2) + x + C[/b]

так как
d(tg(x/2))=(1/cos^2(x/2))*(x/2)`dx ⇒

[blue]2d(tg(x/2)=dx/cos^2(x/2)[/blue]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрическая вероятность

p=S_(1)/S

p=(4*22)/6*24=11/18

cм. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]z`_{x}=\frac{2y^2}{3}\cdot (\frac{1}{\sqrt{x}})`+6y\cdot(x^2)`=\frac{2y^2}{3}\cdot (x^{-\frac{1}{2}})`+ 6y \cdot(x^2)`=[/m]

[m]=\frac{2y^2}{3}\cdot (-\frac{1}{2}) \cdot x^{-\frac{3}{2}} +6y\cdot 2x=[/m]

[m]=-\frac{y^2}{3\sqrt{x^{3}}} +12xy[/m]

[m]z`_{y}=\frac{2}{3\sqrt{x}}\cdot(y^2)`+6x^2\cdot y`=\frac{2}{3\sqrt{x}}\cdot(2y)+6x^2\cdot 1=\frac{4y}{3\sqrt{x}}+6x^2[/m]

[m]z`_(x)+z`_(y)=-\frac{y^2}{3\sqrt{x^{3}}} +12xy + \frac{4y}{3\sqrt{x}}+6x^2[/m]

[m](z`_(x)+z`_(y))|_{M}=-\frac{1^2}{3\sqrt{1^{3}}} +12\cdot 1\cdot 1 + \frac{4\cdot 1}{3\sqrt{1}}+6\cdot 1^2=19[/m]

2.
Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное тому, что в знаменателе, т.е на такое же но с +:
2+sqrt(7-x)
[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x^2-9)(2+\sqrt{7-x})}{(2-\sqrt{7-x})(2+\sqrt{7-x})}=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3)(2+\sqrt{7-x})}{2^2 -(7-x)}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3))(2+\sqrt{7-x})}{x-3}=[/m]

сокращаем на (х-3):

[m]=\lim_{x \to 3}(x+3)(2+\sqrt{7-x})=(3+3)\cdot (2+2)=24[/m]

3.

y=(9+2x)^((x+1)/(4x+x^2))

Применяем логарифмирование.

lny=ln (9+2x)^((x+1)/(4x+x^2))

По свойству логарифма степени:

lny=((x+1)/(4x+x^2)) ln (9+2x)

Находим

[m]\lim_{x \to -4 }\frac{(x+1)ln(9+2x)}{4x+x^2}=\lim_{x \to -4 }\frac{(x+1)ln(9+2x)}{x(4+x)}=\lim_{x \to -4 }\frac{x+1}{x}\cdot\frac{ln(9+2x)}{4+x}=[/m]

[m]=\frac{3}{4}\lim_{x \to -4 }\cdot\frac{ln(9+2x)}{4+x}[/m]

Неопределенность (0/0)

Применяем правило Лопиталя:

[m]=\frac{3}{4}\lim_{x \to -4 }\cdot\frac{(ln(9+2x))`}{(4+x)`}=\frac{3}{4}\cdot \lim_{x \to -4 }\frac{\frac{1}{9+2x}\cdot(9+2x)`)}{1}=[/m]

[m]\frac{3}{4}\cdot \lim_{x \to -4 }\frac{\frac{2}{9+2x}}{1}=\frac{3}{4}\cdot 2=1,5[/m]

Значит

[m]\lim_{x \to -4 }y=e^(1,5) - о т в е т.

4.
[m]\lim_{x \to 0}\frac{arcsin^26x}{xln(1+7x)}=\lim_{x \to 0}\frac{arcsin6x}{6x}\cdot \frac{arcsin6x}{6x}\cdot \frac{7x}{ln(1+7x)}\cdot \frac{36}{7}=[/m]

[m]=1\cdot 1\cdot1\cdot \frac{36}{7}=\frac{36}{7}[/m]

5.
y`=(sqrt(x))`*sinx+sqrt(x)*(sinx)`=

=[m]\frac{sinx}{2\sqrt{x}}[/m]+x*cosx

y`(4)=[m]\frac{sin4}{2\sqrt{4}}[/m]+4*cos4=[m]\frac{sin4}{4}[/m]+4*cos4

На шахматной доске mn клеток.
Первую ладью можно поставить на любое из mn мест.

Ладья ходит по горизонтали и вертикали.
Вычеркиваем горизонталь и вертикаль на которых она стоит.
Получаем (m-1)*(n-1) клеток, на которые можно поставить вторую ладью.

(m-[red]2[/red])*(n-[red]2)[/red] клеток, на которые можно поставить [red]третью[/red] ладью

...
(m-([green]k-1[/green]))*(n-([green]k-1[/green])) клеток, на которые можно поставить [green]k-ую[/green] ладью

По правилу умножения эти выборы надо умножить и разделить на перестановку из k
элементов

mn*(m-1)*(n-1)*... (m-(k-1))*(n-(k-1))/k!=

=(m*(m-1)*... (m-k 1))*(n*(n-1)*... (n-k 1))/k!=(m!/(m-k)!)*(n!/(n-k)!) * 1/k!=

=(m!*n!)/((m-k)!*(n-k)!*k!) - О т в е т

Выбираем шесть человек из десяти.
Это можно сделать C^(6)_(10)=10!/(6!*4!)=(7*8*9*10)/24=210 способов.
Т. е. имеем 210 вариантов списка состава участников.

В первый день можно взять один состав из 210, во второй день - один из оставшихся 209, в третий - один из оставшихся 208

Выбор в течение трех дней это выбор тройки ( состав первого дня; состав второго дня; состав третьего дня) можно осуществить
210*209*208= считайте

Ответ выбран лучшим

(m+ n)!/(m!*n!)

5+ 7 +3=15 фруктов

P_(15)=15!

Но мы не должны учитывать перестановки когда объекты одного типа меняются местами.

Поэтому нужно поделить 15! на (5!*7!*3!)

О т в е т. (15!)/((5!*7!*3!)=(8*9*10*11*12*13*14*15)/(1*2*3*4*5*2*3)=11*12*13*14*15
умножьте и получите ответ

Председателя можно выбрать m способами.
После этого останется (m-1) способ для выбора заместителя
и (m-2) способа для выбора секретаря.
По правилу умножения тройку (председателя, заместителя председателя и секретаря) можно выбрать
m*(m-1)*(m-2) cпособами

шахматная доска - квадрат 8 × 8

Первая линия содержит 8 клеток.

Для решения задачи надо найти число перестановок с повторениями,
имеющих заданный состав (2; 2; 2; 1; 1).
По формуле получаем, что искомое число перестановок с повторениями равно

Р (2;2;2;1;1)=8! / 2!2!2!1!1! = 5040
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
=(0/0)=[m]\lim_{x \to -3 }\frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{x+3}=\lim_{x \to -3 }(x^2-3x+9)=9+9+9=27[/m]

2.
=(0/0)[m]=\lim_{x \to 4 }\frac{(x-4)(2x+1)}{(x-4)(3x-1)}=\lim_{x \to 4 }\frac{2x+1}{3x-1}=\frac{2\cdot 4+1}{3\cdot 4-1}=\frac{9}{11}[/m]

3.Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^3

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^3-2x+6}{x^3}}{\frac{3x^3-13x+4}{x^3}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^3 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^3:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^3}{x^2}-2\frac{x}{x^3}+6\frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+3\frac{x^2}{x^3}-11\frac{1}{x^3}}=\frac{1-0+0}{1+0-0}=1[/m]

4.
Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное тому, что в знаменателе, т.е на такое же но с +:
3+sqrt(2x-1)

[m]=\lim_{x \to 5}\frac{(5-x)(3+\sqrt{2x-1})}{(3-\sqrt{2x-1}))(3+\sqrt{2x-1})}=\lim_{x \to 5}\frac{(5-x)(3+\sqrt{2x-1})}{9-(2x-1)}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 5}\frac{(5-x)(3+\sqrt{2x-1})}{2(5-x)}=[/m]

сокращаем на (5-х):

[m]=\lim_{x \to 5}\frac{3+\sqrt{2x-1}}{2}=\frac{3+3}{2}=3[/m]

Ответ выбран лучшим

90+80+70+60=[b]300[/b] решений задач было сдано

300:100 = 3 задачи в среднем решил один ученик

Если бы все 100 школьников решили все 4 задачи было бы сдано[b] 400[/b] решений

400-300=[b]100 [/b]решений [b]не было сделано[/b]

100-90=[b]10 человек не решили первую задачу.[/b]

100-80=[b]20 человек не решили вторую[/b]

100-70 =[b] 30 человек не решили третью[/b]

100-60 = [b]40 человек не решили четвертую[/b]

1-ую; 2-ую и 3-ю решили как минимум

70-10-20=40 человек

1-ую; 2-ую и 4-ую решили как минимум
60-10-20=30 человек

2-ую, 3-ю и 4-ую решили как минимум
60-20-30=10 человек

Поскольку все 4 задачи не решил никто, значит,
все три задачи решили

О т в е т.

lim_(x → 7)(√(3x–5)–4)/(2x–14)=0/0=

умножаем на (√(3x–5)+4) и числитель и знаменатель:

lim_(x → 7)(√(3x–5)–4)(√(3x–5)+4)/(2x–14)√(3x–5)+4)=

по формуле (a-b)(a+b)=a^2-b^2

lim_(x → 7)((√(3x–5))^2–4^2)/(2x–14)√(3x–5)+4)=

=lim_(x → 7)(3x–5–16)/(2x–14)√(3x–5)+4)=

cокращаем на (х-7):

lim_(x → 7)(3)/(2)*√(3x–5)+4)=3/(2*(sqrt(16)+4))=3/16

Ответ выбран лучшим

∫ 2xdx= ∫ dy
x^2+C=y

О т в е т. y=x^2+C

y`=(x)`*ln((3+x)/(3-x))+x*(ln((3+x)/(3-x))`

x`=1

ln((3+x)/(3-x))=ln(3+x)-ln(3-x)

(ln((3+x)/(3-x))`=(ln(3+x))`-(ln(3-x))`=1/(3+x) -(-1)/(3-x)

[blue]y`=ln((3+x)/(3-x))+x*((1/(3+x) -(-1)/(3-x))[/blue]

y``=(ln((3+x)/(3-x)))`+((1/(3+x) -(-1)/(3-x))+x*((1/(3+x) -(-1)/(3-x))`

=1/(3+x) -(-1)/(3-x)+((1/(3+x) -(-1)/(3-x))+x*(-(1)/(3+x)^2-(1)/(3-x)^2)

=[green]2/(3+x)+(2/(3-x))+x*(-(1)/(3+x)^2-(1)/(3-x)^2)[/green]

y```= (y``)`

И так 18 раз

Можно найти какую- то закономерность

Вообще для вычисления производной произведения высших порядков применяют формулу Лейбница ( см. рисунок)

n=18

u=x

v=ln((3+x)/(3-x))=ln(3+x)-ln(3-x)

u`=1

u``=0

Все производные до 18-го порядка равны 0

Значит в формуле (u*v)^(18) всего два слагаемых:

(u*v)^(18)=1*u*v^(18)+18*u`*v^(17)

Значит, надо найти[blue] v^(17)[/blue] и[green] v^(18)[/green]

v`=(ln((3+x)/(3-x)))`=(ln(3+x)-ln(3-x))`=(ln(3+x))`-(ln(3-x))`=

=1/(3+x) -(-1)/(3-x)=(1/(3+x))+(1/(3-x))

v``=(1/(3+x))`+(1/(3-x))`=-1/(3+x)^2+1/(3-x)^2

v```=2/(3+x)^3 +2/(3-x)^3

v````=2*(-3)/(3+x)^4 - (2*(-3))/(3-x)^4

....

[blue]v^(17)=16!/(3+x)^(17) +16! /(3-x)^(17)[/blue]

[green]v^(18)=-17!/(3+x)^(18) +17! /(3-x)^(18)
[/green]
О т в е т. y^(18)=x*[b]([/b]-17!/(3+x)^(18) +17! /(3-x)^(18)[b])[/b]+18*[b]([/b]16!/(3+x)^(17) +16! /(3-x)^(17)[b])[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

СС_(1)|| DD_(1)

Угол между A1C и DD1 равен углу между A1C и СС1

Значит

∠ AC_(1)C= α

tg α =AC/CC_(1) ( отношение противолеж катета к прилеж)

АС=sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной 1

CC_(1)=1

tg α =sqrt(2)/1

tg^2 α =[b]2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(полн)=S_(бок.)+2S_(осн)=4a*b+2*a^2

B_(1)D^2=BB^2_(1)+BD^2=BB^2_(1)+AD^2+AB^2

B_(1)D=2R_(сферы)=2

2=b^2+a^2+a^2 ⇒ b=sqrt(2-2a^2)

Тогда
S_(полн)=4a*b+2*a^2=4a*sqrt(2-2a^2)+2a^2

S_(полн) (а)=4a*sqrt(2-2a^2)+2a^2 - [i]зависит[/i] от а

Исследуем функцию на экстремум.

Пусть a=x
0 < x < 2 ( т. к сторона квадрата не превышает диаметра шара)

S(x)=4x*sqrt(2-2x^2)+2x^2

Находим производную:

S`(x)=4*sqrt(2-2x^2)+4x*(-4x)/2sqrt(2-2x^2)+4x

S`(x)=sqrt(2-2x^2)+x*(-2x)/sqrt(2-2x^2)+x

S`(x)=0

x*sqrt(2-2x^2)=4x^2-2

Возводим в квадрат:

x^2*(2-2x^2)=16x^4-16x^2+4

18x^4-18x^2+4=0

9x^4-9x^2+2=0

D=81-4*9*2=9

x_(1)=(9-3)/18=1/2; x_(2)=(9+3)/18=2/3

S(1/2)=4*(1/2)*sqrt(2-2*(1/2)^2)+2*(1/2)^2=sqrt(6)+(1/2)

S(2/3)=4*(2/3)*sqrt(2-2*(2/3)^2)+2*(2/3)^2=8*(sqrt(10)+1)/9

Cравним:

S(1/2) < S (2/3)

x=a=2/3
b^2=2-2a^2=2-2*(4/9)=10/9
b=sqrt(10)/3

О т в е т. a=2/3; b=sqrt(10)/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p(A)=0,7*0,3*[red]0,1[/red]+0,7*[red]0,7[/red]*0,9+[red]0,3[/red]*0,3*0,9= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7. Найти точки пересечения сторон и диагоналей.
Решить две системы уравнений:
{x+2y=4
{y=x+2

{x+2y=10
{y=x+2

Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Найти координаты середины- точки О

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Написать уравнение прямой, перпендикулярной y=x+2 и проходящей через точку О.
y=?
Найти точки пересечения этой прямой со сторонами.
Решить две системы уравнений:
{x+2y=4
{y=?

{x+2y=10
{y=?

8.

Уравнение прямой у=kx+b
Геометрический смысл коэффициента k:
k=tg α
α - угол, образованный этой прямой с положительным направлением оси Ох

α =arctg 2 ⇒ tg α =2 ⇒ k=2, b неизвестно

y=2x+b

Так как прямая проходит через точку А(5;4)

Подставляем координаты точки в уравнение:

4=2*5+b
b=-6

О т в е т. y=2x-6 - падающий, отраженный : y=-2x+6

9.
Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки
А и В:
[m]\frac{x-x_{B}}{x_{A}-x_{В}}=\frac{y-y_{В}}{y_{A}-y_{В}}[/m]

Подставляем координаты точек

Упрощаем уравнение и приводим к виду
y=kx+b

k=tg α ⇒ находим угол α (прикреплено изображение)

Из 15-ти кукол выбирают 6
n=C^(6)_(15)

Выбрать две с ватой и 4 с опилками можно
m=C^(2)_(10)*C^(4)_(5)

[m]p=\frac{C^{2}_{10}\cdot C^{4}_{5}}{C^{6}_{15}}=\frac{45}{143\cdot 7}[/m]

Ответ выбран лучшим

2.
1+3+4=8 всего разделено на 8 частей
32:8=4 в одной части

4*1=4 -первое
4*3=12 - второе
4*4=16 - третье

3.
12 автомоб грузопод 5 тонн

х автомоб грузопод 4 тонны

Чем меньше грузоподьемность, тем больше машин потребуется:

12:х=4:5

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних и равно весу перевезённого груза

12*5=4х

4х=60

х=15

15 машин грузоподьемностью 4 тонны

4.
Длина 9k, ширина 7k
k-коэффициент пропорциональности

Р=2*(9k+7k)=32k

32k=28,8

k=28,8:32=0,9

Значит длина 9*0,9=8,1
ширина 7*0,9=6,3

S=8,1*6,3

5.

Пусть числа x; y и z

x:y=7:9 ⇒ 9х=7у ⇒ [blue]x=7y/9[/blue]

y:z=3:5 ⇒ 3z=5y ⇒ [red]z=5y/3[/red]

z-x=3,2

[red](5y)/3[/red] - [blue](7y)/9[/blue]=3,2

(15y-7y)/9 =3,2

8y=9*3,2

y=3,6

x=7*3,6/9=2,8

z=5*3,6/3=6

О т в е т. 2,8; 3,6 и 6

Ответ выбран лучшим

Перебирайте все возможные варианты, я заполнила восемь, осталось немного. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Зависимость между ценой и количеством обратно пропорциональная:
чем больше цена, тем меньше товара можно купить
и обратно, чем меньше цена, тем больше товара можно купить

a) уменьшится в 1,2 раза
б) увеличится в 2 раза

3.
Произведение крайних членов равно произведению средних:
4,2*[m]3\frac{1}{8}[/m]=m*[m]2\frac{1}{3}[/m]

[m]\frac{42\cdot 25}{10\cdot 8}[/m]=m*[m]\frac{7}{3}[/m]

[m]\frac{42\cdot 25}{10\cdot 8}[/m]=m*[m]\frac{7}{3}[/m]

[m]\frac{105}{8}[/m]=m*[m]\frac{7}{3}[/m]

m=[m]\frac{105}{8}[/m]:[m]\frac{7}{3}[/m]

m=[m]\frac{105}{8}[/m]*[m]\frac{3}{7}[/m]

m=[m]\frac{45}{8}=5\frac{5}{8}[/m]

2.
Произведение крайних членов равно произведению средних.

4*18=9*8

Крайние члены 4 и 18 могут быть размещены так:
[m]\frac{4}{?}=\frac{?}{18}[/m]

либо так:

[m]\frac{18}{?}=\frac{?}{4}[/m]

Средние члены 9 и 8 могут быть размещены так:
[m]\frac{?}{9}=\frac{8}{?}[/m]

либо так:

[m]\frac{?}{8}=\frac{9}{?}[/m]

Значит, можно составить 4 пропорции:

[m]\frac{4}{8}=\frac{9}{18}[/m]

[m]\frac{18}{8}=\frac{9}{4}[/m]

[m]\frac{4}{9}=\frac{8}{18}[/m]

[m]\frac{18}{9}=\frac{8}{4}[/m]

3.
Произведение крайних членов равно произведению средних:
4,2*[m]3\frac{1}{8}[/m]=m*[m]2\frac{1}{3}[/m]

[m]\frac{42\cdot 25}{10\cdot 8}[/m]=m*[m]\frac{7}{3}[/m]

[m]\frac{42\cdot 25}{10\cdot 8}[/m]=m*[m]\frac{7}{3}[/m]

[m]\frac{105}{8}[/m]=m*[m]\frac{7}{3}[/m]

m=[m]\frac{105}{8}[/m]:[m]\frac{7}{3}[/m]

m=[m]\frac{105}{8}[/m]*[m]\frac{3}{7}[/m]

m=[m]\frac{45}{8}=5\frac{5}{8}[/m]

4.

a) уменьшится в 1,2 раза
б) увеличится в 2 раза

5.
Пусть крайние 0,7 и 1
Произведение крайних членов равно произведению средних:
0,7*1=х*1,4
х=0,5

Пусть крайние 0,7 и 1,4
Произведение крайних членов равно произведению средних:
0,7*1,4=х*1
х=0,98

Пусть крайние 1 и 1,4
Произведение крайних членов равно произведению средних:
1*1,4=х*0,7
х=2

О т в е т. 0,5 или 0,98 или 2

cos(4x-(π/6)) > 1/2

Пусть
4x-(π/6)=t

Решаем неравенство
cost > 1/2

cм. рис.

-(π/3)+2πn < t < (π/3)+2πn, n ∈ Z

Обратная замена:

-(π/3)+2πn < 4х - (π/6) < (π/3)+2πn, n ∈ Z

Прибавляем ко всем частям неравенства (π/6)

-(π/3)+(π/6)+2πn < 4х < (π/3)+(π/6)+2πn, n ∈ Z

-(π/6)+2πn < 4х < (π/2)+2πn, n ∈ Z

Делим на 4:

-(π/24)+(π/2)*n < 4х < (π/8)+(π/2)*n, n ∈ Z

О т в е т. [b]([/b]-(π/24)+(π/2)*n; (π/8)+(π/2)*n[b])[/b], n ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) (x^( α ))`= α *x^( α -1)

1/x^( α )=x^(- α )

(a^(x))`=a^(x)*lna

(lnx)`=1/x

y`=9*9x^(8)+9^(x)*ln9 -9*(-9)*x^(-10)+9*(1/x) +(1/9) -0 + (1/9)*x^((1/9)-1)

Упрощаем:

y`=81x^(8)+9^(x)*ln9+(81/x^(10)) +(9/x)+(1/9)+(1/9)*x^(-8/9)

о т в е т:
y`=81x^(8)+9^(x)*ln9+(81/x^(10)) +(9/x)+(1/9)+[m]\frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}[/m]

2.
Производная произведения:
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(2-x^5)`(x+cosx)+(2-x^5)*(x+cosx)`

y`=(0-5x^4)*(x+cosx)+(2-x^5)*(1-sinx)

y`=-5x^4*(x+cosx)+ (2-x^5)*(1-sinx) - о т в е т.

3.
Производная произведения:
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=((sinx)`*e^(3x)-(sinx)*(e^(3x))`)/(e^(3x))^2

y`=((cosx)*e^(3x)-(sinx)*(e^(3x))*(3x)`)/(e^(6x))

y`=e^(3x)*(cosx-3sinx)/e^(6x)

y`=(cosx-3sinx)/e^(3x)- о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Раскрываем скобки:
y=x^2-x^3-9+9x

y=-x^3+x^2+9x-9

y`=-3x^2+2x+9

y`=0

-3x^2+2x+9=0

3x^2-2x-9=0

D=(-2)^2-4*3*(-9)=4+108=112

Ответ выбран лучшим

Это АА_(1)

пл АВСD проходит через AD
пл. ABCD || A_(1)B_(1)

|АА_(1)|- расстояние между A_(1)B_(1) и пл ABCD

AA_(1) - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым:

АА_(1) ⊥ AD
и
АА_(1) ⊥ A_(1)В_(1)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(a-3b):3=(3b-a):4b ⇒ 4b*(a-3b)=3*(3b-a) ⇒4b*(a-3b)=-3*(a-3b)

(a-3b)*4b+3*(a-3b)=0

(a-3b)*(4b+3)=0
a-3b=0 или 4b+3=0

[blue]a=3b [/blue] или [b]b=-3/4[/b]

При[blue] a=3b:[/blue]

(a^2-b^2)/ab=((3b)^2-b^2)/(3b*b)=(8b^2)/(3b^2)=8/3

Найдем координаты двух точек, принадлежащих линии пересечения плоскостей
Решаем систему
{3x-y+2z+9=0
{x+5y+z=0

Система имеет бесчисленное множество решений.

Найдем координаты двух таких точек А и В
Пусть третья координата точки А
z=0
{3x-y+9=0
{x+5y=0 - умножаем на (-3)

{3x-y+9=0
{-3x-15y=0

Складываем

-16y+9=0

y=9/16

x=-45/16

А(-45/16;9/16;0)

Пусть вторая координата точки В
y=0
{3x+2z+9=0
{x+z=0 - умножаем на (-2)

{3x+2z+9=0
{-2x-2z=0

Складываем

x+9=0
x=-9

z=-x=9

В(-9;0;9)

Пусть точка M(x;y;z) - произвольная точка плоскости.

Тогда векторы
vector{AM}; vector{AB} и vector{j} компланарны.
Условие компланарности трех векторов- равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат векторов.
vector{AM}=(х+(45/16);y-(9/16);z)
vector{AB}=(-9+(45/16);-9/16;9)=(99/16;-9/16;9)
vector{j}=(0;1;0)

[m]\begin{vmatrix} x+\frac{45}{16} & y-\frac{9}{16} &z \\ \frac{99}{16} &- \frac{9}{16} &9 \\ 0 & 1 &0 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по третьей строке:
[m]\begin{vmatrix} x+\frac{45}{16} & z\\ \frac{99}{16} &9 \end{vmatrix}=0[/m]

[b]144x-99z+405=0[/b] - о т в е т

каноническое уравнение параболы: y^2=2px
уравнение ее директрисы x=-p/2

y^2 = 6x ⇒ 2p = 6 ⇒ p = 3
уравнение директрисы: х = -3

Множество точек, находящихся на расстоянии 3,5 от прямой х=-3
находятся на прямой х=0,5

Точек, которые лежат и на прямой х=0,5 и на параболе две.
(cм. рис)
y^2=6*0,5=3
y= ± sqrt(3)

О т в е т: (0,5;-sqrt(3)); (0,5;sqrt(3))

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1.
Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу выбранная страница содержит ошибку. ''

и события- гипотезы:
H_(1) - ''страница набрана первым рабочим''
H_(2) - ''страница набрана вторым рабочим''

p(H_(1))=200/(200+300)=2/5=0,4

p(H_(2))=300/(200+300)=3/5=0,6

5%=5/100

p(A/H_(1))=5/100=0,05
p(A/H_(2))=3/100=0,03

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) =0,4*0,05+0,6*0,03=
считайте!

2.
Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная. ''

и события- гипотезы:
H_(1) - ''деталь из первого ящика''
H_(2) - ''деталь из второго ящика''
H_(3) - ''деталь из третьего ящика''

p(H_(1))=10/(10+18+24)=10/52

p(H_(2))=18/(10+18+24)=18/52

p(H_(3))=24/(10+18+24)=24/52

p(A/H_(1))=3/10
p(A/H_(2))=6/18=1/3
p(A/H_(3))=4/24=1/6

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) +
+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(10/52)*(3/10)+(18/52)*(1/3)+(24/52)*(1/6)=считайте!

(y/10)=-10-1
y/10=-11
y=-11*10
y=-110

Ответ выбран лучшим

1.
Неопределенность (0/0)
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{(2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}=[/m]

сокращаем на (2х-1)

[m]=\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}-1}{2\cdot\frac{1}{2}+1}=\frac{0}{2}=0[/m]

2.
Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное тому, что в знаменателе, т.е на такое же но с +:
sqrt(10-x)+3
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)(\sqrt{10-x}+3)}{(\sqrt{10-x}-3)(\sqrt{10-x}+3)}=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)(\sqrt{10-x}+3)}{10-x - 9}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)(\sqrt{10-x}+3)}{1-x}=[/m]

сокращаем на (1-х):

[m]=\lim_{x \to 1}(\sqrt{10-x}+3)=3+3=6[/m]

3.
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^2

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{-x^2+8x-1}{x^2}}{\frac{5-x+2x^2}{x^2}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^2 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^2:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{-x^2}{x^2}+\frac{8x}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{5}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{2x^2}{x^2}}=\frac{-1+0-0}{0-0+2}=-\frac{1}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

(x/y)+x^2+y^2-2x=0

Дифференцируем равенство:
((x/y)+x^2+y^2-2x)`=(0)`

При этом y=y(x)

((x`*y-x*y`)/y^2)+2x+2y*y`-2=0

Умножаем на y^2

y-xy`+2x*y^2+2y^3*y`-2y^2=0

Находим y`

(2y^3-x)*y`=2x*y^2-2y^2-y

y`=(2xy^2-2y^2-y)/(2y^3-x)

Чтобы найти вторую производную, дифференцируем равенство:
(2y^3-x)*y`=2x*y^2-2y^2-y

((2y^3-x)*y`)`=(2x*y^2-2y^2-y)`

Ответ выбран лучшим

lim_(x → 0) [m]\frac{f(x)}{ φ (x)}[/m]=lim_(x → 0) [m]\frac{sin8x}{ 8x}[/m]=

=lim_(x → 0) [m]\frac{sin8x}{ 8x}\cdot \frac{5x}{arcsin5x}\cdot \frac {8}{5}[/m]= 1*1*[m]\frac {8}{5}=\frac {8}{5}[/m] ≠ 0

(прикреплено изображение)

arctg3x ∼ 3x при х → 0
ln(1+2x) ∼ 2x при х → 0

lim_(x → 0)(arctg3x)/ln(1+2x)=lim_(x → 0)(3x)/(2x)=3/2=1,5

Ответ выбран лучшим

A^(2)_(n)=n*(n-1) словарей.

Ответ выбран лучшим

2a- большая полуось
значит
a=10
ε =c/a- эксцентриситет эллипса

c=a* ε =10*0,6=6

b^2=a^2-c^2=10^2-6^2=64

[m]\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64}=1[/m] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Из точки B_(1) проводим перпендикуляр на А_(1)С_(1)

[b]B_(1)H ⊥ A_(1)C_(1)[/b]

CC_(1) ⊥ пл А_(1)В_(1)С_(1)D_(1) ⇒ [b]CC_(1) ⊥ B_(1)H[/b]

B_(1)H ⊥пл AА_(1)С_(1)C

А_(1)Н - проекция АВ_(1) на пл. ACC1

∠ B_(1)AH - искомый

В основании параллелепипеда квадрат ( АВ=AD), значит
A_(1)C_(1) ⊥ B_(1)D_(1)
H- точка пересечения диагоналей квадрата

BH_(1)=6sqrt(2)/2=3sqrt(2)

AB^2_(1)=AA^2_(1)+A_(1)B^2_(1)=8^2+6^2=100

AB_(1)=10

Из прямоугольного треугольника АНВ_(1)

cos∠ B_(1)AH=B_(1)H/AB_(1)=3sqrt(2)/10

∠ B_(1)AH=arccos (3sqrt(2)/10) (прикреплено изображение)

Строим окружность радиуса 7.
На оси Ох откладываем отрезок длины 4 и отмечаем точку х= - 4
Из точки х=-4 проводим перпендикуляр к оси Ох до пересечения с окружностью

Угол α - во второй четверти, косинус во второй четверти отрицательный.

По определению
косинусом[i] острого [/i]угла [b]прямоугольного треугольника[/b] называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Острый угол, это угол смежный с углом α :

cos(180- α )=4/7 ⇒ по формулам приведения:cos(180- α )=-cos α ⇒

cos α =-4/7

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ sin^2 α =1-cos^2 α =1-(-4/7)^2=1-(16/49)=33/49

sin α = ± sqrt(33/49)

α во второй четверти, то sin α =+sqrt(33)/7

tg α =sin α /cos α = - sqrt(33)/4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из второго уравнения выражаем y

[m]y=-\frac{\pi}{6}-x[/m]

и подставляем в первое уравнение:

[m]sinx \cdot cos(-\frac{\pi}{6}-x)=-\frac{1}{2}[/m]

Функция косинус четная, поэтому:

cos([m]-\frac{\pi}{6}-x)[/m]=cos([m]\frac{\pi}{6}+x)[/m]

sinx * cos([m]\frac{\pi}{6}+x)=-\frac{1}{2}[/m]

Применяем формулу:

sinx α *cos β ( cм. картинку)

[m]sin(\frac{\pi}{6}+2x)+sin(-\frac{\pi}{6})=-1[/m]

Так как

[m]sin(-\frac{\pi}{6})=-sin(\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}[/m]

[m]sin(\frac{\pi}{6}+2x)=-\frac{1}{2}[/m]

[m]\frac{\pi}{6}+2x=(-1)^{k}arcsin(-\frac{1}{2})+\pi k,[/m]k ∈ Z

[m]\frac{\pi}{6}+2x=(-1)^{k}(-\frac{\pi}{6})+\pi k,[/m]k ∈ Z

[m]2x=(-1)^{k+1}(\frac{\pi}{6})-\frac{\pi}{6}+\pi k,[/m]k ∈ Z

[m]x=(-1)^{k+1}(\frac{\pi}{12})-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2} k,[/m]k ∈ Z - о т в е т.

Его можно упростить.

При k=2n

[m]x=(-1)^{2n+1}(\frac{\pi}{12})-\frac{\pi}{12}+\pi n,[/m]n ∈ Z ⇒

[m]x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,[/m]n ∈ Z

При k=2m+1
[m]x=(-1)^{2m+1+1}(\frac{\pi}{12})-\frac{\pi}{12}+\pi m+\frac{\pi}{2} ,[/m]n ∈ Z ⇒

[m]x=\frac{\pi}{2}+\pi m,[/m]m ∈ Z

О т в е т. [m]x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,[/m]n ∈ Z , [m]x=\frac{\pi}{2}+\pi m,[/m]m ∈ Z (прикреплено изображение)

1.
[m]|f(x)-(-2)|=|\frac{x^2-x-6}{x+2}+2|=|\frac{x^2-x-6+2x+4}{x+2}|=[/m]

[m] =|\frac{x^2-x-2}{x+2}|=|\frac{(x-1)(x+2)}{x+2}|=|x-1|< [/m] ε

как только |x-1| < δ

Достаточно взять δ ≤ ε

2.

|4^([m]\frac{1}{x+2}[/m]) -0|=4^([m]\frac{1}{x+2}[/m]) < ε ⇒

[m]\frac{1}{x+2}[/m] < log_(4) ε [red] ⇒ [/red]

log_(4) ε <0

[red] ⇒ [/red]x+2 < -1-log_(4) ε

как только

|x-(-2+0)|=|x+2-0|< δ

Достаточно взять
δ ≤ -1-log_(4) ε ( -log_(4) ε >0, намного больше 1)

Ответ выбран лучшим

Область определения функции f(x): (- ∞ ;1)U(1;+ ∞ )

lim_(x → 1)f(x)=lim_(x → 1)(1+sin[m]\frac{\pi}{x-1}[/m])=

Предел суммы равен сумме пределов:

=lim_(x → 1)(1)+lim_(x → 1)sin[m]\frac{\pi}{x-1}[/m]

Предел константы равен константе

Знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами:

=1+ sin( [blue]lim_(x → 1)[/blue][m]\frac{\pi}{x-1}[/m]),[blue] не существует[/blue]

так как
предел слева:
[blue]lim_(x → 1-0)[/blue][m]\frac{\pi}{x-1}[/m]=- ∞
предел справа:
[blue]lim_(x → 1+0)[/blue][m]\frac{\pi}{x-1}[/m]=+ ∞

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|sinx-siny| ≥ 0 ⇒ sinx*siny ≤ 0 ⇒ sinx и siny противоположных знаков

Раскрываем модуль:
sinx-siny ≥ 0 ⇒ sinx ≥ siny

значит случай sinx <0, siny >0 невозможен.
sinx ≥ 0 ⇒ siny ≤ 0

sinx-siny+sinx*siny=0

sinx + siny*(sinx-1)=0

так как sinx ≥ 0,

(sinx -1 ) ≤ 0 и siny ≤ 0 ⇒ siny*(sinx-1) ≥ 0

Cумма неотрицательных чисел равна 0, только

{sinx=0
{siny=0

{x=πk,
{y=πm,
k,m ∈ Z

Аналогично
для случая

sinx-siny <0

-sinx+siny+sinx*siny
siny+sinx*(siny-1)=0 ⇒ sinx=0; siny =0

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y``-y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-1=0
(k+1)(k-1)=0
k1=-1; k2=1– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(-х)+C_(2)*e^(x)

Применяем метод вариации произвольных постоянных

Для этого константы С_(1) и С_(2) считаем зависящими от х

[b]y=C_(1)(х)*e^(-x)+C_(2)(х)*e^(x) (#)[/b]

C_(1) x и С_(2)(х) находим из системы:

{ C’_(1)(x)e^(-x)+C`_(2)(x)e^(x)=0;
{C`_(1)(x)*(-e^(-x))+C’_(2)(x)*e^(x)=(x+1/x)e^(x)

Из первого уравнения: С’_(1)(x)=-C`_(2)e^(2x)

подставляем во второе,

получаем

-C`_(2)(x)e^(2x)*(-e^(-x))+C`_(2)(x)*e^(x)=(x+1/x)e^(x)

2C`_(2)(x) *e^(x)=(x+1/x)e^(x)

C’_(2)(x)=(x+1/x)

C_(2)(x)= ∫ (x+1/x)dx= плохо понимаю, что здесь: сумма или дробь.

поэтому дальше самостоятельно.

Находим С_(2)(х)

Подставляем в

С’_(1)(x)=-C`_(2)e^(2x)

Находим С_(1)(х)

Ответ выбран лучшим

Ведущий самолет и два ведомых.
Радионавигационное оборудование имеется только у ведущего самолета, это значит ведомые без ведущего выйти к цели не могут.

Перед выходом к цели самолёты проходят ПВО

"[i] все три самолета прошли ПВО[/i]"- обозначим событие H_(1)

p(H_(1))=0,8*0,8*0,8=0,512

"[i] ПВО прошел ведущий самолет и один ведомый [/i]- обозначим событие H_(2)

p(H_(2))=0,8*0,8*0,2+0,8*0,2*0,8=0,256

"ПВО прошел ведущий самолет [/i]- обозначим событие H_(3)
p(H_(3))=0,8*0,2*0,2=0,032

"ПВО прошли два ведомых самолета [/i]- обозначим событие H_(4)
p(H_(4))=0,2*0,8*0,8=0,128

"ПВО прошел один ведомый самолет [/i]– обозначим событие H_(5)

p(H_(5))=0,2·0,8·0,2+0,2*0,2*0,8=0,064

Введем в рассмотрение события
A - "цель поражена"

Если к цели подошли все три самолета,то цель может быть поражена хотя бы одним попаданием.

Найдем вероятность противоположного события: " ни один самолет не попал",тогда
p(A/H_(1))=1- 0,7^3=0,657

Если к цели подошли два самолета,то цель может быть поражена хотя бы одним попаданием.
p(A/H_(2))=1-0,7^2=0,51

Если к цели подошел только один ведущий самолет,то цель может быть поражена одним попаданием.
p(A/H_(3))=0,3

В случае, если ведущий самолет не прошел ПВО, то ни два ведомых самолета ни один из них выйти к цели не смогут
p(A/H_(4))=0

p(A/H_(5))=0

По формуле полной вероятности:
р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1))+р(Н_(2))*р(А/Н_(2))+

+р(Н_(3))*р(А/Н_(3))+р(Н_(4))*р(А/Н_(4))+р(Н_(5))*р(А/Н_(5))=

=0,512*0,657+0,256*0,51+0,032*0,3+0,128*0 +0,64*0

считайте.

Ответ выбран лучшим

уравнение x^2+32x+b=0 имеет хотя бы один корень.

Значит, дискриминант квадратного уравнения:
D=32^2-4b=1024-4b ≥ 0 ⇒ b ≤ 254

Пусть это 256
1) утв верно
2) верно
3) утв неверно

О т в е т. 256

Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу вызванный студент ответит на вопрос ''
и события - гипотезы
H_(1) - ''студент из группы подготовивших ответы на все 30 вопросов''
H_(2) - ''студент из группы подготовивших ответы на 25 вопросов''
H_(3) - ''студент из группы подготовивших ответы на 20 вопросов'
H_(4) - ''студент из группы подготовивших ответы на 15 вопросов''

p(H_(1))=8/25
p(H_(2))=10/25
p(H_(3))=4/25
p(H_(4))=3/25

Гипотезы выбраны верно, так как
p(H_(1))+p(H_(2))+p(H_(3))+p(H_(4))=(8/25)+(10/25)+(4/25)+(3/25)=1

p(A/H_(1))=1
p(A/H_(2))=25/30
p(A/H_(3))=20/30
p(A/H_(4))=15/30

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))+p(H_(4))*p(A/H_(4))=

=(8/25)*1+(10/25)*(25/30)+(4/25)*(20/30)+(3/25)*(15/30)=127/150

Ответ выбран лучшим

1.
π рад =180 градусов

[m]\frac{2\pi}{3}=\frac{2\cdot 180^{o}}{3}=120^{o}[/m]

О т в е т. г)

2.
ОДЗ:
2x-1 > 0 ⇒ x> [m]\frac{1}{2}[/m]

log_(5)(2x-1) ≤ 2*1

1= log_(5)5

log_(5)(2x-1) ≤ 2*log_(5)5

Применяем свойство логарифма степени:
log_(5)(2x-1) ≤ log_(5)5^2

Логарифмическая функция с основанием 5>1 возрастающая.

[i]Большему [/i]значению функции соответствует [i]большее [/i]значение аргумента:

2x-1 ≤ 5^2

2х ≤ 26

x ≤ 13

С учетом ОДЗ получаем
О т в е т. (0,5;13]

Ответ выбран лучшим

cos2α =(1-tg^2 α )/(1+tg^2 α )

cos( α /2)=(1-tg^2( α /4))/(1+tg^2( α /4))=(1-(-1)^2)/(1+(-1)^2)=0

Дано:
d=8
R=17
Найти r

r^2=R^2-d^2=17^2-8^2=289-64=225
r=15

S_(большого круга)=π*R^2=π*17^2=[b]289π[/b] см^2

C_(большого круга)=2π*R=[b]34π[/b] см

S_(сечения)=π*r^2=π*15^2=[b]225π[/b] см^2

S_(поверхности)=4π*R^2=4*π*17^2 см^2

V_(шара)=4π*R^3/3=4*π*17^3/3 см^3

S_(квадрата)=(1/2)d^2=(1/2)*(2r)^2=2r^2=2*15^2=2*225=450 см^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ f= f(x_(o)+ Δx)-f(x)

Δ f= |x_(o)+ Δx|-|x_(o)| - приращение в произвольной точке x_(o)

Δ f= |10+ 0,1|-|10|=10,1-10=0,1 - приращение в точке х_(о)=10

df(10)= Δf(10), так как α * Δх=0

(см. определение в приложении) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

замена:
2x^2+x+5=t;

(t+3a^2)^2=12a^2t

t^2+6at^2+9a^4=12a^2t

t^2-6at^2+9a^4=0

(t-3a^2)^2=0

t-3a^2=0

t=3a^2

Обратная замена:

2x^2+x+5=3a^2

Переформулируем задачу: при каких значениях параметра а
уравнение
2x^2+x+5-3a^2=0
имеет ровно один корень

Квадратное уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен 0.

D=1-4*2*(5-3a^2)=1-40+24a^2=24a^2-39

D=0

24a^2-39=0

3*(8a^2-13)=0

a^2=13/8

[b]a= ± sqrt(13/8)[/b]

Ответ выбран лучшим

Область определения: (- ∞ ;+ ∞ )

y`=1-[m]\frac{1}{1+x^2}[/m]

y`=[m]\frac{x^2}{1+x^2}[/m]

y`=0

x^2=0

x=0

При переходе через точку 0 производная не меняет знак.
Функция не имеет экстремума в точке 0

О т в е т. Нет точек экстремума

РS

y`>0 Функция возрастает на (- ∞ ;+ ∞ )

cм. график (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=(tgx)^(sinx)

lny=ln(tgx)^sinx

По свойству логарифма степени:

lny=sinx*ln(tgx)

Находим предел

lim_(x → 0)lny=lim_(x → 0)sinx*ln(tgx)

представим произведение в виде дроби

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{ln(tgx)}{\frac{1}{sinx}}=( \frac{\infty}{\infty})[/m]

Применяем правило Лопиталя ( второй случай)

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{(lntgx)`}{(\frac{1}{sinx})`}=\lim_{x \to 0 }\frac{\frac{1}{tgx}\cdot(tgx)`}{()-\frac{1}{sin^2x})\cdot(sinx)`}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{tgx}\cdot\frac{1}{cos^2x}}{(-\frac{cosx}{sin^2x})}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0 }\frac{sinx}{cos^2x}=0[/m]

[m]\lim_{x \to 0 }(tgx)^{sinx}=e^{0}=1[/m] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть T_(k)=C^(k)_(15)*(sqrt(7))^(k)*(3)^(15-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда Т_(k) больше соседа слева и соседа справа:
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)

(cм. приложение С^(k)_(n))

[m]T_{k}=C^{k}_{15}(\sqrt{7})^{k}\cdot 3^{15-k}=\frac{15!}{k!\cdot(15-k)!}(\sqrt{7})^{k}\cdot 3^{15-k}[/m]

[m]T_{k-1}=C^{k-1}_{15}(\sqrt{7})^{k-1}\cdot 3^{15-k+1}=\frac{15!}{(k-1)!\cdot(15-k+1)!}(\sqrt{7})^{k-1}\cdot 3^{15-k+1}[/m]

[m]T_{k+1}=C^{k+1}_{15}(\sqrt{7})^{k+1}\cdot 3^{15-k-1}=\frac{15!}{(k+1)!\cdot(15-k-1)!}(\sqrt{7})^{k+1}\cdot 3^{15-k-1}[/m]

Тогда условия системы неравенств принимают вид:
{[m]\frac{15!}{k!\cdot(15-k)!}(\sqrt{7})^{k}\cdot 3^{15-k}>\frac{15!}{(k-1)!\cdot(15-k+1)!}(\sqrt{7})^{k-1}\cdot 3^{15-k+1} [/m]

{[m]\frac{15!}{k!\cdot(15-k)!}(\sqrt{7})^{k}\cdot 3^{15-k}>\frac{15!}{(k+1)!\cdot(15-k-1)!}(\sqrt{7})^{k+1}\cdot 3^{15-k-1}[/m]

Упрощаем:

k!=1*2*3*...*(k-1)*(k)
(k-1)!=1*2*3*...*(k-1)

Поэтому сокращаем на (k-1)!
Останется (k) там, где был k!

[m]\left\{\begin{matrix}\frac{1}{k} \cdot \sqrt{7}>\frac{1}{16-k}\cdot 3 & \\ \frac{1}{15-k}\cdot 3>\frac{1}{k+1}\cdot (\sqrt{7})& \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{7}}{3} >\frac{k}{16-k}& \\ \frac{k+1}{15-k}>\frac{\sqrt{7}}{3}& \end{matrix}\right.[/m]

Аналогично:
k!=1*2*3*...*(k-1)*(k)
(k+1)!=1*2*3*...*k*(k+1)

Cокращаем на k!

Остается только последний множитель (k+1) там, где был (k+1)!

{sqrt(7)*(16-k)>3k
{3(k+1)>sqrt(7)*(15-k)

sqrt(7) ≈ 2,64

{k< ≈ 7,5
{k> ≈ 6,9

[b]k=7[/b]

Т_(7)=C^(7)_(15)*(sqrt(7))^(7)*(3)^(15-7) =45*11*13*7^3*sqrt(7)*3^(8)

- наибольший член разложения данного бинома. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|-8|=8
-8=8*(cosπ+i* sinπ)

Применяем формулу Муавра.

∛(-8)=∛8*[m](cos\frac{\pi+2 \pi k}{3}+isin\frac{\pi+2\pi k}{3})[/m], k ∈ Z

при k=0
первый корень
z_(o)=2*[m](cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})=1+\sqrt{3}[/m]

при k=1
второй корень
z_(1)=2*[m](cos\frac{\pi+2\pi}{3}+isin\frac{\pi+2\pi}{3})=2*(cos\pi+isin\pi)=-2[/m]

при k=2
третий корень
z_(2)=2*[m](cos\frac{\pi+4\pi}{3}+isin\frac{\pi+4\pi}{3})=2*(cos\frac{5\pi}{3}+isin\frac{5\pi}{3})=-1-\sqrt{3}[/m]

Корни расположены на окружности радиуса 2

Точки z_(o);z_(1);z_(2) делят окружность на три ( потому что корень третьей степени) равные части, каждая по 120 градусов (прикреплено изображение)

Раскрываем скобки:
x+7y-3iy=12+4i

a)
{x+7y=12
{-3y=4

{y=-4/3
{x=12-7*(-4/3)

{y=[b]-4/3[/b]
{x=[b]64/3[/b]

б)

x=ai и y=bi - чисто мнимые

ai+7*bi-3*i*bi=12+4i
3b+(a+7)*i=12+4i

{a+7b=4
{3b=12

{b=4
{a=4-7b=4-28=-24

[b]x=-24i[/b]
[b]y=4i[/b]

Дано параметрическое уравнение прямой.
Выразим t
{t=(x+1)/3
{t=y/2
{t=z

Приравниваем правые части
(x+1)/3=y/2=z
Получили каноническое уравнение прямой в пространстве

Прямая имеет направляющий вектор
vector{s}=(3;2;1)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку M, перпендикулярно данной прямой.

При этом направляющий вектор прямой - нормальный вектор плоскости

3*(x-1)+2*(y-1)+1*(z-6)=0

Найдем координаты точки N- точки пересечения плоскости и прямой:
3*(-1+3t-1)+2*(2t-1)+1*(t-6)=0
t=1
x_(N)=-1+3=2
y_(N)=2*1=2
z_(N)=1

N(2;2;1)

Составляем уравнение прямой проходящей через две точки М и N:

Уравнение МN, как уравнение прямой проходящей через две точки:
[m]\frac{x−x_{M}}{x_{N}−x_{M}}=\frac{y−y_{M}}{y_{N}−y_{M}}=\frac{z−z_{M}}{z_{N}−z_{M}}[/m]

Ответ выбран лучшим

(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2 - каноническое уравнение сферы с центром в точке О(a;b;c) и радиусом R

По условию R=9

(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=9^2

Подставляем координаты точки А:
(-5-a)^2+(10-b)^2+(-1-c)^2=9^2
Подставляем координаты точки B:
(1-a)^2+(-2-b)^2+(-1-c)^2=9^2
Подставляем координаты точки C:
(-8-a)^2+(-2-b)^2+(2-c)^2=9^2

Решаем систему трех уравнений:
{(-5-a)^2+(10-b)^2+(-1-c)^2=9^2
{(1-a)^2+(-2-b)^2+(-1-c)^2=9^2
{(-8-a)^2+(-2-b)^2+(2-c)^2=9^2

Приравниваем левые части первого и второго уравнений;
второго и третьего:
{(-5-a)^2+(10-b)^2+(-1-c)^2=9^2
{(-5-a)^2+(10-b)^2+(-1-c)^2=(1-a)^2+(-2-b)^2+(-1-c)^2
{(1-a)^2+(-2-b)^2+(-1-c)^2=(-8-a)^2+(-2-b)^2+(2-c)^2

{(-5-a)^2+(10-b)^2+(-1-c)^2=9^2
{(-5-a)^2+(10-b)^2=(1-a)^2+(-2-b)^2
{(1-a)^2+(-1-c)^2=(-8-a)^2+(2-c)^2

Упрощаем:

{(-5-a)^2+(10-b)^2+(-1-c)^2=9^2
{25+10a+a^2+100-20b+b^2=1-2a+a^2+4+4b+b^2 ⇒12a-24b+120=0
{1-2a+a^2+1+2c+c^2=64+16a+a^2+4-4c+c^2 ⇒ 18a-6c+66=0

a-2b+10=0
3a-c+11=0

b=[m]\frac{a+10}{2}[/m]
c=3a+11

подставляем в первое уравнение:

[m](-5-a)^2+(10-\frac{a+10}{2})^2+(-1-(3a+11))^2=9^2[/m]

[m](-5-a)^2+(\frac{20-a-10}{2})^2+(-1-(3a+11))^2=81[/m]

25+10a+a^2+25-5a+0,25a^2+9a^2+72a+144=81

10,25a^2+77a+113=0

D=77^2-4*10,25*113=5929-4633=1296

a_(1)=(-77+36)/20,5=-2 или a_(2)=(-77-36)/20,5=-[m]\frac{226}{41}[/m]

b_(1)=[m]\frac{-2+10}{2}=4[/m]
c_(1)=3*(-2)+11=5

b_(2)=[m]\frac{-\frac{226}{41}+10}{2}=\frac{92}{41}[/m]
c_(2)=3*(-[m]\frac{226}{41})+11=-\frac{227}{41}[/m]

О т в е т. (x+2)^2+(y-4)^2+(z-5)^2=9^2

и второе уравнение:
(ч+[m]\frac{226}{41}[/m])^2+(y-[m]\frac{92}{41}[/m])^2+(z+[m]\frac{227}{41}[/m])^2=9^2

Ответ выбран лучшим

2.3
По формуле
sin2x=2*sinxcosx ⇒

sinxcosx=(1/2)sin2x

Уравнение принимает вид:

(1/2) sin2x=sqrt(3)/4

Умножаем на 2:

sin2x=sqrt(3)/2

2х=(-1)^(k) arcsin(sqrt(3)/2) + πk, k ∈ Z

2x=(-1)^(k) *(π/3) + πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)*(π/6)+(π/2)k, k ∈ Z - о т в е т.

2
2R=H=d*sin45 ° = 6sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=6

S_(бок)=2π*R*H=π*(2R)*H=π*6*6=36π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.1
Показательная функция с основанием (1/3) < 1 убывающая, [i]большему [/i]значению функции соответствует [i][red]меньшее [/red][/i]значение аргумента:
x^2[red]<[/red] 3x+4

x^2-3x-4 <0
D=(-3)^2-4*(-4)=25
x_(1)=(3-5)/2=-1; x_(2) =(3+5)/2=4

Решение неравенства:
-1 < x < 4

О т в е т. (-1;4)

2.2.
y`=(2x^2-x^4+6)`=4x-4x^3

y`=0

4x-4x^3=0
4x*(1-x^2)=0

x=0 или 1-x^2=0

х=0 или x= ± 1

Расставляем знак производной

__+_ (-1) __-__ (0) __+__ (1) __-_

На отрезке [-2;0]

[-2] __+_ (-1) __-__ [0]

x= -1 - точка максимума.
Значит в этой точке наибольшее значение функции на отрезке:

y(-1)=2*(-1)^2-(-1)^4+6=2-1+67

О т в е т. 7

cм. рис.

вопрос о наибольшем значении части кривой от А до С

На рис. видно, что наиб значение в точке В
при х=-1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(-cosx;sinx)=f(cosx;sinx) - подынтегральная функция четна относительно косинуса, поэтому применяется подстановка

tgx=t ⇒ 1+tg^2x=[m]\frac{1}{cos^2x}[/m] ⇒ cos^2x=[m]\frac{1}{1+tg^2x}[/m]

cos^2x=[m]\frac{1}{1+t^2}[/m]

x=arctgt

dx=[m]\frac{dt}{1+t^2}[/m]

[m]\int \frac{dx}{1+3cos^2x}=\int \frac{\frac{dt}{1+t^2}}{1+3\cdot\frac{1}{1+t^2}}=\int \frac{dt}{1+t^2+3}=\int \frac{dt}{t^2+4}=[/m]

[m]=\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{t}{2}=\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{tgx}{2}+C[/m]- о т в е т

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Координаты точки О как середины диагонали AC:
x_(O)=[m]\frac{x_{A}+x_{C}}{2}[/m]
y_(O)=[m]\frac{y_{A}+y_{C}}{2}[/m]
z_(O)=[m]\frac{z_{A}+z_{C}}{2}[/m]

x_(C)=2x_(O)-x_(A)=2*2-8=-4
y_(C)=2y_(O)-y_(A)=2*4-1=7
z_(C)=2z_(O)-z_(A)=2*(-2)-5=-9

Аналогично
x_(B)=2x_(O)-x_(D)=2*2-(-3)=7
y_(B)=2y_(O)-y_(D)=2*4-0=8
z_(B)=2z_(O)-z_(D)=2*(-2)-4=-8

Уравнение BC, как уравнение прямой проходящей через две точки B(7;8;-8 ) и С(-4;7;-9):

[m]\frac{x-x_{C}}{x_{B}-x_{C}}=\frac{y-y_{C}}{y_{B}-y_{C}}=\frac{z-z_{C}}{z_{B}-z_{C}}[/m]

[m]\frac{x-(-4)}{7-(-4)}=\frac{y-7}{8-7}=\frac{z-(-9)}{-8-(-9)}[/m]

[m]\frac{x+4}{11}=\frac{y-7}{1}=\frac{z+9}{1}[/m] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
vector{z}=x-iy

f(z)=(x-iy)*y=xy-iy^2

u(x;y)=Re(f(x))=xy
v(x;y)=Im(f(z))=-y^2

Находим частные производные:

u`_(x)=(xy)`_(x)=y
v`_(y)=-2y

u`_(x) ≠ v`_(y)

Условия Коши-Римана не выполняются
О т в е т. нет
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\int \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-2x+17}}dx=[/m]

Выделяем полный квадрат в знаменателе:

x^2-2x+17=x^2-2x+1+16=(x-1)^2+16

Замена переменной
x-1=t
x=t+1
dx=(t+1)`dt
dx=dt

2x-1=2*(t+1)-1=2t+1

получаем:

[m]\int \frac{2t+1}{ \sqrt{t^2+16}}dt=\int \frac{2t}{ \sqrt{t^2+16}}dt+\int \frac{1}{ \sqrt{t^2+16}}dt=[/m]

Первый табличный:
[m]\int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}[/m]

u=t^2+16
du=2tdt

Второй табличный:

[m]\int \frac{du}{\sqrt{u^2+k}}=ln|u+\sqrt{u^2+k}|[/m]

[m]\int \frac{2t+1}{ \sqrt{t^2+16}}dt=\int \frac{2t}{ \sqrt{t^2+16}}dt+\int \frac{1}{ \sqrt{t^2+16}}dt=[/m]

[m]\int \frac{du}{ \sqrt{u}}+\int \frac{1}{ \sqrt{t^2+16}}dt=[/m]

[m]=2\sqrt{u}+ln|t+\sqrt{t^2+16}|+C=[/m]

[m]=2\sqrt{t^2+16}+ln|t+\sqrt{t^2+16}|+C=[/m]

[m]=2\sqrt{x^2-2x+17}+ln|x-1+\sqrt{x^2-2x+17}|+C[/m] - о т в е т

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
18y^2*(y-2)=0
y^2=0 [i] или[/i] y-2=0
y=0 [i] или[/i] y=2
О т в е т. 0; 2.

2.
Замена переменной:
x^2-10=t

t^2-3t-4=0
D=(-3)^2-4*(-4)=9+16=25
t=(3 ± 5)/2
t_(1)=-1 [i] или [/i] t_(2)=4

Обратная замена:
x^2-10=-1 [i]или[/i] x^2-10=4
x^2=9 [i]или[/i] x^2=14
x= ± 3 [i]или[/i] x= ± sqrt(14)

О т в е т. [b]-sqrt(14); - 3; 3; sqrt(14)[/b]

3.
16x^3-32x^2-x+2=0
(16x^3-32x^2)-(x-2)=0
16x^2(x-2)-(x-2)=0
(x-2)(16x^2-1)=0
x-2=0 [i]или[/i] 16x^2-1=0
x=2 [i]или[/i] (4x-1)(4x+1)=0 ⇒ 4x-1=0 [i]или[/i] 4x+1=0

x=2 [i]или[/i] x=1/4 [i]или[/i] x=-1/4

О т в е т.[b] -1/4; 1/4; 2[/b]

4.
[m]\frac{x^2}{27}+\frac{x}{3}=\frac{x+9}{3}[/m]

Умножаем все члены уравнения на 27

[m]\frac{x^2}{27}\cdot 27+\frac{x}{3}\cdot 27=\frac{x+9}{3}\cdot 27[/m]

x^2+9x=9*(x+9)

x^2+9x=9x+9

x^2=9

x= [b]± 3[/b]

О т в е т. -3; 3

5.

[m]\frac{x(2-x)}{2}+\frac{3(x-3)^2}{2}=\frac{5}{2}-\frac{2(4-x)}{3}[/m]

Умножаем на 6:

[m]\frac{x(2-x)}{2}\cdot 6+\frac{3(x-3)^2}{2}\cdot 6=\frac{5}{2}\cdot 6-\frac{2(4-x)}{3}\cdot 6[/m]

3*x(2-x)+3*3(x-3)^2=3*5-2*2*(4-x)

6x-3x^2+9(x^2-6x+9)=15-16+4x;

6x^2-52x+82=0

3x^2-26x+41=0

D=26^2-4*3*41=676-492=184

sqrt(184)=2sqrt(46)

x_(1)=(26-2sqrt(46))/6 [i]или[/i] x_(2)=(26+2sqrt(46))/6

x_(1)=(13-sqrt(46))/3 [i]или[/i] x_(2)=(13+sqrt(46))/3

О т в е т. (13-sqrt(46))/3; (13+sqrt(46))/3

{x`(t)=y+2e^(t)
{y`(t)=x+t^2

Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение:
{y=x`(t)-2e^(t)
{(x`(t)-2e^(t))`=x+t^2

Решаем второе уравнение:
x``(t)-2e^(t)=x+t^2

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

x``(t)-x=2e^t+t^2

Решаем однородное уравнение:
x``- x=0

Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2-1=0

k_(1) = - 1; k_(2) =1 - корни действительные различные.

Общее решение однородного уравнения в случае когда корни действительные различные имеет вид:

y_(общее одн_=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)

В данном случае:

x(t)_(общее одн)=C_(1)e^(-t)+C_(2)*e^(t)

Правая часть f(t)=f_(1)(t)+f_(2)t

Находим два частных решения
Первое соответствует
[b]f_(1)(t)=2e^(t)[/b]
и удовлетворяет уравнению:
x``(t)-x=2e^t

Так как k_(2)=[b]1[/b] и f_(1)(t)=e^([b]1[/b]*t)
то
y_(1 частное)= A*t*e^(t)
y`_(1 частное)=(At*e^(t))`=A*t`*e^(t)+A*t*(e^(t))`=Ae^(t)+At*e^(t)
y``_(1 частное)=(Ae^(t)+At*e^(t))`=(A*e^(t))`+(At*e^(t))=Ae^(t)+Ae^(t)+At*e^(t)=2Ae^(t)+A*t*e^(t)

Подставляем в уравнение:
x``(t)-x=2e^(t)

2Ae^(t)+A*t*e^(t)-Ae^(t)=2e^(t)

[b]A[/b]e^(t)+A*t*e^(t)=[b]2[/b]e^(t)

не нравится, Ate^(t) должно было обнулиться???

A=2 ?

[blue]x_(1 частное)=2* e^(t)[/blue]

[b]f_(2)(t)=t^2[/b]

x_(2 частное)= Mt^2+Nt+P
x`_(1 частное)=2Mt+N
x``_(1 частное)=2M

Подставляем в уравнение:
2M-Mt^2-Nt-P=t^2

-M=1 ⇒ M=-1
-N=0
2M-P=0 ⇒ P=2M=-2

[blue]x_(2 частное)=-t^2-2[/blue]
[b]x(t)[/b]=x(t)_(общее одн)+[blue]x_(1 частное)[/blue]+[blue]x_(2 частное)[/blue]=

[b]C_(1)*e^(-t) +C_(2)*e^(t)+2*t*e^(t)-t^2-2[/b]

Подставляем в первое уравнение

[b]y(t)[/b]=x`(t)-2e^(t)[b]=C_(1)*e^(-t) +C_(2)*e^(t)+2*t*e^(t)-t^2-2-2*e^(t)[/b]

1.3
Логарифмическая функция y=log_(0,2) (x+4) убывающая.
Область определения
x+4 > 0 ⇒ x > -4
Множество значений:
[b]( - ∞ ;+ ∞ )[/b]

2.
[m]\int (2x-\frac{1}{x^2})dx=\int (2x-x^{-2})dx=x^2-\frac{x^{-1}}{-1}+C=x^2+\frac{1}{x}+C[/m]

3.
б)
остальные пересекаются, имеют общую точку

Ответ выбран лучшим

y=6x-3x^2 - парабола, ветви вниз.
Парабола пересекает ось ох в точках:
y=0
6x-3x^2=0
3x(2-x)=0
x_(1)=0; x_(2)=2

S= ∫ ^(2)_(0)(6x-3x^2)dx=(3x^2-x^3)|^(2)_(0)=3*2^2-2^3=14-8=[b]6[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АВС: АВ+ВС

Составим уравнение прямой АВ, как прямой проходящей через две точки:
(х-1)/(4-1)=(у-1)/(2-1)

АВ: х-3у+2=0

Составим уравнение прямой ВС, как прямой проходящей через две точки:
(х-4)/(0-4)=(у-2)/(4-2)

АВ: х+2у-8=0

Ц= ∫_(ABC) vector{F}ds=∫_(AB) vector{F}ds+∫_(BC) vector{F}ds

ds=dx*vector{i}+dy*vector{j}

∫_(AB) vector{F}ds= ∫ _(AB)(ydx+2xdy)=

y=(x-2)/3
dy=(1/3)dx

=∫^(4) _(1)[b]([/b]((x-2)/3)dx+2x*(1/3)dx[b])[/b]==∫^(4) _(1)[b]([/b]x-(2/3)[b])[/b]dx=

=[b]([/b](x^2/2)-(2/3)x[b])[/b]|^(4)_(1)=(4^2/2)-(2/3)*4-(1/2)+(2/3)=[b]3,5[/b]

∫_(BC) vector{F}ds=∫_(BC)ydx+2xdy)

y=(-x-8)/2
dy=(-1/2)dx

=∫^(0) _(4)[b]([/b]((-x-8)/2)dx+2x*(-1/2)dx[b])[/b]=∫^(0) _(4)[b]([/b](-3/2)x-4[b])[/b]dx=

=(-3/2)*[b]([/b](x^2/2)-4x[b])[/b]|^(0)_(4)=(3/2)*(4^2/2)+4*4=12+16=[b]28[/b]

Ц= ∫_(ABC) vector{F}ds=∫_(AB) vector{F}ds+∫_(BC) vector{F}ds=

[b]=3,5+28=31,5[/b]

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой ОА:
y=2x

ds=sqrt(1+(y`)^2)dx=sqrt(1+2^2)dx=sqrt(5)dx

sqrt(x^2+y^2+4)=sqrt(x^2+(2x)^2+4)=sqrt(5x^2+4)

тогда искомый интеграл можно записать как определенный:

∫ ^(1)_(0)sqrt(5)dx/sqrt(5x^2+4)=∫ ^(1)_(0)d(sqrt(5)x)/sqrt((sqrt(5)x)^2+4)=

=ln|sqrt(5)x+sqrt(5x^2+4)|^(1)_(0)=

=ln(sqrt(5)+3)-ln2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.6.
Из прямоугольного треугольника АКС:
АС^2=КС^2-AK^2=10^2-8^2=100-64=36
AC=6
AB^2+BC^2=AC^2
AB=BC
2AB^2=36
AB^2=18
AB=sqrt(18)=sqrt(9*2)=3sqrt(2)

[b]AB=3*sqrt(2)[/b]

1.7.

vector{c}=((1/3)*3+(1/2)*4;(1/3)*0+(1/2)*2;(1/3)*(-3)+(1/2)*(-4))=(1+2;0+1;-1-2)=(3;1;-3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.3.
{5-x>0 ⇒ [blue] x < 5[/blue]
{x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2

О т в е т. [2;5)

2.4.
R=[red]3[/red] ( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)
cм. рис.

H^2=6^2-3^2=36-9=27
H=[blue]3sqrt(3)[/blue]

S_(осевого сеч.)=2R*H=2*[red]3[/red]*[blue]3sqrt(3)[/blue]=18sqrt(3)

О т в е т. 18sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)

Решаем однородное:
y''–3y'+2y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k+2=0
D=9-2*4=9-8=1

k_(1)=1; k_(2)=2 - корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(2x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=[b]y_(част 1)+y_(част 2)[/b]

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=3х

y_(част 1) =Ax+B

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част1)=A

y``_(част)=0

подставляем в данное уравнение:

0-3*A+2*(Ax+B)=3x

2A=3 ⇒ [b]А=3/2[/b]
2B-3A=0 ⇒[b] B=A/2=3/4[/b]

y_(част 1)=[green](3/2)x+(3/4)[/green]

f_(2)(x)=5*sin2x
y_(част 2) =Mcos2x+Nsin2x

y`_(част 2) =2M*(-sin2x)+2Ncos2x

y``_(част 2) =-4Mcos2x-4Nsin2x

-4Mcos2x-4Nsin2x-3*(2M*(-sin2x)+2Ncos2x)+2*(Mcos2x+Nsin2x)=5*sin2x

(6M-2N)sin2x+(-2M-6N)cos2x=5*sin2x

{6M-2N=5
{-2M-6N=0 ⇒ M=-3N

6*(-3N)-2N=5

-20N=5

N=-1/4

N=3/4

y_(част 2) =[blue](-1/4)cos2x+(3/4)sin2x[/blue]

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

= С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(2x)+[green](3/2)x+(3/4)[/green]+[blue](-1/4)cos2x+(3/4)sin2x[/blue]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

Так как
log_(1/2)x=log_(2^(-1))x=-log_(2)x
уравнение принимает вид:

3*(-log_(2)x)^2+2log_(2)x-5=0

3*log^2_(2)x+2log_(2)x-5=0 - квадратное уравнение.

Замена переменной:
log_(2)x=t

3*t^2+2t-5=0
D=4-4*3*(-5)=4+60=64

t=(-2 ± 8)/6

t_(1)=-5/3; t_(2)=1

Обратно:

log_(2)x=-5/3 или log_(2)x=1

x=2^(-5/3) или x=2

Оба корня удовл. ОДЗ

О т в е т. 1/∛(32) ; 2

1.4
[m]\sqrt[4]{a\cdot\sqrt[3]{a}}=\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{a}}=a^{\frac{1}{4}}\cdot \sqrt[12]{a}=a^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{1}{12}}=a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}=a^{\frac{3}{12}+\frac{1}{12}}=[/m]

[m]=a^{\frac{4}{12}}=a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}[/m]

1.5
(-32;-2)
[m]-2=\sqrt[5]{-32}[/m]- верно, так как -2=-2

Ответ выбран лучшим

1.
π рад =180 градусов

[m]\frac{2\pi}{3}=\frac{2\cdot 180^{o}}{3}=120^{o}[/m]

2.
log_(5)(2x-1) ≤ 2*1
log_(5)(2x-1) ≤ 2*log_(5)5
log_(5)(2x-1) ≤ log_(5)5^2
{2x-1>0
{2x-1 ≤ 5^2

{x>0,5
{x ≤ 13

О т в е т. (0,5;13]

Ответ выбран лучшим

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

y=[m]\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}[/m]

y=x^2-x+1, x ≠ -1

x =-1- точка разрыва первого рода ( устранимый разрыв)
Функция не определена в точке, но предел есть, он равен 3

(прикреплено изображение)

Нормальный вектор искомой плоскости
vector{n}=vector{s_(1)} ×vector{s_(1)}

vector{s_(1)} ×vector{s_(1)}=[m]\begin{vmatrix} i & j & k\\ 3& 1 &-2 \\ 2&-5 &4 \end{vmatrix}=-6i-16j-17k[/m]

Уравнение плоскости, проходящей через точку M_(1)(1;-2;3) c нормальным вектором vector{n}=(-6;-16;-17)

-6*(x-1)-16*(y+2)-17*(z-3)=0

-6x-16y-17z+25=0

[b]6x+16y+17z-25=0
[/b]

Прямая
{x=1-t
{y=-2+2t
{z=1+2t

задана параметрически.

{t=(x-1)/(-1)
{t=(y+1)/2
{t=(z-1)/2

Каноническое уравнение прямой примет вид:
(x-1)/(-1)=(y+1)/2=(z-1)/2

вектор vector{s}=(-1;2;2) - направляющий вектор этой прямой

{x+2y-z+2=0
{3x-y+z-5=0
уравнение прямой задано как линия пересечения двух плоскостей.
На этой прямой множество точек.

Выберем две
Пусть точка P такова, что ее первая координата х равна 0
{0+2y-z+2=0 ⇒ z=2y+2
{3*0-y+z-5=0 ⇒ -y+2y+2-5=0 ⇒ y=3
z=2y+2=2*3+2=8
P(0;3;8)

Пусть точка Т такова, что ее вторая координата х равна 0
{x+2*0-z+2=0 ⇒ х=z-2
{3x-0+z-5=0 ⇒ 3*(z-2)+z-5=0 ⇒ 4z=11 ⇒ z=11/4

x=(11/4)-2=3/4

Т (3/4; 0; 11/4)

Прямая
{x=1-t
{y=-2+2t
{z=1+2t

задана параметрически.

{t=(x-1)/(-1)
{t=(y+1)/2
{t=(z-1)/2

Каноническое уравнение прямой примет вид:
(x-1)/(-1)=(y+1)/2=(z-1)/2

vector{-1;2;2} - направляющий вектор этой прямой

Пусть М(х;у;z) - произвольная точка искомой плоскости.

Тогда векторы
vector{PM};vector{PT} и vector{s} компланарны.

Составляем определитель третьего порядка из координат этих векторов и приравниваем к 0

Раскрываем и получаем уравнение

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1-cos^3x=(1-cosx)*(1+cosx+cos^2x)

1-cosx=2sin^2(x/2)

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{2sin^2\frac{x}{2}(1+cosx+cos^2x)}{x\cdot 2sinx\cdot cosx}=\lim_{x \to 0 }\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x\cdot 2sinx}\cdot \lim_{x \to 0 }\frac{1+cosx+cos^2x}{cosx}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0 }\frac{sin\frac{x}{2}\cdot sin\frac{x}{2}}{x\cdot 2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}}\cdot \frac{1+1+1}{1}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0 }\frac{ sin\frac{x}{2}}{x\cdot 2\cdot cos\frac{x}{2}}\cdot 3=\frac{3}{4}[/m]

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Высота треугольника AED равна высоте трапеции, обозначим h

S_( Δ AED)=[m]\frac{AD\cdot h}{2}[/m]

По условию
S_( Δ AED)=60

[m]\frac{AD\cdot h}{2}=60[/m]

По условию
АD:ВС=2:1

Обозначим ВС=х, тогда AD=2x

S_(трапеции)=[m]\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{2x+x}{2}\cdot h=\frac{3}{2}x\cdot h[/m]

Так как [m]\frac{AD\cdot h}{2}=60[/m] ⇒ 2х*h=120 ⇒

[red]x*h[/red]=60

S_(трапеции)=[m]\frac{3}{2}x\cdot h=\frac{3}{2}\cdot 60=90[/m]

PS. Условие точка Е - середина ВС- лишнее в задаче

2.

S_( Δ MNK)=[m]\frac{MK\cdot h}{2}[/m]
S_( Δ KNP)=[m]\frac{PN\cdot h}{2}[/m]

S_(1)=[m]\frac{MK\cdot h}{2}[/m]
S_(2)=[m]\frac{PN\cdot h}{2}[/m]

S_(1)+S_(2)=[m]\frac{MK\cdot h}{2}+\frac{PN\cdot h}{2}=[/m]

[m]=\frac{(MK+PN)\cdot h}{2}=[/m]=S_(трапеции MPKN)

О т в е т. S_(1)+S_(2)

[m]\lim_{x \to 10 }\frac{lgx-1}{\sqrt{x-9}-1}=\frac{0}{0}=[/m]
неопределенность (0/0)

Замена переменной:

x-10=t

x=10+t

lgx-1=lg(10+t)-lg10=lg[m]\frac{10+t}{10}[/m]=lg[m](1+\frac{t}{10})[/m]

sqrt(x-9)-1=sqrt(t+1)-1

[m]\lim_{t \to 0}\frac{lg(1+\frac{t}{10})}{\sqrt{t+1}-1}=[/m]

Умножаем числитель и знаменатель на
sqrt(t+1)+1

[m]\lim_{t \to 0 }\frac{lg(1+\frac{t}{10})(\sqrt{t+1}+1)}{(\sqrt{t+1}-1)(\sqrt{t+1}+1)}=[/m]

[m]=\lim_{t \to 0 }\frac{lg(1+\frac{t}{10})(\sqrt{t+1}+1)}{t}=[/m]

[m]=\lim_{t \to 0 }\frac{lg(1+\frac{t}{10})}{t}\cdot (\sqrt{t+1}+1)=[/m]

предел произведения равен произведению пределов:

[m]=\lim_{t \to 0 }\frac{lg(1+\frac{t}{10})}{t}\cdot\lim_{t \to 0 } (\sqrt{t+1}+1)[/m]

см. приложение ( следствия из второго замеч. предела a=10)

=[m]\frac{ln10}{10}\cdot (\sqrt{1}+1)=\frac{2ln10}{10}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Задача
Найти lim_(x → 1)y

y=[m](2x-1)^{\frac{2x}{x-1}}[/m]

Найдем
lim_(x → 1)lny

lny=ln[m](2x-1)^{\frac{2x}{x-1}}[/m]

Применяем свойство логарифма степени

lny=[m]\frac{2x}{x-1}\cdot ln(2x-1)[/m]

Замена переменной
x-1=t
x=t+1

x → 1 ⇒ t → 0

lny=[m]\frac{2(t+1)}{t}\cdot ln(2(t+1)-1)[/m]

lny=[m]\frac{ln(1+2t)}{t}\cdot (2t+2)[/m]

lim_(x → 1)lny=lim_(t → 0)[m]\frac{ln(1+2t)}{t}\cdot (2t+2)[/m]

предел произведения равен произведению пределов:

=lim_(t → 0)[m]\frac{ln(1+2t)}{t}[/m]* lim_(t → 0)[m] (2t+2)=[/m]

=lim_(t → 0)[m]2\cdot \frac{ln(1+2t)}{2t}[/m]* lim_(t → 0)[m] (2t+2)=[/m]

=2*2=4

lim_(x → 1)lny=4

lim_(x → 1)y=e^(4) - о т в е т
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x*sqrt(4+y^2)dx=-y*sqrt(1+x^2) - уравнение с разделяющимися переменными.

Делим обе части уравнения на

sqrt(4+y^2)*sqrt(1+x^2)

[m]\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{-ydy}{\sqrt{4+y^2}}[/m]

Интегрируем:

[m]\int \frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\int \frac{-ydy}{\sqrt{4+y^2}}[/m]

Умножаем на 2:

[m]\int \frac{2xdx}{\sqrt{1+x^2}}=-\int \frac{-2ydy}{\sqrt{4+y^2}}[/m]

d(1+x^2)=(1+x^2)`*dx=2xdx

Поэтому

2xdx=d(1+x^2)

Аналогично

2ydy=d(1+y^2)

[m]\int (1+x^2)^{-\frac{1}{2}}d(1+x^2)=-\int (4+y^2)^{-\frac{1}{2}}d(4+y^2)[/m]

По формуле

[m]∫ u^{-\frac{1}{2}}du=\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + c[/m]

получаем:

[m]\frac{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c =-\frac{(4+y^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} [/m]

2sqrt(1+x^2)+c=-2sqrt(4+y^2)

[b]sqrt(1+x^2)+sqrt(4+y^2)=C [/b] ( C=-c/2)

О т в е т. [b]sqrt(1+x^2)+sqrt(4+y^2)=C [/b] - общее решение дифференциального уравнения.

Задачи Коши нет, так как нет условий

y(x_(o))=?

Ответ выбран лучшим

2sin^2 α=1-cos2 α ⇒ 2sin^2 α =1-(-1/8);

2sin^2 α=9/8

sin^2 α =9/16

sin α = ± sqrt(9/16)

так как π/2 < α <π, угол во второй четверти, синус во второй четверти имеет знак +:

[b]sin α = + sqrt(9/16)=3/4[/b]

2cos^2 α=1+cos2 α ⇒ 2cos^2 α =1+(-1/8)

2cos^2 α=7/8

cos^2 α =7/16

cos α = ± sqrt(7/16)

так как π/2 < α <π, угол во второй четверти, косинус во второй четверти имеет знак -:

[b]cos α =-sqrt(7)/4[/b]

3sin α -2cos α =3*(3/4)-2*(-sqrt(7)/4)=[b](9+2sqrt(7))/4[/b]

О т в е т. 1)

Ответ выбран лучшим

ΔАВ_(1)С_(1) ∼ ΔАВС
k=3

АВ_(1):АВ=3:1

ΔАВ_(2)С_(2) ∼ ΔАВС
k=0,5

АВ_(2):АВ=0,5:1=0,5 (прикреплено изображение)

Формула:

2sin^2 α =(1-cos2 α )

Умножаем уравнение на 2:

2*sin²x/3+2*sin²4x/9=2*sin²5x/9+2*sin²2x/3

(1-cos(2x/3)) + (1-cos(8x/9)) =(1-cos(10x/9))+(1-cos(4x/3))

cos(2x/3)+cos(8x/9) = cos(10x/9)+ cos(4x/3)

cos(2x/3)-cos(4x/3)=cos(10x/9)-cos(8x/9)

Далее формула cos α -cos β = -2sin( α + β )/2 * sin( α - β )/2

[m]-2\cdot sin\frac{\frac{2x}{3}+\frac{4x}{3}}{2}sin\frac{\frac{2x}{3}-\frac{4x}{3}}{2}=-2\cdot sin\frac{\frac{10x}{9}+\frac{8x}{9}}{2}sin\frac{\frac{10x}{9}-\frac{8x}{9}}{2}[/m]

[m]sinx\cdot sin\frac{-x}{3}=sinx\cdot sin\frac{x}{9}[/m]

[m]-sinx\cdot sin\frac{x}{3}-sinx\cdot sin\frac{x}{9}=0[/m]

[m]-sinx\cdot (sin\frac{x}{3}+ sin\frac{x}{9})=0[/m]

Фopмула

sin α +sin β =2sin( α + β )/2 * cos( α - β )/2

[m]sinx\cdot (2sin\frac{\frac{x}{3}+\frac{x}{9}}{2}\cdot cos\frac{\frac{x}{3}-\frac{x}{9}}{2})=0[/m]

[m]sinx\cdot (2sin\frac{\frac{3x}{9}+\frac{x}{9}}{2}\cdot cos\frac{\frac{3x}{9}-\frac{x}{9}}{2})=0[/m]

[m]sinx\cdot sin\frac{2x}{9}\cdot cos\frac{x}{9}=0[/m]

sinx=0 ⇒ x=[b]π*k, k ∈ Z[/b]

[m]sin\frac{2x}{9}=0[/m] ⇒[m]\frac{2x}{9}=\pi n, [/m] n ∈ Z ⇒ x=[b]4,5π*n, n ∈ Z[/b]

[m]cos\frac{x}{9}=0[/m] ⇒ [m]\frac{x}{9}=\frac{\pi}{2}+\pi m, [/m] m ∈ Z ⇒ [b]x=4,5π+9π* m, m ∈ Z[/b]

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

x^2+y^2= ρ ^2

(ρ ^2)^2=-4 ρ ^3cos^3 φ

ρ =-4cos^3 φ - уравнение в полярных координатах

Так как ρ ≥ 0, то -4cos^3 φ ≥ 0 ⇒ cos φ ≤ 0 ⇒

график в правой полуплоскости
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(пирамиды)=[m]\frac{1}{3}[/m] *S_(осн)*h

Из прямоугольного треугольника РОС
h=PO=4 ( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)

По теореме Пифагора
OC^2=8^2-4^2=48
OC=4sqrt(3)

Тогда диагональ квадрата
AC=2OC=8sqrt(3)

d=AC=BD=8sqrt(3)

S_(осн)=S_(квадрата)=[m]\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2}\cdot(8\sqrt{3})^2=96[/m]

V=[m]\frac{1}{3}[/m] *96*4=128 (прикреплено изображение)

в)
|z_(1)|=sqrt((sqrt(6))^2+sqrt(2))^2)=sqrt(6+2)=sqrt(8)=2sqrt(2)
argz_(1)= φ _(1)

tg φ _(1)=sqrt(2)/sqrt(6)=1/sqrt(3)
φ _(1)=π/6

z_(1)=2sqrt(2)*(cos(π/6)+isin(π/6))

z_(1)=2sqrt(2)*e^(i*(π/6))

|z_(2)|=|8i|=8
argz_(2)= φ _(1)

φ _(2)=π/2

z_(2)=8*(cos(π/2)+isin(π/2))

z_(1)=8*e^(i*(π/2_)

(прикреплено изображение)

z=2-2i
|z|=sqrt(2^2+(-2)^2)=sqrt(8)

arg z= φ
tg φ =y/x=-1
φ =-π/4

z=sqrt(8)*(cos(-π/4)+isin(-π/4)

z=sqrt(8)*(cos(π/4)-isin(π/4))

z^5=(sqrt(8))^5*(cos(5*(π/4))-isin(5*(π/4)))

sqrt(8)=sqrt(2^3)=2^(3/2)

(sqrt(8))^5=(2^(3/2))^5=2^(15/2)

z^5=2^(15/2)*(cos(5π/4)-isin(5π/4))

z^5=2^(15/2)(-sqrt(2)/2-i*(-sqrt(2)/2))

z^5=2^(15/2)(-2^(1/2)-i*(-2^(1/2)))

[b]z^5=-128+ 128i[/b]

(прикреплено изображение)

в)
[m]sin^2\frac{\pi }{8}-cos^2\frac{\pi }{8}=-(cos^2\frac{\pi }{8}-sin^2\frac{\pi }{8})=-cos2\cdot\frac{\pi }{8}=-cos\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m](sin^2\frac{\pi }{8}-cos^2\frac{\pi }{8})^2=(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}[/m]

О т в е т. 1/2

г) По формулам приведения:
[m]cos\frac{11\pi }{12}=cos(\pi -\frac{\pi }{12})=-cos\frac{\pi }{12}[/m]

[m]cos\frac{11\pi }{12}-cos\frac{\pi }{12}=cos(\pi -\frac{\pi }{12})-cos\frac{\pi }{12}=-cos\frac{\pi }{12}-cos\frac{\pi }{12}=-2cos\frac{\pi }{12}[/m]

По формулам приведения:

[m]sin\frac{5\pi }{12}=sin(\frac{\pi }{2} -\frac{\pi }{12}) =cos\frac{\pi }{12}[/m]

Итак,
[m]\frac{cos\frac{11\pi }{12}-cos\frac{\pi }{12}}{sin\frac{5\pi }{12}}=\frac{-2cos\frac{\pi }{12}}{cos\frac{\pi }{12}}=-2[/m]

О т в е т. [b]-2[/b]

a)
т.к.
[green] sin^2t-cos^2t[/green]=-(cos^2t-sin^2t)=[green]-cos2t; [/green]

[blue]2sintcost=sin2t[/blue]

Упрощаем левую часть:

(sin^2t+2sintcost-cos^2t)^2=

=([blue]sin2t[/blue]-[green]cos2t[/green])^2=sin^22t-2sin2t*cos2t+cos^22t=

= (sin^22t+cos^22t)-sin4t=1-sin4t

1-sin4t=1-sin4t ( левая часть равна правой, тождество доказано)

б)

Упрощаем левую часть.
Так как
[m]cos\alpha -cos5\alpha =-2sin\frac{\alpha -5\alpha }{2}\cdot sin\frac{\alpha+5\alpha }{2}=-2sin(-2\alpha) \cdot sin3\alpha =[/m]

[m]=2sin2\alpha) \cdot sin3\alpha[/m]

то числитель:

[b]cos α -2sin3 α -cos5 α [/b]=(cos α -cos5 α )-2sin3 α =

=2sin2 α sin3 α -2sin3 α =2sin3 α *(sin2 α -1)

так как

[m]sin5\alpha -sin\alpha =2sin\frac{5\alpha -\alpha }{2}\cdot cos\frac{5\alpha+\alpha }{2}=2sin2\alpha \cdot cos3\alpha[/m], то

знаменатель

[b]sin5 α -2cos3 α -sin α [/b]=(sin5 α -sin α )-2cos3 α =

=2sin2 α cos3 α -2cos3 α =2cos3 α *(sin2 α -1)

Левая часть
[m]\frac{cos\alpha -2sin3\alpha -cos5\alpha }{sin5\alpha-2cos3\alpha-sin\alpha }=\frac{2sin3\alpha (sin2\alpha -1)}{2cos3\alpha( sin2\alpha -1)}=\frac{sin3\alpha }{cos3\alpha }=tg3\alpha[/m]

tg3 α =tg3 α ( левая часть равна правой части), тождество доказано

1.
a) (3-4i)-(2-i)-(-4+2i)=3-4i-2+i+4-2i=[b]5-5i[/b]

б)
(1-i)^2+i=1-2i+i^2+i=1-2i-1+i=[b]-i[/b]

в)
[m]\frac{(2+4i)(-3-i)}{12-4i}=\frac{-6-12i-2i-4i^2}{12-4i}=\frac{-6-12i-2i+4}{12-4i}=\frac{-2-14i}{12-4i}=\frac{-1-7i}{6-2i}[/m]

[m]=\frac{(-1-7i)(6+2i)}{(6-2i)(6+2i)}=\frac{-6-42i-2i-14i^2}{6^2-(2i)^2)}=\frac{8-44i}{36+4}=\frac{8-44i}{40}=\frac{2-11i}{10}[/m]

г)
(15*(cos12^(o)+isin12^(o)))^5=15^5*(cos(12*5)^(o)+isin(12*5)^(o))=

=(15^5)*(cos60^(o)+isin60^(o))=[m]\frac{(15^{5}\cdot (1+i\sqrt{3})}{2}[/m]

225(сos30^(o)+isin30^(o))=[m]\frac{15^2\cdot(\sqrt(3)+i)}{2}[/m]

Тогда

[m]\frac{(15(cos12^{\circ}+isin12^{\circ}))^{5}}{225(cos30^{\circ}+isin30^{\circ})}=\frac{15^5(cos60^{\circ}+isin60^{\circ})}{15^2(cos30^{\circ}+isin30^{\circ})}=15^3\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}=[/m]

[m]=\frac{3475(1+i\sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}=\frac{3475(\sqrt{3}+3i-i-\sqrt{3}i^2)}{(\sqrt{3})^2-i^2}=\frac{3475\cdot (2\sqrt{3}+2i)}{4}=\frac{3475\cdot (\sqrt{3}+i)}{2}[/m]

д)
[m](e^{i\cdot \pi })^2=e^{i\cdot 2\cdot\pi}=cos2\pi +isin2\pi =1+i\cdot0=1[/m]

[m](e^{i\cdot \frac{\pi }{2} })^2=e^{i\cdot (\frac{\pi }{2})\cdot 2}=e^{i\pi }=cos\pi +isin\pi =-1=i\cdot0=-1[/m]

1*(-1)=-1

О т в е т. -1

пл. АВС ∩ пл. α =MN

пл. α || AC ⇒ MN|| AC

∠ B- общий

∠ BNC= ∠ BCA как внутренние односторонние при параллельных MN и АС и секущей ВС

Δ ABC подобен Δ MBN по двум углам.

Из подобия

MN:AC=BN:BC=1:4

AC=25

MN=25/4=6,25 (прикреплено изображение)

1) Если D квадратного уравнения равен 0

D=(p-9)^2-4*9*(-p-6)=p^2-18p+81+36p+216=18p+297

D=0
18p+297=0
p+16,5=0
[b]p=-16,5[/b]

2)
|y_(1)|=|y_(2)|

y_(1)=-y_(2) ⇒ y_(1)+y_(2)=0

По теореме Виета
y_(1)+y_(2)=-(p-9)/9 ⇒

p-9=0

[b]p=9[/b]

D=4^2-4*10*4=16-160=-144
sqrt(-144)=sqrt(144*(-1))=sqrt(144)*sqrt(-1)=12*i

x_(1)=(-4-12i)/20=(-1-3i)/5; x_(2)=(-4+12i)/20=(-1+3i)/5; (прикреплено изображение)

log_(4)sin(π/4)=log_(4)1/sqrt(2)=log_(2^2)2^(-1/2)=-(1/4)log_(2)2=-(1/4)

log_(3)tg(π/6)=log_(3)1/sqrt(3)=log_(3)3^(-1/2)=-(1/2)log_(3)3=(-1/2)

[blue]log_(4)sin(π/4)-log_(3)tg(π/6)[/blue]=(-1/4)-(-1/2)=[blue]1/4[/blue]

16^([blue]1/4[/blue])=(2^(4))^([blue]1/4[/blue])=2

О т в е т. [b]2[/b]

Ответ выбран лучшим

7.
Каноническое уравнение эллипса
[m]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/m]

с^2=a^2-b^2

Разделим обе части уравнения
5x^2+9y^2=45

на 45:

[m]\frac{5x^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1[/m]

[m]\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1[/m]

a^2=9
b^2=5

c^2=a^2-b^2=9-5=4

c=2

Левый фокус
F_(1)(-2;0)

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых
k_(1)*k_(2)=-1

2x-3y+1=0 запишем в виде y=[m]\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}[/m]

k_(1)=[m]\frac{2}{3}[/m]

k_(2)=-[m]\frac{3}{2}[/m]

Общий вид прямых перпендикулярных прямой 2x-3y+1=0

y=-[m]\frac{3}{2}[/m]x+b

Прямая проходит через левый фокус эллипса,
т.е через точку F_(1)(2;0)

Подставляем координаты точки F_(1):

0=-3+b

b=3

О т в е т. y=-[m]\frac{3}{2}[/m]x+3

8.
2b=12
b=6

ε =5/4

ε =c/a ⇒ c/a=5/4 ⇒ c=(5/4)a

b^2=c^2-a^2

6^2=((5/4)a)^2-a^2 ⇒

36=a^2/4
a^2=144
a=12

Каноническое уравнение гиперболы:

[m]\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{36}=1[/m]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

[m]\frac{3x-4}{3x-2} >0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов.

Находим нуль числителя:
3x-4=0
x=4/3

Нули знаменателя:
3x-2=0
x=2/3

_+__ (2/3) __-__ (4/3) __+_

x ∈ (- ∞ ;(2/3)) U ((4/3);+ ∞ )

Наименьшее положительное целое:
[b]x=2[/b]

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВС определяется неоднозначно.
(прикреплено изображение)

a)
F(-10;0)- фокус на оси Ох
с=10
a=9
Неверное условие
у эллипса :
c<a
см. рис.

б)
b=6, F(12;0) ⇒ с=12

Каноническое уравнение гиперболы
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
b^2=c^2-a^2

a^2=c^2-b^2=12^2-6^2=144-36=108

[m]\frac{x^2}{108}-\frac{y^2}{36}=1[/m] - о т в е т.

в)
Каноническое уравнение параболы:
y^2=2px
x=-p/2 - уравнение директрисы

-p/2=-1/4

p=1/2

2p=1

y^2=x- о т в е т. (прикреплено изображение)

№1
Каноническое уравнение гиперболы
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
b^2=c^2-a^2

а)с = 5, а =3
b^2=c^2-a^2=5^2-3^2=25-9=16

[m]\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1[/m] - о т в е т

b) ε = 1,5,
2 c = 6;
c=3

ε =c/a - эксцентриситет гиперболы

a=c/ ε =2

b^2=c^2-a^2=3^2-2^2=5

[m]\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1[/m] - о т в е т

№2 Даны гиперболы;
16x^2–25y^2=400
Делим на 400

[m]\frac{16x^2}{400}-\frac{25y^2}{400}=1[/m]

[m]\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1[/m]

a=5
b=4

c^2=a^2+b^2=25+16=41

F_(1)(-sqrt(41);0) и F_(2)(sqrt(41);0) - фокусы гиперболы

№3 Определить координаты фокуса и составить уравнение директрисы каждой из парабол:
1) y^2=24x
Каноническое уравнение параболы:
y^2=2px
x=-p/2 - уравнение директрисы

y^2=24x ⇒

2p=24

p=12

x=-p/2 - уравнение директрисы

2)y^2=–12x
2p=-12
p=-6

x=3 - уравнение директрисы

3)x^2=4y

Каноническое уравнение параболы:
x^2=2py
y=-p/2 - уравнение директрисы

2p=4
p=2

y=-1- уравнение директрисы

4)x^2=–32y

2p=-32
p=-16

y=8 - уравнение директрисы

Ответ выбран лучшим

Интересует график кривой y=-x^2-8x-1 на отрезке [-6;-4]

См. рис.

По рисунку можно найти, что

min_([-6;-4])=f(-6)=-(-6)^2-8*(-6)-1=-36+48-1=11

max_([-6;-4])=f(-4)=-(-4)^2-8*(-4)-1=-16+32-1=15

Производная изучается в школе для того, чтобы можно было ответить на этот вопрос без [i] построения графика.[/i]

Находим производную
y`=-2x-8

y`=0

-2x-8=0

-2x=8

x=-4 - точка, в которой кривая возможно имеет экстремум

Исследуют точку на экстремум, расставляя знак производной:

при

x < -4, например при х=-10

f`(-10)=-2*(-10)-8>0

кривая возрастает на (- ∞ ;-4)

значит и на [-6;-4] кривая возрастает и

наибольшее значение принимает в точке х=-4

наименьшее - в точке х=-6

f(-6)=-(-6)^2-8*(-6)-1=-36+48-1=11

f(-4)=-(-4)^2-8*(-4)-1=-16+32-1=15

О т в е т.
[b]min_([-6;-4])=11

max_([-6;-4])=15[/b]
(прикреплено изображение)

перпендикулярна (прикреплено изображение)

АО=ОВ=ОС- равные проекции

AO=OB=OC=R

Точка O - центр вписанной и описанной окружности, есть проекция точки М.

R=AO=6*sqrt(3)/3=2sqrt(3)

По теореме Пифагора
MO^2=MA^2-AO^2=4^2-(2sqrt(3))^2=16-12=4

MO=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:

sin(x+(3π/2))=-cosx

Уравнение принимает вид:

sin2x=2sinx-cosx+1

По формуле синуса двойного угла:

sin2x=2*sinx*cosx

2*sinx*cosx=2sinx-cosx+1

2*sinx*cosx-2sinx+cosx-1=0

Раскладываем на множители способом группировки:

(2*sinx*cosx-2sinx)+(cosx-1)=0

2*sinx*(cosx-1)+(cosx-1)=0

(cosx-1)*(2sinx+1)=0

cosx-1=0 или 2sinx+1=0

cosx=1 ⇒ [blue]x=2πn, n ∈ Z[/blue]

или

sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^(k)arcsin(-1/2)+πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z

[blue]x=(-1)^(k+1)*(π/6)+πk, k ∈ Z[/blue]

О т в е т. x=2πn, n ∈ Z; (-1)^(k+1)*(π/6)+πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;-sqrt(3)) U (-sqrt(3);sqrt(3)) U(sqrt(3);+ ∞ )

Прямые:

x=-sqrt(3) и х=sqrt(3) - вертикальные асимптоты

y`=(4/9)* ((x^3)`*(3-x^2)-x^3*(3-x^2)`)/(3-x^2)^2

y`=(4/9)((3x^2*(3-x^2)-x^3*(-2x))/(3-x^2)^2

y`=(-x^4 +9x^2)/(3-x^2)^2

y`=0

-x^4 + 9x^2=0
-x^2*(x^2-9)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=27
x=0 или х = ± 3
Знак производной:
__-___ (-3) _+_ (-sqrt(3)) __+__ (0) _+__ (sqrt(3)) __+__ (3) __-__

Функция монотонно [i]убывает [/i]на(- ∞ ;-3) и на (3;+ ∞ )

Функция монотонно [i]возрастает[/i]
на (-3; - sqrt(3)) и на (-sqrt(3);sqrt(3)) и на (sqrt(3); 3)

x=-3 - точка минимума
f(-3)=2

х=3 - точка максимума
f(3)=-2 (прикреплено изображение)

(K+18)=200-75

(K+18)=125

K=125-18

K=[b]107[/b]

2.
MD ⊥ BC ⇒ по теореме о 3-х перпендикулярах AD ⊥ BC

AD ⊥ BC ⇒ ∠ ABD= ∠ ADC=90 °
Катеты
BD=DC
AD- общий катет

ΔABD= Δ ADC по двум катетам.
Значит и третьи стороны равны
АВ=АС

3.

MA ⊥ AD ⇒ по теореме о 3-х перпендикулярах AB ⊥ AD
∠ BAD=90 °
ACBD- параллелограмм, значит сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 °
значит, ∠ АВD=180 ° - ∠ BAD=180 ° -90 ° =90 °

Противоположные углы параллелограмма равны:
∠ А= ∠ С=90 °
∠ В= ∠ D=90 °

ABCD - параллелограмм, все углы которого равны 90 ° .
Значит ABCD- прямоугольник

4.

МВ ⊥ ВС ⇒ по теореме о 3-х перпендикулярах AC ⊥ BC

Δ AВС - прямоугольный

По теореме Пифагора
BC^2=17^2-8^2=(17-8)*(17+8)=9*25
BC=sqrt(9*25)=3*5=15

Δ MВС - прямоугольный (МВ ⊥ ВС)

∠ ВМС= 30 градусов

АВ=2BC=2*15=30

В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
Значит, гипотенуза в два раза больше этого катета

Ответ выбран лучшим

2.

Из прямоугольного Δ АА_(1)D:
DA^2_(1)=15^2-9^2=(15-9)*(15+9)=6*24=144
DA_(1)=12

Из прямоугольного Δ А_(1)BD:
A_(1)B^2=12^2+5^2=144+25=169
A_(1)B=13

Из прямоугольного Δ АА_(1)B:
AB^2=13^2+9^2=169+81=250
AB=sqrt(250)=sqrt(25*10)=[b]5sqrt(10)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

((-2+2i)^2)^3=(4-8i+4i^2)^3=(4-8i-4)^3=(-8i)^3=-512i^3=512i

Ответ выбран лучшим

log_(9)16=log_(3^2)4^2=log_(3)4

3^(log_(9)16)-2=3^(log_(3)4)-2=4-2=2

(прикреплено изображение)

По признаку Даламбера:

[m]\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^{n}}}=[/m]

[m]=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2}{2n^2}=\frac{1}{2}<1[/m]

Ряд сходится

Ответ выбран лучшим

возводим в квадрат:
2х +1=1
2х=0
х=[b]0[/b]

Ответ выбран лучшим

y=x^2/(2x-2)

1) область определения функции
(-∞;1)U(1;+∞)
2) функция не является ни чётной, ни нечётной
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)

y(-x)=((-x)^2)/(2*(-x)-2)=-(x^2)/(2*x+2))

x=1 - вертикальная асимптота

так как
lim_(x→1+0)(x^2/(2x-2)=[b]+∞[/b]

lim_(x→1-0)(x^2/(2x-2)=[b]-∞[/b]

4)
горизонтальная асимптота
k=lim_(x→∞)(f(x))/x

[blue]k=lim_(x→∞)(x^2)/(2x^2-2x)=1/2[/blue]

b=lim_(x→∞)(f(x)-kx)

b=lim_(x→∞)(x^2/(2x-2) -(1/2)*x)=lim_(x→∞)((x^2-x*(x-1))/(2x-2)=

=lim_(x→∞)(x)/(2x-2)=1/2

y=(1/2)x+(1/2) - наклонная асимптота

5) точки пересечения с осью Ох
y=0
x^2=0
x=0

(0;0) - точка пересечения с осью Ох и осью Оу

6)
Исследование с помощью [i]первой[/i] производной

y`=((x^2)`*(2x-2)-x^2*(2x-2)`)/(2x-2)^2

y`=(2x*(2x-2)-x^2*2)/(2x-2)^2

y`=(2x^2-4x)/(2x-2)^2

y`=0

2x^2-4x=0

2x*(x-2)=0

x=0 или х=2

__+__ (0) __-__ (2) _ +___

х=0 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
x=2 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
y(0)=0
y(2)=2

y`>0 при любом х∈(-∞;0)U(2;+∞)

Значит функция[i] возрастает[/i] на (-∞;0) и на (2;+∞)
y`<0 при любом х∈(0;1) U(1;2)

Значит функция[i] убывает [/i] на (0;1) и на (1;2)

7)
Исследование с помощью [i]второй[/i] производной

y``=((2x^2-4x)/(2x-2)^2)`=[b]([/b](4x-4)*(2x-2)^2-2*(2x-2)*(2x-2)`*(2x^2-4x)[b])[/b]/(2x-2)^4

y``=1/(x-1)^3

y`` >0 при x > 0, кривая выпукла вниз

y`` <0 при x <0, кривая выпукла вверх (прикреплено изображение)

[m]\frac{49}{16}=(\frac{7}{4})^{2}[/m]

[m](\frac{49}{16})^{x+1}=(\frac{7}{4})^{2(x+1)}[/m]

[m](\frac{4}{7})^{9}=(\frac{7}{4})^{-9}[/m]

[m](\frac{49}{16})^{x+1}=(\frac{4}{7})^{9}[/m]

[m](\frac{7}{4})^{2(x+1)}=(\frac{7}{4})^{-9}[/m]

2(x+1)=-9

x+1=-4,5

x=[b]-5,5[/b]

О т в е т. -5,5

(прикреплено изображение)

Гипотенуза наибольшая сторона, значит она третья по счету:
пусть один катет a=х, второй b= хq, гипотенуза c=хq^2

По условию:
c=2

По теореме Пифагора

с^2=a^2+b^2

2^2=x^2+(xq)^2

4=x^2+(xq)^2

{4=x^2*(1+q^2)
{2=xq^2

q^2-q^2-1=0
D=1+4=5
[b]q=(1+sqrt(5))/2[/b]

В прямоугольнике АВСD проводим перпендикуляр из вершины С на диагональ BD.
СF ⊥ BD и BB_(1) ⊥ пл. АВСВ ⇒ BB_(1) ⊥ CF

⇒ CF ⊥ пл ВВ_(1)D_(1)D ⇒ CF ⊥ BD_(1)

CC_(1) ⊥ пл. АВСВ ⇒ СС_(1) ⊥ СF

CF ⊥ СС_(1) и СF⊥ BD_(1)

KM || CF, K ∈ BD_(1)

KM⊥ СС_(1) и KM⊥ BD_(1)

KM - общий перпендикуляр (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(осн)=πr^2

По условию
S_(осн)=23

[blue]πr^2=23[/blue]

Из прямоугольного треугольника AOB

образующая L= АВ= AO*cos α =r*cos 60^(o) =2r

S_(бок)=π*r*L=π*r*(2r)=2*[blue]π*r^2[/blue]=2*[blue]23[/blue]=46
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
x_(2)=2*q
x_(3)=x_(2)*q=2*q*q=2q^2
0,25=x_(3)*q=
0,25=2q^2*q
0,25=2q^3
q^3=(1/8)
q=(1/2)

x_(2)=2*q=2*(1/2)=1
x_(3)=2q^2=2*(1/2)^2=1/2

2) так же
x_(2)=3*q
x_(3)=3q^2

(-1/9)=3q^2*q
(-1/9)=3q^3
q^3=(-1/27)
q=(-1/3)

x_(2)=3*q=3*(-1/3)=-1
x_(3)=3q^2=3*(-1/3)^2=1/3

3.2
По определению логарифма:

5^(1-x)=5^(x)-4

5^(1)*5^(-x)=5^(x)-4

Умножим на 5^(x) > 0

5=5^(x)*5^(x) - 4*5^(x) - квадратное уравнение:

(5^(x))^2-4*(5^(x))-5=0

D=(-4)^2-4*(-5)=36

5^(x)=-1 уравнение не имеет корней, т.к 5^(x) > 0
или
5^(x)=5 ⇒ x=1

О т в е т. 1

3.3

MA=MB=m
∠ MHO= α
∠ AOB= β

Δ AOB - равнобедренный АО=ОВ=R

Пусть [red]R=x[/red]

ОН ⊥ АВ
ОН - [i]высота[/i], [i]медиана[/i] и [i]биссектриса[/i] равнобедренного треугольника Δ AOB,
∠ АОН= ∠ ВОН= β/2

АН=НВ

Из прямоугольного треугольника АОН:
АО=x*sin( β/2) ⇒ AB=2AO=[green]2x*sin( β/2)[/green]
ОН=x*cos( β/2)

Из прямоугольного треугольника МНО:

[b]МO[/b]=ОН*tg α =[blue]x*cos( β/2) *tg α[/blue]

Из прямоугольного треугольника МBО:

МO^2=MB^2-OB^2=m^2-x^2

[b]MO[/b]=[blue]sqrt(m^2-x^2)[/blue]

Уравнение:
[blue]x*cos( β/2) *tg α[/blue][b]=[/b][blue]sqrt(m^2-x^2)[/blue]

Возводим в квадрат, находим x

[red]x=R[/red]

S_(бок)=π*[red]R[/red]*m

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)

(2π/3)+2πn < x < (π/3)+2π + 2πn, n ∈ Z ( cм. рис.1)

[b](2π/3)+2πn < x < (7π/3) + 2πn, n ∈ Z [/b]

или предыдущий виток:

(2π/3)-2π+2πn < x < (π/3)+ 2πn, n ∈ Z

[b](-4π/3)+2πn < x < (π/3)+ 2πn, n ∈ Z[/b]

О т в е т. [b]([/b](-2π/3)+2πn ; (π/3)+ 2πn[b])[/b] , n ∈ Z

На рис. 2 общий алгоритм решения неравенства:
[b]sinx ≤ a[/b], |a| ≤ 1

Неравенство[b] sinx ≥ a[/b]
имеет решение: [t_(1)+2π + 2πn, t_(2)+2πn], n ∈ Z

2)

(-π/4)+2πn ≤ x ≤ (5π/4) + 2πn, n ∈ Z

О т в е т. [b][[/b](-π/4)+2πn, (5π/4) + 2πn[b]][/b], n ∈ Z

3)

(-5π/6)+2πn < x < (5π/6) + 2πn, n ∈ Z

О т в е т. [b]([/b](-5π/6)+2πn, (5π/6) + 2πn[b])[/b], n ∈ Z

4)

(π/3)+2πn < x < (-π/6)+2π + 2πn, n ∈ Z

(π/3)+2πn < x < (11π/6) + 2πn, n ∈ Z

О т в е т. [b]([/b](π/3)+2πn < x < (11π/6) + 2πn[b])[/b], n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2a)
B\C={6;22}
C\A={11;34}
[b]B\CUC\A={6;22;11;34}[/b]
2б)
A ∩ C={16;20}
B\A={6}
[b](A ∩ C)U(B\A)={6;16;20}[/b]

3
A × B={([u]c;c[/u]};(k;c);(m;c);([u]n;c[/u]);(c;n};(k;n);(m;n);(n;n)}
B × C={(c;a);(c;k);([u]c;c[/u]);(c;z);(n;a);(n;k);([u]n;c[/u]);(n;z)}

[b](A × B) ∩ (B × C)={(c;c);(n:c)}[/b]

B × A={(c;c);(c;k);(c:m);(c;n);(n;c);(n;k);(n:m);(n;n)}
A × C={(c;a};(k;a);(m;a);(n;a);(c;k};(k;k);(m;k);(n;k);(c;c};(k;c);(m;c);(n;c);(c;z};(k;z);(m;z);(n;z)}

[b](B × A)\(A × C)={(c:m);(c;n);(n;m);(n;n)}[/b]

Пусть число х

18%=18/100=0,18

x*0,18=0,18x составляют 18% от числа х

х+0,18х=5,9

1,18х =5,9

х=5

О т в е т. [b]5[/b]

200 составляет 100%

2 составляет 1%

2*25=50 - это 25%

200-50 =150

или

100%-25%=75%

200:100*75=150

О т в е т. 150

1) 50%+35%=85% занимают 1 и 2 повести
2) 100%-85%=15% занимает третья повесть
3) 60 страниц составляют 15%

значит 60:15= 4 страницы в 1%

4*100=400 страниц в книге.

или

так

60 страниц составляют 15%
х страниц составляют 100%

пропорция
60:15=х:100

6000=15х
х=400 страниц в книге

О т в е т. 400

24 дня составляют 100%

18 дней составляют p %

Составляем пропорцию:

24:100=18:p

24p=100*18

p=1800:24

p=75%

или

24 дня составляют 100%

24/100=0,24 составляет 1%

18:(0,24)=75% в 18 днях

35%=35/100=0,35

180*0,35=63 рисунка выполнены акварелью

или

так

180:100*35=63

180 : 100 - находим сколько в 1%
умножаем на 35 - находим сколько в 35%

vector{n}=(1;2;-5) - нормальный вектор заданной плоскости.

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.

Тогда векторы
vector{PM}; vector{PQ} и vector{n} компланарны.

Условие компланарности трех векторов- равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат векторов.

vector{PM}=(х-1;y-1;z-(-1))=(x-1;y-1;z+1)
vector{PQ}=(5-1;-2-1;1-(-1))=(4;-3;2)
vector{n}=(1;2;-5)
[m]\begin{vmatrix} x-1 & y-1 &z+1 \\ 4 & -3 & 2\\ 1&2 &-5 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по правилу треугольника:
15*(x-1)+2*(y-1)+8*(z+1)+3*(z+1)-4*(x-1)+20*(y-1)=0

[b]11x+22y+11z-22=0[/b] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Каждому х соответствует один и только один у, тогда это функция
О т в е т.
5)

см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{2x+5}{2x-3})^{5x-4}=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{2x+5}{x}}{\frac{2x-3}{x}})^{5x}\cdot(\frac{\frac{2x+5}{x}}{\frac{2x-3}{x}})^{-4} =[/m]

Предел произведения равен произведению пределов.
[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{2x+5}{x}}{\frac{2x-3}{x}})^{-4}=1^(-4)=1[/m]

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{2x+5}{2x}}{\frac{2x-3}{2x}})^{5x}=

=\lim_{x \to\infty}\frac{(1+\frac{5}{2x})^{5x}}{(1-\frac{3}{2x})^{5x}}=[/m]

[m]\lim_{x \to\infty}\frac{((1+\frac{5}{2x})^{\frac{2x}{5}})^{\frac{25}{2}}}{((1-\frac{3}{2x})^{-\frac{2x}{3}})^{\frac{-15}{2}}}=\frac{e^{\frac{25}{2}}}{e^{\frac{-15}{2}}}=e^{\frac{25}{2}-(-\frac{15}{2})}=e^{20}[/m]

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''–9y'+20y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9k+20=0

D=(-9)^2-4*20=1

k_(1,2)=(9 ± 1)/2

k_(1)=4; k_(2)=5– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(k_(1)х)+C_(2)*e^(k_(2)x)

В данном случае

y_(одн.)=С_(1)*e^(4х)+C_(2)*e^(5x)

Так как k_(1)=4 и правая часть содержит e^(4x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=A*[b]x[/b]*e^(4x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=А*e^(4x)+A*x*e^(4x)*(4x)`=А*e^(4x)+4A*x*e^(4x)

y``_(част)=4A*e^(4x)+4*(А*e^(4x)+4A*x*e^(4x))=

=8А*e^(4x)+16A*x*e^(4x)

подставляем в данное уравнение:

8А*e^(4x)+16A*x*e^(4x))-9*(А*e^(4x)+4A*x*e^(4x))+20Ax*e^(4x)=3e^(4x)

-A*e^(4x)=3e^(4x)

A=-3

О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)=

[b]y=С_(1)*e^(4x)+C_(2)*e^(5x)-3*x*e^(4x)[/b]

При начальных условиях
y(0)=0
найдем значения коэффициентов
C_(1) и С_(2)

[b]0=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0)-3*0e^(0)[/b]

C_(1)+C_(2)=0

[blue]y`=4*С_(1)*e^(4x)+5*C_(2)*e^(5x)-3*e^(4x)-12x*e^(4x)[/blue]

y'(0)=0

[blue]0=4*С_(1)*e^(0)+5*C_(2)*e^(0)-3*e^(0)-12*0*e^(0)[/blue]

4C_(1)+5C_(2)=3

Система:
{[b]C_(1)+C_(2)=0[/b]
{[blue]4C_(1)+5C_(2)=3[/blue]

{[b]-4C_(1)-4C_(2)=0[/b]
{[blue]4C_(1)+5C_(2)=3[/blue]

Cкладываем:
C_(2)=3

C_(1)=-C_(2)=-3

Решение при начальных условиях:

[b]y=3*e^(4x)-3e^(5x)-3xe^(4x)[/b]

Ответ выбран лучшим

По условию
h=H/2

Δ A1O1K ∼ Δ AOK (A_(1)O_(1) || AO)

A_(1)O_(1):AO=h:H

r:R=h:H

h:H=(H/2):H=1:2

r:R=1:2

V_(1)=(4/3)πr^3
V_(2)=(4/3)πR^2

V_(1):V_(2)=((4/3)πr^3) :((4/3)πR^2)=r^3/R^3=(r/R)^3

Треугольники A1O1K и AOK подобны с коэффициентом подобия 1/2

Объемы относятся как [i]кубы[/i] коэффициента подобия,

V(налитой жидкости):V(сосуда)=(r/R)=(1/2)^3=(1/8),

V(cосуда)=V(налитой жидкости):(1/8)=

=70*8 мл.=560 мл.

560 мл - 70мл=490 мл надо долить. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В равнобедренном треугольнике высота ВЕ и медиана и биссектриса.
Значит АЕ=ЕС=[m]\frac{\sqrt{6,6}}{2}[/m]

По теореме Пифагора

АВ^2=BE^2+AE^2=0,2^2+[m](\frac{\sqrt{6,6}}{2})^2[/m]=

=0,04+ [m]\frac{6,6}{4}[/m]=0,04+1,65=1,69

AB=sqrt(1,69)=1,3 (прикреплено изображение)

1) Делим и числитель и знаменатель на х:
[m]\lim_{x \to \infty }\frac{1-2x}{3x-1}=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1-2x}{x}}{\frac{3x-1}{x}}=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1}{x}-\frac{2x}{x}}{\frac{3x}{x}-\frac{1}{x}}=[/m]
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{1}{x}-2}{3-\frac{1}{x}}=\frac{0-2}{3-0}=-\frac{2}{3}[/m]

2) Умножаем и числитель и знаменатель на
(√ 1+x +√ 1–x)

[m]\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{3x}=\lim_{x \to 0 }\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{3x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{1+x-(1-x)}{3x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{3x\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=[/m]

[m]\lim_{x \to 0}\frac{2}{3\cdot (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{2}{3\cdot(\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0})}=\frac{1}{3}[/m]

3)
см. первый замечательный предел

[m]\lim_{x \to 0 }\frac{1-cox}{5x}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 0 }\frac{2\cdot sin^2\frac{x}{2}}{5x}= \lim_{x \to 0 }\frac{2\cdot sin\frac{x}{2}}{2\cdot \frac{x}{2}}\cdot sin\frac{x}{2}=1\cdot 0=0[/m]

4)

см. второй замечательный предел

[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{x+3}{x-2})^{x}=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{x+3}{x}}{\frac{x-2}{x}})^{x}=\lim_{x \to\infty}\frac{(1+\frac{3}{x})^{x}}{(1-\frac{2}{x})^{x}}=\frac{e^{3}}{e^{-2}}=e^{5}[/m]

Ответ выбран лучшим

1.

a) F(x)=4*(x^3/3)+2*(x^2/2)-3x+C;

б) ? - 4*sin[b]x[/b] + C

в) 7* (1/(1/2))*sin([b]x/2[/b]) + (1/5) * 2* tg[b]5x[/b] + C

2.

F(x)=(1/2)sin2x+C
Подставляем координаты точки М

x=π/2
y=F(x)=0

0=(1/2)sin(2*(π/2)) + C

0=(1/2)*sin0+C

sin0=0

C=0

О т в е т. F(x)=F(x)=(1/2)sin2x+C - общий вид первообразных

F(x)=(1/2)sin2x - первообразная, проходящая через точку (π/2;0)

a)

∫ ^(1)_(0)(4-x^2)dx=(4x-(x^3/3))|^(1)_(0)=4-(1/3)=11/3

б)
Находим абсциссы точек пересечения кривых:

x^2-3x+4=4-2x^2

3x^2-3x=0

3x*(x-1)=0

Применяем формулу

[r]S= ∫ ^(b)_(a) (f(x)-g(x))dx[/r]

f(x)=4-2x^2
g(x)=x^2-3x+4

a=0;b=1

S= ∫ ^(1)_(0)((4-2x^2)-(x^2-3x+4))dx= ∫ ^(1)_(0)(3x-3x^2)dx=

=((3x^2/2)-3x)|^1_(0)=(3/2)-1=1/2=0,5

(прикреплено изображение)

[green]Хорошая задача по теме расстояние между скрещивающимися прямыми.[/green]

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется [b]расстояние[/b] между [i]одной из скрещивающихся прямых[/i] и [red]плоскостью[/red], проходящей через другую прямую параллельно первой.

Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, нужно:

1. через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой.

2. Из любой точки первой прямой опустить перпендикуляр на плоскость и найти его длину.

Первый способ -геометрический
Второй способ - аналитический ( с помощью формулы расстояния от точки до плоскости)

а)
[i]Первый способ[/i] -геометрический
На рис. 1 куб и [i]скрещивающиеся[/i] прямые AD_(1) и А_(1)С ,
расстояние между которыми требуется найти.

Строим плоскость, проходящую через А_(1)С|| AD_(1).

Проводим MK_(1)
M- cередина АВ
К- середина DC
M_(1) - cередина А_(1)В_(1)
К_(1) - середина D_(1)C_(1)

MK_(1) || AD_(1) ⇒ пл. МА_(1)К_(1)С || AD_(1)

P- cередина AD_(1)

Из точки Р проводим PO || AM

Δ D_(1)PO - прямоугольный.
так как АМ ⊥ пл. АА_(1)D_(1)D ⇒ AM ⊥ AD_(1)
PO|| AM, значит

PO⊥ AD_(1)

Высота PT прямоугольного треугольника Δ D_(1)PO

и есть искомое расстояние.

Как его найти?

По методу площадей.
S_(прямоугольного треуг)=a*b/2 и S_(прямоугольного треуг)=с*h/2

a*b=c*h

h=a*b/c

a=PD_(1)=9sqrt(2)

b=PO=9

c=sqrt(PO^2+PD^2_(1))=9sqrt(3)

h=PT=9*9sqrt(2)/9sqrt(3)=[red]3sqrt(6)[/red]

[i]Второй способ[/i]

Размещаем куб в системе координат как показано на рисунке.

Составляем уравнение плоскости МА_(1)К_(1)С как плоскости, проходящей через точки:
M(18;9;0)
A_(1)(18;0;18)
C(0;18;0)

[m]\begin{vmatrix} x-18 & y-9 &z \\ 0 &-9 &18 \\ -18& 9 & 0 \end{vmatrix}=0[/m]

-18*18*(y-9)-18*9*z-18*9*(x-18)=0

[b]x+2y+z-36=0[/b]

Расстояние от точки P (9;0;9) до пл.[b]x+2y+z-36=0[/b]

[m]d=\frac{|9+2\cdot 0+9-36|}{\sqrt(1^2+2^2+1^2)}=\frac{18\sqrt{6}}{6}=3\sqrt{6}[/m]

[red]d=3sqrt(6)[/red]

О т в е т ы одинаковые: [red]3sqrt(6)[/red]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2^(x+8)=2^(x)*2^8=256*2^8

4^x=(2^2)^(x)=(2^(2))^x=(2^(x))^2

Поэтому применяем метод
[b]замены переменной[/b] ( Вам почему-то не нравится)

2^(x)=t
[red]t>0[/red]

4^x=t^2

t^2 - 256*t ≤ 257

t^2 - 256*t - 257 ≤ 0

Квадратное уравнение t^2 - 256*t - 257 =0 имеет корень t=-1
так как
(-1):2- 256*(-1) -257=0 - верно: 257-257=0

Второй корень находим по теореме Виета
t_(1)*t_(2)=-257
t_(1)=-1
t_(2)=257

неравенство
t^2 - 256*t - 257 ≤ 0

верно при

-1 ≤ t ≤ 257

С учетом замены :
[red]t >0[/red]

получаем
0 < t ≤ 257

Обратный переход

0 < 2^(x) ≤ 257

{2^(x) ≤ 257 ⇒ x ≤ log_(2)257
{2^(x) > 0 - верно при любом х

О т в е т. (- ∞ ; log_(2)257]

а)
sqrt(25)-sqrt(45)=sqrt(5*5)-sqrt(9*5)=sqrt(5)*sqrt(5)-sqrt(9)*sqrt(5)=

=sqrt(5)*sqrt(5)-3*sqrt(5)=sqrt(5)*(sqrt(5)-3)

(sqrt(25)-sqrt(45)):sqrt(5)=[b]sqrt(5)-3[/b]

б)
∛(625)-∛5=∛(5*5*5*5)-∛5= ∛(5^3*5)-∛5=∛(5^3)*∛5-∛5=5*∛5-∛5=

=∛5*(5-1)=[b]4∛5[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0

Поэтому решаем систему:
{sinx-sin2x=0
{2cosx-1 ≥ 0 ⇒ cosx ≥ 1/2
{sqrt(2cosx-1) ≠ 0 ⇒ 2cosx-1 ≠ 0 ⇒ cosx≠ 1/2

По формуле синуса двойного угла:
sin2x=2*sinx*cosx,
первое уравнение принимает вид:
sinx-2*sinx*cosx=0
или
sinx*(1-2cosx)=0
Так как
1-2cosx ≠ 0, то только
sinx=0
x=πk, k ∈ Z

Второму условию системы
удовлетворяют корни, лежащие в правой половине
(cosx>1/2 >0 ⇒ cosx> 0 в 1 или 4 четвертях)
[blue]x=2πn, n ∈ Z [/blue]

О т в е т. 2πn, n ∈ Z

Отрезку [-3π;7π] принадлежат

при n=;-1;0;1;2;3

x=[b]-2π[/b];
x=[b]0[/b];
x=[b]2π[/b];
x=[b]4π[/b];
x=[b]6π[/b]
(прикреплено изображение)

ОДЗ:
x ≥ 0

Левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей
[blue]sqrt(x)-a[/blue] и [green]2^(2x)-10*2^x+16[/green]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла

Поскольку указана ОДЗ, то оба множителя на ОДЗ имеют смысл

Первый множитель
[blue]sqrt(x)-a[/blue] равен нулю при x=a^2

sqrt(x)-a ⇒ sqrt(x)=a;
x= a^2 ≥ 0 при любом a, т.е [b]один корень[/b] есть при любом a,

Второй множитель

Квадратное уравнение
2^(2x)-10*2^x+16=0
D=(10)^2-4*16=100-64=36>
имеет [b]два корня [/b]
2 и 8

2^(x)=2 или 2^(x)=2^3

[b]x=1 или x=3[/b] - два корня.

Найдем при каких значениях параметра а
х=1 и х=3
являются корнями первого множителя:

1=a^2 ⇒ a= ± 1
или
3=a^2 ⇒ a= ± sqrt(3)

При a= ± 1 и a= ± sqrt(3) данное уравнение имеет два корня.

О т в е т. ± 1; ± sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

Одно число х, второе (60 - х)
Сумма квадратов
x^2 + (60 - x)^2

Обозначим сумму квадратов
f(x)=x^2 + (60 - x)^2

Переформулируем задачу: требуется найти наименьшее значение функции на (0;60)

x- положительное число, такое, что в сумме с другим составляет 60,
значит
0 < x < 60

f(x)=x^2 + 3600 - 120x + x^2

f(x)=2x^2-120x+3600

f`(x)=4x-120

f`(x)=0

x=30 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

Одно число 30, второе 60-30=30

О т в е т. 30 и 30

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора
R^2=L^2-H^2=5^2-4^2=25-16=9
R=3

S_(пов)=π*R*L=π*3*5=15π кв см

V=(1/3)*S_(осн)*Н=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*3^3*4=12π куб. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Группируем, чтобы выделить полные квадраты:
(x^2+6x)-(4y^2-32y)-119=0

(x^2+2*x*3+3^2)-3^2-4*(y^2-2*y*4+4^2)+4*4^2-119=0

(x+3)^2-4*(y-4)^2=64

Делим на 64

(x+3)^2/64 - (y-4)^2/16 = 1 - гипербола

c центром C(-3;4)
полуоси
a=8
b=4

c^2=a^2+b^2=64+16=80
c=sqrt(80)=sqrt(16*5)=4sqrt(5)

F(-4sqrt(5);4) и F(4sqrt(5);4) - фокусы

ε =с/a=4sqrt(5)/8=sqrt(5)/2

Для гиперболы
x^2/a^2+y^2/b^2=1

Асимптоты
y= ± (b/a)x

Для данной гиперболы
уравнения асимптот имеют вид:
y= ± (4/8)x + m

Асимптоты проходят через точку С.
Подставляем координаты точки С в уравнение:
y=- (1/2)x + m

4=-(1/2)*(-3)+m

m=2,5

Подставляем координаты точки С в уравнение:
y= (1/2)x + m

4=(1/2)*(-3)+m

m=5,5

О т в е т. [b]y= -0,5x+2,5[/b] и [b]y= 0,5x+5,5[/b]

(прикреплено изображение)

∠ APB=90 градусов, так как AB- диаметр
Δ АРВ - прямоугольный равнобедренный

H=R_(сферы)=10sqrt(2)

L^2=H^2+R^2=(10sqrt(2))^2+(10sqrt(2))^2=200+200=400
L=20 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания пирамиды равна x

OK=asqrt(2)/2
OA=xsqrt(2)/2

AK=AO-KO=(x-a)sqrt(2)/2
KF:MO= AK:AO=(x-a)/x

KF=2a

MO=(2ax)/(x-a)

МО=Н

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*Н=(1/3)*x^2*(2ax)/(x-a)

V_(пирамиды)=V(x)

V(x)=(2ax^3)/(3*(x-a)) - функция, зависящая от переменной х

Исследуем с применением производной:

V`(x)=(6ax^2*3*(x-a)-2ax^3*3)/(9(x-a)^2)

V`(x)=(12ax^3-18a^2x^2)/(9(x-a)^2)

V`(x)=0

12ax^3-18a^2x^2=0

12x-18a=0

x=3a/2

Это точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

V(3a/2)=(2a/3)*(3a/2)^3/((3a/2)-a)=18a^3/4=[b]4,5a^3[/b] (прикреплено изображение)

а)
A(8;0) ⇒ a=8
ε =c/a
ε =7/8 ⇒ c=7

b^2=a^2-c^2=8^2-7^2=(8-7)*(8+7)=15

Каноническое уравнение эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

О т в е т.

[b](x^2/64)+(y^2/15)=1[/b]

б)
А(3;–√3/5);В(√3/5;6)

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

Подставляем координаты точек А и В в это уравнение:

{(3^2/a^2)-((-sqrt(3/5))^2/b^2)=1
{((sqrt(3/5))^2/a^2)-(6^2/b^2)=1

{(9/a^2)-(3/(5b^2))=1
{3/(5a^2))-(36/b^2)=1

{(5*9b^2-3a^2)/(5a^2b^2)=1
{(3b^2-5*36a^2)/(5a^2b^2)=1

5*9b^2-3a^2=3b^2-5*36a^2

42b^2=-177a^2

чего быть не может слева выражение ≥ 0, справа < 0

О т в е т.

в)D: y= 4

если каноническое уравнение параболы имеет вид
x^2=-2py, то фокус параболы

F(0; -p/2)

D: y= p/2

Значит,
p/2=4

p=8

О т в е т. x^2 = -16y

Ответ выбран лучшим

R=3

H^2=L^2-R^2=5^2-3^2=25-9=16

H=4

S_(осевого сеч.)=S( Δ)=(1/2)*(2R)*H=(1/2)*(2*3)*4=[b]12[/b]

Ответ выбран лучшим

D=2R

12=2R

R=6

H^2=L^2-R^2=10^2-6^2=100-36=64

H=8

S_(осевого сеч.)=S( Δ)=(1/2)*D*H=(1/2)*12*8=[b]48[/b]

Ответ выбран лучшим

S_(осн)=18

r:R=3:(3+6)
r:R=3:9

R=3r ⇒ [blue]r=R/3[/blue]

S_(осн)=πR^2

πR^2=18

S_(cеч)=π*[blue]r[/blue]^2=π*([blue]R/3[/blue])^2=[b]πR^2[/b]/9=[b]18[/b]/9=2

Ответ выбран лучшим

S_(осн)=π*R^2
S_(cеч)=π*r^2

r:R=1:4
R=4r

S_(осн)=πR^2=π*(4r)^2=16*[b]πr^2[/b]=16*[b]S_(cеч)[/b]=16*[b]2[/b] =32
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }[/m]

[m]\frac{tg\alpha }{1+tg^2\alpha }-\frac{ctg\alpha }{1+ctg^2\alpha }=\frac{tg\alpha }{1+tg^2\alpha }-\frac{\frac{1}{tg\alpha }}{1+\frac{1}{tg^2\alpha }}=\frac{tg\alpha }{1+tg^2\alpha }-\frac{tg\alpha }{tg^2\alpha +1}=0[/m]

Ответ выбран лучшим

Значит боковая сторона L осевого сечения равна основанию 2R.
L=2R

S_(бок)=π*R*L

[b]π*R*2R=50π[/b]

R^2=25

R=5

О т в е т. 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

= ∫ ^(2)_(1)dx ∫ ^(lnx)_(0)e^(y)dy=

=∫ ^(2)_(1) (e^(y))|^(lnx)_(0)dx=

=∫ ^(2)_(1) (e^(lnx)-e^(0))dx=

=∫ ^(2)_(1) (x -1) dx=

=((x^2/2)-x)|^(2)_(1)=

=(2^2/2)-2 - ((1^2/2)-1)=0,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1- sin^2 α =1-a^2

cos α = ± sqrt(1-a^2)

Так как α в IV четверти, косинус в IV четверти имеет знак +

О т в е т. cos α = sqrt(1-a^2)

sin^2 α +cos^2 α =1

Возводим в квадрат:

(sin^2 α +cos^2 α)^2 =1

sin^4 α +2sin^2 α cos^2 α +cos^4 α =1 ⇒

sin^4 α+cos^4 α =1 - 2sin^2 α cos^2 α

Тогда

1-sin^4 α -cos^4 α =1-(sin^4 α +cos^4 α )=1-1+2sin^2 α cos^2 α =

=2sin^2 α cos^2 α

2sin^2 α cos^2 α /cos^2 α =[b]2sin^2 α[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

[m]z=\frac{43-9x+6y}{2}[/m]

[m]\frac{(x-1)^2)}{4}+\frac{(y+1)^2}{9}-\frac{(\frac{43-9x+6y}{2})^2}{36}=1[/m]

[m]\frac{36(x-1)^2)}{144}+\frac{16(y+1)^2}{144}-\frac{(43-9x+6y)^2}{144}=1[/m]

36(x-1)^2+16(y+1)^2-(43-9x+6y)^2=144

36x^2-72x+36+16y^2+32y+16-43^2-81x^2-36y^2 -
-2*43*6y+2*43*9x+2*9x*6y=144

[b]45x^2+20y^2 +486y-702x-108xy+1941=0[/b]

Скорее всего эллипс см поворотом осей координат и со смещенным центром.

См. преобразования квадратичной формы

1.
Смотрим на пределы интегрирования
У первого интеграла:
y=0; y=1
x=0; x=sqrt(y)
Получаем область D_(1)

Рис. 1

У второго интеграла:
y=1; y=2
x=0; x=sqrt(2-y)

Получаем область D_(2)

Рис. 2

Общая область на рис. 3

Вертикальные полосы: x=0; x=1 - это и есть пределы интегрирования по переменной х

У линий x=sqrt(y) и x=sqrt(2-y)
выразим у через х
y=x^2 и y=2-x^2

О т в е т. ∫^(1)_(0)dx ∫ ^(2-x^2)_(x^2) f(x;y)dy

2.
Область на рис. 4

0 < x < 1
1-x < y < sqrt(1-x^2)

Запишем уравнения границ в полярных координатах

[blue]y=1-x[/blue]
ρ sinθ=1- ρ cos θ
ρ( sinθ+cos θ )=1

[blue] ρ =1/ ( sinθ+cos θ )[/blue] - уравнение линии входа в область в направлении лучей выходящих из точки O

[green]y=sqrt(1-x^2)[/green]
y^2=1-x^2
x^2+y^2=1
ρ ^2=1
[green]ρ =1[/green] - уравнение линии выхода из область в направлении лучей выходящих из точки O

Так как область в первой четверти, угол θ меняется от (π/2) ( это значение соответствует x=0) до 0 (это значение соответствует x=1)

О т в е т.

∫^(π/2)_(0)d θ ∫ ^(1)_(1/(cos θ +sin θ ))f( ρ cos θ ; ρ sin θ ) ρ d ρ

3.
Область интегрирования прямоугольник
2<x<3
(π/4)<y <(π/2)

Подытегральная функция
f(x;y)=ysin(2xy)

Постоянный множитель 12 можно вынести за знак двойного интеграла.

Из - за вида f(x;у), содержащего sin зависящий и от х и от у,

внешний интеграл берем по переменной х

= 12*∫ ^(3)_(2)dx ∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2x*y)dy

Сначала считаем внутренний интеграл:

∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2x*y)dy (2х в этом интеграле константа,интеграл только от переменной y)
Применяем метод интегрирования по частям:

u=y
dx=sin(2x*y)dxy
du=dy
v=(1/((2x))*(-cos(2xy))

∫ u*dv = u*v - ∫ v*du

∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2x*y)dy=

=-(y/2x)*cos(2xy)|^(y=π/2)_(y=π/4) - (1/(2x))∫ ^(y=π/2)_(y=π/2)(-cos2xy)dy=

=(-π/(4x))*cosπx +(π/(8x))*cos(πx/2) + (1/(2x))* sin(2xy)/(2x)|^(y=π/2)_(y=π/2)=

=(-π/4x)*cosπx +(π/8)*cos(πx/2) +(1/(4x^2))*(sin(πx)-sin((πx)/2)

Теперь считаем внешний:
=12*∫ ^(3)_(2)[b]([/b](-π/(4x))*cosπx +(π/(8x))*cos(πx/2) +(1/(4x^2))*(sin(πx)-sin((πx)/2)[b]) [/b] dx

Процесс утомительный.

Не нравится что х в знаменателе и под косинусом... Это даже не по частям...

Скорее все в условии sin2х только без y.

Тогда
внутренний интеграл:

∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2y)dy

Применяем метод интегрирования по частям:

u=y
dx=sin(2y)dxy
du=dy
v=(1/((2))*(-cos(2y))=-(cos(2y))/2

∫ u*dv = u*v - ∫ v*du

∫^ (π/2)_(π/4)y*sin(2y)dy=

=-(y*cos(2y))/2|^(y=π/2)_(y=π/4) - ∫ ^(y=π/2)_(y=π/2)((-cos2y)/2)dy=

=(-π/2)*cosπ +(π/4)*cos(π/2) + (1/(2))* ((sin(2y))/2)|^(y=π/2)_(y=π/2)=

=(-π/2)*(-1) +(π/2)*0 +(1/4)*(sin(π)-(1/4)sin(π/2)=

=(π/2)-(1/4)

Ну вот это прилично.

Теперь считаем внешний:

∫ ^(3)_(2)((π/2)-(1/4))dx=((π/2)-(1/4))*x|^(3)_(2)=(π/2)-(1/4)
Это ответ.

4.

= ∫^(2)_(0)dx ∫ ^(4)_(0)dy ∫ ^(5)_(0)(x+y+z)dx=

=∫^(2)_(0)dx ∫ ^(4)_(0)dy ( xz+yz+(z^2/2)|^(5)_(0)=

=∫^(2)_(0)dx ∫ ^(4)_(0)( 5x+5y+12,5)dy=

= ∫^(2)_(0)dx ( 5xy+(5y^2/2)+12,5y)| ^(4)_(0)=

= ∫^(2)_(0) (5x*4+(5*4^2/2)+12,5*4)dx=

= ∫^(2)_(0) (20x*4+40+50)dx= ∫^(2)_(0) (20x*4+90)dx=

=(10x^2+90x)|^(2)_(0)=40+180=220

Дальше негде писать...
Не надо все задачи выставлять в одном вопросе.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) (3x^2+18x)-(2y^2-4y)+31=0
3*(x^2+6x+9)-27-2*(y^2-2y+1)+2+31=0

3*(x+3)^2-2*(y-1)^2=-4

Делим на (-4)

((y-1)^2/2)-((x+3)^2/(4/3))=1 - гипербола, центр в точке (-3; 1)

большая полуось - на оси, параллельной оси Оу
равна b= sqrt(2)
малая полуось - на оси, параллельной оси Ох
равна a= sqrt(4/3)

2)
2x+(y^2+8y)+20=0
2x+(y^2+2*y*4+16)-16+20=0
2x=-(y+4)^2-61

x=-(1/2)(y+4)^2-2 - парабола вдоль оси Ох

ветви в направлении противоположном направлению оси Ох
Вершина в точке (-4;-2)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Искомая плоскость проходит через oсь Oy, значит проходит через начало координат.
Пусть уравнение искомой плоскости

[red]Ax+By+Cz=0[/red]

У плоскости x+sqrt(6)y-z-3=0 нормальный вектор vector{n_(1)}=(1;sqrt(6);-1)

У плоскости Ax+By+Cz=0 нормальный вектор vector{n_(2)}=(A;B;C)

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами
По формуле:
cos( ∠ (vector{n_(1)}, vector{n_(2)}))=(vector{n_(1)}* vector{n_(2)})/|vector{n_(1)}|*| vector{n_(2)}|

Так как по условию угол между плоскостями равен 60 градусов
значит
cos 60 градусов =1/2

1/2 =(vector{n_(1)}* vector{n_(2)})/|vector{n_(1)}|*| vector{n_(2)}|

2*vector{n_(1)}* vector{n_(2)}=|vector{n_(1)}|*| vector{n_(2)}|

где vector{n_(1)}* vector{n_(2)} - скалярное произведение.

2*(A-sqrt(6)*B-C)=sqrt(1^2+(-sqrt(6))^2+(-1)^2)*sqrt(A^2+B^2+C^2)

Ось Оу содержит направляющий вектор vector{j}=(0;1:0)

Значит, искомая плоскость проходит через точку (0;1:0)

A*0+B*1+C*0=0

Из двух уравнений относительно А, В, С и D находим

коэффициенты:

{B=0
{2A-2C=sqrt(8)*sqrt(A^2+C^2) ⇒

A- C=sqrt(2)*sqrt(A^2+C^2)

Возводим в квадрат

A^2-2A*C+C^2=2A^2+2C^2 ⇒ A^2+2AC+C^2=0
A=-C

О т в е т. Ax+0*y-Az=0 ⇒ [b] x-y=0[/b]

Ответ выбран лучшим

У плоскости нормальный вектор vector{n}=(3;4;-5)

У прямой направляющий вектор vector{s}=(-2;1;3)
и точка M_(o) (0,5;-3;-2,5)

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости
vector{M_(o)M}=(x-0,5;y+3;z+2,5)
Значит три вектора компланарны.
Условие компланарности - смешанное произведение равно 0

Смешанное произведение - определитель третьего порядка, составленный из координат векторов:
vector{M_(o)M}=(x-0,5;y+3;z+2,5)
vector{n}=(3;4;-5)
vector{s}=(-2;1;3)

[m]\begin{vmatrix} x-0,5 & y+3 &z+2,5 \\ 3& 4&-5 \\ -2&1 & 3 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по правилу треугольника:

12*(x-0,5)+10*(y+3)+3*(z+2,5)+8*(z+2,5)+5*(x-0,5)-9*(y+3)=0

17*(x-0,5)+(y+3)+11*(z+2,5)=0

[b]17x+y+11z+22=0[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

1) способ
Можно записать систему и так:
{x`(t)=x+y
{y`(t)=4y-2х

Выразим из первого уравнения y
y=x`(t)-x

тогда

y`=x``(t)-1

и подставим во второе уравнение:

x``(t)-1=4*(x`(t)-x)-2x

Решаем второе уравнение:
x``(t)-4*x`(t)+6x-1=0

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
x``(t)-4*x`(t)+6x = 1

Решаем однородное уравнение:
x``(t)-4*x`(t)+6x=0

Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+6=0

D=4^2-4*6=-8

sqrt(D)=sqrt(8)* [b]i[/b]=2sqrt(2)* [b]i[/b]

k_(1,2)= (4 ± 2sqrt(2)* [b]i[/b])/2

k_(1) =2 - sqrt(2)* [b]i[/b]; k_(2) =2 + sqrt(2)* [b]i[/b]

α =2

β =sqrt(2)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y=e^2*[b]([/b]C_(1)cos(sqrt(2))t +C_(2)sin(sqrt(2)t)[b])[/b]

Из второго уравнения системы находим
2x=4y-y`

x=2y-(1/2)y`

y`=e^2*[b]([/b]C_(1)*(-sin(sqrt(2)t)*(sqrt(2)t)` +C_(2)*cos(sqrt(2)t)*(sqrt(2)t)`[b])[/b]

x=2e^2*(C_(1)cos(sqrt(2))t +C_(2)sin(sqrt(2)t)-e^2*sqrt(2)*[b]([/b]C_(1)*(-sin(sqrt(2)t) +C_(2)*cos(sqrt(2)t)[b])[/b]

x=e^2*[b]([/b]2C_(1)cos(sqrt(2))t +2C_(2)sin(sqrt(2)t+sqrt(2)C_(1)sin(sqrt(2)t)-sqrt(2)C_(2)cos(sqrt(2)t[b])[/b]

О т в е т.
x=e^2*[b]([/b](2C_(1)-sqrt(2)C_(2))*cos(sqrt(2))t +(2C_(2)+sqrt(2)C_(1))*sin(sqrt(2)t)[b])[/b]

y=e^2*[b]([/b]C_(1)cos(sqrt(2))t +C_(2)sin(sqrt(2)t)[b])[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) возводим в квадрат
y^2=6-x^2 ⇒ x^2+y^2=6 - окружность с центром (0;0), R=sqrt(6),
y=-sqrt(6-x^2) полуокружность,расположенная в нижней полуплоскости,[red] y ≤ 0[/red]
2)
y^2=-3x - парабола
y=sqrt(-3x) - часть параболы y^2=-3x, расположенная в верхней полуплоскости
[red]y ≥ 0[/red]

3)
x+5=-2sqrt(-y^2-6y)

(x+5)^2=4(-y^2-6y)

Выделяем полный квадрат
(x+5)^2=4(-y^2-6y-9)+36
(x+5)^2+4(y+3)^2=36

Делим на 36:
((x+5)^2/36)+((y+3)^2/9)=1 - эллипс с центром (-5;-3) и полусями
а=6
b=3

4.
ρ =sqrt(x^2+y^2)
cos φ =x/ ρ =x/sqrt(x^2+y^2)

sqrt(x^2+y^2)= - 18/(4-(5х/sqrt(x^2+y^2)))

4sqrt(x^2+y^2)=5x-19

16*(x^2+y^2)=25x^2-190x+361 - выделяем полный квадрат, получим уравнение гиперболы

График - одна ее ветвь

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(осн)=πR^2

πR^2=25π

R^2=25

[b]R=5[/b]

S_(осевого сеч)=[m]\frac{1}{2}[/m]*2R*H=5*2=[b]10[/b]

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=3x^2-6y-39
z`_(y)=2y-6x+18

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{3x^2-6y-39=0
{2y-6x+18=0 ⇒ y=3x-9
и подставим в первое уравнение:

3x^2-6*(3x-9)-39=0
3x^2-18x+54-39=0
3x^2-18x+15=0
x^2-6x+5=0
D=36-20=16
x_(1)=1; x_(2)=5

у_(1)=-6; y_(2)=6

Исследуем точки M(1:-6) и N(5;6) на экстремум

Находим вторые частные производные:
z``_(xx)=6x
z``_(xy)=-6
z``_(yy)=2

А=z``_(xx)(М)=6
B=z``_(xy)=-6
C=z``_(yy)=2

Δ=AC-B^2=6*2-(-6)^2<0
точка М не является точкой экстремума

А=z``_(xx)(N)=6*5=30
B=z``_(xy)=-6
C=z``_(yy)=2

Δ=AC-B^2=30*2-(-6)^2>0
точка N является точкой экстремума
Так как
А=z``_(xx)(N)=30 >0
Это точка минимума

z_(наим)=z(5;6)= 5^3+6^2-6*5*6-39*5+18*6+20=... калькулятор и считаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:x>0

Так как
2lg7=lg7^2=lg49
1=lg10

2lg7+1=lg49+lg10=lg(49*10)=lg490

lg2x < lg490

Логарифмическая функция с основанием 10 > 1 возрастает, бОльшему значению функции соответстует бОльшее значение аргумента:

2x < 490

x< 445

С учетом ОДЗ
О т в е т. (0; 445)

1)
p=[m]\frac{1}{5}[/m]
2)
p=[m]\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{20}[/m]
3)
p=[m]\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}[/m]

Ответ выбран лучшим

R^2=L^2-H^2=13^2-12^2=169-144=25
R=5
Осевое сечение конуса - треугольник, основание 2R

S_(осевого сеч)=[m]\frac{1}{2}[/m]2R*H=5*12=[b]60[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-3x>0 ⇒ x*(x-3)>0 ⇒ x<0 или х >3

ОДЗ x ∈ (- ∞ ;0) U (3;+ ∞)

По определению логарифма
x^2-3x=0,25^(-1)

так как 0,25^(-1)=[m](\frac{1}{4})^{-1}=4[/m]

x^2-3x=4
x^2-3x-4=0
D=(-3)^2-4*(-4)=25
x_(1,2)=[m]\frac{3\pm5}{2}[/m]

x_(1)=-1; x_(2)=4

Оба корня входят в ОДЗ

О т в е т. -1; 4

Ответ выбран лучшим

x^(log_(5)x-2)=125
Логарифмируем по основанию 5

log_(5)x^(log_(5)x-2)=log_(5)125

По свойству логарифма степени:
(log_(5)x-2)*log_(5)x=3

Квадратное уравнение:

(log_(5)x)^2-2log_(5)x-3=0

D=(-2)^2-4*(-3)=16

корни уравнения (2 ± 4)/2

log_(5)x=-1 или log_(5)x=3

x=5^(-1) или х=5^3

x=[m]\frac{1}{5}[/m] или x=125

О т в е т. [m]\frac{1}{5}[/m] ; 125

(3^x)^3-5*(3^x)^2-3^x*3^2+45=0
Замена переменной
3^x=t
t^3-5t^2-9t+45=0

t^2*(t-5)-9*(t-5)=0
(t-5)*(t^2-9)=0

t=5 или t^2-9=0
t=5 или t= ± 3

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n^2*(n-1)=k^2
Если n-1=1, то
n^2=k^2
т.е.
при n=2
2^3-2^2=2^2 - верно

n^3-n^2=k^2
k, n ∈ [b]N[/b]

n^3=k^2-n^2

n^3=(k-n)*(k+n)

n*n*n=(k-n)*(k+n)

либо
{k-n=n^2 ⇒ k=n^2+n ⇒ k=n*(n+1)
{n=k+n ⇒ k=0
что невозможно, так как k, n ∈ [b]N[/b]

либо
{k-n=n ⇒ k=2n тогда
{k+n=n^2 ⇒ 2n+n=n^2 ⇒ 3n=n^2 ⇒ n^2-3n=0 ⇒ n=0 или n=3

0 ∉ [b]N[/b]

При n=3
3^3-3^2=18 не является квадратом

О т в е т. при n=2

Ответ выбран лучшим

F_(1)B_(1)F_(2)B_(2)- ромб

S(ромба)=(1/2)*d_(1)*d_(2)

d_(1)=F_(1)F_(2)
d_(2)=B_(1)B_(2)

x^2+5y^2=20

Делим на 20

(x^2/20)+(y^2/4)=1 - каноническое уравнение эллипса

a^2=20
b^2=4
c^2=a^2-b^2=20-4=16

с=4
b=2

d_(1)=F_(1)F_(2)=2c=8
d_(2)=B_(1)B_(2)=2b=4

S=(1/2)*8*4=16

О т в е т. 16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-1>0 ⇒ x>1
{2x+[m]\frac{4}{x-1}[/m] >0 верно при любом х >0
{[m]\frac{3x-1}{2}[/m] >0 ⇒ x >[m]\frac{1}{3}[/m]

x > 1

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения

Применяем свойство логарифма степени

( см. формулы в приложении)

Неравенство принимает вид:
[m]log_{2}(x-1)\cdot(2x+\frac{4}{x-1})\geq log_{2}(\frac{3x-1}{2})^2[/m]

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:

[m](x-1)\cdot(2x+\frac{4}{x-1})\geq (\frac{3x-1}{2})^2[/m]

Упрощаем:

[m](x-1)\cdot \frac{2x\cdot (x-1)+4}{x-1}\geq \frac{9x^2-6x+1}{4}[/m]

8x^2-8x+16 ≥ 9x^2-6x+1

x^2+2x-15 ≤ 0

(x-3)(x+5) ≤ 0

____ [-5] _-__ [3] ___

x ∈ [-5;3]

С учетом ОДЗ получаем ответ [b](1;3][/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A - внешняя часть круга с центром (0;0) и радусом 3, рис. 1
B- внутренняя часть параболы y=x^2/2, рис.2

A ∩ B- рис 3
A\B - рис. 4 (прикреплено изображение)

По формулам приведения:
sin(π–2x)=sin2x

sin4x=2*sin2x*cos2x

2*sin2x*cos2x+sin^22x=0

sin2x*(2cos2x+sin2x)=0

sin2x=0 или 2cos2x+sin2x=0

2x=πk, k ∈ Z

[m]x=\frac{\pi}{2}[/m]k, k ∈ Z

или
sin2x=-2cos2x

Делим на cos2x

tg2x=-2

2x=arctg(-2)+πn, n ∈ Z

[m]x=\frac{1}{2}arctg(-2)+\frac{\pi}{2} n, n \in Z[/m]

О т в е т.
[m]x=\frac{\pi}{2}[/m]k, k ∈ Z

[m]x=\frac{1}{2}arctg(-2)+\frac{\pi}{2} n, n \in Z[/m]

Ответ выбран лучшим

{-x^2-12x-35 >0 ⇒ x^2+12x+35 <0 ⇒ (x+5)(x+7) <0 ⇒ x ∈ (-5;-7)
{x+6 ≠ 0 ⇒ x ≠ -6

О т в е т.[b] (-5;-6) U (-6;-7)[/b]

Ответ выбран лучшим

Формулы тригонометрии( см. рис.)

1.
2 sin2x*cos5x=0

sin2x=0 или сos5x=0

2x=πk, k ∈ Z или 5х=[m]\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z[/m]

x=[m]\frac{\pi}{2}[/m]k, k ∈ Z или х=[m]\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5} n, n \in Z[/m]

2.
2 cos2x*cosx=0

cos2x=0 или сosx=0

[m]2x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z[/m] или [m]x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z[/m]

[m]x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} n, n \in Z[/m] или [m]x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z[/m]

О т в е т. [m]\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} n, n \in Z; \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z[/m]

3.
-2 sinx2x*sinx=0

sin2x=0 или sinx=0

2x=πk, k ∈ Z или x=πn, n ∈ Z

[m]x=\frac{\pi}{2}[/m]k,k ∈ Z или x=πn, n ∈ Z

О т в ет. [m]\frac{\pi}{2}[/m]k,k ∈ Z ; πn, n ∈ Z

4. Формула sin2 α =2*sin α *cos α

sin3x*cos3x=[m]\frac{sin6x}{2}[/m]

sin6x=1

[m]6x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z[/m]

[m]x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3} n, n \in Z[/m] (прикреплено изображение)

1) [b]a > 0 [/b] - так как ветви параболы направлены вверх

2)[b]D>0[/b] так как парабола пересекает ось Ох в двух точках, т е квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 имеет два корня.

3) [b]c < 0 [/b]( парабола пересекает ось Оу в точке (0;с)

По рисунку видим, что с на оси Оу ниже оси Ох

4) один корень слева от нуля, второй справа,
значит корни разных знаков

Причем отрицательный корень больше положительного по величине( по модулю), значит x_(1)+x_(2) < 0

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-b/a
-b/a < 0
a>0
[b]b>0[/b]

Ответ выбран лучшим

Делим числитель почленно на x^2:

[m]\int^{1}_{-1} \frac{4x^3+2}{x^2}dx=\int^{1}_{-1} \frac{4x^3}{x^2}dx+\int ^{1}_{-1}\frac{2}{x^2}dx=4\int^{1}_{-1} \frac{x^3}{x^2}dx+2\int^{1}_{-1} \frac{1}{x^2}dx=[/m]

[m]=4\int^{1}_{-1} x\cdot dx+2\int^{1}_{-1} x^{-2}dx=(4\cdot\frac{x^2}{2}+2\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1})|^{1}_{-1}=[/m]

[m]=(2x^2-\frac{2}{x})|^{1}_{-1}=2(1^2-(-1)^2)-\frac{2}{1}+\frac{2}{(-1)}=0-4=-4[/m]

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное уравнение:
y``-y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-1=0

k_(1)=-1 или k_(2)=1

По правилу общее решения однородного дифференциального уравнения с различными действительными корнями имеет вид:

[b]y_(одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)[/b]

[b]y_(одн)= C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)[/b] - общее решение
однородного дифференциального уравнения

Частного решение неоднородного уравнения находим в виде
y_(част)=Ax^2+Bx+C

y`_(част)=2Ax+B

y``_(част)=2А

Подставляем в данное уравнение:

2А-(Ax^2+Bx+C)=x^2-x-1

-Ax^2-Bx+2A-C=x^2-x-1

{-A=1 ⇒ A=-1
{-B=-1 ⇒ B=1
{2A-C=-1 ⇒ C=2A+1=-1

y_(част)= -x^2+x-1

y_(общ неод)=y_(общ)+y_(част)= [blue]C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)-x^2+x-1[/blue]

Решение задачи Коши:

y(0)=0
Значит
[blue]C_(1) e^(-0)+C_(2)e^(0)-0^2+0-1=0[/blue]
[blue]C_(1)*1+C_(2)*1=1[/blue]

y`= [blue](C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)-x^2+x-1)`

y`=- C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)-2x^2+1[/blue]

y`(0)=1

1=- C_(1) +C_(2)+1
- C_(1) +C_(2)=0
Из двух уравнений:
{C_(1)*1+C_(2)*1=1
{- C_(1) +C_(2)=0

Складываем:
2C_(2)=1
C_(2)=0,5

C_(1)=C_(2)=0,5

О т в е т.
y_(общ неод)= [blue]C_(1) e^(-x)+C_(2)e^(x)-x^2+x-1[/blue]

y=[blue]0,5* e^(-x)+0,5*e^(x)-x^2+x-1[/blue] - частное решение, решение задачи Коши при данных начальных условиях

Ответ выбран лучшим

Пусть в четверг цена одного кирпича[green] х[/green] руб, продано y штук

[blue]x*y [/blue] руб - доход в четверг

В пятницу цена одного кирпича[green] 1,5х[/green] руб. Продано z штук

[blue]1,5x *z[/blue] руб - доход в пятницу

По условию доход увеличился на 20%, т. е

xy руб cоставляет 100%

1,5x *z руб cоставляет 120%

Пропорция:
(x*y):(1,5*x*z)=100:120

120*x*y=100*1,5*x*z

120*y=150*z

z=120y/150

z=0,8y

y cоставляет 100%

z cоставляет 80%

100% - 80% =20%

О т в е т. на 20%

Ответ выбран лучшим

1.
Cложная функция
Пусть
t=arctgx

x ∈ (- ∞ :+ ∞) ⇒ t ∈ ([m]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[/m])

tgt ∈ (- ∞ ; + ∞ )

[blue]tg(arctgx)=x при x ∈ (- ∞ :+ ∞ )[/blue]

Строим у=х при x ∈ (- ∞ :+ ∞ )

2
пусть tgx=z ⇒ x ∈ ([m]-\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{\pi}{2}[/m]+\pi k), k ∈ Z

z ∈ (- ∞ ;+ ∞ )

[blue]arctg(tgx)=x,[/blue] [blue]x ∈ ([m]-\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{\pi}{2}[/m]+\pi k), k ∈ Z[/blue]

Строим график у = х на ([m]-\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{\pi}{2}[/m]+\pi k), k ∈ Z (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x^2-2x>0 ⇒ x*(x-2) >0 ⇒ x < 0 или x > 2
{x^4>0 ≠ x ≠ 0
{log_(5)x^4 ≠ 0 ⇒ x^4 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1

[red]x ∈ (- ∞ ;-1) U (-1;0) U(2;+ ∞ )[/red]

log_(5)(x^2-2x)=log_(5)x*(x-2)=log_(5)|x|+log_(5)|x-2|

log_(5)x^4=4log_(5)|x|

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{log_{5}|x|+log_{5}|x-2|}{4log_{5}|x|}\geq 0,25[/m]

Умножаем на 4:

[m]\frac{log_{5}|x|+log_{5}|x-2|}{log_{5}|x|}\geq 1[/m]

[m]1+\frac{log_{5}|x-2|}{log_{5}|x|} \geq 1[/m]

[m]\frac{log_{5}|x-2|}{log_{5}|x|} \geq 0[/m] ⇒

Применяем метод интервалов:

log_(5)|x-2|=0 ⇒ |x-2|=5^(0) ⇒ |x-2|=1 ⇒ x-2 = ± 1 ⇒ x=1 или х=3

log_(5)|x|=0 ⇒ x= ± 1

Расставляем знаки на ОДЗ:

[red]___+__ (-1) _-_ (0)[/red] ____ [red](2) _-_ (3) __+_[/red]

О т в е т.[b](- ∞ ;-1) U (3;+ ∞ )[/b]

ОДЗ:
{-x^2+8x-7 >0 ⇒ x^2 - 8x + 7 < 0 ⇒ (x-1)(x-7) <0 ⇒ 1 < x < 7
{(x-7)^2 > 0 ⇒ x ≠ 7
{x-1 > 0 ⇒ x > 1

[red]x ∈ (1;7)[/red]

В условиях ОДЗ:

log_(x-1)(-x^2+8x-7)=log_(x-1)(x-1)(7-x)=log_(x-1)(x-1)+log_(x-1)(7-x)=

=1+log_(x-1)(7-x)

[red]x ∈ (1;7)[/red] x-7 < 0, поэтому |x-7|=-(x-7)=7-x
log_(x-1)(x-7)^2=2log_(x-1)|x-7|=2log_(x-1)(7-x)

тогда

log^2_(x-1)(x-7)^2=(2log_(x-1)(7-x))^2=4log^2_(x-1)(7-x)

Неравенство принимает вид:

[blue]1+log_(x-1)(7-x)-0,25log^2_(x-1)(7-x) ≥ 2[/blue]

log^2_(x-1)(7-x)-4log_(x-1)(7-x)+4 ≤ 0

(log_(x-1)(7-x) - 2) ^2 ≤ 0 ⇒

log_(x-1)(7-x)=2

(x-1)^2=7-x

x^2-2x+1=7-x

x^2-x-6=0

D=1-4*(-6)=25

х_(1)=-2 ( не удовл ОДЗ); х_(2)=3

О т в е т. 3.

22018 при делении на 5 дает в остатке 3
т.е
22018=5k+3
2019 при делении на 5 дает в остатке 4
т.е
2019=5n+4

Значит, сумма
22018+2019=(5k+3)+(5n+4)=(5k+5n)+3+4=5*(k+n)+7

5*(k+n) делится на 5
7 при делении на 5 дает в остатке 2

О т в е т. 2

Замена:
sqrt(x+5)=t
x+5=t^2
x=t^2-5
dx=2tdt

[m]\int \frac{dx}{3+\sqrt{x+5}}=\int \frac{2tdt}{3+t}=2\int \frac{t+3-3}{t+3}dt=2\int dt-6\int \frac{dt}{t+3}=[/m]

[m]=2t-ln|t+3|+C=2\sqrt{x+5}-6ln|\sqrt(x+5)+3|+C[/m]

Ответ выбран лучшим

1.
Нормальный вектор vector{n}=(5;-4) прямой 5х-4у+3=0 является направляющим вектором искомой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o)) c направляющим вектором vector{s}=(p;q) имеет вид:

[m]\frac{x-x_{o}}{p}=\frac{y-y_{o}}{q}[/m]

x_(o)=-3
y_(o)=-5

p=5
q=-4

О т в е т. [m]\frac{x-(-3)}{5}=\frac{y-(-5)}{-4}[/m]
или
-4(x+3)=5(y+5)
[b]4x+5y+37=0[/b]

2.

Геометрический смысл углового коэффициента:

угловой коэффициент равен тангенсу угла α , образованного прямой y=kx+b с положительным направлением оси Ох

По условию
α=60 градусов

k=tg α =tg60 ° =sqrt(3)

Уравнение прямой имеет вид:
y=sqrt(3)x+b

Подставляем координаты точки А(4;1) и находим b:
1=sqrt(3)*4+b
b=1-4sqrt(3)

О т в е т. [b]y=sqrt(3)*x+1-4sqrt(3)[/b]

3.
Запишем уравнение:
3x+4y+1=0
в виде:
4y=-3x-1
y=-0,75x-0,25

Угловой коэффициент k_(1)=-0,75

x-2y+3=0
2y=x+3
y=0,5x+1,5
Угловой коэффициент k_(2)=0,5

k_(1) ≠ k_(2) ⇒ Прямые не параллельны

k_(1) *k_(2)≠ -1 ⇒ Прямые не перпендикулярны

О т в е т. Прямые пересекаются.

4.
Составляем уравнение прямой МТ, как прямой, проходящей через две точки
М(2;4) и Т(-4;7)

[m]\frac{x-x_{М}}{x_{Т}-x_{М}}=\frac{y-y_{М}}{y_{Т}-y_{М}}[/m]

[m]\frac{x-2}{-4-2}=\frac{y-4}{7-4}[/m]

[m]\frac{x-2}{-6}=\frac{y-4}{3}[/m]

3*(x-2)=-6*(y-4)

х-2=-2(у-4)

х+2у-10=0

О т в е т[b]х+2у-10=0[/b]

5.

Высота СН проведена в стороне АВ

Составляем уравнение прямой АВ, как прямой, проходящей через две точки А(-1;2) и B(2;-3)

[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

[m]\frac{x-(-1)}{2-(-1)}=\frac{y-2)}{-3-2}[/m]

[m]\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-5}[/m]

y=-[m]\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}[/m]

k_(1)=-[m]\frac{5}{3}[/m]

Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) перпендикулярны, то произведение угловых коэффициентов равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1 ⇒

k_(2)=[m]\frac{3}{5}[/m]

Уравнение имеет вид:

y=[m]\frac{3}{5}x+b[/m]

Чтобы найти b подставляем координаты точки С:

x=3
y=-1

[m]-1=\frac{3}{5}\cdot 3+b[/m]

[m]b=-\frac{14}{5}[/m]

О т в е т. [m]y=\frac{3}{5}x-\frac{14}{5}[/m]

или

[b]3х-5у-14=0[/b]

Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки
А1(0;3;–1), A2(2;5;–4) A3(–2;2;1):

[m]\begin{vmatrix} x-0 &y-3 &z+1 \\ 2 & 2 &-3 \\ 4&3 & -5 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель:

-10x -12(y-3)+6(z+1)-8(z+1)+9x+10(y-3)=0

Упрощаем:
-x-2y-2z-8=0
x+2y+2z+8=0

d=[m]\frac{|-3+2*(-1)+2*0+8|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=1[/m]

d=A_(4)H=1

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты
Запишем уравнение:
x+2y-1=0
в виде:
y=-0,5x+0,5
Угловой коэффициент k=-0,5

Значит, уравнение искомой прямой имеет вид:
y=-0,5x+b
x=1
y=3
3=-0,5*1+b
b=3,5

О т в е т. y=-0,5x+3,5 или х+2у-7=0

2.
Уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o)) c направляющим вектором vector{s}=(p;q) имеет вид:

[m]\frac{x-x_{o}}{p}=\frac{y-y_{o}}{q}[/m]

x_(o)=2
y_(o)=4

p=2
q=-3

О т в е т. [m]\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{-3}[/m]
или
-3(x-2)=2(y-4)
[b]3x+2y-14=0[/b]

3.
Геометрический смысл углового коэффициента:

угловой коэффициент равен тангенсу угла α , образованного прямой y=kx+b с положительным направлением оси Ох

По условию
α=45 граудсов

k=tg α =tg45 ° =1

Уравнение прямой имеет вид:
y=x+b

Подставляем координаты точки А и находим b:
1=4+b
b=-3

О т в е т. [b]y=x-3[/b]

4.

Координаты точки К как середины АС находим по формулам:

x_(K)=[m]\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{1+0}{2}=0,5[/m]
y_(K)=[m]\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{2+2}{2}=2[/m]

K(0,5;2)

Составляем уравнение прямой ВК, как прямой, проходящей через две точки
В(4;-1) и K(0,5;2)

[m]\frac{x-x_{В}}{x_{К}-x_{В}}=\frac{y-y_{В}}{y_{К}-y_{В}}[/m]

[m]\frac{x-4}{0,5-4}=\frac{y-(-1)}{2-(-1)}[/m]

[m]\frac{x-4}{-3,5}=\frac{y+1}{3}[/m]

3*(x-4)=-3,5*(y+1)

[b]6х+7у-17=0 - уравнение медианы ВК[/b]

5.
Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) перпендикулярны, то произведение угловых коэффициентов равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1

Верно и обратное.

Так как
y = -5x + 1 ⇒ k_(1)=-5

y=0,2x-6 =0 ⇒ k_(2)=0,2

k_(1)*k_(2)=-1

О т в е т.
[b]Прямые перпендикулярны.[/b]

Ответ выбран лучшим

Cм. формулу в приложении

S= - ∫ ^(0)_(-5)(4x-x^2)dx= ∫ ^(0)_(-5)(x^2-4x)dx=

=[m]\frac{x^3}{3}[/m]|^(0)_(-5)-2x^2|^(0)_(-5)=

=0 - [m]\frac{(-5)^3}{3}[/m]-2*(0-(-5))=[m]\frac{125}{3}[/m]-10=[m]\frac{125-30}{3}=\frac{95}{3}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
y=kx - общий вид прямых, проходящих через начало координат

угловой коэффициент k=tg α , где α - угол наклона прямой с положительным направлением оси Ох

Так как [i]по условию[/i] угол наклона прямой с положительным направлением оси Ох
α =30 °
и
tg 30 ° =[m]\frac{\sqrt{3}}{3}[/m], значит k=[m]\frac{\sqrt{3}}{3}[/m]

Подставляем в уравнение y=kx, получаем
[m]y=\frac{\sqrt{3}}{3}x[/m] ⇒

3y=sqrt(3)x

3y - sqrt(3)x=0

О т в е т. 3y - sqrt(3)x=0

2)
y=3 ( cм. рис.1)

3)

4х-3у+9=0 ⇒
находим 3у:

3у = 4х+9 ( делим на 3)

y=[m]\frac{4}{3}x+3[/m] - уравнение прямой вида y=kx+b, значит

k=[m]\frac{4}{3}[/m]

b=3

О т в е т. k=[m]\frac{4}{3}[/m]; b=3

4) Прямая 2x-y+4=0
пересекает ось Оу в точке A(0;4)
ось Ох в точке B(-2;0)

Пусть С - середина АВ

Координаты

x_(C)=[m]\frac{x_{A}+x_{В}}{2}[/m]
y_(C)=[m]\frac{y_{A}+y_{В}}{2}[/m]

x_(С)=[m]\frac{0+(-2)}{2}=-1[/m]
y_(С)=[m]\frac{4+0}{2}=2[/m]

С(-1;2)

5)
М- центр тяжести треугольника АВС:
x_(M)=[m]\frac{x_{A}+x_{В}+x_{C}}{3}[/m]
y_(M)=[m]\frac{y_{A}+y_{В}+y_{C}}{3}[/m]

x_(M)=[m]\frac{-2+4+10}{3}=4[/m]
y_(M)=[m]\frac{5+1+0}{3}=2[/m]

M(4;2)

x=4 - уравнение прямой, параллельной оси Оу

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
вектор veсtor{n}=(2;3)

Пусть M(x;y) произвольная точка прямой
Тогда векторы
veсtor{n} и veсtor{AM} ортогональны

veсtor{AM}=(x-2; y-3)

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат
veсtor{n} * veсtor{AM} =2*(x-2)+3*(y-3)

Если векторы перпендикулярны, то скалярное произведение равно 0

2*(x-2)+3*(y-3)=0
[b]2х+3у-13=0[/b] - о т в е т.

2.
Прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2)

8x+4y-4=0 ⇒ 4y=-8x+4 ⇒ y=-2x+1 ⇒ k_(1)=-2
x+2y-5=0 ⇒ y=-0,5x+2,5 ⇒ k_(2)=- 0,5

Геометрический смысл углового коэффициента:

угловой коэффициент равен тангенсу угла α , образованного прямой y=kx+b с положительным направлением оси Ох

Поэтому:
tg α _(1)=k_(1)=-2
tg α _(2)=k_(2)=-0,5

Угол между прямыми y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2)

равен разности углов α _(2) и α _(1)

Применяем формулу:

[m]tg(\alpha-\beta)=\frac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha\cdot tg\beta}[/m]

tg(α _(2)-α _(1))=(-2-(-0,5))/(1+1)=3/4

О т в е т. arctg(3/4)

3.
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты
y=-2x
О т в е т. y=-2x - уравнение прямой, проходящей через (0;0)

3.
Направляющий вектор прямой
[m]\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}[/m]

vector{s}=(3;-2)

Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы.

Уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o)) c направляющим вектором vector{s}=(p;q) имеет вид:

[m]\frac{x-x_{o}}{p}=\frac{y-y_{o}}{q}[/m]

p=3
q=-2
x_(o)=4
y_(o)=3
[m]\frac{x-4}{3}=\frac{y-3}{-2}[/m]

или

-2*(х-4)=3*(y-3)

[b]2x+3y-1=0[/b]- о т в е т.

4. Высота АН проведена к стороне ВС.
Составляем уравнение стороны ВС:

Уравнение прямой, проходящей через две точки
В (x_(В);y_(В)) и С (x_(С);y_(С)) и имеет вид:

[m]\frac{x-x_{С}}{x_{B}-x_{С}}=\frac{y-y_{С}}{y_{B}-y_{С}}[/m]

В(4;-1)
С(0;2)

[m]\frac{x-x_{С}}{x_{B}-x_{С}}=\frac{y-y_{С}}{y_{B}-y_{С}}[/m]

[m]\frac{x-0}{4 - 0}=\frac{y-2}{-1 -2}[/m]

[m]\frac{x}{4}=\frac{y-2}{-3}[/m]

-3*x=4*(y-2)

[b]3x+4y-8=0[/b] - уравнение прямой ВС

Прямая АН проходит через точку А (1;2) и перпендикулярна прямой ВС.
Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) перпендикулярны, то произведение угловых коэффициентов равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1

k_(ВС)=-3/4
k_(AH)=4/3

Значит, уравнение АН имеет вид:
y=(4/3)x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки А(1;2)
2=(4/3)*1+b
b=2/3

y=(4/3)x+(2/3)
[b]4x-3y+2=0 - уравнение АН[/b]

5.

х-у+9=0 ⇒ y = 2x + 9 ⇒ k_(1)=2

x+2y-1=0 ⇒ 2y = - x + 1 ⇒ y=-0,5x+0,5 ⇒ k_(2)=-0,5

k_(1)*k_(2)=-1

Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) перпендикулярны, то произведение угловых коэффициентов равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1

Верно и обратное.
О т в е т.
[b]Прямые перпендикулярны.[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
вектор veсtor{n}=(2;3) - направляющий вектор искомой прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o)) c направляющим вектором vector{s}=(p;q) имеет вид:

[m]\frac{x-x_{o}}{p}=\frac{y-y_{o}}{q}[/m]

x_(o)=1
y_(o)=4

p=2
q=3

О т в е т. [m]\frac{x-1}{2}=\frac{y-4}{3}[/m]
или
3(x-1)=2(y-4)
[b]3x-2y+5=0[/b]

2.
4x+2y-3=0 ⇒ 2y=-4x+3 ⇒ y=-2x+1,5
k=-2
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты
y=-2x
О т в е т. y=-2x - уравнение прямой, проходящей через (0;0)

3.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
A (x_(A);y_(A)) и В (x_(В);y_(В)) имеет вид:

[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

A(-1;2)
B(2;-3)

[m]\frac{x-(-1)}{2 - (-1)}=\frac{y-2}{-3 -2}[/m]

[m]\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-5}[/m]

-5*(x+1)=3*(y-2)

[b]5x+3y-1=0[/b] - уравнение прямой АВ

4.
прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2)

3x+5y-6=0 ⇒ y=-0,6x+1,2 ⇒ k_(1)=-0,6
x-2y+3=0 ⇒ y=0,5x+1,5 ⇒ k_(2)=0,5

Геометрический смысл углового коэффициента:

угловой коэффициент равен тангенсу угла α , образованного прямой y=kx+b с положительным направлением оси Ох

Поэтому:
tg α _(1)=k_(1)=-0,6
tg α _(2)=k_(2)=0,5

Угол между прямыми y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2)

равен разности углов α _(2) и α _(1)

Применяем формулу:

[m]tg(\alpha-\beta)=\frac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha\cdot tg\beta}[/m]

tg(α _(2)-α _(1))=1,1/0,7=11/7

О т в е т. arctg(11/7)

5.
Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) перпендикулярны, то произведение угловых коэффициентов равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1

k_(1)=-5
k_(2)=а

-5*а=-1
[b]а=0,2[/b]- о т в е т.

Ответ выбран лучшим

1.
[m]cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]x+\frac{\pi }{4}= \pm arccos\frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n, n\in Z[/m]

[m]x= \pm arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\pi }{4} + 2\pi n, n\in Z[/m]

[m]x= \pm \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4} + 2\pi n, n\in Z[/m]

Получаем две серии ответов:
[m]x=2\pi n, n\in Z[/m]
и
[m]x= - \frac{\pi }{2} + 2\pi n, n\in Z[/m]

Интервалу (0;2π)
принадлежит корень из второй серии:[m]x= - \frac{\pi }{2} [/m]

5.
а)
sin^2x-sinx-2=0

Квадратное уравнение.

[b]Замена[/b]:

sinx=t
t^2-t-2=0
D=1-4*(-2)=9
t_(1)=(1-3)/2=-1 или t_(2)=(1+3)/2=2

Обратный переход:
sinx=-1 ⇒ x=-[m]\frac{\pi}{2}[/m]+2πk, k ∈ Z

или

sinx=2 уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1
О т в е т.-[m]\frac{\pi}{2}[/m]+2πk, k ∈ Z
б)

-8*cos^2x-2sinx+7=0

Так как
sin^2x+cos^2x=1, то cos^2x=1-sin^2x

-8*(1-sin^2x)-2sinx+7=0
-8+8sin^2x-2sinx+7=0

8sin^2x-2sinx-1=0

Квадратное уравнение.

[b]Замена[/b]:

sinx=t
8t^2-2t-1=0
D=4-4*8(-1)=36
t_(1)=(2-6)/16=-1/4 или t_(2)=(2+6)/16=1/2

Обратный переход:
sinx=-1/4 ⇒ x=(-1)^(k) arcsin(-1/4) +πk, k ∈ Z

или

sinx =1/2 ⇒ x=(-1)^(n) (π/6) +πn, k ∈ Z

О т в е т. (-1)^(k+1) arcsin(1/4) +πk, k ∈ Z; (-1)^(n) (π/6) +πn, k ∈ Z

6.
sin^2x=2sin2x+2cos^2x

Так как по формуле двойного угла:
sin2x=2*sinx*cosx

sin^2x=4*sinx*cosx+2cos^2x

sin^2x-4sinx*cosx-2cos^2x=0 - это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка

Если вдруг sinx=0, то подставив вместо синуса 0 получим
0-4*0-2сos^2x=0 ⇒ cosx=0

Но sinx и cosx одновременно не могут равняться 0,
поэтому делим уравнение
либо на sin^2x, либо на сos^2x

Лучше на сos^2x, получим квадратное уравнение относительно тангенса:

tg^2x-4tgx -2=0
D=16-4*(-2)=24
sqrt(24)=sqrt(4*6)=2sqrt(6)

корни (4 ± 2sqrt(6))/2=2 ± sqrt(6)

[b]tgx=2-sqrt(6)[/b] ⇒ x=arctg(2-sqrt(6))+πk, k ∈ Z
или
[b]tgx=2+sqrt(6) [/b] ⇒ x=arctg(2+sqrt(6))+πk, k ∈ Z

О т в е т.
arctg(2-sqrt(6))+πk, k ∈ Z
arctg(2+sqrt(6))+πk, k ∈ Z

7.
Замена:
sin2x=a
cos4y=b

{5a+3b=8
{8a-6b=2

Умножаем первое уравнение на 2
{10a+6b=16
{8a-6b=2

Складываем
18а=18
а=1
b=(8-5a)/3=(8-5*1)/3=1

Обратный переход:
sin2x=1 ⇒ 2x=[m]\frac{\pi}{2}[/m]+2πk, k ∈ Z ⇒ x=[m]\frac{\pi}{4}[/m]+πk, k ∈ Z

cos4y=1 ⇒ 4y=2πn, n ∈ Z ⇒ y= [m]\frac{\pi}{2}[/m]n, n ∈ Z

О т в е т. ([m]\frac{\pi}{4}[/m]+πk,[m]\frac{\pi}{2}[/m]n), k,n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Находим частные производные первого порядка:
[m]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial (\frac{y}{x})}{\partial x}=(\frac{y}{x})`_{x}=y\cdot (\frac{1}{x})`=-\frac{y}{x^2}[/m]

[m]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial (\frac{y}{x})}{\partial y}=(\frac{y}{x})`_{y}= \frac{1}{x}\cdot(y)`=\frac{1}{x}[/m]

Находим частные производные второго порядка:
[m]\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial(\frac{\partial z}{\partial x}) }{\partial x}=(z`_{x})`_{x}=-(\frac{y}{x^2})`_{x}=\frac{2y}{x^3}[/m]

[m]\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial(\frac{\partial z}{\partial x}) }{\partial y}=(z`_{x})`_{y}=-(\frac{y}{x^2})`_{x}=-\frac{1}{x^2}[/m]

[m]\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial(\frac{\partial z}{\partial y}) }{\partial y}=(z`_{y})`_{y}=-(\frac{1}{x})`_{y}=0[/m]

Подставляем в уравнение:
x^2*[m]\frac{2y}{x^3}[/m]+2x*y*([m]-\frac{1}{x^2}[/m])+y^2*0=0 - верно
Значит удовлетворяет

Ответ выбран лучшим

[m]R=\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{(2n)!}}{\frac{1}{(2(n+1)!}}=\lim_{n \to \infty}\frac{(2n+2)!)}{(2n)!)}=\infty[/m]

(- ∞ ;+ ∞ ) - область сходимости данного ряда.

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из десяти выбирают пять.
Это можно сделать
n=C^(5)_(10)=[m]\frac{10!}{5!\cdot(10-5)!)}=\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5}=252[/m]

событие A –"среди выбранных изделий 2 имеют скрытый дефект"
10-3 =7 изделий недефектных

Наступлению события А благоприятствует

m=C^2_(3)*C^3_(7) =[m]3\frac{7!}{3!\cdot(7-3)!)}=\frac{5\cdot 6\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3}=35[/m]

( выбрано 2 дефектных из трех и 3 недефектных из семи недефектных)

По формуле классической вероятности
p(A)=[m]\frac{m}{n}=\frac{35}{252}[/m]

Событие B – "среди выбранных есть хотя бы одно изделие со скрытым дефектом"

Событие vector{B} – противоположно В
означает, что "среди выбранных нет ни одного изделие со скрытым дефектом", т. е все бездефектные

m=C^5_(7)=21

p(vector{B})=[m]\frac{21}{252}[/m]

Так как
p(B)+p(vector{B})=1

то
p(B)=1-p(vector{B})=1-[m]\frac{21}{252}=\frac{231}{252}[/m]

Событие C – "среди выбранных не более двух изделий со скрытым дефектом"

Событие vector{C} – противоположно В
означает, что "среди выбранных одно изделие со скрытым дефектом и 4 без дефекта или нет ни одного, а все пять без дефекта":

p(vector{C})=[m]\frac{C^{1}_{3}\cdot C^{4}_{7}+C^{0}_{3}\cdot C^{5}_{7}}{C^{5}_{10}}=[/m]
считайте самостоятельно...

(1)
y=cosx

(2)
y=cos(x-[m]\frac{\pi}{6}[/m]) получен из первого сдвигом вдоль оси на [m]\frac{\pi}{6}[/m] вправо.
[m]\frac{\pi}{6}[/m] это одна клеточка.

(3)
y=2*cos(x-[m]\frac{\pi}{6}[/m]) - получен из (2) растяжением вдоль оси Оу в два раза.

(4)
y= - 2*cos(x-[m]\frac{\pi}{6}[/m]) - получен из (3) зеркальным отражением вдоль оси Ох (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5*2=10

Ответ выбран лучшим

При x → + ∞
(2)^(+ ∞ )=+ ∞

При x →- ∞
(2)^(- ∞ )=0

Решение тут [b][link=https://reshimvse.com/zadacha.php?id=75234][/b]

1.
Решить невозможно, так как не указано уравнение прямой
2.
y=-[m]\frac{1}{5}[/m]x+3
k=- [m]\frac{1}{5}[/m]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

Поэтому угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данной,
равен 5.
Общий вид уравнения: y=5x+b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M_(o)(3;2)
2=5*3+b
b=2-15
b=-13
О т в е т. y=5x-13

3.
y=2-x^2

Строим параболу y=-x^2, ветви вниз. По точкам (-3;-9);(-2;-4);(-1;-1);(0;0);(1;-1);(2;-4);(3;-9)

Парабола y=2-x^2 получается из y=-x^2 параллельным переносом на 2 единицы вверх вдоль оси Оу
т.е строится по точкам:
(-3;-7);(-2;-2);(-1;1);(0;2);(1;1);(2;-2);(3;-7)

См. рис. 1

4.
x^2+6x+y^2-4y=12
Выделяем полные квадраты:
(x^2+6x)+(y^2-4y)=12
(x^2+6x+9) + (y^2-4y+4) -9-4=12
(x+3)^2+(y-2)^2=1 - каноническое уравнение окружности с центром в точке (-3;2) и радиусом R=1

См. рис. 2

5.
Умножим уравнение на 35:
35*([m]\frac{x}{5}[/m])+35*([m]\frac{y}{7}[/m])=35
7x+5y=35

Перепишем
[b]7x+5y-35=0[/b]

Применяем формулу ( см. приложение 3)
[m]d=|\frac{7\cdot(-1)+5\cdot(-4)-35|}{\sqrt{7^2+5^2}}=\frac{|-62|}{\sqrt{74}}=\frac{62}{\sqrt{74}}[/m]

(прикреплено изображение)

Текст набран в Word, потом скопирован и отредактирован в Рaint,

Картинка в Рaint

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{12}{17-3a}=6[/m]
Делим обе части уравнения на 6:
[m]\frac{2}{17-3a}=1[/m]

Дробь равна 1, если числитель равен знаменателю:

2=17-3а

2-17=-3а

-15 = -3а

а=5

О т в е т. 5

a) Выделяем полный квадрат:
x^2+(y^2+8y)+12=0
x^2+(y^2+2*y*4+4^2)-4^2+12=0
x^2+(y+4)^2=4
(x-0)^2+(y-(-4))^2=2^2
уравнение окружности с центром (0;-4) и радиусом R=2

аналогично

б) (x^2-2x)+(2y^2+8y)+5=0
(x^2-2x+1)-1+2(y^2+4y+4)-8+5=0

(x-1)^2+2*(y+2)^2=4
Делим на 4

[m] \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{2}=1[/m]- каноническое уравнение эллипса с центром в точке (1;-2) и полуосями:
большой, равной 2
малой равной sqrt(2) (прикреплено изображение)

У прямой есть направляющий вектор, а плоскости нормальный.
Угол между прямой и плоскостью - угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

Нормальный вектор плоскости Ax+By+Cz+D=0:
vector{n}={A;B;C)

Из уравнения плоскости 12х+у+z=0 получаем:
[b]vector{n}={12;1;1)[/b]

Находим направляющий вектор прямой.
Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей.

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой как линии пересечения двух плоскостей

Таких точек бесчисленное множество

Обозначим одну точку как M, вторую как N

Пусть точка М такова, что ее первая координата равна 0.

Подставим х=0 в систему двух уравнений:
{-2y+3z+5=0
{y-z-1=0

Умножаем второе уравнение на 2
{-2y+3z+5=0
{2y-2z-2=0

Складываем: z+3=0 ⇒ z=-3
y=z+1=-3+1=-2

[b]M(0;-2;-3)[/b]

Пусть точка N такова, что ее третья координата равна 0
Подставим z=0 в систему двух уравнений:
{x-2y+5=0
{2x+y-1=0

Умножаем второе уравнение на 2
{x-2y+5=0
{2x+2y-2=0

Складываем: 3x+3=0 ⇒ x=-1
y=-2x-1=-2*(-1)-1=1

[b]N(-1;1;0)[/b]

[b]vector{MN}[/b]=(-1-0;1-(-2);0-(-3))=[b](-1;3;3)[/b] - направляющий вектор прямой

Угол между векторами vector{n}={12;1;1) и vector{MN}=(-1;3;3)
( см. формулу в приложении)

vector{n}* vector{MN}=12*(-1)+1*3+1*(3)=-6
| vector{n}|=sqrt(12^2+1^2+1^2)=sqrt(146)
|vector{MN}|=sqrt((-1)^2+3^2+3^2)=sqrt(19)

[m]cos(\angle (\vec{n},\vec{MN}))=\frac{|-6|}{\sqrt{146}\cdot \sqrt{19}}[/m]

[m]\angle (\vec{n},\vec{MN})=arccos \frac{6}{\sqrt{146}\cdot \sqrt{19}}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{12}{17-3a}=6[/m]

[m]\frac{12}{17-3a}=\frac{6}{1}[/m]

Применяем основное свойство пропорции:
[i]произведение крайних членов пропорции равно произведению средних[/i]

12*1=6*(17-3а)

2=17-3а

2-17=-3а

-15 = -3а

а=5

О т в е т. 5

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.

Векторы
vector{M_(1)M}=(x-1;y-3;z+2);
vector{M_(1)M_(2)}=(1;-1;2);
vector{k}=(0;0;1) - компланарны.

Значит, определитель, составленный из координат этих векторов равен 0

[m]\begin{vmatrix} x-1 &y-3 &z+2 \\ 1 & -1 &2 \\ 0 &0 & 1 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по третьей строке

[m]\begin{vmatrix} x-1 &y-3 \\ 1& -1 \end{vmatrix}=0[/m]

-(x-1)-(y-3)=0

[b]x+y-4=0 [/b] - о т в е т.

Точка лежащая на оси Ох имеет первую координату х_(о)
две другие координаты равны0

Пусть это точка К(x_(o);0;0)

По условию точка К равноудалена от точки M и плоскости 6х+3у-2z-9=0

Находим
МК=sqrt((x_(K)-x_(M))^2+(y_(K)-y_(M))^2+(z_(K)-Z_(M))^2=
=sqrt((x_(o)-0)^2+(0-1))^2+(0-(-2))^2)=[b]sqrt(x^2_(o)+5).[/b]

и

расстояние от точки K до плоскости 6х+3у-2z-9=0:
d=[m]\frac{|6x_{o}+3\cdot 0-2\cdot 0-9|}{\sqrt{6^2+3^2+(-2)^2}}[/m]
( cм. приложение)
.
Приравниваем d и АМ.

[b]sqrt(x^2_(o)+5)[/b]=[m]\frac{|6x_{o}+3\cdot 0-2\cdot 0-9|}{\sqrt{6^2+3^2+(-2)^2}}[/m]

Возводим в квадрат, приводим подобные, получаем уравнение:

(x^2_(o)+5)*49=(6x_(o)-9)^2

13x^2_(o)+108x_(o)+164=0

D=108^2-4*13*164=3136=56^2

x_(o)=-82/13 или x_(o)=-2

О т в е т. (-82/13; 0; 0) или (-2;0;0) (прикреплено изображение)

BP ⊥ AD

PD=BC=3

Значит, АР=1
Δ АРВ - прямоугольный, равнобедренный, так как острый угол 45 градусов, значит и второй угол 45 градусов
АР=ВР=1

S_(тела вращения)=
=S_ (бок. пов. цилиндра) + S _ (осн. цилиндра) + S_(воронки (от конуса))=

=2π*R*H+πR^2+π*R*L

R=CD=1
H=AD=4
L=sqrt(1^2+1^2)

S=2π*1*4+π1^2*+π*1*sqrt(2)=π*(8+1+sqrt(2))=[b]π*(9+sqrt(2))[/b]- о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Делим и числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Это sqrt(x^3)= x^(3/2)=x^(6/4)
Получим:
[m]\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{\sqrt{x^3-2x^2+1}}{\sqrt{x^3}}-\frac{\sqrt[3]{x^4+1}}{\sqrt{x^3}}}{\frac{\sqrt[4]{x^6+6x^5+2}}{\sqrt{x^3}}-\frac{\sqrt[5]{x^7+x^3+1}}{\sqrt{x^3}}}=\frac{1+0}{1-0}=1[/m]

Так как:

[m]\frac{\frac{\sqrt{x^3-2x^2+1}}{\sqrt{x^3}}-\frac{\sqrt[3]{x^4+1}}{\sqrt{x^3}}}{\frac{\sqrt[4]{x^6+6x^5+2}}{\sqrt{x^3}}-\frac{\sqrt[5]{x^7+x^3+1}}{\sqrt{x^3}}}=\frac{\sqrt{\frac{x^3-2x^2+1}{x^3}}-\sqrt[6]{\frac{(x^4+1)^2)}{(x^3)^2}}}{\sqrt[4]{\frac{x^6-2x^2+1}{x^6}}-\sqrt[10]{\frac{(x^7+3x^3+1)^2)}{(x^3)^5}}}[/m]

Ответ выбран лучшим

Пусть события
А_(i) – " i– ый рейс задержан"
i=1;2;3

Тогда
vector{А_(i)} – " i– ый рейс [b]не[/b] задержан"
По условию
p(А_(1))=0,05
p(А_(2))=0,1
p(А_(3))=0,15

p(vector{А_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,05=0,95
p(vector{А_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,1=0,9
p(vector{А_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,15=0,85

Пусть событие А - " только 2 рейса будут отправлены с задержкой"
А=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}+A_(1)*vector{A_(2)}*A_(3)+vector{A_(1)}*A_(2)*A_(3)

p(A)=p(A_(1))*p(A_(2))*p(vector{A_(3)})+p(A_(1))*p(vector{A_(2)})*p(A_(3))+p(vector{A_(1)})*p(A_(2))*p(A_(3))=

=0,05*0,1*0,85+0,05*0,9*0,15+0,95)*0,1*0,15=

считаем и получаем ответ

б) Пусть событие В - "все рейсы будут отправлены своевременно"

B=vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}

p(B)=p(vector{A_(1)})*p(vector{A_(2)})*p(vector{A_(3)})=

=0,95*0,9*0,85=считаем и получаем ответ

Ответ выбран лучшим

25 компаний, из них 10 крупных и 15 некрупных

Испытание состоит в том, что из 25 компаний выбирают пять
n=C^(5)_(25) исходов испытания возможно

а)Пусть событие А - " по крайней мере две крупные фирмы из 10 выиграют контракт", значит две, три, четыре или пять ( потому что контрактов пять)

Пусть событие В - " две крупные фирмы из 10 выиграют контракт", а значит три других контракта выиграют три некрупные фирмы из пятнадцати некрупных
Число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события В:
m=C^2_(10)*C^3_(15)= [m]\frac{10!}{(10-2)!\cdot 2!}\cdot \frac{15!}{(15-3)!\cdot 3!}=
\frac{9\cdot 10}{ 1\cdot 2}\cdot \frac{13\cdot 14\cdot 15}{1\cdot 2\cdot 3}=45\cdot 910 = [/m]

По формуле классической вероятности:

р(В)=m/n=(C^2_(10)*C^3_(15))/C^5_(25)

Пусть событие С - " три крупные фирмы из 10 выиграют контракт", а значит два других контракта выиграют две некрупные фирмы из пятнадцати некрупных

Число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события С:
m=C^3_(10)*C^2_(15)

По формуле классической вероятности:

р(С)=m/n=(C^3_(10)*C^2_(15))/C^5_(25)

Пусть событие D - " четыре крупные фирмы из 10 выиграют контракт", а значит один оставшийся контракт выиграет одна некрупная фирма из пятнадцати некрупных

Число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события D:
m=C^4_(10)*C^1_(15)

По формуле классической вероятности:

р(D)=m/n=(C^4_(10)*C^1_(15))/C^5_(25)

Пусть событие F - " пять крупных фирмы из 10 выиграют контракт".

Число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события F:
m=C^5_(10)*C^0_(15)

По формуле классической вероятности:

р(F)=m/n=(C^4_(10)*C^0_(15))/C^5_(25)

A=BUCUFUD
p(A)=p(B)+p(C)+p(D)+p(F)

Можно рассмотреть событие
vector {A} - " ни одна крупная фирма не выигрывает контракт или только одна крупная фирма выигрывает контракт"

Обозначим события
K-"ни одна крупная фирма не выигрывает контракт"
M-"только одна крупная фирма выигрывает контракт"

vector{A}=KUM
[b]p(vector{A})=p(K)+p(M)[/b]

p(K)=m/n=(C^0_(10)*C^5_(15))/C^5_(25)

p(M)=m/n=(C^1_(10)*C^4_(15))/C^5_(25)

p(A)=1-p(vector{A})

Второй способ проще, считаем вероятность двух событий K и М.

В первом четырех: В, С, D и F.

б)
Пусть событие В - " только две крупные фирмы из 10 выиграют контракт", а значит три других контракта выиграют некрупные фирмы

Число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события В:
m=C^2_(10)*C^3_(15)

По формуле классической вероятности:

р(В)=m/n=(C^2_(10)*C^3_(15))/C^5_(25)

[r]С^(n)_(m)=n!/((n-m)!*m!)[/r]

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение три события - гипотезы
H_(i) - "телевизор изготовлен на i- ом заводе"
i=1;2;3

p(H_(1))=0,3 ( 30%=30/100=0,3)
p(H_(2))=0,2
p(H_(3))=0,5

Событие А - "случайно выбранный телевизор без дефектов"

По формуле [b]полной вероятности:[/b]

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3)*p(A/H_(3))

По условию:
"Продукция первого завода содержит 5% изделий со скрытым дефектом". Значит изделий без дефекта - 95%
95%=95/100=0,95
Поэтому:
р(A/H_(1))=0,95
р(A/H_(2))=0,9
р(A/H_(1))=0,8

p(A)=0,3*0,95+0,2*0,9+0.5*0,8=0,285+0,18+0,4=0,865

О т в е т.[b]0,865[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
p(X ≤ 5)=0
p(X ≤ 7)=p(X=5)=0,1
p(X ≤ 9)=p(X=5)+p(X=7)=0,1+0,4=0,5
p(X ≤ любого числа после 9)=p(X=5)+p(X=7)+p(X=9)=0,1+0,4+0,5=1

Поэтому график примет вид ( см. рис. 1)

б)
M(X)=5*0,1+7*0,4+9*0,5=0,5+2,8+4,5=7,8
M(X^2)=5^2*0,1+7^2*0,4+9^2*0,5=2,5+19,6+40,5=62,6

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=62,6-7,8^2=62,6-60,84=1,76

M([b]X+5[/b])=M(X)+M(5)=7,8+5=[b]12,8[/b]
D([b]X+5[/b])=D(X)+D(5)=1,84+0=[b]1,76[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Это прямоугольник АВ_(1)С_(1)D
AD||A_(1)D_(1)
Значит
A_(1)D_(1) || пл. АВ_(1)С_(1)D (прикреплено изображение)

2.
a) По формулам приведения:
сos(π+t)=-cost
сos(π-t)=-cost
сos^2(π+t)+сos^2(π-t)=(-cost)^2+(-cost)^2=cos^2t+cos^2t=2cos^2t

б)По формулам приведения:
sin[m](\frac{\pi}{2}-t)[/m]=cost
cos[m](\frac{\pi}{2}+t)[/m]=-sint

В силу нечетности функции y=tgt
tg(-t)=-tgt
[m]\frac{sin(\frac{\pi }{2}-t)\cdot tg(-t)}{cos(\frac{\pi }{2}+t)}=-\frac{cost\cdot tgt}{sint}=-\frac{cost\cdot \frac{sint}{cost}}{sint}=-1[/m]

3.
Так как
cos(-x)=cosx и (-x)^4=x^4; (-x)^2=x^2

Находим
[m]y(-x)=\frac{cos(-x)}{(-x)^4+(-x)^2+1}=\frac{cosx}{x^4+x^2+1}=y(x)[/m]

По определению функция четная.

4.
График[red] y=cosx [/red]- известен ( см. рис)

График

[blue]y=cos(x+[m]\frac{\pi}{3}[/m])[/blue] получаем из графика y=cosx сдвигом вдоль

оси Ох на [m]\frac{\pi}{3}[/m] влево.

График рис. 1

[green]y=cos(x+[m]\frac{\pi}{3}[/m]) - 2[/green] получаем из графика

[blue]y=cos(x+[m]\frac{\pi}{3}[/m]) [/blue] параллельным переносом вдоль оси Оу на

2 единицы вниз.

5.
f(x)=2[b]x[/b]^3+3[b]x[/b]-2
f(sinx)=2*([b]sinx[/b])^2+3*([b]sinx[/b])-2;

f(sinx)=2*sin^2x +3*sinx-2;

так как sin^2x+cos^2x=1, то
sin^2x=1-cos^2x

f(x)=2*(1-cos^2x)+3*sinx-2

f(x)=3sinx-2cos^2x

6.
Раскрываем модуль по определению:
sinx ≥ 0 ⇒ |sinx|=sinx

[m]y=\frac{sinx}{|sinx|}=\frac{sinx}{sinx}=1[/m]

sinx < 0 ⇒ |sinx|=- sinx

[m]y=\frac{sinx}{|sinx|}=-\frac{sinx}{sinx}=-1[/m]

Cтроим
прямую [b] y=1[/b] на [0+2πn, π+2πn], n ∈ Z,
потому что sinx ≥ 0 на [0+2πn, π+2πn], n ∈ Z

Строим
прямую y=-1 на (-π+2πn, 0+2πn), n ∈ Z,
потому что sinx < 0 на(-π+2πn, 0+2πn]) n ∈ Z
cм. рис. 2

(прикреплено изображение)

[m]\frac{1}{\frac{1}{8}}+\frac{1}{12}=8+\frac{1}{12}=8\frac{1}{12}[/m]

или

[m]\frac{1}{\frac{1}{8}+\frac{1}{12}}=\frac{1}{\frac{3+2}{24}}=\frac{24}{5}=4,8[/m]

Ответ выбран лучшим

Если случайная величина распределена равномерно на [a;b], то

M(X)=(a+b)/2

D(X)=(b-a)^2/12

p(x)=f(x)=[m]\frac{1}{b-a}=\frac{1}{8}[/m] х ∈ (-4;4)
и p(x)=0, x ∉ (-4;4)

Для данной задачи

M(X)=(a+b)/2 =(4-4)/2=0

D(X)=(b-a)^2/12=(4-(-4))^2/12=8^2/12=16/3

Вопрос задачи:

Найти M (X^3)

M(X)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )x*p(x)dx

Тогда:

M(X^3)= ∫ ^(4)_(-4)x^3*[m]\frac{1}{8}dx[/m]=

=[m]\frac{1}{8}\cdot \frac{x^4}{4}|^{4}_{-4}=\frac{1}{32}(4^{4}-(-4)^{4})=0 [/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

M(Z)=M(-X+2Y-5)=M(-X)+M(2Y)+M(-5)=-1*M(X)+2*M(Y)+(-5)=

=-1+2*2+(-5)=-2

D(Z)=D(-X+2Y-5)=D(-1)+D(2Y)+D(-5)=(-1)^2*D(X)+2^2*D(Y)+D(-5)=

=D(X)+4D(Y)+0=2+4*3=14 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

х*(1+y^2)dx=-(1+x^2)dy
Разделяем переменные.
Делим уравнение на
(1+y^2)*(1+x^2)

[m] \frac{xdx}{1+x^2}=- \frac{dy}{1+y^2}[/m]

Интегрируем:

[m]\int \frac{xdx}{1+x^2}=-\int \frac{dy}{1+y^2}[/m]

[m]\frac{1}{2}\cdot \int \frac{2xdx}{1+x^2}=-\int \frac{dy}{1+y^2}[/m]

[m]\frac{1}{2}\cdot \int \frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=-\int \frac{dy}{1+y^2}[/m]

0,5ln(1+x^2)=arcctgy+ C - ответ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Математическое ожидание:

M(X)=-1*p_(1)+0*p_(2)+1*p_(3)

По условию М(Х) =0
значит
-1*p_(1)+0*p_(2)+1*p_(3)=0 ⇒ p_(1)=p_(3)

Дисперсия:

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

D(X^2)=(-1)^2*p_(1)+0^2*p_(2)+1^2*p_(3)=p_(1)+p_(3)

D(X)=M(X^2)-M^2(X)=p_(1)+p_(3)

По условию D(X)=0,5

Значит, p_(1)+p_(3)=0,5

Cистема:
{ p_(1)+p_(2)+p_(3)=1
{p_(1)=p_(3)
{ p_(1)+p_(3)=0,5 ⇒ 2p_(1)=0,5 ⇒ p_(1)=0,25

p_(3)=p_(1)=0,25
p_(2)=0,5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Х может принимать значения, 0; 1; 2; 3.

Надо посчитать вероятности

p_(o)=C^3_(7)/C^3_(10)= 35/120
p_(1)=C^2_(7)*C^(1)_(3)/C^3_(10)=63/120
p_(2)=C^1_(7)*C^(2)_(3)/C^3_(10)=21/120
p_(3)=C^0_(7)*C^3_(3)/C^3_(10)= 1/120

Закон распределения - таблица

Таблица - точно закон, потому что сумма вероятностей равна 1

Математическое ожидание:

M(X)=0*p_(0)+1*p_(1)+2*p_(2)+3*p_(3)=(63/120)+(42/120)+(3/120)=

=108/120

Дисперсия:

D(X)=M(X^2)-M^2(X)

D(X^2)=0^2*p_(0)+1^2*p_(1)+2^2*p_(2)+3^2*p_(3)=(63/120)+(84/120)+(9/120)=156/120

D(X)=M(X^2)-M^2(X)=(156/120)-(108/120)^2=(156*120 -108^2)/14400=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

См. приложение ( там теория)

[-1;1] ⇒ a=-1; b=1
M(X)=(-1+1)/2=0
D(X)=(1-(-1))^2/12=4/12=1/3

σ =sqrt(D)=sqrt(1/3)=sqrt(3)/3 ≈ 0,57

Вопрос:

P(|X-0| <2 σ )=?

Это вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания, др. словами вероятность попадания в интервал
( см. приложение 2)

p(x)=f(x)=1/(1-(-1))=1/2 - плотность вероятности случайной величины, о которой идет речь в задаче

Значит,если σ не дано в условии, и σ =sqrt(D)=0,57, то

P(-1,14<X <1,14)= ∫ ^(1,14)_(-1,14) (1/2) dx= (1/2)x|^(1,14)_(-1,14)=

=(1/2)*(1,14-(-1,14)=2,28/2=1,14 ?? не может быть больше 1

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^4+4x^3-16x-16=-4ax-8a+a^2

x^4-16+4x^3-16x=-4ax-8a+a^2

(x^2-4)(x^2+4)+4x(x^2-4)=-4ax-8a+a^2

(x^2-4)(x^2+4+4x)=-4ax-8a+a^2

[b](x-2)*(x+2)^3=-4ax-8a+a^2[/b]

Строим график функции y=(x-2)(x+2)^3 ( cм. рис. 1)

Касательная на рис. 2 имеет с кривой ТРИ общие точки.

[i]Переформулируем вопрос[/i]: При каком значении параметра а

прямая y= -4ax-8a+a^2 имеет с кривой ( рис.1)[i]три и более общих точек.[/i]

Составляем уравнение касательной к кривой y=x^4+4x^3-16x-16

в точке с абсциссой х_(o).
Уравнение имеет вид:

[b]y - f(x_(o)) = f`(x_(o)) * (x-x_(o))[/b]

В задаче

f(x)=x^4+4x^3-16x-16

f `(x)=4x^3+12x^2-16

f`(x_(o))=4x^3_(o) +12x^2_(o)-16

f(x_(o))=x^4_(o)+4x^3_(o)-16x_(o)-16

Уравнение принимает вид:

[b]y=(4x^3_(o) +12x^2_(o)-16)*(x-x_(o)) + (x^4_(o)+4x^3_(o)-16x_(o)-16)[/b]

или

[b]у= (4x^3_(o) +12x^2_(o)-16)*x -3x^4_(o)-8x^3_(o)-16[/b]

Найдем, при каких значениях параметра а касательная
у=[green] (4x^3_(o) +12x^2_(o)-16)[/green]*x + [blue](-3x^4_(o)- 8x^3_(o)-16)[/blue]

и прямая

y= [green]-4a[/green]*x[blue]-8a+a^2 [/blue]

[b]совпадают[/b]

{[green]4x^3_(o) +12x^2_(o)-16[/green]=[green]-4a[/green]
{[blue]-3x^4_(o)-8x^3_(o)-16[/blue]=[blue]-8a+a^2 [/blue]

Решаем систему двух уравнений с двумя переменными x_(o) и а.

{a=-x^3_(o) - 3x^2_(o) + 4
{-3x^4_(o)-8x^3_(o)-16=-8*(-x^3_(o) - 3x^2_(o) + 4)+(-x^3_(o) - 3x^2_(o) +4)^2 ⇒

x^6_(o)+6x^5_(o)+12x^4_(o)+8x^3_(o)=0

x^3_(o)*(x^3_(o)+6x^2_(o)+12x_(o)+8)=0

x^3_(o)*(x_(o)+2) ^3=0

Уравнение имеет корни
х_(o)=0 и х_(о)=-2

При
х_(o)=0 получаем а=4

уравнение принимает вид
x^4+4x^3-16x-16+16x-16=0

x^4+4x^3=0
x*(x+4)=0
x=0; x=-4 - только два корня

При x_(o)=-2 получаем a=0

уравнение принимает вид
x^4+4x^3-16x-16=0
(x-2)*(x+2)^3=0
уравнение имеет два корня
x=-2; x=2 - только два корня

При а > 0
Например, при а=1

Уравнение имеет 4 корня.

x^4+4x^3-16x-16=-4x-7

прямая y=-4x-7
пересекает кривую
y=x^4+4x^3-16x-16
в четырех точках см. рис. 3

Думаю, что Ответ (0;4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

OT ||A_(1)P

A_(1)Р в плоскости АА_(1)В_(1)В
Значит, OT || пл. АА_(1)В_(1)В

2.

PT || AC и [i]l[/i] || AC ⇒ [i]l[/i] || PT ⇒ [i]l[/i] || плоскости SPT

3.
SP- медиана Δ SDC
SK:KP=2:1

SE:EB=SK:KP=2:1
По теореме, обратной теореме Фалеса
EK|| BP ⇒ EK || пл. ABCD

4.
Боковые грани призмы - квадраты
По теореме Пифагора
d^2=8^2+8^2
d=8 sqrt(2)

Диагонали в точке пересечения делятся пополам
В_(1)E=C_(1)F=d/2=[red]4sqrt(2)[/red]

EF=(1/2)A_(1)C_(1) =4 - как средняя линия Δ А_(1)С_(1)В

Р_( Δ EFB_(1))=В_(1)E+C_(1)F+EF=4sqrt(2)+4sqrt(2)+4=[b]8sqrt(2)+4[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{\partial z }{\partial x}=(ln(x+e^{-y}))`=\frac{1}{x+e^{-y}}\cdot(x+e^{-y})`_{x}=\frac{1}{x+e^{-y}}\cdot 1=\frac{1}{x+e^{-y}}[/m]

[m]\frac{\partial z }{\partial y}=(ln(x+e^{-y}))`=\frac{1}{x+e^{-y}}\cdot(x+e^{-y})`_{y}=\frac{1}{x+e^{-y}}\cdot e^{-y}\cdot (-y)`=\frac{-e^{-y}}{x+e^{-y}}[/m]

[m]\frac{\partial^2 z }{\partial x^2}=\frac{\partial (\frac{\partial z }{\partial x}) }{\partial x}=(\frac{1}{x+e^{-y}})`_{x}=-\frac{1}{(x+e^{-y})^2}\cdot(x+e^{-y})`_{x}= -\frac{1}{(x+e^{-y})^2}[/m]

[m]\frac{\partial^2 z }{\partial x\partial y}=\frac{\partial (\frac{\partial z }{\partial x}) }{\partial y}=(\frac{1}{x+e^{-y}})`_{y}=-\frac{1}{(x+e^{-y})^2}\cdot(x+e^{-y})`_{y}= \frac{e^{-y}}{(x+e^{-y})^2}[/m]

[m]\frac{\partial^2 z }{\partial y^2}=\frac{\partial (\frac{\partial z }{\partial y}) }{\partial y}=(\frac{-e^{-y}}{x+e^{-y}})`_{y}=[/m]

Применяем формулу производная дроби:

[m](\frac{-e^{-y}}{x+e^{-y}})`_{y}=\frac{(-e^{-y})`_{y}\cdot (x+e^{-y})-(-e^{-y})\cdot(x+e^{-y})`_{y}}{(x+e^{-y})^2}=[/m]

[m]=\frac{e^{-y}\cdot (x+e^{-y})-(-e^{-y})\cdot(-e^{-y})}{(x+e^{-y})^2}=[/m]

[m]=\frac{e^{-y}\cdot x+(e^{-y})^2-(e^{-y})^2}{(x+e^{-y})^2}=[/m]

[m]=\frac{x\cdot e^{-y}}{(x+e^{-y})^2}[/m]

Раскрываем знак модуля по определению

[i]1 случай:[/i] если: [red]x^2-1 > 0[/red], то

|x^2-1|=x^2-1

Обозначим:
x^2-1=t

Тогда неравенство принимает вид:

-8t -2 ≥ [m]\frac{1}{t}[/m]

8t+2+[m]\frac{1}{t}[/m] ≤ 0

[m]\frac{8t^2+2t+1}{t}[/m] ≤ 0

Квадратный трехчлен

8t^2+2t+1 >0 при любом t, так как D=2^2-4*8 < 0

Значит, неравенство выполняется при t <0,
т.е
[blue]x^2-1 < 0[/blue]

Неравенства [blue]x^2-1 < 0[/blue] противоречит условию первого случая.
Значит в первом случае неравенство не имеет решений
нет решений при x^2-1 >0

[i]2 случай [/i]если:
[red]x^2-1 < 0[/red]
|x^2-1|=-x^2+1

x^2-1=t

8t -2 ≥ [m]\frac{1}{t}[/m]

-8t+2+[m]\frac{1}{t}[/m] ≤ 0

[m]\frac{-8t^2+2t+1}{t}[/m] ≤ 0

[m]\frac{8t^2-2t-1}{t}[/m] ≥ 0

Решаем методом интервалов:
8t^2-2t-1=0
D=4+32=36
t_(1)=-0,25; t_(2)=0,5

____ [-0,25] _+__ (0) ___ [0,5] _+__

-0,25 ≤ t < 0 или t > 0, 5

Обратный переход:
-0,25 < x^2-1 < 0 или x^2-1 ≥ 0, 5 ( не удовл условию второго случая)

Поэтому решаем только первое неравенство:

-0,25 ≤ x^2 -1 < 0

Прибавляем 1 ко всем частям
0,75 ≤ x^2 < 1

0,75=3/4

Извлекаем корень

sqrt(3/4) ≤ |x| < 1

получаем два промежутка:

-1 < x ≤ -sqrt(3)/2 или sqrt(3)/2 ≤ x < 1

О т в е т. (-1; - sqrt(3)/2] U [sqrt(3)/2; 1)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a=M(X)=15
σ =sqrt(D(X))=sqrt(4)=2

P(13<X<15)
x_(1)=13
x_(2)=15

[m]\frac{x_{2}-a}{\sigma}=\frac{15-15}{2}=0[/m]

[m]\frac{x_{1}-a}{\sigma}=\frac{13-15}{2}=-1[/m]

P(13<X<15)=(1/2)*(Ф(0)-Ф(-1))=(1/2)*(Ф(0)+Ф(1))=(1/2)*(0+0,3413)=

Находим значения в таблице значений функции Лапласа, функция [red]нечетная[/red]

Ф(-х)=-Ф(х)

P(11<X<20)
x_(1)=11
x_(2)=20

[m]\frac{x_{2}-a}{\sigma}=\frac{20-15}{2}=2,5[/m]

[m]\frac{x_{1}-a}{\sigma}=\frac{11-15}{2}=-2[/m]

P(11<X<20)=(1/2)*(Ф(2,5)-Ф(-2))=(1/2)*(Ф(2,5)+Ф(2))=(1/2)* (0,4938 + 0,4772)=

Находим значения в таблице значений функции Лапласа, функция [red]нечетная[/red]

Ф(-х)=-Ф(х)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=300
p=0,02
np=6
λ =np=6

a)
Применяем формулу Пуассона

k=4

P_(300)(4)= ((6)^(4)/4!)e^(-6)=0,1339 ( cм таблицу в приложении 1 выделено красным цветом)

О т в е т. 0,1339

б) событие A - " хотя одна бракованная"

Значит одна, две, три... и так далее

Рассмотрим противоположное событие
vector{A} - "ни одной бракованной"

k=0
p(vector{A})=P_(300)(0)= (6)^(0)*e^(-6)/0!=0,0025( cм таблицу в приложении 1 выделено синим цветом)

p(A)=1-p(vector{A})= 1- 0,0025=0,9975
О т в е т. 0,9975

в)

б) событие B - " не более двух бракованных"

Значит одна (k=1) или ни одной (k=0)

p=0,02
n=300
λ =np=6

k=0
P_(300)(0)= (6)^(0)*e^(-6)/0!=0,0025( cм таблицу в приложении 1
выделено синим цветом)

k=1
P_(300)(1)= (6)^(1)*e^(-6)/1!=0,0149

p(B)=P_(300)(0)+P_(300)(1)=0,0025+0,0149=0,0174

О т в е т. 0,0174

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Задача на применение формула Байеса.

Всего 6+8+9=23 гирлянды

Вводим в рассмотрение события- гипотезы:

H_(1)- "гирлянда изготовлена на заводе А"

p(H_(1))=6/23

H_(2)- "гирлянда изготовлена на заводе B"

p(H_(2))=8/23

H_(3)- "гирлянда изготовлена на заводе С" ( в условии написано не гирлянда, а лампочка)

p(H_(3))=9/23

Пусть событие M-"изготовлена [blue]дефектная гирлянда[/blue]"

p(M/H_(1))=1/6
p(M/H_(2))=3/23
p(M/H_(3))=1/14

По формуле полной вероятности
p(M)=p(H_(1))*p(M/H_(1))+p(H_(2))*p(M/H_(2))+p(H_(3))*p(M/H_(3))=

=(6/23)*(1/6)+(8/23)*(3/23)+(9/23)*(1/14)=

=(14*23+24*14+9*23)/(23*23*14)=

=(322+336+207)/(23*23*14)

p(H_(3)/M)=p(H_(3))*p(M/H_(3))/ p(M)=

=(9/23)*(1/14)/(322+336+207)/(23*23*14)=

=[b](9*23)/(322+336+207)[/b]

Ответ выбран лучшим

Раскрываем скобки:
(a+3)x*2x+b*2x+(a+3)x*(-5)+b*(-5)=14x^2-29x-15
2(a+3)x^2+(-5a-15+2b)x-5b=14x^2-29x-15
Два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

При x^2:
[b]2(a+3)=14 [/b] ⇒
a+3=7 ⇒
[b] a=4[/b]

При x^(1):
-5a-15+2b=-29
-5*4-15+2b=-29
2b=6
[b]b=3[/b]

При x^(o):
[b]-5b=-15[/b] ⇒
b=3

О т в е т. a+b=4+3=7
(прикреплено изображение)

7*1+3*1=10
10=10 - верно (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
у+5х-15=0 ⇒ [blue]y= - 5x+15[/blue]
Пусть x_(A)=1, тогда y_(A)=-5*1+15=10
A(1;10) - принадлежит прямой
Пусть х_(В)=4, тогда y_(B)=-5*4+15=-5
B(4;-5) - принадлежит прямой

Координаты точки С - середины отрезка АВ находим по формулам:

x_(С)=[m]\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{1+4}{2}=2,5[/m]
y_(С)=[m]\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{10+(-5))}{2}=2,5[/m]

С(2,5;2,5) - cередина отрезка АВ.

2) [b]Неверно написано условие[/b] нет второй координаты точки А(2; [red]?[/red])
Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R
имеет вид:
( x- a) ^2+(y-b)^2=R^2
Подставляем координаты точки А
a=2; b=[red]?[/red]
(x-2)^2+(y-[red]?[/red])^2=R^2

Подставляем координаты точки B
x=[green]5[/green]; y=[green]5[/green]
([green]5[/green]-2)^2+([green]5[/green]-[red]?[/red])^2=R^2 ⇒
можно было бы найти R

и подставить в уравнение:(x-2)^2+(y-[red]?[/red])^2=R^2
Это и есть ответ.

3)
Четырехугольник ромб- если это параллелограмм и его стороны равны.
АВСD - параллелограмм, значит его стороны попарно параллельны.

Надо доказать, что
векторы vector{AB} и vector{DC} коллинеарны
и
векторы vector{BС} и vector{АD} коллинеарны

и
vector{AB} = vector{BC}

А (1; 1), В (4; 2), С(5; 5), D (2; 4)
vector{AB} =(4-1;2-1)=(3;1)
vector{DC} =(5-2;5-4)=(3;1)
vector{BС} =(5-4;5-2)=(1;3)
vector{АD} =(2-1;4-1)=(1;3)

vector{AB}= vector{DC}=(3;1) - векторы равны, значит коллинеарны, значит стороны AB и DC параллельны
vector{BС}=vector{АD} =(1;3) - векторы равны, значит коллинеарны, значит стороны BС и АD параллельны

|vector{AB}|=sqrt(3^2+1^2)=sqrt(10)
|vector{BC}|=sqrt(1^2+3^2)=sqrt(10)

|vector{AB}|=|vector{BC}|

4)[b] система тоже написана небрежно.[/b] Не все скобки есть начало есть закрытия скобки нет...
Поэтому непонятно что надо решать....

1)
Cм. рис. 1

Точки В и С имеют одинаковую первую координату, поэтому [i]уравнение прямой[/i] ВС: [red]х=5[/red]

Прямая AD || BC и проходит через точку А, у которой первая координата равна (-3)
Значит, [i]уравнение прямой[/i] АD:[red] x=-3[/red]

2)
Cм. рис. 2

Высота ВН перпендикулярна AD и значит параллельна оси Ох.
Уравнение прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку В (5;-1)
y=-1

Точка Н - точка пересечения AD и BH

Значит, координаты точки H (-3;-1)

3)
[green]|BH|[/green]=[green]|x_(H)-x_(B)|[/green]=| -3 - 5|= |-8| = 8
так как это частный случай формулы
при y_(H)=y_(B)

|BH|=sqrt((x_(H)-x_(B))^2+(y_(H)-y_(B))^2)=sqrt((x_(H)-x_(B))^2+ (y_(B)-y_(B)^2))=sqrt((x_(H)-x_(B))^2+0)=sqrt((x_(H)-x_(B))^2)=|x_(H)-x_(B)|

4)
См. рис. 3

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Координаты точки О как середины отрезка АС:
x_(O)=[m]\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-3+5}{2}=1[/m]
y_(O)=[m]\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{3+5)}{2}=4[/m]

[blue]O(1; 4)[/blue]

Уравнение диагонали BD - это и уравнение прямой BO.

Составим уравнение применяя общее уравнение прямой, проходящей через две точки

B(5;-1) и О (1; 4)

[m]\frac{x-x_{O}}{x_{B}-x_{O}}=\frac{y-y_{O}}{y_{B}-y_{O}}[/m]

[m]\frac{x-1}{5-1}=\frac{y-4}{-1-4}[/m]

[m]\frac{x-1}{4}=\frac{y-4}{-5}[/m]

Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
-5*(х-1)=4*(у-4)
-5х+5=4у-16

[b]5х+4у-21=0[/b] -[i] уравнение диагонали[/i] BD

5)
Угол между диагоналями - это меньший из углов, образованных прямыми BO и AC, значит это угол ВОС

Находим его как угол между векторами
vector{OB} и vector{OC}

сos ( ∠ vector{OB}, vector{OC})=[m]\frac{\underset{OB}{\rightarrow}\cdot\underset{OC}{\rightarrow}}{|\underset{OB}{\rightarrow}|\cdot|\underset{OC}{\rightarrow}|}[/m]

Находим координаты векторов
vector{OB}=(5-1;-1-4)=(4;-5)
vector{OC}=(5-1;5-4))=(4;1)

Находим скалярное произведение векторов vector{OB} и vector{OC}
vector{OB}*vector{OC}=4*4+(-5)*1=11
|vector{OB}|=sqrt(4^2+(-5)^2)=sqrt(41)
|vector{OC}|=sqrt(4^2+1^2)=sqrt(17)

сos ( ∠ vector{OB}, vector{OC})=[m]\frac{11}{\sqrt{41}\cdot \sqrt{17}}=\frac{11}{\sqrt{697}}=\frac{11\sqrt{697}}{697}[/m] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos4x=sin([m]\frac{\pi}{2}[/m]-4x)

Уравнение принимает вид:

sin5x + sin([m]\frac{\pi}{2}[/m]-4x)=0

Формула

[r] sin α +sin β =[m]2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha-\beta }{2}[/m][/r]

[m]2sin\frac{5x+\frac{\pi }{2}-4x}{2}cos\frac{5x-\frac{\pi}{2}+4x }{2}=0[/m]

[m]sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})cos(4,5x-\frac{\pi}{4})=0[/m]

[m]sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})=0[/m]

[m]\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\pi k, k\in Z[/m]

[m]\frac{x}{2}= -\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z[/m]

[m]x= -\frac{\pi }{2}+2 \pi k, k\in Z[/m]

или

[m]cos(4,5x-\frac{\pi}{4})=0[/m]

[m]4,5x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+ \pi n, n\in Z[/m]

[m]4,5x= \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}+\pi n, n\in Z[/m]

[m]4,5x= \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}+ \pi n, n\in Z[/m]

[m]4,5x= \frac{3\pi }{4}+ \pi n, n\in Z[/m]

[m]x= \frac{\pi }{6}+ \frac{2\pi }{9} \pi n, n\in Z[/m]

[red]Отбор корней[/red] с помощью неравенств:

Так как
[m]270^{o}= \frac{3\pi }{2}; 360^{o}=2 \pi [/m]

[m] \frac{3\pi }{2}< -\frac{\pi }{2}+2 \pi k < 2 \pi, k \in Z [/m]

Делим на π

[m] \frac{3}{2}< -\frac{1}{2}+2 k < 2, k\in Z [/m]

Прибавляем ко всем частям [m] \frac{1}{2} [/m]

[m] \frac{3}{2}+\frac{1}{2}<2 k < 2+\frac{1}{2}, k \in Z [/m]

[m]2 < k < 2+\frac{1}{2}, k \in Z [/m] - неравенство не выполняется ни при каких k

[m] \frac{3\pi }{2}< \frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{9}n < 2 \pi, n \in Z [/m]
Делим на π

[m] \frac{3}{2}< \frac{1 }{6}+\frac{2 }{9}n < 2, n \in Z [/m]

Прибавляем ко всем частям [m]- \frac{1}{6} [/m]

[m] \frac{3}{2} - \frac{1}{6}<\frac{2 }{9}n < 2 - \frac{1}{6}, k\in Z [/m]

[m] \frac{8}{6}<\frac{2 }{9}n < \frac{11}{6}, k\in Z [/m]

Приводим дроби к знаменателю 18:

[m] \frac{24}{18}<\frac{4 }{18}n < \frac{33}{18}, k\in Z [/m]

Умножаем на 18:

24 < 4n < 33

так как n - натуральное , неравенству удовлетворяют значения

n=7 или n=8

При n=7

[m]x= \frac{\pi }{6}+ \frac{14 \pi }{9}=\frac {31 \pi}{18}=310^{o}[/m]∈ (270 ° ;360 ° )

При n=8

[m]x= \frac{\pi }{6}+ \frac{16 \pi }{9}=\frac {35 \pi}{18}=350^{o}[/m]∈ (270 ° ;360 ° )

О т в е т.

a) корни уравнения:
[m] \frac{\pi }{6}+ \frac{2\pi }{9} \pi n, n\in Z[/m]
[m] \frac{\pi }{6}+ \frac{2\pi }{9} \pi n, n\in Z[/m]

б) интервалу (270 ° ;360 °) принадлежат два корня:
[m] \frac {31 \pi}{18}=310^{o}[/m]
[m] \frac {35 \pi}{18}=350^{o}[/m]

Ответ выбран лучшим

Это прямоугольный параллелепипед: (прикреплено изображение)

1.5.1
vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|* cos( ∠ vector{a},vector{b})

В условии задачи[red] опечатка[/red], не соs φ_(1) дан, а ∠ φ _(1)=45 °

[b]∠ φ _(1)=45 °⇒ cos 45 ° = sqrt(2)/2[/b]

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|* cos( 45 ° )=2*sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=2

[b]∠ φ _(2)=90 ° ⇒ cos 90 ° =0[/b]

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|* cos( 90 ° )=2*sqrt(2)*0=0

[b]∠ φ _(3)=135 ° ⇒ cos 135 ° = - sqrt(2)/2 [/b]

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|* cos(135 ° )=2*sqrt(2)*(-sqrt(2)/2)= - 2

[b]∠ φ _(2)=180 ° ⇒ cos 180 ° =-1[/b]

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|* cos( 180 ° )=2*sqrt(2)*(-1)= - 2sqrt(2)

1.5.2.
условие неполное.
Ничего не сказано про векторы

1.5.3.

(прикреплено изображение)

Разложение ln(1+x) известно. (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Пусть vector{x}=(x_(1);x_(2);x_(3))

Так как по условию
vector{a}*vector{x}=5, то

[b]2x_(1)-3x_(2)+2x_(3)=5[/b]

Так как по условию
vector{x}*vector{a}*vector{b}=-6, то

[m]\begin{vmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} \\ 2&-3 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{vmatrix}=-6[/m]

Раскрываем определитель третьего порядка и получаем второе условие на координаты вектора vector{x}:

3x_(1) + 2x_(2) + 2x_(3) + 3x_(3) - 2x_(1) + 2x_(2) = - 6;

[b]x_(1)+4x_(2)+5x_(3)=-6[/b]

Векторное произведение vector{a} × vector{x} есть вектор, обозначим
vector{c}=vector{a} × vector{x}=[m]\begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -3 &2 \\ x_{1} &x_{2} &x_{3} \end{vmatrix}=i\cdot\begin{vmatrix} -3 &2 \\ x_{2} &x_{3} \end{vmatrix}-j\cdot \begin{vmatrix} 2 &2 \\ x_{1}& x_{3} \end{vmatrix}+k\cdot\begin{vmatrix} 2 &-3 \\ x_{1} & x_{2} \end{vmatrix}=[/m]

[m]=(-3x_{3}-2x_{2})\cdot i-(2x_{3}-2x_{1})\cdot j+(2x_{2}+3x_{1})\cdot k[/m]

По условию vector{c} перпендикулярен оси Ох

Значит, скалярное произведение vector{c}*vector{i}=0

vector{c}*vector{i}=[m]=((-3x_{3}-2x_{2})\cdot i-(2x_{3}-2x_{1})\cdot j+(2x_{2}+3x_{1})\cdot k)*i=[/m]

[m]=(-3x_{3}-2x_{2})\cdot i \cdot i -(2x_{3}-2x_{1})\cdot j\cdot i+(2x_{2}+3x_{1})\cdot k\cdot i=[/m][m]=(-3x_{3}-2x_{2})\cdot 1-(2x_{3}-2x_{1})\cdot 0+(2x_{2}+3x_{1})\cdot 0= [/m]

[m]=-3x_{3}-2x_{2}=0[/m]

Получаем третье условие:
[b]0*x_(1)-2x_(2)-3x_(3)=0[/b]

Осталось решить систему трех уравнений с тремя неизвестными:
{2x_(1)-3x_(2)+2x_(3)=5
{x_(1)+4x_(2)+5x_(3)=-6
{0*x_(1)-2x_(2)-3x_(3)=0

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ln(u/v)=lnu-lnv

y`=[m]\frac{1}{\sqrt{2}}(ln(\sqrt{2+2x}-\sqrt{2-x})-ln(\sqrt{2+2x}-\sqrt{2-x}))`[/m]

Применяем правило (lnt)`=t`/t

y`=[m]\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{(\sqrt{2+2x}-\sqrt{2-x})`}{\sqrt{2+2x}-\sqrt{2-x}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{(\sqrt{2+2x}+\sqrt{2-x})`}{\sqrt{2+2x}+\sqrt{2-x}}[/m]
Применяем формулу:

[m](\sqrt{u})`=\frac{u`}{2\sqrt{u}}[/m]

[m]y`=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\frac{2}{2\sqrt{2+2x}}+\frac{1}{2\sqrt{2-x}}}{\sqrt{2+2x}-\sqrt{2-x}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\frac{2}{2\sqrt{2+2x}}-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}}{\sqrt{2+2x}+\sqrt{2-x}}[/m]

В принципе это ответ.
Но можно упростить, привести к общему знаменателю в каждом числителе, потом к общему знаменателю в скобках. Может что и сократится.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АН - высота к стороне ВС

Уравнение прямой АН:
y=2

Значит уравнение стороны BC:
x=2

Уравнение прямой АВ, как прямой, проходящей через две данные точки имеет вид:
(x-x_(A))/(x_(B)-x_(A))=(y-y_(A))/(y_(B)-y_(A))

Подставляем координаты точек
A(–6 ,2) и В(2, –2)

(x+6)/(2+6)=(y-2)/(-2-2)

-x-6=2y-4

[b]х+2у+2=0[/b] - уравнение АВ

y=-(1/2)x-1

k=-1/2

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой k=2

Прямая СH имеет вид:
y=2x+b
Чтобы найти b подставим координаты точки Н
2=2*1+b
b=0
y=2x - уравнение высоты СН

Значит, СН и ВН пересекаются в точке С(2;4)

Составим уравнение прямой АС, как прямой проходящей через две точки А и С:

(x+6)/(2+6)=(y-2)/(4-2)

(х+6)/8=(у-2)/2

(х+6)/4=у-2

[b]x-4y+14=0 [/b] - уравнение АС

Уравнение ВН, как прямой проходящей через две точки В и Н:

(x-2)/(1-2)=(y+2)/(2+2)

[b]4х+y-6=0[/b] - уравнение ВН

Находим точку пересечения АС и BH

{x-4y+14=0 ⇒ x=4y-14
{4х+y-6=0

4*(4y-14)+y-6=0
17y=62
y=62/17
x=4*(62/17)-14

считаем самостоятельно (прикреплено изображение)

Вводим в рассмотрение события -гипотезы:
Н_(1)-''выбран лыжник''
Н_(2)-''выбран велосипедист''
Н_(3)-"выбран легкоатлет"
р(Н_(1))=30/43
р(H_(2))=7/43
р(Н_(3))=6/43

Cобытие А - '' спортсмен, выполнит квалификационную норму''

По условию
вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника – 0,95;

[blue]p(A/H_(1))=0,95[/blue]

вероятность выполнить квалификационную норму для велосипедиста – 0,8;
[blue]p(A/H_(2))=0,8[/blue]

вероятность выполнить квалификационную норму для
легкоатлета – 0,7
[blue]p(A/H_(3))=0,7[/blue]

По формуле полной вероятности

р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1))+р(Н_(2))*р(А/Н_(2))+р(Н_(3))*р(А/Н_(3))
=(30/43)*0,95+(7/43)*0,8+(6/43)*0,7=

Так как

p(Н_(2)/А)*р(А)=р(Н_(2))*р(А/Н_(2)) ⇒

p(Н_(2)/А)=((7/43)*0,8)/((30/43)*0,95+(7/43)*0,8+(6/43)*0,7)

считаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

[red]ОДЗ:[/red]
{|x|>0 ⇒ x ≠ 0
{ln|x|>0 ⇒ ln|x|> ln1 ⇒ |x| > 1 ⇒ x ∈ (- ∞ ;-1) U(1;+ ∞ )

[red] x ∈ (- ∞ ;-1) U(1;+ ∞ )[/red]

Так как
1=lne

Неравенство принимает вид:

ln(ln|x|) < ln e

Логарифмическая функция y=ln t возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

ln|x| < e,

e=lne^(e)

ln|x| < lne^(e)
Логарифмическая функция y=ln t возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
|x| < e^(e)

С учетом ОДЗ, получаем ответ

(-e^(e);-1) U(1;e^(e))

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Достраиваем до прямоугольного треугольника ( см. рис. )

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Из площади белого прямоугольного треугольника вычитаем площадь желтого прямоугольного треугольника

S=(1/2)*3*5 - (1/2)*3*3=(15/2)-(9/2)=6/2=3

О т в е т. 3 (прикреплено изображение)

4.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ неравенства: x > 0

3^(log^2_(3)x)=(3^(log_(3)x)^(log_(3)x)=x^(log_(3)x)

Неравенство принимает вид:
x^(log_(3)x) + x^(log_(3)x) > 2* 3^(1/4)

2* x^(log_(3)x) > 2* 3^(1/4)

x^(log_(3)x) > 3^(1/4)

Логарифмируем неравенство по основанию 3,3> 1
логарифмическая функция возрастает, знак неравенства сохраняется

log_(3)x^(log_(3)x) >log_(3) 3^(1/4)

Применяем свойство логарифма степени:

log_(3)x*log_(3) x > (1/4) * log_(3)3

log^2_(3)x > (1/4)

log^2_(3)x-(1/4) >0

(log_(3)x -(1/2))* (log_(3)x + (1/2)) > 0

log_(3) x < -1/2 или log_(3) x >1/2

log_(3) x < log_(3)(1/sqrt(3)) или log_(3) > log_(3) sqrt(3)

x < (1/sqrt(3)) или x > sqrt(3)

C учетом ОДЗ получаем ответ
(0;([blue]1/sqrt(3)[/blue])) U([blue]sqrt(3)[/blue];+ ∞)

1)Вычислить интеграл
∫ 2dx/(√1–x^2)=2 ∫ dx/(√1–x^2)=2*arcsinx+C
2)Производная
a)y`=(arccos x·ctg x)`=(arccosx)`*ctgx+(arccosx)*(ctgx)`=

=-(1/sqrt(1-x^2))*(ctgx)+(arccos)*(-1/sin^2x)=

=-(ctgx)/(sqrt(1-x^2)) - (arccosx)/(sin^2x)

b)y`=(x`*(9-x)-x*(9-x)`)/(9–x)^2=(9-x-x*(-1))/(9-x)^2=9/(9-x)^2

Ответ выбран лучшим

1) z_(1)+z_(2)=(2-3i)+(4+3i)=2-3i+4+3i=6;

2) z_(1)-z_(2)=(2-3i)-(4+3i)=2-3i-4-3i=-2-6i;

3) z_(1)·z_(2)=(2-3i)*(4+3i)=2*4-3i*4+2*(3i)-(3i)*(3i)=8-12i+6i+9=17-6i ;
4) z_(1):z_(2)=[m]\frac{2-3i}{4+3i}=\frac{(2-3i)\cdot(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)}=[/m]

[m]=\frac{2\cdot 4-3i\cdot 4-2\cdot 3i-3i\cdot 3i)}{4^2-(3i)^2}=[/m]=

=[m]\frac{8-12i-6i+9)}{16+9}=\frac{17-18i}{25}[/m]

5) решить квадратное уравнение .

a)

x^2+8x+20=0
D=8^2-4*20=64-80=-16
sqrt(D)=sqrt(16)*sqrt(-1)=4i

x_(1)=(-8-4i)/2=[b]-4-2i[/b]; x_(2)=(-8+4i)/2=[b]-4+2i[/b]

б)
25x^2+12x+4=0
D=12^2-4*25*4=-256
sqrt(D)=sqrt(256)*sqrt(-1)=16i

x_(1)=(-12-16i)/50=[b](-6-8i)/25[/b]; x_(2)=(-12+16i)/50=[b](-6+8i)/25[/b];]

Ответ выбран лучшим

1)
y=kx - общий вид прямых, проходящих через начало координат

угловой коэффициент k=tg α , где α - угол наклона прямой с положительным направлением оси Ох

Так как [i]по условию[/i] угол наклона прямой с положительным направлением оси Ох
α =30 °
и
tg 30 ° =[m]\frac{\sqrt{3}}{3}[/m], значит k=[m]\frac{\sqrt{3}}{3}[/m]

Подставляем в уравнение y=kx, получаем
[m]y=\frac{\sqrt{3}}{3}x[/m] ⇒

3y=sqrt(3)*x

3y - sqrt(3)*x=0

sqrt(3)*x - 3y=0

О т в е т. sqrt(3)*x - 3y =

2)
y=3 ( cм. рис.1)

3)

4х-3у+9=0 ⇒
находим 3у:

3у = 4х+9 ( делим на 3)

y=[m]\frac{4}{3}x+3[/m] - уравнение прямой вида y=kx+b, значит

k=[m]\frac{4}{3}[/m]

b=3

О т в е т. k=[m]\frac{4}{3}[/m]; b=3

4) Прямая 2x-y+4=0
пересекает ось Оу в точке A(0;4)
ось Ох в точке B(-2;0)

Пусть С - середина АВ

Координаты

x_(C)=[m]\frac{x_{A}+x_{В}}{2}[/m]
y_(C)=[m]\frac{y_{A}+y_{В}}{2}[/m]

x_(С)=[m]\frac{0+(-2)}{2}=-1[/m]
y_(С)=[m]\frac{4+0}{2}=2[/m]

С(-1;2)

5)
М- центр тяжести треугольника АВС:
x_(M)=[m]\frac{x_{A}+x_{В}+x_{C}}{3}[/m]
y_(M)=[m]\frac{y_{A}+y_{В}+y_{C}}{3}[/m]

x_(M)=[m]\frac{-2+4+10}{3}=4[/m]
y_(M)=[m]\frac{5+1+0}{3}=2[/m]

M(4;2)

x=4 - уравнение прямой, параллельной оси Оу

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(sin2x-sqrt(3)x)`=(sin2x)`-(sqrt(3)*x)`=(cos2x)*(2x)`-sqrt(3)*1=

=2cos2x-sqrt(3)

=2cos2x- [m]\frac{3}{2\sqrt{3x}}[/m]

((3x)^2+7)`=((3x)^2)`+(7)`=2*(3x)*(3x)`+0=6*3x=18x

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ПРЕОБРАЖЕНИЕ
П-1
Р-2
Е-3
О-1
Б-1
А-1
Ж-1
Н-1
И-1

Р(1;2;3;1;1;1;1;1;1)=12!/(2!*3!)=12!/(12)=11!=(1*2*3**5*6*7*8*9*10*11)=

КАССАЦИЯ
К-1
А-2
С-2
Ц-1
И-1
Я-1

P(1;2;2;1;1;1)=8!/(2!*2!)=8!/4=2*7!=2*(1*2*3*4*5*6*7)=
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
y=kx - общий вид прямых, проходящих через начало координат

угловой коэффициент k=tg α , где α - угол наклона прямой с положительным направлением оси Ох

Так как [i]по условию[/i] угол наклона прямой с положительным направлением оси Ох
α =30 °
и
tg 30 ° =[m]\frac{\sqrt{3}}{3}[/m], значит k=[m]\frac{\sqrt{3}}{3}[/m]

Подставляем в уравнение y=kx, получаем
[m]y=\frac{\sqrt{3}}{3}x[/m] ⇒

3y=sqrt(3)x

3y - sqrt(3)x=0
или

sqrt(3)x-3y=0
О т в е т. sqrt(3)x-3y=0

2)
Так как вторая координата у точек А и В одинаковая, то прямая, проходящая через точки А и В параллельна оси Ох.
Ее уравнение
y=3

3)

4х-3у+9=0 ⇒
находим 3у:

3у = 4х+9 ( делим на 3)

y=[m]\frac{4}{3}x+3[/m] - уравнение прямой вида y=kx+b, значит

k=[m]\frac{4}{3}[/m]

b=3

О т в е т. k=[m]\frac{4}{3}[/m]; b=3

4) Прямая 2x-y+4=0
пересекает ось Оу в точке A(0;4)
ось Ох в точке B(-2;0)

Пусть С - середина АВ

Координаты

x_(C)=[m]\frac{x_{A}+x_{В}}{2}[/m]
y_(C)=[m]\frac{y_{A}+y_{В}}{2}[/m]

x_(С)=[m]\frac{0+(-2)}{2}=-1[/m]
y_(С)=[m]\frac{4+0}{2}=2[/m]

С(-1;2)

5)
М- центр тяжести треугольника АВС:
x_(M)=[m]\frac{x_{A}+x_{В}+x_{C}}{3}[/m]
y_(M)=[m]\frac{y_{A}+y_{В}+y_{C}}{3}[/m]

x_(M)=[m]\frac{-2+4+10}{2}=4[/m]
y_(M)=[m]\frac{5+3+0}{2}=\frac{8}{3}[/m]

x=4 - уравнение прямой, параллельной оси Оу

Ответ выбран лучшим

22. решить по образцу 21 (прикреплено изображение)

При x=0
ρ =2+sqrt(2)cos0=2+sqrt(2)
A(0; 2sqrt(2))

При x=π/4
ρ =2+sqrt(2)cos(π/4)=2+1=3
B(π/4; 3)

и так далее.
Угол, луч, на луче отрезок длины ρ

x= ρ cos φ ⇒ [b]cos φ[/b] =x/ ρ =[b]x/sqrt(x^2+y^2)[/b]
y= ρ sin φ

x^2+y^2= ρ ^2

ρ =2+sqrt(2)[b]cos φ[/b] ⇒ sqrt(x^2+y^2)=2+sqrt(2)*[b](x/sqrt(x^2+y^2)) [/b]⇒

x^2+y^2=2sqrt(x^2+y^2)+sqrt(2)x - уравнение в прямоугольной системе координат.

2.
Пусть B(x_(B);y_(B)); C((x_(C);y_(C))

F-середина ВС

F([m]\frac{x_{B}+x_{C}}{2}; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}[/m];

M- точка пересечения медиан

M([m]\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}[/m])
M([m]\frac{3+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{-1+y_{B}+y_{C}}{3}[/m])

Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то

[b]vector{AM}=2*vector{MF}[/b]

vector{AM}=([m]\frac{3+x_{B}+x_{C}}{3}-3; \frac{-1+y_{B}+y_{C}}{3} - (-1)[/m]);

vector{AM}=([m]\frac{x_{B}+x_{C}-6}{3}; \frac{2+y_{B}+y_{C}}{3}[/m]);

vector{MF}=([m]\frac{x_{B}+x_{C}}{2}-\frac{3+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}- \frac{-1+y_{B}+y_{C}}{3} [/m]);

vector{MF}=([m]\frac{x_{B}+x_{C}-6}{6}; \frac{y_{B}+y_{C}+2}{6} [/m]);

Приравниваем покоординатно:
[m]\frac{x_{B}+x_{C}-6}{3}=2\cdot \frac{x_{B}+x_{C}-6}{6}[/m]
[m]\frac{2+y_{B}+y_{C}}{3}=2\cdot \frac{y_{B}+y_{C}+2}{6}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.34
cм. рис. 1
Пусть С - середина отрезка АВ,
Проекции точек А, В,С на пл. обозначим A_(1); B_(1); C_(1)

СС_(1)=(АА_(1)+ВВ_(1))/2 - ( cм формулу для нахождения длины средней линии трапеции

1) CC_(1)=(1+5)/2=3
2) CC_(1)=(3,1+6,9)/2=5
3)CC_(1)=(3,2+7,4)/2=5,3
4)CC_(1)=(a+b)/2

2.35
Δ АВС- прямоугольный ( рис.2)

1) ВС- проекция АС
АС=5; АВ=4
По теореме Пифагора
ВС=3
2) АС= 5
Катет против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы,
значит гипотенуза в два раза больше катета АВ
По теореме Пифагора
BC=sqrt(5^2-2,5^2)=

3)
По теореме Пифагора
АB=sqrt(13^2-12^2)=5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cм. приложение.

vector{F}=(P;Q;R)

P=x^2
Q=-y^2
R=z^2

σ : x^2+y^2+z^2=R^2

vector{n}= ± (2x; 2y; 2z)

Так как в условии указана внешняя нормаль, значит cos γ >0, берем
вектор со знаком +

vector{n}= (2x; 2y; 2z)

vector{F}*vector{n}=x^2*2x+(-y^2)*2y+z^2*z=2x^3-2y^3+2z^3

[b] ∏ = ∫∫_(σ)(2x^3-2y^3+2z^3)d σ [/b]

или

Нормируем вектор vector{n} , делим на длину, получаем единичный вектор

vector{n^(o)}= (x/R; y/R; z/R)

Направляющие косинусы:

[blue]cos α =x/R

cos β =y/R

cos γ =z/R[/blue]

или

∏ = ∫∫_(σ)(x^2dydz-y^2dxdz+z^2dxdy)=

=∫∫_(σ)(x^2dydz)- ∫∫_(σ)(y^2dxdz)+ ∫∫_(σ)(z^2dxdy)=

Проекции поверхности σ
на пл. ХОУ - четвертая часть окружности x^2+y^2=R^2
на пл. ХОZ - четвертая часть окружности x^2+z^2=R^2
на пл. ZОУ - четвертая часть окружности y^2+z^2=R^2

Cчитаю третий интеграл:
Переходим к полярным координатам
∫∫_(σ)(z^2dxdy)=
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
dx dy= ρ dpd θ
z^2=(R^2-x^2-y^2)=(R^2- ρ^2)

0 ≤ ρ ≤ R
0 ≤ θ ≤ π/2

∫∫_(σ)(z^2dxdy)=∫∫_(D_(xOy))(z^2dxdy) ∫^(π/2)_(0)[b]([/b] ∫^(R)_(0)(R^2- ρ ^2) ρ d ρ [b])[/b]d θ

= ∫^(π/2)_(0) [b]([/b]∫^(R)_(0)R^2* ρ d ρ [b])[/b]d θ -∫^(π/2)_(0) [b]([/b]∫^(R)_(0) ρ ^2* ρ d ρ [b])[/b]d θ =

=R^2∫^(π/2)_(0) [b]([/b] ρ ^2/2)|^(R)_(0)[b])[/b]d θ -∫^(π/2)_(0)[b]([/b] ρ ^4/4)|^(R)_(0)[b])[/b]d θ =

=(R^4/2)*(π/2)-(R^4/4)*(π/2)=[b]πR^4/8[/b]

Аналогично
∫∫_(σ)(x^2dydz)=[b]πR^4/8[/b]
∫∫_(σ)(y^2dxdz)=[b]πR^4/8[/b]

О т в е т. П=[b]πR^4/8 - πR^4/8+πR^4/8=πR^4/8[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 3м 12 см - 9 см = 3 м 3 см результат Бори
2) 3м 12 см +13 см =3 м 25 см результат Вовы

1) 52-9=43 прибора собрала вторая бригада
2) 43+12=55 приборов собрала третья бригада
3) 52+43+55=150 приборов собрали три бригады

1) 24-3=21 км прошли во второй день
2) 24+21=45 км прошли за два дня
3) 65-45=20 км осталось пройти в третий день

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[i]l[/i]_(o):(x+3)/8=(y–1)/7=(z-3)/1
проходит через точку M_(o)(-3;1;3) и имеет направляющий вектор
vector{s_(o)}=(8;7;1)

Cемейство параллельных ей прямых имеет вид:

[b](x-x_(o))/8=(y–y_(o))/7=(z-z_(o))/1[/b]
точка M_(o) (x_(o); y_(o); z_(o)) - точка принадлежащая плоскости, которая пересекает

[i]l[/i]_(1):(x+3)/2=(y–5)/3=z/1, которая проходит через точку M_(1)(-3;5;0) и имеет направляющий вектор
vector{s_(1)}=(2;3;1)
и
[i]l[/i]_(2): (x–10)/5=(y+7)/4=z/1, которая проходит через точку M_(2)(10;-7;0) и имеет направляющий вектор
vector{s_(1)}=(5;4;1)

Задача сводится к нахождению координат точки M_(o) (x_(o); y_(o); z_(o))

Задачу можно упростить,полагая, что M_(o)=A

Итак, нужны координаты двух точек А и B.

Обозначим A(x_(A);y_(A);z_(A)); B(x_(B);y_(B); z_(B))

Тогда искомая прямая принимает вид:

[b](x-x_(А))/8=(y–y_(А))/7=(z-z_(А))/1[/b]

Точка В лежит на этой прямой
Значит
(x_(В)-x_(А))/8=(y_(В)–y_(А))/7=(z_(В)-z_(А))/1
Параметризуем:
(x_(В)-x_(А))/8=(y_(В)–y_(А))/7=(z_(В)-z_(А))/1=t
⇒
x_(B)-x_(A)=8t
y_(B)-y_(A)=7t
z_(B)-z_(A)=t

⇒
[red]x_(B)=x_(A)+8t
y_(B)=y_(A)+7t
z_(B)=z_(A)+t[/red]

Так как точка А принадлежит прямой
[i]l[/i]_(1):(x+3)/2=(y–5)/3=z/1, то
её координаты удовлетворяют уравнению
(x_(А)+3)/2=(y_(А)–5)/3=z_(А) /1 ⇒

(x_(А)+3)/2=z_(А) /1 ⇒[blue] x_(A)=2z_(A)-3[/blue]
(y_(А)–5)/3=z_(А) /1 ⇒[blue] y_(A)=3z_(A)+5[/blue]

Так как точка B принадлежит прямой
[i]l[/i]_(2):(x-10)/5=(y+7)/4=z/1, то
её координаты удовлетворяют уравнению
(x_(B)-10)/5=(y_(B)+7)/4=z_(B) /1 ⇒

(x_(B)-10)/5=z_(B) /1 ⇒ [green]x_(B)=5z_(B)+10[/green]
(y_(B)+7)/4=z_(B) /1 ⇒[green] y_(B)=4z_(B)-7[/green]

Подставляем в
[red]x_(B)=x_(A)+8t
y_(B)=y_(A)+7t
z_(B)=z_(A)+t[/red]

5z_(B)+10=2z_(A)-3+8t
4z_(B)-7=3z_(A)+5+7t
z_(B)=[b]z_(A)+t[/b]

5*([b]z_(A)+t[/b])+10=2z_(A)-3+8t ⇒ 3z_(A)-3t+13=0
4*(([b]z_(A)+t[/b])=3z_(A)+5+7t ⇒ z_(A)-3t-12=0

2z(A)=-25
[blue]z_(A)=-12,5[/blue]

[blue]x_(A)=2z_(A)-3=2*12,5-3=-28[/blue]
[blue] y_(A)=3z_(A)+5=3*(-12,5)+5=-32,5[/blue]

А(-12,5; -28; -32,5)

О т в е т. [b](x+12,5)/8=(y+28)/7=(z+32,5)/1[/b] (прикреплено изображение)

1.
vector{KM}=vector{KB}+vector{BM}

[b]vector{KM}=(1/2)vector{p}+(5/7)vector{q}[/b]

б) нет, векторы vector{KM} и vector{СB} не коллинеарны.

2.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусов.

Пусть угол ∠ C=120 ° , тогда ∠ D=60 °

Проведем высоту из вершины С на сторону AD.
Трапеция разбивается на прямоугольник и прямоугольный треугольник с гипотенузой СD и с острым углом ∠ D=60 ° ,
второй острый угол 30 °

Катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы СВ

Обозначим основание ВС=х

Тогда AD=x+10

(AD+BC)/2=7

AD+BC=2*7

x+10+x=14

x=2

[b]BC=2[/b]
[b]AD[/b]=2+10=[b]12[/b]

(прикреплено изображение)

[blue]ОДЗ:[/blue]
{(4-x)^8 >0 ⇒ x ≠ 4
{(4-x)^6>0 ⇒ x ≠ 4

[blue]х ∈ (- ∞ ;4)U(4;+ ∞ )[/blue]

log_(4)(4-x)^8=log_(2^2)((4-x)^2)^4=(4/2)*log_(2)(4-x)^2=2log_(2)(4-x)^2

log_(0,5)(4-x)^6=log_(2^(-1)((4-x)^2)^3=(3/(-1))*log_(2)(4-x)^2=-3*log_(2)(4-x)^2

Неравенство принимает вид:

3*(2log_(2) (4–x)^2)^2+4*(-3*log_(2) (4–x)^2) ≥ 7,2

3*(4log^2_(2) (4–x)^2)+4*(-3*log_(2) (4–x)^2)-7,2 ≥ 0

Замена переменной:
log_(2)(4-x)^2=t

12 t^2-12t-7,2 ≥ 0

t^2-t-0,6 ≥ 0

D=1^2-4*(-0,6)=3,4

t ≤ (1-sqrt(3,4)/2 или t ≥ (1+sqrt(3,4))/2

Обратная замена
[red]log_(2)(4-x)^2≤ (1-sqrt(3,4))/2[/red] или [red]log_(2)(4-x)^2 ≥ (1+sqrt(3,4))/2 [/red]

f`(x_(o))=k(касательной)=tgα

α - угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ох

α + β =180 °

tg β = 3/2 ( cм. прямоугольный треугольник зеленого цвета)

Тангенсом [i]острого угла[/i] прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

В зеленом треугольнике гипотенуза - отрезок касательной.

Треугольник выбираем так, чтобы его катеты были целыми.

tg α =-tg β =-tg(180 ° - α )=-3/2

f`(x_(o))=-3/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A: прямоугольник ( рис. 1)
B-прямоугольник ( рис. 2)
Объединение двух прямоугольников на рис. 3

x^2+y^2-16 ≤ 0 - круг с центром в точке (0;0) и R=4

AUBUC - фигура на рис. 4

2.
38-24=14 учащихся занимаются не в хоре, значит они занимаются только в лыжной секции

15-14=1 учащийся занимается [b]и в лыжной секции и в хоре[/b]

24-1=23 учащихся занимаются только в хоре

23+14+1=38 учащихся в классе

cм. рис.5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Расстояние между директрисами:
d=2*(a/ ε )
32=(2*a)/(1/2)
32=4a
[b]a=8[/b]

ε=c/a ( cм. приложение 2)
c=a*ε
c=4

Так как
a^2=b^2+c^2 ( см.приложение 3) ⇒
b^2=a^2-c^2=8^2-4^2=64-16=48

О т в е т. [b](x^2/64)+(y^2/48)=1[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]y-f(x_(o))=f`(x_(o))*(x-x_(o)) [/b]- уравнение касательной в точке (x_(o);f(x_(o)))

[b]y-f(x_(o))[/b]=[m]\frac{-1}{f`(x_{o})}[/m][b]*(x-x_(o))[/b] - уравнение нормали в точке (x_(o);f(x_(o)))

По условию:
f(x)=sinx*cosx
x_(o)=[m]\frac{\pi}{2}[/m]
y_(o)=0

f`(x)=(sinx*cosx)`=(sinx)`*cosx+sinx*(cosx)`=cosx*cosx+sinx*(-sinx)=

=cos^2x-sin^2x=cos2x

f`(x_(o))=f`([m]\frac{\pi}{2}[/m])=cosπ=-1

[b]y-0=(-1)* (x-[m]\frac{\pi}{2}[/m]) [/b]- уравнение касательной

y=[m]\frac{\pi}{2}[/m] - x

[b]y-0[/b]=[m]\frac{-1}{(-1)}[/m][b]*(x-[m]\frac{\pi}{2}[/m])[/b] - уравнение нормали

y=[m]x-\frac{\pi}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;1) U(1;+ ∞ )
x=1 - вертикальная асимптота
y=1 - горизонтальная асимптота

[m]y=\frac{(x-1)-11}{x-1}[/m]

[m]y=1-\frac{11}{x-1}[/m] - гипербола, получена параллельным переносом гиперболы
[m]y=-\frac{11}{x}[/m]
на 1 единицу вверх и 1 единицу вправо

y`=(1-[m]\frac{11}{x-1}[/m])`

y`=[m]\frac{11}{(x-1)^2}[/m]) > 0 на(- ∞ ;1) и на (1;+ ∞ )

Функция возрастает на(- ∞ ;1) и на (1;+ ∞ )

Пересекает ось Ох в точке (12;0), так как

y=0 ⇒ [m]1-\frac{11}{x-1}=0[/m] ⇒ [m]\frac{11}{x-1}=1[/m] ⇒ x-1=11
x=12

Пересекает ось Оу в точке (0;12) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)

О т в е т.[b]y=1[/b] ( cм. рис.1)

2)

y=kx - общий вид прямых, проходящих через начало координат

Подставим координаты точки А(-3;5): х=-3; у=5

5=k*(-3)

k=[m]\frac{-5}{3}[/m]

y=[m]\frac{-5}{3}[/m]x ⇒ 3y=-5x;

[b]3y+5x=0 [/b]

О т в е т.[b]3y+5x=0 [/b]

3)

2х-3у+6=0 ⇒
находим 3у:

3у = 2х+6 ( делим на 3)

y=[m]\frac{2}{3}x+2[/m] - уравнение прямой вида y=kx+b, значит

k=[m]\frac{2}{3}[/m]

b=2

4)

В общем уравнении прямой вида y=kx+b

угловой коэффициент k=tg α , где α - угол наклона прямой с положительным направлением оси Ох

Так как [i]по условию[/i] угол наклона прямой с положительным направлением оси Ох
α =45 °
и
tg 45 ° =1, значит k=1

[i]по условию[/i] b=-3

Подставляем в уравнение y=kx+b, получаем
[b]y=x-3[/b] ⇒ y-x+3=0

О т в е т. y-x+3=0

5)
Точка В - середина отрезка АС

x_(B)=[m]\frac{x_{A}+x_{C}}{2}[/m]
y_(B)=[m]\frac{y_{A}+y_{C}}{2}[/m]

x_(C)=2x_(B)-x_(A)=2*(-3)-4=-10
y_(C)=2y_(B)-y_(A)=2*2-1=3

[red]C(-10;3)[/red]

Уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно оси Ох:
x=-10
или
[b]x + 10 = 0[/b]

Уравнение прямой, проходящей через точку B перпендикулярно оси Ох:
x=-3
или
[b]x + 3 = 0[/b]

Уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно оси Ох:
x=4
или
[b]x - 4 = 0[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2-3x-7+sqrt(x^2-3x+5)>0

Подкоренное выражение x^2-3x+5 > 0 при любом х, так как D=9-4*5 <0

[i]Замена переменной[/i]:
sqrt(x^2-3x+5) =t⇒ x^2-3x+5=t^2
x^2-3x=t^2-5

(t^2-5)-7+t>0

t^2+t-12 >0 при t < -4 или t > 3
так как
D=1+48=49
t_(1)=-4; t_(2)=3

[i]Обратная замена
[/i]sqrt(x^2-3x+5) < -4 неравенство не выполняется ни при каких х

sqrt(x^2-3x+5) >3 ⇒ x^2-3x+5 >9 ⇒ x^2-3x-4 > 0 при x < -1 или x > 4

так как
D=9+16=25
корни
x_(1)=-1; x_(2)=4

__[red]+[/red]__ (-1) ____ (4) __[red]+[/red]__

О т в е т. (- ∞ ;-1) U (4;+ ∞ )

ОДЗ:
{2x+8 ≥ 0 ⇒ x ≥ -4
{10-2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5
{4x^2-4x+65 >0 - верно при любом х, так как D <0

ОДЗ: х ∈ [-4; 5]

y=4x^2-4x +65 принимает значения от 64 до + ∞
Значит
log_(2)(4x^2-4x+65) ≥ log_(2)(64)=6

y=sqrt(2x+8)+sqrt(10-2x) принимает на [-4;5] значения
меньше или равные 6 ( см. рис)

Значит, неравенство верно, только как равенство, т.е при
sqrt(2x+8)+sqrt(10-2x) =6
или
log_(2)(4x^2-4x+65)=6 ⇒ 4x^2-4x+65=2^6 ⇒ 4x^2-4x+1=0 ⇒ (2x-1)^2=0 ⇒ 2x-1=0 ⇒ x=0,5

0,5 ∈ ОДЗ

О т в е т. 0,5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Перепишем:
√(2x^2+8x+7)=2+х
{2x^2+8x+7 ≥ 0 ⇒ D=64-4*2*7=8 корни (-2 ± 0,5sqrt(2))
{2+x ≥ 0 ⇒ x ≥ -2

x ∈ [-2 + 0,5sqrt(2);+ ∞ )

Возводим в квадрат
2x^2+8x+7=4+4x+x^2
x^2+4x+3=0
D=16-12=4
x=(-4 ± 2)/2
x_(1)=-3; x_(2)=-1

-1∈ [-2 + 0,5sqrt(2);+ ∞ )
О т в е т. -1

2.
{4-2х-x^2 ≥ 0 ⇒ x^2+2x-4 ≤ 0; D=4-4*(-4)=20 корни (-1 ± sqrt(5))
{x ≥ 0

x ∈ [-1 +sqrt(5);+ ∞ )

Возводим в квадрат

4-2x-x^2=x^2
x^2+x-2=0
D=1+8=9
x_(1)=-2; x_(2)=1

1∈ [-1 +sqrt(5);+ ∞ )

О т в е т. 1

1.
а)
A ∩ B={2,7}
B ∪ C={2,3,7,11,12,14,21,24}

(A ∩ B) ∩(B ∪ C)={2,7}

б)
A\B={1,4,6,9}
(A\B) ∪ C={1,3,4,6,7,9,11,21,24}

в)
B\A={3,12,14}
C\A={3,14,21,24}

(B\A)U(C\A)={3,12,14,21,24}

2
a)
A ∪ B={1,2,3,4,6,7,9,11,12,14}
C ∩ A={3,7}
(A ∪ B)\(C ∩ A)={1,2,4,6,9,11,12,14}
б)
A ∪ B={1,2,3,4,6,7,9,11,12,14}
(A U B)\C={1,2,4,6,9,12,14}
в)
A ∩ C={3,7}
B\(A ∩ C)={2,12,14}

Ответ выбран лучшим

1.
{x+5 ≥ 0
{x ≥ 0
x ∈ [0;+ ∞ )

Перепишем
√x+5=1+√x
Возводим в квадрат:
x+5=1+2√x+x
2√x=4
√x=2
x=4
4 ∈ [0;+ ∞ )
О т в е т. 4

2.Условие написано неточно.
√2x–5=1 [red]±[/red] √x–3
{2x-5 ≥ 0 ⇒ х ≥ 2,5
{x-3≥ 0 ⇒ х ≥ 3
x ∈ [3;+ ∞ )

Возводим в квадрат:
2x-5=1 ± 2√(x-3)+x-3
± 2√(x-3)=х-3
Дальнейшее решение зависит от знака между 1 и √(x-3)

Если
-2√(x-3)=х-3
2√(x-3)=3-х
При x ∈ (3;+ ∞ )
уравнение не имеет решений, так как (3-x)<0
При x=3
0=0 - верно

Если
2√(x-3)=х-3 ⇒ х-3=0 или sqrt(x-3)=2 ⇒ x-3=4 ⇒ x=7

О т в е т. 3 и 7

3.
{3x+4 ≥ 0
{x-4 ≥ 0
{x ≥ 0

x ∈ [4;+ ∞ )

Перепишем:
√(3x+4)=√(x–4)+2√x
Возводим в квадрат
3х+4=х-4+4√x * √(x–4) +4х

4√x * √(x–4)=8-2х

2√x * √(x–4)=4-х
При
x ∈ (4;+ ∞ )
уравнение не имеет корней, так как (4-x)<0

х=4- единственный корень уравнение

Пусть AA1, BB1 , CC1 - высоты остроугольного треугольника ABC, а ABC = β (см. рис. ).

[red]Прямоугольные[/red] треугольники
BA1A и CC1B имеют общий β , поэтому они подобны,

а значит,

[m]\frac{BA_{1}}{BA} =\frac{BC_{1}}{BC}[/m] = cos β

⇒ [m]\frac{BA_{1}}{BC_{1}} =\frac{BA}{BC}[/m] = cos β,

т.е. в Δ C1BA1 и ΔABC стороны, прилежащие к общему β , пропорциональны.

По второму признаку подобия треугольников
ΔC1BA1 ~ ΔABC
коэффициент подобия равен cos β .

Аналогичным образом доказывается, что ΔA1CB1 ~ ΔABC с коэффициентом подобия cos BCA= γ ,

Δ B1AC1 ~ Δ ABC с коэффициентом подобия cos CAB= α (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(2-1;2-3;1-6)=(1;-1;-5)
vector{AC}=(-1-1;0-3;1-6)=(-2;-3;-5)
vector{AD}=(2-1;6-3;12-6)=(1;3;6)

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно 0
Чтобы найти смешанное произведение надо вычислить определитель третьего порядка, составленный из координат векторов:

[m]\begin{vmatrix} 1 &-1 &-5 \\ -2& -3 &-5 \\ 1 & 3 & 6 \end{vmatrix}[/m]

Раскрываем определитель по правилу треугольника
-18+5+30-15+15-12=5 ≠ 0
Не компланарны

Ответ выбран лучшим

1.
{x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
{7-2x ≥ ⇒ x ≤ 3,5
x ∈ [1;3,5]

Возводим в квадрат:
(7-2x)^2=9*(x-1)
4x^2-37x+58=0
D=37^2-4*4*58=1369-928 =441
x_(1)=(37-21)/8=2; x_(2)=(37+21)/8=29/4 ∉ [1;3,5]
О т в е т. 2

2.
{30-3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 10
{7-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 7
[blue]x ≤ 7[/blue]

Перепишем:
sqrt(10-3x)=1+sqrt(7-x)
Возводим в квадрат:

10-3х=1+2sqrt(7-x)+7-x;
2sqrt(7-x)=2-2x
sqrt(7-x)=1-x
Возводим в квадрат:
{1-x ≥ 0 ⇒[red] x ≤ 1[/red]
7-x=1-2x+x^2
x^2-x-6=0
D=1+24=25
x_(1,2)=(1 ± 5)/2
x_(1)=-2; x_(2)=3 не удовл условию [red] x ≤ 1[/red]
О т в е т. -2

3.
{x-13 ≥ 0 ⇒ x ≥ 13
{x-8 ≥ 0 ⇒ x ≥ 8

[blue]x ≥ 13[/blue]

Возводим в квадрат:
(√x–13)^2=(√(x–8)+3)^2
x-13=x-8+6sqrt(x-8) +9

6sqrt(x-8)=-13
уравнение не имеет корней

См. графическое решение

y=sqrt(10-x) не пересекается c y=sqrt(x-8) + 3 (прикреплено изображение)

[b]S=vt[/b]
v=900 км в час
t=5 минут=(5/60) часа=(1/12) часа

[b]S=[/b]900 * (1/12)=[b]75 км[/b]

[blue]v=v_(o)+at[/blue] ⇒
900 км в час= 250 м/с
270 км в час= 75 м/с
t=5мин=300 с
250=75+а*300

[blue]a=0,5 м/с^2[/blue]

m=1 т=1000 кг

[green]F=ma[/green]=1000 кг*0,5 м/сек^2=[green]500 н[/green]

1н=1(кг*м/c^2)

1x-2y+6=0 ⇒ 2y=x+6 ⇒ y=[m]\frac{1}{2}x[/m]+3

k=[m]\frac{1}{2}[/m]

Прямые, параллельные данной имеют такой же угловой коэффициент k, поэтому общее уравнение можно записать в виде:

y=[m]\frac{1}{2}x[/m]+b

Чтобы найти коэффициент b подставим координаты точки M_(o)(4;3)

3=[m]\frac{1}{2}\cdot 4[/m]+b
3=2+b

b=1

О т в е т. y=[m]\frac{1}{2}x[/m]+1; k=[m]\frac{1}{2}[/m]; b=1

общее уравнение x-2y+2=0

Расстояние между прямыми, равно расстоянию от т. M_(o) до прямой
1x-2y+6=0

По формуле ( см. приложение):
d=[m]\frac{1\cdot 4-2\cdot 3+6}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}[/m] (прикреплено изображение)

vector{n_(1)}=(2;-1;2)
vector{n_(2)}=(3;2;-6)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению арифметического квадратного корня
значение корня есть число (выражение [i]неотрицательное[/i]), поэтому
cosx ≥ 0 ⇒ x в первой или четвертой четвертях

Возводим уравнение в квадрат:
cos^2x=(1+sinx)/2
2cos^2x=1+sinx

Так как
cos^2x=1-sin^2x

то уравнение примет вид:

2*(1-sin^2x)=1-sinx

Переносим правую часть влево и разложим на множители:

2*(1-sinx)*(1+sinx)-(1-sinx)=0

(1-sinx)*(2+2sinx-1)=0

(1-sinx)*(1+2sinx)=0
sinx=1 или 2sinx=- 1 ⇒ sinx=-1/2

[blue]x=(π/2)+2πn, n ∈ Z [/blue] или [blue]x=(-1)^(k+1)*(π/6)+πk, k ∈ Z[/blue]

Так как x в первой или четвертой четвертях, то
решение уравнения можно записать в виде:

[blue]x=(π/2)+2πn, n ∈ Z [/blue] или [blue]x=-(π/6)+2πk, k ∈ Z[/blue]

При n=2 получаем
x=(π/2)+4π=9π/2 ∈ [3π; 9π/2]

При k=2 получаем
x=(-π/6)+4π=23π/6 ∈ [3π; 9π/2]

Указанному отрезку принадлежат корни : 23π/6; 9π/2
см. рис.
(прикреплено изображение)

[m]8^{\frac{5x+3}{3}}< \sqrt{16^{-\frac{2x+1}{x}}}[/m]

8=2^3
16=2^4

[m]2^{\frac{3*(5x+3)}{3}}< 2^{-\frac{4(2x+1)}{2x}}[/m]

[m]2^{5x+3}< 2^{-\frac{2(2x+1)}{x}}[/m]

Показательная функция с основанием 2>1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:

[m]5x+3< -\frac{2(2x+1)}{x}[/m]

[m]5x+3+\frac{2(2x+1)}{x} < 0[/m]

[m]\frac{(5x+3)\cdot x +2(2x+1)}{x}< 0[/m]

[m]\frac{5x^2+3x +4x+2}{x}< 0[/m]

[m]\frac{5x^2+7x+2}{x}< 0[/m]

так как D=7^2-4*5*2=9
и
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))(x-x_(2)), то 5x^2+7x+2=5*(x-(-0,4))(x-(-1))=(5x+2)(x+1)

[m]\frac{(5x+2)(x+1)}{x}< 0[/m]

_-__ (-1) _+__ (-0,4) _-__ (0) _+__

О т в е т. (- ∞ ;-1) U (-0,4;0)

α || β ⇒ А_(1)А_(2)|| В_(1)В_(2)

Значит

Δ ОВ_(1)В_(2) ∼ Δ ОА_(1)А_(2)

ОB_(2):ОA_(2)=ОB_(1):ОA_(1)

По условию:
ОB_(2):ОA_(2)=3

Значит, ОB_(1):ОA_(1)=3 или OB_(1)=3OA_(1)

A_(1)B_(1)=A_(1)O+OB_(1)=OA_(1)+3OA_(1)=4OA_(1)

По условию:A_(1)B_(1)=6

4OA_(1)=6

OA_(1)=1,5

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(4,7-6,8)/1,4=-2,1/1,4=-21/14=-3/2=-1,5

4,7-(6,8/1,4)=4,7-(68/14)=4,7-(34/7)=(47/10)-(34/7)=

=(47*7)/(70)- (34*10)/(70)= (329-340)/70=-11/70

Противоположные стороны параллелограмма равны:
AB=CD
BC=AD

[red]Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:[/red]

AC^2+BD^2=2*AB^2+2BC^2

14^2+12^2=2*10^2+2*BC^2

196+144=200+2*BC^2

BC^2=70

BC=sqrt(70)

P( Δ CDA)=CD+AD+AC=10+sqrt(70)+14[b]=24+sqrt(70)[/b] (прикреплено изображение)

Решение в случае, если в условии опечатка и точка D_(1) (1;0;0)
a) пл. АВ1С и пл АВС1- прямоугольные равнобедренные треугольники, которые пересекаются по прямой АС

Чтобы найти линейный угол двугранного угла между плоскостями, проводим к линии их пересечения перпендикулярны
КС ⊥ АК
КС_(1) ⊥ АК
[red] ∠ С_(1)КС[/red]= ∠ (vector{КС},vector{KC_(1)})[red]=90 ° [/red]

2) Плоскости АВ_(1)С и А_(1)ВС_(1)- равнобедренные треугольники.
АС=АВ_(1)
и
BC_(1)=BA_(1)
Плоскости АВ_(1)С и А_(1)ВС_(1) пересекаются по отрезку КМ
F(0,25; 0,75;0,5) - координаты середины КМ
vector{FB}=(-0,25;0,25;0,5)
vector{FE}=(0,25;-0,25;0,5)
|vector{FB}|=|vector{FE}|=sqrt((0,25)^2+(0,25)^2+(0,5)^2)=sqrt(375)
vector{FB},vector{FB}=(-0,25*0,25-0,25*0,25+0,5*0,5=0,125

сos ∠ (vector{FB},vector{FE})=0,125/0,375=1/3
∠ (vector{FB},vector{FE})=arccos(1/3)

3)
vector{MD_(1)}=(0,5; -0,5; -1)
vector{MB_(1)}=(-0,5; -0,5; -1)
|vector{FB}|=|vector{FE}|=sqrt((0,5)^2+(0,5)^2+(1)^2)=sqrt(1,5)
vector{FB},vector{FB}=(-0,5*0,5+0,5*0,5+1*1=1

сos ∠ (vector{FB},vector{FE})=1/sqrt(1,5)=sqrt(2/3)
∠ (vector{FB},vector{FE})=arccos(sqrt(2/3))

(прикреплено изображение)

Подмножества:
само множество А
пустое множество ∅
{a}
{b,c}
{d}
{{a},{b,c}}
{{a},{d}}
{{b,c},{d}}

Уточните условие...

(прикреплено изображение)

1.
[blue] ∫ x^2cosxdx[/blue]
по частям:
u=x^2
dv=cosxdx

du=2xdx
v=sinx

[blue]∫ x^2cosxdx=x^2*sinx- ∫ sinx*(2x)dx=x^2*sinx-2∫ x*sinxdx=[/blue]

еще раз по частям:
u=x
dv=sinxdx

du=dx
v=-cosx

[blue]=x^2*sinx-2*(x*(-cosx) - ∫ (-cosx)dx)=[/blue]

[blue]=x^2*sinx +2xcosx-2 ∫cosxdx=[/blue]

=[blue]x^2sinx+2xcosx-2sinx + C[/blue]

2.
[m]\int \frac{dx}{sinx}=\int \frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx=\int \frac{sin^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx+\int \frac{cos^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx=[/m]

[m]=\int \frac{sin\frac{x}{2}}{2cos\frac{x}{2}}dx+\int \frac{cos\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}}dx=[/m]

[m]=-ln|cos\frac{x}{2}|+ln|sin\frac{x}{2}|+C=ln|tg\frac{x}{2}|+C[/m]

3.
Замена
cosx-3=t
cosx=t+3
d(cosx)=d(t+3)
-sinxdx=dt ⇒[red] sinxdx=-dt[/red]
cos^2x=(t+3)^2

sin^2x=1-cos^2x=1-(t+3)^2=(1-t-3)(1+t+3)=(t+4)*(-t-2)=

=-(t+4)(t+2)=-(t^2+6t+8)

[m]\int \frac{sin^3x}{cosx-3}dx=\int \frac{sinx\cdot sin^2x}{cosx-3}dx=\int \frac{t^2+6t+8}{t}dt=[/m]

= ∫ (t+6+[m]\frac{8}{t}[/m])dt=

=[m]\frac{t^2}{2}[/m]+6t+8ln|t|+C=

обратный переход:

=[m]\frac{(cosx-3)^2}{2}[/m]+6*(cosx-3)+8ln|cosx-3|+C

4.

[m]\int \frac{cos^3x}{sin^4x}dx=\int \frac{cosx\cdot cos^2x}{sin^4x}dx=[/m]

[m]=\int \frac{cosx\cdot (1-sin^2x)}{sin^4x}dx=[/m]

[m]=\int \frac{1}{sin^4x}cosdx-\int \frac{sin^2x}{sin^4x}(cosxdx)=[/m]

[m]=\int \frac{d(sinx)}{sin^4x}-\int \frac{d(sinx)}{sin^2x}=[/m]

[m]=\int \frac{dt}{t^4}-\int \frac{du}{u^2}=[/m]

[m]=-\frac{1}{3sin^3x}+\frac{1}{sinx} + C[/m]

(прикреплено изображение)

Решаем уравнение
x^2-10x+16=0
D=100-4*16=36
x_(1)=(10-6)/2=2; x_(2)=(10+6)/2=8

Значит,
А={2;8}
О т в е т. 2 ∈ A

Направляющий вектор оси OY
[b]vector{j}=(0;1;0)[/b]

лежит в плоскости.

Пусть A(4;0;3)

[b]vector{OA}=(4;0;3)[/b]

Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости

[b]vector{AM}=(x-4;y-0;z-3)[/b]

Три вектора лежат в одной плоскости. Значит они компланарны.

Условие компланарности: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0

[m]\begin{vmatrix} 0 &1 &0 \\ 4 & 0 &3 \\ x-4 &y & z-3 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по первой строке
-1*(4*(z-3)-3*(x-4))=0
4z-3x=0
[b]3x-4z=0[/b]

Второй способ
Плоскость проходит через ось Оу, а значит точку (0;1;0) и через начало координат:
Уравнение плоскости имеет вид:
Аx+By+Cz=0

Подставляем координаты точки (0;1;0)
B*1=0 ⇒ B=0

Подставляем координаты точки:
(4;0;3)

4A+3C=0 ⇒ С=-[m]\frac{4}{3}A[/m]

Ax+0*y-[m]\frac{4}{3}A[/m]z=0

Делим на А
х - [m]\frac{4}{3}[/m]z=0

[b]3х-4z=0[/b]

Функция возрастает на (0; ∞ )

2,4 ∈ (0; ∞ )
и
5,6 ∈ (0; ∞ )

Большему значению аргумента
5,6 > 2,4
соответствует большее значение функции
f(5,6) > f(2,4)

О т в е т. f(5,6) > f(2,4)

A___ 10,8 км ____ B ____ ? _____ С

Отрезок АВ=10,8 км ехал со скоростью 82,9 км в час
Отрезок ВС ехал со скоростью 78,4 км в час

На весь путь АС затратил [b]0,9[/b] часа

10,8 : 82,9 = 108/829 ≈ 0,13 [blue]часа[/blue] ехал 10,8 км со скоростью 82,9 км в час
([red]829[/red] - [i]простое[/i] число)

0,9 - 0,13= 0,77[blue] час [/blue]ехал путь ВС со скоростью 78,4 км в час

78,4*0,77 =60,37 ≈ 60,4 км - путь ВС

Весь путь:
10,8 + 60,4=71,2 км

О т в е т. ≈ [b]71,2 км[/b]

Найдем абсциссы точек пересечения графиков:
x^2+1=x+3
x^2-x-2=0
D=1+8=9
x_(1)=-1; x_(2)=2

S= ∫ ^(2)_(-1)(x+3-(x^2+1))dx= ∫ ^(2)_(-1)(x+2-x^2)dx=

[m]=(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x)|^{2}_{-1}=[/m]

[m]=\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{3}+2\cdot 2 - (\frac{(-1)^2}{2}-\frac{(-1)^3}{3}+2\cdot (-1) =4,5[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)a=6
F(-4;0) ⇒ c = 4

b^2=a^2-c^2=36-16=20

О т в е т.

[b](x^2/36)+(y^2/20)=1[/b]

б)b=3
F(7;0) ⇒ c=7

c^2=a^2+b^2 ⇒ a^2=c^2-b^2=7^2-3^2=49-9=40

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

О т в е т. [b](x^2/40)-(y^2/9)=1[/b]

в)D: x=-7

если каноническое уравнение параболы имеет вид
y^2=2px, то фокус параболы
F(p/2;0)
D: y=-p/2

Значит,
-p/2=-7

p=14

О т в е т. [b]y^2=2*14x[/b]

Ответ выбран лучшим

Найдем абсциссы точек пересечения графиков:
2-x=x^2

x^2+x-2=0
D=1+8=9
x_(1)=-2; x_(2)=1

S= ∫ ^(1)_(-2)(2-x-(x^2))dx= ∫ ^(1)_(-2)(2-x-x^2)dx=

[m]=(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})|^{1}_{-2}=[/m]

[m]=2\cdot 1-\frac{1^2}{2}-\frac{1^3}{3} - (2\cdot(-2)-\frac{(-2)^2}{2}-\frac{(-2)^3}{3}) =4,5[/m]

PS
ответ такой же, фигуры площади которых надо найти равновелики (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем абсциссы точек пересечения графиков:
2x-x^2=x-2
x^2-x-2=0
D=1+8=9
x_(1)=-1; x_(2)=2

S= ∫ ^(2)_(-1)(2x-x^2-(x-2))dx= ∫ ^(2)_(-1)(x-x^2+2)dx=

[m]=(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+2x)|^{2}_{-1}=[/m]

[m]=\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{3}+2\cdot 2 - (\frac{(-1)^2}{2}-\frac{(-1)^3}{3}+2\cdot (-1) =4,5[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем координаты точки пересечения медианы и высоты:
{2x-5y+8=0
{x+2y-14=0

Умножаем второе уравнение на 2
{2x-5y+8=0
{2x+4y-28=0

Вычитаем из первого второе
{-9y+36=0 ⇒ y=4
{x+2y-14=0 ⇒ x=14-2y=14-2*4=6
точка имеет координаты (6;4)

Назовем ее точка К

Скорее всего дана точка В и два уравнения медианы и высоты,
проведенных из других вершин треугольника

Составим уравнение прямой ВК, как прямой проходящей через две точки:

[m]\frac{x-x_{В}}{x_{К}-x_{В}}=\frac{y-y_{В}}{y_{К}-y_{В}}[/m]

[m]\frac{x-(-2)}{6-(-2)}=\frac{y-(-4)}{4-(-4)}[/m]

[m]\frac{x+2)}{8}=\frac{y+4)}{8}[/m]

х+2=y+4
[b]x-y-2=0 [/b]- уравнение ВК

высота x+2y-14=0 и ВК не перпендикулярны,так как произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых должно быть равно (-1).

Значит высота перпендикулярна стороне ВМ.

Координату точки М требуется найти

Уравнение стороны ВМ, как прямой, перпендикулярной x+2y-14=0
и проходящей через точку В легко написать.

x+2y-14=0 ⇒ y=-[m]\frac{1}{2}x+7[/m]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Значит, угловой коэффициент стороны ВМ
k_(BM)=2

Общий вид такой прямой
y=2x+b

Так как ВМ проходит через точку В, подставим ее координаты в уравнение
y=2x+b
и найдем b

-4=2*(-2)+b
b=0

уравнение BM: [b]y=2x[/b]

Найдем координаты точки пересечения ВМ и медианы.
Решаем систему уравнений:
{2х–5у+8=0
{y=2x

2x-5*(2x)+8=0
-8x+8=0
x=1
y=2

Пусть это точка Р(1;2)

Точка Р - середина ВМ
x_(P)=[m]\frac{x_{B}+x_{M}}{2}[/m]
y_(P)=[m]\frac{y_{B}+y_{M}}{2}[/m]

x_(M)=2x_(P)-x_(B)=2*1-(-2)=4
y_(M)=2y_(P)-y_(B)=2*2-(-4)=8

M(4;8)

Уравнение КМ, как уравнение прямой проходящей через две точки:
[m]\frac{x-x_{K}}{x_{M}-x_{K}}=\frac{y-y_{K}}{y_{M}-y_{K}}[/m]

[m]\frac{x-6}{4-6}=\frac{y-4}{8-4}[/m]

[b]2х+у-8=0[/b] - уравнение МК

О т в е т. x-y-2=0; y=2x; 2х+у-8=0
(прикреплено изображение)

1.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки B,C,D:

[m]\begin{vmatrix} x+2 & y-0 &z-5 \\ 1&1 &-2 \\ -1& 4 &2 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по первой строке:
(x+2)*(1*1-4*(-2)) - (y-0)*(1*2-(-1)*(-2)) + (z-5)*(1*4-(-1)*1)=0
10x+5z-5=0
[b]2x+z-1=0[/b]- уравнение плоскости BCD

(прикреплено изображение)

Делим на х:
y`+2*[m]\frac{\sqrt{xy}}{x}=\frac{y}{x}[/m]
y`+2*[m]\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{y}{x}[/m]

Замена
[m]\frac{y}{x}=u[/m]

y=u*x
y`=u`*x+u*x`

x`=1 ( u` нет, так как х - независимая переменная, а u - зависимая, сложная функция)

u`*x+u+2*sqrt(u)=u

u`*x+2*sqrt(u)=0 - уравнение с разделяющимися переменными

u`=[m]\frac{du}{dx}[/m]

x*du=-2sqrt(u)dx

[m]\frac{du}{2\sqrt{u}}=-\frac{dx}{x}[/m]

Интегрируем

[m]\int \frac{du}{2\sqrt{u}}=-\int \frac{dx}{x}[/m]

[m]\sqrt{u}=-ln|x|+lnC[/m]

[m]\sqrt{u}=ln(\frac{C}{x})[/m]

[m]u=ln^2(\frac{C}{x})[/m]

Обратная замена
[m]\frac{y}{x}=ln^2(\frac{C}{x})[/m]

[m]y=x\cdot ln^2(\frac{C}{x})[/m] - о т в е т

На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 и на 5

Если в записи шестизначного числа используется 0, то произведение цифр этого числа равно 0
123450
произведение цифр 1*2*3*4*5*0=0

Произведение цифр делится на 5, если в записи есть такая цифра.

Значит, нужно найти количество шестизначных чисел, в записи которых используется цифра 5

Причем цифра может использоваться как один раз, так и все шесть.

Всего шестизначных чисел:
9*10*10*10*10*10=900 000
На первом месте - любая из девяти цифр ( от 1 до 9, 0 не может быть на первом месте, на втором - любая из десяти, ...)

Чисел в записи которых не используется цифра 5
8*9*9*9*9*9=472392

На первом месте - любая из восьми цифр ( нет 0 и 5, на втором - любая из девяти ( нет пятерки, ...)

О т в е т. 900 000 - 472 392=[b]427608[/b]

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение события -гипотезы:
Н_(1)-''выбрана винтовка с оптическим прицелом''
Н_(2)-''выбрана винтовка без оптического прицела''
р(Н_(1))=3/10=0,3
р(H_(2))=7/10=0,7

Cобытие А - '' стрелок поразит мишень''

По условию вероятность события А при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна[b] 0,85; [/b]
p(A/H_(1))=0,85
Вероятность события А при выстреле из винтовки без оптического прицела эта вероятность равна[b] 0,7[/b]
p(A/H_(2))=0,7

По формуле полной вероятности

р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1))+р(Н_(2))*р(А/Н_(2))=
=0,3*0,85+0,7*0,7=
=0,255+0,49=0,745

p(Н_(1)/А)*р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1)) ⇒

p(Н_(1)/А)=0,255/0,745 ≈ 0,34
и
p(Н_(2)/А)=0,49/0,745 ≈ 0,66

вероятнее, что стрелок стрелял из винтовки без оптического прицела

Ответ выбран лучшим

а) y=ln√(x^5 – 4x^2+3)

ln√(x^5 – 4x^2+3)=ln(x^5 – 4x^2+3)^(1/2)=(1/2)ln(x^5 – 4x^2+3)

y`=([m]\frac{1}{2}[/m])ln(x^5-4x^2+3))`

применяем формулу (lnu)`=[m]\frac{u`}{u}[/m]

=[m]\frac{1}{2}\cdot \frac{(x^5-4x^2+3)`}{x^5-4x^2+3}=\frac{5x^4-8x+3}{2(x^5-4x^2+3)}[/m]

б) y`=(tg3x – 2cos4x)`=
применяем формулы: (tgu)`=[m]\frac{u`}{cos^2u}[/m] и (cosu)`=(-sinu)*u`

=[m]\frac{(3x)`}{cos^23x}[/m] - 2*(-sin4x)*(4x)`=

=[m]\frac{3}{cos^23x}[/m]+8sin4x

в) y=e^(√sin4x )применяем формулу (e^(u))`=e^(u)*u`

=e^(√sin4x )* (√sin4x )` применяем формулу

(sqrt(u))`=[m]\frac{u`}{2\sqrt{u}}[/m]

=e^(√sin4x )*[m]\frac{ (sin4x)`}{2\sqrt{sin4x}}[/m]

применяем формулу (sinu)`=(cosu)*u`

=4(cos4x)*[m]\frac{e^{\sqrt{sin4x} }}{2\cdot \sqrt{sin4x}}[/m]=

=[m]\frac{2\cdot cos4x\cdot e^{\sqrt{sin4x}}}{\sqrt{sin4x}}[/m]
г) y=[m]\frac{2cos^2x}{sinx}[/m]

Применяем правило

[m](\frac{u}{v})`=\frac{u`*v-u*v`}{v^2}[/m]

[m]y`=2\cdot\frac{(cos^2x)`\cdot sinx-cos^2x\cdot(sinx)`}{sin^2x}[/m]

[m]y`=2\cdot\frac{(2cosx)(cosx)`\cdot sinx-cos^2x\cdot(sinx)`}{sin^2x}=2\cdot\frac{(2cosx)(-sinx)\cdot sinx-cos^2x\cdot(cosx)}{sin^2x}=[/m]

[m]=\frac{-4sin^2xcosx-2cos^3x}{sin^2x}[/m]

{x+2 ≥0 ⇒ x ≥ -2
{5-4x-x^2 ≥ 0 ⇒ x^2+4x- 5 ≤ 0 ⇒ D=16+20=36; корни -5 и 1; -5 ≤ x ≤ 1

О т в е т. D(y)=[-2;1]

1)
Возводим в квадрат:
(sqrt(x-1))^2+2*sqrt(x-1)*sqrt(x+2)+(sqrt(x+2))^2=3^2

х-1+2sqrt(x-1)*sqrt(x+2)+x+2=9

2sqrt(x-1)*sqrt(x+2)=8-2x

sqrt(x-1)(x+2)=4-x

Возводим в квадрат

(x-1)(x+2)=(4-x)^2

x^2-x+2x-2=16-8x+x^2

9x=18

x=2

так как дважды возводили в квадрат, могли появиться посторонние корни
Проверка

При х=2
sqrt(2-1)+sqrt(2+2)=3 - верно, так как 1+2=3
О т в е т. х=2

3) аналогично:

Перепишем:
sqrt(2x-1)=sqrt(x-4)+sqrt(x-1)

Возводим в квадрат:

2х-1=x-4+2*sqrt(x-4)*sqrt(x-1)+x-1

2*sqrt(x-4)*sqrt(x-1)=4

sqrt(x-4)*sqrt(x-1)=2

Возводим в квадрат:
(x-4)(x-1)=4

x^2-5x+4=4

x^2-5x=0

x*(x-5)=0

x=0; x-5=0 ⇒ x=5

Проверка:
х=0 - посторонний корень, так как sqrt(2*0-1) не существует

при х=5
sqrt(2*5-1)-sqrt(5-4)=sqrt(5-1) - верно, 3-1=2

О т в е т. х=5

2) Условие непонятно написано, что под корнем кубическим???

Если так:

sqrt(x+2)=∛(3x+2)

Тогда возводим в шестую степень:

(x+2)^3=(3x+2)^2

x^3+6x^2+12x+8=9x^2+12x+4

x^3-3x^2+4=0

x^3+1-3x^2+3=0

Раскладываем на множители:
(x+1)(x^2-x+1)-3(x-1)(x+1)=0

(x+1)*(x^2-x+1-3x+3)=0

(x+1)*(x^2-4x+4)=0

(x+1)(x-2)=0

x=-1 или x=2

Проверкой убеждаемся, что

x=-1 - посторонний корень,
sqrt(-1+2)=∛(3*(-1)+2) - неверно, так как sqrt(1) ≠ -1

x=2 - корень, так как sqrt(2+2)=∛(3*2+2) - верно, sqrt(4)=2

О т в е т. х=2

Неравенство:

имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е

–3x^2–4x+4 ≥ 0 ⇒ 3x^2+4x-4 ≤ 0

D=16-4*3*(-4)=16+48=64

x_(1)=-2; x_(2)=2/3

-2 ≤ х ≤ (2/3)

Так как при -2 ≤ х ≤ (2/3)

sqrt(–3x^2–4x+4 ) ≥ 0 и

x^2-7x+15 > 0 при любом х, так как D=49-4*15 <0, то

Неравенство верно при x=-2; x=2/3

При этих значениях корень обращается в ноль.

О т в е т. -2; 2/3

Находим производную:

y`=(x^(3/2)-9x+23)`=(3/2)*x^(1/2)-9

Находим критические точки:
y`=0

(3/2)sqrt(x)-9=0

(3/2)sqrt(x)=9

sqrt(x)=6

x=36

36 ∈ [1:49]

Так как производная найдена, то проще исследовать критическую точку на экстремум.

Для этого определяем знак производной на [1;36) и (36;49]

25 ∈ [1;36)

y`(25)=(3/2)*sqrt(25)-9=(15/2)-9 < 0

на [1;36) ставим знак минус

y`(49)=(3/2)*sqrt(49)-9 =(3/2)*7-9>0

на (36;49] ставим знак +
[1] __-__ (36) _+_ [49]

x=36 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

Эта точка и будет точкой наименьшего значения ( см. рис.)

у_(наим.)=y(36)=36*sqrt(36)-9*36+23=36*(6-9)+23=-108+23=-85

Значения на концах считать[b] не надо[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как γ =0,90, то

[m]\frac{1}{2}\gamma = \frac{1}{2}\cdot 0,90=0,45[/m]

Ф(t)=0,45 ⇒ t=1,645 ( cм. таблицу в приложении)

Поэтому доверительный интервал:

[m]68,1-\frac{1,645\cdot 5,1}{\sqrt{17}}< \alpha < 68,1+\frac{1,645\cdot 5,1}{\sqrt{17}}[/m]

[m]68,1-\frac{8,3895}{4,123}< \alpha < 68,1+\frac{8,3895\cdot 5,1}{4,123}[/m]

[r][m]66,06< \alpha < 70,13[/m][/r]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

–6.2а·5 = (-6,2*5)*а =[b] - 31a[/b]

67·8.5а = (67*8,5)*a = [b]56,95a[/b]

-31a=56,95a
равенство возможно лишь при а=0

16x^2–9y^2–64x–18y–199=0

Выделим полные квадраты:
(16x^2 – 64х) – (9y^2+18y) –199=0

16*(x^2-4x)-9(y^2+2y) = 199

16*(x^2-4x+4-4)-9(y^2+2y+1-1) = 199

16*(x^2-4x+4)- 64 - 9(y^2+2y+1)+9=199

`16*(x - 2)^2 - 9*(y+1)^2=254

Гипербола:

[m]\frac{(x-2)^2}{\frac{254}{16}}-\frac{(y+1)^2)}{\frac{254}{9}}=1[/m]

Гипербола со смещенным центром,
центр в точке (2;-1)

a=[m]\frac{\sqrt{254}}{4}[/m]
b=[m]\frac{\sqrt{254}}{3}[/m]
(прикреплено изображение)

S_( Δ АВС)=(1/2)*АС*ВС
( половина произведения катетов)

S_( Δ АВС)=(1/2)*АВ*СD
( половина произведения основания на высоту)

[b](1/2)*АС*ВС=(1/2)*АВ*СD[/b] ⇒ CD=AC*BC/AB

АВ=sqrt(a^2+b^2)

CD=a*b/sqrt(a^2+b^2)

О т в е т. 1)

Ответ выбран лучшим

Правильный ответ
3)ƒ =12, m=6, n=8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Против большей стороны - лежит больший угол.

По теореме косинусов
c^2=a^2+b^2-2ab*cos ∠ C ⇒

cos ∠ C= (a^2+b^2-c^2)/2ab= (5^2+6^2-7^2)/(2*5*6)=1/5 >0

∠ С - острый

О т в е т. Остроугольный треугольник

Ответ выбран лучшим

V=S_(осн)*Н

S_(осн)=S_(прямоуг. треуг)=(5*12)/2=30 кв см

V=30*8=240 куб. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) парабола пересекает ось Ох в точках, в которых у=0

-2x^2+5x-2=0

2x^2-5x+2=0

D=25-4*2*2=9

x=(5 ± 3)/4

x_(1)=0,5; x_(2)=2

б) (- ∞ ;0,5) U (2;+ ∞ ) cм. рис.2

в)
Вершина параболы в точке
x_(o)=-b/2a=-5/(-4)=1,25

y_(o)=-2*(1,25)^2+5*1,25-2=1,125

Значит множество значений (- ∞ ; 1,125]

г) возрастает на (- ∞ ; 1,25) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Событие А- "Выбранный наугад шар не будет белым" означает, что выбранный наугад шар черный или красный

Событие А_(1)- "Выбранный наугад шар черный"
Событие А_(2)- "Выбранный наугад шар красный"

А=А_(1) ∪ А_(2)

По формуле классической вероятности:
p_(А_(1))=[m]\frac{7}{20}[/m] - вероятность что шар черный
p_(А_(2))=[m]\frac{5}{20}[/m] - вероятность что шар красный

р(А)=р(А_(1))+р(А_(2))=[m]\frac{7}{20}+\frac{5}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}=0,6[/m]

Ответ выбран лучшим

Многоугольник правильный, значит все стороны равны.

Пусть число сторон многоугольника равно n.

Многоугольник правильный, значит все углы[b] равны[/b].

Если один из углов 135 °, то и все остальные углы по 135 °

Cумма внутренних углов правильного n-угольника равна

135°*n или (n - 2)*180 ° ( cм. приложение)

135°*n = (n - 2)*180 ° ⇒ 360 ° =45 ° *n

n=360 ° :45 ° =8

О т в е т. n=8

Пусть длина одной стороны х cм
P=8x
По условию "Периметр многоугольника на 28 см больше длины одной стороны"
8x больше х на 28

Уравнение:
8x-x=28
7x=28

х=4

О т в е т. 4 см длина одной стороны

Ответ выбран лучшим

Пусть в пятницу слесарь изготовил х деталей, тогда (200-х) деталей изготовил ученик

20%=20/100=0,2

[b]0,2х [/b] деталей составляют 20% от х

10%=10/100=0,1

[b]0,1*(200 - х) [/b]деталей составляют 10% от (200 - х ) деталей.

200 + 0,2х + 0,1*(200 - x) деталей изготовлено в субботу

По условию это 232 детали

Уравнение:

200 + 0,2х + 0,1*(200 - x) =232

0,2х + 0,1*(200 - x)=32

0,2х+20 - 0,1х=32

0,1х=32-20

0,1х=12

х=120

120 деталей изготовил слесарь в пятницу
200-120=80 деталей изготовил ученик

О т в е т. 120 и 80

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{a^{-\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[3]{a^4}}{a\cdot (a^{\frac{1}{4}})^2}=\frac{a^{-\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{4}{3}}}{a\cdot a^{\frac{1}{4}\cdot 2}}=\frac{a^{-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}}{a\cdot a^{\frac{2}{4}}}=\frac{a}{a\cdot a^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a}}[/m]

При a=484 получим

[m]\frac{1}{\sqrt{484}}=\frac{1}{22}[/m]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Находим частные производные:
z`_(x)=4xy-3x^2y-2xy^2
z`_(y)=2x^2-x^3-2x^2y
Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{4xy-3x^2y-2xy^2=0 ⇒ xy*(4-3x-2y)=0
{2x^2-x^3-2x^2y=0 ⇒ x^2*(2-x-2y)=0

x=0; y=0 или

{4-3x-2y=0
{2-x-2y=0 ⇒ x=2-2y
и подставляем в первое уравнение системы:

4-3*(2-2y)-2y=0
4y-2=0
y=0,5
x=2-2*0,5=2-1=1

(0;0) и (1;0,5) - стационарные точки

М(1;0,5) - внутренняя точка области D

Применяем достаточное условие экстремума

Находим вторые частные производные:

z``_(xx)=4y-6xy-2y^2
z``_(yy)=-2x^2
z``_(xy)=4x-3x^2-4xy

Находим значения частных производные в точке М
А=z``_(xx)(М)=4*0,5-6*1*0,5-2*0,5^2=2-3-0,5=-1,5
В=z``_(yy)(М)=-2*1^2=-2
С=z``_(xy)(М)=4*1-3*1-4*1*0,5=-1

Δ=АВ-С^2=-1,5*(-2)-(-1)^2=3-1>0
Экстремум есть.
Максимум, так как А <0

[b]M(1;0,5)- точка максимума[/b]

В точке (0;0) значение функции равно[b] 0[/b]

[i]Исследуем на границе:[/i]

x=0 ⇒ z=0

y=0 ⇒ z=0

[blue]x+y-6=0[/blue] ⇒ y=6-x подставляем в выражение функции z

z = 2x^2*(6-x) – x^3*(6-x) – x^2 *(6-x)^2

z=4x^3-24x^2

Исследуем как функцию одной переменной на [0:6] ( см. рис. область - треугольник, в котором 0 ≤ х ≤ 6 и 0 ≤ y ≤ 6)

z`=12x^2-48x
z`=0
12x*(x-4)=0
x=0; x=4

_+__ (0) __-___(4) __+_

x=4 - точка минимума, при этом y=6-x=6-4=2

z(4)=4*4^3-24*4^2=16*(16-24)=16*(-8)=-128

[b]K (4; 2) - точка минимума[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат

9(x-3)^2+9(y-2)^2=4(x+2)^2

9(x-3)^2-4(x+2)^2 +9(y-2)^2=0

(3(x-3)-2(x+2))*(3(x-3)+2(x+2)) +9(y-2)^2=0

(x-13)(5x-5)+9(y-2)^2=0

5(x^2-14x+13)+9(y-2)^2=0

Выделяем полный квадрат

5(x-7)^2+9(y-2)^2=180

Эллипс:

(x-7)^2/36 + (y-2)^2/20 = 1

Задача Ларина, пока могу только дать картинки и ориентиры как решать.... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

17.

11 мм и 13,2 мм

33м и 27,5м

33м:11мм=3300 см:1,1 см = 3000

27,5 м :13,2 м= 2750 см :1,32 см ≈ 2080

Больше всего подходит е)

Вопрос 18. Отметьте правильные ответы:

б. Пара (4: 7) пропорциональна (12:21) да

д. В три раза (4, 7: 13) пропорциональна (12; 21; 26) нет
так как

(4; 7; 13) пропорциональна (12; 21; 39)

В три раза (2001: 2002; 2003) пропорциональна (1, 2, 3) нет
так как

(2001; 4002; 6003) пропорциональна (1, 2, 3)

2 целых 1/2=5/2
2 целых 2/5=12/5

2 целых 1/2 *2 целых 2/5= (5/2) * (12/5)=6

или

2 целых 1/2=2,5
2 целых 2/5=2,4

2 целых 1/2 *2 целых 2/5=2,5*2,4=6

Вводим в рассмотрение события- гипотезы
H_(1) - в урне два белых,
H_(2) - в урне два черных,
H_(3) - в урне белый и черный

p(H_(1))=(1/3)
p(H_(2))=(1/3)
p(H_(3))=(1/3)

Если в урне два белых шара и туда положили черный, то вероятность вынуть белый равна (2/3)
Значит, вероятность вынуть черный шар равна 1/3

Если вынут черный, то осталось два белых
Вероятность того, что осталось два белых равна вероятности вынуть черный шар.

Если в урне два черных шара и туда положили черный, то вероятность вынуть белый равна 0
Значит, в урне в этом случае всегда остается два черных шара.
Вероятность того, что останется два шара равна 1

Если в урне белый и черный шары и туда положили черный, то вероятность вынуть белый равна (1/3)
Значит в урне останутся два черных шара.

Р(А)=р(Н_(1))*(1/3)+р(Н_(2))*1+р(Н_(3))*(1/3)=

=(1/3)*(`/3)+(1/3)*1+(1/3)*(1/3)=(1/9)+(1/3)+(1/9)=(1/9)+(3/9)+(1/9)=5/9

Ответ выбран лучшим

1) График y=x^2-4x-5 - парабола, пересекает ось ох в точках x=-1 и x=5
cм. рис. 1

2)
см. рис.2
5)
Так как log_(4)4=1
log_(2) 3,2+log_(2) 10=log_(2) (3,2* 10)=log_(2)32=log_(2)2^5=5

64·√log_(4)4+log_(2) 3,2+log_(2) 10= 64+5=[b]69[/b]

6)
cos α =1/6
π /2 ≤ α ≤ π

cos^2 α +sin^2 α =1 ⇒ sin^2 α =1-cos^2 α =1-(1/6)^2=1-(1/36)=35/36

sin α = ± sqrt(35)/6 ⇒ так как
π /2 ≤ α ≤ π ⇒
sin α >0

sin α =[b]sqrt(35)/6[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[red]1 способ[/red]

К - середина С_(1)D_(1) ( см. рис.1)
Из треугольника В_(1)С_(1)С по теореме Пифагора
В_(1)С=sqrt(СС^2_(1)+BC^2)=sqrt(12^2+9^2)=sqrt(225)=[b]15[/b]

Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то
Δ MKP ∼ Δ B_(1)KC
c коэффициентом подобия k=1/3
(MK:B_(1)K=РК:СК=1:3)
МР=15:3=[b]5[/b]

[red]2 способ[/red]

Вводим систему координат ( см. рис.2)

К - середина С_(1)D_(1)

M - делит отрезок B_(1)K в отношении 2:1
λ =2 ( см. формулы деления отрезка в данном отношении, приложение 2)
Р - делит отрезок СK в отношении 2:1
λ =2

vector{MP}=(3-3;9-6;8-12)=(0;3;-4)

|vector{MP}|=5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проще обычным способом решить.
y``-y=0
k^2-1=0
k= ± 1

y_(одн)=С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(x)

y_(частное)=Asinx+Bcosx

Находим
y`_(частное)=Acosx-Bsinx
y``_(частное)=-Asinx-Bcosx

Подставляем в исходное уравнение:
-Asinx-Bcosx-Аsinx-Bcosx=4sinx

-2Asinx-2Bcosx=4sinx
-2А=4
А=-2

-2В=0
В=0

y_(частное)=-2sinx- частное решение

y=С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(x)-2sinx - о т в е т

Ответ выбран лучшим

1) Сначала решаем однородное уравнение:
y’’+2y’+5y=0
Составляем характеристическое:
k^2+2k+5=0
D=4-4*5=-16
k_(1,2)=-2 ± 4i

Общее решение однородного
y_(однород)=e^(-2x)*(C_(1)cos4x+C_(2)sin4x)

Применяем метод вариации

y_(частное)=e^(-2x)*(C_(1)([b]х[/b])*cos4x+C_(2)([b]х[/b])*sin4x)

Находим
y`(x)

y``(x)

Подставляем в исходное уравнение и находим C_(x) и C_(2)(x)

2)
Сначала решаем однородное уравнение:
y’’-y’+y=0
Составляем характеристическое:
k^2-k+1=0
D=1-4*1=-3
k_(1,2)=(1 ± sqrt(3)*i)/2

Общее решение однородного
y_(однород)=e^(0,5x)*(C_(1)cos(sqrt(3)/2)x+C_(2)sin(sqrt(3)/2)x)

Ответ выбран лучшим

Найдем
(sinα +cosα)^2=sin^2 α +2*sin α *cos α +cos^2 α =

=(sin^2 α +cos^2 α )+2*sin α *cos α =1+2*0,25=1,5

sinα +cosα= - sqrt(1,5)

знак минус, так как

3π< α <4π ⇒ sin α <0
sinα × cosα = 0,25>0 ⇒

cos α <0 ⇒ α ∈ (3π;3,5π)

Ответ выбран лучшим

Диагональ DB делит прямой угол D и прямой угол В пополам
∠ KDF= ∠ KBE= 45 °

∠ DFK = ∠ BEK= 90 ° (EF ⊥ AB; AB || DC ⇒ EF ⊥ DC)

Δ DFK ∼ Δ BEK по двум углам

Δ DFK и Δ BEK прямоугольные с острым углом 45 ° , значит они прямоугольные равнобедренные

DF=FK
KE=BE

Пусть DF=FK=х, тогда
S_( Δ DFK)=[m]\frac{1}{2}x^2[/m]

По условию S_( Δ DFK)=18

[m]\frac{1}{2}x^2[/m]=18

x^2=36

[b]x=6[/b]

DF=FK=х

KE=BE=15-x=15-6=9

S_( Δ KBE)=[m]\frac{1}{2}BE^2=\frac{9^2}{2}=\frac{81}{2}[/m]

S_( Δ KBE):S_( Δ DFK)=[m]\frac{81}{2}: 18=\frac{81}{36}=\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^2=1,5^2[/m]

(прикреплено изображение)

∠ А = 180 ° - ∠ В = 180 ° -120 ° = 60 °

S_(ромба)=AB*AD*sin ∠ A=AB*AB*sin60 ° =[m]\frac{AB^2\cdot \sqrt{3}}{2}[/m]

По условию S_(ромба)= 96√3

AB^2=2*96

[b]AB=8sqrt(3)[/b]

По условию:
МН ⊥ АD и MB ⊥ пл АВСD) ⇒ по теореме о 3-х перпендикулярах
ВН ⊥ AD

Из прямоугольного (ВН ⊥ AD) треугольника АВН:

ВН=АВ*sin60^{o}=8sqrt(3)*[m]\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]=12

[blue]АН[/blue]=АВ*сos60^{o}=8sqrt(3)*[m]\frac{1}{2}[/m]=[blue]4*sqrt(3)

[/blue]Из прямоугольного(MB ⊥ пл АВСD ⇒ МВ ⊥ ВН) треугольника МВН
по теореме Пифагора:
MB^2=MH^2-BH^2=15^2-12^2=225-144=81

[b]MB=9[/b]

Из прямоугольного(MН ⊥ АD ) треугольника МАН
по теореме Пифагора:
MA^2=MH^2+[blue]АH[/blue]^2=15^2+(4sqrt(3))^2=225+48=273

[b]MA=sqrt(273)[/b]
(прикреплено изображение)

[red]B1.[/red]
По формулам приведения:

cos750 ° =cos(720 ° +30 ° )=cos30 ° =[m]\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
ctg390 ° =ctg(360 ° +30 ° )=ctg30 ° =[m]\sqrt{3}[/m]

О т в е т 4*[m]\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=6[/m]

[red]B2.[/red]

tg11π=0
По формулам приведения:

[m]sin\frac{43\cdot \pi}{4}=sin(10\pi+\frac{3\pi}{4})=sin\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

и

[m]cos(\frac{21\cdot \pi}{4})=cos(6\pi-\frac{3\pi}{4})=cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

О т в е т. [m]0-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}[/m]

[red]B3.[/red]
По формулам приведения:

[m]tg(\frac{3\cdot \pi}{2}-4\alpha)=ctg4\alpha[/m]

[m]tg(5\pi+4\alpha)=tg4\alpha[/m]

и
[m]ctg4\alpha\cdot tg4\alpha=1[/m]

По формулам приведения:
[m]cos(\frac{3\cdot \pi}{2}+\alpha)=sin\alpha[/m]

О т в е т. [m]tg(\frac{3\cdot \pi}{2}-4\alpha)\cdot tg(5\pi+4\alpha)+2cos(\frac{3\cdot \pi}{2}+\alpha)=[/m]

[m]=ctg4\alpha\cdot tg4\alpha+2sin\alpha=1+2sin\alpha=1+2\cdot0,2=1,4[/m]

[red]B4.[/red]

По формулам приведения:
[m]cos(\frac{5\cdot \pi}{2}+\alpha)=-sin\alpha[/m]

По условию
[m]cos(\frac{5\cdot \pi}{2}+\alpha)=-0,6[/m]

значит
[m]sin\alpha=0,6[/m]

По формулам приведения:
[m]cos(5\pi+\alpha)=-cos\alpha[/m]

Так как sin^2α+cos^2α=1

cos^2 α =1-sin^2 α =1-(0,6)^2=1-0,36=0,64

cos α =0,8 ( так как α ∈ (0;[m]\frac{\pi}{2}[/m])

значит
[m]cos(5\pi+\alpha)=-cos\alpha=-0,8[/m]

[red]С1.[/red]

По формулам приведения:
[m]sin(\frac{7\cdot \pi}{2}-3x)=-cos3x[/m]

[m]\frac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}-4}=\frac{\sqrt{5\cdot 2}-2\sqrt{2}}{2(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)}{2(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

Уравнение принимает вид:

[m]-cos3x=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]cos3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]3x=\pm arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})+2\pi k, k \in Z[/m]

[m]3x=\pm (\frac{3\pi}{4})+2\pi k, k \in Z[/m]

[m]x=\pm (\frac{\pi}{4})+\frac{2\pi}{3} k, k \in Z[/m]

О т в е т. наименьший положительный [m]x= (\frac{\pi}{4})+\frac{2\pi}{3}\cdot 0=\frac{\pi}{4}[/m]

[red]С2.[/red]

По условию
sin α -cos α =[blue]a[/blue]

Возводим в квадрат:
sin^2 α -2sin α cos α +cos^2 α =[blue]a^2[/blue] ⇒

1-2sin α cos α =[blue]a^2[/blue] ⇒

2sin α cos α=1-[blue]a^2[/blue]⇒sin α cos α=[m]\frac{1-a^2}{2}[/m]

Так как
sin^4 α +cos^4 α =(sin^2 α )^2+(cos^2 α )^2=(sin^2 α +cos^2 α )-2sin^2 α *cos^2 α =1-2*[m](\frac{1-a^2}{2})^2=1-\frac{(1-a^2)^2}{2}

=\frac{2-1+2a^2-a^4}{2}=\frac{1+2a^2-a^4}{2}[/m]

Уравнение прямой с направляющим вектором vector{a}=(p,q) и проходящей через точку (x_(o);y_(o)):

[m]\frac{x-x_{o}}{p}=\frac{y-y_{o}}{q}[/m]

x-(o)=-2;
y_(o)=3
p=4
q=-3

[m]\frac{x-(-2)}{4}=\frac{y-3}{(-3)}[/m]

[m]\frac{x+2}{4}=\frac{y-3}{(-3)}[/m]

-3*(x+2)=4*(y-3)

-3x-6=4y-12

[b]3x+4y-6=0[/b]

Ответ выбран лучшим

Искомую вероятность можно найти из формулы:
p=1-p_(1), где p_(1) - вероятность того, что у трёх человек дни рождения не совпадут.

Вероятность, что у трёх человек дни рождения не совпадают :
p_(1)=[m]\frac{365}{365} \cdot \frac {364}{365} \cdot \frac{363}{365}=0,9918[/m].

p=1-p_(1)=1-0,9918=0,0082

|vector{3a}+vector{b}|^2=(vector{3a}+vector{b})*(vector{3a}+vector{b})=

=vector{3a}*vector{3a}+vector{3a}*vector{b}+vector{b}*vector{3a}+vector{b}*vector{b}=

=|vector{3a}|*|vector{3a}|*cos0+2*|vector{3a}|*|b|*cos(π/3)+|b|*|b|*cos0=

=9*|vector{a}|*|vector{a}|*1+2*3*|vector{a}|*|vector{b}|(1/2)+|vector{b}||vector{b}|*1=

=9*3*3+6*3*6*(1/2)+6*6=81+54+36=171

|vector{3a}+vector{b}|=sqrt(171)=3sqrt(19)

Ответ выбран лучшим

11.
Всего пирожков n=2+13+5=20
Испытание состоит в том, что из 20-ти пирожков выбирают один.
Событие A- "пирожок с вишней"
Событию А благоприятствует 5 исходов ( потому что пирожков с вишней 5).
m=5
По формуле классической вероятности
[m]p(A)=\frac{m}{n}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}[/m]

12.
cм. рис.
На рисунке отмечено основание а ( красным цветом)
Считаем клеточки.
а=10
Проводим высоту h ( зеленым цветом)
Считаем клеточки
h=7

S_( Δ)=[m]\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 7=35[/m]

13.
На рисунке
6 < A < 7
Возводим в квадрат
36 < A^2 < 49

sqrt(39) и sqrt(44) удовлетворяют данному неравенству:
6 < sqrt(39) < 7
и
6 < sqrt(44) < 7

но поскольку на картинке число А ближе к 7,
значит
А=sqrt(44)

14.
x^3+4x^2-9x-36=0

Раскладываем левую часть уравнения на множители способом группировки:
(x^3+4x^2)-(9x[red]+[/red]36)=0

x^2*(x+4)-9*(x+4)=0
(x+4)*(x^2-9)=0

(x+4)*(x-3)*(x+3)=0

x+4=0 или х-3=0 или х+3=0
х=-4 или х=3 или х=-3

О т в е т. -4; -3; 3

15.
Пусть скорость второго х км в час.
(х+18) км в час скорость первого.

[m]\frac{950}{x}[/m] час- время второго
[m]\frac{950}{x+18}[/m] час- время первого

По условию известно, что время второго на 4 часа больше.
Составляем уравнение:
[m]\frac{950}{x}-\frac{950}{x+18}=4[/m]

[m]\frac{950(x+18)}{x(x+18)}-\frac{950x}{(x+18)x}=4[/m]

[m]\frac{950(x+18)-950x}{x(x+18)}=4[/m]

[m]\frac{950x+950*18-950x}{x(x+18)}=4[/m]

[m]\frac{950*18}{x(x+18)}=4[/m]

4x*(x+18)=950*18

x*(x+18)=475*9

x^2+18x-4275=0

D=18^2-4*(-4275)=17424=132^2

x=[m]\frac{-18+132}{2}=57[/m] или x=[m]\frac{-18-132}{2}=-75[/m] ( не удовлетворяет смыслу задачи, скорость не может быть отрицательной)

О т в е т. 57+18=75 км в час - скорость первого (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Функция y=ctgx определена на интервалах (0+πk; π+πk), k ∈ Z

Убывает на каждом таком интервале.

Так как [m]\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{5}<\frac{2\pi}{7}<\frac{3\pi}{4}[/m], то

[m]сtg\frac{3\pi}{4}<ctg\frac{2\pi}{7}<ctg\frac{\pi}{5}<ctg\frac{\pi}{6}[/m]

(прикреплено изображение)

Складываем:
x^2+2xy+y^2=4a^2-4a ⇒ (x+y)^2=4a(a-1)
Вычитаем:
x^2-2xy+y^2=a^2-3a^2+4a ⇒ (x-y)^2=2a(2-a)

Так как
(x+y)^2 ≥ 0 и (x-y)^2 ≥ 0, то

{4a(a-1) ≥ 0 ⇒ a ≤ 0 или a ≥ 1
{2a(2-a) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ a ≤ 2

Общее решение при [b]a=0[/b] ⇒ x=0 ;y=0
и при [b]1 ≤ a ≤ 2[/b]

[m]\frac{(1-2i)(1+2i)}{2+i}-i^{32}=\frac{1-(2i)^2}{2+i}-(i^{4})^{8}=\frac{1-(-4)}{2+i}-(1)^{8}=\frac{5}{2+i}-1=[/m]

[m]=\frac{5-2-i}{2+i}=\frac{3-i}{2+i}=[/m]

[m]\frac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{6-2i-3i+i^2}{4-i^2}=\frac{6-5i-1}{5}=\frac{5-5i}{5}=1-i[/m]

|1-i|=sqrt(1^2+(-1)^2)=sqrt(2)

[m]arg(1-i)=\frac{-\pi}{4}[/m]

[m]1-i=\sqrt{2}\cdot (cos(\frac{-\pi}{4})+isin(\frac{-\pi}{4}))=

\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})-sin(\frac{\pi}{4}))[/m] - в тригонометрической

[m]1-i=\sqrt{2}\cdot e^{\frac{-\pi}{4}i}[/m]- в показательной

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=[m]\frac{dy}{dx}[/m]

y^2+xy=x^2*y`

y`=[m]\frac{y^2+xy}{x^2}[/m]

y`=[m]\frac{y^2}{x^2}+\frac{xy}{x^2}[/m]

y`=[m](\frac{y}{x})^2+\frac{y}{x}[/m] - однородное уравнение первого порядка.
Замена
[m]u=\frac{y}{x}[/m]

y=u*x
y`=u`*x+u*x`
x`=1

y`=u`*x+u

Уравнение принимает вид:

u`*x+u=u^2+u

u`*x=u^2- уравнение с разделяющимися переменными:

x*du=u^2dx
[m]\frac{du}{u^2}=\frac{dx}{x}[/m]

Интегрируем:
[m]\int \frac{du}{u^2}=\int \frac{dx}{x}[/m]

[m]-\frac{1}{u}=ln|x|+C[/m]

Обратная замена:
[m]u=\frac{y}{x}[/m]

[m]-\frac{x}{y}=ln|x|+C[/m] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

a)
y=1+[m]\frac{4}{x-2}[/m]

x ∈ (- ∞ ;2) ⇒ y ∈ (- ∞;1)
левая ветвь гиперболы.
(см. рис.1)

меняем х и у местами
x=1+[m]\frac{4}{y-2}[/m]

находим как из уравнения y

x-1=[m]\frac{4}{y-2}[/m]

y-2=[m]\frac{4}{x-1}[/m]

y=2+[m]\frac{4}{x-1}[/m] - обратная функция (левая ветвь гиперболы синего цвета)

x ∈ (- ∞;1) и y ∈ (- ∞ ;2)

Графики симметричны относительно у=х - биссектрисы 1 и 3 координатных углов ( рис.2)

б)
[m]y=(\frac{1}{4})^{x-2}[/m] - график зеленого цвета (см.рис. 3)

Обратная функция:

[m]x=(\frac{1}{4})^{y-2}[/m] ⇒[m]y-2=log_{\frac{1}{4}}x[/m]

[m]y=2+log_{\frac{1}{4}}x[/m] график фиолетового цвета

Графики симметричны относительно биссектрисы у=х- биссектрисы 1 и 3 координатных углов

в)
[m]y=log_{2}(x-3)[/m]

Обратная функция:

[m]x=log_{2}(y-3)[/m] ⇒ y-3=2^(x) ⇒ y=2^(x)+3

cм. рис. 4

г)
y=sqrt(16-(x+2)^2)
x ∈ [-6;-2]

Возводим в квадрат
x^2+(y+2)^2=16 - это уравнение окружности с центром (0;-2)
R=4 (cм. рис. 5)

y=sqrt(16-(x+2)^2)
x ∈ [-6;-2]
четвертая часть окружности ( рис. 6)
x ∈ [-6;-2]
y ∈ [0;4]

Обратная функция

x=sqrt(16-(y+2)^2) ⇒

y+2=-sqrt(16-x^2)
y=-2-sqrt(16-x^2)
y∈ [-6;-2]; x ∈ [0;4] - четвертая часть окружности
x^2+(y+2)^2=16
(рис. 7) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть одно число х, другое (12-х)

Составим произведение

x^2*(2(12-x))

Обозначим его f(x)=2x^2*(12-x)

f(x)=24x^2-2x^3 - требуется исследовать функцию на максимум

Находим производную:

f`(x)=48x-6x^2

f`(x)=0

48x-6x^2=0

6x*(8-x)=0

x=0 или x=8

x=8 - точка максимума, производная при переходе через эту точку меняет знак с + на -

f`(7)=6*7*(8-7)>0
f`(9)=6*7*(8-9) <0

х=8
12-x=12-8=4

Одно число 8, другое 4

Ответ выбран лучшим

Строим границы :
y+x^2=-3 - парабола
y=-x^2-3

Парабола делит координатную плоскость на две части, выбираем точку (0;0) например
Подставляем ее координаты в неравенство:
0+0 ≥ -3 - верно.
Значит, неравенство задает ту часть плоскости, в которой есть точка (0;0)
см. рис. 1

y^2+x^2=16 - уравнение окружности, с центром в точке (0;0), радиусом 4
Окружность делит плоскость на две части, внутри и вне окружности.
Неравенству принадлежит внутренность круга ( красного цвета)

Системе принадлежит пересечение множеств ( на рисунке фиолетовый цвет) (прикреплено изображение)

Периметр- сумма длин всех сторон
Р=3xy^2+(3xy^2+8x-3y)+2xy^2=3xy^2+3xy^2+8x-3y+2xy^2=8xy^2+8x-3y

S= ∫ ^(2)_(-2)(8-x^2-4)dx=∫ ^(2)_(-2)(4-x^2)dx=

=4x|^(2)_(-2)-[m]\frac{x^3}{3}[/m]|^(2)_(-2)=

=4*(2-(-2))-([m]\frac{2^3}{3}-(\frac{(-2)^3}{3}))=[/m]

=16-[m]\frac{8+8}{3}=\frac{48-16}{3}=\frac{32}{3}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2x+0,5*sin2x=1

sin^2x+0,5sin2x-1=0

Так как

sin2x=2*sinx*cosx

sin^2x+cos^2x=1 ⇒ sin^2x-1=-cos^2x

Уравнение принимает вид:

sinx*cosx-cos^2x=0

cosx*(sinx-cosx)=0

cosx=0 ⇒[m]x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z[/m]
или
sinx-cosx=0 ⇒ sinx=cosx - однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Делим на cosx ≠ 0

tgx=1 ⇒ [m]x=\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z[/m]

О т в е т. [m]x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z[/m];
[m]x=\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z[/m]

Ответ выбран лучшим

1 способ
16*6=96 мячей в одной коробке

12*96=1152 мячей в 12 коробках, т. е в контейнере

2 способ
12*16=192 упаковки в 12 коробках
6*192=1152 мячей в контейнере

12*16*6=(12*16)*6=12*(16*6)

В основании призмы квадрат АВСD, все боковые грани равные прямоугольники.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
АВ_(1)D (AD ⊥ пл АA_(1)В_(1)B) ⇒ AD ⊥ AB_(1):
AD=sqrt(B_(1)D^2-AB^2_(1))=sqrt(15^2-12^2)=sqrt(81)=9
AB=BC=CD=AD=9

Из треугольника АВВ_(1)
ВВ_(1)=sqrt(AB^2_(1)-AB^2)=sqrt(12^2-9^2)=sqrt(144-81)=sqrt(63)=sqrt(7*9)=3sqrt(7)

S_(бок)=4S_(АA_(1)В_(1)B)=4*AB*BB_(1)=4*9*3sqrt(7)=108sqrt(7) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
vector{m}*vector{n}=|vector{m}|*|vector{n}|*cos ∠ (vector{m},vector{n})
⇒

cos ∠ (vector{m},vector{n})=(vector{m}*vector{n})/(|vector{m}|*|vector{n}|)=

=[m]\frac{2\cdot4+1\cdot3}{\sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{25}}=\frac{11}{5 \sqrt{5}}[/m]

б)
ненулевые векторы коллинеарны ⇔ их координаты пропорциональны
2:3=1:х
2х=3
x=1,5

в)
ненулевые векторы перпендикулярны ⇔ их скалярное произведение равно 0
vector{n}*vector{k}=4*3+3*х

4*3+3*х=0
12+3х=0
3х=-12
х=-4

Ответ выбран лучшим

По теореме синусов:

[m]\frac{a}{sin\alpha }=2R \Rightarrow R=\frac{a}{2sin\alpha }=\frac{36}{2sin 45^{\circ} }=\frac{36}{\sqrt{2}}=18\sqrt{2}[/m]

sqrt(2) ≈ 1,4
18sqrt(2) ≈ 18*1,4=25,2

[m]y=\frac{ 4x–3x}{x}–\frac{ x^2–4}{x+2}[/m]
Область определения:
x ≠ 0 и х+2 ≠ 0, т.е.
x ∈ (- ∞ ;-2)U(-2;0)U(0;+ ∞ )

Упрощаем:
[m]y=\frac{ –x}{x}–\frac{ (x-2)(x+2)}{x+2}[/m]

[m]y=-1–(x-2)[/m]

y=-1-x+2

y=-x+1
Строим прямую, график данной функции совпадает с графиком этой прямой во всех точках кроме x=0 и x=-2
В этих точках - на рисунке"дырки"

см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[i]l[/i]_(1):
-2х-3у+2=0 ⇒ y=[m]-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}[/m]
k_(1)=[m]-\frac{2}{3}[/m]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1

k_(2)=[m]-\frac{1}{k_{1}}=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}=1,5[/m]-угловой коэффициент искомой прямой

Значит уравнение искомой прямой принимает вид:
y=1,5x+b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M_(o):

5=1,5*1+b

b=5-1,5=3,5- отрезок, отсекаемый на оси Оу

y=1,5x+3,5 - уравнение искомой прямой с угловым коэффициентом.
Умножаем на 2:
2y=3x+7 ⇒ [blue]3x-2y+7=0 - общее уравнение искомой прямой
[/blue]
Чтобы найти точку пересечения прямых решим систему:
{-2x-3y+2=0
{y=1,5x+3,5

Подставляем у из второго уравнения в первое:

-2х-3*(1,5x+3,5)+2=0

-2x-4,5-10,5+2=0

-6,5x=8,5

x=[m]-\frac{85}{65}=-\frac{17}{13}[/m]

y=1,5*([m]-\frac{17}{13}[/m])+3,5

y=([m]\frac{15}{10}\cdot (-\frac{17}{13})+\frac{35}{10}[/m]

y=[m]\frac{15\cdot (-17)+35\cdot 13}{130}=\frac{20}{13}[/m]

P([m]-\frac{17}{13}; \frac{20}{13})[/m]

О т в е т.
3х-2y+7=0
k=1,5
b=3,5
P([m]-\frac{17}{13}; \frac{20}{13})[/m]

(прикреплено изображение)

vector{BM}=[m]\frac{1}{2}[/m]*vector{BA}+[m]\frac{1}{2}[/m]*vector{BC}
(cм. рис)

|vector{BM}|^2=vector{BM}*vector{BM}

vector{BM}*vector{BM}=([m]\frac{1}{2}[/m]*vector{BA}+[m]\frac{1}{2}[/m]*vector{BC})*([m]\frac{1}{2}[/m]*vector{BA}+[m]\frac{1}{2}[/m]*vector{BC})=
раскрываем скобки как в алгебре ( векторная алгебра)

=[m]\frac{1}{4}[/m]*vector{BA}*vector{BA}+[m]\frac{1}{4}[/m]*vector{BA}*vector{BС}+[m]\frac{1}{4}[/m]*vector{BС}*vector{BА}+[m]\frac{1}{4}[/m]*vector{BС}*vector{BС}=

=[m]\frac{1}{4}[/m]*|vector{BA}|^2+[m]\frac{2}{4}[/m]|vector{BA}|*|vector{BС}|*cos ∠(vector{BA},vector{BС}) +[m]\frac{1}{4}[/m]*|vector{BС}|^2=

=[m]\frac{1}{4}[/m]*4^2+[m]\frac{1}{2}[/m]*4*6sqrt(3)cos 30^{o} +[m]\frac{1}{4}[/m]*(6sqrt(3))^2=4+18+27=49

|vector{BM}|^2=49
|vector{BM}|=7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.
y=arccos t определена на [-1;1]
Функция монотонна, значит каждое свое значение принимает ровно в одной точке.
Если значения функции равны, то и аргументы равны:
x^2=5x-4

Решаем систему:
{ -1≤ x^2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1
{-1 ≤ 5x-4 ≤ 1 ⇒ 3 ≤ 5x ≤ 5 ⇒ 0,6 ≤ x ≤ 1
{x^2=5x-4 ⇒ x^2-5x+4=0; D=25-16=9; корни x_(1)=1; x_(2)=4

x_(2)=4 не удовлетворяет первому и второму неравенствам

О т в е т. х=1

1. (прикреплено изображение)

Раскладываем подынтегральную дробь на простейшие:

[m]\frac{1}{(2х-1)(x^2-2x+17)}= \frac{A}{2х-1} + \frac{Mx+N}{x^2-2x+17}[/m]

1=A*(x^2-2x+17)+(Mx+N)*(2x-1)

1=(A+2M)x^2+(-2A-M+2N)x+17A-N

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

1=0*x^2+0*x+1

A+2M=0 ⇒ [blue]A=2M[/blue]
-2A-M+2N=0 ⇒ -2*([blue]2M[/blue])-M+2*([blue]34M-1[/blue])=0
17A-N=1 ⇒ [blue]N[/blue]=17A-1=17*2M-1=[blue]34M-1[/blue]

63M=1 ⇒ M=[m]\frac{1}{63}[/m]

A=[m]\frac{2}{63}[/m]

N=[m]\frac{-29}{63}[/m]

∫ [m]\frac{1}{(2х-1)(x^2-2x+17)}dx[/m]=[m]\frac{2}{63}[/m] ∫ [m]\frac{dx}{2x-1}[/m] +[m]\frac{1}{63}[/m]∫[m] \frac{x-29}{x^2-2x+17}dx[/m]=

=[m]\frac{2}{63}\cdot \frac{1}{2}∫ \frac{d(2x-1)}{2x-1}[/m]+[m]\frac{1}{63}∫ \frac{x-29}{(x-1)^2+4^2}dx[/m]=

=[m]\frac{1}{63}ln|2x-1|[/m]+[m]\frac{1}{63}[/m]∫[m] \frac{t-28}{t^2+4^2}dt[/m]=

[m]=\frac{1}{63}ln|2x-1|+\frac{1}{63}∫ \frac{t}{t^2+4^2}dt-\frac{28}{63}∫ \frac{1}{t^2+4^2}dt[/m]=

=[m]\frac{1}{63}ln|2x-1|[/m]+[m]\frac{1}{126}ln|t^2+4^2|-\frac{7}{63}arctg\frac{t}{4}+C=[/m]

[m]\frac{1}{63}ln|2x-1|[/m]+[m]\frac{1}{126}ln|x^2-2x+17|-\frac{1}{9}arctg\frac{x-1}{4}+C[/m]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой, проходящей через точку M_(o)(0;1)
c направляющим вектором (1;0):

(x-0)/1=(y-1)/0

Параметризуем ( вводим параметр)

(x-0)/1=(y-1)/0=t

(x-0)/1=t ⇒ x=t
(y-1)/0=t ⇒ y-1=0

О т в е т.
{x=t
{y=1 (прикреплено изображение)

Подставляем координаты точки в уравнение:
2*(-1)^2-3*(-1)*2-8=0
2+6-8=0- верно,
значит принадлежит

1.
не совсем корректно сформулировано, если бы было написано, что торт разделен на 4 [i]равные[/i] части, то ответ :да.

скорее всего[red] части не равные[/red], тогда ответ: нет

2.
H) - верно
J) - верно

3.
51:17
значит и произведение
51*144 делится 17

42 делится на 3
81 делится на 3
Значит и сумма делится на 3

4.
[m]\frac{108}{189}=\frac{4}{7}[/m]

[m]\frac{600}{1025}=\frac{24}{41}[/m]

5.
3(y+2)-14=22
3(y+2)=22+14
3(y+2)=36
y+2=36:3
y+2=12
y=12-2
y=10
проверка:
3*(10+2)=36 - верно, так как 3*12=36

6.

146-140=6
140-128=12=2*6
128-110=18=3*6

110-х=4*6
х=110-24=86
О т в е т. 86

7.
184=2*2*2*23
207=9*23

23 спортсмена в команде.
Каждый получит по 8 маек и 9 футболок.

S_( Δ АВС)=[m]\frac{BC\cdot BA\cdot sin\angle B}{2}[/m]

sin ∠ B= [m]\frac{2S}{BC\cdot BA}=\frac{\sqrt{1517}}{\sqrt{62}\cdot \sqrt{33}}[/m]

vector{AB}={4;-1;4}
|vector{AB}|=sqrt(4^2+(-1)^2+4^2)=sqrt(33)

S_( Δ АВС)=[m]\frac{BC\cdot CH}{2}[/m]
В предыдущей задаче:
S_( Δ АВС)=[m]\frac{\sqrt{1517}}{2}[/m]

BC=sqrt(((-2)-5)^2+(1-(-2))^2+(3-1)^2)=sqrt(49+9+4)=sqrt(62)

СH=[m]\frac{2S}{BC}=\frac{2\sqrt{1517}}{\sqrt{62}}[/m]

(прикреплено изображение)

A ∈ B ? Это как понимать?

A ⊆ B и В ⊆ С и С ⊆ D, тогда A ⊆ D (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Например, (прикреплено изображение)

[m]f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}[/m]

Делим и числитель и знаменатель на x^2:

[m]f(x,y)=\frac{\frac{2xy}{x^2}}{\frac{x^2+y^2}{x^2}}[/m]

[m]f(1,\frac{y}{x})=\frac{2\cdot \frac{y}{x}}{1+(\frac{y}{x})^2}[/m]

если [m]\frac{y}{x}=t, то f(1,t)=\frac{2\cdot t}{1+t^2}[/m]

Ответ выбран лучшим

0+0=0 *0 - верное равенство,
значит
уравнение имеет решение если
{cos3x=0 ⇒ 3x=(π/2)+πk, k∈Z x=(π/6)+(π/3)*k, k∈Z
{cos5x=0 ⇒ 5x=(π/2)+πn, n∈Z x=(π/10)+(π/5)*n, n∈Z

Общие решения первого и второго уравнений
(π/6)+(π/3)*k=(π/10)+(π/5)*n, k, n∈Z

(π/6) - (π/10)=(π/5)*n - (π/3)*k
k, n∈Z
(π/15) =(2π/15)*(k-n)
k, n∈Z

Делим на (π/15):

1=2(k-n)
k, n∈Z

равенство возможно при k-n=1/2, но k, n∈Z

нет решений

Делим на cos^23x · cos^25x ≠ 0
(1/cos^25x)+(1/cos^23x)=1

Применяем формулу
1+tg^2 альфа =1/cos^2 альфа )

(1+tg^2 5x)+(1+tg^23x)=1

tg^2 5x+tg^23x=-1
слева сумма квадратов, всегда неотрицательная

Уравнение не имеет корней.

О т в е т. нет корней

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{a}=vector{OA}=(2;1)
vector{b}=vector{OB}=(-1;2)
vector{c}=vector{OC}=(1;8)

vector{c}= α* vector{a}+ β *vector{b}

Веторы равны, если равны их соответствующие координаты.

Координаты вектора α* vector{a}+ β *vector{a}=(α*2+ β*(-1); α*1+β *2)
Приравняв координаты, получим систему:
{1= α *2+ β *(-1)
{8= α *1+ β *2

Из системы найдем α и β

Умножим первое уравнение на 2 и сложим
10=5 α
α =2
β =2 α -1=2*2-1=3

О т в е т. vector{c}= 2* vector{a}+ 3 *vector{b} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Метод Крамера: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Метод Крамера: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{m}+vector{n}=vector{АВ}+vector{AD}=vector{AC}

vector{m}+vector{n}+12*vector{p}=(vector{m}+vector{n})+12*vector{p}=

=vector{AC}+12*vector{AA_(1)}=vector{AC}+12*vector{CC_(1)}=

=vector{AK}

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[m]10\cdot\begin{bmatrix} -2 &-1 \\ 8 &9 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -20& -2\\ 80 & 90\\ 10 & 0 \end{bmatrix}[/m]

[m]-9\cdot\begin{bmatrix} 4 &1 \\ 10 &12 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -36& -9\\ -90 & -108\\ -45 & -63 \end{bmatrix}[/m]

[m]10\cdot\begin{bmatrix} -2 &-1 \\ 8 &9 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}-9\cdot\begin{bmatrix} 4 &1 \\ 10 &12 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-20 -36&-2 -9\\ 80-90 &90 -108\\ 10-45 & 0-63 \end{bmatrix}=[/m]

[m]=\begin{bmatrix}-56&-11\\ -10 & -18\\ -35 & -63 \end{bmatrix}[/m]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a(t)=v`(t)=(4+2t)`=2

S(t)= ∫v(t)dt= ∫(4+2t)dt=4t+t^2+C

3(х+4)=43+5
3(х+4)=48
х+4=48:3
х+4=16
х=16-4
х=12

56-38-y=15
18-y=15
y=18-15
y=3

Проверка: 56-(38+3)=15; 56-41=15 - верно

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cистема имеет бесчисленное множество решений, так как уравнения совпадают.

Умножим первое уравнение на (-2) и получим второе

(прикреплено изображение)

Уравнение прямой имеет вид:
y=kx+b

Подставляем координаты точки А(–6;–8):
-8=k*(-6)+b
Подставляем координаты точки В(–1;–7):
-7=k*(-1)+b

Решаем систему двух уравнений:
{-8=k*(-6)+b
{-7=k*(-1)+b

Вычитаем из первого уравнения второе:
{-1=-5k ⇒ k=[m]\frac{1}{5}[/m]
{-7=k*(-1)+b

b=-k+7=[m]-\frac{1}{5}+7=-\frac{34}{5}[/m]

О т в е т. y=[m]\frac{1}{5}x-\frac{34}{5[/m] или 5y=x-34 ⇒ x-5y-34=0

Уравнение прямой имеет вид:
y=kx+b

Подставляем координаты точки А(4;4):
4=k*4+b
Подставляем координаты точки В(2;1):
1=k*2+b

Решаем систему двух уравнений:
{4=k*4+b
{1=k*2+b

Вычитаем из первого уравнения второе:
{3=k*2 ⇒ k=[m]\frac{3}{2}[/m]
{1=k*2+b
b=1-2k=1-3=-2

О т в е т. y=[m]\frac{3}{2}[/m]x-2 или 2y=3x-4 ⇒ 3x-2y-4=0

фокусы F2(10;0) и F1(–10;0) ⇒ c=10

Каноническое уравнение гиперболы:

[m]\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/m]

b^2=c^2-a^2

Подставляем координаты точки (12;3sqrt(5)) в уравнение гиперболы и
с=10 во второе уравнение, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

{[m]\frac{12^{2}}{a^{2}}-\frac{(3\sqrt{5})^{2}}{b^{2}}=1[/m]
{b^2=100-a^2

144*(100-a^2)=(145-a^2)*a^2
Получаем квадратное уравнение относительно a^2
(a^2)^2-289a^2+14400=0
D=289^2-4*14400=(289)^2-(2*120)^2=(289-240)*(289+240)=49*529
sqrt(D)=7*23=161

a^2=(289-161)/2=64 или a^2=(289+161)/2=450 ( не удовл условию, иначе b^2<0)
b^2=100-64=36

О т в е т.[m]\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1[/m]

Ответ выбран лучшим

По формулам деления отрезка в данном отношении находим координаты точки К
х_(К)=[m]\frac{-3+3*1}{1+3}=0[/m]
y_(К)=[m]\frac{-1+3*(-5)}{1+3}=-4[/m]

Cоставляем уравнение прямой СК:
=[m]\frac{x-0}{9-0}=\frac{y-(-4)}{3-(-4)}[/m]

[blue]7x-9y=36[/blue]

Аналогично
По формулам деления отрезка в данном отношении находим координаты точки M
х_(M)=[m]\frac{-3+3*9}{1+3}=6[/m]
y_(M)=[m]\frac{-1+3*3}{1+3}=2[/m]

Cоставляем уравнение прямой BM:
=[m]\frac{x-6}{1-6}=\frac{y-2}{-5-2}[/m]

-7(x-6)=-5(y-2)
[blue]7х-5y=32[/blue]

Аналогично
По формулам деления отрезка пополам находим координаты точки Т
х_(T)=[m]\frac{1+9}{2}=5[/m]
y_(T)=[m]\frac{-5+3}{2}=-1[/m]

Cоставляем уравнение медианы AT:
[blue]y=-1[/blue]

{7x-9y=36
{7x-5y=32
{y=-1

7x+9=36
7x+5=32

([m]\frac{27}{7}[/m];1) - единственная точка принадлежащая всем трем уравнениям

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 7-2sqrt(10)=(sqrt(5))^2-2*sqrt(5)*sqrt(2)+(sqrt(2))^2=(sqrt(5)-sqrt(2))^2

sqrt(7-2sqrt(10))=sqrt((sqrt(5)-sqrt(2))^2)=|sqrt(5)-sqrt(2)|=sqrt(5)-sqrt(2)

sqrt(5)-sqrt(2)+sqrt(2)=sqrt(5)

sqrt(5)*2sqrt(5)=2*5=10

О т в е т. sqrt(10)

2)
16-6sqrt(7)=16-2*3*sqrt(7)=3^2-2*3*sqrt(7)+(sqrt(7))^2=(3-sqrt(7))^2

sqrt(16-6sqrt(7))=sqrt((3-sqrt(7))^2)=|3-sqrt(7)|=3-sqrt(7)

3-sqrt(7)+sqrt(7)=3

3*3=9

sqrt(9)=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

а)
{3-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3
{x^2-1>0 ⇒ x <-1 или x > 1

О т в е т. x ∈ (- ∞ ;-1)U(1;3]

б)[m]\frac{1}{x^{2}}-4\geq0 \Rightarrow \frac{1-4x^{2}}{x^2}\geq 0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

находим нули числителя:
1-4x^2=0

x^2=[m]\frac{1}{4}[/m]

x= ± [m]\frac{1}{2}[/m]

Нули знаменателя:
x^2=0
x=0

Отмечаем на числовой прямой и расставляем знаки:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
Область определения определяется неравенством:
|x| ≥ 0 ⇒ (- ∞ ;+ ∞ )

б)
sqrt(|x|)-1)=0 ⇒ sqrt(|x|)=1 ⇒|x|=1 ⇒ x= ± 1 - нули функции

в) y ≥ 0

sqrt(|x|)-1 ≥ 0

sqrt(|x|) ≥ 1

x ∈ (- ∞ ;-1] U[1;+ ∞ )

y< 0
на (-1:1)

г)
убывает на (- ∞ ;0)
возрастает на (0;+ ∞ )

д) [-1;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма углов прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусов

Если один из углов 120 градусов, то второй 60 градусов.

Углы при основании равны.

Проводим высоты ВН и СМ из вершин верхнего основания
НМ=ВС=6 см

АН=МD=(12-6):2=3

В прямоугольном треугольнике АВН
один острый угол 60 градусов, значит второй угол равен 30 градусов.
Против угла в 30 градусов лежит катет АН, равный половине гипотенузы

АН=3

Значит гипотенуза АВ=6

AB=CD=6 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

QD=(10-P)+(15-3P)=25-4P
QS=(2P-6)+4P=6P-6

[b]QD=QS[/b] ⇒ 25-4P=6P-6 ⇒ 25+6=6P+4P ⇒ P=3,1 - равновесная цена

QS_(1)=2P-6=2*3,1-6=0,2 - объем сделки первого продавца
QS_(2)=4P=4*3,1=12,4 - объем сделки второго продавца

QD_(1)=10-P=10-3,1=6,9 - объем сделки первого покупателя
QD_(2)=15-3P=15-3*3,1=5,7- объем сделки первого покупателя

QS_(1)+QS_(2)=0,2+12,4=12,6
QD_(1)+QD_(2)=6,9+5,7=12,6

QS_(1)+QS_(2)=QD_(1)+QD_(2)

Ответ выбран лучшим

Стандартный базис в пространстве R^(3) имеет вид {1, x, x^2}.
Чтобы доказать,что векторы a_(1);a_(2);a_(3) образуют базис, достаточно показать, что они линейно независимы.

Составляем их линейную комбинацию

α_(1)[b]a_(1)[/b]+ α_(2)[b]a_(2)[/b]+ α_(3)[b]a_(3)[/b]=

= α_(1)(2x^2+2x-1)+α_(2)(2x^2-x+2)+α_(3)(-x^2+2x+2)=

=(2α_(1)+2α_(2)-α_(3))*x^2+(2α_(1)-α_(2)+2α_(3))*x+(-α_(1)+2α_(2)+2α_(3))

(2α_(1)+2α_(2)-α_(3))*x^2+(2α_(1)-α_(2)+2α_(3))*x+(-α_(1)+2α_(2)+2α_(3))=0 ⇒

{2α_(1)+2α_(2)-α_(3)=0
{2α_(1)-α_(2)+2α_(3)=0
{-α_(1)+2α_(2)+2α_(3)=0

[m]\Delta =\begin{vmatrix} 2 & 2 &-1 \\ 2 &-1 & 2\\ -1 &2 & 2 \end{vmatrix}=-4-4-4+1-8-8\neq 0[/m]

Система имеет единственное нулевое решение
α_(1)=α_(2)=α_(3)=0

Значит векторы линейно независимы и образуют базис

b= β _(1)[b]a_(1)[/b]+ β _(2)[b]a_(2)[/b]+ β _(3)[b]a_(3)[/b]=

=(2 β β _(1)+2 β _(2)- β _(3))*x^2+(2 β _(1)- β _(2)+2 β _(3))*x+(- β _(1)+2 β _(2)+2 β _(3))

По условию
b=x^2+x+1

{2 β _(1)+2 β _(2)- β _(3)=1
{2 β _(1)- β _(2)+2 β _(3)=1
{- β _(1)+2 β _(2)+2 β _(3)=1

Решаем систему методом Крамера

[m]\Delta =\begin{vmatrix} 2 & 2 &-1 \\ 2 &-1 & 2\\- 1 &2 & 2 \end{vmatrix}=-4-4-4+1-8-8=-27[/m]

[m]\Delta_{1}=\begin{vmatrix} 1 & 2 &-1 \\ 1 &-1 & 2\\ 1 &2 & 2 \end{vmatrix}=-2+4-2-1-4-4=-9[/m]

[m]\Delta_{2} =\begin{vmatrix} 2 & 1 &-1 \\ 2 &1 & 2\\ -1 &1 & 2 \end{vmatrix}=4-2-2-1-4-4=-9[/m]

[m]\Delta_{3} =\begin{vmatrix} 2 & 2 &1 \\ 2 &-1 & 1\\ -1 &2 & 1 \end{vmatrix}=-2-2+4-1-1-4=-9[/m]

[m]\beta_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{-9}{-27}=\frac{1}{3}[/m]

[m]\beta_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{-9}{-27}=\frac{1}{3}[/m]

[m]\beta_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=\frac{-9}{-27}=\frac{1}{3}[/m]

О т в е т. {[m]\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}[/m]}

Ответ выбран лучшим

[m]M(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=\int_{0}^{4}\frac{x}{4\sqrt{x}}dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{4}\sqrt{x}dx=[/m]

[m]=\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{4}_{0}=\frac{1}{12}\cdot 4^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{12}\cdot \sqrt{4^{3}}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}[/m]

[m]D(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }(x-M(X))^{2}\cdot f(x)dx=\int_{0}^{4}\frac{( x-\frac{4}{3})^{2}}{4\sqrt{x}}dx=[/m]

[m]=\frac{1}{4}\int_{0}^{4}\frac{x^{2}-2\cdot \frac{4}{3}x+\frac{16}{9}}{x^{\frac{1}{2}}}dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx-\frac{2}{3}\int_{0}^{4}x^{\frac{1}{2}}dx+\frac{4}{9}\int_{0}^{4}x^{-\frac{1}{2}}dx=[/m]

[m]=\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}|_{0}^{4}-\frac{2}{3}\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_{0}^{4}+\frac{4}{9}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}|_{0}^{4}=\frac{1}{10}\cdot4^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{9} \cdot4^{\frac{3}{2}}+\frac{8}{9}\cdot4^{\frac{1}{2}}=[/m]

[m]=3,2-\frac{32}{9}+\frac{16}{9}=\frac{64}{45}[/m]

проще считать так:

[m]D(X)=\int_{0 }^{4 }x^{2}\cdot f(x)dx-(\frac{4}{3})^2=\frac{1}{4}\int_{0}^{4}\frac{ x^{2}}{\sqrt{x}}dx-\frac{16}{9}=\frac{1}{4}\frac{ x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}|_{0}^{4}-\frac{16}{9}=[/m]

[m]=\frac{1}{10}\cdot 4^{\frac{5}{2}}-\frac{16}{9}=3,2-\frac{16}{9}=\frac{64}{45}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
sin2x=1

2x=[m]\frac{\pi }{2}+2\pi\cdot k, k \in Z[/m]

x=[m]\frac{\pi }{4}+\pi\cdot k, k \in Z[/m]

промежутку (–п; 7п/3) принадлежат корни:
[m] \frac{\pi }{4} - \pi =-\frac{3\cdot \pi }{4};\frac{\pi }{4}; \frac{\pi }{4}+\pi=\frac{5\pi }{4}[/m]

Cумма корней [m]\frac{3\cdot \pi }{4}[/m]

б)
у=arctgx и y=arcctgx существуют при любом х
у=arcsinx и y=arccosx на [-1;1]

b) (1–√–п) не существует sqrt(-π)
c) (5 – – п) не принадлежит [-1;1]

О т в е т. b);c)

в)
[blue]cosx ≥ 0[/blue] ⇒ x в четвертой или первой четвертях

cosx+sqrt(cosx)=0

sgrt(cosx)*(sqrt(cosx)+1)=0

sqrt(cosx)+1 > 0 при любом[blue] cosx ≥ 0[/blue]

sqrt(cosx)=0

cosx=0

x=[m]\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z [/m]

Промежутку (–2п;3/2п) принадлежат корни:

[m] -\frac{3\pi }{2}; -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}[/m]

О т в е т. d)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/2)круга=((15/14)v_(2)-v_(2))*t=(1/14)v_(2)t

7кругов=v(2)*t

Понадобится 7 кругов (прикреплено изображение)

p=0,1 - вероятность того, что деталь бракованная
q=1-p=1-0,1=0,9 - вероятность того, что деталь небракованная

"не более двух" значит 0 или 1 или 2

p=P(0)+P(1)+P(2)

P(0)=C^(0)_(4)p^0*q^4=0,9^4=
P(1)=C^(1)_(4)p^1*q^4=4*0,1*0,9^3=
P(2)=C^(2)_(4)p^2*q^2=6*0,1^2*0,9^2=

Берем калькулятор, считаем и складываем

Ответ выбран лучшим

Среди трех извлеченных шариков может быть 0 черных, или 1 черный, или 2 черных или 3 черных

Это и есть значения случайной величины.

Теперь считаем их вероятности.
Вероятность вынуть белый шар равна [m]\frac{3}{5}[/m]
Вероятность вынуть черный шар равна [m]\frac{2}{5}[/m]

При Х=0
все три шарика белые.
Вероятность вынуть белый шар равна [m]\frac{3}{5}[/m]
Вероятность того, что все три шара белые:
p_(o)=[m]\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{27}{125} [/m]

При Х=1
Вероятность того, что один шар черный, два белых
p_(1)=C^(1)_(3)[m]\frac{2}{5}\cdot (\frac{3}{5})^{2}=\frac{54}{125}[/m]

При Х=2
Вероятность того, что два шара черных, один белый
p_(2)=C^(2)_(3)[m](\frac{2}{5})^{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{36}{125}[/m]

При X=3
Вероятность того, что все три шара черные:
p_(3)=[m]\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{8}{125} [/m]

Таблица ( и есть закон распределения)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=F`(x)
поэтому

[m]f(x)=\begin{cases} &0, x<0 \\ & \frac{1}{2}\cdot {(\sqrt{x})}', 0\leq x<4 \\ &0 , x\geq 4 \end{cases}[/m]

[m]f(x)=\begin{cases} &0, x<0 \\ & \frac{1}{2}\cdot {(x^{\frac{1}{2}})}', 0\leq x<4 \\ &0 , x\geq 4 \end{cases}[/m]

[m]f(x)=\begin{cases} &0, x<0 \\ & \frac{1}{4\sqrt{x}}, 0\leq x<4 \\ &0 , x\geq 4 \end{cases}[/m]

Графики см. рис.

[m]P(1\leq X\leq 4)=F(4)-F(1)=\frac{1}{2}\sqrt{4}-\frac{1}{2}\sqrt{1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение события ( гипотезы):
H_(1)-"из первого ящика во второй переложили два белых шарика"
H_(2)-"из первого ящика во второй переложили два черных шарика"
H_(3)-"из первого ящика во второй переложили один белый и один черный или один черный и один белый шарик"

p(H_(1))=[m]\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{30}[/m]
p(H_(2))=[m]\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{30}[/m]
p(H_(3))=[m]\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}+\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{16}{30}[/m]

A-" из второго ящика вынут белый шарик"

p(A/H_(1))=[m]\frac{5}{6}[/m]
p(A/H_(2))=[m]\frac{3}{6}[/m]
p(A/H_(3))=[m]\frac{4}{6}[/m]

По формуле полной вероятности:
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=[m]\frac{2}{30}\cdot\frac{5}{6}+\frac{12}{30}\cdot\frac{3}{6}+\frac{16}{30}\cdot\frac{4}{6}=\frac{11}{18} [/m]

Ответ выбран лучшим

cos ∠ C=-3/4, значит угол С - тупой.
∠ С= ∠ B
∠ D= ∠ A - острые.

Сумма углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции равна 180 градусов.

cos ∠ D=cos(180 ° - ∠ C)=-cos ∠ C=-(-3/4)=3/4

Теперь легко найти высоту трапеции и нижнее основание

Проводим высоты ВК и СМ из точек В и С на AD
КМ=ВС=5 см

AК=МD=СD*cos ∠ C=8*(3/4)=6
AD=AK+KM+MD=6+5+6=17

СM^2=CD^2-MD^2=8^2-6^2=64-36=28

CM=sqrt(28)=sqrt(4*7)=2sqrt(7)

S(трапеции)=(AD+BC)*CM/2=(17+5)*(2sqrt(7))/2=22sqrt(7)

(прикреплено изображение)

Область определения функции: x ≠ 4

Находим производную.

по формуле производной дроби:

y`=[m]\frac{(x^2+3x)`(x-4)-(x^2+3x)(x-4)`}{(x-4)^{2}}[/m]

y`=[m]\frac{(2x+3)(x-4)-(x^2+3x)}{(x-4)^{2}}[/m]

y`=[m]\frac{2x^2+3x-8x-12-x^2-3x}{(x-4)^{2}}[/m]

y`=[m]\frac{x^2-8x-12}{(x-4)^{2}}[/m]

y`=0

x^2-8x-12=0
D=64+48=112

sqrt(112)=sqrt(16*7)=4*sqrt(7)

x_(1)=(8-4sqrt(7))/2=4-2sqrt(7)
x_(2)=4+2sqrt(7)

Расставляем знак производной на области определения

(знаменатель (х-4)^2>0, значит знак производной зависит от знака числителя. В числителе квадратный трехчлен. Коэффициент при х^2 положителен, значит между корнями квадратного трехчлена знак минус, слева от наименьшего корня и справа от наибольшего знак +)

__+__ (4-2sqrt(7)) __-__ (4) __-__ (4+2sqrt(7)) __+__

y`>0 на (- ∞ ;4-2sqrt(7)) и на (4+2sqrt(7);+ ∞ )
функция возрастает на (- ∞ ;4-2sqrt(7)) и на (4+2sqrt(7);+ ∞ )

y`<0 на (4-2sqrt(7);4) и на (4;4+2sqrt(7))
функция убывает на (4-2sqrt(7);4) и на (4;4+2sqrt(7))

Область определения:
-1 ≤ х+2 ≤ 1

-3 ≤ х ≤ -1

5^(x)*0,2=5^(x)*5^(-1)=5^(x-1)

25^(3,7x)=(5^(2))^(3,7x)=5^(2*3,7x)=5^(7,4x)

25^(3,7x)*sqrt(5)=5^(7,4x)*5^(0,5)=5^(7,4x+0,5)

5^(x)*0,2=25^(3,7x)*sqrt(5)

5^(x-1)=5^(7,4x+0,5)

x-1=7,4x+0,5

x-7,4x=0,5+1

-6,4x=1,5

x=1,5:(-6,4)

x ≈ -0,23

g`(x)=4+2sinx*(sinx)`=4+[green]2sinx*cosx[/green]=4+[green]sin2x[/green]

Так как

-1 ≤ sin2x ≤ 1

4-1 ≤ 4+sin2x ≤ 4+1

3 ≤ 4+sin2x ≤ 5

g`(x) ≥ 3 > 0 при любом х

О т в е т. возрастает на R

По формулам приведения
cos(π-x)=-cosx
sin((π/2)-x)=cosx

cos^2(π-x)=(-cosx)^2=cos^2x

cos^2x-cosx=0
cosx*(cosx-1)=0

cosx=0 или cosx-1=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

cosx-1=0 ⇒ cosx=1 ⇒ x=2πn, n ∈ Z

О т в е т. (π/2)+πk, 2πn, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(x–5)^(2x+1)<(x–5)^(3–x)

Если
0<x-5<1 ⇒ показательная функция убывает, поэтому
2х+1>3-x

Система
{0<x-5<1
{2x+1>3-x

{5<x<6
{3x>2

x ∈ (5;6)

Если
x-5>1 ⇒ показательная функция возрастает, поэтому
2х+1<3-x

Система
{x-5>1
{2x+1<3-x

{x>6
{3x<2

система не имеет решений.

О т в е т. (5;6)
x ∈ (5;6)

Замена:
y`=z
y``=z`

z*z`=z^2-z^3

z`=[m]\frac{z^2-z^3}{z}[/m]

dz/dx=z-z^2 - уравнение с разделяющимися переменными.

[m]\frac{dz}{z-z^2}=dx[/m]

Интегрируем

[m]\int \frac{dz}{z-z^2}=\int dx[/m]

Справа интеграл от рациональной дроби, раскладываем знаменатель на множители, раскладываем дробь на простейшие. Интегрируем.

Но это только z

Меняем z на y`

и получаем еще одно уравнение первого порядка.

Ответ выбран лучшим

Левая часть имеет смысл при x ≠ 3

[m]\sqrt{7^{\frac{1}{|x-3|}}}=(7^{\frac{1}{|x-3|}})^{\frac{1}{2}}=7^{\frac{1}{2\cdot |x-3|}}[/m]

∛3=[m]3^{\frac{1}{3}}[/m]

Логарифмируем по основанию 3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

[m]log_{3}7^{\frac{1}{2\cdot |x-3|}}\geq log_{3}3^{\frac{1}{3}}[/m]

По свойству логарифма степени:

[m]\frac{1}{2\cdot |x-3|}\cdot log_{3}7\geq\frac{1}{3}[/m]

[m]\frac{1}{2\cdot |x-3|}\geq\frac{1}{3log_{3}7}[/m]

2|x-3| ≤ 3log_(3)7 ( свойства неравенств)

[m]|x-3|\leq \frac{3log_{3}7}{2}[/m]

[m]-\frac{3log_{3}7}{2}\leq x-3\leq\frac{3log_{3}7}{2}[/m]

Прибавить 3:

[m]3 -\frac{3log_{3}7}{2}\leq x\leq3+\frac{3log_{3}7}{2}[/m]

x ≠ 3

О т в е т. [m](3 -\frac{3log_{3}7}{2}; 3) U (3;3+\frac{3log_{3}7}{2})=[/m]

=[m](3 -\frac{3}{2}\cdot log_{3}7; 3) U (3;3+\frac{3}{2}\cdot log_{3}7)=[/m]

[m]=(3 -log_{3}7^{\frac{3}{2}}; 3) U (3;3+log_{3}7^{\frac{3}{2}})=[/m]

[m]=(3 -log_{3}\sqrt{343}; 3) U (3;3+log_{3}\sqrt{343})[/m]

(прикреплено изображение)

0,81:2,7+3,5*14-0,79=81:270+49-0,79=0,3+49-0,79=48,51

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час собственная скорость теплохода,
тогда (х+1,5) км в час - скорость теплохода по течению

Теплоход был в пути [m]\frac{5}{6}[/m] часа и прошел
[m]\frac{5}{6}\cdot (x+1,5)[/m] км, что на 38,1 км больше, чем проплыл плот за [m]\frac{5}{6}+\frac{5}{6}=\frac{10}{6}[/m] часа со скоростью реки, т. е 1,5 км в час

Уравнение:

[m]\frac{5}{6}\cdot (x+1,5)-\frac{10}{6}\cdot 1,5=38,1[/m]

[m]\frac{5}{6}\cdot (x+1,5)-2,5=38,1[/m]

[m]\frac{5}{6}\cdot (x+1,5)=40,6[/m]

x+1=40,6 : [m]\frac{5}{6}[/m]

x+1=40,6* [m]\frac{6}{5}[/m]

x+1=40,6*1,2

x+1,5=48,72

x=48,72-1,5

x=47,2

О т в е т. 47, 22 км в час

Ответ выбран лучшим

Пусть неизвестное число х,
уравнение:

[m]x+\frac{1}{3}x+0,3x=1[/m]

[m]\frac{30x+10x+9x}{30}=1[/m]

[m]\frac{49x}{30}=1[/m]

[m]x=\frac{30}{49}[/m]

Ответ выбран лучшим

Условию задачи удовлетворяют выборы:
белая, красная,
красная, белая
белая,зеленая
зеленая, белая
красная, зеленая
зеленая, красная.

Вероятность выбрать белую катушку
равна 0,4 ( 40% это 40/100=0,4)
Вероятность выбрать красную катушку
равна 0,25 Вероятность выбрать красную катушку
равна 0,35 (100%-40%-25%=35%)

Вероятность выбрать пару: белая, красная равна
0,4*0,25
и т.д.

О т в е т. 0,4*0,25+0,25*0,4+0,4*0,35+0,35*0,4+0,25*0,35+0,35*0,25=0,655

Можно и так:
р(выбрать две одноцветные катушки)=0,4*0,4+0,25*0,25+0,35*0,35=

р(выбрать две разноцветные)=1-р(выбрать две одноцветные катушки)=1-0,4*0,4-0,25*0,25-0,35*0,35=0,655

(прикреплено изображение)

Проекцией точки М на плоскость А_(1)В_(1)С_(1) является точка М_(1)- точка пересечения медина треугольника А_(1)В_(1)С_(1)

Проекцией точки N на плоскость А_(1)В_(1)С_(1) является точка C_(1)

Точка пересечения прямой M_(1)C_(1) и прямой MN - искомая точка.

Обозначена буквой К. (прикреплено изображение)

Область D на пл. хОу ограничена прямой у=х и параболой y=x^2

V= ∫ ∫_(D)[b]([/b]2(x^2+y^2)-(x^2+y^2)[b])[/b]dxdy=

= ∫ ^(1)_(0)[b]([/b] ∫ ^(x)_(x^2)(x^2+y^2)dy[b])[/b]dx=

= ∫ ^(1)_(0) [b]([/b](x^2y+(y^3/3)[b])[/b]|^(y=x)_(y=x^2)dx=

= ∫ ^(1)_(0) [b]([/b](x^3+(x^3/3) - x^2*x^2-((x^2)^3/3)[b])[/b]dx=

= ∫ ^(1)_(0) [b]([/b](4x^3/3) - x^4-(x^6/3)[b])[/b]dx=

=[b]([/b](x^4/3)-(x^5/5)-(x^7/21)[b])[/b]|^(1)_(0)=(1/3)-(1/5)-(1/21)=9/105=3/35

Ответ выбран лучшим

задача на применение формулы Байеса (Бейеса)

Вводим в рассмотрение две гипотезы
H_(1) - коробка с лампочками
H_(2) - коробка с с электроникой.

Всего коробок - 9

p(H_(1))=5/9
p(H_(2))=4/9

Событие А - "выбранная наугад [i]коробка[/i] в результате транспортировки [i]оказалась повреждена[/i]"

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))- формула полной вероятности

По условию
p(A/H_(1))=1/2
p(A/H_(2))=2/3

p(A)=[m]\frac{5}{9}\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{9}\cdot \frac{2}{3}=\frac{31}{54}[/m]

Так как
[b]р(H_(2)/A)*p(A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))[/b] ⇒ формула Байеса:

[m]р(H_{2}/A)=\frac{p(H_{2})\cdot p(A/H_{2})}{p(A)}[/m]

О т в е т. [m]р(H_{2}/A)=\frac{\frac{4}{9}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{31}{54}}=\frac{16}{31} [/m]

Ответ выбран лучшим

Прямая АВ имеет угловой коэффициент, равный (-1)
См. рис.

Симметричная ей относительно оси Оу прямая имеет угловой коэффициент, равный 1

Можно составить уравнение прямой АВ

y=kx+b

Подставим координаты точек А и В:
{3=-k+b
{2=0*k+b

b=2
k=-1

угловой коэффициент прямой АВ :
k_(AB)=-1

(прикреплено изображение)

Задача на круги Эйлера.

см. рис.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Области существования выражения, стоящего под знаком логарифма: x^2+6x+9 >0 ⇒ (x+3)^2 >0 ⇒ x ≠ - 3

Находим нули числителя:
2x^2+9x+7=0
D=81-4*2*7=81-56=25
x_(1)= - 3,5; x_(2)= -1

Отмечаем их на области сплошным закрашенным кружком

Находим нули знаменателя:

log_(3)(x^2+6x+9)=0

По определению логарифма:

x^2+6x+9=3^(0)

x^2+6x+9=1

x^2+6x+8=0

D=36-32=4
x_(3)=-4; x_(4)=-2

Отмечаем пустым, не заполненным кружком.

Расставляем знаки:
Числитель неотрицателен на (- ∞ ;-3,5] U [-1;+ ∞ )

Знаменатель положителен на (- ∞ ;-4) U (-2;+ ∞ )

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки( оба положительны или оба отрицательны)

_+_ (-4)_-_ [-3,5] _+_ (-3) __+__ (-2) __-__ [-1] __+__

О т в е т. (- ∞ ;-4)U[3,5;-3) U(-3;-2)U[-1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Корни есть и они различные, значит D >0

D=(2(a-2))^2-4*(a^2-2a-3)=4a^2-16a+16-4a^2+8a+12=28-8a

28-8a >0

a< [m]\frac{7}{2}[/m]

Корни положительные, значит парабола y=x^2-2(a-2)x+a^2-2a-3
пересекает ось Ох справа от нуля.

Значит вершина параболы правее нуля, т.е
x_(o)=a-2
x_(o) >0

a-2 >0

Значение функции y=x^2-2(a-2)x+a^2-2a-3 при х=0 положительно.
y(0)=a^2-2a-3

Система:
{a< [m]\frac{7}{2}[/m]
{a-2 > 0 ⇒ a > 2
{a^2-2a-3 >0 ⇒ D=16; корни -1 и 3, a<-1 или a>3

О т в е т. (3;3,5)

(прикреплено изображение)

В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов
равен половине гипотенузы.
Значит легко найти
a=[m]2\sqrt[4]{3}[/m]

H=[m]4\sqrt[4]{3}cos 30^{o}=2\sqrt[4]{3}\sqrt{3}[/m]

S_(осн)=[m]a^2\frac{\sqrt{3}}{4}=3[/m]

S_(бок)=3a*H=3*[m]2\sqrt[4]{3}[/m]*[m]2\sqrt[4]{3}\sqrt{3}[/m]=36

S_(полн)=S_(бок)+2S_(осн)=36+6=[b]42[/b]
(прикреплено изображение)

Скорее всего в Вашем варианте опечатка в условии

Должно быть

(8x^3-3y^5)^(19)

Тогда

элемент содержащий x^(36)*y^(35) получится, если

(x^3)^(12) а (y^(5))^(7)

По формуле k-го элемента

T_(k)=C^(k)_(n) a^(k)b^(n-k)

С^(12)_(19)=[m]\frac{19!}{12!\cdot(19-12)!}=[/m]13*17*12*19

О т в е т. С=13*17*12*19*8^(12)*(-3)^7

f(1)=2*1-1=1
f(2)=2*2-1=3

f(50)=2*50-1=99

f(1)+f(2)+... +f(50)= 1+3+...+99= сумма пятидесяти членов арифметической прогрессии

О т в е т. (1+99)*50/2=100*25=2500

S_(ромба)=[m]\frac{1}{2}d_{1}d_{2}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot16=96[/m]

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

По теореме Пифагора сторона ромба равна 10

a^2=6^2+8^2=100;

a=10

S_(ромба)=a*h

h=9,6

Из прямоугольного треугольника PKO

tg ∠ PKO=[m]\frac{PO}{OK}=\frac{H}{\frac{h}{2}}=\frac{7,2}{4,8}=\frac{3}{2}[/m]=1,5

О т в е т. arctg 1,5

Причем по формуле:

[m]1+tg^2\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }[/m] ⇒

[m]\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}[/m]

Координатные методы применяют в том случае, если геометрический способ не приводит к результату.

А здесь все хорошо находится из прямоугольных треугольников.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Медиана АМ делит сторону ВС пополам, значит ВМ=МС
По теореме косинусов из треугольника АМС:
MC^2=AM^2+AC^2-2*AM*AC*cos45^(o)

10^2=AM^2+(6sqrt(2))^2-2*AM*6sqrt(2)*(sqrt(2)/2);

AM^2-12AM-28=0

D=144+112=256

AM=(12+14)/2=13

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника

S_( Δ АВС)=2*S_( Δ AMC)=2*(1/2)AM*AC*sin45^(o)=13*6sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=78

[m]\int\int_{D} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}dxdy=\int\int_{x^2+y^2\leq 1} \sqrt{1-r^2}\cdot |-abr|drd\varphi[/m]=

[m]=ab\int^{1}_{0}\int^{2\pi}_{0} \sqrt{1-r^2} rdrd\varphi=ab \int^{2\pi}_{0}d\varphi (-\frac{1}{2}\int^{1}_{0}\sqrt{1-r^2} (-2rdr))=[/m]
=[m]2\pi ab\cdot (-\frac{1}{2})\int^{1}_{0}\sqrt{1-r^2}d(1-r^2)=-\pi ab\cdot\frac{{} (1-r^{2})^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|^{1}_{0}=\frac{2}{3}\pi ab[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВС - равносторонний, значит АВ=ВС=АС=1; ∠ A= ∠ B= ∠ C=60 °

Высота СD является и медианой, значит BD=DA=[m]\frac{1}{2}[/m]

и биссектрисой, значит ∠ BCD= ∠ ACD=30 °

По определению скалярное произведение векторов, [i]выходящих [/i] из одной точки равно произведению[i] длин[/i] этих векторов на [i]косинус[/i] угла между ними.

Перенесем начало вектора vector{CD} в точку B.
vector{BK}=vector{CD}
|vector{BK}|=|vector{CD}|=[m]\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

Тогда угол между векторами vector{BC} и vector{BK} равен 150 °

cos150 ° =cos(180 ° - 30 °) =-cos30 ° =[m]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

vector{BС}*vector{СD}=vector{BС}*vector{BK}=|BC|*|BK|*cos150 ° =[m]1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3}{4}[/m]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x_(1)+iy_(1)=x_(2)+iy_(2) ⇔ x_(1)=x_(2) и y_(1)=y_(2)

(5x–3y)+(2x–4y)i=9–2i ⇔ 5x-3y=9 и 2x-4y=-2

Решаем систему двух уравнений:
{ 5x-3y=9;
{ 2x-4y=-2 ( делим на -2)

{ 5x-3y=9;
{ -x+2y=1 ( умножаем на 5)

{ 5x-3y=9;
{ -5x+10y=5 ( умножаем на 5)

Складываем
{7y=14 ⇒ y=2
{-x+2y=1 ⇒ -x+2*2=1 ⇒ x=3

О т в е т. х=3; у=2

[m]sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
[m]sin^{2}\frac{\pi }{4}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/m]
[m]2\cdot sin^{2}\frac{\pi }{4}=2\cdot \frac{1}{2}=1[/m]

[m]ctg(-\frac{\pi }{6})=-\sqrt{3}[/m]
[m]\sqrt{3}\cdot ctg(-\frac{\pi }{6}) =\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=-1[/m]

[m]2\cdot sin^{2}\frac{\pi }{4}+\sqrt{3}\cdot ctg(-\frac{\pi }{6})=1+(-1)=0[/m]

Пусть n мальчиков. Тогда мальчики набрали 3,6*n баллов.
Пусть m девочек. Тогда девочки набрали 4,2*m

Все вместе и мальчики и девочки набрали
3,6n 4,2m
Чтобы получить средний балл класса, надо набранное количество баллов разделить на количество учеников:
[m]\frac{3,6n 4,2m}{m n}=4[/m] ⇒ 3,6n 4,2m=4m 4n ⇒ 0,2m=0,4n ⇒ m=2n

[b]Девочек в два раза больше чем мальчиков
[/b]

Ответ выбран лучшим

Действие со степенями:
x*sqrt(x)=x*x^(1/2)=x^(1+(1/2))=x^(3/2)

Производная степенной функции
(x^( α ))`= α x^( α -1)

Производная суммы равна сумме производных!
Постоянный множитель можно выносить за знак производной!

y`=[m](\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})`-(3x)`+1`=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}-3+0=\sqrt{x}-3[/m]

Пусть дробь [m]\frac{x}{y}[/m]
По условию:
[blue]разность квадратов ее знаменателя и числителя равна 55[/blue] ⇒
Уравнение:
y^2-x^2=55

После увеличения ее числителя в 2 раза, а знаменателя в 1,5 раза
получим дробь[m]\frac{2x}{1,5y}[/m]

Данная дробь увеличится на [m]\frac{1}{8}[/m]

Уравнение:
[m]\frac{2x}{1,5y}-\frac{x}{y}=\frac{1}{8}[/m]

Решаем систему уравнений:
{y^2-x^2=55
{[m]\frac{2x}{1,5y}-\frac{x}{y}=\frac{1}{8}[/m] ⇒ 8*(2x-1,5x)=1,5y ⇒ 4x=1,5y ⇒ y=[m]\frac{8}{3}x[/m]
подставляем в первое:

[m]\frac{64}{9}[/m]x^2 -x^2=55;

[m]\frac{55}{9}[/m]x^2=55;

x^2=9
x= ± 3
y= ± 8
О т в е т [m]\frac{3}{8}[/m]

Ответ выбран лучшим

По формуле
(u*v)`=u`*v+u*v`

((x+3)^2*e^(2-x))`=[u=(x+3)^2; v=e^(2-x)]=

=((x+3)^2)`*e^(2-x)+(x+3)^2*(e^(2-x))`=

применяем правило нахождения производной сложной функции

=2*(x+3)*(x+3)`*e^(2-x)+(x+3)^2*e^(2-x)*(2-x)`=

=2*(x+3)*1*e^(2-x)+(x+3)^2*e^(2-x)*(-1)=

=e^(2-x)*(2x+6-x^2-6x-9)=e^(2-x)*(-x^2-4x-3)

Ответ выбран лучшим

7+6+4+5+9=31 шар
Из 31 шара извлекают три.
Это можно сделать
[green]n=C^(3)_(31)[/green] cпособами.

Пусть
событие A-"среди извлеченных шаров не окажется шаров
синего и черного цвета"
Значит, шары могут иметь цвета: белый, зеленый и красный.

Теперь осталось посчитать, сколько вариантов возможно
Все шары белые или зеленые или красные
или
белый зеленый красный
или два белых и зеленый, два белых и красный,
или два зеленых и красный или два зеленых и белый
или два красных и зеленый или два красных и белый.

Cчитаем эти варианты:
три белых
m_(1)=C^(3)_(7)=7!/(4!3!)=35
три зеленых
m_(2)=C^(3)_(9)=84
три красных
m_(3)=C^(3)_(5)=10

белый зеленый красный
m_(4)=C^(1)_(7)C^(1)_(9)C^(1)_(5)=7*9*5=315

два белых и зеленый
m_(5)=C^(2)_(7)C^(1)_(9)=189
два белых и красный
m_(6)=C^(2)_(7)C^(1)_(5)=105
два зеленых и красный
m_(7)=C^(2)_(9)C^(1)_(5)=180
два зеленых и белый
m_(8)=C^(2)_(9)C^(1)_(7)=252

два красных и зеленый

m_(9)=C^(2)_(5)C^(1)_(9)=90
два красных и белый.
m_(10)=C^(2)_(5)C^(1)_(7)=70

[blue]m=m_(1)+... m_(10)=35+84+10+315+189+105+180+252+90+70=[/blue]

[green]n=(31!)/(31-3)!*3!)=29*30*31/6=29*5*31=[/green]

p(A)=[blue]m[/blue]/[green]n[/green]

p(A)= калькулятор в руки и считайте m ; n и делим m на n
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
|x-a|=1 ⇒ x-a= ± 1 ⇒ a=x-1 или a=x+1
|x-2|=a ⇒ a ≥ 0 ⇒

|x-2|=x-1, x-1 ≥ 0 или |x-2|=x+1, x+1 ≥ 0

Возводим в квадрат

x^2-4x+4=x^2-2x+1 ⇒ 2x=3 ⇒ x=1,5
при x=1,5
a=x-1=[blue]0,5 [/blue] ≥ 0

x^2-4x+4=x^2+2x+1 ⇒ 6x=3 ⇒ x=0,5
при x=0,5
a=x+1=[red]1,5[/red] ≥ 0

О т в е т. 0,5; 1,5

б)
|x-a|=2-a ⇒ [blue] x- a=2-a[/blue] или [green] x-a=a-2[/green]

[blue]x- a=2-a [/blue] ⇒ x=2

При x=2
|2-a|=2-a ⇒ 2-a ≥ 0 ⇒ a ≤ 2

Тогда при x=2 и a ≤ 2
из равенства
|2-2a+a^2|=a
находим a.
a ≥ 0
(|2-2a+a^2| неотрицательное выражение, значит и a ≥ 0)

2-2а+a^2=a или 2-2а+a^2= -a
a^2-3a+2=0 или a^2-a+2=0
D=9-8=1 или D=1-8 < 0 уравнение не имеет корней
a=(3 ± 1)/2
a_(1)=[red]1[/red];a_(2)=[red]2[/red]

[green] x-a=a-2[/green]

x=2a-2

2a-2-2a+a^2|=a ⇒

|a^2-2|=a,
a ≥ 0

a^2-2=a или a^2-2=-a
a^2-a-2=0 или a^2+a-2=0
D=9 или D=9
a=(1 ± 3)/2 или a=(-1 ± 3)/2
a=-1; a=2 или а=-2; a=1

a=-1 не удовл условию a ≥ 0
a=-2 не удовл условию a ≥ 0

a_(1)=1; a_(2)=2 как и в первом случае ( при х=2)

О т в е т. 1 и 2

Находим S_(n).
[m]S_{n}=(\frac{2+3}{9})+(\frac{2^{2}+3^{2}}{9^{2}})+...+(\frac{2^{n}+3^{n}}{9^{n}})=[/m]

здесь конечно число слагаемых, поэтому можно перегруппировать

[m]=(\frac{2}{9}+\frac{2^{2}}{9^{2}}+...+\frac{2^{n}}{9^{n}})+(\frac{3}{9}+\frac{3^{2}}{9^{2}}+...+\frac{3^{n}}{9^{n}})[/m]

В первой скобке сумма n слагаемых б. уб. геом прогрессии q=[m]\frac{2}{9}[/m]

Во второй скобке сумма n слагаемых б. уб. геом прогрессии q=[m]\frac{3}{9}=]\frac{1}{3}[/m]

[m]S_{n}=\frac{\frac{2}{9}\cdot (1-(\frac{2}{9})^{n})}{1-\frac{2}{9}}+\frac{\frac{1}{3}\cdot (1-(\frac{1}{3})^{n})}{1-\frac{1}{3}}=[/m]

[m]=\frac{\frac{2}{9}\cdot (1-(\frac{2}{9})^{n})}{\frac{7}{9}}+\frac{\frac{1}{3}\cdot (1-(\frac{1}{3})^{n})}{\frac{2}{3}}=\frac{2\cdot (1-(\frac{2}{9})^{n})}{7}+\frac{ (1-(\frac{1}{3})^{n})}{2}[/m]

[m]S=\lim_{n \to \infty }S_{n}=\frac{2}{7}+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}[/m]

Применяем [i]радикальный[/i] признак Коши

[m]\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{(\frac{4n-3}{5n+1})^{n^{3}}}=\lim_{n \to \infty }(\frac{4n-3}{5n+1})^{n^{2}}=(\frac{4}{5})^{\infty}=0[/m]

0<1
По признаку Коши ряд [red]сходится.[/red]

Введем в рассмотрение события:
H_(1)-"идёт обстрел"

Так как обстрел длится 10 минут из 60, то
p(Н_(1))= 10/60=1/6

(на рисунке серый сектор)

H_(2)-"не идёт под обстрел"

p(H_(2))=1-p(H_(1))=1-(1/6)=5/6

(на рисунке белый сектор)

Если автомобиль начинает движение в промежутке +5 минут слева от серого и +5 мин справа от серого, то в течении 20 мин благополучно проскочить мост не удастся.

А если автомобиль начинает движение в любые пять минут внутри белого сектора рис. 2, то в течении 40 мин благополучно проскочит
мост

По определению геометрической вероятности:

p=40/60=2/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
a)
2z^2+32=0

2*(z^2+16)=0

z^2+16=0

Представим сумму в виде разности:
z^2-(-16)=0

sqrt(-16)=4*[red]sqrt(-1)[/red]=4*[red]i[/red]
( корень из (-1) обозначают i ( мнимая единица))

Далее все как обычно. Применяем формулы:
По формуле: a^2-b^2=(a-b)(a+b)

2*(z-(-4i))(z-4i)=0
2*(z+4i)(z-4i)=0

[b]z_(1)=-4i или z_(2)=4i[/b]

О т в е т. -4i; 4i

б)
5-z^2=0
умножаем на (-1)
z^2-5=0
(z-sqrt(5))(z+sqrt(5))=0

z-sqrt(5)=0 или z+sqrt(5)=0

[b]z=sqrt(5) или z=-sqrt(5)[/b]

О т в е т. -sqrt(5); sqrt(5)

в)
z^2-11z+90=0
D=(-11)^2-4*90=121-360=-239

sqrt(D)= sqrt(-239)=sqrt(239)*sqrt(-1)=sqrt(239)*i

[b]z_(1)=(11-sqrt(239)i)/2; z_(2)=(11+sqrt(239)i)/2[/b]

2.
см. рис.
a)|z|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt((-4)^2+3^2)=sqrt(25)=5
б)|z|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt((-3)^2+4^2)=sqrt(25)=5

3.
a)
z^2+81=0

z^2-(-81)=0
cм 1)

sqrt(-81)=9[red]sqrt(-1)[/red]=9[red]i[/red]

( корень из (-1) обозначают i ( мнимая единица))

z_(1)=-9i;
z_(2)=9i

z^2+81=(z-(-9i))(z-9i)
[b]z^2+81=(z+9i)(z-9i)[/b]

б)
z^2+100=0
z_(1)=-10i;
z_(2)=10i

z^2+100=(z-(-10i))(z-10i)
[b]z^2+100=(z+10i)(z-10i)[/b]
(прикреплено изображение)

z^2+4z+16=0
D=4^2-4*16=16*(1-4)=-16*3
sqrt(D)= ± 4sqrt(3)i

z_(1)=(4-4sqrt(3)i)/2=2-2sqrt*3)i; z_(2)=2+2sqrt(3)i

|z_(1)|=|z_(2)|=sqrt(2^2+( ± 2sqrt(3))^2)=sqrt(4+12)=sqrt(16)=4

argz_(1)= φ _(1)
sin φ _(1)=y_(1)/|z_(1)|=-2sqrt(3)/4=-sqrt(3)/2
cos φ _(1)=x_(1)/|z_(1)|=2/4=1/2

φ _(1)=-π/3

z_(1)=4*(cos(-π/3)+isin(-π/3)) - тригонометрическая форма записи
z_(1)=4*e^(-i*(π/3)) - показательная форма записи

argz_(2)= φ _(2)
sin φ _(1)=y_(2)/|z_(2)|=2sqrt(3)/4=sqrt(3)/2
cos φ _(2)=x_(2)/|z_(2)|=2/4=1/2

φ _(2)=π/3

z_(2)=4*(cos(π/3)+isin(π/3)) - тригонометрическая форма записи
z_(2)=4*e^(i*(π/3)) - показательная форма записи

О т в е т. [b]4*e^(-i*(π/3));4*e^(i*(π/3)) [/b]

2.
z=- sqrt(3)+i
|z|=sqrt(-sqrt(3)^2+1^2)=sqrt(4)=2

argz= φ
sin φ =y/|z|=1/2
cos φ=х/|z|=-sqrt(3)/2

φ =5π/6

z=2*(cos(5π/6) + i sin(5π/6))

z=2*e^(i*(5π/6))

e^(-i*(π/3))/2*e^(i*(5π/6))=(1/2)*e^(i*(5π/6)-π/3)=(1/2)*e^(i(π/2))

О т в е т.(1/2)*e^(i(π/2))

3.
[m]\frac{1-i\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}+2i}=\frac{i\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}-2i}=\frac{(i\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+2i))}{(2\sqrt{3}-2i)(2\sqrt{3}+2i)}=[/m]

[m]=\frac{6i-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}i^2-2i}{(2\sqrt{3})^{2}-(2i)^{2}}=\frac{-4\sqrt{3}+4i}{12+4}=\frac{-\sqrt{3}+i}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{4}+i\frac{1}{4}[/m] - в алгебраической форме.

|z|=sqrt((sqrt(3)/4)^2+(1/4)^2)=sqrt((3/16)+(1/16))=sqrt(4/16)=sqrt(1/4)=1/2

argz= φ
sin φ =y/|z|=(1/4)/(1/2)=1/2
cos φ=х/|z|=(-sqrt(3)/4)/(1/2)=-sqrt(3)/2

φ =5π/6

z=(1/2)*(cos(5π/6) + i sin(5π/6)) - в тригонометрической форме

4.
z=64i
|z|=-64

argz= φ
sin φ =y/|z|=(-64)/(64)=-1
cos φ=х/|z|=0/(64)=0

φ =-π/2

z=64*(cos(-π/2)+isin(-π/2))
По формуле Муавра ( cм. приложение

∛(-64i)=4*(cos[m]\frac{\frac{-\pi}{2}+2πk}{3}+sin\frac{\frac{-\pi}{2}+2πk}{3})[/m]

k ∈ Z
При k=0
z_(0)=4*(cos[m](\frac{\frac{-\pi}{2}}{3})+sin(\frac{\frac{-\pi}{2}}{3}))=4\cdot (cos (\frac{-\pi}{6})+sin(\frac{-\pi}{6}))[/m]
При k=1
z_(1)=4*(cos[m](\frac{\frac{-\pi}{2}+2\pi}{3})+sin(\frac{\frac{-\pi}{2}+2pi}{3}))=4\cdot (cos (\frac{\pi}{2})+sin(\frac{\pi}{2}))[/m]
При k=2
z_(2)=4*(cos[m](\frac{\frac{-\pi}{2}+4\pi}{3})+sin(\frac{\frac{-\pi}{2}+4\pi}{3}))=4\cdot (cos (\frac{7\pi}{6})+sin(\frac{7\pi}{6}))[/m]

cм. рис.

три числа z_(o);z_(1) и z_(2) делят окружность радиуса [red]4[/red] на три равные части.

Углы между ними (2π/3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
z^2+4z+16=0
D=4^2-4*16=16*(1-4)=-16*3
sqrt(D)= sqrt(-16*3)=sqrt(16)*sqrt(3)*sqrt(-1)= 4*sqrt(3)*i

z_(1)=(4-4sqrt(3)i)/2=2-2sqrt*3)i; z_(2)=2+2sqrt(3)i

|z_(1)|=|z_(2)|=sqrt(2^2+( ± 2sqrt(3))^2)=sqrt(4+12)=sqrt(16)=4

argz_(1)= φ _(1)
sin φ _(1)=y_(1)/|z_(1)|=-2sqrt(3)/4=-sqrt(3)/2
cos φ _(1)=x_(1)/|z_(1)|=2/4=1/2

φ _(1)=-π/3

z_(1)=4*(cos(-π/3)+isin(-π/3)) - тригонометрическая форма записи
z_(1)=4*e^(-i*(π/3)) - показательная форма записи

argz_(2)= φ _(2)
sin φ _(1)=y_(2)/|z_(2)|=2sqrt(3)/4=sqrt(3)/2
cos φ _(2)=x_(2)/|z_(2)|=2/4=1/2

φ _(2)=π/3

z_(2)=4*(cos(π/3)+isin(π/3)) - тригонометрическая форма записи
z_(2)=4*e^(i*(π/3)) - показательная форма записи

О т в е т. [b]4*e^(-i*(π/3));4*e^(i*(π/3)) [/b]

2.
z=- sqrt(3)+i
|z|=sqrt(-sqrt(3)^2+1^2)=sqrt(4)=2

argz= φ
sin φ =y/|z|=1/2
cos φ=х/|z|=-sqrt(3)/2

φ =5π/6

z=2*(cos(5π/6) + i sin(5π/6))

z=2*e^(i*(5π/6))

e^(-i*(π/3))/2*e^(i*(5π/6))=(1/2)*e^(i*(5π/6)-π/3)=(1/2)*e^(i(π/2))

О т в е т.(1/2)*e^(i(π/2))

3.
[m]\frac{1-i\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}+2i}=\frac{i\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}-2i}=\frac{(i\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+2i))}{(2\sqrt{3}-2i)(2\sqrt{3}+2i)}=[/m]

[m]=\frac{6i-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}i^2-2i}{(2\sqrt{3})^{2}-(2i)^{2}}=\frac{-4\sqrt{3}+4i}{12+4}=\frac{-\sqrt{3}+i}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{4}+i\frac{1}{4}[/m] - в алгебраической форме.

|z|=sqrt((sqrt(3)/4)^2+(1/4)^2)=sqrt((3/16)+(1/16))=sqrt(4/16)=sqrt(1/4)=1/2

argz= φ
sin φ =y/|z|=(1/4)/(1/2)=1/2
cos φ=х/|z|=(-sqrt(3)/4)/(1/2)=-sqrt(3)/2

φ =5π/6

z=(1/2)*(cos(5π/6) + i sin(5π/6)) - в тригонометрической форме

4.
z=64i
|z|=-64

argz= φ
sin φ =y/|z|=(-64)/(64)=-1
cos φ=х/|z|=0/(64)=0

φ =-π/2

z=64*(cos(-π/2)+isin(-π/2))
По формуле Муавра ( cм. приложение

∛(-64i)=4*(cos[m]\frac{\frac{-\pi}{2}+2πk}{3}+sin\frac{\frac{-\pi}{2}+2πk}{3})[/m]

k ∈ Z
При k=0
z_(0)=4*(cos[m](\frac{\frac{-\pi}{2}}{3})+sin(\frac{\frac{-\pi}{2}}{3}))=4\cdot (cos (\frac{-\pi}{6})+sin(\frac{-\pi}{6}))[/m]
При k=1
z_(1)=4*(cos[m](\frac{\frac{-\pi}{2}+2\pi}{3})+sin(\frac{\frac{-\pi}{2}+2pi}{3}))=4\cdot (cos (\frac{\pi}{2})+sin(\frac{\pi}{2}))[/m]
При k=2
z_(2)=4*(cos[m](\frac{\frac{-\pi}{2}+4\pi}{3})+sin(\frac{\frac{-\pi}{2}+4\pi}{3}))=4\cdot (cos (\frac{7\pi}{6})+sin(\frac{7\pi}{6}))[/m]

cм. рис.

три числа z_(o);z_(1) и z_(2) делят окружность радиуса [red]4[/red] на три равные части.

Углы между ними (2π/3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу выбранная деталь дефектная. ''

гипотезу H_(1) - ''деталь от первого поставщика''
гипотезу H_(2) - ''деталь от второго поставщика''

p(H_(1))=0,4 ( 40%=40/100=0,4

p(H_(2))=0,6

По условию:
p(A/H_(1))=0,02
p(A/H_(2))=0,03

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) =

=0,4*0,02+0,6*0,03=0,008+0,018=0,026

По формуле Ба(е)йеса:

р(Н_(1)/А)= p(H_(1))*p(A/H_(1))/р(А)= 0,4*0,02/0,026=8/26=[b]4/13[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;-sqrt(6)) U (--sqrt(6);-sqrt(6)) U(-sqrt(6);+ ∞ )

Исследование функции с помощью первой производной:

y`=5* ((x^3)`*(6-x^2)-x^3*(6-x^2)`)/(6-x^2)^2

y`=5*((3x^2*(6-x^2)-x^3*(-2x))/(6-x^2)^2

y`=5*(18x^2 - 3x^4 +2x^4)/(1 - x^2)^2

y`=5*(18x^2 - x^4)/(1 - x^2)^2

y`=0
18x^2 - x^4=0

x^2*(18- x^2)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=18
x=0 или х = ± sqrt(18)= ± 3sqrt(2)

Знак производной:
_-_ (-3sqrt(2)) _+_ (-sqrt(6_)) _+_ (0) _+_ (sqrt(6)) _+_ (3sqrt(2))_-_

y`>0 на (-3sqrt(2); -sqrt(6)) и на (-sqrt(6); 0 ) и на (0; sqrt(6)) и на (sqrt(6);3sqrt(2))

Функция монотонно возрастает на (-3sqrt(2); -sqrt(6)) и на (-sqrt(6); 0 ) и на (0; sqrt(6)) и на (sqrt(6);3sqrt(2))

y` < 0 на (- ∞ ;-sqrt(6)) и на (sqrt(6);+ ∞ )

Функция монотонно убывает
на (- ∞ ;-sqrt(6)) и на (sqrt(6);+ ∞ )

x=-sqrt(6) -[b] точка минимума[/b]

y(-sqrt(6))=5*(-sqrt(6))^3/(6-(-sqrt(3))^2)= 10sqrt(6)

х=sqrt(6) - [b]точка максимума[/b]

y(sqrt(6))=5*(sqrt(3))^3/(1-(sqrt(3))^2)=10sqrt(6)

[b]Обратите внимание [/b]
[i]максимум меньше минимума[/i], потому что это [b]локальное [/b]свойство, т. е свойство в окрестности точки.

Исследование функции с помощью второй производной:

y``=5*((18x^2 - x^4)/(6 - x^2)^2)`

y`=5*((18x^2-x^4)`*(6-x^2)^2-(18x^2-x^4)*((6-x^2)^2)`)/((6-x^2)^2)^2

y`=5*((36x-4x^3)*(6-x^2)^2-(18x^2-x^4)*2*(6-x^2)*(6-x^2)`)/(6-x^2)^4

y`=5*4*x*(6-x^2)((9-x^2)*(6-x^2)+18x^2-x^4)/(6-x^2)^4

y`=20*x(54-6x^2-9x^2+x^4+18x^2-x^4)*x/(6-x^2)^3

y`=20*x(54+3x^2)*x/(6-x^2)^3

y`=0

3x^2+54> 0 при любом х

x=0 - [b]точка перегиба[/b], вторая производная меняет знак с + на -

y``>0 на (- ∞ ;-sqrt(6)) и (-sqrt(6);0)
функция выпукла вниз на (- ∞ ;-sqrt(6)) и (-sqrt(6);0)

y``< 0 на (0;sqrt(6)) U(sqrt(6);+ ∞ )
функция выпукла вверх на (0;sqrt(6)) U(sqrt(6);+ ∞ )
(прикреплено изображение)

z=x+iy z^2=x^2+2xyi+(yi)^2=x^2+2xyi-y^2=(x^2-y^2)+2xy*i

vector{z}=x-iy

z^2*vector{z}=((x^2-y^2)+2xy*i)*(x-iy)

Im(z^2*vector{z})=2xy*x-(x^2-y^2)*y=2x^2y-x^2y+y^3=x^2y+y^3

Если z^(- -) с двумя черточками наверху, то

z^(- -)=x+iy= z

Тогда

z^2*(z^(- -))=((x^2-y^2)+2xy*i)*(x+iy)

Im(z^2*z^(- - ))=2xy*x+(x^2-y^2)*y=2x^2y+x^2y-y^3=3x^2y-y^3

Ответ выбран лучшим

z=x+iy

|z|=sqrt(x^2+y^2)

z=1-4i

|z|=sqrt(1^2+(-4)^2)=sqrt(17)

[b]|z|^2=17[/b]

2.
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1

i^32=(i^4)^8=1^8=1
i^29=i^(28)*i=(i^4)^7*i=1^7*i=i

[m]z=\frac{4i^{2}-5i^{32}}{-5-3i^{29}}=\frac{4\cdot (-1)-5\cdot 1}{-5-3i}=\frac{-9}{-5-3i}=\frac{9}{5+3i}[/m]

[m]\frac{9}{5+3i}=\frac{9\cdot (5-3i)}{(5+3i)(5-3i)}=\frac{9\cdot (5-3i)}{5^2-(3i)^2}=\frac{9\cdot (5-3i)}{25+9}=\frac{9\cdot (5-3i)}{34}[/m]

vector{z}=[m]\frac{9\cdot (5+3i)}{34}=\frac{45+27i}{34}=\frac{45}{34}+\frac{27}{34}i[/m]

Re vector{z}=[m]\frac{45}{34}=[/m]

разделить и округлить...

Ответ выбран лучшим

z=(i−2)^2+(i+1)+(2−2i)^2−i
Возводим в квадрат

z=i^2-4i+4+i+1+4-8i+(-2i)^2-i=i^2-4i+4+i+4-8i+4i^2-i

так как i^2=-1

z=-1-4i+4+i+4-8i-4-i

z=3-12i

y=-12

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;-1) U (-1;1) U(1;+ ∞ )

Исследование функции с помощью первой производной:

y`=10* ((x^3)`*(1-x^2)-x^3*(1-x^2)`)/(1-x^2)^2

y`=10*((3x^2*(1-x^2)-x^3*(-2x))/(1-x^2)^2

y`=10*(3x^2 - 3x^4 +2x^4)/(1 - x^2)^2

y`=10*(3x^2 - x^4)/(1 - x^2)^2

y`=0
3x^2 - x^4=0

x^2*(3- x^2)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=3
x=0 или х = ± sqrt(3)

Знак производной:
__-___ (-sqrt(3)) _+_ (-1) __+__ (0) _+__ (1) __+__ (1sqrt(3)) __-__

y`>0 на (-sqrt(3); - 1) и на (-1;0) и на (0;1 ) и на (1; sqrt(3))

Функция монотонно возрастает

на (-sqrt(3); - 1) и на (-1;0) и на (0;1 ) и на (1; sqrt(3))

y` < 0 на (- ∞ ;-sqrt(3)) и на (sqrt(3);+ ∞ )

Функция монотонно убывает
на (- ∞ ;-sqrt(3)) и на (sqrt(3);+ ∞ )

x=-sqrt(3) -[b] точка минимума[/b]

y(-sqrt(3))=10*(-sqrt(3))^3/(1-(-sqrt(3))^2)= 15sqrt(3)

х=sqrt(3) - [b]точка максимума[/b]

y(sqrt(3))=10*(sqrt(3))^3/(1-(sqrt(3))^2)=-15sqrt(3)

Исследование функции с помощью второй производной:

y``=10*((3x^2 - x^4)/(1 - x^2)^2)`

y`=10*((3x^2-x^4)`*(1-x^2)^2-(3x^2-x^4)*((1-x^2)^2)`)/((1-x^2)^2)^2

y`=10*((6x-4x^3)*(1-x^2)^2-(3x^2-x^4)*2(1-x^2)*(1-x^2)`)/(1-x^2)^4

y`=10*2*x*(1-x^2)((3-2x^2)*(1-x^2)+3x^2-x^4)/(1-x^2)^4

y`=(x^4-2x^2+3)*x/(1-x^2)^3

y`=0

x^4-2x^2+3=0

D=4-4*3 <0

x=0 - [b]точка перегиба[/b], вторая производная меняет знак с + на -

y``>0 на (- ∞ ;-1) и (-1;0)
функция выпукла вниз на (- ∞ ;-1) и (-1;0)

y``< 0 на (0;1) U(1;+ ∞ )
функция выпукла вверх на (0;1) U(1;+ ∞ )
(прикреплено изображение)

Из подобия Δ ACD и Δ АВМ

CD: BM= AC : AB=

AC : AB=3х:7х=3:7

[b]12 : BM= 3 : 7[/b]

3*BM= 12*7

BM=28 см.

О т в е т. 28 см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 1000 деталей извлекают 10
Это можно сделать
n=C^(10)_(1000)
способами.

Событие A-" извлечено 2 детали высшего сорта, одна деталь бракованная и 7 деталей первого сорта"

Событию А благоприятствуют исходы:

m=C^2_(200)*C^3_(750)*C^(1)_(50)

По формуле классической вероятности:
p=m/n=C^2_(200)*C^3_(750)*C^(1)_(50)/C^(10)_(1000)

Но числа будут громоздкие.

Наверное надо применить формулы Пуассона, Лапласа...

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение

событие А - ''случайно выбранный студент решил задачу ''

гипотезу H_(1) - ''студент отличник''
гипотезу H_(2) - ''студент не отличник

p(H_(1))=[m]\frac{4}{20}=\frac{1}{5}=0,2[/m]

p(H_(2))=[m]\frac{16}{20}=\frac{4}{5}=0,8[/m]

По условию:
p(A/H_(1))=[red]0,9[/red]
p(A/H_(2))=[blue]0,6
[/blue]
По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) =0,2*[red]0,9[/red]+0,8*[blue]0,6[/blue]=0,18+0,48=[b]0,66[/b]

Ответ выбран лучшим

315-144=171 страницу набирал первый.
Набрал за 19 дней.
Значит в день набирал по 171:19=9 страниц
Это производительность первого

144:12=12 страниц в день - производительность второго

Пусть второму надо добавить [green]х страниц[/green].
Тогда
(144+[green]х[/green]) страниц станет у второго.
Набирает он с производительностью 12 страниц в день
Значит ему потребуется
(144+[green]х[/green]):12 дней.

(171-[green]х[/green]) станет у первого.
Набирает он с производительностью 9 страниц в день
Значит ему потребуется
(171-[green]х[/green]) : 9 дней будет набирать первый свои страницы

По условию теперь количество дней должно быть равным.
Составляем уравнение:

(144+[green]х[/green]):12=(171-[green]х[/green]) : 9

Применяем основное свойство пропорции

12*(171-x)=9*(144+x)

4*(171-x)=3*(144+x)

4*171-4x=3*144+3x

4*171-3*144=4x+3x

7х=252

х=36

36 страниц надо добавить второму.

Теперь осталось сосчитать сколько это процентов.

144 страницы составляют 100%
36 страниц составляют p%

Пропорция
144:100=36:p

p=100*36:144=25%

О т в е т. [b]на 25%[/b]

Дополнительное построение. Параллельный перенос диагонали BD в точку С.

Получаем треугольник АСK
S_( Δ ACK)=[m]\frac{AK*h}{2}=\frac{(AD+DK)*h}{2}=\frac{(AD+BC)*h}{2}=m*h= [/m] S_(трапеции АВСD)
[m]m=\frac{AD+BC}{2}[/m] - средняя линия трапеции

[i]Площадь треугольника[/i] АСК равна [i]площади трапеции[/i] АВСD.

Треугольник АСК и трапеция ABCD [red]равновелики[/red]

Находим площадь Δ ACK по формуле Герона

S( Δ)=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))

AC=15;
CK=7
AK=AD+DK=2*m=2*10=20

p=(15+7+20)/2=21

S( Δ ACK=sqrt(21*(21-15)*(21-7)*(21-20))=sqrt(21*6*14)=sqrt(2^2*3^2*7^2)=

=2*3*7=42

О т в е т. [b]42[/b]

(прикреплено изображение)

18=[green]14[/green]+4
52=[green]14[/green]*3+10
86=[green]14[/green]*6+2
14 кратно 14

18^4=([green]14[/green]+4)^4=[green]14[/green]^4+4*[green]14[/green]^3*4+6*[green]14[/green]^2*4^2+4*[green]14[/green]*4^3+[red]4^4[/red]

все слагаемые кроме последнего кратны [green]14[/green]

Аналогично
52^3=(3*[green]14[/green]+10)^3=(3*[green]14[/green])^3+3*(3*[green]14[/green])^2*10+3*(3*[green]14[/green])^3*10^2+[red]10^3[/red]

86^4=([green]14[/green]*6+2)^4= ( см. возведение 18^4)...[red] +2^4[/red]

Складываем левые и правые части
18^4+52^3+86^4 кратна14 если все слагаемые кратны 14.

Значит исследуем кратность тех слагаемых которые выделены красным цветом:

[red]4^4+10^3+2^4[/red]=256+1000+16=([green]14[/green]*18+4)+([green]14[/green]*71+6)+([green]14[/green]+2)=14(18+71+1)+4+6+2=
[green]14[/green]*90 + 2 не кратно 14

Значит и вся сумма не кратна 14

[m]\int (3x+8\sqrt[3]{x}-1)dx= 3\int xdx +8\int x^{\frac{1}{3}}-\int 1\cdot dx=[/m]

[m]=3\frac{x^{2}}{2}-8\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}-x + C=\frac{3}{2}x^{2}-8\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}-x+C=[/m]

[m]=\frac{3}{2}x^{2}-6x\sqrt[3]{x}-x+C[/m]

Применяем метод подведения под знак дифференциала.
Известна
[red]формула замены переменной[/red]
[m]\int f(x)dx=\int f(\varphi (t))\varphi `(t)dt[/m]

А справа налево:
[m]\int f(\varphi (x))\varphi `(x)dx=\int f(u)du[/m]

её называют формулой ( [i]методом[/i]) [blue]подведения под дифференциал[/blue]

Так как

d(4x+1)=(4x+1)dx=4dx

[m]dx=\frac{d(4x+1)}{4}[/m]

φ(x)=4x+1
φ `(x)=4

f(φ(x))=sqrt(φ(x))

φ(x)=u

[m]\int \frac{dx}{\sqrt{4x+1}}=\int \frac{\frac{d(4x+1)}{4}}{\sqrt{4x+1}}=\frac{1}{4}\int\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{u}+C=\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}+C[/m]

[m]x+\frac{1}{x}=11[/m]

Возводим в квадрат:

[m](x+\frac{1}{x})^{2}=11^{2}[/m]

[m]x^{2}+2\cdot x \ cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=121[/m]

[m]x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}=121[/m]

[m]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=121-2[/m]

[m]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=119[/m]

О т в е т. [b]119[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Линейное уравнение первого порядка.[i] Уравнение Бернулли[/i]
y`+P(x)y=Q(x)y^(n)

n=2

Решают [i]методом Бернулли[/i].
Ищут решение y в виде произведения u*v

y=u*v
y`=u`*v + u*v`

Уравнение принимает вид:

u`*v + u*v`-u*v*tgx=- (uv)^2cos^2x

Выносим за скобки u:

u`*v + u(v`-vtgx)=- (uv)^2cos^2x

Так как функции u и v - произвольные, то выбираем их так, чтобы

[blue]v`- vtgx =0[/blue]

тогда

[green]u`*v =-(uv)^2cos^2x[/green]

Осталось решить два уравнения с разделяющимися переменными

Первое :

[blue]v`- vtgx =0[/blue] ⇒

[m]\frac{dv}{v}= \frac{sinxdx}{cosx}[/m]

Интегрируем
[m]\int \frac{dv}{v}=\int \frac{sinxdx}{cosx}[/m]

d(cosx)=(cosx)`dx=-sinxdx

sinxdx=-d(cosx)

[m]\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{d(cosx)}{cosx}[/m]

ln|v| = -ln|cosx| ( C=0) ⇒ ln|v| = ln|cosx| ^(-1)

v=[m]\frac{1}{cosx}[/m]

Решаем второе уравнение:

[green]u`*v =-(uv)^2cos^2x[/green], где v=[m]\frac{1}{cosx}[/m]

u`=-u^2*cosx

[m]-\frac{du}{u^2}=cosxdx[/m]

Интегрируем

[m]-\int \frac{du}{u^2}=\int cosxdx[/m]

[m]\frac{1}{u}=sinx + C[/m] ⇒

u= [m]\frac{1}{sinx+C}[/m] ⇒

y=u*v= [m](\frac{1}{sinx+C})\cdot\frac {1}{cosx}[/m] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

A1.
1) действие в скобках:
[m]x-\frac{5x}{x+2}=\frac{x(x+2)}{x+2}-\frac{5x}{x+2}=\frac{x(x+2)-5x}{x+2}=\frac{x^2+2x-5x}{x+2}=\frac{x^2-3x}{x+2}=\frac{x(x-3)}{x+2}[/m]

2) действие деление:
[m]\frac{x(x-3)}{x+2}:\frac{x-3}{x+2}=\frac{x(x-3)}{x+2}\cdot \frac{x+2}{x-3}=x[/m]

О т в е т. 2)

A2.

[m]\frac{a+8b}{2b}-\frac{3a^2}{b^2}\cdot \frac{b}{6a}=\frac{a+8b}{2b}-\frac{3a^2\cdot b}{b^2\cdot 6a}=\frac{a+8b}{2b}-\frac{a}{b\cdot 2}=\frac{a+8b-a}{2b}=\frac{8b}{2b}=4[/m]

при любых а и b получается 4.
О т в е т.4)

B2.
[m]y= \frac{2m}{3c}-x\Rightarrow y+x=\frac{2m}{3c}[/m]

Умножаем обе части равенства на 3с

[m]3c\cdot (y+x) = 2m\Rightarrow m = \frac{3c\cdot(y+x)}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

a)
Комплексное число z=x+iy изображают вектором с координатами (x;y)
Поэтому
z_(1)=([m]-\frac{3}{2};- \frac {\sqrt{3}}{2}[/m]) см. рис.1

z_(2)=(0;-12) см. рис.2

vector{z_(2)}=12i

vector{z_(2)}=(0;12) см. рис. 3

-z_(2)=12i

-z_(2)=(0;12) см. рис. 3

б)
Применяем правило сложения векторов ( правило треугольника или правило параллелограмма см. последний рисунок). Геометрически см. рис. 4

Аналитически это так:

z_(1)+z_(2)= [m](-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i)+ (-12i)=[/m]

= [m]-\frac{3}{2}- (\frac {\sqrt{3}}{2}+12)i=[/m]

= [m]-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}+24}{2}i[/m]

Применяем правило вычитания векторов ( правило треугольника или правило параллелограмма см. последний рисунок)
Геометрически см. рис. 5

Аналитически это так:
z_(1)- z_(2)= [m](-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i)- (-12i)=[/m]

= [m]-\frac{3}{2}- (\frac {\sqrt{3}}{2}-12)i=[/m]

= [m]\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}-24}{2}i[/m]

z_(1)*z_(2)= [m](-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i)\cdot (-12i)=[/m]

[m]=12\cdot \frac{3}{2}i+12\cdot \frac {\sqrt{3}}{2}i^{2}=-6\sqrt{3}+18i[/m]

[m]\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i}{-12i}=[/m]

умножаем и числитель и знаменатель на i

[m]=\frac{-\frac{3}{2}i- \frac {\sqrt{3}}{2}i^2}{-12i^2}=[/m]

[m]=\frac{-\frac{3}{2}i+ \frac {\sqrt{3}}{2}}{12}=[/m]

[m]=\frac {\sqrt{3}}{24}-\frac{3}{24}i=[/m]

[m]=\frac {\sqrt{3}}{24}-\frac{1}{8}i[/m]

в)
z=x+iy

|z|=sqrt(x^2+y^2)=
argz= φ
z=|z|*[m](cos\varphi +isin\varphi)[/m] - тригонометрическая форма комплексного числа z

z_(1)=[m](-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i)[/m]

Запишем z_(1) в тригонометрической форме

[m]|z_{1}|=\sqrt{(-\frac{3}{2})^{2}+(-\frac {\sqrt{3}}{2})^{2}}=[/m]

=[m]\sqrt{\frac{9}{4}+\frac {3}{4}}=\sqrt{3}[/m]

argz_(1)= φ

sin φ =[m]\frac{y}{z_{1}}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}[/m]

cos φ =[m]\frac{x}{z_{1}}=\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

φ =[m]-\frac{5\pi}{6}[/m]

z_(1)=[m]\sqrt{3}\cdot (cos(\frac{-5\pi}{6})+i\cdot sin(\frac{-5\pi}{6}))[/m] - тригонометрическая форма

Так как

[m]e^{i\varphi}=cos\varphi +isin\varphi[/m]

z_(1)=sqrt(3)*[m]e^{-\frac{5\pi}{6}\varphi}[/m]

z_(2)=-12I
|z_(2)|=12

sin φ =[m]\frac{y}{z_{2}}=\frac{-12}{12}=-1[/m]

cos φ =[m]\frac{x}{z_{1}}=\frac{0}{12}=0[/m]

φ =[m]-\frac{\pi}{2}[/m]

z_(2)=12*([m]cos(\frac{-\pi}{2})+i\cdot sin(\frac{-\pi}{2}))[/m] -
тригонометрическая форма

[m]e^{i\varphi}=cos\varphi +isin\varphi[/m]

Поэтому

z_(2)=[m]e^{-\frac{\pi}{2}i}[/m] (прикреплено изображение)

y`=(cos^2x+3cosx)`=2*cosx*(cosx)`+3*(-sinx)=2cosx*(-sinx)-3sinx=

=-2sinx*cosx-3sinx

y`=0

-2sinx*cosx-3sinx=0

-sinx*(2cosx+3)=0

sinx = 0 или 2 cosx+3=0

x=πk, k ∈ Z или cosx=[m]\frac{-3}{2}[/m] - уравнение не имеет корней.

При k=2n
x=2πn, n ∈ Z - точки максимума, производная меняет знак
с + на -

При k=2n+1

х=π+2πn, n ∈ Z точки минимума, производная меняет знак
с - на +

y(2πn)=1+3=4 - наибольшее значение функции

y(π+2πk)=1+3*(-1)=-2 - наименьшее значение функции

О т в е т. [-2;4]

y`=(sin^2x-2sinx)`=2sinx*cosx-2cosx

y`=0

2sinx*cosx-2cosx=0

2cosx*(sinx-1)=0

сosx=0 или sinx =1

x=[m]\frac{\pi}{2}[/m]+πk, k ∈ Z или x=[m]\frac{\pi}{2}[/m]+2πn, n ∈ Z

x=[m]\frac{\pi}{2}[/m] +2πm, m ∈ Z - точки минимума, производная меняет знак
с - на +

х=-[m]\frac{\pi}{2}[/m]+2πm, m ∈ Z - точки максимума, производная меняет знак
с + на -

y([m]\frac{\pi}{2}[/m])=1-2=-1 наименьшее значение функции
y([m]-\frac{\pi}{2}[/m])=1-(-2)=3- наибольшее значение функции

О т в е т. [-1;3]

1.
a)
AD=2BC
vector{AD}=2*vector{BC}
vector{AD} и vector{BC} сонаправлены

t=2

б)
СF=2AB
vector{CF}=-2*vector{AB}
vector{CF} и vector{AB} противоположно направлены

t=-2

в)
СF=2DE ⇒ DE=[m]\frac{1}{2}CF[/m]

vector{DE}= [m]\frac{1}{2}[/m] *vector{CF}
vector{CF} и vector{DE} противоположно направлены

t=-[m]\frac{1}{2}CF[/m]

г)
BE=2DC
vector{BE}=-2*vector{DC}
vector{BE} и vector{DC} противоположно направлены

t=-2

2.
[red]По правилу треугольника[/red]
vector{A[green]B[/green]}+vector{[green]B[/green]C}=vector{AC}
Так как vector{BC}= vector{AD}, то
vector{AC}=vector{AB}+vector{AD}

[red]По правилу треугольника[/red]
vector{A[green]B[/green]}+vector{[green]B[/green]D}=vector{AD}
⇒
vector{BD}=vector{AD}-vector{AB}

Ответ выбран лучшим

Перепишем первое неравенство системы:
|a| ≤ 4-4|x|

Рассмотрим координатно-параметрическую плоскость xOa:

Строим график |a|=4-4|x|
a=4-4x, x ≥ 0
a=4+4x, x <0

cм. рис. 1

Строим график |a|=4-4|x|

Отражаем часть графика на рис. 1 , расположенную выше оси Ох симметрично оси Ох

Получаем рис. 2

|a| ≤ 4-4|x| при a ∈ [-4;4]

Причем [green]это верно для x∈ [-1;1] [/green]

Перепишем второе неравенство системы:
x^2+2x -3 ≤ a

a ≥ x^2+2x-3
Этому множеству, удовлетворяют точки на плоскости, расположенные внутри параболы ( окрашено синим цветом)

Системе двух неравенств
{|a| ≤ 4-4|x| при a ∈ [-4;4]
{a ≥ x^2+2x-3
соответствует пересечение множеств

Найдем точку пересечения

a= - 4 - x и a=x^2+2x-3

x^2 + 2x - 3 = - 4 - x

x^2+3x+1=0

D=9-4=5

x=[m]\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}[/m]

x_(1)=[m]\frac{-3-\sqrt{5}}{2} > -1[/m]

x_(2)=[m]\frac{-3+\sqrt{5}}{2}[/m] [green]x∈ [-1;1] [/green] ⇒

a= - 4 - [m]\frac{-3+\sqrt{5}}{2}=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}[/m]

О т в е т. ([m]\frac{-5-\sqrt{5}}{2}[/m]; 4]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2)
[m]\lim_{x\to 3}\frac{3x^2-11x+6}{2x^2-5x-3}=(\frac{0}{0})=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)\cdot(3x-2)}{(x-3)\cdot(2x+1)}=\lim_{x\to 3}\frac{3x-2}

{2x+1}=[/m]

[m]=\frac{3\cdot 3-2}{2\cdot 3+1}=\frac{7}{7}=1[/m]

3)
[m]\lim_{x\to 5}\frac{x^2-8x+15}{x^2-25}=(\frac{0}{0})=\lim_{x\to 5}\frac{(x-5)\cdot(x-3)}{(x-5)\cdot(x+5)}=\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x+5}=\frac{5-3}{5+5}=[/m]

[m]=\frac{2}{10}[/m]

4)
[m]\lim_{x\to 3}\frac{3-x}{x^3-27}=(\frac{0}{0})=\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(x^2+x+9)}=\lim_{x\to 3}\frac{-1}{x^2+3x+9}=[/m]

[m]=\frac{-1}{3^2+3\cdot 3+9}=-\frac{1}{27}[/m]

Ответ выбран лучшим

S_(четырехугольника ABCD)=[m]\frac{AC\cdot BD}{2}\cdot sin ∠ AOB[/m]

Так как AC ⊥ BD ⇒ sin ∠ AOB=1

и

S_(четырехугольника ABCD)=[m]\frac{AC\cdot BD}{2}[/m]

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда
BD=4x
AC=9x

и BD:AC=4:9

36=[m]\frac{9x\cdot 4x}{2}[/m]

x^2=2

x=sqrt(2)

BD=[b]4sqrt(2)[/b]
AC=[b]9sqrt(2)[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ 12. См. рис.
t=1 ⇒ x=12 (прикреплено изображение)

Знаменатель дроби не может равняться 0
Поэтому
3x ≠ 0

Выражение под знаком логарифма положительно, поэтому
x^2+2x+2 >0

Эти условия должны выполняться одновременно.
Система:
{3x ≠ 0
{x^2+2x+2 > 0
определяет область определения.

Решаем её.

3x ≠ 0 ⇒ х ≠ 0

x^2+2x+2=x^2+2x+1+1=(x+1)^2+1 > 0 при любом х, так как (x+1)^2 ≥ 0
А если к выражению, которое больше или равно 0 прибавить 1, то оно будет больше или равно 1, т.е точно больше 0

Значит, в область определения входят такие х, что х ≠ 0

это записывают в виде объединения двух интервалов

О т в е т (- ∞ ;0) U(0;+ ∞ )

а)

Область определения
x^2-6x+10 ≥ 0

так как x^2-6x+10=x^2-6x+9+1=(x-3)^2+1> 0 при любом х,
то квадратичная функция принимает наименьшее значение в вершине, т.е при х=3

Тогда y=sqrt(3^2-6*3+10)=sqrt(1)=1 - наименьшее значение данной функции.

О т в е т.E(y)=[1;+ ∞ )

б)
y=sqrt(49 -x^2) - это уравнение полуокружности

Так как x ∈ [-2;sqrt(13)], то y ∈ [6;7] ( cм рис.)

При x=-2
y=sqrt(49-2^2)=sqrt(45)= 3sqrt(5)

При x= sqrt(13)
y=sqrt(49-sqrt(13)^2)=sqrt(49-13)=sqrt(35)=6

3sqrt(5)>6

О т в е т. E(y)=[6;7]

в)
Воспользуемся [red]методом,[/red] который используется при введении вспомогательного угла.

asinx+bcosx=sqrt(a^2+b^2)*([m]\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx)=[/m]

=sqrt(a^2+b^2)([blue]cosφ[/blue]*sinх+[green]sinφ[/green]*cosx)= sqrt(a^2+b^2)*sin(x+φ)

Так как

15cosx-8sinx=sqrt(15^2+(-8)^2))sin(x+ φ )=17*sin(x+ φ )

и в силу ограниченности синуса:

-1 ≤ sin(x+ φ ) ≤ 1, то

-17 ≤ 17sin(x+ φ ) ≤ 17

a значит и
-1 ≤ 15cosx-8sinx ≤ 1

О т в е т. E(y)=[-17;17] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Максимум будет в точке, в которой функция под корнем принимает наибольшее значение.
Под корнем квадратичная функция.
Она принимает наибольшее значение в вершине.
Абсцисса вершины

x_(o)=[m]\frac{-b}{2a}[/m]

a=-1
b=-4

x_(o)=[m]\frac{4}{2\cdot (-1)}=-2[/m]

О т в е т. х=-2

Если нужно с обоснованием, то можно вычислить производную и приравнять к 0

А если просто тест, то не надо терять время на нахождение производной и расстановку знака, поэтому см. первый способ

По формуле:

[m](\sqrt{u})`=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u`[/m]

[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{4-4x-x^{2}}}\cdot(4-4x-x^{2})`=\frac{-4-2x}{2\sqrt{-4-4x-x^{2}}}
[/m]

y`=0

-4-2x=0

x=-2

При переходе через точку х=-2 производная меняет знак с + на -

значит это точка максимума

О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

Максимум будет в точке, в которой функция под корнем принимает наибольшее значение.
Под корнем квадратичная функция.
Она принимает наибольшее значение в вершине.
Абсцисса вершины

x_(o)=[m]\frac{-b}{2a}[/m]

a=-1
b=20

x_(o)=[m]\frac{-20}{2\cdot (-1)}=10[/m]

О т в е т. х=10

Если нужно с обоснованием, то можно вычислить производную и приравнять к 0

А если просто тест, то не надо терять время на нахождение производной и расстановку знака, поэтому см. первый способ

По формуле:

[m](\sqrt{u})`=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u`[/m]

[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{-92+20x-x^{2}}}\cdot(-92+20x-x^{2})`=\frac{20-2x}{2\sqrt{-92+20x-x^{2}}}
[/m]

y`=0

20-2x=0

x=10

При переходе через точку х=10 производная меняет знак с + на -

значит это точка максимума

О т в е т. 10

Ответ выбран лучшим

По формуле
[m](u*v)`=u \cdot*v+u\cdot v`[/m]

[m]y`=(x^{\frac{4}{3}})`\cdot sinx+x^{\frac{4}{3}}\cdot (sinx)`=[/m]

[m]=\frac{4}{3}\cdot x^{\frac{4}{3}-1}\cdot sinx+x^{\frac{4}{3}}\cdot cosx=[/m]

[m]=\frac{4}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot sinx+x^{\frac{4}{3}}\cdot cosx=[/m]

[m]= x^{\frac{1}{3}}\cdot (\frac{4}{3} \cdot sinx+x\cdot cosx)[/m]

По формуле
[m](\frac{u}{v})`=\frac{u`\cdot v - u\cdot v`}{v^2}[/m]

[m]y`=\frac{(2sinx+tgx)`\cdot x^{2} - (2sinx+tgx)\cdot (x^{2})`}{(x^{2})^{2}}=[/m]

[m]=\frac{(2cosx+\frac{1}{cos^{2}x})\cdot x^{2} - (2sinx+tgx)\cdot (2x)}{x^{4}}=[/m]

[m]=\frac{2xcosx+\frac{x}{cos^{2}x} - 4sinx-2tgx}{x^{3}}[/m]

9
[m]\sqrt[3]{x}\cdot x=x^{\frac{1}{3}} \ cdot x=x^{{\frac{1}{3}+1}}=x^{{\frac{4}{3}}}[/m]

[m]y`=(\sqrt[3]{x}\cdot x)`=(x^{\frac{4}{3}})`=\frac{4}{3}\cdot x^{{\frac{4}{3}-1}}=\frac{4}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}}=\frac{4}{3}\cdot \sqrt[3]{x}[/m]

10.
По формуле (u*v)`=u`*v+u*v`

[m]y`=(sinx+cosx)`\cdot\sqrt{x}+(sinx+cosx)\cdot (\sqrt{x})`=[/m]

[m]=(cosx-sinx)\cdot \sqrt{x}+(sinx+cosx)\cdot\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}[/m]

Так как
(1-sqrt(2))^2=1-2sqrt(2)+2=3-2sqrt(2)
то
[m]\sqrt[6]{3-2\sqrt{2}}=\sqrt[6]{(1-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}[/m]

[m]\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}\cdot \sqrt[6]{3-2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}\cdot \sqrt[3]{1-\sqrt{2}}= \sqrt[3]{1^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=[/m]

[m]= \sqrt[3]{-1}=-1[/m]
О т в е т. -1

sin^2x+0,5*2sinxcosx=sin^2x+cos^2x

sinxcosx=cos^2x

sinxcosx-cos^2x=0

cosx(sinx-cosx)=0

cosx=0 ⇒ x=[m]\frac{\pi}{2}[/m]+2πn, n ∈ Z

или

sinx-cosx=0 ⇒ tgx=1 ⇒ x=[m]\frac{\pi}{4}[/m]+πk, k ∈ Z

О т в е т.[m]\frac{\pi}{4}[/m]+πk, [m]\frac{\pi}{2}[/m]+2πn, k,n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

По формуле (u*v)`=u`*v+u*v`

[m]y`=(\sqrt[3]{x^{5}})`\cdot e^{x}+\sqrt[3]{x^{5}}\cdot (e^{x})`=[/m]

[m]=(x^{\frac{5}{3}})`\cdot e^{x} +\sqrt[3]{x^{5}}\cdot e^{x}=[/m]

[m]=e^{x}\cdot (\frac{5}{3}\cdot x^{\frac{5}{3}-1}+\sqrt[3]{x^{5}})=[/m]

[m]=e^{x}\cdot(\frac{5}{3}\cdot x^{\frac{2}{3}}+\sqrt[3]{x^{5}})=[/m]

[m]=e^{x}\cdot (\frac{5}{3} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{5}})=[/m]

[m]=e^{x}\cdot \sqrt[3]{x^{2}} (\frac{5}{3} +x)[/m]

По формуле
[m](\frac{u}{v})`=\frac{u`\cdot v - u\cdot v`}{v^2}[/m]

[m]y`=\frac{(3x^5+ln(2x-3))`\cdot \sqrt{x} - (3x^5+ln(2x-3))\cdot (\sqrt{x})`}{ (\sqrt{x})^2}=[/m]

[m]=\frac{(15x^4+\frac{1}{2x-3}\cdot (2x-3)`)\cdot \sqrt{x} - (3x^5+ln(2x-3))\cdot (\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}})}{ x}=[/m]

[m]=\frac{(15x^4+\frac{2}{2x-3})\cdot \sqrt{x} - (3x^5+ln(2x-3))\cdot (\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}})}{ x}=[/m]

[m]=\frac{(30x^4+\frac{4}{2x-3})\cdot x - 3x^5-ln(2x-3)}{2\cdot x\cdot \sqrt{x}}=[/m]

[m]=\frac{27x^5+\frac{4x}{2x-3}-ln(2x-3)}{2\cdot x\cdot \sqrt{x}}[/m]

Ответ выбран лучшим

По формуле:
sin( α - β )=sin α cos β -cos α sin β

[m]sin( \frac{\pi }{4} - 2x )=sin\frac{\pi }{4} cos 2x -cos \frac{\pi }{4} sin 2x=[/m]

[m]=\frac{\sqrt{2}}{2} cos 2x -\frac{\sqrt{2}}{2} sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(cos2x-sin2x)[/m]

Уравнение принимает вид:

sinx+(cos2x-sin2x)=cos2x

sinx - sin2x=0

sinx-2sinxcosx=0

sinx(1-2cosx)=0

sinx = 0 или 1-2cosx=0

sinx=0 или сosx=[m]\frac{1}{2}[/m]

x=πk , k ∈ Z или x= ± [m]\frac{\pi}{3}[/m]+2πn, n ∈ Z

О т в е т. πk ; ± [m]\frac{\pi}{3}[/m]+2πn, k,n ∈ Z

По формуле (u*v)`=u`*v+u*v`

[m]y`=(\sqrt[3]{x^{5}})`\cdot ctgx+\sqrt[3]{x^{5}}\cdot (ctgx)`=[/m]

[m]=(x^{\frac{5}{3}})`\cdot ctgx+\sqrt[3]{x^{5}}\cdot (ctgx)`=[/m]

[m]=\frac{5}{3}\cdot x^{\frac{5}{3}-1}\cdot ctgx+\sqrt[3]{x^{5}}\cdot (-\frac{1}{sin^2x})=[/m]

[m]=\frac{5}{3}\cdot x^{\frac{2}{3}}\cdot ctgx-\sqrt[3]{x^{5}}\cdot (\frac{1}{sin^2x})=[/m]

[m]=\frac{5}{3} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}\cdot ctgx-\sqrt[3]{x^{5}}\cdot (\frac{1}{sin^2x})[/m]

По формуле
[m](\frac{u}{v})`=\frac{u`\cdot v - u\cdot v`}{v^2}[/m]

[m]y`=\frac{(3x^4+cos\frac{x}{3})`\cdot \sqrt{x} - (3x^4+cos\frac{x}{3})\cdot (\sqrt{x})`}{ (\sqrt{x})^2}=[/m]

[m]=\frac{(12x^3+(-sin\frac{x}{3})\cdot (\frac{x}{3})`)\cdot \sqrt{x} - (3x^4+cos\frac{x}{3})\cdot (\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}})}{ x}=[/m]

[m]=\frac{24x^4-\frac{2}{3}\cdot x\ sin\frac{x}{3} - 3x^4-cos\frac{x}{3}}{2\cdot x\cdot \sqrt{x}}=[/m]

[m]=\frac{21x^4-\frac{2}{3}\cdot x\ sin\frac{x}{3} -cos\frac{x}{3}}{2\cdot x\cdot \sqrt{x}}[/m]

Ответ выбран лучшим

y`=(3x^2-3x-2)`=3*(x^2)`-3*(x)`-(2)`=3*2x-3+0=6x-3

y`=[m](\sqrt{x}-cos)`=(\sqrt{x})`-(cosx)`=\frac{1}{2\sqrt{x}}-(-sinx)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+sinx[/m]

Ответ выбран лучшим

5.
(e^(x))` = [b]e^(x)[/b]
6.
y`=(-x^4+8x)`=(-x^4)`+(8x)` = [b]-4x^3+8[/b]

Ответ выбран лучшим

[m]\sqrt[4]{x}\cdot x=x^{\frac{1}{4}+1}=x^{\frac{5}{4}}[/m]

y`=[m](x^{\frac{5}{4}})`+(2x)`=\frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1}+2=x^{\frac{1}{4}}-2=\sqrt[4]{x}-2[/m]

По формуле:
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(tgx+ctgx)`*x^3+(tgx+ctgx)*(x^3)`=

=[m](\frac{1}{cos^2x}-\frac{1}{sin^2x})\cdot x^{3} + (tgx+ctgx)\cdot 3x^2[/m]

Ответ выбран лучшим

y=(1/3)x^3-(7/2)x^2+10х-1

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=x^2-7x+10

y`=0

x^2-7x+10=0

D=49-40=9

x=(7 ± 3)/2

x_(1)=2; x_(2)=5

Расставляем знак производной ( производная y`=x^2-7x+10 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви вверх, поэтому на (2;5) она отрицательна):

__+__ (2) __-___ (5) __+__

y`>0 на (- ∞ ;2) и на (5;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`> 0 на (2 ;5), значит функция убывает

х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(2)=(1/3)*2^3-(7/2)*2^2+10*2-1=(8/3)+5=[b]23/3[/b]

х=5 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(5)=(1/3)*5^3-(7/2)*5^2+10*5-1=25*(5/3)-25*(7/2)+49=

=25*((5/3)-(7/2))+49=-275/6+(49)=[b]19/6[/b]

y``= 2x - 7

y``=0

2x - 7 =0

2x = 7

x=7/2- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;3,5) и выпукла вниз на (3,5;+ ∞ )
См. график рис.

(прикреплено изображение)

y=x^3+9x^2+15х-14

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=3x^2+18x+15

y`=0
3x^2+18x+15=0

x^2+6x+5=0

D=(6)^2-4*5=36-20=16

x=[m]\frac{-6\pm4}{2}[/m]

x_(1)= - 5 ; x_(2)= -1

Расставляем знак производной ( производная y`=3x^2+18x+15
является квадратичной функцией, графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на (-5;-1) производная отрицательна, на двух остальных - положительна):

__+__ (-5) __-___ (-1) __+__

y`>0 на (- ∞ ;-5) и на (-1;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (-5 ;-1), значит функция убывает возрастает

х=-5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(-5 )=(-5)^3+9*(-5)^2+15*(-5)-14=25*(-5)+9*25-3*25-14=

=25*(-5+9-3)-14=25-14=[b]11[/b]

(-5;11) - точка максимума

х=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(-1)=(-1)^3+9*(-1)^2+15*(-1)-14=[b]-21[/b]

(-1; -21) - точка минимума

График на рис. См. масштаб 1 кл = 2 ед

y``=6x+18

y``=0

6x+18=0

x= - 3- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

Функция выпукла вверх на ( - ∞ ;-3 ) и выпукла вниз на (-3;+ ∞ )

y(-3)=(-3)^3+9*(-3)^2+15*(-3)-14=-3*9+9*9-9*5-14=

=9*(-3+9-5)-14=9-14=[b]-5[/b]

(-3;-5) - точка перегиба

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2-12x-15

y`=0

3x^2-12x-15=0

x^2-4x-5=0

D=15-4*(-5)=16+20=36

x=[m]\frac{4\pm6}{2}[/m]

x=-1 ∈ (-3;4) или x=5 ∉ (-3;4)

Так как y`(-2)=3*((-2)^2-4*(-2)-5)>0, на (-3;-1), cодержащем точку х=-2 ставим +

На смежном с ним минус.

[-3] _+__ (-1) _-__ [4]

x=- 1 - точка максимума

В этой точке функция принимает наибольшее значение на отрезке [-3;4]
y(-1)=(-1)^3-6*(-1)^2-15*(-1)+8=-1-6+15+8=[b]16[/b]-[red]наибольшее значение на отрезке [-3;4] [/red]

Значит наименьшее значение либо в -3, либо в 4

y(-3)=(-3)^3-6*(-3)^2-15*(-3)+8=-31
y(4)=(4)^3-6*(4)^2-15*(4)+8=[b]- 84 - [/b] [red]наименьшее значение на [-3;4][/red]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
Cлева от точки ноль касательная синяя цвета, справа зеленого.
Синяя не перейдет плавно в зеленую ни при каких условиях.
Поэтому производной в точке нет

б) точно так же. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нет. По определению касательной к окружности - это прямая, которая имеет с окружностью одну общую точку.
Касательная к синусоиде в точках максимума и минимума касается синусоиды несколько раз.

Точку В перемещайте по синусоиде в направлении к точке А. Сформулируйте определение касательной к синусоиде и запишите его.
Предельное положение секущей при B → A (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нет. По определению касательной к окружности - это прямая, которая имеет с окружностью одну общую точку.
Касательная к кривой может пересекать кривую, т.е иметь не одну, а несколько общих точек.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]1-2 задачи.[/b]
Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k_(касательной)
Найти точку касания.

[b]18-21[/b]
Геометрический смысл производной в точке.
f`(x_(o))=tg α
tg α находим по рисунку из прямоугольного треугольника, который нужно подобрать так, чтобы гипотенуза лежала на касательной, а длины катетов выражались целыми числами

[b]22 и 24[/b]
Найти точку касания (как в 1 - 2), с дополнительным условием: параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент k

[b]25-27[/b]

Найти точку касания в предыдущих задачах, затем найти параметр из условия, что точка касания принадлежит как кривой, так и касательной.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
[m]e^{i\varphi}=cos\varphi +isin\varphi[/m]

Поэтому

[m]e^{i\frac{2\pi}{3}}=cos\frac{2\pi}{3} +isin\frac{2\pi}{3}=[/m]

[m]= \frac{(-\sqrt{3})}{2}+i\frac {1}{2}[/m]

[m]2\cdot \sqrt{3}\cdot e^{i\frac{2\pi}{3}}=

2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{(-\sqrt{3})}{2}+i\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot i\cdot \frac {1}{2}=-3-\sqrt{3}[/m]

2.

z=x+iy
|z|=sqrt(x^2+y^2)=
argz= φ
z=|z|*[m](cos\varphi +isin\varphi)[/m]

Так как
z=-2-2isqrt(3)

x=-2
y=-2sqrt(3)

|z|=sqrt((-2)^2+(-2sqrt(3))^2)=sqrt(4+12)=sqrt(16)=4

argz= φ

tg φ =[m]\frac{y}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}[/m]

φ=[m]\frac{\pi}{6}[/m]

z=[m]4\cdot (\frac{\pi}{6} +isin\frac{\pi}{6})=4\cdot e^{i\frac{\pi}{6}}[/m]

Ответ выбран лучшим

Находим все три стороны каждого из треугольников.
( см. рис.)

а)
BD_(1) = 8*sqrt(3)
СD_(1) = 8*sqrt(2)
BC = 8
Треугольник BD_(1)C - прямоугольный, так как
BD^2_(1) = BC^2 + CD^2_(1)
∠ BD_(1)C = 90 градусов
Расстояние от точки С до BD_(1) равно катету СD_(1)
О т в е т. 8*sqrt(2)

б)
BD_(1) = 8*sqrt(3)
ВС_(1) = 8*sqrt(2)
C_(1)D_(1) = 8

реугольник BD_(1)C_(1) - прямоугольный, так как
BD^2_(1) = BC^2_(1)+ C_(1)D^2_(1)
∠ BD_(1)C_(1) = 90 градусов
Расстояние от точки С_(1) до BD_(1) равно катету С_(1)D_(1)
О т в е т. 8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.2.

ОДЗ: х > 0

В условиях ОДЗ:

log_(5) x^2=2*log_(5)x

Уравнение принимает вид:

(log_(5)x)^2+0,5*2*log_(5)x=6

Квадратное уравнение:
(log_(5)x)^2 + log_(5)x - 6 = 0

D=1-4*(-6)=1+24=25

log_(5)x=-3 или log_(5)x=2
x=5^(-3) или x=5^2
x=[m]\frac{1}{125}[/m] или x=25

Оба корня входят в ОДЗ

О т в е т. [m]\frac{1}{125}[/m] ; 25

2.3
y`= x^2-5x+6

y`=0

D=25-24=1

x_(1)=(5-1)/2=1; x_(2)=(5+1)/2=3

Знак производной:
__+_ (1) __-___ (3) __+__

График производной y`= x^2-5x+6 парабола, ветви вверх.
Такая парабола расположена ниже оси Ох на (1;3). Поэтому там знак -, а на двух смежных интервалах знак +

х=3 - точка минимума. Производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

1.5.

Подставляем координаты точки М в каждое уравнение:
x=0
y=1

a)
1=0 - неверно

б)
1= ∛(0-1) - неверно, так как 1 ≠ -1

в)
ln0 не существует

г)
1=cos(5*0)
1=cos0 - верно
1=1

О т в е т. г)

1.7.
Координатная плоскость хОz - плоскость, на которой расположены точки, имеющие координату y=0

О т в е т. в) точка С

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=2x^3-10x^2+х-1

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=6x^2-20x+1

y`=0

6x^2-20x+1=0

D=(-20)^2-4*6*1=400-24=376

x=[m]\frac{20\pm2\sqrt{89}}{6}[/m]

x_(1)=[m]\frac{20-2\sqrt{89}}{6}[/m]; x_(2)=[m]\frac{20+2\sqrt{89}}{6}[/m]

x_(1)=[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]; x_(2)=[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]

Расставляем знак производной ( y`=6x^2-20x+1 - графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m] ;[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]) производная отрицательна, на двух остальных - положительна):

__+__ ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]) __-___ ([m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]) __+__

y`>0 на (- ∞ ;[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]) и на ([m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m];+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m] ;[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m]), значит функция убывает возрастает

х=[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m] - точка максимума, производная меняет знак с + на -

х=[m]\frac{10+\sqrt{89}}{3}[/m] - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=12x-20

y``=0

12x-20=0

x=[m]\frac{5}{3}[/m] - точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

Функция выпукла вверх на (- ∞ ;[m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m]) и выпукла вниз на ([m]\frac{10-\sqrt{89}}{3}[/m];+ ∞ )
См. график на рис .

(прикреплено изображение)

Событие состоит в том, что из 12 человек выбирают 6 человек, которые и получают эти 6 подписных изданий.

n=C^(6)_(12)=[m]\frac{12!}{6!\cdot 6!}=924[/m]

a)
событие A - " подписку получат первые шесть человек", т.е выбираем первых шесть человек.
Это можно сделать одним способом
m=1
p(A)=m/n=[m]\frac{1}{924}[/m]

б)
событие С - " подписку получит первые три человека", т.е выбираем первых трех человек и еще трех из оставшихся девяти.
Это можно сделать
m=C^(3)_(9)=[m]\frac{9!}{3!\cdot 6!}=84[/m]
cпособами

p(B)=m/n=[m]\frac{84}{924}=\frac{1}{11}[/m]

в)
событие С- " подписку получат первый человек", т.е выбираем первого и еще пятерых из оставшихся одиннадцати.
Это можно сделать
m=C^(5)_(11)=[m]\frac{11!}{5!\cdot 6!}=462[/m]
cпособами
p(С)=m/n=[m]\frac{462}{924}=\frac{1}{2}[/m]

г)
событие D- " подписку получат первый и третий человек",т.е выбираем первого и третьего и еще четырех оставшихся из десяти

Это можно сделать
m=C^(4)_(10)=[m]\frac{10!}{4!\cdot 6!}=210[/m]
cпособами
p(D)=m/n=[m]\frac{210}{924}=\frac{5}{22}[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]e^{i\varphi}=cos\varphi +isin\varphi[/m]

Поэтому

[m](e^{i\frac{\pi}{3}})^{4}=e^{i\frac{4\pi}{3}}=[/m]

[m]=cos\frac{4\pi}{3} +isin\frac{4\pi}{3}=\frac{(-\sqrt{3})}{2}+i\frac {(-1)}{2}[/m]

[m]cos\frac{\pi}{2} +isin\frac{\pi}{2}=0+i=i[/m]

[m](e^{i\frac{\pi}{3}})^{4}\cdot (cos\frac{\pi}{2} +isin\frac{\pi}{2})=[/m]

[m]=(\frac{(-\sqrt{3})}{2}+i\frac {(-1)}{2})\cdot i=\frac {1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

a) [-3;6]
б) ≈ -1,4; ≈1,2; ≈ 4,3; ≈ 5,7
в) [-3; -1,4) U (1,2; 4,3) U (5,7;6]
г) (-1,4; 1,2) U (4,3; 5,7)
далее см рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х - коэффициент пропорциональности
Тогда
AB=4x
ВК=3х
КС=2х

Так как по условию длина ломаной ABC равна 36 см

то АВ + ВК + КС =36

4х + 3х + 2х = 36

9х=36

х=4

ВК=3х=3*4=[b]12 см[/b]

Делим на х:

y`+[m]\frac{1}{x}[/m]y=[m]\frac{e^{x}}{x}[/m]

Линейное уравнение первого порядка.

Решают либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной:

Метод Бернулли.
Ищут решение y в виде произведения u*v

y=u*v
y`=u`*v + u*v`

Уравнение принимает вид:

u`*v + u*v`+[m]\frac{1}{x}[/m]u*v=[m]\frac{e^{x}}{x}[/m]

Выносим за скобки u:

u`*v + u(v`+[m]\frac{1}{x}[/m]v)=[m]\frac{e^{x}}{x}[/m]

Так как функции u и v - произвольные, то выбираем их так, чтобы
v`+[m]\frac{1}{x}[/m]v=0
тогда
u`*v =[m]\frac{e^{x}}{x}[/m]

Осталось решить два уравнения с разделяющимися переменными
v`+[m]\frac{1}{x}[/m]v=0 ⇒ [m]\frac{dv}{dx}+\frac{v}{x}[/m]

[m]\frac{dv}{v}= -\frac{dx}{x}[/m]

Интегрируем, при этом С=0
[m]\int \frac{dv}{v}= -\int \frac{dx}{x}[/m]

ln|v|=-ln|x|

ln|v|=(ln|x|)^(-1)

ln|v|=ln|[m]\frac{1}{x}|[/m]

v=[m]\frac{1}{x}[/m]

Решаем второе уравнение

u`*v =[m]\frac{e^{x}}{x}[/m], v=[m]\frac{1}{x}[/m] ⇒

u`=e^(x)

Интегрируем

u=e^(x)+C

Итак, y=u*v=(e^(x)+C)*[m]\frac{1}{x}[/m]

y=[m]\frac{e^{x}}{x}+\frac{C}{x}[/m] - [i]общее[/i] решение диф. уравнения.

Частное решение
При х=а y=b

b=[m]\frac{e^{a}}{a}+\frac{C}{a}[/m] ⇒ C=e^(a)-ab

y=[m]\frac{e^{x}}{x}+\frac{e^{a}-ab}{x}[/m] -[i] частное[/i] решение диф. уравнения.

Ответ выбран лучшим

Задания на действия с отрицательными числами

(-3,6) * (-0,5) -(-3,2 + 0,8) * 1, 05= 3,6 * 0,5 - ( -2,4) * 1, 05 =

3,6 * 0,5 + 2,4 * 1, 05 = 1,8 + 2,52 = 4,32

см правила, которые нужно знать:

(прикреплено изображение)

y=x^3-18x^2+33х+7

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=3x^2-36x+33

y`=0
3x^2-36x+33=0

x^2-12x+11=0

D=(-12)^2-4*11=144-44=100

x=[m]\frac{12\pm10}{2}[/m]

x_(1)=1; x_(2)=11

Расставляем знак производной ( y`=3x^2-36x+33 - графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на (1;11) производная отрицательна, на двух остальных - положительна):

__+__ (1) __-___ (11) __+__

y`>0 на (- ∞ ;1) и на (11;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (1 ;11), значит функция убывает возрастает

х=1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(1)=1^3-18*1^2+33*1+7=[b]13[/b]

х=11 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(11)=11^3-18*11^2+33*11+7= 11^2*11-18*11^2+3*11^2+7=
=11^2(11-18+3)+7=121*(-4)+7=-484+7=[b]-477[/b]

(просматривается цель заданий - рациональный счет!!! Т.е. уже не первое задание в котором[b] громоздкие вычисления[/b] упрощаются с помощью вынесения за скобки общего множителя)
По этой и причине и график схематический. См. масштаб 1 кл=20

y``=6x-36

y``=0

6x-36=0

x=6- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

Функция выпукла вверх на ( - ∞ ;6) и выпукла вниз на (6;+ ∞ )
См. график на рис .

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`(x)= ∫ y``(x)dx= ∫ sin^2(2x)dx= ∫ (1-cos4x)dx/2=(1/2) ∫ dx-(1/2) ∫ cos4xdx=

[b]=(1/2)x-(1/8)sin4x+C_(1)[/b]

y(x)= ∫ ((1/2)x-(1/8)sin4x+C_(1))dx= (1/2)*(x^2/2)-(1/32)(-cos4x)+C_(1)x+C_(2)= [b](x^2/4)+(cos4x)/32+C_(1)x+C_(2)[/b]

y(0)=1/32 ⇒ 1/32= (0^2/4)+(cos0)/32+C_(1)*0+C_(2)

C_(2)=0

y'(0)=0 ⇒ 0= (1/2)*0-(1/8)sin(4*0)+C_(1)
C_(1)=0

[b]y= (x^2/4)+(cos4x)/32[/b] - частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Ответ выбран лучшим

Эта функция не определена в точке x=3,
производная в точке x=3 не существует.

В каких точках эта функция дифференцируема?

Во всех, кроме х=3

В любой точке кроме x=3 можно провести касательную.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(шестиугольника )=6*S_( Δ АОВ)

S_( Δ АОВ)=[m]\frac{13}{6}[/m]

S_(четырёхугольника ACDF)=4*S_( Δ АОВ)=

=4*[m]\frac{13}{6}[/m]

V_( призмы ACDFA_(1)C_(1)D_(1)F_(1))=S_(четырёхугольника ACDF)*H

H=12

V_( призмы ACDFA_(1)C_(1)D_(1)F_(1))=4*[m]\frac{13}{6}[/m]*12=104

О т в е т. 104 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вероятность того, что планшет [red]выйдет[/red] из строя в течение первого года равна 0,2

Вероятность того, что планшет [green]не выйдет[/green] из строя в течение первого года равна 1-0,2=0,8
Вероятность того, что что планшет [red]выйдет[/red] из строя в течение второго года равна 0,8*0,2=0,16
(т.е в течение первого года не выйдет из строя [blue]и[/blue] тогда в течение второго года выйдет из строя)
"[blue]и[/blue]" соответствует[i] умножению[/i] вероятностей

Вероятность того, что планшет [red]выйдет[/red] из строя в течение первого [blue]или[/blue] второго года, т. е не позже чем через два года равна

0,2[blue]+[/blue] 0,16 =0,36

" [blue]или[/blue] "соответствует [i]сложению[/i] вероятностей

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2-24x+36

y`=0

3x^2-24x+36=0

x^2-8x+12=0

D=64-48=16

x=[m]\frac{8\pm4}{2}[/m]

x_(1)=2; x_(2)=6

x_(1) ∈ [4;10]

Так как при x=5
y`(5)=3*(5^2-8*5+12)<0 функция убывает на (4;6)
и
при x=7
y`(7)=3*(7^2-8*7+12)>0 функция возрастает на (6;10)

x=6 - точка минимума функции

y(6)=6^3-12*6^2+36*6+14=36*(6-12+6)+14=14 - [green] наименьшее значение функции на [4;10][/green]

Наибольшее значение либо в точке x=4
либо в точке x=10

При х=4
y(4)=4^3-12*4^2+36*4+14=[red]16[/red]*4-12*[red]16[/red]+9*[red]16[/red]+14=

=16*(4-12+9)+14=16+14=30

При x=10

y(10)=10^3-12*10^2+36*10+14=10^2*(10-12)+360+14=

=-200+360+14=160+14=174- [red]наибольшее значение функции на [4;10][/red]

(просматривается цель заданий – рациональный счет!!! Т.е. уже не первое задание в котором громоздкие вычисления упрощаются с помощью вынесения за скобки общего множителя)

[green]Обращаю на это особое внимание.[/green]

Построение графика не требуется. Приведено для наглядности. (прикреплено изображение)

y`=14sqrt(2)cosx-14

y`=0

14sqrt(2)cosx-14=0

[m]cosx=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

[m]x=\pm arccos\frac{1}{\sqrt{2}}+2\pi n, n \in Z[/m]

[m]x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z[/m]

Отрезку [m][0;\frac{\pi}{2}][/m] принадлежит [m]x=\frac{\pi}{4}[/m]

Так как

y`( [m]\frac{\pi}{6}[/m])=14sqrt(2)*cos([m]\frac{\pi}{6}[/m])-14=

=7sqrt(3)-14 >0

и

y`( [m]\frac{\pi}{3}[/m])=14sqrt(2)*cos([m]\frac{\pi}{3}[/m])-14=

=7-14 <0

При переходе через точку [m]x=\frac{\pi}{4}[/m] производная

y`=14sqrt(2)cosx-14

меняет знак с + на -

Значит, [m]x=\frac{\pi}{4}[/m] - точка максимума.

Это единственная точка экстремума на [m][0;\frac{\pi}{2}][/m]

В этой точке функция имеет наибольшее значение.

О т в е т. y( [m]\frac{\pi}{4}[/m] )=14sqrt(2) sin( [m]\frac{\pi}{4}[/m] )-14*( [m]\frac{\pi}{4}[/m] )+3,5π+3=17

Ответ выбран лучшим

Две точки: x=a и х=b, принадлежат отрезку [-9;8] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как
[m](\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{27})^2=(\sqrt[4]{3})^2-2\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[4]{27} +(\sqrt[4]{27})^2=[/m]

[m]=\sqrt{3}-2\sqrt[4]{3\cdot 27}+\sqrt{27}=[/m]

[m]=\sqrt{3}-2\sqrt[4]{81}+3\sqrt{3}=4\sqrt{3}-2\cdot 3=4\sqrt{3}-6[/m]

и
[m](\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{27})^2=(\sqrt[4]{3})^2+2\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[4]{27} +(\sqrt[4]{27})^2=[/m]

[m]=\sqrt{3}+2\sqrt[4]{3\cdot 27}+\sqrt{27}=[/m]

[m]=\sqrt{3}+2\sqrt[4]{81}+3\sqrt{3}=4\sqrt{3}+2\cdot 3=4\sqrt{3}+6[/m]

то

[m]((\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{27})^2+7)\cdot ((\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{27})^2-7)=[/m]

[m]=(4\sqrt{3}-6+7)\cdot(4\sqrt{3}+6-7)=(4\sqrt{3}+1)\cdot(4\sqrt{3}-1)=[/m]

[m]=(4\sqrt{3})^2-1^2=48-1=47[/m]

Ответ выбран лучшим

Функция y=1/cos^2x не является непрерывной на отрезке [π/4; 2π/3]

Это несобственный интеграл второго рода:

[m]\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{cos^2x}dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{2\pi }{3}}\frac{1}{cos^2x}dx=[/m]

[m]=(tgx)|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} +(tgx)_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{2\pi }{3}}=[/m]

Интеграл расходится, так как tgx при x → (π/2) -0 равен + ∞

при x → (π/2) +0 равен - ∞ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нет.
Например, функция y=|x| непрерывна 0, но производная не существует.

Если х ≥ 0 , то |x|=x

x`=1

Если х < 0, то |x|=-x

(-х)` = - 1

или так:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x+(1/4)>0 ⇒ x > -1/8
{lg(x^2+1) ≠ 0 ⇒ x^2+1 ≠ 1 ⇒ x^2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

[red]x ∈ (-1/8;0) U(0;+ ∞ )[/red]

Дробь неотрицательна...если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки ( с учетом второго неравенства ОДЗ, знаменатель не должен равняться 0) это приводит нас в двум системам неравенств:

[green]1)[/green]
{log_(0,1)(2x+(1/4))≥0 ⇒ log_(0,1)(2x+(1/4)) ≥ log_(0,1)1⇒ (2x+(1/4)) ≤ 1
{lg(x^2+1) >0 ⇒ lg(x^2+1) > lg1 ⇒ x^2+1> 1 ⇒ x^2>0 ⇒ x ≠ 0

или

[green]2)[/green]
{log_(0,1)(2x+(1/4)) ≤ 0 ⇒ log_(0,1)(2x+(1/4)) ≤ log_(0,1)1⇒ 2x+(1/4) ≥ 1
{lg(x^2+1) <0 ⇒ lg(x^2+1) < lg1 ⇒ x^2+1< 1 ⇒ x^2<0 - неравенство неверно при каких x, значит и вся система не имеет решений

[green]Из 1)[/green]
{2x ≤ 1-(1/4) ⇒ x < ≤ 3/8
{x ≠ 0

С учетом ОДЗ получаем ответ
(-1/8;0) U (0;3/8]

2.
Область определения
x+9 >0 ⇒ x> - 9

Находим производную:

y`=[m]\frac{2}{x+9}-2[/m]

y`=0

[m]\frac{2}{x+9}-2=0[/m]

[m]\frac{2-2\cdot (x+9)}{x+9}=0[/m]

[m]\frac{2-2x -18}{x+9}=0[/m]

[m]\frac{-2x -16}{x+9}=0[/m]

-2x-16=0
x=-8

Исследуем точку х=-8 на экстремум.

Проверяем знак производной при переходе через эту точку.
При x=-8,5
y`=(2/0,5)-2 >0, ставим + на интервале, содержащем точку (х=-8,5)т.е. на (-9;-8 )

(-9) _+_ (-8) ___-___

x=-8 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(-8)=2ln1-2*(-8)+13=16+13=29 - наибольшее значение функции.

y``=[m]-\frac{2}{(x+9)^2}<0[/m] на ОДЗ

Кривая выпукла вверх (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Два изделия, взятые из первой партии могут быть
1) оба бракованными
2) одно бракованное, второе нет
3) оба небракованными

Это и есть три гипотезы:

H_(1) - "оба изделия, переложенные во вторую партию, бракованные"
p(H_(1))=(2/12)*(1/11)=1/66

H_(2) - "изделия, переложенные во вторую партию, содержат одно бракованное"
p(H_(2))=(2/12)*(10/11)+(10/12)*(2/11)=20/66

H_(3) - "оба изделия, переложенные во вторую партию, небракованные"
p(H_(3))=(10/12)*(9/11)=45/66

Сумма вероятностей гипотез равна 1.
Значит гипотезы образуют полное пространство событий,
и поэтому выбраны верно.

Cобытие А-" из второй партии извлечена бракованная деталь)

p(A/H_(1))=4/12 ( 10+2=12 деталей, из них
бракованных:2+2 ( переложено)=4 )

p(A/H_(2))=3/12 ( 10+2=12 деталей,
из них 2+1(переложена)=3 бракованных)

p(A/H_(1))=2/12 ( 10+2=12 деталей, из них
бракованных:2+0 ( переложено)=2 )

По формуле полной вероятности:
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(1/66)*(4/12)+(20/66)*(3/12)+(45/66)*(2/12)= СЧИТАЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНО

Ответ выбран лучшим

О т в е т
Это расстояние АС.
Оно равно 12 (прикреплено изображение)

1.
[m]S=\int_{1}^{2}((4x+1-\frac{5}{x})dx=[/m]

[m](\frac{4x^2}{2}+x-5ln|x|)|^{2}_{1}=2\cdot (2^{2}-1^{2})+(2-1)-5\cdot ln2+5\cdot ln1=[/m]

[m]=7-5\cdot ln2[/m]

2.
{4^(x)-3>0 ⇒ 4^(x)>3 ⇒ x>log_(4)3
{4^(x)-1>0 ⇒ 4^(x)>1 ⇒ x>0

ОДЗ:(log_(4)3;+ ∞ )

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(3)(4^(x)-3)*(4^(x)-1)=1

4^(x)-3)*(4^(x)-1)=3

Замена переменной
4^(x)=t, [red]t >0 [/red]

(t-3)*(t-1)=3
t^2-3t-t+3=3
t^2-4t=0
t(t-4)=0
t=0 ( не удовл. усл.[red]t >0 [/red]) или t=4

4^(x)=4
х=1

x=1 входит в ОДЗ.

О т в е т. 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6xy-3y=6146-4x

y(6x-3)=2*(3073-2x)

[red]y=[m]\frac{2\cdot (3073-2x)}{3\cdot (2x-1)}[/m][/red]

y ∈ Z ⇒ [m]\frac{2\cdot (3073-2x)}{3\cdot (2x-1)}[/m] ∈ Z

2*(3073-2x)=3*(2x-1)*k, k ∈ Z

слева кратно двум, значит и справа k - четное.

Справа кратно тем, значит и слева кратно трем:
3073-2x= 3n, n∈ Z

3n+2x=3073
(линейная зависимость, график прямая)

x=200
n=891

y=[m]\frac{2*(3073-2x)}{3*(2x-1)}[/m] не целое, т.к
2х-1 не кратно 2

Далее ситуация повторяется.

Нет таких целых x и y.

1.

[m]sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}[/m]

[m]\int sin^23xdx=\int \frac{1-cos6x}{2}dx=\frac{1}{2}\int(1- cos6x)dx=[/m]

[m]=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int cos6x dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}\int cos6x d(6x)=[/m]

Разделили на 6( получили [m]\frac{1}{12}[/m] )
и умножили на 6
чтобы иметь

[b]d(6x)=(6x)`dx=6dx[/b]

[m]=\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}sin6x+C[/m]

2.

[m]cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}[/m]

[m]\int cos^28xdx=\int \frac{1+cos16x}{2}dx=\frac{1}{2}\int(1+ cos16x)dx=[/m]

[m]=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int cos16x dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{32}\int cos16x d(16x)=[/m]

Разделили на 16( получили [m]\frac{1}{32}[/m] )
и умножили на 16
чтобы иметь:

[b]d(16x)=(16x)`dx=16dx[/b]

[m]=\frac{1}{2}x+\frac{1}{32}sin16x+C[/m]

3.

[m]tg^2x=\frac{sin^2x}{cos^2x}=\frac{1-cos^2x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}-1[/m]

[m]\int tg^2x=\int( \frac{1}{cos^2x}-1)dx=\int \frac{1}{cos^2x}dx-\int dx=tgx-x+C[/m]

4.

[m]\int \frac{4x+1}{x-5}dx=\int \frac{4(x-5)+21}{x-5}dx=\int \frac{4(x-5)}{x-5}dx+\int \frac{21}{x-5}dx=[/m]

[m]=4\int dx+\int \frac{21d(x-5)}{x-5}=4x+21\cdot ln|x-5|+C[/m]

[b]d(x-5)=(x-5)`dx=dx[/b]

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx

[m]\int \frac{sin2x}{cosx}dx=\int \frac{2\cdot sinx\cdot cosx}
{cosx}dx=2\int sinxdx=2\cdot(-cosx)+C=[/m]

=[m]-2cosx+C[/m]

(3tgx-2cstgx)^2=(3tgx)^2-2*3tgx*2ctgx+(2ctgx)^2=9tg^2x-12+4ctg^2x=

[m]=9\cdot\frac{sin^2x}{cos^2x}-12+4\cdot\frac{cos^2x}{sin^2x}=9\cdot\frac{1-cos^2x}{cos^2x}-12+4\cdot\frac{1-sin^2x}{sin^2x}=[/m]

[m]=9\cdot\frac{1}{cos^2x}-9-12+4\cdot\frac{1}{sin^2x}-4=9\cdot\frac{1}{cos^2x}+4\cdot\frac{1}{sin^2x}-25=[/m]

Поэтому
[m]\int (3tgx-2ctgx)^2dx=\int (9\cdot\frac{1}{cos^2x}+4\cdot\frac{1}{sin^2x}-25)dx=[/m]

[m]=9tgx-4ctgx-25x+C[/m]

Ответ выбран лучшим

6xy-3y=26-4x

y(6x-3)=26-4x

y=[m]\frac{26-4x}{6x-3}[/m]

y ∈ Z ⇒ [m]\frac{26-4x}{6x-3}[/m] ∈ Z

26-4x=(6x-3)*k, k ∈ Z

26-4x=6xk-3k,
26+3k=(6k+4)*х
26+3k=2(3k+2)*х

26+3k - четное, значит
k- четное

k=2n, n ∈ Z

26+6n=2*(6n+2)*x

x= [m]\frac{26+6n}{2\cdot (6n+2)}[/m]

x= [m]\frac{13+3n}{6n+2}[/m]

x ∈ Z ⇒ [m]\frac{13+3n}{6n+2}[/m] ∈ Z

13+3n=(6n+2)*m, m∈ Z

13+3n - четное.

13+3n=2t, t∈ Z

2t-3n=13
(линейная зависимость, график прямая, см. рис.)

n=-1⇒ x= [m]\frac{13+3n}{6n+2}[/m] - не целое
t=5

n=2⇒ x= [m]\frac{13+3n}{6n+2}[/m] - не целое
t=-3

n=1⇒ x=2⇒ y=[m]\frac{26-4x}{6x-3}[/m]- не целое
t=8

Далее ситуация повторяется.

Нет таких целых x и y.

В условии точно 26 справа? (прикреплено изображение)

a)

vector{AB}+vector{AD}=vector{AC} - верно.

Это [red]правило параллелограмма[/red] нахождения суммы векторов.
Суммой двух векторов, выходящих их точки А является диагональ параллелограмма, выходящая из этой же точки.

б)
vector{AB} + vector{BD} = vector{AD} - верно.
это [red]правило треугольника[/red] нахождения суммы векторов.

Начало второго вектора совпадает с концом первого.
Тогда суммой является вектор, имеющий начало в точке А и конец в точке D

Так как
vector{AD} = vector{BC}, то
vector{AB}+vector{BD} = vector{BC} - верно.

в)
верно, так как
{OC} = vector{AO}
{OD} = vector{BO}

г) неверно, так как

По правилу треугольника
vector{BА} + vector{АС} = vector{BC}

vector{СB} = - vector{BC}

д) верно
так как
vector{OD} = - vector{OB}, то
vector{OD} + vector{OB}= vector{0}

vector{OА} = - vector{OС}, то
vector{OА} + vector{OС}= vector{0}

vector{OD} + vector{OB}= vector{0} =vector{OА} + vector{OС} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

[m]\int \frac{4\sqrt{1-x^2}+3x^2}{x^2-1}dx=-\int \frac{4\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}dx+\int \frac{3x^2}{x^2-1}dx=[/m]

[m]=-4\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx+3\int \frac{(x^2-1)+1}{x^2-1}dx=[/m]

[m]=-4\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx+3\int \frac{(x^2-1)}{x^2-1}dx+3\int \frac{1}{x^2-1}dx=[/m]

[m]=-4arcsinx+3x+\frac{3}{2}ln|\frac{x-1}{x+1}|+C[/m]

2.

cos2x=cos^2x-sin^2x

[m]\int \frac{cos2x}{sin^2x\cdot cos^2x}dx=\int \frac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x\cdot cos^2x}dx=[/m]

[m]=\int \frac{cos^2x}{sin^2x\cdot cos^2x}dx-\int \frac{sin^2x}{sin^2x\cdot cos^2x}dx=[/m]

[m]=\int \frac{1}{sin^2x}dx-\int \frac{1}{cos^2x}dx=-ctgx-tgx+C[/m]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
u=6x+11
du=6*dx

[m]\int \frac{dx}{(6x+11)^{4}}=\int (6x+11)^{-4}dx=\frac{1}{6}\int (6x+11)^{-4}\cdot (6dx)=[/m]

так как

[m]\frac{1}{6}\int u^{-4}du=\frac{1}{6}\cdot\frac{u^{-4+1}}{-4+1}=\frac{-1}{18u^3}+C[/m]

О т в е т. [m]\frac{-1}{18(6x+11)^3}+C[/m]

Замена переменной:
u=2-11x
du=-11*dx

[m]\int 3^{2-11x}dx=-\frac{1}{11}\cdot\int 3^{2-11x}\cdot(-11dx)=[/m]

так как
[m]-\frac{1}{11}\cdot\int 3^{u}du=-\frac{1}{11}\cdot \frac{3^{u}}{ln3} + C[/m]

[m]\int 3^{2-11x}dx=-\frac{3^{2-11x}}{11ln3}+C[/m]

Ответ выбран лучшим

{ax–4y=a–4
{x+ay=2a

Решаем способом сложения.
Умножаем первое уравнение на а, второе на 4
{a^2x–4ay=a^2–4a
{4x+4ay=8a

Cкладываем

a^2x+4x=a^2-4a+8a;
a^2x+4x=a^2+4a

x=[m]\frac{a^2+4a}{a^2+4}[/m]

Умножаем второе уравнение на (- а)
{ax–4y=a–4
{-ax-a^2y=-2a^2

Cкладываем

-4y-a^2y=a-4-2a^2

y=[m]\frac{2a^2-a+4}{a^2+4}[/m]

Составляем неравенство

x > y

[m]\frac{a^2+4a}{a^2+4}>\frac{2a^2-a+4}{a^2+4} [/m]

[m]\frac{a^2+4a}{a^2+4}-\frac{2a^2-a+4}{a^2+4}>0 [/m]

[m]\frac{a^2+4a-2a^2+a-4}{a^2+4}>0 [/m]

[m]\frac{-a^2+5a-4}{a^2+4}>0 [/m]

a^2-5a+4 <0

D=25-16=9
a_(1)=[m]\frac{5-3}{2}=1[/m] или a_(2)=[m]\frac{5+3}{2}=4[/m]

Решением неравенства a^2-5a+4 <0
является интервал (1;4)

О т в е т. [b](1;4)[/b]

Ответ выбран лучшим

√(x+10) + √(17+8x) +4x=2
ОДЗ:
{x+10 ≥ 0 ⇒ x ≥ -10
{17+8x ≥ 0 ⇒ x ≥ -17/8

ОДЗ:[-17/8;+ ∞ )

На этом промежутке и находятся корни уравнения.

Функция
y=√(x+10) возрастает на этом промежутке

Функция
y=√(17+8x) также возрастает на этом промежутке

y=4x тоже возрастает на этом промежутке

Сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Значит прямая y=2 пересекает график y=√(x+10) + √(17+8x) +4x
возрастающей функции только один раз.

Уравнение имеет один корень

х=-1 ( подбором нашли)

-1 ∈ [-17/8;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Делим равенство на y^2:

Получаем уравнение:

[m]\frac{x^2}{y^2}+1=2,5\cdot \frac{x}{y}[/m]

Замена переменной:

[m]t=\frac{x}{y}[/m]

t^2-2,5t+1=0

D=(-2,5)^2-4*1=2,25

[m]t=\frac{2,5\pm1,5}{2}[/m]

t=2 или t=[m]\frac{1}{2}[/m]

Обратный переход:
[m]\frac{x}{y}=2[/m]

x=2y

это значит х в два раза больше у, т. е х составляет 200% от у

или

[m]\frac{x}{y}=\frac{1}{2}[/m]

x=[m]\frac{y}{2}[/m]

это значит х в два раза меньше у, т. е х составляет 50% от у

Ответ выбран лучшим

Раскрываем знак модуля.

Подмодульные выражения обращаются в нуль в точках
х= 3 ; х= - 2; х= 4

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка.

Раскрываем знаки модулей на каждом:
[blue](-бесконечность;-2] [/blue]
|x-3|=-x+3
|x+2|=-x-2
|x-4|=-x+4

Уравнение принимает вид:
-x+3-x-2-(-x+4)=3
x=-6

-6 ∈ [blue](-бесконечность;-2] [/blue]

[b]x_(1)=-6[/b]

[green](-2;3][/green]

|x-3|=-x+3
|x+2|=x+2
|x-4|=-x+4

Уравнение принимает вид:
-x+3+x+2-(-x+4)=3
x=2

2 ∈ [green](-2;3][/green]

[b]x_(2)=2[/b]
[red](3;4][/red]
|x-3|=x-3
|x+2|=x+2
|x-4|=-x+4

Уравнение принимает вид:
x-3+x+2-(-x+4)=3
3x=8
x=[m]\frac{8}{3}[/m]

[m]\frac{8}{3}[/m] ∉ [red](3;4][/red]

Значит не является корнем уравнения

[blue](4;+ ∞ )[/blue]

|x-3|=x-3
|x+2|=x+2
|x-4|=x-4

Уравнение принимает вид:
x-3+x+2-(x-4)=3
x=0

0∉[blue](4;+ ∞ )[/blue]

Значит не является корнем данного уравнения.

Итак,
x_(1)=-6;
x_(2)=2
x_(1)*x_(2)=[b]-12[/b]

См также графическое решение уравнения: (прикреплено изображение)

1.4
F(x)=[m]\frac{6x^3}{3}+C=2x^3+C[/m]

Подставляем координаты точки K:
x=-1
F(x)=4

4=2*(-1)^3+C
C=6

О т в е т. г)

1.5
(x+3)(x+2) ≥ 0

__+__ [-3] ____ [-2] __+__

О т в е т. г)

Ответ выбран лучшим

Пусть x - коэффициент пропорциональности.
Тогда MN=25x; MK=26x

MO ⊥ пл. α

Проекция NO=7 ( меньшая наклонная имеет меньшую проекцию)
Проекция КO=10

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MNO:
[green]MO^2[/green]=MN^2-NO^2=[red](25x)^2-7^2 [/red]

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MKO:
[green]MO^2[/green]=MK^2-KO^2=[red](26x)^2-10^2 [/red]

Приравниваем правые части
(25x)^2-7^2=(26x)^2-10^2

10^2-7^2=(26x)^2-(25x)^2

100-49=(26x-25x)(26x+25x)
51=x*51x
x^2=1
x=1

О т в е т. MO=sqrt((25x)^2-7^2)
при x=1
MO=sqrt(25^2-7^2)=sqrt(576)=[b]24 см[/b] (прикреплено изображение)

f `(x) = (1+3x^2-x^3)`=6x-3x^2

f `(x)=0

6x-3x^2=0

3x(2-x)=0

x=0 или х=2

Знак производной

_-__ (0) __+__ (2) __-__

Отрезку [-1; 1] принадлежит только точка х=0

x=0 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

Значит наибольшее значение на отрезке [-1;1] функция может принимать на одном из концов этого отрезка

f(-1)=1+3-(-1)^3=5
f(1)=1+3-1=3

[b]Наибольшее значение в точке х=-1 равно 5[/b]

См. рис. Построен график у=1+3x^2-x^3

Интересует наибольшее значение внутри полосы от x=-1 до х=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(sqrt(7)-sqrt(3))^2=7-2*sqrt(3)*sqrt(7)+3

(sqrt(7)-sqrt(3))^2=10-2sqrt(21) ⇒

9+1-2sqrt(21)=(sqrt(7)-sqrt(3))^2

[b]9-2sqrt(7)=(sqrt(7)-sqrt(3))^2 - 1[/b]

(2sqrt(7)+sqrt(3))^2=28+4sqrt(21)+3

31+4sqrt(21)=(2sqrt(7)+sqrt(3))^2

[b]30+4sqrt(21)=(2sqrt(7)+sqrt(3))^2-1[/b]

[b]Если условие такое:[/b]
[m]\sqrt{9-2\sqrt{21}+1}+\sqrt{30+4\sqrt{21}+1}=[/m]

то

[m]\sqrt{10-2\sqrt{21}}+\sqrt{31+4\sqrt{21}}=[/m]

[m]=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}+\sqrt{(2\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}|=[/m]

[m]=|\sqrt{7}-\sqrt{3}|+|2\sqrt{7}+\sqrt{3}|=\sqrt{7}-\sqrt{3}+2\sqrt{7}+\sqrt{3}=3\sqrt{7}[/m]

log_(2)(4x-x^2-2) ≥ 5^(|x-2|)

[red]ОДЗ:[/red]
4x-x^2-2>0
x^2-4x+2 <0
D=16-8=8
x=2-sqrt(2); x=2+sqrt(2)

[red]2-sqrt(2) < x < 2+sqrt(2)[/red]

так как 5^(|x-2|)=5^(0)=1 - наименьшее значение функции y=5^(|x-2|)

log_(2)(4x-x^2-2) ≤ 1 при всех x ∈ (2-sqrt(2);2+sqrt(2))

то неравенство имеет решения только в случае

log_(2)(4x-x^2-2) = 5^(|x-2|)=1

т.е при x=2.

х=2 - единственное решение

О т в е т. [b]2[/b]

(прикреплено изображение)

Что то не так в условии.
У первых трех дробей знаменатель состоит из произведения двух множителей.

А у предпоследней дроби и последней не так.

Рассмотрим например такую сумму
[m]\frac{1}{909\cdot 910}+\frac{1}{910\cdot 911}+\frac{1}{911\cdot 912}+...\frac{1}{2018\cdot 2019}[/m]

Если сложить две дроби

[m]\frac{1}{909\cdot 910}+\frac{1}{910\cdot 911}=\frac{911}{909\cdot 910\cdot 911}+\frac{909}{910\cdot 911\cdot 909}=[/m]

[m]=\frac{911+909}{909\cdot 910 \cdot 911}=\frac{2\cdot 910}{909\cdot 910\cdot 911}=[/m]

то получим:

[m]=\frac{2}{909\cdot911}[/m]

Если сложить три дроби

[m]\frac{1}{909\cdot 910}+\frac{1}{910\cdot 911}+\frac{1}{911\cdot 912}=\frac{2}{909\cdot 911}+\frac{1}{911\cdot 912}=\frac{3\cdot 911}{909\cdot 911\cdot 912}=[/m]

то получим:

[m]=\frac{3}{909\cdot 912}[/m]

...
Если сложить четыре дроби

то получим:

[m]=\frac{4}{909\cdot 913}[/m]

и так далее

Осталось сосчитать сколько слагаемых.

У первой дроби второй множитель в знаменателе 910
У второй - 911
У третьей - 912

у последней 2019

Значит слагаемых (2019-909)=1110

Сумма

будет равна

[m]=\frac{1110}{909\cdot 2019}[/m]

6xy-3y=386-4x

[red]3y*(2x-1)=2*(193-2x)[/red]

Слева выражение делится на 3, значит и справа должно делиться на 3.
2 не может делиться на 3,
значит
193-2х=3n, n ∈ Z

[b]2x+3n=193[/b],n ∈ Z

C другой стороны, справа выражение делится на 2, значит и слева должно делиться на 2.

2х-1 не делится на 2 ни при каком целом х

значит, у делится на 2, т.е y=2k, k ∈ Z

[red]3y*(2x-1)=2*(193-2x)[/red]
[b]2x+3n=193[/b], n ∈ Z
[b]y=2k, k ∈ Z[/b]

x=5
y=61

x+y=5+61=[blue]66[/blue]

Считайте. (прикреплено изображение)

6xy-3y=98-4x

[red]3y*(2x-1)=2(49-2x)[/red]

Слева выражение делится на 3, значит и справа должно делиться на 3.
2 не может делиться на 3,
значит
49-2х=3n, n ∈ Z

[b]2x+3n=49[/b]n ∈ Z

C другой стороны, справа выражение делится на 2, значит и слева должно делиться на 2.

2х-1 не делится на 2 ни при каком целом х

значит, у делится на 2, т.е y=2k, k ∈ Z

[red]3y*(2x-1)=2(49-2x)[/red]
[b]2x+3n=49[/b]n ∈ Z
[b]y=2k, k ∈ Z[/b]

х=2
y=10

[blue]x+y=12[/blue]

[m]\frac{21(m^5)^6+3(m^3)^{10}}{(4m^{15})^2}=\frac{21m^{5\cdot6}+3m^{3\cdot 10}}{4^2\cdot m^{15\cdot 2}}=\frac{21m^{30}+3m^{30}}{16\cdot m^{30}}=[/m]

[m]=\frac{24m^{30}}{16\cdot m^{30}}=\frac{3}{2}=1,5[/m]

Ответ выбран лучшим

a) В_(1)D_(2)|| BD_(1)

В_(1)D_(2)= BD_(1)=12sqrt(3);
AB_(1)=12sqrt(2)
AD_(2)=sqrt(12^2+24^2)=sqrt(720)

Так как AD^2_(2)=AB^2_(1)+B_(1)D^2_(2), т.е справедлива теорема, обратная теореме Пифагора,то
∠ АВ_(1)D_(2)=90 °

б)
AD_(1)|| BC_(1)
AD_(1)|= BC_(1) = 12sqrt(2)
AC=12sqrt(2)
D_(1)C=12sqrt(2)

Δ AD_(1)C - равносторонний, все углы 60 °
О т в е т. 60 ° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

C_(1)D_(1)|| AB

Угол между C_(1)D_(1) и пл АВ_(1)С равен углу между АВ и пл АВ_(1)С.

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Проекция точки А есть сама точка А
Проекция точки B - основание перпендикуляра ВК, проведенного в
пл. ВВ_(1)O.

Искомый угол АВК находим из Δ АВК.

АВ=1
ВК=sqrt(3)/3

Из прямоугольного треугольника ВВ_(1)О
ВВ_(1)=1
ВО=sqrt(2)/2
B_(1)O=sqrt(3/2)

Применяя метод площадей ( вычисляя площадь ВВ_(1)О двумя способами: как половина произведения катетов и половина произведения основания на высоту) находим ВК.

sin ∠ ABK=BK/AB=[b]sqrt(3)/3[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АС||DF
AC=DF=sqrt(3)

Угол между DE_(1) и AC равен углу между DE_(1) и DF
Его можно найти из треугольника DFE_(1)

DF=sqrt(3)
DE_(1)=FE_(1)=sqrt(2)

Значит надо найти угол при основании равнобедренного треугольника DFE_(1)

сos ∠ FDE_(1)=(1/2)DF/DE_(1)=sqrt(3)/(2sqrt(2))=sqrt(3/8)
sin∠ FDE_(1)=sqrt(5/8)

tg∠ FDE_(1)=sqrt(5/3)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg ∠ FBF_(1)=FF_(1)/FB=1/sqrt(3)
∠ FBF_(1)=30 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Две плоскости A_(1)B_(1)C и C_(1)BD имеют две общие точки
Точку D и точку M ( точка пересечения В_(1)С и BC_(1))

Значит плоскости A_(1)B_(1)C и C_(1)BD пересекаются по прямой, соединяющей эти точки, т.е. по прямой MD.

Чтобы построить линейный угол двугранного угла надо провести перпендикуляры в каждой из плоскостей к линии их пересечения.

В равностороннем треугольнике ВС_(1)D (BD=BC_(1)=C_(1)D=sqrt(2))

медиана DM одновременно и высота Δ ВС_(1)D
DM ⊥ BC_(1)

BC_(1) ⊥ B_(1)C как диагонали квадрата.

∠ В_(1)MD - линейный угол двугранного угла между пл.
A_(1)B_(1)C и пл. C_(1)BD

∠ В_(1)MD=90 градусов

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В треугольнике B_(1)C_(1)D
B_(1)C_(1)=8
C_(1)D=8sqrt(2) ( диагональ квадрата DD_(1)C_(1)C со стороной 8)
В_(1)D=8sqrt(3) ( диагональ куба)

По теореме косинусов Из треугольника B_(1)C_(1)D

B_(1)D^2=B_(1)C^2_(1)+C_(1)D^2-2*B_(1)C_(1)*C_(1)D*cos φ

192=64+128-2*8*8sqrt(2)*cos φ

cos φ =0

φ =90 °

2 способ
B_(1)C_(1) ⊥ пл DD_(1)C_(1)C ⇒ B_(1)C_(1) ⊥ любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой C_(1)D

B_(1)C_(1) ⊥C_(1)D

Угол между ними 90 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Интересная задача. Рекомендую обратить на неё внимание! (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ
dxdy= ρ d ρ d φ

0 ≤ ρ ≤ 2
0 ≤ φ ≤ [m]\frac{\pi}{2}[/m]

[m]\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\rho cos\phi \cdot \rho sin\phi }{\rho }[/m]

[m]\int_{0}^{2}\int^{\sqrt{4–x^2}}_{0}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy=[/m]

[m]\int_{0}^{2}\int^{\frac{\pi }{2}}_{0}\frac{\rho cos\phi \cdot\rho sin\phi }{\rho }\rho d\rho d\phi =[/m]

[m]\int_{0}^{2}\rho^2d\rho \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin\phi d(sin\phi )=\frac{\rho^3}{3}|^{2}_{0}\cdot\frac{sin^2\phi }{2}|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{3}[/m]
(прикреплено изображение)

D: 0 ≤ x ≤ 1
-sqrt(1-x) ≤ y ≤ sqrt(1-x)

∫∫ _(D)xy^3dxdy= ∫ ^(1)_(0)xdx ∫^(sqrt(1-x)_(-sqrt(1-x))y^3dy=

= ∫ ^(1)_(0)x [m]\frac{y^4}{4}|^{\sqrt{1-x}}_{-\sqrt{1-x}}[/m]dx=

= ∫ ^(1)_(0)x*[m]\frac{(1-x)^2-(1-x)^2}{4}[/m]dx= ∫ ^(1)_(0)x*[red]0[/red]dx=0
(прикреплено изображение)

x= ρ cos φ
y= ρ sin φ
dxdy= ρ d ρ d φ

0 ≤ ρ ≤ 2
0 ≤ φ ≤ [m]\frac{\pi}{2}[/m]

[m]\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\rho cos\phi \cdot \rho sin\phi }{\rho }[/m]
[m]\int_{0}^{2}\int^{\sqrt{4-x^2}}_{0}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy=[/m]

[m]\int_{0}^{2}\int^{\frac{\pi }{2}}_{0}\frac{\rho cos\phi \cdot\rho sin\phi }{\rho }\rho d\rho d\phi =[/m]

[m]\int_{0}^{2}\rho ^2d\rho \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin\phi d(sin\phi )=\frac{\rho ^3}{3}|^{2}_{0}\cdot\frac{sin^2\phi }{2}|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{3}[/m]
(прикреплено изображение)

[m]lim_{n → ∞ }\frac{\sqrt{n^3+2n–1}}{n+1}[/m]= ∞

степень числителя (3/2) больше степени знаменателя (1)

1.
[m]y=\frac{5}{(3x+1)(7x-2)}[/m]

Знаменатель дроби не должен равняться 0.

(3х+1)(7х-2) ≠ 0

3х+1 ≠ 0 ⇒ х ≠ [m]\frac{-1}{3}[/m] и 7x-2 ≠ 0 ⇒ х ≠ [m]\frac{2}{7}[/m]

D(y)=(- ∞ ; [m]\frac{-1}{3}[/m] )U( [m]\frac{-1}{3}[/m] ; [m]\frac{2}{7}[/m])U([m]\frac{2}{7}[/m];+ ∞ )

2.
[m]y=\frac{3x}{x^2-0,3x-0,7}[/m]

Знаменатель дроби не должен равняться 0.

x^2-0,3x-0,7≠ 0
D=(-0,3)^2-4*(-0,7)=0,09+2,8=2,89

х ≠ [m]\frac{0,3-1,7}{2}[/m] и х ≠ [m]\frac{0,3+1,7}{2}[/m]

х ≠ - 0,7 и х ≠ 1

D(y)=(- ∞ ; - 0,7 )U( - 0,7 ; 1)U(1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

1)проекция = вектор синего цвета.
Проекция равна (-5)
Длина вектора по теореме Пифагора:
sqrt((-5)^2+5^2)=sqrt(25+25)=5sqrt(2)

2) проекция первого вектора равна ему самому.
длина вектора равна 7
проекция равна 7
3)
проекция = вектор желтого цвета.
Проекция равна 7
Длина вектора по теореме Пифагора:
sqrt(7^2+2^2)=sqrt(49+4)=sqrt(53)
4)
проекция = вектору зеленого цвета.
Проекция равна -2
Длина вектора по теореме Пифагора:
sqrt(2^2+5^2)=sqrt(4+25)=sqrt(29) (прикреплено изображение)

0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ sqrt(4-x^2)
cм. рис.1

∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy= ∫ ^(1)_(0)( ∫ ^(sqrt(4-x^2))_(0)f(x;y)dy)dx

0 ≤ y ≤ sqrt(3); 0 ≤ x ≤1

и

sqrt(3) ≤ y ≤ 2; 0 ≤ x ≤ sqrt(4-y^2)
см рис. 2
Область разбита на две части:

∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy= ∫ ^(sqrt(3))_(0)( ∫ ^(1)_(0)f(x;y)dx)dy+∫^(2)_(sqrt(3))( ∫ ^(sqrt(4-y^2))_(0)f(x;y)dx)dy (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-3 → (-3)^2=9
–2→ (-2)^2=4
–1→ (-1)^2=1
1 → 1^2=1
2 → 2^2=4
3 → 3^2=9

График состоит из шести точек
[b](-3;9);(-2;4);(-1;1);(1;1);(2;4);(3;9)[/b] ( рис.1)

Обратное соответствие
9 → (-3)
4 → (-2)
1 → (-1)
1 → 1
4 → 2
9 → 3

График График состоит из шести точек
[b](9;-3);(9;3);(4;-2);(4;2);(1;-1);(1;1)[/b] (рис. 2)

Противоположное данному
3 → 3^2=9
2→ 2^2=4
1→ 1^2=1
–1→ (-1)^2=1
–2→ (-2)^2=4
-3 → (-3)^2=9

График тот же, те же самые 6 точек. (прикреплено изображение)

Это прямая МК (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(n)=(sqrt(1+2)-2sqrt(1+1)+sqrt(1))+(sqrt(2+2)-2sqrt(1+2)+sqrt(2))+

+(sqrt(3+2)-2sqrt(3+1)+sqrt(3))+...+[blue](sqrt(n-2+2)-2sqrt(n-2+1)+sqrt(n-2))[/blue]+ [green](sqrt(n-1+2)-2sqrt(n-1+1)+sqrt(n-1))[/green]+[red](sqrt(n+2)-2sqrt(n+1)+sqrt(n))[/red]=

=-2sqrt(2)+sqrt(1)+sqrt(2)+sqrt(n-1+2)+sqrt(n+2)-2sqrt(n+1)=

=1-sqrt(2)+sqrt(n+2)-sqrt(n+1)

[m]\lim_{n \to\infty}S_{n}= \lim_{n \to\infty}(1-\sqrt{2}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})=[/m]

[m]=\lim_{n \to\infty}(1-\sqrt{2})+ \lim_{n \to\infty}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})=[/m]

[m]=(1-\sqrt{2})+ \lim_{n \to\infty}\frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}=[/m]

[m]=(1-\sqrt{2})+ \lim_{n \to\infty}\frac{(n+2)-(n+1)}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}=[/m]

=[m](1-\sqrt{2})+ \lim_{n \to\infty}\frac{1}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}=1-\sqrt{2}+0=1-\sqrt{2}[/m]

Сходится по определению. Существует предел n-ой конечной суммы

1).
1,5x^2-31,5x+120=0

Делим на 1,5:
x^2-21x+80=0

D=(-21)^2-4*80=441-320=121

x=[m]\frac{21\pm 11}{2}[/m]

x_(1)=5; x_(2)=16

2).
x^2 + 5x + 20 = 0;

D=5^2-4*20=25-80<0

уравнение не имеет корней

3) – x^2 + 15x – 102 = 0;

x^2-15x+102=0

D=(-15)^2-4*102=225-408 <0
уравнение не имеет корней

4) [red]1[/red]x^2 – 10x + 15 = 0;
странно. Обычно 1 не пишут.
Уточните

5) – x^2 – 8x – 68 = 0;
x^2+8x+68=0

D=8^2-4*68=64-344 <0
уравнение не имеет корней

6) 0,5x^2 – 0,5x – 1 = 0;
умножаем на 2:
x^2-x-2=0
D=1-4*(-2)=1+8=9

x=[m]\frac{1\pm 3}{2}[/m]

x_(1)=-1; x_(2)=2

7) 2x^2 – x + 5 = 0;
D=(-1)^2-4*2*5 <0
уравнение не имеет корней

8) 4,5x^2 + 45x + 94,5 = 0.

Делим на 4,5
x^2+10x+21=0
D=10^2-4*21=100-84=16
x=[m]\frac{-10\pm 4}{2}[/m]

x_(1)=-7; x_(2)=-3

Ответ выбран лучшим

По признаку Даламбера:

[m]\lim_{n \to\infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to\infty }\frac{\frac{((n+1)!)^2)}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}=\lim_{n \to\infty }\frac{((n+1)!)^2)\cdot(2n)!}{(2n+2)!)\cdot(n!)^2)}=[/m]

=[m]\lim_{n \to\infty }\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{4}<1[/m]

Сходится

(n+1)!=n!*(n+1)
(2n+2)!=(2n)!*(2n+1)*(2n+2)

16!=14!*15*16

1)
[m]\frac{5}{18}-\frac{7}{12}\cdot 0,5=\frac{5}{18}-\frac{7}{12}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{18}-\frac{7}{24}=\frac{20}{72}-\frac{21}{72}=-\frac{1}{72}[/m]

[m]-\frac{1}{72}:\frac{5}{18}=-\frac{1}{72}\cdot\frac{18}{5}=-\frac{1}{20}[/m]

[m]-\frac{1}{20}-\frac{2}{3}=-\frac{3}{60}-\frac{40}{60}=-\frac{43}{60}[/m]

2)
-6,5-(4,2-6,5)=-6,5-4,2+6,5=-4,2

-4,2+[m]\frac{5}{21}\cdot \frac{2}{3}=-\frac{42}{10}+\frac{10}{63}=\frac{-42\cdot63+10\cdot10}{630}=[/m]

Ответ выбран лучшим

1.
a)
непосредственная подстановка 2 вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{0}{0}[/m]

Устраняем неопределённость. Раскладываем числитель на множители по формуле:
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))*(x-x_(2))

[m]\lim_{x\to 2}\frac{x^2+5x-14}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+7)}{x-2}=[/m]

сокращаем на (х-2)

[m]\lim_{x\to 2}(х+7)=2+7=9[/m]

б) непосредственная подстановка (-7) вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{0}{0}[/m]

Устраняем неопределённость. Раскладываем числитель на множители по формуле разности квадратов:
x^2-64=(x-8)(x+8)

[m]\lim_{x\to -7}\frac{x^2-49}{x+7}=\lim_{x\to -7}\frac{(x-7)(x+7)}{x+7}=[/m]

сокращаем на (х+7)

[m]=\lim_{x\to -7}(х-7)=-7-7=-14[/m]

2.
a)
непосредственная подстановка ∞ вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{\infty }{\infty }[/m]

Устраняем неопределённость. Делим и числитель и знаменатель на x^5:

[m]\lim_{x\to \infty }\frac{x^2-x^3}{x^2-12x^5}=\lim_{x\to \infty }\frac{\frac{x^2-x^3}{x^5}}{\frac{x^2-12x^5}{x^5}}=[/m]

каждое слагаемое числителя делим на x^5 и каждое слагаемое знаменателя делим на х^5

[m]\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^2}{x^5}-\frac{x^3}{x^5}}{\frac{x^2}{x^5}-12\frac{x^5}{x^5}}=\frac{0-0}{0-12}=0[/m]

б)
непосредственная подстановка ∞ вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{\infty }{\infty }[/m]

Устраняем неопределённость. Делим и числитель и знаменатель на x^2:

[m]\lim_{x\to \infty }\frac{9x^2+2x-1}{1-x^2}=\lim_{x\to \infty }\frac{\frac{9x^2+2x-1}{x^2}}{\frac{1-x^2}{x^2}}=[/m]

каждое слагаемое числителя делим на x^2 и каждое слагаемое знаменателя делим на х^2

[m]\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{9x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}}=\frac{9+0-0}{0-1}=-9[/m]

3.
a)
Первый замечательный предел:
[m]\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1[/m]

Следствие из первого замечательного предела:
[m]\lim_{x\to 0}\frac{x}{tgx}=\lim_{x\to 0}xctgx=1[/m]

Поэтому

[m]\lim_{x\to 0}ctg(3x)\cdot sin4x=\lim_{x\to 0}\frac{(3x)}{3tg(3x)}\cdot\frac{4sin4x}{4x}=\frac{4}{3}\cdot 1\cdot 1=\frac{4}{3}[/m]

б) второй замечательный предел:

[m]\lim_{x \to\infty }(1+\frac{1}{x})^{x}=e[/m]

Следствие из второго замечательного предела:
[m]\lim_{x \to\infty }(1+\frac{k}{x})^{x}=e^{k}[/m]

Так как
[m]k=\frac{6}{5}[/m]

О т в е т. [m]e^{\frac{6}{5}}[/m]

в)
k=3

[m]\lim_{x \to\infty }(\frac{x+3}{x})^{4x}=\lim_{x \to\infty }(1+\frac{3}{x})^{x})^{4}=e^{3\cdot 4}=e^{12}[/m]

Ответ выбран лучшим

все верно

Ответ выбран лучшим

Находим n-ую частичную сумму:

[m]S_{n}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})+...+(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}})=[/m]

Перегруппировываем.

=[m](\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n}})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}})=[/m]

Применяем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

[m]=\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}}=1-(\frac{1}{2})^n+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3})^n)=[/m]

[m]=\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})^n-\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3})^n[/m]

[m]S=\lim_{n \to\infty }S_{n}=\lim_{n \to\infty }(\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})^n-\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{3})^n)=\frac{3}{2}[/m]

[red]По определению [/red]ряд [b]сходится,[/b] так как существует конечный предел n-ой частичной суммы.

Рассматриваем ряд из модулей:

[m]\sum (\frac{n}{2n-1})^{n}[/m]

По признаку Коши ряд сходится:

[m]\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{(\frac{n}{2n-1})^{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}<1[/m]

Данный знакопеременный ряд сходится абсолютно

Ответ выбран лучшим

По формуле:
(x^(n))`=nx^(n-1)

[m](\frac{4}{x^6})`=(4\cdot x^{-6})`=4\cdot (x^{-6})`=4\cdot (-6)x^{-6-1}=-24x^{-7}=-\frac{24}{x^{7}}[/m]

Ответ выбран лучшим

a)vector{OD};vector{BC};vector{FE}

б)vector{FO};vector{AB};vector{ED} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

√(3x^2+2x+4) = 13–4x-6x^2

[red]Замена:[/red]
√(3x^2+2x+4)=t
[blue]t ≥ 0[/blue]
тогда
3x^2+2x+4=t^2
6x^2+4x+8=2t^2
-6x^2-4x-8=-2t^2

Уравнение:
t=21-2t^2

2t^2+t-21=0
D=1-4*2*(-21)=169

t=[m]\frac{-1-13}{4} < 0[/m]

или

t=[m]\frac{-1+13}{4} =3>0[/m]

Обратный переход:
√(3x^2+2x+4)=3
Возводим в квадрат:
3x^2+2x+4=9

3x^2+2x-5=0
D=4+60=64
x=[m]\frac{-2-8}{6}=\frac{-5}{3} [/m]
или
х=[m]\frac{-2+8}{6}=1[/m]
О т в е т. [m]\frac{-5}{3} [/m]; 1

Ответ выбран лучшим

sin^2(x/2)=(1-cosx)/2;
cos^2(x/2)=(1+cosx)/2

Уравнение принимает вид
(1-cosx)/2-(1+cosx)/2=cos2x

-cosx=cos2x

-cosx=2cos^2x-1

2cos^2x+cosx-1=0

D=1+8=9

сosx=-1 или cosx=1/2

x=π+2πn, n ∈ Z или x= ± (π/3)+2πk, k ∈ Z

О т в е т. π+2πn, ± (π/3)+2πk, n, k ∈ Z

б) указанному отрезку принадлежат корни:

π+2π=3π
(π/3)+2π=7π/3
(-π/3)+2π=5π/3

Ответ выбран лучшим

Следствие из первого замечательного предела:
[m]\lim_{x\to 0}\frac{x}{tgx}=\lim_{x\to 0}xctgx=1[/m]

[m]\lim_{x\to 0}xctg(2x)=\lim_{x\to 0}\frac{(2x)}{2tg(2x)}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{(2x)}{tg(2x)}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}[/m]

Ответ выбран лучшим

Следствие из первого замечательного предела:
[m]\lim_{x\to 0}\frac{x}{tgx}=1[/m]

[m]\lim_{x\to 0}\frac{x}{tg(3x)}=\lim_{x\to 0}\frac{(3x)}{3tg(3x)}=\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\frac{(3x)}{tg(3x)}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}[/m]

Ответ выбран лучшим

2.
a)
1.
a) непосредственная подстановка ∞ вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{\infty }{\infty }[/m]

Устраняем неопределённость. Делим и числитель и знаменатель на x^2:

[m]\lim_{x\to \infty }\frac{3x^2+5}{5x-x^2}=\lim_{x\to \infty }\frac{\frac{3x^2+5}{x^2}}{\frac{5x-x^2}{x^2}}=[/m]

каждое слагаемое числителя делим на x^2 и каждое слагаемое знаменателя делим на х^2

[m]\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{3x^2}{x^2}+\frac{5}{x^2}}{\frac{5x}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}}=\frac{3+0}{0-1}=-3[/m]

б)
непосредственная подстановка ∞ вместо х приводит к ответу

[m]\frac{4 }{\infty }=0[/m]

Ответ выбран лучшим

2.
a) непосредственная подстановка ∞ вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{\infty }{\infty }[/m]

Устраняем неопределённость. Делим и числитель и знаменатель на x^2:

[m]\lim_{x\to \infty }\frac{7x^2+2x-6}{x^2+5}=\lim_{x\to \infty }\frac{\frac{7x^2+2x-6}{x^2}}{\frac{x^2+5}{x^2}}=[/m]

каждое слагаемое числителя делим на x^2 и каждое слагаемое знаменателя делим на х^2

[m]\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{7x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}-\frac{6}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{5}{x^2}}=\frac{7+0-0}{1+0}=7[/m]

б)
непосредственная подстановка ∞ вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{\infty }{\infty }[/m]

Устраняем неопределённость. Делим и числитель и знаменатель на x^4:

[m]\lim_{x\to \infty }\frac{x^2+2x^3}{x^2+x^4}=\lim_{x\to \infty }\frac{\frac{x^2+2x^3}{x^4}}{\frac{x^2+x^4}{x^4}}=[/m]

каждое слагаемое числителя делим на x^4 и каждое слагаемое знаменателя делим на х^4

[m]\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^2}{x^4}+\frac{2x^3}{x^4}}{\frac{x^2}{x^4}+\frac{x^4}{x^4}}=\frac{0+0}{0+1}=0[/m]

Ответ выбран лучшим

1.

a)

непосредственная подстановка (-5) вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{0}{0}[/m]

Устраняем неопределённость. Раскладываем числитель на множители по формуле:
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))*(x-x_(2))

[m]\lim_{x\to -5}\frac{x^2+3x-10}{x+5}=\lim_{x\to -5}\frac{(x-2)(x+5)}{x+5}=[/m]

сокращаем на (х+5)

[m]\lim_{x\to -5}(х-2)=-5-2=-7[/m]

б) непосредственная подстановка 8 вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{0}{0}[/m]

Устраняем неопределённость. Раскладываем числитель на множители по формуле разности квадратов:
x^2-64=(x-8)(x+8)

[m]\lim_{x\to 8}\frac{x^2-64}{x-8}=\lim_{x\to 11}\frac{(x-8)(x+8)}{x-11}=[/m]

сокращаем на (х-8)

[m]=\lim_{x\to 8}(х+8)=8+8=16[/m]

Ответ выбран лучшим

1.
a) непосредственная подстановка 11 вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{0}{0}[/m]

Устраняем неопределённость. Раскладываем числитель на множители по формуле разности квадратов:

[m]\lim_{x\to 11}\frac{x^2-121}{x-11}=\lim_{x\to 11}\frac{(x-11)(x+11)}{x-11}=[/m]

сокращаем на (х-11) ( x → 11, но не равен 11, поэтому x-11 → 0, но не равняется 0)

[m]\lim_{x\to 11}(х+11)=11+11=22[/m]

б)

непосредственная подстановка 3 вместо х приводит к

неопределённости [m]\frac{0}{0}[/m]

Устраняем неопределённость. Раскладываем числитель на множители по формуле:
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))*(x-x_(2))

[m]\lim_{x\to 3}\frac{x^2-x-6}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x+2)(x-3)}{x-3}=[/m]

сокращаем на (х-3)

[m]\lim_{x\to 3}(х+2)=3+2=5[/m]

Ответ выбран лучшим

SA=SB=SC=4, AB=AC=BC=6
SO–высота пирамиды
СE медиана и высота равностороннего треугольника АВС

СE=6sqrt(3)/2=3sqrt(3)

O–центр треугольника Δ АВС,
О–точка пересечения медиан ( Δ АВС–правильный).

СО=(2/3)·СE=(2/3)·3√3= 2√3,

EО=(1/3)·СE=(1/3)·3√3= √3

Из треугольника SOC:
SO^2=SC^2-CO^2=4^2-(2√3)^2=16-12=4
[b]SO=2[/b]

а)
В равнобедренном (SA=SB) треугольнике АSB:
MN–средняя линия треугольника Δ ASB,
MN||AB и MN=AB/2=3

SE ⊥ AB
SE- высота и медиана равнобедренного Δ ASB (SA=SB)
SK=KE

В треугольнике SEO:

SO ⊥ CO
KL || SO
КL- средняя линия Δ SEO
KL=[blue]SO/2[/blue]

LE=LO
OC=2EO=4LE
CL=CO+OL=4LE+LE=5LE
[b]CL:LE=5:1[/b]

б)
MNQP– сечение пирамиды плоскостью α.
MNQP-равнобедренная трапеция

Из подобия Δ ABC и Δ CPQ
PQ:AB=CL:CE=5:6
PQ=(5/6)AB=[b]5[/b]

KL=[blue]SO/2=1[/blue]
Проводим высоты из вершин M и N на PQ
Получаем два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник
По теореме Пифагора

MP=NQ=sqrt(2)

Р_(MNQP)=MN+NQ+PQ+MP=3+5+2sqrt(2)=[b]8+2sqrt(2)[/b]

О т в е т. 8+2sqrt(2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2a-4 ≥ 0 ⇒ a ≥ 2
{a^2-4a+3 ≥ 0 ⇒ D=16-12=4; корни 1 и 3 ⇒ a ≤ 1 или a ≥ 3
{a-1 ≥ 0 ⇒ a ≥ 1

a ∈ [3;+ ∞ )

А что нужно еще, уточняйте...

ОДЗ:
{x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
{1-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1
Выражение определено при x=1

Тогда при х=1

√7–2√x–1 + √7+2√1–x = sqrt(7)+sqrt(7)=2sqrt(7)

произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла:
x^2 4x-5=0
D=16 20=36
x_(1)=-5; x_(2)=1

При x=-5
sqrt(x) не имеет смысла.
Значит, только х=1 - корень уравнения

sqrt(x)-a=0
sqrt(x)=a
x=a^2

О т в е т. 1; a^2 - уравнение имеет два корня.

Ответ выбран лучшим

AK=AB*cos 68^(o)=[blue]38*cos 68^(o)[/blue]
KД=АД-АК=38-38*cos 68^(o)=[blue]38*(1-cos68^(o))[/blue]

Если угол не 68^(o), а 60^(o), то
AK=КД=19

(прикреплено изображение)

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=4/3
x_(1)*x_(2)=-2/3

Возводим первое в квадрат:
(x_(1)+x_(2))^2=16/9
Умножаем второе на -4
-4x_(1)x_(2)=8/3

Складываем

x^2_(1)-2x_(1)x_(2)+x^2_(2)=40/9 ⇒

(x_(1)-x_(2))^2=40/9

|x_(1)-x_(2)|=sqrt(40/9)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(2)_(-1)(4-x^2-(x^2-2x))dx=

=∫ ^(2)_(-1)(4-x^2-x^2+2x)dx=

=∫ ^(2)_(-1)(4-2x^2+2x))dx=

=(4x-(2x^3/3)+x^2)|^(2)_(-1)=(8-(16/3)+4)-((-4)+(2/3)+1)=[b]9[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(0)_(-1)(sqrt(x+1)-(x+1)^2)dx=

[m]=(\frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{(x+1)^3)}{3})|^{0}_{-1}=[/m]

[m]=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}[/m]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(3)_(0) ((2x-x^2+3)-(x^2-4x+3))dx= ∫ ^(3)_(0)(6x-2x^2)dx=

=(3x^2-(2x^3/3))|^(3)_(0)=3*3^2-(2*3^3/3)=27-18=[b]9[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(2)_(0)x^2sqrt(4-x^2)dx=
Замена переменной
x=2sint
dx=2costdt
Пределы интегрирования:
если x=2, то t=π/2
если x=0, то t=0

= ∫ ^(π/2)_(0)4sin^2t*sqrt(4-4sin^2t)*2costdt=

=16 ∫ ^(π/2)_(0)sin^2tcos^2tdt=

=4 ∫ ^(π/2)_(0)(4sin^2tcos^2t)dt=

=4 ∫ ^(π/2)_(0)sin^22tdt=

=4 ∫ ^(π/2)_(0)(1-cos4t)/2dt=

=2 ∫ ^(π/2)_(0) (1-cos4t)dt=

=(2t-2*(1/4)sin4t)| ^(π/2)_(0)=2*(π/2)=[b]π[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(1)_(0)sqrt(4-x^2)dx=(1/2)sqrt(4-x^2)|^(1)_(0)+2arcsin(x/2)|^(1)_(0)=

=(1/2)sqrt(3)-(1/2)sqrt(4)+2arcsin(1/2)-2arcsin0=

=2*(π/6)+sqrt(3)/2-1=(π/3)-1+sqrt(3)/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
[m]\frac{1}{x}=t[/m]

[m]x=\frac{1}{t}[/m]

[m]dx=-\frac{dt}{t^2}[/m]

[m]\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}=\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}[/m]

[m]\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=-\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=-arcsint+C=[/m]

[m]=-arcsin\frac{1}{x}+C[/m]

Ответ выбран лучшим

[m]\int \frac{x^2dx}{(x^2+1)^2}=\int \frac{(x^2+1-1)dx}{(x^2+1)^2}=\int \frac{(x^2+1)dx}{(x^2+1)^2}-\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=[/m]

[m]=\int \frac{dx}{x^2+1}-\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}=arctgx -(\frac{1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}arctgx)+C=[/m]

[m]=\frac{1}{2}arctgx-\frac{1}{2(x^2+1)}+C[/m]

Для вычисления второго интеграла применяем рекуррентную формулу

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

так как y`=[m]\frac{dy}{dx}[/m], то

y^2dy=(1-2x)dx

Интегрируем
∫ y^2dy= ∫ (1-2x)dx

[b]y^3/3=(x-x^2)+C[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Однородные решают заменой
[m]\frac{y}{x}=u[/m]
y=xu
y`=x`*u+x*u`
x`=1 ( так как х независимая переменная)

u+x*u`=[m]\frac{1}{u}[/m]+u

xu`=[m]\frac{1}{u}[/m]

так как u`=[m]\frac{du}{dx}[/m], то

x*[m]\frac{du}{dx}[/m]=[m]\frac{1}{u}[/m]

[m]udu=\frac{dx}{x}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными

u^2/2=ln|x|+lnc

(y/x)^2=2lncx

[b](y/x)^2=ln(Cx^2)[/b]

Ответ выбран лучшим

3.
4,5=[m]\frac{9}{2}[/m]=[m](\frac{3}{\sqrt{2}})^2[/m]

[m]\frac{\sqrt{2}}{3}[/m]=[m](\frac{3}{\sqrt{2}})^{-1}[/m]

Квадратное уравнение:
t^2-1,5t+0,5=0
t=[m](\frac{3}{\sqrt{2}})^{x}[/m]

D=2,25-4*0,5=0,25

t_(1)=[m]\frac{1,5-0,5}{2}=0,5[/m] или t_(2)=[m]\frac{1,5+0,5}{2}=1[/m]

Обратный переход от t к x:

[m](\frac{3}{\sqrt{2}})^{x}=\frac{1}{2}[/m]

[blue]x=log_(3/sqrt(2))1/2
[/blue]
[m](\frac{3}{\sqrt{2}})^{x}=1[/m]

[blue]x=0[/blue]

4.

формула синуса двойного угла:

sin2 α =2sin α cos α

Умножим и разделим на сos 10^(o)
[m]=\frac{64\cdot2sin10^{o}cos10^{o}cos80^{o}cos20^{o}sin50^{o}cos40^{o}sin70^{o}}{cos10^{o}}=[/m]

Так как

2sin10^(o)*cos10^(o)=sin20^(o)

то

[m]=\frac{32\cdot2sin20^{o}cos80^{o}cos20^{o}sin50^{o}cos40^{o}sin70^{o}}{cos10^{o}}=[/m]

так как
2sin20^(o)*cos20^(o)=sin40^(o)

то
[m]=\frac{16\cdot2sin40^{o}cos80^{o}sin50^{o}cos40^{o}sin70^{o}}{cos10^{o}}=[/m]

так как
2sin40^(o)*cos40^(o)=sin80^(o)

[m]=\frac{8\cdot2sin80^{o}cos80^{o}sin50^{o}sin70^{o}}{cos10^{o}}=[/m]

так как
2sin80^(o)*cos80^(o)=sin160^(o)=cos70^(o)

[m]=\frac{8sin160^{o}sin50^{o}sin70^{o}}{cos10^{o}}=\frac{4\cdot 2cos70^{o}sin50^{o}sin70^{o}}{cos10^{o}}=[/m]

так как
2sin70^(o)*cos70^(o)=sin140^(o)=cos50^(o)

[m]=\frac{4\cdot sin140^{o}sin50^{o}}{cos10^{o}}=\frac{2\cdot 2cos50^{o}sin50^{o}}{cos10^{o}}=\frac{2sin100^{o}}{cos10^{o}}=\frac{2cos10^{o}}{cos10^{o}}=2[/m]

О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

sinx ≠ 0

[m]a^{2}\cdot \frac{cos^2x}{sin^2x}-9a+a^2=4a\cdot sinx[/m]

[m]a^{2}\cdot \frac{1-sin^2x}{sin^2x}-9a+a^2=4a\cdot sinx[/m]

[m]a^{2}\cdot \frac{1}{sin^2x}- a^2-9a+a^2=4a\cdot sinx[/m]

[m]a^{2}\cdot \frac{1}{sin^2x}-9a=4a\cdot sinx[/m]

[m]4asin^3x+9asin^2x-a^2=0[/m]

при а=0 верно при любом х, таком, что sinx ≠ 0

[m]4sin^3x+9ain^2x=a[/m]

Обозначим

[m]sinx=t[/m]

Так как |sinx| ≤ 1, то требуется [i]найти значение а[/i], при котором уравнение:

a=4t^3+9t^2 [red] (#)[/red]

имеет хотя бы одно решение на [-1;1]

Решаем графически.

Строим [blue]кривую y=4t^3+9t^2[/blue]

Находим производную

[m]y`=12t^2+18t[/m]

y`=0

[m]12t^2+18t=0[/m]

[m]6t\cdot (2t+3)=0[/m]

t=0 и t=-3/2 - [i]точки возможного экстремума.[/i]

Применяем [i]достаточное условие экстремума[/i].

Знак производной

__+__ (-3/2) __-__ (0) _+___

x=0- [i]точка минимума.[/i]

y(0)=0
y(-1)=-4+9=5
y(1)=4+9=13

Строим график и по рисунку находим, что при a ∈ [0;13] уравнение [red](#)[/red] имеет хотя бы одно решение, а значит и данное уравнение имеет хотя бы одно решение

О т в е т. [0;13] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2-20x+y^2=0
x^2-2*10x+100+y^2=100
(x-10)^2+y^2=100 - уравнение окружности.

Пусть М(х;y) - точка на линии.

По условию
MK=MA

МК= y+1

Расстояние до окружности есть расстояние от этой точки до центра окружности минус радиус окружности.

МА =МО-АО=sqrt((x-10)^2+y^2)-10

Составляем равенство:
y+1=sqrt((x-10)^2+y^2)-10

y+11=sqrt((x-10)^2+y^2)

Возводим в квадрат:

y^2+22y+121=(x-10)^2+y^2

[b]22y+121=(x-10)^2 - уравнение параболы.[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4-x>0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
В условиях ОДЗ:
log_(4-x)(4-x)^2=2log_(4-x)(4-x)=2*1=[green]2[/green]

log_(0,5)log_(4-x)(4-x)^2=log_(0,5)[green]2[/green]=-1

Строим прямую
y=-1 на (- ∞ ;3)U(3;4)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Рис 1, красным цветом - множество А
Рис.2 синим цветом - множество В
рис.3 бардовый цвет
A ∩ B

y ≥ 1 - зеленым цветом.

(А ∩ В)\С= бардовое без зеленого ( причем прямую y=1 надо нарисовать пунктиром) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2+12x+9
y`=0
3x^2+12x+9=0
x^2+4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=(-4-2)/2=-3; x_(2)=(-4+2)/2=-1

Знак производной:
[-3] ___-__ (-1) _+__ [0]

x=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
Значит в этой точке функция принимает на указанном отрезке наименьшее значение

y(-1)=(-1)^3+6*(-1)^2+9*(-1)+21=17

О т в е т. 17

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
x=-2
y=1
argz= φ
tgφ =y/x=-1/2
φ =arctg(-1/2)+2πk, k ∈ Z
Главное значение
Arg z=arctg(-1/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(шара)=[m]\frac{4\pi \cdot R^3}{3}[/m]
По условию
V_(шара)=72

[m]\frac{4\pi\cdot R^3}{3}=72[/m]

[m]R^3=\frac{54}{\pi}[/m]

Радиус цилиндра совпадает с радиусом шара,
высота цилиндра - 2R

V_(цилиндра)=πR^2*H=π*R^2*(2R)=2πR^3=2π*[m]\frac{54}{\pi}[/m]=108

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета:
x_(1)+x_(2)=a^2-5
x_(1)*x_(2)=4a-1

По условию
сумма корней равна -6
значит,
a^2-5=-6
a^2=-1
уравнение не имеет решений.

Уточняйте условие.

Может там a^2-5a в скобках???

Тогда решение выглядит так :

По теореме Виета:
x_(1)+x_(2)=a^2-5а
x_(1)*x_(2)=4a-1

По условию
сумма корней равна -6
значит,
a^2-5а=-6
a^2-5а+6=0
D=25-24=1
a_(1)=(5-1)/2=2; a_(2)=(5+1)/2=3

[m](18-x):x=\frac{18-x}{x}[/m]

при х=1
[m]\frac{18-1}{1}=17[/m]
при х=2
[m]\frac{18-2}{2}=8[/m]
при х=3
[m]\frac{18-3}{3}=5[/m]
при х=6
[m]\frac{18-6}{6}=2[/m]
при х=9
[m]\frac{18-9}{9}=1[/m]

при х=5
[m]\frac{18-5}{5}=\frac{13}{5}=2,6[/m]
при х=6
[m]\frac{18-20}{20}=-0,1[/m]
при х=0
нельзя найти значение, на 0 делить нельзя.

По формуле:
2sin^2(α) =1-cos(2α )
поэтому

[m]2sin^2(\frac{7\pi }{8})=1-cos(2\cdot\frac{7\pi }{8})[/m]

sqrt(32)-sqrt(32*4)sin^2(7π/8)=sqrt(32)*(1-2sin^2(7π/8))=

=sqrt(32)*(1-1+cos(14π/8))=sqrt(32)*cos(7π/4)=

=sqrt(32)*sqrt(2)/2=4

Ответ выбран лучшим

1,2* 880 000 руб.= 1 056 000 руб. - долг на январь 2020 года
1 056 000 руб - 250 000 руб. = 806 000 руб.- долг к концу 2020 года

1,2*806 000 руб.= 967 200 руб - долг на январь 2021 года
967 200 руб - 250 000 руб = 717 200 руб. - долг к концу 2021 года

1,2*717 200 руб = 860 640 руб. - долг на январь 2022 года
860 640 руб. - 250 000 руб = 610 640 руб. - долг к концу 2022 года

1,2*610 640 руб = 732 768 руб. - долг на январь 2023 года
732 768 - 250 000 = 482 768 руб. - долг к концу 2023 года

1,2*482 768 руб.= 579 321,6 руб. - долг на январь 2024 года
579 321,6-250 000 - S = (329 321,6 - S )руб. -долг к концу 2024 года

1,2*(329 321,6 - S) руб - долг на январь 2025 года

1,2*(329 321,6- S) - 250 000 - S =0 долг выплачен к июлю 2025 года

Из уравнения
[blue]1,2*(329 321,6- S) - 250 000 - S =0 [/blue]
находим S:

2,2S=145 185,92

[red]S=65993, 6 руб[/red]

Ответ выбран лучшим

[link=https://reshimvse.com/zadacha.php?id=2226]
Вероятность равна 0,5

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат

x^3-4x^2+4x=1
x^3-1-4(x^2-x)=0
(x-1)(x^2+x+1)-4x(x-1)=0

(x-1)(x^2+x+1-4x)=0
(x-1)(x^2-3x+1)=0

х-1=0 или x^2-3x+1=0 D=9-4=5;

x_(1)=1 или x_(2)=(3-sqrt(5))/2; х_(3)=(3+sqrt(5))/2

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

23*1,5=34,5 кг сахара

35 килограммовых упаковок потребуется
О т в е т. 35

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 16 июля 16 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

d^2=4^2+2^2=16+4=20
d=2sqrt(5)
R=d/2=sqrt(5)

S_(круга)=π*R^2=π*(sqrt(5))^2=5π

О т в е т. 5π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Р=AD+DC+CB+AB
[blue]AD=CB[/blue]
60=AD+14+AD+26
AD=10

Проводим высоты DK и CM
Треугольники АDK и СMB равны
по гипотенузе и катету
AD=CB
DK=CM

AK=MB=(AB-DC)/2=(26-14)/2=6

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADK:
DK^2=AD^2-DK^2=10^2-6^2=100-36=64
DK=8

S_(трапеции)=[m]\frac{(DC+AB)\cdot DK}{2}=\frac{(16+24)\cdot 8}{2}=160[/m]

О т в е т. 160 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть собственная скорость теплохода х км в час
тогда (х+1) км в час - скорость по течению
(х-1) км в час - скорость против течения

[m]\frac{60}{x+1}[/m] час - время по течению

[m]\frac{20}{x-1}[/m] час - время против течения.
По условию путь от А до В теплоход прошел за 7 часов.
Уравнение:

[m]\frac{60}{x+1}+\frac{20}{x-1}=7[/m]

60(x-1)+20(x+1)=7(x-1)(x+1)

60х - 60 + 20х +20 =7х^2 - 7

7x^2-80x+33=0

D=6400-924=5476

x_(1)=(80-74)/14=3/7 < 1 не удовл смыслу задачу, скорость течения реки больше, теплоход не сможет плыть против течения;

x_(2)=(80+74)/14=11

О т в е т. 11 км в час

Ответ выбран лучшим

ОДЗ [red]x ∈ (- ∞ ;+ ∞) [/red]

Замена переменной:
3^(x^2)=u
u>0
3^(2x+3)=v
v>0

тогда
3^(2x^2)=(3^(x^2))^2=u^2
3^(x^2+2x+5)=3^(x^2)* 3^(2x+3)*3^2=9uv
3^(4x+6)=3^(2*(2x+3))= (3^(2x+3))^2=v^2

Неравенство принимает вид:

u^2+9u*v-10v^2 ≥ 0

Делим на v^2 ≠ 0

И обозначаем [m]\frac{u}{v}=t[/m]
t>0

t^2+9t-10 ≥ 0

D=81-4*(-10)=81+40=121

t_(1)=[m]\frac{-9-11}{2}=-10[/m] или t_(2)=[m]\frac{-9+11}{2}=1[/m]

__+__ [-10] _____ [1] __+__

t ≤ -10 или t ≥ 1

первое неравенство не выполняется ни при каком х ( так как t >0)

второе неравенство после обратной замены принимает вид
[m]\frac{3^{x^2}}{3^{2x+3}}\geq 1[/m]

3^(x^2-2x-3) ≥ 1

3^(x^2-2x-3) ≥ 3^(0)

Показательная функция с основанием 3 возрастает,[blue] большему[/blue] значению функции соответствует [blue]большее[/blue] значение аргумента

x^2-2x-3 ≥ 0

D=4+12=16

x=[m]\frac{2 ± 4}{2}[/m]

x_(1)=-1; x_(2)=3

__+_ [-1] ___ [3] _+__

О т в е т. [red](- ∞ :-1]U[3;+ ∞) [/red]

Ответ выбран лучшим

По формуле:
2cos^2 α =1+cos2 α
поэтому

[m]2cos^2(\frac{\pi }{12}+x)=1+cos2\cdot(\frac{\pi }{12}+x)=1+cos(\frac{\pi }{6}+2x)[/m]

По формулам приведения
[m]sin\alpha =cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )[/m]
поэтому
[m]sin(\frac{\pi }{3}-2x)=cos(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}+2x)=cos(\frac{\pi }{6}+2x)[/m]

Уравнение:

[m]cos(\frac{\pi }{6}+2x)=-2-2cos(\frac{\pi }{6}+2x)-1[/m]

[m]3cos(\frac{\pi }{6}+2x)=-3[/m]

[m]cos(\frac{\pi }{6}+2x)=-1[/m]

[m]\frac{\pi}{6}+2x=-\pi +2\pi n, n\in Z[/m]

[m]2x=-\pi-\frac{\pi }{6} +2\pi n, n\in Z[/m]

[m]2x=-\frac{7\pi }{6}+2\pi n, n\in Z[/m]

[red][m]x=-\frac{7\pi }{12}+\pi n, n\in Z[/m][/red]

о т в е т можно записать и так:

[red][m]x=\frac{5\pi }{12}+\pi k, k\in Z[/m][/red]

Указанному отрезку принадлежат корни:
[m]x_{1}=\frac{5\pi }{12}+\pi =\frac{17\pi }{12}[/m]

[m]x_{2}=\frac{5\pi }{12}+2\pi=\frac{29\pi }{12}[/m]

[m]x_{3}=\frac{5\pi }{12}+3\pi =\frac{41\pi }{12} [/m]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{9-9x >0 ⇒ x < 1
{x^2-3x+2 > 0 ⇒ D=9-8=1; x_(1)=1; x_(2)=2; x < 1 или x > 2
{x+4 > 0 ⇒ x > -4
[red]x ∈ (-4;1)[/red]
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
(при этом область определения изменяется, так как произведение положительно когда множители имеют одинаковые знаки: оба положительны ( как в ОДЗ) или оба отрицательны)
Наличие ОДЗ важно при решении таких неравенств.

log_(3)(9-9x) > log_(3)(x^2-3x+2)*(x+4)

Учитывая, что логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента и потому

(9-9x) > (x^2-3x+2)*(x+4)
так как
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
то
(x-1)*(x-2)*(x+4)-(9-9x) < 0

(x-1)*(x-2)*(x+4)+9(x-1) < 0

(x-1)((x-2)(x+4)+9) < 0

(x-1)(x^2+2x-8+9) < 0

(x-1)(x^2+2x+1) < 0

(x-1)*(x+1)^2 <0 ⇒

x < 1; x ≠ -1

о т в е т. (-4;-1)U(-1;1)

[m]7(x+\frac{1}{x})-2(x^2+\frac{1}{x^2})=9[/m]

Замена переменной:

[m]x+\frac{1}{x}=t;[/m]

Возводим в квадрат:

[m]x^2+2\cdot x \cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=t^2[/m]

откуда
[m]x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2[/m]

получаем уравнение:
7t -2(t^2-2)=9;

2t^2-7t+5=0

D=49-4*2*5=9

[m]t=\frac{(7\pm 3)}{4}[/m]

t_(1)=1; t_(2)=[m]\frac{5}{2}[/m]

Обратный переход от t к x:
[m]x+\frac{1}{x}=1;[/m]

уравнение не имеет корней.

[m]x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2};[/m]
уравнение имеет два корня:
x=2; x=[m]\frac{1}{2}[/m]

О т в е т.[m]\frac{1}{2}[/m]; 2

Ответ выбран лучшим

a)={3,4,5,6,7,8}
б)={1,3,4,5,7}
в)={2,4,5,6,7,8}
г)={1,2,3,4,5,8}
д)={5}
е)={8}
ж)={5,7}
з)= ∅
и)={4}
к)={2,8}
л)={1,3}
м=и)

5. 6 градусов в 24:00 ( см. рис.)

6. x^2=81 ⇒ x^2-81=0; (x-9)(x+9)=0
x-9=0 или х+9=0
х=9 или х=-9
О т в е т.x= ± 9

7.
28:35=12:х

х=35*12:28=[m]\frac{35\cdot12}{28}=\frac{5\cdot 12}{4}=5\cdot3=15[/m] км
(прикреплено изображение)

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=[green]-4[/green]
x_(1)*x_(2)=[blue]-9[/blue]

Корни нового уравнения
x_(3)=x_(1)+1
x_(4)=x_(2)+1

Тогда
x_(3)+x_(4)=х_(1)+1+х_(2)+1=[green]-4[/green]+2=-2
x_(1)*x_(2)=(х_(1)+1)*(х_(2)+1)=x_(1)*x_(2)+x_(2)+x_(1)+1=

=[blue]-9[/blue]+([green]-4[/green])+1=-12

О т в е т.
[red]x^2+2x-12=0[/red]

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=a
x_(1)*x_(2)=4a

(x_(1)+x_(2))^2=x^2_(1)+2x_(1)x_(2)+x^2_(2) ⇒

x^2_(1)+x^2_(2)=(x_(1)+x_(2))^2 - 2x_(1)x_(2)=(a)^2-2*(4a)[b]=a^2-8a[/b]

[blue]a^2-8a=9[/blue]

a^2-8a-9=0
D=64+36=100
a_(1)=(8-10)/2=-1; a_(2)=(8+10)/2=9

О т в е т. -1; 9

Ответ выбран лучшим

x^2-8xy+16y^2=(x-4y)^2

{(x-4y)^2=4 ⇒ x-4y= - 2 или x-4y = 2

{x-4y=-2 ⇒ x=4y-2
{xy+4y^2=6 ⇒ (4y-2)y+4y^2=6 ⇒ 8y^2-2y-6=0; 4y^2-y-3=0;D=49
y_(1)=(1-7)/8=-3/4; y_(2)=(1+7)/8=1
x_(1)=4*(-3/4)-2=-5; x_(2)=4*1-2=2

или

{x-4y=2 ⇒ x=4y+2
{xy+4y^2=6 ⇒ (4y+2)y+4y^2=6 ⇒ 8y^2+2y-6=0; 4y^2+y-3=0;D=49
y_(3)=(-1-7)/8=-1; y_(4)=(-1+7)/8=3/4
x_(3)=4*(-1)+2=-2; x_(4)=4*(3/4)-2=1

О т в е т. (-5;-3/4) (2; 1) (-2;-1) (1; 3/4)

d(прямоугольника)=sqrt(18^2+24^2)=sqrt(324+576)=sqrt(900)=30 мм
R=d/2=15 мм (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1)x^2 + 64 > 0 - неравенство верно при любом х
2)x^2–64 > 0 ⇒ (x-8)*(x 8) >0 ⇒ x < -8 или x > 8
3)x^2–64<0 ⇒ (x-8)*(x 8) <0 ⇒ -8 < x < 8 что и соответствует рисунку.
4)x^2+ 64<0 - не выполняется ни при каком х

О т в е т. 3)

Разложим число 7875 на простые множители:
7875=5^3*3^2*7

Делителем этого числа будет некое число
5^(x)*3^(y)*7^(z)*1^(n)

[blue]а) Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов?[/blue]

Пусть прогрессия b_(1);b_(2);b_(3) существует.
Тогда произведение её членов равно .
b_(1)*b_(2)*b_(3)=b_(1)*b_(1)*q*b_(1)*q^2=(b_(1)q)^3

b_(1)=1
b_(2)=5
b_(3)=5^2

b_(1)*b_(2)*b_(3)=125 является делителем числа 7875

О т в е т. Да.

[blue]б) Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов?[/blue]
b_(1)*b_(2)*b_(3)*b_(4)*b_(5)=(b_(1)q^2)^5

О т в е т. нет

[blue]в) Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?[/blue]

b_(1)*b_(2)*b_(3)*b_(4)=b^4_(1)q^6

b_(1)=1
q= ± sqrt(5)

Но тогда члены прогрессии не являются натуральными числами.

О т в е т. нет

[red]Ответ: а) да; б) нет; в) нет [/red]

Замена переменной:
2^(x)=t
[red]t>0[/red]
4^(x)=(2^(x))^2=t^2

Уравнение принимает вид:

at^2+(3a-2)*t+(a+1)=0

[blue]При а=0[/blue]

уравнение принимает вид:
-2t+1=0
t=1/2

2^(x)=1/2
x=-1

[blue]При a ≠ 0[/blue]
квадратное уравнение имеет корни при D ≥ 0

D=(3a-2)^2-4*a*(a+1)=5a^2-16a+4

D=0 квадратное уравнение имеет один корень
при 5a^2-16a+4 =0
a_(1)=(16-4sqrt(11))/10=(8-2sqrt(11))/5 и
при a_(2)=(8+2sqrt(11))/5

a_(1)>0
a_(2)>0

Обратная замена.
уравнение
2^(x)=a_(1) имеет один корень
x=log_(2)a_(1)
и
уравнение
2^(x)=a_(2) имеет один корень
x=log_(2)a_(2)

При D >0 квадратное уравнение имеет два корня
при 0 < a<a_(1) и при a >a_(2)

О т в е т.
при a=0;(8-2sqrt(11))/5; (8+2sqrt(11))/5
уравнение имеет один корень

при (- ∞ ; (8-2sqrt(11))/5) U((8+2sqrt(11))/5;+ ∞ ) два корня

14.
Несобственный интеграл первого рода

[m]\int_{1}^{+\infty }\frac{dx}{x\sqrt[3]{ln^2x}}=\int_{1}^{+\infty }ln^{\frac{-2}{3}}xd(lnx)=\frac{ln^{\frac{-2}{3}+1}x}{-\frac{2}{3}+1}|_{1}^{+\infty }=3\sqrt[3]{lnx}|_{1}^{+\infty }=\infty[/m]

расходится

15.
[m]\int_{0}^{3}\frac{x+4}{x}\cdot \frac{dx}{sin^22x}[/m]

х=0 - особая точка

sin2x ∼ 2x при х → 0

(sin2x)^2 ∼ 4x^2 при х → 0

[m]f(x)=\frac{x+4}{x}\cdot \frac{dx}{sin^22x}[/m] ∼ [m]\frac{x+4}{x}\cdot \frac {1}{4x^2}[/m] ∼ [m]\frac{1}{x^2}[/m] при х → 0 при х → 0

p=2 >1

интеграл расходится, значит и данный интеграл расходится.

Ответ выбран лучшим

y=5x^4–10x^2–9

Область определения (– ∞ ;+ ∞ )

y`=20x^3–20x

y`=0
20x^3-10x=0
20x(x^2-1)=0

x_(1)=0; x_(2)=-1; x_(3)=1

__-__ (–1) __+__ (0) __-__ (1) __+__

y`<0 на (– ∞ ;–1) и на (0;1) значит

функция возрастает на (– ∞ ;–1) и на (0;1)

y`> 0 на (–1 ;0) и на (1;+ ∞ ), , значит функция убывает

на (–1 ;0) и на (1;+ ∞ )

х=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

у(0)=-9

х=-1 и х=1 – точки минимума, производная меняет знак с – на +

y(-1)=y(1)=5-10-9=-14

y=(1/3)x^3–(5/2)x^2+6x

Область определения (– ∞ ;+ ∞ )

y`=x^2–5x+6

y`=0
x^2–5x+6=0
D=25-24=1
x1=(5–1)/2=2; x2=(5+1)/2=3

Знак производной на интервале
(1) __+__ (2) __–___ (3)

y`>0 на (– ∞ ;2) и на (3;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (2 ;3), значит функция убывает

х=2 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

у(2)=(1/3)·(2)^3–(5/2)*2^2+6*2=(8/3)-10+12=[b]14/3[/b]- наибольшее значение функции на (1;3)

Но наименьшего значения на (1;3) нет

На [1;3] есть.
Для этого находим значение функции на концах:

y(1)=(1/3)-(5/2)+6=23/6 < 4
y(3)=(1/3)·(3)^3–(5/2)*3^2+6*3=9-22,5+18=4,5>4
23/6 < 4,5
23/6 - наименьшее значение на [1;3]
14/3 - наибольшее значение на [1;3]

1.
Если u=lnx, то du=[m]\frac{dx}{x}[/m]
По формуле:
[m]\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=arcsinu+C[/m]

[m]\int_{e}^{1}\frac{\frac{dx}{x}}{\sqrt{1-(lnx)^2)}}=arcsin(lnx)|^{e}_{1}[/m]=
=[m]arcsin(lne)-arcsin(ln1))=arcsin1-arcsin0=\frac{\pi }{2}[/m]

2.
[m]\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)^2+1}=arctg(x+1)|^{+\infty }_{-\infty}=\frac{\pi }{2}-(\frac{-\pi }{2})= \pi[/m]

3.
По частям:
u=x
du=dx

dv=sinxdx
v=- cosx

[m]\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}xsinxdx=x(-cosx)|_{0}^{\frac{\pi }{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(-cosx)dx[/m]=

=[m]-\frac{\pi }{4}cos(\frac{\pi }{4})-0\cdot cos0+(sinx)|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=[/m]

[m]=sin\frac{\pi}{4}-\frac{\pi }{4}cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\frac{\pi }{4})[/m]

4. Замена переменной:
х=2sint
x=2costdt

x=0 ⇒ t=0
x=2 ⇒ t=[m]\frac{\pi }{2}[/m]

=[m]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(4-4sin^2t)^3}2costdt=16\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^4tdt=16\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1+cos2t}{2})^2tdt=[/m]

Возводим в квадрат.
первые два интеграла табличные, третий по той же формуле

cos^2(2x)=(1+cos4x)/2

Ответ выбран лучшим

а)
[m]\int \frac{e^{x}dx}{\sqrt[8]{1-e^x}}=\int (1-e^{x})^{\frac{-1}{8}}e^xdx=[1-e^x=u\Rightarrow -e^xdx=du]=[/m]
[m]=\int u^{\frac{-1}{8}}(-du)=-\frac{u^{-\frac{1}{8}+1}}{-\frac{1}{8}+1}+C[/m]
О т в е т.[m]\frac{8}{7}\sqrt[8]{(1-e^x)^7}+C[/m]

б)
2x^2+x-3=2(x-0,25)-3,125

x-0,25=u
dx=du

[m]\int \frac{19-4(u+0,25)du}{2u^2-\frac{25}{8}}=-\int\frac{4udu}{2u^2-\frac{25}{8}}+18\int \frac{du}{2u^2-\frac{25}{8}}=[/m]
[m]=-ln|2u^2-\frac{25}{8}|+9\frac{1}{2\cdot \frac{5}{4}}ln|\frac{u-\frac{5}{4}}{u+\frac{5}{4}}|[/m]+C

Ответ выбран лучшим

Одна сторона х см, вторая 2х см, третья (х+3) см
х+2х+(х+3)=23
4х=20
х=5
2х=10
х+3=8
О т в е т. 5; 8; 10

5 < 8 на 3
5 < 10 в два раза

(3a^2[red]+b[/red])^2=(3a^2)^2+2*3a^2*b+b^2=

=[red]9a^4[/red]+6a^2b+b[green]^2[/green] ( ! пропущена вторая степень у b)

Ответ выбран лучшим

9-x^2=0
x= ± 3

x+4=0
x=-4

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка.

___ (-4) ___ (-3) ____ (3) _____

Решаем на каждом:

[red]1) (- ∞ ; -4][/red]
|9-x^2|=x^2-9
|x+4|=-x-4
уравнение
x^2-9-x-4=10
x^2-x-23=0
D=1+92=93
x=(1 ± sqrt(93))/2
(1+sqrt(93))/2 ∉ (- ∞ ; -4]
[red] х=(1-sqrt(93))/2 - корень уравнения[/red]

[green]2) (-4;-3]
[/green]
|9-x^2|=x^2-9
|x+4|=x+4
уравнение
x^2-9+x+4=10
x^2+x-15=0
D=1+60=61
x=(-1 ± sqrt(61))/2
(-1 ± sqrt(61))/2 ∉ (-4;3]

[green]уравнение не имеет корней[/green]

3) (-3;3]
9-x^2+x+4=10
x^2-x-3=0
x=(-1 ± sqrt(13))/2

[red]оба корня принадлежат интервалу (-3;3][/red]

4) (3;+ ∞ )
x^2-9+x+4=10
x^2+x-10=0
x=(-1 ± sqrt(61))/2

x=(-1-sqrt(61))/2 не принадлежит интервалу (3;+ ∞ )

[red]х=(-1+sqrt(61))/2 - корень уравнения[/red]

О т в е т. 4 корня:
[red] (1-sqrt(93))/2;(-1 ± sqrt(13))/2; (-1+sqrt(61))/2 [/red]

Л) К\В={1,3}
М) А\К={4}

Ответ выбран лучшим

x(x^2-4x+3)=0
x=0 или x^2-4x+3=0; D=16-12=4; [m]x=\frac{(4\pm 2)}{2}[/m]
x=1;
x=3

О т в е т. 0; 1; 3.

По формулам приведения
[m]cos(\frac{\pi}{2} +2x)=-sin2x[/m]

[m]ctgx=\frac{cosx}{sinx}[/m]

Уравнение
[m]\frac{cosx}{sinx}[/m]-sin2x=0

[m]\frac{cosx}{sinx}[/m]-2sinx*cosx=0

cosx*([m]\frac{1}{sinx}[/m]-2sinx)=0

[blue]cosx=0[/blue] ⇒ x=[m]\frac{\pi }{2}+\pi n[/m] ,n ∈ Z

или

[m]\frac{1}{sinx}[/m]-2sinx=0

sin^2x=[m]\frac{1}{2}[/m]

sinx ≠ 0

[blue]sinx= ± [m]\frac{\sqrt{2}}{2}[/m][/blue]

x=[m]\pm \frac{\pi }{4}+\pi k[/m] ,k ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни:
[m]- \frac{\pi }{2}[/m]
[m]- \frac{\pi }{4}[/m]
[m] \frac{\pi }{4}[/m]
[m] \frac{\pi }{2}[/m]
[m] \frac{3\pi }{4}[/m] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

если [b]y=3 [/b]то 2,8–0,5y=2,8-0,5·3=2,8-1,5=[b]1,3[/b]

если[b] у=0,[/b] то 2,8–0,5y=2,8-0,5*0=[b]2,8[/b]

если [b]у= – 6,[/b] то 2,8–0,5·(–6)=2,8+3=[b]5,8[/b]

sqrt(600)=sqrt(6*100)=10sqrt(6)
sqrt(54)=sqrt(9*6)=3sqrt(6)

[m]\sqrt{600}-\frac{2}{3}\sqrt{54}-\sqrt{6} =[/m]
[m] 10\sqrt{6}-2\sqrt{6}-\sqrt{6} = 7\sqrt{6}[/m]

(прикреплено изображение)

Если
y=[m] \frac{4}{\sqrt{3x–1}}[/m]+[m]\frac{x}{|x|–6}[/m]
то область определения находим из системы двух условий:
подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель дроби не может быть равен 0
{3x-1>0 ⇒ x>[m]\frac{1}{3}[/m]

{|x|-6 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 6

О т в е т. ([m]\frac{1}{3}[/m];6)U(6;+ ∞ )

[m]\frac{1,27\cdot 10^{-3}}{5,41\cdot 10^{-4}}=\frac{1,27}{5,41\cdot 10^{-1}}=\frac{1,27}{0,541}=\frac{1270}{541}=[/m]

y_(1)=3cos(2π)=3*1=3
y_(2)=3cos(2π/2)=3cosπ=3*(-1)=-3
y_(3)=3cos(2π/3)=3*(-1/2)=-1,5
y_(4)=3cos(2π/4)=3cos(π/2)=0
y_(5)=3cos(2π/5)

Ответ выбран лучшим

20%+100%=120%
120%=1,2
Т.е. прибыль увеличивалась в 1,2 раза в год
1,2*1 400 000 руб. - прибыль в 2001 году

1,2*(1,2*1 400 000) руб. =1,2^2*1 400 000 руб. - прибыль в 2002 году

О т в е т. 1,2^4*1 400 000 руб. =2 903 040 руб. прибыль в 2004 году

Ответ выбран лучшим

x^4-3x^2-4=(x^2+1)(x^2-4)

Можно сократить на x^2-4 при условии, что x ≠ ± 2

График функции, которую требуется построить совпадает с графиком функции у=x^2+1 во всех точках, кроме х= ± 2

В этих точках "дырки" (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Квадратичная функция y=-3x^2+9x+c, график которой парабола, ветви вниз, принимает наибольшее значение в вершине
х_(o)=-b/2a=-9/2*(-3)=9/6=3/2=[b]1,5[/b]

y(1,5)=-3*(1,5)^2+9*1,5+c
По условию
y(1,5)=-5

-3*(1,5)^2+9*1,5+c=-5
[b]с= - 11,75[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x+2+2sqrt(x+1)=(sqrt(x+1))^2+2sqrt(x+1)+1=(sqrt(x+1)+1)^2

x+10+6sqrt(x+1)=(sqrt(x+1))^2+2*3*sqrt(x+1)+3^2=(sqrt(x+1)+3)^2

|sqrt(x+1)+1|+|sqrt(x+1)+3|=6
sqrt(x+1)+1+sqrt(x+1)+3=6
2sqrt(x+1)=2
sqrt(x+1)=1
x+1=1
[b]x=0[/b]

Ответ выбран лучшим

sqrt(45)*sqrt(605)=sqrt(9*5)*sqrt(121*5)=3sqrt(5)*11sqrt(5)=33*5=165

Ответ выбран лучшим

1.
-log_(2)0,001=log_(2)1000=lg1000/lg2=3/lg2

65^(3/lg2)^(1/9)=65^(1/3lg2)=65^(1/lg8)=65^(log_(8)10)
о т в е т. с)нет верного ответа

2.
y`=[m](\frac{x}{2})`[/m]+[m](\frac{2}{x})`[/m]=

=[m]\frac{1}{2}[/m]+2* [m](\frac{-1}{x^2})[/m]

y`(-0,5)=0,5-8=-7,5

о т в е т. b)-7,5

3.
f(x)=3sqrt(x)-2x

F(x)=3*(x^(3/2))/(3/2)-x^2+C- общий вид первообразных.

F(x)=2x*sqrt(x)-x^2+C

3=2*1*sqrt(1)-1^2+C

C=2

y=2x*sqrt(x)-x^2+2 первообразная, проходящая через точку (1;3)

При х=0 y=2

О т в е т. Ордината точки пересечения с осью ординат равна 2

4.
[m]7\frac{3}{4}\cdot 4=\frac{31}{4}\cdot 4=31[/m]

0,2:0,05=20:5=4

31+4=35

[m]35\cdot \frac{11}{5}=77[/m]

[m]77+4\frac{1}{3}=77+\frac{13}{3}=\frac{244}{3}[/m]

[m]\frac{244}{3}:100\cdot 1,5=1,22[/m]

5=1.

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
x=-sqrt(3)
y=2

r=|z|=sqrt((-sqrt(3))^2+2^2)=sqrt(7)

sin φ =y/r=-2/sqrt(7)
cos φ =x/r=-sqrt(3/7)

[b]Argz=arccos(-sqrt(3/7))[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
[i]z=x+iy[/i]
vector{[i]z[/i]}=[i]x-iy[/i]

[i]z^2=(x+iy)^2[/i]

[i]z^2*i*vector{z}=(x+iy)^2*i*(x-iy)=(x+iy)*(x-iy)*(xi+i^2y)=

=(x^2+y^2)*(xi-y)=-y(x^2+y^2)+i*x*(x^2+y^2)[/i]

[i]Im(z^2*i*vector{z})[/i]=x*(x^2+y^2)=x^3+xy^2

2.

z=(2i+1)(1-2i)^2+i*(2+3i)=

=(1-(2i)^2)*(1-2i)+2i+3i^2=

=(1+4)*(1-2i)+2i-3=

=5-10i+2i-3=

=2-8i

О т в е т. y=-8

Строим график y=|x^2-4|x||
и проводим прямую y=a

Сначала строим график
y=x^2-4|x|
Раскрываем знак модуля по определению
При x ≥ 0
|x|=x
y=x^2-4x - парабола ветви вверх, пересекает ось Ох в точках 0 и 4, вершина в точке
(2;-4)
(на рис. 1 часть которая соответствует пунктирной линии не учитываем, так как x ≥ 0)

При x <0
|x|=-x
y=x^2-4*(-x)
y=x^2+4x - парабола, ветви вверх, пересекает ось Ох в точках -4 и 0, вершина в точке (-2;-4)
Cм. рис. 2

Рис 3 график y=x^2-4|x| - объединение ( рис.1 и рис. 2)

y=|x^2-4|x||
Часть графика рис.3 , расположенную ниже оси Ох, отражаем симметрично вверх
получаем рис. 4

С прямой y=a, параллельной оси Ох
кривая имеет:
[b]При a=0 три корня
При а=4 четыре корня
При 0 < a < 4 шесть корней
При a > 4 два корня
При a< 0 нет корней[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
[red]x ≥ 0[/red]

Так как

2,25=[m]\frac{9}{4}=(\frac{3}{2})^2[/m]

[m]\frac{2}{3}=(\frac{3}{2})^{-1}[/m]

Уравнение примет вид:

[m]((\frac{3}{2})^{-1})^{4\sqrt{x}}[/m]=[m]((\frac{3}{2})^2)^{2\sqrt{x}-4}[/m]

[m]((\frac{3}{2})^{-4\sqrt{x}}[/m]=[m](\frac{3}{2})^{4\sqrt{x}-8}[/m]

-4sqrt(x)=4sqrt(x)-8

8sqrt(x)=8

sqrt(x)=1

x=1- удовлетворяет ОДЗ

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

Уравнение имеет решения при a+1 ≥ 0,
так как |x-4| ≥ 0 при любых х

При а=-1 уравнение принимает вид
|x-4|=0
и имеет единственный корень x=4

При a > -1 по определению модуля уравнение равносильно совокупности двух уравнений

[blue]х-4=a+1[/blue] или [red]x-4=-a-1[/red]

[blue]х=a+5[/blue] одно решение

или

[red]x+4=-a-1[/red]

[red]x= 3-a[/red] одно решение

О т в е т.
Уравнение не имеет корней при a < -1
Уравнение имеет один корень при a=-1
Уравнение имеет два корня: x=a+5 и х=3-а при а >-1

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{(a+3)x-2}{x-1}=0[/m]

{(a+3)x-2=0
{x-1 ≠ 0

При а= -3 первое уравнение принимает вид 0x-2=0
Уравнение не имеет корней.

При a ≠ - 3 уравнение имеет корень

[m]x=\frac{2}{a+3}[/m]

Исключаем те а, при которых x = 1
[m]\frac{2}{a+3}[/m] = 1

2=a+3
a= - 1

О т в е т. При a ≠ - 1; a ≠ -3 уравнение имеет единственный корень
[m]x=\frac{2}{a+3}[/m]

При a=-1; a=-3 уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{8+5x}{2-x}=2a[/m]

[m]\frac{8+5x}{2-x}-2a=0[/m]

[m]\frac{8+5x-4a+2ax}{2-x}=0[/m]

[m]\frac{(5+2a)x-4a+8}{2-x}=0[/m]

{(5+2a)x-4a+8=0
{2-x ≠ 0

При а=-2,5 первое уравнение принимает вид 0x+18=0
Уравнение не имеет корней.

При a ≠ -2,5 уравнение имеет корень

[m]x=\frac{4a-8}{5+2a}[/m]

Исключаем те а, при которых x = - 2
[m]\frac{4a-8}{5+2a}[/m] = - 2

4a-8=-10-4a
8a=-2
[m]a = -\frac{1}{4}[/m]

О т в е т. При [m]a ≠ -\frac{1}{4}[/m]; a ≠ -2,5 уравнение имеет единственный корень
[m]x=\frac{4a-8}{5+2a}[/m]

При [m]a = -\frac{1}{4}[/m]; a= -2,5 уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{x+5}{x+7}=\frac{a-x}{x+7}[/m]

[m]\frac{x+5}{x+7}-\frac{a-x}{x+7}=0[/m]

[m]\frac{x+5-a+x}{x+7}=0[/m]

[m]\frac{2x+5-a}{x+7}=0[/m]

{2x+5-a=0 ⇒ х=[m]\frac{a-5}{2}[/m]
{x+7 ≠ 0 ⇒ x ≠ -7

[m]\frac{a-5}{2}[/m] ≠ -7

а-5 ≠ -14

а ≠ - 9

О т в е т.

единственный корень при а ≠ -9

при а=-9 уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

а) по формуле:
S_(ромба)=a*a*sin α

S=4*4*sin45^(o)=16sqrt(2)/2=[b]8sqrt(2)[/b]

б)
V=(1/3)S_(осн)*Н(пирамиды)
PO=H
S_(осн)=(1/2)a*h*H
V=(1/6)a*h*Н
[red]a*h*H=37*6[/red]

Из подобия Δ РОВ и МТВ
PB:PO=MB:MT

5:H=3:MT
MT=3H/5

V_(пирамиды МАВС)=(1/3)S_(осн)*MT=(1/3)*(1/2)a*h*(3H/5)=(1/10)[red]*a*h*H[/red]=(1/10)*[red]37*6[/red]=0,6*37

Меньший из обЪЁмов
v=V_(пирамиды РАВС)-V_(пирамидыМАВС)=37-37*0,6=37*0,4=[blue]14,8[/blue]

в) V(призмы)=S_(осн)*Н

S_(осн)=[m]\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/m]

h_( Δ ABC)=[m]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/m]

H=h_( Δ ABC)*tg β

V=[m]\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/m]*[m]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/m]*tg β =

=[m]\frac{3a^3}{8}tg β [/m] (прикреплено изображение)

a)
2x^2-x+3=0
D=1-4*2*3 < 0
квадратное уравнение не имеет корней.
Значит, парабола у=2x^2-x+3 не пересекает ось Ох и расположена выше оси ох, так как а=2>0

Неравенство верно при любом х

О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ )

б)[red]ОДЗ:[/red]
{x^2-4x > 0 ⇒ x(x-4) > 0 ⇒ x < 0 или x > 4
{х-3 > 0 ⇒ x > 3
{x - 3 ≠ 1 ⇒ x ≠ 4

[red]x ∈ (4;+ ∞ )[/red]

2=log_(x-3)(x-3)^2

log_(x-3)(x^2-4x) ≤ log_(x-3)(x-3)^2

При x ∈ ОДЗ
x-3 > 1
значит логарифмическая функция [i]возрастает[/i]
[blue]БОльшему[/blue] значению функции соответствует [blue]бОльшее[/blue] значение аргумента:

x^2-4x ≤ (x-3)^2

x^2-4x ≤ x^2-6x+9

2х ≤ 9

x ≤ 4,5

C учетом ОДЗ:

О т в е т. (4; 4,5]

Ответ выбран лучшим

Так как
сos2x=cos^2x-sin^2x

sin2x=2sinxcosx

2=2*(cos^2x+sin^2x)

Получаем однородное тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному:

3sin^2x+4sinxcosx+cos^2x=0

Делим на cos^2x ≠ 0

3tg^2x+4tgx+1=0

D=16-12=4

tgx= - 1 или tgx= - [m]\frac{1}{3}[/m]

x=-[m]\frac{π}{4}[/m]+πk, k ∈ Z или x=arctg(-[m]\frac{1}{3}[/m])+πn, n ∈ Z

О т в е т. а)
[red]x=-[m]\frac{π}{4}[/m]+πk, k ∈ Z[/red] или [red]x=arctg(-[m]\frac{1}{3}[/m])+πn, n ∈ Z[/red]
б) отбор корней:
при k=-2
x=-[m]\frac{π}{4}[/m]-2π = -[m]\frac{9π}{4}[/m] получаем первый корень, принадлежащий
отрезку.

при n=-2
x=arctg(-[m]\frac{1}{3}[/m])-2π получаем второй корень, принадлежащий
отрезку.

при k=-1
x=-[m]\frac{π}{4}[/m]-π= -[m]\frac{5π}{4}[/m]получаем третий корень, принадлежащий
отрезку.

при n=-1
x=arctg(-[m]\frac{1}{3}[/m])-π получаем четвертый корень, принадлежащий
отрезку.

cм. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
[red]x > 0[/red]

По формуле перехода к другому основанию:

[m]log_{\frac{1}{2}}x=\frac{log_{2}x}{log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{log_{2}x}{-1}=-log_{2}x[/m]

Уравнение принимает вид:
(log_(2)x)^(2)-3log_(2)x+2=0

Замена переменной:
[red]log_(2)x=t[/red]

Квадратное уравнение:
t^2-3t+2=0

D=9-8=1

[m]t=\frac{3\pm 1}{2}[/m]

t_(1)=1; t_(2)=2

Обратный переход

log_(2)x=1
[blue]x=2[/blue]

log_(2)x=2
[blue]x=4[/blue]

Оба корня входят в ОДЗ

О т в е т. 2; 4

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(x-1)(x^2+2)>0 ⇒ x-1>0 ⇒ x>1
{x^2+3x-4>0 ⇒ D=9+16=26; x=[m]\frac{(-3\pm5)}{2}[/m]; x<-4 или x>1
{x>0

так как [green]1=log_(2)2[/green]

Перепишем неравенство:

log_(2)(x–1)(x^2+2) +[b]log_(2)x[/b]≤ [green]log_(2)2[/green]+log_(2)(x^2+3x–4)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(2)x*(x-1)*(x^2+2) ≤ log_(2)2*(x^2+3x-4)

Логарифмическая функция с основанием 2 >1 [red]возрастает[/red], значит
[blue]бОльшему[/blue] значению функции соответствует [blue]бОльшее [/blue]значение аргумента

x*(x-1)*(x^2+2) ≤ 2*(x^2+3x-4)

х*(х-1)*(x^2+2)-2*(x-1)(x+4) ≤ 0

(x-1)*(x^3+2x-2x-8) ≤ 0

(x-1)*(x^3-8) ≤ 0

(x-1)*(x-2)*(x^2+2x+4) ≤ 0

(x-1)(x-2) ≤ 0

__+_ [1] _-_ [2] _+__
x ∈ [1;2]
C учетом ОДЗ получим

о т в е т.(1;2]

Ответ выбран лучшим

[m]9^{cosx}+\frac{1}{9^{cosx}}=\frac{10}{3}[/m]

Замена переменной:
9^(cosx)=t
t>0

Уравнение
[m]t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}[/m]

сводится к квадратному:

3t^2-10t+3=0
t ≠ 0

D=100-4*3*3=64
[m]t=\frac{10 ± 8}{6}[/m]

t_(1)=[m]\frac{1}{3}[/m] или t_(2)=3

Обратно:

9^(cosx)=[m]\frac{1}{3}[/m];
3^(2cosx)=3^(-1)
2cosx=-1

cosx=-1/2
[blue]x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z[/blue]

или

9^(cosx)=3
3^(2cosx)=3^(1)
2cosx=1

cosx=1/2
[blue]x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z[/blue]

Указанному отрезку принадлежат корни:
[red]х_(1)=(π/3)+2π=7π/3
х_(2)= (2π/3)+2π=8π/3
х_(3)=(-2π/3)+4π=10π/3[/red]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

∠ МОЕ=37,6 ° -15,79 ° =21,81 °
∠ КОЕ= ∠ МОЕ + 13,2 ° =21,81 ° +13,2 ° =35,01 °

∠ РОК= ∠ РОМ+ ∠ МОЕ+ ∠ КОЕ=37,6 ° +21,81 ° +35,01 ° =94,42 ° (прикреплено изображение)

МС - высота пирамиды. Это наименьшее боковое ребро.

Проекцией боковых ребер BM и DM является стороны ВС и DC квадрата.
Проекцией бокового ребра АМ является диагональ АС квадрата.

Так как диагональ квадрата больше его стороны,
и [red]большая [/red]наклонная имеет [red]большую[/red] проекцию и наоборот.

BM=DM - [blue]среднее [/blue]боковое ребро
AM - наибольшее боковое ребро

По теореме Пифагора из прямоугольного Δ MCD:
MC^2=MD^2-CD^2=15^2-9^2=225-81=144
MC=12

S_(бок)=S_( Δ ABM)+S_( Δ BCM)+S_( Δ DCM)+S_( Δ AMD)=

(так как Δ ABM= Δ AMD;Δ BCM= Δ DCM
все треугольники прямоугольные по теореме о трех перпендикулярах)

=2*S_( Δ ABM)+2*S_( Δ BCM)=

=2*(AB*BM)/2+2*(BC*MC)/2=

=9*15+9*12=9*(15+12)=9*27=[b]243 см^2[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АВ_(1)В:
AB= [i]l[/i]*cos β
BB_(1)= [i]l[/i]*sinβ

H_(призмы)=Н_(цилиндра)= [i]l[/i]*sinβ

[i]h[/i]_(ромба)=[i]h [/i]= AB*sinα = [i]l[/i]*cosβ*sin α

r(окр. впис в ромб)=[m]\frac{h}{2}[/m]=[m]\frac{lcos\beta sin\alpha }{2}[/m]

S_(бок. пов. цилиндра)=2πr*H=
=[m]2\pi \frac{lcos\beta sin\alpha }{2}\cdot lsin\beta =\pi l^{2}sin\alpha sin\beta cos\beta =\frac{\pi l^{2}sin\alpha sin2\beta }{2}[/m]

О т в е т. [red][m]\frac{\pi l^{2}sin\alpha sin2\beta }{2}[/m][/red] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если ∠ ВСА > 90 ^(o), то см. рис
BK < AB <6
4,5 < AB < 6
AB=5 см

О т в е т. [red]5 см[/red] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(x^3+ax^2-2ax+3)`=3x^2+2ax-2a

Если y`>0 функция возрастает

Найдем при каких значениях a y`>0

3x^2+2ax-2a >0 при любом х ⇒ D>0

D=(2a)^2-4*3*(-2a)=4a^2+24a

4a^2+24a >0
4a(a+6) >0

_+__ (-6) ___ (0) _+__

[red](- ∞ ;-6) U(0;+ ∞ )[/red]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{3x>0 ⇒ x>0
{x+6>0 ⇒ x > -6

ОДЗ: [red]х ∈ (0;+ ∞ )[/red]

По формуле перехода в к другому основанию:
log_(1/9)(x+6)=log_(3)(x+6)/log_(3)(1/9)=-(1/2)*log_(3)(x+6)

Уравнение
log_(3)(3x)- (1/2)log_(3)(x+6)=1

умножаем обе части на 2

2log_(3)(3x)-log_(3)(x+6)=2

2=log_(3)9

log_(3)(3x)^2=log_(3)(x+6)+log_(3)9

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(3)(3x)^2=log_(3)9*(x+6)

(3x)^2=9*(x+6)

x^2=x+6

x^2-x-6=0
D=25
х_(1)=-2; х_(2)=3

x_(1) не удовл ОДЗ

О т в е т. 3

10x+5ax=13+15a+2a
(10+5a)x=13+17a
x=(13+17a)/(10+5a) - корень уравнения

По условию корень уравнения больше 2.

Составляем неравенство:

(13+17а)/(10+5а) >2

(13+17a)/(10+5a) - 2 >0

(13+17a-20-10a)/(10+5a)>0

(7а-7)/(10+5а) >0
МЕТОД интервалов:
Нуль числителя: 7а-7=0; а=1
Нуль знаменателя: 10+5а=0 ; а=-2

_+__ (-2) ___ (1) __+__

О т в е т. (- ∞ ;-2) U(1;+ ∞ )

S_( Δ ABC)=[m]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}[/m], где а - сторона основания

По условию
S_( Δ ABC)=4sqrt(3)

[m]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}[/m]=4sqrt(3) ⇒ а^2=16 ⇒[blue] a=4[/blue]

V(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*Н

По условию
S_(осн)=[blue]4sqrt(3)[/blue]
V(пирамиды)=8/sqrt(3)

(1/3)*([blue]4sqrt(3)[/blue])*Н=[m]\frac{8}{\sqrt{3}}[/m]

[blue]H=2[/blue]

По теореме Пифагора
SA^2=SO^2+АО^2

SO=H=2
AO=R=[m]\frac{a\sqrt{3}}{3}[/m]=[m]\frac{4\sqrt{3}}{3}[/m]

SA^2=2^2+([m]\frac{4\sqrt{3}}{3}[/m])^2=4+([m]\frac{48}{9}[/m])=

=[m]\frac{84}{9}=\frac{28}{3}[/m]

[m]\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}[/m]

SA=[m]2\cdot \sqrt{\frac{7}{3}}[/m]

О т в е т.[red] [m]2\cdot \sqrt{\frac{7}{3}}[/m][/red] (прикреплено изображение)

(a+2)x+[m]\frac{1}{x}[/m]=2a

Приводим к общему знаменателю:

[m]\frac{(a+2)x^2-2ax+1}{x}=0[/m]

Дробь равна нулю если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0

(a+2)x^2-2ax+1=0
x ≠ 0

Уравнение
(a+2)x^2-2ax+1=0
при a=-2
имеет вид
4x+1=0
x=-1/4 - решение уравнения.

При a ≠ -2 это квадратное уравнение, причем х=0 не является корнем, так как 0+0+1=0 - неверно

Квадратное уравнение имеет одно решение при D=0

D=(-2a)^2-4*(a+2)=4a^2-4a-8=4(a^2-a-2)

D=0 при а=-1 и а=2

О т в е т. -2; 1; 2

x- любое, кроме нуля
При х=0 неравенство 0^2>0 неверно.
О т в е т. (- ∞;0)U(0;+ ∞ )

Возможна и графическая иллюстрация решения.
Для этого строим параболу y=x^2
x^2>0 при всех х кроме х=0

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos^2(x/2)=(1+cosx)/2

sin2x+(1+cosx)=1

sin2x+cosx=0

2sinx*cosx+cosx=0

cosx*(2sinx+1)=0

cosx=0 ⇒ [blue]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/blue]

2sinx+1=0 ⇒ sinx=-1/2 ⇒ [blue]x=(-1)^(n)*(-π/6)+πn, n ∈ Z[/blue]

Отрезку [3π/2; 3π]
принадлежат корни:

[red]x_(1)=3π/2
x_(2)=(-1)^(2)*(-π/6)+2π=11π/6
x_(3)=5π/2[/red] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-1>0 ⇒ x<-1 или х > 1
{(x+1)/(x-1) > 0 ⇒ x<-1 или х > 1

[red]x ∈ (- ∞ ;-1)U(1;+ ∞ )[/red]

Применяем свойство логарифма частного:

log_(6)(x^2-1) ≤ 3log_(6)|x+1| -3 log_(6)|x-1|

Применяем свойство логарифма степени
log_(6)(x^2-1) ≤ log_(6)|x+1|^3 - log_(6)|x-1|^3

log_(6)(x-1)(х+1)+ log_(6)|x-1|^3 ≤ log_(6)|x+1|^3

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(6)(x-1)(х+1)*|x-1|^3 ≤ log_(6)|x+1|^3

Так как основание логарифмической функции [green]6 >1[/green], функция возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

[b](x-1)*(x+1)*|x-1|^3 ≤ |x+1|^3[/b]

Раскрываем знаки модулей на ОДЗ:

[blue]при x ∈ (- ∞ ;-1)[/blue]
(x-1)(x+1)*(-(x-1))^3 ≤ (-(x+1))^3
(x-1)^4*(x+1) ≥ (x+1)^3

(x+1)*((x-1)^4-(x+1)^2) ≥ 0
(x+1)(x^4-4x^3+6x^2-4x+1-x^2-2x-1) ≥ 0
(x+1)(x^4-4x^3+5x^2-6x) ≥ 0
(x+1)*x*(x-3)*(x^2-x+2) ≥ 0

x^2-x+2 >0 при любом х, так как D=1-8<0
(x+1)*x*(x-3) ≥ 0

___ [-1] _+__ [0] _______ [3] __+__

на (- ∞ ;-1) нет решений

[blue]при x ∈ (1;+ ∞ 1)[/blue]
(x-1)(x+1)*((x-1))^3 ≤ ((x+1))^3
(x-1)^4*(x+1) ≤ (x+1)^3

(x+1)*((x-1)^4-(x+1)^2) ≤ 0
(x+1)(x^4-4x^3+6x^2-4x+1-x^2-2x-1) ≤ 0
(x+1)(x^4-4x^3+5x^2-6x) ≤ 0
(x+1)*x*(x-3)*(x^2-x+2) ≤ 0

x^2-x+2 >0 при любом х, так как D=1-8<0
(x+1)*x*(x-3) ≤ 0

_-__ [-1] ___ [0] ___-____[3] ___

на (1 ;+ ∞ )
1< x ≤ 3 - решение неравенства

О т в е т. (1;3]

y`=4^(x^2+8x+33)*ln4*(x^2+8x+33)`

y`=4^(x^2+8x+33)*ln4*(2x+8)

y`=0 ⇒ 2x+8=0 ⇒ x=-4

x=-4 так как производная при переходе через точку меняет знак
с -на +

y(-4)=4^((-4)^2+8*(-4)+33)=4^(17) - минимум функции

Ответ выбран лучшим

АК=h( Δ АВС)=8sqrt(3)/2=4sqrt(3)

ОК=(1/3)АК=4sqrt(3)/3

В прямоугольном треугольнике РОК
ОК=PK*cos30^(o)

РК=ОК/cos30^(o)=(4sqrt(3)/3) :(sqrt(3)/2)=(8/3)

Апофема боковой грани равна (8/3)

S_(пол)=3S_( ΔPAB)+S_( ΔABC)=

=(3*(1/2)*8*(8/3) + 8sqrt(3)/4=

= [b]32+2sqrt(3)[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{y= a + sqrt(x);
{y= - 2x + 1

Приравниваем правые части
a + sqrt(x) = - 2x + 1

2x + sqrt(x) + a - 1 = 0

Квадратное уравнение относительно sqrt(x)

Замена переменной:
sqrt(x) = t
t ≥ 0

2t^2 + t + (a-1) = 0
По теореме Виета:

t_(1)+t_(2)=-1/2 ⇒ либо оба корня отрицательны, либо один.
t_(1)*t_(2)=(a-1)/2

Если оба корня отрицательны, то их произведение положительно, значит
(a-1)/2 >0
[b]при a>1 уравнение не имеет корней[/b]

[b]При a=1[/b]
уравнение принимает вид:
2t^2+t=0
t*(2t+1)=0
t=0 или 2t+1=0 ( не удовл. условию t ≥ 0)

t=0 ⇒ sqrt(x)=0 ⇒ x=0 [b]уравнение имеет один корень[/b]

[b]При a < 1 [/b], произведение корней уравнения 2t^2 + t + (a-1) = 0
отрицательно, значит один корень положителен
Поэтому и данное [b]уравнение имеет один корень[/b]

О т в е т. при а ∈ (- ∞ ;1] уравнение имеет один корень,
при a ∈ (1;+ ∞ ) - уравнение не имеет корней.

См. также графическое решение на рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cм. рис.
Из прямоугольного треугольника АС_(1)В
АВ=sqrt(15^2-12^2)=9

В основании квадрат
АВ=ВС=9

Из прямоугольного треугольника ВС_(1)С
СС_(1)=sqrt(12^2-9^2)=sqrt(144-81)=sqrt(63)=3sqrt(7)

СС_(1)= H ( призмы)= 3sqrt(7)

S _ ( бок)=P(основания)*Н=4*9*3sqrt(7) [b]=118sqrt(7)[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

200 000 : 100=2 000 руб составляет 1% уставного капитала

2 000 * 19=38 000 руб внес [b]Митя[/b]

0,24*200 000 = 48 000 руб внес [b] Миша[/b]
Так как Артем внес 55 000 руб, то

200 000 -(38 000 +55 000 +48 000)=59 000 руб. внес [b]Игорь[/b]

Игорю причитается
59/200

1000 000 *(59/200)=295 000 руб

Руководителя можно выбрать двумя способами.
Трех мальчиков из семи
C^(3)_(7)=7!/(3!*(7-3)!)=35 способами.
Двух девочек из восьми
С^(2)_(8)=8!/(2!*(8-2)!)=28 способами.

Группу ( руководитель;3 мальчика; две девочки) по правилу умножения
2*35*28 способами

Ответ выбран лучшим

(х+1)(х+4)(х+8)/(х-1)(х-4)(х-8) + 1 ≥ 0

[b]([/b](x+1)(x+4)(x+8)+(x-1)(x-4)(x-8) [b])[/b]/(x-1)(x-4)(x-8) ≥ 0

[b]([/b](x^2+5x+4)(x+8)+(x^2-5x+4)(x-8) [b])[/b]/(x-1)(x-4)(x-8) ≥ 0

[b]([/b]x^3+5x^2+4x+8x^2+40x+32+x^3-5x^2+4x-8x^2+40x-32 [b])[/b]/(x-1)(x-4)(x-8) ≥ 0

(2x^3+88x)/(x-1)(x-4)(x-8) ≥ 0

2х(x^2+44)/(x-1)(x-4)(x-8) ≥ 0

x/(x-1)(x-4)(x-8) ≥ 0

Применяем метод интервалов:

_+__ [0] _-_ (1) ___+___ (4) ___-___ (8) ___+___

О т в е т. (- ∞ ;0] U(1;4)U(8;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

≈ 50 000 человек составляют 100%
≈ 500 человек составляют 1%

500*1,2=600 человек составляют 1,2%

50 000 - 600 = 49 400 человек численность в 1994 году

49400 человек в 1995 году составляют 100%
494 человека - 1%
494*2,4 ≈ 1185

О т в е т. ≈ 1185 человек

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета
x_(1)*x_(2)=a/(a-1)

Так как по условию один корень положительный, значит второй неположительный
Значит их произведение неположительно

a/(a-1) ≤ 0 ⇒ __+_ [0] ____-___ (1) __+_ ⇒ a ∈ [b] [0;1)[/b]

Ответ выбран лучшим

r=S/p

p=(4+5+7)/2=8

S=sqrt(p*(p-a)(p-b)*(p-c)=sqrt(8*(8-4)*(8-5)*(8-7))=sqrt(96)=4sqrt(6)

r=4sqrt(6)/8=sqrt(6)/2
Так как радиус окружности, вписанной в этот треугольник больше 1,2, то ответ: да.
sqrt(6)/2 >1,2
sqrt(6)>2,4
6>2,4^2=5,76

О т в е т. Да, поместится. Так как радиус окружности, вписанной в этот треугольник больше 1,2

Ответ выбран лучшим

Равенство
(5х+6у)/(2х-у+7)=4/3
представляет собой пропорцию
Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
3*(5х+6у)=4*(2х-у+7)
15х+18у=8х-4у+28
15х-8х+18у+4y=28
7x+22y=28
Значит,
7х+22у+1=28+1=29
О т в е т. 29.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+3>0 ⇒ x > - 3
{x+3 ≠ 1 ⇒ x ≠ - 2
{(1+x^2)/(1-x^2)>0 ⇒ 1-x^2 > 0 ⇒ -1 < x < 1

x ∈(–1;1)

Так как
0=log_(x+3)1

Неравенство принимает вид:
log_(x+3)(1+x^2)/(1-x^2) > log_(x+3)1

При x ∈(–1;1) ,
2<x+3<4
логарифмическая функция возрастает, тогда
(1+x^2)/(1-x^2) > 1

(1+x^2)/(1-x^2) - 1 > 0

(1+x^2-1+x^2)/(1-x^2) > 0
2x^2/(1-x^2) >0

x ≠ 0
x ∈ (–1;0)U(0;1)

C учетом ОДЗ получаем ответ:

[b](-1;0) U(0;1)[/b]

ОДЗ:
{x-2>0 ⇒ x >2
{x- 2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{3x-x^2>0 ⇒ x(3-x) > 0 ⇒ 0 < x < 3

[b]x ∈(2;3) [/b]

Так как
2=log_(x-2)(x-2)^2

Неравенство принимает вид:
log_(x-2)(3x-x^2) [b] ≤[/b] log_(x-2)(x-2)^2

так как при x ∈(2;3)
0<x-2<1, логарифмическая функция убывает, тогда
3x-x^2 [b]≥[/b] (x-2)^2

3x-x^2 ≥ x^2-4x+4

2x^2-7x+4 ≤ 0

D=49-4*2*4=17

корни x_(1)=(7-sqrt(17))/4; х_(2)=(7+sqrt(17))/4

[b]x ∈[ (7-sqrt(17))/4; (7+sqrt(17))/4 ][/b]

(7+sqrt(17))/4 < 3
так как
7+sqrt(17) < 12
sqrt(17) < 5

C учетом ОДЗ получаем ответ:
[b](2;(7+sqrt(17))/4 ][/b]

ОДЗ:
{0,25x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{0,25x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 2
{(x+6)/4>0 ⇒ x>-6

[b]x ∈(-6;-2)U(-2;0)U(0;2)U(2;+ ∞ ) [/b]

Так как
1=log_(0,25x^2)0,25x^2

Неравенство принимает вид:
log_(0,25x^2)(x+6)/4 ≤ log_(0,25x^2)0,25x^2

[b]Если[/b]
0,25x^2>1, логарифмическая функция возрастает, тогда
(х+6)/4 ≤ 0,25x^2

[b]Если[/b]
0<0,25x^2<1, логарифмическая функция убывает, тогда
(х+6)/4 ≥ 0,25x^2

Решаем первую систему:
{0,25x^2>1 ⇒ x^2>4 ⇒ (- ∞ ;-2)U(2;+ ∞ )
{x+6-x^2 ≤ 0 ⇒ x^2-x-6 ≥ 0 D=25; корни -2 и 3 ⇒ (- ∞ ;-2]U[3;+ ∞ )

[b]x ∈ (- ∞ ;-2)U[3;+ ∞ )[/b]

Решаем вторую систему:
{0< 0,25x^2<1 ⇒ 0<x^2<4 ⇒ (-2;0)U(0;2)
{x+6-x^2 ≥ 0 ⇒ x^2-x-6 ≤ 0 D=25; корни -2 и 3 ⇒ [-2;3]

[b]x ∈ (-2;0)U(0;2)[/b]

C учетом ОДЗ получаем ответ:
[b](-6;-2)U(-2;0)U(0;2)U[3;+ ∞ )[/b]

ОДЗ:
х+(π/3)>0

[b]x> -(π/3)[/b]

Квадратное уравнение
2cos^2x+3cosx-2=0
D=9-4*2*(-2)=25
корни
cosx=-2 или cosx=1/2

cosx=-2 уравнение не имеет корней, так как
-1 ≤ cosx ≤ 1

cos=1/2
x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z

x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

Учитывая ОДЗ получаем ответ
x= ± (π/3)+2πn, n ∈ [b]N[/b]

Ответ выбран лучшим

2.2
Вероятность вынуть первый раз чёрный шар равна (6/10).
После этого в коробке 9 шаров, из них 5 черных
Вероятность вынуть второй раз черный шар, равна 5/9
По правилу умножения вероятность вынуть черный шар И первый раз И второй раз равна произведению вероятностей:
p=(6/10)*(5/9)=1/3

2.3
Сечение, проходящее через две образующие - равнобедренный треугольник с углом 120 градусов при вершине.
S_(сечения)=(1/2)*L*L*sin120^(o)

(1/2)L^2*sqrt(3)/2= 4 sqrt(3)

L^2=16

L=4

В прямоугольном треугольнике катет, против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Поэтому H(конуса)=2
R=sqrt(4^2-2^2)=2sqrt(3)

V=(1/3)πR^2*H=(1/3)*π*(2sqrt(3))^2*2= [b]8π cм^3[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.1
Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:
log_(2)25/log_(2)5=log_(5)25=2
1.2
4^(x)=(2^(2))^(x)=2^(2x)
8=2^3

2^(2x)>2^(3)
2x>3
x>3/2
О т в е т. (1,5;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Так как диагональ квадрата равна 4sqrt(2), то значит сторона квадрата равна 4 см.
Одна сторона квадрата - это высота цилиндра.
H=4 cм
Вторая сторона квадрата - хорда основания.
АВ=4 см.
Треугольник АОВ - равносторонний, ∠ АОВ - центральный, измеряется дугой, на которую опирается и потому равен 60^(o)

AO=OB=R=4

S_(пол)=S_(бок)+2S_(осн)=2πRH+2πR^2=2π*4*4+2π*4^2-

=64π

Ответ выбран лучшим

1.1
Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:
log_(2)25/log_(2)5=log_(5)25=2
1.2
4^(x)=(2^(2))^(x)=2^(2x)
8=2^3

2^(2x)>2^(3)
2x>3
x>3/2
О т в е т. (3/2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Сечение конуса Δ МАВ - равнобедренный..
Высота МН делит хорду пополам
АН=НВ=4 см
Δ ОНВ - прямоугольный египетский
ОВ=R=5 см
HB=4 см
Следовательно, ОН=3 см

Δ МАВ образует с основанием угол 60°

Чтобы построить линейный угол двугранного угла
проводим ОН⊥ АВ.
∠ ОНМ=60^(o)

В прямоугольном треугольник ОНМ
∠ ОМН=30 °
Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы
ОН=3 см

Значит, HM=6 см
МО=sqrt(НМ^2-OH^2)=sqrt(6^2-3^2)=sqrt(27)=3sqrt(3)
h(конуса)=МО=3sqrt(3)

Объем конуса находим по формуле
V=(1/3)S_(осн)*h=(1/3)πr²*h=(1/3)*π*25*(3√3)= [b]25π√3 cм³[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как sqrt(5+sqrt(24))*sqrt(5-sqrt(24))=1,
то sqrt(5+sqrt(24))=1/sqrt(5-sqrt(24)).

замена переменной:
(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=t, тогда
(sqrt(5-sqrt(24)))^(x)=1/t,
t ≠ 0

Уравнение
t+(1/t)=10
сводится к квадратному:
t^2-10t+1=0
D=100-4=96
t=5 ± sqrt(24)

Обратный переход
(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=sqrt(5+sqrt(24))
х=1

или

(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=sqrt(5-sqrt(24))
(sqrt(5+sqrt(24))^(x)=(sqrt(5+sqrt(24)))^(-1)
х= - 1

О т в е т. ± 1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:2^(x)-a >0 ⇒ [b]2^(x)>a [/b]

Замена переменной:
sqrt(2^(x)-a)=t
[b]t >0[/b]

Уравнение принимает вид:
t + (a-4)/t =1

t^2-t+(a-4)=0
Квадратное уравнение должно иметь два положительных корня.
Значит D=1-4(a-4)=17-4a положителен.

По теореме Виета сумма корней равна 1,
произведение равно (a-4).
1>0,
a-4>0 ⇒ a > 4
{a>4
17- 4a>0 ⇒ a < 4,25

О т в е т. [b](4; 4,25)[/b]

Ответ выбран лучшим

В основании квадрат.
Диагональ квадрата
d=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)=4sqrt(2)

H^2=D^2-d^2=(4sqrt(3))^2-(4sqrt(2))^2=48-32=16

H=4

V=S*H=4^2*4=64 см^3

1.7.
Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат.

vector{a}*vector{b}=1*2+2*5+(-1)*4=8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как
x^2-6x+5=(x-1)(x-5)
D=36-20=16
корни
х_(1,2)=(6 ± 4)/2
х_(1)=1; х_(2)=5

x^3-25x=x*(x^2-25)=x*(x-5)(x+5)

и
5 - х = -(х-5)

-(x-5)(x-1)(x-5)/(x*(x-5)(x+5)) ≥ 0

Умножаем на (-1) и меняем знак:

(x-5)(x-1)(x-5)/(x*(x-5)(x+5)) ≤ 0

Сокращаем на х-5, при этом помним, что х ≠ 5

Решаем неравенство:

(x-1)(x-5)/(x*(x+5)) ≤ 0, x ≠ 5

__+__ (-5) ____-_____ (0) __+__ [1] ____-___ (5) __+__

x ∈ (- 5 ;0) U[1;5)
Наибольшее целое решение это 4.
О т в е т. 4

a)
[b]y=x/(x^2+1)[/b]

1.область определения функции D(y)=(-∞;+ ∞)
2. Область изменения функции E(y) =[- 1;1]
см. по рисунку
3. Четность или нечетность функции
функция является нечЁтной
y(-x)=-x/((-x)^2+1)=-(x/(x^2+1))=-y(x)

4.перИодичность - функция непериодическая

5.нули функции
y=0 при х=0
(0;0) точка пересечения с осью Ох и с осью Оу

6.интервалы знака постоянства

y > 0 при x >0
y < 0 при x < 0

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)

lim_(x→+∞)(x)/(x^2+1)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) 1/2x=0

lim_(x→ - ∞) (x/(x^2+1))=0

9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота

[b]Исследование функции с помощью первой производной[/b]

y`=((x)`*(x^2+1)-x*(x^2+1)`)/(x^2+1)^2

y`=(x^2+1-x*2x)/(x^2+1)^2

y`=(1-x^2)/(x^2+1)^2

y`=0

1-x^2=0

x= ± 1
x=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y`< 0 на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
Функция убывает на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )

y` > 0 на (-1; 1)
Функция возрастает на (-1; 1)

[b]Исследование функции с помощью второй производной[/b]

y``=((1-х^2)`*(x^2+1)^2 - (1-x^2)*((x^2+1)^2)`)/(x^2+1)^4

y``=(-2x*(x^2+1)^2-(1-x^2)*2(x^2+1)*2x)/(x^2+1)^4

y``=(-2x^3-2x-4x+4x^3)/(x^2+1)^3

y``=(2x^3-6x)/(x^2+1)^3

y``=0

2x^3-6x=0
2x(x^2-3)=0

x=0; x= ± sqrt(3)

y``<0 на (- ∞;-sqrt(3) ) и на (0; sqrt(3))

кривая выпукла вверх на (- ∞;-sqrt(3) ) и на (0; sqrt(3))

y``>0 на(-sqrt(3);0) и на (sqrt(3);+ ∞ )

кривая выпукла вниз на (-sqrt(3);0) и на (sqrt(3);+ ∞ )

точки перегиба: - sqrt(3); 0; sqrt(3)

Cм. рис.

б)
[b]y=e^(x)/x[/b]

1.область определения функции D(y)=(-∞;0) U(0;+ ∞)
2. Область изменения функции E(y) =(- ∞;0) U(
см. по рисунку
3. Четность или нечетность функции
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
e^(x) ≠ 0 ни при каком х
точек пересечения с осью Ох нет

6.интервалы знака постоянства

y > 0 при x >0
y < 0 при x < 0

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)

lim_(x→+∞)(e^x)/(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) e^x/1=+ ∞

lim_(x→ - ∞) e^x/1=0

9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота на - ∞
x=0 - вертикальная асимптота

3.) исследовать с помощью производной

y`=((e^x)`*x-(e^x)*x`)/(x^2)
y`=e^(x)*(x-1)/(x^2)

y`=0

x-1=0
x=1

_-___ (0) ___-__ (1) __+__

y`<0 на (- ∞ ;0)U(0;1)
функция убывает на (- ∞ ;0)U(0;1)

y`>0 на (1; + ∞ )
функция возрастает на (1; + ∞ )
x=1 - точка минимума

y(1)=e

См. рис.2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.6
V=(1/3)S_(основания)*Н

S_(основания)=S(равностороннего треугольника)=(1/2)a*a*sin60^(o)=a^2sqrt(3)/4

Так как по условию a=6

S_(осн)=6^2sqrt(3)/4= [b]9sqrt(3)[/b]

По условию H=sqrt(3)

V=(1/3)* [b]9sqrt(3)[/b]*sqrt(3)=9 см^3

О т в е т. 9 см^3

1.7

vector{a} ⊥ vector{b}, vector{a} ≠ 0;vector{b} ≠ 0 ⇔vector{a} * vector{b}=0

Ненулевые векторы vector{a} и vector{b} ортогональны, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector{a} * vector{b} =x*3+2*4+(-1)*2=3x+6

3x+6=0
x=-2
О т в е т. - 2

Ответ выбран лучшим

1.
По теореме Пифагора
H^2=d^2-(2R)^2=10^2-6^2=100-36=64
H=8 см

S_(бок. пов)=2πR*H=2π*3*8= [b]48π[/b]

2.
V(конуса)=(1/3)π*R^2*H

Так как по условию:
V=100π
H=12
то
(1/3)*π*R^2*12=100π ⇒ R^2=25
R=5

По теореме Пифагора образующая
L=sqrt(H^2+R^2)=sqrt(12^2+5^2)=sqrt(144+25)=sqrt(169)=13

S_(бок. пов)=πR*L=π*5*13= [b]65π[/b]

Ответ выбран лучшим

Вероятность выпадения герба в пером броске равна (1/2), во втором - (1/2), в третьем - (1/2).
По правилу умножения в трех бросках
p=(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8

Ответ выбран лучшим

a)
y`=(1/3)*(2e^(3x)-2^(x/2)+4)^(-2/3)*(2e^(3x)-2^(x/2)+4)`+6ln^(5)(4x)*(ln4x)`=

=(2e^(3x)*(3x)`-2^(x/2)*(x/2)`+(4)`)/(3*∛(2e^(3x)-2^(x/2)+4)^2)+(6ln^(5)(4x))8(4x)`/(4x) =

[b]=((6e^(3x)-2^(x/2)*(1/2))/(3*∛(2e^(3x)-2^(x/2)+4)^2) +(6/x)*ln^(5)(4x)[/b]

б)
x`*y+x*y`=(x/y)`/(1+(x/y)^2);

(y+xy`)*(y^2+x^2)/y^2=(x`*y-x*y`)/y^2

(y+xy`)*(x^2+y^2)=y-xy` ⇒

(xy`)/(x^2+y^2)+xy`=y - (y)/(x^2+y^2)

y`*x*(1+x^2+y^2)/(x^2+y^2)=y*(x^2+y^2-1)/(x^2+y^2)

[b]y`=(y*(x^2+y^2-1))/(x*(x^1+y^2+1))
[/b]

в)
Логарифмируем
lny=x^2*ln(xe^(x))
Дифференцируем
y`/y=(x^2)`*ln(xe^(x))+x^2*(ln(xe^(x))`

так как ln(x*e^(x))=lnx+lne^(x)=lnx+x, то

y`/y=2x*(lnx+x)+x^2*(lnx+x)`)

y`/y=x*(2lnx+2x+x*((1/x)+1)

y`/y=x* (2lnx+3x+1)

Вместо y=(xe^(x))^(x^2)

[b]y`=(xe^(x))^(x^2) *x*(2lnx+3x+1)[/b]

Ответ выбран лучшим

O_(1)F=l

R=ltg( β/2)
r=lctg( β /2)

Пусть a- основание равнобедренного треугольника, h_(a)- высота, проведенная к основанию.
a=2rtg( α /2)
h_(a)=(1/2)a*tg α

S_(осн)=(1/2)a*h_(a)=(1/2)a*(1/2)atg α =

=(1/4)*4r^2tg(α/2)*tg α =

=l^2ctg( β /2)*tg( α /2)*tg α

H=rtg β =lctg( α /2)*tg β

V=(1/3)S_(осн)*Н=(1/3)*l^2*ctg( β/2)*tg( α/2)*tg α *lctg( α/2)*tg β =

=(l^3/3)*tgα*tgβ*ctg(β/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ABDK- квадрат ( см. рис.)
Н(цилиндра)=АВ=4sqrt(2)

дуга АК 60^(o) ⇒ ∠ АОК=60^(o) как центральный,

Δ АОК равносторонний

АО=ВО=[b]R=AK=4sqrt(2)[/b]

S_(полн. пов)=S_(бок. пов)+2S_(осн)=π*R*H+2π*R^2=

=π*4sqrt(2) *4sqrt(2)+2*π*(4sqrt(2))^2=32π+64π=96π

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=(6/10)*(5/9)=1/3

Ответ выбран лучшим

1.1
log_(2)x=-3 ⇒ x=2^(-3); [b]x=1/8[/b]

1.2
0,00032=0,2^5
корень пятой степени из 0,2^5 равен [b]0,2[/b]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
sqrt((x+1)/(x+y))=u, u>0
sqrt((x+y)/(x+1))=1/u

sqrt((x+1)/(y+2))=v, v > 0
sqrt((y+2)/(x+1))=1/v

Система примет вид:

{u+(1/u)=2 ⇒ (u^2-2u+1)/u=0 ⇒ u=1
{v-(1/v)=(3/2) ⇒ (2v^2-3v-2)/v=0 ⇒ v=2 или v=-1/2 ( не удовл v>0)

sqrt ((x+1)/(x+y))=1 ⇒ (x+1)/(x+y)=1 ⇒ x+1=x+y ⇒ y=1; любое, х ≠ -1

sqrt((x+1)/(у+2))=2 ⇒ (x+1)/(y+2)=4 ⇒ x+1=4y+8, у ≠ -2; х ≠ -1

{y=1
{x+1=4y+8 ⇒ x=11

О т в е т. (11;1)

Ответ выбран лучшим

{x+2>0
{ ∛(11x^2-12x+1) ≠ 0

{x>-2
{11x^2-12x+1 ≠ 0 ⇒ D=144-44=100; x ≠ 1 и x ≠ 1/11

О т в е т. (-2; 1/11)U(1/11;1)U(1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Осевое сечение - квадрат. Одна сторона - высота цилиндра, вторая диаметр основания
Значит
H=3sqrt(2)
R=3sqrt(2)/2

V=πR^2*H=π*(3sqrt(2)/2)^2*3sqrt(2)=27πsqrt(2)/2

Ответ выбран лучшим

1.5
=(- cosx)|^(π)_(0)=-cosπ+cos0=-(-1)+1=2
1.6
В основании квадрат.
Диагональ квадрата
d=sqrt(4^2+4^2)=sqrt(32)=4sqrt(2)

H^2=D^2-d^2=(4sqrt(3))^2-(4sqrt(2))^2=48-32=16

H=4

V=S*H=4^2*4=64 см^3

1.7.
Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат.

vector{a}*vector{b}=1*2+2*5+(-1)*4=8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫^(1)_(-2)(4-x^2-(x+2))dx= ∫ ^(1)_(-2)(2-x-x^2)dx=

=(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(-2)=

=2-(1/2)-(1/3)-(-4-2+(8/3))=4,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8

Ответ выбран лучшим

1.1
n^(3/7)*n^(1/3)=n^((3/7)+(1/3))=n^(16/21)
1.3.
cos(π+ α) = - cosα
sin((π/2)+ α ) = cos α

cos (π+ α)+sin((π/2)+ α ) = -cos α +cos α = 0
О т в е т. 0

1.5
=sqrt(x)|^(4)_(1)=sqrt(4)-sqrt(1)=2-1=1
1.6
V=S_(осн)*Н=(1/2)*6*6*sin60^(o)* sqrt(3)=27

Ответ выбран лучшим

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

{10-x^2>0 ⇒ -sqrt(10)<x<sqrt(10)
{10-x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 3
{(16/5)x-x^2>0 ⇒ 0 < x < 16/5=3,2
{(10-x^2-1)((16/5)x-x^2-10+x^2) <0 ⇒ (3-x)(3+x)(x-(25/8)) < 0 или

(х-3)(x+3)(x-(25/8))>0

О т в е т. (0;3)U(3,125;sqrt(10))

Неравенство верно при любом х, кроме х=1
О т в е т. (- ∞ ;1)U(1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу
a^2-b^2=(a-b)(a+b)

((x^2-5x)-x)*(x^2-5x+x)=0
(x^2-6x)*(x^2-4x)=0
x*(x-6)*x*(x-4)=0

x^2(x-6)(x-4)=0
x=0 или x-6=0 или х-4=0
х=0; х=6;х=4 - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60 градусов, значит вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника.

Высота пирамиды Н=2*tg60^(o)=2sqrt(3)
S(осн)=(1/2)*2*4*sin60^(o)=2sqrt(3)

V(пирамиды)=(1/3)S_(осн)*Н=(1/3)*2sqrt(3)*2sqrt(3)=4

Ответ выбран лучшим

3%=0,03
5%=0,05

Стоимость покупки в "Чистюле":
70*2+(0,97*90)*2+75*3=539,6
Стоимость покупки в "Чайке:
(0,95*75)*2+85*2+70*3=522,5
Стоимость покупки в "Фиалке":
80*2+85*2+(0,95*75)*3=543,75
Наименьшая стоимость в "Чайке"

ОДЗ:
{6-x>0 ⇒ x < 6
{x+5>0; x+5 ≠ 1 ⇒ (-5;-4)U(-4;+ ∞)
{x+3 >0 ⇒ x > -3
{4-x>0;4-x ≠ 1 ⇒ x < 4; x ≠ 3

x ∈ (-3;3)U(3;4)

Произведение неотрицательно значит множители имеют одинаковые знаки:

первый случай

{log_(x+5)(6-x) ≤ 0
{log_(4-x)(x+3) ≤ 0

Решаем первое неравенство:
log_(x+5)(6-x) ≤ 0
или
log_(x+5)(6-x) ≤ log_(x+5)1

при x ∈ (-3;3)U(3;4)
основание логарифмической функции (х+5) > 1,
логарифмическая функция возрастает и потому
6-х ≤ 1
x ≥ 5 не входит в ОДЗ

второе неравенство не решаем, система не будет иметь решений.

второй случай

{log_(x+5)(6-x) ≥ 0
{log_(4-x)(x+3) ≥ 0

Решаем первое неравенство:
log_(x+5)(6-x) ≥ 0
или
log_(x+5)(6-x) ≥ log_(x+5)1

при x ∈ (-3;3)U(3;4)
основание логарифмической функции (х+5) > 1, функция возрастает и потому
6 - х ≥ 1
x ≤ 5
с учетом ОДЗ решение первого неравенства

[b] (-3;3)U(3;4)[/b]

Решаем второе неравенство:
log_(4-x)(x+3) ≥ 0
или
log_(4-x)(x+3) ≥ log_(4-x)1

Если
4-х>1, т.е. при x <3 логарифмическая функция возрастает и потому
x+3 ≤ 1
x ≥ -2
Решение [-2;3)

Если
0 <4-x < 1, т.е при 3<x<4 логарифмическая функция убывает и потому
x+3 ≤ 1

Множества 3 < x <4 и x ≤ -2 не пересекаются

О т в е т. [-2;3)

ОДЗ:
{x^2-5x>0 ⇒ x(x-5) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или х ≥ 5
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{log_(5)x^2 ≠ 0 ⇒ x^2 ≠ 5^(0); x ≠ ± 1

x ∈ (- ∞ ;-1)U(-1;0)U[5;+ ∞ )

Переносим 1 влево:
(2log_(5((x^2-5x)/log_(5)x^2) - 1 ≤ 0

Приводим к общему знаменателю:
(2log_(5)(x^2-5x)-log_(5)x^2)/log_(5)x^2 ≤ 0

Применяем свойства логарифма степени и логарифма частного:
(log_(5)(x^2-5x)^2/x^2)/log_(5)x^2 ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов.

Нули числителя:

log_(5)((x^2-5x)/x)^2=0

((x^2-5x)/x)^2=5^(0)

(x^2-5x)/x= ± 1 ⇒ x=0;x=4;x=6

Нули знаменателя:
х= ± 1

Расставляем знаки на ОДЗ:

_____+____ (-1) _-_ (0) \\\\(1)\\\\\\\ [4]\\\\ [5] _-_ [6] __+___

О т в е т. (- ∞ ;-1)U[5;6]

Первый и второй за минуту наполняют 1/8 часть бассейна,
второй и третий за минуту наполняют 1/10 часть бассейна,
первый и третий за минуту наполняют 1/24 часть бассейна.

Складываем:
2*(первый и второй и третий) за минуту наполняют (1/8)+(1/10)+(1/24)=32/120

первый и второй и третий за минуту наполняют (16/120)=2/15

Весь бассейн наполнят на 15/2=7,5 минут

х=2 - корень уравнения, так как
9^2-2*(2+3)*3^2+5+2*2=0 - верно,
81-90+5+4=0

х=0 - корень уравнения, так как
9^0-2*(0+3)*3^0+5+2*0=0 - верно,
1-6+5=0

Числа, делящиеся на 22 и дающие в остатке 3
имеют вид:
a_(n)=22n+3, n -натуральное

Так как в условии сказано, что число двузначное, значит
n=1;2;3;4

S_(4)=a_(1)+a_(2)+a_(3)+a_(4)=22*1+3+22*2+3+22*3+3+22*4+3=

=22*(1+2+3+4)=4*3=22*10+12=220+12=232

О т в е т. 232

(прикреплено изображение)

Область определения (- ∞;-2)U(-2;2)U(2;+ ∞)
х= ± 2 - вертикальные асимптоты, так как
lim_(x → ± 2)y= ∞

Находим производную:
y`=(x`*(x^2-4)-x*(x^2-4)`)/(x^2-4)^2= (x^2-4-x*2x)=-(x^2+4)/(x^2-4)

y`<0 при любом х ∈ (- ∞;-2)U(-2;2)U(2;+ ∞)

функция убывает на (- ∞;-2)и на (-2;2)и на (2;+ ∞)

Точек экстремума нет (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Применяем признак Даламбера:
lim_(n → ∞ )a_(n+1)/a_(n)=lim_(n→ ∞ )4(n+1)^2*n!/4n^2(n+1)!=

=lim_(n → ∞ )1/(n+1)=0 <1

Сходится

2.
Применяем признак Даламбера к ряду из модулей:
lim_(n → ∞ )a_(n+1)|x|^(n+1)/a_(n)|x|^(n)=
lim_(n→ ∞ )|x+1|^(n+1)2n/2(n+1)*|x+1|^(n)=|x+1|

При |x+1| < 1 ряд сходится. ⇒ x ∈ (-2;0)

При х=-2 получим знакочередующийся числовой ряд∑ (-1)^n/(2n),, он сходится
по признаку Лейбница

При х=0 получим числовой ряд

∑ 1/(2n), который расходится как эквивалентный гармоническому.

О тв е т. [-2;0)

По определению логарифма:
0,5^(-1)=4x+1
2=4x+1
4x=1
x=1/4
О т в е т. 0,25

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=(i-1)^2*2i*(i+1)^2+(2+i)*i=
упрощаем:

= ((i-1)*(i+1))^2*2i+(2+i)*i=

=(i^2-1^2)^2*2i+(2+i)*i=
=(-1-1)^2*2i+2i+i^2=
=(-2)^2*2i+2i-1=8i+2i-1=-1+10i

x=-1
y=10
О т в е т. -1

Замена:
xy=u
x/y=v
Cистема принимает вид:
{2u-3v=15
{u+v=15

Умножим второе уравнение на 3
{2u-3v=15
{3u+3v=45

Складываем
{5u=60 ⇒ u=12
{u+v=15 ⇒ v=15-12=3

Обратный переход приводит к системе:
{xy=12
{x/y=3 ⇒ x=3y

3y*y=12
3y^2=12

y^2=4

y= ± 2

x= ± 6
О т в е т. (6;2);(-6;-2)

2.
AB=BC=AC=b ⇒ CE=BP=bsqrt(3)/2

АО=ВО=СО=(2/3)*bsqrt(3)/2=bsqrt(3)/3=b/sqrt(3)
ЕО=(1/3)*bsqrt(3)/2=bsqrt(3)/6

По условию
SO=H

Cм. рис.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4*3^2-35=( ±1)^2 - верно, так как
36-35=1
Значит, (2;1) и (2;-1) - решения этого уравнения

4*3^4 -35 =17^2 - верно, так как
324-35=289

Значит, (4;-17) и (4;17) - решения данного уравнения

Ответ выбран лучшим

Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель дроби не может равняться нулю, логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел

Область определения находим из системы:
{3x^2-7x+4 ≥ 0 ⇒ D=49-48=1, корни 1 и 4/3; ⇒ x ≤ 1 или x ≥ 4/3
{sqrt(3x^2-7x+4) ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 и х≠4/3
{x-8>0 ⇒ x > 8

О т в е т. x ∈ (8;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|x-2a-2| ≤ 1 ⇒ -1 ≤ x-2a-2 ≤ 1 ⇒ (x-3)/2≤ a ≤ (х-1)/2

На пл. хОа cтроим графики a=(x-3)/2 и a=(x-1)/2

Получаем две прямые

см. рис.1

Неравенству

(x-3)/2≤ a ≤ (х-1)/2

удовлетворяют точки, расположенные между этими прямыми.

Cм. рис. 2

Неравенство:

3/(x-a) ≤ 1 или (3-x-a)/(x-a) ≤ 0

равносильно совокупности двух систем.
{3-x-a ≥ 0
{x-a <0

или

{3-x-a ≤ 0
{x-a >0

Строим прямые и заштриховываем соответствующие области:
см. рис. 3 и 4 ( область 1 соответствует первой системе, область 2 второй)

На рис. 5 закрашены области, удовлетворяющее системе.

При [b]а=0[/b] система имеет единственное решение [b]х=3[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]-1[/b]=-1*log_(1/2)(1/2)= [b]log_(1/2)2[/b]

log_(1/2)(x^2-5x+6) > log_(1/2)2

Логарифмическая функция с основанием (1/2) убывает, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента

Поэтому
x^2-5x+6 < 2

Так как выражение под знаком логарифма положительно, то получаем систему неравенств:
{x^2-5x+6 >0 ⇒ D=25-24=1; корни 2 и 3
{x^2-5x+6<2 ⇒ x^2-5x+4 < 0 ⇒ D=25-16=9 корни 1 и 4

{(x-2)(x-3) >0 ⇒ x < 2 или х > 3
{(x-1)(x-4) <0 ⇒ 1 < x < 4

О т в е т. (1;2) U(3;4)

Ответ выбран лучшим

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника,c - гипотенуза

Р(прямоугольного треугольника)=a+b+c

S=(1/2)a*b

По условию:
Р:S=2:3

2S=3P

Значит

[b]a*b=3*(a+b+c)[/b]

По теореме Пифагора:

[b]a^2+b^2=c^2[/b]

Система

{a^2+b^2=c^2
{ab = 3(a+b+c)

Произведение a*b кратно 3, значит либо а, либо b кратно 3

Рассмотрим числа, для которых справедлива теорема Пифагора.
( таких чисел бесчисленное множество)
Cм. приложение.

Например, тройка чисел 7; 24 и 25 удовлетворяет указанным требованиям.
[b]Р=56[/b]
S=84

2S=3P -верно, так как 2*84=3*56

Тогда периметр

7+24+25=56

тройка чисел 8; 15 и 17 удовлетворяет указанным требованиям.
[b]Р=40[/b]
S=60

2S=3P -верно, так как 2*60=3*40

тройка чисел 9; 12 и 15 удовлетворяет указанным требованиям.
[b]Р=36[/b]
S=54

2S=3P -верно, так как 2*54=3*36
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой АВ:
y=2x

k_(касательной)=2

f`(x_(o))=2

f`(x)=2x-4

f`(x_(o))=2x_(o)-4

2x_(o) -4=2

x_(o)=3 - абсцисса точки касания

y_(o)=3^2-4*3+8=5

Уравнение касательной

y - 5 = 2*(x - 3)

[b]y=2x - 1[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cosπx = - x^2+6x-10

Решаем графически

y=cosπx

-1 ≤ сosπx ≤ 1

y=-x^2+6x-10 - парабола ветви вниз, наибольшее значение в точке

x_(o)=3

y_(o)=3^2-6*3+10= - 1

Значит, графики имеют единственное общее значение

при у= -1

cosπx= -1

πx=π+ 2πk, k ∈ Z

x=1+2k, k ∈ Z

x_(o)=3 получается из этой серии при k=1

О т в е т. (3;-1)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

15-4sqrt(14)=15-2*2*sqrt(2)*sqrt(7)=

применяем формулу (a^2-2ab+b^2=(a+b)^2

=8-2*(2sqrt(2))*sqrt(7) + 7=

=(2sqrt(2)-sqrt(7))^2

тогда

sqrt(15-4sqrt(14))=|2sqrt(2)-sqrt(7)|= [b]sqrt(7)-2sqrt(2)[/b]

Аналогично

15+4sqrt(14)=15+2*2*sqrt(2)*sqrt(7)=

применяем формулу(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

=8+2*(2sqrt(2))*sqrt(7) + 7=

=(2sqrt(2)-sqrt(7))^2

sqrt(15+4sqrt(14))=|2sqrt(2)+sqrt(7)|= [b]2sqrt(2)+sqrt(7)[/b]

а=sqrt(15-4sqrt(14))-sqrt(15+4sqrt(14))=

=sqrt(7)-2sqrt(2)-(2sqrt(2)+sqrt(7))= [b] - 4sqrt(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

f(1-sqrt(3))=(1-sqrt(3))^2-3=1-2sqrt(3)+3-3=1-2sqrt(3)

f(1+sqrt(3))=(1+sqrt(3))^2-3=1+2sqrt(3)+3-3=1+2sqrt(3)
f(1-sqrt(3))+f(1+sqrt(3))=1-2sqrt(3)+1+2sqrt(3)=2

О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x-1 >0
[b]x>1[/b]

log_(0,5)(x-1)^4=log_(2^(-1))(x-1)^4=(4/(-1))log_(2)|x-1| так как согласно ОДЗ x>1
=-4log_(2)(x-1)

Неравенство:
log^2_(2)(x-1)-4log_(2)(x-1)+3 ≥ 0

Квадратное неравенство относительно
log_(2)(x-1)

D=16-12=4
корни
1 и 3
Решение неравенства

log_(2)(x-1) ≤ 1 или log_(2)(x-1)≥3

log_(2)(x-1) ≤ log_(2)2 или log_(2)(x-1) ≥log_(2)8

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

x-1 ≤2 или x-1 ≥8

С учетом ОДЗ

0 < x-1 ≤ 2 или x-1≥8
1 < x ≤ 3 или x ≥ 9

О т в е т. [b] (1;3] U[9;+ ∞ )[/b]

sin(x+(π/2))=cosx

3cos^2x+3cosx=0
3cosx*(cosx+1)=0
cosx=0 или сosx+1=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+2πk, k ∈ Z

cosx+1=0 ⇒ сosx=-1 ⇒ x=π+2πn, n ∈ Z

О т в е т. а) (π/2)+2πk, π+2πn, k ∈ Z, n ∈ Z

б)
х= (π/2)
и
х= π
- корни, принадлежащие указанному промежутку

Если условие
sqrt(3x-x^2-2)=x^2-2x-1, то

{3х-x^2-2=(x^2-2x-1)^2;
{x^2-2x-1 ≥ 0

{3х-x^2-2=x^4+4x^2+1-4x^3-2x^2+4x
{D=4+4=8 корни x_(1)=1-sqrt(2); x_(2)=1+sqrt(2) ⇒ x ≤ 1-sqrt(2); x ≥ 1+sqrt(2).

Решаем первое уравнение:
x^4-4x^3+3x^2+x+3=0

Уравнение не имеет корней.
См. рис.

(прикреплено изображение)

{3-x^2-2x=(x^2-2x-1)^2;
{x^2-2x-1 ≥ 0

{3-x^2-2x=x^4+4x^2+1-4x^3-2x^2+4x
{D=4+4=8 корни x_(1)=1-sqrt(2); x_(2)=1+sqrt(2) ⇒ x ≤ 1-sqrt(2); x ≥ 1+sqrt(2).

Решаем первое уравнение:
x^4-4x^3+3x^2+6x-2=0
x=-1 корень уравнения, удовлетворяет условию: x ≤ 1-sqrt(2)

(x-1)(x^3-5x^2+8x-2)=0

x^3-5X^2+8х-2=0

[b]имеет единственный корень[/b] на [0;1], которой не удовл условию
x ≥ 1+sqrt(2)

Почему единственный.

Пусть f(x)=x^3-5x^2+8х-2

Исследуем функцию с помощью производной и построим график.

f`(x)=3x^2-10x+8

f`(x)=0

3x^2-10x+8=0
D=100-4*3*8=4
x=4/3 или x=2
Знак производной
_+__ (4/3) __-__ (2) _+__

f(4/3)=(4/3)^3-5*(4/3)^2+8*(4/3)-2=58/27>2

точка максимума(4/3; 58/27)

f(2)=8-5*4+8*2-2=2

точка минимума (2;2)

см. рис.
О т в е т. x=1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{4sinx-3=8sin^2x+2sinx-6 ⇒8sin^2x-2sinx-3=0
{4sin^2x+sin-3 ≠ 0 ⇒ D=49; sinx ≠ -1; sinx ≠ 3/4

8sin^2x-2sinx-3=0
D=100;
sinx=12/16 или sinx=-1/2

12/16=3/4

корни уравнения
sinx=3/4
не удовлетворяют данному уравнению, т.к sinx ≠ 3/4

sinx=-1/2
[b]x=(-1)^(k)(-π/3)+πk, k ∈ Z[/b] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

y`=4-(4/cos^2x)=4*(cos^2x-1)/cos^2x=-4sin^2x/cos^2x=-4tg^2x ≤ 0

Значит, функция убывающая, в том числе и на указанном отрезке.
Убывающая функция принимает наибольшее значение в левом конце, т. е в точке x=-π/4

y(-π/4)=4*(-π/4)-4tg(-π/4) +π - 9 = -π -4*(-1)+π -9 =-5 - наибольшее значение функции на [-π/4;π/4]

Ответ выбран лучшим

40%=40/100=0,4

15*0,4=6 кг меди в сплаве.

В новом сплаве 6 кг составляют 30%
Пусть вес нового сплава х кг

х кг составляют 100%
6 кг составляют 30%

х=6*100:30=20 кг

20 кг - 15 кг = 5 кг чистого олова следует добавить

x+1>0
x>-1
(-1;+ ∞ )

О т в е т. (-1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

В основании пирамиды квадрат со стороной 2sqrt(3).

Угол между боковым ребром и плоскостью основания - угол между боковым ребром и проекцией его на основание.

Проекция бокового ребра на плоскость - диагональ квадрата.

Из равностороннего треугольника с углом при основании 60^(o)
боковое ребро равно диагонали основания

d^2=(2sqrt(3))^2+(2sqrt(3))^2=24
d=2sqrt(6)

b=d=2sqrt(6)
О т в е т. 2sqrt(6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Умножаем уравнение на 4=2^2

2^(2x)-3*2^(x)-40=0
Квадратное уравнение относительно 2^(x)

Замена переменной
2^(x)=t

t^2-3t-40=0

D=9+160=169

t_(1)=(3-13)/2=-5 или t_(2)=(3+13)/2=8

Обратный переход

2^(x)=-5 уравнение не имеет корней, так как 2^(x) >0 при любом х

2^(x)=8
2^(x)=2^(3)
x=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение имеет корни если D>0
D=(-2a)^2-4*(a^2+2a-3)=4a^2-4a^2-8a+12=12-8a
12-8a >0

[b]a < 1,5[/b]

Корни разных знаков, значит их произведение отрицательно.

По теореме Виета:
x_(1)*x_(2)=a^2+2a-3

a^2+2a-3<0

(a-1)(a+3) <0

[b](- ∞ ;-3) U (1;+ ∞ )[/b]

Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому пересечение найденных множеств и будет ответом

О т в е т. (- ∞ ;-3) U (1;1,5)

y`= 4 - (4/cos^2x) < 0 на [-π/4;π/4]

Значит функция убывает на указанном отрезке.

Поэтому наибольшее значение принимает в точке

x=(- π/4)

y(-π/4)=4*(-π/4)-4tg(-π/4)+π-9=-π-4*(-1)+π-9=-5

О т в е т. -5

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos70^(o)=cos(90^(o)-20^(o))=sin20^(o)

(сos20^(o)+cos70^(o))^2=(cos20^(o)+sin20^(o))^2=

=cos^220^(o)+2cos20^(o)*sin20^(o)+sin^220^(o)=

=(cos^220^(o)+sin^220^(o))+sin40^(o)=1+sin40^(o)

(сos20^(o)+cos70^(o))^2-sin40^(o)=1+sin40^(o)-sin40^(o)=1
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

По условию

log_(c)6^(21)=0,5^(-1)

0,5^(-1)=(1/2)^(-1)=2

Так как

log_(c)6^(21)=

свойство логарифма степени

=21log_(c)6=

формула перехода к другому основанию

=21/log_(6)c

то
21/log_(6)c=2

откуда

log_(6)c=21/2=10,5

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:
log_(6)36c=log_(6)36+log_(6)c=2+log_(6)c=2+10,5= [b]12,5[/b]

Ответ выбран лучшим

S=(AD+BC)*h/2=(4+2)*3/2=9

По условию радиус конуса R=6
высота h=9

Высота делится в отношении 2:1
Значит высота разделена на три части
9:3=3
Верхняя часть
h_(1)=6.

Из подобия
r:R=h:H
r:6=6:9
9r=36
r=4

Теперь можно отвечать на вопросы

1) V_(верхней части)=(1/3)πr^2*h_(1)=(1/3)*π*4^2*6=32π

V_(конуса)=(1/3)πR^2*h=(1/3)*π*6^2*9=108π

V_(верхней части):V_(конуса)=32π:108π= [b]8:27[/b]- верно

2)V_(конуса)=(1/3)πR^2*h=(1/3)*π*6^2*9=108π

V=324π - неверно

3) S_(осн)=π*R^2=π*6^2= [b]36π[/b]- верно

4) S_(сечения)= π*r^2 = π*4^2=16π

S_(cечения)=24 π - неверно)

5) S_(осевого сечения)=(1/2)*2R*h=(1/2)*2*6*9= [b]54[/b] - верно

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле
d^2=a^2+b^2+c^2

a=A_(2)B_(2)=A_(3)B_(3)=1
b=B_(2)C_(2)=BC=2
c=B_(2)B_(3)=4

(B_(2)D_(3))^2=1^2+2^2+4^2=21
О т в е т. 21 (прикреплено изображение)

(x^2-x-14)^2/(2x+sqrt(21)) -(2x^2+x-13)^2)/(2x+sqrt(21)) ≤ 0

Приводим к общему знаменателю:
((x^2-x-14)^2-(2x^2+x-13)^2)/(2x+sqrt(21)) ≤ 0

В числителе применяем формулу разности квадратов:
a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(x^2-x-14-2x^2-x+13)(x^2-x-14+2x^2+x-13)/(2x+sqrt(21)) ≤ 0

(-x^2-2x-1)(3x^2-27)/(2x+sqrt(21)) ≤ 0

(x+1)^2(x-3)(x+3)/(2x+sqrt(21)) ≥ 0

Решаем методом интервалов.

Находим нули числителя:

(x+1)^2=0 или х-3=0 или х+3=0
х=-1 или x=3 или х=-3

Отмечаем на числовой прямой закрашенным кружком ( на рисунке квадратные скобки)

Находим нули знаменателя:

2х+sqrt(21)=0
x=-sqrt(21)/2
Отмечаем на числовой прямой пустым кружком ( на рисунке - круглые скобки)

Сравниваем:

-3 < -sqrt(21)/2

так как
3 > sqrt(21)/2 или 6 > sqrt(21) или 36> 21

Рассставлям знаки справа от точки 3 +
Далее знаки чередуем справа налево.
При переходе через точку
x = - 1 нет чередования, так как множитель (x+1) в четной степени:

___-__[-3] _+__ (-sqrt(21)/2) _-_ [-1] _-__ [3] __+__

О т в е т. [-3; -sqrt(21)/2) U{-1} U [3;+ ∞ )

Квадратное неравенство относительно log_(0,5)x.

[b]ОДЗ:[/b]
x > 0

[b]Замена переменной[/b]
log_(0,5)x=t

t^2-4t+3 >0

D=16-4*3=4

t_(1)=(4-2)/2=1; t_(2)=(4+2)/2=3

t < 1 или t > 3

Обратный переход от переменной t к х.

log_(0,5)x < 1 или log_(0,5)x > 3

1=log_(0,5)0,5

log_(0,5)x < log_(0,5)0,5 или log_(0,5)x > 3

Логарифмическая функция с основанием 0,5 [b] убывающая[/b], поэтому
большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

x >0,5 [b] или[/b] 0 < x < 1/8

О т в е т [b]. (0;1/8) U (1/2;+ ∞ )[/b]

Есть решение в интернете. См. ссылку.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Событие А -"расстояние от одной из сторон выбранного квадратика до границы листа составит не более 3 см"

Тогда противоположное событие
Ā-"расстояние от одной из сторон выбранного квадратика до границы листа составит более 3 см"

Наступлению события Ā благоприятствуют 4 случая из 100. ( см. рис)
По формуле классической вероятности:
[b]p(Ā)=m/n[/b]

n=100
m=4
p(Ā)=4/100=0,04

Так как [b]p(A) p(Ā)=1[/b], то p(A)=1-p(Ā)=1-0,04= [b]0,96[/b]

О т в е т. [b] 0,96[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{(x-1)(x^2+2) >0, так как x^2+2>0 ⇒ x-1 >0 ⇒ x>1
{x^2+3x-4>0 ⇒ D=9+16=25; корни -4 и 1 ⇒ x < -4 или x > 1
{x>0
ОДЗ: [b]х ∈ (1;+ ∞ )[/b]

1=log_(2)2

Перепишем уравнение:

[b]log_(2)(x-1)(x^2+2)+log_(2)x ≤ log_(2)2+log_(2)(x^2+3x-4)[/b]

Применяем свойства логарифмов.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

[b]log_(2)(x-1)*(x^2+2)*x ≤ log_(2)2*(x^2+3x-4)[/b]

Логарифмическая функция с основанием 2>1 возрастающая.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(x-1)*(x^2+2)*x -2*(x^2+3x-4) ≤ 0

(x-1)*(x^2+2)*x -2*(x-1)(x+4) ≤ 0

(x-1)*(x^3+2x-2x-8) ≤ 0

(x-1)*(x^3-8) ≤ 0

При x ∈ ОДЗ
x-1 >0

x^3 - 8 ≤ 0 ⇒ х ≤ 2

О т в е т. С учетом ОДЗ (1;2]

Ответ выбран лучшим

(2+3i)*(-1+i)=-2-3i+2i+3i^2=-2-i-3=-5-i

(-5-i)/(sqrt(2)-i)= (-5-i)*(sqrt(2)+i)/((sqrt(2)-i)*(sqrt(2)+i))=

=-5sqrt(2)-i*sqrt(2)-5i-i^2/(2-i^2)=

=((1-6sqrt(2)-(5+sqrt(2)*i)/3=

=(1-5sqrt(2))/3 - i*(5+sqrt(2))/3

M= ∫ ∫ ∫_( Ω ) γ (x,y,z) dxdydz

γ (x,y,z)=x^2+y^2+z^2

M= ∫ ∫ ∫_( Ω ) (x^2+y^2+z^2) dxdydz

Переходим к [b]цилиндрическим[/b] координатам:

x= ρcos φ
y= ρ sin φ

z=z

dxdydx= ρ d ρ d φdz

Ω :

В условии - прямой круговой цилиндр, радиуса R и высотой H

0 ≤ ρ ≤ R

0≤ φ ≤ 2π

0 ≤ z ≤H

Далее думаю нет проблем

Ответ выбран лучшим

[b]Замена переменной:
[/b]
t=π(4x–7)/6

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение

[b]sint=-sqrt(3)/2[/b]

t=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

t=(-1)^(k)*(-π/3)+πk, k ∈ Z

t=(-1)^(k+1)*(π/3)+πk, k ∈ Z

Обратный переход

π(4x–7)/6 =(-1)^(k+1)*(π/3)+πk, k ∈ Z

Умножаем на (6/π):

4х - 7 = (-1)^(k+1)*2+6k, k ∈ Z

4x= (-1)^(k+1)*2 + 6k + 7 , k ∈ Z

Делим на 4

[b]x= (-1)^(k+1)*(1/2)+(3/2)*k+1,75, k ∈ Z [/b]

При k=0
получаем

x=(-1/2)+1,5*0 +1,75=1,25 > 0

Уменьшаем k

При k=-1

x=(1/2)+(3/2)*(-1)+1,75=0,5-1,5+1,75=0,75 >0

При k=-2

x=(-1/2)-3+1,75 < 0

О т в е т. 0,75 - наименьший положительный корень

Ответ выбран лучшим

Из данного уравнения находим
y^2=x*(x-3a)^2/9a
y= sqrt(x*(x-3a)^2/9a)
|y|= (|x-3a|/3) *sqrt(x/a)

так как 0 ≤ x ≤ 3a,

то |x-3a|=-3a+x=x-3a

|y|=(x-3a)sqrt(x)/3sqrt(a)

или

y=± (x-3a)sqrt(x)/3sqrt(a)

Пусть

y=+(x-3a)sqrt(x)/3sqrt(a)

y`=(1/3sqrt(a))* [b]([/b](x-3a)`*sqrt(x)+(x-3a)*(sqrt(x))` [b])[/b]=

=(1/3sqrt(a))* [b]([/b]1*sqrt(x)+(x-3a)*(1/2sqrt(x)) [b])[/b]=

=(1/3sqrt(a))* [b]([/b](2x+x-3a)/2sqrt(x)) [b])[/b]=

=(1/3sqrt(a))* [b]([/b](3x-3a)/2sqrt(x)) [b])[/b]=

=(1/sqrt(a))* [b]([/b](x-a)/2sqrt(x)) [b])[/b]= (a-x)/2sqrt(ax)

Формула
L= ∫^(b)_(a)sqrt(1+(y`)^2)dx

Умножаем на два, так как две линии, выше оси оХ ( y ≥ 0) и ниже оси Ох (y ≤ 0)

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль:

1)
Если
(5/х)-3 ≥ 0 ⇒ |(5/x)-3|=(5/x)-3

(5-3x)/x ≥ 0 ⇒ 0 < x ≤ 5/3

тогда уравнение принимает вид:

(5/x)-3 =ax-1

ax^2+2x-5=0
x ≠ 0

D=4-4*a*(-5)=4+20a

При D≥0 уравнение имеет один или два корня.

4+20a ≥ 0

[b]a ≥ 1/5[/b]

2)
Если
(5/х)-3 < 0 ⇒x < 0 или x ≥ 5/3

|(5/x)-3|=-(5/x)+3

Уравнение принимает вид:

-(5/х)+3=ax-1

ax^2-4x+5=0
x ≠ 0

D=16-4*a*5=16-20a

При D≥0 уравнение имеет один или два корня.

16-20a ≥ 0

[b]a ≤ 4/5[/b]

Требованию задачи не менее трех корней ( значит одно уравнение имеет один корень, второе два или оба уравнения имеют по два корня) удовлетворяют значения a ∈[1/5; 4/5]

(прикреплено изображение)

Линейное уравнение первого порядка.

y`+(1/(1-x))*y=(2-x)/(1-x)

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/(1-x))*u*v=(2-x)/(1-x)

u`*v+u*(v`+(1/(1-x))*v)=(2-x)/(1-x)

{v`+(1/(1-x))*v=0⇒ dv/v=dx/(x-1) ⇒ ∫ dv/v= ∫ dx/(x-1) ⇒ln|v|=ln|x-1|
{u`*v=(2-x)/(1-x) ⇒u`*(x-1)=(2-x)/(1-x)

⇒ u= ∫ (x-2)dx/(x-1)^2= ∫ (x-1)dx/(x-1)^2- ∫dx/(x-1)^2=

= ∫ (dx/(x-1)- ∫dx/(x-1)^2=ln|x-1|+ 1/(x-1) + C

y=u*v=(ln(x-1)+ 1/(x-1) + C)*(x-1)=(x-1)ln(x-1)+C*(x-1) + 1 - о т в е т.

ОДЗ:
{1/x| > 0 ⇒ x ≠0
{3-x > 0 ⇒ x < 3
{3-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 2

x ∈ (- ∞ ;0) U(0;2) U(2;3)

Так как

1= log_(3-x) (3-x) неравенство примет вид:

log_(3-x) 1/|x| >log_(3-x)(3-x)

Теперь все зависит от основания.

[b]Первый случай[/b].

Если основание логарифмической функции (3-х) > 1, логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
1/|x| > (3-x)
так как x≠ 0 умножаем обе части неравенства на |x|

Система (1)
{(3-x)*|x| < 1
{3-x > 1 ⇒ x < 2

на (- ∞;0)
|x|=-x неравенство примет вид: (3-х)*(-x) <1 ⇒x^2-3x-1 <0
ИЛИ
на (0;2)
|x|=x неравенство примет вид: (3-х)*х <1 ⇒ x^2-3x+1>0

x^2-3x-1 <0 ИЛИ x^2-3x+1 >0
D=9+4=13 ИЛИ D=9-4=5

x_(1,2)=(3 ± sqrt(13))/2 ИЛИ x_(3,4)=(3 ± sqrt(5))/2

x ∈ ((3-sqrt(13))/2;(3+sqrt(13))/2) ИЛИ x < (3-sqrt(5))/2 или x >(3+sqrt(5))/2
sqrt(c учетом x ∈ (- ∞;0) ИЛИ с учетом x ∈ (0;2)
о т в е т. ((3-sqrt(13))/2;0) ИЛИ о т в е т. (0;(3-sqrt(5))/2)

Объединяем ответы и получаем ответ первого случая:
((3-sqrt(13))/2;0) U (0;(3-sqrt(5))/2)

[b]Второй случай.[/b]

Если основание логарифмической функции 0 <(3-х) <1, т.е. 2 < x <3
логарифмическая функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
1/|x| < (3-x}
так как x≠ 0

Система (1)
{(3-x)*|x| >1
{0<3-x < 1 ⇒ 2 < x <3

|x|=x

{x^2-3x+1 >0 ⇒ x < (3-sqrt(5))/2 или x >(3+sqrt(5))/2
{2<x<3

Ответ второго случая (2;(3+sqrt(5))/2)

О т в е т. Объединяем ответы первого и второго случая

((3-sqrt(13))/2;0) U (0;(3-sqrt(5))/2) U (2; (3+sqrt(5))/2)

180 градусов = π радиан.

1)
135 градусов= π*(135/180) =(3π/4)

36 градусов= π*(36/180) =(π/5)

250 градусов= π*(250/180) =(25π/18)

330 градусов= π*(330/180) =(11π/6)

2)

(2/3)π=(2/3)*180 градусов= 120 градусов
(-3π/4)=(-3/4)*180 граусов = - 135 градусов

1 = (180/π)градусов

5=(180*5/π) градусов

Переходим к полярным координатам
x=rcos φ
y=rsin φ

(x+y)^3=(rcos φ+rsin φ)^3=r^3(cos φ +sin φ )^3

xy=rcos φ *rsinφ =r^2sinφcosφ

Уравнение петли:
r^3(cos φ +sin φ )^3=r^2sinφcosφ

r=sinφcosφ/(sin φ+cos φ)^3

0 ≤r ≤ sinφcosφ/(sin φ+cos φ)^3
0 ≤ φ ≤ π/2

S= ∫ ∫ _(D)dxdy= ∫^(π/2)_(0)dφ ∫ ^(sinφcosφ/(sin φ+cos φ)^3)_(0) rdr=

= ∫^(π/2)_(0) (r^2/2)|^(sinφcosφ/(sin φ+cos φ)^3)_(0) d φ=

=(1/2) ∫^(π/2)_(0)sin^2 φ cos^2 φdφ/(sin φ +cos φ )^6

По формулам тригонометрии:

sin^2 φ cos^2 φ=(1/4)sin^2 2φ

(sin φ +cos φ )^6=((sin φ +cos φ )^2)^3=(sin^2φ +2sinφcos φ+cos^2 φ)^3= (1+sin2 φ)^3

получаем

(1/8) ∫^(π/2)_(0)sin^22φ dφ/(1+sin2φ)^3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ АВС=(1/2) ∪AC как вписанный угол опирающийся на дугу АС.
∠МАС =(1/2) ∪ АС как угол между касательной и хордой.

∠АВС= ∠ МАС

Прямоугольные треугольники АСМ и ВСТ подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорциональность сторон:

СТ:МС=ВС:АС

Аналогично,прямоугольные треугольники АСТ и ВСК подобны.

СК:СТ=ВС:АС

СТ:МС=СК:СТ
с:а=b:c

[b]c^2=ab[/b] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{(x-2)^2>0 ⇒ x ≠ 2
{(x-2)^2 ≠1 ⇒ x-2 ≠ 1 и х-2 ≠ -1 ⇒ х ≠ 1; х ≠ 3
{(5-x)/(4-x) >0 ⇒ (x-5)/(x-4)>0 ⇒ x<4 или x>5
{x^2-9x+20>0 ⇒ (x-5)(x-4) >0 см третью строку

ОДЗ: (- ∞; 1)U(1;2) U(2;3) U(3;4) U(5;+ ∞ )

1=log_(a)a

Неравенство:

log_((x-2)^2)(5-x)/(4-x) ≤ log_((x-2)^2)(x-2)^2+log_((x-2)^2)(1/(x-5)(x-4))

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_((x-2)^2)(5-x)/(4-x) ≤ log_((x-2)^2) [b]([/b](x-2)^2/(x-5)(x-4) [b])[/b]

Рассматриваем два случая, в зависимости от основания логарифмической функции

1)
(x-2)^2>1 ⇒ (x-2)^2-1 >0 ⇒ (x-2-1)*(x-2+1) >0

x ∈ (- ∞ ;1) U (3;+ ∞ )
Логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(5-x)/(4-x) ≤(x-2)^2/(x-5)(x-4)

(x-5)/(x-4) - (x-2)^2/(x-5)(x-4) ≤0

((x-5)^2-(x-2)^2)/(x-5)(x-4)≤0

(x-5-x+2)(x-5+x-2)/(x-5)(x-4)≤0
Так как (x-5)(x-4) > 0 cм. третью строчку ОДЗ, то

(x-5-x+2)(x-5+x-2) ≤0
-3*(2x-7) ≤0

2x-7 ≥ 0
х ≥ 3,5

[3,5;4)U(5;+ ∞ )

C учетом x ∈ (- ∞ ;1) U (3;+ ∞ ) получаем
о т в е т. 1)
[3,5;4)U(5;+ ∞ )

2)

0 < (x-2)^2<1 ⇒ (x-2)^2-1 <0; x ≠ 2⇒ (x-2-1)*(x-2+1) <0

x ∈ (1;2) U (2;3 )

Логарифмическая функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

(5-x)/(4-x)≥(x-2)^2/(x-5)(x-4)

(2x-7)/(x-5)(x-4)≤0

Так как (x-5)(x-4) > 0 cм. третью строчку ОДЗ, то
2x-7 ≤0

С учетом x ∈ (1;2) U (2;3 )

о т в е т. 2)
(1;2) U (2;3 )

О т в е т. Объединяем ответ 1) и ответ 2) с учетом ОДЗ

(1;2) U (2;3 )U[3,5;4)U(5;+ ∞ )
≥

Бросают две игральные кости. На каждой выпадает количество очков от 1 до 6.

Результаты появления чисел можно записать в виде пар.
(1;1) - на первой кости 1 и на второй кости 1
...
(1;6)
...
(6;6)
Всего 36 пар.

n=36

Cобытие А - ''произведение очков ,выбравших на обеих костях ,не больше 15''

Событию А благоприятствуют исходы

(1;1); (1;2); (1;3); (1;4);(1;5);(1;6)
(2;1); (2;2); (2;3);(2;4);(2;5);(2;6)
(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);(3;5)
(4;1);(4;2);(4;3)
(5;1);(5;2)(5;3)
(6;1);(6;2)

m=25

p(A)=m/n=25/36

можно рассмотреть противоположное событие

Это и второй способ и проверка.

Ā - ''произведение очков ,выбравших на обеих костях , больше 15''
Событию Ā благоприятствуют исходы

(3;6)
(4;4);(4;5);(4;6)
(5;4);(5;5);(5;6)
(6;3);(6;4);(6;5);(6;6)

m_(Ā)=11

p(Ā)=11/36

Тогда

p(A)=1-p(Ā)=1- (11/36)=25/36

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

= ∫(4dx)/sin^2(3x)- ∫(4-3x^3)dx/x =

в первом интеграле постоянный множитель можно вынести за знак интеграла,
по формуле ∫dx/sin^2x= - сtgx
и по правилу
∫f(x)dx=F(x), то∫f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b), получим

∫(4dx)/sin^2(3x)=4*(1/3)*(-1/ctg^2(3x))+C=-4/(3ctg^2(3x))

во втором интеграле делим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель

∫(4-3x^3)dx/x = ∫ (4/х)dx - ∫ (3x^3/x)dx=4ln|x| -3∫x^2dx=

=4ln|x| -3*(x^3/3)=4ln|x|- x^3

О т в е т. ∫(4dx)/sin^2(3x)- ∫(4-3x^3)dx/x =-4/(3ctg^2(3x)) -4ln|x| +x^3+C

2. ∫ dx/х= ln|x|

так как d(x-1)= dx, то

∫ dx/(х-1)= ∫ d(x-1)/(х-1)=ln|x-1|

и

так как d(x+2)= dx, то

∫ dx/(х+2)= ∫ d(x+2)/(х+2)=ln|x+2|

Получим

=(4ln|x-1| +ln|x+2|)^4_(2)=

=4ln3+ln6-4ln1-ln4=4ln3+ln(2*3)-2ln2=4ln3+ln2+ln2-2ln2=5ln3-ln2

1.
Выражение под корнем должно быть ≥ 0

Составляем неравенство:

4^((x+1)/x)-17*2^(1/x) +4 ≥0

(x+1)/x=(x/x)+(1/x)=1+(1/x)

4^(1 + (1/x))-17*2^(1/x) +4 ≥0

4*4^(1/x) -17*2^(1/x) +4 ≥ 0

Квадратное неравенство.
Замена переменной

2^(1/x)=t

4*t^2-17t+4 ≥ 0

D=289 - 4*4*4=225

t_(1)=(17-15)/8=1/4; t_(2)=(17+15)/8=4

t ≤1/4 или t ≥ 4

Обратно

2^(1/x) ≤ 1/4 или 2^(1/x) ≥ 4

2^(1/x) ≤ 2^(-2) или 2^(1/x) ≥ 2^2

1/x ≤ -2 или (1/x) ≥ 2

(1+2x)/x ≤0 или (1-2x)/x ≥ 0

-1/2 ≤ x < 0 или 0 < x ≤1/2

О т в е т. [-1/2;0) U (0;1/2]

2.

ax/(x^2+4) < 1,5

ax/(x^2+4) - 1,5 <0

(ax-1,5x^2-6)/(x^2+4) < 0

(1,5x^2-ax+6)/(x^2+4) >0

x^2+4 > 0 при любом х

значит для выполнения требования задачи

должно выполняться неравенство:

1,5x^2 - ax +6 >0

D=a^2-4*1,5*6=a^2-36

Неравенство будет верно при любом х, если D <0

a^2-36 < 0 ⇒ -6 < a < 6

О т в е т. (-6;6)

Логарифмированием.

y=(7x)^(5/(4+lnx))

lny=ln(7x)^(5/(4+lnx))

По свойству логарифма степени:

lny=(5/(4+lnx)) * ln(7x)

lny=(5ln(7x))/(4+lnx)

Находим

lim_(x →0)lny=lim_(x →0)(5ln(7x))/(4+lnx)=неопределенность ( ∞/ ∞)
применяем правило Лопиталя

=lim_(x →0)(5ln(7x))`/(4+lnx)`=

=lim_(x →0)(5*7/(7x))/(1/x) = [b]5[/b]

lim_(x →0)y = e^(5) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

2x^2 - 5x + 31 = 7^(2)
2x^2 - 5x - 18 = 0
D=25-4*2*(-18) = 169

x_(1)= (5 - 13)/4 = - 2 ; x_(2)= (5+13)/4=9/2

Решаем однородное уравнение:
y``- y`- y=0

Составляем характеристическое уравнение
k^2- k -1 = 0
D=1-4*(-1)=5

k_(1)=(1 - sqrt(5))/2; k_(2)=(1+sqrt(5))/2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x)

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

Справа многочлен третьей степени, значит
у_(ч)=ax^3+bx^2+cx+d

y`_(ч)=3ax^2+2bx+c
y``_(ч)=6ax+2b

Подставляем в данное уравнение:

6ax+2b- (3ax^2+2bx+c)-(ax^3+bx^2+cx+d)=x^3+6;

приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

-a =1 ⇒ a = - 1

- 3a - b =0⇒ b=-3a =3

6a - 2b - c = 0⇒ c=-12

2b - c - d = 6 ⇒ d=12

a = - 1
b = 3
c = - 12
d = 12

у_(ч)= - x^3+3x^2+6x+12

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(о) и у_(ч)

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x) -x^3+3x^2 +6x+12

Ответ выбран лучшим

[b]∫ ^(0)_(- ∞ )x*e^(x)dx[/b]

по частям

u=x ⇒ du=dx
dv=e^(x)dx ⇒ v= ∫ e^(x)dx=e^(x)

[b]∫ ^(0)_(- ∞ )x*e^(x)dx[/b] =(xe^(x))|^(0)_(-∞)- ∫^(0)_(- ∞)e^(x)dx=

= (xe^(x))|^(0)_(- ∞ )- (e^(x))| ^(0)_(- ∞ )=

=0*e^(0)- lim_(x → - ∞)xe^(x) - e^(0) + lim_(x → - ∞)e^(x)=

=0 - (неопределенность ∞*0) -1 + 0=

замена t=-x

=0 + lim_(t → +∞)(-t)*e^(-t) -1=

= im_(t → +∞)t/e^(t) - 1=

правило Лопиталя:

= lim_(t → +∞)(t)`/(e^(t))` + 1=

= lim_(t → +∞)1/e^(t) + 1=

= 0 - 1= -1

Сходится

x=x*1=x*lg10=lg10^(x)

x+lg(1+4^(x))=lg10^(x)+lg(1+4^(x))=lg(10^(x)*(1+4^(x))

Уравнение:

[b]lg(10^(x)*(1+4^(x))=lg50[/b]

lg(10^(x)*(1+4^(x))=lg50

10^(x)*(1+4^(x))=50

10^(x)+(10*4)^(x)=50

[b]10^(x)+(40)^(x)=50[/b]

Решаем графически

y=10^(x) возрастающая функция
y=(40)^(x) возрастающая функция

cумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

y=50 - график прямая || оси Ох

Возрастающая функция слева и прямая || оси Ох пересекаются ровно в одной точке.

Это точка х=1

О т в е т. [b]х=1[/b]

2.
ОДЗ:
{sinx>0
{cosx>0
{cosx ≠ 1

log_(cosx)sinx=1 ⇒ (cosx)^(1)=sinx

sinx=cosx

Делим обе части уравнения на cosx ≠ 0

tgx=1

x=(π/4) +πk, k ∈ Z

ОДЗ удовлетворяют корни в первой четверти, при k=2n

О т в е т. (π/4) +2πn, n ∈ Z

ОДЗ:
{(x+2)^2*(x+5)/5 >0 ⇒ _-_ ( -5) _+__ (-2) _+_ ⇒ х ∈ (-5;-2)U(-2;+ ∞)
{ (x+5)/20 >0 ⇒ x > -5 ⇒ x ∈ (-5;+ ∞ )

ОДЗ: х ∈ (-5;-2)U(-2;+ ∞)

lg^2(х+2)^2(х+5)/5 < lg^2 (x+5)/20

lg^2(х+2)^2(х+5)/5 - lg^2 (x+5)/20 <0

По формуле разности квадратов:

(lg(х+2)^2(х+5)/5 - lg (x+5)/20) *(lg(х+2)^2(х+5)/5 + lg (x+5)/20) < 0

Разность логарифмов заменим логарифмом частного, сумму логарифмов - логарифмом произведения

lg(4(x+2)^2) * lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) < 0

Произведение отрицательно, значит множители имеют разные знаки.
Получаем совокупность двух систем

(1)
{lg(4(x+2)^2)>0
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) < 0

или
(2)
{lg(4(x+2)^2)<0
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) > 0

0=lg1

(1)
{lg(4(x+2)^2)>lg1
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) < lg1

или
(2)
{lg(4(x+2)^2)<lg1
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) > lg1

y=lgt - возрастает,

(1)
{4(x+2)^2>1 ⇒ (2(х+2)-1)(2(х+2)+1) >0
{(x+2)^2*(x+5)^2/100) < 1⇒((x+2)(x+5)/10 - 1)*((x+2)(x+5)/10 + 1) <0

или
(2)
{4(x+2)^2)<1⇒ (2(х+2)-1)(2(х+2)+1) < 0
{(x+2)^2*(x+5)^2/100) > 1⇒((x+2)(x+5)/10 - 1)*((x+2)(x+5)/10 + 1) >0

(1)
{ (2х+3)(2х+5) >0 ⇒ x < -2,5 или х > -1,5
{(x^2+7x)(x^2+7x+20) <0⇒ x^2+7x < 0 ⇒ - 7 < x < 0

о т в е т. (1) (-7;-2,5)U(-1,5;0)

или
(2)
{(2x+3)(2x+5) < 0⇒ -2,5 < x < -1,5
{(x^2+7x)(x^2+7x+20) > 0⇒x^2+7x >0 ⇒ x < -7 или x >0

о т в е т (2) нет решений

Объединяем ответы (1) и (2) и с учетом ОДЗ
получаем
О т в е т. [b](-5; -2,5)U(-1,5;0)[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

y`=15x^4-20x^3+3
y``=60x^3-60x^2

y``=0
60x^3-60x^2=0

60x^2(x-1)=0

x=0; x=1

Знак второй производной

_-__ (0) _-__ (1) __+_

y``<0 на (- ∞ ; -1) вып вверх
y``>0 на (1;+ ∞ ) вып вниз
х=1 точка перегиба
(прикреплено изображение)

Из равнобедренного треугольника KDC:
cos α =(1/2)KC/CD=7,5k/25k=3/10
О т в е т. 0,3 (прикреплено изображение)

(2–3i)+(4+2i)–(2–7i)=2–3i+4+2i–2+7i=(2+4-2)+(-3i+2i+7i)=4+6i
О т в е т. 4+6i

2x-3iх-y=4+2i
(2x-y)-3х*i=4+2i
a)
{2x-y=4
{-3х=2

х=-2/3
у=2х-4=(-4/3)-4=-16/3

О т в е т. х=-2/3; у=-16/3

б)
y=ki
x=mi
тогда

(2-3i)*mi-ki=4+2i
2mi-3mi^2-ki=4+2i
(2m-k)*i+3m=4+2i
{3m=4 ⇒ m=4/3
{2m-k=2 ⇒ k=8/3-2=2/3

О т в е т. х=(4/3)i; y=(2/3)i

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

АМ:МB=АС:СB=30:45=2:3

Пусть
АМ=2k
MB=3k

AB=5k

По теореме Пифагора
AC^2+BC^2=AB^2

30^2+45^2=(5k)^2

k=15sqrt(13)

AM=30sqrt(13)

По теореме косинусов из Δ АМС

АМ^2=AC^2+MC^2-2*AM*MC*cos45^(o)

⇒ MC

S( Δ AMC)=(1/2)AC*MC*sin45^(o)

Ответ выбран лучшим

z=3-i
|z|=sqrt(sqrt(3)^2+(-1)^2)=sqrt(4)=2

argz= φ

cos φ =x/|z|=√3 /2
sin φ =y/|z|=-1 /2

tg φ =sin φ /cos φ =-1 /√3
φ =(-π / 6)

argz= (-π / 6)

z=2*(cos(-π/6)+isin(-π/6))

z=2*(cos(π/6)-isin(π/6)) - тригонометрическая форма данного
комплексного числа

По формуле Муавра

z^(50)=2^(50)*(cos(50π/6)-isin(50π/6))

z^(50)=2^(50)* [b]([/b] cos(8π+(π/3)) - i sin(8π+(π/3)) [b])[/b]=

=2^(50)* [b]([/b]cos(π/3) - sin(π/3) [b])[/b]=

= [b]2^(49)*(1-i√3 )[/b]

1)
S= ∫ ^(2√2)_(0) x^2*√(8-x^2)dx

Считаем интеграл заменой переменной.
Применяем тригонометрические подстановки
x=2√2 sint
8-x^2=8=8sin^2t=8*(1-sin^2t)=8*cos^2t
√(8-x^2)=2√2cost

dx=2√2 cost dt

Меняем пределы интегрирования:
x=2√2

2√2=2√2sint; sint=1⇒ t=π/2

x=0

t=0

S= ∫ ^(π/2)_(0) (8sin^2t)*(2√2cost)*(2√2 cost dt)=

=64 ∫ ^(π/2)_(0) (sintcost)^2dt=

=16∫ ^(π/2)_(0) (sin2t)^2dt=

=8∫ ^(π/2)_(0) (1-cos4t)dt=

=8*(t-(1/4)sin4t)| ^(π/2)_(0)=8*(π/2)= [b]4π[/b]

2)
S= ∫ ^(1)_(0) √(4-y^2)dy=

=((y/2)*sqrt(4-y^2)+2arcsin(y/2))|^(1)_(0)=

=(1/2)sqrt(3)+2arcsin(1/2)-0-2arcsin0=

=(1/2)sqrt(3)+2*(π/6)= [b](sqrt(3)/2)+(π/3)[/b]

3)
S= ∫ ^(4)_(0) x^2*√(16-x^2)dx

Считаем интеграл заменой переменной

Применяем тригонометрические подстановки
x=4sint
16-x^2=16-16sin^2t=16*(1-sin^2t)=16*cos^2t
√(16-x^2)=4cost

dx=4cost dt
Меняем пределы интегрирования:
x=4

4=4sint
sint=1

х=4 ⇒ t=π/2

x=0 ⇒ t=0

S= ∫ ^(π/2)_(0) (16sin^2t)*(4cost)*(4 cost dt)=

=256 ∫ ^(π/2)_(0) (sintcost)^2dt=

=64∫ ^(π/2)_(0) (sin2t)^2dt=

=32∫ ^(π/2)_(0) (1-cos4t)dt=

=32*(t-(1/4)sin4t)| ^(π/2)_(0)=32*(π/2)= [b]16π[/b]

4)
S= ∫ ^(6)_(0) x*√(36-x^2)dx

Считаем интеграл заменой переменной

Применяем тригонометрические подстановки
x=6sint
36-x^2=36-36sin^2t=36*(1-sin^2t)=36*cos^2t
√(36-x^2)=6cost

dx=6cost dt
Меняем пределы интегрирования:
x=6

6=6sint
sint=1

х=6 ⇒ t=π/2

x=0 ⇒ t=0

S= ∫ ^(π/2)_(0) (6sint)*(6cost)*(6 cost dt)=

=216 ∫ ^(π/2)_(0) (cost)^2*sindt=

=216∫ ^(π/2)_(0) (cos^2t)(-d(cost))=

= - 216*(cos^3t)/3)| ^(π/2)_(0)=72(cos0/3)= [b]24[/b]

Ответ выбран лучшим

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''+5y'+6y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+5k+6=0
D=25-24=1

k_(1)=-3; k_(2)=-2 - корни действительные различные,

поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(-2x) - общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение
находим в виде
y_(частное неодн)=Аe^(2x)
y`_(частное неодн) =2Ae^(2x)
y``_(частное неодн)=4Ae^(2x)

Подставляем в данное неоднородное уравнение:
4Ae^(2x) +5 *2Ae^(2x)+6*Ae^(2x)=e^(2x)
20Ae^(2x)=e^(2x)
A=1/20

y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)

y=C_(1)e^(5x)+C_(2)x*e^(5x) +(1/20)*e^(2x) - общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Неопределенный интеграл
∫ f(x)dx=F(x)+C

∫(9x^2-4x+3)dx=9*(x^3/3) -4*(x^2/2)+3x=3x^3-2x^2+3x+C

Проверка
(3x^3-2x^2+3x+C)`=9x^2-4x+3

Формула Ньютона - Лейбница:
∫^(b)_(a) f(x)dx=F(x)|^(b)_(a)=F(b)-F(a)

∫^(4)_(3)(9x^2-4x+3)dx=(3x^3-2x^2+3x)|^(4)_(3)=

=3*4^3-2*4^2+3*4 - 3*3^3+2*3^2-3*3= 100

Ответ выбран лучшим

П,с,т,х - согласные
а,у - гласные

Одна согласная на первом месте, другая на четвертом:
a_ _ y _ _
y_ _ a _ _

На 4 места согласные можно разместить 4! способами
Всего 2*4!=32 слова.

Одна согласная на втором месте, другая на пятом:
_a_ _ y _
_y_ _ a _
Здесь тоже 32 слова

Одна согласная на третьем месте, другая на шестом:
_ _a_ _ y
_ _y_ _ a
Здесь тоже 32 слова

Всего 3*32=96 слов

[b]A на первом месте[/b], тогда на оставшихся трех местах размещаем ВСD
3! =6 способами

А ВСD
A BDC
A CBD
A CDB
A DBC
A DCB

[b]A на втором месте[/b], тогда B можно разместить только на 3 и 4 места двумя способами. С или D на оставшиеся свободными два места еще двумя способами, значит всего 4 способа

CA BD
CA DB
DA CB
DA BC

[b]А на третьем месте[/b], тогда В можно разместить на 4 место одним способом и на два оставшихся места C и D двумя способами.

CDA B
DCA B
О т в е т. 6 + 4 + 2= [b] 12 способов[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]Замена переменной:[/b]

(1/8)х=t

Уравнение принимает вид:

cost*sin^3t-cos^3t*sint=(1/8)sqrt(3)

sint*cost*(sin^2t-cos^2t)=(1/8)sqrt(3)

По формулам:
sin2t=2*sint*cost
cos^2t - sin^2t= cos2t
2*sin2t*cos2t=sin4t

Умножаем данное уравнение на 4
2*(2sint*cost)*(sin^2t-cos^2t)=(1/2)sqrt(3)
2*sin2t*(-cos2t)=sqrt(3)/2

[b]sin4t = - sqrt(3)/2[/b]

4t=(-1)^(k)*arcsin(-sqrt(3)/2) +πk, k ∈ Z

4t=(-1)^(k)*(-π/3) +πk, k ∈ Z

4t=(-1)^(k+1)(π/3) +πk, k ∈ Z

Обратный переход от t к х:

x/2=(-1)^(k+1)(π/3) +πk, k ∈ Z

[b]x=(-1)^(k+1)(2π/3) +2πk, k ∈ Z[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

1) [b]Замена переменной:[/b]

(1/28)x=t
(1/14)x=2t

2)Уравнение принимает вид:

[b]sin2t=cos^4t-sin^4t[/b]

По формуле разности квадратов:

cos^4t-sin^4t=(cos^2t)^2-(sin^2t)^2=(cos^2t-sin^2t)*(cos^2t+sin^2t)=

=cos2t*1=cos2t

Применили формулы
косинуса двойного угла
cos2t=cos^2t-sin^2t
и
тригонометрической единицы:
cos^2t+sin^2t=1

3) Уравнение:
[b]sin2t=cos2t[/b] - однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

Делим на cos2t ≠0

4)
tg2t=1

2t=( π/4)+πk, k ∈ Z

5)
Обратная замена и [b]гра-дусы[/b]

(1/14)х=45^(o)+180^(o)*k, k ∈ Z

х=(14*45^(o))+14*180^(o)*k, k ∈ Z

[b]х=630^(o)+2520^(o)*k, k ∈ Z[/b]

(можно оставить 14*180^(o) вместо 2520^(o))

Наименьший положительный корень при n=0
x [b]=630^(o)[/b]

В решении задачи выделено 5 этапов

По формулам приведения
сos(x+50°)=sin(90°-(x+50 ° ))=sin(40°-x)

сos(x+50°)+sin(x+40°)= sin(40°-x)+sin(x+40°)=2sin40°cos(-x)
cosx(-x)=cosx

Уравнение принимает вид
2sin40°*cosx=1+2cos x* sin40°+cos90x

cos90x=-1

90x=-180°+360° *n, n ∈ Z

x=-2° +4°n, n ∈ Z

Наибольший отрицательный
х=-2 °

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{9^(x)+9 > 0 неравенство верно при любом х
{28-2*3^(x) >0 ⇒ 2*3^(x) < 28 ⇒ 3^(x) <14 ⇒ x < log_(3)14

так как
x=log_(3)3^(x), то неравенство принимает вид:
log_(3) (9^(x) +9) = log_(3)3^(x)+log_(3)(28−2*3^(x)).

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(3) (9^(x) +9) = log_(3)3^(x)*(28−2*3^(x)).

9^(x) + 9 = 3^(x)*(28 − 2*3^(x)).
3*(3^(x))^2-28*3^(x)+9 =0 - квадратное уравнение относительно 3^(x)

Замена переменной:
3^(x)=t; t >0

9^(x)=t^2

3*t^2 - 28*t + 9 = 0

D=(-28)^2-4*3*9=4*(49*4-36)=4*169=26^2

t=(28-26)/6=1/3 или t=(28+26)/6=9

Обратно:

3^(x)=1/3
3^(x)=3^(-1)
x=-1

или

3^(x)=9
3^(x)=3^(2)
x=2

Оба корня удовлетворяют ОДЗ

2 < log_(3)14, так как log_(3)9 <log_(3)14

О т в е т. [b]-1; 2 [/b]

Ответ выбран лучшим

a=12;
b=5
c=13

V=a*b*c=5*12*13= считаем самостоятельно

S_(полн. пов.)=2*ab+2*ac+2*bc=2*12*5+2*12*13+2*5*13= считаем самостоятельно

d^2=a^2+b^2+c^2=12^2+5^2+13^2=144+25+169=2*169
d= [b]13 sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

Находим абсциссы точек пересечения графиков
x^2-1=-x+1
x^2+x-2=0
D=1+8=9
x=(-1-3)/2=-2; x=(-1+3)/2=1

S= ∫^(1)_(-2)(-x+1-(x^2-1))dx= ∫^(1)_(-2)(-x+1-x^2+1)dx=

= ∫^(1)_(-2)(2-x-x^2)dx=(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(-2)=

=2-(1/2)-(1/3) -(-4-2+8/3)= [b]4,5[/b] (прикреплено изображение)

Находим производную.
Применяем правило: производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель можно выносить за знак производной:
f`(x)=(2x^2-3x^3+10)`=(2x^2)`-(3x^3)`+10`=4x-9x^2+0= [b]4x-9x^2[/b]

Критические точки - точки в которых производная равна нудю или не существует.
Точек, в которых производная не существует - нет, так как производная квадратичная функция, определена при любом х

Находим точки, в которых производная равна 0

f`(x)=0

[b]4х-9x^2[/b]=0

x*(4-9x)=0

x=0 или 4-9х=0 ⇒ х=4/9

О т в е т. 0 и (4/9)

а)
Применяем правило нахождения производной частного (дроби)
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=sin4x-2
Применяем правила:
1) производная суммы равна сумме производных
2)Правило нахождения производной сложной функции
u- функция зависящая от х

по формуле:
(sinx)`=cosx
для сложной функции
(sinu)`=(cosu)* u`

u`=(sin4x-2)=(sin4x)`-2`=(cos4x)*(4x)`-0=4cos4x

v=cos4x+3
Применяем правила:
1) производная суммы равна сумме производных
2)Правило нахождения производной сложной функции
u- функция зависящая от х

по формуле:
(cosx)`=-sinx
для сложной функции
(cosu)`=(-sinu)* u`

v`=(cos4x+3)=(cos4x)`+3`=(-sin4x)*(4x)`-0=-4sin4x

Само решение выглядит так:

f`(x)=((sin4x-2)`*(cos4x+3)-(sin4x-2)*(cos4x+3)`)/(cos4x+3)^2=

=(4cos4x*(cos4x+3) - (sin4x-2)*(-4sin4x))/(cos4x+3)^2=

=(4cos^24x+12cos4x+4sin^24x-8sin4x)/(cos4x+3)^2=

так как 4cos^24x+4sin^24x=4(cos^24x+sin^24x)=4*1=4

= [b](12cos4x-8sin4x+4)/(cos4x+3)^2[/b] - о т в е т.

б)

Применяем правила:
1) производная суммы равна сумме производных
2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
3) Правило нахождения производной сложной функции
u- функция зависящая от х

(tgx)`=1/cos^2x

(tgu)`=(1/cos^2u)*u`

(ctgx)`= -1/sin^2x

(ctgu)`=(-1/sin^2u)*u`

(lnx)`=1/x
(lnu)`=(1/u)*u`

f`(x)=(tg3x)`-(1/4)*(ctg4x)`+(ln(3x+1))`=

=(1/cos^23x)*(3x)` - (1/4)*(-1/sin^24x)*(4x)`+(1/(3x+1))*(3x+1)`=

[b]=(3/cos^23x) +(1/sin^24x)+(3/(3x+1)) [/b] - о т в е т.

Формула понижения степени:
cos^2α=(1+cos2α)/2

(1+cos2x)/2 +3*(1+cosx)/2=2

(1/2)cos2x +(3/2)cosx=0

cos2x+3cosx=0

cos2x=2cos^2x-1

2cos^2x+3cosx-1=0
D=9+8=17

cosx=(-3-sqrt(17)/4 уравнение не имеет корней, косинус ограниченная функция и не принимает значений меньших -1,

(-3-sqrt(17) )/4 <-1

cosx=(-3+sqrt(17)/4

[b]x= ± arccos((-3+sqrt(17))/4)+2πk, k ∈ Z[/b]

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго постоянными коэффициентами.

Решаем однородное дифференциальное уравнение второго постоянными коэффициентами.
y'' –4y'+8y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2 –4k+8=0
D=16-32=-16
sqrt(D)=4i

k_(1)=2-2i;k_(2)=2+2i;

α =2
β=2

y_(общ одн) находят по формуле:
y_(общ одн)=e^( α x)*(C_(1)cosβx+С_(2)sinβx)

y_(част неодн)=e^(x)(Asinx+Bcosx)

Замена
y``=z
тогда
y```=z`

xz`-z=sqrt(x) - линейное уравнение вида
z`-p(x)z=q(x)

Решается методом Бернулли (z=u*v) или методом вариаций.

z=y``

y`= ∫ zdx

y``= ∫ y`dx

Применяем радикальный признак Коши:

lim_(n→∞ ) (a_(n))^(1/n)= lim_(n→∞ )(n+1)/(2n+1) =1/2 < 1

Ряд сходится

Ответ выбран лучшим

2x^2+y^2=4 ⇒ выразим y^2=4-2x^2

Тогда
4x+y^2=4x+4-2x^2 - квадратный трехчлен, который принимает наибольшее значение при x=1
( в вершине параболы, абсцисса вершины х_(o)=-b/2a)

4*1+4-2*1^2= [b]6[/b] - максимальное значение, которое может принимать выражение 4x + y^2.

2x^2+y^2=4 ⇒ выразим x^2=(4-y^2)/2

x= ± sqrt((4-y^2)/2)

Наименьшее значение выражение
4x+y^2 принимает при x=-sqrt((4-y^2)/2)

х < 0 при любом |y|≤ 2

Чтобы сумма отрицательного числа и неотрицательного (y^2)
принимала наименьшее значение надо, чтобы y^2=0 ⇒

x=-sqrt((4-0)/2)=-sqrt(2)

4x+y^2=4*(-sqrt(2))+0= [b]-4sqrt(2) [/b] - минимальное значение, которое может принимать выражение 4x + y^2.

e^(7x^2)-1 ∼ 7x^2 при x → 0
ln(1+4x^3) ∼ 4x^3 при x → 0

7x^2/4x^3=4/4x → ∞ при x → 0

О т в е т.
∞

Пусть АМ=3х; МВ=х
и АМ:МВ=3х:х=3:1
АВ=АМ+МВ=4х

Пусть СN=y; NB=7y
тогда
ВС=8y

S( Δ АВС)=(1/2)АВ*ВС*sin ∠ B= (1/2)*4x*8y*sin ∠B= [b]16xysin∠ B[/b]

S( Δ MВN)=(1/2)MB*ВN*sin ∠ B= (1/2)*x*7y*sin ∠B= [b]3,5xysin∠ B[/b]

S(AMNC)=S( Δ АВС) - S( Δ MВN)= [b]12,5xysin∠ B[/b]

12,5xysin∠ B составляют 100%
3,5xysin∠ B составляют p%

p=(3,5xysin ∠ B)*100%/(12,5xysin∠ B)=(3,5)*100%/(12,5)=28%

1.
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

9^(1,5-0,3x)-(1/27) >0
9^(1,5-0,3x)>1/27

так как
9=3^2

27=3^3

1/27=3^(-3)

3^(2*(1,5-0,3x)) > 3^(-3)

2*(1,5-0,3x) > -3

- 0,6x > -6

x < 10

[b](- ∞; 10)[/b]

2.

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

((2-3x)`*(x-1) - (2-3x)*(x-1)`)/(x-1)^2=(-3*(x-1)-(2-3x)*1)/(x-1)^2=

=(-3x+3-2+3x)/(x-1)^2=1/(x-1)^2

f`(2)=1/(2-1)^2= [b]1[/b]

3.

tg α =f`(x_(o))

f(x)=x^3-3x^2+x

x_(o)=2

f`(x)=3x^2-6x+1

f`(2)=3*2^2-6*2+1=1

tg α=1

α= [b] π/4[/b]

По теореме Виета:
x_(1)+x_(2)=a
x_(1)*x_(2)=a+1

x^2_(1)+x^2_(2)=(x_(1)+x_(2))^2-2x_(1)*x_(2)=a^2-2(a+1)= [b]a^2-2a-2[/b]

a^2-2a-2 >1

a^2-2a-3 >0

D=4+12=16

a_(1)= - 1; a_(2)=3

решение неравенства:

a < -1 или a > 3

О т в е т. [b](- ∞; -1) U (3;+ ∞ )[/b]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1).

Значит k_(касательной)= - (1/а)

Геометрический смысл производной в точке:

k_(касательной)=f `(x_(o))

Пусть точка касания (x_(o);y_(o))
Так как точка находится на параболе, то
y_(o) = x^2_(o)

f`(x)=2x
f`(x_(o))=2x_(o)

2x_(o)=-1/a

a=-1/(2x_(o))

Если прямая пересекает касательную именно в точке касания, то
(x_(o); x^2_(o)) удовлетворяет уравнению прямой

х^2_(o)=a*x_(o)+(3/2) ⇒ a=-1/(2x_(o))

х^2_(o)=(-1/2)+(3/2)

x^2_(o)=1

x_(o)= ± 1 ⇒ [b]a=-1/2 или a=1/2[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной входит в перечень необходимых умений и значительно экономит время на экзамене.Только в последней строчке пришлось делить на корень из трех! (прикреплено изображение)

По формулам приведения

cos((π/2)–x)=sinx
sin⁡(π+x)=-sinx
sin⁡((3π/2)–x)=-cosx
cos⁡(π+x)=-cosx

Уравнение:
4sinx *sinx+4*(-sinx)*cosx+2 *(-cosx)*(-cosx)=sin^2x+cos^2x

3sin^2x-4sinxcosx+cos^2x=0 - однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Делим на cos^2x ≠ 0

3tg^2x-4tgx+1=0
D=16-4*3*1=4

tgx=1/3 или tgx =1
x= [b] arcctg(1/3)+πk, k ∈ Z [/b] или x= [b](π/4)+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

1=sin^2x+cos^2x

2sin^3x=1*cosx

2sin^3x=(sin^2x+cos^2x)*cosx

2sin^3x=sin^2x*cosx+cos^3x

получили однородное тригонометрическое уравнение третьей степени

Делим на cos^3x ≠ 0

2tg^3x=tg^2x+1

(tgx-1)*(2tg^2x+tgx+1)=0

tgx=1 - единственный корень уравнения ( D квадратного ур. отриц)

x= [b](π/4)+πk, k ∈ Z [/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

1.
27^(1/2)=(3^(3))^(1/2)=3^(3/2)
(1/9)^(3/4)=(3^(-2))^(3/4)=3^(-6/4)=3^(-3/2)

27^(1/2)*(1/9)^(3/4)=3^(3/2)*3^(-3/2)=3^(0)=1

(27^(1/2)**(1/9)^(3/4))^(4/3)= [b]1^(4/3)=1[/b]

2.
2lg5+(1/2)lg16=lg5^2+lg16^(1/2)=lg25+lg4=lg(25*4)=lg100=2
[b]2lg5+(1/2)lg16=2[/b]

3.
tg(π/3)=sqrt(3)
tg^2(π/3)=3

cos(3π/4)=-sqrt(2)/2
cos^2(3π/4)=1/2

[b]tg^2(π/3)- cos^2(3π/4)=3-(1/2)=2,5[/b]

4.
ОДЗ: -x > 0 ⇒ x <0

Возводим в квадрат

20-х=(-x)^2
x^2+x-20=0
D=1-4*(-20)=81
x_(1)=(1-9)/2=-4; x_(2)=(1+9)/2=5

x=5 не является корнем, не удовл ОДЗ

О т в е т. [b]-4[/b]

5.

(1/5)^(3-x)=25^(1-2x)
(5^(-1))^(3-x)=(5^(2))^(1-2x)
5^(x-3)=5^(2-4x)
x-3=2-4x
x+4x=2+3
5x=5
[b]x=1[/b]

6.

1.
2 целых (4/7)-2 целых (5/10)=2 целых (4/7)-2 целых (1/2)=

=2 целых (8/14)-2 целых (7/14)=(2целых-2 целых) ((8/14)-(7/14)=

=0 целых (1/14)= [b]1/14[/b]

2.
2^(10)*3^(6) : 6^(5)=2^(10)*3^(6) / 6^(5)=2^(10)*3^(6) / (2*3)^(5)=

=2^(10-5)*3^(6-5)=2^(5)*3=32*3= [b]96[/b]

3.
400 - 100%
480 - p%

p=480*100/400=120%

120%-100%=20%

Повысилась на 20%

4.
q=sqrt(((sqrt(2))^2+3^2+17^2)/3)=sqrt(300/3)=sqrt(100)=10

5.
log_(a)(a/b^3)= логарифм частного= log_(a)a-log_(a)b^3=

логарифм степени=

=1-3log_(a)b=1-3*5=1-15= [b]-14[/b]

6
3000:100=30 руб составляет 1% от 3000
30*10=300 руб составляют 10% от 3000

3000 +300=3300 руб cтоимость со сборкой

7.
(1/5)^(5-x)=125

(1/5)^(5-x)=(1/5)^(-3)

5-x=-3
x=5+3
[b]x=8[/b]

Ответ выбран лучшим

Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
|a_(n)| → 0
{|a_(n)|} монотонно убывающая как сумма убывающих

при n четном
|a_(2n)|= |8+(-1)^(2n)|/sqrt((2n)^2+3)=9/sqrt(4n^2+3)

при n нечетном
|a_(2n-1)|= |8+(-1)^(2n-1)|/sqrt((2n-1)^2+3)=7/sqrt((2n-1)^2+3)

f(2n)=|a_(2n)|= |8+(-1)^2n|/sqrt((2n)^2+3)=9/sqrt(4n^2+3)

f(x)=9/sqrt(4x^2+3)

f`(x)=9*(-1/2)*(8x)/sqrt((4x^2+3)^3) <0

f(2n-1)=|a_(2n-1)|= |8+(-1)^(2n-1)|/sqrt((2n-1)^2+3)=7/sqrt((2x-1)^2+3)

f(x)=7/sqrt((2x-1)^2+3)

f`(x)=7*(-1/2)*(4*(4x-1))/sqrt(((2x-1)^2+3)^3) <0

Ряд из модулей
расходится, так как эквивалентен гармоническому.

О т в е т. сходится условно

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

см. решение задачи 26369 на этом сайте
[link=https://reshimvse.com/zadacha.php?id=26369]

L=10 cм - образующая.
В сечении равнобедренный треугольник АРВ, углы при основании 60 градусов, значит угол при вершине - угол АРВ= 60 градусов.

Осевое сечение конуса - равносторониий треугольник АРВ со стороной 10
В основании - диаметр конуса, значит радиус равен 5 см

R=5см

H^2=L^2-R^2=
H^2=10^2-5^2=75
H= [b]5sqrt(3)[/b]

S_(осевого сечения)=S_(равностороннего треугольника со стороной а)=

=(1/2)*a^2sqrt(3)/2=a^2sqrt(3)/4

При а=L=10

S_(осевого сечения)=10^2sqrt(3)/4=25sqrt(3) (кв. см)

S_(бок. конуса)=π*R*L=π*5*10=50*π (кв см)

S_(осн)=π*R^2=π*5^2=25*π ( кв. см)

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)==50*π+25*π=75*π(кв. см)
.

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*25*π*5sqrt(3)=75πsqrt(3)/3 (куб см) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Околоток=
буквы о
две к
одна л
одна т

P(4;2;1;1) =8!/(4!·2!·1!*1!)=840 слов всего.

Свяжем 3 буквы вместе
P(1;1;2;1;1)=6!/(1!·2!·1!*1!*1!)=360 слов, в которых три буквы "о" идут подряд
Среди них встречаются слова, в которых 4 буквы "о"
идут подряд

Свяжем 4 буквы вместе
Р(1;2;1;1)=5!.2!=60

P(3;1;2;1;1) - Р(1;2;1;1)=360-60=300 слов, в которых ровно 3 буквы «о» идут подряд.

О т в е т. 840-300=540

Ответ выбран лучшим

1.
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0

Cкалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат.

2*(n-3) +(-1)*(-n)+0*(-5)=2n-6+n=3n-6

3n-6=0

n=2

2.
По теореме Пифагора
d^2=10^2-8^2=100-64=36
d=6

3
V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн.) * Н

S_(осн.)=(1/2)*АВ*АС*sin ∠ BAC= (1/2)*5*8*sin120 ° =

=10 sqrt(3)

V=(1/3)*10 sqrt(3)*2= [b]20sqrt(3)/3[/b]

Ответ выбран лучшим

P(2;3;3)=8!/(2!*3!*3!)=80 всего перестановок.

Свяжем тройки в одну связку
Р(2;1;3)=6!/(2!*1!*3!)=60

Среди них встречаются такие расположения, когда три двойки тоже идут друг другом
5*P(2;1)=5*(3!/2!)=15

60+15=75

80-75=5

Общий член разложения по полиномиальной формуле имеет вид:
1^(m)*(x^7)^(n)*(-x^2)^(k)
При этом
m+n+k=25
7n+2k=48 ⇒ 7n=48-2k

n- четное, так как справа разность четных есть четное

k=24; n=0 и m=1
k=17; n=2 и m=6
k=10; n=4 и m=11
k=3; n=6 и m=16

Получаем 4 слагаемых, содержащих x^(48)

P(1;0;24)*1^(1)*(x^(7))^(0)*(-x^(2))^(24)
P(6;2;17)*1^(6)*(x^(7))^(2)*((-x^(2))^(17)
P(11;4;10)*1^(11)*(x^(7))^(4)*((-x^(2))^(10)
P(16;6;3)*1^(16)*(x^(7))^(6)*((-x^(2))^(3)

Cкладываем:
((25!*1^1)/(1!*0!*24!))-(25!*1^6)/(6!*2!*17!))+(25!*1^(11))/(11!*4!*10!))-(25!*(1^(16))/(16!*6!*3!)) )* x^(48)

Коэффициент

(25!*1^1)/(1!*0!*24!))-(25!*1^6)/(6!*2!*17!))+(25!*1^(11))/(11!*4!*10!))-(25!*(1^(16))/(16!*6!*3!))
Считаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

Раскладываем дробь на простейшие.

n^2+4n+3=(n+1)(n+3)

тогда

8/(n^2+4n+3)= A/(n+1)+ B/(n+3)

8=(A+B)n+(3A+B)

A+B=0
3A+B=8

2A=8
A=4
B=-4

S_(n)= ∑ ^(n)_(1)(4/(k+1) - 4/(k+3))=

=(4/2) - (4/4)+
+(4/3) - ( 4/5)+
+(4/4) - (4/6)+
+(4/5) - (4/7)+

...
+4/(n-1) - 4/(n+1)+

+(4/n) - 4/(n+2) +

+4/(n+1) - 4/(n+3)

S_(n)=(4/2) + (4/3) + ... - 4/(n+2) - 4/(n+3)

=(10/3)+ ... - 4/(n+2) - 4/(n+3)

По определению:

S=lim_(n → ∞ )S_(n)=10/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть T_(k)=C^(k)_(19)*(3)^(k)*(sqrt(10))^(19-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)

T_(k-1)=C^(k-1)_(19)*(3)^(k-1)*(sqrt(10))^(19-k+1)=
=(19!/(k-1)!*(19-k+1)!)3^(k-1)*(sqrt(10))^(19-k+1)

T_(k)=C^(k)_(19)*(3)^(k)*(sqrt(10))^(19-k)=
=(19!/(k)!*(19-k)!)3^(k)*(sqrt(10))^(19-k)

T_(k+1)=C^(k+1)_(19)*(3)^(k+1)*(sqrt(10))^(19-k-1)=
=(19!/(k+1)!*(19-k-1)!)3^(k+1)*(sqrt(10))^(19-k-1)

{(3/k) > sqrt(10)/(19-k+1) ⇒ k < 57/(sqrt(10)+3) ≈ считаем самостоятельно
{sqrt(10)/(19-k) > 3/(k+1) ⇒ k > (57-sqrt(10))/(sqrt(10)+3) ≈ считаем самостоятельно

Тогда легко найти k

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=12 (месяцев)
m=1 ( июль)

p=m/n=1/12

Выехали навстречу друг другу.

(60+100)км в час - cкорость сближения
386:160=2 целых 33/80 часа (прикреплено изображение)

Задача 3.
S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)

2S_(осн)=S_(пп)-S_(бп)=40 - 32=8

S_(осн)=4

Призма правильная, значит в основании квадрат
Пусть сторона квадрата равна х

S_(осн)=x^2

x^2=4

x=2

S_(бп)=P_(осн)*Н=P_(квадрата)*Н=4х*Н=4*2*Н=8Н
S_(бп)=32
8H=32
H=4

V=S_(осн)*H=4*4=16 см^3

Ответ выбран лучшим

x≠ 0
Умножим на х:

(a+6)x^2-2ax+1=0
При a=-6 уравнение не квадратное, оно линейное
12x+1=0
x=-1/12 - ровно одно решение

Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0

D=(-2a)^2-4*(a+6)*1=4*(a^2-a-6)

a^2-a-6=0
D=1+24=25
a_(1)=(1-5)/2=-2; a_(2)=(1+5)/2=3

О т в е т. При а=-6; а=-2; а=3 ровно одно решение

Ответ выбран лучшим

{х^2=2x+y⇒ y=x^2-2x и подставим во второе уравнение
{y^2=2y+x

(x^2-2x)^2=2*(x^2-2x)+x
x^4-4x^3+4x^2=2x^2-4x+x

x^4-4x^3+2x^2+3x=0

x*(x^3-4x^2+2x+3)=0

x*(x-3)*(x^2-x-1)=0

x_(1)=0 ⇒ y_(1)=0
или
x-3=0 ⇒ x_(2)=3;y_(2)=3
или
x^2-x-1=0
D=1+4=5
x_(3)=(1 - sqrt(5))/2 или x_(4)=(1 + sqrt(5))/2

y_(3)=(1 - sqrt(5))^2/4 - (1 - sqrt(5)) или y_(4)=(1 + sqrt(5))^2/4 - (1 + sqrt(5))

Выносим за скобки общий множитель:

y_(3)=(1 - sqrt(5))* [b]([/b](1 - sqrt(5))/4 - 1 [b])[/b] или y_(4)=(1 + sqrt(5))* [b]([/b](1 + sqrt(5))/4 - 1 [b])[/b]

y_(3)=(1 - sqrt(5))* [b]([/b](-3 - sqrt(5))/4 [b])[/b] или y_(4)=(1 + sqrt(5))* [b]([/b](-3 + sqrt(5))/4 [b])[/b]

y_(3)=(-3 +3 sqrt(5)-sqrt(5)+5)/4 или y_(4)=(-3 -3 sqrt(5)+sqrt(5)+5)/4

y_(3)=(1+ sqrt(5))/2 или y_(4)=(1 - sqrt(5))/2

Cистема имеет 4 решения:

(0;0)

(3:3);

((1-sqrt(5))/2;(1 + sqrt(5))/2)

((1+sqrt(5))/2;(1 - sqrt(5))/2)

x+y - наибольшая сумма 3+3=6

так как

(1-sqrt(5))/2 + (1 + sqrt(5))/2 = (1-sqrt(5)+1+sqrt(5))/2=1

О т в е т. 6

а)
Геометрический смысл производной в точке:

k_(касательной)=f `(x_(o))

f ` ( x) =(х*cosx)`=(x)`*cosx+x*(cosx)`=1*cosx+x*(-sinx)

f`(x)=cosx-x*sinx

f`(x_(o)) =f`(π/2)=cos(π/2) - (π/2)*sin(π/2)=0 - (π/2)*1 = - (π/2)

k= - (π/2)

б)

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

f(x_(o))=f(π/2)=(π/2)*cos(π/2)=(π/2)*0=0

f`(x_(o)) =f`(π/2)=- (π/2) ( найдено в а))

y - 0 = - (π/2)*(x - (π/2))

[b]y= - (π/2)*x - (π/2)^2 [/b] - уравнение касательной

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:

sin [b]((π/3)+x)[/b]=cos((π/2)- [b]((π/3)+x))[/b])=cos((π/6)-x))=cos(x-(π/6))

2cos^2(x-(π/6))+3cos(x-(π/6))=0

cos(x-(π/6)) * (2cos(x-(π/6))+3)=0

cos(x-(π/6)) =0 ⇒ x-(π/6)=2πn, n ∈ Z

[b]x=(π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

ИЛИ
2cos(x-(π/6))+3=0
cos(x-(π/6)) =-3/2 - уравнение не имеет корней, в силу ограниченности синуса.

О т в е т.(π/6)+2πn, n ∈ Z

y`=0,5*3t^2+0,6*2t+0,8

Составляем характеристическое уравнение
k^2-2k+10=0
D=4-40=-36
k_(1)=-i; k_(2)=i

Корни комплексно-сопряженные
α=0; β=1

y=C_(1)cosx+C_(2)*sinx - общее решение дифференциального уравнения

Ответ выбран лучшим

а)
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

= ∫ x^2dx+ ∫ xdx- ∫ 3dx=(x^3/3)+(x^2/2)-3x+C - о т в е т.

б)
Так как ∫ cosxdx=sinx

и

∫ f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+C

k=1/2

∫ (-6cos(x/2))dx = -6*(2)*sin( x/2) + C=-12*sin( x/2) + C

О т в е т. -12*sin( x/2) + C

b)
Так как
∫ dx/x=ln|x|+C

и

∫ f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+C

k=4
∫ 5dx/(4x+5)=5*(1/4)ln|4x+5|+C

с)
Так как
∫ e^(x)dx=e^(x)+C
и

∫ f(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+C

k=-2
∫ e^(-2x)dx=(-1/2)e^(-2x)+C

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное:
y``-4y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k=0
k*(k-4)=0

k_(1)=0; k_(2)=4

Корни действительные различные

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)

[b] y=C_(1)e^(0x)+C_(2)*e^(4x)[/b] - общее решение однородного.

уравнения

или

[b] y=C_(1)+C_(2)*e^(4x)[/b] , так как e^(0x)=1

[b]f(x)=x^2[/b]

Так как x=0 - корень характеристического уравнения, то

y_(частное неоднородного)=х*(Аx^2+Bx+C)

y_(частное неоднородного)=Аx^3+Bx^2+Cx
y`_(ч.н)=3Ах^2+2Вx+C
y``_(ч.н)=6Ax+2B

Подставляем в уравнение
y``-4y`=x^2
6Ax+2B-4*(3Ах^2+2Вx+C)=x^2

-12Ax^2+(6A-8B)x+2B-4C=x^2

Равенство двух многочленов:

-12А=1
6А-8В=0⇒ 8B=6A; 8B=-6/12; 8B=-1/2
2В-4С=0⇒ 4C=2B; 4C=-1/8; C=-1/32

А=-1/12
В=-1/16
С=-1/32

[b]y_(частное неоднородного)=(-1/12)x^3-(1/16)x^2-(1/32)х[/b]

О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн неодн)

y= [b]C_(1)+C_(2)*e^(4x) - (1/12)x^3-(1/16)x^2-(1/32)х[/b]

Ответ выбран лучшим

2^(1-3x)=2^4
1-3x=4
-3x=4-1
-3x=3
[b]x=-1[/b]

Ответ выбран лучшим

a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

Уравнение принимает вид:
9*8*8^(-2x)=27^(2)*27^(-x)

8/64^(x)=81/27^(x)

(27/64)^(x)=81/8

x=log_(27/64)(81/8)

27/64=(3/4)^3

x=log_((3/4)^3)(81/8)

x=(1/3)log_(3/4)(81/8)

x=log_(3/4)∛(81/8)

Ответ выбран лучшим

x/2=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

x/2=(-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)*(2π/3) + 2πk, k ∈ Z - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Первое уравнение решала бы так:
x ≠0; y ≠0

умножаем на ху

[b]x^3+y^3=12xy[/b]

Второе:

Применяем основное логарифмическое тождество:
[b]a^(log_(a)b)=b[/b]
a>0; b>0; a ≠ 1

и свойство логарифма степени:

[b]log_(a)b^k=klog_(a)b[/b]

a>0; b>0; a ≠ 1

2^(-log_(2)x)=2^(log_(2)x^(-1))=x^(-1)=1/x

5^(log_(5)(1/y))=1/y

Второе уравнение при x >0; y>0 принимает вид:

[b](1/x)+(1/y)=1/3[/b]

Система

[b]{x^3+y^3=12xy
{(1/x)+(1/y)=1/3⇒ 3*(y+x)=xy
{x>0
{y>0[/b]

Подставляем из второго в первое вместо ху

x^3+y^3=36(x+y)

Так как x^3+y^3=(x+y)^3-3x^2y-3xy^2=(x+y)^3-3xy(x+y), то

Уравнение принимает вид:

(x+y)^3-3xy(x+y)=36(х+y)

(x+y)* [b]([/b](x+y)^2-3xy-36 [b])[/b]=0

x>0; y>0; значит x+y≠ 0

(x+y)^2-3xy-36=0

xy=3(x+y)

(x+y)^2-9*(x+y)-36=0

квадратное уравнение относительно x+y

Замена переменной:

x+y=t

t>0

t^2-9t-36=0
D=81-4*(-36)=81+144=225

t_(1)=(9-15)/2<0

t_(2)=(9+15)/2=12

Итак,
x+y=12
xy=3*(x+y)

xy=36

Решаем систему способом подстановки:

{x+y=12
{xy=36

[b]x=y=6[/b]

О т в е т. (6;6)

{5-5x>0 ⇒ x<1
{x^2-3x+2 > 0 ⇒ x < 1 или х >2
{x+4 > 0 ⇒ x > -4
ОДЗ: х ∈ (-4;1)

Перепишем:
log_(3) (5–5х)+ log_(3) (x+4)≥log_(3) (x^2–3x+2)

Так как ОДЗ найдено

( если это не сделать, то область определения нового неравенства [b]расширяется[/b]что приведет к появлению посторонних корней),

заменим сумму логарифмов логарифмом произведения.

log_(3) (5–5х)*(x+4)≥log_(3) (x^2–3x+2)

(5–5х)*(x+4)≥x^2–3x+2

5*(1-x)*(x+4)-(x-1)*(x-2) ≥ 0

(x-1)* [b]([/b]-5*(x+4)-(x-2) [b])[/b] ≥ 0

(x-1) (-6x-18) ≥ 0
6*(x-1)*(x+3) ≤ 0

Решаем методом интервалов на ОДЗ:

(-4)____ [-3] __-___ (1)

О т в е т. [-3;1)

Ответ выбран лучшим

a; a+1;a+2 - стороны

По теореме Пифагора
(a+2)^2=a^2+(a+1)^2
a^2+4a+4=a^2+a^2+2a+1
a^2-2a-3=0
D=4+12=16
a=(2+4)/2=3 второй корень отрицат, не удовл смыслу задачи

3; 4; 5 -стороны треугольника

r=S/p

S=(1/2)3*4=6
p=(3+4+5)/2=6

r=6/6= [b]1[/b]

или

r=(a+b-c)/2 ( cм. приложение)

r=(3+4-5)/2= [b]1[/b] (прикреплено изображение)

x ≠ 0
Умножаем на х:

при этом [b]x*x^(-1)[/b]=x^(1+(-1))=x^(0)= [b]1[/b]

3^(x)*x+9=3x+3^(x+1)

3^(x)*x-3*3^(x)+9-3x=0

Раскладываем на множители способом группировки:

(3^(x)*x-3*3^(x))-(3x-9)=0

3^(x)*(x-3) -3(x-3)=0

(х-3)*(3^(x)-3)=0

Произведение равно 0 когда хотя бы один из множителей равен 0

x-3=0 или 3^(x)-3=0

х=3 или 3^(x)=3

[b]x=3 или x=1[/b]

О т в е т. 1; 3

Из данного уравнения плоскости 6x–8y–z+5=0
находим координаты ее нормального вектора
vector{n)=(6;-8;-1)

Параллельные плоскости имеют один и тот же нормальный вектор.

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o))
c заданным нормальным вектором имеет вид:

[b]A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0[/b]

Подставляем
6*(x-3)-8*(y-0)-1*(z-(-1))=0

6х-18-8y-z-1=0

[b]6x-8y-z-19=0[/b]

1.
a) lim_(x → - 1)(2x^3-5x^2+x-4)=2*(-1)^3-5*(-1)^2+(-1)-4=-2-5-1-4=-12
б) lim_(x → 5)(x^2-8x+15)/(x^2-25)=(0/0)=

= lim_(x → 5)(x-3)(x-5)/(x-5)(x+5)= lim_(x → 5)(x-3)/(x+5)=(5-3)(5+5)=0,2

2.
По определению логарифма. Это показатель степени(0), в которую возводим основание (5) и получаем выражение под знаком логарифма:

5^(0)=2x^2-3x-1
1=2x^2-3x-1

2x^2-3x-2=0
В=9-4*2*(-2)=25
x_(1)=(3-5)/2= [b]-1[/b]; x_(2)=(3+5)/2= [b]4[/b]

Проверкой убеждаемся, что 4 и -1 - корни уравнения.

3.

tgx=sinx/cosx

ctgx=cosx/sinx

(sinx/cosx)^2*cos^2x+(cosx/sinx)^2*sin^2x=sin^2x+cos^2x= [b]1[/b]

Переносим х влево и сравниваем разность с нулем:

(x^2+2x+4)/(x+2)- x ≥ 0

Приводим к общему знаменателю:

(x^2+2x+4 - x *(x+2))/(x+2) ≥ 0

(x^2+2x+4 - x ^2-2x)/(x+2) ≥ 0

4/(x+2)≥ 0 ⇒ x+2≥ 0 и х+2≠0

Поэтому получаем

x+2 >0

х > -2

О т в е т. (-2;+ ∞ )

2cos^2(2^(4x-x^(?)))=a+sqrt(3)sin(2^(4x-x^( [b]8[/b])+1))

2^(4x-x^(?))=t
2^(4x-x^( [b]8[/b])+1)=2^(4x-x^( [b]8[/b]))*2^(1)=2t

2cos^2t=a+sqrt(3)sin2t

Формула
2cos^2t=1+cos2t

1+cos2t=a+sqrt(3)sin2t

cos2t-sqrt(3)sin2t=a-1

Делим на 2

(1/2)cos2t-(sqrt(3)/2)*sin2t=(a-1)/2

Вводим вспомогательный угол:

сos φ =1/2
sin φ =sqrt(3)/2

φ =π/3

сos(π/3)cos2t-sin(π/3)sin2t=(a-1)/2

[b]cos(2t-( π/3))=(a-1)/2[/b] (#)

последнее уравнение имеет решения

при |(a-1)/2| ≤ 1

-1 ≤ (a-1)/2 ≤ 1

-2 ≤ a-1 ≤ 2

[b]-1 ≤ a ≤ 3[/b]

Теперь возвращаемся к данному уравнению

2^(x^4-x^8)=t
t >0

Значит, имеем [b] ограничения [/b] на аргумент t в уравнении (#)

Найдем эти ограничения.

Чтобы решать задачу дальше, нужно точно знать какой аргумент.

Смущает восьмая степень???

(24:00-21:30)+10:30 =2:30+10:30=13 часов

1.
Делим и числитель и знаменатель на cos α

Получим
(2tg α -3)(/3+2tg α )

при tg α =2/3

О т в е т. (-5)/13

2.
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

f(x)=(3x-2)/(x+1)

х_(o)=1

f(x_(o))=f(1)=(3-2)/(1+1)=1/2

f ` ( x) = ((3x-2)/(x+1))` = ((3x-2)`*(x+1)-(3x-2)*(x+1)`)/(x+1)^2=

=(3x+3-3x+2)/(x+1)^2=5/(x+1)^2

f`(x_(o))=f`(1)=5/(1+1)^2=5/4

y-(1/2)=(5/4)*(x-1)

[b]y=(5/4)x - (3/4)[/b] - уравнение касательной

3. V_( данного цилиндра)=π*r^2*H

R=2r
h=H/2

V_( нового цилиндра)=π*R^2*h=

=π(2r)^2*(H/2)=2πr^2*H=2* V_( данного цилиндра)=2*100= [b]216[/b]

5.
ОДЗ: x>0
lg(10x^2)=lg10+lgx^2=1+2lgx

(1+2lgx)*lgx=1

2lg^2x+lgx-1=0
D=1+8=9
lgx=-1; lgx=-1/2
[b]x=0,1; x=1/sqrt(10)[/b]

6.
5^(x)=u
5^(y)=v

{u+v=3
{u*v=2

{u_(1)=2;
{v_(1)=1

или

{u_(2)=1;
{v_(2)=2

{5^(x)=2
{5^(y)=1

{[b]x_(1)=log_(5)2
{y_(1)=0[/b]
или

{5^(x)=1
{5^(y)=2

[b]{x_(2)=0
{y_(2)=log_(5)[/b]2

7.
Показательная функция с основанием 0,7 убывает:

|x+2| ≤ 0,5
-0,5 ≤ х + 2 ≤ 0,5

[b]-2,5 ≤ х ≤ -1,5[/b]

σ_(1)=x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)
σ_(2)=x_(1)x_(2)+x_(1)x_(3)++x_(1)x_(4)+x_(2)x_(3)+x_(2)x_(4)+x_(3)x_(4)
σ_(3)=x_(1)x_(2)x_(3)+x_(1)x_(2)x_(4) + x_(1)x_(3)x_(4)+x_(2)x_(3)x_(4)

σ_(4)=x_(1)x_(2)x_(3)x_(4)

- симметрические многочлены

f=x^2_(1)x^2_(2)x^2_(3) +x^2_(1)x^2_(2)x^2_(4) + x^2_(1)x^2_(3)x^2_(4)+x^2_(2)x^2_(3)x^2_(4)=

См. образец

Степени:
2220
2202
2022
0222

(прикреплено изображение)

1.
По определению:
F(x) первообразная функции на (a:b)
если для любого х∈(a,b)
F`(x)=f(x)

F`(x)=((x/2)-(3/x))`=(1/2)*x`-3*(1/x)`=(1/2)-3*(-1/x^2)=(1/2)+(3/x^2)=f(x)

2.
F(x)=-2*(-cosx)+C

F(x)=2cosx+C - общий вид первообразных

Подставляем координаты точки ( π/3;0)

0=2cos(π/3) + C
0=2*(1/2)+C
C=-1

F(x)=2cosx-1 - первообразная, проходящая через точку ( π/3;0)

3.
∫ e^(u)du=e^(u) + C

u=-2x
d(-2x)=-2dx ⇒ dx=d(-2x)/(2)

∫ e^(-2x)dx=∫ e^(-2x)d(-2x)/(-2)=(-1/2)∫ e^(-2x)d(-2x)= [b](-1/2) e^(-2x) + C[/b]

4.
а)
S= ∫ ^(2)_(-1) [b]([/b](1-x^2)-(-x-1) [b])[/b]dx =

= ∫ ^(2)_(-1) (1-x^2+x+1)dx= ∫ ^(2)_(-1) (2-x^2+x)dx=

= [b]([/b](2x- (x^3/3)+(x^2/2) [b])[/b]|^(2)_(-1)=

=
считаем самостоятельно

б)S= ∫ ^(3)_(1) [b]([/b](x^2-3х+2)-(x-1) [b])[/b]dx =

= ∫ ^(3)_(1)(x^2-3x+2-x+1)dx=

= ∫ ^(3)_(1)(x^2-4x+3)dx=

= [b]([/b](x^3/3)-4*(x^2/2)+3x [b])[/b]|^(3)_(1)=

cчитаем самостоятельно (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=0

x^4+x^3-3*(x^2+2x+1)=0

x^3*(x+1)-3*(x+1)^2=0

(x+1)*(x^3-3x-3)=0

x=-1 - корень многочлена, значит при переходе через точку меняется знак многочлена

справа от этой точки минус f(0) =-3 <0
слева - плюс f(-2)=16-8-12+12-3>0

Теперь разбираемся с корнями многочлена

g(x)=x^3-3x-3

g(0)=-3 <0
g(1) =1-3-3 <0
[b]g(2) =8-6-3 <0
g(3)=27-9-3 >0[/b]

На концах отрезка [2;3] g(x) принимает значения разных знаков, значит корень многочлена 2 < x < 3

Делим отрезок пополам

g(2,5)=2,5^3-7,5-3 >0

Значит, корень на отрезке [2;2,5]

Делим пополам

g(2,25)=2,25^3-3*2,25-3 =2,25*(2,25^2-3) -3 >0

Значит, корень на отрезке [2;2,25]

Делим пополам

g(2,125)=2,125^3-3*2,125-3=2,125*(2,125^2-3)-3=2,125*1,52-3=3,22-3 >0

Значит корень на [2;2,125]
x_(o) ≈ 2,1

g`(x)=3x^2-3

g`(x)=0

x^2-1=0
x= ± 1

_+__ (-1) ___-__ (1) __+__

x=-1 - точка максимума

g(-1) <0

x=1 - точка минимума

функция возрастает на (- ∞ ;-1) и не пересекает ось оХ
на (-1;1) убывает и не пересекает ось Ох

на (1;+ ∞ ) возрастает и имеет один нуль,

Других корней нет

О т в е т. х=-1; х=2,1 - верхняя граница 2.125; нижняя 2

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+1=0
k_(1,2)= ± i
корни мнимые, комплексно-сопряженные
α =0
β =1

[b]y=C_(1)cosx+C_(2)sinx[/b]-общее решение

1.
20%=20/100=0,2
15*0,2=3 рубля составляет повышение
15+3=18 рублей стоит билет
100:18=6 билетов можно купить

3.
S( Δ)=(1/2)a*h=(1/2)*3*8=12

4
5^(x+3)=5^3
x+3=3
x=0

5.
V=S_(осн)*Н= (1/2)*a*b*H=(1/2)*3*6*10=90

8.
C=2*1+ln4^3-ln64=2+ln(64/64)=2+ln(1)=2+0= [b]2[/b]

(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 - каноническое уравнение эллипса.

Делим данное уравнение на 9
(x^2/9)+(y^2/3)=1

a^2=9
[b]a=3[/b] - большая полуось

b^2=3
[b]b=sqrt(3)-[/b] малая полуось

b^2=a^2-c^2 ⇒ c^2=a^2-b^2=9-3=6

c=sqrt(6)

[b]F_(1)(-sqrt(6);0) ; F_(2)(sqrt(6);0)[/b]- фокусы

(прикреплено изображение)

S_(правильного треугольника)=a^2sqrt(3)/4
a^2sqrt(3)/4=sqrt(3)
a^2/4=1
a^2=4
a=2 - сторона основания

V=(1/3)*S_(осн)*Н

1/sqrt(3)=(1/3)*sqrt(3)*H

H=1

b=sqrt(H^2+R^2)

R=asqrt(3)/3=2sqrt(3)/3

b=sqrt(1+(2sqrt(3)/3)^2)=sqrt(1+(4/3))=sqrt(7/3)=sqrt(21)/3

О т в е т. sqrt(21)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Первый белый, значит осталось семь шаров
4+3=7

черных - три

n=7
m=3

По формуле классической вероятности:
p=m/n=3/7

АВ=ВС=АС

Δ SАB=Δ SBC=Δ SАC

[b]S_(бок)=3*S_( Δ SBC)[/b]

S_(бок)=3*(1/2)BC*SN

(3/2)BC*SN=72

SN=6

(3/2)BC*6=72
(3/2)BC=12
BC=(2/3)*12
BC=8

100%-80% =20 % составляет сухое вещество

20 кг составляют 100%
х кг составляют 20%

х=20*20/100=4 кг сухого вещества в 20 кг ягод

Через 12 часов эти 4 кг составляют 40%

4 кг составляют 40%
y составляет 100%

y=4*100/40=10 кг вес ягод через 12 часов.

2.
vector{a}+vector{b}=(3+2;-7+(-11);14+(-10))=(5;-18;4)
4*vector{a}-(1/2)*vector{b}=(4*3-(1/2)*2;4*(-7)-(1/2)*(-11);4*14-(1/2)*(-10))=(11;-45/2;61)
vector{a}*vector{b}=3*2+(-7)*(-11)+14*(-10)=6+77-140=

1.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это функция, обратная пропорциональность. График гипербола.

Область определения (- ∞;3)U(3;+ ∞ )

Производная

y`=((4x)`*(3-x)-4x*(3-x)`)/(3-x)^2

y`=(4*(3-x)-4x*(-1))/(3-x)^2

y`=(12-4x+4x)/(3-x)^2

y`=12/(3-x)^2

y` > 0 на (- ∞;3) и на (3;+ ∞ )

Функция возрастает на (- ∞;3) и на (3;+ ∞ )

График см. рис. (прикреплено изображение)

Применяем свойства 7 и 8
Логарифм произведения и лограифм частного
получаем

=log_(π^2)a^2+log_(π^2)b-log_(π^2)π^3=

Применяем свойства 9,10,11
=(2/2)log_(π)a+(1/2)log_(π)b-(3/2)log_(π)π=

=log_(π)(sqrt(a))^2+(1/2)log_(π)b=(3/2)=

=2log_(π)sqrt(a)+(1/2)log_(π)b-(3/2)

При

log_(π)sqrt(a)=3
log_(π)b=5

=2*3+(1/2)*5-(3/2)=6+1=7

О т в е т. 3) 7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения функции:
4-3x^2 ≥ 0 ⇒ x^2≤ 4/3 ⇒ [b]-2/sqrt(3)≤ x≤ 2/sqrt(3)[/b]

Решаем уравнение

f(x)=0

sqrt(4-3x^2)-x=0
sqrt(4-3x^2)= х

при x < 0 уравнение не имеет смысла..

Возводим в квадрат при x ∈ [0;2/sqrt(3)]

4-3x^2=x^2
4=4x^2
x^2=1

x= ± 1

х=-1 не принадлежит [0;2/sqrt(3)]

Значит один корень х=1 является нулем функции

х=1 принадлежит отрезку [1;sqrt(2)]

О т в е т. 2)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 8334 раза. (прикреплено изображение)

Применяем интегральную теорему Лапласа.
( см. приложение)
P_(n) (k_(1) ≤ x ≤ k_(2))=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(k_(2)-np)/sqrt(npq)
x_(1)=(k_(1)-np)/sqrt(npq)

n=150

p=0,8
q=1-0,8=0,2

np=150*0,8=120
npq=150*0,8*0,2=24

a)
P_(150) (70 ≤ x ≤80)=?

k_(1)=70
k_(2)=80

x_(2)=(80-120)/sqrt(24)=-40/2sqrt(6)=-20/sqrt(6)
x_(1)=(70-120)/sqrt(24)=-50/2sqrt(6)=-25/sqrt(6)

Функция Лапласа нечетная
Ф(-х)= - Ф(х)

При x > 5 принимает значение [b]0,5[/b] !!!
См. таблицу

P_(150) (70 ≤ x ≤80)=0

[b]Формула нахождения наивероятнейшего числа:[/b]
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

120-0,2 ≤ k_(o) ≤ 120+0,8

k_(o)=120

Количество попаданий должно варьироваться вокруг числа 120.

От 110 до 130 или еще как-то.

Тогда будут нормальные ответы.

А так вероятность в самом деле близка к 0 (прикреплено изображение)

p_(1)=0,2 - вероятность попадания авиабомбы цель.
p_(2)=0,98 -вероятность взрыва бомбы.

p=p_(1)*p_(2)=0,2*0.98=0,196 вероятность поражения цели одной авиабомбой

P_(3)(3)=С^(3)_(3)p^3q^(0)=(0,196)^3

Ответ выбран лучшим

1 в)
(e^(x^2y^2)-x^4+y^4)`=5`

e^(x^2y^2)*(x^2y^2)`-4x^3+4y^3*y`=0

e^(x^2y^2)* [b]([/b](x^2)`*y^2+x^2*(y^2)` [b])[/b]-4x^3+4y^3*y`=0

e^(x^2y^2)* [b]([/b]2x`*y^2+x^2*2y*y` [b])[/b]-4x^3+4y^3*y`=0

e^(x^2y^2)*2x*y^2-4x^3=(-4y^3-e^(x^2y^2)*2x^2y)* [b]y`[/b]

[b]y`[/b]= (e^(x^2y^2)*2x*y^2-4x^3)/(-4y^3-e^(x^2y^2)*2x^2y)

2 в)

2y*y`+2x-cos(x^2y^2)*(2x*y^2+x^2*2y*y`)=0

2x-(2x*y^2)cos(x^2y^2)= (2x^2y*cos(x^2y^2)-2y) [b]*y`[/b]

[b]y`[/b]=2x-2x*y^2*cos(x^2y^2)/(2x^2y*cos(x^2y^2)-2y)

v(t)=s`(t)= [b]([/b](1/4)t^4-(1/3)t^3+2t+1 [b])[/b]`=t^3-t^2+2
v(0)=0^3-0^2+2=2
v(1)=1^3-1^2+2=2
v(2)=2^3-2^2+2=8-4+2=6

a)
(4x^(1/2)+4x^(-1/2)+3x^2)`=4*(1/2)x^(-1/2)+4*(-1/2)x^(-3/2)+6x=

= [b](2/sqrt(x))-2/sqrt(x^3))+6x[/b]

б)
(x^3tgx*e^(2x))=(x^3tgx)`*e^(2x)+(x^3tgx)*(e^(2x))`=

=((x^3)`*tgx+x^3*(tgx)`)*e^(2x)+(x^3tgx)*e^(2x)*(2x)`=

= [b]([/b]3x^2*tgx+(x^3/cos^2x)+2x^3tgx [b])[/b]*e^(2x)

в)

((sin^2x)`*(x^3+1)-sin^2x*(x^3+1)`)/(x^3+1)^2=

=(2sinx*cosx(x^3+1)-(sin^2x)*3x^2)/(x^3+1)^2=

= [b](x^3sin2x+sin2x-6x^2sin^2x)/(x^3+1)^2[/b]

Sin(2п–x)=-sinx
cos(3п/2+x)=sinx
tg(п/2+x)=-ctgx

Sin(2п–x)+cos(3п/2+x)–tg(п/2+x)=-sinx+sinx-(-ctgx)=ctgx

При x=п/3

ctgx=ctg(п/3)=(sqrt(3))/3

v(t)= ∫ a(t)dt= ∫ 5tdt=5*(t^2/2)+C

v(t)=2,5t^2+C

2=2,5*3^2+C

C=-20,5

О т в е т. [b] v(t)=2,5t^2-20,5[/b]

В геометрии [b] вектор[/b] — направленный отрезок [b] прямой[/b], то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является [b]началом[/b], а какая — [b]концом.[/b]

[b]Перемещение - это вектор.[/b]

Что такое вектор?

Это направленный отрезок прямой.
См. выше. (прикреплено изображение)

Н_(цилиндра)=Н_(параллелепипеда)

Поэтому максимальный объем будет в том случае, если площадь основания максимальная.

R=0,5 м ⇒ 2R=1 м

Пусть одна сторона прямоугольника x м, тогда вторая по теореме Пифагора sqrt(1-x^2)

S_(прямоугольника)=х*sqrt(1-x^2)

S`=(x)`*sqrt(1-x^2)+x*(sqrt(1-x^2))`

S`=sqrt(1-x^2)+x*(-2x)/(2*sqrt(1-x^2))

S`= (1-x^2-x^2)/sqrt(1-x^2)

S`=0
1-2x^2=0

x=sqrt(2)/2

S_(осн)=(sqrt(2)/2)*sqrt(1-(sqrt(2)/2)^2)=1/2

V=S_(осн)*5=(1/2)*5=5/2 [b]=2,5 м^3[/b] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{2x-1 >0 ⇒ x > 1/2
{x+5 > 0 ⇒ x > -5

ОДЗ: (1/2; + ∞)

Решаем неравенство графически

График y=log_(7)(2x-1) - красного цвета
он ниже графика
y=log_(4)(x+5) - синего цвета

О т в е т. неравенство верно при любом х из области определения.
Она и будет ответом.
[b](1/2; + ∞)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

25/9=(5/3)^2=(3/5)^(-2)

(3/5)^(2x-2) > [b]([/b] (3/5)^(-2) [b])[/b]^(2x+3)

(3/5)^(2x-2) >(3/5)^(-2*(2x+3));

(3/5)^(2x-2) >(3/5)^(-4х-6);

Показательная функция с основанием
0 <(3/5) <1
убывающая, большему значению функции соответствует
меньшее значение аргумента

2x-2 < -4x -6

2x+4x < -6+2

6x < -4

x< -2/3

О т в е т. [b](- ∞; -2/3) [/b]

Ответ выбран лучшим

Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
2x+3=0
x=-3/2

Находим нули знаменателя
x^2+x-12=0
D=1-4*(-12)=49
x_(1)=(-1-7)/2=-4; х_(2)=(-1+7)/2=3

Отмечаем полученные точки на числовой прямой:

__-__ (-4) __+__ (-3/2) __-___ (3) _+___

О т в е т. [b](- ∞ ; -4) U (-3/2;3)[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
Правило нахождения производной произведения:
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(x^3*e^(tg3x))`=(x^3)`*e^(tg3x)+x^3*e^(tg3x)=

правило нахождения производной сложной функции

(e^(u))` = e^(u) * u`

=3x^2*e^(tg3x)+x^3*e^( tg3x)* [b](tg3x)`[/b]=

=3x^2*e^(tg3x)+x^3*e^( tg3x)* [b](1/cos^23x)*(3x)`[/b]=

=3x^2*e^(tg3x)+(3*x^3*e^( tg3x)* )/(cos^23x)

б)
Правило нахождения производной сложной функции

(lnu)`=u`/u

(ln( x^4-sin^3x))`=(x^4-sin^3x)`/(x^4-sin^3x)=

=(4x^3-3sin^2x*cosx)/(x^4-sin^3x)

Область определения (- ∞;+ ∞)

f`(x)=(x^4-4x^3+20)`=4x^3-12x^2

f`(x)=0

4x^3-12x^2=0

4х^2*(x-3)=0

x=0 или х= 3

Знак производной
__-_ (0) _-__ (3) __+__

y`< 0 на (- ∞; 0) и на (0;3)
значит функция убывает на (- ∞; 0) и на (0;3)

y`>0 на (3;+ ∞)
значит функция возрастает на (3;+ ∞)

x=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=12x^2-24x

y``=0

12x^2-24x=0

12x*(x-2)=0

x=0 и x=2

Знак второй производной

_+__ (0) _-_ (2) _+__

y``<0 на (0;2)
кривая выпукла вверх

y``<0 на (-∞;0) и на (2;+ ∞)
кривая выпукла вниз

x=0 и x=2 - точки перегиба

см. рис.
(прикреплено изображение)

1.
sqrt(3)(sin^2x+cos^2x)+2cos3x=0

2cos3x=-sqrt(3)
cos3x=-sqrt(3)/2

3х= ± arccos(-sqrt(3)/2) + 2πn, n ∈ Z

3х=± (π -arccos(sqrt(3)/2)) + 2πn, n ∈ Z

3х=± (π - (π/6)) + 2πn, n ∈ Z

3х=± (5π/6) + 2πn, n ∈ Z

[b]х=± (5π/18) + (2π/3)*n, n ∈ Z[/b]

2.

b^(1/5)*(b^(9/10))^2*0,9^2=b^(2/10)*b^(18/10)*0,81= b^(20/10)*0,81=0,81b^2

При b=8

0,81*8^2= 0,81*64= считайте...

ОДЗ;
x-2 ≥ 0 ⇒ [b]x ≥ 2[/b]

Замена переменной:
[b]sqrt(x-2)=u[/b]
[b]u≥0[/b]

⇒ x-2=u^2 ⇒ x=u^2+2

[b]∛(11-x)=v[/b] ⇒ 11-x = v^3 ⇒ x=11-v^3

{u+v=1
{u^2+2=11-v^3

{u=1-v
{(1-v)^2+2=11-v^3

{u=1-v
{v^3+v^2-2v-8=0 ⇒ уравнение имеет один корень: [b] v=2[/b]

⇒ u=1-2=-1

не удовлетворяет условию u ≥0

О т в е т. нет корней

Ответ выбран лучшим

13% или 0,13

18%+38%-49%=13%

См. рис. (прикреплено изображение)

σ_(1)=x_(1)+x_(2)+x_(3);
σ_(2)=x_(1)x_(2)+x_(1)x_(3)+x_(2)x_(3)
σ_(3)=x_(1)x_(2)x_(3)
- симметрические многочлены

f=x_(1)x_(2)x_(3) * [b]([/b]x_(1)x_(2)+x_(1)x_(3)+x_(2)x_(3) [b])[/b]+

+x_(1)x_(2)x_(3) * [b]([/b]x_(1)+x_(2)+x_(3) [b])[/b]

= σ_(3)* σ_(2)+ σ_(3)* σ_(1)

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ du/cos^2u=tgu+C

u=2x
d(2x)=2dx⇒ dx=(1/2)d(2x)
--------

=(1/2)*6 ∫^(π/6)_(-π/6) d( [b]2x[/b])/cos^2( [b]2x[/b])=

=3*(tg(2x))|^(π/6)_(-π/6)=

=3*(tg(π/3)-tg(-π/3))=3*(sqrt(3)-(-sqrt(3))=3*2sqrt(3)= [b]6sqrt(3)[/b]

V=π ∫ ^(b)_(a) ( f^2(x)-g^2(x))dx

V=π ∫ ^(1)_(0) ( (x)^2-(x^2)^2)dx= π ∫ ^(1)_(0) ( x^2-x^4)dx=

= [b]([/b](x^3/3)-(x^5/5) [b])[/b]|^(1)_(0)=(1/3)-(1/5)= [b]2/15[/b] (прикреплено изображение)

-3=-3*1=-3*log_(0,2)0,2=log_(0,2)0,2^(-3)= log_(0,2)(1/5)^(-3)=log_(0,2)5^3

[b]Неравенство принимает вид[/b]

log_(0,2)(4x-11) > log_(0,2)125

Логарифмическая функция с основанием 0,2 <1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

{4x-11>0
{4x-11 < 125

{4x>11
{4x<136

{x>11/4
{x < 34

{x>2,75
{x<34

О т в е т. [b] (2,75;34)[/b]

vector{a}=(2;-4) -это вектор направления l

Направляющие косинусы вектора vector{a}:
cos α =2/sqrt(2^2+(-4)^2)=2/sqrt(20)
cos β =-4/sqrt(2^2+(-4)^2)=-4/sqrt(20)

∂z/∂x=(x^2+2xy-4x+8y)`_(x)=2x+2y-4
∂z/∂y=(x^2+2xy-4x+8y)`_(y)=2x+8

(∂z/∂x)(A)=2*3+2*1-4=4
(∂z/∂y)(A)=2*3+8=14

∂z/∂l=(∂z/∂x)*cos α + (∂z/∂y)* cosβ

∂z/∂l_(A)=(∂z/∂x)A)*cos α + (∂z/∂y)(A)* cosβ=4*(2/sqrt(20))+14*(-4/sqrt(20))= [b]-44/sqrt(20)=-22/sqrt(5)[/b]

Ответ выбран лучшим

Находим абсциссы точек пересечения указанных линий:
x^2=-x^2+2
2x^2=2
x^2=1
x= ± 1

S= ∫ ^(1)_(-1)(-x^2+2-x^2)dx=∫ ^(1)_(-1)(2-2x^2)dx=

=(2x-2*(x^3/3))|^(1)_(0)=2-(2/3)= [b]4/3[/b] (прикреплено изображение)

{x-1>0 ⇒ x > 1
{x+1 >0 ⇒ x > -1
{2log_(sqrt(3))(x-1) > log_(sqrt(3))(x+1) ⇒log_(sqrt(3))(x-1)^2>log_(sqrt(3))(x+1)

Логарифмическая функция с основанием sqrt(3) >1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

{x>1
{(x-1)^2> x+1 ⇒ x^2-2x+1>x+1 ⇒ x^2-3x>0 ⇒ x*(x-3)>0 ⇒ x <0 или x>3

О т в е т. (3;+ ∞ )

Перепишем
y`+(x/(1-x^2))*y=1/(1-x^2) (#)

линейное уравнение первого порядка.

Решаем однородное уравнение
y`+(x/(1-x^2))*y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные.

y`=dy/dx

dydxy=-(x/(1-x^2)*y
dy/y=-xdx/(1-x^2)

Интегрируем
∫ dy/y= -∫ xdx/(1-x^2)

∫ dy/y= (1/2)∫ d(1-x^2)/(1-x^2)

ln|y|=(1/2)ln|1-x^2| +lnC

y=Csqrt(1-x^2)

[b]Метод вариации произвольной постоянной[/b]

y(x)=C(x)sqrt(1-x^2)

y`=(C`(x)*sqrt(1-x^2)-(x*C(x))/sqrt(1-x^2)

Подставляем в уравнение (#)

(C`(x)*sqrt(1-x^2)-(x*C(x))/sqrt(1-x^2)+(x/(1-x^2))*C(x)*sqrt(1-x^2)=1/(1-x^2);

C`(x)sqrt(1-x^2) =1/(1-x^2);
C`(x)=(1-x^2)^(-3/2)

C(x)= ∫ (1-x^2)^(-3/2)dx=[ тригонометрическая подстановка
x=sint
dx=costdt
1-x^2=1-sin^2t=cos^2t
(1-x^2)^(-3/2)=cos^(-3)t

C(x)= ∫ (1-x^2)^(-3/2)dx= ∫dt/cos^2t=tgt+C

sint=x
cost=sqrt(1-x^2)
tgt=sint/cost=x/sqrt(1-x^2)

[b]y(x)=(x/sqrt(1-x^2) +C)sqrt(1-x^2)[/b]- общее решение данного уравнения

y=x+Csqrt(1-x^2)

По условию
y(0)=1

1=0+С*sqrt(1-0)

С=1

[b]y=x+sqrt(1-x^2) - решение, удовлетворяющее условию y(0)=1[/b]

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное:
y``–y`-2y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2–k-2=0
D=1+8=9
k_(1)=-1; k_(2)=2

y=C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(2x) – общее решение однородного.

f(x)=3e^(2x)

y_(частное неоднородного)=A*x*e^(2x)
2 – корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на х ^(1)

y`_(частное неодн)=A*(x)`*e^(2x)+A*x*(e^(2x))`=

=A*e^(2x)+A*x*e^(2x)*(2x)`=

=A*e^(2x)+2*A*x*e^(2x)

y``_(частное неоднород)=2Ae^(2x) + 2*(A*e^(2x)+2*A*x*e^(2x))=

=4Ae^(2x)+4Axe^(2x)

Подставляем в данное уравнение

4Ae^(2x)+4Axe^(2x) - A*e^(2x)-2*A*x*e^(2x) -2A*x*e^(2x)=3e^(2x)

3A=3

A=1

y_(частное неодн)=x*e^(2x)

О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн неодн)

y= C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(2x) +x*e^(2x)

y`=-C_(1)e^(-x)+2C_(2)e^(2x)+e^(2x)+2x*e^(2x)
Так как
y(0)=2
y`(0)=5,

2=C_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) +0*e^(0) ⇒ [b] С_(1)+С_(2)=2[/b]
5=-C_(1)e^(0)+2C_(2)e^(0)+e^(0)+2*0*e^(0) ⇒ [b]- С_(1)+2*С_(2)+1=5[/b]

3С_(2)=6
С_(2)=2
С_(1)=0

Решение удовлетворяющее начальным условиям ( решение задачи Коши)
y= 2*e^(2x) +x*e^(2x)

Ответ выбран лучшим

10.
∫ ^(3)_(0)dx/(9+x^2)=(1/3)arctg(x/3) |^(3)_(0)=

=(1/3)arctg(1)-(1/3)arctg 0=(1/3)*(π/4)= [b]π/12[/b]

11.
S(t)= ∫ v(t)dt= ∫ (2t-3)dt= ∫ 2tdt- ∫ 3dt=2*(t^2/2)-3*t+C=t^2-3t+C

при t=5; S(5)=2

2=5^2-3*5+C

2=25-15+C

С=-8

О т в е т.

[b]S(t)=t^2-3t-8 (м)[/b]

Нет, неправильно

В условии не было [b]xdx[/b]

Только dx

Поэтому не подкоренное выражение заменяем на t, а только

[b]2x=t[/b]

4x^2=t^2

∫ dt/sqrt(9-t^2) =arcsin(t/3)

я же Вам решала эту задачу и ответ (π/4) был.

Не поняли, спросить надо было....

По формуле
sin α *sin β =(1/2)cos( α - β )- (1/2) cos( α + β )

sin(x/2) · sin(3x/2)=(1/2)cosx - (1/2)cos 2x

cos(-x)=cosx

∫ sin(x/2) · sin(3x/2) dx = ∫ (1/2)cosx dx - ∫ (1/2)cos 2xdx=

= [b](1/2)*sinx - (1/2)*(1/2)sin2x+C[/b]

Проводим высоту A_(1)M в равнобедренном треугольнике А_(1)B_(1)C_(1)
Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является и медианой.
B_(1)M=MC_(1)=4
A_(1)B_(1) = A_(1)C_(1) = 5

A_(1)M=3 ( египетский прямоугольный треугольник А_(1)МВ_(1)

A_(1)M ⊥ плоскости ВСС_(1), так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
A_(1)M ⊥ B_(1)C_(1)
и
A_(1)M ⊥ ВВ_(1), так как призма прямая

Из прямоугольного треугольника ВВ_(1)М:

(BM)^2=(BB_(1))^2+(B_(1)M)^2

(BM)^2=3^2+4^2=9+16=25

BM=5

Значит, ВМ - проекция прямой А_(1)М на плоскость ВСС_(1)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Из прямоугольного треугольника А_(1)МВ

tg ∠ А_(1)МВ=A_(1)M/BM=3/5= [b]0,6[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ du/sqrt(9-u^2)= arcsin(u/3) + C

u=2x
du=d(2x)
d(2x)=2dx
dx=d(2x)/2

∫ ^(3/2)_(0) dx/sqrt(9-4x^2)= ∫^(3/2)_(0)d(2x)/2sqrt(9-(2x)^2)=

=(1/2)arcisn(2x/3)|^(3/2)_(0)=

=(1/2)arcsin1 - (1/2)arcsin0=(1/2)*(π/2)-(1/2)*0= [b]π/4[/b]

1.
vector{a}=(1;-3;-1)
vector{b}=(-1;2;0)
2*vector{b}=(-2;4;0)

vector{c}=vector{a}+2*vector{b}=(1+2*(-1);-3+2*2;-1+2*0)= [b](-1;1;-1)[/b]

2.
vector{a}=(2;-4;-6)
vector{b}=(-9;-3;6)
vector{c}=(3;0;-1)

vector{p}=vector{a}-(1/3)*vector{b}+2*vector{c}=
(2-(1/3)*(-9)+2*3; 4-(1/3)*(-3)+0;-6-(1/3)*6+(-1))= [b](11;5;-9)[/b]
3.
vector{2a}=(2;-4;0)
vector{3b}=(-6;0;12)
vector{2a}-vector{3b}=(2-(-6);-4-0;0-12)=(8;-4;-12)

Векторы vector{2a}-vector{3b} и vector{m} коллинеарны, значит их координаты пропорциональны:
8:m=-4:8=-12:n

из пропорции
8:m=-4:8
-4m=64
[b]m=-16[/b]

из пропорции
-4:8=-12:n
-4n=-96
[b]n=24[/b]

4.

По определению скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

vector{a}*vector{b}=|vector{a}| * |vector{b}| * cos ∠ (vector{a},vector{b})

vector{a}*vector{b}=9*16*cos135 ° =9*16*(-sqrt(2)/2)= [b]-72sqrt*(2)[/b]

5.
vector{a}=(4;-2;3)
vector{b}=(-1;-2;5)

Cкалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector{a}*vector{b}=8*(-1)+(-2)*(-2)+3*5= [b]11[/b]

1)
x= ±arccos (-(sqrt(3))/2)+2πn, n ∈ Z
x= ±(π -(π/6))+2πn, n ∈ Z
[b]x=±(5π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

2)
x=(-1)^(k)*arcsin(sqrt(2))/2)+πk, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

3)
3x= ±arccos ((sqrt(3))/2)+2πn, n ∈ Z
3x= ± (π/6)+2πn, n ∈ Z
[b]x=± (π/18)+(2π/3)*n, n ∈ Z[/b]

4)
x/2= ±arccos ((sqrt(3))/2)+2πn, n ∈ Z
x/2= ± (π/6)+2πn, n ∈ Z
[b]x= ± (π/3)+4πn, n ∈ Z[/b]

5)
(x/2)=(-1)^(k)arcsin(sqrt(2))/2)+πk, k ∈ Z
x/2=(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)*(π/2)+2πk, k ∈ Z[/b]

6)
3x=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(2))/2)+πk, k ∈ Z
3x=(-1)^(k)*(-π/4)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(-π/12)+(π/3)*k, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k+1)*(π/12)+(π/3)*k, k ∈ Z[/b]

7)
x=arctg(sqrt(3))+πk, k ∈ Z
[b]x=(π/3)+πk, k ∈ Z[/b]

8)
x+(π/3)=arctg(sqrt(3))+πk, k ∈ Z
x+(π/3)=(π/3)+πk, k ∈ Z
[b]x=πk, k ∈ Z[/b]

9)
x=arctg(-sqrt(3))+πk, k ∈ Z
[b]x=(-π/3)+πk, k ∈ Z[/b]

10)

уравнение не имеет корней, так как функция косинус ограничена и принимает значения от -1 до 1 и никогда не будет равняться 1,5

11)
уравнение не имеет корней, так как функция синус ограничена и принимает значения от -1 до 1 и никогда не будет равняться
- sqrt(2) ≈ -1,4

12)
2+sinx=(π/2)+πk, k ∈ Z

sinx=(π/2)-2 +πk, k ∈ Z

так как функция синус ограничена и принимает значения от -1 до 1

уравнение будет иметь решения при условии

[b]-1 ≤ (π/2)-2 +πk ≤ 1[/b] , k ∈ Z

Значит только уравнение при k=0
(π/2)-2 ≈-0,429

будет иметь корни

[b]sinx=(π/2)-2[/b]

[b]x=(-1)^(k) [b]arcsin((π/2)-2)[/b]+ πk, k ∈ Z[/b]

Пусть
M (х_(о);y_(o))- точка касания.

[b]Точка M принадлежит кривой[/b], значит
y_(o)=ax^2_(o)-6x_(o)-8
и
[b]точка М принадлежит касательной[/b]
y_(o)=8x_(o)-9

Приравниваем правые части

[b]ax^2_(o)-6x_(o)-8=8x_(o)-9[/b]
ax^2_(o)-14x_(o)+1=0

Квадратное уравнение имеет [b] один корень[/b], если [b] D=0[/b]

D=(-14)^2-4*a=196-4а

196-4a=0

a=49

О т в е т. [b]а=49[/b]

(прикреплено изображение)

См. вывод канонического уравнения эллипса.
sqrt((x-2)^2+y^2)+sqrt((x+2)^2+y^2)=2sqrt(5)
sqrt((x-2)^2+y^2)=2sqrt(5) -sqrt((x+2)^2+y^2)

Возводим в квадрат

(x-2)^2+y^2=20-4sqrt(5)*sqrt((x+2)^2+y^2) + (x+2)^2+y^2

sqrt(5)*sqrt((x+2)^2+y^2)=5+2x

Возводим в квадрат

5*(x+2)^2+5y^2=25+20x+4x^2

x^2+5y^2=5

[b](x^2/5)+y^2=1[/b]

Подставляем координаты точек в уравнение
А(3;1)
(9/5)+1=1 - неверно
B(-2;4)
(4/5)+16=1 - неверно
С(-1;3)
(1/5)+9=1 - неверно
D(2;-1)
(4/5)+1=1 - неверно.

Ни одна из указанных точек не принадлежит кривой

2. См вывод уравнения параболы

sqrt((x-2)^2+(y-2)^2)=y

(x-2)^2+(y-2)^2=y^2

(x-2)^2-4y+4=0

[b]y=(1/4)(x-2)^2+1[/b]

Подставляем координаты точек в уравнение
А(2;1)
1=(1/4)*0+1 - верно
B(0; -2)
-2=(1/4)*(0-2)^2+1 - неверно
С(-4;10)
10=(1/4)*(-4-2)^2+1 -верно
D(-4;3)
3=(1/4)*(-4-2)^2+1 - неверно.

A и С принадлежат

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Поэтому

2+x^2+3x ≥ 0

x^2+3x +2 ≥ 0

D=9-4*2=9-8=1

x_(1)=(-3-1)/2=-2; х_(2)=(-3+1).2=-1

Геометрический смысл неравенства x^2+3x +2 ≥ 0

- множество тех х, при которых кривая y=x^2+3x+2 расположена выше оси Ох или пересекается с осью Ох

См. рис.

Неравенству удовлетворяют

x ≤ -2 или x ≥ -1

О т в е т. (- ∞ ;-2] U [-1;+ ∞ )

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
v(t)= ∫ a(t)dt= ∫ (4-6t)dt=4t-(6t^2/2)+C=4t-3t^2+C

При t=2
v(2)=1

1=4*1-3*1^2+C
C=0

v(t)=4t-3t^2

s(t)= ∫ v(t)dt= ∫ (4t-3t^2)dt=(4^2/2)-3t^3/3+C= [b]2t^2-t^3+C[/b]

s(2)=5

5=2*2^2-2^3+C
C=5
О т в е т. s(t) = 2t^2-t^3+5

2.

a)s=∫^(4)_(0) (6t^2+8t-3)dt=((6t^3/3)+(8t^2/2)-3t)|^(4)_(0)=

=(2t^3+4t^2-3t)|^4_(0)=2*4^3+4*4^2-3*4=180

б) s=∫^(4)_(3) (6t^2+8t-3)dt=(2t^3+4t^2-3t)|^4_(3)=2*4^3+4*4^2-3*4 -

- (2*3^3+4*3^3-3*3)=180 -81= 99

3.

v(t)=0
3t-t^2=0

t*(3-t)=0

t=0 или t=3

S==∫^(3)_(0)(3t-t^2)dt= [b]([/b](3t^2/2)-(t^3/3) [b])[/b]|^(3)_(0)=

=(27/2)-9=9/2=4,5

Ответ выбран лучшим

2 целых 7/12= (12*2+7)/12=31/12

1 целая 1/12=(12*1+11)/12=23/12

(31/12)-(23/12)=8/12=2/3

О т в е т. 2/3

Ответ выбран лучшим

f(x)=x^2+2x+1
g(x)=x^3+x^2+3x+4

Делим
g(x) на f(x) "углом"

x^3+x^2+3x+4=(x^2+2x+1)*(x-1) + (4x+5)

Делим

x^2+2x+1 на (4х+5) "углом"

x^2+2x+1=(x+(5/4)*(x+(3/4) + (1/16)

Умножаем на 16

16x^2+32x+16=(4x+5)(4x+3) [b]+ 1[/b]

Последний ненулевой остаток равен 1

Значит можно представить так:

1=16*f(x)-(4x+5)(4x+3)

Но из равенства (x^3+x^2+3x+4=(x^2+2x+1)*(x-1) + (4x+5) или f(x)=g(x)*(x-1)+4x+5)

легко выразить

[b]4х+5=g(x)-f(x)*(x-1)[/b], тогда

1=16*f(x)-(4x+3)*g(x)+(4x+3)*(x-1)*f(x)

1=-(4x+3)* [b]g(x[/b])+(4x^2-x+13) [b]*f(x)[/b]

Так как
g(a)=0, то

1=(4a^2-a+13)*(a^2+2a+1)

1/(a^2+2a+1)=4a^2-a+13

Значит

[b](a^2-3a+1)/(a^2+2a+1)=(4a^2-a+13)*(a^2-3a+1)[/b]

Ответ выбран лучшим

15.
{16-8x>0 ⇒ x < 2
{x^2-6x+8 >0 ⇒ D=36-32=4; корни 2 и 4; ⇒ x < 2 или x >4
{x+5>0 ⇒ x > -5
ОДЗ: х ∈ (-5;2)

Запишем так:
log_(1/5)(16-8x) +log_(1/5)(x+5) ≤ log_(1/5)(x^2-6x+8)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(1/5) (16-8x)(x+5) ≤ log_(0,1) (x^2-6x+8)

Логарифмическая функция с снованием (0 < 1/5 < 1) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

(16-8x)(x+5) ≤ (x^2-6x+8)

(x-2)(x-4) +8(x-2)(x+5) ≥ 0

(x-2)*(x-4+8x+40) ≥ 0

9*(х-2)*(х+4) ≥ 0

x ∈(- ∞ ;-4] U [2;+ ∞ )

С учетом ОДЗ получаем ответ:

(-5;-4]

13.
cos^2x=1-2sin^2x

Уравнение принимает вид:

1-2sin^2x+5sqrt(3)*sinx+8=0
-2sin^2x+5sqrt(3)*sinx+9=0

Квадратное уравнение относительно sinx

Замена переменной

sinx=t

2t^2-5sqrt(3)t-9=0

D=(-5sqrt(3))^2-4*2*(-9)=75+72=147

sqrt(147)=7sqrt(3)

t_(1)=(5sqrt(3)-7sqrt(3))/4; t_(2)=(5sqrt(3)+7sqrt(3))/4;

t_(1)=-sqrt(3)/2; t_(2)=3sqrt(3)

Обратно:

sinx=-sqrt(3)/2

х=(-1)^(k) arcsin(-sqrt(3))/2+πk, k ∈ Z

х=(-1)^(k)*(-π/3)+πk, k ∈ Z - о т в е т.

Отрезку [-5π/2;-π] принадлежит один корень

x=(-π/3)-2π=-7π/3

cм. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
y=(-1/3)x^3+x^2

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=-x^2+2x

y`=0
-x^2+2x=0
-х*(х-2)=0

x_(1)=0; x_(2)=2

Расставляем знак производной ( y`=-x^2+2x - графиком этой функции является парабола, ветви вниз, поэтому на (0;2) она положительна):

__-__ (0) __+___ (2) __-__

y`<0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ ), значит функция убывает

y`> 0 на (0 ;2), значит функция возрастает

х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(2)=(-1/3)*2^3+2^2=4-(8/3)=4/3

х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(0)=0

y``=-2x+2
y``=0
-2x+2=0
x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак с + на -
Функция выпукла вниз на ( (- ∞ ;1) и выпукла вверх на (1;+ ∞ )
См. график рис. 1

(прикреплено изображение)

y^2=x^3 ⇒ y=x^(3/2)

S= ∫ ^(4)_(0)(8-x^(3/2))dx=

=(8x- x^(5/2)/(5/2))|^(4)_(0)=

=(8*4-(2/5)*4^(5/2)=32-(64/5)= [b]96/5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
tg^34x=tg^24x * tg4x=(1-(1/cos^24x))*tg4x=tg4x-(tg4x/cos^24x)

∫ tg^34xdx= ∫ tg4x - ∫ tg4x/cos^24x=

= ∫ sin4xdx/cos4x - ∫ tg4x/cos^24x=

= ∫ (-(1/4)cos4x)/cos4x- ∫ tg4x (1/4)d(tg4x)=

= [b]-(1/4)ln|cos4x|-(1/8)*tg^24x + C[/b]

2.
Тригонометрические подстановки
х=2sint
dx=2costdt
4-x^2=4-4sin^2t=4(1-sin^2t)=4cos^2t

∫ sqrt((4-x^2)^3)dx/x^4= ∫ sqrt((4cos^2t)^3)*2costdt/(2sint)^4=

= ∫ cos^4tdt/sin^4t= ∫ ctg^4tdt= ∫ ctg^2t*ctg^2tdt=

= ∫ ctg^2t*(1 - (1/sin^2t))dt= ∫ ctg^2tdt - ∫ ctg^2tdt/sin^2t=

= ∫ (1-(1/sin^2t))dt - ∫ ctg^2tdt/sin^2t=

= ∫ dt - ∫ dt/sin^2t - ∫ ctg^2tdt/sin^2t=

= [b]t +ctg t - (ctg^3t)/3+C[/b]

3.

Раскладываем подынтегральную дробь на простейшие:

(5х+13)/(х+1)(x^2+6x+13)= A/(x+1) + (Mx+N)/(x^2+6x+13)

5х+13=А*(x^2+6x+13) + (Mx+N)*(x+1)

5x+13=(A+M)x^2+(6A+M+N)x+13A+N

A+M=0
6A+M+N=5
13A+N=13

А=1
М=-1
N=0

∫ (5х+13)dx/(х+1)(x^2+6x+13)= ∫ dx/(x+1) +∫ (-x)dx/(x^2+6x+13) =

=ln|x+1|-(1/2) ∫ (2x+6- 6 )dx/(x^2+6x+13)

=ln|x+1|-(1/2) ∫ (2x+6)dx/(x^2+6x+13)+3∫ dx/((x+3)^2+4)=

= [b]ln|x+1|-(1/2)ln|x^2+6x+13| +(3/2)arctg((x+3)/2) + C[/b]

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное:
y``-4y`+4y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+4=0
(k-2)^2=0
k=k_(1)= k_(2)=2

y=C_(1)e^(k)x)+C_(2)*x*e^(kx)

[b]y= C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x)[/b] - общее решение однородного.

f(x)=x^2+2e^(2x)

f_(1)(x)=x^2
y_(частное1 неоднородного)=Аx^2+Bx+C
y`_(ч. 1н)=2Ах+В
y``_(ч.1н)=2A

Подставляем в уравнение
y``-4y`+4y=x^2

2A - 4*(2Ax+B)+4*(Ax^2+Bx+C)=x^2
4Ax^2+(4B-8A)x+2A-4B+4C=x^2
4А=1
А=1/4
4B-8A=0
B=2A=1/2
2A-4B+4C=0
C=3/8
[b]y_(частное1 неоднородного)=(1/4)x^2+(1/2)x+(3/8)[/b]

f_(2)(x)=2e^(2x)
2 - корень характеристического уравнения кратности 2

y_(частное2 неоднородного)=Mx^2e^(2x)
y_(ч. 2н)=2Mх*e^(2x)+2Mx^2*e^(2x)
y``_(ч.2н)=2Me^(2x)+4Mxe^(2x)+4Mxe^(2x)+4Mx^2e^(2x)=

=4Mx^2e^(2x)+8Mxe^(2x)+2Me^(2x)

Подставляем в уравнение
y``-4y`+4y=2e^(2x)

4Mx^2e^(2x)+8Mxe^(2x)+2Me^(2x)-4*(2Mх*e^(2x)+2Mx^2*e^(2x))+4Mx^2e^(2x)=2e^(2x)

2Me^(2x)=2e^(2x)
M=1
[b]y_(частное2 неоднородного)=e^(2x)[/b]

О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн1 неодн)+у_(частн2 неодн)

y= [b]C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x) + (1/4)x^2+(1/2)x+(3/8) + e^(2x)[/b]

Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0

{|4х|-x-3-a=0
{x^2-x-a ≠ 0

Решаем первое уравнение.
Раскрываем модуль по определению:
если 4x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0
|4x|=4x
уравнение:
4х-х-3-а=0
3х=а+3
х=(а+3)/3 - корень данного уравнения, если входит в множество x ≥ 0

(a+3)/3 ≥ 0⇒ а+3 ≥0 ⇒ а≥-3

если 4x < 0 ⇒ x < 0
|4x|=- 4x
уравнение:
-4х-х-3-а=0
-5х=а+3
х=(-а-3)/5- корень данного уравнения, если входит в множество x < 0

(-a-3)/5 < 0 ⇒ - a - 3 < 0 ⇒ -a < 3 ⇒ a > -3

Пересечением множеств a≥-3 и a > -3 является
[b]a ∈(-3;+ ∞ )[/b]

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.

Подставляем x=(a+3)/3 в знаменатель:

((a+3)/3)^2-((a+3)/3)-a=0
a^2-6a=0
a=0; a=6

Подставляем x=(-a-3)/5 в знаменатель:

((-a-3)/5)^2-((-a-3)/5)-a=0
a^2-14a+24=0
D=196-96=100
a=2; a=12

Исключаем a=0;a=2;a=6;a=12 из множества [b]a ∈(-3;+ ∞ )[/b]

О т в е т. [b] (-3;0) U (0;2) U(2;6)U(6;12)U (12;+ ∞)[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
Производная частного
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=(e^(x)+lnx)`*(e^(x)-lnx)-(e^(x)+lnx)*(e^(x)-lnx)`/(e^(x)-lnx)^2

y`= [b]([/b](e^(x)+(1/x))*(e^(x)-lnx) - (e^(x)+lnx)*(e^(x)-(1/x)) [b])[/b]/(e^(x)-lnx)^2

y`= [b]([/b](e^(x))^2+(e^(x)/x)-e^(x)*lnx-(lnx/x)-(e^(x))^2-e^(x)*lnx+e^(x)/x+lnx/x [b])[/b]/(e^(x)-lnx)^2

y`= [b]((2e^(x)/x)-2e^(x)*lnx)/(e^(x)-lnx)^2[/b] - о т в е т.

б)
Производная произведения

(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(sqrt(x))`*(x^5+sqrt(x)-2)+sqrt(x)*((x^5+sqrt(x)-2))`=

=(1/(2*sqrt(x)))*(x^5+sqrt(x)-2)+sqrt(x)*((5x^4+(1/2sqrt(x))-0))=

=(x^5+sqrt(x)-2+10sqrt(x) * x^4+sqrt(x))/(2*sqrt(x))=

= [b](x^5+10sqrt(x)*x^4+2sqrt(x)-2)/(2*sqrt(x))[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

a)

Формула производной показательной функции:
(a^(x))`=a^(x)*lna

Производная суммы ( разности) равна сумме ( разности) производных:

y`=(1/2)^(x)*ln(1/2)- (1/3)^(x) * ln(1/3) +4^(x)*ln4

О т в е т. [b] (1/2)^(x)*ln(1/2)- (1/3)^(x) * ln(1/3) +4^(x)*ln4[/b]

б)
Формула производной степенной функции:
(x^(α ))`=α *x^(α -1)

Та же формула для сложного аргумента:
(u^(α ))`=α *u^(α -1)* u`, u- функция, зависящая от х

y`=3*(2sinx)*(sinx)`-(1/x)+3*2cosx*(cosx)`

y`=6sinx*cosx-(1/x) -6cosx*sinx

y`=(-1/x)

2 cпособ
можно заметить, что
sin^2x+cos^2x=1
y=3-lgx
y`=(3)`-(lgx)`
y`=0-(1/x)
y`=(-1/x)

О т в е т. [b] y`=(-1/х)[/b]

в)

3^(2x)/2^(2x)=(3/2)^(2x)

Формула производной показательной функции:
(a^(x))`=a^(x)*lna
Та же формула для сложного аргумента:
(a^(u))`=a^(u)*u` * lna

(3^(2x)/2^(2x))`=((3/2)^(2x))`=(3/2)^(2x)* (2x)`*ln(3/2)

((корень пятой степени из х) * lnx^5)`=

свойство логарифма степени

=5*((х^(1/5))*lnx)`=

правило вычисления производной произведения

=5*(x^(1/5))`*lnx+5*x^(1/5)*(lnx)`=
=5*(1/5)x^(-4/5)*lnx+(x^(1/5)/x)=

=x^(-4/5)*lnx+x^(-4/5)

[b]=x^(-4/5)*(lnx+1)[/b] - о т в е т. [b]жирный текст[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
y`=(x/2)`*sqrt(x^2+k)+(x/2)*(sqrt(x^2+k))`+(k/2)*(x+sqrt(x^2+k))`/(x+sqrt(x^2+k));

y`=(1/2)*sqrt(x^2+k) + (x/2) * ((2x)/(2sqrt(x^2+k))) + (k/2)* (1/sqrt(x^2+k));

y`= [b](x^2+k+1)/(2*sqrt(x^2+k))[/b]

б)
y`=3sin^(2)2x*(sin2x)`-3cos^22x*(cos2x)`=

=3sin^(2)2x*(cos2x)*2-3cos^22x*(-sin2x)*2=

=6sin2x*cos2x*(sin2x+cos2x)

y`(π/8)=6*sin(π/4)*cos(π/4)*(sin(π/4)+cos(π/4))=

=6*((sqrt(2))/2)*((sqrt(2))/2)*((sqrt(2))/2 + (sqrt(2))/2)=

= [b]3sqrt(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

Cм. Архив задач.
Задача 38067

Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0

{x^2+2x+a=0
{x^2-2x+a^2+8a ≠ 0

Квадратное уравнение x^2+2x+a=0 имеет два корня если дискриминант квадратного уравнения положителен, т.е

D=4-4a >0
-4a>-4
[b]a< 1[/b]

a ∈ (- ∞ ;1)

При a ∈ (- ∞ ;1) числитель раен 0

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.

( Если их нет, т.е D знаменателя отрицателен, [b]замечательно[/b], значит ничего и исключать не надо)

Приравниваем числитель к знаменателю:

x^2+2x+a=x^2-2x+a^2+8a
4x=a^2+7a

x=(a^2+7a)/4

x=a*(a+7)/4

подставляем в любое уравнение,например в первое

((a+7)^2*a^2)/16+a*(a+7)/2 +16a =0

a^2(a+7)^2+8*a(a+7)+16a=0

a*( a^3+14a^2+49a+8a+56+16)=0

a=0 или a^3+14a^2+57a+72=0 ⇒ (a+3)^2*(a+8)=0 ⇒

Исключаем
a=0
a=-9
a=-3

О т в е т. [b] (- ∞ ;-9) U(-9;-3)U(-3;0) U(0;1)[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
4096=4*1024=4*32*32=64*64=4^6
1/64=64^(-1)=(4^(3))^(-1)=4^(-3)
4^(1/4)/4=4^((1/4)-1)=4^(-3/4)
(4^(1/2))^(1/5)=4^(1/10)
∛4=4^(1/3)

2.
[b]5^(x^2-x-2)=625[/b]
5^(x^2-x-2)=5^4
x^2-x-2=4
x^2-x-6=0
D=1+24=25
x_(1)=-2; x_(2)=3

[b]7^(x+2)+4* 7^(x-1)=347[/b]
7^(x-1)* (7^(x+2-x+1)+4)=347
7^(x-1)*(7^3+4)=347
7^(x-1)*(343+4)=347
7^(x-1)=1
7^(x-1)=7^(0)
x-1=0
x=1

[b]16^(x)=2^(8)[/b]
(2^4)^(x)=2^(8)
2^(4x)=2^(8)
4x=8
x=2

[b]3^(6-x)=3^2[/b]
6-x=2
x=4

3.
[b](1/2)^(x) < (1/8)[/b]

(1/2)^(x) < (1/2)^3

Показательная функция с основанием (1/2) убывающая.
Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента:
x > 3
О т в е т. [b](3;+ ∞) [/b]

3^(2x^2-x-2) > 1

1=3^(0)

3^(2x^2-x-2) > 3^(0)

Показательная функция с основанием 3 возрастающая.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
2x^2-x-2 > 0
D=1-4*2*(-2)=17
x_(1)=(1-sqrt917))/4; x_(2)=(1+sqrt(17))/4

О т в е т. ((1-sqrt(17))/4; (1+sqrt(17))/4)

4.
Возрастает на (- ∞;+ ∞ )
см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Возводим в квадрат
3х+4=0
3х=-4
х=-4/3

О т в е т. [b]-4/3[/b]

2.
Возводим в пятую степень
4x+19=-1
4x=-1-19
4x=-20
x=-5
О т в е т. [b]-5[/b]

3.
ОДЗ:
х+3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3
При x ≥ -3
sqrt(x+3) ≥0
sqrt(x+3)+3 > 0 и ни при каком х не равняется 0
О т в е т. [b]нет корней[/b]

4.
Возводим в квадрат
2-x^2=x^2
2=2x^2
x^2=1
x= ±1

Проверка:
при
х=-1
sqrt(2-(-1)^2)=-1 - неверно, противоречит определению арифметического квадратного корня.
При
х=1
sqrt(2-1^2)=1 - верно.

О т в е т. [b]1[/b]

5.
ОДЗ:
{x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1
{x+5 ≥ 0 ⇒ x ≥ -5
ОДЗ: [-1;+ ∞ )
Возводим в квадрат
16(x+1)=(x+5)^2
16x+16=x^2+10x+25
x^2-6x+9=0
(x-3)^2=0
x=3
3 ∈ ОДЗ
О т в е т. 3

6.
Квадратное уравнение относительно корня восьмой степени из х

ОДЗ: x ≥ 0

замена переменной:
t=корню восьмой степени из х
t≥ 0

t^2+t-2=0
D=1-4*(-2)=9
t_(1)=-2; t_(2)=1

Обратный переход от t к х

корень восьмой степени из х =1
х=1

О т в е т. [b]1[/b]

7.
Возводим в куб.

x^3-x^2-10x-25=x^3
-x^2-10x-25=0
-(x+5)^2=0
x=-5

О т в е т. [b] -5[/b]

3х+4=0
х=-4/3

{4-4x>0 ⇒ x <1
{x^2-4x+3>0 ⇒ D=16-12=4; корни 1 и 3; решение: x < 1 или x > 3
{x+2>0 ⇒ x > -2
[b]ОДЗ: (-2;1)
[/b]
Перепишем уравнение :
log_(3)(4-4x)+log_(3)(x+2) ≥ log_(3)(x^2-4x+3)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(3)(4-4x)*(x+2) ≥ log_(3)(x^2-4x+3)

Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
(4-4x)*(x+2) ≥x^2-4x+3
4х-4x^2+8-8x ≥ x^2-4x+3
-5x^2+5 ≥ 0
5x^2-5 ≤ 0
-1 ≤ x ≤ 1

С учетом ОДЗ:

о т в е т. [-1;1)

v(t)=0 ⇒ 2t-t^2=0 ⇒ t=0 или t=2

s= ∫ ^(2)_(0)(2t-t^2)dt=t^2-(t^3/3)|^(2)_(0)=2^2-(2^3/3)=4-(8/3)=4/3

Ответ выбран лучшим

a) s=∫^(3)_(0) (1-6t+3t^2)dt=(t-3t^2+t^3)|^(3)_(0)=3-3*3^2+3^3=3

б) s=∫^(3)_(2) (1-6t+3t^2)dt=(t-3t^2+t^3)|^(3)_(2)=3-3*3^2+3^3-2+3*2^2-2^3=5

Ответ выбран лучшим

v(t)= ∫ a(t)dt= ∫ (10+12t)dt=10t+6t^2+C
При t=0
v(0)=50
50=10*0+6*0^2+C
C=50
v(t)=10t+6t^2+50

s(t)= ∫ v(t)dt= ∫ (10t+6t^2+50)dt=5t^2+2t^3+50t+C
О т в е т. s(t)=5t^2+2t^3+50t+C

Ответ выбран лучшим

1)
6^(1)*6^(-log_(6)5)=6*6^(log_(6)5^(-1))=6*5^(-1)=6*(1/5)=6/5

О т в е т 1,2

2)
log_(5)5^(-2)+lg10^(-1)=-2log_(5)5-1*lg10=-2-1=-3
О т в е т -3

3)
О т в е т. (-5)+|(-12)|=-5+12=7

4)
5^3=125
∛125=5
81=3^(4)
81^(1/4)=3

О т в е т. 5-3=2

5)
sin382 ° =sin(360 ° +22 ° )=sin22 °

О т в е т. 23

6)
sin2 α =2sin α *cos α

3*2sinα*cosα /cos α =6sin α =6*(-0,5)=-3

О т в е т. -3

7)
cos^2 421 ° =cos^2(360 ° +61 ° )=cos^261 °

sin^261 ° +cos^261 ° =1

О т в е т. (35/1)= [b]35[/b]

8)
Думаю, что там опечатка.
cos^227 ° +sin [b]^2[/b]387 ° =cos^227 ° +sin^227 ° =1

О т в е т. 2/1= [b]2[/b]

D=c^2-4q
корни действительные положительные, значит
D>0 ⇒ c^2>4q
⇒ q < c^2/4
На плоскости сОq строим параболу q=c^2/4
и квадрат, границы которого указаны в условии

Область, удовлетворяющая неравенству q<c^2/4 на рис.

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-c
x_(1)*x_(2)=q

Если x_(1) >0 и х_(2) >0 ⇒ -с >0 ⇒ c <0
Точек c отрицательной первой координатой нет внутри квадрата.
Событие невозможное, его вероятность равна 0

О т в е т. p=0 (прикреплено изображение)

Неправильная дробь. Выделяем целую часть. Делим "углом" числитель на знаменатель
(x^3-2x)/(x^2-3x+2)=(x+3) +(7x-6)/(x^2-3x+2)

x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)
Дробь

(7x-6)/(x^2-3x+2) раскладываем на две простейшие дроби

(7x-6)/(x^2-3x+2) =A/(x-1)+ B/(x-2)
7x-6=A*(x-2)+B*(x-1)
При x=2
8=A*0+B
B=8
При х=1
1=- А+B*0
А=-1

(x^3-2x)/(x^2-3x+2)=(x+3) -(1)/(x-1)+ (8)/(x-2)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

∫ (x^3-2x)/(x^2-3x+2)dx= ∫ (x+3)dx- ∫dx/(x-1) +8* ∫dx/(x-2)

=(x^2/2)+3x-ln|x-1|+8ln|x-2|+C

Найдем абсциссы точек пересечения
y=x^2-3 и y=2x-x^2

x^2-3=2x-x^2
2x^2-2x-3=0
D=4-4*2*(-3)=28

x_(1)=(2-2sqrt(7))/4=(1-sqrtz(7))/2; х_(2)=(1+sqrt(7))/2

∫ ∫ _(D)(x+2y)dxdy= ∫ ^(x_(2))_(x_(1))dx ∫^(2x-x^2)_(x^2-3) (x+2y)dy=

= ∫ ^(x_(2))_(x_(1)) (xy+y^2)|^(y=2x-x^2)_(y=x^2-3)dx=

= ∫ ^(x_(2))_(x_(1))(x*(2x-x^2)-x*(x^2-3) +(2x-x^2)^2/2 - (x^2-3)^2/2)dx=

= ∫ ^(x_(2))_(x_(1)) (2x^2-x^3-x^3+3x+2x-2x^3+(x^4/2) - (x^4/2)+3x^2-(9/2))dx=

= ∫ ^(x_(2))_(x_(1)) (5x^2-4x^3+5x-(9/2))dx=

=(5(x^3/3)-4(x^4/4)+(5x^2/2)-(9/2)x)|^(x_(2))_(x_(1))=

где x_(1)=(1-sqrt(7))/2
x_(2)=(1+sqrt(7))/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]Гиперболой [/b]называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_(1 )и F_(2) есть величина постоянная

Это гипербола с фокусами в точках
F_(1)(0;i)
F_(2)(5;0)

Ответ выбран лучшим

z=-9-(5/2)i
|z|=sqrt((-9)^2+(-5/2)^2)=sqrt(349)/2

∛z=∛(sqrt(349)/2)*(cos(( φ +2πk)/3)+isin( (φ+2πk)/3))

При k=0
z_(o)=
При k=1
z_(1)=
При k=3
z_(2)

z_(o);z_(1);z_(2) - три корня на единичной окружности, отстоящих друг от друга на 120 градусов.

Ответ выбран лучшим

|z|=sqrt((-1(^2+(-4)^2)=sqrt(1+16)=sqrt(17)

Пусть
argz=phi

sin(phi)=y/|z|=-4/sqrt(17)
cos(phi)=x/|z|=-1/sqrt(17)
phi=arcsin(-4/sqrt(17))=-arcsin(4/sqrt(17))

z=sqrt(17)*(cosphi+i*sinphi)

Argz=argz+2πn, n ∈ Z

Геометрическая интерпретация комплексного числа
z=x+iy - Точка с координатами (x;y) или вектор с такими же координатами. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z_(1)=8-i
z_(2)=2+5i

z_(1)+z_(2)=8-i+2+5i=10+4i
z_(1)-z_(2)=(8-i)-(2+5i)=8-i-2-5i=6-6i
z_(1)*z_(2)=(8-i)*(2+5i)=16-2i+40i-5i^2=16+5+38i=21+38i

z_(1)/z_(2)=(8-i)/(2+5i)=(8+i)*(2-5i)/((2+5i)*(2-5i))=(16+2i-40i-5i^2)/(4-25i^2)=(21-38i)/29=(21/29)-(38/29)i

|z_(1)|=sqrt(8^2+(-1)^2)=sqrt(64+1)=sqrt(65)
Обозначим
argz_(1)=phi
тогда
sin(phi)=-1/|z_(1)|=-1/sqrt(65)
cos(phi)=8/|z_(1))=8/sqrt(65)
phi=arcsin(-1/sqrt(65))

z_(1)=sqrt(65)*(cos(phi)+i*sin(phi)) - триг форма

z^(7)_(1)=(sqrt(65))^7(cos7phi+i*sin7phi)

Ответ выбран лучшим

Запишем кривую в параметрическом виде:
x(t)=acos^4t
y(t)=asin^4t

тогда
sqrt(x)=sqrt(a)cos^2t
sqrt(y)=sqrt(a)sin^2t

Складываем
sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(a)*(cos^2t+sin^2t)

sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(a)

Поэтому применяем формулу:
L= ∫ ^(t_(2))_(t_(1))sqrt [b]([/b] ((x`(t))^2+(y`(t))^2 [b])[/b]dt

x`(t)= 4acos^3t*(cost)`=4acos^3t*(-sint)
y`(t)=4asin^3t*(sint)`=4asin^3t*cost

(x`(t))^2+(y`(t))^2=16a^2*(cos^6t*sin^2t+sin^6t*cos^2t)=

=16a^2*sin^2tcos^2t*(cos^4t+sin^4t)=

формула понижения степени: sin^2x=(1-cos2x)/2;cos^2x=(1+cos2x)/2⇒

sin^4t+cos^4t=(sin^2t)^2+(cos^2t)^2=(2+2cos^2x)/4=(1+cos^2x)/2

=4a^2*(sin2t)^2*(1+cos^22t)/2=2a^2(sin^22t)*(1+cos^22t)

При x=0
t_(1)=π/2

При х=а ⇒ acos^4t=a ⇒ cos^4t=1 ⇒ cos^2t=1;
cost=1
t_(2)=0

∫ ^(0)_(π/2) = [b]-[/b] ∫ ^(π/2)_(0)

L= - ∫ ^(π/2)_(0) sqrt(2)a*sin2t*sqrt(1+cos^22t)dt=

=sqrt(2)a ∫ ^(π/2)_(0)sqrt(1+cos^22t)d(cos2t)/2=

=(sqrt(2)/2)* a* [b]([/b]cos2t+sqrt(1+cos^22t)+ln|cos2t+sqrt(1+cos^22t))/2|) | ^(π/2)_(0)=

=a*(sqrt(2)/4)(0 + +ln|cosπ+sqrt(1+cos^2π))/2|-ln|cos0+sqrt(1+cos^20))/2|=

[b]=a*sqrt(2)ln(sqrt(2)-1)/8- asqrt(2)*ln(sqrt(2)+1)/8[/b] (прикреплено изображение)

Пусть событие А -" при трех выстрелах горючее воспламенится"
тогда событие Ā- "при трех выстрелах горючее не воспламенится"
Это произойдет в следующих случаях:
при трех выстрелах нет ни одного попадания или при трех выстрелах есть одно попадание
Пусть
событие А_(o)- "при трех выстрелах нет ни одного попадания"
p(A_(o))=(1-0,2)^3=0,8^3=0,512

событие А_(1)- "при трех выстрелах произошло одно попадание"
p(A_(1))=С^(1)_(3)0,2*(1-0,2)^2=3*0,2*0,8^2=0,384

p(Ā)=p(A_(o)+A_(1))=p(A_(o))+p(A_(1))=0,512+0,384=0,896

Тогда

p(A)=1-p(Ā)=1-0,896=0,104

О т в е т. [b] 0,104[/b]

Дифференциальный бином.

См. приложение подстановки ( Чебышева)
x*x^(5/12)=x^(17/12)

m=-17/12; n=1/3; p=1/4
пункт 3
(m+1)/n+p=(-5/12)/(1/3) + (1/3)=(-5/4)+(1/4)=-4/4=-1 - целое

1+x^(1/3)=t^4x^(1/3) ⇒ x^(-1/3)+1=t^4 ⇒ t=(x^(-1/3)+1)^(1/4)

x^(1/3)=1/(t^4-1)

x^(1/3)=(t^4-1)^(-1)

x=(t^4-1)^(-3)

dx=-3(t^4-1)^(-4)*(t^4-1)`dt

dx=-12t^3(t^4-1)^(-4)dt

(1+x^(1/3))^(1/4)= (t^(4)x^(1/3))^(1/4)=tx^(1/(12))

x^(-17/12))*(1+x^(1/3))^(1/4)=x^(-17/12)*tx^(1/12)=tx^(-4/3)=t(t^4-1)^(4)

Тогда интеграл примет вид
-12 ∫t^4dt=12*(t^5/5) + C

где t=(x^(-1/3)+1)^(1/4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Действие, обратное действию приведения к общему знаменателю:
делим первое слагаемое числителя на знаменатель и второе слагаемое числителя на знаменатель
(2х-5)/(3x^2-2)=(2x)/(3x^2-2) - (5)/(3x^2-2)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ (2x-5)dx/(3x^2-2)= ∫ 2xdx/(3x^2-2) - ∫ 5dx/(3x^2-2)=

первый интеграл сводим к интегралу ∫ du/u=ln|u|

второй по формуле ∫ du/(u^2-a^2)=(1/(2a))* ln|(u-a)/(u+a) + C

Итак, решение можно записать коротко так:

∫ (2x-5)dx/(3x^2-2)= ∫ 2xdx/(3x^2-2) - ∫ 5dx/(3x^2-2)=

=(1/3) ∫ (6xdx)/(3x^2-2) - 5*∫dx/((sqrt(3)x)^2-2)=

=(1/3) ∫ d(3x^2-2)/(3x^2-2)-(5/sqrt(3)) ∫ d(sqrt(3)x)/((sqrt(3)x)^2-2)=

=(1/3)ln|3x^2-2| -(5/sqrt(3))*(1/(2sqrt(2)))ln|(sqrt(3)x-sqrt(2))/(sqrt(3)x+sqrt(2))| + C=

= [b](1/3)ln|3x^2-2| -(5/(2sqrt(6)))*ln|(sqrt(3)x-sqrt(2))/(sqrt(3)x+sqrt(2))| + C[/b]

Ответ выбран лучшим

u=2-4x
dv=sin2xdx

du=-4dx
v=(1/2)(-cos2x)

[b] ∫ udv=u*v- ∫ vdu[/b]

∫ (2-4x)sin2xdx=(2-4x)*(1/2)*(-cos2x) - ∫ (1/2)*(-cos2x)*(-4dx)=

=(2x-1)cos2x-2∫cos2x=

=(2x-1)cos2x-2*(1/2)sin2x+C=

= [b](2x-1)cos2x - sin2x + C[/b]

Ответ выбран лучшим

vector{MN}=(6-3;5-1)=(3;4) -это вектор направления l

Направляющие косинусы вектора vector{MN}:
cos α =3/sqrt(3^2+4^2)=3/5
cos β =4/sqrt(3^2+4^2)=4/5

∂z/∂x=(x^3-3x^2y+3xy^2+1)`_(x)=3x^2-6xy+3y^2
∂z/∂y=(x^3-3x^2y+3xy^2+1)`_(y)=-3x^2+6xy

(∂z/∂x)M)=3*3^2-6*3*1+3*1^2=12
(∂z/∂y)(M)=-3*3^2+6*3*1=-9

∂z/∂l=(∂z/∂x)*cos α + (∂z/∂y)* cosβ

∂z/∂l_(M)=(∂z/∂x)(M)*cos α + (∂z/∂y)(M)* cosβ=12*(3/5)-9*(4/5)= [b]0[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть событие А - ''в мишени три пробоины ''

Введем в рассмотрение события-гипотезы
H_(1) - ''промахнулся первый''
H_(2) - ''промахнулся второй''
H_(3) - ''промахнулся третий''
Н_(4) -"промахнулся четвертый"

p(H_(1))=p(H_(2))=p(H_(3))=р(Н_(4))=1/4

p(A/H_(1))=0,6*0,6*0,7*0,8=0,2016
p(A/H_(2))=0,4*0,4*0,7*0,8=0,0896
p(A/H_(3))=0,4*0,6*0,3*0,8=0,0576
p(A/H_(4))=0,4*0,6*0,7*0,2=0,0336

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) +
+p(H_(3))*p(A/H_(3))+p(H_(4))*p(A/H_(4))=0,2016+0,0896+0,0576+0,0336=0,3824

По формуле Байеса:
р(Н_(4)/А)= (p(H_(4))*p(A/H_(4)))/р(А)= 0,0336/0,3624=0,087

a) Дифференциальный бином.
См. приложение подстановки( Чебышева)

m=-1/2; n=1/4; p=1/3

(m+1)/n=(1/2)/(1/4)=2 - цело число

Значит, подстановка имеет вид ( см. пункт 2)

1+x^(1/4)=t^3
x^(1/4)=t^3-1
x=(t^3-1)^4
sqrt(x)=(t^3-1)^2
dx=4(t^3-1)^3*(t^3-1)`dt
dx=12t^2(t^3-1)^3dt

Тогда интеграл примет вид
∫ (t/(t^3-1)^2)*12t^2(t^3-1)^3dt= 12 ∫ t^3*(t^3-1)dt=

=13 ∫(t^6-t^3)dt=12*(t^7/7)-12*(t^4/4) + C

t=∛(1+x^(1/4))

б)
Так как
1+tg^2x=1/cos^2x
и
tg^5x=tg^3x*tg^2x=tg^3x*((1/cos^2x)-1)=(tg^3x/cos^2x) - tg^3x
и
tg^3x=tg^2x*tgx=((1/cos^2x)-1)*tgx=(tgx/cos^2x)-tgx

Итак,
tg^5x=(tg^3x/cos^2x) -(tgx/cos^2x)+tgx

∫ tg^5xdx= ∫ (tg^3xdxcos^2x) - ∫(tgxdx/cos^2x)+ ∫ tgxdx=

= ∫ tg^3xd(tgx)- ∫ tgxd(tgx)- ∫ d(cosx)/cosx=

=((tg^4x)/4)-((tg^2x)/2)-ln|cosx|+C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Не менее двух
значит,
2,3,4,5,... до 500

Рассмотрим противоположное событие
"менее двух" - значит 0 и 1
p=0,004
n=500

p очень мало, n велико.

Применяем локальную формулу Лапласа.

P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

np=500*0,004=2
npq=500*0,004*(1-0,004)=1,992
sqrt(npq)=sqrt(1,992)=1,4

x=(k-np)/sqrt(npq)

при k=0
x=(-2)/1,4 ≈-1,43

P_(500)(0)=(1/1,4)*φ(-1,43) ≈0,71*0,1435=0,101885

при k=1
x=(1-2)/1,4 ≈-0,71

P_(500)(1)=(1/1,4)*φ(-0,71)=0,71*0,3101=0,220171

P_(500)(0)+P_(500)(1)=0,322

О т в е т. 1 -0,322=0,678 (прикреплено изображение)

г)
{8x+5>0 ⇒ x > -5/8
{6x+1> 0 ⇒ x > -1/6
{8x+5=6x+1 ⇒ 8x-6x=1-5; 2x=-4; x=-2
Нет корней
-2>-5/8 - неверно
-2>-1/6 - неверно

О т в е т. Нет корней

д)
Пусть 2x=t

tg t = sqrt(3) ⇒ t=arctg(sqrt(3))+πn, n ∈ Z

Обратный переход

2x=arctg(sqrt(3))+πn, n ∈ Z

2x=(π/3) + πn, n ∈ Z

Делим на 2

x=(π/6) + (π/2)*n, n ∈ Z - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

a)
Перенесем 2 влево:

((1-х)/х)-2=0
Приводим к общему знаменателю
(1-x-2x)/x=0

(1-3x)/x=0

Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0
{1-3x=0
{x ≠ 0

{х=1/3
{x ≠ 0

О т в е т. 1/3

б)
Возводим в квадрат
18-3х=(-х)^2

x^2+3x-18=0

D=3^2-4*(-18)=81

х_(1)=(-3-9)/2=-6; x_(2)=(-3+9)/2=3

Проверка

При x_(1)=-6

sqrt(18-3*(-6))=-(-6) - верно, так как sqrt(36)=6

При x_(2)=3

sqrt(18-3*3)=-3 - неверно, так как sqrt(9)=3

О т в е т. [b]-6[/b]

в) 0,25=1/4=2^(-2)

(2^(-2))^(x-3)=2^(3x-1)

2^(-2x+6)=2^(3x-1)

-2х+6=3х-1
-2х-3х=-1-6

-5х=-7

х=7/5

х= [b]1,4[/b]

О т в е т. 1,4

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными
(y^2+4)dx=-xdy

dx/x=-dy/(y^2+4)

Интегрируем

∫dx/x= - ∫ dy/(t^2+4)

ln|x|=arcctgу + C- общее решение

Пусть случайное число равна х.
0 < x < 1

Так как по условию сумма восьми таких чисел больше 1, то
8x > 1 ⇒ х > 1/8

Переформулируем вопрос.
Какова вероятность, что случайное число

1/8 < x < 1

По формуле геометрической вероятности:

p=длина интервала (1/8;1)/ длина интервала (0;1}=

[b]=7/8[/b]

a)
∂z/∂x=z`_(x)=(sin(xy))`_(x)=(cos(xy))*(xy)`_(x)= [b]y*cos(xy)[/b]

∂z/∂y=z`_(y)=(sin(xy))`_(y)=(cos(xy))*(xy)`_(y)= [b]x*cos(xy)[/b]

б)

gdad u=(∂u/∂x)*vector{i}+(∂u/∂y)*vector{j}+(∂u/∂z)*vector{k}

∂u/∂x= (tgx-x+3sin^2y+z+ctgz)`_(x)=(1/cos^2x)-1= [b] tg^2x[/b]

∂u/∂y= (tgx-x+3sin^2y+z+ctgz)`_(y)=3*2*siny*(siny)`=6siny*cosy= [b]3sin2y[/b]

∂u/∂z= (tgx-x+3sin^2y+z+ctgz)`_(z)=1-(1/sin^2z)= [b]-ctg^2z[/b]

grad u_(M)=(∂u/∂x)_(M)*vector{i}+(∂u/∂y)_(M)*vector{j}+(∂u/∂z)_(M)*vector{k}

(∂u/∂x)_(M)=tg^2(π/4)=1

(∂u/∂y)_(M)=3sin(2*(π/3))=3*sqrt(3)/2

(∂u/∂z)_(M)=-ctg^2(π/2)=0

grad u_(M)= [b]1 *vector{i}+(3sqrt(3)/2)*vector{j}+0*vector{k}[/b]

Ответ выбран лучшим

tgx+ ctgx=(sinx/cosx)+ (cosx/sinx)
ОДЗ:
{sinx ≠ 0
{cosx ≠ 0

tgx + ctgx=(sin^2x+ cos^2x)/(sinxcosx)

tgx+ ctgx=1/(sinx*cosx)

Замена переменной

[b]sinx+ cosx=t[/b]

Возводим в квадрат:

sin^2x+ 2sinx*cosx + cos^2x=t^2 ⇒

2sinxcosx=t^2-1

sinx*cosx=(t^2-1)/2

Уравнение принимает вид:

√2 *t =2/(t^2-1)

{√2* t^3- √2t - 2 =0 ⇒ [b] t^3- t -√2=0[/b]
{t^2-1 ≠ 0 ⇒ [b]t ≠ ± 1[/b]

t^3- t -√2=0

t=√2- корень уравнения, так как (√2)^3-√2-√2=0 - верно.

(t-√2)*(t^2 + √2t + 1)=0

Квадратное уравнение
t^2 +√2t + 1 =0 корней не имеет, т.к D=2-4 < 0

Обратный переход

sinx + cosx=√2

sinx +sin((π/2)-x)=√2

[формула sinα+sinβ =]

2sin(π/4) * cos( x-(π/4))=√2

2*(sqrt(2)/2)*cos( x-(π/4))=√2

cos(x-(π/4))=1

х-(π/4)=2πn, n ∈ Z

[b]х=(π/4)+ 2πn, n ∈ Z[/b] удовлевторяет ОДЗ

О т в е т. (π/4) +2πn, n ∈ Z

dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy

z`_(x)=(x^2*y^2)`_(x)=

при этом y - константа

=y^2*(x^2)`_(x)=y^2*(2x)=2xy^2

z`_(y)=(x^2*y^2)`_(y)=

при этом х - константа

=x^2*(y^2)`_(y)=x^2*(2y)=2x^2y

О т в е т.
[b]dz=2xy^2*dx+2х^2y*dy[/b]

2) ∂^(2)z/ ∂ x^2=(z`_(x))`_(x)=(2xy^2)`_(x)=(2y^2)*(x)`_(x)=2y^2*1=2y^2

∂^(2)z/ ∂ y^2=(z`_(y))`_(y)=(2х^2у)`_(y)=(2x^2)*(y)`_(y)=2x^2*1=2x^2

3)
∂^(2)z/ ∂ y ∂ x=(z`_(x))`_(y)=(2xy^2)`_(y)=2x*(y^2)`_(y)=2x*(2y)=4xy

∂^(2)z/ ∂ x ∂ y=(z`_(y))`_(x)=(2х^2y)`_(x)=(2y)*(x^2)`_(x)=(2y)*(2x)=4xy

равны, что и требовалось доказать

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
1-x=t
t → 0

x=t+1
tg((π/2)*x)=tg((π/2)*(t+1))=tg((π/2)t+(π/2))=-ctg((π/2)t)

=lim_(t → 0) t*(-ctg((π/2)t))= - lim_(t → 0) t/tg((π/2)t)=

=- lim_(t → 0)((π/2)t)/tg((π/2)t)* (1/(π/2))= [b]-2/π[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Производная в числителе

(2x)`=2

Производная в знаменателе:

e^(-2x)*(-2x)`=e^(-2x)*(-2)

получаем

lim_(x → - ∞ )2/((e^(-2x)*(-2))=lim_(x → - ∞ )(-e^(2x))=0

(-e^(- ∞ ))=-1/e^(+ ∞ )=-1/(+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;+ ∞)

y`=(x^2-4x+3)`=2x-4

y`=0

2x-4=0

x=2

y`<0 при x < 2
Функция убывает на (- ∞ ;2)

y`>0 при x>2

Функция возрастает на (2;+ ∞ )

x=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=2 >0

Вторая производная положительна, кривая выпукла вниз

Точки пересечения с осями координат.

C осью Ох
y=0

Решаем уравнение:
x^2-4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=(4-2)/2=1; х_(2)=(4+2).2=3

C осью Оу

x=0
y=3 (прикреплено изображение)

y`=((x–3)^2/(x-2)^3)`=

[b](u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2[/b]

=(((x-3)^2)`*(x-2)^3-(x-3)^2*((x-2)^3)`) / (x-2)^6=

=(2(x-3)*(x-2)^3-(x-3)^2*3(x-2)^2)/(x-2)^6=

=(2x-4-3x+9)*(x-3)/(x-2)^4=

=(5-x)(х-3)/(x-2)^4=

=(8x-x^2-15)/(x-2)^4

y``=(y`)`=((8x-x^2-15)/(x-2)^4)

[b](u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2[/b]

=((8x-x^2-15)`*(x-2)^4-(8x-x^2-15)*((x-2)^4)`)/(x-2)^8 =

=((8-2x)*(x-2)^4-(8x-x^2-15)*4*(x-2)^3))/(x-2)^8=

=((8-2x)*(x-2)-4*(8x-x^2-15))/(x-2)^5=

=(8x-2x^2-16+4x-32x+4x^2+60)/(x-2)^5=

=(2x^2-20x+44)/(x-2)^5

Испытание состоит в том, что подбрасывают игральную кость, на которой 6 граней. На каждой грани одно число ( от 1 до 6)

n=6 - число исходов испытания. ( т.е. может выпасть любое число от 1 до 6, 6 результатов)

Пусть событие А - " выпало более трех очков"
Событию А благоприятствуют три исхода испытания ( выпало 4, 5, 6)
m=3

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=3/6=1/2

du/dx=(∂u/∂z)*(dz/dx)+ (∂u/∂y)*(dy/dx)

(∂u/∂z)=(z/2)`_(z)*ln(z/y) + (z/2)*(ln(z/y))`_(z)=

=(1/2)*ln(z/y)+(z/2)*(1/(z/y))*(z/y)`_(z)=

=(1/2)*ln(z/y)+(z/2)*(y/z)*(1/y)=

= (1/2)*ln(z/y)+(1/2)

(∂u/∂y)= (z/2)*(ln(z/y))`_(y)=(z/2)*(1/(z/y))*(z/y)`_(y)=(z/2)*(y/z)*z(1/y)`=

=(y/2)*(-1/y^2)=-1/(2y)

(dz/dx)=(tg^2x)`_(x)=2tgx*(tgx)`=2tgx/cos^2x

(dy/dx)= (ctg^2x)`_(x)=2ctgx*(ctgx)`=-2ctgx/sin^2x

du/dx=(1/2)(ln(z/y)+1)*(2tgx/cos^2x)+(-1/2y)*(-2ctgx/sin^2x)

О т в е т.
du/dx=(ln(z/y)+1)*(tgx)/(y*cos^2x)+(2ctgx)/(y*sin^2x)

2.

∂u/∂ξ =(∂u/∂x)*(∂x/∂ξ ) + (∂u/∂y)*(∂y/∂ξ )

∂u/∂η=(∂u/∂x)*(∂x/∂η) + (∂u/∂y)*(∂y/η )

(∂u/∂x)=(2x^2+3y^2)`_(x)=4x
(∂u/∂y)=(2x^2+3y^2)`_(y)=6y

(∂x/∂ξ) =(ξ+ η )`_(ξ)=1
(∂y/∂ξ)=(ξ- η )`_(ξ)=1

(∂x/∂η)=(ξ+ η )`_(η)=1
(∂y/∂η)=(ξ- η )`_(η)= - 1

∂u/∂ξ =(4x)*1 + (6y)*1

∂u/∂η=(4x)*1 + (6y)*(-1)

О т в е т.

∂u/∂ξ =4x + 6y

∂u/∂η=4x - 6y

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{1-x > 0 ⇒ x < 1
{2-x > 0 ⇒x < 2

ОДЗ: х ∈ (- ∞ ;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(9)(1-x)*(2-x) = log_(9)30

(1-х)*(2-х)=30

x^2-3x+2=30

x^2-3x-28=0

D=(-3)^2-4*(-28)=9+112=121

x_(1)=(3-11)/2=-4; x_(2)=(3+11)/2=7

x_(2) не принадлежит ОДЗ, поэтому не является корнем данного уравнения

О т в е т. -4

задача на применение формулы Байеса

Вводим в рассмотрение события- гипотезы
H_(1) - " в коробке лежит белый шар"
H_(2) - " в коробке лежит черный шар"

p(H_(1))=1/2
p(H_(2))=1/2

Событие А - " выбранный шар белый"
р(A/H_(1))=3/3=1
р(A/H_(2))=2/3

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(1/2)*1+(1/2)*(2/3)=5/6

[b]р(H_(1)/A)*p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))[/b] ⇒

р(H_(1)/A)=(p(H_(1))*p(A/H_(1))) /p(A) - формула Байеса

р(H_(1)/A)=(1/2)*1/(5/6)=0,6

О т в е т. 0,6

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1)
Табличный интеграл
[b] ∫ 2^(u)du=2^(u)/ln2 + C
[/b]
u=2x-3
du=2dx
d(2x-3)=2dx
dx=(1/2)d(2x-3)

∫ ^(1)_(0)2^(2x-3)dx=(1/2) ∫ ^(1)_(0)2^(2x-3)d(2x-3)=

= (1/2)*(2^(2x-3)/ln2)|^(1)_(0)=(1/2)(2^(-1)/ln2)-(1/2)2^(-3)/ln2=

= [b]3/(16ln2)[/b]

2)
Табличный интеграл
[b] ∫ u^(2)du=u^(3)/3 + C
[/b]
u=(6-x)
du= - dx
d(6-x)=-dx
dx=-d(6-x)

∫ ^(1)_(-1)(6-x)^(2)dx=- ∫ ^(1)_(-1)(6-x)^(2)d(6-x)=

= - ((6-x)^3/3)|^(1)_(-1)=-(5^3/3)+(7^3/3)=(7^3-5^3)/3=...

3)
Табличный интеграл
[b] ∫ sinu du=-cosu + C
[/b]
u=(x/3)
du= (1/3) dx
d(x/3)=(1/3)dx
dx=3d(x/3)

∫ ^(3π)_(π/2) sin(x/3)dx=3 ∫ ^(3π)_(π/2) sin(x/3)d(x/3)=

=-3cos(x/3) | ^(3π)_(π/2)= -3* cos(π)+3cos(π/6)=-3*(-1)+3*(1/2)=4,5

Ответ выбран лучшим

2.
x_(1)=-1 - [b]точка непрерывности[/b], так как

lim_(x → -1-0)f(x)=lim_(x → -1+0)f(x)=f(-1)=(-2+4)/(-3+9)=2/6=1/3

х_(2)=-3 - [b]точка разрыва второго рода[/b], так как
lim_(x → -3-0)f(x)=+∞
lim_(x → -3+0)f(x)=- ∞

График на рис.1
2.1

=lim_(x → 0) ((e^(sinx)-1)/sinx)* [b]([/b]lim_(x → 0) (sinx/x) [b])[/b]*
lim_(x → 0) (x/(x^2+3x))=

=1*1*lim_(x → 0) (x/(x+3)*x)=lim_(x → 0) (1/(x+3))=1/(0+3)= [b]1/3[/b]

2.2
x=0 - [b]точка непрерывности[/b]
lim_(x →-0)f(x)=lim_(x →-0)1=1

lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)cosx=cos0=1

f(0)=cos0=1

х=(π/2)- [b] точка разрыва первого рода[/b]

lim_(x →(π/2)-0)f(x)=lim_(x →(π/2)-0)cosx=0

lim_(x → (π/2)+0)f(x)=lim_(x → (π/2)+0)(1-x)=1-(π/2)

Есть скачок:
1-(π/2) - 0 = 1 - (π/2) , который является конечным.

График на рис.2
(прикреплено изображение)

y=e^(x)*cosx
Правило:
производная произведения
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(e^(x))`*cosx+e^(x)*(cosx)`=(e^(x))*cosx+e^(x)*(-sinx)=

= [b]e^(x)*(cosx-sinx)[/b]

Область определения (– ∞ ;0) U (0;+ ∞ )
x=0 - точка разрыва второго рода

limx→–0 f(x)=+ ∞
limx→+0 f(x)=+ ∞

Прямая х=0 - вертикальная асимптота

y`=(x^(-2))`·e^(x)+(x^(-2))·(e^(x))`=
=-2x^(-3)·e^(x)+(x^(-2))·e^(x)=
=e^(x)·(-2x^3+x^(-2))=
=e^(x)·(x-2)/x^3

y`=0

x-2=0
x=2
Знак производной
__+__ (0)__–__ (2) ____ +

y` >0 на (– ∞ ; 0), и на (2; + ∞),
функция возрастает на (– ∞ ; 0), и на (2; + ∞),

y`< 0 на (0; 2),
функция убывает на (0; 2)

х= 2– точка минимума, производная меняет знак с – на +
(прикреплено изображение)

б)
Область определения (– ∞ ;2)U(2;+ ∞ )

х=2 – не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода

Прямая х=2 – вертикальная асимптота
limx→2-0 f(x)=- ∞
limx→2+0 f(x)=+ ∞

Прямая y=0 – горизонтальная асимптота,
limx→ ∞f(x)=0

y`=((x–3)^2/(x-2)^3)`=

=(((x-3)^2)`*(x-2)^3-(x-3)^2*((x-2)^3)`) / (x-2)^6=

=(2(x-3)*(x-2)^3-(x-3)^2*3(x-2)^2)/(x-2)^6=

=(2x-4-3x+9)*(x-3)/(x-2)^4

=(5-x)(х-3)/(x-2)^4

y`=0

5-x=0 или x-3=0

x=5 или x=3

Расставляем знак производной

_-__ ( 2) __-__ (3) ___+__ (5) ___-__

x=3- точка минимума, производная меняет знак с - на +
x=5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y` > 0 на (3;5 )

функция возрастает на (3;5 )

y` < 0 на y` >0 на (– ∞;2) и на (2;3 ) и на (5;+ ∞)

функция убывает на (– ∞;2) и на (2;3) и на (5;+ ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
Область определения (– ∞ ;+ ∞ )
y`=(x+4)`·e^(2x)+(x+4)·(e^(2x))`=
=1·e^(2x)+(x+4)·e^(2x)*(2x)`=
=e^(2x)+(x+4)·e^(2x)*2=
=e^(2x)·(1+2x+8)=
=e^(2x)·(2x+9)

y`=0

2x+9=0
x=-4,5
Знак производной
__–__ (4,5) ____ +

y`< 0 на (– ∞ ; –4,5), функция убывает
y` >0 на (–4,5; + ∞), функция возрастает

х= - 4,5 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
y(-4,5)=(-4,5+4)e^(2*(-4,5))=-0,5e^(-9) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.1
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным

2^(3x)-4 >0
2^(3x)>4
2^(3x)>2^2
3x>2
x>2/3

1.2

График данной функции см. рис.1
y=x ⇒ обратная (меняем х и у местами) x=y
если x ≤ 0, то y ≤ 0
Выражаем y через х

y=x^2 ⇒ обратная х=y^2
если x > 0, то y > 0

y=sqrt(x)
Обратная
y=sqrt(x)

[b]y=
{x, x ≤ 0,
{sqrt(x), x >0[/b]

рис.2

2.1

-x^2-5x+6 >0

x^2+5x-6 <0

D=25+24=49

x_(1)=(-5-7)/2=-6; x_(2)=(-5+7)/2=1

О т в е т. (-6;1)

2.2

см. рис.3

3.1

x^2+x > 0

x*(x+1)>0
x < -1 или x >0

можно написать такой же ответ как в задании

3.2

y=x-2
x < 1

Обратная
x=y-2
y=x+2

y=x^2-2
x=y^2-2
x+2=y^2

y=sqrt(x+2) (прикреплено изображение)

dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy

z`_(x)=(x^2+2xy+y^2+x^3-3x^2y-y^3+x^4-4x^2y^2+y^4)`_(x)=

при этом y - константа

=2x+2y+3x^2-6xy+4x^3-8xy^2

z`_(y)=(x^2+2xy+y^2+x^3-3x^2y-y^3+x^4-4x^2y^2+y^4)`_(y)=

при этом х - константа

=2х+2у-3x^2-3y^2-8x^2y+4y^3

О т в е т.
[b]dz=(2x+2y+3x^2-6xy+4x^3-8xy^2)*dx+(2х+2у-3x^2-3y^2-8x^2y+4y^3)*dy[/b]

2) ∂^(2)z/ ∂ x^2=(z`_(x))`_(x)=(2x+2y+3x^2-6xy+4x^3-8xy^2)`_(x)=

=2+6x-6y+12x^2-8y^2

∂^(2)z/ ∂ y^2=(z`_(y))`_(y)=(2х+2у-3x^2-3y^2-8x^2y+4y^3)`_(y)=

=2-6y-8x^2+12y^2

3)
∂^(2)z/ ∂ x ∂ y=(z`_(x))`_(x)=(2x+2y+3x^2-6xy+4x^3-8xy^2)`_(y)=

= [b]2-6x-16xy[/b]

∂^(2)z/ ∂ y ∂ x=(z`_(y))`_(x)=(2х+2у-3x^2-3y^2-8x^2y+4y^3)`_(x)=

= [b]2-6x-16xy[/b]

равны, что и требовалось доказать

Решаем однородное уравнение:
y``+y=0

Составим характеристическое уравнение:
k²+1=0 ;
k=±i ;
y_(однород)=C_(1)cosx+C_(2)sinx

Применяем метод вариации произвольных постоянных
Для этого константы С_(1) и С_(2) считаем зависящими от х

[b]y=C_(1)(х)*cosx+C_(2)(х)*sinx (#)[/b]

C_(1) x и С_(2)(х) находим из системы:

{ C’_(1)(x)cosx+C`_(2)(x)sinx=0;
{C`_(1)(x)*(-sinx)+C’_(2)(x)*cosx=tg²x;

Из первого уравнения: С’_(1)(x)=-C`_(2)(x)tgx,

подставляем во второе,

получаем

-C`_(2)(x)tgx*(-sinx)+C`_(2)(x)*cosx=tg²x

C`_(2)(x) * (1/cosx)=tg²x

C’_(2)(x)=sin²x/cosx

C_(2)(x)=∫sin²xdx/cosx =∫(1-cos²x )dx /cosx =

=∫(dx /cosx -∫(cos²x )dx /cosx =

=ln|tg((x/2)+(π/4)))-sinx+C_(3)

[b]C_(2)(x)=ln|tg((x/2)+(π/4)))-sinx+C_(2)[/b]

C`_(1)(x) =(-sin²x/cosx )*tgx

C`_(1)(x)=-sin^3x/cos^2x

С_(1)= ∫ (-sin^3x/cos^2x)dx=-∫ (sinx* sin^2xdx)/cos^2x=

=-∫ (sinx* (1-cos^2x)dx)/cos^2x=-∫ (sinx)dx)/cos^2x+∫ sinxdx=

=-(1/cosx) - cosx + C_(1)

и подставляем в (#)

[b]y=((-1/cosx)-cosx+C_(1))*cosx+(ln|tg((x/2)+(π/4)))-sinx+C_(2))*sinx [/b]

y=-1 -cos^2x+C_(1)cosx+sinx* ((ln|tg((x/2)+(π/4))) -sin^2x+ C_(2)sinx

[b]y=-2+C_(1)cosx+sinx* ((ln|tg((x/2)+(π/4))) + C_(2)sinx[/b] -
о т в е т.

(прикреплено изображение)

Пусть скорость велосипедиста,пришедшего к финишу вторым, равна х км в час, тогда скорость первого велосипедиста (х+14) км в час.

140/x ( часов) - время второго
140/(х+14) часов - время первого.

По условию первый едет прибывает к финишу на 5 часов раньше второго
140/(x+14) < 140/x на 5

Уравнение
140/(x+14) +5= 140/x

Умножаем на х*(х+14)

140x+5x*(x+14)=140*(x+14)

28x +x^2+14x=28x+28*14
x^2+14x- 28*14=0
D=14^2+4*28*14=196*9
x_(1)=(-14-14*3)/2 < 0 x_(2)=(-14+14*3)/2=14

О т в е т. 14 км в час

sqrt(15x^2+2x+8)=-4x

ОДЗ:
{15x^2+2x+8 > при любом х так как D=4-4*15*8 <0
{-4x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0

ОДЗ : x ∈ (- ∞ ; 0]

Возводим в квадрат
15x^2+2x+8=16x^2
x^2-2x-8=0
D=4-4*(-8)=36
x_(1)=(2-6)/2=-2; x_(2)=(2+6)/2=4

х_(2) не принадлежит ОДЗ

О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

y=1- (x+5)/(x*(x+5))

Область определения: (- ∞ ;-5)U(-5;0) U(0;+ ∞)

Условиях области определения можно сократить на (х+5)

y=1-(1/x)

График данной функции совпадает с графиком функции y=1-(1/x)

во всех точках, кроме точки -5

В этой точке данная функция не определена.
Поэтому строим график y=1-(1/x)
c выколотой точкой х=-5

y(-5)=1-(1/(-5)=6/5

О т в е т. [b]При а=1 и а=6/5[/b] (прикреплено изображение)

Область определения
(- ∞ ;1) U(1;+ ∞ )

[b]x=1 - вертикальная асимптота[/b]
так как

lim_(x→1+0)f(x)=+ ∞
lim_(x→1-0)f(x)=- ∞

[b]Горизонтальная асимптота y=0[/b],
так как
lim_(x→ ∞)f(x)= 0

Наклонной асимптоты нет, так

k=lim_(x→ ∞)f(x)/x= lim_(x→ ∞)х/((x-1)^3*x)=0

[b]Исследование функции с помощью первой производной[/b]

y`=((x)`*(x-1)^3-x*((x-1)^3)`)/(x-1)^6

y`=((x-1)^3-x*(3(x-1)^2))/(x-1)^6

y`=(x-1-3x)/(x-1)^4

y`=(-2x-1)/(x-1)^4

y`=0

-2x-1=0

x=-1/2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y`< 0 функция убывает на (-1/2;1) U(1;+∞)
Функция убывает на (-1/2;1) U(1;+∞)

y` > 0 на (-∞; -1/2)
Функция возрастает на (-∞; -1/2)

[b]Исследование функции с помощью второй производной[/b]

y``=((-2х-1)`*(x-1)^4 - (-2x-1)*((x-1)^4)`)/(x-1)^8

y``=(-2*(x-1)^4+4*(2x+1)*(x-1)^3)/(x-1)^8

y``=(-2x+2 +2x+1)/(x-1)^5

y``=3/(x-1)^5

y``<0 на (- ∞;1 )

кривая выпукла вверх на (- ∞;1 )

y``>0 на (1;+ ∞ )

кривая выпукла вниз на (1;+ ∞ )

точек перегиба нет (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя:
(2x-3)*(6+3x)=0 ⇒ 2x-3=0 или 6+3х=0
x=3/2 или х=-2

Отмечаем точки на числовой прямой закрашенным кружком ( здесь квадратные скобки)

Находим нули знаменателя:
7-4х=0
x=7/4

Отмечаем эту точку на числовой прямой пустым кружком ( здесь круглые скобки)

Расставляем знаки. Справа от крайней справа точки +, далее идет чередование знаков.

__-___ [-2] ___+___ [3/2] ____-____ (7/4) ___+__

О т в е т. [b] [-2; 3/2] U (7/4; + ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

Универсальная подстановка
tg(x/2)=t

x/2= arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/*(1+t^2)

∫ dx/(2sinx+3cosx)= ∫ 2dt/(4t+3-3t^2)=(-2/3) ∫ dt/(t^2-(4/3)t+1)=

выделяем полный квадрат

t^2-2*(2/3)t+(4/9)-(4/9)+1=((t-(2/3))^2+(5/9)

=(-2/3)*(1/sqrt(5/9)) arctg (t/sqrt(5/9))+C=

= [b](-2/sqrt(5)) arctg (3tg(x/2))/sqrt(5) +C[/b]

192=2*92=4*48

sqrt(192)=2sqrt(48)

sqrt(48)=sqrt(16*3)=4sqrt(3)

Формулы тригонометрии

[b]cos2 α =1-sin^2 α [/b]

Формулы приведения

cos( 3π+ α )=cos(π + α)=- cos α

Поэтому

sqrt(48)-sqrt(192)sin^2(19π/12)= sqrt(48)*(1-2sin^219(π/12))=

=sqrt(48)*cos 2*(19π/12)=4sqrt(3)*cos(19π/6)=

=4sqrt(3)*cos((18π/6)+(π/6)= 4sqrt(3)*(-cos(π/6))=4sqrt(3)*(-sqrt(3)/2)=

[b]-6[/b] α π

Ответ выбран лучшим

1.
u`_(x)=sin^4y*(x^2)`_(x)=2x*sin^4y
u`_(y)=x^2*(sin^4y)`_(y)=x^2*4sin^3y*(siny)`=x^2(4sin^3y)*cosy

2.
x=r*cos φ

∂ x/ ∂ r=cos φ
∂ x/ ∂ φ =r*(-sin φ )

y=r*sin φ

∂ y/ ∂ r=sin φ
∂ y/ ∂ φ =r*(cos φ )

Раскрываем определитель второго порядка:
(∂ x/ ∂ r)*( ∂ y/ ∂ φ )- (∂ y/ ∂ r)*( ∂ x/ ∂ φ)=
= cos φ *r*(cos φ )-t*(-sin φ )*sin φ =r*(cos^2 φ +sin^2 φ )= [b]r[/b]

Ответ выбран лучшим

Из 20 кг получают 6 кг, значит из х кг получат 60 кг

Пропорция
20:6=x:60

x=20*60:6= [b]200 кг[/b]

3 ц=300 кг

Пропорция
20:6=x:300
х=20*300/6= [b]1 000 кг[/b]

3 т = 3 000 кг

Пропорция
20:6=x:3000
х=20*3000/6= [b]10 000 кг[/b]

Или так:
60 кг : 6 =10 раз, значит и картофеля надо взять в 10 раз больше
20*10 [b]=200 кг[/b]

3 ц=300 кг

300 кг : 6 =50 раз, значит и картофеля надо взять в 50 раз больше
20*50= [b]1 000 кг[/b]

3 т = 3 000 кг

3 000 кг : 6 =500 раз, значит и картофеля надо взять в 500 раз больше
20*500= [b]10 000 кг[/b]

Ответ выбран лучшим

1.

4=2^2
4^(x)=(2^2)^(x)=2^(2x)

4^(x)*2^(x^2+1)=2^(2x)*2^(x^2+1)=2^(x^2+2x+1)

16=2^4

Неравенство принимает вид:

2^(x^2+2x+1) > 2^(4)

Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x^2+2x+1 >4;

(x+1)^2-2^2 >0

Раскладываем а множители по формуле a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(х+1-2)*(х+1+2) >0

(x-1)(x+3) > 0

Решаем методом интервалов.

Нули функции:

x-1=0 или х+3=0

х=1 или x=-3

___+__ (-3) ______ (1) ___+__

x ∈ (- ∞ ;-3) U (1;+ ∞ )

3.

a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

5^(4log_(5)sqrt(3) + (1/2)log_(5)4)= 5^(4log_(5)sqrt(3)) * 5^((1/2)log_(5)4)

По свойству логарифма степени
log_(a)b^(k)=k*log_(a)b; a>0; a ≠1; b>0

и значит

k*log_(a)b=log_(a)b^(k)

Поэтому
5^(4log_(5)sqrt(3)) * 5^((1/2)log_(5)4)= 5^(log_(5)sqrt(3)^4) * 5^(log_(5)4^(1/2))

Основное логарифмическое тождество a^(log_(a)b)=b, a>0; a ≠1; b>0

Поэтому
5^(log_(5)sqrt(3)^4) * 5^(log_(5)4^(1/2))=sqrt(3)^4*4^(1/2)=9*2= [b]18[/b]

Все решение занимает две строчки:

5^(4log_(5)sqrt(3) + (1/2)log_(5)4)= 5^(4log_(5)sqrt(3)) * 5^((1/2)log_(5)4)=

=5^(log_(5)sqrt(3)^4) * 5^(log_(5)4^(1/2))=sqrt(3)^4*4^(1/2)=9*2= [b]18[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4x^2+1 > 0 - верно при любом х
{3x^2+4x+1>0 ⇒ D=16-12=4; корни -1 и (-1/3) ⇒ х < -1 или x > -1/3

По формуле перехода к другому основанию
log_(9)(4x^2+1)=log_(3)(4x^2+1)/log_(3)9=(log_(3)(4x^2+1))/2

2log_(9)(4x^2+1)=2*(log_(3)(4x^2+1))/2=log_(3)(4x^2+1)

Неравенство принимает вид:

[b]log_(3)(4x^2+1) ≥ log_(3)(3x^2+4x+1)[/b]

Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента
4x^2+1 ≥ 3x^2+4x+1
x^2-4x ≥ 0

x*(x-4) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или x ≥ 4

С учетом ОДЗ
[b](- ∞ ;-1) U (-1/3);0] U [4;+ ∞ )[/b] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{2x-1>0 ⇒ x > 1/2
{x-9 > 0 ⇒ x > 9

[b]х∈ (9;+ ∞ )[/b]

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
2=log_(3)9

log_(3)(2x-1)*(x-9) < log_(3)9

Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(2х-1)*(х-9) < 9

2x^2-x-18x+9 < 9

2x^2-19x <0

х*(2х-19) < 0

Находим нули функции y=x*(2x-19)
это х=0 и 2х-19=0 ⇒ х=9,5

Решением неравенства х*(2х-19) < 0 является множество
(0;9,5)
см. рис.
____ (0) ___-___ (9,5) _____

С учетом ОДЗ
о т в е т. [b](9; 9,5)[/b]

Ответ выбран лучшим

V=S_(осн)*Н
H=4
В основании треугольник, по формуле Герона
S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

p=(7+5+6)/2=9

S=sqrt(9*(9-7)*(9-6)*(9-5))=6sqrt(6)

V=6sqrt(6)*4=24sqrt(6) cм^2

Ответ выбран лучшим

так как

sin^2 α +cos^2 α =1, то

cos^2 α =1 - sin^2 α =1- (sqrt(2)/3)^2=1-(2/9)=7/9

cos α= ±(sqrt(7))/3

По условию угол α в первой четверти, косинус имеет знак +

сos α =(sqrt(7))/3

О т в е т. сos α =(sqrt(7))/3

Ответ выбран лучшим

На [1;2] х >0, значит корень четвертой степени из х +1 и подавно больше 0.
Никакого модуля нет, есть круглые скобки.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Первый интеграл
∫ ^(2)_(1)sqrt(x)dx/2=(1/2) ∫ ^(2)_(1)x^(1/2)dx=(1/2)*x^(3/2)/(3/2)|^(2)_(1)=

=(1/3)*2^(3/2)-(1/3)*1^(3/2)= [b](2sqrt(2)-1)/3[/b]

Второй интеграл

∫ ^(2)_(1)x^(1/4)dx= x^(5/4)(5/4)|^(2)_(1)= (4/5)*(2^(5/4)-1^(5/4))=[b]
=(4/5)*(4sqrt(2)-1)[/b]

Третий интеграл

∫ ^(2)_(1) ln |x^(1/4)+1|dx= ∫ ^(2)_(1) ln (x^(1/4)+1)dx=

считаем по частям

Сначала замена переменной:

x^(1/4)=t
x=t^4
dx=4t^3dt

∫ ^(2)_(1) ln (x^(1/4)+1)dx= ∫ ^(16)_(1) ln (t+1)4t^3dt=

=4 ∫ ^(16)_(1)t^3ln(t+1)dx

u=ln(t+1)
du=dt/(t+1)

dv=t^3dt
v=(t^4/4)

=4*(t^4/4)*ln(t+1)|^(16)_(1)- 4∫^(16)_(1)(t^4/4)8(dt/(t+1)=

=t^4*ln(t+1) - ∫ ^(16)_(1)t^4dt/(t+1)=

Последний интеграл от дроби. Дробь неправильная. Надо выделить целую часть.

Сделаем это так:

t^4/(t+1)= (t^4-1+1)/(t+1)=(t^2-1)(t^2+1)/(t+1) + (1/(t+1))=

=(t-1)(t^2+1) + (1/(t+1))=

= [b]t^3-t^2+t-1 + (1/(t+1))[/b]

∫ ^(16)_(1)t^4dt/(t+1)= ∫ ^(16)_(1)(t^3-t^2+t-1 + (1/(t+1)))dt=

=((t^4/4) - (t^3/3)+(t^2/2) - t + ln |t+1|)|^(16)_(1)

Итак,

4* ∫^(2)_(1)(x^(1/4))^2/2 + x^(1/4) + ln | x^(1/4)+1|)dx=

=4* ∫ ^(2)_(1)sqrt(x)dx/2 + 4 * ∫ ^(2)_(1)x^(1/4)dx + 4 * ∫ ^(2)_(1) ln (x^(1/4)+1)dx=

=4*(1/2)*x^(3/2)/(3/2)|^(2)_(1)+ 4* (4/5)*(2^(5/4)-1^(5/4)) + 4 * (t^4*ln(t+1)|^(16)_(1) - ((t^4/4) - (t^3/3)+(t^2/2) - t + ln |t+1|)|^(16)_(1)=

= подставляем пределы и считаем самостоятельно

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

f(x)=-2x-x^2
f`(x)=-2-2x

x_(1)=-2
f(-2)=-2*(-2)-(-2)^2=4-4=0
f`(-2)=-2-2*(-2)=-2+4=2

Уравнение касательной в точке x_(1)=-2
y - 0 =2*( x-(-2))
y=2x+4

Прямая y=2x+4 пересекает ось Ох в точке [b]А(0;-2)[/b]

x_(2)=1
f(1)=-2*1-(1)^2=-2-1=-3
f`(1)=-2-2*(1)=-2-2=-4

Уравнение касательной в точке x_(2)=1
y - (-3) =-4*( x-1)
y=-4x+7
Прямая y=-4x+1 пересекает ось Ох в точке [b]С(0;1/4)[/b]

Прямые y=2x+4 и y=-4x+1 пересекаются в точке [b]В (1/2;5)[/b], так как

2х+4=-4х+1
6х=-3
х=-1/2
y=2*(-1/2)+4=3

ВК=3
АС=(1/4)-(-2)=9/4

S_( АВС)=(1/2)АС*ВК=(1/2)*(9/4)*3 [b]=27/8[/b]

или

S= ∫^(-1/2) _(-2)(2x+4)dx+ ∫^(1/4) _(-1/2)(-4x+1)dx=

=(x^2+4x)|^(-1/2)_(-2) + (-2x^2+x)|^(1/4)_(1/2)=... получим 27/8 (прикреплено изображение)

2x=t

Неравенство
sin t ≥ -sqrt(3)/2

решаем на единичной окружности
(см. рис.1)

(-π/3)+2πk ≤ t ≤ (4π/3)+2πk, k ∈ Z

(-π/3)+2πk ≤ 2х ≤ (4π/3)+2πk, k ∈ Z

Делим на 2

(-π/6)+πk ≤ х ≤ (4π/6)+πk, k ∈ Z

[b](-π/6)+πk ≤ х ≤ (2π/3)+πk, k ∈ Z[/b] - о т в е т.

или в виде интервала

[b][(-π/6)+πk ;(2π/3)+πk], k ∈ Z[/b]

Можно решать и графически:
cм. рис. 2

(прикреплено изображение)

1)
В условиях задачи из трех выбранных изделий возможно, что все три стандартные,
2 стандартные, одна нестандартная
1 стандартная, две нестандартных

Других возможных вариантов нет

Считаем соответствующие вероятности:
p_(3)(3)=C^(3)_(4)/C^(3)_(6)=1/5
p_(3)(2)=(C^(2)_(4)*C^(1)_(2))/C^(3)_(6)=3/5
p_(3)(1)=(C^(1)_(4)*C^(2)_(2))/C^(3)_(6)=1/5

Закон ( см. таблицу)

2)
По определению
M(X)=1*(1/5)+2*(3/5)+3*(1/5)=10/5=2

D(X)=M(X^2) - (M(X))^2;

M(X^2)=1^2*(1/5)+2^2*(3/5)+3^2*(1/5)=22/5=4,4

D(X)=4,4 -2^2=0,4

σ(X)=sqrt(D(X))=sqrt(0,4)=

F(x)=
{0 , если x < 1
{1/5=0,2, если 1 ≤ х <2
{4/5=0,8, если 2 ≤ х<3
{1, если x ≥ 3

cм. рис.2
(прикреплено изображение)

1.
r=2
H=7

S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)=2πr*H+2*π*r^2=

=2π*2*7+2π*2^2=4π*(7+2)= [b]36π[/b]

S_(круга)=πR^2
S_(круга)=S_(пп)

πR^2=36π
R^2=36
R=6

2.

H:L=4:5
[b]L=(5/4)H[/b]

V_(конуса)=(1/3)πR^2*H

V_(конуса)=96π

(1/3)πR^2*H=96π

[b]R^2H=288[/b]

По теореме Пифагора
L^2=H^2+R^2

((5/4)*H)^2=H^2+R^2

R^2=(9/4)H^2
[b]R=(3/2)*H[/b]

Cистема
{R^2H=288
{R=(3/2)*H

(9/4)*H*H=288
H^2=(288*4)/9

H^2=128
H=8sqrt(2)

R=(3/2)*H=12sqrt(2)

L=(5/4)*H=10sqrt(2)

S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)= πRL+πR^2=

=π*12sqrt(2)*(10sqrt(2)+12sqrt(2))= [b]528π[/b]

8.
sin^2 α +cos^2 α =1

sin^2 α +ctg^2 α +cos^2 α =(sin^2 α +cos^2 α )+ctg^2 α =

=1+(cos^2 α /sin^2 α )=(sin^2 α +cos^2 α )/sin^2 α=1/sin^2 α

9.
Период синуса и косинуса 360°
360° *n, n∈Z
так же являются периодами фнкций

sin(-660 ° )=sin(-720 °+60 °)=sin60 ° = sqrt(3)/2

cos810 ° =cos(720 ° +90 ° )=cos90 ° =0

О т в е т. ( sqrt(3)/2)+0= sqrt(3)/2

10
T=360 ° /4 - период функции y=sin4x

у=sin4x +2 получаем из графика y=sin4x
параллельным переносом на 2 единицы вверх вдоль оси Оу.
(прикреплено изображение)

6a)
cos(π+x)=-cosx
sin(π/2)=1
Уравнение принимает вид:
-сosx=1
cosx=-1
x=π+2πn, n ∈ Z
О т в е т. π+2πn, n ∈ Z

б)
Разложим левую часть на множители:
cosx*(cosx-sqrt(3)sinx)=0

cosx=0 или сosx-sqrt(3)sinx=0
x=(π/2)+πk, k ∈ Z

сosx-sqrt(3)sinx=0
Однородное тригонометрическое уравнение.
Так как sinx и cosx одновременно не обращаются в 0, то делим либо на cosx ≠ 0, либо на sinx ≠ 0

tgx=1/sqrt(3)

x=(π/6)+πn, n∈ Z
О т в е т. (π/2)+πk, k ∈ Z; (π/6)+πn, n∈ Z

2.
sin( π/3)+ α)=sin (π/3)*cos α +cos(π/3)*sin α

sin^2 α =1-cos^2 α =1-(-15/17)^2=1-(225/289)=64/289
sin α =sqrt(64/289) =8/17
угол α во второй четверти, синус положителен

sin( π/3)+ α)=sin (π/3)*cos α +cos(π/3)*sin α =

=sqrt(3)/2)*(-15/17)+(1/2)*(8/17)=

= [b](-15sqrt(3)+8)/34[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
4x-1 >0 ⇒ x> 1/4
О т в е т. (1/4;+ ∞ )
2)
8x+9 >0 ⇒ x> -9/8
О т в е т. (-9/8;+ ∞ )
3)
2-3x >0
-3x>-2
x< 2/3
О т в е т. (- ∞ ;2/3)
4)
7-2x >0
-2x>-7
x< 7/2
О т в е т. (- ∞ ;7/2)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из N изделий выбирают n.
Это можно сделать C^(n)_(N) способами.

Событие A - " среди выбранных n не менее m стандартных"

Событию А благоприятствуют исходы, при которых среди выбранных n изделий стандартных
(m +1) стандартных изделий
или
(m+2) стандартных изделий
или
....
M стандартных изделий

p= [b]([/b]C^(m+1)_(M)*C^(n-m-1)_(N-M)+ C^(m+2)_(M)*C^(n-m-2)_(N-M)+...+C^(M)_(M)*C^(n-M)_(N-M) [b])[/b]/C^(n)_(N)

D:
0 ≤ х ≤1
-x^2 ≤y ≤∛x

∫ ∫_(D) (8xy+18x^2·y^2)dxdy=

= ∫ ^(1)_(0) dx ∫ ^(∛x)_(-x^2)(8xy+18x^2y^2)dy=

= ∫ ^(1)_(0) (8x*(y^2/2)+18x^2*(y^3/3))|^(y=∛x)_(y=-x^2) dx=

= ∫ ^(1)_(0)(8x*((∛x)^2/2)-8x*((-x^2)^2/2)+18x^2*((∛x)^3/3)-18x^2*((-x^2)^3/3) )dx=

= ∫ ^(1)_(0) ( 4x^(5/3) -4x^5+6x^3+6x^8)dx=

=(4*(x^(8/3)/(8/3))-4*(x^6/6)+6*(x^4/4)+6*(x^9/9))|^(1)_(0)=

=(12/8)-(2/3)+(3/2)+(2/3)= дальше- то сосчитаете самостоятельно.... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) Замена переменной
cosx=t
3t^2-4t-4 ≥ 0
D=(-4)^2-4*3*(-4)=16+48=64
t_(1)=(4-8)/6=-4/6=-2/3; t_(2)=(4+8)/6=2

Решение неравенства
-2/3 ≤ t ≤ 2

Обратный переход от t к переменной х:

-(2/3) ≤ cosx ≤ 2

Двойное неравенство равносильно системе:
{cosx ≤ 2
{cosx ≥ (-2/3)

Первое неравенство верно при любом х, так как |cosx| ≤ 1

Решение неравенства
cosx ≥ -2/3
на единичной окружности

См. рис. 1
О т в е т. а) - arccos(-2/3)+2πn ≤ x ≤ arccos(-2/3)+2πn, n ∈Z
так как
arccos(-2/3)=π-arccos(2/3), то ответ можно записать в виде:

- (π-arccos(2/3))+2πn ≤ x ≤ π-arccos(2/3)+2πn, n ∈Z

или

[b]-π+arccos(2/3))+2πn ≤ x ≤ π-arccos(2/3)+2πn, n ∈Z[/b]

б)
Делим обе части неравенства на sqrt(2)

(1/sqrt(2))sinx + (1/sqrt(2))*cosx > cos2x
Так как
sin(π/4)=cos(π/4)=1/sqrt(2)
неравенство примет вид:

sin(π/4)*sinx+cos(π/4)*cosx > cos2x

Применяем формулу

cos( α - β )=cos α *cos β + sin α sinx β

cos(x-(π/4)) > cos2x

или

cos(x-(π/4)) - cos2x >0

или

cos2x-cos(x-(π/4)) < 0

Применяем формулу

cos α -cos β=-2sin((1/2)*(α - β))*sin((1/2)*(α + β))

-2*sin((2x-(x-(π/4))/2)*sin((2x+(x-(π/4))/2)<0

sin((x/2)+(π/8)) * sin((3x/2)-(π/8)) >0

Произведение положительно, когда множители имеют одинаковые знаки.
Получаем совокупность систем
(1)
{sin((x/2)+(π/8)) >0⇒ 2πm < (x/2)+(π/8) < π+2πm, m∈ Z
{sin((3x/2)-(π/8)) >0 ⇒ 2πn < (3x/2)-(π/8) < π+2πm, m ∈ Z

или

(2)
{sin((x/2)+(π/8)) <0 ⇒ - π+2πn < (x/2)+(π/8) < 2πn, n∈ Z
{sin((3x/2)-(π/8))<0 ⇒ -π+ 2πn < (3x/2)-(π/8) < 2πn, n ∈ Z

(1)
{-(π/8)+ 2πm < (x/2) < -(π/8)+ π+2πm, m∈ Z
{(π/8)+ 2πm < (3x/2) < π+(π/8)+2πm, m ∈ Z

или

(2)
{-(π/8) - π+2πn < (x/2) <-(π/8) +2πn, n∈ Z
{(π/8)-π+ 2πn < (3x/2) < (π/8 + 2πm, n ∈ Z

(1)
[b]{-(π/4)+ 4πm < x < -(π/4)+2π+4πm, m∈ Z
{(π/12)+ (4π/3)*m < x) < (2π/3)+(π/12)+(4π/3)*m, m ∈ Z
[/b]
или

(2)
[b]{(π/4) - 2π+4πn < x <(π/4) +4πn, n∈ Z
{(π/12)-(2π/3)+ (4π/3)n < x < (π/12) + (4π/3)m, n ∈ Z[/b]

Осталось выбрать пересечение множеств.

Cм. графиечкое решение неравенства на рис.2

y=sinx+cosx - график красного цвета
y=sqrt(2)cos2x - график синего цвета

Красный выше синего на отрезках
[a+2πm;b+2πm] m∈ Z
и
на отрезках
[с+2πn;d+2πn] n∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=70/100=0,7 - вероятность заболевания в одном случае.
q=1-p=1-0,7=0,3

Имеем повторные испытания с двумя исходами.
Cм. формула Бернулли.

[b]P_(n)(k)=C^(k)_(n)p^(k)*q^(n-k)[/b]

a) меньше половины:
половина из пяти 2,5

Значит меньше половины: ни один не заболеет (0), один, два

По формуле Бернулли
P_(5)(0)=C^(0)_(5)*0,7^(0)*0,3^(5)=1*0,3^(5)=
P_(5)(1)=C^(1)_(5)*0,7^(1)*0,3^(4)=5*0,7^(1)*0,3^(4)=
P_(5)(2)=C^(2)_(5)*0,7^(2)*0,3^(3)=10*0,7^(2)*0,3^(3)=

Осталось сложить так как по теореме сложения (или 0 или 1 или 2
означает сумму вероятностей этих трех событий)

О т в е т. P_(5)(0)+P_(5)1)+P_(5)(2)=

б)
Формула нахождения наивероятнейшего числа:
[b]np - q ≤ k_(o) ≤ np+p[/b]

n=5
p=0,3 ( [b] вероятность не заболеет[/b])
q=0,7 ( вероятность что заболеет)

np=5*0,3=1,5

1,5-0,7 ≤ k_(o) ≤ 1,5+0,3
0,8 ≤ k_(o) ≤ 1,8

[b]k_(o)=1[/b]

можно записать систему и так:
{x`(t)=2x+y+2e^(t)
{y`(t)=x+2y-3e^(4t)

Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение:
{y=x`(t)-2x-2e^(t)
{(x`(t)-2x-2e^(t))`=x+2*(x`(t)-2x-2e^(t))-3e^(4t)

Решаем второе уравнение:
x``(t)-2-2e^(t)=x+2x`(t)-4x-4e^(t)-3e^(4t)

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

x``-2x`+3x=-2e^(t)-3e^(4t)+2

Решаем однородное уравнение:
x``-2x`+3x=0

Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+3=0

D=4-4*3=-8

k_(1) = - 2sqrt(2)* [b]i[/b]; k_(2) = 2sqrt(2)* [b]i[/b]

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y=C_(1)cos(2sqrt(2))t +C_(2)sin(2sqrt(2)t)

Правая часть f(t)=f_(1)(t)+f_(2)t+f_(3)(t)

Находим три частных решения
[b]f_(1)(t)=-2e^(t)[/b]

y_(1 частное)= Ae^(t)
y`_(1 частное)=Ae^(t)
y``_(1 частное)=Ae^(t)

Подставляем в уравнение:
x``-2x`+3x=-2e^(t)

Ae^(t)-2Ae^(t)+3Ae^(t)=-2e^(t)
2А=-2
А=-1

[b]x_(1 частное)= - e^(t)[/b]

[b]f_(2)(t)=-3e^(4t)[/b]

x_(2 частное)= Вe^(4t)
x`_(1 частное)=4Вe^(4t)
x``_(1 частное)=16Вe^(4t)

Подставляем в уравнение:
x``-2x`+3x=-3e^(4t)

Вe^(4t)-2*4Вe^(4t)-3*16Вe^(4t)=-3e^(4t)
-55В=-3

В=3/55

[b]x_(2 частное)= (3/55) e^(4t)[/b]

f_(3)(t)=2

x_(3 частное)= M
x`_(1 частное)=M`=0
x``_(1 частное)=M``=0

Подставляем в уравнение:
x``-2x`+3x=2
3M=2
M=2/3

x(t)=C_(1)cos(2sqrt(2))t +C_(2)sin(2sqrt(2)t)-e^(t)+(3/55)e^(-4t)+(2/3)

Подставляем в первое уравнение

y=x`(t)-2x-2e^(t)

y=-2sqrt(2)C_(1)sin(2sqrt(2)t)+2sqrt(2)C_(2)cos(2sqrt(2)t)-e^(t)-(12/55)*e^(-4t)-2*(C_(1)cos(2sqrt(2))t +C_(2)sin(2sqrt(2)t)-e^(t)+(3/55)e^(-4t)+(2/3)) -2e^(t)

упрощаем:
y=

Ответ выбран лучшим

Пусть событие А - "система трех дублирующих друг друга приборов надежна"

Приборы функционируют независимо друг от друга.

Понятно, что отказ системы требует совместного отказа всех трех приборов, следовательно
Ā - "система трех дублирующих друг друга приборов отказала в работе"

Ā=Ā_(1) Ā_(2) Ā_(3)

р(Ā) = р(Ā_(1) Ā_(2) Ā_(3)) = р(Ā1)*р(Ā2)*р(Ā3)=(1-0,6)*(1-0,6)*(1-0,6)=

=0,4*0,4*0,4=0,4^3=0,064

p(A)=1-p(Ā)=1 - 0, 064 [b]=0,936[/b]

1 способ
Испытание состоит в том, что из 40 деталей отбирают 4
Это можно сделать
n=C^(4)_(40)=40!/(4!*(40-4)!)=(37*38*39*40/24)

Событие А - " Все отобранные детали без брака"
Событию А благоприятствуют исходы
n=C^(4)_(10)=10!/(4!*(10-4)!)=(7*8*9*10/24)

По формуле классической вероятности:
p(А)=m/n= [b](7*8*9*10)/(37*38*39*40)=
считаем самостоятельно[/b]

2 способ
p_(1)=(10/40) - вероятность отобрать небракованную деталь первый раз

После этого в партии 39 деталей, из них 9 небракованных
p_(2)=(9/39) - вероятность отобрать небракованную деталь первый раз

После этого в партии 38 деталей, из них 8 небракованных
p_(3)=(8/38) - вероятность отобрать небракованную деталь третий раз

После этого в партии 37 деталей, из них 7 небракованных
p_(4)=(7/37) - вероятность отобрать небракованную деталь четвертый раз

p=p_(1)*p_(2)*p_(3)*p_(4)=(10/40)*(9/39)*(8/38)*(7/37)=

= [b](7*8*9*10)/(37*38*39*40)=
считаем самостоятельно[/b]

Ответы одинаковые!

Вводим в рассмотрение события - [b] гипотезы[/b]
H_(1) – выбрана первая урна
H_(2) –выбрана вторая урна

p(H_(1))=1/2
p(H_(2))=1/2

событие A– "вынут белый шар "

p(A/H_(1))=5/10
p(A/H_(2))=3/5

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=(1/2)*(5/10)+(1/2)*(3/5)=

=11/20

Переформулировать задачу можно так:
Наугад выбирается урна, из неё наугад выбирается шар. Вынутый шар оказался белым Какова вероятность того, что он взят
а) из первой урны
б) из второй урны

a) p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=(1/2)*(5/10)/(11/20)=5/11
б) p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=(1/2)*(3/5)/(11/20)=6/11

событие В– "вынут черный шар "

p(A/H_(1))=5/10
p(A/H_(2))=2/5

По формуле полной вероятности

p(В)=p(H_(1))*p(В/H_(1))+p(H_(2))*p(В/H_(2))=(1/2)*(5/10)+(1/2)*(2/5)=9/20

Переформулировать задачу можно так:
Наугад выбирается урна, из неё наугад выбирается шар. Вынутый шар оказался черным Какова вероятность того, что он взят
а) из первой урны
б) из второй урны

a) p(H_(1)/В)=p(H_(1))*p(В/H_(1))/p(В)=(1/2)*(5/10)/(9/20)=5/9
б) p(H_(2)/В)=p(H_(2))*p(В/H_(2))/p(В)=(1/2)*(2/5)/(9/20)=4/9

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

Дано:
f(x)=x^2–3x+2
x_(o)=0

[b]f(0)[/b]=0-3*0+2=0

f ` ( x) = ( x^2 - 3x + 2)` = 2x - 3

[b]f`(0)[/b]=2*0 - 3= -1

Подставляем найденные значения в уравнение:

y - 0 = -1*(x - 0)

[b]y= - х [/b]- уравнение касательной

Таблица будет законом, если сумма вероятностей в нижней строке равна 1

0,4+0,1+p+0,3=1
p=1-0,8
p=0,2

M(X)=-3·0,4+(-1)0,1+2·0,2+6*0,3=считаем самостоятельно

M(X^2)=(-3)^2·0,4+(-1)^2*0,1+2^2·0,2+6^2*0,3=считаем самостоятельно

D(X)=M(X^2)–(M(X))^2=считаем самостоятельно

F(X)=
{0, x < -3
{0,4, -3 ≤ х < -1
{0,5 , -1 ≤ x <2
{0,7, 2 ≤ x <6
{1, x ≥ 6

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение эллипса:

(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

[b] Уравнения директрис эллипса имеют вид:

x=±a/ε,[/b]

где

ε=c/a - эксцентриситет эллипса

Расстояние между директрисами гиперболы
2d=2a/ε

Фокусы эллипса имеют координаты
F_(1)(-с;0) и F_(2)(с;0)

Расстояние между фокусами:
F_(1)F_(2)=2c

По условию:
расстояние между фокусами в 4 раза больше расстояния между ее директрисами

2d*4=2c
4d=c

4*(a/ε)=c
4a=c*(c/a) ⇒4a^2=c^2 ⇒ c=2a

Тогда эксцентриситет эллипса
ε=с/a=2a/a=2

О т в е т. 2 (прикреплено изображение)

По формулам приведения
cos((π/2)-x)=sinx

Так как
cos^2x=1-sin^2x, то

2*(1-sin^2x)+2sqrt(2)sinx+1=0
2sin^2x-2sqrt(2)sinx-3=0

Квадратное уравнение относительно sinx.

Замена переменной
sinx=t

2t^2-2sqrt(2)t-3=0

D=(-2sqrt(2))^2-4*2*(-3)=8+24=32

sqrt(32)=sqrt(16*2)=4sqrt(2)

t_(1)=(2sqrt(2)-4sqrt(2))/4 или t_(2)=(2sqrt(2)+4sqrt(2))/4

t_(1)=(-sqrt(2))/2 или t_(2)=(3sqrt(2))/2

Обратная замена

[b]sinx=-sqrt(2)/2[/b]

х=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(2)/2) + πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)*(-π/4)+ πk, k ∈ Z

[b]x=(-1)^(k+1)*(π/4)+ πk, k ∈ Z[/b]

или

[b]sinx=3sqrt(2)/2 [/b] - уравнение не имеет корней, так как 3sqrt(2)/2 >1

б) При отборе корней удобно записать ответ в виде серии двух ответов
При k=2n
х=(-π/4)+ 2πn, n ∈ Z ( решения принадлежат 4-ой четверти)
и
при k=2n+1
х=(π/4)+π+ 2πn, n ∈ Z ( решения принадлежат 3-ей четверти)

см. рис. 1

Указанному промежутку принадлежит корень

x=(-π/4)+2π [b]=7π/4[/b]

см. рис. 2

О т в е т.
a)(-1)^(k+1)*(π/4)+ πk, k ∈ Z
б)7π/4 (прикреплено изображение)

y=x^2 - парабола ветви вверх, проходит через точки
(-3;9);(-2;4);(-1;1);(0;0);(1;1);(2;4);(3;9)

y=(x-2)^2 - сдвиг предыдущего графика на 2 единицы вправо

y=(x-2)^2+2 - параллельный перенос на 2 единицы вверх графиrf
y=(x-2)^2 (прикреплено изображение)

О т в е т. 1

По формулам приведения
sin((3π/2)- α )=-cos α
cos((3π/2)- α )=-sin α

Так как
cos^2 α +sin^2 α =1
и
tg γ *ctg γ =1

получаем

((-cos α )^2+(-sin α )^2)/(tg(π- α )*ctg(π- α ))^2=1/1=1

Возводим в квадрат
x-4=4
x=8
Проверка
sqrt(8-4)=sqrt(4)=2
2=2 - верно.
О т в е т. 8

x=5^(-2)
x=1/25
О т в е т. 1/25=0,04

(прикреплено изображение)

a=lnx-x^2-x
Строим два графика
y=a - прямая, параллельная оси Ох
и
y=lnx-x^2-x
Исследуем функцию с помощью производной
Область определения (0;+∞ )
y`=(1/x)-2x-1

y`=(-2x^2-x+1)/x

y`=0

-2x^2-x+1=0

2x^2+x-1=0

D=1-4*2*(-1)=9

х_(1)=-1 или x_(2)=1/2

x_(1) не входит в область определения

x=1/2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(1/2)=ln(1/2)-(1/2)^2-(1/2)=-ln2-(3/4)=--0,75 - ln2
О т в е т. при a ∈ (- ∞ ; -0,75- ln2) (прикреплено изображение)

Если прямые
ax+2y=3
и
8x+ay=a+2
параллельны.

{a/8=2/a ⇒ a^2=16 ⇒ a= ± 4
{a/8 ≠ 3/(a+2) ⇒ a^2+2a-24=0 ⇒ D=100; a_(1)=-6; a_(2)=4

{a= ± 4
{a ≠ 4; a ≠ -6

О т в е т. [b]a=-4[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

a)
[b](x^2/7^2)+(y^2/4^2)=1[/b]

б)
2с=24
ε =12/3 ( не может быть, наверноe ε =12/13)
потому что ε =c/a и ε <1

2c=24
с=12

c/a=12/13
а=13

b^2=a^2-c^2=13^2-12^2=169-144=25

[b](x^2/13^2)+(y^2/5^2)=1[/b]

ОДЗ:
{18х+1 ≥ 0 ⇒ х ≥ -1/18
{3x+1≥ 0 ⇒ х ≥ -1/3 (если 3x+1 < 0 уравнение не имеет смысла)

ОДЗ: х ∈ [-1/18;+ ∞ )

Возводим в квадрат

18x+1=(3x+1)^2
18x+1=9x^2+6x+1
9x^2-12x=0
3x*(3x-4)=0
х=0 или x=4/3

Оба корня принадлежат ОДЗ

О т в е т. [b]0; 4/3[/b]

В решении обязательно либо ОДЗ либо проверка.

S_( Δ АBC)=(1/2)BC*AK
АK - высота равнобедренного треугольника и одновременно медиана,
ВК=КС=20
По теореме Пифагора
АК^2=AB^2-BK^2=29^2-20^2=(29-20)*(29+20)=9*49=(3*7)^2
АК=21

DK^2=DA^2+AK^2=20^2+21^2=400+441=841
DK=29

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*(1/2)BC*AK*DA=

S_(пп)=S_( Δ DAB)+ S_( Δ DAC)+S_( Δ DBC)+S_( Δ АВС)=

=(1/2)AB*DA+(1/2)AC*DA +(1/2)BC*DK+ (1/2)BC*AK

Ответ выбран лучшим

V=(1/3)*S_(осн) * H=

=(1/3)*(1/2)*AB*BC*sin ∠ ABC * H=

=(1/6)*8m * 11m*sin45^(o)*3sqrt(2)=

=(1/6)*8m * 11m*(sqrt(2)/2)*3sqrt(2)=...

Ответ выбран лучшим

Область определения [0;+ ∞ )

y=6+12x-x^(3/2)

y`=(6)`+(12x)`+(x^(3/2))`

y`=12-(3/2)*x^(1/2)

y`=12-1,5sqrt(x)

y`=0

12-1,5sqrt(x)=0

sqrt(x)=8

x=64

Знак производной

[0] ___+___ (64) ___-___

х=64 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

1.
M(X)= x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)=

=4*(1/4) +6*(1/5) +10*(11/20)=7,7

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)=

=4^2*(1/4) +6^2*(1/5) +10^2*(11/20)=66,2

D(X)=M(X^2)- (M(X))^2=66,2-(7,7)^2= считаем самостотельно.

2.
Таблица является законом, если в нижней строке сумма вероятностей равна 1

Поэтому
1-(1/3)-(1/5)-(1/15)-(1/20)=7/20

Надо написать в последней клеточке (7/20)

M(X)= x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+x_(5)*p_(5)=

=(-1)*(1/3)+2*(1/5)+3*(1/15)+4*(1/20) +5*(7/20)=

считаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)

2S_(осн)=S_(пп)-S_(бп)=40 - 32=8

S_(осн)=4

В основании квадрат
Пусть сторона квадрата равна х

S_(осн)=x^2

x^2=4

x=2

S_(бп)=P_(осн)*Н=P_(квадрата)*Н=4х*Н=4*2*Н=8Н
S_(бп)=32
8H=32
H=4

V=S_(осн)*H=4*4=16 см^3

Ответ выбран лучшим

1.
n=1
Один выстрел, попадание, p=1/5 стрельба закончилась.

n=2
Значит первый раз промахнулся, второй раз попал
(4/5)*(1/5)=4/25

n=3
Значит второй раз тоже промахнулся и на третий раз либо попал, либо промахнулся
(4/5)*(4/5)*(1/5) + (4/5)*(4/5)*(4/5)=(16/125)+(64/125)=80/125=16/25

См. таблицу

Если в нижней строке сумма вероятностей равна 1, то все верно, такая таблица является законом

2. (прикреплено изображение)

Второй катет находим по теореме Пифагора
b^2=c^2-a^2
b^2=37^2-12^2
b=35

V=S_(осн)*H=(1/2)a*b*H=(1/2)12*35*6= cчитаем самостоятельно

S_(полн. пов)=S_(бок. пов.) + 2 S_(осн.)=

=P_(осн)*H+ a*b=

=(37+35+12)*6+12*35= считаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx

dy/dx=x*(y+2) - уравнение с разделяющимися переменными.

dy/(y+2)=xdx

Интегрируем

∫ dy/(y+2)= ∫ xdx

ln|y+2| = (x^2/2)+C_(1)

y+2=e^((x^2/2)+C_(1))

y+2=C*e^(x^2/2) ( общее решение данного уравнения)

Так как

y(2)=-1

-1+2=С*e^(2^2/2)

С=1/e^2

y+2=e^(-2)*e^(x^2/2) - решение задачи Коши ( частное решение данного уравнения)

Однородное тригонометрическое уравнение третьего порядка.

Так как sinx и cosx одновременно не могут равняться, то делим на сos^3x ≠ 0 ( или sin^3x ≠0)

tg^3x-tg^2x+3=3tgx

Замена переменной
tgx=t

t^3-t^2+3-3t=0

t^2*(t-1)-3*(t-1)=0

(t-1)*(t^2-3)=0

t_(1)=1; t_(2,3)=± sqrt(3)

Обратно:

tgx=1 ⇒ x=(π/4)+πk, k ∈ Z
или
tgx=± sqrt(3) ⇒ x=± (π/3) +πn, n ∈ Z
О т в е т. (π/4)+πk, k ∈ Z; ± (π/3) +πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.

Так как sinx и cosx одновременно не могут равняться, то делим на сos^2x ≠ 0 ( или sin^2x ≠0)

2tg^2x-5tgx+2=0

Квадратное уравнение относительно tgx

Замена переменной
tgx=t

2t^2-5t+2=0
D=(-5)^2-4*2*2=9

t_(1)=(5-3)/4=1/2; t_(2)=(5+3)/4=2

Обратно:

tgx=1/2 ⇒ x=arctg(1/2)+πk, k ∈ Z
или
tgx=2 ⇒ x=arctg2 +πn, n ∈ Z
О т в е т. arctg(1/2)+πk, k ∈ Z; arctg2 +πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Так как 1=sin^2x+cos^2x

2=2sin^2x+2cos^2x

Уравнение принимает вид:

3sin^2x–sinx⋅cosx=2sin^2x+2cos^2x
sin^2x-sinx*cosx-2cos^2x=0

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.

Так как sinx и cosx одновременно не могут равняться, то делим на сos^2x ≠ 0 ( или sin^2x ≠0)

tg^2x-tgx-2=0

Квадратное уравнение относительно tgx

Замена переменной
tgx=t

t^2-t-2=0
D=1-4*(-2)=9

t_(1)=(1-3)/2=-1; t_(2)=(1+3)/2=2

Обратно:

tgx=-1 ⇒ x=(-π/4)+πk, k ∈ Z
или
tgx=2 ⇒ x=arctg2 +πn, n ∈ Z
О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z;arctg2 +πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.

Так как sinx и cosx одновременно не могут равняться, то делим на сos^2x ≠ 0 ( или sin^2x ≠0)

tg^2x-tgx-2=0

Квадратное уравнение относительно tgx

Замена переменной
tgx=t

t^2-t-2=0
D=1-4*(-2)=9

t_(1)=(1-3)/2=-1; t_(2)=(1+3)/2=2

Обратно:

tgx=-1 ⇒ x=(-π/4)+πk, k ∈ Z
или
tgx=2 ⇒ x=arctg2 +πn, n ∈ Z
О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z;arctg2 +πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Читайте теорема Ферма. Проблема не решена до сих пор.

Ответ выбран лучшим

Опечатка в условии.
СK:КА=6:1

KM || ВС по теореме Обратной теореме Фалеса.

AD - высота медиана и биссектриса основания.

Пусть Р- точка пересечения МК и АD

В Δ SAD проводим PE || SA

Через точку Е проводим HT || ВС.

Сечение МHТK проходит через MK параллельно SA.

Δ AKM ~ Δ ABC

AM:AC=AK:AB=1:7
угол А - общий.

KM:BC=AM:AC=AK:AB=1:7

KM:BC=1:7

BC=АВ=АС=7 ( треугольник АВС равносторонний)

[b]KM=1[/b]

Кроме того высоты подобных треугольников относятся как стороны
AP:AD=1:7 ⇒ PD:AD=6:7 и АР:РD=1:6

Значит
[b]SE:ED=AP:PD=1:6[/b]

Δ SAD ~ Δ PED ( PE || SA)

PD:AD=PE:SA
PE=(6/7)*8=(48/7)

HT|| BC
SH:SC=SE:SD=1:7
[b]SH:HC=1:6[/b]

б)
Расстояние от пл. МHТK до прямой SA - это [b]высота[/b] трапеции
APES

AS=8
PE=(48/7)
AP=(1/7)AD=(1/7)*7*sqrt(3)/2=sqrt(3/2)
SD- апофема боковой грани
SD^2=SC^2-CD^2=8^2-(7/2)^2=(256-49)/4=207/4
SD=sqrt(207/4)=3sqrt(23)/2
SE=(1/7)SD=(1/7)*(3sqrt(23)/2)=3 sqrt(23)/14 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
x-2 >0 ⇒ х>2

По формуле перехода к новому основанию

log_(4)(x-2)=log_(2)(x-2)/log_(2)4=(log_(2)(x-2))/2= (1/2)*log_(2)(x-4)

log_(1/2)(x-2)=log_(2)(x-2)/(log_(2)1/2)=log_(2)(x-2)/(-1)

Уравнение принимает вид

(1/2) log_(2)(x-2) - log_(2)(x-2)=1/2

(1-(1/2))*log_(2)(x-2)=1/2

log_(2)(x-2)=-1

По определению логарифма

x-2=2^(-1)
x-2=1/2

x=2+(1/2)

x=5/2

5/2 > 2 найденный корень входит в ОДЗ

О т в е т. 5/2 (прикреплено изображение)

1)Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(8+x)+2

3x^2+11x-4=(3x-1)(x+4)

lim_(x → - 4 )(3x-1)*(x+4)*(sqrt(8+x)+2)/(8+x-4)=

=im_(x → - 4 )(3x-1)(sqrt(8+x)+2)=(-13)*4= [b]-52[/b]

2) Неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим и числитель и знаменатель на х

∛(1-x-8x^3)/x= ∛((1-x-8x^3)/x^3)=∛( (1/x^3)-(x/x^3)-8)

lim_(x → ∞)∛( (1/x^3)-(x/x^3)-8)/(3+(2/х)=

=∛(0-0-8)/(3+0)= [b]-2/3[/b]

3.
Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
2+sqrt(x-1)

lim_(x → 5) tg(x-5)*(2+sqrt(x-1))/(4-(x-1))=

=lim_(x → 5) tg(x-5)*(2+sqrt(x-1))/(5-x)=

=lim_(x → 5) tg(x-5)/(-(x-5)) * lim_(x → 5)(2+sqrt(x-1))=

=-1*(2+sqrt(5-1))=-1*(2+2)= [b]-4[/b]

Ответ выбран лучшим

BK:KF опечатка.
Должно быть BK:KA

KM || ВС по теореме Обратной теореме Фалеса.

AD - высота медиана и биссектриса основания.

Пусть Р- точка пересечения МК и АD

В Δ SAD проводим PE || SA

Через точку Е проводим HT || ВС.

Сечение МHТK проходит через MK параллельно SA.

Δ AKM ~ Δ ABC

AM:AC=AK:AB=2:9
угол А - общий.

KM:BC=AM:AC=AK:AB=2:9

KM:BC=2:9
BC=9
[b]KM=2[/b]

Кроме того высоты подобных треугольников относятся как стороны
AP:AD=2:9 ⇒ PD:AD=7:9 и АР:РD=2:7

Значит
[b]SE:ED=AP:PD=2:7[/b]

Δ SAD ~ Δ PED ( PE || SA)

PD:AD=PE:SA
PE=(7*9)/6=(14/3)

HT|| BC
SH:SC=SE:SD=2:9
[b]SH:HC=2:7[/b]

б)
Расстояние от пл. МHТK до прямой SA - это высота трапеции
APES
AS=6
PE=(14/3)
AP=(2/9)*AD=(2/9)*(9*sqrt(3)/2)= [b]sqrt(3)[/b]

SD- апофема боковой грани
SD^2=SC^2-CD^2=6^2-(9/2)^2=(144-81)/4=63/4
SD=sqrt(63/4)=3sqrt(7)/2
SE=(2/9)SD=(2/9)*(3sqrt(7)/2)=3sqrt(7)/9 [b]=sqrt(7)/3[/b] (прикреплено изображение)

Вводим полярные координаты
x=r*cos φ
y=r*sin φ

r≥ 0

0^(o) ≤ φ ≤ 360^(o)

1)
x=2y
r*cos φ=2r*sinφ ⇒ tgφ=2 - уравнение линии в полярных координатах

Луч под углом φ к полярной оси, причем tgφ =2

2)
x^2+y^2=169

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=169

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=13

r^2*1=169

r=13 - уравнение линии в полярных координатаx

Окружность с центром в точке О радиусом r=13

3)

x^2+y^2=-12x

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=-12*r*cosφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=-12*r*cosφ

r^2*1=-12r*cos φ

r=-12cos φ

так как r ≥ 0 ⇒ -12cosφ ≥ 0 ⇒ cos φ ≤ 0

Окружность в 2 и 3 четверти

4)
x^2+y^2=0,8y

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=0,8*r*sinφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=0,8*rsinφ

r^2*1=0,8r*sin φ

r=0,8sin φ

так как r ≥ 0 ⇒ 0,8*sinφ ≥ 0 ⇒ sin φ ≥ 0

Окружность в 1 и 2 четверти
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

Функция не определена в точке x=4

Так как
x^2-7x+12=(x-3)(x-4)

то
f(4-0)=lim_(x→4 -0) f(x)=lim_(x→4 -0)(х-3)(х-4).(х-4)=1
(x только стремится к четырем, но не равен 4, поэтому можно сократить на (х-4))

f(4+0)=lim_(x→4 +0) f(x)=lim_(x→4 +0)(х-3)(х-4).(х-4)=1

Предел слева равен пределу справа
Но функция не определена в точке.

Поэтому х=4 - точка устранимого разрыва.

2.
Функция не определена в точке x=-5/2
Так как
при х < -5/2
2x+5 <0
|2x+5|=-(2x+5)

lim_(x→ (-5/2)-0) (-(2x+5)/(2x+5))=-1
(x только стремится к (-5/2), но не равен (-5/2),поэтому можно сократить на (2х+5))

при х >-5/2
2x+5 >0
|2x+5|=(2x+5)

lim_(x→ (-5/2)+0) (2x+5)/(2x+5)=1
Предел слева не равен пределу справа.

Оба предела конечны и потому скачок
f((-5/2)+0)-f((-5/2)-0)=1-(-1)=2- конечное число.

3.
x=0 - точка непрерывности.
так как
f(-0)=lim_(x→ -0) (-x^2+1)=1
f(+0)=lim_(x→ +0) (x+1)=1
f(0)=-0^2+1=1
Предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке.

x=2 - точка разрыва первого рода
f(2-0)=lim_(x→ 2-0)(x+1)=3
f(2+0)=lim_(x→ 2+0)4=4

Предел слева не равен пределу справа.

Оба предела конечны и потому скачок
f(2+0)-f(2-0)=4-3=1
- конечное число.

Ответ выбран лучшим

Взятый в сумме 13 млн. руб кредит на след год увеличится на 20%, т.е становится равным 1,2*13 млн. руб

Затем идет погашение кредита, таким образом, чтобы выплаты были равными каждый год.

Предположим, что кредит взят на х (целое число) лет.

Тогда после первого года [b]выплата[/b] составит [b]
(13/х) +0,2*13 [/b] (млн. руб) (сумма кредита делится на х лет + проценты первого года)

Сумма долга составит
1,2*13-((13/х)+0,2*13)= 13-(13/х)=13*(х-1)/х млн. руб.

После второго года [b]выплата[/b] составит [b]
(13/х) +0,2*(13*(х-1)/х)) [/b] (млн. руб) (сумма кредита, деленного на х лет + проценты второго года)

Сумма долга составит
1,2*(13*(х-1)/х) -((13/х)+0,2*(13*(х-1)/х))= (13(х-1)/х)-(13/х)=13*(х-2)/х млн. руб.

Таким образом сумма долга через х лет будет равна 13*(х-х)/х = 0
млн. руб.
наименьший годовой платёж в последний год составит

(13/x)+0,2*(13*(x-(x-1))/x)=(13/x)+0,2*(13/x)=(13/x)*1,2

Что по условию равно 1,56 млн. руб

Уравнение:

(13/x)*1,2=1,56

[b]x=10[/b]

Размер выплат составит:

(13/х) +0,2*13 +(13/х) +0,2*(13*(х-1)/х))+ ... +(13/х) +0,1*(13*(х-(x-1))/х))=

=x*(13/x)+ 0,2*13*(1+(x-1)/x+ (x-2)/x+ ... +1/x)=

=13+0,2*13*((x/x)+(x-1)/x + (x-2)/x + ... +1/x)=

=13+0,2*13*(1/x)*(x+(x-1)+(x-2) + ... +1) =
считаем сумму по формуле суммы арифм. прогрессии

=13+13*0,2*(1/х)(1+x)*x/2= [b]13+13*0,1*(x+1)[/b]

При х=10

13+13*0,1*11= [b]27,3[/b] млн. руб

О т в е т. на 10 лет, сумма выплат 27,3 млн руб

Ответ выбран лучшим

Пусть высота CD прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе AB, пересекает биссектрису AE угла A в точке K.

AK:KE=1+sqrt(2)⇒ КЕ=АК/(1+sqrt(2))=AK*(sqrt(2)-1)/((sqrt(2))^2-1)=

=AK*(sqrt(2)-1)

АЕ=AK+KE= AK+ AK*(sqrt(2)-1)=AK*sqrt(2)

Δ ACD ~ ΔABC по двум углам ( один прямой, второй общий, угол А)

Значит, соответствующие элементы этих треугольников
( биссектрисы, высоты, медианы относятся как стороны)

[b]AK:AE=AC:AB[/b] ⇒

AK:AE=AK: AK*sqrt(2)=1:sqrt(2)

AC:AB=1/sqrt(2)

sin ∠ B=AC/AB=1/sqrt(2), значит

[b] ∠ B= ∠ A=45^(o) [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как 5^2+12^2=13^2
то Δ А_(1)В_(1)С_(1) - прямоугольный.
A_(1); B_(1),C_(1) - основания высот

Продолжим высоты AA1 , BB1 и CC1 до пересечения с окружностью, описанной около Δ АВС, в точках A_(2) , B_(2) и C_(2) соответственно.

P- точка пересечения высот

Тогда A1 , B1 и C1 — середины отрезков РA_(2) , РB_(2) и РC_(2) ,
поэтому A1B1 , A1C1 и B1C1 — средние линии треугольников
A_(2)РB_(2) , A_(2)РC_(2) и B_(2)РC_(2) .

Значит, треугольник A_(2)B_(2)C_(2) подобен треугольнику A1B1C1

Треугольник A1B1C1 — прямоугольный , значит треугольника A_(2)B_(2)C_(2) также прямоугольный, причём его угол, лежащий против наибольшей стороны, равен 90 градусов .
Следовательно, диаметр описанной окружности треугольника A_(2)B_(2)C_(2) , а значит, и треугольника ABC , равен гипотенузе треугольника A_(2)B_(2)C_(2) , т.е. 26, а искомый радиус равен половине диаметра, т. е 13. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AB=2x
CM=2x

Достраиваем до параллелограмма.
По свойству :
d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a^2+b^2)

(4х)^2+(2х)^2=2*(a^2+b^2)

18x^2=2*(a^2+b^2)

9x^2=a^2+b^2

3х=sqrt(a^2+b^)

x=sqrt(a^2+b^2)/3

АВ=2х

АВ=2sqrt(a^2+b^2)/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:
{2x–y+z-4=0
{x+y-z+1=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{2x+z-4=0
{x-z+1=0

Cкладываем
3х-3=0
х=1
z=2
[b]A(1;0;2)[/b]

Пусть третья координата точки, принадлежащей линии пересечения z=0

Тогда система принимает вид:

{2x–y-4=0
{x+y+1=0

Складываем
3х-3=0
х=1
y=-2

[b]B(1; -2; 0)[/b]

Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки

[b]A(1;0;2)[/b] и [b]B(1; -2; 0)[/b]]

(x-1)/1-1=(y-0)/(-2-0)=(z-2)/(0-2)

[b]x-1/0 =y/(-2) =(z-2)/(-2)[/b] - каноническое уравнение

прямой

Направляющий вектор прямой vector{s}=(0;-2;-2)

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P перпендикулярно данной прямой. В таком случае vector{s}=(0;-2;-2)
- нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) и направляющим вектором vector{n}=(A;B;C)
имеет вид:

A*(x-x_(o)) + B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

0*(x-3)-2*(y+1)-2*(z-2)=0

-2y-2-2z+4=0
-2y-2z+2=0
y+z - 1=0

Найдем координаты точки пересечения прямой [b]x-1/0 =y/(-2) =(z-2)/(-2)[/b] и плоскости 2x+2y+1=0

Запишем параметрические уравнения прямой
x-1/0 =y/(-2) =(z-2)/(-2)=t

{x=1
y=-2t
z=-2t+2
и подставим в уравнение
y+z-1=0

(-2t)+(-2t+2)-1=0
t=1/4

x=1; y=-1/2
z=3/2

K (1;-1/2;3/2)

KP=sqrt((3-1)^2+(-1+1/2)^2+(2-(3/2))^2)=sqrt(9/2)=3sqrt(2)/2 - расстояние от точки Р до прямой

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1+cosx=0 или √2⋅sinx–1=0

1+сosx=0

cosx=-1

x=π+2πn, n ∈ Z

√2⋅sinx–1=0
sinx=1/√2

x=(-1)^(k)arcsin(1/√2)+πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z

О т в е т.
π+2πn, n ∈ Z

(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

cos^22x=1-sin^22x

8*(1-sin^22x)+sin2x+1=0
8sin^22x-sin2x-9=0
Квадратное уравнение относительно sin2x
Замена переменной
sin2x=t
8t^2-t-9=0
D=1-4*8*(-9)=289
t_(1)=(1-17)/16 или t_(2)=(1+17)/16
t_(1)=-1 или t_(2)=9/8

Обратный переход

sin2x=-1
2x=(-π/2)+2πn, n ∈ Z
x=(-π/4)+πn, n ∈ Z

или

sin2x=9/8 - уравнение не имеет корней, 9/8 > 1, -1 ≤ sinx ≤ 1

О т в е т. (-π/4)+πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

6*(1-сos^2x)+5cosx-6=0
6cos^2x-5cosx=0

cosx*(6cosx-5)=0

cosx=0 ⇒ x= (π/2)+πn, n ∈ Z
или
6cosx-5=0 ⇒ cosx=5/6 ⇒ x= ± arccos(5/6)+2πk, k ∈ Z

О т в е т.
(π/2)+πn, n ∈ Z
± arccos(5/6)+2πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

tgx=sinx/cosx; ctgx=cosx/sinx

ОДЗ
{cosx ≠ 0
{sinx ≠ 0

(sinx/cosx)+(cosx/sinx)=2

(sin^2x+cos^2x)/(sinx*cosx)=2

2sinxcosx=1
sin2x=1
2x=(π/2)+2πn, n ∈ Z
x=(π/4)+πn, n ∈ Z

Удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. (π/4)+πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Прямая l задана как линия пересечения двух плоскостей:
{2x–3y–2z+6=0
{x–3y+z+3=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:

{-3y-2z+6=0
{-3y+z+3=0

Вычитаем из первого второе:

-3z+3=0
z=1

3y=z+3
y=4/3

[b]А(0; 4/3; 1)[/b]

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{2x-2z+6=0
{x+z+3=0

умножаем второе на 2 и складываем

{2x-2z+6=0
{2x+2z+6=0

4х+12=0
х=-3

z=0

[b]В(-3;0;0)[/b]

Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки

[b]А(0; 4/3; 1)[/b] и [b]В(-3;0;0)[/b]

(x-0)/-3-0=(y+(4/3))/(0-(4/3))=(z-1)/(0-1)

[b]x/(-3) =(y+(4/3))/(-4/3) =(z-1)/(-1)[/b] - каноническое уравнение

прямой l

Уравнение прямой l_(1) параллельной l есть уравнение прямой, проходящей через точку М (0;2;-1)
с таким направляющим вектором

vector{s}=(-3;4/3;-1)
[b]x-0/(-3) =(y-2)/(-4/3) =(z+1)/(-1)[/b] - каноническое уравнение

прямой l_(1)

Чтобы найти точку пересечния прямой l и плоскости Р.

Вводим параметр:
x/(-3) =(y+(4/3))/(-4/3) =(z-1)/(-1)=t

{x=-3t
{y=(-4/3)t-(4/3)
{z=-t+1

Подставляем в уравнение плоскости Р
(-3t)–2*((-4/3)t-(4/3))+3*(-t+1)–4=0

t=1/2

тогда

х=-3/2
y=-2
z=1/2

[b](-3/2;-2;1/2)[/b] - точка пересечения прямой l и пл. Р

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos((3π/2)+x)=sinx

2sin^2x+3sqrt(2)sinx+2=0
Квадратное уравнение относительно sinx
Замена переменной
sinx=t

2t^2+3sqrt(2)t+2=0
D=(3sqrt(2))^2-4*2*2=18-16=2

t_(1)=(-3sqrt(2)-sqrt(2))/4=-sqrt(2)
t_(2)=(-3sqrt(2)+sqrt(2))/4=-sqrt(2)/2

Обратный переход от t к переменной х:

sinx=-sqrt(2) - уравнение не имеет корней.
Так как
-sqrt(2) < -1
-1 ≤ sinx ≤ 1

sinx=-sqrt(2)/2

x=(-1)^(k) *arcsin(-sqrt(2)/2)+πk, k ∈ Z

arcsin(-sqrt(2)/2)=-π/4

[b]x=(-1)^(k) (-π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

о т в е т.(-1)^[b](k+1)[/b] (π/4)+πk, k ∈ Z

Можно записать и две серии ответов (это бывает полезно при отборе корней):
При k=2n
[b]x=(-π/4)+2πn, n ∈ Z [/b]

При k=2n+1
[b]x=(5π/4) +2πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{21-3x>0 ⇒ x < 7
{x^2-5x+8 >0 верно при любом х, так как D=25-4*8<0
{x+3>0 ⇒ x > -3
ОДЗ: х ∈ (-3;7)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(6) (21-3x) = log_(6) (x^2-5x+8)*(x+3)

Логарифмическая функция с снованием (6>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

21-3x = (x^2-5x+8)*(x+3)
(x^2-5x+8)*(x+3)+ 3(х-7) = 0

Все подобные задачи легко раскладывались на множители

Скорее всего в условии x^2-5x+8 написано с опечаткой

Уточните условие....

vector{BC}=(2-1;3-1;-1-2)=(1;2;-3)
Уравнение плоскости Р как плоскости, проходящей через точку А с нормальным вектором vector{n}= vector{BC}:
1*(x-x_(A))+2*(y-y_(A))-3*(z-z_(A))=0

1*(x-1)+2*(y-1)-3*(z-2)=0
P: [b]x+2y-3z+3=0[/b]

vector{n}=(1;2;-3)

Уравнение плоскости P_(1), как плоскости, проходящей через три точки ( см. рис.)
[b]x+y+z-4=0[/b]

vector{n_(1)}=(1;1;1)
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

Находим скалярное произведение векторов
( vector{n}*vector{n_(1)})=1*1+2*1-3*1=0

Значит векторы перпендикулярны, угол между плоскостями р и Р_(1) равен 90 °

Расстояние от точки D до плоскости x+2y-3z+3=0

cм приложение 2. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ du/sqrt(1-u^2)=arcsinu

u=3x
du=3dx

∫ ^(1/4)_(0)dx/sqrt(1-(3x)^2)= (1/3)* ∫ ^(1/4)_(0)d( [b]3x[/b])/sqrt(1-( [b]3x[/b])^2)=

=(1/3)arcsin(3x)|^(1/4)_(0)=(1/3)arcsin(3/4) - (1/3)arcsin0=

= [b](1/3)arcsin(3/4)[/b]

ОДЗ:
{18-18x>0 ⇒ x < 1
{x^2-6x+5 >0 ⇒ D=36-20=16; корни 1 и 5; ⇒ x < 1 или x > 5
{x+4>0 ⇒ x > -4
[b]ОДЗ: х ∈ (-4;1)[/b]

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

[b]log_(0,6) (18-18x) ≤ log_(0,6) (x^2-6x+5)*(x+4)[/b]

Логарифмическая функция с снованием (0 < 0,6 <1) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

18-18x ≥ (x^2-6x+5)*(x+4)
(x^2-6x+5)*(x+4)+ 18(х-1)≤ 0
(x-1)(x-5)*(x+4) + 18(х-1) ≤ 0

(x-1)*(x^2-x-20+18)≤ 0

(х-1)*(х^2-x-2)≤ 0

D=1-4*(-2)=9
корни
-1 и 2

[b](x-1)*(x+1)*(x-2) ≤ 0[/b]

Решаем неравенство методом интервалов
__-_ [-1] __+__ [1] __-__ [2] _+__

C учетом ОДЗ, согласно которому х ∈ (-4;-1]:

(-4) __-__[-1] _+_ (1)

О т в е т. [b] (-4;-1][/b]

V_(цилиндра)=S_(осн)*H=π*r^2*H

Так как осевое сечение цилиндра квадрат , то
[b]2r=H[/b]

Тогда V_(цилиндра)=π*(H/2)^2*H

Квадрат вписан в равнобедренный треугольник EMN, c острым углом α
[b]tg α[/b] =H/((a/2)-r)= [b]2H/(a-H)[/b]

где а - сторона квадрата

Используя "метод площадей" ( равенство выражений для нахождения площади одной и той же фигуры)
находим KD из треугольника ЕKD

EM*DC=EC*KD
ЕС=L
DC=a
ЕМ=sqrt(EC^2-МС^2)=sqrt(L^2-(a/2)^2)

sqrt(L^2-(a/2)^2)* a= L*KD

[b]KD=sqrt(L^2-(a/2)^2)* a/L[/b]
BK=KD

По теореме косинусов из треугольника BKD.

BD^2=BK^2+KD^2-2*BK^KD*cos2 α

BD=asqrt(2)- диагональ квадрата со стороной а

2a^2=2*(L^2-(a/2)^2)*a^2/L^2 - 2* *(L^2-(a/2)^2)*a^2cos2 α /L^2 ⇒

a^2*L^2=((L^2-(a/2)^2)*a^2/L^2)*(1-cos2 α ) ⇒ a выражаем через L и соs2 α

Из равенства [b]tg α[/b] =H/((a/2)-r)= [b]2H/(a-H)[/b] находим Н через a и угол α, а значит и через L и угол α

Подставляем в формулу

V_(цилиндра)=π*(H/2)^2*H [b]=π*(H^3)/4[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
3x^2-27=3*(x^2-9)=3*(x-3)*(x+3)

Неравенство

3*(х-3)*(х+3)/(2х+7) ≤ 0

решаем методом интервалов.

[b]Нули числителя[/b]: x=3 и х=-3 Отмечаем их на числовой прямой закрашенной точкой.
Здесь квадратные скобки

[b]Нули знаменателя:[/b] 2х+7=0 ⇒ х=-3,5
Отмечаем на числовой прямой пустым кружочком.
Здесь круглые скобки

Справа +, далее знаки чередуем справа налево:
__-__ (-3,5) _+_ [-3] __-___[3] __+__

О т в е т. [b](- ∞ ;-3,5) U [-3;3][/b]

3.
Выносим за скобки 2 в меньшей степени:

2^(x-1)*(8-2) > 48
2^(x-1)*6>48
2^(x-1)>8
2^(x-1)>2^3

Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x-1>3
x>4

О т в е т. [b](4;+ ∞)[/b]

4.
f`(x)=3*4x^3-4*3x^2

f`(x)=12x^2*(x-1)

f`(x)=0

12x^2*(x-1)=0

x=0 или x=1

Расставляем знак производной:
_-__(0) _-___ (1) ___+_

х=1 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

О т в е т. х=1

5.
По формулам приведения
sin(3π+x)=-sinx
sin((π/2)-x)=cosx

Уравнение примет вид:
-sinx-cosx=sqrt(2)

Делим на -sqrt(2)

(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2))*cosx=-1

Заменим (1/sqrt(2))=sin(π/4) и (1/sqrt(2))=cos(π/4)

sin(π/4) *sinx + cos(π/4)*cosx= -1

cos(x-(π/4))=-1

x-(π/4)=π+2πn, n ∈ Z

x=(5π/4)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. (5π/4)+2πn, n ∈ Z

ОДЗ:
{x+2>0; x+2 ≠ 1 ⇒ x ∈ (-2;-1)U(-1;+ ∞)
{x-1>0; x-1 ≠ 1⇒ x ∈ (1;2)U(2;+ ∞)
{2x^2-x-1 > 0 ⇒ D=9; корни (-1/2) и 1 ⇒ x < -1/2 или х >1
{x^2+2x+3 >0 ⇒ D=4-12< 0 неравенство верно при любом х
{log_(x-1)(x+2) ≠ 0 ⇒ x+2 ≠ 1 см первую строку.

ОДЗ: x ∈ (1;2)U(2;+ ∞)

По формуле перехода к другому основанию
log_(x–1)(x2+2x+3)/ log_(x–1)(x+2)=log_(x+2)(x^2+2x+3)

Неравенство принимает вид:
log_(x+2)(2x^2–x–1) ≤ log_(x+2)(x^2+2x+3)

Так как при х ∈ (1;2)U(2;+ ∞)
основание логарифмической функции
x+2 > 1, то логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента

2x^2-x-1 ≤ x^2+2x+3

x^2-3x-4 ≤ 0

D=25

корни
-1 и 4

решение неравенства
-1 ≤ x ≤ 4

С учетом ОДЗ
о т в е т. (1;2)U(2;4]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(3/8)х=(4*8+7)/8
(3/8)х=39/8
х=(39/8):(3/8)
х=(39/8)*(8/3)
х=39/3
х=13

или

(3/8)х=39/8
Умножаем на 8
3х=39
х=39:3
х=13

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

w=(z^2+1)/2z
w=(z^2)/2z + (1/2z)
w=(1/2)z + (1/2)*(1/z)

1)
w(-4-i)=(1/2)*(-4-i)+(1/2)*(1/(-4-i))=-2-(1/2)i-(1/2)* (4-i)/(4^2-i^2)=

=-2 -(1/2)i - (1/2) ( 4-i)/17= -2 - (1/2)i - 2 +(1/34)i= = [b]-4 -(8/17)i[/b]

2)
w(-3+4i)=(1/2)*(-3+4i) +(1/2)*(1/(-3+4i))=

=(-3/2)+2i-(1/2)*(3+4i)/(9-16i^2)=

=(-3/2)+2i-(3/25)-(2i/25)=

[b](-81/50)+(48/50)i[/b]

{-x>0 ⇒ x <0
{4-2x>0 ⇒ x < 2
{-x < 4-2x ⇒ x < 4

О т в е т. (- ∞ ; 0)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Дробь равна 0 если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.

Система
{x^2-4x+А=0
{5x^2-6Аx+А^2 ≠ 0

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант положителен.

D=(-4)^2-4*A=16 - 4A

D>0

16 - 4A >0

-4A> -16

[b] А< 4[/b]

Значит решение неравенства:
(-∞; 4)

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя являются корнями и знаменателя.

Корни знаменателя:
5x^2-6Ax+A^2= 0
D_(1)=(-6A)^2-4*5*A^2=16A^2

x_(1)=(6A-4A)/10=A/5; x_(2)=(6A+4A)/10=A

Подставляем в первое уравнение

(A/5)^2-4*(A/5)+A=0
(A^2/25)+(A/5)=0
A^2+5A=0
A*(A+5)=0
[b]A=0; A=-5[/b]

A^2-4A+A=0
A^2-3A=0
[b]A=0; A=3[/b]

О т в е т. [b] (- ∞;-5)U(-5;0) U(0;3)U(3;4)[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+2 > 0 ⇒ x > -2
{x+3 > 0 ⇒ x > -3
{1-x > 0 ⇒ x < 1

ОДЗ: х ∈ (-2;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(2)(x+2)(x+3) > log_(2)(1-x)

Логарифмическая функция с снованием (2>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(x+2)(x+3) > 1-x
x^2+5x+6 -1+x >0
x^2+6x+5 >0
D=36-4*5=16
x_(1)=-5; x_(2)=-1

решение неравенства x^2+6x+5 >0
(- ∞ ;-5) U (-1;+ ∞ )

С учётом ОДЗ
о т в е т. (-1;1)

Ответ выбран лучшим

0=lg1

lg(x^2-8x+13)> lg1

Логарифмическая функция с снованием (10>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

x^2-8x+13>1
C учетом ОДЗ : x^2-8x+13 >0

Решаем только первое, так как решения второго входят в первое
( потому что
{ t>0;
{t>1
Решение системы t > 1)

x^2+8x +12 >0
D=64-4*12=16
x_(1)=-6; x_(2)=-2

Решение неравенства
(- ∞ ;-6)U (-2;+ ∞ )

О т в е т. (- ∞ ;-6)U (-2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{24-12x>0 ⇒ x < 2
{x^2-7x+10 >0 ⇒ D=49-40=9; корни 2 и 5; ⇒ x < 2 или x > 5
{x+3>0 ⇒ x > -3
ОДЗ: х ∈ (-3;2)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(4) (24-12x) ≥ log_(4) (x^2-7x+10)*(x+3)

Логарифмическая функция с снованием (4>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

24-12x ≥ (x^2-7x+10)*(x+3)
(x^2-7x+10)*(x+3)+ 12(х-2) ≤ 0
(x-2)(x-5)*(x+3) + 12(х-2) ≤ 0

(x-2)*(x^2-2x-15+12)≤ 0

(х-2)*(х^2-2x-3)≤ 0

D=4-4*(-3)=16
корни
-1 и 3

(x-2)*(x+1)*(x-3) ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов
__-_ [-1] __+__ [2] __-__ [3] _+__

C учетом ОДЗ
х ∈ (-3;2)

(-3) __-__[-1] _+_ (2)

О т в е т. [b] (-3;-1][/b]

ОДЗ:
{6-x > 0 ⇒ x < 6
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0

x∈(-∞ ; 0) U (0;6)

Логарифмическая функция с снованием (0 < 1/2 < 1) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

6-x ≤ x^2

x^2+x-6 ≥ 0

D=1-4*(-6)=1+24=25

x_(1)=(-1-5)/2=-3; x_(2)=(-1+5)/2=2

решение неравенства

_+___ [-3] _____ [2] __+___

C учетом ОДЗ

о т в е т.(-∞ ; -3] U [2;6)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
2х-3 > 0
x>3/2

4=log_(sqrt(3))(sqrt(3))^4= log_(sqrt(3)) 3^2=log_(sqrt(3))9

log_(sqrt(3) (2x-3) < log_(3)9

Логарифмическая функция с снованием (sqrt(3) > 1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

2x-3 < 9

2x < 9+3

2x < 12

x < 6

Сучетом ОДЗ

о т в е т. (3/2; 6)

Ответ выбран лучшим

{6-6x>0 ⇒ x < 1
{x^2-4x+3 >0 ⇒ D=16-12=4; корни 1 и 3; ⇒ x < 1 или x >3
{x+4>0 ⇒ x > -4
ОДЗ: х ∈ (-4;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(0,1) (6-6x)≥ log_(0,1) (x^2-4x+3)*(x+4)

Логарифмическая функция с снованием (0 < 0,1 < 0) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

6-6x ≤ (x^2-4x+3)*(x+4)

(x^2-4x+3)*(x+4)+ 6(х-1) ≥ 0

(x-1)(x-3)*(x+4) + 6(х-1) ≥ 0

(x-1)*(x^2+x-12+6)≥ 0

(х-1)*(х^2+x-6)≥ 0

D=1-4*(-6)=25
корни
-3 и 2

(x-1)*(x+3)*(x-2)≥ 0

Решаем неравенство методом интервалов

_-__ [-3] __+__ [1] _-__ [2] _+__
на ОДЗ

х ∈ [-3;1] U [2;+∞)
С учетом ОДЗ

(-4) __-__[-3] _+_ (1)

О т в е т. [b] (-3;1)[/b]

Дробь равна 0 если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.

Система
{x^2-6x-a=0
{2x^2-аx-a^2 ≠ 0

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант положителен.

D=(-6)^2-4*(-a)=36+4a

D>0

36+4a >0

4a> -36

[b]a> -9[/b]

Значит решение неравенства:
(-9; +∞)

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя являются корнями и знаменателя.

Корни знаменателя:
2x^2-аx-a^2= 0
D_(1)=(-a)^2-4*2(-a)=9a^2

x_(1)=(a-3a)/4=-a/2; x_(2)=(a+3a)/4=a

Подставляем в первое уравнение

(-a/2)^2-6*(-a/2)-a=0
(a^2/4)+2a=0
a^2+8a=0
a*(a+8)=0
[b]a=0; a=-8[/b]

a^2-6a-a=0
a^2-7a=0
[b]a=0; a=7[/b]

О т в е т. (-9;-8) U(-8;0)U(0;7)U(7;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

Уравнение принимает вид:
2-2os^2x-2sqrt(2)cosx+1=0

Квадратное уравнение относительно косинуса
Замена переменной
cosx=t

[b]2t^2+2sqrt(2)t-3=0[/b]

D=(2sqrt(2))^2-4*2*(-3)=8+24=32

t_(1)=(-2sqrt(2)-4sqrt(2))/4=-3sqrt(2)/2; t_(2)=(-2sqrt(2)+4sqrt(2))/4=sqrt(2)/2

Обратный переход от t к х

[b]cosx=-3sqrt(2)/2 [/b] - уравнение не имеет решений, так как -1 ≤ cosx ≤1

-3sqrt(2)/2 < -1

[b]cosx=sqrt(2)/2[/b]

x= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. ± (π/4)+2πn, n ∈ Z

б) указанному отрезку принадлежат корни:
x=(-π/4)+2π=(7π/4) на [5π/4;2π)
и
х=(π/4)+2π=(9π/4) на [2π;4π]
х=(-π/4)+4π=(15π/4) на [2π;4π] (прикреплено изображение)

Область определения x ≥ 0

y`=(x^(3/2)-15x+16)`=(3/2)*x^((3/2)-1)-15+0= (3/2)x^(1/2)-15=(3/2)sqrt(x)-15

y`=0

(3/2)sqrt(x)-15=0

sqrt(x)=10

x=100

Отмечаем знак производной на области определения

x=100 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

О т в е т. 100
[0] ____-___ (100) _______+______

Скорее всего условие написано с опечаткой.

ОДЗ:
{25-25x>0 ⇒ x < 1
{x^2-4x-3 >0 ⇒ D=16+12=28; корни 2-sqrt(7) и 2+sqrt)7) ⇒ x < 2-sqrt(7) или x > 2+sqrt(7)
{x+7>0 ⇒ x > -7
ОДЗ: х ∈ (-7;2-sqrt(7))

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(5) (25-25x) > log_(5) (x^2-4x-3)*(x+7)

Логарифмическая функция с снованием (5>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

25-25x > (x^2-4x-3)*(x+7)
(x^2-4x-3)*(x+7)+ 25(х-1) < 0

Вот здесь и возникает проблема в связи с опечаткой.

Все задачи этой серии раскладываются на множители.ОДЗ:

Неравенство скорее всего имеет вид

log_(5)(25-25x) >log_(5) (x^2-4x [b]+[/b]3)+log_(5)(x+7)

[b]Решение.[/b]

{25-25x>0 ⇒ x < 1
{x^2-4x+3 >0 ⇒ D=16-12=4; корни 1 и 3 ⇒ x <1 или x > 3
{x+7>0 ⇒ x > -7
ОДЗ: х ∈ (-7;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(5) (25-25x) > log_(5) (x^2-4x+3)*(x+7)

Логарифмическая функция с снованием (5>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

25-25x > (x^2-4x+3)*(x+7)

(x^2-4x+3)*(x+7)+ 25(х-1) < 0

(х-1)(х-3)(х+7)+25(х-1) <0

(x-1)* ((x-3)*(x+7)+25) < 0

(х-1)*(х^2+4x-21+25) < 0

(х-1) *(х+2)^2 <0

__-__ (-2) _-___ (1) _+__

C учетом ОДЗ

(-7) ___-___ (-2) __-___ (1)

О т в е т. (-7;-2) U (-2; 1)

ОДЗ:
{21-7x>0 ⇒ x < 3
{x^2-8x+15 >0 ⇒ D=64-60=4; корни 3 и 5; ⇒ x < 3 или x > 5
{x+3>0 ⇒ x > -3
ОДЗ: х ∈ (-3;3)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(6) (21-7x) ≥ log_(6) (x^2-8x+15)*(x+3)

Логарифмическая функция с снованием (6>1) возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

21-7x ≥ (x^2-8x+15)*(x+3)
(x^2-8x+15)*(x+3)+ 7(х-3) ≤ 0
(x-3)(x-5)*(x+3) + 7(х-3) ≤ 0

(x-3)*(x^2-2x-15+7)≤ 0

(х-3)*(х^2-2x-8)≤ 0

D=4-4*(-8)=36
корни
-2 и 4

(x-3)*(x+2)*(x-4) ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов
__-_ [-2] __+__ [3] __-__ [4] _+__

C учетом ОДЗ
х ∈ (-3;3)

(-3) __-__[-2] _+_ (3)

О т в е т. [b] (-3;-2][/b]

{6-6x>0 ⇒ x < 1
{x^2-4x+3 >0 ⇒ D=16-12=4; корни 1 и 3; ⇒ x < 1 или x >3
{x+4>0 ⇒ x > -4
ОДЗ: х ∈ (-4;1)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(0,1) (6-6x) ≤ log_(0,1) (x^2-4x+3)*(x+4)

Логарифмическая функция с снованием (0 < 0,1 < 0) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

6-6x ≥ (x^2-4x+3)*(x+4)

(x^2-4x+3)*(x+4)+ 6(х-1) ≤ 0

(x-1)(x-3)*(x+4) + 6(х-1) ≤ 0

(x-1)*(x^2+x-12+6)≤ 0

(х-1)*(х^2+x-6)≤ 0

D=1-4*(-6)=25
корни
-3 и 2

(x-1)*(x+3)*(x-2) ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов

_-__ [-3] __+__ [1] _-__ [2] _+__
на ОДЗ

х ∈ (-4;1)

(-4) __-__[-3] _+_ (1)

О т в е т. [b] (-4;-3][/b]

{48-16x>0 ⇒ x < 3
{x^2-8x+15 >0 ⇒ D=64-60=4; корни 3 и 5; ⇒ x < 3 или x >5
{x+3>0 ⇒ x > -3
ОДЗ: х ∈ (-3;3)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(1/4) (48-16x) > log_(1/4) (x^2-8x+15)*(x+3)

Логарифмическая функция с снованием (1/4) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

48-16x < (x^2-8x+15)*(x+3)

(x^2-8x+15)*(x+3) + 16(х-3) >0

(x-3)*(x-5)*(x+3)+16*(x-3) >0

(x-3)*(x^2-2x+1) >0

(х-3)*(х-1)^2>0

Решаем неравенство методом интервалов на ОДЗ

(-3) _-__ [1] _-__ (3)

Нет решений .

5.
{x ≤ -2,6
{x ≥ 1-5

{x ≤ -2,6
{x ≥ -4

О т в е т. [b] рис 2)[/b]

6.
∠ BAC= ∠ BCA - углы при основании равнобедренного треугольника равны.

∠ BCA и смежный с ним внешний угол, величина которого 123°
Сумма смежный углов равна 180 градусов.
Значит, ∠ BCA=180 ° -123 ° = 57 °

∠ BAC= [b]57 ° [/b]

7.
OK ⊥ хорде АВ
К- середина АВ, так как диаметр, перпендикулярный хорде делит хорду пополам.
(OK - часть диаметра)

По теореме Пифагора
АК^2=AO^2-OK^2=13^2-5^2=169-25=144
AK=12
AB=2AK=24

8.
1)
3)

9.
50%=50/100=1/2

50% от 198 руб равно (198/2)=99 руб

198*4+99*12= 792+1188= [b]1980 руб[/b] - стоимость поездки группы из 4-х взрослых и 12 детей (прикреплено изображение)

Дробь равна 0 если числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.

Система
{x^2-2x+a^2-8a=0
{x^2+2x-a ≠ 0

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант положителен.

D=(-2)^2-4*(a^2-8a)=4-4a^2+32a

D>0

4-4a^2+32a >0

4a^2-32a-4 < 0

a^2-8a-1 <0

a_(1)= (8-sqrt(68))/2=4-sqrt(17); a_(2)=4+sqrt(17)

Значит решение неравенства:
(4-sqrt(17); 4+sqrt(17))

Из этого множества надо исключить те значения параметра а, при которых корни числителя являются корнями и знаменателя.

x^2-2x+a^2-8a=x^2+2x-a

4х=a^2-7a

x=(a^2-7a)/4

то

((a^2-7a)/4)^2+2*(a^2-7a)/4 - a=0

(a^4-14a^3+49a^2)/16+(8a^2-56a)/16 - (16a/16)=0

a^4-14a^3+49a^2+8a^2-56a-16a=0

a*(a^3-14a^2+57a-72)=0

a=0 или a^3-14a^2+57a-72=0 ⇒ (a-3)^2*(a-8)=0 ⇒ a=3 или а=8

О т в е т. [b] (4-sqrt(17);0) U (0; 3) U(3;8)U(8;4+sqrt(17))[/b]

Ответ выбран лучшим

2,4/(2,9-1,4)=2,4/1,5=24/15=8/5=1,6

1.
(1/4)+0,7=(1/4)+(7/10)=(10/40)+(28/40)=38/40=19/20= [b]0,95[/b]
или так
(1/4)+0,7=0,25+0,7= [b]0,95[/b]

2.
7х-9=40
7х=40+9
7х=49
х=49:7
[b]х=7[/b]

3.
(9b^2/b)+(5a-9b^2)/(b)=(9b^2+5a-9b^2)/b=5a/b

при а=9; b=36

5a/b=(5*9)/36= [b]5/4[/b]

4.
А - парабола y=x^2
B- гипербола y=2/x
C- прямая y=x/2

∫(cos7x+(5xe^(x)–2)/x)dx

так как

(5xe^(x)–2)/x=(5xe^(x))/x–(2/x)

интеграл от суммы ( разности) равен сумме ( разности) интегралов

=∫cos7xdx +5∫e^(x)dx -2∫dx/x =

=(1/7)sin7x +5e^(x)-2ln|x|+C

Формула
2cos^2x=1+cos2x

sin((π/3)-2x)=-1-cos((π/6)+2x) -1

sin((π/3)-2x)=cs((π/2)-((π/3)-2x))=cos((π/6)+2x)

Уравнение примет вид:

cos((π/6)+2x)=-1 - cos((π/6)+2x)-1

2*cos((π/6)+2x)=-2

cos((π/6)+2x)=-1

(π/6)+2x=π+2πn, n ∈ Z

2x=(5π/6)+2πn, n ∈ Z

[b]x=(5π/12)+πn, n ∈ Z[/b]

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k=0

k*(k-3)=0
k_(1)=0 или k_(2)=3

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)

[b]y= C_(1) e^(0x)+C_(2)e^(3x)[/b] - общее решение

О т в е т. y= C_(1)+C_(2)e^(3x)

ОДЗ: x-4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4

При х=4

sqrt(4-4)*(5^(4-3)+6^(4-2)-40) ≤ 0 - верно, так как 0≤0

Заметим, что
5^(4-3)+6^(4-2)-40=5+6^2-40=41-40=1>0
Значит при всех x > 4
5^(x-3)+6^(x-2)-40 >0

х=4 - единственное решение неравенства

О т в е т. х=4

Ответ выбран лучшим

∫ ^(+ ∞ )_(0)x*e^(-x)dx=

по частям

u=x ⇒ du=dx
dv=e^(-x)dx ⇒ v= ∫ e^(-x)dx= - e^(-x)

[b] ∫ ^(+ ∞ )_(0)x*e^(-x)dx=[/b] =(- xe^(-x))|^(+ ∞ )_(0)+ ∫ ^(+ ∞ )_(0)e^(-x)dx=

=- (xe^(-x))|^(+ ∞ )_(0)- (e^(-x))| ^(+ ∞ )_(0)=

= - lim_(x →+∞)(x)e^(-x) - 0*e^(0) - lim_(x → ∞)e^(-x)+ e^(0) =

первый предел - неопределенность (∞*0)

= - lim_(x →+∞)(x)/e^(x) - 0 + 0 + 1=

применяем правило Лопиталя

= - lim_(x →+∞)(x)`/(e^(x))` + 1=

=- lim_(x →+∞)(1)/e^(x) + 1=

=0 + 1 = 1

1.
Формулы тригонометрии:

1+ctg^2x=1/sin^2x ⇒ sin^2x=1/*1+ctg^2x)

1+sin^2x=1+(1/(1+ctg^2x))=(1+ctg^2x+1)/ctg^2x=(2+ctg^2x)/ctg^2x

1/(1+sin^2x)=ctg^2x/(2+ctg^2x)

Замена
ctgx=t ⇒ x= arcctgt

dx=-1/(1+t^2)

Неопределенный интеграл

∫ dx/(1+sin^2x)= -∫ t^2dt/(2+t^2)*(1+t^2) - это интеграл от дроби.
Дробь нужно разложить на две дроби со знаменателями
(2+t^2) и (1+t^2)

- t^2/(2+t^2)*(1+t^2)= 1/(2+t^2) - 1/(1+t^2)

∫ dx/(1+sin^2x)= -∫ t^2dt/(2+t^2)*(1+t^2) =

=∫dt/(2+t^2)-∫dt/(1+t^2)=

=(1/sqrt(2))(- arcctgt/sqrt(2)) +arcctgt=

[b](1/sqrt(2))(- arcctg(x/sqrt(2))) +x[/b]

По формуле Ньютона-Лейбница

∫ ^(π/2)_(π/4)dx/(1+sin^2x)= ([b](1/sqrt(2))(- arcctg(x/sqrt(2))) +x[/b])|^(π/2)_(π/4)

3.

lnx=t
dx/x=dt

Подведение под дифференциал избавит от смены пределов
интегрирования

∫ ^(8)_(3)d(lnx)/sqrt(1-(lnx)^2)=

=arcsin(lnx)|^(8)_(3)= [b]arcsin(ln8)-arcsin(ln3)[/b]

4.

u=arccosx
dv=xdx
du=-1/(sqrt(1-x^2)

v=x^2/2

=((x^2*arccosx)/2)|^(π/2)_(0) - (1/2)* ∫ ^(π/2)_(0) (-x^2dx)/sqrt(1-x^2)=

=((x^2*arccosx)/2)|^(π/2)_(0) - (1/2)* ∫ ^(π/2)_(0) (1-x^2+1)dx/sqrt(1-x^2)=

((x^2*arccosx)/2)|^(π/2)_(0) - (1/2)* ∫ ^(π/2)_(0) sqrt(1-x^2)dx
- (1/2)∫ ^(π/2)_(0)dx/sqrt(1-x^2)=

2.
на [0; e-1]

x+1 >0
|x+1|=x+1

u=ln(x+1)
du=dx/(x+1)

dv=dx

v=x

=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - ∫^(e-1)_(0) xdx/(x+1)=

=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - ∫^(e-1)_(0) (x+1-1)dx/(x+1)=

=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - ∫^(e-1)_(0) (x+1)dx/(x+1)+ ∫^(e-1)_(0) dx/(x+1)=

=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - ∫^(e-1)_(0)dx+ ∫^(e-1)_(0) dx/(x+1)=

=х*ln(x+1)|^(e-1)_(0) - x|^(e-1)_(0) +ln|x+1||^(e-1)_(0)=

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞;+ ∞)

f`(x)=3x^2-4
f`(x)=0

3x^2-4=0

х= ± 2sqrt(3)/3

Знак производной
_+_ (-2sqrt(3)/3) __-__ (2sqrt(3)/3) __+__

y`< 0 на(-2sqrt(3)/3;2sqrt(3)/3)

значит функция убывает на(-2sqrt(3)/3;2sqrt(3)/3)

y`>0 на (- ∞; -2sqrt(3)/3) и на (2sqrt(3)/3;+ ∞)

значит функция возрастает на
(- ∞; -2sqrt(3)/3) и на (2sqrt(3)/3;+ ∞)

х=-2sqrt(3)/3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

x=2sqrt(3)/3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=6x

y`` < 0 при х < 0

кривая выпукла вверх на (- ∞;0)

y``>0 при x > 0

кривая выпукла вниз на (0;+ ∞)

х=0 - точка перегиба
см. рис (прикреплено изображение)

ОДЗ: x ≥ 9

При x=9

0*(2^(9-9)+3^(9-8)-11)≥ 0 - верно 0=0

При х=10
sqrt(1)*(2^(10-9)+3^(10-9)-11)≥ 0 - верно 0=0

При x > 10
2^(x-9)+3^(x-8)-11 >0 при любом х

О т в е т.{9} U [10;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

(x^2/4)+(y^2/2)=1 - уравнение кривой, ограничивающей область D на плоскости

V= ∫ ∫_(D) [b]([/b]1- ((x2/4)+(y2/2)) [b])[/b] dx dy

Вводим обобщенные полярные координаты

x=2 ρ cos θ
y=sqrt(2) ρ sin θ

0 ≤ ρ ≤ 1

dxdy= [b]2*sqrt(2)*[/b] ρ*d ρ d θ

V= ∫ ∫_(D)dxdy- [b]2*sqrt(2)[/b] ∫ ^(1)_(0)d ρ ∫ ^(2π)_(0) ρ ^2* ρd θ

= S_ (D)- [b]2*sqrt(2)[/b]∫ ^(1)_(0)ρ ^3*(θ)|^(2π)_(0)dρ=

= 2sqrt(2)*π-[b]2*sqrt(2)[/b]*(2π-0)*(ρ ^4/4)|^(1)_(0)= 2sqrt(2)*π- sqrt(2)*π=

=[b]πsqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sqrt(32)=sqrt(16*2)=4sqrt(2)

Формула:

[b]2cos^2 α -1= cos2 α [/b]

4sqrt(2)cos^2(7π/8)-2sqrt(2)= 2sqrt(2)*(2cos^2(7π/8)-1)=

=sqrt(2)(cos14π/8)=sqrt(2)*(cos(7π/4))=sqrt(2)*(cos(2π - (π/4))=

=sqrt(2)*cos(π/4)=sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=1

2log^2_(0,75) (sinx)+3log _(0,75)(sinx)–2 =0

ОДЗ: sinx > 0 ⇒ x в 1 или 2 четверти

Квадратное уравнение относительно

log _(0,75)(sinx)

Замена

log _(0,75)(sinx)=t

2t^2+3t-2=0
D=9-4*2*(-2)=9+16=25

t_(1)=(-3-5)/4=-2; t_(2)=(-3+5)/4=1/2

Обратный переход от t к х

[b]log _(0,75)(sinx)=-2 [/b]

⇒ sinx=(0,75)^(-2)

0,75=3/4

sinx=(4/3)^2 - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ sinx ≤ 1

(4/3)^2>1

или

[b]log_(0,75)sinx=1/2[/b]

⇒ sinx=(3/4)^(1/2)

sinx=sqrt(3)/2

х=(π/3)+2πk или x=(2π/3) + 2πn, k и n - целые

Обе серии решений входят в ОДЗ

О т в е т. (π/3)+2πk; (2π/3) + 2πn, k и n - целые

б)[5π/4; 4π] принадлежат корни

(π/3)+2π= [b] (7π/3);[/b] (2π/3) + 2π= [b](8π/3)[/b]

(прикреплено изображение)

А зачем?

Решаем по определению
получаем равенство:

2^(2x)-sqrt(3)cosx-sin2x=4^(x)
Так как 4^(x) > 0 при любом х, то

и выражение под логарифмом больше нуля при любом х

-sqrt(3)cosx-sin2x=0

tg2x=-sqrt(3)

2х=(-π/3)+πk, k ∈ Z

[b]x=(- π/6)+(π/2)*k, k ∈ Z[/b]

ОДЗ: x-3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

При х ≥ 3 знаменатель (х+5) ≥ 0 ⇒ х+5> 0

Умножаем обе части неравенства на (х+5)

sqrt(x-3)-2x+3 > - x -5

sqrt(x-3) > x-8

Если

x-8 < 0, ⇒ x < 8

неравенство верно при любом х из ОДЗ

решение [b] [3;8)[/b]

Если
x-8 ≥ 0 ⇒ x ≥ 8

Возводим в квадрат
x-3 > x^2-16x+64

x^2-17x+67 < 0

D=289-268=21

x_(1)=(17-sqrt(21))/2; x_(2)=(17+sqrt(21))/2

Решение неравенства x^2-17x+67 < 0:

(17-sqrt(21))/2 < x < (17+sqrt(21))/2

C учетом условия х ≥ 8

решение [b][8; (17+sqrt(21))/2)[/b]

О т в е т. [3;8) U [8; (17+sqrt(21))/2)= [b][3; (17+sqrt(21))/2)
[/b]

S= ∫ ^(2)_(-2)(8-x^2-x^2)dx= ∫ ^(2)_(-2)(8-2x^2)dx=(8x-(2x^3/3))|^(2)_(-2)=

=8*(2-(-2))-(2/3)*(2^3-(-2)^3)=8*4-(2/3)*16=32 - (32/3)= [b]64/3[/b] (прикреплено изображение)

{x^2-x-3>0⇒ D=13; x < (1-sqrt(13))/2 или х> (1+sqrt(13))/2
{2x^2+x-3>0⇒ D=25; x <-3/2 или x > 1
{(x^2-2)^2>0 ⇒ x^2-2 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± sqrt(2)

ОДЗ: (- ∞ ; -3/2) U ((1+sqrt(13))/2; + ∞ )

log_(3)(x^2-x-3)*(2x^2+x-3) ≥ log_(3)(x^2-2)^2+log_(3)9-log_(3)4

log_(3)(x^2-x-3)*(2x^2+x-3) ≥ log_(3)9*(x^2-2)^2/4

Логарифмическая функция с основанием 3 ↑ ⇒

(x^2-x-3)*(2x^2+x-3) ≥ 9(x^2-2)^2/4

(-x^4/4)-x^3-x^2 ≥ 0

-x^2*(x+2)^2/4 ≥ 0

верно при x=0: 0 ≥ 0
и
при x=-2: 0 ≥ 0

х=0 не входит в ОДЗ

О т в е т. [b]х=-2[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть радиус малого круга равен r
радиус большого R

r=2
R=6

R=3r

S_(маленького круга)=πr^2

По условию
[b]πr^2[/b]=4

S_(большого круга)=πR^2=π*(3r)^2=9πr^2=9*( [b]πr^2[/b])=9*4=36 (прикреплено изображение)

Незаштрихованная часть равна (1/8) круга.
Заштрихованная часть (7/8) круга

S_(заштрихованной части)=(7/8)*S(круга)

По условию
S_(заштрихованной части)=14

(7/8)*S(круга)=14
S_(незаштрихованной части)=(1/8)S(круга)=14:7=2

S(круга)=S_(заштрихованной части)+S_(незаштрихованной части)=14+2=16

(прикреплено изображение)

{x>0; x ≠
{3x+1>0
{x+2>0

x ∈ (0;1) U(1;+ ∞ )

{0<x<1, логарифмическая функция убывает и тогда
{3x+1 < x+2 ⇒ 2x < 1 ⇒ x < 1/2
⇒ о т в е т первого случая
[b](0;1/2)[/b]

{х>1, логарифмическая функция возрастает и тогда
{3x+1 > x+2 ⇒ 2x > 1 ⇒ x > 1/2
⇒ о т в е т второго случая
[b](1;+ ∞)[/b]

О т в е т. [b](0;1/2) U (1;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

1+cos^2x=1+(1+cos2x)/2=(3/2)+(1/2)cos2x

∫ ^(π)_(0)(1+cos^2x)dx=(3/2) ∫ ^(π)_(0)dx + (1/2)∫ ^(π)_(0)cos2xdx=

=(3/2)(x)|^( π)_(0) +(1/2)*(1/2)(sin2x)|^(π)_(0)= [b](3/2)π[/b]

Логарифмируем по основанию 3

log_(3)(3^(x^2)*5^(x-1)) ≥ log_(3)3

log_(3)3^(x^2)+log_(3)5^(x-1) ≥ 1

x^2+(x-1)log_(3)5 -1 ≥ 0

[b]x^2+x*log_(3)5-1-log_(3)5 ≥ 0[/b]

D=(log_(3)5)^2-4*(-1-log_(3)5)= log^2_(3)5+4log_(3)5+4=(log_(3)5+2)^2

x_(1)=(-log_(3)5-log_(3)5-2)/2=-log_(3)5-1; x_(2)=(-log_(3)5+log_(3)5-+2)/2=1

x ≤ x_(1) или x ≥ x_(2)

О т в е т. (- ∞ ;-log_(3)5-1] U [1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

y`=(π/3)+sinx

так как (π/3) > 1; -1 ≤ sinx ≤ 1

y`> 0 значит функция возрастает на (- ∞ ;+ ∞ ) и наименьшее значение на [0;π] принимает в точке x=0

y(0)=(π/3)*0-cos0-3=-1-3=-4

О т в е т. -4

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
k^2+3k+2=0
D=9-8=1
k_(1)=-2; k_(2)=-1
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу.

у=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(-x)

так как y(0)=-1
-1=C_(1)e^(0)+C_(2)e^(0)
[b]C_(1)+C_(2)=-1[/b]

у`=-2*C_(1)e^(-2x)-C_(2)e^(-x)

так как y`(0)=3
3=-2*C_(1)e^(0)-C_(2)e^(0)
[b]-2*C_(1)-C_(2)=3[/b]

Из системы уравнений находим C_(1) и С_(2):
{C_(1)+C_(2)=-1
{-2*C_(1)-C_(2)=3

Cкладываем:

-C_(1)=2
C_(1)=-2
C_(2)=-1-С_(1)=-1-(-2)=1

О т в е т.
у=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(-x)- общее решение дифференциального уравнения

у=-2e^(-2x)+e^(-x)- частное решение дифференциального уравнения

Вводим в рассмотрение события-гипотезы
H_(1) - "выбрано n=1"
H_(2) - "выбрано n=2"
H_(3) - "выбрано n=3"

Всего чисел три, выбор любого из них равновозможен

p(H_(1))=p(H_(2))=p(H_(3))=1/3

событие A- "выбран белый шар"

p(A/H_(1))=8/20 ( в урне 8 белых и 13-1=12 черных)
p(A/H_(2))=8/19 ( в урне 8 белых и 13-2=11 черных)
p(A/H_(3))=8/18 ( в урне 8 белых и 13-3=18 черных)

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(1/3)*(8/20)+(1/3)*(8/19)+(1/3)*(8/18)=(8/3)*((1/20)+(1/19)+(1/18))=

считаем самостоятельно

По формуле Байеса

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(3))/p(a)=(8/60)/((8/3)*((1/20)+(1/19)+(1/18))

=(1/20)*((1/20)+(1/19)+(1/18))считаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

x=r*cos φ

∂ x/ ∂ r=cos φ
∂ x/ ∂ φ =r*(-sin φ )

y=r*sin φ

∂ y/ ∂ r=sin φ
∂ y/ ∂ φ =r*(cos φ )

Раскрываем определитель второго порядка:
(∂ x/ ∂ r)*( ∂ y/ ∂ φ )- (∂ y/ ∂ r)*( ∂ x/ ∂ φ)= cos φ *r*(cos φ )-t*(-sin φ )*sin φ =r*(cos^2 φ +sin^2 φ )= [b]r[/b]

Ответ выбран лучшим

u`_(x)=sin^4y*(x^2)`_(x)=2x*sin^4y
u`_(y)=x^2*(sin^4y)`_(y)=x^2*4sin^3y*(siny)`=x^2(4sin^3y)*cosy

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:x ≥ 4

При x ≥ 4
sqrt(x-4) ≥ 0, значит, второй множитель

5^(x-3)+6^(x-2) - 40 ≤ 0 ⇒
5^(x-3)+6^(x-2) ≤ 40

При х=4
5^(4-3)+6^(4-2)-40 ≤ 0 - неверно, так как 5+36=41
При х >4 и подавно.

Значит x=4 - единственное решение неравенства, обращающее в 0 первый множитель.

О т в е т. х=4

y=(1/3)x^3–3x^2+8x-3

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=x^2-6x+8

y`=0
x^2-6x+8=0
D=36-4*8=4
x_(1)=(6-2)/2=2; x_(2)=(6+2)/2=4

__+__ (2) __-___ (4) __+__

y`>0 на (- ∞ ;2) и на (4;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (2;4), значит функция убывает

х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(2=(1/3)*(2)^3-3*(2)^2+8*2-3=(8/3)+1= [b]11/3[/b]

х=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(4)=(1/3)*4^3-3*4^2+8*4-3=(64/3)-19= [b]7/3[/b]

y``=2x-6
y``=0
2x-6=0
x=3- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;3) и выпукла вниз на (3;+ ∞ )
См. график рис. 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение события-гипотезы
H_(1) - "выбрана коробка с лампочками"
H_(2) - "выбрана коробка с калькуляторами"
H_(3) - "выбрана коробка с очками"

Всего коробок 6+7+8=21

p(H_(1))=6/21
p(H_(2))=7/21
p(H_(3))=8/21

событие A- "у выбранной наугад коробки упаковка повреждена"

p(A/H_(1))=1/6
p(A/H_(2))=1/11
p(A/H_(3))=3/20

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(6/21)*(1/6) + (7/21)*(1/11) + (8/21)*(3/20)=(1/21) + (1/33) +(8/140) = #
считаем самостоятельно

По формуле Байеса

p(H_(3)/A)=p(H_(3))*p(A/H_(3))/p(a)=

=(8/140)/ #

Ответ выбран лучшим

2.
= ∫ ^(0)_(-1) (∫^(y)_(-sqrt(2-y^2))f(x;y)dx)dy (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
= ∫ ^(1)_(0)( [b] ∫ ^(x^3)_(-sqrt(x))(18x^2y^2-16x^3y^3)dy[/b])dx =

=∫ ^(1)_(0) (18x^2*(y^3/3)-16x^3*(y^4/4))|^(x^3)_(-sqrt(x))dx=

=∫ ^(1)_(0) (6x^2*(x^3)^3-6x^2*(-sqrt(x))^3 -4x^3*((x^3)^4)+4x^3*(-sqrt(x))^4)dx=

=∫ ^(1)_(0) (6x^(11)+6x^(7/2) -4x^(15)+4x^5)dx=

=((6x^(12)/12)+6x^(9/2)/(9/2) -4(x^(16)/4)+(4x^6/6))|^(1)_(0)=

=(1/2)+(12/9) -1+(4/6)= считаем самостоятельно (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Событие А - " из первого контейнера достали коробку с одеждой"

p(A)=m/n=2/6

Событие B - " из второго контейнера достали коробку с игрушками "

p(B)=m/n=5/11.

Событие С - "из первого контейнера достали коробку с одеждой, а из второго —c игрушками"

C=A ∩ B
P(C)=p(A)*p(B)=(2/6)*(5/11)= [b]5/33[/b]

Ответ выбран лучшим

Σn=1 ((–1)^n+1·(1/(2n–1)3/2))

Ряд сходится по признаку Лейбница
|a_(n)|=1/∛(2n-1)^2

lim_(n → ∞ )|a_(n)|=lim_(n → ∞ )1/∛(2n-1)^2=0

(|a_(n)|) - монотонно убывающая, так как

f(x)=1/∛(2x-1)^2 - монотонно убывающая функция

f`(x)=((2x-1)^(-3/2))`=(-3/2)*(2x-1)^(-5/2) < 0

Ряд из модулей сходится, так как ∑ 1/∛(2n-1)^2 и ∑ 1/∛n^2 ведут себя одинаково

Ряд ∑ 1/n^(p) - обобщенный гармонический ряд сходится при p>1
∑ 1/∛n^2
p=3/2

О т в е т. Данный ряд сходится абсолютно.

[b]Второй способ
[/b]

Рассматриваем ряд из модулей.
Он сходится, так как ∑ 1/∛(2n-1)^2 и ∑ 1/∛n^2 ведут себя одинаково

Ряд ∑ 1/n^(p) - обобщенный гармонический ряд сходится при p>1
∑ 1/∛n^2
p=3/2

Значит данный ряд сходится абсолютно.

Первый садится в любой вагон.
Вероятность попадания второго в этот же вагон - 1/20.
Значит, вероятность того, что второй не выберет этот вагон равна 19/20

Для третьего вероятность равна 18/20.

Для четвёртого - 17/20,
....
Для десятого - 11/20

Итого искомая вероятность - произведение указанных вероятностей

p=(19/20)*(18/20)*(17/20)*...*(11/20)= считаем самостоятельно

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 5-х ≥ 0 ⇒ х ≤ 5 ⇒ х ∈ (- ∞ ;5]

При х=5 неравенство
0 ≤ 0- верно

Значит x=5 - решение неравенства.

При x < 5
sqrt(5-x) > 0, значит

8^(x-4)-9^(x-3) + 2 ≤ 0

8^(x-4)+2 ≤ 9^(x-3)

Cтроим графики функций

y=8^(x-4)+2 ( красного цвета)
y= 9^(x-3) ( синего цвета)

Неравенству удовлетворяют те х, при которых красный график расположен ниже синего
Значит,
x ≥3,373

О т в е т. [3,373 ;5] (прикреплено изображение)

2.
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤y ≤ 4
0 ≤ z ≤ π

= ∫^( π)_(0)z (∫ ^(1)_(0)x^2 (∫ ^(4)_(0)sin(πxy)/2dy)dx)dz=

=∫^( π)_(0)z (∫ ^(1)_(0)x^2*(-2/(πx))*cos(πxy)/2)^(y=4)_(y=0))dx)dz=

=∫^( π)_(0)z (∫ ^(1)_(0)(-2x/π)*(cos(4πx/2)-cos0)dx)dz=

=∫^( π)_(0)z (∫ ^(1)_(0)(-2x/π)*(cos(2πx)-1)dx)dz=

=∫^( π)_(0)z*( (2/π)( ∫ ^(1)_(0) dx - (2/π) ∫ ^(1)_(0)x*cos(2πx)dx)dz=

=∫^( π)_(0)z*( (2/π) *(x) ^(x=1)_(x=0) - (2/π) [b] ∫ ^(1)_(0)x*cos(2πx)dx[/b])dz=

считаем по частям
u=x
du=dx
dv=cos2πxdx
v=(1/(2π))sin2πx

=(2/π)*∫^( π)_(0)z*dz - (2/π)*∫^( π)_(0)z* [b]([/b](xsin2π/x)|^(1)_(0) -

-(1/(2π))∫ ^(1)_(0)sin2πxdx [b])[/b]dz=

=(2/π)*∫^( π)_(0)z*dz-(2/π)∫^( π)_(0)z[b]([/b](sin2π-0*sin0)-(1/(2π))*

*(-1/2π)(-cos2πx)|^(1)_(0) [b])[/b]dz=

=(2/π)*∫^( π)_(0)z*dz+ (2/π)*(1/4π^2)∫^( π)_(0)z[b]([/b](cos2π-cos0) [b])[/b]dz=

=(2/π)*∫^( π)_(0)z*dz+0= (2/π)*(z^2/2)|^(π)_(0)= [b]π[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
D=D_(1)+D_(2)

D_(1):
0 ≤ x ≤ 1
x^2 ≤ y ≤ e^(x)

D_(2):
1 ≤ x ≤ sqrt(e)
x^2 ≤ y ≤ e

О т в е т.
∫ ^(1)_(0)dx ∫ ^(e^(x))_(x^2)f(x;y)dy + ∫^(sqrt(e))_(1)dx ∫^(e)_(x^2)f(x;y)dy

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
[b]{41+y-2ax >0
{12-x>0[/b]

(x^2+y^2-25)*(5y-x^2+10x-25)=0
⇒
x^2+y^2-25=0 или 5y-x^2+10x-25=0
⇒
x^2+y^2=25 или 5y=(x-5)^2

log_(3)(41+y-2ax)-log_(2)(12-x) =1 ⇒ log_(3)(41+y-2ax)/(12-x)=1 ⇒

(41+y-2ax)/(12-x)=3 ⇒ 41+y-2ax=36-3x; x ≠12

⇒

2ax=41+y-36+3x

[b]y=(-3-2a)x-5[/b]

Подставляем в (1)

x^2+((-3-2а)х-5)^2=25 ⇒

x^2+(9+12a+4a^2)x^2+2*(3+2a)*5x+5^2=25

[b](4a^2+12a+10)x^2 + (30+20a)*x=0[/b] (1#)

Подставляем в (2)

5*((-3-2а)х-5)=(x-5)^2

(-15-10а)х-25=x^2-10х+25

[b]x^2+(10a+5)x+50=0[/b] (2#)

получили два квадратных уравнения (1#) и (2#)

Система будет иметь три решения

в том случае, если первое уравнение имеет два корня, второе один или первое имеет один, второе- два, составляем систему относительно дискриминантов.

или каждое уравнение имеет по два решения, но одно не входит в ОДЗ

Ответ выбран лучшим

D:
0 ≤ x ≤ 1
-∛x ≤ y ≤ x^2

= ∫ ^(1)_(0)dx ∫ ^(x^2)_(-∛x)(12xy+27x^2y^2)dy=

= ∫ ^(1)_(0) (12x(y^2/2)+27x^2(y^3/3))|^(y=x^2)_(y=-∛x) dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x*(x^2)^2+9x^2*(-∛x)^3)dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x^5-9x^3)dx=

=((6x^6/6)-(9x^4/4))|^(1)_(0)=1-(9/4)= [b]-5/4[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a_(n)=1/n^2
R=lim_(n → ∞ )a_(n)/a_(n+1)lim_(n → ∞ )(n+1)^2/n^2=1
(-1;1)- интервал сходимости

При х=1
числовой знакоположительный ряд
∑ 1/n^2
сходится
p=2

Так как обобщенный гармонический ряд

∑ 1/n^(p) при p >1 cходится.
p ≤ расходится

При х=-1
числовой знакочередующийся ряд
∑ (-1)^(n)/n^2
сходится да при том абсолютно.

так как ряд из модулей ∑ 1/n^2
сходится

О т в е т. [-1;1]- область сходимости.

Ответ выбран лучшим

dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy

[b]z`_(x)[/b]=(cos^3(x^3y^2-1))`_(x)=

(u^3)`=3u^2*u`

=3cos^2(x^3y^2-1)*(cos(x^3y^2-1))`_(x)=

(cosu)`=(-sinu)*(u`)

=3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))*(x^3y^2-1)`_(x)=

= [b]3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))*(3x^2y^2)[/b]

[b]z`_(y)[/b]=(cos^3(x^3y^2-1))`_(y)=

(u^3)`=3u^2*u`

=3cos^2(x^3y^2-1)*(cos(x^3y^2-1))`_(y)=

(cosu)`=(-sinu)*(u`)

=3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))*(x^3y^2-1)`_(y)=

= [b]3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))*(2x^3y)[/b]

dz=3cos^2(x^3y^2-1)*(sin(x^3y^2-1))* ( 3x^2y^2 dx+ 2x^3ydy)

Ответ выбран лучшим

A-" выбран зеленый мяч"
B-" выбран красный мяч"
C=A ∪ B - выбран зеленый или красный

p_(A)=13/40 - вероятность выбрать зеленый

p_(B)=12/40 - вероятность выбрать красный

p(C)=p(A)+p(B)=(13/40)+(12/40)=(25/40)

Ответ выбран лучшим

1)
ОДЗ: x > 0

По свойству логарифма степени
lgx+ [b]lg16^(0,5)[/b]<lg80-lg2
По свойству логарифма произведения и логарифма частного:
lgx*16^(0,5) < lg(80/2)
lg4x < lg40
Логарифмическая функция с основанием 10 возрастает, поэтому
4x < 40
x<10

C учетом ОДЗ
О т в е т. (0;10)

2)
ОДЗ: 5x-2 > 0 ⇒ х > 2/5

По свойству логарифма степени
log_(6)(5x-2) > log_(6)2^3+ log_(6)6^2
По свойству логарифма произведения
log_(6)(5x-2) > log_(6)2^3*6^2
Логарифмическая функция с основанием 6 возрастает, поэтому
5х-2 <8*36;
5x< 300
x<60

C учетом ОДЗ
О т в е т. (0,4;60)

3)
log_(2)(7x-4)=log_(2)4+log_(2)13

log_(2)(7x-4)=log_(2)4*13
7x-4=52
7x=56
x=8

Проверка
log_(2)(7*8-4)=log_(2)52=log_(2)4*13=log_(2)4+log_(2)13=2+log_(2013- верно
О т в е т. 8

(прикреплено изображение)

1.
По определению логарифма
a^(t)=b

x^2-10x+10=(1/3)^(0)
x^2-10x+10=1
x^2-10x+9=0
D=100-36=64
x_(1)=(10-8)/2=1; x_(2)=(10+8)/2=9

О т в е т. 1;9

2.
Логарифмическая функция монотонно возрастает.
Значит каждое свое значение принимает ровно один раз
Если значения функции равны, то и аргументы равны

7x^2-200=50x
7x^2-50x-100=0
D=2500-4*7*(-100)=5300

x_(1)=(50-10sqrt(53))/2; x_(2)=(50+10sqrt(53))/2;

x_(1) < 0 значит log_(3)50x не существует

О т в е т. (50+10sqrt(53))/2;

3.
ОДЗ:
{x+2> 0 ⇒ x > -2
{x+3 > 0 ⇒ x > -3
{1-x > 0 ⇒ x < 1

x ∈ (-2;1)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(0,4)(x+2)*(x+3)=log_(0,4)(1-x)

(х+2)*(х+3)=1-х

x^2+5x+6=1-x
x^2+6x+5=0
D=36-20=16
x_(1)=(-6-4)/2=-5; x_(2)=(-6+4)/2=-1

х_(1) не принадлежит ОДЗ
О т в е т. -1

4.
ОДЗ: х > 0

Квадратное уравнение относительно log_(4)x

Замена переменной:
log_(4)x=t

t^2+t=2
t^2+t-2=0
D=9
t_(1)=(-1-3)/2=-2; t_(2)=(-1+3)/2=1

log_(4)x=-2 или log_(4)x=1
x=4^(-2) или x=4
x=1/16

Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 1/16; 1

5.
ОДЗ:
{x-2>0 ⇒ x > 2
{x>0

ОДЗ: х ∈ (2;+ ∞ )

log_(sqrt(3))(x-2)*log_(5)x - 2log_(sqrt(3))(x-2)=0

log_(sqrt(3))(x-2) *(log_(5)x -2)=0

log_(sqrt(3))(x-2) =0 или log_(5)x -2=0

x-2=(sqrt(3))^(0) или log_(5)x =2

x-2=1 или x=5^2

х=3 или x=25

Оба корня входят в ОДЗ

О т в е т. 3; 25

Ответ выбран лучшим

S= ∫^(1)_(0)((2+x^2)-(1-x^2))dx = ∫^(1)_(0)((2+x^2-1+x^2)dx =

=∫^(1)_(0)((2x^2+1)dx =(2x^3/3)|^(1)_(0)+(x)|^(1)_(0)=(2/3)+1= [b](5/3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подставляем вместо y=x^2+2x-3

x^2+2x-3 - a*(x^2+2x-3) + ((x^2+2x-3)/a)-x^2-ax-(x/a)-1=0

((1/a)-a)x^2 +(2+a+(1/a))x + (3a-(3/a))-4)=0

Квадратное уравнение имеет два корня, если
D>0
D=(2+a+(1/a))^2-4*((1/a)-a)*(3a-(3/a)-4)= упростить

Cоставить неравенство
(2+a+(1/a))^2-4*((1/a)-a)*(3a-(3/a)-4) > 0

и решить относительно а

Если в условии
[b]y^2[/b]–ay+(y/a)–x2–ax–(x/a)=1
Тогда

(x^2+2x-3)^2 - a*(x^2+2x-3) + ((x^2+2x-3)/a)-x^2-ax-(x/a)-1=0

Получаем уравнение четвертой степени относительно х

Пусть x и y - стороны прямоугольника
d^2=X^2+y^2

17^2=x^2+y^2

S=x*y
120=xy

Система
{x^2+y^2=289
{xy=120

Умножаем второе на 2
{x^2+y^2=289
{2xy=240

Вычитаем из первого второе
(x^2-2xy+y^2)=49
(x-y)^2=49
x-y=7 или x-y=-7

x=7+y или x=y-7

И подставляем во второе
(7+y)*y=120 или (y-7)*y=120

y^2+7y-120=0 или y^2-7y-120=0
D=49+480=529 или D=49+480=529

y_(1)=(-7-23)/2 < 0 или y_(3)=(7-23)/2 < 0
не соответствуют смыслу задачи

y-(2)=(-7+23)/2=8 или y_(4)=(7+23)/2=15

x_(2)=7+8=15 или x_(4)=15-7=8

О т в е т. 8 и 15

Примем объем бассейна за 1

Пусть первая труба заполняет бассейн за х часов.

Вторая труба заполняет бассейн за у часов.

1/х бас/час. пропускная способность первой трубы

1/у бас/час. пропускная способность второй трубы

1/40=1/40 бас/час - пропускная способность двух труб вместе

[b](1/x)+(1/y)=1/40[/b]

1-(1/3)=2/3 бас - заполнит ІІ труба

[b](1/3)x+(2/3)y=78[/b] ⇒ x+2y=234 ⇒ x = 234-2y

Система

{(1/x)+(1/y)=1/40
{ x = 234-2y

подставим значение х во второе уравнение:

(1/(234-2y))+(1/y)=1/40

40*(y+234-2y)=y*(234-y)

2y^2-274y+9360=0

y^2-137y+4680=0

D=137^2-4*4680=49

y_(1)=(137-7)/2=65 или y_(2)=(137+7)/2=72

x_(1)=104 или x_(2)=90

О т в е т. 104 и 65 или 90 и 72

Ответ выбран лучшим

[b]√(ax–x²–π²)=y[/b]

y ≥ 0

Уравнение примет вид:
siny +cos2y=0
siny+1-2sin^2y=0
2sin^2y-siny-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
siny=-1/2 или siny=1

Так как y ≥ 0, то
y=(7π/6)+2πn или y= (11π/6)+2πm или y=(π/2) +2πk, n, m , k ∈ Z

[b]√(ax–x²–π²)=y[/b] ⇒

ax-x²-π²=y²
Это уравнение окружности,
запишем его в виде:

(x-(a/2))²+y²=(a/2)²-π²

(a/2;0) R=sqrt((a/2)²-π²)

Изобразим полуокружность: (прикреплено изображение)

y=sqrt(12x)
y`=1/(2sqrt(12)) * (12x)`=6/sqrt(12x)

(y`)^2=36/12x=3/x

S_(поверхности Ох)=2π ∫ ^(12)_(0)sqrt(12x)*sqrt(1+(3/x))dx=

=2π ∫ ^(12)_(0)sqrt(12)*sqr(x+3)dx=

=2sqrt(12)*π ∫ ^(12)_(0)sqr(x+3)dx=

=4sqrt(3)*π *(x+3)^(3/2)/(3/2)| ^(12)_(0)=

= [b](8sqrt(3)/3)*π*( 15^(3/2)-3^(3/2))[/b] (прикреплено изображение)

V=2*(2/3) ∫ ^(π/2)_(0)(2sin2 φ )^3*sin φ d φ =

=(4/3)∫ ^(π/2)_(0)(8sin^32 φ )sin φ d φ =

=(32/3)∫ ^(π/2)_(0)(sin^32 φ )sin φ d φ

sin^32 φ =(3sin2 φ -sin6 φ)/4

=8∫ ^(π/2)_(0)(sin2 φ *sin φ) d φ-(8/3)∫ ^(π/2)_(0)(sin6 φ *sin φ) d φ

Формулы
sin α *sin β
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 10-х ≥ 0 ⇒ х ≤ 10 ⇒ х ∈ (- ∞ ;10]

При х=10 неравенство
0 ≤ 0- верно

Значит x=10 - решение неравенства.

При x < 10
sqrt(10-x) > 0, значит

3^(x-7)-4^(x-6) + 5 ≤ 0

3^(x-7)+5 ≤ 4^(x-6)

Cтроим графики функций

y=3^(x-7)+5 ( красного цвета)
y= 4^(x-6) ( синего цвета)

Неравенству удовлетворяют те х, при которых красный ниже синего
Значит,
x ≥ 7,346

О т в е т. [7,346;10] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{3-|x| > 0 ⇒ |x| < 3
{|x-2|>0 ⇒ x ≠ 2
{|x-2| ≠ 1 ⇒ x-2 ≠ -1 и х-2 ≠ 1 ⇒ х ≠ 1 и х ≠ 3

ОДЗ : x ∈ (-3;1) U(1;2)U(2;3)

log_(|x-2|)(3-|x|) ≤ log_(|x-2|)1

[b]Если [/b]
|x-2| >1 ⇒ x-2 < -1 или x-2 >1⇒ x < 1 или x > 3

Логарифмическая функция с основанием больше 1 возрастает.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента
3-|x| ≤ 1 ⇒ |x| ≥ 2 ⇒ x ≤ -2 или x ≥ 2

В этом случае решением является x ≤ -2
C учетом ОДЗ: [b] (-3;-2][/b]

[b]Если [/b]
0 <|x-2| <1⇒ -1 < x-2 < 1, x ≠ 0 ⇒ 1 < x < 3; x≠ 0

Логарифмическая функция с основанием меньше 1 убывает.
Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
3-|x| ≥ 1 ⇒ |x| ≤ 2 ⇒ -2 ≤ х≤ 2
В этом случае решением является (1;2]
C учетом ОДЗ: [b] (1;2)[/b]

О т в е т. - объединяем ответы двух случаев [b](-3;-2] U (1;2)[/b]

[b]Второй способ[/b]

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(|x-2|-1)*(3-|x| -1) ≤ 0

(|x-2|-1)*(2-|x|) ≤ 0

Раскрываем модули
Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках x=0 и х=2

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка
(-∞;-0) ; (0;2) и (2;+∞)
C учетом ОДЗ на
[b](-3;0[/b]]

|x-2|=-x+2
|x|=-x

(-x+2-1)*(2+x) ≤ 0
(x-1)(x+2) ≥ 0
x ≤ -2 или x ≥ 1

С учетом рассматриваемого интервала (-3;0] о т в е т. (-3;-2]

на (0;2]
C учетом ОДЗ на [b](0;1)U(1;2)[/b]

|x-2|=-x+2
|x|=x

(-x+2-1)*(2-x) ≤ 0
(х-1)(х-2) ≤ 0
1 ≤x ≤ 2

С учетом рассматриваемого интервала о т в е т. (1;2)

[b]на (2;3)[/b]
|x-2|=x-2
|x|=x
(x-2-1)(2-x) ≤ 0
(x-3)(x-2) ≥0
x ≤ 2 или x ≥ 3
С учетом рассматриваемого интервала неравенство не имеет решений

О т в е т. [b](-3;-2] U (1;2)[/b]

Ответ выбран лучшим

Первый треугольник
Один катет х, второй катет y
По теореме Пифагора
x^2+y^2=29^2

S_(1)=(x*y/2)
Второй треугольник
Один катет (х-17), второй катет (y-17)
По теореме Пифагора
(x-17)^2+(y-17)^2=5^2

S_(2)=(x-17)*(y-17)/2

[b]S_(2)-S_(1)[/b]=(xy/2)-(1/2)(x-17)*(y-17)=

=(1/2)*(xy- xy+17x+17y-289)= [b]=(17/2)*(x+y-17)[/b]

Значит из системы двух уравнений

{x^2+y^2=29^2
{(x-17)^2+(y-17)^2=5^2

надо найти только сумму х+у

{x^2+y^2=841
{x^2-34х+289 +y^2-34y+289=25

Подставляем 841 из первого уравнения вместо x^2+y^2 во второе

841-34x+289-34y+289=25
34*(х+у)=1394
x+y=41

S_(2)-S_(1)=(17/2)*(x+y-17)=(17/2)*(41-17)=17*12

О т в е т. [b] на 204 кв. дм[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть один катет х, второй у.
По теореме Пифагора
[b]x^2+y^2=13^2[/b]

Увеличиваем каждый катет на 3:
(х+3) и (у+3) -катеты,
тогда 13+4=17 - гипотенуза
[b](x+3)^2+(y+3)^2=17^2[/b]

Первоначальная площадь
S_(1)=xy/2
Площадь после изменения длин
S_(2)=(x+3)*(y+3)/2

[b]S_(2)-S_(1)[/b]=(x+3)(y+3)/2-xy/2=(1/2)*(xy+3x+3y+9-xy)= [b]=(3/2)*(x+y+3)[/b]

Значит из системы двух уравнений

{x^2+y^2=13^2
{(x+3)^2+(y+3)^2=17^2
надо найти только сумму х+у

{x^2+y^2=169
{x^2+6х+9 +y^2+6y+9=289

Подставляем 169 из первого уравнения вместо x^2+y^2

169+6x+9+6y+9=289
6*(х+у)=102
x+y=17

S_(2)-S_(1)=(3/2)*(x+y+3)=(3/2)*(17+3)=30

О т в е т. [b] на 30 кв. м[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
-21ctgx ≥ 0 ⇒ ctgx ≤ 0. значит х во 2 и 4 четвертях.
ctgx=cosx/sinx⇒sinx ≠0

2sin^2x+sqrt(2)sinx=0 или sqrt(-21ctgx)=0

sinx*(2sinx+sqrt(2))=0 или ctgx =0

sinx ≠0

2sinx+sqrt(2)=0 или ctgx =0

2sinx+sqrt(2)=0 ⇒ sinx=-sqrt(2)/2 ⇒ x=(-1)^(n)*(-π/4) + πn

при n=2m+1 получим
x=(-3π/4)+2πm, m ∈ Z расположены в третьей четверти и не удовлетворяют ОДЗ

при n=2m
[b] х=(-π/4)+2πm, m ∈ Z[/b] - корни уравнения

ctgx =0 ⇒ сosx=0 ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]- удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. (-π/4)+2πm, m ∈ Z, x=(π/2)+πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

n=3+5+7=15 карандашей

Вероятность вынуть синий шар равна
7/15
После этого в корзине 14 шаров и 6 синих
Вероятность вынуть синий шар во второй раз равна
6/14
После этого в корзине 13 шаров и 5 синих
Вероятность вынуть синий шар в третий раз равна
5/13

p=(7/15)*(6/14)*(5/13)=

б)
Вероятность вынуть синий шар равна
7/15
После этого в корзине 14 шаров
3 красных и 5 зеленых
Вероятность вынуть красный шар во второй раз равна
3/14
После этого в корзине 13 шаров 5 зеленых
Вероятность вынуть зеленый шар в третий раз равна
5/13

p=(7/15)*(3/14)*(5/13)

Поскольку выбор цвета (синий, красный , зеленый) можно осуществить 6 способами.

p= 6* (7/15)*(3/14)*(5/13)= - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами
p=80/100=0,8 - вероятность события в одном испытании
q=1-p=1-0,8=0,2- вероятность того, что событие не наступит в одном испытании

Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

n=500
p=0,8

np=500*0,8=400

400-0,2 ≤ k_(o) ≤ 400+0,2
k_(o)=400 - наивероятнейшее число

Применяем локальную теорему Лапласа
P_(n)(k)≈(1/sqrt(npq))*φ((k-np)/sqrt(npq))

npq=500*0,8*0,2=80
sqrt(npq)=sqrt(80)≈9
(k-np)/sqrt(npq)=(440-400)/9=(40/9)

P_(500)(440)≈ (1/9) *φ(40/9)=(1/9)**φ(4,4)( cм приложение)
=(1/9)*0,5=5/90= [b]1/18 [/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x ≠ 0
{x+4 ≠ 0 ⇒ x ≠ -4

(1/9)^((2x+2)/(x+4))=3^(-4*(x+1)/(x+4))

27^(-(x+1)/(x+4))=3^(-3(x+1)/(x+4))

18^(2x)=(2*3^2)^(2x)=2^(2x)*3^(4x)=4^(x)*3^(4x)

3x^(-2)=3/x^2

12^(x)=(3*4)^(x)=3^(x)*4^(x)

1/(9x^2)=3^(-2)/x^2

Неравенство примет вид:

3^(-4*(x+1)/(x+4)) * 4^(x)*3^(4x)*3/x^2 ≤ =3^(-3(x+1)/(x+4))*3^(x)*4^(x)*3^(-2)/x^2

4^(x) > 0 при любом х
x^2>0 при любом х ≠ 0

Можно сократить на 4^(x)/x^2

3^(-4*(x+1)/(x+4)) * 4^(x)*3^(4x)*3/x^2 ≤ =3^(-3(x+1)/(x+4))*3^(x)*4^(x)*3^(-2)/x^2

3^(-4(x+1)/(x+4) + 4x + 1) ≤ 3^(-3(x+1)/(x+4)+ x - 2)

Показательная функция с основанием 3 возрастает, поэтому

-4(x+1)/(x+4) + 4x + 1 ≤ -3(x+1)/(x+4) + x - 2

-(х+1)/(x+4)+3x+3 ≤0;

(x+1)*(-1+3x+12)/(x+4) ≤ 0
(x+1)*(3x+11)/(x+4) ≤ 0

Решаем методом интервалов
Нули числителя:
х+1=0 или 3х+11=0

х=-1 или х=-11/3

Отмечаем на ОДЗ сплошным кружком ( здесь квадратные скобки)

Нули знаменателя:
x+4=0
x=-4

Отмечаем на ОДЗ пустым кружком ( здесь круглые скобки)

___–___ (–4) __+__ [–11/3] ____–___ [-1] _+__ (0) _+__

О т в е т ( – ∞ ;–4) U [–11/3;-1]

sqrt(x^2-2x+1)=sqrt((x-1)^2)=|x-1|
sqrt(x^2+2x+1)=sqrt((x+1)^2)=|x+1|

Уравнение имеет вид:
|x-1|+|x+1|=2

Решаем методом интервалов.

Подмодульные выражения равны 0 в точках х=-1 и х=1
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

Раскрываем знак модуля на каждом промежутке.
[b](- ∞ ;-1][/b]
|x-1|=-x+1
|x+1|=-x-1

-х+1-х-1=2
-2х=-2
х=1 не принадлежит (- ∞ ;-1]

[b](-1;1)[/b]
|x-1|=x-1
|x+1|=-x-1

х-1-х-1=2
-2=2 - неверное равенство.
нет корней на (-1;1]

[b][1;+ ∞ )[/b]

|x-1|=x-1
|x+1|=x+1

х-1+х+1=2
2x=2
x=1 - корень уравнения

О т в е т.
a)x = 1

б) 1 ∈ [1;2]

Ответ выбран лучшим

Область D - ограничена двумя параболами
y= sqrt(x)
y=2sqrt(x)

и линией, которую оставит плоскость z=6-x на пл. хОу.
Находим линию пересечения двух плоскостей

z=0 и z=6-х
6-x=0
x=6
См. область D

Само тело, представляет из себя криволинейный цилиндр, расположенный над областью D, образующие которого параллельны оси Оz/

z=6-x - плоскость, которая сверху "накрывает тело"

Примерный рис.

V= ∫ ∫ _(D) (6-x)dxdy= ∫^(6)_(0)dx ∫ ^(2sqrt(x)_(sqrt(x) (6-x) dy=

= ∫^(6)_(0)((6-x)*y)|^(2sqrt(x)_(sqrt(x)dx=

= ∫^(6)_(0)(6-x)*(2sqrt(x)-sqrt(x))dx=

= ∫^(6)_(0)(6-x)*sqrt(x)dx=

= ∫^(6)_(0)(6*sqrt(x)-xsqrt(x))dx= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть A_(1)B ∩ AB_(1)=K

K- cередина A_(1)B
M-середина BC
MK - cредняя линия Δ A_(1)BC
MK || A_(1)C

MK лежит и в пл. АМВ_(1)
A_(1)C || пл. АМВ_(1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg(-300 ° )=- tg(300 ° )= - tg (360 ° -60 ° )= - tg(-60 °)= -(-tg60 °)=tg60°= =sqrt(3)

2sqrt(3)tg(-300 ° )=2sqrt(3)*sqrt(3)=2*3= [b]6[/b]

ОДЗ: х≠ 0

(x+2)/x=(x/x)+(2/x)=1+(2/x)

5^((x+2)/x)=5^(1+(2/x))=5*5^(2/x)

(x-1)/x=(x/x)-(1/x)=1-(1/x)

10^((x-1)/x)=10^(1-(1/x))=10*10^(-1/x)=10/(2*5)^(1/x)=10/(2^(1/x)*5^(1/x))

2^(1/x)=u
u>0
5^(1/x)=v
v>0
5v^2-5/(u*v) +u-v >0

Умножаем на u*v>0
Знак неравенства не меняется

5uv^3-5+u^2v-uv^2 >0

Проверьте условие.

Ответ выбран лучшим

Строим графики:
x=4-y^4 ⇒ y^4=4-x
x=y+2 ⇒ y=x-2
y=0
y=-2
См. рис.

Что-то не так.

См рис. справа. Убрала все лишнее. Оставила полосу
-2 ≤ у ≤ 0

Провела черным цветом прямую, параллельную оси Ох.
Смотрю, что линия входа x=y+2 только на участке от точки пересечения красного и синего графиков. А должно быть на участке от -2 до 0 по оси Оу
То же самое с линией выхода.

Опечатка.Скорее всего верхний предел во втором интеграле не
4-y^4; a 4-y^2

Тогда
x=4-y^2
y^2=4-x
y=-sqrt(4-x)- нижняя часть красной параболы
y=+sqrt(4-x) - верхняя часть красной праболы

Тогда область состоит из двух частей.
Потому что разные лини входа и выхода. на участке от 0 до 3
входим в область на прямой, выходим на параболе.
На участке от 3 до 4 входим на нижней ветке параболы, выходим на верхней.

∫ ^(0)_(-2)dy ∫ ^(4-y^2)_(y+2) f(x;y)dx=

=∫ ^(3)_(0)dx ∫ ^(x-2)_(-sqrt(4-x)) f(x;y)dy+∫ ^(4)_(3)dx ∫ ^(sqrt(4-x))_(-sqrt(4-x)) f(x;y)dy (прикреплено изображение)

январь 2020 года
долг 1,05·1 000 000 =1 050 000 руб
С февраля по июнь выплата 100 000 руб.

(1,05·1 000 000 – 100 000) руб= [b]950 000[/b] руб остаток на конец 2020 года

январь 2021 года
долг 1,05·950 000 руб.=997 500
С февраля по июнь выплата Х руб.

[b](997 500 – Х)[/b]руб. –остаток на конец 2021 года

январь 2022 года

долг 1,05·(997 500 – Х) руб.
С февраля по июнь выплата 100 000 руб.
1,05·(997 500 – Х) – 100 000 = [b](947 375 – 1,05Х)[/b] руб. –остаток на конец 2022 года

январь 2023 года
долг 1,05·(947 375 – 1,05Х)=(994 743,75 –1,1025·Х) руб.

С февраля по июнь выплата (Х–50 000) руб.
(994 743,75 –1,1025·Х) – (Х–50 000) =

=(1 044 743,75- 2,1025Х) руб – остаток на конец 2023 года

январь 2024 года
долг 1,05*(1 044 743,75- 2,1025Х)=1 096 980,94 - 2,207625*Х

С февраля по июнь выплата 100 000 руб.

(996 980 - 2,207625*Х)руб. –остаток на конец 2024 года

январь 2025 года
долг
1,05*(996 980,94 - 2,207625*Х)=1 046 829,99 - 2,31800625*Х

С февраля по июнь выплата (Х–100 000) руб.
1 046 829,99 - 2,31800625*Х - (Х-100 000)=(1 146 829,99 -3,31800625*X)руб.-

остаток на конец 2025 года

январь 2026 года
долг
1,05*(1 146 829,99 -3,31800625*X)=1 204 171,49 - 3,48396562Х

С февраля по июнь выплата 100 000 руб.

1 204 171,49- 3,48396562*Х-100 000 = (1 104 171,49 -3,48396562Х) руб.–остаток на конец 2026 года

январь 2027 года
долг
1,05*(1 104 171,49 -3,48396562Х)
С февраля по июнь выплата (Х –150 000) руб.

1,05*(1 104 171,49 -3,48396562Х)- (Х- 150 000)
–остаток долга на июль.

По условию он равен 0

получим уравнение
1,05*(1 104 171,49 -3,48396562Х)- (Х- 150 000)=0
1 159 380,06 +150 000= 4,6581639*Х

Х=281093,6

4x^2=(2x)^2

u=2x
du=2dx ⇒ dx=(1/2)du

если
x=1, то u=2
x=0, то u=0

∫ ^(1)_(0)dx/(1+4x^2)= ∫ ^(2)_(0) (1/2)du/(1+u^2)=

=(1/2)arctgu|^(2)_(0)= [b](1/2)arctg2[/b]

Ответ выбран лучшим

V_(Ox)=π ∫^(2)_(0)(2x-x^2)^2dx= π ∫^(2)_(0)(4x^2-4x^3+x^4)dx=

=π*((4x^3/3)-(4*x^4/4)+(x^5/5))|^(2)_(0)=

=π*((4/3)*2^3-2^4+(2^5)/5)=π*((32/3)-16+(32/5))=

Ответ выбран лучшим

S=2* ∫ ^(1)_(0)(x-x^3)dx=2*((x^2/2)-(x^4/4))|^(1)_(0)=

=2*((1/2)-(1/4))=2*(1/4)=1/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

u=x^2
dv=e^(x)dx

du=2xdx
v=e^(x)

∫ ^(2)_(1)x^2*e^(x)dx=(x^2*e^(x))|^(2)_(1)- ∫ ^(2)_(1)e^(x)*2xdx=

=(x^2*e^(x))|^(2)_(1)- 2*∫ ^(2)_(1)e^(x)*xdx=

u=x
dv=e^(x)dx

du=dx
v=e^(x)

=(x^2*e^(x))|^(2)_(1)- 2*(x*e^(x))|^(2)_(1)+2∫ ^(2)_(1)e^(x)dx=

=(x^2*e^(x))|^(2)_(1)- 2*(x*e^(x))|^(2)_(1)+2*(e^(x))| ^(2)_(1)=

=4e^2-e-2*2e^2+2e+2e^2-2e= [b]2e^2-e[/b]

Ответ выбран лучшим

3.
x^2=t
d(x^2)=dt
2xdx=dt
xdx=(1/2)dt

Пределы интегрирования
если х=0, то t=0
если x=1, то t=1

∫ ^(1)_(0)xdx/(1+(x^2)^2)=(1/2) ∫ ^(1)_(0)dt/(1+t^2)=

=(1/2)arctgt|^(1)_(0)=(1/2)arctg1=(1/2)*(π/4)= [b]π/8[/b]

4.
Здесь применим замену, но в обратную сторону.
Тогда не придется менять пределы интегрирования.
Так как
d(lnx)=dx/x,
то

∫ ^(3)_(2)ln^2dx/x= ∫ ^(3)_(2)ln^2xd(lnx)=((ln^3x)/3)|^(3)_(2)=

=(ln^33-ln^32)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вводим полярные координаты:
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
x^2+y^2= ρ ^2*(cos^2 θ +sin^2 θ )
x^2+y^2=ρ ^2
(x^2+y^2)^2= ρ ^4
Элемент dxdy=ρdρd θ

0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ ρ ≤ 2

∫∫ _(D)(x^2+y^2)^2dxdy = ∫ ^(2π)_(0)∫^(2)_(0) ρ ^4 *(ρdρd θ)=

= ∫ ^(2π)_(0)d θ ∫ ^(2)_(0) ρ ^5dρ=

=2π*( ρ ^(6)/6)=2π*2^6/6=128π/6= [b]64π/3[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x ≠ 0
{2x+4≠ 0 ⇒ x ≠ -2

По свойствам степени:

0,5^(-(x-2)/(2x+4))=(2^(-1))^(-(x-2)/(2x+4))=2^((x-2)/(2x+4))
40^(x)=(10*4)^(x)=10^(x)*4^(x)

32^(-(x-2)/(2x+4))=(2^(5))^(-(x-2)/(2x+4))=2^(-5(x-2)/(2x+4))

4^(x)=(2^2)^(x)=2^(2x)

1/16=1/2^(4)=2^(-4)

x^(-2)=1/x^2

Неравенство примет вид:

2^((x-2)/(2x+4)) * 10^(x)/x^2 ≥ 2^(–5(x-2)/(2x+4)) *2^(2x)*10^(x)*2^(-4)/x^2

10^x > 0 при любом

можно сократить на

10^(x)/ x^2

2^((x-2)/(2x+4)) ≥ 2^(–5(x+2)/(2x+4)+2x-4)

при этом помним, что х ≠ 0

Показательная функция с основанием 2 возрастает, поэтому

(х–2)/(2x+4) ≥ -5(x-2)/(2x+4) + 2x - 4;

((х–2)/(2x+4))+(5(х–2)/(2x+4)) -2(x-2) ≥0;

6(x-2)/(2x+4)- 2(x-2) ≥0;

(x-2)*(6-2*(2x+4))/(2x+4) ≥0;

(x-2)(-4x-2)/(2x+4) ≥0

Решаем методом интервалов
Нули числителя:
х-2=0 или -4х-2=0

х=2 или х=-1/2

Отмечаем сплошным кружком ( здесь квадратные скобки)

Нули знаменателя:
2x+4=0
x=-2

Отмечаем пустым кружком ( здесь круглые скобки)

___–___ (–2) ____ [–1/2] _–_ (0) ________–____ [2] _____

О т в е т ( – ∞ ;–2) U [–1/2;0) U (0;2] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x+2> 0 ⇒ x > -2
{x+3 > 0 ⇒ x > -3
{1-x > 0 ⇒ x < 1

x ∈ (-2;1)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(0,4)(x+2)*(x+3)=log_(0,4)(1-x)

(х+2)*(х+3)=1-х

x^2+5x+6=1-x
x^2+6x+5=0
D=36-20=16
x_(1)=(-6-4)/2=-5; x_(2)=(-6+4)/2=-1

х_(1) не принадлежит ОДЗ
О т в е т. -1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

Квадратное уравнение относительно log_(4)x

Замена переменной:
log_(4)x=t

t^2+t=2
t^2+t-2=0
D=9
t_(1)=(-1-3)/2=-2; t_(2)=(-1+3)/2=1

log_(4)x=-2 или log_(4)x=1
x=4^(-2) или x=4
x=1/16

Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 1/16; 1

Ответ выбран лучшим

Логарифмическая функция монотонно возрастает.
Значит каждое свое значение принимает ровно один раз
Если значения функции равны, то и аргументы равны

7x^2-200=50x
7x^2-50x-100=0
D=2500-4*7*(-100)=5300

x_(1)=(50-10sqrt(53))/2; x_(2)=(50+10sqrt(53))/2;

x_(1) < 0 значит log_(3)50x не существует

О т в е т. (50+10sqrt(53))/2;

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
x^2-10x+10=(1/3)^(0)
x^2-10x+10=1
x^2-10x+9=0
D=100-36=64
x_(1)=(10-8)/2=1; x_(2)=(10+8)/2=9

О т в е т. 1;9

Ответ выбран лучшим

Применяем метод подведения под знак дифференциала:
d(5x^4-1)=20x^3dx

x^3dx=(1/20)d(5x^4-1)

∫e^(5x^4-1)x^3dx=(1/20) ∫e^(5x^4-1)d(5x^4-1)=(1/20) ∫e^(u)du

=(1/20)e^(u)+C=(1/20)e^(5x^4-1)+C

F(x)=(1/20)e^(5x^4-1)+C
По определению несобственного интеграла первого рода
∫ ^(1)_(- ∞ )e^(5x^4-1)*x^3dx=

=lim_(A→ - ∞ ) F(х)| ^(1)_(A )=

=(1/20)*lim_(A→ - ∞ )e^(5x^4-1)|^(1)_(A)=

=(1/20)*e^(5-1)-(1/20)lim_(A→ - ∞ )e^(5A^4-1)=

=(e^4/20)-(1/20)*e^(+ ∞)= - ∞

Расходится.

Ответ выбран лучшим

12|x^2–4|=2a+|a–12x+12|+36

Вынесем (-12) в выражении с модулем справа за скобки и за знак модуля:

12|x^2-4|=|(-12)|*|x-((a/12)+1)|+2a+36
Делим на 12
[b]|x^2-4|=|x-((a/12)+1)|+(a/6)+3[/b]

Строим график
y=|x^2-4|

График
y=|x-((a/12)+1)| +(a/6)+3 можно получить из графика y=|x| параллельным переносом вершины в точку ( ((a/12)+1); (a/6)+3}
Пусть x_(o)=(a/12)+1
y_(o)=(a/6)+1

(a/12)+1=x_(o) ⇒ a=12x_(o)-12
y=(12x_(o)-12)/6 + 1

[b]y_(o)=2x_(o)+1 [/b]

Так как график y=|x| представляет из себя прямой угол ("галочку"),то график |x-((a/12)+1)| +(a/6)+3
расположен так, что одна сторона этого прямого угла, параллельна прямой у=х, вторая параллельна прямой у=-х

"Уголок" прямого угла лежит на прямой y=2x+1

Смотрим в какой ситуации три решения
см. рис.

(-2;0) - одно из таких решений..

12|(-2)^2–4|=2a+|a–12*(-2)+12|+36

2a+36=-|a+36|

2а+36=-а-36
3a=-72
[b]a=-24[/b]
или

2а+36=а+36
a=0 ( не подходит, так как
уравнение
12*|x^2-4|=|-12x+12|+36
|x^2-4|=|x-1|+3
имеет четыре решения
cм. рис.2

Аналогично находим и второе значение
a=1

О т в е т. -24; 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3
{x+5 ≠ 0 ⇒ x ≠ -5

ОДЗ: х ∈ [3;+ ∞ )

(sqrt(x-3)-2x+3)/(x+5) +1 >0

(sqrt(x-3)-2x+3+x+5)/(x+5) >0

(sqrt(x-3)+8-x)/(x+5) >0

При x ∈ ОДЗ знаменатель дроби положителен, значит и числитель тоже положителен, так как дробь положительна.

Решаем неравенство:
sqrt(x-3) +8-x >0

sqrt(x-3) > x -8

Если
x-8 <0
то
неравенство верно при любом х ∈ [3;8)

Если
x-8 >0
то возводим в квадрат

x-3 > (x-8)^2
x^2-17x+67 <0

D=289-268=21

x_(1)=(17-sqrt(21))/2; x_(2)=(17+sqrt(21))/2

с учетом x > 8

решение в этом случае
(8; (17+sqrt(21))/2)

При х=8
sqrt(8-3) > 8-8 - верно.

О т в е т. [3;8)U{8}U(8; (17+sqrt(21))/2)=[3;(17+sqrt(21))/2)

Ответ выбран лучшим

1а) см. приложение1
1б и в) см. приложение 2

2а) см. приложение 3
Построение ничем не отличается. надо нарисовать не острый угол, а угол больше 90 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Замена
y`=p(x)
y``=p`(x)

p`*(x-1)-p=0
Уравнение с разделяющимися переменными

p`=dp/dx
(x-1)dp/dx=p

dp/p=dx/(x-1)

Интегрируем
∫dp/p= ∫ dx/(x-1)
ln|p|=ln|x-1| + lnC

ln|p|=lnC*|x-1|

[b]p=C*(x-1)[/b]

y`= C_(1)*(x-1)

y`= C_(1)*x - C_(1)

y=∫y`(x)dx=∫(C_(1)x - C_(1))dx=(C_(1)x^2/2) - C_(1)x + C_(2)

О т в е т. [b] у= (C_(1)/2)*x^2 - C_(1)x + C_(2)[/b]

4)
Решаем однородное
Составляем характеристическое уравнение
k^2-2k+2=0
D=4-8=-4
k_(1)=2-2i; k_(2)=2+2i
Корни комплексно- сопряженные
α =1; β =2
Общее решение имеет вид:

y_(одн)=e^(x)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)

Частное решение находим по правилу ( см. приложение)

y_(частное)=(Acos2x+Bsin2x)*x^(0)

y`=(Acos2x+Bsin2x)=- 2Asin2x+2Bcos2x

y``=(-2Asin2x+2Bcos2x)`

=-4Acos2x-4Bsin2x

Подставляем в данное уравнение

-4Acos2x-4Bsin2x - 2 * (-2Asin2x+2Bcos2x)+2*(Acos2x+Bsin2x)=sin2x

Приравниваем коэффициенты слева и справа. перед косинусом
и слева и справа перед синусом.

{-4А-4В+2A=0
{-4B+4A+2B=1

B=-1/10
A=2/10

y_(частное)=0,2cos2x-0,1sin2x

О т в е т. y=y_(одн)+y_(частное)= e^(x)*(С_(1)cos2x+C_(2)sin2x)+0,2cos2x-0,1sin2x
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
9^(1,5)=(3^(2))^(3/2)=
( a^(m))^(n)=a^(m*n)
=3^(2*(3/2))=3^3=27

81^(0,5)=(9^(2))^(0,5)=
( a^(m))^(n)=a^(m*n)
=9^(2*0,5)=9

(10,5)^(-2)=(21/2)^(-2)=(2/21)^2=4/441

27-9-(4/441)=18-(4/441)= [b]17 целых 437/441[/b]

2.
0,008^(-2/3)=((0,2)^(3))^(-2/3)=0,2^(3*(-2/3))=0,2^(-2)=(1/5)^(-2)=(5^(-1))^(-2)=5^(2)=25

25*25^(-1)=25^(1+(-1))=25^(0)= [b]1[/b]

3.

64^((1/4)log_(8)25)=(8^(2))^((1/4)log_(8)25)=8^(2*(1/4)log_(8)25)=

=8^(1/2)log_(8)25)=

свойство логарифма степени log_(a)b^(k)=klog_(a)b

=8^(log_(8)25^(1/2))=8^(log_(8)5)=

основное логарифмическое тождество=

= [b]5[/b]

4
log_(3)x=log_(3)18-(1/4)log_(3)16+2log_(3)5

логарифм степени log_(a)b^(k)=klog_(a)b

log_(3)x=log_(3)18-log_(3)16^(1/4)+log_(3)5^2

log_(3)x=log_(3)18-log_(3)2+log_(3)25

разность логарифмов заменим логарифмом частного, сумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(3)x=log_(3)18*25/2

log_(3)x=log_(3)225

[b]x=225[/b] - о т в е т.

1) 17 + х > 37
x > 37 - 17
x> 20

___ (0) _____________ (20) /////////////////

Круглая скобка пустой кружок, квадратная заполненный.
О т в е т. (20;+∞ )

2) 5 – х ≤ 1
-х ≤ 1-5
-х ≤ -4
х ≥4

___ (0) _____ [4]///////////////

О т в е т. [4;+∞ )

3) 1 + 6х < 7
6x < 7-1
6x <6
x <1

\\\\\\\\\\\\ (1) _____

О т в е т. (-∞;1)

4) 6х + 1 > 0
6x > -1

x> (-1/6)

________ (-1/6) /////////////////

О т в е т. (-1/6;+∞ )

5) 4 + х < 1 – 2х
x + 2x < 1-4
3x < -3
x< -1

\\\\\\\\\\\\ (-1) _____

О т в е т. (-∞;-1)

6) 2 + 6х > 5 + 7х

6x-7x > 5-2
-x > 3

x< -3

\\\\\\\\\\\\ (-3) _____

О т в е т. (-∞;-3)

(прикреплено изображение)

∫ dt/cos^2t=tgt

t=x^2
dt=2xdx
xdx=(1/2)dt

∫ xdx/(cos^2x^2)=(1/2) ∫ dt/(cos^2t)=(1/2)tgt+C=(1/2)tgx^2+C

Область определения
{x^2+8 >0
{4x^4+8 >0

x - любое число.

log_(sqrt(2))sqrt(4x^4+8)=log_(2^(1/2))2sqrt(x^4+2)=

=2(log_(2)2+log_(2)sqrt(x^4+2)=2*(1+log_(2)(x^4+2)^1/2=

=2+2*(1/2)log_(2)(x^4+2)=

=2+log_(2)(x^4+2)

Уравнение принимает вид:
2+log_(2)(x^2+8)=2+log_(2)(x^4+2)

log_(2)(x^2+8)=log_(2)(x^4+2)

x^2+8=x^4+2

x^4-x^2-6=0

D=1+24=25

x^2=3 x= ±sqrt(3)
или
x^2=-2 - уравнение не имеет корней

О т в е т. ±sqrt(3)

По формуле:
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=2x^3+5
v=x^4+2x

y`=((2x^3+5)`*(x^4+2x)-(2x^3+5)*(x^4+2x)`)/(x^4+2x)^2=

=(6x^2*(x^4+2x)-(2x^3+5)*(4x^3+2))/(x^4+2x)^2=

=(6x^6+12x^3-8x^6-20x^3-4x^3-10)/(x^4+2x)^2=

=(-2x^6-12x^3-10)/(x^4+2x)^2= - 2*(x^6+6x^3+5)/(x^4+2x)^2

Ответ выбран лучшим

Пусть событие A_(1)- выигрыш по первому билету

p(A_(1))=0,1

тогда событие

vector{A_(1)} - невыигрыш по первому билету

p(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,1=0,9

A_(2)- выигрыш по второму билету

p(A_(2))=0,3

тогда событие

vector{A_(2)} - невыигрыш по второму билету

p(vector{A_(2})=1-p(A_(2))=1-0,3=0,7

A_(3)- выигрыш по третьему билету

p(A_(3))=0,5

тогда событие

vector{A_(2)} - невыигрыш по третьему билету

p(vector{A_(3})=1-p(A_(3))=1-0,5=0,5

Пусть событие A-" выиграш по двум билетам"

A=A_(1)*A_(2)*vector{A_(3)}+A_(1)vector{A_(2)}*A_(3)+vector{A_(1)}*A_(2)A_(3)

p=0,1*0,3*0,5+0,1*0,7*0,5+0,9*0,3*0,5= считаем и получаем ответ

Повторные испытания с двумя исходами.
p=0,008
n=500

p очень маленькое, n велико.
Формулу Бернулли применять нецелесообразно.

Применяем локальную теорему Лапласа ( см. приложение 1)
P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)

P_(500)(3)=?

npq=500*0,008*0,992=3,986
sqrt(npq) ≈ sqrt(4)=2

x=(k-np)/sqrt(npq)=(3-4)/2≈(-1/2)=-0,5

P_(500)(3)=(1/2)* φ (-0,5)

Так φ(-х)=φ(х)

P_(500)(3)=(1/2)* φ (0,5) ≈ 0,5*0,3521= считайте самостоятельно.... (прикреплено изображение)

а)
sin(π/n) ~ (π/n) при n → ∞ ( sinx~x при х → 0)

Ряд ∑ (π/n) - расходится, так как это π* ∑ (1/n),
∑ (1/n)- гармонический ряд и он расходится.

Умножение ряда на константу не влияет на сходимость.

б)Σn=(1,1)/(3^n+2)

Ряд сходится, потому что сходится ряд ∑ 1/n^2

А значит сходится ряд ∑ 1,1/n^2
Умножение ряда на константу не влияет на сходимость.

1,1 /(3n^2+2) < 1,1/(n^2)

По признаку сравнения данный ряд сходится.

Ответ выбран лучшим

Случайная величина Х - число деталей первого сорта среди отобранных трёх.

Так как 5 деталей первого сорта и стало быть две детали не первого сорта, то случайная величина может принимать значения 1; 2; 3

(0 - не может, так как 3 детали из двух не первого сорта отобрать нельзя)

p_(1)=C^(1)_(5)*С^(2)_(2)/(C^(3)_(7))=(5*1)/(35)=5/35
p_(2)=C^(2)_(5)*С^(1)_(2)/(C^(3)_(7))=(10*2)/(35)=20/35
p_(3)=C^(3)_(5)*С^(0)_(2)/(C^(3)_(7))=(10*1)/(35)=10/35

Закон состоит из таблицы:
В первой строке значения 1; 2; 3
Под ними вероятности (5/35); (20/35); (10/35)

Если сумма вероятностей в нижней строке равна 1 ( а так и есть), то таблица в самом деле является законом.

M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)=1*(5/35)+2*(20/35)+3*(10/35)=(75/35)= [b]15/7[/b]

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)=

=1^2*(5/35)+2^2*(20/35)+3^2*(10/35)=(175/35)=5

D(X)=5-(15/7)^2=(245-225)/49= [b]20/49[/b]

Ответ выбран лучшим

27^((2/3)*(x-2))=(3^(3))^((2/3)(x-2))=3^(2*(x-2))=3^(2x-4)

3^(2*(x-1))=3^(2x-2)

Неравенство принимает вид:

3^(2x-4)+81 - 3^(2x-2) < 73

81-73 < 3^(2x-2)- 3^(2x-4)

Выносим справа за скобки 3 в меньшей степени.

Применяем свойство степени a^(m):a^(n)=a^(m-n)

8 < 3^(2x-4) *(3^2-1)

1 < 3^(2x-4)

Показательная функция с основанием 3 возрастает.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

0 < 2x-4

2x-4 >0
2x> 4
x>2
О т в е т. [b] (2; + ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

Если элементы строки умножить на k, k>0, то определитель умножается на k
Если две строки меняем местами, то определитель меняет знак с + на - .
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{1-2log_(2)x ≠ 0 ⇒ log_(2)x ≠ 1/2; x ≠ sqrt(2)

Замена переменной:
log_(2)x=t
Решаем обычное дробно- рациональное неравенство.

(t-5)/(1-2t) ≥ 2t

(t-5)/(1-2t) -2t ≥ 0

(t-5-2t+4t^2)/(1-2t) ≥ 0

(4t^2-t-5)/(1-2t) ≥ 0

(4t^2-t-5)/(2t-1)≤ 0

Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
D=1-4*4*(-5)=81
t_(1)=-1 t_(2)=5/4
Отмечаем их на числовой прямой затушеванным кружком.
Находим нули числителя:
2t-1=0
t=1/2
Отмечаем на числовой прямой незаполненным, пустым кружком.
Расставляем знаки:
Cправа от наибольшей точки +, далее знаки чередуем

_-__ [-1] __+_ (1/2) ___-___ [5/4] __+__

t ≤-1 или (1/2) < t ≤ 5/4

Обратная замена:
log_(2)x ≤ -1 или (1/2) < log_(2)x ≤ 5/4

С учетом ОДЗ:
0 < x ≤1/2 или sqrt(2) < x ≤ 2^(5/4)=2*2^(1/4)

О т в е т. (0; 1/2] U (sqrt(2); 2*2^(1/4)]

Уравнение с разделяющимися переменными
3dy/ctgy=xdx
3 ∫ sinydy/cosy= ∫ xdx

3 ∫ (-dcosy)/cosy=x^2/2+C_(1)
-3ln|cosy|=x^2/2+C_(1)

ln|cosy|=(-2/3)x^2+C_(2); [C_(2)=(-1/3)C_(1) это можно не объяснять, константа и есть константа ; ]

cosy=Ce^((-2/3)x^2) ; [ C=e^(C_(2))это можно не объяснять, константа и есть константа]

О т в е т. cosy=Ce^((-2/3)x^2)

3х=t

cost=-1 умеем решать
t=π+2πk, k ∈Z

3x=π+2πk, k ∈Z
x=(π/3)+(2π/3)k, k ∈ Z - о т в е т

1.
1+tg^2 α =1/cos^2 α ⇒ cos^2 α =1/(1+tg^2 α )=1/(1+1)=1/2

sin^2 α =1-cos^2 α =1-(1/2)=1/2

cos α = [b]+ sqrt(1/2[/b]) - угол в 4-ой четверти, косинус имеет знак +
sin α =- [b]sqrt(1/2) [/b]- угол в 4-ой четверти, синус имеет знак -

ctg α =1/tg α [b]=-1[/b]

2.
1+sinxcosx-sinx-cosx=0
Разложим на множители левую часть
(1-sinx)-(cosx-sinxcosx)=0
(1-sinx)-cosx*(1-sinx)=0
(1-sinx)*(1-cosx)=0

1-sinx=0 ⇒ sinx=1 ⇒ [b]x=(π/2) + 2πk, k ∈ Z[/b]
1-cosx=0 ⇒ cosx=1 ⇒ [b]x=2πn, n ∈ Z[/b]

3.
∠ A= [b]30 ° [/b]
BC=(1/2)AB= [b]sqrt(3)/4[/b]
катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

AC=AB*sin ∠ B=sqrt(3)/2*sqrt(3)/2= [b]3/4[/b]

4.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам
a^2=(d_(1)/2)^2+(d_(2)/2)^2=(15/2)^2+(36/2)^2=(225/4)+324=1521/4
a=39/2
P=4a=2*39= [b]78[/b]

5.
S=2ab+2ac+2bc=2*(ab+ac+bc)=2*(10*22+10*16+22*16)=считайте смостоятельно

Ответ выбран лучшим

Разделим на х
y`-(1/x)*y=lnx/(x^2)

Линейное, первого порядка

Решают методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.

В любом случае приходится решить два уравнения с разделяющимися переменными.

Метод Бернулли.
Решение y представлено в виде произведения двух [b]произвольных [/b]функций.

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:

u`*v+u*v`-(1/x)*u*v=lnx/(x^2)

u`*v+u*(v`-(1/x)*v)=lnx/(x^2)

Функцию v=v(x) выбирают так, чтобы

[b]v`-(1/x)*v=0[/b]

тогда

[b]u`*v-u*0=lnx/(x^2)[/b]

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:
v`-(1/x)*v=0

dv/v=dx/x

ln|v|=ln|x|

[b]v=x[/b]

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:

u`*x=lnx/(x^2)

u`=lnx/(x^3)

u= ∫ lnxdx/(x^3)=-lnx/(-2x^2)+(1/2) ∫ dx/x^3=

=-lnx/(-2x^2)-(1/(4x^2))+C

cчитали по частям

u=lnx; du=dx/x

dv=dx/x^3
v=-1/(2x^2)

Общее решение: y=(-lnx/(-2x^2)-(1/(4x^2))+C)*х можно раскрыть скобки.

Так как
y(1)=0
найдем частное решение:

0=-ln1/(-2)-(1/4)+C
C=1/4

y=(-lnx/(-2x^2)-(1/(4x^2))+(1/4))*х- частное решение

Преобразования линейные - значит постоянный множитель можно выносить за знак преобразования

(T_(2) o T_(1))(v)=T_(2) (T_(1)v)=T_(2) (7v-7u)=7T_(2)v-7T_(2)u=

=7*(4v+5u)-7*(6v+2u)=28v+35u-42v-14u= [b]21u-14v [/b]

(T_(2) o T_(1))(u)=T_(2) (T_(1)u)=T_(2) (-7v-6u)=-7T_(2)v-6T_(2)u=

=-7*(4v+5u)-6*(6v+2u)=-28v-35u-36v-12u= [b]-64v-47u [/b]

Ответ выбран лучшим

Находим абсциссы точек пересечения графиков
3x^2+1=3x+7
3x^2–3x–6=0
x^2–x–2=0
D=9
x_(1)=–1; x_(2)=2

V=π ∫ ^(2)_(-1) ((3x+7)^2-(3x^2+1)^2)dx=

=π ∫ ^(2)_(-1) (9x^2+42x+49-9x^4-6x^2-1)dx=

=π ∫ ^(2)_(-1) (3x^2+42x+48-9x^4)dx=

=π*(x^3+21x^2+48x-(9x^5/5))|^(2)_(-1)=

=π*(2^3-(-1)^3+21*(4-1)+48(2-(-1))-(9/5)*(32-(-1)))=

=π*(9+63+144-(297/5))= [b]π*(183/5)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим абсциссы точек пересечения графиков
3x^2+1=3x+7
3x^2-3x-6=0
x^2-x-2=0
D=9
x_(1)=-1; x_(2)=2

S= ∫^(2)_(-1) (3x+7-(3x^2+1))dx= ∫^(2)_(-1) (3x+6-3x^2)dx=

=((3x^2/2)+6x-(3x^3/3))|^(2)_(-1)=

=(3/2)*(4-1)+6*(2-(-1))-(2^3-(-1)^3)=

=(9/2)+18-9= [b]13,5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

б)
Наверное, там должно быть
-5х+2у=13 ( иначе -5 и 13 можно привести подобные)
Это линейное уравнение вида ax+by=с
[b]a=-5;
b=2
c=13[/b]

4,1*8,9 г=

Преобразования линейные - значит постоянный множитель можно выносить за знак преобразования

(T_(2) o T_(1))(v)=T_(2) (T_(1)v)=T_(2) (3v+5u)=3T_(2)v+5T_(2)u=

=3*(2v+5u)+5*(-6v-2u)=6v+15u-30v-10u= [b]5u-24v [/b]

(T_(2) o T_(1))(u)=T_(2) (T_(1)u)=T_(2) (-3v-5u)=-3T_(2)v-5T_(2)u=

=-3*(2v+5u)-5*(-6v-2u)=-6v-15u+30v=10u= [b]24v-5u [/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
ОДЗ: x>0
Замена переменной:
lgx=t
t^2-2t-3>0
D=4+12=16
t_(1)=(2-4)/2=-1; t_(2)=(2+4)/2=3

_+__ (-1) _____ (3) __+_

t < -1 или t > 3

Обратный переход от t к x:

lgx < -1 или lgx > 3
lgx<lg0,1 или lgx > lg 1000

Логарифмическая функция с основанием 10 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
Учитывая ОДЗ:
0< x<0,1 или х >1000

О т в е т. (0;0,1) U (1000;+ ∞ )

б)
(1/2)^(x-2)*((1/2)^2+1) > 5

(1/2)^(x-2)* (5/4) >5

Умножаем неравенство на (4/5)

(1/2)^(x-2)>4

(2^(-1))^(x-2) > 4

2^(-x+2)>2^2
Показательная функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:

-x+2 >2
-x>0
x<0
О т в е т. (- ∞;0)

в)

(x+3)^2 ≥ 0 при любом х

При х=-3 выполняется равенство.

(x+1)/(x+4) ≤ 0

Нули числителя: x=-1
Нули знаменателя: х=-4

__+__ (-4) __-__ [-1] __+__

-3 входит в (-4;-1]

О т в е т. (-4; -1]

1.
sin2x=2sinx*cosx

sqrt(3)cos^2x-sinx*cosx=0
cosx*(sqrt(3)cosx-sinx)=0
cosx=0 или sqrt(3)cosx-sinx=0

cosx=0 ⇒ x= [b](π/2)+πn, n ∈ Z[/b]
sqrt(3)cosx-sinx=0 ⇒ sinx/cosx=sqrt(3) ⇒ tgx=sqrt(3)

x= [b](π/3)+πk , k ∈ Z[/b]

Положительные корни: π/3; π/2;
Отрицательные (π/2)-π=-π/2; (π/3)-π=-2π/3

2.
Находим абсциссы точек пересечения графиков
-0,5x^2+2x=0,5x
-0,5x^2+2x-0,5x=0
-0,5x^2+1,5x=0
0,5x*(x-1,5)=0
x_(1)=0; x_(2)=1,5

S= ∫^(1,5)_(0) (-0,5x^2+2x-0,5x)dx= ∫^(1,5)_(0) (-0,5x^2+1,5x)dx=

=(-0,5*(x^3/3)+1,5*(x^2/2))|^(1,5)_(0)=

=(-1,5^3/6)+(3/4)*1,5^2= считаем самостоятельно.

3.
{x-1>0
{x-3>0
{log_(2)(x-1)*(x-3) <3 ⇒ log_(2)(x^2-4x+3)<log_(2)8

{x>3
{x^2-4x+3<8 ⇒ x^2-4x-5 <0 D=16=20=36; корни (-1) и 5

{x>3
{-1 < x < 5

О т в е т. [b](3;5)[/b]

4.
1=log_(3)3

1+log_(3)(x+2y)=log_(3)3 + log_(3)(x+2y)=log_(3)3*(x+2y)=log_(3)(3x+6y)

3^(log_(3)(3*x+6y))=[ основное логарифмическое тождество]=3x+6y

{3x+6y=6x ⇒ 6y=3x ⇒ x=2y
{3^(x^2-2y)=(3^(2))^(0,5x) ⇒ 3^(x^2-2y)=(3^(x) ⇒ x^2-2y=x

{x=2y
{(2y)^2-2y=2y ⇒4y^2-4y=0 ⇒ 4y*(y-1)=0 ⇒

y=0 или y=1
x=0 или х=2

(0;0) не удовлетворяем условию, так как log_(3)(0+2*0) не существует

О т в е т. (2;1)

5.
Пусть L - образующая конуса, r- радиус основания, H- высота конуса.
Р_(осевого сечения)=L+L+2r=2L+2r
По условию
P_(осевого сечения)=8
2L+2r=8
L+r=4
L=4-r
По теореме Пифагора
H^2=L^2-r^2=(4-r)^2-r^2=16-8r+r^2-r^2=16-8r
H=sqrt(16-8r)

V=(1/3)S_(осн.)*Н=(1/3)*π*r^2*sqrt(18-8r)

V(r)=(π/3)*r^2sqrt(16-8r)=(π/3)*sqrt(16r^4-8r^5)

Функция V(r) принимает наибольшее значение, когда
g(r)=16r^4-8r^5 принимает наибольшее значение

g`(r)=64r^3-40r^4
g`(r)=0
64r^3-40r^4=0
r^3*(64-40r)=0
r=0 не удовл условию задачи.
64-40r=0
r=64/40=16/10=1,6

1,6 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

V(1,6)=(π/3)*1,6^2sqrt(16-8*1,6)= считаем самостоятельно....

Ответ выбран лучшим

=(lg(3^2)/lg(2*3)+lg(2^2)/lg(2*3)=(2lg3)/(lg2+lg3)+(2lg2)/(lg2+lg3)=

=(2lg3+2lg2)/(lg2+lg3)=2*(lg3+lg2)/(lg2+lg3)= [b]2[/b]

2,7^(lg3/lg2,7)=2,7^(log_(2,7)3)=3

(2+3)^(lg7/lg5)=5^(log_(5)7)=7

О т в е т. [b]7[/b]

Уравнение прямой в отрезках имеет вид:
(x/a)+(y/b)=1
Так как прямая пересекает ось Oх в точке (3;0), ось Оу в точке (7;0)
то а=3; b=7 и уравнение прямой имеет вид:
(x/3)+(y/7)=1
или
[b]7x+3y=21[/b]

a_(1)=7;b_(1)=3; с_(1)=21
Так как система
{a_(1)x+b_(1)y=c_(1);
{a_(2)x+b_(2)y=c_(2)
не имеет решений, то значит прямые параллельны, а их коэффициенты при х и у пропорциональны

[b]a_(1):a_(2)=b_(1):b_(2) [/b] 7:a_(2)=3:b_(2)⇒ b_(2)=(3/7)a_(2)

Прямая a_(2)x+b_(2)y=c_(2) проходит через точку (5;3)

а_(2)*5 +(3/7)a_(2)*3=c_(2) ⇒ c_(2)=(44/7)a_(2)

тогда уравнение прямой примет вид:

a_(2)x + (3/7)a_(2)y=(44/7)a_(2)
Сократим на а_(2)
[b]7х+3у=44[/b] - о т в е т.

f(29–8√13)=sqrt(29-8√13)
g(4+√13)=3/(4+√13)=3*(4-√13)/(4^2-(√13)^2)=4-√13

Возведем каждое число в квадрат
(sqrt(29-8√13))^2=29-8√13
и
(4-13)^2=16-8√13+13=29-8√13

О т в е т. Равны.

Δ АВМ - прямоугольный равнобедренный. так как биссектриса АМ делит прямой угол ВАD пополам.
АВ=ВМ=АМ*sin45 ° =10sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=10

АС^2=AB^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676
AC=26
R=(1/2)AC=13 см.

О т в е т. 13 см

a)
5x*(2x+1)=0
x=0 или 2х+1=0
х=0 или х=-0,5

б)
(5-10х)*(5+10х)=0
5-10х=0 или 5+10х=0
х=1/2 или х=-1/2

О т в е т.-1/2; 1/2
ИЛИ так

б) 25*(1-4x^2)=0

1-4x^2=0
(1-2x)(1+2x)=0
1-2x=0 или 1+2х=0
х=1/2 или х=-1/2
О т в е т.-1/2; 1/2

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+225=0
k_(1)= -15i; k_(2)=15i

[b]y=C_(1)cos15x+C_(2)sin15x[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

a_(n+1)=a_(n)+10
a_(n+1)-a_(n)=d
d=10

a_(n)=a_(1)+(n-1)d

a_(1)=10

a_(15)=10+10*14=150
О т в е т. 150

y`= ∫ y``(x)dx= ∫ sqrt(1+x)dx= ∫ (1+x)^(1/2)d(1+x)=

=(1+x)^(3/2)/(3/2)+C_(1)=(2/3)x^(3/2)+C_(1)

y= ∫ y`(x)dx= ∫ ((2/3)x^(3/2)+C_(1))dx=

=(2/3) ∫x^(3/2)dx+C_(1)∫dx=

=(2/3)*(x^(5/2)/(5/2)+C_(1)x+C_(2)=

=(4/15)x^(5/2)+C_(1)x+C_(2)

y=(4/15)x^(5/2)+C_(1)x+C_(2) - общее решение

y`=(2/3)x^(3/2)+C_(1)

Условия задачи Коши:
y(0)=1,y’(0)=3

Подставляем в у и у`

1=(4/15)*0+C_(1)*0+C_(2)

⇒ C_(2)=1

3=(2/3)*0^(3/2)+C_(1)

⇒ C_(1)=3

y=(4/15)x^(5/2)+3x+1 - частное решение

Ответ выбран лучшим

Построим два прямоугольных треугольника.
Треугольники равны.
Обозначим острый угол α

tg α =2/10=0,2=1/5

ctgα=1/tgα=5

∠ AOB=90 ° -2 α

tg ∠ AOB=tg(90 ° -2arctg0,2)=по формулам приведения
=ctg(2arctg0,2)= применяем формулу котангенса двойного угла=

=(5^2-1)/2*5=(25-1)/10=2,4

О т в е т. [b]2,4[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение окружности
(x-1)^2+(y-1)^2=4

(y-1)^2=4-(x-1)^2

y-1=sqrt(4-(x-1)^2)

y=1+sqrt(4-(x-1)^2))

D: -1 < x < 3

1 < y < 1+sqrt(4-(x-1)^2)

∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy= ∫^(3) _(-1)dx ∫ ^(1+sqrt(4-(x-1)^2))_(1)f(x;y)dy

или

(x-1)^2+(y-1)^2=4

(х-1)^2=4-(у-1)^2

х-1=sqrt(4-(у-1)^2)

х=1+sqrt(4-(y-1)^2))

D: 1 < y < 3
1-sqrt(4-(y-1)^2) < x < 1+sqrt(4-(y-1)^2)

∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy= ∫^(3) _(1)dy ∫ ^(1+sqrt(4-(y-1)^2))_(1-sqrt(4-(y-1)^2))f(x;y)dx

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Умножаем первое уравнение на (-3)
{-3x-15y=-105
{3x+2y=27
Cкладываем
-13y=78
y=-6
x=35-5y=35-5*(-6)=65
О т в е т. [b](65;-6)[/b]

2.
Выражаем из первого уравнения х
{(1/4)x=4+(1/3)y⇒ x=16+(4/3)y
{(4/5)* (16+(4/3)y)-3y=7

{x=16+(4/3)y
{(64/5)+(16/15)y-3y=7

{x=16+(4/3)y
{(64/5)-7=3y-(16/15)y

{x=16+(4/3)y
{29/5=(29/15)y ⇒ y=3

x=16+(4/3)*3=20

О т в е т. [b](20;3)[/b]

3.
{x+y=2
{6-5x+5y-8x+2y=0

{y=2-x
{6-13x+7y=0

{y=2-x
{6-13x+7*(2-x)=0

{y=2-x
{6-13x+14-7x=0

{y=2-x
{20x=20

{y=2-x
{x=1

{y=1
{x=1
О т в е т. [b] (1;1)[/b]

4.
Подставляем координаты точек в уравнение:
2=k*6+b
-3=k*(-1)+b
Вычитаем из первого второе
5=7k
k=5/7
b=2-6k=2-6*(5/7)=-16/7

[b]y=(5/7)x-(16/7) -[/b] о т в е т.

5.
х+y=24
50x+10y=800

y=24-x
50x+10*(24-x)=800

y=24-x
40x=560

y=24-16=10
x=14

О т в е т. 14 пятидесятирублевых и 10 десятирублевых

Ответ выбран лучшим

а)
(2(1/3))^(-x^2-2x+3)=(2(1/3))^(0)
-x^2-2x+3=0
x^2+2x-3=0
D=4-4*(-3)=16
x_(1,2)=(-2 ± 4)/2
x_(1)=-3; x_(2)=1
О т в е т. [b]-3;1[/b]

б)

5^(3x-2)=5^(3x)*5^(-2)=5^(3x)/25
Выносим за скобки 5^(3x):

5^(3x)*(1+(3/25))=140

5^(3x)*(28/25)=140

5^(3x)=125

5^(3x)=5^3
3x=3
x=1

О т в е т. [b]1[/b]

в)
(1/4)=2^(-2)
4=2^2

(2^(-2)*(2^(2))^(x))^(x)=2^(2x+6)

2^((2x-2)*x)=2^(2x+6)

(2x-2)*x=2x+6

2x^2-2x-2x-6=0
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
х_(1)=(2-4)/2=-1; х_(2)=(2+4)/2=3

О т в е т. [b] -1;3[/b]

г)

5^(x-1)*(5^2+5+1)=155

5^(x-1)*31=155

5^(x-1)=5

x-1=1

x=2

О т в е т. [b]2[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
3^(2x)–3^(x)=72
Квадратное уравнение относительно 3^(x)
3^(x)=t
3^(2x)=t^2

t^2-t-72=0
D=1-4*(-72)=289
t_(1,2)=(1 ± 17)/2
t_(1)=9; t_(2)=8

Обратный переход
3^(x)=9 ⇒ 3^(x)=3^2 ⇒ x=2
3^(x)=8 ⇒ x=log_(3)8

О т в е т. log_(3)8; 9

б)
Аналогично,
2^(x)=t
t^2-2t-48=0
D=4-4*(-48)=4*49
t_(1,2)=(2 ±7)/2
t_(1)=-5/2; t_(2)=9/2

Обратный переход
2^(x)= -5/2
уравнение не имеет корней 2^(x)> 0 при любом х
2^(x)=9/2 ⇒ x=log_(2)(9/2)
х=log_(2)9-log_(2)2
x=log_(2)3^2-1
x=2log_(2)3-1

О т в е т. 2log_(2)3-1

в) 5^(x+4)+3*4^(x+3)=4^(x+4)+5^(x+3)⋅4

3*4^(x+3)-4^(x+4)=5^(x+3)⋅4-5^(x+4)

4^(x+3)*(3-4)=5*(x+3)*(4-5)

4^(х+3)=5^(x+3)

(4/5)^(х+3)=1
x+3=0
x=-3
О т в е т. -3

г) 16⋅9^(x)–25⋅12^(x)+9⋅16^(x)=0

Делим на 16^(x) >0

16*(9/16)^(x)-25*(3/4)^(x) +9=0

Квадратное уравнение относительно (3/4)^(x)
(3/4)^(x)=t
(9/16)^(x)=t^2

16t^2-25t+9=0
D=25^2-4*16*9=49
t_(1,2)=(25 ±7)/32
t_(1)=9/16; t_(2)=1

Обратный переход
(9/16)^(x)=9/16 ⇒ x=1
(9/16)^(x)=1 ⇒ x=0

О т в е т. 0; 1

Ответ выбран лучшим

((a–5)(a+5)/(a+3)) * (1/a(a+5))- ((a+5)^2/a(a-3)^2)*(a-3)/(a+5)=

=(a-5)/(a*(a+3)) - (a+5)/(a(a-3))

=((a-5)*(a-3)-(a+5)*(a+3))/(a*(a-3)*(a+3))

=(a^2-8a+15-a^2-8a-15)/(a*(a-3)*(a+3))= [b]-30/(a*(a-3)*(a+3))[/b]

Далее проблема. Непонятно, что такое (4/a–3)^2?
Считаю, что это 16/(a-3)^2
Тогда:

-30/(a*(a-3)*(a+3)) + (4/a–3)^2=(-30*(a-3)+(16*a*(a+3))/(a*(a-3)^2*(a+3))=

=(16a^2+48a-30a+90)/(a*(a-3)^2*(a+3))=(16a^2+12a+90)/(a*(a-3)^2*(a+3))

1)
Замена переменной:
x^2=t
x^4=t^2

2t^2-t-1=0
D=1-4*2*(-1)=9

t_(1)=(1-3)/4=-1/2; t_(2)=(1+3)/4=1

Обратный переход

x^2=-1/2 - уравнение не имеет корней
x^2=1 ⇒ x= ± 1

О т в е т. -1; 1

2.
Из второго уравнения выражаем у и подставляем в первое:
{(1-x)^2+2x=1
{y=1-x

1-2х+x^2+2x=1
x^2=0
x=0
y=1-x=1-0=1

О т в е т. (0;1)

3.
Решаем первое неравенство системы
x^2-6x+8 ≤ 0
D=(-6)^2-4*8=36-32=4
х_(1)=(6-2)/2=2; х_(2)=(6+2)/2=4
2 ≤ х ≤ 4

{2 ≤ х ≤ 4
{x ≥ 8/3

О т в е т. [8/3;4]
(прикреплено изображение)

Область определения (- ∞;+ ∞ )
y`=-3x^2+6x
y`=0
-3x^2+6x=0
-3x*(x-2)=0
x=0 или x=2

Расставляем знак производной:

_-__ (0) _+_ (2) _-_

y`> 0 на (0;2)
Значит функция возрастает на (0;2)

y`< 0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

Значит функция убывает на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

х=0- точка минимума
x=2 - точка максимума

y``=(-3x^2+6x)`=-6x+6

y``=0

-6x+6=0

x=1 - точка перегиба.

y`` > 0 на (- ∞; 1)
Значит кривая выпукла вниз

y`` < 0 на (1;+ ∞ )
Значит кривая выпукла вверх.
(прикреплено изображение)

[b]январь 2020 года [/b]
долг 1,05*1 000 000 руб
С февраля по июнь выплата Х руб.

(1,05*1 000 000 - Х) руб- остаток на конец 2020 года

[b]январь 2021 года[/b]
долг 1,05*(1,05* 1 000 000 -X)руб.
С февраля по июнь выплата Y руб.
1,05*(1,05* 1 000 000 -X) - У=

=(1,05^2* 1 000 000 -1,05X -Y) руб. -остаток на конец 2021 года

[b]январь 2022 года[/b]
долг 1,05*(1,05^2* 1 000 000 -1,05X -Y) руб.
С февраля по июнь выплата Х руб.
1,05*(1,05^2*1 000 000 -1,05*Х - Y)- X=

=(1,05^3* 1 000 000 -1,05^2X -1,05Y - X) руб. -остаток на конец 2022 года

[b]январь 2023 года[/b]
долг 1,05*(1,05^3* 1 000 000 -1,05^2X -1,05Y - X) руб.
С февраля по июнь выплата (Y-50 000) руб.
1,05*(1,05^3* 1 000 000 -1,05^2X -1,05Y - X) - (Y-50 000) =

=(1,05^4* 1 000 000 -1,05^3*X -1,05^2*Y -1,05*X-Y+50 000) руб. -остаток на конец 2023 года

[b]январь 2024 года[/b]
долг 1,05*(1,05^4* 1 000 000 -1,05^3*X -1,05^2*Y -1,05*X-Y+50 000) руб.
С февраля по июнь выплата X руб.
1,05*(1,05^4* 1 000 000 -1,05^3*X -1,05^2*Y -1,05*X-Y+50 000) - X =

=(1,05^5* 1 000 000 -1,05^4*X -1,05^3*Y -1,05^2*X-1,05*Y+
+1,05*50 000- X ) руб. -остаток на конец 2024 года

[b]январь 2025 года[/b]
долг 1,05*(1,05^5* 1 000 000 -1,05^4*X -1,05^3*Y -1,05^2*X-1,05*Y+
+1,05*50 000- X )
С февраля по июнь выплата (Y-100 000) руб.
1,05*(1,05^5* 1 000 000 -1,05^4*X -1,05^3*Y -1,05^2*X-1,05*Y+
+1,05*50 000- X ) - Y+100 000=

=(1,05^6* 1 000 000 -1,05^5*X -1,05^4*Y -1,05^3*X-1,05^2*Y+
+1,05^2*50 000- 1,05X-Y+100 000 ) руб. -остаток на конец 2025 года

[b]январь 2026 года[/b]
долг 1,05*(1,05^6* 1 000 000 -1,05^5*X -1,05^4*Y -1,05^3*X --1,05^2*Y+1,05^2*50 000- 1,05X-Y+100 000 )
С февраля по июнь выплата Х руб.
1,05*(1,05^6* 1 000 000 -1,05^5*X -1,05^4*Y -1,05^3*X --1,05^2*Y+1,05^2*50 000- 1,05X-Y+100 000 ) - Х=

=(1,05^7* 1 000 000 -1,05^6*X -1,05^5*Y -1,05^4*X-1,05^3*Y+
+1,05^3*50 000- 1,05^2X-1,05*Y+1,05*100 000-X ) руб. -остаток на конец 2026 года

[b]январь 2027 года[/b]
долг 1,05*(1,05^7* 1 000 000 -1,05^6*X -1,05^5*Y -1,05^4*X--1,05^3*Y+1,05^3*50 000- 1,05^2X-1,05*Y+1,05*100 000-X )
С февраля по июнь выплата Y-150 000 руб.
,05*(1,05^7* 1 000 000 -1,05^6*X -1,05^5*Y -1,05^4*X--1,05^3*Y+
+1,05^3*50 000- 1,05^2X-1,05*Y+1,05*100 000-X )-Y+150 000

=(1,05^8* 1 000 000 -1,05^7*X -1,05^6*Y -1,05^5*X-1,05^4*Y+
+1,05^4*50 000- 1,05^3X-1,05^2*Y+1,05^2*100 000-1,05*X ) руб. -остаток долга на июль. По условию он равен 0

Уравнение.
1,05^8* 1 000 000 -1,05^7*X -1,05^6*Y -1,05^5*X-1,05^4*Y+
+1,05^4*50 000- 1,05^3X-1,05^2*Y+1,05^2*100 000-1,05*X =0

[b]1,05^8*1 000 000+1,05^4*50 000+1,05^2*100 000=

=(1,05^7+1,05^5+1,05^3+1,05)*X+(1,05^6+1,05^4+1,05^2)*Y

[/b]

Есть условие в котором указано, что Х = 100 000,
тогда У находим из уравнения
И считаем выплаты

Ответ выбран лучшим

168 слов.

A _ _ _ _ _

Слов, у которых буква А на первом месте
2^5=32 ( на каждое из пяти мест любая из букв Б или В, два способа)

_ A _ _ _ _

Слов, у которых буква А на втором месте
тоже 2^5=32

_ _ А _ _ _

Слов, у которых буква А на третьем месте
тоже 2^5 = 32

А А А _ _ _

Слов, у которых буква А занимает первые три места
2^3=8

2^6=64 слова без буквы А.
_ _ _ _ _ _

Всего

32+32+32+8+64=168

Замена переменной:
u=-x^4
du=-4x^3dx
x^3dx=(-1/4)du

∫ e^(-x^4)*x^3dx=(-1/4) ∫ e^(u)du=(-1/4)e^(-x^4)+C

Проверка:
((-1/4)e^(-x^4)+C)`=(-1/4)*e^(-x^4)*(-x^4)`+0=(-1/4)*e^(-x^4)*(-4x^3)+

=x^3*e^(-x^4) - получили подынтегральную функцию.

Решение выполнено верно

Ответ выбран лучшим

(36)^(2x–5)=36^(2x)·36^(–5)=36^(2x)/36^5=(36^2)^(x)/36^(5)

(1/64)^(5–x)=64^(x–5)=64^(x)/64^(5)

Неравенство принимает вид:

(36^2)^(x)/36^(5) < 64^(x)/64^(5)

Делим на 64^(x)/36^(5) > 0

((36^2)/64)^(x) < (36/64)^(5)

(81/4)^(x) < (9/16)^(5)

Логарифмируем по основанию 81/4 > 1

x <log_(81/4) (9/16)^(5)

log_(81/4) (9/16)^(5)= log_((9/2)^2)(3/4)^(10)=

=(10/2)log_(4,5)0,75=5log_(4,5)0,75
О т в е т. (- ∞; 5log_(4,5)0,75)

y`=sqrt(x^2+y^2)/x+(y/x)

y`=sqrt(1+(y/x)^2) + (y/x)

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u` ( x`=1, так как х - независимая переменная)

u+x*u`=sqrt(1+u^2)+u

x*u`=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

xdu/dx=sqrt(1+u^2)

du/sqrt(1+u^2)=dx/x

Интегрируем

∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x|+lnС

ln|(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)|=ln|x|+lnC

ln|(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)|=lnC*|x|

(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=C*|x|

y+sqrt(x^2+y^2)=C*x^2- общее решение.

Так как

y(1)=1

1+sqrt(1^2+1^2)=C*1^2

С=1+sqrt(2)

y+sqrt(x^2+y^2)=(1+sqrt(2))*x^2- частное решение.

y`=12x-6x^2

y`=0

12x-6x^2=0

6x*(2-x)=0

x=0 или x=2

Знак производной:

__-__ (0) __+__(2) __-__

x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y` < 0 на (- ∞ ;0) и на ( 2;+ ∞ )

значит функция убывает на (- ∞ ;0) и на ( 2;+ ∞ )

y`> 0 на (0;2)

значит функция возрастает на (0;2)

y``=(12x-6x^2)`=12-12x

y``=0

12-12x=0

x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак

y`` > 0 на (- ∞ ;1), значит кривая выпукла вниз

y`` < 0 на (1;+ ∞ ), значит кривая выпукла вверх.

Cм. рис. (прикреплено изображение)

ху`+2y=e^(–x^2)

y=3-e^(-x^2)

y`=(3-e^(-x^2))`=(3)` - (e^(-x^2))`=0-e^(-x^2)*(-x^2)`=-e^(-x^2)*(-2x)=

=2x*e^(-x^2)

Подставляем в данное уравнение y` и y:

x*2x*e^(-x^2)+2*(3-e^(-x^2))=e^(-x^2)-
2x^2*e^(-x^2)+6-2*e^(-x^2))=e^(-x^2) - равенство неверно.

Значит не является.

Уточните условие, прикрепите фото.

y`= ∫ y``(x)dx = ∫(2x^2+1+5x)dx=(2x^3/3)+x+(5x^2/2)+C_(1)

y= ∫ ((2x^3/3)+x+(5x^2/2)+C_(1))dx=

=(2/3)*(x^4/4)+(x^2/2)+(5/2)*(x^3/3)+C_(1)x+C_(2)=

=(1/6)*x^4+(1/2)x^2+(5/6)x^3+C_(1)x+C_(2).

О т в е т. [b] y=(1/6)*x^4+(1/2)x^2+(5/6)x^3+C_(1)x+C_(2).[/b]

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

Пусть дуга равна α градусов.

∠ AOB= α градусов
Вписанный угол AKB, опирающийся на эту же дугу измеряется половиной дуги, поэтому равен ( α /2) градусов
∠ AKB= (α/2) градусов
По условию

α > ( α /2) на 30 °
( опечатка в тексте 300 это 30 градусов)

Уравнение

α - ( α /2)=30 °

α /2= 30 °

α =60 °

О т в е т. Центральный угол АОВ равен 60 ° , вписанный угол AKB, опирающийся на эту же дугу равен 30 ° (прикреплено изображение)

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9k=0
k*(k-9)=0
k_(1)=0; k_(2)=9

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x)
y=C_(1)e^(0*x)+C_(2)e^(9x)

О т в е т. y=C_(1)+C_(2)e^(9x)

Ответ выбран лучшим

Призма правильная, значит в основании квадрат.
Пусть АВ=ВС=CD=AD=x

Четыре диагонали квадрата равны между собой
Равные проекции имеют равные наклонные, поэтому
BD_(1)=B_(1)D=AC_(1)=A_(1)C=2x
A_(1)B_(1)CD - прямоугольник.

Прямоугольные треугольники
Δ A_(1)DC и ΔB_(1)DC равны между собой.

cos ∠ B_(1)DC=DC/B_(1)D=x/2x=1/2
∠ B_(1)DC=60 градусов

cos ∠ A_(1)DC=DC/A_(1)D=x/2x=1/2
∠ A(1)DC=60 градусов

В треугольнике DMC сумма углов равна 180 градусов.
Два угла по 60 градусов, значит и третий угол 60 градусов.
∠ DMC=60 градусов (прикреплено изображение)

Формула
1+ctg^2 α =1/sin^2 α ⇒ ctg^2 α =(1/sin^2 α) -1= 41^2/(16*41)-1=(41/16)-1=25/16

ctg α =5/4, так как угол α в третьей четверти и котангенс имеет знак +

tg α =1/ctg α =4/5
О т в е т. 4/5

y`=(6-4x)`*cosx+(6-4x)*(cosx)`+4*(sinx)`+(12)`;
y`=-4*cosx+(6-4x)*(-sinx)+4*cosx+0

y`=-*(6-4x)*sinx
[b]y`=(4x-6)*sinx[/b]

на (0;π/2) sinx > 0
4x-6 =0
x=3/2

3/2 ∈ (0;π/2) и является точкой минимума, так как производная меняет знак с - на +

84 ° -45 ° = 39 °

cм. рис. (прикреплено изображение)

Проведем высоту BE, ∠ BEC=90 °, ВС– диаметр,
∠ BEC опирается на диаметр ВС.
Значит точка Е – точка пересечения полуокружности с диаметром ВС и стороны АС.

Достроим полуокружность до окружности и продолжим высоту AD до пересечения с окружностью,
получим точку F.

По условию AD=605, MD=550
Значит АМ=AD–MD= 605 – 550 = 55

MD = DF = 550
AF = AD+DF=605+550=1155

По свойству секущих
AM·AF=AE·AC

AM·AF=55·1155

Значит и AE·AC=55·1155

Δ AНЕ и Δ ADC подобны как прямоугольные треугольники, имеющие общий острый угол ∠ DAC.

Из подобия

AH:AC=AE:AD ⇒ AH = AE· AC/AD= 55*1155/605 =105

О т в е т. АН=105 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

y`= ∫ arctgxdx=[по частям: u=arctgx; dv=dx ⇒ u=dx/(1+x^2); v=x]=

=x*arctgx - ∫ xdx/(1+x^2)=

=x*arctgx -(1/2) ln(1+x^2)+C_(1)

y= ∫(x*arctgx -(1/2) ln(1+x^2)+C_(1))=

= [b] ∫ x*arctgxdx - (1/2) ∫ ln(1+x^2)dx+ C_(1) ∫ dx[/b]

Считаем каждый интеграл отдельно:

∫ x*arctgxdx [по частям: u=arctgx; dv=xdx ⇒ u=dx/(1+x^2); v=x^2/2]=

=(1/2)x^2arctgx-(1/2) ∫x^2dx/(1+x^2)=

=(1/2)x^2arctgx-(1/2) ∫(x^2+1-1)dx/(1+x^2)=

=(1/2)x^2arctgx-(1/2) ∫dx +(1/2)∫dx/(1+x^2)=

= (1/2)x^2arctgx-(1/2)*x +(1/2)arctgx

∫ ln(1+x^2)dx= [по частям: u=ln(1+x^2); dv=dx ⇒du=2xdx/(1+x^2); v=x]

=x*ln(1+x^2)- ∫ x*(2dx)/(1+x^2)=

=x*ln(1+x^2) -2 ∫x^2dx/(1+x^2)=

=x*ln(1+x^2)-2 ∫(x^2+1-1)dx/(1+x^2)=

=x*ln(1+x^2)-2 ∫ dx+2 ∫ dx/(1+x^2)

=x*ln(1+x^2)-2x+2arctgx

Итак

∫ x*arctgxdx - (1/2) ∫ ln(1+x^2)dx+ C=

=(1/2)x^2arctgx-(1/2)*x +(1/2)arctgx-(1/2)x*ln(1+x^2)+x-arctgx +C_(1)x+C_(2)

y=(1/2)x^2arctgx+(1/2)*x -(1/2)arctgx-(1/2)x*ln(1+x^2)+C_(1)x+C_(2)- общее решение

y`=x*arctgx -(1/2) ln(1+x^2)+C_(1)

Из условий:
y(0)=0
y`(0)=0

0=С_(2)
0=С_(1)

y=(1/2)x^2arctgx+(1/2)*x -(1/2)arctgx-(1/2)x*ln(1+x^2) - частное решение

Ответ выбран лучшим

a_(n)=0,5+(0,1)^(n)

Ряд расходится так как общий член ряда не стремится к 0

lim_(n → ∞)a_(n)=0,5

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^(x^2)=u
u>0 при любом х
2^(-x)=v
v>0 при любом х

Умножаем и числитель и знаменатель на u >0
(3*u^2+uv)/(4u-v) ≤ 2v

(3*u^2+uv)/(4u-v) - 2v ≤ 0

(3*u^2+uv-8uv+2v^2)/(4u-v) ≤ 0

(3*u^2-7uv+2v^2)/(4u-v) ≤ 0

D=(7v)^2-4*3*2v^2=25v^2
(7v±5v)/6 получим (1/3)v и 2v

(3u-v)*(u-2v)/(4u-v) ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов.

3u-v=0 ⇒ u/v=1/3
u-2v=0 ⇒ u/v=2
4u-v=0 ⇒ u/v=1/4

__-__ (1/4) _+_ [1/3] ___-____ [2] __+__

u/v < 1/4 или 1/3 ≤ u/v ≤ 2
Обратный переход

2^(x^2)/2^(-x) < 1/4 или (1/3) ≤ 2^(x^2)/2^(-x) ≤ 2

2^(x^2+x) < 2^(-2) или 2^(log_(2) (1/3)) ≤ 2^(x^2+x) ≤ 2

Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастающая, поэтому

x^2+x < -2 или log_(2)(1/3) ≤ x^2+x ≤ 1

x^2+x+2<0 D=1-4*2<0 неравенство не имеет решений.

log_(2)(1/3) ≤ x^2+x ≤ 1 ⇒

{x^2+x-1 ≤ 0⇒ D=5 ;x ∈ [(-1-sqrt(5))/2; (-1+sqrt(5))/2]
{x^2+x ≥ log_(2)(1/3) - верно при любом х см. рис.

О т в е т. [(-1-sqrt(5))/2; (-1+sqrt(5))/2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2–6x+8=0
D=26-4*8=4
x_(1)=(6-2)/2=2; x_(2)=(6+2)/2=4

2 ≤ х ≤4

{2 ≤ х ≤4
{x≥8/3=2 целых 2/3

О т в е т. [2 целых 2/3;4]

(прикреплено изображение)

2c=11-(-5)
c=8

Гипербола симметрична относительно прямой x=3

cм. рис.

2a=12
a=6
от х=3 влево и вправо откладываем 6

Вершины гиперболы (-3;0) и (9;0)

b^2=c^2-a^2=8^2-6^2=64-36=28

О т в е т. ((x-3)^2/36)-(y^2/28)=1 (прикреплено изображение)

m=200 г=0,2 кг

ρ =1000 кг/м^3

ρ =m/V ⇒ V=m/ ρ =0,2/1000=0,0002 м^3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

sin^6x+coss^6x=(sin^2)^3+(cos^2)^3=

=(sin^2x+cos^2x)*(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)=

=1*(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)

О т в е т. (sin^2x+cos^2x)^2=1

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x+5>0 ⇒ x > -5 (прикреплено изображение)

Применяем формулу ( признак Коши) см. рисунок.

lim_(n → ∞) (a_(n))^(1/n)=

lim_(n → ∞ )(2n-1)/(n*2^((n-1)/n))=

=lim_(n → ∞ )(2n-1)/(n) * lim_(n → ∞ )(1/2^((n-1)/n))=

=2/ 2^(lim_(n → ∞ )(n-1)/n)=2/2=1

R=1

Значит

-1 < x+1 < 1

-2 < x < 0

(-2; 0) - интервал сходимости

Исследуем при

x=0

∑ (2n-1)^(n)/(2^(n-1)*n^n)

Признак Даламбера и Коши ответа не дают, так как получим 1

Признак сравнения:

??? (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Рассмотрим ряд из модулей
∑ π/4^(n) - сходится ( беск. уб геом прогрессия)

или по признаку Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

[b]ОДЗ:[/b]
{-1-x>0 ⇒x < -1
{-1 - x ≠ 1 ⇒ x ≠ -2
{(-4-x)/(x+1)>0 ⇒ так как в первом неравенстве х < - 1, т.е. 1+х < 0, то -4-х <0
х > -4

[b](-4; -2) U(-2;-1)[/b]

log_(-1-x)(-4-x)/(x+1) + 1 ≤ 0

1=log_(a)a, a>0; a ≠ 1

log_(-1-x)(-4-x)/(x+1) + log_(-1-x)(-1-x) ≤ 0

log_(-1-x) (-4-x)*(-1-x) /(x+1)≤ 0

log_(-1-x) (4+x)*(1+x) /(x+1)≤ 0

log_(-1-x) (4+x)≤ 0

Если

-1-x > 1, т.е х < -2, то логарифмическая функция возрастает большему значению функции соответствует большее значение аргумента
4+х ≤ 1 ⇒ х ≤ -3

C учетом ОДЗ [b] (-4;-3][/b]

Если

0<-1-x < 1, т.е -2 < х -1 , то логарифмическая функция убывает большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
4+х ≥ 1 ⇒ х ≥ -3
Решение в этом случае (-2;-1)

Объединяем ответы:

[b](-4;-3] U (-2;-1)[/b]- о т в е т.

Ответ выбран лучшим

D=(2(a-1))^2-4*a*(a-4)=8a+4
Если D>0 уравнение имеет два корня.

8a+4 > 0

a> -1/2

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-2(a-1)
x_(1)*x_(2)=a-4

Найдем разность

x_(2)-x_(1)

Возведем первое уравнение в квадрат

x^2_(1)+2x_(1)x_(2)+x^2_(2)=-2a+2

Вычтем 4x_(1)x_(2)

x^2_(1)-2x_(1)x_(2)+x^2_(2)=-2a+2-4x_(1)x_(2)

(х_(2)-х_(1))^2= - 2a+2 -4*(a-4)

(х_(2)-х_(1))^2= 18-6a

x_(2)-x_(1)=sqrt(18-6a)

По условию

x_(2)-x_(1)>3

Значит

sqrt(18-6a) > 3

18-6a > 9

6a < 9

a < 3/2

О т в е т. (-1/2; 3/2)

f`_(x)=(x^2-xy+y^2)`_(x)=2x-y
f`_(y)=(x^2-xy+y^2)`_(y)=-x+2y

x_(o)=2
y_(o)=1

Δx=2,15-2=0,15
Δy=1,25-1=0,25

f`_(x)(x_(o);y_(o))=2*2-1=3
f`_(y)(x_(o);y_(o))=-2+2*1=0

Δz= 3*0,15+0*0,25= [b]0,45[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскладываем дробь на простейшие:

(x+1)/(x*(x^2+2x+2))= (A/x)+(Mx+N)/(x^2+2x+2)

x+1= A*(x^2+2x+2)+(Mx+N)*x

0=A+M
1=2A+N
1=2A

A=1/2
M=-1/2
N=0

= (1/2)∫ dx/(x+1) - (1/2) ∫ xdx/(x^2+2x+2)=

=(1/2)ln|x+1| - (1/4) ∫( 2x+2-2)dx/(x^2+2x+2)=

=(1/2)ln|x+1| - (1/4)ln|x^2+2x+2| +(1/2) ∫ dx/((x+1)^2+1)=

= [b](1/2)ln|x+1| - (1/4)ln|x^2+2x+2| +(1/2) arctgx + C[/b]

u=2x+1
dv=e^(-x)dx

du=2dx
v=-e^(-x)

=-(2x+1)*e^(-x) - ∫ (-e^(-x))2dx=

=-(2x+1)*e^(-x) - 2 ∫ (e^(-x))d(-x)=

= [b]- (2x+1)*e^(-x) - 2*(-e^(-x))+C[/b]

u=1+lnx
du=(1+lnx)`dx=dx/x

∫ sqrt(u)du= ∫ u^(1/2)du=u^(3/2)/(3/2)+C=(2/3)sqrt(u^3)+C=

= [b](2/3)sqrt((1+lnx)^3)+C[/b]

Замена
x=t^6
dx=6t^5dt
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

= ∫ 6t^5dt/(t^3+t^2)=6* ∫ t^3dt/(t+1)=6* ∫ (t^3-1+1)dt/(t+1)=

=6* ∫ (t^3-1)dt/(t+1)+ 6* ∫ dt/(t+1)=

=6* ∫(t^2+t+1)dt + 6* ∫ dt/(t+1)=

=6*(t^3/3)+6*(t^2/2)+6t + 6ln|t+1|+C=

[b]=2t^3+3t^2+6t+6ln|t+1)+C, t=x^(1/6)[/b]

О т в е т. 2sqrt(x)+3∛x+6x^(1/6)+6ln|x^(1/6)+1|+C

(1/9)^((2x+2)/(x+4))·18^(2x)·3x^(–2)≤ (27^((x+1)/(x+4)) · 12^(x))/(9x^2)

(1/9)^((2x+2)/(x+4))=(3^(-2))^((2x+2)/(x+4))=3^((-4x-4)/(x+4))

18^(2x)=(2*9)^(2x)=(2*3^(2))^(2x)=2^(2x)*3^(4x)=4^(x)*3^(4x)

3x^(–2)=3/x^2
27^((x+1)/(x+4))=(3^3)^((x+1)/(x+4))=3^((3x+3)/(x+4))
12^(x) =(3*4)^(x)=3^(x)*4^(x)
1/(9x^2)=3^(-2)/x^2

Неравенство принимает вид:

3^((-4x-4)/(x+4)) * 4^(x)*3^(4x)* (3/x^2) ≤3^((3x+3)/(x+4))* 3^(x)*4^(x)*3^(-2)/x^2

4^(x) > 0 при любом x
можно сократить обе части неравенства на
4^(x)/x^2
при x ≠ 0

Осталось собрать степени 3

3^((-4x-4)/(x+4) + 4x +1)≤ 3^((3x+3)/(x+4)+x-2)
х ≠ 0

Показательная функция с основанием 3 возрастает, поэтому

(-4x-4)/(x+4) + 4x +1≤(3x+3)/(x+4)+x-2

-4*(x+1)/(x+4) -3(x+1)/(x+4)+3x+3 ≤ 0

(x+1)*(3 - (7/(x+4))) ≤ 0

(x+1)*(3x+5)/(x+4)≤ 0

___–___ (–4) __+__ [- 5/3] ___–_____ [-1] __+__ (0) ___+___

О т в е т ( – ∞ ;–4) U [–5/3;-1)

Ответ выбран лучшим

Задача на применение формулы Байеса (Бейеса)

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(i) - утюг изготовлен на i- ом заводе
i=1;2

p(H_(1))=80/100=0,8
p(H_(2))=20/100=0,2

Событие А - "случайно выбранный утюг выдержал гарантийный срок"
р(A/H_(1))=0,8
р(A/H_(2))=0,95

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=0,8*0,8+0,2*0,95=0,83

По формуле Байеса

р(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)

р(H_(1)/A)=0,64/0,83=64/83 ≈0,77

[b]р(H_(1)/A)≈0,77 < p(H_(1))=0,8[/b]

По формуле Байеса

р(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)

р(H_(2)/A)=0,19/0,83=19/83 ≈ 0,22

[b]р(H_(2)/A) ≈ 0,22 > p(H_(2))=0,2[/b]

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=2x
z`_(y)=2y

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x=0
{2y=0

x=0; y=0 - стационарная точка, принадлежит области

z``_(xx)=2
z``_(yy)=2
z`_(xy)=0

A=z``_(xx)(0;0)=2
B=z``_(yy)(0;0)=2
C=z``_(xy)(0;0)=0

Δ=AB-C^2=2*2-0=4 >0

(0;0) - является точкой минимума, так как Δ > 0; A=2 > 0

На границе.

В силу симметрии области и поверхности,

исследуем на границе 3x+4y=12

y=(12-3x)/4

Подставляем в данное выражение поверхности

z=x^2+((12-3x)/4)^2 - получаем функцию одной переменной.

Исследуем на экстремум на [0;4]

z=(25/16)x^2-(9/2)x+9

z`=(25/8)x-(9/2)

z`=0

(25/8)x-(9/2)=0

x=36/25

36/25 ∈ [0;4]

и является точкой минимума, производная меняет знак с - на +

z(36/25) > 0

значит

z(0;0)=0 - [b]наименьшее значение[/b]

Находим значения на концах

при х=0; y=3

z=9

при х=4; y=0

z=16- [b]наибольшее[/b]

Аналогично при х=-4; y=0
z=16 - [b]наибольшее[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

б), в) Ряды расходятся, так как общий член ряда не стремится к нулю

б) а_(n)=n/2
lim_(n → ∞ )a_(n)= ∞

в)
а_(n)=n/(2n+1)
lim_(n → ∞ )a_(n)= 1/2

г) a_(n)=((1+n)/(1+n^2)) ^2 ~ b_(n)=1/n^2

lim_(n → ∞ )a_(n)/b_(n)=1

Ряд ∑ b_(n) - cходится.

По признаку сравнения в предельной форме данный ряд тоже сходится

Ответ выбран лучшим

На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной 6 см наудачу брошена монета радиуса 2 см. Найдите вероятность того, что монета упадет внутрь квадрата.

О т в е т. p=(6-2*2)^2/6^2=4/36= [b]1/9[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами. Схема Бернулли.
p=0,3
q=1-p=1-0,3=0,7
n=6

np=6*0,3=1,8

a)
Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

1,8-0,7 ≤ k_(o) ≤ 1,8+0,3
1,1 ≤ k_(o) ≤ 2,1

[b]k_(o)=2[/b]

б)Применяем Формулу Бернулли

P_(6)(2)=С^(2)_(6)p^2*q^4=15*0,3^2*0,7^3= считаем самостоятельно...

в)
хотя бы 5 из шести - значит 5 или 6

P_(6)(5)+P_(6)^=С^(5)_(6)p^5*q^1+С^(6)_(6)p^6*q^0=

=6*0,3^5*0,7^1+1*0,3^6*0,7^0= считаем самостоятельно...

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

= ∫ ^(1)_(0)(xy^2/2)|^(y=sqrt(x))_(y=x^2)dx=

= ∫ ^(1)_(0)((x*(sqrt(x))^2/2)- x*(x^2)^2/2) dx=

= ∫ ^(1)_(0)((x^2/2) - (x^5/2))dx=

=((x^3/6)-(x^6/12))|^(1)_(0)=(1/6)-(1/12)= [b]1/12[/b]

ρ =m/V=50/2=25 (кг/м^3) (прикреплено изображение)

а)
Характеристическое
k^2+6k=0
k_(1)=0; k_(2)=-6

y_(частное)=(ax^2+bx+c)*x

y`_(частное)=(ax^3+bx^2+cx)`=3ax^2+2bx+c

y``_(частное)=6ax+2b

6ax+2b+12*(3ax^2+2bx+c)=6x^2+2x+1

{36а=6 ⇒ a=1/6
{6a+24b=2 ⇒ 24b=1 ⇒ b=1/24
{2b+12c=1 ⇒ 12c=11/12⇒ c=11/144

y_(частное)= [b](x^3/6)+(x^2/24)+(11/144)x
[/b]

б)

Характеристическое
7k^3-k^2=0
k_(1,2)=0; k_(3)=1/7

y_(частное)=(ax+b)*x^2

y`_(частное)=(ax^3+bx^2)`=3ax^2+2bx

y``_(частное)=6ax+2b

y```_(частное)=6а

7*6а-(6ax+2b)=12x

-6a=12 ⇒ a = - 2

42a-2b=0 ⇒ b = - 42

y_(частное)= [b]-2x^3 - 42[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
y_(общ одн.)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(0x)+C_(3)cos7x+C_(4)sin7x-общее решение

y_(частн. неодн)=Axcos7x+Bxsin7x

б)

f(x)=f_(1)(x)+f_(2)x

f_(1)=e^(-2x)*(3x+5)

y_(част. неодн.1)=(Ax+b)*e^(-2x)

f_(2)(x)=e^(x)

y_(част. неодн.2)=De^(x)

Ответ выбран лучшим

3.

d(arctg2x)=2dx/(1+(2x)^2) ⇒ dx/(1+4x^2)=(1/2)d(arctg2x)

=(1/2) ∫^(1/2)_(0) arctg(2x)d(arctg2x)=

=(1/2)*(arctg2x)^2/2=((arctg2x)/4)|^(1/2)_(0)=(1/4)*arctg1-(1/4)*arctg0=

=(1/4)*(π/4)=π/16

4.

d(x^2-5)=2xdx ⇒ xdx=(1/2)d(x^2-5)

=(1/2) ∫ ^(5)_(2) e^(x^2-5)d(x^2-5)=(1/2)e^(x^2-5)|^(5)_(2)=

= [b](1/2)e^(20)-(1/2)e^(-1)[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
∫ ^(1/4)_(0)dx/sqrt(1-(3x)^2)=

d(3x)=3dx ⇒ dx=(1/3)d(3x)

=(1/3) ∫ ^(1/4)_(0)d(3x)/sqrt(1-(3x)^2)=

=(1/3)arcsin(3x)|^(1/4)_(0)=

=(1/3)arcsin(3/4)-(1/3)arcsin0=

=(1/3)arcsin(3/4)-(1/3)*0=

= [b](1/3)arcsin(3/4)[/b]

2.

∫ ^(6)_(2)sqrt(x-2)dx= ∫ ^(6)_(2)(x-2)^(1/2)d(x-2)=

=(x-2)^(3/2)/(3/2)|^(6)_(2)=

=(2/3)(x-2)^(3/2)|^(6)_(2)=

=(2/3)(6-2)^(3/2)-(2/3)*(2-2)^(3/2)=

=(2/3)*4^(3/2)=(2/3)*sqrt(4^3)=(2/3)*sqrt(64)=(2/3)*8= [b]16/3[/b]

Ответ выбран лучшим

а)
Составляем характеристическое уравнение
9k^2+6k+1=0
k_(1,2)=-1/3- корни действительные кратные

[b]y=C_(1)*e^((-1/3)x)+C_(2)*x*e^((-1/3)x)[/b]

б)
Составляем характеристическое уравнение
k^2+1=0
k_(1)=-i; k_(2)=i - корни комплексные

α =0; β =1

y=e^(0x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)

так как e^(0x)=1

[b]y=C_(1)cosx+C_(2)sinx[/b]

Ответ выбран лучшим

Находим абсциссы точек пересечения
y=x^3 и y=2x

x^3=2x

x*(x^2-2)=0

x=0 или х=± sqrt(2)

S= 2S_(1)=2* ∫ ^(sqrt(2))_(0)(2x-x^3)dx=

=2*(x^2-(x^4/4))|^(sqrt(2))_(0)=2*((sqrt(2))^2-(sqrt(2))^4/4)=

=2*(2-(4/4))=2*(2-1)= [b]2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

u=x^2;
du=2xdx
dv=cosxdx
v=sinx

=(x^2*sinx)|^(2π)_(π) - ∫ ^(2π)_(π)sinx*(2x)dx=

=(x^2*sinx)|^(2π)_(π) - 2 ∫ ^(2π)_(π)x*sinxdx=

u=x
du=dx
dv=sinxdx
v=-cosx

=(x^2*sinx)|^(2π)_(π) - 2*(x*(-cosx)|^(2π)_(π)- ∫ ^(2π)_(π)(-cosx)dx)=

=(2π)^2*sin2π-π^2sinπ+2*2πcos2π-2*πcosπ+sinx|^(2π)_(π)=

=4π^2*0-π^2*0+4π-2π*(-1)+sin2π-sinπ=6π

Ответ выбран лучшим

Применяем радикальный признак Коши

lim_(n → ∞ ) (((2n)/(5+3n))^(4n))^(1/n)=

=lim_(n → ∞ )((2n)/(5+3n))^4=

=(2/3)^4 < 1

сходится

Ответ выбран лучшим

V_(Ox)=π ∫ ^(3)_(-1)((2x+3)^2-(x^2)^2)dx=

=π ∫ ^(3)_(-1)(4x^2+12x+9-x^4)dx=

=π*((4x^3/3)+(12x^2/2)+9x-(x^5/5))|^(3)_(-1)=

=π*((4/3)*27+6*9+9*3-(243/5)+(4/3)-6+9-(1/5))=...

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем интегральный признак сходимости
∫ ^(+ ∞)_(1)dx/(sqrt(x)sin(sqrt(x)))= 2∫ ^(+ ∞)_(1)dsqrt(x)/sin(sqrt(x))=

=2ln|tg(sqrt(x)/2)|^(+ ∞)_(1) -

lim tg(sqrt(x)/2) на+ ∞ не существует

Интеграл расходится, значит и ряд расходится.

Ответ выбран лучшим

= ∫ ^(e)_(1)(lnx)^(-1/5)d(lnx)=

=(lnx)^((-1/5)+1)/((-1/5)+1)=(5/4)(lnx)^(4/5)|^(e)_(1)=

=(5/4)*(lne)^(4/5)-(5/4)ln1=(5/4)

Сходится.

Ответ выбран лучшим

Геометрическая вероятность:
p=площадь круга/площадь треугольника

S( Δ ABC)=a^2sqrt(3)/4= [ по условию а=10 ]= 100sqrt(3)/4= [b]25sqrt(3)[/b]

r=asqrt(3)/6=10sqrt(3)/6

S_(круга)=πr^2=π100/12

p=(100π/12)/25sqrt(3)=100π/300sqrt(3) [b]=π/(3*sqrt(3))[/b]

в)

По признаку Даламбера

a_(n)=(2n-1)!/n!

a_(n+1)=(2*(n+1)-1)!/(n+1)!=(2n+1)!/(n+1)!

lim_(n → ∞ )a_(n+1)/a_(n)=lim_(n → ∞ )((2n+1)!/(n+1)!)*(n!/(2n-1)!)=

=lim_(n → ∞ )(2n)*(2n+1)/(n+1)= ∞ >1

Ряд расходится

Ответ выбран лучшим

Геометрическая вероятность:
p=длина MN/длина АВ

AM:MB=12:13⇒ AM=(12/13)MB
AM+MB=50 ⇒ (12/13)MB+MB=50 ⇒ (25/13)MB=50;
MB=26

BN:NM=1:6
NM:BN=6:1

NM=6BN

MN+NB=MB

6BN+NB=26
7NB=26

NB=26/7

NM=6*(26/7)=156/7

p=(156/7)/50=156/350= [b]78/175[/b]

Испытание состоит в том, что на 9 мест распределяют 9 цифр

n=9!

Цифры записаны в порядке убывания в одном случае

m=1

p=m/n=1/9!

Цифры 2 и 3 свяжем в пару.

( вместо этого можно рассуждать и так: пара 2;3 может занять только 8 мест:
первое и второе;
второе и третье
...

восьмое и девятое

Всего 8 мест.)

получим 8! перестановок, умножим на результат перестановок 2 и 3 в паре

m=2*8!

p=2*8!/9!= [b]2/9[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть Марина выполнит работу за х дней, Аркадий за у дней.

Значит, производительность труда Марины (1/х) часть работы в день,производительность труда Аркадия (1/у) часть работы в день.

За четыре дня, работая вместе, Марина и Аркадий выполнят всю работу.
Первое уравнение:
4*((1/x)+(1/y))=1 или [b] (1/х)+(1/у)=1/4[/b]

Если Марина наберет 1 / 6 книги, а потом ее заменит Аркадий, то книга будет набрана за 7 дней
Второе уравнение:

(1/6)/(1/x) +(5/6)/(1/y)=7
или

[b](x/6)+(5y/6)=7[/b]

Cистема уравнений:
{(1/х)+(1/у)=1/4
{(x/6)+(5y/6)=7 ⇒ x+5y=42 ⇒ x=42-5y подставляем в первое

1/(42-5y) +(1/y)=1/4

(y+42-5y)/(y*(42-5y)=1/4

Пропорция.

4*(42-4y)=42y-5y^2

5y^2-58y+168=0

D=58^2-4*5*168=3364-3360=4

y=(58+2)/10=6 дней или y=(58-2)/10=5,6 дней

x=42-5*6=12 дней или х=42-5*5,6=14 дней

О т в е т. Марина за 12, Аркадий за 6
или
Марина за 14, Аркадий за 5,6 дней.

Если количество дней целое, то
о т в е т. 12 и 6

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

L= ∫ ^(e)_(1)sqrt(1+(1/x)^2)dx= ∫ ^(e)_(1)sqrt(x^2+1))dx/x=

=тригонометрические подстановки:

x=tgt
x^2+1=tg^2t+1=1/cos^2t
dx=1/cos^2t

∫ sqrt(x^2+1))dx/x= ∫ dt/(tgt*cos^3t)= ∫ dt/(sint*cos^2t)= ∫ (tg^2t+1)dt/sint=

= ∫ sintdt/cos^2t + ∫ dt/sint=

=- ∫ cos^(-2)td(cost)+∫ dt/sint=

[b]=(1/cost)+ln|tg(t/2)|+C[/b]

cos^2t=1/(1+tg^2t)=1/(1+x^2)

sin^2t=1-cos^2t=1-(1/(1+x^2))=x^2/(1+x^2)

tg(t/2)=sin(t/2)/cos(t/2)=sint/(1+cost)=x/(1+sqrt(1+x^2))

поэтому:

[b]=(1/cost)+ln|tg(t/2)|+C[/b]=sqrt(1+x^2)+ln|x/(1+sqrt(1+x^2))|+C

По формуле Ньютона-Лейбница

∫ ^(e)_(1)sqrt(x^2+1))dx/x= sqrt(1+x^2)+ln|x/(1+sqrt(1+x^2))|^(e)_(1)=

= [b]sqrt(1+e^2)-sqrt(2)+ln|e/(1+sqrt(1+e^2))|-ln(1/(1+sqrt(2))|[/b]-

можно упростить, заменив логарифм дроби разностью логарифмов

О т в е т
[b]sqrt(1+e^2)-sqrt(2)+1-ln|1+sqrt(1+e^2)|-0+ln(1+sqrt(2)|[/b] (прикреплено изображение)

Сложение одинаковых матриц В и А [b]возможно[/b]

Транспонирование любой матрицы [b] возможно[/b]

А^(T)- матрица размером (4×5)

При умножении матриц
количество столбцов первой должно равняться количеству строк второй

BA^(T)- [b]возможно[/b]

СВ - [b] возможно[/b] ( 5 столбцов матрицы С и 5 строк матрицы В)

О т в е т. АВСЕ

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: [b]cosx ≥ 0[/b]

Возводим в квадрат

4 cos2x-2sin2x=4cos^2x

2сos^2x=1+cos2x

тогда уравнение принимает вид:

4 cos2x-2sin2x=2*(1+cos2x)

2cos2x-2sin2x=2

cos2x-sin2x=1

cos2x=sin((π/2)-2x)

sin((π/2)-2x)- sin2x=1

Формула sin α - sin β=....

2sin((π/4)-2x)*cos(π/4)=1

sin((π/4)-2x)=1/sqrt(2)

sin(2x-(π/4))=-1/sqrt(2)

2x-(π/4)=(-1)^(k)*(-π/4) +πk, k ∈ Z

2x=(π/4)+(-1)^(k)*(-π/4) +πk, k ∈ Z

x= [b](π/8)+(-1)^(k)*(-π/8) +(π/2)*k, k ∈ Z[/b]- о т в е т.

Но лучше решение уравнения sin(2x-(π/4))=-1/sqrt(2)
записать в виде серии двух ответов ( см. рис.):

2x-(π/4)= [b](-π/4) +2πn, n ∈ Z[/b] или 2х-(π/4)= [b](-3π/4) +2πm, m ∈ Z
[/b]
2x=2πn, n ∈ Z или 2х-(π/4)=(-3π/4) +2πm, m ∈ Z

x=πn, n ∈ Z или 2x=(-π/2)+2πm, m ∈ Z ⇒ x=(-π/4)+πm, m ∈ Z

С учетом ОДЗ: cosx≥ 0

О т в е т. 2*πn, n ∈ Z ; (-π/4)+2πm, m ∈ Z
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(Ox)=π* ∫^(1) _(-1)(x^2-(x^3)^2)dx=2*π ∫^(1) _(0)(x^2-(x^3)^2)dx=

=2*π ∫^(1) _(0)(x^2-x^6)dx= 2*π *((x^3/3)-(x^7/7))|^(1)_(0)=

=2*π*((1/3)-(1/7))= [b]8*π/21[/b] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
x>0;
x ≠ 1

x=3/10 - корень уравнения, так как

При х=3/10
слева получаем
8/(10*(3/10))=8/3

При x=3/10 справа получаем

(10/3)^(log_(3/10)(3/8))= (10/3)^(log_((10/3)^(-1))3/8)=

=(10/3)^(-log_(10/3)(3/8))=(10/3)^(log_(10/3)(3/8)^(-1))=

основное логарифмическое тождество

=(3/8)^(-1)=8/3

8/3=8/3

Функция y=8/(10x), график гипербола
на х>0 монотонно убывает

Функция y=(10/3)^(t) , t=log_(x)(3/8)
- показательная функция с основанием (10/3)>1 монотонно возрастает

Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функция пересекаются только в одной точке!

О т в е т. х=3/10

1.
ОДЗ:
x>0

так как
log_(1/3)x=log_(3^(-1))x=-log_(3)x
то
2*(-log_(3)x)^2-5log_(3)x=7

2t^2-5t-7=0; t=log_(3)x

D=25-4*2*(-7)=25+56=81

t_(1)=(5-9)/4=-1/2; t_(2)=(5+9)/4=7/2

Обратный переход

log_(3)x=-1/2 ⇒ x=3^(-1/2);
[b]x=1/sqrt(3)
[/b]
log_(3)x=7/2 ⇒ x=3^(7/2)
[b]x=27sqrt(3)[/b]

2.
ОДЗ:
x>0

так как
lgx^2=2lgx

lg^2x^2=(lgx^2)^2=(2lgx)^2=4lg^2x,
то

4lg^2x+3lgx>1
4lg^2x+3lgx-1>0

D=9-4*4*(-1)=25 корни (-1) и (1/4)

lgx < -1 или lgx > 1/4
0 < x < 0,1 или x > 10^(1/4)

О т в е т. (0;1) U (10^(1/4);+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

О т в е т не соответствует условию

Первый множитель в знаменателе должен быть в квадрате.

Очень [b]непочетное это дело [/b]решать задачи с опечатками.....

(7x-2)/((x-1) [b]^2[/b](x^2+4))=A/(x-1)+B/(x-1)^2+ (Mx+N)/(x^2+4)

7х-2=А*(x^2+4)(x-1)+B*(x^2+4) +(Mx+N)*(x-1)^2

7x-2=Ax^3-Ax^2+4Ax-4A+Bx^2+4B+Mx^3-2Mx^2+Mx+Nx^2-2Nx+N

A+M=0
B-A-2M+N=0
4A+M-2N=7
-4A+4B+N=-2

A=-M
B-M+N=0 ⇒ M=B+N
-3M-2N=7 ⇒ -3*(B+N)-2N=7 ⇒ -3B-5N=7
4M+4B+N=-2 ⇒ 4*(B+N)+4B+N=-2 ⇒ 8B+5N=-2

Cкладываем

5B=5

B=1
N=-2
M=-1
A=1

= ∫ dx/(x-1)+ ∫dx/(x-1)^2+ ∫(-x-2)dx/(x^2+4)=

=∫ dx/(x-1)+ ∫dx/(x-1)^2 -∫ (xdx/(x^2+4) -2 ∫dx/(x^2+4)=

=ln|x-1|- (1/(x-1) - (1/2) ∫ d(x^2+4)/(x^2+4) -2*(1/2)* arctg(x/2)=

=ln|x-1|-- (1/(x-1)- (1/2)(ln(x^2+4) - arctg(x/2)+C

Замена переменной

x=t^6
dx=6t^5dt

sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

тогда данный интеграл сводится к интегралу от дроби

∫ (t^3-t^2)*6t^5dt/(t^2-t-1)

Дробь неправильная.

=6 ∫ t^8-t^7)dt/(t^2-t-1)=

=6 ∫ (t^6+t^4+t^3+2t^2+3t+5 + [b](8t+5/(t^2-t-1)[/b])dt=

=6 ∫ (t^6+t^4+t^3+2t^2+3t+5 + [b](8t-4+9/(t^2-t-1)[/b])dt=

=(6t^7/7)+(6t^5/5)+(6t^4/4)+(12t^3/3)+(18t^2/2)+30t+24ln|t^2-t-1|+

54/(2*sqrt(5/4)) ln|(t-1/2-sqrt(5)/2)/(t-1/2+sqrt(5)/2)|+C=

=(6t^7/7)+(6t^5/5)+(6t^4/4)+(12t^3/3)+(18t^2/2)+30t+24ln|t^2-t-1|+

+54/(sqrt(5)) ln|(2t-1-sqrt(5))/(2t-1+sqrt(5))|+C

Как считаем

∫ [b](8t+5)dt/(t^2-t-1)[/b]=

∫ (8t-4+9)dt/(t^2-t-1)=

=4* ∫ (2t-1)dt/(t^2-t-1) + 9* ∫dt/(t^2-t-1)=

первый интеграл табличный. По формуле ∫ du/u

во втором выделяем полный квадрат в знаменателе=

= 4* ln|t^2-t-1| +9 ∫ dt/(t-(1/2))^2-(5/4))=замена t-(1/2)=u

=4* ln|t^2-t-1|+9 ∫ du/(u^2-(5/4))=

=4ln|t^2-t-1|+9*(1/2sqrt(5/4))ln|(u-sqrt(5/4))/(u+sqrt(5/4))|

Это все надо умножить еще на 6.

Получим тот ответ, который и написан в скобках в приложении к вопросу

Ответ выбран лучшим

В знаменателе не должно быть корня шестой степени из разности
Там опечатка
см. приложение

Замена переменной

x=t^6
dx=6t^5dt

sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

тогда данный интеграл сводится к интегралу от дроби

∫ (t^3-t^2)*6t^5dt/(t^2-t-1)

Дробь неправильная. Надо выделить целую часть и разложить на простейшие....

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1)
ОДЗ:
х>0;

Тогда х+2 >0
Дробь неотрицательна, числитель положителен, значит знаменатель тоже положителен
lgx >0 ⇒ x > 1
О т в е т. (1:+ ∞ )

2.
ОДЗ:
х>0

Замена
1-log_(1/9)x=t
Уравнение принимает вид:
|t|+1=|t+1|

Решаем на интервалах
[b](- ∞ ;-1][/b]
|t|=-t
|t+1|==t-1
Уравнение принимает вид:
-t+1=-t-1 - уравнение не имеет решений

[b](-1;0][/b]
|t|=-t
|t+1|=t+1
Уравнение принимает вид:
-t+1=t+1
t=0
обратный переход
log_(1/9)x=0
х=1- корень уравнения

(1;+ ∞)
|t|=t
|t+1|=t+1
Уравнение принимает вид:
t+1=t+1

Решением уравнения является любое t >1
обратный переход
1-log_(1/9)x >1 ⇒ log_(1/9)x <0 ⇒ x > 1
удовл. ОДЗ

О т в е т. {1}U(1;+ ∞) = [b][1;+ ∞)[/b]

3)
ОДЗ:
{х>0;
{lgx-2 ≠ 0
{lgx-3 ≠ 0

(0;100) U (100;1000) U (1000;+ ∞)

Замена
lgx=t

3/(t-2) + 2/(t-3)=-4
Приводим к общему знаменателю:

3*(t-3)+2*(t-2)=-4*(t-2)(t-3)

3t-9+2t-4+4t^2-20t+24=0
4t^2-15t+11=0
D=225-4*4*11=49
t_(1)=1;t_(2)=11/4

Обратный переход

lgx=1 ⇒ [b]x=10
[/b]
lgx=11/4 ⇒ x= [b]10^(11/4)[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0; (x/4) > 4x >0; 2x^2>0 ⇒ [b]x>0[/b]
{x ≠ 1
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4
х ∈ (0;1/4)U(1/4;1)U(1;+ ∞ )

|log_(x)(x/4)|*(log_(4x)(2x^2)-1) ≤ 0

|log_(x)(x/4)|≥0 при любом х из ОДЗ

При log_(x)(x/4)=0 получаем решение неравенства

x/4=1;

[b]х=4[/b]

[b]log_(4x)(2x^2)- 1 ≤ 0[/b]

log_(4x)(2x^2) ≤ 1

1=log_(a)a при любом a>0; a ≠ 1

log_(4x)(2x^2) ≤ log_(4x)(4x)

Два случая
Первый:
(1)
4х >1, логарифмическая функция возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента
2x^2 ≤ 4x

Cистема
[b]{4x-1>0
{2x^2-4x ≤ 0[/b]

{x>1/4
{0≤x ≤2

о т в е т. (1) (1/4;2]

Второй:
(1)
0 < 4х <1, логарифмическая функция убывает. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
2x^2 ≥ 4x

Cистема
[b]{0<4x-1<0
{2x^2-4x ≥0 [/b]

{0<x<1/4
{x ≤ 0 или x ≥ 2
о т в е т. (2) Нет решения

С учетом ОДЗ получаем
О т в е т. [b](1/4;1) U(1;2] U {4}[/b]
____________________________________________________

PS
Так как в обеих системах выражения слева в каждом неравенстве одинаковые, то произведение множителей неотрицательно.

Поэтому вместо решения двух систем можно решить на ОДЗ неравенство:

(4x-1)*(2x^2-4x) ≤ 0

2x*(4x-1)*(x-2) ≤ 0

(0) __+__ (1/4)__-__ (1) ___-__ [2] __+__

(1/4; 1) U (1;2]

Это неравенство можно получить применив [b]метод рационализации к решению log_(4x)(2x^2) ≤ 1[/b]

Тогда решение будет еще проще:

[b]2 cпособ.[/b]
_____________________________________________________

ОДЗ:
{x>0; (x/4) > 4x >0; 2x^2>0 ⇒ [b]x>0[/b]
{x ≠ 1
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4
х ∈ (0;1/4)U(1/4;1)U(1;+ ∞ )

|log_(x)(x/4)|*(log_(4x)(2x^2)-1) ≤ 0

|log_(x)(x/4)|≥0 при любом х из ОДЗ

При log_(x)(x/4)=0 получаем решение неравенства

x/4=1;

[b]х=4[/b]

[b]log_(4x)(2x^2)- 1 ≤ 0[/b]

Применяем [b]метод рационализации логарифмических неравенств[/b]

log_(4x)(2x^2) ≤ 1

(4x-1)*(2x^2-4x) ≤ 0

2x*(4x-1)*(x-2) ≤ 0

(0) __+__ (1/4)__-__ (1) ___-__ [2] __+__

(1/4; 1) U (1;2]

О т в е т. [b](1/4;1) U(1;2] U {4}[/b]

с_(2)=с_(1)+2=-8+2=-6
с_(3)=с_(2)+2=-6+2=-4
с_(4)=с_(3)+2=-4+2=-2
с_(5)=с_(4)+2=-2+2=0
с_(6)=с_(5)+2=0+2=2
с_(7)=с_(6)+2=2+2=4
с_(8)=с_(7)+2=4+2=6
с_(9)=с_(8)+2=6+2=8

y`=4x^3-4x

y`=0
4x^3-4x=0

4x*(x^2-1)=0
x=0 или х^2-1=0
x=0 или х= ± 1

Знак производной:

_-__ (-1) __+__ (0) __-__ (1) __+__

х=-1 и х=1 - точки минимума, производная меняет знак с - на +

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС)медиана ВМ, проведенная к основанию является одновременно и высотой.
S_( Δ ABC)=(1/2)*AC*BM

АС=2S/BM=2*6sqrt(13)/6= [b]2sqrt(13)
[/b]

2.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) биссектриса ВК, проведенная к основанию является одновременно и высотой.

Δ АВК= ΔВКС - прямоугольные треугольники с острым углом 60 градусов.
Значит, второй острый угол 30 градусов.
Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
ВК=АВ/2=12/2= [b]6 см[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов.
Противоположные углы ромба равны между собой.

Так как по условию: сумма двух углов равна 240 градусов, значит это
два противоположных угла, которые равны между собой, и значит каждый угол по 120 градусов. Это тупые углы.
Тогда острые углы ромба по 60 градусов.

Меньшая диагональ лежит против острого угла. Значит треугольник равносторонний и меньшая диагональ равна стороне,

Р=4а

36=4а

а=9

О т в е т. d=a=9 cм
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойству логарифма степени:

2log_(4)x=log_(4)x^2

Тогда
log_(4)x^2-log_(4)(2y-1)=0,5*1
Так как 1=log_(4)4

log_(4)x^2-log_(4)(2y-1)=0,5*log_(4)4

log_(4)x^2-log_(4)(2y-1)=log_(4)4^(0,5)

log_(4)x^2=log_(4)(2y-1)+log_(4)2

log_(4)x^2=log_(4)2*(2y-1)

x^2=2*(2y-1)

Система принимает вид:
{x+2y=13 ⇒ x= 13-2y
{x^2=2*(2y-1)

(13-2y)^2=2*(2y-1)

169-52y+4y^2=4y-2

4y^2-56y+171=0

D=56^2-4*4*171=3136-2736=400

y_(1)=(56-20)/8=26/8=13/4; y_(2)=(56+20)/8=76/8=38/4

x_(1)=13/2 x_(2)=-6 не удовлетворяет условию log_(4)(-6) не сущ.

О т в е т. [b](13/2; 13/4)[/b]

Ответ выбран лучшим

Для степенного ряда

∑a_(n)x^(n)

R=lim_(n → ∞)a_(n)/a_(n+1)

В данной задаче

a_(n)=n!/n^(n)

R=lim_(n → ∞)(n!/n^(n)) / (n+1)!/(n+1)^(n+1)=

=lim_(n → ∞)(n+1)^(n)/n^(n)=e

Интервал сходимости (-R;R) поэтому получаем [b]интервал (-е; е).[/b]

Проверяем сходимость в точках

х=e

получаем знакоположительный числовой ряд

∑ (n!*e^(n))/n^(n) - сходится по признаку Коши.

lim_(n → ∞)((n!*e^(n))/n^(n))^(1/n)=0 < 1

x= - e

получаем знакопеременный числовой ряд

∑ (n!*(-e)^(n))/n^(n) - сходится абсолютно так как ряд из модулей сходится.

[-е;е] - [b] область сходимости.[/b]
∑

sin((2π/3) – x)=sin(2π/3)*cosx-cos(2π/3)*sinx=(sqrt(3)/2)*cosx-(-1/2)*sinx

2*sin((2π/3) – x)=sqrt(3)cosx +sinx

Уравнение принимает вид:

sqrt(2)sin^2x + √3cosx + sinx = √3cosx

sqrt(2)sin^2x + sinx = 0

sinx*(sqrt(2)sinx+1)=0

sinx=0 ⇒ [b]x=πk, k ∈ Z
[/b]
sqrt(2)sinx+1=0 ⇒ sinx=-1/sqrt(2) ⇒ [b] x=(-1)^(n)*(-π/4)+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

cos2x=2cos^2x-1

По формуле приведения:

sin((π/2) – x)=cosx

6cos^2x-3+1-cosx=0

6cos^2x-cosx-2=0

D=1+4*6*2=49

cosx=-1/2 или cosx=2/3

x= [b] ± (2π/3)+2πn, n ∈Z [/b] или х= [b]± arccos(2/3)+2πm, m ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
x^4+8x^3+8x–1=(x^4-1)+8x*(x^2+1)=(x^2-1)*(x^2+1)+8x*(x^2+1)=

=(x^2+1)*(x^2+1+8x)=(x^2+1)*(x^2+8x+1)

2)
x^3+9x^2+9x+8=

3)
x^3-6x^2+11x-6=x^3-6x^2+5x+6x-6=

=x*(x^2-6x+5)+6*(x-1)= x*(x-1)(x+5)+6*(x-1)=

=(x-1)*(x^2+5x+6)= [b](x-1)*(x+2)*(x+3)[/b]

Ответ выбран лучшим

Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках
х=-1; х=0; х=1

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 интервала.

Раскрываем модуль на каждом из четырех интервалов:
(1)
[b](- ∞ :-1][/b]

|x|=-x
|x+1|=-x-1
|x-1|=-x+1
Уравнение принимает вид:

[b]2^(x)=(1/2sqrt(2))*(-x-1-x+1)[/b]
2sqrt(2)*2^(x)=-2x
2^(x+(1/2))=-x
Решаем графически.
(см. рис.1)
единственная точка пересечения, одна кривая возрастает, вторая - прямая убывает.
х= - 0,808 ∉ (- ∞ :-1]
Уравнение не имеет корней на этом интервале
(2)
[b](-1;0][/b]
|x|=-x
|x+1|=x+1
|x-1|=-x+1
Уравнение принимает вид:

[b]2^(x)=(1/2sqrt(2))*(x+1-x+1)[/b]
2sqrt(2)*2^(x)=1
2^(x+(1/2))=1
Решаем графически.
(см. рис.2)
единственная точка пересечения, одна кривая возрастает, вторая -
константа

[b]x=-0,5 - корень, принадлежит интервалу (-1;0][/b]

(3)

[b](0;1][/b]

|x|=x
|x+1|=x+1
|x-1|=-x+1
Уравнение принимает вид:
[b]2^(-x)=(1/2sqrt(2))*(x+1-x+1)[/b]
sqrt(2)*2^(-x)=1

Решаем графически.
(см. рис.3)
единственная точка пересечения, одна кривая убывает, вторая -
константа

[b]x=0,5 - корень, принадлежит интервалу (0;1][/b]

(4)
[b](1;+ ∞ )[/b]

|x|=x
|x+1|=x+1
|x-1|=x+1
Уравнение принимает вид:
[b]2^(-x)=(1/2sqrt(2))*(x+1+x-1)[/b]
sqrt(2)*2^(-x)=х

Решаем графически.
(см. рис.4)
единственная точка пересечения, одна кривая убывает, вторая - прямая( возрастает)

x=0,808 не принадлежит интервалу(1;+ ∞ )

Уравнение не имеет корней на этом интервале

О т в е т. [b] ± 0,5 [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: [b]cosx ≥ 0[/b]

Возводим в квадрат

4 cos2x-2sin2x=4cos^2x

2сos^2x=1+cos2x

тогда уравнение принимает вид:

4 cos2x-2sin2x=2*(1+cos2x)

2cos2x-2sin2x=2

cos2x-sin2x=1

cos2x=sin((π/2)-2x)

sin((π/2)-2x)- sin2x=1

Формула sin α - sin β=

2sin((π/4)-2x)*cos(π/4)=1

sin((π/4)-2x)=1/sqrt(2)

sin(2x-(π/4))=-1/sqrt(2)

2x-(π/4)=(-1)^(k)*(-π/4) +πk, k ∈ Z

2x=(π/4)+(-1)^(k)*(-π/4) +πk, k ∈ Z

x= [b](π/8)+(-1)^(k)*(-π/8) +(π/2)*k, k ∈ Z[/b]- о т в е т.

Но лучше решение уравнения sin(2x-(π/4))=-1/sqrt(2)
записать в виде серии двух ответов:

2x-(π/4)= [b](-π/4) +2πn, n ∈ Z[/b] или 2х-(π/4)= [b](-3π/4) +2πm, m ∈ Z
[/b]
2x=2πn, n ∈ Z или 2х-(π/4)=(-3π/4) +2πm, m ∈ Z

x=πn, n ∈ Z или 2x=(-π/2)+2πm, m ∈ Z ⇒ x=(-π/4)+πm, m ∈ Z

С учетом ОДЗ: cosx≥ 0

О т в е т. 2*πn, n ∈ Z ; (-π/4)+2πm, m ∈ Z
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

9^((3/2) x)=9^(3/2)*9^(x)=sqrt(9^3)*9^(x)=27*9^(x)

3^(x 1)=3^(x)*3^(1)=3*3^(x)

Неравенство принимает вид:

9*9^(x)-39*3^(x)+30 ≤0

Квадратное неравенство.

D=39^2-4*9*30=1521-1080=441

корни

(39 - 21)/18=1 или (39+21)/18=60/18=10/3;

1 ≤ 3^(x) ≤ 10/3

3^(0) ≤ 3^(x) ≤ 3^(log_(3)10/3)

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, поэтому

0 ≤ х ≤ log_(3)10/3=log_(3)10 - log_(3)3=log_(3)10 - 1

О т в е т. [0; log_(3)10 - 1]

Ответ выбран лучшим

сos^2x=1-sin^2x

Уравнение принимает вид:
2sin^3x - sin^2x-2sinx+1=0

Раскладываем левую часть на множители:

sin^2x(*2sinx-1)-(2sinx-1)=0

(2sinx-1)*(sin^2x-1)=0

2sinx-1=0 или sin^2x-1=0

2sinx=1
sinx=1/2 ⇒ x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

sinx= ± 1 ⇒ x= ± (π/2)+2πn, n ∈ Z

или x=(π/2)+πm, m ∈ Z

О т в е т. (-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z; (π/2)+πm, m ∈ Z

б)
(3π/2); (π/6)+2π=13π/6; 5π/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos2x ≠ 0
2x≠(π/2)+πr, r ∈ Z
[b] x≠(π/4)+(π/2)r, r ∈ Z[/b]

ctg(2x-(π/2))=-ctg((π/2)-2x)

ctg((π/2)-2x)=tg2x

(1/cos^22x) - 1= (1-cos^22x)/cos^22x=sin622x/cos^22x=tg^22x

|-tg2x|=tg^22x

Раскрываем знак модуля.

(1)
Если
-tg2x ≥ 0 ⇒ tg2x ≤ 0, то

|-tg2x|=-tg2x

уравнение принимает вид:

- tg2x=tg^22x

tg^22x+tg2x=0
tg2x*(tg2x+1)=0

tg2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/2)*k, k ∈ Z [/b]
или
tg2x+1=0 ⇒ tg2x=-1 ⇒ 2x=(-π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(-π/8)+(π/2)n, n ∈ Z

условию tg2x ≤ 0
удовлетворяют решения:

[b]х=(-π/8)+ πm, m ∈ Z[/b]

(2)
-tg2x ≤ 0 ⇒ tg2x ≥0, то

|-tg2x|=tg2x

уравнение принимает вид:

tg2x=tg^22x

tg^22x-tg2x=0
tg2x*(tg2x-1)=0

tg2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/2)*k, k ∈ Z [/b]
или
tg2x-1=0 ⇒ tg2x=1 ⇒ 2x=(π/4)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(π/8)+(π/2)n, n ∈ Z

условию tg2x ≥ 0
удовлетворяют решения:
[b] x=(π/8)+ πm, m ∈ Z[/b]

Найденные корни удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. (π/2)*k, k ∈ Z ; (-π/8)+ πm, m ∈ Z; (π/8)+ πm, m ∈ Z

Отрезку [0;π/2] принадлежат корни:

(π/8) и (π/2)

Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 12 и 4 равна
sqrt(12^2+4^2)=sqrt(160)=4sqrt(10)

sin( α/2)=4/(4sqrt(10))=1/sqrt(10)

cos( α /2)=12/(4*sqrt(10))=3/sqrt(10)

sin α 2sin( α /2)*cos( α /2)=2*(1/sqrt(10))*(3/sqrt(10))=6/10 [b]=0,6[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
25/30=5/6

2.
60/450=2/15

3.
600*0,03=18

4.
450-18=432 прибора небракованных

n=450

m=432

p=m/n=432/450=24/25=0,96

5.
n=200

"менее четырех"- значит, 1 или 2 или 3

m=22+17+21=60

p=m/n=60/200= [b]3/10[/b]

6.
Если числа больше 10-ти, то их произведение больше 100.
Это невозможное событие.
Его вероятность равна 0

7.

В году 12 месяцев.
Игроков 25
Согласно принципа Дирихле найдутся хотя бы три ребенка, которые родились в одном месяце.

Это невозможное событие. Его вероятность равна 0

1.
24/60=2/5=0,4

2.
n=1000 билетов всего
m=50 билетов выигрышных

p=m/n=50/1000=5/100=0,05

3.
600*0,05=30 человек

4.
400-6=394 приборов без брака
n=400
m=394

p=m/n=394/400

5.
n=300

Не менее пяти: пять и больше, т.е пять и шесть

m=64+36=100

p=m/n=100/300=1/3

6.

Это достоверное событие. Оба числа меньше 10, значит их сумма меньше двадцати
p=1

7.

В году 12 месяцев.
Детей 30.
Согласно принципа Дирихле найдутся хотя бы три ребенка, которые родились в одном месяце ( а два и тем более)

Это невозможное событие. Его вероятность равна 0

Переход к полярным координатам
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

x^2+y^2=ρ ^2

Уравнение кривой принимает вид:

(ρ ^2)^2=2*ρ cos φ * ρ sin φ

или

ρ ^2=2 cos φ *sin φ

ρ ^2=sin2φ

S= ∫ ∫ _(D)dxdy=4∫ ∫_(D_(1))dxdy=

D_(1):
0 < ρ < sqrt(sin2φ)

0 < φ <( π/4)

=4* ∫ ^(π/4)_(0)( ∫ ^(sqrt(sin2 φ )_(0))ρd ρ )d φ =

считаем внутренний интеграл

=4* ∫ ^(π/4)_(0)( ρ^(2)/2))|^(sqrt(sin2 φ )_(0))d φ =

=2* ∫ ^(π/4)_(0)sin2 φ d φ =

=2*(1/2)(-cos2 φ)|^( π/4)_(0)=

=(-cos(π/2)+cos0)= [b]1[/b] (прикреплено изображение)

= ∫^(2)_(0) ( ∫ ^(2-x)_(0)(x-y)dy)dx=

считаем внутренний интеграл

= ∫^(2)_(0) (xy - (y^2/2))|^(y=2-x)_(y=0) dx=

= ∫^(2)_(0) (x*(2-x) - ((2-x)^2/2)- 0) dx=

= ∫^(2)_(0) (2x-x^2 - (4-4x+x^2)/2) dx=

=∫^(2)_(0) (2x-x^2 - (4-4x+x^2)/2) dx=

=(1/2)∫^(2)_(0)(8x - 3x^2-4)dx=

=(1/2)*((8x^2/2) -3*(x^3/3) -4x)|^(2)_(0)=

=(1/2)*(4*4-8-8)=0

Переход к полярным координатам
x= ρ cos φ
y= ρ sin φ

1 < ρ <3

π/4 < φ < π/2 cм. рис.

∫ ∫ _(D)(x^2+y^2)dxdy= ∫ ^(3)_(1)( ∫^( π/2)_(π/4) ρ ^2* ρ d φ) d ρ =

= ∫ ^(3)_(1) ρ ^3*( φ)|^( π/2)_(π/4) dρ =

= (π/4)* ( ρ ^(4)/4)|^(3)_(1)=(π/16)*(3^4-1^4)=

=(π/16)*(81-1)=80*(π/16)= [b]5π[/b]

РS.

Выбрала меньшую область, но в принципе и на рис. 2 область тоже удовлетворяет условию.

В этой области угол меняется от (-π/2) до (π/4)

Тогда (π/4)-(-π/2)=3π/4

и тогда ответ (3π/16)*80=15π (прикреплено изображение)

Пусть трое рабочих изготовили х деталей.
Первый рабочий изготовил (3/10) всех деталей,
т.е
[b](3/10)*х деталей[/b]

x- (3/10)*x=(7/10)*x деталей- остаток

второй рабочий изготовил (3/5) от остатка,
т.е.
(3/5)*((7/10)*x= [b](21/50)*х [/b] деталей

третий рабочий изготовил остальные [b] 84 детали.[/b]

Уравнение:

(3/10)*х + (21/50)*х + 84 = х

84= x - (3/10)*х - (21/50)*х

84= (14/50)*x

x=300

(3/10)*х =(3/10)*300=90 деталей изготовил первый

(21/50)*х = (21/50)*300=126 деталей изготовил второй

О т в е т. Первый рабочий изготовил 90 деталей,

второй рабочий изготовил 126 деталей.

Всего 300 деталей изготовили трое рабочих.

V_(вращения Ох)=π ∫ ^(3/2)_(0)(2x)dx=

=2*π*(x^2/2)|^(^(3/2)_(0)=

=π*(3/2)^2 [b]=9π/4[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8.
a)
Это знакочередующийся ряд.
Рассмотрим ряд из модулей
∑ 1/(n*sqrt(3^(n)))

Знакоположительный ряд. Применяем признак Даламбера

a_(n)=1/(n*sqrt(3^(n)))

a_(n+1)=1/((n+1)*sqrt(3^(n+1)))

lim_(n → ∞)a_(n+1)/a_(n)=

=lim_(n → ∞)(n*sqrt(3^(n)))/((n+1)*sqrt(3^(n+1)))=

=lim_(n → ∞)(n/(n+1)) * lim_(n → ∞)sqrt(3^(n))/sqrt(3^(n+1))=

=1* lim_(n → ∞)sqrt(3^(n)/3^(n+1))

=1*(1/sqrt(3))<1

Ряд из модулей сходится.
Данный ряд сходится абсолютно.

8
б)
a_(n)=1/(9n^2+1)

Рассмотрим ряд

∑1/(n^(p)) - обобщенный гармонический ряд

При p > 1 сходится, при p ≤ 1 расходится.

Значит
∑ 1/n^2 ( p=2>1) сходится.

Так как

a_(n)=1/(9n^2+1) < 1/n^2

по признаку сравнения данный ряд сходится.

8
в)
Знакоположительный ряд. Применяем признак Даламбера

a_(n)=2^(n)/(n+3)^2

a_(n+1)=2^(n+1)/((n+1)+3)^2

lim_(n → ∞)a_(n+1)/a_(n)=lim_(n → ∞)2*lim_(n → ∞)(n+3)^2/(n+4)^2=

=2*1=2> 1

Ряд расходится.

1) 64=2^6

128/4=32=2^5

2)
0,2^2=0,04
0,2^3=0,008
[b]0,2^5=0,00032[/b] (прикреплено изображение)

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОК ⊥ AK;
OM ⊥ AM

Δ MAO= Δ KAO по гипотенузе АО - общая и катетам ОК=ОМ=R

∠ МАО= ∠ КАО = 30 градусов

В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.

АО=2ОК=2*10=20 cм

О т в е т. 20 см. (прикреплено изображение)

Пирамида состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников.
см. рис.
1) SA и BC - скрещивающиеся прямые.

АН - проекция SA на пл. АВС
АН ⊥ ВС, высота равнобедренного треугольника одновременно и медиана

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция перпендикулярна ВС, то и наклонная SA перпендикулярна ВС

2)
АН - медиана.
ВН=НС=sqrt(6)

по теореме Пифагора.
SH^2=SB^2-BH^2=(sqrt(19))^2-(sqrt(6))^2=13

SH=AH=sqrt(13)

В треугольнике ASH - перпендикуляр из вершины Н на сторонy SA и есть расстояние между ВС и SA

Перпендикуляр из вершины Н на сторонy SA - высота равнобедренного треугольник АSH.

h^2=AH^2-((1/2)SA)^2=13-6=7

h= [b]sqrt(7)[/b]

О т в е т. sqrt(7) (прикреплено изображение)

4+cosx< 4+1=5

Особенность в точке х=2, но

∫ ^(3)_(2)5dx/∛(x-2)=5 ∫ ^(3)_(2)(x-2)^(-1/3)d(x-2)=

=5*((x-1)^(2/3)/(2/3))|^(3)_(2)=(15/2)*∛(x-2)^2|^(3)_(2)=(15/2) - сходится

Значит, по признаку сравнения и данный интеграл сходится

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

BC=AC*tg ∠ A ⇒ AC=BC/tg ∠ A=sqrt(26)/5

По теореме Пифагора:

АВ^2=AC^2+BC^2=(26/25)+(26)=26^2/25

АВ=26/5

Δ BCН~ ΔBAC ( по двум углам)

BH : BC= BC: AB

BH=BC^2/AB=26/(26/5)=5

О т в е т. [b]5[/b] (прикреплено изображение)

Формулы:
sinx*cosx=(1/2)sin2x
cos^2x=(1+cos2x)/2

sin^2x*cos^4x=(1/4)sin^22x*(1+cos2x)/2

=(1/8)*(sin^22x+sin^22x*cos2x)

∫ sin^2x*cos^4xdx=(1/8) ∫ (sin^22x+sin^22x*cos2x)dx=

=(1/8)* ∫sin^22x+(1/8) ∫ sin^22x* [b]cos2xdx[/b]=

[ sin^22x=(1-cos4x)/2 и подведение под дифференциал:

d(sin2x)=(sin2x)`dx=cos2x*(2)dx, поэтому cos2xdx=(1/2)d(sin2x)]

=(1/8)* ∫(1/2)* (1-cos4x)dx+(1/8) ∫ sin^22x* [b](1/2)d(sin2x)[/b]=

=(1/16)x-(1/16)*(1/4)sin4x+(1/16)*(sin^32x/3)+C=

= [b](1/16)x-(1/64)*sin4x+(1/48)*(sin^32x)+C[/b]

Ответ выбран лучшим

Производная произведения:
(u*v)`=u`*v+u*v`

u=9x²+4x–1
v=3x²–2

y`=(9x²+4x–1)`•(3x²–2)+(9x²+4x–1)•(3x²–2)`=

=(18x+4)•(3x²–2)+(9x²+4x–1)•6x=

=54x^3+12x^2-36x-8+54x^3+24x^2-6x=

= [b]108x^3+36x^2-42x-8[/b]

3.
[b]∠ СВА=(1/2)( ∪ BD- ∪ BC)=[/b](1/2)*(70° -50 ° )=10 °
Cм. приложение 1.
4.
См. приложение 2. Свойство пересекающихся хорд.

[b]AK*KB=CK*KD[/b]
Пусть АК=x; тогда КВ=2х
AK:KB=x:2x=1:2

х*2х=2*9
x^2=9
x=3
АК=3; КВ=2х=2*3=6
АВ=АК+КВ=3+6=9 см (прикреплено изображение)

5-3sin2x+7sinx=7cosx
5-3sin2x=7*(cosx-sinx)

cosx-sinx=t
Возводим в квадрат
cos^2x-2cosxsinx+sin^2x=t^2

sin2x=1-t^2

5-3*(1-t^2)=7t

3t^2-7t+2=0
D=49-4*3*2=25
t_(1)=(7-5)/6=1/3; t_(2)=(7+5)/6=2

Обратный переход

cosx-sinx=1/3
Делим на sqrt(2)

(1/sqrt(2))cosx- (1/sqrt(2))sinx=1/(3*sqrt(2))

cos(x+ φ )=1/(3*sqrt(2))
φ =arcsin(1/sqrt(2))=π/4

cos(x+(π/4))=1/(3*sqrt(2))

x+(π/4)= ± arccos(1/(3*sqrt(2)))+2πn, n ∈ Z

[b]x=± arccos(1/(3*sqrt(2))) - (π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]

Указанному интервалу принадлежат корни

- arccos(1/(3*sqrt(2))) - (π/4);
arccos(1/(3*sqrt(2))) - (π/4)

Оба корня в 4 -ой четверти, т.е принадлежат (-π/2;0)

Ответ выбран лучшим

2^(x)=t

t+4t/(t-4) + (t^2+7t+20)/(t^2-12t+32) ≤ 1

t + 4t/(t-4) + (t^2+7t+20)/((t-4)(t-8)) - 1 ≤ 0

[b]([/b]t*(t^2-12t+32)+4t*(t-8)+(t^2+7t+20)-t^2+12t-32 [b])[/b]/((t-4)(t-8)) ≤ 0

(t^3-8t^2+19t-12)/((t-4)(t-8)) ≤ 0

t=1 - корень многочлена t^3-8t^2+19t-12, значит

t^3-8t^2+19t-12=(t-1)(t^2-7t+12)=(t-1)*(t-3)(t-4)

(t-1)*(t-3)(t-4)/((t-4)(t-8)) ≤ 0

(t-1)*(t-3)/(t-8) ≤ 0
t ≠ 4

__-__ [1] __+__ [3] _- _ (4) ____-_____ (8) ___+__

t ≤ 1 или 3 ≤ t < 4 или 4 < t < 8

2^(x) ≤ 1 или 3 ≤2^(x)< 4 или 4 <2^(x)< 8

2^(x) ≤ 2^(0) или 2^(log_(2)3) ≤2^(x)<2^2 или 2^2 <2^(x)< 2^3

О т в е т. [b](- ∞;0] U[ log_(2)3;2) U (2;3)[/b]

Пока только это.... (прикреплено изображение)

lim_(x→2; y→0) tg(xy)/y = lim_(x→2; y→0) (tg(xy)/(xy))*x=

= lim_(x*y→0) (tg(xy)/(xy))* lim_(x→2; y→0)x=

=1*2= [b]2[/b]

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции у=f(x); f(x)≥ 0; осью Оу и прямыми х=а; х=b

Т.е фигура расположена [b] выше оси Ох[/b]

Площадь такой фигуры вычисляется как определенный интеграл.

Кривая y=sinx на [0;2π] и ось Оу ограничивают фигуру, которая расположена как выше оси Ох, так и ниже оси Ох.

Поскольку обе части равны, то можно посчитать площадь одной части ( на отрезке [0; π]) и результат увеличить в два раза.

S=2* ∫^( π)_(0)sinxdx=2*(-cosx)|^(π)_(0)=2*(-cosπ- (-cos0))=2*(-(-1)+1)= [b]4[/b]

В общем случае можно взять f(x) по модулю.

(прикреплено изображение)

Выделяем полный квадрат
x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1

∫^(-3)_(- ∞ )dx/(x^2+2x)= ∫^(-3)_(- ∞ )dx/((x+1)^2-1)=

=(1/2)ln|(x+1-1)/(x+1+1)|^(-3)_(- ∞ )=

=(1/2)ln|(-3)/(-3+2)|- (1/2) lim_(A → - ∞ )ln|(A+1-1)/(A+1+1)|=

=(1/2)ln3 - (1/2) lnlim_(A → - ∞ )|(A/(A+2)|=

=(1/2)ln3-(1/2)ln1=

=(1/2)ln3-0= (1/2) ln3 - сходится

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
8 книг займут 8 мест.

На первое место можно поставить любую из восьми книг, 8 способов,
На второе место можно поставить любую из семи оставшихся книг, 7 способов,
...

8*7*6*5*4*3*2*1=40320 cпособов.

2)
Когда тома располагаются последовательно по возрастанию- это 1 способ, по убыванию - тоже один.

40320-2=40318 способов.

Ответ выбран лучшим

Правильная пирамида - в основании равносторонний треугольник,со стороной а, боковые грани - равнобедренные треугольники
с основанием а и боковыми сторонами b

[b]У тетраэдра все ребра равны а[/b]

Тетраэдр - это правильная пирамида, у которой боковые ребра b=a.

Правильная пирамида не является тетраэдром. (прикреплено изображение)

(x-3)^5+1=-(2-x)^5

(x-3)^5+1=(x-2)^5

x=3; x=2 cм. графическое решение (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

220:100*10=22 рубля составляют 10% от 220 рублей

220 + 22 =242 руб. придется платить

ОДЗ:
{x-3>0 ⇒ x > 3
{9-x >0 ⇒ x < 9

ОДЗ: х ∈ (3;9)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения.

Равенство

[b]log_(1/2)(x-3)+log_(1/2)(9-x)=log_(1/2)(x-3)*(9-x)[/b]

верно только на ОДЗ первоначального уравнения, т.е [b]при х ∈ (3;9)[/b]

Так как
-3=-3*1=-3*log_(1/2)(1/2)=log_(1/2)(1/2)^(-3)=log_(1/2)2^3=log_(1/2)8, то

данное неравенство принимает вид
log_(1/2)(x-3)*(9-x) ≥ log_(1/2)8

Логарифмическая функция с основанием 0 < (1/2) < 1 убывает,
поэтому

(x-3)*(9-x) ≤ 8

9x-27-x^2+3x-8 ≤ 0

x^2-12x+35 ≥ 0

D=4

корни 5 и 7

x ≤ 5 или x ≥ 7

С учетом ОДЗ получаем о т в е т.

[b](3;5] U [7;9)[/b]

ОДЗ:
5-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

При x ∈ ОДЗ

sqrt(5-x)>0 ⇒ 8^(x–4) – 9^(x–3) + 2 ≤ 0 ⇒ 8^(x–4) ≤ 9^(x–3) - 2

Cм. графическое решение.

О т в е т. [3,373;5] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1
{sqrt(x+1)-4≠ 0 ⇒ sqrt(x+1) ≠ 4⇒ x+1 ≠ 16⇒ x ≠ 15
{2+sqrt(x+1)≠ 0 ⇒ x - любое

Избавляемся от иррациональности в знаменателе каждой дроби:

(x-15)/(sqrt(x+1)-4)=(x-15)*(sqrt(x+1)+4)/(x+1-16)=sqrt(x+1)+4

(x-3)/(2+sqrt(x+1))=(x-3)*(2-sqrt(x+1))/(4-x-1)=sqrt(x+1)-2

Уравнение примет вид:

sqrt(x+1)+4+sqrt(x+1)-2=6

2sqrt(x+1)=4

sqrt(x+1)=2

x+1=4

[b]x=3[/b] удовл. ОДЗ

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Угол между прямыми - угол между направляющими векторами этих прямых

Угол между вектором vector{s_(1)}= [b](3;0;-1) [/b] и

вектором [vector{n_(1)} ×vector{n_(1)} ]= [b](-42;-21;12) [/b]

находим по формуле:

cosφ =(vector{a}*vector{b})/(|vector{a}|*|vector{b}|)=

=3*(-42)+0*(-21)-1*(12)/sqrt(3^2+1)*sqrt(42^2+21^2+12^2)=

=(-138)/(sqrt(10)*sqrt(2349))= [b]-46/sqrt(2610)[/b]

Как найти направляющие векторы см ниже.

x=-2+3*t;
y=0+0*t;
z=3+(-1)*t

vector{s}=(3;0;-1) - координаты направляющего вектора первой прямой.

Нормальный вектор плоскости x–6y–6z+2=0
vector{n_(1)}=(1;-6;-6)
Нормальный вектор плоскости 2x+2y+9z–1=0
vector{n_(2)}=(2;2;9)

(прикреплено изображение)

−7(4−b)+3(−2b−2)−6(−8+b)= -7*4-7*(-b)+3*(-2b)+3*(-2)-6*(-8)-6*b=

=-28+7b-6b-6+48-6b= [b]14-5b[/b]

-5,77+ 599-0,23+ 149=(-5,77-0,23)+ 599+149=-6+ 599 +149= [b]742[/b]

ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ x в первой и второй четв. ⇒ x∈(2πm; π+2πm), m ∈ Z
{cos^2x>0⇒ cosx≠ 0⇒ cosx≠ 0
[b]25^(log_(5)sinx)[/b]=(5^2)^(log_(5)sinx)=5^(2*log_(5)sinx)=

=5^(log_(5)sin^2x)= основное логарифмическое тождество= [b]sin^2x[/b]

[b]2^(log_(4)cos^2x)[/b]=2^(log_(2^2)cos^2x))=

=2^((1/2)log_(2)cos^2x))=2^(log_(2)(cos^2x)^(1/2))=2^(log_(2)|cosx|)=

= [b]|cosx|[/b]

sin^2x+0,5*|cosx|=1

0,5|cosx|-(1-sin^2x)=0

0,5|cosx|-cos^2x=0

Если cosx > 0, то |cosx|=cosx

0,5*cosx-cos^2x=0

cosx*(0,5-cosx)=0

cosx≠ 0 ⇒ cosx=0,5 ⇒ x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

x= - (π/3)+2πn, n ∈ Z не принадлежат ОДЗ

x= (π/3)+2πn, n ∈ Z - о т в е т. первого случая

Если cosx < 0, то |cosx|= - cosx

-0,5*cosx-cos^2x=0

cosx*(0,5+cosx)=0

cosx≠ 0 ⇒ cosx=- 0,5 ⇒ x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

x= - (2π/3)+2πn, n ∈ Z не принадлежат ОДЗ

x= (2π/3)+2πn, n ∈ Z - о т в е т. второго случая

Объединяем ответы. Получаем О Т В Е Т.

(π/3)+2πn, n ∈ Z ;
(2π/3)+2πn, n ∈ Z

cos ∠ B=BC/AB

AB=BC/cos ∠ B=6/(3/7)=42/3= [b]14 cм[/b] (прикреплено изображение)

Пусть Х- случайная величина, обозначающая число деталей первого сорта в партии из четырех выбранных деталей
Х может принимать значения 4; 3; 2

Находим вероятности.
Вероятность того, что из четрех выбранных деталей все 4 первого сорта находим по формуле классической вероятности.

Испытание состоит в том, что из семи деталей выбирают 4

n=C^(4)_(7)

m=C^(4)_(5) - все четыре детали выбраны из пяти деталей первого сорта

p_(4)=m/n=C^(4)_(5) /C^(4)_(7) =1/7

Аналогично

p_(3)=m/n=(C^(3)_(5)*C^(1)_(2)) /C^(4)_(7) =4/7

p_(3)=m/n=(C^(2)_(5)*C^(2)_(2)) /C^(4)_(7) =2/7

Закон распределения в виде таблицы:

x = 4; 3; 2

p= 1/7;4/7;2/7

В нижней строке сумма вероятностей должна равняться 1, иначе это не закон.

[b]M(X)[/b]=4*(1/7)+3*(4/7)+2*(2/7)= [b]20/7[/b]

M(X^2)=4^2*(1/7)+3^2*(4/7)+2^2*(2/7)=60/7

[b]D(X)[/b]=M(X^2)-(M(X))^2=(60/7)-(20/7)^2=(420/49)-(400/49)= [b]20/49[/b]

Ответ выбран лучшим

Уравнение имеет вид:
asinx+bcosx=c

Применяем метод введения вспомогательного угла.

Для этого делим уравнение на sqrt(a^2+b^2)

a/sqrt(a^2+b^2)* sinx + b/sqrt(a^2+b^2)*cosx=c/sqrt(a^2+b^2)

Вводим вспомогательный угол φ
a/sqrt(a^2+b^2=sin φ
b/sqrt(a^2+b^2)=cos φ

Уравнение примет вид
[b]sin φ* sinx +cos φ *cosx=c/sqrt(a^2+b^2)[/b]

По формуле косинуса разности
cos φ *cosx+sin φ* sinx =cos(x- φ )

[b]cos(x- φ )=c/sqrt(a^2+b^2)[/b]

Уравнение имеет решение, если число справа не превышает по модулю 1

В данной задаче
a=2
b=sqrt(60)

a^2+b^2=2^2+60=64

sqrt(a^2+b^2)=8

Уравнение имеет вид:
(2/8)sin3x+sqrt(60)/8 = a/8

cos(3x-φ )=a/8

При

|a/8| ≤ 1 ⇒ -8 ≤ a ≤ 8
уравнение имеет решения

О т в е т. [-8;8]

Ответ выбран лучшим

Из шести адресов выбираем три, порядок важен

A^(3)_(6)=6!/3!=4*5*6= [b]120 [/b]

S= ∫ ^(2)_(-4) (4-x-(1/2)x^2)dx=

=(4x-(x^2/2) -(1/2)*(x^3/3))|^(2)_(-4)=

=4*2-(2^2/2)-(1/6)*2^3- (-16- (16/2)-(1/6)*(-4)^3)= [b]14[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В силу симметрии
S=2 ∫ ^(1)_(0)(1-∛x^2)dx= 2*(x - x ^(5/3)/(5/3))|^(1)_(0)=

=2*(1- (3/5)*1^(5/3))=2*(1-(3/5))2*(2/5)= [b]4/5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
нули функции
y=(x-1)(x-2)
это х=1 и х=2

_+__ (1) __-__ (2) _+__

О т в е т. (1;2)

2)
Строим график функции у=0,5x^2-2x-6

Выделяем полный квадрат

0,5x^2-2x-6=0,5*(x^2-4x-12)=0,5*(x^2-2*x*2+2^2-2^2-12)=

=0,5*(x-2)^2-8

Вершина параболы в точке (2;-8

Находим точки пересечения параболы с осью Ох

Решаем уравнение

0,5x^2-2x-6=0

Умножаем уравнение на 2

x^2-4x-12=0

D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64

x_(1)=(4-8)/2=-2; x_(2)=(4+8)/2=6

Парабола расположена выше оси Ох

на (- ∞;-2) и на (6;+ ∞ )

Объединение двух множеств ( двух интервалов) и является решением неравенства

0,5x^2-2x-6 > 0

О т в е т. [b] (-∞;-2) U (6;+ ∞ )[/b]
(прикреплено изображение)

Строим график функции у=0,5x^2-2x-6

Выделяем полный квадрат

0,5x^2-2x-6=0,5*(x^2-4x-12)=0,5*(x^2-2*x*2+2^2-2^2-12)=

=0,5*(x-2)^2-8

Вершина параболы в точке (2;-8

Находим точки пересечения параболы с осью Ох

Решаем уравнение

0,5x^2-2x-6=0

Умножаем уравнение на 2

x^2-4x-12=0

D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64

x_(1)=(4-8)/2=-2; x_(2)=(4+8)/2=6

Парабола расположена выше оси Ох

на (- ∞;-2) и на (6;+ ∞ )

Объединение двух множеств ( двух интервалов) и является решением неравенства

0,5x^2-2x-6 > 0

О т в е т. [b] (-∞;-2) U (6;+ ∞ )[/b]
(прикреплено изображение)

Уравнение касательной к кривой у=f(x) в точке (x_(o);y_(o)) имеет вид:

[b]y - y _(o) = f`(x_(o))*(x-x_(o))[/b]

y(x_(o))=y(3)=2,5+2*3-0,5*3^2=4

f`(x)=2-x

f`(x_(o))=f`(3)=2-3=-1

y - 4 = -1* (x - 3)

y=-x + 7 - уравнение касательной.

В условии должна быть указана какая-нибудь ось, например, ось Оу Тогда получится фигура, ограниченная параболой, касательной к параболе и осью Оу ( рис. 2)

S= ∫ ^(3)_(0)(-x+7 - (2,5+2x-0,5x^2))dx=

= ∫ ^(3)_(0)(-x+7 - 2,5-2x+0,5x^2)dx=

= ∫ ^(3)_(0)(4,5-3x+0,5x^2)dx=

=(4,5x-3*(x^2/2)+0,5*(x^3/3))|^(3)_(0)=

=4,5*3-(27/2)+0,5*9=...

Если в условии указана ось Ох Тогда получится фигура, ограниченная параболой, касательной к параболе и осью Ох ( рис. 3)
(прикреплено изображение)

f(x)=(x-2)^2*(x-4)^2

Область определения (- ∞; + ∞)
y ≥ 0 при любом х, значит график расположен в верхней полуплоскости.

Точки касания с осью Ох

(x-2)^2*(x-4)^2=0

x=2; x=4

y`=((x-2)^2)`*(x-4)^2 + (x-2)^2*((x-4)^2)`

y`=2(x-2)*(x-4)^2 + (x-2)^2*2(x-4)

y`=2*(x-2)*(x-4)*(x-4+x-2)

y`=2*(x-2)*(x-4)*(2x-6)

y`=4*(x-2)*(x-3)*(x-4)

y`=0

4*(x-2)*(x-3)*(x-4)=0

x=2 ; x=3; x=4

Знак производной
_-_ (2) __+_ (3) _-__ (4) __+__

y`< 0 на (- ∞; 2) и на (3;4)
значит функция убывает на (- ∞; 2) и на (3;4)

y`>0 на (2;3) и на (4;+ ∞)
значит функция возрастает на (2;3) и на (4;+ ∞)

x=2 и х=4 - точки минимума, производная меняет знак с - на +
х=3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

см. рис.1
(прикреплено изображение)

S= ∫ ^(π)_(π/2)sinxdx= (- cosx)| ^(π)_(π/2)=-cosπ+cos(π/2)=-(-1)+0= [b]1[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6)
Решаем однородное
y``+9y=0
Составляем характеристическое
k^2+9=0
k_(1)=-3i; k_(2)=3i
y_(одн.)=С_(1)*cos3x+C_(2)sinx3x

Правая часть f(x) =9/cos3x

Применяем метод вариации произвольных постоянных

Константы С_(1) и С_(2) выбираем как функции, зависящие от х

y=C_(1)(x)*cos3x+C_(2)(x)*sin3x

С_(1)(x) и С_(2)(х) находим из системы уравнений:

{C`_(1)(x)cos3x+C`_(2)(x)sin3x=0
{C`_(1)(x)*(-3sin3x)+C`_(2)(x)*(3cos3x)=9/cos3x

{C`_(1)(x)= - C_(2)`(x)tg3x
{-C_(2)`(x)(tg3x)*(sin3x)+C`_(2)(x)*(cos3x)=3/cos3x

-C_(2)`(x)(sin^23x)+C`_(2)(x)*(cos^23x)=3

C`_(2)(x)*(cos^23x-sin^23x)=3

C`_(2)(x)*(cos6x)=3

C`_(2)(x)=3/cos6x

С_(2)(x)= 3∫ dx/cos6x

Ответ выбран лучшим

Одну книгу из восьми можно взять [b] восьмью[/b] способами

Две книги можно взять 28 способами.

Первую книгу можно выбрать восьмью способами, вторую книгу можно выбрать семью способами.
8*7=56

Так как порядок выбора книг не важен,
то есть выбор (A;B) и (В;А) - это один и тот же.
Выбраны книги А и В и неважно какая из них выбрана первой, а какая второй.

56/2= [b]28[/b]

Три книги
Аналогично
8*7*6/(1*2*3)= [b]56[/b]

5*6*3*2=180 способов выбора костюма, состоящего из брюк, купртки, шляпы и маски

Ответ выбран лучшим

В команде:
2 "центровых",
4 защитника,
5 – "лёгкие форварды".

1 центрового выбираем двумя способами

2-х защитников из 4-х
4*3=12 способов (первого четырьмя способами, второго тремя), но неважно, кто из них первым выбран, кто вторым.
Поэтому делим на перестановку из двух элементов
12/2=6 ( или C^2_(4))

2 лёгких форварда из пяти
5*4=20 способов
и также делим на 2
20/2=10 (или C^2_(5))

Пятерку ( 1 центровой, 2 защитника и 2 лёгких форварда.)

2* 6*10= [b]120[/b]

Ответ выбран лучшим

Для двух флажков имеем 4·3=12 возможностей,
для трёх – 4·3·2=24 возможностей.
для четырех - 4*3*2*1=24 возможностей.

Всего 12+24+24= [b]60[/b]

Ответ выбран лучшим

1
В пятизначном числе пять мест

На первое место можно разместить любую из девяти цифр ( от 1 до 9), 9 способов
на второе - любую из десяти цифр ( от 0 до 9), 10 способов
на третье - любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов
на четвертое- любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов
на пятое - любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов

По правилу умножения способы выбора цифр надо умножить:
9*10*10*10*10= [b]90 000[/b] пятизначных чисел

2)
На первое место можно разместить любую из восьми цифр ( от 1 до 3 и от 5 до 9), 8 способов
на второе - любую из десяти цифр ( от 0до 3 и от 5 до 9), 9 способов
на третье - любую из десяти цифр ( от 0 до 3 и от 5 до 9),9 способов
на четвертое- любую из десяти цифр (от 0 до 3 и от 5 до 9),9 способов
на пятое - любую из десяти цифр (от 0 до 3 и от 5 до 9),9 способов

По правилу умножения способы выбора цифр надо умножить:
8*9*9*9*9= [b]...[/b]

3)
На 5 делятся числа, у которых последняя цифра либо 0, либо 5

На первое место можно разместить любую из девяти цифр ( от 1 до 9), 9 способов
на второе - любую из десяти цифр ( от 0 до 9), 10 способов
на третье - любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов
на четвертое- любую из десяти цифр ( от 0 до 9),10 способов
на пятое - либо 0 либо 5, 2 способа

По правилу умножения способы выбора цифр надо умножить:
9*10*10*10*2= [b]18 000[/b]

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
k^2-4k-21=0
D=16-4*(-21)=100

k_(1)=-3; k_(2)=7

y=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(7x)

Так как
y(0)=0

0=C_(1)e^(0)+C_(2)e^(0)

e^(0)=1

[b]0=C_(1)+C_(2)[/b]

y`=(C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(7x))`

y`=-3C_(1)e^(-3x)+7C_(2)e^(7x)

y`(0)=4

[b]4=-3C_(1)+7C_(2)[/b]

Из системы уравнений:
{0=C_(1)+C_(2) ⇒ C_(1)=-C_(2)
{4=-3C_(1)+7C_(2)

⇒

4=-3*(-C_(2))+7C_(2)
4=10С_(2)

C_(2)=0,4
C_(1)=-0,4

y=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(7x)- общее решение
y=-0,4*e^(-3x)+0,4*e^(7x) - частное решение

Ответ выбран лучшим

D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

Функция является нечётной.
у(–х)=4*(-х)/((–x)^2+4)=-4х/(x^2+4)
y(–x)= - y(x)

lim_(x→ +∞)f(x)=0
lim_(x→–∞)f(x)=0
[b]y=0 - горизонтальная асимптота[/b]

Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→∞)(f(x))/x=0

Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
4x/(x^2+1)=0
x=0

C осью Оу
х=0 ⇒ у=0
(0;0) – точка пересечения с осью Ох и с осью Оу.

y`=((4х)`*(x^2+4)-(x^2+4)`*(4x))/(x^2+4)^2;

y`=(4x^2+16-2x*4x)/(x^2+4)^2

y`=(16-4x^2)/(x^2+1)

y`=0
16-4x^2=0
x= ±

Знак производной

_–__ (-2) ___+___ (2) __-____

x=-2 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
x= 2 – точка максимума, производная меняет знак с + на -

Функция убывает при x∈ (–∞;-2) и x∈ (2;+∞)
возрастает при x∈ (-2;2)

y``=((16-4x^2)`(x^2+4)^2-((x^2+4)^2)`*(16-4x^2))/(x^2+4)^4=

y``=-2x(12-x^2)/(x^2+4)^3

y``=0

x= ± 2√3 –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вверх на (– ∞ ;–2√3) и на (2√3;+ ∞ )
выпукла вниз на (–2√3;2√3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.
ОДЗ:
{x+2>0 ⇒ x>-2
{x+2 ≠ 1 ⇒ x ≠ -1
{7x^2+11x-6>0 ⇒ D=289; x < -2 или x > 3/7

x ∈ (3/7;+ ∞ )

2=log_(x+2)(x+2)^2

Перепишем неравенство в виде:

log_(x+2) (7x^2+11x-6) < log_(x+2)(x+2)^2

При х ∈ (3/7;+ ∞ )

основание логарифмической функции (x+2)>1 , значит логарифмическая функция возрастает и тогда
7x^2+11x-6 < (x+2)^2

6x^2+7x-10 < 0

D=49-4*6*(-10)=289

x=(-7 ± 17)/12

-2 < x < 5/6

С учетом ОДЗ

[b](3/7; 5/6)[/b] - о т в е т.

3.
Дробь равна 0 ⇔ числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0

{2sinx+sqrt(3)=0
{2cosx-1≠ 0

{sinx = - sqrt(3)/2
{cosx ≠ 1/2

{х=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z
{x ≠ ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z

{х=(-1)^(k)(-π/3)+πk, k ∈ Z
{x ≠ ±π/3 +2πn, n ∈ Zππ

Cм. рис.

О т в е т. [b]-2π/3+2πk, k ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x-1>0 ⇒ x > 1
{x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{x/20>0⇒ x > 0
{log_(x-1)(x/20) ≠ 0 ⇒ x/20≠1⇒ x≠20

ОДЗ: [b]х ∈ (1;2) U (2;20) U (20;+∞ )[/b]

Переносим все слагаемые влево, приводим к общему знаменателю и сравниваем выражение с 0

1+log_(x-1)(x/20))/log_(x-1)(x/20) ≥ 0

1=log_(x-1)(x-1)

Сумму логарифмов в числителе заменим логарифмом произведения

(log_(x-1) (x-1)*x/20)/(log_(x-1)(x/20)) ≥ 0

Применяем формулу перехода к другому основанию

log_(c)b/log_(c)a=log_(a)b
a>0; b>0; c>0 ;c ≠ 1; a ≠ 1

log_(x/20) (x-1)*(x/20) ≥ 0

0=log_(x/20) 1

log_(x/20) (x-1)*(x/20) ≥log_(x/20) 1

Можно рассмотреть два случая:
{(x/20)>1, тогда логарифмическая функция возрастает и
{(x-1)*x/20 ≥ x/20

(2)

{(x/20)< 1, тогда логарифмическая функция убывает и
{(x-1)*x/20 ≤ x/20

или

(1)
{(x/20)-1>0,
{(x-1)*(x/20) - (х/20) ≥ 0

(2)

{(x/20)-1 < 0,
{(x-1)*(x/20) - (х/20)≤ 0

В первой системе оба выражения в первом и во втором неравенстве положительны, во второ1 системе отрицательны. Значит произведение выражений положительно и вместо рассмотрения двух систем можно рассмотреть неравенство, состоящее из произведения

((x/20)-1)*((x-1)*x/20 - (x/20)) ≥ 0

((х-20)/20)* (х/20)* (х-1-1)≥ 0 ( умножаем на 20*20=400)

x*(x-2)*(x-20) ≥ 0

метод интервалов на ОДЗ

(1) _+__ (2) ___-____ (20) ___+____

О т в е т. [b](1;2) U(20;+ ∞) [/b]

ОДЗ:
{x^2-2x>0 ⇒ x(x-2) > 0 ⇒ x < 0 или x > 2
{2-x > 0 ⇒ x < 2
ОДЗ: [b]х ∈ (- ∞; 0)[/b]

Логарифмируем по основанию e
e>1
Логарифмическая функция с основанием e возрастает, поэтому знак неравенства не меняется:

ln 7^(ln(x^2-2x)) ≤ ln(2-x)^(ln7)

Применяем свойство логарифма степени:
log_(a)b^k=klog_(a)b, a>0; a ≠ 1;b>0

ln(x^2-2x)*ln7 ≤ ln7*ln(2-x)

Делим на ln7,
ln7 > 0, знак неравенства не меняется:

ln(x^2-2x) ≤ ln(2-x)

x^2-2x ≤ 2-x

x^2-x-2 ≤ 0

D=1+8=9

корни
-1 и 2

___ (-1) __-__ (2) ___

С учетом ОДЗ получаем ответ
[b](-1;0)[/b]

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;0)U(0;+ ∞ )

х=0 - не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода

Прямая x=0 - вертикальная асимптота, так как

lim_(x→0) (2x+1)/x^2=+ ∞

Прямая y=0 - горизонтальная асимптота, так как
lim_(x→ ∞)(2x+1)/x^2= 0

k=lim_(x→ ∞)f(x)/x=lim_(x→ ∞)(2x+1)/x^3= 0

Наклонной асимптоты нет

Находим производную

y`=((2x+1)/x^2)`=((2х+1)`*x^2-(2x+1)*(x^2)`)/x^4=

=(2*x^2-(2x+1)*2x)/x^4=(2x-4x-2)/x^3=-2*(x+1)/x^3

y`=0

x+1=0

x=-1

Знак производной:

__-__ (-1) ___+__ (0) ___-__

y`> 0 на (-1 ; 0); функция возрастает
y` <0 на (- ∞; - 1) и на (0;+ ∞); функция убывает

х=- 1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

[b]y(-1)=-1[/b]

x=0 не является точкой экстремума, так как не входит в Область определениЯ

y``=-2*((x+1)`*x^3-(x+1)*3x^2)/x^6=-2*(x-3x-3)/x^4=(2x+3)/x^4

y``=0

2x+3=0

x=-3/2 - точка перегиба, вторая производная меняет знак.

y``< 0 на (-∞ ; -3/2); функция выпукла вверх
y`` >0 на (- 3/2; 0) и на (0;+ ∞); функция выпукла вниз
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х сумма, взятая в кредит в банке.
1–го числа следующего месяца (февраль) долг составит:
1,04х.
Со 2–го по 14–е число должна быть произведена выплата в размере:
(х/16)+0,04х.

(1/16 часть кредита и проценты за месяц)
При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

После чего сумма долга составит
1,04*х–(х/16)–0,04*х=(15/16)*х.

1–го марта долг составит:
1,04·(15/16)*х.
Со 2–го по 14–е число должна быть произведена выплата в размере:
(х/16)+0,04·(15/16)*х.

После чего сумма долга составит:
1,04·(15/16)х–(х/16)–0,04·(15/16)*х=(14/16)*x.

и так далее
...

За 8 месяцев будет выплачено:
((х/16)+0,04·х)+((х/16)+0,04·(15/16)·х)+...+((х/16)+0,04·(9/16)·х)=

=8·(х/16)+ [b]([/b](0,04·х)/16 [b])[/b]·(16+15+14+13+12+11+10+9)=

=(8х/16)+(0,04х/16)·100=12х/16=3х/4

3x/4=900 000

[b]x=1 200 000[/b]

1.
Сумма углов треугольника 180 градусов.
∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 градусов
По условию
∠ A= ∠ B= ∠ C/2

∠ C/2 + ∠ C/2 + ∠ C=180 градусов
2 ∠ С= 180 градусов
∠ С= 90 градусов

∠ A= ∠ B= ∠ C/2=90 градусов/2=45 градусов

2.
∠ 1+ ∠ 2=180 градусов

Биссектриса делит угол пополам
∠ 3=(1/2) ∠ 1
∠ 4=(1/2) ∠2

∠ 3+∠ 4=(1/2) ∠ 1+ (1/2) ∠2=90 градусов

∠ 3+ ∠ 4+ ∠ 5=180 градусов

90 градусов+ ∠ 5=180 градусов

∠ 5= [b]90 градусов[/b]

Значит биссектрисы пересекаются под углом 90 градусов, т.е перпендикулярны.
(прикреплено изображение)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекций на плоскость.
Так как DC ⊥ пл. ВВ_(1)С_(1)С, то
EC - проекция DC на пл. ВВ_(1)С_(1)С,

tg∠ DEC=DC/EC=8/sqrt(5^2+4^2)=8/sqrt(41)

О т в е т. ∠ DEC=arctg (8/sqrt(41)) (прикреплено изображение)

a)
n=7+11=18 всего
m=7 (желтых)

Формула классической вероятности.

p=m/n= [b]7/18[/b]

б) (черная и черная)
Вероятность вынуть черную пуговицу первый раз равна 11/18.
Затем в коробке останется 17 пуговиц из них черных 10

р=(11/18)*(10/17)= [b]110/306[/b]

в) (желтая и черная) или (черная и желтая).
Или - вероятности складывают
И- умножают
p=(7/18)*(11/17)+ (11/18)*(7/17)=(2*77)/(17*18)= [b]77/153[/b]

Ответ выбран лучшим

Не более двух - значит:
две, одна или ни одной

Повторные испытания с двумя исходами. Формула Бернулли
q=0,1 - вероятность того, что деталь нестандартная
p=1-q=1-0,1=0,9 - вероятность того, что деталь стандартная

p=P_(4)(2)+P_(4)(1)+P_(4)(0)=

=C^2_(4)p^2q^2+C^1_(4)p^1q^3+C^0_(4)p^0q^4=

=6*0,9^2*0,1^2+4*0,9^1*0,1^3+1*0,9^0*0,1^4=

=

Ответ выбран лучшим

Случайная величина равномерно распределена на отрезке [a;b], если плотность вероятности
f(x)=1/(b-a)

В данном случае [-1;1]

f(x)=1/(1-(-1))=1/2

Найдем функцию распределения
F(y)=F(x^3)

Пусть длина палки L, длина меньшей части - х, тогда длина большей части (L-x)

По условию меньшая часть должна быть длиннее половины большей части.

х > (L - x)/2 ⇒ 2x > L - x ⇒ 3x > L ⇒ x > L/3

(0) _____ (L/3) ______ (2L/3) ______L

Причем меньшая часть может находиться как справа, так и слева.

Значит, случайная точка деления палки на две части находится
на интервале (L/3; 2L/3), длина которого равна [b](1/3)L[/b]

По формуле геометрической вероятности

p=(L/3)/L= [b]1/3[/b]

Из равнобедренного треугольника АВС.

По теореме косинусов AC=6sqrt(3)
ВМ=3 - катет против угла в 30 градусов

Из прямоугольного треугольника А_(1)АВ по теореме Пифагора:
A_(1)B=10

ВС_(1)=А_(1)В=10

Треугольник А_(1)ВС_(1) - равнобедренный

BM^2_(1)=10^2-(3sqrt(3))^2=100-27=73

1)
S_( Δ А_(1)ВC_(1))=(1/2)A_(1)C_(1)*BM_(1)=(1/2)*6sqrt(3)*sqrt(73)=

= [b]3sqrt(219) [/b]

2)
tg( ∠ пл А1С1В , пл АСС1)=tg. ∠ BM_(1)M=BM/MM_(1)= [b]3/8[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

H_(пирамиды)=h_(основания)

h_(основания)=asqrt(3)/2=3sqrt(3)/2

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*(a^2sqrt(3)/4)*(asqrt(3)/2)=

=(1/3)*(3^2sqrt(3)/4)*(3sqrt(3)/2)= [b]27/8[/b] (прикреплено изображение)

1.
При вращении прямоугольника вокруг стороны 9 получается цилиндр

r=3
h=9
S_(цилиндра вращения)=2πrh=2π*3*9=54π

3.
(2;0;-2)- координаты центра
R=4

S_(сферы)=4πR^2=4π*4^2=64π

5.

2r=4 - катет, против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы

r=2

h^2=d^2=(2r)^2=8^2-4^2=48

[b]h=4sqrt(3)[/b]

S_(пол. пов.)=S_(бок. пов.) + 2S_(осн)=

=2πrh+2πr^2=2π*(2*4sqrt(3)+4)= [b]8π*(2sqrt(3)+1)[/b]

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

1)2c=10 ⇒ c=5
a=3

a^2=c^2-b^2⇒

b^2=c^2-a^2 ⇒ b^2=5^2-3^2=16

О т в е т. [b] (x^2/3^2)-(y^2/4^2)=1[/b]

3)

b=6

Уравнения асимптот

y= ± (b/a)x

b/a=5/3

a=18/5=3,6

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
О т в е т. [b](x^2/3,6^2)-(y^2/6^2)=1[/b]

1)
с=10
b/a=4/3

b=(4/3)a

a^2=c^2-b^2

a^2=10^2-((4/3)a)^2

(25/9)a^2=100

a^2=36

a=6

b=(4/3)a=8

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

О т в е т. [b](x^2/6^2)-(y^2/8^2)=1[/b]

3)
Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

Точка M(sqrt(3);sqrt(2)) лежит на гиперболе

Значит ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы

(3/a^2)-(2/b^2)=1

a^2=с^2-b^2

Система:

{(3/a^2)-(2/b^2)=1
{a^2=2-b^2

Находим a^2 и b^2

3/(2-b^2) - 2/b^2 =1

(3*b^2-4+2b^2)/b^2*(2-b^2)=1

3b^2-4+2b^2=b^2*(2-b^2)

b^4+3b^2-4=0

b^2=1

a^2=1

[b]x^2-y^2=1[/b]

Ответ выбран лучшим

D: -1 ≤ х ≤ 1
x^2 ≤ y ≤ 1
см. рис.

V= ∫ ∫ _(D) (x^2+y^2)dxdy=

= ∫ ^(1)_(-1)dx ∫ ^(1)_(x^2) (x^2+y^2)dy=

= ∫ ^(1)_(-1) (x^2y+(y^3/3))| ^(1)_(x^2) dx=

= ∫ ^(1)_(-1) (x^2+(1/3)- x^4-(x^6/3)) dx=((x^3/3)+(1/3)x-(x^5/5)-(x^7/21))| ^(1)_(-1) =

=(1/3)+(1/3)-(1/5)-(1/21)-((-1/3)-(1/3)+(1/5)+(1/21)=

= [b]88/105[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a_(n)=(sqrt(n^2+2)-sqrt(n^2-2))/n

умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(n^2+2)+sqrt(n^2-2)

a_(n)=4/(n*(sqrt(n^2+2)+sqrt(n^2-2)) ~ b_(n)=4/n^2, так как

lim_(n→ ∞ )a_(n)/b_(n)=1

Данный ряд и ряд ∑ 4/n^2 ведут себя одинаково. Одновременно сходятся или одновременно расходятся.

∑ 4/n^2 - обобщенный гармонический ряд, p=2>1
Такой ряд сходится.

О т в е т. [b]Сходится [/b]

Ответ выбран лучшим

О т в е т. СR=28.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
(прикреплено изображение)

857
На первой кости может выпасть любая цифра от 1 до 4, 4 способа выпадения первой цифры.

На второй кости может выпасть любая цифра от 1 до 8, 8 способов выпадения первой цифры.

Так как надо получить двузначное число, то можем получить 4*8=32 двузначных числа

858

n=32

Среди них чисел:

1) сумма цифр которого равна 3 всего 2, это 12 и 21.
m=2
p=m/n=2/32=1/16

2) сумма цифр которого равна 6 всего 4, это 15; 24;33;42.
m=4
p=m/n=4/32=1/8

3)сумма цифр которого меньше 6 всего 10,
это 11;12;13;14; 21; 22; 23; 31; 32; 41.

m=10

p=m/n=10/32=5/16

и так далее....

Ответ выбран лучшим

x + y - 4 = 0 ⇒ y= - x + 4

k=-1

Значит, касательные || прямой имеют вид

y=-x+b

Прямая y=-x+b и гипербола y^2=(4/5)x^2 - 4
имеют одну общую точку, т. е

уравнение

(4/5)x^2-4=(-x+b)^2 имеет единственное решение

(1/5)x^2-2bx+b^2+4=0

D=4b^2-4*(1/5)*(b^2+4)=(16/5)b^2-(16/5)

Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0

(16/5)b^2-(16/5)=0

b^2=1
b= ± 1

О т в е т. [b]y = - x - 1; y = - x + 1[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]ОДЗ:[/b]
{x^2+8 > 0 ⇒ x - любое
{sqrt(4x^4+8) >0 ⇒ 4x^4+8 > 0 ⇒ х - любое

[b]х ∈(- ∞;+ ∞) [/b]

log_(sqrt(2))sqrt(4x^4+8)=log_(2^(1/2)sqrt(4x^4+8)=2log_(2)sqrt(4x^4+8)

=log_(2)(sqrt(4x^4+8))^2=log_(2)(4x^4+8)=log_(2)4*(x^4+2)=

=log_(2)4 + log_(2)(x^4+2)=2+log_(2)(x^4+2)

Уравнение принимает вид:

2+log_(2)(x^2+8)=2+log_(2)(x^4+2)

log_(2)(x^2+8)=log_(2)(x^4+2)

x^2+8=x^4+2

x^4-x^2-6=0

D=1+24=25

x^2=3 или x^2=-2 ( уравнение не имеет корней)

x= ± sqrt(3)

О т в е т. sqrt(3) ∈ [1,3;2,2]

Замена переменной:
sinx+cosx=t

Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2

1+2sinx*cosx=t^2

sinx*cosx=(t^2-1)/2

sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)*(sin^2x-sinx*cosx+cos^2x)=

=t*(1- (t^2-1)/2)=t*(3-t^2)/2

Уравнение принимает вид

t*(3-t^2)/2 + (t^2-1)/2=1

3t-t^3+t^2-1-2=0

3(t-1)-(t^3-t^2)=0

(t-1)*(3-t^2)=0

t=1 или t= ± sqrt(3)

Обратный переход
1)
sinx+cosx=1

(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx=1/sqrt(2)

cos(x-(π/4))=1/sqrt(2)

x-(π/4)=±(π/4)+2πn, n∈ Z

x=(π/4)±(π/4)+2πn, n∈ Z

[b]x=(π/2)+2πn, n∈ Z[/b] или [b] х=2πn, n∈ Z[/b]

2)
sinx+cosx=sqrt(3)
(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx=sqrt(3)/sqrt(2)
cos(x-(π/4))=sqrt(3)/sqrt(2) - уравнение не имеет корней, так как sqrt(3)/sqrt(2)>1

-1 ≤cos( x-(π/4))≤1

3)
sinx+cosx=-sqrt(3)
(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx= - sqrt(3)/sqrt(2)
cos(x-(π/4))= - sqrt(3)/sqrt(2) - уравнение не имеет корней, так как - sqrt(3)/sqrt(2) < - 1

-1 ≤cos( x-(π/4))≤1

О т в е т. x=(π/2)+2πn, n∈ Z[/b] ; [b] х=2πn, n∈ Z[/b]

dl=sqrt(1+(y`)^2)dx=sqrt(1+(1/2)^2)dx=sqrt(5/4)dx=sqrt(5)dx/2

∫ _(L)dl/(x-y)= ∫^(4)_(0)sqrt(5)dx/(2*(x - ( x/2 -2))=

=sqrt(5)/2 ∫ ^(4)_(0)dx/(x/2)+2)= (sqrt(5)/2) * 2*ln|(x/2)+2|| ^(4)_(0)=

= sqrt(5)*(ln4-ln2)=sqrt(5)ln(4/2)= [b]sqrt(5)*ln2[/b]

Ответ выбран лучшим

∠ AOC - центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.
∠ AOC= ∪ AC

∠ ABC - вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается.
∠ AВC= (1/2)∪ AC

∪ AC=2* ∠ AВC=2*67 градусов=134 градусов.

∠ AOC= ∪ AC = 134 градусов

Каждый из двенадцати столбов связан с четырьмя другими, всего 12⋅4=48 соединений.

Два столба связаны друг с другом одним проводом, значит, проводов будет протянуто в два раза меньше, чем соединений.

48:2=24.

Ответ: 24.

Ответ выбран лучшим

(16х^2+9)/(16х^2–9) - 1<0

(16x^2+9-16x^2+9)/(16x^2-9) <0

18/(16x^2-9) <0 ⇒ 16x^2-9 <0 ⇒ (4x-3)(4x+3) <0

-3/4 < x < 3/4

О т в е т. (-0,75; 0,75)

Ответ выбран лучшим

По формуле: 2sin^2( α /2)=1-cos α ;

2sin^2((π/4)-9x)=1-cos((π/2)-18x)

По формулам приведения

1-cos((π/2)-18x)=1-sin18x
cos(π–7x)=-cos7x

Уравнение принимает вид:

(7/2)*(1-sin18x)-cos7x=7/2

[b]7sin18x+2cos7x=0[/b]

Скорее всего уравнение выглядит так:
(5/2) sin^2((π/4)-7x)-cos(π-7x)=5/2;

Методом интегрирования по частям получена формула, которая
есть в таблице.
В данном задании
a^2=3
x=u
± заменяем только на + (прикреплено изображение)

y=(1+x-x^3)^(-1/2)

Применяем формулу вычисления производной степенной функции:

(x^(-1/2))`=(-1/2)*x^(-3/2)

и для сложной функции

(u^(-1/2))`=(-1/2)u^(-3/2)*u`

Решение.

y`=(-1/2)*(1+x-x^3)^(-3/2) * (1+x-x^3)`

y`=(-1/2)*(1+x-x^3)^(-3/2)* (1-3x^2)

О т в е т. [b]y`=(3x^2-1)/(2sqrt((1+x-x^3)^3) [/b]

Ответ выбран лучшим

Логарифмическое дифференцирование или готовая формула для вычисления производной показательно-степенной функции.

Решаю методом логарифмического дифференцирования.

lny = ln (tgsqrt(x))^(cos5x)

Применяем свойство логарифма степени

lny = cos5x* ln (tgsqrt(x))

Дифференцируем ( y- сложная функция, х - независимая переменная)

Справа - производная произведения:

y`/y = (сos5x)`*ln(tgsqrt(x))+ cos5x* (lntgsqrt(x))`

y`=y* [b]([/b](-5sin5x)*ln(tgsqrt(x))+cos5x* (1/tgsqrt(x)) * (tgsqrt(x))` [b])[/b]

y`=(tgsqrt(x))^(cos5x)* [b]([/b](-5sin5x)*ln(tgsqrt(x))+cos5x* (1/tgsqrt(x)) * (1/cos^2sqrt(x))*(sqrt(x))` [b])[/b]

y`=(tgsqrt(x))^(cos5x)* [b]([/b](-5sin5x)*ln(tgsqrt(x))+cos5x* (1/tgsqrt(x)) * (1/cos^2sqrt(x))*(1/2sqrt(x)) [b])[/b]

Ответ выбран лучшим

(x^2*y^5)`+(e^(3y))`+(e^(x))`=(cosx)`

2x*y^5+x^2*5y^4*y` + e^(3y)*(3y)`+e^(x)=-sinx

2x*y^5+x^2*5y^4* [b]y`[/b] + e^(3y)*(3)* [b]y`[/b]+e^(x)=-sinx

y`*(5x^2*y^4+3e^(3y))=-sinx-e^(x)-2x*y^5

[b]y`=(-sinx-e^(x) -2xy^5)/(5x^2*y^4+3e^(3y))
[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{log^2_(2)x-2log_(2)x ≠ 0 ⇒ log_(2)x*(log_(2)x-2) ≠ 0 ⇒

log_(2)x ≠ 0 и log_(2)x ≠ 2

x ≠ 1 и х ≠ 4

х ∈ (0;1) U(1;4) U(4;+ ∞ )

Замена переменной

log^2_(2)x-2log_(2)x=t; t ≠ 0 и t ≠ 2

45/t^2 - 18/t + 1 < 0

(t^2-18t+45)/t^2<0

D=18^2-4*45=324-180=144

t_(1)=3; t_(2)=15

__+____(0)__+__ (3) __-___ (15) __+___

3 < t < 15

[b] 3 < log^2_(2)x -2log_(2)x < 15[/b]

Система:

{log^2_(2)x -2log_(2)x >3
{log^2_(2)x -2log_(2)x < 15

Замена

log_(2)x=u

{u^2-2u-3>0 ⇒ D=16; u_(1)=-1; u_(2)=3;
{u^2-2u-15 <0 ⇒ D=4+60=64; u_(3)=-3; u_(4)=5

{u < -1 или u > 3
{-3 < u < 5

Решение системы:
-3 < u < -1 или 3 < u < 5

Обратный переход

-3 < log_(2)x < -1 или 3 < log_(2)x < 5

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

1/8 < x < 1/2 или 8 < x < 32

С учетом ОДЗ
О т в е т. [b](1/8; 1/2) U (8;32)[/b]

Ответ выбран лучшим

d(x^2+2x+1)=(x^2+2x+1)`dx=(2x+2)dx

(x+1)dx=d(x^2+2x+1)/2

∫ ^(1)_(0)(x+1)dx/(x^2+2x+1)= ∫ ^(1)_(0)(d(x^2+2x+1)/2)/(x^2+2x+1)=

=(1/2)ln|x^2+2x+1|^(1)_(0)=

=(1/2)(ln4-ln1)=(1/2)ln2^2=2*(1/2)ln2= [b]ln2[/b]

d(x-2)=dx

∫ ^(3)_(2)sqrt(x-2)dx= ∫ ^(3)_(2)sqrt(x-2)d(x-2)=

=(x-2)^(3/2)/(3/2)|^(3)_(2)=

=(2/3)* [b]([/b](3-2)^3/2-(2-2)^(3/2) [b])[/b]=

=(2/3)*(1-0)= [b](2/3)[/b]

Ответ выбран лучшим

d(4x-5)=4dx

dx=d(4x-5)/4

∫^(1)_(0)(4x-5)^4dx= ∫^(1)_(0)(4x-5)^4d(4x-5)/4=

=(1/4)*(4x-5)^5/5|^(1)_(0)=(1/20)* [b]([/b](4*1-5)^5-(4*0-5)^5 [b])[/b]=

=(1/20)*(-1+5^5)=3124/20=781/5= [b]156,2[/b]

∫ ^(π/2)_(0)sin(x/2)dx=2 ∫ ^(π/2)_(0)sin(x/2)d(x/2)=

=2*cos(x/2)|^(π/2)_(0)=

=2cos(π/4)-2cos0=2sqrt(2)/2 - 2 = [b]sqrt(2)-2[/b]

Ответ выбран лучшим

х=0 - особая точка. В ней подынтегральная функция не существует

По определению

∫ ^(1)_(0)dx/sqrt(x)=lim_(ε→ 0) ∫ ^(1)_(ε)dx/sqrt(x)=

=lim_(ε→ 0)2sqrt(x)|^(1)_( ε )=lim_(ε→ 0)2sqrt(1)-2sqrt(ε)=2 -

интеграл сходится.

Ответ выбран лучшим

V_(Ох)=π ∫ ^(2)_(-4) [b]([/b](4-x)^2- ((1/2)x^2)^2 [b])[/b]dx=

=π ∫ ^(2)_(-4) (16-8x+x^2-(x^4/4))dx=

=π*( 16x -(8x^2/2)+(x^3/3)-(x^5/20))| ^(2)_(-4) =

=π*(16*2-4*2^2+(1/3)*2^3-(2^5/20) - 16*(-4)+4*(-4)^2+(1/3)*(-4)^3-(1/20)*(-4)^5)=

=π*((256/15) +128-(64/3)+(256/5))= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Дано уравнение, сводящееся к квадратному с помощью замены:

ax-x^2=t

Тогда

4t+(1/t)+4=0

(4t^2+4t+1)/t=0

(2t+1)^2/t=0

2t+1=0
[b]t ≠ 0[/b]

[b]t=-1/2[/b]

ax-x^2=-1/2

Задача сводится к другой задаче.

При каком значении параметра а уравнение

[b]ax-x^2=-1/2[/b]

ax-x^2≠ 0 ⇒ х*(a - x)≠ 0⇒ х≠ 0 и х≠ а

имеет ровно два различных корня на [-1;1)

аx=x^2-(1/2)

a=x - 1/(2x)

Решаем графически

а=f(x)

Строим прямую y=a
и
Строим график f(x) = x - (1/2x)

Применяем исследование функции с помощью производной.

y`=1-(-1/2x^2)

y`=(2x^2+1)/(2x^2)>0 при любом х.

Функция монотонно возрастает на (- ∞ ;0) и на (0; + ∞)

Строим полосу, ограниченную х=-1 и х=1

При х=-1
y=-1+(1/2)=-1/2
При х=1
y=1-(1/2)=1/2

Т. е [-1;0) U(0;1) → [-1/2;0) U(0;1/2)

Значит при a ∈ [-1/2;0) U (0; 1/2) уравнение имеет два корня.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Я думаю, что здесь корень кубический из дроби.

y=∛((2x-3)/(2x+3)).

Для вычисления производной надо знать формулу
(∛x)`=(x^(1/3))`=(1/3)*x^((1/3)-1)=(1/3)x^(-2/3)=1/(3∛x^2)

Для сложной функции

(∛u)`=(u^(1/3))`=u`/(3∛(u^2))

Решение будет выглядеть так:

y`=(1/3)*((2x-3)/(2x+3))^(-2/3)* ((2x-3)/(2x+3))`=

=применяем правило нахождения производной дроби=

=(1/3)* ∛((2х+3)/(2х-3))^2* [b]([/b] ((2x-3)`(2x+3)-(2x-3)*(2x+3)`)/(2x+3)^2 [b])[/b]=

=(1/3)* ∛((2х+3)/(2х-3))^2* [b]([/b] 2*(2x+3)-(2x-3)*2)/(2x+3)^2 [b])[/b]=

=(1/3)* ∛((2х+3)/(2х-3))^2* [b]([/b] (4x+6-4x+6)/(2x+3)^2 [b])[/b]=

=(1/3)* ∛((2х+3)/(2х-3))^2* [b]([/b] (12)/(2x+3)^2 [b])[/b]=

= [b]4/(∛(2x-3)^2*∛(2x+3)^4)[/b]

Ответ выбран лучшим

Могу предложить [b]графический метод[/b] решения....

Перепишем уравнение в виде:

ax=-x^3-5x^2-10

Делим обе части на х
х≠0

a=-x^2-5x-(10/x)

Уравнение имеет вид:

g(x)=f(x)

Строим графики функций

g(x)=a - прямая,параллельная оси Ох

f(x)=-x^2-5x-(10/x)

Исследуем функцию с помощью производной

f`(x) =-2x-5+(10/x^2)

f`(x)=0

-2x-5+(10/x^2)=0

Уравнение имеет один корень.
х=1,168
(см. рис. 1)

График y=10/x^2 пересекается с прямой y=- 2x-5 в одной точке.

График y=-x^2-5x-(10/x) ( cм. рис.2)

на [-2;0) имеет ед решение при а ∈ [11;+ ∞ )

При х=-2

y(-2)=-(-2)^2-5*(-2)-(10/(-2))=-4+10+5=11

На (0;2] ед решение в точке х=1,168

y=-15,766

При х=0 данное уравнение принимает вид 10=0
нет корней.

О т в е т {-15,766} U [11;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена
1/(x-1)=t

x-1=1/t
d(x-1)=d(1/t) ⇒ dx=-dt/t^2

x-1=1/t ⇒ x=(1/t) +1
1+х-х^2=1+(1/t) +1 -((1/t)+1)^2 ⇒

1+x-x^2=1-(1/t)-(1/t^2)=(t^2-t-1)/t^2

Тогда

∫ dx/(x-1)*sqrt(1+x-x^2)= ∫ (-dt/t^2)/ [b]([/b](1/t)*sqrt(t^2-t-1)/t [b])[/b]=

=- ∫ dt/(t^2-t-1)=

выделяем полный квадрат

t^2-t+1=(t-(1/2))^2-(5/4)

=- ∫ dt/sqrt((t-(1/2))^2-(5/4))= [b]- ln|t - (1/2)+sqrt(t^2-t-1)|+С[/b], где

t=1/(x-1)

=-ln|1/(x-1) -(1/2) + sqrt((1/(x-1))^2-(1/(x-1))-1)|+C=

=-ln|(1/(x-1) - (1/2) + sqrt((1-(x-1)-(x-1)^2)/(x-1))|+C=

= [b]-ln|1/(x-1) - (1/2) + sqrt((1+x-x^2)/(x-1))|+C
[/b]

Чтобы решить задачу, нужно знать, что

1.
Правило вычисления производной произведения:

(u·v)`=u`·v+u·v`

2.
Формулы вычисления производных:
(e^(x))`=e^(x)
(tgx)`=1/cos^2x

Эти же формулы для сложной функции:
(e^(u))`=e^(u)·u`

(tgu)`=u`/cos^2u
поэтому:

(e^(sinx))`=e^(sinx)*(sinx)`=e^(sinx)*cosx

(tg 7x^4)`=(7x^4)`/cos^2(7x^4)=28x^3/cos^2(7x^4)

Решение выглядит так:

y`=(e^(sinx)·tg7x^4 )`=

=(e^(sinx))`*tg(7x^4)+e^(sinx)*(tg7x^4))`=

=e^(sinx)*cosx*tg(7x^4) + e^(sinx)*(7x^4)`/cos^2(7x^4)=

= [b]e^(sinx)*cosx*tg(7x^4) + (28x^3*e^(sinx))/cos^2(7x^4)[/b]

можно вынести за скобки e^(sinx):

=e^(sinx) * [b]([/b]cosx*tg(7x^4) +(28x^3/cos^2(7x^4)) [b])[/b]

Ответ выбран лучшим

Чтобы решить задачу, нужно знать, что

1.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

2.
Правило вычисления производной произведения:

(u*v)`=u`*v+u*v`
3.
Формулы вычисления производных:
(cosx)`=-sinx
(x^3)`=3x^2

Эта же формула для сложной функции:
(u^3)`=3u^2*u`

поэтому:
(arcsin^32x)`=3arcsin^2x * (arcsin2x)`=3arcsin^22x*(1/sqrt(1-(2x)^2)) * (2x)`=6arsin^22x/sqrt(1-4x^2)

Итак,

y`=3*(cosx)`*arcsin^32x+cosx*(arcsin^32x)`=

=3*(-sinx)*arcsin^32x+cosx*(6arsin^22x/sqrt(1-4x^2))=

= [b]-3sinx*arcsin^32x+(6cosx* arsin^22x)/sqrt(1-4x^2)
[/b]

Ответ выбран лучшим

det A=-6e^(3t)sin3t*(-5e^(2t)sin3t-(-5^(3t)*cos3t*6e^(2t)*cos3t)=

=30e^(5t)*(sin^23t+cos^23t)=30e^(5t)·1=30e^(5t) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Замена
y`=z
y``=z`
xz`=z+x^2

z`-(1/x)z=x - линейное первого порядка. Решается методом вариации или методом Бернулли y=u*v

2)
Линейное неоднородное второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляют характеристическое

k^2+6k+5=0

D=36-20=16

k_(1)=-5; k_(2)=-1

y=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x) - общее решение однородного.

Частное решение неоднородное находят в виде похожем на правую часть

Справа линейная функция умножается на экспоненту.

y_(част)=(Ах+В)*e^(2x)

y`_(част)=((Ах+В)*e^(2x))`

y``_(част)=(y`_(част))`

Подставляем в данное неоднородное уравнение и находим А и В.

См. у меня на странице раздел категории. Дифференциальные уравнения. Там есть похожие задачи....

ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ (0+2πn;π+2πn) n ∈ Z
{3cos^2x>0 ⇒ cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z

ОДЗ: (0+2πn;(π/2)+2πn)U((π/2)+2πn; π+2πn) n ∈ Z

25^(log_(5)(sinx))=5^(2*log_(5)(sinx))=5^(log_(5)(sinx)^2)=sin^2x

2^(log_(4)(3cos^2x))=2^(log_(2^2)(3cos^2x))=2^((1/2)*log_(2)(3cos^2x))=2^(log_(2)(3cos^2x)^(1/2))=(3cos^2x)^(1/2)=

=sqrt(3)|cosx|

Уравнение принимает вид

sin^2x+0,5*sqrt(3)*|cosx| =1

Раскрываем знак модуля на ОДЗ:

(1)

на (0+2πn;(π/2)+2πn), n ∈ Z
cosx>0
|cosx|=cosx

sin^2x+(sqrt(3)/2)cosx=1

sin^2x+(sqrt(3)/2)cosx-1=0

(sqrt(3)/2)cosx-(1-sin^2x)=0

(sqrt(3)/2)cosx-cos^2x=0

cosx*(sqrt(3)/2)-cosx)=0

Согласно ОДЗ
cosx ≠ 0

Значит
cosx=sqrt(3)/2
x= ± arccos(sqrt(3)/2)+2πm, m ∈ Z
x= ±(π/6) +2πm, m ∈ Z
х=- (π/6) +2πm, m ∈ Z находятся в четвертой четверти и не принадлежат ОДЗ

О т в е т (1) (π/6) +2πm, m ∈ Z

(2)

на((π/2)+2πn; π+2πn) n ∈ Z
cosx<0

|cosx|=- cosx

sin^2x-(sqrt(3)/2)cosx=1

sin^2x-(sqrt(3)/2)cosx-1=0

-(sqrt(3)/2)cosx-(1-sin^2x)=0

-(sqrt(3)/2)cosx-cos^2x=0

-cosx*(sqrt(3)/2)+cosx)=0

Согласно ОДЗ
cosx ≠ 0

Значит
cosx=- sqrt(3)/2
x= ± arccos(-sqrt(3)/2)+2πk, k ∈ Z
x= ±(5π/6) +2πk, k ∈ Z
х=- (5π/6) +2πk, k ∈ Z находятся в третьей четверти и не принадлежат ОДЗ

О т в е т (2) (5π/6) +2πk, k ∈ Z

О т в е т.
[b] (π/6) +2πm, m ∈ Z
(5π/6) +2πk, k ∈ Z[/b]

Метод параллельных сечений:
при

z=0
x^2 4y^2=8
(x^2/8) (y^2/(7/4))=1 - эллипс

при
z=1
1=8-x^2-4y^2

x^2 4y^2=7
x^2/7 (y^2/(7/4))=1 - эллипс

Причем a_(1)=sqrt(7) < a_(0)=sqrt(8)
b_(1)=sqrt(7/4) < a_(0)=sqrt(8/2)

т. е размеры эллипса уменьшаются.

и т. д.

при
z=8

x^2 4y^2=0
Точка (0;0;8) - вершина поверхности

При z > 8 нет линий
Так как x^2+4y^2 = - 1; -2 и т.д. не может

При z=-3; z=-4

эллипсы, причем размеры их все время увеличиваются.

При y=0
парабола, ветви вниз
z=8-x^2

при y=1
y=-1
параболы
и т. д.

При х=0
парабола ветви вниз
z=8-4y^2
при х=1
х=-1
параболы
....

О т в е т. Это эллиптический параболоид. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВЕ ~ Δ DBC ( АЕ || BC)

Из подобия следует пропорциональность сторон
AB: DB=AE:DC
6:18=AE:15

AE=6*15/18= [b]5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подкоренное выражение неотрицательно
x^2-4 ≥ 0
Выражение под знаком логарифма положительно
x^2+2x-3>0
Знаменатель дроби не должен равняться 0
log_(2)(x^2+2x-3) ≠ 0

Все три условия должны выполняться одновременно, поэтому ОДЗ
определяется системой:

{x^2-4 ≥ 0 ⇒ (x-2)*(x+2)≥ 0 __+_ [-2] ___ [2] _+__ ⇒ x ≤ -2 или x ≥2
{x^2+2x-3>0 ⇒ D=4+12=16; x_(1)=-3; x_(2)=1 ⇒ x<-3 или x > 1
{x^2+2x-3 ≠ 1 ⇒ x^2+2x-4 ≠ 0 ⇒ D=20; x_(3)≠-1-sqrt(5);x_(4)≠-1+sqrt(5)

О т в е т. (- ∞ ;-1-sqrt(5))U(-1-sqrt(5);-3) U [2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Так как прямой угол опирается на диаметр, то гипотенуза с=10
Второй катет находим по теореме Пифагора
b^2=c^2-a^2=10^2-6^2=100-36=64

b=[b]8[/b]
S=(1/2)a*b=(1/2)*6*8=[b]24[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2-x>0 ⇒ x < 2
{x>0
{log_(14)x-log_(49)x ≠ 0⇒ log_(14)x ≠ log_(49)x
Функция y=log_(14)x монотонно возрастает, значит каждое свое значение принимает в единственной точке

Функция y=log_(49)x монотонно возрастает, и тоже каждое свое значение принимает в единственной точке

Графики функции y=log_(14)x пересекается с графиком функции y=log_(49)x в точке х=1 ⇒ Значит равные значения функции принимают только в единственной точке х=1

Исключаем ее из области определения
х≠ 1

ОДЗ:
x ∈ (0;1)U(1;2)

Переходим к основанию 2.

В числителе:

log_(2)(2-x)/log_(2)4 - log_(2)(2-x)/log_(2)14=

=log_(2)(2-x) *((1/2) - 1/(log_(2)+log_(2)7))=

=log_(2)(2-x) * (1+log_(2)7-2)/(2*(1+log_(2)7))=

=log_(2)(2-x) * (log_(2)7-1)/(2*(1+log_(2)7))

В знаменателе:

log_(2)x/log_(2)14 - log_(2)x/log_92)49=

=log_(2)x*(1/(1+log_(2)7) - 1/(2log_(2)7))=

=log_(2)x*(2log_(2)7 - 1 - log_(2)7)/ (2log_(2)7*(1+log_(2)7)

Делим числитель на знаменатель.
Первую дробь умножаем на обратную второй

сокращаем на 2, на (log_(2)7-1) и на 2(1+log_(2)7)

Неравенство принимает вид:

log_(2)(2-x) * log_(2)7/log_(2)x ≤ log_(2^2)7^2

log_(2)(2-x) * log_(2)7/log_(2)x ≤(2/2) log_(2)7

log_(2)7 > 2 > 0
Делим обе части неравенства на log_(2)7

log_(2)(2-x) /log_(2)x ≤1

Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево:

log_(x)(2-x) ≤ 1

1=log_(x)x

[b]log_(x)(2-x) ≤ log_(x)x[/b]

Если основание логарифмической функции x>1 функция возрастает,
большему значению функции соответствует большее значение аргумента
2-x ≤ x

{x>1
{2-x≤ x ⇒ 2≤2x ⇒ x ≥1
C учетом ОДЗ x ∈(1;2)

Если основание логарифмической функции 0 < x <1 функция убывает,
большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
2-x≥ x

{0<x<1
{2-x≥ x ⇒ 2≥2x ⇒ x ≤ 1
C учетом ОДЗ x ∈(0;1)

Объединяем два решения и получаем о т в е т. (0;1) U (1;2)

Можно вместо этого применить [b]метод рационализации логарифмических неравенств[/b], который позволяет заменить неравенство [b]log_(x)(2-x) ≤ log_(x)x[/b] равносильным ему на ОДЗ неравенством:

(x-1)*(2-x-x) ≤ 0

Сравните: в первой и второй системе множители
разных знаков, значит произведение множителей в обоих случаях неположительно ( < или = 0)

(x-1)*(2-2x) ≤ 0

2*(x-1)^2 ≥ 0

неравенство верно при любом х из ОДЗ

О т в е т. (0;1)U(1;2)

Равнобедренный треугольник ДЕF с основанием ДF ⇒
боковые стороны равны между собой
DE=EF

Δ DOE = Δ EOF по трем сторонам
DE=EF
DO=EO=OF=R

Из равенства треугольников следует равенство углов
∠ DOE= ∠ EOF=120^(o)

Тak как

∠ DOE+ ∠ EOF+∠ DOF=360^(o) ⇒ ∠ DOF= [b]120^(o) [/b]

∠ DOF- центральный, измеряется дугой, на которую опирается.
Значит, ∪ DF=120^(o)

∠ DEF - вписанный, измеряется половиной дуги, на которую опирается.

∠ DEF= [b]60^(o) [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ АBC - вписанный, он равен половине дуге на которую он опирается,
значит ∪AC=2*50 градусов=100 градусов
∠ АОC - центральный, он измеряется дугой АС, на которую опирается
∠ АОC=100 градусов

Δ АВО=Δ ВОС- по трем сторонам:
АВ=ВС - по условию; ОА=ОВ=ОС=R)
∠АОВ=∠ВОС

∠АОВ+∠ВОС+∠ АОC=360 градусов

∠АОВ+∠ВОС=360 градусов-∠ АОC=360 градусов-100 градусов=260 градусов
∠АОВ=∠ВОС=260 градусов/2=130 градусов

Ответ: угол BОC = 130 градусов

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула синуса двойного угла
sin2 α =2*sin α cos α

поэтому
sin81^(o)*cos81^(o)=(1/2)sin162^(о)

sin162^(o)=sin(180^(o)-18^(o))= [b]sin18^(o)
[/b]
Формула понижения степени

cos^2 α =(1+cos2 α) /2

поэтому

cos^251^(o)=(1+cos102^(o))/2

cos(102^o)=cos(90^(o)+12^(o))= [b]-sin12^(o)[/b]

sin81^(o)*cos51^(o)*cos81^(o)*cos51^(o)=

=sin81^(o)*cos81^(o)*cos51^(o)*cos51^(o)=

=(1/2)sin162^(o)*(1+cos102^(o))/2=

=(1/4)*(sin18^(o)*(1-sin12^(o))=

=(1/4)*(sin18^(o)-sin18^(o)*sin12^(o))=

формула sin α *sin β =(1/2)cos( α - β)-(1/2)cos( α + β )

(1/4)*(sin18^(o) - (1/2)cos6^(o)+(1/2)cos30^(o))=

=(1/4)sin18^(o) - (1/8)cos6^(o)+(1/8)*sqrt(3)/2

пл. А_(1)BD и пл. основания пересекаются по прямой BD
BD=1 , треугольник АВD - равнобедренный с углом 60 градусов при вершине, значит он равносторонний
AO=(1/2)AC
AO^2=AD^2-DO^2=1-(1/2)^2=3/4
AO=sqrt(3)/2

AA_(1) находим из прямоугольного треугольника АА_(1)О

AO=(1/2)AC=sqrt(3)/2
AA_(1)=AO*tg60^(o)=(sqrt(3)/2)*sqrt(3)= [b]3/2[/b]

S_(бок.пов)=P_(осн.)*H
H=AA_(1)
так как призма прямая
Р_(осн)= [b]4[/b]

S_(бп)=4*(3/2)= [b]6[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

У пирамиды ADA_(1)B_(1) в основании треугольник AA_(1)B_(1)
Высота равна AD

Будем считать,что у параллелепипеда
основание AA_(1)B_(1)B и высота AD

Тогда
V_(параллелепипеда )=S_(осн)*Н= [b]S_(AA_(1)B_(1)B)* AD[/b]

V_( пирамиды ADA_(1)B_(1) )==(1/3)*S_(осн.)*Н=

=(1/3)*S_( Δ AA_(1)B_(1)) * AD=

=(1/3)*(1/2) [b]S_(AA_(1)B_(1)B)* AD[/b]=(1/6)*V

Ответ выбран лучшим

А \ В - число оканчивается на 5
A ∩ B- число оканчивается нулем.

Ответ выбран лучшим

О-середина гипотенузы. Значит, АО=ОВ=ОС=R

BC=AB/2=2R/2=R - катет против угла в 30 градусов.

DO=BC=R
По теореме Пифагора из Δ ADO
AD=Rsqrt(2)

Проводим AF || BC
Получаем прямоугольник AFBC

Угол между AD и AF равен углу между AD и ВС.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(прав. шестиуг.)=6S_(прав.треуг)=6*(a^2sqrt(3)/4)=(3/2)a^2sqrt(3)

V=(1/3)*S_(осн.)*h=(1/2)*(3/2)a^2sqrt(3)*h= [b](a^2sqrt(3)*h)/2[/b]

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(1)_(0)(∛x-x^2)dx= ∫ ^(1)_(0)(x^(1/3)-x^2)dx=

=(x^(4/3)/(4/3)-(x^3/3))|^(1)_(0)=

=(3/4)*1-(1/3)*1= [b]5/12[/b]
(прикреплено изображение)

А)
Замена переменной
x-(π/2)=t
t→0

x=(π/2)+t
sin2x=sin2*((π/2)+t)=sin(π+2t)=-sin2t
tg4x=tg4*((π/2)+t)=tg(2π+4t)=tg4t

lim_(x →(π /2))sin2x/tg4x= lim_(t →0) (-sin2t/tg4t)= lim_( t → 0)(-2t/4t)=-1/2

sin2t~2t при t→0
tg4t~4t при t→0
Б)
Замена переменной
x-2=t
t→0

x=t+2

ctg(πx)=ctgπ*(t+2)=ctg(π*t+2π)=ctg(π*t)

lim_(x → 2)(x–2)·ctg(πx) = lim_(t →0) t*ctg (π*t)= lim_(t →0) t/tg (π*t)=1/π

В) lim x → 0(1–cos4x)/(2x·tg2x)=[ формула 2sin^2(α /2)=1-cosα ]=

= lim x → 0(2sin^22x)/(2x·tg2x)=

=lim x → 0(sin2x)*(sin2x)/(x·tg2x)= lim_( x → 0)(2x*2x)/(x*2x)=2

sin2x~2x при x→0
tg2x~2x при x→0

Г) lim_( x → 0)(arcsin7x/sin4x)= lim_( x → 0)(7x/4x)=7/4

arcsin7x~7x при xt→0
sin4x~4x при x→0

Д)lim_( x → ∝ )(x·sin(2/x)lim x)=[Замена 1/x=t; x → ∞ ; t → 0]=

= lim_( t → 0)(sint/t)=1

Ответ выбран лучшим

Подставляем х=-1 в числитель и знаменатель дроби:
(3*(-1)^2+2*(-1)+1)/(2*(-1)^2+3*(-1)+1)=(-2/0)=- ∞

величина обратная бесконечно малой (0) есть бесконечно большая (∞).

Между прочим и обратное верно
величина обратная бесконечно большой (∞) есть бесконечно малая (0).

2.
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=x`*arccos(x/2)+x*(arccos(x/2))`-(sqrt(4-x^2))`=

=arccos(x/2)+ x*(1/-sqrt(1-(x/2)^2))*(x/2)` - (4-x^2)`/(2*(sqrt(4-x^2))=

=arccos(x/2)- x/(2sqrt(1-(x^2/4))) + 2x/(2(sqrt(4-x^2))=

=arccos(x/2)- x/(sqrt(4-x^2)) + x/((sqrt(4-x^2))=

= [b]arccos(x/2)[/b]

3.

Табличный интеграл

∫ e^(u)du=e^(u)+C

u=x^2+3

du=2xdx

d(x^2+3)=2xdx

xdx=(1/2)d(x^2+3)

∫ e^(x^2+3)xdx= (1/2) ∫ e^(x^2+3)d(x^2+3)=

= [b](1/2)e^(x^2+3) + C[/b]

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''+y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+1=0

k_(1)=-i; k_(2)=i- корни комплексные

α=0; β=1

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(0x)(С_(1)*cosx+C_(2)*sinx)

e^(0x)=1

[b]y_(одн.)=С_(1)*cosx+C_(2)*sinx[/b]

Частное решение неоднородного уравнения находим в виде:

y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=хe^(x)

y_(част 1) =(Ax+B)*e^(x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част 1)=(Ax+B)`e^(x)+(Ax+B)*(e^(x))`

y`_(част 1)=A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)

y``_(част 1)=(A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x))`=

=A*e^(x)+=A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)=2*A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)

подставляем в данное уравнение:

2*A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)+(Ax+B)*e^(x) =x*e^(x)

(2А+2B)+2Ax=x

2A+2B=0
2A=1

[b]А=1/2; B=-1/2[/b]

y_(част 1)=(1/2)(x-1)*e^(x)

y_(част 2) соответствует f_(1)(x)=2e^(-x)

y_(част 2) =Me^(-x)

y`_(част 2) =-Me^(-x)

y``_(част 2) =Me^(-x)

Me^(-x)+Me^(-x)=2e^(-x)

2M=2

M=1

y_(част 2) =e^(-x)

[b]Общее решение :[/b]
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

= [b]=С_(1)*cosx+C_(2)*sinx +(1/2)(x-1)*e^(x) +e^(-x)[/b]

ОДЗ:
{-x > 0 ⇒ x < 0
{2x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1/2
{(x+2)/4 > 0 ⇒ x > -2

(-2;-1/2) U (-1/2; 0)

На ОДЗ
sqrt(-x) > 0,
поэтому
осталось решить неравенство:

3/(2x+1) + log_(2) (x+2)/4 > 0

3/(2x+1) + log_(2) (x+2)- log_(2)4 > 0

log_(2) (x+2) > 2- (3/(2x+1))

log_(2) (x+2) > (4x-1)/(2x+1)

Строим график у=log_(2) (x+2)
и
у= (4x-1)/(2x+1)

О т в е т. (-1/2;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
∫ e^(x)*(2-(e^(-x))/sqrt(x))dx=
раскрываем скобки; применяем свойство интегрирования: интеграл от суммы равен сумме интегралов

= ∫ 2e(x)dx- ∫ dx/sqrt(x)= 2e^(x)-2sqrt(x)+C

б)
Табличный интеграл.
См. приложение

в)
замена
3e^(x)+1=t
3e^(x)=t-1

e^(x)=(t-1)/3

x=ln(t-1)/3

dx=dt/(t-1)

∫ (2*(t-1)/3)-1)dt/t(t-1)=(1/3) ∫ (2t-5)dt/(t-1)*t - неправильная дробь, раскладываем на простейшие дроби

Все системы решаются способом подстановки.
Из первого уравнения выражаем х=-3у-1
и подставляем во второе.
Получаем квадратное уравнение.

{(x/2)–(y/3)=1
{ x+y=7

{3x-2y=6
{2x+2y=14
5x=20
x=4
y=7-x=7-4=3

(4;3) - точка пересечения прямых

Она единственная. Две прямые пересекаются только в одной точке.

Проверим принадлежит ли она второму уравнению

4^2+4*3-2*3^2-4+3=5
9=5- неверно.

О т в е т. Не имеют

Ответ выбран лучшим

а)
{ x^2–4y^2=0 ⇒ (x-2y)*(x+2y)=0
{x^2+xy–y^2=20

Совокупность двух систем:
{x-2y=0......... ........ или.......... {x+2y=0
{x^2+xy–y^2=20..... или.......... {x^2+xy–y^2=20

Каждую решаем способом подстановки, ответы объединяем

в)
Из второго y=6-x
и подставляем в первое.
Получаем квадратное уравнение.
г)
Замена
х+у=t
t^2-2t=15- квадратное уравнение
Находим корни.
Обратный переход
x+y=t_(1); x+y=t_(2)

Выражаем у через х и подставляем во второе уравнение

1)
Делим на х
y`-(2/x)y=x^2*cosx (#)

Решаем однородное:

y`-(2/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y=2dx/x

∫ dy/y= 2∫ dx/x
ln|y|=2ln|x|+ lnC

y=Cx^2

Метод вариации

y=C(x)*x^2

y`=C`(x)*x^2+2*C(x)*x

Подставляем в неоднородное (#) :

C`(x)*x^2+2*C(x)*x-(2/x)*C(x)*x^2=x^2*cosx

C`(x)*x^2=x^2*cosx

C`(x)=cosx

C(x)= ∫ cosxdx=-sinx+C

y=(-sinx+C)*x^2

[b]y=-x^2*sinx+C*x^2[/b]

2)
y’–y ^2(x+1)=0

dy/dx=y^2*(x+1)

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y^2=(x+1)dx

∫ dy/y^2= ∫ (x+1)dx

-1/у = (x^2/2)+x + C - [b] общее решение[/b]

y(2)=1

-1/1=(2^2)/2+2+C

C=-5

-1/у = (x^2/2)+x -5 - [b] частное решение[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть первоначальная дробь (x/y);
у ≠ 0

Если к числителю обыкновенной дроби прибавить 1, а к знаменателю 3, то значение дроби будет равно 1/2.
(x+1)/(y+3)=1/2

Если же из числителя вычесть 1, а к знаменателю прибавить 1, то получится дробь, после умножения которой на первоначальную будем иметь 1/5.

(x-1)/(y+1) *(x/y)=1/5

Система двух уравнений:
{(x+1)/(y+3)=1/2 ⇒ 2*(х+1)=у+3
{(x-1)/(y+1) *(x/y)=1/5 ⇒ 5*(х-1)*х=у*(у+1)

{y=2x-1
{5*(x-1)*x=(2x-1)*2x

5x^2-5x=4x^2-2x
x^2-3x=0
x=0; x=3

y=2*3-1=5

О т в е т. 3/5

Ответ выбран лучшим

Пусть первоначальная дробь (x/y);
[b]у ≠ 0[/b]

Если к числителю обыкновенной дроби прибавить 2, а к знаменателю 3, то значение дроби не изменится:

(x+2)/(y+3)=x/y

Если же к числителю прибавить 1, а к знаменателю 6, то значение дроби уменьшится на 1/6

(x+1)/(y+6) +(1/6)=x/y

Система двух уравнений:
{(x+2)/(y+3)=x/y
{x+1)/(y+6) +(1/6)=x/y

{(x+2)/(y+3)=x/y
{x+1)/(y+6) =(x/y)-(1/6)

{(x+2)/(y+3)=x/y
{x+1)/(y+6) =(6x-y)/(6y)

Применяем основное свойство пропорции

{(y*(x+2)=x*(y+3)
{6y*(x+1)=(6x-y)*(y+6)

{2y=3x ⇒ х=2у/3
{6y=-y^2+36х-6y

y^2+12y-36*(2y/3)=0
y^2-12y=0
у ≠ 0 ;

[b] y=12[/b]

[b]x=8[/b]

О т в е т. [b]8/12[/b]= [b]2/3[/b]

Ответ выбран лучшим

AF||BO

Значит, ∠ (AF, пл. МВС)= ∠ (BO, пл. МВС)

Δ BMC- равнобедренный, MK - высота и медиана
Δ BOC- равносторонний, ОК- медиана и высота

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

В Δ MKO проводим высоту OP

BP - проекция BO

cos ∠ PBO=BP/BO

Из Δ MBO:

MO^2=MB^2-BO^2=2^2-1^2=3

MO=sqrt(3)

Находим из прямоугольного Δ МКО

MO*OK=MK*ОР

ОК=sqrt(3)/2 - высота равностороннего треугольника ВОС

MK^2=MB^2-BK^2=2^2-(1/2)^2-15/4

MK=sqrt(15)/2

OP=(sqrt(3)*sqrt(3)/2)/sqrt(15)/2=sqrt(15)/5

cos ∠ PBO=BP/BO=sqrt(15)/5

О т в е т. [b]arccos(sqrt(15)/5)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ MBC- равносторонний
BD- медиана высота и биссектриса
BD=sqrt(3)/2
Проводим AD
Δ MAC- равносторонний
AD=BD=sqrt(3)/2

ΔADB - равнобедренный.
Проводим высоту DK.
BK=KA
BK- проекция BD

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Значит, надо найти угол DBK

cos ∠ DBK=BK/BD=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3
[b]∠ DBK= arccos(sqrt(3)/3)[/b] - о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью- угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

См. рис.

ВЕ=2 - наибольшая диагональ шестиугольника
АC=sqrt(3) - диагональ шестиугольника

Δ MAC - равнобедренный, проводим MК ⊥ АС
Проводим высоту из точки Е на МK ⇒ проекция ME находится на MK
Значит, угол между прямой ME и плоскостью MAC - это угол KME

Находим его из треугольника KME по теореме косинусов.

МК^2=MA^2-AK^2=2^2-(sqrt(3)/2^2=4-(3/4)=9/4
MK=3/2
KE=BE-BK=2-(1/2)=3/2
ME=2

cos ∠ KME=(MK^2+ME^2-KE^2)/(2MK*ME)=2/3
∠ KME= [b]arccos(2/3)[/b] - о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k-3=0
D=(-2)^2-4*(-3)=16

k_(1)=(2-4)/2=-1; k_(2)=(2+4)/2=3– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
[b]y=С_(1)e^(–x)+C_(2)e^(3x)[/b]

2)
Составляем характеристическое уравнение:
4k^2+4k+1=0
(2k+1)^2=0
2k+1=0
k_(1)= k_(2)=–1/2– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
[b]y=С1*e^((–1/2)*x)+C_(2)·x·e^((-1/2)*x)[/b]

3)
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+0,2k+2,01=0

D=0,04-4*2,01=-4

k_(1)=(-0,2-2i)/2=-0,1-i; k_(2)=-0,1+i – корни комплексные

α=-0,1; β=1

Общее решение однородного имеет вид:
[b]y=e^(-0,1x)*(С_(1)cosx+C_(2)sinx)[/b]

Ответ выбран лучшим

Это однородное уравнение, решается методом замены переменной.
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`; x`=1, так как x - независимая переменная.

Подставляем в уравнение

x*(u+xu`)=xu+x*e^(u)

x^2u`=x*e^(u)

xu`=e^(u)

u`=du/dx

x*du=e^(u)dx - уравнение с разделяющимися переменными.

du/e^(u)=dx/x

∫ e^(-u)du= ∫ dx/x

-∫ e^(-u)d(-u)= ∫ dx/x

-e^(-u)=lnx+lnC

-e^(-u)=lnCx

e^(-u)+lnCx=0

[b]e^(-y/x)+lnCx=0[/b] - общее решение

Ответ выбран лучшим

1.
y`=dy/dx

xydy=(1+y^2)dx

Разделяем переменные, делим на х*(1+y^2)

ydy/(1+y^2)=dx/x

Интегрируем

∫ ydy/(1+y^2)= ∫ dx/x

(1/2) ∫d(1+y^2)/(1+y^2)= ∫ dx/x

∫d(1+y^2)/(1+y^2)=2 ∫ dx/x

ln|1+y^2|=2lnx+lnC

ln|1+y^2|=lnx^2+lnC

ln|1+y^2|=lnC*x^2

[b]1+y^2=Cx^2[/b] - общее решение

2.
Линейное [b]неоднородное[/b] первого порядка.
Делим на х

[b]y`-(1/x)y=x*e^(x/2)[/b] (#)

Решаем однородное:

y`-(1/x)y=0

Это уравнение с разделяющимися переменными

dy/y=dx/x

∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+ lnC

y=Cx

Метод вариации

y=C(x)*x

y`=C`(x)*x+C(x)

Подставляем в неоднородное (#) :

C`(x)*x+C(x)-(1/x)*C(x)*x=x*e^(x/2)

C`(x)*x=x*e^(x/2)

C`(x)=e^(x/2)

C(x)= ∫ e^(x/2)dx=2*∫ e^(x/2)d(x/2)=2e^(x/2)+C

y=C(x)*x

y=(2e^(x/2)+C)*x

[b]y=2*x*e^(x/2)+C*x[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

1)
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+1,44=0

k=-1,2i или k=1,2i
α=0
β=1,2
y=e^(0x)*(C_(1) cos1,2x+C_(2)sin1,2x)
[b]y= C_(1) cos1,2x+C_(2)sin1,2x[/b] - общее решение

y(0)=1
1=C_(1) cos1,2*0+C_(2)sin1,2*0
1==C_(1)*1+C_(2)*0

C_(1)=1

y`=1,2C_(1)(-sin1,2x)+1,2C_(2)cos1,2x

y`(0)=0

0=-1,2C_(1)(sin1,2*0x)+1,2C_(2)cos1,2*0

0=1,2C_(2)

C_(2)=0

[b]y=cos1,2x[/b] - частное решение

2)

y`= ∫ y``(x)dx= ∫ sin(x/2)dx=2* ∫ sin(x/2)d(x/2)=2*(-cos(x/2))+C_(1)

y= ∫ y`(x)dx= ∫ (2*(-cos(x/2))+C_(1)) dx=

=-2 ∫ cos(x/2)dx +C_(1) ∫ dx=

=-4 ∫ cos(x/2)d(x/2) +C_(1) ∫ dx=

= [b]-4sin(x/2)+C_(1)x+C_(2)[/b]- общее решение

y(π)=π
π=-4sin(π/2)+C_(1)*π+C_(2)

π=-4*1+C_(1)*π+C_(2)

π+4=C_(1)*π+C_(2)

y`=(-4sin(x/2)+C_(1)x+C_(2))`=

=-4*cos(x/2)*(1/2) +C_(1)

y’(π)=1

1=-2cos(π/2)+C_(1)
1=-2*0+C_(1)
[b]C_(1)=1[/b]

π+4=C_(1)*π+C_(2)
π+4=1*π+C_(2)
C_(2)=4

[b]y=-4sin(x/2)+x+4[/b]- частное решение

Ответ выбран лучшим

1.
Находим координаты точек пересечения графиков
y=x^3 и у =8

x^3=8
x=2

См. область на рисунке.

S= ∫ ^(2)_(0)(8-x^3)dx=(8x-(x^4/4))|^(2)_(0)=8*2-(2^4/4)=16-4=12

2.
V_(Ox)=π ∫ ^(b)_(a)f^2(x)dx=π ∫^(1)_(0)(-x^2)^2dx=[y=-x^2;f(x)=-x^2]

= π∫^(1)_(0)x^4dx=π*(x^5/5)|^(1)_(0)= [b](1/5)π[/b] (прикреплено изображение)

Формула разложения функции
(см. приложение).
sqrt(81+x^4)=sqrt(81*(1+(x^4/81))=9*sqrt(1+(x^4/81))

1/sqrt(81+x^4)=(1/9)*(1+(x^4/81))^(-1/2)/3=

=(1/9)*(1-(1/2)*(x^4/81)+(1/2!)*(-1/2)*((-1/2)-1)*(x^4/81)^2+...

=(1/9)-(1/(18*81))*x^4+(3/72)*(x^8/81^2)+...

(x/3)^4 < 1 ⇒ -3<x<3

∫ ^(1,5)_(0) dx/sqrt(81+x^4)=

= ∫ ^(1,5)_(0) [b]([/b](1/9)-(1/(18*81))*x^4+(3/72)*(x^8/81^2) [b])[/b]dx=

= [b]([/b](1/9)x- (1/1458)*(x^5/20) +(3/(72*81^2))*(x^9/9) [b])[/b]|^(1,5)_(0)=

=считайте... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.2.
8^(x)*(8^2-1)=126
8^(x)*(64-1)=126
8^(x)*63=126
8^(x)=2
8=2^(3)

(2^(3))^(x)=2
2^(3x)=2
3x=1
[b]x=1/3[/b]

2.3
f`(x)=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2=

= [b]([/b](4x-5)`*(x+2)-(4x-5)*(x+2)` [b])[/b]/(x+2)^2=

=(4*(x+2)-(4x-5))/(x+2)^2=

=(4x+8-4x+5)/(x+2)^2=

=13/(x+2)^2 > 0 при х ≠ -2

Производная положительна, значит функция возрастает на интервалах (- ∞ ;-2) и (-2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Свойства логарифма степени:
2log_(6)3=log_(6)3^2=log_(6)9
(1/3)log_(6)64=log_(6)64^(1/3)=log_(6)4

2log_(6)3+(1/3)log_(6)64=log_(6)9+log_(6)4

cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(6)9*4=log_(6)36= [b]2 [/b]

Ответ выбран лучшим

Такие прямые дают три точки пересечения. А через три точкки можно провести только одну плоскость... (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=3^(x) - показательная функция, график которой расположен выше оси Ох

Множество значений показательной функции y=3^(x)
(0;+ ∞ )

График y=3^(x) + 4 получается из графика y=3^(x) параллельным переносом вдоль оси Оу на 4 единицы вверх

Поэтому множество значений показательной функции y=3^(x)+4
[b](4;+ ∞ )[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(бок.)=2π*R*H=2π*4*14= [b]112π см^2[/b]

Ответ выбран лучшим

По формуле Ньютона - Лейбница

∫ ^(b)_(a)f(x)dx=F(x)|^(b)_(a)=F(b)-F(a)

∫ ^(4)_(2)x^3dx=(x^4/4)|^(4)_(2)=(4^4/4)-(2^4/4)=64-4=60

Ответ выбран лучшим

x^4-(1/3)^4=0
(x^2-(1/3)^2)*(x^2+(1/3)^2)=0
(x-(1/3))*(x+(1/3))*(x^2+(1/9))=0

x-(1/3)=0 или x+(1/3)=0

[b]x=1/3[/b] или [b] x=-1/3[/b]

Ответ выбран лучшим

Формула косинуса двойного угла
cos 2α =cos^2 α -sin^2 α

cos^2 (22,50^(o) -sin^2(22,50^(o)=сos45^(o)=sqrt(2)/2

Ответ выбран лучшим

Основное логарифмическое тождество.

{3-x < 1
{3-x>0

0 < 3-x < 1
Прибавим (-3) ко всем частям неравенства

-3 < - x < -2

Умножаем на (-2) и меняем знак неравенства

2 < x < 3

О т в е т (2;3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

С1K ⊥CD_(1)
Угол между прямой и плоскостью– угол между прямой и ее проекцией на плоскость. См. рис.
Это угол С1CD1

∠ С1CD1=45^(o). Диагональ квадрата образует такой угол с его стороной. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вводим систему координат так, как показано на рисунке:

Cоставляем уравнение плоскости А_(1)Е_(1)BD, проходящей через три точки:
A_(1) (sqrt(3);0;1)
B(sqrt(3);1;0)
D(0;1;0)

Пусть М(х;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{DM}=(x;y-1;z)
vector{DA_(1)}=(sqrt(3);-1;1)
vector{A_(1)B}=(0;1;-1)
компланарны.
Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0

y+z-1=0
Нормальный вектор плоскости
vector{n}=(0;1;1)

vector{BC_(1)}=((sqrt(3)/2)-sqrt(3);(3/2)-1;1-0)=((-sqrt(3)/2);1/2;1)

Находим скалярное произведение
vector{n}*vector{BC_(1)}=1*(-sqrt(3)/2)+1*(1/2)+1*1=3/2

cos∠(vector{n},vector{BC_(1)})=(3/2)/(sqrt(2)*sqrt(2))= [b]3/4[/b]

Это угол между нормалью и прямой BC_(1)
А угол между прямой и проекцией дополняет данный угол до 90 градусов.
cos(90^(o)- φ)=3/4
sinφ=3/4

О т в е т. arcsin(3/4)

Геометрический способ решения:
(см. рис.2)
Пл. сечения А_(1)Е_(1)BD- прямоугольник ( можно доказать)
(FC⊥BD)

Угол между прямой и плоскостью- угол между прямой и ее проекцией на плоскость. См. рис.
Это угол С_(1)ВМ.
С_(1)M ⊥ PK

sin ∠ С_(1)ВМ=C_(1)M/C_(1)B

C_(1)M=sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной 2

PC_(1)=F_(1)C_(1)-F_(1)P=2-(1/2)=3/2

ΔC_(1)BK:
C_(1)K^2=C_(1)B^2-BK^2=(sqrt(2))^2-(sqrt(3)/2)^2=2-(3/4)=5/4
C_(1)K=sqrt(5)/2

Δ PC_(1)K
PK=A_(1)B=sqrt(2)

cos ∠ PC_(1)K=1/sqrt(5) по теореме косинусов из Δ PC_(1)K

sin ∠ PC_(1)K=2/sqrt(5)

C_(1)M*PK=PC_(1)*C_(1)K*sin ∠ PC_(1)K

C_(1)M=3/2sqrt(2)

sin ∠ С_(1)ВМ=C_(1)M/C_(1)B=3/(2*sqrt(2)*sqrt(2))= [b]3/4[/b]

О т в е т. arcsin(3/4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Линейный в первой строке.
В самом деле: (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

S_(бок. пов.)=(1/2)h*(P_(верх. осн.)+P_(ниж.осн.)) ( см. приложение)
S_(верх. осн.)+S_(ниж.осн.)=6^2+3^2=36+9=45

По условию боковая поверхность равновелика сумме оснований.
(1/2)h*(P_(верх. осн.)+P_(ниж.осн.))=45

(1/2)h*(4*6+4*3)=45
18h=45
h=5/2
KK_(1)=h=5/2

Из прямоугольной трапеции ОО_(1)К_(1)К

(OO_(1))^2=(KK_(1))^2-(OK-O_(1)K_(1))^2=

=(5/2)^2-((6/2)-(3/2))^2=(25/4)-(9/4)=16/4=4

OO_(1)=H= [b]2[/b] (прикреплено изображение)

ОДЗ(3х+2)/(2х-7) >0

По определению логарифма

(3х+2)/(2х-7) =(1/4)^(-1)

или

(3x+2)/(2x-7)=4

4>0, корни будут удовлетворять ОДЗ

(3x+2)/(2x-7) - 4 =0

(3x+2)-4*(2x-7)=0
2x-7 ≠ 0

3x+2-8x+28=0
-5x=-30
x=6

x=6 удовл условию 2х-7 ≠ 0

О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

h_(основания)=asqrt(3)/2=4sqrt(3)/2=2sqrt(3)

H=h=2sqrt(3)

S_(осн)=a^2sqrt(3)/4=4^2*sqrt(3)/4=4sqrt(3)

V=(1/3)*S_(осн)*H=(1/3)*4sqrt(3)*2sqrt(3)=8 см^3

В основании пирамиды квадрат
Диагонали квадрата AC и BD равны
и в точке пересечения делятся пополам
Основание высоты - точка О - центр квадрата.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника РАО:

АО^2=PA^2-PO^2=6^2-2^2=36-4=32
AO=4sqrt(2)
Так как
AO=(1/2)AC, то
AC=2AO=2*4sqrt(2)=8sqrt(2)

BD=AC=8sqrt(2)
S_(квадрата)=(1/2)AC*BD=(1/2)*8sqrt(2)*8sqrt(2)= [b]64[/b] cм^2

С другой стороны
S_(квадрата)=a^2, где а - сторона квадрата
[b]64[/b]=а^2
а=8 см

О т в е т. 8 см

x_(2)=x_(1)*1,09+x_(1)=27*1,09+27=27*(1,09+1)

x_(3)=x_(2)*1,09+x_(1)=27*(1,09+1)*1,09+27=
=27*(1,09^2+1,09+1)

x_(4)=x_(3)*1,09+x_(1)=27*(1,09^2+1,09+1)*1,09+27=

=27*(1,09^3+1,09^2+1,09+1)

Закономерность можно продолжить

x_(39)=27*(1,09^(38)+1,09^(37)+...+1)

Считаем сумму
39 членов геометрической прогрессии cо знаменателем q=1,09

S_(39)= [b]1*(1,09^(39)-1)/(1,09-1)[/b]

x_(39)=27*((1,09^(39)-1)/(1,09-1)=27*(1,09^(39)-1)/0,09=

=300*(1,09^(39)-1)

(прикреплено изображение)

4.
MK ⊥ пл. АВС ⇒ MK ⊥ KN
и
К - проекция точки М ⇒ К- середина АС
KN - средняя линия Δ АВС
KN=1/2
MK=1

ΔKNM - прямоугольный.

tg ∠ KNM=MK/KN=1/(1/2)=2

5.
Пирамида правильная.
РС=РА=РВ
В основании равносторонний треугольник, основание высоты пирамиды - точка О - центр вписанной в Δ АВС и описанной около Δ АВС окружностей

Поэтому
CO=R=asqrt(3)/3=6sqrt(3)/3=2sqrt(3)
OK=r=asqrt(3)/6=sqrt(3)

В прямоугольном треугольнике РКО
∠ РКО=30 °

PO=OK*tg30 ° =sqrt(3)*(sqrt(3)/3)=1

Из прямоугольного треугольника РСО
PC^2=PO^2+OC^2=1^2+(2sqrt(3))^2=1+12=13

PC=sqrt(13)

РС=РА=РВ=sqrt(13) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=x-8+(12/x)

y`=0

x-8+(12/x)=0

x-8=-12/x

Решаем графически.

Строим прямую y=x-8 и гиперболу y=-12/x

Две точки пересечения.
x=2 или x=6

Расставляем знак производной:

на (2;6) y=-12/x выше прямой, поэтому разность (x-8) - (-12/x) < 0
y`=x-8+(12/x) < 0 на (2;6)

_+__ (2) __-__ (6) __+__

х=6 - точка минимума, производная меняет знак c - на +

О т в е т. 6

Cм график самой функции на втором рисунке. (прикреплено изображение)

y`=5*(√x+1)^4*(√x+1)`+3*(-sin3x)*(3x)`=

=5*(√x+1)^4*(1/(2*√x))-9sin3x=

= [b](5/2)*(√x+1)^4/√x) - 9 sin3x[/b]

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y``-2y`+y=0
Составляем характеристическое
k^2-2k+1=0
k_(1,2)=1 - кратные действительные корни

y=C_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)

Применяем метод вариации произвольных постоянных

y=C_(1)(x)e^(x)+C_(2)(x)*x*e^(x)

С_(1) и С_(2) находим из системы уравнений:

{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*x*e^(x)=0
{C`_(1)(x)(e^(x))`+C`_(2)(x)*(x*e^(x))`=2e^(x)/(x^2+6x+8)

{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*x*e^(x)=0
{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*(e^(x)+x*e(x))=2e^(x)/(x^2+6x+8)

Вычитаем из второго первое уравнение:
C`_(2)(x)e^(x)=2e^(x)/(x^2+6x+8)
C`_(2)(x)=2/(x^2+6x+8)

С_(2)(x)=2 ∫ dx/(x^2+6x+8)

Выделяем полный квадрат:
x^2+6x+8=x^2+6x+9-1=(x+3)^2-1
С_(2)(x)=2 ∫ d(x+3)/((x+3)^2-1)

С_(2)(х)=2*(1/2)*ln|(x+3-1)/(x+3+1)|

[b]С_(2)(х)=ln|(x+2)/(x+4)|[/b]

подставляем в первое уравнение системы:

C`_(1)(x)e^(x)+ln|(x+2)/(x+4)x*e^(x)=0

C`_(1)(x)+x*ln|(x+2)/(x+4)|=0

C_(1)(x)=- ∫ x*ln((x+2)/(x+4))dx

по частям:

u=ln((x+2)/(x+4))

du=((x+4)/(x+2) )*((x+2)/(x+4))`dx=((x+4)/(x+2))*(2/(x+4)^2)dx=

= [b]2dx/((x+2)(x+4))[/b]

dv=xdx

v=x^2/2

C_(1)(x)=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ (x^2/2)* [b](2dx/((x+2)(x+4)))[/b]=

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ (x^2+6x+8-6x-8)/(x^2+6x+8)=

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ (x^2+6x+8)dx/(x^2+6x+8)+

∫ (6x+8)dx/((x+3)^2-1)= замена в последнем х+3=t;dx=dt

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ dx+ ∫(6t-10)dt /(t^2-1)=

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - x + 3*∫ d(t^2-1)/(t^2-1) - 10 ∫ dt/(t^2-1)=

= [b](x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - x +3ln|x^2+6x+8|-(10/2)n((x+2)/(x+4))[/b]

Ответ выбран лучшим

∠ ADC - внешний угол треугольника ABD
равен сумме внутренних с ним не смежных

∠ BAD+∠ AВD=110 ° ⇒ ∠ AВD=110 ° - ∠ BAD=110 ° -20 ° =90 °

[b] ∠ В=90 ° [/b]

Биссектриса AD делит угол пополам, значит
∠ BAD= ∠ DAC=20 °
∠ ВАС= ∠ BAD+ ∠ DAC=20 ° +20 ° =40 °

[b] ∠ A=40 ° [/b]

Треугольник АВС - прямоугольный. Сумма острых углов равна 90 °

∠ А+ ∠ С=90 °

∠ С=90 ° - ∠ А= 90 ° -40 ° =50 °

[b]∠ С=50 ° [/b]

О т в е т. ∠ В=90 ° ; ∠ С=50 ° (прикреплено изображение)

p_(1)=0,004- вероятность получения бракованной детали на первой операции

тогда
q_(1)=1-p_(1)= 0,=996 - вероятность получения небракованной детали на первой операции

p_(2)= 0,005- вероятность получения бракованной детали на второй операции

тогда
q_(2)=1-p_(2)= 0,995 - вероятность получения небракованной детали на второй операции

p_(3)= 0,008, вероятность получения бракованной детали на третьей операции

тогда
q_(3)=1-p_(3)= 0,992 - вероятность получения небракованной детали на третьей операции

p_(4)= 0,001, вероятность получения бракованной детали на четвёртой операции

тогда
q_(4)=1-p_(4)= 0,999 - вероятность получения небракованной детали на четвёртой операции

Пусть событие А - " изготовленная деталь бракованная"

Рассматриваем противоположное событие
vector{A}- "изготовленная деталь не бракованная"

p(vector{А})=q_(1)*q_(2)*q_(3)*q_(4)=0,996*0,995*0,992*0,999=
=0,982108748

Тогда

p(A)=1-p(vector{A})=1-0,982108748=0,0178912518 ≈ [b] 0,01789[/b]

(прикреплено изображение)

y`=(e^(2x))*(2x)`-6e^(x)+0

y`=2e^(2x)-6e^(x)

y`=0

2e^(2x)-6e^(x)=0

2e^(x)*(e^(x)-3)=0

e^(x)-3=0
e^(x)=3

x=ln3

0 < ln3 <2

Расставляем знак производной на отрезке:

[0] _-__ (ln3) __+_ [2]

x=ln3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(ln3)=e^(2ln3)-6*e^(ln3)+7=(e^(ln3))^2--6*e^(ln3)+7=

применяем основное логарифмическое тождество

=3^2-6*3+7= [b]-2[/b]

R=3 cм; H=5 см

[b]S_(пп)[/b]=S_(бп)+2S_(осн)=2π*R*Н+2π*R^2=2π*3*5+2*π*3^2=

[b]V[/b]=πR^2*H=π*3^2*5=

Ответ выбран лучшим

Значит R=5 cм; H=12 cм

L^2=R^2+H^2=25+144=169
L=13
[b]S_(пп)[/b]=S_(бп)+S_(осн)=π*R*L+π*R^2=π*5*13+π*5^2=

[b]V[/b]=(1/3)πR^2*H=(1/3)*π*25*12=

Ответ выбран лучшим

Находим координаты точек пересечения
y^3–y=x и x=0

y^3-y=0
y(y^2-1)=0
y=0; y= ± 1

V_(Оу)=π ∫ ^(b)_(a)g^2(y)dy

[b]g(y)=y^3-y[/b]

Так как области симметричны
V_(Оу)=2π ∫ ^(1)_(0)(y^3-y)^2dy=

=2π∫ ^(1)_(0)(y^6-2y^4+y^2)dy=

=2π*((y^7/7)-2(y^5/5)+(y^3/3))|^(1)_(0)=

=2π*((1/7)-(2/5)+(1/3))=16π/108= [b]4π/27[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ясно, что тело ограничено снизу z=0, сверху z=xy

Это нижний и верхний пределы внутреннего интеграла ( третьего по счету) по переменной z

Область D на плоскости xOy ограничена
y=3x сверху; y=0 снизу

Они пересекаются в точке х=0

Поэтому пределы внешнего интеграла по х: от 0 до 2

= ∫^(2) _(0dx ∫ ^(3x)_(0)dy ∫ ^(xy)_(0)x^3zdz=

=∫^(2) _(0dx ∫ ^(3x)_(0) (x^3*z^2/2)|^(z=xy)_(z=0)dy=

=∫^(2) _(0dx ∫ ^(3x)_(0) (x^3*(xy)^2/2)dy=

=∫^(2) _(0)(x^5/2)dx ∫ ^(3x)_(0) y^2dy=

=∫^(2) _(0)(x^5/2) (y^3/3)| ^(3x)_(0)dx=

=∫^(2) _(0)(x^5/2) ((3x)^3/3)dx=

=(9/2)∫^(2) _(0)x^8dx=

=(9/2)*(x^9/9)|^(2)_(0)=(1/2)*2^(9)=2^(8)=256

p_(1)=0,6 - вероятность того, что 1-й спортсмен пройдет дистанцию без штрафных очков

q_(1)=1-p_(1)= 0,4- вероятность того, что 1-й спортсмен пройдет дистанцию со штрафными очками

p_(2)= 0,9- вероятность того, что 2-й спортсмен пройдет дистанцию без штрафных очков

q_(2)=1-p_(2)=0,1 - вероятность того, что 2-й спортсмен пройдет дистанцию со штрафными очкам

p_(3)= 0,8- вероятность того, что 3-й спортсмен пройдет дистанцию без штрафных очков
q_(3)=1-p_(3)=0,2- вероятность того, что 3-й спортсмен пройдет дистанцию со штрафными очкам

1)
Пусть событие А - " только 2 спортсмена пройдут дистанцию без штрафных очков "

p(А)=p_(1)*p_(2)*q_(3)+p_(1)*q_(2)*p_(3)+q_(1)*p_(2)*p_(3)=

= [b]0,6*0,9*0,2+0,6*0,1*0,8+0,4*0,9*0,8[/b]=

2)

Пусть событие B - " хотя бы двое спортсменов пройдут дистанцию без штрафных очков "

Значит какие-то двое или все трое

Пусть событие C - "три спортсмена пройдут дистанцию без штрафных очков "

B=AUC
A и С несовместны, поэтому
p(B)=p(A)+p(C)
p(C)=p_(1)*p_(2)*p_(3)=0,6*0,9*0,8

p(B)= [b]0,6*0,9*0,2+0,6*0,1*0,8+0,4*0,9*0,8[/b]+0,6*0,9*0,8=

3)

Пусть событие D - " не больше 2–х спортсменов пройдут дистанцию без штрафных очков"

Значит один какой-то пройдет или все не пройдут

p(D)=p_(1)*q_(2)*q_(3)+q_(1)*p_(2)*q_(3)+

+q_(1)*q_(2)*p_(3)+q_(1)*q_(2)*q_(3)=

=0,6*0,1*0,2+0,4*0,9*0,2+0,4*0,1*0,8+0,4*0,1*0,2=

Ответ выбран лучшим

Применяем радикальный признак Коши:
lim_(n → ∞ )(a_(n))^(1/n)= (надо бы написать корень n-oй степени из a_(n))

=lim_(n → ∞ )(1/3)*(n/(n+1))^(-n)=

=(1/3)*lim_(n → ∞ )((n+1)/n)^(n)=(1/3)e<1 сходится.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Решаем однородное:
5y``+14y`+8y=0

Составляем характеристическое уравнение
5k^2+14k+8=0
D=196-160=36

k_(1,2)=(-14±6)/10
k_(1)=-2; k_(2)=-0,8

y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(-0,8x)

f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)

f_(1)(x)=(32/2)x^3 +203 (непонятно почему 32/2 а не 16???)
f_(2)=18e^(-2x)

Частное решение y _ (частное)=y _ (частное 1) +y _ (частное 2)

[b]Находим y _ (частное 1)
[/b]

Решаем уравнение:

5y``+14y`+8y=(32/2)x^3 +203 (# 1)

y _ (частное 1)= ax^3+bx^2+cx+m

Находим y`_(частное 1); y``_(частное 1); подставляем в уравнение (# 1)
и находим a;b;c;m

и находим a;b;c;m

[b] Находим y _ (частное 2)[/b]

Решаем уравнение:

5y``+14y`+8y=18e^(-2x) (# 2)

y _ (частное 2)=А*х*e^(-2x)

Находим y`_(частное 2); y``_(частное 2); подставляем в уравнение (# 2)
и находим А

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Решаем однородное:
y```-4y``+5y`-2y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^3-4k^2+5k-2=0
k1=1 - корень
(k-1)*(k^2-3k+2)=0
k_(2,3)=(3±1)/2
k_(2)=1; k_(3)=2

k_(1)=k_(2)=1 - кратный корень

y=C_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)+C_(3)e^(2x)

Частное решение находим по алгоритму

y_(частное)=(Ax+B)*e^(-x)

Находим y`_(частное); y``_(частное); y```_(частное) подставляем в данное уравнение и находим А и В

Рисуем область:
y=2
y=0
x=2y-4
x=y^2-4

См. рис.

Входим в область по направлению оси Оу

-4 ≤ х ≤ 0

(х+4)/2 ≤ у ≤ sqrt(x+4)

О т в е т. ∫ ^(0)_(-4) dx∫ ^(sqrt(x+4))_((x+4)/2)f(x;y)dy (прикреплено изображение)

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Решаем однородное:
y``+9y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^2+9=0
k_(1)=-3i; k_(2)=3i

α =0; β =3

Общее решение однородного по правилу:

y=C_(1)cos3x+C_(2)sin3x

Далее метод вариации произвольных постоянных

y=C_(1)(x)cos3x+C_(2)(x)sin3x

С_(1)(х) и С_(2)(х) определяются из системы:

{C`_(1)(x)*cos3x+C`_(2)(x)*sin3x=0
{C`_(1)(x)*(-3sin3x)+C`_(2)(x)*3cos3x=9/(sin3х)

Делим на х
y`+(1/x)*y=(lnx+1)/x
Это линейное уравнение первого порядка.

Решаем однородное:
y'+(1/x)*y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными

y`=dy/dx

dy/dx=-y/x
dy/y=–dx/x
Интегрируем
∫ dy/y=– ∫dx/x
ln|y|=–ln|x|+ lnC_(1)
ln|y|=ln|C_(1)/x|
y=C_(1)/x

Применяем метод вариации произвольной постоянной

C_(1) заменяем на функцию С_(1)(х), зависящую от х
y=C_(1)(x)/x

y`=(С`_(1)(х)*x-C_(1)(x))/x^2

Подставляем в уравнение

(С_(1)`(х)*x-C_(1)(x))/x^2+(1/x)*(C_(1)(x)/x) = (lnx+1)/x

Упрощаем:

С_(1)`(х)/x = (lnx+1)/x

C_(1)`(x)= lnx+1

C_(1)(x)= ∫ (lnx+1)dx= ∫lnxdx + ∫ dx [первый интеграл считаем по частям
u=lnx; du=dx/x; dv=dx; v=x]

C_(1)(x)=x*lnx- ∫ x*(dx/x)+ ∫ dx= [b]x*lnx+C[/b]

y=(xlnx+C)/x

y=lnx+(C/x)- общее решение

0=ln1+(C/1)
C=0
y=xlnx - частное решение

Ответ выбран лучшим

Это линейное однородное [b]третьего [/b]порядка
Составляем характеристическое
k^3-4k^2=0
k^2*(k-4)=0
k_(1,2)=0 - кратные действительные
k_(3)=4

y=C_(1)e^(0x)+C_(2)x*e^(0x)+C_(3)e^(4x)

[b]y=C_(1)+C_(2)x+C_(3)e^(4x)[/b]

Ответ выбран лучшим

1. Уравнение с разделяющимися переменными
x^2dy=y*(2x+3)dx
Делим на x^2*y

2. Однородное.
u=y/x

[b]y=u*x[/b]

y`=u`*x+u*x` ( х`=1, х - независимая переменная)

[b]y`=u`*x+u[/b]

и приходим к уравнению с разделяющимися переменными

Ответ выбран лучшим

Так как
по формулам приведения:
сos(61π/12)=cos((60π/12) +(π/12))=cos(5π+(π/12))= [b]-cos(π/12)[/b]

и по формуле синуса двойного угла

2*sin(π/12)*cos(π/12)=sin(π/6)= [b]1/2[/b],

то

4/(sin(π/12)·cos(61π/12))= 4/(-sin(π/12)·cos(π/12))=

=-8/(2*sin(π/12)*cos(π/12))=-8/sin(π/6)= -8/(1/2)=-16

О т в е т. [b]-16[/b]

ОДЗ:
[b]sinx > 0[/b]

Замена переменной:
log_(8)sinx=t

3t^3-5t-2=0
D=25-4*3*(-2)=49
t=(5-7)/6=-1/3; t=(5+7)/6=2

Обратный переход

log_(8)sinx=(-1/3) ⇒ sinx=8^(-1/3); sinx=1/2; 1/2 входит в условие ОДЗ
⇒ x=(-1)^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z

log_(8)sinx=2 ⇒ sinx=8^(2)- уравнение не имеет корней в силу ограниченности синуса
-1 ≤ sinx ≤ 1

О т б о р корней на единичной окружности.
См. рис.

Корни удобнее записать в виде двух серий ответов:
при k=2n
[b]x=(π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]
и
при k=2m+1
x=(-π/6)+π+2πm, m ∈ Z ⇒ [b]x=(5π/6)+2πm, m ∈ Z [/b]

Первая серия дает корни:
(π/6) ∈ [0;2π]
(π/6)-2π=-11π/6∈ [-2π;0]

Первая серия дает корни:
(5π/6) ∈ [0;2π]
(5π/6)-2π=-7π/6∈ [-2π;0]
(5π/6)-4π=-19π/6∈ [-7π/2;-2π]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена
2^(x)=t
t>0
4^(x)=(2^2)^(x)=(2^(x))^2=t^2
8^(x)=t^3

t^3-3t^2-t+3=0

Раскладываем на множители способом группировки:

(t^3-t)-3*(t^2-1)=0

t*(t^2*-1)-3*(t^2-1)=0

(t^2-1)*(t-3)=0

t^2-1=0 или t-3=0
t= ± 1 или t=3

Обратный переход

2^(x)=-1 не имеет корней, 2^(x) > 0
2^(x)=1 ⇒ 2^(x)=2^(0) ⇒ x=0
2^(x)=3 ⇒ 2^(x)=2^(log_(2)3) ⇒ x=log_(2)3

О т в е т. [b]0; log_(2)3[/b]

Ответ выбран лучшим

1. см. рис. 1

1 вертикальная область
= ∫ ^(1)_(-1)dx ∫ ^(sqrt(2-x^2))_(x^2)f(x;y)dy

2 горизонтальная область
= ∫ ^(0)_(1)dy ∫ ^(sqrt(y))_(-sqrt(y))f(x;y)dx+
+ ∫^(sqrt(2)_(1)dy ∫ ^(sqrt(2-y^2)_(-sqrt(2-y^2)f(x;y)dx

2. cм рис.2
∫ ∫ _(D)(y-x)dxdy= ∫ ^(1)_(0)dx ∫ ^(x)_(x^2)(x-y)dy=

= ∫ ^(1)_(0) (xy-(y^2/2))|^(x)_(x^2)dx=

=∫ ^(1)_(0) [b]([/b] x^2-(x^2/2) - (x^3-(x^4/2)) [b])[/b]dx=

=∫ ^(1)_(0) [b]([/b] (x^2/2) - x^3+(x^4/2) [b])[/b]dx=

=(x^3/6)^(1)_(0) - (x^4/4)|^(1)_(0) + (x^5/10)^(1)_(0)=

=(1/6)-(1/4)+(1/10)=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По частям:∫udv=u·v– ∫ vdu
u=x
du=dx

dv=cos(x+6)dx
v= ∫ cos(x+6)dx=[ так как d(x+6)=dx]= ∫ cos(x+6)d(x+6)=sin(x+6)

∫x cos(x+6)dx=х*sin(x+6) - ∫ sin(x+6)dx=х*sin(x+6) - ∫ sin(x+6)d(x+6)=

=х*sin(x+6) - (-cos(x+6)) + C=

=х*sin(x+6) +cos(x+6)) + C

Ответ выбран лучшим

По частям:∫udv=u·v– ∫ vdu
u=arcsin2x
du=(2x)`dx/sqrt(1-(2x)^2)
du=2/sqrt(1-4x^2)

dv=dx
v= ∫ dx=x

∫arcsin ⁡2xdx=x*arcsin2x- ∫ x*( 2dx)/sqrt(1-4x^2)=

=x*arcsin2x- ∫ 2xdx/sqrt(1-4x^2)=

=x*arcsin2x+ (1/4) ∫ ( -8x)dx/sqrt(1-4x^2)=

=x*arcsin2x+(1/4) ∫(1-4x^2)^(-1/2)d(1-4x^2)=

=x*arcsin2x+(1/4) *(1-4x^2)^(1/2)/(1/2) + C

= [b]x*arcsin2x +(1/2)sqrt(1-4x^2) +C[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]M(X)[/b]=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+
+x_(5)*p_(5)+x_(6)*p_(6)+x_(7)*p_(7)+x_(8)*p_(8)+x_(9)*p_(9)=

=67*0,05 +68*0,1+ 71*0,11 + 74*0,15 + 76*0,17 + 78*0,15 +
+81*0,12 + 84*0,01+ 88*0,05=

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)+x^2_(4)*p_(4)+
+x^2_(5)*p_(5)+x^2_(6)*p_(6)+x^2_(7)*p_(7)+x^2_(8)*p_(8)+x^2_(9)*p_(9)=

=67^2*0,05 +68^2*0,1+ 71^2*0,11 + 74^2*0,15 + 76^2*0,17 + 78^2*0,15 +
+81^2*0,12 + 84^2*0,01+ 88^2*0,05=

D(X)=M(X^2)-( [b]M(X)[/b])^2

σ (Х)=sqrt(D(X))

Берёте калькулятор и считаете...

По частям:∫udv=u*v- ∫ vdu
u=x-8
du=dx

dv=sinxdx
v= ∫ sinxdx=-cosx

∫(x-8)sinxdx=(x-8)*(-cosx)- ∫ (-cosx)dx=

= [b](8-x)cosx+sinx+C[/b]

Ответ выбран лучшим

F `(x)=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=sqrt(5x-x^2)
v=lg(2x-4)

u`=(5x-x^2)`/(2*sqrt(5x-x^2))= [b](5-2x)/(2*sqrt(5x-x^2))[/b]

v`=(2x-4)`/(2x-4)=2/(2x-4)= [b]1/(x-2)[/b]

Подставляем в первую строчку и получаем громоздкий ответ.
Упрощать ничего не надо.

[b]M(X)[/b]=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+
+x_(5)*p_(5)+x_(6)*p_(6)+x_(7)*p_(7)+x_(8)*p_(8)+x_(9)*p_(9)=

=107*0,05 +109*0,1+ 112*0,11 + 125*0,15 + 131*0,2 + 132*0,15 +
+133*0,1 + 140*0,09 + 141*0,05=

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)+x^2_(4)*p_(4)+
+x^2_(5)*p_(5)+x^2_(6)*p_(6)+x^2_(7)*p_(7)+x^2_(8)*p_(8)+x^2_(9)*p_(9)=

=107^2*0,05 +109^2*0,1+ 112^2^2*0,11 + 125^2*0,15 + 131^2*0,2 + 132^2*0,15 + 133^2*0,1 + 140^2*0,09 + 141*0,05=

D(X)=M(X^2)-( [b]M(X)[/b])^2

σ (Х)=sqrt(D(X))

Берёте калькулятор и считаете...

Ответ выбран лучшим

[b]M(X)[/b]=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)+
+x_(5)*p_(5)+x_(6)*p_(6)+x_(7)*p_(7)+x_(8)*p_(8)+x_(9)*p_(9)=

=65*0,02 +67*0,08+ 68*0,13 + 69*0,16 + 72*0,3 + 73*0,16 +
+74*0,1 + 78*0,04 + 79*0,01=

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)+
+x^2_(4)*p_(4)+x^2_(5)*p_(5)+x^2_(6)*p_(6)+x^2_(7)*p_(7)+
+x^2_(8)*p_(8)+x^2_(9)*p_(9)=

=65^2*0,02 +67^2*0,08+ 68^2*0,13 + 69^2*0,16 +
+72^2*0,3 + 73^2*0,16 + 74^2*0,1 + 78^2*0,04 + 79^2*0,01=

D(X)=M(X^2)-( [b]M(X)[/b])^2

σ (Х)=sqrt(D(X))

Калькулятор и считайте...

Ответ выбран лучшим

Одна сторона х, другая 3х

Пусть АA_(1)=H=3х; AB=2R=x
R=x/2

Snn=Sбп+2*Sосн=2π*R*H+2*πR^2= 2π*R*(R+H)=2π*(x/2)*((x/2)+3x)=(7πx^2)/2

По условию
Snn=24

(7πx^2)/2=24
x^2=48/7π

V=πR^2*H=π(3x/2)^2*x=(9/4)πx^3=(9/4)π*(48/7π)*sqrt(48/7π)=

= [b]452 sqrt(3)/(7sqrt(7π))[/b]

или

Пусть АA_(1)=H=х; AB=2R=3x
R=3x/2

Snn=Sбп+2*Sосн=2π*R*H+2*πR^2= 2π*R*(R+H)=2π*(3x/2)*((3x/2)+x)=(15πx^2)/2

По условию
Snn=24

(15πx^2)/2=24
x^2=16/5π

V=πR^2*H=π(3x/2)^2*x=(9/4)πx^3=(9/4)π*(16/5π)*sqrt(16/5π)=

= [b]144/(5sqrt(5π))[/b] (прикреплено изображение)

r=h=12 cм
L=12sqrt(2)

Soc=πr^2=π*12^2=144π
Sбп=πrL=π*12*12sqrt(2)=144sqrt(2)π
Snn=Sбп+ Soc=144sqrt(2)π+144π

V=(1/3)Sос*h=144π*12/3=576π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

243=3^5

log_(3)243=log_(3)3^(5)=5log_(3)3=5*1=5

512=8^3

log_(8)512=log_(8)8^(3)=3

[b]5*3=15[/b]

Ответ выбран лучшим

1.

(a^( [b]m[/b]))^(n)=a^(m*n)=(a^(n))^( [b]m[/b])

=( [b]7^(log_(7)2)[/b])^(log_(2)7)=

основное логарифмическое тождество

= 2^(log_(2)7)=

основное логарифмическое тождество

=7

2.

11* [b]13[/b]=143 [b]основное логарифмическое тождество[/b]

Ответ выбран лучшим

=разность логарифмов можно заменить логарифмом дроби=

=log_(6)270/7,5=log_(6)36=2

Ответ выбран лучшим

Свойство степени:
a^(m):a^(n)=a^(m-n)

3^(log_(13)507 - log_(13)3)= разность логарифмов заменим логарифмом частного=

=3^(log_(13)(507/3))=3^(log_(13)169)=3^(2)=9

Ответ выбран лучшим

4^(log_(2)6)=(2^(2))^(log_(2)6) = свойство степени (a^m)^(n)=a^(m*n)=

=2^(2log_(2)6)= свойство логарифма степени=

=2^(log_(2)6^2)= основное логарифмическое тождество=6^2=36
Основное логарифмическое тождество

[b]a^(log_(a)b)=b[/b]
a>0;b>0;a ≠ 1

[b]108/36=3[/b]

О т в е т. [b]3[/b]

Ответ выбран лучшим

∠ 1=32 градусов - внутренние накрест лежащие углы

Δ АВС - равнобедренный, так как
∠ 1= ∠ 2=32 градусов
∠ A=32 ° +32 ° =64 °
∠ A= ∠ C=64 ° ( противоположные углы параллелограмма равны (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: cosx > 0 ⇒ x в первой или четвертой четверти

Тогда

log_(2)(cosx)^2=2log_(2)|cosx|=(cosx>0)=2log_(2)cosx

2*(2log_(2)cosx)+7log_(2)cosx ≥ 1

11*log_(2)cosx ≥ 1

log_(2)cosx ≥ (1/11)*log_(2)2

log_(2)cosx ≥log_(2)2^(1/11)

cosx ≥ 2^(1/11) - неверно так как

-1 ≤ сosx ≤ 1

О т в е т. нет решений

8000=20^3
0,05=5/100=1/20=20^(-1)

log_(0,05)8000=log_((20^(-1)))20^3=-3

Ответ выбран лучшим

1. 80: [b]5[/b]=16 семей ( с тремя детьми +папа+мама= [b]5[/b] человек в семье)
2 60: [b]4[/b]=15 семей ( с двумя детьми +папа+мама= [b]4[/b] человека в семье)
3.16+15=31 семья
4. 31*2=62 взрослых
5.(80+60)-62= 78 детей ( мальчиков и девочек)

2м 70 см - 4 дм=2 м 70 см - 40 см=2 м 30 см прыжок Бориса
2м 70 см - 30 см=2 м 40 см прыжок Глеба

Кирилл - 2 м 70 см - 1 место
Глеб- 2 м 40 см - 2 место
Борис - 2 м 30 см - 3 место

[b]ОДЗ:[/b]
x-x^2+2>0 ⇒ x^2-x-2 < 0 D=9; x_(1)=-1;x_(2)=2
[b]x ∈ (-1;2)[/b]

log_(1/2)(x-x^2+2)=log_(2^(-1))(x-x^2+2)=-log_(2)(x-x^2+2)

Данное неравенство принимает вид

log^2_(2)(x-x^2+2)-3log_(2)(x-x^2+2) ≤ -2

log^2_(2)(x-x^2+2)-3log_(2)(x-x^2+2) +2 ≤ 0

Квадратное неравенство

Замена переменной
log_(2)(x-x^2+2)=t

t^2 - 3t + 2 ≤ 0

D=9-4*2=1

t_(1)=1; t_(2)=2

1 ≤ t ≤ 2

Обратный переход

1 ≤ log_(2)(x-x^2+2) ≤ 2

log_(2)2 ≤ log_(2)(x-x^2+2) ≤ log_(2)4

По свойству монотонного возрастания логарифмической функции

2 ≤ x- x^2+2 ≤ 4

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

{ x- x^2+2 ≤ 4 ⇒ x^2-x+2 ≥ 0 верно при любом х, D < 0
{ x- x^2+2 ≥ 2 ⇒ x - x^2 ≥ 0 ⇒ x*(1-x) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1

О т в е т системы [0;1]
Найденное решение входит в ОДЗ

О т в е т. [0;1]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: выражения под знаком логарифма не могут быть отрицательными или равными 0, поэтому:

{2-x >0 ⇒ x < 2
{x-1 > 0 ⇒ x > 1

x ∈ (1;2)

Применяем свойства логарифмов ( см. рис.):

log_(1/2)(x-2)=log_(2^(-1))(x-1)=-log_(2)(x-1)

log_(sqrt(2))3=log_(2^(1/2))3=(1/(1/2))log_(2)3=2log_(2)3=

=log_(2)3^2=log_(2)9

Неравенство принимает вид:

log_(2)(2-x) - log_(2) (x-1) > log_(2)9

Разность логарифмов можно заменить логарифмом частного, но чтобы не связываться с дробями перепишем:

log_(2)(2-x) > log_(2) (x-1) + log_(2)9

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(2)(2-x) > log_(2)9*(x-1)

Далее применяем свойство монотонности логарифмической функции.

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(Знак логарифма убирается, знак неравенства остается таким же)

2- х > 9*(x-1)

2-х > 9x - 9

-x -9x > -9 - 2

-10x > -11

x< 11/10

x< 1,1

C учетом ОДЗ получаем ответ

(1; 1,1)

Ответ выбран лучшим

1.
Знаменатель первой дроби раскладываем на множители
2a-a^2=a*(2-a)

Приводим дроби к общему знаменателю.
Для этого вторую дробь умножаем на (2-а)
и числитель и знаменатель :

12/(2a-a^2) - 6*(2-a)/(a*(2-a))=

=(12- 6*(2-а))/(а*(2-а))=(12-12+6а)/(а*(2-а))= (6а)/(а*(2-а))
сокращаем на а и числитель и знаменатель
=6/(2-а)

При а=-23

6/(2-(-23))=6/25= [b]0,24[/b]

2.
Знаменатель первой дроби раскладываем на множители
a-a^2=a*(1-a)

Приводим дроби к общему знаменателю.
Для этого вторую дробь умножаем на (1-а)
и числитель и знаменатель :

1/(a-a^2) - 1*(1-a)/(a*(1-a))=

=(1- 1*(1-а))/(а*(1-а))=(1-1+а)/(а*(1-а))= (а)/(а*(1-а))
сокращаем на а и числитель и знаменатель
=1/(1-а)

При а=-99

1/(1-(-99))=1/100= [b]0,01[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
(7/х)-(7/(2х)) = приводим к общему знаменателю 2х:

(14/(2х))-(-(7/(2х))=(14-7)/(2х)=7/(2х)

при х=-2

7/(2*(-2))=-7/4

2)
приводим к общему знаменателю 4х:

(12-1)/(4х)=13/(4х)

при х=-2,2

13/(4*(-2,2))=13/(-8,8)=-130/88=-65/44

4)
приводим к общему знаменателю 4х:

(28-5)/(4х)=23/(4х)

при х=-0,2

23/(4*(-0,2))=23/(-0,8)=-230/8=-115/4

Ответ выбран лучшим

∂z/∂x=-2x
∂z/∂x=-2y

∂z/∂x=0
∂z/∂x=0

-2x=0
-2y=0

х=0; y=0 - стационарная точка не принадлежит области:
(х-1)^2+(y-1)^2 ≤1
( cм. рис.)

Значит, исследуем функцию на экстремум на границе

(x-1)^2+(y-1)^2=1
⇒
(y-1)^2=1-(x-1)^2

y-1=sqrt(1-(x-1)^2) или y-1=-sqrt(1-(x-1)^2)

y=sqrt(1-(x-1)^2)+1 или y=-sqrt(1-(x-1)^2) + 1

подставляем в данное уравнение поверхности

z=1-x^2-(sqrt(1-(x-1)^2)+1)^2

Получили функцию одной переменной.
Исследуем ее при 0 ≤x ≤2, т.е на [0;2]

Ответ выбран лучшим

Стационарные точки – точки, в которых производная равна 0.

y`=3x^2-4
y`=0
3x^2-4=0
x^2=4/3
x= ± 2/sqrt(3)
или
[b]х=±2sqrt(3)/3[/b]

Ответ выбран лучшим

Стационарные точки - точки, в которых производная равна 0.
y`=(e^(3x))`-3*(e^(2x))`=e^(3x)*(3x)`-3*e^(2x)*(2x)`=e^(3x)*(3)-3*e^(2x)*(2)=3e^(3x)-6e^(2x)

y`=0
3e^(3x)-6e^(2x)=0
3e^(2x)*(e^(x)-2)=0
3e^(2x) ≠0
e^(x)-2=0
e^(x)=2
Логарифмируем по основанию е:
lne^(x)=ln2
x=ln2 - стационарная точка

Ответ выбран лучшим

ВС=AC*tg ∠ A=7AC

По теореме Пифагора
AB^2=AC^2+BC^2

AB^2=AC^2+(7AC)^2
AB^2=50AC^2
40^2=50AC^2
AC^2=32
AC=4sqrt(2)

Прямоугольные треугольники Δ АСН и Δ ABC имеют общий острый угол А, значит
Δ АСН ~ Δ ABC по двум углам

Из подобия получаем пропорциональность сторон:

AC : AB=AH : AC

AH=AC^2/AB=32/40= [b]0,8[/b]

(прикреплено изображение)

V=πR^2*H=π*(5sqrt(3))^2*10sqrt(3)= [b]750πsqrt(3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{ [b]x^2+2x-2[/b]>0 ⇒ D=12; x_(1)=-1-sqrt(3);x_(2)=-1+sqrt(3)
{(-x^2-2x+2)^2>0 ⇒ -x^2-2x+2≠0 ⇒ [b]x^2+2x-2 [/b]≠ 0
{x-1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x ∈ (- ∞ ; -1-sqrt(3))U(-1+sqrt(3);1) U(1;+ ∞)

Так как
(-x^2+2x-2)^2=(-(x^2-2x+2))^2=(x^2-2x+2)^2

lg(x^2-2x+2)^2=2lg|x^2-2x+2| = (В условиях ОДЗ)=2lg(x^2-2x+2)

Раскрываем [b]модуль в знаменателе[/b]:

[b]1) если х-1 >0[/b] ⇒ |x-1|=x-1
Неравенство принимает вид:

[b](x^2+x)lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 2lg(x^2+2x-2)/(x-1)[/b]

(x^2+x-2)*lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 0
x^2+x-2=(x+2)(x-1)

x-1 ≠ 0

(x+2)*lg(x^2+2x-2) ≥ 0 ⇒

{x+2 ≥ 0 .............. или......... {x+2 ≤ 0
{lg(x^2+2x-2) ≥ 0..или.......... {lg(x^2+2x-2) ≤ 0

{x+2 ≥ 0 .............. или......... {x+2 ≤ 0
{x^2+2x-2 ≥ 1......или.......... {x^2+2x-2 ≤ 1

{x+2 ≥ 0 .............. или......... {x+2 ≤ 0
{x^2+2x-3 ≥0........или.......... {x^2+2x-3 ≤ 0

D=4+12=16; корни (-3) и 1

[b]x ∈ [1;+ ∞ )[/b] ....... или...... х ∈[b] [-3;-2][/b] - не удовл условию x ≥1

2) если x-1 < 0 ⇒ |x-1|= - (x-1)

Неравенство принимает вид:

[b] - (x^2+x)lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 2lg(x^2+2x-2)/(x-1)[/b]

(-x^2-x-2)*lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 0

(x^2+x+2)*lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≤ 0

x^2+x+2 > 0 при любом х, так как D=1-4*2<0

lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≤ 0⇒

{x-1 < 0 .............. или......... {x-1 > 0
{lg(x^2+2x-2) ≥ 0..или.......... {lg(x^2+2x-2) ≤ 0

{x-1 < 0 .............. или......... {x-1 > 0
{x^2+2x-2 ≥ 1......или.......... {x^2+2x-2 ≤ 1

{x-1 < 0 .............. или......... {x-1 > 0
{x^2+2x-3 ≥0........или.......... {x^2+2x-3 ≤ 0

D=4+12=16; корни (-3) и 1

[b]x ∈ (- ∞;-3] ....... или...... х ∈∅ [/b]

Ответ первого и второго случаев (- ∞;-3] U [1;+ ∞ )

С учетом ОДЗ (- ∞;-3]U(1;+ ∞ )

О т в е т. [b](- ∞;-3]U(1;+ ∞ )[/b]

Значит треугольник POA- прямоугольный равнобедренный
PO=AO
h=r=4sqrt(3)

l=PO=sqrt((4sqrt(3))^2+(4sqrt(3))^2)=sqrt(96)= [b]4sqrt(6)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение функцию
z=arctg(y/x)

Применяем формулу ( см. рис.)

f`_(x)=(y/x)`_(x)/(1+(y/x)^2)=(-y/x^2)/((x^2+y^2)/x^2)= -y/(x^2+y^2)

f`_(y)=(y/x)`_(y)/(1+(y/x)^2)=(1/x)/((x^2+y^2)/x^2)= x/(x^2+y^2)

x_(o)=1
y_(o)=1
Δ x=0,95-1=-0,05
Δy=1,02-1=0,02

f`_(x)(x_(o);y_(o))= -1/(1^2+1^2)=-1/2

f`_(y)(x_(o);y_(o))=1/(1^2+1^2)=1/2

Осталось подставить в формулу и сосчитать (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∂ z/ ∂ u= (∂ z/ ∂ x)*( ∂ x/ ∂u) + (∂ z/ ∂ y)*( ∂ y/ ∂u)
∂ z/ ∂ v= (∂ z/ ∂ x)*( ∂ x/ ∂v) + (∂ z/ ∂ y)*( ∂ y/ ∂v)

(∂ z/ ∂ x)= ((1/7)ln(x^2+3y^5))`_(x)=(1/7)*(2x)/(x^2+3y^5)=(2/7)*(x/(x^2+3y^5)
(∂ z/ ∂ y)= ((1/7)ln(x^2+3y^5))`_(y)=(1/7)*(15y^4)/(x^2+3y^5)=(15/7)*(y^4/(x^2+3y^5)

∂ x/ ∂u=(u*cosv)`_(u)=(cosv)*(u)`_(u)=cosv
∂ y/ ∂u=(u*sinv)`_(u)=sinv

∂ x/ ∂v=(u*cosv)`_(v)=u*(cosv)`_(v)=u*(-sinv)
∂ y/ ∂v=(u*sinv)`_(v)=u*cosv

Осталось подставить в формулы.

Ответ выбран лучшим

∂z/ ∂x= (xy)`_(x)/cos^2(xy)+(1/y)*(x)`_(x)= (y/cos^2(xy))+(1/y)

∂z/ ∂y=(xy)`_(y)/cos^2(xy)+x*(1/y)`_(y)= (x/cos^2(xy))+x*(-1/y^2)

∂^2z/ ∂x^2=(y/cos^2(xy))`_(x)+(1/y)`_(x)=

=y*(cos^(-2)(xy))`_(x)+0=y*(-2*cos^(-3)(xy))*(cosx(xy)`_(x)=

=(-2y/cos^3(xy))*sin(xy)*y= [b]-2y^2sin(xy)/(cos^3(xy))[/b]

∂^2z/ ∂y^2=(x/cos^2(xy))`_(y)+(-x/y^2)`_(y)=

=x*(-2cos^3(xy))*sin(xy)*x -x*(-2y^(-3)=

= [b](-x^2sin(xy)/cos^3(xy))+(2x/y^3) [/b]

-2x^2y^2sin(xy)/(cos^3(xy))+y^2x^2sin(xy)/cos^3(xy))-(2x/y)+

+x*(y/cos^2(xy))+(x/y)-y*(x/cos^2(xy))+x*(-y/y^2)=0 - верно

Ответ выбран лучшим

Применяем свойства логарифма степени:
z=ln(x^2+y)^(1/2)
[b]z=(1/2)ln(x^2+y)[/b]

∂z/ ∂x= (1/2)*(1/(x^2+y)) * (x^2+y)`_(x)=x/(x^2+y)

∂z/ ∂y= (1/2)*(1/(x^2+y)) * (x^2+y)`_(y)=1/(2*(x^2+y))

dz= (∂z/ ∂x) dx + (∂z/ ∂y) dy

dz=xdx/(x^2+y) + dy/(2*(x^2+y))

dx=(xdx+dy)/(x^2+y)

d^2z аналогично считаем вторые производные и применяем формулу

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x+3>0 ⇒ x> -1,5
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
х ∈(-1,5;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;+ ∞ )

[b]Решение.[/b]
Так как 1=log_(x^2)x^2

неравенство принимает вид:

[b]log_(x^2)(2x+3)≤log_(x^2)(x^2)[/b]

Рассматривают два случая.

Первый случай

Основание логарифмической функции x^2>1
Тогда логарифмическая функция возрастает и
2x+3 ≤x^2

Система неравенств:
{x^2>1⇒ x < -1 или x > 1
{x^2-2x-3 ≥ 0 D=4+12=16; корни -1 и 3; решение неравенства
x ≤ -1 или х ≥ 3

Решение системы : (- ∞;-1) U[3;+ ∞)
С учетом ОДЗ: [b] (-1,5;-1)U[3;+ ∞)[/b] - первый о т в е т.

Второй случай

Основание логарифмической функции 0 < x^2<1
Тогда логарифмическая функция убывает и
2x+3≥ x^2

Система неравенств:
{0 < x^2<1⇒ -1 < x < 0 или 0 < x < 1
{x^2-2x-3≤ 0 ⇒ -1 ≤ х ≤ 3

Решение системы : (- 1;0) U(0;1)
С учетом ОДЗ: [b](- 1;0) U(0;1) [/b] - второй о т в е т.

О т в е т. Объединение двух ответов:
(-1,5;-1)U(- 1;0)U(0;1)U[3;+ ∞)

А вот теперь смотрите, как далеко убежит( выиграет время для решения другой задачи) тот, кто пользуется [b]методом рационализации логарифмического уравнения.[/b]

Решение:
{2x+3>0 ⇒ x> -1,5
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
[b]{(x^2-1)*(2x+3-x^2) ≤ 0[/b]
D=16; корни (-1) и (3)
⇒ (x-1)(x+1)*(x+1)*(x-3) ≥ 0

(x+1)^2*(x-1)*(x-3)≥ 0

Решаем неравенство методом интервалов:
_+_ [-1] __+_ __ [1] __-__[3]___+__

С учетом первых трех неравенств (c учетом ОДЗ):

(-1,5) _+_ (-1) __+_ (0) _+__ (1) __-__[3]___+__

О т в е т. (-1,5;-1) U (-1;0)U(0;1)U[3;+ ∞)

Р.S.

Внимательный и думающий заметит, что в первом способе решения первый и второй случаи приводят к системам неравенств, в которых одинаковые выражения, но противоположных знаков.

Значит их произведение этих выражений отрицательно ( неположительно), поэтому фактически достаточно рассмотреть произведение ( вместо двух систем),

что и делается в случае, который назван методом рационализации!

1.
Проводим KK_(1)||BB_(1)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

KM ⊥ AK_(1)
K_(1)M-проекция KK_(1) на пл. АВ_(1)С_(1)

∠ AK_(1)K- искомый угол

Из Δ AK_(1)K

tg ∠ AK_(1)K=AK/KK_(1)=sqrt(3)/2

∠ AK_(1)K= [b]arctg(sqrt(3)/2)[/b]

3. ∠ ACB= 60 градусов

4.∠ CС_(1)B= 45 градусов

5.∠ CАС_(1)= 45 градусов

6. Как в 1. аналогично
tg ∠ В_(1)KВ=K_(1)В/KK_(1)=sqrt(3)/2
∠ В_(1)KВ=[b]arctg(sqrt(3)/2)[/b] (прикреплено изображение)

При x ≥ 0; y-1≥ 0
|x|=x; |y-1|=y-1

х+у-1 ≤ 4 ⇒ [b] х+y ≤ 3[/b]

Прямая x+y=3 разбивает координатную плоскость две части
Подставляем произвольную точку, например (0;0) и убеждаемся, что неравенству
х+y ≤ 3
удовлетворяет множество точек, расположенных в той же части, где точка (0;0)

Аналогично еще в трех случаях

При x <0; y-1≥ 0
|x|= - x; |y-1|= y - 1
[b]-x+y-1≤ 4[/b]

При x ≥ 0; y-1< 0
|x|=x; |y-1|=- y + 1
[b]x-y+1≤ 4[/b]

При x < 0; y-1< 0
|x|= - x; |y-1|= - y + 1
[b]-х-у+1 ≤ 4 [/b]

Ответ выбран лучшим

P_(14)=14!

C^(10)_(14)=14!/((14-10)!*10!)=14!/(4!*10!)

P_(14)/C^(10)_(14)=14!/(14!/(4!*10!))= [b]10!*4![/b]

A^(4)_(14)=14!/((14-4)!=14!/10!

C^(4)_(14)=14!/((14-4)!*4!)=14!/(10!*4!)

A^(4)_(14)/C^(4)_(14)=4!

P_(14)/C^(10)_(14) - A^(4)_(14)/C^(4)_(14)= 10!*4! - 4!= [b]4!*(10!-1)[/b]

О т в е т. 4!*(10!-1)

Считать факториалы необязательно, это пустая трата времени...

Ответ выбран лучшим

3.
ОДЗ:
x^2-2x+5≠0
D=4-4*5<0
Уравнение не имеет корней,
значит
ОДЗ (- ∞ ;+ ∞ )
y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=2*((x^2+3)`*(x^2-2x+5)-(x^2-2x+5)`*(x^2+3))/(x^2-2x+5)^2=

=2*(2x*(x^2-2x+5)-(2x-2)*(x^2+3))/(x^2-2x+5)^2=

=2*(2x^3-4x^2+10x-2x^3+2x^2-6x+6)/(x^2-2x+5)^2=

=2*(-2x^2+4x+6)/(x^2-2x+5)^2=-4*(x^2-2x-3)/(x^2-2x+5)^2

y`=0

x^2-2x-3=0
D=4-4*(-3)=16

x_(1)=(2-4)/2=-1 или x_(2)=(2+4)/2=3

Обе точки принадлежат [-3;3]

Находим значения функции в этих точках и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее

f(-3)=2*((-3)^2+3)/((-3)^2-2*(-3)+5)=24/20=1,2
f(-1)=2*((-1)^2+3)/((-1)^2-2*(-1)+5)=8/8=1- наименьшее
f(3)=2*(3^2+3)/(3^2-2*3+5)=24/8=3 - наибольшее

4.
Пусть стороны участка x и у.
S=x*y
По условию
S=200
x*y=200

y=200/x

L(длина забора)=х+у+х=2х+у

L(x)=2x+(200/x) - функция, зависящая от х, которую и надо исследовать на наименьшее значение с помощью производной

L`(x)=2-(200/x^2)=(2x^2-200)/x^2
L`(x)=0
2x^2-200=0
x^2-100=0
х= ± 10
х=-10 не удовлетворяет смыслу задачи

При переходе через х=10 производная L`(x) меняет знак с - на +
Значит это точка минимума.

y=200/10=20

L=10+20+10=40 км - наименьшая длина забора.

5.
Неопределенность (0/0
Применяем правило Лопиталя:
lim_(x → 0)f(x)/g(x)=lim_(x → 0)f`(x)/g`(x)=

=lim_(x → 0)(e^(x)-e^(-x)*(-x)`-2)/(1-cosx)=

=lim_(x → 0)(e^(x)+e^(-x)*-2)/(1-cosx)= (0/0)
Применяем второй раз правило Лопиталя:

=lim_(x → 0)(e^(x)+e^(-x)*-2)`/(1-cosx)`=

=lim_(x → 0)(e^(x)-e^(-x))/(sinx)=(0/0)=

Применяем третий раз правило Лопиталя:

=lim_(x → 0)(e^(x)-e^(-x))`/(sinx)`=

=lim_(x → 0)(e^(x)+e^(-x))/(cosx)=(1+1)/1= [b]2[/b]

Согласно второго замечательного предела

lim_(x → ∞ )(1+ (1/t))^(t)=e

Это верно и при t=x^2

Поэтому

lim_(x → ∞ ) (1+ (1/x^2))^(x)=

=lim_(x → ∞ ) [b]([/b] (1+ (1/x^2))^(x^2) [b])[/b]^(1/x)=e^(lim_(x→ ∞)(1/x))=

=e^(0)= [b]1[/b]

Ответ выбран лучшим

Выделяем полные квадраты.
Группируем переменные:
(x^2-4x)+4y^2+(9z^2+18z)+53=0
(х^2-4х+4)+4y^2+9*(z^2+2z+1)-4-9+53=0
(x-2)^2+4y^2+9(z+1)^2=-40 нет такой поверхности, слева все выражения неотрицательны, значит их сумма неотрицательна.
А справа отрицательное число

Ответ выбран лучшим

30=5*6
Логарифм произведения равен сумме логарифмов

log_(5)30=log_(5)5+log_(5)6=1+log_(5)6

log_(5)6=1/log_(6)5

1+ 1/log_(6)5 - 1/log_(6)5=1

Ответ выбран лучшим

Разность логарифмов заменим логарифмом частного
=log_(1,4)(5/7)=log_(1,4)*(7/5)^(-1)=-log_(1,4)1,4=-1

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль по определению

[b]Первый случай[/b]

[b]Если x^2-x-2 ≥ 0[/b]
⇒ |x^2−x−2|=x^2−x−2 при [b]х≤ -1 или x ≥ 2[/b]

f(x)=x^2+(a-1)x-2a-3

f`(x)=2x+(a-1)

f`(x)=0

2x+(a-1)=0

x=(1-a)/2

y((1-a)/2)=((1-a)/2)^2+(a-1)*(1-a)/2-2a-3=(1-a)^2/4 -(1-a)^2/2 - 2a-3=

=(-(1-a)^2-8a-12)/4=(-a^2-6a-13)/4

Если абсцисса вершины x_(o)=(1-a)/2
находится между точками -1 и 2, т.е
-1 ≤ (1-a)/2 ≤ 2, то наименьшее значение не в вершине [b](!!!)[/b], а в точках x =-1 или x=2 ( cм. рис.1)

f(-1)=(-1)^2+(a-1)*(-1)-2a-3=-3a-1
f(2)=2^2+(a-1)*2-2a-3=-1 >-2

Поэтому
значение параметра а находим из системы
[b](1)[/b]
{-1 < (1-a)/2 < 2⇒ -3 < a < 3
{-3a-1<-2⇒ a > 1/3

О т в е т [b](1)[/b] (1/3;3)

Если абсцисса вершины x_(o)=(1-a)/2 находится вне (-1;2), то наименьшее значение в вершине ( неважно слева от -1
или справа от 2 см. рис. 2)
значение параметра а находим из системы
[b](2)[/b]
{(1-a)/2 ≤ -1 или (1-a)/2 ≥2 ⇒ a≥3 или а ≤ -3
{(-a^2-6a-13)/4<-2 ⇒ a^2+6a+5>0 ⇒ a < -5 или a> -1

О т в е т [b](2)[/b] (-∞; -5) U [3;+∞)

О т в е т первого случая объединение ответов [b](1)[/b] и [b](2)[/b]
(-∞; -5) U (1/3;3)U [3;+∞)= [b](-∞; -5) U (1/3;+∞)[/b]

[b]Второй случай[/b]

[b] Если x^2-x-2 < 0 [/b]
⇒ |x^2−x−2|=-x^2+x+2 при -1 ≤ x ≤ 2

f(x)=-x^2+(a+1)x-2a+1 - графиком служит парабола, ветви которой направлены вниз.

Значит в вершине параболы всегда наибольшее значение.
а наименьшее значение данная функция принимает на концах интервала
либо в точке х=-1 либо в точке х=2

Так как f(2)=-4+2(a+1)-2a+1=-1 > -2
Значит наименьшее значение в точке x=-1
f(-1)=-(-1)^2+(a+1)*(-1)-2a+1=-3a-1

-3a-1 < -2 ⇒ a > 1/3
О т в е т второго случая объединение ответов [b] (1/3;+∞)[/b]

О т в е т. Объединение ответов первого и второго случаев
[b](-∞; -5) U (1/3;+∞)[/b] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x-1>0 ⇒ x>1
{x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{x/6>0 ⇒ x>0
{log_(x-1)(x/6) ≠ 0 ⇒ x/6 ≠ 1 ⇒ x ≠ 6

x ∈ (1;2)U(2;6)U(6;+ ∞)

(1) / (log_(x-1)(x/6)) + 1 ≥ 0

(1+log_(x-1)(x/6)) / log_(x-1)(x/6) ≥ 0

1=log_(x-1)(x-1)

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(x-1)((x-1)*(x/6)) / log_(x-1)(x/6) ≥ 0

Применяем формулу перехода к другому основанию
log_(c)b/log_(c)a=log_(a)b

log_(x/6)((x-1)*(x/6)) ≥ 0

[b]Применяем метод рационализации логарифмических неравенств[/b]. Это [b]таблица перехода[/b] от одного сложного неравенства с логарифмами к простому рациональному неравенству.

((х/6)- 1)*(( x-1)*(x/6) -1) ≥ 0
Умножаем на 36:

(x-6)*(x^2-x-6) ≥ 0

(x-6)*(x+2)(x-3) ≥ 0

Решаем методом интервалов

___ [-2] _____+____ [3] ___-__ [6] ___+__

[-2;3] U[6;+ ∞ )

C учетом ОДЗ:

о т в е т. (1;2) U(2;3] U(6;+ ∞)

Р.S.
Метод рационализации логарифмических неравенств придуман
умными людьми, которые заметили, что рассмотрение друх случаев
1)
{ (x/6) < 1 - логарифмическая функция убывает и тогда
{x-1≤ 6/x
2)
{ (x/6) >1 - логарифмическая функция возрастает и тогда
{x-1 ≥ 6/x

Если внимательно посмотреть, то первая система
{(x/6)-1 <0
{x-1-(6/x)≤ 0
и вторая система
{(x/6)-1 >0
{x-1-(6/x) ≥0

состоят из одинаковых выражений
В первой оба выражения отрицательны, во второй положительны.
Это означает, что произведение выражений положительно.
Что легко записывается в виде одного неравенства

((x/6)-1)*(x-1-(6/x))≥0

которое легко получается после таких рассуждений.
Это и называется методом рационализации - методом экономного расходования времени на экзамене.

1 a)
S= ∫ ^(3)_(1)2(x-1)*(3-x)dx=2*∫ ^(3)_(1)(-x^2+4x-3)dx=

=2*((-x^3/3)+4*(x^2/2)-3x}|^(3)_(1)=2*(-9)+2*9-3*3 - 2*(-1/3)-2*(-1)^2+6*(-1)=

1б)
S= ∫ ^(2)_(1)(2lnx-lnx)dx= ∫ ^(2)_(1)lnxdx= интегрируем по частям=

[ u=lnx; du=dx/x; dv=dx; v=x]

=xlnx|^(2)_(1) - ∫ ^(2)_(1)x*dx/x=

=2ln2-1ln1-(x)^(2)_(1)= [b]2ln2-1[/b]

1в)
Найдем абсциссы точек пересечения:
{y=1/x
{x+y=5

х+(1/х)=5
x^2-5x+1=0
D=25-4=21
x_(1)=(5-sqrt(21))/2; х_(2)=(5+sqrt(21))/2

S= ∫ ^(x_(2))_(x_(1))(5-x-(1/x))dx=

=(5x-(x^2/2)-lnx)|^(x_(2))_(x_(1))

2.
y^2=x⇒ y=sqrt(x)
f(x)=sqrt(x)

y=x^2⇒ g(x)=x^2

По формуле:

V_(вращения Ох)=π ∫ ^(b)_(a) (f^2(x)-g^2(x))dx

V_(вращения Ох)=π ∫ ^(1)_(0)x dx - π ∫ ^(1)_(0)x^4 dx=

=π*(x|^(1)_(0) -(x^5/5)|^(1)_(0))=π*(1-(1/5))= [b]4π/5[/b] (прикреплено изображение)

1
D(z)={(x;y)| (x+y)/(y-3) >0}

(x+y)/(y-3) >0 ⇒ x+y>0 и y-3>0 ИЛИ x+y<0 и y-3 <0

См. приложение 1

2.
∂z/∂x=e^(x*lny) * (xlny)`_(x)=lny*e^(x*lny)
∂^2z/ ∂x∂y = (lny*e^(x*lny))`_(y)=

=(lny)`_(y)*e^(x*lny)+(lny)*e^(x*lny) * (xlny)`_(y)=

=(1/y)*e^(x*lny)+(lny)*e^(x*lny) *x*(1/y)

∂ ^2z/ ∂x∂y|_ (M_(o))=(1/e^2)*e^(2*lne^2)+(lne^2)*e^(2*lne^2) *2*(1/e^2)= [b]5e^2[/b]

3.
∂z/ ∂x=2x+y-3
∂z/ ∂y=2y+x-3

{2x+y-3=0
{2y+x-3=0
Вычитаем x-y=0
y=x
2х+х-3=0
3х=3
х=1
y=1

M(1;1) - стационарная точка.
Исследуем на экстремум
∂ ^2z/ ∂x^2=2
∂ ^2z/ ∂x∂ y =1
∂ ^2z/ ∂y^2=2

A=∂ ^2z/ ∂x^2|_(M)=2
B=∂ ^2z/ ∂x∂y|_(M) =1
C=∂ ^2z/ ∂y^2|_(M)=2

Δ=AB-C^2=2*2-1*1=3>0
A=2>0
M(1;1) - точка минимума

20 делится на 1;2;4;5;10;20

n=20
m=6
p=m/n=6/20=3/10

Ответ выбран лучшим

0 ≤ sin^2x ≤ 1
0 ≤ sin^4x ≤ 1
...
0 ≤ sin^(28)x ≤ 1
[b]0≤ 7*sin^(28)x ≤ 7[/b]

Аналогично
0 ≤ cos^2x ≤ 1
0 ≤ cos^4x ≤ 1
...
[b]0 ≤ cos^(14)x ≤ 1[/b]

Складываем
0 ≤ 7*sin^(28)x+cos^(14)x ≤ 7+1=8

8 < 9

[b]Уравнение не имеет корней.[/b]

3+4+5=12 способов

Ответ выбран лучшим

Розу 4 способами, к каждой розе 7 вариантов выбора открытки.

Пару роза и открытка можно выбрать 4*7=28 способов

Если прямоугольник вписан в окружность, его диагональ является диаметром.
АС= d=2R=34

Диагональ прямоугольника разбивает его на два прямоугольных треугольника АВС и ACD

Пусть ∪ DC=30 градусов.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Значит∠ DAC= 15 градусов.

СD=AC*sin∠ DAC=34*sin15^(o)
AD=AC*cos∠ DAC=34*cos15^(o)

S_(прямоугольника)=AD*CD=34*sin15^(o)*34*cos15^(o)=

=17*34*sin30^(o)=17*34*(1/2)=17*17 [b]=289 [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Всего шариков 8+4+18=30
n=30
Испытание состоит в том, что из тридцати шариков вынимают один.

Пусть событие А - " извлечен желтый шарик"

Наступлению события А благоприятствуют 18 исходов, так как желтых шариков 18

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=18/30=3/5

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное

y``+4y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0

k1=-2i; k2=-2i– корни комплексные

α =0; β =2

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(0x)*(С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x)

1) f(x)=e^(x)cosx*(x^3-1)
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(x)((Ax^3+Bx^2+Cx+D)*sinx+(Ex^3+Fx^2+Gx+H)*cosx)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=

y``_(част)=

подставляем в данное уравнение:

2) f(x)=cos2x

f(x)=e^(0x)*(1*cos2x+0*sinx2x
z=0+2i - корень характеристического уравнения, то

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(0x)*х*(Asin2x+Bcos2x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=(Asin2x+Bcos2x)+x*(2Acos2x-2Bsin2x)

y``_(част)=2(2Acos2x-2Bsin2x)+x*(-2Asin2x-2Bcos2x)

подставляем в данное уравнение:
2(2Acos2x-2Bsin2x)+x*(-2Asin2x-2Bcos2x)+4*х*(Asin2x+Bcos2x)
=cos2x
4Аcos2x-4Bsin2x+x*(2Asin2x+2Bcos2x)=cos2x
4A+2Bx=1
-4B+2Ax=0

Приравниваем коэффициенты

3) f(x)=x^2*sin2x

f(x)=e^(0x)*(0*cos2x+x^2*sinx2x)
z=0+2i - корень характеристического уравнения, то
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=х*(Ax^2+Bx+C)*sin2x+(Dx^2+Ex+F)*cosx)

О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=

Ответ выбран лучшим

Условие написано ужасно

Вероятность поставки сырья [b]своевременно[/b] первым поставщиком равна p1=0,97,
вероятность поставки сырья [b]несвоевременно[/b] первым поставщиком равна q_(1)=1–p1= 0,03.

Вероятность поставки сырья [b]своевременно[/b] вторым поставщиком равна p2=0,95,
вероятность поставки сырья [b]несвоевременно[/b] вторым поставщиком равна q_(2)=1–p1= 0,05.

Вероятность поставки сырья [b]своевременно[/b] третьим поставщиком равна p3=0,99,
вероятность поставки сырья [b]несвоевременно[/b] первым поставщиком равна q_(3)=1–p3= 0,01.

Пусть событие А - "хотя бы один из поставщиков срывает поставку"

Рассмотрим противоположное событие
vector{A}- все поставщики своевременно выполняют доставку

p(vector{A})=p_(1)*p_(2)*p_(3)=0,97*0,95*0,99=

Тогда

p(А)=1-p(vector{А})=1-

Ответ выбран лучшим

Есть видео в ютубе с подробным объяснением:
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Есть видео в ютубе с подробным решением (прикреплено изображение)

Первый верстак дает 5% брака,т. е вероятность получения бракованной детали на первом станке p_(1)=0,05, вероятность получения небракованной детали на первом станке
q_(1)=1-p_(1)= 0,95.

Второй верстак дает 7% брака,т. е вероятность получения бракованной детали на втором станке p_(2)= 0,07, вероятность получения небракованной детали на втором станке
q_(2)=1-p_(2)= 0,93.

Третий верстак дает 9% брака,т. е вероятность получения бракованной детали на третьем станке p_(3)= 0,09, вероятность получения небракованной детали на третьем станке
q_(3)=1-p_(3)= 0,91.

1)
Пусть событие А - " извлечено 0 рабочих деталей"

p(А)=p_(1)*p_(2)*p_(3)=0,05*0,07*0,09=

Пусть событие B - " извлечена 1 рабочая деталь"

p(B)=q_(1)*p_(2)*p_(3)+p_(1)*q_(2)*p_(3)+p_(1)*p_(2)*q_(3)=

=0,95*0,07*0,09+0,05*0,93*0,09+=0,05*0,07*0,91=

Пусть событие C - " извлечены 2 рабочие детали"

p(С)=q_(1)*q_(2)*p_(3)+q_(1)*p_(2)*q_(3)+p_(1)*q_(2)*q_(3)=

=0,95*0,93*0,09+0,95*0,07*0,91+0,05*0,93*0,91=

Пусть событие D - " извлечены 3 рабочие детали"

p(D)=q_(1)*q_(2)*q_(3)=0,95*0,93*0,91=

2)
Пусть событие M- "извлечена хотя бы одна рабочая деталь"
Рассматриваем противоположное событие
vector{M}- "не извлечено ни одной рабочей детали"

vector{M}=A

p(vector{M})=p(A)=p_(1)*p_(2)*p_(3)=0,05*0,07*0,09=

Тогда

p(M)=1-p(vector{M})=

3)Пусть событие N- "извлечена хотя бы одна бракованная деталь"
Рассматриваем противоположное событие
vector{N}- "не извлечено ни одной бракованной детали", т. е все три извлеченные детали рабочие

vector{N}=D

p(vector{N})=p(D)=q_(1)*q_(2)*q_(3)=0,95*0,93*0,91=

Тогда

p(N)=1-p(vector{N})=

Ответ выбран лучшим

ак как
sin^2 α +cos^2 α =1.

то

- sin^2(x+3)/2 - cos^2( x+3)/2 =-1

Неравенство принимает вид:

sin(x+3)/2 ≥ -1

Замена

(x+3)/2=t

[b]sint ≥ -1[/b]

( cм. рис.)

неравенство верно при любом t ⇒

(x+2)/3 - любое ⇒ х - любое

О т в е т. [b] (- ∞ ;+ ∞ )[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как
sin^2 α +cos^2 α =1.

то

- sin^2(x+3)/2 - cos^2( x+3)/2 =-1

Неравенство принимает вид:

sin(x+3)/2 ≥ -1

Замена

(x+3)/2=t

sint ≥ -1

(см. рис.)

при любом t ⇒ (x+2)/3 - любое ⇒ х - любое

О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Пусть k- коэффициент пропорциональности

Тогда
a=5k;
b=7k
a:b=5k:7k=5:7

P_(параллелограмма)=2*(a+b)=2*(5k+7k)=24k

По условию P=72 cм
Уравнение:
24k=72
k=3

Тогда
a=5*3= [b]15[/b] cм,
b=7*3= [b]21 [/b]см

S_(параллелограмма)=a*b*sin α =15*21*sin30^(o)=

=15*21*(1/2)=157,5 cм^2

Это интеграл от степенной функции
∫ u^2du

d(2x-7)=2dx
dx=(1/2)d(2x-7)

=(1/2) ∫ ^(1)_(0)(2x-7)^2d(2x-7)=((1/2)*(2x-7)^3/3)|^(1)_(0)=

=(1/6)*(2*1-7)^3-(1/6)*(2)*0-7)^3=(1/6)(-5)^3-(1/6)*(-7)^3=

=(1/6)*(7^3-5^3)=(1/6)*(7-5)*(7^2+7*5+5^2)=109/3= [b]36 (1/3)
[/b]
2.
Метод замены
x=t^6
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2
dx=6t^5dt

Пределы интегрирования:
если x=0, то t=0
если х=3, то t=3^(1/6)

= ∫^(3^(1/6))_(0) (sqrt(2)*t^3+t^2)6t^5dt=

=6sqrt(2) ∫^(3^(1/6))_(0)t^8dt+6 ∫^(3^(1/6))_(0)t^7dt=

=6sqrt(2)*(t^9/9)|^(3^(1/6))_(0)+6*(t^(8)/8)|^(3^(1/6))_(0)=

=(2/3)sqrt(2)*3^(3/2)+(3/4)3^(8/6)=

=(2/3)sqrt(2)*3sqrt(3)+(3/4)*3∛3=

= [b]2sqrt(6)+(9/4)*∛3[/b]

1.

Не меньше четырех, значит 4 или 5

n=5
p=0,3

q=1-p=1-0,3=0,7

Повторные испытания с двумя исходами.

Формула Бернулли
P_(5)(4)+P_(5)(5)=

=C^(4)_(5)0,3^(4)(0,7)^1+C^(5)_(5)0,3^(5)(0,7)^0=

=5*1*0,0081*0,7+1*0,3^5= считайте

2.

Повторные испытания с двумя исходами.
n=400
Поэтому формула Бернулли не применима.

Применяем формулы Лапласа.

n=400
p=0,2
q=1-p=0,8
np=400*0,2=80
npq=100*0,1*0,8=64
sqrt(npq)=8

1) Применяем локальную формулу Лапласа
k=60

(k-np)=60-80=-20
(k-np)/sqrt(npq)=-20/8=-2,5

φ (-2,5)=φ (2,5)
φ (2,5) = 0,0175 ( cм. таблица 1)

P_(400)(60) ≈ (1/8)*φ (-2,5)=0,0175/8=

2) n- велико, применяем интегральную формулу Лапласа
( см. приложение)
P_(n) (k_(1) ≤ x ≤ k_(2))=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(k_(2)-np)/sqrt(npq)
x_(1)=(k_(1)-np)/sqrt(npq)

P_(400) (70 ≤ x ≤100)=?

x_(2)=(100-80)/8=20/8=2,5

x_(1)=(70-80)/8=-10/8=-1,25

Ф(2,5)= 0,4938( см. таблицу 2)
Ф(-1,25)=-Ф(1,25)= -0,3944

О т в е т.
P_(400) (70≤ x ≤100)=0,4938-(- 0,3944)= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

R=2/7^(1/4)

H=R*tg30^(o)=(2/7^(1/4))*(sqrt(3)/3)= [b]2sqrt(3)/(3*7^(1/4))[/b]

r=R/2=1/7^(1/4)

Тогда апофема боковой грани:

h^2=H^2+r^2=(2sqrt(3)/(3*7^(1/4)))^2+(1/7^(1/4))^2=

=((4/3)+1)/7^(1/2)

h=sqrt(7/3)/sqrt(7^(1/2)=7^(1/4)/sqrt(3)

a=R*sqrt(3)

S_(бок)=P_(осн)*h/2=3=(1/2)*3*R*sqrt(3)*(7^(1/4)/sqrt(3))=

=(3/2)*(2/7^(1/4))*(7^(1/4))= [b]3[/b] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2
{3x-1≥ 0 ⇒ x ≥ 1/3
{x-1≥ 0 ⇒ x ≥ 1

ОДЗ: х∈ [1;+∞)

√x+2 > √x–1 + √3x–1

Возводим в квадрат

x+2 > x-1+3x-1 +2√x–1 * √3x–1

2√x–1 * √3x–1 < 4-3x

4-3x ≥ 0 иначе нет смысла ( неотрицательная левая часть не может быть меньше отрицательной правой)

Возводим в квадрат
4*(x - 1)*(3x - 1) < 16 - 24x + 9x^2

12x^2 - 16x + 4 < 16 - 24x +9x^2

3x^2 +8x -12 <0

D=64+144=208
x_(1)=(-8-4sqrt(13))/6; x_(2)=(-8+4sqrt(13))/6
(-4-2sqrt(13))/3 < x <(-4+2sqrt(13))/3

C учетом ОДЗ и условия 4-3x ≥ 0 получаем ответ....

V=π ∫ ^(3)_(-3)(9-x^2)^2dx=

=π ∫ ^(3)_(-3)(81-18x^2+x^4)dx=

=π*(81x-18*(x^3/3)+(x^5/5))|^(3)_(-3)=

=π*(81*9-6*54+(1/5)486)=259,2π (прикреплено изображение)

1.
u=3x
du=3dx
dx=(1/3)du

1.=(1/3) ∫ ^(1/3)_(0)d(3x)/sqrt(1-(3x)^2)=

=(1/3)arcisn(3x)|^(1/3)_(0)=(1/3)arcsin1-(1/3)arcsin0=(1/3)*(π/2)-0=

= [b]π/6[/b]

2.
∫ sqrt(u)du= ∫ u^(1/2)du=u^(3/2)/(3/2)+C=(2/3)(u^(3/2)+C

Поэтому
∫ ^(6)_(2)sqrt(x-2)d(x-2)=(2/3)*(x-2)^(3/2)|^(6)_(2)=

=(2/3)(4^(3/2))-(2/3)(0^(3/2))=(2/3)*8= [b]16/3[/b]

Ответ выбран лучшим

3.
x^4=u
4x^3dx=du
x^3dx=du/4

∫ x^3dx/(1+x^8)= ∫ x^3/(1+(x^4)^2)= ∫ (du/4)/(1+u^2)=(1/4)arctgu

поэтому:

∫ ^(1)_(0)x^3dx/(1+x^8)=(1/4)∫ ^(1)_(0)d(x^4)/(1+(x^4)^2)=

=(1/4)(arctgx^4|^(1)_(0)=(1/4)arctg1=(1/4)*(π/4)= [b]π/16[/b]

4.
∫ ^(π/6)_(0)e^(sinx)cosxdx=∫ ^(π/6)_(0)e^(sinx) d(sinx)=

=e^(sinx)|^(π/6)_(0)=e^(sin(π/6))-e^(sin0)=e^(1/2)-e^(0)= [b]sqrt(e)-1[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)=2πR*H+2*π*R^2=2π*12*8+2*π*12^2=

=(192π+288π)см^2

S_(осев. сеч)=D*H=2R*H=2*12*8=192 см^2

2.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы
L=2H=8 см
По теореме Пифагора
R^2=L^2-H^2=8^2-4^2=64-16=48
R=4sqrt(3)

S_(осн)=πR^2=48π см^2

3.
Апофема BK=sqrt(14^2+2^2)=sqrt(200)=10sqrt(2)

S_(бп)=P_(осн)*BK/2=4*4*10sqrt(2)/2=80sqrt(2)
S_(осн)=4^2=16

S_(пп)=S_(бп)+S_(осн)=80sqrt(2)+16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами
Но формула Бернулли неприменима.
n- велико.

n=100
p=0,1
q=1-p=0,9
np=100*0,1=10
npq=100*0,1*0,9=9
sqrt(npq)=3

1) Применяем локальную формулу Лапласа
k=16

(k-np)=16-100*0,1=16-10=6
(k-np)/sqrt(npq)=6/3=2

φ (2)= 0,2420 ( cм. таблица 1)

P_(100)(16) ≈ (1/3)*φ (2)=0,2420= [b]0,0807[/b]

2) n- велико, применяем интегральную формулу Лапласа
( см. приложение)
P_(n) (k_(1) ≤ x ≤ k_(2))=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(k_(2)-np)/sqrt(npq)
x_(1)=(k_(1)-np)/sqrt(npq)

P_(100) (7 ≤ x ≤13)=?

x_(2)=(13-10)/3=1

x_(1)=(7-10)/3=-1

Ф(1)=0,3413 ( см. таблицу 2)
Ф(-1)=-Ф(1)= -0,3413

О т в е т.
P_(100) (7≤ x ≤13)=2Ф(1)= 2*0,3413= [b]0,6826[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами
p=1/3
q=1-(1/3)=2/3
Формула Бернулли

P_(4)(2)=C^2_(4)*(1/3)^2*(2/3)^2=6*(1/9)*(8/9)=48/81= [b]16/27[/b]

Ответ выбран лучшим

1) cos((9π/2)+x)= cos(4π+(π/2)+x)=cos((π/2)+x)=-sinx
|cosx|+sqrt(3)sinx=1

cosx ≥ 0 ⇒ |cosx|=cosx
cosx+sqrt(3)sinx=1
Метод введения вспомогательного угла
(1/2)сosx+(sqrt(3)/2)*sinx=1/2
cos(x-(π/3))=1/2
x-(π/3)= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z
x=(π/3) ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

x= [b]2πn, n ∈ Z[/b] или х= [b](2π/3)+2πn, n ∈ Z[/b]

cosx<0 ⇒ |cosx|= -cosx
-cosx+sqrt(3)sinx=1
Метод введения вспомогательного угла
(1/2)сosx-(sqrt(3)/2)*sinx=-1/2
cos(x+(π/3))=-1/2

x+(π/3)= ± (2π/3)+2πm, m ∈ Z
x=(-π/3) ± (2π/3)+2πm, m ∈ Z

x= [b](π/3)+2πm, m ∈ Z[/b]
x= [b]- π+2πm, m ∈ Z[/b]

2.
cosx≥ 0 ⇒ [b]x в 1 или в 4 четверти[/b]

Возводим в квадрат
sinx*sin3x=cos^2x

Формулы
sin α *sin β =
cos^2α=(1+cos2α)/2

(1/2)cos2x-(1/2)cos4x=(1+cos2x)/2

cos2x-(2cos^22x-1)=1+cos2x

2cos^22x=0
cos2x=0
2x=(π/2)+πm, m ∈ Z
x=π/4+(π/2)m, m ∈ Z, но [b]x в 1 или в 4 четверти[/b]
⇒

[b]х= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z [/b]

3.

ОДЗ:
{сosx>0 - х в первой или четвертой четверти
{cosx ≠1 ⇒ х≠2πk, k ∈ Z

Так как
log_(cosx)(sin^2x+cos^2x)=log_(cosx)1=0

уравнение принимает вид:
-2sin^2x+5sin2x=0

-2sin^2x+5*2*sinx*cosx=0

-2sinx*(sinx-5cosx)=0

sinx=0 ⇒ x=πm, m ∈ Z

sinx-5cosx=0 ⇒ tgx=5 x=arctg5+πn, n ∈ Z

Так как согласно ОДЗ
сosx>0 и сosx≠1

[b]х=arctg5+2πn, n ∈ Z[/b] - о т в е т.

ОДЗ:
{3x^2-7x+3 ≥ 0
{x^2-2 ≥ 0
{3x^2-5x-1 ≥ 0
{x^2-3x+4 >0 при любом х, D <0

√(3·x^2–7·x+3)- √(3·x^2–5·x–1)√(x^2–2)= √(x^2–2)-√(x^2–3·x+4) [b](#)[/b]

Переводим иррациональность из числителя в знаменатель
по формуле
sqrt(a)-sqrt(b)=(a-b)/(sqrt(a)+sqrt(b))

(3x^2-7x+3-3x^2+5x+1)/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1))=

=(x^2-2-x^2+3x-4)/( √(x^2–2)+√(x^2–3·x+4) )

(4-2x)/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1))=(3x-6)/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1))

(х-2)* [b]([/b]2/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1))+ 3/(√(3·x^2–7·x+3)+ √(3·x^2–5·x–1) [b])[/b]=0

Выражение в [b]([/b] [b])[/b] положительно как сумма положительных выражений

x=2

О т в е т. [b]2[/b]

1. Замена переменной:
y`=z(x)
y``=z`(x)

(1+x^2)*z`=1+z^2

z`=dz/dx

(1+x^2)*dz=(1+z^2)dx

dz/(1+z^2)=dx/(1+x^2)

∫ dz/(1+z^2)= ∫ dx/(1+x^2)

arctgz=arctgx +C_(1)

обратный переход

acctgy`=arctgx+arctg C_(1)
y`=tg(arctgx+arctgC_(1))

Формула: tg( α+ β )=

y`=tg(arctgx)+tg(arctgC)/(1-tg(arctgx)*tg(arctgC))

y`=(x+C_(1))/(1-C_(1)x)

dy/dx=(x+C_(1))/(1-C_(1)x)

dy=(x+C_(1))dx/(1-C_(1)x)

y= ∫ (x+C_(1))dx/(1-C_(1)x)= ∫ xdx/(1-_(1)Cx) + ∫ C_(1)dx/(1-_(1)Cx)=

=(-1/C_(1))∫(-C_(1)x)dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=

=(-1/C_(1))∫(1-C_(1)x+1)dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=

=(-1/C_(1))∫(1-C_(1)x)dx/(1-C_(1)x) - (1/C_(1))∫dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=

=(-1/C_(1))∫(1-C_(1)x)dx/(1-C_(1)x) + (1/C^2_(1))∫(-C_(1))dx/(1-C_(1)x) - ∫ (-C_(1))dx/(1-C_(1)x)=

=(-1/С_(1))х +(1/C_(1)^2)ln|1-C_(1)x|- ln_(1-C_(1)x|+C_(2)

2.

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное

y``-9y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9=0

k1= k2=3– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Asinx+Bcosx

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=Acosx-Bsinx

y``_(част)=-Asinx-Bcosx

подставляем в данное уравнение:

-Asinx-Bcosx-9Asinx-9Bcosx=4sinx

Приравниваем коэффициенты у синусов:
-A-9A=4
и у косинусов
-B-9B=0

-10A=4
A=-0,4
B=0

О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=

= [b]С_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)-0,4sinx[/b]

Ответ выбран лучшим

40*(4,5/60)=3 км проехал второй
3:(5/60)=36 км в час скорость первого

Запишем результаты испытания в виде троек чисел
от (0;0;0) до (9;9;9)

n=10*10*10=10^3

m=10
это тройки:
(0;0;0) (1;1;1)(2;2;2) ... (9;9;9)
p=m/n=10/10^3= [b]1/100[/b]

Ответ выбран лучшим

sqrt(5x+4)=1+sqrt(x+3)

Возводим в квадрат

5х+4=1+2sqrt(x+3)+(sqrt(x+3))^2

2sqrt(x+3)=4x

sqrt(x+3)=2x

Возводим в квадрат

х+3=4х^2

4x^2-x-3=0
D=1-4*4(-3)=49

корни

х_(1)=(1-7)/8=-3/4; х_(2)=(1+7)/8=1

Так как дважды возводили в квадрат, мол=гли появиться посторонние корни.

П р о в е р к а:

при x=-3/4

sqrt(5(-3/4)+4) - sqrt((-3/4)+3)= 1 - неверно, так как

sqrt(1/4)) - sqrt(9/4)= 1 - неверно

при x=1

sqrt(5*1+4) - sqrt(1+3)= 1 - верно, так как

sqrt(9)-sqrt(4)=3-2=1

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

u=ln(1+x^2) ⇒ du=2xdx/(1+x^2)
dv=dx ⇒ v=x

=(x*ln(1+x^2))|^(1)_(0) - ∫ ^(1)_(0)х*(2xdx/(1+x^2))=

=(x*ln(1+x^2))|^(1)_(0) - 2 ∫ ^(1)_(0)(x^2+1-1)dx/(1+x^2))=

=(x*ln(1+x^2))|^(1)_(0) - 2 *(∫ ^(1)_(0)(x^2+1)dx/(1+x^2))+2∫ ^(1)_(0)dx/(1+x^2)=

=(x*ln(1+x^2))|^(1)_(0) -2*(x)|^(1)_(0)+(2arctg(x))|^(1)_(0)=

...

Ответ выбран лучшим

x^2+4x=x+4
x^2+4x-x-4=0
x^2+3x-4=0
D=9=16=25
x_(1,2)=(-3 ± 5)/2

x_(1)=-4; x_(2)=1

S= ∫ ^(1)_(-4)(x+4-x^2+4x)dx= ∫ ^(1)_(-4)(4+3x-x^2)dx=

=(4x+3*(x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(-4)=

=4*(1-(-4))+(3/2)*(1^2-(-4)^2)-(1/3)*(1^3-(-4)^3)=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y``+4y=0 - решаем однородное

Составляем характеристическое уравнение:

k^2+4=0
k_(1)=-2i; k_(2)=2i

α =0; β =2

y_(одн)=С_(1)cos2x+C_(2)sin2x

f(x)=x+e^(x)

f_(1)=e^(0x)*x

α =0 является корнем e^( αx) кратности 2, поэтому

y_(частное 1)=x^2*(ax+b)

y_(частное 1)=ax^3+bx^2

y`=3ax^2+2bx

y``= 6ax+2b

6ax+b+4*(ax^3+bx^2)=x

4a=0
4b=0
6a=1
b=0
?

[b]Проверьте условие[/b]

f_(2)=e^(x)

α =1 не является корнем e^( αx)

y_(частное 2)=A*e^( x)

y`_(частное 2)=A*e^( x)

y``_(частное 2)=A*e^( x)

A*e^( x) +4*A*e^( x) =*e^( x)

5Ae^(x)=e^(x)

5А=1

А=1/5

[b]y_(частное 2)=(1/5)*e^( x) [/b]

y_(частное)=y_(частное 1)+y_(частное 2)=

О т в е т. y=y_(одн)+y_(частное)=С_(1)cos2x+C_(2)sin2x+ ???+(1/5)e^(x)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:

{4cos^2x > 0 ⇒ cosx≠ 0
{4cos^2x ≠ 2 ⇒ cosx≠ ± 1/2
{2-cos2x-sinx>0⇒2-(1-2sin^2x)-sinx>0 ⇒2sin^2x-sinx+1 >0 верно при любом sinx, так как D=1-4*2 < 0

По определению логарифма:

2-cos2x-sinx=(4cos^2x)^(0)

2-cos2x-sinx=1

2-(1-2sin^2x)-sinx=1

2sin^2x-sinx=0

sinx=0 или sinx=1/2

x= [b]πn, n ∈ Z[/b] или х= [b](-1)^(k) (π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

Все корни удовлетворяют ОДЗ

О т б о р корней на единичной окружности ( см. рис.)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx
cos2x=cos^2x-sin^2x

8sin^2x+4*(2sinx*cosx)^2+8(cos^2x-sin^2x)=5

16sin^2x*cos^2x+8cos^2x=5

sin^2x=1-cos^2x

16*(1-cos^2x)*cos^2x+8cos^2x=5

16cos^4x-24cos^2x+5=0

Замена переменной
cos^2x=t
t>0

16t^2-24t+5=0

D=576 - 4*16*5=576 - 320=256

t=(24-14)/32=5/16 или t=(24+14)/32> 1

cos^2x=5/16

cosx=sqrt(5)/4 или cosx=-sqrt(5)/4
x= ± arccos(sqrt(5)/4 )+2πk, k ∈ Z или x= ± arccos(-sqrt(5)/4 )+2πn, n ∈ Z

Значит, окружность вписана в осевое сечение конуса. См. рис.

r=S/p

S=(1/2)AC*BH=(1/2)*6*4=12
p=(5+5+6)/2=8

r=12/8=3/2= [b]1,5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Функция φ =1/sqrt((1–x2)^(\frac1/3)) терпит разрыв в точке x=1.

Перепишем
1/sqrt((1–x2)^(\frac1/3))= (1/sqrt(1+x))* (1/sqrt(1-x))

Сравниваем данную с ψ (x)= (1/sqrt(1-x))

( cм. приложение 2)

∫ ^(1)_(0) dx/sqrt(1-x)=-2sqrt(1-x)|^(1)_(0)=2 - cходится. Значит и данный интеграл сходится (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
ОДЗ:
a>0
b>0
c>0

Cвойство логарифма степени:
log_(a)b^(k)=klog_(a)b

Поэтому
(1/2)lg5a=lg(5a)^(1/2)=lgsqrt(5a)
3lgb=lgb^3
4lgc=lgc^4

Свойство: логарифм произведения (частного) равен сумме (разности) логарифмов

Значит сумму ( разность) логарифмов можем заменить логарифмом произведения( частного)

lgsqrt(5a)-lgb^3+lgc^4=lg(c^4sqrt(5a)/b^3)

Уравнение
lgx=lg(c^4sqrt(5a)/b^3)

Логарифмическая функция с основанием 10 монотонно возрастает, значит каждое свое значение принимает ровно в одной точке.
Если значения функции равны, то и аргументы равны:

[b]x=(c^4sqrt(5a)/b^3)[/b] при a>0;b>0;c>0

2.

ОДЗ:
(3х+2)/(2х-7)>0⇒
_+__ (-2/3) _____ (7/2) _+__

x∈ (- ∞ :-2/3)U(7/2;+ ∞ )

-1=-1*lg_(1/4)(1/4)
-1=log_(1/4)(1/4)^(-1)
-1=log_(1/4)4

Уравнение:
log_(1/4)(3x+2)/(2x-7)=log_(1/4)4 ⇒ Логарифмическая функция с основанием 1/4 монотонно убывает, значит каждое свое значение принимает ровно в одной точке.

Если значения функции равны, то и аргументы равны:

(3х+2)/(2х-7)=4

3x+2=4*(2x-7)
3x+2=8x-28
3x-8x=-2-28
-5x=-30
[b]x=6[/b]
принадлежит ОДЗ
О т в е т. 6

u=arctgx
du=dx/(1+x^2)
dv=xdx
v=x^2/2

=(x^2/2)*arctgx|^(1)_(0) - ∫^(1)_(0) (x^2/2)*dx/(1+x^2)=

интеграл от неправильной дроби ( степень числителя равна степени знаменателя. поэтому +1 и -1)

=(x^2/2)*arctgx|^(1)_(0) - (1/2) ∫^(1)_(0) (x^2+1-1)*dx/(1+x^2)=

=(x^2/2)*arctgx|^(1)_(0) - (1/2) ∫^(1)_(0) (x^2+1)dx/(1+x^2)+(1/2) ∫^(1)_(0) dx/(1+x^2)=

=(x^2/2)*arctgx|^(1)_(0)- (1/2)х|^(1)_(0) +(1/2)arctgx|^(1)_(0)=

=

Ответ выбран лучшим

f`(x)=3x^2+6x-9

f`(x)=0

3x^2+6x-9=0

x^2+2x-3=0

D=16

корни -3 и 1

Отрезку [-4;-1/3] принадлежит только -3

Знак производной

[4] _+__ (-3) _____-____ [-1/3]

х=3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Значит в ней и наибольшее значение
f(3)=3^3+3*3^2-9*3-1=27+27-27-1= [b]26[/b]

cos^2x=(1+cos2x)/2

= ∫^(π/2)_(0) (1+сos2x)dx/2=(1/2)* ∫^(π/2)_(0) 1dx+(1/2) ∫ cos2x=

[d(2x)=2dx
dx=d(2x)/2]

=(1/2)x|^(π/2)_(0)+(1/2)*(1/2)*(sin2x)|^(π/2)_(0)=

=(π/4)

2.

d(2x)=2dx
dx=d(2x)/2

(1/2) ∫ ^(3)_(2)d(2x)/(2x)^2-1= (1/2) *(1/2) ln |(2x-1)/(2x+1)|^(3)_(2)=

=(1/4)ln|5/7|-(1/4)ln|3/5|=(1/4)ln|25/21|

Ответ выбран лучшим

3.
Замечаем, что d(x^2)= 2xdx ⇒ xdx=d(x^2)/2

∫ ^(1)_(0)x*e^(x^2)dx=∫ ^(1)_(0)e^(x^2)(1/2)d(x^2) =

=(1/2)e^(x^2)|^(1)_(0) ∫ ^(1)_(0)=(1/2)(e-1)

4

d(x+1)=dx

∫ ^(3)_(0)dx/sqrt(x+1)= ∫ ^(3)_(0)d(x+1)/sqrt(x+1)=2sqrt(x+1)|^(3)_(0)=

=2*sqrt(3+1)-2*(0+1)=4-2=2

Ответ выбран лучшим

4x^2+16x-12=4*(x^2+4x-3)=4*(x^2+4x+4-4-3)=4*((x+2)^2-7)

∫ (2–x)dx/(4x^2+16x–12 ) = (1/4) ∫ (2-x)dx/(x+2)^2-7) =

=замена переменной:

x+2=t
x=t-2
dx=dt

=(1/4) ∫ (2-t+2)dt/(t^2-7)=

интеграл от суммы равен сумме интегралов

=(1/4) ∫ 4dt/(t^2-7) -(1/4) ∫ dt/(t^2-7)=

=(1/sqrt(7))ln|(t-sqrt(7))/(t+sqrt(7))| - (1/8) ln|t^2-7|+C
где t=x+2
=(1/2√7)ln|(x+2–√7)/(x+2+√7)| – (1/8) ln| x2+4x–3|+C1=

=(1/2√7)ln|(x+2–√7)/(x+2+√7)| – (1/8) ln| 4x2+16x–12|+C2

P.S.ln| 4x2+16x–12|=ln|4·(x2+4x–3)|=ln4+ln|x2+4x–3|

.ln| 4x2+16x–12| равен ln|x2+4x–3| с точностью до константы ln4

Выделяем полный квадрат

x^2-5x+6=x^2-2*x*(5/2)+(25/4) - (25/4)+6=(x-(5/2))^2-(1/4)

Замена
x-(5/2)=t
dx=dt

Табличный интеграл( cм. формулу)
a^2=1/4
a=1/2

О т в е т.= ln|t+sqrt(t^2-(1/4))|+C=ln|x-(5/2)+ sqrt(x^2-5x+6)|+C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Линейное уравнение первого порядка:
y`+(1/cos^2x)*y=(tgx/cos^2x)

Можно решить двумя способами
1)Метод вариации произвольной постоянной

Решают однородное, потом константу С заменяют на C(x)

или
2)метод Бернулли

Решение неоднородного уравнения находят в виде y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение

u`*v+u*v`+ (u*v)/cos^2x=tgx/cos^2x

u`*v+u* [b](v`+ v/cos^2x)[/b]=tgx/cos^2x

Функцию v выбираем так, чтобы
[b](v`+ v/cos^2x)[/b]=0

Тогда
u`*v==tgx/cos^2x

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v`+ v/cos^2x=0 ⇒ dv/v=-dx/cos^2x ⇒ ∫ dv/v= - ∫ dx/cos^2x

ln|v|=-tgx

v=e^(-tgx)

u`*v=tgx/cos^2x

u`e^(-tgx)=tgx/cos^2x

u=e^(tgx)*tgx/cos^2x -уравнение с разделяющимися переменными

du=e^(tgx)*tgxdx/cos^2x

u= ∫ e^(tgx)*tgxdx/cos^2x =(замена переменной t=tgx; dt=dx/cos^2x)=

= ∫ e^(t)*tdt= интегрируем по частям:

=t*e^(t)-e^(t)+C=(tgx-1)*e^(tgx)+C

y=u*v=((tgx-1)*e^(tgx)+C)e^(-tgx)

[b]y=tgx-1+C*e^(-tgx)[/b]- общее решение

y(0)=-1

-1=tg0-1+C*e^(-tg0)

C=0

[b]y=tgx-1[/b]- частное решение

y`=2*(arcsi4x^2)`=2*(1/sqrt(1-(4x^2)^2)) * (4x^2)`=

=2*(1/sqrt(1-(4x^2)^2)) * (8x)=16x/sqrt(1-16x^4)

Пусть событие А- "первый раз взят красный кубик"

Всего кубиков n=11+9=20
красных
m=9
По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=9/20

Пусть событие B- "второй раз взят красный кубик"

Всего кубиков n=20-1=19
красных
m=9-1=8
По формуле классической вероятности
p(B)=m/n=8/19

Пусть событие C- "оба раза взят красный кубик"

С=A*B

По теореме умножения вероятностей
p(C)=p(A)*p(B)

p(C)=(9/20)*(8/19)= умножайте

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ ), так как функция - многочлен
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=(-x)^3-6(-x)^2+9=-x^3+6x^2+9

f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0

x^3-6x^2+9=0
Три корня
x_(1)= x_(2) x_(3)=

6.интервалы знака постоянства

__-___ (x_(1)) __+__( x_(2)) __-__ (x_(3)) _+_

y > 0 при x_(1) < x< x_(2) и x > x_(3)
y < 0 при x < x_(1) и х_(2) < x < x_(3)

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения как сумма непрерывных функций:
y_(1)=x^2
y_(2)=-6x^2
y_(3)=9

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = -∞

9.асимптоты граф. функции

Нет асимптот,

3.) исследовать с помощью производной

y`=(x^3-6x^2+9)`=(x^3)`-6*(x^2)`+(9)`=3x^2-6*2x+0

y`=3x^2-12x

y`=0
3x^2-12x=0

3x*(x-4)=0
x= 0 или х=4
_+__ (0) __-__(4) ___+_

y` > 0 на (- ∞ ; 0) и на (4; + ∞ ), функция возрастает на (- ∞ ; 0) и на (4; + ∞ )

y`<0 на (0;4), функция убывает на (0 ;4)

х= 0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(0)=0-6*0+9=9

х=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(4)=(4)^3-6*4^2+9=-23

y``=(3x^2-12x)`=3*(x^2)`-12*(x)`=6x-12

y``=0

6x-12=0
x=2

х=2 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

y(2)=2^3-6*2^2+9=7

y`` <0 на (- ∞ ; 2), функция выпукла вверх

y`` > 0 на (2; + ∞ ), функция выпукла вниз

cм. рис. (прикреплено изображение)

Чтобы построить линейный угол двугранного угла надо к линии пересечения (D_(1)C) провести перпендикуляры в каждой плоскости.

В пл DD1C1C
DO⊥ D_(1)C - ( диагонали квадрата DD1C1C взаимно перпендикулярны)
По теореме о трех перпендикулярах AO ⊥ D_(1)C
так как DO - проекция наклонной AO и проекция ⊥ D_(1)C
∠ AOD - линейный угол двугранного угла AD1CD

tg ∠ AOD=a/asqrt(2)/2=sqrt(2)
∠ AOD=arctg(sqrt(2))
(прикреплено изображение)

1.

∫ ^( β)_ (α ) y(t)*x`(t)dt

(см. рис.) Это эллипс, фигура симметричная относительно осей, поэтому можно вычислить четвертую часть и умножить на 4

Точке В соответствует значение параметра t=0
точке А - соответствует (π/2)

[a;b]→ [ (π/2);0]

Поэтому пределы расставлены так как расставлены

S=4 ∫^(0)_(π/2) 9sint*(cost)`dt=-36∫^(0)_(π/2))sin^2tdt=

=36∫^(π/2)_(0)(1-cos2t)dt/2=18(t-sin(2t)/2)|^(π/2)_(0)= [b]9π[/b]

2.

Формула
[b]L= ∫ ^( β )_( α )sqrt(ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2)dφ [/b]

ρ`(φ)=4*(0-cosφ )

ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2= (4*(1-sin))^2+ (-4cos φ)^2=16 - 32sin φ +16sin^2 φ +16cos^2 φ )=32 -32sin φ =32*(1- sinφ)=

=32*(1-cos((π/2)-φ))=16sin^2((π/4)- (φ /2))

sqrt(ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2)= [b]4sin((π/4)- (φ /2))[/b]

L= ∫ ^(2π)_(0) (4sin((π/4)- (φ /2)))d φ = ...

Ответ выбран лучшим

2+3+1=6 частей
Cумма углов треугольника 180°

180°:6=30°в одной части

40; ∠ d=2*30°=60°; ∠ e=3*30°=90°; ∠ f=30°

ОДЗ:
{x^2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0
{2x+4 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2

0,5^(-(x-2)/(2x+4))=2^((x-2)/(2x+4))

10^(x) > 0
x^2>0

40^(x)=4^(x)*10^(x)

Неравенство принимает вид

2^((x-2)/(2x+4)) ≥ 32^(-(x-2)/(2x+4))*4^(x)/16

Далее все стандартно.

2^( α ) ≥ 2^( β ) ⇒ α ≥ β

(x-2)/(2x+4) ≥ 5*(-x+2)/(2x+4) +(2x-4)

(x-2+5x-10-4x^2+16)/(2x+4) ≥ 0

(2x^2-3x-2)/(x+2) ≤ 0

D=25

(2х+1)(х-2)/(х+2) ≤ 0

_-___ (-2) __+__ [-1/2] __-___ [2] __+____

(- ∞ ;-2) U [-1/2;2]

С учетом ОДЗ
[b](- ∞ ;-2) U [-1/2;0) U (0;2][/b]

Выделяем полный квадрат и применяем формулу:
∫ du/(u^2-a^2)=(1/(2a))ln|(u-a)/(u+a)|+C

3x^2-9x+6=3*(x^2-3x+2)=3*((x-(3/2))^2-1/4)

∫ dx/(3x^2–9x+6)=(1/3) ∫ dx/ [b]([/b](x-(3/2))^2-1/4 [b])[/b]

u=x-3/2
du=dx
a^2=1/4

=(1/3)*(1/2*(1/2))ln|(x-(3/2)-(1/2)/(x-(3/2)+(1/2))|+C=

=(1/3)ln|(x-2)/(x-1)|+C

Ответ выбран лучшим

n=C^2_(10)=10!/((10-2)!*2!)=45 способов выбрать из 10 деталей две.

Событие А - "..."

Событию А благоприятствуют исходы

m=

По формуле классической вероятности

p(A)=m/n=...

(tg2x+ctg2x)^2=tg^22x+2tg2x*ctg2x+ctg^22x=tg^22x+2+ctg^22x=

=(tg^22x+1)+(ctg^22x+1)=(1/cos^22x) + (1/sin^22x)

∫ (tg2x+ctg2x)^2 dx= ∫ (1/cos^22x)dx + ∫ (1/sin^22x)dx=(1/2)*(tg2x)+(1/2)*(-ctg2x)+C= [b](tg2x-ctg2x)/2 + C[/b]

Ответ выбран лучшим

S_(пп)=S_(бок)+2*S_(осн)=P_(осн)*Н+2*S_(осн)=

=(a+4+a+a+4+a)*(a+2)+2*(a+4)*a=

=(4a+8)*(a+2)+2a*(a+4)=4a^2+16а+16+2a^2+8a=

=6a^2+24a+16

Так как в параллелепипеде:

d^2=a^2+b^2+c^2

где a;b;c - три его измерения

(sqrt(42))^2=(a+4)^2+a^2+(a+2)^2

⇒

42=3a^2+12a+20
3a^2+12a=22
6a^2+24a= [b]44[/b]

Тогда

S_(пп)=(6a^2+24a)+16=44+16= [b]60[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
x=58^(o) - это внутренние накрест лежащие углы при AB||CD и секущей BD.

2.Пусть k - коэффициент попорциональности
a=3k;
b=4k
Р=2*(a+b)

2*(a+b)=8,4

2*(3k+4k)=8,4
14k=8,4
k=0,6

a=3k=3*0,6=1,8
b=4k=4*0,6=2,4

3. Cм. рис.
∠ 1= ∠ 2 - так как биссектриса делит угол пополам
∠ 2= ∠ 3=это внутренние накрест лежащие углы при BС||АD и секущей АК.

ΔАВК - равнобедренный.
АВ=ВК= [b]1,8[/b]
ВС=BК+КС=1,8+3,2= [b]5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(параллелограмма)=a*b*sin45^(o)=2a*asqrt(2)*sqrt(2)/2=2a^2

С другой стороны
S_(параллелограмма)=a*h_(a)

S_(параллелограмма)=b*h_(b)

a>b ⇒ h_(a) < h_(b)

h_(a)=S_(параллелограмма)/a=2a^2/2a=a

[b]H_(параллелепипеда)=а[/b]

б) пл. АВС_(1) и пл. АВС пересекаются по прямой АВ

Чтобы построить линейный угол двугранного угла, надо в каждой из плоскостей провести перпендикуляры к линии пересечения

В основании АВС это высота параллелограмма.

Неясно только АВ - это какая из данных сторон, меньшая или большая.
Условие задачи написано некорректно

в)

S_(бок)=P_(осн)*H= [b]2*(2a+asqrt(2))*a[/b]=...

г)
S_(полн)=S_(бок)+2S_(осн)=

= [b]2*(2a+asqrt(2))*a[/b]+2*2a^2

(x^3+2*2^(x)+2)^3-(x^3+4^(x)+2^(x))^3 >0

Формула a^3-b^3

(x^3+2*2^(x)+2 -x^3-4^(x)-2^(x))* [b]([/b](x^3+2*2^(x)+2)^2+(x^3+2*2^(x)+2)*(x^3+4^(x)+2^(x))+(x^3+4^(x)+2^(x))^2 [b])[/b]>0

(2+2^(x)-4^(x))*(...) >0

(...) >0 при любом х

поэтому и первый множитель положителен

2+2^(x)-4^(x) >0

4^(x)-2^(x)-2 <0
D=1+8=9
корни -1 и 2

-1 < 2^(x) < 2

[b]1/2 < x < 2[/b]

О т в е т. (1/2; 2)

1. По теореме Пифагора вторая сторона
b^2=d^2-a^2=17^2-15^2=(17-15)*(17+15)=64
b=8
V=a*b*H=15*8*10=1200

2.
V=(1/3) S_(осн)*H
S_(осн) = по формуле Герона=84

V=(1/3)*84*6=168

(прикреплено изображение)

Дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^4-2k^3+k^2=0

k^2*(k-1)^2=0

k_(1)=k_(2)=0; k_(3)=k_(4)=1

y=C_(1)e^(0*x)+C_(2)*x*e^(0*x)+C_(3)e^(1*x)+C_(4)*x*e^(1*x)

y=C_(1)+C_(2)*x+C_(3)e^(x)+C_(4)*x*e^(x) - [b] общее решение[/b]

Находим

y`=(C_(1)+C_(2)*x+C_(3)e^(x)+C_(4)*x*e^(x) )`=

=C_(2)+C_(3)e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)

y``=(C_(2)+C_(3)e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x))`=

=C_(3)e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)=

=C_(3)e^(x)+2C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)

y```=(C_(3)e^(x)+2C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x))`=

=C_(3)e^(x)+2C_(4)*e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)=

=C_(3)e^(x)+3C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)

Применяем данные задачи

[b]y(0)=0[/b]
0=C_(1)+C_(2)*0+C_(3)e^(0)+C_(4)*0*e^(0)

[b]0=C_(1)+C_(3)[/b]

[b]y`(0)=0[/b]
0=C_(2)+C_(3)e^(0)+C_(4)*e^(0)+C_(4)*0*e^(0)

[b]0=C_(2)+C_(3)+C_(4)[/b]

[b]y``(0)=1[/b]
1=C_(3)e^(0)+2C_(4)*e^(0)+C_(4)*0*e^(0)

[b]1=C_(3)+2C_(4)[/b]

[b]y```(0)=2[/b]
2=C_(3)e^(0)+3C_(4)*e^(0)+C_(4)*0*e^(0)

[b]2=C_(3)+3C_(4)[/b]

Cистема
{0=C_(1)+C_(3)
{0=C_(2)+C_(3)+C_(4)
{1=C_(3)+2C_(4
{2=C_(3)+3C_(4)

Из четвертого вычитаем третье
[b]1=C_(4)[/b]
тогда
[b]С_(3)=-1[/b]

Из первого

C_(1)=-C_(3)
[b]C_(1)=1[/b]

C_(2)=-C_(3)-C_(4)=-(-1)-1=0

О т в е т. y=1-e^(x)+x*e^(x) - [b] частное решение[/b], соответствующее заданным начальным условиям

Табличный интеграл
∫ u^3du=u^4/4 + C

Метод замены переменной

u=sin7x
du=cos7x*(7x)`dx
du=7cos7xdx ⇒ [b]cos7xdx=1/7du[/b]

∫ sin^37x cos 7x dx=(1/7) ∫ u^3du=(1/7)*(u^4/4) + C=

= [b](1/28)sin^47x + C[/b]

Ответ выбран лучшим

Рисунок нарисован неверно.

на [0;1] кривая y=x^2 расположена [b]выше[/b] кривой y=x^3,

S= ∫ ^(1)_(0)(x^2-x^3)dx= [b]([/b](x^3/3)-(x^4/4) [b])[/b]|^(1)_(0)=

=(1/3)-(1/4)=(4/12)-(3/12)= [b]1/12[/b]

∫ _(L)y/sqrt(x^2+ y^2)dl

x=ρcosφ=2*(1+ cosφ)*cosφ
y=ρsinφ=2*(1 +cosφ)*sinφ

x^2 +y^2=ρ^2=(2*(1 +cosφ))^2

sqrt(x^2+ y^2)=2*(1+ cosφ)

[b]dl= sqrt(ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2)dφ [/b]

ρ`(φ)=2*(0-sin φ )

ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2= (2*(1+ cos φ))^2+ (-2sin φ)^2=4+ 8cos φ + 4cos^2 φ 4sin^2 φ )=

=8 +8cos φ =8*(1+ cos φ)^2=16sin^2( φ /2)

sqrt(ρ^2(φ)+ (ρ`(φ))^2)= [b]4сos( φ /2)[/b]

∫ _(L)y/sqrt(x^2+ y^2)dl= ∫ ^(π/2)_(0) [b]([/b] 2*(1+ cosφ)*sinφ/2*(1 +cosφ) [b])[/b]* [b]4сos( φ /2)[/b]d φ =

= ∫ ^(π/2)_(0) sinφ4сos( φ /2)d φ = формула sinα * cosβ

=4 ∫ ^(π/2)_(0) ((1/2)sin(3φ/2)+ (1/2)sin(φ/2)dφ)=

=2*(2/3)*(-cos(3 φ /2))+ 2*2*(-cos( φ /2)) |^(π/2)_(0)= ...

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
1,5πx=t

2sin(t^3)=cost

Не нравится... Аргументы разные.

Может быть

2sin^3t=cost

φ `(x)=(1/6)*(1/(-3x))*(-3x)`=(1/6)*(1/(-3x))*(-3)=1/(6x)
φ `(-1/9)=1/(-6/9)=-3/2

Выделяем полный квадрат
x^2+7x+11=x^2+2*x*(7/2)+(49/4)-(49/4)+11=(x+(7/2))^2-(5/4)

Табличный интеграл
∫ du/(u^2-a^2)=(1/(2a)) * ln|(x-a)/(x+a)|+C

u=(x+(7/2)
du=dx

a^2=5/4

a=sqrt(5)/2

Получим тот ответ, который и написан

2.

x^3=x*x^2

x^3*sqrt(1-x^2)=x*x^2*sqrt(1-x^2)=-x*(-x^2)*sqrt(1-x^2)=

=-x*(1-x^2-1)sqrt(1-x^2)= -x*(1-x^2)*sqrt(1-x^2)+x*sqrt(1-x^2)

∫x^3*sqrt(1-x^2)dx= ∫ [b]([/b]-x*(1-x^2)*sqrt(1-x^2)+x*sqrt(1-x^2) [b])[/b]dx=

= (1/2)∫ (-2x)*(1-x^2)^(3/2) -(1/2)* ∫ (-2x)(1-x^2)^(1/2)dx=

=(1/2) ∫ (1-x^2)^(3/2)d(1-x^2) -(1/2)* ∫ (1-x^2)^(1/2)d(1-2x^2)=

=(1/2) ∫ (u^(3/2))du -(1/2) ∫ u^(1/2)du=

=(1/2) *(1-x^2)^(5/2)/(5/2) - (1/2) * (1-x^2)^(3/2)/(3/2)+C=

=(1/5)sqrt((1-x^2)^5)-(1/3)sqrt((1-x^2)^3)+C

в ответе не должно быть х после (1/3)

При n=1 знаменатель обращается в нуль. Задание некорректно!
Так и скажите преподавателю.

Но метод решения таков

Раскладываем знаменатель на множители

n^2+n-2=(n-1)(n+2)

а дробь на простейшие ( как в интегрировании)

1/(n^2+n-2)= A/(n-1) + B/(n+2)

1=A*(n+2)+B*(n-1)

При n=-2
1=-3B
B=-1/3

При n=1
1=3A
A=1/3

1/(n^2+n-2)= (1/3) * (1/(n-1) - 1/(n+2))

Считаю сумму от двух!

S_(n)=∑^( n )_( [b]2[/b]) (1/3) * [b]([/b]) 1/(n-1) - 1/(n+2) [b])[/b]) =

(1/3) [b]([/b]1-1/4+1/2-1/5+1/4- 1/6 +...

+1/(n-4)-1/(n-1)+1/(n-3)- 1/n+ 1/(n-2) - 1/(n+1)+1/(n-1) - 1/(n+2) [b])[/b]=

=(1/3)* [b]([/b]1 +(1/2)- 1/n -1/(n+1) - 1/(n+2) [b])[/b]

Удобнее записать сумму "лесенкой" : так хорошо просматривается, что сокращается, а что остается

По определению сумма ряда это предел последовательности {S_(n)}

[b]S= lim_(n→∞)S_(n)[/b]=(1/3)*(3/2)= [b]1/2[/b] о т в е т. 1/2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

R=lim_(n→∞)(a_(n)/a_(n+1))=lim_(n→∞)(2^(n+1)*(n+1)^2)/(2^(n)*n^2)=

=2*lim_(n→∞)((n+1)^2)/(n^2)=2

_______ (-2) ____

влево и вправо от точки откладываем отрезок равный 2

(-4;0) - интервал сходимости.

Теперь надо проверить сходимость на концах

х=0
∑1/n^2 - сходится

( обобщенный гармонический ряд сходится при p=2 >1 )

x=-4

Получаем знакочередующийся ряд
∑(-1)^(n)/n^2 - сходится сходится абсолютно, потому что сходится ряд из модулей ∑1/n^2

О т в е т. [-4;0]

Ответ выбран лучшим

Знакочередующийся ряд.

Рассмотрим ряд из модулей

∑^(∞)_(0)1/(2n+1)*2^(2n+1) ряд сходится, так как сходится

∑^(∞)_(0)1/2^(2n+1)

который сходится, потому что сходится

несобственный интеграл

∫ ^(∞)_(0)dx/(2^(2x+1))=(-1/2)∫ ^(∞)_(0)(2^(-2x-1)d(-2x-1))=

=(-1/2)*(2^(-2x-1)/ln2)|^(+ ∞ )_(0)= (-1/2)*0+(1/2)2^(-1)/ln2=

=1/(4ln2)

Данный ряд сходится абсолютно

Ответ выбран лучшим

Ряд сходится по признаку сравнения, так как сходится интеграл
∫ ^(+ ∞ )_(2)dx/(x+7)ln^2(x+7)= ∫ ^(+ ∞ )_(2)d(ln(x+7))/ln^2(x+7)=

=(- 1/ln(x+7)}|^(+ ∞ )_(2)=0+(1/ln9)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
x-1=t
t→0
x=t+1

sinπx=sinπ(t+1)=sin(πt+π)=-sinπt

(e^(-sinπt)-1)/(-sinπt)→ 1 при t→0

lim_(t→0) [b]([/b] (e^(-sinπt)-1)/(-sinπt) * (-sinπt/t) [b] )[/b]^((t+1)^2+1)=

=lim_(t→0) [b]([/b] 1 * (-π*sinπt/πt)[b] )[/b]^(t^2+2t+1+1)=(-π)^2=π^2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x>0 ⇒ x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{4x >0 ⇒ x >0

(0;1/2)U(1/2;+∞)

Переходим к основанию 2:

log_(2)8/(log_(2)2x) ≤ log_(2)(4x)-3

3/(log_(2)2+log_(2)x) ≤ (log_(2)(4)+log_(2)x)- 3

3/(1+log_(2)x) ≤ (2+log_(2)x)- 3

Замена переменной:
log_(2)x=t

3/(1+t) ≤ t-1

(3-(1+t)*(t-1))/(1+t) ≤ 0

(4-t^2)/(1+t) ≤ 0

(t-2)*(t+2)/(t+1) ≥0

Применяем метод интервалов:

_-___ [-2] _+__ (-1) ____-_____ [2] __+__

-2 ≤ t < -1 или t ≥ 2

- 2 ≤ log_(2)x < -1 или log_(2)x ≥ 2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, поэтому

1/4 ≤ х < 1/2 или х ≥ 4

С учетом ОДЗ получаем ответ

[1/4;1/2)U[4;+ ∞ )

ОДЗ:
{x+2>0 ⇒ x > –2
{x+2 ≠ 1 ⇒ x ≠ –1
{2x+5>0 ⇒ x > –5/2

х ∈ (–2;–1)U(–1;+ ∞ )

(x–2)·logx+2(2x+5)– (x–2) ≥ 0

(x–2)·(logx+2(2x+5) –1 ) ≥ 0

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
logx+2(2x+5) –1 можно заменить на
(x+2–1)*(2x+5–x–2)

(x-2)*(x+1)*(x+3) ≥ 0

Отмечаем на ОДЗ нули функции f(x)=(x-2)(x+1)(x+3)
и расставляем знаки:

(–2) _+__ (–1) ___-____[2] __+__

О т в е т. [b] (-2;-1)U[2;+ ∞ )[/b]

4.
Складываем
cosx*cosy+sinxsiny=-a^2+3a-1
cos(x-y)=-a^2+3a-1

|-a^2+3a-1| ≤ 1 ⇒

{-a^2+3a-1 ≤ 1⇒a^2-3a+2≥0 ⇒ a ≤1 или a≥2
{-a^2+3a-1 ≥ -1 ⇒ a^2-3a ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a ≤ 3

Уравнение имеет решения при a ∈ [0;1]U[2;3]

[b]x-y= ± arccos(-a^2+3a-1)[/b]

Вычитаем
cosx*cosy-sinxsiny=-a^2-3a-1
cos(x+y)=-a^2-3a-1
|-a^2-3a-1| ≤ 1 ⇒

{-a^2-3a-1 ≤ 1⇒a^2+3a+2≥0 ⇒ a ≤-2 или a≥-1
{-a^2-3a-1 ≥ -1 ⇒ a^2+3a ≤ 0 ⇒ -3 ≤ a ≤ 0

Уравнение имеет решения при a ∈ [-3;-2]U[-1;0]
[b]x+y= ± arccos(-a^2-3a-1)[/b]

Значение a,общее для двух случаев, это а=0

Решаем систему при а =0

5.
ОДЗ:
х ≥ -а

возводим в квадрат при условии, что x+3 ≥0
x+a=x^2+6x+9

x^2+5x+9-a=0

D=25-4*(9-a)=25-36+4a=4a-11
При
D = 0, т.е. при а=11/4 квадратное уравнение имеет один корень
x=-5/2
но так как
-5/2≥ -11/4 - неверно, корень не удовлетворяет ОДЗ

т. е при a >11/4 квадратное уравнение x^2+6x+9-a=0
имеет один или два корня,

надо проверить какой из низ не удовлетворяет одз

Ответ выбран лучшим

y-3=sqrt(x^2/2)+z^2/3)

y=sqrt((x^2/2)+(z^2/3))+3 - уравнение конической поверхности.

При y=1 получаем уравнение линии пересечения

(1–3)^2=(x^2/2)+(z^2/3)

(x^2/2)+(z^2/3)=4

Делим на 4

[b](x^2/8)+(z^2/12)=1[/b] - эллипс

Область D на плоскости xOz ограничена эллипсом
(x^2/8)+(z^2/12)=1

V= ∫ ∫ _(D)(1)^2 (1 - sqrt(x^2/2)+(z^2/3))-3)dxdz=

Переходим к обобщенным полярным координатам
x=sqrt(8)rcos φ
y=sqrt(12)rsin φ
| якобиана|=πsqrt(8)*sqrt(12)drd φ

1 - sqrt(x^2/2)+(z^2/3))-3 =-2 - sqrt(4r^2)= [b]-2-2r[/b]

0< φ < 2π

= ∫ ^(2π)_(0)d φ ∫^(1) _(0)(-2-2r)πsqrt(8)*sqrt(12)dr =

Ответ выбран лучшим

((-2)^2-3)*(3-(-2)+(-2)^3)=(4-3)*(3+2-8)=1*(-3)=-3

У правильной четырехугольной пирамиды в основании квадрат
Пусть сторона квадрата равна a.

Конус вписан в пирамиду. Значит окружность вписана в квадрат.
r=a/2

Высота у пирамиды и конуса общая, Н.

V_(пирамиды)=(1/3)a^2*H

V_(конуса)=(1/3)πr^2*H=(1/3)π*(a/2)^2*H

V_(пирамиды) : V_(конуса)=((1/3)a^2*H ): ((1/3)π*(a/2)^2*H)=

= [b]4/π[/b]

Ответ выбран лучшим

По формуле:
L= ∫ ^( β)_( α )sqrt(ρ^(2)( φ )+(ρ`( φ ))^2)d φ

ρ=3*(1-cos φ )
ρ`=3*(sinx φ )

ρ^2+(ρ`)^2=9*(1-cos φ )^2+9sin^2 φ =18-18cos φ =36sin^2( φ /2)

sqrt(ρ^(2)( φ )+(ρ`( φ ))^2)=6sin( φ/2)

L= ∫ ^(2π)_( 0 )6sin(φ/2)dφ =12(-cos( φ /2))|^(2π)_(0)=

=-24*(cosπ-cos0)=48 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл: ∫ du/u=ln|u|+C
u=lnx
du=(lnx)`dx
du=dx/x

∫ ^(+ ∞)_(2)dx/(x*lnx)= ∫∫ ^(+ ∞)_(2)d(lnx)/lnx=ln|lnx||^(+ ∞ )_(2)

Расходится, так как

ln|ln(x ))→+∞ при х →+∞

Ответ выбран лучшим

S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)=2πR*H+2*πR^2

2πR*H+2*πR^2=108π ⇒ [b]R*H+R^2=54[/b]

S_(осевого сеч.)=2R*H

2R*H= 100

[b]R*H=50[/b]

Система двух уравнений с двумя переменными
{R*H+R^2=54
{R*H=50

R^2=4

R=2

H=25

V=S_(осн)*H=πR^2*H=π*4*25=100π см^3

Ответ выбран лучшим

H=6 cм
R=8 cм
L=10 cм по теореме Пифагора

S_(пп)=S_(бп)+S_(осн)=πRL+πR^2=π*8*(10+8)=144π

V=(1/3)S_(осн)*Н=(1/3)*πR^2*H=(1/3)*π*8^2*6=128π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
х+2 ≥ ⇒ х ≥-2

Разложим числитель на множители способом группировки:
( 35^(|x|)-5^(|x|) )- 5*(7^(|x|)-1)/(2^(sqrt(x+2))+1) ≥ 0

(5^(|x|)-5)*(7^(|x|)-1)/(2^(sqrt(x+2))+1) ≥ 0

Метод интервалов:
|x|=1 ⇒ x= ± 1
|x|=0 ⇒ x=0

[-2] _-_ [-1] _+_ [0] _-_ [1] _+__

О т в е т. [-1;0] U[1;+ ∞ )

Замена переменной:
|2x-6|^(x+1)=t

t>0
|2x-6|^(-x-1)=1/t
х≠3
Неравенство примет вид:

t+(1/t) ≤ 2

t>0
t^2-2t+1 ≤ 0 ⇒ t=1 - единственное решение неравенства.

Обратный переход
|2x-6|^(x+1)=1
x+1=0
[b]x=-1[/b]

О т в е т. [b]-1[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
Треугольник АВС - правильный,
значит АВ=ВС=АС=3

КА=КВ=КС
Δ AKB - равнобедренный.
Медиана КМ является одновременной и высотой.
S_( Δ AKB)=(1/2)AB*KM

По условию S_( Δ AKB)=12, значит
(1/2)AB*KM=12
АВ=3
(3/2)*KM=12
KM=12:(3/2)
[b]KM=8[/b]

2.
Треугольник АВС - правильный,
значит АВ=ВС=АС=5

КА=КВ=КС
Δ AKB - равнобедренный.
Медиана КP является одновременной и высотой.

[b]S_( Δ AKB)[/b]=(1/2)AB*KP=(1/2)*5*6= [b]15[/b]

Логарифмируем, считая что это возможно, т.е накладываем ограничения на основания, которые потом можно снять

lgx^(x+y)=lgy^12 ⇒ (x+y)lgx=12lgy ⇒ x+y=12lgy/lgx
lgy^(x+y)=lgx^3 ⇒ (x+y)lgy=3lgx ⇒ x+y=3lgx/lgy

12lgy/lgx=3lgx/lgy

12lg^2y=3lg^2x
4lg^2y=lg^2x

2lgy=lgx или -2lgy=lgx

x=y^2 или x=1/y^2

Подставляем в любое уравнение данной системы
например, в первое

(y^2)^(y^2+y)=y^(12) ⇒ y^(2y^2+2y)=y^(12) ⇒ [b] 2y^2+2y=12[/b]
или
(1/y^2)^((1/y^2)+y)=y^(12) ⇒ y^(-2/y^2)-2y)=y^(12) ⇒ [b] (-2/y^2)-2y=12[/b]

теперь найти корни не составит труда

Ответ выбран лучшим

f(x)=1/(π/2), x∈ (0;π/2)
y=cosx монотонно убывает на (0;π/2) обратима, обратная к ней
x=arccosy
значит ψ(y)=arccosy
ψ`(y)=(arccosy)`=-1/sqrt(1-y^2)

f(ψ(y))=1/(π/2)

согласно формуле ( cм. приложение)

[b]g(y)=(1/(π/2)) * (-1/sqrt(1-y^2))[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Графиками функций являются две параболы, пересекающиеся в точках 0 и 1.

Фигура, ограниченная графиками представлена на рисунке.
Так как криволинейной трапецией является только та часть фигуры, которая расположена выше оси оси, то площадь всей фигуры

S=2S_(криволин. трапеции)=2* ∫ ^(1)_(0)(x-x^2)dx=

=2*((x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(0)=2*((1/2)-(1/3))=2/6= [b]1/3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем правила интегрирования: интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
И формулу интеграла от степенной функции
∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1)

∫(8х +41+х^2 +7х^3)dх=8*(x^2/2)+41x+(x^3/3)+7*(x^4/4)+C=

= [b]4x^2+41x+(1/3)x^3+(7/4)x^4+C[/b]

Так как в числителе неопределенность ( ∞ - ∞ ),
умножаем и числитель знаменатель на
sqrt(x+4)+sqrt(4x-2)
Применяем формулу разности квадратов.
В числителе
x+4-(4x-2)=6-3x

Теперь имеем неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим на х
Причем в знаменателе в первой скобке каждое слагаемое на sqrt(x) и во второй на sqrt(x)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos2x=cos^2x-sin^2x
sin2x=2sinxcosx

Уравнение принимает вид

sin^2x-2sinxcosx-3cos^2x=0 - однородное второй степени.
Делим на сos^2x ≠ 0

tg^2x-2tgx-3=0
D=4-4*(-3)=16

tgx=-1 или tgx=3
[b]x=(-π/4)+πk, k ∈ Z[/b] или [b]x=arctg3 +πn, n ∈ Z[/b]

б) Указанному промежутку принадлежат корни
x_(1)=(-π/4)-4π=-17π/4
x_(2)=arctg3-4π
x_(3)=(-π/4)-3π=-13π/4
Cм. рис. (прикреплено изображение)

Выносим за скобки 3^(x) и в числителе и в знаменателе:
lim_(x→ - ∞)((4/3)^(x)+3)/(4*(4/3)^(x)+1)= (0+3)/(4*0+1)=3

(4/3) > 1
Показательная функция возрастает, и стремится к 0 при х →- ∞

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу суммы n- первых членов геометрической прогрессии

S_(n)=b_(1)*(1-q^n)/(1-q)

В числителе получим

1*(1-(1/3)^n)/(1-1/3) →3/2, так как (1/3)^(n)→0 при n→ ∞

В числителе получим

1*(1-(-1/3)^n)/(1-(-1/4) →4/5, при n→ ∞

О т в е т. (3/2)/(4/5)=

Ответ выбран лучшим

При x→+ ∞
3^(x)→+ ∞
3^(x+1)→+ ∞
Поэтому при x→+ ∞ имеем неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим на 3^(x+1)
получим в числителе
(1/3)+(2/3^(x+1)) → (1/3)+0
в знаменателе 1 - (1/3^(x+1)) → 1- 0

О т в е т. (1/3)/1=1/3

При x→- ∞
3^(x)→0
3^(x+1)→0
Поэтому при x→-∞ имеем (0+2)/(0-1)=-2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{8-x>0⇒ x < 8
{8-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 7
{(x-8)^(10)/(x-1)>0 ⇒ x-1>0; x ≠ 8
ОДЗ: х ∈ (1;7)U(7;8)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(8-x-1)(x-8)^10/(x-1) - (8-x)^(10)) ≥ 0

(x-8)^(10)=(8-x)^10

(7-х)*(х-8)^(10)*(1-x+1)/(x-1) ≥ 0

(х-8)^(10)*(x-7)*(x-2)/(x-1) ≥ 0
C учетом ОДЗ
[b](1;2] U (7;8)[/b]

Второе неравенство: приводим к общему знаменателю:

[b]([/b](x^2-9x+15)*(x-7)+(x^2-7x+4)*(x-2)-(2x-7)*(x-2)*(x-7) [b])[/b]/(x-2)(x-7) ≤ 0

Упрощаем:
(5x-15)/(x-2)(x-7) ≤ 0
Применяем метод интервалов:
___-_ (2) __+_ [3] _-__ (7) _+__

с учетом ОДЗ:
[b](1 ;2) U[3;7)[/b]

Пересечение множеств:
(1;2) - о т в е т

Ответ выбран лучшим

b_(1);
b_(2)=b_(1)q
b_(3)=b_(1)q^2

a_(1)=b_(1);
a_(2)=b_(2)+5=b_(1)q+5
a_(3)=b_(3)=b_(1)q^2

d=a_(2)-a_(1)=a_(3)-a_(2)

b_(1)q+5-b_(1)=b_(1)q^2-b_(1)q-5

b_(1)*(q-1)=b_(1)*q(q-1)-10

b_(1)*(q-1)-b_(1)*q(q-1)+10=0

-b_(1)(q-1)^2+10=0

(q-1)^2=10/b_(1)

Невозможно ответить на вопрос

Проверьте условие...

Делим на x^5
В числителе 100 слагаемых, делим каждое на x^5
(2x+1)^5/x^5=применяем свойства степени ((2х+1)/х )^5=(2+(1/x))^5

и так же в других скобках.
О т в е т. 100*2^(5)/10=10*2^5=320

Ответ выбран лучшим

x_(1)=1-(2/(1+sqrt(5)))=1+sqrt(5)-2)/(1+sqrt(5))=(sqrt(5)-1)/(sqrt(5)+1)

f(x_(1))=100*((sqrt(5)-1)/(sqrt(5)+1) - 1/5)^2=...

x_(2)=0+ (1/(1+sqrt(5)))=1-sqrt(5)/(1-5)=sqrt(5)-1)/4

f(x_(2))= (прикреплено изображение)

Неопределённость (∞ / ∞ )
Делим на х^2:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на x
Делим почленно, т. е каждое слагаемое числителя делим на x и каждое слагаемое знаменателя делим на x.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле:
du/dt=(∂u/∂x)*dx/dt+(∂u/∂y)*dy/dt

∂u/∂x=u`_(x)=(ln(e^(x)+e^(-y)))`_(x)=(e^(x)+e^(-y))`_(x)/(e^(x)+e^(-y))=

= [b]e^(x)/(e^(x)+e^(-y))[/b]

∂u/∂y=u`_(y)=(ln(e^(x)+e^(-y)))`_(y)=по формуле производной логарифмической функции и по правилу нахождения производной сложной функции
(lnx)`=1/x, но ln(f(x))=f`(x)/f(x)

=(e^(x)+e^(-y))`_(y)/(e^(x)+e^(-y))=

= [b]-e^(-y)/(e^(x)+e^(-y))[/b]

dx/dt=x`(t)=2t
dx/dy=y`(t)=3t^2

О т в е т. du/dt= [b](e^(x)/(e^(x)+e^(-y)))*2t+(-e^(-y)/(e^(x)+e^(-y)))*3t^2[/b]

можно упростить:

du/dt=(e^(x)*2t-e^(-y)*3t^2)/(e^(x)+e^(-y))

Ответ выбран лучшим

1.
В основании квадрат со стороной 4
Его площадь
S_(квадрата)=4^2=16
Найдем диагональ квадрата.
АС^2=4^2+4^2
AC=4sqrt(2)
Диагонали квадрата равны, в точке пересечения делятся пополам
AO=AC/2=2sqrt(2)

SO=H

По теореме Пифагора из треугольника SAO
SO^2=AS^2-AO^2=(2sqrt(11))^2-(2sqrt(2))^2=44-8=36
SO=6

V=(1/3)S_(осн)*Н=(1/3)S_(квадрата)*Н=(1/3)*16*6=32

2.
В основании равносторонний треугольник со стороной 18
Боковые ребра равны между собой
DA=DB=DC

По теореме Пифагора апофема боковой грани
DK^2=DB^2-KB^2=15^2-9^2=225-81=144
DK=12

S_(бок)=3S_( ΔDBC)=3*(1/2)*BC*DK=(3/2)*18*12=324 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

9.
Площадь, которую надо покрыть - площадь двух равных прямоугольников. Одна сторона известна, она равна 8, вторую находим из прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3, она равна 5
S=2*8*5=80

7.
V=abc
a=8;
b=5
c=V/ab=280/(8*5)=7

Н=с=7

S_(пп)=S_(бп)+2S_(осн)=P_(осн)*Н+2*a*b=2*(8+5)*6+2*8*5=
=156+80= [b]236[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

14.
S_(равностороннего треугольника со стороной а)=a^2sqrt(3)/4

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*(1*sqrt(3)/4)*(32sqrt(3))= [b]8[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямая [b]y=x [/b] разбивает координатную плоскость на две области:
x>y и х < y
См. рис.1 Область x > y закрашена красным цветом. Прямая нарисована пунктиром, так как неравенство нестрогое.
Аналогично рис.2 показывает как расположено множество точек
2x+y< 32 на координатной плоскости
на рис. 3 - множество точек x+2y>28

На рис, 4 пересечение всех трех областей:
Треугольник АВС.

Вершина треугольника точка С имеет целые координаты, но не входит в область.
Три точки черного цвета с целочисленными координатами тоже, так как лежат на пунктирных линиях.
Внутри области одна точка (11;9) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на x^3 ( x в наибольшей степени)
Делим почленно, т. е каждое слагаемое числителя делим на x^3 и каждое слагаемое знаменателя делим на x^3.

lim_(x→∞)((5/x)-1-(15/x^3))/((1/x)-(16/x^3))=(0-1-0)/(0-0)=-1/0= ∞

Можно и так :
вынести за скобки из числителя x^2 и из знаменателя x^2 и сократить на них: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-а
х_(1)*х_(2)=3

х^2_(1)+x^2_(2)=(x_(1)+x_(1))^2-2*x_(1)*x_(2)=a^2-6

a^2-6=19
a^2=25

[b]a= ± 5[/b]

Ответ выбран лучшим

Так и есть по ответам, треугольник прямоугольный равнобедренный.

Угловой коэффициент гипотенузы
k_(гипотенузы)=-2/3

значит tgα=-2/3

Пусть угловой коэффициент одного катета
k_(1)

значит tgβ =k_(1)

Формула тангенса разности двух углов

tg( α - β ) =(tg α -tg β )/(1+tg α *tg β )

α - β =45^(o)

tg45^(o)=1

((-2/3) -k_(1) )/(1+(-2/3) *k_(1) )=1
находим k_(1) и уравнение прямой первого катета, подставив координаты точки С в уравнение
y=k_(1)x+b

Так как катеты взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент второй прямой k_(2)=-1/k_(1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямая, перпендикулярная СМ имеет вид:
y=(-1/2)x+b
Подставляем координаты точки А
2=b
[b]y=(-1/2)x+2 - уравнение АВ[/b]

Прямая, перпендикулярная ВМ имеет вид:
y=x+b
Подставляем координаты точки А
2=b
[b]y=х+2 - уравнение АС[/b]

Находим координаты точки B, как точки пересечения высоты ВМ и стороны АВ:
{х+у–4=0
{y=(-1/2)x+2

(-1/2)x+2=-x+4
x=4
y=0
[b]B(4;0)[/b]

Находим координаты точки С, как точки пересечения высоты СМ и стороны АС:
{y=2x
{y=x+2

2x=x+2
x=2
y=4
[b]C(2;4)[/b]
Составляем уравнение стороны ВС, как прямой проходящей через две точки В и С:
y=kx+b

0=4k+b
4=2k+b

k=-2

b=8

[b]y=-2x+8[/b] - уравнение ВС (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Предел зависит от того как x→0 и y→0
Например, пусть y=kx
(x-y)/(x^2+y^2)=(x-kx)/(x^2+k^2x^2)=(1-k)/(x+kx)

Это говорит о том, что есть повторные пределы, но предела в точке нет, по-моему.

Наименьшее пятизначное число делящееся на 7
10 003
Наибольшее пятизначное число делящееся на 7
99 995
10 003:6>1667
99 995:6> 16665

По таблице кубов ( cм. приложение выбираем подходящий вариант) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Очевидно, что точка А не принадлежит ни одной из данных сторон, подставляем ее координаты в уравнение и убеждаемся, что координаты не удовлетворяют ни первому , ни второму уравнению
3*(-2)-4*1+5=0- неверно
4*(-2)+3*1-7=0 -неверно

Так как прямые
3х–4у+5=0 и 4х+3у–7=0
пересекаются под прямым углом, то дальнейшее решение видно из рисунка.
На рисунке проводим через точку А две прямые, перпендикулярные данным ( или параллельные данным как хотите)
Можно и так и так.

Находим уравнение прямой перпендикулярной
3х–4у+5=0
y=(3/4)x+(5/4)
k=3/4

Значит k=-4/3 - угловой коэффициент перпендикулярной прямой

y=(-4/3)x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки А
1=(-4/3)*2+b
b=11/3
y=(-4/3)x+(11/3)
[b]4x+3y-11=0[/b]

Находим уравнение прямой перпендикулярной
4х+3у–7=0
y=(-4/3)x+(7/3)
k=-4/3

Значит k=3/4 - угловой коэффициент перпендикулярной прямой

y=(3/4)x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки А
1=(3/4)*2+b
b=-1/2
y=(3/4)x+(-1/2)
[b]3x-4y-1=0[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем точку пересечения смежных сторон
{x+y+5=0
{x-4y=0 ⇒ x=4y
4y+y+5=0
5y=-5
y=-1
x=-4
А(-1;-4)
Р-середина диагонали АС
Значит, можем найти координаты точки С

x_(P)=(x_(A)+x_(C))/2 ⇒ x_(C)=2x_(P)-x_(A)=2*2-(-1)=5
y_(P)=(y_(A)+y_(C))/2 ⇒ y_(C)=2y_(P)-y_(A)=2*(-2)-(-4)=8

C(5;8)

Две другие стороны параллельны данным
Запишем данные уравнения в виде уравнений с угловым коэффициентом
x+y+5=0⇒y=-x-5
k=-1
Значит уравнение параллельной стороны имеет вид
y=-x+b
Для нахождения b подставляем координаты точки С:
8=-5+b
b=13
y=-x+13
[b]x+y-13=0[/b]

x-4y=0 ⇒ y=(1/4)x
Значит уравнение параллельной стороны имеет вид
y=y=(1/4)x+b

Для нахождения b подставляем координаты точки С:
8=(1/4)*(5)+b
b=8-(5/4)=27/4

y=(1/4)x+(27/4)

[b]x-4y+27=0
[/b]

Ответ выбран лучшим

H=13 cм

S_(бок. пов)=2πr*H=2π*1*13= [b]26π[/b]
S_(осн)=πr^2= [b]π[/b]
S_(полной поверхности)=S(бок. пов)+2S_(осн)=26π+2π= [b]28π[/b]

V_(цилиндра)=S_(осн)*H=π*13= [b]13*π[/b]

Рисунок к задаче необязателен. Вы же представляете, что такое цилиндр.

Из прямоугольного треугольника АРО по теореме Пифагора:
PO^2=AP^2-AO^2=10^2-6^2=100-36=64
PO=8
H=PO=8

S_(осевого сечения)=2r*H=2*6*8= [b]96[/b]
S_(бок. пов)=πrl=π*6*10= [b]60π[/b]
S_(осн)=πr^2= [b]36π[/b]
S_(полной поверхности)=S(бок. пов)+S_(осн)=60π+36π= [b]96π[/b]

V_(конуса)=S_(осн)*H=36π*8= [b]288π[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=8x-2
z`_(y)=18y+4

{8x-2=0
{18y+4=0

x=1/4; y=-2/9

M(1/4;-2/9)

z``_(xx)=8
z``_(xy)=0
z``_(yy)=18

A=z``_(xx)(M)=8
C=z``_(xy)(M)=0
B=z``_(yy)(M)=18

Δ=АВ-С^2=8*18-0*0>0
Есть экстремум в точке М
Минимум, так как А >0

∂z/∂x= постоянный множитель y выносим за знак производной, далее производная степенной функции=

y*((y^2-a^2x^2)^(-1))`_(x)=y*(-1)*(y^2-a^2x^2)^(-2)*(y^2-a^2x^2)`_(x)=

=-(-2a^2x)/(y^2-a^2x^2)^2=(2a^2x)/(y^2-a^2x^2)^2

∂z/∂y=применяем формулу производной дроби

=(1*(y^2-a^2x^2)-y*(y^2-a^2x^2)`)/(y^2-a^2x^2)^2=

=(y^2-a^2x^2-y*(2y))/(y^2-a^2x^2)^2=(-y^2-a^2x^2)/(y^2-a^2x^2)^2

∂^2z/∂x^2=(∂z/∂x)`_(x)=((2a^2x)/(y^2-a^2x^2)^2)`_(x)
применяем формулу производной дроби
...
∂^2z/∂y^2=(∂z/∂y)`_(y)=((-y^2-a^2x^2)/(y^2-a^2x^2)^2)`_(y)
применяем формулу производной дроби
...
считайте

du/dx=du/dx+(∂u/∂y)*(dy/dx)+(∂u/∂z)*(dz/dx)=

du/dx=(y-z)*(e^(x)/x^2)`_(x)=(y-z)*(e^(x)*x^2-2x*e^(x))/x^4=
=(y-z)*e^(x)(x-2)/x^3

(∂u/∂y)=(e^(x)/x^2)*(y-z)`_(y)=(e^(x)/x^2)*1=(e^(x)/x^2)
(∂u/∂z)=(e^(x)/x^2)*(y-z)`_(z)=(e^(x)/x^2)*(-1)= - (e^(x)/x^2)

dy/dx=(sinx)`_(x) = cosx
dz/dx=(cosx)`_(x) = - sinx

О т в е т.

du/dx= [b] (y-z)*e^(x)(x-2)/x^3 + (e^(x)/x^2)* cosx - (e^(x)/x^2)*(-sinx)[/b]

S_(сферы)= [b]4πR^2[/b]

4πR^2=36π ⇒ R^2=9 ⇒ [b]R=3[/b]

V=(4/3)πR^3=(4/3)*π*3^3= [b]36π[/b]

Ответ выбран лучшим

в) AB: 5х+4у-7=0 ⇒ y=(-5/4)x+(7/4)
CC_(2): y=(4/5)x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки С
3=(4/5)*5+b
b=-1

y=(4/5)x-1
или
4х-5у-1=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^4/(x^2-12x+36) > 0 ⇒ х - любое, x≠ 0; х ≠ 6
{6-x>0 ⇒ x < 6
{6-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 5

(- ∞ ;0)U(0;5)U(5;6)

0,5=1/2=2^(-1)

0,5^(x-1)=2^(1-x)
0,5^(x+2)=2^(-x-2)

Замена переменной:
2^(x)=t
t>0
2^(-x)=1/t
4^(x)=t^2

2^(x+2)=2^(x)*2^(2)=4t
2^(-x-2)=1/(4t)
2^(1-x)=2/t

Первое неравенство принимает вид:
((50/t)-(t/4))/(4t-t^2) ≥ 1/(4t)

Приводим к общему знаменателю и упрощаем
(200-t^2)/(4t*(4t-t^2) - 1/(4t) ≥ 0

(200-t^2-4t+t^2)/(4t^2*(4-t)) ≥ 0

4*(50-t)/(4t^2*(4-t)) ≥ 0

(t-50)/(t^2*(t-4)) ≥ 0

Применяем метод интервалов:

_+__ (0) __+___ (4) ___-__ [50] __+___

Учитывая, что t >0
0 < t < 4 или t ≥ 50

Обратный переход
0 < 2^(x) < 2^2 или 2^(2) ≥ 2^(log_(2)50)
Учитывая что 2^(x) возрастающая функция получаем :
x∈ (- ∞ ;2) U [log_(2)50;+ ∞ )

5=log_(2)32 < log_(2)50 < log_(2)64=6
поэтому
с учетом ОДЗ получаем о т в е т первого неравенства

[b]x∈ (- ∞ ;0)U(0; 2) U [log_(2)50;6) [/b]

Для решения второго неравенства применяем [b]метод рационализации логарифмических неравенств:[/b]

(6-x-1)*((x^4/(x^2-12x-36)) - 1) ≤ 0

(5-x)*((x^2)^2-(x-6)^2)/(x-6)^2 ≤ 0

(5-х)*(x^2-x+6)*(x^2+x-6)/(x-6)^2 ≤ 0

x^2-x+6=0
D=1-4*6 <0
x^2-x+6 > 0 при любом х

x^2+x-6=0
D=1+24=25
х_(1)=-3; х_(2)=2

(x-5)(x+3)(x-2)/(x-6)^2 ≥ 0

_-__ [-3] __+__ [2] _-__ [5] __+__ (6) __+__

x ∈ [-3;2] U[5;6) U(6;+ ∞ )
с учетом ОДЗ получаем о т в е т второго неравенства
[b]x ∈ [-3;0)U(0;2] U(5;6)[/b]

Находим решение системы, как пересечение множеств:
{x∈ (- ∞ ;0)U(0; 2) U [log_(2)50;6)
{x ∈ [-3;0) U(0;2] U(5;6)

О т в е т. [b] [-3;0)U(0;2)U[log_(2)50;6)[/b]

Ответ выбран лучшим

Область определения х ≠ ± 3

См. график.
x=-3; x=3 - вертикальные асимптоты
y=2 - горизонтальная асимптота.

y`=((4x+5)*(x^2-9)-(2x^2+5x-9)*(2x))/(x^2-9)^2

y`=(-5x^2-18х-45)/(x^2-9)^2

y`=0
-5x^2-18x-45=0
5x^2+18x+45=0
D=18^2-4*5*45 <0
Уравнение не имеет корней,
значит
--5x^2-18х-45< 0 при любом х ≠ ± 3

y` < 0 при любом х ≠ ± 3

Функция убывает на (- ∞ ;-3) и на (-3;3) и на (3;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Найдем точку пересечения
{8х+4у–3=0
{х–у=0 ⇒ y=x и подставляем в первое

8*х+4*х-3=0
12х=3
х=1/4
y=1/4

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Угловой коэффициент прямой 8х+4у–3=0
найдем, если запишем уравнение по-другому
Выразим y
4y=-8x+3
y=-2x+(3/4)
k=-2

Значит угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен (1/2)

y=(1/2)x+b

Чтобы найти b подставим координаты найденной точки пересечения:
1/4=(1/2)*(1/4)+b
b=1/8

О т в е т. y=(1/2)x+(1/8) или 4х-8у+1=0

Ответ выбран лучшим

a=12
σ=sqrt(D(x))=sqrt(4)=2
x_(2)=14
(x_(2)-a)/σ=(14-12)/2=1
(x_(1)-a)/σ=(11-12)/2=-1/2

Ф(1)=0,3413

Ф(-1/2)=-Ф(1/2)=-0,1915

P(11<x<14)=Ф(1)-(-Ф(1/2))=Ф(1)+Ф(1/2)=0,3413+0,1915=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Из прямоугольного треугольника АВС
BC=btg α

Из прямоугольного треугольника ВВ_(1)С
Н=BB_(1)=BC*tg α =btg^2 α

V=S_(осн)*Н=(1/2)*АС*ВС*ВВ_(1)=(1/2)*b*btg α *b*tg^2 α =
= [b](1/2)b^2*tg^3 α [/b]

2. Есть готовое решение: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

V=S_(осн)*Н
Н=10 cм ( призма прямая, боковое ребро и есть высота)

В основании равнобедренная трапеция
Высота трапеции
h^2=5^2-3^3=16
h=4
(см. рис. 1)
S_(осн)=S_(трапеции)=(a+b)*h/2=(4+10)*4/2=28

V=28*10=280 см^2

2.
Пирамида правильная - в основании равносторонний треугольник АВС
S_(Δ ABC)=a^2sqrt(3)/4=6^2sqrt(3)/4=9sqrt(3)

Боковые ребра пирамиды равны между собой,
Равные наклонные имеют равные проекции.
Проекциями боковых ребер являются
ОА=ОВ=ОС=R

R=asqrt(3)/3=6*sqrt(3)/3=2sqrt(3)

Треугольник АОD - прямоугольный равнобедренный
AO=OD=2sqrt(3)
DO=H (пирамиды)=2sqrt(3)

V=(1/3)*S_(осн)*H=(1/3)*9sqrt(3)*2sqrt(3)= [b]18 [/b]cм^3

DK - апофема пирамиды или высота боковой грани
Из прямоугольного треугольника DKO
DK^2=DO^2+OK^2
OK=r=sqrt(3)
DK^2=(2sqrt(3))^2+(sqrt(3))^2=12+3=15
DK=sqrt(15)
S_(бок)=3S_( ΔADC)=3*(1/2)*AC*DK=(3/2)*6*sqrt(15)=9sqrt(15) см^2

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)= [b]9sqrt(15)+9sqrt(3)[/b] см^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(11+6)*(24+6)=510 cм^2 (прикреплено изображение)

10^(-1-lg2)=(свойства степени a^(m+n)=a^(m)*a^(n))=

=10^(-1)*10^(lg2)=

(основное логарифмическое тождество 10^(lg [b]2[/b])= [b]2[/b])

=(1/10)*2=2/10=1/5=0,2

(1/2)^(4*log_(1/2)3) =(свойства логарифма степени

4log_(1/2)3=log_(1/2)3^4)=

=(1/2)^(log_(1/2) [b]3^4[/b])=основное логарифмическое тождество

= [b]3^4[/b]=81

(5)^(-3*log_(5)(1/2)) =(свойства логарифма степени

-3*log_(5)(1/2)=log_(5)(1/2)^(-3))=

=(5)^(log_(5)[b](1/2)^(-3)[/b])=основное логарифмическое тождество

= [b](1/2)^(-3)[/b]=8

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=F`(x)=
0, если x ≤ 0
1/11, если 0 < x ≤ 11
0, если x > 11

M(X)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞)x*f(x)dx= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫^(11)_(0)(x/11)dx+ ∫^(+ ∞ )_(11)0dx=

=(1/11)*(x^2/2)|^(11)_(0)=11^2/22=11/2= [b]5,5[/b]

D(X)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞)x^2*f(x)dx- ((M(X))^2= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫^(11)_(0)(x^2/11)dx+ ∫^(+ ∞ )_(11)0dx- (5,5)^2=

=(1/11)(x^3/3)|^(11)_(0)- 30,25 =[b](121/3)-30,25[/b] - считайте. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sinx=sqrt(3)/2
x=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)(π/3)+πk, k ∈ Z

О т в е т.
а)(-1)^(k)(π/3)+πk, k ∈ Z

б)
Ответ а) включает в себя две серии ответов

При k=2n
[b]x=(π/3)+2πn, n ∈ Z [/b] - корни в первой четверти

При k=2m+1
x=-(π/3)+π*(2m+1), m ∈ Z
x=π-(π/3)+2π*m, m ∈ Z
[b]x=(2π/3)+2π*m, m ∈ Z[/b] корни во второй четверти

(см. рис.)
Это удобно для отбора корней.
Указанному отрезку принадлежат корни:
x=(π/3) из первой серии
и
х=(2π/3)

О т в е т.
б)π/3;2π/3

(прикреплено изображение)

1.
V=(1/3)S_( Δ ADC)*DB=(1/3)*(1/2)*AD*DC*DB=(1/6)*5*6*7=35 cм^2
2.

По теореме косинусов из треугольника АВD:

cos∠A=(AB^2+AD^2-BD^2)/(2AB*AD)=22/42=11/21

sin∠ A=sqrt(1-(11/21)^2)=sqrt(320)=8sqrt(5)

По свойству диагоналей параллелограмма
d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a^2+b^2)
AC^2=2*(3^2+7^2)-6^2=60
АС=sqrt(60)=2sqrt(15) [b]дм[/b]
S_(диаг.сеч. АА_(1)С_(1)С)=АС* Н

По условию:
S_(диаг.сеч. АА_(1)С_(1)С)=1м^2=100 [b] дм^2[/b]

H=100/2sqrt(15)=50/sqrt(15)=50*sqrt(15)/15= [b]10sqrt(15)/3[/b]

V=S_(осн)*Н=AB*AD*sin ∠ A*H=3*7*8sqrt(5)*10sqrt(15)/3= cчитайте

Ответ выбран лучшим

В равнобедренном треугольнике АВС углы при основании равны.
Так как ∠ В =120 градусов, то ∠А= ∠ С=30 градусов.

В прямоугольном треугольнике АНС катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Значит гипотенуза АС в два раза больше катета АН.
АС=2АН=14 (прикреплено изображение)

x-y=(x^(1/2))^2-(y^(1/2))^2=(x^(1/2)-y^(1/2))*(x^(1/2)+y^(1/2))

x^(1/2)*y^(1/4)+x^(1/4)y^(1/2)=x^(1/4)*y^(1/4)*(x^(1/4)+y^(1/4))

x^(3/4)+x^(1/2)y^(1/4)=x^(1/2)*(x^(1/4)+y^(1/4)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть завод произвел х тарелок.
В продажу поступят все качественные тарелки, их 90% или
0,9х и 45% невыявленных дефектных тарелок: 0,45*0,1х тарелок.
Всего
0,9х+0,045х=0,945х

Качественных из них 0,9х , по формуле классической вероятности
вероятность купить качественную тарелку равна
p=m/n=0,9x/0,945x=900/945

Ответ выбран лучшим

Каждую пару чисел рассматривают как точку с координатами (х;y)
Точки, координаты которых меньше 7 находятся внутри бесконечного угла. Это область 1
см. рис. 1

Множество точек, для которых
x+y<xy находится внутри области 2 ( см. рис. 2)

По формуле геометрической вероятности

р=S_(2)/S_(1)

В данной ситуации это сложно, так как фигуры неограничены, бесконечны. Площади тоже

Поэтому думаю, что в задаче должно быть ограничение.
Натуральные числа
или действительные, положительные
Если действительные, положительные, то области замкнуты.
cм. рис. 3

p=S_(2)/49

49=S_(квадрата)

S_(2) вычисляем с помощью определенного интеграла (прикреплено изображение)

1.
По теореме Пифагора второй катет
sqrt(25^2-7^2)=sqrt((25-7)*(25+7))=sqrt(18*32)=3*8=24 см

V=S_(осн.)*Н=(1/2)*7*24*9=756 кв. см

2.
V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H
Н=3sqrt(3)
S_(осн)=(1/2)AB*BC*sin ∠ ABC=(1/2)*8*7*sqrt(3)/2=14sqrt(3)

V=(1/3)*(14sqrt(3))*3sqrt(3))=42 куб. м

3.
Sпп=Sбп+2Sосн
Sосн=(90-40)/2=25
В основании квадрат, его площадь 25, значит сторона основания а=5
Sбп=Росн*Н=4а*Н=4*5*Н=20Н
По условию

Sбп=40

20Н=40
Н=2

V=Sосн*Н=25*2=50 cм^3

5.
S_(осн)=4*3-1*1=11
S_(бок)=Р_(осн)*5=(4+3+2+1+1+3)*5=70
S_(пп)=70+2*11=92

4. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Sпп=Sбп+2Sосн
Sосн=(40-32)/2=4
В основании квадрат, его площадь 4, значит сторона основания а=2

Sбп=Росн*Н=4а*Н=4*2*Н=8Н
По условию

Sбп=32

8Н=32
Н=4

V=Sосн*Н=4*4=16 cм^3

Ответ выбран лучшим

V_(пирамиды)=(1/3)*S_(осн)*H
Н=3sqrt(2)
S_(осн)=(1/2)AB*BC*sin ∠ ABC=(1/2)*8*11*sqrt(2)/2=22sqrt(2)

V=(1/3)*(22sqrt(2))*3sqrt(2))=44 куб. м

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора второй катет
sqrt(37^2-12^2)=sqrt((37-12)*(37+12))=sqrt(25*49)=5*7=35 см

V=S_(осн.)*Н=(1/2)*12*35*6=36*35 кв. см

Ответ выбран лучшим

AD ⊥ DD_(1)C_(1)C ⇒ AD ⊥ DC_(1)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость
DC_(1)- проекция диагонали АС_(1) на пл. DD_(1)C_(1)C

∠ АС_(1)D=30 градусов

В прямоугольном треугольнике АС_(1)D
AD=a/2 - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
DC_(1)=sqrt((AC_(1))^2-AD^2)=sqrt(a^2-(a/2)^2)=asqrt(3)/2;

В основании правильной призмы - квадрат
АВ=ВС=СD=AD=a/2

Из прямоугольного треугольника
DC_(1)C
С_(1)С^2=DC^2_(1)-DC^2=(3a^2/4)-(a/2)^2=2a^2/4
H(призмы)=asqrt(2)/2

V=S_(осн)*Н=(a/2)^2*asqrt(2)/2= [b]a^3sqrt(2)/8[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

На (- ∞ ;2) строим прямую y=3x-3,5 по двум точкам (0;-3,5); (1;-0,5)
На [2;+ ∞) cтроим прямую y=-3x+8,5 по двум точкам (2;2,5);(4;-3,5) (прикреплено изображение)

M(X)=11*0,4+13*0,5+15*0,1=18,4
M(X^2)=11^2*0,4+13^2*0,5+15^2*0,1=?

D(X)=M(X^2)-M(X)^2=?-(18,4)^2=

Функция распределения
0, если x < 11
0,4 если 11<x<13
0,9 если 13<x<15
1,если x ≥ 15

Ответ выбран лучшим

|6-7^(x)| ≤ (7^(x)-6)*log_(6)(x+1)
ОДЗ: х+1 >0 ⇒ x > -1

Раскрываем модуль по определению
Если
6-7^(x)≥ 0, то |6-7^(x)|=6-7^(x)

Неравенство принимает вид:
6-7^(x) ≤ (7^(x)-6)*log_(6)(x+1)

или

6-7^(x) - (7^(x)-6)*log_(6)(x+1) ≤ 0

(6-7^(x))*(1+log_(6)(x+1) ≤ 0

{6-7^(x)≥ 0 ⇒ 7^(x) ≤ 6 ⇒ x ≤ log_(7)6
{1+log_(6)(x+1) ≤ 0 ⇒ log_(6)(x+1) ≤ -1 ⇒ log_(6)(x+1) ≤ log_(6)(1/6)

x+1 ≤ 1/6 ⇒ x ≤ -5/6

0<log_(7)6 <1
-5/6 < log_(7)6

C учетом ОДЗ получаем ответ первого случая
(-1; -5/6]

второй случай:

6-7^(x)< 0, то |6-7^(x)|=7^(x)-6

Неравенство принимает вид:
7^(x)-6 ≤ (7^(x)-6)*log_(6)(x+1)

или

7^(x)-6 - (7^(x)-6)*log_(6)(x+1) ≤ 0

(7^(x)-6)*(1-log_(6)(x+1) ≤ 0

{6-7^(x)< 0 ⇒ 7^(x) > 6 ⇒ x > log_(7)6
{1-log_(6)(x+1) ≤ 0 ⇒ log_(6)(x+1)≥ 1 ⇒ log_(6)(x+1) ≥ log_(6)6

x+1≥ 6 ⇒ x ≥ 5

{ x > log_(7)6
{x≥ 5
C учетом ОДЗ получаем ответ второго случая
[5;+ ∞ )

О т в е т. (-1;-5/6] U [5;+ ∞ )

О т в е т. А - 1); В - 3); С- 4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагональ прямоугольника 5 дм ( по теореме Пифагора, или потому что это египетский треугольник)

H^2=6,5^2-2,5^2=(6,5-2,5)*(6,5+2,5)=36
H=6 дм

V=(1/3)*S_(осн)*Н=(1/3)*3*4*6= [b]24 дм ^3[/b]

S_(полн. пов.)=S_(бок. пов)+S_(осн)

S_(бок. пов)=2S_( ΔSAB)+2S_( ΔSBC)=2*(1/2)AB*h_(1)+2*(1/2)BC*h_(2)
h_(1)- апофема боковой грани SAB или высота Δ SAB
h_(2)- апофема боковой грани SBС или высота Δ SBС

h^2_(1)=6,5^2-2^2=4,5*8,5=38,25
h^2_(2)=6,5^2-1,5^2=5*8=40

S_(бок. пов)=4*sqrt(38,25)+3*sqrt(40)

S_(полн. пов.)= [b]4*sqrt(38,25)+3*sqrt(40)+3*4[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами. Схема Бернулли.

p=0,1 - вероятность детали быть нестандартной
q=1-p=1-0,1=0,9 -вероятность детали быть стандартной

a) По формуле Бернулли:
P_(100)(11)=C^(11)_(100)p^(11)q^(100-11)
Реально не сосчитать.
Поэтому применяем локальную формулу Муавра- Лапласа

np=100*0,1=10
npq=100*0,1*0,9=90
sqrt(npq)=sqrt(90)=9,49

x=(11-10)/sqrt(90)=1/9,49≈0,1053

φ(x)=0,3945

P_(100)(11)≈ [b](1/9,49)*0,3945 [/b]- считайте

б) Применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа

х_(2)=(11-10)/sqrt(90)=0,1053
x_(1) =(8-10)/sqrt(90)=-0,2106

P_(100)(8 ≤ x ≤ 11) ≈0,0596-(-0,0832)= [b]0,1428[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Cумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому.
∠ NMK=180^(o)-105^(o)=75^(o)
Δ MNK - равнобедренный, значит углы при основании равны:
∠ NMK=∠ NKМ=75 градусов

В прямоугольном треугольнике MLK сумма острых углов равна 90 градусов, значит
∠ LMK=90^(o)-75^(o)= [b]15^(o)[/b]

2.
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к стороне является одновременно и медианой.
RT ⊥ PQ
PT=TQ

SO ⊥ PQ ⇒ SO||RT
По теореме Фалеса, так как PS=SR, то PO=OT

PQ=4*PO=18
О т в е т. [b]18[/b]

3.
Треугольник BCD – прямоугольный.
BD – гипотенуза, равна 28
СD– катет, равен 14
Значит, ∠ СBD=30 °.
Катет, против угла в 30 ° равен половине гипотенузы.

∠ CBA=60 °.

Значит, ∠ ВАС=30 °.

Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому угол смежный с углом А равен 150 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Считаем неопределенный интеграл
∫ x^2*e^(x)dx

Применяем метод интегрирования по частям.
u=x^2
dv=e^(x)dx

du=2xdx
v= ∫ e^(x)dx=e^(x)

∫ x^2*e^(x)dx=x^2*e^(x)- ∫ 2x*e^(x)dx=

снова применяем интегрирование по частям.
u=x
dv=e^(x)dx

du=dx
v= ∫ e^(x)dx=e^(x)

∫ x^2*e^(x)dx=x^2*e^(x)- 2*(x*e^(x)- ∫ e^(x)dx)=

=x^2*e^(x)- 2*(x*e^(x)- e^(x) )+ C=e^(x)*(x^2-2x+2) + C

Для вычисления определённого интеграла применяем формулу Ньютона-Лейбница
∫ ^(b)_(a)f(x)dx=F(x)|^(b)_(a)=F(b)-F(a)

∫ x^2*e^(x)dx=e^(x)(x^2- 2*x+ 2)|^(1)_(0)=

=e^(1)*(1-2+2)-e^(0)*(0-0+2)= [b]e-2[/b]

Ответ выбран лучшим

Треугольник BCD - прямоугольный.
BD - гипотенуза, равна 20
СD- катет, равен 10
Значит, ∠ СBD=30 градусов.
Катет, против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
∠ CBA=60 градусов.

Значит, ∠ ВАС=30 градусов.
По теореме Пифагора
BC^2=BD^2-CD^2=20^2-10^2=300
BC=10sqrt(3)
BA=2BC=20sqrt(3)
AC^2=AB^2-BC^2=(20sqrt(3))^2-(10sqrt(3))^2=1200-300=900
АС=30
DA=30-10=20

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

u=arcctg3x
du=-(3x)`dx/(1+(3x)^2)
du=-3dx/(1+9x^2)

=∫ (-1/3)*u^6du=(-1/3)*(u^7/7)+C=(-1/21)arcctg^73x+C

Ответ выбран лучшим

u=4sinx-1
du=4cosx

=(1/4) ∫ e^(u)du=(1/4)e^(4sinx-1) + C

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ u^(-2/3)du=u^((-2/3)+1)/((-2/3)+1)+C=3∛u + C

u=cos4x
du=(cos4x)`dx
du=-sin4x*(4x)`dx=-4sin4xdx
sin4xdx=(-1/4)du

∫ sin4xdx/∛(cos^24x)=(-1/4) ∫ u^(-2/3)du=(-1/4)*3∛u + C=

=(-3/4)∛(cos4x) + C

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ u^(-4)du=u^(-4+1)/(-4+1)+C=-(1/3)*(1/u^3)+C

u=ln(x-3)
du=dx/(x-3)

О т в е т. (-1/3)*(1/(ln(x-3))^3) + C

Ответ выбран лучшим

1.
y`=(1/3)*4x^3-(1/2)cos3x*(3x)`-(1/sin^2x)
y`=(4/3)x^3-(3/2)cos3x-(1/sin^2x)

2.
(u*v)`=u`*v+u*v`
u=tgx
v=x^3+1
u`=(1/cos^2x)
v`=3x^2

y`=(1/cos^2x)*(x^3+1)+tgx*(3x^2)

Ответ выбран лучшим

1) табличный ∫ sinudu=-cosu+C
u=5x+9
du=(5x+9)`dx
du=5dx
dx=(1/5)du

∫ sin(5x+9)dx=(1/5) ∫ sinudu=(-1/5)cosu+C=(-1/5)cos(5x+9)+C

2)
замена переменной
x^(1/6)=t
x^(1/3)=t^2
x^(1/2)=t^3
x=t^6
dx=6t^5dt

∫ (2sqrt(x)-2)dx/∛x= ∫ (2t^3-2)*6t^5dt/t^2=12 ∫ (t^6-t^3)dt=

=12*(t^7/7)-12*(t^4/4) + C=

=(12/7)x^(7/6)-3x^(2/3)+C

Ответ выбран лучшим

Первоначально
л=20+24
После поедания червяка
л+ч=20+24-ч+6

2ч=6
ч=3 [b] грамма[/b]

Точка О – точка пересечения биссектрис углов А, В и С
ВО– биссектриса угла В, делит угол пополам.
Значит ∠ АВО=45 ° (прикреплено изображение)

v_(cредняя)=S/t= 75 км в час.

так как планировалось, за t часов проехать путь со скоростью 75 км в час.
Время не изменилось, путь тоже.

Под дождем он ехал со скоростью 50 км в час, в результате чего потерял время.
А наверстал его, когда увеличил скорость до 90 км в час.

Последние 150 км он должен был ехать 2 часа, со скоростью 75 км в час, а ехал со скоростью 90 км в час и затратил, 150/90=5/3 часа

Значит, когда шел дождь, он потерял (1/3) часа.

Пусть путь, во время которого шел дождь равен х км

(x/50)-(x/75)=1/3

x=50 км

1 час шел дождь

Замена
2^(x)=t
t>0
4^(x)=t^2

t^2-(7-x)t+12-4x=0

t^2-7t+xt+12-4x=0

t^2-7t+12+x*(t-4)=0

(t-3)(t-4)+x*(t-4)=0

(t-4)*(t-3+x)=0

t=4 или t-3+x=0

Обратный переход

2^(x)=4
[b]x=2[/b]

2^(x)-3+x=0

2^(x)=3-x
Уравнение имеет корень х=1
2^(1)=3-1
2=2- верно
Это единственный корень, других корней нет,
так как
y=2^(x) - возрастающая функция
y=3-x - убывающая
Они пересекаются в одной точке.

О т в е т. 1; 2

Олег за 10 мин прошел 1 км, значит скорость Олега 6 км в час,
(за 60 мин пройдет в 6 раз больше, т.е 6 км)
За следующие 20 мин. до встречи Олег прошел 2 км.
(за 10 минут 1 км, за 20 минут в два раза больше)

Значит, за полчаса Дима прошел 2 км
На следующий день
Олег за 30 минут прошел 3 км, Дима за 30 мин те же 2 км
Осталось учесть, что расстояние между домами равно 1 км
О т в е т. 3+2+1=6 км длина кольцевой дороги (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания равна а, боковое ребро пирамиды равно b.
Из прямоугольного треугольника DKC
b=(a/2)/cosα

Из прямоугольного треугольника
DOB
cos β =OB/DB=R/b=(asqrt(3)/3)/((a/2)/cos α )=

=2cos α /sqrt(3)

сos α дан, непонятно какое это число, так что подставите его и получите ответ (прикреплено изображение)

а)АА_(1)С_(1)С ⊥ пл. ВВ_(1)D_(1), так как
проходит через AO- перпендикуляр к пл. ВВ_(1)D_(1)

AO ⊥ BD как диагонали квадрата
AO ⊥ OO_(1)

АО перпендикуляр к двум пересекающимся прямым пл ВВ_(1)D_(1).

б) AD_(1)C_(1)B ⊥ пл СDA_(1), так как проходит через ВК - перпендикуляр к пл.СDA_(1)

ВК ⊥ В_(1)С как диагонали квадрата
СD ⊥ пл. ВВ_(1)С_(1)С ⇒ СD ⊥ BK

ВК перпендикуляр к двум пересекающимся прямым плоскости СDA_(1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение оси Оу: х=0

Находим координаты точек пересечения окружности с осью Оу

0^2+y^2=10*0-14y-24
y^2+14y+24=0
D=14^2-4*24=196-96=100
y_(1)=(-14-10)/2=-12; y_(2)=(-14+10)/2=-2
d=|y_(2)-y_(1)|=-2-(-12)|= [b]10[/b]

О т в е т. 10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Точка О - точка пересечения биссектрис углов А, В и С
СО- биссектриса угла С, делит угол пополам.
Значит ∠ АСО=50 градусов (прикреплено изображение)

В основании призмы правильный треугольник ABC.

Пусть сторона этого треугольника равна [b]а.[/b]

Из прямоугольного треугольника BCC_(1)
Н=CC_(1)=BC*tg30^(o)=asqrt(3)/3

S_(бок)=Р_(осн)*Н=3а*Н=3а*а*sqrt(3)/3=a^2sqrt(3)
По условию
S_(бок)=72sqrt(3)

a^2sqrt(3)=72sqrt(3)
a^2=72

a=6sqrt(2)

V=S_(осн.)*Н=(a^2sqrt(3)/4)*(asqrt(3)/3)=

=72*6sqrt(2)/4= [b]108sqrt(2)[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ dx/sqrt(a^2-x^2)=arcsin(x/a)+C

sqrt(7-2x^2)=sqrt(2)*sqrt((7/2)-x^2)

∫ sqrt(2)dx/(sqrt(2)*sqrt((7/2)-x^2))= ∫dx/sqrt((7/2)-x^2)=

=arcsin(x/sqrt(7/2))+C=

=arcsin(sqrt(2)x/sqrt(7))+C

или так:

2x^2=u^2
u=sqrt(2)x
du=sqrt(2)dx

∫ du/sqrt(7-u^2)=arcsin(u/sqrt(7))+C=arcsin(sqrt(2)x/sqrt(7))+C

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ du/sqrt(u)=2sqrt(u)+C

u=3x^2+8
du=6xdx
xdx=(1/6)du

∫ xdx/sqrt(3x^2+8)=(1/6) ∫ du/sqrt(u)=(1/6)*2sqrt(u)+C=

= [b](1/3)sqrt(3x^2+8)+C[/b]

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ du/u=ln|u|+C

u=3-5x
du=-5dx
dx=(-1/5)du

∫ dx/(3-5x)= ∫ (-1/5)du/u=(-1/5)ln|u|+C= [b](-1/5)ln|3-5x|+C[/b]

Ответ выбран лучшим

См таблицу в приложении
Уравнение:
4*((1/х)+(1/(х+3,9)))=1
4*(x+3,9+x)/(x*(x+3,9))=1

8x+15,6=x^2+3,9x

x^2-4,1x-15,6=0
D=4,1^2-4*(-15,6)=16,81+62,4=79,21
sqrt(D)=8,9

x=(4,1+8,9)/2=6,5 часов первый

6,5+3,9= [b]10,4 часов второй[/b] (прикреплено изображение)

5^(x^2)+17*5^(x^2-2)=7^(x^2)-7^(x^2-1)

5^(x^2-2)*(5^2+17)=7^(x^2-1)*(7-1)

5^(x^2-2)*(42)=7^(x^2-1)*(6)

5^(x^2-2)*7=7^(x^2-1)

5^(x^2-2)=7^(x^2-2)

x^2-2=0

[b]x =± sqrt(2)[/b]
О т в е т. ± sqrt(2)

Замена
2^(x)=t
t>0
4^(x)=t^2

t^2-(7-x)t+12-4x=0

t^2-7t+xt+12-4x=0

t^2-7t+12+x*(t-4)=0

(t-3)(t-4)+x*(t-4)=0

(t-4)*(t-3+x)=0

t=4 или t-3+x=0

Обратный переход

2^(x)=4
[b]x=2[/b]

2^(x)-3+x=0

2^(x)=3-x

y=2^(x) - возрастающая функция
y=3-x - убывающая
Они пересекаются в одной точке.
[b]х=1 [/b]- единственный корень

О т в е т. 1; 2

Ответ выбран лучшим

Обозначим

arctg(sqrt(3)/4)= α ⇒ tg α =sqrt(3)/4; α ∈ (-π/2;π/2)⇒

[b]ctgα=1/tgα=4sqrt(3)/3[/b]

arctg(3sqrt(7)/7)= β ⇒ tg β =3sqrt(7)/7; β ∈ (-π/2;π/2)⇒

[b]ctgβ=1/tgβ=sqrt(7)/3[/b]

ctg( α + β )=(ctg α *ctg β -1)/(ctg α +ctg β ) =

=((4sqrt(21)/3)-3)/(4sqrt(3)+sqrt(7)) (прикреплено изображение)

Замена
sqrt(x-7)=t
x-7=t^2
x=t^2+7
dx=2tdt

x^3=(t^2+7)^3=t^6+21t^4+147t^2+343)

= ∫ (t^6+21t^4+147t^2+343)*2tdt/t=

=(2t^7/7)+42*(t^5/5)+(147)*t^3/3+343t+C, t=sqrt(x-7)

r_(сечения)=R^2-d^2=10^2-6^2=100-36=64
r_(сечения)= [b]8[/b]

S_(сечения)=πr^2= [b]64π[/b]

Объем меньшего шарового сегмента:
h=10-6=4

V_(м)=π*4^2*(10-(4/3))=(416π/3)

V_(б)=V_(шара)- V_(м)=(4/3)π*10^3 - (416π/3)=

= [b]3584π/3 [/b] (прикреплено изображение)

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение
5y``+9y`+2y=0

Составляем характеристическое уравнение
5k^2+9k-2=0
D=81-4*5*(-2)=121
k_(1)=-2; k_(2)=0,2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(одн)=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(0,2x)

[b]a)

f(x)=x^3-2x[/b]
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

f(x)- многочлен третьего порядка, значит
у_(част.)=ax^3+bx^2+cx+d

y`_(част)=3ax^2+2bx+c
y``_(част)=6ax+2b

Подставляем в данное уравнение:

5*(6ax+2b)+9*(3ax^2+2bx+c)-2*(ax^3+bx^2+cx+d)=x^3-2x

приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
-2a=1
27a-2b=0
30a+18b-2c=-2
10b+9c-2d=0

a=-1/2
b=-27/4
c=217/2
d=3630/8

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(одн) и у_(част)

[b]y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(0,2x) -(1/2)x^3-(27/4)x^2+(217/2)x+(3630/8)[/b]

б)

f(x)=2sin2x-3cos2x

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

у_(част.)=A*sin2x+Bcos2x
у`_(част.)=2A*cos2x-2Bsin2x
y``_(част.)=-4Аsin2x-4Bcos2x

5*(-4Аsin2x-4Bcos2x)+9*(2A*cos2x-2Bsin2x)-2*(A*sin2x+Bcos2x)=2sin2x-3cos2x

-22А-18В=2
-22В+18А=-3

Умножаем первое на 18, второе на 22 и складываем
(-324-484)B=36-66
B=30/808
A=-98/808

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(одн) и у_(част)
[b]y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(0,2x) -(98/808)sin2x+(30/808)cos2x[/b]

Ответ выбран лучшим

S_(поверхности вращения вокруг оси ОХ)=2π ∫ ^(t_(2))_(t_(1))y(t)*sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)dt

x`(t)= - 2Rsint + 2Rsin2t
y`(t)=2Rcost - 2Rcos2t

(x`(t))^2= 4R^2sin^2t -8R^2sint*sin2t+4R^2sin^22t
(y`(t))^2=4R^2cos^t -8R^2cost*cos2t+4R^2cos^22t

(x`(t))^2+(y`(t))^2=4R^2*(sin^2t+cos^2t+sin^22t+cos^22t-2(cost*cos2t+sint*sin2t))

(x`(t))^2+(y`(t))^2=4R^2*(1+1-2*cos(2t-t))=8R^2*(1-cost)=

=16R^2sin^2(t/2)

sqrt(16R^2sin^2(t/2))=4Rsin(t/2)

[b]S_(поверхности вращения вокруг оси Ох)=
= 2π ∫^(2π)_(0)(2Rsint-Rsin2t)*4Rsin(t/2)dt[/b]=

=8πR^2 ∫^(2π)_(0)(2sint*sin(t/2)-sin2t*sin(t/2))dt=

=8πR^2 ∫^(2π)_(0)(sin(3t/2)+sin(t/2)-(1/2)sin(5t/2)- (1/2)sin(3t/2))dt=

=8πR^2 ∫^(2π)_(0)((1/2)sin(3t/2)+sin(t/2)-(1/2)sin(5t/2))dt=

=8πR^2*((-1/2)*(2/3)cos(3t/2)) -2cos(t/2)+(1/2)*(2/5)cos(5t/2))^(2π)_(0)=

=8πR^2*((-1/3)cos3π+(1/3)cos0 -2cosπ+2cos0 +(1/5)cos(5π)-(1/5)cos0)=

=8πR^2*((2/3)+4-(2/5))=8πR^2*(64/15)= [b]512πR^2/15[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=0- точка разрыва первого рода.
f(-0)=lim_(x→-0)f(x)=lim_(x→-0)(2x+4)=4
f(+0)=lim_(x→+0)f(x)=lim_(x→-0)(2-x)=2

Функция имеет конечный скачок в точке, равный
f(+0)-f(-0)2-4=-2

х=2- точка непрерывности,
f(2-0)=lim_(x→2-0)f(x)=lim_(x→2-0)(2-x)=0
f(2+0)=lim_(x→2+0)f(x)=lim_(x→2+0)0=0
f(2)=2-2=0

f(2-0)=f(2+0)=f(2)=0

О т в е т. (1/3)*9*(25+100+50)*sqrt(3)/4=525sqrt(3)/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является и медианой.
По теореме Пифагора
h=(3sqrt(10))^2-3^2=90-9=81
h=9
S_(осн)=6*9/2=27 см^2

Боковые ребра пирамиды равны между собой. Равные наклонные имеют равные проекции. Проекцией ребра является радиус описанной окружности.

R=a*b*c/4S=(3sqrt(10)*3sqrt(10)*6)/(4*27)=5

H^2=13^2-5^2=169-25=144
H=12

V=(1/3)*S_(осн.)*Н=(1/3)*27*12=108 cм^3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это интегрирование рациональных дробей.

Знаменатель каждой дроби раскладываем на множители

(x^2+4x+3)(x+5)=(x+3)*(x+1)*(x+5)

Дробь раскладываем на простейшие

(3x^2+20x+9)/(x^2+4x+3)*(x+5)=A/(x+3)+B/(х+1)+ D/(x+5)

30x^2+20x+9=A*(x+1)*(x+5)+B*(x+3)*(x+5)+D*(x+1)*(x+3)

Раскрываем скобки справа, приводим подобные слагаемые и приравниваем коэффциенты при одинаковых степенях переменной:

30= А+В+D
20=6A+8B+4D
9=5A+15B+3D

Решаем систему трех уравнений стремя неизвестными
А=6
В=-1
D=-2

∫ 6dx/(х+3)- ∫ dx/(x+1)- ∫ 2dx/(x+5)= о т в е т, который есть

Вторая задача решается аналогично

Ответ выбран лучшим

V=π ∫ ^(6)_(1)(6^2-(6/x)^2)dx=

=π(36*x+(6/x))|^(6)_(1)=

=π* (36*(6-1)+6*((1/6)-1))=π*(180+6*(-5/6))=175π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

3^(lgx+2)=3^(lgx)*3^2=9*3^(lgx)

3^(lgx^2+5)=3^(lgx^2)*3^(5)=243*3^(2lgx)=243*((3^lgx))^2

замена переменной

3^(lgx)=t

t>0 при любом х >0

Квадратное неравенство

243t^2-9t-2 >0

D=81-4*243*(-2)=1225=35^2

t_(1)=(9-35)/486<0 t_(2)=(9+35)/486=44/486=22/243

C учетом t > 0 решение неравенства:
t > 22/243

3^(lgx) > (22/243)

Логарифмируем по основанию 3

lgx*log_(3)3> log_(3)(22/243)

lgx > log_(3)(22/243)

x> 10^(log_(3)22/243) - это больше 0, т.е входит в ОДЗ

О т в е т. (10^(log_(3)22/243);+ ∞)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-4x+3>0
D=16-12=4
корни 1 и 3
x < 1 или х > 3

1=log_(8)8

log_(8)(x^2-4x+3) ≤ log_(8)8
Логарифмическая функция с основанием 8 возрастает, поэтому

x^2-4x+3 ≤ 8
x^2-4x-5 ≤ 0
D=16+20=36
x_(1)=(4-6)/2=-1; х_(2)=(4+6)/2=5
-1 ≤ х ≤ 5

С учетом ОДЗ получаем ответ

[-1;1) U(3;5]

Ответ выбран лучшим

{4-x>0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{28-3x-x^2>0 ⇒ D=121; -7 < x < 4
ОДЗ: x ∈ (-7;3)U(3;4)

Применяем [b] метод рационализации[/b] к первому неравенству, второе приводим к общему знаменателю:

{(4-x-1)*(28-3x-x^2-4+x) ≤ 0
{(x^3+3x^2-16x+12)/(x-1)(x-3) ≥ 0

{(x-3)*(x^2+2x-24) ≤ 0 D=4+96=100; корни -6 и 4
{(x-1)*(x^2+4x-12)/(x-1)(x-3) ≥ 0 D=16+48=64; корни -6 и 2

{(x-3)*(x-4)(x+6) ≤ 0 __________-_ [-6] _______________ [3] _-_ [4] __
{(x-1)(x-2)(x+6)/(x-1)(x-3) ≥ 0 ____ [-6] _+__[1] _+_ [2] __ [3]_+___

С учетом ОДЗ получаем о т в е т.
{-6}U(3;4)

(прикреплено изображение)

526+243-380=

Табличный интеграл
∫ du/u=ln|u|+C

u=2x^2-7
du=4xdx
xdx=(1/4)du

= ∫ (1/4)du/u=(1/4)ln|u|+C= [b](1/4)ln|2x^2-7|+C[/b]

Ответ выбран лучшим

y=-3x^2-5x+2

Выделяем полный квадрат
-3x^2-5x+2=-3*(x^2+(5/3)x-(2/3))=

=-3*(x^2+2*x*(5/6)+(25/36)-(25/36)-(2/3))=

=-3* [b]([/b](x+(5/6))^2-(49/36) [b])[/b]

Вершина в точке (-5/6; -49/12)

Ветви вниз

-3x^2-5x+2=0
3x^2+5x-2=0
D=49
x=-2 или x=1/3

Положительна при -2 < x < (1/3)
Отрицательна при x ∈ (- ∞ ; -2) и x ∈ (1/3; + ∞ )
Возрастает при x ∈ (- ∞ ; -5/6)
Убывает при x ∈ (-5/6; + ∞ )
Наибольшее значение при х=-5/6
равно -49/12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) cм. рис.1

y=x^2/5 - парабола красным цветом

y=sqrt(5x) - степенная функция, синим
S= ∫ ^(5)_(0)(sqrt(5x)-(x^2/5))dx=

= [b]([/b]sqrt(5)*x^(3/2)/(3/2)-(1/5)*(x^3/3) [b])[/b]|^(5)_(0)=

=(2sqrt(5)/3)*sqrt(5^3)-(1/15)*5^(3)=

=(50/3)-(25/3)= [b]25/3[/b]

б)
S= ∫ ^(t_(2))_(t_(1))y(t)*x`(t)dt

y(t)=8cos^3t
x(t)=2sin^3t
x`(t)=2*3*sin^2t*(sint)`=6sin^2tcost

S= ∫ ^(π/4)_(0)8*cos^3t*6sin^2tcostdt=

=48 ∫ ^(π/4)_(0)cos^4t*sin^2tdt= понижаем степени

=48 ∫ ^(π/4)_(0)((1+cos2t)/2)^2*(1-cos2t)dt/2=

=6 ∫ ^(π/4)_(0)((1-cos^22t)*(1+cos2t)dt=

=6 ∫ ^(π/4)_(0)((1-cos^22t+cos2t-cos^32t)dt=

=6 ∫ ^(π/4)_(0)((1-(1+cos4t)/2+cos2t-(1-sin^22t)*cos2t)dt=

=6* [b]([/b](t/2)-(1/8)sin4t +(1/2)(sin^32t)/3 [b])[/b]|^(π/4)_(0)=

=6π/8= [b]3π/4[/b]

в)

S=(1/2) ∫ ^( β )_( α )ρ^(2)( φ )d φ

cos4φ ≥0

-π/2 ≤4φ≤π/2

-π/8 ≤φ≤π/8

4 лепестка ( см. рис.2),
считаем площадь половины лепестка и умножаем на 8

S=(1/2) *8*∫ ^(π/8)_(0 )(2cos4φ)^2dφ=

=16*∫^(π/8)_(0 )(cos^24φ)dφ= понижаем степень

=16*∫ ^(π/8)_(0) ((1+сos8φ)/2)dφ=

=8*( φ +(1/8)sin8 φ )|^(π/8)_(0) =

=8*(π/8)= [b]π[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

b_(1)=3/4
b_(2)=3/2
q=b_(2):b_(1)=(3/2):(3/4)=2
q=b_(3)^b_(2)=3:(3/2)=2

b_(n)=b_(1)*q^(n-1)

192=(3/4)*2^(n-1)

2^(n-1)=256
2^(n-1)=2^(8)
n-1=8
[b]n=9[/b]

b_(1)=48
b_(2)=?
b_(3)=?
b_(4)=?
b_(5)=243

b_(n)=b_(1)*q^(n-1)

b_(5)=b_(1)*q^(4)

243=48*q^4

q^4=(243/48)

q^(4)=(81/16)
q=3/2 или q=-3/2

b_(2)=48*(3/2)=72 или b_(2)=48*(-3/2)=-72
b_(3)=72*(3/2)=108 или 108
b_(4)=108*(3/2)=162 или -162

Ответ выбран лучшим

cosx=(1-tg^2(x/2)/(1+tg^2(x/2)

1+tg^2(x/2)>0

2*(1+tg^2(x/2))+(1-tg^2(x/2))=2tg(x/2)*(1+tg^2(x/2)

2+2tg^2(x/2)+1-tg^2(x/2)=2tg(x/2)+2tg^3(x/2)

2tg^3(x/2)-tg^2(x/2)+2tg(x/2)-3=0

2tg^3(x/2)-2 - (tg^2(x/2)-1)^2=0

2*(tg(x/2)-1)*(tg^2(x/2)+tg(x/2)+1) - (tg^2(x/2)-1)^2=0

(tg(x/2)-1)*(2tg^2(x/2)+2tg(x/2)+2-tg(x/2)+1)=0

tg(x/2)=1
(x/2)=(π/4)+πn, n ∈ Z
x= [b](π/2)+2πn, n ∈ Z[/b]

или

2tg^2(x/2)+2tg(x/2)+2-tg(x/2)+1=0

2tg^(2)(x/2)+(tg(x/2)+3=0
D < 0
нет корней

О т в е т. (π/2)+2πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

х(2x^2-x-3) < 0
Пусть f(x)=x*(2x^2-x-3)
Находим нули функции
x*(2x^2-x-3)=0
x=0 или 2x^2-x-3=0 D=1-4*2*(-3)=25; x=(1-5)/4=-1; x=(1+5)/4=3/2

Расставляем знаки:

_-__ (-1) __+__ (0) __-__ (3/2) ___+___

О т в е т. (- ∞; -1) U (0;3/2)

1=log_(2)2
log_(2)(x^3-3)+log_(2)2=log_(2)(x^3-3)*2

Уравнение
log_(2)(x^3-3)*2=log_(2)(6x-10)

2*(x^3-3)=6x-10

2x^3-6-6x+10=0

2x^3-6x+4=0
x^3-3x+2=0

х=1 - корень, так как 1^3-3*1+2=0 - верно

Раскладываем на множители один из которых (х-1)

x^3-1-3x+3=0
(x-1)(x^2+x+1)-3*(x-1)=0

(x-1)*(x^2+x+1-3)=0

(x-1)*(x^2+x-2)=0

x^2+x-2=0
D=9
x=-2; x=1

Проверка:
При х=1
log_(2)(x^3-3) не существует
При х=-2
log_(2)(6*x-10) не существует
О т в е т. Уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

a=1 целая (4/7)
b=1 целая (4/7) + 2 целых (3/4) = 1 целая (16/28)+2 целых(21/28)=

=3 целых (37/28)=4 целых (9/28)

Р(прямоугольника)=2*(a+b)=2*(1 целая (4/7)+4 целых (9/28))=

=2*(1 целая (16/28)+4 целых (9/28))=

=2*(5 целых (25/28))=

=2*(165/28)=(2*165)/28=165/14= [b]11 целых (11/14)[/b]

D:
-sqrt(2) ≤ x ≤ sqrt(2)
0 ≤ y ≤ 2-x^2

∫ ∫_(D)(x+y)dxdy=∫^(sqrt(2)_(-sqrt(2)) [b]([/b]∫^(2-x^2)_(0)(x+y)dy [b])[/b]dx=

=∫^(sqrt(2)_(-sqrt(2)) [b]([/b]xy+(y^2/2) [b])[/b]|^(2-x^2)_(0)dx=

=∫^(sqrt(2)_(-sqrt(2)) [b]([/b]x*(2-x^2)+((2-x^2)^2/2) [b])[/b]dx=

=∫^(sqrt(2)_(-sqrt(2)) (2x-x^3+(4-4x^2+x^4)/2)dx=

=((2x^2/2)- (x^4/4) +2x-(2x^3/3)+(x^5/10))|^(sqrt(2)_(-sqrt(2))=

=(2-2) -(1/4) (4-4)+2*(sqrt(2)-(-sqrt(2)))-(2/3)*(2sqrt(2)+2sqrt(2))+(1/10)*(4sqrt(2)+4sqrt(2))=

=4sqrt(2)-8sqrt(2)/3 +8sqrt(2)/10= [b]32sqrt(2)/15[/b]

Ответ выбран лучшим

Первое двузначное число кратное 8 - это 16
a_(1)=16
Последнее - 96
d=8

a_(n)=a_(1)+(n-1)*d
96=16+(n-1)*8
n-1=10
n=11

S_(n)=(a_(1)+a_(n))*/2

S_(11)=(16+96)*11/2=583

Ответ выбран лучшим

a_(n)=a_(1)+(n-1)d

a_(6)=a_(1)+5d
a_(25)=a_(1)+24d

a_(6)+a_(25)= [b]2a_(1)+29d[/b]

По условию
a_(6)+a_(25)= 30
значит,
[b]2a_(1)+29d[/b]=30

S_(n)=(2a_(1)+(n-1)*d)*n/2

S_(30)=(2a_(1)+29*d)*30/2=30*15= [b]450[/b]

Ответ выбран лучшим

Уравнение не имеет действительных корней.
Слева x^2 ≥ 0 при любом х

На множестве комплексных чисел уравнение имеет корни:
x= ± (1/7)* [b]i[/b]

[b]i[/b]=sqrt(-1)

V= ∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy

D: 0 ≤ х ≤ 6
sqrt(x) ≤ y ≤ 2sqrt(x)

z=6-x ⇒ f(x;y)=6-x

V= ∫ ^(6)_(0) [b]([/b]∫ ^(2sqrt(x))_(sqrt(x))(6-x)dy [b])[/b] dx=

=∫ ^(6)_(0) (6-x)*y|^(2sqrt(x))_(sqrt(x))dx

=∫ ^(6)_(0) (6-x)*(2sqrt(x)-sqrt(x))dx=

= ∫ ^(6)_(0) (6sqrt(x)-xsqrt(x))dx=

=(6*x^(3/2)/(3/2)- x^(5/2)/(5/2))|^(6)_(0)=

=6*(2/3)*6^(3/2)-(2/5)*6^(5/2)=

=4*sqrt(6^3)-(2/5)*sqrt(6^5)= [b]9,6sqrt(6)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(2)_(0) (e^(x)-e^(-x))dx=(e^(x)+e^(-x))|^(2)_(0)=

=e^(2)-e^(0)+e^(-2)-e^(0)= [b]e^(2)+(1/e^(2))-2[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2-3x+4=4
x^2-3x=0
x=0;x=3

S=∫^(3)_(0)(4-x^2+3x-4)dx=∫^(3)_(0)(-x^2+3x)dx=

= [b]([/b](-x^3/3)+(3x^2/2) [b])[/b]|^(3)_(0)=

=-(1/3)*3^3+(3/2)*3^2=-9+27/2=9/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Второе уравнение:
25x^2+y^2+6y+9=16a
(5x)^2+(y+3)^2=16a

Замена:
sqrt(|y+3|)=u
u ≥ 0
sqrt(5|x|)=v
v ≥ 0
В силу симметрии достаточно ответить на вопрос

При каких значениях система:
{u=1-v
{u≥ 0
{v≥ 0
{u^4+v^4=16a
имеет 1 корень

(1-v)^4+v^4=16a

1-4v+6v^2-4v^3+2v^4=16a

2v^4-4v^3+6v^2-4v+1-16a=0 - при каких значениях параметра а уравнение имеет 1 корень?

или

(1/8)v^4-(1/4)v^3+(3/8)v^2-(1/4)v+(1/16)=a

Исследуем функцию

g(v)=(1/8)v^4-(1/4)v^3+(3/8)v^2-(1/4)v+(1/16)

строим график

g`(v)=(4/8)v^3-(3/4)v^2+(6/8)v-(1/4) возрастающая функция

g`(v)=0
обращается в 0 в единственной точке:

v=1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

При v=1/2

g(1/2)=(1/8)*(1/16)-(1/4)*(1/8)+(3/8)*(1/4)-(1/4)*(1/2)+(1/16)=

=1/128

При а=1/128 единственное решение

Тогда данная cистема имеет 4 решения

z`_(x)=2x-y
z`_(y)=-x+1

{2x-y=0
{-x+1=0 ⇒ x=1
y=2x=2
(1;2) - внутренняя точка указанной области

z``_(xx)=2
z``_(yy)=0
z``(xy)=-1
Δ=AB-С^2=2*0-(-1)*(-1)<0

(1:2) не является точкой экстремума.

На границах:

[b]x=-2[/b]
z=(-2)^2-(-2)y+y
z=3y+4 функция одной переменной, возрастающая на [-3;3]
при y=-3 наименьшее значение [b]z=-5[/b]
при y=3 наибольшее значение [b]z=13[/b]

[b]x=2[/b]
z=(2)^2-2y+y
z=-y+4 функция одной переменной, убывающая на [-3;3]
при y=-3 наибольшее значение [b]z=7[/b]
при y=3 наименьшее значение [b] z=1[/b]

[b]y=-3[/b]
z=x^2-x*(-3)+(-3)
z=x^2+3x-3 - квадратичная функция одной переменной
рассматриваем ее на [-2;2]

z`=2x+3
z`=0
x=-3/2 - точка минимума

при x=-3/2 наименьшее значение z=(9/4)-(9/2)-3= [b]-21/4[/b]

при x=-2
z=4-6-3= [b]-5[/b]
при х=2
z=4+6-3= [b]7[/b]

y=3
z=x^2-3x+3

z`=2x-3
z`=0
x=3/2 наименьшее значение z=(9/4)-(9/2)+3= [b]3/4[/b]

при х=-2
z=4+6+3= [b]13[/b]

при х=2
z=4-6+3= [b]1[/b]

Выбираем наибольшее и наименьшее:

z(-2;3)=13 - наибольшее
z(-3/2;-3)=-21/4 - наименьшее

Ответ выбран лучшим

1.
= ∫ ^(π/2)_(0)(1+cos2x)dx/2=(1/2)*(x+(1/2)sin2x)|^(π/2)_(0)=

=(1/2)*(π/2)+(1/4)sin(2*(π/2))+0=

= [b]π/4[/b]

2.
=(1/4) ∫ ^(3)_(2)dx/(x^2-0,25)=

=(1/4)*(1/0,5)ln|(x-0,5)/(x+0,5)|^(3)_(2)=

=0,5ln|(3-0,5)/(2-0,5)|-0,5ln|(2-0,5)/(1-0,5)|=

=0,5ln|7/3|-0,5ln|3|= [b]0,5ln(7/6)[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(-x^3+3x-2)`=-3x^2+3

y`=0

-2x^2+3=0

x^2-1=0

x= ± 1

Знак производной:
__-__ (-1) _+__ (1) __-__

x=-1- точка минимума, производная меняет знак с - на +

х=1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y` >0 на (- 1 ;1)
функция возрастает на (-1;1)

y`` < 0 на (- ∞ ;-1) и на (1;+∞)
функция убывает на (- ∞ ;-1) и на (1;+∞)

y``=-6x

y`` >0 на (- ∞ ;0) кривая выпукла вниз

y`` < 0 на (0;+ ∞ ) кривая выпукла вверх

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a^(m):a^(n)=a^(m-n)

(a^(m))^(n)=a^(m*n)

a^(-2):a^(2/3)=a^(-2-(2/3))=a^(-8/3)

(a^(-2):a^(2/3))^(6)=(a^(-8/3))^6=a^ [b]([/b](-8/3)*6 [b])[/b]= [b]a^(-16)[/b]

3
=(1/2) ∫ ^(1)_(0)e^(x^2)d(x^2)=(1/2)e^(x^2)|^(1)_(0)=

=(1/2)*(e^(1)-e^(0))=(1/2)*(e-1)

4.
= ∫ ^(3)_(0)(x+1)^(-1/2)d(x+1)=(x+1)^(1/2)/(1/2)|^(3)_(0)=

=2sqrt(x+1)|^(3)_(0)=2sqrt(3+1)-2sqrt(0+1)=2*2-2*1=2

Ответ выбран лучшим

u=x^2 ⇒ du=2xdx
dv=sinxdx ⇒ v= ∫ sinxdx=-cosx

∫ ^(2π)_(0)x^2sinxdx= (-x^2*cosx)|^(2π)_(0) - ∫^(2π)_(0) 2x*(-cosx)dx=

=(-(2π)^2*cos(2π)+(0*cos0) +2* ∫^(2π)_(0) xcosxdx=

u=x ⇒ du=dx
dv=cosxdx ⇒ v= ∫ cosxdx=sinx

=-4π^2+2* [b]([/b] (x*sinx)|(2π)_(0) - ∫ ^(2π)_(0) sinxdx [b])[/b]=

=-4π^2+2*2πsin2π-2*0sin0 -2(-cosx)| ^(2π)_(0) =

=-4π^2+2cos(2π)-2cos0=-4π^2

Ответ выбран лучшим

Решаем методом интервалов.

Первое подмодульное выражение обращается в 0 в точках
х=0 и х=-3

Второе подмодульное выражение обращается в 0 в точке
х=-5

Эти три точки разбивают числовую прямую на четыре интервала.

Раскрываем модули на каждом интервале и решаем соответствущее неравенство

[b](- ∞; -5][/b]
|x+5|=-x-5
|x^2+3x|=x^2+3x

Неравенство принимает вид:
[b]x^2+3x-x-5 ≤ x^2+4x+9[/b]
-2x ≤ 14
x ≥ -7

1 о т в е т. [-7;-5]

[b](-5;-3][/b]

|x+5|=x+5
|x^2+3x|=x^2+3x

Неравенство принимает вид:
[b]x^2+3x+x+5 ≤ x^2+4x+9[/b]
5 ≤ 9 - верно
при любом х ∈(-5;-3]

2 о т в е т. (-5;-3]

[b](-3;0][/b]

|x+5|=x+5
|x^2+3x|=-x^2-3x

Неравенство принимает вид:
[b]-x^2-3x+x+5 ≤ x^2+4x+9[/b]
2x^2+6x+4≥ 0
x^2+3x+2≥ 0
D=9-8=1
x_(1)=(-3-1)/2=-2; x_(2)=(-3+1)/2=-1
x ≤ -2; x≥-1

3 о т в е т. (-3;-2]U[-1;0]

[b](0;+ ∞ )[/b]

|x+5|=x+5
|x^2+3x|=x^2+3x

Неравенство принимает вид:
[b]x^2+3x+x+5 ≤ x^2+4x+9[/b]
5 ≤ 9 - верно
при любом х ∈(0;+ ∞ )

4 о т в е т. (0;+ ∞ )

О т в е т. [-7;-5] U (-5;-3] U(-3;-2] U[-1;0]U(0;+ ∞)= [b] [-7;-2] U[-1;+ ∞ )[/b]

Найдем абсциссу точки пересечения параболы
y=0,5x^2+1 и прямой y=-x+0,5

0,5x^2+1=-x+0,5

0,5x^2+x+0,5=0

x^2+2x+1=0

(x+1)^2=0

х=-1

S= ∫ ^(-1)_(-4)(0,5x^2+1-(-x+0,5))dx=

= ∫ ^(-1)_(-4)(0,5x^2+x+0,5)dx=

=(0,5*(x^3/3)+(x^2/2)+0,5x)|^(-1)_(-4)=

=0,5*(-1/3 - (-64)/3) + 0,5*(1-16)+0,5*(-1-(-4))=

=0,5*(21)+0,5*(-15)+0,5*(3)=

=0,5*(21-15+3)= [b]4,5[/b] (прикреплено изображение)

H^2=15^2-7^2=225-49=176
H=sqrt(176)=4sqrt(11)

V=S_(основания)*Н=6*S_( Δ)*H=6*(7^2*sqrt(3)/4)*4sqrt(11)=

[b]=294sqrt(33)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Поверхности пересекаются по
z^2=2z ⇒ z=0 или z=2

При z=0
область D: x^2+(y^2/4)=4 ⇒ (x^2/4)+(y^2/16)=1 - эллипс

V тела, заключенного между параболоидом и конусом -

Из объема параболоида вычитаем объем конуса:

V= ∫ ∫ _(по эллипсу (x^2/4)+(y^2/16)=1) ((x^2+(y^2/4))/2 - sqrt(x^2+(y^2/4)))dxdy

Так как область D - эллипс, переходим к обощенным полярным координатам

x=rcos φ
y=2rsin φ
dxdy=2drd φ (прикреплено изображение)

|cosx| ≤ 1

∫ ^(4)_(0)dx/sqrt(4-x)=-2sqrt(4-x)|^(4)_(0)=2*2=4 cходится.
По признаку сравнения данный интеграл сходится абсолютно

Ответ выбран лучшим

Раскладываем знаменатель на множители:
x^3+x=x*(x^2+1)

Тогда дробь раскладывается на простейшие:

1/(x^3+x)= (A/x)+(Mx+N)/(x^2+1)

1=А*(x^2+1)+(Mx+N)*x

1=(А+M)x^2+Nx+A

A=1
N=0
A+M=0
M=-А
М=-1

∫ ^(3)_(1)dx/(x^3+x)= ∫ ^(3)_(1) ((1/x) - x/(x^2+1))dx

=(ln|x| -(1/2)ln|x^2+1|)|^(3)_(1)= ln3-ln1-(1/2)ln10+(1/2)ln2=

= [b]ln3+(1/2)ln(1/5)[/b]

Ответ выбран лучшим

Вводим полярные координаты
x=rcos φ
y=rsin φ
Уравнение окружности принимает вид:
r^2cos^2 φ +r^2sin^2 φ =1 ⇒r^2=1
r=1
r`=0
dl=sqrt(r^2+(r`)^2)dφ=sqrt(1^2+0^2)*dφ

∫ ^(π/2)_(0)cos φ *d φ =(sin φ)|^( π/2)_(0)=sin(π/2)+sin(0)=1

Ответ выбран лучшим

V= ∫ ∫ _(по окружности x^2+y^2=4)(2-y)dxdy=

=переходим к полярным координатам

x=rcos φ ; y=rsin φ
dxdy=rdrd φ

= 2∫ ^(π)_(0) ∫ ^(2)_(0)(2-rsin φ )rdrd φ =

=2 ∫ ^(π)_(0) ∫ ^(2)_(0)((2r-r^2sin φ )dr)d φ =

=2∫ ^(π)_(0)((2r^2/2)-(r^3/3)sin φ )|^(2)_(0)d φ =

=2∫ ^(π)_(0)(4-(8/3)sin φ )d φ =

=2*(4φ +(8/3)cos φ )|^(π)_(0)=8π+(16/3)(cosπ-cos0)=

[b]=8π-(32/3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(1)_(-2)(3-x-(x^2+1))dx=

= ∫ ^(1)_(-2)(2-x-x^2)dx=(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(-2)=

=2*(1-(-2))-(1/2)*(1^2-(-2)^2)-(1/3)*(1^3-(-2)^3)=

=6+(3/2)-(9/3)= [b]4,5[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x(t)=e^(t)*cost

y(t)=e^(t)*sint

L= ∫ ^(t_(2))_(t_(1))sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)dt

x`(t)=e^(t)*cost+e^(t)*(-sint)
y`(t)=e^(t)*sint+e^(t)*cost

(x`(t))^2=(e^(t)*(cost-sint))^2

(y`(t))^2=(e^(t)*(cost+sint))^2

(x`(t))^2+(y`(t))^2=

=(e^(t))^(2)*(cos^2t-2sint*cost+sin^2t+cos^2t+2sintcost+sin^2t)=

=4(e^(t))^2

L= ∫ ^(π/2)_(0)sqrt(4e^(t))^2)dt=

=2 ∫ ^(π/2)_(0)e^(t)dt=

=2(e^(t))^(π/2)_(0)=

=2*(e^(π/2)-e^(0))= [b]2*(e^(π/2)-1)[/b]

Ответ выбран лучшим

S=∫^( β )_( α )y(t)*x`(t)dt=

= ∫^(π/6)_(5π/6) 6sint*(6cost)`dt=

=-36 ∫^(π/6)_(5π/6) sin^2tdt=

=-36∫^(π/6)_(5π/6) (1-cos2t)dt/2=

=-18*(t-(1/2)sin2t)|^(π/6)_(5π/6)=

=18*(4π/6)+9*(sin(2π/6)-sin(10π/6))=

=12π+9*((sqrt(3)/2)-(-sqrt(3)/2))= [b]12π+9sqrt(3)[/b]

S=(1/2)∫^( β )_( α ) ρ^(2)( φ )d φ =

=6* ∫ ^(π/6)_(0)(3sin6 φ )^2d φ =

=54 ∫ ^(π/6)_(0)(sin^26 φ )d φ=

=54 ∫ ^(π/6)_(0)(1-cos12 φ )d φ/2=

=27*( φ - (1/12)sin(12 φ ))^(π/6)_(0)=

=27*(π/6)-(1/12)sin2π+(1/12)sin0=

[b]=9π/2[/b]

3.

x(t)=3*(2cost-cos2t)

y(t)=3*(2sint-sin2t)

L= ∫ ^(t_(2))_(t_(1))sqrt((x`(t))^2+(y`(t))^2)dt

x`(t)=3*(-2sint+2sin2t)

y`(t)=3*(2cost-2cos2t)

(x`(t))^2=9*(4sin^2t-8sint*sin2t+4sin^22t)

(y`(t))^2=9*(4cos^t-8costcos2t+4cos^22t)

(x`(t))^2+(y`(t))^2=9*(4*(sin^2t+cos^2t)-8sint*sin2t-8costcos2t+4*(sin^22t+cos^22t))=

=9*(8-8*(cos(2t-t))=9*8*(1-cost)=72*2sin^2(t/2)=144sin^2t/2

L= ∫ ^(2π)_(0)sqrt(144sin^2(t/2))dt=

=12 ∫ ^(2π)_(0)sin(t/2)dt=

=12(-2cos(t/2))^(2π)_(0)=

=-24*(cosπ-cos0)= [b]48[/b]

4.
L= ∫ ^( β )_( α )sqrt(ρ^2+(ρ`)^2)dφ

ρ=2e^(4φ /3)

ρ`=2e^(4 φ /3)*(4 φ /3)`=2*(4/3)*e^(4 φ /3)=(8/3)e^(4 φ /3)

ρ^2+(ρ`)^2=(2e^(4φ /3))^2+((8/3)e^(4φ /3))^2=

=(e^(4 φ /3))^2*(4+(64/9))= ((10/9)e^(4 φ /3))^2

L= ∫ ^( π/2 )_( - π/2)(10/9)*e^(4 φ /3)d φ =

=(3/4)*(10/9)e^(4 φ /3)|^(π/2)_(-π/2)=

= [b](5/6)*(e^(2π/3)-e^(-2π/3))[/b]

Ответ выбран лучшим

Выделяем полный квадрат:

x^2-7x+12=(x^2-2*x*(7/2)+(7/2)^2)-(7/2)^2+12=

=(x-(7/2))^2-(1/4)

Замена переменной:

x-(7/2)=u
x=u+(7/2)
dx=du

2х-3=2*(u+(7/2))-3=2u+4

∫ (2х-3)dx/(x^2-7x+12)= ∫ (2u+4)du/(u^2-(1/4)) =

интеграл от суммы равен сумме интегралов=

=∫ 2udu/(u^2-(1/4)) + 4 ∫ du/(u^2-(1/4))=

=ln|u^2-(1/4)|+ 4*( 1/2*(1/2))ln|(u-(1/2))/(u+(1/2)|+C=
=ln|x^2-7x+12|+4ln|(2x-8)/(2x-6)|+C=

= [b]ln|x^2-7x+12|+4ln|(x-4)/(x-3)|+C[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Производная дроби.
По формуле
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=3x
v=x^2+3x-2

u=3
v`=2x+3

y`=(3*(x^2+3x-2)-(3x)*(2x+3))/(x^2+3x-2)^2

y`=(3x^2+9x-6-6x^2-9x)/(x^2+3x-2)^2

y`=(-3x^2-6)/(x^2+3x-2)^2

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

a^2+a-1+cos^2x-2acosx-1>0

cos^2x-2acosx+a^2+a-2>0

Обозначим
cosx=t

|cosx| ≤ 1

значит

-1 ≤ t ≤ 1
Переформулируем задачу
При каких значениях параметра a неравенство
t^2-2at+a^2+a-2>0

выполняется для любых t, -1 ≤ t ≤ 1

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
3^(|sinx|)=t
t>0 при любом х

Переформулируем задачу:
при каких значениях параметра а неравенство
t^2+2*(a-2)*t+a^2-1>0
выполняется при любом t >0

Пусть
f(t)=t^2+2*(a-2)*t+a^2-1
Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви вверх

(x^2–4)/(2x+1)<0
(x-2)(x+2)(2x+1) <0

Пусть f(x)=(x-2)*(x+2)*(2x+1)

Находим нули функции

f(x)=0

(x-2)(x+2)(2x+1)=0

x=2; x=-2 ; x=-1/2 - нули функции, т.е.точки, в которых функция обращается в 0, а кривая y=f(x) пересекает ось Ох

Согласно теории функция проходя через нуль функции переходит из верхней полуплоскости в нижнюю или наоборот, т.е.меняет знак.

Поэтому находят знак справа от самой правой точки, он положителен.

___ (-2) ____ (-1/2) _____ (2) ___ + ____

Далее знаки чередуют влево

_-__ (-2) __+__ (-1/2) ___-__ (2) ___ + ____

В этом и заключается [b]метод интервалов.[/b]

О т в е т. [b] (- ∞ ;-2) U(-1/2);2)[/b]

2.
27^(1-x)=1/81
27=3^3
81=3^(4)

(3^(3))^(1-x)=3^(-4)

3^(3-3x)=3^(-4)

3-3x=-4

-3x=7

x= [b]-7/4[/b]

3.

f`(x)=5*(x^2+1)`=5*(2x+0)= [b]10x[/b]

4.

cos^2x=1-sin^2x

1-sin^2x+6sinx=0

sin^2x-6sinx-1=0

Квадратное уравнение относительно синуса.
D=
корни
обратная замена

Подставляем х=2 в выражение под знаком предела
(4-4)/sqrt(4+24-4)=0/sqrt(24)=0

О т в е т. [b]0[/b]

S=2S_(1)=2* ∫ ^(4)_(0)sqrt((4-x)^3)dx=

=2*(-1) ∫ ^(4)_(0)(4-x)^(3/2)d(4-x)=

=-2*((4-x)^(5/2)/(5/2))|^(4)_(0)=

=(-1/5)(sqrt(4-x)^(5))|^(4)_(0)=(-1/5)*0+(1/5)sqrt(4^5)= [b]32/5[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(3^(x^2)/3)*5^(x-1) ≥ 1

3^(x^2-1)*5^(x-1) ≥ 1

3^((x-1)*(x+1))*5^(x-1) ≥ 1

(3^(x+1))^(x-1) * 5^(x-1) ≥ 1

(3^(x+1)*5)^(x-1) ≥ (3^(x+1)*5)^(0)

Если
3^(x+1)*5> 1, то показательная функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

х-1 ≥ 0

Cистема:
{3^(x+1)*5> 1
{х-1 ≥ 0

Если
0< 3^(x+1)*5<1, то показательная функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

х-1≤ 0

Cистема:
{0<3^(x+1)*5< 1
{х-1≤ 0

Объединений решений системы (1) и (2) приведет к ответу

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ x в первой или во второй четверти, x ≠ πk, k ∈ Z
{1+cos4x>0 ⇒ cos4x>-1 ⇒ cos4x ≠ -1 ⇒ 4x ≠ π+2πn, n ∈ Z ⇒ x ≠ (π/4)+(π/2)*n, n ∈ Z

log_(sqrt(2))sinx=log_(2^(1/2))sinx=(1/(1/2))log_(2)sinx=2log_(2)sinx=

=log_(2)sin^2x

2+log_(2)sin^2x=log_(2)4+log_(2)sin^2x=log_(2)4sin^2x

log_(2)(1+cos4x)=log_(2)(4sin^2x)

1+cos4x=4sin^2x

1+cos4x=2*(1-cos2x)

2cos^22x=2-2cos2x

cos^22x+cos2x-1=0

D=5

cos2x=(-1-sqrt(5))/2 не имеет корней в силу ограниченности косинуса

cos2x=(-1+sqrt(5))/2

2х= ± arccos(-1+sqrt(5))/2 + 2 πm, m ∈ Z

х= ± (1/2) arccos(-1+sqrt(5))/2 + πm, m ∈ Z

Области определения принадлежат корни:

[b]х=(1/2)arccos(-1+sqrt(5))/2 + 2πk, k ∈ Z[/b]

и

[b]х=π - (1/2)arccos(-1+sqrt(5))/2 + 2πn, n ∈ Z[/b]

1)
∫ (6-x^8+x^(-8))dx= 6x - x^(9)/9 +x^(-7)/(-7) + C=
=6x-(1/9)x^(9)-(1/7)*(1/x^7)+C

2)

∫ (5x-14x^(-6)+2x^(3))dx= (5x^2/2) -14*x^(-5)/(-5) +2x^(4)/(4) + C=

=(5/2)x^2+(14/5)(1/x^(5))+(1/2)*x^4+C

3)
∫ (8x^(2)+3x-15)dx=8*x^(3)/3 +3*(x^2/2)-15x +C=(8/3)*x^(3)+(3/2)*x^2-15x+C

в 4); 5); 6) применяем метод подведения под дифференциал.
(см. приложение)

4)
∫ (4x-3)^7dx=(1/4) ∫ (4x-3)^7d(4x-3)=(1/4)*((4x-3)^8/8)+C=

=(1/32)*(4x-3)^8+С

5) ∫4*(3-6x)^(-6)dx=(-1/6)*4∫(3-6x)^(-6)d(3-6x)=

=(-2/3)*(3-6x)^(-5)/(-5)+C=

=(2/15)*(1/(3-6x)^5) + C

6)
∫ cos3xdx= ∫ cos3x*d(3x)/3=(1/3) ∫ cos(3x)d(3x)=(1/3)*(sin3x)+C=

=(sin3x)/(3)+C

(прикреплено изображение)

y=a-x^2

x^2+(a-x^2)^2=16

x^4+(1-2a)x^2+a^2-16=0

Биквадратное уравнение

Решаем методом замены переменной

x^2=t

Если квадратное уравнение
t^2+(1-2a)t+a^2-16=0

имеет два корня, то обратный переход

x^2=t_(1); x^2=t_(2)
приводит к двум простейшим уравнениям.

По условию задачи должны получить три корня.

Если t_(1)>0 и t_(2) > 0 то корней будет 4
Если числа t_(1) ; t_(2) разных знаков, то корней два.

Значит, чтобы получить ровно три корня, одно из чисел равно t_(1) ; t_(2) равно 0, другое положительно.

Значит
{a^2-16=0
{2a-1>0

{a= ±4
{a>1/2

О т в е т. а=4

x=5+4t-t^2 - парабола, ветви вниз

v(t)=x`(t)=4-2t - прямая

a(t)=v`(t)=-2 - прямая параллельная оси Оt

(прикреплено изображение)

u=1-x^2
du=-2xdx
xdx=-(1/2)du

= ∫ sqrt(u)*(-1/2)du=-(1/2) ∫ u^(1/2)du=(-1/2)*u^(3/2)/(3/2)+C=

=(-1/3)*usqrt(u)+C=

= [b](-1/3)*(1-x^2)*sqrt(1-x^2) + C[/b]

Ответ выбран лучшим

∫ sin^22x*sin2xdx= ∫ (1-cos^22x)*sin2xdx=

[во втором интеграле замена устно
u=cos2x;
du=(-sin2x)*(2x)`dx
du=-2sin2xdx
sin2xdx=-du/2]

= ∫sin2xdx- ∫ cos^2(2x)*(-1/2)d(cos2x)=

=(1/2)*(-cos2x)+(1/2)*(cos^32x)/3 + C=

[b]=(-cos2x)/2 + (cos^32x)/6 + C[/b]

Ответ выбран лучшим

Дробь(1/(x^3+8)) надо разложить на простейшие

Раскладываем знаменатель на множители:
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)

Тогда подынтегральная дробь(1/(x^3+8)) раскладывается на две дроби

(1/(x^3+8)) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x^2-2x+4)

Приводим правую часть к общему знаменателю

Получим две дроби с равными знаменателями равны.

Приравниваем числители:

1= A*(x^2 -2x+4)+(Mx+N)(x+2)

1=Ax^2-2Ax+4A+Mx^2+Nx+2Mx+2N

1=(A+M)x^2+(N+2M-2A)+4A+2N

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^2
0=A+M
при x
0=N+2M-2A
при x^0
1=4A+2N

M=-A
N=(1-4A)/2

и подставляем в среднее

0=(1-4А)/2 - 2A-2A
1-4A=8A
A=1/12
M=-1/12
N=1/3

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ dx/(x^3+8)=∫ - (8/12)*(1/(x+2)) - 8*((-x/12)+(1/3))/(x^2-2x+4))dx=

= [b] - (2/3)ln|x+2| +(8/24) ln|x^2-2x+4| -(8/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3))+С
[/b]
- о т в е т

Как считали последний интеграл:

Выделяем полный квадрат в знаменателе последней дроби:

x^2-2x+4=(x^2-2х+1)+3=(x-1)^2 +3

∫ ((-x/12)+(1/3))dx/(x^2-2x+4)= -(1/12) ∫(x-4)dx/)((x-1)^2+3)
Замена
x-1=u
dx=du
x= u +1

=(-1/12)∫ (u+1-4)du/( u^2+3)=

=(-1/12)*(1/2)∫2udu/(u^2+3)+(3/12)*∫ du/( u^2+3)

=(-1/24)ln |u^2+3|+(1/(4sqrt(3)))arctg(u/sqrt(3))

=(-1/24) ln|x^2-2x+4| +(1/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3)) + С

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(3-1;1-1)=(2;0)
vector{AC}=(2-1;2-1)=(1;1)

|vector{AB}|=sqrt(2^2+0^2)=2

|vector{AC}|=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)

vector{AB}*vector{AB}=2*1+0*1=2

cos φ =vector{AB}*vector{AB}/(|vector{AB}|*|vector{AB}|)=

=2/(2*sqrt(2))=1/sqrt(2)

φ =45 градусов

Ответ выбран лучшим

d=a_(2)-a_(1)=1,4

S_(n)=(2a_(1)+(n-1)d)*n/2

S_(n)=(2a_(1)+(n-1)d)*n/2

S_(n)=(-82,6+1,4(n-1))*n/2

S_(n)=(1,4n^2-84n)/2

Это функция, зависящая от n ( n - натуральное число)

Поэтому зная, что квадратичная функция ( квадратный трехчлен an^2+bn+c при a>0 принимает наименьшее значение в вершине.

n_(o)=84/2,8= [b]30[/b]

S(30)=(1,4*30^2-84*30)/2=30*(42-84)/2=30*(-21)=-630

В основании пирамиды квадрат.
Пусть его сторона равна а.

Т. к. диагональное сечение пирамиды - равносторонний треугольник, то его стороны равна диагонали квадрата, т.е
d=asqrt(2)* 6√2.

Высота этого равностороннего треугольника равна a*sqrt(3)/2=3√6.

H=3√6.
Апофема
h^2=H^2-(a/2)^2=54-9=45
S_(бок.пов.)=4S_(ΔSAB)=4*(1/2)*a*h=2*6*sqrt(45)= [b]12*3sqrt(5)[/b]

Ответ выбран лучшим

Есть в интернете такое решение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]y=x^4 -32x+1 [/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )

2. Область изменения функции E(y) =(-47 ; + ∞ )
см. рис.

3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=(-x)^4 -32*(-x)+1=x^4+32x+1
f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

Функция не является ни чётной, ни нечётной

Функция непрерывна на области определения, потому что это многочлен

Поведение функции на бесконечности
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = +∞

Исследование функции с помощью производной
y`=(x^4-32=1)`=(x^4)`-32*(x)`+1`=4x^3-32+0
y`=4x^3-32
y`=0
4x^3=32
x^3=8

x=2

Знак производной
__-__(2) ___+_

y`<0 на (- ∞ ; 2), функция возрастает на (- ∞ ; 2)

y`>0 на (2; + ∞ ), функция убывает на (2; + ∞ )

x=2 - точка минимума y(2)=(2)^4-32*2+1=-47

y``=12x^2

y``>0 на (- ∞ ; 0) и на (0; + ∞ )
Кривая выпукла вниз на (- ∞ ; 0) и на (0; + ∞ )

См. рис.

(прикреплено изображение)

1. Применяем формулу классической вероятности.
Испытание состоит в том, что из 28 костей домино берут три.
n=C^(3)_(28) исходов испытания

Событие А-"взят хотя бы один дубль"
Дублей среди 28-ми костей домино 7 штук.

Фраза хотя бы один из трех означает один, два или три.

Надо посчитать вероятность трех событий.

Поэтому проще найти вероятность противоположного события
vector{A}-"не взято ни одного дубля", т. е все три кости взяты из 21 костей домино

Событию vector{A} благоприятствует

m=C^(3)_(21) исходов испытания

По формуле классической вероятности
p( vector{A})=m/n=C^(3)_(21)/C^(3)_(28)= cчитайте самостоятельно

Тогда
p(A)=1-p(vector{A})= считайте самостоятельно

3.
Вводим в рассмотрение события [b]-гипотезы[/b]
H_(1) – из первой коробки во вторую переложен [b]белый [/b]шар
H_(2) –из первой коробки во вторую переложен [b]черный[/b] шар

Всего шаров в первой коробке 16+4=20.

p(H_(1))=16/20
p(H_(2))=4/20

событие A– "из второй коробки извлечен [b]белый[/b] шар"

Во второй коробке: 5+2=7 шаров
+ 1 шар переложен из первой коробки, всего стало 8
5+1=6 белых, если переложен белый
p(A/H_(1))=(6/8)
5 белых, если переложен черный
p(A/H_(2))=(5/8)

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(16/20)*(6/8)+(4/20)*(5/8)=(96+20)/160=116/160

По формуле Байеса

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)= (96/160)/(116/160)=96/116=

= [b]24/29[/b]

4.
p=0,7
q=1-p=1-0,7=0,3
По формуле Бернулли:
P_(21)(16)=C^(16)_(21)*0,7^(16)*0,3^(5)=считайте самостоятельно

Ответ выбран лучшим

Область определения [0;+ ∞ )

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения не симметрична относительно нуля.

y`=2x+1/(2sqrt(x))

Производная не существует при х=0

y`>0
при любом х из области (0;+∞ )

Функция монотонно возрастает на всей области определения.

y``=(2x+1/(2sqrt(x)))`=(2x)`+(1/2)*(x^(-1/2))`=2-(1/4)x^(-3/2)=

=2-(1)/(4*xsqrt(x))

y``>0 при любом х из области (0;+∞ )

Кривая выпукла вниз на (0;+∞ )

(прикреплено изображение)

1.
∫ sqrt(3))_(0) (2+(3/(1+x^2)))dx=(2x+3arctgx)|^(sqrt(3))_(0)=
=2sqrt(3)+3arctg(sqrt(3))-0=2sqrt(3)+3*(π/3)= [b]2sqrt(3)+π[/b]

2. ∫ ^(1/3)_(0)e^(1-3x)dx=(-1/3) ∫ ^(1/3)_(0)e^(1-3x)*(-3)*dx=

=[-3dx=d(1-3x)]=

=(-1/3)*e^(1-3x)|^(1/3)_(0)=-(1/3)*(e^(0)-e^(1))= [b](e-1)/3[/b]

Ответ выбран лучшим

sqrt(4-x+4sqrt(-x))+sqrt(4-x-4sqrt(-x))=4

Умножаем обе части уравнения на sqrt(4-x+4sqrt(-x))-sqrt(4-x-4sqrt(-x))

4-х+4sqrt(-x)-4+x+4sqrt(-x)=4*(sqrt(4-x+4sqrt(-x))-sqrt(4-x-4sqrt(-x)))

2sqrt(-x)=(sqrt(4-x+4sqrt(-x))+sqrt(4-x-4sqrt(-x)))

sqrt(4-x+4sqrt(-x))+sqrt(4-x-4sqrt(-x))=4
sqrt(4-x+4sqrt(-x))-sqrt(4-x-4sqrt(-x))=2sqrt(-x)

Складываем

2sqrt(4-x+4sqrt(-x))=4+2sqrt(-x)

sqrt(4-x+4sqrt(-x))=2+sqrt(-x)

Возводим в квадрат..

Обязательно делаем проверку,находить ОДЗ сложнее.

2) Так же.

Умножаем обе части на

(97-х)^(1/4)-x^(1/4)

sqrt(97-х)-sqrt(x)=5*((97-х)^(1/4)-x^(1/4))

(97-х)^(1/4)+x^(1/4)=5

(97-х)^(1/4)-x^(1/4)=(1/5)*(sqrt(97-x)-sqrt(x))

Вычитаем:

2x^(1/4)=5-(1/5)*((sqrt(97-x)-sqrt(x))

sqrt(97-x)-sqrt(x)= 10x^(1/4)-25

Умножаем на
sqrt(97-x)+sqrt(x)

...

Ответ выбран лучшим

(2х+1)(3х+2)(6х+1)(х+1)=210
(6x^2+7x+2)*(6x^2+7x+1)=210
Замена
6x^2+7x+1=t

(t+1)*t=210
t^2+t-210=0
D=1+840=841
t_(1)=-15; t_(2)=14

Обратный переход

6x^2+7x+1=-15

или

6x^2+7x+1=14

Решаем два квадратных уравнения...

n=A^(4)_(9)=9!/5!=6*7*8*9
m=1

p=m/n=1/(6*7*8*9)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:

t^2 +2t -3=0
D=16
t=-3; t=1

(x^6-26)^(1/6)=- 3 нет решений
или
(x^6-26)^(1/6)=1

x^6-26=1
x^6=27
x^2=3
[b]x= ± sqrt(3)[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+2>0⇒ x >- 2
{x^2-4>0 ⇒ (x-2)(x+2)>0 ⇒ x < -2 или x > 2

ОДЗ: х > 2

Логарифмируем по основанию 10
lg(2^(lg(x^2-4)) ≥ lg(x+2)^(lg2)

lg(x^2-4)*lg2 ≥ lg2*lg(x+2)

lg(x^2-4) ≥ lg(x+2)

x^2-4 ≥ (x+2)

(x-2)*(x+2)-(x+2) ≥ 0

(х+2)*(х - 2 -1) ≥ 0

(х+2)*(х-3) ≥ 0

_+__ [-2] __-__ [3] __+__

C учетом ОДЗ
О т в е т.[3;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

x+4=6 или х+4=-6
х=2 или х=-10
О т в е т. [b]-10;2 [/b]

3x+3=5y-xy
y=(3x+3)(5-x)

y>0

(3x+3)/(5-x)>0

____(-1) __+___ (5) _____

x=0
x=1
x=2
x=3
x=4

Тогда
x=0; y=3/5
x=1;y=6/4=3/2
x=2;y=9/3=3
x=3;y=6
x=4;y=15

О т в е т. [b](0;3/5);(1;3/2); (2;3);(3;6);(4;1,5)[/b]

Ответ выбран лучшим

S_( ΔABC)=sqrt(21*(21-14)*(21-15)*(21-13))=84

h=2S/14=2*84/14=12

tg α =16/12=4/3

О т в е т. arctg(4/3) (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
{4-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
x ∈ [2;4]

возводим обе части в квадрат
x^2-6x+11>0 при любом х, D <0

x-2 +2*sqrt((x-2)*(4-x))+4-x=(x^2-6x+11)^2

2*sqrt((x-2)*(4-x))+2=(x^2-6x+11)^2

2*sqrt(-x^2+6x-8)+2=(x^2-6x+11)^2

замена

-x^2+6x-8=t
x^2-6x+11=3-t

2sqrt(t)+2=t^2

2sqrt(t)=t^2-2

{4t=t^4-4t^2+4
{t^2-2≥

t^4-4t^2-4t+4=0

2.
sqrt(x)+sqrt(x+9)=sqrt(x+1)+sqrt(x+4)

x+2*sqrt(x)*sqrt(x+9)+x+9=x+1+2*sqrt(x+1)*sqrt(x+4)+x+4

2*sqrt(x)*sqrt(x+9)+4=2*sqrt(x+1)*sqrt(x+4)

sqrt(x)*sqrt(x+9)+2=sqrt(x+1)*sqrt(x+4)

[b]sqrt(x+1)*sqrt(x+4)-sqrt(x)*sqrt(x+9)=2[/b]

Умножаем на
sqrt(x+1)*sqrt(x+4)+sqrt(x)*sqrt(x+9)

2*(sqrt(x+1)*sqrt(x+4)+sqrt(x)*sqrt(x+9))=(х+1)*(х+4)-х*(х+9)

[b](sqrt(x+1)*sqrt(x+4)+sqrt(x)*sqrt(x+9))=2-2х[/b]

Складываем
два уравнения

2sqrt(x+1)*sqrt(x+4)=4-2х

Возводим в квадрат:

Ответ выбран лучшим

1) Делим на 25^(1/x)

(100/25)^(1/x)-4,25*(50/25)^(1/x)+1=0

4^(1/x)-4,25*(2)^(1/x)+1=0

Квадратное уравнение, замена

4t^2-17t+4=0
D=289-4*4*4=225

t=1/4; t=4

2^(1/x)=1/4
[b]x=-1/2[/b]

2^(1/x)=4
[b]x=1/2[/b]

2)

3^(3x)-13*3^(2x)+39*3^(x)-27=0

(3^(3x)-27)-13*3^(x)*(3^(x)-3)=0

(3^(x)-3)*(3^(2x)+3*3^(x)+9-13*3^(x))=0

3^(x)-3=0

[b]x=1[/b]

или

(3^(x))^2+3*3^(x)+9-13*3^(x)=0

3^(2x)-10*3^(x)+9=0

D=64

3^(x)=1

[b]x=0[/b]

или

3^(x)=9

[b]x=2[/b]

1)
делим на 8^(x)>0
(27/8)^(x)+(12/8)^(x)=2
(3/2)^(3x)+(3/2)^(x)-2=0
Замена
(3/2)^(x)=t
t^3+t-2=0
t^3-1+t-1=0

(t-1)*(t^2+t+1+1)=0
t=1
t^2+t+2=0 корней нет, D <0

(3/2)^(x)=1
[b]x=0[/b]

2)
3^(2x-2)/3=2^((2x+1)/2)/4

3^(2x-2-1)=2^(2x-3)/2

(3/sqrt(2))^(2x-3)=1
2x-3=0
[b]x=3/2[/b]

1) девятью способами
2)одиннадцатью способами
3) двадцатью способами
4) 9*11=99 способов

Ответ выбран лучшим

С^(3)_(8) * C^(2)_(4)= (8!/(8-3)!*3!) * (4!./(4-2)!*2!)=56* 6=336

Ответ выбран лучшим

7*6*5=210 cпособов.

Первую премию любому из семи, вторую - любому из оставшихся шести, третью - любому из оставшихся пяти.

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1

cos^2 α =1-sin^2 α =1-(5sqrt(26)/26)^2=1-(25/26)=1/26

cos α =1/sqrt(26)=sqrt(26)/26 ( знак +, так как α∈(0;π/2) )

tg α =sin α /cos α= [b]5 [/b]

1.
5^((2x-4)-(1/2))-5^(-x+7,5)= [b]0[/b]

5^(2x-4,5)=5^(-x+7,5)

2x-4,5=-x+7,5

3x=12

[b]x=4[/b]

2.
2^(3-(x/2))=2^((6x-4)+(1/2))

3-(x/2)=6x-4+(1/2)

13x=13

[b]x=1[/b]

3.
3^(2*(1/2x)-2)=3

1/x-2=1

1/x=3

[b]x=1/3[/b]

4.

3^(9-x)=3^(4)

9-x=4

[b]x=5[/b]

Ответ выбран лучшим

12.
S= ∫ ^(2)_(-2)(4-x^2)dx= (4x-(x^3/3))|^(2)_(-2)=(4*2-8/3)-(4*(-2)-(-8)/3)=

=16-(16/3)= [b]32/3[/b]

15
sqrt(46-2x)=8
46-2x=64
-2x=64-46
-2x=18
[b]x=-9[/b]

1)
ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{2x ≠ 1

x ∈ (0;1/2)U(1/2;1)U(1;+ ∞0

Замена переменной:

log_(2)x=t

log_(x)2=1/t

log_(2x)2=log_(2)2/log_(2)(2x)=1/(log_(2)2+log_(2)x)=1/(1+t)

(1/t)+2*(1/(1+t)) ≥ 2

(t+1 +2t -2t*(1+t))/(t*(1+t)) ≥ 0

(-2t^2+t+1)/(t*(t+1)) ≥ 0

(2t^2-t-1)/(t*(t+1)) ≤ 0

D=9
t=-1/2; t=1

_+__ (-1) _-__ [-1/2] _+__ (0) __-____[1] __+__

-1 < t ≤ -1/2 или 0 < t ≤ 1

Обратная замена
-1 <log_(2)x ≤ -1/2 или 0 < log_(2)x ≤ 1

-1log_(2)2 <log_(2)x ≤ (-1/2)*log_(2)2 или log_(2)1< log_(2)x ≤ log_(2)2

y=log_(2)x возрастающая функция, поэтому

[b]1/2 < x ≤ 1/sqrt(2) или 1 < x ≤ 2[/b]

2.
Применяем метод интервалов:

Нули числителя:

∛x^2+6x+2 - ∛4x+17=0

∛x^2+6x+2 = ∛4x+17

x^2+6x+2 =4x+17

x^2+2x-15=0

D=4+60=64

x_(1)=-5; x_(2)=3

Нули знаменателя:

2^(x)-8=0

2^(x)=2^(3)

[b]x=3[/b]

Расставляем знаки:
∛x^2+6x+2 - ∛4x+17≥ 0 или
∛x^2+6x+2 ≥ ∛4x+17 ⇔ x^2+2x-15 ≥0
при х ∈(-∞;-5] U [3;+∞)

2^(x)-8 >0 при х ∈ (3;+∞)

__-__ [-5] ___+__ (3) __+__

О т в е т. [b][-5;3) U (3;+ ∞) [/b]

Ответ выбран лучшим

1.
2x-5=6^2
2x=36+5
2x=41
x=20,5

2.
log_(4)(3x+1)=log_(4)(x+2)+log_(4)4

log_(4)(3x+1)=log_(4)4*(x+2)

3x+1=4*(x+2)
3x+1=4x+8
x=-7
При х=-7
log_(4)(3*(-7)+1) не существует
О т в е т. нет корней

3.

lg(1/x)=lgx^(-1)=-lgx

(lgx)^2-lgx-2=0
D=9
lgx=-1 или lgx=2
x=0,1 или x=100

проверка или ОДЗ

О т в е т. 0,1; 100

4.
ОДЗ:
{x+25>0
{x>0

ОДЗ: х>0
log_(5)(x+25)=log_(5)25+log_(5)x

log_(5)(x+25)=log_(5)25*x

x+25=25x
25=24x
x=25/24 удовл. ОДЗ

О т в е т. 25/24

Ответ выбран лучшим

а) однородное
Замена
y/x=u
y=xu
y`=u+x*u`

u+x*u`=(1/u)+u
x*u`=(1/u)
xdu=dx/u
udu=dx/x

∫ udu= ∫ dx/x

u^2/2=ln|x|+lnc

(y/x)^2=2ln|cx|

Cx^2=e^((y/x)^2); C=c^2

б)
y`-y*tgx=2cosx

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-u*v*tgx=2cosx

u`*v+u*(v`-vtgx)=2cosx

пусть

1)(v`-vtgx)=0 ⇒ dv/v=tgxdx; lnv=-ln|cosx| ⇒v=1/cosx

тогда
2)
u`*v=2cosx

u`*(1/cosx)=2cosx
u`=2cos^2x

u`=1+cos2x

u=x+(1/2)sin2x+C

[b]y= (x+(1/2)sin2x+C)/cosx[/b]

y(0)=-2

-2=(0+(1/2)*sin0+C)/cos0

C=-2
[b]y= (x+(1/2)sin2x-2)/cosx[/b]

Это линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+5=0
D=16-4*5=-4
k_(1)=(4-2i)/2=2-i; k_(2)=2+i - корни комплексно-сопряженные.
α =2 β=1
Общее решение:
[b]y=e^(2x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)[/b]

Находим
y`=(e^(2x))`(C_(1)cosx+C_(2)sinx)+e^(2x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)`

y`=e^(2x)*(2x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)+e^(2x)*(-C_(1)sinx+C_(2)cosx)

y`=e^(2x)*(2C_(1)cosx+C_(2)sinx-C_(1)sinx+C_(2)cosx)

y`(0)=2

[b]2=e^(2*0)*(2C_(1)cos0+C_(2)*sin0-C_(1)sin0+C_(2)cos0)[/b]

y(0)=1
1=e^(2*0)*(C_(1)cos0+C_(2)sin0)

2=2C_(1)+C_(2)
1=C_(1)
значит
С_(2)=0

Частное решение ( решение удовлетворяющее условию)
[b]y=e^(2x)*cosx[/b]

ОДЗ:
{x+4 ≥0 ⇒ x ≥ -4
{x-4≥0 ⇒ x ≥ 4
{x^2-16≥0 ⇒ x≤ -4 или x ≥ 4

х ∈ [4;+ ∞ )

Замена переменной:

sqrt(x+4)+sqrt(x-4)=t
t≥0 на ОДЗ как сумма неотрицательных выражений

Возводим в квадрат

x+4+2sqrt((x+4)*(x-4))+x-4=t^2

2x+2sqrt(x^2-16)=t^2

Уравнение:

t=t^2-12=0

t^2-t-12=0

D=49

t=-3 или t=4

t=-3 посторонний корень.

sqrt(x+4)+sqrt(x-4)=4

Возводим в квадрат
sqrt(x^2-16)=16-2x
sqrt(x^2-16)=8-x

Возводим в квадрат

x^2-16=64-16x+x^2
16x=80
[b]х=5[/b]
2)

∛(х+1) + ∛(х+2) =- ∛(х+3)
Возводим в куб:

x+1+3*∛(x+1)^2*∛(x+2) +3*∛(x+1)*∛(x+2)^2 +x+2=- x - 3

3*∛(x+1)^2*∛(x+2) +3*∛(x+1)*∛(x+2)^2= - 3x - 6

∛(x+1)*∛(x+2)*(∛(x+1)+∛(x+2)= - x - 2

Так как по условию
∛(x+1)+∛(x+2) = - ∛(х+3)

∛(x+1)*∛(x+2)*(-∛(х+3)) =- x - 2

Возводим в куб

(x+1)*(x+2)*(x+3)=(x+2)^3

(x+1)*(x+2)*(x+3)-(x+2)^3=0

(x+2)*(x^2+4x+3-x^2-4x-4)=0

(х+2)*(-1)=0

[b]x=-2[/b]

3)
(x-sqrt(x^2-1))^3*(x+sqrt(x^2-1))^3*(x+sqrt(x^2-1))^2=1

(x^2-(x^2-1))^3*(x+sqrt(x^2-1))^2=1

1^3*(x+sqrt(x^2-1))^2=1

(x+sqrt(x^2-1))^2=1

x^2+2x*sqrt(x^2-1)+x^2-1=1

2x*sqrt(x^2-1)=2-2x^2

x*sqrt(x^2-1)=1-x^2

...

[b]x= ± 1[/b]

Ответ выбран лучшим

2.
Расстояние равно ВК
ВК ⊥ АС

ВК=1/2 - катет против угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике АКВ.

3. см. аналогичные задачи
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=16028 (прикреплено изображение)

270:90=3 часа
120:80=1,5 часа
150:60=2,5 часа

S=s_(1)+s_(2)+s_(3)=270+120+150=540 км

t=t_(1)+t_(2)+t_(3)=3 часа +1,5 часа +2,5 часа =7 часов

v_(cредняя)=S/t=540/7=77 целых 1/7 км в час

Возводим в квадрат
3x+3x^2=(1+x)^2

3x*(1+x)-(1+x)^2=0
(1+х)*(3х-1-х)=0

(1+х)*(2х-1)=0

х=-1 или х=1/2

проверка

при
х=-1

sqrt(-3+3)=0 - верно

при х=1/2

sqrt((3/2)+(3/4))=1+(1/2)

sqrt(9/4)=3/2- верно
-1 и(1/2) - корни уравнения

О т в е т (-1); 1/2

Ответ выбран лучшим

(x+4)(x+1)=x^2+5x+4

Замена переменной

sqrt(x^2+5x+2)=t
x^2+5x+2=t^2

x^2+5x+4=t^2+2

Уравнение

t^2+2-3t=6

корни
-1 и 4

sqrt(x^2+5x+2)=-1 не имеет решений

sqrt(x^2+5x+2)=4
x^2+5x+2=16

x^2+5x-14=0
D=25+56=81
x=-7 или х=2

Проверка.
-7 и 2 - корни уравнения

О т в е т. -7; 2

2)

ОДЗ:
{x-(1/x) ≥ 0
{1-(1/x) ≥ 0

x∈[-1;0) U(1;+ ∞)

[b]sqrt(x-(1/х)) - sqrt(1-(1/x))=(x-1)/x[/b]

Умножаем на

sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))

x -(1/x) - 1+(1/x) = ((x-1)/x)(sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))

или

х-1=((x-1)/x)(sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))

[b]х=1 корень уравнения[/b]

1=(1/x)*(sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))
или

[b](sqrt(x-(1/х)) + sqrt(1-(1/x))=х[/b]

Вычитаем из второго первое:

2sqrt(1-(1/x))=x-((x-1)/х)

Возводим в квадрат

4*(1- 1/х))=x^2-2*(x-1)+(1-(1/x))^2

4 - (4/x) =x^2+(1/x^2)-2x+2+1-2/x

x^2+(1/x^2)-2x+2+1-(2/x)+(4/x)-4

Замена
sqrt(x-(1/x))=t

x - (1/x)=t^2

x^2-2+(1/x)^2=t^4

x^2+(1/x^2)=t^4+2

t^4+2-2t-1=0

t^4-2t+1=0

t=1

sqrt(x-(1/x))=1

x-(1/x)=1

x^2-x-1=0

D=5

x=(1-sqrt(5))/2; х=(1+sqrt(5))/2
удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. (1-sqrt(5))/2; 1; (1+sqrt(5))/2

{x+2>0
{x+5>0

ОДЗ:x>-2

Разность логарифмов заменим логарифмом частного:

log_(4)(x+2)/(x+5) < 1

log_(4)(x+2)/(x+5) < log_(4)4

Логарифмическая функция с основанием 4> 1 возрастает.

Большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
(x+2)/(x+5) <4

(x+2)/(x+5) - 4 < 0

(x+2-4x-20)/(x+5) < 0

(-3x-18)/(x+5) <0

Делим на (-3) при этом меняем знак неравенства:

(x+6)/(x+5) >0

Решаем методом интервалов.

Находим нули числителя и знаменателя:

х=-6

х=-5

_+__ (-6) __-__ (-5) __+__

C учетом ОДЗ
[b]о т в е т. (-2;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
Возводим в куб:
1+sqrt(x)+3*∛(1+sqrt(x))^2*∛(1-sqrt(x)) +3*∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))^2 +1-sqrt(x)=8

3*∛(1+sqrt(x))^2*∛(1-sqrt(x)) +3*∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))^2 =6

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))* [b](∛(1+sqrt(x))+∛(1-sqrt(x)))[/b]=2

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))* [b]2[/b]=2

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))=1

(1+sqrt(x))*(1-sqrt(x))=1

1-x=1

[b]x=0[/b]

2)
∛(х+1) + ∛(х+2) =- ∛(х+3)
Возводим в куб:

x+1+3*∛(x+1)^2*∛(x+2) +3*∛(x+1)*∛(x+2)^2 +x+2=- x - 3

3*∛(x+1)^2*∛(x+2) +3*∛(x+1)*∛(x+2)^2= - 3x - 6

∛(x+1)*∛(x+2)*(∛(x+1)+∛(x+2)= - x - 2

Так как по условию
∛(x+1)+∛(x+2) = - ∛(х+3)

∛(x+1)*∛(x+2)*(-∛(х+3)) =- x - 2

Возводим в куб

(x+1)*(x+2)*(x+3)=(x+2)^3

(x+1)*(x+2)*(x+3)-(x+2)^3=0

(x+2)*(x^2+4x+3-x^2-4x-4)=0

(х+2)*(-1)=0

[b]x=-2[/b]

Ответ выбран лучшим

В прямоугольнике стороны попарно перпендикулярны:
AD ⊥ AB; BC ⊥ AB

AB- проекция КВ,
по теореме о 3-х перпендикулярах КВ ⊥ ВС
Значит треугольник КВС - прямоугольный, ∠ КВС =90 градусов.
ВС^2=KC^2-KB^2=9^2-7^2=81-49=32
BC=sqrt(32)=4sqrt(2)
AD=BC=4sqrt(2)

AK⊥ пл.AВСD
Значит, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой пл., в том числе и прямой AD
Из прямоугольного треугольника
АDK
AK^2=KD^2-AD^2=36-32=4
AK=2

О т в е т.
a) AK=2
б) d(AK,DC)=AD=4sqrt(2)- длина общего перпендикуляра к прямым АК и СD.

Ответ выбран лучшим

Направляющий вектор данной прямой
vector{s}=(1;-2;-3}будет служить направляющим вектором искомой прямой.
Уравнение прямой, проходящей через точку А с заданным направляющим векторомvector{s}=(p;q;r} имеет вид
(x-x_(A))/p=(y-y_(A))/q=(z-z_(A))/r

О т в е т. (x-1)/1=(y-4)/-2=(z+1)/(-3)

Ответ выбран лучшим

(vector{a}+vector{b})*(2*vector{a}+vector{b}=

=применяем законы векторной [b]алгебры[/b]=

=2vector{a}*vector{a}+2vector{b})*vector{a}+vector{a}*vector{b}+

+vector{b}*vector{b}=

cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

=3*3+1*1+(-2)*(-2) + 3*(3*1+1*0+(-2)*(-1))+1*1+0*1+(-1)*(-1)=

=

Ответ выбран лучшим

двойное неравенство:
-6 ≤ 6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+a ≤ 6

или

система двух неравенств [b]с параметром[/b]
{6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+a ≤ 6
{6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+a ≥-6

Так как sin^2 α +cos^2 α =1

{4sin^2x+2sinxcosx+a -4 ≤ 0
{4sin^2x+2sinxcosx+a +8 ≥0

{4*(1-cos2x)/2+sin2x+a-4≤ 0
{4*(1-cos2x)/2+sin2x+a +8 ≥0

{2-2cos2x+sin2x+a-4≤ 0
{2-2cos2x+sin2x+a +8 ≥0

{-2cos2x+sin2x+a-2≤ 0
{-2cos2x+sin2x+a +10 ≥0

так как
sin2x-2cos2x=sqrt(5)* [b]([/b](1/sqrt(5))*sin2x- (2/sqrt(5))*cos2x [b])[/b] =

=sqrt(5)* [b]([/b](cos φ *sin2x-sin φ *cos2x [b])[/b] =

=sqrt(5) *b]([/b]sin(2x- φ) [b])[/b]и

-1 ≤ (sin(2x- φ) ≤ 1

то

-sqrt(5) ≤ sin2x-2cos2x ≤ sqrt(5)

то
-2cos2x+sin2x+a-2≤ 0 имеет решения при -sqrt(5) ≤ -а+2 ≤ sqrt(5)

-2cos2x+sin2x+a +10 ≥0 имеет решения при -sqrt(5) ≤ -а-10 ≤ sqrt(5)

{2-sqrt(5) ≤ a ≤ 2+sqrt(5)
{-10-sqrt(5) ≤ a ≤ -10+sqrt(5)

Осталось найти пересечение множеств неравенства (1) и (2)

Ответ выбран лучшим

1)x^(6/10)-x^(3/10)=56;
Замена
x^(3/10)=t
t^2-t-56=0
D=1+224=225
t=-7 или t=8

Обратно:
x^(3/10)=-7 не имеет решения, справа только неотрицательные значения

x^(3/10)=8

x=2^(10)= [b]1024[/b]

2)
Замена
(5х+2)^(3/5)=t

t - (16/t)=6

t^2-6t-16=0
D=36+64=100

t=-2 или t=8

Обратный переход

(5х+2)^(3/5)=-2
или
(5х+2)^(3/5)=8

5х+2=(-2)^(5/3)или 5х+2=(8)^(5/3)

5х=-2∛4- 2 или 5х=8∛64- 2
x= [b](-2∛4- 2)/5 [/b] или х=(32-2)/5= [b]6[/b]

3)
Возводим в куб:
1+sqrt(x)+3*∛(1+sqrt(x))^2*∛(1-sqrt(x)) +3*∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))^2 +1-sqrt(x)=8

3*∛(1+sqrt(x))^2*∛(1-sqrt(x)) +3*∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))^2 =6

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))* [b](∛(1+sqrt(x))+∛(1-sqrt(x)))[/b]=2

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))* [b]2[/b]=2

∛(1+sqrt(x))*∛(1-sqrt(x))=1

(1+sqrt(x))*(1-sqrt(x))=1

1-x=1

[b]x=0[/b]

Ответ выбран лучшим

a)
1-sin^2 α =cos^2 α ;
cos^2 α -1=-sin^2 α

(1-sin^2 α )/(cos^2 α -1)=cos^2 α /(-sin^2 α)= [b] - ctg^2 α [/b]

б)

1-cos^2 α =sin^2 α
1+tg^2 α =1/cos^2 α

(1-cos^2 α )*(1+tg^2 α )=sin^2 α /cos^2 α = [b]tg^2 α [/b]

в)

(sinα*sinα +(1+cosα)*(1+cosα))/((1+cosα)*sinα)=

=(sin^2α +1+2cos α +cos^2 α )/((1+cosα)*sinα)=

=(2+2cos α) /((1+cosα)*sinα)= [b]2/sin α [/b]

Ответ выбран лучшим

Формула
sin α -sin β =

Тогда

sin((x+y)/2)-sin((x-y)/2)=2sin(y/2)*cos(x/2)

Уравнение принимает вид:

dy+2sin(y/2)*cos(x/2)dx=0

Разделяем переменные

dy/sin(y/2) =-2cos(x/2)dx

Интегрируем

∫ dy/sin(y/2)=-2 ∫ cos(x/2)dx

2ln | tg(y/4)|+lnC = -2*2sin(x/2)

ln|C*(tg^2(y/4))|=-4sin(x/2)

C*(tg^2(y/4))=e^(-4sin(x/2)) (прикреплено изображение)

{y>0
{log_(x)y>0 ⇒ если x> 1, то y>1; если 0 < x < 1, то y<1
{log_(x)y ≥ 2 ⇒ если x> 1, то y≥ x^2; если 0 < x < 1, то y ≤x^2

x>1
y>1
Угол в первой четверти
y≥ x^2- внутренняя часть параболы

Область 1 -пересечение внутренней части параболы и угла

0<x<1
y<1
полоса между прямыми x=0 и х=1 , ограниченная сверху прямой y=1

y ≤x^2- внешняя часть параболы

область 2 - пересечение полосы и внешней части параболы, результатом является

между прямыми x=0 и х=1 , ограниченная сверху параболой y=x^2

См. рис.

О т в е т. объединение двух областей. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть в 3-х литровом пакете жирность молока p%, в 5-ти литровом пакете жирность молока q%.
Пусть отлили х литров из каждого пакета.

р%=0,01*р

q%=0,01*q

В первом пакете
0,01*p*(3-x) жира
добавили
0,01*q*x
Cтало
0,01*p*(3-x)+0,01*q*x жира в первом пакете

Во втором пакете
0,01*q*(5-x) жира
добавили
0,01*p*x
Cтало
0,01*q*(5-x)+0,01*p*x жира в первом пакете

По условию в обоих пакетах жирность стала одинаковой

Уравнение:

0,01p*(3-x)+0,01*q*x=0,01q*(5-x)+0,01p*x

p*(3-x)+qx=q*(5-x)+px

3p-px+qx=5q-qx+px

3p-5q=(2p-2q)*x

x=(3p-5q)/(2p-2q)

Ответ выбран лучшим

2.
sin^2 α cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(8/17)^2=1-(64/289)=225/289
cos α =-15/17
Знак минус, так как по условию угол α во второй четверти
tg α =sin α /cos α =8/15

3.
Область определения (- ∞ ; ∞ ) - четна относительно точки х= 0

y(-x)=(-x)^2 cos(-x)=x^2 cosx
[b]y(-x)=y(x)[/b]

По определению функция четна

x^(log_(3)x)=t,
тогда

применяем свойства степени
a^(mn)=(a^(m))^(n)
x^(log_(3)∛x)=(x^(log_(3)x))^(1/3)=t^(1/3)

(∛3)^(log^2_(sqrt(3)x)=(3^(log_(sqrt(3))x))^((1/3)*log_(sqrt(3))x)=

=t^(4/3)

t -2 ≤ t^(4/3)-2t^(1/3)

t*(t^(1/3)-1)+2*(t^(1/3)-1) ≤ 0

-∛2 ≤ ∛t ≤ 1

-2 ≤ t ≤ 1

Обратный переход

x^(log_(3)x) ≤ 1

...

как-то так Думаю доведете до конца.
Если надо подробнее, то все - завтра.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x+1>0
x> -1

Логарифмируем по основанию 10
lg(x+1)*lg(x+1)=lg(100*(x+1))

lg^2(x+1)=lg(100)+lg(x+1)

lg^2(x+1)-lg(x+1)-2=0

D=1+8=9
lg(x+1)=-1 или lg(x+1)=2

x+1=10^(-1) или x+1=10^2

x=-9/10 или х=99

Оба корня входят в ОДЗ
О т в е т. (-9/10); 99

ОДЗ:
x>0

Логарифмируем по основанию 10
(2lg^3x-1,5lgx)lgx=lgsqrt(10)

2lg^4x-1,5lg^2x-(1/2)=0

4lg^4x-3lg^2x-1=0

D=9+16=25

lg^2x=1 или lg^2x=-1/4 ( уравнение не имеет корней)

lgx=-1 или lgx=1
x=1/10 или х=10

О т в е т. (1/10); 10

{1/x>0⇒ x >0
{1/x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1

log_(11^(1/5))5=(1/(1/5))log_(11)5=5log_(11)5

11^(-log_(11^(1/5))5)=11^(-5log_(11)5)=11^(log_(11)5^(-5)=5^(-5)

Уравнение:

x^(6) * 5^(log_(1/x)5)=5^(-5)

Логарифмируем по основанию 5:

log_(5)x^(6))+log_(5)5^(log_(1/x)5) =log_(5)5^(-5)

6log_(5)x +log_(1/x)5 =-5

log_(1/x)5=log_(x^(-1))5=-log_(x)5

log_(x)5=1/log_(5)x

6log_(5)x -(1/log_(5)x) =-5

6log^2_(5)x+5log_(5)x-1=0

log_(5)x ≠0; х ≠ 1

D=25-4*6(-1)=49

log_(5)x=-1 или log_(5)x=1/6

x=5^(-1) или х=5^(1/6)

О т в е т. 1/5 или корень шестой степени из 5

(прикреплено изображение)

1) =2sqrt(1+2x^2)|^(2)_(0)=2*sqrt(9)-2sqrt(1)=6-2=4
2) =3tg(x/2)|^(π/2)-(π/3)=3tg(π/4)-3tg(π/6)=3-sqrt(3)
3) =(2x^(3/2)/(3/2)+x^(4/3)/(4/3))|^(8)/0=(4/3)*8^(3/2)+(3/4)*8^(4/3)=

=(4/3)*16sqrt(2) +(3/4)*2^(4)=64sqrt(2)/3 +12
4) =(1/2)*2sqrt(2sinx+1)|^(π/2)_(0)=sqrt(2+1)-sqrt(0+1)=sqrt(3)-1
5)
S= ∫^(3) _(-2)(-x^2+x+6)dx=(-x^3/3)|^(3)_(-2)+(x^2/2)|^(3)_(-2)+(6x)|^(3)_(-2)=-9+(8/3)+(9/2)-2+18+12=cчитайте (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А(0^(o);0)
В(0^(o);5)
C(60^(o);5)
P(30^(o);5sqrt(3)/3)

или
А(0^(o);0)
В(360^(o);5)
C(300^(o);5)
P(330^(o);5sqrt(3)/3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{12-x>0⇒ x <12
{log_(1/2)x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠(1/2)^(-1) ⇒ x ≠ 2

x ∈ (0;2)U(2;12)

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя:
[b]2^(x)-8=0[/b]
2^(x)=2^(3)
[b]x=3[/b]

причем
2^(x)-8 <0 при x < 3
2^(x)-8 >0 при x > 3

lgx-1=0
lgx=1
x=10
причем
lgx-1<0 при x <10
lgx-1 >0 при x > 10

Нули знаменателя уже были найдены
x=2 и х=12

причем
log_(1/2)x+1 >0 ⇒ x <2

sqrt(12-х)> 0 при любом х из ОДЗ

Неравенство строгое, отмечаем на ОДЗ все найденные точки незаполненным кружком
(на рис. круглыми скобками)

(0) ___ (2) ___ (3) _______ (10) ___ (12)

Расставляем знаки:

на (0;2) все три выражения отрицательны, ставим знак минус
на (2;3) два выражения(2^(x)-8 и lgx-1) отрицательны, ставим плюс
на (3;10) только (lgx-1 <0), два других положительны, ставим минус
на (10;12 )все три выражения положительны, ставим знак плюс

(0) _-__ (2) __+_ (3) ___-____ (10) __+_ (12)

О т в е т. [b](2;3) U(10;12)[/b]

y=6–x
x^2+(6–x)^2=r^2

2x^2–12x+36–r^2=0

D=(-12)^2–4·2(36-r^2)=144-288+8r^2=8r^2-144

Если D < 0 уравнение не имеет корней, а система решения

8r^2-144 <0
r^2-18 <0

-sqrt(18) < r < sqrt(18)

[b]-3sqrt(2) < r < 3 sqrt(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ (3x^5dx+ ∫ 7dx//(2√x)=

cвойства степени:
1/sqrt(x)=x^(-1/2)

постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Табличный интеграл:
∫ x^( α )dx

=3*(x^6/6)+(7/2)*x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1) + C=

= [b](1/2)*x^6+7sqrt(x) + C[/b]

{(4+2х)/(x-5)=4^2
{(4+2х)/(x-5)>0

второе неравенство выполняется, так как 4^2>0

(4+2х)/(x-5)=4^2

(4+2х-16х+80)/(x-5) = 0

84-14x=0
x ≠ 5

x=84/14
x=6

О т в е т. [b]6[/b]

y=c-x
x^2+(c-x)^2=100

2x^2-2xc+c^2-100=0

D=(2c)^2-4*2(c^2-100)

D=800-4c^2

Если D ≥ 0 уравнение имеет корни, а система решения

800-4c^2 ≥ 0

c^2 ≤ 200
[b]-10sqrt(2) ≤ c ≤ 10sqrt(2)[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

а)
{y=2x-1
{7x-(2x-1)=9 ⇒ 5x+1=9; 5x=8;x=1,6;
y=2*1,6-1=2,2
[b](1,6;2,2)[/b] - о т в е т.

б)
{x=4y+5
{4y+5+8y=-7 ⇒ 12y=-12; y=-1
x=4*(-1)+5=1
[b](1;-1)[/b]- о т в е т.

в)
{x=20-2y из второго и подставляем в первое
{(20-2y)y=48 ⇒ 2y^2-20y+48=0 ⇒ y^2-10y+24=0

D=100-96=4
y_(1)=4; y_(2)=6
x_(1)=12; x_(2)=8

[b](12;4);(8;6)[/b]- о т в е т.

г)
{y=(3x-6)/2
{x*(3x-6)/2=120
3x^2-6x-240=0
x^2-2x-80=0
D=4+320=324
x_(1)=-8; x_(2)=10
y_(1)=-15; y_(2)=12

[b](-8;-15);(10;12)[/b]- о т в е т.

д)
{y=2x+1
{x+x*(2x+1)-(2x+1)=7 ⇒ 2x^2=8; x^2=4;
x_(1)=-2; x_(2)=2
y_(1)=-3; y_(2)=5

[b](-2;-3);(2;5)[/b]- о т в е т.

е)
{x=-2y-2
{4*(-2y-2)-(-2y-2)*y+3y=19 ⇒ 2y^2-3y-27=0

D=9-4*2*(-27)=225

y_(1)=-3; y_(2)=4,5
x_(1)=4; x_(2)=-11

[b](4;-3);(-11; 4,5)[/b]- о т в е т.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos(x-(3π/2))=cos((3π/2)-x)
По формулам приведения
cos((3π/2)-x)= - sinx

Уравнение примет вид:
√1–cosx +√-sinx= sqrt(2)

ОДЗ:
{1-cosx ≥ 0 ⇒ cosx ≤ 1 - х - любое
{-sinx ≥ 0 ⇒ sinx ≤ 0 ⇒ x в третьей или четвертой четверти

Да. Длина это расстояние,а оно положительно всегда.
ОА=4
ОВ=6 (прикреплено изображение)

Ничего не видно. Увеличение не помогает (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это угол ACD.
AC ⊥ CB
По теореме о трех перпендикулярах
DC ⊥ CB

Из прямоугольного треугольника DCB
DC^2=DB^2-BC^2=(5sqrt(5))^2-5^2=75-25=50
DC=5sqrt(2)

Из прямоугольного треугольника ACD:
cos ∠ ACD=AC/DC=5/5sqrt(2)=1/sqrt(2)
∠ ACD=45 градусов (прикреплено изображение)

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+3=0

D=16-12=4

k_(1)=(4-2)/2=1; k_(2)=(4+2)/2=3- корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)

[b]y=С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(3x)[/b] - общее решение

y`=(С_(1)*e^(x)+C_(2)*e^(3x))`=С_(1)*e^(x)+3*C_(2)*e^(3x)

y(0)=3

3=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(3*0)

y`(0)=9

9=С_(1)*e^(0)+3*C_(2)*e^(3*0)

Из системы уравнений:

{3=С_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(3*0)
{9=С_(1)*e^(0)+3*C_(2)*e^(3*0)

{3=С_(1)+С_(2)
{9-C_(1)+3C_(2)

Вычитаем из второго уравнения первое:
2С_(2)=6
С_(2)=3
С_(1)=0

[b]y=3e^(3x)[/b] - частное решение

a) yy`/x=-e^(y) - уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем
ydy/e^(y)=xdx

Интегрируем
∫ y*e^(-y)dy= ∫ xdx

Первый интеграл считаем по частям:
u=y
dv=e^(-y)dy

-y*e^(-y)- ∫ (-e^(-y))dy = (x^2/2)+C;

e^(-y)*(-y-1)= (x^2/2)+C;

б)
Линейное. Метод вариации произвольной постоянной или метод Бернулли.

Cогласно методу Бернулли, решение y- произведение двух произвольных функций u(x) и v(x)

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v` -(3uv/x)=e^(x)*x^3

u`*v-u*( [b]v`-3v/x[/b])=e^(x)*x^3

Пусть функция v(x) такова, что

[b]v`-3v/x[/b]=0

Тогда
u`*v-u*0=e^(x)*x^3

Получили два уравнения с разделяющимися переменными:
v`-3v/x=0
dv/v=3dx/x
∫ dv/v=3 ∫ dx/x
ln|v|=3ln|x|
v=x^3

u`*x^3=e^(x)*x^3

u`=e^(x)

u= ∫ e^(x)dx=e^(x)+C

y=(e^(x)+C)*x^3 - [b]общее [/b]решение

Так как
y(1)=e

e=(e^(1)+C)*1
C=0

y=(e^(x))*x^3 - [b]частное [/b]решение, удовлетворяющее условию y(1)=e

Ответ выбран лучшим

V_(призмы)=S_(осн.)*Н

Н=АК=АА_(1)/2= 20/2=10 cм - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

S_( Δ)=(1/2)a*b*sin γ

S_(осн.)=S_( Δ АВС)=(1/2)*4sqrt(3)*3*sin120^(o)=

=(1/2)*4sqrt(3)*3*(sqrt(3)/2)=9 см^2

V=9*10= [b]90 cм^3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вместимость - это объем.
Фигура состоит из двух частей: зеленый прямоугольный параллелепипед и синяя треугольная призма с основанием АВС.

V=V_(1)+V_(2)=abc+ S_( ΔABC)*H=

=8*12*3,5+ (1/2)AC*BK*12=

=8*12*3,5+(1/2)*8*2,5*12=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1 способ.
Подстановка
1/x=t
x=1/t
dx=-dt/t^2

1+x^2=1+(1/t)^2=(t^2+1)/t^2

тогда

∫dx/(x^2)*sqrt((1+x^2)^3)= ∫t^2*(-dt/t^2)/sqrt(((t^2+1)/t^2)^3)=

= - ∫ tdt/(t^2+1)^(3/2)=(-1/2)∫ (t^2+1)^(-3/2) d(t^2+1)=

=(-1/2)*(t^2+1)^(-1/2)/(-1/2)=1/sqrt(t^2+1) + С=

=x/sqrt(x^2+1) + C

Область определения (- ∞ ;1)U(1;+ ∞ )

y(-x)=(-x+1)^2/(-x-1)^2=(x-1)^2/(x+1)^2

y(-x)≠ y(x)
y(-x)≠ -y(x)

Функция не является ни четной, ни нечетной

y= [b]([/b](x+1)/(x-1) [b])[/b]^2

y`=2* [b]([/b](х+1)/(х-1) [b])[/b] * [b]([/b](х+1)/(х-1) [b])[/b]`

y`=2* [b]([/b](х+1)/(х-1) [b])[/b] * [b]([/b](х+1)`*(x-1)-(x-1)`*(x+1)/(х-1)^2 [b])[/b]

y`=-4*(x+1)/(x-1)^3
y`=0

x+1=0

x=-1

Знак производной:

__-__ (-1) ___+__ (1) ___-__

y`>0 на (-1 ; 1); функция возрастает
y` <0 на (- ∞;-1) и на (1;+ ∞); функция убывает

х=1 - не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода

Прямая х=1 - вертикальная асимптота, так как
lim_(x→2) f(x)=+ ∞

х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Прямая y=1 - горизонтальная асимптота, так как
lim_(x→ ∞)f(x)=1

у``=-4*((x+1)`*(x-1)^3-3*(x-1)^2*(x+1))/(x-1)^6

y``=-4*(x-1-3x-3)/(x-1)^4

y``=4*(2x+4)/(x-1)^4

y``=0
2x+4=0
x=-2

y`` < 0 на (- ∞;-2)

кривая выпукла верх

y`` >0 на (-2;1) и (1;+ ∞ )

Кривая выпукла вниз (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
∫ (4-x^7+x^(-7))dx= 4x - x^(8)/8 +x^(-6)/(-6) + C=4x-(1/8)x^(8)-(1/6)*(1/x^6)+C

2)
1)
∫ (9x-3x^(-4)+2x^(5))dx= (9x^2/2) -3*x^(-3)/(-3) +2x^(6)/(6) + C=

=(9/2)x^2+(1/x^(3))+(1/3)*x^6+C

3)
∫ (6x^(11)+4x-1)dx=6*x^(12)/12 +4*(x^2/2)-x +C=(1/2)*x^(12)+2*x^2-x+C

в 4); 5); 6) применяем метод подведения под дифференциал.
(см. приложение)
4)
∫ (7x-3)^3dx=(1/7) ∫ (7x-3)^3d(7x-3)=(1/7)*((7x-3)^4/4)+C=

=(1/28)*(7x-3)^4

5)12*(-1/6) ∫ (4-6x)^(-5)d(4-6x)=(-2)*(4-6x)^(-4)/(-4)+C=

=(1/2)*(1/(4-6x)^4) + C

6)
∫ sin3xdx= ∫ sin3x*d(3x)/3=(1/3) ∫ sin(3x)d(3x)=(1/3)*(-cos3x)+C=

=(-1/3)cos3x+C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой l_(2):
(x-0)/(0-0)=(y+1)/(1+1)=(z+7)/0+7)
Направляющий вектор прямой l_(2)
vector{s_(2)}=(0;2;7)
Каноническое уравнение прямой l:
На прямой l находится бесчисленное множество точек, принадлежащих линии пересечения плоскостей:
2x+y-z=0
3x-y-z-2=0

Найдем две такие точки

Пусть х=0
{y-z=0
{-y-z-2=0
Складываем
-2z-2=0
z=-1
y=-1

А(0;-1;-1)

Пусть z=0
{2x+y=0
{3x-y-2=0
5x-2=0
x=2/5
y=-4/5

В(2/5;-4/5;0)

Уравнение прямой l как прямой, проходящей через две точки:

(x-0)/(2/5)=(y+1)/((-4/5)+1)=(z+1)/1

Направляющий вектора прямой l
vector{s}=(2/5;1/5;1)

Направляющие векторы не коллинеарны, прямые не параллельны.
Значит скрещивающиеся или пересекающиеся.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

C(c;0;0)

AC^2=(c-3)^2+(0-5)^2+(-2-0)^2
CB^2=(5-c)^2+(-1-0)^2+(1-0)^2

(c-3)^2+(0-5)^2+(-2-0)^2=(5-c)^2+(-1-0)^2+(1-0)^2

раскрываем скобки. решаем уравнение и находим с

Ответ выбран лучшим

xdx+xy^2dx=yx^2dy+ydy
x*(1+y^2)dx=y*(x^2+1)dy- уравнение с разделяющимися переменными

xdx/(x^2+1)=ydy/(y^2+1)

Интегрируем

(1/2)ln|x^2+1)+(1/2)lnC=(1/2)ln|y^2+1|

[b]С*(x^2+1)=y^2+1[/b]

Ответ выбран лучшим

AD ⊥ пл. АВС ⇒ AD ⊥ АВ; AD ⊥ AC
Δ DAB - прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов.
Δ DAС - прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов.
Осталось найти площадь треугольника DBC.
Он равнобедренный.
Так как АВ=АС, а равные наклонные имеют равные проекции и наоборот.
Поэтому DB=DC

Проводим высоту DK
DK ⊥ BC

Проекцией DK является АК

АК - высота равнобедренного треугольника АВС
В равнобедренном треугольнике высота одновременно и медиана,
ВК=КС=5
Из прямоугольного треугольника АВК
AK^2=AB^2-BK^2=13^2-5^2=144
AK=12

Из прямоугольного треугольника АКD
KD^2=DA^2+AK^2=9^2+12^2=81+144=225
KD=15

S_(бок.)=S_( Δ DAB) +S_(Δ DAС)+S_( Δ DBС)=

=(1/2)AB*AD+(1/2)AC*AD+(1/2)BC*DK=

=(1/2)*13*9+(1/2)*13*9+(1/2)*10*15=

= [b]192[/b]

(прикреплено изображение)

sin^2((π/8)+x)-sin^2((π/8)–x))=sinx

[b]([/b]sin((π/8)+x)-sin((π/8)–x) [b])[/b] * [b]([/b]sin((π/8)+x)+sin((π/8)–x) [b]) [/b] = sinx

[b]([/b]2sinx*cos(π/8) [b])[/b] * [b]([/b]2sin(π/8)*cosx [b])[/b]=sinx

2sin( π/8)*cos(π/8)=sin(π/4)=sqrt(2)/2

sqrt(2)sinx*cosx=sinx

sqrt(2)sinx*cosx-sinx=0

sinx*(sqrt(2)cosx-1)=0

sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

или

sqrt(2)cosx-1=0 ⇒ cosx=1/sqrt(2) ⇒ [b] x= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]

ОДЗ и формула перехода к другому основанию.

{x+6>0⇒ x> -6
{x+6 ≠ 1 ⇒ x ≠ -5 при этом 1/(х+6) так же отлично от 1
{(x-5)/(x+5) >0 ⇒ x < -5 или x >5
{log_(1/2)(x-5)/(x+5) >0 ⇒ (x-5)/(x+5)<1 ⇒ -10/(x+5) < 0 ⇒ x > -5
{log_(2)(x+5)/(x-5) >0 ⇒ (x+5)/(x-5)>1 ⇒10/(x-5) >0 ⇒ x > 5

[b]x ∈ (5;+ ∞ )[/b]

log_(x+6)log_(1/2)(x-5)/(x+5)= log_(x+6)log_(2^(-1))(x-5)/(x+5)=

= log_(x+6)(-log_(2)(x-5)/(x+5))= log_(x+5)(log_(2)((x-5)/(x+5))^(-1))=

= log_(x+6)(log_(2)((x+5)/(x-5)))

log_(1/(x+6))(log_(2)((x+5)/(x-5)))=-log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5))

Неравенство принимает вид:

log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5)) < - log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5))

2log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5)) <0

log_(x+6) (log_(2)((x+5)/(x-5)) <0

так как согласно ОДЗ x>5, то х+6 > 1

логарифмическая функция возрастает.

(log_(2)((x+5)/(x-5)) <1

логарифмическая функция c основанием 2>1 возрастает.

(x+5)/(x-5) < 2

(x+5-2x+10)/(x-5) <0

(x-15)/(x-5) >0

x>15

О т в е т. (15;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Когда публикуют в одном вопросе 4 громоздких задания, то решающий понимает, что нужен только путь решения, а подробное решение в таком случае ИСКЛЮЧАЕТСЯ.

1.
[b]Замена переменной:
sin3x+cos3x=t[/b]

Возводим обе части равенства замены в квадрат:

1+sin6x=t^2 ⇒ sin6x=t^2-1

t-1=0,5t^2-0,5
t^2-2t+1=0
(t-1)=0
t=1

Обратный переход
sin3x+cos3x=1

sin3x+cos3x-1=0

2sin(3x/2)*cos(3x/2) + 2cos^2(3x/2)=0

2cos(3x/2)*(sin(3x/2)+cos(3x/2))=0

cos(3x/2)=0 или sin(3x/2)+cos(3x/2)=0

cos(3x/2)=0 ⇒(3x/2)=(π/2)+πk, k ∈ Z⇒ [b]x=(π/3)+(2π/3)*k, k ∈ Z[/b]

sin(3x/2)+cos(3x/2)=0 ⇒ tg(3x/2)=-1 ⇒ (3x/2)=(-π/4)+πn, n ∈ Z

[b]x=(-π/6)+(2π/3)*n, n ∈ Z[/b]

2.

sin^2((π/8)+x)-sin^2((π/8)–x))=sinx

[b]([/b]sin((π/8)+x)-sin((π/8)–x) [b])[/b] * [b]([/b]sin((π/8)+x)+sin((π/8)–x) [b]) [/b] = sinx

[b]([/b]2sinx*cos(π/8) [b])[/b] * [b]([/b]2sin(π/8)*cosx [b])[/b]=sinx

2sin( π/8)*cos(π/8)=sin(π/4)=sqrt(2)/2

sqrt(2)sinx*cosx=sinx

sqrt(2)sinx*cosx-sinx=0

sinx*(sqrt(2)cosx-1)=0

sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

или

sqrt(2)cosx-1=0 ⇒ cosx=1/sqrt(2) ⇒ [b] x= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]

3.

tg^2x+1=1/cos^2x

tg^2x=(1/cos^2x)-1

cos2x=2cos^2x-1

Уравнение принимает вид:

6*((1/cos^2x)-1) -2cos^2x=2cos^2x-1

Замена переменной
cos^2x=t

4t^2+5t-6=0

D=25+96=121

t_(1)=(-5-11)/8=-2; t_(2)=(-5+11)/8=3/4

cos^2x=-2 - уравнение не имеет решений, cos^2 x ≥ 0

cos^2x=3/4

cosx= - sqrt(3)/2 ⇒ х= ± (5π/6)+ [b]2[/b]πn, n ∈ Z

cosx= sqrt(3)/2 ⇒ х= ± (π/6)+ [b]2[/b]πn, n ∈ Z

Можно объединить в один ответ:

х= ± (π/6)+ [b]π[/b]k, k ∈ Z

4.

Формулы понижения степени:

cos^2α =(1+ cos2α )/2
sin^2α =(1- cos2α )/2

Уравнение принимает вид:

cosx+cos3x=-cos4x-cos8x

формула

cos α +cos β

2cos(2x)*cos(x)+2cos6x*cos2x=0

2cos(2x)*2cos(7x/2)*cos(5x/2)=0

cos(2x)=0 ⇒ 2x=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ x= [b](π/4)+(π/2)*k, k ∈ Z[/b]

cos(7x/2)=0 ⇒ 7x/2=(π/2)+πm, m ∈ Z ⇒ x= [b](π/7)+(2π/7)*m, m ∈ Z[/b]

cos(5x/2)=0 ⇒ 5x/2=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒ x= [b](π/5)+(2π/5)*n, n ∈ Z[/b]

Область определения функции
(0;+∞)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
область определения не является симметричной относительно 0.

3. Точки пересечения с осью Ох

y=0 ⇒ 3lnx=0⇒x=1

(1;0)– точка пересечения и осью Ох

4. Асимптоты

[b]x=0[/b] – правосторонняя вертикальная асимптота
так как
imx→+0(y)= + ∞

Горизонтальная асимптота:

[b]y=0[/b]
так как
limx→∞(3lnx)/sqrt(x)= ∞/∞
=применяем правило Лопиталя:
=limx→∞(3lnx)`/(sqrt(x))`=limx→∞(3/x)/(1/(2sqrt(x)))=6/sqrt(x)=0

(очень медленно, но стремится к 0 на +бесконечности)

Наклонной асимптоты нет:
k=limx→∞f(x)/x=limx→∞(3lnx)/(х*sqrt(x)= ∞/∞
=применяем правило Лопиталя:
=limx→∞(3lnx)`/(x*sqrt(x))`=limx→∞(3/x)/(3/2)sqrt(x)=

=limx→∞(3/(x*sqrt(x))=0

5.Интервалы монотонности и экстремумы

y`=3*(lnx)`*sqrt(x)-(sqrt(x))`*lnx)/(sqrt(x))^2

y`=3(2-lnx)/(2x)
lnx=2
x=e^(2)
Расставляем знак производной:
(0) _+__ (e^(2)) __-__

x=e^(2) - точка максимума.

y`>0 при 0<x<e^(2)
Функция возрастает на (0;e^(2))

y`<0 при x>e^(2)
Функция убывает на (e^(2);+ ∞)

6.
Интервалы выпуклости, точки перегиба

y``=(3/2)*((2-lnx)`·(x) – (x)`·(2–lnx))/(x)^2

y``=(3/2)*((-1-2+lnx)/x^2)

y``=(-1-2+lnx)/x^2

y``=0
lnx=3
x=e^(3) - точка перегиба, производная меняет знак с - на +

y`` < 0 на (0;e^(3))
Кривая выпукла вверх на (0;e^(3))

y``>0 на (e^2;+ ∞)

Кривая выпукла вниз на (e^2;+ ∞)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
замена переменной:
∛1+x=t
1+x=t^3
x=t^3-1
dx=3t^2dt

x=-1 ⇒ t=0
x=0 ⇒ t=1

= ∫ ^(1)_(0)3t^2dt/(1+t)=3 ∫ ^(1)_(0) ((t^2-1)+1)dt/(t+1)=

=3 ∫ ^(1)_(0)( (t-1)+(1/(t+1)))dt=3(t^2/2 - t + ln |t+1|)|^(1)_(0)=

=3*((1/2)-1+ln2) - о т в е т.

б)
по частям

u=x ⇒ du=dx
dv=5^(x)dx ⇒ v=5^(x)/ln5

∫ ^(2)_(0) x*5^(x)dx= (x*5^(x)/ln5)|^(2)_(0) - ∫ ^(2)_(0)5^(x)dx/ln5=

=2*5^2/ln5 - (1/ln5)*(5^(x)/ln5)|^(2)_(0)=

=(50/ln5) - (25-1)/(ln5)^2=(50/ln5) - (24)/(ln5)^2 - о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.Область определения функции
(-бесконечность;2)U(2;+бесконечность)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y(-x)=(-x)^2/((-x)-2) =x^2/(-x-2)=-x^2/(x+2)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)

3. Точки пересечения с осями координат
y=0 ⇒ x=0
(0;0)- точка пересечения и осью Ох и с осью Оу.

4. Асимптоты

x=2 - вертикальная асимптота
lim_(x→2-0)= - ∞
lim_(x→2+0)= + ∞

y=x+2- наклонная асимптота:
k=lim_(x→∞)f(x)/x=lim_(x→∞)(x^2)/(x*(x-2)=1
b=lim_(x→∞)(f(x)-kx)=lim_(x→∞)(f(x)-x)=lim_(x→∞)(x^2-x^2+2x)/(x-2)=2

5.Интервалы монотонности и экстремумы

y`=((x^2)`*(x-2)-(x-2)`*x^2)/(x-2)^2
y`=(2x^2-4x-x^2)/((x-2)^2
y`=(x^2-4x)/(x-2)^2
y`=0
x^2-4x=0
x*(x-4)=0
x=0 или х=4
Расставляем знак производной:
_+__ (0) _-__ (2) _-__(4) _+__

х= 4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Функция возрастает на ( - бесконечность;0) (4;+ бесконечность)
убывает на ( 0;2) и на (2;4)

6.Интервалы выпуклости, точки перегиба

y``=((x^2-4x)`*(x-2)^2 - ((x-2)^2)`*(x^2-4x))/(x-2)^4

y``=(2x^2-4x-4x+8-2x^2+8x)/(x-2)^3

y``=8/(x-2)^3

y`` < 0 на (-бесконечность;2)
Кривая выпукла вверх на (-бесконечность;2)

y``>0 на (2;+ бесконечность)

Кривая выпукла вниз на (2;+ бесконечность)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4.6
а)
x^2+4x+9=x^2+4x+4+5=(x+2)^2+5

∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )dx/(x^2+4x+9)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )dx/((x+2)^2+5)=

=(1/sqrt(5))*arctg( (x+2)/sqrt(5))|^(+ ∞ )_(- ∞ )=

=(1/sqrt(5))*((π/2)-(-π/2))=π/sqrt(5)

Сходится.

б)
Замена переменный
sqrt(e^(x)-1)=t
e^(x)=t^2+1
x=ln(t^2+1)

dx=2tdt/(t^2+1)

∫ ^(1)_(0) dx/sqrt(e^(x)-1)=∫ ^(sqrt(e-1)_(0)2tdt/(t^2+1)*t=

=2∫ ^(sqrt(e-1)_(0)dt/(t^2+1)=

=2arctgt|^(sqrt(e-1)_(0)=2arctg(sqrt(e-1)) - сходится

Испытание состоит в том, что из 9-ти изделий выбирают 3
Число исходов испытания
n=C^(3)_(9)

Наступлению события А благоприятствуют исходы, при которых 2 изделия выбраны из четырех, имеющих скрытый дефект, а одно из пяти(9-4=5), не имеющих дефекта

P(A)=C^(2)_(4)*С^(1)_(5)/C^(3)_(9)=

Найдем вероятность противоположного события
vector{B} - среди выбранных нет ни одного изделия со скрытым дефектом, значит все три изделия выбраны из пяти.

P(vector{B})=C^(3)_(5)/C^(3)_(9)=

тогда p(B)=1-p(vector{B})

Не более двух, значит меньше или равно 2

Наступлению события C благоприятствуют исходы, при которых нет изделий, которые выбраны из четырех, имеющих скрытый дефект
или
одно изделие выбрано из четырех, имеющих скрытый дефект, а два из пяти, не имеющих дефекта,
или
два изделие выбрано из четырех, имеющих скрытый дефект, а два из пяти, не имеющих дефекта,

p(C)= C^(0)_(4)* C^(3)_(5)/C^(3)_(9)+C^(1)_(4)* C^(2)_(5)/C^(3)_(9)+

+C^(2)_(4)* C^(1)_(5)/C^(3)_(9)=

=p(vector{B})++C^(1)_(4)* C^(2)_(5)/C^(3)_(9)+p(A)

Ответ выбран лучшим

Второй стрелок промахнулся, если в мишени оказалось две пробоины, значит первый и третий попали

p=p_(1)*q_(2)*p_(3)=0,5*(1-0,3)*0,7=0,5*0,7*0,7=

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=35029

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами
n=50
p=0,02
n-велико, р мало.

Применяем формулу Пуассона ( см. приложение)

p=0,02(формула применяется при p ≤ 0,1)

λ=n*p==1 (формула применяется λ ≤ 10)
k=2

P=e^(-1)/2!=1/(2e)=0,183823≈0,18

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Значит в равнобедренный треугольник PMN вписана окружность.
MN=AB=6
В равнобедренном треугольнике DPC высота ( апофема боковой грани) одновременно и медиана.
DN=NC=3
По теореме Пифагора
PN=4

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки
ОN=FN=3

Значит PF=PN-FN=1

О т в е т. PF:FN=1:3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=1/2- вероятность того, что одна монета упадет гербом вверх
q=1-p=(1/2) вероятность того, что одна монета [b]не[/b] упадет гербом вверх

Повторные испытания с двумя исходами. Формула Бернулли

1)
P_(7)(4)=C^(4)_(7)p^4*q^3=(7!)/((7-4)!*4!)*(1/2)^7=

=35/128

2)
Не менее четырех, значит 4 или 5 или 6 или 7.

P_(7)(4)+P_(7)(5)+P_(7)(6)+P_(7)(7)=

считаем как в 1) еще три раза и складываем ответы:

P_(7)(5)=C^(5)_(7)p^5*q^2=

P_(7)(6)=C^(6)_(7)p^6*q^1=

P_(7)(7)=C^(7)_(7)p^7*q^0=

3)

Формула нахождения наивероятнейшего числа k_(o):
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

np=7*(1/2)=3,5

3,5-(1/2)=3,5+(1/2)

3 ≤ k_(o) ≤ 4

k_(o)=3 или k_(o)=4

Ответ выбран лучшим

1)
Замена переменной:
3+lnx=u
d(3+lnx)=du
(3+lnx)`*dx=du
dx/x=du

∫ ∛(3+lnx)dx/x= ∫ ∛u du=табличный интеграл ∫x^(α)dx=x^(α +1)/(α+1) =

=u^((1/3)+1)/((1/3)+1)+ C=

=u^(4/3)/(4/3)+C= [b](3/4)∛(3+lnx)^4 + C[/b]

2)
По частям
u=ln^2x ⇒ du=2(lnx)*(1/x)dx

dv=sqrt(x)dx ⇒ v=x^(3/2)/(3/2)=(2/3) sqrt(x^3)

∫ sqrt(x)ln^2xdx=(2/3)sqrt(x^3)*ln^2x- ∫ (2/3)sqrt(x^3)* 2(lnx)*(1/x)dx=

= [b](2/3) sqrt(x^3)ln^22x[/b]- (4/3) ∫ sqrt(x)* (lnx)dx=

второй интеграл снова по частям:
u=lnx ⇒ du=(1/x)dx

dv=sqrt(x)dx ⇒ v=x^(3/2)/(3/2)=(2/3) sqrt(x^3)

= [b](2/3)sqrt(x^3)*ln^2x[/b]-(4/3)*((2/3)sqrt(x^3)*lnx - ∫ (2/3) sqrt(x^3)*(1/x)dx=

=[b](2/3)sqrt(x^3)*ln^2x[/b]-(8/9)*sqrt(x^3)*lnx -(2/3)* (2/3) sqrt(x^3)+ C

=[b](2/3)sqrt(x^3)*ln^2x[/b]-(8/9)*sqrt(x^3)*lnx -(4/9)* sqrt(x^3)+ C

Ответ выбран лучшим

1.
S_(полн.пов)=S_(бок.пов.)+2S_(осн)=P_(осн)*H+2S_(осн)

В основании правильный треугольник со стороной а.
Р_(осн)=3а
S_(осн)=a^2sqrt(3)/4

Призма прямая, значит боковое ребро равно высота призмы Н

S_(полн.пов)=3a*H+(2*a^2*sqrt(3)/4)=

=3*5*6+(5^2*sqrt(3)/2)=

V_(призмы)=S_(осн)*H=(a^2*sqrt(3)/4)*H=(5^2*sqrt(3)/4)*6=

2.
V_(призмы)=S_(осн)*H

В основании квадрат, пусть сторона квадрата равна а.
S_(осн)=a^2
Высота призмы Н равна боковому ребру

S_(полн.пов)=S_(бок.пов.)+2S_(осн)⇒

2S_(осн)=S_(полн.)-S_(бок)=120-48=72

S_(осн)=36

a^2=36
a=6

S_(бок)=P_(осн)*H=4a*H

4a*H=48

4*6*H=48
H=2

V_(призмы)=S_(осн)*H=36*2=72 куб. м

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

z_(1)=-4i; z_(2)=3-9i;

1)
Rez_(1)=x_(1)=0; Imz_(1)=y_(1)=-4
Rez_(2)=x_(2)=3; Imz_(2)=y_(2)=-9

2)
Cм.рис.

3)
|z_(1)|=4
argz_(1)=phi

sin(phi)=y_(1)/|z_(1)|=-4/4=-1
cos(phi)=x_(1)/|z_(1))=0/4=0
phi=-π/2

z_(1)=4*(cos(-π/2)+i*sin(-π/2)) - в тригоном. форме

z_(1)=4e^(-iπ/2)- в показ форме

|z_(2)|=sqrt(3^2+(-9)^2)=sqrt(90)=3sqrt(10)

argz_(2)=ψ

sinψ=y/|z_(2)|=-9/3sqrt(10)=-3sqrt(10)/10
cosψ=x/|z_(2))=3/3sqrt(10)=sqrt(10)/10
tgψ=-3
ψ=arctg (-3)

z_(2)=3sqrt(10)*(arctg (-3)+i*arctg (-3))- в тригоном. форме

z_(2)=3sqrt(10)*e^(-iarctg3)в показ форме
4)

z=2*z_(1)-10z_(2)=2*(-4i)-10*(3-9i)=-8i-30+90i= [b]-30+81i[/b]

5)
z=z_(1)*z_(2)=(-4i)*(3-9i)=-12i+36i^2=[b]-36-12i[/b]

6)

z=z_(1)/z_(2)=(-4i)/(3-9i)= (4i)*(3+9i)/(3-9i)*(3+9i)=(12i+36i^2)/(3^2-(9i)^2)=(12i-36)/90=(12/90)i-(36/90)=[b](-4/10)+(4/30)i[/b]

7)
Применяем формулу Муавра

z^(7)_(1)=4^(7)*(cos7*(-π/2)+i*sin7*(-π/2))=

=4^(7)*(cos(-7π/2)+i*sin(-7π/2))=4^(7)*(cos((-3π/2)+i*sin(-3π/2))=

=[b]4^(7)*i[/b]

8)

z^(1/2)_(1)=(4)^(1/2)*cos((-π/2)/2)+(2πk/2))+i*sin(((-π/2)/2)+(2πk/2))

k=0,1

при k=0
(z^(1/2)_(1))_(0)=2(cos(-π/4)+i*sin(-π/4))=2*[b]([/b](sqrt(2)/2) + i*(-sqrt(2)/2) [b])[/b]= [b]sqrt(2)-i*sqrt(2)[/b]

при k=1
(z^(1/4)_(1))_(1)=2*(cos((-π/4)+π)+i*sin((-π/4)+π))=

=2* [b]([/b](-sqrt(2)/2) + i*(sqrt(2)/2) [b])[/b]= [b]-sqrt(2)+i*sqrt(2)[/b]

В основании квадрат АВСD.

Пусть АВ=ВС=CD=AD=a

SA=SB=SC=SD=2a

АС=BD=asqrt(2)- диагонали квадрата

В равнобедренном Δ SBD

SO- высота и медиана

SO=sqrt(SB^2-BO^2)=sqrt((2a)^2-(asqrt(2)/2)^2)=sqrt(4a^2-(2a^2/4))=

=14a^2/4

SO= [b]asqrt(14)/2[/b]

S_(Δ SBD)=(1/2) BD*SO и S_(Δ SBD)=(1/2)SB*BK

BD*SO = SB*BK

BK=BD*SO/SB= (asqrt(2)* asqrt(14)/2)/(2a)=asqrt(28)/4= [b]asqrt(7)/2
[/b]

Причем DK=sqrt(BD^2-BK^2)=sqrt(2a^2-(7a^2/4))=sqrt(a^2/4)=a/2
SK=SA-DK=3a/2

В равнобедренном Δ SAB

SF- высота и медиана

SF=sqrt(SA^2-AF^2)=sqrt((2a)^2-(a/2)^2)=sqrt(4a^2-(a^2/4))=

=15a^2/4

SF= [b]asqrt(15)/2[/b]

SM=(4/5)*SF=4asqrt(15)/10=(2asqrt(15)/5)

MF=(asqrt(15)/10)

Из прямоугольного треугольника DAF

DF^2=(a^2)+(a/2)^2=5a^2/4

DF=asqrt(5)/2

Пусть KM пересекает DF в точке T

По теореме Менелая:

(DT/TF)*(FM/MS)*(SK/KD)=1 ⇒ DT/TF=4/3

DF=(1/4)DT

DT=4DF=2asqrt(5)

TF=3asqrt(5)/2

(прикреплено изображение)

∠ ACD=32 градусов - вписанный угол, измеряется половиной дуги AD, на которую опирается.
∠ САВ=70 градусов- вписанный угол, измеряется половиной дуги CB, на которую опирается.

∠ CEB=∠ ACD+ ∠ САВ - внешний угол треугольника САЕ, равен сумме внутренних с ним не смежных

∠ CEB=32 градусов +70 градусов=102 градусов

a^2-9b^2=(a-3b)*(a+3b)

(1/3b)-(1/a)=(a-3b)/(3ba)

(a-3b)*(a+3b)/(3ab) : (a-3b)/(3ba)=

= [b]([/b](a-3b)*(a+3b)/(3ab) [b])[/b]* [b]([/b](3ba)/(a-3b) [b])[/b]=

= [b]([/b](a-3b)*(a+3b)*(3ba) [b])[/b] / [b]([/b](3ab)*(a-3b) [b])[/b]=

=a+3b

при a= 3 целых (1/7) b=5 целых 2/7

3 целых 1/7+3*( 5 целых 2/7)= (22/7) + 3*(37/7)=

=(22/7)+(111/7)=133/7= [b]19[/b]

a=4
h=4,8
H=5,5
b=c=sqrt(h^2+(a/2)^2)=sqrt(4,8^2+2^2)=sqrt(27,04)=5,2

[b]V=[/b]S_(осн.)*H=(1/2)*a*h*H=(1/2)*4*4,8*5,5=

[b]S(полн.пов.)[/b]=S(бок.пов.)+2S_(осн)=P_(осн)*Н+2*(1/2)*a*h=

=(a+b+c)*H+a*h=

=(4+5,2+5,2)*5,5+4*4,8=

Горький
872,52:1,2=

Вдохновение
1399,44:1,7=

Алёнка
1590,3:2,7=

И выбираем наименьшую.

n- велико, применяем интегральную формулу Лапласа
( см. приложение)
P_(n) (k_(1) ≤ x ≤ k_(2))=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(k_(2)-np)/sqrt(npq)
x_(1)=(k_(1)-np)/sqrt(npq)

P_(100) (14 ≤ x ≤26)=?

np=100*0,2=20
q=1-p=1-0,2=0,8

npq=100*0,2*0,8=16
sqrt(npq)=4

x_(2)=(26-20)/4=6/4=1,5

x_(1)=(14-20)/4=-6/4=-1,5

Ф(1,5)=0,4332

Ф(-1,5)=-Ф(1,5)= -0,4332

О т в е т.
P_(100) (14 ≤ x ≤ 26)=2Ф(1,5)=0,8664

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=6√x-x-36

Замена

√x=t

f(t)=6t-t^2-36 - квадратичная функция, график парабола, ветви вниз. Наибольшее значение в вершине
при t_(o)=3

sqrt(x)=3
x=9

9 ∈ [1;25]

f(9)=√9·(6– √9)–36=9-36= [b]-27[/b]

50-6=44 человека изучают хотя бы один язык

44=42+31-х
х=73-44
х=29

29 человек изучают два языка: и английский и немецкий

42-29=13 человек изучают только английский

31-29=2 человек изучают только немецкий

13+2+29=44 человека изучают хотя бы один язык (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Линейное, первого порядка
Решают методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.
В любом случае приходится решить два уравнения с разделяющимися переменными.

Метод Бернулли.
Решение y представлено в виде произведения двух [b]произвольных [/b]функций.

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:

u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=e^(x^2)

u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=e^(x^2)

Функцию v=v(x) выбирают так, чтобы

[b]v`+(1/x)*v=0[/b]

тогда

[b]u`*v+u*0=e^(x^2)[/b]

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:
v`+(1/x)*v=0

dv/v=-dx/x

ln|v|=-ln|x|

[b]v=(1/x)[/b]

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:

u`*(1/x)=e^(x^2)

u`=xe^(x^2)

u=(1/2)e^(x^2)+C

Общее решение: y=((1/2)e^(x^2)+C)*(1/x) можно раскрыть скобки.

Так как
y(1)=e/2
найдем частное решение:

e/2=(1/2)e^(1)+C*1

C=0

y=((1/2)e^(x^2))*(1/x) - частное решение

Ответ выбран лучшим

1.
формула синуса двойного угла:

2*sin(π/12)* cos(π/12)=sin2*(π/12)=sin(π/6)= [b]1/2[/b]

2.
формула косинуса двойного угла:

cos2a+2sin²a=сos^2a-sin^2a+2sin^2a=cos^2a+sin^2a= [b]1[/b]

3.

(1-сos2α)^2=(2sin^2α)^2=4sin^2α

ctg ^2α =cos^2 α /sin^2α

ctg^2α*(1-сos2α)^2=(cos^2 α /sin^2 α)* 4sin^2α =

=4sin^2 α *cos^2 α =(2sin α *cos α )^2= [b]sin^22 α [/b]

4.

1+cosα +sin2α =(1+cos α)+2*sin α *cos α =

=2sin^2( α /2)+2*2sin( α/2)*cos( α /2)*cos α=

=2sin( α /2) * ( sin( α/2)+ 2cos ( α /2) * cos α)

sin2α -sinα =2sinα *cosα-sinα = sinα*(2cos α -1)=

=2sin( α /2)*cos( α /2)*(2cos α -1)

(1+cosα +sin2α )/(sin2α - sinα) =

=2sin( α /2) * ( sin( α/2)+ 2cos ( α /2) * cos α)/(2sin( α /2)*cos( α /2)*
(2cos α -1))=

= ( sin( α/2)+ 2cos ( α /2) * cos α)/(cos( α /2)*(2cos α -1))=

=(tg( α /2)+2cos α )/(2cos α -1)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение
A-"хотя бы одна лампа вышла из строя", тогда

vector{A}-" лампа не вышла из строя"

и события -гипотезы
H_(1) – ''лампа первого типа ''
H_(2) – ''лампa второго типа''

p(H_(1))=3/7

p(H_(2))=4/7

p(vector{A}/H_(1))=1-0,002=0,998
p(vector{A}/H_(2))=1-0,004=0,996

По формуле полной вероятности
p(vector{A})=p(H_(1))·p(vector{A}/H_(1)) + p(_(2))·p(vector{A}/H_(2)) =

=(3/7)·0,998+(4/7)·0,996=0,9968571430 ≈ 0,9969

p(A)=1-p(vector{A})=1-0,9969= [b]0,0031[/b]

Ответ выбран лучшим

2^3*detA=8*5= [b]40[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
ОДЗ: х-1 ≥ 0

Решаем неравенство методом интервалов.
Находим нули функции.
sqrt(x-1)*(x-2)*(x+1)=0

sqrt(x-1)=0 или х-2=0 или х+1=0

x=1; x=2; x=-1

х=-1 не входит в ОДЗ

Отмечаем оставшиеся две точки на ОДЗ пустыми кружочками, неравенство [b]строгое[/b]:

(1)__-__ (2) ___+____

О т в е т. [b] (1;2)[/b]

2)

Возводим в квадрат и первое и второе уравнение.
Второе при условии, что 7y+1 ≥ 0

{x+3y+5=2^2⇒ x=-3y-1
{2x-y+3=(7y+1)
{7y+1 ≥ 0

Из первого уравнения выражаем х и подставляем во второе:
2*(-3y-1)-y+3=49y^2+14y+1

49y^2+21y=0

7y*(7y+3)=0
y=0 или y=-3/7

Проверяем удовлетворяют ли найденные решения третьему неравенству системы

При y=0
7y+1 =7*0+1≥ 0 - верно

При y=-3/7
7y+1 =7*(-3/7)+1=-3+1≥ 0 - неверно

y=0 ⇒ x=-3y-1=--3*0-1=-1

О т в е т. [b](-1;0) [/b]

Ответ выбран лучшим

Составим неравенство и решим его

99/(n+1) > 5

99> 5*(n+1)

99 > 5n+5

5n < 94

n< 94/5

n=1, 2, ... до 18

О т в е т. 18

(x+y*cos(y/x))dx=x*cos(y/x)dy
Делим на х
(1+(y/x)*cos(y/x))dx=cos(y/x) dy

Однородное уравнение 1 порядка.
Решают заменой:
y/x=u
y=xu
dy=xdu+udx

(1+u*cosu)dx=cosu*(xdu+udx)

(1+u*cosu-u*cosu)dx=x*cosudu

dx/x=cosudu

∫dx/x= ∫ cosudu

ln|x|+lnC=sinu

ln|x|+lnC=sin(y/x)

e^(sin(y/x))=Cx - о т в е т

Ответ выбран лучшим

3-сos4x+a^2=3-(2cos^22x-1)+a^2=4-2cos^22x+a^2>0, так как

0≤ 2cos^22x ≤ 2
-2 ≤ -2cos^22x ≤0
4-2 ≤4-2cos^22x ≤ 4
2 ≤ 4-2cos^22x ≤ 4

Неравенство принимает вид:
a-(a^2-2a)cos2x+2-4+2cos^22x-a^2<0

или

2cos^22x+(2a-a^2)cos2x+(a-2-a^2)<0

Пусть
событие A_(0)- "изделие высшего сорта";
событие А_(1)- изделие первого сорта;
событие А_(2) - изделие второго сорта.

р(А_(0))=0,8
р(А_(1))=0,7
р(А_(2))=0,6

По условию задачи события A_(0), A_(1); А_(2) - независимы.

а) Событие А -"только два изделия высшего сорта"

А=А_(0)*А_(0)*А_(1) + А_(0)*А_(0)*А_(2)

Применяем теоремы сложения и умножения:

p(A)=p(А_(0))*p(А_(0))*p(А_(1)) + p(А_(0))*p(А_(0))*p(А_(2))

p(A)=0,8*0,8*0,7+0,8*0,8*0,5= [b]0,768[/b]

б) Событие В – "все три изделия различны"

В=А_(0)*А_(1)*А_(2)

p(B)=0,8*0,7*0,5= [b]0,280[/b]

ОДЗ:
{4x^3>0 ⇒ x>0
{2x>0 ⇒ x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{4x>0 ⇒ x > 0

x ∈ (0;1/2) U (1/2; + ∞ )

Переходим к основанию 2
log_(2x)(4x^3)=(log_(2)(4x^3))/log_(2)(2x)=

= (log_(2)4+3log_(2)x)/(log_(2)2+log_(2)x)=

=(2+3log_(2)x)/(1+log_(2)x)

log_(2x)(4x)=(log_(2)(4x))/log_(2)(2x)=

= (log_(2)4+log_(2)x)/(log_(2)2+log_(2)x)=

=(2+log_(2)x)/(1+log_(2)x)

Замена переменной:

log_(2)x=t

(2+3t)^2/(1+t)^2 - 2 = (2+t)/(1+t)

((4+12t+9t^2)-2*(1+t)^2-(2+t)*(1+t))/((1+t)^2)=0

(6t^2+9t)/(1+t)^2=0

{6t^2+9t=0
{1+t ≠ 0 ⇒ t ≠ -1

6t^2+9t=0
3t*(2t+3)=0
t=0 или 2t+3=0
t=0 или t=-3/2

Обратный переход к переменной х:

log_(2)x=0 ⇒ x=2^(0); [b] x=1[/b]
log_(2)x=-3/2 ⇒ x=2^(-3/2); [b] x=sqrt(1/8)=1/(2*sqrt(2))[/b]

О т в е т.
а)1; 1/(2*sqrt(2))

б)1= 2^(0)< 2^(0,1)

1/2^(0)=1 > 1/2^(0,1)

1∉ [1/2; 1/2^(0,1)]

2*sqrt(2) > 2
1/2sqrt(2) < 1/2
1/(2*sqrt(2))∉ [1/2; 1/2^(0,1)]

Нет корней принадлежащих указанному отрезку

∠ АМВ= ∠ PMN как вертикальные.
(1/3)x+30 = (1/2)x+10
30-10=(1/2)x-(1/3)x

20=(1/6)x
x=120 градусов.

∠ АМВ= ∠ PMN = (1/3)*120 градусов+ 30 градусов=70 градусов

∠ BMN - смежный с ∠ PMN
Сумма смежных 180 градусов

∠ BMN=180 градусов-70 градусов= [b]110 градусов[/b]

Если подлогарифмические выражения равны, то одз можно сделать с одним из них, да? Но x^3-8x+8 и х-2 не равные выражения

одз:
{x^3-8x+8>0 ⇒ (x-2)*(x^2+2x-4)>0
{(x-2)^2>0 ⇒ x - любое, кроме х=2

Решаем неравенство
(x-2)(x^2+2x-4)>0

x^2+2x-4=0
D=4-4*(-4)=20
x=(-2-2sqrt(5))/2 или x=(-2+2sqrt(5))/2

x=-1-sqrt(5); х=)-1+sqrt(5)

ОДЗ:

____ (-1-sqrt(5)) __+___ (-1+sqrt(5)) __-__ (2) __+__

x ∈ (-1-sqrt(5));-1+sqrt(5)) U (2;+ ∞ )

Теперь само уравнение
x^3-8x+8=(x-2)^2
x^3-8x+8=x^2-4x+4
x^3-x^2-4x+4=0
x^2*(x-1)-4*(x-1)=0
(x-1)*(x^2-4)=0
x=1; x= ± 2

х=2 не удовлетворяет ОДЗ.
х=1 и х=-2 корни уравнения

О т в е т. [b] -2; 1[/b]

[b]a≥ 0[/b]

Двойное неравенство:

2 ≤ (√a–2cosx+1)/( sin^2x+a+2√a+1) ≤ 3

которое равносильно системе неравенств:

{(√a–2cosx+1) /( sin^2x+a+2 √a+1) ≤ 3
{(√a–2cosx+1) /( sin^2x+a+2 √a+1 ) ≥ 2

Знаменатель:

sin^2x+a+2sqrt(a)+1=(sinx)^2+(sqrt(a)+1)^2 сумма двух неотрицательных чисел.
(sinx)^2+(sqrt(a)+1)^2 ≥ 0
так как sqrt(a)+1 >0, то

[b](sinx)^2+(sqrt(a)+1)^2> 0 [/b]

Значит,
{√a–2cosx+1 -3sin^2x-3a-6√a-3 ≤ 0
{√a–2cosx+1 -2sin^2x-2a-4√a-2 ≥ 0

sin^2x=1-cos^2x

{3cos^2x-2cosx-3a-5√a-6 ≤ 0
{2cos^2x-2cosx-2a-3√a-3 ≥ 0

...

Ответ выбран лучшим

работает один первый - 0,1
работает один второй -0,1
работают оба - 0,3

0,1+0,1+0,3=0,5 - вероятность того, что хотя бы один занят.

1-0,5=0,5 вероятность того, что оба свободны (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x>0
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4
{16x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/16
{(x/2) ≠ 1 ⇒ x ≠ 2

x ∈ (0;1/16)U(1/16;1/4)U(1/4;2) U(2;+ ∞ )

Переходим к основанию 2.
В условиях ОДЗ

log_(4x)sqrt(x)=log_(2)sqrt(x)/log_(2)4x=

=(1/2)log_(2)|x|/(log_(2)4+log_(2)x)= x>0; |x|=x=

=(1/2)log_(2)x/(2+log_(2)x)

log_(16x)x^3=3log_(2)x/(4+log_(2)x)

log_(x/2)x^2=2log_(2)x/(log_(2)x-1)

Замена переменной:

log_(2)x=t

20*((1/2)t/(2+t)) + 7* (3t/(4+t)) =3*(2t/(t-1))

Так как 2+t≠ 0; 4+t≠ 0; t-1≠ 0 ( см. ОДЗ)

умножаем уравнение на произведение этих множителей:

5t*(5t^2+3t-26)=0

t_(1)=0 или D=9+520=529; t_(2)=(-3-23)/10=-2,6 или t_(3)=(-3+23)/10=2

Обратный переход:

log_(2)x=0

x_(1)=1

log_(2)x=-2,6

x_(2)=2^(-2,6)

log_(2)x=2

x_(3)=4

О т в е т. [b] 1; (1/2)^(2,6)= корень пятой степени из (1/2)^13; 4[/b]

1.
y+xy=4x+16

y=(4x+16)/(1+x)

y<0 ⇒

_+__ (-4) __-__ (-1) __+__

-4<x<-1
⇒
x=-3; тогда y=-2
x=-2; тогда y=-8

О т в е т. (-3;-2);(-2;-8)

0,5 - вероятность того, что работает Александр
0,5-0,3=0,2 - вероятность того, что он работает один. (прикреплено изображение)

35%+25%=60% приходится на две стороны

100-60=40% приходится на АС

40%=0,4

24*0,4=9,6 см - длина стороны АС

Ответ выбран лучшим

6.
S_(незакрашенного сегмета)=S_(сектора)- S_( Δ)=

=(1/6)S_(круга)-R^2sqrt(3)/4=(1/6)πR^2-(R^2sqrt(3)/4)

S_(фигуры)=S_(круга)-S_(незакрашенного сегмета)=

=πR^2 - ( (1/6)πR^2-(R^2sqrt(3)/4))=

= [b](5/6)πR^2+(R^2sqrt(3)/4) [/b]- о т в е т.

10
S_((1/4) части круга R=10)-s_(половинки круга R=5)=

=(1/4)π*10^2- (1/2)π*5^2=25π-(25/2)π= [b](25/2)π[/b]- о т в е т.

1.

В первой скобке
9a^2-16b^2=(3a-4b)(3a+4b)

(9a^2-16b^2)/(4b+3a)= (3a-4b)(3a+4b)/(4b+3a)=3a-4b

(a^2b-3ab^2)=ab(a-3b)

(a^2b-3ab^2)/ab=ab(a-3b)/ab=a-3b

(3a-4b-(a-3b))^2=(3a-4b-a+3b)^2= [b](2a-b)^2[/b]

Во второй скобке:
8a^3-b^2=(2a-b)*(4a^2+2ab+b^2)

(8a^3-b^2)/(2a-b)=(2a-b)*(4a^2+2ab+b^2)/(2a-b)=4a^2+2ab+b^2

6ab- (8a^3-b^2)/(2a-b)=6ab-4a^2-2ab-b^2=4ab-4a^2-b^2=

=-(4a^2-4ab+b^2)= [b]-(2a-b)^2[/b]

Делим и получаем (-1)

О т в е т. -1

2.
Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя:
x-3=0; x+1=0
x=3; x=-1
Обозначаем сплошным кружком ( квадратная скобка на рис.)

Нули знаменателя:
x-2=0; x+2=0
x=2; x=-2
Обозначаем пустым кружком (круглая скобка)

__+_ (-2) __+_ [-1] __-__ (2) __+_ [3] __+__

О т в е т. [b] [-1;2) U{-3}[/b]

3.

В прямоугольном треугольнике - середина гипотенузы центр описанной окружности,
СM=AM=BM

Обозначим k - коэффициент пропорциональности, тогда
CM=5k,CH=4k и CM:CH=5:4

По теореме Пифагора из Δ CMH
HM=3k

Так как AM=BM=CM=5k
то AH=2k; AB=10k

AH:AM=2:10= [b]1:5[/b] - о т в е т.

4.

Пусть взял х руб. под p%

Через год начислены проценты, т.е должен банку
x+0,01px=x*(1+0,01p)

Погасил

(1/6)*x(1+0,01p)

На конец года долг составил (5/6)*х*(1+0,01p)

На остаток начислены проценты и долг составил

(5/6)*x*(1+0,01p)^2

Вернул банку на 20% больше, чем взятый кредит, т.е 1,2х

Уравнение
(5/6)*x*(1+0,01p)^2=1,2x

(1+0,01p)^2=36/25

1+0,01p=6/5

0,01p=0,2

[b]p=20%
[/b]
(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{log_(x)sqrt(5x)≥ 0 ⇒ применяем метод рационализации
(x-1)*(sqrt(5x)-1)≥ 0

x ∈ (0;1/5] U (1;+ ∞)

log_(x)sqrt(5x)=(log_(x)sqrt(5)+log_(x)sqrt(x))=(1/2)log_(x)5+(1/2)

Замена переменной:

log_(x)5=t
t ≠0

log_(5)x=1/t

sqrt((1/2)t+(1/2))*(1/t)=-1

Возводим в квадрат при условии, что t < 0

((1/2)t+(1/2))*(1/t^2)=1

2t^2-t-1=0

t=-1/2 или t=1 ( не удовл. условию t<0)

log_(x)5=-1/2

x^(-1/2)=5

1/sqrt(x)=5

x=1/25 ∈ ОДЗ

О т в е т. 1/25

Ответ выбран лучшим

A _____ C ____ B

Пусть скорость автомобиля х км в час.

Тогда за 3 часа автомобиль проехал 3х км.

Когда выехал мотоциклист, расстояние между ними 3х км.
Мотоциклист догонит автомобиль за счет того, что его скорость больше.
(110-х) км в час - скорость приближения мотоциклиста к велосипедисту.

3x/(110-x) час. потребуется мотоциклисту, чтобы догнать автомобиль.

Автомобиль за это время проедет
x * (3x/(110-x) )=3x^2/(110-x) км

Останется проехать:

400 - 3x - 3x^2/(110-x) со скоростью х, а время такое же с каким мотоциклист проехал путь АС.

Уравнение:

400 - 3x - (3x^2/(110-x)) = х * 3x/(110-x)

Пусть m пятилитровых вёдер и n- 14-литровых.

Всего m+n=11 вёдер

V=5m+14*n
m+n=11

14*5+5*6=70+30=100

( 6 пятилитровых и 5 четырнадцитилитровых)

О т в е т. 100 литров

или так считать:

n=11-m
5*m+14*(11-m)=154-9m=154-9*6=100

Из условия задачи: "если укладывать в ряд по 20 плиток, то на квадратную площадку не хватает" следует, что плиток меньше чем 20*20=400

Из условия задачи: "если укладывать в ряд по 19 штук, то до прямоугольной площадки не хватает 5 плиток" следует, что
количество плитки при делении на 19 дает в остатке 14
x=19k+14

Из условия задачи: "если укладывать в ряд по 18 штук, то до прямоугольной площадки не хватает 6 плиток" следует, что
количество плитки при делении на 18 дает в остатке 12

x=18n+12

19k+14 = 18n +12

19k +2 = 18n ⇒ 19*k - четное

19*16=304

304+2=306

306:18=17

304+14=318 или 18*17+12=318

289 < 318
289=17^2

О т в е т. 318-289=29 плиток останется.

АС:
y=kx+b
Подставляем координаты точки A:
7=5k+b
Подставляем координаты точки B:
3=3k+b

Система
{7=5k+b
{3=3k+b

Вычитаем
4=2k
k=2
b=7-5k=7-5*2=-3

y=2x-3 - [b]уравнение АС[/b]

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Найдем координаты точки О - середины АС
x_(O)=(x_(А)+x_(С))/2=(5+3)/2=4
y_(O)=(y_(А)+y_(С))/2=(7+3)/2=5

[b]O(4;5)[/b]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1):
k_(BD)=-1/k_(AC)=-1/2

Тогда уравнение прямой BD:
y=(-1/2)x+b
Чтобы найти b подставим координаты точки О

5=(-1/2)*4+b
b=7

y=(-1/2)x+7 - [b] уравнение BD[/b]

Ответ выбран лучшим

Проводим плоскость через точку M перпендикулярно прямой.
Направляющий вектор прямой vector{a}=(-1;0;1) становится нормальным вектором плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M_(o) (x_(o);y_(o);z_(o)) и нормальным вектором vector{n}=(A;B;C) имеет вид:
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

-1*(x+1)+0*(y-0)-1*(z+1)=0
-х-z-2=0
x-z-2=0

Найдем точку пересечения прямой
и плоскости.
Для этого составим параметрические уравнения прямой
Вводим параметр t:
x/(-1)=(y-1,5)/(0)=(z-2)/1= t

x=-t
y=1,5
z=t+2

Подставляем в уравнение плоскости

-t-(t+2)-2=0
-2t=4
t=-2

x=2
y=1,5
x=-2+2=0
(2;1,5;0) - координаты точки О- проекции точки M на прямую

Так как
МО=ОМ_(1)
О- середина ММ_(1)
x_(O)=(x_(M)+x_(M_(1)))/2
y_(O)=(y_(M)+y_(M_(1)))/2
z_(O)=(z_(M)+z_(M_(1)))/2

2=((-1)+x_(M_(1)))/2
x_(M_(1))=2*2+1=5

1,5=(0+y_(M_(1)))/2
y(M_(1))=2*1,5=3

0=(-1+z_(M_(1)))/2

z_(M_(1))=1

[b]M_(1)(5;1,5;1)[/b]

Ответ выбран лучшим

S_(бок)=P_(осн)*H=3a*H

H= AA_(1)=BB_(1)=CC_(1)
a=AB=BC=AC

Из прямоугольного треугольника ВC_(1)C

H_(призмы)=d/2
a=dsqrt(3)/2

S_(бок)=3a*H=3*(dsqrt(3)/2)*(d/2)

72 sqrt(3)=3sqrt(3)d^2/4

d^2=96
d=4sqrt(6)

V=S_((осн)*H=(a^2sqrt(3)/4)*H=(dsqrt(3)/2)^2*(sqrt(3)/4)*d/2=

=3sqrt(3)d^3/32= [b]108sqrt(2)[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскладываем на множители. Выносим за скобки 5 в меньшей степени:
5^5+5^6=5^(5)*(1+5)=5^5*6
Один из множителей ( а именно 6) делится на 3, значит и все произведение делится на 3, т.е кратно 3

[b]ρ=3sinφ+2[/b]

φ =0⇒ sin0=1
ρ=3*0+2=2

На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=2
получаем точку А (0;2)

φ =π/8⇒
ρ=

φ =π/4⇒sin(π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ=3*sin(π/4)+2≈ 3*0,7+2=4,1
На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ≈4,1
получаем точку С (π/4; 4,1)

φ =3π/8⇒
ρ=

φ =π/2⇒sin(π/2)=1
ρ=3*sin(π/2)+2= 3*1+2=5
На луче φ =π/2 откладываем расстояние ρ=5
получаем точку Е (π/2;5)

φ =5π/8⇒
ρ=

φ =3π/4⇒sin(3π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ=3*sin(3π/2)+2≈ 3*0,7+2=4,1
На луче φ =3π/4 откладываем расстояние ρ≈4,1
получаем точку G (3π/4; 4,1)

φ =7π/8⇒
ρ =

φ =π⇒ sinπ=0
ρ = 3*0+2=2
На луче φ =π откладываем расстояние ρ=2
получаем точку M (π; 2)

и так далее

Переход от полярной системы координат к декартовой

x=ρ·cos φ
y=ρ·sin φ
x^2+y^2=ρ^2⇒ ρ=sqrt(x^2+y^2)

sin φ φ =y/ρ=y/sqrt(x^2+y^2)

Подставляем в данное уравнение:

sqrt(x^2+y^2)=3*y/sqrt(x^2+y^2) + 2

x^2+y^2=3y+2sqrt(x^2+y^2)

(x^2+y^2-3y)=2sqrt(x^2+y^2)

Возводим в квадрат

(x^2+y^2-3y)^2=4(x^2+y^2) уравнение линии в [b] декартовой системе[/b] координат (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть AB=x
Тогда
BC=x*sin ∠ A=x*(3/5)=0,6x

По теореме Пифагора
AB^2=AC^2+BC^2
x^2=2^2+(0,6x)^2
x^2=4+0,36x^2
0,64x^2=4
x^2=400/64
x^2=100/16
x=10/4=2,5
[b]AB=2,5 см[/b]
[b]BC[/b]=AB*0,6= [b]1,5 cм[/b]

π(x/3) =(-1)^(k)arcsin(–√3/2)+πk, k ∈ Z
π(x/3) =(-1)^(k)(-π/3)+πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k+1)+3k, k∈ Z
k=-1
x=-3

k=0
x=0

k=1
[b]x=4[/b]

k=2
x=5

О т в е т. [b]4[/b]

sin(2x+(π/6))=cosx+cos(x+(π/6))*sinx

Формула:
[b]sin α *cos β =(1/2)sin( α + β ) +(1/2)sin( α - β )
[/b]
cos(x+(π/6))*sinx= (1/2)sin(x+x+(π/6)) + (1/2)sin(x-x-(π/6)

cos(x+(π/6))*sinx=(1/2)sin(2x+(π/6))+(1/2)sin(-π/6)

cos(x+(π/6))*sinx=(1/2)sin(2x+(π/6))-(1/4)

Уравнение:

sin(2x+(π/6))=cosx+(1/2)sin(2x+(π/6))-(1/4)

[b](1/2)*sin(2x+(π/6))=cosx-(1/4)[/b]

Формула:
[b]sin( α + β )=sin α cos β +cos α sin β [/b]

(1/2)*sin2x*cos(π/6)+(1/2)*cos2xsin(π/6)=cosx-(1/4)

(1/2)*sin2x*(sqrt(3)/2)+(1/2)*cos2x*(1/2)=cosx-(1/4)

Умножаем на 4:
sqrt(3)sin2x + cos2x=4cosx-1;

2sqrt(3)sinx*cosx+2cos^2x-1=4cosx-1;

2sqrt(3)sinx*cosx+2cos^2x-4cosx=0

2cosx*(sqrt(3)sinx+cosx-2)=0

cosx=0 или sqrt(3)sinx+cosx-2=0

cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]

или

sqrt(3)sinx+cosx-2=0

sqrt(3)sinx+cosx=2

уравнение вида

asinx+bcosx=c

Решаем [b] либо методом введения вспомогательного угла[/b]

sqrt(3)/2*sinx+(1/2) cosx=1

cos(x-(π/3))=1

x-(π/3)=2πm, m ∈ Z

[b]х = (π/3)+2πm, m ∈ Z[/b]

[b]либо как однородное второго порядка[/b] с аргументом (x/2)

2sqrt(3)sin(x/2)*cos(x/2) +cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=2*(cos^2(x/2)+sin^2(x/2))

2sqrt(3)sin(x/2)*cos(x/2) -cos^2(x/2)-3sin^2(x/2)=0

3tg^2(x/2)-2sqrt(3)tg(x/2)+1=0

D=12-12=0

tg(x/2)=sqrt(3)/3

(x/2)=(π/6)+πk, k ∈ Z

[b]x=(π/3)+2πk, k ∈ Z[/b]

О т в е т.
а) (π/2)+πn, n ∈ Z; (π/3)+2πk, k ∈ Z

б)

x=(π/2)-5π=-9π/2

x=(π/2)-4π=-7π/2

x=(π/3)-4π=-11π/3.

[b]-4π[/b]=-24π/6 < [b]-11π/3[/b]=-22π/6 [b] <[/b] [b] -7π/2[/b]=-21π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x^2/4)+y^2=1
a=2; b=1
Верхняя вершина (0;1)
a>b, значит
b^2=a^2-c^2
c^2=a^2-b^2=2^2-1=3
c=sqrt(3)
Фокусы в точках F_(1) (-sqrt(3);0) и F_(2)(sqrt(3);0)

Уравнение окружности с центром (x_(o);_(o)) и радиусом R
имеет вид:
(x-x_(o))^2+(y-y_(o))^2=R^2

По условию центр окружности в точке (0;1)
Тогда уравнение окружности:
x^2+(y-1)^2=R^2

По условию
точки F_(1) (-sqrt(3);0) и F_(2)(sqrt(3);0)
лежат на окружности, значит координаты точек удовлетворяют уравнению:

sqrt(3)^2+(0-1)^2=R^2
R^2=4
R=2
О т в е т. [b]x^2+(y-1)^2=4[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=3sqrt(x^2+y^2)/x + (y/x)
y`=3sqrt(1+(y/x)^2) + (y/x)

Уравнение имеет вид:
y`= φ (y/x)

Значит, это однородное уравнение.

Решают заменой
y/x=u

y=xu

y`=x`·u+x·u`

x`=1 так как х – независимая переменная

u+x·u`=3sqrt(1+u^2)+u

x·u`=3sqrt(1+u^2) – уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

x*du=3sqrt(1+u^2)dx

du/sqrt(1+u^2)=3dx/x

Интегрируем:

∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫ 3dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=3ln|x|+lnC

u+sqrt(1+u^2)=Cx^3

(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx^3

[b]y+sqrt(x^2+y^2)=Cx^4[/b]- о т в е т.

1. ОДЗ: [b]sinx >0 [/b]

[b]x∈(2πk,π+2πk), k∈Z[/b]

Замена переменной
log_(0,25)sinx=t
2t^2+7t-4=0
D=49-4*2*(-4)=81
t_(1)=(-7-9)/4=-4; t_(1)=(-7+9)/4=1/2;

Обратно:
log_(0,25)sinx=-4 или log_(0,25)sinx=1/2
sinx=(0,25)^(-4) или sinx=(0,25)^(1/2)

sinx=16 - уравнение не имеет корней в силу ограниченности синуса

sinx=1/2
[b]x=(-1)^(n)*(π/6)+πn, n ∈ Z[/b]

Найденные корни принадлежат ОДЗ ( 1/2>0)

Указанному промежутку принадлежит один корень

x=(5π/6)-4π= [b] -19π/6[/b]

[b]-7π/2[/b]=-21π/6 < [b] -19π/6[/b] < -12π/6= [b]-2π[/b]

О т в е т. a) (-1)^(n)*(π/6)+πn, n ∈ Z; б) -19π/6

2.

Умножаем и числитель и знаменатель дроби справа на 2^(x):

((2^(x))^2-68)/((2^(x))^2-64) ≥ 1

(4^x-68)/(4^(x)-64)≥ 1

[b]Замена переменной:[/b]

4^(x)=t

t>0

(t-68)/(t-64) - 1 ≥ 0

(t-68-t+64)/(t-64) ≥ 0

-4/(t-64) ≥ 0

1/(t-64) ≤ 0

t-64 <0

Обратный переход:

4^(x) -64 < 0

4^(x) < 64
4^(x) < 4^3

[b]x < 3 [/b]

О т в е т. (- ∞ ; 3)

ОДЗ:
{3x^2 2x>0 ⇒ x*(3x 2)>0 ⇒ x<-2/3 или x>0
{6x^2-5x>0 ⇒ x*(6x-5) >0 ⇒ x < 0 или x > 5/6
{log_(6)(6x^2-5x) ≠ 0 ⇒ 6x^2-5x ≠ 1 ⇒ D=49; х ≠ -1/6; х ≠ 1

x ∈ (-∞; -2/3) U (5/6;1) U (1; ∞)

Переходим к логарифму по основанию 5

(log_(5)(3x^2 2x))/(log_(5)(6x^2-5x)/log_(5)6) ≤ 0

(log_(5)6)* (log_(5)(3x^2 2x)/log_(5)(6x^2-5x)) ≤ 0

Так как по формуле перехода к другому основанию:
log_(c)a/log_(c)b=log_(b)a
a>0;b>0;c>0; c ≠ 1;b ≠ 1

и log_(5)6 > log_(5)5=1, то

log_(6x^2-5x)(3x^2 2x) ≤ 0

Применяем [b]метод рационализации логарифмических неравенств:[/b]

(6x^2-5x-1)*(3x^2 2x-1) ≤ 0

(6x 1)*(x-1) *(3x-1)(x 1) ≤ 0

Применяем метод интервалов:

__ _ [-1]__-_ [-1/6] __ _ [1/3] _-__ [1] _ __

х ∈ [-1;-1/6] U[1/3;1]

С учетом ОДЗ: (-∞; -2/3) U (5/6;1) U (1; ∞)

получаем о т в е т.

[b][-1;2/3) U (5/6;1)[/b] (прикреплено изображение)

φ (x;y)=x^2-y^2-9

Вводим в рассмотрение функцию Лагранжа:
F(x;y; λ )=5-3x-4y+ λ *(x^2-y^2-9)

Находим стационарные точки

F`_(x)=0
F`_(y)=0
F`_( λ )=0

{-3+2x λ=0
{-4-2y λ =0
{x^2-y^2-9=0
нет решения....

3.10

a)
A ∩ B= ∅
A ∪ B={-3;-2;2;3}
A\B=A={-2;3}
B\A=B={-3;2}
vector{A}=невозможно ответит на вопрос, так как нет U
A×B= {(-2;-3);(-2;2);(3;-3);(3;2)}

б)
A ∩ B= [-2;2]
A ∪ B=[-3;3]
A\B=(2;3]
B\A=[-3;2)
vector{A}= (- ∞;-2)U(3;+ ∞ )
A×B=[-2;3]×[-3;2]- квадрат ABCD на плоскости
см. рис.1

в)
A ∩ B= (4;10)
A ∪ B=(0;+∞)
A\B=(0;4]
B\A=[10;+∞)
vector{A}= (- ∞;0]U[10;+ ∞ )
A×B=(0;10)×(4;+ ∞ )- прямоугольная полоса, уходящая в бесконечность.
Границы пунктиром:
х=0 x=10 и y=4,
не входят
см. рис. 2
особенно х=0 плохо виден пунктир, потому что ось Оу нарисована.

г)
A ∩ B= [-3;3]
A ∪ B=(-∞;+∞)
A\B=(-∞;-3)
B\A=(3;+∞)
vector{A}= (3;+∞)
A×B=(0;10)×(4;+ ∞ )- верхний правый угол на плоскости
Границы x=3 и у=-3 входят
см. рис. 3

д)
A ∩ B=(-5;10)
A ∪ B=(-10;20)
A\B=(-10;-5]U[10;20)
B\A= ∅
vector{A}= (- ∞;-10]U[20;+ ∞ )
A×B=[-2;3]×[-3;2]- прямоугольник АВСD на плоскости
см. рис.4, границы не входят
(прикреплено изображение)

y`=10x-3
y`=0

10x-3=0
10x=3

x=3/10
x=0,3

0,3 ∈ (0;1) и является внутренней точкой промежутка.

Производная при переходе через точку x=0,3 меняет знак с минуса на плюс
Значит х=0,3 - точка минимума

y(0,3)=5*(0,3)^2-3*0,3+1=0,45-0,9+1=0,55 - наименьшее значение функции на (0;1)

Наибольшего на (0;1) нет

На [0;1]

f(0)=1
f(1)=5-3+1=3 - наибольшее значение функции, но на [0;1]

1.
ОДЗ: х ≠ 0

Логарифмируем по основанию 2
lоg_(2)(2^(x)*5^((x+1)/x))=lоg_(2)50

Логарифм произведения равен сумме логарифмов
lоg_(2)(2^(x)) + log_(2)*5^((x+1)/x))=lоg_(2)2+log_(2)25

x+((x+1)/x)log_(2)5=1+2log_(2)5

(x-1) + (((x+1)/x) - 2)log_(2)5=0

(x-1) + (1-x)/x*log_(2)5=0

(x-1)* (1- (1/x)log_(2)5)=0

x-1=0 или 1- (1/x)log_(2)5)=0

[b]x=1 или x=log_(2)5[/b]

При х=log_(2)5

2^(log_(2)5) * 5^((log_(2)5+1)/log_(2)5)=

=5 ^(log_(2)5+log_(2)2)/log_(2)5)

=5 * 5 ^(log_(2)10/log_(2)5)= 5* 5^(log_(5)10)=5*10=50

50=50 - верно

О т в е т. 1; log_(2)5
2.
Основное логарифмическое тождество:
3^(log_(3)x)=x
x>0

9^(log_(3)x)=(3^(2))^(log_(3)x)=(3^(log_(3)x))^2=x^2
3^(log_(3)27)=27

Уравнение

x^2-12x+27=0

D=144-2*27=36
x_(1)=(12-6)/2=3; x_(2)=(12+6)/2=9

О т в е т. [b]3; 9[/b]

[b]P.S.[/b]
Предыдущее решение первой задачи [b]неверное,[/b] так как решено способом перебора (подбора) вариантов.

Такой метод решения предполагает [b]доказательство[/b] того факта, что все рассмотренные случаи единственно возможные, т. е что других случаев точно нет.

А это невозможно, так как может быть бесчисленное множество разложений чиcла 10:
(1/4)*(40)
sqrt(2)* sqrt(50)

и т.д.

Есть [b]стандартные методы решения[/b] показательных уравнений:

приравнивание оснований,
разложение на множители и приравнивание к 0
сведение к алгебраическому (замена переменной)
логарифмирование
графический способ.

Имеем неопределённость (0/0).
Применяем правило Лопиталя:

lim_(x→0)(sinx-xcosx)`/(sin^22x)`=

=lim_(x→0)(cosx-cosx-x*(-sinx))/(2sin2x*cos2x*(2x)`)=

=lim_(x→0)(x*sinx)/(4sin2x*cos2x)=

=lim_(x→0)(x*sinx)/(8*sinx*cosx*cos2x)=
=lim_(x→0)(x*)/(8*cosx*cos2x)=0/8 [b]=0[/b]

2.
Обозначим
y=(sinx)^(tgx)
Логарифмируем

lny=tgx*ln(sinx)

lim_(x→0)lny= lim_(x→0)tgx*ln(sinx)= lim_(x→0)ln(sinx)/ctgx=

неопределённость (∞/∞).

Применяем правило Лопиталя:

lim_(x→0)(ln(sinx))`/(ctgx)`=lim_(x→0((1/sinx) *(cosx))/(-1/sin^2x)=

=lim_(x→0(-sin^2x*cosx/sinx)=lim_(x→0(-sinx*cosx)=0

lim_(x→0)lny= 0

Меняем знак предела и знак непрерывной функции

ln(lim_(x→0)y)=0

lim_(x→0)y=e^(0)=1

О т в е т. [b]1[/b].

Ответ выбран лучшим

(1/4)=2^(-2)

(1/4)^(-1/2)=(2^(-2))^(-1/2)=2^(-2*(-1/2))=2
16^(1/2)=4
(1/4)^(-1/2)*16^(1/2)=2*4=8

·(1/25)^(–1/2)=(5^(-2))^(-1/2)=5

2^(-1)=1/2
8^(-1/3)=(2^(3))^(-1/3)=2^(-1)=1/2

2^(–1)·(1/25)^(–1/2)·8^(–1/3)=(1/2)*5*(1/2)=5/4

8- (5/4)= 8-1,25 [b]=6,75[/b]

1.
(a-b)*(a+b)=a^2-b^2

(xsqrt(2)+2sqrt(2)-1)(xsqrt(2)+2sqrt(2)+1)=

=(xsqrt(2)+2sqrt(2))^2-1=

=2x^2+8x+8-1=2x^2+8x+7

Уравнение имеет вид
sqrt(2x^2+8x+7)=x^2+4x+4

Замена:
x^2+4x=t

sqrt(2t+7)=t+4
Возводим в квадрат

2t+7=t^2+8t+16

t^2+6t+9=0
t=-3
x^2+4x==3
x^2+4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=-3; x_(2)=-1

Проверка:
При х=-3
sqrt((-3sqrt(2)+2sqrt(2)-1)*(-3sqrt(2)+2sqrt(2)+1))=(-3)^2+4*(-3)+4
sqrt(-1*(sqrt(2)+1)*(-1)*(sqrt(2)-1)=1

sqrt(2-1)=1 - верно

При х=-1
sqrt((-sqrt(2)+2sqrt(2)-1)*(-sqrt(2)+2sqrt(2)+1))=(-1)^2+4*(-1)+4
sqrt((sqrt(2)-1)*(sqrt(2)+1))=1
sqrt(2-1)=1 - верно

О т в е т. -3;-1

2.
Раскладываем на множители способом группировки:
2^(x^2-1)*(3^(x)+6)-(3^(x)+6)=0

(3^(x)+6)*(2^(x^2-1)-1)=0

3^(x)+6 > 0 при любом х, график показательной функции y=3^(x) расположен выше оси Ох

2^(x^2-1)-1=0

2^(x^2-1)=1

2^(x^2-1)=2^(0)

x^2-1=0

x^2=1

[b]x= ±1 [/b] - о т в е т.

3.

ОДЗ:
{7-x >0
{x^2-5>0

(- ∞ ;-sqrt(5)) U(sqrt(5);7)
Раскладываем на множители способом группировки:

log^2_(3)(7-x)*( [b]log_(2)(x^2-5)-2[/b]) +3*( [b]log_(2)(x^2-5)-2[/b]) =0

(log_(2)(x^2-5)-2) *(log^2_(3)(7-x) + 3)=0

log^(2)_(3)(7-x) +3 > 0

значит
log_(2)(x^2-5)-2=0

log_(2)(x^2-5) = 2

x^2-5=2^(2)

x^2=9

x=±3
оба корня удовлетворяют ОДЗ

О т в е т. [b]± 3[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
sinx*(2sinx-sqrt(3))=0
sinx=0 или 2sinx-sqrt(3)=0

sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

sinx=sqrt(3)/2 ⇒ (-1)^(k)*arcsin(sqrt(3)/2) + πk, k ∈ Z
x= [b](-1)^(k)*(π/3) + πk, k ∈ Z[/b]

2.
Замена переменной:
sinx=t
Получаем квадратное уравнение
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
Уравнение имеет [b]два[/b] корня
t_(1)=(3-1)/2=1; t_(2)=(3+1)/2=2

Обратный переход
sinx=1
x=(π/2)+2πk, k ∈ Z[/b]

или

sinx=2 - уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1 не будет принимать значение, равное 2

3.
8sin^2x+cosx+1=0

Так как sin^2x+cos^2x=1, то sin^2x=1-cos^2x

8*(1-cos^2x)+cosx+1=0
[b]8cos^2x-cosx-9=0[/b]

Замена переменной:
cosx=t
Получаем квадратное уравнение
8t^2-t-9=0
D=1-4*8*(-9)=289
Уравнение имеет [b]два[/b] корня
t_(1)=(1-17)/16=-1; t_(2)=(1+17)/16=18/16=9/8

Обратный переход

cosx=-1
[b]x=π+2πn, n ∈ Z[/b]

или
cosx=9/8

9/8 > 1
уравнение не имеет корней, так как |cosx| ≤ 1 не будет принимать значение, равное 9/8

4.
sinx-sqrt(3)cosx=0

Это однородное уравнение первой степени.

Так как косинус и синус одновременно не могут равняться 0, то
один из них отличен от нуля, пусть
cosx ≠ 0

Делим уравнение на cosx≠ 0

(sinx/cosx)-sqrt(3)(cosx/cosx)=0
tgx-sqrt(3)=0
tgx=sqrt(3)
x=arctg(sqrt(3))+πn, n ∈ Z
[b]x=(π/3)+πn, n ∈ Z[/b]

5.
3sin^2x-2sinxcosx-cos^2x=0

Это однородное уравнение второй степени.

Так как косинус и синус одновременно не могут равняться 0, то
один из них отличен от нуля, пусть
cosx ≠ 0

Делим уравнение на cos^2x≠ 0

3tg^2x-2tgx-1=0
D=4-4*(3)*(-1)=16
tgx=-1/3 или tgx=1

x=arctg(-1/3)+πn, n ∈ Z или х=arctg1+πn, n ∈ Z

[b]х= - arctg(1/3)+πn, n ∈ Z [/b] или [b]х=(π/4)+πn, n ∈ Z[/b]

1.
cosx=-sqrt(3)/2
х= ± arccos(-sqrt(3)/2) +2πn, n ∈ Z
х= ±(π- arccos(sqrt(3)/2)) +2πn, n ∈ Z
х= ±(π- (π/6)) +2πn, n ∈ Z
[b]x= ± (5π/6) +2πn, n ∈ Z[/b]

2.
3x=t
sint=sqrt(3)/2
t=(-1)^(k)*arcsin(sqrt(3)/2) + πk, k ∈ Z
t=(-1)^(k)*(π/3) + πk, k ∈ Z

3x=(-1)^(k)*(π/3) + πk, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)*(π/9) + (π/3)*k, k ∈ Z[/b]

3.
(х/2)= ± arccos(sqrt(3)/2) +2πn, n ∈ Z
(х/2)= ±(π/6) +2πn, n ∈ Z
x=±(2*π/6) +2*2πn, n ∈ Z
[b]x= ±(π/3) +4πn, n ∈ Z[/b]

4.
x-(π/4)=arcctg1+πn, n ∈ Z
x-(π/4)=(π/4)+πn, n ∈ Z
x=(π/4)+(π/4)+πn, n ∈ Z
[b]x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]

5.
sinx*(2cosx-sqrt(2))=0
sinx=0 или 2cosx-sqrt(2)=0

sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

cosx=sqrt(2)/2 ⇒ ± arccos(sqrt(2)/2) +2πn, n ∈ Z

[b]x=±(π/4)+2πn, n ∈ Z[/b]

6.
sinx*(2sinx-sqrt(3))=0
sinx=0 или 2sinx-sqrt(3)=0

sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]

sinx=sqrt(3)/2 ⇒ (-1)^(k)*arcsin(sqrt(3)/2) + πk, k ∈ Z
x= [b](-1)^(k)*(π/3) + πk, k ∈ Z[/b]

во второй четверти.

Паралл[b]е[/b]л[b]е[/b]пипе[b]д[/b]

V=a*b*h=15*13*10=1950

S_(п.п)=2*a*b+2*a*h+2*b*h=2*15*13+2*15*10+2*13*10=390+300+260=

=950

3)? непонятно, что требуется найти.

Это биквадратное уравнение.
Замена переменной:
x^2=t
x^4=t^2
получаем квадратное уравнение:
t^2-(4a-5)t+3a^2-5a=0

D=(4a-5)^2-4*(3a^2-5a)=16a^2-40a+25-12a^2+20a=4a^2+25
D>0 при любом a, значит уравнение имеет два корня.

t_(1)= (4a-5-sqrt(4a^2+25))/2 или t_(2)= (4a-5+sqrt(4a^2+25))/2

Обратный переход приводит к двум квадратным уравнениям

x^2= (4a-5-sqrt(4a^2+25))/2 или x^2=(4a-5+sqrt(4a^2+25))/2

Если одно из уравнений не имеет корней, а второе имеет два корня, то требование задачи будет выполнено

Для этого нужно выполнение условий:

{t_(1) <0
{t_(2) >0

или

{t_(1) >0
{t_(2) <0

{(4a-5-sqrt(4a^2+25))/2<0⇒sqrt(4a^2+25)>4a-5
{(4a-5+sqrt(4a^2+25))/2 >0⇒sqrt(4a^2+25)>-4a+5

или

{(4a-5-sqrt(4a^2+25))/2 >0 ⇒ sqrt(4a^2+25)<4a-5
{(4a-5+sqrt(4a^2+25))/2 <0 ⇒ sqrt(4a^2+25)< -4a+5

V_(ох)=π ∫^(2)_(0)(4-x^2)^2dx=π ∫^(2)_(0)(16-8x^2+x^4)dx=

=π(16x-(8x^3/3)+(x^5/5))|^(2)_(0)=π(16*2-(8*8/3)+(32/5))=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=1
u_(1)(x)=(4/(7*∛2))*x

n=2
u_(2)(x)=(16/(49*∛3))*x^2

n=3

u_(3)(x)=(64/(343* ∛4))*x^3

Найдем отношениe

|u_(n+1)/(u_(n))|= |4^(n+1)*x^(n+1)/7^(n+1)*∛(n+1+1)| : |4^(n)*x^(n)/7^(n)*∛(n+1)|=

=(4*|x|/7)*∛(n+2)/(n+1)

lim_(n→∞)|u_(n+1)/(u_(n))|=4*|x|/7

Если
4*|x|/7<1, то по признаку Даламбера ряд из модулей сходится,значит и данный ряд сходится
Решаем неравенство:
4*|x|/7<1 ⇒ |x| < 7/4

R=7/4 - радиус сходимости

(-7/4;7/4) - интервал сходимости

При х=(-7/4) числовой ряд сходится по признаку Лейбница
При х=7/4 числовой ряд расходится
[-7/4;7/4) - область сходимости.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x>0

(sqrt(x))^(-2)=(x^(1/2))^(-2)=x^(-1)=1/x

3^(x^2-3)*(3^2+3+1)/x ≤ (39/27)*(1/x)

3^(x^2-3)*13/x - (39/27)*(1/x) ≤ 0

(1/x)*(3^(x^2-3)-(1/9)) ≤ 0

Cогласно ОДЗ
x> 0
значит (1/х) тоже больше 0

3^(x^2-3) - (1/9) ≤ 0

3^(x^2-3) ≤ 3^(-2)

Показательная функция с основанием 3 возрастающая, поэтому

x^2-3 ≤ -2
x^2-1 ≤ 0
(x-1)(x+1) ≤ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 1

С учетом ОДЗ получаем ответ
[b](0; 1][/b]

Ответ выбран лучшим

7.
∫ сos3x*cos2xdx
Формула
сos α *cos β =(1/2)cos( α + β )+(1/2)cos( α - β )
сos3x*cos2x=(1/2)cos5x+(1/2)cosx

∫ сos3x*cos2xdx= ∫ ((1/2)cos5x+(1/2)cosx)dx

интеграл от суммы равен сумме интегралов:
=(1/2) ∫ сos5xdx+(1/2) ∫ cosxdx=(1/2)*(1/5)*sin5x +(1/2)sinx+C=
= [b](1/10)sin5x+(1/2)sinx+C[/b]

6.

cos^62x=(cos^22x)^3=((1+cos4x)/2)^3=(1+3cos4x+3cos^24x+cos^34x)/8

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ cos^62xdx=(1/8)∫ dx+(3/8)∫ cos4xdx+(3/8)∫ cos^24xdx+(1/8)∫ cos^34xdx=

=(1/8)x+(3/8)*(1/4)*sin4x +(3/8)*(1/2) ∫ (1+cos8x)dx+(1/8) ∫ (1-sin^24x)*cos4xdx=

= [b](1/8)x[/b] +(3/32)sin4x+ [b](3/16)x[/b] +(3/16)*(1/8)*sin8x+

+(1/8)*(1/4)*sin4x-(1/8)*(1/4)*(sin^34x/3)+C=

привести подобные

5.
∫ sin^4x*cos^3xdx= ∫ sin^4x*cos^2x*cosxdx=

= ∫ sin^4x*(1-sin^2x)*cosxdx= ∫ sin^4x*cosxdx- ∫ sin^6xcosxdx=

= ∫ sin^4x*d(sinx)- ∫ sin^6xd(sinx) [b]=(sin^5x/5)-(sin^7x/7) + C[/b]

3.
2sin^2x+7cos^2x=cos^2x*(2tg^2x+7)

∫ dx/(2sin^2x+7cos^2x)= ∫dx/ cos^2x(2tg^2x+7)=

=(1/2) ∫ d(tgx)/(tg^2x+(7/2)= (1/2)*(1/sqrt(7/2))arctg(tgx/sqrt(7/2)C=

= [b](1/sqrt(14)) arctg (sqrt(2)tgx/sqrt(7)) + C[/b]

1.
tg(x/2)=t
x/2=arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
2-cosx=1-(1-t^2)/(1+t^2)=(2+2t^2-1+t^2)/(1+t^2)=(3t^2+1)/(t^2+1)

∫ dx/(2-cosx)= ∫ dt/(3t^2+1)= (1/3) ∫ dt/(t^2+(1/3))=

=(1/3)*(1/sqrt(1/3))* arctg (t/sqrt(1/3))+C=

= [b](1/sqrt(3)) arctg(sqrt(3)*tg(x/2)) + C[/b]

2.

cos^5x=cos^4x*cosx=(cos^2x)^2*cosx=(1-sin^2x)^2*cosx=

=(1-sinx)^2*(1+sinx)^2*cosx

∫ cos^5xdx/(1+sinx)= ∫ (1-sinx)^2*(1+sinx)cosxdx

sinx=t
cosxdx=dt

= ∫ (1-t^2)*(1+t)dt= ∫ (1-t^2+t-t^3)dt= t-(t^3/3)+(t^2/2)-(t^4/4) + C=

= [b]sinx- (sinx)^3/3 + (sinx)^2/2 - (sinx)^4/4 + C[/b]

4.
tgx=t
x=arctgt
dx=dt/(1+t^2)

1+tg^2t=1/cos^2x
cos^2x=1/(1+tg^2x)=1/(1+t^2)
sin^2x=1-cos^2x=1-(1/(1+tg^2x))=tg^2x/(1+tg^2x)=t^2/(1+t^2)

∫ sin^2xdx/cos^(10)x=

= ∫ t^2*(1+t^2)^5dt/(1+t^2)^2=

= ∫ t^2*(1+t^2)^3dt=

= ∫ (t^2+3t^4+3t^6+t^8)dt=

=(t^3/3)+(3t^5/5)+(3t^7/7)+(t^9/9) + C=

= [b](tg^3x/3)+(3tg^5x/5)+(3tg^7x/7)+(tg^9x/9) + C
[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]y=(x^3/3) + (x^2/2) - 6х+8 [/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=((-x)^3/3) + ((-x)^2/2) - 6*(-х)+8=(-x^3/3)+(x^2/2)+6x+8
f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

Функция не является ни чётной, ни нечётной

Функция непрерывна на области определения, потому что это многочлен

Поведение функции на бесконечности
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = -∞

Исследование функции с помощью производной
y`=(3x^2/3)+(2x/2)-6
y`=x^2+x-6
y`=0
x^2+x-6=0
D=1-4*(-6)=25

x_(1)=(-1-5)/2=-3 или x=(-1+5)/2=2

Знак производной
_+__ (-3) __-__(2) ___+_

Возрастает на (- ∞ ; -3) и на (2; + ∞ )
Убывает на (-3; 2)

х= -3 - точка максимума y(-3)=(-3)^3/3+(-3)^2/2-6*(-3)+8=21,5
x=2 - точка минимума y(2)=(2)^3/3+(2)^2/2-6*(2)+8=2/3

y``=2x+1
y``=0
x=-1/2 - точка перегиба, вторая производная при переходе через точку меняет знак с - на +
y``<0 на (- ∞ ; -1/2), кривая выпукла вниз
y``>0 на (-1/2; + ∞ ) кривая выпукла вверх

См. рис.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=81-(3/4)*4x^3
y`=81-3x^3
y`=0
81-3x^3=0
3*(27-x^3)=0
x=3
3 ∈ [-1;4]

Находим значения в точке х=3 и на концах отрезка.
Выбираем из них наибольшее и наименьшее

y(-1)=81*(-1)-(3/4)*(-1)^4=-81-(3/4)=-81 целая (3/4) [b]наименьшее[/b]
y(3)=81*3-(3/4)*(3^4)=3^5*(1-(1/4))=3^6/4- [b]наибольшее [/b]
y(4)=81*4-(3/4)*4^4=81*4-3*4^3=3*4*(27-16)=108

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. Из прямоугольного треугольника АВD:
AB=2AD=12 - против угла в 30 градусов лежит катет в два раза меньше, чем гипотенуза. А гипотенуза наоборот, в два раза больше катета.
Из прямоугольного треугольника АВС:
tg ∠ B=AC/AB
AC=AB*tg 30 градусов= 12*sqrt(3)/3= [b]4sqrt(3)[/b]

2.
Из прямоугольного треугольника АСD:
СD=AC*sin48 градусов
AD=AC*cos48 градусов

S_(прямоугольника АВСD)=AD*CD=

=AC*cos48 градусов*AC*sin48 градусов=

=4(cos48 градусов)*4*(sin48 градусов)=

=8*sin96 градусов.

По формуле синуса двойного угла
2*sin48 градусов*cos48 градусов=sin96 градусов ≈ 0,994521895

S_(прямоугольника АВСD) ≈ 8*0,9945=7,95617516 ≈ [b]7,96[/b]

1.

6+8=14 шаров
Испытание состоит в том, что из 14 шаров выбирают два.
n=C^(2)_(14)=14!/((14-2)!*2!)=13*14/2=91 результат

Cобытие А-"оба шара одного цвета"

Cобытию А благоприятствуют исходы, когда оба шара черные (выбраны из 8 черных) ИЛИ оба белые (выбраны из 6 белых
m=C^2_(8) + C^2_(6)=8!/(6!*2!)+6!/(4!*2!)=28+15=43
По формуле классической вероятности
p(A)=m/n= [b]43/91[/b]

2.

Испытание состоит в том, что подбрасывают игральную кость.
n=6
Шесть исходов испытания: выпало "1","2","3","4","5","6" очков.

Cобытие А-"выпало "5" или "6""
Cобытию А благоприятствуют 2 исхода
m=2

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=2/6= [b]1/3[/b]

3.
Испытание состоит в том, что подбрасывают три игральных кости
n=6*6*6=216 исходов испытания
Можно представить их как тройки чисел от (1;1;1) и до (6;6;6)

Cобытие А-"выпало 6 очков

1+2+3=6
Значит, на одной кости 1 очко, на другой 2, на третьей 3.
Других вариантов нет

Cобытию А благоприятствуют исходы
(1;2;3)
(1;3;2)
(2;1;3)
(2;3;1)
(3;2;1)
(3;1;2)
m=6

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=6/216= [b]1/36[/b]

4.Испытание состоит в том, что из 36 карт выбирают 4.
n=C^(4)_(36)=36!/((36-4)!*4!)=33*34*35*36/24= [b]58905 [/b]исходов

Cобытие А-"3 карты красной масти"

Красных карт 18; черных 18

Cобытию А благоприятствуют исходы, когда три карты красные (выбраны из 18 красных) И одна черная (выбрана из 18 черных

m=C^3_(18) * C^1_(18)=(18!/(15!*3!))*18= [b]816[/b]
По формуле классической вероятности
p(A)=m/n= [b]816/58905[/b]

5.
Вероятность достать гладкую горошину из первого стручка
4/8

Вероятность достать гладкую горошину из второго стручка
4/7

Вероятность достать обе гладкие горошины

p=(4/8)*(4/7)=16/56= [b]2/7[/b]

C1D1 || AB

Угол между C1D1 и пл. СВ_(1)D_(1) равен углу между AB и пл. СВ_(1)D_(1)

CO_(1)- высота равнобедренного треугольника СВ_(1)D_(1)

C_(1)K ⊥ CO_(1)
CК – высота прямоугольного треугольника CO_(1)C_(1)
D_(1)К – проекция C1D1 на пл. АВ1С

Из прямоугольного треугольникаCO_(1)C_(1)
CC_(1)=1
C_(1)О_(1)=(1/2)A_(1)C_(1)=√2/2
(CO_(1))^2=1^2+(√2/2)^2=6/4
CO_(1)=√6/2
Из формул площади прямоугольного треугольника находим высоту, проведенную к гипотенузе
C_(1)О_(1)·CC_(1)=CO_(1)·D_(1)К ⇒
CK=(1·√2/2)/(√6/2)=1/√3

sin ∠ C_(1)D_(1)K=D_(1)К/C1D1=1/√3 ⇒
∠ C_(1)D_(1)K= arcsin(1/√3) (прикреплено изображение)

A_(1)D_(1) || BC

Угол между A_(1)D_(1) и пл. АВ_(1)С равен углу между BC и пл. АВ_(1)С

BK ⊥ B_(1)O
ВК - высота прямоугольного треугольника BOB_(1)
CК - проекция BC на пл. АВ_(1)С

Из прямоугольного треугольника BOB_(1)
BB_(1)=1
ВО=(1/2)BD=sqrt(2)/2
B_(1)O^2=1^2+(sqrt(2)/2)^2=6/4
B_(1)O=sqrt(6)/2
Из формул площади прямоугольного треугольника находим высоту, проведенную к гипотенузе
BO*BB_(1)=B_(1)O*CK ⇒
CK=(1*sqrt(2)/2)/(sqrt(6)/2)=1/sqrt(3)

sin ∠ BCK=BK/BC=1/sqrt(3) ⇒
∠ BCK= [b]arcsin(1/sqrt(3))[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7. AC=BD=sqrt(2)
AC ⊥ BD - диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
A_(1)C_(1) ⊥ B_(1)D_(1)- диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
K_(1)K- проекция AC_(1) на пл. ВВ_(1)D_(1)D

Угол между прямой и пл. - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
tg ∠ АМK=AK/KM=(sqrt(2)/2)/(1/2)=sqrt(2)
∠ АМK=arctg(sqrt(2))

10
BC_(1)- проекция BD_(1) на пл. ВВ_(1)C_(1)C

Угол между прямой и пл. - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
tg ∠ C_(1)BD_(1)=C_(1)D_(1)/BC_(1)=1/(sqrt(2))=sqrt(2)/2
∠ C_(1)BD_(1)=arctg(sqrt(2)/2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ломаная АМNB
M(-3;0); N(-1;0)
Тогда интеграл по ломаной равен сумме интегралов по каждому звену
Звено АМ
x=-3
2≤ y ≤ 0
dx=0
∫_(AM) (6·х·у^2+3·у^2)d·х+(6·х·у+4·х^3)·d·y=

= ∫^(0) _(2)(6*(-3)y^2+3y^2)*0+6*(-3)y+4*(-3)^2)dy=

= ∫^(0) _(2)(6*(-3)y+4*(-3)^2)dy=(18y^2/2)|^(0)_(2) +(36y)|^(0)_(2)=

=(0-9*2^2)+36*0-36*2= [b]-108[/b]

Звено МN
y=0
-3≤ x≤ -1
dy=0

∫_(MN) (6·х·у^2+3·у^2)d·х+(6·х·у+4·х^3)·d·y=

= ∫^(-1) _(-3)(6*x*0^2+3*0^2)dx+(6*x*0+4*x^3)*0=

=0

Звено NB
x=-1
0≤ y≤ -2
dx=0

∫_(NB) (6·х·у^2+3·у^2)d·х+(6·х·у+4·х^3)·d·y=

= ∫^(-2) _(0)(6*(-1)*y^2+3*y^2)*0+(6*(-1)*y+4*(-1)^3)*dy=

=∫^(-2) _(0)(-6y-4)*dy=(-6y^2/2-4y)|^(-2)_(0)=

=-3*(-2)^2-4*(-2)=-12+8=-4

О т в е т. ∫ _(L)=∫_(AM)+ ∫_(MN) +∫_(NB)=-108+0-4= [b]-112[/b]

Ответ выбран лучшим

Неопределённость ( ∞ / ∞ )
Выносим за скобки x^2 и в числителе и в знаменателе.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам:
1-cosx=2sin^2(x/2)
По формулам приведения
cos((x/2)+(π/2))=-sin(x/2)

Уравнение принимает вид:
sqrt(2sin^2(x/2))+sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)

[b]ОДЗ[/b]: -sin(x/2) ≥ 0 ⇒ sin(x/2)≤ 0

π+2πk ≤(x/2) ≤2π +2πk, k ∈ Z

[b]2π+4πk ≤x ≤4π +4πk, k ∈ Z[/b]

Уравнение:
sqrt(2)|sin(x/2)|+sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)

В условиях ОДЗ

|sin(x/2)|=-sin(x/2)
sqrt(2)(-sin(x/2))+sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)

sqrt(-sin(x/2))=t
(-sin(x/2))=t^2

sqrt(2)t^2+t-sqrt(2)=0

D=1-4*sqrt(2)*(-sqrt(2)=9

t_(1)=(-1-3)/2sqrt(2)=-sqrt(2); t_(2)=(-1+3)/2sqrt(2)=sqrt(2)/2

Обратный переход:
sqrt(-sin(x/2))=- sqrt(2) не имеет смысла, противоречит определению арифметического квадратного корня

sqrt(-sin(x/2))=sqrt(2)/2
Возводим в квадрат
-sin(x/2)=1/2
sin(x/2)=-1/2

(x/2)=(-1)^(n)arcsin(-1/2)+πn, n ∈ Z
(x/2)=(-1)^(n)*(-π/6)+2πn, n ∈ Z
x=(-1)^(n)*(-π/3)+4πn, n ∈ Z

ОДЗ удовлетворяют корни n=2m
x=(-π/3)+8πm, m∈ Z

О т в е т. [b] (-π/3)+8πm, m∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+1=0
k_(1)=k_(2)=1 - корни кратные действительные.

Общее решение:
[b]y=C_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)[/b]

Находим
y`=С_(1)*(e^(x))`+C_(2)*(x*e^(x))`
y`=C_(1)e^(x)+C_(2)x`e^(x)+C_(2)x*(e^(x))`

y`=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(x)+C_(2)x*e^(x)

y`(0)=3

3=C_(1)e^(0)+C_(2)*e^(0)+0

y(0)=1
1=C_(1)e^(0)+C_(2)*0

C_(1)=1
3=1+C_(2)
C_(2)=2

Частное решение ( решение удовлетворяющее условию)
[b]y=e^(x)+2*x*e^(x)[/b]

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой АВ:
(x-1)/(3-1)=(y-2)(4-2)
y=x+1
dy=dx
∫ (х*у+3х^2)*d*х+(х-у)d*у= ∫^(3)_(1) (x*(x+1)+3x^2)dx+(x-x-1)dx)=

=∫^(3)_(1) (x^2+x+3x^2-1)dx=∫^(3)_(1) (4x^2+x-1)dx=

=((4x^3/3)+(x^2/2)-x)|^(3)_(1)=

=(4/3)*(3^3-1^3)+(1/2)*(3^2-1^2)-(3-1)=

=(4/3)*26+4-2= [b]110/3[/b]

Ответ выбран лучшим

(x)`=(y^2)`+(arctg(x/y))`
x- независимая переменная
x`=1
y=y(x) - функция

1=2y*y`+(1/(1+(x/y)^2) )*(x/y)`

1=2y*y`+(y^2/(x^2+y^2))*(x`*y-x*y`)/y^2

1=2y*y`+(y-xy`/(x^2+y^2))

1=2y*y`+(y/(x^2+y^2)) - (xy`)/(x^2+y^2)

Переносим слагаемые с у` влево
(xy`)/(x^2+y^2) - 2y*y`=(y/(x^2+y^2)) - 1

y`*( x/(x^2+y^2) -2y) = (y-x^2-y^2)/x^2+y^2)

y`= [b](y-x^2-y^2)/(x-2x^2y-2y^3)[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]y=(x^2+2х-1)/x[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ;0) U(0; + ∞ )

2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=((-x)^2+2*(-х)-1)/((-x))=(x^2-2х-1)/(-x)

f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

функция не является ни чётной ни нечётной

4.периодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
x^2+2x-1=0
D=4-4*(-1)=8

x_(1)=(-2-2sqrt(2))/2=-1-sqrt(2); x_(2)=(-2+2sqrt(2))/2=-1+sqrt(2);

6.интервалы знака постоянства

_-__(-1-sqrt(2)) __+__ (0) __-__( -1+sqrt(2)) ____+__

y > 0 при x<-1-sqrt(2) и 0 <x <-1+sqrt(2)
y < 0 при -1-sqrt(2) < x < 0 и х > -1+sqrt(2)

Исследование с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности
lim_(x→+∞) f(x) =+∞
lim_(x→ - ∞)f(x) = -∞

9.асимптоты граф. функции

[b]x=0 - вертикальная асимптота[/b], так как оба [b] односторонних предела бесконечны:[/b]

lim_(x→ - 0) f(x) =+∞
lim_(x→ + 0) f(x) =+∞

k=lim_(x→ ∞)f(x)/x=lim_(x→ ∞)(x^2+2x-1)/(x^2)=1

b=lim_(x→ ∞)(f(x)-kx)=lim_(x→ ∞)(((x^2+2х-1)/(x))-x)=lim_(x→ ∞)(2x-1)/x=2

y=x + 2 - [b]наклонная асимптота[/b]

3.) исследовать с помощью производной

y`=((x^2+2x-1)`*x-(x)`*(x^2+2x-1))/(x)^2
y`=(x^2+1)/(x^2) > 0

Возрастает на (-∞ ; 0) и на (0; + ∞ )

4) y``=(x^2+1)`*x^2-(x^2)`*(x^2+1)/x^4=(2x*x^2-2x*(x^2+1))/x^4=-2x/x^4=-2/x^3

y``>0 на (-∞ ; 0)
Функция выпукла вниз
y``< 0 на (0;+∞ )
Функция выпукла вверх

См. рис.

(прикреплено изображение)

Пусть f(x)=sinx

Требуется найти значение функции в точке х=44 градусов

Формула:

f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx
или

f(x_(o)+ Δx) ≈ f(x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

x_(o)=45 градусов

Δx=-1 градусов

Градусы переводим в [b]радианы[/b]
x_(o)=45 градусов = π/4
Δx=-1 градусов= -π/180≈-0,0174

f(44 градусов) ≈ f(π/4 ) + f`(π/4)* (- π/180)

f(π/4 )=sin( π/4 ) =sqrt(2)/2≈0,7071

f`(x)=cosx

f`(π/4 )=cos( π/4 ) =sqrt(2)/2≈0,7071

sin 44 градусов ≈ sin( π/4 ) + cos( π/4 )* (-π/180)=

=0,7071+0,7071*(-0,0174)=0,7071*(1-0,0174)=0,7071*(0,9826)=
=0,69479646

О т в е т. [b] 0,695[/b]

Ответ выбран лучшим

y`=5x^4-6x^2+1

y`=0

5x^4-6x^2+1=0
D=36-4*5=16

x^2=(6-4)/10 или x^2=(6+4)/10

x^2=1/5 или x^2=1

x= ± sqrt(1/5) или x= ± 1

Все 4 точки принадлежат указанному отрезку

Находим значения функции в этих точках и на концах отрезка.
И выбираем наибольшее и наименьшее

y(-2)=(-2)^5-2*(-2)^3+(-2)=-32+16-2=-18 - [b]наименьшее значение.[/b]
y(-1)=(-1)^5-2*(-1)^3+(-1)=0
y(-1/sqrt(5))=(-1/sqrt(5))^5-2*(-1/sqrt(5))^3+(-1/sqrt(5))=-16sqrt(5)/125
y(1/sqrt(5))=(1/sqrt(5))^5-2*(1/sqrt(5))^3+(1/sqrt(5))=16sqrt(5)/125
y(1)=(1)^5-2*(1)^3+(1)=0
y(3)=(3)^5-2*(3)^3+(3)=243-54+3=192 - [b]наибольшее значение[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4-x>0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1⇒x ≠ 3
{(x-4)^(8)/(x+5) >0 ⇒ x+5>0 ⇒ x > -5

ОДЗ: (-5;3)U(3;4)

log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8

log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8* log_(4-x)(4-x)

[b]log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ log_(4-x)(4-x)^8[/b]

Первый случай

[b] Если 4-х >1[/b], логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
(x-4)^8/(x+5) ≥ (4-x)^8

(x-4)^8/(x+5) - (4-x)^8 ≥ 0

Так как (x-4)^8=(4-x)^2 >0 при любом х ≠ 4

то

(x-4)^8*(1/(x+5) - 1) ≥ 0

(1-x-5)/(x+5) ≥ 0

(x+4)/(x+5) ≤ 0

-5 < x ≤ -4

C учетом 4-х >1, т. е x < 3
о т в е т. (1) [b] (-5 ;-4][/b]

Второй случай
Если [b]0 < 4-х <1[/b], логарифмическая функция убывает и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
(x-4)^8/(x+5) ≤ (4-x)^8

(x-4)^8/(x+5) - (4-x)^8 ≤ 0

(x+4)/(x+5)≥ 0

x < - 5 или x ≥ -4

c учетом [b]0 < 4-х <1[/b] ⇒ 3 < x < 4

получаем о т в е т (2) [b](3;4)[/b]

C учетом ОДЗ
О т в е т. [b] (-5;-4] U (3;4)[/b]

Решение методом рационализации логарифмических неравенств
сокращает решение в два раза.

ОДЗ:
{4-x>0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1⇒x ≠ 3
{(x-4)^(8)/(x+5) >0 ⇒ x+5>0 ⇒ x > -5

ОДЗ: (-5;3)U(3;4)

log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8

log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ 8* log_(4-x)(4-x)

[b]log_(4-x) (x-4)^8/(x+5) ≥ log_(4-x)(4-x)^8[/b]

Применяем метод рационализации и получаем неравенство:

(4-x-1)* ((x-4)^8/(x+5) - (4-x)^8) ≥ 0

(x-4)^8*(3-x)*(1-x-5)/(x+5) ≥ 0

(х-3)*(х+4)/(х+5) ≥ 0

__-_ (-5) _+__[-4] ____-___ [3] __+__

(-5;-4] U [3;+ ∞ )
С учетом ОДЗ:
о т в е т. [b] (-5;-4] U (3; 4)[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{sin3x-sinx>0⇒ 2sinx*cos2x>0
{17sin2x>0 ⇒ sin2x>0⇒ x в первой или третьей четверти
Решаем первое неравенство:

sinx*cos2x>0⇒
Произведение двух множителей положительно, когда множители имеют одинаковые знаки:

(1) оба положительны

{sinx>0⇒ 2πn< x < π+2πn, n∈ Z
{cos2x>0⇒(-π/2)+2πm< 2x < (π/2)+2πm, m∈ Z⇒
(-π/4)+πm< x < (π/4)+πm, m∈ Z

[b]0+2πm< x < (π/4)+2πm, m∈ Z
или
(3π/4)+2πm< x < π+2πm, m∈ Z[/b]

рис. 1

(2) оба отрицательны

{sinx<0⇒ π+ 2πn< x < 2π+2πn, n∈ Z
{cos2x<0⇒(π/2)+2πm< 2x < (3π/2)+2πm, m∈ Z⇒
(π/4)+πm< x < (3π/4)+πm, m∈ Z

[b](5π/4)+2πm< x < (7π/4)+2πm, m∈ Z[/b]

рис.2

C учетом второго неравенства системы для ОДЗ: sin2x >0
получаем
ОДЗ:
[b]x∈ (0+2πm; (π/4)+2πm) U ((5π/4)+2πm; (3π/2)+2πm]m∈ Z[/b]
cм. рис. 3

Так как по свойствам логарифма:

log_(9)(17sin2x)=log_(3^2)(17sin2x)=(1/2)log_(3)(17sin2x)

1=log_(3)3

log_(3)(sin3x-sinx)=log_(3)(17sin2x)-log_(3)3

log_(3)(sin3x-sinx)=log_(3)((17sin2x)/3)

В силу строгого возрастания логарифмической функции с основанием 3:
если значения функции равны, то и аргументы равны:

sin3x-sinx=(17sin2x)/3

3*(2sinx*cos2x)=17*2sinx*cosx
6sinx*cos2x-34sinx*cosx
2sinx*(3cos2x-17cosx)=0

sinx=0 ⇒ [b]x=πk, k ∈ Z[/b] не входят в ОДЗ

или

3cos2x-17cosx=0
3*(2cos^2x-1)-17cosx=0
6cos^2x-17cosx-3=0
D=17^2-4*6*(-3)=289+72=361

сosx=-1/6 или сosx=3 ( уравнение не имеет корней в силу ограниченности косинуса)

cosx=-1/6

[b]x= ± arccos(-1/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

ОДЗ удовлетворяют корни:

x=-arccos(-1/6)+2πn, n ∈ Z

см. рис. 4.
О т в е т. [b] х=-(π- arccos(1/6))+2πn, n ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)

Находим частные производные
z`_(x)=(8x-4y+x^2-xy+y^2+15)`_(x)=8+2x-y
z`_(y)=(8x-4y+x^2-xy+y^2+15)`_(x)=-4-x+2y

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{8+2x-y=0
{-4-x+2y=0

Умножаем первое уравнение на 2
{16+4x-2y=0
{-4-x+2y=0

Складываем
12+3x=0
x=-4

y=2x+8=2*(-4)+8=0

M(-4;0)

Находим вторые частные производные
z``_(xx)=2
z``_(xy)=-1
z``_(yy)=2

A=z``_(xx)(M)=2
B=z``_(yy)(M)=2
C=z``_(xy)(M)=-1

Δ= AB - C^2=2*2-(-1)^2=3 > 0
точка M - точка экстремума.
Так как A=z``_(xx)(M)=2>0, то это точка [b]минимума.[/b]

z(-4;0)=8*(-4)-4*0+(-4)^2-(-4)*0+0^2+15= [b]-1[/b]

Ответ выбран лучшим

1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная кривой у=f(x), [b] f(x)≥ 0[/b], прямыми x=a; x=b; a<b и осью Ох

Тогда площадь такой трапеции и есть интеграл по отрезку [a;b]
от функции f(x)

В остальных случаях существуют правила.

Так как

y=x^2-6x и прямая y=0 ограничивают фигуру, которая расположена ниже оси Ох, то считают площадь фигуры,
ограниченной кривой y=-x^2+6x

см. рис. Площади одинаковы.

S= ∫ ^(6)_(0)|x^2-6x|dx=∫ ^(6)_(0)(-x^2+6x)dx=

=((-x^3/3)+(6x^2/2))|^(6)_(0)=-(6^3/3)+3*6^2=

=-72+108= [b]36[/b]

2.
S=S_(прямоугольника ABCD)- S_(1 криволинейной трапеции ABMCD)=

=4*5- ∫ ^(2)_(-2)(x^2+1)dx= 20- ((x^3/3)+x)|^(2)_(-2)=

=20-((8/3)+2)+((-8/3)-2)=

=20-(28/3)= [b]32/3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+4x+4 ≥ 0 при любом х
{x^2-x ≥ 0 ⇒ x*(x-1) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или x ≥ 1

Совокупность двух систем
(1)
{sqrt(x^2+4x+4)-sqrt(x^2-x) ≤ 0
{x^2-x-1 >0

или

(2)
{sqrt(x^2+4x+4)-sqrt(x^2-x)≥ 0
{x^2-x-1 <0

x^2-x-1=0
D=1+4=5
x_(1)=(1-sqrt(5))/2 или x_(2)=(1+sqrt(5))/2

sqrt(x^2+4x+4)=sqrt(x^2-x)

x^2+4x+4=x^2-x
5x=-4
x=-4/5

(1)
{x ≥ -4/5
{((1-sqrt(5))/2 ;(1+sqrt(5))/2)

Сравниваем
-4/5 и (1-sqrt(5))/2

Умножаем на 10

-8 и 5-5sqrt(5)

5sqrt(5) и 13

Возводим в квадрат
125 < 169

Значит
-4/5 < (1-sqrt(5))/2

[b]О т в е т. (1)[/b] с учетом ОДЗ:
(1-sqrt(5))/2;0)U(1;(1+sqrt(5))/2)

(2)
{x ≤ -4/5
{x < (1-sqrt(5))/2 или x > (1+sqrt(5))/2

[b]О т в е т (2)[/b]:(- ∞ ; -4/5]

О т в е т. (- ∞ ; -4/5]U (1-sqrt(5))/2;0)U(1;(1+sqrt(5))/2)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4x-5>0⇒ x>5/4
{2x+1>0⇒ x>-1/2
{2x+1≠ 1⇒ x≠0
{4x-5≠ 1⇒ x≠3/2

x ∈ (5/4;3/2)U(3/2;+∞ )
log_(2x+1)(4x-5)=t

log_(4x-5)(2x+1)=1/t

t+(1/t) ≤ 2 ⇒

(t^2-2t+1)/t ≤ 0

t=1 или t < 0

log_(2x+1)(4x-5)=1
2x+1=4x-5
2x=6
x=3

log_(2x+1)(4x-5)<0
(2x+1-1)*(4x-5-1) <0

2x*(4x-6) <0

___ (0) __-_ (3/2)

0 < x < 3/2

C учетом ОДЗ

О т в е т. (5/4; 3/2) U {3}

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

4.
По теореме косинусов:
1^2=(sqrt(2))^2+(sqrt(2))^2-2*sqrt(2)*sqrt(2)*cos ∠ AC_(1)B
cos ∠ AC_(1)B=(2+2-1)/2*2=3/4

∠ AC_(1)B= arccos(3/4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

14.
49x^2 ≥ 36
49x^2-36 ≥ 0
(7x-6)(7x+6) ≥ 0

_+_ [-6/7] __-__ [6/7] __+_

О т в е т. 4)

19.
Средняя линия треугольника параллельна стороне АС и равна ее половине.
АС=6
Значит, средняя линия равна [b] 3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5.vector{a} * vector{c}=|vector{a}| *|vector{c}|*cos( ∠ (vector{a}, vector{c})

cos( ∠ (vector{a}, vector{c})=(vector{a} * vector{c})/(|vector{a}| *|vector{c}|)=-3sqrt(2)/(2*|vector{a}|)=

|vector{a}|=?

4.
Пусть vector{b}=(x;y;z)
vector{a} коллинеарен vector{b}
Значит координаты векторов пропорциональны:
-1:х=2:у=2:z
vector{a} * vector{b}=-18
-x+2y+2z=18

Система
{-1:х=2:у=2:z
{-x+2y+2z=18
Обозначим
-1:х=2:у=2:z=k

x=-1/k
y=2/k
z=2/k

подставляем во второе уравнение:
(1/k)+(4/k) + (4/k) =18
4/k=18
k=4/18=2/9

x=-9/2
y=9
z=9

О т в е т. vector{b}=(-9/2;9;9)

3.
vector{MN}=(0-(-6);8-0;0-0)=(6;8;0)
vector{MT}=(0-(-6);0-0;2-0)=(6;0;2)

S(параллелограмма)=|vector{MN}×vector{MT}|

S_( ΔMNT)=(1/2)*|vector{MN}×vector{MT}|
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)y=4-|x|
y=-|x|
y=|-x|+4

рис.1

б)|y|=4-x

y=4-x

|y|=4-x
cм. рис. 2

в)|y|=4-|x|

см. рис. 3

г)
Если x ≥0; y ≥0
|x|=x
|y|=y
x+y=x+y- верно для любых х и у из первой четверти.

Если x <0; y <0
|x|=-x
|y|=-y

-x-y=x+y
-(x+y)=(x+y) - нет таких х и у в третьей четверти, чтобы равенство было верным

Если x ≥0; y <0
|x|=x
|y|=-y
x-y=x+y
x=0
ось y принадлежащая второй четверти

Если x< 0; y ≥0
|x|=-x
|y|=y
-x+y=x+y
y+0
ось x принадлежащая четвёртой четверти

График - множество точек в первой четверти с границей
рис. 4

д)y=6/|x|

рис. 5

e)xy=6 или xy=-6 - совокупность двух гипербол

рис.6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) y=–(5/x) - гипербола во второй и четвёртой четвертях

б) xy=7,5- гипербола в первой и третьей четвертях

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) x^2+y^2=49 - окружность с центром в точке (0;0) радиусом R=7
б) x^2+y^2=48 - окружность с центром в точке (0;0) радиусом R=sqrt(48)
R=4sqrt(3)
в) x^2+y^2=42,25- окружность с центром в точке (0;0) радиусом
R=sqrt(42,25)
R=sqrt(169/4)
R=13/2
R=6,5

г) x^2+y^2=20,25-- окружность с центром в точке (0;0) радиусом
R=sqrt(20,25)
R=sqrt(81/4)
R=9/2
R=4,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

окружность x^2+y^2=r^2 проходит через точку А(a;b), значит координаты точки А удовлетворяют уравнению

a^2+b^2=r^2 - верное равенство.

Подставляем координаты точки B:
(-a)^2+b^2=r^2- верно
Точка B принадлежит окружности.

Аналогично,
С; D; E;K;M принадлежат окружности.

Ответ выбран лучшим

arcctga= α
это значит, что ctg α =a; α ∈ (0;π)

arcctg(sqrt(3)/3)= [b] π/3[/b]
arccrg(-sqrt(3)/3)=π - arcctg (sqrt(3)/3)=π-(π/3)= [b]2π/3[/b]

ОДЗ:
{x-2>0 ⇒ x >2
{x^2-8x+16 > 0 ⇒ x ≠ 4

ОДЗ: х ∈ (2;4)U(4;+ ∞ )

Применяем свойства логарифма степени:
2log_(3)(x-2)=log_(3)(x-2)^2
и
логарифма произведения:
log_(3)(x-2)^2+log_(3)(x^2-8x+16)=log_(3)(x-2)^2*(x^2-8x+16)

Уравнение
log_(3)(x-2)^2*(x^2-8x+16)=0

по определению:
(x-2)^2*(x^2-8x+16)=3^(0)
(x-2)^2*(x-4)^2=1

(x-2)(x-4)= ± 1

(x-2)(x-4)=1 ⇒ x^2-6x+7=0 D=36-28=8

x_(1)=(6-2sqrt(2))/2=3-sqrt(2) ∉ ОДЗ
или
х_(2)= [b]3+sqrt(2[/b]) ∈ ОДЗ

(x-2)(x-4)=-1 ⇒ x^2-6x+9=0

[b]x=3 [/b] ∈ ОДЗ

О т в е т. [b]3; 3+sqrt(2).[/b]

2.
{4^(x)+4 >0 при любом х∈ (- ∞ ;+ ∞ )
{2^(x+1)-3 >0 ⇒ 2^(x)*2>3 ⇒ 2^(x)>3/2 ⇒ x>log_(2)(3/2)

ОДЗ: (log_(2)3/2;+ ∞ )

log_(2)(4^(x)+4)-log_(2)(2^(x+1)-3)=x

Применяем свойства логарифма частного:

log_(2)(4^(x)+4)/(2^(x+1)-3) = x
по определению:

(4^(x)+4)/(2^(x+1)-3)=2^(x)

умножаем обе части уравнения на 2^(x+1) - 3>0

4^(x)=(2^(x+1)-3)*2^(x)

4^(x)=2*4^(x)-3*2^(x)

4^(x)-3*2^(x)=0

2^(x)*(2^(x)-3)=0

2^(x) > 0

2^(x)-3=0

[b]x=log_(2)3[/b] ∈ ОДЗ

О т в е т. x=log_(2)3

(x–5)(x+4)- (0,9x–0,5)(x–5)=0
(x-5)*(x+4-0,9x+0,5)=0
(x-5)*(0,1x+4,5)=0
x-5=0 или 0,1х+4,5=0
х=5 или х=-45

Ответ выбран лучшим

det A=-30e^(5t(*sin^22t-30e^(5t)cos^22t=-30e^(5t)*1=-30e^(5t)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∫ ^(3)_(0,5)sqrt(2x+3)dx=(1/2) ∫ ^(3)_(0,5)(2x+3)^(1/2)d(2x+3)=

=(2x+3)^((1/2)+1)/((1/2)+1)=(2/3)(2x+3)^(3/2)|^(3)_(0,5)=

=(2/3)*(2*3+3)^(3/2) - (2/3)*(2*0,5+3)^(3/2)=

=(2/3)3^3-(2/3)*2^3=(2/3)*(27-8)= [b]38/3[/b]

∫ ^(1)_(-2)(3x^2-4x-1)dx= (x^3-2x^2-x)|^(1)_(-2)=

=(1-2-1)-(-8-8-(-2))= [b]...[/b]

∫ ^(π)_(0)cos^2xsinxdx=∫ ^(π)_(0)cos^2x(-d(cosx))=

= -(cos^3x/3)|^(π)_(0)=-(1/3)*(cos^(3)(π)-cos0)=(-1/3)*(-1-1)= [b]2/3[/b]

∫ ^(1)_(-1)(4xS+1)^3dx=(1/(4S)) ∫ ^(1)_(-1)(4xS+1)^3d(4xS+1)=

=(1/(4S)) *(4xS+1)^4/4|^(1)_(-1)= [b](1/(16S)) *((4S+1)^4-(1-4S)^4)[/b]

Интегрируем по частям:
ln(x+sqrt(1+x^2))=u
dx=dv

du=dx/sqrt(1+x^2)
v=x

∫ ln(x+sqrt(1+x^2)dx=x*ln(x+sqrt(1+x^2)) - ∫ xdx/sqrt(1+x^2)=

=x*ln(x+sqrt(1+x^2)) -(1/2)*2sqrt(1+x^2) + C=

= [b]x*ln(x+sqrt(1+x^2)) -sqrt(1+x^2) +C[/b]

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f`(x)=3ax^2+2bx+c
f``(x)=6ax+2b
f```(x)=6a

f(-1)=-a+b-c+d

[b]-a+b-c+d=1[/b]

f`(x)=3ax^2+2bx+c

f`(-1)=3a-2b+c

[b]3a-2b+c=0[/b]

f``(x)=6ax+2b

f``(-1)=-6a+2b

[b]-6+2b=0[/b]

f```(x)=6a
f```(-1)=6

[b]6a=6[/b] ⇒a=1

[b]-6a+2b=0[/b] ⇒ -6*1+2b=0 ⇒ b=3

[b]3a-2b+c=0[/b]⇒ 3*1 -2*3+c=0⇒c=3

[b]-a+b-c+d=1[/b] ⇒-1+3-3+d=0⇒d=1

О т в е т. [b]f(x)=x^3+3x^2+3x+1[/b]

Ответ выбран лучшим

1)-7*5=-35 ( свойство 3^(o))
2)-7*5=-35 ( свойство 3^(o))
3) -1*5=-5 ( свойство 2^(o))

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
y=(1/3)x^3–x^2–3x+9

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=x^2-2x-3

y`=0
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x_(1)=(2-4)/2=-1; x_(2)=(2+4)/2=3

__+__ (-1) __-___ (3) __+__

y`>0 на (- ∞ ;-1) и на (3;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (-1 ;3), значит функция убывает

х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(-1)=(1/3)*(-1)^3-(-1)^2-3*(-1)+2=(-1/3)+4=11/3

х=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(3)=(1/3)*3^3-3^2-3*3+2=9-9-9+2= - 7

y``=2x-2
y``=0
2x-2=0
x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;1) и выпукла вниз на (1;+ ∞ )
См. график рис. 1

(прикреплено изображение)

Если в условии задачи вместо x=0 написано y=0

S= ∫^(2) _(0)x^3dx=(x^4/4)|^(2)_(0)=16/4=4 (прикреплено изображение)

F(x;y;z)=zln(x+z) - (xy)/z

Формулы для вычисления частных производных:

∂z/∂x=- F`_(x)(x;y;z)/F`_(z)(x;y;z)

∂z/∂y=- F`_(y)(x;y;z)/F`_(z)(x;y;z)

F`_(x)(x;y;z)=z*(1/x+z))- (y/z)

F`_(y)(x;y;z)=0 - (x/z)= -x/z

F`_(z)(x;y;z)=z`*ln(x+z)+z*(ln(x+z))`-(xy)*(1/z)`=

=ln(x+z)+z*(1/(x+z))+((xy)/z^2)

и подставить в формулы.

dz/dt=(∂z/∂x) *(dx/dt)+(∂z/∂y) *(dy/dt)=

= [b](1+(2x)/(x^2+y^2))*2t + (2y)(2t+1)/(x^2+y^2) [/b]

dz= [b]([/b](2t+(2x)*(2t)/(x^2+y^2) + (2y*(2t+1))/(x^2+y^2)) [b])[/b]dt

Cм. рисунок

1)
z`_(x)=2x+2y
z`_(y)=2x

Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x+2y=0
{2x=0

[x=0; y=0
Получили одну стационарную точку (0;0)

Принадлежит области, лежит на границе

Применяем теорему: достаточное условие существования точек экстремума.
Находим вторые частные производные
z``_(xx)=2
z``_(xy)=2
z``_(yy)=0

Значения в стационарной точке
(0;0)
A=z``_(xx)(0;0)=2
C=z``_(xy)(0;0)=2
B=z``_(yy)(0;0)=0

Δ(2;1)=AB-C^2=2*0-2^2 < 0

Точка (0;0) не является точкой экстремума.

Исследуем функцию на границе:
[b]при y=0[/b]
z=x^2-10
Это функция одной переменной, исследуем ее как обычную параболу
при -2 ≤ x ≤ 2
При х=0 функция принимает наименьшее значение на границе y=0
z(0)= [b]-10[/b]
При х=-2 и х=2 функция принимает наибольшее значение на границе y=0
z=4-10= [b]-6[/b]

[b]при y=x^2-4[/b]

z=x^2+2x*(x^2-4)-10

z=2x^3+x^2-8x-10 - функция одной переменной на [-2;2],

z`=6x^2+2x-8

z`=0

D=4-4*6*(-8)=4*49=14^2

x_(1)=(-2-14)/12=-8/7; х_(2)=(-2+14)/12=1

x=-8/7 - точка усл. максимума

z=(-8/7)=2*(-8/7)^2+(-8/7)^2-8*(8/7)-10=...

x=1 - точка усл. минимума
z(1)=2+1-8-10=-15

Из всех найденных выбираем наибольшее и наименьшее.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
ОA ⊥ AМ
ОB ⊥ BM

ОВ=ОА=(1/2)ОМ.

[b]Катет[/b] против угла в 30 градусов [b] равен половине гипотенузы. [/b]

Значит, ∠ АМО= ∠ ВМО=30 градусов
∠ АМВ=60 градусов

9.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
ОМ ⊥ КМ
ОN ⊥ KN

Δ MKO= Δ NKO
по гипотенузе ОК - общая
и катету (ОM=ОN=r)

∠ MKO= ∠ NKO=30 градусов
∠ MKN = 60 градусов.

Δ МKN - равносторонний.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Не может sinα=9/25
если 3п/2 < α < 2п

Cинус в четвертой четверти имеет знак минус.

1+ctg^2x=1/sin^2x ⇒

ctg^2α=(1/sin^2α) -1

ctg^2 α =1/(9/25)^2 -1

ctg^2 α =(625/81)-1

ctg^2 α =544/81

ctg α = - sqrt(544)/81

(знак минус, котангенс в четвертой четверти имеет знак минус)

2 cпособ

cos^2 α =1-sin^2 α =1-(9/25)^2=544/625

cos α =sqrt(544)/25

сtg α =sin α /cos α =-sqrt(544)/9

Ответ выбран лучшим

-1 ≤ sinx ≤ 1

-1 ≤ -sinx ≤ 1

-3 ≤ -3sinx ≤ 3

-3+7 ≤ 7-3sinx ≤ 7+3

4 ≤ 7-3sinx ≤ 10

О т в е т. [4;10]

Ответ выбран лучшим

Пусть стороны треугольника 2a;2b;2c.

Тогда стороны треугольника образованного средними линиями :
a;b;с
и его площадь
s=(1/2)a*b

По условию
60=(1/2)a*b
a*b=120

S=(1/2)*2a*2b=2a*b= [b]240[/b]

Так как
tg β =2a/2b=a/b

По условию
tg β=8/15 ⇒ a/b=8/15 ⇒ 15a=8b

Система двух уравнений:
{a*b=120
{15a=8b

Умножим первое уравнение на 8

a*8b=960

8b=15a

a*15a=960
15a^2=960
a^2=64
a=8
b=15

2a=16
2b=30

2с=sqrt(30^2+16^2)=sqrt(900+256)=sqrt(1156)=34

О т в е т. S=240; cтороны:34;30;16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
4^(x-2)*(4^2-3)=12
4^(x-2)*13=12
4^(x-2)=12/13

x-2=log_(4)(12/13)
x=2+log_(4)(12/13)

2=log_(4)16

x=log_(4)16+log_(4)(12/13)

x=log_(4)(16*12)/13

[b]x=log_(4)(192/13)[/b]

2)
Как выглядит уравнение? Так как написано?

Бывает, что уравнение получено после каких-то действий,
выполненных с ошибкой.
Уточните.

Рассмотрим функцию

y=2x^3–30x^2+5x–14

y`=6x^2-60x+5

y`=0

6x^2-60x+5=0

D=60^2-4*6*5=3600-120=3480

x_(1)=(60-59)/12≈0,08 x_(2)=(60+59)/12 ≈10

x_(1)- точка максимума

y(0,08)=2*0,08-30*0,08^2+5 <0

два корня, значит функция возрастает на (-∞ ; x_(1)); убывает
(x_(1);x_(2)) и снова возрастает на (х_(2);+ ∞)

Значит, кривая y=2x^3–30x^2+5x–14 пересекает ось Ох в единственной точке на(10;+ ∞)

y(14)<0
y(15)>0

Значит единственный корень на [14;15]

Ответ выбран лучшим

Перепишем
sqrt(x+1)=sqrt(x-sqrt(x+8))+1

Возводим в квадрат:

x+1= x-sqrt(x+8)+2sqrt(x-sqrt(x+8))+1

2sqrt(x-sqrt(x+8))=sqrt(x+8)

Возводим в квадрат:

4*(x-sqrt(x+8))=x+8

4x-4sqrt(x+8)=x+8

3x-8=4sqrt(x+8)

Возводим в квадрат:

9x^2-48x+64=16*(x+8)

9x^2-64x -64=0

D=64^2-4*9*(-64))=64*(64+36)=6400

x_(1)=(64-80)/18=-16/18=-8/9; x_(2)=(64+80)/18=8

Так как возводили в квадрат, могли появиться посторонние корни.

ОДЗ иногда найти труднее, чем сделать проверку.

Проверка:
[b]При х=-8/9[/b]

sqrt((-8/9)-sqrt((-8/9)+8)) не имеет смысла.

[b]При х=8[/b]

sqrt(8+1)-1=sqrt(8-sqrt(8+8))
3-1=sqrt(8-4) - верно

О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

√3 ·√3=3

√3 ·(√3/3)·(–1)=-1

Ответ выбран лучшим

√3·√3=3
3·√3/2·(–1)=-3/2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x>0

log_(81)x=log_(3^4)x=(1/4)log_(3)x

log_(81)x^5=5log_(81)x=5log_(3^4)x=(5/4)log_(3)x

x^2*(1/4)*log_(3)x ≥ (5/4)log_(3)x + x*log_(3)x

x^2*log_(3)x -5*log_(3)x - 4x*log_(3)x≥ 0

log_(3)x* (x^2-4x-5) ≥ 0

Совокупность двух систем:
(1)
{log_(3)x ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
{x^2-4x-5 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 или x ≥ 5

или

(2)
{tlog_(3)x ≤ 0 ⇒ 0 < x ≤1
{x^2-4x-5 ≤ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 5

О т в е т.
(1)
x ≥ 5
(2)
0 < x ≤1

О т в е т. (0;1] U [5;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

4.
Проведём диагональ АС.
Δ CКF ~ Δ CAD ( EF||AD)
Из подобия
FK:AD=CK:CA=CF:CD

Обозначим DF=k; тогда СF=3k
CF:DF=3k:k=3:1
CD=CF+DF=3k+k=4k

CF:CD=3k:4k=3:4

FK:AD=3:4
FK=(3/4)AD= [b]33[/b]

CK:CA=CF:CD=3:4

CK=3k;
CA=4k
AK=CA-CK=k

Δ AEК ~ Δ ABC ( EF||AD)

Из подобия
EK:BC=AK:AC=k:4k=1:4

EK=(1/4)BC=(1/4)*24= [b]6[/b]

EF=EK+KF=6+33= [b]39[/b]

6.
∠ ABC — вписанный, измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠ ABC=(1/2)∪ АС

∠ ACD, образованный касательной к окружности и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги заключённой между ними.
∠ ACD=(1/2) ∪ АС

∠ ABC=∠ ACD

ΔACD ~ Δ CBD, так как

∠BDC - общий
∠ ABC=∠ ACD.

Из подобия
СD:BD=AC:BC

Так как биссектриса угла делит противолежащую сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
AM:MB=AC:BC
AC:BC=10:18=5:9

СD:BD=5:9

BD=9CD/5=1,8*CD
AD=BD-AB=1,8CD-25

По свойству касательной и секущей, проведенных из точки D:
CD^2=DA*DB

CD^2=(1,8CD-25)*1,8CD

2,24CD=45

[b]CD=45/2,24[/b]

CD=1125/56

(прикреплено изображение)

Замена переменной:
3^x=u
u>0
2^(x)=v
v>0

3^(x+1)=3*3^(x)=3u

Получаем дробно– рациональное неравенство:

3u/(3v-2u) - u/(v-u) ≥ 0

Делим и числитель и знаменатель каждой дроби на u:

3/((3v/u)-2) - 1/((v/u)-1)≥ 0

Замена:
v/u=t
t>0

t=(2/3)^(x)

3/(3t-2) - 1/(t-1)≥ 0
Приводим к общему знаменателю:

(3t -3 -3t+2)/((t-1)*(3t-2))≥ 0

-1/((t-1)*(3t-2))≥ 0

Умножаем на (-1) и меняем знак неравенства

1/((t-1)*(3t-2)) ≤ 0

решаем методом интервалов:

_+__(2/3) _-__ (1) _+__

(2/3) < t < 1

Обратный переход:

(2/3) < (2/3)^(x) < 1=(2/3)^(0)

Показательная функция с основанием 0 <(2/3) < 1 Убывающая, поэтому
0 < x < 1

О т в е т. (0;1)

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

f(x)=2x^2-5x+1
x_(o)=2

f(2)=2*2^2-5*2+1=8-10+1=-1

f ` ( x) = ( 2x^2-5x+1)` = 4x-5

f ` (2)=4*2-5=3

y - (-1)=3*(x-2)

y=3x-7 - [b] уравнение касательной[/b]

Квадратное уравнение относительно синуcа.

Замена переменной:
sinx=t

2t^2-3t+1=0

D=3^2-4*2*1=1

t_(1)=(3-1)/4=1/2; t_(2)=(3+1)/4=1

Обратный переход:

sinx=1/2 ⇒ x=(-1)^(k)arcsin(1/2)+ πk, k ∈ Z

[b]x=(-1)^(k)*(π/6)+ πk, k ∈ Z[/b]

или

sinx=1 ⇒ x=arcsin1+ 2πn, n ∈ Z

[b]x=(π/2)+ 2πn, n ∈ Z[/b]

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=35178

1)
Δ АСВ - прямоугольный.
По теореме Пифагора
АВ^2=AC^2+BC^2=225+400=625
AB=25

Проводим высоту СН прямоугольного Δ АСВ
СH- проекция MH
CН⊥АВ, по теореме о трех перпендикуярах MH ⊥АВ
Расстояние от вершины M до АВ и есть МН,

Из формула площади прямоугольного треугольника АСВ
S=1/2*АС*ВС
и
S=(1/2)*АВ*СН

СН=АС*ВС/АВ=20*15/25=12

Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МН=СН/сos 60 градусов=12/0,5=24

О т в е т. Расстояние от вершины пирамиды до прямой АВ равно 24 см.

2)

Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МC^2=MH^2-CH^2=24^2-12^2=432
MC=12sqrt(3)

S=S_( Δ MBC)+S_( Δ MAB)+S_( Δ MAD)+S_( Δ MDC)+S(ABCD)

S_( Δ MBC)=(1/2)BC*CD=(1/2)*20*12sqrt(3)=

S_( Δ MAB)=(1/2)AB*CH=(1/2)*25*12=150

CK⊥АD
CK=AB*CH/AD=25*12/20=15

S_( Δ MAD)= (1/2)AD*CK=(1/2)20*15=150

S_( Δ MDC)=(1/2)CD*MC=(1/2)*25*12sqrt(3)=

S(ABCD)=2S_( Δ ABC)=2*(1/2)BC*AC=20*15=300

1.
q=0,95 - вероятность того, что изделие стандартное

p=1-q=1-0,95=0,05 - вероятность того, что изделие нестандартное

Найдем вероятность противоположного события: из трех взятых наугад нет ни одного нестандартного по формуле Бернулли

P_(3)(0)=C^(0)_(3)p^(0)q^(3)=1*0,05^(0)*0,95^(3)=0,857375≈ 0,86

Тогда вероятность того, что из трех взятых наугад хотя бы одно нестандартное:

1-P_(3)(0)=1-0,86=0,14

2.
Вводим в рассмотрение события - [b] гипотезы[/b]
H_(1) – на кубике выпало четное число очков
H_(2) –на кубике выпало нечётное число очков

p(H_(1))=1/2
p(H_(2))=1/2

событие A– "обе детали стандартные "

p(A/H1)=(4/7)*(3/6)=4/14
p(A/H2)=(5/9)*(4/8)=5/18

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(1/2)*(4/14) +(1/2)*(5/18)=(2/7)+(5/36)=(72+35)/252=107/252 ≈ 0,42

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле производной логарифмической функции
y=lnx

y`=1/x

По правилу нахождения производной сложной функции
y=lnu
y`=u`/u

1) u=3x+2^(x)

u`=(3x)`+(2^(x))`=3+2^(x)*ln2

y`= [m]\frac{3+2^{x}\cdot ln2}{3x+2^{x}}[/m]

2) u=sin5x
u`=(sin5x)`=cos5x*(5x)`=5cos5x

y`= [m]\frac{5cos5x}{sin5x}[/m]

Ответ выбран лучшим

1) Cм. рис.
Сечение [b]пятиугольник DFMNT[/b]
2)
Из прямоугольной трапеции ВВ_(1)GD( cм. рисунок):
BB_(1)=5
B_(1)G=3sqrt(2)/2
BD=4sqrt(2)
WD=BD-BW=BD-B_(1)G=4sqrt(2)- (3sqrt(2)/2)= [b]9sqrt(2)/2[/b]

tg ∠ GBD= 5/(9*sqrt(2)/2)=10/(9*sqrt(2))= [b]5sqrt(2)/9[/b]

∠ GBD= [b]arctg (5sqrt(2)/9)[/b]

3) S_(cечения)=S_( Δ DPK)- S_( ΔNKT)-S_( ΔMPF).

Δ DPK - равносторонний
DP=PK=DK=5sqrt(2)
ΔNKT= ΔMPF
NK=KT=NT=MP=PF=MF=sqrt(2)

S_(равностороннего треугольника со стороной а)=a^2*sqrt(3)/4

S_(cечения)=(5sqrt(2))^2- (sqrt(2))^2 - (sqrt(2))^2) * sqrt(3)/4=

=(50-2-2)*sqrt(3)/4=46sqrt(3)/4= [b]23sqrt(3)/2[/b]

4) DEQ - проекция пятиугольника DFMNT на плоскость АВСD

S_(DEQ)= (1/2)EQ*WD=(1/2)*(3sqrt(2)) * (9sqrt(2))/2=

=27/2= [b]13,5[/b]

(прикреплено изображение)

∠ СBD= ∠ ADB - внутренние накрест лежащие
∠ BOK= ∠ DOM - вертикальные
BO=OD ( диагонали в точке пересечения делятся пополам)

Δ BOK= Δ DOM по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников следует равенство сторон ВК и MD (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
∫ (2x-7)dx/(x^2-5)= ∫ 2xdx/(x^2-5) -7 ∫ dx/(x^2-5)

Считаем первый:
∫ 2xdx/(x^2-5) = [замена x^2-5=t; d(x^2-5)=dt; 2xdx=2tdt]=

= ∫ dt/t=ln|t|+C=ln|x^2-5|

Второй табличный.
cм. приложение. (прикреплено изображение)

Наверное, должно быть так: (прикреплено изображение)

По условию
QA=QB
Δ AQB - равнобедренный, угол при вершине 60 градусов,
значит углы при основании
(180-60)/2=60 градусов
Δ AQB - равносторонний
Обозначим
QA=QB=AB=a

Равные наклонные имеют равные проекции, поэтому
AO=BO
Δ AOB- прямоугольный равнобедренный;
AO=OB=asqrt(2)/2

Из прямоугольного треугольника
QAО:
cos ∠ QAO=AO/QA=(asqrt(2)/2)/a=sqrt(2)/2
∠ QAO=45 градусов (прикреплено изображение)

H=3м=300 см
d=75 мм
r=75/2 мм=37,5 мм = 3,75 см
D=75+10=85 мм
R=85/2 мм=42,5 мм=4,25 см

V=π·300·(4,25^2–3,75^2)=π·300·(18,0625 - 14,0625 )≈ 3768 см^3
m=ρ·V=7,2·3768≈ 27 129,6 г=27,1 кг

Ответ выбран лучшим

2sin^2(x+(7π/8))=1-cos(2x+(14π/8))=1-cos(2x+(7π/4))
4sin^2(x+(7π/8))=2-2cos(2x+(7π/4))

cos(2x+(7π/4))=cos2x*cos(7π/4) - sin2x*sin(7π/4)=

=cos2x*(sqrt(2)/2) - sin2x*(-sqrt(2)/2)=

=(sqrt(2)/2)*(cos2x+sin2x)

Уравнение:
2-sqrt(2)*(cos2x+sin2x)+ √2 sin2x=1

sqrt(2)*cos2x=1
cos2x=sqrt(2)/2

2x= ± (π/4)+2πn, n ∈ Z

[b]x= ± (π/8)+πn, n ∈ Z[/b]

б)отрезку [9π/2 ; 6π]
принадлежат корни:
x=- (π/8)-π+6π= [b]39π/8[/b]
x= (π/8)-π+6π= [b]41π/8[/b]
x=- (π/8)+6π= [b]47π/8[/b]

см. рис. (прикреплено изображение)

1.
Замена переменной
[b]x^(3/5)=t[/b]
d(x^(3/5)=dt

dt=(x^(3/5))`*dx

dt=(3/5)*x^(-2/5)dx

dt=(3/5)*(dx/x^(2/5))

[b]dx/x^(2/5)=(5/3)dt[/b]

∫ ctg(x^(3/5))dx/x^(2/5)=(5/3) ∫ ctgtdt=(5/3) ∫ costdt/sint=

=(5/3) ∫ d(sint)/cost=(5/3)ln|cost|+C= [b](5/3)ln|cos(x^(3/5))|+C[/b]

2.
Замена переменной
[b]sin3x=t[/b]
d(sin3x)=dt
(sin3x)`dx=dt
cos3x*(3x)`dx=dt

3cos3xdx=dt

[b]cos3xdx=dt/3[/b]

∫ сos3xdx/(25+sin^23x)= ∫ (dt/3)/(25+t^2)=(1/3)*(1/5)arctg(t/5)+C=

= [b](1/15)arctg((sin3x)/5)+C[/b]

3.
Замена переменной
[b]1/x^2=t[/b]
d(1/x^2)=dt
(-2/x^3)dx=dt

[b](2/x^3)dx=-dt[/b]

∫ (2/x^3)*tg(1/x^2)dx=- ∫ tgtdt= - ∫ sintdt/cost= ∫ d(cost)/sint=

=ln}sint|+C = [b] ln |tg(1/x^2)|+C[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
Дробь ≤ 0, значит числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Числитель 14 > 0, значит знаменатель
x^2+2x-15 < 0
D=4+60=64
корни
x_(1)=(-2-8)/5 =-5; x_(2)=(-2+8)/2=3

_+__ (-5) __-__ (3) __+_

-5 < x < 3

О т в е т. (-5;3)

3.
При x ≥ 0
|x|=x
y=x^2-3x-2x
y=x^2-5x

При x<0
|x|=-x
y=x^2-3*(-x)-2x
y=x^2+x

Строим при x ≥ 0 параболу y=x^2-5x с вершиной в точке
(2,5; -6,25)

при х < 0 параболу y=x^2+x с вершиной в точке
(-0,5; -0,25)

При m <-6,25 прямая не пересекается с графиком
при m=-0,25 и m=0 - три точки пересечения
При -0,25 <m < 0 - четыре точки пересечения
При m>0 - две

О т в е т. m ∈ [-6,25;-0,25]U[0;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sqrt(5x-2y)=u
sqrt(5x+2y)=v

{u+v=34
{u*v=273

{u=34-v
{(34-v)*v=273

v^2-34v+273=0
D=64
v_(1)=(34-8)/2=13; v_(2)=(34+8)/2=21
u_(1)=34-13=21; u_(2)=13

Обратный переход
sqrt(5x-2y)=21
5x-2y=441
5x+2y=169

10x=610
x=61
y=-68

5x-2y=169
5x+2y=441
x=61
y=68

О т в е т. (61;-68);(61;68)

Ответ выбран лучшим

φ =0⇒ sin0=1
ρ=4/(2+0)=2
На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=2
получаем точку А (0;2)

φ =π/8⇒
ρ=

φ =π/4⇒sin(π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ≈4/(2+0,7)=4/2,7=40/27
На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ≈40/27
получаем точку С (π/4;40/27)

φ =3π/8⇒
ρ=

φ =π/2⇒sin(π/2)=1
ρ=4/(2+1)=4/3
На луче φ =π/2 откладываем расстояние ρ=4/3
получаем точку Е (π/2;4/3)

φ =5π/8⇒
ρ=

φ =3π/4⇒sin(3π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ≈ 4/(2+0,7)=40/27
На луче φ =3π/4 откладываем расстояние ρ≈40/27
получаем точку G (3π/4;40/27)

φ =7π/8⇒
ρ =

φ =π⇒ sinπ=0
ρ = 4/(2+0)=2
На луче φ =π откладываем расстояние ρ=2
получаем точку M (π;2)

и так далее

Переход от полярной системы координат к декартовой

x=ρ·cos φ
y=ρ·sin φ
x^2+y^2=ρ^2⇒ ρ=sqrt(x^2+y^2)

cosφ =x/ρ=x/sqrt(x^2+y^2)

Подставляем в данное уравнение:

sqrt(x^2+y^2)=4/(2+ (y/sqrt(x^2+y^2)))

sqrt(x^2+y^2)=4*sqrt(x^2+y^2)/(2*sqrt(x^2+y^2) +y)

2*sqrt(x^2+y^2) +y=4

2*sqrt(x^2+y^2) =4-y

Возводим в квадрат

4*(x^2+y^2)=16-8y+y^2

[b]4x^2+3y^2+8y=16[/b] - уравнение линии в декартовой системе координат

Это эллипс со смещенным центром. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выделяем полный квадрат
x^2+8x+9=x^2+8x+16-7=(x+4)^2-7

∫ dx/sqrt(x^2+8x+9)= ∫ dx/sqrt((x+4)^2-7)=

=∫ d( [b]x+4[/b]) /sqrt(( [b]x+4[/b])^2-7)= [b]ln|x+4+sqrt(x^2+8x+9)|+C[/b]

Ответ выбран лучшим

7)Точка М, симметричная точке А, относительно прямой ВС лежит на прямой, перпендикулярной ВС. Уравнение перпендикулярной прямой - это уравнение высоты из точки А
см. в)
3x-4y+107=0
и расстояния от точки М до прямой ВС и от точки А до прямой ВС

равны.

d=|4x_(M)+3y_(M)-33|/sqrt(25)
d=9/5

|4x_(M)+3y_(M)-33|/sqrt(25)=9/5

|4x_(M)+3y_(M)-33|=9

4x_(M)+3y_(M)-33=9 или 4x_(M)+3y_(M)-3=-9

Из системы уравнений
{3x_(M)-4y_(M)+107=0
{4x_(M)+3y_(M)-3=-9

или
{3x_(M)-4y_(M)+107=0
{4x_(M)+3y_(M)-3=9

найдем координаты точки М или точки А ( А нам не надо).

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выделяем полные квадраты
(4x^2-16x)-(9y^2-18y)-29=0
4(x^2-4x+4)-9(x^2-2y+1)-16+9-29=0
4(x-2)^2-9(y-1)^2=36

(x-2)^2/9 - (y-1)^2/4 = 1 - уравнение гиперболы, с центром в (2;1)

a^2=9
b^2=4
c^2=a^2+b^2=9+4=13

Координаты фокусов
F_(1) (2-sqrt(13);0)
F_(2) (2+sqrt(13);0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим две точки, принадлежащие и той и другой плоскости одновременно, т.е принадлежащие именно линии пересечения

Пусть первая координата этой точки
х=0
{y – z+2=0
{-3y+z–1=0
Cкладываем
-2y+1=0
y=0,5
z=y+2=2,5

А(0; 0,5; 2,5)

Пусть вторая координата у=0
{х–z+2=0
{4x+z–1=0

Cкладываем
5х=1
х=0,2
z=x+2=1,2
B(0,2;0;1,2)

Составляем уравнение прямой проходящей через две точки
А(0; 0,5; 2,5)и B(0,2;0;1,2)

(x–0)/(0,2–0)=(y–0,5)/(2,5–0,5)=(z-2,5)/(1,2-2,5)

[b]х/0,2=(y–0,5)/2=(z-2,5)/(-1,3)[/b] – каноническое уравнение прямой

Ответ выбран лучшим

φ =0⇒ сos0=1
ρ=2/(2-1)=2
На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=2
получаем точку А (0;2)

φ =π/8⇒
ρ=

φ =π/4⇒cos(π/4)=sqrt(2)/2 ≈0,7
ρ≈2/(2-0,7)=2/1,3=20/13
На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ≈2/1,3=20/13
получаем точку С (π/4;20/13)

φ =3π/8⇒
ρ=

φ =π/2⇒cos(π/2)=0
ρ=2/2=1
На луче φ =π/2 откладываем расстояние ρ=1
получаем точку Е (π/2;1)

φ =5π/8⇒
ρ=

φ =3π/4⇒cos(3π/4)=-sqrt(2)/2 ≈-0,7
ρ≈ 2/(2-(-0,7)=2/2,7
На луче φ =3π/4 откладываем расстояние ρ≈2/2,7=20/27
получаем точку K (3π/4;20/27)

φ =7π/8⇒
ρ =

φ =π⇒ cosπ=-1
ρ = 2/(2-(-1))=2/3
На луче φ =π откладываем расстояние ρ=2/3
получаем точку N (π;2/3)

и так далее

В принципе можно и не считать, в силу симметрии.

x=ρ·cos φ
y=ρ·sin φ
x^2+y^2=ρ^2⇒ ρ=sqrt(x^2+y^2)

cosφ =x/ρ=x/sqrt(x^2+y^2)

Подставляем в данное уравнение:

sqrt(x^2+y^2)=2/(2- (x/sqrt(x^2+y^2)))

sqrt(x^2+y^2)=2*sqrt(x^2+y^2)/(2*sqrt(x^2+y^2) - x)

2*sqrt(x^2+y^2) - x=2

2*sqrt(x^2+y^2) =2+x

Возводим в квадрат

4*(x^2+y^2)=4+4x+x^2

[b]3x^2-4x+4y^2=4[/b] - уравнение линии в декартовой системе координат

Это эллипс со смещенным центром. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Образующая конуса L= 22 cм.
Образует с плоскостью основания угол 60 градусов. ( см. рисунок)

R=22*cos60 градусов=11
( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)

a)
S_(основания)=πR^2=π*11^2=121π см ^2

б)
S_(боковой поверхности)=πR*L=π*11*22=242π см:2 (прикреплено изображение)

1.
sin^5x=sin^4x*sinx=(sin^2x)^2*sinx=(1-cos^2x)^2*sinx

Замена переменной
cosx=t
dt=(cosx)`*dx
dt=-sinxdx
sinxdx=-dt

получим

∫ (1-t^2)^2*(-dt)/(3-t)= ∫ (t^4-2t^2+1)dt/(t-3)
неправильная дробь. Выделяем целую часть.

= ∫ (t^3+3t^2+7t+21+ (64/(t-3))dt=

= [b](t^4/4)+(3t^3/3)+(7t^2/2)+21t+64ln|t-3|+C, t=cosx[/b]

2.

2sin^2x+9cos^2x=2cos^2x*(t^2+(9/2))

Замена переменной
tgx=t
dx/cos^2x=dt

получим:

1/2∫ dt/(t^2+(9/2))=

Формула ∫ dx/(x^2+a^2)=(1/a)* arctg (x/a); a^2=9/2 a=3/sqrt(2)

=(1/2)*(sqrt(2)/3)arctg( sqrt(2)*t/3) + C=

= [b](sqrt(2)/6)*arctg((sqrt(2)tgx)/3) + C[/b]

3.
Замена
tgx=t
x=arctg t
dx=dt/(1+t^2)

1+tg^2x=1/cos^2x;

cos^2x=1/(1+tg^2x)=1/(1+t^2)

sin^2x=tg^2x*cos^2x=t^2/(1+t^2)

sin^8x=(sin^2x)^4=t^8/(1+t^2)^4
cos^(14)x=1/(1+t^2)^7

sin^8x/cos^(14) =(t^8/(1+t^2)^4)* (1+t^2)^7= (1+t^2)^3*t^8

sin^8x dx /cos^(14)= (1+t^2)^3*t^8 * (dt/(1+t^2))

получим

∫ t^8*(1+t^2)^2dt= ∫ t^8*(1+2t^2+t^4)dt= ∫ (t^(12)+2t^(10)+t^8)dt=

=t^(13)/13 + 2t^(11)/11+ t^(9)/9 + C=

= [b](tgx)^(13)/13 + 2(tgx)^(11)/11 + (tgx)^(10)/10 + C[/b]

4.

sin^2x=(1-cos2x)/2;
cos^2x=(1+cos2x)/2

sin^2x*cos^2x=(1-cos2x)*(1+cos2x)/4=(1-cos^22x)/4=

=(1/4) - (1/4) cos^22x=(1/4) - (1/4)*(1+cos4x)/2=

=(1/4)-(1/8) -(1/8) cos4x= (1/8) -(1/8)cos4x

∫ sin^2x*cos^2xdx= ∫ ((1/8) -(1/8)cos4x)dx=

= [b](1/8)x - (1/32) * sin4x + C[/b]

Ответ выбран лучшим

а)
В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны.
АВ ⊥ BC
CD ⊥ BC
По условию: MB ⊥ AB ⇒ CD ⊥ MB

CD ⊥ MB и СD ⊥ BC ⇒ [b]CD ⊥ пл. (МВС).[/b]

б)
MB- перпендикуляр, MC - наклонная
MC > MB
MC=13
MB=12
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника МСВ
BC=sqrt(13^2-12^2)=sqrt(25)=5

Значит, AD=BC [b]=5[/b]

По условию:
AD/CD=8/5 ⇒ CD=5AD/8=25/8= [b]3,125[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=80/100=0,8 - вероятность того, что саженец приживётся
p=1-q=0,2-вероятность того, что саженец не приживётся

P_(7)(0)=C^0_(7)p^0*q^(7)=1*0,8^0*0,2^(7)= -вероятность того, что ни один не приживется
P_(7)(1)=C^1_(7)p^1*q^(6)=7*0,8*0,2^(6)= - вероятность того, что один приживется

1 - (P_(7)(0)+P_(7)(1)) и получим ответ. Считайте.

Ответ выбран лучшим

По условию задачи N=11

В первой теме 11 вопросов, во второй 18
Всего ( 11+18)=29

Вводим в рассмотрение гипотезы:
Н_(1)- вопрос из первой темы
p(H_(1))=11/29
Н_(2)- вопрос из второй темы
p(H_(2))=18/29;

событие А- "студент не ответил на вопрос"
p(A/H_(1))=1/11
p(A/H_(2))=7/18

По формуле полной вероятности:

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(1))*p(A/H_(1))=

=(11/29)*(1/11)+(18/29)*(7/18)=1/(29)+(7/29)= [b]8/29[/b]

Вероятность того, что вопрос из второй темы:
p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=(7/29)/(8/29)= [b]7/8[/b]

Ответ выбран лучшим

M(X)=6*(3/8)+8*(3/11)+12*(31/88)=считаем

M(X^2)=6^2*(3/8)+8^2*(3/11)+12^2*(31/88)= cчитаем

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=считаем

2.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Третий столбик верхнее

Ответ выбран лучшим

p_(1)=2/6- вероятность из первой взять породистого
р_(2)=5/11 -вероятность из второй взять беспородного

О т в е т. (2/6)*(5/11)= [b]5/33[/b]

Ответ выбран лучшим

q=80/100=0,8 - вероятность выпуска стандартной детали.
p=1-q=0,2-вероятность выпуска нестандартной детали.

P_(2)=C^2_(2)p^2*q^(0)=1*0,2^280,8^(0)=0,04 [b]две[/b]
P_(1)=C^1_(2)p^1*q^(1)=2*0,2*0,8=0,32- [b]одна[/b]

P(0)=C^0_(2)p^0*q^(2)=1*0,2^(0)*0,8^2=0,64- ни одной

хотя бы одна: одна или ни одной:
P(1)+P(0)=0,32+0,64= [b]0,96[/b]

или

1- P(2)=1-0,04 [b]=0,96[/b]

Ответ выбран лучшим

Всего кроликов 6+7+8=21

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(1) – выбран белый кролик
H_(2) – выбран черный кролик
H_(3) – выбран серый кролик

p(H_(1))=6/21
p(H_(2))=7/21
p(H_(3))=8/21

событие A– "выбран кролик, который может заразится"

p(A/H1)=1/7
p(A/H2)=1/10
p(A/H3)=1/9

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))

=(6/21)*(1/7) +(7/21)*(1/10)+(8/21)*(1/9)=

Ответ выбран лучшим

15% или 0,15

см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=1
Один выстрел, попадание, p=5/9=45/81 стрельба закончилась.
n=2
Значит первый раз промахнулся, второй раз попал
(4/9)*(5/9)=20/81
n=3
Значит второй раз тоже промахнулся и на третий раз либо попал, либо промахнулся
(4/9)*(4/9)*(5/9) + (4/9)*(4/9)*(4/9)=16/81*((5/9)+(4/9))=16/81

(45/81)+(20/81)+(16/81)=1

Если в нижней строке сумма вероятностей равна 1, то все верно, такая таблица является законом
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+3x-10>0 ⇒ D=49; корни -5 и 2; x < -5 или x > 2
{x-2>0 ⇒ x>2
x ∈ (2;+ ∞ )

Перепишем

ln(x^2+3x-10) ≥ ln(x-2)+ln4 ( чтобы не иметь логарифма частного,

сумму логарифмов заменим логарифмом произведения)

ln(x^2+3x-10) ≥ ln4*(x-2)

Логарифмическая функция с основанием е > 1 возрастает, поэтому

x^2+3x-10 ≥ 4*(x-2)

x^2-x -2 ≥ 0

D=9

x_(1)=-1 или x_(2)=2

x ≤ -1 или x ≥ 2

С учетом ОДЗ
О т в е т. (2; + ∞ )

Однородное
y`=(y-x)/(y+x)

делим и числитель и знаменатель дроби справа на x

y`=((y/x)-1)/((y/x)+1)

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`·u+x·u`
y`=u+x·u`

u+x·u`= (u-1)(u+1)

x·u`= (u-1)(u+1)– u

x·u`=(-u^2-1)/(u+1)– уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

(u+1)du/(-u^2-1)= dx/x

Интегрируем.

∫ (u+1)du/(-u^2-1)= ∫ dx/x

∫ (u+1)du/(-u^2-1)= - ∫udu/(u^2+1) - ∫du/(u^2+1) =

= - (1/2) ∫2udu/(u^2+1) - ∫du/(u^2+1) =

= - (1/2) ∫d(u^2+1)/(u^2+1) - ∫du/(u^2+1) =

[b]=(-1/2)ln|u^2+1|- arctgu + C, где u=y/x[/b]

2.

xdy=(sqrt(x^2+y^2)+y)dx

Однородное

y`=(sqrt(x^2+y^2)+y)/x

y`=sqrt(1+(y/x)^2)+(y/x)

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`·u+x·u`
y`=u+x·u`

u+x·u`=sqrt(1+u^2)+u

x·u`=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

du/sqrt(1+u^2)=dx/x

Интегрируем:

∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x| + lnC

u+sqrt(1+u^2)=Сх

(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx

[b]y+sqrt(x^2+y^2)=Cx^2[/b]

3) Однородное
y`=(4x^2+3xy+y^2)/(4y^2+3xy+x^2)

делим и числитель и знаменатель дроби справа на x^2

y`=(4+3*(y/x)+(y/x)^2)/(4(y/x)^2+3(y/x)+1)

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`
y`=u+x*u`

u+x*u`= (4+3u+u^2)/(4u^2+3u+1)

x*u`=(4+3u+u^2)/(4u^2+3u+1) - u

x*u`=(-4u^3-2u^2+2u+4)/4u^2+3u+1)

x*u`=(-4u^3-2u^2+2u+4)/4u^2+3u+1) - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

(4u^2+3u+1)du/(-4u^3-2u^2+2u+4)= dx/x

Интегрируем.

∫ (4u^2+3u+1)du/(-4u^3-2u^2+2u+4)= ∫ dx/x

Интеграл слева - интеграл от рациональной дроби.
Раскладываем знаменатель на множители, раскладываем дробь на простейшие методом неопределённых коэффициентов, находим коэффициенты.
Получаем ответ

2)
Линейное неоднородное диф уравнение первого порядка.

Решаем либо методом вариации произвольных постоянных, либо методом Бернулли.

метод Бернулли.

Решение ищут в виде произведения [b]двух произвольных [/b]функций

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-2*u*v=e^(2x)

u`*v+u*(v`-2*v)=e^(2x)

На функцию v(x) накладываем условия
пусть
v`-2*v=0
dv/dx=2v
dv/v=2dx
lnv=2x
v=e^(2x)

тогда
u`*e^(2x)+u*( [b]0[/b])=e^(2x)
u`=1
u=x+C

y=u*v= [b](x+C)*e^(2x)[/b]

[b]∫ sin(3x–(π/3)) dx[/b]

Это табличный интеграл
∫ sinxdx=-cosx+C или ∫ sinudu=-cosu + C, u=u(x)

Пользуемся формулой справа.
u=3x-(π/3)
тогда
du=(3x-(π/3))`dx
du=3*dx
dx=du/3

∫ sin(3x–(π/3)) dx= ∫ sinu (du/3)=(1/3) ∫ sinudu=(1/3)*(-cosu)+C=

= [b]-(1/3)cos ((3x–(π/3)) + C [/b]

[b] ∫ (1/(sqrt(x) -1)dx[/b]

Табличный интеграл

∫ x^( α )dx= x^( α +1)/( α +1) + C

Свойства степени
x^(- α )=1/x^( α )

∫ (x^(-1/2) - 1)dx=Интеграл от суммы равен сумме интегралов=

=∫ (x^(-1/2)dx - ∫ dx = x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1) - x + C=

= [b]2sqrt(x) - x + C[/b]

[b]∫xdx/(7+x^2)[/b]
замена
t=7+x^2
dt=(7+x^2)`dx
dt=2xdx
xdx=dt/2

∫xdx/(7+x^2)= ∫ (dt/2) / t= (1/2) ∫ dt/t= табличный интеграл=

=(1/2)ln|t|+C= (1/2)ln |7+x^2|+C [b]=(1/2)ln (7+x^2)+C[/b]

Ответ выбран лучшим

v=(1/3)*π*r^2*(2H/3)

(1/3)*π*r^2*(2H/3)=192

π*r^2*H=864

Из подобия ( см. рис.)
r:R=h:H

h=(2/3)*H

тогда
r:R=(2H/3):H
r:R=2:3
R=(3/2)r

V=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*(3r/)^2*H=(1/3)*π*(9/4)r^2*H

=(3/4)π*r^2*H=(3/4)*864= [b]648[/b]

Долить надо
V-v= [b]648[/b]-192=456 мл
О т в е т. 456 мл.
(прикреплено изображение)

1)
4х^4–5x^2+1=0

замена переменной
x^2=y
x^4=y^2

Получаем уравнение
4y^2-5y+1=0
D=(-5)^2-4*4*1=25-16=9
sqrt(D)=3

y_(1)=(5-3)/8=1/4; y_(1)=(5+3)/8=1

Обратный переход

x^2=1/4 или x^2=1
x= ± 1/2 или х= ± 1

О т в е т. ± 1/2; ± 1

2)
2x^4–19x^2+9=0

замена переменной
x^2=y
x^4=y^2

Получаем уравнение
2y^2-19y+9=0
D=(-19)^2-4*2*9=289=17^2

y=(19-17)/4=1/2 или y=(19+17)/4=9

x^2=1/2 или x^2=9

x= ± sqrt(2)/2 или x= ± 3

О т в е т. ± sqrt(2)/2; ± 3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1.
составить уравнение прямой, проходящей через точку (0;–1;–7) параллельно вектору (1;–1;0).

Вектор vector{s}=(1;-1;0) - направляющий вектор прямой и уравнение имеет вид

[b](x-0)/1=(y-(-1))/(-1)=(z-0)/0[/b]

или:

{z=0
{y=-x-1

2.
Составим каноническое уравнение прямой:
{2x+y–z=0
{3x–y–z–2=0

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=35025

[b]x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1 [/b]

vector{s}= [b](0,4;0,2;1)[/b] - направляющий вектор прямой

Нормальный вектор плоскости 2x–y+z–3=0
vector{n}= [b](2;-1;1) [/b]

Если прямая параллельна плоскости, то векторы vector{s} и vector{n}
ортогональны.
А их скалярное произведение равно 0.

Но это не так:
0,4*2 +0,2*(-1)+1*1 ≠ 0

Значит прямая и плоскость пересекаются.

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+6=0

k1=-sqrt(6)*i; k2=sqrt(6)i– корни комплексно-сопряженные

α =0 β=sqrt(6)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*cossqrt(6)x+C_(2)sinsqrt(6)x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(х)*(Asin4x+Bcos4x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=e^(x)*(Asin4x+Bcos4x)+e^(x)*(4Acos4x-4Bsin4x)

y`_(част)=e^(x)*(Asin4x+Bcos4x+ 4Acosx-4Bsinx)

y``_(част)=e^(x)(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x-4Bsin4x)+e^(x)*(4Acos4x-4Bsin4x-16Asin4x-16Bcos4x)

y``_(част)=e^(x)(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x-4Bsin4x+4Acos4x-4Bsin4x-16Asin4x-16Bcos4x)

подставляем в данное уравнение:

e^(x)(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x-4Bsin4x+4Acos4x-4Bsin4x-16Asin4x-16Bcos4x)+6*e^(х)*(Asin4x+Bcos4x)=e^(x)*(cos4x-8sin4x)

e^(x)(Asin4x+Bcos4x+ 4Acos4x-4Bsin4x+4Acos4x-4Bsin4x-16Asin4x-16Bcos4x+6Asin4x+6Bcos4x)=e^(x)*(cos4x-8sin4x)

Asin4x-4Bsin4x-4Bsin4x-16Asinx+6Asin4x=-8sin4x
Bcos4x+ 4Acos4x+4Acos4x-16Bcos4x+6Bcos4x)=cos4x

Cистема:
{A-4B-4B-16A+6A=-8
{B+4A+4A-16B+6B=1

{9A+8B=8
{8A-9B=1

A=80/145=16/29
B=11/29
y_(част)=e^(х)*((16/29)*sin4x+(11/29)*cos4x)

О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)*cossqrt(6)x+C_(2)sinsqrt(6)x+e^(х)*((16/29)*sin4x+(11/29)*cos4x)

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ y``(x)dx= ∫ dx/(1+x^2)=arctgx+C_(1)

y= ∫ y`(x)dx = ∫( arctgx+C_(1))dx= ∫ arctgx dx + ∫ C_(1)dx=

=[первый интеграл считаем по частям: u=arctgx; du=dx/(1+x^2)
dv=dx; v=x]

=x*arctgx - ∫ (x*dx)/(1+x^2)+C_(1)x=

=x*arctgx - (1/2)ln(1+x^2)+C_(1)x+C_(2)

у= x*arctgx - (1/2)ln(1+x^2)+C_(1)x+C_(2) - общее решение
y(0)=0
0=0*arctg0-(1/2)ln(1+0)+C_(1)*0+C_(2)

⇒ [b] C_(2)=0[/b]
y`(0)=0

0=arctg0+C_(1)
C_(1)=0

у=x*arctgx - (1/2)ln(1+x^2) - частное решение ( решение задачи Коши)

y(1)=1*arctg1-(1/2)ln2 ≈ cчитайте...

Ответ выбран лучшим

уравнение с разделяющимися переменными:
(y^2+3)dx=e^(x)ydy/x
xe^(-x)dx=ydy/(y^2+3)

Интегрируем
∫ xe^(-x)dx= ∫ydy/(y^2+3)

Считаем каждый интеграл:
∫ xe^(-x)dx=[ по частям: u=x; dv=e^(-x)dx ⇒ du=dx; v=-e^(-x)]

=-xe^(-x)- ∫ (-e^(-x))dx= [b]-xe^(-x)- e^(-x)[/b]

∫ydy/(y^2+3)=(1/2) ∫ d(y^2+3)/(y^2+3)= [b](1/2)ln(y^2+3)[/b]

О т в е т. [b]-xe^(-x)- e^(-x)=(1/2)ln(y^2+3) + С[/b]

Ответ выбран лучшим

3x^2+7x-15=-x^2+2x+6;

3x^2+7x-15+x^2-2x-6=0;

4x^2+5x-21=0

D=5^2-4*4*(-21)=25+336=361=19^2

x_(1)=(-5-19)/8=-3; х_(2)=(-5+19)/8=7/4=1,75

О т в е т. -3; 1,75

Замена переменной:
[b]3^(x)=t[/b]
[b]t>0[/b]

3^(x+3)=3^(x)*3^(3)=27t
3^(x+1)=3^(x)*3^(1)=3t
9^(x+(1/2))=9^(x)*9^(1/2)=3*9^(x)=3t^2

Получаем дробно-рациональное неравенство:

1/(t-1) + (3t^2-27t+3)/(t-9) ≥ 3t

1/(t-1) + (3t^2-27t+3)/(t-9) - 3t ≥ 0

Приводим к общему знаменателю:

(t-9 +(t-1)*(3t^2-27t+3) - 3t*(t-1)*(t-9)) / (t-1)(t-9) ≥ 0

[b](4t-12)/(t-1)(t-9) ≥ 0[/b]

Применяем метод интервалов при t>0:

(0) _-__ (1) __+___ [3] ____-___ (9) ____+__

1 < t ≤ 3 или t >9

обратная замена:

1 < 3^(x) ≤ 3 или 3^(x) >9

3^(0)< 3^(x) ≤ 3 или 3^(x) >3^(2)

Показательная функция с основанием 3> 1 возрастающая,

большему значению функции соответствует большее значение

аргумента

[b]0 < x ≤ 1 или x > 2[/b]

О т в е т. [b] (0;1] U (2; + ∞ )[/b]

Плоскости 2x+y–z=0 и 3x–y–z–2=0 пересекаются по прямой, на ней бесчисленное множество точек.
Найдем две точки, принадлежащие прямой

Пусть первая координата х=0
{y–z=0
{–y–z–2=0
Складываем
–2z–2=0
z=–1
y=z=–1
A(0;–1;–1)

Пусть z=0.
Тогда
{2x+y=0
{3x–y–2=0
Складываем
5х–2=0
х=2/5=0,4
y=–2x=–0,8
В(0,4;–0,8;0)

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки:

(x–0)/(0,4–0)=(y–(–1))/(–0,8–(–1))=(z–(–1))/(0–(–1))

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1 – каноническое уравнение прямой

Направляющий вектор прямой vector{a}=(0,4;0,2;1)

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P, перпендикулярно прямой.
При этом направляющий вектор прямой = нормальный вектор плоскости
0,4*(x-0)+0,2*(y-(-1))+1*(z-(-4))=0
[b]0,4x+0,2y+z+4,2=0[/b]

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Для этого напишем параметрические уравнения прямой:

Обозначим

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1= t ( вводим параметр)

Параметрическое уравнение прямой :
[b]{x=0,4t
{y=0,2t–1
{z=t–1[/b]

Подставляем их в уравнение плоскости:

0,4*(0,4t)+0,2*(0,2t-1)+(t-1)+4,2=0

1,2t+3=0
t=3/1,2=30/12=10/4=2,5

При t=2,5

x=0,4t=0,4*2,5=1
y=0,2t-1=0,2*2,5-1=-0,5
z=t-1=2,5-1=1,5

Это и есть координаты проекции точки Р

О т в е т. [b](1;-0,5;1,5)
[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть BM=x, AM=5-x
Из прямоугольного треугольника ВМС
tg ∠ BMC=1/x

Из прямоугольного треугольника AМD
tg ∠ AMD=4/(5-x)

По формуле tg2α=2tgα/(1+tg^2α)

4/(5-х)=(2/х)/(1+(1/х)^2)

2х*(5-х)=4*(x^2+1)

6x^2-10x+4=0

3x^2-5x+2=0

D=25-24=1

x=(5-1)/6=4/6=2/3; х=(5+1)/6=1

x=1 не может быть, так как тогда ∠ BMC=45 градусов
∠ AMD=90 градусов, в треугольнике не может быть два угла по 90 градусов.

Значит,
BM=2/3
AM=5-(2/3)=13/3
AM/MB= [b]13/2[/b]

Ответ выбран лучшим

Плоскости 2x+y–z=0 и 3x–y–z–2=0 пересекаются по прямой, на ней бесчисленное множество точек.
Найдем две точки, принадлежащие прямой

Пусть первая координата х=0
{y-z=0
{-y-z-2=0
Складываем
-2z-2=0
z=-1
y=z=-1
[b]A(0;-1;-1)[/b]

Пусть z=0.
Тогда
{2x+y=0
{3x–y–2=0
Складываем
5х-2=0
х=2/5=0,4
y=-2x=-0,8
[b]В(0,4;-0,8;0)[/b]

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки:

(x-0)/(0,4-0)=(y-(-1))/(-0,8-(-1))=(z-(-1))/(0-(-1))

[b]x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1[/b] - каноническое уравнение прямой

Обозначим

x/0,4=(y+1)/0,2=(z+1)/1= t ( вводим параметр)

Параметрическое уравнение прямой :
[b]{x=0,4t
{y=0,2t-1
{z=t-1[/b]

Ответ выбран лучшим

d^2=(2R)^2+(2R)^2=8R^2
(sqrt(2))^2=8R^2
1=4R^2
R^2=1/4
R=(1/2)

H=2R=1

V=πR^2*H=π*(1/2)^2*1=π/4 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S=(AB+CD)*CH/2=CH*CH
S=CH^2
a^2=CH^2
CH=a (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
Rez=x

i+x=i*(x+iy)
i+x=ix-y

1=x
x=-y

x=1
y=-1

О т в е т. 1-i

Ответ выбран лучшим

Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(i) - выбрана i-ая упаковка
i=1,2,3
p(H_(i))=1/3

событие A- "выбрано три детали, среди которых 2 стандартных и одна нестандартная"

p(A/H_(1))=C^2_(8)*C^(1)_(2)/C^(3)_(10)=7/30
p(A/H_(2))=C^2_(9)*C^(1)_(1)/C^(3)_(10)=3/10
p(A/H_(3))=1

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(1/3)*(7/30) + (1/3)*(3/10) + (1/3)*1=(1/3)*((7/30) + (3/10) +1) = [b]23/45[/b]

Ответ выбран лучшим

Степенная функция определена на множестве x>0

y=x^(-5) - ветвь гиперболы в первой четверти, но так как
функция нечетная, поэтому вторая ветвь существует и расположена в третьей четверти ( см. рис.1)

y=(-x^)(-5) - ветвь гиперболы в во второй четверти, но так как
функция нечетная, поэтому вторая ветвь существует и расположена в четвертой четверти ( см. рис.2)

График требуемой функции на рис. 3

Симметричен относительно прямой x=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{6-5m ≥ 0 ⇒ -5m ≥ -6 ⇒ m ≤ 1,2
{4m ≥ 0 ⇒ m ≥ 0

О т в е т. [b] [0;1,2][/b]

Ответ выбран лучшим

Интегрирование по частям
u=x+2π
du=(x+2π)`dx
du=dx

dv=sin2xdx
v= ∫ dv= ∫ sin2xdx=(1/2) ∫ sin2x(2x)=(1/2)*(-cos2x)

[b]∫ udv=u*v- ∫ vdu[/b]

∫ ^π_(0)(x+2π)*sin2x*dx=

=(x+2π)*(1/2)*(-cos2x)|^π_(0)- ∫ ^π_(0)(1/2)*(-cos2x)dx=

= (π+2π)*(1/2)(-cos4π)-(0+2π)*(1/2)*(-cos0) + (1/4)∫ ^π_(0)cos2xd(2x)=

=-(3/2)π+π +(1/4)*(sin2x)|^π_(0) = (-π/2) +(1/4)sin2π-(1/4)sin0=

[b]=-π/2[/b]

Табличный интеграл
∫ e^(u)du
u=(3/x)
du=(-3)dx/x^2

dx/x^2=-du/3

∫^(3)_(1) e^(3/x)dx/x^2=-(1/3) ∫^(3)_(1) e^(3/x)d(3/x)=

=(-1/3)e^(3/x)|^(3)_(1) =(-1/3)e^(1)+(1/3)e^(3)= [b](e^3-e)/3[/b]

Найдем точки, в которых каждое [b]подмодульное[/b] выражение обращается в 0:

|x-8|=0 ⇒ х=8
|2x2–2x–17|=0 ⇒ 2x^2-2x-17=0; D=(-2)^2-4*2*(-17)=4+136=140
x_(1)=(2-2sqrt(35))/4; x_(2)=(2+2sqrt(35))/4
x_(1)=(1-sqrt(35))/2; x_(2)=(1+sqrt(35))/2
-3 < x_(1)<-2 и 3 < x_(2) < 4

|2|x-8|-1|=0 ⇒2|x-8|-1=0 ⇒ |x-8|=1/2 ⇒ x-8=1/2 или х-8=-1/2
x=8,5 или x=7,5

Эти точки разбили числовую прямую на промежутки

__ (x_(1) ) ____(x_(2)) ____ (7,5) __ (8) ___ (8,5) ____

Раскрываем модули на каждом промежутке и решаем неравенство.

[b](1)[/b]
x≤ x_(1)
[b]x∈(- ∞; (1-sqrt(35))/2)[/b]

|2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=-x+8
|2|x-8|-1|=-2x+15

9(x^2–x–8)+4(-2x+15)≥ 9(-x+8)+4(2x^2–2x–17)

[b]x^2-16 ≥ 0 [/b] ⇒ x ≤ -4 или x ≥ 4

о т в е т_(1) (- ∞; -4]

[b](2)[/b]
x_(1) < x ≤ x_(2)
|2x^2-2x-17|=-2x^2+2x+17
|x-8|=-x+8
|2|x-8|-1|=-2x+15
9(x^2–x–8)+4(-2x+15)≥ 9(-x+8)+4(-2x^2+2x+17)

[b]x^2-16x-152≥ 0[/b]

D=16^2-4*(-152)=16^2*(39)

x ≤ 8-8sqrt(39) или x ≥ 8+8sqrt(39)

Уравнение не имеет решений, множество решений и множество (2) не пересекаются.

[b](3)[/b]
x_(2) < x ≤ 7,5
|2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=-x+8
|2|x-8|-1|=-2x+15
9(x^2–x–8)+4(-2x+15)≥ 9(-x+8)+4(2x^2-2x-17)
[b]x^2-16 ≥ 0 [/b] ⇒ x ≤ -4 или x ≥ 4

о т в е т_(3) [4;7,5]

[b](4)[/b]
7,5 < x ≤ 8
|2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=-x+8
|2|x-8|-1|=2x-15

9(x^2–x–8)+4(2x-15)≥ 9(-x+8)+4(2x^2-2x-17)
...
о т в е т_(4)

(5)
8 < x ≤ 8,5
|2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=x-8
|2|x-8|-1|=-2x+17

9(x^2–x–8)+4(-2x+17)≥ 9(x-8)+4(2x^2-2x-17)
...
о т в е т_(5)

(6)
x > 8,5
2x^2-2x-17|=2x^2-2x-17
|x-8|=x-8
|2|x-8|-1|=2x-17

9(x^2–x–8)+4(2x-17)≥ 9(x-8)+4(2x^2-2x-17)
...
о т в е т_(6)

О т в е т. Объединить все 6 ответов

S=πR^2-πr^2
R=1
r=1/2

S=π*1^2-π*(1/2)^2= [b]3π/4[/b]

ρ_(1)=sin φ - уравнение окружности
0 ≤ φ ≤ π

ρ_(2)=2sin φ - уравнение окружности
0 ≤ φ ≤ π

S= ∫ ^(π)_(0) (1/2)* [b]([/b](ρ_(2))^2-(ρ_(1))^2 [b])[/b]d φ =

=(1/2) ∫ ^(π)_(0) ((2sin2φ)^2 -sin^2 φ )d φ =

=(1/2) ∫ ^(π)_(0) (4*(1-cos4φ)/2 -(1-cos2φ)/2 )d φ =

=(1/4)( 4φ -4*(1/4)sin4 φ- φ +(1/2)sin2 φ )|^(π)_(0)=

=(1/4)*(4π - 0 - π+0)=3π/4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)

S= ∫ ^(1)_(-2)((4-x^2)-(x+2))dx= ∫ ^(1)_(-2)(4-x^2-x-2)dx= ∫^(1)_(-2)(2-x^2-x)dx=

=(2x-(x^3/3)-(x^2/2))|^(1)_(-2)=(2-(1/3)-(1/2)) - (4-(-8/3)-(4/2))=

2)
S= ∫ ^(π/3)_(-π/6) |-sinx|dx = ∫ ^(0)_(-π/6)(-sinx)dx+ ∫ ^(π/3)_(0)sinxdx=

=cosx|^(0)_(-π/6) - cosx| ^(π/3)_(0)=cos0-cos(-π/6)-cosπ/3+cos0=1-(1/2)-sqrt(3)/2+1=

=
3)
S= ∫^(-2) _(-4)(x^2+6x+11)dx+ ∫^(-1)_(-2)(1-x)dx=

=((x^3/3)+(6x^2/2)+11x)|^(-2) _(-4) + (x-(x^2/2))|^(-1)_(-2)=

=(-8/3)+3*4-22 - (-64/3)-3*(16)-11*(-4) (-1-(1/2))-(-2-(4/2))=

Ответ выбран лучшим

Прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к оси Ох, это прямая y=x.
Найдем координаты точки А - точки пересечения прямой и параболы
{y=x
{y^2=4sqrt(2)x

x^2=4sqrt(2)x
x=0 или х=4sqrt(2)
y=0 или y=4sqrt(2)

OA=sqrt((4sqrt(2)-0)^2+(4sqrt(2)-0)^2)=sqrt(64)=8
О т в е т. [b]8[/b] (прикреплено изображение)

MA=MB=MC=R
R=СM= sqrt((3-1)^2+(4-3)^2)=sqrt(5)

Так как треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный, то CМ-медиана и значит, высота

Уравнение CМ:y=kx+b
С(1;3); M(3;4)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b

3=1k+b
4=3k+b
-1=-2k
k=1/2
b=3-k=3-(1/2)=5/2

[b]y=(1/2)x+(5/2)[/b]

АВ ⊥ СМ
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

[b]k_(CM)*k_(AB)=-1[/b]

k_(AB)=-2

y=-2x+b - уравнение прямых, перпендикулярных АВ

Так как точка M ∈ AB, подставим координаты точки М, найдём b

4=-2*3+b

[b]b=10[/b]

у=-2х+10 - уравнение прямой АВ.

Окружность с центром в точке M и радиусом R=sqrt(5) пересекается с прямой АВ в точках А и B

Найдем координаты точки А и В из системы уравнений:
{y=-2x+10
{(x-3)^2+(y-4)^2=5

(x-3)^2+(-2x+10-4)^2=5 ⇒ x^2-6x+8=0
x_(1)=2; x_(2)=4
y_(1)=-2*2+10=6; y_(2)=-2*4+10=2

A(2;6) B(4;2)

С(1;3)

Уравнение АC: y=kx+b
A(2;6);С(1;3)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b

6=k*2+b
3=k*1+b
⇒ k=3
b=0
[b]y=3x[/b]

Уравнение BC: y=kx+b
B(4;2);С(1;3)
Подставляем координаты точек в уравнение:
y=kx+b

2=k*4+b
3=k*1+b
⇒ 3k=-1
k=-1/3
b=10/3
[b]y=(-1/3)x+(10/3)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
[b]2^(x)=t[/b]
t>0
Упрощаем
числитель:

t^4-2t^3+2t^2-2t+1=(t^4+2t^2+1)-2t(t^2+1)=(t^2+1)^2-2t(t^2+1)=

=(t^2+1)*(t^2+1-2t)=(t^2+1)*(t-1)^2
Упрощаем
знаменатель:

(t-2)^2+(t-3)^3-1=

=(t-3+1)^2+((t-3)^3-1=

=(t-3)^2+2(t-3)+1+(t-3)^3-1=

=(t-3)^3+(t-3)^2+2(t-3)=

=(t-3)*((t-2)^2+(t-3)+2)

Во второй скобке
u^2+u+2 > 0
D<0

Итак,
[b]неравенство принимает вид:[/b]

[b]((t^2+1)*(t-1)^2)/(t-3)*((t-3)^2+(t-3)+2) ≥ 0 [/b]

которое равносильно неравенству

[b](t-1)^2/(t-3) ≥ 0 [/b]

метод интервалов:

(0) _-__ [1] __-__ (3) __+__

t=1 или t >3

[b]2^x=1[/b] или [b]2^x > 3[/b]

Показательная функция с основанием 2 возрастает

[b]x=0[/b] или [b]x > log_(2)3[/b]

О т в е т. [b]{0} U ( log_(2)3; + ∞ )[/b]

Уравнение первой плоскости:
cложим все три уравнения:
x+y+z=(3+u+v)+(2-u+v)+(3u-2v)
x+y+z=5+3u
вычтем из первого второе:
u=(x-y-1)/2

x+y+z=5+(3/2)*(x-y-1)
2x+2y+2z=10+3x-3y-3
[b]x-5y-2z+7=0[/b]
vector{n_(1))=(1;-5;-2)

Уравнение первой плоскости:
cложим первое, второе умноженное на 2 и третье уравнения:
[b]x+2y+z=11[/b]
vector{n_(2))=(1;2;1)

Нормальные векторы не коллинеарны, не ортогональны (скалярное произведение 1*1+(-5)*2+(-2)*1 ≠ 0)

Значит плоскости [b] пересекаются[/b]

x/(x-2)(x^2+x+1) = A/(x-2) + (Mx+N)/(x^2+x+1)

x=A*(x^2+x+1)+(Mx+N)(x-2)

x=Ax^2+Ax+A+Mx^2+Nx-2Mx-2N

A+M=0
A+N-2M=1
A-2N=0

3,5A=1
A=2/7

M=-2/7

N=1/7

=(2/7) ∫dx/(x-2) - (1/7) ∫ (2x-1)/(x^2+x+1)=

=(2/7) ∫dx/(x-2) - (1/7) ∫ (2x-1)dx/((x+0,5)^2+0,75)=[x+0,5=t;dx=dt;x=t-0,5]

=(2/7) ∫dx/(x-2) - (1/7) ∫ (2(t-0,5)-1)dt/(t^2+0,75)=

=(2/7) ∫dx/(x-2) - (1/7) ∫ 2tdt/(t^2+0,75)+(2/7) ∫ dt/(t^2+0,75)=

= [b](2/7)ln|x-2| -(1/7)ln|x^2+x+1| +(2/7)*(2/sqrt(3))arctg(x+0,5)/sqrt(3)/2 + C[/b]

По частям
u=arcsin3x ⇒ du=3dx/sqrt(1-9x^2)
dv=(2x-1)dx ⇒ v=x^2-x

u*v- ∫ vdu= (x^2-x)arcsin3x - ∫(x^2-x)dx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x - ∫x^2dx/sqrt(1-9x^2)- ∫xdx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x +(1/9) ∫(-9x^2)dx/sqrt(1-9x^2)-∫xdx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x +(1/9) ∫(1-9x^2)dx/sqrt(1-9x^2)-(1/9)∫dx/sqrt(1-9x^2)- ∫x)dx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x +(1/9) ∫sqrt(1-9x^2)dx -(1/9)∫dx/sqrt(1-9x^2)- ∫xdx/sqrt(1-9x^2) =

=(x^2-x)arcsin3x +(3/9) [b]∫sqrt((1/9)-x^2)dx[/b] -(1/9)∫dx/sqrt(1-9x^2)- (-1/18)∫(-18)xdx/sqrt(1-9x^2) =

= [b](x^2-x)arcsin3x +(3/9) *((x/2)sqrt((1/9)-x^2)+(3/9)*(1/2)arcsin(x/(1/3)) -(1/9)(1/3)arcsin(3x)+ (1/18)*2sqrt(1-9x^2) + C[/b]
(прикреплено изображение)

Замена
x=t^6
dx=5t^5dt
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

∫ sqrt(x)dx/(∛x+1)= ∫ t^3*6t^5dt/(t^2+1)=

=6 ∫ t^8/(t^2+1)=

=6 ∫ (t^8-1)dt/(t^2+1) + 6 ∫ dt/(t^2+1)=

=6∫ (t^4+1)*(t^2+1)dt + 6 ∫ dt/(t^2+1)=

=6 ∫ (t^6+t^4+t^2+1)dt+6 ∫ dt/(t^2+1)=

= [b]6*((t^7/7)+(t^5/5)+(t^3/3)+t)+6arctgt + C[/b]

t=x^(1/6)

Универсальная подстановка
tg(x/2)=t
x/2=arctgt
x=2arctgt
dx=2/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)

3 + sinx + cosx = 3 + 2t/(1+t^2) + (1-t^2)/(1+t^2)

3 + sinx + cosx = (3+3t^2+2t+1-t^2)/(1+t^2)

∫ dx/(3 + sinx + cosx)= ∫ 2dt/(2t^2+2t+4)=

= ∫ dt/(t^2+t+2)= ∫ dt/((t+(1/2))^2+(7/4))=

=(1/sqrt(7/4))*arctg(t+(1/2))/sqrt(7/2)+C=

=(2/sqrt(7))* arctg((2t+1)/sqrt(7)) + C=

= [b](2/sqrt(7)) * arctg ((2tg(x/2)+1)/sqrt(7))+C[/b]

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
5k^2+2k+2=0
D=-36

k_(1)=(-2-6i)/10 k_(2)=(-2+6i)/10- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(-0,2x)С_(1)*sin0,6x+C_(2)*cos0,6x

Правая часть
f(x)=sinx*sin5x
так как
sinx*sin5x=(1/2)sin6x+(1/2)sin(-4x)
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)

f_(1)(x)=(1/2)sin6x
f_(2)(x)=(-1/2)sin4x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=(1/2)sin6x

y_(част 1) =Asin6x+Bcos6x

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част1)=6Acos6x-6Bsin6x

y``_(част)= -36Asin6x-36Bcos6x

подставляем в данное уравнение:

5*( -36Asin6x-36Bcos6x)+2*(6Acos6x-6Bsin6x)+2*Asin6x+2Bcos6x=(1/2)sin6x

Находим А и В

y_(част 2) =Msin4x+Ncos4x

y`_(част 2) =4Mcos4x-4Nsin4x

y``_(част 2) = -16Msin4x-16Ncos6x

5*( -16Msin4x-16Ncos4x)+2*(4Mcos4x-4Nsin4x)+2*Msin4x+2Ncos4x=-(1/2)sin4x

Находим M и N
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

Ответ выбран лучшим

Пишем уравнение стороны BC:

(x-0)/(-1)=(y-2)/(-2-2)
-4x=-y+2
y=4x+2

Пишем уравнение прямой AD, параллельной ВС и проходящей через точку А

y=4x+b

Подставляем координаты точки А(1;3)

3=4*1+b
b=-1
О т в е т. y= [b]4x-1[/b]

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-k=0
k*(k-1)=0
k1=0; k2=1– корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(0х)+C_(2)*e^(x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ax*e^(x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=Ax`*e^(x)+Ax*(e^(x))`=Ae^(x)*(1+x)

y``_(част)=A(e^(x))`*(1+x)+Ae^(x)*(1+x)`=Ae^(x)(1+x+1)=Ae^(x)*(x+2)

подставляем в данное уравнение:

Ae^(x)*(x+2)-Ae^(x)*(1+x)=e^(x)

Ах+2А-А-Ах=1

A=1

О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)= [b]С_(1)+C_(2)*e^(x)+x*e^(x)[/b]

1) Cм. рис. 1

S=2 ∫ ^(π/2)_(0)(1/2)* ρ^2( φ )d φ = ∫ ^(π/2)_(0) (4sin2φ)^2d φ =

=16∫ ^(π/2)_(0)sin^22 φ d φ =16 ∫ ^(π/2)_(0)(1-cos4φ)/2 d φ =

=8∫ ^(π/2)_(0)(1-cos4φ) d φ =8*( φ -(1/4)sin4 φ)| (π/2)_(0)= [b]4π[/b]

2)
y^2=9-x⇒ x=y^2+9
x=g(y)

V_(oy)=π ∫ ^(3)_(-3)g^2(y)dy= π ∫ ^(3)_(-3) (y^2+9)^2dy=

=π ∫ ^(3)_(-3) (y^4+9y^2+81)dy=

=π*((y^5/5)+(9y^3/3)+81y)|^(3)_(-3)=

=π*(3^5/5 +3*3^3+81*3 - (-3^5/5)-3*(-3^3)-81*(-3))=

=π*(243/5 + 81 +243 +243/5 + 81 +243)= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=e^x , x=0 и y=1–x не ограничивают фигуру.
cм. рис. 1

y=e^x , y=0 и y=1–x ограничивают бесконечную фигуру
см. рис.2

S= ∫^(0) _(- ∞ )e^(x)dx+ ∫^(1) _(0)(1-x)dx=

=e^(x)|^(0)_(- ∞ ) + (x-(x^2/2))|^(1)_(0) =

=1- 0 +1-(1/2)= [b]1,5[/b] (прикреплено изображение)

Понижение степени.
Замена
y`=z
y``=z`
x*(z`+1)+z=0
z`+(1/x)z=-1

Линейное уравнение. Метод Бернулли.
z=u*v
z`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`+(1/x)u*v=-1

u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=-1

v`+(1/x)*v=0
⇒ dv/v=-dx/x
v=1/x

u`*(1/x)=-1

du=-xdx
u=-x^2/2+ C_(1)

z=(-x^2/2+ C_(1))*(1/x)

z=-x/2 +(C_(1)/x)

y`=-x/2 +(C_(1)/x)

[b]y=-x^2/4+C_(1)lnx + C_(2)[/b]

Ответ выбран лучшим

Линейное первого порядка.
Метод вариации или метод Бернулли

Решаю методом Бернулли
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-2x*u*v=e^(x^7)ctgx

u`*v+u*(v`-2xv)=e^(x^7)ctgx

Выбираем функцию v так, чтобы

v`-2xv=0

и тогда

u`*v=e^(x^7)ctgx

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными

dv/v=2dx/x
ln|v|=2ln|x|
v=x^2

u`x^2=e^(x^7)ctgx - уравнение с разделяющимися переменными

du=e^(x^7)ctgxdx/x^2

u=?

u= ∫e^(x^7)ctgxdx/x^2

не вижу как можно взять интеграл, разве что разложить в ряд?

Ответ выбран лучшим

Перепишем:

y`=4sqrt(x^2+y^2)/x + (y/x)

y`=4sqrt(1+(y/x)^2) +(y/x)

Однородное уравнение первого порядка

Замена

y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`
x`=`

y`=u+x*u`

u+xu`=4sqrt(1+u^2)+u

xu`=4sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

du/sqrt(1+u^2)=4dx/x

Интегрируем

∫ du/sqrt(1+u^2)=4 ∫ dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=4ln|x|+lnC

ln|u+sqrt(1+u^2)|=lnC|x|^4

u+sqrt(1+u^2)=Cx^4

[b](y/x)+sqrt(1+(y/x)^2=Cx^4[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка плоскости
Тогда векторы
vector{P_(1)M)=(x-2;y-1;z-0)=(x-2;y-1;z)
vector{P_(1)P_(2))=(1-2;0-1;4-0)=(-1;-1;4)
vector{A_(1)A_(2))=(0-a;a-0;0-0)=(-a;a;0)

коллинеарны.

Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-10k+25=0

k1= k2=5– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(5x)+C_(2)*x*e^(5x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Asinx+Bcosx

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=Acosx-Bsinx

y``_(част)=-Asinx-Bcosx

подставляем в данное уравнение:

-Asinx-Bcosx-10Acosx+10Bsinx+25Asinx+25Bcosx=sinx

-A+10B+25A=1
-B-10A+25B=0

A=2,4B

24*2,4B+10B=1

67,6B=1
B=1/67,6=10/676

A=2,4*(1/67,6)=24/676

О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=

= [b]С_(1)*e^(5x)+C_(2)*x*e^(5x)+(24/676)sinx+(10/676)cosx[/b]

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+6k+9=0

k_(1)= k_(2)=-3- корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(-3x)+C_(2)*x*e^(-3x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=e^(-3x)

y_(част 1) =Ax^2*e^(-3x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част1)=2Ax*e^(-3x)+Ax^2*e^(-3x)*(-3)

y``_(част)=2A*e^(-3x)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+A*x^2*e^(-3x)*(-3)*(-3)

подставляем в данное уравнение:

2A*e^(-3x)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+A*x^2*e^(-3x)*(-3)*(-3) +

+6*(2Ax*e^(-3x)+Ax^2*e^(-3x)*(-3)) +9*Ax^2e^(-3x)=e^(-3x)

2А=1

[b]А=1/2[/b]

y_(част 1)=(1/2)x^2*e^(-3x)

y_(част 2) =Mx+N

y`_(част 2) =M

y``_(част 2) =0

0+6M+9(Mx+N)=x

9M=1
M=1/9
N=-6/81=-2/27

y_(част 2) =(1/9)x-(2/27)

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

= [b]С_(1)*e^(-3x)+C_(2)*x*e^(-3x)+(1/2)x^2*e^(-3x) +(1/9)x-(2/27)[/b]

Ответ выбран лучшим

По признаку Даламбера
lim_(n→ ∞)a_(n+1)/a_(n)= lim_(n→ ∞) (e^(n+2)/(n+3)!) : (e^(n+1)/(n+2)!)=

=lim_(n→ ∞) e/(n+3) =0 < 1

ряд сходится

Ответ выбран лучшим

a_(n)=(1+(1/n))^2=((n+1)/n)^2

a_(n+1)=((n+2)/n)^2

R=lim_(n→∞)a_(n)/a_(n+1)= lim_(n→∞)(n+1)^2/(n^2+2n)=1

При х=1

ряд ∑((n+1)/n)^2 расходится при n→∞, a_(n)~1

При x=-q
ряд ∑(-1)^(n) *((n+1)/n)^2 расходится при n→∞
(a_(n)): -1;1;-1;1 не имеет предела.

О т в е т. (-1;1)

Ответ выбран лучшим

e^(x)=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+ ...

e^(x)-1=x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+ ...

(e^(х)-1)/х=1+(x/2!)+(x^2/3!)+ ...

∫ ^(0,1)_(0)(e^x-1)dx/x= ∫ ^(0,1)_(0)(1+(x/2!)+(x^2/3!))dx=

=x+(x^2/2!)+(x^3/3!)|^(0,1)_(0)=

=0,1+(0,01/2)+(0,001/6)=0,1+0,005+0,00016=1,00516 ≈ 1,005

Ответ выбран лучшим

f(x)=sqrt(3x-5)
f(2)=sqrt(3*2-5)=1

f`(x)=(3x-5)`/(2*sqrt(3x-5))
f`(x)=3/(2*sqrt(3x-5)
f`(2)=3/2

f``(x)=(3/2)*((3x-5)^(-1/2))`=(3/2)*(-1/2)*(3x-5)^(-3/2)*(3x-5)`
f``(x)=(-9/4)*(3x-5)^(-3/2)

f``(2)=-9/4

f```(x)=(-9/4)*(-3/2)*(3x-5)^(-5/2)*(3x-5)`
f```(x)=(81/8)(3x-5)^(-5/2)
f```(2)=81/8

f(x) ~ f(x_(o)) + (f`(x_(o))/1!)*(x-x_(o))^2 + (f``(x_(o))/2!)*(x-x_(o))^2 +

+ (f```(x_(o))/3!)*(x-x_(o))^3 +...

sqrt(3x-5) ~ 1+(3/2)*(x-2) - (9/8)*(x-2)^2 + (81/48)*(x-2)^3

1)см. рисунок

Значит в равнобедренный треугольник PMN вписана окружность.
MN=AB=6
В равнобедренном треугольнике DPC высота ( апофема боковой грани) одновременно и медиана.
DN=NC=3
По теореме Пифагора
PN=4

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки
ОN=FN=3

Значит PF=PN-FN=1

О т в е т. PF:FN=1:3

2)

sin ∠ B=sin(180^(o)- ∠ A- ∠ C)=sin( ∠ A+ ∠ C)=

=sin ∠ A*cos ∠ C+cos ∠ A*sin ∠ C

sin ∠ A=0,352 ⇒ cos ∠ A=sqrt(1-sin^2 ∠ A)=sqrt(1-(0,352)^2) ≈

sin ∠ C=0,6 ⇒ cos ∠ C=sqrt(1-sin^2 ∠ C)=sqrt(1-(0,6)^2) ≈

По теореме синусов:

АС/sin ∠ B=AB/sin ∠ C ⇒ AB

S_( ΔABC)=(1/2)AB*AC*sin ∠ A (прикреплено изображение)

[b]Замена переменной:
4^(x)=t[/b]

t>0

16^(x)=(4^2)^(x)=(4^(x))^2=t^2

64^(x)=(4^(3))^(x)=(4^(x))^(3)=t^3

Получаем дробно- рациональное неравенство:

[b](t^3-7t^2)/(t+1) + (6t^2-48t)/(t-6) + 42 ≥ 0[/b]

Приводим к общему знаменателю:

(t^2*(t-7)*(t-6)+6t*(t-8)*(t+1) +42*(t+1)*(t-6))/(t+1)*(t-6) ≥ 0

(t^4-7t^3+42t^2-258t-252)/(t+1)*(t-6) ≥ 0

(t^3*(t-7)+6*(7t^2-43t-42))/(t+1)(t-6) ≥ 0

7t^2-43t-42=(t-7)*(7t+6)

(t-7)*(t^3+6*(7t+6))/(t+1)(t-6) ≥ 0

g(t)=t^3+42t+36 > 0 при t > 0, так как

g`(t)=3t^2+42 > 0 функция g(t) монотонно возрастает и пересекает ось t на (-∞;0)

[b](t-7)/(t+1)(t-6) ≥ 0[/b]

(0) __+___ (6) _-_ [7] _+___

0 < t < 6 или t ≥ 7

Обратный переход

4^(x) < 6 или 4^(x) ≥ 7

Показательная функция с основанием 4 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x < log_(4)6 или x ≥ log_(4) 7

О т в е т. [b] (- ∞ ; log_(4)6) U [log_(4)7; + ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

S=S_(1)+S_(2)=

= ∫ ^(0)_(-2)(-3x+4-(x^2-3x))dx + ∫ ^(4/3)_(0)(-3x+4)dx==

=(4x-(x^3/3))|^(0)_(-2)+(4x-(3x^2/2))|^(4/3)_(0)=

=-(-8-(-8/3)) +(4*(4/3)- (3/2)*(4/3)^2=8 - (8/3)+(16/3)-(3/2)*(16/9) =8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Производная произведения
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(x^3)`*sinx+(x^3)*(sinx)`=3x^2*sinx+x^3*cosx.

2)
По формуле
(u^4)`=4u*(u)` - производная степенной функции, для аргумента u=u(x)
В данном случае u=2^(sinx)-sqrt(1+x)

[b]y`=4*(2^(sinx)-sqrt(1+x))^3 * (2^(sinx)-sqrt(1+x))`=[/b]

(2^(u))`=2^(u)*ln2 *(u`) - производная показательной функции, для аргумента u=u(x)
u=sinx
и
(sqrt(u))`=u`/(2*sqrt(u))

[b]=4*(2^(sinx)-sqrt(1+x))^3 * (2^(sinx)*ln2*(sinx)`-(1+x)`/(2*sqrt(1+x)))=[/b]

[b]=4*(2^(sinx)-sqrt(1+x))^3 * (2^(sinx)*ln2*(cosx)-(1)/(2*sqrt(1+x)))[/b]- о т в е т.

3) Показательно - степенная функция.

Логарифмируем

lny=ln(sqrt(x))^(x)

Применяем свойство логарифма степени:

lny=x*ln(sqrt(х))

lny=x*lnx^(1/2)

lny=(1/2)*x*lnx

Дифференцируем

(lny)`=(1/2)(x*ln(х))`

Слева сложная функция y=y(x)
Cправа производная произведения:

y`/ [b]y[/b]= (1/2) x`*lnx+(1/2)x*(ln(x))`

y`= [b]y[/b]*((1/2)lnx+(1/2)*x(1/(x)))

y`=(1/2)*[b](sqrt(x))^(x)[/b]*(lnx+1)

4.
Дифференцируем равенство, при этом
y=y(x) сложная функция

(x*lny)-(y*lnx)`+(2)`=0`

x`*lny +x*(lny)` -y`*lnx-y*(lnx)`+0=0

1*lny +x*(y`/y)-y`*lnx-y*(1/x)=0

y`*(x/y)-lnx)=(y/x)-lny

[b]y`=((y/x)-lny)/((x/y)-lnx) [/b]

5.
Производная функции, заданной параметрически:

y`_(x)=y`_(t)/(x`_(t))

y`_(t)=(e^(t)*sint)`=(e^(t))`*sint+(e^(t))*(sint)`=

=e^(t)*sint+e^(t)*cos=e^(t)*(sint+cost)

x`_(t)=(sint-cost)`=(sint)`-(cost)`=cost-(-sint)=cost+sint

[b]y`=e^(t)
[/b]

Ответ выбран лучшим

1120

1+1=2 - третья цифра равна сумме первой и второй
1=1+0 - вторая цифра равна сумме первой и четвертой.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

= ∫ dx/sqrt(1+4x^2)+ ∫ 3xdx/sqrt(1+4x^2)=

=(1/2) ∫ d(2x)/sqrt(1+(2x)^2)+(3/8) ∫ d(1+4x^2)/sqrt(1+4x62)=

=(1/2)ln|2x+sqrt(1+4x^2)|+(3/8)*2sqrt(1+4x^2) + C=

[b]=(1/2)ln|2x+sqrt(1+4x^2)|+(3/4)*sqrt(1+4x^2) + C[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой
{x = 0
{my+18z = 0 ⇒ y/(-18)=z/m
имеет [b] канонический вид:
x/0=y/(-18)=z/m[/b]

Координаты направляющего вектора прямой
[b]vector{a}=(0;-18;m)[/b]

Координаты нормального вектора плоскости x+4y+3z+5 = 0
[b]vector{n}=(1;4;3)[/b]

Прямая параллельна плоскости, значит направляющий вектор прямой vector{s} ортогонален нормальному вектору vector{n} плоскости.

Ненулевые векторы ортогональны ⇔ скалярное произведение равно 0

vector{a}*vector{n}=0*1+(-18)*4+m*3

0*1+(-18)*4+m*3=0

3m=72

m=24 (прикреплено изображение)

z`_(x)=2x+2y+4
z`_(y)=2x-2y

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x+2y+4=0
{2x-2y=0 ⇒ y=x

2x+2x+4=0
x=-1
y=-1

M(-1;-1) cтационарная точка, принадлежит области.

Находим вторые частные производные

z``_(xx)=(2x+2y+4)`_(x)=2
z``_(xy)=(2x+2y+4)`_(y)=2
z``_(yy)=(2x-2y)`_(y)=-2

A=z``_(xx)(M)=2
B=z``_(yy)(M)=-2
C=z`_`(xy)(M)=2

Δ=AB-C^2=2*(-2)-2^2 < 0

точка M не является точкой экстремума

Исследуем на границе

1) х=0
z=0+2*0*y-y^2+4*0

z=-y^2 - функция одной переменной -2 ≤ у ≤ 0

при у=-2 принимает наименьшее значение z=-4
при у=0 принимает наибольшее значение z=0

2) y=0
z=x^2+4x - функция одной переменной -2 ≤ х ≤ 0

при х=-2 принимает наименьшее значение z=-4
при х=0 принимает наибольшее значение z=0

3) х+у+2=0
y=-x-2

z=x^2+2x*(-x-2)-(-x-2)^2+4*x

z=-2x^2-4x-4- функция одной переменной -2 ≤ х ≤ 0

y`=-4x-4

y`=0
x=-1
при х=-1 принимает наибольшее значение z=-2

Выбираем из всех найденных значений наибольшее и наименьшее

z(0;0)=0 - наибольшее значение в области
z(-2;0)=-4 наименьшее значение в области

Ответ выбран лучшим

а=-4*(1+isqrt(3))/(1^2-(isqrt(3))^2)=-4*(1+isqrt(3))/4=-1-isqrt(3)

a=x+iy

x=-1
y=-sqrt(3)

r=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(4)=2

cos φ =x/r=-1/2
sin φ =y/r=-sqrt(3)/2

φ =-2π/3

a=r*(cos φ +isin φ )=2*(cos(-2π/3)+isin(-2π/3))=2cos(2π/3)-isin(2π/3)

a=r*e^(iφ )=2*e^(i*(-2π/3)+2πk), k ∈ Z

2.
z^3=1+sqrt(3)
1+sqrt(3)=2*(cos(π/3)+isin(π/3))
z^(1/3)=∛2* [b]([/b] cos(((π/3)+2πk)/3)+isin(((π/3)+2πk)/3) [b] )[/b]

при k=0
z_(0) [b]=∛2*(cos(π/9)+isin(π/9)[/b]

z_(1)=∛2*(cos(((π/3)+2π)/3)+isin(((π/3)+2π)/3)=

[b]=∛2*(cos(7π/9)+isin(7π/9))[/b]

z_(2) [b]=∛2*(cos(13π/9)+isin(13π/9))[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tgx=sinx/cosx

∫^(0)_(π/2)tgxdx= ∫^(0)_(π/2)sinxdx/cosx= - ∫^(0)_(π/2)d(cosx)/cosx=

=(ln|cosx|)|^(0)_(π/2)=ln|cos0|- ln |cos(π/2)|=ln1 - ln 0=0-(- ∞ )=+ ∞

Расходится.

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+13=0
D=16-4*13=-36
k_(1)=2-3i; k_(2)=2+3i- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ax+B

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=A

y``_(част)=0

0-4A+13Ax+13B=26x+5

13A=26

[b]A=2[/b]

[b]В=1[/b]

y_(част)=2х+1

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)= [b]e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+2х+1
[/b]

[b]y(0)=1[/b]

1=С_(1)*0+С_(2)*1+1

[b]С_(2)=0[/b]

у`=e^(2x)*(2x)`(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+e^(2x)*(3C_(1)cos3x-3C_(2)sin3x)+(2х)`+(1)`

у`=e^(2x)*(2С_(1)sin3x+2C_(2)cos3x+3C_(1)cos3x-3C_(2)sin3x)+2

[b]y`(0)=0[/b]

0=2C_(2)+3C_(1)+2

C_(1)=-2/3

у_(Коши)= [b]e^(2x)*(-2/3)sin3x+2х+1[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
x=8^(-1)
[b]x=1/8[/b]

2.

sin3 a cos a + sin a cos 3 a =синус суммы=sin(3a+a)=sin4a

3.

Высота конуса перпендикулярна плоскости основания.
h=L/2
L=2h
По теореме Пифагора
L^2-h^2=r^2

(2h)^2-h^2=r^2
3h^2=(6sqrt(3))^2
3h^2=108
h^2=36
[b]h=6 cм[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D=2R
d=2r
d:D=a:b

(2r):(2R)=r:R

r:R=a:b
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному
в точку касания.
Прямоугольные треугольники:
IAO и JBO подобны по двум углам.
∠ IOА = ∠ JОB как вертикальные

Из подобия треугольников
JO:OI=r:R=a:b (прикреплено изображение)

a) Табличный интеграл
∫ sin [b]u[/b]d [b]u[/b]=-cosu+C
u=x^3
du=3x^2dx
x^2dx=(1/3)du

∫ x^2*sin^3xdx=(1/3) ∫ sinudu=(1/3)*(-cosu)+C= [b]-(1/3)cosx^3+C[/b]

б)
2^(x+1)=2^(x)*2^(1)=2*2^(x)
интегрируем по частям:
u=x ⇒ du=dx
dv=2^(x)dx ⇒ v= ∫ 2^(x)dx=2^(x)/ln2 + C

∫ udv=u*v- ∫ v*du

получаем

∫ x*2^(x+1)dx=2* ∫ x* [b]2^(x)dx[/b]= 2*(x*2^(x)/ln2)-2* ∫ 2^(x)dx/ln2=

= 2*(x*2^(x)/ln2)- (2/ln2) *(2^(x)/ln2) + C=

= [b](x*2^(x+1)/ln2) - (2^(x+1)/(ln^22) + C[/b]

в) см. интегрирование рациональных дробей.

раскладываем знаменатель на множители, а дробь на простейшие:

(x+2)/(x*(x-1)(x+1)) = (A/x)+(B/(x-1))+ (D/(x+1))

[b]x+2= A*(x-1)*(x+1) + B*x*(x+1) + D*x*(x-1)[/b]

Применяем метод частных значений.

Если левая и правая части выражения с переменной равны, то они равны и при одном и том же значении переменной:

при х=0
2=-А ⇒ [b]A= - 2[/b]
при х=1
3=2B ⇒ [b] B=3/2[/b]
при х=-1
1=2D ⇒ [b]D=1/2[/b]

О т в е т. -2 ∫ dx/x +(3/2) ∫ dx/(x-1)+(1/2) ∫ dx/(x+1)=

= [b]-2ln|x|+(3/2)ln|x-1|+(1/2)ln|x+1| + C[/b]

Ответ выбран лучшим

1a)
[b]табличный интеграл:
∫ sin [b]u[/b]d [b]u[/b]= - cosu+C[/b]

∫ sin4xdx=[замена 4х=t ⇒ d(4x)=dt ⇒ 4dx=dt ⇒ dx=dt/4]=
∫ sint*(dt/4)=(1/4) ∫ sin [b] t[/b]d [b]t[/b]=(1/4)8(-cost)+C=(- 1/4)cos4x+c

Решение можно записать короче, если применить действие, называемое "подведением под дифференциал"
Все вычисления в квадратных скобках можно сделать устно
и
∫ sin4xdx=(1/4) ∫ sin4x*(4dx)=(1/4) ∫ sin [b]4x[/b] d( [b]4x[/b])=(-1/4)cos4x+C

1б)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/sqrt( [b]u[/b])=2sqrt(u) + C[/b]

∫ dx/sqrt(4x-8)=(1/4) ∫ d( [b]4x-8[/b])/sqrt( [b]4x-8[/b])=(1/4)*2sqrt(4x-8)
устно вычислила, что d(4x-8)=4dx
Разделила на 4 ( вынесла за знак интеграла) и умножила на 4
4dx заменила на d(4x-8)

1в)

[b]Табличный интеграл
∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1) + C[/b]

Cвойства степени: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем, при делении - вычитаем.
a^(n)=1/a^(-n)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Постоянный множитель можно вносить за знак интеграла

=3 ∫ x^(4/3)dx - 4 ∫ x^((1/6)-1)dx+7 ∫ x^(-7)dx=

=3*x^((4/3)+1)/((4/3)+1) - 4* x^(1/6)-1+1)/(1/6) +7x^(-7+1)/(-7+1)+C=

= [b](9/7)*x^(7/3) -24x^(1/6)-(7/(6x^6)) + C[/b]

2a)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/sqrt( [b]u[/b])=2sqrt(u) + C[/b]
устно вычислила, что d(9x^2-15)=18x*dx
Разделила на 18 ( вынесла за знак интеграла) и умножила на 18
18xdx заменила на d(9x^2-15)

=(1/18) ∫ d(9x^2-15)/sqrt(9x^2-15)= [b](1/18)*2sqrt(9x^2-15)+С[/b]

2б)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/( [b]u[/b]^2-a^2)=(1/2a)*ln |(u-a)/(u+a)|+C[/b]

∫ dx/(2x^2-15)= ∫ dx/2*(x^2-(15/2))=(1/2) ∫ dx/(x^2-(15/2))=

=(1/2)* (1/2*sqrt(15/2))*ln |(x-sqrt(15/2))/(x+sqrt(15/2))| + C

= [b]1/(2*sqrt(30))ln |(sqrt(2)*x-sqrt(15))/(sqrt(2)*x+sqrt(15))| + C[/b]

2в)
[b]табличный интеграл:
∫ d [b]u[/b]/sqrt( [b]u[/b]^2± k)=ln |u+sqrt(u^2± k)|+C[/b]

u=5x
du=5dx
dx=du/5

∫ dx/sqrt(25x^2-7)= ∫ (du/5)/sqrt(u^2-7)=

=(1/5)ln|u+sqrt(u^2-7)|+C=

=(1/5)ln|5x+sqrt(25x^2-7)|+C

Ответ.(1/5)ln|5x+sqrt(25x^2-7)|+C или (1/5)ln|x+sqrt(x^2-(7/25))|+C

за счет свойств логарифма ( логарифм произведения равен сумме логарифмов) ответы равны с точностью до константы.

Остальные задания выставляйте
отдельно
4. Это громоздкое задание на метод интегрирования по частям
и отдельно
5. Интегрирование квадратного трехчлена: выделение полного квадрата и замена переменной

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k=0
k_(1)=0; k_(2)=2- корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(0)+C_(2)e^(2x)

частное решение неоднородного
x=0 - корень характеристического уравнения кратности x
y_(част)=(Ax+B)*x - линейная функция умножается на х в первой степени.
(кратность корня 1)

Находим производную первого, второго порядка
y_(част)=Ax^2+Bx
y`_(част)=2Ax+B
y``_(част)=2А

и подставляем в данное уравнение:

2A-2*(2Ax+B)=5x+3
-4Ах+(2А-2В)=5х+3

-4А=5

2А-2В=3

А=-5/4

B= - 11/4

y_(част)=(-5/4)x^2-(11/4)x

О т в е т. y=y_(одн.)+y_(част)=

= [b]С_(1)e^(0)+C_(2)e^(2x)+(-5/4)x^2-(11/4)x[/b]

Ответ выбран лучшим

По частям
u=x ⇒ du=dx
dv=sinxdx/cos^3x ⇒ v= ∫ sinxdx/cos^3x = ∫ cos^(-3)x(-d(cosx))=

=-cos^(-2)/(-2)=1/(2*cos^2x)

= (x/(2*cos^2x))|^(π/3)_(0) - ∫ ^(π/3)_(0)dx/(2*cos^2x)=

=(π/3)/(2*(1/2)^2) - 0 - ((1/2)tgx)|^(π/3)_(0)=

= [b](2π/3)- (1/2)sqrt(3)[/b]

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-k-2=0
D=9
k_(1)=-1; k_(2)=2- корни действительные различные
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(2x)

частное решение неоднородного
y_(част)=e^(x)(Asin5x+Bcos5x)

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x)

y`_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x)

y``_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x)+e^(x)*(5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x)

y``_(част)=e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x)

e^(x)*(Asin5x+Bcos5x+5Acos5x-5Bsin5x+5Acos5x-5Bsin5x-25Asin5x-25Bcos5x - Asin5x-Bcos5x-5Acos5x+5Bsin5x-2Asin5x-2Bcos5x)=e^(x)*(sin5x+cos5x)

Приравниваем синусы слева и справа
Asin5x+5Bsin5x-5Bsin5x-25Asin5x- Asin5x+5Bsin5x-2Asin5x=sin5x
⇒
A-25A-A+5B-2A=1

Приравниваем косинусы слева и справа.
Bcos5x+5Acos5x+5Acos5x-25Bcos5x -Bcos5x-5Acos5x-2Bcos5x= cos5x
⇒
B+5A+5А-25B-B-5A-2B=1

Система:
{5B-27A=1
{5A-27B=1

B=-32/704

B=-1/22

A=-1/22

y_(част)=(-1/22)*e^(x)(sin5x+cos5x)

О т в е т. у=y_(одн.)+y_(част)=

==С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(2x)- (1/22)*e^(x)(sin5x+cos5x)

Ответ выбран лучшим

По формуле [b]производная дроби[/b] (частного ):
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=x
v=x+sqrt(4^2+x^2)

u`=1
v`=(x+sqrt(4^2+x^2))`= [b]производная суммы[/b] равна сумме производных

=(x)`+(sqrt(4^2+x^2))` =(x)`+(4^2+x^2)^(1/2)
по формуле производной [b]степенной функции [/b]для [b]сложной [/b]функции [b] u=u(x)[/b] ( конце умножаем на u`)

[b](u^( α ))`= α *u^( α -1)[/b]* u`

u=4^2+x^2

α =1/2

=(1)+ (1/2)*(4^2+x^2)^((1/2)-1)* [b](4^2+x^2)`[/b]= 1+(1/2)*(4^2+x^2)^(-1/2)*(2x)=

=1+ (x/sqrt(4^2+x^2))

Итак,

y`= [b]( [/b](x)`*(x+sqrt(4^2+x^2))-x*(x+sqrt(4^2+x^2))` [b])[/b]/(x+sqrt(4^2+x^2))^2

y`= [b]([/b]1*(x+sqrt(4^2+x^2) - x*(1+ (x/sqrt(4^2+x^2)) [b])[/b]/(x+sqrt(4^2+x^2))^2

y`= [b]([/b]x + sqrt(4^2+x^2) -x - (x^2/sqrt(4^2+x^2)) [b] )[/b]/(x+sqrt(4^2+x^2))^2

y`= [b]([/b]sqrt(4^2+x^2) - (x^2/sqrt(4^2+x^2)) [b])[/b]/(x+sqrt(4+x^2))^2

y`= [b]([/b](4^2+x^2-x^2)/sqrt(4+x^2) [b])[/b]/(x+sqrt(4+x^2))^2

[b]y`=4^2/((sqrt(4^2+x^2))*(x+sqrt(4^2+x^2))^2) [/b] - о т в е т.

Знаменатель не надо возводить в квадрат и раскрывать скобки, это лишняя, никому не нужная работа.

В задаче [b]четыре момента[/b], связанных с вычислением производной:
1) производная дроби
2) производная суммы
3) производная степенной функции
4) правило вычисления производной сложной функции

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sqrt((1-x)/(1+x))=t ⇒ (1-x)/(1+x)=t^2 ⇒ x=(1-t^2)/(1+t^2)

dx=(-4tdt)/(t^2+1)^2

∫ 4t^2dt/(t^2+1)(t^2-1)=

интегрирование рациональных дробей

4t^2/(t^2+1)(t-1)(t+1)= A/(t-1)+B/(t+1) + (Mt+N)/(t^2+1)

4t^2=A*(t+1)*(t^2+1) +B*(t-1)*(t^2+1) +(Mt+N)*(t^2-1)

Можно применить способ приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях многочленов слева и справа

Можно применить метод частных частных значений.
Если функции равны, то и значения в одной и той же точке равны.

При

t=1
4=4A ⇒ [b] A=1[/b]
t=-1
4=-4B ⇒ [b] B =-1[/b]

t=0

0=A-B-N

[b]N=2[/b]

t=2
16=15A+5B+(2M+2)*3
[b]M=0[/b]

О т в е т. ∫ dt/(t-1)- ∫ dt/(t+1) +2 ∫ dt/(t^2+1)=

=ln|t-1|+ln|t+1)+2arcrgt + C, где t=sqrt((1-x)/(1+x))

(прикреплено изображение)

h=R
L^2=R^2+h^2=R^2+R^2=2R^2
L=Rsqrt(2)

S_(бок. цилиндра)=2πRH
S_(бок. конуса)=πRL

S_(бок. цилиндра)+S_(бок. конуса)=2πRH+πRL

2πRH+πR*Rsqrt(2)=625
⇒
[b]H=(625-πR^2sqrt(2))/2πR[/b]

V(цилиндра)=πR^2*H
V_( конуса)=(1/3)πR^2*h=(1/3)πR^3

V(тела) =V(цилиндра)+V_( конуса)=

=πR^2*Н+(1/3)πR^3

Подставляем вместо H выражение через R получаем, что объем тела есть функция, зависящая от R

Исследуем эту функцию на экстремум с помощью производной.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
[b]1-сosx=2sin^2(x/2)[/b]
уравнение примет вид:
2sin(x/2)=2sin^2(x/2)

Переносим влево и раскладываем левую часть на множители:
2sin(x/2) * (1-sin(x/2))=0

sin(x/2)=0 или 1-sin(x/2)=0

sin(x/2)=0 ⇒ x/2=πk, k ∈ Z

[b]x=2πk, k ∈ Z[/b]

sin(x/2)=1 ⇒ x/2=π/2 + 2πn, n ∈ Z

[b]x=π + 4πn, n ∈ Z[/b]

2.
По формулам приведения:
cos(3π/2+x)=sinx
cos(π–x)=-cosx
уравнение примет вид:
sinxcos3x+cosxsin3x= –1
sin(3x+x)=-1
sin4x=-1
4x=-π/2 + 2πn, n ∈ Z

[b]x=-π/8 + (π/2)*n, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

tg α +ctg α =(sin α /cos α)+(cos α /sin α )=(sin^2 α +cos^2 α )/(sin α *cos α )=1/(sin α* cos α )=2/sin2α

1-cos4 α =2sin^22 α

левая часть
(tg α +ctg α)*(1-cos4 α)=(2/sin2α )*)2sin^22 α )=4sin2 α

равна правой

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1
cos^2 α =1-sin^2 α =1-(-0,8)^2=1-0,64=0,36
[b]cos α =- 0,6[/b]
знак минус, так как π<α <3π/2

[b]tg α [/b]=sin α /cos α =-0,8/(-0,6)= [b]4/3[/b]

[b]ctg α[/b] =cos α /sin α = [b]3/4[/b]

Ответ выбран лучшим

Однородные решают заменой
(y/x)=u

1)
1 cпособ
(y/x)=u
y=u*x
dy=udx+xdu

(2*x^2+4*x*(ux))*(udx+xdu)=(x^2+2*x*(u*x)+5*(ux)^2)dx;

x^2*(2+4u)*udx+x^2*(2+4u)*xdu=x^2*(1+2u+5u^2)dx

(2+4u)*udx+(2+4u)*xdu=(1+2u+5u^2)dx

x*(2+4u)*du=(1+2u+5u^2-2u-4u^2)dx

x*(2+4u)*du=(u^2+1)dx - уравнение с разделяющимися переменными

[b](4u+2)du/(u^2+2)=dx/x[/b]

Второй способ

dy/dx=(x^2+2xy+5y^2)/(2x^2+4xy)

y`=(1+2u+5u^2)/(2+4u)

y/x=u

y=xu

y`=x`*u+x*u`

x`=1 так как х - независимая переменная

u+x*u`=(1+2u+5u^2)/(2+4u)

x*u`=(1+2u+5u^2)/(2+4u) -u

x*u`=(1+2u+5u^2-2u-4u^2)/(2+u)

x*du/dx=(u^2+1)/(2+u) - уравнение с разделяющимися переменными

(u+2)du/(u^2+1)=dx/x

∫ (u+2)du/(u^2+1)= ∫ dx/x

[b](1/2)ln|u^2+1|+2arctgx=ln|x|+C [/b]

[b]u=y/x[/b]

Ответ выбран лучшим

1)
(x^( α ))`= α x^( α -1)
(u^( α ))`= α u^( α -1) * u`

y`=6*(x^(2/3))`-7*((tgx)^3)`[u=tgx]=

=6*(2/3)*x^((2/3)-1)=4*x^(-1/3) -7*3*tg^2x*(tgx)`=

=4*x^(-1/3)-21* tg^2x*(1/cos^2x)=

= [b](4/∛x)-21*(tg^2x/cos^2x)[/b]

2)
(u*v)`=u`*v+u*v`
y`=(e^(x))`*arccos+(e^(x))*(arccosx)`=

= [b](e^(x))*arccos+(e^(x))*(-1/sqrt(1-x^2))[/b]

3)
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=((ctgx)`*(2x^4) -(ctgx)*(2x^4)`)/(2x^4)^2;

y`=(-2x^4/sin^2x)-8x^3*ctgx)/4x^8

y`= [b]((-x/sin^2x)- 2ctgx)/x^5[/b]

4)

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)

y`_(t)=(t+1)/sqrt(t^2+2t+2) по формуле (sqrt(u))`=u`/2sqrt(u)

x`_(t)=((1+t)^2)`/(1+(1+t)^2)^2)

x`_(t)=(2*(1+t))/(1+(1+t)^2)^2)

x`_(t)=(2*(1+t))/(2+2t+t^2)^2)

y`_(x)=(2+2t+t^2)^2/2*sqrt(t^2+2t+2)

[b]y`=(1/2)*sqrt((t^2+2t+2)^3)[/b]

Ответ выбран лучшим

(x^2+4)dy=sqrt(y^2+1)dx
Разделяем переменные
dy/sqrt(y^2+1)=dx/(x^2+4)
Интегрируем
ln|y+sqrt(y^2+1)|=(1/2)arctg(x/2) + C - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

s=v*t=20 *20=400 м=0,4 км

1) Неопределенность (∞/∞)
Делим и числитель и знаменатель на x^4:

lim_(x→∞)(3-(2/x^2)-(7/x^4))/(9+(3/x^3)+(5/x^4))=(3+0+0)/(9+0+0)=1/3

При x→∞
2/x^2
7/x^4
3/x^3
5/x^4

бесконечно малые функции, их предел равен 0

2)Неопределенность (0/0)
Раскладываем числитель и знаменатель на множители и сокращаем на (х+4)

lim_(x→(-4))(х+4)*(2x-1)/(x+4)*(2x+5)=

=lim_(x→(-4))(2x-1)/(2x+5)=(-8-1)/(-8+5)=3

3)Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
(2+sqrt(5-x))*(3+sqrt(8+x))

Применяем формулу
(sqrt(a)-sqrt(b))*(sqrt(a)+sqrt(b))=a-b

lim_(x→1) (4-(5-х))*(3+sqrt(8+x))/(9-(8+x))*(2+sqrt(5-x))=

= lim_(x→1) (х-1)*(3+sqrt(8+x))/(1-x)*(2+sqrt(5-x))=

сокращаем на (х-1)

= - lim_(x→1) (3+sqrt(8+x))/(2+sqrt(5-x))=-(3+3)/(2+2)=-3/2

4)
f(x)=(4x-3)*(ln(x+2)-ln(x-1))

Разность логарифмов заменим логарифмом частного

f(x)= (4x-3)*ln ((x+2)/(x-1))

Применяем свойства логарифма степени

f(x)=ln((x+2)/(x-1))^(4x-3)

f(x)=ln((x+2)/(x-1))^(4x)* ((x+2)/(x-1))^(-3)

Логарифм произведения равен сумме логарифмом

ln((x+2)/(x-1))^(4x)+ ln ((x+2)/(x-1))^(-3)

lim_(x→∞) [b]([/b] ln((x+2)/(x-1))^(4x) + ln ((x+2)/(x-1))^(-3) [b] ) [/b]

предел суммы равен сумме пределов

Считаем предел первого слагаемого

lim_(x→∞) ln((x+2)/(x-1))^(4x)= ln lim_(x→∞) ((x+2)/(x-1))^(4x)

знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами

имеем неопределенность 1^( ∞)

Применяем второй замечательный предел.

Делим и числитель и знаменатель дроби на x

ln lim_(x→∞) ((1+(2/x))/(1-(1/x)))^(4x)=

=ln lim_(x→∞) (1+(2/x))^(4x)/(1-(1/x))^(4x)=

=ln (e^2)/e^(-4)=lne^(6)=6
Считаем предел второго слагаемого

lim_(x→∞) ln((x+2)/(x-1))^(-3)= ln lim_(x→∞) ((x+2)/(x-1))^(-3)

знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами

= ln (1^(-3))=ln1=0

О т в е т. 6+0=6

Ответ выбран лучшим

Граница каждой области -прямая, которая разбивает плоскость x_(1)Ox_(2) на 2 части

Строим прямую x_(1)+x_(2)=6
по двум точкам (0;6) и (6;0)

Выбираем произвольную точку из любой области, например, точку (0;0)
Подставляем в первое неравенство
0+0 ≤ 6 - верно.
Значит первое неравенство задает ту область, которая содержит точку (0;0)

Первое неравенство задает область 1 ( см. рис)

второе - область 2, ...

Система неравенств задает область на рис. 6

Координаты угловых точек-координаты границ, задающих неравенство.

Например, координаты точки А находим из системы:
{2x_(1)-x_(2)=4
{x_(1)+2x_(2)=4

Умножаем первое уравнение на 2
{4x_(1)-2x_(2)=8
{x_(1)+2x_(2)=4

и складываем

5x_(1)=12
x_(1)=12/5=2,4
x_(2)=2x_(1)-4=2*2,4-4=0,8

А(2,4;0,8)

Остальные координаты на рисунке ≤ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения
(- ∞ ;-1) U(-1;+ ∞ )

[b]x=-1 - вертикальная асимптота[/b]
так как

lim_(x→-1)f(x)= ∞

Горизонтальной асимптоты нет
lim_(x→ ∞)f(x)= ∞

Есть [b]наклонная асимптота[/b]
k=lim_(x→ ∞)f(x)/x= lim_(x→ ∞) (2x^2+x+1)/(x*(x+1))=2

b=lim_(x→ ∞)(f(x)-kx)=lim_(x→ ∞) ((2x^2+x+1)/(x+1) - 2x)=

=lim_(x→ ∞) ((2x^2+x+1-2x^2-2x)/(x+1)==lim_(x→ ∞) (-x+1)/(x+1)=-1

[b]y=2x-1[/b]

[b]Исследование функции с помощью первой производной[/b]

y`=((2x^2+x+1)`*(x+1)-(x+1)`*(2x^2+x+1))/(x+1)^2

y`=((4x+1)*(x+1)-(2x^2+x+1))/(x+1)^2

y`=(2x^2+4x)/(x+1)^2

y`=0

2x^2+4x=0

2x*(x+2)=0

x=0 или x=-2

Отмечаем точки на области определения:

_+__ (-2) _-__ (-1) __-_ (0) __+__

y`>0 функция возрастает на (- ∞ ;-2) U(0;+ ∞ )
y`< 0 функция убывает на (-2;-1) U(-1;0 )

х=-2 - точка максимума y(-2)=-7
х=0 - точка минимума y(0)=1

[b]Исследование функции с помощью второй производной[/b]

y``=((4x+4)*(x+1)^2-2(x+1)*(2x^2+4))/(x+1)^4

y``=((4x+4)*(x+1)-2*(2x^2+4))/(x+1)^3

y``=4/(x+1)^3

y``>0 на (-1;+ ∞ )

кривая выпукла вниз

y``<0 на (- ∞;-1 )

кривая выпукла вверх

точек перегиба нет (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Как строят графики в полярной системе координат.

Проводят лучи из точки О
например с интервалом 22,5 градусов.
см. рисунок 1

Считают значения синуса,
подставляют в выражение и находят ρ
Например
φ=0 sinφ=0
p=5/(3-4*0)
p=5/3

Точка на луче φ=0 p=5/3 это точка А

φ=π/8 sinφ ≈

p ≈

Точка на луче φ= π/8 p= это точка B
и так далее

2)
см. рисунок 2

3)
В полярной системе координат
x=p·cosφ
y=p·sin φ

p =sqrt(x^2+y^2)

sin φ=y/p=y/sqrt(x^2+y^2)

Подставляем в данное уравнение и получаем

sqrt(x^2+y^2)=5/(3-(4y/sqrt(x^2+y^2)))

Упрощаем:

sqrt(x^2+y^2)= 5sqrt(x^2+y^2)/(3sqrt(x^2+y^2) - 4у)

3sqrt(x^2+y^2) - 4y=5

3sqrt(x^2+y^2) =4y+5

Возводим в квадрат

9(x^2+y^2)=16y^2+20y+25

[b]9x^2-7y^2-20y-25=0[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

(x^2-(x+a))^2=2x^4+2(x+a)^2
Раскрываем скобки, применяем формулу квадрата разности:
x^4-2x^2*(x+a)+(x+a)^2=2x^4+2(x+a)^2
x^4+2x^2*(x+a)+(x+a)^2=0
Применяем формулу квадрата суммы:
(x^2+x+a)^2=0
x^2+x+a=0

Перепишем:

a= -x^2-x

[b]Решаем графически[/b]
слева y=a
справа y=-x^2-x

Переформулируем вопрос задачи.
При каких значениях параметра a прямая y=a пересекается в параболой y=-x^2-x [b]в полосе[/b] -1 < x < 1

См. рисунок.

Ясно, что прямая, проходящая через вершину параболы.
x_(o)=-1/2
y_(o)=-(-1/2)^2-(-1/2)=(-1/4)+(1/2)=1/4

прямая [b]у=1/4[/b] имеет одну точку пересечения с параболой

и прямые расположенные между прямыми [b] y=-2 и y=0[/b]

О т в е т. [b] (-2;0) U{1/4} [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Точка В остается на месте
Находим образ точки А и образ точки С

Строим угол АВА_(1) равный 120 градусов.
АВ=ВА_(1)
Строим угол СВС_(1) равный 120 градусов.
СВ=ВС_(1)
Чтобы получить образ треугольника АВС соединяем точки
A_(1)BC_(1)

2.
Точки А и С остаются на месте.
Строим образ точки В.
Проводи ВР ⊥ АС
ВР = РВ_(1)

Соединяем точки А, B_(1), C
Получим треугольник АB_(1)C

3.
Строим образы точек А,В,С.
Соединяем А с точкой О и откладываем
AO=OA_(1)
Соединяем B с точкой О и откладываем
BO=OB_(1)
Соединяем C с точкой О и откладываем
CO=OC_(1)

Соединяем точки А_(1), B_(1), C_(1)
Получим треугольник А_(1)B_(1)C_(1) - образ треугольника АВС.

Cпециально не рисовала образы треугольника, чтобы не загромождать чертеж. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Я бы использовала метод рационализации логарифмических неравенств ( см приложение, Ваш случай выделен)

(2-х-1)*(х+2-1)*(х+3-1)*(3-х-1) ≤ 0

(1-x)*(x+1)*(x+2)*(2-x) ≤ 0

(x-1)*(x+1)*(x+2)*(x-2) ≤ 0

_+__ [-2] __-_ [-1] __+__ [1] _-__ [2]_+__

Скорее всего так и расставили знаки, чередуя справа налево.

C учетом ОДЗ это будет выглядеть так как на рисунке. (прикреплено изображение)

= ∫^(1)_(0) x^4dx/x^(3/4)+ ∫ ^(1)_(0) dx/x^(3/4)=

= ∫^(1)_(0) x^(4-(3/4))dx+ ∫ ^(1)_(0) x^(-3/4)dx =

= ∫^(1)_(0) x^(13/4)dx+ ∫ ^(1)_(0) x^(-3/4)dx =

=(x^(17/4)/17/4)|^(1)_(0) + (x^(1/4)/(1/4))|^(1)_(0)=

=(4/17)*1+4*1=4 целых 4/17 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
sin((7π/2)+x)= - cosx
sin^2((7π/2)+x)=cos^2x

sin2x=2sinx*cosx- формула синуса двойного угла

[b]сos^2x-2sinx*cosx=0[/b]
cosx*(cosx-2sinx)=0

cosx= 0 или сosx-2sinx=0

[b]cosx=0[/b] ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

[b]cosx-2sinx=0 [/b] ⇒ tgx=1/2 ⇒ [b]x=arctg(1/2)+πn, n ∈ Z[/b]

О т в е т. [b](π/2)+πk, arctg(1/2)+πn, k, n ∈ Z[/b]

4.
Пусть vector{b}=(x;y;z)
vector{a}*vector{b}=-1*x+2*y+2z
По условию равно 27
Уравнение:
-1*x+2*y+2z=27

Векторы vector{a} и vector{b} коллинеарны, значит их координаты пропорциональны
-1/x=2/y=2/z

-1/x=2/y ⇒ 2x=-z
[b]z=-2x[/b]

2/y=2/z⇒ 2y=2z⇒ z=y

[b]y=-2x[/b]

и подставляем в уравнение

-1*х+2*(-2х)+2*(-2х)=27

-9х=27
х=-3

y=-2x=6
z=-2x=6

vector{b}=(-3;6;6)

5.
vector{a}*vector{с}=|vector{a}|*|vector{c}|*cos ∠(vector{a},vector{b})

cos ∠(vector{a},vector{b})=(vector{a}*vector{с})/(|vector{a}|*|vector{c}|)=

=-6//(4*|vector{a}|)

Для вычисления угла нужна [b] длина вектора vector{a}[/b]

Зная скалярное произведение и |vector{c}| можно только найти проекцию vector{a} на vector{c}

Так как |vector{a}| > 0

сos ∠(vector{a},vector{b}) < 0
∠(vector{a},vector{b}) - тупой

cм. рис.

пр_((vector{с})vector{a}=-6/4=-3/2

|пр_((vector{с})vector{a}|=3/2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.D(y)=( - ∞;+ ∞ )

Исследование функции с помощью первой производной.

y`=(1-x)`(x^2-9)+(1-x)*(x^2-9)`

y`=-x^2+9+2x-2x^2

y`=-3x^2+2x+9

y`=0

-3x^2+2x+9 =0

3x^2-2x-9=0

D=4-4*3*(-9)=4+108=112=16*7

x_(1)=(2-4sqrt(7))/6=(1-2sqrt(7)/3; х_(2)=(1+2sqrt(7))/3

Расставляем знаки производной
y`=-3x^2+2x+9
Квадратичная функция, график парабола ветви вниз, выше оси на
(1-2sqrt(7);1+2sqrt(7))

__-__ (1-2sqrt(7))|3 __+__ (1+2sqrt(7))/3 ___-____

х=(1-2sqrt(7))/3- точка минимума, при
переходе через точку производная меняет знак с - на +

y((1-2sqrt(7))|3)=(3-1+2sqrt(7))*((1-14sqrt(7)+28)/3-9)=...

x=(1+2sqrt(7))/3 - точка максимума, при
переходе через точку производная меняет знак + на -

Функция убывает на (-∞;1/3-2sqrt(7)/3) и на (1/3+2sqrt(7)/3;+ ∞ )
Возрастает на (-1/3-2sqrt(7)/3;1/3+2sqrt(7)/3)

Исследование функции с помощью второй производной

y``=-6х+2

y``=0

-6х+2=0

х=1/3

при переходе через точку y`` меняет знак + на -,

значит на (-∞;1/3) функция выпукла вниз,
на (1/3;+∞ ) - вверх

Cм. рис.

(прикреплено изображение)

(х-1)^2+(y-(-1))^2=1

Точка А (1;1) перейдёт в точку В (1;-1)
∠ АOВ=90 градусов

Точка M перейдёт в точку K
∠ MOK=90 градусов

Точка K перейдёт в точку N
∠ KON=90 градусов

О т в е т. [b](х-1)^2+(y+1)^2=1[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Центр круга точка (2;3);
Значит, расстояние до оси ординат равно 2
Точка симметричная точке (2;3) находится на расстоянии 2 от оси ординат и имеет координату (-2;3) (прикреплено изображение)

S= ∫ ^(3)_(1)(0,5x^2+2)dx=

=((0,5x^3/3)+2x)|^(3)_(1)=(3^3/6)+2*3 - (1^3/6)-2*1=

=(27/6)+6-(1/6)-2 =(26/6)+4=(13/3)+(12/3)=(25/3) [b]8 целых (1/3)[/b] (прикреплено изображение)

26.
Так как 53 градусов +37 градусов =90 градусов , то Δ АВK - прямоугольный, где ВK || CD, BK=CD
см. рис.

Дальше находим равные отрезки и применяем свойство средней линии трапеции и треугольника.

Пусть BC=2x; AD=2y

KD=FN=2x

AK=AD-KD=2y-2x

MF=AK/2=y-x

MN=(BC+AD)/2=x+y

По условию MN=6

[b]x+y=6[/b]

PT - отрезок соединяющий середины BC и AD

Проводим
PE || AB
PQ||CD
PT- медиана прямоугольного треугольника PEQ

Δ PEQ= Δ ABK

PT=2
AK=2PT=4

AK=y-x

[b]y-x=4[/b]

Cистема
x+y=6
y-x=4
2y=10
y=5
x=1

ВС=2х=2
AD=2y=10

О т в е т. 10 и 2

(прикреплено изображение)

sqrt(26)=sqrt(25+1)=sqrt(25*(1+(1/25))=5sqrt(1+0,04)

sqrt(1+0,04)=1+ (0,04)/2- (0,04)^2/8+...

так как
(0,04)/2=0,02

(0,04)^2/8=0,0016/8=0,0002< 0,001

для получения требуемой точности
достаточно взять [b] два слагаемых.[/b]

[b]sqrt(26)[/b]=5sqrt(1+0,04) [b]≈[/b] 5*(1+0,02)= [b]5,1[/b]

cравним с
sqrt(26)=5,0990... ≈ 5,1

f(x)=e^(x)
f`(x)=e^(x)

L= ∫ ^(1)_(0)sqrt(1+(e^(x))^2) dx= ∫ ^(1)_(0)sqrt(1+e^(2x)) dx=

замена
sqrt(1+e^(2x))=t
1+e^(2x)=t^2
e^(2x)=t^2-1

2x=ln(t^2-1)
x=(1/2)*ln(t^2-1)
dx=(1/2) *(1/(t^2-1))* (t^2-1)`dt

dx=tdt /(t^2-1)

Вычисляю неопределенный интеграл, чтоб не связываться со сменой пределов интегрирования

∫ sqrt(1+e^(2x)) dx= ∫ t* tdt/(t^2-1)= ∫ (t^2-1+1)dt/(t^2-1)=

= ∫ (1 + 1/(t^2-1))dt

= t + (1/2) ln|(t-1)/(t+1)|+C= sqrt(1+e^(2x)) + (1/2)* ln |(sqrt(1+e^(2x))-1)/(sqrt(1+e^(2x))+1)|+C

∫ ^(b)_(a)f(x)dx=F(b)-F(a)

О т в е т. sqrt(1+e^(2)) + (1/2)* ln |(sqrt(1+e^(2))-1)/(sqrt(1+e^(2))+1)|-

sqrt(1+e^(0)) + (1/2)* ln |(sqrt(1+e^(0))-1)/(sqrt(1+e^(0))+1)|

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x^2+x+1>0⇒ x - любое, D =1-4 <0
x+5 >0 ⇒ x>-5
x^2+x+1≠1 ⇒ x≠-1 и х≠0
x+5≠1⇒х ≠-4

Так как

(x+5)^(x^2-3x-4) > 0

можно разделить обе части неравенства

на (x+5)^(x^2-3x-4)

получим:
((x^2+x+1)/(x+5))^(x^2-3x-4) < 1

1=((x^2+x+1)/(x+5))^(0)

Если
(1)
{(x^2+x+1)/(x+5) > 1 показательная функция возрастает,
{x^2-3x-4 < 0

(2)
{0< (x^2+x+1)/(x+5) < 1 показательная функция убывает,
{x^2-3x-4 >0

Решаем [b] первую [/b]систему на ОДЗ:

(x^2+x+1)/(х+5)> 1 ⇒ (x^2+x+1-x-5)/(x+5) >0 ⇒ (x^2-4)|(x+5) >0

(-5)__+__ (-2) _-__ (2)__+__

x^2-3x-4=0
D=9-4*(-4)=25
x=-1 или х=4

(-5)______+__ (-1) _-__ (4) _+__

{ х ∈(-5;-2)
{x х ∈(-1;4)

О т в е т. (1) х ∈ (2;4)

Решаем [b]вторую[/b] систему на ОДЗ, используя уже имеющиеся данные
(x^2+x+1)/(x+1)>0 согласно ОДЗ

{(-2;2)
{(-5;-1)U(2;4)

О т в е т (2) х ∈ (-2;-1)

Осталось объединить ответы (1) и (2):
О т в е т. (-2;-1) U (2;4)

(3x-1)*(3x+1)*(2x+1)*(4x^2-2x+1) ≥ 0
4x^2-2x+1> 0 при любом х, так как D=4-16 <0

(3x-1)*(3x+1)*(2x+1) ≥ 0

Cправа от точки (1/3) знак +
далее знаки чередуем справа налево:

_-_ [-1/2] __+_ [-1/3] __-__ [1/3] __+__

О т в е т. [-1/2;-1/3] U [1/3;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

|vector{a}+ vector{b}-vector{c}|^2=(vector{a}+ vector{b}-vector{c})*(vector{a}+ vector{b}-vector{c})=

=vector{a}*vector{a}+ vector{b}* vector{b}+vector{c}*vector{c}+

+2*vector{a}vector{b}-2vector{b}*vector{c}-2vector{a}vector{c}=

=1*1+2*2+3*3+2*1*2*cos90^(o)-2*2*3*cos60^(o)-2*1*3*cos120^(o)=

=1+4+9+4*0-12*(1/2)-6*(-1/2)=11

|vector{a}+ vector{b}-vector{c}|=sqrt(11)

Ответ выбран лучшим

3.
vector{AB}=(4-(-2);-3-(-1);6-2)=(6;-2;4)
vector{СD}=(-4-(-1);-1-(a-1);a-1)=(-3;-a;a-1)

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны
6/(-3)=(-2)/(-а)=4/(а-1)

[b]a=-1[/b]

4.
(vector{a}+vector{b})\cdot vector{b})=

=vector{a}* vector{b}+vector{b}* vector{b}=

=|vector{a}|* |vector{b}|*cos ∠( vector{a}, vector{b})+|vector{b}|*|vector{b}|*cos 0=

=4*1*(1/2)+1*1*1=3

C другой стороны
(vector{a}+vector{b})*vector{b})=|(vector{a}+vector{b})|*|vector{b}|*cos α

cos α =(vector{a}+vector{b})*vector{b})/(|(vector{a}+vector{b})|*|vector{b}|=

Найдем длину вектора (vector{a}-vector{b})по теореме косинусов из треугольника со сторонами 4 и 1 и острым углом 60 градусов между ними

|(vector{a}+vector{b})|^2=4^2+1^2-2*4*1*cos60^(o)=17-4=13

Тогда длина второй диагонали,

по свойству диагоналей и сторон параллелограмма
d^2_(1)+d^2_(2)=2(a^2+b^2)

d^2_(2)=2*(1+4^2)-13=21

d_(2)=sqrt(21)

cos α =3/sqrt(21)

α =arccos(3/sqrt(21)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{sinx>0
{sinx ≠ 1
{1+cos2x+cos4x > 0

По определению логарифма:
[b]1+cos2x+cos4x=(sinx)^(0)[/b]

Так как 1+cos2x+cos4x=1 > 0, то третье неравенство для ОДЗ
1+сos2x+cos4x > 0 [b]можно не решать[/b], корни уравнения
будут ему удовлетворять.

Придется только проверить будут ли найденные корни удовлетворять первому и второму неравенству ОДЗ, что экономит время на экзамене.

[b]cos2x+cos4x=0[/b]

2cos^22x+cos2x-1=0

D=9

[b]cos2x=-1 [/b]⇒ 2x=π+2πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z [/b]

не удовлетворяют ОДЗ
при х=(π/2)+2πk, k ∈ Z
sinx=1
при
х=(-π/2)+2πk, k ∈ Z
sinx <0

[b]или[/b]

[b]cos2x=(1/2) [/b] ⇒ 2x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± (π/6)+πn, n ∈ Z

ОДЗ удовлетворяют корни из первой и второй четверти

Значит в ответе только
(π/6)+2πn, n ∈ Z и (-π/6)+π+2πk=(5π/6)+2πm, m ∈ Z

О т в е т. [b] (π/6)+2πn; (5π/6)+2πm, n, m ∈ Z [/b]

Указанному отрезку принадлежат корни:

[b](π/6); (5π/6)[/b]

Ответ выбран лучшим

Неправильная дробь. Делим "углом"

x^5/(x+2)=(x^4+2x^3+4x^2-8x+16+(32/(x+2))

∫ ^(1)_(-1)(x^5dx/(x+2))=

=(x^5/5)-(x^4/2)+(4x^3/3)-4x^2+16x+32 ln|x+2|)|^(1)_(-1)=

=((1/5)+(1/5))-0 +((4/3)+(4/3))-0 +16*(1+1)+32ln3-32ln1=

=(2/5)+(8/3)+32+32ln3 - 0=

= [b]35 целых (1/15) + 32ln3
[/b]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
(2x+1)=t^6
Тогда
[b]∛(2x+1)^2=t^4[/b]
[b]sqrt(2x+1)=t^3[/b]

x=(t^6-1)/2

dx=6t^5dt/2

[b]dx=3t^5dt[/b]

получаем

∫ 3t^5dt/(t^4-t^3)= 3* ∫ t^2dt/(t-1)= 3* ∫ (t^2-1+1)dt/(t-1)=

=3* ∫ (t^2-1)dt/(t-1) + 3*∫(dt/(t-1))=

=3* ∫ (t+1)dt +3 ∫ dt/(t-1)=

=3(t^2/2)+3t + 3ln|t-1| + C

Обратный переход

= [b](3/2)∛(2x+1)+3(2x+1)^(1/6) - 3*ln|(2x+1)^(1/6) - 1| + C[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]u=ln(sinx) [/b] ⇒ du=(1/sinx)*(sinx)`dx; du=cosxdx/sinx; [b]du=ctgxdx[/b]
[b]dv=dx/sin^2x[/b] ⇒ [b]v[/b]= ∫ dv= ∫ dx/sin^2x = [b] - ctgx[/b]

∫ u*dv = u*v - ∫ v*du =( -ctgx )* ln(sinx) - ∫ (-ctgx) * (ctgx)dx =

=( -ctgx )* (ln(sinx)) + ∫ ctg^2xdx=

=( -ctgx )*( ln(sinx)) + ∫ ((1/sin^2x)-1)dx=

= [b]( -ctgx )*( ln(sinx)) - ctgx - x + C[/b]

Ответ выбран лучшим

f`(x)=(cosx)`-2*(sin^2x)`+(1)`

По таблице:
(cosx)`=-sinx

По правилу вычисления производной сложной функции и по формуле:
(u^2)`=2u* u`
u=sinx

Поэтому
(sin^2x)`=2sinx*(sinx)`=2sinx*cosx=sin2x

(1)`=0

f`(x)=(cosx)`-2*(sin^2x)`+(1)`= -sinx - sin2x+0

О т в е т. [b] -sinx- sin2x[/b]

Ответ выбран лучшим

x(x^2–1)–x(x^2 1)=0

Раскрываем скобки:
x^3-x-x^3-x=0
-2x=0
x=0
О т в е т. 0

a_(n)=a_(1) d*(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии

d=a_(2)-a_(1)=-30-(-32)=2

a_(8)= - 32 2*(8-1)=-32 14=18
О т в е т. -18

1.D(y)=( - ∞;+ ∞ )
2. Является нечетной
f(-x)=-4x/(4+(-x)^2)
f(-x)= - f(x)
График симметричен относительно нуля.
3.Непериодическая.
Ни при каком Т не выполняется равенство f(x+T)=f(x) для любого х из D(y)
4.Непрерывна на области определения как частное непрерывных функций.
5.
lim_(x→+ ∞)f(x)= 0
lim_(x→- ∞)f(x)= 0
Горизонтальная асимптота [b] y=0.[/b]

Вертикальной асимптоты нет

Наклонной асимптоты нет

k=lim_(x→+ 0)f(x)/x=lim_(x→+ 0)4/(x^2+4)=0

y`=(4x)`(x^2+4)-(4x)*(x^2+4)`/(x^2+4)^2=(4x^2+16-8x^2)/(x^2+4)=

=(16-4x^2)/(x^2+4)

y`=0

16-4x^2 =0

4x^2=16
x^2=4
x=± 2

Так как функция нечётна, исследуем только на (0;+ ∞ )

Производная при переходе через точку меняет знак + на -

x=2 - точка максимума.

Соответственно
х=-2 - точка минимума

Функция убывает на (-∞;-2) и возрастает на (2;+ ∞ )
Возрастает на (-2;2)

y``=((16-4x^2)/(x^2+4))`=(-8x*(x^2+4)-2x*(16-4x^2))/(x^2+4)^2
y``=(-64x)/(x^2+4)^2
y``=0 при переходе через точку y`` меняет знак + на -,

значит на (-∞;0) функция выпукла вниз,
на (0;+∞ ) - вверх

Cм. рис.

Множество значений
[-2;2]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞;+ ∞)

Перепишем функцию в виде :

y=e^(x)+ (1/e^(x))
или
y=e^(x)+e^(-x)
f(-x)=e^(-x)+e^(-(-x))
Функция является четной, так как
f(-x)=f(x)

y`=e^(x)+ e^(-x)*(-x)`

y`=e^(x)-e^(-x)

y`=0
e^(x)=e^(-x)
x=-x

x=0

Отмечаем знак производной на области определения

__-__ (0) __+__

x=0 - точка минимума

точка принадлежит отрезку [-1;2]

Значит при х=0 функция принимает наименьшее значение
значение на отрезке
y(0)=(1+1)/1=2

Находим значения на концах
y(-1)=e^(-1)+e
y(2)=e^(-2)+e^(2)

y(2)>y(1)

О т в е т. наименьшее значение в точке 0
y(0)=2
наибольшее значение в точке 2
y(2)=e^(-2)+e^(2) (прикреплено изображение)

1.D(y)(0;+ ∞ )
2. Не является ни четной, ни нечетной потому что область определения не является симметричной относительно нуля.
3.Непериодическая.
Ни при каком Т не выполняется равенство f(x+T)=f(x) для любого х из D(y)
4.Непрерывна на области определения как произведение непрерывных функций.
5.
lim_(x→+ ∞)= + ∞
Горизонтальной асимптоты нет.

lim_(x→+ 0)x*lnx=

(0* ∞)- неопределенность сводим к неопределенности ∞ / ∞

=lim_(x→+ 0)lnx/(1/x)=( ∞ / ∞ )

применяем правило Лопиталя

=lim_(x→+ 0)(lnx)`/(1/x)`=lim_(x→+ 0)(1/x)/(-1/x^2)=lim_(x→+ 0)l(-x)=0

Вертикальной асимптоты нет.

k=lim_(x→+ 0)f(x)/x=lim_(x→+ 0)lnx=- ∞

Наклонной асимптоты нет

y`=(x)`*lnx+x*(lnx)`=1*lnx+ (x) *(1/x)=lnx+1

y`=0

lnx+1 =0

x=e^(-1)

Производная при переходе через точку меняет знак - на +

x=e^(-1) - точка минимума.

[b]y(e^(-1))[/b]=e^(-1)*ln(e^(-1)) [b]=-1/e[/b]
Наименьшее значение функции, от него и начинаем считать множество изменений
функции

Функция убывает на (0;e^(-1)) и возрастает на (e^(-1);+ ∞ )

y``=(lnx+1)`=1/x
y``>0 при любом х из области определения, значит функция выпукла вниз

Множество изменений функции
[1/e; + ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

b_(n)=b_(1)*q^(n-1) - формула n-го члена геометрической прогрессии.

[b]b_(4)[/b]=b_(1)*q^3=24*(0,5)^3=24*(1/8)= [b]3[/b]

По формуле общего члена арифметической прогрессии:
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(4)=a_(1)+3d
a_(7)=a_(1)+6d

a_(1)+3d=6
a_(1)+6d=17

Вычитаем из второго уравнения первое
3d=11
[b]d=11/3[/b]
[b]a_(1)[/b]=6-3d=6-3*(11/3)= [b]-5[/b]

пр_(vector{c})vector{b}=vector{b}*vector{c}/|vector{c}|

vector{b}*vector{c}=1*(-2)+5*1+(-3)*2=-3

|vector{c}|=sqrt((-2)^2+1^2+2^2)=sqrt(9)=3

[b]пр_(vector{c})vector{b}=-3/3=-1[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
3vector{a}-(1/2)vector{b}=(3*1-(1/2)*6;3*(-1)-(1/2)*0;3*2-(1/2)*4)=(0;-3;4)
|3vector{a}-(1/2)vector{b}|=sqrt(0^2+(-3)^2+4^2)=sqrt(25)=5

2.
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и делятся в этой точке пополам.
Найдем координаты точки О, середины АС
x_(O)=(x_(A)+x_(C))/2 =( 3+3)/2=3
y_(O)=(y_(A)+y_(C))/2= (1+5)/2=3
z_(O)=(z_(A)+z_(C))/2=(8-8)/2)=0
[b]О(3;3;0)[/b]

Зная, что точка О - середина BD, найдем координаты точки D
x_(O)=(x_(B)+x_(D))/2 ⇒ x_(D)=2x_(O)-x_(B)=2*3-4=2;
y_(O)=(y_(B)+y_(D))/2 ⇒ y_(D)=2y_(O)-y_(B)=2*3-7=-1;
z_(O)=(z_(B)+z_(D))/2 ⇒ z_(D)=2z_(O)-z_(B)=2*0-1=-1;

[b]D=(2;-1;-1)[/b]

3.
vector{AB}=(1-4;2-(-4);4-3)=(-3;6;1)
|vector{AB}|=sqrt(9+36+1)= [b]sqrt(46)[/b]
vector{DС}=(-2-1;1-(-5);-1-0)=(-3;6;1)
|vector{CD}|=sqrt(9+36+1)= [b]sqrt(46)[/b]
Противоположные стороны равны и параллельны ( координаты векторов AB и СD равны)
Значит, ABCD - параллелограмм.
Чтобы убедиться, что прямоугольник, надо проверить, что AB
⊥ BC

vector{BС}=(-2-1;1-2;1-4)=(-3;-1;-3)

Находим скалярное произведение векторов.
Если векторы ортогональны, то скалярное произведение равно 0

vector{AB}*vector{BС}=(-3)*(-3)+6*(-1)+1*(-3)=0

Доказано.

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСD
AC^2=CD^2+AD^2=10^2+4^2=116
[b]AC[/b]=sqrt(116)= [b]2sqrt(29)[/b]

Δ ACD~ Δ BCD по двум углам.
CD:DB=AD:CD
или
СD^2=AD*BD ( высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу)

BD=CD^2/AD=10^2/4=100/4=25
[b]BD=5[/b]
Значит
[b]AB[/b]=AD+DB=4+25= [b]29[/b]

По теореме Пифагора
BC^2=CD^2+BD^2=10^2+25^2=100+625=725
[b]BC=[/b]sqrt(725)= [b]5sqrt(29)[/b]

(прикреплено изображение)

По теореме Пифагора второй катет 20 см
По методу площадей:
a*b/2=c*h/2
h=15*20/25=12 cм - высота.
По теореме Пифагора
15^2-12^2=81=9^2 - квадрат проекции меньшего катета
проекция меньшего катета 9 см.
25-9=16 проекция большего катета.

12/25 - отношение высоты к гипотенузе
12/25=48/100=48%
отношение проекции катета 15 см к гипотенузе
9/25=36/100=36%
отношение проекции катета 15 см к гипотенузе
16/25=64/100=64% (прикреплено изображение)

1)
f`(x)=12x^3-12x

f`(x)=0

12x^3-12x=0

12х*(x^2-1)=0

x=0 или х= ± 1

Знак производной
_-_ (-1) __+_ (0) _-__ (1) __+__

y`< 0 на (- ∞; -1) и на (0;1)
значит функция убывает на (- ∞; -1) и на (0;1)

y`>0 на (-1;0) и на (1;+ ∞)
значит функция возрастает на (-1;0) и на (1;+ ∞)

x=-1 и х=1 - точки минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

см. рис.1

2)
f`(x)=3-3x^2
f`(x)=0

3-3x^2=0
3*(1-x^2)=0
x= х= ± 1

Знак производной
_-_ (-1) __+__ (1) __-__

y`< 0 на (- ∞; -1) и на (1;+ ∞)
значит функция убывает на (- ∞; -1) и на (1;+ ∞)

y`>0 на (-1;1)
значит функция возрастает на (-1;1)

x=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

см. рис.2 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x^2>0⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1⇒ x ≠ ± 1
{2x^2-6x+9 >0 при любом х, так как D=6^2-4*2*9<0

lg(cos(-6π))=lg(cos6π)=lg1=0

2^(0)=1

Неравенство примет вид:
1 ≥ log_(x^2)(2x^2-6x+9)

log_(x^2)(2x^2-6x+9) ≤ 1

1= log_(x^2)(x^2)

log_(x^2)(2x^2-6x+9) ≤ log_(x^2)(x^2)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^2-1)*(2x^2-6x+9-x^2) ≤ 0
(x-1)(x+1)(x-3)^2 ≤ 0

__+__ (-1) __-__ (1) __+__ [3] __+___

С учетом ОДЗ получаем ответ.
[b] (-1;0)U(0;1)U{3}[/b]

7.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проводим A_(1)C_(1) ⊥ B_(1)D_(1)
и АС ⊥ BD

Проекцией АС_(1) является MK
Угол АОК - искомый, находим из треугольника AOK
[b]tg ∠ AOK[/b]=AK/OK=sqrt(2)/2/1/2= [b]sqrt(2)[/b]

АК=AC/2=sqrt(2)/2
ОК=(1/2)МК=1/2

О т в е т. ∠ AOK= arctg(sqrt(2))

10.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проекцией BD_(1) является BС_(1).

Угол C_(1)BD_(1) - искомый, находим из треугольника C_(1)BD_(1)

tg ∠ C_(1)BD_(1)=C_(1)D_(1)/BC_(1)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2
∠ C_(1)BD_(1)=arctg (sqrt(2)/2)

О т в е т. ∠ C_(1)BD_(1)=arctg (sqrt(2)/2)

8.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проекцией A_(1)C является B_(1)C.

Угол A_(1)BC_(1) - искомый, находим из треугольника A_(1)BC_(1)

tg ∠ A_(1)BC_(1)=A_(1)B_(1)/B_(1)C=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2
∠∠ A_(1)BC_(1)=arctg (sqrt(2)/2)

О т в е т. ∠ A_(1)BC_(1)=arctg (sqrt(2)/2)

12.
BD ⊥ AC

AC⊥ BO
B_(1)O - медиана равнобедренного треугольника АВ_(1)С
Значит, B_(1)O⊥ AC

АС ⊥ пл. В_(1)ОВ, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости BO и B_(1)O.

пл. АВ_(1)С ⊥ пл. В_(1)ОВ

⇒ ОС- проекция ВС,
угол между ОС и ВС - это угол АСВ он равен 45 градусов

ВС || A_(1)D_(1)

Значит угол между A_(1)D_(1) и пл. АВ_(1)С равен 45 градусов

11.
Как в 12.
∠ А_(1)В_(1)О= 45 градусов.

9. AB_(1)|| DС_(1)

AB_(1) || пл. DС_(1)B
Значит угол между ними 0 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть ширина полей х см.
Тогда
площадь листа с картиной - площадь прямоугольника со сторонами
(2x+11) и (2х+22)

(2x+11)*(2x+22)=900
4x^2+22x+44x+242=900
4x^2 + 66x - 658 = 0
2x^2 + 33x - 329 =0

D=33^2-4*2*(-329)=1089 +2632=3721=61^2

x=(-33+61)/4=7 второй корень уравнения <0

О т в е т. 7 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем уравнение
x^2+6x+51 ≥0

D=36-4*51 < 0
Уравнение не имеет корней
Графиком квадратного трехчлена y=x^2+6x+51 является парабола, ветви направлены вверх, парабола не пересекает ось Ох, расположена выше оси Ох
Решение неравенства x - любое
О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Выносим за скобки 5 меньшей степени и 3 в меньшей степени
5^(x)*(5^2+5-1) < 3^((x/2)-1)* (3^2-3+1)

5^(x)*29 < 3^((x/2)-1)*7

5^(x)*29< 3^(x/2)*3^(-1) * 7

Делим на 3^(x/2)*29
5^x/(3^(x/2)) < 7/87

(5/sqrt(3))^(x) < 7/87

(5/sqrt(3))^(x) < (5/sqrt(3))^(log_(5/sqrt(3))(7/87)

5/sqrt(3) > 1, показательная функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x < log_(5/sqrt(3)) (7/87)

О т в е т. (- ∞ ; log_(5/sqrt(3)) (7/87))

площадь основания цилиндра
S_(осн)=πR^2
площади осевого сечения цилиндра - площадь прямоугольника со сторонами 2R и Н
πR^2 : 2R*Н=πR/H

πR/H=sqrt(3)/4
R=sqrt(3)*H/(4π)

a) tg α =H/2R=H/(sqrt(3)*H/(2π))=2π/sqrt(3)
α =arctg (2π/sqrt(3))

б)
d^2=H^2+(2R)^2=H^2+4R^2

По теореме косинусов из треугольника MAB

(2R)^2=(d/2)^2+(d/2)^2-2*(d/2)*(d/2)*cos∠AMB

cos∠AMB=((d^2/4)+(d^2/4)-4R^2)/(d^2/2) =

=((H^2+4R^2)/2 - 4R^2)/(H^2+4R^2)/2=

Подставляем вместо R=sqrt(3)*H/(4π)
и получаем ответ (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{8x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x>0
{x/2 > 0 ⇒ x>0

[b](0;+ ∞ )[/b]

Так как
log_(2)(8x^2)=log_(2)8+log_(2)x^2=
=3+2log|x|=(согласно ОДЗ: x>0 и |x|=x)=3+2logx

log_(2)(x/2)=log_(2)x-log_(2)2=log_(2)x-1
log^2_(2)(x/2)=(log_(2)x-1)^2=log_(2)x-2log_(2)x+1

Замена переменной
log_(2)x=t

Неравенство принимает вид:
(3+2t+2t+12)/(t^2-2t+1-16) ≥ -1;

(4t+15)/(t^2-2t-15) + 1 ≥ 0

(4t+15+t^2-2t-15)/(t^2-2t-15) ≥ 0

(t^2+2t)/(t^2-2t-15) ≥ 0

t^2+2t=t*(t+2)

t^2-2t-15=(t+3)(t-5)
D=4+60=64
корни (-3) и 5

Решаем методов интервалов

_+__ (-3) _-__ [-2] __+_ [0] __-__ (5) __+__

t < -3 или -2 ≤ t ≤ 0 или t > 5

Обратный переход

log_(2)x < -3 или -2 ≤log_(2)x ≤ 0 или log_(2)x> 5

log_(2)x <log_(2)(1/8) или log_(2)(1/4) ≤log_(2)x ≤ log_(2)1 или log_(2)x> log_(2)32

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

x <1/8 или 1/4 ≤log_(2)x ≤1 или x> log_(2)32

С учетом ОДЗ получаем ответ.
[b](0;1/8) U [1/4;1] U (32;+ ∞ )[/b]

1.
a)
2x+1>x+3
2x-x>3-1
x>2
О т в е т. (2;+ ∞ )
б)
2х+3 ≤ 4x-2
2x-4x ≤ -3-2
-2x ≤ -5
x ≥ 2,5
О т в е т. [2,5;+ ∞ )
в)
7-3x > -3x
7>0 - верно при любом х
О т в е т. (- ∞;+ ∞ )

2.
Cоставляем неравенство ( ниже значит меньше):
2x^2-3x-11 < (3-2x)(1-x)
2x^2-3x-11 < 3-2x-3x+2x^2
-3x+2x+3x < 3+11
2x < 14
x< 7
О т в е т. (- ∞;7 )

3.
{2x-4> 1-3x
{2x-4 > 3x+2

{2x+3x > 1+4
{2x-3x > 4+2

{5x > 5
{-x > 6

{x>1
{x< -6
Множества решений первого и второго неравенств не пересекаются
Cистема не имеет решений

{2x-4 > 3x-2
{2x-4 > 1-3x

{2x-3x > 4-2
{2x+3x>1+4

{-x > 2
{5x>5

{x< -2
{x> 1
Множества решений первого и второго неравенств не пересекаются
Система не имеет решений

4
a)
|3-x| ≤ 4
-4 ≤ 3-x ≤ 4
Вычитаем 3)
-7 ≤ -x ≤ 1
Умножаем на -1 и меняем знак.
-1 ≤ x ≤ 7

О т в е т. [-1;7]

б)
|3-x| ≤ 0
|3-x| ≥ 0, поэтому возможно только
3-x=0
x=3

О т в е т. 3

в)
|3-x| ≥ 5 ⇔ 3-x ≤ -5 или 3-х ≥ 5

-х ≤ -5-3 или -х ≥ 5-3

x ≥ 8 или x ≤ -2

О т в е т. (- ∞ ;-2] U [8; + ∞ )

г)

|3 - x| ≥ -2
|3-x| ≥ 0 ≥ -2
верно при любом х

О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ )

5.
Совокупность двух систем:

(1)

{-3x > -12 + x;
{x < -2
{2x+1 > -x-16

или

(2)
{-3x > -12 + x;
{x ≥ 1
{2x+1 > -x-16

(1)

{-3x - x > -12 ;
{x < -2
{2x+x > -1-16

{-4x > -12 ;
{x < -2
{3x > -1-16

{x< 3
{x<-2
{x> -17/3

[b](-17/3;-2)[/b]

(2)

{-3x- x > -12;
{x ≥ 1
{3x> -1-16

{x< 3
{x ≥ 1
{x> -17/3

[b][1;3)[/b]

Объединяем ответы систем (1) и (2)
О т в е т. [b](-17/3;-2) U [1;3)[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1+2+3+4+5=15
15*5=75
Сумма всех чисел таблицы 75
75:3=25 в каждой области.

О т в е т. cм рисунок (прикреплено изображение)

Проведем высоту SO - пирамиды SАВСD
O- точка пересечения диагоналей квадрата
H=SO
V_(пирамиды SABCD)= [b](1/3)*S(квадрата АВСD) * H[/b]

EK- высота пирамиды EABC
ЕК- средняя линия Δ SBO
EK=H/2

V_(пирамиды EABC)=(1/3)*S( Δ АВС) * H/2

S( Δ АВС) =(1/2)S(квадрата АВСD)

V_(пирамиды EABC)=(1/3)*(1/2)S(квадрата АВСD) * H/2=
=(1/4)* [b] (1/3)*S(квадрата АВСD) * H[/b]= (1/4)V_(пирамиды SABCD)

Значит,
V _(тела)=V_(пирамиды SABCD)-V_(пирамиды EABC)=
=V_(пирамиды SABCD)- (1/4)V_(пирамиды SABCD)=

=(3/4)*V_(пирамиды SABCD)=(3/4)*34=51/2= [b]25,5[/b]

О т в е т. [b]25,5
[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

СС_(1)||BB_(1)
∠ AC_(1)C - угол между CC_(1) и AC_(1), а значит и между
BB_(1) и AC_(1)
Находим его из прямоугольного равнобедренного треугольника
ACC_(1)
АС=СС_(1)=17

[b]∠ AC_(1)C=45 градусов.[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+3>0 ⇒ x > -3
{x+3 ≠ 1 ⇒ x ≠ -2
{x+2>0 ⇒ x > -2
{(x-1)^2>0 ⇒ x ≠ 1

(-2;1) U (1;+ ∞ )

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули функции
f(x)=(x^2+3x+2)*log_(x+3)(x+2)*log_(3)(x-1)^2

x^2+3x+2=0
D=9-4*2=1
x_(1)=(-3-1)/2=-2; х_(2)=(-3+1)/2=-1
[b]x_(1)=-2; х_(2)=-1[/b]

-(2) __-__ [-1] __+__

log_(x+3)(x+2)=0

x+2=(x+3)^(0)
x+2=1
[b]x=-1[/b]

(-2) __-__ [-1] ___ + ____

log_(3)(x-1)^2=0
(x-1)^2=3^(0)
(x-1)^2=1
x-1=-1 или x-1=1
[b]x=0 или х=2[/b]

(2) __+__ [0] __-___ [2] _ +__

Отмечаем найденные корни на области определения

(-2) __+_ [-1] _+_ [0] _-_ (1) __-_ [2] ___+__

О т в е т. {-1}U[0;1)U(1;2]

Ответ выбран лучшим

Упростим подынтегральную функцию.
Делим и числитель и знаменатель на sqrt(2x+2)

(4sqrt(2-x)-sqrt(2x+2))/((4sqrt(2-x)-sqrt(2x+2))*(2x+2)^2)=

(4sqrt((2-x)/(2x+2))-1)/(4sqrt((2-x)/(2x+2))+1)*(2x+2)^2

Замена переменной

sqrt((2-x)/(2x+2))=t

(2-x)/(2x+2)=t^2

2-x = 2xt^2+2t^2

2-2t^2=2xt^2+x

x=(2-2t^2)/(2t^2+1)

dx=(-4t*(2t^2+1)-4t*(2-2t^2))dt/(2t^2+1)^2

dx=-12t/(2t^2+1)^2

x+2=6/(2t^2+1)

получим:

-2* ∫ (4t-1)*tdt/(4t+1)= выделяем целую часть=

=-2* ∫(t - (1/2) + 1/(2*(4t+1))) dt=

= [b]-t^2+ t -(1/8) ln |4t+1| +C,

где

t= sqrt((2-x)/(2x+2))[/b]

Ответ выбран лучшим

Найдем две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей

x+y-2z-1=0 и x-y-z+2=0

из системы:
{x+y-2z-1=0
{x-y-z+2=0

Так как точек на прямой бесчисленное множество, то выберем кооpдинату
z=0
{x+y-1=0
{x-y+2=0

Cкладываем
2х+1=0
х=-1/2
у=х-1=(-1/2)-1=-3/2

M(-1/2; -3/2;0)

Выберем кооpдинату
y=0
{x-2z-1=0
{x-z+2=0

Вычитаем из первого второе
-z-3=0
z=-3

x=2z+1
х=-6=1=-5

N(-5; 0;-3)

Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки:

(x+5)/((-1/2)+5)=(y-0)/((-3/2)-0)=(z+3)/3

[b](x+5)/4,5=y/(-1,5)=(z+3)/3[/b] - о т в е т

Ответ выбран лучшим

1.
Основное логарифмическое тождество:
[b]a[/b]^(log_( [b]a[/b])b)=b
a>0;a ≠ 1; b>0

(1-2^2)=1-4=-3
Логарифмы отрицательных чисел не существуют
Применить формулу нельзя.

2.
(8^(2/5))^(1/2)=8^((2/5)*(1/2))=8^(1/5)
∛64=∛4^3=4
8^(1/5)*4=(2^3)^(1/5)*2^2=2^(3/5)*2^(2)=2^((3/5)+2)=2^(13/5)

3.
sqrt(14)=sqrt(7)*sqrt(2)

sqrt(14)*(sqrt(7)+2-3sqrt(2))=

=sqrt(7)*sqrt(7)*sqrt(2)+2sqrt(14)-3sqrt(7)*sqrt(2)*sqrt(2)=

=7*sqrt(2) +2sqrt*(14)-6sqrt(7)

4.
a^6+b^6=(a^2)^3+(b^2)^3=
формула (m^3+n^3=(m+n)*(m^2-mn+n^2);
m=a^2; n=b^2)

=(a^2+b^2)*((a^2)^2-a^2*b^2+(b^2)^2)=(a^2+b^2)*(a^4-a^2b^2+b^4)

(a^6+b^6)/(a^4-a^2b^2+b^4)=a^2+b^2

5a)
(1+tg^230 градусов)*(1-tg^230 градусов)-ctg^260 градусов=

=(1+(sqrt(3)/3)^2)*(1-(sqrt(3)/3)^2)*-(sqrt(3)/3)^2=

=(1+(1/3))*(1-(1/3)) - (1/3)=(1^2-(1/3)^2- (1/3)=(8/9)-(6/9)=2/9

5b)
(sin(π/6) - cos(π/6))^2+tg(7π/4)=

= [b]sin^2(π/6)[/b]-2sin(π/6)*cos(π/6)+ [b]cos^2(π/6)[/b]+tg(2π-(π/4))=

= [b]1[/b]- sin(2*(π/6))- tg(π/4)=1-sin(π/3)+1=-sin(π/3)= [b]-sqrt(3)/2;[/b]

6a)
1-cos^2 α =sin^2 α

1-cos^2 α +sin^2 α =sin^2 α +sin^2 α =2sin^2 α

ctg(5π/4)=ctg(π+(π/4))=ctg(π/4)=1

(1-cos^2 α +sin^2 α)*сtg(5 π/4)=2sin^2 α *1=2sin^2 α

6b)
2sin^2 α+cos^2 α =sin^2 α +sin^2 α +cos^2 α =

=sin^2 α +(sin^2 α +cos^2 α)=sin^2 α +1

sin^4 α -1=(sin^2 α -1)*(sin^2 α +1)

(2sin^2 α+cos^2 α)*(sin^2 α -1)/(tg α*(sin^4 α -1))=

=(sin^2 α +1)*(sin^2 α -1)/(tg α*(sin^2 α -1)*(sin^2 α +1))=

=1/tg α =ctg α

При α =π/4

ctg(π/4)=1

6c

sin(- α ) =- sin α

sin(π- α )=sin α

tg((π/2)+ α )= - ctgα

sin(- α )+sin(π- α )*(tg((π/2)+ α )=

=-sin α +sin α *(cos α /sin α )=-sin α +cos α

7.
cos1230 градусов= cos( 4*360 градусов - 210 градусов)=

=cos(-210 градусов)= cos(-180 градусов - 30 градусов)=

=-cos(30 градусов)=-sqrt(3)/2:

sin(-405 градусов)=-sin405 градусов =

=- sin( 360 градусов + 45 градусов)=-sin 45 градусов= - sqrt(2)/2:

tg(-7π/3)=-tg(7π/3)=-tg(2π+(π/3))= - tg(π/3)= - sqrt(3);

ctg(29π/6)=ctg((30π/6)-(π/6))=ctg(5π- (π/6))=ctg(-π/6)=- sqrt(3).

1)
АВС- равносторонний треугольник.
DO_(1)=h
∠ DKO_(1)= α

O_(1)- центр правильного треугольника, т.е центр вписанной и описанной окружностей.
О_(1)K=r ( радиусу вписанной окружности)
В правильном треугольнике со стороной а
[b]r=asqrt(3)/6 [/b]

В прямоугольном треугольнике DO_(1)K
tg α=DO_(1)/O_(1)K ⇒
O_(1)K=DO_(1)/tg α
[b]r=h/tg α [/b]

Приравниваем правые части выделенных равенств
asqrt(3)/6=h/tg α

a=6h/(sqrt(3)*tgα)=2sqrt(3)h/tgα

V_(пирамиды)=(1/3)S_(осн)*h

Площадь равностороннего треугольника со стороной а:

S( Δ)=a^3sqrt(3)/4

[b]V_(пирамиды)[/b]=(1/3)(2sqrt(3)h/tgα)^2*(sqrt(3)/4)*h=

= [b]sqrt(3)h^3/tg α [/b]

при h=3
α =60 градусов:

V_(пирамиды)=sqrt(3)*(3)^3/tg60 градусов [b]=27[/b]

2)

Радиус вписанного шара
R=ОM=OO_(1)
находим из прямоугольного треугольника ОКО_(1)
КО - биссектриса ∠ DKO_(1)= α

tg α/2=OO_(1)/O_(1)K

R=O_(1)K*tg( α /2)= htg( α/2)/tg α

[b]V_(шара)[/b]=(4/3)πR^3= [b](4/3)π*(h^3tg^3( α /2)/tg^3 α )[/b]

при h=3
α =60 градусов

V_(шара)=(4/3)π*(3^3tg^3(30^(o))/tg^3 60^(o))= [b]4h^3/81[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Определение.Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где a < b ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке.

f(x)=(2x+1)^2
F(x)=(1/2)*((2x+1)^3/3)=(2x+1)^3/6

F(2,5)=(2*2,5+1)^3/6=6^3/6=6^2=36
F(1)=(2*1+1)^3/6=27/6=4,5

∫ ^(2,5)_(1)(2x+1)^2dx=F(2,5)-F(1)=36-4,5= [b]31,5[/b]

Катет XZ по теореме Пифагора
XZ^2=13^2-12^2=25
XZ=5
r=S/p
S=(1/2)XY*XZ=(1/2)*12*5=30
p=(13+12+5)/2=15
r=30/15=2

d^2=H^2+r^2=1,5^2+2^2=2,25+4=6,25
d= [b]2,5[/b]

В равнобедренном треугольнике, высота, проведенная к основанию является одновременно и медианой, т.е делит основание пополам
По теореме Пифагора
h^2=15^2-9^2=144
h=12

r=S/p

S=(1/2)*18*12=108
p=(15+15+18)/2=24
r=108/24=9/2

По теореме Пифагора
d^2=H^2+r^2= 6^2+(9/2)^2=36+(45/4)=189/4
d= [b]sqrt(189)/2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Аналогично тому что приведено в приложении с той лишь разницей, что вместо sinbx, у Вас сosbx (прикреплено изображение)

пусть x>0; y>0

Логарифмируем первое уравнение:
lnx^((x+y))=lny^((x-y))

(x+y)*lnx=(x-y)lny (#)

Выражаем у из второго
y=1/x^2
и подставляем в (#)

(x+(1/x^2))lnx=(x-(1/x^2))ln(1/x^2)

ln(1/x^2)=ln(x^(-2))=-2lnx

(x^3+1)lnx/x^2=-2(x^3-1)lnx/x^2

(x^3+1)lnx/x^2+2(x^3-1)lnx/x^2=0

((lnx)/x^2)*(x^3+1+2x^3-2)=0
lnx=0
[b]x=1[/b] тогда у=1/1^2= [b]1[/b]

3x^3-1=0
[b]x=1/∛3=∛9/3[/b] тогда y=1/x^2=1/( 1/∛3)^2 [b]=∛9[/b]

О т в е т. (1;1); (∛9/3;∛9)

14.2
Подставляем эту пару чисел (1;2) в каждое уравнение системы:
{1-2=-1 верно
{1^2-1*2=1- неверно

Не является решением системы (1)

1*2+1^2=6 - неверно
2*1+2=4 - верно
Не является решением системы ( 2)

14.7
a)
{x=y+2; ( умножаем на 3)
{2x+3y=1

{3x-3y-6=0
{2x+3y-1=0
Складываем
5x-7=0
x=7/5
x=1,4

y=x-2=1,4-2=-0,6

(1,4;-0,6)- о т в е т.

б)
{3x-y=1 ( умножаем на 3)
{2x+3y=2

{9x-3y=3
{2x+3y=2

Cкладываем
11х=5
x=5/11
y=3x-1=3*(5/11)-1=4/11

О т в е т. (5/11;4/11)

ОДЗ:
{x+2>0 ⇒ x > - 2
{x+2≠1 ⇒ x≠-1
{5-2x>0 ⇒ x < 2,5
Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один равен 0, а другой при этом [b]не теряет смысла.[/b]

[b]x=0[/b] или log_(x+2)(5-2x)=0 ⇒ 5-2x=(x+2)^(0) ⇒ 5-2x=1; -2x=-4; [b]x=2[/b]
Оба корня удовлетворяют ОДЗ:
0>-2
2>-2

0≠-1
2≠-1

0 < 2,5
2<2,5

О т в е т. 0 и 2

ctg^2x+1=1/sin^2x⇒ ctg^2x=(1/sin^2x)-1

ctg^3x=ctgx*ctg^2x=ctgx*((1/sin^2x)-1)=(ctgx/sin^2x)- (ctgx)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов
∫ ctg^3xdx=
∫ (ctgxdx/sin^2x)- ∫ (ctgx)dx= ∫ ctgx(-d(ctgx)) - ∫ d(sinx)/sinx=

= [b](-ctg^2x)/2 - ln|sinx|+C[/b]

Метод подведения под дифференциал.

Два табличных интеграла

[b] ∫ udu=u^2/2[/b]

u=ctgx
du=-dx/sin^2x

[b]∫ du/u=ln|u|[/b]

u=sinx
du=cosxdx
ctgxdx=cosxdx/sinx=d(sinx)/sinx=du/u

Проводим
D_(1)K || CE
KM|| BD

∠ D_(1)KM - угол между D_(1)K и KM, а значит и между параллельными им прямыми DB и CE

Найдем его из равнобедренной трапеции
D_(1)B_(1)MK

BD=sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной 1

СE=sqrt(1+(1/2)^2)=sqrt(5)/2

FK ⊥ B_(1)D_(1)

FD_(1)=sqrt(2)/4
sin ∠ FKD_(1)=FD_(1)/KD-(1)=sqrt(10)/10

FKD_(1)=arcsin(sqrt(10)/10)

∠ MKD_(1)=(π/2)+arcsin(sqrt(10)/10) (прикреплено изображение)

tg∠B =1/√ 3 ⇒ ∠ B=30 градусов.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Значит, ∠ A=90 градусов - ∠ В=90 градусов - 30 градусов= 60 градусов.
cos ∠ A=cos 60 градусов = [b]1/2[/b]

x=2 - точка разрыва второго рода

lim_(x→2-0)6^(1/(x-2))= 6^(- ∞)=0
lim_(x→2+0)6^(1/(x-2))= 6^(+ ∞)=+ ∞

В остальных точках функция непрерывна, как композиция непрерывных функций.

[b]a_(n)=1/(n+1)![/b]

R=lim_(n→∞)a_(n)/a_(n+1)=lim_(n→∞)(1/(n+1)!)/(1/(n+2)!)=

lim_(n→∞)(n+2)= ∞

ряд сходится на (- ∞ ;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Обозначим это выражение через a
[b]a ≥ 0[/b]
как сумма двух арифметических квадратных корней.

Возведем в квадрат

x-2sqrt(x-1)+2sqrt(x-2sqrt(x-1))*sqrt(x+2sqrt(x-1))+x+2sqrt(x-1)=a^2

2sqrt(x-2sqrt(x-1))*sqrt(x+2sqrt(x-1))+2x=a^2
2sqrt(x^2-4(x-1))+2x=a^2

2sqrt((x-2)^2)+2x=a^2

2|x-2|+2x=a^2

[b]a=sqrt(2|x-2|+2x)[/b]

при х=1,2019
x-2 < 0
|x-2|=2-x
2*|x-2|+2x=2*(2-x)+2x=4-2x+2x=4

a=sqrt(4)=2

О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

(3,2+sqrt(8))^(9)

Пусть T_(k)=C^(k)_(9)*(3,2^(k))*(sqrt(8))^(9-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)
{C^(k)_(9)*(3,2^(k))*(sqrt(8))^(9-k)> C^(k-1)_(9)*(3,2^(k-1))*(sqrt(8))^(9-k+1);
{C^(k)_(9)*(3,2^(k))*(sqrt(8))^(9-k)>C^(k+1)_(9)*(3,2^(k+1))*(sqrt(8))^(9-k-1)

Осталось решить систему неравенств и найти k

Замена переменной:
sqrt(x^2-24)=t
[b]t≥ 0[/b]
t^2-2t-15=0
D=4-4*(-15)=64
t_(1)=(2-8)/2=-3; t_(2)=(2+8)/2=5
t_(1) не удовл. усл. [b]t≥ 0[/b]
Обратный переход
sqrt(x^2-24)=5
x^2-24=25
x^2=1
x= ± 1
Но при х= ± 1 sqrt(x^2-24) не существует
О т в е т. уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

1.
4cos(π/3)-2sin(π/3)+sinπ=4*(1/2)-2*sqrt(3)/2+0=2-sqrt(3);
sin750^(o)=sin(720^(o)+30^(o))=sin30^(o)=1/2;
cos(7π/6)=cos(π+(π/6))=-cos(π/6)=-sqrt(3)/2

2.
sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(-4/5)^2=1-(16/25)=9/25
cos α =- 3/5 ( знак - ,так как угол в третьей четверти)

tg α =sin α /cos α =(-4/5)/(-3/5)=4/3

сtg α =cos α /sin α =3/4

3.
a) sin( α + β )+sin( α - β )=(sin α *cos β+cos α*sin β)+( sin α *cos β-cos α*sin β)=2sin α *cos β

б) 1+2sin(- α )*sin((3π/2)- α)= 1-2sin α *(-cos α)=1+2sin α*cos α =

=1+sin2 α

4.
a) cos2 α +sin^2 α =(1-2sin^2 α )+sin^2 α =1-sin^2 α =
= [b](1-sin α)(1+sin α )[/b]
б) (tg α +ctg α )*(1-cos4 α)=((sin α /cos α )+(cos α/sin α))*(1-cos4 α )

=((sin^2 α +cos^2 α )/cosα *sin α) *(1-(cos^22α -sin^22α))=

=(2/sin2 α)*(sin^22 α +sin^22 α )=4sin^22 α /sin2 α = [b]4sin2 α [/b]

5.cos(4x-3x)=-1
cosx=-1
x=π+2πn, n ∈ Z

6.
cos( α + β)=cos α cos β -sin α sin β

Возводим равенства
sin α -sin β =-1
cos α +cos β =-sqrt(3)
в квадрат

sin^2 α -2sin α* sin β +sin^2 β =1
cos^2 α +2cos α *cos β+cos^2 β =3

Складываем

(sin^2 α +cos^2 α)-2sin α *sin β +(sin^2 β +cos^2 β) +2cos α *cos β =4 ⇒
cos α cos β -sin α sin β =1

cos( α + β)=cos α cos β -sin α sin β = [b]1[/b]

1.
13 ∈ A; 39 ∈ A; 91 ∈ A; 195 ∈ A
-3 ∉ A; -90 ∉ A; 75 ∉ A; -8 ∉ A

2. 191; 193; 197; 199 - всего 4 числа

3. cм. рис. (прикреплено изображение)

Замена переменной:
x-(π/2)=t
x→π/2, тогда t→0
x=t+(π/2)

lim_(x→π/2)(cosx)^(x-(π/2))=lim_(t→0)(cos(t+(π/2)))^(t)=

= lim_(t→0)(- sint)^(t)

Обозначим
y=(sint)^(t)
Логарифмируем
lny=t*lnsint

Находим
lim_(t→0)lny=lim_(t→0)t*lnsint =(неопределенность 0* ∞ ) сводим к неопределенности ( ∞ / ∞ ) (u*v=u/(1/v))

lim_(t→0)t*lnsint =lim_(t→0)lnsint / (1/t) Применяем правило Лопиталя:

lim_(t→0)(lnsint)` / (1/t)`=lim_(t→0)(sint)`/sint / (-1/t^2)=

=lim_(t→0)(sint)`/cost / (-1/t^2)=- lim_(t→0)t^2*cost / sint=

=- lim_(t→0)(t / sint) * lim_(t→0)(t*cost)=1*0=0

Тогда
lim_(t→0)lny=0

lim_(t→0)y=e^(0)=1

О т в е т. [b] 1[/b]

Замена переменной
1/x=t
x=1/t
dx=(-1/t^2)*dt

2+x-x^2=2+(1/t)-(1/t)^2= (2t^2+t-1)/t^2

sqrt(2+x-x^2)=sqrt(2t^2+t-1)/t

Тогда данный интеграл можно представить:

∫ (-1/t^2)dt/sqrt(2t^2+t-1)/t^2=- ∫ dt/sqrt(2t^2+t-1)

Выделяем полный квадрат

2t^2+t-1=2*(t^2+(1/2)t-(1/2))=2*(t+(1/4))^2+(1/16)-(1/16)-(1/2))=

=2*((t+1/4)^2-9/16)

Табличный интеграл
∫ du/sqrt(u^2 ± a)

=(-1/sqrt(2)) ∫ dt/sqrt(t+(1/4))^2-(9/16))=

=(-1/sqrt(2))ln|t+(1/4)+sqrt)t^2+(1/2)t-(1/2))+C

где t=1/x

sin2x-1=0 или cos^2x-1=0
sin2x=1 или cosx= ± 1

sin2x=1 ⇒ 2x=(π/2)+2πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/4)+πk, k ∈ Z [/b]

cosx= 1⇒ [b]x=2πn, n ∈ Z [/b]

cosx=- 1⇒ [b]х=π+2πm, m ∈ Z[/b]

а)

корни, принадлежащие интервалу (0,2π):
x=π/4
х=π
x=(π/4)+π=5π/4

б)
корни, принадлежащие интервалу (–2π,0):
x=-3π/4
х= - π
х=-7π/4

в)
корни, принадлежащие интервалу (–π/2,π):
х=0
x=π/4

г)
корни, принадлежащие интервалу (4π, 11π/2)
x=(π/4) + 4π=17π/4
х=5π
x=(π/4)+5π=21π/4

2.
3,5 +5,5+3=12
360 градусов:12=30 градусов в одной части
Значит
3,5*30 градусов =105 градусов
5,5*30 градусов =165 градусов
3*30 градусов = 90 градусов

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
О т в е т. 52,5 градусов; 82,5 градусов; 45 градусов

3.
Пусть АB=x, тогда AD=(x+1)
Произведение отрезков хорд, пересекающихся в одной точке есть величина постоянная.

CA*AE=BA*AD

6*12=x*(x+1)

x^2+x-72=0
D=289
x=(-1+17)/2=8
второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию задачи

BA=8
AD=8+1=9
BD=8+9= [b]17[/b]

4.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов катет равен половине гипотенузы.

О т в е т. 27/2=13,5

(прикреплено изображение)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проекцией АВ_(1) является АВ
Значит, ∠ В_(1)АВ=60 градусов.

АВ=sqrt(2) - гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами 1
ВВ_(1)=АВ*tg∠ В_(1)АВ=sqrt(2)*sqrt(3)=sqrt(6)

H=ВВ_(1)=sqrt(6)

V=S_(осн.)*H=(1/2)*1*1*sqrt(6)= [b]sqrt(6)/2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВС -прямоугольный равнобедренный,
значит гипотенуза АВ=sqrt(2)

Из прямоугольного (ВС⊥ пл. АА_(1)С_(1)С и значит, ВС⊥А_(1)С треугольника ВА_(1)С
ВС- катет, лежащий против угла в 30 градусов.
Поэтому гипотенуза
A_(1)B=2BC=2*1=2
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АА_(1)В
(АА_(1))^2=(A_(1)B)^2_AB^(2)=(sqrt(3))^2-(sqrt(2))^2=3-2=1
АА_(1)=1

H=АА_(1)=1
S_(бок.)=P_(осн)*H=(1+1+sqrt(2))*1= [b]2+sqrt(2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Грань ABB1A1- прямоугольник со сторонами
sqrt(3) и 1
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проведем из точки О перпендикуляр ОK
Грань ABB1A1- прямоугольник
ОК=(1/2)АА_(1)=sqrt(3)/2
СК - высота равностороннего треугольника АВС

CK=sqrt(3)/2

Из прямоугольного треугольника CОК

tg ∠ OCK=OK/CK=sqrt(3)/2/sqrt(3)/2=1
∠ OCK=45 градусов.

О т в е т. 45 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим частные производные
z`_(x)=4x-y+2
z`_(y)=2y-x+3

Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{4x-y+2=0
{2y-x+3=0

Умножаем первое уравнение на 2
{8x-2y+4=0
{2y-x+3=0

Складываем
7x+7=0
x=-1

y=4x+2=4*(-1)+2=-2

M(-1;-2)

Находим вторые частные производные
z``_(xx)=4
z``_(xy)=-1
z``_(yy)=2

A=z``_(xx)(M)=4
B=z``_(yy)(M)=2
C=z``_(xy)(M)=-1

Δ= AB - C^2=4*2-(-1)^2=7 > 0
точка M - точка экстремума.
Так как A=z``_(xx)(M)=4>0, то это точка [b]минимума.[/b]

z(-1;-2)=2+4-2-2-6-7= [b]-11[/b]

Это дифференциальный бином.
Подстановки Чебышева.
( см. приложение)
m=3;
n=2
p=-3/2

Второй случай
(m+1)/n=(3+1)/2=2 - целое.

знаменатель дроби p равен 2

Замена переменной:
1+2x^2=t^2 ⇒ x^2=(t^2-1)/2
d(x^2)=d((t^2-1)/2)
2xdx=tdt

∫ x^3*(1+2x^2)^(-3/2)dx= ∫ [b]x^2[/b](1+2x^2)^(-3/2) * x dx=

= ∫ [b]((t^2-1)/2)[/b]* t^(-3/2) * (dt/2)=

=(1/4) ∫ (t^3-t)*t^(-3)dt= (1/4) ∫ (1- t^(-2))dt=

=(1/4)t - (1/4)*(-1/t) + C=

= [b]sqrt(1+2x^2)/4 +1/(4 *sqrt(1+2x^2)) + C[/b]

P.S.
Метод замены переменной в интегралах основан на применении теоремы:
∫ f(x)dx= ∫ f( φ (t)) * φ `(t)dt
В интеграле слева- переменная х, справа - t.

Поэтому смешивать переменные под знаком интеграла не следует.
Это говорит о неумении применять замену переменной в интеграле.

Дифференциал, это не просто символ, это дифференциал функции
df(x)=f`(x)dx

Поэтому равенство
d(1+2x^2)=dt - это равенство двух дифференциалов, как и равенство
4xdx=dt

Поэтому равенства
[b]dx=dt/4x [/b]в решении быть не должно. Оно бессмысленно с точки зрения теории
дифференциального исчисления.
(прикреплено изображение)

a_(1)=6,2
a_(6)=a_(1)+5d=6,2+5*0,6=9,2

S_(6)=(a_(1)+a_(6))*6/2=(6,2+9,2)*3= [b]46,2[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения: (- ∞;+ ∞)

y`=4x^3+3x^2+2x+4

y`=0

4x^3+3x^2+2x+4=0

Уравнение имеет один корень, который не просто найти
между -2 и -1, ближе к -1

Функция y=x4+x3+x2+4x имеет
одну точку экстремума.
Это точка минимума
См. рис.
И проверьте условие, наверное, что-то не так
(прикреплено изображение)

5^(x)*8^((x-1)/x)=500;

ОДЗ: х ≠ 0

Логарифмируем по основанию 5
lоg_(5)(5^(x)*8^((x-1)/x))=lоg_(5)(125*4)

Логарифм произведения равен сумме логарифмов
lоg_(5)(5^(x)) + log_(5)*8^((x-1)/x))=lоg_(5)125+log_(5)4

x+((x-1)/x)log_(5)2^3=3+log_(5)2^2

(x-3) + ((3x-3)/x) - 2)log_(5)2=0

(x-3) +( (x-3)/x)*log_(2)5=0

(x-3)* (1+(1/x)*log_(2)5)=0

x-3=0 или 1+(1/x)log_(5)2=0

[b]x=3 или x=-log_(5)2[/b]

О т в е т. [b]3; log_(5)(1/2)[/b]
P.S.

Разложение левой и правой части на множители:
5^(x)*2^(3-(3/x))=5^3*2^2
позволяет только подобрать корень.
Надо доказать, что других корней нет

А метода решения уравнений
если a*b=c*d, то a=b, c=d [b]не существует[/b]

Ответ выбран лучшим

cosx*cos3x=(1/2)cos(x+3x)+(1/2)cos(x-3x)=(1/2)cos4x+(1/2)cos(-2x)=
=(1/2)cos4x+(1/2)cos2x

sin2x*cosx*cos3x= (1/2)sin2x*cos4x+(1/2)sin2x*cos2x

формула sinα *cosβ=(1/2)sin(α+β)+(1/2)sin(α - β)

[b]sin2x*cosx*cos3x[/b]= (1/2)*sin2x*cos4x+(1/2)sin2x*cos2x=

(1/2)*(1/2)*sin(2x+4x)+ (1/2)*(1/2)*sin(2x-4x)+(1/4)2*sin2x*cos2x=

=(1/4)*sin6x-(1/4)*sin2x+(1/4)*sin4x

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ sin2x*cosx*cos3x dx= ∫ (1/4)*sin6xdx- ∫(1/4)*sin2xdx + ∫(1/4)*sin4xdx=

= (1/24)*cos6x - (1/8)*cos2x +(1/16)*(-cos4x) + C=

= [b] (1/24)*cos6x - (1/8)*cos2x -(1/16)*cos4x + C[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

(x-1)^(1/3)=(x-1)^(x)
1 в любой степени равна 1
значит
x-1=1
x=2
y=(x-1)^(x) - показательно-степенная функция.
Как показательная, она определена при всех
x-1 >0
Поэтому корень х=1/3 не удовлетворяет условию x-1>0

при х=1 равенство верно
0^(1/3)=0^(1)
О т в е т. [b]1;2[/b]

Ответ выбран лучшим

С=2π*R - длина окружности

(3/4)С=(3/4)*2π*R

[b]R=15/π[/b]

(3/4)C= [b]22,5[/b]

О т в е т. 22,5

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x≥ 0

4^(x)-3*2^(x)*2^(sqrt(x))-4^(sqrt(x))*4=0
u=2^(x)>0 при любом х
v=2^(sqrt(x))>0 при любом х

Уравнение принимает вид:
u^2-3u*v-v^2=0 - однородное уравнение второго порядка.
(см похожее в тригонометрии)

Делим на v^2

t=u/v

t^2-3t-4=0
D=9+16=25
t_(1)=-1; t_(2)=4

u/v=-1 или u/v=4

Обратный переход

2^(x)/2^(sqrt(x)) = - 1 - уравнение не имеет корней, 2^(x)>0; 2^(sqrt(x))>0

2^(x)/2^(sqrt(x)) = 4

2^(x)=2^(sqrt(x)+2)

x=sqrt(x)+2

x- sqrt(x)-2=0
D=1+8=9
sqrt(x)=(1-3)/2 или sqrt(x)=(1+3)/2

sqrt(x)=-1 - уравнение не имеет корней или sqrt(x)=2 ⇒ x=4 - удовлетворяет ОДЗ

О т в е т. [b]4[/b]

Ответ выбран лучшим

Так как
sqrt(5-sqrt(24))*sqrt(5+sqrt(24))=1 - значит основания взаимно обратны.
Обозначим
(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=t
тогда
(sqrt(5-sqrt(24)))^(x)=1/t
Получили уравнение
t+(1/t)=10
или
t^2-10t+1=0
D=100-4=96
t_(1)=(10-2sqrt(24))/2=5-sqrt(24) или t_(2)=5+sqrt(24)

Обратный переход
(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=5-sqrt(24)
(5+sqrt(24))^(x/2)=(5+sqrt(24))^(-1)
х/2=-1
х=-2

или

(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=5+sqrt(24)
(5+sqrt(24))^(x/2)=(5+sqrt(24))^(1)
х/2=1
х=2
О т в е т. [b]± 2[/b]

Ответ выбран лучшим

dz=f `_(x)dx+f `_(y)dy

f(x;y)=ln(x^2-y)
По формуле
(lnu)`=u`/(u)

f `_(x)=(x^2-y)`_(x)/(x^2-y)=2x/(x^2-y)
f `_(y)=(x^2-y)`_(y)/(x^2-y)=-1/(x^2-y)

О т в е т. dz=2xdx /(x^2-y) - dy/(x^2-y)
или

dx=(2xdx-dy)/(x^2-y)

a_(2)+a_(13)=15

По формуле общего члена
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

Тогда
a_(2)=a_(1)+d
a_(13)=a_(1)+12d

Тогда
(a_(1)+d)+(a_(1)+12d)=15
[b]2a_(1)+13d=15[/b]

S_(14)=(a_(1)+a_(14))*14/2
S_(14)= (a_(1)+a_(1)+13d)*7
S_(14)=( [b]2a_(1)+13d[/b])*7

S_(14)=15*7= [b]105[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
Если основания равны, то и площади оснований равны.

V_(призмы)=S*H
V_(пирамиды)=(1/3)*S*H

V_(пирамиды)=(1/3)V_(призмы)
или
V_(призмы)=3V_(пирамиды) - верно.

2.
V_(1-го шара)=(4/3)π*r^3
V_(2-го шара)=(4/3)π*R^3

По условию
V_(1-го шара):V_(2-го шара)=125:1000

(4/3)π*r^3:(4/3)π*R^3=125:1000

r^3:R^3=125:1000
r:R=5:10

S_(1-ой сферы)=4π*r^2
S_(2-ой сферы)=4π*R^2

S_(1-ой сферы): S_(2-ой cферы)=4π*r^2:4π*R^2=
=r^2:R^2=(r:R)^2=(5:10)^2=25:100

Пусть сторона призмы равна a, высотy обозначим H
Тогда сторона пирамиды равна 2a, высоту обозначим h.

Площадь равностороннего треугольника со стороной а вычисляется по формуле:
S=a^2sqrt(3)/4

Поэтому
V_(призмы)= (a^2sqrt(3)/4) *H
V_(пирамиды)=(1/3)*((2a)^2*sqrt(3)/4) * h

По условию
V_(призмы)= V_(пирамиды)

(a^2sqrt(3)/4) *H=(1/3)*((2a)^2*sqrt(3)/4) * h
Упрощаем
H=(4/3)h

H:h=4:3

О т в е т. [b] 4:3[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
2,4*(5/8)=1,5 cм -вторая сторона
2*1,5 см = 3 cм - третья сторона
Существует, так как выполняется неравенство треугольника

3< 1,5+2,4 - верно
2,4< 3+1,5 - верно
1,5 < 2,4 + 3 - верно

2.
Пусть c=3,2 cм
a:b=2:5 ⇒ a=(2/5)b

Р=a+b+c
11,6=(2/5)b+b+3,2
(7/5)b=8,4
b=6

a=(2/5)b=(2/5)*6=2,4

Треугольник не существует,
6 < 3,2+2,4 - неверно.
Неравенство треугольника не выполняется.

Второй вариант АНАЛОГИЧНО

Ответ выбран лучшим

1. Точка, у которой третья координата (апликата) равна 0
Это точка М
2. Точка, у которой первая координата (абсцисса) равна 0
Это точки N и L
3.Точка, у которой первая и вторая координаты равны 0
Это точка L
4.проекция точки на ось ОХ это основание перпендикуляра, который проведен из точки на ось ОХ.
(-1;0;0)
5.(-8;0;-2)

Ответ выбран лучшим

Проводим HK||CE
По теореме Фалеса
если АН=НС, то AK=KE

В треугольнике КВН
ЕM - средняя линия.
КЕ=ВЕ

Итак, АК=КЕ=ВЕ
АЕ:ЕВ=2:1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Первое условие задачи:
b_(1)+b_(2)+b_(3)=13;
по формуле общего члена геометрической прогрессии:
b_(n)=b_(1)*q^(n-1)

b_(1)+b_(1)*q+b_(1)*q^2=13⇒
[b]b_(1)*(1+q+q^2)=13[/b]

Второе условие задачи:
b_(3)> b_(1) на 8 ⇒ b_(1)q^2-b_(1)=8
[b]b_(1)*(q^2-1)=8[/b]

Решаем систему двух уравнений:
{b_(1)*(1+q+q^2)=13
{b_(1)*(q^2-1)=8

{b_(1)=13/(1+q+q^2)
{b_(1)=8/(q^2-1)

Приравниваем правые части:
13/(1+q+q^2)=8/(q^2-1)
Перемножаем крайние и средние члены пропорции:

13q^2-13=8+8q+8q^2

5q^2-8q-21=0
D=64-4*5*(-21)=64+420=484
q_(1)=(8-22)/10=-1,4 или q_(2)=(8+22)/10=3

О т в е т. [b]-1,4 или 3[/b]

Ответ выбран лучшим

1.
V=S_(осн.)*H=((a+b)*h/2)*H
В равнобедренной трапеции
a=12; b=4; с=5
проведем высоты из вершин верхнего основания на нижнее,
получим два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой 5 см и катетом (12-4)/2=4 см.
По теореме Пифагора
h^2=c^2-((a-b)/2)^2=5^2-4^2=9
h=3
V=((12+4)*3/2)*6= [b]144 см^3 [/b]

S(бок)=Р(осн.)*Н=(4+5+12+5)*6= [b]156 см^2[/b]

2.
В основании пирамиды равносторонний треугольник.
Площадь равностороннего треугольника со стороной [b]а[/b]:
S (Δ)= [b]a[/b]^2sqrt(3)/4

V=(1/3)*S_(осн.)*H=(1/3)(a^2sqrt(3)/4)*H= (1/3)*(6sqrt(2))^2*(sqrt(3)/4)*10 [b]=60 sqrt(3) см^3[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8.
M - середина АВ
тогда
x_(M)=(x_(A)+x_(B))/2 =( 2+0)/2=1
y_(M)=(y_(A)+y_(B))/2= (3+2)/2=3/2
z_(M)=(z_(A)+z_(B))/2=(2+4)/2)=3
[b]M(1;3/2;3)[/b]

М- середина АС
x_(M)=(x_(A)+x_(C))/2 =( 2+4)/2=3
y_(M)=(y_(A)+y_(C))/2= (3+1)/2=2
z_(M)=(z_(A)+z_(C))/2=(2+0)/2)=1
[b]M(3;2;1)[/b]
B(0;2;4) не является серединой АС

9.
Расстояние до пл. ХОУ равно |4|, координаты по оси z
Расстояние до пл. ХОZ равно |-3|, координаты по оси y
Расстояние до пл. YОZ равно |-2|, координаты по оси x

10. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Найдем координаты точки О, середины АС
x_(O)=(x_(A)+x_(C))/2 =( -4+4)/2=0
y_(O)=(y_(A)+y_(C))/2= (-3+0)/2=-3/2
z_(O)=(z_(A)+z_(C))/2=(8-10)/2)=-1
[b]О(0;-3/2;-1)[/b]

Зная, что точка О - середина BD, найдем координаты точки D
x_(O)=(x_(B)+x_(D))/2 ⇒ x_(D)=2x_(O)-x_(B)=2*0-(-2)=2;
y_(O)=(y_(B)+y_(D))/2 ⇒ y_(D)=2y_(O)-y_(B)=2*(-3/2)-(-2)=5;
z_(O)=(z_(B)+z_(D))/2 ⇒ z_(D)=2z_(O)-z_(B)=2*(-1)-6=-8;
[b]D(2;5;-8)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Расстояние до пл. ХОУ равно |4|, координаты по оси z
Расстояние до пл. ХОZ равно |-3|, координаты по оси y
Расстояние до пл. YОZ равно |-2|, координаты по оси x

2. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Найдем координаты точки О, середины АС
x_(O)=(x_(A)+x_(C))/2 =( 3+3)/2=3
y_(O)=(y_(A)+y_(C))/2= (1+5)/2=3
z_(O)=(z_(A)+z_(C))/2=(8-8)/2)=0
[b]О(3;3;0)[/b]

Зная, что точка О - середина BD, найдем координаты точки D
x_(O)=(x_(B)+x_(D))/2 ⇒ x_(D)=2x_(O)-x_(B)=2*3-4=2;
y_(O)=(y_(B)+y_(D))/2 ⇒ y_(D)=2y_(O)-y_(B)=2*3-7=-1;
z_(O)=(z_(B)+z_(D))/2 ⇒ z_(D)=2z_(O)-z_(B)=2*0-1=-1;
[b]D(2;-1;-1)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
(x-1)^(1/3)=(x-1)^(x)
при х=0
0^(1/3)=0^(1) - верно

1 в любой степени равна 1
значит
x-1=1
x=2
y=(x-1)^(x) - показательно-степенная функция.
Как показательная, она определена при всех
x-1 >0
Поэтому корень х=1/3 не удовлетворяет условию x-1>0
О т в е т. [b]1; 2[/b]

2.

Так как
sqrt(5-sqrt(24))*sqrt(5+sqrt(24))=1 - значит основания взаимно обратны.
Обозначим
(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=t
тогда
(sqrt(5-sqrt(24)))^(x)=1/t
Получили уравнение
t+(1/t)=10
или
t^2-10t+1=0
D=100-4=96
t_(1)=(10-2sqrt(24))/2=5-sqrt(24) или t_(2)=5+sqrt(24)

Обратный переход
(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=5-sqrt(24)
(5+sqrt(24))^(x/2)=(5+sqrt(24))^(-1)
х/2=-1
х=-2

или

(sqrt(5+sqrt(24)))^(x)=5+sqrt(24)
(5+sqrt(24))^(x/2)=(5+sqrt(24))^(1)
х/2=1
х=2
О т в е т. [b]± 2[/b]

Ответ выбран лучшим

Делим уравнение на х
y`=(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)
Замена
y/x=u

y`=u+sqrt(1+u^2)

y=xu
y`=(xu)`=x`*u+x*u`=u+x*u` ( x`=1, х - независимая переменная)

u+x*u`=u+sqrt(1+u^2)
x*u`=sqrt(1+u^2)
u`=du/dx
xdu/dx=sqrt(1+u^2)
xdu=sqrt(1+u^2)dx- уравнение с разделяющимися переменными
du/sqrt(1+u^2)=dx/x
Интегрируем
∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x|+lnC
u+sqrt(1+u^2)=Cx
Обратная замена
[b](y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx [/b]- общее решение

y(1)=0
0+sqrt(1+0)=C*1
С=1
[b](y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=x[/b] - частное решение

1 a)
Возводим в куб
x-1=(-3)^3
x=-27+1
x=-26

в) возводим в квадрат
x-1=3^2
x=10

б) особое уравнение.
Если все остальные уравнения - уравнения [b]с радикалами[/b], то это уравнение содержит
переменную в основании степени, а показатель степени дробный (1/3)
Уравнение не имеет корней, так как [b]степенная функция y=x^(α) [/b] определяется на (0;+ ∞) со значениями (0;+ ∞) ( см. приложение 2) и не может принимать значение (-3)

г) то же самое, только арифметический квадратный корень определен на [0;+ ∞) и принимает неотрицательные значения.

2.
а) Возводим в квадрат при условии (1-2x) ≥0
( см. 1г)
x^2-4=(1-2x)^2
x^2-4=1-4x+4x^2
3x^2-4x+5=0
D=16-4*3*5 < 0
Уравнение не имеет корней

б)Возводим в квадрат при условии (4-x) ≥ 0
( см. 1г)
x+2=(4-x)^2
x+2=16-8x+x^2
x^2-9x+14=0
D=(-9)^2-4*14=81-56=25
x_(1)=(9-5)/2=2; x_(2)=(9+5)/2=7
Но x_(2)=7 не удовлетворяет условию (4-x) ≥ 0
Поэтому 7 не является корнем данного уравнения.
Это посторонний корень, который появился после возведения в квадрат.
О т в е т. 2

3a)Возводим в квадрат
3+ sqrt(x-3)=9
sqrt(x-3)=6
Возводим в квадрат
x-3=36
x=39
Проверка
sqrt(3+sqrt(39-3))=3
sqrt(3+sqrt(36))=3
sqrt(3+6)=3
sqrt(9)=3 - верно
О т в е т. 39
б) Квадратное уравнение относительно корня четвертой степени из х
Обозначим через t
[b]t≥0[/b]
cм. пункт 1

тогда sqrt(x)=t^2
t^2-t-12=0
D=1+48=49
x_(1)=(1-7)/2=-3; x_(2)=(1+7)/2=4
x_(1)=3 посторонний корень.
так как корень четвертой ( четной степени) не принимает отрицательных значений.

Обратный переход
корень четвертой степени из х = 4
Возводим в четвертую степень
x=4^4
x=256
О т в е т. 256

в) Квадратное уравнение относительно
sqrt(x^2+5)
Замена
sqrt(x^2+5)=t
[b]t≥0[/b]
cм. пункт 1
тогда
x^2+5=t^2
t^2+t=12
t^2+t-12=0
D=1+48=49
x_(1)=(-1-7)/2=-4; x_(2)=(-1+7)/2=3
x_(1)=-4 посторонний корень.
так как корень квадратный не принимает отрицательных значений.

Обратный переход
sqrt(x^2+5)=3
Возводим в квадрат
x^2+5=9
x^2=4
x= ±
О т в е т. ± 2

См. приложение (3)

Неравенства - это особый случай, выставляйте их отдельным вопросом, а пока разберитесь с уравнениями.
(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

См. рисунок.
Осталось разобраться какой из углов дан.

Если ∠ ANK=30 градусов, то решение :
Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
AK=(1/2)*5=2,5
О т в е т. 2,5

Если ∠ NAK=30 градусов, то решение :
cos∠ NAK=AK/AN
AK=AN*cos∠ NAK=5sqrt(3)/2
О т в е т. 5sqrt(3)/2 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Расстояние от точки Q до прямой XZ - это перпендикуляр QM.
Так как Δ XYZ - тупоугольный, ∠ XZY=120 градусов, то
высота из точки У на сторону XZ будет проведена на продолжение стороны XZ.
YM ⊥ XZ
УM- проекция QM, так как QM ⊥ пл. XYZ
По теореме о трех перпендикулярах
QM ⊥XZ.
По теореме Пифагора из прямоугольного ΔQMY:
QM^2=QY^2+YM^2=10^2+20^2=500
[b]QM=10sqrt(5)[/b]

2)
Расстояние от точки Y до плоскости XQZ - длина перпендикуляра YК.
Проекция YК на плоскость XYZ лежит на YM.
YM ⊥ XZ значит и наклонная YK ⊥ XZ по теореме о трех перпендикулярах
YK ⊥ QM
отрезок YK ⊥ двум пересекающимся прямым YM и QM плоскости, значит перпендикулярен всей плоскости b и его длина и есть расстояние от точки Y до плоскости XQZ или что то же самое XQM

YK - высота прямоугольного треугольника QMY, проведенная из прямого угла QYZ на гипотенузу QM

S_( Δ QMY)=(1/2)*ZY*QY ( половина произведения катетов)
S_( Δ QMY)=(1/2)*QM*KY ( половина произведения основания на высоту)

(1/2)*ZY*QY=(1/2)*QM*KY
KY=(ZY*QY)/QM=20*10/10sqrt(5)= [b]4sqrt(5)[/b] (прикреплено изображение)

dz=f `_(x)dx+f `_(y)dy

f(x;y)=sqrt(x^2+y^2)
По формуле
(sqrt(u))`=u`/(2*sqrt(u))

f `_(x)=(x^2+y^2)`_(x)/(2*sqrt(x^2+y^2))=2x/(2*sqrt(x^2+y^2))=x/sqrt(x^2+y^2)
f `_(y)=(x^2+y^2)`_(y)/(2*sqrt(x^2+y^2))=2y/(2*sqrt(x^2+y^2))=y/sqrt(x^2+y^2)

О т в е т. dz=xdx /sqrt(x^2+y^2)+ydy/sqrt(x^2+y^2)
или

dx=(xdx+ydy)/sqrt(x^2+y^2)

Ответ выбран лучшим

Во- первых, логарифм на - ∞ не существует.
Значит в условии задачи → + ∞
Во- вторых никакой проблемы нет
x→ + ∞
ln x → + ∞
(+ ∞ *+ ∞)= + ∞

Проблема если есть дробь или степень.
Что у Вас в условии?
Приложите фото.

Вариант 3
Задача 1.
Решаем уравнение:
x*(5x-19)*(9x+27)=0

x=0 или 5х-19=0 или 9х+27=0
Корни уравнения:
х=0 или х=19/5=3,8 или х=-3
Сторона треугольника не может быть отрицательной или нулем, поэтому остается второй корень
х=3,8
Третья сторона по условию:
равна х/2=1,9

Чтобы треугольник существовал, необходимо выполнение неравенства треугольника:
каждая сторона должна быть меньше суммы двух других
( ломаная из двух звеньев больше расстояния между начальной и конечной точками)

1,9 < 3,8+5 - верно
3,8 < 1,9+5 - верно
5< 1,9+3,8 - верно

См. рис.

Задача 2.
5х-11+3х=6х-6
2х=5
х_(1)=2,5 - корень первого уравнения

-4x=-50
x_(2)=12,5 - корень второго уравнения

х_(2):х_(1)=12,5:2,5=5

a:b=5
a=5b
c=6,4
Р=a+b+c
5b+b+6,4=23,2
6b=16,8
b=2,8
a=5b=14
Треугольник не существует, так как не выполняется неравенство треугольника:
14 < 2,8+6,4 - неверно
Рисунок к задаче 1. (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные:
ydy=xdx
Интегрируем
∫ ydy=∫ xdx

y^2/2=x^2/2 + c
Умножаем на 2
y^2=x^2+2c
2c=C
[b]y^2=x^2+C - общее решение[/b]

При х_(о)=-1; у_(о)=0
0^2=(-1)^2+C
C=-1
[b]y^2=x^2-1 - частное решение.[/b]

Область определения (- ∞;+ ∞)

y`=3x^2-12x+9
y`=0
x^2-4x+3=0
x_(1)=1; x_(2)=3
Знак производной:
_+__ (1) _-__ (3) _+__
Функция возрастает на (- ∞;1) и на (3;+ ∞)
Функция убывает на (1;3)

y``=6x-12
6x-12=0
х=2 - точка перегиба, вторая производная меняет знак
y`` < 0 на (- ∞;2)
Функция выпукла вверх на (- ∞;2)
y`` > 0 на (2;+ ∞)
Функция выпукла вниз на (2;+ ∞) (прикреплено изображение)

y-f(x_(o))=f`(x_(o))* (x-x_(o)) - уравнение касательной
y-f(x_(o))=(-1/f`(x_(o))) *(x-x_(o)) - уравнение нормали

f(x_(o))=f(-2)=(-2)^2+6*(-2)+8=0

f`(x)=2x+6
f`(x_(o))=f`(-2)=2*(-2)+6=2

О т в е т.
уравнение касательной
y-0=2*(x-(-2))
[b]y=2x+4 [/b]
уравнение нормали
y-0=(-1/2)*(x-(-2))
[b]y=(-1/2)x-1[/b]

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

f`(x)=((x^2+2x)`*(x-1)-(x^2+2x)*(x-1)`)/(x-1)^2=

=((2x+2)*(x-1)-(x^2+2x)*1)/(x-1)^2= (2x^2+2x-2x-2-x^2-2x)/(x-1)^2=

= [b](x^2-2x-2)/(x-1)^2[/b]
f`(x)=0
x^2-2x-2=0
D=4+4=8
x_(1)= [b]1-sqrt(3)[/b];x_(2)= [b]1+sqrt(3)[/b]

3.
∂z/∂x=2x+y+1
∂z/∂y=2y+x-1

{∂z/∂x=0
{∂z/∂y=0

{2x+y+1=0 ( умножаем на 2)
{2y+x-1=0

{4x+2y+2=0
{2y+x-1=0

Вычитаем из первого второе
3х+3=0
х=-1
y=1-2x=1-2*(-1)=3
M (-1;3) - стационарная точка

∂^2z/∂x^2=2
∂^2z/∂x∂y=1
∂^2z/∂y^2=2

A=∂^2z/∂x^2 (M) =2 > 0
B=∂^2z/∂x∂y (M) =2
C=∂^2z/∂y^2 (M)=1

Δ = AB-C^2=4-1=3 > 0; есть экстремум в точке (-1;3)
минимум, так как A=∂^2z/∂x^2 (M) =2 > 0

z(-1;3)=1+9-3-1-3=3

4.
∂u/∂MP=(∂u/∂x)(M)*cos α + (∂u/∂y)(M)*cos β +((∂u/∂z)(M)*cos γ

∂u/∂x=3z-2y^2z-4xyz^2-2

∂u/∂y=-4xyz -2x^2z^2+z

∂u/∂z=3x-2xy^2-4x^2yz+y

A(0;2;-1)

(∂u/∂x) (A)= -3-2*2^2*(-1)-4*0-2=3

(∂u/∂y) (A) =-4*0-2*0+(-1)=-1

(∂u/∂z) (A) =3*0-2*0-4*0+2=2

vector{AB}=(0-0;-1-2;-3-(-1))=(0;-3;-2)

|vector{AB}|=sqrt(0^2+ (-3)^2+(-2)^2)=sqrt(13)

Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =0
cos β =-3/sqrt(13)
cos γ =-2/sqrt(13)

О т в е т.
∂u/∂(vector_{AB})(A)=(∂u/∂x) (A)*cos α +(∂u/∂y) (A)*cos β +(∂u/∂z) (A)*cos γ =

=3*0+(-1)*(-3/sqrt(13))+2*(-2/sqrt(13)) = -1/sqrt(13)

5.
Вращается треугольник АВС
y^2=x^3 ⇒ при y=1
x=1
A(1;1)
y^2=x^3 ⇒ при y=4
x^3=16
x=∛16
B( ∛16;4)

V_(оси Ох)=π ∫^( ∛16) _(1)x^3dx - V_(цилиндра)=

=π*(x^4/4)|^( ∛16) _(1)-π*r^2*h ( h=∛16 -1; r= 1)=

= [b](π/4)*((∛16)^4-1)-π*1^2*(∛16 -1)[/b]
можно упростить

(π/4)*((∛16)^2-1)*(∛16)^2-1)-π*1^2*(∛16 -1)=

=( [b]π[/b]/4)* [b]((∛16)-1)[/b]*((∛16)-1)*(∛16)^2-1)- [b]π*(∛16 -1)[/b]=

= [b]π*(∛16 -1)*(((∛16)+1)*(∛16)^2-1)/4 - 1)[/b] (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
АС по теореме Пифагора равна 5 ( вообще-то АВС - египетский треугольник)
ΔАСС_(1) - прямоугольный с острым углом 45^(o), значит он равнобедренный.
АС=СС_(1)=5
V=abc=3*4*5=60 cм^3
О т в е т. 2)
2.
V=S(осн.)*H
H=V/S(осн.)
В основании равносторонний треугольник со стороной a=4
Его площадь
S=a^2sqrt(3)/4=4sqrt(3),
H=64sqrt(3)/(4sqrt(3))=16
О т в е т. 3)
3.
V(цилиндра)=π*r^2*H
CD=H
AD=2r
H=2r
r=H/2

V(цилиндра)=π*(H/2)^2*H
16π=π*(H/2)^2*H
H^3=64
H=4
О т в е т. 4)

A.4
В основании пирамиды квадрат со стороной 6
АС=BD=6sqrt(2) - диагонали квадрата
АО=ОС=3sqrt(3)
∠SAO=30 градусов
Из прямоугольного треугольника SAO
SO=AO*tg30 градусов= 3sqrt(2) * (sqrt(3))/3=sqrt(6)
H=sqrt(6)
V_(пирамиды)=(1/3)* S_(осн.)*Н=(1/3)*6^2*sqrt(6)=12sqrt(6)
О т в е т. 3)

А.5
V_(цилиндра)=S_(осн.)*H
S_(осн.)=πR^2

πR^2=144π
R^2=144

H^2=L^2-R^2=13^2-12^2=25
Н=5

V_(цилиндра)=144π*5 = 720 cм^3
О т в е т. 3)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.2
Область определения
(- ∞ :+ ∞ )
y`=x^2+(x/3)-6
y`=0
x^2+(x/3)-6=0
3x^2+x-18=0
D=1-4*3*(-18)=217
x_(1)=(-1-sqrt(217))/6 или х_(2)=(-1+sqrt(217))/6

y`=x^2+(x/3)-6 - квадратичная функция, график парабола, ветви вверх.
отрицательна между x_(1) и х_(1)
Значит, на ((-1-sqrt(217))/6 ;(-1+sqrt(217))/6) функция убывает,
на (- ∞ ; (-1-sqrt(217))/6 ) и на ((-1+sqrt(217))/6; + ∞ ) функция возрастает
x=(-1-sqrt(217))/6 - точка максимума
х=(-1+sqrt(217))/6 - точка минимума

y``=2x+ (1/3)
y``=0
2x+(1/3)=0
2x=-1/3
x=-1/6

y`` < 0 на (- ∞;-1/6)
функция выпукла вверх
y`` >0 на (-1/6;+ ∞)
функция выпукла вниз
x=-1/6 - точка перегиба.
График см. на рис.

3.2
Область определения
(- ∞ ;-1)U(-1;+ ∞ )
x=-1 - вертикальная асимптота
так как
lim_(x→-1-0)f(x)= -∞
lim_(x→-1+0)f(x)= +∞

Горизонтальной асимптоты нет
lim_(x→+∞)f(x)=+∞
lim_(x→-∞)f(x)=-∞

Наклонная асимптота:
k=lim_(x→∞)f(x)/x=1

b=lim_(x→∞)(f(x)-x)=-8

y=x-8 - наклонная асимптота

y`=((x^2-7x+1)`*(x+1)-(x^2-7x+1)*(x+1)`)/(x+1)^2

y`=((2x-7)*(x+1)-x^2+7x-1)/(x+1)^2

y`=(2x^2-7x+2x-7-x^2+7x-1)/(x+1)^2

y`=(x^2+2x-8)/(x+1)^2

y`=0

x^2+2x-8=0

D=2-4*(-8)=36

x_(1)=(-2-6)/2=-4 или х_(2)=(-2+6)/2=2

знак y` зависит от знака числителя, знаменатель в квадрате и значит положителен)
в числителе производной квадратичная функция, график парабола, ветви вверх.
отрицательна между (-4) и 2

Значит, на (-4 ; -1)и на (-1;2) функция убывает,
на (- ∞ ; -4) и на (2/6; + ∞ ) функция возрастает
x=-4 - точка максимума
х=2 - точка минимума

y``=(2x+2)*(x+1)^2-2(x+1)*(x^2+2x-8)/(х+1)^4

y``=(x+1)((2x+2)*(x+1)-2x^2-4x+16)/(x+1)^4

y``=18/(x+1)^3

y``<0 на (- ∞; -1)
кривая выпукла вверх
y``<0 на (-1;+ ∞)
кривая выпукла вниз
Точек перегиба нет. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=((x+2)^2*(x+5)+2)`=((x+2)^2)`*(x+5)+(x+2)^2*(x+5)`+2`=
=2*(x+2)*(x+5)+(x+2)^2*1+0=(x+2)*(2x+10+x+2)=(x+2)(3x+12)
y`=0
x=-2 или x=-4
оба значения принадлежат отрезку [-5;-1/2]
Находим знак производной.
y`=(x+2)(3x+12) - квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вверх, расположена ниже оси Ох на (-4;-2)
Значит,
знак f`(x):
[-5] _+__ (-4) ___-__ (-2)__+__ [-1/2]
х=-2 - точка минимума

x=-4 - точка максимума.

Находим значение в этой точке и в правой концевой точке отрезка и выбираем наибольшее.

y(-4)=(-4+2)^2*(-2+5)+2=4*3+2=14
y(-1/2)=((-1/2)+2)^2*((-1/2)+5)+2=(9/4)*(9/2)+2=(81/8)+2 =10 целых 1/8
О т в е т. 14

13.
2sinx*cosx=sin2x

Разложим левую часть на множители способом группировки
(8sinx*cos^3x-2sin2x)-(2cos^2x-1)=0
(4*sin2x*cos^2x-2sin2x)-(2cos^2x-1)=0
2sin2x*(2cos^2x-1)-(2cos^2x-1)=0
(2cos^2x-1)*(2sin2x-1)=0
2cos^2x-1=0 или 2sin2x-1=0
cos^2x=1/2
cosx=-sqrt(2)/2 или сosx=sqrt(2)/2 или sin2x=1/2

[b]x= ± (3π/4)+2πn или x= ±( π/4)+2πm или x=(-1)^(k)(π/12)+(π/2)k,
n, m, k ∈ Z[/b]

Cм. приложение.

Указанному отрезку принадлежат корни
x=-5π/4
x=-11π/12
x=-3π/4

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Не выделяю целую часть, как сказано в условии задачи, а привожу дроби к общему знаменателю: (прикреплено изображение)

1.
ОДЗ:
x^2+0,1x≠ 0
0,2x^2+0,3x≠ 0
ОДЗ можно не считать,
после того как найдены корни, просто подставить их в неравенства ОДЗ

Решение.
x+0,4=0
[b]x= - 0,4[/b]

Дроби равны, числители равны, значит равны и знаменатели:
x^2+0,1x=0,2x^2+0,3x
0,8x^2-0,2x=0
0,2x(4x-1)=0
x=0 или 4x-1=0
x=0 или x=0,25
x=0 не является корнем уравнения, так как противоречит ОДЗ

О т в е т. [b]-0,4 +0,25=- 0,15[/b]

2.
ОДЗ:
x-1≠ 0
x+1≠ 0

Переносим все в одну сторону, меняем знак перед последней дробью и в знаменателе:
3/(х-1) - 5/(х+1) - 8 + 13/(х^2-1) =0

Приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем к 0 числитель:
3(x+1)-5(x-1)-8(x^2-1)+13=0

3х+3-5х+5-8x^2+8+13=0
-8x^2-2x+29=0
8x^2+2x-29=0
D=2^2-4*8*(-29)=4+32*29=932 > 0
Значит уравнение имеет два корня и они не равны ±1
По теореме Виета
x_(1)*x_(2)=- 29/8

О т в е т. [b] - 29/8[/b]

3.
Возводим в квадрат
0,5/(2х-4)=1/64
Пропорция
2х-4=0,5*64
2х-4=32
2х=36
х=18
Проверка:
sqrt(0,5/(2*18-4))=sqrt(1/64)=1/8
1/8=1/8 - верно
О т в е т. [b]18[/b]

Ответ выбран лучшим

Задачи разные:
в первой в условии сказано: половину времени
во второй: первую половину пути
Решение задачи 1
Пусть t час - все время, тогда
80*(t/2)+100*(t/2)=40t+50t=90t км весь путь
S=90t км
[b]v_(средняя)=S/t[/b]=90t/t=90 км в час

во второй
Пусть весь путь S
(S/2): 40 час = S/80 час - время, затраченное на первую половину.
(S/2): 60 час = S/120 час - время, затраченное на вторую половину.
S/80 + S/120 час -время, затраченное на весь путь
t=S/80 + S/120
[b] v_(средняя)=S/t[/b]=S/ (S/80 + S/120)= S/(5S/240)=240/5=48 км в час

Общая формула v_(средняя)=S/t
Все остальное - разное

Ответ выбран лучшим

S_(круга)=πR^2

πR^2=25π

R^2=25

R=5

C_(окружности)=2πR=2π*5= [b]10π[/b]

Ответ выбран лучшим

AB=BC=CD=AD=a=2r

30=2r
r=15

S_(фигуры)=2S_(полукругов)+S_(квадрата)

=S_(круга)+S_(квадрата)=

=π*(15)^2+30^2=3*225+900= (прикреплено изображение)

Не нравится слово "вписаны"
Окружность вписана в квадрата, значит касается всех сторон квадрата, а здесь нет этого

Сторона квадрата
a=4r=4*5=20 cм

S=20*20= [b]400 кв. см[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

R=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)

Дуга АВ - составляет 4-ую часть окружности радиуса ОА=ОВ=ОС=ОD=R=sqrt(2)

Всего таких дуг на рисунке 6.

Р=6*(1/4) С=(3/2)*2π*R=3πsqrt(2) (прикреплено изображение)

2.
На свойства логарифмов.
Сумму логарифмов можно заменить логарифмом произведения.
Множитель перед логарифмом убрать в показатель степени числа под логарифмом.

log_(a)b+log_(a)c=log_(a)bc

k*log_(a)b=log_(a)b^(k)

a>0; b>0; с>0; a ≠ 1

(1/2)lg3+lg5-(1/3)lg4=lg(3^(1/2))+lg5+lg4^(-1/3)=

=lgsqrt(3)+lg5+lg(1/∛4)=lg(5*sqrt(3)/∛4)

lgx=lg(5*sqrt(3)/∛4)

Логарифмическая функция с основанием 10 монотонно возрастает.
Каждое свое значение принимает ровно в одной точке
Если значения функции равны, то и аргументы равны.

x=5*sqrt(3)/∛4

4б)
ОДЗ:
(x-5)/(x-4) > 0
1=log_(2)2
Поэтому получаем неравенство:

log_(2) (x-5)/(x-4) < log_(2)2
Логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает.

Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(x-5)/(x-4) < 2;

Система:
{(x-5)/(x-4) > 0
{(x-5)/(x-4) < 2 ⇒ (x-5-2x+8)/(x-4) < 0 ⇒ (x-3)/(x-4) >0

если x-4>0, то (х-5)>0 ; (x-3) > 0 больше большего
ответ (5;+ ∞)

если (x-4)<0 то (х-5)<0 ; (x-3) < 0
меньше меньшего
ответ (- ∞; 3)

(- ∞;3) U (5;+ ∞ )- о т в е т.

Ответ выбран лучшим

бедные - 10%
средние - 80%
богатые - (100%-10%-80%)=10%

Децильный коэффициент равен 8
это означает, что доля богатых в общем доходе в 8 раз превышает превышает долю бедных
8*4%=32% - доля богатых

100%-4%-32%=64% - доля средне имущих граждан.

(прикреплено изображение)

2.
Область определения функции
D(y)=(- ∞;-1)U(-1;+ ∞ )
y`=((x^2-3x+2)`*(x+1)-(x+1)`*(x^2-3x+2))/(x+1)^2=

=((2x-3)*(x+1) - 1*(x^2-3x+2))/(x+1)^2=

=(2x^2-3x+2x -3 -x^2+3x-2)/(x+1)^2=

=(x^2+2x-5)/(x+1)^2

y`=0

x^2+2x-5=0
D=4+20=24
x_(1)(-2-2sqrt(6))/2=-1-sqrt(6) ; x_(2)=-1+sqrt(6)

_-__ (-1-sqrt(6)) ___+___ (0) ____-____ (-1+sqrt(6)) ______+___

функция убывает на (- ∞; -1-sqrt(6) ) и на (0;-1+sqrt(6) )
функция возрастает на ( -1-sqrt(6);0) и на (-1+sqrt(6);+ ∞)

x= -1-sqrt(6) - точка минимума

х= -1+sqrt(6) ) - точка максимума

x=-1 - вертикальная асимптота.

lim_(x→-1)y= ∞

Горизонтальных асимптот и наклонных нет.

График см. рис.

3.
y`=4x^3-4x
y``=12x^2-4

y``=0
12x^2-4=0

x= ± sqrt(3)/3 - точки перегиба, вторая производная при переходе через эти точки меняет знак.

знак y`` это знак параболы g(x)=12x^2-4, которая на (-sqrt(3)/3;sqrt(3)/3) расположена ниже оси Ох, т.е отрицательна

_____+____ (-sqrt(3)/3) ____- ____ (sqrt(3)/3) _____+___

функция выпукла вниз на (- ∞ ;-sqrt(3)/3) и на (sqrt(3)/3;+ ∞ )
функция выпукла вверх на (-sqrt(3)/3; sqrt(3)/3)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Пусть R- радиус шара, тогда
(см. рис.)
r^2_(цилиндра)=R^2-(R/2)^2=3R^2/4
r_(цилиндра)=R*sqrt(3)/2

V_(шара)=(4/3)πR^3
V_(цилиндра)=πкr^2*H=π*(3R^2/4)*R

V_(цилиндра):V_(шара)=9:16

2.
а=BC=4
b=AB=CD=C_(1)D_(1)=3
c=AA_(1)=5

V(прямоугольного параллелепипеда)=a*b*c=4*3*5=60 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Замена перменной
u=ctgx
du=(ctgx)`dx
du=-dx/sin^2x

dx/sin^2x=-du

∫ dx/(sin^2xsqrt(ctg^2x-25)= ∫ (-du)/sqrt(u^2-25)=

cм. формулу 1 в приложении

=-ln|u+sqrt(u^2-25+C=

=-ln|ctgx+sqrt(ctg^2x-25)|+C

2.
Замена переменной
sin2x=u
du=(sin2x)`dx
du=cos2x*(2x)`dx
du=2cos2xdx
cos2xdx=du/2

∫ (sin2x)^(3/5)cos2xdx= ∫ u^(3/5)*(du/2)=(1/2) ∫ u^(3/5)du=

=см. формулу 2 в приложении=

=(1/2)u^((3/5)+1)/((3/5)+1)+C=(1/2)*u^(8/5)/(8/5)+C=

=(1/2)*(5/8)*(sin2x)^(8/5)+C=

=(5/16)*sin2x*(sin2x)^(3/5) + C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой.
См. рис.
Из прямоугольного треугольника
tg60^(o)=18/H

H=18/tg60^(o)=18/sqrt(3)=18sqrt(3)/3= [b]6sqrt(3) [/b] (прикреплено изображение)

α - плоскость BDD_(1)B_(1)
AC⊥α, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым
BD и BB_(1)

АС ⊥ BD как диагонали квадрата;

BB_(1) ⊥ пл. АВСD ⇒ BB_(1) ⊥ пл. АС

Проводим A_(1)B || CD_(1)

β - это пл. A_(1)BCD_(1)

пл. α и пл. β пересекаются по прямой BD_(1).

Чтобы найти линейный угол двугранного угла между плоскостями, надо в каждой плоскости провести перпендикуляры к линии пересечения.

АК ⊥ BD_(1)
DM ⊥ BD_(1)
KF||DM

∠ AKF - искомый (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1-sin^2x=cos^2x
sqrt(cos^2x)=|cosx|

3*2^(cosx+3|cosx|)+11*2^(2cosx)-34=0

Раскрываем знак модуля:
[b](1)[/b]
cosx ≥ 0 ⇒ |cosx|=cosx

cosx+3|cosx|=cosx+3cosx=4cosx

Получаем квадратное уравнение относительно 2^(2cosx)
Замена переменной:
2^(2cosx)=t;
t>0

3*t^2+11t-34=0
D=121- 4*3*(-34)=529

t_(1)=(-11-23)/6=-17/3 или t_(1)=(-11+23)/6=2

t_(1) < 0

Обратная замена
2^(2cosx)=2
2cosx=1
cosx=1/2

1/2 > 0
удовлетворяет условию [b](1)[/b] раскрытия модуля: cosx ≥ 0

x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z
[b]x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z[/b]

[b](2)[/b]
[b](1)[/b]cosx < 0 ⇒ |cosx|= -cosx

cosx+3|cosx|=cosx-3cosx=-2cosx

Получаем уравнение относительно 2^(2cosx)
Замена переменной:
2^(2cosx)=t;
t>0
2^(-2cosx)=1/t

3/(t)+11t-34=0

11t^2-34t+3=0

D=34^2- 4*11*3=1156-132=1024=32^2

t_(1)=(34-32)/22=1/11 или t_(1)=(34+32)/22=3

Оба корня положительны

Обратная замена
2^(2cosx)=1/11 или 2^(2cosx)=3

2cosx=log_(2)(1/11) или 2cosx=log_(2)3

cosx=(1/2)log_(2)(1/11) или cosx=(1/2)log_(2)3

log_(2)3 >1
(1/2)log_(2)3>0,5>0

не удовлетворяет условию [b](2)[/b] раскрытия модуля : cosx < 0

(1/2)log_(2)(1/11) < 0

log_(2)(1/11)= - log_(2)11

log_(2)11 >log_(2)8=3

- log_(2)11 < -3

(-1/2) log_(2)11 < -3/2

Уравнение
cosx=(1/2)log_(2)(1/11)

не имеет решений в силу ограниченности косинуса
|cosx| ≤ 1

О т в е т. ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

Отбор корней:

Указанному отрезку принадлежат корни:
(-π/3); (π/3); (-π/3)+2π=5π/3; (π/3)+2π=7π/3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]Тема. Углы между прямыми в пространстве. [/b]
1. Перпендикулярны, так как F_(1)H_(1) ⊥ E_(1)G_(1)
и
LN||F_(1)H_(1) , EG|| E_(1)G_(1)
Угол 90 градусов.

2. F_(1)T и FH пересекаются, так как лежат в одной плоскости.
∠ F_(1)АF= ∠ BHF
tg∠ BHF=BF/FH=(1/2)/(1*sqrt(2))=1/(2sqrt(2))
∠ F_(1)АF=∠ BHF=arctg(1/(2sqrt(2)))

3. Параллельны.
NT - средняя линия треугольника HH_(1)G
NT=(1/2)d
d- диагональ грани куба.
KF_(1)=(1/2)d
KF_(1)NT- параллелограмм, противоположные стороны
NT и KF_(1) равны и параллельны.
Значит F_(1)N|| KT
∠(F_(1)N, KT)=0^(o)

4. Cкрещиваются.
TN || G_(1)H
G_(1)H и EG - скрещиваются.

EG лежит в плоскости EFGH, G_(1)H пересекает плоскость EFGH
в точке Н, не принадлежащей первой прямой.

F_(1)E||G_(1)H

∠ F_(1)EG=60^(o) - один из углов равностороннего треугольника F_(1)EG стороны которого диагонали граней куба и равны sqrt(2)

5.
Пересекаются как диагонали параллелограмма KF_(1)NT ( доказательство см. в п.3)

(F_(1)N)^2=(F_(1)G_(1))^2+(G_(1)N)^2

(F_(1)N)^2=1^2+(1/2)^2=5/4

F_(1)N=sqrt(5)/2

[b]KT=F_(1)N=sqrt(5)/2[/b]

[b]TN=KF_(1)=sqrt(2)/2[/b]

(F_(1)T)^2=(F_(1)H)^2+HT^2=(sqrt(2))^2+(1/2)^2=2+(1/4)=9/4

[b]F_(1)T=3/2[/b]

По формуле, связывающей диагонали и стороны параллелограмма

d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a+b)

KN^2+F_(1)T^2=2*(KT^2+TN^2)

KN^2+(9/4)=2*((5/4)+(2/4))

KN=sqrt(5)/2

Зная две диагонали и две стороны параллелограмма можно найти угол между диагонали по теореме косинусов

cosφ=(9/16)+(5/16)-(2/4))/(2*sqrt(5)*3/16)=1/sqrt(5)

[b] φ=arccos(1/sqrt(5))[/b]

6.
LN и КН_(1) cкрещивающиеся.
LN лежит в пл. верхнего основания, КН_(1) пересекает пл. верхнего основания в точке Н_(1), не принадлежащей LN

Проводим
F_(1)H_(1) || LN

∠ KH_(1)F_(1) - угол между KH_(1) и H_(1)F_(1), а значит и между
KH_(1) и LN

Из прямоугольного треугольника KH_(1)F_(1):
tg ∠ KH_(1)F_(1) =KF_(1)/F_(1)H_(1)=(sqrt(2)/2)/sqrt(2)=1/2
∠ KH_(1)F_(1)=arctg(1/2).

[b]Очень много в одном вопросе. [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Рассмотрим g(x)=2sinx+cos^2x+1
Исследуем на максимум с помощью производной:
g`(x)=2cosx+2cosx*(-sinx)
g`(x)=0
2cosx+2cosx*(-sinx)=0

2cosx*(1-sinx)=0
cosx=0 или sinx =1
x=(π/2)+πn или x=(π/2)+2πk,k ∈ Z

При x=(π/2)+2πk,k ∈ Z функция принимает наибольшее значение
g((π/2)+2πk)=2*1+0^2+1=3

При a > 0
ag(x)=3a - наибольшее значение функции f(x)

Вопрос задачи, при каких значениях а это 3а меньше или равно 2

Составляем неравенство
3a ≤ 2 ⇒ [b]a ≤ 2/3[/b]

При a< 0

При x=(-π/2)+2πm,m∈ Z функция принимает наименьшее значение
g((-π/2)+2πk)=2*(-1)+0^2+1=-1
ag(x)=-a
Вопрос задачи, при каких значениях а это (-а) меньше или равно 2

Составляем неравенство

-a ≤ 2 ⇒ [b]a ≥ - 2[/b]
О т в е т. [-2;2/3]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
x=t^6
dx=6t^5dt
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

∫ ∛xdx/(x*(sqrt(x)+∛x)= ∫ t^2*6t^5dt/(t^6*(t^3+t^2)= ∫ 6dt/(t*(t+1))=

= ∫ 6dt/t - ∫ 6dt/(t+1)=6ln|t| - 6ln|t+1| + C=

=6ln|t/(t+1)|+C; где t=x^(1/6)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A∪B={1,3,5,a,b,d,e,4}

A∩B={3;b}

A ̅ ={2,4,c,d,e}

B ̅ ={1,2,5,a,c}

A\B={1,5,a}

B\A={d,e,4}

A×B={(1;b);(1;d);(1;e);(1;3);(1;4);(3;b);(3;d);(3;e);(3;3);(3;4);(5;b);(5;d);(5;e);(5;3);(5;4);(a;b);(a;d);(a;e);(a;3);(a;4);(b;b);(b;d);(b;e);(b;3);(b;4)}

B×A={(b;1);(b;3);(b;5);(b;a);(b;b); (d;1);(d;3);(d;5);(d;a);(d;b); (e;1);(e;3);(e;5);(e;a);(e;b); (3;1);(3;3);(3;5);(3;a);(3;b); (4;1);(4;3);(4;5);(4;a);(4;b)}

Ответ выбран лучшим

Формула приближенных вычислений.
f(xo+ Δx)–f(xo) ≈ df(xo)

f(x)=sqrt(x)
x_(o)=9
Δx=-0,06

f`(x)=1/(2sqrt(x))

f(9)=sqrt(9)=3
f`(9)=1/2sqrt(9)=1/6

sqrt(8,94) ≈ 3+(1/6)*(-0,06)=3-0,01= [b]2,99[/b]

Ответ выбран лучшим

df(x_(o))=f `_(x_(o))* Δx

f `(x)=((1+x^2)^(-1))`=- 1 * (1+x^2)^(-1-1)* (1+x^2)`=-2x/(1+x^2)^2

f `(x_(o))=f `(3)=-6/(1+9)^2=-6/100=-0,06

df(3)=f`(3)*0,02=-0,06*0,02=-0,0012

Применяется в приближенных вычислениях
Когда требуется найти значение функции в точке
x_(o)+Δx=3+0,02=3,02

Формула приближенных вычислений.
f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ df(x_(o))

Позволяет свести вычисление значения функции в "плохой"(неудобной для вычислений) точке (3,02)к вычислению значения функции и ее дифференциала в "хорошей" точке (3).

f(3,02) ≈ f(3)+df(3)=(1/(1+3^2))-0,0012=0,1-0,0012=0,9988

Ответ выбран лучшим

BC||AD
MA и AD лежат в плоскости MAD.
Значит BC|| пл. MAD

Расстояние между прямой BA и пл. MAD - высота TP треугольника SKM.

Треугольник MKT - равнобедренный.
КT=AB=ВС=1
MK=MT=sqrt(3)/2 - высоты равносторонних треугольников MAD и МBC со стороной 1.

MO - высота пирамиды

Из треугольника MOC
MO^2=MC^2-(OC)^2=1-(sqrt(2)/2)^2=1/2
MO=sqrt(2)/2

Применяем метод площадей
S( Δ MKT)=(1/2)KT*MO; S( Δ MKT)=(1/2)MK*TP ⇒

(1/2)KT*MO=(1/2)MK*TP

KT*MO=MK*TP

1*(sqrt(2)/2)=(sqrt(3)/2)*TP

TP=sqrt(2)/sqrt(3)=sqrt(6)/3

О т в е т. sqrt(6)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

25=x*y ⇒ y=(25/x)

Составляем сумму
S=x+y
S=x+(25/x)
S(x)=x+(25/x)

Исследуем функцию S(x) на экстремум с помощью производной.

Область определения (-∞;0) U(0;+∞ )

Находим производную.

Можно представить S(x)=(x^2+25)/x
и находить производную дроби.

Производная суммы равна сумме производных:

S`(x)=(x)`+25*(^(-1))`

S`(x)=1-25*x^(-2)

S`(x)=1 - (25/x^2)

S`(x)=(x^2 - 25)/x^2

S`(x)=0

(x^2-25)/x^2=0

x^2=25
x= ± 5

Знак производной:

__+___ (-5) __-___(0) __ -___ (5) __+__

x=-5 - точка минимума, производная меняет знак с - на+

Значит
25=(5)*(5)
сумма
S=(5)+(5)=10 - наименьшая сумма среди положительных чисел.

На (- ∞ ;0) среди отрицательных чисел наименьшую определить невозможно. В задачах обычно указывают на множестве каких чисел рассматривать требование.

Ответ выбран лучшим

1.
Составляем уравнение сторон, перпендикулярных данным прямым:

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1

k=4

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

y=(-1/4)x + b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4[/b] ⇒[b] 4y+x-8=0[/b]

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1

k=4

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

y=(-1/4)x + b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4[/b]

Уравнение прямой 2x-y+1=0 можно записать
y=2x+1

k=2

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/2
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

y=(-1/2)x + m

Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=(-1/2)*1+m
b=2 целых 1/2

[b]y=(-1/2)x + 2 целых 1/2[/b]⇒ [b]2y+x-5=0[/b]

Находим точку пересечения высот.
Решаем систему уравнений
{4x-y+1=0
{2x-y+1=0
Вычитаем из первого уравнения второе.
х=0
y=1
Н(0;1)
Cоставляем уравнение третьей высоты, проходящей через M и Н.

y=kx+1
2=k*1+1
k=1
[b]y=x+1 - уравнение прямой MH[/b]

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой коэффициент (-1)
[b]y=-x+h[/b] - уравнение прямых, перпендикулярных МН.

Эта прямая проходит через точку А пересечения высоты K y=2x+1 и стороны
y=(-1/4)x+(9/4)
или точку В пересечения
высоты y=4x+1 и стороны
y=(-1/2)x+(5/2)

4*х+1=(-1/2)*х+(5/2)

(9/2)*х=3/2
x=1/3
y=14/6=7/3

Подставляем координаты точки B(1/3;7/3) в уравнение прямой y=-x+h
и находим h
7/3=-(1/3)+h
h=8/3

[b]y=-x + (8/3)[/b] - уравнение АВ

О т в е т.
[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4[/b];
[b]y=(-1/2)x + 2 целых 1/2[/b];
[b]y=-x + (8/3)[/b]

или

[b]4y+x-9=0;
2y+x-5=0
3y+3x-8=0[/b]

2.Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0

d(M, 4x-y+1=0)=|4x_(M)-y_(M)+1|/sqrt(17)=|4*(1)-2+1|/sqrt(17)= [b]3/sqrt(17)=3*sqrt(17)/17[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cм. рисунок

Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0
это длина стороны квадрата

d(M, 4x-y+1=0)=|4x_(M)-y_(M)+1|/sqrt(17)=|4*(1)-2+1|/sqrt(17)= [b]3/sqrt(17)[/b]

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
k=4
k=tg α ;
Значит прямая c угловым коэффициентом 4 - это диагональ прямоугольника, размеры 1 × 4 ( длина 1, высота 4: tgα=4/1)

Параллельная ей прямая проходит через точку М
k=4
y=4x+m
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=4*1+m
m=-2

[b]y=4x-2[/b]

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

y=(-1/4)x + b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4⇒ 4y+x-9=0[/b]

Третья сторона имеет угловой коэффициент k=(-1/4) и находится на расстоянии 3/sqrt(17) от точки M (1;2)

y=(-1/4)x+n
или
4y+x-4n=0

3/sqrt(17) =|4y_(M)+x_(M)-4n|/sqrt(17)

3/sqrt(17) =|4*1+2-4n|/sqrt(17)

|4*2+1-4n|=3 ⇒

9-4n=-3 или 9-4n=3
n=3 или n=3/2
[b]4y+x-12 =0[/b] или [b]4y+x-6=0[/b]

О т в е т. [b]y=4x-2[/b]; [b]4y+x-9=0[/b]; [b]4y+x-12 =0[/b] (или [b] 4y+x-6=0[/b]) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

См. рисунок, требуемый угол тупой. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть точка Р(х;у) лежит на биссектрисе угла между прямыми.
Это значит, что расстояние d_(1) это точки до прямой l_(1) равно
расстоянию d_(2) это точки до прямой l_(2)

d_(1)=|4x-y+1|/sqrt(4^2+1^2)
d_(2)=|2x-y+1|/sqrt(2^2+1^2)

d_(1)=d_(2) ⇒ [b]|4x-y+1|/sqrt(4^2+1^2) =|2x-y+1|/sqrt(2^2+1^2) [/b](#)

Прямая 4x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
4x–y+1>0 или 4x–y+1<0
Подставляем координаты точки М в неравенство 4*1–2+1>0 - верно;
Прямая 2x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
2x–y+1>0 или 2x–y+1<0
Подставляем координаты точки М в неравенство 2*1–2+1>0 - верно;

Значит точка M принадлежит области
4x–y+1>0
2x–y+1>0
а смежные области задаются неравенствами противоположных знаков.

Поэтому в (#) знак модуля раскрывается так:
(4x-y+1)/sqrt(4^2+1^2) =- (2x-y+1)/sqrt(2^2+1^2)

4sqrt(5)x-sqrt(5)y+sqrt(5)=-2sqrt(17)x+sqrt(17)y-sqrt(17);

(4sqrt(5)+2sqrt(17))*x - (sqrt(5)+sqrt(17))*y+sqrt(5)+sqrt(17)=0

Делим на (sqrt(5)+sqrt(17))

((2sqrt(17)+4sqrt(5))/(sqrt(17)+sqrt(5))) * x - y + 1=0

Избавляемся от иррациональности в знаменателе

(2sqrt(17)+4sqrt(5))*(sqrt(17)-sqrt(5))/(sqrt(17))^2-(sqrt(5))^2 =(14-2sqrt(85))/12

О т в е т.

[b]((7 - sqrt(85))/6)*x - y + 1 = 0[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой AD и ВС - угол между прямой AD и пл. АВС.
Проводим АК - высоту равнобедренного треугольника АВС.
ВК=КС=6
По теореме Пифагора
АК=8

DK - высота равнобедренного треугольника BDC
DK=8

∠ DAK находим из равнобедренного треугольника ADK
можно по теореме косинусов, можно провести высоту КМ на AD.

cos ∠ ADK=6/8=3/4
∠ ADK=arccos(3/4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]Очень хорошая задача с параметром![/b]
Почему?
Потому что алгебра и геометрия помогают друг другу.
Потому что включает в себя и решение уравнений и составление уравнений касательной.
И отбор ответов.

Раскрываем модуль по определению.
Два случая
1)
x+5 ≥ 0 ⇒ |x+5|=x+5

{y=x+a
{(x+5)*(y+3x+15-(x+5)^2)=0⇒(x+5)*(y-x^2-7x-10)=0⇒
x+5=0 или y=x^2+7x+10

x=-5 - графиком является прямая || оси Оу
y=x^2+7x+10 - графиком является парабола.

2)
x+5 < 0 ⇒ |x+5|=-x-5
{y=x+a
{(x+5)*(y+3x+(x+5)^2)=0 ⇒ (x+5)*(y+x^2+13х+40)=0⇒
x+5=0 или y=-x^2-13x-40

x=-5 - графиком является прямая || оси Оу
y=-x^2-13x-40 - графиком является парабола.

Разобраться с требованием задачи помогут графики:

1) система 2 решения и 2) система два решения
или
1) система одно и 2) система три
или
1)система три и 2) система одно

1) рисунок.
[b]Прямые y=x+1 и y=x+5 имеют две точки пересечения.[/b]

y=x+1- касательная к параболе y= x^2+7x+10
параллельная y=x+a;
получили решив задачу:
k=1
f`(x)=2x+7
f`(x_(o))=2x_(o)+7
f`(x_(o))=k
2x_(o)+7=1
x_(o)=-3
y_(o)=-2

y=x+5 - прямая, проходящая через точку (-5;-5), параллельная y=x+a

[b]Cистема 2) имеет[/b]
два решения при а=1 и а=5
одно решение при a<1
три решения при при 1<a<5 или a> 5

2) рисунок.
[b]Прямые y=x+9 и y=x+5 имеют две точки пересечения.[/b]

y=x+9- касательная к параболе y=-x^2-13x-40
параллельная y=x+a;
получили решив задачу:
k=1
f`(x)=-2x-13
f`(x_(o))=-2x_(o)-13
f`(x_(o))=k
-2x_(o)-13=1
x_(o)=-7
y_(o)=2

y=x+5 - прямая, проходящая через точку (-5;-5), параллельная y=x+a

[b]Cистема 2) имеет[/b]
два решения при а=5 и а=9
одно решение при a> 9
три решения при a<5 или 5 < a< 9

Выбираем пересечение ответов:

___одно____ [1] ____три___ [5]______три_______

____три_________________ [5] ____три___ [9]______одно_______

О т в е т. (- ∞;1) U{5}U (9;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Здесь нет графического способа решения.

Обычное дробно - рациональное уравнение.
Дробь равна 1 ⇔ числитель равен знаменателю, знаменатель отличен от 0

Система:
{x^3+x^2-16x^2x-5x+a=x^3-16a^2x
{x^3-16a^2x ≠ 0

{x^2-5x+a=0
{x*(х^2-16a^2) ≠ 0 ⇒ х≠0; х≠± 4а

x^2-5x+a=0 - квадратное уравнение.
Возможно, что оно имеет один корень или два.

Если квадратное уравнение имеет один корень, значит
D=25-4a=0
[b]a=25/4[/b]
x=5/2 - удовлетворяет второму условию системы: х≠0; х≠± 4а

Если квадратное уравнение имеет два корня, то
D=25-4a > 0.
Требование задачи будет выполнено, если один корень не удовлетворяет условию, т. е равен либо 0, либо 4a, либо (-4а).

Можно найти эти корни и исключать равенство одного из них 0; 4a или (-4а)

Можно наоборот, подставить каждый из них в уравнение:
x^2-5x+a=0
при x=0 получаем [b]a=0[/b]
при х=4а получаем (4a)^2-5*4a+a=0 ⇒ 16a^2-19a=0 ⇒ a=0 или [b]a=19/16 [/b]
проверим, что
D=25-4a=25-4*(19/16)=25-(19/4) >0

при х=-4а получаем (-4a)^2-5*(-4a)+a=0 ⇒ 16a^2+21a=0 ⇒ a=0 или [b]a=-21/16 [/b]
проверим, что
D=25-4a=25-4*(-21/16)=25+(21/4) >0

Осталось выбрать ответ:
при а=0; a=25/4; a=19/16;a=-21/16

Ответ выбран лучшим

A_(1)B|| E_(1)D

∠ A_(1)BC_(1) - угол между A_(1)B и BC_(1), а значит и угол между
E_(1)D и BC_(1),

Найдем ∠ A_(1)BC_(1) из равнобедренного треугольника A_(1)BC_(1), в котором:

A_(1)B=BC_(1)=sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной 1
A_(1)C_(1)=sqrt(3) ( из равнобедренного треугольника A_(1)B(1)C_(1) по теореме косинусов, А_(1)В_(1)=В_(1)С_(1), ∠ A_(1)B(1)C_(1) =120 градусов)

По теореме косинусов:

(A_(1)C_(1))^2=(A_(1)B)^2+(BC_(1))^2-2*A_(1)B*BC_(1)*cos ∠ A_(1)BC_(1)
(sqrt(3))^2=(sqrt(2))^2+(sqrt(2))^2-2*sqrt(2)*sqrt(2)*cos ∠ A_(1)BC_(1)

cos ∠ A_(1)BC_(1)=(2+2-3)/(2*2)=1/4
∠ A_(1)BC_(1) [b]=arccos(1/4)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойствам степени:
a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

5*8^(2*3^(|x|)*8-5*64^(3^(|x|))864^(1/3)=9*8^(2*3^(|x|))*8^(1/3)+1024

64^(3^(|x|))=t

40t-20t=18t+1024

2t=1024

t=512

64^(3^(|x|))=512

(2^(6))^(3^(|x|))=2^(9)

2^(6*3^(|x|))=2^(9)

6*3^(|x|)=9
3^(|x|)=3/2
|x|=log_(3)(3/2)

x_(1)=- log_(3)(3/2) или x_(1)=log_(3)(3/2)

-1 =-log_(3)3

log_(3)3> log_(3)(3/2)
-log_(3)3 < log_(3)(3/2)

[b]x_(1) принадлежит указанному промежутку.[/b]

(5/4)<3/2=6/4

log_(3)(5/4) < log_(3)(3/2)

[b]x_(2) не принадлежит указанному промежутку.[/b]

Ответ выбран лучшим

3x^2+4x=(11x+3)/(x+1)

x ≠ -1
(3x^2+4x)(x+1)=11x+3
3x^3+4x^2+3x^2+4x-11x-3=0
3x^3+7x^2-7x-3=0
3(x^2-1)+7x(x-1)=0
(x-1)(3x+3+7x)=0
x=1 или х=-0,3

2sqrt(30)/11 сравним с 1
Возводим в квадрат
4*30/121 < 1
Значит [b] х_(1)= 1 не принадлежит указанному промежутку[/b]

-0,3 сравним с log_(1/4)(∛4 +1)=log_(4^(-1))(∛4 +1)=-log_(4)(4^(1/3)+1)

-0,3*1=-0,3*log_(4)4=-log_(4)4^(0,3)

4^(0,3) сравниваем с ∛4 +1
0,3 < 1/3
4^(0,3) <∛4 +1
log_(4)4^(0,3)<log_(4)(4^(1/3)+1)
-log_(4)4^(0,3)>-log_(4)(4^(1/3)+1)

[b]x_(2)= -0,3 принадлежит указанному промежутку[/b]

Ответ выбран лучшим

Cм. формулы в приложении.
a_(9)=2R*sin(180^(o)/9)=2*33*sin20^(o)
r=R*cos(180^(o)/9)=33*cos20^(o)

S=(1/2)P*r=(1/2)*9*a_(9)*r=(1/2)*9* [b]2[/b]*33* [b]sin20^(o)[/b]*33* [b]cos20^(o)[/b]=

=(9/2)*33^2*sin40^(o)≈ (9/2)*1089*0,64 кв см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^((x^2-1)*log_(sqrt(3))16)=sqrt(3)^(2*(x^2-1)*log_(sqrt(3))16)=

=( sqrt(3)^(log_(sqrt(3))16) )^(2*(x^2-1))=16^(2*(x^2-1))=

=(2^4)^(2*(x^2-1))=2^(8x^2-8)

32^(x-1)=(2^(5))^(x-1)=2^(5x-5)

(2^(8x^2-8) - 2^(5x-5))/(1-2x) ≤ 0

Умножим на 2^(8)

(2^(8x^2)-8*2^(5x))/(1-2x) ≤ 0

(2^(8x^2)-8*2^(5x))/(2x -1 ) ≥ 0

Применяем обобщенный метод интервалов

2^(8x^2)-8*2^(5x)=0

(2^x)^(8x) -8*(2^(x))^5=0

2^(x)=t
t^(8x)-8t^5=0

t^(8x)=8t^5
8x=log_(t)8t^5
8x=log_(t)8+5

8x=log_(2^(x))8+5

8x=(3/x)+5

x=1 или x=-3/8

____ [-3/8] __+__ (1/2) ____ [1] __+__

[-3/8;1/2)U[1;+ ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-х >0 ⇒ [b]x < 0[/b]
{log_(2)(-x)≠ 0 ⇒ -x ≠ 1⇒ [b]x ≠ -1[/b]

ОДЗ [b] (-∞ ;-1)U(-1;0)[/b]

log_(2)(-x)=1/log_(-x)2

Поэтому

(-x)^(((x+1)^2-1)/log_(2)(-x))=(-x)^(((x+1)^2-1)*log_(-x)2)=

=( (-x)^(log_(-x)2))^((x+1)^2-1)=2^((x+1)^2-1)

2^((x+1)^2-1)=2^(x+1)^2*2^(-1)=(1/2)*2^((x+1)^2)

Замена переменной:
2^((x+1)^2)=t
t>0

Квадратное неравенство:

[b]t^2-(1/2)t ≤ 3[/b]

2t^2-t-6 ≤ 0
D=49
корни
-3/2 и 2

Так как t >0
t ≤ 2

2^(x+1)^2 ≤ 2
(x+1)^2 ≤ 1

(x+1-1)(x+1+1) ≤ 0
x(x+2) ≤ 0

-2 ≤ x ≤ 0

C учетом ОДЗ:[-2;-1)U(-1;0)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{2x^(-1) >0 ⇒ 2/x > 0 ⇒ x > 0
{2x^2>0 ⇒ x - любое, кроме 0 ⇒ х ≠ 0
{2x>0 ⇒ x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{2x^(-2)>0 ⇒ 2/x^2 >0 ⇒ x ≠ 0
{2x^(-2) ≠ 1 ⇒ 2/x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± sqrt(2)/2

ОДЗ:(0; 1/2) U (1/2);sqrt(2)/2) U(sqrt(2)/2;1) U (1;+ ∞ )

Переходим к основанию х

log_(x)2x^(-1)=log_(x)2+log_(x)x^(-1)=log_(x)2-1
log_(x)2x^(2)=log_(x)2+log_(x)x^(2)=log_(x)2+2

log_(2x)x=log_(x)x/log_(x)(2x)=1/(log_(x)2+1)
log_(2x^(-2))x=log_(x)x/log_(x)(2x^(-2))=1/(log_(x)2-2)

Неравенство принимает вид:
(log_(x)2-1)*(log_(x)2+2)*(log_(x)2+1)*(log_(x)2-2) < 40

(log^2_(x)2-1)*(log_(x)2-4) < 40

log^4_(x)2 -5log^2_(x)3 - 36 < 0

Биквадратное неравенство

D=25-4*(-36)=25+144=169

корни - 4 и 9

(log^2_(x)2+4)*(log^2_(x)2-9) < 0

log^2_(x)2 + 4 > 0 при любом х из ОДЗ

(log_(x)2-3)(log_(x)2+3) < 0

-3 < log_(x)2 < 3 ⇒ log_(x)x^(-3) < log_(x)2 < log_(x) x^3

При [b]х ∈ (0;1)[/b] логарифмическая функция убывающая, поэтому

⇒ x^3< 2 < x^(-3) ⇒
{x^3 < 2
{x^(-3)>2

{ x < 2^(1/3)
{ x > 2^(-1/3)=∛(1/2)

[b]x ∈ (∛(1/2));1) [/b]

При [b]x > 1[/b] логарифмическая функция возрастающая
⇒ x^(-3) < 2 < x^3 ⇒ возводим в степень (1/3)

x^(-1) < ∛2< x

{1/x< ∛2
{ x> ∛2

[b]x ∈ (∛2;+ ∞ )[/b]

С учетом ОДЗ о т в е т.
(∛(1/2);1) U (∛2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке (0;0), радиусом R=sqrt(2a)
Значит a>0
Графиком второго уравнения
xy=(2a-1)/2 является гипербола.

Гипербола и окружность имеют ровно две точки персечения, если гипербола касается окружности.
Это можно посмотреть на графике.

Точки пересечения лежат на прямой y=x
Пусть точки пересечения имеют координаты (u;u) и (-u;-u)

Точка принадлежит и окружности и гиперболе,
подставляем в систему:

{u^2+u^2=2a
{2u^2=2a-1

Приравниваем правые части

2a=2a-1

0=-1

О т в е т. Ни при каком а. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть точка (a;b)-центр симметрии графика
По определению ( см. приложение)
[b]f(a+x)+f(a-x)=b[/b]

Для данной функции:
f(a+x)=(a+x+1)(a+x-1)^2
f(a-x)=(a-x+1)(a-x-1)^2

f(a+x)+f(a-x)=(a+x+1)(a+x-1)^2+(a-x+1)(a-x-1)^2

[b](a+x+1)(a+x-1)^2+(a-x+1)(a-x-1)^2=b[/b]

Это равенство по определению должно выполняться
для любого х из области определения функции

[b]в том числе для х=0[/b]

(a+1)(a-1)^2+(a+1)(a-1)^2=b

[b]2(a+1)(a-1)^2=b[/b]

[b]и в том числе для х=1[/b]

(a+2)*a^2+a*(a-2)^2=b
a*(a^2+2a+a^2-4a+4)=b
[b]a*(2a^2-2a+4)=b[/b]

Приравниваем левые части

a*(a^2-a+2)=(a+1)(a-1)^2

a^3-a^2+2a=a^3-2a^2+a+a^2-2a+1

a=1/3
b=2(a+1)(a-1)^2
b=2*(4/3)*(-2/3)^2
b=32/27

О т в е т. [b](1/3; 32/27)[/b]

Определение: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)Так как
0≤sin2x ≤ 1
0 ≤ cos2(x/2) ≤ 1

то
0 ≤ sin22x+cos2(x/2) ≤ 2

0 ≤ sin22x·cos2(x/2) ≤ 1

равенство верно при

{sin^22x=0
{cos^2(x/2)=0

{sin2x=0 ⇒ 2x=πn, n∈ Z ⇒ x=(π/2)n, n∈ Z
{cos(x/2)=0 ⇒ x/2=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ x=π+2πk, k∈ Z

[b]x=π+2πk, k∈ Z[/b] - решение, удовлетворяющее системе.

б)
Сумма корней:

...(-5 π)+(-3π)+(-π)+π+3π+5π+... =0

Ответ выбран лучшим

1.
Замена переменной:
х=10tgt
dx=10dt/cos^2t;

100+ x^2=100 +100tg^2t=100(1+ tg^2t)=100/cos^2t
sqrt((100+ x^2)^3)=sqrt(100^3/cos^6t)=1000/cos^3t

∫ dx/sqrt((100+ x^2)^3)= (1/100)*∫ costdt= [b](1/100)*(sint) C[/b]

x=10tgt ⇒ tgt=x/10

1 +tg^2t=1/cos^2t ⇒ cos^2t=1/(1+ tg^2t)=1/(1+(x/10)^2)=100/(100+ x^2)

sin^2t=1-cos^2t=1-(100/(100+ x^2))=x^2/(100+ x^2)
sint=x/sqrt(100+ x^2)

[b]О т в е т. ∫ dx/sqrt((100+ x^2)^3)= х/(100*sqrt(100 +x^2)) +C[/b]

2.
Замена переменной
x=t^4 ⇒ dx=4t^3dt
sqrt(x)=t^2
x^(1/4)=t

∫ (sqrt(x)-9)dx/(3x^(1/4) +sqrt(x))= ∫ (t^2-9)*4t^3dt/(3t+ t^2) =

= 4 ∫ (t^2*(t-3)(t+3)dt)/(t+3)=4 ∫ t^2*(t-3)dt=

=4 ∫ (t^3-3t^2)dt=4*((t^4/4)-4t^3 + C=

= [b]x-4x^(3/4)+C[/b]

О т в е т. [b] ∫ (sqrt(x)-9)dx/(3x^(1/4) +sqrt(x))=x-4x^(3/4)+C[/b]

Ответ выбран лучшим

y`=(8sinx-5tgx+4)`=8*(sinx)`-5*(tgx)`+4`=8*cosx-(5/cos^2x)+0

О т в е т. y`=8*cosx-(5/cos^2x)

Ответ выбран лучшим

1.
По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=2
По условию
7х_(1) – 4х_(2) = 47

Система двух уравнений:
{x_(1)+x_(2)=2
{ 7х_(1) – 4х_(2) = 47

Умножаем первое на 4
{4x_(1)+4x_(2)=8
{ 7х_(1) – 4х_(2) = 47

складываем
11x_(1)=55
x_(1)=5
x_(2)=2-x_(1)=2-5=-3

По теореме Виета
x_(1)*x_(2)=с.
с=5*(-3)=-15

2.
По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-p
и
x_(1)*x_(2)=-16
По условию
x_(1)/x_(2)=-4⇒ x_(2)=-4x_(1)

Система двух уравнений:
{x_(1)*x_(2)=-16
{ x_(2)=-4x_(1)

подставим в первое
x_(1)*(-4x_(1))=-16

x^2_(1)=4⇒
x_(1)=2 или ⇒ x_(1)=-2
x_(2)=-4*2=-8 или x_(2)=-4*(-2)=8

тогда
p=-(x_(1)+x_(2))=-(2+(-8)=6 или p=-(x_(1)+x_(2))=-(-2+8)=-6

О т в е т. ±6

Ответ выбран лучшим

∠АСD - линейный угол двугранного угла между пл. АА_(1)С_(1)С и пл. DD_(1)C_(1)C

Так как СС_(1)⊥ АС и СС_(1)⊥ СD

Чтобы найти линейный угол двугранного угла надо к линии пересечения плоскостей провести перпендикулярны в каждой плоскости.
AC ⊥СС_(1)
СD ⊥СС_(1)

tg∠ACD=AD/DC=sqrt(3)
∠ACD=60 градусов ⊥

Ответ выбран лучшим

sin((7π/6)–2x)=sin(7π/6)*cos2x-cos(7π/6)*sin2x
sin(7π/6)=-1/2
cos(7π/6)=-sqrt(3)/2

Так как
sin2x=2tgx/(1+tg^2x); cos2x=(1-tg^2x)/(1+tg^2x)
и
tgx=3√3/2

tg^2x=27/4,то

sin2x=12sqrt(3)/31

cos2x=-23/31

sin((7π/6)–2x)= (-1/2)*(-23/31) - (-sqrt(3)/2)*(12sqrt(3))/31=59/62

31sin((7π/6)–2x)=31*(59/62)=59/2=29,5
О т в е т. 29,5

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

SO ⊥ пл АВСD ⇒ SO ⊥ CD

Чтобы провести перпендикуляр из точки О на грань SDC, проводим ON ⊥ CD

CD ⊥ пл. SMN, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости ( SO и ON)

пл. SDC проходит через СD - перпендикуляр к другой плоскости,
значит пл. SDC ⊥ пл. SMN

Проводим OF ⊥ пл SDC
Проводим перпендикуляр к SN - линии пересечения SMN и SDC
или к апофеме боковой грани.
(прикреплено изображение)

Принимаем всю работу за 1

Пусть первый за х часов, второй за y часов.
1/x - производительность первого
1/у - производительность второго
(1/х)+(1/y)=(x+y)/(xy) - совместная производительность

1/(x+y)/(xy)=12
[b]xy=12(x+y)[/b] (#)

Так как первый за 5 часов он выполняет такую же часть работы, как второй–за 4 часа
то
5*(1/х)=4*(1/у)
[b]y=4x/5[/b]

Подставляем в (#)

x*(4x/5)=12*(x+(4x)/5)
x=27
О т в е т. 27 часов

log_(3)(9x)=log_(3)9+log_(3)x=2+log_(3)x
log^2_(3)(9x)=(2+log_(3)x)^2

log_(3)(3x)=log_(3)3+log_(3)x=1+log_(3)x
log^2_(3)(3x)=(1+log_(3)x)^2

Уравнение:
(2+log_(3)x)^2+(1+log_(3)x)^2=1

Раскрываем скобки:
4+4log_(3)x+log^2_(3)x+1+2log_(3)x+log^2_(3)x=1
2log^2_(3)x+6log_(3)x+4=0

log^2_(3)x+3log_(3)x+2=0 - квадратное уравнение относительно

log_(3)x

D=9-4*2=1

log_(3)x=-2 или log_(3)x= -1
x=3^(-2) или x=3^(-1)
x=1/9 или х=1/3

О т в е т. (1/9); (1/3).

Ответ выбран лучшим

[b]Задача с параметром. Графический способ решения.[/b]

ОДЗ:
5-y>0
y<5

Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля
{xy^2-xy-5y+5=0
{y ≠ 5

(xy^2-xy)-(5y-5)=0
xy(y-1)-5(y-1)=0
(y-1)(xy-5)=0
y-1=0 или xy - 5=0
y=1 или xy=5

Геометрически первое уравнение означает объединение двух линий:
прямой y=1
и
гиперболы
y=5/x
При a> 0 прямая y=ax пересекается с гиперболой в двух точках

Прямая y=ax пересекается с прямой y=1 при всех a ≠ 0

Но если прямая y=ax через точку В (5;1) - общую точку
прямой y=1 и гиперболы xy=5, то получим только [b]два решения![/b]

Осталось иcключить значение a, при котором y=1
⇒
1=a*5 ⇒ a=1/5

и исключить значение a, при котором y=5 ( см. ОДЗ y ≠5)

5=a*1
a=5

и исключить значение a, при котором y> 5 ( см. ОДЗ: y < 5)
⇒ a > 5

О т в е т. (0;1/5)U(1/5;5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin α +sin3 α =2sin2 α cos(- α )=2sin2 α cos α
cos α +cos 3 α =2cos2 α cos(- α )=2cos2 α cos α

В числителе
sin α -2 sin2α +sin3 α =2sin2α (cosα - 1)

В знаменателе
cos α -2 cos2α +cos3 α =2cos2α (cosα - 1)

Сокращаем на 2* (cos α -1)

О т в е т. sin2 α /cos2 α =tg2 α

Ответ выбран лучшим

Дано: АВ=ВС=СD=AD=1

Обозначим R- радиус окружности с центром в точке O;
r- радиус окружности с центром в точке O1;
AO^2=R^2+R^2
O_(1)C^2=r^2+r^2

AO=Rsqrt(2)
O_(1)C=rsqrt(2)

АС=AO+OO1+O1C
sqrt(2)=Rsqrt(2)+R+r+rsqrt(2)
sqrt(2)=(1+sqrt(2))*(R+r)
R+r=sqrt(2)/(1+sqrt(2))=2-sqrt(2)

О т в е т. [b]R+r=2-sqrt(2)[/b]

(прикреплено изображение)

d^2=a^2+b^2+c^2
d=BD1=5
c=DD1=3
a=BC=sqrt(7)

5^2=(sqrt(7))^2+b^2+3^2
25=7+b^2+9
b^2=25-7-9
b^2=9
b=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
в основании прямоугольники АВСD и A1B1C1D1
Противоположные стороны прямоугольника равны
АВ=DС=А1В1=D1C1=b
AD=BC=A1D1=B1C1=a

Высота параллелепипеда
CC1=AA1=BB1=DD1=c

Диагонали
АС1=А1C=BD1=B1D=d

d^2=a^2+b^2+c^2
a=10
b=1
c=5
d^2=10^2+1^2+5^2=126
d=sqrt(126)

Ответ выбран лучшим

Если участок [b]прямоугольной[/b] формы, то
Р(прямоугольника) =2*(a+b)
Длина забора и есть периметр

2*(20,5+30,52)=2*51,02=102,4 м

Тема. [b]Логарифмические неравенства.[/b]
(повышенной трудности)

ОДЗ:
{x>0
{- log_(3)x > 0 ⇒ log_(3)x < 0 ⇒

[b] 0 < x < 1[/b]

По свойству логарифма степени
log_(3)t^2=2log_(3)|t|
t=log_(3)x

Так как согласно ОДЗ:
log_(3)x < 0,
| log_(3)x| = - log_(3)x
поэтому
log_(3)log^2_(3)x=log_(3)(log_(3)x)^2=2log_(3)|log_(3)x|=

=2log_(3)(-log_(3)x)

Неравенство принимает вид

log^2_(3)(-log_(3)x) +2log_(3)(-log_(3)x) ≤ 3

[b]log^2_(3)(-log_(3)x) +2log_(3)(-log_(3)x) - 3 ≤ 0[/b] ( #)

Квадратное неравенство
D=4+12=16
корни
-3 и 1

Решение квадратного неравенства (#):
[b]-3 ≤ log_(3)(-log_(3)x) ≤ 1[/b]

1=log_(3)3

-3*log_(3)3 ≤ log_(3)(-log_(3)x)≤ 1* log_(3)3

-3*1=-3log_(3)3=log_(3)3^(-3)

[b]log_(3)[/b]3^(-3) ≤ [b]log_(3)[/b](-log_(3)x)≤ [b]log_(3)[/b]3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
3^(-3) ≤(-log_(3)x)≤ 3

(1/27) ≤ (-log_(3)x)≤ 3

Умножаем на (-1), знак неравенства меняется на противоположный

-3 ≤ log_(3)x ≤ (-1/27)

-3*log_(3)3 ≤ log_(3)x ≤ (-1/27)*log_(3)3

log_(3)3^(-3) ≤ log_(3)x ≤ log_(3)3^(-1/27)

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(1/27) ≤ x ≤ 3^(-1/27) входит в ОДЗ, так как

3^(-1/27) < 1 ( см. рис.)

о т в е т. [1/27;3^(-1/27] (прикреплено изображение)

MP||AC ⇒ Δ PDM ~ Δ ADC
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон
[b]DM:DC[/b]=DP:DA=PM:AC

MQ||BC ⇒ Δ QDM ~ Δ BDC
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон
[b]DM:DC[/b]=DQ:DB=MQ:CB

Правые части равны, значит
DM:DC=DP:DA =[b]PM:AC[/b]=DQ:DB= [b]MQ:CB[/b]
(можно по теореме, обратной теореме Фалеса, см. приложение2)

MP||AC и MQ||BC
Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, плоскости АВС и PMQ параллельны:
∠ АСВ= ∠ РМQ

Δ PMQ ~ Δ АСВ. так как ∠ АСВ= ∠ РМQ и стороны, заключающие эти углы пропорциональны.

б)DM : MC = 3 : 1 ⇒ DM:DC=3:4

P( Δ PMQ) : P ( Δ АВС)=РМ:АС=DM:DC=3:4

P( Δ PMQ) : 28 = 3:4

P( Δ PMQ)= [b]21[/b]
О т в е т 21 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Тема. [b]Простейшие логарифмические уравнения.[/b]

1) По определению логарифма
x-7=3^(0)
x-7=1
x=8
Проверка:
log_(3)(8-7)=log_(3)1=0 - верно

О т в е т. 8

2)
x^2-3x+10=2^3
x^2-3x+2=0
D=9-4*2=1
x_(1)=(3-1)/2=1; x_(2)=(3+1)/2=2.
Проверка:
x=1
log_(2)(1^2-3*1+10)=log_(2)8=3- верно
x=2
log_(2)(2^2-3*2+10)=log_(2)8=3- верно

О т в е т. 1; 2

3)
ОДЗ:
{5x-4 > 0 ⇒ x > 0,8
{x+1 > 0 ⇒ x > -1

ОДЗ: х > 0,8

lgsqrt(x+1)=lg(x+1)^(1/2)=(1/2)lg(x+1)

(1/2)lg(5x-4)+(1/2)lg(x+1)=lg100+lg0,18
Умножаем уравнение на 2

lg(5x-4)+lg(x+1)=2*(lg100+ lg0,18)
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения

lg(5x-4)*(x+1)=lg18^2

(5x-4)(x+1)=324
5x^2+x-328=0
D=1+20*328=6561=81^2
x_(1)=(-1-81)/10= - 8,2; x_(2)=(-1+81)/10=8

x_(1) не удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Тема. [b]Логарифмические неравенства.[/b]

1)
[b]ОДЗ[/b]: 2x >0 ⇒ [b] x > 0[/b]

log_(2,5)(2x) > 2
log_(2,5)(2x) > 2*log_(2,5)2,5
log_(2,5)(2x) > log_(2,5)2,5^2

Логарифмическая функция основанием 2,5 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

2x < 2,5^2
2x>6,25
x>3,125
Найденные решения входят в ОДЗ
О т в е т. [b](3,125;+ ∞ ) [/b]

2)
ОДЗ:
{x^2-x-2>0 ⇒ D=9; корни -1 и 2; решение неравенства: x < -1 или x > 2
{10-2x > 0 ⇒ x < 5
ОДЗ: [b] (-∞ ;-1)U(2;5)[/b]

Логарифмическая функция основанием 0 < 0,1 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
x^2-x-2 ≤ 10-2x;
x^2+x -12 ≤ 0
D=1+48=49
x_(1)=(-1-7)/2=-4; x_(2)=(-1+7)/2=3
-4 ≤ x ≤ 3

C учётом ОДЗ:
о т в е т. [b] [-4;-1) U (2;3][/b]

3)
ОДЗ:
- x >0 ⇒ [b] x < 0[/b]

По свойству логарифма степени:
log_(0,5)x^2=2lоg_(0,5)|x|=(согласно ОДЗ x < 0, |x|=-x)=2lоg_(0,5)(-x)

Квадратное неравенство относительно lоg_(0,5)(-x)

Замена переменной
lоg_(0,5)(-x)=t

t^2 + 0,5*2*t - 2 ≤ 0

t^2 + t - 2 ≤ 0

D=1-4*(-2)=9

корни
t_(1)=(-1-3)/2= - 2; t_(2)=(-1+3)/2= 1

Решение неравенства
-2 ≤ t ≤ -1

Обратный переход
-2 ≤ lоg_(0,5)(-x) ≤ -1

log_(0,5)0,5^(-2) ≤ lоg_(0,5)(-x) ≤ log_(0,5)0,5^(-1)

log_(0,5)4 ≤ lоg_(0,5)(-x) ≤ log_(0,5)2
Логарифмическая функция с основанием 0 < 0,5 <1
убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

4 ≥ (-x) ≥ 2
или в привычном виде:
2 ≤ (-x) ≤ 4
Умножаем на (-1)
-4 ≤ x ≤ -2
Найденные решения входят в ОДЗ
о т в е т. [b] [-4;-2][/b]

Ответ выбран лучшим

Тема. [b]Показательные уравнения.[/b]
1.
4=2^2
4^(-x)=(2^2)^(-x)=2^(-2x)
1/8=2^(-3)
(1/8)^(1-3x)=(2^(-3))^(1-3x)=2^(-3*(1-3x))=2^(-3+9x)

2^(-2x)=2^(-3+9x)
-2x=-3+9x
-11x=-3
x=3/11

2.
3^(x-1)*(2*3^2-6-3)=9
3^(x-1)*9=9
3^(x-1)=1
3^(x-1)=3^(0)
x-1=0
x=1

3.
5^(x-3)=t
t>0

t+(25/t)=26
t^2-26t+25=0
D=676-100=576
t_(1)=(26-24)/2=1; t_(2)=(26+24)/2=25;

Обратный переход
5^(x-3)=1
5^(x-3)=5^(0)
x-3=0
x=3
или
5^(x-3)=25
5^(x-3)=5^2
x-3=2
x=5

О т в е т. 3; 5

Ответ выбран лучшим

Девочек 22
Вероятность того,что первый пассажир девочка равна
22/33
Теперь девочек 21, всего школьников 32
Вероятность того,что второй пассажир тоже девочка равна
21/32

Вероятность события
"и первый пассажир девочка и второй пассажир девочка" по правилу умножения равна
p=(22/33)*(21/32)= [b]7/16[/b] - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

1)
Пусть ребро куба равно a.
S_(поверхности куба)=6a^2

6a^2=96
a^2=16
a=4

ρ(AB_(1),DD_(1))=ρ(AB_(1), пл. DD_(1)C_(1)C)=AD=4

3)
ρ(AA_(1),BD_(1))=ρ(AA_(1), пл. BB_(1)D_(1)D)=(1/2)AC=6,

так как АС=sqrt(72)*sqrt(2)=sqrt(144)=12

5)
ρ(MB,AC)=BK,
BK ⊥ AC

AC=100 ( египетский треугольник, или по теореме Пифагора)
Согласно метода площадей:
ab/2=ch/2⇒

ВК=60*80/100=48

ρ(MB,AC)=48

7) AD=BD ⇒ равные наклонные имеют равные проекции
АС=ВС
АС=АВ=ВС=16sqrt(3)
Δ АВС - равносторонний

Проводим СК ⊥ АВ

СК=16sqrt(3)*sqrt(3)/2=24

ρ(CD,AB)=CK=24 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
3^(x^2) > (3^2)^(8)

3^(x^2) > 3^(16)

Показательная функция с основанием 3 > 1
возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x^2 > 16

x^2 - 16 >0

(x-4)(x+4) >0

x < -4 или x > 4

О т в е т. (- ∞ ;-4)U (4;+ ∞ )

2)
(1/9)=3^(-2)

(3^(-2))^(x) - 3* 3^(-x) + 6 < 0

Квадратное неравенство относительно 3^(-x)

Замена переменной
3^(-x)=t
t>0

t^2 -3t + 6 < 0

D=9–4·6 < 0

нет решений

3)
(sin2)^(x^2-x) ≥ sin^22

0<sin2 < 1

Показательная функция с основанием 0 < sin2 < 1
убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

x^2 - x ≤ 2

x^2 - x - 2 ≤ 0

D=1+8=9

корни
x_(1)=-1 или x_(2)=2

Решение неравенства

-1 ≤ х ≤ 2

О т в е т. [-1; 2]

Ответ выбран лучшим

1)
ОДЗ: x >0

log_(0,6)x > 1
log_(0,6)x > log_(0,6)0,6
Логарифмическая функция основанием 0< 0,6 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
x < 0,6
C учетом ОДЗ получаем ответ
(0;0,6)

2)
Квадратное неравенство относительно log_(5)x
ОДЗ: x > 0

Замена переменной
log_(5)x=t

t^2 - t > 2

t^2-t-2 >0

D=1-4*(-2)=9

корни
t_(1)=(1-3)/2=-1; t_(2)=(1+3)/2=2

Решением неравенства являются множества
t < -1 или t > 2

Обратная замена

log_(5) x < -1 или log_(5) x > 2

log_(5)x < log_(5)(1/5) или log_(5) x > log_(5)25

Логарифмическая функция с основанием 5 > 1
возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x < 1/5 или x > 25
C учетом ОДЗ
о т в е т. (0; 1/5) U (25;+ ∞ )

3)
ОДЗ: x >0

По свойству логарифма степени:
lgx^3=3lgx

Квадратное неравенство относительно lgx

Замена переменной
lgx=t

t^2 + 3t + 2 ≥ 0

D=9-4*2=1

корни
t_(1)=(-3-1)/2= - 2; t_(2)=(-3+1)/2= -1

Решение неравенства
t ≤ -2 или t ≥ -1

Обратный переход
lgx ≤ -2 или lgx ≥ -1

lgx ≤ lg0,01 или lgx ≥ lg0,1

Логарифмическая функция с основанием 10 > 1
возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x ≤ 0,01 или x ≥ 0,1
C учетом ОДЗ
о т в е т. (0; 0,01] U [0,1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

1)
ОДЗ:
x-4>0 ⇒ x > 4
log_(2)(x-4) < log_(2)4
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x-4 < 4
x<8
C учетом ОДЗ
о т в е т. (0;8)

2)
ОДЗ:
x^2-2x-3>0
D=(-2)^2-4*(-3)=16
x_(1)=-1; x_(2)=3
ОДЗ: x < -1 или x > 3

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ -1

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ -1 *log_(0,2)0,2

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ log_(0,2)0,2^(-1)

log_(0,2)(x^2-2x-3) ≥ log_(0,2)5

Логарифмическая функция основанием 0< 0,2 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

x^2-2x-3 ≤ 5

x^2-2x -8 ≤ 0

D=4 - 4 *(-8)=36

x_(1)=(2-6)/2=-2; x_(2)=(2+6)/2=4

Решение неравенства:
-2 ≤ x ≤ 4

С учетом ОДЗ получаем ответ

_____ [-2] \\\\ (-1) _________ (3) //// [4] ____

О т в е т. [-2;-1) U (3;4]

3)
ОДЗ:
{x - 4 > 0 ⇒ x > 4
{x^2-6x+8 > 0 ⇒ D=36-32=4; корни 2 и 4; x < 2 или x > 4
{x^2-6x+8 ≠ 1 ⇒ x^2-6x+7 ≠ 0; D=36-28=8 ⇒ x ≠ 3-sqrt(2); x ≠ 3+sqrt(2)

(- ∞ ;3-sqrt(2)) U(3-sqrt(2);2) U (4;3+sqrt(2)) U (3+sqrt(2);+ ∞ )

Так как 0=log_(x^2-6x+8)1, неравенство принимает вид:

log_(x^2-6x+8)(х-4) > log_(x^2-6x+8)1

Чтобы решить его, надо рассмотреть два случая:
1) основание x^2-6x+8 >1 и тогда логарифмическая функция возрастает
2) основание 0 < x^2-6x+8 <1 и тогда логарифмическая функция
убывает.

Системы очень похожи и решать две системы - терять время, поэтому лучше применить метод рационализации логарифмических неравенств:

(x^2-6x+8-1)*(x-4-1) >0

(x^2-6x+7)*(x-5) >0

Применяем метод интервалов:

__-__ (3-sqrt(2)) ____+___ (3+sqrt(2) _-__ (5) __+__

C учетом ОДЗ получаем ответ
(3-sqrt(2);2) U (4;3+sqrt(2)) U (5;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

1)
y`=(1/x)`-(1/x^2)`=(x^(-1))`-(x^(-2))`=-x^(-2)+2x^(-3)=(-1/x^2)+(2/x^3);
2)
(lnu)`=u`/u
(ln(4-x^2))`=(4-x^2)`/(4-x^2)=-2x/(4-x^2)
3)
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=2*((x^2+3)`(x^2-2x+5)-(x^2+3)*(x^2-2x+5)`)/(x^2-2x+5)^2

y`=2*(2x*(x^2-2x+5)-(x^2+3)*(2x-2))/(x^2-2x+5)^2

y`=2*((2x^3-4x^2+10x)-(2x^3+6x-2x^2-6))/(x^2-2x+5)^2

y`=2*(-2x^2+4x+6)/(x^2-2x+5)^2

y`=0

-2x^2+4x+6=0
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x_(1)=(2-4)/2=-1; x_(2)=(2+4)/2=3

x=-1 - внутренняя точка точка отрезка [-3;3]

Проверяем знак производной на [-3;3]

[-3] __+__ (-1) _______-________[3]

x=-1 - точка максимума на отрезке, значит в этой точке
функция принимает наибольшее значение.
Считаем
y(-1)=

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8.3.22 подстановка
3х+4=t
3dx=dt
dx=(1/3)dt
1.
подстановка
arctg3x-4=t
3dx/(3x)^2+1)=dt

∫ t^(1/5)*(dt/3)

Линейное неоднородное уравнение первого порядка.
y` + (1/(x+1))*y=x^2

Решаем однородное:
y` + (1/(x+1))*y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
y`= - y/(x+1)
dy/y= - dx/(x+1)
Интегрируем
ln|y|= - ln|x+1|+lnc
y=c/(x+1)

Применяем метод вариации произвольной постоянной

y=c(x)/(x+1)

y`=(c`(x)*(x+1)-(x+1)*c(x))/(x+1)^2

y`=c`(x)/(x+1) - c(x)/(x+1)^2

Подставляем y` и y в данное уравнение:

c`(x)/(x+1) - c(x)/(x+1)^2 + c(х)/(x+1)^2=x^2

c`(x)=x^2(x+1)

c`(x)=x^3+x^2

c(x)=(x^4/4)+(x^3/3) + C

y=((x^4/4)+(x^3/3) + C)/(x+1)

[b]y=x^3(3x+4)/(12*(x+1)) + (C/(x+1)) [/b] - общее решение

y(0)=0

0=0+C/(0+1) ⇒ C=0

[b]y=x^3(3x+4)/(12*(x+1)) [/b] - частное решение

Ответ выбран лучшим

По свойству нечетности синуса:
sin(x-π)=-sin(π-x)

По формулам приведения
sin(π-x)=sinx

sin(x-π)=-sinx

Так как
cos^2x=1-sin^2x

Уравнение принимает вид:
1+2sin^2x-3sinx=0

2sin^2x-3sinx+1=0
D=9-4*2*1=1

[b]sinx=1/2 [/b]⇒ x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

[b]sinx=1 [/b] ⇒ x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

О т в е т.
а) (-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z; (π/2)+2πn, n ∈ Z
б)
x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z
удобно записать в виде серии двух ответов:
при k=2m получим x=(π/6)+2πm, m ∈ Z
при k=2m+1 получим x=(-π/6)+π+2πm=(5π/6)+2πm, m ∈ Z

Тогда корни, принадлежащие указанному отрезку:
х_(1)=(π/6)+4π=25π/6;
х_(2)=(5π/6)+4π=29π/6;
х_(3)=(π/2)+4π=(9π/2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(360 градусов - 4х)= cos4x

sin6x+2=2cos4x
sin6x+2-2cos4x=0
sin6x+2*(1-cos4x)=0
По формулам двойного угла
1-cos4x=2sin^22x

sin6x+4sin^22x=0

sin6x=sin3*(2x) - синус тройного угла. Формулу не помню.
Поэтому представляю

sin6x=sin(2x+4x)=sin2x*cos4x+cos2x*sin4x=

=sin2x*(1-2sin^22x)+cos2x*2sin2x*cos2x

Уравнение принимает вид:

sin2x*(1-2sin^22x)+cos2x*2sin2x*cos2x+4sin^22x=0

sin2x-2sin^32x+2sin2x*cos^22x+4sin^22x=0

sin2x*(1-2sin^22x+2cos^22x+4sin2x)=0

[b]sin2x=0[/b]
2x=πk, k ∈ Z
x=(π/2)k, k ∈ Z

1-2sin^22x+2cos^22x+4sin2x=0

1-2sin^22x+2-2sin^22x+4sin2x=0
4sin^22x-4sin2x-3=0
D=16+48=64
sin2x=-1/2 или sin2x=3/2 ( уравнение не имеет корней, -1 ≤sinx ≤1)

[b]sin2x=-1/2[/b]
2x=(-1)^(n)arcsin(-1/2)+ πn, n ∈ Z
2x=(-1)^(n)(-π/6)+πn, n ∈ Z

x=(-1)^(n+1)*(π/12)+(π/2)n, n ∈ Z

О т в е т. (π/2)k, k ∈ Z; (-1)^(n+1)*(π/12)+(π/2)n, n ∈ Z

y`=5x^4-30x^2-135
y`=0
5x^4-30x^2-135=0
Биквадратное уравнение,
замена
[b]x^2=t
t≥0[/b]

t^2-6t-27=0

D=(-6)^2-4*(-27)=36+108=144
t_(1)=(6-12)/2=-3; t_(2)=(6+12)/2=9

-3 не удовл. условию [b]t≥0[/b]

x^2=9 ⇒ x= ± 3

-3 ∈ [-5;0]
и является точкой максимума, производная меняет знак с + на -
Наибольшее значение функции на [-5;0]
равно значению в точке х=-3

y(-3)=(-3)^5-10*(-3)^3-135*(-3)= cчитайте.

(sqrt(u))`=u`/(2sqrt(u))

y`=(240-8x-x^2)`/(2*sqrt(240-8x-x^2))

y`=(-8-2x)/(2*sqrt(240-8x-x^2))

y`=0

-8-2x=0

x=-4

-4 ∈ [-18;10]
и является точкой максимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с + на -

y(-4)=sqrt(240-8*(-4)-(-4)^2)=sqrt(256)=16

Ответ выбран лучшим

По правилу вычисления производной сложной функции
(4^(u))`=4^(u)*u`

y`=4^(-23-10x-x^2)*(-23-10x-x^2)`
y`=4^(-23-10x-x^2)*(-10-2x)
y`=0

4^(-23-10x-x^2) ≠ 0, так как показательная функция принимает только положительные значения

Поэтому
-10-2x=0
x=-5

При переходе через точку х=-5 производная меняет знак с + на -

х=-5 - точка максимума, значит в этой точке функция принимает наибольшее значение.

y(-5)=4^(-23-10*(-5)-(-5)^2)=4^2=16

Ответ выбран лучшим

ОДЗ функции : x> 0

y`=2x-8+(6/x)

y`=(2x^2-8x+6)/x

y`=0
2x^2-8x+6=0
x^2-4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=(4-2)/2=1; x_(2)=(4+2)/2=3

Знак производной на ОДЗ:

(0)__+__ (1) ___-___ (3) __+__

Отрезку [15/17; 19/17] принадлежит одна точка экстремума, это х=1

[15/17] _+__ (1) __-__ [19/17]

x=1 - точка максимума на отрезке, значит в этой точке функция принимает наибольшее значение

y(1)=1-8+6*0+19=12

О т в е т. 12

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
11-х >0 ⇒ x < 11

log_(7)(11-x)=log_(7)3+log_(7)7;
log_(7)(11-x)=log_(7)3*7;
11-x=3*7
x=11-21
x=-10 удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. -10

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
основание логарифмической функции
х+5>0⇒ x > -5
x+5≠ 1 ⇒ x≠-4
По определению логарифма
(х+5)^2=64
(x+5)^2-8^2=0
(x+5-8)(x+5+8)=0
(x-3)(x+13)=0
х=3 или х=-13 ( не удовл. ОДЗ)
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Чтобы построить точку В, симметричную точке М, относительно прямой 4х-у+1=0, проводим прямую перпендикулярную данной
и получаем точку пересечения двух прямых, точку О.
[b]Координаты точки пересечения[/b] можно [b]не находить[/b]

По определению симметричных точек:
МО=ВО

Уравнение прямой задано в виде:
Ах+Ву+С=0
значит vector{n}=(A;B) - нормальный вектор данной прямой
является направляющим вектором прямой, перпендикулярной
данной.

Уравнение данной прямой
4х-у+1=0
vector{n}=(4;-1)

Уравнение прямой МВ, проходящей через точку M(1;2)
с направляющим вектором vector{s}=(4;-1)
имеет вид
(x-1)/4=(y-2)/(-1) ⇒ -x+1=4y -8; x+4y-9=0 - [b]уравнение прямой MВ[/b]

Можно получить уравнение прямой МВ и другим способом, с помощью углового коэффициента k: произведение угловых коэффициентов [b] взаимно перпендикулярных прямых[/b] равно (-1)

Точка B(x_(1);y_(1)) принадлежит прямой МВ, значит ее координаты удовлетворяют уравнению:
x_(1)+4y_(1)-9=0
Точка О(x_(o);y_(o)) принадлежит данной прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению
4х_(о)-у_(о)+1=0
Система
{ x_(1)+4y_(1)-9=0
{4х_(о)-у_(о)+1=0

Так как
МО=ВО ⇒ О-середина МВ

x_(o)=(1+x_(1))/2
y_(o)=(2+y_(1))/2

Система
{ x_(1)+4y_(1)-9=0
{4*(1+x_(1))/2 - (2+y_(1))/2 +1=0

{x_(1)+4y_(1)-9=0
{2x_(1)-(1/2)y_(1)+2=0

{2x_(1)+8y_(1)-18=0
{2x_(1)-(1/2)y_(1)+2=0

Вычитаем из первого второе:
17у_(1)/2-20=0
y_(1)=40/17
x_(1)=9-4y_(1)=9-(160/17)=-7/17

О т в е т. (-7/17;40/17) (прикреплено изображение)

2x-x=(2/3)+(5/3)
x=7/3

Замена
y`=z
y``=z`

xz`+3z=0
уравнение с разделяющимися переменными:
xdz=-3zdx
dz/z=-3dx/x
Интегрируем
ln|z|=-3ln|x|+lnC_(1)
Применяем свойства логарифмов:
ln|z|=lnC_(1)-ln|x|^3
ln|z|=ln(C_(1)/x^3)

z=C_(1)/x^3

Обратный переход
y`=C_(1)/x^3
y= ∫ (C_(1)/x^3)dx=
y=С_(1) ∫ x^(-3)dx
y=C_(1)x^(-2)/(-2) +C_(2)
y=-C_(1)/(2x^2) + C_(2) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В пл. СМО проводим DK|| MO
∠ DBK - угол между DK и BD, а значит и между МО и BD.
Пусть ребро тетраэдра равно а.
BD=h(равностороннего треугольника)=asqrt(3)/2
СО=(2/3)h=a*sqrt(3)/3
MO^2=a^2-(asqrt(3)/3))^2=a^2-(a^2/3)=2a^2/3
DK=(1/2)MO=(1/2)a*sqrt(2/3)=a*sqrt(6)/6
cos ∠ DBK=DK/BD=(a*sqrt(6)/6)/asqrt(3)/2=sqrt(2)/3
∠ DBK= [b]arccos(sqrt(2)/3)[/b]- о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если АВ=ВС - образующие, АС - диаметр конуса, то

r(шара)=S( Δ АВС)/p (Δ АВС)

S( Δ АВС)=(1/2)AC*h
По теореме Пифагора
h^2=AB^2-((1/2)AC)^2=10^2-6^2=64=8^2

S( Δ АВС)=(1/2)AC*h=(1/2)*12*8=48

p( Δ АВС)=(1/2)(AB+BC+AC)=(10+10+12)/2=16

r=48/16=3

V_(шара)=(4/3)πr^3=(4/3)*π*27= [b]36π[/b]- о т в е т.

Угол между ребром СМ и плоскостью АВС - угол между СМ и проекцией СМ на плоскость АВС

Проекцией СМ на плоскость АВС является СО
( О -основание высоты тетраэдра, точка пересечения биссектрис, высот и медиан треугольника АВС.
Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершин, то
СО = (2/3) СК,
СК- медиана и высота.

Пусть ребро тетраэдра равно а.

СК = a*sqrt(3)/2

СО =(2/3)*a*sqrt(3)/2=a*sqrt(3)/3

Из прямоугольного треугольника МСО:
сos ∠ MCO = CO/CM=(asqrt(3)/3) / a = sqrt(3)/3
∠ MCO [b]=arccos(sqrt(3)/3)[/b].

Ответ выбран лучшим

∠ АОС=2 ∠ АВС=150^(o)

S_( Δ AOC)=(1/2)AO*CO*sin150^(o)=(1/2)*12*12*(1/2)=36
О т в е т. 36

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

16.4
Значит осевое сечение конуса - равносторонний треугольник.
Требуется найти радиус окружности, описанной около этого равностороннего треугольника.
R=a*sqrt(3)/3

(Формула легко получается из условия, что О- точка пересечения биссектрис, медиан и высоты. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1,считая от вершины.
R=(2/3)h_(Δ)
h_(Δ)=a*sin60^(o)=asqrt(3)/2)

При a=9
R=9*sqrt(3)/3= [b]3sqrt(3)[/b].
О т в е т. 3sqrt(3)

16.7
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник.
Прямоугольник вписан в окружность.

По теореме Пифагора
H^2=(2R)^2-(2r)^2=4*(R^2-r^2)
H=2sqrt(R^2-r^2)

S_(бок. цилиндра)=2π*r*H=2π*r*2sqrt(R^2-r^2)=4πr*sqrt(R^2-r^2)

О т в е т.4πr*sqrt(R^2-r^2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора из треугольника DMB:
DM^2=(3sqrt(7))^2-3^2=63-9=54
DM=sqrt(54)=3sqrt(6)
Из равностороннего треугольника АВС
СМ=6*sqrt(3)/2=3sqrt(3)
По теореме косинусов из треугольника СDM
CD^2=CM^2+DM^2-2CM*DM*cos γ

cos γ =(3sqrt(3))^2+(3sqrt(6))^2-(3sqrt(7))^2/(2*(3sqrt(3)*3sqrt(6))

cos γ =(27+54-63)/(2*27sqrt(2))=18/(54sqrt(2))=sqrt(2)/6

[b] γ =arccos((sqrt(2))/6)[/b]

Ответ выбран лучшим

[b]Тема.[/b] Интегрирование функций одной переменной.
Замена переменной. Подведение под дифференциал.

1.
Интеграл от суммы равен сумме интегралов.
постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Используем свойства степени:
a^(m)/a^(n)=a^(m-n)
a^(-n)=1/a^(n)

Применяем формулу интеграла от степенной функции:

[b] ∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1)[/b]

получаем
= ∫ x^(2/5)dx- ∫ x^(-1/2)dx+2 ∫ x^(-5)dx=

=x^((2/5)+1)/((2/5)+1) - x^(-1/2)+1)/((-1/2)+1) +2*x^(-5+1)/(-5+1)+C=

=x^(7/5) / (7/5) - 2x^(1/2) -(1/2)*x^(-4)+C=

= [b](5/7)*x*x^(2/5) - 2sqrt(x) -1/(2x^4) + C[/b].

2.
Табличный интеграл
[b]∫ sinudu = - cosu + C[/b]

Замена переменной
1-x^2=u
-2xdx=du
xdx=(-1/2)du

получаем
∫ sinu(-1/2)du= (-1/2) ∫ sinudu=(-1/2)*(-cosu) + C=(1/2)cosu+C=
= обратная замена=
[b]=(1/2)cos(1-x^2)+ C[/b]

3.
Табличный интеграл
[b] ∫ du/(4+u^2) = (1/2)arctg(u/2) + C[/b]

Замена переменной
e^(x)=u
e^(x)dx=du

получаем
∫ du/(4+u^2) = (1/2)arctg(u/2) + C=
= обратная замена=
= [b](1/2)arctg (e^(x)/2)+ C[/b]

4.
Табличный интеграл
[b] ∫ e^(u)du = e^(u) + C[/b]

Замена переменной
x^3+3x+1=u
d(x^2+3x+1)=du
(x^3+3x+1)`dx=du
(3x+3)dx=du
(x+1)dx=du/3

получаем
∫ e^(u)*(du/3) = (1/3)∫ e^(u)du = (1/3)e^(u)+C
= обратная замена=
= [b](1/3)e^(x^3+3x^2+1)+ C[/b]

5.
Замена переменной
[b]1+x=t[/b]
x=t-1
dx=d(t-1)
dx=(t-1)`*dt
dx=1*dt
[b]dx=dt[/b]

получаем
∫(t-1)^3dt/t^(8)=
формула куба разности:
= ∫ (t^3-3t^2+3t-1)/t^(8)=
почленное деление каждого слагаемого в числителе на знаменатель:
= ∫ (t^3/t^(8) -3*(t^2/t^8)+3*(t/t^8)-(1/t^8))dt=

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.
постоянный множитель можно вынести за знак производной.

= ∫ dt/t^(5) -3 ∫ dt/t^(6)+3 ∫ dt/t^(7) - ∫ dt/t^(8)=
Используем свойства степени:
a^(-n)=1/a^(n)

= ∫ t^(-5)dt - 3 ∫ t^(-6)dt +3 ∫ t^(-7)dt - ∫ t^(-8)dt=

Применяем формулу интеграла от степенной функции:

[b] ∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1)[/b]

=t^(-4)/(-4) - 3*(t^(-5)/(-5)) +3*(t^(-6)/(-6)) - t^(-7)/(-7)+C=

=(-1/4)*(1/t^4) +(3/5)*(1/t^5)-2*(1/t^6) +(1/7)*(1/t^7)+C=

= обратная замена=

=[b]-1/(4*(x+1)^4) + 3/(5*(x+1)^5)-(2/(x+1)^6) +(1/7(x+1)^7)+C[/b]

Ответ выбран лучшим

Вероятность достать белого кролика из первой клетки равна [b]6/10[/b].
Вероятность достать черного кролика из первой клетки равна [b]4/10[/b].
Вероятность вынуть из второй клетки белого кролика при условии, что туда перебежал белый равна
[b]4/8[/b]
Вероятность вынуть из второй клетки белого кролика при условии, что туда перебежал черный равна
[b]3/8[/b]
Вероятность того, что из второй клетки достали белого кролика
равна
(6/10)*(4/8)+(4/10)*(3/8)=(24/80)+(12/80)=36/80=9/20= [b]0,45[/b]

(прикреплено изображение)

y=-x+2 - прямая на (- ∞ ;0)
точка (0;2) не принадлежит графику, выколота.

y=x^2-2x+1 - парабола на [0;+ ∞ )

Прямая y=m параллельна оси Ох.

Прямая y=m пересекает график функции в одной точке
при m=0; m=2
1<m<2
см. рисунок

О т в е т. m ∈ {0}U(1;2] (прикреплено изображение)

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=29009

Вводим в рассмотрение гипотезы:
Н_(1)- из первого контейнера во второй переложена коробка с посудой
p(H_(1))=4/10;
Н_(1)- из первого контейнера во второй переложена коробка с книгами
p(H_(1))=6/10;

А- "из второго контейнера достали коробку с книгами"
p(A/H_(1))=2/8
p(A/H_(2))=3/8

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(1))*p(A/H_(1))=

=0,4*(2/8)+0,6*(3/8)=26/80

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=0,4*(2/8)/(26/80)=8/26=4/13

О т в е т. Вероятность того, что коробка, которую достали из второго контейнера, будет c книгами, равна 26/80=13/40

Вероятность того, что коробка, которую переложили во второй контейнер, была с посудой, равна 4/13

Все верно, надо сократить:
a!/(a-1)!=a
a!/(a-2)!=(a-1)*a

(a+b)!/(a+b-2)!=(a+b-1)*(a+b)

Не всякая таблица будет законом распределения случайной величины.
Должно быть

p_(o)+p_(1)+p_(2)=1

О т в е т.

(b-1)*b*x/(a+b)(a+b-1) + 2aby/(a+b-1)(a+b) + (a-1)*a/(a+b-1)(a+b)

log_(125)5^(3x)=log_(5^3)5^(3x)=3x/3=x

Уравнение:
x*sqrt(-сosx-7sin^2x)=x;

x*sqrt(-сosx-7sin^2x)-x=0;
x*(sqrt(-сosx-7sin^2x)-1)=0
Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом [b]не теряет смысла[/b].

x=0 или sqrt(-сosx-7sin^2x)-1=0

При х=0
подкоренное выражение -сosx-7sin^2x=-cos0-7sin^20 <0
значит х=0 не является корнем данного уравнения

sqrt(-сosx-7sin^2x)-1=0

sqrt(-сosx-7sin^2x)=1

-сosx-7sin^2x=1

sin^2x=1-cos^2x;

7cos^2x-cosx-8=0
D=1-4*7*(-8)=225=15^2
cosx=(1-15)/14 или cosx=(1+15)/14
сosx=-1 или cosx=16/14 - уравнение не имеет корней, так как
-1 ≤ cosx ≤ 1

cosx=-1
x=π+2πn, n ∈ Z

О т в е т. π+2πn, n ∈ Z

Раскрываем модуль по определению
1)
если 2x^2+y^2-1 ≥ 0, то |2x^2+y^2-1|=2x^2+y^2-1;
получаем систему:
{2x^2+y^2-1+y^2+4y=0
{y=0,5x+a

{2x^2+2y^2+4y-1=0
{y=0,5x+a
Решаем способом подстановки:
2x^2+(0,5x-a)^2+4*(0,5x-a)-1=0

2x^2+(1/4)x^2-ax+a^2+2x-4a-1=0;
(9/4)x^2+(2-a)x+a^2-4a-1=0
Квадратное уравнение имеет один или два корня,
значит и система будет иметь один или два корня в зависимости от D.
D=(2-a)^2-4*(9/4)*(a^2-4a-1)=4-4a+a^2-9a^2+36a+9=-8a^2+32a+13
D=0
-8a^2+32a-13=0
8a^2-32a+13=0
D_(1)=(32)^2-4*8*13=32*(32-13)=32*19
a_(1)=(32-4sqrt(38))/16=2-(sqrt(38)/4)
a_(2)=(32+4sqrt(38))/16=2-(sqrt(38)/4)

Решения системы должны удовлетворять условию
2x^2+y^2-1 ≥ 0,

2)
если 2x^2+y^2-1 < 0, то |2x^2+y^2-1|=-2x^2-y^2+1;
получаем систему:
{-2x^2-y^2+1+y^2+4y=0
{y=0,5x+a

{-2x^2+4y-1=0
{y=0,5x+a

Решаем способом подстановки:
-2x^2+4*(0,5x-a)-1=0
2x^2-4*(0,5x-a)+1=0
2x^2-2x+4a+1=0
Квадратное уравнение имеет один или два корня,
значит и система будет иметь один или два корня в зависимости от D.
D=4-4*2(4a+1)=-32а-4
D=0
a=-1/8
D>0
a<-1/8

Решения системы должны удовлетворять условию
2x^2+y^2-1 < 0

23.
Так как
0<(1/3) <1, показательная функция убывает, то
x^2 < 3x+4
x^2-3x- 4 <0
D=9-4*(-4)=25
x_(1)=(3-5)/2=-1; x_(2)=(3+5)/2=4

-1 < x < 4
О т в е т. (-1;4)

19
0,5=1/2=2^(-1)
0,25=(1/4)=4^(-1)

(2^(-1))^(5-2x)+3*(4^(-1))^(-3-x)=20;

Применяем свойство степени
(a^(m))^(n)=a^(mn)

2^(2x-5)+3*4^(4+x)=20

Применяем свойство степени
a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

2^(2x)*2^(-5)+3*4^(4)*4^(x)=20

2^(2x)=(2^(2))^(x)=4^(x)

4^(x)*((1/32)+192)=20

4^(x)=640/6145

4^(x)=128/1229

x=log_(4) (128/1229)

22.

(5^(2x+3))^(1/2) + (2^(2x+1))^(1/2)=50
5^(x+1,5)+2^(x+0,5)=50
5^(x)*5sqrt(5) +2^(x)*sqrt(2)=50
я не умею такие уравнения решать.
И вряд и кто решает...
Скорее всего опечатка в условии

Если знак умножить вместо +, то
(5^(2x+3))^(1/2) * (2^(2x+1))^(1/2)=50
5^(x+1,5)*2^(x+0,5)=50
5^(x)*5sqrt(5) *2^(x)*sqrt(2)=50
Делим на 5
5^(x)*sqrt(5) *2^(x)*sqrt(2)=50
(5^(x)*2^(x))*sqrt(5)*sqrt(2)=10
10^(х)*10^(1/2)=10
10^(x+0,5)=10
x+0,5=1
x=0,5
О т в е т. 0,5

Ответ выбран лучшим

Граница
x+y^2-1=0
x=-y^2+1 - парабола вдоль оси Ох, ветви в сторону, противоположную оси Ох.
Вершина в точке (1;0)

Парабола пунктиром, так как неравенство строгое
Эта линия разделила плоскость хОу на две части:
внутри параболы и вне
Указанной области не принадлежит точка (0;0)
так как неравенство
0+0-1>0 - неверное.
Значит заштриховываем ту часть, в которой нет точки (0;0)
Это внешняя часть параболы.
См. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямые МF и ВЕ – скрещивающиеся. МА лежит в плоскости МАС, а ВЕ пересекает плоскость, в точке Е, не принадлежащей прямой МА.
Рассмотрим треугольник MAC
Проводим
EО|| MА

Угол между ЕО и ВE это и есть угол между МА и ВЕ.
Находим его из треугольника ЕОВ

Для этого сначала найдем ЕО и ВЕ
ЕО– средняя линия треугольника АМС
ЕО=МА/2=а/2

ВЕ – высота равностороннего треугольника МВС
ВЕ=√3/2

∠ ЕОВ=90 градусов, так как
диагонали квадрата взаимно перпендикулярны
АС ⊥ BD
и по теореме о трех перпендикулярах
наклонная ОЕ ⊥ ВD;

Из прямоугольного треугольника ВOЕ:
cos ∠ BEK=EO/BE=(1/2):√3/2=(√3)/3

∠ BEK=arccos((√3)/3)– о т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямые МО и ВЕ - скрещивающиеся. Одна лежит в плоскости, а другая пересекает плоскость, в точке, не принадлежащей первой прямой.
Рассмотрим треугольник MAC
Проводим
EK|| MO
Угол между ВЕ и EK это и есть угол между ВЕ и МО.
Находим его из треугольника ЕКВ

Для этого сначала найдем МО из прямоугольного треугольника АМО
АМ=1
АО=(1/2)АС=sqrt(2)/2
Диагональ квадрата АС равна sqrt(2)

МО^2=AM^2-AO^2=1-(1/2)=1/2
МО=sqrt(2)/2

ЕК- средняя линия треугольника АМО
ЕК=sqrt(2)/4

ВЕ - высота равностороннего треугольника МАВ
ВЕ=sqrt(3)/2

∠ ЕКВ=90^(o), так как МО ⊥ пл. АВС, значит и ЕК ⊥ пл. АВС;
в том числе и прямой ВК.

Из прямоугольного треугольника ВКЕ:
cos ∠ BEK=EK/BE=(sqrt(2)/4):sqrt(3)/2=sqrt(6)/6

∠ BEK=arccos(sqrt(6)/6)- о т в е т.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y(0)=0^2-4*0 3=3
y(2)=2^2-4*2 3=-1
y(x/2)=(x/2)^2-4*(x/2) 3=(x^2/4)-2x 3
y(t^2)=(t^2)^2-4*t^2 3=t^4-4t^2 3

y(5x)=(5x)^2-4*(5x) 3=25x^2-20x 3
тогда
3*y(5x)=3*(25x^2-20x 3)=75x^2-60x 9

Рисуем границу каждой области:
1)5х+6у=7 - прямая, проходящая через точки (5;-3) и (-1;2)
Область
5х+6у ≤ 7 содержит точку (0;0)
0+0 ≤ 7 - верно
2) y=2 - прямая || оси Ох
y ≤ 2 - область ниже прямой y=2
3)(5х+4у+7)(5х–2у–11)=0 - произведение равно 0 когда хотя бы один из множителей равен 0.
5х+4у+7=0 - прямая проходит через точки (-3;0) и (-1;-3)
5х–2у–11=0 - прямая проходит через точки (3;2) и (-1;-3)

Все три условия ограничивают четырёхугольник АКМВ
S_(AKMB)=S_( Δ ABC)-S_( Δ КСМ)

Надо найти координаты точки М, точки пересечения прямых
{5x+6y=7⇒ 5x=7 - 6y
{5x-2y-11=0 ⇒ 5x=2y+11
Приравниваем правые части
7-6у=2у+11
-8у=4
у=-1/2
Можно даже х не находить

S_(AKMB)=S_( Δ ABC)-S_( Δ КСМ)=

=(1/2)AC*H-(1/2)KC*h
H=5 ( 5 клеточек на рисунке)
h=2,5 ( ордината точки М найдена)

=(1/2)*6*5-(1/2)*4*2,5=15-5=10

О т в е т. 10
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Из прямоугольной трапеции О_(1)О_(2)А_(2)А_(1):
О_(1)О_(2)=2R
О_(1)А_(1)=8
О_(2)А_(2)=2
по теореме Пифагора
(А_(2)А_(1))^2=(О_(2)О_(1))^2+(CА_(1))^2=(2R)^2+(8-2)^2
[b](А_(2)А_(1))^2[/b]=4R^2+36

Из прямоугольного треугольника OO_(1)A_(1):
(OA_(1))^2=(OO_(1))^2+(O_(1)A_(1))^2=R^2+8^2
Из прямоугольного треугольника OO_(2)A_(2):
(OA_(2))^2=(OO_(2))^2+(O_(2)A_(2))^2=R^2+2^2

Из прямоугольного треугольника A_(1)OA_(2):
(А_(2)А_(1))^2=(OA_(2))^2+(OА_(1))^2
[b](А_(2)А_(1))^2[/b]=(R^2+2^2)+(R^2+8^2)

Приравниваем правые части:
4R^2+36=(R^2+2^2)+(R^2+8^2)
R^2=16
R=4
О т в е т. [b] 4[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим DK||CB
DK- средняя линия треугольника MBC.

∠ ADK - угол между AD и DK, а значит и между AD и BC.

Пусть ребро тетраэдра равно a.

AD=asqrt(3)/2 - высота равностороннего треугольника со стороной а
AD=AK=asqrt(3)/2
DK=a/2

По теореме косинусов из треугольника АDK:
AK^2=AD^2+DK^2-2AD*DK*cos ∠ ADK

cos ∠ ADK=(AD^2+DK^2-AK^2)/2AD*DK=DK/2AD=(a/2)/(a*sqrt(3)=sqrt(3)/6

∠ ADK=arccos(sqrt(3)/6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Так как по условию задачи мёд содержит 20% воды, то
100%-20%=80% сухого вещества в мёде.

Если имеем 1 кг мёда, то сухого вещества в нём
0,8*1=0,8 кг

В нектаре 84% воды, значит
100% - 84% =16% сухого вещества в нектаре.

0,8 кг сухого вещества составляют 16%
х кг нектара составляют 100%

х=100*0,8/16=5 кг

О т в е т. 5 кг

Ответ выбран лучшим

Из первого уравнения
xy-y-x+1=1
xy=x+y

Подставляем во второе

(xy)^2=16
xy= - 4 или хy=4

Получаем совокупность двух систем
{x+y=-4
{xy= -4
или
{x+y=4
{xy=4

Решаем каждую способом подстановки

{y=-4-x
{x*(-4-x)=-4 ⇒ x^2+4x-4=0 ⇒ D =16+16=32
x_(1)=(-4-4sqrt(2))/2= -2-2sqrt(2); x_(2)=(-4+4sqrt(2)/2= -2+2sqrt(2);
y_(1)=- 4-x_(1)= -2+2sqrt(2); y_(2)=- 4-x_(2)=- 2-2sqrt(2)

{y=4-x
{x*(4-x)=4 ⇒ x^2-4x+4=0 ⇒ (x-2)^2=0 ⇒x_(3)=2
y_(3)=4-x_(3)=4-2=2

О т в е т. (2;2); (-2-2sqrt(2);-2+2sqrt(2)); (-2+2sqrt(2);-2-2sqrt(2))

Р.S
На рисунке графическое решение системы:
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=3a-5
x_(1)*x_(2)=94-2a^2

По условию:

x_(2)-x_(1)=9 ⇒ x_(2)=9+x_(1)

тогда
{x_(1)+9+x_(1)=3a-5 ⇒ x_(1)=(3a-14)/2
{x_(1)*(9+x_(1))=94-2a^2

(3a-14)/2*(9+(3a-14)/2)=94-2a^2

(3a-14)^2+18(3a-14)=4*(94-2a^2)

17a^2-30a-432=0
D=900-4*17*(-432)=30276=174^2

a_(1)=(30-174)/34=-72/17 или a_(2)=(30+174)/34=204/34=6
О т в е т. -4 целых 4/17; 6

Ответ выбран лучшим

∫ ^(b)_(a)g(x)dx=s_(1)+s_(2)=1*1+(1+3)*6/2=1+12=13

(прикреплено изображение)

(y*sinx)`-(cos(x-y)0`=0
y`*sinx+y*cosx-(-sin(x-y))*(x`-y`)=0
Так как
x`=1
y` нет, у - зависимая переменная, функция.

y`*sinx+y*cosx+sin(x-y))*(1-y`)=0

Находим y` как из уравнения

y`=(ycosx+sinx(x-y))/(sin(x-y)-sinx)

Криволинейная трапеция должна быть ограничена снизу, например, осью Ох.
Тогда задача имеет вот такое решение:
S= ∫ ^(2)_(0)(x^3+1)dx=((x^4/4)+x)| ^(2)_(0)=(2^4/4)+2=6 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

По формулам приведения:
sin((3π/2)-x)=-cosx

sin2x/(-cosx)=-sqrt(2);

2*sinx*cosx/(-cos)=sqrt(2)

cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πn, n ∈ Z

sinx=-sqrt(2)/2

x= (-1)^(k) (-π/4)+πk, k ∈ Z - о т в е т.

Указанному отрезку принадлежит

х=(-3π/4)+4π=13π/4 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Дифференцируем равенство.
При этом х- независимая
(х)`=1
а y` это не 1, так как y- функция

Применяем правила и формулы.
Производная произведения равна сумме производных
(x^2)`*y^2+(x^2)*(y^2)`+(x)`=5y`
2x*y^2+x^2*(2y)*y`+1=5y`

y`=(2xy^2+1)/(5-2x^2y) - о т в е т.

2.3

y`_(t)=2*(t/(t+1)) *(t/(t+1))`=

=(2t/(t+1)) *(t`*(t+1)-(t+1)`*t/((t+1)^2)=

=(2t/(t+1)) *(t+1-t)/((t+1)^2)=

=(2t)/(t+1)^3

x`_(t)=((t+1)^(-1))`=-1(t+1)^(-2)=-1/(t+1)^2;

y`_(x)=y`_(t)/(x`_(t)=(2t)/(t+1)^3 / (-1/(t+1)^2)=

=-2t/(t+1) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Если y`>0 на (a;b), то функция возрастает на (a;b).

Находим производную
y`=3x^2-6x+2
Решаем неравенство:
3x^2-6x+2 >0

3x^2-6x+2 = 0
D=(-6)^2-4*3*2=36-24=12=(2sqrt(3))^2
x_(1)=(6-2sqrt(3))/6; x_(2)=(6+2sqrt(3))/6;
x_(1)=1 -(sqrt(3)/3); x_(2)=1+(sqrt(3)/3)

y`>0 при x < 1 -(sqrt(3)/3) и х > 1+(sqrt(3)/3)

О т в е т. Функция возрастает на (- ∞ ;1 -(sqrt(3)/3)) и на
(1+(sqrt(3)/3); + ∞ )

Умножаем матрицу строку (x_(1), x_(2),x_(3)) * А* на матрицу столбец
(cм. приложение)
Получим
(2x_(1)-3x_(2)-5x_(3))*x_(1) + (-3x_(1)+7x_(2)+x_(3))*x_(2)+
+(-5x_(1)+x_(2)-6x_(3)*x_(3)=

=2x^2_(1)- [b]3x_(1)x_(2)[/b]-5x_(1)x_(3)- [b]3x_(1)x_(2)[/b]+7x^2_(2)+x_(2)x_(3)-5x_(1)x_(3)+x_(2)x_(3)-6x^2_(3)=

приводим подобные

=2x^2_(1)- 6x_(1)x_(2)-10x_(1)x_(3)+7x^2_(2)+2x_(2)x_(3)-6x^2_(3).

(прикреплено изображение)

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

∠D - наибольший лежит против стороны EF.
Значит стороны EF - наибольшая.

∠F - наименьший лежит против стороны DE.
Значит стороны DE - наименьшая.

EF > DF > DE

Ответ выбран лучшим

1.
PT- средняя линия Δ ADC
PT||AC
КТ - средняя линия Δ SCD
КТ|| SC
Две пересекающиеся прямые одной плоскости,
PT и КT параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости AC и SC
По признаку параллельности двух плоскостей, такие плоскости параллельны

верно в)
2.
Да, так как
ОТ|| AC

∠ POT - угол между PO и ОТ, а значит и между РО и АС (прикреплено изображение)

3.
Проводим АВ_(1)||DC_(1)
∠ AB_(1)C - угол между AB_(1) и В_(1)С
а значит и между DC_(1)и В_(1)С

Находим его из равнобедренного треугольника AB_(1)C
AB_(1)=B_(1)C=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20)=2sqrt(5)
AC=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)
По теореме косинусов:
cos ∠ AB_(1)C= (АВ^2_(1)+BC^2_(1)-AC^2)/(2*AB_(1)*BC_(1))=

=(20+20-8)/(2*sqrt(20)*sqrt(20))=32/40=4/5

4.
PK- cредняя линия Δ A_(1)B_(1)C_(1).
PK|| A_(1)B_(1)
MO- cредняя линия Δ ABC
MO|| AB
A_(1)B_(1)||AB
⇒ PK||MO

APC_(1)M- параллелограмм
PC_(1)||AM
PC_(1)=AM

AP||MC_(1) как вторые пары сторон параллелограмма.

Две пересекающиеся прямые одной плоскости
AP и РК параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости МС_(1) и MO.
По признаку параллельности двух плоскостей, такие плоскости параллельны

5. Пусть ребро куба равно а.

Проводим ТМ || C_(1)D
TM - средняя линия Δ СС_(1)D
TM=(1/2)C_(1)D=(1/2)asqrt(2) (С_(1)D - диагональ квадрата со стороной а)
MK|| BD
МК - средняя линия Δ BDC
МК=1/2)BD=(1/2)asqrt(2) (BD - диагональ квадрата со стороной а)

Построили две пересекающиеся прямые одной плоскости TM и МК , которые параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости
C_(1)D и BD.
По признаку параллельности двух плоскостей, такие плоскости параллельны

Cечение [b]равносторонний[/b] треугольник cо стороной asqrt(2)/2

S(cечения)=(1/2)*(asqrt(2)/2)^2*sqrt(3)/2 ( площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними)

4sqrt(3)=(1/2)*(a^2/2)*(sqrt(3)/2)
4= a^2/16
a62=64
a=8

S_(поверхности куба)=6*a^2=6*8=48 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВС - равносторонний.
Вершина пирамиды проектируется в точку О.
О- центр вписанной и описанной окружности.

В прямоугольном треугольнике MOA
OA=MA/2=3
катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора
MO^2=MA^2-OA^2=6^2 -3^2=27
MO=3sqrt(3)

Пусть сторона треугольника АВС равна a.
R=asqrt(3)/3 - выражение радиуса описанной около правильного треугольника через сторону.

[b]asqrt(3)/3=3[/b] ⇒ a=3sqrt(3)

S_( Δ ABC)=(1/2)a*a*sin60^(o)=a^2sqrt(3)/4

При найденном значении а=3sqrt(3)
S_( Δ ABC)=27*sqrt(3)/4

V=(1/3)*S_(осн.)*H=(1/3)*S_( Δ ABC)*H=

=(1/3)*(27*sqrt(3)/4) * 3sqrt(3)=81/4 (прикреплено изображение)

S_(3)=b_(1)*(q^3-1);
S_(6)=b_(1)*(q^(6)-1)

S_(6):S_(3)=(q^(6)-1):(q^(3)-1)

q^6-1=(q^(3))^2-1=(q^3-1)*(q^3+10

56: 2= q^3+1
28=q^3+1
28-1=q^3
27=q^3
q=3

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника DAK
AK=AD/2=8 - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

H_(цилиндра)=KD
По теореме Пифагора
KD^2=AD^2-AK^2=16^2-8^2=192
H=sqrt(192)=8sqrt(3)

Треугольник АОК - равнобедренный ( ОA=ОК=R)
∠ КОА=120^(o) Это центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.

Проводим высоту OF в равнобедренном треугольнике, которая одновременно является и медианой и биссектрисой

AF=FK=4
∠FOA= ∠FOK=60^(o) ⇒

AO=AF/sin60^(o)=4/(sqrt(3)/2)=8sqrt(3)/3

V=S_(осн)*H=π*R^2*H=π*(8sqrt(3)/3)^2*(8sqrt(3))=

=512π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

q=b_(2):b_(1)=b_(3):b_(2) =-1/sqrt(2)

S=b_(1)/(1-q)

S=-4sqrt(2)/(1-(-1/sqrt(2))= -4sqrt(2)/(1+(1/sqrt(2))=

=-4sqrt(2)*sqrt(2)/(sqrt(2)+1)= -8/(sqrt(2)+1)=

избавляемся от иррациональности в знаменателе
=-8*(sqrt(2)-1)/(2-1)=8(sqrt(2)-1) - о т в е т

(x^(100))`=100x^(100-1)=100x^(99)

(100^(x))`=100^(x)*ln100

(log_(100)x)`=1/(x*ln100)

Ответ выбран лучшим

(-4^(-5)*x)`=(-4^(-5))*1=-4^(-5)
О т в е т. -4^(-5)*x

Ответ выбран лучшим

q=b_(2):b_(1)=b_(3):b_(2)
q=-2

S_(n)=b_(1)*(q^(n)-1)/(q-1)

S_(15)=1*((-2)^(15)-1)/(-2-1)=(-1/3)*(-32768-1)=10923

Ответ выбран лучшим

7,2+2,8=10
(7,2+2,8)^2=10^2=100

a) Производная cуммы ( разности) равна сумме разности производных:
Перед 6sqrt(x) пропущен знак, поставила ±
f`(x)=(4x^3)`-(x^2/4)` ± (6sqrt(x))`+(3)` =
постоянный множитель можно вынести за знак производной;

по формуле производной степенной функции

(x^( α ))`= α x^( α -1)
=4*3*x^(2) -(1/4)*2x ± 6 * (1/2)x^((1/2)-1)+0=

=12x^2-(x/2) ± 3/sqrt(x);

f`(4)=12*4^2-(4/2) ± 3/sqrt(4) = 192 -2 ±(3/2)
191,5
или
188,5

б)
f`(x)=(7/6)*(x^(-6/7))`=(7/6)*(-6/7)*x^((-6/7)-1)=-1/x^(13/6)

в)
f`(x)=(3cosx-ctgx)`=3*(cosx)`-(ctgx)`=3*(-sinx)-(-1/sin^2x)=

=(1/sin^2x)-3sinx

г)
f`(x)=(2^(x))`-3*(lnx)`+(e^(3))`=2^(x)*ln2-3*(1/x)+0=2^(x)*ln2-(3/x)

д)
f`(x)=3*(log_(2)x)`-(x^(-1))`=(3/x)*(1/ln2)-(-1)*x^(-1-1)=

=3/(x*ln2) + 1/(x^2)

Ответ выбран лучшим

b_(1)=4
b_(2)=-8
q=b_(2):b_(1)=(-8):4=-2

b_(10)=b_(1)*q^(9)=4*(-2)^9=4*(-512)=-2048

Ответ выбран лучшим

b_(5)=1/2
b_(6)=1/6
b_(6)=b_(5)*q
q=b_(6):b_(5)
q=(1/6):(1/2)
q=2/6
q=1/3

b_(7)=b_(6)*q=(1/6)*(1/3)=1/18

7,5-1,5=6
(7,5-1,5)^2=6^2=36

(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x+7>0 ⇒ x > -7
{x+7 ≠ 1 ⇒ x ≠ -6
{(x+1) /(x-3) > 0 ⇒ x < - 1 или х >3
ОДЗ: (-7;-6)U(-6;-1)U(3;+ ∞)

В условиях ОДЗ:
log_(x+7) ((3-x)/(x+1))^2=2*log_(x+7)|(3-x)/(x+1)|=2log_(x+3)((x-3)/(x+1))

= 2*log_(x+7) ((x+1)/(x-3))^(-1) =- 2log_(x+7)(x+1)/(x-3)

-2log_(x+7)(x+1)/(x-3) ≤ 1 - log_(x+7) (x+1)/(x-3)

log_(x+7)(x+1)/(x-3) ≥ -1;

log_(x+7)(x+1)/(x-3) ≥ log_(x+7)(x+7)^(-1)

Применяем метод рационализации

(x+7-1) * ((x+1)/(x-3) -(1/(x+7))) ≥ 0

(x+6)*(x^2+8x+7-x+3)/(x-3)(x+7) ≥ 0

(x+6)*(x^2+7x+10)/(x-3)(x+7) ≥ 0

(x+6)*(x+2)*(x+5)/(x-3)/(x+7) ≥ 0

Применяем метод интервалов

__-__ (-7) _+__ [-6] _-__ [-5] __+___ [-2] _-_ (3) __+___

C учетом ОДЗ

(-7) _+__ (-6) ___ [-5] __+___ [-2] __ (-1) ___(3) __+___

О т в е т. (-7;-6) U [-5;-2] U(3;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Так как
cos(x+45^(o))=cosx*cos45^(o) - sinx*sin45^(o)=
=sqrt(2)/2*(cosx-sinx)
тогда
sqrt(18)*(sqrt(2)/2)*(cosx-sinx)*sinx + 3=sin^2x*(tgx+1);

3sinx*cosx-3sin^2x+3=sin^2x*(tgx+1);

3*sinx*cosx+3*cos^2x=sin^2x*(sinx+cosx)/cosx;

3cosx*(sinx+cosx) = sin^2x*(sinx+cosx)/cosx;

3cos^2x*(sinx+cosx)=sin^2x*(sinx+cosx);

(sinx+cosx)*(3cos^2x- sin^2x)=0

sinx+cosx=0 ⇒ tgx=-1 ⇒ [b] x=(-π/4)+πk, k ∈ Z[/b]

3cos^2x- sin^2x=0 ⇒ tg^2x=3 ⇒

tgx=-sqrt(3) или tgx =sqrt(3)

[b]x=(-π/3)+πn, n ∈ Z [/b] или [b]х=(π/3)+πm, m ∈ Z[/b]

О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z; (-π/3)+πn, n ∈ Z ; (π/3)+πm, m ∈ Z

tg5x=sin5x/cos5x;
cos5x ≠ 0

cos3x*sin5x=sin7x*cos5x

(1/2) sin8x +(1/2)sin2x = (1/2)sin12x+(1/2)sin2x;

sin8x=sin12x

sin8x-sin12x=0

2sin(-2х)*cos(10х)=0

-2*sin2x*cos10x=0

sin(2х)=0 ⇒ (2x)=πk, k ∈ Z ⇒ [b] x=(π/2)*k, k ∈ Z[/b]

или

cos(10)=0 ⇒ (10х)=(π/2)+πn, n ∈ Z⇒ [b]x =(π/20)+(π/10)*n, n ∈ Z[/b]

удовлетворяют условию cos5x ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/10)+(π/5)*m, m ∈ Z

Множества не пересекаются.

О т в е т. x=(π/2)*k, k ∈ Z; x =(π/20)+(π/10)*n,n ∈ Z

(1-cos4x)/2 + (1-cos6x)/2=1;

-cos4x - cos6x=0
cos4x+cos6x=0

2cos5x*cosx=0

cos5x=0 ⇒ 5x=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒ x=(π/10)+(π/5)*n, n ∈ Z

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

Второй ответ включен в первый.

О т в е т. [b] (π/10)+(π/5)*n, n ∈ Z[/b]

Отрезку [0;2π] принадлежат 10 корней:

(π/10)
(π/10)+(π/5)=(3π/10)
(π/10)+(π/5)*2=(5π/10)=(π/2)
(π/10)+(π/5)*3=(7π/10)
(π/10)+(π/5)*4=(9π/10)
(π/10)+(π/5)*5=(11π/10)
(π/10)+(π/5)*6=(13π/10)
(π/10)+(π/5)*7=(15π/10)=(3π/2)
(π/10)+(π/5)*8=(17π/10)
(π/10)+(π/5)*9=(19π/10)

Сумма корней
S=(π/10)+(3π/10)+(5π/10)+(7π/10)+(9π/10)+(11π/10)+(13π/10)+(15π/10)+(17π/10)+(19π/10)=

=(π/10)*(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)= (π/10)*(1+19)*10/2=

= (π/10)*(100)=10π

Ответ выбран лучшим

(сos10x+cos8x)+3*(cos4x+cos2x)=0

2cos9x*cosx +6 cos3x*cosx=0

2cosx*(cos9x+3cos3x)=0

cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

или

cos9x+3cos3x=0
cos3*(3x)+3cos3x=0
Формула
cos3 α =4cos^3 α -3cos α

4cos^33x-3cosx+3cosx=0
cos^33x=0
cos3x=0
3x=(π/2)+πn, n ∈ Z
[b]x=(π/6)+(π/3)*n, n ∈ Z[/b]
Найденные ранее корни входят в это множество.

О т в е т. (π/6)+(π/3)*n, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

tgx=sinx/cosx; cosx ≠ 0

уравнение принимает вид

sinx+tgx-4(cosx+1)=0

sinx*(1+(1/cosx)) - 4*(cosx+1)=0

(cosx+1)*(tgx-4)=0

cosx+1 = 0 ⇒ cosx = -1 ⇒ [b]x=π+2πn, n ∈ Z[/b]

или

tgx - 4 = 0 ⇒ tgx=4 ⇒ [b]x=arctg4+πk , k ∈ Z[/b]

Найденные корни удовлетворяют условию cosx ≠ 0

Ответ выбран лучшим

tgx=sinx/cosx; cosx ≠ 0
По формуле
[b]2sin^2α =1-cosα [/b]
уравнение принимает вид

sinx*((1/cosx)-1)=1-cosx

sinx*(1-cosx)/cosx- (1-cosx)=0

(1-cosx)*(tgx-1)=0

1-cosx = 0 ⇒ cosx = 1 ⇒ [b]x=2πn, n ∈ Z[/b]

или

tgx - 1 = 0 ⇒ [b]x=(π/4)+πk , k ∈ Z[/b]

Найденные корни удовлетворяют условию cosx ≠ 0

Ответ выбран лучшим

Формула
sin^2α =(1-cos2 α )/2

(1-cos2x)/2 + (1-cos4x)/2 +(1-cos6x)/2= 3/2;

cos2x+cos4x+cos6x=0

(cos2x+cos6x)+cos4x=0

Формула
cos α +cos β =2cos( α + β )/2 * cos( α - β )/2

2cos4x *cos2x+cos4x=0
cos4x*(2cos2x+1)=0

cos4x=0 ⇒ 4x=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ [b] x=(π/8)+(π/4)k, k ∈ Z[/b]

или

2сos2x+1=0 ⇒ cos2x=-1/2 ⇒ 2x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒

[b]x=± (π/3)+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

sin^2(5π/6)=(1/2)^2=1/4

(1/4)sin2x + cos2x+1=0
(1/4)*2sinx*cosx+(cos^2x-sin^2x)+(cos^2x+sin^2x)=0

(1/2)sinx*cosx +2cos^2x=0
cosx*((1/2)sinx+2cosx)=0

cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]
или
(1/2)sinx+2cosx=0
tgx=-4
x=arctg(-4)+πn, n ∈ Z
[b]x=-arctg4+πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

По формулам двойного угла
sin4x=2sin2x*cos2x

Тогда левая часть уравнения :
sin2x+0,4sin4x=sin2x+sin2x*cos2x=sin2x*(1+cos2x)=sin2x*2cos^2x

Уравнение принимает вид:
sin2x*2cos^2x=cos^2x
или
cos^2x*(2sin2x-1)=0
cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]
или
sin2x=1/2 ⇒ 2x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(-1)^(k)*(π/12)+(π/2)k, k ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

2cos^2 α=1+cos2α

4cos^26x+8*(1+cos6x)=13;
4cos^26x+8cos6x-5=0
Квадратное уравнение относительно cos6x
cos6x=t
4t^2+8t-5=0
D=64-4*4(-5)=144=12^2

t_(1)=(-8-12)/8=-5/2 или t_(2)=(-8+12)/8=1/2

Обратный переход

cos6x=-5/2 - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ cos6x ≤ 1

или

сos6x=1/2

6x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z
x= ± (π/18)+(π/3)n, n ∈Z
О т в е т. [b] ± (π/18)+(π/3)n, n ∈Z[/b]

Ответ выбран лучшим

а)
4^(6-5x)=4^4
6-5x=4
5x=2
[b]x=2/5[/b]

б)
3^(x^2-4x)=3^(-3)
x^2-4x=-3
x^2-4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=(4-2)/2= [b]1[/b]; x_(2)=(4+2)/2= [b]3[/b]

Ответ выбран лучшим

4cos2x=2cos((π/2)–x)+1;

По формулам приведения
cos((π/2)–x)=sinx

По формулам двойного угла
cos2x=1-2sin^2x

4*(1-2sin^2x)=2sinx+1;

8sin^2x+2sinx-3=0

Квадратное уравнение относительно синуса.
Замена переменной
sinx=t

8t^2+2t-3=0
D=4-4*8*(-3)=100
t_(1)=(-2-10)/8=-12/16=-3/4 или t_(2)=(-2+10)/16=1/2

Обратный переход

sinx=-3/4
x=(-1)^(k)arcsin(-3/4) +πk, k ∈ Z

или

sinx=1/2

x=(-1)^(n)*(π/6)+πn, n ∈ Z

О т в е т. (-1)^(k)arcsin(-3/4) +πk, (-1)^(n)*(π/6)+πn, k, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни

х=(5π/6)-2π=-7π/6
х= -π+arcsin(3/4)
х=-arcsin(3/4)
x=π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(arctgu)`=u`/(1+u^2)

z`_(x)=(y/x)`_(x)/(1+(y/x)^2)= (-y/x^2) / (x^2+y^2)/x^2) = -y/(x^2+y^2)

z`_(y)=(y/x)`_(y)/(1+(y/x)^2)= (1/x) / (x^2+y^2)/x^2) = x/(x^2+y^2)

z`_(x)(M_(o))=z`_(x)(1;1)= - 1/2;

z`_(y)(M_(o))=z`_(x)(1;1) = 1/2;

grad z= z`_(x)* vector{i} + z`_(y)* vector{j}

grad z_(M_(o))= z`_(x)(M_(o))* vector{i} + z`_(y)(M_(o))* vector{j}=

=(-1/2)*vector{i} + (1/2)* vector{j}

Производная по направлению кривой в точке совпадает с производной по направлению касательной.

Угловой коэффициент касательной к кривой

x^2+y^2=2x

Дифференцируем

(x^2+y^2)`=(2x)`

2x+2y*y`=2 ⇒ y`=(2-2x)/2y;

y`=(1-x)/y

y`(M_(o))=y`(1;1)=0

Значит касательная параллельна оси Ох

α =0 ;
β =90^(o)

cos α =1; cos β =0

∂z/∂l =z`_(x)*cos α +z`_(y)*cos β

∂z/∂l _(M_(o)) =(-1/2)*1 +(1/2)*0=-1/2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{14/(24-2x-x^2) > 0 ⇒ 24-2x-x^2 >0 ⇒ x^2+2x-24 <0
{16/(25-x^2) > 0 ⇒ 25-x^2 >0 ⇒ x^2-25 <0
{16/(25-x^2) ≠ 1 ⇒ 25-x^2 ≠ 16 ⇒ x^2 ≠ 9

{(x+6)(x-4) < 0 ; D=4+96=100 (корни -6 и 4) ⇒ -6 < x < 4
{ (x-5)(x+5)< 0 ⇒ -5 < x < 5
{x ≠ ± 3

ОДЗ: (-5;-3) U(-3;3)U(3;4)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(16/(25-x^2) - 1) * (14/(24-2x-x^2) - (16/(25-x^2)) > 0

(16-25+x^2)*(14*(25-x^2)-16*(24-2x-x^2)) / ((25-x^2)^2*(24-2x-x^2))>0

Осталось упростить.
Решить методом интервалов.

((x^2-9)(x+3)(350-14x^2-384+32x+16x^2))/(x-5)^2*(x+5)^2*(x-4)(x+6) < 0

((x-3)(x+3)*2*(x^2+16x-17))/(x-5)^2*(x+5)^2*(x-4)(x+6) < 0

((x-3)(x+3)*2*(x+17)(х-1))/(x-5)^2*(x+5)^2*(x-4)(x+6) < 0

_+_ (-17) _-_ (-6) _+_ (-5) _+_ (-3) _-_ (1) _+_ (3) _-_ (4)_+_ (5) _+_

С учётом ОДЗ

(-5) __+__ (-3) _-_ (1) __+_ (3) _-_ (4)

О т в е т. (-3;1)U(3;4)

a)
F(x;y;z)=x^2-y^2-2xy-x-2y-z
F`_(x)=2x-2y-1
F`_(y)=-2y-2x-2
F`_(z)=- 1

F`_(x)(M_(o))=2*(-1)-2*1-1=-1
F`_(y)(M_(o))= -2*1-2*(-1)-2=-2
F`_(z)(M_(o))=-1

-1*(x+1)-2*(y-1)-1*(z-1)=0 - уравнение касательной плоскости
x+2y+z-2=0

(x+1)/(-1)=(y-1)/(-2)=(z-1)/(-1)- уравнение нормали

б) Поверхность
5y=x^2+z^2 - эллиптический параболоид с осью Оу ( см. рис.)

F(x;y;z)=x^2-5y+z^2
F`_(x)=2x
F`_(y)=-5
F`_(z)=2z

F`_(x)(M_(o))=2*1=2
F`_(y)(M_(o))= -5
F`_(z)(M_(o))=2*(-3)=-6

2*(x-1)-5*(y-2)-6*(z+3)=0 - уравнение касательной плоскости
2x-5y-6z-10=0

(x-1)/2=(y-2)/(-5)=(z+3)/(-6)- уравнение нормали
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=6x-2
z`_(y)=6y-2

Находим стационарные точки
{z`x=0
{z`y=0

{6x-2=0
{6y-2=0

x=1/3; y=1/3 - стационарная точка принадлежит области D

и является внутренней точкой области D.

z``_(xx)=6
z``_(xy)=0
z``_(yy)=6

A=6; B=6; C=0
Δ=AB-C^2>0
(1/3;1/3) - точка экстремума,
так как А=6>0, то точка минимума.

z(1/3;1/3)=3*(1/3)^2+3*(1/3)^2-2*(1/3)+2*(1/3)+2=8/3

Исследуем функцию на границе:

при[b] y = 1 - x [/b]
Подставляем в уравнение
z=3x^2+3*(1-x)^2-2x-2*(1-x)+2
z=3x^2+3-6x+3x^2-2x-2+2x+2
z=6x^2-6x+3
функция одной переменной, исследуем ее при 0 ≤ x ≤ 1
z`=12x-6
z`=0
x=1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
при х=1/2; y=1/2
z=6*(1/4)-3+3= [b]3/2[/b]

при х=0; y=1
[b]z=3[/b]
при
x=1;y=0
[b]z=3[/b]

при [b]x=0[/b]
z=3y^2-2y+2 – функция одной переменной, исследуем ее при 0 ≤ y ≤ 1
z`=6y-2
z`=0
y=1/3 - точка
[b]z(0;1/3)= 5/3[/b]

При [b]y=0[/b]
z=3x^2-2x+2 - функция одной переменной, исследуем ее при 0 ≤ x ≤ 1
z`=6x-2
z`=0
x=1/3 - точка минимума
[b]z(1/3;0)= 5/3[/b]

Выбираем наибольшее и наименьшее
z(0;1)=z(1;0)= [b]3[/b] - наибольшее значение функции
z=(1/2;1/2)= [b]3/2[/b] - наименьшее значение функции
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1а)
D(z)={(x;y)|3-x^2-y^2 ≥ 0}
3-x^2-y^2 ≥ 0 ⇒ x^2+y^2 ≤ 3 - внутрення часть круга вместе с границей.
Центр круга в точке (0;0)
R=sqrt(3)

2б)
D(z)={(x;y)|4+4х-y^2> 0}
4+4х-y^2> 0 ⇒4(x+1)>y^2 - внутренняя часть параболы
4(х+1)=y^2 c центром (-1;0) ветви в направлении оси ОХ,
граница пунктирной линией

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1

Решаем неравенство методом интервалов.

Находим нули функции
f(x)=sqrt(x-1)*(x-2)*(x+1)

sqrt(x-1)=0 ⇒ x = 1
или
x-2=0 ⇒ x = 2
или
x+1=0 ⇒ x = -1 не входит в ОДЗ

Расставляем знак функции на ОДЗ.

Неравенство строгое, нули функции отмечаем пустым кружком,
на рисунке круглые скобки:

(1) __-__ (2) __+__

На (2;+ ∞ ) ставим знак +,
так как в произвольной точке этого промежутка,
например в точке х=10
f(10)=sqrt(10-1)((10-2)*(10+1)>0

Далее знаки чередуются справа налево.

О т в е т. (1;2)

По формулам двойного угла:
сos6x=cos^23x-sin^23x
или
сos6x=1-sin^23x-sin^23x

Уравнение:
3+5sin3x=1-2sin^23x - квадратное.

Замена переменной
sin3x=t

2t^2+5t+2=0
D=25-4*2*2=9
t_(1)=(-5-3)/4=-2; t_(2)=(-5+3)/4=-1/2;

[b] sin3x=-2[/b]
Уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ sin3x ≤ 1

или

[b] sin3x=-1/2[/b]

3х=(-1)^(k)*arcsin(-1/2)+π*k, k ∈ Z

3x=(-1)^(k)*(-π/6)+π*k, k ∈ Z

x=(-1)^(k+1)*(π/18)+(π/3)*k, k ∈ Z - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(π-x)=sinx

По формулам двойного угла:
2sin^2(x/2)=1-cosx
2cos^2(x/2)=1+cosx

Уравнение:

sinx/(1-cosx) = 1+cosx

(sinx-(1+cosx)*(1-cosx))/(1-cosx)=0

(sinx-(1-cos^2x))/(1-cosx)=0

(sinx - sin^2x)/(1-cosx)=0

{sinx-sin^2x=0
{1-cosx ≠ 0 ⇒ cosx ≠ 1 ⇒ x ≠ 2πm, m ∈ Z

sinx-sin^2x=0
sin*(1-sinx)=0

[b]sinx= 0[/b] ⇒ x=πk, k ∈ Z

Условию x ≠ 2πm, m ∈ Z не удовлетворяют корни при k=2m,

при k=2m+1 корни являются корнями данного уравнения и их
можно записать так :

x=π*(2m+1), m ∈ Z

[b] 1-sinx=0[/b] ⇒ sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. x=π*(2m+1), m ∈ Z; x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

Отрезку [7π/2; 5π]

принадлежат корни

x=5π; x=9π/2 (прикреплено изображение)

По формулам двойного угла
sin2x=2*sinx*cosx
Тогда уравнение примет вид:
2*sinx*cosx+2*cos^2x+cosx=0

cosx*(2sinx+2cosx+1)=0

cosx=0 или 2sinx+2cosx+1=0

[b]сosx=0[/b] ⇒ x=(π/2)+πm, m ∈ Z

или

[b]2sinx+2cosx+1=0[/b]

Так как
sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
1=cos^2(x/2)+sin^2(x/2),

то получим уравнение:
4sin(x/2)*cos(x/2)+2cos^2(x/2)-2sin^2(x/2)+cos^2(x/2)+sin^2(x/2)=0

3cos^2(x/2)+4sin(x/2)*cos(x/2)-sin^2(x/2)=0

однородное тригонометрическое уравнение

Делим на cos^2(x/2)≠ 0

tg^2(x/2) -4tg(x/2) -3=0

D=16+12=28

tg(x/2)=(4-2sqrt(7))/2 или tg(x/2)=(4+2sqrt(7))/2

tg(x/2)=2-sqrt(7) или tg(x/2)=2+sqrt(7)

x/2=arctg(2-sqrt(7))+πk или x/2=arctg(2-sqrt(7))+πn, k,n ∈ Z

x=2arctg(2-sqrt(7))+2πk или x=2arctg(2-sqrt(7))+2πn, k,n ∈ Z

О т в е т.
(π/2)+πm;2arctg(2-sqrt(7))+2πk;2arctg(2-sqrt(7))+2πn, m, k,n ∈ Z

Для решения уравнения
[b]2sinx+2cosx+1=0[/b]
можно приметить метод введения вспомогательного угла.

sinx+cosx=-1/2

Делим обе части уравнения на sqrt(2):

(1/sqrt(2)) sinx + (1/sqrt(2))cosx= -1/2sqrt(2);

пусть
sin φ =1/sqrt(2); cos φ =1/sqrt(2)⇒ φ =π/4

тогда уравнение можно записать так:

sinx*sin(π/4)+cosx*cos(π/4)=-1/2sqrt(2)

cos(x - (π/4))= - sqrt(2)/4; 1/2sqrt(2)=sqrt(2)/4

x - (π/4)= ± arccos( - sqrt(2)/4)+ 2πn, n ∈ Z

x=(π/4) ± ( π - arccos(sqrt(2)/4)) + 2πn, n ∈ Z

О т в е т.
x=(π/4) ± ( π - arccos(sqrt(2)/4)) + 2πn, n ∈ Z

и

О т в е т.

2arctg(2-sqrt(7))+2πk ; 2arctg(2-sqrt(7))+2πn, k,n ∈ Z

это один и тот же ответ

Ответ выбран лучшим

Область
{x_(1)+x_(2) ≤ 5
{3x_(1)-x_(2) ≤ 3
на рис. 1

Область
{x_(1)+x_(2) ≤ 5
{3x_(1)-x_(2) ≤ 3
{x_(1)≥ 0
{x_(2)≥ 0
на рис. 2

Над этой областью расположена поверхность
z=3x_(1)+5x_(2) - плоскость в пространстве, проходящая через ось Оz.

На плоскости x_(1)Ox_(2)
след этой плоскости
прямая
3x_(1)+5x_(2)=0

Плоскость z=3x_(1)+5x_(2)
проходит только через точку (0;0) выделенной области.
Поэтому функция принимает наименьшее значение 0

z=(0;0)=3*0+5*0=0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{cosx≠0 ( иначе tgx не существует)
{tg^2x+1 ≠ 0 , так как tg^2x ≥ 0 при условии первого неравенства

Так как
1+tg^2 α=1/cos^2 α
и
по формулам приведения
sin(3π+2x)=-sin2x

sin2x=2*sinx*cosx

Уравнение принимает вид:
2*cos^2x=-6sinx*cosx
2*cos^2x+6sinx*cosx=0
2cosx*(cosx+3sinx)=0

cosx ≠ 0 ( cм. ОДЗ)

cosx+3sinx=0
3sinx=-cosx - однородное уравнение первой степени, делим на sinx≠ 0

ctgx=-3
x=arcctg(-3)+πk, k ∈ Z
x= - arctg(3)+πk, k ∈ Z

A) О т в е т. - arctg(3)+πk, k ∈ Z

Б) Указанному отрезку принадлежат корни:
-arcctg3-π; -arcctg3; -arctg3+π

см. рис.
Так как указанный отрезок включает 5 раз по π/2
рисунок нарисовала отдельно
для [-3π/2;0] и для (0;π] (прикреплено изображение)

F(x)=(1+x)/x
Область определения (- ∞; 0) U (0;+ ∞)

F`(x)=((1+x)`*x-(1+x)*x`)/x^2
F`(x)=(x-1-x)/x^2
F`(x)=-1/x^2

F`(x) < 0 на (- ∞; 0) U (0;+ ∞)
F(x) убывает на (- ∞; 0) U (0;+ ∞) (прикреплено изображение)

S(x)=(x^3+432)/x
Можно считать производную по формуле производная дроби
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
S`(x)=(3x^2*x-(x^3+432)*x`)/x^2
S`(x)=(2x^3-432)/x^2

Можно считать производную как производную суммы
S`(x)=(x^2)`+432*(x^(-1))`
S`(x)=2x-432*x^(-2)
S`(x)=2x-(432/x^2)

S`(x)=(2x^3-432)/x^(2)

S`(x)=0

2x^3-432=0
x^3=216
x=6

производная y` <0 на (0;6) и y`>0 при х >6

(0)___-___ (6) ___+__

x=6 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

y(6)=108/36=3

О т в е т. х=6; y=3, т.е размеры 6 × 6 ×3

Ответ выбран лучшим

Перестановки 7-элементного множества с повторениями.
Повторяются
один- две цифры
пять - две цифры
шесть - две цифры

P(2;2;2;1)=P_(7)/P_(2)*P_(2)*P_(2)=7!/(2!*2!*2!)=630

Всего получаем 630 различных перестановок цифр числа.

Чтобы никакие две цифры не шли рядом, подсчитаем число перестановок, при которых [b] наоборот,[/b]
цифры идут друг за другом

Для этого свяжем их в пары.
получим 4-х элементное множество
Р_(4)=4!=24

630-24=606

О т в е т. 606

Потому что
при четных n=2k
a_(2k)=2^(2k) последовательность "растёт": 4; 16;...
при нечётных n=2k+1
a_(2k+1)=2^(2k+1)+(-2)^(2k+1)=2^(2k+1)+(-1)^(2k+1)*2^(2k+1)=

=2^(2k+1)-2^(2k+1)=0

Поэтому последовательность чередуется
0;4;0; 16; ...

Нет такого номера, начиная с которого все элементы последовательность окажутся в окрестности какого- нибудь числа или в окрестности + ∞

Миллионный в окрестности нуля, а миллион первый в окрестности
+ ∞
Так и бегают...
Нигде не сгущаются.

ОДЗ:
{x>0
{x ≠1

(log_(2)(2x)=log_(2)2+log_(2)x=1+log_(2)x;
log_(x)2=1/log_(2)x

log_(2)x=t

((1/t)-1)*(t+1) ≤ 3/2

(1-t)(t+1)/t - (3/2) ≤ 0

(2- 2t^2 -3t)/(t) ≤ 0

Умножаем на (-1)
(2t^2+3t-2)/t ≥ 0

Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя:
2t^2+3t-2=0
D=9-4*2*(-2)=25
t_(1)=(-3-5)/4=-2; t_(2)=(-3+5)/4=1/2;

__-__ [-2] _+__ (0) _-__ [1/2] __+__

-2 ≤ t < 0 или t ≥ 1/2

Обратный переход

-2 ≤ log_(2)x < 0 или log_(2)x ≥ 1/2
log_(2)(1/4) ≤ log_(2)x < log_(2)1 или log_(2)x ≥ log_(2)sqrt(2)

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает,большему значению функции соответствует большее значение аргумента
1/4 ≤ x < 1 или х ≥ sqrt(2)

Найденные решения входят в ОДЗ
О т в е т. [1/4; 1) U [sqrt(2);+ ∞ )

ОДЗ:
{x^2+6 > 0 при любом х;
{x>0
{x^2–3>0 ⇒ x < - sqrt(3) или x> sqrt(3)
{x^2–3 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 2

ОДЗ:(√3;2)U(2;+ ∞ )

log_(x^2–3)(x^2+6) ≥ log_(x^2–3)(7x)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^2–3–1)·(x^2+6–7x) ≤ 0
(x^2–4)·(x^2–7x+6) ≤ 0
(x+2)*(x-1)*(x-2)*(x-6)≤ 0

__+__ [–2] __–__ [1] __+__ [2] ____–____ [6] __+___

с учетом ОДЗ
О т в е т. (√3;2) U [6;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Δ АВС - равнобедренный (АВ=ВС) Значит, ∠ А= ∠ С=(180^(o)-50^(o))/2=65(o)
ΔBC_(1)C прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов.
∠ В=50 градусов, значит ∠ ВСС_(1)=40 градусов
∠ АСС_(1)= ∠ С- ∠ ВСС_(1)= 65 градусов - 40 градусов =15 градусов

Аналогично,
ΔАА_(1)В прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов.
∠ В=50 градусов, значит ∠ 2= ∠А_(1)АВ=40 градусов
∠3= ∠ А_(1)АС= ∠ А- ∠ ВАА_(1)= 65 градусов - 40 градусов =25 градусов

Сумма углов треугольника НАС равна 180 градусов.
∠ АНС= 180 градусов - 25 градусов - 25 градусов=130 градусов
∠ 1= ∠ АНС =130 градусов как вертикальные

[b]Решение задачи предполагает нахождение
какой-то закономерности, которая упростит вычисления.[/b]

Постараемся ее найти:

По условию y=x^2 - 2 пересекается с прямой y= f(x)
Пусть f(x)=kx+m
Осуществим параллельный перенос на 2 единицы вверх
Получим

[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x) + 2 [/b] в точках А и В
[b]АВ=sqrt(26)[/b]

[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x)+1[/b] в точках C и D
СD=3sqrt(2)

[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x)[/b] в точках M и N
[b]Найти MN[/b]

Получили [b]три[/b] одинаковых предложения,
которые помогут составить равенства.

[b]Подробно считаем только для точек А и В.
Пусть A (x_(A);y_(A)); B(x_(B);y_(B))[/b].

По формуле расстояния между двумя точками:

[b]AB^2=(y_(B)-y_(A))^2+(x_(B)-x_(A))^2[/b]
так как
y_(B)-y_(A)^2=(x^2_(B)-x^2_(A))^2=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2, то

AB^2=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2+ (x_(B)-x_(A))^2

[b]26=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2+ (x_(B)-x_(A))^2 (#) [/b]

Так как
[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x) + 2 [/b] в точках А и В,
значит координаты точек А и В можно найти из уравнения:
x^2=kx+m+2
x^2-kx-(m+2)=0

[b]По теореме Виета[/b]
x_(B)+x_(A)=k
x_(B)*x_(A)=-(m+2)
⇒
x^2_(B)+2x_(B)*x_(A)+x^2_(A)=k^2

x^2_(B)+2*(-m-2)+x^2_(A)=k^2
[b]x^2_(B)+x^2_(A)=k^2+2(m+2)[/b]

Подставляем в (#)

26=(k^2+1)*(k^2+2*(m+2)+2*(m+2))
[b]26=(k^2+1)*(k^2+4*(m+2))[/b] ( уравнение (1))

[b]Аналогично[/b]

для пары точек С и D:

из уравнения
x^2=kx+m+1
x^2-kx-(m+1)=0
x_(D)+х_(C)=k
x_(D)*x_(C)=-(m+1)

CD^2=(x_(D)+x_(C))^2*(x_(D)-x_(C))^2+(x_(D)-x_(C))^2

18=(x_(D)+x_(C))^2*(x_(D)-x_(C))^2+(x_(D)-x_(C))^2

18=(k^2+1)*(k^2+2*(m+1)+2*(m+1))

[b]18=(k^2+1)(k^2+4*(m+1))[/b] ( уравнение (2))

[b]и для пары точек M и N[/b]

из уравнения
x^2=kx+m
x^2-kx-m=0
x_(N)+х_(M)=k
x_(N)*x_(M)=-m

MN^2=(x_(N)+x_(M))^2*(x_(N)-x_(M))^2+(x_(N)-x_(M))^2

[b]MN^2=(k^2+1)(k^2+4m)[/b]

из [b] уравнений (1) и (2)[/b]

находим
k^2 и m
и подставляем в выражение для MN

Вычитаем
(1) - (2)

26 - 18 = 4k^2+4 ⇒ k^2=1

подставляем в уравнение (1):

26=(1+1)(1+4*(m+2)) ⇒ 13=1+4*(m+2) ⇒ m+2=3 ⇒ m=1

MN^2=(k^2+1)(k^2+4m)
MN^2=(1+1)*(1+4)
MN^2=10
[b]MN=sqrt(10)[/b]

О т в е т. sqrt(10) (прикреплено изображение)

Пусть х км в час первоначальная скорость, (х+20) км в час - скорость на обратной дороге
(240/х) час - время по дороге до супермаркета
(240/(х+20)) час. -время по дороге обратно.
По условию а время по дороге до супермаркета затрачено на 2 часа больше. ( по дороге обратно стоянка 2 часа)

Уравнение

(240/x)-(240/(x+20))=2
120(x+20)-120x=x*(x+20)
x^2+20x-2400=0
D=400+9600=10000
x=(-20+100)/2=40 второй корень отрицательный, не удовл. задаче

О т в е т. 40 км в час.

2^x=t
t>0

1/(1+t) -2/(t^2-t+1) < (1-2t)/(t^3+1);

(t^2-t+1-2-2t -(1-2t))/(t^3+1) <0

(t^2-t-2)/(t^3+1) <0

(t+1)(t-2)/(t^3+1) < 0

___ (0) ___-__ (2) __+__

0 < t < 2

{2^(x)> 0 выполняется при любом х
{2^(x) < 2 ⇒ x < 1

О т в е т. (- ∞ ;1)

Ответ выбран лучшим

1)
Так как
tg α * ctg α =1, то

tg2a+ctg3b= (1/ ctg2a)+(1/tg3b) =(tg3b+ctg2a)/(ctg2a * tg3b), тогда

(tg2a+ctg3b) / (ctg2a+tg3b) =1/(сtg2a * tg3b)= tg2a/tg3b

2) cosa+cos(120^(o)–a)+cos(120^(o)+a) = 0

cos(120^(o)–a)+cos(120^(o)+a)=2*cos(120^(o))*cos(120^(o)-a)=

=2*(-1/2)*cos(-a)=- cos(-a)

тогда
cosa+cos(-a)=0

sinx+cosx=0,2

Применяем формулы двойного угла:
sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
cosx=cos^2(x/2)-sin^(x/2)
и
1=sin^2(x/2)+cos^2(x/2)

2sin(x/2)*cos(x/2)+cos^2(x/2)-sin^(x/2)=0,2*(sin^2(x/2)+cos^2(x/2))
0
1,2sin^2(x/2)-2sin(x/2)*cos(x/2)-0,8cos^2(x/2)=0

Однородное тригонометрическое уравнения второго порядка.
Делим на соs^2(x/2)

Замена
tg(x/2)=t

12t^2-20t-8=0

3t^2-5t-2=0
D=25-4*3*(-2)=49
t=(5 ± 7)/6
[b]tg(x/2)=2[/b] или [b] tg(x/2)=-1/3[/b]

2)
[b]arctg (1/4)= α[/b] ⇒ α ∈ [0;π/2]
Вообще множество значений функции y=arctgx
это [-π/2;π/2]
Но так как аргумент (1/4), это означает , что угол α ∈ [0;π/2]
Функции y=tgx и y =arctgx взаимно обратны на [-π/2;π/2]
Поэтому из того, что
arctg (1/4)= α⇒ tg α =1/4;

Или

tg(arctg(1/4))=tgα
1/4=tgα

Далее стандартная задача
tg α =1/4; α ∈ [0;π/2]
Найти sinα; cosα
Применяем формулу:
cos^2 α =1/(1+tg^2 α );

cos^2α=1/(1+(1/4)^2);
cos^2α=1/(1+(1/16))=16/17

cos α =4/sqrt(17)

Так как sin^2α+cos^2α=1, то
sin α =1/sqrt(17)

arccos(3/5)= β ⇒ cos β =3/5; β ∈ [0;π/2];
Так как sin^2β+cos^2β=1, то
sin β =4/5

cos(2arctg(1/4)+arccos(3/5))=cos(2 α + β )=

=cos2 α *cos β -sin2 α *sin β =

=(cos^2 α -sin^2 α )*cos β - 2sin α *cos α *sin β=

=((16/17)-(1/17))*(3/5) -2 *(1/sqrt(17))*(4/sqrt(17) ) * (4/5)=(9/17)-(32/85)=

=(45-32)/85=[b]13/85[/b]

Вычислим:
sin(arccos(7/8))=sin(2arcsin(1/4))

Считаем
sin(arccos(7/8))
Пусть arccos(7/8)= α , α ∈ [0;π/2]
cos α =7/8;
sin α =+sqrt(1-cos^2 α )=sqrt(1-(7/8)^2)=sqrt(15)/8

считаем
sin(2arcsin(1/4))
arcsin(1/4)= β , β ∈ [0;π/2]
sin β =1/4
cos β =sqrt(1-(1/4)^2)=sqrt(15)/4
sin2 β =2*sin β *cos β = 2*(1/4)*sqrt(15)/4

правая часть sqrt(15)/8 равна левой 2*(1/4)*sqrt(15)/4
верно.

2)
arcsin(4)/(5) + arcsin(5)/(13) + arcsin (16)/(65) = π/2

sin(arcsin(4)/(5) + arcsin(5)/(13) + arcsin (16)/(65))=sin(π/2)

arcsin(4/5)= α ⇒ sin α =4/5; α ∈ [0;π/2] ; cos α =3/5
arcsin(5)/(13)= β ⇒ sin β =5/13 ; β ∈ [0;π/2] ; cos β =12/13
arcsin (16)/(65)= γ ⇒ sinγ =16/65 ; γ ∈ [0;π/2] ; cos γ =63/65

sin( α + β + γ )=sin(( α + β )+ γ )=sin( α + β )*cos γ +cos( α + β )*sin γ =

=(sin α cos β +cos α sin β )*cos γ +(cos α *cos β -sin α *sin β )*sin γ

=((4/5)*(12/13)+(3/5)*(5/13)) * (63/65) + ((3/5)*(12/13) - (4/5)*(5/13)) * (16/65)=

=(63/65)^2+(16/65)^2=(3969+256)/4225=4225/4225=1

sin(π/2)=1
О т в е т. верно

Ответ выбран лучшим

8а) по частям
u=x
dv=dx/sin^2x
du=dx
v=-ctgx

=(-x*ctgx)|^(π/3)_(π/4)- ∫ ^(π/3)_(π/4)(-ctgx)dx=

=-(π/3)*ctg(π/3)+(π/4)ctg(π/4) + ∫ ^(π/3)_(π/4)d(sinx)/sinx=

=(π/4)-(π*sqrt(3)/9) +ln|sinx||^(π/3)_(π/4)=

=(π/4)-(π*sqrt(3)/9) +ln|sin(π/3)|-ln|sin(π/4)|=

=(π/4)-(π*sqrt(3)/9) +ln(sqrt(3)/sqrt(2)).

8б
Замена
sqrt(3x+2)=t
3x+2=t^2
x=(t^2-2)/3
dx=2tdt/3

4x-1=4*(t^2-2)/3 - 1= (4t^2-11)/3
Меняем пределы интегрирования
x=0 ⇒ t=sqrt(3)
x=2 ⇒ t=sqrt(8)

получим

∫ ^(sqrt(8))_(sqrt(3))((4t^2-11)/3)*(2tdt/3)*(1/t)=

=(2/9)∫ ^(sqrt(8))_(sqrt(3))(4t^2-11)dt=

=(2/9)*(4t^3/3)|(sqrt(8))_(sqrt(3)- (22/9)(x)|^(sqrt(8))_(sqrt(3)=

=(8/17)(sqrt(8))^3-(8/17)(sqrt(3))^3-(22/9)*(sqrt(8)-sqrt(3))=

=(128sqrt(2))/17 - (24sqrt(3)/17)-(44sqrt(2)/9) +(22sqrt(3)/9)

можно привести подобные 1 и 3, 2 и 4

x^2=3x+4
x^2-3x-4=0
D=9+16=25
х=(3-5)/2=-1 или х=(3+5).2=4

S= ∫ ^(4)_(1) ((3x+4)-x^2)dx=

=((3x^2/2)+(4x)- (x^3/3))|^(4)_(-1)=

=(3/2)*(4^2-(-1)^2) +4*(4-(-1))-(1/3)*(4^3-(-1)^3)=

=68 целых 5/6 (прикреплено изображение)

6.

∫ ^(+ ∞ )_(0)dx/(4+x^2)=lim_(A→+∞) ∫ ^(A)_(0)dx/(4+x^2)=

=lim_(A→+∞)(1/2)atctg(x/2)| ^(A)_(0)=

=(1/2)*lim_(A→+∞)atctg(A/2)-(1/2)arctg0=

=(1/2)*(π/2)=π/4
Сходится

8
∫ ^(+ ∞ )_(1)dx/sqrt(2x+3)=lim_(A→+∞) ∫ ^(A)_(0)dx/sqrt(2x+3)=

=lim_(A→+∞) (1/2) ∫ ^(A)_(0)d(2x+3)/sqrt(2x+3)=

=lim_(A→+∞)(1/2)* (2*sqrt(2x+3))| ^(A)_(1)=

=lim_(A→+∞) sqrt(2*A+3)- sqrt(5)=+ ∞

Расходится.

10
=lim_(A→+∞)(1/ln2)*(-1/(1+2^x))|^(A)_(0)=

=(1/ln2)(0+1)=1/ln2

Сходится

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) неверно, так как в {2,3,4,5} нет элемента 1
б) верно.
в) неверно
Z ∩ Q= Z содержит целые числа, в том числе и натуральные
Q\N не содержит натуральных чисел

Подмножество содержит натуральные числа и не может быть частью множества эти числа не содержащего.

г) верно
R\Q - множество иррациональных чисел
Z - множество целых чисел

Пересечение множества иррациональных чисел и множества целых чисел в самом деле пусто

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию задачи: автомобили встретились через час,
значит каждый проехал расстояние, [b]численно равное скорости[/b].

Пусть скорость первого х в час.,
первый до встречи проехал пусть АС
АВ=90;
АС=х
значит BC=90-x
поэтому скорость второго (90-х) км в час

После встречи первый проехал путь ВС, т.е (90-х) км,

(90-х)/х час. - время первого на отрезке ВС

Второй после встречи проехал путь СА, т.е. х км

х/(90-х) час. - время второго на СА
Время первого на 27 мин больше

Уравнение:

[b](90-x)/x - x/(90-x)=27/60[/b]

Замена
(90-x)/x=t; тогда x/(90-x)=1/t

t - (1/t) =9/20

20t^2- 9t -20=0
D=81-4*20*(-20)=81+1600=1681=41^2

t=(9+41)/40=5/4

второй корень отрицательный и не удовл. смыслу задачи

Обратная замена
[b](90-x)/x=5/4[/b]

пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции

5x=360-4x
9x=360
x=40
90-x=50

О т в е т. 40 км в час - cкорость первого и 50 км в час- скорость второго. (прикреплено изображение)

Значит, квадратное уравнение
x^2-(3m+1)x+m =0 имеет один или два корня
и оба корня расположены правее точки 1
( cм. рис)

Требования задачи будут выполнены, если
(1)
D≥ 0
D=(3m+1)^2-4m=9m^2+6m+1-4m=9m^2+2m+1
(2)
f(1) ≥ 0
(3)
x_(o)>1

{9m^2+2m+1 >0 при любом m
{1-(3m+1)+m ≥ 0 ⇒ m ≤ 0
{(3m+1)/2 ≥ 1 ⇒ 3m+1 ≥ 2 ⇒ m ≥ 1/3

О т в е т. [1/3; 0] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначив
sqrt(ax-x^2-π^2)=y
y ≥ 0

Получим уравнение
siny + cos2y=0
Так как cos2y=1-2sin^2y

siny + 1 - 2sin^2y = 0
2sin^2y - siny - 1 = 0
Квадратное уравнение
D = 1 - 4*2*(-1) = 9

siny = -1/2 или siny = 1

Обратный переход

sinsqrt(ax-x^2-π^2)=-1/2 или sinsqrt(ax-x^2-π^2)=1

Требование задачи означает, что либо одно уравнение имеет два корня, либо каждое из уравнений имеет по одному корню.

[b]sinsqrt(ax-x^2-π^2)=-1/2[/b]

sqrt(ax-x^2-π^2)=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈[b] N[/b]

или
[b]sinsqrt(ax-x^2-π^2)=1[/b]

sqrt(ax-x^2-π^2)=(-3π/2)+2πn, [b] N[/b]

sqrt(ax-x^2-π^2)=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈[b] N[/b]
значит
sqrt(ax-x^2-π^2)=7π/6 или sqrt(ax-x^2-π^2)=11π/6 или sqrt(ax-x^2-π^2)=23π/6 ...

Рассмотрим
y=sqrt(ax-x^2-π^2) , y ≥ 0

-x^2+ax-π^2 ≥ 0
x^2-ax+π^2 ≤ 0
D=a^2-4π^2
a^2-4π^2 ≥ 0 ⇒ a ≤ -2π или a ≥ 2π
При a ∈ (- ∞ ; - 2π] U [2π; + ∞ ) sqrt(ax-x^2-π^2) имеет смысл

Возводим y=sqrt(ax-x^2-π^2) , y ≥ 0 в квадрат

y^2=ax-x^2-π^2
x^2-ax+y^2=-π^2
Выделим полный квадрат
(x-(a/2))^2+y^2=(a^2/4)-π^2

Уравнение окружности с центром в точке (a/2;0) и радиусом R^2=(a^2/4)-π^2
т.е. функция y=sqrt(ax-x^2-π^2) , y ≥ 0 [b]ограничена[/b]

Найдем при каких значениях параметра a
полуокружность (x-(a/2))^2+y^2=(a^2/4)-π^2; y ≥ 0

пересекается с прямыми y=7π/6; y=11π/6;... y=π/2; y=5π/2;.. ровно в двух точках

Ответ выбран лучшим

В задаче фактически две задачи:

(1) уравнение
(x-3)*sqrt(x^2-6x+8)=0
и
(2) неравенство
(x-3)*sqrt(x^2-6x+8) >0

Решаем (1).
Произведение равно 0, если хотя бы один множитель равен 0, а второй при этом [b]не теряет смысла[/b]
x-3=0 или sqrt(x^2-6x+8)=0
x=3
или
x^2-6x+8=0
D=36-2=4
x=2 или х=4

x=3 не является корнем уравнения,
так как при х=3 sqrt(x^2-6x+8) не существует
о т в е т (1): {2;4}

Решаем (2).
Так как sqrt(x^2-6x+8) > 0 при [b] x^2-6x+8 > 0[/b]
В неравенстве один из множителей положителен,
значит второй отрицателен

x-3 < 0⇒ x < 3

c учетом условия [b] x^2-6x+8 > 0[/b] ⇒ (x-2)(x-4) > 0⇒ x < 2 или x >4

Получаем систему неравенств:
{x-3 <0;
{x^2-6x+8>0
о т в е т (2) :(- ∞; 2)

Объединив ответы (1) и (2) получим
О т в е т. (- ∞; 2] U {4}

1.
Переходим к основанию 3:
При этом используем свойства логарифмов:

log_(sqrt(3))5=log_(3)5/log_(3)sqrt(3)=log_(3)5/log_(3)3^(1/2)=

log_(3)5/(1/2)=2log_(3)5

log_(25)6=log_(3)6/log_(3)25=log_(3)6/log_(3)5^2=

=log_(3)6/(2*log_(3)5)

log_(6)27=log_(3)3^3/log_(3)6=3log_(6)3/(log_(3)6)

Получаем
(2log_(3)5) *(log_(3)6/(2*log_(3)5)) *(3log_(6)3/(log_(3)6)) =

=(2/2)*3=3

2.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

Получаем

∫ ^(16)_(4)(sqrt(x))^3dx/x^2 + ∫ ^(16)_(4) ((x/4)-3)^3dx =

(1)
∫ ^(16)_(4)(sqrt(x))^3dx/x^2= ∫ ^(16)_(4) x^(-1/2)dx
=(x^((-1/2)+1)/(1/2))|^(16)_(4)=
=2sqrt(x)|^(16)_(4)=2sqrt(16)-2sqrt(4)=2*4-2*2=4

(2)
∫ ^(16)_(4) ((x/4)-3)^3dx =[ замена переменной u=(x/4)-3; d((x/4)-3)=(1/4)dx
dx=4((x/4)-3)^3
=4 ∫^(16)_(4)((x/4)-3)^34((x/4)-3)^3=4*((x/4)-3)^4/4)|^(16)_(4)=

=((16/4)-3)^4-((4/4)-3)^4= 1- 16= -15

О т в е т. 4-15=-11

Ответ выбран лучшим

1.
Переходим к основанию 2.
При этом используем свойства логарифмов:

log_(sqrt(7)2*=log_(2)2/log_(2)sqrt(7)=1/log_(2)7^(1/2)=2/log_(2)7;
log_(4)5=log_(2^2)5=(1/2)log_(2)5
log_(125)49=log_(5^3)7^2=(2/3)log_(5)7=(2/3)*log_(2)7/log_(2)5

Получаем
(2/log_(2)7) *( (1/2)log_(2)5) *( (2/3)*log_(2)7/log_(2)5) =

2*(1/2)*(2/3)=2/3

2.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

Получаем

∫ ^(4)_(1)sqrt(x)dx/x +8 ∫ ^(4)_(1) (2x-5)^3dx =

(1)
∫ ^(4)_(1)sqrt(x)dx/x = ∫ ^(4)_(1)(x^(-1/2)dx = (x^(1/2)/(1/2))|^(4)_(1)=

=2sqrt(x)|^(4)_(1)=2sqrt(4)-2sqrt(1)=2

(2)
∫ ^(4)_(1) (2x-5)^3dx =[ замена переменной u=2x-5; d(2x-5)=2dx
dx=d(2x-5)/2]
=(1/2) ∫^(4)_(1) (2x-5)^3d(2x-5)=(1/2)*((2x-5)^4/4)|^(4)_(1)=

=(1/8)*(2*4-5)^4- (1/8)*(2*1-5)^4=(1/8)*(81-81)=0

О т в е т. 2 + 8 * 0=2

3.
В задаче фактически две задачи:

(1) уравнение
(x-1)* sqrt(x^2-x-2) =0
и
(2) неравенство
(x-1)* sqrt(x^2-x-2) >0

Решаем (1).
Произведение равно 0, если хотя бы один множитель равен 0, а второй при этом [b]не теряет смысла[/b]
x-1=0 или sqrt(x^2-x-2)=0
x=1
или
x^2-x-2=0
D=1-2*(-4)=9
x=-1 или х=2

x=1 не является корнем уравнения,
так как при х=1
sqrt(x^2-x-2) не существует
о т в е т (1): {-1;2}

Решаем (2).
Так как sqrt(x^2-x-2) > 0 при [b] x^2-x-2 > 0[/b]

В неравенстве один из множителей положителен,
значит и второй положителен

x-1 > 0⇒ x > 1

c учетом условия [b] x^2-x-2 > 0[/b] ⇒ (x+1)(x-2) > 0⇒ x < -1 или x >2

Получаем систему неравенств:
{x-1 >0;
{x^2-x-2>0
о т в е т (2) :(2;+ ∞)

Объединив ответы (1) и (2) получим

О т в е т. (- ∞; 2] U {4}

5.
v(t)=x`(t)=5+12t -3t^2
a(t)=v`(t)=12-6t
a(t)=0
12-6t=0
t=2

v(2)=5+12*2-3*2^2=17

О т в е т. 17

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x^2-2 ≥0

Показатели
x+√(x^2–2)
x-1+√(x^2–2)
и
x-1+x-1+√(x^2–2)
отличаются на -1

2^(x-1+√(x^2–2))=2^(x+√(x^2–2))*2^(-1)=(1/2)*2^(x+√(x^2–2))

2^(x+√(x^2–2))=t,
t>0 при любом х, так как показательная функция принимает только положительные значения.

4^(x+√(x^2–2)) =(2^2)^( (x+√(x^2–2))=(2^(x+√(x^2–2)))^2=t^2

Уравнение
t^2 -(5/2)t-6=0
2t^2-5t-12=0
D=25-4*2*(-12)=25+96=121
t=(5+11)/4=4 , второй корень отрицательный и не удовл. усл. t >0

Обратный переход
2^(x+sqrt(x^2-2))=4;
x+sqrt(x^2-2)=2;
sqrt(x^2-2)=2-x;
x^2-2=4-4x+x^2;
4x=6
x=3/2 удовл. ОДЗ: (3/2)^2-2 ≥ 0 - верно

О т в е т. 3/2

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами
p=0,45 - вероятность выигрыша
q=1-p=1-0,45=0,55 - вероятность проигрыша

p^2q^3=0,45*0,45*0,55*0,55*0,55 = о т в е т.

Ответ выбран лучшим

[b]Тема.[/b] Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней.

По формулам приведения
sin((5π/2)-x)=cosx
По формулам двойного аргумента
cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1
тогда уравнение примет вид:
2sin2x*cosx -sqrt(3)*sin2x +2cos^2x-1 - sqrt(3)cosx+1=0
sin2x(2cosx-sqrt(3))+cosx*(2cosx-sqrt(3))=0
(2cosx-sqrt(3))*(sin2x+cosx)=0
2cosx-sqrt(3)=0 или sin2x+cosx=0

(1) уравнение
2cosx-sqrt(3)=0
cosx=sqrt(3)/2
[b]x= ± (π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

(2) уравнение
sin2x+cosx=0
2sinx*cosx+cosx=0
cosx=0 или 2sinx+1=0

cosx=0
[b]x= (π/2)+πm, m ∈ Z[/b]

2sinx+1=0
sinx=-1/2
[b]x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

Ответы ± (π/6)+2πn, n ∈ Z и (-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z
имеют пересечение в точке
- (π/6)+2πn, поэтому можно включить в ответ только один раз

О т в е т:
а)± (π/6)+2πn, (π/2)+πm, (-5π/6)+2πk, n , m, k ∈ Z
или
так:
а)(π/6)+πn, (-π/6)+2πk, (π/2)+πm, n , k, m ∈ Z

б)
(π/6);(π/2) и (7π/6) принадлежат отрезку [0;4] (прикреплено изображение)

ОДЗ:
сosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:
2sqrt(3)cos^3x+6cosx=3cos^2x+4sqrt(3)cos^2x
cosx*(2sqrt(3)cos^2x -(3+4sqrt(3))cosx+6)=0
cosx ≠ 0
Решаем квадратное уравнение
D=(3+4sqrt(3))^2-4*2sqrt(3)*6=(3-4sqrt(3))^2
cosx=2 - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ сosx ≤1

cos=sqrt(3)/2
[b]x= ± (π/6)+2πk, k ∈ Z[/b]

Отрезку [-1;3] принадлежат корни
x=(-π/6);(π/6)

Ответ выбран лучшим

3x+4y=25 ⇒ y=(25-3x)/4

z=x^2+((25-3x)^2/16)

z=(1/16)*(25x^2-150x +625)

z`_(x)=50x-150
z`_(x)=0
50x-150=0
x=3 - точка минимума

y=(25-9)/4
(3;4) - точка условного минимума

z(3;4)=25

О т в е т. z_(наименьшее)=25

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=6x^2-y^2+10x
z`_(y)=-2xy+2y

Находим стационарные точки
{z`x=0
{z`y=0

{6x^2-y^2+10x=0
{-2xy+2y=0

{6x^2-y^2+10x=0
{2y*(-x+1)=0 ⇒ y=0; x=1

При y=0
6x^2-10x=0
x=0; x=5/3

При х=1
y^2=16
y= ± 4

Ни одна из них не является внутренней точкой области D.

Исследуем функцию на границе:
при[b]y=x[/b]
z=2x^3-x^3+6x^2
z=x^3+6x^2

Это функция одной переменной, исследуем ее как обычную параболу
при 0 ≤ x ≤ 1

Если х=0; y=0
z(0;0)=0

z=x^3+6x^2 возрастает на [0;1]

При x=1; y=1
z(1;1)=2-1+5+1=7

при [b]y=0[/b]
z=2x^3+5x^2 – как функция одной переменной на [0;1], эта функция принимает наибольшее значение при х=1,
наименьшее при х=0,

Если x=0; y=0
z=(0;0)=0
Если x=1;y=0
z=2*1–0+5*1+0 = 7
z(1;0)=7

При [b]x=0[/b]
z=y^2 – как функция одной переменной 0 ≤ y ≤ 1
Эта функция принимает наименьшее при y=0,
наибольшее значение при y=1:

z(0;0)=0
z(0;1)=0-0+0+1=1

При [b]x=1[/b]
z=2-y^2+5 +y^2
z=7
Эта функция принимает постоянное значение,
наибольшее значение при y=1:

z(1;0)=7
z(1;1)=7
О т в е т.
Наибольшее значение функции в области D равно 7; наименьшее равно 0.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=3x^2-6y
z`_(y)=24y^2-6x

Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{3x^2-6y=0
{24y^2-6x=0

{x^2-2y=0
{4y^2 -x=0 ⇒ x=4y^2

(4y^2)^2-2y=0
16y^4-2y=0
2y*(8y^3-1)=0
y=0 или y=1/2

х=0 или х=1

Получили две стационарные точки.
Применяем теорему: достаточное условие существования точек экстремума.
Находим вторые частные производные
z``_(xx)=6x
z``_(xy)=-6
z``_(yy)=48y

Находим значения в стационарных точках
(1;1/2)
A=z``_(xx)(1;1/2)=6*1=6
C=z``_(xy)(1;1/2)=-6
B=z``_(yy)(1;1/2)=48*(1/2)=24

Δ(0;0)=AB-C^2=6*24-(-6)^2 > 0
Точка (1;1/2) является точкой экстремума
так как A=6 > 0 - то это точка минимума

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль по определению.
Два случая
1)
x+5 ≥ 0 ⇒ |x+5|=x+5

{y=x+a
{(x+5)·(y+3x+15–(x+5)2)=0⇒(x+5)·(y–x2–7x–10)=0⇒
x+5=0 или y=x2+7x+10

x=–5 – графиком является прямая || оси Оу
y=x2+7x+10 – графиком является парабола.

2)
x+5 < 0 ⇒ |x+5|=–x–5
{y=x+a
{(x+5)·(y+3x+(x+5)2)=0 ⇒ (x+5)·(y+x2+13х+40)=0⇒
x+5=0 или y=–x2–13x–40

x=–5 – графиком является прямая || оси Оу
y=–x2–13x–40 – графиком является парабола.

Разобраться с требованием задачи помогут графики:

1) система 2 решения и 2) система два решения
или
1) система одно и 2) система три
или
1)система три и 2) система одно

1) рисунок.
Прямые y=x+1 и y=x+5 имеют две точки пересечения.

y=x+1– касательная к параболе y= x2+7x+10
параллельная y=x+a;
получили решив задачу:
k=1
f`(x)=2x+7
f`(xo)=2xo+7
f`(xo)=k
2xo+7=1
xo=–3
yo=–2

y=x+5 – прямая, проходящая через точку (–5;–5), параллельная y=x+a

Cистема 2) имеет
два решения при а=1 и а=5
одно решение при a<1
три решения при при 1<a<5 или a> 5

2) рисунок.
Прямые y=x+9 и y=x+5 имеют две точки пересечения.

y=x+9– касательная к параболе y=–x2–13x–40
параллельная y=x+a;
получили решив задачу:
k=1
f`(x)=–2x–13
f`(xo)=–2xo–13
f`(xo)=k
–2xo–13=1
xo=–7
yo=2

y=x+5 – прямая, проходящая через точку (–5;–5), параллельная y=x+a

Cистема 2) имеет
два решения при а=5 и а=9
одно решение при a> 9
три решения при a<5 или 5 < a< 9

Выбираем пересечение ответов:

___одно____ [1] ____три___ [5]______три_______

____три_________________ [5] ____три___ [9]______одно_______

О т в е т. (– ∞;1) U{5}U (9;+ ∞ )
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

к концу первого года
5 + Р + 0,2*5=6+P
к концу второго года
(6+P)+P + 0,2(6+P)=6+2Р+1,2+0,2*P=7,2+2,2P
к концу третьего года
(7,2+2,2P)+0,2*(7,2+2,2P)=1,2*(7,2+2,2P)
к концу четвертого года
1,2*1,2*(7,2+2,2P)
В эту сумму входит вклад 5 млн, дополнительные взносы 2P и проценты 8 млн

Требование задачи можно записать в виде неравенства:

1,44*(7,2+2,2Р) - 5 - 2Р > 8
5,368+1,168Р>8
1,168Р>8-5,368
1,168Р>2,632
Р>2, 25
Р=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

AD||BC
∠ MAD=60^(o) - угол равностороннего треугольника MAD (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ВВ_(1)||AA_(1)
∠ B_(1)BC=45^(o) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cм. рис.
AB||A_(1)B_(1)
∠ B_(1)A_(1)C - угол между A_(1)C и A_(1)B_(1), а значит и между
A_(1)C и AВ

Его легко найти из равнобедренного треугольника А_(1)СВ_(1)
A_(1)C=B_(1)C=sqrt(2) - диагональ грани ( квадрата со стороной 1)
A_(1)B_(1)=1

cos∠ B_(1)A_(1)C=(1/2)A_(1)B_(1)/A_(1)C=

=0,5/sqrt(2)=1/2sqrt(2)=sqrt(2)/4

∠ B_(1)A_(1)C=arccos(sqrt(2)/4)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Свойство соседних членов арифметической прогрессии
То число, которое посередине равно среднему [b]арифметическому[/b] чисел слева и справа.
Уравнение:

2n-8=(5+n+12)/2
4n-16=5+n+12
n=

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{1-x>0 ⇒ x < 1
{1-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 0
По определению логарифма
a-x+2=(1-x)^2,
a-x+2=1-2x+x^2;
x^2-x-(a+1)=0
D=1+4(a+1)=4a+5
D ≥ 0
a ≥ -5/4

Пусть
f(x)=x^2-x-(a+1)
Графиком является парабола, ветви вверх.
Согласно требованию задачи, парабола либо пересекать ось Ох в двух точках [-1;1), при этом x ≠ 0 (при х=0 a=-1)
либо касаться оси Ох на [-1;1)

Рассмотрим условие: парабола пересекает ось ох в двух точках
Значит
f(-1) ≥0
f(1)>0

{1+1-(a+1) ≥ 0
{1-1-(a+1)>0

{a ≤ 1
{a<-1

C учетом a≥ -5/4
О т в е т. [-5/4;-1)

Рассмотрим условие парабола касается оси ох
Выделим полный квадрат
x^2-x-(a+1)=(x-(1/2))^2-(1/4)-a-1=(x-(1/2))^2-a-(5/4)

Значит
-a-(5/4)=0
a=-5/4

Ответ выбран лучшим

1) Неопределённость (0/0)
Раскладываем числитель и знаменатель на множители, один из которых (х-1)

lim_(x→1) (x-1)(4x+3)/(x-1)(3x+1)= сокращаем на х-1
=lim_(x→1) (4x+3)/(3x+1)=(4+3)/(3+1)=7/4

б) Неопределённость ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на x^2

lim_(x→∞) ((10/x^2)-(2/x)+7)/(1+(3/x)-(5/x^2))=(0-0+7)/(1+0-0)=7

в)б) Неопределённость ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на x^2
lim_(x→∞)(x+1-(2/x^2))/(1-(2/x)+(5/x^2))= ∞

Ответ выбран лучшим

a_(n)=a_(1)+d*(n-1)
a_(15)=10,8-2,4*14=

Ответ выбран лучшим

a_(11)=a_(1)+10d
-6=19+10d
10d=-25
d=-2,5
a_(40)=a_(1)+39d=19-2,5*39=-78,5
S_(40)=(a_(1)+a_(40))*40/2=(19-78,5)*20=-1190

Ответ выбран лучшим

1.
если (5/x) - 3≥0 ⇒ (5-3x)/x ≥ 0, т. е (3x-5)/x≤ 0 ⇒ 0 < x ≤ 5/3

|(5/x)-3|=(5/x)-3
Уравнение
(5/x)-3=ax-2

ax^2+x-5=0
должно иметь один или два корня на (0;5/3],
т. е парабола
y=ax^2+x-5 должна пересекать ось ох в одной или двух точках на (0;5/3].

Необходимым и достаточным условием выполнения этого требования являются следующие

(1)
D=1-4*a*(-5)=1+20a ≥ 0 ( обеспечивает наличие одного или двух корней)

(2)
a*f(5/3) > 0 обеспечивает расположение параболы левее точки (5/3) или правее точки (5/3)

(3)
x_(o)=-1/(2a)
(-1/2a) < (5/3) ( исключает расположение параболы правее точки (5/3))

{1+20a ≥ 0 ⇒ a ≥ -1/20;
{a*((a*25/9)+(5/3)-5) >0 ⇒ a*(25a-30) > 0 ⇒ a < 0 или a > 6/5
{ (-1/2a)< 5/3 ⇒ (1/2a)+(5/3) > 0 ⇒ (3+10a)/(6a) > 0 ⇒ a < - 0,3 или a >0

[b]a∈ (6/5;+ ∞)[/b]

2.
если (5/x) - 3< 0 ⇒ (5-3x)/x < 0, т. е (3x-5)/x > 0 ⇒x < 0 или x > 5/3

|(5/x)-3|= - (5/x)+ 3
Уравнение
- (5/x)+3=ax- 2

ax^2-5x+ 5=0
должно иметь два корня на ( 5/3;+ ∞ )
т. е. парабола y=ax^2-5x+ 5 должна пересекать ось ох в двух точках на ( 5/3;+ ∞ ).

Необходимым и достаточным условием выполнения этого требования являются следующие
(1) D=25-4*a*5=25-20a ≥ 0 ( обеспечивает наличие одного или двух корней)
(2) a* f(5/3) > 0
(3) x_(o)=-1/a
5/2a > 5/3 ( вершина параболы правее точки х= 5/3 )

{25-20a ≥ 0 ⇒ a ≤ 5/4;
{a*((a*25/9)-5*(5/3)+5) > 0 ⇒ a*(25a-30) < 0 ⇒ a <0 или a> 6/5
{(5/2a)> 5/3 ⇒ (5/2a)-(5/3) > 0 ⇒ (3-2a)/(6a) > 0 ⇒ (2a-3)/(6a) < 0 0 < a < 3/2

При a=5/4 получаем уравнение:
|4/25-3|=(5/4)x-2
(5/4)x=(71/25)+2
x=484/125 - один положительный корень.
Поэтому
О т в е т. a∈(6/5; 5/4)

на (0;5/3) один корень
на (5/3;+ ∞) - два
Cм. рис. График y=|(5/x)-3| .
Прямые y=(6/5)x-2 y=(5/4)x-2 пересекают кривую в одной точке
Прямые между ними пересекают в трех точках
Причем на (0;5/3) один корень, на (5/3;+ ∞ ) два корня (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
6^x=t
36^x=t^2
Квадратное уравнение
t^2 – (8a+5)t+(16a2+20a–14)=0
D=(8a+5)^2–4·(16a^2+20a–14)=64a^2+80a+25–64a^2–80a+56=
=81
Уравнение имеет два корня
t_(1)=(8a+5–9)/2 или t_(2)=(8a+5+9)/2
t_(1)=4a–2 или t_(2)=4a+7

Обратная замена
приводит к двум уравнениям
6x= 4a–2 или 6x = 4a+7

По требованию задачу одно из них не должно иметь корней.

Это возможно в том случае, если

{4a–2 <0⇒ a<1/2
{4a+7 >0⇒ a>–7/4
–7/4 < a < 1/2
или
наоборот
{4a+2>0⇒ a> –1/2
{4a+7 <0⇒ a < –7/4
система не имеет решений

О т в е т. (–7/4; 1/2)

Ответ выбран лучшим

Если их координаты пропорциональны
4 : m = (-2) : (-1) = n : 3

4 : m = (-2) : (-1) ⇒ -2m= -4; m=2
(-2) : (-1) = n : 3 ⇒ -6 = - n; n=6

О т в е т. m=2; n=6

Ответ выбран лучшим

vector{a}+vector{b}=(8+7; 0+2; -11+(-1))=(15;2;-12)
vector{a}*(vector{a}+vector{b})=8*15+0*2+(-11)*(-12)=120+132=252
О т в е т. 252

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(-3-2;2-(-3);-5-4)=(-5;5;-9)
vector{CD}=(7-3;2-0;-5-(-4))=(4;2;-1)

Находим скалярное произведение векторов
vector{AB}* vector{СD}=(-5)*4+5*2+(-9)*(-1)=-20+10+10=0

Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, значит векторы ортогональны, угол между ними 90 градусов.

О т в е т. 90 градусов

Ответ выбран лучшим

1.
F(x;y;z)=x^2+y^2-z-6
F`_(x)=2x
F`_(y)=2y
F`_(z)=- 1

F`_(x)(M_(o))=2*1=2
F`_(y)(M_(o))=2*(-1)= - 2
F`_(z)(M_(o))=-1

2*(x-1)-2*(y+1)-1*(z+1)=0 - уравнение касательной плоскости
2х-2y-z-5=0

(x-1)/2=(y+1)/(-2)=(z+1)/(-1)- уравнение нормали

2.
{x ≥ 0 - правая полуплоскость
{2- x - y >0 граница прямая y= -x +2 пунктиром, неравенству удовл.
та часть, в которой находится точка (0;0), так как 2-0-0>0 - верно

3.
u(x_(o)+ Δ x; y_(o)+Δy;z_(o)+Δ z)- u(x_(o);y_(o);z_(0)≈ du (M_(o))
или
u(x_(o)+ Δ x; y_(o)+Δy;z_(o)+Δ z)≈ u(x_(o);y_(o);z_(0)+ du (M_(o))
Значение функции в "неудобной для расчетов " точке равно значению функции в "хорошей" точке + значение дифференциала тоже в хорошей точке

u=x^3/(∛y*z^(3/4))
x_(o)=1; Δ x=0,03
y_(o)=1; Δy= - 0,02
z_(o)=1; Δ z=0,03

M_(o)(x_(o);y_(o);z_(o))= M_(o) (1;1;1)

u(M_(o))=1

u`_(x)=3x^2/((∛y*z^(3/4))
u`_(y)=(x^3/z^(3/4))*(-1/3)y^(-4/3)
u`_(z)=(x^3/∛y)*(-3/4)z^(-7/4))

u`_(x)(M_(o))=3
u`_(y)(M_(o))=(-1/3)
u`_(z)(M_(o))=(-3/4)

du=u`_(x) Δx+u`_(y) Δy + u`_(z) Δz

du(M_(o))=3*0,03+(-1/3)*(-0,02)+(-3/4)*0,03

О т в е т. 1+3*0,03+(-1/3)*(-0,02)+(-3/4)*0,03
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) g(x)=-x, x ∈ (– ∞ ;0)
2) g(x)=x, x ∈ (– ∞ ;0)
3) g(x)=2x, x ∈ (– ∞ ;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Функция называется чётной ( нечётной), если
1) Область определения симметрична относительно начала координат
2) Выполняется равенство
f(-x)=f(x) для чётности
f(-x)= - f(x) для нечётности

а)y(x)=|x|/x

f(-x)=|-x|/(-x)=-|x|/x=-f(x)
нечётная

б)у(х)=|x+1|–|x–1|

f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|-(x-1)|-|-(x+1)|=|x-1|-|x+1|=-f(x)
нечётная

в) у(t)=|t–2|

f(-t)=|-t-2|=|-(t+2)|=|t+2|
ни чётной ни нечётной

г) z(y)= lny^3
ни чётной ни нечётной
не выполняется пункт (1) определения

д) f(x)={ x3, при x>=0
{ x при х<0
ни чётной ни нечётной
f(-x)≠ f(x)
и
f(-x)≠ - f(x)

e) f(t)={ t2, при t>0 –t2 при t<=0
f(-t)=f(t)
чётная

ж)
h(a)=arctg(2a/(a–1))

h(-a)=arctg (-2a/(-a-1))=arctg(2a/(a+1))
ни чётной ни нечётной
h(-a)≠ h(a)
и
h(-a)≠ - h(a)

з) f(x)=c

f(-x)=f(x)=c
четная

Ответ выбран лучшим

По определению
(1) область определения симметрична относительно начала 0
(2)f(x+T)=f(x-T)=f(x) для любого х из области определения

1) непериодическая, не выполняется пункт (1) определения
2) периодическая
T=π
Например,
для х=0
|cos0|=|cos(0+π)|=|cos(0-π)| - верно

3) Периодическая, T - любое действительное число
4) Периодическая, как частное периодических функций.

f(x)=sinx
Период 2π
f(х)=sin(5х)
Период [b] T_(1)=2π/5[/b]
f(x)=cosx
Период 2π
f(х)=cos(4х)
Период [b]T_(2)=2π/4=π/2[/b]

2π:(2π/5)=5 ∈ N
2π:(π/2)=4 ∈ N

5T_(1)=4T_(2)

Значит общий период функций
f(x)=sin5x и f(x)=cos(4x)
T=2π
Сумма, разность, произведение и частное периодических функция с периодом Т, есть функция периодическая с периодом Т

Период функции y=(sinx5x)/(cos4x-2) равен 2π

Ответ выбран лучшим

5. Решить иррациональное уравнение.

ОДЗ:
{3x+1 ≥ 0
{x ≥ 0
ОДЗ: x ≥ 0

Возводим в квадрат
3х+1 + 2*sqrt(3x+1)*sqrt(x)+x=121;
2*sqrt(3x+1)*sqrt(x)=120-4x
sqrt(3x+1)*sqrt(x)=60-2x

в ОДЗ этого уравнения дополнительно к имеющимся надо включить неравенство:
60-2x≥ 0 ⇒ x ≤30

Поэтому
ОДЗ: [b][0;30][/b]

(3x+1)*x=3600- 240x+4x^2;
3x^2+x=3600- 240x+4x^2;
x^2-241x+3600=0

D=241^2-4*3600=58081 - 14400=43681=209^2

x_(1)=(241-209)/2 =16 или х_(2)=(241+209)/2=225

x_(2)>30 не входит в дополнительное ОДЗ

О т в е т. 16

6.

ОДЗ:
{9-x ≥0 ⇒ x ≤ 9
{4 -x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
ОДЗ: (-∞;4]
Перепишем:
sqrt(9-x)=2+sqrt(4-x)
Возводим в квадрат
9-x=4+4sqrt(4-x)+4-x
4sqrt(4-x)=1
sqrt(4-x)=1/4
4-x=1/16
x=4-(1/16)
x=3 целых (15/16) входит в ОДЗ

О т в е т. 3 целых (15/16)

7. Решить иррациональное неравенство
sqrt(3x-2)> x-2
Рассматриваем два случая:

(1)
если
x-2 <0⇒ x < 2,
то при условии существования подкоренного выражения
3x-2 ≥ 0⇒ x ≥ 2/3

неравенство верно, при любом х ∈ [2/3; 2)

неотрицательное выражение слева > отрицательного справа

(2)
если
x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2
Возводим обе части в квадрат
(3 х-2) ≥ (х - 2 )^2 ( условие 3x-2 ≥ 0 не пишем, оно получается автоматически : (3 х-2) ≥ (х - 2 )^2 ≥ 0)

3x-2 ≥ x^2- 4x + 4
x^2 - 7x +6 ≤ 0
D=49-24=25
x_(1)=(7-5)/2=1 ; x_(1)=(7+5)/2=6
Решение неравенства
1 ≤ х ≤ 6
С учетом x ≥ 2
ответ (2): [2;6]

Объединяем ответы (1) и (2) случаев
[2/3; 2)U[2;6]=[2/3;6]

8. Решить иррациональное неравенство
sqrt(x^2+2x) > -3-x^2
Так как
-3 - x^2 <0⇒ x^2+3 > 0 - верно при любом х
тогда при условии существования подкоренного выражения, т. е при
x^2+2x ≥ 0⇒ x*(x+2) ≥ 0⇒ x ≤ -2 или x≥ 0

неравенство верно, при любом х ∈ (-∞ ;-2] U [0;+∞ )

О т в е т. (-∞ ;-2] U [0;+∞ )

Ответ выбран лучшим

1. см. рис1
Считаем объем четвертой части и умножаем его на 4
V_(Ох)=4* π ∫^(2)_(0)((4x)^2-(x^3)^2)dx=
=4π * ∫^(2)_(0)(16x^2-x^6)dx=
=4π*((16x^3/3)-(x^7/7))|^(2)_(0)=
=4π*((128/3)-(128/7))=4π*128*((1/3)-(1/7))=512π*(4/21)=2048π/21
.
из уравнения y=4x выражаем переменную x=y/4
из уравнения y=x^3 выражаем переменную x=∛y
см. рис.2
V_(Оy)=4* π ∫^(8)_(0)((y/4)^2-(∛y)^2)dy=

=4π * ∫^(8)_(0)((y^2/16)-y^(2/3))dx=

=4π*((y^3/48)-(y^(5/3)/(5/3)))|^(8)_(0)=

=4π*((8^3/48)-(3/5)*∛8^5)=

=4π((64/6)-(3/5)*8∛16) - о т в е т.

2.
V_(Ох)= π ∫^(π)_(0)sin^2xdx=π ∫^(π)_(0)(1/2)*(1-cos2x)dx=

=(π/2)*(x- (1/2)sin2x)|^(π)_(0)=π^2/2

3.
(1/2)x^2-2x=0
(1/2)*x*(x-4)=0
x=0 или x=4

V_(Ох)= π ∫^(4)_(0)((1/2)x^2-2x)^2dx=π ∫^(4)_(0)((1/4)x^4-2x^3+4x^2)dx=

=((1/4)*(x^5/5) -2*(x^4/4)+4*(x^3/3))|^(4)_(0)=

=(1/20)*4^5-(1/2)*4^4+(4/3)*4^3= (прикреплено изображение)

Две линии не образуют фигуру. Нужна третья.
См. рис.

если y=0, то фигура на рис.1
если х=1, то фигура на рис. 2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(lncosx+25)`=(1/cosx)*(cosx)`=(-sinx)/cosx=-tgx
sqrt(1+(y`)^2)=sqrt(1+tg^2x)=sqrt(1/cos^2x)=1/cosx

L= ∫ ^(π/6)_(0)dx/cosx=ln|tg((x/2)+(π/4))|^(π/6)_(0)=

=ln|tg((π/12)+(π/4))|-ln|tg(0+(π/4))|=

=ln|tg(π/3)|-ln|tg(π/4)|=

=ln(sqrt(3))-ln1=ln(sqrt(3)) (прикреплено изображение)

[b]y=2x^3-3x^2-5[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=2*(-x)^3-3*(-x)^2-5=-2x^3-3x^2-5
f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

Функция не является ни чЁтной, ни нечЁтной

Функция непрерывна на области определения как частное непрерывных функций.

Поведение функции на бесконечности
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = -∞

Исследование функции с помощью производной
y`=6x^2-6x
y`=0
6x^2-6x=0
6x*(x-1)=0
x=0 или x=1
Знак производной
_+__ (0) __-__(1) ___+_

Возрастает на (- ∞ ; 0) и на (1; + ∞ )
Убывает на (0 ; 1)

х= 0 - точка максимума y(0)=-5
x=1 - точка минимума y(1)=2-3-5=-6

y``=12x-6
y``=0
x=1/2 - точка перегиба, вторая производная при переходе через точку меняет знак с - на +
на (- ∞ ; 1/2) y``<0, кривая выпукла вниз
на (1/2; + ∞ ) y``>0 кривая выпукла вверх

См. рис.

(прикреплено изображение)

83.
Пусть ребро куба равно а.
Диагональ любой грани куба, в том числе
DC_(1) =аsqrt(2)
Любая из четырех диагоналей куба, в том числе
DB_(1)=asqrt(3)
Угол между прямой DC_(1) и плоскостью DА_(1)В_(1)C - это угол между прямой DC_(1) и её проекцией на плоскость DА_(1)В_(1)C

Проекцией прямой DC_(1) на плоскость АА_(1)В_(1)В
является прямая DB_(1).

Из прямоугольного треугольника
DB_(1)C_(1)
cos∠B_(1)DC_(1)=DC_(1)/B_(1)D=asqrt(2)/asqrt(3)=sqrt(2/3)

∠B_(1)DC_(1)=arccos(sqrt(2/3)) - о т в е т.
85.
Прямая DC_(1) || AB_(1), значит прямая DC_(1) || пл. AB_(1)С
О т в е т. Угол равно 0 градусов

87.
Пусть ребро куба равно а.
Угол между прямой А_(1)С и плоскостью АА_(1)В_(1)В - это угол между прямой А_(1)С и её проекцией на плоскость АА_(1)В_(1)В

Проекцией прямой А_(1)С на плоскость АА_(1)В_(1)В
является прямая A_(1)B.

Из прямоугольного треугольника
A_(1)BC
tg α =tg ∠ CA_(1)B=BC/A_(1)B=a/asqrt(2)=1/sqrt(2)
ctg α =1/tg α =sqrt(2)
О т в е т. х=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

продолжение, начало в приложении
=-5х^2_(1)-8x_(1)x_(2)-3x_(1)x_(3)-8x_(1)x_(2)+8x^2_(2)+6x_(2)x_(3)-3x_(1)x_(3)+6x-92)x_(3)-6x_(3)^3
приводим подобные и получим все необходимые коэффициенты (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1/(х+5) < 1/3

1/(х+5) - 1/3 < 0

(3 - x - 5) /(3*(x+5)) < 0

(-х-2)/(3*(x+5)) < 0

(х+2)/(3*(x+5)) > 0

__+__ (-5) _-__ (-2) __+_

Отрезку [-7;0] принадлежат целочисленные корни :
-7;-6; -1; 0

Cумма
-7-6-1=-14

О т в е т. -14

Ответ выбран лучшим

6a
По частям
u=ln(1-2x)
dv=dx
du=(-2)dx/(1-2x)=2dx/(2x-1)
v=x

=u*v- ∫ v*du=x*ln(1-2x) - ∫ 2xdx/(2x-1)=

(искусственный прием, прибавить и отнять)

=x*ln(1-2x) - ∫ (2x-1+1)dx/(2x-1)=

=x*ln(1-2x) - ∫ dx - ∫ dx/(2x-1)=

=x*ln(1-2x) - x - (1/2)ln|2x-1| + C

6б
По частям
u=x
dv=5^(-4x)dx
du=dx
v= ∫ 5^(-4x)dx=[замена (-4х)=t; x=(-1/4)t; dx=(-1/4)dt]= (-1/4)∫ 5^(t)dt=
=(-1/4)* 5^(t)/ln5=5^(-4x)/(-4ln5)

u*v- ∫ v*du=(x*5^(-4x))/(-4ln5) - ∫ 5^(-4x)dx/(-4ln5)=

=(x*5^(-4x))/(-4ln5) + (1/(4ln5))∫ 5^(-4x)dx=

=(x*5^(-4x))/(-4ln5) + (1/(4ln5)) * (5^(-4x)/(-4ln5)) + C=

=- (5^(-4x)/(4ln5))*(x + (1/(4ln5))) + C

9. Это ромб
S_(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)=(1/2)*48*36=
10.
Cумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180 градусов
∠ А+ ∠ В=180 градусов
3 ∠ А =180 градусов
∠ А = 60 градусов
S=absin ∠ A=13*13*sin60^(o)=169sqrt(3)/2

11 Δ АВЕ - прямоугольный, с острым углов 60 градусов, значит второй острый угол
∠ А=30^(o)

Против угла в 30 градусов лежит катет равны половине гипотенузы
ВЕ=AB/2=8
AD=BC=20
S=AD*BE=20*8=160

Ответ выбран лучшим

(2-2х)/x ≤ 0

Умножим неравенство на (-1), при этом знак неравенства меняется на противоположный

2*(x-1)/x ≥ 0

Нуль числителя
x=1
Нуль знаменателя
х=0
Функция y=2*(x-1)/x положительна справа от 1

__+_ (0) __-__ [1] _+__

Ставим + и знаки чередуем
О т в е т. (- ∞ ;0) U [1;+ ∞ )

2 способ
(2-2х)х ≤ 0
Находим нули числителя
2-2х=0
х=1
Отмечаем заполненным кружком, здесь [ ]

Нуль знаменателя х=0
___(0) ____ [1] ___

Находим знак функции y=(2-2x)/x в интервале (1;+ ∞ )
Выбираем точку х=10

y(10)=(2-2*10)/(10) < 0

Ставим справа минус и знаки чередуем
_-__(0) __+__ [1] __-_

О т в е т. (- ∞ ;0) U [1;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

cos((3π/2)+x)=sinx

3sqrt(3)sinx-3=2sin^2x

2sin^2x-3sqrt(3)sinx +3=0

D=27-4*2*3=3

sinx=(3sqrt(3)-sqrt(3))/4 или sinx=(3sqrt(3)+sqrt(3))/4;
sinx=sqrt(3)/2 или sinx=sqrt(3) не имеет корней

x=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3))/2 +πk, k ∈ Z

х=(-1)^(k)(π/3) +πk, k ∈ Z - о т в е т.

х= (π/3) +2π=7π/3 ∈ [2π;3π]

х=(π-(π/3)+2π= 8π/3∈ [2π;3π] (прикреплено изображение)

сos^2x=1-sin^2x
8sinx+4(1-sin^2x)=7
4sin^2x-8sinx +3=0

D=64-48=16

sinx=1/2 или sinx=3/2 ( не имеет корней, |sinx| ≤ 1)

x=(-1)^(k)arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z

х=(-1))^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z

х=-7π/6 ∈ [-3π/2;-π/2] (прикреплено изображение)

y`=z
y``=z`
z`+(tgx)z=cosx- линейное первого порядка.
1)z`+tgx*z=0
dz/z=-tgxdx
Интегрируем
ln|z|=ln|cosx|+ lnC
z=C*cosx

Метод вариации
z=C(x)*cosx-C(x)*sinx

Подставляем в линейное

C`(x)*cosx-C(x)*sinx+tgx*C(x)cosx=cosx

tgx*cosx=sinx и второе и третье слагаемое дают 0

C`(x)cosx=cosx
C`(x)=1
C(x)=x+C_(1)

z=(x+C_(1))*cosx

y`=(x+C_(1))*cosx

y= ∫ (x+C_(1))*cosxdx

∫ xcosxdx cчитают по частям
u=x
dv=cosxdx
du=dx
v=sinx

y=xsinx- ∫ sinxdx + C_(1) ∫ cosxdx

[b]y=xsinx +cosx + C(1)sinx + C_(2)[b]

y`=(x+C_(1))*cosx
y`(0)=0
0=0+C_(1)*cos0
C_(1)=0

y(0)=1
1=0+cos0+)+C_(2)
C_(2)=1

О т в е т. [b]y=xsinx +cosx + C(1)sinx + C_(2)[b] - общее решение
[b]y=xsinx +cosx + 1 [b] - частное решение, решение задачи Коши

Ответ выбран лучшим

6. Это скрещивающиеся прямые
КТ лежит в плоскости AMD , а прямая МС пересекает эту плоскость в точке М, не принадлежащей первой прямой.

Так как КТ - средняя линия треугольника АMD и поэтому
KT|| MD
Угол между MC и MD равен углу между MC и КТ

О т в е т. ∠ СМD

7.Это скрещивающиеся прямые
CM лежит в плоскости CMD , а прямая АК пересекает эту плоскость в точке К, не принадлежащей первой прямой.

Проводим в Δ СMD
KF || CM
K- середина MD, значит проводим среднюю линию F- cередина D

Угол FKA - угол между прямой FK и KA, а значит и между прямой
CM|| FK и КА

8.
Проводим KF || BC
K- середина АС, значит F - середина АВ
KF - cредняя линия треугольника АВС

KF=3

Соединяем DF, DK
Треугольник DKF - искомое сечение

DF=DK=6sqrt(3)/2=3sqrt(3) - высота равностороннего
треугольника со стороной 6

Проводим BM ⊥ KF
BM - высота равнобедренного треугольника, а значит и медиана
KM=MF=3/2
По теореме Пифагора
BM^2=BK^2-KM^2=(3sqrt(3))^2-(3/2)^2=27-(9/4)=99/4

BM=3sqrt(11)/2

S_( ΔBKF)=(1/2)KF*BM=(1/2)*3*3sqrt(11)/2=9sqrt(11)/4 (прикреплено изображение)

На первом участке работают суммарно m^2 часов , и производят m единиц товара.
На втором участке работают суммарно m^2 часов и производят 1,5m единиц продукции
S=m+1,5m=2,5m - количество произведенной продукции.

По условию задачи изготовлено 600 единиц товара

600=2,5m
m=600:2,5=240 единиц продукции изготовлено на первом участке
1,5m=360 единиц продукции изготовлено на втором участке

m^2=240^2 часов работали на первом участке и изготовили 240 единиц продукции
m^2=240^2 часов работали на втором и изготовили 360 единиц продукции

За 1 час каждый рабочий получает 200 руб.

s=200*240^2 +200*240^2=2* (11 520 000) руб

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx

dy/dx=(2x-3)
dy=(2x-3) dx - дифференциал функции

y`=(x-y)/(x+y)

dy/dx=(x-y)/(x+y)

dy=((x-y)/(x+y)) dx

В отличие от предыдущего cправа есть и х и у

= ∫ (2)_(0) (∫ ^(2)_(x) (y2e^–xy/4)dy)dx

Считаем внутренний интеграл

(∫ ^(2)_(x) (y2e^(–xy)/4)dy)=(1/4)∫ ^(2)_(x) y^2*(e^(-x))^(y)dy

по частям два раза

u=y^2; du=2ydy
dv=(e^(-x))^(y)dy; v= ∫ (e^(-x))^(y)dy= (e^(-x))^(y)*ln(e^(-x))=- xe^(-xy)

по формуле ∫ a^(t)dt; a=e^(-x)

получим

(1/4)*y^2* (-xe^(-xy))| ^(y=2)_(y=x) - 2(∫ ^(2)_(x) y (-xe^(–xy)dy=

=-e^(-2x)+(1/4)(x^3)*(e^(-x^2)) + 2x(∫ ^(2)_(x) y (e^(–xy)dy=

еще раз по частям:

u=y; du=dy
dv=(e^(-x))^(y)dy; v= ∫ (e^(-x))^(y)dy= (e^(-x))^(y)*ln(e^(-x))=- xe^(-xy)

получим

-e^(-2x)+(1/4)(x^3)(e^(-x^2)) + 2*(x)*(-xy* e^(-xy))|^2_(x) -

2x∫ ^(2)_(x) y (e^(–xy)dy=

[b]-e^(-2x)+(1/4)x^3(e^(-x^2) - 4x^2*e(-2x) + 2x^3e^(-x^2)[b]

Теперь внешний по переменной x:

∫ (2)_(0) (-e^(-2x)+(1/4)x^3(e^(-x^2) - 4x^2*e(-2x) + 2x^3e^(-x^2))dx =

∫ (2)_(0) (-e^(-2x)+(9/4)x^3(e^(-x^2) - 4x^2*e(-2x) )dx =

первый интеграл табличный, второй по частям два раза
x^3=x^2*x
u=x^2
dv=x^e^(-x^2)dx

в третьем
u=x
dv=xe^(-x^2)dx

по частям один раз

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{x ≠ 1
{3x^(-3) >0 ⇒ 3/x^3 > 0 ⇒ x > 0
{3x^2>0 ⇒ x - любое, кроме 0 ⇒ х ≠ 0
{3x^3>0 ⇒ x>0
{3x^3 ≠ 1 ⇒ x^3 ≠ 1/3 ⇒ x ≠ ∛1/3
{3x^(-2)>0 ⇒ 3/x^2 >0 ⇒ x ≠ 0
{3x^(-2) ≠ 1 ⇒ 3/x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± sqrt(1/3)

∛(1/3) > sqrt(1/3) так как при возведении в 6-ю степень:
(1/3)^2 > (1/3)^3

ОДЗ:(0; sqrt(1/3)) U (sqrt(1/3);∛1/3) U(∛1/3;1) U (1;+ ∞ )

Переходим к основанию х

log_(x)3x^(-3)=log_(x)3+log_(x)x^(-3)=log_(x)3-3
log_(x)3x^(2)=log_(x)3+log_(x)x^(2)=log_(x)3+2

log_(3x^3)x=log_(x)x/log_(x)(3x^3)=1/(log_(3)x+3)
log_(3x^(-2))x=log_(x)x/log_(x)(3x^(-2))=1/(log_(3)x-2)

Неравенство принимает вид:
(log_(x)3-3)*(log_(x)3+3)*(log_(x)3-2)*(log_(x)3+2) < 84

(log^2_(x)3-9)*(log_(x)3-4) < 84

log^4_(x)3 -13log^2_(x)3 - 48 < 0

Биквадратное неравенство

D=169-4*(-48)=169+192=361

корни - 3 и 16

(log^2_(x)3+3)*(log^2_(x)3-16) < 0

log^2_(x)3 + 3 > 0 при любом х из ОДЗ

(log_(x)3-4)(log_(x)3+4) < 0

-4 < log_(x) 3 < 4 ⇒ log_(x)x^(-4) < log_(x)3 < log_(x) x^4

При [b]х ∈ (0;1)[/b] логарифмическая функция убывающая, поэтому

⇒ x^4 < 3 < x^(-4) ⇒ x < 3^(1/4) < x^(-1) ⇒

{x< 3^(1/4)
{ 3^(1/4)< x^(-1) ⇒ x > 3^(-1/4)

x ∈ (3^(-1/4);1)

При [b]x > 1[/b] логарифмическая функция возрастающая
⇒ x^(-4) < 3 < x^4 ⇒ x^(-1) < 3^(1/4) < x ⇒

{x> 3^(1/4)
{ x < 3^(-1/4)

x ∈ (3^(1/4);+ ∞ )

С учетом ОДЗ о т в е т.
((1/3)^(1/4);1) U (3^(1/4);+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Можно делить многочлен на многочлен углом.
6x^6 + x^4 + x | 2x^4-3x^2

В частном 3x^2

6x6 -9x^4

вычитаем ( из 6x^6 + x^4 + x - (6x^6 -9x^4) ) получаем

. .10x^4+x

в частном 5

10x^4 - 15x^2

вычитаем ( из 10x^4 + x вычитаем 10x^4-15x^2) получаем

15x^2+x - степень меньше чем степень делителя. Это остаток

Запись:

(6x^6+x^4+x)/(2x^4-3x^2) = (3x^2+5) + (15x^2+x)/(2x^4-3x^2)

сравнить например, с 17/3 = 5 + (2/3)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-2x>0 ⇒ x < 0 или x > 2
{x^-2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1 ± sqrt(2)
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{sqrt(x^2) ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
{x^6-2x^5>0 ⇔ x^2-2x>0

x ∈ (- ∞; -1) U(-1;1-sqrt(2))U(1-sqrt(2);0) U(2;1+sqrt(2))U(1+sqrt(2);+ ∞)

Главное выполнять преобразования, которые не сужают ОДЗ

log_(sqrt(x^2))(x^6-2x^5)=log_((x^2)^(1/2)) (x^6-2x^5)=

=1/(1/2) *log_(x^2) (x-2)*x^5=2 log_(x^2)((x-2)*x^5)

=2log_(x^2) (x^2-2x)+2log_(x^2)x^4=2log_(x^2)(x^2-2x)+4

Неравенство принимает вид:

log_(x^2-2x)x^2 + 2log_(x^2)(x^2-2x)+4 >4

log_(x^2-2x)x^2 + 2log_(x^2)(x^2-2x) >0

t + (2/t) > 0 ⇒ t > 0 ⇒

log_(x^2-2x)x^2 > 0

Применяем метод рационализации

(x^2-2x-1)(x^2-1) >0

__+__ (-1 ) _-__ (1-sqrt(2)) __+__ (1) __-__ (1+sqrt(2)) _+__

с учетом ОДЗ

(- ∞; -1) U(1-sqrt(2);0) U1+sqrt(2);+ ∞) - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Тема. [b]Производная сложной функции[/b]

1.
y`=7*(cos5x)`-(2^(x+3))`
y`=7*(-sin5x)*(5x)`- 2^(x+3)*(x+3)`*ln2
y`=-35sin6x -ln2*(2^(x+3)
2.
y`=(sin4x)`*(e^(3x))+(sin4x)*(e^(3x))`+(cos4x)^(x)*((x)`*lncos4x+(x)/(cos4x)) *(cos4x)`)
вычисление производной второго слагаемого по формуле
производная показательно-степенной функции
(см. приложение)

y`=(cos4x)*(4x)`*(e^(3x)+(sin4x)*(e^(3x))*(3x)`+

+(cos4x)^(x)*(lncos4x+(-4xsin4x)/(x)) )

3.
y`=(arctg(1/x))`-2*(sqrt(5x+4))`=

=(1/(1+(1/x^2)^2)) * (1/x^2)`- 2*(1/(2*sqrt(5x+4)))*(5x+4)`=

=(1/(1+(1/x^2)^2)) * (x^(-2))` -(5/sqrt(5x+4))

=(-2x/(x^2+1)) - (5/sqrt(5x+4))

4.
y`=(arcsin2^(-x))`+(ctg(π/15)*4)`=(1/sqrt(1-(2^(-x))^2))*(2^(-x))` + 0=

=(1/sqrt(1-2^(-2x))*(2^(-x))*(ln2)*(-x)`=

= - ln2*(2^(-x)/sqrt(1-2^(-2x))

5.
y`=[b]([/b]((2-x)`*(x^2+lnx) - (2-x)*(x^2+lnx)`[b])[/b]/(x^2+lnx)^2

y`=[b]([/b]-1*(x^2+lnx)-(2-x)*(2x+(1/x)) [b])[/b]/(x^2+lnx)^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{7^(-x^2)-6>0 ⇒7^(-x^2) >6 ⇒ 7^(-x^2) > 7^(log_(7)6)
{7^(-x^2+9)-1>0⇒ 7^(-x^2+9) > 1 ⇒ 7^(-x^2+9) > 7^(0)
{(7^(3-x^2)-5)^2>0 ⇒ 7^(3-x^2) ≠ 5

7^(-x^2) > 7^(log_(7)6)⇒ - x^2 > log_(7)6 ⇒ x^2 < - log_(7)6 ⇒
x^2 < log_(7)1/6
[b]-sqrt(log_(7)(1/6)) < x < sqrt(log_(7)(1/6))[/b]

7^(-x^2+9) > 7^(0)⇒ -x^2+9 > 0 ⇒ x^2-9 < 0 ⇒ [b]- 3 < x < 3[/b]

7^(3-x^2) ≠ 5⇒ 3-x^2≠ log_(7)5 ⇒ 3-x^2≠ log_(7)5

3-log_(7)5 ≠ x^2 ⇒ x ≠ ± sqrt( log_(7)(343/5))

ОДЗ:[b](-sqrt(log_(7)(1/6)) ;sqrt(log_(7)(1/6)) )[/b]

Сумму логарифмом заменим логарифмом произведения
(при этом область допустимых значений уравнения расширится, могут появиться посторонние корни, но мы сделали оговорки в ОДЗ)

log_(2)(7^(-x^2)-6)^2 > log_(2)(7^(3-x^2)-5)^2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

(7^(-x^2)-6)^2 > (7^(3-x^2)-5)^2
или
(sqrt(x^2)=|x|)
|7^(-x^2)-6| > |7^(3-x^2)-5|

Так как согласно ОДЗ 7^(-x^2)-6 >0 ⇒|7^(-x^2)-6| = 7^(-x^2)-6

Пусть 7^(3-x^2)-5 >0
тогда
|7^(3-x^2)-5|=7^(3-x^2)-5
неравенство принимает вид:

7^(-x^2)-6 > 7^(3-x^2)-5

7^(-x^2)-6>7^(3)*7^(-x^2)-5;

342*7^(-x^2)+1 < 0
Неравенство не имеет решений, так как
7^(-x^2) > 0 и 342*7^(-x^2)+1 > 0 при любом х

Пусть 7^(3-x^2)-5 < 0
тогда
|7^(3-x^2)-5|= - 7^(3-x^2)+5
неравенство принимает вид

7^(-x^2)-6 > -7^(3-x^2)+5

344* 7^(-x^2)>11

7^(-x^2) > 11/344

7^(-x^2) > 7^(log_(7)(11/344))
Показательная функция с основанием 7 возрастает

-x^2 > log_(7) (11/344)

x^2 < - log_(7)(11/344)
x^2 < log_(7)(344/11)

- sqrt(log_(7)(344/11) < x < sqrt(log_(7)(344/11)

Осталось учесть ОДЗ [b](-sqrt(log_(7)(1/6)) ;sqrt(log_(7)(1/6)) )[/b]

344/11 > 1/6

О т в е т. (-sqrt(log_(7)(1/6)) ;sqrt(log_(7)(1/6)) )

Ответ выбран лучшим

Из простого неравенства "умудрились" написать нерешаемое.

Во втором логарифме нет x^2 есть x + (1/(x-1))

[b]Проверьте условие [/b].

Решать то, что написано от руки - терять время.
Нужно прикреплять фото задания.

ОДЗ:
{x-1>0 ⇒ x>1
{(x^2+x-1)/2>0 ⇒ x^2+x-1 > 0 ⇒ D=5 ; x < (-1-sqrt(5))/2 или
x> (-1+sqrt(5))/2
(-1+sqrt(5))/2 < 1 ⇒ ОДЗ: (1;+ ∞ )

Применяем свойства логарифмов.
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(2)(x-1)*(x+(1/(x-1)) ≤ 2*(log_(2)((x^2+x-1)/2)

(1/2)log_(2)(x^2-x+1) ≤ log_(2)((x^2+x-1)/2)

log_(2) sqrt(x^2-x+1)≤ log_(2)((x^2+x-1)/2)

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому
sqrt(x^2-x+1)≤ (x^2+x-1)/2

x^2-x+1 ≥ 0 при любом х.
D=1-4 <0

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АВК - прямоугольный равнобедренный ⇒ АК=ВК=8
АК=КD=8 по условию
KBCD- квадрат.
S_(ABCD)=S( Δ АВК)+ S(квадрата KBCD)=(1/2)AK*BK+ KD*BK=

=(1/2)*8*8+8*8=32+64=96

или

S_( трапеции ABCD)=(AD+BC)*BK/2=(16+8)*8/2=96

О т в е т. 96 (прикреплено изображение)

{x+y+5 ≥ 0
{a+25=(x+5)^2+(y+5)^2

Если a+25< 0 второе уравнение системы не имеет решений и вся система не имеет решений

Уравнение
(x+5)^2+(y+5)^2=a+25
при a+25 ≥0
это уравнение окружности с центром (-5;5) R=sqrt(a+25)

Cм. рис.

Найдем при каких значениях параметра а эти окружности не входят в ОДЗ ( красного цвета)

Найдем, при каких значениях параметра а
прямая x+y+5=0 имеет с окружностью одну общую точку ( касается, см окр фиолетового цвета)

См. рис. 2
Наибольший радиус такой окружности
R=5sqrt(2)/2
т.е.
sqrt(a+25) < 5sqrt(2)/2
a+25 < 25/2
a< -25/2=-12,5

-25 ≤ a < -12,5

О т в е т. (- ∞ ;-25)U[-25;-12,5)=(- ∞ ;-12,5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

12.
Неправильная дробь. Выделяем целую часть. Делим числитель на знаменатель "углом".
или так
x^5-2x+3=x^2*(x^3+2x)-2x^3-4x+2x+3=x^2*(x^2+2x)-2(x^3+2x) + 2x+3

[b] (x^5-2x+3)/(x^3+2x) = (x^2-2)+ (2x+3)/(x^3+2x)[/b]

Раскладываем правильную дробь на простейшие

x^3+2x=x(x^2+2)

(2x+3)/(x^3+2x) = (A/x) + (Mx+N)/(x^2+2)

2x+3=A*(x^2+2) + (Mx+N)*x

2x+3= (A+M)x^2+Nx+2A
A+M=0
2=N
3=2A
A=3/2
M=-A=-3/2

[b] ∫ (x^5-2x+3)dx/(x^3+2x) = ∫ (x^2-2)dx+ ∫(2x+3)dx/(x^3+2x)[/b]=

= ∫ (x^2-2)dx+ (3/2) ∫dx/x + ∫ ((-3/2)x+2)dx/(x^2+2)=

=(x^3/3)-2x+(3/2)ln|x| -(3/4)ln(x^2+2) + 2*(1/sqrt(2))arctg(x/sqrt(2))+C

∫dx/x =ln|x| - табличный

∫ хdx/(x^2+2)= замена u=x^2+2; du=2xdx; xdx=(1/2)du по формуле
∫du/u =ln|u|

∫dx/(x^2+2) =табличный ∫dx/(x^2+a^2)=1/a arctg(x/a)

14.
2cos^4y=2(cos^2y)^2=2*((1+cos4y)/2)^2=(1/2)*(1+2cos4y+cos^24y)=

=(1/2)*(1+2cos4y+(1+cos8y)/2)=(1/2)*((3/2)+2cos4y+(1/2)cos8y)

∫ 2cos^4ydy= (3/4) ∫ dx + ∫ cos4y dy +(1/4) ∫ cos8ydy=

=(3/4) ∫ dx + (1/4) ∫ cos4y d(4y) +(1/32) ∫ cos8y d(8y)=

=(3/4)x +(1/4)(sin4y) +(1/32)(sin8y) +C

16.
1/cos^3α=cosα/cos^4α
cos^4α=(cos^2α)^2=(1-sin^2α)^2

Замена
sin(x/4)=u; du=cos(x/4)*(x/4)`dx
du=(1/4)cos(x/4)dx
cos(x/4)dx=4du

∫ dx/cos^3(x/4)= ∫ 4du/(1-u^2)^2 = 4∫du/((u-1)(u+1))^2

-интеграл от правильной дроби. Разложить на 4 простейших

1/(1-u^2)^2= A/(u-1)+ B/(u-1)^2 + D/(u+1)+ F/(u+1)^2
1=A(u-1)(u+1)^2+B(u+1)^2+D(u+1)(u-1)^2+F(u-1)^2
u=1
1=4B
B=1/4
u=-1
1=4F
F=1/4
Осталось найти В и D

17.
ctg^4 α =ctg^2 α *ctg^2 α =ctg^2 α *(1/sin^2 α - 1)=

=ctg^2 α/sin^2 α - ctg^2 α = ctg^2 α/sin^2 α - (1/sin^2 α - 1)=

=ctg^2 α/sin^2 α - 1/sin^2 α + 1

∫ ctg^4(2x/3)dx= ∫ ctg^2(2x/3)dx/sin^2(2x/3)dx - ∫ dx/sin^2(2x/3) + ∫ dx

замена
(2х/3)=u
x=(3/2)u
dx=(3/2)du

=∫ ctg^2(2x/3)dx/sin^2(2x/3) - ∫ dx/sin^2(2x/3) + ∫ dx=

=∫ ctg^2u*(3/2)du/sin^2u - ∫ (3/2)du/sin^2u + ∫ dx=

=(3/2) ∫ ctg^2ud(ctgu) -(3/2) ∫ du/sin^2u + ∫ dx =

первый интеграл по формуле (1); второй по формуле (2)

=(3/2)сtg^3(2x/3) - (3/2)(-ctg(2x/3)) + x + C=

=(3/2)сtg^3(2x/3) +(3/2)*(ctg(2x/3)) + x + C=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2^(x+4) > 0 при любом х
{2^(x +4) ≠ 1 ⇒ x +4 ≠ 0 ⇒ x ≠ -4
{-8x>0 ⇒ x <0
{2^x>0 при любом х
{log_(1/2)2^x> 0 ⇒ log_(1/2)2^(x) > log_(1/2)1 ⇒ 2^(x) <1 ⇒ x <0

ОДЗ: ( - ∞ ;-4)U(-4;0)

Применяем свойства логарифмов:
log_(1/2)2^(x)=log_(2^(-1))2^(x)=-log_(2)2^(x)=-xlog_(2)2=-x
log_(2)(log_(1/2)2^(x))=log_(2)(-x)

Применяем формулу перехода к другому основанию

log_(c)b/log_(c)a=log_(a)b

(log_(2^(x +4))4)/(log_(2^(x +4))(-8x))=log_(-8x)4=log_(2)4/log_(2)(-8x)

log_(2)4=2
log_(2)(-8x)=log_(2)8+ log_(2)(-x)=3+ log_(2)(-x)

Неравенство принимает вид:

2/(3+ log_(2)(-x)) ≤ 1/log_(2)(-x);

Замена переменной

log_(2)(-x)=t

2/(3+ t) ≤ 1/t
(2t-3-t)/(t*(3+ t)) ≤0
(t-3)/(t*(t +3)) ≤ 0

_-__ (-3) __+ __ (0) __-__ [3] _+ __

t< -3 или 0 < t ≤ 3
Обратная замена

log_(2)(-x) < -3 ⇒ log_(2)(-x) < log_(2) 1/8
логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому
- x < 1/8 ⇒ [b]x > -1/8[/b]
или

0 < log_(2)(-x) ≤ 3 ⇒ log_(2)1 < log_(2) (-x) ≤ log_(2)8 ⇒ 1 < - x ≤ 8

умножаем на (-1)

[b]-8 ≤ х < -1[/b]

C учетом ОДЗ:
о т в е т. [-8; -4) U (-4; -1)U(-1/8;0)

(прикреплено изображение)

Правильный пятиугольник, у него все стороны равны и углы равны.
Правильный пятиугольник имеет ось симметрии

Cм построение.
А если нужна сторона 4, то можно использовать подобие (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a_(2)=3*a_(1)-2=3*5-2=13
a_(3)=3*a_(2)-2=3*13-2=37
a_(4)=3*a_(3)-2=3*37-2=109

Ответ выбран лучшим

Это неправильная дробь.
Выделяем целую часть
x^3/(x^3+8)=(x^3+8-8)/(x^3+8)=1 - (8/(x^3+8))

Дробь(1/(x^3+8)) надо разложить на простейшие

Раскладываем знаменатель на множители:
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)

Тогда подынтегральная дробь(1/(x^3+8)) раскладывается на две дроби

(1/(x^3+8)) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x^2-2x+4)

Приводим правую часть к общему знаменателю

Получим две дроби с равными знаменателями равны.

Приравниваем числители:

1= A*(x^2 -2x+4)+(Mx+N)(x+2)

1=Ax^2-2Ax+4A+Mx^2+Nx+2Mx+2N

1=(A+M)x^2+(N+2M-2A)+4A+2N

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^2
0=A+M
при x
0=N+2M-2A
при x^0
1=4A+2N

M=-A
N=(1-4A)/2

и подставляем в среднее

0=(1-4А)/2 - 2A-2A
1-4A=8A
A=1/12
M=-1/12
N=1/3

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ x^3dx/(x^3+8)=∫( 1 - (8/12)*(1/(x+2)) - 8*((-x/12)+(1/3))/(x^2-2x+4))dx=

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

= x - (2/3)ln|x+2| +(8/24) ln|x^2-2x+4| -(8/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3))

- о т в е т

Как считали последний интгерал:

Выделяем полный квадрат в знаменателе последней дроби:

x^2-2x+4=(x^2-2х+1)+3=(x-1)^2 +3

∫ ((-x/12)+(1/3))dx/(x^2-2x+4)= -(1/12) ∫(x-4)dx/)((x-1)^2+3)
Замена
x-1=u
dx=du
x= u +1

=(-1/12)∫ (u+1-4)du/( u^2+3)=

=(-1/12)*(1/2)∫2udu/(u^2+3)+(3/12)*∫ du/( u^2+3)

=(-1/24)ln |u^2+3|+(1/(4sqrt(3)))arctg(u/sqrt(3))

=(-1/24) ln|x^2-2x+4| +(1/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3))

∫ sin^4x*cos^2x*cosxdx= замена
sinx=t
cosxdx=dt
= ∫ t^4*(1-t^2)dt= ∫ t^4dt- ∫ t^6dt=t^5/5 - t^6/6 + C=

=sin^5x/5 - sin^7x/7 + C

Ответ выбран лучшим

60 градусов.
Это скрещивающиеся прямые. Проводим прямую параллельную A_(1)D и проводящую через точку С, это прямая СВ_(1)
∠ В_(1)СА=60^(o), так как треугольник АВ_(1)С- равносторонний (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(параллелограмма)=a*h_(a)
S_(параллелограмма)=b*h_(b)

a*h_(a)=b*h_(b)
Меньшая высота проведена к большей стороне
10*h_(a)=15*8
h_(a)=12

О т в е т. 12

Решить систему.
Умножаем первое на 2 и складываем
x_(1)=2y_(1)+y_(2)

Умножаем первое уравнение на 7, второе на 4
7y_(1)=28x_(1)-7x_(2)
4y_(2)=-28x_(1)+8x_(2)

складываем
x_(2)=7y_(1)+4y_(2)

О т в е т.
x_(1)=2y_(1)+y_(2)
x_(2)=7y_(1)+4y_(2)

Ответ выбран лучшим

T_(2) o T_(1) (v)=T_(2)(T_(1)(v))=T_(2)(2v+5u)=2T_(2)(v)+5T_(2)(u)=
=2(-3v+7u)+5(-5v-5u)= раскройте скобки, получите ответ

T_(2) o T_(1) (u)=T_(2)(T_(1)(u))=T_(2)(-7v+5u)=-7T_(2)(v)+5T_(2)(u)=
=-7(-3v+7u)+5(-5v-5u)= раскройте скобки, получите ответ

Ответ выбран лучшим

Прямые TP и OB - скрещивающиеся, так как OB лежит в плоскости ТСВ, а ТР пересекает плоскость ТСВ в точке Т, не принадлежащей прямой ОВ.
В плоскости ТРС проводим прямую ОК || TP
∠ KOB - угол между ОК и ОВ
а значит и между TP||OK и ОВ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

T(5u) = 5*T(u) = 5*(2;1)= (5*2;5*1) = (10;5)
T(-6v) = - 6T(v) = - 6*(-1;3)= (-6*(-1);-6*3) = (6;-18)
T(5u-6v)=T(5u+(-6)v)=T(5u)+T(-6v)=(10;5) + (6;-18)=(10+6;5-18)=(16; -13)

Ответ выбран лучшим

1.
∫ tg3xdx [замена 3х=u; u=(1/3)x; du=((1/3)x)`dx=(1/3)dx]

= ∫ tgu (1/3)du [ постоянный множитель можно вынести за знак

интеграла]

=(1/3)∫ tgudu
формула

=(-1/3)ln|cosu|+C

обратный переход от u к х

=(-1/3) ln|cos3x|+C - о т в е т.

2.
∫ dx/cos^27x [замена 7х=u; u=(1/7)x; du=((1/7)x)`dx=(1/7)dx]

= ∫(*(1/7)du )/cos^2u [ постоянный множитель можно вынести за знак интеграла]

=(1/7)∫ du/cos^2u
формула

=(1/7) tgu +C=

обратный переход от u к х

=(1/7)tg7x+C - о т в е т

3.
∫ tg2xdx/cos^22x [замена tg2х=u; du=(tg2x)`dx=(1/cos^22x)*(2x)`*dx;

du=2dx/cos^22x ⇒ dx/cos^22x=du/2 ]

= ∫u*(1/2)du ) [ постоянный множитель можно вынести за знак интеграла]

=(1/2)∫ udu
формула

=(1/2) (u^2/2)+C=

обратный переход от u к х

=(1/4)tg^22x+C - о т в е т

4.
замена
u=x^3+3
du=3x^2dx
x^2dx=(1/3)du

= ∫ (1/3)du/sqrt(u)=(2/3)*sqrt(u)+C = (2/3)sqrt(x^3+3) + C

5
u=cosx
du=(-sinx)dx
sinxdx=-du
= ∫ e^(u)*(-du)=- ∫ e^(u)du=-e^(u)+C=-e^(cosx) + C

21-25 отдельно каждый интеграл в вопросе выставляйте (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора
АВ^2=AC^2+BC^2=(sqrt(15))^2+7^2=15+49=64
AB=8
MN=(1/2)AB=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

Не менее пяти, значит больше или равно 5
Меньше пяти, это 4 блока из десяти,
больше или равно пяти, это 6 блоков из десяти придется проверить

По формуле классической вероятности
n=10
m=6
p=m/n=6/10=0,6

По определению:
F_(ξ)(x)= ∫ ^(x )_(- ∞ )p_(ξ)(x)dx
A=1 найдено ранее

Так как функция задана двумя выражениями рассматриваем
два случая:
при x < 0

F_(ξ)(x)=∫ ^(x )_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx=0

При x ≥0

F_(ξ)(x)= ∫ ^(x )_(0)x*e^(-x)dx=
считаем по частям
u=x
dv=e^(-x)dx
du=dx
v=-e^(-x)

=x*(-e^(-x))|(х)_(0) - ∫^(х)_(0)(-e^(-x))dx

=-x*e^(-x)+0 - e^(-x)|^(x)_(0)=-x*e^(-x)-e^(-x)+1

Cм. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Если знаменатель (2+sqrt(19-|3x+2|)), то
область определения
19-|3x+2| ≥ 0 ⇒ |3x+2| ≤ 19 ⇒ -19 ≤ 3x+2 ≤ 19 ⇒ -21 ≤ 3x ≤ 17 ⇒
-7 ≤ x ≤ 17/3
О т в е т. Наименьшее целое (-7)

Ответ выбран лучшим

1.
y`=(1/(2-x))*(1/ln3)*(2-x)`+(1/sqrt(1-(4x)^2))*(4x)`
y`=1/(ln3*(x-2)) + (4/sqrt(1-16x^2))
2.
y`=(cos5x)`*(sin10x)+(cos5x)*(sin10x)`+(x)^(ctg2x)*((ctg2x)`*lnx+((ctg2x)/(x)) *(x`)
вычисление производной второго слагаемого по формуле
производная показательно-степенной функции
(см. приложение)

y`=(-sinx5x)*(5x)`*(sin10x)+(cos5x)*(cos10x)*(10x)`+

+(x)^(ctg2x)*((ctg2x)`*lnx+((ctg2x)/(x)) *(x`)

= -5(sin5x)*(sin10x)+10(cos5x)*(cos10x) +

+(x)^(ctg2x)*[b]([/b](-2lnx/sin^22x)+((ctg2x)/(x))[[b])[/b]

3.
y`=((x^3+3)^(1/5))`-5*(arctg(1/x^2))`=

=(1/5)*(x^3+3)^((1/5)-1)*(x^3+3)`-5*(1/(1+(1/x^2)^2)) * (1/x^2)`=

=(1/5)*(x^3+3)^((-4/5))*(3x^2)-5*(1/(1+(1/x^2)^2)) * (x^(-2))`=

=(3x^2)/(5*(x^3+3)^(4/5)) +(10x/(x^2+1))

4.
y`=(sin9^(-3x))`+(4e^(10))`=(cos9^(-3x))*(9^(-3x))` + 0=

=(cos9^(-3x))*(9^(-3x))*(ln9)*(-3x)`=

=-3*(cos9^(-3x))*(9^(-3x))*(ln9)

5.
y`=[b]([/b](tg(3+x))`*(1+x)^2 - (tg(3+x))*((1+x^2)^2)`[b])[/b]/((1+x)^2)^2

y`=[b]([/b]((1+x)^2/cos^2(3+x))-2(1+x^2)*(2x)*(tg(3+x))[b])[/b]/((1+x)^2)^2 (прикреплено изображение)

непонятно, что нарисовано...
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x ≠ 0; y ≠ 0

Умножим первое уравнение на второе
[b]([/b]x^2/y + y^2/x[b])[/b]*[b]([/b]1/x+1/y[b])[/b]=4;

(x/y) + (y^2/x^2) + (x^2/y^2) + (y/x) = 4;

Замена
[b]x/y + y/x = t[/b]
Возводим в квадрат
x^2/y^2 + 2*(x/y)*(y/x) + y^2/x^2= t^2

x^2/y^2 + 2 + y^2/x^2 = t^2 ⇒

x^2/y^2 + y^2/x^2 = t^2 - 2

t + (t^2 - 2) = 4

t^2+t-6=0

D=1+24=25
t=2 или t=-3

Обратные переходы:
(1) (x/y)+(y/x)=2 ⇒ (x/y)^2 - 2(x/y) + 1 = 0 ⇒ ( x/y - 1)^2=0 ⇒ x/y =1

Подставляем y=x во второе уравнение системы:
2/x=1/3
x_(1)=6
y_(1)=6

ИЛИ
(2)
(x/y) + (y/x) = - 3 ⇒ (x/y)^2+3(x/y)+1=0 D=9-4=5; уравнение имеет два корня:

x/y=(- 3 +sqrt(5))/2 ⇒ y=-2x/(3-sqrt(5)) подставляем во второе уравнение исходной системы
(3+sqrt(5))/(-2x)+(1/x)=(1/3) ⇒ (1/x)*(1 - (3+sqrt(5))/2)=1/3

x_(2)=(3/2)*(-1-sqrt(5);
y_(2)= (3+3sqrt(5))/(3+sqrt(5);

x/y=(- 3 +sqrt(5))/2 ⇒ y=-2x/(3+sqrt(5)) подставляем во второе уравнение исходной системы
(3-sqrt(5))/(-2x)+(1/x)=(1/3) ⇒ (1/x)*(1 - (3-sqrt(5))/2)=1/3

x_(3)=(3/2)*(-1+sqrt(5));
y_(3)= (3-3sqrt(5))/(3+sqrt(5)).

О т в е т.
(6;6);
((3/2)*(-1-sqrt(5));(3+3sqrt(5))/(3+sqrt(5));
((3/2)*(-1+sqrt(5)); (3-3sqrt(5))/(3+sqrt(5)).

x=ρ*cos φ =1*cos(π/4)=sqrt(2)/2;
y=ρ*sin φ =1*sin(π/4)=sqrt(2)/2;

∫ ∫ _(D) (18x2y2+32x3y3)dxdy=

= ∫ ^(1)_(0)( ∫ ^(x^3)_(-∛x)( 18x^2y^2+32x^3y^3)dy=

=∫ ^(1)_(0)(18x^2*(y^3/3) + 32x^3*(y^4/4))|^(y=x^3)_(y=-∛x) dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x^2*((x^3)^3-(-∛x)^3) +8x^3*(x^(3)^(4) - (- ∛x)^4)dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x^2*(x^9+x) +8x^3*(x^(12) - ∛(x^4))dx=

=∫ ^(1)_(0)(6x^(11)+6x^3+8x^(15) - 8x^(13/3))dx=

=(6*(x^(12)/12) +6*(x^(4)/4)+8*(x^(16/16) -8*(x^(16/3)/(16/3))|^(1)_(0)=

=2*1+(3/2)*1+(1/2)*1-(3/2)*1=5/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АB=10
Гипотенуза - диаметр описанной окружности, прямой угол С опирается на диаметр
АВ=2R
2R=10
R=5

2=log_(3)9;

ОДЗ:
x>0
log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x+5 >0 - верно при любом t, так как D<0
log_(0,5)x=t

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому
log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x+5 ≤ 9

log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x-4 ≤ 0

log_(0,5)x=t

t^2-3t-4 ≤ 0
D=9+16=25
t=-1 или t=4

-1 ≤ t ≤ 4

-1 ≤ log_(0,5)x ≤ 4

log_(0,5)2 ≤ log_(0,5)x ≤ log_(0,5)(1/16)

логарифмическая функция с основанием 0,5 убывающая,
(1/16) ≤ х ≤ 2
входит в ОДЗ

О т в е т. [1/16;2]

Ответ выбран лучшим

=(1/2) ∫ x^(-1/2)dx=(1/2)*x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1) + C=

=x^(1/2)+C=sqrt(x)+C

Полезно запомнить как формулу
(sqrt(x))`= 1/(2*sqrt(x))

∫ dx/(2*sqrt(x))= sqrt(x)+ C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1685
(sqrt(x)+1)*(x-sqrt(x)+1)=(sqrt(x))^(3) +1^(3)=x^(3/2)+1

∫ (x^(3/2)+1)dx=
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

= ∫ (x^(3/2)dx+ ∫ dx=

по формуле
[b]∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1) + C [/b]

=x^((3/2)+1)/((3/2)+1) + x + C=

=x^(5/2)/(5/2) + x +C=

=(2/5)*x^(2)*sqrt(x)+x+C

1687
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

=-2 ∫ x^(-1,2)dx+3 ∫ x^(-0,8)dx-5 ∫ x^(0,38)dx=

по формуле
[b]∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1) + C [/b]

=-2*x^(-1,2+1)/(-1,2+1) +3*x^(-0,8+1)/(-0,8+1) -5*x^(0,38+1)/(0,38+1)
+C=

=(10/x^(0,2)) +15x^(0,2)-(250/69)x^(1,38) +C

Ответ выбран лучшим

Вероятность вынуть первую книгу в переплете
по формуле классической вероятности
p1=m/n=(3/7)
Всего книг 7,
удовлетворяют условию "книга в переплете" – 3 книги

Вероятность вынуть вторую книгу в переплете
p2=m/n=(2/6)
книг стало 6, в переплете 2

Вероятность вынуть две книги в переплете:

p=p_(1)*p_(2)=(3/7)·(2/6)=1/7

О т в е т. 1/7

2 способ

Испытание состоит в том, что из 7 учебников вынимают 2
n=C^(2)7=7!/(2!·5!)=6·7/2=21

Событие А – "оба вынутых учебника в переплете"

Событию А благоприятствуют
m=C^(2)_(3)=3 результатов.

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=3/21=1/7

О т в е т. 3/21=1/7

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

P_(6)=6*a
6a=12
a=2
S_(6)=6S_( Δ AOB)=6*(1/2)*6*6*sin60^(o)=54sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3) Верно.
OB ∈ пл. В_(1)ОС_(1)
AP||OP
cм. рис.

ОВ_(1)РА - параллелограмм.
АО=(1/2)АА_(1)
B_(1)P=(1/2)BB_(1)
AA_(1)=BB_(1)
АО=B_(1)P

AA_(1)||BB_(1)
значит AO|| B_(1)P

Противоположные стороны четырехугольника равны и ||
Значит это параллелограмм

4.KD и OF - скрещивающиеся прямые,
так как три точки АОF лежат в одной плоскости, точка D так же принадлежит этой плоскости, потому как лежит на АО.

OF лежит в плоскости, а KD пересекает плоскость в точке, не принадлежащей OF
(прикреплено изображение)

1)
Значит разделить окружность на три равные части.
см. рис.1
Выбираем в любом месте окружности точку А.
Из нее радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечки на окружности и получаем еще 5 вершин

См. 6 засечек, красные точки.
Соединяем через одну

2) Значит разделить окружность на 8 частей.
см. рис. 2

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра AE и СG
Они разделили окружность на 4 части.
Проводим биссектрисы полученных прямых углов.
Соединяем точки A,B,C,D,E,F,G,H

3) как в 1)
Выберем произвольную вершину А на окружности. Из нее радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечки на окружности и получаем вершины А,В,С,D, E, F (красного цвета на рисунке) которые соединим отрезками. Получим правильный шестиугольник.
Далее построим серединные перпендикуляры к сторонам шестиугольника( получим 6 синих точек). 0ни разделят дуги окружности на 12 равных частей. Соединив эти точки отрезками с вершинами шестиугольника, получим 12-угольник. (прикреплено изображение)

1) z_(1)*z_(2)=( 4 + 3i)*(1 -sqrt(3) *i)=
= 4+3*i -4sqrt(3)*i -3sqrt(3)*i^2=
=(так как i^2=-1)=
= 4++3*i -4sqrt(3)*i +3sqrt(3)=
=(4+3sqrt(3))+(3-4sqrt(3))*i

z_(1)- z_(1)*z_(2)= (4+3*i) - (4+3sqrt(3))-(3-4sqrt(3))*i=

=[b] -3*sqrt(3) +4sqrt(3)*i [/b]

2) z_(1)/z_(2)=( 4 + 3i)/(1 -sqrt(3) *i)
( умножаем и числитель и знаменатель на (1+sqrt(3)*i))

=( 4 + 3i)(1+sqrt(3)*i)/((1 -sqrt(3) *i)(1+sqrt(3)*i))

=(4+3*i+4sqrt(3)*i+3sqrt(3)*i^2)/(1 -(sqrt(3))^2* i^2)=

=((4-3sqrt(3)) +(3+4sqrt(3))*)/(4)=

=[b](1/4)*(4-3sqrt(3)) + (1/4)*(3+4sqrt(3))*i[/b]

3)
z^6_(1)=(4+3*i)^6=((4+3*i)^2)^(3)=(7+24*i)^3=

можно возвести в куб по формуле (a+b)^3

=7^3+3*7^2*24*i-3*7*24^2-24^3*i

z^(12)_(2)=(1-sqrt(3)*i)^(12)

Запишем z_(2) в тригонометрической форме и применим формулу Муавра
( см. приложение)
z_(2)=(1-sqrt(3)*i)

|z_(2)|=sqrt(1^2+(-sqrt(3))^2)=sqrt(1+3)=sqrt(4)=2
argz_(2)=phi

sin(phi)=y/|z_(2)|=-sqrt(3)/2
cos(phi)=x/|z_(2))=1/2
phi=(-π/3)

z_(2)=2*(cos(-π/3)+i*sin(-π/3))

z^(12)_(2)=2^(12)*(cos(-π/3)*12+i*sin(-π/3)*12)=

=2^(12)*(cos(-4π)+i*sin(-4π))=

=2^(12)

z^6_(1)/z^(12)_(2)=((7^3-3*7*24)+(3*7^2*24-24^3)*i )/ 2^(12)

можно упростить.
4)
z_(1)=(4+3*i)

z^(2)_(1)=(4+3*i)*(4+3*i)=16+24*i-9=7+24*i

z_(3)=z^(2)_(1)/z_(2)=(7+24*i)/(1-sqrt(3)*i)=(7+24*i)(1+sqrt(3)*i)/4=

=(7+24*i+7sqrt(3)*i-24sqrt(3))/4=

=(7-24sqrt(3))+(24+7sqrt(3))*i

|z_(3)|=sqrt((7-24sqrt(3))^2+(24+7sqrt(3))^2)=

=sqrt(49-7*48*sqrt(3)+576*3+576-7*48sqrt(3)+49*3)=

=sqrt(49*4+576*4)=2*sqrt(49+576)=2*sqrt(625)=2*25=50
argz_(3)=phi

sin(phi)=y/|z_(3))=(24+7sqrt(3))/50
cos(phi)=x/|z_(2))=(7-24sqrt(3))/50
tg(phi)=(24+7sqrt(3))/(7-24sqrt(3))
???

Извлечь корень 4-ой степени можно по формуле извлечения корней, но аргумент не найден (прикреплено изображение)

Раскладываем знаменатель на множители:
x^3*(x^3-3)=x^3*(x-∛)*(x^2+∛3*x+∛9)

Тогда подынтегральная дробь раскладывается на четыре дроби

1/(x^3*(x^3-3) = (A/x)+(B/x^2)+(D/x^3)+(F/(x-∛3) + (Mx+N)/(x^2+∛3*x+∛9)

Приводим правую часть к общему знаменателю

Получим две дроби с равными знаменателями равны.

Приравниваем числители:

1= A*(x^2)*(x^3-3)+B*x*(x^3-3) +D*(x^3-3) +F*x^3*(x^2+∛3*x+∛9)+

+(Mx+N)*x^3*(x-∛3)

1=A*x^5-3Ax^2+Bx^4-3Bx+Dx^3-3D+F*x^5+F*∛3*x^4+F*∛9x^3+

+Mx^5+Nx^4-M*∛3*x^4- N∛3*x^3

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^5
0=A+F+M
при x^4
0=B+F*∛3+N-M*∛3
при x^3
0=D+F*∛9-N*∛3
при x^2
0=-3A ⇒[b]A=0[/b]
при x^(1)
0=-3B ⇒ [b] B=0[/b]
при x^(0)
1=-3D ⇒ [b]D=-1/3[/b]

D=-1/3; B=0; A=0
подставим в первые три равенства для коэффициентов

0=F+M ⇒[b] F = - M [/b]
0=F*∛3+N-M*∛3 ⇒[b]N= 2M*∛3=-2F*∛3 [/b]
1/3=F*∛9-N*∛3 ⇒[b](1/3)= F*∛9 +2F*∛3 [/b]

F=1/(3*(∛9 +2*∛3))

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ dx/(x^3*(x^3-3))=D∫(dx/x^3) + F∫ (dx/(x- ∛3) + ∫ (Mx+N)dx/(x^2+∛3*x+∛9)

Первый интеграл
[b](1)[/b]D∫(dx/x^3) =D* ∫ x^(-3)dx=D*x^(-2)/(-2)=D/(-2x^2)=1/(6x^2) ( D=-1/3)
Второй интеграл
[b](2)[/b]F∫ (dx/(x- ∛3) =F*ln|x-∛3|, (F=1/(3*(∛9 +2*∛3)))

Третий интеграл
Выделяем полный квадрат в знаменателе

x^2+∛3*x+∛9=(x^2+2x*((∛3)/2)+(∛9)/4 -(∛9)/4 +∛9=

=(x+((∛3)/2))^2 +(3*(∛9)/4)

Замена
x+((∛3)/2)=u
dx=du
x= u - ((∛3)/2)
[b](3)[/b]
∫ (Mx+N)dx/(x^2+∛3*x+∛9)=

= ∫ M*(u- ((∛3)/2) )+N)du/(u^2+(3*(∛9)/4))=

=(M/2) ∫ 2u/( (u^2+(3*(∛9)/4)) +(N-((∛3)/2) ) *(1/a)arctg (u/a)

где
M= - F = -1/(3*(∛9 +2*∛3)))

N=-2F=-2/(3*(∛9 +2*∛3)))

a^2=(3*(∛9)/4)

О т в е т. сумма трех ответов (1) + (2) + (3) + С

Почленно делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.

2x/sqrt(1-x^2) - sqrt(arcsinx)/sqrt(1-x^2)

Интеграл от суммы ( разности) равен сумме ( разности) интегралов.

Cчитаем первый интеграл

∫ 2xdx/sqrt(1-x^2)

Замечаем, что в числителе производная от x^2
поэтому заменим
1-x^2=u
du=(1-x^2)`dx=-2xdx ⇒ 2xdx =-du

∫ 2xdx/sqrt(1-x^2)= - ∫ du/sqrt(u)=- 2sqrt(u)=-2sqrt(1-x^2)

Второй интеграл

∫ sqrt(arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)

Замена
u=arcsinx
du=dx/sqrt(1-x^2)

∫ sqrt(arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)= ∫ sqrt(u)du=

=∫ u^(1/2)du=u^((1/2)+1)/((1/2)+1)=u^(3/2)/(3/2)=(2/3)∛(u^2)=

=(2/3)∛(arcsin^2x)

Итак,
[b] ∫ (2x-arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)[/b]=

= ∫ 2xdx/sqrt(1-x^2) - ∫ sqrt(arcsinx)dx/sqrt(1-x^2)=

=[b]-2sqrt(1-x^2) - (2/3) ∛(arcsin^2x) + C[/b]

АН=KD=(20-10)/2=5
По теореме Пифагора
BH^2=13^2-5^2=169-25=144
BH=12

S_(трапеции)=(ВС+AD)*BH/2=(10+20)*12/2=180 (прикреплено изображение)

vector{a}+3vector{b}-4vector{c}=(8+3*0-4*(-5); 2+3*7-4*0;-3+3*4-4*4)=

=(28; 23; -7)
|vector{a}+3vector{b}-4vector{c}|=sqrt(28^2+23^2+(-7)^2)=

=sqrt(784+529+49)=sqrt(1362)

Ответ выбран лучшим

∠ A=38° ; ∠ B= 93°
Сумма углов треугольника АВС равна 180 градусов.
Значит
∠ C = 180° - (38° +93° ) = 49°
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается,
значит
∪ AB = 2·49° = 98°
∪ AC = 2·93° = 186 °

∠АDС = 1/2· (∪AC -∪AB) = 1/2·( 186° - 98° ) = 93° - 49° = 44°

О т в е т.∠АDС = 44°

(прикреплено изображение)

Гипотенуза АВ по теореме Пифагора
AB^2=AM^2+BM^2=12^2+5^2=144+25=169
AB=13
Гипотенуза – диаметр описанной окружности, прямой угол С опирается на диаметр
AB=2R
13=2R
R=6,5
О т в е т. 6,5

Это точка пересечения плоскости, проходящей через серединный перпендикуляр M к прямой АВ
M(3;-3;-1)

vector {AB}=(2-4;-5+1;1+3)=(-2;-4;4)

vector {AB}=vector{n}=(-2;-4;4) - нормальный вектор этой плоскости.

-2*(x-3) -4*(y+3) +4*(z+1)=0

-2x -4y +4z -2=0

x+2y-2z +1=0

x=0;y=0;
z=1/2
О т в е т. (0;0; 1/2)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора гипотенуза
BK=10
Гипотенуза - диаметр описанной окружности, прямой угол С опирается на диаметр
ВК=2R
2R=10
R=5

Проводим прямую MN || AP
MN - средняя линия треугольника АРС
(АМ=МС)
Значит,
PN=NC

BP:PN=7:3
BP:BN=7:10
BP:BC=7:13

Пусть
S_( Δ ABC)=2s
тогда
S_( ΔMBC)=s ( основание MC=(1/2)AC, высота общая)

S_( ΔAPC):S_( ΔABC)=PC:BC=6:7

S_( ΔAPC)=6s/7

S_(MNC)=(1/4)S_( ΔAPC)=6s/28=3s/14

S_( ΔBMN)=S_( ΔMBC)-S_(MNC)=s-(3s/14)=11s/14

S_(ΔBKP):S_( ΔBMN)=7^2:10^2

[b]S_(ΔBKP)[/b]= 77s/200

S_(KPCM)=S_( Δ MBC)- S_( Δ BKP)=s-(77s/200)=123s/200

S_(ΔBKP):S_(KPCM)=77:123 (прикреплено изображение)

M(x;y;z)
vector{MP}=(x+1;y-2;z-1)
vector{QP}=(4;-6;1)
vector{n}=(2;4;-3)
Составляем определитель из координат векторов и приравниваем к 0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2,25+8t-4t^2 >4

4t^2-8t + (7/4) < 0

4t^2-8t+(7/4)=0

t^2-2t+(7/16)=0

D=4-4*(7/16)=(64-28)/16=36/16
t_(1)=(2-(6/4))/2=1/4; t_(2)=(2+(6/4))/2=7/4

t_(2) - t_(1)=(7/4) - (1/4)=6/4=3/2=1,5 секунды

Ответ выбран лучшим

f`(x_(o))=k (касательной)=tg α
α -угол наклона касательной
tg α < 0, значит α во второй четверти, т. е 90^(o) < α < 180^(o)

Таких точек три. Отмечены на рисунке
(прикреплено изображение)

Делить ряды сложно, а вот умножать можно как многочлен на многочлен...

Задача: свести деление к умножению.

Разложение arcsinx известно ( см. приложение)

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
c |x| < 1
и есть разложение функции y=1/(1-x) в ряд

или

y=(1/(x-1)) * (-1)

y= (x+(x^3/6)+o(x^3))*(-1)*(1+x+x^2+x^3+o(x^3))=

=-x-(x^3/6)-x^2-(x^4/6)-x^3-(x^5/6)-x^4-(x^6/6)+o(x^6)=

=-x - x^2-(7/6)x^3 +o(x^3)

слагаемые это o(x^3)- бесконечно малые более высокого порядка,
чем x^3 ( т.е. стремящиеся к нулю, быстрее чем x^3) (прикреплено изображение)

Пусть М(x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда
vector{AM}=(x-3;y+2;z-1)
vector{AB}=(1-3;-3+2;2-1)=(-2;-1;1)
vector{n}=(2;-3;4)
компланарны.
Смешанное произведение таких векторов равно 0.
Значит определитель третьего порядка, составленный из координат векторов приравняем к 0
(прикреплено изображение)

Пусть ребро куба равно а.
S (грани)=a^2

Проведем сечение через диагональ BD.
BD=asqrt(2) - диагональ квадрата со стороной а
S_(cечения)=(1/2)*BD*h

(1/2)BD*h=a^2
(1/2)*asqrt(2)*h=a^2
h=asqrt(2)

Значит, ОК=h=asqrt(2)
Наибольшее значение, которое может принимать ОК
это положение OC_(1)
OC_(1)=sqrt(ОC^2+CC^2_(1))=sqrt((asqrt(2)/2)^2+a^2)=asqrt(3/2) < asqrt(2)

Значит, точка К расположена за точкой С_(1)
СK=asqrt(2)=2*OC

В этом случае в сечении трапеция и ее площадь меньше площади
треугольника BDK

ВЫВОД:
Значит, через диагональ грани можно провести сечение, равновеликое площади грани.

При этом высота треугольника BDK должна быть больше asqrt(2)
OC > asqrt(2)

[b]Основное решение[/b]:

В сечении равнобедренная трапеция.
Нижнее основание трапеции диагональ BD=asqrt(2)
Верхнее основание трапеции равно (a*sqrt(2))*k
k- коэффициент подобия

S_(трапеции)=(1/2)*(asqrt(2)+(asqrt(2))*k)H_(трапеции)

S_(трапеции)=S_(квадрата)=a^2

(1/2)a*sqrt(2)*(1+k)*H=a^2

[b](1+k)*H=asqrt(2)[/b] (#)

По теореме Пифагора

H^2=a^2+((1/2)asqrt(2)-(1/2)asqrt(2)*k)^2

H^2=a^2+(a^2/2)*(1-k)^2

Возводим равенство (#) в квадрат и подставляем H^2

(1+k)^2*(a^2+(a^2/2)*(1-k)^2)=2a^2

(1+k)^2*(2a^2+a^2-2a^2k+a^2k^2)=4a^2

(1+2k+k^2)*(3-2k+k^2)=4

4k^4+4k-1=0

Найдем k

k≈ 1/4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
142*142=20 164
143*143=20 449

1420*1420=2 016 400
1421*1421=2 019 241

О т в е т. 1421

б) 1422*1422= 2 022 084

14213*14213=202 009 369

О т в е т. 14213

Ответ выбран лучшим

Область определения
{x ≥ 0
{x-4>0 ⇒ x>4
x ∈ (4;+ ∞ )

y`=-8*(1/(2sqrt(x))) + (12/(x-4))

y`=0

-4*(x-4)-3sqrt(x))=0

x-4=3sqrt(x)

Возводим в квадрат

x^2-8x+16=9x

x^2-17x+16=0

D=289-64=225

x=1 или x=16

x=1 не принадлежит ОДЗ

(4) ___+__ (16) ___-___

Считаем производную в точке х=36
y `(36)=(-4/6)+(12/30) <0

значит y` < 0 на (16; +∞ )

x=16 - точка максимума. Производная меняет знак с + на -

О т в е т. 16

Ответ выбран лучшим

y=(u/v)
y`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=((x-8)`*(x^2+225)-(x+8)*(x^2+225)`)/(x^2+225)^2

y`=((x^2+225)-(x+8)*2x)/(x^2+225)^2

y`=(x^2+225-2x^2-16x)/(x^2+225)^2

y`=(-x^2-16x+225)/(x^2+225)^2

y`=0

-x^2-16x+225=0

x^2+16x-225=0

D=16^2-5*(-225)=256+900=1156=34^2

x=(-16-34)/2=-25; x=(-16+34)/2=9

Знак производной зависит от знака параболы y=-x^2-16x+225

ветви которой направлены вниз

на (-25;9) знак +
на остальных знак -

x=-25 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

__-_ (-25) __+__ (9)__-_

О т в е т. -25

Ответ выбран лучшим

y`=(5x^2-3x-3)`*e^(x+5)+(5x^2-3x-3)*(e^(x+5))*(x+5)`=

=(10x-3)*e^(x+5)+(5x^2-3x-3)*(e^(x+5))*1=

=e^(x+5)* (10x-3+5x^2-3x-3)=e^(x+5)*(5x^2+7x-6)

y`=0

e^(x+5) > 0,

5x^2+7x-6=0
D=49+120=169
x=(-7-13)/10=-2; x=(-7+13)/10=0,6

Знак производной зависит от знака параболы y=(5x^2+7x-6)
на (-2;0,6) парабола расположена ниже оси ох, ставим знак минус

___ (-2) ___-___ (0,6) ___

на смежных интервалах плюс:

__+_ (-2) ___-___ (0,6) __+_

х=-2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

x^2-12x+40=(x^2-12x+36)+4=(x-6)^2+4>0 при любом х

в точке х=6 функция принимает наименьшее значение на всей числовой прямой, по определению точки минимума
х=6 - точка минимума

или

так
Область определения:
x2-12x+40 >0
D=144–4·40 <0

Неравенство верно при любом х

Значит, область определения (– ∞ ; + ∞ )

y=√u; u=x^2-12x+40

(√u)`=1/(2√u) · u` ( cм таблицу и правило нахождения производной сложной функции

y`=(x^2-12x+40)`/(2√x2-12x+40)

y`=(2x-12)/(2√x^2-12x+40)

y`=0

2x-12=0

x=6

При переходе через точку х=6 производная меняет знак с – на +

x=6 – точка минимума.
(прикреплено изображение)

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=4^(-25-10x-x^2)* (-10 - 2x) * ln4

y`=0

-10 - 2x =0

2x= -10

x=-5

x=-5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(-5)= 4^(0)=1 - наибольшее значение функции на (- ∞ ;+ ∞ )

Область определения:
x^2+2x+122 >0
D=4-4*122 <0

Неравенство верно при любом х

Значит, область определения (- ∞ ; + ∞ )

y=sqrt(u); u=x^2+2x+122

(sqrt(u))`=1/(2sqrt(u)) * u` ( cм таблицу и правило нахождения производной сложной функции

y`=(x^2+2x+122)`/(2sqrt(x^2+2x+122)

y`=(2x+2)/(2sqrt(x^2+2x+122)

y`=0

2x+2=0

x=-1

При переходе через точку х=-1 производная меняет знак с - на +

x=-1 - точка минимума.

-1 ∈ [-50;150]

f_( наим. [-50;150])=f (-1) = sqrt((-1)^2+2*(-1)+122)=sqrt(121)=11

О т в е т. 11

Область определения: х ≥ 0

y`=(2/3)*(3/2)*x^((3/2)-1)-5

y`=sqrt(x) -5

y`=0

sqrt(x)-5=0

sqrt(x)=5

x=25

Расставляем знак производной y`=sqrt(x) -5
на ОДЗ:

[0] _-_ (25) ___+__

x=25 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

О т в е т. 25

Область определения (0;+ ∞ )

y`=2x - 11 + 15*(1/x)

y`=(2x^2-11x+15)/x

y`=0

x>0,

2x^2-11x+15=0

D=121-4*2*15=1

x_(1)=(11-1)/4=5/2 или x=(11+1)/4=3

Расставляем знак производной y`=(2x^2-11x+15)/x на ОДЗ:

(0) ___+___ (5/2) _-_ (3) __+_

x=5/2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y`=18*(-sinx)+9sqrt(3)

y`=0

18*(-sinx)+9sqrt(3)=0

sinx= sqrt(3)/2

x=π/3 - единственная критическая данного отрезка

[0]_+__ (π/3) _-_ [π/2]

y`(π/4)= - 9sqrt(2) +9sqrt(3) >0
cтавим знак + на [0;π/3), содержащем (π/4)
На смежном интервале знак -

x=π/3 - точка максимума на [0;π/2], значит в ней функция и принимает наибольшее значение

y(π/3)= 18cos(π/3)+9sqrt(3)*(π/3)-3sqrt(3)*π+16=

=18*(1/2)+16=25

О т в е т. y(π/3)=25

R : r =5 : 2
S : s=25: 4
S=25*12/4=75

S_(фигуры)=S-s=75-12=63 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tgα =k(касательной)=f ` (x_(o))

f `(x)=0 ⇒ x_(o)=-4
О т в е т. -4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

при f `(x) > 0 функция возрастает.
см. рис.
На нем отмечено два отрезка.
Длина наибольшего равна 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В точке производная меняет знак c + на -
это точка максимума, причем единственная точка экстремума
(прикреплено изображение)

ОДЗ: 13+х > 0
x > -13
По определению логарифма:

13+х= (1/3)^(-2)

13+x=9

x= - 4
входит в ОДЗ

О т в е т . -4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

При h=3
основание а=6

S=a*h/2=6*3/2=9

Уравнение прямой в этом случае получим
из уравнения прямой y=1 параллельным переносом на 3 единицы вниз

y=1-3
y=-2
При a=-2
площадь треугольника равна 9
При всех а < -2 площадь треугольника больше 9 (прикреплено изображение)

1.
18=2*3*3
24=2*2*2*3
8=2*2*2
Общий знаменатель трех дробей
2*3*3*2*2=72
11/18=44/72
7/24=21/72
7/8=63/72

11/18–7/24–7/8= 44/72 - 21/72 - 63/72 = -40/72=-5/9

2.
1/(1/12)=1*(12/1)=12

1/(1/12) + (1/18)=12+(1/18)= 12 целых 1/18

По свойству плотности вероятности
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )p_(ξ)(x)dx=1

Считаем интеграл от данной функции.

Так как функция задана двумя выражениями рассматриваем интеграл как сумму интегралов:

∫^(+ ∞)_(- ∞ )p_(ξ)(x)dx=

=∫^(0)_(- ∞ )[b]0[/b](x)dx+∫^(+ ∞)_(0)[b]Axe^(-x)[/b]dx =

второй интеграл считаем по частям( константу А выносим за знак интеграла):
u=x
dv=e^(-x)dx
du=dx
v=-e^(-x)

=0 + A*(x*(-e^(-x))|(+ ∞)_(0) - ∫(+ ∞)_(0)(-e^(-x))dx=

=A*( 0 - e^(-x)|^(+ ∞)_(0)= A*(0- [b](0-1)[/b])=A

A=1

x*(-e^(-x))|(+ ∞)_(0)= lim_(x→+∞)(-x)/(e^(x)) - 0*e^(-0)=

предел по правилу Лопиталя равен 0

e^(-x))|(+ ∞)_(0)= lim_(x→+∞)1/(e^(x)) - e^(-0)=[b]0-1[/b]

Ответ выбран лучшим

Почленно делим каждое слагаемое в числителе на знаменатель.

(2^(2x) - 1)/sqrt(2^(x))= (2^(2x) - 1)/((2^(x))^(1/2)=

=(2^(2x) /(2^(x))^(1/2) - 1 /(2^(x))^(1/2) =

применяем свойство степени (a^(m))^(n)=a^(mn)=

(2^(2x) /(2^((1/2)*x)) - 1/(2^((1/2)*x)) =

применяем свойство степени a^(m)/a^(n)=a^(m-n)=

= 2^((2x)-(x/2)) - 2^(-(x/2))= 2 ^(3x/2) - 2^(x/2)

∫(2^(2x) - 1)dx /sqrt(2^(x))= ∫ (2 ^(3x/2) - 2^(x/2))dx=

Интеграл от суммы равен ( разности) сумме ( разности) интегралов:

= ∫ (2 ^(3x/2))dx - ∫ (2^(x/2))dx=

табличный интеграл

[b] ∫ a^(u)du=a^(u)/lna + C[/b]

Cчитаем первый интеграл

u=(3/2)x
du=(3/2)dx

dx=(2/3)du

∫ (2 ^(3x/2))dx = ∫ (2 ^(u))*(2/3)du= (2/3) ∫ 2^(u)du=(2/3)2^(u)/ln2

обратный переход

=(2*2^((3/2)x)/(3ln2)=2^((3/2)x+1)/(3ln2)

Cчитаем второй интеграл
Здесь за u принимаем
u=(-1/2)x
du=(-1/2)dx

dx=(-2)du

∫ (2 ^(-x/2))dx = ∫ (2 ^(u))*(-2)du= (-2) * ∫ 2^(u)du=(-2)2^(u)/ln2

обратный переход

=-2*2^(-x/2)/ln2

О т в е т. 2^((3/2)x+1)/(3ln2) + 2^((-x/2)+1)/ln2 + С

Ответ выбран лучшим

2 3/7=17/7
1 2/3=5/3
3 1/2=7/2

2 3/7:1 2/3·3 1/2= (17/7)*(3/5)*(7/2)=119/10=11,9

Ответ выбран лучшим

(3/7+2/3–11/21)·21=

=(9/21+14/21–11/21)·21=(12/21)*21=12

Ответ выбран лучшим

5/7=15/21

(5/7–7/21):3/7=(15/21–7/21):3/7=(8/21):3/7=(8/21)*(7/3)=8/9

3/7=6/14

2 целых 3/7+12+1целая 3/14=2 целых 6/14+12+1целая 3/14=

=15 целых 9/14

Ответ выбран лучшим

5/12=10/24

(13/24–5/12):3/10=(13/24–10/24):3/10=(3/24):3/10=

=(3/24)*(10/3)=10/24=5/12

Ответ выбран лучшим

3/4=0,75
(3 целых 3/4 – 0,6):3/10=(3,75-0,6):0,3=3,15:0,3=31,5:3=10,5

Ответ выбран лучшим

3 целых 6/9+4+2 целых 5/18=

=3 целых 12/18+4+2 целых 5/18 =

=9 целых 17/18

Ответ выбран лучшим

Приводим дроби к общему знаменателю
x^2-4=(x-2)(x=2):

(2x*(x-2)+(x+2)-4)/((x-2)(x+2))= 0

(2x^2-4x+x+2-4)/((x-2)(x+2)) = 0

(2x^2-3x-2)/((x-2)(x+4)) = 0

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

{2x^2-3x-2=0 ⇒D=9+16=25; x=(3-5)/4;[b] x=-1/2[/b]или x=(3+5)/4;[b]x=2[/b]
{(x-2)(x+2)≠ 0 ⇒ x ≠ 2 и x ≠ -2

Значит уравнение имеет единственный корень
х=-1/2
Обозначим
х_(o)=-1/2
тогда
4х^2_(o)=4*(-1/2)^2=4*(1/4)=1
О т в е т. 3)1

Ответ выбран лучшим

Дробь равна нулю тогда и только тогда,
когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

{x^2-3x+2=0 ⇒D=9-8=1;x=(3-1)/2;[b]х=1[/b] или x=(3+1)/2;[b]х=2[/b]
{x^2-4x+3 ≠ 0 ⇒ D=16-12=4; x ≠ (4-2)/2 и x ≠ (4+2)/2; [b]x ≠ 1[/b] и x ≠ 3
Значит уравнение имеет единственный корень
х=2
х_(o)=2

x^2_(o)+1=2^2+1=5
О т в е т. 2) 5

Ответ выбран лучшим

4.
Испытание состоит в том, что из 8+7+5=20 конфет выбирают три.
n=C^3_(20)=20!/(3!*(20-3)!)=3*19*20=1140 исходов испытания

(см. формулу в приложении)

Обозначим событие
А- "взяты три конфеты с разной начинкой"

Событию А благоприятствуют
m_(1)=C^(1)_(8)*C^(1)_(7)*C^(1)_(5)=8*7*5=280 исходов

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=280/1140=14/57 ≈0,25

событие
В-" взяты две конфеты с белой начинкой и одна с орехами"
Cобытию B благоприятствуют исходы:

m_(2)=С^2_(8)*C^(1)_(5)=((7*8)/2)*5=140

p(B)=m_(1)/n=140/1140=7/57

6.
Повторные испытания с двумя исходами.
p=0,4
q=1-0,4=0,6

1)

По формуле Бернулли:
P_(7)(4)=C^(4)_(7)*(0,4)^4*(0,6)^(3)=35*0,0256*0,216=0,0165888 ≈ 0,2

2)
P_(7)(3)+P_(7)(4)+P_(7)(5)+P_(7)(6)=

=C^(3)_(7)*(0,4)^3*(0,6)^(4)+C^(4)_(7)*(0,4)^4*(0,6)^(3)+
+C^(5)_(7)*(0,4)^5*(0,6)^(2)+C^(6)_(7)*(0,4)^6*(0,6)^(1)=

=35*0,064*0,1296+35*0,0256*0,216+21*0,01024*0,36+7*0,004096*0,6=

остальное считайте...на калькуляторе

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{1-(1/x) > 0 ⇒ (x-1)/x> 0 ⇒ x < 0 или x>1
{10-x>0 ⇒ x < 10
ОДЗ: х ∈ (- ∞ ;0) U(1;10)

В условиях ОДЗ заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

log_(2)(1-(1/x))*(10-x) ≤ 2
2=log_(2)4

log_(2)(1-(1/x))*(10-x) ≤ log_(2)4

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая.
БОльшему значению функции соответствует бОльшее значение аргумента

(1-(1/х))*(10-х)≤ 4;

((x-1)*(10-x)-4x)/x ≤ 0

(10x-10-x^2+x-4x)/x ≤ 0

(7x-10-x^2)/x ≤ 0 ⇒ (x^2-7x+10)/x ≥ 0

x^2-7x+10=0
D=49-40=9
x_(1)=(7-3)/2=2 или x_(2)=(7+3)/2=5

Применяем метод интервалов к решению неравенства
(x^2-7x+10)/x ≥ 0:

__-___ (0) __+___ [2] __-___ [5] __+__

C учетом ОДЗ:

(1;2] U [5;10)

О т в е т (1;2] U [5;10)

Ответ выбран лучшим

2^(2cos^2(x+(π/4)))=2^(1+cosx)
2cos^2(x+(π/4))=1+cosx;
По формуле: 2cos^2α=1+cos2α
1+cos(2x+(π/2))=1+cosx
cos(2x+(π/2))=cosx

По формулам приведения
cos( α +(π/2))=-sin α

-sin2x=cosx

2sinx*cosx+cosx=0
cosx*(2sinx+1)=0

cosx=0 или 2sinx+1=0
x=(π/2)+πn, n ∈ Z или sinx=-1/2; x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z

Отрезку [4π; 11π/2] принадлежат корни:
(π/2)+4π=9π/2;
(π/2)+5π=11π/2
(-5π/6)+6π=31π/6

О т в е т.
а)(π/2)+πn, n ∈ Z ; (-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z
б)9π/2;11π/2;31π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 2*7!*6!=2*(5040)*(720) cпособов (прикреплено изображение)

V_(ABCA_(1)C_(1))=V_(призмы)-V_(пирамиды A_(1)B_(1)C_(1)B)=

=V_(призмы)- (1/3)V_(призмы)=(2/3)*12*6=48

Ответ выбран лучшим

Условие напечатано с опечаткой
∫ (от –2 до 0) (1/π)sqrt(4–x^2)dx

В противном случае о вычислении с помощью геометрического смысла интеграла речь не может идти

=(1/π)S_(четверти круга радиуса 2)=(1/π)*(π*2^2)/4=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4.

F(x;y;z)=x^3+y^3-e^(y^2+z^2)-3tgz

F `_(x)=3x^2
F`_(y)=3y^2-e^(y^2+z^2)*(2y)
F`_(z)=-e^(y^2+z^2)*2z- (3/cos^2z)

По формулам нахождения частных производных функции, заданной неявно:
z`_(x)= -F`_(x)/F`_(z)=-3x^2/(-e^(y^2+z^2)*2z- (3/cos^2z))=
=3x^2/(e^(y^2+z^2)*2z-(3/cos^2z))
z`_(y)=-F`_(y)/F`_(z)=(-3y^2-e^(y^2+z^2)*2y)/(-e^(y^2+z^2)*2z- (3/cos^2z))=
=(3y^2+e^(y^2+z^2)*2y)/(e^(y^2+z^2)*2z-(3/cos^2z))

5.

Уравнение касательной плоскости
F`_(x)(M_(o))*(x-x_(o))+F`_(y)(M_(o))*(y-y_(o))+F`_(z)(M_(o))*(z-z_(o))=0
Уравнение нормали:
(x-x_(o))/F`_(x)(M_(o))=(y-y_(o))/F`_(y)(M_(o))=(z-z_(o))/F`_(z)(M_(o))

F(x;y;z)=y^2-x^2-3xy+z

F `_(x)=-2x-3y
F`_(y)=2y-3x
F`_(z)=1

F `_(x)(M_(o))=-2*1-3*3=-11
F`_(y)(M_(o))=2*3-3*1=3
F`_(z)(M_(o))=1

-11*(x-1)+3*(y-3)+1*(z-1)=0
-11x+3y+z+1=0
[b]11x-3y-z-1=0[/b] - уравнение касательной плоскости

[b](x-1)/(-11)=(y-3)/3=(z-1)/1[/b] - уравнение нормали

6.
По формуле производной сложной функции:

z=arcsinu
z`=u`/sqrt(1-u^2)

z`_(x)=(x^2-2y)`_(x)/sqrt(1-(x^2-2y)^2)=2x/sqrt(1-(x^2-2y)^2);
z`_(y)=(x^2-2y)`_(y)/sqrt(1-(x^2-2y)^2)= -2/sqrt(1-(x^2-2y)^2);

z``_(xx)=(2x/sqrt(1-(x^2-2y)^2))`_(x)= производная частного=

=(2x)`_(x)*sqrt(1-(x^2-2y)^2)-2x*(sqrt(1-(x^2-2y)^2)`_(x)/(1-(x^2-2y)^2)=

=(2*sqrt(1-(x^2-2y)^2)-2x*(1/2(sqrt(1-(x^2-2y)^2)) * (1-(x^2-2y)^2)`_(x))/(1-(x^2-2y)^2)=

=[b]([/b]4*(1-(x^2-2y)^2)-2x*(-2(x^2-2y))*(2x)[b])[/b]/(2*(1-(x^2-2y)^2)^(3/2))=

=(4 - 4*(x^2-2y)^2+8x^2*(x^2-2y))/(2*(1-(x^2-2y)^2)^(3/2))=

=(2 - 2*(x^2-2y)^2+4x^2*(x^2-2y))/((1-(x^2-2y)^2)^(3/2))

По формуле производной сложной функции
y=1/sqrt(u):

y`=(u^(-1/2))`
y`=(-1/2)u^(-3/2) * u`

z``_(xy)=(2x/sqrt(1-(x^2-2y)^2))`_(y)=2x*((1-(x^2-2y)^2)^(-1/2))`_(y)=

=2x*(-1/2)*(1-(x^2-2y)^2)^(-3/2) * (1-(x^2-2y)^2)`_(x)=

=-x*(-2(x^2-2y))*(2x)/(1-(x^2-2y)^(3/2)=

=(4x^2*(x^2-2y))/(1-(x^2-2y)^(3/2)

По формуле производной сложной функции
y=1/sqrt(u):

y`=(u^(-1/2))`
y`=(-1/2)u^(-3/2) * u`

z``_(yy)=( -2/sqrt(1-(x^2-2y)^2))`_(y)=

=(-2)*(-1/2)*(1-(x^2-2y)^2)^(3/2))* (1-(x^2-2y)^2)`_(y)=

=-2(x^2-2y)*(-2)/((1-(x^2-2y)^(3/2)=4(x^2-2y)/((1-(x^2-2y)^2)^(3/2))

Ответ выбран лучшим

f ` (x)=(x-1)`*e^(2x-1) (x-1)*(e^(2x-1))`
f ` (x)=e^(2x-1) (x-1)*e^(2x-1)*(2x-1)`
f ` (x) = e^(2x-1) 2*(x-1)*e^(2x-1)
f `(x)=e^(2x-1)*(1 2*(x-1))
f `(x)=e^(2x-1)*(2x-1)
f ` (x)=0
e^(2x-1) > 0 при любом х
значит
2х-1=0
х=1/2

Знак производной

[-1] ____-____ (1/2) __+ __ [1]

x=1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Значение в этой точке находить не надо, оно наименьшее.

Находим значения на концах отрезка
f(-1)=-2e^(-3)
f(1)=0
и из них выбираем наибольшее
Это 0
О т в е т. Наибольшее значение на [-1;1] равно 0

Ответ выбран лучшим

y`=2x-3 (1/x)
y`=0
2x-3 (1/x)=0
x ≠ 0;
2x^2-3x 1=0
D=(-3)^2-4*2=1
x_(1)=(3-1)/4=1/2; x_(2)=(3 1)/4=1

x_(1) ∉ [3/4;5/4]
x_(2) ∈ [3/4;5/4]
Знак производной:
[3/4] ___-___(1) __ ____[5/4]

x=1- точка минимума, производная меняет знак с - на
Это единственная экстремальная точка на указанном отрезке,
поэтому эта точка является и точкой наименьшего значения на этом отрезке.
y(1)=(1)^2-3*1 ln1 10=8
О т в е т. 8

Пусть событие A- "среди двух случайно выбранных деталей окажется хотя бы одна стандартная деталь"
Рассмотрим противоположное событие vector{A}-" среди двух случайно выбранных деталей нет ни одной стандартной детали".
p(vector{A})=C^(2)_(2)/C^2_(10)=1/45

Так как p(A) p(vector{A})=1, то p(A)=1-(1/45)=44/45

Ответ выбран лучшим

Обозначим
t=sqrt(x-2sqrt(x-1))+sqrt(x+2sqrt(x-1))
Возведем в квадрат
t^2=x-2sqrt(x-1) + 2*sqrt(x^2-4*(x-1))+x+2sqrt(x-1)
t^2=2x+2sqrt((x-2)^2)
t^2=2x+2*|x-2|
При х=1,2007
|x-2|=2x+2*(2-x)
t^2=4
t=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

Пусть x_(1) и x_(2) - корни данного уравнения.

Графиком функции f(x) = x^2+4ax+(1-2a+4a^2)
является парабола, пересекающая ось Ох в точках x_(1) и x_(2). Поскольку коэффициент перед x^2
a=1>0, ветви параболы направлены вверх.

Значит, одним из условий для выполнения требований задачи задачи является
(1)
{D>0 ( это гарантирует наличие двух корней)
При этом по отношению к (-1) возможны три случая расположения корней, оба корня слева от (-1), оба корня справа от (-1)
и (-1) между корнями
Условие
(2)
{f(-1)>0
исключает случай: один корень меньше (-1), другой больше (-1)
Условие
(3)
исключает второй случай
{x_(o) < -1

Оба корня слева от (-1)
См. рис.

Система трех неравенств - это необходимые и достаточные условия для выполнения требования задачи.

D=(4a)^2-4*(1-2a+4a^2)=16a^2-4+8a-16a^2=8a-4
f(-1)=(-1)^2+4a*(-1)+1-2a+4a^2
x_(o)=-b/2a= -4a/2=-2a

{8a-4 >0 ⇒ a > 1/2
{1-4a+1-2a+4a^2 >0 ⇒ 2a^2-3a+1 >0 ⇒ a < 1/2 или a > 1
{-2a<-1 ⇒ a>1/2

О т в е т. при а > 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

НепочЁтное это дело решать такие уравнения, написанные от руки. Могут быть опечатки.. в условии.
Теряешь время, а уравнение оказывается с минусом в другом месте или с плюсом.

1.
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и получаем
x^4-5x^3-9x^2+32x-10=0

Левая часть уравнения раскладывается на множители:
(x^2+x-5)(x^2-6x+2)=0

Проверка подскажет как это делается. В пособиях иногда пишут
"нетрудно заметить".
Проверка:
x^4+x^3-5x^2 -6x^3-6x^2+30x+2x^2+2x-10=0

-5x^3 представляем как x^3-6x^3
-9x^2=-5x^2-6x^2+2x^2
32x=30x+2x

Итак,
x^4-5x^3-9x^2+32x-10=0
x^4+x^3-5x^2-6x^3-6x^2+30x+2x^2+2x-10=0
x^2(x^2+x-5)-6x(x^2+x-5)+2(x^2+x-5)=0
(x^2+x-5)*(x^2-6x+2)=0

x^2+x-5=0
D=21
x_(1,2)=(-1 ± sqrt(21))/2

x^2-6x+2=0
В=36-8=28
x_(3,4)=3 ± sqrt(7)
О т в е т. 4 корня в ответе
2.
Левая часть уравнения раскладывается на множители
(x^2+2(1+sqrt(7))x+3)*(x^2+2*(1-sqrt(7))x+3)=0
x^2+2*(1+sqrt(7))x+3=0
имеет два корня
x_(1)=1+sqrt(7)-sqrt(5+2sqrt(7));
x_(2)=1+sqrt(7)+sqrt(5+2sqrt(7)).

О т в е т. 2 корня в ответе

3. Замена переменной
x^2-3x+1=u
(x-1)=v
u^2+3uv=4v^2
u^2+3uv-4v^2=0
Это однородное уравнение ( в школе такие встречаются в тригонометрии).
Делим на u^2 ≠ 0 или v^2 ≠ 0

(u/v)^2+3*(u/v)-4=0
Квадратное уравнение
D=9+16=25
(u/v)=-4 или u/v=1

1) x^2-3x+1=-4(x-1)
x^2+x-3=0
D=1+12=13
x_(1)=(-1-sqrt(13))/2 или x_(2)=(-1+sqrt(13))/2
2) x^2-3x+1=x-1
x^2-4x+2=0
D=16-8=8
x_(3)=(4-2sqrt(2))/2=2-sqrt(2) или х_(4)=2+sqrt(2)
О т в е т. 4 корня в ответе
4.
Раскладываем каждый квадратный трехчлен на множители.
(x-2)(x-3)(x-3)(x-4)=20
Умножаем первую скобку на четвертую, вторую на третью
(x^2-6x+8)(x^2-6x+9)=20
Замена
x^2-6x+8=t
t*(t+1)=20
t^2+t-20=0
D=81
t=-5; t=4

Обратно
x^2-6x+8=-5
x^2-6x+13=0
D=36-4*13 < 0 уравнение не имеет корней

x^2-6x+8=4
x^2-6x+4=0
D=36-16=20
x_(1)=(6-2sqrt(5))/2=3-sqrt(5); x_(2)=3+sqrt(5)
О т в е т. 2 корня в ответе

1+sin2x=sin^2x+cos^2x+2*sinx*cosx=(sinx+cosx)^2dx
sqrt(q+sin2x)= ± (sinx+cosx)
Считаем выражение справа положительным
Получаем
∫ (sinx+cos)dx = - cosx + sin x+C (прикреплено изображение)

Замена переменной
u=lnx
du=(lnx)`dx
du=(1/x)*dx
получим:
∫ du/(5+u^2)=(1/sqrt(5))*arctg (u/sqrt(5)C=(1/sqrt(5))*arctg (5+ln^2x)/sqrt(5) + C (прикреплено изображение)

137.
Высота равностороннего треугольника со стороной а
h=a*sqrt(3)/2
Так как по условию a=1 и H_(призмы)=1, то
tg ∠ ( пл. АDE, пл. ВСС_(1))=tg ∠ AFK=tg ∠ APM=AM/PM=
=(1/2)h_(осн)/H_(призмы)=sqrt(3)/4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Есть готовое решение. Координатный метод (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
ctgx не существует, когда знаменатель обращается в 0
sinx ≠ 0
x ≠ πm, m ∈ Z

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда
когда хотя бы один из них равен 0, [b] а другой при этом не теряет смысла[/b]
Для этого и находили ОДЗ

5сosx-5=0 или 2сtgx-2=0
cosx=1 или сtgx=1
x=2πk или х=(π/4) + πn, k,n ∈ Z

x=2πk, k ∈ Z не входит в одз
О т в е т. (π/4) + πn, n ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ранг матрицы А ( количество ненулевых строк) должен быть равен рангу расширенной матрицы.
О т в е т. k-3=0, т.е при k=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена
2^(x)=t
t>0
2^(x+3)=2^(x)*2^(3)=8t
4^(x)=(2^(2))^(x)=(2^(x))^2=t^2

t^2-8t+15=0
D=64-60=4
t=3 или t=5

2^x=3 ⇒ x= log_(2)3 < log_(2)4=2
не входит в указанный отрезок.

2^(x)=5 ⇒ х=log_(2)5<log_(2)8 =3 < sqrt(10)

О т в е т.
a) log_(2)3; log_(2)5
б) log_(2)5 ∈ [2; sqrt(10)]

y=u^(1/3)
y`=(1/3)u^((1/3)-1) * u`

y`=(1/3)*(sin4x)^(-2/3) * (sin4x)`

y`=(1/(3∛(sin4x)^2))* (cos4x)* (4x)`

y`= 4cos4x/(3∛(sin4x)^2) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Арифметическая прогрессия
a_(1)=35
d=1
a_(13)=a_(1)+d*(13-1)=35+12=47
О т в е т. 47

y`=(4-2x)`/(4-2x) +2
y`=-2/(4-2x) +2

y`=1/(x-2) +2

y`=(1+2x-4)/(x-2)

y`=(2x-3)/(x-2)

y`=0

2x-3=0

x=1,5

[0] _+__ (1,5) _-__[1,7]

x=1,5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

[b]точка максимума в данном случае является точкой наибольшего значения функции на отрезке [0;1,7] [/b]

y(1,5)=ln(4-2*1,5)+2*1,5-7
y(1,5)=ln1-4
y=-4
ln1=0

Значения на концах находить не нужно,
это лишнее.

О т в е т. -4

y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=((x-5)`*(x^2+144)-(x-5)*(x^2+144)`)/(x^2+144)^2

y`=(x^2+144-(x-5)*2x)/(x^2+144)^2

y`=(-x^2+10x+144)/(x^2+144)^2

y`=0

x^2-10x-144=0

D=100-4*(-144)=100+576=676

x=(10-26)/2=- 8 или х=(10+26)/2=18

знак производной
__-_ (-8) ____+__ (18) _-__

[b]x=- 18 - точка максимума[/b], производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

y`=-3*(e^(x))*(2x)`+12*e^(x)
y`=-6*e^(2x)+12*e^(x)
y`=0
-6*e^(x)*(e^(x)- 2)=0
e^(x) > 0 при любом х
e^(x)-2=0
x=ln2

ln2<1=lne

Расставляем знак производной
[0] __+_ (ln2) _-__ [1]

х=ln2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(ln2)=-3*e^(2ln2)+12*e^(ln2)-7=-3*(e^(ln2)^2)+12*2-7=

=-3*4+24-7=5

О т в е т. 5

Основное логарифмическое тождество

e^(ln2)=2

Ответ выбран лучшим

y=25x+(25/x)
y`=25-(25/x^2)
y`=25*(x^2-1)/x^2
y`=0
x^2-1=0
x=-1 или х=1

Знак производной:

_+__ (-1) _-__ (0) _-__ (1) __+_

х=1 - точка минимума

Ответ выбран лучшим

y`=(x-5)`*(x^2+144)+(x-5)*(x^2+144)`
y`=(x^2+144)+(x-5)*2x
y`=3x^2-10x+144
y`=0

3x^2-10x+144=0
D=100-4*3*144 <0
Нет корней у квадратного уравнения.

Проверяйте условие

Ответ выбран лучшим

y`=(12-5x)`*sinx+(12-5x)*(sinx)`-5*(cosx)`
y`=-5sinx +(12-5x)*cosx-5*(-sinx)
y`=0
(12-5x)*cosx=0

12-5x=0
x=2,4

или

cosx=0
x=(π/2)+πk, k ∈ Z

x=2,4- внутренняя точка [π/2;π]

Других критических точек (точнее стационарных) нет

Знак производной

[π/2] _-__ (2,4) __+_ [π]

x=2,4 - точка минимума, производная меняет знак с - На +

Ответ выбран лучшим

f `(x_(o))=k( касательной)
k_(касательной)=-1

f `(x)=3x^2-7x+1

f `(x_(o))=3x^2_(o) -7x_(o) +1

3x^2_(o) - 7x_(o) + 1 = -1
3x^2_(o) - 7x_(o) + 2 = 0

D=(-7)^2-4*3*2=49-24=25

x_(o)=(7-5)/6=1/3 или x_(o)=(7+5)/6=2

Точка с абсциссой (1/3) не является точкой касания

В этой точке касательная параллельна прямой y=-x-3, но

y_(касательной)(1/3) ≠ y_(кривой)(1/3)

-(1/3) - 3 ≠ (1/3)^3 - 3,5*(1/3)^2 +(1/3) - 1

А вот в точке х=2
y_(касательной) (2)= y_(кривой)(2)=-5

О т в е т. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это точки с целочисленными абсциссами интервалов, на которых функция убывает.
О т в е т. 4 (прикреплено изображение)

Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(o))=k(касательной)=tg α
α - угол наклона касательно к сои Ох

tg α = отношению противолежащего катета к прилежащему.
Находим на картинке треугольник с целочисленными координатами в вершинах

Значит и производная в точке х=-3 равна (6/4)=1,5 (прикреплено изображение)

26.5
Меняем знак в знаменателе дроби справа и в числителе:
Получаем дробь (-8)/(х-4)

Две долби с равными знаменателями равны, значит равны и их числители

3x^2-14x = - 8
но надо сделать оговорку, что x-4 ≠ 0
или система
{x-4 ≠ 0
{3x^2-14x=-8

Решаем второе уравнение системы
3x^2-14x +8=0
D=(-14)^2-4*3*8=196 - 96=100
x_(1)=(14-10)/6=2/3 или x_(2)=(14+10)/6=4
x_(2) не удовлетворяет первому условию, а именно 4-4=0
Поэтому в ответе один корень

x=2/3
б)
{x+6 ≠ 0
{-2x^2+6=11x

-2x^2-11x+6=0
2x^2+11x-6=0
D=11^2-4*2*(-6)=121+48=169

x_(1)=(-11-13)/4=-6 или х_(2)=(-11+13)/4=1/2

x_(1) не удовл первому неравенству.
О т в е т.1/2

25.6
Пропорция.
Перемножаем крайние и средние члены пропорции, при условии, что в знаменателях не нули
{x+2 ≠ 0
{3*(x^2+4x)=(2x+3)*(x+2)

3x^2+12x=2x^2+3x+4x+6;

x^2+5x-6=0
D=25+24=49
x=-6 или х=1
оба корня удовлетворяют услвовию первого неравенства
О т в е т.-6; 1

б)
{x ≠ 0
{x-3 ≠ 0
{(5x-3)*x=(2x-3)*(x-3)

5x^2-3x=2x^2-3x-6x+9
3x^2+6x-9=0
x^2+2x-3=0
D=4+12=16
x=-3 или х=1

оба корня удовлетворяют перечисленным условиям
О т в е т. -3; 1

По формулам приведения.
Если к аргументу х прибавляем (π/2) взятое нечетное число раз
( как в нашем случае 3), то название функции меняется на кофункцию.
А именно синус на косинус,
косинус на синус,
тангенс на котангенс,
котангенс на тангенс

Знак перед приведенной функцией ставится такой, какой имела исходная функция..
x- считается острый угол в первой четверти
(х+(3π/2)) - угол в четвертой четверти.
Косинус в четвертой четверти имеет знак +

О т в е т. + sinx

На [-7;-4] производная f`(x) > 0 , значит функция возрастает и наибольшее значение принимает в точке x=-4

Ответ выбран лучшим

Строим графики границ каждой области
x_(1)-9x_(2)=18 - прямая ( в привычных координатах хОу: х-9у=18
Эта прямая делит полуплоскость на две части
Выбираем точку (0;0)
Подставляем ее координаты в неравенство:
0 -9*0 ≤ 18 - верно
Заштриховываем ту часть, которой принадлежит (0;0)
см. рис.1
2x_(1)+4x_(2)=3 ( аналогично 2х+4у=3)
7x_(1)+3x_(2)=27 ( 7x+3y=27)

О т в е т. См. рис.2

Похоже что тройное пересечение состоит из одной точки

Решаем систему
{x_(1)-9x_(2)=18
{2x_(1)+4x_(2)=3
{7x_(1)+3x_(2)=27

Умножаем первое на (-2) и складываем со вторым
22х_(2)=-33
x_(2)=-3/2
x_(1)=18+9x_(2)=9/2

Подставляем в третье
7*(9/2)+3*(-3/2)=27 - верно

О т в е т. Одна точка (9/2; (-3/2)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1+(3x/2)=1+1,5x
24x+56=8*(3x+7)
ОДЗ:
{1,5x+1>0 ⇒ x > - 2/3;
{1,5x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0;
{3x+7 > 0 ⇒ x > -7/3
в перечисленных условиях уже учтено, что
(24х+56)/(3х+2) >0
ОДЗ:
x ∈ (-2/3; 0) U (0; + ∞ )

Применяем свойства логарифмов ко второму логарифму
логарифм частного равен разности логарифмов

log_(1+(3x/2))(24x+56)/(3x+2)^3=

=log_(1+(3x/2))(24x+56)- log_(1+(3x/2))(3x+2)^3=

=log_(1+1,5x)(8*(3x+7)) -3log_(1+1,5x)*(2*(1+1,5x))=
логарифм произведения равен сумме логарифмов

= log_(1+1,5x)8 + log_(1+1,5x)(3x+7) - 3log_(1+1,5x)2-3log_(1+1,5x)(1+1,5x)=

=3log_(1+1,5x)2+log_(1+1,5x)(3x+7) - 3log_(1+1,5x)2-3=

=log_(1+1,5x)(3x+7)-3

Получаем уравнение

log_(1+1,5x)(3x+7)*[b](log_(1+1,5x)(3x+7)-3)[/b] ≤ -2

Замена переменной
[b]t=log_(1+1,5x)(3x+7)[/b]

t*(t-3) ≤ -2

t^2-3t+2 ≤ 0

D=9-8=1
t_(1)=(3-1)/2=1 или t_(2)=(3+1)/2=2

___ [1] _ -__ [2] __

1 ≤ t ≤ 2

Обратная замена

1 ≤ log_(1+1,5x)(3x+7) ≤ 2

{log_(1+1,5x)(3x+7) ≥ 1=log_(1+1,5x)(1+1,5x)
{log_(1+1,5x)(3x+7) ≤ log_(1+1,5x)(1+1,5x)^2

[b]
Применяем [b] метод рационализации логарифмических неравенств [/b] ( см. приложение) к каждому уравнению системы

{log_(1+1,5x)(3x+7) ≥ 1=log_(1+1,5x)(1+1,5x)
{log_(1+1,5x)(3x+7) ≤ log_(1+1,5x)(1+1,5x)^2

Получим
{(1+1,5x-1)*(3x+7-1-1,5x) ≥0
{(1+1,5x-1) *(3x+7-(1+1,5x)^2) ≤ 0

{1,5x*(1,5x+6) ≥ 0
{1,5x*(3x+7-1-3x-2,25x^2) ≤ 0

Так как множитель x есть в каждом неравенстве системе
рассматриваем два случая с учетом ОДЗ:
(1)
{(-2/3)< x<0;
{1,5x+6 ≤ 0⇒ x ≤ -4
{-2,25x^2+6 ≥ 0
первое и второе неравенства системы несовместны
cистема не имеет решений.

(2)
{x>0
{1,5x+6 ≥0 ⇒ x ≥ -4
{-2,25x^2+6 ≤ 0 ⇒x^2≥ 8/3

x≥ sqrt(8/3)=sqrt(24)/(3)=2sqrt(6)/3

О т в е т. [2sqrt(6)/3;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

y=(x^2+16x+64)*e^(x+52)
y`=(x^2+16x+64)`*e^(x+52)+(x^2+16x+64)*(e^(x+52))`
y`=(2x+16)*e^(x+52)+(x^2+16x+64)*(e^(x+52))*(x+52)`
y`=e^(x+52)*(2x+16+x^2+16x+64)
y`=e^(x+52)*(x^2+18x+80)
y`=0
e^(x+52)>0
значит только
x^2+18x+80=0
D=18^2-4*80=324-320=4
x_(1)=(-18-2)/2=-10; x_(2)=(-18+2)/2=-8
Знак производной
_+__ (-10) _- _ (-8) _+__

x=-8 - точка минимума, производная при переходе через точку меняет знак с - на +
О т в е т. -8

y`=(x-11)`*e^(x-10)+(x-11)*(e^(x-10))`
y`=1*e^(x-10)+(x-11)*(e^(x-10))*(x-10)`
y`=e^(x-10)*(1+x-11)
y`=e^(x-10)*(x-10)
y`=0
e^(x-10)>0
значит только
x-10=0
x=10
Знак производной
_-__ (10) __+_

10 - внутренняя точка отрезка [8;14], производная при переходе через точку меняет знак с - на +,
значит х=10 - точка минимума
наименьшее значение в точке x=10 равно
y(10)=(10-11)*e*(10-10)=-1*e^(0)=-1*1=-1
О т в е т. -1

(cм приложение, вторая строчка)

=(sqrt(10))^2-2^2=10-4=6 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5кг сухого белья составляют 100%
х кг воды в нем составляют 4%
х=5*4/100=0,2 кг воды в 5 кг сухого

Значит
5-0,2 =4,8 кг cухого вещества ( без влажности) в 5 кг сухого белья.

Это сухое вещество в выстиранном белье составляет 80%

4, 8 кг составляют 80%
у кг мокрого составляют 100%

у=4,8*100/80=6 кг

О т в е т. 6 кг

Ответ выбран лучшим

Вариант 3 аналогично, в задаче 3 отношения указанные в условии должны быть равны. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^4-(x-6)^2=0
(x^2)^2-(x-6)^2=0
Раскладываем на множители по формуле
a^2-b^2
(x^2-(x-6))*(x^2+(x-6))=0
(x^2-x+6)*(x^2+x-6)=0
x^2-x+6=0 или x^2+x-6=0

x^2-x+6=0
не имеет корней, так как D=1-24 <0

x^2+x-6=0
D=1-4*(-6)=25
x_(1)=(-1-5)/2=-3; x_(2)=(-1+5)/2=2
О т в е т. -3;2

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных
∠ ВАС+ ∠ АВС= ∠ ВСЕ
∠ АВС= ∠ ВСЕ- ∠ ВАС= 67 градусов - 45 градусов = 22 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.
(-3)*(-8)+3*(-6)+(-8)*3+7*10+(-7)*(-3)=24-18-24+70-21=31
4.
нельзя умножить. количество столбцов первой матрицы
должно быть равно количеству строк второй
5.
нельзя умножить
1. cм приложение
2.
нельзя (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Разложим на множители

(x-10)(x+10) < 0

Применяем метод интервалов

____ (-10) __-__ (10) ____

Этот метод означает, что находя значение в одной точке мы можем указать знак функции на всем интервале.
Например, при х=0 слева -100, значит минус
Можно рассуждать графически:

График у=x^2-100 пересекает ось Ох в двух точках x=-10 и х=10
ветви вверх,
график расположен ниже оси Ох на (-10;10)

О т в е т. (-10;10)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 2^(x)-1 > 0
2^(x)> 1
2^(x)> 2^(0)
x>0

ОДЗ: х > 0

Применяем свойства логарифмов:
log_(1/2)(2^(x+1)-2)=log_(1/2)2*(2^x-1)= логарифм произведения
= log_(1/2)2+log_(1/2)(2^x-1) =
формула перехода к другому основанию ( к основанию 2)

= - 1 - log_(2)(2^(x)-1)

log_(2^x-1)*(-1-log_(2)(2^(x)-1) > -2

Квадратное неравенство
log_(2)(2^(x)-1)=t

t*(-1-t)>-2
t*(t+1) < 2

t^2+t-2 <0
D=9
t_(1)=(-1-3)/2=-2; t_(2)=(-1+3)/2=1
-2 < t < 1

Значит

-2 < log_(2) (2^(x)-1) < 1

log_(2)(1/4) < log_(2) (2^(x)-1) < log_(2)2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

(1/4) < 2^(x)-1< 2

(1/4)+1 < 2^(x) < 3

2^(log_(2)(5/4)) < 2^(x) < 2 ^(log_(2) 3)

log_(2)(5/4) x< x < log_(2)3
О т в е т. (log_(2)(5/4);log_(2)3)

Радиус вписанной и описанной окружности через сторону а равностороннего треугольника:
R=asqrt(3)/3;
r=asqrt(3)/6;

R=2r

24=2r

r=12

M_(11)=(-4)*3-(-9)*(-4)=-12-36=-48
C_(11)=(-1)^(1+1)*M_(11)=-48

M_(12)=(-7)*(3) - 4*(-4)=-21+16=-5
C_(12)=(-1)^(3)*M_(12)=5

M_(13)=(-7)*(-9)-4*(-4)=63+16=79
C_(13)=(-1)^(1+3)*M_(13)=79

M_(21)=(-6)*3-(-9)*7=-18+63=45
C_(21)=(-1)^3=-45

M_(22)=(-8)*3-4*7=-24-28=-52
C_(22)=52

M_(23)=(-8)*(-9)-4*(-6)=72+24=96
C_(23)=-96

M_(31)=(-6)*(-4)-(-4)*7=24+28=48
C_(31)=48

M_(32)=(-8)*(-4)-7*(-7)=32+49=81
C_(32)=-81

M_(33)=(-8)*(-4)-(-7)*(-6)=32-42=-10
C_(33)=10

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. ВСDE
При умножении:
количество столбцов первой должно равняться количеству строк второй
Вычитание одинаковых матриц А и В возможно
Транспонирование любой матрицы возможно (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(b+c-a)/(a*(b+c)) : (b+c+a)/(a*(b+c))=

= (b+c-a)/(b+c+a)

При а=0,01; b=8,21; с=1,78

(8,21+1,78-0,01)/(8,21+1,78+0,01)=9,98/10=0,998

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cвойства корня ( см. приложение)
Применяем формулу в обратную сторону справа налево
sqrt(13/5)* sqrt(125/13)= sqrt((13/5)*(125/13))=sqrt(25)=5 (прикреплено изображение)

k=p=t=m
О т в е т. k=m

(13/18)+(15/18)=28/18

(28/18):(7/54)=(28/18)*(54/7)= 4*3=12

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Приводим к общему знаменателю:

(x-2a)*(x-a)+(x-1)*(x+2)=(x+2)*(x-a)
x ≠ -2;
x ≠ a
Раскрываем скобки
x^2-2ax-ax+2a^2+x^2-x+2x-2=x^2+2x-xa-2a;

x^2+(-1-2a)x+2a^2+2a-2=0

D=(-1-2a)^2-4*(2a^2+2a-2)=1+4a+4a^2-8a^2-8a+8=9-4a-4a^2

4a^2+4а-9=0
D_(1)=4^2-4*4*(-9)=16*10

При D > 0, т. е при
9-4a-4a^2>0 решить это неравенство

квадратное уравнение имеет два корня
x_(1)=((1+2a)- sqrt(9-4a-a^2))/2
x_(2)=(1+2a)+sqrt(9-4a-a^2))/2

Надо исключить те значения параметра а, при которых
x_(1) ≠ 2; x_(1) ≠ a
x_(2) ≠ 2; x_(2) ≠ a

При D=0
уравнение имеет один корень
х=(1+2a)/2
И то же надо исключить те значения параметра, при которых
(1+2a)/2=2
и
(1+2а)/2=a

ОДЗ: x>0

Знаменатель положителен ( арифметический кв.корень) при всех
x>0

Значит, числитель отрицателен:

1-log_(0,5) x <0
log_(0,5)x >1
log_(0,5) > log_(0,5)(0,5) Заменили 1=log_(a)a, a>1
Логарифмическая функция с основанием
0 <0,5<1
убывающая.
x<0,5
C учетом ОДЗ

о т в е т. (0;0,5)

30:5=42:7
30:42=5:7

15:5=9:3
15:9=5:3

Два других : нет множителей слева

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0;
{x+7>0
{x+12>0
{2^(x-1) ≠ 1 ⇒ x ≠ 1
x ∈ (0;1)U(1;+ ∞ )

Применяем формулу перехода к другому основания справа налево

2log_(x+7)|x| ≤ log_(x+7)(x+12);

Применяем формулу логарифма степени

log_(x+7)x^2 ≤ log_(x+7)(x+12)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(х+7-1)*(x^2-x-12) ≤ 0

(x+6)*(x+3)*(x-4) ≤ 0

Метод интервалов на ОДЗ:

(0)__-__ (1) __-__ [4] __+___

О т в е т. (0;1)U(1;4] (прикреплено изображение)

{x+1>0⇒ x > -1
{-x>0⇒ x <0

(-1;0) - ОДЗ

применяем свойства логарифмов ( см. приложение)
(2log_(2)(x+1)) * (-2log_(3)(-x)) - 4 log_(2)(x+1)+4log_(3)(-x)+4 ≤ 0

Делим на 4 и раскладываем на множители способом группировки:

- log_(2)(x+1)*(log_(3)(-x) +1) +(log_(3)(-x)+1) ≤ 0

(log_(3)(-x)+1)*( 1-log_(2)(x+1)) ≤ 0

Применяем обобщенный метод интервалов:

log_(3)(-x)+1=0 или log_(2)(x+1)-1=0

log_(3)(-x)=-1 или log_(2)(x+1)=1

-x=3^(-1) или x+1=2

x=-1/3 или х=-1

(-1) __+_ [-1/3] __-__ (0)

О т в е т. [(-1/3);0) (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x>0; x ≠ 1
{x-1>0 ⇒ x>1
{x+1>0; x +1≠ 1

ОДЗ: x ∈ (1;+ ∞ )

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(cм. приложение)

(x-1)*(x-1-1)*(x+1-1)*(x-1-1) <0;

(x-1)*x*(x-2)^2 <0

Применяем метод интервалов с учетом ОДЗ

(1) __+__ (2) __+__

нет решений (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Классическая формула вероятности
p=m/n
Здесь тоже самое.

Вводим прямоугольную систему координат, приняв для простоты, что встреча состоится между 0 и 2 часами
( вместо 12 и 14)

Студенты встретятся, если оба окажутся в многоугольнике, окрашенном розовым цветом.

p= площадь многоугольника/ площадь квадрата
( см. рис.2)
OA=OB=0,5 ( полчаса)
S_(квадрата ОКML)=2*2=4
BK=KC=(2-0,5)=1,5
S_( Δ BKC)=(1/2)*(1,5)*(1,5)=1,125

S_(OAKCMD)=4-2*1,125=4-2,25=1,75

p=1,75/4=7/16 (прикреплено изображение)

a) ∫ (2/sqrt(x) - (4∛(x^2))dx/x=

=2 ∫1dx/(x*sqrt(x))- 4∫ x^(2/3)dx/x=

=2 ∫ x^(-3/2)dx - 4 ∫ x^(-1/3)dx=

=2*x^((-3/2)+1)/((-3/2)+1) - 4*x^((-1/3)+1)/((-1/3)+1)+C=

=-4/sqrt(x^3) - 6* ∛(x^2) + C

б)
Замена
x^2=u
du=(x^2)`dx
du=2xdx
xdx=du/2

получаем
∫ (du/2)/sin^2u=(1/2)(-ctgu)+C=(-1/2)ctg(x^2)+C

2a)

u=3x^2+1
du=6xdx
xdx=(1/6)du

Меняем пределы
х=2sqrt(2)
u=3*(2sqrt(2))^2+1=25

x=sqrt(5)
u=3*(sqrt(5))^2+1=16

получаем

∫ ^(25)_(16)(1/6)du/sqrt(u)=(1/6)*(2sqrt(u))|^(25)_(16)=

=(1/3)*(5-4)=(1/3)

2б)

u=sinx
su=cosxdx

x=0
u=sin0=0

x=(π/6)
u=sin(π/6)=(1/2)

получаем
∫ ^(1/2)_(0)e^(u)du=e^(u)|^(1/2)_(0)=e^(1/2)-e^(0)=sqrt(e)-1

Ответ выбран лучшим

3.
Замена переменной
u=arcsinx
du=dx/sqrt(1-x^2)
Получаем
∫ u^3/du=u^4/4=(arcsin^4x)/4+C

Можно сразу без замены писать:
∫ arcsin^3xdx/sqrt(1-x^2)= ∫ arcsin^3xd(arcsinx)=(arcsin^4x)/4 + C

7.
∫ xdx/(2x^2-1)
u=2x^2-1
du=4xdx
xdx=(1/4)du

получаем
∫ (1/4)du/u=(1/4) ∫ du/u=(1/4)ln|2x^2-1|+C

8.

(xe^(x)-x)/x=x*(e^(x)-1)/x=e^(x)-1

получаем
∫ (e^(x)-1)dx= ∫ e^(x)dx- ∫ dx=e^(x)-x + C

9.
u=1+3x^3
du=9x^2dx
x^2dx=(1/9)du

получаем
∫ (1/9)u^(1/5)du= (1/9)*u^((1/5)+1)/((1/5)+1)=(5/54)u^(6/5)+C=

=(5/54)*(1+3x^3)^(6/5) + C

10.

Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов
получаем
∫ ∛arctgxdx/(1+x^2) - ∫ xdx/(1+x^2)=

= ∫ ∛u du - (1/2) ∫ dt/t=

=(3/4)(arctgx)^(4/3) - (1/2) ln (1+x^2) + C

Ответ выбран лучшим

p=511/1000=0,511

равноудалены от числа t на расстояние π
вправо, получим точку t+π
влево получим точку t -π
О т в е т. 5

О т в е т. совпадают. (прикреплено изображение)

∪ CM=4x
∪ MD=5x
∪ CD=90^(o)

∪ CD = 90^(o)
4x+5x=90^(o)
x=10^(o)

∪ CM=4x=4*10^(o)=40^(o)
∪ MD=5x=50^(o)

Аналогично
∪ AP=y
∪ PB=5y
∪ AB=90^(o)

y+5y=90^(o)
6y=90^(o)
y=15^(o)
∪ AP=15^(o)
∪ PB=5*15^(o)=75^(o)

∪ PM= ∪ PB+ ∪ BC+ ∪ CM=75^(o)+90^(o)+40^(o)=205^(o) (прикреплено изображение)

1.

OT- средняя линия треугольника АРС
OT|| AP ⇒ OT || AA_(1)B_(1)B

2.
прямая l параллельна плоскости SPT
так как
PT- средняя линия Δ АВС
PT|| AC

прямая l пересекает OK ребро SC в точке К

OK || AC

Значит по свойству транзитивности
OK || PT ⇒ OK || пл. SPT

см. рис.

3.

В Δ SDC медиана SP соединяет вершину S c серединой противоположной стороны DC точкой P
K- точка пересечения медиан Δ SDC
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
SK:KP=2:1

Треугольники SEK и SBP подобны, так как угол общий и стороны пропорциональны.

Значит EK || BP ⇒ EK || ABCD в том числе и АВС.

4.

См. приложение 2

диагонали боковой грани AA_(1)B_(1)B
A_(1)B и AB_(1)
пересекаются в точке E

A_(1)B=AB_(1)=8 sqrt(2) ( диагональ квадрата со стороной 8)

диагонали боковой грани СС_(1)B_(1)B
С_(1)B и СB_(1)
пересекаются в точке F

C_(1)B=CB_(1)=8 sqrt(2) ( диагональ квадрата со стороной 8)

Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам
BE=BF=4 sqrt(2)

EF- средняя линия Δ BA_(1)C_(1)

EF=(1/2)A_(1)C_(1)=4

P( Δ BEF)= BE+EF+FB=4sqrt(2)+4+4sqrt(2)=4+8sqrt(2)

5.
Соединяем точки В_(1) и С; В_(1) и Т.
B_(1)C=6*sqrt(2) ( диагональ квадрата со стороной 6)
В_(1)Т=sqrt(6^2+3^2)=sqrt(36+9)=sqrt(45)=3sqrt(5)

Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.

Поэтому проводим
ТК || B_(1) C || A_(1)D
A_(1)D=B_(1)C=6sqrt(2)

ТK=(1/2)A_(1)D=3sqrt(2)

KC=sqrt(KD^2+DC^2)=3sqrt(5)

Р (КТВ_(1)С)=КТ+ТВ_(1)+В_(1)С+СК=3sqrt(2)+3sqrt(5)+6sqrt(2)+3sqrt(5)=
=9sqrt(2)+6sqrt(5) (прикреплено изображение)

AC=13; CB= BC=5
AC:СB=13:5

AB=18
AC:AB=13:18

CB:AC=5:13

CB:АВ=5:18

Ответ выбран лучшим

Продолжаем высоту AD за точку D до пересечения с окружностью в точке Q
MD=DQ=6
AM=AD-MD=9-6=3

По свойству секущих
AM*MQ=AK*AC
Так как
AM*MQ=3*(6+6)=36
Значит
АК*АС=36

Из подобия прямоугольных треугольников
АHК и АDC ( ∠ A - общий)
AH : AC = AK : AD

AH*AD=AC*AK
AH * 9 = 36
AH=4 (прикреплено изображение)

4b=d;
для N
2a+2b=2c
для H
4a=2d

d=4b и d=2a

4b=2a

2b=a и подставляем в равенство для N

2a+a=2c

3a=2c ⇒ a- кратно 2; c - кратно 3

a=2

4b=2a ⇒ 4b=4 ⇒ b=1

d=4b=4

c=3

О т в е т. a=2; b=1; c=3;d=4

Ответ выбран лучшим

∠ ВАN= ∠ NAD ( AN - биссектриса)
и
∠ NAD= ∠ ANB - внутренние накрест лежащие углы
⇒
∠ ВАN= ∠ ANB

Δ ABN - равнобедренный
Значит,
AB=BN
Обозначим k - коэффициент пропорциональности.
Тогда
BN=5k
NC=3k
BN:NC=5k:3k=5:3

AB=BN=5k
BC=BN+NC=5k+3k=8k

P=2*(AB+BC)=2*(5k+8k)=26k

26k=70

k=70/26=35/13

Треугольники MNC и MAD подобны ( NC || AD)

NC:AD=MC:MD

Пусть MC=x, тогда MD=MC+CD=x+5k

3k:8k=x:(x+5k)

8x=3*(x+5k)

8x=3x+15k
5x=15k

x=3k

x=3*(35/13)

MD=(x+5k)=8k=8*(35/13)=280/13

P.S

Если бы в задаче P было кратным 13-ти, тогда ответ - целое число
(прикреплено изображение)

Составляем такие же уравнения для других точек и получаем систему четырех уравнений с четырьмя переменными
{T_(1)=(1/4)*(T_(2)+T_(3)+10)
{T_(2)=(1/4)*(T_(1)+T_(4)+30+0)
{T_(3)=(1/4)*(T_(1)+T_(4)+10+140)
{T_(4)=(1/4)*(T_(2)+T_(3)+20+30)

упростим

{4T_(1)-T_(2)-T_(3)=10
{T_(1)-4T_(2)+T_(4)=-30
{T_(1)-4T_(3)+T_(4)=-150
{T_(2)+T_(3)-4T_(4)=-50

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Произведение трех множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен 0, [b] а другой при этом не теряет смысла [/b]

x-sqrt(1-y^2)=0 ⇒ x= sqrt(1-y^2) правая полуокружность
окружности
x^2+y^2=1
с центром (0;0) радиусом r=1

xy+y-x-1=0 ⇒ y(x+1)-(x+1)=0 ⇒ (x+1)*(y-1)=0 ⇒
Две прямые x=-1 или y=1

y+1-x=0 ⇒ y=x-1 - прямая.

Строим фигуру.

S_(фигуры)=S_(трапеции)+(1/2)*S_(полукруга)+S_(Δ)

S_(трапеции)=(a+b)*h/2=(2+3)*1/2=5/2

(1/2)*S_(полукруга)=(1/4)π

S_( Δ)=(1/2)*1*1

О т в е т. (5/2)+(1/4)π+(1/2)=3+(π/4) ≈ 3+0,79=3,79 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
делим на 4
x^2+8x+12=0
D=8^2-4*12=64-48=16
х_(1)=(-8-4).2=-6; x_(2)=(-8+4)/2=-2
2.
Умножаем на (4/3)
x^2-12x+36=0
(x-6)^2=0
x=6
3.
Умножаем на (2/7)
x^2-17x+42=0
D=289-4*42=121
x_(1)=(17-11)/2=3 ; х_(2)=(17+11)/2=14
4.
делим на 3
x^2-2x-120=0
D=4-4*(-120)=484=22^2
x_(1)=(2-22)/2=-10; x_(2)=(2+22)/2=12
5.
умножаем на (-1)
x^2+8x+48=0
D=8^2-4*48 <0
уравнение не имеет корней
6.
Делим на (-4)
x^2-x-20=0
D=1+80=81
x_(1)=(1-9)/2=-4; x_(2)=(1+9)/2=5
7,
D=(-18)^2-4*120 <0
уравнение не имеет корней
8.
D=(-1)^2-4*7*2<0
уравнение не имеет корней

cos(x+(π/2)=-sinx

2sin^2x+7sinx-4=0
D=49-4*2*(-4)=81
sinx=-4 или sinx=1/2

sinx=-4 уравнение не имеет корней

sinx=1/2
x=(-1)^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z
можно записать как две серии ответов

при k=2n
x=(π/6)+2πn, n ∈ Z
Отрезку [-2π;-π/2] принадлежит корень (π/6)-2π=-11π/6

при k=2m+1
x=(5π/6)+2πm, m ∈ Z
Отрезку [-2π;-π/2] принадлежит корень (5π/6)-2π=-7π/6

О т в е т. (-1)^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z
-11π/6; -7π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
y`=(5x^7-2x^3-∛x+3x^(-2)+15)`=
производная суммы ( разности) равны сумме ( разности) производных;
константу можно выносить за знак производной
(С)`=0
[b](x^( α ))`= α *x^( α -1)[/b]

=5*7x^(6) -2*3*x^2 -(1/3)x^(-2/3)+3*(-2)*x^(-3)+0=
=35x^6-6x^2-1/(3∛(x^2))-6/(x^3);
2
[b](x^( α ))`= α *x^( α -1)[/b]
y`=2*(x^(-2)/(-2))-3*(x^(-3)/(-3))+4*(x^(-4)/(-4))-(6/5)*(x^(-5)/(-5))=

=(-1/x)+(1/x^3)-(1/x^4)+(6/25)*(1/x^5)

3.
a^(m)*a^(n)=a^(m+n)
[b](x^( α ))`= α *x^( α -1)[/b]

y=3*x^(1/4)=10x^(11/3)-5x^(13/5)-4x^(-3)
y`=3*(1/4)*x^(-3/4)+10*(11/3)x^(8/3)-5*(13/5)x^(8/5)-4*(-3)x^(-4)
y`=(3/4)*(1/∛(x^4))+(110/3)x^2∛(x^2) -13x*(x^(3/5))+12/(x^4)

4. y=u*v
y`=u`*v+u*v`
y`=(5cosx-3tgx)`*sinx+(5cosx-3tgx)*(sinx)`=
=(5*(-sinx)-3*(1/cos^2x))*sinx+(5cosx-3tgx)*cosx

5.
y=(u/v)
y`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=(6ctgx)`*(sinx-2x)-6ctgx*(sinx-2x)`)/(sinx-2x)^2

y`=(-6/sin^2x)*(sinx-2x) - 6ctgx*(cosx-2))/(sinx-2x)^2

6.
y=cosu, u=5х+3
y`=(cosu)`*u`

y`=3*(-sin(5x+3))*(5x+3)`
y`=-15sin(5x+3)

7.
y=u^3
u=kn(arctgx-2x^3)

y`=3u^2*u`

y`=3ln^(2)(arctgx-2x^3) * (arctgx-2x^3)`;
y`=3ln^2(arctgx-2x^3) * (1/(1+x^2) - 6x^2)

8.
y`=(1/3)*(cos2x)*(2x)`+ (1/3)*(1/ctg2x)*(ctg2x)`

y`=(2/3)cos2x + (2/3)*(1/ctg2x)*(-1/sin^22x)

9.
y=log_(2)(1-tg6x) - log_(2)(1+tg6x)

(log_(2)u)`=(1/u)*(u`)*(1/ln2) - cм. формула 7

y`=(1/ln2)*(1/(1-tg6x))*(1-tg6x)`- (1/ln2)*(1/(1+tg6x))*(1+tg6x)`

y`=(1/ln2)*(1/(1-tg6x))*(-1/cos^26x)*(6x)` - (1/ln2)*(1/(1+tg6x))*(1/cos^2x)*(6x)`
(6x)`=6

y`=(6/ln2)*(1/cos^2x) * [b]((-1-tg6x-1+tg6x)/(1-tg^26x))[/b]=

=(6/ln2)*(1/cos^2x) * [b]((-2)/(1-tg^26x))[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33457

1)
y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
y`=((x)`*sqrt(4-x) -x*(sqrt(4-x))`)/(sqrt(4-x))^2
y`=(sqrt(4-x)- x*(4-x)`/(2sqrt(4-x)))`/(4-x)
y`=(4-x+x)/(2sqrt((4-x)^3))
y`=2/sqrt((4-x)^3)
2.
(lnu)`=u`/u
y`=(1+x^2)`/(1+x^2)
y`=2x/(1+x^2)

Ответ выбран лучшим

MN=AC/2=4,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[link=https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33455]

6.
Пусть сторона основания а, высота призмы H
S_(осн)=6*S( равносторонних треугольников со стороной а)=6*a^2sqrt(3)/4;

По теореме Пифагора
(A_(1)C_(1))^2=(sqrt(5))^2-(sqrt(2))^2=3
AC=A_(1)C_(1)=sqrt(3) ⇒
AB=1
KC=2AB=2
CC_(1)=(sqrt(5))^2-2^2=5-4=1
[b]H=1[/b]
V=6*S( ΔAOB)*H=6*(1/2)*1^2*(sqrt(3)/2)*1=3sqrt(3)/2

8.
СС_(1)=КК_(1)=a
a=H
СD=KE
Значит
CC_(1)=CD
Треугольник CC_(1)D - прямоугольный равнобедренный c гипотенузой С_(1)D=sqrt(7)

CD=sqrt(7)*sqrt(2)/2=sqrt(14)/2

a=H=sqrt(14)/2
V=6*(1/2)*(sqrt(14)/2)*sqrt(14/2)*sqrt(3)/2*(sqrt(14)/2)=

=21sqrt(42)/8

12.
AA_(1)=АВ
а=H
DM=EM*sin ∠ DEM=a*sqrt(3)/2
DD^2_(1)=(sqrt(6))^2-(a*sqrt(3)/2)^2
DD_(1)=H=a
a^2=6-(3*a^2/4)
(7/4)a^2=6
a^2=12/7
a=sqrt(12/7)
H=sqrt(12/7)
V=6*(1/2)*(sqrt(12/7))^2*(sqrt(3)/2)*(sqrt(12/7))=

=(108sqrt(7))/49

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диаметр ( и радиус) перпендикулярный хорде делит хорду пополам.
R^2=16^2+12^2=256+144=400
R=20
(1/2)CD=sqrt(20^2-12^2)=sqrt(256)=16
CD=32 (прикреплено изображение)

m =9
две точки пересечения

m ∈ {0} U (9;+ ∞ )
одна точка пересечения

О т в е т. {0} U[9;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

s=(1/2)*a*h=(1/2)*6*3=9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Трапеция равнобедренная (АВ=CD)
∠ A= ∠ D=∠BDA+∠BDC=35°+58°=93°.
Cумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции 180°

∠АBC=87°.

Сумма углов треугольника АВD равна 180 градусов
∠АBD=180 градусов - 93 градусов - 35 градусов=52 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

C=2πR - формула длины окружности

L_(1)=(2πR)*(15^(o))/(360^(o)) - длина дуги в 15 градусов

48=2πR/24
C= 2πR=48*24

L_(2)=C-L_(1)=48*24-48=48*23=1104

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов
AC^2=AB^2+B^2-2AB*BC*cos ∠ BAC

сos ∠ BAC=(8^2+10^2-14^2)/(2*8*10)=-1/5

∠ BAC=arccos(-1/5)=180^(o)-arccos(1/5) - тупой угол

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде ( собственная скорость теплохода) х км в час
(х+4) скорость по течению

210/(х+4) час. - время по течению

(x-4) км в час - скорость против течения

210/(x-4) час - время против течения
Уравнение

210/(x+4) + (210/(х-4))= 27-9
210*(x-4+x+4)=18(x-4)(x+4)
210*2x=18(x^2-4)
3x^2-70x-12=0
D=4900-4*3*(-12)=4900+144=5044
x_(1)=(70-sqrt(5044))/6 или х_(2)=(70+sqrt(5044))/6

x_(1) < v _(реки), теплоход не сможет плыть против течения

О т в е т. х_(2)

Ответ выбран лучшим

428
a)s(6)=5*6+6=36
s=36
t=6
v_(cp)=s/t=36/6=5
б) s=s(6)-s(3)=5*6+6-(5*3+6)=30-15=15
s=15
t=6-3=3 c
v_(cp)=s/t=15/3=5

429
АМ=k*t^2
12=k*(2)^2
12=4k
k=3

s(t)=3t^2
a)
s(5)=5*5^2=75
v_(cp)=s/t=75/5=15

430
s=s(t+ Δt)-s(t)

1) s(4+2)-s(4)=(6^3)+(3/6)-(4^3+(3/4))=152-(1/4)=607/4
t=2
v=s/t=607/8
2)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x-6 ≥ 0

x^2-3x -28=0
D=(-3)^2-4*(-28)=9+112=121
x_(1)=(3-11)/2=-4 или x_(2)=(3+11)/2=7
х_(2) не удовл. ОДЗ
О т в е т. -4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33429

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора
H^2=17^2-d^2=17^2-8^2=289-64=225
H=15 м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Функция четная
Убывает на (- ∞ ;-2) и на (0;2)
возрастает на (-2;0) и на (2;+ ∞ )
x=-2 и х=2 - точки минимума
х=0 - точка максимума
Функция выпукла вниз на (- ∞ ;0) и на (0;+ ∞ )

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33428

Ответ выбран лучшим

-7x -3x ≤ -7-6
-10x ≤ -13
x ≥ 13/10
x ≥ 1,3
О т в е т. [1,3;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=33433

21=[b](1/2)[/b]*7*d_(2)*(6/11)
Делим на 7 обе части
3=d_(2)*(3/11)

d_(2)=11 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(2+с)^2-с*(с-4)=4+4c+c^2-c^2+4с=4+8с
При с =-1
4+8c=4+8(-1)=-4

Ответ выбран лучшим

a_(2)=a_(1)+4=-9+4=-5
a_(3)=a_(2)+4=-5+4=-1
a_(4)=a_(3)+4=-1+4=3
a_(5)=a_(4)+4=3+4=7
a_(6)=a_(5)+4=7+4=11

S_(6)=(a_(1)+a_(6))*6/2=(-9+11)*6/2=6

Ответ выбран лучшим

n=25
m=24 пакета, в которых нет сока

p=m/n=24/25=0,96

Ответ выбран лучшим

2800 руб составляют 100%
2520 руб составляют p %

p=2520*100/2800=2520/28=90%

100%-90%=10%

или
2800-2520=280 на столько уменьшилась цена
2800 - это 100%
280% - это 10%
О т в е т. на 10%

Ответ выбран лучшим

x^2-5x+6=0
D=(-5)^2-4*6=25-24=1
x_(1)=(5-1)/2=2; x_(2)=(5+1)/2=3
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

sqrt(64)+(sqrt(6,4))^2=8+6,4=14,4
О т в е т. 14,4

Ответ выбран лучшим

Уравнение
8x_(1)+7х_(2)-2x_(3)=0
говорит о том, что меняются две переменные, а третья легко выражается через две других, например так:
x_(3)=4x_(1)+(7/2)x_(2)
Значит, можно взять любые два неколлинеарных векторa на
плоскости х_(1)Ох_(2)
(1;0) и (0;1)
Для (1;0)
z=4
Для (0;1)
z=3,5

О т в е т. (4;1;0); (3,5;0; 1)

Повторные испытания с двумя исходами
p=0,51
q=1-p=1-0,51=0,49
Найдем вероятность того, что 1 или 2 мальчика:

P_(6)(k≤ 2)=C^(1)_(6)0,51*0,49^5+C^(2)_(6)80,51^2*0,49^4

=6*0,51*0,49+15*0,51^2*0,49^4

считайте

Найдем вероятность противоположного события:

P_(6)(k>2)=1-P_(6)(k ≤ 2)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
{2*0+3*0 ≥ -1 - верно
{0+0 ≤ 2 - верно
(0;0) принадлежит
б)
{-2+1,5 ≥ -1 - верно
{1+0,5 ≤ 2 - верно
(-1; 0,5) принадлежит
в)
{2-3 ≥ -1 - верно
{1-1 ≤ 2 - верно
(1;-1) принадлежит
г)
{(2/3)+3 ≥ -1 - верно
{(1/9) +1 ≤ 2 - верно
(1/3;1) принадлежит.

Проверка на рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a_(n+1)=-2 целых(1/a_(n))

a_(2)= - 2 целых (1/4)=- (2+(1/4))= - 9/4
a_(3)= - 2 целых (1/(-9/4)= -2 целых (-4/9)=- (2+ (- 4/9))= -14/9

О т в е т. (-14/9)

Выносим за скобки 5 в меньшей степени и 3 в меньшей степени

Выносим - значит делим каждое слагаемое слева на 5^(x)

При этом применяем свойства степени с одинаковым основанием
5^(x+2)/5^(x)=5^(x+2-x)=5^2
5^(x+1)/5^(x)=5
5^(x)/5^(x)=1

Аналогично и справа

5^(x)*(5^2+5-1) < 3^((x/2)-1)*(3^2-3-1)
5^(x)*29 < 3^((x/2)-1)*5
5^(x)*29 < 3^(x/2) *3^(-1)*5
3^(-1)=1/3
3^(x/2)=((3^(1/2))^(x)=sqrt(3))^(x)

5^(x)*29 < 3^(x/2)*(5/3)
Делим обе части неравенства
на (sqrt(3))^(x) > 0 ( никогда 0 не равняется)

(5/sqrt(3))^(x) < 5/87
Показательная функция c основанием (5/sqrt(3))>1 возрастающая
БОльшему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому
x < log_(5/sqrt(3))(5/87)

О т в е т. (- ∞ ; log_(5/sqrt(3)) (5/87))

M(X)=1*(3/11)+8*(1/3)+13*(13/33)=(9+104+169)/33=282/33=94/11=8 целых 6/11

M(X^2)=1^2*(3/11)+8^2*(1/3)+13^2*(13/33)=
=(9+704+2197)/33=(2910/33)=970/11

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=(970/11)-(94/11)^2=(970*11-94^2)/121=

=(10670-8836)/121

Сумма вероятностей в последней строке должна быть равна 1.
Поэтому
p_(5)=1-(1/6)-3*(1/10)=(30-5-9)/30=16/30

M(X)=(-10)*(1/6)+(-6)*(1/10)+(-5)*(1/10)+(-4)*(1/10)+5*(16/30)=

=(-50-18-15-12+80)/30=-1/2

(прикреплено изображение)

x=-1 - корень, так как
(-1)^3-3*(-1)^2-2*(-1)+2=0
-4+4=0
Раскладываем левую часть на множители, один из которых уже известен

Это (х+1)

Этот прием называется "искусственным".
Надо прибавить и отнять.
x^3 прибавляем x^2, чтобы x^2*(x+1)
и отнимаем x^2, получим -4x^2

к (-4x^2) прибавляем (-4x), чтобы -4x^2-4x=-4x*(x+1)

и тогда прибавляем 4х, которые вместе с -2x
дают 2х

x^3+x^2-4x^2-4x+2x+2=0

x^2*(x+1)-4x*(x+1)+2*(x+1)=0

(x+1)*(x^2-4x+2)=0

x=-1 или

x^2-4x+2=0
D=16-8=8
x_(1)=(4-2sqrt(2))/2=2-sqrt(2)
x_(2)=(4+sqrt(2))/2=2+sqrt(2)
О т в е т. -1; 2 - sqrt(2); 2+sqrt(2)

а)
[b]y=(x^3-2)/3x[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ;0) U(0; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции
f(-x)=((-x)^3-2)/(3*(-x))=(x^3+2)/(3x)

f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)

функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
x^3-2=0
x= ∛2

6.интервалы знака постоянства

___+__ (0) __-__( ∛2) ____+__

y > 0 при x< 0 и x > ∛2
y < 0 при 0 < x < ∛2

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = +∞

9.асимптоты граф. функции
y=0 - вертикальная асимптота.
других асимптот нет.

3.) исследовать с помощью производной

y`=((3x^2)*3x-(3x)`*(x^3-2))/(3x)^2
y`=(9x^3-3x^3+6)/(9x^2)
y`=(6x^3+6)/9x^2

y`=0
x^3+1=0
x= - 1
_-__ (- 1) __+__(0) ___+_

Возрастает на (- 1 ; 0) и на (0; + ∞ )
Убывает на (- ∞ ; -1)

х= - 1 - точка минимума

y(-1)=((-1)^3-2)/3*(-1)=1

См. рис.1

б)
[b]y=(4lnx)/x[/b]

1.область определения функции D(y)=(0 ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(- ∞;(4/e)]
см. рис.
3. Четность или нечетность функции
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
4lnx=0
x=1
(1;0) - точка пересечения с осью Ох

6.интервалы знака постоянства

y > 0 при x >1
y < 0 при 0 < x < 1

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)

lim_(x→+∞)(4lnx)/(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) 4/(x)/1=0

lim_(x→ - ∞) не рассматриваем Согласно области определения
x > 0

9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота на + ∞
x=0 - вертикальная асимптота ( справа)

3.) исследовать с помощью производной

y`=4*((lnx)`*x-(lnx)*x`)/(x^2)
y`=4*(1-lnx)/(x^2)

y`=

1-lnx=0
lnx=1
x=e

(0) ___+__ (e) __-__

Возрастает на (0;e)
Убывает на (e; + ∞ )

x=e - точка максимума

y(e)=4/e

См. рис.2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подставляем координаты каждой точки в систему.
A
{5 ≤ 0+4 - неверно
{5 ≥ 0-4 0 верно
не принадлежит
В
{3 ≤ -1+4 - верно
{3 ≥ -1- 4 - верно
принадлжит
С
{20 ≤ -20+4 - неверно
не принадлежит
D
{102 ≤ 100+4 - верно
{102 ≥ 100- 4 - верно
принадлежит

Ответ выбран лучшим

Решаем систему
{x^2+y^2=100
{x+y=14
cпособом подстановки

{x^2+(14-x^2)=100
{y=14-x

x^2+196-28x+x^2=100
2x^2-28x+96=0
x^2-14x+48=0
D=196-192=4> 0
квадратное уравнение имеет два корня.
Система имеет два решения
Графики имеют две общие точки
2)
{x^2+y^2=64
{y=12-x
x^2+(12-x)^2=64
x^2+144 - 24x +x^2 =64
2x^2 -24x +80=0
D=576-8*80 < 0
уравнение не имеет корней
система не имеет решений
графики не пересекаются

Ответ выбран лучшим

а)
Приравниваем у
y=x^2-3x+3
и
y=2x-1

x^2-3x+3=2x-1
x^2-5x+4=0
D=25-16=9
x_(1) = 1; x_(2) = 4
y_(1) =2*1-1=1; y_(2)=2*4-1=7
О т в е т. (1;1); (4;7)

2
Подставляем вместо x=1,5
y=(1,5)^2-1,5+1
y=2,25-1,5+1
y=1,75
О т в е т. (1,5; 1,75)

Ответ выбран лучшим

x=t^6
sqrt(x)=t^3
∛x=t^2

(t^3+t^2)/(t^3-t^2)=3
t^2*(t+1)/t^2*(t-1)=3

t+1=3(t-1)
t ≠ 0
t ≠ 1
2t=4
t=2

x=2^6=64
О т в е т. 64

Ответ выбран лучшим

sqrt(x-1)=t
t ≥ 0
Возводим в квадрат
x-1=t^2
x=t^2+1
t+sqrt(t^2+1-2t)=1
t+sqrt((t-1)^2)=1
t+|t-1|=1

При t-1 ≥ 0
|t-1|=t-1
t+t-1=1
2t=2
t=1

sqrt(x-1)=1
x-1=1
x=2

При t < 1
|t-1|=1-t
t+(1-t)=1
o*t=0
t - любое
0 ≤ t < 1
0 ≤ sqrt(x-1) < 1
0 ≤ x-1 < 1
1 ≤ x < 2

О т в е т. [1;2)U{2}=[1;2]
2.
sqrt(x+7)=t
t ≥ 0

Возводим в квадрат
x + 7 = t^2
x = t^2 - 7

x+8+2sqrt(x+7)=(t^2- 7) +8 + 2t = t^2 + 2t +1 = (t+1)^2

x+1-sqrt(x+7)=(t^2-7)+1 - t= t^2 - t -6

Уравнение принимает вид:

sqrt((t+1)^2) + sqrt(t^2 - t -6) =4

| t+1| +sqrt(t^2-t-6) =4

sqrt(t^2-t -6)= 4 - |t+1|

Возводим в квадрат при условии
4-|t+1| ≥ 0 ⇒ |t+1| ≤ 4 ⇒ - 4 ≤ t+1 ≤ 4 ⇒ -5 ≤ t ≤ 3
C учетом t≥ 0
получим
0 ≤ t ≤ 3

t^2 - t - 6 = 16 - 2*|t + 1| + (t +1)^2;

t^2 - t - 6 = 16 -8*|t + 1| + t^2 + 2t + 1;

8*|t+1|=23+3t

0 ≤ t ≤ 3

2*(t+1)=23+3t

8t+8=23+3t
8t-3t=23-8
5t=15
t=3

sqrt(x+7)=3
x+7=9
x=2

О т в е т. 2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) x^2+y^2 ≤ 0,9^2
б) x^2+y^2 ≥ 1,2^2

Ответ выбран лучшим

Способ подстановки
{y=-3x-4
{x^2-(-3x-4)^2=2 ⇒ x^2-(9x^2+24x+16)=2 ⇒ -8x^2-24x-18=0
4x^2+12x+9=0
(2x+3)^2=0
x=-3/2
y=-3*(-3/2)-4
y=1/2
О т в е т. (-3/2;1/2)

б) так же
y=2-3x
x^2-x*(2-3x)=3,36

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Множество точек на границе ( на окружности) описывает
уравнение
x^2+y^2=3^2
Множество точек
внутри круга задают неравенством:
x^2+y^2 < 3^2

Поэтому множество точек, принадлежащих кругу
задают неравенством
x^2+y^2 ≤ 3^2

Подставляем координаты каждой точки в это неравенство
и проверяем верно оно или неверно.

A(-1;1)
(-1)^2+1^2 ≤ 3^2- верно,
принадлежит
B(0;3)
0^2+3^2 ≤ 3^2 - верно,
принадлежит
С(0,5; 2)
(0,5)^2+2^2 ≤ 3^2- верно,
принадлежит
D(-2; 2,5)
(-2)^2+(-2,5)^2 ≤ 3 - неверно,
4+6,25 >9
не принадлежит

Ответ выбран лучшим

y ≥ 5

Один выстрел,
n=1
Значит попадание, с вероятностью p=1 - (7/11) = 4/11

p_(1)=4/11

n=2
Значит, первый раз промаx, второй попадание

p_(2)=(7/11)*(4/11)=28/121

n=3
Значит, два промаха
и с третьей попытки попадание или снова промах, патроны закончатся.

p_(3)= (7/11)*(7/11)*(4/11) +(7/11)*(7/11)*(7/11)=49/121

В законе распределения p_(1)+p_(2)+p_(3)=1
( это в самом деле так)

Ответ выбран лучшим

а)
[b]y=3-cos(x+(π/4))[/b]
cм.приложение 1
1) используем известный график у= сosx
(его нет на рисунке)

2) строим y = cos(x + (π/4)) c помощью сдвига первого графика на
(π/4) влево см. рис.1
3) строим y= - cos(x+(π/4)) - зеркальное отражение графика 2)
см. рис.2
4) y=3-cos(x+(π/4) - параллельный перенос графика 3) на 3 единицы вверх см. рис. 3

область определения (- ∞ ;+ ∞ )
так как
-1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ -1 ≤ cos(x+(π/4)) ≤ -1 ⇒ -1 ≤ -cos(x+(π/4)) ≤ 1 ⇒
3-1 ≤ 3-cos(x+(π/4)) ≤ 3+1;
2 ≤ 3-cos(x+(π/4)) ≤ 4
область изменения [2;4]
точки пересечения с осями координат.
с осью Ох нет точек пересечения, график расположен выше оси Ох
с осью Оу
x=0; y=3-cos(π/4)=3-(sqrt(2)/2)

функция y = -cos x возрастает на (0+2πn, π+2πn), n ∈ Z
поэтому
данная функция возрастает на ((-π/4)+2πn, (3π/4)+2πn), n ∈ Z

функция y = -cos x убывает на (-π+2πn, 0+2πn), n ∈ Z
поэтому
функция убывает на ((-5π/4)+2πn; (-π/4)+2πn), n ∈ Z

f(x) > 0 при любом х

б)
[b]y=tg(x+(π/6))[/b]

см. приложение 2
y=tg(x+(π/6)) получен из y=tgx сдвигом влево на (π/6)
соответственно точка (0;0) перемещается в точку (-π/6;0)
прямые х=(-π/2) и x=(π/2) - вертикальные асимптоты графика
y=tgx
в прямые
x=(- π/2)-(π/6)=-2π/3
и
y=(π/2) -(π/6)=π/3

Поэтому область определения данной функции
((-2π/3)+πn; (π/3)+πn), n ∈ Z

Область изменения (- ∞ ; +∞ )

Функция возрастает на каждом из интервалов
((-2π/3)+πn; (π/3)+πn), n ∈ Z

График y=tg(x+(π/6))+1 получен из y=tg(x+(π/6)) сдвигом на 1 единицу вверх.

в)
y=log_(1/3)x - см приложение 3 график 1)
y=-log_(1/3)x - зеркальное отражение первого относительно оси Ох
см там же график 2) черного цвета
y=-log_(1/3)x +1 - сдвиг на 1 единицу вверх
см. там же график 3)

г)
y=2^x - показательная функция с основанием 2, возрастающая на (- ∞ ;+ ∞ ) см. приложение 4 график синего цвета
y=2^(x) + 2 - сдвиг предыдущего графика на 2 единицы вверх
см. приложение 4, график зеленого цвета
д)y=∛x
см. приложение 5

P.S
Если бы каждая задача была выставлена отдельно, получили бы гораздо быстрее более подробное решение и без всяких фраз типа ( см. приложение номер, рис.. ) на что было потрачено лишнее время.
См. запись на моей стене
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-3x-1>0 ⇒ D=13; x_(1)=(3-sqrt(13))/2 ; х_(2)=(3 sqrt(13))/2⇒x< x_(1) или x > x_(2)
{2x^2-3x-2>0 ⇒ D=25; x_(3)=-1/2; x_(4) =2⇒ x < x_(3) или х > x_(4)
{(x^2-2x-1)^2 >0 ⇒ x^2-2x-1 ≠ 0 ⇒ D=8 ⇒ x ≠ 1-sqrt(2); x ≠ 1 sqrt(2)

[b]Сравниваем[/b] ( между числами можно поставить любой знак: звездочка; больше; меньше и применять все правила действий с неравенствами)
(3+ sqrt(13))/2 [b]и[/b] 1+sqrt(2)
Умножаем на2
3+ sqrt(13) [b]и[/b] 2+ 2sqrt(2)
Уменьшаем обе части на2
1+ sqrt(13) [b]и[/b] 2*sqrt(2)
Возводим в квадрат
1 +2sqrt(13) +13) [b] и[/b] 8
ясно, что число слева больше

[b]1+ sqrt(2) < (3+ sqrt(13))/2[/b]

2 < 1+ sqrt(2), так как
2-1< 1-1+ sqrt(2)
1 < sqrt(2)
возводим в квадрат
1 < 2

Значит

2< 1 + sqrt(2) < (3 + sqrt(13))/2

Аналогично
(-1/2) < 1- sqrt(2)
sqrt(2) < (3/2)
2 < 9/4 - верно

1-sqrt(2) < (3-sqrt(13))/2;
2-2sqrt(2) <3-sqrt(13);
sqrt(13)< 3-2 +2sqrt(2)
13 < 1+ 4sqrt(2) +8
13-1-8 < 4 sqrt(2)
4< 4 sqrt(2) - верно.

ОДЗ: х ∈ (- ∞ ; -1/2) U ((3 sqrt(13))/2; ∞ )

Применяем формулу перехода в другому основанию:
переходим к основанию 3

-log_(3)(x^2-3x-1) - log_(3)(2x^2-3x-2) ≤ - log_(3)(x^2-2x-1)^2 log_(3)4 -log_(3)9

log_(3)(x^2-2x-1)^2 log_(3)9 ≤ log_(3)(x^2-3x-1) log_(3)(2x^2-3x-2) log_(3)4

log_(3)(x^2-2x-1)^2*9 ≤ log_(3)(x^2-3x-1)*(2x^2-3x-2)*4

3>1 Логарифмическая функция возрастает

9*(x^2-2x-1)^2 ≤ 4*(x^2-3x-1)*(2x^2-3x-2);

9*(x^4+ 4x^2+ 1-4x^3-2x^2+ 4x) ≤ 4(2x^4-6x^3-2x^2-3x^3+ 9x^2 +3x-2x^2+ 6x+ 2)

x^4 -2x^2+ 1 ≤ 0
(x^2-1)^2 ≤ 0
неравенство верно лишь при x^2-1=0
x= ± 1

x=1 ∉ ОДЗ
О т в е т. -1

1.
1) раскладываем знаменатель на множители:
x^3+5x^2-6=x^3-x^2+6x^2-6=x^2(x-1)+6*(x-1)(x+1)=
=(x-1)*(x^2+6x+6)

Дробь
x^2/(x^3+5x^2-6) раскладываем на простейшие дроби A/(x-1) + (Mx+N)/(x^2+6x+6)
x^2=A*(x^2+6x+6)+(Mx+N)*(x-1)
x^2=(A+M)x^2+(6A+M-N)x+(6A-N)
A+M=1
6A+M-N=0
6A-N=0
выражаем из третьего равенства N, из первого M
N=6A
M=1-A
и подставляем во второе
6A+(1-A)+(6A)=0
13A=-1
A=-1/13

N=-6/13
M=14/13

Выделяем полный квадрат
x^2+6x+6=(x^2+6x+9)-9+6=(x+3)^2-3;

∫ (x^2dx)/(x^3+5x^2-6) = (-1/13) ∫ dx/(x-1) + (1/13) ∫ (14x+6)/(x+3)^2-3)=

замена в последнем интеграле: х+3=t; x=t-3; dx=dt

=(-1/13)*ln|x-1|+(1/13)* ∫ (14t-8)dt/(t^2-3)=

=(-1/13)*ln|x-1| +(7/13)*ln|t^2-3|-(8/13)*(1/2sqrt(3))ln|(t-sqrt(3))/(t+sqrt(3))|+C

t=x+3

2.
5+2cos2x=5*(cos^2x+sin^2x)+2*(cos^2x-sin^2x)=

=7cos^2x+3sin^2x=cos^2x*(7+2tg^2x)

Замена
tgx=t
dt=(tgx)`dx
dt=dx/cos^2x

получим

∫ dt/(7+2t^2)=(1/2) ∫ dt/(t^2+(7/2))=

=(1/2)*(1/sqrt(7/2))*arctg(t/sqrt(7/2))+C=

= 1/sqrt(14) arctg((sqrt(2)*tgx)/sqrt(7)) + C

3.
Тригонометрическая подстановка
x=2sint
dx=2costdt
4-x^2=4-(2sint)^2=4-4sin^2t=4*(1-sin^2t)=4*cos^2t

получим

∫ (2cost)*(2costdt)=4 ∫ cos^2t dt= 4* ∫ (1/2)*(1+cos2t)dt=

=2t +2*(1/2)*sin2t+С

x=4sint ⇒
sint=(x/4) ⇒ t=arcsin(x/4)
и
cost=sqrt(1-(x/4)^2)
тогда
sin2t=2*(x/4)*sqrt(1-(x/4)^2)=x*sqrt(4-x^2)

можно воспользоваться методом интегрирования по частям, с помощью которого легко выводится формула в общем виде
см. приложение ( формула 15)
О т в е т. 2arcsinx +x*sqrt(4-x^2)+C

2.
Можно сделать замену переменной
t=lnx
dt=(lnx)`dx
dt=dx/x
но придется менять предела интегрирования.

Применяем тот же метод замены, но в обратном направлении
(см. приложение 2), этот метод называют "подведением под дифференциал".
Новая переменная t присутствует, но "в уме"

dx/x=d(lnx)

∫^(2)_(1) ([b]ln^2x[/b])d([b]lnx[/b])=(ln^3x/3)|^2_(1)=

=((ln2)^3-(ln1))/3=(ln2)^3/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )dx/(x^2+16)=arctgx|^(+ ∞ )_(- ∞ )= (π/2)-(-π/2)=π

2.
S=(1/2) *∫^(2π)_(0) ρ^2dφ =(9/2) ∫^(2π)_(0) (1+2cos φ +cos^2 φ )d φ =

=(9/2) ∫^(2π)_(0) (1+2cos φ +((1+cos2φ)/2) )d φ =

=(9/2)*( φ +2sin φ +(1/2) φ +(1/4)sin2 φ )|^(2π)_(0)=

=(9/2)*(3/2)*2π=27π/2=13,5π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
S( Δ)=(1/2)*a*h=(1/2)*6*1=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(боковая)=S_(основания)+S(осевого сечения)
πRL = πR^2 + (1/2)*2R*H
Cокращаем R

πL=πR+H

Возводим в квадрат
(πL)^2=(πR)^2+2π*R*H+ H^2

По теореме Пифагора

L^2=R^2+H^2;

π^2*(R^2+H^2)=(πR)^2+2π*R*H+ H^2

π^2*H^2=2π*R*H+ H^2

π^2*H=2π*R+ H

H=(2π*R)/(π^2-1)

V=(1/3)π*(R^2)*((2π*R)/(π^2-1))=(2π*R^2)/(3*(π^2-1))

О т в е т. 3)

2
AO=BO=CO=DO (диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам)
Δ SOA - прямоугольный равнобедренный
∠ SAO=45 градусов
SA=3sqrt(2)

SO=OA=3sqrt(2)*sin45^(o)=3

AC=BD=6

S_(квадрата)=(1/2)АС*BD=(1/2)*6*6=18

V=(1/3)S_(основания)*Н=(1/3)*18*3=18
О т в е т. 18

Ответ выбран лучшим

2.
ОДЗ:
{25-x^2>0 ⇒ -5 < x < 5

t^2-3t+2 ≥ 0; D=1; t_(1)=1 или t_(2)=2

t=log_(5)(25-x^2)

log_(5)(25-x^2) ≤ 1 или log_(5)(25-x^2) ≥ 2

(1)
log_(5)(25-x^2) ≤ log_(5)5
или
(2)
log_(5)(25-x^2) ≥ log_(5)25;

Решаем (1) с учетом ОДЗ
{-5 < x < 5
{25-x^2 ≤ 5 ⇒ x^2 ≥ 20

-5 < x ≤ -2sqrt(5) или 2 sqrt(5) ≤ x < 5

или

решаем (2) с учетом ОДЗ

{-5<x<5
{25-x^2 ≥ 25
x=0

Объединяем ответы (1) и (2)
О т в е т. (-5;-2sqrt(5)]U{0}U[2sqrt(5);5)

2.
ОДЗ:
{-log_(3)x > 0 ⇒ log_(3)x < 0 ⇒ 0 < x <1
{log^2_(3)x>0 ⇒ log_(3) x ≠ 0; x ≠ 1
x ∈ (0;1)

log_(2)log^2_(3)x=log_(2)(log_(3)x)^2=2log_(2)|log_(3)x|=

2*log_(2)(-log_(3)x)

Квадратное неравенство

t^2+2t-8 ≤ 0

t=log_(2)(- log_(3)x)

D=4+32=36

корни -4; 2

-4 ≤ t ≤ 2

-4 ≤ log_(2)(- log_(3) x) ≤ 2

2^(-4) ≤ - log_(3) x ≤ 2^2

1/16 ≤ - log_(3)x ≤ 4

-4 ≤ log_(3)x ≤ - 1/16

3^(-4) ≤ log_(3)x ≤ 3^(-1/16)

C учетом ОДЗ

о т в ет. [(1/81);3^(-1/16)]

4.
ОДЗ:
{3x > 0 ⇒ x > 0
{3x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/3
{27x > 0 ⇒ x>0
x ∈ (0;1/3) U (1/3;+ ∞ )

log_(3x)(1/27)=log_(3)(1/27) / log_(3)(3x)=-3/(log_(3)3+log_(3)x);
log_(3)(27x)=log_(3)27 + log_(3)x=3+log_(3)x
Замена
log_(3)x=t
((-3)/(1+t)) *(3+t)+9 ≥ 0

(-9-3t+9+9t)/(t+1) ≥ 0
(6t)/(t+1) ≥ 0

_+__ (-1) _-__ [0] _+__

t < -1 или t ≥ 0

log_(3)x < -1 или log_(3)x ≥ log_(3)1

0 < x < 1/3 или x ≥ 1

О т в е т. (0; 1/3) U[1;+ ∞ )

vector{MT}=(3-(-8);-7-6)=(11;-13)
Пусть образом точки А является точка В ( x_(B);y_(B))

vector{AB}=(x_(B)-(-1); y_(B)-(-9))=(x_(B)+1; y_(B)+9)

x_(B)+1=11
x_(B)=10

y_(B)+9=-13
y_(B)=-22

О т в е т. В (10;-22) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

216=6^3

6^(3x) - 37*6^(x) +(6^4/6^(x))=0
Квадратное уравнение
6^(4x)-222*6^(2x)+1296=0
D/4=111^2-1296=11025=105^2 ( см приложение, правая часть)
6^(2x)=(111-105)
6^(2x)=6
2x=1
x=1/2

или

6^(2x)=111+105
6^(2x)=6^3
2x=3
x=3/2

О т в е т. (1/2); (3/2)

[log(5) 4; log (5) 12]
1/2= log_(5)sqrt(5) < log _(5)4 < log_(5)5
(1/2) ∈ [log(5) 4; log (5) 12]

=3/2=log_(5)5sqrt(5) < log_(5)12
5sqrt(5) < 12, так как
25*5 < 144

(3/2 ) ∈[log(5) 4; log (5) 12] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть координаты точек
С(x_(3);y_(3))
D(x_(4);y_(4))

vector{CA}=(x_(3)-x_(1);y_(3)-y_(1))
vector{DB}=(x_(4)-x_(2);y_(4)-y_(2))
Пусть СА || оси Ох
vector{CA} коллинеарен вектору vector{i}=(1;0)
координаты коллинеарных векторов пропорциональны

x_(3)-x_(1)=k ⇒ [b]x_(3)[/b] = x_(1)+k
y_(3)-y_(1)=0 ⇒ [b]y_(3)[/b] = y_(1)

Аналогично
x_(4)-x_(2)=0⇒ [b]x_(4)[/b] = x_(2)
y_(4)-y_(2)=k ⇒ [b]y_(4)[/b] = y_(2)+k

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A)
y= ∫ y`(x)dx= ∫ (2x+1)^3dx= замена (2x+1)=t; x=(t-1)/2; dx=dt/2)
= ∫ t^3*(dt/2(=(1/2)*t^(4)/4+C=(1/8)*(2x+1)^4+C - общее решение
При х=0
y=1
1=(1/8)*+C
C=-7/8
y=(1/8)(2x+1)^4-(7/8) - О т в е т.
Б)
уравнение с разделяющимися переменными
xdx/e^(x^2)=ydy/(y^2+1)
x*e^(-x^2)dx=ydy/(y^2+1)

Интегрируем
-x^2=u
du=-2xdx
xdx=(-1/2)du
поэтому
(-1/2)e^(-x^2)=(1/2)ln|y^2+1|+C_(1)

-e^(-x^2) = ln|y^2+1| + C
При х=0
у=0
-1=С
О т в е т. -e^(-x^2)=ln(y^2+1) - 1

B)
Делим на х
y` +(1/x)y = (x+1)/x
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)*(u*v)=(x+1)/x
u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=(x+1)/x

(1)
v`+(1/x)*v=0
dv/v=-dx/x
ln|v|=-ln|x|
v=1/x

u`*(1/x)=(x+1)/x
u`=x+1
u=(x^2/2)+x+C

y=u*v=((x^2/2)+x+C)*(1/x)

y(2)=3

3=((2^2/2)+2+C)*(1/2)
6=4+2+C
C=0
О т в е т. y=(x/2)+1

Г)
Составляем характеристическое уравнение
k^2-k-2=0
D=9
k_(1)=-1; k_(2)=2
y=C_(1)e^(-x) + C_(2)e^(2x)
- общее решение
y`= -C_(1)e^(-x)+2C_(2)e^(2x0

{0=C_(1)+C_(2);
{1=-C_(1)+2C_(2)

С_(2)=1/3
С_(1)=-1/3

y=(-1/3)*e^(-x)+(1/3)e^(2x) - О т в е т.

Линейное уравнение первого порядка
Находим y в виде произведения двух произвольный функций
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-(1/(x+1))*u*v=e^(x)*(x+1)

u`*v + u*(v` - (1/(x+1))*v) = e^(x)*(x+1)

Функцию v выберем так, чтобы выражение в скобках равнялось 0
v`- (1/(x+1))*v=0
Тогда
u`*v +0=e^(x)*(x+1)

Решаем первое
Это уравнение с разделяющими переменными
dv/v=dx/(x+1)
ln|v|=ln|x+1|
v=(x+1)
подставляем во второе

u`*(x+1)=e^(x)*(x+1)
u`=e^(x)
u=e^(x)+C
y=u*v=(x+1)*(e^(x)+C)- общее решение

Находим частное решение
при х=0
у=1
1=(0+1)*(e^(0)+C)
1=1+C
C=0

y=(x+1)*e^(x) - частное решение

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Разложим знаменатель на множители
n^2-14n+48=(n-6)(n-8)
а дробь на простейшие дроби

2/(n^2-14n+48)=(1/(n-8))-(1/(n-6))

проверка
(1/(n-8))-(1/(n-6))=((n-6)-(n-8))/(n-6)(n-8)=2/(n^2-14n+48)

Находим n-yю частичную сумму:

S_(n)=∑^(n)_(9)((1/(k-8)) -(1/(k-6)))=

=(1- (1/3)) + ( (1/2) - (1/4)) + ( (1/3) - (1/5)) + ((1/4) - ( 1/6))+...

+ (1/(n-10))-(1/(n-8)) + (1/(n-9)) - (1/(n-7)) + (1/(n-8)) + (1/(n-6))

= 1 +(1/2) - (1/(n-7)) + (1/(n-6))

По определению
S=lim_(n→∞)S_(n)=3/2

vector{AB}=(1-(-2);5-8)=(3;-3) ; vector{BA}=(-3;3)
|vector{AB}|=sqrt(3^2+(-3)^2)=3sqrt(2)
vector{BC}=(4-1;1-5)=(3;-4)
|vector{BC}|=sqrt(3^2+(-4)^2)=5
vector{AC}=(4-(-2);1-8)=(6;-7)

|vector{AB}| ≠ |vector{BC}|
|vector{AB}| ≠ |vector{AC}|
|vector{BC}| ≠ |vector{AC}|

У ромба все стороны равны.

Можно построить параллелограмм. Например АВСD на рис.

S_(параллелограмма ABCD)=|vector{AB}|* |vector{BC}|* sin ∠ ABC

Находим скалярное произведение
vector{BA}*vector{BC}= -3*3+3*(-4)=-21
cos ∠ ВАС=(vector{BA}*vector{BC})/(|vector{BA}|*|vector{BC}|)=

=-21/(3*sqrt(2)*5)=-7/(5sqrt(2))

sin ∠ BAC = sqrt( 1- (-7/5sqrt(2))^2)= sqrt(1-(49/50))=sqrt(1/50)

S_(параллелограмма АВСD)=3sqrt(2)*5*sqrt(1/50)=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

19a)

по частям
u=arctgx ⇒ du=dx/(1+x^2)
dv=(x+1)dx ⇒ v=(x^2/2)+x

u*v - ∫ v*du=

=((x^2/2)+x)*arctgx - ∫ ((x^2/2)+x)dx/(x^2+1)=

=((x^2/2)+x)*arctgx - (1/2)∫ (x^2+2x)dx/(x^2+1)=

=((x^2/2)+x)*arctgx - (1/2)∫ (x^2+1 +2x-1)dx/(x^2+1)=

=((x^2/2)+x)*arctgx - (1/2)∫ (1 + (2x-1)/(x^2+1))dx=

=((x^2/2)+x)*arctgx - (1/2)x - (1/2) ln(x^2+1) +(1/2)arctgx +C

19б)
по частям
u= x^2 ⇒ du=2xdx
dv=x*e^(-x^2)dx ⇒ v= ∫ x*e^(-x^2)dx= ( замена (-x^2=t; dt=-2xdx)=
=(-1/2) ∫e^(t)dt=(-1/2)e^(t)=(-1/2)e^(-x^2)

u*v - ∫ v*du=

=(-1/2)*x^2*e^(-x^2) - ∫ (-1/2) * e^(-x^2) *2xdx=

=(-1/2)*x^2*e^(-x^2) - (1/2) ∫ * e^(-x^2) *(-2x)dx=

=(-1/2)*x^2*e^(-x^2) - (1/2) * e^(-x^2) + C

Против бОльшей стороны лежит бОльший угол.
По теореме косинусов
4^2=2^2+3^2-2*2*3*cos φ
cos φ =(2^2+3^2-4^2)/(2*2*3)=-1/4
cos φ <0
φ > 90 ^(o)
О т в е т. тупоугольный

19a)
∫ cos^6xdx= ∫ (cos^2x)^3dx= ∫ ((1+cos2x)/2)^3dx=

=∫ (1+3cos2x+3cos^32x+cos^32x)dx/8

= ∫ ((1/8)+(3/8)*cos2x+(3/8)*((1+cos4x)/2) + (1/8)*(1-sin^2x)*cos2x)dx

=((1/8)+(3/16) )x +(3/8)*(1/2)sin2x + (3/16)*(1/4)sin4x +(1/8)*(1/2)sin2x-

-(1/8)*(1/2)*(sin^32x)/3) + C

19б

sec^44x=1/cos^4(4x)=(1/cos^24x)*(1/cos^24x)=(tg^24x+1)*(1/cos^24x)

получаем

Замена
tg4x=t
dt=(tg4x)`dt=
dt= 4dx/cos^24x
dx/cos^24x=(1/4)dt

∫ (2-tg^34x)sec^44x= ∫ (2-t^3)*(t^2+1)*(1/4)dt=

=(1/4) ∫ (2t^2-t^5-t^3+2)dt=

=(1/4)*(2t^3/3) - (1/4)*(t^6/6) -(1/4)*(t^4/4)+(1/4)*2t+ C, t=tg4x

19a)
Замена переменной
∛(2х+1)=t
2x+1=t^3
x=(t^3-1)/2
dx=3t^2dt/2

x+1=(t^3-1)/2 + 1= (t^3+1)/2

получаем
∫((t^3+1)/2)*(3t^2/2)dt/t= (3/4) ∫ (t^3+1)*tdt=(3/4) ∫ (t^4+t)dt=
=(3/4)*(t^5/5)+(3/4)*(t^2/2) + C

t=∛(2x+1)

=(3/20)∛(2x+1)^5 + (3/8)∛(2x+1)^2 + C

19б)

Замена
2+e^(2x)=t
e^(2x)=t-2
2x=ln(t-2)
x=(1/2)ln(t-2)
dx=(1/2)*(1/(t-2))dt

получаем
∫ (1/2)dt/(t*(t-2))=(1/2)*(1/2) ∫ (1/(t-2) - (1/t))dt=

=(1/4)ln| t -2| - (1/4) ln | t|+ C=

=(1/4) ln |e^(2x)| -(1/4) ln|2+e^(2x)|+C

= (1/4) ln (e^(2x)/(2+e^(2x)) + C

Дробь 1/(t*(t-2))= A/(t-2)+B/t A=1/2; B=-1/2

3
Тригонометрическая подстановка
x=5sint
25-x^2=25-25sin^2t=25*(1-sin^2t)=25cos^2t
dx=(5sint)`dt=5costdt

получим

∫( 5sint)^2*sqrt(25cos^2t)*(5costdt)=

=625 ∫ sin^2t*cos^2tdt= (формула sinx*cosx=(sin2x)/2)

=625/4 ∫ (sin2t)^2 dt=

=(625/4) ∫ (1- cos4t)dt/2=

=(625/8) ∫ (1-cos4t)dt=(625/8)*( t - (1/4) sin4t)+C=

(x/5=sint; t=arcsin(x/5))

=(625/8)*arcsin(x/5) - ( 625/32)*sin(4arcsin(x/5)) + C

4.
tg(x/2)=t
x/2=arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)

cos=(1-t^2)/(1+t^2)

получим

∫ ((2dt)/(1+t^2))/((2-2t^2 -2t+5+5t^2)/(1+t^2))=

= ∫ 2dt/(3t^2-2t+7)= (2/3) ∫ dt/(t-(1/3))^2+(20/9))=

=(2/3)arctg(t-(1/3))/sqrt(20/9) + C=

=(2/3)arctg (3t-1)/2sqrt(5) + C, t=tg(x/2)

Ответ выбран лучшим

Импортированы или в упаковке 66%.
Значит в упаковке 66-31=5%

p=35/66 (прикреплено изображение)

Это знакочередующийся ряд
Рассмотрим ряд из модулей
∑(1/(n+1)!)

Он сходится по признаку Даламбера.
lim_(n→∞)(1/(n+2)!)/(1/(n+1)!)=
=lim_(n→∞)(n+1)!/(n+2)!=lim_(n→∞)1/(n+2)=0 < 1

Данный ряд сходится абсолютно

Ответ выбран лучшим

Замена
(ax-x^2)=t
Уравнение принимает вид:
t+(1/t)+2=0

(t^2+2t+1)/t=0

t=-1

ax-x^2=-1
x^2-ax-1=0
При каких a уравнение имеет два корня на (-2;2]
перепишем
(x^2-1)/x=a
Решим графически
Построим график
y=(x^2-1)/x

при x=-2
y=((-2)^2-1)/(-2)
y=-3/2

при х=2
y=3/2

с=-3/2
d=3/2
c < a ≤ d
О т в е т. ((-3/2);(3/2)] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. табличный.
Выносим 3 из-под знака корня:
1/sqrt(3) ∫ dx/sqrt((2/3)-x^2)=(1/sqrt(3))arcsin(x/sqrt(2/3))+C=

=(1/sqrt(3))arcsin((sqrt(3)x))/sqrt(2))+C

2. ∫ dx/(2x-3)^3
замена
2x - 3=t
x=(t-3)/2
dx=(1/2)dt
= (1/2)∫dt/t^(3)=(1/2) ∫ t^(-3)dt=(1/2)t^(-2)/(-2)=(-1/4)*(1/t^2)+C=
=(-1/4)*(1/(2x-3)^2)+C
3.
по частям
u=x
dv=cos(3x)dx
du=dx
v= ∫ cos(3x)dx=(1/3)sin(3x)

=u*v- ∫ v*du=

=x*(1/3)*sin(3x) - (1/3) ∫ sin(3x)dx=

=(x*sin3x)/3-(1/9)*(-cos3x) + C=
=(x*sin3x)/3 +(1/9) cos3x+C

4.
x^3+x^2=x^2*(x+1)
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие ( три !):

(x+2)/(x^3+x^2)=(A/x)+(B/x^2)+D/(x+1)

x+2= A*x*(x+1) + B*(x+1) + D*x^2
При х=0
2=В
При х=-1
1=D
При х=1
3=2А+2В+D
A=-1

О т в е т. -∫dx/x+2 ∫ dx/x^2+ ∫ dx/(x+1)= - ln|x| - (2/x) + ln|x+1| + C

5.
sin^23x*cos^23x=(1/4)*(4sin^23x*cos^23x)=(1/4)sin^26x

=(1/4) ∫ dx/sin^26x= (1/24)(-ctg6x)+C

6.
x^(1/4)=t
x=t^4
dx=4t^3dt
sqrt(x)=t^2
x^(3/4)=t^3

получаем
∫ (t^2)*(4t^3dt)/(t^3+1)=4 ∫ t^5dt/(t^3+1)
t^5/(t^3+1) - неправильная дробь

выделяем целую часть
t^5=t^5+t^2-t^2

t^5/(t^3+1)= (t^5+t^2)/(t^3+1)- (t^2)/(t^3+1)=t^2 - (t^2)/(t^3+1)

∫ t^5dt/(t^3+1)= ∫ t^2dt - ∫ (t^2dt)/(t^3+1)=

=(t^3/3)-(1/3) ∫ du/u ( u=t^3+1; du=3t^2dt; t^2dt=(1/3)du)

=(t^3/3)-(1/3)ln|t^3+1|+C, t=x^(1/4)

Ответ выбран лучшим

S_(основания)=S_(квадрата)=2^2=4

S(диагонального сечения)=(1/2)d_(квадрата)*Н_(пирамиды)

S(диагонального сечения)=S_(квадрата) ( равновелико по условию)

4=(1/2)d*H

d=2sqrt(2)

H= 2sqrt(2)

L^2=H^2+(a/2)^2=(2sqrt(2))^2+(2/2)^2=8+1=9
L=3
S_(боковая)=4*(1/2)*a*L=2*2*3=12
(прикреплено изображение)

Есть формула. Получается из теоремы косинусов.
m^2_(c)=(2a^2+2b^2-c^2)/4= (2*7^2+2*11^2-14^2)/4=144/4
m_(c)=12/2=6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5sqrt(2) -1=(5sqrt(2)-1)*(5sqrt(2)+1)/(5sqrt(2)+1)=

=((5sqrt(2))^2-1)/(5sqrt(2)+1)=(50-1)/(5sqrt(2)+1)

[b]sqrt(5sqrt(2)-1)=7/sqrt(5sqrt(2)+1) [/b]

sqrt(2)+1=(sqrt(2)+1)*(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)-1)=(sqrt(2))^2-1^2)/(sqrt(2)-1)=

=1/(sqrt(2)-1)

sqrt(sqrt(2)+1)=1/sqrt(sqrt(2)-1)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

раскладываем подынтегральную дробь на простейшие

(2x-3)/((x+1)*(x-2))=A/(x+1) + B/(x-2)
2x-3 =A*(x-2)+B*(x+1)
2x-3=(A+B)x -2A+B
2=A+B
-3=-2A+B
Вычитаем из первого второе
5=3А
А=5/3
В=1/3

Получаем два интеграла
(5/3) ∫^(2) _(1)dx/(x+1)- определенный интеграл, его вычисление приводит нас к числу.

=(5/3)(ln|x+1|)|^(2)_(1)= (5/3) ln 3-(5/3) ln2=(5/3) ln (3/2)

и

(1/3) ∫^(2) _(1)dx/(x-2) - несобственный интеграл 2 рода с особой точкой х=2

По определению

(1/3) ∫^(2) _(1)dx/(x-2)=

=(1/3)lim_(δ→0) ∫^(2-δ)_(1)dx/(x-2)=

=(1/3)lim_(δ→ 0)ln|2-δ-2|-(1/3) ln|1 - 2|=(1/3)lim_(δ→ 0)ln|-δ|= ∞ - 0 =

= ∞

Интеграл расходится
Сумма числа ( первый интеграл) и бесконечности есть бесконечность.
О т в е т. расходится.

Можно не раскладывать подынтегральную функцию на дроби, а раскрыть скобки в знаменателе и выделить полный квадрат.

(х+1)(х-2)=x^2-x-2=(x-(1/2))^2-(9/4)

∫ (2x-3)dx/(x+1)(x-2)= ∫ (2x-3)dx/((x-(1/2)^2-(9/4))

Замена
x-(1/2)=t
x=t+(1/2)
dx=dt

= ∫ (2t-2)dt/(t^2-(9/4))= ∫ (2t)dt/(t^2-(9/4)) - ∫ 2dt/(t^2-(9/4))=

=ln|t^2-(9/4)| -2ln|(t-(3/2))/(t+(3/2))|

...

Ответ выбран лучшим

Третий угол треугольника
180 градусов -60 градусов - 75 градусов= 45 градусов
По теореме синусов:
sqrt(6)/sin45^(o)=x/sin75^(o)
x=sqrt(6)*sin75^(o)/sin45^(o)

sin45^(o)=sqrt(2)/2
sin75^(o)= (sqrt(3)+1)(2sqrt(2))
(см. приложение)
О т в е т. sqrt(6)*(sqrt(3)+1)/2 (прикреплено изображение)

8a)
Замена
x^(1/6)=t
x=t^6
dx=6t^5dt
sqrt(x)=t^3
∛x =t^2

получим
∫ (t^2-1)6t^5dt/(t^3*(t^2+1)= 5 ∫ (t^2-1)*t^2dt/(t^2+1)

Неправильная дробь.
Выделяем целую часть и раскладываем дробь на простейшие

(t^4-t^2)/(t^2+1)=(t^2-2)+ (2/(t^2+1))

интегрируем получим
(t^3/3)-2t+2arctgt+C=

=(sqrt(x))/3-2*(x^(1/6)+2arctg (x^(1/6))+C - о т в е т.

8б)
1/x=t
dt=(-1/x^2)dx
sqrt(x^2-16)=sqrt((1/t)^2-16)=sqrt(1-16t^2)/(t) ⇒

∫ (-dt)/sqrt(1-(4t)^2)=

замена 4t=u ⇒ t=(1/4)u ⇒ dt =(1/4)du

=( - 1/4) ∫ du/sqrt(1-u^2)=

=( - 1/4)arcsinu+C=

=(-1/4) arcsin 4*(1/x) + C

c)
замена
e^(x)+1=t
e^(x)=(t-1)
x=ln(t-1)
dx=dt/(t-1)

Получим
∫ dt/(t*(t-1))= ∫ (-(1/t)+ (1/(t-1))dt= - ln|t| + ln|t-1| +C=

= ln|(e^x)/(e^(x)+1)| + C

8d)
cosx+sinx=sqrt(2)*((1/sqrt(2))*cosx+(1/sqrt(2))*sinx)=

=sqrt(2)*(cos(π/4)*cosx+sin(π/4)*sinx)=

=sqrt(2) * cos(x-(π/4))

тогда
∫ dx/(2sqrt(2)*cos(x-(π/4))=

=(1/2(sqrt(2)))* ∫ dt/cost=

=(1/(2sqrt(2)))ln|tg(t/2)+(π/4)| + C, cм. формулу 18

t=(x-(π/4)) (прикреплено изображение)

8a)

cos^52x*sin^32x=cos^52x*sin^22x*sin2x=

=cos^52x*(1-cos^22x)*sin2x= cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x

∫ сos^52x*sin^32xdx= ∫ ( cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x)dx

= ∫ cos^52x*(sin2x)dx - ∫ cos^72x*(sin2x)dx=

замена переменной
cos2x=t
dt=(cos2x)`*dx
dt=(-sin2x)*(2x)`dx
dt=-2sin2xdx
sin2xdx=(-1/2)dt

=(-1/2) ∫ t^5dt +(1/2) ∫t^7dt=

=(-1/2)t^6/(6) +(1/2)t^8/(8)+C=

=(-1/2)*(t^62x)/6 + (1/2) * (cos^82x)/8 + С

=(-1/12)cos^62x +(1/16)cos^82x+C

8б)
1/cos^25x= 1+tg^25x

tg^35x/cos^4x=tg^35x*(1/cos^2x)*(1/cos^2x)=tg^35x*(1+tg^25x)*(1/cos^25x)
Замена переменной
tg5x=t
dt=(tg5x)`dx
dt=(1/cos^25x)*(5x)`dx
dt=5dx/cos^25x
dx/cos^25x=(1/5)dt

∫ (tg^35x)dx/cos^4x= ∫ tg^35x*(1+tg^25x)*(1/cos^25x)=

= ∫ t^3*(1+t^2)*(1/5)dt=(1/5) ∫ t^3+t^5)dt=(1/5)*((t^4/4)+(t^6/6))+C=

=(1/20)tg^45x+(1/30)tg^65x+C

ф)
[b]y=x^3-x[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =(-∞ ; + ∞ )
см. рис.
3. Чётность или нечётность функции-
нечётная, так как
f(-x)=-f(x)
(-x)^3 - (-x)= - x^3+x=-(x^3-x)

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
x^3-x=0
x*(x^2-1)=0
x=0; x=1; x=-1

6.интервалы знака постоянства

__-__ (-1) _+__ (0) __-__(1) ____+__

y > 0 при -1< x< 0 и x > 1
y < 0 при x < -1 и -1 < x < 0

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на R, как многочлен

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞) y =+∞
lim_(x→ - ∞)y = - ∞

9.асимптоты граф. функции
Их нет

3.) исследовать с помощью производной

y`=3x^2 - 1
y`=0
3x^2-1=0
x= -1/sqrt(3) или х=1/sqrt(3)

_+__ (-1/sqrt(3)) ___-__ (1/sqrt(3)) __+__

Возрастает на (- ∞ ; -1/sqrt(3)) и на (1/sqrt(3); + ∞ )
Убывает на (-1/sqrt(3);1/sqrt(3))

x=-1/sqrt(3) - точка максимума
х=1/sqrt(3) - точка минимума

См. рис.1

б)
[b]y=x^2e^(-x)[/b]

1.область определения функции D(y)=(- ∞ ; + ∞ )
2. Область изменения функции E(y) =[0 ; + ∞ )
см. рис.
3. Четность или нечетность функции
f(-x)=(-x)^2e^(-(-x))=x^2e^(x)

f(-x)≠ f(x)
f(-x) ≠ -f(x)
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной

4.перИодичность - непериодическая

5.нули функции
y=0
x^2*e^(-x)=0 так как e^(-x) > 0 при любом х, то
x=0

6.интервалы знака постоянства

y ≥ 0 при любом х

2.) исследовать с помощью теории пределов

7.непрерывность функции
непрерывна на R, как произведение непрерывных функций

8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)

lim_(x→+∞)(x^2*e^(-x)= lim_(x→ +∞)2/e^(x) x^2/e^(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) 2x/e^(x)(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→ +∞)2/e^(x) =0

lim_(x→ - ∞)x^2*e^(-x) = + ∞

9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота на + ∞

3.) исследовать с помощью производной

y`=(x^2*e^(-x))`=(x^2)`*e^(-x)+x^2*(e^(-x))`=2x*e^(-x)+x^2*e^(-x)*(-x)`=
=2x*e^(-x)+x^2*e^(-x)*(-1)=x*e^(-x)*(2-x)
y`=0
x=0 или 2-х =0

_-__ (0) ___+__ (2) __-__

Возрастает на (0;2)
Убывает(- ∞ ;0) и на (2; + ∞ )

x=2 - точка максимума
х=0 - точка минимума

См. рис.2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, при этом изменится (увеличится) область допустимых значений.
Поэтому начинаем с ОДЗ
{64x-9>0
{(1/x)-3 >0
{(1/x)+3 > 0
и четвертое уравнение:
{log_(3) ((1/x)-3)*((1/x)+3) ≤ log_(3)(64x-9)

{x>9/64 ⇒ значит x точно больше 0, поэтому в (2) и (3) считаем
{(1-3x)/x >0 ⇒ 1-3x > 0 ⇒ x < 1/3
{(1+3x)/x>0 ⇒ 1+3x > 0 ⇒ x > -1/3
{(1/x)-3)*((1/x)+3) ≤ 64x-9 потому что логарифмическая функция с основанием 3>1 возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента

9/64 сравниваем c 1/3
9*3/(64*3)=27/204 < (64/64*3)=1/3

{9/64 < x < 1/3
{(1/x)^2-9 ≤ 64x-9 ⇒ (1/x)^2 ≤ 64x ⇒ 64x^3 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1/4

9/64 сравниваем с 1/4
9/64 < 16/64=1/4

О т в е т. [1/4; 1/3)

ОДЗ:
cosx ≤ 0 ⇒ 3 или 4 четверть.

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом [b]не теряет смысла [/b]

(1)
4sin^2x+12sinx+5=0
Квадратное уравнение относительно sinx
D=144-4*4*5=64
sinx=1/2 или sinx=5/2 ( нет корней, так как |sinx| ≤ 1)
x=(-1)^(k)arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z
Учитывая ОДЗ берем только значения во второй четверти,
[b]х=(5π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

(2)
sqrt(-17cosx)=0
cosx=0
[b]x=(π/2)+πm, m ∈ Z[/b]

cos(x-π/2)=cos((π/2)-x)=sinx
cos^2x=1-sin^2x

sqrt(2)sinx+1-sin^2x=sqrt(2)sin^3x;
переносим влево:
sqrt(2)sinx+1-sin^2x-sqrt(2)sin^3x;
группируем
(sqrt(2)sinx-sqrt(2)sin^3x)+(1-sin^2x)=0
sqrt(2)sinx*(1-sin^2x)+1*(1-sin^2x)=0
выносим общий множитель за скобки
(1-sin^2x)*(sqrt(2)sinx+1)=0
1-sin^2x=0 или sqrt(2)sinx + 1=0

sin^2x=1 ⇒ sinx =1 или sinx = - 1 ⇒
x=(π/2)+2πn или х=(-π/2)+2πn, n ∈ Z
можно объединить в один ответ
и записать так
x= ± (π/2)+2πn, n ∈ Z
или
так
[b]х=(π/2)+πm, m ∈ Z[/b]

sqrt(2)sinx+1=0
sinx=-1/sqrt(2)
x=(-1)^(k)arcsin(-1/2)+πk, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

О т в е т. выделен жирным шрифтом

Указанному отрезку принадлежат корни
х=3π/2;
x=5π/2
и
х=(-π/6)+2π=11π/6
(прикреплено изображение)

Неопределенность 0/0
Умножаем и числитель и знаменатель на
(sqrt(1+2x)+3)*(sqrt(x)+2)
Применяем формулы сокращенного умножения
(sqrt(a)-sqrt(b))*(sqrt(a)+sqrt(b))=a-b

lim_(x→4)((1+2x-9)*(sqrt(x)+2))/((x-4)*(sqrt(1+2x)+3))=

=lim_(x→4)(2(x-4)*(sqrt(x)+2))/((x-4)*(sqrt(1+2x)+3))=

cокращаем на (х-4)

lim_(x→4)(2*(sqrt(x)+2))/(sqrt(1+2x)+3)= 2*(sqrt(4)+2)/(sqrt(1+8)+3)=8/6=4/3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
(x^2+3x+2)/(x^2-3x+4) >0
x^2-3x+4 > 0 при любом х, D < 0
(x+1)(x+2) > 0

__+__ (-2) _-__ (-1) ___+__

x ∈ (- ∞ ;-2) U (-1;+ ∞ )

Применяем метод рационализации

(1+(1/(x+1)^2)-1)* (( x^2+3x+2)/(x^2-3x+4)-1) ≤ 0

(x^2+3x+2-x^2+3x-4)/((x-4)*(x+1)^3) ≤ 0

2*(3x-1)/((x-4)*(x+1)^3) ≤ 0

_-__ (-1) __+__ [1/3] ___-____ (4) __+__

C учетом ОДЗ:

О т в е т.
(- ∞ ; -2) U(-1;1/3]

Ответ выбран лучшим

1.
∫ arctgsqrt(5x-1)dx по частям
u=arctgsqrt(5x-1) ⇒
du=(sqrt(5x-1))1dx/(1+(sqrt(5x-1))^2=

=(5x-1)`dx/(2sqrt(5x-1)(1+5x-1)=

= dx/(2xsqrt(5x-1))
dv=dx ⇒ v=x

u*v- ∫ v*du=

=x*arctgsqrt(5x-1) - (1/2)∫dx/sqrt(5x-1)=

= x* arctg sqrt(5x-1)-(1/5)*(1/2)*2sqrt(5x-1) + C=

=x* arctg sqrt(5x-1)-(1/5)*sqrt(5x-1) + C

2.
∫ (1-8x^2)*cos4x dx по частям

u=(1-8x^2) ⇒ du = - 16xdx
dv=cos4xdx ⇒ v=(1/4) sin4x

u*v- ∫ v*du=

=[b](1/4)*(1-8x^2)*sin4x - (1/4)*(-16) ∫x sin4x dx[/b]
еще раз по частям

u= x ⇒ du = dx
dv=sin4xdx ⇒ v= (1/4)*(-cos4x)

=[b](1/4)*(1-8x^2)*sin4x +4*(x*(1/4)*(-cos4x) - (1/4)∫(-cos4x)dx[/b] =

=(1/4)sin4x -2x^2sin4x -x*cos4x +(1/4)sin4x + C

3.
Интеграл от неправильной дроби. Надо выделить целую часть
(3x^3-8)/(x^3-x)= ((3x^3-3x)+3x-8)/(x^3-x)=

=(3x^3-3x)/(x^3-x) + (3x-8)/(x^3-x)

=3 + (3)/(x^2-1) - 8/x(x^2-1)

интеграл от суммы равен сумме интегралов
Дробь
1/(х*(х-1)(х+1) разложим на простейшие (A/x)+(B/(x-1)+(D/(x+1))

1=A*(x+1)*(x-1)+B*x*(x+1)+D*x*(x-1)
При х=0
1=-A
A=-1
При х=1
1=В*1*2
B=1/2
При х=-1
1=(-1)*(-2)D
D=1/2

О т в е т.
3х + 3*(1/2)*ln|(x-1)/(x+1)| +8ln|x| -4ln|x-1| -4ln|x+1| + С

4
Интеграл от правильной дроби
Знаменатель (х+2)*(x+1)^2
Подинтегральная дробь представляет сумму простейших дробей

(x^2+x+1)/(x+2)(x+1)^2 = (A/(x+2)) + (B/(x+1)) + (D/(x+1)^2)

(x^2+x+1)=A*(x+1)^2 +B*(x+2)*(x+1)+D*(x+2)

При x=-1
1-1+1=A*0+B*0+D*(-1+2)
D=1
При x=-2
4-2+1=A*1+B*0+D*0
A=3
При x=0
1=A*1+B*2+D*2
B=-2

О т в е т. 3*ln|x+2| - 2*ln|x+1| -( 1/(x+1)) + C

6.
∫ сos^52x*sin^32xdx
cos^52x*sin^32x=cos^52x*sin^22x*sin2x=

=cos^52x*(1-cos^22x)*sin2x= cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x

∫ сos^52x*sin^32xdx= ∫ ( cos^52xsin2x- cos^72x*sin2x)dx

=(-1/2) ∫ cos^52xd(cos2x)+(1/2) ∫ cos^72xd(cos2x)=

=(-1/2)*(cos^62x)/6 + (1/2) * (cos^82x)/8 + С

(прикреплено изображение)

По теореме Пифагора.
d^2=h^2+(5sqrt(2))^2=10+50=60
d=sqrt(60)=2sqrt(15) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскладываем левую часть на множители способом группировки:
(2x^3-x^2)-(2x-1)=0
x^2*[b](2x-1)[/b] -1*[b](2x-1)[/b]=0
[b](2x-1)[/b]*(x^2-1)=0
2x-1=0 или x^2-1=0
x=1/2 или х= ± 1

О т в е т. -1; 1/2; 1

2.
Поступим так же.
(x^4-9)-(4x^3-12x)=0
[b](x^2-3)[/b]*(x^2+3)-4x*[b](x^2-3)[/b]=0
[b](x^2-3)[/b]*(x^2+3-4x)=0
x^2-3=0 или x^2-4x+3=0
x= ± sqrt(3) или D=(16)-4*3=4 ⇒ x=(4-2)/2=1; x=(4+2)/2=3
От в е т. -sqrt(3); 1; 3; sqrt(3)

Через четырнадцать суток половина
Еще через 14 останется половина от половины, т.е одна четвертая
еще через 14 останется одна восьмая
...
О т в е т. в 32 раза

Ответ выбран лучшим

По свойству логарифмов:
log_(a^(k))b=(1/k)log_(a)b
a>0; b>0

y=2 log_(0,25)(3-x)- (1/2)log_(0,25)(3-x) +1
y=(3/2) log_(0,25x)(3-x) +1
??
логарифмическая функция монотонна на ОДЗ, поэтому не будет иметь ни наибольшего ни наименьшего значения.
Уточняйте условие. Прикрепите фото условия задачи с помощью знака фотоаппарата

Там второй логарифм в [ ] и поэтому, наверное, в квадрате?

Тогда (log_(0,25)^2(3-x))^2 =( (1/2)log_(0,25)x)^2= (1/4) log^2_(0,25)x

Получим квадратичную функцию

y=2t -(1/4)t^2+1

t=log_(0,25)(3-x)

Квадратичная принимает наибольшее значение в вершине параболы,
т. е в точке -b/2a=-2/(-(2/4)=4

y(4)=2*4-(1/4)*4^2+1=5

О т в е т 5

2+5=7
105:7=15 проголосовавших в одной части
5*15=75 проголосовавших в 5 частях
75 голосов получил победитель

ОДЗ;
{x ≠ 0
{4x>0 ⇒ x>0
{4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4
{2x-1 > 0 ⇒ x> 1/2

ОДЗ: х > 1/2
Применяем обобщенный метод интервалов.

Нули числителя:
4^(-1/x) - 16 =0
4^(-1/x)=4^2
(-1/x)=2
x=-1/2

x-2=0
x=2

Нули знаменателя:

log_(4x)(2x-1)=0

2x-1=1
x=1

Отмечаем нули на ОДЗ:

(1/2) __+__ (1) __-___ [2] __+___

и расставляем знаки.

О т в е т. (1;2]

1.
Формула
f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ f`(x_(o)) *Δx

x_(o)=1
x=0,97

Δx=x-x_(o) = 0,97 - 1 = - 0,03

f(x)=arctgx

f`(x)=1/(1+x^2)

f`(`)=1/2

arctg0,97-arctg1≈ (1/2)*(-0,03)
arctg0,97 ≈ (π/4) - 0,015=0,770398163
О т в е т. ≈ 0,77

2.
1)
y`=(lnx)`*sinx+(lnx)*(sinx)`=(1/x)*sinx+ (lnx)*(cosx);

2)
y`=(sqrt(cosx))`/(sqrt(1-(sqrt(cosx))^2)=
=(1/(2sqrt(cosx)))*(cosx)` /(sqrt(1-cosx))=

= (-sinx)/(2*sqrt(cosx)*sqrt(1-cosx))
3)
cм формулу в приложении

y`= (sinx)^(x) * (x`*ln(sinx) + (x/sinx)*(sinx)`)=

=(sinx)^(x) * (ln(sinx) + (x*cosx)/sinx);

4) Дифференцируем обе части уравнения. при этои х - независимая переменная
x`=1
y - зависит от х, функция,
cos y - сложная функция

y`*sinx+y*(sinx)`-x`*cosy -x*(cosy)`=0

y`*sinx +y*cosx - cosy -x*(-siny)*y`=0

y`*(sinx+x*siny)=cosy-y*cosx

y`=(cosy-y*cosx)/(sinx+x*siny)

5)
y`_(x)=y`_(t)/(x`_(t))

y`_(t)=1 - (1/cost)*(cost)`=1-(-sint)/(cost)=1+tgt
x`_(t)=1+(1/sint)*(sint)`=1+ctgt

y`=(1+tgt)/(1+ctgt)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4-x >0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{28-3x-x^2 > 0 ⇒ x^2+3x-28 < 0; D=121; x=-7; x=4 ⇒ -7 < x < 4

x ∈ (-7;3)U(3;4)

Применяем метод рационализации
(4 - х - 1)*(28 - 3x - x^2 - 4 + x) ≤ 0

(3-x)*(-x^2 -2x+24) ≤ 0

x^2+2x-24=0
D=100
x=-6; x=4

(x-3)*(x+6)*(x-4) ≤ 0

Метод интервалов на ОДЗ уравнения:

(-7)_-__ [-6] __+___ (3) __-__ (4)

Решение (1)
(-7;- 6] U (3;4)

(2)
x^2-4x=3=(x-1)(x-3)

((x+7)*(x^2-4x+3) +14x-24 - 5*(x-3))/((x-1)(x-3)) ≥ 0

(x^3-4x^2+3x+7x^2-28x+21+14x-24-5x+15)/((x-1)(x-3)) ≥ 0

(x^3+3x^2-16x +12)/((x-1)(x-3)) ≥ 0

x=1 - нуль числителя, так ак 1+3-16=12=0
Выделим (х-1) в числителе:
x^3-x^2+4x^2-4x -12x+12=x^2*(x-1)+4x(x-1)-12*(x-1)=
=(x-1)*(x^2+4x-12)=(x-1)*(x-2)(x+6)

(x-1)(x-2)(x+6)/((x-1)(x-3)) ≥ 0

(x-2)(x+6)/(x-3) ≥ 0; x ≠ 1

_-__ [-6] ____+____ (1) _+__ [2] __-__(3) _+__

решение (2)
[-6;1) U(1;2] U(3;+ ∞)

О т в е т. {-6} U(3;4)

Ответ выбран лучшим

(1)
ОДЗ:
{(3-x > 0 ⇒ x < 3
{3-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{(x+4)/(x-3)^2 > 0 ⇒ x >-4; x ≠ 3
(x-3)^2 > 0 при любом х, кроме х=3
x ∈ (-4;2)U(2;3)

Левая часть неравенства
-2=-2*1=-2*log_(3-x)(3-x)=log_(3-x)(3-x)^(-2)=log_(3-x)(1)/(3-x)^2;

Метод рационализации

(3- х -1)*((x+4)/(x-3)^2 - (1)/(3-x)^2)) ≥ 0

(2-x)*(x+4-1)/(3-x)^2 ≥ 0

(x-2)(x+3)/(x-3)^2 ≤ 0

метод интервалов на ОДЗ:
(-4)_+__ [-3] __-__ (2) ___+__ (3)

решение (1):
[-3;2)

(2)
((x^3+6x^2)*(x-4)+21x^2+3x-12 -3*(x-4))/(x-4) ≤ 0

((x^4+6x^3-4x^3-24x^2+21x^2+3x-12-3x+12)/(x-4)) ≤ 0

x^2*(x^2+2x-3)/(x-4) ≤ 0

x^2*(x+3)*(x-1)/(x-4) ≤ 0

метод интервалов:

__-__ [-3] _+__ [0] _+__ [1] __-__ (4) _+___

решение (2):
(- ∞ ;-3] U {0} U [1;4)

Пересечение множеств:

{-3;0} U [1;2) - о т в е т.

(1)

ОДЗ:
{7 - x > 0 ⇒ x < 7
{7 - x ≠ 1 ⇒ x ≠ 6
{14+5x-x^2 > 0 ⇒ x^2-5x -14 < 0 ; D= 81; x=-2;x=7 ⇒ -2 < x < 7
x ∈ (-2;6)U(6;7)
Метод рационализации
(7 - х - 1)*(14 + 5x - x^2 - 7 + x) ≤ 0
(x-6) * ( x^2 -6x -7 ) ≤ 0
(x-6)*(x+1)(x-7) ≤ 0
метод интервалов на ОДЗ:
(-2) _-__ [-1] ___+____ (6) ___-__ (7)

Решение (1)
(-2;-1] U(6;7)

(2)

((x-5)*(x^2+2x)-(11x+12)+5*x)/(x^2+2x) ≥ 0

(x^3+2x^2-5x^2-10x-11x-12+5x)/(x*(x+2)) ≥ 0

(x^3-3x^2-16x-12)/(x*(x+2)) ≥ 0

x= - 2 - нуль числителя,

поэтому выделим множитель (х+2)

у каждого слагаемого в числителе и разложим на множители способом группировки ( можно и разделить "углом")

(x^3+2x^2-5x^2-10x-6x-12)/(x*(x+2) ≥ 0
(х+2)*(x^2-5x-6)/(x*(x+2)) ≥ 0

(x+2)(x-6)*(x+1)/(x(x+2) ≥ 0

(x+1)*(x-6)/x ≥ 0
х ≠ -2
метод интервалов на

____-____ (-2) _-__ [-1] _+__ (0) __-___ [6] _+_

решение (2)
[-1; 0) U [6;+ ∞ )

Пересечение решений:

{-1}U(6;7)

О т в е т. { -1} U (6;7)

Ответ выбран лучшим

1) Область определения (- ∞ ;0) U(0;+ ∞ )

х=0- вертикальная асимптота

y`=(2x*x^3-3x^2*(x^2-1)/(x^6)
y`=0
x^2*(2x^2-3x^2+3)=0
x^2=3
x= ± sqrt(3)

_-__ (-sqrt(3) _+__ (0) _+__ (sqrt(3) _-__

x=-sqrt(3) - точка минимума
x=sqrt(3) - точка максимума

функция убывает на (- ∞ ;-sqrt(3) ) и на (sqrt(3);+ ∞ )
возрастает на (-sqrt(3);0) и на (0;sqrt(3))
см. рисунок 1

2.
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=e^(-x^2)*(-x^2)`
y`=e^(-x^2)*(-2x)
_+__ (0) __-_

x=0 - точка максимума
функция возрастает на (- ∞ ;0), убывает (0;+ ∞ )

cм рисунок 2

2.
1)
Замена
(e^(x)+5)=t
e^(x)=t-5
x=ln(t-5)
dx=dt/(t-5)

∫ dx/sqrt(e^x+5)= ∫ dt/(t-5)*sqrt(t)=

замена
sqrt(t)=u
t=u^2
dt=2udu
= ∫ 2udu/(u^2-5)*u=2 ∫ du/(u^2-5)=2*(1/2) ln |(u-sqrt(5))/(u+sqrt(5))|+C=

=ln|(sqrt(t)-sqrt(5))/(sqrt(t)+sqrt(5))|+C=

=ln|(sqrt(e^(x)+5)-sqrt(5)))/(sqrt(e^(x)+5)-sqrt(5))| + C

2) По частям два раза
u=x^2
du=2xdx
dv=sinxdx
v= ∫ sinxdx= - cosx

=u*v - ∫ vdu= x^2*(-cosx) - 2 ∫ x*(-cosx)dx=

= - x^2*cosx) + 2 ∫ x*cosxdx=

u=x
du=dx
dv=cosxdx
v=sinx

= - x^2*cosx +2*(x*sinx - ∫ sinxdx)=

= - x^2*cosx+2*x*sinx -2 * ∫ sinxdx=

= - x^2*cosx+2*x*sinx - 2*( -cosx) + C=

= - x^2*cosx +2*x*sinx +2*cosx + C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Известно, что в правильном треугольнике со стороной а
h=asqrt(3)/2
R=asqrt(3)/3
r=asqrt(3)/6

Так как
a=sqrt(3)
r=OM=asqrt(3)/6=1/2
∠ SMO=60^(o)
H=SO=r*tg60^(o)=(1/2)*sqrt(3)

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*(a^2sqrt(3)/4)*((1/2)*sqrt(3))=

=3/8 (прикреплено изображение)

пусть вектор vector{x}=(x_(1);x_(2)) - столбец
Тогда равенство
Ax=b
можно записать в виде системы уравнений:
{-4х_(1) -5х_(2)=13
{3x_(1)-4x_(2)=29
Решаем по правилу Крамера
Δ=(16-(-15))=31
Δ_(1)=13*(-4)-29*(-5)=-52+145=93
Δ_(2)=-4*29-3*13=-116 -39= - 155

x_(1)=3
x_(2)= -5

Ответ выбран лучшим

10.
Правильная дробь
Раскладываем знаменатель на множители
x^(4)-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)

Тогда правильная дробь раскладывается на простейшие:

x^2/(x^(4)-16) = ( A/(x+2)) + (B/(x-2)) + (Mx+N)/(x^2+4)

Приводим правую часть к общему знаменателю.
Две дроби с равными знаменателями равны, значит равны и их числители:
x^2=A*(x-2)*(x^2+4) + B*(x+2)(x^2+4) + (Mx+N)*(x+2)*(x-2)

можно раскрыть все скобки справа и получить многочлен третьей степени
Составить систему четырех уравнений, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

мне нравится метод частных значений
При x=2
2^2=A*0+B*(2+2)*(2^2+4) +0
B= 1/8
При х=-2
(-2)^2=A*(-2-2)*((-2)^2+4) +0+0
A= -1/8

При х=0
0=-8А +8B+(0+N)*(-4)
N=1/2

При x=1
1=A*(-1)*5 + B*(3)*(5)+(M+N)*(1-4)
M=1/4

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
получаем
( - 1/8) ∫ dx/(x+2) + (1/8) ∫ dx/(x-2) + ∫ ((1/4)x+(1/2))/(x^2+4)dx=

=(-1/8)ln|x+2| + (1/8) ln|x-2| +(1/8) ∫ (2xdx)/(x^2+4) + (1/2) ∫ dx/(x^2+4)=

=(-1/8)ln|x+2| + (1/8) ln|x-2| +(1/8) ln| x^2+4| + (1/2) arctg (x/2) + C

11.
Неправильная дробь. Выделяем целую часть
x^5 -2x + 3 = x^2*(x^3+2x^2)-2x^4-2x+3=

=x^2*(x^3+2x^2)-2x*(x^2+2x^2)+4*(x^3+2x^2)-8x^2-2x+3

x^5 -2x + 3 = (x^3+2x^2)*(x^2-2x+4) + (-8x^2-2x+3)

∫(x^5-2x+3)dx/(x^3+2x^2) = ∫ (x^2-2x+4) dx+ ∫ (-8x^2-2x+3)dx/(x^3+2x^2)

Первый интеграл:
∫ (x^2-2x+4)dx=(x^3/3) - x^2 +4x + C_(1)

Второй интеграл от правильной дроби.
Знаменатель
x^3+2x^2=x^2*(x+2)

Дробь раскладывается на [b] три [/b] простейших
(-8x^2-2x+3)/(x^3+2x^2) =(A/x)+(B/x^2) + (D/(x+2))

-8x^2-2x+3 = A*x*(x+2)+B*(x+2)+D*x^2

При х=0
3=2В
В=3/2
При х=-2
-32+4+3=А*0+В*0+4D
D=-27
При х=1
-8-2+3=3А+3B+D
A=31/6

О т в е т. (x^3/3) - x^2 +4x +(31/6)ln|x| +(3/2)*(-1/x) -27ln|x+2|+C

12.
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)
(3x-4)/(x^3+8) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x^2-2x+4)

3x-4 = A*(x^2-2x+4) +(Mx+N)(x+2)
3x-4= (A+M)x^2+(-2A+2M+N)*x +(4A+2N)

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
слева x^2 нет, значит коэффициент равен 0
0=А+М
3=(-2А+2М+N)
-4=4A+2N
...

Ответ выбран лучшим

1. Замена
cos2x=t
dt=(cos2x)`dx
dt=-sin2x*(2x)`dx
dt=-2sin2xdx
sin2xdx=(-1/2)dt

Получаем табличный интеграл (14)
(-1/2)∫dt/sqrt(9+t^2)=(-1/2) ln|t+sqrt(9 + t^2)|+C=

=(-1/2) ln | cos2x + sqrt(9 +cos^22x)|+ C

3
Замена
1-lnx=t
dt=(1-lnx)`dx
dt=(-1/x)dx
dx/x=-dt
Получаем табличный интеграл (3)

- ∫dt/t= - ln | t | + C = - ln | 1-lnx| + C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.
9-49y^4=3^2-(7y^2)^2
Замена
7y^2=t
dt=(7y^2)`dy
dt=14ydy
ydy=dt/14
Получаем табличный интеграл ( см 12)

(1/14) ∫dt/sqrt(3^2-t^2)= (1/14) arcsin(t/3) + C=
=(1/14)arcsin((7y^2)/3) + C

4.
Интеграл от суммы ( разности) равен сумме ( разности) интегралов.

= ∫ 2х/sqrt(1-x^2) - ∫ sqrt(arcsinx)/sqrt(1-x^2)dx

первый интеграл табличный (формула 2)
замена
1-x^2=t
dt=(1-x^2)`dx
dt=-2xdx
2xdx=-dt
∫2х/sqrt(1-x^2) = ∫ (-dt)/sqrt(t)= - ∫ t^(-1/2)dt= - t^((-1/2)+1)/((-1/2)+1)+C_(1)=

= - 2sqrt(t)+C_(1)= -2 sqrt(1-x^2) + C_(1)

второй интеграл табличный ( формула 2)
замена
arcisnx=u
du=(arcsinx)`dx
du=dx/sqrt(1-x^2)

∫ sqrt(arcsinx)/sqrt(1-x^2)dx= ∫sqrt(u)du= ∫ u^(1/2)du=

=u^((1/2)+1)/((1/2)+1) + C_(2)= u^(3/2)/(3/2) + C_(2)=

=(2/3) arcsinx*sqrt(arcsinx) + C_(2)

О т в е т. - 2 sqrt(1-x^2) +(2/3) arcsinx*sqrt(arcsinx) + C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагонали параллелепипеда в точке пересечения делятся пополам
О- середина АС_(1)
Диагонали прямоугольника АА_(1)В_(1)В
в точке пересечения делятся пополам
Т- середина АВ_(1)
ОТ - средняя линия треугольника АВ_(1)С_(1)
поэтому ОТ || В_(1)С_(1) (прикреплено изображение)

(1) 2^(-x)=t; t>0
4^(-x)=t^2
(320-t^2)(64-t) ≥ 5;
(320-t^2)/(64-t) - 5 ≥ 0

(320-t^2-5*(64-t))/(64-t) ≥ 0
(-t^2+5t)(64-t) ≥ 0
(t*(t-5))/(t-64) ≥ 0

______ [0] ___+____ [5] ___-__ (64) _+__

С учетом t > 0
0 < t ≤ 5 или t > 64
0 < 2^(-x)≤5 или 2^(-x) > 2^(6)
-x ≤log_(2)5 или -x > 6
x ≥ - log_(2) 5 или x < - 6

(2)
{0,25x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{0,25x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 2
{(x+6)/4>0 ⇒ x > -6
(-6;-2) U(-2;0) U(0;2)U(2;+ ∞ )

Метод рационализации
(0,25x^2-1)((x+6)/4-0,25x^2) ≤ 0
(x-2)(x+2)(x+6-x^2) ≤ 0
(x-2)(x+2)(x+2)(x-3) ≥ 0
__+_ (-2) __+_ (2) ____ (3) _+__

C учетом ОДЗ
(-6;-2)U(-2;0) U(0;2)U(3;+ ∞ )

log_(2)5 > log_(2)4=2

-log_(2)5 < -2
Пересечение решений:
[-log_(2)5;-2) U(-2;0) U(0;2)U(3;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

1)
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=(2*(1+x^2)-2x*2x)/(1+x^2)^2
y`=(2-2x^2)/(1+x^2)^2
y`=0
x= ± 1

_-__ (-1) _+__ ( 1) _-__

x=-1 - точка минимума
х=1 - точка максимума
функция возрастает на (-1;1); убывает на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
см. рис.1

2)
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=-27+36x-9x^2
y`=0
9x^2-36x+27=0
x^2-4x+3=0
D=16-4*3=4
x=1 или х=3
__-_ (1) _+__ (3) __-_

Функция убывает на (- ∞ ;1) и на (3;+ ∞ ), возрастает
на (1;3)
x=1 - точка минимума
х=3 - точка максимума
см. рис. 2 (прикреплено изображение)

1)
y`=1+cos2x*(2x)`=1+2cos2x
y`=0
1+2cos2x=0
cos2x=-1/2
2x= ± arccos(-1/2)+2πn, n ∈ Z
2x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z
x= ± (π/3)+πn, n ∈ Z
Во внутренних точках отрезка [0;π/3]
производная не обращается в 0
y` имеет один и тот же знак, положительный.
Значит функция возрастает на отрезке и наименьшее значение принимает при х=0
y=0
Наибольшее значение в точке x=π/3
y=(π/3)+sin(2π/3)=(π/3)+sqrt(3)/2

2
Имеем неопределенность (0/0)
Применяем правило Лопиталя
1)
lim_(x→1)(x-1)`/(1-sin(π/2)x)`=lim_(x→1)(1)/(-cos(π/2)x)*(π/2)=

=(2/π*0)= ∞
2)
lim_(x→2)((x-2)/2)/(tg(x-2))=(0/0)=

=lim_(x→2)((x-2)/2)`/(tg(x-2))`=

=lim_(x→2)(1/2)/(1/cos^2(x-2))=(1/2)

Ответ выбран лучшим

5.
x^2-5x-3=(x^2-2*(5/2)x+(25/4))-(25/4)-3=(x-(5/2))^2-(37/4)
Замена
x-(5/2)=t
x=t+(5/2)
dx=dt
2+3x=2+3*(t+(5/2)= 3t+(19/2)

= ∫ (3t+(19/2))dt/(t^2-(37/4))=

=(3/2) ∫ d(t^2-(37/4))/(t^2-(37/4)) +(19/2) ∫ dt/(t^2-(37/4))=

=(3/2)ln|t^2-(37/4)| +(19/2)*(1/sqrt(37))ln|(2t-sqrt(37)/(2t+sqrt(37)|+C

=(3/2)ln|x^2-5x-3|+(19/(2sqrt(37)))ln|(2x-5-sqrt(37))/(2x-5+sqrt(37))|+C

7.
По частям
u=arcctgx
du=-dx/(1+x^2)
dv=xdx
x=(x^2)/2

=u*v- ∫ vdu= (x^2*arcctgx)/2 + (1/2) ∫x^2dx/(1+x^2) =

=(x^2*arcctgx)/2 + (1/2) ∫(x^2+1-1)dx/(1+x^2) =

=(x^2*arcctgx)/2 + (1/2) ∫dx- (1/2) ∫ dx/(1+x^2)=

=(x^2*arcctgx)/2 + (1/2)x +(1/2) arcctgx + C

Ответ выбран лучшим

13.
sin^34x=sin^24x*sin4x=(1-cos^24x)*sin4x;

∫ sin^34xdx= ∫ (1-cos^24x)*sin4xdx= ∫ sin4xdx- ∫ cos^24x*sin4xdx=

=(1/4)*(-cos4x)- ∫ cos^24xd(cos4x)/(-4)=

=(1/4)*(-cos4x)+(1/4)*(cos^34x)/3+C=
=(-1/4)*cos4x+(1/12)cos^34x +C
14.
cos^4(x/5)=(cos^2(x/5))^2=((1+cos(2x/5))/2)^2=

=(1/4)+(1/2)cos(2x/5)+(1/4)cos^2(2x/5)=

=(1/4)+(1/2)cos(2x/5)+(1/4)*(1+cos(4x/5))/2=

(1/4)+(1/8)+(1/2)cos(2x/5)+(1/8)cos(4x/5)

∫cos^4(x/5)dx= ∫ ((3/8)+(1/2)cos(2x/5)+(1/8)cos(4x/5))dx=

=(3/8)x+(5/4)sin(2x/5)+(5/32)sin(4x/5)+C

15.
sin^4(x/3)*cos^2(x/3)=(sin^2(x/3))^2*cos^2(x/3)
применяем формулы понижения степени:
(1-cos(2x/3))^2*(1+cos(2x/3)=

=(1-cos^2(2x/3))*(1-cos(2x/3))=sin^2(2x/3)*(1-cos(2x/3)

∫ sin^4(x/3)*cos^2(x/3)dx= ∫ sin^2(2x/3)*(1-cos(2x/3)dx=

= ∫sin^2(2x/3)dx - ∫ sin^2(2x/3)cos(2x/3)dx=

= ∫ (1-cos(4x/3))dx/2 -(3/2) ∫ sin^2(2x/3)d(sin(2x/3))=

=(1/2)x - (3/8)*sin(4x/3)-(3/2)*(sin^3(2x/3))/3 +C=

=(1/2)x - (3/8)*sin(4x/3)-(1/2)*(sin^3(2x/3)) +C

17.
ctg^34x=ctg4x*(ctg^24x)=ctg4x*((1/sin^2x)-1)

d(ctg4x)=(ctg4x)`dx=(-1/sin^24x)*(4x)`=-4dx/sin^24x

∫ ctg^34xdx= ∫ ctg4x*dx(1/sin^2x)- ∫ ctg4x=

=(-1/4) ∫ ctg4x d(ctg4x)- ∫ cos4xdx/sin4x=

=(-1/4)(ctg^2(4x))/2-(1/4) ∫ d(sin4x)/sin4x=

(-1/8)ctg^2(4x)-(1/4)ln|sin4x|+С

18.
3cos4x-2sin4x+1=3*(cos^22x-sin^22x)-2*2sin2xcos2x+sin^22x+cos^22x=

=4cos^22x-4sin2x*cos2x-2sin^22x= cos^22x*(4-4tg2x-2tg^22x)

tg2x=t
-2t^2-4t+4=-2(t^2+2t+1)+6=-2(t+1)^2+6=6-2(t+1)^2
d(tg2x)=(tg2x)`dx=(2x)`dx/cos^22x
dx/cos^2(2x) = dt/2

получим табличный интеграл
(1/4)∫dt/(3-(t+1)^2)=(1/4) *(1/(2sqrt(3)))ln | (sqrt(3)+tg2x+1)/(sqrt(3)-tg2x-1)| + C

Ответ выбран лучшим

Находим направляющие векторы каждой прямой.
Для этого по две точки, принадлежащие каждой прямой.

Точек пересечения двух плоскостей бесчисленное множество.
Пусть
z=0
Две другие координаты находим из системы:
{x+y-1=0
{2x-y-2=0
Складываем
3x-3=0
x=1
y=0
A(1;0;0)
Пусть x=4
{4+y-3z-1=0
{8-y-9z-2=0

{y-3z+3=0
{-y-9z+6=0
Складываем
-12z=-9
z=3/4
y=-3/4
B(4;-3/4; 3/4)

vector{AB}=(3;-3/4;3/4)

Аналогично для второй прямой
z=0
{2x+y+5=0
{2x-2y+2=0
y=7
x=-6
M(-6;7;0)
x=0
{y+2z+5=0
{-2y-z+2=0

{2y+4z+10=0
{-2y-z+2=0
3z+12=0
z=-4
y=3
N(0;3;-4)

vector{MN}=(6;-4-4)

vector{AB}*vector{MN}=6*3-4*(-3/4)-4*(3/4) =18+3-3=18

По теореме синусов:
a/sinA=2r
r=15/(2sin150^(o))=15

По теореме Пифагора
R^2=r^2+(H/2)^2=15^2+(16/2)^2=225+64=289
R=17

2.
sin( α /2)=(a/2)/SA
SA=(a/2)sin( α /2)

AC=BD=asqrt(2)
AO=BO=CO=DO=asqrt(2)/2

SO^2=SA^2-AO^2=((a/2)sin( α /2))^2 - ((a/2)*sqrt(2))^2
SO=(a/2)*sqrt(sin^2( α /2) - 2)

SO=SM+MO
SM=R
MO=SO-R

По теореме Пифагора
из АМО
AM^2=MO^2+AO^2
R^2=(SO-R)^2+(asqrt(2)/2)^2

Подставить SO и найти R из квадратного уравнения (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Умножим второе на два
и сложим
x^2+2xy+y^2=3
(x+y)^2=3

Получим две системы:
x+y=-sqrt(3)
xy=1

Решаем способом подстановки:
{y=-x-sqrt(3)
{x*(-x-sqrt(3))=1
x^2+sqrt(3)x+1=0
D=3-4 <0
уравнение не имеет корней, система не имеет решений

{x+y=sqrt(3)
{xy=1

{y=sqrt(3)-x
{x*(sqrt(3)-x=1
x^2-sqrt(3)x+1=0
D=3-4<0
уравнение не имеет корней, система не имеет решений.
О т в е т. нет решений

x+y=2^3
y=8-x

log_(15)x=1-log_(15)y

log_(15)x+log_(15)y=1
log_(15)(xy)=1
xy=15
x*(8-x)=15
x^2-8x+15=0
D=64-60=4
x=(8-2)/2=3; y=(8+2)/2=5
Проверка
log_(2)(3+5)=2 - верно
log_(15)3+log_(15)5=1 верно
log_(15)15=1
О т в е т. 3; 5

Ответ выбран лучшим

x^4-5x^3-3x^2+13x+10=0
x=-1 - корень
1+5-3-13+10=0 - верно
x^4+x^3-6x^3-6x^2+3x^2+3x+10x+10=0
x^3*(x+1)-6x^2*(x+1)+3x*(x+1)+10*(x+1)=0
(x+1)*(x^3-6x^2+3x+10)=0
(x+1)*(x-2)(x^2-4x-5)=0
x_(1)=-1; x_(2)=2; x_(3)=-1; x_(4)=5

B={-1;2;5}

A ∪ B={-1;1;2;3;5}
B ⋂ A={-1;2}
A \ B={1;3}
B \ A={5}
A ∆ B={1;3;5}
C = (A ∆ B) ∆ A={1;3}

Верно
C ⊂ A

У трехэлементного множества 8 подмножеств
Пустое, оно само,
три одноэлементных
два двухэлементных

Ответ выбран лучшим

Правильно так:
D=4
x_(1)=2 ; x_(2)=4
Решение неравенства
х < 2 или x > 4

Второе
3x-2 ≤ 5x+4
3x-5x ≤ 2+4;
-2x ≤ 6;
x ≥ -3

Пересечение множеств
[-3;2) U (4; +∞ ) и есть О т в е т.

1)
x^3+x^2+2x+2+x^3+2x^2+x+2=2
2x^3+3x^2+3x+2=0
(2x^3+2)+3(x^2+x)=0
2(x+1)(x^2-x+1)+3x(x+1)=0
(x+1)(2x^2-2x+2-3x)=0
(x+1)(2x^2-5x+2)=0
x=-1; D=25-16=9; x_(2)=1/2; x_(3)=2

2)
x=2 корень
3*2^3-2^2-12*2+4=0 - верно.
Раскладываем на множители, один из них (x-2)
3x^3-24 -x^2+2x-14x+28=0
3*(x^3-8)-(x^2-2x)-(14x-28)
3*(x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)-14(x-2)=0
(x-2)*(3x^2+6x+12-x-14)=0
(x-2)(3x^2+5x-2)=0
x=2
3x^2+5x-2=0
D+25-4*3*(-2)=25+24=49=7^2
x=(-5-7)/6=-2; x=(-5+7)/6=1/3
О т в е т. -2; 1/3; 2

Ответ выбран лучшим

Решаем способом подстановки
Из второго
x=-y^2+27

(-y^2+27-11)/(y+4)=0
(y^2-16)/(y+4)=0

y= ± 4
y ≠ -4

y=4
x=27-16=11
О т в е т. (11;4)

Ответ выбран лучшим

6.
сtg3x=sqrt(3)/3
3x=arcсtg(sqrt(3)/3)+πk, k ∈ Z
3x=(π/3)+πk, k ∈ Z
х=(π/9)+(π/3)k, k ∈ Z
Указанному отрезку принадлежат корни:

x_(1)=(π/9)+(π/3)*1=4π/9
x_(2)=(π/9)+(π/3)*2=7π/9

8.
x-(π/6)=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(3)/2)+πk, k ∈ Z

x=(π/6)+(-1)^(k)(-π/3)+πk, k ∈ Z

При k=2n получаем:
x=(π/6)+(-π/3)+2πn, n ∈ Z
[b]x=(-π/6)+2πn, n ∈ Z[/b]

При k=2m+1
x=(-π/6)+(π/3)+π+2πm, m ∈ Z
x=(7π/6)+2πm, m ∈ Z

Наименьший положительный корень
х=(7π/6)

10.
tg(πx-(π/3))=1/sqrt(3)
πx-(π/3)=arctg(1/sqrt(3))+ πk, k ∈ Z
πx-(π/3)=(π/6)+ πk, k ∈ Z
πx=(π/3)+(π/6)+ πk, k ∈ Z
πx=(π/2)+ πk, k ∈ Z
x=(1/2) + k, k ∈ Z

Интервалу (-2;1) принадлежат корни:
x=(1/2)-2=-3/2
x=(1/2)-1=-1/2
x=(1/2)+0=1/2

11.
4x+(π/4)= ± arccos(sqrt(2)/2)+2πn, n ∈ Z
4x+(π/4)= ± (π/4) +2πn, n ∈ Z

(1)
правая часть с +
4x+(π/4)= (π/4) +2πn, n ∈ Z
4x=2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/2)n, n ∈ Z[/b]

(2)
правая часть с -
4x +(π/4)= - (π/4) +2πm, m ∈ Z
4x=- (π/2) +2πm, m ∈ Z
[b]x=- (π/8) +(π/2)*m, m ∈ Z[/b]

Указанному интервалу принадлежат корни
x=(π/2)*(-2)=-π
x=(π/2)*(-1)=-π/2
x=(π/2)*0=0
x=(π/2)*1=π/2
и
x=(-π/8)+(π/2)*(-1)=-5π/8
x=(-π/8)+(π/2)*0=(-π/8)
x=(-π/8)+(π/2)*1=3π/8
x=(-π/8)+(π/2)*2=7π/8

12.

3x - (π/6)=(-1)^(k) arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z
3x - (π/6)=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

При k=2n, n ∈ Z
получим
(1)
3x-(π/6)=(π/6)+2πn, n ∈ Z
3x=(2π/6)+2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/9) +(2π/3)n, n ∈ Z[/b]

При k=2m+1, m ∈ Z
получим
(2)
3x - (π/6)=- (π/6)+π*(2m+1), m ∈ Z
3x - (π/6)=- (π/6)+π*(2m+1), m ∈ Z
3x=π+2πm, m ∈ Z
[b] x=(π/3)+(2π/3)*m, m ∈ Z[/b]

Указанному промежутку принадлежат корни:

x=(π/9) + (2π/3)*(-3)=(π/9)-2π=-17π/9
x=(π/9) + (2π/3)*(-2)=(π/9)-(4π/3)=-11π/9
x=(π/9) + (2π/3)*(-1)=(π/9)-(2π/3)=-5π/9
x=(π/9) + (2π/3)*0=(π/9)
x=(π/9) + (2π/3)*1=(π/9)+(6π/9)=7π/9
и
x=(π/3)+(2π/3)*(-3) = (π/3)-2π=- (5π/3)
х= (π/3)+(2π/3)*(-2) = (π/3)-(4π/3)= - π
х= (π/3)+(2π/3)*(-1)= (π/3)-(2π/3)= - (π/3)
х= (π/3)+(2π/3)*0 = (π/3)

1.
ctg^34x=ctg4x*(ctg^24x)=ctg4x*((1/sin^2x)-1)

d(ctg4x)=(ctg4x)`dx=(-1/sin^24x)*(4x)`=-4dx/sin^24x

∫ ctg^34xdx= ∫ ctg4x*dx(1/sin^2x)- ∫ ctg4x=

=(-1/4) ∫ ctg4x d(ctg4x)- ∫ cos4xdx/sin4x=

=(-1/4)(ctg^2(4x))/2-(1/4) ∫ d(sin4x)/sin4x=

(-1/8)ctg^2(4x)-(1/4)ln|sin4x|+С

2.

1-3cos^2x+sin^2x=sin^2x+cos^2x-3cos^2x+sin^2x=2sin^2x-2cos^2x=

= -2*cos2x

∫ dx/(-2cos2x)= ( - 1/4) ∫d(2x)/cos(2x)=

cм. таблицу

= ( -1/4) ln |tg x +(π/4)| + C

3.
Формула
sin α * cos β =(1/2)sin( α + β ) + (1/2) sin ( α - β )

sin 3x * cos 2x = (1/2)sin5x +(1/2) sinx

∫sin3x*cos2x=(1/2) ∫ sin5x dx +(1/2) ∫ sinx dx =

=(1/10)*(-cos5x)+(1/2)*(-cosx) + C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1)
5^(x)=t
t>0
25t+(2/t) ≤ 51
25t^2-51t+2 ≤ 0
D=(-51)^2-4*25*2=2601-200=2401=49^2
t=1/25 или t=2
1/25 ≤ 5^(x) ≤ 2
-1 ≤ x ≤ log_(5)2

log_(5)2 < log_(4)2=1/2

(2)
{x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
x ∈ (0;1/2) U(1/2;+ ∞ )

log_(2)(0,25)/log_(2)(2x) ≥ log_(2)(2^5*x) -1;
-2/(1+log_(2)x) ≥5+log_(2)x -1
log_(2)x=u
(u^2+5u+6)/(u+1) ≤ 0

_-__ [-3] _+__ [-2] _-__ (-1) _+__

log_(2)x ≤ -3 или -2 ≤ log_(2)x < - 1;

0 < x ≤ 1/8 1/4 ≤ x < 1/2

О т в е т. (0; 1/8) U (1/4; log_(5)2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(параллелограмма)=a*h
[b]a*h=90[/b]
AB=CD=a

В трапеции DAEC
DC=a
AE=a/2
h такая же
S( трапеции DAEC)=(CD+AE)*h/2=(2a+a)*h/2=3ah/2=
=(3/2)*[b]a*h[/b]=(3/2)*90=135

10.
tg(πx-(π/3))=1/sqrt(3)
πx-(π/3)=arctg(1/sqrt(3))+ πk, k ∈ Z
πx-(π/3)=(π/6)+ πk, k ∈ Z
πx=(π/3)+(π/6)+ πk, k ∈ Z
πx=(π/2)+ πk, k ∈ Z
x=(1/2) + k, k ∈ Z

Интервалу (-2;1) принадлежат корни:
x=(1/2)-2=-3/2
x=(1/2)-1=-1/2
x=(1/2)+0=1/2

11.
4x+(π/4)= ± arccos(sqrt(2)/2)+2πn, n ∈ Z
4x+(π/4)= ± (π/4) +2πn, n ∈ Z

(1)
правая часть с +
4x+(π/4)= (π/4) +2πn, n ∈ Z
4x=2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/2)n, n ∈ Z[/b]

(2)
правая часть с -
4x +(π/4)= - (π/4) +2πm, m ∈ Z
4x=- (π/2) +2πm, m ∈ Z
[b]x=- (π/8) +(π/2)*m, m ∈ Z[/b]

Указанному интервалу принадлежат корни
x=(π/2)*(-2)=-π
x=(π/2)*(-1)=-π/2
x=(π/2)*0=0
x=(π/2)*1=π/2
и
x=(-π/8)+(π/2)*(-1)=-5π/8
x=(-π/8)+(π/2)*0=(-π/8)
x=(-π/8)+(π/2)*1=3π/8
x=(-π/8)+(π/2)*2=7π/8

12.

3x - (π/6)=(-1)^(k) arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z
3x - (π/6)=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

При k=2n, n ∈ Z
получим
(1)
3x-(π/6)=(π/6)+2πn, n ∈ Z
3x=(2π/6)+2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/9) +(2π/3)n, n ∈ Z[/b]

При k=2m+1, m ∈ Z
получим
(2)
3x - (π/6)=- (π/6)+π*(2m+1), m ∈ Z
3x - (π/6)=- (π/6)+π*(2m+1), m ∈ Z
3x=π+2πm, m ∈ Z
[b] x=(π/3)+(2π/3)*m, m ∈ Z[/b]

Указанному промежутку принадлежат корни:

x=(π/9) + (2π/3)*(-3)=(π/9)-2π=-17π/9
x=(π/9) + (2π/3)*(-2)=(π/9)-(4π/3)=-11π/9
x=(π/9) + (2π/3)*(-1)=(π/9)-(2π/3)=-5π/9
x=(π/9) + (2π/3)*0=(π/9)
x=(π/9) + (2π/3)*1=(π/9)+(6π/9)=7π/9
и
x=(π/3)+(2π/3)*(-3) = (π/3)-2π=- (5π/3)
х= (π/3)+(2π/3)*(-2) = (π/3)-(4π/3)= - π
х= (π/3)+(2π/3)*(-1)= (π/3)-(2π/3)= - (π/3)
х= (π/3)+(2π/3)*0 = (π/3)

25.
Применить формулу
1+tg^2x=1/cos^2x

Ответ выбран лучшим

sqrt(x+2)=∛(3x+2)
Возводим обе части уравнения в шестую степень
(x+2)^3=(3x+2)^2
x^3+6x^2+12x+8=9x^2+12x+4;
x^3-3x^2+4=0
x^3+1-3x^2+3=0
(x^3+1)-(3x^2-3)=0
(x+1)*(x^2-x+1)-3*(x-1)(x+1)=0
(x+1)*(x^2-x+1-3(x-1))=0
(x+1)*(x^2-x+1-3x+3)=0
x+1=0 или x^2-4x+4=0
x_(1)=-1 или х_(2)= х_(3)=2

Проверка
при x=-1
sqrt(-1+2)-∛(-3+2)=0
sqrt(1)-∛(-1)=0 - неверно
х=-1 - посторонний корень
при х=2
sqrt(2+2)-∛(3*2+2)=0 - верно
(sqrt(4)=∛8, так как 4^3=8^2-верно
О т в е т. х=2

Ответ выбран лучшим

(1)
Первое неравенство - квадратное
3^(-x)=t
t>0
9^(-x)=t^2
3t^2-28t+9 ≤ 0
D=(-28)^2-4*3*9=784-108=676=26^2
t_(1)=(28-26)/6=1/3; t_(2)=(28+26)/6=9
Решение неравенства
(1/3) ≤ t ≤ 9
Обратная замена
3^(-1) ≤ 3^(-x) ≤ 3^(2)
Показательная функция с основанием 3 возрастающая, поэтому
-1 ≤ (-х) ≤ 2 ⇒ -2 ≤ x ≤ 1
решение (1) [-2;1]

(2)
Логарифмическое неравенство:
ОДЗ:
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1
{(x+1)^2 >0 ⇒ x ≠ -1
ОДЗ: х ∈(-∞;-1)U(-1;0) U (0;1)U(1;+ ∞ )

[b]Применяя метод рационализации логарифмических неравенств [/b]( cм приложение) решаем неравенство:
(x^2-1)*((x+1)^2-x^2) ≤ 0
с учетом ОДЗ
(x-1)(x+1)*(2x+1) ≤ 0
_-__ (-1) _+_ ( -1/2) _-_ (0) ___-_____ (1) _ +__

решение (2): (-∞;-1)U(-1/2;0) U (0;1)

Пересечение (1) и (2)
даст О т в е т. [-2;-1) U (-1/2;0) U(0;1)

Р.S

По свойству log_(a^(k))b^(n)=(n/k)log_(a)b
[b]a>0;b>0[/b]
Поэтому применение этого свойства
приводит к неравенству c модулями
(2/2)*log_(|x|)(|x+1|) ≤ 1
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств
решаем неравенство:
(|x|-1)*(|x+1|-|x|) ≤ 0

Первый вариант проще.

Ответ выбран лучшим

По свойству логарифма степени:
y=5-5ln(x+2)
y`=(5-5ln(x+2))`=(5)`-5*(ln(x+2))`=0-5*(1/(x+2))=-5/(x+2)

Матрица композиции T o S равна произведению матриц BA (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть vector{x}=(x_(1);x_(2))
Тогда
матричное равенство:
Ax=b
можно записать как систему двух уравнений:
{6x_(1)-3x_(2)=-36
{-5x_(1)+2x_(2)=28
Решаем по правилу Крамера
Δ=6*2-(-5)*(-3)=12-15=-3
Δ_(1)=-36*2-28*(-3)=-72+84=12
Δ_(2)=6*28-(-5)*(-36)=168-180=-12

x_(1)=-12/3=-4
x_(2)=12/3=4
О т в е т. (-4;4)

Ответ выбран лучшим

sqrt(2cos^2x-sqrt(2))=-sqrt(2)sinx

Возводим в квадрат, при условии sinx ≤ 0

2cos^2x-sqrt(2)=2sin^2x
2cos^2x-2sin^2x=sqrt(2)
2*(cos^2x-sin^2x)=sqrt(2)
2*cos2x=sqrt(2)
cos2x=sqrt(2)/2
2x= ± arccos(sqrt(2)/2)+2πn, n ∈ Z
2x= (± π/4)+2πn, n ∈ Z
x=( ± π/8)+πn, n ∈ Z
Условию sinx ≤ 0 удовлетворяют корни:
x=(-7π/8) + 2πk, k ∈ Z и х= (-π/8)+2πm, m ∈ Z
(cм. рис.) (прикреплено изображение)

О т в е т. (5; -39; -122) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Вопрос непонятен.

3.
от 100 до 999 трехзначные
На первом месте
2,8 или 7
на втором 0,2,8,7
на третьем, 0.2.8.7
3*4*4=48
Четырехзначных
1000 до 9999
3*4*4*4=192

Всего 48+192=240 чисел

5. С^(4)_(8)=8!/(4!*4!)= 70

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{ x>0
{ x ≠ 1
{ 2x ≠ 1
{2x^(-2)≠ 1 ⇒ x^2 ≠ 2 ⇒ x ≠ ±sqrt(2)

x ∈ (0;1/2)U(1/2;1) U (1;sqrt(2))U(sqrt(2); ∞ )

log_(x)(2x^(-1))=log_(x)2-1
log_(x)(2x^2)=log_(x)2+2
log_(2x)x=1/log_(x)(2x)= 1/(log_(2)x+1)
log_(2x^(-2))x=1/log_(x)(2x^(-1))=1/(log_(2)x-1)

log_(x)2=t

Неравенство примет вид:

(t-1)(t+1)(t-2)(t+2) < 40

или

t^4 -5t^2-36 <0

D=25-4*(-36)=25+144=169

(t^2-9)*(t^2+4) <0

⇒

-3 < t < 3

-3 < log_(x)2 < 3

{log_(x)2>-3
{log_(x)2 < 3

{log_(x)2 > log_(x)x^(-3);
{log_(x)2 < log_(x)x^3

Применяем метод рационализации ( c учетом ОДЗ):
{(x-1)*(2-x^(-3))>0 ⇒ (x-1)(2x^3-1)/x^3 >0
{(x-1)*(2-x^3) <0 ⇒ (x-1)(x^3-2) > 0

{(0) __+_ (1/2) _+_ (1/∛2) _-__ (1) _+__ (sqrt(2)) ___
x∈ (0;1/2)U(1/2;(1/∛2)) U (1;+sqrt(2))U(sqrt(2); ∞ )

{(0) ___+__ (1/2) _______+_____ (1) __-__ (∛2) _+ _ (sqrt(2)) __

x∈ (0;1/2)U(1/2;1) U(∛2;sqrt(2))U(sqrt(2); + ∞ )

Пересечение множеств решений (1) и (2) и есть
О Т В Е Т

(0;1/2) U (1/2; (1/∛2)) U (∛2; sqrt(2))U(sqrt(2);+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+4x>0 ⇒ x*(x+4) > 0 ⇒ x < -4 или х > 0
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{log_(9)x^2 ≠ 0 ⇒ x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1

ОДЗ: (- ∞ ;-4) U(0;1) U(1;+ ∞ )

Разделим обе части неравенства на 2:

log_(9)(x^2+4x)/log_(9)x^2 ≤ 1/2

Применяем формулу перехода к другому основанию ( справа налево, cм приложение 1)

log_(x^2)*(x^2+4x) ≤ 1/2;

log_(x^2)(x^2+4x) ≤ (1/2) * log_(x^2)(x^2);

log_(x^2)*(x^2+4x) ≤ log_(x^2) sqrt(x^2)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств ( см таблицу)

(x^2-1) *(x^2+4x-|x|) ≤ 0

При x > 0
(x-1)(x+1)(x^2+3x) ≤0
x(x-1)(x+1)(x+3) ≤ 0

(0) _-_ [1] __+__
c учетом ОДЗ
x ∈ (0;1)

При x <0
(x-1)(x+1)(x^2+4x+x) ≤ 0
(x-1) (x+1) (x+5)*x ≤ 0
_+__ [-5] ___-__ [-1] __+__ (0)

[-5; -1]

c учетом ОДЗ:
[-5;-4)

О т в е т. [-5;-4) U(0;1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.

P(данного)=18+27+36=81
Р(подобного)=k*P(данного)
k=36/18=2
P(подобного)=2*81=162 cм

3.
Пусть СO=x, тогда АО=x+24
(АО-СO=24)

Треугольник ВOС подобен треугольнику AOD
BC : AD = CO : AO
7:15=x:(x+24)
7(x+24)=15x
7x+168=15x
15x-7x=168
8x=168
x=21
x+24=21+24=45
О т в е т. 21 см и 45 см

4.
Пусть k - коэффициент подобия.
Тогда катеты данного 3k и 4k
S=(1/2)*(3k)*(4k) , что по условию равно 54
Уравнение
(1/2)12k^2=54
12k^2=108
k^2=9
k=3
3k=3*3=9
4k=4*3=12
О т в е т. 9 см и 12 см

5.
S( маленького Δ) : S( четырехугольника)=1 : 8

S ( большого Δ ) = S( маленького Δ) + S( четырехугольника)=1 + 8= 9 частей

S( маленького Δ) : S ( большого Δ ) =1 : 9
( площади относятся как квадраты сторон)

P (маленького Δ) : P ( большого Δ ) =1 : 3
( периметры относят как длины сторон)

P=3*7=21 cм

∠ А= ∠ Х=123 ^(o)
Cумма углов треугольника АВС равна 180^(o)
∠ В = 180 ^(o) - ∠ A - ∠ C=180^(o) - 123^(o) - 18^(o) = 39^(o)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) В и А две одинаковые матрицы, сложение определеноэ
б) Рперация транспонирования определена.
Строки становятся столбцами, а столбцы строками
в)
Умножение определено, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй.
(5×4)*(4 ×5)= (5 ×5)
d) (7 ×5)*(5 ×4)= (7×4)
О т в е т. А; В; С;D (прикреплено изображение)

236.
S( параллелограмма)=АВ*AD*sin ∠ BAD;
AD=BC=25
S=12*25*sin30^(o)=12*25*(1/2)=150

С другой стороны
S( параллелограмма)=a*h_(a)
h_(a)=S/a=150/25=6

S( параллелограмма)=b*h_(b)
h_(b)=12,5

Из точки О проводим перпендикуляр OK к стороне ВС=a
ОК=(1/2)h_(a)=3
По теореме Пифагора
MK^2=MO^2+OK^2=4^2+3^2=16+9=25
MK=5

Аналогично
Из точки О проводим перпендикуляр ON к стороне AB=b
ОN=(1/2)h_(b)=(1/2)*12,5=(25/4)=6,25
По теореме Пифагора
MN^2=MO^2+ON^2=4^2+6,25^2=16+(625/16)=(256+625)/16=881/16
MN=(sqrt(881))/4

О т в е т. 5 и (sqrt(881))/4
(прикреплено изображение)

1) сузится, так как потеряем корни |x|+3=0
(|x|+3)*f(x)=2(|x|+3)
(|x|+3)*f(x)-2(|x|+3)=0
(|x|+3)*(f(x)-2)=0
|x|+3=0 ИЛИ f(x)-2=0

2)расширится, так как не будет учтены значения х, при которых tgx не существует.
Нужно включить эти значения в ОДЗ
3) не изменится, так и надо поступать (x^2+3 > 0 и не обращается в 0)
4) расширится, могут быть лишние корни, при которых lgx не существует, а именно отрицательные х.
5) как 1)
6) как 1) и 5)
7) не изменится, так и надо поступать при решении
8) расширится, учесть ОДЗ: x >0; x ≠ 0

Ответ выбран лучшим

Теорема синусов:
a/sinA=2R
R=a/(2sinA)=2/(2*sin30^(o))=2/(2*(1/2))=2/1=2

Ответ выбран лучшим

2sin^2+11sinxcosx+14 cos^2x=0
Однородное тригонометрическое уравнение.
cosx и sinx одновременно не равняются 0 ( так как sin^2x+cos^2x=1)
Делим на сos^2x
2tg^2x+11tgx+14=0
D=121-4*2*14=121-112=9

tgx=--3,5 или tgx=-2
x=arctg(-3,5)x+πk или х=arctg(-2)+πn, k, n ∈ Z
x= - arctg(3,5)x+πk или х= - arctg2+πn, k, n ∈ Z

О т в е т. - arctg(3,5)x+πk; - arctg2+πn, k, n ∈ Z

Против меньшей стороны лежит меньший угол.
Применяем теорему косинусов:
2^2=3^2+4^2-2*3*4cos φ
cos φ =(3^2+4^2-2^2)/(2*3*4)=21/24=7/8
φ =arccos(7/8)

Ответ выбран лучшим

M_(11)=2*6-6*3=12-18=-6
C_(11)=(-1)^(1+1)*M_(11)=-6

M_(12)=4*6-(-7)*3=24+21=45
C_(12)=(-1)^(1+2)*M_(12)=(-1)*45=-45
M_(13)=7*6-(-7)*2=42-(-14)=56
C_(13)=(-1)^(1+3)*M_(13)=56
и так далее
см. приложение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

detA=(-6e^(3t)*sin3t)*(-5e^(2t)sin3t)-(-5e^(3t)cos3t)*(6e^(2t)cos3t)=
=30e^(5t)*(sin^23t+cos^23t)=30e^(5t)

Алгебраические дополнения
A_(11)=(-1)^(1+1)*(-5e^(2t)sin3t)=-5e^(2t)sin3t
A_(12)=(-1)^(1+2)*(-5e^(3t)cos3t)=5e^(3t)cos3t
A_(21)=(-1)^(1+2)*(6e^(2t)cos3t=-6e^(2t)cos3t
A_(22)=(-1)^(2+2)*(-6e^(3t)sin3t)=-6e^(3t)sin3t

A^(-1)=(1/detA)* (A^(#))^(T)

Обозначим элементы матрицы A^(-1)=b_(ij)
Тогда
b_(11)=(-5e^(2t)sin3t)/(30e^(5t))=(e^(-3t)sin3t)/(-6) - левый верхний
b_(12)=(-6e^(2t)cos3t)/(30e^(5t))=(e^(-3t)cos3t)/(-5) правый верхний
b_(21)=(5e^(3t)cos3t)/(30e^(5t))=(e^(-2t)cos3t)/6 левый нижний
b_(22)=(-6e^(3t)sin3t)/(30e^(5t))=(e^(-2t)sin3t)/(-5) правый нижний угол

Ответ выбран лучшим

Замена
y`=z
y``=z`

Тогда уравнение принимает вид:
x^2*z`+xz=1
Делим на x^2
z`+(1/x)*z=1/x^2

Линейное уравнение первого порядка.
Решают методом Бернулли.
Находят решение в виде произведения двух функций
z=u*v
z`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=1/x^2

u`*v + u*(v`+(1/x)*v)=1/x^2

Выбираем функцию v так, чтобы
выражение в скобках было равно 0
1)
v`+(1/x)*v=0
тогда
от уравнения останется
2)u*v+u*0=1/x^2
Получили два уравнения с разделяющимися переменными
1)
dv/dx=-v/x
dv/v=-dx/x
ln|v|=-ln|x|
v=1/x

2)
u`*(1/x)=1/x^2
u`=1/x
du/dx=1/x
du=dx/x
u=ln|x|+lnC_(1)
u=ln|C_(1)x|
u=e^(C_(1)x)

z=e^(C_(1)x)/x

y`=z
y= ∫ zdx= ∫ e^(C_(1)x)dx/x интегрировать по частям

Ответ выбран лучшим

Дана область горизонтального входа, состоящая из двух частей:
0 < y < 1
0 < x < sqrt (y)
y=x^2
и
1<y<2
0<x< sqrt(2-y)
x^2=2-y
y-2-x^2

Область вертикального входа
0<x<1
Входим в область на параболе y=x^2 ( cм. зеленую линию)
выходим на параболе y=2-x^2
= ∫ ^(1)_(0)dx ∫ ^(2-x^2)_(x^2)f(x;y)dy (прикреплено изображение)

Главный определитель равен 0. ( три последние строки - нули)
Система имеет бесчисленное множество решений.
С помощью метода Крамера или матричного решить невозможно ( делить на 0 нельзя)
Остается метод Гаусса
С помощью метода Гаусса
{x_(1)-5x_(2)+7x_(3) - 5x_(6)=1
{x_(3)-6x_(5)+x_(6)=2
{x_(4)-7x_(5)-4x_(6)=5

Как записать с u; s; t не знаю.

Ответ выбран лучшим

D=36-4*2*17 < 0
Парабола y=2x^2+6x+17, ветви направлены вверх,
не пересекает ось Ох, а расположена выше оси Ох
О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) - " перебежал породистый кролик из 1 в 2"
p(H_(1))=4/9
H_(2) - " перебежал ,беспородный кролик из 1 в 2"
p(H_(2))=5/9
p(H_(1))+p(H_(2))=1
Гипотезы выбраны верно.

A- " из второй клетки достали беспородного"
p(A/H_(1))=6/10
p(A/H_(2))=7/10

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=

=(4/9)*(6/10)+(5/9)*(7/10)=59/90

p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=24/59

О т в е т. (5; -41; -342) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Задача на применение формула Байеса.

Всего 5+6+7=18 микросхем

Вводим в рассмотрение события- гипотезы:

H_(1)- "микросхема изготовлена на заводе А"

p(H_(1))=5/18

H_(2)- "микросхема изготовлена на заводе B"

p(H_(2))=6/18

H_(3)- "микросхема ( в условии написано лампочки...)изготовлена на заводе С"

p(H_(3))=7/18

Пусть событие M-"изготовлена [blue]дефектная микросхема[/blue]"

p(M/H_(1))=1/11
p(M/H_(2))=1/5
p(M/H_(3))=2/13

По формуле полной вероятности
p(M)=p(H_(1))*p(M/H_(1))+p(H_(2))*p(M/H_(2))+p(H_(3))*p(M/H_(3))=

=(5/18)*(1/11)+(6/18)*(1/5)+(7/18)*(2/13)=

p(H_(3)/M)=p(H_(3))*p(M/H_(3))/ p(M)=

=(7/18)*(2/13)/((5/18)*(1/11)+(6/18)*(1/5)+(7/18)*(2/13))

Ответ выбран лучшим

Универсальная подстановка
tg(x/2)=t
тогда
(x/2)=arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

sinx=2t/(1+t^2)

∫ dx/(5+4sinx)= ∫ (2dt/(1+t^2))/ (5+(8t)/(1+t2))=

= ∫ 2dt/(5t^2+8t+5)=
выделяем полный квадрат
[5t^2+8t+5=5(t^2+(8/5)t+1)=5·(t+(4/5))^2–(16/25)+1)]

=(2/5) ∫ dt/(t+(4/5))^2+(9/25))=

=(2/5)·(1/(3/5))arctg (t+(4/5))/(3/5)+C=

=(2/3)arctg ((5tg(x/2)+4)/3)+C

1.
Среди 11 человек есть два человека, которые должны пройти испытания. ( как два красных шара)
Остальные 11-2=9 человек ( синие шары)
Испытание состоит в том, что из 11-ти человек выбирают 6 n=C^(6)_(11)
Событие A : в очереди двое испытуемых (2 красных шара) и еще из 4 человека ( 4 синих)
m=С^(2)_(2)*C^(4)_(9)
p(A)=m/n=C^(2)_(2)*C^(4)_(9)/C^(6)_(11)=3/11

2. Испытание состоит в том, что из семиэлементного множества выбирают три без повторения.
n=C^(3)_(7)
Cобытие А - "слово состоит из трех букв 6-элементного подмножества семиэлементного множества"

p=(C^(3)_(6)/C^(3)_(7))=(6!/(3!*3!)) :(7!/4!*3!)=4/7

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение относительно
log_(8)*(x+a)-log_(8)(x-a)=t

t^2-12at+35a^2-6a-9=0
D=(-12a)^2-4(35a^2-6a-9)=4a^2+24a+36=4*(a^2+6a+9)=4*(a+3)^2

D ≥0

При D=0, т.е при а = -3
уравнение
t^2-12at+35a^2-6a-9=0
имеет один корень
t_(1)=t_(2)=-18
Обратная замена

log_(8)(x-3)-log_(8)(x+3)=-18
log_(8)(x-3)/(x+3)=-18

(x-3)/(x+3)=8^(-18) - уравнение имеет один корень.
Прямая y=8^(-18) пересекает гиперболу y=(x-3)/(x+3) в одной точке

При всех остальных а уравнение
t^2-12at+35a^2-6a-9=0
имеет два корня:
t_(1)=(12a-2(a+3))/2=5a-3 или t_(2)=(12a+2(a+3))/2=7a+3

Обратная замена
log_(8)(x+a)-log_(8)(x-a)=5a-3
log_(8)(x+a)/(x-a)=(5a-3)

(x+a)/(x-a)=8^(5a-3)

или

(x+a)/(x-a)=8^(7a+3)

Надо учесть те случаи, когда найденное решение не входит в ОДЗ уравнения, тогда корней не будет два

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Записываем аналогичное равенство для трех других точек
Т_(2); Т_(3); Т_(4):

T_(2)=(T_(1)+T_(4)+0+110)/4
T_(3)=(T_(1)+T_(4)+210-20)/4
T_(4)=(T_(2)+T_(3)+100-90)/4

Получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными
{4T_(1)-T_(2)-T_(3)=-20
{T_(1)-4T_92)+T_(4)=-110
{T_(1)-4T_(3)+T_(4)=-190
{T_(2)+T_(3)-4T_(4)=-20

Решаем по правилу Крамера
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
log_(3)(y-x)=1 ⇒ y-x=3 ⇒ y=3+x

3^(x+1)*2^(3+x)=24
3*3^(x)*2^(3)*2^(x)=24
24*(6^(x))=24
6^(x)=1
x=0

Ответ выбран лучшим

3. ∠ АМК = ∠ АВС ( односторнние углы)
Значит МК || BC

Cумма углов, прилежащих к стороне МК равна 180 градусов.
Половина этой суммы 90 градусов

4.
Один угол х градусов, второй (х+20) градусов.
Сумма 180 градусов.

х + (х + 20) = 180

2х=160

х=80

х+20=80+20=100

О т в е т. 80 градусов; 100 градусов.

5.
Треугольник АВМ - равнобедренный, значит AB=BM.
Тогда ∠ ВАМ= ∠ ВМА

∠ ВМА= ∠ СВМ - внутренние накрест лежащие углы при BC||AD

Сумма углов, прилежащих к стороне АВ равна 180 градусов.

И больше ничего доказать нельзя.

Задача верна, если треугольник АВМ - равносторонний.

Тогда
∠ АВМ= 60 градусов

∠ ВАМ= ∠ ВМА=60 градусов.
∠ СВМ=60 градусов

BM - биссектриса ∠ АВС (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x^3+1,3x^2-2x)-(1,3x+2x^2)=x^3+1,3x^2-2x-1,3x-2x^2=x^3-0,7x^2-3,3x)=x*(x^2-0,7x-3,3)=x*(x + 1,5 )*(x - 2,2)

Так как
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))*(x-x_(2))
x^2-0,7x-3,3=0
D=(-0,7)^2-4*(-3,3)=0,49+13,2=13,69
sqrt(D)=3,7
корни
x_(1)=(0,7-3,7)/2=-1,5 ; x_(2)=(0,7+3,7)/2=2,2

Функция f: x → 9x^2 + 8x - 2

f : t → 9t^2 + 8t - 2

Пусть
9x^2+8x-2=t
тогда

f(f(x))=f(t)=9t^2+8t-2=9*(9x^2+8x-2)^2+8*(9x^2+8x-2) - 2

Уравнение

9*(9x^2+8x-2)^2+8*(9x^2+8x-2)-2 = x

(9x^2+8x-2)*(81x^2+72x-18+8)=x+2

При x = - 1
(9*1+8*(-1)-2)*(81*1+72*(-1)-10) = -1+2
(-1)*(-1)=1 - верно

Значит, х_(1) = -1 - корень уравнения.

Тогда уравнение

9*(9x^2+8x-2)^2+8*(9x^2+8x-2)-2 = x
9*(81x^4+64x^2+4+144x^3-36x^2-32x)+72x^2+64x-16-2=x;

729x^4+1296x^3+324x^2-225x+18=0
можно разложить на множители:
9*(81x^4+144x^3+36x^2-25x+2)
9*(x+1)*(81x^3+63x^2-27x+18)=0
(x+1)*(81x^3+63x^2-27x+2)=0

81x^3+63x^2-27x+2=0

x_(2)=2/9 - корень,
так как
81*(8/(9*(81))+63*(4/81)-27*(2/9)+2=(8/9)+(28/9)-6+2=4-4=0

(9x-2)*(9x^2+9x-1)=0

9x^2+9x-1=0
D=81-4*9*(-1)=117
sqrt(D)=3sqrt(13)
x_(3)=(-9-3sqrt(13))/18=-(3+sqrt(13))/6
x_(4)=(-9+3sqrt(13))/18=-(3-sqrt(13))/6

21/64 < (21/63)=1/3
51/154 > (51/153)=1/3
71/214> 71/213=1/3

(21/64)+(51/154)+(71/124)<(1/3)+(1/3)+(1/3)=1

О т в е т.
1 > (21/64)+(51/154)+(71/124)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Оба уравнения однородные вида
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,
где P(x;y) и Q(x;y) - первой степени однородности ( k=1)
P( λx; λy)= λ ^(k)P(x;y)

Решают заменой
y/x=u ⇒ y=x*u
dy=xdu+udx

Подставляем y и dy в уравнение

1.
x*udx=(2sqrt(x^2+x^2u^2)+x)*(xdu+udx);
x*udx=х*(2sqrt(1+u^2)+1)*(xdu+udx)
делим на х
udx=(2sqrt(1+u^2)+1)*xdu+(2sqrt(1+u^2)+1)udx

u*(1-2sqrt(1+u^2)-1)dx=(2sqrt(1+u^2)+1)*xdu- уравнение с разделяющимися переменными
dx/x = (du/u)*(- 1- (1/(2sqrt(1+u^2)))
Интегрируем
∫ dx/x = (- ∫ du/u)-(1/2) ∫ du/(u*sqrt(1+u^2)

∫ du/(2u*sqrt(1+u^2)= замена переменной
1/u=t
u=1/t
du=-dt/t^2
sqrt(1+(1/t)^2)=sqrt(1+t^2)/t
⇒
∫ du/(u*sqrt(1+u^2)= -∫dt/sqrt(t^2+1)=-ln|t+sqrt(t^2+1)|

ln|x|=-ln|u|+(1/2)ln|1/u+ sqrt((1/u)^2+1)| + lnC,
ln|x|+ln|u|=ln C*|sqrt((1/u)+sqrt((1/u)^2+1))|
xu=C*sqrt((1/u)+sqrt(1/u)^2+1)),
где
u=y/x
y=C*sqrt((x/y)+sqrt((x/y)^2+1) - о т в е т.

2.
(x+2xu)dx+xu*(udx+xdu)=0
(x+2xu+xu^2)dx+x^2udu=0
x*(1+2u+u^2)dx= - x^2*udu
Делим на х
(1+2u+u^2)dx=-xudu - уравнение с разделяющимися переменными

dx/x=-udu/(u+1)^2
Интегрируем
∫ dx/x =- ∫ (u+1-1)du/(u+1)^2
∫ dx/x =- ∫ du/(u+1) + ∫ du/(u+1)^2
ln|x| = - ln|u+1| -(1/(u+1))+ C
ln|x|+ln|u+1|=-1/(u+1) + C
u=xy
ln|x*(xy+1)|=-1/(xy+1)+C - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:х>0

lg^2x-lg^2(10x)=(lgx-lg(10x))*(lgx+lg(10x))=lg(x/10x)*lg(x*10x)=
=lg(1/10)*lg(10x^2)=-1*(lg10+lgx^2)=-1*(1+2lgx)

lg(100x)=lg100+lgx=2+lgx
lg^2(100x)=(2+lgx)^2=4+4lgx+lg^2x

-1-2lgx=4+4lgx+lg^2x

lg^2x+6lgx+5=0
D=36-20=16
lgx=-5 или lgx=-1
x_(1)=10^(-5) или x_(2)=10^(-1)
x_(1)*x_(2)=10^(-6)=0,000001

Ответ выбран лучшим

H=6 см. катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы
r=sqrt(12^2-6^2)=sqrt(108)=6sqrt(3)

Фигура вращения - конус.

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)=πr*L+πr^2=

=π*(6sqrt(3))*12+π*(6sqrt(3))^2=
=π*(72sqrt(3)+108) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S_(полн)=S_(бок)+2S_(осн)
S_(бок)=1/2 S_(полн) ⇒
S_(бок)=2S_(осн)

2S_(осн)=2*π*R^2
S_(бок)=2πR*H

2πR*H=2*π*R^2
H=R

S_(осевого сечения)=2R*H
2R*H=5sqrt(3)

S_(бок)=2πR*H= π*(2R*H)=5πsqrt(3)

S_(полн)=2S_(бок)=10πsqrt(3)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма углов при основании AD равна 90^(o),
значит, продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.

Δ AMD подобен Δ ВМС

AM:AB=AD:BC
AM:9=4:1
AM=36
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
sinx = 1/2
x=(-1)^(k)*arcsin(1/2)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

a) x_(1)=(π/6); x_(2)=(5π/6)
б) х_(1)=(-7π/6), x_(2)=(π/6)
в) x_(1)=(π/6); x_(2)=(5π/6)
г)х_(1)=(π/6); x_(2)=(5π/6); x_(3)=(7π/6); x_(2)=(12π/6)

2.
tgx=-sqrt(3)/3
x=arctg(-sqrt(3)/3)+πk, k ∈ Z
x=(-π/6)+πk, k ∈ Z

x_(1)=(-π/6)
x_(2)=(-π/6)+π=5π/6

3.
[b]2x[/b]= ± arccos(sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z
2x=±(π/6)+2πn, n ∈ Z
x= ± (π/12)+πn, n ∈ Z

x_(1)=(π/12)-π=-11π/12;
x_(2)= - (π/12)
x_(3) = (π/12)
x_(4)= - (π/12) + π = 11π/12

4.

[b]x/2[/b]= arctg(sqrt(3)/3)+πk, k ∈ Z
x/2=(π/6)+πk, k ∈ Z
x=(π/3)+2πk, k ∈ Z

x_(1)=(π/3)-2π= - (5π/3)
x_(2)=(π/3)
x_(3)=(π/3)+2π=(7π/3)

5.
x=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(2)/2)+πk, k ∈ Z

x=(-1)^(k)(-π/4)+πk, k ∈ Z

cosx > 0 в четвертой и в первой четверти

⇒

При k=2n получаем:
x=(-π/4)+2πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

x - независимая переменная.
x`=1
y- функция, зависящая от х

(sinx +yx -5y) ` = 0`
(sinx)`+y`*x+y*x`-5y`=0
cosx+y`*x+y-5y`=0 ⇒ y`=(cosx+y)/(5-x) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Переносим х влево и приводим к общему знаменателю:
((x^2-2x-1)*(x-3)+2*(x-2)-x*(x-2)(x-3))/((x-2)*(x-3)) ≤ 0
(x^3-2x^2-x-3x^2+6x+3+2x-4-x^3+5x^2-6x)/(x-2)(x-3) ≤ 0
(x-1)/((x-2)(x-3)) ≤ 0
метод интервалов:

__-_ [1] _+___ (2) __-__(3) __+__

О т в е т. (- ∞ ;-1] U (2; 3)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

M_(11)=(-5)*(-5)-7*2=25-14=11
C_(11)=(-1)^(1+1)*M_(11)=11
M_(12)=4*(-5)-(-7)*2=-20+14=-6
C_(12)=(-1)^(1+2)*M_(12)=(-1)*(-6)=6
M_(13)=4*7-(-7)*(-5)=28-35=-7
C_(13)=(-1)^(1+3)*M_(13)=1*(-7)=-7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть
BC=AD=2x
Тогда ВЕ=ЕС=х
Обозначим высоту параллелограмма h.
S( параллелограмма)=2х*h
2x*h=288
x*h=144

S_(трапеции)=(ВЕ+AD)*h/2=(x+2x)*h/2=3x*h/2=3*144/2=72*3=216
О т в е т. 216 (прикреплено изображение)

См. интегрирование рациональных дробей.
Дробь правильная, степень числителя три меньше степени знаменателя четыре.
Раскладываем дробь на простейшие.
Их четыре
A/(x+2)
B/(x-2)
C/(x-2)^2
D/(x-2)^3

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители
x^3-6x^2+11x-10=A*(x-2)^3+B*(x+2)*(x-2)^2+C*(x+2)(x-2) +D*(x+2)

можно раскрыть скобки справа и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
После этого решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными

можно применить метод частных значений:
при х=2
2^3-6*2^2+11*2-10=A*0+B*0+C*0+D*4
D=-2
При х=-2
(-2)^3-6*(-2)^2+11*(-2)-10=A*(-2-2)^3+B*0+C*0+D*0
A=1
При х=0
-10=-8А +8В-4С+2D
При x=1
-4=-A+3B-3C+3D

{-10=-8*1+8B-4C+2*(-2)
{-4=-1+3B-3C+3*(-2)

B=
C=

∫ Adx/(x+2)=A*ln|x+2|
∫ Bdx/(x-2)=B*ln|x-2|
∫ Cdx/(x-2)^2=C* ∫ (x-2)^(-2)d(x-2)=C*(x-2)^(-1)/(-1)=-C/(x-2)
∫ Ddx/(x-2)^3=D* ∫ (x-2)^(-3)d(x-2)=D*(x-2)^(-2)/(-2)=-D/(2(x-2)^2)

Четырёхугольник АВСD - дельтоид.
В АВСD вписана окружность, центр O лежит на диагонали BD, которая является биссектрисой углов B и D.

Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны.

АС ⊥ BD
По условию:
MN=13
[b]b-a=r[/b] (прикреплено изображение)

Неопределенность 1^( ∞ ).
Применяем второй замечательный предел.

Так как
lim_(x→∞) (1 - (1/(x^2-5x+6)))^(x^2-5x+6)=e^(-1), то

lim_(x→∞) ((x^2-5x+5)/(x^2-5x+6))^(3х+2)=

lim_(x→∞) ((1 - (1/(x^2-5x+6)))^(x^2-5x+6))^((3x-2)/(x^2-5x+6))=(e^(-1))^(lim_(x→∞)((3x-2)/(x^2-5x+6)))= (e^(-1))^(0)=1

Уравнение АС:
y=kx+b
Подставляем координаты точек А и С и находим k и b
1=b
4=k*12+1 ⇒ k=1/4
y=(1/4)x+1

Так как произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1), то
k_(BK)= - 1/k_(AC) = - 1/(1/4)= - 4
y=-4x + m
Чтобы найти m подставляем координаты точки В
5=-4*2+m
m=13
Находим координаты точки К - точки пересечения прямых АС и ВК
(1/4)х+1=-4х+13
(17/4)х=12
х=48/17
y=(1/4)*(48/17)+1=29/17

K(48/17;29/17)
Находим координаты точки M- середины ВК
х_(M)=(x_(B)+x_(K))/2=41/17
y_(M)=(y_(B)+y_(K))/2=57/17

Cоставляем уравнение прямой АМ
Составляем уравнение прямой ВС
Находим координаты точки L

Ответ выбран лучшим

{3ctg^2x+4ctgx=0
{5cos^2x-4cosx ≠ 0
{sinx ≠ 0

{ctgx*(3ctgx+4)=0 ⇒ ctgx=0 или ctgx=-4/3
{cosx ≠ 0 и cosx ≠ 4/5
{sinx ≠ 0

cosx ≠ 0 ⇒ ctgx ≠ 0

остается решить уравнение
ctgx=-4/3 при условии, что cosx ≠ 4/5

x=arctg(-4/3)+πk, k ∈ Z, но учитывая условие cos x ≠ 4/5

получим о т в е т.x=arcctg(-4/3)+π+2πn, n ∈ Z

см. рис. (прикреплено изображение)

∠ ADB=90^(o), как угол, опирающийся на диаметр
∠ ACB=90^(o), как угол, опирающийся на диаметр

∠ АСВ = ∠ АВD, как углы, опирающиеся на дугу AD
∠ СAВ = ∠ CDB, как углы, опирающиеся на дугу BC

Треугольники СMD и BMA подобны по двум углам.
Из подобия
[b]DM: AM= CM: BM⇒ DM=k*AM и CM=k*BM[/b]

Так как
AC=AM+MC;
BD=BM+MD
и
AC*AM+BD*BM=169, то
(AM+MC)*AM+(BM+MD)*BM=169
и так как
DM=k*AM ;
CM=k*BM
то
AM^2+(k*BM)*AM+BM^2+BM*(k*AM)=169

AM^2+2*kAM*BM+BM^2= 169
а по теореме косинусов из треугольника АМВ

AB^2=AM^2+BM^2-2*AM*BM*cos ∠ АМВ

???

ОДЗ:
{3x-1 > 0 ⇒ x > 1/3
{3x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2/3

log_(2)(3x-1)=1/log_(3x-1)2
log_(2)(3x-1)^2=2log_(2)|3x-1| = в условиях ОДЗ=2log_(2)(3x-1)
log_(3x-1)4=log_(3x-1)2^2=2log_(3x-1)2

Замена
log_(2)(3x-1)=t

t^2+(1/t)^2 -2t- (2/t) + 2 ≤ 0

Замена
t+(1/t)=u
Возводим в квадрат
t^2+2*t*(1/t)+(1/t)^2=u^2

u^2-2u ≤ 0
u*(u-2) ≤ 0
0 ≤ u ≤ 2

Обратный переход
0 ≤ t + (1/t) ≤ 2

{t+(1/t) ≥ 0 ⇒ (t^2+1)/t ≥ 0 ⇒ t >0
{t+(1/t) ≤ 2 ⇒ (t^2-2t+1)/t ≤ 0 ⇒ t^2-2t+1 ≤ 0 при t >0 ⇒ t=1

log_(2)(3x-1)=1
3x-1=2
x=1 - входит в ОДЗ
О т в е т. х=1

Треугольник CED подобен треугольнику CAB
( ED || AB)
EC:AC=ED:AB
EC:AE=2:1 ⇒ EC:AC=2:3

ED:AB=2:3
AB=2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Умножаем каждое слагаемое на 6
6x^2 -11x +3=0
D=121-4*6*3=49
x_(1)=(11-7)/12=4/12=1/3 или x_(2)=(11+7)/12=3/2
О т в е т. 1/3; 3/2

Ответ выбран лучшим

T( α u)= α T(u)
Поэтому
T(3u)=3T(u)=3*(2;1)=(6;3)
T(6v)=6T(v)=6*(-1;3)=(-6;18)

T( α u+ β v)= α T(u)+ β T(v)

T(3u-6v)=3*T(u)-6*T(v)=(6;3) - (-6;18)=(6-(-6); 3 - 18) =( 12; -15)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной
y - f(x_(o) = f`(x_(o)) * ( х - x_(o))

f(x_(o))= -x^2_(o) - 5x_(o) - 6
f ` (x) = - 2x - 5
f ` (x_(o)) = - 2x_(o) - 5

y - (-x^2_(o) - 5x_(o) - 6) = (-2x_(o) -5)*(x - x_(o))

Подставляем координаты точки М(-1;-1)

-1 + x^2_(o) +5x_(o) + 6 = ( -2x_(o) - 5) *( -1 - x_(o))

-1 + x^2_(o) +5x_(o) + 6 = 2x_(o) + 5 + 2x^2_(o)) + 5x_(o)

x_(o)*(x_(o) + 2)=0

x_(o)=0 или x_(o)=-2

Получили две точки

При x_(o)=0
у + 6 = -5*(х - 0)
y=-5x-6

y_(касательной)=y_(функции)= -6
При х_(o)=-2
y - 0 = - (x+2)

y=-x-2

y_(касательной)=у_(функции)=0

О т в е т. y=-5x-6 или y=-x-2

2.
Пусть точка касания первой кривой (x_(1);y_(1))
y_(1)=f(x_(1)) = x^2_(1) -2x_(1) + 5
Уравнение касательной:
y - f(x_(1)) = f `(x_(1)) * ( х - x_(1))

f `(x)=2x - 2
f `(x_(1))=2x_(1) -2

[b] y - x^2_(1) +2x_(1) - 5 = (2x_(1) -2) *(x - x_(1)) [/b]

y= (2x_(1)-2)*x +3x^2_(1)+5

Пусть точка касания второй кривой (x_(2);y_(2))
y_(2)=f(x_(2)) = x^2_(2) + 2x_(2) -11
Уравнение касательной:
y - f(x_(2)) = f `(x_(2)) * ( х - x_(2))

f `(x)=2x + 2
f `(x_(2))=2x_(2) + 2

[b] y - x^2_(1) - 2x_(2) + 11 = (2x_(2) + 2) *(x - x_(2)) [/b]

y= (2x_(2)+2)*x -x^2_(2) - 11

Поскольку касательная общая,значит

(2x_(1)-2)*x +3x^2_(1)+5= (2x_(2)+2)*x -x^2_(2) - 11

(2x_(1) -2-2x_(2)-2)x = -3x^2_(1) - x^2_(2)-16

??
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x-3)*(x-2) -6*(x-3)=0
(x-3)*(x-2-6)=0
(x-3)*(x-8)=0
x-3=0 или х-8=0
х=3 или х=8
О т в е т. 3; 8

Ответ выбран лучшим

(sqrt(10)-3)*(sqrt(10)+3)=(sqrt(10))^2-3^2=10-9=1
Значит
sqrt(10)-3=1/(sqrt(10)+3)=(sqrt(10)+3)^(-1);

(sqrt(10)+3)^(-x^2) ≤ ((sqrt(10)+3)^(-1))^(15-2x);

(sqrt(10)+3)^(-x^2) ≤ (sqrt(10)+3)^(2x-15)

sqrt(10)+3 > 1

Показательная функция с основанием больше 1
возрастает, поэтому
(-x^2) ≤ 2x-15
x^2+2x-15 ≥ 0
D=4-4*(-15)=64
корни x_(1)=(-2-8)/2=-5 или x_(2)=(-2+8)/2=3

x ≤ -5 или x ≥ 3

О т в е т (- ∞ ;-5] U[3;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Через два вектора vector{a} и vector{b} можно провести плоскость и притом только одну.
Третий вектор vector{2a} такой же как вектор vector{a} только имеет длину в два раза больше.Значит все три вектора лежат в одной плоскости и их смешанное произведение равно 0 ( нет никакой пирамиды, нет и объема)

Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка из координат данных векторов Но одна строка пропорциональна другой. Такой определитель равен 0

О т в е т. 0

Ответ выбран лучшим

Координаты векторов пропорциональны, значит векторы коллинеарны ( сонаправлены или противоположно направлены)
А это и означает ответ D.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

((1/2)^2)^(x) < (1/2)^(-5)*((1/2)^3)^(x^2-1) ;

(1/2)^(2x) < (1/2)^(-5+3x^2-3)

(1/2) < 1
Показательная функция убывает, поэтому
(2x) > (-5+3x^2-3)
3x^2-2x-8 <0
D=4-4*3*(-8)=100
x_(1)=(2-10)/6=-4/3 или x_(2)=(2+10)/6=2
О т в е т. (-4/3;2)

vector{A_(2)A_(4)}=(-5-2;2-(-3);-4-0)=(-7;5;-4)
vector{A_(2)A_(3)}=(-10-2;5-(-3);8-0)=(-12;8;8)
Находим длины векторов
|vector{A_(2)A_(4)}|=sqrt((-7)^2+5^2+(-4)^2)=sqrt(90)=3sqrt(10);
|vector{A_(2)A_(3)}|=sqrt((-12)^2+8^2+8^2)=sqrt(144+64+64)=
=sqrt(272)=4sqrt(17)
Находим скалярное произведение векторов
vector{A_(2)A_(4)}*vector{A_(2)A_(3)}=(-7)*(-12)+5*8+(-4)*8=
=92
cos φ =92/(3sqrt(10)*4sqrt(17))=(23/(3sqrt(10*17))

φ =arccos(23/(3sqrt(170))

Ответ выбран лучшим

cosx*cos5x=(1/2)*(cos(x+5x)+cos(x-5x))=(1/2)cos6x+(1/2)cos4x
F(x)=(1/12)sin6x +(1/8)sin4x +C
Чтобы найти С подставляем координаты точки В
1/24=(1/12)*sin(-3π/2)+(1/8)sin(-π)+C
1/24=(1/12)*1+(1/8)*0+C
C=1/12
О т в е т.F(x)=(1/12)sin6x +(1/8)sin4x +(1/12)

По теореме Пифагора
AB^2=L^2+H^2
AB=sqrt(L^2+H^2)
t=S/v
S=AB
v=v_(л)+v_(p)

t=sqrt(L^2+H^2)/(v_(л)+v_(p))

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Треугольники AOD И BOD подобны.
∠ AOD = ∠ BOD
а стороны пропорциональны AO:СO=DO:BO=3
Значит,
∠ OAD= ∠ OCB
∠ ODA = ∠ OBC
А это внутренние накрест лежащие углы.
Значит BC || AD

2.
BD ⊥ AC
MP ⊥ BD

AC || MP и значит Δ BMP подобен Δ ВАС.
BM: BA= BP: BC
7:BA=9:(9+18)
BA=21

3.

ОДЗ:
-11tgx ≥ 0 ⇒ tgx ≤ 0 ⇒ ((π/2)+πk; π+πk]
(cм. рис)

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0, [b] а другой при этом не теряет смысла[/b]

1)
2cos^2x-cosx=0
cosx*(2cosx-1)=0
cosx=0 или сosx=1/2
x=(π/2)+πn или x= ± (π/3)+2πm, n,m ∈ Z
ОДЗ удовлетворяют решения
(-π/3)+2πm, m ∈ Z
(cиний цвет на рисунке)
Только при этих значениях подкоренное выражение существует, т.е. положительно.

2) tgx=0
x=πk, k ∈ Z
(красный цвет на рисунке)
О т в е т. πk, (-π/3)+2πm, k, m ∈ Z (прикреплено изображение)

По теореме Пифагора
АC^2=AB^2-BC^2
AC=8
Прямоугольные треугольники АВD и ABC подобны по двум углам
(угол A - общий)
Из подобия
BD: 6= 10:8
BD=60/8=7,5

x^2-(y-a)^2=9 ⇒ (x^2/9)-(y-a)^2/9=1 - гипербола
с центром в точке (0; a)

y=2-3|x| - ломаная, являющаяся объединением двух прямых
(см. рис.)

Чтобы ответить на вопрос задачи нужно определить при каких а
гипербола и ломаная будут иметь одну общую точку.

Гиперболу можно двигать вдоль оси Оу.
Если ниже подвинуть,то будет 2 решения - 2 точки касания и слева и справа.
или 4 решения, две точки пересечения.

Одной обще точки скорее всего нет

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{a+b=c+5 ⇒ c=a+b-5
{ab=4c+5 ⇒ c=(ab-5)/4 ⇒ a+b-5= (ab-5)/4 ⇒ [b]4a+4b-20=ab-5[/b]

При a=b

4a+4a-20=a^2-5
a^2-8a+15=0
D=64-60=4
a_(1)=(8-2)/2=3 или a_(2)=(8+2)/2=5

Верно, при a=b=3; c=1 или a=b=c=5

Ответ выбран лучшим

Находим абсциссы точек пересечения графиков:
x^2-2x+1=-x^2+3x-1
2x^2-5x+2=0
D=25-16=9
x_(1)=(5-3)/4=0,5 ; x_(2)=(5+3)/4=2

S= ∫ ^(2)_(0,5)((-x^2+3x-1)-(x^2-2x+1))dx=

= ∫ ^(2)_(0,5)(-2x^2+5x-2)dx=

=(-2x^3/3)+(5x^2/2)-2x)|^(2)_(0,5)=

=(-2/3)*(2^3-0,5^3)+(5/2)(2^2-0,5^2)-2*(2-0,5)=

=(-2/3)*(63/8) +(5/2)*(15/4)-3=(-42/8)+(75/8)-3=(33-24)/8=9/8

Выберем две точки, принадлежащие линии пересечения плоскостей
x-2y+5=0
и
2x-5y+z=4=0
Точек на линии пересечения - бесчисленное множество.
Пусть y=0
Тогда
{x+5=0
{2x-z+4=0

{x=-5
{2*(-5)+z+4=0 ⇒ z=6
P(-5;0;6)
Пусть
х=0
{-2y+5=0 ⇒ y=2,5
{-5y+z+4=0 ⇒ z=7,5
Q(0; 2,5; 7,5)
Пусть M(x;y;z)- произвольная точка плоскости
Тогда векторы
vector{MP}=(x-(-5);y-0;z-6)=(x+5;y;z-6)
и
vector {PQ}=(0-(-5); 2,5-0; 7,5-6)=(5; 2,5;1,5)
лежат в плоскости, а направляющий вектор параллельной прямой vector{s}=(5;3;4) им коллинеарен.
Таким образом все три вектора компланарны.
Значит их смешанное произведение равно 0
Составляем определитель третьего порядка из координат векторов и приравниваем его к 0
Вместо вектора vector {PQ}=(5; 2,5;1,5) возьмем вектор
2*vector {PQ}=(10; 5; 3)
(прикреплено изображение)

detA=-30e^(3t+2t)*sin^2t-30e^(3t+2t)cos^2t=-30e^(5t)
A_(11)=-6e^(2t)sin5t
A_(12)=(1-)*(-6e^(3t)cos5t)=6e^(3t)cos5t
A_(21)=(-1)*(-5e^(2t)cos5t)=5e^(2t)cos5t
A_(22)=5e^(3t)sin5t

Обoзначим элементы матрицы A^(-1)
b_(ij)
i- номер строки
j- номер столбца
b_(11)=A_(11)/detA=sin5t/(5e^(3t)); первая строка левый угол
b_(12)=A_(21)/detA=cos5t/(-6e^(3t) первая строка правый угол
b_(21)=A_(12)/detA=cos5t/(-5e^(2t)) вторая строка левый угол
b_(22)=A_(22)/detA=sin5t/(-6e^(2t)) вторая строка правый угол

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
8^(x)=(2^(3))^(x)=(2*4)^(x)=2^(x)*4^(x)
2^(x+2)=2^(x)*2^(2)=4*2^(x)

4^(x)*(2^(x)+3)=4*(3+2^(x));
4^(x)*(2^(x)+3)-4*(3+2^(x)) = 0;
(2^(x)+3)*(4^(x)-4)=0
2^(x)+3 ≠ 0, так как 2^(x) > 0 при любом х
4^(x)-4=0
4^(x)=4
x=1
О т в е т. 1

2.
9^(x)*(3*3^(x)-1)=3*(3*3^(x)-1);
(3*3^(x)-1)*(9^(x)-3)=0
3*3^(x)-1=0 или 9^(x)-3=0
3^(x)=1/3 или 9^(x)=3
3^(x)=3^(-1) или 3^(2x)=3
x=-1 или 2х=1 ⇒ х=0,5
О т в е т. -1; 0,5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

См. приложение.
a=-2
A_(o)=P(a)=f(-2)

A_(1)=P`(a)/1!=f`(-2)/1!=(-4/1!)
...
f(x) = 6 + (-4/1!)(x+2) + (6/2!)(x+2)^2+(-6/3!)(x+2)^3

f(x)=6-4*(x+2)+3*(x+2)^2-(x+2)^3

f(x)=6-4x-8+3*(x^2+4x+4)-(x^3+6x^2+12x+8)

f(x)=6-4x-8+3x^2+12x+12-x^3-6x^2-12x-8

О т в е т. f(x)=-x^3-3x^2-4x+2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^(9)−4x^5+16x−1=0
⇒
-16x=x^(9)-4x^(5)-1
-64x=4x^(9)-16x^(5)-4

Тогда

x^(4)−64x+4=x^(4)+4x^(9)-16x^5-4+4=x^(4)+4x^(9)-16x^(5)=

=x^(4)*(1+4x^(5)-16x)=x^(4)*x^(9)=x^(13),

так как x^(9)−4x^5+16x−1=0 ⇒ x^(9)=4x^5-16x+1

О т в е т.

log_(x)(x^4−64x+4)=log_(x)x^(13)=13

112:28=4 часа.

Чтобы легковой автомобиль догнал грузовой, легковому надо сократить разницу между ними в 112 км.
Это происходит за счет скорости сближения, которая равна разности скоростей легкового и грузового. По условию разность 28 км в час.

Если скорости легкового и грузового одинаковые, то легковой никогда не догонит грузовой.

А так как скорость легкового больше, то значит в час он проходит на 28 км больше.

И чтобы сократить расстояние в 112 км потребуется 4 часа.

Ответ выбран лучшим

так как ρ ≥ 0, то sin φ ≤ 0 ⇒ -π ≤ φ ≤ 0

Проводим в нижней полуплоскости лучи под углом:
φ =0^(o)
ρ=-5*sin0^(o)=-5*0=0
φ =-30^(o)
ρ=-5*sin(-30^(o))=2,5
φ =45^(o)
ρ=-5*sin(45^(o)) ≈ 3,5
φ =-60^(o)
ρ=-5*sin(-60^(o))=4,33
φ =-90^(o)
ρ=5
и далее симметрично
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ
{1-2x > 0 ⇒ x < 1/2;
{(1/x)- 2 > 0 ⇒ (1 - 2x)/x > 0 ⇒ (2x-1)/x < 0 ⇒ 0< x< 1/2
{4x^2+6x-1 > 0 ⇒ D=36-4*4*(-1)=52
x_(1)=(-6-2sqrt(13))/8 или x_(2)=(-6+2sqrt(13))/8

x< (-3-sqrt(13))/4 или x > (-3+sqrt(13))/4

Сравним (-3+sqrt(13))/4 и 1/2

Умножим на 4

-3+sqrt(13) и 2

sqrt(13) < 2+3
значит
(-3+4sqrt(13))/4 < 1/2

ОДЗ ((-3+sqrt(13))/4; 1/2)

По свойствам логарифма
log_(2)(1-2x)^2/((1/x)-2) ≤ log_(2)(4x^2+6x-1)
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая.
(1-2x)^2/((1-2x)/x) ≤ 4x^2+6x-1
(1-2x)*x ≤ 4x^2+6x-1
2x^2-x+4x^2+6x-1 ≥ 0
6x^2+5x-1≥ 0
D=25-4*6*(-1)=49=7^2
x_(3)=(-5-7)/12=-1 или х_(4)=(-5+7)/12=1/6;
x ≤-1 или x ≥ 1/6
С учетом ОДЗ
1/6 > (-3+sqrt(13))/4,

так как

4 > 6*(-3+sqrt(13))
4+18>6sqrt(13)
22>6sqrt(13)
11>3sqrt(13)
121>9*13=117

[1/6; 1/2) - о т в е т.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Плоскость проходит через прямую
(x–3)/2=(y+4)/1=(z–2)/(–3).
Значит, точка M_(o)(3;-4;2) и направляющий вектор этой прямой
vector{s_(1)}=(2;1;-3) лежат в этой плоскости.

Плоскость параллельна второй прямой. Значит направляющий вектор второй прямой vector{s_(2)}=(4;7;2) коллинеарен плоскости.
Выбираем произвольную точку M (x;y;z)
Три вектора
vector{M_(o)M}; vector{s_(1)} и vector{s_(2)} компланарны.

Составляем определитель третьего порядка из координат векторов и приравниваем к 0.
vector
(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона квадрата равна а.
P(квадрата)=4а
4а=100
а=25
S=a^2=25^2=625

arctg3x ~ 3x при x→0

Ответ. lim_(x→0)3x/(x^2+5x)=lim_(x→0)3/(x+5)=3/5

Ответ выбран лучшим

Пусть прямая отcекает на оси Ох отрезок длины а, на оси Оу отрезок длины b.
Уравнение такой прямой ( уравнение прямой в отрезках)
(x/a)+(y/b)=1
Подставляем координаты точки (8;9)
(8/a)+(9/b)=1
[b]8b+9a=ab[/b]

S ( прямоугольного треугольника)=ab/2
По условию
ab/2=8;
ab=16

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
{8b+9a=ab
{ab=16

{8b+9a=16
{ab=16

Вырaжаем а из первого
a=(16-8b)/9
и подставляем во второе

b*(16-8b)/9=16
8b^2-16b +144=0
b^2-4b+18=0

Уравнение не имеет корней.
Условие неверное.
См. рисунок
Прямая проходящая через точку (8;9)
отсекает отрезки длиной 16 и 18
S=16*18/2=16*9=144 и никак не 8

Значит прямая проходит через точки (а;0) и (0;-b) ( см. рис.2)
и принимает вид:
(x/a)-(y/b)=1
Подставляем координаты точки (8;9)
(8/a)-(9/b)=1
8b-9a=ab
Система
{8b-9a=16
{ab=16

{a=(8b-16)/9
{b*(8b-16)/9=16
8b^2-16b-144=0
b^2-2b-18=0
D=4-4*(-18)=4*19
b=(2-2sqrt(19))/2=1-sqrt(19) или b=1+sqrt(19)
a=(8-8sqrt(19)-16)/9=(-8sqrt(19)-8)/9 или a=(8+8sqrt(19)-16)/9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{3-x+y>0 ⇒ y > x-3 ( строим график y = x-3 пунктиром)
{x+y-3 ≥ 0 ⇒ y ≥ -x+3 ( строим прямую y=-x+3)
см. рис.
Заштриховываем область y > x - 3 ( красным цветом)
область y ≥ -x + 3 ( cиним цветом)
Ответ - пересечение областей. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=(u/v)
y`=(u`*v-u*v`)/v^2;
y`=((2^(x)+4)`*(7x^2-x)-(2^(x)+4)*(7x^2-x))/(7x^2-x)^2;
y`=(2^(x)*ln2*(7x^2-x) - (2^(x)+4)*(14x-1))/(7x^2-x)^2. - о т в е т.

F(x;y;z)=x^2+y^2+z^2-6z
F`_(x)=2x-6
F`_(y)=2y
F`_(z)=2z

Обычно считают, что z=f(x;y) и тогда находят
∂z/∂x=z`_(x)
и
∂z/∂y=z`_(y)
которые вычисляются по формулам
( cм. приложение)

По всей видимости в задании считают, что
y=g(x;z)
и тогда надо найти
∂y/∂x=y`_(x)
а
∂y/∂z=y`_(z) не надо.

y`_(x)=-F`_(x)/F`_(y)=-(2x-6)/(2y) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(-2+3i)*(-2-3i)*(2-3i)=
=(-1)*(2-3i)*(-1)(2+3i)*(2-3i)=
=(2-3i)*(2+3i)*(2-3i)=
=(4-(9i)^2)*(2-3i)=
=13*(2-3i)

(-2+3i)*(-2-3i)*(2-3i) + 2*(-2+3i)=13*(2-3i)-2*(2-3i)=11*(2-3i)

(1-i)+(2+3i)^2=1-i+4+12i+9i^2=11i-4

11*(2-3i)/(11i-4)= -11*(2-3i)/(4-11i)=-11*(2-3i)*(4+11i)/(16-(11i)^2)=

=-11*(8-12i+22i+121i^2)/(16+121)=-11*(10i-113)/137

Есть сомнение в условии.
Не расставлены скобки где числитель, где знаменатель.

Поэтому решение написано для условия
Числитель
(-2+3i)*(-2-3i)*(2-3i) + 2*(-2+3i)
Знаменатель
(1-i)+(2+3i)^2

Если это не так, исправляйте условие.

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y;z)- произвольная точка плоскости.

Направляющий вектор прямой vector{s}=(3;1;2) лежит в плоскости.
Точка M_(o) (-5;2;1) через которую проходит прямая также лежит в плоскости. Точка P(0;2;0) лежит в плоскости.
Значит векторы
vector{PM}=(x;y-2;z)
vector{PM_(o)}=(-5-0;2-2;1-0)=(-5;0;1)
и
vector{s}=(3;1;2)
компланарны.
Составляем определитель третьего порядка из координат трех векторов и приравниваем к нулю. (прикреплено изображение)

Подкоренное выражение должно быть ≥ 0
Составляем неравенство
10x+2y+19-y^2 ≥ 0
10x+19 ≥ y^2 - 2y
10x+19 +1 ≥ y^2 - 2y +1
10*(x+2) ≥ (y-1)^2 - внутренняя часть параболы c вершиной
в точке (-2;1)
см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z_(x)=3x^2+3y^2-15
z`_(y)=6xy-12

Дифференциал
dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy=(3x^2+3y^2-15)dx+(6xy-12)dy

Ответ выбран лучшим

F(x;y;z)=(x^2/9)+(y^2/1)-(z^2/16)
F`_(x)=2x/9
F`_(y)=2y
F`(z)=-z/8

F`_(x)(М_(o))=(2*3)/9=2/3
F`_(y)(M_(o))=2*1=2
F`_(z)(M_(o))=-4sqrt(2)/8=-sqrt(2)/2

Подставляем в формулы (см. приложение)
(2/3)*(x-3) + 2*(y-1) - (sqrt(2)/2)*(z - 4sqrt(2))=0
4x-12 +12y-12 -3sqrt(2)z +24 =0

4x +12 y - 3sqrt(2)*z =0 - уравнение касательной плоскости.

(x -3)/(2/3) = ( y-1)/2 =(z-4sqrt(2))/(-sqrt(2)/2 - уравнение нормали (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(2*5^(2x)-3*2*(5^x*2^x)+4*2^(2x))/((2^x*5^x)-2^(2x)) - 1 ≤ 0;

(2*5^(2x)-6*(5^x*2^x)+4*2^(2x) - (2^x*5^x)+2^(2x))/((2^x*5^x)-2^(2x)) ≤ 0;

(2*5^(2x)-7*(5^(x)*2^(x))+5*2^(2x))/((2^x*5^x)-2^(2x)) ≤ 0

Делим и числитель и знаменатель на 2^(2x) > 0

(5/2)^(x)=t
(25/4)^(x)=t^2

(2t^2-7t+5)/(t-1) ≤ 0

D=49 -4*2*5=9

t=1 или t=5/2

_-__ (1) __-__ [5/2] __+_

(5/2)^x=5/2

x=1

(5/20^(x)=1

x=0

О т в е т. (- ∞ ;0) U(0;1]

Ответ выбран лучшим

p=(p_(1)*p_(3))+p_(4)+(p_(2)*p_(5))=0,43 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2sin(2x+(π/6))=2*sin2x*cos(π/6)+2cos2x*sin(π/6)=sqrt(3)sin2x+cos2x;

sqrt(3)sin2x+cos2x-cosx=sqrt(3)sin2x-1;
cos2x-cosx+1=0
cos^2x-sin^2x-cosx+sin^2x+cos^2x=0
2cos^2x-cosx=0
cosx*(2cosx-1)=0
cosx=0 ⇒ x= (π/2)+πk, k ∈ Z
Указанному промежутку принадлежит
х=(π/2)+3π=(7π/2)
(5π/2)< (7π/2) < 4π

2cosx-1=0
cosx=1/2
x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z
x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни:
х=(-π/3)+4π=11π/3
(5π/2) < (11π/3) < 4π

О т в е т. (π/2)+πk, k ∈ Z; ± (π/3)+2πn, n ∈ Z
б) (7π/2); (11π/3)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^(x)=t
[b] t > 0 [/b]
2^(x+1)=2^(x)*2=2t;
2^(2x+1)=2^(2x)*2=2t^2
2^(3x+1)=2^(3x)*2=2t^2

(t^4 -2t^3+2t^2-2t+1)/((t-2)^2+(t-3)^3-1) ≥ 0
(t-1)*(t^3-t^2+t-1)/((t-2)^2+(t-3)^3-1) ≥ 0
(t-1)*(t-1)*(t^2+1)/((t-2)^2+(t-3)^3-1) ≥ 0
метод интервалов.
Нули числителя t_(1)=t_(2)=1
Нули знаменателя:
(t-2)^2+(t-3)^3-1=0
t^2-4t+4+t^3-9t^2+27t-27-1=0
t^3-8t^2+23t-24=0
t^3-27 -(8t^2-24t)-(t-3)=0
(t-3)*(t^2-5t+8)=0
t=3
D=25-4*8<0

(0) _-__ [1] __-___ (3) __+___

t=1 или t > 3
2^(x)=2 или 2^(x) > 3
x=1 или x > log_(2)3

О т в е т. {1}U(log_(2)3;+ ∞ )

cos((π/6)-2x)=cos(2x-(π/6))
по свойству четности косинуса.

sin2x-sqrt(3)cos2x=2*((1/2)*sin(2x)-(sqrt(3)/2)*cos2x)=

=2*(cos(π/6)*sin2x- sin(π/6)*cos2x)=2*(sin(2x-(π/6))

Тогда

(sin2x-sqrt(3))^2=4*sin^2(2x-(π/6))=4*(1-cos^2(2x-(π/6)))

4 - 4 cos^2(2x-(π/6)) -5 -cos(2x-(π/6))=0

4cos^2(2x-(π/6)) + cos(2x+(π/6)) +1=0

D= 1 -4 * 4 < 0
Уравнение не имеет корней.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cтроим параболу y=x^2-x-2
Ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох, ( зачеркнуто на рисунке), отражаем симметрично оси Ох наверх
Рис. 2 ответ (прикреплено изображение)

ОДЗ
{(2x+2)/(5x-1) >0 ⇒ x < -1 или x > 0,2
{(2x+2)/(5x-1) ≠ 1 ⇒ 2x+2 ≠ 5x -1 ; x ≠ 1
{10x^2+x-2 > 0 ⇒ D=81; корни (-0,5) и 0,4 ⇒ x < -0,5 или x>0,4

ОДЗ: (- ∞ ;-1) U ( 0,4;1) U (1;+ ∞ )

Применяем метод рационализации:
((2x+2)/(5x-1) -1)*(10x^2+x-2-1) ≤ 0

(3-3x)(10x^2+x-3)/(5x-1) ≤ 0
(3x-3)(10x^2+x-3)/(5x-1)≥ 0

D=1+120=121; корни (-0,6) и 0,5

-0, 6 не входит в ОДЗ

_+__ (-1) (0,4) _-_ (0,5) ____+___ (1) __+____

О т в е т. (- ∞ ; -1) U (0,5;1)U(1;+ ∞ )

ОДЗ:
{x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1
{x-1 > 0 ⇒ x > 1
{x > 0

ОДЗ: x >1

О т в е т. (0;4]
(cм. график функции y=(10)/(x+1) + log_(1/3)(x-1) + log_(1/4)x)

Cтроим график каждой функции - это элементарные функции.
Затем складываем ординаты.

На рис. 2
(1;2) видно, что зеленые ординаты в каждой точке положительны, сиреневые положительны, черные отрицательны.
Если будем складывать
y_(1)+y_(2)+y_(3) получим положительную сумму

(2;4) зеленые ординаты каждой точки положительны, сиреневые и черные отрицательны.
Но если складывать
y_(1)+y_(2)+y_(3) >0 для всех x ∈ (2;4)
кроме точки 4
в точке х=4 зеленая ордината равна 2
10/(4+1)=2

сиреневая
log_(1/3)(4-1)=-1

черная

log_(1/4)4=-1

2+(-1)+(-1)=0

После точки x = 4
сиреневые и черные ординаты отрицательны и сумме меньше -2
а зеленые ординаты меньше 2
Поэтому сумма ординат трех графиков в любой точке ( x > 4) будет отрицательной (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 18 команд выбирают 9
Это можно сделать
n=C^(9)_(18)
Cобытию А благоприятствуют исходы испытания, при которых
из 5 команда мастеров все 5 в группе и 4 оставшиеся команды выбраны из 13 команд ( немастеров)
Причем эти 5 команд либо в одной группе либо в другой.
Поэтому результат выбора умножаем на 2
m=2*C^5_(5)*C^(4)_(13)
p(A)=m/n2* C(5)_(5)*C^(4)_(13)/C^(9)_(18)

p(B)=2*(C^(2)_(5)*C^(7)_(13)+C^(3)_(5)*C^(6)_(13))/C^(9)_(18)

Направляющий вектор прямой vector{s}=(5;8;-6)
становится нормальным вектором плоскости
vector{n}=vector{s}=(5;8;-6)

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o))
c направляющим вектором vector{s}=(a;b;c) имеет вид:
a*(x-x_(o)) +b*(y-y_(o))+c*(z-z_(o))=0

5*(х - (-7))+8*(у - (-2)) - 6*(z - (-9))=0

5x + 8y - 6z =3

a=5
b=8
c=-6
d=3

Ответ выбран лучшим

Выражаем t
t=(x-1)/7;
t=(y-2)/3
t=(z-3)/6
Приравниваем
(x-1)/7=(y-2)/3=(z-3)/6 - данная прямая
Направляющий вектор этой прямой vector{s}=(7;3;6)

Параллельные прямые имеют одинаковые (коллинеарные) направляющие векторы
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку Р с направляющим вектором vector{s}=(7;3;6)
(x-5)/7=(y-5)/3=(z-3)/6

Находим точку пересечения с плоскостью хОу
{z=0
{(x-5)/7=(y-5)/3=(z-3)/6
(x-5)/7=(0-3)/6
x-5=(-7/2)
x=3/2=1,5
(y-5)/3=(0-3)/6
y-5=-3/2
y=7/2=3,5

(1,5; 3,5; 0)

Находим точку пересечения с плоскостью хОz
{y=0
{(x-5)/7=(y-5)/3=(z-3)/6
(x-5)/7=(0-5)/3
x-5=(-35/3)
x=-20/3
(z-3)/6=(-5)/3
z-3=-10
z=-7

(-20/3;0;-7)

Находим точку пересечения с плоскостью yОz
{x=0
{(x-5)/7=(y-5)/3=(z-3)/6
(y-5)/3=(0-5)/7
y-5=(-15/7)
y=20/7
(z-3)/6=(0-5)/7
z-3=-30/7
z=-9/7

(0; 20/7; -9/7)

Ответ выбран лучшим

На прямой пересечения плоскостей бесчисленное множество точек.
Выберем две из них.
Пусть первая координата этой точки
х=0
Две другие координаты находим из системы
{3*0 - y -2z + 9 = 0
{0 + z - 3 = 0 ⇒ z = 3
-y -6+9=0
y=3
(0;3;3)
Пусть у второй точки третья координата z=0
{3x - y -2*0 + 9 =0
{x + 0 - 3 =0
x=3
3*3- y -0 + 9=0
y=18
(3;18;0)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через три точки
(0;3;3);(3;18;0) и (4;-2;-3)
(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Направляющий вектор прямой vector{s}=(5;8;-6) становится нормальным вектором плоскости vector{n}=vector{s}=(5;8;-6)
Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку
M_(o)(-7;-2;-9) c заданным нормальным вектором vector{n}=(5;8;-6)
5*(x - (-7)) + 8*(y - (-2)) - 6*(z - (-9))=0
5x +8y - 6z = 3
a=5
b=8
c=-6
d=3

d(куба)=a*sqrt(3)
a=d/sqrt(3);
V=a^3=(d/sqrt(3))^3=d^3/(3*sqrt(3))=d^3*sqrt(3)/(9)
О т в е т. 1)

Ответ выбран лучшим

1)
a) (2*1^2-7*1-4)/(2*1^2-13*1+20)=(-9)/9=-1;
б) считаем как в а) и получаем (0/0)
устраняем неопределенность
Раскладываем и числитель и знаменатель на множители
(2x^2-7x-4)=(x-4)(2x+1)
(2x^2-13x+20)=(x-4)(2x-5)
cокращаем на (х-4)
lim_(x→4)(2x+1)/(2x-5)=(2*4+1)/(2*4-5)=9/3=3
в) (∞ /∞)
Делим и числитель и знаменатель на x^2

lim_(x → ∞ )(2 - (7/x) -(4/x^2))/(2 - (13/x) + (20/x^2))=(2-0-0)/(2-0+0)=1

2)
как 1б
2x^2-7x+6=(x-2)*(2x-3)
2x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

О т в е т. (2*2-3)/(2-3)=1/(-1)=-1

Ответ выбран лучшим

6. Замена
sqrt(x)=t
x=t^2
dx=2tdt
Получим
∫ (2tdt)/(t*(t^2+3))=2 ∫ dt/(t^2+3)=(2/sqrt(3))* arctg (t/sqrt(3))+C=

=(2/sqrt(3))* arctg (sqrt(x)/sqrt(3))+C

7.
sin^2 α= (1-cos2 α )/2
получаем
∫ ( 1 - cos (8x+6))/2dx=(1/2) ∫ dx - (1/2) ∫ cos(8x+6)dx=

=(1/2)x - (1/2)*(1/8) sin(8x+6)+C

8.
Замена
сosx+1=t
d(cosx+1)=dt
(cosx+1)`*dx=dt
-sinxdx=dt
sinxdx=-dt
получаем
∫ (-dt)/∛t=- ∫ t^(-1/3)dt=-t^((-1/3)+1)/((-1/3)+1) + C=

=(-3/2)*t^(2/3)+C =

=(-3/2)*∛(cosx+1)^2 + C

9.

=(1/10)*e^(10x+2) + C

10.

= ∫ xdx/(x^2+1/3) - (2/3) ∫ dx/(x^2+(1/3))=

=(1/2)ln|x^2+(1/3)| -(2/3)*(sqrt(3))arctg(sqrt(3)x) + C

13.
=(-1/3)ln|4-3x|+C

12.

2* ∫ xdx - ∫ x^(-3/2)dx +4 ∫ x^(-2)dx= (2x^2/2)- (x^(-1/2))/(-1/2) +4x^(-1)/(-1)+C=

=x^2+(2/sqrt(x))-(4/x) + C

11
u=arccos7x
du=-7dx/sqrt(1-49x^2)

dv=dx
v=x

=x*(arccos7x)+7 ∫ xdx/sqrt(1-49x^2)=

=x*(arccos7x) -(7/98) ∫ d(1-49x^2)/sqrt(1-49x^2)=

=x*(arccos7x) -(1/14)*2sqrt(1-49x^2)+C

Ответ выбран лучшим

Сумма первых девяти чисел равна 14*9=126
Сумма первых восьми чисел равна 13*8=104
126-104=22 - девятое число (прикреплено изображение)

1. Строим параболу y=x^2
2. Cтроим параболу y=x^2-3, параллельный перенос предыдущего графика на 3 единицы вниз
3. Строим y=|x^2-3|
Часть графика, y=x^2-3, расположенную ниже оси Ох, отражаем симметрично оси Ох
график синего цвета
4. Строим y=|x^2-3|+2 c помощью параллельного переноса на 2 единицы вверх
график красного цвета (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение плоскости, проходящей через три точки: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем две точки принадлежащие каждой плоскости, а значит и линии их пересечения.
По условию одна такая точка M_(o) имеет третью координату z=0
Две другие координаты находим из системы:
{3x -4y +5*0=1;
{3x+4*0=1 ⇒ x=1/3
y=0

vector{a}=(-16;..;...)
vector{a}=vector{M_(o)M}
значит первую координату точки M находим из условия
х_(M)-x_(M_(o))=-16
x_(M)=-16+(1/3)=-47/3

Две другие координаты точки М из системы:
{3*(-47/3) - 4y + 5z = 1;
{3*(-47/3) + 4z =1 ⇒ z=12
- 4y =-12
y=3
О т в е т. vector{r}=(1/3;0;0)+t*(-16;3;12) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

k(касательной)= f `(x_(o)) = tg α

α =120 градусов ⇒ tg α = - sqrt(3)

Найдем сколько точек на графике, в которых

f `(x) =- sqrt(3)

Проводим прямую y= - sqrt(3) и смотрим сколько точек пересечения эта прямая имеет с графиком y= f ` (x)

О т в е т. Три точки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

k(касательной)=f `(x_(o))

f`(-3)= 3 ( по графику)

О т в е т. k(касательной)=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула полной вероятности.
Гипотезы
H_(i) - выбрана i-ая урна, i=1,2,3,4,5
p(H_(i))=1/5
A - вынут белый шар
p(A/H_(1))=p(A/H_(2))=1/4
p(A/H_(3))=p(A/H_(4))=p(A/H_(5))=2/4

p(A)=(1/5)*(1/4)+(1/5)*(1/4)+(1/5)*(2/4)+(1/5)*(2/4)+(1/5)*(2/4)=

=2*(1/5)*(1/4)+3*(1/5)*(2/4)=4/10=0,4

Ответ выбран лучшим

Запишем уравнение плоскости в параметрическом виде:
x=-5+3t
y=2+5t
z=1-t
и подставим в уравнение плоскости -x +y -z =12 :

- (-5 + 3t) +(2 + 5t) - (1 - t) = 12;

3t =6
t=2

При t=2
x=-5+3*2=1
y=2+5*2=12
z=1-2=-1
О т в е т (1;12;-1)

Находим координаты точки пересечения асимптот.
(5/8)х - 2 = (-5/8)х - 5;
(10/8)х=-3
х=-24/10=-2,4
y=-3,5
(-2,4; -3,5)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна,
2b=6
b=3.
Из уравнения асимптот
5/8=3/a
a=24/5

значит уравнение гиперболы

(х-(-2,4))^2/(24/5)^2 - (y-(-3,5))^2/3^2 = -1

c^2=a^2+b^2=(576/25)+9=(576+225)/25=(801)/25
c=sqrt(801)/5

Расстояние между фокусами
2с=2sqrt(801)/5

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(801)/(5*3) ≈ 1,88679622641 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Параллельные плоскости имеют одинаковые нормальные векторы.
Нормальный вектор данной плоскости vector{n}=(-10;10;6)

Уравнение плоскости, проходящей через точку (-9;-3;-1) с заданным нормальным вектором vector {n}=(-10;10;6)
-10*(x-(-9)) +10*(y-(-3))+6*(z-(-1))=0
-10x+10y+6z-54=0
Умножаем на (-1):
10х-10y-6z=-54
a=10
b=-10
c=-6
d=-54

Ответ выбран лучшим

=sqrt(32)*(cos^2(5π/8)-sin^2(5π/8)=

=sqrt(32)*(cos(2*5π/8)=

=sqrt(32)*cos(5π/4)=

=sqrt(32)*cos(π + (π/4))=

=sqrt(32)*(-sqrt(2)/2) = -8/4 = - 2

1)
(-7/8)+4 целых (2/3)=(-7/8)+(14/3)=(-21/24)+(98/24)=77/(24)

2)
(77/24)*9,6=(77/24)*(96/10)=(77*4)/10=308/10=30,8

Пусть сторона тетраэдра равна а.
Тогда
r=asqrt(3)/6
R=asqrt(3)/3
H^2=a^2-R^2=a^2-(asqrt(3)/3)^2=2a^2/3;

V(конуса)=(1/3)*π*r^2*H=(1/3)*π*(asqrt(3)/6)^2*(asqrt(2/3))=

=a^3*(sqrt(6)/108)*π

Приравниваем
a^3*(sqrt(6)/108)*π=16sqrt(6)*π
a^3=1728
a=∛1728
Апофема - высота равностороннего треугольника со стороной а:
h=asqrt(3)/2=(∛1728)*sqrt(3)/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S (конуса)=π*R*L=π*11*11sqrt(2)=121*sqrt(2)*π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим координаты точки пересечения асимптот.
(7/6)х + 5 = (-7/6)х + 1;
(14/6)х=-4
х=-12/7
y=3
(-12/7;3)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна,
2b=16
b=8.
Из уравнения асимптот
7/6=8/a
a=48/7

значит уравнение гиперболы

(х-(-12/7))^2/(48/7)^2 - (y-3)^2/8^2 = -1

c^2=a^2+b^2=(2304/49)+64=(2304+3136)/49=(5440)/49
c=sqrt(5440)/7

Расстояние между фокусами
2с=2sqrt(5440)/7

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(5440)/(7*8) ≈ 1,31707778 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5.
По частям
u=5x+1
du=5dx
dv=e^(-2x)dx
v=(-1/2)e^(-2x)

Получаем
u*v- ∫ v*du=
=(5x+1)*(-1/2)*e^(-2x) - ∫ (-1/2)e^(-2x)*(5dx)=

=(-(5x+1)/2)*e^(-2x) +(5/2) ∫ e^(-2x)dx=

=(-(5x+1)/2)*e^(-2x) + (5/2)* (-1/2)* e^(-2x) + C=

= (-(5x+1)/2)*e^(-2x) - (5/4) * e^(-2x) + C.

6.
Замена переменной
(7x+8)^(1/6)=t ⇒ (7x+8)=t^6
∛(7x+8)^2=t^4
sqrt(7x+8)=t^3

d(7x+8)=d(t^6)
7dx=6t^5dt
dx=(6/7)t^5dt

Получаем
= ∫ ((t^6+8)*(6/7)t^5dt)/(t^4+t^3)=

=(6/7) ∫ (t^6+8)*t^2dt/(t+1)

=(6/7) ∫ (t^8+8t^2)dt/(t+1)

См. интегрирование неправильных рациональных дробей.
Делим числитель на знаменатель.

(t^8+8t^2)/(t+1)=t^7-t^6+t^5-t^4+t^3-t^2+9t-9+(9/(t+1))

Интегрируем правую часть:

=(t^8/8)-(t^7/7)+(t^6/6)-(t^5/5)+(t^4/4)-(t^3/3)+(9t^2/2)-9t+9ln|t+1|+C
где t=(7x+8)^((1/6)

7.
Выделяем полный квадрат
32-x^2-4x=-(x^2+4x+4)+36=6^2-(x+2)^2
Замена
x+2=u
dx=du

получаем
∫ du/(6^2-u^2)= табличный интеграл см. формулу в приложении а=6
= (1/12)*ln|(u+6)/(u-6)|+С, где u=x+2

8.
∫ sin^5xdx= ∫ sin^4x*sinxdx= ∫ (1-cos^2x)^2(sinxdx)=

= ∫ (1-2cos^2x+cos^4x)*(sinxdx)= так как d(cosx)=-sinxdx, поэтому

= - ∫ d(cosx) +2* ∫ cos^2xd(cosx) - ∫ cos^4xd(cosx)=

=-cosx +2*(cos^3x/3) -(cos^5x/5) + C (прикреплено изображение)

1.
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
a^(m) : a^(n)=a^(m-n)

табличные интегралы 1; 4; 9 и правило интегрирования сложной функции, аргументом которой является линейная ( см. приложение 2)
(выделено жирным шрифтом)

=5*∫ (x^(4-(1/2))dx - 4*[b] ∫ cos5xdx[/b] +3*∫ (1/(4+x^2))dx - 9* ∫ dx=

=5*(x^(3,5+1))/(3,5+1) -4 * (1/5) sin5x +3* (1/2)arctg (x/2) -9x +C=

=(10/9)x^(4,5)-(4/5)sin5x +(3/2)arctg(x/2)-9x+C

2.
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

табличные интегралы 12; 8; 2
и правило интегрирования сложной функции, аргументом которой является линейная ( см. приложение 2)
(выделено жирным шрифтом)

=6*ln|x+sqrt(x^2-5)|+[b](3/7)(-ctg7x)[/b]-2ln|x-3| + C

3.
Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

табличные интегралы 11; 10; 12
и правило интегрирования сложной функции, аргументом которой является линейная ( см. приложение 2)
(выделено жирным шрифтом)

=2*[b](1/4)e^(4x)[/b]-6*arcsin(x/4)+4*ln|x+sqrt(x^2+13)|+C

4.
Замена переменной:
u=arcsinx;
du=dx/sqrt(1-x^2)
получим
= ∫ udu=(u^2/2)+C = ((arcsinx)^2/2) + C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.) Ответ. -2e^(-x)+C
Проверка.
(-2e^(-x)+C)`=-2*e^(-x)*(-x)`=2*e^(-x)=2/e^(x) - верно

2)
F(x)=x^3-2x+C
Подставляем координаты точки M
4=2^3-2*2+C
C=0
О т в е т. F(x)=x^3-2x

3)
F`(x)=(-2ctgx-3x+C)`=-2*(ctgx)`-3+0=-2*(-1/sin^2x)-3=(2/sin^2x)-3
О т в е т. 1) f(x)=(2/sin^2x)-3

Ответ выбран лучшим

Выразим t
t=(x-1)/7
t=(y-2)/5
t=(z-3)/3
Получили уравнение прямой
(x-1)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
направляющий вектор vector{s}=(7;5;3)

Составим уравнение прямой, проходящей через точку Р(4;2;3) с
направляющим вектором vector{s}=(7;5;3)

[b](x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3[/b]

точки пересечения этой прямой

с плоскостью xOy
z=0
{z=0
{(x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3

(x-4)/7=(y-2)/5=-3/3 ⇒
(x-4)/7=-1; x-4=-7; x=-3
(y-2)/5=-1; y-2=-5; y=-3

c плоскостью xOz
y=0

{y=0
{(x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3

(x-4)/7=(-2)/5=(z-3)/3
(x-4)/7=-2/5; x=(-14/5)+4=6/5
(z-3)/3=(-2/5); z=9/5

c плоскостью уOz
x=0

{x=0
{(x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
(-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
y=(-20)/7+(2)=-6/7
z=(-12/7)+3=9/7

Ответ выбран лучшим

Cоставляем уравнение плоскости, проходящей через три точки: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x-4)/5=(y-5)/2=(z+5)/4

плоскость хоу
z=0
(x-4)/5=(5/4)
x=(41)/4
(y-5)/2=5/4
y=(15)/(2)

плоскость xoz
y=0
(x-4)/5=(-5/2)
x=(-17)/2
(z+5)/4=(-5/2)
z=-15

плоскость yoz
x=0
(y-5)/2=(-4/5)
y=(17)/5
(z+5)/4=(-4/5)
y=(-41)/5

Ответ выбран лучшим

Последняя координата общей точки - точки пересечения плоскостей
z=0
Поэтому две другие координаты найдем из системы:
{2x-4y= 1
{2x = 1 ⇒ x = 1/2

y=0
M_(o)=(1/2; 0; 0)

x_(M)=-8,5
тогда
первая координата вектора vector{a} равна -8

Поэтому две другие координаты найдем из системы:
{2*(-8,5) - 4y + z = 1
{2*(-8,5)+ 2z = 1 ⇒ z = 9

-4у=9

y=-9/4

О т в е т. vecrot{r}=(1/2;0;0)+t*(-8; -9/4; 9)

Ответ выбран лучшим

vector{r}=(-3; 1; 5) + t*(-5;-5;1)
при t=0
получаем координаты точки Р

Ответ выбран лучшим

Нет

S(круга)=πR^2

πR^2 : R ≠ π

Ответ выбран лучшим

Направляющий вектор данной прямой
vector{s}=(9;-8;4)
Плоскость перпендикулярна прямой, значит направляющий вектор прямой - нормальный вектор плоскости.

vector{n}=(9;-8;4)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку (-3;-8;-5)
с заданным нормальным вектором vector{n}=(9;-8;4)

Cм. приложение:

9*(x-(-3))-8*(y-(-8)) +4*(z-(-5))=0
9x - 8y +4z - 17=0
или
9х - 8y +4z = 17
О т в е т.
a=9;
b=-8;
c=4
d=17

Ответ выбран лучшим

угол между плоскостями - угол между их нормальными векторами.

vector{n_(1)}=(2;-4;2)
vector{n_(2)}=(5;-2;5)

Находим длины векторов
|vector{n_(1)}=sqrt(2^2+(-4)^2+2^2)=sqrt(24)=2sqrt(6);
|vector{n_(2)}=sqrt(5^2+(-2)^2+5^2)=sqrt(54)=3sqrt(6)

Находим скалярное произведение векторов:
vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=2*(-5)+(-4)*(-2)+2*5)=8

cos ∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=(vector{n_(1)}*vector{n_(2)})/(|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|)=

=8/(2sqrt(6)*3sqrt(6))=8/36=2/9

∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=[b]arccos(2/9)[/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть первоначальная цена товара х руб.

x:100*20= 0,2x руб составляют 20%

х-0,2х=0,8х руб цена товара после первой скидки

0,8x :100*13=0,104х руб. составляют 13% от 0,8х руб

0,8х-0,104х=0,696х руб - цена после второй скидки,

что по условию задачи равно 174 руб

0,696х=174
х=174:0,696
х=250

Область определения находим из системы неравенств:
{x^2-4x>0⇒ x*(x-4)>0⇒ x < 0 или x > 4
{sqrt(x^2-4x) -x+3 >0 ⇒ sqrt(x^2-4x) >3-x;
Если 3-х < 0, то sqrt(x^2-4x)>3-x при любом x <0 или x > 4,
тогда х >4

Если 3-x >0, т.е. x < 3
возводим обе части неравенства в квадрат
x^2-4x > 9-6x+x^2
2x> 9
x>4,5

О Д З: (- ∞ ;0) U (4,5;+ ∞ )

Наименьшее целое, положительное принадлежащее ОДЗ
x=5

Ответ выбран лучшим

Плоскость - 5x + 5y -5z=4 , нормальный вектор vector{n}=(-5;5;-5)
Для прямой, перпендикулярной плоскости, вектор vector{n}=(-5;5;-5)
является направляющим вектором.
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку Р (5;-2;-2)
с направляющим вектором vector{n}=(-5;5;-5)
(x-5)/(-5) = (y+2)/5 = (z+2)/(-5)
Cоставляем параметрическое уравнение.
Вводим параметр t:
(x-5)/(-5) = (y+2)/5 = (z+2)/(-5)=t;
x-5=-5t;
y+2=5t;
z+2=-5t

x=5-5t;
y=-2+5t
z=-2-5t

Что в вектором виде означает
vector{r}=(5;-2;-2)+t*(-5;5;-5)
Тогда первая координата вектора vector{r}
x=5+t*(-5);
вторая координата этого вектора
y=-2+t*5
третья координата этого вектора
z=-2+t*(-5)

При t=0
x=x(0)=5
y=y(0)=-2
z=z(0)=-2
Это и есть координаты точки Р

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(2;4) - центр эллипса.
a^2=9 ⇒ a=3- малая полуось на оси Ох
b^2=25 ⇒ b=5 - большая полуось на оси Оу.

малая ось 3+3=6
большая ось 5+5=10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
MB ⊥ плоскости АВС, значит перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, в том числе и ВС
MC - наклонная,
ВС - проекция
По теореме о трех перпендикулярах,
если MC ⊥ AC, то и BC ⊥ AC
Δ ABC - прямоугольный, ∠ С=90 градусов.
По теореме Пифагора
АВ=sqrt(m^2+n^2)

(прикреплено изображение)

1 способ ( как на листочке)
(4*cosx*sinx)`=(4cosx)`*sinx (4cosx)*(sinx)`=4*(-sinx)*sinx 4cosx*(cosx)=4cos^2x-4sin^2x=
=4*(cos^2x-sin^2x)=4cos2x
2 способ
4сosx*sinx=4*(2sinx*cosx)=2sin2x
(2sin2x)`=2*(cos2x)*(2x)`=4cos2x

Найдем абсциссы точек переcечения графиков
4-x^2=3x;
x^2+3x-4=0
D=9+16=25
x=(-3-5)/2=-4; x=(-3+5)/2=1
S= ∫ ^(1)_(-4)((4-x^2)-(3x))dx=
=(4x-(x^3/3)-(3x^2/2))|^(1)_(-4)=
=4-(1/3)-(3/2)-(-16+(64/3)-24)=125/6 (прикреплено изображение)

V=S_(осн)*H
S_(осн)=(1/2)d_(1)*d_(2)*sin60^(o)

V=(1/2)*4*4*(sqrt(3)/2)*6=24sqrt(3) (прикреплено изображение)

B_(1)C_(1) ⊥ пл.С_(1)СDD_(1) ⇒ B_(1)C_(1) ⊥ DC_(1)
О т в е т. 90 градусов (прикреплено изображение)

lim_(x→ 2 - 0) f(x)=lim_(x→ 2 - 0) 2^(1/(x-2))=2^(- ∞ )=0

im_(x→ 2 +0) f(x)=lim_(x→ 2 - 0) (3x+a)=3*2+a=6+a

Для непрерывности функции требуем, чтобы предел слева был равен пределу справа ( и значению функции в точке. Оно такое же как предел справа)
6+а=0
а=-6

Ответ выбран лучшим

7.
log_(5)5+log_(0,25)64=1+ log_(1/4)4^3=1+3log_(1/4)4=1+3*(-1)=-2;
16.
3+log_(2)6=3*log_(2)2+log_(2)6=log_(2)2^3+log_(2)6=log_(2)(8*6)=log_(2)48
log_(2)48/log_(2)48=1
18.
log_(6)81/log_(6)9=log_(9)81=2
Формула перехода к другому основания справа налево.
20.
log_(sqrt(8))64=4, так как ((sqrt(8))^2)^2=64
log^(2)_(sqrt(8))64=4^2=16
21.
9^(3log_(9)11)=9^(log_(9)11^(3))=11^(3)
основное логарифмическое тождество
22.
4^(log_(2)sqrt(3))=2^(2log_(2)sqrt(3))=2^(log_(2)(sqrt(3))^2)=(sqrt(3))^2=3
25.
log_(1/8)sqrt(8)=log_(8^(-1))8^(1/2)=(-1/2)log_(8)8=-1/2
26.
4^(log_(6)72)/4^(log_(6_2)= (a^(m):a^(n)=a^(m-n))=
4^(log_(2)72 - log_(2)6)=4^(log_(6)72/2)=4^(log_(6)36)=4^(2)=16
27.
log_(3)sqrt(5)/log_(3)5=log_(5)sqrt(5)=log_(5)5^(1/2)=(1/2)log_(5)5=
=(1/2)*1=(1/2)
28.
(a^(m))^(n)=a^(m*n)

(5^(log_(3)7))^(log_(7)3)=5^(log_(3)7 * log_(7)3)=5^(1)=5

cм формула перехода к другому основанию
log_(a)b=1/log_(b)a ⇒
[b]log_(a)b*log_(b)a=1[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

замена переменной
3^(x)=t;
t>0
9^(x)=(3^(2))^(x)=(3^(x))^(2)=t^2
27^(x)=t^3
3^(2x+1)=3^(2x)*3=3t^2
3^(x+2)=3^(x)*3^(2)=9t

(t-3)^3/(2t-4) ≤ (t^3-6t^2+9t)(t-t^2+2);

Переносим все слагаемые влево, приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые

(t-3)^3/(2*(t-2))+((t-3)^2*t)/((t-2)(t+1)) ≤ 0

*(t-3)^2/(t-2))*((t-3)*(t+1)+2t)/(t+1)) ≤ 0

(t-3)^2*(t^2-3)/(2*(t-2)(t+1)) ≤ 0

Метод интервалов
_+__ [-sqrt(3)] __-__ (-1) __+_ [sqrt(3)] _-_(2) __+__ [3] ___+_

Учитывая, что t >0

t ∈ [sqrt(3);2) U{3}

Обратный переход

sqrt(3) ≤ 3^(x) < 2 или 3^(x)=3
(1/2) ≤ x < log_(3)2 или x=1

О т в е т. [1/2; log_(3)2) U {1}

ОДЗ:
{x^2+x-2>0 ⇒ x <-2 или х>1
{x^2+x-2 ≠ 1 ⇒ x^2+x-1 ≠ 0

По определению логарифма
x^3+2x^2-5x-5=(x^2+x-2)^(0)
x^3+2x^2-5x-6=0
x^3+1+2x^2-2-5x-5=0
(x+1)*(x^2-x+1+2x-2-5)=0
(x+1)*(x^2+x-6)=0
x=-1; x=-3; x=2 - корни
x=-1 не принадлежит ОДЗ

log_(3)0,25=log_(3)(1/4)<log_(3)(1/3)=-1
log_(3)0,25=log_(3)(1/4)>log_(3)(1/9)=-2

log_(3)17 < log_(3)27=3
log_(3)17 > log_(3)9=2
2<log_(3)17<3
-3 < log_(3)0,25 < log_(3)17 < 3
О т в е т. Указанному отрезку принадлежит корень x=2

Выражаем t
t=(x-1)/5
t=(y-2)/1
t=(z-3)/7
Приравниваем правые части:
(x-1)/5=(y-2)/1=(z-3)/7
получаем каноническое уравнение прямой
Направляющий вектор это прямой vector{s}=*(5;1;7)

Параллельная прямая имеет тот же направляющий вектор и проходит через точку Р(4;-1;2)

(x-4)/5=(y+1)/1=(z-2)/7

Точки пересечения с плоскостью xOy
z=0
(x-4)/5=(y+1)/1=(0-2)/7

(x-4)/5=(-2/7)
x=(-10/7)+4=18/7
(y+1)/1=(-2)/7
y=(-2/7)-1=(-9/7)
(18/7;-9/7;0)

Точки пересечения с плоскостью xOz
y=0
(x-4)/5=(0+1)/1=(z-2)/7

(x-4)/5=1
x=5+4=9
(z-2)/7=1
z-2=7
z=9
(9;0;9)

Точки пересечения с плоскостью yOz
x=0
(0-4)/5=(y+1)/1=(z-2)/7

(y+1)/1=(-4/5)
y=(-4/5)+1=1/5
(z-2)/7=1
z-2=7
z=9
(0;1/5;9)

Ответ выбран лучшим

а) Каноническое уравнение параболы вида
y^2=2px;
Вершина в точке (0;0) фокус в точке (p/2;0); уравнение директрисы х=-p/2)

(y`)^2=4(x`);
y`=y-7
x`=x-4

Параллельный перенос вершины из точки (0;0) в точку (4;7)

(4;7) - вершина
2p=4; p=2

F(5;7) - фокус
x= 3 - уравнение директрисы

b) y^2-8y=20x-16
(y-4)^2=20x
Вершина в точке (0;4)
2p=20
p=10
Фокус
F(10;4)
Уравнение директрисы
х = -10

с)
2p=20
p=10
Каноническое уравнение параболы вида
x^2=2py
Фокус в точке (0;p/2)
Уравнение директрисы у = - p/2

2p=20
p=10

Вершина в точке (1;1)
Фокус в точке (1;11)

Уравнение директрисы
y = - 9

d)x^2+8x=4y-28
(x^2+8x+16)=4y-12
(x+4)^2=4*(y-3)

Вершина в точке (-4;3)
2p=4
p=2
Фокус в точке F(-4;4)
Уравнение директрисы
y= 2

Cм рис d)

Если бы каждое задание было в отдельном вопросе,
то рисунок был бы приложен к каждому заданию,
а так только к последнему, чтобы не нарушать
последовательность . (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
Прямая
3x-5y+4=0 имеет нормальный вектор vector{n}=(3;-5)
Параллельные ей прямые имеют такой же нормальный вектор.
Уравнение прямой, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o)) c нормальным вектором vector{n}=(A;B)
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))=0
5*(x-4)-3*(y-1)=0
[b]5x-3y-17=0[/b]

Можно записать уравнение прямой с угловым коэффициентом
y=(5/3)x+(4/3)
k=(5/3)
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
y=(5/3)x+b - множество прямых, параллельных данных
Выделим ту, которая проходит через точку С(4;1)
Подставим координаты точки С:
1=(5/3)*4+b
b=-17/3
y=(5/3)x-(17/3)
или
3у=5х-17
5x-3y-17=0

б)
Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом
3y=7x+8
y=(7/3)x+(8/3)
k=(7/3)
Произведение угловых коэффициентов
взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
k=-1/(7/3)=(-3/7) - угловой коэффициент прямой,
перпендикулярной данной
y=(-3/7)x+b
Чтобы найти b подставим координаты точки С
1=(-3/7)*4+b
b=19/7
[b] y=(-3/7)x+(19/7)
3x+7y-19=0[/b]

V = π ∫ ^(2)_(0)(x^2)^2dx = π*(x^5/5)|^(2)_(0)=32π/5;

5)
1-cos4x=2sin^22x

lim_(x→0) (2sin^22x)/sin^23x=(2*2*2)/(3*3)=8/9

lim_(x→0)(sin2x/2x)=1
lim_(x→0)(3x/sin3x)=1

4)
Неопределенность 0/0
Умножаем и числитель и знаменатель
на (sqrt(x+4)+1)*(sqrt(3-2x)+3)

Применяем формулу (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(sqrt(x+4)-1)*(sqrt(x+4)+1)=(sqrt(x+4))^2-1^2=(x+4-1);
(sqrt(3-2x)-3)*(sqrt(3-2x)+3)=(sqrt(3-2x))^2-3^2=(3-2x-9);

=lim_(x→ - 3)(x+4-1)*(sqrt(3-2x)+3)/(3-2x-9)*(sqrt(x+4)+1)=

=lim_(x→ - 3)(x+3)*(sqrt(3-2x)+3)/(-2*(x+3))*(sqrt(x+4)+1)=

сокращаем на (х+3)

=6/(-2*2)=-3/2

2) плоскость Q: -2х - 2у +z - 5 = 0
нормальный вектор vector{n}=(-2;-2;1)
совпадает с направляющим вектор прямой, перпендикулярной Q.

(x-2)/(-2)=(y-10)/(-2)=(z+7)/1
3)
Параметризуем, вводим t
(x-2)/(-2)=(y-10)/(-2)=(z+7)/1 =t ⇒
x-2=-2t
y-10=-2t
z+7=t

x=2-2t
y=10-2t
z=-7+t

и подставляем в уравнение плоскости
-2(2-2t)-2*(10-2t)+(-7+t)-5=0;
9t-36=0
t=4
При t=4
x=2-2*4=-6
y=10-2*4=2
z=-7+4=-3
(-6;2;-3) - точка пересечения прямой, перпендикулярной Q с плоскостью Q

Плоскость хОу
z=0
Подставляем в уравнение прямой
(x-2)/(-2)=(y-10)/(-2)=(0+7)/1
(x-2)/(-2)=7 ⇒ x = - 12
(y-10)/(-2)=7 ⇒ y = - 4
( -12; -4; 0)

Плоскость хОz
y=0
(x-2)/(-2)=(0-10)/(-2)=(z+7)/1
(x-2)/(-2)=5⇒ x = -8
(z+7)/1=5⇒ z = -2
(-8; 0; -2)

Плоскость уОz
x=0
(0-2)/(-2)=(y-10)/(-2)=(z+7)/1
(y-10)/(-2)=1 ⇒ y = 8
(z+7)/1=1 ⇒ z = - 7
( 0; 8; -7)

Ответ выбран лучшим

(sin3x-sinx)-sin2x=0
2sinxcos2x-sin2x=0
2sinxcos2x-2sinxcosx=0
2sinx*(cos2x-cosx)=0
2sinx*(-2sin(3x/2)sin(x/2))=0

sinx=0⇒ x=πk, k ∈ Z
или
sin(3x/2)=0⇒ (3x/2)=πm, m ∈ Z ⇒ x=(2π/3)m, m ∈ Z
или
sin(x/2)=0 ⇒ (x/2)=πn, n ∈ Z ⇒ x=2πn, n ∈ Z этот ответ входит в первый и входит во второй, его можно не писать

О т в е т. (2π/3)m, m ∈ Z ; π+2πk, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Замечаем, что
(x^2+3x+5)`=2x+3
Это означает,
что
d(x^2+3x+5)=(2x+3)dx
и
получаем табличный интеграл вида
∫du/sqrt(u)=2sqrt(u)
О т в е т. 2sqrt(x^2+3x+5) + C

2.
Замена
5-4x=u
-4dx=du
dx=(-1/4)du
4x=5-u
x=(1/4)(5-u)
Меняем пределы интегрирования
При х_(1)=-1 получаем u_(1)=9
При x_(2)=1 получаем u_(2)=1

Данный интеграл равен интегралу
(-1/16)∫ ^(1)_(9) (5-u)du/sqrt(u)=

=(-1/16) ∫^(1)_(9) (5/sqrt(u)du +(1/16) ∫^(1)_(9) sqrt(u)du=

(можно поменять пределы и знак перед интегралом)

=(-5/16)*2sqrt(u)|^(1)_(9) +(1/16)*(2/3)u^(3/2)|^(1)_(9)=

=(-10/16)*(1-3)+(1/24)*(1-27)=(20/16)-(26/24)=(15/12)-(13/12)=1/6

Можно
по-другому сделать замену

sqrt(5-4x)=t;
5-4x=t^2;
x=(5-t^2)/4;
dx=-2tdt/4;
dx=-dt/2;

Пределы
x_(1)=-1 ⇒ t_(1)=3
x_(2)=1 ⇒ t_(2)=1

= (-1/2)∫^(1)_(3) (5-t^2)dt/4=

=(1/8) ∫ ^(3)_(1)(5-t^2)dt=(1/8)*(5t-(t^3/3))|^(3)_(1)=

=(1/8)*(15-9)-(1/8)*(5-(1/3))=(3/4)-*(-7/12)=(9/12)-(7/12)=2/12=1/6

Ответ выбран лучшим

lim_(x→-5-0)f(x)=(-5)^2+10*(-5)+27=2
lim_(x→-5+0)f(x)=-(-5)^2-10*(-5)-23=2

Предел слева равен пределу справа и равен 2
Значит функция имеет предел в точке и он равен 2
Переопределив
f(-5)=2
Тогда и предел функции и значение функции в точке (-5) будут равны 2, а это определение непрерывности функции в точке.
Функция становится непрерывной

Ответ выбран лучшим

1) Подставляем 1 вместо х

=(1-3-2)/(1-16)=-4/(-15)=4/15
2.
cos(-3x)=cos3x

1-cos3x=2sin^2(3x/2)

cos(3x)-1=-2sin^2(3x/2)

lim_(x→0)(-2sin^2(3x/2))/(sin9x^2)=-1/2

lim_(x→0)(sin(3x/2))/(3x/2)=1
lim_(x→0)(9x^2)/(sin9x^2)=1

Ответ выбран лучшим

Выделяем полные квадраты
(x^2+2x)-(4y^2-16y)-7=0
(x^2+2x+1)-4(y^2-4y+4)-1+16-7=0
(x-1)^2-4*(y-2)^2=-8
(y-2)^2/2-(x-1)^2/8=1
это гипербола
c центром в точке (1;2)
действительной осью, параллельной оси Оу. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=14x +3*(-sinx)-e^(x)-sin(ctgx) * (ctgx)`=

=14x +3*(-sinx)-e^(x)-sin(ctgx) * (-1/sin^2x)

Ответ выбран лучшим

y=u*v
y`=u`*v+u*v`=(3x^2-4)`*lnx +(3x^2-4)*(lnx)`=

=6x*lnx +(3x^2-4)*(1/x)

Ответ выбран лучшим

y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
u=sinx
v=(4x+2)

y`=((sinx)`*(4x+2)-sinx*(4x+2)`)/(4x+2)^2=

=(cosx*(4x+2)-sinx*4)/(4x+2)^2

Ответ выбран лучшим

x^(10)−3x^6+9x^2−1=0
⇒
-9x^2=x^(10)-3x^(6)-1
-27x^2=3x^(10)-9x^(6)-3

Тогда

x^(4)−27x^(2)+3=x^(4)+3x^(10)-9x^6-3+3=3x^(10)-9x^(6)+x^(4)=

=x^(4)*(3x^(6)-9x^(2)+1)=

=x^(4)*(3x^6+x^(10)-3x^(6)-1+1)=x^4*x^(10)=x^(14)

log_(x)(x^4−27x^2+3)=log_(x)x^(14)=14

vector{r}=vector{r_(o)}+vector{a}

Причем третья координата vector{r_(o)} равна 0
Значит находим точку пересечения плоскостей, так, чтобы z=0
{5x+2y=-5
{5x=2
x=0,4
y=-3,5

M_(o)(0,4; -3,5; 0)
vector{a}=(6; ?; ?)
Значит, первая координата точки M равна 6,4

{5*6,4+2y-z=-5;
{5*6,4+3z=2
z= - 10
y= - 23,5

vector{a}=vector{M_(o)M}=(6,4-0,4; -23,5-(-3,5); -10-0)=(6;-20;-10)
О т в е т. vector{r}=(0,4; -3,5; 0)+t*(6; -20; -10) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

43.
vector{CA}=(1-(-3);1-(-2);5-5)=(4;3;0)
vector{CB}=(1-(-2);1-0;5-7)=(3;1;-2)
|vector{CA}|=sqrt(4^2+3^2+0^2)=5
|vector{CB}|=sqrt(3^2+1^2+(-2)^2)=sqrt(14)
Найдем скалярное произведение векторов:
vector{CA}*vector{CB}=4*3+3*1+0*(-2)=15

сos ∠ ACB=(vector{CA}*vector{CB})/|vector{CA}|*|vector{CB}|=

=15/(5*sqrt(14))=3sqrt(14)/14

∠ ACB=arccos(3sqrt(14)/14)

45.
vector{CA}=(2-(-1);4-0;5-3)=(3;4;2)
vector{BC}=(-1-(-3);0-2;3-2)=(2;-2;1)

Найдем скалярное произведение векторов:
vector{CA}*vector{BC}=3*2+4*(-2)+2*1=0

vector{CA} ⊥ vector{BC}

46.

vector{a} ⊥ vector{b} ⇒ vector{a}*vector{b}=0

Найдем скалярное произведение векторов:
vector{a}*vector{b}=(-2)*3+y*(-1)+1*2=- 4 - y

-4 -y =0
y= -4

Ответ выбран лучшим

Прямая перпендикулярна плоскости, значит нормальный вектор плоскости - направляющий вектор прямой.
(x-1)/(5)=(y-4)/(-2)=(z+5)/(-2)
Параметризуем, вводим t
(x-1)/(5)=(y-4)/(-2)=(z+5)/(-2)=t

x-1=5t
y-4=-2t
z+5=-2t

x=1+5t
y=4-2t
z=-5-2t

vector{r}=(1;4;-5)+t*(5;-2;-2)

При t=0
(1;4;-5) - координаты точки Р

6.
О т в е т. 4)
7.
О т в е т.
3)
3.
О т в е т.
3)
4.
О т в е т.
2)
5.
О т в е т.
3)

Ответ выбран лучшим

vector{r}=(5;0;5)+t*(8-5;5-0;3-5);
vector{r}=(5;0;5)+t*(3;5;-2)
При t=0
x=5+0*3=5
y=0+0*5=0
z=5+0*(-2)=5

vector{r}=vector{r_(o)}+vector{a}

Пропущено условие
[b]Одна из координат vector{r_(o)} должна быть указана.[/b]

Пусть z=0
{2x+5y=0
{2x=-5
x=-2,5
y=1

M_(o)(-2,5; 1 ; 0)

vector{a}=(5; ?; ?)

Значит, первая координата точки M равна 2,5

{2*2,5 + 5y + z = 0;
{2*2,5 + z = - 5
z= - 10
y= 1

vector{a}=vector{M_(o)M}=(2,5-(-2,5); 1-1; -10)=(5;0;-10)

О т в е т. vector{r}=(-2,5; 1; 0)+t*(5; 0; -10) (прикреплено изображение)

lim_(x→ 9-0)f(x)=9^2+7*9+5=81+63+5=
не 100 по крайней мере больше ста
lim_(x→ 9+0)f(x)=-3*9+2=-25

Ответ выбран лучшим

S= ∫^(ln3)_(ln2) (e^(3x)-e^(x))dx=((1/3)e^(3x)-e(x))|^(ln3)_(ln2)=

=(1/3)e^(3ln3)-e^(ln3)-(1/3)e^(3ln2)+e^(ln2)=

=(1/3)(e^(ln3))^3-3-(1/3)(e^(ln2))^3+2=

=(1/3)*3^3-(1/3)*2^3-1=

=(19/3)-1=16/3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим координаты точки пересечения асимптот.
(9/2)х + 9 = (-9/2)х + 3;
9х=-6
х=-2/3
y=6
(-2/3;6)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна, b=7.
Из уравнения асимптот
9/2=7/a
a=14/9

значит уравнение гиперболы

(х-(2/3))^2/(14/9)^2 - (y-6)^2/7^2 = -1

c^2=a^2+b^2=(196/81)+49=(196+3969)/81=4165/81
c=sqrt(4165)/9

Расстояние между фокусами
2с=2sqrt(4165)/9

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(4165)/63 ≈ 1,02439383

Ответ выбран лучшим

Параллельные плоскости имеют одинаковые нормальные векторы
vector{n}=(a;b;c)
Значит уравнение искомой прямой
имеет вид:
-9*х+1*y+7*z=d
Плоскость, проходит через точку
(9;9;8)
Значит ее координаты удовлетворяют уравнению
-9*9+1*9+7*8=d
d=-16
-9x+1*y+7z=-16
или
умножим на (-1)
9х-1*у-7z=16
О т в е т.
a=9;
b=-1;
c=-7
d=16

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой проходящей через две точки:
(x-1)/(-2-1)=(y-5)/(4-5)=(z-4)/(1-4)
(x-1)/(-3)=(y-5)/(-1)=(z-4)/(-3)
Параметризуем. Вводим параметр t
(x-1)/(-3)=(y-5)/(-1)=(z-4)/(-3)=[b] t[/b]
x=1-3t
y=5-t
z=4-3t

вектор{r}=(1;5;4)+t*(-3;-1;-3)
При t=0
получаем координаты точки Р

Ответ выбран лучшим

угол между плоскостями - угол между их нормальными векторами.

vector{n_(1)}=(5;-1;-3)
vector{n_(2)}=(-1;-2;-1)

Находим длины векторов
|vector{n_(1)}=sqrt(5^2+(-1)^2+(-3)^2)=sqrt(36)=6;
|vector{n_(2)}=sqrt((-1)^2+(-2)^2+(-1)^2)=sqrt(6)

vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=5*(-1)+(-1)*(-2)+(-3)*(-1)=0

Векторы ортогональны, их скалярное произведение равно 0
О т в ет. 90 градусов

Ответ выбран лучшим

Нормальный вектор vector{n}=(-3;3;2)
Прямая перпендикулярна плоскости, значит нормальный вектор плоскости есть ее направляющий вектор
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку Р(0;-5;4)
с направляющим вектором vector{n}=(-3;3;2)
(x-0)/(-3)=(y+5)/3=(z-4)/2
Параметризуем.
Вводим t:
(x-0)/(-3)=(y+5)/3=(z-4)/2=t
x=0-3t
y=-5+3t
z=4-2t

в векторно-параметрическом виде
vector{r}=(0;-5;4)+t*(-3;3;2)

Ответ выбран лучшим

Найдем координаты двух точек, принадлежащих линии пересечения плоскостей
Решаем систему
{3x-5y+5z=-2
{3x+3z=-1
Система имеет бесчисленное множество решений.

По условию третья координата точки M_(o)
z=0
{3x-5y=-2
{3x=-1
x=(-1/3)
y=1/5

М_(о)(-1/3;1/5;0)

По условию первая координата vector{M_(o)M}=vector{a}
равна (-15)
значит
x_(M)-x_(M_(o))=-15
x_(M)=-46/3

{3*(-46/3) -5y+5z=-2
{3*(-46/3)+3z=-1

z=15
5y=31
y=6,2

M(-46/3; 6,2; 15)
vector{a}=(-15; 6; 15)

vector{r}=vector{r_(o)} + t*vector{a}=

=(-1/3;1/5;0)+ t*(-15; 6; 15)

x=x(t)=(-1/3) - 15t
y=y(t)=(1/5) + 6t
z=z(t)=0 + 15t

Ответ выбран лучшим

x=5-5t
y=3+2t
z=2-5t
и подставляем
в уравнение плоскости
x+5y+4z=- 62

1*(5-5t)+5*(3+2t)+4*(2-5t)=-62;
-15t=-90
t=6

Находим координаты точки при t= 6
x=5-5*6=-25
y=3+2*6=15
z=2-5*6=-28

x=4+3t
y=-2-4t
z=-2+3t
и подставляем
в уравнение плоскости
2x-4y+3z=165

2*(4+3t)-4*(-2+4t)+3*(-2+3t)=165;
10-t=165
t=-155

Находим координаты точки при t= -155
x=4+3*(-155)=
y=-2-4*(-155)=
z=-2+3*(-155)=

Ответ выбран лучшим

Выразим t
t=(x-1)/7
t=(y-2)/5
t=(z-3)/3
Получили уравнение прямой
(x-1)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
направляющий вектор vector{s}=(7;5;3)

Составим уравнение прямой, проходящей через точку Р с
направляющим вектором vector{s}=(7;5;3)

[b](x-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3[/b]

точки пересечения этой прямой

с плоскостью xOy
z=0
(x-4)/7=(y-2)/5=-3/3 ⇒
(x-4)/7=-1; x-4=-7; x=-3
(y-2)/5=-1; y-2=-5; y=-3

y=0
(x-4)/7=(-2)/5=(z-3)/3
(x-4)/7=-2/5; x=(-14/5)+4=6/5
(z-3)/3=(-2/5); z=9/5

x=0
(-4)/7=(y-2)/5=(z-3)/3
y=(-20)/7+(2)=-6/7
z=(-12/7)+3=9/7

Ответ выбран лучшим

Находим координаты точки пересечения асимптот.
(8/3)х + 7 = (-8/3)х - 3;
(16/3)х=-10
х=-15/8
y=2
(-15/8;2)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна, b=9.
Из уравнения асимптот
8/3=9/a
a=27/8

значит уравнение гиперболы

(х+(15/8))^2/(27/8)^2 - (y-2)^2/9^2 = -1

c^2=a^2+b^2=(729/64)+81=(5913/64)
c=sqrt(5913)/8

Расстояние между фокусами
2с=sqrt(5913)/4

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(5913)/72= ≈ 1,06800047 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим координаты точки пересечения асимптот.
(9/5)х - 2=(-9/5)х-5;
(18/5)х=-3
х=-5/6
y=-7/2
(-5/6;-7/2)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна, b=10.
Из уравнения асимптот
9/5=10/a
a=50/9

значит уравнение гиперболы

(х+(5/6))^2/(50/9)^2 - (y+(7/2))^2/10^2 = -1

c^2=a^2+b^2=(2500/81)+100=(10600/81)
c=10sqrt(106)/9

Расстояние между фокусами
2с=20sqrt(106)/9

Эксцентриситет
ε=с/b=10sqrt(106)/90=(1/9)*sqrt(106) ≈ 1,1439589 (прикреплено изображение)

cos5x=sin^2x+cos^2x-2sin^2x
cos5x=cos^2x-sin^2x
cos5x=cos2x
cos5x-cos2x=0
-2sin(7x/2)*sin(3x/2)=0

sin(7x/2)=0
(7x/2)=πn, n ∈ Z
x=(2/7)πn, n ∈ Z

sin(3x/2)=0
(3x/2)=πk, k ∈ Z
x=(2/3)πk, k ∈ Z

О т в е т.(2/7)πn, n ∈ Z; (2/3)πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

7,5+х+4=20
х=20-7,5-4
х=9,5

(прикреплено изображение)

cosx-cos2x= -2 sin(3x/2)*sin(-x/2)

sin3x=2sin(3x/2)cos(3x/2)

2*sin(3x/2)*sin(x/2) = 2*sin(3x/2)*cos(3x/2)
2*sin(3x/2)*sin(x/2) - 2*sin(3x/2)*cos(3x/2) = 0
2*sin(3x/2)*(sin(x/2)-cos(3x/2))=0
sin(3x/2)=0
(3x/2)=πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

sqrt(3)sin2x=cos9x-cos5x

cos9x-cos5x=-2sin7x*cos2x

sqrt(3)cos2x=2sin7x*cos2x

sqrt(3)cos2x - 2 sin7x*cos2x=0

cos2x*(sqrt(3)-2sin7x)=0

cos2x=0
2x=(π/2) +πn , n ∈ Z
x=(π/4)+(π/2)*n, n ∈ Z

или

sqrt(3)-2sin7x=0
sin7x=sqrt(3)/2
7x=(-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(π/21)+(π/7)k, k ∈ Z

О т в е т.(π/4)+(π/2)*n, n ∈ Z; (-1)^(k)*(π/21)+(π/7)k, k ∈ Z

Формула
cos^2 α =(1+cos2α)/2
В таком виде называется формула понижения степени.

(1+cos2x)/2 - (1+cos4x)/2 - (1+cos6x)/2 +(1+cos8x)/2=0

сos2x - cos4x - cos6x + cos8x=0

(cos2x+cos8x)-(cos4x+cos6x)=0

Формула - сумма косинусов

2cos5x*cos3x-2cos5x*cosx=0

cos5x*(cos3x-cosx)=0

cos5x=0
5x=(π/2)+πk, k ∈ Z
x=(π/10)+(π/5)k, k ∈ Z

cos3x-cosx=0
-2sin2x*sinx=0
sin2x=0
2x=πn, n ∈ Z
x=(π/2)n, n ∈ Z
или
sinx=0
x=πm, m ∈ Z

О т в е т.(π/10)+(π/5)k, k ∈ Z
(π/2)n, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

а) круговой цилиндр x^2+y^2=4
в основании (на плоскости хОу)
окружность x^2+y^2=4
Образующие параллельны оси Оz.

Параболический цилиндр - см. рисунки справа.
парабола z=4-x^2 в плоскости zOx
В пространстве - на прямой, || оси Оу, проходящей через точку z=4
"навешано" много -много парабол z=4-x^2

Главное не картинку нарисовать, а понимать, что в основании этого тела.
В основании круг x^2+y^2=4
Сверху поверхность z=f(x;y)
В данном случае z=4 - x^2

б) Два цилиндра.
В основании половинки парабол
y=sqrt(3x) - ближе к оси Ох - красного цвета.
y=6*sqrt(3x) - синего.
Образующие || оси Оz

Тело - между ними бесконечно и вверх и вниз и вправо.

z=0 плоскость xOy
Значит вниз не бесконечно.
Ограничено z=0

Теперь плоскость x+z=3
Она параллельна оси Оу
и по прямой z+x=3
(3;0;0) и (0;0;3)
И тогда ограничивает тело справа
по прямой х=3 на плоскости хОу.
И сверху этой же плоскостью.
Поэтому тело имеет основание - область D
а сверху накрыто плоскостью z+x=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(4/5)^2=1-(16/25)=9/25
cos α = ± sqrt(9/25)= ± 3/5
По условию
π/2< α < π
Это вторая четверть, косинус во второй четверти имеет знак минус
cos α =-3/5
tg α =sin α /cos α = - 4/3
ctg α = -3/4

|vector{u}|=sqrt((-4)^2+3^2+3^2)=sqrt(34)
|vector{v}|=sqrt(1^2+10^2+(-2)^2)=sqrt(105)
(u*v)=-4*1+3*10+3*(-2)=20

Ответ выбран лучшим

Выразим t
t=(x-1)/5=(y-2)/2=(z-3)/4
Получили уравнение прямой
(x-1)/5=(y-2)/2=(z-3)/4
направляющий вектор vector{s}=(5;3;4)

Составим уравнение прямой, проходящей через точку Р с
направляющим вектором vector{s}=(5;3;4)

[b](x+3)/5=(y-5)/2=(z-1)/4[/b]

точки пересечения этой прямой

с плоскостью xOy
z=0
(x+3)/5=(y-5)/2=(-1/4) ⇒
x=(-5/4)-3=-17/4
y=(-2/4)+5=9/2

y=0
(x+3)/5=(-5)/2=(z-1)/4
x=(-25/2)-3=-31/2
z=-10+1=-9

x=0
(3)/5=(y-5)/2=(z-1)/4
y=(6/5)+5=31/5
z=(12/5)+1=17/5

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: sinx > 0

2cos^2x+11cosx+5=0 или log_(18)(sinx)=0

2cos^2x+11cosx+5=0
D=121-4*2*5=81
cosx=-5 или сosx=-1/2

уравнение cosx = - 5 не имеет решений.
так как |cosx| ≤ 1

cosx=-1/2
x= ± arccos(-1/2)+2πn,n ∈ Z
x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z
Учитывая ОДЗ
х=(2π/3)+2πn, n ∈ Z

log_(18)(sinx)=0
sinx=1
x=(π/2)+2πk, k ∈ Z

О т в е т. (π/2)+2πk, k ∈ Z, (2π/3)+2πn, n ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим координаты точки пересечения асимптот.
(9/4)х - 8 = (-9/4)х - 5;
(18/4)х=3
х=2/3
y=-13/2
(2/3;-13/2)- центр гиперболы

Вещественная ось вертикальна, b=6.
Из уравнения асимптот
9/4=6/a
a=8/3

значит уравнение гиперболы

(х-(2/3))^2/(8/3)^2 - (y+(13/2))^2/6^2 = -1

c^2=a^2+b^2=(64/9)+36=(388/9)
c=sqrt(388)/3

Расстояние между фокусами
2с=2sqrt(388)/3

Эксцентриситет
ε=с/b=sqrt(388)/18= ≈ 1,109431753 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4.
ОДЗ:
{x>0;
{x ≠ 1

(0;1)U(1;+ ∞ )
так как
log_(x)2=1/log_(2)x;
log_(2)sqrt(x)=log_(2)x^(1/2)=(1/2)*log_(2)x;

Замена переменной
log_(2)x=t

(1/t)- 1 = 2t;
(2t^2+t-1)/t=0

{2t^2+t-1=0; D=1+8=9; t_(1)=-1 или t_(2)=1/2
{t ≠ 0

log_(2)x=-1 ⇒ x=2^(-1); x=1/2
или
log_(2)x=1/2 ⇒ x=2^(1/2); x=sqrt(2)

О т в е т. 1/2; sqrt(2)

5.
(5^(-2))^(-y)=5^(2y)

1024=2^(10)
log_(2)1024=10

log_(27)x^3=log_(3^3)x^3=(3/3)log_(3)x;

{5^(2y)=5^(x+1) ⇒ 2y=x+1;
{log_(3)(4y+6x-12)=lg(10) + log_(3)x;

{2y=x+1;
{log_(3)(4y+6x-12)=1 + log_(3)x;

{2y=x+1;
{log_(3)(4y+6x-12)=log_(3)3 + log_(3)x ⇒ log_(3)(4y+6x-12)= log_(3)(3*x);

{2y=x+1;
{4y+6x-12=3x;

{2y=x+1;
{4y=-3x+12
2x+2=-3x+12
5x=10
x=2
y=3/2
проверка:
log_(3)(6+12_12)=1+log_(27)8 - верно
О т в е т. (2;3/2)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной:
y - f (x_(o)) =f ` (x_(o))* (x - x_(o))
Уравнение нормали:
y - f (x_(o)) =( -1/f ` (x_(o)))* (x - x_(o))

x_(o) = π/6
f(x_(o)) = 1

f `(x) = 2 cosx
f `(x) = 2 cos(π/6)=sqrt(3)

y - 1 = sqrt(3)*(x - (π/6))- уравнение касательной ( синего цвета на рис.)

y - 1 = (-1/sqrt(3))*(x - (π/6)) - уравнение нормали (зеленого цвета на рис.)

y`(π/2)=0
касательная в точке х_(о)=π/2 параллельна оси ох

если касательная в точке образует острый угол с положительным направлением оси Ох,
то y `(x_(o)) > 0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В плоскости SBC проводим ЕК || SB
получаем Δ DEK
∠ DEK и есть угол между DE и SB.

Пусть все ребра пирамиды равны a.
Тогда Δ SDC - равносторонний
DE=a*sqrt(3)/2 - высота, медиана и биссектриса равностроннего треугольника.
EK=(1/2)SB=a/2 - средняя линия Δ SBC

Из прямоугольного треугольника DCK
DK^2=DC^2+CK^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4

По теореме косинусов из треугольника DEK
DK^2=DE^2+EK^2-2*DE*EK*cos ∠ DEK

cos ∠ DEK=(DE^2+EK^2-DK^2)/(2*DE*EK)=

=((3a^2/4)+(a^2/4)-(5a^2/4))/(a^2sqrt(3)/2)=(-1/(2sqrt(3))=(-sqrt(3)/6)<0
значит угол тупой, а смежный угол - острый.

О т в е т. arccos(sqrt(3)/6) (прикреплено изображение)

s_(1)=a_(1)=4/2=2
s_(2)=a_(1)+a_(2)=2+(16/7)=(30/7)
s_(3)=s_(2)+a_(3)=(30/7)+(64/12)
Последовательность (s_(n)) монотонно возрастает
s=lim_(n→ ∞ )s_(n)=+ ∞
Ряд расходится

Умножим второе на 2 и приравняем левые части
3x^2+y^2=4x^2+2xy-2y^2;
x^2+2xy-3y^2=0 - однородное
Делим на y^2
x/y=t
t^2+2t-3=0
D=16
t=-3 или t=1

x/y=-3
x=-3y

3*(-3y)^2+y^2=4
28y^2=4
y^2=1/7
y= ± sqrt(1/7)
x=-3*( ± sqrt(1/7)

x=y
3x^2+x^2=4
x^2=1
x= ± 1
y= ± 1

О т в е т. (sqrt(1/7);-3sqrt(1/7));(-sqrt(1/7);3sqrt(1/7));(-1;-1);(1;1)

Ответ выбран лучшим

первое однородное уравнение.
Делим на y^2
x/y=t

3t^2-4t+1=0
D=16-12=4
t=1/3 или t=1

x/y=1/3
y=3x
подставляем во второе
x^2+2*(3x)^2=19
19x^2=19
x^2=1
x= ± 1
y= ± 3

x/y=1
y=x
x^2+2x^2=19
x^2=19/3
x= ± sqrt(19/3)
y=± sqrt(19/3)

О т в е т . (1;3);(-1;-3);(sqrt(19/3);sqrt(19/3));(- sqrt(19/3);- sqrt(19/3))

Ответ выбран лучшим

Функция задана неявно.
Дифференцируем равенство:
(sqrt(x)-sqrt(y))`=(sqrt(a))`

x - независимая переменная, х`=1

(1/2sqrt(x))-(1/2sqrt(y))*y`=0
y`=sqrt(y)/sqrt(x)

sqrt(y)=sqrt(x)-sqrt(a)

y`(4a)=sqrt(a)/(2*sqrt(a))=1/2

Ответ выбран лучшим

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)

y`_(t)=(e^(8t))`=e^(8t)*(8t)`=8e^(8t)
x`_(t)=(e^(-3t))`=e^(-3t)*(-3t)`=-3e^(-3t)

y`=8e^(8t)/(-3e^(-3t))=(-8/3)e^(8t-(-3t))=(-8/3)e^(11t)

y`(1)=(-8/3)e^(11)

Ответ выбран лучшим

Произведение угловых коэффициентов взаимно
перпендикулярных прямых равно (-1).

Прямая 4х-у=0 имеет угловой коэффициент k=4
Значит, угловой коэффициент касательной
k=-1/4
геометрический смысл производной в точке:
k(касательной)=f `(x_(o))

f(x)=sqrt(x) - 2
f `(x)= (sqrt(x) - 2)`=1/2sqrt(x)
f`(x_(o))=1/2sqrt(x_(o))

-1/4 = 1/2sqrt(x_(o))
[b]sqrt(x_(o))=-2[/b]

это уравнение не имеет решений.
и на рисунке видно, что нельзя провести касательную с
угловым коэффициентом (-1/4),т.е. под тупым углом к оси ох

и фокус в том, что из y=sqrt(x)-2⇒
sqrt(x)=y+2
⇒ х=(y+2)^2 - парабола
и касательная, удовлетворяющая условию
у=(-1/4)х - 3 проходит в точке с абсциссой х_(о)=4 к другой ветви параболы
y=-sqrt(x)-2

Поэтому либо опечатка в условии
и должно быть y=-sqrt(x)-2
либо...
Уравнение касательной:
y - f (x_(o)) =f ` (x_(o))* (x - x_(o))

f(x)= - sqrt(x) - 2
f `(x)= ( - sqrt(x) - 2)`=- 1/2sqrt(x)
f`(x_(o))= - 1/2sqrt(x_(o))

-1/4 = - 1/2sqrt(x_(o))
[b]sqrt(x_(o))=2[/b]
x_(o)=4

f(4)=-sqrt(4)-2=-4
y - (-4)= -(1/4)*(x - 4) - уравнение касательной
y=(-1/4)x -3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=((2-x)/x)^(1/ln(2-x)) это показательно-степенная функция
поэтому применяем логарифмирование
lny=(1/ln(2-x))*ln((2-x)/x)
Находим предел lny
lim_(x→1)(ln((2-x)/x))/(ln(2-x))= неопределенность(0/0)
=применяем правило Лопиталя=

=lim_(x→1)(x/(2-x))*((2-x)/x)`/(-1/(2-x))=

=lim_(x→1) (-2/((2-x)*x)) : (-1/(2-x))=

=lim_(x→1) (2/x)=2 ⇒

lim_(x→1) y= e^2 - о т в е т

1.
-cosx≥ 0 ⇒ cosx ≤ 0
0≤ sqrt(-cosx)≤ 1
О т в е т. 1)[0;1]

2.
О т в е т.
[-3;1]
cм. рис.

3.
О т в е т. 3)

4.
О т в е т. 2)

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=32795 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение плоскости
ax+by+cz=d
По условию
a=11
11x+by+cz=d
Подставляем координаты каждой точки в уравнение.
Получаем систему трех уравнений:
{11*(-5)+b*(-3)+c*(-1)=d⇒ -3b-c=55+d
{11*(-2)+b*0+c*(-6)=d ⇒ -6c=22+d
{11*(-2)+b*1+c*(-4)=d ⇒ b-4c=22+d

b-4c=-6c
b=-2c

-3*(-2c)-c=55-6c-22
11c=33
c=3

b=-6

d=-40

Ответ выбран лучшим

ΔACB - равнобедренный
Высота СЕ является медианой
А значит и биссектрисой
∠ АСЕ= ∠ ВСЕ=60^(o)
∠ CBA=30^(o)
катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы
Значит,
АС=ВС=20
В прямоугольном треугольнике ACD
∠DAB=60 градусов
Так как ∠ САВ=30 градусов, то
∠ DAC=30 градусов
в прямоугольном треугольнике ADC
катет DC равен половине гипотенузы AC
DB=DC+CB=10+20=30

AD=DB*tg ∠ ABD=30*tg30 градусов=10sqrt(3)

1.
2log_((4x-x^2-5)^2)(4x^2+1) ≤ log_(x^2-4x+5)(3x^2+4x+1);

(4x-x^2-5)^2=(x^2-4x+5)^2

и по свойству логарифма:

log_(b^2)a=(1/2)log_(b)a, a>0; b> 0, получаем неравенство

[b]log_(x^2-4x+5)(4x^2+1) ≤ log_(x^2-4x+5)(3x^2+4x+1);[/b]

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(cм. таблицу)
(можно конечно рассматривать совокупность двух систем
в 2-х случаях
а) когда логарифмическая функция возрастает, основание >1 ;
б) когда логарифмическая функция убывает

{x^2-4x+5>0;
{x^2-4x+5 ≠ 1;
{4x^2+1>0
{3x^2+4x+1> 0
{(x^2-4x+5-1)(4x^2+1-3x^2-4x-1) ≤ 0

{неравенство верно при любом х;
{x ≠ 2
{неравенство верно при любом х;
{D=16-4*3*1=4, корни (-1) и (-1/3) ⇒ x < -1 или х > (-1/3)
{(x-2)^2*(x^2-4x) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 4
О т в е т. [0;2)U(2;4]

3.
ОДЗ:
x > 0

При х>0
log_(0,5)(4x)=log_(0,5)4+log_(0,5)x=-2+log_(0,5)x

log^2_(0,5)(4x)= (-2+log_(0,5)x)^2=4-4log_(0,5)x+log^2_(0,5)x

log_(0,25)(0,25x)^2=log_(0,5^2)(0,25x)^2=log_(0,5)(0,25x)=
=log_(0,5)(0,25)+log_(0,5)x=2+log_(0,5)x

log_(0,5)5*log_(5)(x/4)=log_(0,5)(x/4)=log_(0,5)x-log_(0,5)4=
=log_(0,5)x+2

получаем неравенство
(4-4log_(0,5)x+log^2_(0,5)x)*(2+log_(0,5)x) ≤ (2+log_(0,5)x)
(4-4log_(0,5)x+log^2_(0,5)x)*(2+log_(0,5)x) - (2+log_(0,5)x) ≤ 0

(2+log_(0,5)x) * ( 4 - 4 log_(0,5)x+log^2_(0,5)x - 1 ) ≤ 0

(t+2)*(t^2-4t+3) ≤ 0

__-__ (-2) __+__ [1] ___-___ [3] ___+___

t < - 2 или 1 ≤ t ≤ 3

log_(0,5)x < -2 или 1 ≤ log_(0,5)x ≤ 3
0,5 < 1
логарифмическая функция убывает
x > 4 или 1/8 ≤ х ≤ 1/2

О т в е т. [1/8;1/2]U (4;+ ∞ )

6.
0 ≤ sqrt(x) <+ ∞
0 ≤ 2*sqrt(x) <+ ∞
- 4 ≤ 2* sqrt(x) - 4 <+ ∞

О т в е т. 4) [-4;+ ∞)

8.
-1 ≤ sin5x ≤ 1
-2 ≤ 2*sin5x ≤ 2

О т в е т. 3)[-2;2]

9.
0 ≤ sqrt(x) <+ ∞
0 ≤ 5*sqrt(x) <+ ∞
2 ≤ 5* sqrt(x)+2 <+ ∞

О т в е т.2) [2;+ ∞)

10.
б) и в)

11.
А) и В)

12.
Область определения (- ∞;-1)U(-1;+ ∞ )
Область изменений (- ∞;-4)U(-4;+ ∞)
Cтроим прямую у=4х с выколотой точкой (-1;-4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2х - 3у + 8z = d - множество плоскостей, параллельной данной.
Подставим координаты точки
2*(-2)-3*8+8*6= d
d=20
О т в е т. 2х - 3у + 8z = 20
a=2
b=-3
c=8
d=20

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
замена
u=2x^3+3
du=6x^2dx
x^2dx=(1/6)du

∫ ∛u* (1/6)du=(1/6)u^(4/3)/(4/3)+ C=(1/8)∛(2x^3+3)^4 +C

2
По частям
u=x
dv=cos4xdx
du=dx
v=(1/4)sin4x
=(1/4)x*sin4x-(1/4) ∫ sin4xdx=

=(1/4)x*sin4x-(1/16) (-cos4x)+ C

По теореме синусов:
AB/sinC=AC/sinB
sinB=6sin10^(o)/8=(3/4)sin10^(o)=(3/4)*0,1736481777 ≈ 0,130236133
B ≈ 7 градусов
угол А=180 градусов - 10 градусов - 7 градусов=163 градусов

По теореме синусов:
AB/sinC=ВC/sinА
ВС=8*sin163 градусов/sin 10 градусов

точка Р - это М_(о)
Q это М
vector{a}=(7-3;0-1;-7-(-4))=(4;-1;-3)

vector{r}=vector{r_(o)} + t*vector{a}=

=(3;1;-4)+ t*(4;-1;-3)

x=x(t)=3+4t
y=y(t)=1-1t
z=z(t)=-4-3t
при t=0
x=-3
y=1
z=-4
и есть координаты точки Р (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

уравнение с разделяющимися переменными.
(1+x^3)dx/x^3=(y^2-1)dy/y^3
Интегрируем
∫ ((1/x^3)+1)dx= ∫ ((1/y)-(1/y^3))dy

(-1/(2x^2)) + x = ln|y| +(1/(2y^2))+ C

Ответ выбран лучшим

S= S_(1)+S_(2)=
=∫^(2)_(0)(x-(1/2)x)dx+ ∫ ^(3)_(2)((-1/2)x^2+2x-(1/2)x)dx=

= (1/2)*(x^2/2)|^(2)_(0) +((-1/2)*(x^3/3)+(3/2)*(x^2/2))|^(3)_(2)=

=1 - 0 + (-1/2)*9+(3/4)*(9) - (-1/2)*(8/3)-(3/4)*4=

=1 - (9/2)+ (27/4) + (4/3) -3= (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

2.
Δ MNL подобен ΔМКN
по двум углам, угол М - общий
Из подобия
MN:MK=ML:MN
MN^2=MK*ML=(8+10)*8
x=MN=12
MN:MK=NL:NK
y=NL=12*21/18=14

7.
Δ RKO подобен Δ LМO
по двум углам
Из подобия
х:12=24:16
х=12*24/16=18
y=sqrt(18^2+24^2)=sqt(900)=30

12.
Δ BDE подобен Δ BCA
по двум углам, угол B - общий
8:(12+x)=12:24; BC=24
192=144+12x
x=4

Ответ выбран лучшим

b_(1)=n
b_(2)=n*q
b_(3)=nq^2
По условию
b_(3)=n^3
b_(1)+b_(2)+b_(3)=7b_(1)

{nq^2=n^3 ⇒ q^2=n^2
{n+nq+nq^2=7n ⇒ q^2+q-6=0
D=1+24=25
q=(-1-5)/2=-3 или q=(-1+5)/2=2
⇒
q=-3 не удовлетворяет смыслу задачи
При q=2
n=2
и прогрессия
2; 4;8

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания равна а
Тогда
r=a*sqrt(3)/6 - выражение радиуса вписанной окружности через сторону основания правильного треугольника.

1,5sqrt(3)=a*sqrt(3)/6
a=9

В правильном треугольнике
R=2r

V=(1/3)S_(осн)*h
(по теореме Пифагора)
h^2=b^2-R^2=6^2-(3sqrt(3))=36-27=9
h=3

S_(осн)=(1/2)*a*a*sin60^(o)=81sqrt(3)/4

V=(1/3)*(81sqrt(3)/4)*3=81sqrt(3)/4 (прикреплено изображение)

V=π ∫^(3) _(0)(x^2)^2dx=π(x^5/5)|^(3)_(0)=π*243/5

Ответ выбран лучшим

7*e^(6+i)=7*e^(6)*e^(i)
e^(-i)=1*(сos1-isin1)
i*e^(-i)=sin1+i cos1
tgθ=cos1/sin1
tgθ=ctg1
ctg1= рад=0,64209
tgθ=0,64209
θ=arctg0,64209 = 0,5707944 ≈0,571

Ответ выбран лучшим

вторая производная
φ ``(t)= (φ `(t))`

Ответ выбран лучшим

Область определения(- ∞ ;+ ∞ )

f `(x)=(2x^3+3x^2+1)`=6x^2+6x

f `(x)=0

6x^2+6x=0

6x*(x+1)=0
x=0 или х=-1

__+__ (-1) __-___ (0) __+___

х=-1 - точка максимума
y(-1)=2
х=0- точка минимума
y(0)=1
функция возрастает на (- ∞ ;-1) и на (0;+ ∞ )
убывает на (-1;0) (прикреплено изображение)

Замена
y`=z
y``=z`
Получаем линейное уравнение
z`-(1/(1+x))z=(1+x)^2/2
Применяем метод Бернулли
z=u*v
z`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`-(1/(1+x))*u*v=(1+x)^2/2
u`*v+u*(v`-(1/(1+x))v)=(1+x)^2/2;
v`-(1/(1+x))v=0 -уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=dx/(1+x)
ln|v|=ln|1+x|
v=1+x
u`*(1+x)=(1+x)^2/2
u`=(1+x)/2
du=(1+x)dx/2
u=(1/2)x+(x^2/4)+C_(1)

z=u*v=((1/2)x+(x^2/4)+C_(1))*(1+x)=(1/2)x+(x^2/4)+C_(1)+(1/2)x^2+(x^3/4)+C_(1)x

y`=(x^3/4)+(3/4)x^2+(1/2)x+C_(1)x+C_(1)
интегрируем
y=(x^4/16)+(x^3/4)+(x^2/4)+C_(1)(x^2/2)+C_(1)x+C_(2) - о т в е т

(прикреплено изображение)

пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения
х=0
{2y-z=-5
{3z=2
z=2/3
y=-13/4

Пусть у=0
{5x-z=0
{5x+3z=2
умножаем первое на 3 и складываем
20х=2
х=1/10
z=5/10

Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки
(0;-13/4;2/3)
(1/10;0;5/10)
(x-0)/0,1=(y+13/4)/(-13/4)=z-(2/3)/((5/10)-(2/3))

Вводим параметр:
(x-0)/0,1=(y+13/4)/(-13/4)=z-(2/3)/((5/10)-(2/3))=t
{x=0,1t
{y=(-13/4)t-(13/4)
{z=(-1/6)t+(2/3)

Ответ выбран лучшим

y= (± a/b)x- уравнения асимптот для стандартной гиперболы
x^2/b^2-y^2/a^2=-1 c действительной осью Оу

Вершины гиперболы в точках(0;9) и (0;-9)
b=9
a/b=8/3
b=24

с^2=a^2+b^2=81+576=625
c=25
a=24
эксцентриситет с/а=25/24

данные асимптоты пересекаются в точке:
(8/3)x+7=(-8/3)x-3
(16/3)x=-10
x=-15/8
y=2

(x+(15/8))^2/81 - (у-2)^2/576= -1

Ответ выбран лучшим

большая ось АВ имеет длину 8
малая ось имеет длину 4
уравнение
(x-1)^2/4+(y-1)^2/16=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cоставим уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Ответ. vector{n}=(7;10;-5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это уравнение можно решить методом замены переменной
умножаем первую скобку на четвертую, вторую на третью
(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=1
x^2+5x+4=t
t*(t+2)=1
t^2+2t-1=0
D=4+4=8
t=(-2-2sqrt(2))/2=-1-sqrt(2)
или
t=-1+sqrt(2)

x^2+5x+4=-1-sqrt(2)
x^2+5x+5+sqrt(2)=0
D=25-20-4sqrt(2) < 0

x^2+5x+4=-1+sqrt(2)
x^2+5x+5-sqrt(2)=0
D=25-20+4sqrt(2)=5+4sqrt(2)
x=(-5-sqrt(5+4sqrt(2)))/2; x=(-5+sqrt(5+4sqrt(2)))/2 - о т в е т

Ответ выбран лучшим

Первое - однородное уравнение.
Пара (0;0) не является решением системы

Делим на y^2
(x/y)^2-2(x/y)-3=0
D=4+12
x/y=-1 или х/у=3

х=-у
и подставляем во второе
y^2+2y+y^2=6
2y^2+2y-6=0
y^2+y-3=0
D=1+12=13
y=(-1-sqrt(13))/2 или у=(-1+sqrt(13))/2
x=(1+sqrt(13))/2 или х=(1-sqrt(13))/2

x=3y

9y^2-6y+y^2=6
5y^2-3y-3=0
D=9+60=69
y=(3-sqrt(69))/10 или у=(3+sqrt(69))/10
x=3*(3-sqrt(69))/10 или х=3*(3+sqrt(69))/10

О т в е т.
(3*(3-sqrt(69))/10; (3-sqrt(69))/10)
(3*(3+sqrt(69))/10; (3+sqrt(69))/10)
((1+sqrt(13))/2;(-1-sqrt(13))/2)
((1-sqrt(13))/2;(-1+sqrt(13))/2)

Ответ выбран лучшим

s=S_(большого круга)-S_(малого круга)=πR^2-πr^2=π*49-π16=33π

2.
Выделим полный квадрат
x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1
d(x+1)=dx

= ∫ ^(2)_(1)d(x+1)/((x+1)^2-1)=(1/2)ln|(x+1-1)/(x+1+1)|^(2)_(1)=

=(1/2)*(ln(2/4)-ln(1/3))=(1/2)*ln(3/2)

3.
Интегрирование по частям
u=x^2
du=2xdx
dv=x*e^(x^2)dx
v=(1/2)*e^(x^2)
∫x^3*e^(x^2)dx=(x^2/2)*e^(x^2)- ∫x*e^(x^2)dx=

=(x^2/2)*e^(x^2)-(1/2)*e^(x^2).

О т в е т. ∫^(1)_(0)x^3*e^(x^2)dx=((x^2/2)*e^(x^2)-(1/2)*e^(x^2))|^(1)_(0)=

=(e/2)-(e/2)+1/2=1/2. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
v(t)=S`(t)=t^3-t^2+1
v(2)=8-4+1=5 м/с

a(t)=v`(t)=3t^2-2t
a(2)=12-4=8м/с^2

2.
f `(x)=x^2-4
f `(3)=9-4=5
f(3)=9-12+1=-2

y+2=5(x-3)- уравнение касательной
у=5х-17
у+2=(-1/5)*(х-3)-уравнение нормали
у=(-1/5)x-(7/5)

3.
f `(x)=(1/2)*(-1/sin^2x)
f ` ( π/4)=-1
tg α =-1
α =135^(o)

D: 0<x<2; 0<y<2-x

V= ∫ ∫ _(D)x^2dxdy= ∫ ^(2)_(0) (∫ ^(2-x)_(0)dy)x^2dx=

= ∫ ^(2)_(0) (2x^2-x^3)dx=

=(2x^3/3)|^(2)_(0)-(x^4/4)|^(2)_(0)=

=(16/3)-(16/4)=16/12=4/3

Умножим первое уравнение на 7
35x^2-70y^2=35
приравняем правые части
3x^2-2xy+5y^2=35x^2-70y^2
получили [b]однородное[/b] уравнение второй степени

32x^2+2xy -75y^2=0
x=0;y=0 не является решением системы

Делим на у^2:
t=x/y

32t^2 +2t-75=0

D=4+4*32*75=9604=98^2

t=(-2-98)/64= или t=(-2+98)/64
t=-25/16 или t=3/2

x/y=-25/16
x=-(25/16)y
и
подставляем в первое уравнение
5*((-25/16)y)^2-10y^2=5
y^2=256/113

y_(1)=16/sqrt(113); y_(2)=-16/sqrt(113)
x_(1)=-25/sqrt(113);x_(2)=25/sqrt(113)

x/y=3/2
x=3y/2
и подставляем в первое уравнение

(9/4)y^2-2y^2=1
y^2=4
y_(3)=2;y_(4)=-2
x_(4)=3;x_(4)=-3

О т в е т. (-25/sqrt(113); 16/sqrt(113)); (25/sqrt(113);-16/sqrt(113);
(3;2);(-3;-2)

sin^2t+cos^2t=1
sin^2t=1-cos^2t=1-0,8^2=1-0,64=0,36
sint=0,6, cо знаком+ так как угол t в первой четверти
tgt=sint/cost=0,6/0.8=3/4
ctgt=4/3

y`=7*(3x-5)^(6)*(3x-5)`-6*(-sin2x)*(2x)`+0
y`=21*(3x-5)^(6)+12sin2x- о т в е т

Ответ выбран лучшим

tg α =k(касательной)=f`(x_(o))

f `(x)=9*(5x-8)^(8)*(5x-8)`
f `(x)=45*(5x-8)^(8)
f ` (-1)=45*(-13)^(8)

tgα=45*(-13)^8 - о т в е т

Ответ выбран лучшим

а) sinx > sqrt(3)/2
(π/3)+2πk< x < (2π/3)+2πk, k ∈ Z
cм. рис. 1
б)
sinx ≤ 1/2
(-7π/6)+2πk ≤ x ≤ ( π/6)+2πk, k ∈ Z
см. рис.2

a)
sinx*(5-2sinx) ≥ 0

__+__ [0] _-__ [2/5] __+__

sinx ≤ 0 или sinx ≥ 2/5

[-π+2πk;0+2πk], k ∈ Z или [arcsin(2/5)+2πn, π - arcsin(2/5)+2πn], n ∈ Z

отрезку [1;7] принадлежат решения
x=1; так как arcsin(2/5) < 1 < π - arcsin(2/5)

x=2; так как arcsin(2/5) < 2 < π - arcsin(2/5)
x=3; так как arcsin(2/5) < 3 < π - arcsin(2/5)
x=7 так как 2π+arcsin(2/5) < 7 < 3π - arcsin(2/5)

б)
2sinx +sin^2x ≤ 0
sinx*(2+sinx) ≤ 0
2+sinx> 0 при любом х
sinx ≤ 0
[π+2πk; 2π+2πk], k ∈ Z

Отрезку [3;7] принадлежат корни:
х=4 так как π < 4 < 2π
х=5 так как π < 5 < 2π
х=6 так как π < 6 < 2π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞;+ ∞ )
y`=3(((x+1)^2)`*(3x^2-2x+3)-(x+1)^2*(3x^2-2x+3)`)/(3x^2-2x+3)^2

y`=3*(2*(x+1)*(x+1)`*(3x^2-2x+3)-(x+1)^2*(6x-2))/(3x^2-2x+3)^2

y`=0

(х+1)*(2(3x^2-2x+3)-6x^2-4x+2)=0

(х+1)*(-8х+8)=0

x=-1; x=1 - точки возможного экстремума

__-__ (-1) ___+__ (1) ___-__

х=-1 - точка минимума
х=1- точка максимума

Есть горизонтальная асимптота
у=1
lim_(x→∞)y=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Рассматриваем ряд из модулей
∑(1/(3n^2+1))
1/(3n^2+1)< 1/n^2

Ряд ∑1/n^2 cходится p=2 > 1
По признаку сравнения ряд
∑(1/(3n^2+1))
сходится.
данный ряд сходится абсолютно

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=6x^2-y^2
z`_(y)=-2xy+2y

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{6x^2-y^2=0
{-2xy+2y=0 ⇒ y=0 или х=1
(0;0) ; (1;sqrt(6)); (1;-sqrt(6)) - cтационарные точки

Рассматриваем
|(2n-5)/(3n+1)-(2/3)|=|(6n-15-6n-2)/(3*(3n+1)|=|(-15-2)/(3*(3n+1)|=17/(9n+3)

найдем при каких n выполняется неравенство
|(2n-5)/(3n+1)-(2/3)|< ε

Решаем неравенство
17/(9n+3) < ε
(9n+3)/17>1/ε
9n+3>17/ε
9n > (17/ε) - 3
n> (17-3ε)/9ε
для любого ε > 0 найдется номер n_(ε)=[(17-3ε)/9ε]
такой, что для всех n >n_(ε)
выполняется неравенство
|(2n-5)/(3n+1)-(2/3)|< ε

Это и означает по определению, что (2/3) является пределом

Ответ выбран лучшим

Применяем признак Даламбера:
lim_(n→∞)a_(n+1)/a_(n)

a_(n)=n/(2n+3)!
a_(n+1)=(n+1)/(2(n+1)+3)!

(2*(n+1)+3)!=(2n+5)!=(2n+3)!*(2n+4)*(2n+5)

lim_(n→∞)(n+1)/((n)*(2n+4)(2n+5))=0
0<1
сходится

Ответ выбран лучшим

логарифмируем
lny=x^2 *lnsinx
дифференцируем
y`/y=(x^2)`*(lnsinx)+x^2*(lnsinx)`
y`=y*(2x*(lnsinx)+x^2*(1/sinx)*(sinx)`

О т в е т. y`=(sinx)^(x^2) *(2x*(lnsinx)+x^2*ctgx)

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное уравнение:
y``+6y`+5y=0

Составляем характеристическое уравнение
k^2+6k+5=0
D=36-20=16
k_(1)=-5; k_(2)=-1
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x)

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

Справа квадратный трехчлен, значит
у_(ч)=ax^2+bx+c

y`_(ч)=2ax+b
y``_(ч)=2a

Подставляем в данное уравнение:
2a+6*(2ax+b)+5*(ax^2+bx+c)=25x^2-2;
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
5а=25
12a+5b=0
2a+6b+5c=-2

a=5
b=-12
c=12

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(о) и у_(ч)

y=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12

Применяем данные начальные условия
у(0)=12
y`_(0)=-12

Находим
y`=-5C_(1)*e^(-5x)-C_(2)e^(-x)+10x-12

{C_(1)+C_(2)+12=12
{-5C_(1)-C_(2)-12=-12

C_(1)=C_(2)=0

y=5x^2-12x+12-решение данного уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям

у(3)=5*9-36+12
у(3)=21
О т в е т. у(3)=21

Ответ выбран лучшим

9*e^(2+i)=9*e^(2)*e^(i)
e^(-i)=1*(сos1-isin1)
i*e^(-i)=sin1+i cos1
tgθ=cos1/sin1
tgθ=ctg1
ctg1= рад=0,64209
tgθ=0,64209
θ=arctg0,64209 = 0,5707944 ≈0,571

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

это возможно в двух случаях

1) каждый множитель равен 1

{sin(π+x)=1 ⇒ -sinx=1 ⇒ sinx=-1;
{sin(2x-(3π/2))=1 ⇒ -sin((3π/2)-2x)=1 ⇒ cos2x=1

{sinx=-1 ⇒ х=(-π/2)+2πn, n∈ Z
{cos2x=1 ⇒ 2x=2πk, k∈ Z; x=2πk, k∈ Z
Cистема не имеет решений

2) каждый множитель равен -1

{sin(π+x)=-1 ⇒ -sinx=-1 ⇒ sinx=1;
{sin(2x-(3π/2))=-1 ⇒ -sin((3π/2)-2x)=-1 ⇒ cos2x=-1

{sinx=1 ⇒ х=(π/2)+2πn, n∈ Z
{cos2x=-1 ⇒ 2x=π + 2πk, k∈ Z; x=(π/2)+ πk, k∈ Z
общее решение двух уравнений
(π/2)+2πn, n∈ Z

О т в е т. (π/2)+2πn, n∈ Z

1) подкоренное выражение неотрицательно
(x^2-3x+3)(x^2-3x-10) ≥ 0
x^2-3x+3>0 при любом х, так как D=9-12<0
x^2-3x-10 ≥ 0
D=9+40=49
x_(1)=(3-7)/2=-2; x_(2)=(3+7)/2=5
О т в е т . x ∈ (- ∞ ;-2]U[5;+ ∞ )

2)
(x-1)(x+2)(x^2-16) ≥ 0
(x-1)(x+2)(x-4)(x+4) ≥ 0

Применяем метод интервалов

__+__ [-4] __-__ [-2] ___+____ [1] ____-___ [4] ___+__

О т в е т. (- ∞ ;-4] U [-2;1] U [4;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

1)
z_(1)=-1-i

|z_(1)|=sqrt((-1)^2+(-1)^2)=sqrt(1+1)=sqrt(2)
argz_(1)=phi

sin(phi)=-1/|z_(1)|=-1/sqrt(2)
cos(phi)=x/|z_(1))=-1/sqrt(2)
phi=-3π/4

z_(1)=sqrt(2)*(cos(-3π/4)+i*sin(-3π/4))

Аналогично

|z_(2)|=sqrt(2^2+(2sqrt(3))^2)=sqrt(16)=4

argz_(2)=ψ

sinψ=y/|z_(2)|=2sqrt(3)/4=sqrt(3)/2
cosψ=x/|z_(2))=2/4=1/2
ψ=π/3

z_(2)=4*(cos(π/3)+i*sin(π/3))

Применяем формулу Муавра (cм. приложение)
a)
z^(3)_(1)=sqrt(2)^3(cos3*(-3π/4)+i*sin3*(-3π/4))=

=2sqrt(2)*(cos(-9π/4)+i*sin(-9π/4))=2sqrt(2)*(cos((-π/4)+i*sin(-π/4))=2-2*i

z^(4)_(2)=(4)^4*((cos4*(π/3)+i*sin4*(π/3))=
=256*(cos(4π/3)+i*sin(4π/3)=
=-128-128sqrt(3)*i
z^(3)_(1)*z^(4)_(2)=(2-2i*)(-128-128sqrt(3)*i)=
=-256+256*i-256sqrt(3)*i+256sqrt(3)*i^2=(-256sqrt(3)-256)+(256-256sqrt(3))*i

б)
z^(5)_(1)=(sqrt(2))^5(cos5*(-3π/4)+i*sin5*(-3π/4))=
=4sqrt(2)*(cos(-15π/4)+i*sin(-15π/4))=
=4sqrt(2)*(cos(-3π/4)+i*sin(-3π/4))=
=-4-4i

z^(3)_(2)=(4)^3*((cos3*(π/3)+i*sin3*(π/3))=
= 64*(cos(π)+i*sin(π))=-64

z^(5)_(1)/z^(3)_(2)=(-4-i*4))/(-64)=

=(1/16)+i*(1/16)

в)

z^(1/4)_(2)=(4)^(1/4)*cos(((π/3)/4)+(πk/2))+i*sin((((π/3)/4)+(πk/2))

k=0,1,2,3

при k=0
(z^(1/4)_(2))_(0)=sqrt(2)*(cos(π/12)+i*sin(π/12))

при k=1
(z^(1/4)_(2))_(1)=sqrt(2)*(cos(7π/12)+i*sin(7π/12))

при k=2
(z^(1/4)_(2))_(2)=sqrt(2)*(cos(13π/112)+i*sin(13π/12))

при k=3
(z^(1/4)_(2))_(2)=sqrt(2)*(cos(19π/12)+i*sin(19π/12))

4 числа и являются ответом.
Их расположение на рисунке:

Рисуем окружность радиуса sqrt(2)

Откладываем луч (π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(o)

Откладываем луч (7π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(1)

Откладываем луч (13π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(2)

Откладываем луч (19π/12).
Пересечение окружности и луча - точка z_(3)
(прикреплено изображение)

log_(7)(x-4)=log_(7)24-log_(7)3;
log_(7)(x-4)=log_(7)(24/3)
log_(7)(x-4)=log_(7)8
x-4=8
x=12

1)
Выделим полный квадрат
(x^2-2xy+y^2)-4y^2=0 ⇒ (x-y)^2-4y^2=0 ⇒
(x-y-2y)(x-y+2y)=0 ⇒ (x-3y)=0 или (х+у)=0

получаем совокупность двух систем
{x-3y=0
{x^2-2x+y^2=6
или
{x+y=0
{x^2-2x+y^2=6
которые легко решаются способом подстановки

2)
{3x^2+y^2=4
{(x^2-y^2)+(x^2+xy)=2 ⇒ (x+y)*(2x-y)=2

Замена
х+у=u
2x-y=v

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
x-y=u
x+y=v

x=(u+v)/2
y=(u-v)/2

{3v^2+u^2=28
{uv=3
способ подстановки
u=3/v
биквадратное уравнение
3v^4-28v^2+9=0
D=784-108=676
v^2=1/3 или v^2=9
v_(1)= - 1/sqrt(3); v_(2)=1/sqrt(3); v_(3)=-3;v_(4)=3
u_(1)=-3sqrt(3);u_(2)=3sqrt(3);u_(3)=-1;u_(4)=1

x_(1)=(-3sqrt(3))/2 - (1)/(2sqrt(3))
x_(2)=(3sqrt(3))/2+(1)/(2sqrt(3))
x_(3)=-2
x_(4)=2

y_(1)=(-3sqrt(3))/2+(1)/(2sqrt(3))
y_(2)=(3sqrt(3))/2-(1)/(2sqrt(3))
y_(3)=2
y_(4)=-1

Ответ выбран лучшим

найдем две точки на линии пересечения плоскостей.

пусть х=0
{2y+3z-5=0
{-2y-z+1=0
cкладываем
2z-4=0
z=2
y=-1/2
К(0;-1/2;2)

пусть z=0
{x+2y-5=0
{3x-2y+1=0
складываем
4х-4=0
х=1
у=2
N(1;2;0)

Координаты точек, отсекающих равные отрезки на осях Ох и Оz:
P(c;0;0) и Q(0;0;c)

Cоставим уравнение плоскости
Пусть М(х;у;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{KM}=(x- 0;y+(1/2);z-2);
vector{KN}=(1;5/2;-2)
vector{PQ}=(-c;0;c) компланарны
Условием компланарности трех векторов является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов.
(прикреплено изображение)

vector{AB}=(-3;4;4)
vector{AD}=(-2;2;1)
пр_(vector{AD})vector{AB}=vector{AB}*vector{AD}/|vector{AD}|=
=(6+8+4)/3=6

(прикреплено изображение)

Условие:
(х-4)sqrt(x^2-x-2)/(x-5) ≤ 0
ОДЗ:
{x^2-x-2 ≥ 0 ⇒ D=9; корни -1 и 2 ⇒ х ≤ -1 или х ≥ 2
{x-5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Решаем методом интервалов:

___+___ [-1] [2] ___+__ [4] __-_ (5) _+ _

О т в е т. (- ∞ ; -1]U[2;4]U(5;+ ∞)

Ответ выбран лучшим

3.3
g o h_(1) o f o h_(1)(x)=1/|sqrt(|x-1|)-1|
функция имеет разрывы второго рода в точках х=0 и х=2
при х=-8
у=1/2
при х=5
y=1
образ множества (-8;5]=(1/2; + ∞ )
cм. рис.1

3.4
h_(3)o g o f (x) =|(1/sqrt(x))-3|
Найдем при каких х
y=2
Решаем уравнение
|(1/sqrt(x))-3|=2
1/sqrt(x)=5
sqrt(x)=1/5;
x=1/25

прообраз множества (1;2]
множество (0;1/25]
cм. рис 2.

(0;1/25] → (1;2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

строим параболу y=9x^2+31x-20
Ветви вверх.
Точки пересечения с осью Ох
9x^2+31x-20=0
D=31^2-4*9*(-20)=961+720=1681
x_(1)=(-31-41)/18=-4 или x_(2)=(-31+41)/18=5/9

О т в е т .(- ∞ ;-4]U[5/9;+ ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x*(x-8) > 0
___+__ (0) ___-___ (8) __+__
x< 0 или х > 8

О т в е т. (- ∞ ;0) U (8;+ ∞ )

парабола у = x^2 - 8x пересекает ось Ох в точках 0 и 8 и переходя через эти точки меняет свое расположение
на (- ∞;0) и на (8;+ ∞ ) расположена выше оси Ох.

Ответ выбран лучшим

y - f(x_(o))=f `(x_(o))*(x - x_(o))
x_(o)=-1
f(x)=x^2+1
f(x_(o))=(-1)^2+1=2
f ` (x)=2x
f `(x_(o))=2*(-1)=-2

y - 2 = - 2 * (x - (-1))
y=-2x
О т в е т у=-2х

Обозначим y=(ln2x)^(2/lnx)

Логарифмируем
lny=(1/lnx)*ln(2x)
Находим
lim_(x→+∞)lny=lim_(x→+∞)ln(2x)/(lnx)= неопределённость ( ∞/ ∞)
применяем правило Лопиталя:
=lim_(x →+∞)(ln2x)`/(lnx)`=lim_(x→+∞)(1/2x)/(1/x)=1/2

Тогда lim_(x→+∞)y=e^(1/2)=sqrt(e)
О т в е т. sqrt(e)

3.1
u_(a,b)=h_(a)(f(h_(b)(g(x))))=h_(a)(f(h_(b)(1/x)))=h_(a)(f(|(1/x)-b|))=

=h_(a)(sqrt(|(1/x)-b|))=

=|sqrt(|(1/x)-b|)-a|

Ответ выбран лучшим

M_(1)xM_(2)={(1;7);(3;7);(6;7);(8;7); (1;9);(3;9);(6;9);(8;9);(1;1);(3;1);(6;1);(8;1);(1;4);(3;4);(6;4);(8;4)}
R={(1;7);(1;9);(3;9);(1;1);(1;4)}

запишем уравнения прямой в параметрическом виде.
обозначим:
t=(x-1)/1=y/0=(z+3)/2
⇒
x=t+1
y=0
z=2t-3
и подставим в уравнение плоскости:
2*(t+1)-0+4*(2t-3)=0
10t-10=0
t=1
При t=1
x=1+1=2
y=0
z=2*1-3=-1
О т в е т (2;0;-1)

Замена переменной
2^(x)=t
4^(x)=t^2
8^(x)=t^3
2^(x+3)=2^(x)*2^(3)=8t
2^(x+2)=2^(x)*2^2=4t

Неравенство примет вид:
(t^3+3t-32)/(t-3) + (t^3-8t-7)/(t^2-8) ≥ t^2+4t+12;

(t^5+3t^3-32t^2-8t^3-24t+256+t^4-8t^2-7t-3t^3+24t+21 )/(t-3)(t^2-8) ≥
t^2+4t+12

(-7t-21)/(t-3)(t^2-8) ≥ 0
Применяем метод интервалов:
__+__[-3] _-__(-2sqrt(2)) __+___ (2sqrt(2)) _-__ (3) __+__

c учётом t > 0
(0;2sqrt(2))U(3;+ ∞)
Обратная замена:
2^(x) < 2sqrt(2) ⇒ x < 1,5
2^(x) > 3 ⇒ x > log_(2)3
О т в е т(- ∞ ;1,5) U(log_(2)3;+ ∞ )

По теореме косинусов.
Пусть
a=7; b=9; c=11
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
cosA=(9^2+11^2-7^2)/(2*9*11)=153/(2*9*11)=17/22
∠A=arccos(17/22)

Ответ выбран лучшим

sin ∠ A=1/6, так как
sin^A+cos^2A=1
АВ=ВС/sinA=90
АС=sqrt(90^2-15^2)=sqrt(7875)=15sqrt(35)
АН=АС*cosA=87,5

Ответ выбран лучшим

соединяем точку А_(1) с точкой L
соединяем точку А_(1) с точкой К
плоскость А_(1)LK пересекает параллельные плоскости AA_(1)B_(1)B и СС_(1)DD_(1) по параллельным прямым.
Проводим КМ || A_(1)L
Для этого проводим D_(1)E || A_(1)L
C_(1)E:EC=4:1;
K- cередина С_(1)D_(1)
Значит М - середина С_(1)E
C_(1)M : MC= 2 : 3

C_(1)C=15
значит
С_(1)М=6
С_(1)D_(1)=8
KC_(1)=4
По теореме Пифагора КМ=10
A_(1)K=sqrt(160)=4sqrt(10)

угол между плоскостями - угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения. Например из точки L

Рис и дальнейшие вычисления там где собирались копировать другие индивиды
Я написала, что получилось

x < x +1
f(x) < f(x+1)

если меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция возрастает.

на рис. функция возрастает на (- ∞;-11) ; на (-9;-7,5); на (-1;2)и на (8;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

10^(x) > 0 при любом
можно сократить обе части неравенства на 10^(x)
x^2 > 0 при x ≠ 0

можно сократить

Осталось собрать степени 2
2^((x-2)/(2x+4)) ≥ 2^((-5x+10+4x^2-16)/(2x+4))
х ≠ 0
Показательная функция с основанием 2 возрастает, поэтому
(х-2)/(2x+4) ≥ (4x^2-5x-6)/(2x+4);

(4x^2-6x-4)/(2x+4) ≤ 0

D=36+64=100
x_(1)=-1/2; x_(2)=2

___-___ (-2) ____ [-1/2] _-_ (0) ________-____ [2] _____

О т в е т ( - ∞ ;-2) U [-1/2;0) U (0;2]

Ответ выбран лучшим

ctgx=1/tgx;
3tg^2x-5tgx-2=0
tgx ≠ 0

D=25+24=49

tgx=-2 или tgx =1/3

x=arctg(-2)+πk, k ∈ Z или х=arctg(1/3) + πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

С\В={1}
[b]A x (C\B)={(1;1);(2;1)}[/b]

C ∩ B={3}

A x(C ∩ B)={(1;3);(2;3)}

A xC ={(1;1);(1;3);(2;1);(2;3)}

по определению симметрической разности:
(A x C) Δ(A x(C ∩ B))=
={(1;1);(1;3);(2;1);(2;3)}\{(1;3);(2;3)}

[b](A x C) Δ(A x(C ∩ B))={(1;1);(2;1)} [/b]

верно

Формула:
d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a^2+b^2);

18^2 + 26^2=2*((b+10)^2+b^2)
324+676=2*(2b^2+20b+100)
b^2+10b-200=0
D=100+800=900
квадратное уравнение
находим b=10
a=b+10=20

S=(1/2)AB*h
AB=sqrt((3-(-2))^2+(-2-4)^2)=sqrt(61)
h=2S/sqrt(61)=140/sqrt(61)
значит точка С расположена на прямой, параллельной АВ и находящейся на расстоянии 140/sqrt(61)
Составляем уравнение прямой АВ:
(х+2)/5=(у-4)/(-6)
6х+5у-8=0

По формуле расстояния между двумя параллельными прямыми
( см. приложение)
получаем
140/sqrt(61)=|8-c|/sqrt(61)

140=|8 - c |
8-с=140 или 8-с=-140
c= -132 или с= 148

О т в е т. на прямой 6х + 5у - 132 = 0 или на прямой 6х + 5у + 140 = 0
(прикреплено изображение)

составляем уравнение плоскости АВС
(см. приложение)
vector{n}=(4;-60;19)
плоскость АВС проходит через точку А перпендикулярно вектору
vector{n}=(4;-60;19)
О т в е т vector{n}=(4;-60;19) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)По свойству плотсности:
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx=1 ⇒

a *∫ ^(π/6)_(0)sin2xdx=1
a*(-(1/2)cos(2x))|^(π/6)_(0)=1

a*((-1/2)*cos(π/3)+(1/2)cos0)=1

a*(1/2)=1

a=2

F(x)= ∫^(x) _(- ∞ )f(x)dx

При x < 0 f(x)=0
F(x)=0
При 0 < x < π/6
F(x)= ∫ ^(x)_(- ∞)f(x)dx= ∫^(0) _( ∞ )0dx + ∫ ^(x)_(0)2sin2xdx=

=0+(-cos2x)|^(x)_(0)=-cos2x+1

При x > π/6
F(x)= ∫^(x) _( -∞ )f(x)dx= ∫ ^(0)_(- ∞ )0dx+ ∫ ^(π/6)_(0)2sin2xdx + ∫ ^(x)_(π/6)0dx=0+1+0

M(x)= ∫^(+ ∞)_( -∞) x*f(x)=0+ ∫ ^(π/6)_(0)x*(2sin2x)dx+0=

интегрируем по частям:
u=x; du=dx
dv=2sin2xdx; v=-cos2x

=(-xcos2x)|^(π/6)_(0) + ∫^(π/6)_(0) cos2xdx=

=-(π/6)*cos(π/3)+0 +(1/2)sin2x|^(π/6)_(0)=

=(-π/12)+(1/2)sin(π/3)=(sqrt(3)/4)-(π/12)

Р(x_(1)<x<x_(2))=F(x_(2))-F(x_(1))= -cos(2*(π/8))+1-(-cos0+1)=

=1-cos(π/4)=1-(sqrt(2)/2)

Ответ выбран лучшим

1.
1+5^(1-2x)=(5^(2x)+5)/5^(2x)
(1+5^(1-2x))^(-1/2)=(5^(2x)/(5^(2x)+5))^(1/2)=5^(x)/sqrt(5+5^(2x))

sqrt(5+5^(2x))=t

Неравенство принимает вид:
9*(5^(x)/t) -(1/2)*t ≥ sqrt(6)*(5^(x))^(1/2);
18*5^(x)-t^2-2sqrt(30)sqrt(5^(x))*t ≥ 0

или

t^2+2sqrt(30)u*t-18u^2 ≥ 0

u=sqrt(5^(x))

(t/u)^2+2sqrt(30)*(t/u)-18 ≥ 0
D=196

t/u >0
(t/u)=(2*sqrt(30)+14)/2 или (t/u)=(2*sqrt(30)-14)/2 - не имеет корней

t/u=sqrt(30)+7

sqrt(5+5^(2x))/sqrt(5^(x))=sqrt(30)+7

Возводим в квадрат:
(5+5^(2x)/5^(x))=(sqrt(30)+7)^2

5+5^(2x)=(79+14sqrt(30))*5^(x) - квадратное уравнение относительно 5^(x)

Решаете и получаете ответ

(прикреплено изображение)

A_(1)=(1-4;1+1]=(-3;2]
A_(2)=(2^2-4;2^2+1]=(0;5]
A_(1) U A_(2)=(-3;5]

A_(1,5)=(1,5^2-4;1,5^2+1]=(-1,75;3,25]

A_(1) U A_(2) \ A_(1,5) = (-3;-1,75] U (3,25;5]

Ответ выбран лучшим

4.

D=5^2-4*2*4=25-32=-7
sqrt(D)=sqrt(-7)=sqrt(7)*sqrt(-1)=sqrt(7)*[b]i[/b]
z_(1)=(-5-[b]i[/b]*sqrt(7))/2 или z_(2)=(-5+[b]i[/b]*sqrt(7))/2
О т в е т. (-5-[b]i[/b]*sqrt(7))/2 ; z_(2)=(-5+[b]i[/b]*sqrt(7))/2

5.

|1+z-2[b]i[/b]|=|z-(2[b]i[/b]-1)|- расстояние между произвольной точкой z и точкой
z_(o)=-1+2[b]i[/b]
По условию
|z - (2[b]i[/b]-1)| > 1 - внешняя часть круга с центром в точке z_(o)=-1+2[b]i[/b] и радиусом 1

cм. рис. 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение стороны запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом:
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)

β - α =45^(o)
( диагонали квадрата образуют угол 45 градусов со сторонами квадрата)
tg( β - α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )

(k_(1)-(1/4))/(1+(1/4)*k_(1))=1

k_(1)=5/3

y=(5/3)x+b - уравнение диагонали

Подставим координаты точки К (1,5; 2,5)

2,5=(5/3)*1,5+b
b=0
y=(5/3)x

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b

(-3/5)*(5/3)=-1

Подставим координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
Это точка (0;0)
{х-4у=0
{у=(5/3)х
x=0
y=0

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
{х-4у=0
{у=(-3/5)х+3,4

x=4
y=1

Координаты двух других точек можно найти из соображений симметрии.

О т в е т. (0;0); (4;1);(-1;4);(3;5)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку B

3х+2у-1=0 ⇒ у=-(3/2)х+(1/2)
угловой коэффициент k=(-3/2)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
k=2/3 - угловой коэффициент искомой прямой
y=(2/3)x+b - множество прямых, перпендикулярных данной.
чтобы выделить прямую, проходящую через точку B
подставим координаты точки В

1=(2/3)*(-2)+b
b=7/3

y=(2/3)x+(7/3)

Найдем координаты точки М - точки пересечения двух прямых
{3x+2y-1=0
{y=(2/3)x+(7/3)

3x+2*((2/3)x+(7/3))-1=0
(13/3)x+(11/3)=0
x=(-11/13)
y=69/39=23/13

По свойству симметричных точек
ВМ=МА
x_(M)=(x_(B)+x_(A))/2 ⇒
x_(A)=2x_(M)-x_(B)=(-22/13)-(-2)=4/13

y_(M)=(y_(B)+y_(A))/2 ⇒ y_(A)=2y_(M)-y_(B)=2*(23/13)-1=33/13

О т в е т. (4/13; 33/13) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение плоскости АВС ( см. приложение 1)
24x-12y+12z+48=0
или
2х-у+z+4=0

Найдем проекцию точки D на плоскость 2х-у+z+4=0
Для этого составим уравнение прямой DD_(o), проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС.
Это означает, что нормальный вектор плоскости АВС
vector{n}=(2;-1;1) является направляющим вектором прямой
(x-(-1))/2=(y-7)/(-1)=(z-(-1))/1
Запишем это уравнение в параметрическом виде:
(x+1)/2=(y-7)/(-1)=(z+1)/1=t
x=2t-1
y=-t+7
z=t-1
и подставим в уравнение плоскости
2(2t-1)-(-t+7)+(t-1)+4=0
6t-6=0
t=1
При t=1
x=1
y=6
z=0
D_(o)(1;6;0) - проекция точки D на плоскость АВС
DD_(o)=sqrt((1-(-1))^2+(6-7)^2+(0-(-1))^2)=sqrt(4+1+1)=sqrt(6) - длина ребра куба.
V=a^3=(sqrt(6))^3=6sqrt(6)

б) Это и есть уравнение DD_(o)
(x+1)/2=(y-7)/(-1)=(z+1)/1
или в параметрическом виде:
x=2t-1
y=-t+7
z=t-1

в) Это уравнение плоскости, проходящей через точку D и имеющей нормальный вектор vector{n}=(2;-1;1)
2*(x+1)-(y-7)+(z+1)=0
2x-y+z+10=0

Между прочим, расстояние между этими плоскостями и равно ребру куба.

См. формулу (приложение 2)
d=|D_(2)-D_(1)|/sqrt(2^2+(-1)^2+1^2)=sqrt(6)

9.
Точек пересечения двух плоскостей бесчисленное множество.
Пусть первая координата х=0
{y+z-2=0
{-y-2z+2=0
Cкладываем
z=0
y=2
M(0;2;0) - принадлежит этой прямой
Пусть y=0
{x+z-2=0
{x-2z+2=0
вычитаем
3z-4=0
z=4/3
x=2/3
N(2/3;0;4/3) - принадлежит прямой.

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки M и N
(x-0)/(2/3)=(y-2)/(0-2)=(z-0)/(4/3)

x/(2/3)=(y-2)/(-2)=z/(4/3) (прикреплено изображение)

m^2-n^2=279-3m
(m-n)(m+n)=3(81-m)

{m-n=3
{m+n=81-n

{m-n=3
{m+2n=81
3n=78
n=26
m=29

или

{m+n=3
{m-n=81-n

{m+n=3
{m=81;

n=3-81=-78

Ответ выбран лучшим

(x_(o)+2a)(x_(o)+2b)=28;

(a+b+2a)(a+b+2b)=28

(3a+b)(a+3b)=28

3a^2+10ab+3b^2=28

(3a^2+6ab+3b^2)+4ab=28

3(a+b)^2+4ab=28

3(a+b)^2=28-4ab
3(a+b)^2=4*(7-ab)

Левая часть кратна 3, значит и правая кратна трем
7-ab кратно 3
(a+b)^2 кратно 4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Шашлык (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

6.4
∂z/∂x=z`_(x)=(1/(x^2+y))*(x^2+y)`_(x)=2x/(x^2+y);
∂z/∂y=z`_(y)=(1/(x^2+y))*(x^2+y)`_(y)=1/(x^2+y).

6.5
gradu=(∂u/∂x)*vector{i}+(∂u/∂y)*vector{i}+(∂u/∂z)*vector{k}

∂u/∂x=(1/(3-x^2))*(3-x^2)`+y^2z*(x)`=(-2x/(3-x^2))+y^2z

∂u/∂y=0 + xz*(y^2)`=2xyz

∂u/∂z=0+xy^2*(z)`=xy^2

gradu=((-2x/(3-x^2))+y^2z)*vector{i}+(2xyz)*vector{i}+(xy^2)*vector{k}

∂u/∂x _(M)=(-2/(3-2^2))+3^2*2=2+18=20

∂u/∂y_(M)=2*1*3*2=12

∂u/∂z_(M)=1*3^2=9

gradu(M)=20*vector{i}+12*vector{i}+9*vector{k}

Ответ выбран лучшим

f `(x) = cos(cosx)*(cosx)`+20x^4=(cos(cosx))*(-sinx)+20x^4;
f `(1)= (cos(cos1))*(-sin1)+20*1^4=(-sin1)*cos(cos1) +20

sin 1 (рад) = sin(180^(o)/π)=0,84147095
cos1 (рад) = сos(180^(o)/π)=0,540302306
cos(cos1)=cos(0,54 рад)=cos(0,54*180^(o)/π)=0,857708681

О т в е т. (-sin1)*cos(cos1) +20=-0,84147095*0,857708681+20=

=19,3035072 ≈ 19,3

1.
C={–7;–6;–5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4}
2.
D={10n+2, 1 ≤ n ≤ 9}
3.
A ∪ B={2;4;6;7;8;9;10}
A ∩ B={7;8;9}
A \ B={2;4;6}
4.
cм. рис. 1

8.
Х×У - декартово произведение двух множеств, т.е множество точек

(х;у) на координатной плоскости, первая координата которых из множества Х, вторая из множества У.

Осталось понять, что такое Х и что такое У.

9.
Венеция, Рим, Флоренция
Венеция, Флоренция, Рим
Рим, Флоренция,Венеция,
Рим, Венеция, Флоренция
Флоренция, Рим, Венеция
Флоренция, Венеция, Рим

10.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

C={-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4}

Ответ выбран лучшим

а)
lim_(x→0)(sinx+(1/(1+x^2))+(tgx/x))=

=lim_(x→0)(sinx)+lim_(x→0)(1/(1+x^2))+lim_(x→0)(tgx/x)=

=0+1+1=2

Функция не определена в точке х=0, но предел есть, он равен 2
Его и принимают за значение функции.
f(0)=2
Это называется доопределением функции по непрерывности

2)
f`(0)=lim_( Δx→0) Δf/ Δx

Δf=f(0+ Δx)-f(0)=sin(0+ Δx)+(1)/(1+(0+ Δx)^2)+tg(0+ Δx)/(0+ Δx)-2=

=sin Δx+(1)/(1+( Δx)^2)+tg(Δx)/( Δx) - 2

f `(0)=lim_( Δx→0)= lim_( Δx→0)sin Δx/ Δx =1

c)
f`(x)=cosx - 2x/(1+x^2)^2 + ((x/cos^2x)-tgx)/(x^2)

Прямые параллельны.
3x-4y+10=0
3x-4y-6,5=0

d=|C_(2) - C_(1)|/sqrt(A^2+B^2)=| - 6,5 -10|/sqrt(3^2+(-4)^2)=16,5/5=3,1

a(квадрата)=d

S(квадрата)=a^2=3,1^2=9,61

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{5+x ≥ 0 ⇒ x ≥ -5
{5-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

5+х - 2√(5+х)*√(5–х) + 5-х = (х-1)
2√(5+х)*√(5–х)=11-x
При x ∈[-5;5]
11-x ≥ 0
Возводим в квадрат

4(5+x)*(5-x)=(11-x)^2

100-4x^2=121-22x+x^2

5x^2-22x+21=0

D=(-22)^2-4*5*21=64

x_(1)=(22-8)/10=7/5 или х_(2)=(22+8)/10=3
Оба корня принадлежат ОДЗ

О т в е т. 7/5; 3

АВ=AС
sqrt((-1-0)^2+(-1-0)^2+(-6-z)^2)=sqrt((2-0)^2+(3-0)^2+(5-z)^2)

Возводим обе части в квадрат, упрощаем
2z+1=1
z=0

Ответ выбран лучшим

2.
О т в е т. 6 способов.
6 прямоугольников 1×5 и 2 квадрата 1×1
5 прямоугольников 1×5 и 7 квадратов 1×1
4 прямоугольника 1×5 и 12 квадратов 1×1
3 прямоугольника 1×5 и 17 квадратов 1×1
2 прямоугольника 1×5 и 22 квадрата 1×1
1 прямоугольник 1×5 и 27 квадратов1×1
3.
x+(1/x) - целое число, только при х=1 и х=-1
4x-x^2 при х=-1 и х=1 тоже целое.

Вася выписал два числа 1 и -1
Сумма модулей
|1| + |-1|=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

6 прямоугольников 1×5 и 2 квадрата 1×1
5 прямоугольников 1×5 и 7 квадратов 1×1
4 прямоугольника 1×5 и 12 квадратов 1×1
3 прямоугольника 1×5 и 17 квадратов 1×1
2 прямоугольника 1×5 и 22 квадрата 1×1
1 прямоугольник 1×5 и 27 квадратов1×1

Ответ выбран лучшим

A5.
ΔABK= ΔAKC по стороне и двум прилежащим к ней углам
AC- общая сторона
∠ ВАК= ∠ САК ( АК - биссектриса и делит угол А пополам)
∠ АКВ= ∠ АКС=90^(o) - cмежные углы, их сумма 180 градусов, если один угол равен 90 градусов, то второй тоже 180 градусов - 90 градусов = 90 градусов.
ВК=КС=5,5
ВС=ВК+КС=5,5+5,5=11
АВ=АС=12
Р=АВ+АС+ВС=12+12+11=35 ( см)

В1.
Δ АМС= ΔАКС по стороне и двум прилежащим к ней углам
АС - общая сторона
∠ А= ∠ С ( по условию АВ=ВС, треугольник АВС - равнобедренный, значит углы при основании равны.)
∠ КАС= ∠ МАС ( биссектрисы АК и СМ делят равные углы А и С пополам)

Из равенства треугольников
АМ=КС=5 см
ВС=ВК+КС=8+5=13 см
АВ=ВС=13 см

В2.
АК=КВ

В треугольника АКС и ВКС
KC - общая сторона
АК=КВ
∠ ВКС= ∠ АСК

⇒ ∠ АКС= ∠ ВКС=90^(o)

B.3
∠ A= ∠ B
⇒ Δ АВС - равнобедренный ⇒ АС=ВС
Обозначим АВ=2k; BC=3k тогда АС=3k
Р( Δ АВС)=АВ+ВС+АС=2k + 3k + 3k = 8k
8k=48
k=6 ( коэффициент пропорциональности)
АВ=2k=2*6=12 cм

В.4
ВМ:ВС=1:2⇒ ВС=2ВМ
⇒
ВМ=МС

Значит ∠АМВ= ∠ АМС=90^(o)

∠ В= ∠ С
∠ 1=(1/2) ∠ С ⇒ ∠ С=2* ∠ 1=2*12^(o)=24^(o)
∠ 2 =∠ B= ∠ C=24^(o)

B.5

Δ АВС - равнобедренный⇒ ∠ BAC= ∠BCA=x^(o)
Δ АDC- равнобедренный ⇒ ∠ СAD= ∠ ACD= y^(o)

∠ BAD= ∠ BAC + ∠ CAD=x^(o)+y^(o)
∠ BCD= ∠ BCA + ∠ ACD=x^(o)+y^(o)

∠ BAD=∠ BCD

Δ ABD = Δ CBD по двум сторонам
АВ=ВС
AD=DC
и углу между ними:
∠ BAD=∠ BCD

Из равенства треугольников следует равенство углов.
∠ ABD= ∠ CBD
∠ BDA=BDC

BD - биссектриса ⇒
BD - высота, медиана и биссектриса равнобедренного Δ АВС и равнобедренного Δ АDС

⇒ ∠ ANB=90^(o)

Ответ выбран лучшим

4a)
y=x^2+4
f(x)=x^2+4
D(f)=(- ∞ ;+ ∞)
Е(f)=[4;+ ∞ ) ( график парабола, наименьшее значение при х=0 равно 4)

Чтобы составить обратную функцию,
меняем х и у местами

х=у^2+4 ⇒ y^2=x-4 ⇒ y=± sqrt(x-4)

y=x^2+4 на[b] [0;+∞ )[/b] имеет обратную функцию y=sqrt(x-4)

y=x^2+4 на [b]( - ∞; 0)[/b] имеет обратную функцию y= - sqrt(x-4)

Обратная функция f^(-1)=sqrt(x-4)
D(f^(-1))=E(f)=[4;+ ∞ )
E(f^(-1)=D(f)=[0 ;+ ∞ )

Обратная функция f^(-1)= - sqrt(x-4)
D(f^(-1))=E(f)=[4;+ ∞ )
E(f^(-1)=D(f)=(- ∞; 0 )

4б)

D(f)=(- ∞ ;+ ∞ )
E(f)=(- ∞ :+ ∞)

Чтобы составить обратную функцию,
меняем х и у местами

x=∛(8-y^3)
x^3=8-y^3
y^3=8-x^3
y=∛(8-x^3)-

f^(-1)=∛(8-x^3)

f=f^(-1)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4a)
x^3-6x^2+9x ≥ 0
x*(x^2-6х+9) ≥ 0
x*(x-3)^2 ≥ 0

_-__ [0] __+__ [3] __+__

О т в е т. [0;+ ∞ )

4б)
12+4x-x^2>0
x^2-4x-12 <0
D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64
x_(1)=(4-8)/2=-2; x_(2)=(4+8)/2=6
_+__ (-2) __-__ (6) __+_

О т в е т. (-2;6)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1 б)
2 б)
3
(4y-1)(4y+1)=(4y)^2-1^2=16y^2-1;
4
(x+0,3)(0,3-x)=(0,3+x)(0,3-x)=(0,3)^2-x^2=0,09-x^2
5
(-2a+b^2)(2a+b^2)=(b^2-2a)(b^2+2a)=(b^2)^2-(2a)^2=b^4-4a^2
6
16m^2-(1/49)n^4=(4m)^2-(n^2/7)^2=(4m-(n^2/7))(4m+(n^2/7))
7
(m+2)^2-(m-3)(m+3)=(m^2+4m+4)-(m^2-3^2)=

=m^2+4m+4-m^2+9=4m+13
8
654,68^2-345,32^2=(654,68-345,32)(654,68+354,32)=309,36*1=309,36
9
((1/2)m^2-(1/5)n^2)((1/2)m^2+(1/5)n^2)-((1/2)m^2-(1/5)n^2)^2=

=((1/2)m^2)^2 -((1/5)n^2)^2-[b]([/b]((1/2)m^2)^2-2*(1/2)m^2*(1/5)n^2+((1/5)n^2)^2[b])[/b]=

=(1/4)m^4-(1/25)n^4-(1/4)m^4+(1/5)m^2n^2-(1/25)n^4=

=(1/5)m^2n^2- (2/25)n^4
10
(a-2b)(a+2b)=a^2-(2b)^2=a^2-4b^2

(a^2-4b^2)(a^2+4b^2)=(a^2)^2-(4b^2)^2=a^4-16b^4

(a^4-16b^4)(a^4+16b^4)=(a^4)^2-(16b^4)^2=a^(8)-256b^(8)

О т в е т. a^(8)-256b^(8)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Дано уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные.
dy/y=cosxdx
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ cosxdx

ln|y|=sinx+C - общее решение

При х=0; у=1
ln1=sin0+C
C=0

ln|y|=sinx - частное решение, удовлетворяющее условию у=1 при х=0

Ответ выбран лучшим

Делим обе части уравнения на 45:
(x^2/9)-(y^2/5)=1
Левая вершина гиперболы
имеет координаты (-3;0)

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R
имеет вид:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

По условию задачи
a=0 b=(-6)

(x-0)^2+(y - (-6))^2=R^2

Чтобы найти R подставим координаты левой вершины
данной в условии гиперболы
(-3-0)^2+(0-6)^2=R^2
9+36=R^2
R^2=45

О т в е т. x^2+(y+6)^2=45

Ответ выбран лучшим

P(x;y)dx+Q(x;y)dy
является полным дифференциалом, если
∂P/∂y=∂Q/∂x.

∂P/∂y=((x+y)/(xy))`_(y)=((x+y)`_(y)*(xy)-(xy)`_(y)*(x+y))/(xy)^2= -x^2/(xy)^2= - 1/y^2

∂Q/∂x=(1/y^2)*(y-x)`_(x)=(1/y^2)*(-1)=-1/y^2
∂P/∂y=∂Q/∂x

Данное уравнение - уравнение в полных дифференциалах
Это значит
∂U/∂x=P(x;y)
∂U/∂y=Q(x;y)

Зная, частные производные можем найти U(x;y)

U(x;y)= ∫ (∂U/∂x)dx= ∫ P(x;y)dx= ∫ (x+y)dx/(xy)=

=(1/y) ∫ (x+y)dx/x=(1/y) ∫ (1+(y/x))dx=(1/y)*x+(1/y)*yln|x|+ φ (y)=

=(x/y)+ln|x|+ φ(y)

Находим
∂U/∂y= ((x/y)+ln|x|+ φ(y))`_(y)=x*(1/y)`+0+ φ `(y)= (-x/y^2)+φ `(y)
Так как
∂U/∂y=Q(x;y)
то
(-x/y^2)+φ `(y) =(y-x)/y^2;

⇒
φ `(y)=1/y

φ(y)=ln|y|+C

U(x;y)=(x/y)+ln|x|+ φ(y)=(x/y)+ln|x|+ln|y|+C

О т в е т.U(x;y)=(x/y)+ln|x*y|+C

Ответ выбран лучшим

а) y> 3x–0,5;

(0;0)
(1;5)
(-1;1)

б) y< x^2–1;
(1;-1)
(2;2)
(2;-2)

в) y+x–1>0;
(1;1)
(2;0)
(2;1)

г) xy<5.

(1;2) (2;1) (1;3) (3;1)

Ответ выбран лучшим

Подставляем координаты каждой точки в неравенство:

(0;0)
0+3*0+1 < 0 – неверно

Точка (0;0) не является решением неравенства

(0;-3)
0+3*(-3)+1 < 0 – верно

Точка (0;-3) является решением неравенства

(2;-2)
2+3*(-2)+1 < 0 – верно

Точка (2;-2) является решением неравенства

(-7,2;2)
-7,2+3*(2)+1 < 0 – верно

Точка (-7,2;2) является решением неравенства

(1;–2/3)
1+3*(-2/3)+1 < 0 – неверно

Точка (1;-2/3) не является решением неравенства

Ответ выбран лучшим

Область определения: (- ∞ ;+ ∞ )
Находим производную
y`=(u*v)`=u`*v+u*v`=
=(x^2-4)`*(x+3)+(x^2-4)*(x+3)`=2x*(x+3)+(x^2-4)*1=
=3x^2+6x-4

y`=0
3x^2+6x-4=0
D=36+48=84
x_(1)=(-6-2sqrt(21))/6=-1-(sqrt(21)/3) или х_(2)=(-6+2sqrt(21))/6=-1+(sqrt(21)/3)

Расставляем знак производной:

__+___ (-1-(sqrt(21)/3)) ____-_____ (-1+(sqrt(21)/3)) ___+___

На (- ∞ ; (-1-(sqrt(21)/3)) и на ((-1+(sqrt(21)/3)) ;+ ∞ )
функция возрастает
на ((-1-(sqrt(21)/3) ; (-1+(sqrt(21)/3))
функция убывает

x=-1-(sqrt(21)/3) - точка максимума
x=-1+(sqrt(21)/3) - точка минимума

y``=6x+6
x=-1 - точка перегиба (прикреплено изображение)

Найдем абсциссы точек пересечения графиков:
x^2+2x=x+2
x^2+x-2=0
D=1+8=9
x_(1)=(-1-3)/2= - 2 или х_(2)=(-1+3)/2=1

S=∫^(1)_(-2)(x+2-(x^2+2x))dx= ∫^(1)_(-2)(2-x^2- x)dx=

=(2x-(x^3/3)-(x^2/2))|^(1)_(-2)=

=2*(1-(-2)) - ((1/3)-(-8/3))-((1/2)-(4/2))=

=6-3+1,5=4,5

см. рис. (прикреплено изображение)

a)= 3*(sinx)|^(π)_(0)=3*sinπ-3sin0=0-0=0
б) = ∫^(9) _(1)x^(-3/2)dx=(x^((-3/2)+1)/((-3/2)+1))|^(9) _(1)=

=(-2/sqrt(x))|^(9)_(1)=-2/sqrt(9)-(-2/sqrt(1))=(-2/3)+2=4/3

Подставляем координаты каждой точки в неравенство:

А (0;2)
2≤ -0^2+5- верно
2 < 5
Точка А принадлежит множеству F

В (–1;1)
1≤ -(-1)^2+5- верно
1 < 4
Точка B принадлежит множеству F

С ( 10;–96)
-96≤ -10^2+5- верно
-96 < -95
Точка C принадлежит множеству F

D (20;–100).
-100≤ -20^2+5- неверно
-100 > -395
Точка D не принадлежит множеству F

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что бросают две игральные кости.
Число исходов испытания равно
n=6*6=36
Это можно представить в виде пар, на первом месте число, выпавшее на первой кости, на втором число, выпавшее на втрой кости
(1;1);(1;2); ... (6;6)
Пусть событие А - "сумма выпавших очков равна 5 или 6"
Событию А благоприятствуют исходы:
(1;4);(4;1);(2;3);(3;2); (1;5);(5;1)(2;4);(4;2);(3;3)
m=9
По формуле классической вероятности:
p(A)=m/n=9/36=1/4

Ответ выбран лучшим

Пусть АВ + ВС= АС + СМ = k
Обозначим
АВ=х
АС=у
Тогда
ВМ=k-x;
CM=k-y.
По свойству биссектрисы угла треугольника
ВМ: СМ=АВ:АС
(k-x):(k-y)=x:y
y*(k-x)=x*(k-y)
ky-xy=kx-xy;
ky=kx
x=y
AB=АС
Треугольник АВС - равнобедренный

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой, проходящей через точку А_(о), перпендикулярно плоскости.
Нормальный вектор плоскости
vector{n}=(a;b;c)
при этом является направляющим вектором прямой.
(x-x_(o))/a=(y-y_(o))/b=(z-z_(o))/c

(x-6)/0=(y-1)/4=(z-5)/2

Запишем это уравнение в параметрическом виде.
Введем параметр t
(x-6)/0=(y-1)/4=(z-5)/2= t ⇒

{x=0t+6
{y=4t+1
{z=2t+5

Подставим х;у;z в уравнение плоскости:
0x+4y+2z=0

0*(0t+6)+4*(4t+1)+2*(2t+5)=0
20t+14=0
t= - 14/20
t= -7/10

x=2

y=4*(-7/10)+1
y= - 18/10
y= - 1,8
z=2*(-7/10)+5
z=36/10
z=3,6
О т в е т. (6; - 1,8; 3,6)

Ответ выбран лучшим

a)
y`=x^2-2x-3

y`=0
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x_(1)=(2-4)/2=-1; x_(2)=(2+4)/2=3

__+__ (-1) __-___ (3) __+__

y`>0 на (- ∞ ;-1) и на (3;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (-1 ;3), значит функция убывает

х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(-1)=(1/3)*(-1)^3-(-1)^2-3*(-1)+2=(-1/3)+4=11/3

х=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(3)=(1/3)*3^3-3^2-3*3+2=9-9-9+2= - 7

y``=2x-2
y``=0
2x-2=0
x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;1) и выпукла вниз на (1;+ ∞ )
См. график рис. 1

б)
Область определения (- ∞ ;-6) U(-6;+ ∞ )

y`=(2*(x+6)-2x)/(x+6)^2

y`=12/(x+6)^2 > 0 при любом х из области определения, т.е
(- ∞ ;-6) U(-6;+ ∞ )

Функция возрастает на (- ∞ ;-6) и (-6;+ ∞ )

См. график рис. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой, проходящей через точку А_(о), перпендикулярно плоскости.
Нормальный вектор плоскости
vector{n}=(a;b;c)
при этом является направляющим вектором прямой.
(x-x_(o))/a=(y-y_(o))/b=(z-z_(o))/c

(x-2)/2=(y-4)/5=(z-7)/4

Запишем это уравнение в параметрическом виде.
Введем параметр t
(x-2)/2=(y-4)/5=(z-7)/4= t ⇒

{x=2t+2
{y=5t+4
{z=4t+7

Подставим х;у;z в уравнение плоскости:
2x+5y+4z-1=0

2*(2t+2)+5*(5t+4)+4*(4t+7)-1=0
45t+51=0
t= - 51/45
t= -17/15

x=2*(-17/15)+2
x= - 4/15

y=5*(-17/15)+4
y=-25/15
y= - 5/3
z=4*(-17/15)+7
z=37/15

О т в е т. (-4/15; -5/3; 37/15)

Cоставим уравнение прямой по данным задачи:
{x=1+10t
{y=2+12t
{z=-5+10t

и
плоскости:
х+у+3z-11=0

Подставим х; y; z в уравнение плоскости
(1+10t)+(2+12t)+3*(-5+10t)-11=0
10t+12t+30t-23=0
52t-23=0

t=23/52

x=1+10*(23/52)
x=282/52
y=2+12*(23/52)
y=380/52
z=-5+10(23/52)
z=-30/52

О т в е т. (282/52; 380/52; -30/52)

Ответ выбран лучшим

Даны три точки (-4;-9;4); (3;1;3);(5;6;-2)
Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
(x+4;y+9;z-4)
(3+4;1+9;3-4)=(7;10;-1)
(5+4;6+9;-2-4)=(9;15;-6)
коллинеарны.
Условием коллинеарности
является равенство 0 определителя третьего порядка. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Плоскости
a_(1)x+b_(1)y+c_(1)z+d_(1)=0;
a_(2)x+b_(2)y+c_(2)z+d_(2)=0
Нормальные векторы
vetor{n_(1)}=(a_(1);b_(1);c_(1))
vetor{n_(1)}=(a_(2);b_(2);c_(2))

Если плоскости параллельны, то и нормальные векторы коллинеарны, а значит их координаты пропорциональны.
Поэтому
если координаты нормальных векторов не пропорциональны, то векторы не коллинеарны, значит плоскости не параллельны.

По условию
vetor{n_(1)}=(-5;8;-3)
vetor{n_(2)}=(-3;0;4)
-5:(-3) ≠ 8:0 ≠ -3:4

Плоскости пересекаются.

Пусть М_(1)(x_(1);y_(1);z_(1)) и М_(1)(x_(2);y_(2);z_(2)) - точки, принадлежащие линии пересечения. Таких точек бесчисленное множество.

Пусть
z_(1)=0
{-5x_(1)+8y_(1)-3*0-9=0
{-3x_(1)+0*y_(1)+4*0+9=0 ⇒ x_(1)=3

-5*3+8y_(1)-9=0 ⇒ y_(1)=3
M_(1)(3;3;0)

Пусть z_(2)=3
{{-5x_(2)+8y_(2)-3*3-9=0
{-3x_(2)+0*y_(2)+4*3+9=0 ⇒ x_(2)=7

-5*7+8y_(2)-18=0
y_(2)=53/8

M_(2)(7;53/8;3)

Составим уравнение прямой пересечения как уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x-x_(1))/(x_(2)-x_(1))=(y-y_(1))/(y_(2)-y_(1))=(z-z_(1))/(z_(2)-z_(1));

(x-3)/(7-3)=(y-3)/((53/8)-3)=(z-0)/(3-0);

(x-3)/4=(y-3)/(29/8)=z/3

[b](x-3)/32=(y-3)/29=z/24[/b]

Запишем это уравнение в параметрическом виде.
Для этого введем параметр t:
(x-3)/32=(y-3)/29=z/24=t

{x-3=32t
{y-3=29t
{z=24t

[b]
{x=32t+3
{y=29t+3
{z=24t
[/b]

Ответ выбран лучшим

∠ A=120^(o) ⇒ ∠ B+ ∠ C=60^(o)
Биссектрисы ВВ_(1) и СС_(1) делят углы ∠ B и ∠ С пополам.
Значит,
∠ В_(1)ВС+ ∠ С_(1)CB=(1/2)*60^(o)=30^(o)

Пусть М- точка пересечения ВВ_(1) и СС_(1)

∠ ВМС=180^(o)- (∠ В_(1)ВС+ ∠ С_(1)CB)=150^(o)
∠ С_(1)МВ_(1)=∠ ВМС=150^(o) - вертикальные углы.

В четырехугольнике АQMP
∠АQM= ∠ АРМ=90^(o)
∠ QMP=∠ С_(1)МВ_(1)=150^(o)
Значит,
∠ РАQ=30^(o)

б)
Продолжим прямые АР и АQ до пересечения с ВС.
Получим точки К и Т.

В Δ ВАК прямая ВВ_(1) - биисектриса и высота, значит ВВ_(1) и медиана.
АР=РК=6
АК=12
Аналогично, АТ=2AQ=16

S( Δ ТАК)=(1/2)*АТ*АК*sin ∠ КАТ=(1/2)*16*12*(1/2)=48

Матричное уравнение имеет вид
А*Х*В=С

Умножаем на A^(-1) слева:

A^(-1)*A*X*B=A^(-1)*C

A^(-1)*A=E

X*B=A^(-1)*C

Умножаем на B^(-1) cправа:

Х*В*В^(-1)=A^(-1)*C*B^(-1)

так как В*В^(-1)= Е

Х=A^(-1)*C*B^(-1)

План решения.
1)Найти А^(-1)
2)Найти В^(-1)
Замечаем, что А=В
Значит A^(-1)=B^(-1)
3) Умножить A^(-1)*C*B^(-1) (прикреплено изображение)

∂u/∂MP=(∂u/∂x)(M)*cos α + (∂u/∂y)(M)*cos β +((∂u/∂z)(M)*cos γ

Находим частные производные:
∂u/∂x=u`_(x)=(xz^2/y)`_(x) + (xzy^2)`_(x) + (y/z^4)`_(x)=

= (z^2/y)*x`+(zy^2)*x`+0=

=(z^2/y) + zy^2;

∂u/∂y=u`_(y)=(xz^2/y)`_(y) + (xzy^2)`_(y) + (y/z^4)`_(y)=

=xz^2*(1/y)` + xz*(y^2)`+(1/z^4)*y`=

=xz^2*(-1/y^2) + 2xz*y+(1/z^4)

∂u/∂y=u`_(z)=(xz^2/y)`_(z) + (xzy^2)`_(z) + (y/z^4)`_(z)=

=(x/y)*(z^2)`+(xy^2)*(z)`+(y)*(z^(-4))`=

=(2xz/y)+(xy^2)-4yz^(-5).

Находим значения частных производных в точке M(1;1;-1):

(∂u/∂x) (M)= u`_(x)(M)=((-1)^2/1) + (-1)*1^2=0

(∂u/∂y) (M) = u`_(y)(M)=1*(-1)^2*(-1/1^2) + 2*1*(-1)*1+(1/(-1)^4)= -2

(∂u/∂z) (M) = u`_(z)(M)=(2*1*(-1)/1)+(1*1^2)-4*1*(-1)^(-5)=

= - 2 + 1 + 4 = 3

Находим координаты вектора
vector{MP}=(7-1;-2-1;1-(-1))=(6;-3;-2)
и его длину
|vector{MP}|=sqrt(6^2+ (-3)^2+(-2)^2)=sqrt(49)=7
Находим направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =6/7
cos β =-3/7
cos γ =-2/7

О т в е т.
∂u/∂MP(M)=(∂u/∂x) (M)*cos α +(∂u/∂y) (M)*cos β +(∂u/∂z) (M)*cos γ =

=0*(6/7)-2*(-3/7)+3*(-2/7) =[b] 0 [/b]

Функция непрерывна на (- ∞ ;0); на (0;2) и на (2;+ ∞ )
так как
функция y= - x непрерывна на (- ∞ ;0)
функция y= - (x - 1) ^2 непрерывна на (0 ;2)
функция y= (x - 3) непрерывна на (2; +∞ )

Исследуем точку
х=0
Находим
предел слева
f(-0)=lim_(x→-0)(-x)=0
предел справа
f(+0)=lim_(x→+0)(-(x-1)^2)= - 1
Предел слева не равен пределу справа, функция не имеет предела в точке х=0, точка х=0 - точка разрыва первого рода.
Скачок
f(+0) - f(-0) = -1 - 0 = - 1 ( функция в точке разрыва первого рода имеет конечный скачок)

Исследуем точку
х=2
Находим
предел слева
f(2-0)=lim_(x→2 - 0)(-(x-1)^2)= -1
предел справа
f(2+0)=lim_(x→2+0)(x-3)= - 1
Предел слева равен пределу справа, функция имеет предел в точке х=2,
f(2)=2-3=-1
предел в точке х=2 равен значению функции в точке х=2
[b]lim_(x→2)f(x)=f(2)[/b]
точка х=2 - точка непрерывности. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
a) a=10
F_(1)(-6;0); F_(2)=(10;0)⇒ 2c=(10-(-6))
2c=16
c=8
b^2=a^2-c^2=10^2-8^2=100-64=36=6^2

M- середина F_(1)F_(2)
x_(M)=(-6+10)/2=2
y_(M)=0
M(2;0)
Прямая x=2 -оcь симметрии эллипса

О т в е т.(x-2)^2/(10^2)+(y^2/6^2)=1

б) F_(1)(-3;5); F_(2)=(3;5)⇒
c=3
Прямая
y=5 - ось симметрии эллипса

b^2=a^2-c^2=25-9=16

О т в е т.(x^2/5^2)+((y-5)^2/4^2)=1

2. Если фокусы эллипса расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

а)
b=2
(x^2/a^2)+(y^2/4)=1
Подставляем координаты точки M_(1):
(12/a^2)+(1/4)=1
(12/a^2)=3/4
a^2=16
О т в е т. (x^2/4^2)+(y^2/2^2)=1

б)(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

Подставляем координаты точки M_(1) и М_(2):
{(0/a^2)+(7^2/b^2)=1 ⇒b^2=7^2 ⇒ b=7
{(8^2/a^2)+(0^2/b^2)=1 ⇒ a^2=8^2 ⇒ a=8

О т в е т. (x^2/8^2)+(y^2/7^2)=1

в)
2с=24 ⇒ с=12
2а=26 ⇒ а=13

b^2=a^2-с^2=13^2-12^2=169-144=25=5^2
О т в е т. (x^2/13^2)+(y^2/5^2)=1

г)
F( ± c;0) ⇒ c=7
ε=с/а
c/a=7/25
a=25
b^2=a^2-c^2=625-49=576=24^2
О т в е т. (x^2/25^2)+(y^2/24^2)=1

Тангенсоида имеет бесконечный разрыв в точке х= π/2

S_(тела вр. Оx на отрезке [a;b])=2π∫ ^(b)_(a)f(x)*sqrt(1+(f`(x))^2)dx
Тангенсоида имеет бесконечный разрыв в точке х= π/2
Рассмотрим половину такой площади, от вращения на [0;π/2]

f`(x)=(tgx)`=1/cos^2x
1+(f`(x))^2=1+(1/cos^2x)^2

S=2π* ∫ ^(π/2)_(0)tgx*sqrt(1+(1/cos^2x)^2)dx=

= 2 π* ∫ ^(π/2)_(0)( sin x/cos x) *( sqrt((cos^4 x + 1)/cos^4 x)) dx =

= 2 π * ∫ ^(π/2)_(0) (sqrt(cos^4 x + 1)/cos^3 x) * sin x dx =
= 2 π * ∫ ^(π/2)_(0) (cos^4 x + 1)^(1/2)/cos^3 x d(-cos x) =
= - 2 π * ∫ ^(π/2)_(0) (cos^4 x + 1)^(1/2)/cos^3 x d(cos x) =

Замена переменной t = cos x

= -2 * π * ∫ ^(+∞ )_(1) sqrt (t^4 + 1)dt/t^3 =

= - 2 * π * ∫ ^(+∞)_(1) (t^4 + 1)^(1/2) * t^(-3) dt =

Замена переменной

t^(-4) + 1 = z^2, z = (1 + 1/t^4)^(1/2), t^4 = 1/(z^2 - 1), t = (z^2 - 1)^(-1/4),
dt = -1/4 * (z^2 - 1)^(-5/4) * 2 * z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1-(41)/(3n-5)<0 ⇒ 41/(3n-5) > 1 ⇒

41/(3n-5) - 1 > 0

(41-3n+5)/(3n-5) >0

(46-3n)/(3n-5) >0

(3n-46)/(3n-5) <0

Решаем методом интервалов:

____ (5/3) _-___ (46/3) ___

n=2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15.

О т в е т. 14

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2-(104)/(12n-5)<0 ⇒ 104/(12n-5) > 2 ⇒ 52/(12n-5) >1

52/(12n-5) - 1 > 0

(52-12n+5)/(12n-5) >0

(57-12n)(12n-5) >0

(12n-57)/(12n-5) <0

Решаем методом интервалов:

____ (5/12) _-___ (57/12) ___

n=1;2; 3;4

О т в е т. четыре: a_(1);a_(2);a_(3);a_(4)

Ответ выбран лучшим

∂u/∂MP=(∂u/∂x)(M)*cos α + (∂u/∂y)(M)*cos β +((∂u/∂z)(M)*cos γ

∂u/∂x=u`_(x)=(xz/y^2)`_(x) + (xz^4y^3)`_(x) + (yz^5)`_(x)=

= (z/y^2)*x`+(z^4*y^3)*x`+0=

=(z/y^2) + z^4y^3

∂u/∂y=u`_(y)=(xz/y^2)`_(y) + (xz^4y^3)`_(y) + (yz^5)`_(y)=

=xz*(1/y^2)` + xz^4*(y^3)`+z^5*y`=

=-(2xz/y^3) + 3xz^4y^2 + z^5

∂u/∂y=u`_(z)=(xz/y^2)`_(z) + (xz^4y^3)`_(z) + (yz^5)`_(z)=

=(x/y^2) +4xz^3y^3+5yz^4

M(2;1;-1)

(∂u/∂x) (M)= u`_(x)(M)=-1 +1=0

(∂u/∂y) (M) = u`_(y)(M)=4+6-1=9

(∂u/∂z) (M) = u`_(z)(M)=2-8+5=-1

vector{MP}=(6-2;0-1;-1-7)=(4;-1;-8)

|vector{MP}|=sqrt(4^2+ (-1)^2+(-8)^2)=sqrt(81)=9

Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =4/9
cos β =-1/9
cos γ =-8/9

О т в е т.
∂u/∂MP(M)=(∂u/∂x) (M)*cos α +(∂u/∂y) (M)*cos β +(∂u/∂z) (M)*cos γ =

=0*(4/9)+9*(-1/9)-1*(-8/9) = -1/9 о т в е т.

Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{PM}=(x-2;y-1;z+1)
vector{PQ}=(3-2;0-1;3-(-1))=(1;-1;4)
vector{n}=(3;4;-2)
компланарны.
Условием компланарности является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат данных векторов.
Раскрываем определитель и получаем уравнение плоскости. (прикреплено изображение)

u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(xz/y^2)`_(x) + (xz^4y^3)`_(x) + (yz^5)`_(x)=

= (z/y^2)*x`+(z^4*y^3)*x`+0=

=(z/y^2) + z^4y^3

u`_(y)=(xz/y^2)`_(y) + (xz^4y^3)`_(y) + (yz^5)`_(y)=

=xz*(1/y^2)` + xz^4*(y^3)`+z^5*y`=

=-(2xz/y^3) + 3xz^4y^2 + z^5

u`_(z)=(xz/y^2)`_(z) + (xz^4y^3)`_(z) + (yz^5)`_(z)=

=(x/y^2) +4xz^3y^3+5yz^4

M(2;1;-1)

u`_(x)(M)=-1 +1=0

u`_(y)(M)=4+6-1=9

u`_(z)(M)=2-8+5=-1

vector{MP}=(6-2;0-1;7-(-1))=(4;-1;8)

|vector{MP}|=sqrt(4^2+ (-1)^2+(-8)^2)=sqrt(81)=9

Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =4/9
cos β =-1/9
cos γ =8/9

О т в е т.
∂u/∂MP(M)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ =

=0*(4/9)+9*(-1/9)-1*(8/9) = [b] -17/9 [/b]- о т в е т.

Теорема Коши:
Если
1) f(x) и g(x) непрерывны на [a;b]
2) f(x) и g(x) дифференцируемы на (a;b)
3) g´(x) ≠ 0 на (a;b) ,
то существует точка ξ ∈ (a;b)такая, что

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f`( ξ)/g`(ξ)

1) выполняется
f(x) и g(x) непрерывны как сумма непрерывных функций
2) выполняется
f`(x)=2x;
g`(x)=3x^2
f`(x) и g`(x) непрерывны как произведение константы на непрерывные функции
3) g`(x) ≠ 0 при х ∈ (0;1)

f(1)=1+2=3
g(1)=1-1=0

f(0)=2
g(0)=-1

(3-2)/(0-(-1))=f`( ξ)/g`(ξ) ⇒ f`( ξ)/g`(ξ) =1 ⇒ f`( ξ)= g`(ξ)

2x=3x^2
2=3x
x=2/3

ξ=2/3

Ответ выбран лучшим

y`_(x)= - (F`_(x)/F`_(y))

F(x;y)=4x^3-3xy^2+6x^2-5xy-8y^2+9x+14

F`_(x)=12x^2-3y^2+12x-5y+9
F`_(y)=-6xy-5x-16y

y`_ (x) = - (12x^2-3y^2+12x-5y+9)/(-6xy-5x-16y)=

=(12x^2-3y^2+12x-5y+9)/(6xy+5x+16y)

y`(-2;3)=-9/2=-4/5

Уравнение касательной:

y - 3 =(-9/2)*( x +2) ⇒ [b] у = (-9/2)х - 6[/b]

Уравнение нормали:

y - 3 =(2/9)*( x +2) ⇒ [b]у = (2/9)x + (31/9) [/b]

Ответ выбран лучшим

vector{n}=(2;-3;5)

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o))
c нормальным вектором vector{n}=(A;B;C)
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

2*(x+2) -3*(y-5)+5*(z+6)=0

2x -3y +5z +49=0

О т в е т. [b]2x -3y +5z +49=0[/b]

Ответ выбран лучшим

y`=((x-e^(-x^2))`*2x^2-(2x^2)`*(x-e^(-x^2)))/(4x^4)=

=((1-e^(-x^2)*(-x^2)`)*2x^2-4x*(x-e^(-x^2)))/(4x^4)=

=((1-e^(-x^2)*(-2x))*2x^2-4x*(x-e^(-x^2)))/(4x^4)=

=(2x^2+4x^3e^(-x^2)-4x^2+4x*e^(-x^2))/(4x^4)=

=(2x^2e^(-x^2)-x+2e^(-x^2))/(2x^3)

Подставляем в уравнение:

(2x^2e^(-x^2)-x+2e^(-x^2))/(2x^2)+2*(x-e^(-x^2))/(2x^2)=e^(-x^2);

неверно.
Не является?

Ответ выбран лучшим

vector{n}=(0;0;1) - направляющий вектор искомой прямой

(x-2)/(0)=(y+5)/(0)=(z-3)/1

Напишем параметрические уравнения.
Обозначим:

(x-2)/(0)=(y+5)/(0)=(z-3)/1 = t

{x=0*t +2
{y=0*t-5
{z=t+3

О т в е т. [b]
{x=0*t +2
{y=0*t-5
{z=t+3[/b]

Ответ выбран лучшим

vector{n_(1)}=(1;-3;0)⇒ |vector{n_(1)}|=sqrt(10)
vector{n_(2)}=(2;-1;5)⇒ |vector{n_(2)}|=sqrt(30)

vector{n_(1)}*vector{n_(2)}=|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|*cos φ

cos φ =( 1*2+(-3)*(-1)+0*5)/(sqrt(10)*sqrt(30))=5/sqrt(300)=

=1/sqrt(12)=1/(2sqrt(3))

Плоскости пересекаются под углом arccos(1/(2sqrt(3)))

Ответ выбран лучшим

|vector{a}|=|vector{b}|=sqrt(1+1)=sqrt(2)

S=(1/2)|[vector{a}×vector{b}]|

Находим векторное произведение векторов vector{a} и vector{b} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и проекцией ее на плоскость
Легко найти угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

Нормальный вектор плоскости vector{n}=(1;1;sqrt(2))
Запишем уравнение прямой в каноническом виде.
Для этого выразим t
t=x-1;
t=(y-2)/(-1)
t=z/sqrt(2)

(x-1)/1=(y-2)/(-1)=z/sqrt(2)
Направляющий вектор прямой:
vector{s}=(1;-1;sqrt(2))

cos φ =cos ∠ (vector{n},vector{s})=

=vector{n}*vector{s}/(|vector{n}|*|vector{s}|=

=(1*1+1*(-1)+sqrt(2)*sqrt(2))/sqrt(1+1+2)*sqrt(1+2+2)=2/4=1/2

φ=∠ (vector{n},vector{s})= arccos(1/2)=60^(o)

Искомый угол - угол, который дополняет найденный до 90^(o)

О т в е т.

90^(o)-60^(o)=30^(o) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выделяем полные квадраты
(4x^2-8x)+(3y^2+12y)-32=0
4*(x^2-2x+1)-4+3*(y^2+4y+4)-12-32=0
4*(x-1)^2+3*(y^2+4y+4)-48=0
(x-1)^2/12+(y+2)^2/16=1- эллипс
а=sqrt(12)
b=4

Ответ выбран лучшим

Расстояние между параллельными плоскостями находят по формуле ( cм. приложение)

ρ=|11-(-4)|/sqrt(3^2+(-4)^2)=15/5=3

a=ρ=3

S(квадрата)=a^2=3^2=9
О т в е т. 9
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cоставим уравнение прямой М_(1)М_(2)
(x-x_(1))/(x_(2)-x_(1))=(y-y_(1))/(y_(2)-y_(1))

(x+2)/(2)=(y-2)/(0)=(z-1)/(-2)

Запишем их в виде пересечения двух плоскостей:
{y=2
{(x+2)/(2)=(z-1)/(-2) ⇒ x+z+1=0

Находим точку принадлежащую трем плоскостям:
{y=2
{x+z+1=0
{x+2y–2z+6=0 .

{x+z+1=0
{x+2*2–2z+6=0 .

{x+z+1=0
{x–2z+10=0

{2x+2z+2=0
{x–2z+10=0

Складываем
3х+12=0

x=-4

z=-x-1=4-1=3

О т в е т. [b](-4;2;3)[/b]

Ответ выбран лучшим

Нормальный вектор плоскости 2x+3y+nz–1=0 имеет координаты
{2;3;n)
Нормальный вектор плоскости mx+6y–2z=1 имеет координаты
{m;6;-2)
Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны.
Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны
2:m=3:6=n:(-2) ⇒

2:m=3:6 ⇒ [b] m= 4[/b]

3:6=n:(-2) ⇒ [b]n= -1[/b]

Ответ выбран лучшим

z^2+(3i-2)z+(5-3i)=0
D=(3i-2)^2-4*(5-3i)=9i^2-12i+4-20+12i=-25
sqrt(D)=5i

z_(1)=(-3i+2-5i)/2=1-4i или z_(2)=(-3i+2+5i)/2=1+i

О т в е т. 1-4i; 1+i

Ответ выбран лучшим

cos((π/6)-2x)= cos(π/6)*cos2x - sin(π/6)*sin2x =

=sqrt(3)/2*cos2x-(1/2)si2x=(1/2)*(sqrt(3)cos2x-sin2x);

Замена
sin2x-sqrt(3)cos2x=t

t^2+(1/2)*t-5=0
2t^2+t-10=0
D=1-4*2*(-10)=81
t_(1)=(-1-9)/4=-5/2 или t_(2)=(-1+9)/2=2

sin2x-sqrt(3)cos2x=- 5/2 или sin2x-sqrt(3)cos2x=2

sin2x-sqrt(3)cos2x= 5/2 - уравнение не имеет корней

(1/2)sin2x-sqrt(3)/2cos2x=-5/4

sin(2x-(π/6))=-5/4 не имеет корней, так как |sin(2x-(π/6)| ≤ 1

sin2x-sqrt(3)cos2x=2

(1/2)sin2x-(sqrt(3)/2)cos2x=1
sin(2x-(π/6))=1

2x-(π/6)=(π/2)+2πn, n ∈ Z
2x=(π/2)+(π/6)+2πn, n ∈ Z
2x=(2π/3)+2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/3)+2πn, n ∈ Z[/b]

1) область определения функции
(-∞;0)U(0;+∞)
2) функция является нечетной
y(-x)=(2*(-x)^2-1)/(-x)=-(2x^2-1)/x = - y(x)

3)
x=0 - вертикальная асимптота

так как lim_(x→0)(2x^2-1)/x=∞

4) горизонтальной асимптоты нет, так как
lim_(x→∞)(2x^2-1)/x=∞

k=lim_(x→∞)(2x^2-1)/x^2=2

b=lim_(x→∞)((2x^2-1)/x)-2x=0

y=2x - наклонная асимптота

5) точки пересечения с осью Ох
y=0
2x^2-1=0
x=± sqrt(1/2)

6)
y`=((2x^2-1)`*x - (2x^2-1)*x`)/x^2=

=(4x^2-2x^2+1)/x^2=(2x^2+1)/x^2 >0 при любом х∈(-∞;0)U(0;+∞)

Значит функция возрастает на (-∞;0) и на (0;+∞)

Точек экстремума нет
7)
y``=((2x^2+1)`*x^2-(x^2)`*(2x^2+1))/x^4=

=(4x^3-4x^3-2x)/x^4=-2/x^3

y`` >0 при x < 0, кривая выпукла вниз

y`` <0 при x >0, кривая выпукла вверх (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем координаты точки пересечения
{x+y-1=0⇒ y=1-x
{2x+3y+4=0

2x+3*(1-x)+4=0
2x-3x+7=
-x=-7
x=7
y=1-x=1-7=-6
М(7;-6)

Запишем уравнение прямой
3x–y+7=0 ⇒ в виде уравнения с угловым коэффициентом
y=3x+7
k=3
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

k=-1/3 - угловой коэффициент искомой прямой

y=(-1/3)x + b

Подставляем координаты точки М
-6=(-1/3)*7 + b ⇒ b=-11/3

y=(-1/3)x - (11/3)

x+3y+11=0

О т в е т . х+3у+11=0

Ответ выбран лучшим

Это однородное уравнение.

Замена
y/x=u
y=xu
dy=xdu+udx

(x+2xu)dx-x^2du-xudx=0

(x+xu)dx=x^2du - уравнение с разделяющимися переменными
dx/x=du/(1+u)
Интегрируем

ln|x|=ln|1+u|+lnC
x=C*(1+(y/x)) - общее решение

1.
Область определения х ≠ -3
Значит исследуем точку x=-3

При x → -3 -0
|x+3|=-x-3
y=x+(x+3)/(-x-3)=x+1
Предел слева
f(-3-0)=lim_(x → -3 -0 )(x-1)=-4

При x → -3 +0
|x+3|=x+3
y=x+(x+3)/(x+3)=x+1
Предел справа
f(-3+0)=lim_(x → -3 +0 )(x+1)=-2

в точке х=-3 функция имеет разрыв первого рода.
Скачок функции конечный и равен
f(-3+0)-f(-3-0)2-(-4)=2

2.
Область определения х ≠± 4

Значит исследуем точки x=-4 и х=4

х=-4

Предел слева
f(-4-0)=lim_(x → -4 -0 )f(x)=-∞
Предел справа
f(-4+0)=lim_(x → -4 +0 )f(x)=+ ∞

x=-4 - точка разрыва второго рода.

х=4

Предел слева
f(4-0)=lim_(x → 4 -0 )f(x)=(неопределенность0/0)
умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(21+x)+5)
lim_(x → 4 -0 )(x-4)/(x-4)(x+4)*sqrt((21+x)+5)=1/80

Предел справа
f(4+0)=lim_(x → 4 +0 )f(x)=(неопределенность0/0)
умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(21+x)+5)
lim_(x → 4 +0 )(x-4)/(x-4)(x+4)*sqrt((21+x)+5)=1/80

Предел слева равен пределу справа, но функция в точке х=4 не определена.

x=4 - точка устранимого разрыва
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

замена переменной
∛(х-1) = t ⇒ x-1=t^3 ⇒ x=t^3+1; dx=3t^2dt

∫ ( dx / (x ·∛(х-1)) = ∫ 3tdt/(t^3+1)

t^3+1=(t+1)*(t^2-t+1)
Раскладываем дробь на простейшие

3t=A*(t^2-t+1)+(Mt+N)*(t+1)
3t=(A+M)t^2+(M+N-A)t+A+N

{A+M=0⇒ M=-A
{M+N-A=3
{A+N=0 ⇒ N=-A
-A-A-A=3
A=-1
M=1
N=1

∫ 3t/(t^3+1)= - ∫ dt/(t+1) + ∫ (t+1)dt/(t^2-t+1)

∫ dt/(t+1)=ln|t+1|

∫ (t+1)dt/(t^2-t+1)= ∫(t+1)dt /((t-1/2)^2+(3/4)) замена

t-1/2=u
t=u+(1/2)
dt=du

=∫(u+(3/2))du /(u^2+(3/4))=

=(1/2)ln|u^2+(3/4) +(3/2)*(1/sqrt(3/4))arctg u/sqrt(3/4)=

=(1/2)ln|t^2-t+1| +sqrt(3) arctg((t-1)/2)

Итак,
∫ ( dx / (x ·∛(х-1)) = ∫ 3tdt/(t^3+1)= - ∫ dt/(t+1) + ∫ (t+1)dt/(t^2-t+1)=

= -ln|t+1| +(1/2)ln|t^2-t+1| +sqrt(3) arctg((t-1)/2) +С= обратная замена

= -ln|∛(х-1)+1| +(1/2)ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1| +sqrt(3) arctg((∛(х-1)-1)/2)
+С=

Несобственный интеграл
∫^(+∞ )_(1) ( dx / (x ·∛(х-1)) =

=(-ln|∛(х-1)+1| +(1/2)ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1| +sqrt(3) arctg((∛(х-1)-1)/2))|^(+∞ )_(1) =0+sqrt(3)* (π/2)-0 + sqrt(3)arctg (-1/2)

так как
(1/2)ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|- ln|∛(х-1)+1|=

=(1/2)* (ln|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|- 2ln|∛(х-1)+1|) =

=(1/2) * ln (|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|)/(|∛(х-1)+1|)^2

При подстановке верхнего предела считаем
lim_(x→∞) ln (|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|)/(|∛(х-1)+1|)^2=

знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами

=ln lim_(x→∞) (|∛((х-1)^2)-∛(х-1)+1|)/(|∛(х-1)+1|)^2=ln1=0

О т в е т. sqrt(3)* (π/2) + sqrt(3)arctg (-1/2)

1.
Δ ABD = Δ ACD
по стороне AD ( общая сторона)
и двум углам
∠ CAD =∠ 1= ∠ 2 =∠ BDA
∠ BAD=∠ 1+ ∠ 3 =∠ 2+ ∠ 4 =∠ CDA

Из равенства треугольников ABD и ACD следует равенство углов В и С.

2.
Сумма смежных углов равна 180 градусов, один 110 градусов, значит смежный с ним угол 70^(o)

∠ CBA=70^(o) - углы при основании равнобедренного треугольника равны.

3.
∠ ADE= ∠ CDE - по условию
∠ BDA= ∠ BDC как смежные углы к двум равным углам.

Δ ABD = Δ CBD по стороне
BD - обща сторона и двум углам
∠ AВD= ∠ CВD - по условию
∠ BDA= ∠ BDC доказано ранее

ВС=АВ=21 см

a) vector{AB}=(4-(-4);7-1)=(8;6)
vector{СD}=(7-3;5-2)=(4;3)

б)| vector{AB}|=sqrt(8^2+6^2)=10
| vector{CD}|=sqrt(4^2+3^2)=5

в) vector{AB} * vector{CD}= 8*4+6*3=32=18=50

г) vector{AB} * vector{CD}=|vector{AB}| * |vector{CD}|* cos φ

cos φ =50/10*5=1
φ =0

д) 0 градусов.
Векторы сонаправлены ( параллельны прямые АВ и СD)

е) vector{СB} ⊥ vector{DQ} ⇒ vector{СB} * vector{DQ} =0

vector{СB} * vector{DQ}=(3-4)*x+(2-7)*4

(3-4)*x+(2-7)*4=0
-x -20=0
x=-20
О т в е т. -20

А

Дано. Вертикальная область интегрирования
0 ≤ x ≤ 4; x^2/2 ≤ y ≤ 4sqrt(x)

Полоса, ограничена [b] вертикальными[/b]прямыми
x=0 и х=4
и кривыми
y=x^2/2 и y=4sqrt(x)

Cм. рисунок слева

Рисунок справа, [b]горизонтальная[/b] полоса , ограничена прямыми
у =0 и у= 8
и уравнения кривых получим из данных уравнений, выразим х через у
y=x^2/2 ⇒ 2y=x^2 ⇒ x=sqrt(2y)
y=4sqrt(x) ⇒ y^2=16x ⇒ x=(1/16)y^2

О т в е т. ∫ ^(8)_(0)dy ∫ ^(sqrt(2y)_(y^2/16)dx

S= ∫^(4)_(0)dx ∫ ^(4sqrt(x))_(x^2/2)dy=

= ∫^(4)_(0)y|^(4sqrt(x))_(x^2/2)dx=

=∫^(4)_(0)(4sqrt(x)-(x^2/2))dx=

=4x^(3/2)/(3/2)|^(4)_(0)- (x^3/6)|^(4)_(0)=

=(8/3)*4^(3/2)-(4^3/6)=(64/3)-(64/6)=64/6=32/3

S= ∫ ^(8)_(0)dy ∫ ^(sqrt(2y)_(y^2/16)dx=

=∫ ^(8)_(0) x|^(sqrt(2y)_(y^2/16)dy=

=∫ ^(8)_(0) (sqrt(2y)- (y^2/16))dy=

=sqrt(2)(y^(3/2)/(3/2))|^(8)_(0) - (y^3/48)|^(8)_(0)=

=(2sqrt(2)/3)*8^(3/2)-(512/48)=

=(2sqrt(2)/3)*16sqrt(2)-(32/3)=

=(64/3)-(32/3)=32/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
u=x^4+2
du=4x^3dx ⇒ x^3dx=(1/4)du

=(1/4) ∫ du/u=(1/4)ln|u|+C=(1/4)ln |x^4+2|+C=(1/4)ln(x^4+2) + C

б)
u=e^(x)-1
du=e^(x)dx
= ∫ sqrt(u)du= ∫ u^(1/2)du=u^((1/2)+1)/((1/2)+1) + C=

=(2/3)usqrt(u)+C= (2/3)*(e^(x)-1)*sqrt(e^(x)-1) + C

в) по частям
u=x
dv=cos2xdx ⇒ v=(1/2)sin2x

=(1/2)*xsin2x - ∫ (1/2)sin2x dx=

=(1/2)*xsin2x - (1/2)(-cos2x)+C

Ответ выбран лучшим

8=8*(сos0+isin0)
∛8=8^(1/3)*(cos((0+2πn)/3)+isin((0+2πn)/3))

∛8=2*(cos((0+2πn)/3)+isin((0+2πn)/3))

n=0
z_(o)=2
n=1
z_(1)=2*(cos(2π/3)+isin(2π/3))=-1+isqrt(3)
n=2
z_(2)=2*(cos(4π/3)+isin(4π/3))=-1-isqrt(3)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|z|=|-sqrt(3)+i|=2
cos φ =-sqrt(3)/2
sin φ =1/2
φ =(5π/6)

-sqrt(3)+i = 2*(cos(5π/6) + i sin (5π/6))

(-sqrt(3)+i)^5= 2^(5)*(cos5*(5π/6) + i sin 5*((5π/6) )=

=32*(cos(25π/6) +isin(25π/6))=

=32*(cos(4 π+(π/6))+ i sin (4π+(π/6))=

=32*(cos(π/6)+ i sin (π/6))=(32*sqrt(3)/2)+i*(1/2)= 16 sqrt(3) +16*i

Ответ выбран лучшим

u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(yz/x^2)`_(x) + (x/z^4)`_(x) + (z/y^5)`_(x)=

=yz*(x^(-2))`+ (1/z^4)*(x`)+ 0=-2yzx^(-3))+ (1/z^4)

u`_(y)=(yz/x^2)`_(y) + (x/z^4)`_(y) + (z/y^5)`_(y)=

=(z/x^2)*y`+0 +z*(y^(-5))`=

=(z/x^2)-(5z/y^6)

u`_(z)=(yz/x^2)`_(z) + (x/z^4)`_(z) + (z/y^5)`_(z)=

= (y/x^2)*z` +x*(z^(-4))`+(1/y^5)*(z)`=

= (y/x^2) -4x*(z^(-5))+(1/y^5)

M(-2;1;1)

u`_(x)(M)=(-2*1*/(-2)^3))+ (1/z^4)=3/4

u`_(y)(M)=(1/4)-5=-19/5

u`_(z)(M)=(1/4) -4*(-2)*1+(1/1)=37/4

vector{MP}=(0-(-2);0-1;-1-1)=(2;-1;-2)

|vector{MP}|=sqrt(2^2+ (-1)^2+(-2)^2)=sqrt(9)=3
Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =2/3
cos β =-1/3
cos γ =-2/3

О т в е т.
u`_(MP)(M)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ =

=(3/4)*(2/3)-(19/5)*(-1/3)-(37/4)*(-2/3) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Разделим и числитель и знаменатель дроби на cos2α (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Разделим числитель и знаменатель дроби на cos2α

(прикреплено изображение)

Дифференцируем:

(tgy)`=(xy)`
(1/cos^2y)*y`=x`*y+x*y`
x`=1, так как х - независимая переменная

y`=y/((1/cos^2y)-x)

Ответ выбран лучшим

Cлучайная величина X может принимать значения от 0 до 4

p_(o)=5^4/6^4- вероятность того, что 6-ка не выпадет ни разу
p_(1)=4*5^3/6^4 - вероятность того, что 6-ка выпадет 1 раз
p_(2)=6*5^2/6^4 - вероятность того, что 6-ка выпадет 2 разa
p_(3)=4*5/6^4 - вероятность того, что 6-ка выпадет 3 разa
p_(4)=1/6^4 - вероятность того, что 6-ка выпадет 4 разa

Cумма вероятностей должна быть равна 1.
Закон распределения - таблица. (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

задача 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АВ: (x-1)/(2-1)=(y+3)(-1+3)
2(x-1)=y+3
2x-y-5=0

ВC: (x-2)/(1-2)=(y+1)(2+1)
3(x-1)=-(y+3)
3x+y=0

АC: x=1

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости 2х+3у–2z+6=0
При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(2;3;-2) является направляющим вектором прямой:
(x+5)/(2) = (y+11)/(3) =(z -7)/(-2)
Находим точку пересечения прямой и плоскости
Для этого запишем параметрическое уравнение прямой

(x+5)/(2) = (y+11)/(3) =(z -7)/(-2)=t

x=2t-5
y=3t-11
z=-2t+7

Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости

2*(2t-5)+3*(3t-11)-2*(-2t+7)+6=0

17t=51
t=3

При t=3
x=2*3-5=1
y=3*3-11=-2
z=-2*3+7=1

М(1;-2;1) - проекция точки А на плоскость
По свойству симметричных точек,
АМ=МА_(1)
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(-5+ x_(A_(1)))/2=1 ⇒ x_(A_(1))= 7
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=7
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-5

О т в е т. A_(1)(7 ;7;-5)

M- cередина ВС
x_(M)=(x_(B)+x_(C))/2=(-3-1)/2=-2;
y_(M)=(y_(B)+y_(C))/2=(-1-3)/2=-2;

Медиана АС проходит через точки А (1;7) и M(-2;-2)
Уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x+2)/(1+2)=(y+2)/(7+2)

3*(x+2)=y+2
3x-y+4=0 - уравнение медианы АМ

|AM|=sqrt((-2-1)^2+(-2-7)^2)=sqrt(9+81)=sqrt(90)=3sqrt(10)

Ответ выбран лучшим

По правилу сложения и вычитания векторов, одна диагональ является суммой векторов, вторая разностью.
vector{d_(1)}=vector{a}+vector{b}=(10;2;10)
vector{d_(2)}=vector{a}-vector{b}=(8;0;-8)

vector{d_(1)}*vector{d_(2)}=10*8+2*0+10*(-8)=0
Скалярное произведение равно 0, значит диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, угол между диагоналями 90^(o)

S=(1/2)d_(1)*d_(2)

|vector{d_(1)}|=sqrt(10^2+2^2+10^2)=sqrt(204)=2sqrt(51)
|vector{d_(2)}|=sqrt(8^2+0^2+(-8)^2)=8sqrt(2)

S=(1/2)*2sqrt(51)*8sqrt(2)=8sqrt(102)

С другой стороны
S=b*h
|vector{b}|=sqrt(1^2+1^2+9^2)=sqrt(83)
h=8sqrt(102)/sqrt(83)

Ответ выбран лучшим

Пусть a=8;b=15; ∠C =120^(o)

По теореме косинусов третья сторона
c^2=a^2+b^2-2ab*cos120^(o)
c^2=8^2+15^2-2*8*15*(-1/2)
c^2=409
c=sqrt(409)

По теореме косинусов найдем угол А
сos ∠A=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(225+409-64)/(2*15*sqrt(409))=

=570/(30sqrt(409))=19/sqrt(409)

Проведем медиану. Она делит сторону с пополам.
Имеем треугольник со сторонами
b;m_(c);c/2 и ∠А

(m_(c))^2=b^2+(c/2)^2-2b*(c/2)*cos ∠ A

(m_(c))^2=15^2+(sqrt(409)/2)^2-2*15*(sqrt(409)/2)*(19/sqrt(409))=

=225+(409/4)-285=(409/4)-60=(409-240)/4=169/4=(13/2)^2

m_(c)=6,5

Ответ выбран лучшим

u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(z/x^2)`_(x) (xz^2y^3)`_(x) (yz^4)`_(x)=

=z*(x^(-2))` (zy^3)*(x`) 0=-2zx^(-3)) (zy^3)

u`_(y)=(z/x^2)`_(y) (xz^2y^3)`_(y) (yz^4)`_(y)=

=0 xz^2*(y^3)` z^4*(y)`=

=3xz^2y^2 z^4

u`_(z)=(z/x^2)`_(z) (xz^2y^3)`_(z) (yz^4)`_(z)=

= (1/x^2)*z` (xy^3)*(z^2)` y*(z^(4))`=

=(1/x^2) 2xy^3z 4yz^3

M(-1;2;1)

u`_(x)(M)=2*1(-1)^(-3)) (1*2^3)=10

u`_(y)(M)=3(-1)*1^2*2^2 1^4=-11

u`_(z)(M)=(1/(-1)^2) 2*(-1)*2^3*1 4*2*1^3=

=1-16 8=-7

vector{MP}=(3 1;-6-2;2-1)=(4;-8;1)

|vector{MP}|=sqrt(4^2 (-8)^2 1^2)=sqrt(81)=9
Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =4/9
cos β =-8/9
cos γ =1/9

О т в е т.
u`_(MP)(M)=u`_(x)(M)cos α u`_(y)(M)cos β u`_(z)(M)cos γ =

=10*(4/9)-11*(-8/9)-7*(1/9)=121/9

Ответ выбран лучшим

Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{PM}=(x-1;y-1;z+2)
vector{PQ}=(3-1;-2-1;-1+2)=(2;-3;1)
vector{n}=(4;-2;-1)
компланарны.
Условием компланарности является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат данных векторов.
Раскрываем определитель и получаем уравнение плоскости. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение прямой ВС как прямой, проходящей через две точки:
(x+1)/(-4)=(y+2)/(-1)=(z+3)/1

Проводим плоскость через точку А перпендикулярно прямой ВС

Это значит, что направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости.
vector {n}=(-4;-1;1)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точкy
A(-4;-2;3) с нормальным вектором vector{n}=(-4;-1;1)
-4*(х+4) -1*(y+2)+1*(z+3)=0
-4x-y+z-15=0
[b] 4x + y - z +15 =0 [/b]

Найдем точку пересечения прямой и плоскости
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

((x+4)/(-4)=(y+2)/(-1)=(z+3)/1=t
x= - 4t - 4
y= - t - 2
z= t - 3
подставляем в уравнение плоскости

4*( -4t - 4) + (- t - 2) - (t - 3 ) + 15 =0

t=0

при t=0
x= - 4
y= - 2
z= - 3
M(-4 ;-2;-3) - проекция точки A на прямую

По свойству симметричных точек,
AМ=МA_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(-4+ x_(A_(1)))/2=-4 ⇒ x_(A_(1))= -4
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=-2
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-9

О т в е т. A_(1)(-4 ;-2;-9)

По теореме косинусов
a^2=b^2+c^2-2bc*cos ∠ A ⇒ cos ∠ A=(b^2+c^2-a^2)/2bc=

=(36+9-16)/(2*6*3)=29/36

∠ A= arccos(29/36)

b^2=a^2+c^2-2ac*cos ∠ B ⇒ cos ∠ B=(a^2+c^2-b^2)/2ac=

=(16+9-36)/(2*4*3)=-11/24

∠ B= arccos(-11/24)

c^2=a^2+b^2-2ab*cos ∠ C ⇒ cos ∠ C=(a^2+b^2-c^2)/2ab=

=(16+36-9)/(2*4*6)=43/48

∠ C=arccos (43/48)

u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(xz^4/y)`_(x) + (xzy^5)`_(x) + (y/z^2)`_(x)=

=(z^4/y)*(x`)+(zy^5)*(x`)+0=(z^4/y)+(zy^5)

u`_(y)=(xz^4/y)`_(y) + (xzy^5)`_(y) + (y/z^2)`_(y)=

=(xz^4)*(1/y)`+xz*(y^5)`+(1/z^2)y`=

=(xz^4)*(-1/y^2)+5xz*y^4+(1/z^2)

u`_(z)=(xz^4/y)`_(z) + (xzy^5)`_(z) + (y/z^2)`_(z)=

=(x/y)*(z^4)`+xy^5*(z)`+y*(z^(-2))`=

=(4xz^3/y)+xy^5-2yz^(-3)

M(1;1;-1)

u`_(x)(M)=1-1=0

u`_(y)(M)=-1-5+1=-5

u`_(z)(M)=-4+1+2=-1

vector{MP}=(3-1;-5-1;2-(-1))=(2;-6;3)

|vector{MP}|=sqrt(2^2+(-6)^2+3^2)=sqrt(49)=7
Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =2/7
cos β =-6/7
cos γ =3/7

О т в е т.
u`_(MP)(M)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ =

=0*(2/7)-5*(-6/7)+1*(3/7)=33/7

Ответ выбран лучшим

x`_(t)=a*(1-cost)
y`_(t)=a(-(-sint))=asint

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)=sint/*(1-cost)

y``_(x)=(y`_(x))`_(t)/x`_(t)=

=((sint)`*(1-cost)-(1-cost)`*sint)/a*(1-cost)^3=

=(cost-cos^2t-sin^2t)/a(1-cost)^3=(cost-1)/(a(1-cost)^3=-1/(a*(1-cost)^2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:

сos((3π/2)+x)=sinx

По формулам двойного аргумента

sin2x=2*sinx*cosx

4(cosx–1)sinx*cosx=3sinx

4(cosx–1)sinx*cosx- 3sinx=0

sinx* (4cos^2x-4cosx-3)=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z

или

4cos^2x-4cosx-3=0
D=16-4*4*(-3)=64

cosx=-1/2 или cosx =3/2

cosx=-1/2 ⇒ x= ± (2π/3) + 2πn, n ∈ Z

cosx=3/2 - уравнение не имеет корней, в силу свойства ограниченности косинуса |cosx| ≤ 1

О т в е т. πk ; ± (2π/3) + 2πn, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-x^2+8x-7 >0 ⇒ x^2-8x+7 < 0; D=36; корни 1 и 7 ⇒ 1 < x < 7
{(x-7)^2 > 0 ⇒ x ≠ 7
{x-1>0; x-1 ≠ 1 ⇒ x> 1, x ≠ 2
ОДЗ: x ∈ (1;2) U(2;7)

Умножаем на 16
Неравенство принимает вид:

16 log_(x-1) (-x^2+8x-7) + log_(x-1)(x-7)^2 ≥ 32

По свойству логарифма степени

16 log_(x-1) (-x^2+8x-7)=log_(x-1)(-x^2+8x-7)^(16)

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(x-1) (-x^2+8x-7)^(16)*(x-7)^2 ≥32

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

(х-1-1)*((-x^2+8x-7)^16*(x-7)^2 -(x-1)^32) ≥ 0

-x^2+8x-7=(1-x)*(x-7)
-x^2+8x-7)^16=(1-x)^16*(x-7)^16

(x-1)^(32)=(1-x)^32

(x-2)*(1-x)^16*((x-7)^(18)-(1-x)^(16)) ≥ 0

Метод интервалов:
x-2=0 ⇒ x=2
1-x=0 ⇒ x=1
(x-7)^(18) = (1-x)^16 ⇒(7-x)^(18)=(x-1)^(16)
По формуле разности квадратов:

(7-x)^(18) - (x-1)^(16)=((7-x)^(9) -(x-1)^(8))*((7-x)^(9) +(x-1)^(8))
((7-x)^(9) -(x-1)^(8))*((7-x)^(9) +(x-1)^(8))=0

(7-x)^(9) -(x-1)^(8)=0

Уравнение имеет корень на (4;5)

(1) ___ (2) ____(?)___ (7)

Уточняйте условие задачи.
При переписывании бывают пропуски..., опечатки и т.д
Задача может быть совсем другой, не вижу смысла решать нерешаемую

2.1
y`=(cos2x)*(2x)`=2cos2x
y`(π/4)=2cos(π/2)=2*0=0
2.2
(sqrt(x)-sqrt(y))`=(sqrt(a))`
1/(2sqrt(x)) - (1/2sqrt(y))*y`=0
y`=sqrt(y)/sqrt(x)
x_(o)=4a ⇒ sqrt(4a)-sqrt(y_(o))=sqrt(a)
y_(o)=a
y`(x_(o);y_(o))=sqrt(a)/sqrt(4a)=1/2

2.3
{x`_(t)=-3e^(-3t)
{y`_(t)=8e^(8t)

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)=8e^(8t)/(-3e^(-3t))=-(8/3)e^(11t)
y`_(x)(1)=(-8/3)e^(11)

Ответ выбран лучшим

Находим нули числителя

Отмечаем их на числовой прямой
пустым кружком ( круглые скобки) или
закрашенным кружком ( квадратные скобки)
если равенство нестрогое

Находим нули знаменателя

Отмечаем их на числовой прямой
пустым кружком ( круглые скобки)

И расставляем знаки:
справа +,
затем чередуем справа налево,

1.7.63
_+___ (-3) __-___ (9) ___+__

О т в е т. (-3;9)

1,7.64
___+___ [ -6] _____ (2) __+___

О т в е т. (- ∞ ;-6]U(2;+ ∞ )

1.7.67

_-__ [-7] __+___ [-1] __-___ [5/2] __+__

О т в е т. [-7;-1]U(5/2;+ ∞ )

1.7.68

Раскладываем на множители:
(-3x^3-3x^2)+(5x^2+5x)+(2x+2) <0
-3x^2(x+1)+5x(x+1)+2(x+1) <0
(x+1)(-3x^2+5x+2) <0
(x+1)(3x^2-5x-2) >0

3x^2-5x-2=0
D=(-5)^2-4*3*(-2)=25+24=49
x=(5-7)/6=-1/3 или x=(5+7)/6=2

_-__ (-1) __+___ (-1/3) __-___ (2) __+__

О т в е т. (-1;-1/3)U(2;+ ∞ )

88/11=(8*11)/11=8

D=(-3)^2-4*11 <0
уравнение x^2-3x+11=0 не имеет корней,
значит парабола y=x^2-3x+11 не пересекает ось Ох
и так как коэффициента a=1, ветви направлены вверх
то парабола расположена выше оси ох

Неравенство верно при любом х

О т в е т. (- ∞ ;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

u`_(MP)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ

u`_(x)=(xz/y^5)`_(x) + (xz^3y^2)`_(x) + (y/z^2)`_(x)=

=(z/y^5)*(x`)+(z^3y^2)*(x`)+0=(z/y^5)+(z^3y^2)

u`_(y)=(xz/y^5)`_(y) + (xz^3y^2)`_(y) + (y/z^2)`_(y)=

=(xz)*(y^(-5)`)+(x*z^3)*(y^2)`+(1/z^2)*y`=

=-5xzy(-6) +2xz^3y+(1/z^2)

u`_(z)=(xz/y^5)`_(z) + (xz^3y^2)`_(z) + (y/z^2)`_(z)=

=(x/y^5)(z`)+(x*y^2)*(z^3)`+y*(z^(-2))`=

=(x/y^5)+3xy^2z^2-2yz^(-3)

u`_(x)(M)=(-1/1^5)+((-1)^3*1^2)=-2

u`_(y)(M)=-5*2*(-1)*1^(-6) +2*2(-1)^3*1+(1/(-1)^2)=10-4+1=7

u`_(z)(M)=(2/1^5)+3*2*1^2(-1)^2-2*1*(-1)^(-3)=2+6+2=10

vector{MP}=(4-2;-2-1;5-(-1))=(2;-3;6)

|vector{MP}|=sqrt(2^2+(-3)^2+6^2)=sqrt(49)=7
Направляющие косинусы вектора vector{MP}

cos α =2/7
cos β =-3/7
cos γ =6/7

О т в е т.
u`_(MP)(M)=u`_(x)(M)cos α +u`_(y)(M)cos β +u`_(z)(M)cos γ =

=-2*(2/7)+7*(-3/7)+10*(6/7)=36/7

Ответ выбран лучшим

{x+y-3 ≥ 0 граница области прямая х+у-3=0 красным цветом
{3-x+y>0 граница области прямая 3-х+у=0 синим цветом

О т в е т. Пересечение областей красного и синего, на рисунке фиолетовый цвет (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

df(x)=f `(x) dx
Найти производные и приписать справа dx

1)
f(x)=(2-e^(2x))^(-1)
f `(x)=-1*(2-e^(2x))^(-2)*(2-e^(2x))`
f `(x)=-1*(2-e^(2x))^(-2)*(-e^(2x))*(2x)`
f `(x)=-1*(2-e^(2x))^(-2)*(-e^(2x))*(2)

f `(x)=2*e^(2x)/(2-e^(2x))^(2)

df=2*e^(2x)dx/(2-e^(2x))^(2)

2)
f`(x)=(1/2sqrt(arcsinx))*(arcsinx)`

f`(x)=(1/2sqrt(arcsinx))*(1/sqrt(1-x^2))

df=dx/(2sqrt(arcsinx)*sqrt(1-x^2))

3)
f `(x)=coslg(x/2) * (lg(x/2))`

f `(x)=coslg(x/2) * (ln10/(x/2))*(x/2)`

f `(x)=coslg(x/2) * (ln10/(x/2))*(1/2)

f `(x)=(coslg(x/2))*(ln10) /(x)

df=(coslg(x/2))*(ln10)dx /(x)

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(2)_(1)(x^2-1)dx=((x^3/3)-x)|^(2)_(1)=(8/3)-2-(1/3-1)=

=(7/3)-1=4/3 (прикреплено изображение)

∫^(3)_(a)dx/(3+x)^2= ∫^(3)_(a)d(3+x)/(3+x)^2=[ cм формулу 4; u=3+x]

(-1/(3+x))|^3_(a) =(-1/6)+(1/(3+a))

(-1/6)+(1/(3+a))=1/30

(1/(3+a))=1/5
3+a=5
a=2 (прикреплено изображение)

a)
1)Область определения (- ∞ ;-1/2) U (-1/2; 1/2)U(1/2;+ ∞)

2) функция четная, так как y(-x)=y(x)
y(-x)=(-x)^2/(4*(-x)^2-1)=x^2/(4x^2+1)

3)
Вертикальной асимптотой являются прямые х= ± (1/2), так как
lim_(x→-(1/2))y= ∞
lim_(x→+(1/2))y= ∞

4)
lim_(x→ ±∞)y= 1/4
Горизонтальная асимптота
y=1/4

k=lim_(x→+ ∞)f(x)/x= 0
Наклонных асимптот нет

5)
Точка пересечения с осью Ох

y=0
x^2=0 ⇒ x=0
(0;0) - точка пересечения с осью Ох и осью Оy

6)
y`=((x^2)`*(4x^2-1)-x^2*(4x^2-1)`)/(4x^2-1)^2
y`=-2x/(4x^2-1)^2

y`=0

-2x=0

x=0

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y` > 0 на (- ∞; -1/2)U(-1/2;0)
Функция возрастает на (- ∞; -1/2)U(-1/2;0)

y` <0 на (0;1/2)U(1/2;+ ∞)
Функция убывает на (0;1/2)U(1/2;+ ∞)

y``=(-2*(4x^2-1)^2+2x* 2*(4x^2-1)*8x)/(4x^2-1)^4

y``=(-8x^2+32x^2+2)/(4x^2-1)^3

y``=(24x^2+2)/(4x^2-1)^3

Знак второй производной:
_+___ (-1/2) ___-____ (1/2) __+__

Кривая выпукла вниз на (- ∞; -1/2) и на (1/2;+ ∞), так как y`` > 0
Кривая выпукла вверх на (- 1/2; 1/2) , так как y`` < 0

б)
1)Область определения (- ∞ ;+ ∞)

2) функция четная, так как y(-x)=y(x)
y(-x)=(4e^((-x)^2)-1)/e^((-x)^2)=(4e(^(x^2))-1)/e^(x^2)

3) Вертикальных асимптот нет

4) lim_(x→± ∞)y= 4
Горизонтальная асимптота
y=4

5) Точки пересечения с осью Оу:
x=0 ⇒ y=3
Точки пересечения с осью Оx:
y=0
4e^(x^2)-1=0
e^(x^2)=1/4 - уравнение не имеет корней, графики не пересекаются.
Точек пересечения с осью Ох нет ( см. рис. 3)

5)y`=(4 - e^(-x^2))`=-e^(-x^2)*(-x^2)`=2x*e^(-x^2)

y`=0
x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

функция убывает на (- ∞;0), так как y` <0
и возрастает на (0;+ ∞), так как y`>0

6) y``=-2*(e^(-x^2)-2x*e^(-x^2)*(-x^2)`=-2e^(-x^2)*(1-2x^2)

y``=0

1-2x^2=0

x= ± 1/sqrt(2) - точки перегиба, вторая производная меняет знак

Знак второй производной:
_+___ (-1/sqrt(2)) ___-____ (1/sqrt(2)) __+__

Кривая выпукла вниз на (- ∞; -1/sqrt(2)) и на (1/sqrt(2);+ ∞), так как y`` > 0
Кривая выпукла вверх на (- 1/sqrt(2); 1/sqrt(2)) , так как y`` < 0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ; ∞ )
y`=6x^2-5x 3
y`=0
6x^2-5x 3=0
D=25-4*6*3< 0
Нет корней,
значит y `>0 при любом х
Функция возрастает на (- ∞ ; ∞ )

y``=12x-5
x=5/12 - точка перегиба, вторая производная меняет знак
y`` <0 на (- ∞ ;5/12 )
Функция выпукла вверх на (- ∞ ;5/12 )

y`` > 0 на (5/12; ∞ )
Функция выпукла вниз на (5/12; ∞ )
(прикреплено изображение)

(log_(4)x)^2 или log_(4)x^2

|vector{a}|=|vector{b}|=sqrt(5)

vector{a}+vector{b}=(-3;-1)
|vector{a}+vector{b}|=sqrt((-3)^2+(-1)^2)=sqrt(10)

1) Находим скалярное произведение
vector{a}*(vector{a}+vector{b})=-1*(-3)+(-2)*(-1)=5

cos α =vector{a}*(vector{a}+vector{b})/| vector{a}|*|vector{a}+vector{b}|=

=5/(sqrt(5)*sqrt(10))=1/sqrt(2)
α=π/4

2)
Находим скалярное произведение
vector{b}*(vector{a}+vector{b})=-2*(-3)+1*(-1)=5
cosβ =vector{b}*(vector{a}+vector{b})/| vector{b}|*|vector{a}+vector{b}|=

=5/(sqrt(5)*sqrt(10))=1/sqrt(2)
β =π/4

Ответ выбран лучшим

-1 ≤3х^2 +5х–1 ≤ 1 ⇒

{-1 ≤3х^2 +5х–1 ⇒ 3x^2+5x ≥ 0
{3х^2 +5х–1 ≤ 1 ⇒ 3x^2 +5x-2 ≤ 0

{x*(3x+5) ≥ 0 ⇒ x ≤ -5/3 или x ≥ 0
{D=25+24=49; корни -2 и 1/3 ⇒ -2 ≤ х ≤ 1/3

О т в е т. [-2;-5/3] U [0;1/3]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sinx=x-(x^(3)/3!)+(x^(5)/5!)+ ...

sinx^2=x^2-(x^(6)/3!)+(x^(10)/5!)+ ...

(sinx^2)/x^2=(x^2-(x^(6)/3!)+(x^(10)/5!)+...)/x^2=1-(x^(4))/3!+(x^(8)/5!)+...

∫^(0,5)_(0)( sin(x)^2/x^2) dx=

=∫^(0,5)_(0)(1-(x^(4))/3!+(x^(8)/5!)+...)dx=

≈(x -(x^5/30) +(x^(9)/(9*5!)))|^(0,5)_(0)=

=0,5 - (0,5)^(5)/30 + (0,5)^(9)/1080

Достаточно взять первые два слагаемых
Тогда точность не превышает первого отброшенного,
т. е (0,5)^(9)/1080

Ответ выбран лучшим

Теперь да, сможете!

Ответ выбран лучшим

Пусть T_(k)=C^(k)_(17)(2,8)^k(√6)^(17-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)

T_(k-1)=C^(k-1)_(17)(2,8)^(k-1)(√6)^(17-k+1)
T_(k+1)=C^(k+1)_(17)(2,8)^(k+1)(√6)^(17-k-1)

{C^(k)_(17)(2,8)^k(√6)^(17-k) > C^(k-1)_(17)(2,8)^(k-1)(√6)^(17-k+1)

{C^(k)_(17)(2,8)^k(√6)^(17-k)> C^(k+1)_(17)(2,8)^(k+1)(√6)^(17-k-1)

{2,8/k > sqrt(6)/(17-k+1) ⇒ 2,8*(17-k+1) > sqrt(6)k
{sqrt(6)/(17-k) > 2,8/(k+1) ⇒ {sqrt(6)*(k+1) > 2,8*(17-k)

{50,4> (sqrt(6)+2,8)k ⇒ k < 9,6
{(sqrt(6)+2,8)k > 47,6-sqrt(6) ⇒ k > 8,6

k=9

T_(9)=C^(9)_(17)(2,8)^(9)(√6)^(8) - наибольший член разложения данного бинома.

Ответ выбран лучшим

t_(o)=0

x_(o)=x(0)=0
y_(o)=y(0)=ln1=0

x`_(t)=t`*(1+cost)+t*(1+cost)`=1+cost+t*(-sint)=1+cost-tsint
y`_(t)=1/(t+1)

x`_(0)=1+1-0=2
y`_(0)=1/(0+1)=1

Применяем формулу ( см. приложение)

y - 0= (1/2)*(x-0)

y=(1/2)x

[b]y=x/2[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
x_(o)=x(0)=0
y_(o)=y(0)=ln1=0

x`_(t)=t`*(1+cost)+t*(1+cost)`=1+cost+t*(-sint)=1+cost-tsint
y`_(t)=1/(t+1)

x`_(0)=1+1-0=2
y`_(0)=1/(0+1)=1

Применяем формулу ( см. приложение)

y - 0= (1/2)*(x-0)

y=(1/2)x

[b]y=x/2[/b]

б)
x_(o)=x(0)=1
y_(o)=y(0)=1

x`_(t)=((2t+1)`*(1+t)-(2t+1)*(1+t)`)/(1+t)^2=(2*(1+t)-(2t+1)))/(1+t)^2=1/(1+t^2)
y`_(t)=2t

x`_(0)=1/(1+0)=1
y`_(0)=0

Применяем формулу ( см. приложение)

y - 1= (0/1)*(x-1)

[b]y=1[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть ребро куба равно а, тогда
d=asqrt(3);
8sqrt(3)=asqrt(3) ⇒ a=8

угол между диагональю куба и плоскостью одной из его сторон ( например, плоскостью основания) равна углу между диагональю куба и его проекцией на эту плоскость.

Проекцией диагонали куба является диагональ основания

d_(осн.)=asqrt(2)=8sqrt(2)

сos φ =asqrt(2)/asqrt(3)=sqrt(2/3)

tg(2π–x)=-tgx
cos(3π/2+2x)=sin2x
sin(–π/2)=-1

-tgx*(2sinx*cosx)=-1

cosx≠ 0

2sin^2x=1
sinx= ± 1/sqrt(2)

x= ±(π/4)+πk, k ∈ Zπ

б)(π/4)+2π=9π/4

(3π/4)+2π=11π/4

(5π/4)+2π=13π/4

Ответ выбран лучшим

24log_(9)(6sqrt(9))=24log_(9)6+24log_(9)sqrt(9)=

=24log_(9)(2*3)+24log_(9)9^(1/2)=

=24log_(9)2+24log_(9)3+24*(1/2)log_(9)9=

=24log_(3^2)2+24log_(3^2)3+24*(1/2)*1=

=(24/2)log_(3)2 +(24/2)*1+12=

=12log_(3)2+24

2*sin((2x+6x)/2)*cos((2x-6x)/2)=0
2*sin(4x) * cos(-2x)=0
cos(-2x)=cos2x

sin 4x=0 или cos 2x=0

4x=πk, k ∈ Z или 2х=(π/2)+πn, n ∈ Z

x=(π/4)k, k ∈ Z или х=(π/4)+(π/2)*n, n ∈ Z

вторая серия ответов содержится в первой

О т в е т. (π/4)k, k ∈ Z

4^(x-3)=(2^2)^(x-3)=(2^(x-3))^2

Замена переменной
2^(x-3)=t, t>0 при любом х
4^(x-3)=t^2

Неравенство принимает вид:

t^2 - t*(16-x^2)-16x^2 ≥ 0

t^2-16t+tx^2-16x^2 ≥ 0

Делим на t^2

1-(16/t)+(x/t)-16(x/t)^2 ≥ 0

vector{DM}=(9/14)vector{DA}=(9/14)vector{CB}=(9/14)vector{a}
vector{MA}=(5/14)vector{DA}=(5/14)vector{CB}=(5/14)vector{a}

По правилу треугольника сложения векторов:
[b]vector{СM}+vector{МD}=vector{DC}[/b]

vector{МD}= - vector{DМ}= - (9/14)vector{a}
vector{DC}= - vector{CD} = - vector{b}

[b]vector{СM} - (9/14)vector{a}=- vector{b}[/b] ⇒

vector{СM} = (9/14)vector{a}- vector{b}

По правилу треугольника сложения векторов:
[b]vector{MB}+vector{BA}=vector{MA}[/b]

vector{BA}= vector{CD}=vector{b}
vector{MA}=(5/14)vector{a}

[b]vector{MB} + vector{b}=(5/14) vector{a}[/b] ⇒

vector{MB} = (5/14)vector{a}- vector{b}

D=(-2)^2-4*5=4-20=-16
sqrt(D)= ± 4*i
x_(1)=(2-4i)/2=1-2i; x_(2)=(2+4i)/2=1+2i

Ответ выбран лучшим

Приближенная формула

f(x_(o)+ Δx) - f (x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx ⇒

f(x_(o)+ Δx) ≈ f (x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

Cправа - значение функции в точке х_(о) и производная в точке х_(о)
Точку х_(о) выбирают так, чтобы значения в этой точке легко считались.
Её иногда называют " хорошей" точкой

В нашем случае, х_(о)=1
Δх=1,05-1=0,05

f(1)=(2+3*1)^4=5^4=625
f ` (x)=4*(2+3x)^3
f `(1) =4*(2+3*1)^3=4*5^3=500

f(x_(o)+ Δx) ≈ f (x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

f(1,05) ≈ f (1) +500* 0,05=625+25=650

(х–7)^2 = (х+11)^2

(х–7)^2 - (х+11)^2 = 0

((x-7)-(x+11))*(x-7+x+11)=0
-18*(2x+4)=0
2x+4=0
x=-2 (прикреплено изображение)

Пусть путь S

t_(1)=(S/2) : 84= S/168 (час.) - время, затраченное на первую половину
t_(2)=(S/2) : 108= S/216 (час.) - время, затраченное на вторую половину

t=t_(1)+t_(2)(S/168)+( S/216) =S*(9+7)/(1512)=S*(2/189)

(час.) - время, затраченное на весь путь.

v_(cp)=S/t

v=189/2 (км в час)=94,5 км в час

x^2 + 4х +4=(x+2)^2

(x-1)*(x+2)^2-4*(x+2)=0
(x+2)*((x-1)*(x+2)-4)=0

(x+2)*(x^2+x-2-4)=0

(x+2)*(x^2+x-6)=0

x+2=0 или x^2+x-6=0

x=-2

x^2+x-6=0
D=1+24=25

x=(-1 ± sqrt(25))/2

x=-3 или х=2

О т в е т. -3; -2; 2

Ответ выбран лучшим

x=rcos φ
y=rsin

x^2+y^2=r^2

r^4=a^2*r^2(2cos^2φ +3sin^2φ )

r^2=a^2(2cos^2φ +3sin^2φ )
r=asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )- уравнение данной кривой
в полярных координатах
0 ≤ φ ≤ 2π

S= ∫ ∫ _(D)dxdy=

= ∫ ^( 2π)_(0)( ∫^(asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )) _(0)asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )dr)d φ =

= ∫ ^( 2π)_(0) asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )*r |^(asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )) _(0)d φ =

=a^2 ∫ ^( 2π)_(0) (2cos^2φ +3sin^2φ)d φ =

[ 2cos^2 φ +2sin^2 φ =1 ]

=a^2 ∫ ^( 2π)_(0) (2 + sin^2φ)d φ =

[sin^2 φ =(1-cos2 φ )/2]=

=a^2 ∫ ^( 2π)_(0) ((5/2)-(1/2)cos2 φ)d φ =

=a^2 * ((5/2) φ -(1/4)sin2 φ)|^( 2π)_(0)=5*πa^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По правилу треугольника сложения векторов:
vector{AO}+vector{OD}=vector{AD}

vector{BC}=vector{AD}=vector{AO}+vector{OD}=vector{m}+vector{n}

[b]vector{BC}=vector{m}+vector{n}[/b]

По правилу треугольника сложения векторов:
vector{AВ}+vector{ВO}=vector{AО},
vector{ВO}=vector{OD}=vector{n}

vector{AВ}+vector{n}=vector{m} ⇒
[b]vector{AВ}=vector{m}-vector{n}[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Используем два табличных разложения:
sinx=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)+ ...
и
(1+x)^( α )
для α =1/2
и
x^2

sqrt(1 + x^2)^(1/2)=1+(1/2)*x^2+(1/2)*((1/2)-1)/2!x^4+ ...
Интегрируем и получаем разложение
ln(sqrt(1+x^2)+x)=x+(1/6)x^3-(1/40)x^5+...

Числитель:

x- ln (sqrt(1+x^2)+x)=x -(x+(1/6)x^3-(1/40)x^5+ ...)=

=- (1/6)x^3+(1/40)x^5

Знаменатель
x-sinx = x - x+ (x^3/3!)-(x^5/5!)+ ..=(x^3/6) - (x^5/5)+ ...

Выносим за скобки x^3 и в числителе и в знаменателе.
Сокращаем на x^3 и получаем ответ
предел равен

(-1/6)/(1/6)= - 1

Ответ выбран лучшим

Применяем разложение y=e^(x)

e^(x)=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!) +...+(x^(n)/n!)+ ...
Умножаем на х
x*e^(x)=x+x^2+(x^3/2!)+(x^4/3!) +...+(x^(n+1)/n!)+ ...

О т в е т. x*e^(x)=x+x^2+(x^3/2!)+(x^4/3!) +...+(x^(n+1)/n!)+ ...
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

EF||BC; EF||AD

Δ BOC подобен Δ AOD по двум углам:
∠ AOD = ∠ BOC как вертикальные;
∠ OBC = ∠ ODA как внутренние накрест лежащие при AD|| BC и секущей BD
AO:OC=OD : BO = AD : BC = 10: 15
AO=(2/3)OC
OD= (2/3)BO

Δ EOB подобен Δ ADB по двум углам:
∠ B - общий;
∠ BЕО = ∠ ВАD соответственные углы при ЕО||AD и секущей BD
EO:AD= BO : BD
BD=BO+OD=BO+(2/3)BO=(5/3)BO
EO:AD=BO:((5/3)BO)=3/5

EO=(3/5)*AD=(3/5)*10=6

Аналогично
OF=(3/5)AD=6

EF=EO+OF=6+6=12 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
(vector{a}-2vector{b})*(3vector{a}+vector{b})=

=3vector{a}*vector{a} -6vector{b}*vector{a}+
+vector{a}*vector{b}-2vector{b}*vector{b}=

=3*|vector{a}|*|vector{a}|cos)^(o) -6* |vector{b}|*|vector{a}|cos90^(o)+
+|vector{a}|*|vector{b}|*cos90^(o)-2*|vector{b}|*|vector{b}|*cos0^(o)=

=3*1*1*1-6*2*1*0+1*2*0-2*2*2*1=3-8=-5

2.
vector{c}=[vector{a}×vector{b}] = - 7j ( cм. приложение)

пр_(vector{c})vector{p}=vector{p}*vector{c}/|vector{c}|=

=(1*0+2*(-7)+(-1)*0)/7=-2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=3x^2+y^2-5y^3
z`_(y)=2xy-15xy^2+5y^4

z``_(xy)=(z`_(x))`_(y)=(3x^2+y^2-5y^3)`_(y)=2y-15y^2
z``_(yx)=((z`)(y))`_(x)=(2xy-15xy^2+5y^4)`_(x)=2y-15y^2

z``_(xy)=z``_(yx)

Ответ выбран лучшим

F(x;y)= xe^y+ye^x–e^(xy)

dy/dx= - F `_(x)(x;y)/F `_(y)(x;y)

F `_(x)(x;y)=(xe^y+ye^x–e^(xy))`_(x)=

=e^(y)*(x)`_(x)+y*(e^(x))`_(x)-e^(xy)*(xy)`_(x)=

=e^(y)+y*e^(x)-y*e^(xy)

F `_(y)(x;y)=(xe^y+ye^x–e^(xy))`_(y)=

=x*(e^(y))`_(y)+e^(x)*(y)`_(y)-e^(xy)*(xy)`_(y)=

=x*e^(y)+e^(x)-x*e^(xy)

dy/dx= - (e^(y)+y*e^(x)-y*e^(xy))/(x*e^(y)+e^(x)-x*e^(xy))

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=(x√y)`_(x)+(y/∛x)`_(x)=√y*(x)`_(x)+y*(x^(-1/3)`_(x)=

=√y+y*(-1/3)x^(-4/3)=√y - y/(3x∛x)

z`_(y)=(x√y)`_(y)+(y/∛x)`_(y)=x*(√y)`_(y)+(1/∛x)(y)`_(y)=

= (x/2√y)+(1/∛x)

Ответ выбран лучшим

y=x^2*(9-6x+x^2)
y=9x^2-6x^3+x^4
y`=18x-18x^2+4x^3
y`=0
18x-18x^2+4x^3=0
2x*(2x^2-9x+9)=0
x=0 или 2x^2-9x+9=0 D=81-4*2*9=9 x=(9-3)/4=3/2 или х=(9+3)/4=3

Ни одна из найденных точек не является внутренней точкой [0;1]
Значит наибольшие и наименьшие значения функция принимает на концах отрезка
y(0)=0 - наименьшее значение
y(1)=1*(3-1)^2=4 - наибольшее значение

Ответ выбран лучшим

1)Область определения (- ∞ ;0) U (0;+ ∞)
2) функция ни четная, ни нечетная.
y(-x)=2*(-x)^2-(1/(-x))=2x^2+(1/x)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)
3)
Вертикальной асимптотой является прямая х=0, так как
lim_(x→-0)y=+ ∞
lim_(x→+0)y=- ∞

4)
lim_(x→+ ∞)f(x)= ∞
Горизонтальных асимптот нет.

k=lim_(x→+ ∞)f(x)/x= ∞
Наклонных асимптот нет

5)
Точек пересечения с осью Ох нет
y=0
2x^2-(1/x)=0 ⇒ (2x^3-1)/x=0 ⇒ 2x^3-1=0 ⇒ x=1/∛2
(1/∛3;0) - точка пересечения с осью Ох

Точек пересечения с осью Оy нет

6)
y`=4x+(1/x^2)
y`=(4x^3+1)/x^2

y`=0

4x^3+1=0

x=-1/∛4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y` <0 на (- ∞; -1/∛4)
Функция убывает на (- ∞; -1/∛4)

y` > 0 на (-1/∛4; + ∞)
Функция возрастает на (-1/∛4; 0) и на (0; + ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ CAB= ∠ EDB - односторонние углы при ED ∥ CA и секущей АВ.
∠ CAB=44^(o)
Сумма углов треугольника АВС равна 180 градусов.

∠ BCA=180 градусов - ∠ CBA - ∠ CAB =

=180 градусов - 67^(o)- 44^(o) =69^(o) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{c}=(1;1;0)
пр_(vector{c})vector{a}=vector{a}*vector{c}/|vector{c}|=

=(5*1+4*1+4*0)/sqrt(1^2+1^2)=9/sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

x^2-8x+17=x^2-8x+16+1=(x-4)^2+1

(x-4)^2 ≥ 0 при любом х ⇒ (x-4)^2+1 > 0 при любом х

Ответ выбран лучшим

Есть три варианта.
1) Дубки - Снежинск - Запрудный = 1,75+1,8 = 3,55
2)Дубки - Колхозная - Запрудный = 2 +1,5 = 3,5
3) Дубки - Колхозная - Снежинск - Запрудный = 2+1+1,8=4,8

Второй вариант короче

Ответ выбран лучшим

a)
x^2 ≥ 0 ⇒ x^2+4 >0 ⇒ y >0
График в верхней полуплоскости, т.е в 1 и 2 четвертях
б)
График и в верхней полуплоскости и в нижней, т.е в 1 , 2,3 и 4 четвертях
в)
xy=6>0 ⇒ x>0 и y>0 или x<0 и y < 0
График в 1 и 3 четвертях
г)
xy=-12 < 0 ⇒ x>0 и y<0 или x<0 и y > 0
График в 2 и 4 четвертях

Ответ выбран лучшим

а)
x=1; y=0
x=4; y=1

б)
x=3; y=1
x=1;y=0

Ответ выбран лучшим

1)Область определения:
cosx > 0 ⇒
x ∈ ((-π/2)+2πm, (π/2)+2πm), m ∈ Z

2) функция четная
y(-x)=ln(cos(-x))=ln(cosx)=y(x)

3) Функция периодическая

y(x+T)=y(x)

T=2π

ln(cosx+2π)=lncosx

4) lncosx=0
cosx=e^(0)
cosx=1
x=2πk, k ∈ Z

5) Вертикальные асимптоты следует искать в крайних точках области определения

lim_(x→ - (π/2)+2πk)+0)=+ ∞

lim_(x→ (π/2)+2πk)-0)=+ ∞

x=±(π/2)+2πk - вертикальные асимптоты

6)
y`=(1/cosx)*(cosx)`

y`=(-sinx)/cosx

y`=-tgx

y`=0

tgx=0

x=πn, n ∈ Z

Области определения принадлежат точки c четным n=2m

Знак производной
((-π/2)+2πm) _+__ (2πm) __-_ ( (π/2)+2πm), m ∈ Z

y`>0 на ((-π/2)+2πm;2πm), m ∈ Z
Функция возрастает на ((-π/2)+2πm;2πm), m ∈ Z

y`< 0 на (2πm;(π/2)+2πm), m ∈ Z
Функция убывает на ((-π/2)+2πm;2πm), m ∈ Z

Точки

x=2πm, m ∈ Z - точки максимума, производная меняет знак с + на -
7) y``=(-tgx)`=-1/cos^2x> 0 при любом х ∈ ((-π/2)+2πm, (π/2)+2πm), m ∈ Z

Функция выпукла вверх на каждом интервале

((-π/2)+2πm, (π/2)+2πm), m ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f `_(vector{a})= f `_(x)*cos α +f `_(y)*cos β

vector{a}=(3;4)
|vector{a}|=sqrt(3^2+4^2)=5

cos α=a_(x)/|vector{a}|=3/5=0,6

cos β =a_(y)/|vector{a}|=4/5=0,8

f `_(x)=(x^2+(cosx/ √y))`_(x)=2x-sin(x/√y) * (x/√y)`_(x)=

=2x-sin(x/√y) * (1/√y)=2x- (1/sqrt(y))*sin(x/√y)

f `_(y)=(x^2+(cosx/ √y))`_(y)=0 - sin(x/√y) * (x/√y)`_(y)=

=- x*sin(x/√y) * (y^(-1/2))`= (x*sin(x/sqrt(y))/(2√(y^3))

f `_(vector{a})=(2x- (1/sqrt(y))*sin(x/√y))*0,6 + (x*sin(x/sqrt(y))/(2√(y^3))*0,8;

f `_(vector{a})(0;1)= -0,6+0*0,8=-0,6

Ответ выбран лучшим

df/du= f `_(u)=f `_(x)*x`_(u)+f `_(y)*y `_(u)

df/dv= f `_(v)=f `_(x)*x`_(v)+f `_(y)*y`_(v)

Находим
f `_(x)= siny*(sqrt(x))`_(x)+(ln(1/y))`_(x)=siny/(2sqrt(x)) + 0

f `_(y)=sqrt(x)*(siny)`_(y)+(ln(1/y))`_(y)=sqrt(x)*(siny)`_(y)-(lny)`_(y)=

=sqrt(x)*(cosy) - (1/y)

x`_(u)= (cosv)`_(u)=0

y `_(u)=(v^3/u)`_(u)= v^3*(1/u)`_(u)=-v^3/u2

x`_(v)=(cosv)`_(v)= - sinv

y`_(v)=(v^3/u)`_(v)= (1/u)*(v^3)`_(v)=3v^2/u

Подставляем и получаем ответ:

df/du=0*siny/(2sqrt(x)) -(-v^3/u2)*( sqrt(x)*(cosy) - (1/y))

df/dv=-sinv*( siny)/(2sqrt(x)) +(3v^2/u)*( sqrt(x)*(cosy) - (1/y))

Ответ выбран лучшим

1) x^(x)+x при х →∞ бесконечно большая(б.б,)

4/б.б=б.м=0

б.м- бесконечно малая, т.е 0

2)Выносим x^2 за скобки и сокращаем на него
2/б.м=б.б= ∞

Ответ выбран лучшим

φ=0 ⇒ ρ =3*(1+sin0)=3
φ=π/8 ⇒ ρ =3*(1+sinπ/8)=3*(1+0,3826)≈ 4,15
φ=π/6 ⇒ ρ =3*(1+sinπ/6)=3*(1+0,5)= 4,5
φ=π/4 ⇒ ρ =3*(1+sinπ/4)=3*(1+0,7071)≈ 5,12
φ=3π/8 ⇒ ρ =3*(1+sin3π/8)=3*(1+0,9239)≈ 5,77
φ=π/2 ⇒ ρ =3*(1+sinπ/2)=3*(1+1)=6

φ=5π/8 ⇒ ρ =3*(1+sin5π/8)=3*(1+0,9239)≈ 5,77
φ=3π/4 ⇒ ρ =3*(1+sin3π/4)=3*(1+0,7071)≈ 5,12
φ=7π/8 ⇒ ρ =3*(1+sin7π/8)=3*(1+0,3826)≈ 4,15
φ= π ⇒ ρ =3*(1+sinπ)=3*(1+0)=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(2/3)*(x+1)^((2/3)-1)

y`=(2/3)*(x+1)^(-1/3)

y`=2/(3*∛(x+1))

y` не существует при х=-1

На графике функции в точке х= -1 надо нарисовать ("излом")

y`>0 при х < -1

Это означает, что функция убывает на (- ∞ ;-1)

y`< 0 при х > -1

Это означает, что функция возрастает на (- 1 ;+ ∞)

y``=(2/3)*((x+1)^(-1/3))`=(2/3)*(-1/3)*(x+1)^((-1/3)-1)=

= -1/(9*(x+1)*∛(x+1))

y``< 0 при x ∈ (- ∞ ;-1) и при х ∈ (- 1 ;+ ∞)

Кривая выпукла вверх.

См. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S=S_(1)= ∫ ^(3)_(0)(2x)dx=(2x^2/2)|^(3)_(0)=9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) Уравнение прямой y=kx+b
k_(прямой)=tgα

По условию α =(π/3)

k= tg (π/3)=sqrt(3)

y=sqrt(3)*x + b

Чтобы найти b подставим координаты точки

-6=sqrt(3)*0+b
b=-6
О т в е т. y=sqrt(3)*x - 6

б)О т в е т. y=2

в)
(x/3)+(y/4)=1
При х=0 получаем y=4 ( отрезок длины 4 на оси Оу)
При у=0 получаем х=3 ( отрезок длины 3 на оси Ох)

2.
(x/a)+(y/b)=1

Подставим A(4;4)
(4/a)+(4/b)=1

S=a*b/2

S=4

a*b=8

Система
{(4/a)+(4/b)=1
{a*b=8

{4*b+4*a=ab
{ab=8

{4b+4a=8
{ab=8

{b=2-a
{a*(2-a)=8

a^2-2a+8=0
D<0
нет решения.

Проверяйте данные задачи!

Самую маленькую площадь, будет иметь равнобедренный прямоуольный треугольник.
Прямая, проходящая через А, отсекает треугольник с катетами 8
Площадь такого треугольника 8*8/2=32

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

См. формулу.
f `(x)=(y^3)*(arcsin(x/y))`_(x)=y^3*(1/sqrt(1-x^2y^2))*(x/y)`_(x)=

=y^2/sqrt(1-x^2/y^2);

f `_(y)=(y^3)`_(y)*(arcsin(x/y))+ y^3*((arcsin(x/y))`_(y)=

=3y^2*(arcsin(x/y)) + y^3*(*(1/sqrt(1-(x^2/y^2))*(x/y)`_(y)=

=3y^2*(arcsin(x/y)) + y^3*(*(1/sqrt(1-(x^2/y^2))*(x/-y^2)=

=3y^2*(arcsin(x/y))-(xy/sqrt(1-x^2y^2))

y`_(x)=(lnx)`_(x)+(∛x)`_(x)= (1/x)+(1/3)*x^(-2/3)=(1/x) +(1/(3∛(x^2)))

и подставить все в формулу ( см. приложение)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

F(x;y;z)=0 - функция трех переменных задана неявно.

tg(xy)+(x/z)=0 X_(o)=(1;0;1)

F(x;y;z)=tg(xy)+(x/z)

F`_(x)=(tg(xy)+(x/z))`_(x)=(1/cos^2(xy))*(xy)`_(x)+(x/z)`_(x)=

=(y/cos^2xy)+(1/z)

F`_(X_(o))=0+(1/1)=1

F`_(y)=(tg(xy)+(x/z))`_(y)= (1/cos^2(xy))*(xy)`_(y)+(x/z)`_(y)=

=(x/cos^2xy)+0

F`_(y)(X_(o))=1

F`_(z)=(tg(xy)+(x/z))`_(z)= 0+(x/z)`_(z)=0+ x*(-1/z^2)=-x/z^2

F`_(z)(X_(o))=-1

Подставить все в формулы ( см. приложение)

x_(o)=1
y_(o)=0
z_(o)=1

Касательная плоскость:
1*(x-1)+1*(y-0)-1*(z-1)=0
x+y-z=0

Нормаль:
(x-1)/(1)=(y-0)/(1)=(z-1)/(-1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

df=f`_(x)dx+f`_(y)dy

f`_(x)=(∛y^3+cos(xy))`_(x)=0+ (-sinxy)*(xy)`_(x)=-ysinxy
f`_(y)=(∛y^3)`_(y)+(cos(xy))`_(y)=1+(-sinxy)* (xy)`_(y)=

=1- xsinxy

df=(-ysinxy)dx + ( 1-xsinxy)dy

Ответ выбран лучшим

df=f`_(x)dx+f`_(y)dy

f`_(x)=(∛y^3+arctg(xy))`_(x)=0+ (xy)`_(x)/(1+(xy)^2)=y/(1+x^2y^2);

f`_(y)=(∛y^3)`_(y)+(arctg(xy))`_(y)=1+ (xy)`_(y)/(1+(xy)^2)=

=1+(x/(1+x^2y^2)).

df=ydx/(1+x^2y^2) + ( 1+(x/(1+x^2y^2)))dy

Ответ выбран лучшим

F(x;y;z)=0 - функция трех переменных задана неявно.

3x+(siny/sinx)- √z=0

F(x;y;z)=3x+(siny/sinx)- √z

F`_(x)=(3x+(siny/sinx)- √z)`_(x)=3+(siny)*(1/sinx)`_(x)- 0=

=3+siny*(-1/sin^2x)*(sinx)`=3-(siny*cosx/(sin^2x))

F`_(X_(o))=3- (1/1)=2

F`_(y)=(3x+(siny/sinx)- √z)`_(y)= 0 +(1/sinx)*(siny)`_(y)+0=

=cosy/sinx

F`_(y)(X_(o))=1

F`_(z)=(3x+(siny/sinx)- √z)`_(z)=0+0-(z^(-1/2))`_(z)=(-1)*(-1/2)*z^(-3/2)

=1/(2∛z^2)

F`_(z)(X_(o))=1/2

Подставить все в формулы ( см. приложение)

x_(o)=π/2
y_(o)=0
z_(o)=1

Касательная плоскость:
2*(x-(π/2))+1*(y-0)+(1/2)*(z-1)=0
2x+y-π=0

Нормаль:
(x-(π/2))/(2)=(y-0)/(1)=(z-1)/(1/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f `(x)=(-1/3)*(tg3x)`=(-1/3)*(1/cos^23x)*(3x)`=-1/cos^23x
f`(π/9)=-1/cos^2(π/3)=-4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

расстояние от центра ромба до стороны, это половина высоты ромба
h=2
S=a*h=4*2=8 (прикреплено изображение)

См. формулу.
f `(x)=(x^3)`*ln(x^3/y)+ x^3*(ln(x^3/y))`_(x)=

=(3x^2)*ln(x^3/y)+ x^3*(y/x^3)*(x^3/y)`_(x)=

=(3x^2)*ln(x^3/y)+ x^3*(y/x^3)*(3x^2/y)=

=3x^2*(ln(x^3/y) + 1)

f `_(y)=x^3*(ln(x^3/y))`_(y)=x^3*(y/x^3)*(x^3/y)`_(y)=

=x^3*y*(-1/y^2)=(-x^3/y)

y`_(x)=(x*2^(x))=(x)`*2^(x)+x*(2^(x))`_(x)= 2^(x) =x*2^(x)*ln2

и подставить все в формулу ( см. приложение)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

F(x;y;z)= 0 - функция задана неявно
(y/x^2)+lnz^4-y=0

F(x;y;z)=(y/x^2)+lnz^4-y

F`_(x)=y*(x^(-2))`_(x)+(lnz^4)`_(x)-(y)`_(x)=(-2y/x^3)

F`_(M)=-2

F`_(y)=(1/x^2)*(y*)`_(y)+(lnz^4)`_(y)-(y)`_(y)=(1/x^2) - 1

F`_(y)(M)=0

F`_(z)=(y/x^2)`_(z)+(lnz^4)`_(z)-(y)`_(z)=4*(1/z)
F`_(z)(M)=4

Подставить все в формулы ( см. приложение)
Х_(o)=M
x_(o)=1
y_(o)=1
z_(o)=1

Касательная плоскость:
-2*(x-1)+4*(z-1)=0
2x-4z+2=0

Нормаль:
(x-1)/(-2)=(y-1)/(0)=(z-1)/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(b)-f(a)=f `(ξ)*(b-a)

b=1; a=0

f(b)=f(1)=sqrt(3)*1^3+3*1=sqrt(3)+3;
f(a)=f(0)=0

f `(ξ)=sqrt(3)+3

f `(x)=(sqrt(3)x^3+3x)`=3sqrt(3)x^2+3

f `(ξ)=3sqrt(3)ξ^2+3

3sqrt(3)ξ^2+3=sqrt(3)+3

3ξ^2=1

x^2=1/3
x= ± sqrt(1/3)

-sqrt(1/3) ∉ (0;1)

О т в е т. sqrt(1/3)

Ответ выбран лучшим

(x^4-xy+y^4)`=(1)`
4x^3-x`*y-x*y`+4y^3*y`=0

(4y^3-x)*y`=y-4x^3

y`=(y-4x^3)/(4y^3-x)

Дифференцируем равенство:
(4x^3-y-x*y`+4y^3*y`)`=0`

12x^2 -y` -x`*y`-x*y``+12y^2*y`*y`+4y^3*y``=0

(4y^3-x)*y``=12x^2-12y^2*(y`)^2-2y`

y``=(12x^2-12y^2*(y`)^2-2y`)/(4y^3-x)

где y`=(y-4x^3)/(4y^3-x) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(ln(2x))`+(x^3/cosx)`= (1/2x)*(2x)`+((x^3)`*cosx-(x^3)*(cosx)`)/(cos^2x)=

=(1/x) +(3x^2*cosx+x^3*sinx)/cos^2x;

y``=(1/x)` +((3x^2*cosx+x^3*sinx)/cos^2x)`=

=(-1/x^2)+((3x^2*cosx+x^3*sinx)*cos^2x-(cos^2x)`*(3x^2*cosx+x^3*sinx))/(cos^4x)

y`=(-1/x^2)+ [b]([/b](6x*cosx-3x^2sinx+3x^2*sinx+x^3*cosx)*cos^2x-2cosx*(-sinx)*(3x^2*cosx+x^3*sinx)[b])[/b]/(cos^4x)

y`=(-1/x^2)+[b]([/b](6x*cosx+x^3*cosx)*cosx+2sinx*(3x^2*cosx+x^3*sinx)[b])[/b]/(cos^3x)

(-1/x^2)+[b]([/b](6x*cos^2x+x^3*cos^2x+3x^2*sin2x+2x^3*sin^2x)[b])[/b]/(cos^3x)

Ответ выбран лучшим

{x-2x > -6-4
{-x^2+2x>0

{-x>-10
{x^2-2x <0

{ x < 10
{x*(x-2) < 0 ⇒ 0 < x < 2

О т в е т. (0;2)

Ответ выбран лучшим

Область определения функции
1+x > 0
x> - 1

y`= 1- (1/(1+x))

y`=(1+x-1)/(1+x)

y`=x/(1+x)

y`=0

x=0

(-1) _-_ (0) ____+__

x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5
{x+3 ≥ ⇒ x ≥ -3

x ≥ 5

Возводим в квадрат
x-5 +6*sqrt(x-5)*sqrt(x+3)+9*(x+3)=100
6*sqrt(x-5)*sqrt(x+3)= 78-10x
3*sqrt(x-5)*sqrt(x+3)= 39-5x
Возводим в квадрат
{39-5x ≥ 0⇒ [b]x≤ 39/5=7,8[/b]
{9*(x-5)*(x+3)=(39-5x)^2 ⇒
9*(x^2-5x+3x-15)=1521-390x+25x^2

16x^2-372x+1656=0

4x^2-93x+414=0
D=(-93)^2-4*4*441=8649-6624=2025=45^2
x_(1)=(93-45)/8 или х_(2)=(93+45)/8
x_(1)=6 или x_(2)=17,25
x_(2) не удовл. условию x ≤ 7,8

О т в е т. один корень, х=6

Ответ выбран лучшим

Область определения:(- ∞;+ ∞ )

y`=(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=3x^2+4x+4 ⇒ u`=6x+4
v=x^2+x+1 ⇒ v`=2x+1

y`=((6x+4)*(x^2+x+1)-(2x+1)*(3x^2+4x+4))/(x^2+x+1)^2;

y`=(-x^2-2x)/(x^2+x+1)^2

y`=0

-x^2-2x=0
-x*(x+2)=0

x=0 или х=-2 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума.
Расставляем знак производной:

_-__ (-2) _+__ (0) _-__

x=-2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=4x-4-4y
z`_(y)=12y-4x

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{4x-4-4y=0 ⇒ x-1-y=0
{12y-4x=0 ⇒ x=3y

3y-1-y=0
y=1/2
x=3/2

Точка (3/2; 1/2) - точка возможного экстремума.

Применяем достаточное условие:
z``_(xx)=4
z``_(xy)=-4
z`_(yy)=12

Δ=4*12-(-4)*(-4)>0
Значит, в точке есть экстремум.
Так как z``_(xx)=4>0, это минимум.

О т в е т. (3/2;1/2) - точка минимума

Ответ выбран лучшим

cos α =cos60^(o)=1/2;
cos β =cos120^(o)=-1/2

cos^2 α +cos^2 β +cos^2 γ =1
(1/2)^2+(-1/2)^2+cos^2 γ =1
cos^2 γ =1/2
cos γ =- sqrt(2)/2

(1/2; -1/2; -sqrt(2)/2) - есть ось.
Обозначим vector{b}

пр_(vector{b}) vector{a}=(vector{a}*vector{b})/|vector{b}|=

=(1*(1/2)+3*(-1/2)-1*(-sqrt(2)/2))/sqrt((1/4)+(1/4)+(1/2))=

=(sqrt(2)-2)/2

Ответ выбран лучшим

2*vector{a}+vector{b}=(2*2+2;2*1+3;2*(-1)+(-1))=(6;5;-3)

пр_(vector{c})(2*vector{a}+vector{b})=((2*vector{a}+vector{b})*vector{c})/(|vector{c}|)=

=(6*1+5*(-1)+(-3)*2)/sqrt(1^2+(-1)^2+2^2)=

=-5/sqrt(6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Используем правило параллелограмма сложения двух векторов.

Диагональ параллелограмма, выходящая из общей вершины векторов vector{a} и vector{и} - есть вектор суммы.

При каком условии диагональ - еще и биссектриса?
Если
|vector{a}|=|vector{b}|
|vector{a}|=sqrt(3^2+4^2)=sqrt(25)=5

Значит,
строим
vector{c}=5*vector{b}

vector{d}=vector{a}+vector{c}=(8;4)
|vector{d}|=sqrt(8^2+4^2)=sqrt(68)

О т в е т.vector{d}/sqrt(68) =(1/sqrt(68))*(vector{a}+5*vector{b})

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Введем систему координат, так как на рисунке.
A(1;0)
B(0;1)
C(0;0)

M(1/3; 1/3)

vector{АМ}=(-2/3;1/3); |vector{АМ}|=sqrt((-2/3)^2+(1/3)^2)=sqrt(5/9)
vector{BМ}=(1/3;-2/3); |vector{BМ}|=sqrt((1/3)^2+(-/3)^2)=sqrt(5/9)

∠ BMA= ∠ (vector{АМ},vector{BМ})

cos∠ (vector{АМ},vector{BМ})=(vector{АМ}*vector{BМ})/(|vector{АМ}|*|vector{BМ}|)=

=(-2/9)+(-2/9)/sqrt(5/9)*sqrt(5/9)=-4/5

∠ (vector{АМ},vector{BМ})= arccos(-4/5)

Ответ выбран лучшим

vector{AC}=(2-4;4-2;0-(-3))=(-2;2;3)

vector{M}=[vector{P} × vector{AC}] = (-12;-24;8) ( cм приложение)

|vector{M}|=sqrt((-12)^2+(-24)^2+8^2)=sqrt(784)=28

cos α =-12/28=-3/7
cos β =-24/28=-6/7
cos γ =8/28=2/7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Точки, в которых производная не существует - это точки резкой смены направления касательной.
Например,
кривая y=|x| имеет изгиб в точке х=0
Слева от точки 0 касательная y=-x, справа y=x

Таких точек на данной кривой нет.

В каждой из указанных точек, можно провести касательную.

f`(x_(o))=k

В точках х_(5) и х_(8)
k=0
f`(x_(5))=0
f`(x_(8))=0
f`(x_(11))=0

На приведенных ниже рисунках, точки, в которых производная не существует обозначены красным кружком.

На приведенном в условии задачи графике точек такого типа нет!!! (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{p}=vector{a}+vector{b}=(-2+6;3-1;-2+5)=(4;2;3)

|vector{p}|=sqrt(4^2+2^2+3^2)=sqrt(29)

vector{q}=2vector{a}-vector{c}=(-4+2;6-1;-4+3)=(-2;5;-1)

|vector{q}|=sqrt((-2)^2+5^2+(-1)^2)=sqrt(30)

cos∠ (vector{p},vector{q})=vector{p}*vector{q}/(|vector{p}|*|vector{q}|) =

=(4*(-2)+2*5+3*(-1))/sqrt(29)*sqrt(30)=-1/(sqrt(29)*sqrt(30))

∠ (vector{p},vector{q})=arccos(-1/(sqrt(29)*sqrt(30)))

Ответ выбран лучшим

x_(M)=(x_(A)+x_(C))/2=(-1-5)/2=-3
y_(M)=(y_(A)+y_(C))/2=(1+3)/2=2

|BM|=sqrt((-3-(-2))^2+(2-1)^2)=sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

((x-2)/(x+3))^(3x+5)=((x-2)/(x+3))^(3x)*((x-2)/(x+3))^5

lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(3x+5)=lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(3x)*((x-2)/(x+3))^5=
предел произведения равен произведению пределов:
=lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(3x) * lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(5)

Cчитаем каждый предел:
lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(5)=1^(5)=1

lim_(x→∞)((x-2)/(x+3))^(3x)= неопределенность 1^(∞)
применяем второй замечательный предел
делим числитель и знаменатель на х

lim_(x→∞)((1-(2/х))/(1+(3/х)))^(3x)=

= lim_(x→∞)((1-(2/x)^(-x/2))^(-6)/ lim_(x→∞)((1+(3/x)^(x/3))^9=

=e^(-6)/e^(9)=e^(-15)=1/e^(15)

О т в е т. 1/e^(15) (прикреплено изображение)

vector{d_(1)}=vector{a}+vector(b}=3vector{m}-vector{n}

|vector{d_(1)}|^2=vector{d_(1)}*vector{d_(1)}=

=(3vector{m}-vector{n})^2=9vector{m}*vector{m}-6vector{m}vector{n}+
vector{n}*vector{n}=9*1*1cos0^(o)-6*1*1*cos60^(o)+1*1*cos0^(o)=
=9-3+1=7
|vector{d_(1)}|=sqrt(7)

vector{d_(2)}=vector{a}-vector(b}=vector{m}+3vector{n}

|vector{d_(2)}|^2=vector{d_(2)}*vector{d_(2)}=

=(vector{m}+3vector{n})^2=vector{m}*vector{m}+6vector{m}vector{n}+
9vector{n}*vector{n}=*1*1cos0^(o)+6*1*1*cos60^(o)+9*1*1*cos0^(o)=
=1+3+9=13
|vector{d_(2)}|=sqrt(13)

Используем правило параллелограмма сложения двух векторов.
Диагональ параллелограмма - есть вектор суммы.

При каком условии диагональ - еще и биссектриса?
Если
|vector{a}|=|vector{b}|
|vector{b}|=sqrt(2^2+4^2)=sqrt(20)

Значит,
vector{c}=sqrt(20)*vector{a}

vector{d}=vector{c}+vector{b}=(sqrt(20)+2;0+4)=(2*(sqrt(5)+1);4)
|vector{d}|=sqrt(4*(sqrt(5)+1)^2+4^2)=sqrt(40+8sqrt(5))=

=2*(sqrt(10)+sqrt(20))

О т в е т.vector{d}/(2*(sqrt(10)+sqrt(20)))

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|vector{a}|=sqrt(3^2+m^2+1^2)
|vector{b}|=sqrt(2^2+1^2+n^2)

|vector{a}|=|vector{b}| ⇒

sqrt(3^2+m^2+1^2)=sqrt(2^2+1^2+n^2)

10+m^2=5+n^2;
[b]n^2-m^2=5[/b]

vector{a} ⊥ vector{b} ⇒ vector{a} * vector{b} =0
Cкалярное произведение векторов, заданных координатами равно сумме произведений одноименных координат

3*2+m*1+1*n=0

[b]m+n+6=0[/b]

Решаем систему двух уравнений:
{n^2-m^2=5
{m+n+6=0

{(n-m)*(n+m)=5
{m+n=-6

{n-m=-5/6
{n+m=-6

2n=-41/6
n=-41/12

m=-31/12

О т в е т. m=-31/12; n=-41/12

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть (x_(o);y_(o)) - точка касания.

y_(o) (касательной)=k*x_(o)-5
y_(o) (функции)=4x^2_(o) -13x_(o)+11

они равны
k*x_(o)-5=4x^2_(o) -13x_(o)+11

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k

f`(x)=8x-13

f`(x_(o))=8x_(o)-13

8x_(o)-13=k

Решаем систему двух уравнений с двумя переменными:
{k*x_(o)-5=4x^2_(o) -13x_(o)+11
{8x_(o)-13=k

(8x_(o)-13)*x_(o)-5=4x^2_(o) -13x_(o)+11

4x^2_(o)=16

x^2_(o)=4

x_(o)=2 >0

О т в е т. 2

2.f(x)=-1

Cм. рис.
y=f(x) построен

Строим график y=-1

Графики пересекаются в точках с абсциссами
-2 и -4
Это и есть решения уравнения
Их сумма
-4-2=-6
О т в е т. -6
f(x)=-1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{a}=(-1;1;-1)
vector{b}=(2;-1;2)
vector{c}=(-2;1;-3)

vector{p}=vector{a}+vector{b}=(-1+2;1+(-1);-1+2)=(1;0;1)

|vector{p}|=sqrt(2)

vector{q}=2vector{a}- vector{c}=(2*(-1)+2;2*1-1;2*(-1)+3)=(0;1;1)

|vector{q}|=sqrt(2)

cos ∠ (vector{p},vector{q})=vector{p}*vector{q}/(|vector{p}|*|vector{q}|)=

=(1*0+0*1+1*1)/(sqrt(2)*sqrt(2))=1/2

О т в е т. π/3

Ответ выбран лучшим

c=5
2b=24
b=12

Условие связывающее параметры эллипса
a,b и c имеет вид:

b^2=a^2-c^2 ⇒ a^2=b^2+c^2=144+25=169

b^2=169

Каноническое уравнение эллипса
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

О т в е т. (x^2/169)+(y^2/144)=1

Ответ выбран лучшим

Пусть Р(x;y;z) - произвольная точка данной плоскости.
Тогда векторы
vector{MP}=(x-3;y+2;z-5) ;vector{MN}=(2-3;3-(-2);1-5)=(-1;5;-4) и vector{k}=(0;0;1) [b] компланарны[/b]

Условием компланарности векторов является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат данных векторов:

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)

β - α =45^(o)

tg( β - α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )

(k_(1)-(1/4))/(1+(1/4)*k_(1))=1

k_(1)=5/3

y=(5/3)x+b - уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

2,5=(5/3)*1,5+b
b=0
y=(5/3)x

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1):
k_(1)*k_(2)=-1
(5/3)*k_(2)= -1
k_(2)=-3/5

Значит уравнение второй диагонали имеет вид:
y=(-3/5)x+b

Подставляем координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

y=(-3/5)+3,4 - уравнение второй диагонали

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
{х-4у=0
{у=(5/3)х
x=0
y=0

Координаты другойвершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
{х-4у=0
{у=(-3/5)х+3,4

{x=4y
{y=(-3/5)*4y+3,4
17y=17
y=1
x=4

Координаты двух других точек см на рисунке
О т в е т. (0;0); (4;1) (-1;4) (3;5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как фокусы гиперболы лежат в точках F_(1)(–5;6) , F_(2)(5;6)

то c=5 и

прямая y=6 - ось симметрии гиперболы

ε=с/а

1,25=с/а

а=5:(5/4)=4

Параметры a; b и c связаны соотношением

b^2=c^2-a^2=25-16=9
b=3

О т в е т. (x^2/16) - ((y-6)^2/9)=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим точку пересечения прямых .
Решаем систему уравнений:
{x+y-1=0
{2x+3y+4=0

Умножаем первое на (-2)
{-2x-2y+2=0
{2x+3y+4=0

Складываем
у+6=0
у=-6
х=7

vector{n}=(3;-1) - нормальный вектор данной прямой, является направляющим вектором перпендикулярной прямой.

(x-7)/3=(y+6)/-1

-x+7=3(y+6)
x + 3y +11 =0
О т в е т.x + 3y +11 =0

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
sin(x-(π/4)) > 0 ⇒ 0+2πn < x-(π/4) < π + 2πn, n ∈ Z ⇒

[b](π/4)+2πn <x < (5π/4) + 2πn, n ∈ Z [/b]

cos2x+sinx=0 ⇒

1-2sin^2x+sinx=0

2t^2-t-1=0

D=1-4*(-2)=9

t_(1)=(1-3)/4=-1/2 или t_(2)=(1+3)/4=1

sinx=-1/2 или sinx=1

1)
sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^k*(-π/6)+πk, k ∈ Z
Это множество решений удобнее записывать в виде серии двух ответов:
при k=2n
x=(-π/6)+2πn, n ∈ Z
и
при k=2n+1
x=(7π/6)+2πn, n ∈ Z
ОДЗ принадлежит только одно семейство решений
х=(7π/6)+2πn , n ∈ Z

2)
sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πm, m ∈ Z входит в ОДЗ

О т в е т. (7π/6)+2πn, n ∈ Z; (π/2)+2πm, m ∈ Z

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно прямой 3х+2y-1=0

нормальный вектор vector{n}=(3;2) будет направляющим вектором перпендиулярной прямой.
(x+2)/3=(y-1)/2
2*(x+2)=3(y-1)
2x-3y+7=0 - уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно данной прямой.

Находим точку пересечения прямых

{3x+2y-1=0
{2x-3y+7=0

Умножаем первое на 3, второе на 2

{9x+6y-3=0
{4x-6y+14=0

Складываем:
13x/3+11/3=0

x=(-11/13)

y=23/13

M(-11/13;23/13) - координаты проекции точки В на данную прямую

Так как по свойству симметричных точек:
AM=MB

x_(M)=(x_(A)+x_(B))/2

-11/13=(x_(A)+(-2))/2

x_(A)=4/13

y_(M)=(y_(A)+y_(B))/2

23/13=(y_(A)+1)/2

y_(A)=33/13

А( 4/13; 33/13)

Второй способ нахождения уравнения прямой ВМ:
2y=-3x+1
y=(-3/2)x+(1/2)

k_(1)=(-3/2)

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
k_(1)*k_(2)=-1

Значит
k_(2)=2/3

y=(2/3)x + b - множество прямых, перпендикулярных данной

Подставим координаты точки B

1=(2/3)*(-2)+b
b=7/3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

Так как ε=с/a, то
с/a=sqrt(2)
c=a*sqrt(2)

и параметры a;b и с
связаны соотношением
b^2=c^2-a^2 ⇒
b^2=2a^2-a^2
b^2=a^2

Подставляем координаты точки в уравнение:
(2^2/a^2)-((sqrt(3))^2/b^2)=1⇒
(4/a^2)-(3/b^2)=1

Подставляем вместо b^2 =a^2

1/a^2=1
a^2=1
b^2=1

О т в е т. x^2-y^2=1

Ответ выбран лучшим

М- проекция точки А на ось Оу.

M(0;-3;0)

Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x-2)/(0-2)=(y+3)/(-3-(-3))=(z-4)/(-0-4)

(x-2)/(-2)=(y+3)/(0)=(z-4)/(-4) - каноническое уравнение

Прямая как линия пересечения плоскостей
{y=-3
{(x-2)/(-2)=(z-4)/(-4) ⇒ 4x-2z=0

или
обозначив
t=(x-2)/(-2)=(z-4)/(-4)
запишем параметрические уравнения этой прямой
{y=-3
{x=-2t+2
{z=-4t+4

Ответ выбран лучшим

S=(a+b)*h/2

a=10-3=7
b=9-6=3
h=9-3=6

S=(3+7)*6/2=30 (прикреплено изображение)

Подставим А
3=0^2-3*0+c ⇒ c=3

y=x^2-3x+3

Решаем уравнение

x^2-3x+3=0
D=(-3)^2-4*3=9-12 <0
Уравнение не имеет корней, значит график не пересекает ось Ох (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x_(o)+ Δx)= -ctg(x_(o)+ Δx) - (x_(o)+ Δx)

Δf=f(x_(o)+ Δx) - f(x_(o)) = -ctg(x_(o)+ Δx) - (x_(o)+ Δx) - -ctgx_(o) - x_(o)

Δf/ Δx=[b] -[/b] (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o)) + Δx) / ( Δx)

По определению:

f`(x_(o))=lim_( Δx→0) Δf/ Δx=

=lim_( Δx→0) - (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o)) + Δx) / ( Δx)
Минус можно вынести за знак предела

Предел суммы равен сумме пределов.
Второе слагаемое имеет предел равны 1
=lim_( Δx→0)( Δx) / ( Δx)=1

Поэтому проблемы только с первым слагаемым

неопределенность (0/0)

lim_( Δx→0) (ctg(x_(o)+ Δx)-ctg(x_(o))) / ( Δx)

Применяем формулу разности котангенсов ( см. приложение)

= - lim_( Δx→0) (sin(x_(o)+ Δx-x_(o)) /( ( Δx)*sin(x_(o)+ Δx)*sin(x_(o)))
=

=-1/sin^2x_(o)

Итак,
f`(x_(o))=-( (-1/sin^2x_(o)) +1) = (1/sin^2x_(o)) - 1

Так как х_(о) - произвольная точка, то равенство верно для любой точки х

О т в е т.f`(x)= (1/sin^2x) - 1

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
Во всех точках, кроме х=0 и х=2 функция f(x) непрерывна, так как входящие в нее функции непрерывны.

Исследуем
x=0
Находим предел слева
f(-0)= lim_(x→(-0))(-x)=0
Находим предел справа
f(+0)= lim_(x→(+0)) (-(x-1)^2) = -1

х=0 - точка разрыва первого рода

Есть конечный скачок
f(+0) -f(-0)=- 1

Исследуем
x=2
Находим предел слева
f(2-0)= lim_(x→(2-0))(-(x-1)^2)=-1

Находим предел справа
f(2+0)= lim_(x→(2+0)) (x-3)=1

х=2 - точка разрыва первого рода

Есть конечный скачок
f(+0) -f(-0)=1 - (-1) =2

б)

Область определения (- ∞ ;-3)U(-3;+ ∞ )

Исследуем
x_(1)= - 2
Находим предел слева
f(-2-0)= lim_(x→(-2-0)((x-5)/(х+3))= - 7

Находим предел справа
f(-2+0)= lim_(x→(-2+0)((x-5)/(х+3))= - 7

Находим значение функции в точке x = - 2

f( -2) = -7

Предел слева равен пределу справа равен значению функции в точке.

x=-2 - точка непрерывности

Исследуем точку х=-3

f(-3-0)= lim_(x→(-2-0)((x-5)/(х+3))= + ∞

f(-3+0)= lim_(x→(-2+0)((x-5)/(х+3))=- ∞

х=-3 - точка разрыва второго рода

( см. рис.)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

c=12
ε=12/13

ε=с/b ⇒ b=c/ε= 13

a^2+b^2=c^2 ⇒ a^2=13^2-12^2=169-144=25
a=5

Каноническое уравнение эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

Подставляем найденные а и b

(x^2/5^2)+(y^2/13^2)=1

x+y=1

Cм. приложение
a=b=1

При x=0
y=1
при y=0
x=1
Точки (0;1) и (1;0) лежат на координатных осях и отсекают отрезки длины 1 (прикреплено изображение)

Правило треугольников:

Δ= 4*(-5)*(-1)+2*3*8+1*7*1 - 8*(-5)*1-4*7*3-1*2*(-1)=

=20+48+7+40-84+2=33

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1) Неопределенность (0* ∞ )

Запишем произведение (х-2)*сtgπx в виде дроби:

ctgπx/(1/(x-2))

lim_(x→2)ctgπx/(1/(x-2))= ∞ / ∞ = Применяем правило Лопиталя:

=lim_(x→2)(ctgπx)`[b]/[/b](1/(x-2))`=

=lim_(x→2)(- (πx)`/(sin^2πx)) [b] /[/b] (-1/(x-2)^2)=

=lim_(x→2) (π)(x-2)^2[b] /[/b](sin^2πx)=(0/0) Правило Лопиталя=

=(π)lim_(x→2) 2(x-2)[b] /[/b]2(sinπx)*(cosπx)*π=

=2*lim_(x→2) (x-2)[b] /[/b](sin2πx)=(0/0) Правило Лопиталя=

=2*lim_(x→2) 1[b] /[/b](cos2πx)*(2π)=(1/π)

2.

Делим и числитель и знаменатель дроби

(x^2+2)/(x^2-2) на x^2

(1+(2/x^2))/(1-(2/x^2))

=lim_(x→ ∞)(1+(2/x^2))^x^2[b]/[/b](1-(2/x^2))^(x^2)=

=e^(2)/e^(-2)=e^(4)

lim_(x→ ∞)(1+(2/x^2))^x^2=lim_(x→ ∞)((1+(2/x^2))^(x^2/2))^2=e^2

lim_(x→ ∞)(1-(2/x^2))^x^2=lim_(x→ ∞)((1-(2/x^2))^(-x^2/2))^(-2)=e^(-2)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∫ x^(3)*(x^2-2x)dx= ∫ (x^5-2x^4)dx=(x^6/6)-2*(x^5/5) + C=

=(1/6)x^6 -(2/5)x^5 + C

Проверка:
((1/6)x^6 -(2/5)x^5 + C)`=x^5-2x^4=x^3*(x^2-2x)

11 числа (прикреплено изображение)

d(куба)=asqrt(3)
6=asqrt(3)
a=6/sqr(3)=2sqrt(3)

AD⊥CC_(1)D_(1)D ⇒

AD⊥ C_(1)D

C_(1)D=asqrt(2)=2sqrt(3)*sqrt(2)=2sqrt(6)

О т в е т. 2sqrt(6) (прикреплено изображение)

z`_(x)=2x-2
z`_(y)=2y-2
Находим стационарные точки:
{2x-2=0
{2y-2=0

x=1; y=1 - точка не принадлежит области ( cм. рис.)

Исследуем на границах
x=0 при этом 0 ≤ y ≤ 1
z=y^2-2y+8 - обычная парабола, на [0;1] убывает
z(0;0)=8
z(0;1)=7

y=0 при этом 0 ≤ x ≤ 1
z=x^2-2x+8 - обычная парабола, на [0;1] убывает
z(0;0)=8
z(1;0)=7

x+y-1=0
y=1-x
z=x^2+(1-x)^2-2x-2*(1-x)+8
z=2x^2-2x+9
z`=4x-2
z`=0
x=1/2 ; y=1/2 - точка минимума

z(1/2; 1/2)= (1/4)+(1/4)-1-1+8=6,5 - наименьшее значение в области
z(0;0)=8 - наибольшее значение в области (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=6x^2-8x
y`=0
6x^2-8x=0
2x*(3x-4)=0

x=0 или x=4/3

Расставляем знак производной:

_+__ (0) __-__ (4/3) _+__

Возрастает на (- ∞ ;0) и на (4/3; + ∞ )
Убывает (0;(4/3))

x=0 - точка максимума
х=4/3 - точка минимума

Ответ выбран лучшим

4a) = (0/0)=lim_(x→-1) (2x*(x+1))/(x+1)^2= (сокращаем на (х+1))=

=lim_(x→-1) (2x)/(x+1)= ∞
4б)
=(sin(π/2))/(5π/4)=1/(5π/4)=4/5π

5a)
y`=(x^2)*lnx+x^2*(lnx)`=2x*lnx+x^2*(1/x)=2x*lnx+x

5б)
y`=(3^(x))`*x-(3^(x))*(x)`/(x^2)=(x*3^(x)*ln3-3^(x))/x^2

Ответ выбран лучшим

7а)=(x^3/3)+(2^(x)/ln2)-7*(x^4/4) + С

7б) = ∫ (36х+12x*sqrt(x)+x^2)dx= 36*(x^2/2)+12*(x^(5/2))/(5/2) +(x^3/3)+C

7в)
=((3x^3/3) -(x^2/2)+5x)|^(2)_(1)=

=2^3-(2^2/2)+5*2-1-(1/2)-5=

8
Уравнение с разделяющимися переменными
dx/(xsqrt(x))=dy/∛y
Интгерируем
x^(-1/2)/(-1/2)=y^(2/3)/(2/3) + С
-2/sqrt(x)=(3/2)∛y^2 + C - Общее решение

При х=1 у =1

-2=(3/2) + С

С=-7/2

-2/sqrt(x)=(3/2)∛y^2 - (7/2) - частное решение

Ответ выбран лучшим

{x/2=sin (πt/3);
{y/3=cos((πt/3)

Возводим в квадрат
{(x/2)^2=sin^2 (πt/3);
{(y/3)^2=cos^2((πt/3)
и
складываем левые и правые части:

(x^2/4)+(y^2/9)=1 - уравнение эллипса

см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формулы двойного и половинного аргументов:
2cos^2(2x)-1=cos4x;
2sinx2x*cos2x=sin4x

В числителе
cos4x+cos5x=2cos((4x+5x)/2)* cos((4x-5x)/2)=2(cos(4,5x))(cos(0,5x))

В знаменателе
sin5x+sin4x=2sin((5x+4x)/2)* cos((5x-4x)/2)=2(sin(4,5x))(cos(0,5x))

слева
сos4,5x/sin4,5x
справа
ctg4,5x

Они равны

Ответ выбран лучшим

Расположим параллелепипед в системе координат так как показано на рисунке.
Тогда вершины параллелепипеда имеют координаты ( см. там же)

a) M- середина АВ
M(0;1;0)
|MD_(1)|=sqrt((3-0)^2+(0-1)^2+(2-0)^2)=sqrt(14)
б)
vector{A_(1)M}=(0;1;-2)
vector{AD_(1)}=(3;0;2)

cos ∠ (vector{A_(1)M},vector{AD_(1)}) = (vector{A_(1)M}*vector{AD_(1)})/(|vector{A_(1)M}|*|vector{AD_(1)}|)=
=(0*3+1*0+(-2)*2)/sqrt(5)*sqrt(13)=-4/sqrt(65)
угол между векторами тупой,
cмежный угол - острый, его и принимаем за угол между прямыми.

∠ (A_(1)M},AD_(1)) = arccos(4/sqrt(65)

в)
Составляем уравнение плоскости
B_(1)CM
-2x+6y-3z-6=0
(прикреплено изображение)

а)
a=4
F(3;0) ⇒ c=3

b^2=a^2-c^2=4^2-3^2=7
Каноническое уравнение эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

О т в е т.

(x^2/16)+(y^2/7)=1

б)

b=2sqrt(10) ⇒ b^2= 40
F(-11;0) ⇒ c=11

a^2=c^2-b^2=121-40=81

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

О т в е т. (x^2/81)-(y^2/40)=1

в)D: x= - 2

если каноническое уравнение параболы имеет вид
y^2=2px, то фокус параболы
F(p/2;0)
D: x= - p/2

Значит,
p/2=2

p=4

О т в е т. y^2 = 8x

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через точку М

Это значит, что направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости.

vector{n}=(3;-1;2)

(x-1)/(3)=(y-4)/(-1)=(z-3)/2

Запишем это уравнение в параметрическом виде:

(x-1)/(3)=(y-4)/(-1)=(z-3)/2=t
x=3t+1
y=-t+4
z=2t+3

Найдем точку пересечения прямой и плоскости
Подставляем параметрические уравнения прямой
в уравнение плоскости

3*(3t+1) - (- t + 4) + 2* (2t+3) + 9 = 0

t= -1
При t= -1
x= - 3*(-1)+1= 4
y= - ( -1)+4 = 5
z=2*(-1) + 3 = 1
M_(o) (4;5;1) - проекция точки M на плоскость.

О т в е т. х_(о)=4; у_(о)=5; z_(o)=1
(прикреплено изображение)

1.
Область определения (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ )

Исследуем точку х=-2

f(-2-0)= lim_(x→(-2-0)2^(1/(x+2))=2^(- ∞)=0

f(-2+0)= lim_(x→(-2+0)2^(1/(x+2))=2^(+ ∞)=+ ∞

х=-2 - точка разрыва второго рода

Рис. 1
2.

x=-0
f(-0)= lim_(x→(-0))2x^2=0

f(+0)= lim_(x→(+0))cosx=cos0=1

х=0 - точка разрыва первого рода

Есть конечный скачок
f(+0) -f(-0)=1

f((π/2)-0)= lim_(x→((π/2)-0)cosx=cos(π/2)=0

f((π/2)+0)= lim_(x→(+0)(x-(π/2))=0

f(0)=0

Предел слева равен пределу справа равен значению функции в точке.

x=π/2 - точка непрерывности (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Повторные испытания с двумя исходами. Схема Бернулли
а) P_(10)(0)=C^(0)_(10)p^(0)q^(10)=1*(0,3)^(0)*(1-0,3)^(10)=
=0,7^(10)=...

б) Найдем вероятность противоположного события:
наступит 1 раз или ни разу.
P_(10)(0)+P_(10)(1)=C^(0)_(10)p^(0)q^(10)+ C^(1)_(10)p^(1)q^(9)=
=0,7^(10)+10*0,3*0,7^(9)=0,7^(9)*(0,7+3)=3,7*0,7^(9)

1- (P_(10)(0)+P_(10)(1))= 1 - 3,7*0,7^(9)

Испытание состоит в том, что бросают три игральные кости.
Число исходов испытания
n=6*6*6=216
Обозначим
a)
событие А – ''хотя бы на 1 кости выпадет 6 очков"
Рассмотрим событие vector{А} - ''ни на одной кости не выпадет 6 очков"
Событию vector{А} благоприятствуют исходы испытания, при которых на каждой кости выпадает любое число от 1 до 5.
m=5*5*125
p(vector{А})=125/216

Так как р(А) + p(vector{А})=1, то
р(А)= 1- (125/216)=91/216

б)
событие В – ''сумма выпавших очков на 1–й и 2–й кости будет равна 4 и сумма выпавших очков на 2–й и 3–й костях будет равна 8"

Событию B благоприятствуют исходы испытания
(1;3;5)
(2;2;6)
m=2
p(B)=m/n=2/216=1/108

Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная. ''

гипотезу H_(1) - ''деталь из первого ящика''
гипотезу H_(2) - ''деталь из второго ящика''
гипотезу H_(3) - ''деталь из третьего ящика''

p(H_(1))=p(H_(2))=p(H_(3))=1/3

p(A/H_(1))=15/20=3/4
p(A/H_(2))=26/30=13/15
p(A/H_(3))=8/10=4/5
а)
По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) +
+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(1/3)*(3/4)+(1/3)*(13/15)+(1/3)*(4/5)=

=(1/3)*((3/4)+(13/15)+(4/5))=

=(1/3)*((15+52+48)/60)=115/120=23/24

б) р(Н_(2)/А)= p(H_(2))*p(A/H_(2))/р(А)= (1/3)*(13/15)/(23/24)=

=104/115

Югославия

В стране наблюдались процессы национального самоопределения, которые подавить можно было лишь при сохранении власти в руках одного политического деятеля. К началу шестидесятых годов борьба между сторонниками реформ и приверженцами усиления централизма усилилась. В семидесятые республиканские движения в Хорватии, Словении и Сербии начали набирать силу.. С движением, вошедшим в историю под термином «хорватская весна», в 1971 году было покончено. Вскоре были разгромлены сербские либералы. Не избежали подобной участи и словенские "технократы". В середине семидесятых наблюдались опасные обострения в отношениях между сербским населением, хорватами, боснийцами.

В середине восьмидесятых в белградской газете был опубликован документ, который в какой-то мере стал одной из причин распада Югославии. Это был меморандум Сербской академии наук и искусств. Содержание документа: анализ политического положения в Югославии, требования сербского общества и диссидентов. Антикоммунистические настроения, которые нарастали в восьмидесятые годы, - еще одна причина распада Югославии. Манифест стал самым важным документом для всех сербских националистов. Он подвергся резкой критике официальных властей и политических деятелей других республик СФРЮ. Все же со временем идеи, которые содержались в меморандуме, получили распространение и использовались активно различными политическими силами. Последователи Тито с трудом удерживали идеологический и этнологический баланс в стране. Опубликованный меморандум существенно подорвал их силы. По всей Сербии были организованы митинги, участники которых выступали под лозунгом «В защиту Косово». 28 июня 1989 года произошло событие, которое можно рассматривать как следствие одной из причин распада Югославии. В день знаменательной битвы, свершившейся в 1989 году, Милошевич обратился к сербам с призывом «оставаться на своей родной земле, несмотря на трудности и унижения».

Развал страны, как и любого другого многонационального государства, происходил постепенно, сопровождался митингами, беспорядками, кровопролитием.

1.
D(y)=(- ∞ :-1)U(-1;0)U(0;1)U(1:+ ∞ ) ⇒

Возможные точки разрыва
x=-1 - точка разрыва второго рода
lim_(x→-1)1/(x^3-x)= ∞
x=0 - точка разрыва второго рода
lim_(x→0)1/(x^3-x)= ∞
x=1 - точка разрыва второго рода
lim_(x→1)1/(x^3-x)= ∞

Прямые x=-1; х=0; х=1 - вертикальные асимптоты

2.
x=-π/3
f((-π/3)-0)= lim_(x→(-π/3)-0)sin(x+(π/3))=sin0=0

f((-π/3)+0)= lim_(x→(-π/3)+0)tgx=tg(-π/3)=-sqrt(3)/3

f(-π/3)=tg(-π/3)=-sqrt(3)/3

х=(-π/3) - точка разрыва первого рода
Есть скачок

х=0
f(-0)= lim_(x→(-0)tgx=tg0=0

f(+0)= lim_(x→(+0)x^3=0^3=0

f(0)=0

Предел слева равен пределу справа равен значению функции в точке.
х=0 - точка непрерывности.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

α + β =180^(o)

α =5 β

5 β + β =180^(o)

6 β =180^(o)

β =20^(o) (прикреплено изображение)

1.x^2-10x+4x+y^2=7
Выделяем полный квадрат
(x^2-6x)+y^2=7
(x^2-2*3x+3^2) - 3^2 +y^2=7
(x-3)^2+y^2=16

Уравнение окружности вида (x-a)^2+(y-b)^2=R^2

a=3; b=0
R=4

Центр окружности C(3;0)
Прямая, проходящая через точку (-6;4), параллельно оси абсцисс
y=4

d(C;m)=4

2.
Cоставим уравнение прямой MN
y=kx+b
Подставляем координаты точек M и N
{9=k*2+b
{-3=k*(-1)+b

Вычитаем
12=3k
k=4

b=9-2k=9-2*4=1

y=4x+1

Прямая MN пересекает оси координат в точках:
x=0; y=1
B(0;1)
y=0;
4x+1=0
x=-1/4
A(-1/4;0)

Треугольник АОВ - прямоугольный.
S=(1/2)AO*OB=(1/2)*(1/4)*1=1/8

О т в е т. S=1/8

3.
{x-y=4
{x^2+y^2=16

{у=х - 4
{x^2+y^2=16

x^2+(x-4)^2=16

x^2+x^2-8x+16=16
2x^2-8x=0
2x*(x-4)=0
x=0 или x=4
y=4 или у=0

Прямая х - у = 4 пересекает окружность в двух точках
(0;4) и (4;0)

d=sqrt(2^2+2^2)=2sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cоставим уравнение плоскости АВС: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Графический способ.

Перепишем уравнение в виде:
2(k+1)cost - k =2sint + 2cost; sint + cost ≠ 1 ⇒ [b]t≠3π/4[/b]

2(k+1)cost - k =2sint + 2cost;

2kcost - k = 2sint

k*(2cost -1)=2sint

[b]k=2sint/(2cost-1)[/b]

Cтроим график

y=2sint/(2cost-1); cost ≠ 1/2

Исследуем функцию

y=2sint/(2cost-1);

y`=(2cost*(2cost-1)-2sint*(-2sint))/(2cost-1)^2;

y`=(4cos^2t-2cost+4sin^2t)/(2cost-1)^2;

y`=(4-2cost)/(2cost-1)^2;

y`> 0 при любом t области определения D(y)

Значит функция строго возрастает на[b][π/2;3π/4)[/b] и на [b](3π/4;π][/b]

Уравнение

k=2sint/(2cost-1)

имеет ровно одно решение на [π/2;3π/4) U (3π/4;π]

y(π/2)=-2
y(3π/4)=sqrt(2)/(-sqrt(2)-1)=sqrt(2)-2
y(π)=0

О т в е т. -2 ≤ k < sqrt(2)-2; sqrt(2)-2< k ≤ 0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Проекцией BD_(1) на плоскость ВСС_(1)В является ВС_(1)

BC_(1)=a*sqrt(2) - диагональ квадрата со стороной а
BD_(1)=a*sqrt(3) - диагональ куба со стороной а

Из прямоугольного треугольника BD_(1)C_(1)

cos ∠ C_(1)BD_(1)=BC_(1)/BD_(1)=sqrt(2)/sqrt(3)=sqrt(2/3)

∠ C_(1)BD_(1)= arccos(sqrt(2/3))
или

sin∠ C_(1)BD_(1)=1/sqrt(3)

tg∠ C_(1)BD_(1)=1/sqrt(2)

∠ C_(1)BD_(1)=arctg(1/sqrt(2)) (прикреплено изображение)

Проводим плоскость через точку В перпендикулярно прямой.
Это значит, что направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости.

Составляем уравнение прямой с направляющим вектором.

Находим две произвольные точки, принадлежащие этой прямой:

х=2
y=0
z=-2
M(2;0;-2)

x=2
y=-2
z=0
N(2;-2;0)

vector{MN}=vector{n}=(0;-2;2)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точкy
B(2;1;0) с нормальным вектором vector{n}=(0;-2;2)
0*(х-2) -2*(y-1)+2*(z-0)=0
-2y+2z+2=0
y-z-1=0

Параметрическое уравнение прямой:
(x-2)/(0)=y/(-2)=(z+2)/2=t
x=2
y=-2t
z=2t-2
подставляем в уравнение плоскости

-2t -2t+2-1=0
t=1/4

при t=1/4
x=2
y=-1/2
z=-3/2
M(2;-1/2;-3/2) - проекция точки В на прямую

По свойству симметричных точек,
ВМ=МВ_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(В)+x_(В_(1)))/2 ⇒(2+ x_(A_(1)))/2=2 ⇒ x_(A_(1))=2
y_(M)=(y_(В)+y_(В_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=-2
z_(M)=(z_(В)+z_(В_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-3

О т в е т. В_(1)(2;-2;-3)

(прикреплено изображение)

Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости

При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(2;3 ;-3) является направляющим вектором прямой.

(х + 6)/(2)=(y + 6)/(3)=(z - 10)/(-3)

Перейдем от этого уравнения к параметрическому:

(х + 6)/(2)=(y + 6)/(3)=(z -10)/(-3) = t ⇒

x=2t-6
y=3t -6
z=-3t+10

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

2*(2t-6)+3*(3t-6)-3*(-3t+10)-6=0

4t-12+9t-18+9t-30-6=0
22t=66
t=3

При t=3
x=0; y=3; z=1

M(0;3;1) - проекция точки А на плоскость.

По свойству симметричных точек,
АМ=МА_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(-6+ x_(A_(1)))/2=0 ⇒ x_(A_(1))=6
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=12
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-8

О т в е т. (6;12;-8)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos(35π/36)=cos(π - (π/6))= - cos(π/6)

Первое и последнее слагаемое в сумме 0

cos(34π/36)=cos(π - (2π/6))= - cos(2π/6)

Второе и предпоследнее слагаемое в сумме 0

...

cos(19π/36)=cos(π - (17π/36))= - cos(17π/36)

cos(17π/36)+ cos(19π/36)=0

cos(18π/36)=cos (π/2)=0

О т в е т 0

Ответ выбран лучшим

f(x)=e^(1-x)
f(1)=e^(0)=1

f`(x)=(e^(1-x))`= e^(1-x)*(1-x)`=-e^(1-x)
f`(1)=-1

Уравнение касательной:
y - 1 = - 1( x - 1)

y - 1 = -x +1

y= - x + 2

О т в е т. y = - x + 2 (прикреплено изображение)

y(x)=(C_(1)e^(x)+C_(2)xe^(x)+C_(3)x^2e^(x)
Ay(x)=y(x+1)-y(x-1)=

=C_(1)*e^(x+1)+C_(2)(x+1)*e^(x+1)+C_(3)(x+1)^2*e^(x+1))-

-C_(1)*e^(x-1)-C_(2)(x-1)*e^(x-1)-C_(3)(x-1)^2*e^(x-1))=

=e*C_(1)e^(x)+e*C_(2)xe^(x)+e*C_(2)e^(x)+

+e*C_(3)x^2e^(x)+2e*C_(3)xe^(x)+eC_(3)e^(x)-

-(1/e)C_(1)e^(x)-(1/e)C_(2)xe(x)+(1/e)C_(2)e^(x) -

-(1/e(C_(3)x^2e^(x)+(2/e)C_(3)xe^(x) - (1/e)C_(3)e^(x)=

=(eC_(1)+eC_(2)+eC_(3)-(1/e)C_(1)+(1/e)C_(2)-(1/e)C_(3))*e^(x)+

+(eC_(2)+2eC_(3)-(1/e)C_(2)+(2/e)C_(3))* x*e^(x) +

+(eC_(3) - (1/e) C_(3))*x^2e^(x)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f`(x) = (1+(2/х))`=0+2*(x^(-1))`=-2x^(-2)=-2/x^2

f`(x) < 0 при любом х

f`(x) > 0 - ни при каких х

Ответ выбран лучшим

y`=(u^3)
u=arctg(2x-1)

y`=3u^2*u`

y`=(3arctg^2(2x-1)) * (arctg(2x-1))`=

=(3arctg^2(2x-1))* (1/(1+(2x-1)^2)*(2x-1)`=

=(3arctg^2(2x-1)) * (1/(1+(2x-1)^2)*(2)=

=(6arctg^2(2x-1) )* (1/(1+(2x-1)^2)=

=(6arctg^2(2x-1)) / (1+4x^2-4x+1)=

=(6arctg^2(2x-1)) / (4x^2-4x+2)=

[b]=(3arctg^2(2x-1) )/ (2x^2-2x+1)[/b]

Ответ выбран лучшим

∫ x^4dx /( x^2 – 1)=∫ (x^4-1+1)dx /( x^2 – 1)=

=∫ (x^4-1)dx /( x^2 – 1)+ ∫ (1dx /( x^2 – 1))=

= ∫ (x^2+1)dx)+ ∫ (1dx /( x^2 – 1))=

=(x^3/3)+x + (1/2) ln |(x-1)/(x+1)| + C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой ВС
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения определеяется неравенствами:
{10-x > 0 ⇒ x < 10
{log_(?)(10–x) ≠ 0 ⇒ 10-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 9
{x-3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

От в е т. х ∈ [3;9)U(9;10)

ОДЗ:
x>0

В условиях ОДЗ
log_(3)x^4=4log_(3)|x| =4log_(3)x
log_(3)(9x)=log_(3)9+log_(3)x=2+log_(3)x

Замена переменной:
log_(3)x=t

(2+t-13)/(t^2+4t) ≤ 1

(t-11-t^2-4t)/(t^2+4t) ≤ 0

-(t^2+3t+11)/(t^2+4t) ≤ 0

t^2+3t+11 > 0 при любом t, D=9-44 <0

⇒

t^2+4t > 0

_+__ (-4) ___ (0) _+__

log_(3)x <-4 или log_(3)x >0

0<x <1/81 или х > 1

О т в е т. (0;1/81)U(1;+ ∞)

Ответ выбран лучшим

sin((π/10)-(x/2)) = - sin((x/2)-(π/10)) ⇒

sin((x/2)-(π/10)) = - sqrt(2)/2

Обозначим

u=((x/2)-(π/10))

sinu = - sqrt(2)/2

u=(-1)^(k)*arcsin(-sqrt(2)/2) + πk, k ∈ Z

u=(-1)^(k)*(-π/4) + πk, k ∈ Z

Обратный переход:

(x/2)-(π/10)= (-1)^(k)*(-π/4) + πk, k ∈ Z

получаем две серии ответов
при k=2n и k=2m+1

(x/2)-(π/10)= (-π/4) + 2πn,n ∈ Z или (x/2)-(π/10)= (5π/4) + 2πm,m ∈ Z

(x/2)= (-π/4)+ (π/10)+ 2πn,n ∈ Z или (x/2)= (5π/4)+(π/10) + 2πm,m ∈ Z

(x/2)= (-3π/20)+ 2πn,n ∈ Z или (x/2)= (27π/20) + 2πm,m ∈ Z

x= (-3π/10)+ 4πn,n ∈ Z или x= (27π/10) + 4πm,m ∈ Z

x= (-3π/10)+ 4πn,n ∈ Z или x= (7π/10) +2π+ 4πm,m ∈ Z

О т в е т. (-3π/10)+ 4πn,n ∈ Z; (7π/10) +2π+ 4πm,m ∈ Z

1-3x=7
-3x=7-1
-3x=6
x=-2

Линейное неоднородное первого порядка.
Решаем однородное:
y'+4xy=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=-4xdx
Интегрируем
∫ dy/y=-4 ∫xdx
ln|y|=-2x^2+C_(1)

y=e^(-2x^2+C_(1))

y=C*e^(-2x^2); e^(C_(1))=C

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y=C(x)*e^(-2x^2);

y`=C`(x)*e^(-2x^2)+C(x)*(e^(-2x^2))`

y`=C`(x)*e^(-2x^2)+C(x)*(e^(-2x^2))*(-2x^2)`

y`=C`(x)*e^(-2x^2)+C(x)*(e^(-2x^2))*(-4x)

Подставляем в уравнение

C`(x)*e^(-2x^2)-4х*C(x)*(e^(-2x^2))+4х*C(x)*e^(-2x^2)=2х*e^(-x^2)*sqrt(C(x)*e^(-2x^2))

C`(x)*e^(-2x^2)=2х*e^(-x^2)*sqrt(C(x)*e^(-2x^2))

C`(x)=2x*sqrt(C(x)) - уравнение с разделяющимися переменными

dC(x)/dx=2x*sqrt(C(x))

dC(x)/sqrt(C(x))=2хdx

Интегрируем

∫ dC(x)/sqrt(C(x))= ∫ 2хdx

2sqrt(C(x))=x^2 + c
4C(x)=(x^2+c)^2
C(x)=(x^2+c)^2/4

y=C(x)*e^(-2x^2)

y=e^(-2x^2)*(x^2+c)^2/4

Прямая y=4x имеет угловой коэффициент k=4
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1).
Значит угловой коэффициент касательной равен (-1/4)

Геометрический смысл производной в точке:

k_(касательной)=f`(x_(o))

f`(x)= 1/(2*sqrt(x))

f`(x_(o))= 1/(2*sqrt(x_(o)))

1/(2*sqrt(x_(o)))= -1/4

уравнение не имеет корней.
Нет такой точки на кривой, в которой касательная будет перпендикулярна прямой 4х-у=0
( см. рисунок)
Все касательные образуют с осью Ох острый угол (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x_(o)+ Δx)=sqrt(2-(x_(o)+ Δx))

Δf=f(x_(o)+ Δx) - f(x_(o)) = sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) - sqrt(2 - x_(o))

Δf/ Δx=(sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) - sqrt(2 - x_(o))) / ( Δx)

f`(x_(o))=lim_( Δx→0) Δf/ Δx=lim_( Δx→0) (sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) - sqrt(2 - x_(o))) / ( Δx)

неопределенность (0/0)

умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) + sqrt(2 - x_(o)))

При этом в числителе применяем формулу разности квадратов
lim_( Δx→0) ( - Δx)/ ( Δx*(sqrt(2-(x_(o)+ Δx)) +sqrt(2 - x_(o))) )=

=(-1)/2sqrt(2-x_(o))

f`(-7)=(-1)/sqrt(2-(-7))=-1/3

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости

При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(2;-1 ;-3) является направляющим вектором прямой.

(х-6)/(2)=(y+5)/(-1)=(z+9)/(-3)

Перейдем от этого уравнения к параметрическому:

(х-6)/(2)=(y+5)/(-1)=(z+9)/(-3) = t ⇒

x=2t+6
y=-t -5
z=-3t-9

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

2*(2t+6)-1*(-t-5)-3*(-3t-9)-2=0

t=-3
При t=-3
x=0; y=-2; z=0

M(0;-2;0) - проекция точки А на плоскость.

По свойству симметричных точек,
АМ=МА_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(6+ x_(A_(1)))/2=0 ⇒ x_(A_(1))=-6
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=1
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=9

О т в е т. (-6;1;9)

(прикреплено изображение)

y`=(2^(2-cosx))`=2^(2-cosx)*ln2*(2-cosx)`=2^(2-cosx)*ln2*(sinx)

y`=0

2^(2-cosx) ≠ 0, 2^(2-cosx) > 0 при любом х

sinx=0
x=πk , k ∈ Z

Отрезку [π/2; 5π/3] принадлежит точка х=π

Расставляем знак производной:

[π/2] ___+__ (π) ___-__ [5π/3]

x=π - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(π)=2^(2-cos(π))=2^3=8 - наибольшее значение функции

Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости

При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(-2;-3 ;-2) является направляющим вектором прямой.

(х-1)/(-2)=(y+4)/(-3)=(z+3)/(-2)

Перейдем от этого уравнения к параметрическому:

(х-1)/(-2)=(y+4)/(-3)=(z+3)/(-2) = t ⇒

x=-2t+1
y=-3t -4
z=-2t-3

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

-2*(-2t+1)-3*(-3t-4)-2*(-2t-3)+1=0

t=-1
При t=-1
x=3; y=-1; z=-1

M(3;-1;-1) - проекция точки А на плоскость.

По свойству симметричных точек,
АМ=МА_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒(1+ x_(A_(1)))/2=3 ⇒ x_(A_(1))=5
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=2
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=1

О т в е т. (5;2;1)

Составляем уравнение плоскости АВС.
-x - 2y +z -2 = 0
( cм. приложение)
Составляем уравнение прямой DE
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Введем систему координат так как показано на рисунке.
Составим уравнение плоскости АB_(1)C_(1) :
x + z -1 =0
( cм. приложение 2)
vector{n}=(1;0;1)
и найдем координаты вектора vector{AD_(1)}=(0;1;1)

Находим косинус угла между векторами
vector{n}=(1;0;1) и vector{AD_(1)}=(0;1;1)

cos φ =(1*0+0*1+1*1)/sqrt(2)*sqrt(2)=1/2
φ = 60^(o)

О т в е т. 90^(o) - 60^(o)=30^(o) (прикреплено изображение)

5.
y`=2x-4
y`(-1)=-2-4=-6

y-8=(-6)*(x+1) - уравнение касательной
у=-6х+2

y-8=(1/6)*(x+1) - уравнение нормали
у=(1/6)х +(49/6)

6.
y`=-sinx - (1/sqrt(2))
y`=0
sinx=-1/sqrt(2)
x=-π/4 ∈ [-π/2;π/2]

[-π/2] __+__ (-π/4) ________-_________ [π/2]

x=-π/4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(-π/4)= cos(-π/4)- (-π/4sqrt(2))= (1/sqrt(2))* (1+(π/4)) - наиб. значение.

Наименьшее выбираем на концах:
y(-π/2)= cos(-π/2)- (-π/2sqrt(2))>0
y(π/2)= cos(π/2)- (π/2sqrt(2))< 0
Наименьшее в точке х=π/2

7.

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(2*(1+x^2)-2x*2x)/(1+x^2)^2

y`=2*(1-x^2)/(1+x^2)^2

y`=0
x= ± 1

__-____ (-1) ___+____ (1) __-__

y`<0 на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
Функция убывает на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )

y`>0 на (-1 ;1)
Функция возрастает на (- 1 ;1)

x=-1 - точка минимума
х=1 - точка максимума

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

сos^2x*(2cosx-1)+(2cosx-1)=0
(2cosx-1)*(cos^2x+1)=0
2cosx-1=0
cosx=1/2
x= ± (π/3) +2πn, n ∈ Z

(π/3) +2π=(7π/3)∈ [2π; 7π/2]

Ответ выбран лучшим

2.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости
При этом нормальный вектор плоскости vector{n}=(-2;1;-3) является направляющим вектором прямой.
(х-4)/(-2)=(y-2)/1=(z+8)/(-3)
Перейдем от этого уравнения к параметрическому:
(х-4)/(-2)=(y-2)/1=(z+8)/(-3) = t ⇒
x=-2t+4
y=t+2
z=-3t-8

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

4*(-2t+4)+(t+2)-3*(-3t-8)-4=0
t=-1
M(6;1;-5) - проекция точки А на плоскость.
По свойству симметричных точек, АМ=МА_(1)

Поэтому
х_(M)=(x_(A)+x_(A_(1)))/2 ⇒ x_(A_(1))=8
y_(M)=(y_(A)+y_(A_(1)))/2 ⇒ y_(A_(1))=0
z_(M)=(z_(A)+z_(A_(1)))/2 ⇒ z_(A_(1))=-2

О т в е т. (8;0;-2)

1. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

S=(1/2)*AB*BC*sin ∠ B

если дан ∠ В=45^(o)

то

S=(1/2)*18sqrt(2)*9*(sqrt(2)/2=81 кв см

2cos(x+y)*(cos(x+y))`=1+y`
2cos(x+y)*(-sin(x+y))*(x+y)`=1+y`
2cos(x+y)*(-sin(x+y))*(1+y`)=1+y`
⇒ найти y`

vector{AB}=(5-4;-3+2;1-3)=(1;-1;-2)
vector{M_(A)(vector{F})}=[vector{F}×vector{AB}]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Строим прямую y=-2x+14 симметричную прямой y=2x-2 относительно прямой х=4
Далее из условия. Откладываем длину d=14

Вторая диагональ ромба имеет длину 6

S=(1/2)d_(1)*d_(2)=(1/2)*12*6=36 (прикреплено изображение)

(x^2 +1,7x+0,9)^2 + (x^2+3,8x+0,585)^2 ≤ (x^2+2,7x+0,72)^2+(x^2+2,8x+0,735)^2;

(x^2 +1,7x+0,9)^2 - (x^2+2,7x+0,72)^2 ≤(x^2+2,8x+0,735)^2- (x^2+3,8x+0,585)^2;

(x^2+1,7x+0,9 -x^2-2,7x-0,72)*(x^2+1,7x+0,9 +x^2+2,7x+0,72)
≤ (x^2+2,8x+0,735- x^2-3,8x-0,585) (x^2+2,8x+0,735+x^2+3,8x+0,585);

(-x-0,18)*(2x^2+3,4x+1,62) ≤ (-x-0,15)*(2x^2+6,4x+1,32)

(-x-0,18)*(x^2+1,7x+0,81) ≤ (-x-0,15)*(x^2+3,2x+0,66)

(x+0,18)*(x^2+1,7x+0,81) ≥ (x+0,15)*(x^2+3,2x+0,66)

x^3+1,7x^2+0,81x +0,18x^2+0,306x+0,1458 ≥ x^3+3,2x^2+0,66x+
0,15x^2+0,48x+0,99

1,88x^2+1,116x+ 0,1458 ≥ 3,35x^2+1,14x+0,99;

1,47x^2+0,014x+0,7442 ≤ 0
14700x^2+140x +7442 ≤ 0

D=140^2-4*14700*7442 < 0

Нет решений

Ответ выбран лучшим

делим и числитель и знаменатель на х:

lim_(x→0)(1+(arcsinx/x))/(2+(arctgx/x))=(1+1)/(2+1)=2/3

1.
S= ∫^(1) _(-1)(1-x^2)dx=2 ∫ ^(1)_(0)(1-x^2)dx=2(x-(x^3/3))|^(1)_(0)=

=2*(1-(1/3)=2*(2/3)=4/3

2.

S= ∫ ^(2)_(0)x^2dx=(x^3/3)|^(2)_(0)=8/3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos^2x=1-sin^2x

2*(1-sin^2x)+3sinx=0

2sin^2x-3sinx-2=0

Замена переменной

sinx=t

2t^2-3t-2=0
D=9+16=25
t_(1)=(3-5)/4=-1/2 или t_(2)=(3+5)/4=2

Обратный переход

sinx=-1/2
[b]x=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈ Z[/b]

sinx=2 - уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1

2.

2*(1-cos^2x)+5cosx+1=0

2t^2-5t-3=0

D=25+24=49

t_(1)=(5-7)/4=-1/2 или t_(2)=(5+7)/4=3

сosx=-1/2
x= ± (π - (π/3))+2πn, n ∈ Z

[b]x= ± (2π/3))+2πn, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

а) Замена переменной:
ctgx=t
Берем дифференциалы от обеих частей
d(ctgx)=d(t)
(ctgx)`dx=(t)`*dt
(-1/sin^2x)* dx=dt

(1/sin^2x)dx=-dt

∫ 2dx/(sqrt(cosx)*sin^2x)=-2∫ dt/sqrt(t)=-2*2sqrt(t) + C = -4 sqrt(ctgx) + C

б)а) Замена переменной:
3-cos^3x=t
Берем дифференциалы от обеих частей
d(3 - cos^3x)=d(t)
(3-cos^3x)`dx=(t)`*dt
(-3cos^2x*(cosx)`)* dx=dt

(-3cos^2x*(-sinx) dx=dt

3cos^2x*sinxdx=dt

cos^2x*sinxdx= dt/3

∫cos^2x*sinxdx/(3-cos^3x)=(1/3)∫ dt/t=(1/3)ln|t| + C = (1/3)ln|3-cos^3x| + C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим скалярное произведение векторов:
(vector{a}+2 α *vector{b}) *(vector{a} - vector{b})=

=vector{a} *vector{a} +2 α *vector{b} *vector{a} - vector{a}*vector{b} -2 α vector{b} vector{b}=

= 0 +2 α |vector{b}| *|vector{a}|* cos 135^(o) - |vector{a}| *|vector{b}|* cos 135^(o) -2α * 0=

=(2 α -1)sqrt(2)*3*(-sqrt(2)/2)= 3*(2 α -1)

Ненулевые векторы vector{a}+2 α *vector{b} и vector{a} - vector{b} ортогональны, если их скалярное произведение равно 0

(vector{a}+2 α *vector{b}) *(vector{a} - vector{b})=0 ⇒ 2 α -1=0

α = 1/2

О т в е т. 1/2

Ответ выбран лучшим

Правило треугольников ( см. приложение):
2*2*5+5*(-1)*5+(-1)*13*3-5*2*3-2*13*(-1)-(-1)*5*5=

=20-25-39-30+26+25=-23 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Интегрирование по частям:
u=ln(2x) ⇒ du=(ln(2x))`dx=(1/2x)*(2x)`dx=(1/x)dx
dv=dx ⇒ v= ∫ dx = x

Формула
∫ u*dv = u* v - ∫ v* du = x*ln(2x)- ∫ x*(1/x)dx= x*ln(2x)- ∫ dx=

= x*ln(2x) - x + C

Ответ выбран лучшим

268.
Пусть рабочий за х дней, ученик за 3х дней.
(1/x) - производительность рабочего
(1/3x) - производительность ученика

3*((1/х)+(1/3х))=1
4/х=1
х=4
3х=3*4=12 дней

О т в е т. за 12 дней.

269

пусть стоимость продукта х руб.

Пусть подешевел на p процентов
х:100*p=0,01*px (руб) составляют p%

x-0,01px=x*(1-0,01p) (руб) - стоимость после снижения цены

Товар подорожал на p процентов

x*(1-0,01p) :100*р (руб.)=0,01рх*(1-0,01р) (руб.) - составляют p% от x*(1-0,01p)(руб)

x*(1-0,01p) + 0,01рх*(1-0,01р) =х*(1-0,01р)*(1+0,01р)=

=х*(1-0,0001p^2) ( руб.) новая цена после повышения.

По условию новая цена составляет 99,75% от первоначальной

Уравнение:

х*(1-0,0001p^2) =0,9975х

1-0,0001p^2=0,9975

0,0001p^2=1-0,9975
p^2=25
p=5%

О т в е т. на 5%

5x^2–6z^2=30

(x^2/6) - (z^2/5)=1 - уравнение гиперболы с мнимой осью Оz ( см. рис.3)

При вращении вокруг оси Ох, гипербола высекает на плоскости хОу
гиперболу
(x^2/6) - (y^2/5)=1 - уравнение гиперболы с мнимой осью Оy

Получаем двуполостный гиперболоид

(x^2/6) - (y^2/5)-(z^2/5)=1
или
-(x^2/6) +(y^2/5)+(z^2/5)= - 1

см. пункт 5 таблицы
только с осью Ох
см. рис.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Да, имеет
Возводим в квадрат:
x-2=1
x=3

sqrt(3-2)=1 - верно

cм. графическое решение на рисунке (прикреплено изображение)

1) CD ⊥ AB
Cоставляем уравнение прямой АВ:
(х–x_(A))/(x_(B)–x_(A))=(y–y_(A))/(y_(B)–y_(A))

(х–4)/(16-4)=(y–3)/(-6-3)

-3(х-4)=4(у-3)

y=-3x+24

k_(AB)=-3

CD ⊥ AB ⇒ k_(CD)*k_(AB)=-1
k_(CD)=1/3

y=(1/3)x + b

Чтобы найти b подставим координаты точки С
16=(1/3)*20+b

b=28/3
y=(1/3)x + (28/3) - уравнение СD

Длина СD равна расстоянию от точки С(20;16) до прямой АВ:
y=-3x+24 или 3х+у-24=0

CD=d=|3*20+16-24|/sqrt(3^2+1)=52/sqrt(10)

2)
Находим координаты точки М - cередины ВС

x_(М)=(x_(B)+x_(С))/2=(16+20)/2=18

y_(М)=(y_(B)+y_(С))/2=(-6+16)/2=5

Cоставляем уравнение прямой АM:
(х–x_(A))/(x_(M)–x_(A))=(y–y_(A))/(y_(M)–y_(A))

(х–4)/(18-4)=(y–3)/(5-3)

2(x-4)=14(y-3)
(x-4)=7(y-3)
x-7y+17=0 - уравнение медианы АМ

|AM|=sqrt((x_(M)–x_(A))^2+(y_(M)–y_(A))^2)=

=sqrt((18-4)^2+(5-3)^2)=sqrt(324+4)=sqrt(328)=2sqrt(82)

3)
Угол между прямыми CD и AM
k_(CD)=1/3 ⇒tg α =1/3
k_(AM)=1/7 ⇒ tg β =1/7

tg( α - β )=(tg α -tg β )/(1+tg α *tg β )=((1/3)-(1/7))/(1+(1/3)*(1/7))=

=4/22=2/11

∠ (CD, AM)=arctg (2/11)

4) BH ⊥ AM

k_(AM)=1/7 ⇒ k_(BH)=-7

y=-7x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки В
-6=(16/7)+b
b= - 58/7

y =-7x - (58/7) - уравнение ВН

Найдем координаты точки Н.
{x-7y+17=0
{y =-7x - (58/7)

x - 7*(-7x-(58/7))=0
x+49x+58=0
x=-58/50
x=-29/25
y=-7*(-29/25)-(58/7)
y=(7*29*7 -58*25)/(25*7)=-29/175

H(-29/25; -29/175)

5) vector{AC}=(20-4;16-3)=(16;13) - направляющий вектор искомой прямой

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через точку В с направляющим вектором vector{AC}

(х–x_(B))/16=(y–y_(B))/13

(х-16)/16=(у+6)/13

13(х-16)=16(у+6)
13х-16у-304=0

Логарифмическая функция с основанием 0 <0,5 < 1 убывающая, значит большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции

5 < 6

log_(0,5)5 > log_(0,5)6

Пусть М(х;у;z) - произвольная точка плоскости
Тогда
vector{AM}=(x+3;y-2;z-5)
vector{n_(1)}=(4;1;-3)
vector{n_(2)}=(1;-2;1)

компланарны.
Условие компланарности - равенство 0 смешанного произведения векторов.

О т в е т. (х+3)-3*(y-2)-8*(z-5)-(z-5)-6*(x+3)-4*(y-2)=0
-5*(x+3)-7*(y-2)-9*(z-5)=0
[b]5x+7y+9z-44=0[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{MP}=(3-1;-5-1;2-(-1))=(2;-6;3)
|vector{MP}|=sqrt(2^2+(-6)^2+3^2)=sqrt(49)=7

Направляющие косинусы
cos α =2/7
cos β= -6/7
cos γ =3/7

Частные производные
u`_(x)=(z^4/y)+(zy^5)
u`_(y)=(-xz^4/y^2)+5xzy^4+(1/z^2)
u`_(z)=(4xz^3/y)+xy^5 -(2y/z^3)

Производная по направлению вектора vector{MP}

u`_(vector{MP})=u`_(x)*cosα +u`_(y)*cosβ +u`_(z)*cosγ

u`_(vector{MP})=((z^4/y)+(zy^5))*(2/7) +((-xz^4/y^2+5xzy^4+(1/z^2))*(-6/7)+((4xz^3/y)+xy^5 -(2y/z^3))*(3/7)

Частные производные в точке M
u`_(x)(M)=(z^4/y)+(zy^5)=1-1=0
u`_(y)(M)=(-xz^4/y^2)+5xzy^4+(1/z^2)=-1+5+1=5
u`_(z)(M)=(4xz^3/y)+xy^5 -(2y/z^3)=-4+1+2=-1

u`_(vector{MP})(M)=0*(2/7) +5*(-6/7)+(-1)*(3/7)=-33/7

2) R> 3
3) R=3 ( красная окружность) или R=5 ( фиолетовая окружность) (прикреплено изображение)

3x+2y+20=0 ⇒ y=(-3/2)x-10
k=(-3/2)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Значит, угловой коэффициент прямой L:
k_(L)=2/3

y=(2/3)x+b

Чтобы найти b подставляем координаты точки А

-9=(2/3)*(-2)+b
b=-23/3

Дальше вопрос задачи поставлен неверно.
Прямая не отсекает ничего на оси Ох

Прямая L пересекает ось Ох в точке

(2/3)х-(23/3)=0
х=23/2
х=11,5

Отсекать может на луче Ох ( на положительном направдении оси Ох)

(прикреплено изображение)

з)
∫ (x^5+∛(x^2)+(1/∛x))dx=

= ∫ x^5dx + ∫ x^(2/3)dx+ ∫ x^(-1/3)dx=

=(x^6/6) +x^(5/3)/(5/3) +x^(2/3)/(2/3)+C=

= (x^6/6) +(3/5)*x^(5/3) +(3/2)*x^(2/3)+C=

= (x^6/6) +(3/5)*x*∛(x^2) +(3/2)*∛(x^2)+C

м)
∫ (7x-2)^4dx= ∫ (7x-2)^(4)*(1/7)d(7x-2)=

=(1/7) ∫ u^4du=(1/7)(u^5/5) + C= (1/35)*(7x-2)^5 + C

u=7x-2
du=(7x-2)`=7dx ⇒ dx=(1/7)d(7x-2)

т)
=2 ∫ dx/(1+x^2)-3 ∫ dx/sqrt(1-x^2)=

=2arctgx - 3 arcsinx + C

1) Дано уравнение гиперболы.
Гипербола вращается вдоль оси Ох

В плоскости xОz остается след от вращения в виде гиперболы
15x^2-3z^2=1

Уравнение поверхности вращения
15x^2-3y^2-3z^2=1

или
-15x^2+3y^2+3z^2= - 1

см. пункт 5 таблицы
Это двуполостный гиперболоид.
с осью Ох

см. рис.
(прикреплено изображение)

z=-(1/3)x^2 - парабола, вращается вокруг оси Оz и оставляет в пл. yOz след в виде параболы
z=-(1/3)y^2

Получаем параболоид вращения
z=-(1/3)x^2-(1/3)Y^2
( см. эллиптический параболоид, пункт 7, но направленный вниз) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2) да
См. рис.1

1) нет
см. рис. 2

На плоскости верно (прикреплено изображение)

а)ε= √21/5 ; A(–5;0)

a=5
ε=c/a
c=ε*a=sqrt(21)
b^2=a^2-c^2=25-21=4

О т в е т.

(x^2/25)+(y^2/4)=1

б)A (√80;3) ,B(4 √6 ;3 √2)

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

чтобы найти а и b подставляем координаты точек А и В:
{(80/a^2)-(9/b^2)=1
{(96/a^2)-(18/b^2)=1

Умножаем первое уравнение на (-2):
{-(160/a^2)+(18/b^2)=-2
{(96/a^2)-(18/b^2)=1

Складываем
-64/a^2=-1
a^2=64

18/b^2=(96/a^2)-1

b^2=36

О т в е т. (x^2/64)-(y^2/36)=1

в)D: y=1

если каноническое уравнение параболы имеет вид
x^2=-2py, то фокус параболы
F(0;-p/2)
D: y=p/2

Значит,
p/2=1

p=2

О т в е т. x^2=-4y

Ответ выбран лучшим

(shu)`=chu * (u`)

u=ln(tg2x)

u=lnv

u`=(1/v)*v`

v=tg2x

v`=(1/cos^22x)*(2x)`

Итак,

sh(ln(tg2x))=ch(ln(tg2x)) * (ln(tg2x))`=

=ch(ln(tg2x))* (1/tg2x) * (tg2x)`=

=ch(ln(tg2x))* (1/tg2x) * (1/cos^22x)*(2x)`=

=ch(ln(tg2x))* (1/tg2x) * (1/cos^22x)*(2)

=2ch(ln(tg2x))* (1/tg2x) * (1/cos^22x)=

=2ch(ln(tg2x))* (cos2x/sin2x) * (1/cos^22x)=

=2ch(ln(tg2x))* (1/sin2x) * (1/cos2x)=

=4ch(ln(tg2x))*(1/(2*sin2x*cos2x))=

=4ch(ln(tg2x))*(1/sin4x)

Ответ выбран лучшим

[b]Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]Решить логарифмическое уравнение. Найти произведение корней.[/b]

lg^2x=lgx
lg^2x-lgx=0
lgx*(lgx-1)=0
lgx=0 или lgx-1=0

lgx=0 ⇒ x=10^(0); x_(1)=1
lgx=1 ⇒ x=10^(1); x_(2)=10

х_(1)*х_(2)=1*10=10

О т в е т. 1) 10

cos(x-(π/2))=cos((π/2)-x)=sinx

sqrt(2)sinx + cos^2x=sqrt(2)sin^3x

cos^2x=1-sin^2x

sqrt(2)sinx +1-sin^2x=sqrt(2)sin^3x

sqrt(2)sin^3x+sin^2x-1-sqrt(2)sinx=0

Раскладываем на множители:

sin^2x(sqrt(2)sinx+1)-(sqrt92)sqinx+1)=0

(sqrt(2)sinx+1)*(sin^2x-1)=0

sqrt(2)sinx+1 = 0 или sin^2x-1=0

sinx=-1/sqrt(2) или sinx = ± 1

x=(-1)^(k)*(-π/4)+πk, k ∈ Z или х= ± (π/2)+2πm, m ∈ Z ⇒ x=(π/2)+πn, n ∈ Z

1.
- x^2/(1/9) +(y^2/(1/6)) + (z^2/(1/6))=1

a^2=1/9; b^2=1/6; c^2=1/6

cм.таблицу в приложении
Это пункт 4) - однополостный гиперболоид, но
так как знак минус перед х^2,
то однополостный гиперболоид с осью Ох

см. рис. в приложении 2

2.
y=(10/15)x^2 + (6/15)y^2

y=x^2/(3/2) + y^2/(5/2)

a^2=3/2
b^2=5/2
Это как 7) - эллиптический параболоид, только с осью Оу

см. рис. в приложении 3

(прикреплено изображение)

См. интегрирование иррациональных функций
Замена
sqrt((x+25)/(x+1))=t ⇒

(x+25)/(x+1)=t^2 ⇒ x = (t^2-25)/(1-t^2)

Находим dx= ((t^2-25)/(1-t^2))`dt

dx=-48dt/(1-t^2)

пределы интегрирования

если х=0, то t=5
х=7, то t=2

Получим интеграл

∫^(2)_(5)t*(-48)dt/(1-t^2)=

=24 ∫^(2)_(5)(- 2tdt)/(1-t^2)=

=24 ∫^(2)_(5)d(1-t^2)/(1-t^2)=

=24 ln |1-t^2|^(2)_(5)=

=24*ln|-24|-24ln|-3|=24ln8=72ln2

Ответ выбран лучшим

1703.
∫ udu=(u^2/2)+C

∫ sinxd(sinx)=(sin^2x/2)+C
1705.
∫ du/ sqrt(u)=2 sqrt(u)

∫d(1+x^2)/sqrt(1+x^2)=2sqrt(1+x^2)+C

1707.

∫ du/u^5= ∫ u^(-5)du=u^(-5+1)/(-5+1)+C= -1/(4*u^(4)) + C

d(2x-3)=(2x-3)`*dx=2dx ⇒

dx=[b](1/2)[/b]*d(2x-3)

∫ dx/(2x-3)^5=[b] (1/2)[/b]*∫ (2x-3)^(-5)d(2x-3)=

= [b](1/2)[/b]*(2x-3)^(-5+1)/(-5+1)+C= -1/(8*(2x-3)^(4)) + C

1709.

∫ u^(6/5)du=u^((6/5)+1)/((6/5)+1)+C

d(8-3x)=-3dx ⇒

dx=[b](1/3)[/b]*d(8-3x)

∫ (8-3x)^(6/5)dx=[b](1/3)[/b]∫ (8-3x)^(6/5)d(8-3x)=

=[b](1/3)[/b](8-3x)^((6/5)+1)/((6/5)+1)+C=

=[b](1/3)[/b](8-3x)^(11/5)/(11/5)+C=

=(5/33)(8-3x)^(11/5) + C

Ответ выбран лучшим

f(x)=2sinx
f(π/6)=1

f`(x)=2cosx
f`(π/6)=2*(sqrt(3))/2=sqrt(3)

y-1=sqrt(3)*(x-(π/6))

y=sqrt(3)*x +1-(sqrt(3)*π/6) - уравнение касательной

y-1=(-1/sqrt(3))*(x-(π/6))

y=(-x/sqrt(3))+1+(π/(6sqrt(3))) - уравнение нормали (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

первый способ
(2a-3b)^2-(2a+3b)^2=(по формуле m^2-n^2=(m-n)*(m+n), m=2a-3b; n=2a+3b)=
=(2a-3b-2a-3b)*(2a-3b+2a+3b)=-6b*(4a)=-24ab

второй способ
по формулам
(m-n)^2=m^2-2mn+n^2;
(m+n)^2=m^2+2mn+n^2.
(2a-3b)^2-(2a+3b)^2=4a^2-12ab+9b^2-(4a^2+12ab+9b^2)=-24ab

При ab=0,25

-24ab=-24*(0,25)=-6

cos(x-(5π/2)=cos((5π/2)-x)= sinx;

4sin^3x=sinx

4sin^3x-sinx=0

sinx*(4sin^2x-1)=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z
или
sin^2x=1/4 ⇒ sinx=-1/2 или sinx =1/2
x= ± (π/6)+πn, n ∈ Z

О т в е т. а)πk, k ∈ Z ; ± (π/6)+πn, n ∈ Z

б) - (π/6)+2π=11π/6; 2π; (π/6)+2π=13π/6. (прикреплено изображение)

a_(n)=n!/(2n-1)!!
a_(n+1)=(n+1)!/(2n+1)!!

(2n+1)!!=1*3*5*...*(2n-1)*(2n+1)=(2n-1)!! *(2n+1)

(n+1)!=n!8(n+1)

Признак Даламбера

lim_(n→∞)(a_(n+1))/(a_(n))=lim_(n→∞)(n+1)/(2n+1)=1/2 < 1
По признаку Даламбера сходится.

(прикреплено изображение)

х=8+ 4 целых (1/5)

х=12 целых (1/5)

х=13 целых (5/6) - 12 целых (3/4)

х=13 целых (10/12) - 12 целых (9/12)

х=1 целая (1/12)

x=13 целых (1/7) - 10 целых (3/5)

х=12 целых (8/7)-10 целых (3/5)

х=12 целых (40/35)-10 целых (21/35)

х=2 целых 19/35

х=10 целых (1/4) - (15/16)

х=9 целых (20/16) - (15/16)

х=9 целых (5/16)

1) неверно.
2) верно
3) верно
4) неверно
О т в е т. 14

ширина - 1 часть, длина - 7 частей

периметр=2 ширины + 2 длины= 2 + 14 = 16 частей

128 см : 16 = 8 см в одной части

ширина 8 см, длина 8*7=56 см

площадь= длина * ширина = 56*8=448 кв см

2 способ

Уравнением
ширина a= х, длина b= 7х

Р=2*(a+b)=2*(x+7x)=16x

16x=128

x=8

7x=56

S=a*b=8*56=448 кв см

ширина - 1 часть, длина - 3 части

периметр=2 ширины + 2 длины= 2 + 6 = 8 частей

40 см : 8 = 5 см в одной части

5 ×15 размеры рамки.

2 способ

Уравнением
ширина a= х, длина b= 3х

Р=2*(a+b)=2*(x+3x)=8x

8x=40

x=5

3x=15

(прикреплено изображение)

Точная величина приращения
По определению:
Δ f (3,01)=f(3,01)-f(3)

f(3,1)=2*(3,01)^2+3*3,01-1=2*9,0601+9,03-1=26,1502
f(3)=2*(3)^2+3*3-1=18+9-1=26

О т в е т.

Приближенная формула

f(x_(o)+ Δx) - f (x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx ⇒

f(x_(o)+ Δx) ≈ f (x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

Cправа - значение функции в точке х_(о) и производная в точке х_(о)
Точку х_(о) выбирают так, чтобы значения в этой точке легко считались.
Её иногда называют " хорошей" точкой

В нашем случае, х_(о)=3
Δх=3,01-3=0,01

f(3)=26 cм. пункт 1

f`(x)=(2x^2+3x-1)`=4x+3

f`(3)=4*3+3=12+3=15

f(3,01) ≈ f (3) + f`(3)* 0,01 = 26 + 15* 0,01 = 26,15

Сравнить 26,1502 и 26,15
Отличаются на 0,0002

Ответ выбран лучшим

Область определения ( - ∞ ;+ ∞ )

y`=( (3x^2)`*(4+5x^2)-(3x^2)*(4+5x^2)`)/(4+5x^2)^2;

y`=( 6x*(4+5x^2)-(3x^2)*10x)/(4+5x^2)^2;

y`= 6x*(4+5x^2-5x^2)/(4+5x^2)^2;

y`= 24x/(4+5x^2)^2.

y`=0

24x=0

x=0 - точка возможного экстремума.

Расставляем знак производной:

___ - __ (0) __+___

y` < 0 на (- ∞;0)
Функция убывает на (- ∞;0)

y` > 0 на (0;+ ∞)
Функция возрастает на (0;+ ∞

х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(0)=0

y``=24*(x`*(4+5x^2)^2-x*((4+5x^2)^2)`)/((4+5x^2)^2)^2;

y``=24*(1*(4+5x^2)^2-x*2*(4+5x^2)(4+5x^2)`)/(4+5x^2)^4;

y``=24*(4+5x^2-x*2* 10x)/(4+5x^2)^3;

y``=24*(4-15x^2)/(4+5x^2)^3

y``=0

4-15x^2=0

x^2=4/15

x=- sqrt(4/15) или х=sqrt(4/15) - точки возможного перегиба.

Знак второй производной:

_-__ (-sqrt(4/15)) __+___ (sqrt(4/15)) __-__

y`` <0 на (- ∞ ; - sqrt(4/15)) и на ( sqrt(4/15); + ∞ )

Функция выпукла вверх

y`` > 0 на ( - sqrt(4/15); sqrt(4/15) )

Функция выпукла вниз.

График на рисунке.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{3+x>0 ⇒ x > -3;
{7-x>0 ⇒ x < 7;

ОДЗ: x ∈ (-3;7)

{2-x>0 ⇒ x < 2;
{x>0; x ≠ 1

(0) ____ (1) ____ (2)

ОДЗ: x ∈ (0;1)U(1;2)

Пусть первая труба наполняет бак за х часов, вторая за у часов.
(1/х)– производительность первой, (1/(х+24)) – производительность второй.

При совместном действии двух труб бак может быть наполнен за 12 мин.
12·((1/х)+(1/у))=1

Если сначала полбака наполнить через одну трубу, а затем полбака – через другую, то бак наполнится через 25 мин
25·((0,5/(1/x))+(0,5/(1/y))=1

Система:
{12·((1/х)+(1/у))=1
{25·((0,5/(1/x))+(0,5/(1/y))=1

{12*(x+y)=xy
{25*((x/2)+(y/2))=1

{12*(x+y)=xy
{x+y=50 ⇒ у=50-х

12*50=х*(50-х)

x^2–50x +600=0

D=(–50)^2–4·600=100

x_(1)=(50-10)/2=20 ⇒ y_(1)= 50 - 20 = 30

x_(2)=(50+10)/2=30 ⇒ y_(2)= 50 - 30 = 20

О т в е т. 20 часов и 30 часов

Ответ выбран лучшим

Пусть первому потребуется х часов, второму (х+24) часов.
(1/х)- производительность первого, (1/(х+24)) - производительность второго.

35*((1/х)+(1/(х+24)))=1

35*(х+24+х)/(х*(х+24))=1

35*(х+24+х)=х*(х+24)

35*(2х+24)=х*(х+24)

x^2-46x - 840=0

D=(-46)^2-4*(-840)=2116+3360=5476=74^2

x_(1)=(46+74)/2=60

x_(2)< 0 не удовлетворяет смыслу задачи

60+24=84

О т в е т. 60 часов и 84 часа

Ответ выбран лучшим

1)
М( (2;π/4)
К(1;–π/3)
Р(3;0)
а) М_(О) (2;5π/4); К_(О)(1;2π/3); Р_(О)(3;π)
б) М_(1)( (2;(-π/4)); К_(1)(1;π/3); P_(1)=P(3;0)

2)
Формулы перехода от полярных координат к декартовым:
x=rcosφ
y=rsinφ

А(5 ;π/2)
х=5*cos(π/2)=5*0=0
y=5sin(π/2)=5*1=5

Значит декартовы координаты точки A (0; 5)

В(8;5π/6)
х=8cos(5π/6)=8*(-sqrt(3)/2)=-4sqrt(3)
y=8sin(5π/3)=8*(1/2)=4
Значит декартовы координаты точки B (-4sqrt(3);4)

C(3;7π/6)
х=3*cos(7π/6) = 3*(-sqrt(3)/2)=-3sqrt(3)/2
y=3*sin(7π/6) = 3*(-1/2)=-3/2
Значит декартовы координаты точки C(-3sqrt(3)/2;-3/2)

AB=sqrt((-4sqrt(3)-0)^2+(4-5)^2)=sqrt(49)=7

BC=sqrt((-3sqrt(3)/2+4sqrt(3))^2+((-3/2)-4)^2)=sqrt((75/4)+(121/4))=

=sqrt(196/4)=sqrt(49)=7

АВ=ВС=7 - треугольник АВС равнобедренный

Ответ выбран лучшим

Введем систему координат так, как показано на рисунке.
vector{DB_(1)}=(0-1;0-1;1-0)=(-1;-1;1)
vector{DC_(1)}=(0-1;1-1;1-0)=(-1;0;1)

По формуле ( см. приложение)

cos ∠ (vector{DB_(1)},vector{DC_(1)})=( vector{DB_(1)}*vector{DC_(1)})/(|vector{DB_(1)}|*|vector{DC_(1)}|)=

=((-1)*(-1)+(-1)*0+1*1)/sqrt((-1)^2+(-1)^2+1^2)*sqrt((-1)^2+1^2)=

=2/sqrt(3)*sqrt(2)=sqrt(2)/sqrt(3)=sqrt(2/3)

∠ (vector{DB_(1)},vector{DC_(1)})=arccos sqrt(2/3)

В треугольнике АНС катет АН лежит против угла в 30 градусов.
Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Значит гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСН равна 6.

∠ B=180^(o)- ∠ A - ∠ C= 180^(o)-45^(o)-30^(o)=105^(o)

По теореме синусов:

AC/sin ∠ B= BC/sin ∠ A=AB/sin ∠ C

sin105^(o)=sin75^(o)=(sqrt(6)+sqrt(2))/4 ( cм. приложение)

ВС=AC*sin45^(o)/sin105^(o)=(12*(sqrt(2)/2))/(sqrt(6)+sqrt(2))/4=24sqrt(2)/(sqrt(6)+sqrt(2))
=24/(sqrt(3)+1)

AB=AC*sin30^(o)/sin105^(o)=24/(sqrt(6)+sqrt(2)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(параллелограмма)=a*b*sin α

∠ ТНК равен углу между скрещивающимися прямыми ВМ и АС

∠ ТНК = ∠ MBO

BO=R=asqrt(3)/3
a=1
BO=sqrt(3)/3

cos ∠ MBO=BO/MB=(sqrt(3)/3)/2=sqrt(3)/6

sin ∠ MBO= sqrt(1-(3/36))=sqrt(33)/6

S(cечения)=1*0,5*sqrt(33)/6=sqrt(33)/12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Данная плоскость задана уравнением: x–6y–z+14=0
Значит нормальный вектор vector{n}=(1;-6;-1)
D_(1)=14

Параллельная плоскость имеет тот же нормальный вектор.

и потому ее уравнение принимает вид:

x-6y-z+D_(2)=0

По формуле расстояния между двумя параллельными плоскостями ( см. приложение)

d=|14-D_(2)|/sqrt(1^2+(-6)^2+(-1)^2)
d=|14-D_(2)|/sqrt(38)

По условию
d=2

|14-D_(2)|/sqrt38) =2
|14- D_(2)|=2sqrt(38)

14-D_(2)=2 sqrt(38) или 14-D_(2)=-2sqrt(38)

D_(2)=14-2sqrt(38) или D_(2)=14+2sqrt(38)

О т в е т.
x–6y–z+14-2sqrt(38) =0
или
x–6y–z+14+2sqrt(38) =0 (прикреплено изображение)

vector{i}=(1;0;0) - направляющий вектор прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором :

(x-0)/1=(y-7)/0=(z-4)/0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х_(o) имеет вид:

y - f(x_(o)) = f `(x_(o)) * ( x - x_(o))

f)
f(0)=0+(1/(0+1))=1

f ` ( x) = ( x + (1/(x+1)))` = 1 - 1* (x+1)^(-2) = 1- (1/(x+1)^2)

f`(0)=1-1=0

y - 1 = 0

y=1 - уравнение касательной

2)
f(0)=sin0 - ln1=0-0=0

f ` (x) = cos2x*(2x)` - (1/(x+1))=2cos2x - (1/(x+1))

f`(0)=2-1=1

y-0 =1*(x-0)

y=x - уравнение касательной (прикреплено изображение)

По теореме косинусов из треугольника
В_(1)С_(1)D

B_(1)C_(1)=2
B_(1)D_(1)=2sqrt(3) - диагональ куба (d^2=a^2+a^2+a^2)
C_(1)D=2sqrt(2) - диагональ боковой грани, квадрата со стороной 2

cos φ = (B^2_(1)D+C_(1)D^2-B^2_(1)C_(1))/(2*B_(1)D*C_(1)D)=

=(12 + 8 -4)/(2*2sqrt(3)*2sqrt(2))=2/sqrt(6)=sqrt(2)/sqrt(3)=sqrt(2/3)
φ=arccos(sqrt(2/3)) (прикреплено изображение)

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой.

Пусть z=0

{x+2y=1
{x-y-1=0

Решаем систему способом подстановки:
{x=1-2y
{1-2y-y-1=0
y=0
x=1

А(1;0;0) принадлежит прямой

Пусть х=0

{2y+z=1
{-y-1=0 ⇒ y=-1
z=1-2y=1-2*(-1)=3

В(0;-1;3) принадлежит прямой

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через две точки
А(1;0;0) и В(0;-1;3) :

(x-1)/(0-1)=(y-0)/(-1-0) =(z-0)/(3-0)

(x-1)/(-1)=(y-0)/(-1) =(z-0)/(3)

Обозначим (т.е вводим параметр λ, параметризуем)

(x-1)/(-1)=(y-0)/(-1) =(z-0)/(3)= λ

х-1=- λ
у=- λ
z=2 λ

О т в е т.

х=- λ +1
у=- λ
z=2 λ

Ответ выбран лучшим

S= ∫ ^(1)_(-1) (-x^2+1)dx=2 ∫ ^(1)_(0) (-x^2+1)dx=2* ((-x^3/3)+x)^(1)_(0)=

=2*((-1/3)+1)=4/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∫^(a)_(1)dx/(x–4)^2= ∫^(a)_(1)(x–4)^(-2)d(x-4)= ((x-4)^(-1)/(-1))|^(a)_(1)=

= (-1/(x-4))|^(a)_(1)= -(1/(a-4)) + (1/(1-4))=-(1/(a-4)) - (1/3)

=-(1/(a-4)) - (1/3)=4/21 ⇒ a-4 = -21/11

a=4 - (21/11)

a=23/11

Ответ выбран лучшим

. ∫^(1)_(-2)(x^2–4x+4) dx=((x^3/3)-4*(x^2/2)+4x)|^(1)_(-2)=

=(1/3)-4*(1/2)+4 - (-8/3)+4*(4/2)-4*(-2)=

=3-2+4+8+8=21

или
∫^(1)_(-2)(x^2–4x+4) dx= ∫^(1)_(-2)(x-2)^2 d(x-2)=((x-2)^3/3)|^(1)_(-2)=

=(-1/3)-(-4)^3/3=63/3=21

2.∫^(π)_(0) sin (x/4) dx=4* ∫^(π)_(0) sin (x/4) d(x/4)=

=4*(- cos(x/4))|^(π)_(0)= 4*(-cos(π/4)+cos0)= 4*((-sqrt(2)/2) + 1)=

=-2sqrt(2) + 4

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(6x^2-x^3)`=12x-3x^2
y`=0
12x-3x^2=0
3x*(4-x)=0
x=0 или х=4

Расставляем знак производной

Например, так : y`(10) <0
далее чередуем справа налево:

__-__ (0) _+___ (4) ___-__

х=4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y`< 0 на (- ∞ ;0) и на (4;+ ∞ )
Функция убывает на на (- ∞ ;0) и на (4;+ ∞ )

y`>0 на (0;4)
Функция возрастает на на (0;4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(e^(2x^2+1))`*(x^2-(3/2)) + e^(2x^2+1)*(x^2-(3/2))`=

=e^(2x^2+1)*(2x^2+1)`*(x^2-(3/2)) + e^(2x^2+1)*(2x)=

=e^(2x^2+1)*(4x*(x^2-(3/2))+2x)=

=e^(2x^2+1)*(4x^3-4x)

y`=0
e^(2x^2+1)> 0 при любом х

4x^3-4x=0

4х*(x^2-1)=0

x=0 или х= ± 1

Знак производной:

_-__ (-1) __+__ (0) __-__ (1) __+__

y`< 0 на (- ∞ ;-1) и на (0;1)
Функция убывает на (- ∞ ;-1) и на (0;1)

y`>0 на (-1;0) и на (1;+ ∞ )
Функция возрастает на (-1;0) и на (1;+ ∞ )

х=-1 и х=1 - точки минимума, производная меняет знак с - на +

y(-1)=y(1)=e^(3)*(-1/2)=-e^(3)/2

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(0)=e*(-3/2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ВВедем систему координат как на рисунке.
Найдем координаты точек.
Так как треугольник АВС - равнобедренный, Высота, проведенная из вершины В является медианой и делит отрезок АС пополам.
По теореме Пифагора ее длина sqrt(10^2-8^2)=6

Составляем уравнение плоскости АРС:

-192х+96z=0

или

-2х+z=0

vector{n_(1)}=(-2;0;1)

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными
векторами

Уравнение плоскости А_(1)В_(1)С_(1):
z=24
vector{n_(2)}=(0;0;1)

vector{n_(1)}=(-2;0;1)

vector{n_(2)}=(0;0;1)

cos ∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=(vector{n_(1)}*vector{n_(2)})/(|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|)=

=(-2*0+0*0+1*1)/sqrt((-2)^2+1^2)*1=1/sqrt(5)

sin∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=2/sqrt(5)

tg∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=2

О т в е т. 2 (прикреплено изображение)

1.
1)
vector{a}+vector{b}=(3+7;0+0;4+2)=(10;0;6)

2) ? условие неполное

Если вектор vector{m} и вектор vector{a} коллинеарны, тогда
|vector{a}|=sqrt(3^2+0^2+4^2)=5;
|vector{m}|=3*|vector{a}|=15
vector{m}=(3k;0;4k)
vector{m}=(3k;0;4k)

|vector{m}|=sqrt((3k)^2+0^2+(4k)^2)=5|k|

5|k|=15

|k|= 3

k= ± 3

vector{m}=(3*3;0;4*3)=(9;0;12) или vector{m}=(3*(-3);0;4*(-3))=(-9;0;-12)

Если о коллинеарности речи нет, то
vector{m}=(х;y;z)
x^2+y^2+z^2=225
Задача имеет бесчисленное множество решений.
vector{m}=(15;0;0) или vector{m}=(0;15;0) и т.д

2.

1)если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны
k : 7 = 0 : 0 = 6 : 2 ⇒ k : 7 = 6 : 2
2k=42
k=21

2) компланарны.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;-2) U (-2;2) U(2;+ ∞ )

y`= ((x^3)`*(x^2-4)-x^3*(x^2-4)`)/(x^2-4)^2

y`=((3x^2*(x^2-4)-x^3*(2x))/(x^2-4)^2

y`=(x^4 -12x^2)/(x^2-4)^2

y`=0

x^4 - 12x^2=0
x^2*(x^2-12)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=12
x=0 или х = ± 2sqrt(3)

Знак производной:
__+___ (-2sqrt(3)) _-_ (-2) __-__ (0) _-__ (2) __-__ (2sqrt(3)) __+__

Функция монотонно убывает на (-2sqrt(3); - 2) и на (-2; 2 ) и на (2; 2sqrt(3))
Функция монотонно возрастает
на (- ∞ ;-2sqrt(3)) и на (2sqrt(3);+ ∞ )

x=-2sqrt(3) - точка максимума
f(-2sqrt(3))=(-2sqrt(3))^2/((-2sqrt(3))^2-4)= -3sqrt(3)

х=2sqrt(3) - точка минимума
f(2sqrt(3))=(2sqrt(3))^2/((2sqrt(3))^2-4)= 3sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

dy=f`(x)*dx
dy=2^(cosx)*(cosx)`*ln2dx
dy=(-2ln2)sinx*2^(cosx)dx

dy=(-ln2)sinx*2^(cosx + 1)dx

Имеем неопределенность ∞ ^(0).

Логарифмируем данную функцию
lny= x^2*ln(1/x)

Находим предел функции

z=lny

lim_(x→0)z=lim_(x→0) x^2*ln(1/x) = (неопределенность 0* ∞) сводится в неопределенности (0/0) или ( ∞ / ∞ ) и тогда можно применить правило Лопиталя.

lim_(x→0) x^2*ln(1/x)= lim_(x→0) (ln(1/x))/(1/x^2)= ( ∞ / ∞ )

=lim_(x→0) (ln(1/x)) `/(1/x^2) ` = lim_(x→0) (1/(1/x))*(1/x)`/(-2/x^3)=

= lim_(x→0) (1/(1/x))*(1/x)`/(-2/x^3)= lim_(x→0)(-x^2/2)= 0

lim_(x→0)z=0

Значит lim_(x→0) ln y =0 ⇒ lim_(x→0)y = e^(0)=1

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

а)
x_(vector{c})=x_(vector{a})+x_(vector{b})=3+7=10
y_(vector{c})=y_(vector{a})+y_(vector{b})=0+0=0
z_(vector{c})=z_(vector{a})+z_(vector{b})=4+2=6

vector{c}=(10;0;6)

б)
x_(vector{c})=2*x_(vector{a})+x_(vector{b})=2*3+7=13
y_(vector{c})=2*y_(vector{a})+y_(vector{b})=2*0+0=0
z_(vector{c})=2*z_(vector{a})+z_(vector{b})=2*4+2=10

vector{c}=(13;0;10)

Ответ выбран лучшим

Решаем графически

Строим график функции
y_(1)(х)=(x+2)(x+3)(x+4)(x+6)

функция пересекает ось Ох в точках

-6; -4; -3; -2

Расставляем знак функции y=(x+2)(x+3)(x+4)(x+6)

_+__ (-6) _-_ (-4) _+__ (-3) _-__ (-2) __+__

График функции
y_(2)(x)=30х - прямая, возрастающая функция,

при х=0

y_(1)(0)=(0+2)*(0+3)*(0+4)*(0+6)=96
y_(2)(0)=0
y_(1)(0) > y_(2)(0)

при х=1
y_(1)(1)=(1+2)*(1+3)*(1+4)*(1+6)=420
y_(2)(1)=30

Графики не пересекаются.
Уравнение не имеет корней

Уравнение
(x+2)*(x+3)*(x+4)*(x+6)=30 имеет два корня ( см. рис. 2)

Уравнение

(x+2)*(x+3)*(x+4)*(x+6)=30x^2

имеет один корень

х=-1

(-1+2)*(-1+3)*(-1+4)*(-1+6)=30*(-1)^2
1*2*3*5=30 - верно (прикреплено изображение)

Исследуем точку x=0
Находим предел слева:
f(-0)=lim_(x→-0)ln(-x)=- ∞
Есть бесконечный предел. Значит х=0 - точка разрыва второго рода

Исследуем точку x=π/2
Находим предел слева:
f((π/2)-0)=lim_(x→((π/2)-0)cosx=0
Находим предел справа:
f((π/2)+0)=lim_(x→((π/2)+0) ((π/2)-х)=0
f((π/2)=cos(π/2)=0

х=(π/2) - точка непрерывности..

(прикреплено изображение)

60 000 : 100 * 18 = 10 800 руб составляют 18% от 60 000 руб.

Но это за год.

За 6 месяцев должна вернуть

5 400 руб. - это и есть сумма процентов

60 000 + 5 400 = 65 400 руб - общий погасительный платеж

A ∩ C={1}
B×(A ∩ C) ={(2;1);(3;1)}
B×A={(2;1);(3;1);(2;2);(3;2)}

(B×(A ∩ C)) ∪ (B×A)= {(2;1);(3;1)} U {(2;1);(3;1);(2;2);(3;2)}={(2;1);(3;1);(2;2);(3;2)}

{(2;1);(3;1);(2;2);(3;2)}={(2;1);(3;1);(2;2);(3;2)} - верно

∫ сos^3xdx= ∫ (cos^2x)*cosxdx= ∫ (1-sin^2x)*cosxdx=

замена

sinx=t
cosxdx=dt

= ∫ (1-t^2)dt= t-(t^3/3) + C =

=sinx - (1/3)sin^3x+C

v= V_(большого) - v_(маленького)=3*3*4 - 1*1*4= 36 - 4=32 (прикреплено изображение)

v= V_(большого) - v_(маленького)=5*5*4 - 5*2*2=100 - 20=80 (прикреплено изображение)

130*π

1) по частям
u=x
dv=ctg^2xdx
du=dx
v= ∫ ctg^2xdx= ∫ cos^2xdx/sin^2x= ∫ (1-sin^2x)dx/sin^2x=

= ∫ (dx/sin^2x)- ∫dx= -ctgx - x

∫ udv= u*v- ∫ v*du= x*(-ctgx -x) - ∫ (-ctgx -x)dx=

=-xctgx - x^2 + ∫ ctgxdx + ∫xdx=

=-xctgx - x^2 + ∫ (cosxdx/sinx)+ ∫xdx=

=-xctgx - x^2 +ln|sinx|+ (x^2/2)+C=

=-xctgx +ln|sinx| - (x^2/2)+C

2)
∫ сos^4x*cosxdx= ∫ (cos^2x)^2*cosxdx= ∫ (1-sin^2x)^2*cosxdx=

= ∫ (1-2sin^2x+sin^4x)* cosxdx=

замена

sinx=t
cosxdx=dt

= ∫ (1-2t^2+t^4)dt= t-(2t^3/3)+(t^5/5) + C =

=sinx - (2/3)sin^3x+(1/5) sin^5x+C

Ответ выбран лучшим

Угол AD_(2)E - угол равностороннего треугольника AD_(2)E
Он равен 60^(o)

AD^2_(2)=AF^2+FD^2_(2)=6^2+6^2=72;
AE^2_(2)=AF^2+FE^2=6^2+6^2=72;
D_(2)E^2=D_(2)F^2+FE^2=6^2+6^2=72

(прикреплено изображение)

Пусть случайная величина Х - число отказавших элементов в одном опыте.
Элементов три.
p=0,1 - вероятность отказа каждого элемента в одном опыте
q=1-p=0,9 - вероятность того, что в одном опыте элемент не откажет

Случайная величина Х может принимать значения от 0 до 3

p_(0) = C^(0)_(3)p^(0)*q^(3) - вероятность того, что в одном опыте откажут 0 элементов
p_(0)=1*0,1^(0)*0,9^3=0,729

p_(1) = C^(1)_(3)p^(1)*q^(2) - вероятность того, что в одном опыте откажет 1 элемент
p_(1)=3*0,1*0,9^2=0,243

p_(2) = C^(2)_(3)p^(2)*q^(1) - вероятность того, что в одном опыте откажут 2 элемента
p_(2)=3*0,1^2*0,9=0,027

p_(3) = C^(3)_(3)p^(3)*q^(0) - вероятность того, что в одном опыте откажут 0 элементов
p_(3) = 1*0,1^3*0,9^(0)=0,001

Закон распределения - таблица, в которой указаны значения случайной величины и их вероятности.

Сумма вероятностей должна быть равна 1. Если это так, закон составлен правильно.

M(X)=x_(o)*p_(o)+x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)=

=0*0,729+1*0,243+2*0,027+3*0,001=0,3

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

M(X^2)=x^2_(o)*p_(o)+x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)=

=0^2*0,729+1^2*0,243+2^2*0,027+3^2*0,001=0,357

σ(X)=sqrt(D(X)) ≈ 0,597 (прикреплено изображение)

lim(x→ - ∞) (x+1)/(3x-1) = (1/3)

lim(x→ - ∞) ((x+1)/(3x-1))^(2x+1) = [(1/3)^(- ∞ )=3^(+ ∞ ) ]= + ∞

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^(x)=t
d(3^(x))=3^(x)*ln3dx ⇒

3^(x)dx=dt/ln3

Получаем

(1/ln3) ∫ dt/sqrt(t^2-10) = табличный интеграл (cм. приложение, формула 14 - "длинный" логарифм)

=(1/ln3) ln| t + sqrt(t^2-10)| + C =

=(1/ln3) * ln| 3^(x) + sqrt(9^(x)- 10)| + C

= ln| 3^(x) + sqrt(9^(x)- 10)|/ ln3 + C (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

пусть
событие A-" монета не пересечет вертикальную сторону квадрата "
событие В-" монета не пересечет горизонтальную сторону квадрата"
событие С-" монета не пересечет ни одну из сторон квадрата"

По формуле геометрической вероятности
р(A)=р(B)= l / L

L- расстояние от между прямыми

l- расстояние от монеты до стороны.

L= 5
l =L - 2r =5-2*2=1

По формуле геометрической вероятности
p(A)=р(В)=(5-2*2)/5=1/5

События A и B независимы.
p(C)=p(A)*p(B)=(1/5)*(1/5)=1/25 (прикреплено изображение)

(5/(x^2+5x)) +(x+15)/(25-x^2)

x^2+5x=x*(x+5)

25-x^2=(5-x)*(5+x)

(5/(x^2+5x)) +(x+15)/(25-x^2)=

=5*(5-x)/(x*(x+5)*(5-x)) + x*(x+15)/(x*(x+5)*(5-x)) =

=(5*(5-x) + x*(x+15))/(x*(x+5)*(5-x)) =

=(25 -5x +x^2+15x)/(x*(x+5)*(5-x)) =

=(x^2+10x+25)/(x*(x+5)*(5-x)) =

=(x+5)^2/(x*(x+5)*(5-x)) =

=(x+5)/(x*(5-x))

Ответ выбран лучшим

68
как в 67
∫ sqrt(3x^2-3x+1)dx= sqrt(3)∫ sqrt(x^2-x+(1/3))dx=sqrt(3) ∫ sqrt((x-(1/2))^2-(1/12))dx=

x-(1/2)=u
du=dx

=sqrt(3)*∫ sqrt(u^2-(1/12))du= табличный интеграл, формула 18
=sqrt(3)((1/2)u*sqrt(u^2-(1/24)ln|u+sqrt(u^2-(1/12))|+C=

=(sqrt(3)/2)*(x-(1/2))*sqrt(x^2-x+(1/3))-(sqrt(3)/24)*ln|(x-(1/2))+sqrt(x^2-x+(1/3))|+C

69
Подстановка. См. приложение

= - ∫ dt/(t^2+t+1)= - ∫ dt/sqrt((t+(1/2))^2+(3/4))=табличный интеграл формула 14 - "длинный" логарифм

=-ln|t+(1/2)+sqrt(t^2+t+1)|+C=

=-ln|(1/x)+(1/2)+sqrt((1/x)^2+(1/x)+1)|+C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

57
sqrt(1-x)=t
1-x=t^2
x=1-t^2
2-x=1+t^2
dx=-2tdt

= ∫ (-2tdt)/((1+t^2)*t)=-2 ∫ dt/(1+t^2)=-2arctgt+C=

=-2arctgsqrt(x-1) + C

59

sqrt(x+1)=t
sqrt((x+1)^3)=t^3

x+1=t^2
x=t^2-1
dx=2tdt

= ∫ 2tdt/(t+t^3)=2 ∫ dt/(1+t^2)=2arctg(t) + C= 2 arctgsqrt(x+1) + C

Ответ выбран лучшим

log_(3)cos(π/6)-log_(3)sin(π/6)=log_(3)ctg(π/6)=log_(3)sqrt(3)=

=log_(3) 3^(1/2)=(1/2)*log_(3)3=(1/2)

log_(2)(log_(3)cos(π/6)-log_(3)sin(π/6))=log_(2)(1/2)=

=log_(2)2^(-1)=-1*log_(2)2=-1*1=-1

Ответ выбран лучшим

67.

∫ sqrt(x^2-2x-1)dx= ∫ sqrt(x^2-2x+1-2)dx= ∫ sqrt((x-1)^2-2)dx=

x-1=u
du=dx

=∫ sqrt(u^2-2)du= табличный интеграл формула 18

=(1/2)u*sqrt(u^2-2)-ln|u+sqrt(u^2-2)|+C=

=(1/2)*(x-1)*sqrt(x^2-2x-1) - ln|(x-1)+sqrt(x^2-2x-1)|+C

69

∫ sqrt(1-4x-x^2)dx= ∫ sqrt(5-(x^2+4x+4))dx= ∫ sqrt(5-(x+2)^2)dx=

x+2=u
du=dx

=∫ sqrt(5-u^2)du= табличный интеграл формула 17

=(1/2)u*sqrt(5-u^2) +(5/2)arcsin(u/sqrt(5))+C=

=(1/2)*(x+2)*sqrt(1-4x-x^2) +(5/2)arcsin((x+2)/sqrt(5))+C
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
y`=6x^2-12x
y`=0
6x^2-12x=0
6x*(x-2)=0
x=0 или x=2

Расставляем знак производной:

_+__ (0) _-__ (2) _+_

y`<0 на (0;2)
Значит функция убывает на (0;2)

y`>0 на(- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

Значит функция возрастает на на(- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )

x=0 - точка максимума y(0)=-3

х=-2 - точка минимума y(2)=-11

График см. рис.

2)
y`=45+6x-3x^2x
y`=0
x^2-2x-15=0

D=4+4*15=64

x=-3 или x=5

Расставляем знак производной:

_-__ (-3) _+_ (5) _-_

y`> 0 на (-3;5)
Значит функция возрастает на (-3;5)

y`< 0 на (- ∞ ;-3) и на (5;+ ∞ )

Значит функция убывает на (- ∞ ;-3) и на (5;+ ∞ )

х=-3- точка минимума
x=5 - точка максимума

График см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(2)7=a;
log_(2)3=b

log_(2)42=log_(2)(2*3*7)=log_(2)2+log_(2)3+log_(2)7=1+a+b

Ответ выбран лучшим

Полярная система координат задается точкой отсчета О и лучом
( см. рис.)
Луч вращается на 360^(o) и заполняет всю координатную плоскость хОу

Координатами в полярной системе координат
являются [b]угол φ[/b] и расстояние [b]p[/b]

Так как расстояние p≥ 0, то и

sin φ ≥ 0 ⇒
График расположен на участке от 0o до 180o
(φ в 1 или во второй четверти плоскости хОу).

φ =0^(o) ⇒ p=4·sin0^(o)=0

φ =30^(o) ⇒ p=4·sin30^(o)=4·(1/2)=2
Откладываем отрезок длины 2 на луче в 30^(o)
Получаем точку А

φ =45^(o) ⇒ p=4·sin45^(o)=4·(√2/2)=2·√2
Откладываем отрезок длины 2·√2 на луче в 45^(o)
Получаем точку B

φ =60^(o) ⇒ p=4·sin60o=4·(√3/2)=2·√3
Откладываем отрезок длины 2·√3 на луче в 60^(o)
Получаем точку C

φ =90^(o) ⇒ p=4·sin90^(o)=4·1=4
Откладываем отрезок длины 4 на луче в 90^(o)
Получаем точку D

φ =120^(o) ⇒ p=4·sin120^(o)=4·(√3/2)=2·√3
Откладываем отрезок длины 2·√3 на луче в 120^(o)
Получаем точку E

φ =135^(o) ⇒ p=4·sin135^(o)=4·(√2/2)=2·√2
Откладываем отрезок длины 2·√2 на луче в 135^(o)
Получаем точку F

φ =150^(o)⇒ p=4·sin150^(o)=4·(1/2)=2
Откладываем отрезок длины а на луче в 150^(o)
Получаем точку K

φ =180^(o) ⇒ p=4·sin180^(o)=0

Cоединяем точки плавной линией, получаем окружность в верхней полуплоскости, что и соответствует 1 и 2 четверти в системе координат хОу (прикреплено изображение)

Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат имеет вид:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

b=3

Чтобы найти a подставим координаты точки М в уравнение:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

x=-2sqrt(5)
y=2

((-2sqrt(5))^2/a^2)+(2^2/3^2)=1

a^2=36

a=6

О т в е т. (x^2/6^2)+(y^2/3^2)=1 или (x^2/36)+(y^2/9)=1

1.
y`=(1/cos^2((2x-1)/5))* ((2x-1)/5)`=2/(5*cos^2((2x-1)/5))

2.
y`=3*cos^2(3x) * (cos3x)`= 3*cos^2(3x) * (-sin3x)*(3x)`=

=3*cos^2(3x) * (-sin3x)*(3)= 9*cos^2(3x) * (-sin3x)

3.
y`= 2* tg(x^4-2) * (tg(x^4-2))` = 2* tg(x^4-2) * (1/cos^2(x^4-2))*(x^4-2)`=

= (2* tg(x^4-2) /cos^2(x^4-2)) * (4x^3)=

=8x^3*tg(x^4-2)/cos^2(x^4-2)

4.

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)=((1/2)-(1/2)t^(-2)) / (1/t)=(1/2)* (t - (1/t))

5.
y`=4x^3-4x

y`=0

4x*(x^2-1)=0

x=0 или х= ± 1

Расставляем знак производной:

____-__(-1)_+__(0) _-__ (1) _+__

y`<0 на (- ∞ ;-1) и на (0;1)
Значит функция убывает на (- ∞ ;-1) и на (0;1)

y`>0 на (-1;0) и на (-1;+ ∞ )

Значит функция возрастает на (-1;0) и на (-1;+ ∞ )

6.

y`=6x^2-6x
y`=0
6x*(x-1)=0

x=1 ∈ (0;3)

[0] _-__ (1) _+__ [3]

x=1 - точка минимума

Значит наибольшее значение либо в 0, либо в 3

y(0)=1
y(3)=2*3^3-3*3^2+1=28 - наибольшее значение на [0;3]

Ответ выбран лучшим

1.
tg^25x=sin^25x/cos^25x=(1-cos^25x)/cos^25x=(1/cos^25x) - 1

∫ tg^25x dx= ∫ ((1/cos^25x) - 1)dx = (1/5)tg(5x)- x + C

2.

5sin^2x-3cos^2x+4*(sin^2x+cos^2x)=9sin^2x+cos^2x

= ∫ dx/(9sin^2x+cos^2x)=(1/9) ∫ 1/(tg^2x+(1/9)) * dx/(cos^2x)=

[b][tgx=t; dx/cos^2x=dt][/b]

=(1/9) ∫ dt/(t^2+(1/9))=(cм. 13) (1/9) * 1/(1/3) atctg t/(1/3) + C=

=(1/3) arctg(3tgx)+C

3.
= ∫ dx/(2cos^2x-sin^2x)=∫ 1/(2-tg^2x) * dx/(cos^2x)=

[b][tgx=t; dx/cos^2x=dt][/b]

= ∫ dt/(2- t^2)= - ∫ dt/( t^2- 2) = ( см. 10)

=(1/2sqrt(2))ln|(t-sqrt(2))/(t+sqrt(2))| + C=

=(1/2sqrt(2))ln|(tgx-sqrt(2))/(tgx+sqrt(2))| + C (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулы тригонометрии (см. приложение)

7.244
=(1/2) ∫ (sin4x+sin2x)dx=(1/2) ∫ sin4xdx+(1/2) ∫ sin2xdx=

=(1/2)*(1/4)(-cos4x)+(1/2)*(1/2)(-cos2x)+C=

=(-1/8)cos4x-(1/4)cos2x+ C

7.246
=(1/2) ∫ (cos3x-cos7x)dx=(1/2) ∫ cos3xdx-(1/2) ∫ cos7xdx=

=(1/2)*(1/3)(sin3x)-(1/2)*(1/7)(sin7x)+C=

=(1/6)sin3x-(1/14)sin7x+ C

Остальные, аналогично (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AC^2_(1)=AC^2+CC^2_(1)=13+157=170
BC^2_(1)=BC+CC^2_(1)=9+157=165

Продолжим СР за точку Р на такую же длину.
Получим параллелограмм.
По формуле:
2a^2+2b^2=d^2_(1)+d^2_(2)

2AC^2+2BC^2=AB^2+(2CP)^2
4CP^2=2*13+2*9-16
CP^2=7

СР=sqrt(7)

По теореме косинусов
СP^2=AC^2+AP^2-2AC*AP*cos ∠ A

cos ∠ A=(AC^2+AP^2-CP^2)/(2AC*AP)=(13+4-7)/(2*2sqrt(13))=10/4sqrt(13)=5/(2sqrt(13))

sin^2∠ 1-cos^2∠ A=1-(25/(4*13))=27/(4*13)
sin∠ A=(3/2)*sqrt(3/13)

CH=AC*sin ∠ A=sqrt(13)*(3/2)*sqrt(3/13)=3sqrt(3)/2

По теореме Пифагора
из Δ С_(1)СН

C^2_(1)H=CC^2_(1)+CH^2=157+(27/4)=655/4

S(cеч)=(1/2) АВ*С_(1)Н=(1/2)*4*(sqrt(655)/2)=sqrt(655)
(прикреплено изображение)

Полярная система координат задается точкой отсчета О и лучом
( см. рис.)
Луч вращается на 360 ^(o) и заполняет всю координатную плоскость
хОу
Координатами в полярной системе координат являются угол φ и расстояние p

Так как расстояние p≥ 0, то и

sin φ ≥ 0 ⇒
График расположен на участке от 0^(o) до 180^(o)
(φ в 1 или во второй четверти плоскости хОу).

φ =0^(o) ⇒ p=2a*sin0^(o)=0

φ =30^(o) ⇒ p=2a*sin30^(o)=2a*(1/2)=a
Откладываем отрезок длины а на луче в 30^(o)
Получаем точку А

φ =45^(o) ⇒ p=2a*sin45^(o)=2a*(sqrt(2)/2)=a*sqrt(2)
Откладываем отрезок длины а*sqrt(2) на луче в 45^(o)
Получаем точку B

φ =60^(o) ⇒ p=2a*sin60^(o)=2a*(sqrt(3)/2)=a*sqrt(3)
Откладываем отрезок длины а*sqrt(3) на луче в 60^(o)
Получаем точку C

φ =90^(o) ⇒ p=2a*sin90^(o)=2a*1=2a
Откладываем отрезок длины 2а на луче в 90^(o)
Получаем точку D

φ =120^(o) ⇒ p=2a*sin120^(o)=2a*(sqrt(3)/2)=a*sqrt(3)
Откладываем отрезок длины а*sqrt(3) на луче в 120^(o)
Получаем точку E

φ =135^(o) ⇒ p=2a*sin135^(o)=2a*(sqrt(2)/2)=a*sqrt(2)
Откладываем отрезок длины а*sqrt(2) на луче в 135^(o)
Получаем точку F

φ =150^(o) ⇒ p=2a*sin150^(o)=2a*(1/2)=a
Откладываем отрезок длины а на луче в 150^(o)
Получаем точку K

φ =180^(o) ⇒ p=2a*sin180^(o)=0

Cоединяем точки плавной линией, получаем окружность в верхней полуплоскости, что и соотвествует 1 и 2 четверти в системе координат хОу (прикреплено изображение)

Неопределённость (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(3+x+x^2)+sqrt(9-2x+x^2)
получаем
(sqrt(3+x+x^2)+sqrt(9-2x+x^2))*(sqrt(3+x+x^2)-sqrt(9-2x+x^2))/(x^2-3x+2)*(sqrt(3+x+x^2)+sqrt(9-2x+x^2))=

по формуле (a-b)*(a+b)=a^2-b^2

=(3+x+x^2-(9-2x+x^2))/((x^2-3x+2)*(sqrt(3+x+x^2)+sqrt(9-2x+x^2)))

=(3x-6)/((x-2)(x-1)*(sqrt(3+x+x^2)+sqrt(9-2x+x^2)))

сокращаем на (х-2)

lim_(x→2)(sqrt(3+x+x^2)+sqrt(9-2x+x^2))/(x^2-3x+2)=

=lim_(x→2)3/((x-1)*(sqrt(3+x+x^2)+sqrt(9-2x+x^2)))= 3/((2-1)*(3+3))=3/6=1/2

Ответ выбран лучшим

y=2x + 8 - прямая || прямой у=2х
Найдем точки пересечения y=2x + 8 c гиперболой
{у=2х+8
{x^2-2y^2=1

x^2-2*(2x+8)^2=1
x^2-8x^2-64x-128=1
7x^2+64x+129=0

D=64^2-4*7*129=484

x=(-64 ± 22)/14

x_(1)=-43/7 или x_(2)=-3
y_(1)= или y_(2)=

B(x_(1);y_(1))
A(x_(2);y_(2))

Найти координаты точки М - середины АВ

y=2x -4 - прямая || прямой у=2х
Найдем точки пересечения y=2x -8 c гиперболой
{у=2х-4
{x^2-2y^2=1

x^2-2*(2x-4)^2=1
x^2-8x^2+32x-32=1
7x^2-32x+33=0

D=32^2-4*7*33=100

x=(32 ± 10)/14

x_(3)=11/7 или x_(4)=3
y_(3)= или y_(4)=

D(x_(3);y_(3))
C(x_(4);y_(4))

Найти координаты точки N - середины CD

(прикреплено изображение)

(n+1)!=n!*(n+1)
(n+2)!=n!*(n+1)*(n+2)

Выносим n! в числителе за скобки и сокращаем с n! в знаменателе.

lim_(n→ ∞ )(n+1-3)/(n+1))n+2)=lim_(n→ ∞ )(n-2)/(n+1))n+2)=0

Точка (2;3;-1) принадлежит данной прямой.
Составим уравнение прямой || нормальному вектору плоскости
vector{n}=(1;4;-3)

(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)

Найдем координаты точки K - точки пересечения этой прямой и плоскости
Решаем систему:
{(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)
{x+4y-3z+7=0

Обозначим отношение
(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) = λ ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x= λ +2
y= 4λ +3
z=-3 λ +1

подставим в уравнение плоскости

( λ +2) +4*(4λ +3)-3*(-3 λ +1)+7=0
26 λ=-18
λ=-9/13

x_(К)=(-9/13)+2=
y_(К)=4*(-9/13)+3=
z_(К)=-3*(-9/13)+1=

Найдем координаты точки В - точки пересечения данной прямой и данной плоскости.

Решаем систему:
{(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2
{x+4y-3z+7=0

Обозначим отношение
(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2=t ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x=5t+2
y=t+3
z=2t+1

подставим в уравнение плоскости

5t+2+4*(t+3)-3*(2t+1)+7=0
3t=-18
t=-6

x=5*(-6)+2=-28
y=-6+3=-3
z=2*(-6)+1=-11

В(-28; -3; -11)

Составляем уравнение прямой ВК, как уравнение прямой, проходящей через две точки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) )z=5y - плоскость, проходит через ось Ох.
при y=4
z=20

x^2 + y^2 = 16 - цилиндр, в основании на пл. хОу окружность
радиуса 4
z=0 - плоскость хОу

см. рис.1

Соединить точку М с точками С и D так же как на рисунке справа, красная линия проходит ( это половинка эллипса)
Вторая половинка не изображается, так как она ниже пл. хОу.

б) х+y+z=5 - уравнение плоскости, проходящей через точки
(5;0;0); (0;5;0);(0;0;5)

y=0 - плоскость хОz
z=0 - плоскость хОу

3x+y=5 ⇒ y= 5 - 3x
2x+y=5 ⇒ y= 5 - 2x

Рисуем две прямые y= 5 - 3x и y= 5 - 2x на плоскости хОу.
Плоскости, проходящие через эти прямые и параллельные оси Оz

Получим пирамиду АВСD (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

НОK(45;60)=180
Через 3 часа,
6.00 +3=9.00
12.00
15.00
18.00
и т.д.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5.
f`(x)=-x^3-1
f`(x)=0
x^3=-1
x=-1
Знак производной
__+_ (-1) _-__

y`> 0 на (- ∞ ;-1). Значит функция возрастает
На (-1;+ ∞ ) функция убывает
6.
f`(x)=3x^2+12x+9
f`(x)=0
x^2+4x+3=0
D=16-12=4
x=-3 или х=-1

Знак производной
__+_ (-3) _-_ (-1) ___+__

y`> 0 на (- ∞ ;-3) и на (-1;+ ∞ ). Значит функция возрастает
На (-3;-1) функция убывает

y``=6x+12

y``=0

6x+12=0

x=-2 - точка перегиба, вторая производная при переходе через точку меняет знак

Ответ выбран лучшим

Система имеет решение, если
Δ ≠ 0

Cм. рис. 1

2. При а = -1
(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Пусть скорость второго х км в час, скорость первого (х+2) км в час

30:x час - время второго
30:(х+2) час - время первого

30:(х+2) час - на 10 мин меньше. 10 мин=10/60 часа =1/6 часа

Уравнение:

30:(х+2) + (1/6) = 30 : х

180x+x^22+2х=180*(х+2)

x^2+2x-360=0
D=4+4*360=4*361=(2*19)^2=38^2
x=(-2+38)/2=18 второй корень отрицат. и не удовл. смыслу задачи

30:20=3/2 часа =1 час 30 мин находился в пути первый

Ответ выбран лучшим

Формула:
S_(n)=b_(1)*(1-q^(n))/(1-q)

121 целая (1/2)=b_(1)*(1-(1/3)^(n))/(1-(1/3))
⇒

243/2= b_(1)*(1-(1/3)^(n)) / (2/3)

b_(1)*(1-(1/3)^(n))=81

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это кривые Гаусса.
Общий вид таких кривых см. рис.1

1) см. рис. 2
2) см. рис. 3
3) см. рис. 4 (прикреплено изображение)

Это кривые Гаусса.
Общий вид таких кривых см. рис.1

1) см. рис. 2
2) см. рис. 3 (прикреплено изображение)

Универсальная подстановка
tg(x/2)=t
sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
dx=2dt/(1+t^2)

= ∫ 2/(2+2t) *(2dt/(1+t^2))= интеграл от рац. дроби
Раскладываем на простейшие и находим коэффициенты А, M и N

=2* ∫Adt/(1+t)+ 2*∫(Mt+N)dt/(1+t^2)

=2Aln|1+t| + Mln|1+t^2| + 2N arctg t + C

Ответ выбран лучшим

y`=2*(1/x)`+3*(x^(3/4))`-2*(x^7)`-3*(sinx)`+2*(arccosx)`=

=2*(-1/x^2)+3*(3/4)*x^((3/4)-1) -2*7x^(6)-3*cosx+2*(-1/sqrt(1-x^2))=

=(-2/x^2)+ 9/(4x^(1/4))-14x^6 3cosx-2/sqrt(1-x^2).

Ответ выбран лучшим

Это кривые Гаусса.
Общий вид таких кривых см. рис.1

1) см. рис. 2
2) см. рис. 3 (прикреплено изображение)

Это кривые Гаусса.
Общий вид таких кривых см. рис.1

1) см. рис.2 ( обратите внимание на масштаб!)
2) см. рис.3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
a_(n)=a_(1)+(n-1)*d - формула n-го члена арифм. прогрессии
а_(25)=14+(25-1)*(-3)=14+24*(-3)= -58

2.
a_(1)=7
d=a_(2)-a_(1)=15-7=8
a_(32)=7+31*8=255
S_(n)=(a_(1)+a_(n))*n/2
S_(32)=(7+255)*32/2=4192

3.
a_(1)=6
d=6
a_(n)=6+6*(n-1)
a_(n) ≤ 185

6+6*(n-1) ≤ 185
6*(n-1) ≤ 179
n-1 ≤ 29,8
n ≤ 30,8

n=30

S_(30)=(6+180)*30/2=2790

4.
S_(n)=2340

(16+114)*n/2=2340 ⇒ n=36

a_(1)=16
a_(n)=144

144=16+d*(36-1)

d=128/35

5.
Решаем систему:
{(x-5)/(-2)=(z+4)/(-1)
{y-2=0
{2x-5y+4z+24=0

{x=2z+13
{y=2
{2*(2z+13)-5*2+4z+24=0 ⇒ z=-5
x=3
(3;2;-5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=(x^2/x)+(4/x)
y=x + (4/x)

y`=1 +4*(-1/x^2)

y`=0

x^2-4=0
x= ± 2

2 ∈ [1;3]

Расставляем знак производной:

[1] __-__ (2) __+__ [3]

х=2 - точка минимума.

y(2)=(2^2+4)/2=4 - наименьшее значение функции на отрезке [1;3]

Чтобы найти наибольшее значение, находим значения на концах отрезка и выбираем наибольшее:

y(1)=(1+4)/1=5 - наибольшее значение функции на отрезке [1;3]

y(3)=(3^2+4)/3=13/3

О т в е т.
4 - наименьшее значение функции на отрезке [1;3]

5 - наибольшее значение функции на отрезке [1;3]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению
M(X)=-1*0,4+0*0,3+1*0,2+2*0,1=0

D(X)=M(X^2) - (M(X))^2;

M(X^2)=(-1)^2*0,1+0^2*0,1+1^2*0,2+2^2*0,1=0,7

D(X)=0,7 - 0^2=0,7

σ(X)=sqrt(D(X))=sqrt(0,7)

Ответ выбран лучшим

Всего шаров 6+8=14
Вероятность вынуть красный шар по формуле классической вероятности
p_(1)=6/14

После этого в коробке осталось 13 шаров из них 5 красных
Вероятность вынуть красный шар по формуле классической вероятности
p_(2)=5/13

p=p_(1)*p_(2)=(6/14)*(5/13)=15/91

О т в е т. 15/91

Ответ выбран лучшим

6.
f(x)=sinx
Требуется найти значение функции в х=1^(0)=(π/180) рад
По формуле:
f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx

Откуда

f(x_(o)+ Δx) ≈ f(x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

x_(o)=0^(o)

Δx=(π/180)

f(1^(o)) ≈ f(0^(o)) + f`(0^(o))* (π/180)

Справа все вычисления для "хорошей " точки х=0^(o)

f(0) =sin0^(o)=0

f`(x) = (sinx)` = cosx

f`(0^(o))=cos0^(o)=1

f(1^(o)) ≈0+1*(π/180)=0,017444
О т в е т. 0,0174

8.
y-f(x_(o))= f`(x_(o))*(x - x_(o))

f(x)=tg2x
f(π/6)=tg(π/3)=sqrt(3)

f`(x)=(1/cos^22x)*(2x)1=2/cos^2x)

f`(π/6)=2/cos^2(π/3)=8

y - sqrt(3)=8*(x-(π/6))

y=8x-(4π/3)+sqrt(3) - уравнение касательной

10?

Не пишите по три задания в одном вопросе.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть искомый вектор vector{x}=(p;q;m)
Так как по условию вектор vector{x} ортогонален вектору vector{a}, то скалярное произведение векторов равно 0
Уравнение:
p+q*0+m*1=0
Так как по условию вектор vector{x} ортогонален вектору vector{b}, то скалярное произведение векторов равно 0
Уравнение:
p*0+q*2-m=0

пр_(vector{c})vector(x}=(vector(x}*vector(c})|vector(c}|
По условию
пр_(vector{c})vector(x}=1

Уравнение:
(p+2q+2m)/3=1

Из системы уравнений:
{p+q*0+m*1=0
{p*0+q*2-m=0
{{p+2q+2m)/3=1

m=3/2
q=3/4
p=-m=-3/2

а)
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=(x-5)`*e^(x)+(x-5)*e^(x)=
=1*e^(x)+(x-5)*e^(x)=
=e^(x)*(1+x-5)=
=e^(x)*(x-4)

y`=0

x-4=0
x=4
Знак производной
__-__ (4) ____ +

y`< 0 на (- ∞ ; -4), функция убывает
y` >0 на (-4; + ∞), функция возрастает

х=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y(4)=-e^(4)

б)
Область определения (- ∞ ;0)U(0;+ ∞ )
y`=2*(((x-1)/x)^2)`=4*((x-1)/x)*((x-1)/x)`=

=(4(x-1)/x)*((1*x-1*(x-1))/x^2)=4(x-1)/x^3

y`=0

x-1=0

x=1

Знак производной:

__+__ (0) ___-__ (1) ___+__

y`< 0 на (0 ; 1); функция убывает
y` >0 на (- ∞;0) и на (1;+ ∞); функция возрастает

х=0 - не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода

Прямая х=0 - вертикальная асимптота
lim_(x→2) f(x)=+ ∞

х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Прямая y=2 - горизонтальная асимптота,
lim_(x→ ∞)f(x)=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Фигура состоит из шести кубиков, у каждого из которых 5 граней участвуют в образовании поверхности

6*5*1=30 кв. ед

Ответ выбран лучшим

а)
ОДЗ:
{x+5 >0 ⇒ x > -5;
{log_(1/3)(x+5) >0 ⇒ log_(1/3)(x+5) >log_(1/3)1
(1/3)<1, логарифмическая функция убывающая, поэтому x+5 < 1
x < -4

ОДЗ (-5;-4)

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла.

1) sin2x-2cosx=0 ⇒ 2sinx*cosx-2cosx=0

2cosx*(sinx-1)=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z
ИЛИ
sinx-1=0 ⇒ sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

ОДЗ принадлежит один корень: x=(π/2)-2π=-3π/2

2) log_(2) (log_(1/3)(x+5))=0 ⇒

log_(1/3)(x+5)=2^(0)

log_(1/3)(x+5)=1

x+5=(1/3)^(1)

x=(1/3)-5

x=-14/3

О т в е т. -3π/2; -14/3

б)
Так как (-3π/2)=-9π/6 < -28/6=-14/3
Указанному промежутку принадлежит один корень:
(-14/3)

Ответ выбран лучшим

Область определения функции (- ∞ ;+ ∞ )
y`=2,7*e^(3x^2-x^3-4)*(3x^2-x^3-4)`
y`=2,7*e^(3x^2-x^3-4)*(6x-3x^2)

y`=0
e^(3x^2-x^3-4) > 0 при любом х

6x-3x^2=0
3x*(2-x)=0

x=0 или х=2

2∈ [1;3]
Расставляем знак производной:

[1]_+__ (2) __-__ [3]

x=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(2)=2,7*e^(3*2^2-2^3-4)=2,7*e^(0)=2,7

О т в е т. 2,7 - наибольшее значение функции на [1;3]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: (x+1)^2>0 ⇒ |x+1| >0 ⇒ x ≠ -1

Так как
log_(3)(x+1)^2=2log_(3)|x+1|

уравнение принимает вид:

2log_(3)|x+1|+log_(3)|x+1|=6

3log_(3)|x+1|=6

log_(3)|x+1|=2

|x+1|=3^2

|x+1|=9

x+1=-9 или x+1=9

x=-10 или х=8

О т в е т. -10; 8

Ответ выбран лучшим

Пусть k - коэффициент пропорциональности
1:2:8 означает,что
масса конфет первого сорта k, второго 2k, третьего 3k

По условию общая масса конфет k+2k+8k=11k

1,2k - масса конфет первого сорта после увеличения
1,06*2k=2,12k - масса конфет второго сорта после увеличения
8х - масса конфет третьего сорта после изменений:
Тогда после изменений масса будет равна
1,2k+2∗1,06k+8x=11k
8х=7,68k

8k - 100%
7,68k - p %

p=96%

100-96=4%

Массу конфет третьего сорта нужно уменьшить на 4%

Ответ: на 4%

Ответ выбран лучшим

По определению периодической функции:
f(x+T)=f(x)
для любого х из области определения.

Так как по условию
T=5

f(20)=f(5*4+0)=f(0)=3-|1-0|=3-1=2
f(-12)=f(5*(-3)+3)=f(3)=3-|1-3|=3-|-2|=3-2=1

то
5f(20)–3f(–12)=5*2-3*1=10-3=7

О т в е т. 7

График этой периодической функции на рисунке: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю их векторного произведения.

vector{a}×vector{b}=(3vector{p}+vector{q})×(vector{p}-3vector{q})=

= применяем законы векторной [b]алгебры[/b]=

=3vector{p}×(vector{p}+vector{q})×vector{p} -9*vector{p}×vector{q}-3vector{q}×vector{q}

Так как

vector{p}×(vector{p}=0
vector{q})×vector{p} = - vector{p}×vector{q}
vector{q}×vector{q}=0

vector{a}×vector{b}=10vector{p}×vector{q}= 10*|vector{p}|*|vector{q}|*sin ∠(vector{p},vector{q})=10*7*2*sin( π/4)=70sqrt(2)

S( параллелограмма)=70sqrt(20)

= ∫ ((x^2/x) - (x^(1/4))/x + (1/x))dx=

= ∫ xdx - ∫ x^(-3/4)dx + ∫ dx/x = ( x^2/2)- (x^(-3/4)+1)/((-3/4)+1)+ ln|x| + C

=( x^2/2)- 4*x^(1/4)+ ln|x| + C

Ответ выбран лучшим

9.
Пусть М - середина ВС, тогда
x_(M)=(x_(B)+x_(C))/2=(5-3)/2=1
y_(M)=(y_(B)+y_(C))/2=(7-2)/2=5/2

vector{AM}=(1-(-2);(5/2)-3)=(3;-1/2)
|vector{AM}|=sqrt(3^2+(-1/2)^2)=sqrt(325)/2

Уравнение прямой ВС:
(x-5)/(-3-5)=(y-7)/(-2-7);
(x-5)/(-8)=(y-7)/(-9)
9(x-5)=8(y-7);
9x-8y+11=0

d(A, (BC))=|9*(-2)-8*3+11|/sqrt(9^2+(-8)^2)=31/sqrt(145)=sqrt(31/5)

АН=d=sqrt(31/5)

Из прямоугольного треугольника MAH
cos ∠ MAH=AH/AM=sqrt(31/5):sqrt(325)/2=2sqrt(31)/5sqrt(65)
∠ MAH=arccos(2sqrt(31)/5sqrt(65))

8. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть f(x)=x^5
Требуется найти значение функции в х=0,93

f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx

f(x_(o)+ Δx) ≈ f(x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

x_(o)=1
0,93=1-0,07
Δx=-0,07

f(0,97) ≈ f(1) + f`(1)* (-0,07)

Справа все вычисления для "хорошей " точки х=1

f(1) = 1^5=1
f`(x) = (x^(5))` =5x^4

f`(1)=5*1^4=5

f(,93) ≈ f(1) + f`(1)* (-0,07)=1+5(-0,07)=1-0,35=0,65
О т в е т. 0,65

Ответ выбран лучшим

1.
1=0,6^(0)

0,6^(x+6) < 0,6^(0)
Показательная функция с основанием 0< 0,6 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
x+6 > 0
x > -6
О т в е т. (-6;+ ∞ )

3.

(3/4) ^(6x+10-x^2) < (3/4)^3

Показательная функция с основанием 0< 3/4 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
6x+10-x^2 > 3
x^2-6x-7 < 0
D=36+28=64
x1=(6-8)/2=-1 или х_(2)=(6+8)/2=7
О т в е т. (-1;7)

5.

cos(π/4)=1/sqrt(2)=(1/2)^(1/2)

(1/2)^(1-cos) > (1/2)^(1/2)

Показательная функция с основанием 0< 1/2 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

1-cosx < 1/2

cosx> 1/2

(-π/3)+2πk < x < (π/3)+2πk, k ∈ Z

О т в е т. ((-π/3)+2πk ; (π/3)+2πk) k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p ≥ 0 ⇒ 2cos6φ ≥ 0 ⇒ cos6φ ≥ 0 ⇒

(-π/2)+2πk ≤ 6 φ ≤ (π/2)+2πk, k ∈ Z

(-π/12)+(π/3)*k ≤ φ ≤ (π/12)+(π/3)*k, k ∈ Z

Первый лепесток в интервале (-π/12;π/12)

При φ =-π/12 p=0
При φ =0 p=2cos0=2
При φ =-π/12 p=0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Находим две точки, принадлежащие и той и другой плоскости одновременно, т.е принадлежащие именно линии пересечения

Пусть первая координата этой точки
х=0
{-y - z-1=0
{2y+z-2=0
Cкладываем
y-3=0
y=3
z=-2y+2=-4

А(0;3;-4)

Пусть вторая координата у=0
{2х-z-1=0
{x+z-2=0
Cкладываем
3х=3
х=1
z=1
B(1;0;1)

Составляем уравнение прямой проходящей через две точки А(0;3;-4) и В(1;0;1)

(x-0)/(1-0)=(y-3)/(0-3)=(z+4)/(1+4)

х/1=(y-3)/(-3)=(z+4)/5 - каноническое уравнение

Обозначим ( т. е вводим параметер t)
х/1=(y-3)/(-3)=(z+4)/5= t

x=t
y-3=3t ⇒ y=3t+3
z+4=5t ⇒z=5t-4
- параметрическое

2. Так же
Находим две точки, принадлежащие и той и другой плоскости одновременно, т.е принадлежащие именно линии пересечения

Пусть третья координата этой точки
z=0
{-x+y+1=0
{y+2=0 ⇒ y=-2
x=y+1=-2+1=-1
B(-1;-2;0)

Пусть вторая координата у=0
{-х-2z+1=0
{4z+2=0

z=-1/2
x=-2
C(-2;0;-1/2)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через три точки
А, В и С

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Построила график каждой функции
y_(1)=20e^(-0,1t) - красного цвета
y_(2)=20*(1-e^(-0,1t)) - синего цвета

Наибольшее расстояние на [0;...) hравно 20 в точке t=0
В точке А расстояние равно 0

Вторая координата точки А равна 10 (
( 0+20)/2)=10

10=20e^(-0,1t) ⇒ e^(-0,1t)=0,5 ⇒ -0,1t=ln0,5 ⇒ t_(A)=ln(0,5)/-0,1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Значит, область определения находится из неравенства.

(|x-3|-2)/(x+1) ≥ 0

Решаем методом интервалов:
|x-3|-2=0
x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1

|x-3|-2=0 ⇒ |x-3|=2 ⇒ x-3=-2 или х=-3=2
x=1 или х=5

__-__ (-1) _+___[1] __-__ [5] __+_

О т в е т. (-1;1]U[5;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. и 2 . см. приложение.
3.
область определения (- ∞ ;0) U(0;+ ∞ )
y`=(x^2/2)`+8*(x^(-2))`=(2x/2)+8*(-2)x^(-3)=x-(16/x^3)
y`=0
x^4-16=0
x^2=4
x= ± 2

Расставляем знак производной
__+__ (-2) _-___ (0) ___-__ (2) __+__

x=-2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на + (прикреплено изображение)

Введем систему координат так как показано на рисунке.
Δ АВС - прямоугольный равнобедренный

A(0;0;0); B(0;8sqrt(2);0); C(4sqrt(2);4sqrt(2);0);
A_(1)(0;0;6); B_(1)(0;8sqrt(2);6); C_(1)(4sqrt(2);4sqrt(2);6)

vector{AC_(1)}=(4sqrt(2);4sqrt(2);6) ⇒ |vector{AC_(1)}|=sqrt(132)

vector{CB_(1)}=(-4sqrt(2);4sqrt(2);6)⇒ |vector{CB_(1)}|=sqrt(132)

cos ∠( vector{AC_(1)},vector{CB_(1)})=(vector{AC_(1)}*vector{CB_(1)})/(|vector{AC_(1)}|*|vector{CB_(1)}|)=

=(-32+32+36)/132=3/11

∠( vector{AC_(1)},vector{CB_(1)})=arccos(3/11)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как пирамида правильная, то вершина М проектируется в точку O- центр вписанной и описанной окружностей треугольника АВС.

AB=BC=AC=12

Cередины рёбер AC и BC обозначим F и К

АК - высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника АВС

АК=12*sin60^(o)=6sqrt(3)

Пусть MA=MB=MC=x

MK - высота медиана и биссектриса равнобедренного треугольника МВС.

MK^2= МВ^2-BK^2=x^2-6^2=x^2-36

Из прямоугольного треугольника АМК
MK^2=AK^2-AM^2=(6sqrt(3))^2-x^2

Уравнение
x^2-36=(6sqrt(3))^2-x^2
2x^2=144
x^2=72

MK^2=72-36=36
MK=6

Аналогично, MF=6

MK=MF=6
FK- средняя линия треугоьника АВС
АК=(1/2)АС=6

Треугольник MFK - равносторонний.

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания а и высотой h

Введем систему координат так как показано на рисунке

При
а=8sqrt(3)
h=6

A(0;0;0); B(0;8sqrt(3);0); C(12;4sqrt(3);0); D(4;4sqrt(3);6)
A_(1)- середина AD
A_(1)(2;2sqrt(3);3)
C_(1)- середина CD
C_(1)(8;4sqrt(3);3)
A_(2)- середина C_(1)D
A_(2)(6;4sqrt(3);4,5)

Через точку A_(1) проводим А_(1)А_(2) || AC_(1)

Плоскость А_(1)ВА_(2) || AC_(1) и проходит через BA_(1).
Значит расстояние между прямыми АС_(1) и ВА_(1) равно расстоянию от любой точки прямой АС_(1) до плоскости А_(1)ВА_(2)

Составляем уравнение плоскости А_(1)ВА_(2) как плоскости, проходящей через три точки
B(0;8sqrt(3);0)
A_(1)(2;2sqrt(3);3)
A_(2)(6;4sqrt(3);4,5)

Выбираем произвольную точку M (x;y;z)
Векторы vector{A_(1)M}=(x - 2; y-2sqrt(3);z); vector{A_(1)B}=( - 2; 6sqrt(3);-3); vector{A_(1)A_(2)}=(4; 4sqrt(3);9/2) компланарны.
Составляем определитель третьего порядка из координат данных векторов и приравниваем к 0 ( см. приложение 2)
Уравнение плоскости
15sqrt(x-2)-9*(y-2sqrt(3)-28*(x-3)=0
или
15x-3sqrt(3)y-28z+72=0

Расстояние от точки А (0;0;0) до плоскости А_(1)ВА_(2)
d= |15*0-3sqrt(3)*0-28*0+72|/sqrt(15^2+(-3sqrt(3)^3)+(-28)^2)=36/sqrt(259)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8.
y`=7^(x^2-2x+3)*ln7*(x^2-2x+3)`
y`=7^(x^2-2x+3)*ln7*(2x-2)
y`=0
2x-2=0
x=1
Знак производной:
__-_ (1) _+__

x=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(1)=7^(1-2+3)=7^2=49

9.
y`=(60-x)`*e^(x+60)+(60-x)*(e^(x+60))`=

= -1*e^(x+60)+(60-x)*e^(x+60)=e^(x+60)*(-1+60-x)=

=e^(x+60)*(59-x)

y`=0
59-x=0
x=59 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

10.
y`=1 - (36)/x^2

y`=0
x^2=36
x= ± 6

6 ∈ [1;9]

[1] __-__ (6) __+__[9]

x=6 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(6)=6+(36/6)=12

О т в е т. 12 - наименьшее значение функции на [1;9]

20a) О т в е т. 0,1
20б) lim_(x→1)lny=0 ⇒ lim_(x→1)y=e^(0)=1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле:

tg^2x+1=1/cos^2x
значит, 1/(tg^2x+1)=cos^2x

По формулам приведения:

sin(3π+2x)=-sin2x

Уравнение принимает вид:
2сos^2x=- 3sin2x

2cos^2x+6sinxcosx=0

2cosx*(cosx+3sinx)=0

cosx=0 ⇒ x = (π/2) + πk, k ∈ Z

cosx+3sinx=0 ⇒ tgx=-1/3 ⇒ x= arctg(-1/3)+ πn , n ∈ Z ⇒

x=-arctg(1/3)+ πn , n ∈ Z

О т в е т. а) (π/2) + πk, -arctg(1/3)+ πn , k, n ∈ Z

б)(-3π/2); (-π/2); (π/2)

- arctg(1/3) -π ; -arctg (1/3)

Пять корней, принадлежащих указанному отрезку

Пусть f(x)=sqrt(x^2+5)
Требуется найти значение функции в х=1,97

f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o)) ≈ f`(x_(o))* Δx

f(x_(o)+ Δx) ≈ f(x_(o)) + f`(x_(o))* Δx

x_(o)=2
1,97=2-0,03
Δx=-0,03

f(2-0,03) ≈ f(2) + f`(2)* (-0,03)
Вычисления в "неудобной" точке 1,97 сводятся к вычислению значений функции и ее производной в "хорошей" точке х=2

f(2) = sqrt(2^2+5) = sqrt(9) = 3

f`(x) = (sqrt(x^2+5))` = (1/2sqrt(x^2+5)) * (x^2+5)`=

=(2x)/(2sqrt(x^2+5))=x/sqrt(x^2+5)

f`(2)=2/sqrt(2^2+5)=2/3

f(1,97) ≈ f(2) + f`(2)* (-0,03)=3+(2/3)*(-0,03)=3-0,02=2,98

О т в е т. 2,98

По определению ( см. приложение)
а)5^2+3*5*1+1^2=41 - верно
б)1^2+3*1*5+5^2=41 - верно

Аналогично,
если a^2+3*ab+b^2=41 - верно, то
b^2+3*b*a+a^2=41 - тоже верно (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{ x^2-16 > 0 ⇒ x < - 4 или х > 4
{x+2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2

____ [ -2] \\\\\\\ (-4) _______(4)/////////

О т в е т. [-2;-4) U (4;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Имеем неопределенность 0/0
Применяем первый замечательный предел

lim_(x→0)(sin27x)/(27x)=1

Преобразуем так:

lim_(x→0)((sin27x)/(27x)) * (27x)/(5x^2)=

=1 * lim_(x→0)(27/5x)=1* ∞ = ∞

Имеем неопределенность ( ∞ - ∞ )

Умножаем и делим на (sqrt(x+1)-sqrt(x))

В числителе (sqrt(x+1)-sqrt(x))*(sqrt(x+1)+sqrt(x))=

=(sqrt(x+1))^2-(sqrt(x))^2=(x+1-x)=1

lim_(x→ ∞ )x*(sqrt(x+1)-sqrt(x))=lim_(x→ ∞ )x/(sqrt(x+1)+sqrt(x))=

(неопределенность ∞ / ∞) Делим на х и числитель и знаменатель

= =lim_(x→ ∞ )1/(sqrt((x+1)/x^2)+sqrt(x/x^2))=(1/ (0+0))= ∞

Ответ выбран лучшим

84 000 : 100 * 15 = 12 600 руб составляют 15%

84 000 - 12 600 = 71 400 руб. - стоимость после первого снижения

71400 : 100 * 8 = 5712 руб составляют 8%

71 400 - 5 712 = - стоимость в 2017 году

Ответ выбран лучшим

а) 6x^2+y^2+6z^2=18
Делим на 18
(x^2/3)+ (y^2/18) + (z^2/3)=1 - эллипсоид.
а=sqrt(3)
b=sqrt(18)=3sqrt(2)
c=sqrt(3)
cм. рис.1

б) z=x^2+(y^2/3) - эллиптический параболоид.

см. рис. 2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначим совпадающую оценку по разным показателям k.
Из условия:
если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку k, то и рейтинг равен k.

Подставим значения в формулу:

k=(6k+2k+5k+k)/A
A=14

О т в е т. 14

Ответ:10.

AA_(1)B_(1)B- квадрат, диагональ А_(1)В является биссектрисой угла В, значит ∠ A_(1)BB_(1)=45^(o)

CC_(1)||BB_(1)
Значит, угол между прямыми А_(1)В и СС_(1) тоже 45^(o)

(прикреплено изображение)

y`=dy/dx
-e^x(1+e^y)dx= e^y(1+e^x)dy - уравнение с разделяющимися переменными
-e^x dx/(1+e^x)= e^ydy/(1+e^y)
Интегрируем:
- ∫ e^x dx/(1+e^x)= ∫ e^ydy/(1+e^y)

- ln|1+e^(x)|+lnC=ln|1+e^y|

C/(1+e^x)=1+e^y;

1)
График
у= x^2 – (а+2)х+1 - парабола, ветви вверх, вершина
в точке x=(a+2)/2

Сужение f на X должно быть строго возрастающей функцией.
Значит вершина параболы, должна быть левее 0
a+2 ≤ 0
a ≤ -2

2)
График
у= - x^2 +4x + 3 - парабола, ветви вниз, вершина
в точке x=2

Инъективно, если
x=2 не является внутренней точкой [а – 4; a^2 – 3а]

2 < a-4 < a^2-3a или a-4 < a^2-3a < 2

1)
{2 < a-4 ⇒ a>6
{a-4 < a^2-3a ⇒ a^2-4a+4 > 0 - верно при a ≠ 2

2)
{a-4 < a^2-3a ⇒ a^2-4a+4 > 0 - верно при a ≠ 2
{a^2-3a < 2 ⇒ 1 < a < 2

О т в е т. (1;2) U (6;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1
S( Δ ABC)=(1/2)|vector{AB} × vector{AС} |

C другой стороны
S( Δ ABC)=(1/2)AC*BD
BD=2S( Δ ABC)/AC

vector{AB} =(-1;2;-4)
vector{AС}=(5;4;-8)

Векторное произведение - определитель третьего порядка(см приложение)
|vector{AB} × vector{AС} |=sqrt(0^2+(-28)^2+(-14)^2)=14sqrt(5)
AC=| vector{AС}|=sqrt(5^2+4^2+(-8)^2)=sqrt(105)

BD=14sqrt(5)/sqrt(105)=14*sqrt(21)/21=(2/3)sqrt(21)

3.
vector{a} =( α ;5;-1)
vector{b}=(3;1; β)

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Составляем пропорцию
α : 3 = 5:1 = (-1): β
α : 3 = 5:1
[b]α=15[/b]

5:1 = (-1): β
[b]β =-1/5[/b]

4.
vector{b}+vector{c}=(2;-3;6)
|vector{b}+vector{c}|=sqrt(2^2+(-3)^2+6^2)=sqrt(49)=7

пр_(vector{b}+vector{c}) vector{a}=vector{a}*(vector{b}+vector{c})/|vector{b}+vector{c}|=

=(1*2+(-3)*(-3)+4*6)/7=35/7=5

6. (y^2+12y+36)=8x-40
(y+6)^2=8(x-5)

(y`)^2=8(x`) - каноническое уравнение параболы.
имеющую осью симметрии Ох, ветви направлены по направлению оси Ох

значит
(y+6)^2=8(x-5) -парабола,.
имеющую осью симметрии || оси Ох, ветви направлены по направлению оси Ох
Точка O(0;0) перенесена в точку (5;-6)
cм. рис.

y=- (x+1)/(x-1)

y=-(x-1+2)/(x-1)

y= -1 -(2/(x-1)) гипербола

см. рис.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания а по абсолютной величине меньше заданного положительного числа ε

P(|X-a| < ε)

Так как
P(|X-a| < ε) =2Ф(ε/σ)

По условию
σ=1,6
a=100
ε=2

Ф(ε/σ)=Ф(2/1,6))=Ф(1,25)=0,3944 ( см. приложение)

2*Ф(ε/σ)=2*0,3944=0,7888 ≈ 0,79

0,79=79%

О т в е т. [b] ≈ 79% [/b] (прикреплено изображение)

F(X)= ∫^(x) _(- ∞ )f(x)dx=∫^(0) _(- ∞ )0dx + ∫^(x) _(0)cosxdx=

=0+ (sinx)|^(x)_(0)=sinx

F(π/3)=sin(π/3)=sqrt(3)/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это нормальный закон распределения.
M(X)=5
σ(X)=3
D(X)=σ^(2)(X)=9

P(6 < X < 8) =Ф((8-5)/3)- Ф((6-5)/3)=Ф(1)-Ф(0,33)≈

≈ ( cм. таблицу) 0,3413-0,1293 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) Координаты точки М
x_(M)=(x_(B)+x_(C))/2= (8+6)/2=7
y_(M)=(y_(B)+y_(C))/2= (2+9)/2=11/2
z_(M)=(z_(B)+z_(C))/2= (3-56)/2=-1

vector{AB}=(4;4;-2)
|vector{AB}|=sqrt(4^2+4^2+(-2)^2)=6

vector{AM}=(3;15/2;6)
|vector{AM}|=sqrt(3^2+(15/2)^2+6^2)=sqrt(445)/2

cos(vector{AB},vector{AM})=vector{AB}*vector{AM}/(|vector{AB}|*|vector{AM}|)=

=(4*3+4*(15/2)+(-2)*6)/(6*sqrt(445)/2)

б)S(грани АВС)=(1/2)BC*AK
AK=2S(грани АВС)|BC
vector(ВC}=(2;-7;8}
|vector(ВC}|=sqrt(2^2+(-7)^2+8^2)=sqrt(117)

S(грани АВС)=(1/2)|vector{AB}×vector{AC}|
vector(AC}=(2;11;-10}
vector{AB}×vector{AC}=-18vector{i}+36vector{j}+3vector{k}
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
(x/y)+9*(y/x)-6=(x^2+9y^2-6xy)/(xy) =(x-3y)^2/(xy)

1/xy при x=sqrt(5); y=sqrt(0,2) равно 1.
2
с_(1)=4*1-(3/1)=1
с_(2)=4*2+(3/2)=9,5
с_(3)=4*3-(3/1)=11
с_(4)=4*4+(3/24=19/4
О т в е т. 1) 6 целых (1/3)

3.
По формуле
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)
4.
По формуле
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(14)=-7+1,1*(14-1)=7,3

По формуле
S_(n)=(a_(1)+a_(n))*n/2
S_(14)=(-7+7,3)*14/2=0,3*7=2,1

5.
c_(2)=c_(1)-1=-3-1=-4
c_(3)=c_(2)-1=-4-1=-5
c_(4)=c_(3)-1=-5-1=-6
c_(5)=c_(4)-1=-6-1=-7

6.

a_(1)=-8
a_(2)=-5
d=a_(2)-a_(1)=-5-(-8)=3

По формуле
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(81)=a_(1)+d*(81-1)=-8+3*80=240-8=232

7.

a_(2)=a_(1)-0,3=2,6-0,3=2,3
a_(3)=a_(2)-0,3=2,3-0,3=2
...
a_(17)=...

S_(17)=(a_(1)+a_(17))*17/2

8.
a_(1)=-55
d=-46-(-55)=9
a_(7)=-55+9*7=8
S_(7)=(-55+8)*7/2=-329/2

9.
a_(1)=1,4+0,3=1,7
a_(17)=1,4+0,3*17=

S_(17)=(a_(1)+a_(17))*17/2

10.
d=12-10=2
x=6+2=8
О т в е т. 8

Выделяем полные квадраты:
(x^2+2x)+(y^2-4y)+(4z^2+4z)=0
Прибавим в первую скобку 1 и справа 1, во вторую скобку 4 и справа 4, в третью скобку (1/4), но с коэффициентом перед скобкой 4 и справа 4*(1/4)
(x^2+2x+1)+(y^2-4y+4)+4*(z^2+z+(1/4))=1+4+4*(1/4)
(x+1)^2+(y-2)^2+4(z+(1/2))^2=6

Делим на 6
((x+1)^2/6) + ((y-2)^2/6)+(z+(1/2))^2/(3/2) =0
Это эллипсоид.
a=sqrt(6)
b=sqrt(6)
c=sqrt(3/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[x]+{x}=x ⇒ [x] =x - {x}

20{x}-18*(x - {x})=0

38{x}=18x
19{x}=9x

y=19{x} отрезки параллельных прямых
синего цвета

y=9x - прямая красного цвета.
Из рисунка видно, что пересечение графиков в точке х=0 и один раз на (1;2) Подбором проверяем, что это

x=1,9
{1,9}=0,9

19*0,9=17,1
9*1,9=17,1

О т в е т. 0; 1,9 (прикреплено изображение)

У прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1,2,3
две грани прямоугольники 1×2 c площадью 2

две грани прямоугольники 1×3 c площадью 3

две грани прямоугольники 2×3 c площадью 6

Наибольшая площадь проекции 6

y`(x)= ∫ y``(x)dx= ∫ (-x - cosx) dx = (-x^2/2) - sinx + C_(1)

y(x)= ∫ y`(x) dx = ∫ ( (-x^2/2) - sinx + C_(1))dx=

=(-x^3/6)+cosx +C_(1)x+C_(2)

О т в е т. у(х)=(-x^3/6)+cosx +C_(1)x+C_(2)

λ =3

P(0,13 ≤ X ≤ 0,7)= e^(-3*0,13)-e^(-3*0,7)=e^(-0,39)-e^(-2,1)≈0,677-0,122 = 0,555 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
x^2=u
2xdx=du
xdx=(1/2)du

= (1/2)*∫ 6^(u)du= (1/2)*(6^(u)/ln6) + C=

=(1/(2ln6))*6^(x^2)+ C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=x^(1/ln(shx))
логарифмируем
lny=(1/ln(shx))*lnx

lim_(x→ +0)(lny)=lim_(x→ +0)lnx/ln(shx)= ∞ / ∞ =

применяем правило лопиталя:

lim_(x→ +0)(lnx)`/(ln(shx))`= lim_(x→ +0) (1/x)/(1/shx)*(shx)`=

=lim_(x→ +0) (shx)/(x*chx)=

=lim_(x→ +0)1/(chx) * lim_(x→ +0) (shx)/(x*)=

=1* lim_(x→ +0) (shx)/(x)= (0/0) применяем правило Лопиталя

=lim_(x→ +0) (shx)`/(x)`=

=lim_(x→ +0) (chx)/1=1

lim_(x→ +0)(lny)=1 ⇒

[b] lim_(x→ +0)(y)=e^(1)=e[/b]

О т в е т. e

Ответ выбран лучшим

cos( ∠ MA, MB)=cos ∠ (vector{MA},vector{MB})

Находим координаты точек А и В.
Применяем формулу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении
CA:АD=1:2
λ =1/2
x_(A)=(x_(C)+λ x_(D))/(1+ λ )

y_(A)=(y_(C)+λ y_(D))/(1+ λ )

СB:BD=2:1
λ =2

x_(B)=(x_(C)+λ x_(D))/(1+ λ )

y_(B)=(y_(C)+λ y_(D))/(1+ λ )

Находим координаты векторов
vector(MA} и vector {MB}
Находим их длины
Находим скалярное произведение vector(MA} * vector {MB}
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=F`(x) ( см. приложение.

М (Х) = ∫ ^(+ ∞)_(- ∞ )xf(x)dx= ∫ ^(0)_(- ∞ )x*0dx+ ∫ ^(2)_(0 )x*(2x/4)dx+ ∫ ^(+ ∞)_(2)x*0dx=

= 0+ ∫ ^(2)_(0 )(x^2dx/2) + 0=(x^3/6)|^(2)_(0)=8/6=4/3

D(X)= ∫ ^(+ ∞)_(- ∞ )(x - M(X))^2*f(x)dx = ∫ ^(0)_(- ∞ )(x-(3/4))^2*0dx+ ∫ ^(2)_(0 )(x-(3/4))^2*(2x/4)dx+ ∫ ^(+ ∞)_(2)(x-(3/4))^2*0dx=

=0 +∫ ^(2)_(0 )((x^3/2)-(3/4)x^2+(9/32)x)dx + 0=

=((x^4/8)-(3/4)(x^3/3)+(9x^2/64))|^2_(0)=

=2 - 2 + 9/16=9/16

P(0,5 ≤ X ≤ 1)= F(1) - F (0,5)= (1/4)- ((0,5)^2/4)= (1/4)-(1/16)=3/16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
u=arcctgx
du=-dx/(1+x^2)

= - ∫ u^(-1/3) du= - u^((-1/3)+1)/((-1/3)+1) + C= (- 3/2)u^(2/3) + C=

=(-3/2) * ∛(arcctg^2x) + C

Ответ выбран лучшим

Всего в урне 1+5 =6 шаров.
Вероятность вынуть белый шар равна
p_(1)=m_(1)/n_(1)=1/6

Теперь в урне 5 шаров: 0 белых и 5 черных
Вероятность вынуть белый шар
p_(2)=m_(2)/n_(2)=0/5=0

p=p_(1)*p_(2)=(1/6)*0=0

Это верно, так как событие вынуть два раза белый шар, если он там один, невозможное и его вероятность равна 0

По Вашему решению в числителе должно быть

С^(2)_(1)/C^(2)_(6)

Что невозможно:
из 1-элементного множества белых шаров взять два

Ответ выбран лучшим

Дано:
АВСD - параллелограмм,
АК - биссектриса ∠ А;
DK - биссектриса ∠ D
K ∈ BC
Найти ВС

Решение.
АВСD - параллелограмм, значит AB=CD=36

∠ВАК=∠КAD, так как АК - биссектриса ∠ А;
∠KAD=∠BKA - внутренние накрест лежащие углы
⇒
∠ВАК=∠BKA

Δ BAK - равнобедренный
АВ=ВК=36

∠СDK=∠ADK, так как АD - биссектриса ∠ D;
∠CKD=∠ADK,- внутренние накрест лежащие углы
⇒
∠СDK=∠CKD

Δ CDK - равнобедренный
DC=КC=36

BC=ВК+КС=36+36=72
(прикреплено изображение)

Число a= 34.
Тогда
1) a < 34 - неверное утверждение
2) а < 35 - верное,
так как 34 < 35

∫ du/u=ln|u|+C

u=(sinx+4)
du=(sinx+4)`dx=cosxdx

О т в е т. = ln|sinx+4| + C

Ответ выбран лучшим

=∫ x^((8/11)-2)dx=∫ x^(-14/11)dx=x^((-14/11)+1)/((-14/11)+1) + C=

=x^(-3/11)/(-3/11) + C = -11/(3x^(3/11)) + C

Ответ выбран лучшим

log_(2)2=1
log_(25)5=1/2
log_(0,25)16=log_(1/4)16=-2
log_92)6-log_(2)1,5=log_(2)6/1,5=log_(2)4=2
log_(2)26-log_(2)3,25=log_(2)26/3,25=log_(2)8=3

log_(5)144/log_(5)12=log_(12)144=2
log_(6)49/log_(6)7=log_(7)49=2
log_(3)216/log_(3)6=log_(6)216=3
log_(2)1000/log_(2)10=log_(10)1000=3
log_(3)8/log_(9)8=log_(3)8*log_(8)9=log_(3)9=2
log_(4)9/log_(16)9=log_(4)9*log_(9)16=log_(4)16=2

(прикреплено изображение)

log_(a)x-log_(a)y=log_(a)(x/y)
x>0; y>0; a>0; a ≠ 1

log_(2)9-log_(2)2,25=log_(2)9/2,25=log_(2)4=2
log_(4)24-log_(2)1,5=log_(4)24/1,5=log_(4)16=2
log_(8)129-log_(8)0,25=log_(8)128/0,25=log_(8)512=3

log_(2)8+log_(0,25)0,5=3+(1/2)=3,5
log_(8)512+log_(0,05)400=3-2=1

log_(2,5)2-log_(2,5)5=log_(2,5)2/5=log_(5/2)(2/5)=-1
log_(0,44)25-log_(0,44)11=log_(0,44)25/11=log_(11/25)25/11=-1
log_(0,65)20-log_(0,65)13=log_(0,65)20/13=log_(13/20)(20/13)=-1
log_(8,5)2-log_(8,5)17=log_(8,5)2/17=log_(17/2)(2/17)=-1

4.
AA_(1)=3
BB_(1)=15
CC_(1)=18

DD_(1)=?

OO1- средняя линия трапеции АА_(1)С_(1)С
ОО_(1)=(3+18)/2=21/2

OO1- средняя линия трапеции ВВ_(1)D_(1)D

(BB_(1)+DD_(1))/2=OO_(1)

(15+DD_(1))/2=21/2
DD_(1)=6

( cм. рис.1)

5.
АС=sqrt(5^2+3^2)=sqrt(34)
(cм. рис. 2)

6.
AB=BC=AC=sqrt(20)
AD=sqrt(20)*sqrt(3)/2=sqrt(15)
Из прямоугольного треугольника КАD:
AK^2=KD^2-AD^2=64-15=49
AK=7

7. О т в е т. 1
MA=MB=MC
Равные наклонные имеют равные проекции
OA=OB=OC
O- центр описанной окружности.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Можно решить задачу геометрически.
(см. рисунок)

Аналитическое решение:
Составим уравнение прямой АВ:
y=kx+b
Подставим координаты точки А
4=k+b
Подставим координаты точки В
1=2k+b
Вычитаем из второго уравнения первое:
k=-3
тогда
b=1-2k=1+6=7
[b]y=-3x+7[/b]

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

у=(1/3)х + m - Уравнения прямых перпендикулярных АВ.

Подставим координаты точки А
4=(1/3)+m
m=11/3
y=(1/3)x+(11/3)
[b]x-3y+11=0[/b] - уравнение прямой MD, проходящей через точку A

Подставим координаты точки В
1=(1/3)*2+m
m=1/3
y=(1/3)x+(1/3)
[b]x-3y+1=0[/b] - уравнение прямойNC, проходящей через точку В

Находим длину АВ
AB=sqrt((2-1)^2+(1-4)^2)=sqrt(10)

Осталось решить задачу:

Найти координаты точек, лежащих на прямой [b]x-3y+11=0[/b]
и находящихся на расстоянии sqrt(10) от точки А

Геометрическим местом точек, находящихся на расстоянии sqrt(10) от точки А является окружность с центром в точке А радиусом sqrt(10)

Решаем систему уравнений:
{x-3y+11=0
{(x-1)^2+(y-4)^2=10

{x=3y-11
{(3y-11-1)^2+(y-4)^2=10 ⇒ 10y^2-80y+150=0;

y^2-8y+15=0
D=(-8)^2-4*15=64-60=4

y_(1)=3; y_(2)=5
x_(1)=-2; x_(2)=4

Это координаты точек M (4;5) и D(-2;3)

Аналогично находим координаты двух точек на прямой [b]x-3y+1=0[/b]и находящихся на расстоянии sqrt(10) от точки B

{x-3y+1=0
{(x-2)^2+(y-1)^2=10

{x=3y-1
{(3y-1-2)^2+(y-1)^2=10 ⇒ 10y^2-20y=0;

y^2-2y=0

y_(3)=0; y_(4)=2
x_(3)=-1; x_(4)=5

Это координаты точек N (5;2) и C(-1;0)

О т в е т. M (4;5) ; D(-2;3) ;N (5;2) ; C(-1;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что каждый турист выбирает вагон.
Для одного туриста 12 способов выбрать вагон
Для девяти туристов 12^(9)
n=12^(9)

m=12

p=m/n=12/12^(9)=1/12^(8)

24.

(прикреплено изображение)

x^2-100=(x-10)(x+10)
x^2-196=(x-14)*(x+14)
x^2-24x+140=(x-10)*(x-14)

(x-10)*(x-14)*(x+10)*(x+14)+3*(x-10)*(x-14)=0
(x-10)*(x-14)* ((х+10)*(х+14)+3)=0

(x-10)*(x-14)* (x^2+24x+143)=0

x-10=0 или х-14=0 или x^2+24x+143=0
x=10 или х=14 или D=24^2-4*143=4 x=-13 или х=-11

О т в е т. -13; -11; 10; 14

Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

(x-x_(E))/(x_(M)-x_(Е))=(у-у_(E))/(у_(M)-у_(Е))

(x-(-5))/(2-(-5))=(y-4)/(-3-4);
(x+5)/7=(y-4)/(-7)

-х-5=у-4

[b]х+у+1=0[/b]

2 способ.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
y=kx+b
Чтобы найти k и b подставим координаты точек Е и М в уравнение.
Получим систему
{4=k*(-5)+b
{-3=k*2+b
Вычитаем из первого второе
4-(-3)=k(-5)-k*2
7=-7k
k=-1
b=-3-2k=-3-2*(-1)=-1
[b]y=-x-1[/b]

Пусть АМ=х; AN=y
Тогда
AB=4x; AD=3y

sin ∠ A=sin ∠ B=sin ∠ C=sin ∠ D=k

S_(АСMN)=S_(ABCD)-S( Δ MBC)--S( Δ NDC)--S( Δ AMN)

5,25=4x*3y*k - (1/2)3x*4y*k-(1/2)*4x*2y*k-xy*k

5,25=x*y*k

S_(ABCD)=4x*3y*k=12*5,25=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{log_(3)x ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

log_(3)x > -4
log_(3)x > -4*log_(3)3
log_(3) x > log_(3) 3^(-4)
x> 3^(-4)=1/81

О т в е т. ((1/81);1)U(1;+ ∞ )

Обозначим
событие А - " в цель попадает хотя бы один стрелок"
тогда

событие vector{А} - " в цель не попадает ни один стрелок"

p(vector{А})=(1-p_(1))*(1-p_(2))(1-p_(3))(1-p_(4))=0,25*0,2*0.35*0,5

p(A)=1-p(vector{А})=1- (0,25*0,2*0.35*0,5)=

y`*(1+x)=-(1+y) - уравнение с разделяющимися переменными.
dy/(1+y)=-dx/(1+x)
∫ dy/(1+y)= -∫ dx/(1+x)

ln|1+y|=-ln|1+x|+lnC
1+y=C/(1+x) - о т в е т

y``= ∫ y```(x)dx= ∫ (cosx - 2x)dx = sinx - x^2 + C_(1)

y`= ∫ y``(x)dx= ∫ ( sinx - x^2 + C_(1))dx= -cosx - (x^3/6) +C_(1)x+ C_(2)

y= ∫ y`(x)dx = ∫ ( -cosx - (x^3/6) +C_(1)x+ C_(2))dx=

= -sinx - (x^4/24)+C_(1)x^2/2 + C_(2)x+ C_(3)

Характеристическое уравнение:

k^2-4y+204=0
D=(-4)^2-4*204=-800
k_(1)=(4- i*20sqrt(2))/2=2-i*10sqrt(2)

k_(2)=(4+ i*20sqrt(2))/2=2+i*10sqrt(2)

Общее решение имеет вид ( см. таблицу)
y=e^(2x)*(C_(1)cos(10sqrt(2))x+C_(2)sin(10sqrt(2)x) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2cos^2x-sqrt(2) ≥ 0 ⇒2*cos^2x ≥ sqrt(2) ⇒ 1+cos2x≥ sqrt(2) ⇒

[b]cos2x ≥ sqrt(2) -1[/b]
Перепишем уравнение :

sqrt(2cos^2x-sqrt(2))=-sqrt(2)*sinx

1)
Если sinx > 0
уравнение не имеет корней

2)
Если sinx ≤0
Возводим в квадрат
2cos^2x-sqrt(2)=2sin^2x
2*(cos^2x-sin^2x=sqrt(2)
2cos2x =sqrt(2)
cos2x = sqrt(2)/2

[b]sqrt(2)/2 > sqrt(2)-1[/b]

значит корни

2х= ± ( π/4)+2πn, n ∈ Z - удовлетворяют ОДЗ ( см. рис. 1)

х=± ( π/8)+πn, n ∈ Z

С учетом sinx ≤0

[b]x= (-π/8)+2πk, k ∈ Z
или
х=(-7π/8)+2πm, m ∈ Z [/b]

б) Указанному отрезку принадлежат корни:

x_(1)=(-7π/8)-6π= - 55π/8
x_(2)=(-π/8)-6π= - 49π/8

О т в е т.
а) (-π/8)+2πk, (9π/8)+2πm, k, m ∈ Z
б)- 55π/8; - 49π/8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞;+ ∞ )
Применяем формулу производной сложной функции:
(1/u)`=(u^(-1))`= -1*u^(-2) * u`=-u`/u^2

y`=-40*(2^(x)+3^(x))`/(2^(x)+3^(x))^2
y`=-40*(2^(x)*ln2+3^(x)*ln3)/(2^(x)+3^(x))^2

y`<0 при любом х ∈ (- ∞;+ ∞ )
Значит функция убывает на (- ∞;+ ∞ ), в том числе и на [1; 7]

Наибольшее значение функция принимает в левом конце отрезка [1; 7] , т. е в точке x=1

y(1)=40/(2^(1)+3^(1))=8
О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

1. Невозможно рассмотреть чему равен косинус.
2.
а)
1-sin^2 α =cos^2 α

ctg^2 α =cos^2 α /sin^2 α

ctg^2 α * sin^2 α =cos^2 α

1-sin^2 α +ctg^2 α *sin^2 α =2cos^2 α

б) 1-ctg^2 α =1-(cos^2 α/sin^2 α) =(sin^2 α -cos^2 α )/sin^2 α

1/(1-ctg^2 α )=sin^2 α /(sin^2 α -cos^2 α )

1+ tg^2 α =1-(sin^2 α /cos^2 α )=(cos^2 α -sin^2 α )/cos^2 α

1/(1+tg^2 α)=cos^2 α /(cos^2 α -sin^2 α )

О т в е т. sin^2 α /(sin^2 α -cos^2 α ) + cos^2 α /(cos^2 α -sin^2 α )=

=sin^2 α /(sin^2 α -cos^2 α ) - cos^2 α /(sin^2 α -cos^2 α ) =

=(sin^2 α -cos^2 α ) /(sin^2 α -cos^2 α ) =1

5.
y`=x^2-5x+6
y`=0
x=2 или х=3

_+__ (2) _-__ (3) __+_

y`>0 на (- ∞ ;2) и на (3;+ ∞ )
Функция возрастает на (- ∞ ;2) и на (3;+ ∞ ) и убывает на (2;3)

6
f`(x)=4x^2+6x-12
f`(x)=0
4x^2+6x-10=0
2x^2-3x-5=0
x=-1/2 или х=3

_+__(-1/2) __-__ (3) _+__

х=-1/2 - точка максимума, производная меняет знак с + на-
х=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

f``(x)=8x+6
f``(x)=0
8x+6=0
x=-3/4 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

x^2/(x^2+1)(x^2+4)= (Ax+B)/(x^2+1)+(Mx+N)/(x^2+4)
x^2= (Ax+B)*(x^2+4)+(Mx+N)*(x^2+1)
A+M=0
B+N=1
4A+M=0
4B+N=0

A=-M=0
N=4/3
B=-1/3

∫ ^(+ ∞)_(0) x^2·dx/(x^2+1)·(x^2+4)=

=-(1/3)∫ ^(+ ∞)_(0)dx/(x^2+1)+(4/3)∫ ^(+ ∞)_(0)dx/(x^2+4)=

=(-1/3)*(arctgx)|(+ ∞)_(0) + (4/3)*(1/2)arctg(x/2)|(+ ∞)_(0)=

=(-1/3)*(π/2)+(4/3)*(π/2)=π/2

Ответ выбран лучшим

z=x+iy

e^(-z)=e^(-x-iy)=e^(-x)*e^(-iy)=e^(-x)*(cos(-y)+isin(-y))=

=e^(-x)*(cosy-isiny)= e^(-x)cosy + i *(- e^(-x)*siny)

Re(e^(-z))=e^(-x)*cosy
Im(e^(-z))=-e^(-x)*siny

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=(x^3 -6x^2 +16)`=3x^2-12x

y`=0
3x^2-12x=0
3x*(x-4)=0

x=0 и х=4 -точки, в которых возможен экстремум.
Применяем достаточное условие.
Находим знак производной:

_+__ (0) __-__ (4) _+___

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=(3x^2-12x)`=6x-12

y``=0

6x-12=0
x=12
При переходе через точку x=2 производная меняет знак с - на +
х=2 - точка перегиба (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольники МВМ_(1) и АВА_(1) подобны ( ММ_(1) || AA_(1))

MB:BA=MM_(1):AA_(1)

Пусть МВ=х
х:(х+6)=2:3
3х=2*(х+6)
х=12
АВ=АМ+ВМ=6+12=18 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ABCD - квадрат.

MK- средняя линия Δ BSC
MK|| BC
MK=(1/2)BC=4
АМKD - трапеция
Отрезок соединяющий середины боковых сторон трапеции - средняя линия трапеции, которая равна полусумме оснований AD и MK

(8+4)/2=6

О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

1) скрщивающиеся.
Одна прямая (MN) лежит в плоскости DD_(1)C_(1)C
Другая (АD_(1) пересекает пл. в точке, не принадлежащей первой прямой)

2) Параллельны.
пл. АА_(1)D_(1)D || пл. ВВ_(1)С_(1)С

AD_(1) = BC_(1) - как диагонали равных квадратов АА_(1)D_(1)D и
ВВ_(1)С_(1)С

3) пересекаются. как прямые лежащие в одной плоскости и не параллельные друг другу

Ответ выбран лучшим

СС_(1) и DD_(1)
CD и C_(1)D_(1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Распилов на 1 меньше, чем кусков.
24 куска - значит распилов 23,
красных и желтых линий - 23

красных и зелёных линий - 25

зеленых - 13

Значит
25-13=12 красных линий

23-12=11 желтых линий

13+12+11= 36 красных, желтых и зеленых линий

Если распилить палку по 36-ти линиям, получим 37 кусков. (прикреплено изображение)

y`=∛(x-1)+x*(1/3)*(x-1)^(2/3)= (3x-3+x)/3∛(x-1)^2=(4x-3)/3∛(x-1)^2

y`=0

4x-3=0
x=3/4 - точка минимума, т.к производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

152^(o)+28^(o)=180^(o)
Значит,
sin152^(o)=sin28^(o)
sin152^(o)=sin(180^(o)-28^(o))=sin28^(o)

sin152^(o)-sin28^(o)=дает 0
cos152^(o)+cos28^(o)= тоже 0

А здесь
sin152^(o)+sin28^(o)=2sin28^(o)

5. Треугольники АСС_(1) и АВВ_(1) подобны ( СС_(1) || BB_(1))
Из подобия
АС: АВ=СС_(1):ВВ_(1)
3:4=6:ВВ_(1)
ВВ_(1)=8

6.
AC=BK=sqrt(8^2+6^2)=10
Длина ломаной 10+6+10+6=32
Нет, не верно

7. К_(1)М_(1)|| KM
KMM_(1)K_(1)- параллелограмм.

К_(1)М_(1)|= KM=10

S(параллелограмма)=10*8*sin30^(o)=40 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)
поэтому:
3,3=1*p_(1)+2*p_(2)+3*p_(3)
M(X^2)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)
поэтому
7,9=1^2*p_(1)+2^2*p_(2)+3^2*p_(3)
Основное свойство закона распределения: сумма вероятностей равна 1
p_(1)+p_(2)+p_(3)=1

Итак, имеет систему трех уравнений:
3,3=1*p_(1)+2*p_(2)+3*p_(3)
7,9=1*p_(1)+4*p_(2)+9*p_(3)
p_(1)+p_(2)+p_(3)=1

p_(3)=0
p_(2)=2,3
p_(1)=-1,3

чего не может быть. p_(1) должно быть положительно.
Значит, что то не так в условии

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(x^2+6x)-4y^2+5=0
(x^2+6x+9)-9 - 4y^2+5=0
(x+3)^2-4y^2=4
Делим на 4
((x+3)^2/4) - y^2=1 - гипербола
вида
(x`)^2/4-(y`)^2=1
a=2
b=1

с началом координат в точке (-3;0)

Строим прямоугольник АВСD, диагонали которого пересекаются в точке (-3;0)
AB=2a=4
BC=2b=2

Диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы.

Вершины гиперболы в точкаx (-5;0) и (-1;0)
Cм. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4x + 4 = - 6x - 5
4x + 6x = -5 -4
10x = - 9
x=-9/10
x=-0,9

3x + 3 = - 2 + 7x
3x - 7x = - 2 - 3
- 4x = - 5
x= 5/4
x= 1,25

1.
h_(1)(x) = (f o g)(x) = f(g(x))=|x-2|^2-3|x-2|+1
h_(2)(x) = (g o f)(x) = g(f(x))=|x^2-3x+1-2|=|x^2-3x-1|

График функции y=h_(1)(x) на рис. 1

График функции y=h_(2)(x) на рис. 2

По графику легко найти промежутки монотонности

h_(1) : [-1;2] →[m;1] cм. рис. 3
m- ордината вершины параболы (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. Найдем координаты точки М - середины ВС
х_(M)=(x_(B)+x_(C))/2=7
y_(M)=(y_(B)+y_(C))/2=11/2
z_(M)=(z_(B)+z_(C))/2=-1

Находим координаты
vector{AB}=(8-4;2-(-2);3-5)=(4;4;-2)
vector{AM}=(7-4; (11/2)-(-2); -1-5)=(3;15/2;-6)

cos ∠ BAM=(vector{AB}*vector{AM})/(|vector{AB}|*|vector{AM}|)=

=54/(6*sqrt(405))=9/sqrt(405)=1/sqrt(5)

∠ BAM=arccos(1/sqrt(5))

б)

a=M(X)=6
σ=4

α =8
β =10

Подставляем в формулу ( см. приложение)
P(8 < X < 10)=Ф((10-6)/4)-Ф((8-6)/4)=Ф(1)-Ф(0,5)=
( см. таблицу)

≈ 0,3413-0,1915 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=r*cos φ
y=r*sin φ
x^2+y^2=r^2

Подставляем в данное уравнение:
(r^2)^2=10r^3cos^3 φ
r=10cos^3 φ

cos^3φ >0 в четвертой и первой четвертях

φ =-π/2⇒ r=10*0^3=0 Откладываем на луче -π/2 0, т. е получаем точку (0;0) на плоскости
φ =-π/3⇒ r=10*(1/2)^3=10/8=5/4
φ =-π/4⇒ r=10*(1/2sqrt(2))≈
φ =-π/6⇒ r=10*(3sqrt(3)/8)≈
φ =0⇒ r=10*1=10 Точка (10;0) на плоскости хОу

φ =π/6⇒ r=10*(3sqrt(3)/8)≈
φ =π/4⇒ r=10*(1/2sqrt(2))≈
φ =π/3⇒ r=10*(1/2)^3=10/8=5/4
φ =π/2⇒ r=0*0^3=0

График см рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cлучайная величина Х принимает значения:
0; 1; 2; 3
Вероятность появления герба в одном испытании:
p=1/2
Вероятность противоположного события * непоявление герба"
q=1-(1/2)=1/2

Вероятность того, что при трех бросаниях монеты герб не появится ни разу
p_(o)=C^(0)_(3)*p^(0)*q^(3)=1*(1/2)^3=1/8
p_(1)=C^(1)_(3)*p^(1)*q^(2)=3*(1/2)^3=3/8
p_(2)=C^(2)_(3)*p^(2)*q^(3)=3*(1/2)^3=3/8
p_(3)=C^(3)_(3)*p^(0)*q^(3)=1*(1/2)^3=1/8

Закон распределения ( см. таблицу в приложении)

M(X)=0*(1/8)+1*(3/8)+2*(3/8) + 3*(1/8)=12/8=3/2

И по формуле
M(X)=np = 3*(1/2)=3/2

M(X^2)=0^2*(1/8)+1^2*(3/8)+2^2*(3/8) + 3^2*(1/8)=24/8=3
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=3-(3/2)^2=3-(9/4)=3/4

по формуле
D(X)=npq=3*(1/2)*(1/2)=3/4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это биномиальное распределение.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющие биномиальное распределение, равны:
M(X)=np,
D(X)=npq, где q=1- p

В условиях задачи
p=0,5
q=1-0,5=0,5

n=8

M(X)=8*0,5=4,
D(X)=8*0,5*0,5=2

Ответ выбран лучшим

Область определения (- ∞ ;2)U(2;+ ∞ )
y`=((8x)`*(x-2)^2-8x*((x-2)^2)`)/(x-2)^4

y`=(8*(x-2)^2-8x*2(x-2)*1)/(x-2)^4

y`=(8x-16-16x)/(x-2)^3

y`=0

-8x-16=0

x= - 2

Знак производной:

__-__ (-2 ) ___+__ (2) ___-__

y` > 0 на (-2 ; 2); функция возрастает
y` < 0 на (- ∞;-2) и на (2;+ ∞); функция убывает

х=2 - не входит в область определения,
является точкой разрыва 2 рода

Прямая х=2 - вертикальная асимптота
lim_(x→2) f(x)=+ ∞

х=-2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Прямая y=0 - горизонтальная асимптота,
lim_(x→ ∞)f(x)=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим МD, проводим SM
Проводим KP|| MD

Точка Р - искомая точка
(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{10x^2+x-2>0 ⇒ D=81 ⇒ x< - 0,5 или x > 0,4
{(2x+2)/(5x-1) >0 ⇒ x < -1 или х > 0,2
{ (2x+2)/(5x-1) ≠ 1 ⇒ 2x+2 ≠ 5x-1 ⇒ x ≠ 1

ОДЗ: (- ∞ ;-1) U (0,4;1) U(1;+ ∞ )

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств

((2x+2)/(5x-1) -1)*(10x^2+x-2-1) ≤ 0

(3-3x)*(10x^2+x-3)/(5x-1) ≤ 0

D=1-4*10*(-3)=121
корни:
(-1± 11)/20
-0,6 и 0,5

3*(x-1)*10*(x+0,6)(x-0,5)/(5x-1) ≥ 0

3*(x-1)*(x+0,6)(x-0,5)/(5x-1) ≥ 0

__ [b]+[/b] _ (-0,6) _-_ (0,2) _ [b]+[/b] _ (0,5) _-_ (1) _ [b]+[/b] __

C учетом ОДЗ

(-∞; -1) U( 0,2; 0,5]U(1;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0;
{2x+3>0 ⇒ x>-1,5
{2x+3 ≠ 1 ⇒ x ≠ -1

ОДЗ:(-1,5;-1)U(-1;0)U(0;+ ∞ )

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
( см. приложение)
(2х+3-1)*(x^2-2x-3) <0
(2x+2)(x+1)(x-3) <0
2*(x+1)^2*(x-3) <0

Применяем метод интервалов:
_-___ (-1) __-__ (3) __+__

C учетом ОДЗ:
(-1,5;-1)U(-1;0) U(0;3)

О т в е т. (-1,5;-1)U(-1;0) U(0;3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

t_(1)=0,38:3,8=0,1 ч=0,1*60=6 минут (время белой кошечки)
t_(2)=0,175:3,5=0,05 ч=0,05*60=3 минуты ( время черной кошечки)
О т в е т. Черная. на 3 минуты раньше

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

60x^3=3600
x^3=60
x=∛60

Функция имеет бесконечный левосторонний предел в точке а

Для любого очень большого числа P >0; найдется очень маленькое число ε> 0 такое, что для всех х ∈ (a-ε;a)

выполняется неравенство: f(x) > P (прикреплено изображение)

Исследуем точку x=0
Находим предел слева:
f(-0)=lim_(x→ -0)f(x)=lim_(x→ -0)(x+1)=1
Находим предел справа:
f(+0)=lim_(x→ +0)f(x)=lim_(x→ +0)(x+1)^2=1

Предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке х=0
х=0 - точка непрерывности.

Исследуем точку x=2
Находим предел слева:
f(2-0)=lim_(x→2 -0)f(x)=lim_(x→2 -0)(x+1)^2=(2+1)^2=9
Находим предел справа:
f(2+0)=lim_(x→ 2+0)f(x)=lim_(x→ +0)(-x+4)=2

Предел слева не равен пределу справа
х=2 - точка разрыва 1 рода.
Скачок функции
f(2+0)-f(2-0)=2-9=-7
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.
Область определения (- ∞ ; + ∞ )
y`=((x^2-16)`*(x^2+1)-(x^2-16)*(x^2+1)`)/(x^2+1)^2

y`=2x*(x^2+1 - x^2+16)/(x^2+1)^2

y`=34x/(x^2+1)^2

y`=0

х=0

Знак производной

___-___ (0) ___+__

y`<0 на (- ∞ ;0), значит функция убывает
y`>0 на (0;+ ∞ ), значит функция возрастает

х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

4.

lim_(x→0)(ln(sinx3x))/(ln(sinx))= ∞ / ∞ применяем правило Лопиталя:

=lim_(x→0)(ln(sinx3x))`/(ln(sinx))`=

=lim_(x→0)(3cos3x/(sinx3x))/(cosx/(sinx))=

=3lim_(x→0)cos3x/cosx)* lim_(x→0)(sinx/sin3x) =

= 3*(cos0/cos0)*(1/3)=1

так как
lim_(x→0)(sinx/sin3x) =(0/0) применяем правило Лопиталя:

=lim_(x→0)(sinx)`/(sin3x)`=lim_(x→0)(cosx)/(3cos3x)=1/3

Ответ выбран лучшим

p(t)=(t+(4/t))*(4t+(1/t))

Поэтому при t=1/a
p(1/a)=((1/a)+(4a))*((4/a)+a))=p(a)

p(a)/p(1/a)=1

По формулам приведения
cos((π/2)+2x)= - sin2x

sin2x=2sinx*cosx

-2sinx*cosx=sqrt(2)*sinx

2sinx*cosx+sqrt(2)*sinx=0

sinx*(2cosx+sqrt(2))=0

sinx=0 или (2cosx+sqrt(2))=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z
или
cosx=-sqrt(2)/2 ⇒ x= ± (π/4) + 2πn, n ∈ Z

Промежутку (–5π;–4π) принадлежит корень:

- (π/4) - 4π = - 17π/4

f(x_(2)) ≈ f(x_(1))+f`(x_(1))*(x_(2)-x_(1))

f(x_(1))=f(3)=lnsqrt(4/7)=(1/2)ln(4/7)
f`(x)=(lnu^(1/2))`=((1/2)lnu)`=(1/2)*(u`/u)
u=(2x+2)/(x+4)

u`=(2*(x+4)-(2x+2))/(x+4)^2=6/(x+4)^2

f`(x)=(1/2)*(6/(x+4)*(2x+2))=3/(x+4)*(2x+2)

f`(3)=3/56

x_(2)-x_(1) = 2,98 - 3 = - 0,02

О т в е т. (1/2)ln(4/7)+ (3/56)*(-0,02)=(1/2)ln(4/7) - (3/2800)
осталось найти ln(4/7) и получить ответ

2а)
y=4*u^3
u=sin3x -(1/4)x^4+3sqrt(x)

y`=12u^2*u`
y`=12*(sin3x -(1/4)x^4+3sqrt(x))^2*(3cos2x-x^3+(3/2sqrt(x))

б) Логарифмируем
lny=tgx*ln(x^2-1)
Дифференцируем
y`/y=(tgx)`*ln(x^2-1)+(tgx)*(ln(x^2-1))`

y`=(x^1-1)^(tgx) * (ln(x^2-1)/(cos^2x)+(2x*tgx)/(x^2-1))

Ответ выбран лучшим

D(y)=(- ∞ ;1) U(1;+ ∞ )

Значит вертикальной асимптотой может служить только прямая x=1
Остается проверить выполнение условий
lim_(x →1-0)f(x)= ∞ или lim_(x →1+0)f(x)= ∞

Что верно, так как
lim_(x →1-0)(x^2-4)/(x-1)= + ∞ или lim_(x →1+0)(x^2-4)/(x-1)= -∞

Значит, х=1- вертикальная асимптота

Определение.
Прямая y=A является горизонтальной асимптотой, если
lim_(x → - ∞ )f(x) = A или lim_(x → +∞ ) f(x) = A

Так как
lim_(x → - ∞ ) (x^2-4)/(x-1) = - ∞ или lim_(x → +∞ ) f(x) = + ∞

Горизонтальных асимптот нет

3.
k_(накл. асимптоты)=lim_(x → ± ∞ )f(x)/x
b=lim_(x → ± ∞ )(f(x)-kx)

k_(накл. асимптоты)=lim_(x → ± ∞ )(x^2-4)/(х*(x-1))=1

b=lim_(x → ± ∞ ) ((x^2-4)/(x-1) - х) =
= lim_(x → ± ∞ ) ((x^2-4)-x*(x-1))/(x-1) =lim_(x → ± ∞ ) (x-4)/(x-1) =1

y=x+1 - наклонная асимптота

О т в е т. x=1 - вертикальная асимптота; у=х+1 - наклонная асимптота ( см. рис.) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

12.
Линейное неоднородное второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем линейное однородное
y``+y=0
Составляем характеристическое:
k^2+1=0
k= ± i
y_(общее одн.)=С_(1)cosx+C_(2)sinx

Решаем неоднородное методом вариации произвольных постоянных.
y=С_(1)(x)cosx+C_(2)(x)sinx

Для нахождения С_(1)(x) и C_(2)(x) составляем систему:
{ С`_(1)(x)*y_(1)(x)+ C`_(2)(x)*y_(2)(x)=0
{ С`_(1)(x)*y`_(1)(x)+ C`_(2)(x)*y`_(2)(x)=f(x)

y(1)(x)=cosx ⇒ y`_(1)(x)=-sinx
y(2)(x)=sinx ⇒ y`_(2)(x)=cosx

{ С`_(1)(x)*cosx+ C`_(2)(x)*sinx=0
{ С`_(1)(x)*(-sinx)+ C`_(2)(x)*cosx= - ctg^2x

Решаем систему линейных уравнений относительно
C`_(1)(x) и C`_(2)(x) методом Крамера

Δ=cosx*cosx-(-sinx)*sinx=cos^2x+sin^2x=1
Δ_(1)=cosx*(-ctg^2x)-sinx*0 = - cos^32x/sin^2x
Δ_(2)=0*cosx-(-ctg^2x)*sinx = cos^2x/sinx

C`_(1)(x) = Δ_(1)/ Δ = - cos^3x/sin^2x
C`_(2)(x) = Δ_(2)/ Δ = cos^2x/sinx

Интегрируем
С_(1)(х)= - ∫ cos^3xdx/sin^2x= - ∫ cosx*(1-sin^2x)dx/sin^2x=

= - ∫ cosxdx/sin^2x + ∫ cosxdx = - ∫ d(sinx)/sin^2x + sinx + c_(1)=

=(1/sinx)+sinx+c_(1)

С_(2)(х)= ∫ cos^2xdx/sinx= ∫ (1-sin^2x)dx/sinx = ∫ dx/sinx - ∫ sinxdx=

=ln|tg(x/2)|+ cosx+c_(2)

О т в е т. y=((1/sinx)+sinx+c_(1))*cosx+(ln|tg(x/2)|+ cosx+c_(2))*sinx

=c_(1)cosx + c_(2)sinx + (cosx/sinx)+2sinx*cosx + sinx*ln|tg(x/2)) (прикреплено изображение)

Основание B_(1)AC
Боковые ребра ВА;ВС и BB_(1)

2. Диагональ квадрата больше его стороны.
Значит, грань BB_(1)D_(1)D - наибольшая
BB_(1)=DD_(1)=4
BD=B_(1)D_(1)=4sqrt(2)

P_(BB_(1)D_(1)D)=2*(4+4sqrt(2)=8+8sqrt(2)

3.
CK=KB ( К- середина СВ)
AC=DB=a ( a- ребро тетраэдра)
AK=DK=asqrt(3)/2 как высоты равносторонних треугольников АВС и DBC

Треугольники АКС и DКВ равны по трем сторонам

2.a)
y`/y=(-sinxy)*(xy)`
y`/y=(-sinxy)*(x`*y+x*y`)
x`=1, так как х - независимая переменная
y`/y=(-sinxy)*(y+x*y`)
(y`/y)+x*y`sin(xy)=-y*sin(xy)

y`=-y*sinxy/((1/y)+xsin(xy))

y`=-y^2sin(xy)/(1+(xy)*sin(xy))

б)
(x^2)`*y^2+x^2*(y^2)`+(1/sin^2y)*y`=0

(x^2)`=2x
(y^2)`=(2y)*y`
2x*y^2+(4x^2y+(1/sin^2y))*y`=0

y`=-2xy^2/(4x^2*y+(1/sin^2x))

3.
см. приложение
f(0)=-1

f`(x)=(x)`*arcsinx+x*(arcsinx)` - (sqrt(1-x^2))`
f`(x)=arcsinx + (x/sqrt(1-x^2))+(2x/2sqrt(1-x^2))

f`(x)=arcsinx + 2(x/sqrt(1-x^2))

f`(0)=0

f``(x)=1/sqrt(1-x^2) +(2x)`*(1-x^2)^(-1/2)+2x*((1-x^2)^(-1/2))`;
f``(x)=(1/sqrt(1-x^2))+2*(1-x^2)^(-1/2)+2x*(-1/2)*(1-x^2)^(-3/2)*(1-x^2)`
f``(x)=(1/sqrt(1-x^2))*(3-3x^2+2x)/(1-x^2)
f``(0)=3

По формуле Тейлора
f(x) ≈ -1+0*x+(3/2!)x^2

f(x) ≈ (3/2)x^2 -1

4
dy=y`(x)dx

y`(x)=-sin(arctg(x/2))*(arctg(x/2))`

y`(x)=-sin(arctg(x/2))*(1/(1+(x/2)^2))*(x/2)`

y`(x)=-(1/2)*sin(arctg(x/2))/(1+(x/2)^2)

dy=-(1/2)*sin(arctg(x/2))dx/(1+(x/2)^2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(x-1)*(2*3^2-6-3)=9
3^(x-1)*9=9
3^(x-1)=1
3^(x-1)=3^(0)
x-1=0
x=1
О т в е т. 1

1.
ОДЗ:
{-3cosx >0⇒ cosx < 0 ⇒ x во второй и третьей четверти
{-2tgx>0 ⇒ tgx <0 ⇒ x во второй и четвертой четверти

ОДЗ: x ∈ ( (π/2)+2πm, π+2πm), m ∈ Z

4sin^2x-2=0 ⇒ sin^2x=1/2

sin2x=±sqrt(2)/2
2x=(π/4)+(π/2)k, k ∈ Z ( cм. рис.1)
x=(π/8)+(π/4)k, k ∈ Z

Из них ОДЗ принадлежат корни
x=(5π/8)+πn, n ∈ Z
x=(7π/8)+πn, n ∈ Z
см. рис.2

2.
{sinx=siny+1
{(siny+1)^2+cos^2y=1 ⇒ sin^2y+2siny+1+cos^2y=1

так как sin^2y+cos^2y=1

{sinx=siny+1
{siny=-1/2 ⇒ y=(-1)^(k+1)(π/6)+πk, k ∈ Z

sinx=1/2 ⇒ x=(-1)^(n)(π/6)+πn, n ∈ Z

О т в е т. ((-1)^(n)(π/6)+πn; (-1)^(k+1)(π/6)+πk), n,k ∈ Z (прикреплено изображение)

Применяем формулу Лейбница.
(cм. приложение)
u=x^2+x
v=cos^2x

u`=2x+1
u``=2
u```=0

Значит в формуле Лейбница только три слагаемых

y((22))=C^(0)_(22)u^((0))v^((22))+C^(1)_(22)u^((1))v^((21))+C^(2)_(22)u^((2))v^((20))

Остается найти производные
v^((22)); v^((21)); v^((20))

v`(x)=(cos^2x)`=2cosx*(-sinx)=-sin2x
v``(x)=-2cos2x
v```(x)=4sin2x
v````(x)=8cos2x

Остается заметить закономерность

v((20))=-2^(19)sin2x
v((21))=-2^(20)cos2x
v((22))=2^(21)sin2x

О т в е т. 2^(21)*(x^2+x)*sin2x-22*(2x+1)*2^(20)cos2x-231*2*2^(19)sin2x=

=2^(20)*((2x^2+2x)sin2x-(44x+22)*cos2x-231sin2x) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(2x-2)*(3^2-2-2*3)=1
3^(2x-2)*1=1
3^(2x-2)=3^(0)
2x-2=0
x=1

Ответ выбран лучшим

Функция
f(x)=g(x)+h(x)

Функция g(x)=sqn(cos(1/x)) является композицией функций
g(x) = sgnu; u = cost, t =1/x.

[b]По теореме о непрерывности композиции[/b] функций u(x)=cos(1/x) [b]непрерывна[/b] при всех х≠ 0.
x=0 - точка разрыва 1 рода

Функция g(x)=sqnu непрерывна при всех u≠ 0.

cos(1/x)=0
(1/x)=(π/2)+πk, k ∈ Z
x=1/((π/2)+πk), k ∈ Z - точки разрыва первого рода

[b]По теореме о непрерывности композиции[/b] функций
g(x) непрерывна х≠ 0 и х≠1/((π/2)+πk), k ∈ Z
x=0 и x=1/((π/2)+πk), k ∈ Z - точки разрыва первого рода

Функция h(x)=arctg((1/x)+1/(x-1)+1/(x-2)) является композицией функций
h(x) =arctg v; v(x) = (1/x)+1/(x-1)+1/(x-2)

[b]По теореме о непрерывности суммы[/b] функций v(x) = (1/x)+1/(x-1)+1/(x-2) [b]непрерывна[/b] при всех х≠ 0; х≠1;x≠ 2.
x=0; x=1;x=2 - точка разрыва 2 рода функции
v(x) = (1/x)+1/(x-1)+1/(x-2)

Функция h(x) =arctg v непрерывна при всех v

Имеет разрывы второго рода в точках
х=0; х=1; х=2

Функция h(x) имеет три точки разрыва второго родах=0; х=1; х=2 и является непрерывной при при всех х≠ 0; х≠1;x≠ 2.

О т в е т. x=1/((π/2)+πk), k ∈ Z - точки разрыва первого рода
х=0; х=1; х=2 - точки разрыва второго рода

Ответ выбран лучшим

1.
S_(бок. конуса)=π*R*L
31,5=π*3*L
L=31,5/3π=315/30π=105/10π=10,5/π

О т в е т. 10,5/π

2.
S_(бок. конуса)=π*R*L=π*3*5,4=16,2π

3.
S_(Δ АРВ)=a^2sqrt(3)/4
(a=AP=PB=AB)

a^2sqrt(3)/4=16sqrt(3)
a^2=64
a=8

R=AO=AB/2=4 ( см. рис)
S_(бок. конуса)=π*R*L=π*4*8=32π

S_(осн)=π*R^2=π*4^2=16*π

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)=32π+16π=48π (прикреплено изображение)

Плоскость проходит через точки
(a;0;0);(0;a;0);(0;0;a)

Уравнение плоскости

x+y+z=a

Подставим координаты точки М
2-3-4=а
а=-5
О т в е т. х+у+z+5=0

Ответ выбран лучшим

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)

y`_(t)=(e^(8t))`=(e^(8t))*(8t)`=8e^(8t)

x_(t)`=(e^(-3t))`=e^(-3t)*(-3t)`=-3*e^(-3t)

y_(x)`=8e^(8t)/(-3*e^(-3t))=(-8/3)e^(11t)

Ответ выбран лучшим

Дифференцируем равенство
(siny)`=(xy^2+5)`
x - независимая переменная
x`=1
y - зависимая функция

(cosy)*y`=x`*y^2+2y*y`*x+0

y`=y^2/(cosy-2yx)

PK ||MN
PK=MN=4

PM||KN
PM=KN=8

Из треугольника РСМ по теореме косинусов:
PC^2=PM^2+MC^2-2*PM*MC*cos ∠ CMP=64+16-32=48

Р_(CDKP)=2*(CD+PC)=2*(4+2sqrt(3)=8 + 4 sqrt(3)

О т в е т. 8 +4sqrt(3)

y`=2^(x^2)*(x^2)`*ln2
y`=2^(x^2)*(2x)*ln2
y`=ln2*2^(x^2+1)*x

y`(1)=ln2*(2^(1+1))*1
y`(1)=4ln2

Ответ выбран лучшим

По формуле производной сложной функции:
(arctgu)`=u`/(1+u^2)

y`/(1+y^2)=4+5y` ⇒

((1/(1+y^2))-5y) y`=4

y`=4*(1+y^2)/(1-5y-5y^3)

Дифференцируем равенство:

y`/(1+y^2)=4+5y`

(y``*(1+y^2)-y`*(1+y^2)`)/(1+y^2)^(2)=5y``

Находим

y`` *((1/(1+y^2)) -5)=2y(y`)^2/(1+y^2)^2

y``=2y*(y`)^2/((1-5-y^2)*(1+y^2))
где
y`=4*(1+y^2)/(1-5y-5y^3)

Ответ выбран лучшим

(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(e^(-x))`*(cosx)+(e^(-x))*(cosx)`= -e^(-x)*cosx+e^(-x)*(-sinx)

=-e^(-x)*(cosx+sinx)

y``(x)=e^(-x)*(cosx+sinx) - e^(-x)*(-sinx+cosx)=

=e^(-x)*(2sinx)

y```(x)=-e^(-x)*2sinx-e^(-x)*(2cosx)=

=2e^(-x)*(sinx-cosx)

y```(0)=2*e^(0)*(sinx0-cos0)=-2

Ответ выбран лучшим

y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)

y`_(t)=(t^(1/5))`=(1/5)*t^((1/5)-1)=(1/5)*t^(-4/5)
x`_(t)=(sqrt(t))`=(t^(1/2))`=(1/2)*t^((1/2)-1)=(1/2)*t^(-1/2)

y`_(x)=(2/5)t^(-4/5)-(-1/2))=(2/5)*t^(-0,3)

y``_(xx)=(y`_(x))`_(t)/x`_(t)

(y`_(x))`_(t)=(2/5)(t^(-0,3))`=(2/5)*(-0,3)*t^(-0,3-1)=(-3/25)*t^(1,3)

y``_(xx)=(-3/25)*t^(1,3) : (1/2)*t^(-1/2) = (-6/25)*t^(1,3-(-1/2))=

=(-6/25)t^(1,8)

О т в е т. y`_(x)=(2/5)*t^(-0,3); y``_(xx)=(-6/25)t^(1,8)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k_(касательной)

f`(x)=((x^3/3)-2x^2+8x-7)`=x^2-4x+8

f`(x_(o))=x_(o)^2-4x_(o)+8

y=8+4x
k=4

x_(o)^2-4x_(o)+8=4

x_(o)^2-4x_(o)+4=0
x_(o)=2
y_(o)=8+4*2=16

(2;16)
О т в е т. в точке (2;16)

1.
a)
Решаем системы
{x-2y-1=0
{x+2y+3=0
Cкладываем
2x+2=0
x=-1
y=(x-1)/2=-1
[b]A(-1;-1)[/b]
{x-2y-1=0
{2x+y+18=0
Умножаем первое на (-2)
{-2x+4y+2=0
{2x+y+18=0
Cкладываем
5y+20=0
y=-4
x=2y+1=2*(-4)+1=-7
[b]C(-7;-4)[/b]

{x+2y+3=0
{2x+y+18=0
Умножаем первое на (-2)
{-2x-4y-6=0
{2x+y+18=0
Cкладываем
-3y+12=0
y=4
x=-2y-3=-2*4-3=-11
[b]B(-11;4)[/b]

б)
Каноническое дано в условии.
Уравнение прямой как прямой проходящей через две точки А(-1;-1) и В(5;4) имеет вид:
[b](x-x_(A))/(x_(B)-x_(A))=(y-y_(A))/(y_(B)-y_(A))[/b]

(x+1)/(-11+1)=(y+1)/(4+1);
(x+1)/(-2)=(y+1)/1

Обозначим это отношение буквой t
(x+1)/(-2)=(y+1)/1 = t
получаем
(х+1)/(-2)=t
x=-2t-1
y=t-1
Параметрические уравнения прямой АВ
{х= - 2t - 1
{y= t - 1

Выразим у через х
2y=-x-3
y=(-x-3)/2
у=(-1/2)х - (3/2) - уравнение прямой AB с угловым коэффициентом k
k=(-1/3)

|AB|=sqrt((x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2)=sqrt((-2)^2+1^2)=sqrt(5)

в)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1
СН ⊥ АВ
k_(AB)=(-1/3)
k_(CH)=3

y=3x+b - уравнение прямых, перпендикулярных АВ
Подставляем координаты точки С
-4=3*(-7)+b
b=17
[b]y=3x+17[/b] - уравнение высоты СН

г) x_(M)=(x_(A)+x_(B))/2=(-1+5)/2=2;
y_(M)=(y_(A)+y_(B))/2=(-1+4)/2=3/2

Уравнение медианы СМ как прямой проходящей через две точки:

(x+7)/(2+7)=(y+4)/((3/2)+4);
(x+7)/9=(y+4)/(11/2)
(11/2)*(x+7)=9*(y+4)
[b]11x-18y+5=0[/b] - уравнение медианы СМ

д)
По свойству биссектрисы угла треугольника
AD:DB=AC:CB
|AC|=sqrt(-6)^2+(-3)^2)=sqrt(45)=3sqrt(5)
|BC|=sqrt((4)^2+(-8)^2)=sqrt(80)=4sqrt(5)

AD:DB=3:4
λ =3/4

Находим координаты точки, как точки делящей отрезок в данном отношении

x_(D)=(x_(A)+ λx_(B))/(1+λ)= (-1+(3/4)(-11))/(1+(3/4))= -37/7

y_(D)=(y_(A)+λ y_(B))/(1+λ)=(-1+(3/4)*(-8))/(1+(3/4))= -4

Уравнение биссектрисы CD

[b]y=-4[/b]

e)
x_(O)=((x_(A)+x_(B)+x_(C))/3=-1
y_(O)=((y_(A)+y_(B)+y_(C))/3=-1/3

ж)
По формуле:
cos ∠ B=vector{BA}*vector{BC}/|vector{BA}|*|vector{BC}|

vector{BA}=(10;-5)
vector{BC}=(4;-8)
|vector{BA}|=sqrt(10^2+(-5)^2)=sqrt(125)=5sqrt(5)
|vector{BC}|=sqrt(16+64)=4sqrt(5)

cos ∠ B=(10*4+(-5)*(-8))/5sqrt(5)*4sqrt(5)=80/100=0,8

∠ B= arccos0,8

2.
Выделяем полные квадраты:
(x^2-2x)-(2y^2-3y)=0
(x^2-2x+1)-1 - 2*(x^2-2y*(3/4)+(3/4)^2)-(3/4)^2=0
(x-1)^2-2*(y-(3/2))^2=25/16
Делим на (25/16)
(x-1)^2/(25/16) - (y-(3/2)^2)/(25/32)=1
каноническое уравнение гиперболы вида
(x`)^2/(25/16)- (y`)^2/(25/32)=1
с центром в точке О`(1;3/4)
a=5/4
b=5sqrt(2)/8
см. рис.
(прикреплено изображение)

Канонические уравнения параболы:
x^2=2py cимметрична относительно оси Оу, ветви направлены в сторону оси Оу
Фокус F(0;p/2)
Уравнение директрисы:
y=-p/2

x^2=-2py cимметрична относительно оси Оу, ветви направлены в сторону противоположную оси Оу
Фокус F(0;-p/2)
Уравнение директрисы:
y= p/2

y^2=2px cимметрична относительно оси Ох, ветви направлены в сторону оси Ох
Фокус F(p/2;0)
Уравнение директрисы:
x=-p/2

y^2=-2px cимметрична относительно оси Ох, ветви направлены в сторону противоположную оси Ох
Фокус F(-p/2;0)
Уравнение директрисы:
x=p/2

[b]Решение[/b]:
1) y^2=6x ⇒ 2p=6;
p=3
cимметрична относительно оси Ох, ветви направлены в сторону оси Ох

см. рис.1

x^2=5y 2p=5 ⇒ 2p=5;
p=2,5
cимметрична относительно оси Оу, ветви направлены в сторону оси Оу

cм. рис.2

2)
y^2=24x ⇒ 2p=24;
p=12
cимметрична относительно оси Ох, ветви направлены в сторону оси Ох

Фокус F(12;0)
Уравнение директрисы:
x=-12

см. рис.3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a_(1)=2; a_(2)=4

При n=2
a_(3)=a_(2+1)=(a_(2)+a_(1))/2=(4+2)/2=3

a_(4)=a_(3+1)=(a_(3)+a_(2))/2=(3+4)/2=7/2

О т в е т. 2; 4; 3; 7/2

Пучок плоскостей, проходящих через линию пересечения
{x+5y+z=0
{y-z+4=0
принимает вид
(x+5y+z)+ λ (y-z+4)=0

Запишем в виде:
х+(5+ λ )*у +(1- λ )z+4 λ =0

Нормальный вектор :
vector{n}=(1;5+ λ ; 1- λ )

Так как искомая плоскость образует угол 45 °
с плоскостью x–4y–8z+12=0 ( vector{n_(1)}=(1;-4;-8)

а угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами

cos φ =|1*1-4*(5+ λ )-8*(1- λ )|/(sqrt(1^2+(5+ λ )^2+(1- λ )^2)*sqrt(1^2+(-4)^2+(-8)^2))

cos φ =1/sqrt(2)

|4 λ - 27|/(sqrt(2λ^2+8λ+27)*sqrt(81)=1/sqrt(2)

Возводим в квадрат:

(16 λ^2-216 λ +729)/(162 λ ^2+648 λ +2187) =1/2

32λ^2-432 λ +1458=162 λ ^2+648 λ +2187

130 λ^2 +1080 λ + 729 =0

D/4=540^2-130*729=291600- 94770=196830

λ _(1,2)=(-1080 ± sqrt(196830))/130

О т в е т. [b]130(x+5y+z) + (-1080± sqrt(196830) (y-z+4)=0[/b]

Область определения (- ∞;3)U(3;+ ∞ )

Значит прямая х=3 может быть вертикальной асимптотой.
Находим

lim_(x→3-0)f(x)=e^(+∞)= +∞
lim_(x→3+0)f(x)=e^(-∞)=0

[b]x=3 является вертикальной асимптотой слева[/b],
так как левосторонний предел равен ∞

Находим предел на бесконечности
lim_(x→-∞)f(x)=e^(0)= 1
lim_(x→+∞)f(x)=e^(0)=1

[b]Прямая y=1 - горизонтальная асимптота[/b]

k=lim_(x→±∞)f(x)/х=0

Наклонных асимптот нет.

Находим производную

y`=e^(1/(3-x)) * (1/(3-x))`

y`=e^(1/(3-x)) * (-1/(3-x)^2)*(3-x)`

y`=e^(1/(3-x)) * (-1/(3-x)^2)*(-1)

[b]y`=e^(1/(3-x)) * (1/(3-x)^2) [/b]

Точек, в которых производная равна 0, нет.
Точка х=3, в которой производная не существует, не входит в область определения функции.

Функция не имеет экстремумов.

График. см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7.
Делим на х:

y``=(1/x)y`+x
y``-(1/x)y`=x

Замена
y`=z(x)
y``=z`(x)

z`(x) - (1/x) z(x)=x

Линейное уравнение

Будем искать решение в виде произведения двух функций:
z(x)=u(x)*v(x)

z`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v` -(1/х)*u*v=x

Группируем:

u`*v+u*(v` -(1/х)*v)=x

Полагаем
1)v` -(1/х)*v=0
тогда
2)u`*v=x

Из 1) находим v(x) и подставляем в 2)

1)
dv/v=dx/x
∫ dv/v= ∫dx/x
ln|v|=ln|x|
v=x

2)
u`*x=x
u`=1
u=(x+C)

z(x)=(x+C_(1))*x

y`(x)=z(x)=x^2+C_(1)x

y(x)= ∫ y`(x)dx= ∫ (x^2+C_(1)x)dx=(x^3/3)+C_(1)x^2/2+C_(2)

О т в е т. y(x)= (x^3/3)+C_(1)x^2/2+C_(2)

Раскладываем левую часть уравнения на множители:
(2cosx+1)*(sin2x-cos2x)=0
2cosx+1=0 или sin2x-cos2x=0

cosx=-1/2 ⇒ x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z

или

sin2x-cos2x=0 ⇒ tg2x=1 ⇒ 2x=(π/4)+πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/8)+(π/2)*k, k ∈ Z

О т в е т. ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z; (π/8)+(π/2)*k, k ∈ Z

3.
a)
Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
vector{a}*vector{b} = - 6*1 + 1*(-3) + 2*2 = - 5
б)
(vector{a}+vector{b})*(vector{a}-2*vector{b})=
=vector{a}*vector{a}+vector{b}*vector{a}-2*vector{a}*vector{b}-2*vector{b}*vector{b}=

=vector{a}*vector{a}-vector{a}*vector{b}-2*vector{b}*vector{b}=
=((-6)*(-6)+1*1+2*2)-((-6)*1+1*(-3)+2*2) -2*(0*0+2*2+1*1)=
=41++5-10-= 36

в) Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю векторного произведения.
( см. рис.1)
S=|*vector{a}×vector{b}|=sqrt(8^2+14^2+17^2)=sqrt(549)

г) Объем призмы равен модулю смешанного произведения векторов.
Смешанное произведение равно определителю третьего порядка, составленному из координат данных векторов. ( cм. рис.2)

4.
а)
A*(x-x_(1))+B*(y-y_(1))+C*(z-z_(1))=0 - уравнение плоскости, проходящей через точку M_(1) и имеющей нормальный вектор
vector{n}=(A;B;C)

P_(1) и Р_(3) параллельны. Значит их нормальные векторы совпадают.
Нормальный вектор плоскости Р_(1):
vector{n_(1)}=(2;1;-1)
Р_(3): 2*(x-0)+1(y-1)-1*(z+1)=0
Р_(3): 2х +у - z-2=0

б) Нормальный вектор плоскости Р_(4) ортогонален
vector{n_(1)}=(2;1;-1) и vector{n_(2)}=(1;1;1)
vector{n_(4)}=vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=(2;-3;1)
(cм. рис.3)
A*(x-x_(2))+B*(y-y_(2))+C*(z-z_(2))=0 - уравнение плоскости, проходящей через точку M_(2) и имеющей нормальный вектор
vector{n}=(A;B;C)

P_(4):2*(x-1)-3*(y-2)+1*(z+3)=0
2x-3y+z+7=0

в)
P_(5) - уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{M_(1)M}=(x-0;y-1;z+1); vector{M_(1)M_(2)}=(1;1;-2); vector{M_(1)M_(3)}=(-1;0;1) [b] компланарны[/b].

Условие компланарности - равенство 0 определителя третьего порядка составленного из координат данных векторов. см. рис. 4

г) угол между плоскостями P_(1) и P_(2) - угол между нормальными векторами vector{n_(1)} и vector{n_(2)}

cos ∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=vector{n_(1)} * vector{n_(2)}/( |vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|)=(2*1+1*1+(-1)*1)/sqrt(2^2+1^2+(-1)^2)*sqrt(1^2+1^2+1^2)=2/(sqrt(6)*sqrt(3)) =sqrt(2/)3
∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=arccos sqrt(2)/3

д) Расстояние от точки M_(3) До плоскости Р_(3) находим по формуле ( cм. рис.5)

е) Находим общую точку плоскостей.
Пусть х=0
{y-z-3=0
{y+z-1=0
Cкладываем
2у - 4 = 0 ⇒ у = 2
z = - y +1= -2 +1 = -1
Направляющий вектор прямой - ортогонален векторам vector{n_(1)} и vector{n_(2)}
Это вектор vector{n_(4)}=vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=(2;-3;1) ( см. б)

M_(o)(0; 2; - 1) - точка принадлежащая прямой L

Уравнение прямой L- как уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором.(x-0)/2=(y-2)/(-3)=(z+1)/1 - каноническое уравнение

Параметризуем:
(x-0)/2=(y-2)/(-3)=(z+1)/1 = t

Параметрические уравнения:
{x = 2t;
{y = -3t+2
{z = -3t -1

ж)
Прямая L_(1) имеет тот же направляющий вектор, что и прямая L
Уравнение прямой L_(1) как уравнение прямой проходящей через точку с заданным направляющим вектором.
(x-1)/2=(у-2)/(-3)=(z+3)/1

з) См. рис. 6

(прикреплено изображение)

log_(x+1)x/log_(x+1)(3x+2) < 1
ОДЗ:
{x>0 ⇒ x >0
{x+1>0; x+1 ≠ 1 ⇒ x > -1; x ≠ 0
{3x+2>0 ⇒ x > -2/3
{log_(x+1)(3x+2) ≠ 0 ⇒ 3x+2 ≠ 1 ⇒ x ≠ -1/3

ОДЗ: х >0

По формуле перехода к другому основанию

log_(a)b=log_(c)b/log_(c)a ⇒log_(c)b/log_(c)a=log_(a)b
a>0; b>0 ; c>0
a≠1; c≠1

log_(x+1)x/log_(x+1)(3x+2) =log_(3x+2)x

Неравенство принимает вид:
log_(3x+2)x < 1

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
( cм. таблицу в приложении):

(3х+2-1)*(x-3x-2) < 0

(3х+1)*(-2х-2) < 0

(3x+1)*(x+1) >0

__+__ (-1) _____ (-1/3) ___+___

С учетом ОДЗ ответ (0;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Случайная величина X – "объем бутылки,
лежащей в сумке наугад выбранного студента группы" принимает значения 0; 0,33; 0,5 ; 1; 1;5

В группе 10 студентов

Oдна ( Маша) забыла дома бутылочку
p_(0)=1/10 – вероятность того,что объем бутылки,
лежащей в сумке равен 0 литров

У одной участницы бутылочка 0,33 литра
p_(0,33)=1/10 – вероятность того,что объем бутылки,
лежащей в сумке равен 0,33 литра

Половина носит с собой бутылки по 0,5 литров
p_(0,5)=5/10 – вероятность того,что объем бутылки,
лежащей в сумке равен 0,5 литров

У двух участниц бутылочки по литру
p_(1)=2/10 – вероятность того,что объем бутылки,
лежащей в сумке равен 1 литру

у одного (Вася) – бутылочки по 1,5 литра
p_(1,5)=1/10 – вероятность того,что объем бутылки,
лежащей в сумке равен 1,5 литра

Закон составлен в виде таблице
Сумма вероятностей в нижней строчке должна равняться 1.
Так и есть

Ответ выбран лучшим

Случайная величина X – "число сережек в ушах наугад выбранной девочки из данного класса" принимает значения 0;1;2;3;4;5;6
В классе 15 девочек.

Oдна девочка ходит вообще без ушных украшений
p_(0)=1/15 – вероятность того,что у девочки 0 серёжек

У двух девочек–одноклассниц в ушах по 6 серёжек
p_(6)=2/15 – вероятность того,что у девочки 6 серёжек

у одной – по 5
p _(5)=1/15 – вероятность того,что у девочки 5 серёжек

у троих – по 4,
p _(4)=3/15 – вероятность того,что у девочки 4 серёжек

15-1-2-1-3=8 девочек носят по 2 серьги.
p _(2)=8/15 – вероятность того,что у девочки 4 серёжек

Закон составлен в виде таблице
Сумма вероятностей в нижней строчке должна равняться 1.
Так и есть
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Случайная величина X – "число прогулок девочки с собакой в день недели,выбранный наугад" принимает значения 1;2;3

p_(1)=4/7 – вероятность того,что число прогулок равно 1

p_(2)=2/7 – вероятность того,что число прогулок равно 2
p _(3)=1/7 – вероятность того,что число прогулок равно 1

Закон составлен в виде таблице
Сумма вероятностей в нижней строчке должна равняться 1.
Так и есть
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Случайная величина X - "количество жильцов в наугад выбранной комнате на данном этаже" принимает значения 2;3;4

20-4-5=11 комнат, в которых живет 2 человека

p_(2)=11/20 - вероятность того, что в комнате живет 2 человека

p_(3)=4/20 - вероятность того, что в комнате живет 3 человека
p_( 4)=5/20 - вероятность того, что в комнате живет 4 человека

Закон составлен в виде таблице
Сумма вероятностей в нижней строчке должна равняться 1.
Так и есть (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вводим в рассмотрение гипотезы ( события)
H_(1)-"выбрана пуговица 1"
р(Н_(1))=0,5
H_(2)- "выбрана пуговица 2 В"
р(Н_(2))=0,5

р(Н_(1))+р(Н_(2))=1

Гипотезы выбраны верно

Coбытие A - " одна из пуговиц оторвалась."

p(A/H_(1))=0,4
p(A/H_(2))=0,1

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=
=0,5*0,4+0,5*0,1=0,25

По формуле Байеса
p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=0,5*0,4/0,25=4/5=0,8

Ответ выбран лучшим

АВ=ВС=АС=6
A_(1)B_(1)=B_(1)C_(1)=A_(1)C_(1)=6

A_(1)M=MC_(1)=3

Из ΔСС_(1)M по теореме Пифагора
CM=5
Пусть проекция точки M на пл. АВС - точка К
МК=4
ВК=ВС*sin60^(o)=4*sqrt(3)/2=2sqrt(3)

По теореме Пифагора из ΔМКВ
ВМ^2=BK^2+KM^2=(2sqrt(3))^2+4^2=28
BM=4sqrt(7)

P_( ΔBMC)=BM+MC+BC=4sqrt(7)+5+6=11+4sqrt(7) (прикреплено изображение)

n=20
m=1 ( это один из двадцати номеров)

p_(1)=1/20
p_(2)=1/20

p=p_(1)*p_(2)= (1/20)*(1/20) = 1/400 = 0,0025

Ответ выбран лучшим

n=C^2_(10)=9*10/2=45
m=C^2_(3)*C^(0)_(7)=3
p=m/n=3/45=1/15

Ответ выбран лучшим

Полная вероятность.
Вводим в рассмотрение гипотезы ( события)
H_(1)-"выбран житель города А"
р(Н_(1))=0,5
H_(2)- "выбран житель города В"
р(Н_(2))=0,5

р(Н_(1))+р(Н_(2))=1

Гипотезы выбраны верно

Coбытие A - " случайно выбранный житель из этих
двух городов заболел гриппом"

p(A/H_(1))=0,4
p(A/H_(2))=0,45

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=
=0,5*0,4+0,5*0,45=0,425

Ответ выбран лучшим

n=C^2_(50)=50!/(2!*(50-2)!)=49*50/2=49*25=1225

m=C^2_(40)*C^(0)_(10)=40!/(2!*(40-2)!)=39*40/2=39*20=780

p=m/n=780/1225=156/245

Ответ выбран лучшим

p_(1)=10/22 =5/11 - вероятность выбора стакана с компотом первый раз

Теперь на прилавке 12 стаканов с кефиром и 9 стаканов с компотом
p_(2)=9/21=3/7 - вероятность выбора стакана с компотом первый раз

p=p_(1)*p_(2)=(5/11)*(3/7)=15/77

Ответ выбран лучшим

Задача на формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Вводим в рассмотрение гипотезы ( события)
H_(1)-"в мастерскую поступил телевизор"
р(Н_(1))=0,5 ( 50% - 50/100=0,5)
H_(2)- "в мастерскую поступил магнитофон"
р(Н_(2))=0,3
H_(3)- "в мастерскую поступила стиральная машина"
р(Н_(3))=0,2

р(Н_(1))+р(Н_(2))+р(Н_(3))=1

Гипотезы выбраны верно

Coбытие A - " прибор, поступивший в мастерскую, был отремонтирован"

p(A/H_(1))=0,7
p(A/H_(2))=0,8
p(A/H_(3))=0,9

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=
=0,5*0,7+0,3*0,8+0,2*0,9=0,77

По формуле Байеса
p(H_(1)/A)==p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=0,5*0,7/0,77=35/77=5/11

События равновероятны

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4 незелёных яблока и 1 зелёное;
2 незелёных груши и 1 зелёная.

4+2=6 незеленых фруктов, из них груш 2
n=6
m=2
p=m/n=2/6=1/3

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами:

вероятность попадания p, вероятность промаха q=1-p

Событие А - "хотя бы одно попадание при двух выстрелах"

Событие vector{A} - " ни одного попадания при двух выстрелах"
p( vector{A})=С^(0)_(2)p^(0)q^(2)=(2!/0!(2-0)!)*q^2=q^2
0!=1

Тогда p(A)=1-p( vector{A})=1-q^2
По условию
p(A)=0,99

1-q^2=0,99
q^2=1-0,99
q^2=0,01
q=0,1

p=1-q=0,9

P_(5)3=C^(3)_(5)0,9^(3)*0,1^2=(5!/3!*(5-3)!)*0,9^(3)*0,1^2 = 0,0729
О т в е т. 0,0729

Ответ выбран лучшим

Если из урны извлечен белый шар, значит в урне осталось
8 черных и 3 белых шара
Всего шаров
n=8+3=11
m=8

p=8/11

Ответ выбран лучшим

Число делится на 5, если оно оканчивается на 5 или на 0
A-"число оканчивается на 5 или на 0"
B-"число оканчивается на 0"
А \ B - "число оканчивается на 5 "

A ∩ B=B- "число оканчивается на 0"

Ответ выбран лучшим

Формула классической вероятности
p(А)=m/n
n- число всех исходов ( случаев)
m- число исходов, благоприятствующих наступлению события А
Coбытие А - "взята наугад свежая булка"

n=18 - способов выбрать булку
m=(9+7)=16 - способов выбрать свежую булку

p(A)=16/18 =8/9

Ответ выбран лучшим

p(A)+p(vector{A})=1

p(A)=0,55

p(vector{A})=1 - p(A)=1 - 0,55 = 0,45

Ответ выбран лучшим

Событие A- "выигрыш в лотерею"
Событие vector{A}- "проигрыш в лотерею"
Событие A и событие vector{A}
являются противоположными событиями.
p(A)+p(vector{A})=1

p(A)=0,01

p(vector{A})=1 - p(A)=1 - 0,01 = 0,99
О т в е т. 0,99

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что бросают игральную кость.
Исходов испытания 6
n=6
A-"на верхней грани выпадет 5 очков"
Событию А благоприятствуют 1 исход
p(A)=m/n=1/6

Ответ выбран лучшим

Формула классической вероятности
p(А)=m/n
n- число всех исходов ( случаев)
m- число исходов, благоприятствующих наступлению события А

Coбытие А - "взята карта пациента, не проходившего
флюорографию в текущем году"

n=15 - способов выбрать карту больного
m=(15-5)=10 - способов выбрать карта пациента, не проходившего
флюорографию в текущем году

p(A)=10/15 = 2/3=0,6667

Ответ выбран лучшим

Формула классической вероятности
p(А)=m/n
n- число всех исходов ( случаев)
m- число исходов, благоприятствующих наступлению события А

Coбытие А - "студент при случайном выборе транспорта поедет в автобусе"

n=(10+5+5+2) - способов выбрать 1 предмет из корзины (овощ или фрукт)
m=(5+5)=10 - способов выбрать фрукт

p(A)=10/22 = 5/11

Ответ выбран лучшим

Формула классической вероятности
p(А)=m/n
n- число всех исходов ( случаев)
m- число исходов, благоприятствующих наступлению события А

Coбытие А - "студент при случайном выборе транспорта поедет в автобусе"

n=(3+2) - способов выбрать транспорт
m=2 - способа выбрать автобус

p(A)=2/5 = 0,4

Ответ выбран лучшим

1
a) верно.
∠ PAB- угол между AP и AB
DC|| AB
∠ PAB- угол между AP и DC

2.
ВВ_(1)С_(1)С- квадрат
Диагональ квадрата ВС_(1) делит угол В_(1)С_(1)С пополам
Значит диагональ квадрата ВС_(1) образует угол 45^(o) c СС_(1)
СС_(1)|| AA_(1)
Угол между прямыми ВС_(1) и AA_(1) равен 45^(o)

3.
B_(1)D_(1)|| BD
Угол между ВС_(1) и BD равен 60^(0)
треугольник BDC_(1) - равносторонний

Значит, угол между ВС_(1) и B_(1)D_(1) равен 60^(0)
см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула классической вероятности
p(А)=m/n
n- число всех исходов ( случаев)
m- число исходов, благоприятствующих наступлению события А

Coбытие А - "наугад взята конфета с апельсиновой начинкой"

n=28 - способов выбрать конфету
m=20 - способов выбрать конфету с апельсиновой начинкой

p(A)=20/28 ≈ 0,7143

Ответ выбран лучшим

x=1 - наибольший корень

Решить уравнение вида f(x)=g(x)
значит найти абсциссу точки пересечения графиков двух функций

y=f(x) и y=g(x)

f(x)=|cos(πx)+x^3-3x^2+3x|
g(x)=2-x^2-2x^3

f(x)=|cos(πx)+x^3-3x^2+3x| ≥ 0 при любом x

Исследуем функцию
y= 2-x^2-2x^3

y`=-2x-6x^2
y`=0
-2x*(1+3x)=0
x=0 или х=-1/3

_-_ (-1/3) _+__ (0) __-__

Функция убывает на (-∞;-1/3) и на (0;+∞)
Функция возрастает на (-1/3;0)

y(0)=3 >0
y(2)=3-2^2-2*2^3 <0

Значит на [0;2] кривая переходит из верхней полуплоскости в нижнюю и пересекает ось Ох
На [0;2] есть корень уравнения
3-x^2-2x^3=0
этот корень x=1

Проверяем, что этот корень является нулем и второй функции

y=|cos(πx)+x^3-3x^2+3x|

y(1)=|cosπ+1-3+3|=0

х=1 - наибольший корень

Ответ выбран лучшим

Формула Байеса.
Вводим в рассмотрение гипотезы
H_(1)- студент из первой группы
р(Н_(1))=4/10
H_(2)- студент из первой группы
р(Н_(2))=6/10

р(Н_(1))+р(Н_(2))=1

Гипотезы выбраны верно

Coбытие A - " наудачу выбранный студент попал в сборную"
p(A/H_(1))=0,9
p(A/H_(2))=0,6

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))=0,4*0,9+0,6*0,6=0,72

По формуле Байеса
p(H_(1)/A)==p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)=0,4*0,9/0,72=1/2
p(H_(2)/A)==p(H_(2))*p(A/H_(2))/p(A)=0,6*0,6/0,72=1/2

События равновероятны

Ответ выбран лучшим

x^2=-2y - параболический цилиндр.
На пл. хОу парабола x^2=-2y
Образующие параллельны оси Оz
Cм. рис. 1

(x^2/25)-(y^2/4)+(z^2/1)=1

Однополостный гиперболоид c осью Оу
На плоскости хОz эллипс
(x^2/25)+(z^2/1)=1
См. рис. 2

(x^2/25)+(y^2/4)=1 - эллиптический цилиндр
На плоскости хОу эллипс
(x^2/25)+(у^2/1)=1
Образующие параллельны оси Оz
См. рис. 3

(x^2/9)+(y^2/4)+(z^2/1)=1 - эллипсоид.
См. рис.4

(x^2/25)-(z^2/4)=1 - гиперболический цилиндр.
На пл. хОz гипербола
(x^2/25)-(z^2/4)=1
Образующие параллельны оси Оy
Cм. рис. 5

(x^2/25)-(y^2/4)+(z^2/1)= - 1 двуполостный гиперболоид
c осью Оу
Cм. рис. 6

(прикреплено изображение)

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
Функция непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ) как многочлен.
Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет, горизонтальных асимптот нет
lim_(x→ + ∞ )=+ ∞
lim_(x→ + ∞ )= - ∞
Наклонных асимптот тоже нет
k=lim_(x→ ∞)f(x)/x= lim_(x→ ∞)(x^3-5x^2+3x-5)/x = ∞
( должно быть число)

y`=3x^2-10x+3
y`=0
3x^2-10x+3=0
D=(-10)^2-4*3*3=64
x_(1)=(10-8)/6=1/3; x_(2)=(10+8)/6=3;

Расставляем знак производной:

__+__ (1/3) __-___ (3) _+___

y` < 0 на (1/3;3)
Функция убывает на (1/3;3)

y`>0 на (- ∞ ; 1/3) и на (3;+ ∞ )
Функция возрастает на (- ∞ ; 1/3) и на (3;+ ∞ )

x=1/3 - точка максимума производная меняет знак с + на -

х=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=6x-10

x=10/6 - точка перегиба, вторая производная меняет знак

На (- ∞; 10/6) y`` < 0 кривая выпукла вверх
На (10/6;+ ∞ ) у`` > 0 кривая выпукла вниз

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos((-7π/3)=cos(-2π+(-π/3)=cos(-π/3)=cos(π/3)=1/2

cos(7π/6)=cos(π+(π/6)= - cos(π/6)= - sqrt(3)/2

sin (7π/6)=sin (π+(π/6)= - sin (π/6)= - 1/2
Здесь спорное понимание условия:

2tg0+8cos(3π/2)-6sin^([b]2[/b])(π/3)=2*0+8*0-6*(sqrt(3)/2)^2=-9/2

или

2tg0+8cos(3π/2)-6sin([b]2[/b]π/3)=2*0+8*0-6*(sqrt(3)/2)=-3sqrt(3)/2

Уравнение:

8cost=-sqrt(48)
8cost=-4sqrt(3)
cost=-sqrt(3)/2
t= ± arccos(-sqrt(3)/2)+2πn, n ∈ Z

t= ± (5π/6)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. ± (5π/6)+2πn, n ∈ Z

Область определения (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ )

y`=(x`(x+2)^2-x*((x+2)^2)`)/(x+2)^4

y`=((x+2)^2-2x*(x+2))/(x+2)^4

y`=(x+2)*(x+2-2x)/(x+2)^4

y`=(2-x)/(x+2)^2

y`=0
x=2

Расставляем знаки производной:

_-__ (-2) _+__ (2) _-__

y` < 0 на (- ∞ ;-2) и на (2;+ ∞ )
Функция возрастает на (- ∞ ;-2) и на (2;+ ∞ )

y`>0 на (-2;2)
Функция возрастает на (-2;2)

x=2- точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(2)=2/(2+2)^2=2/4=1/2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Однозначные числа займут 9 мест,
двузначные (их 90), по две цифры на каждое - 180 мест
трехзначные (их 900), по три цифры на каждое -2700 мест.

Интересующая нас цифра будет в составе трехзначных чисел.

Переформулируем задачу.
Определить цифру трехзначного числа на 2018-180-9=1829 месте.

В трехзначном числе три цифры.
1829:3=609 ( 2 ост)

Это вторая цифра 610 -го по счету трехзначного числа

699- это 600-е трехзначное число

700 701 702 703 704 705 706 707 708 7[b]0[/b]9

Это цифра 0

11.
y``+16y=0
k^2+16=0
k= ± 4i
y=C_(1)cos4x+C_(2)sin4x - общее решение однородного уравнения

f(x)=8cos4x
4i - корень характеристического уравнения, поэтому

y_(частное)=x*(Acos4x+Bsin4x)

y`_(частное)=x`*(Acos4x+Bsin4x)+x*(Acos4x+Bsin4x)`=

=1*(Acos4x+Bsin4x)+x*(-4Asin4x+4Bcos4x)

y``=-4Asin4x+4Bcos4x+(-4Asin4x+4Bcos4x)+x*(-16Acos4x-16sin4x)

Подставляем в уравнение:
-4Asin4x+4Bcos4x+(-4Asin4x+4Bcos4x)+x*(-16Acos4x-16sin4x) + +16*x(Acos4x+Bsin4x)= 8cos4x

8Bcos4x-8Asin4x= 8cos4x
8В=8
В=1
-8А=0
А=0

О т в е т. C_(1)cos4x+C_(2)sin4x +8xsin4x

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из диаграммы легко выписать сколько процентов опрошенных считают так или иначе.
См. рис.1

Ответы
1) Нет.
Только 22% так считают. Это не наибольшее число опрошенных
2)Да
Так как 12% > 8%
3)
28% так считают.
А четверть это 25%
Если считаем, что 25% ≈ 28%, то ответ ДА.
Если считаем, что 25% ≠ 28%, то ответ НЕТ

4) 30% против 28%+8%=36%
Если считаем, что 30% это столько же сколько 36%, то ответ Да
Если считаем, что они не равны, то ответ НЕТ
5)
30%
Треть- это 100%/3 ≈ 33,3%

Если считаем, что 30% ≈ 33,3%б то ответ Да
Если считаем, что 30% отличаются от 33,3% то ответ НЕТ (прикреплено изображение)

6.
y``(x)= ∫ y```(x)dx= ∫ (e^(x/2)+1)dx=2e^(x/2)+x+C_(1)
y`(x)= ∫ y``(x)dx= ∫ (2e^(x/2)+x+C_(1))dx=
=4e^(x/2)+(x^2/2)+C_(1)x+C_(2)

y(x)= ∫ y`(x)dx= ∫ (4e^(x/2)+(x^2/2)+C_(1)x+C_(2))dx=

=8*e^(x/2)+(x^3/6)+C_(1)x^2/2+C_(2)x+C_(3)

О т в е т. Общее решение дифференциального уравнения
y=8*e^(x/2)+(x^3/6)+C_(1)x^2/2+C_(2)x+C_(3)

10.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решаем однородное:
y``-12y`+40y=0

Составляем характеристическое
k^2-12k+40=0
D=144-4*40=-16
k_(1)=(12-4i)/2=6-2i; k_(2)=6+2i
α =6; β =2
Общее решение однородного имеет вид
y_(общее одн)=e^( α x)*(C_(1)cos β x+C_(2)sin β x)

y_(общее одн)=e^( 6x)*(C_(1)cos 2x+C_(2)sin2x)

Частное решение неоднородного уравнения со специальной правой частью f(x)=2e^(6x)
ищем в виде,
y_(частное)=Ae^(6x)
так как 6 не является корнем характеристического уравнения

y`_(частное)=6А*e^(6x)
y``_(частное)=36Ae^(6x)

Подставляем в данное уравнение:
36*A*e^(6x)-12*6*А*e^(6x)+40*А*e^(6x)=2*e^(6x)
4А=2
А=1/2
y_(частное)=(1/2)*e^(6x)
О т в е т. y=y_(общее одн)+у_(частное)=

=e^( 6x)*(C_(1)cos 2x+C_(2)sin2x)+(1/2)*e^(6x)=

= e^( 6x)*(C_(1)cos 2x+C_(2)sin2x + (1/2))

Ответ выбран лучшим

y=(-2/3)x+(1/3)
k=-2/3
tg α =-2/3
α - угол, который образует данная прямая с осью Ох

Уравнение прямых, наклоненных к данной запишем в виде:
y=k_(1)x+b

tg β =k_(1)
α - угол, который образует прямая с осью Ох

β – α =45^(o)

Так как
tg( β – α )=(tg β –tg α )/(1+tg β ·tg α )
и

tg45^(o)=1

(k_(1)–(-2/3))/(1+(-2/3)·k_(1))=1

k_(1)=1/5

y=(1/5)x+b

Чтобы найти b подставим координаты точки А(3;1)
1=(3/5)+b
b=2/5

[b]y=(1/5)x+(2/5)[/b] - уравнение первой прямой.

Угол между прямыми 45^(o), а смежный угол - 135^(o)

Поэтому уравнение второй прямой получим из условия
β – α =135^(o)

Так как
tg( β – α )=(tg β –tg α )/(1+tg β ·tg α )
и

tg135^(o)= - 1

(k_(1)–(-2/3))/(1+(-2/3)·k_(1))= -1

k_(1)= - 5

y= - 5x + b

Чтобы найти b подставим координаты точки А(3;1)
1= - 5*3 + b
b=16

[b]y= - 5x + 16 [/b] - уравнение второй прямой.

Найдем координаты точек пересечения прямых
{ 2x+3y–1=0
{y=(1/5)x+(2/5)

2x+(3/5)x+(6/5)-1=0 ⇒ x=-1/13; y=5/13 [b] B(-1/13;5/13)[/b]

{ 2x+3y–1=0
{y=-5x+16

2x+3*(-5x+16)-1=0 ⇒ x=47/13; y=-37/13 [b] C(47/13;-27/13)[/b]

S_( Δ ABC)=(1/2)BA*BC*sin 45^(o)

vector{BA}=(3-(-1/13);1-(5/13))=(40/13; 8/13)
vector{BC}=((47/13)-(-1/13); (-27/13)-(5/13))=(48/13;-32/13)

|vector{BA}|=sqrt((40/13)^2+(8/13)^2)=sqrt(1664)/13=8sqrt(26)/13

|vector{BC}|=sqrt((48/13)^2+(-32/13)^2)=sqrt()/13=16sqrt(13)/13

S_( Δ ABC)=(1/2)*(8*sqrt(26)/13)*(16sqrt(13)/13)**sqrt(2)/2)=64/13

(прикреплено изображение)

10.
OO_(2)=(2/3)R
По теореме Пифагора
r^2_(2)=R^2-((2/3)R)^2;
[b]r^2_(2)=(5/9)R^2[/b]

S_(ω_(2))=5π
π*r^2_(2)=5π
(5/9)R^2=5
R^2=9

S_(cферы)=4πR^2=4π*9=36π

О т в е т. 36π

12.
OO_(1)=(1/6)R
OO_(2)=(4/6)R

По теореме Пифагора
r^2_(1)=R^2-((1/6))R^2
r^2_(1)=35R^2/36

По теореме Пифагора
r^2_(2)=R^2-((4/6))R^2
r^2_(2)=20R^2/36

S_(ω_(1))+S_(ω_(2))=55π
πr^2_(1)+πr^2_(2)=55π
Делим на π
и подставляем r^2_(1)=35R^2/36; r^2_(2)=20R^2/36 :
(35R^2/36) + (20R^2/36) = 55
R^2=36

S_(cферы)=4πR^2=4π*36=144π

О т в е т. 144π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
cos(x/3)< -1/2
см. рис. 1
(2π/3)+2πn < (x/3) < (4π/3)+2πn, n ∈ Z
умножаем на 3
(2π)+6πn < x < (4π)+6πn, n ∈ Z - о т в е т.

б)
sin(3π/4)=sqrt(2)/2
см. рис.2
(π/4)+2πn ≤ 2x+(π/4) ≤ +2πn, n ∈ Z
Вычитаем от всех частей неравенства (π/4)

2πn ≤ 2x ≤ (2π/4)+2πn, n ∈ Z

Делим на 2

πn ≤ x≤ (π/4)+πn, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=5746

Ответ выбран лучшим

О т в е т. (a;b)U(b;c)

значения a;b;c найти по графику приближенно
b=1
a ≈-0,4
c ≈5,4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

15.
cos(2x-(3π/2))=cos(3π/2)-2x)=-sin2x

sin4x=2sin2x*cos2x

-sin2x+2sin2x*cos2x=0

sin2x*(-1+2cos2x)=0

sin2x=0 ⇒ 2x=πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/2)k, k ∈ Z

ИЛИ

cos2x=1/2 ⇒ 2x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± (π/6)+πn, n ∈ Z
О т в е т.
а)(π/2)k, k ∈ Z ; ± (π/6)+πn, n ∈ Z

б) -(5π/2); (-3π);(-7π/2)
(-π/6) -3π=-19π/6
(π/6) -3π=-17π/6
корни принадлежащие указанному отрезку.
См. рис. (прикреплено изображение)

Уравнение
x^2-9|x|+18=a
имеет три различных решения при а=18
См. рис.
На рис. 1 график y=x^2-9|x|+18

Уравнение
|x^2-9|x|+18|=a
имеет три различных решения при а=18
См. рис.
На рис.2 график y=|x^2-9|x|+18|
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Логарифмируем.
lny=(2/5)ln(x+1) -4ln(x-3)-3ln(x-4)
Дифференцируем
y`/y=(2/5(x+1))-4/(x-3) - 3/(x-4)
Отсюда
y`=[b]y[/b] ( (2/5(x+1))-4/(x-3) - 3/(x-4))

Упрощаем выражение в скобках: приводим дроби к общему знаменателю.
Вместо y пишем данную функцию, получаем ответ

Ответ выбран лучшим

a) Область определения (-2;+ ∞ )
y`=1-(1/(x+2))
y`=(x+1)/(x+2)
Расставляем знак производной на ОДЗ:
(-2) _-_ (-1) __+___

y`<0 на (-2;-1), значит функция убывает на (-2;-1),

На (-1;+ ∞ ) функция возрастает, так как y`>0

x=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=((x+1)/(x+2))`=((x+1)`*(x+2)-(x+1)*(x+2)`)/(x+2)^2=1/(x+2)^2 > 0
при любом х ∈ ОДЗ

Значит кривая выпукла вниз.

График см рис.1

б.
Область определения (- ∞;-1)U(-1;+∞)

y`=((x^3)`*(x+1)-x^3*(x+1)`)/(x+1)^2
y`=(2x^3+3x^2)/(x+1)^2
y`=x^2*(2x+3)/(x+1)^2

Расставляем знак производной на ОДЗ:

___-___ (-3/2) _+_ (-1) _+_ (0) ___+___

y`<0 на (-3/2;-1), значит функция убывает на (- ∞;-3/2)

На (-3/2;-1 ) и (-1;0) и (0;+∞) функция возрастает, так как y`>0

x=-3/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

График см рис.2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ctg2φ =(5-8)/4 = - 3/4

ctg^22φ = 9/16

cos^22φ /sin^22φ=9/16

(1-sin^22φ)/sin^22φ=9/16
(1/sin^22φ)-1=9/16
1/sin^22φ=(9/16)+1
sin^22φ=16/25
sin2φ= - 4/5
cos^22φ=1-sin^22φ=1-(16/25)=9/25
cos2φ=3/5

2cos^2φ-1 =3/5
cos^2φ=((3/5)+1)/2
cos^2φ=4/5
cosφ=sqrt(4/5)=2/sqrt(5)
sin^2φ =1-cos^2φ=1-(4/5)=1/5
sinφ=sqrt(1/5)=1/sqrt(5)

Найденные значения cos φ и sin φ подставляем в систему:

{х=2х`/sqrt(5)-y`/sqrt(5)
{y=x`/sqrt(5)+2y`/sqrt(5)

Подставляем x и у в данное уравнение:
5*(2х`/sqrt(5)-y`/sqrt(5))^2+4*(2х`/(5)-y`/sqrt(5))*(x`/sqrt(5)+2y`/sqrt(5))+8*(x`/sqrt(5)+2y`/sqrt(5))^2-32*(2х`/sqrt(5)-y`/sqrt(5))- 56*(x`/sqrt(5)+2y`/sqrt(5))+80=0;

При λ =0
y^2+z^2=4 - эллиптический(круговой) цилиндр.
Основание - окружность y^2+z^2=4 в плоскости уОz
Образующие параллельны оси Ох.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=cos^2x
u`=2cosx*(cosx)`=2cosx*(-sinx)=-sin2x

v=lg(x^2-2x+1)
v`=(1/(x^2-2x+1)*ln10)*(x^2-2x+1)`=(2x-2)/((x^2-2x+1)*ln10)=

=2/((x-1)*ln10)

О т в е т. (-sin2x*lg(x^2-2x+1)- 2cos^2x/((x-1)*ln10))/lg^2(x^2-2x+1)

(прикреплено изображение)

Логарифмируем
lny=(1/3)ln(x-3) + 5 ln(x+7)-2ln(x-4) (#)

y - зависимая ( сложная) функция

поэтому
(lny)`=y`/y

Дифференцируем равенство (#)

y`/y=(1/3)*(1/(x-3)+5*(1/(x+7)-2*(1/(x-4))

y`= [b]y*[/b]*((x+7)(x-4)+15*(x-3)(x-4)-6(x-3)(x+7))/(3*(x-3)(x+7)(x-4)

y`=(x+7)^4*((x+7)(x-4)+15*(x-3)(x-4)-6(x-3)(x+7))/(3*(x-3)^(2/3)*(x-4)^3)

Упростить ((x+7)(x-4)+15*(x-3)(x-4)-6(x-3)(x+7)) - раскрыть скобки и привести подобные и вставить короткое выражение в ответ

Ответ выбран лучшим

(u*v)`=u`*v+u*v`

u=ctg(1/x)
u`=(-1/sin^2(1/x))((1/x)`=(-1/sin^2(1/x))*(-1/x^2)=1/(x^2*sin^2(1/x))
v`=(arccosx^4)`=-(x^4)`/sqrt(1-(x^4)^2)=-4x^3/sqrt(1-(x^4)^2)

О т в е т. (1/(x^2*sin^2(1/x))) * arccos(x^4) + (ctg(1/x)) * (4x^3/sqrt(1-x^8))

Ответ выбран лучшим

2.25
y=(3/u)- v^(5/2)
u=4x-3x^2+1
v=(x+1)

u`=4-6x
v`=1

y`=(-3u`/u^2)-(5/2)v^((5/2)-1)*v`

y`=(-3*(4-6x)/(4x-3x^2+1)^2)-(5/2)*(x+1)^(3/2) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

25
y`=(8x-5*x^(-4)+1*x^(-1)-x^(4/5))`=

=8-5*(-4)x^(-5)+1*(-1)*x^(-2)-(4/5)x^((4/5)-1)=

=8+(20/x^(5))-(1/x^(5))-(4/(5*x^(1/5))) (прикреплено изображение)

Основное логарифмическое тождество:
a^(log_(a)b)=b, a>0; b>0; a ≠ 1

log_(a)b*log_(b)a=1, a>0; b>0; a ≠ 1

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

двузначное число, записанное цифрами x и y это 10х+у

Cистема:
{10x+y+2x+2y=96
{(10x+y)*(x+y)=952

{4x+y=32
{10x^2+11xy+y^2=952

Решаем способом подстановки:
{y=32-4x
{10x^2+11x*(32-4x)+(32-4x)^2=952;

-18x^2+96x+72=0
3x^2 - 16x - 12=0

D=256+144=400

x=(16+20)/6=6 ( второй корень отрицательный и не удовлетворяет смыслу задачи)
y=32-4x=32-4*6=8
О т в е т. 68

2
{x^2+y^2=65
{10x+y+27=10y+x

{x^2+y^2=65
{x-y+3=0 ⇒ y=x+3

x^2+(x+3)^2=65
2x^2+6x-56=0
x^2+3x-28=0
D=9-4*(-28)=121
x=(-3+11)/2=4 ( второй корень отрицательный и не удовлетворяет смыслу задачи)
y=x+3=4+3=7
О т в е т. 47

Ответ выбран лучшим

sqrt(u)`=u`/(2sqrt(u))
(1/u^(3))`=(u^(-3))`=-3u^(-4)*u`=-3u`/u^4

y`=(3x^4-2x^3+x)`/(2sqrt(3x^4-2x^3+x)) -4*(-3)*(x+2)^(-4)

y`=(12x^3-6x^2+1)/(2sqrt(3x^4-2x^3+x)) +(12/(x+2)^(4)) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Применяем правило нахождения производной частного:
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
u=tg^32x
v=lg(5x+1)

y`=(3tg^22x*(tg2x)`*lg(5x+1)-(tg^32x)(1/(5x+1)ln10)*(5x+1)`)/lg^2(5x+1)

y`=(3tg^22x*(1/cos^22x)*(2x)`*lg(5x+1)-(5*tg^32x)/((ln10)*(5x+1)))/lg^2(5x+1)

y`=[b]([/b]6(tg^22x)*lg(5x+1)/(cos^22x)-(5*tg^32x)/((ln10)*(5x+1))[b])[/b]/lg^2(5x+1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Плоскость, проходит через прямую
L_(1): (x–3)/2 = y/1 = (z+1)/3,

Значит точка K(-3;0;-1) принадлежит плоскости и направляющий вектор прямой vector{s}=(2;1;3) лежит в плоскости

Плоскость параллельна прямой
L_(2):
{x+y–z=2
{x+2y=3

Найдем две точки принадлежащие прямой L_(2):
Пусть
y=0
тогда из второго уравнения
х=3
Из первого
z=1
А(3;0;1)
и
z=0
{x+y=2
{x+2y=3
Умножаем первое на 2
{2x+2y=4
{x+2y=3
Вычитаем
х=1
y=1
B(1;1;0)

vector{AB}=(1-3;1-0;0-1)=(-2;1;-1) - направляющий вектор прямой L_(2).

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.
Тогда три вектора
vector{KM}=(x-3;y;z+1); vector{s}=(2;1;3) и vector{AB}=(-2;1;-1) [b] компланарны [/b]

Условие компланарности трех векторов - равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат данных векторов. (прикреплено изображение)

Логарифмируем:
lny=(1/7)ln(2x-3)-(1/7)ln(2x+1)+ln(lg(7x-10))

Дифференцируем:
y`/y=2/(7*(2x-3)) - 2/(7*(2x+1))+(1/lg(7x-10))*l(g(7x-10))`

y=(2x-3)^(1/7)lg(7x-10)/(2x+1)^(1/7) * [b]([/b] (8/7)*(1/(2x-3)(2x+1))+

+7/((ln10)*(7x-10)*lg(7x-10))[b])[/b]

Ответ выбран лучшим

Логарифмируем:
lny=4ln(x-1)+5ln(x+2)-(2/3)ln(x-4)
y- зависимая функция
Поэтому
(lny)`=(1/y)*y`=y`/y

Дифференцируем:
y`/y=4*(1/(x-1)) +5*(1/(x+2))-(2/3)*(1/(x-4))

y`=y*(4/(x-1)) +5/(x+2))-(2/3*(x-4))=

=(x-1)^3*(x+2)^4*(12*(x+2)(x-4)+15*(x-1)(x-4)-2*(x-1)(x+2))/(3*(x-4)^(5/3)).

Упростим 12*(x+2)(x-4)+15*(x-1)(x-4)-2*(x-1)(x+2)
и получим ответ

Ответ выбран лучшим

Применяем правило:
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=(arccos^22x)`*ln(x-3)+arccos^22x*(ln(x-3))`=

применяем правило нахождения производной сложной функции
(u^2)`=2u*u`; u=arccos2x

y`=2arccos2x*(arccos2x)`*ln(x-3)+arccos^22x*(1/(x-3))=

=(2arccos2x)*(ln(x-3))*(-1/sqrt(1-(2x)^2))*(2x)`+(arccos^22x)/(x-3)=

=(-4arccos2x)*(ln(x-3))/(sqrt(1-4x^2))+(arccos^22x)(x-3)).

О т в е т. y`=(-4arccos2x)*(ln(x-3))/(sqrt(1-4x^2))+(arccos^22x)(x-3)).

Ответ выбран лучшим

y`=(5x^2-x^(4/3)_4*x^(-3)-5*x^(-1))`=

=5*2x-(4/3)x^((4/3)-1)+4*(-3)x^(-3-1)-5*(-1)x^(-1-1)=

=10x -(4/3)∛x -(12/x^4)+(5/x^2)

О т в е т. y`=10x -(4/3)∛x -(12/x^4)+(5/x^2)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+3>0 ⇒ x > -3;
{3-x > 0 ⇒ x < 3
{4-x > 0 ⇒ x < 4
{4-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{x+5 > 0 ⇒ x > -5
{x+5 ≠ 1 ⇒ x ≠ -4

ОДЗ: -3 < x < 3

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
( cм. приложение):

(4-x-1)*(x+3-1)*(x+5-1)*(3-x-1) ≥ 0;
(3-x)*(x+2)*(x+4)*(2-x) ≥ 0
(x+4)*(x+2)*(x-2)*(x-3) ≥ 0

Применяем метод интервалов:

__+_ [-4] __-__ [-2] __+____ [2] __-__ [3] __+__

C учетом ОДЗ получаем ответ.
[-2;2] (прикреплено изображение)

Треугольники ВОС и AOD подобны по двум углам:
∠ВСА= ∠СAD - внутренние накрест лежащие
∠ВОС= ∠AOD - вертикальные

Из подобия
x:(15-x)=6:4
4x=6*(15-x)
4x=90-6x
10x=90
x=9

О т в е т. 9 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7.
cos((x/2)-(π/12))=0
(x/2) - (π/12)=(π/2)+πn, n ∈ Z
(x/2) = (π/2) +(π/12) +πn, n ∈ Z
(x/2) = (7π/12) +πn, n ∈ Z
[b]x= (7π/6) +2πn, n ∈ Z[/b]
ИЛИ
sin(x-(π/3))+1 = 0
sin(x-(π/3)) = -1
x-(π/3)= (-π/2) +2πm, m ∈ Z
x=(-π/2) +(π/3) +2πm, m ∈ Z
[b]x=(-π/6) +2πm, m ∈ Z[/b]

О т в е т.(-π/6) +2πm; (7π/6) +2πn, m, n ∈ Z

8,
cos4x+1=0
cos4x=-1
4x= (-π) +2πm, m ∈ Z
[b]x=(-π/4) +(π/2)m, m ∈ Z[/b]

ИЛИ

sin2x-1=0
sin2x=1
2x=(π/2) +2πn, n ∈ Z
[b]x=(π/4) +πn, n ∈ Z[/b]

О т в е т. (-π/4) +(π/2)m, m ∈ Z ( второй ответ входит в первый при
m=2n+1)

Ответ выбран лучшим

1.
Замена переменной
sinx=t
7t^2+5t-2=0
D=25-4*7*(-2)=81
t_(1)=(-5-9)/14=-1 или t_(2)=(-5+9)/14=2/7
sinx=-1 ⇒ x=(-π/2)+2πn, n ∈ Z
или
sinx=2/7 ⇒ x = (-1)^(k) arcsin(2/7)+πm, m ∈ Z

О т в е т. (-π/2)+2πn, n ∈ Z
(-1)^(k) arcsin(2/7)+πm, m ∈ Z

2.
sin^2x=1-cos^2x
5*(1-cos^2x)-21cosx-9=0
5cos^2x+21cosx+4=0
D=441-4*5*4=316
cosx=-4 - уравнение не имеет корней ( |cosx| ≤ 1)
или
cosx=-1/5 ⇒ x= ± arccos(-1/5)+2πn, n ∈ Z
О т в е т. ± arccos(-1/5)+2πn, n ∈ Z

3.

ctgx=1/tgx
5tg^2x+7tgx-6=0
tgx ≠ 0
D=49-4*5*(-6)=169
tgx=-2 или tgx=0,6
x=arctg(-2)+πk, k ∈ Z или х=arctg0,6+πn, n ∈ Z
О т в е т. - arctg2+πk, arctg0,6+πn, k, n ∈ Z

4.

sinx=-4cosx
tgx=-4
x=arctg(-4)+πk, k ∈ Z
x= - arctg4+πk, k ∈ Z

О т в е т. - arctg4+πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

5.
sinx*(sinx-6)=0
sinx=0 или sinx-6=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z
sinx-6=0 ⇒ sinx=6 - уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1
О т в е т. πk, k ∈ Z

6.
Формула
cos α +cos β =2cos(( α + β)/2)*cos((α - β)/2)

2cos((6x+4x)/2)*cos((6x-4x)/2) =0
2cos5x*cosx =0

cos5x=0 или cosx=0
5x=(π/2)+πn, n ∈ Z или х=(π/2)+πm, m ∈ Z
x=(π/10)+(π/5)*n, n ∈ Z ( при n=5m получаем х=(π/2)+πm, m ∈ Z)
О т в е т. (π/10)+(π/5)*n, n ∈ Z

7.
sin2x=2sinx*cosx

2sinx*cosx-2sinx=0
sinx*(cosx-1)=0
sinx=0 или cosx=1
x=πn, n ∈ Z или х=2πm, m ∈ Z
О т в е т. πn, n ∈ Z ( вторая серия ответов входит, при n=2m)

8.
3*2sinx*cosx+2sin^2x=0
2sinx*(3cosx+sinx)=0
sinx=0 или 3cosx+sinx=0

sinx=0 ⇒ x=πn, n ∈ Z
3cosx+sinx=0 ⇒ tgx = -3 ⇒ x=arctg(-3)+πm, m ∈ Z

О т в е т. πn, n ∈ Z
-arctg3+πm, m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

9.
cos2x=1-2sin^2x
7*(1-2sin^2x)+18sin^2x-9=0;
4sin^2x-2=0
sin^2x=1/2
sinx= ± sqrt(2)/2
x= ± (π/4)+πm, m ∈ Z
См. рис. 1

10.
1-2sin^2x+11sinx-6=0
2sin^2x-11sinx+5=0
D=121-40=81
sinx=1/2 или sinx=5( не имеет корней, |sinx| ≤ 1)

x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z
О т в е т. (-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

11.
12=12*1=12*(sin^2x+cos^2x)
sin2x=2sinx*cosx

22sinx*cosx+32sin^2x-12sin^2x-12cos^2x=0
20sin^2x+22sinx*cosx-12cos^2x=0
10sin^2x+11sinx*cosx-6cos^2x=0
Делим на cos^2x ≠ 0
10tg^2x+11tgx-6=0
D=121-4*10*(-6)=121+240=361
tgx=(-11 ± 19)/20
tgx=-3/2 или tgx=0,4
x=arctg(-3/2)+πk, k ∈ Z или х=arctg0,4+πn, n ∈ Z
О т в е т. -arctg(3/2)+πk; arctg0,4+πn, k, n ∈ Z

12.
5cosx-10sinx=11
Применяем метод введения вспомогательного угла
5^2+10^2=25+100=125
Делим все члены уравнения на sqrt(125)
5/sqrt(125)cosx-(10/sqrt(125))sinx=11/sqrt(125)
cos φ cosx-sin φ sinx=11/sqrt(125)
cos(x+ φ )=11/sqrt(125)
x+ φ = ± arccos(11/sqrt(125))+2πn, n ∈ Z
x=± arccos(11/sqrt(125)) - φ +2πn, n ∈ Z
cos φ =5/sqrt(125)
sin φ =10/sqrt(125)
tg φ=2
О т в е т. ± arccos(11/sqrt(125)) - arccos(5/sqrt(125)) +2πn, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5.
{2cosx+sqrt(2)=0
{2sinx+sqrt(2) ≠ 0

{cosx=-sqrt(2)/2;
{sinx ≠ -sqrt(2)/2

О т в е т. х=(3π/4)+2πn, n ∈ Z

6.
{sin4x=0
{cos4x-1 ≠ 0

{sin4x=0
{cos4x ≠ 1

{4x=πk, k ∈ Z
{4x ≠ 2πn, n ∈ Z

{x=(π/4)*k, k ∈ Z
{x ≠ (π/2)*n, n ∈ Z

(π/4)*k ≠ (π/2)*n
k/4≠n/2
k≠2n
О т в е т. ± (π/4)+πm, m ∈ Z
см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.
cos((x/4)+(π/6))=sqrt(3)/4
(x/4)+(π/6)= ± arccos(sqrt(3)/4)+2πn, n∈ Z
(x/4)= ± arccos(sqrt(3)/4) -(π/6) +2πn, n∈ Z
x= ±4*arccos(sqrt(3)/4) -4*(π/6) +8πn, n∈ Z
[b]x= ±4*arccos(sqrt(3)/4) -(2π/3) +8πn, n∈ Z[/b]

4.
{2sinx+sqrt(3)=0 ⇒sinx=-sqrt(3/2)
{2cosx+1 ≠ 0 ⇒ cosx ≠ -1/2

{x=(-1)^(k)*arcsin((-sqrt(3))/2)+πk, k ∈ Z
{x ≠ ± arccos(-1/2)+2πn , n ∈ Z

{x=(-π/3)+2πm, m ∈ Z или x=(-2π/3)+2πm, m ∈ Z
{x ≠ (±2π/3)+2πn , n ∈ Z

О т в е т. [b](-π/3)+2πm, m ∈ Z[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(3x/2)=(-1)^(k)arcsin(sqrt(2)/2)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(2/3)*(π/4)+(2/3)πk, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)(π/6)+(2/3)πk, k ∈ Z[/b]

2.
(2x-(π/3))=arctg(-5)+πn, n ∈ Z
2x=(π/3)-arctg5+πn, n ∈ Z
[b]x=(π/6)-(1/2)*arctg5+(π/2)*n, n ∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

(x–4)^2+(|y|–4)^2=9 - объединение двух окружностей ( см. рис. - две окружности зеленого цвета)

Окружность с центром в точке (0;4) радиусом а

при 1<a <7 имеет с верхней окружностью две точки

при sqrt(a_(1))<a <sqrt(a_(2)) имеет с верхней окружностью две точки
(прикреплено изображение)

О т в е т. (-5;-1) (прикреплено изображение)

5205 ≈ 5200
5215 ≈ 5200
5225 ≈ 5200
5235 ≈ 5200
5245 ≈ 5200

О т в е т 0;1;2;3;4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

549 ≈ 500
501 ≈ 500

549-501=48 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
ε=с/a ⇒ c/a=12/13 ⇒ c=(12/13)a

a^2=c^2-b^2 ⇒ a^2=((12/13)a)^2-5^2 ⇒

(25/169)a^2=25
a^2=169

[b] (x^2/169)+(y^2/25)=1[/b]

б)уравнения асимптот гиперболы: y=(±b/a)x или y=±kx

k=b/a

a=3
b/a= (1/3)
⇒
b=(1/3)*a=1

[b] (x^2/9)-(y^2/1)=1[/b]

в) парабола с осью симметрии Оу имеет канонический вид

x^2=2py или x^2=-2py
Так как точка A(-9;6) принадлежит параболе и находится во второй четверти, то
x^2=2py
Чтобы найти р подставляем координаты точки в уравнение:
(-9)^2=2p*6
2p=81/6
2р=27/2

[b] x^2=(27/2)y[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию
[b] оба числа x+√N и x^3+20√N являются целыми [/b]

Значит,
разность этих чисел - целое число

x^3+20sqrt(N)-х- sqrt(N)=(x^3-x)+19*sqrt(N) - целое

x*(x^2-1)+19sqrt(n) - целое.
19 - число простое

⇒
19=1*19

x^2-1 = 19
x^2=20
Только
x=-sqrt(20)
удовлетворяет условию задачи

n=20 - натуральное, не являющееся точным квадратом.

О т в е т. Одно число х=-sqrt(20)

Ответ выбран лучшим

x+(1/x) - целое, при х= ± 1
При х= ± 1
х*(х-9) - целое.

О т в е т. (-1)^2+1^2=2

Ответ выбран лучшим

x>0
81x ≠ 1⇒ x ≠ 1/81

По формуле перехода к другому основанию:
log_(81x)3=log_(3)3/log_(3)(81x)=1/(log_(3)81+log_(3)x)

замена переменной
log_(3)x=t

t^2=16a^2
t=4|a|
дальнейшее решение зависит от вопроса: уравнение не имеет решений или имеет одно решение или два...

АВ=ВС по условию
∠ ABD= ∠ CBD - биссектриса BD делит угол АВС пополам.
BD - общая сторона
Δ ABD = Δ CBD
Треугольники равны по второму признаку.
Из равенства следует, что AD=DC
AD=(1/2)AC=(1/2)*18=9 см

n=2000 - велико
p=0,001 - мало.
q=1-p=0,999
np= 2
а) λ =np=2
k=1
(cм. приложение 1)
Формула Пуассона
P_(2000)(1)=2^(1)e^(-2)/(1!)≈0,2707
(cм. ответ в таблице)
б)
Найдем вероятность противоположного события
ни одна карта не утеряна
P_(2000)(0)=2^(0)e^(-2)/(0!)≈0,1353 ( cм. в таблице)

1-0,1353=0,8647

в) np-q< k_(o) < np+p
2-0,999 < k_(o) < 2+0,999
1,001 < k_(o) <2,999
k_(o)=2

(прикреплено изображение)

1.
=(5/3)* ∫^(1)_(0) x^2dx=(5/3)*(x^3/3)|^(1)_(0)=(5/9)х^3|^(1)_(0)=5/9
2.
=((x^3/3)-(x^2/2)+2x)^(4)_(-1)=(64/3)-(4/2)+2*4-((-1/3))+(1/2)-2*(-1)=

=65/3+(17/2)=181/6
3.
= ∫^(3)_(2) (x^2-2x+1)dx=((x^3/3)-x^2+x)|^(3)_(2) =9-9+3-(8/3)+4-2=
=7-(14/3)=7/3
4.
=(-2cosx+2sinx)|^(π/6)_(0)=-2cos(π/6)+2sin(π/6)+2cos0-2sin0=
=sqrt(3)+1+2-0=3+sqrt(3)

1
x^4+3=u
du=4x^3dx
x^3dx=du/4

при х=0 получаем u=3
при х=2 получаем u=16+3=19

= ∫ ^(19)_(3)2*u*(du/4)=(1/2) ∫ ^(19)_(3)udu=(1/2)*(u^2/2)|^(19)_(3)=

=(19^2/4)-(3^2/4)=(361-9)/4=352/4=88

2.
x+4=u
dx=du
При х=1 получим u=5
При х=3 получим u=7

= ∫ ^(7)_(5)du/sqrt(u)=2sqrt(u)|^(7)_(5)=2sqrt(7)-2sqrt(5)

S= ∫ ^(2)_(-2)(-x^2+4)dx=((-x^3/3)+4x)|^(2)_(-2)=

=-(8/3)+8+(-8/3)-(-8)=16-(16/3)=32/3

см. рис.

S(t)= ∫ v(t)dt= ∫ (2t^2-2t+5)dt=(2t^3/3)-(2t^2/2)+5t+C

Пусть за вторую минуту
S(2)-S(1)= ∫^2_(1) (2t^2-2t+5)dt=((2t^3/3)-(2t^2/2)+5t)|^(2)_(1)=

=(16/3)-(8/2)+10-(2/3)+1-5=(14/3)+2=20/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/2)*(dy)/(x)=(-dx)/(y)

2ydy=-xdx

2∫ydy= - 2∫xdx

y^2=(-x^2/2) +C - общее решение

При х=0; у=2
2^2=(-0^2)/2+C
C=4

y^2=(-x^2/2)+4 - частное решение, удовлетовряющее заданным начальным условиям х=0; у=2

Ответ выбран лучшим

y`=2ln(x+4)*(ln(x+4))`
y`=(2ln(x+4))/(x+4)
y``=(2ln(x+4))`*(x+4)-(x+4)`*2ln(x+4))/(x+4)^2=

=(2(x+4)/(x+4) -2ln(x+4))/(x+4)^2=

=(2-2ln(x+4))/(x+4)^2

Ответ выбран лучшим

а) = (x^5/5)|^(1)_(-2)=(1/5)-((-2)^5/5)=(1/5)+(32/5)=33/5=6,6
б)=((sin^2x)/2)|^(π/2)_(0)=(sin^2(π/2))/2 - 0=(1/2) - 0 =1/2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(x^2+4x+5)/|3x+5| >0 при любом х ≠-5/3
{x+3 >0⇒ x> -3
{x+3 ≠ 1 ⇒ x ≠ -2

0=log_(x+3)1

Неравенство принимает вид:

log_(x+3){(x^2+4x+5)/|3x+5| ≥ log_(x+3)1

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(х + 3 - 1)*((x^2+4x+5)/|3x+5| - 1 ) ≥ 0

(х+2)*(x^2+4x+5 -|3x+5|) ≥ 0

Если 3x+5 > 0, тогда |3x+5|=3x+5

(х+2)*(x^2+4x+5 -(3x+5)) ≥ 0
(х+2)*(x^2+x) ≥ 0
___ [-2] __+__ [-1] _-__ [0] _+_

x ∈ (-5/3;-1]U[0;+ ∞ )

3x+5 < 0, тогда |3x+5|=-3x-5

(х+2)*(x^2+4x+5 +(3x+5)) ≥ 0
(х+2)*(x^2+7x+10) ≥ 0
___ [-5] __+__ [-2] __+___

x ∈ [-5;- 5/3 )

С учетом ОДЗ ответ:
x ∈ (-3;- 2)U(-2;-5/3 )U (-5/3;-1]U[0;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: (4x+1)/(3x+2) ≥ 0 ⇒ x ∈ (- ∞; -2/3)U[-1/4;+ ∞ )

При х ∈ ОДЗ
sqrt((4x+1)/(3x+2)) ≥ 0

(|1-2x|+|1-4x|/2 + 2x-3 ≤ 0

Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках (1/2) и (1/4)

Раскрываем модуль на

(- ∞; -2/3)U[-1/4;+ 1/4]

1-2x+(1-4x)/2+2x-3 ≤ 0
x ≥ -3/4
[-3/4;-2/3)U[-1/4;1/4]

Раскрываем модуль на
(1/4; 1/2]
1-2x-(1-4x)/2+2x-3 ≤ 0
x ≤5/4
(1/4; 1/2]

Раскрываем модуль на
( 1/2;+∞)
-1+2x-(1-4x)/2+2x-3 ≤ 0
x ≤ 1/3
нет решения

О т в е т. [-3/4;-2/3)U[-1/4;1/2]

Ответ выбран лучшим

а) =4*∫ x^3dx+3* ∫ x^(-4)dx- ∫ x^(1/3)dx=

=4*(x^4/4) +3*(x^(-3)/(-3)) - x^(4/3)/(4/3) + C=

=x^4 - (1/x^3) -(3/4)*х∛х + С

Формула ∫ x^( α )dx=x^( α +1)/( α +1) + C

b) Дробь
x/(x^3+4) раскладываем на простейшие дроби
Здесь или опечатка (x^3+64) или "спец задание" с огромными вычислениями...

x^3+4=(x+∛4)*(x^2-x∛4+∛16)

x/(x^3+4) = A/(x+∛4) + ( Mx+N)/(x^2-x∛4+∛16)

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители

x= A*(x^2-x∛4+∛16) + (Mx+N)*(x+∛4)

При x=0
0=А*∛16+N*∛16
A+N=0
A=-N

При x=1
1=A*(1-∛4+∛16)+(M+N)*(1+∛4)

При x=-1
-1=A*(1+∛4+∛16) + (-M+N)*(-1+∛4)

Чтобы найти коэффициенты надо хорошо помучиться.

c) ∫ lnx dx= интегрирование по частям.
u=lnx
dv=dx
du=1/x
v=x
=x*lnx - ∫ x*(1/x)dx=

=x*lnx- ∫ dx=x*lnx - x + C

Ответ выбран лучшим

Пусть a_(1)=11/2; a_(k)=213/14; a_(m)=541/14

a_(m)=a_(1)+d*(m-1) ⇒
541/14=(11/2)+d*(m-1);
d*(m-1)=464/14
d*(m-1)=232/7
232=2*2*2*29
⇒
если d=1/7, то m-1=232 противоречит тому, что m < 100
если d=2/7, то m-1=116 противоречит m < 100

остается d=4/7, то m-1=58 ⇒ m=59
d=8/7 тоже не подходит, так как

a_(k)=a_(1)+d*(k-1) ⇒
213/14=(11/2)+d*(k-1);
d*(k-1)=136/14
d*(k-1)=68/7
68=2*2*17
⇒
d=4/7
k-1=17 ⇒ k-1=17; k=18

итак
a_(1)=11/2; a_(18)=213/14; a_(59)=541/14

Теперь будем уменьшать первый член прогрессии.
(11/2)-(4/7)=69/14
(69/14)-(4/7)=61/14
...

Важно, чтобы 541/14 имел номер 100
a_(100)=541/14 ⇒
541/14 = х + (8/14)*(100-1)
х=-251/14

x=a_(1)

Тогда
11/2=(-251/14)+(8/14)*(p-1)
p-1=41
11/2=a_(42)

213/14=(-251/14)+(8/14)*(s-1)
s-1=58
s=59

213/14=a_(59)

541/14=(-251/14)+(8/14)*(q-1)
q-1=99
q=100
541/14=a_(100)

Значит.
a_(7)=(-251/14)+(8/14)*6
a_(7)=-203/14

О т в е т. -203/14

Ответ выбран лучшим

Находим абсциссы точек пересечения графиков:
x^2+4x+3=x+3
x^2+3x=0
x*(x+3)=0
x=0 или х=-3

S_(фигуры)= ∫^(0) _(-3)(x+3-x^2-4x-3)dx= ∫^(0) _(-3)(-x^2-3x)dx=

= ((-x^3/3)-3*(x^2/2))|^(0)_(-3)=-9+3*(9/2)=9/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4x^2+(2a+2b)x+ab-22=0
D=(2a+2b)^2-4*4*(ab-22)=4a^2+8ab+4b^2-16ab+352=4*(a-b)^2+352=
=4*((a-b)^2+88);

x_(1)=((-2a-2b)-2*sqrt((a-b)^2+88))/8= (-a-b-sqrt((a-b)^2+88))/4

или

х_(2)=(-a-b+sqrt((a-b)^2+88))/4

x_(1)=a+b
(-a-b-sqrt((a-b)^2+88))/4=a+b
-sqrt((a-b)^2+88)=5a+5b
Равенство возможно, если a+b <0
(a-b)^2+88=25a^2+50ab+25b^2;
24a^2+24b^2=88-52ab ⇒ 88-52ab ≥ 0 ab ≤ 88/52=22/13

ab=22/13, что противоречит a+b < 0

x_(2)=a+b
(-a-b+sqrt((a-b)^2+88))/4=a+b
sqrt((a-b)^2+88)=5a+5b
Равенство возможно, если a+b >0
(a-b)^2+88=25a^2+50ab+25b^2;
24a^2+24b^2=88-52ab ⇒ 88-52ab ≥ 0 ab ≤ 88/52=22/13

ab ≤ 22/13

О т в е т. 22/13

Ответ выбран лучшим

Г и К вместе (1/15) часть за час
К и А вместе (1/20) часть за час
Г и А вместе (1/12) часть за час

Cскладываем
2*(Г и А и К) = (1/15)+(1/20)+(1/12)
2*(Г и А и К) = (1/5)
Г и А и К) = (1/10)

О т в е т. 10 часов

Составим уравнение прямой АВ:
нормальный вектор данной прямой
vector{n}=(3;2)
является направляющим вектором прямой АВ.

Уравнение прямой АВ как уравнение прямой, проходящей через точку В с направляющим вектором (3;2)
(x+2)/3=(y-1)/2
2x+4=3y-3
2x-3y+7=0
Находим координаты точки С - точки пересечения прямой АВ и данной прямой
{2x-3y+7=0
{3x+2y-1=0

{4x-6y+14=0
{9x+6y-3=0

Складываем
13х=-11
x=-11/13
y=23/13

С(-11/13; 23/13) - середина АВ
x_(C)=(x_(A)+x_(B))/2
y_(C)=(y_(A)+y_(B))/2

⇒ x_(A)=2*(-11/13)-(-2)=4/13
y_(A)=2*(23/13)-1=33/13

О т в е т. (4/13; 33/13) (прикреплено изображение)

vector{AB}=(x_(B)-x_(A); y_(B)-y_(A);z_(B)-z_(A))=(4;4;2)

|{vector{a}|=sqrt(1^2+2^2+3^2)=sqrt(14)

|{vector{AB}|=sqrt(4^2+4^2+2^2)=sqrt(36)=6

Скалярное произведение
vector{a}*vector{AB}=1*4+2*4+3*2=18

cos(vector{a}, vector{AB})=vector{a}*vector{AB}/(|{vector{a}|*|vector{AB}|)=18/(sqrt(14)*6)=3/sqrt(14)

пр_(vector{AB})vector{a}=|vector{a}|*cos φ =(sqrt(14))*(3/sqrt(14))=3
Векторы vector{a} и vector{AB } - сонаправлены.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

v_(cp)=S/t

t_(1)=S/60
t_(2)=S/40

v_(cp)=2S/(t_(1)+t_(2))=2S/((S/60)+(S/40))=2S/(5S/120)=240S/5S=48 км в час

(прикреплено изображение)

log_(16)4-log_(1/4)8=log_(2^4)2^2-log_(2^(-2))2^(3)=

=(2/4)log_(2)2+(3/2)log_(2)2=(1/2)*1+(3/2)*1=2

log_(3)x+log_(3^(1/2))x+log_(3^(-1))x=6

log_(3)x+(1/(1/2))log_(3)x-log_(3)x=6
2log_(3)x=6
log_(3)x=3
x=27
(прикреплено изображение)

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4

Уравнение диагонали в общем виде:
y=k_(1)x+b

tg β =k_(1)

β - α =45^(o)

(Диагонали квадрата являются биссектрисами прямых углов квадрата, значит угол между стороной и диагональю квадрата равен 45^(o))

Так как
tg( β - α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )
и

tg45^(o)=1

(k_(1)-(1/4))/(1+(1/4)*k_(1))=1

k_(1)=5/3

y=(5/3)x+b - уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

2,5=(5/3)*1,5+b
b=0
y=(5/3)x

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

y=(-3/5)x+3,4

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
{х-4у=0
{у=(5/3)х

x=0
y=0

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
{х-4у=0 ⇒ y=(1/4)x
{у=(-3/5)х+3,4

(1/4)x=(-3/5)x+3,4
(17/20)x=3,4

x=4
y=1

Координаты двух других точек можно найти из симметрии.

О т в е т. (0;0); (4;1);(3;5);(-1;4)

(прикреплено изображение)

Получился ромб. (см. рис.)
S_(ромба)=d_(1)*d_(2)/2=6*4/2=12 (прикреплено изображение)

Пусть х км/ч -скорость мотоциклиста.
(153/54) час. - время автомобиля
(120/х) час. был в пути мотоциклист
50/60=5/6 часа время остановки мотоциклиста.

Уравнение:
(153/54)=(120/x)+(5/6)

120/х=108/54
x=120/2
x=60 км в час

ОК=(1/3)h_(осн)
h_(осн)=a*sqrt(3)/2=5sqrt(12)*(sqrt(3)/2)=15
OK=5
SK=10 ( катет против угла в 30^(o) равен половине гипотенузы)

S_(полн)=S(бок)+S_(осн.)=3*S_(ΔSAB)+S_(Δ ABC)=

=((1/2)*a*SK+(1/2)a^2*sqrt(3)/2=

=(1/2)*5sqrt(12)*10 +(1/2)*(5sqrt(12))^2*sqrt(3)/2=

=25sqrt(12)+75sqrt(3)=50sqrt(3)+75sqrt(3)=125sqrt(3)

1339
e^(x)*(e^(tgx-x)-1)/(tgx-x)
Замена
tgx-x=t
x→0
t→0
Cледствие второго замечательного предела.

lim_(x→0)e^(x)*lim_(t→0)(e^(t)-1)/t=e^(0)*1=1
О т в е т. 1

Далее два задания на применение
формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

1340.
e^(x)=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+(x^5/5!)+o(x^5)

тогда числитель
e^(x)-(x^3/6)-(x^2/2)-x-1=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+(x^5/5!)+o(x^5)=(x^5/5!)+o(x^5)

cosx=1-(x^2/2!)+(x^4/4!)+o(x^5)
знаменатель

сosx + (x^2/2)-1=1-(x^2/2!)+(x^4/4!)+o(x^5)+(x^2/2)-1=(x^4/4!)+o(x^5)

О т в е т. lim_(x→0)(x^5/5)/(x^4/4!)=0

1341.
e^(x^2)=1+x^2+((x^2)^2)/2!)+((x^2)^3/3!)+o((x^3)^2)
тогда числитель

e^(x^2)-x^3=1+x^2+(x^4/2!)+o(x^4) - x^3

sIn^22x=(1-cos4x)/2=1-(1-(4x)^2/2!)+((4x)^4/4!)+o(x^5))/2=

=(x^4/6)+o(x^5)
знаменатель

sIn^62x=(sin^22x)^3=4^3*x^12+o(x^12)

О т в е т. 1/0= ∞

Но не уверена.

1343

Правило Лопиталя
=lim_(x→0)(1/sin2x)*(sin2x)`/((1/sinx)*(sinx)`)=

=lim_(x→0)(2cos2x/sin2x)*(sinx/cosx)= (sin2x=2sinxcosx)=

=lim_(x→0)(2cos2x/2cos^2x)=2/2=1

1344
Правило Лопиталя
=lim_(x→0)(1/x)/((1/sinx)*(sinx)`)=

=lim_(x→0)(sinx/(x*cosx))=lim_(x→0)(sinx/x)*lim_(x→0)(1/cosx)=1*1=1

1345
Замена
x-1=t
x→1, t→0

tg(π/2)x= tg((π/2)(t+1))=tg((πt/2)+(π/2))=-ctg(πt/2)

ctgπx= ctgπ(t+1)=ctg(πt+π)=ctgπt

lim_(t→0)(lnt - ctg(πt/2))/(ctgπt) ... ( в числителе ∞- ∞) в знаменателе ( ∞)

Не знаю, правило Лопиталя не применить. Формула Тейлора? разложение котангенса ? ...

1346
lim_(х→+∞)(x^n)/e^(x) = ∞ / ∞ применяем правило Лопиталя n раз

=lim_(х→+∞) (n1/e^(x))=(константа / ∞ )=0 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Формула
a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)
для ∛a и ∛b
принимает вид
(∛a)^3+(∛b)^3=(∛a+∛b)*((∛a)^2-∛a*∛b+(∛b)^2)

2+5=(∛2)^3+(∛5)^3=(∛2+∛5)*((∛2)^2-∛2*∛5+(∛5)^2)=
=(∛2+∛5)*(∛4-∛10+(∛25)

Итак, (∛2+∛5)*(∛4-∛10+(∛25)=(∛2)^3+(∛5)^3=2+5=7

Аналогично

2)

a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2)

для ∛a и ∛b
принимает вид
(∛a)^3-(∛b)^3=(∛a-∛b)*((∛a)^2+∛a*∛b+(∛b)^2)

(∛3-∛2)*((∛3)^2+∛3*∛2+(∛2)^2)=(∛3-∛2)*(∛9+∛3*∛2+∛4)

(∛3-∛2)*(∛9+∛3*∛2+∛4)=(∛3)^3-(∛2)^3=3-2=1

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x+6
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)

β - α =45^(o)

tg( β - α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )

(k_(1)-(1/4))/(1+(1/4)*k_(1))=1

k_(1)=5/3

y=(5/3)x+b - уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

4,5=(5/3)*2,5+b
b=1/3
y=(5/3)x+(1/3)

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
4,5=(-3/5)*2,5+b
b=6

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(5/3)х+(1/3)
{х-4у+24=0
{у=(5/3)х+(1/3)
x=4
y=7

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+6
{х-4у+24=0
{у=(-3/5)х+6
x=0
y=6

Координаты двух других точек можно найти из симметрии.

О т в е т. (0;6); (4;7);(5;3);(1;2)

(прикреплено изображение)

Площадь данного участка 60*8=480 кв.м
Периметр 2*(60+8)=136 м

Пусть на х метров нужно уменьшить длину и на у метров ширину.
(60-x)*(8-y) кв. м площадь нового участка
2*((60-х)+(8-у))=136 - 2х - 2у м периметр нового участка.

Система
{60*8 = 2*(60-x)*(8-y) ⇒ 240 -8х -60у +ху=0
{136 - 44=136 - 2х - 2у ⇒ x+y=22

Решаем способом подстановки
{y=22-x
{240-8x-60*(22-x)+x*(22-x)=0 ⇒ x^2-74x+1080=0

D=74^2-4*1080=5476 - 4320 = 1156=34^2

х=20 или х=54 ( не yдовлетворяет смыслу задачи)
y=2

О т в е т. на 20 м нужно уменьшить длину и на 2 м ширину участка

2)
2*(a+b)=80 ⇒ a+b =40
S=a*b

(a+8)*(b+2)=1,5 ab

Cистема
{a+b =40
{(a+8)*(b+2)=1,5 ab

{b=40-a
{8b+2a+16-0,5ab=0

8*(40-а)+2а+16-0,5*а*(40-а)=0
a^2-52a+672=0
D=(-52)^2-4*672=2704-2688=16
a=24 или а=28
b=16 или b=12

О т в е т. 24 и 16; 28 и 12

Ответ выбран лучшим

1)
Р=2*(a+b), где а и в - стороны прямоугольника.
82=2*(a+b) ⇒ a+b=41
a^2+b^2=d^2
a^2+b^2=29^2

Система двух уравнений
{a+b=41
{a^2+b^2=29^2
Решаем способом подстановки:
{b=41-a
{a^2+(41-a)^2=29^2 ⇒ a^2-41a +420=0 D=1681-4*420=1
a=20 или a=21
b=21 или b=20
О т в е т. 20м и 21 м

2)
с=37
Периметр прямоугольного треугольника - сумма трех сторон
катетов а и b и гипотенузы c.
P=a+b+c
По теореме Пифагора:
a^2+b^2=c^2

Система
{a+b+37=84⇒ a+b=47
{a^2+b^2 =37^2

Возводим первое уравнение в квадрат
{a^2+2ab+b^2=47^2
{a^2+b^2=37^2

Вычитаем из первого второе:
2ab=47^2-37^2
2ab=10*84
ab=420

S( прямоугольного треугольника )=(1/2)*a*b=(1/2)*420=210 кв см.

Ответ выбран лучшим

{sinx-sin^2x=0⇒ sinx*(1-sinx)=0 ⇒sinx=0 или sinx x=1
{cos^2(x/2) ≠ 0 ⇒ x/2 ≠ (π/2)+πm, m ∈ Z ⇒ x ≠ π+2πm, m ∈ Z

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z c учетом x ≠ π+2πm, m ∈ Z ответ: 2πk, k ∈ Z;
sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. 2πk, k ∈ Z; (π/2)+2πn, n ∈ Z

ОДЗ:
{2x-1>0 ⇒ x > 0
{2x-1≠ 1 ⇒ x≠1
{x^2-2x+1>0 ⇒x≠1

Произведение двух множителей неположительно тогда и только тогда, когда множители противоположного смысла.

Поэтому рассматриваем две системы:
{2-3x ≥ 0;
{log_(2x-1)*x^2-2x+1) ≤ 0
или
{2-3x ≤ 0
{log_(2x-1)(x^2-2x+1) ≥ 0

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{2-3x ≥ 0;
{(2x-1-1)*(x^2-2x+1-1) ≤ 0

или
{2-3x ≤ 0
{(2x-1)*(x^2-2x+1-1) ≥ 0

{x ≤2/3;
{(2x-2)*(x^2-2x) ≤ 0 ⇒ x ∈ ( -∞ ;0] U[1;2]
ответ 1) системы ( -∞ ;0]
или
{x ≥2/3
{(2x-2)*(x^2-2x) ≥ 0 ⇒ x ∈ [0;1]U[2;+ ∞ )
ответ 2) системы [2/3;1]U[2;+ ∞ )

О т в е т. Объединение ответов системы 1) и системы 2) с учетом ОДЗ
[2/3;1)U[2;+ ∞ )

Испытание состоит в том, что из 9 студентов отбирают 5
Общее число исходов испытания
n=C^(5)_(9)= 9!/(5!*(9-5)!)=6*7*8*9/24=126 .

Пусть событие А-"среди отобранных студентов 2 отличника"
Событию А благоприятствуют
m=С^2_(3)*C^(3)_(6)=3*(6!/3!*(6-3)!)=60 исходов испытания.

По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=60/126=10/21

О т в е т. 10/21

г) берем производную об обеих частей равенства.
При этом x`=1, так как х - независимая переменная.
y=y(x) - зависимая переменная, функция.

(3x+sin(2y+1))`=(5y/x)`

3+ cos(2y+1)*(2y+1)=5*(y`*x-y*x`)/x^2;

3+ cos(2y+1)*2y`=5*(y`*x-y*x`)/x^2;
2x^2y`cos(2y+1)- 5xy`=-3x^2-5y

[b]y`=(-3x^2-5y)/(2x^2*cos(2y+1)-5x) [/b]

a) lim_(x→0)(1-e^(2x))*ctgx= lim_(x→0)(1-e^(2x))/tgx= (0/0)=

=применяем правило Лопиталя=

=lim_(x→0)(1-e^(2x))`/(tgx)`=lim_(x→0)(-e^(2x))*(2x)`/(1/cos^2x)=

=lim_(x→0)(-e^(2x))*(2)*(cos^2x)= -e^(0)*2*cos(0)=-2;

б) y=(x+3)^(1/2x);

Логарифмируем
lny=ln(x+3)^(1/(2x));

Применяем свойство ( логарифм степени)

lny = (1/(2x))*ln(x+3)

lny=ln(x+3)/(2x)

lim_(х→ ∞) ln(x+3)/(2x)= (∞ / ∞ ) применяем правило Лопиталя

=lim_(х→ ∞) (ln(x+3))`/(2x)` =lim_(х→ ∞) (1/(x+3))/(2) =0

lny→0 ⇒ y → e^(0)=1

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

2x-3y+6=0 ⇒ y=(2x/3)+2
y=(2/3)x+2 - уравнение с угловым коэффициентом k.
k=2/3
параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты,
поэтому множество таких прямых имеет вид:
y=(2/3)x +b
Подставим координаты точки M(-2;4)

y=4; x=-2
4=(2/3)*(-2)+b
b=16/3

y=(2/3)x +(16/3)

или

2х -3у +16=0

О т в е т. 2х -3у +16=0

Ответ выбран лучшим

1) Линейное 1 порядка.
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`+x*u*v = - x^3
u`*v+u*(v`+xv) =- x^3

1) v`+xv = 0 ⇒ dv/v=-dx/x ⇒ ln|v| = - ln|x| ⇒ v=1/x
2)u`*(1/x)= -x^3
u`=-x^4
u=(-x^5/5)+C

y=u*v=((-x^5/5)+C)*(1/x)

О т в е т. y=(-x^4/5)+(C/x)

3)

y``` + (1/x)y``=(1/x^2)
Замена
y``=u
y```=u`

u`+(1/x)u=(1/x^2)

Решаем однородное уравнение:
u`+(1/x)u=0 - уравнение с разделяющимися переменными
du/u=-dx/x
Интегрируем
ln|u|=-ln|x|+lnC_(1)

u=C_(1)/x

y``=C_(1)/x

y`=C_(1)ln|x|+C_(2)

y=∫(C_(1)lnx+C(2))dx=

=интегрирование по частям u=lnx; dv=dx
du=dx/x; v=x
=C_(1)*(x*lnx-∫(1/x)*xdx)+C_(2)x+C_(3)=

=C_(1)*(x*lnx) - C_(1)x+C_(2)x+C_(3)

4) y```-2y``=0
k^3-2k^2=0
k^2*(k-2)
k_(1,2)=0; k_(3)=2
y_(общее однород)=С_(1)e^(0x)+C_(2)*x*e^(0x)+C_(3)*e^(2x)

y_(общее однород)=С_(1)+C_(2)*x+C_(3)*e^(2x)

y_(частное неоднород.)=x^2*(ax^2+bx+c)

y_(частное неодн)=ax^4+bx^3+cx^2

y`_(частное неодн)=4ax^3+3bx^2+2cx

y``_(частное неодн)=12ax^2+6bx+2c

y```_(частное неодн)=24ax+6b

24ax+6b -2*(12ax^2+6bx+2c)=3x^2+x - 4

-24a^2 +(24a-12b)x -4c=3x^2+x-4

-24a=3
a=-1/8
24a-12b=1
b=-1/3
-4x=-4
c=1

О т в е т. С_(1)+C_(2)*x+C_(3)*e^(2x) -(1/8)x^2 -(1/3)x+1

Применяем определение.1 ( см. приложение)

y`=-y/(x+y) [b](1)[/b]

f(x;y)=-y/(x+y)

f( λx; λ y)=- λ x/( λx+ λ y)=-x/(x+y)=f(x;y)

Замена
y/x= u;

y=ux

y`=u`*x+u*x` ( x`=1, x - независимая переменная)

Подставляем y=ux и y`=u`*x+u*x` в [b](1)[/b]

u`*x+u*x` = - ux/(x+ux)
u`*x+u = - u/(1+u)

u`*x=-u^2/(1+u) - уравнение с разделяющимися переменными

Так как

u`=du/dx

du/dx = - u^2/(1+u)

- (1+u)du/u^2= dx - уравнение с разделенными переменными.

Интегрируем:

- ∫ (1+u)du/u^2= ∫ dx

- ∫ du/u^2 - ∫ du/u =∫ dx

(1/u)-ln|u|+lnС=x

Заменим

u=y/x

(x/y)-ln|Cy/x|=x - общее решение данного уравнения. (прикреплено изображение)

2x-3y+6=0 ⇒ y=(2x/3)+2
y=(2/3)x+2 - уравнение этой же прямой, но записанное в другом виде.
Если дано уравнение прямой у=kx+b с угловым коэффициентом k, то дальше два вида задач:
написать уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку-2;4)
или
написать уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку M(-2;4).

Вот главного в условии и нет. Уточните задание.

Ответ выбран лучшим

1. Задача на применение формулы Байеса(Бейеса).
Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(i)- товар поставляется в аптеку i- ым поставщиком
i=1,2,3
p(H_(1))=0,15
p(H_(2))=0,35
p(H_(3))=0,5
(по условию, первый поставляет 15%, второй 35%;третий 100-15-35=50%)
Событие А - "в аптеку попал препарат с истекшим сроком годности"
р(A/H_(1))=0,3
р(A/H_(2))=0,2
р(A/H_(1))=0,1

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3)*p(A/H_(3))- формула полной вероятности

[b]р(H_(3)/A)*p(A)=p(H_(3))*p(A/H_(3))[/b] ⇒

р(H_(3)/A)=p(H_(3))*p(A/H_(1))/p(A) - формула Байеса

р(H_(3)/A)=0,5*0,1/(0,15*0,3+0,35*0,2+0,5*0,1) = ответ

2.
Случайная величина Х– число выбранных белых гвоздик
может принимать значения : 0; 1; 2

Считаем вероятности
Вероятность того, что в партии из отобранных двух гвоздик нет белых

p_(0) =С^0_(3)*C^(2)_(2)/C^(2)_(5)=1*1/(5!/(2!*3!))=1/10
Вероятность того, что в партии из отобранных двух гвоздик 1 белая

p_(1) =C^(1)_(3)*С^1_(2)/C^(2)_(5)=3*2/(5!/(2!*3!))=6/10

Вероятность того, что в партии из отобранных двух гвоздик 2 белых

p_(2) =C^(2)_(3)*С^0_(2)/C^(2)_(5)=3*1/(5!/(2!*3!))=3/10

Cумма вероятностей должна быть равна 1, так и есть.

Составляем закон распределения в виде таблицы:

3. Проверяем свойства плотности
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )f(x)dx=1

C*∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )e^((x-2)^2/2)dx=1

Так как ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )e^(x^2)dx=sqrt(π) - интеграл Гаусса (один из так называемых неберущихся интегралов), то
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )e^((x-2)^2/2)dx c помощью замены переменной можно свести к интегралу Гаусса.

Остальные формулы в приложениях.

PS
Убедительно прошу каждую такую задачу задавать в одном вопросе. Приходится добавлять приложения ( формулы, по которым нужно считать) и разобраться какое приложение к какой задаче - новая проблема. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.
F(t)=m*a(t)
a(t)=v`(t)=(s`(t))`
s`(t)=(5π/3)*cos((π/3)t+(π/6))
a(t)=(5π^2/9)*(-sin((π/3)t+(π/6)));
a(t)=(-5π^2/9)sin((π/3)t+(π/6))
F(0)=m*(5π^2/9)*(-sin((π/3)*0+(π/6)))= -5π^2m/18

4.
1)12sin2t+5cos2t=13*((12/13)*sin2t+(5/13)cos2t)=

=13*(sin θ sin2t+cos θ cos2t)=13*cos(2t-θ )

sin θ =12/13; cos θ =5/13

2)8*sin(5x+(π/6))-15cos(5x+(π/6))=17*((8/17)*sin(5x+(π/6))-(15/17)*cos(5x+(π/6)))=17*(sin θ sin(5x+(π/6))-cosθ*cos(5x+(π/6)))
= - 17*cos(5x+(π/6)+θ)

sin θ =8/17; cos θ =15/17

5.
1)
y=y_(1)+y_(2)=3sin(t/2)+5sin(t/2)=8sin(t/2)=8*cos((π/2)-(t/2))=

=8*cos((t/2)-(π/2))
A=8 - амплитуда
θ= -π/2 - начальная фаза

2)
y=y_(1)+y_(2)=2*sin2t+2sin(2t+(π/3))=2*(sin2t+sin(2t+(π/3))=

=2*2sin((2t+2t+(π/3))/2)*cos((2t-2t-(π/3))/2)=

=4sin(2t+(π/6))*cos(-π/6)=

=2sqrt(3)*sin((2t+(π/6))=

=2sqrt(3)cos((π/2)-(2t+(π/6)))=

=2sqrt(3)cos((π/2)-2t-(π/6))=

=2sqrt(3)cos((2π/6)-2t)=

=2sqrt(3)cos(2t - (π/3))

A=2sqrt(3) - амплитуда
θ= -π/3 - начальная фаза
3)
y=y_(1)+y_(2)=2sqrt(5)sin5t+sqrt(2)cos5t=

=sqrt(22)*((2sqrt(5)/sqrt(22))*sin5t+(sqrt(2)/sqrt(22)*cos5t)=

=sqrt(22)*(sin θ*sin5t+cosθ*cos5t)=

=sqrt(22)*cos(5t-θ)

A=sqrt(22) - амплитуда
θ= - начальная фаза
sin θ =2sqrt(5/22); cos θ =sqrt(2/22)

Применяли метод введения вспомогательного угла
(см. приложения)
и формулы тригонометрии

cos( α + β )=
cos ( α - β )=

формулы приведения

sin γ =cos((π/2)- γ ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) система не имеет решения. Графики функций не пересекаются в одной ОБЩЕЙ точке
б)система не имеет решения. Графики функций не пересекаются в одной ОБЩЕЙ точке (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Находим координаты векторов
vector{AB}=(-2;3;-3)
vector{CD}=(4;-6;6)
-2:4=3:(-6)=(-3):6
Векторы vector{AB} и vector{CD} коллинеарны, так как координаты векторов пропорциональны.
Коллинеарны, значит лежат на параллельных прямых.
AB||CD
vector{BC}=(2;1;2)
vector{AD}=(0;-4;1)
Векторы vector{BC} и vector{AD} не коллинеарны,значит BC∦AD

ABCD - трапеция, четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие - не параллельны.

у`=(1/(3x^2))`+(3x^2)`
y`=(1/3)(x^(-2))`+3*(x^2)`
y`=(-2/3)x^(-3)+6x
y`=(-2)/(3x^3) + 6x

y`=0
(-2)/(3x^3) + 6x=0

(-2+18x^4)/x^3=0

-2+18x^4=0
9x^4=1
x^2=1/3
x= ± 1/sqrt(3) - точки возможного экстремума.

Расставляем знаки производной:

__-__ (-1/sqrt(3)) __+__ (0) ___-__ (1/sqrt(3)) __+__

Функция убывает на (- ∞ ;-1/sqrt(3)) и на (0; 1/sqrt(3))
Функция возрастает (-1/sqrt(3);0) и на (1/sqrt(3);+ ∞ )

x= ± 1/sqrt(3) - точки минимума, производная меняет знак с - на +

y(± 1/sqrt(3))=1/(3*(1/3)) + 3 *(1/3)=2

График на рисунке (прикреплено изображение)

f`(x)=(1-2x)`*e^(-x^2)+(1-2x)*(e^(-x^2))`;
f`(x)=-2*e^(-x^2)+(1-2x)*(e^(-x^2))*(-2x);

f`(x)=e^(-x^2)*(-2-2x+4x^2);

Функция не определена в точке х_(о)=0

Существует предел в точке
lim_(x→0)(sinx/x)=1

Функция имеет в точке разрыв первого рода. Устранимый.

Т.е. его можно устранить, досточно положить f(0)=1

тогда функция становится непрерывной

Ответ выбран лучшим

Имеем неопределенность ( ∞ - ∞).
Умножаем и делим на (х+sqrt(x^2-x+1))

lim_(x → + ∞)(x-sqrt(x^2-x+1) =

=lim_(x → + ∞)(x-sqrt(x^2-x+1))* (x+sqrt(x^2-x+1))/(x+sqrt(x^2-x+1) =

=lim_(x → + ∞)(x^2-(sqrt(x^2-x+1))^2)/(x+sqrt(x^2-x+1)) =

=lim_(x → + ∞)(x^2-x^2+x-1)/(x+sqrt(x^2-x+1)) =

=lim_(x → + ∞)(+x-1)/(x+sqrt(x^2-x+1)) =

Делим и числитель и знаменатель на х:

=lim_(x → + ∞)(1-(1/х))/(1+sqrt((x^2-x+1)/x^2)) =

=lim_(x → + ∞)(1-(1/х))/(1+sqrt(1 -(1/x)+(/x^2)) )=1/(1+1)=1/2

Ответ выбран лучшим

Второй замечательный предел
lim_(x→0)(1+ α )^(1/ α )=e

При α =3х

lim_(x→0)(1+ 3x )^(1/ (3x) )=e

тогда

lim_(x→0)(1+ 3x )^(1/ (2x) )= lim_(x→0)[b]([/b](1+ 3x )^(1/ (3x) )[b])[/b]^(3x/2x)= [b]e[/b]^(3/2)

Ответ выбран лучшим

1-q^(n)=(1-q)*(1+q+q^2+... +q^(n-1))
(по аналогии с 1-q^3=(1-q)*(1+q+q^2))

lim_(n→ ∞ )(1-q^(n))/(1-q)=lim_(n→ ∞)(1+q+q^2+... q^(n-1))

=system{1, если |q| < 1; + ∞ , если q> 1 и - ∞, если q<-1 }

Ответ выбран лучшим

Ограничена, так как
0 < x _(n) ≤ x_(1)=2 для любого n ∈ [b]N[/b]

Ответ выбран лучшим

12.
F(x)=(1/(1/5))*(x/5)^(3/2)/(3/2)+4*(1/4)(-cos(4x+2))+C;
[b]F(x)=(10/3)sqrt((x/5)^3) - cos(4x+2) + C[/b]

13.
f(x)=(x^3*(x^2+1)-2)/(x^2+1);
f(x)=x^3 - (2/(x^2+1))

[b]F(x)=(x^4/4) - 2 arctgx + C[/b]

14
f(x)=((x^2+1)-2)/(x^2+1)
f(x)=1 - (2/(x^2+1))
[b]F(x)=x - 2 arctgx + C[/b]

15
1+cosx=2cos^2(x/2)

f(x)=(1/2)*(1/cos^2(x/2))

F(x)=(1/2)/(1/2) * tg(x/2) + C

[b] F(x)=tg(x/2) + C[/b]

16
f(x)=x^3+2x^2-x-2
[b]F(x)=(x^4/4)+2*(x^3/3)-(x^2/2) -2x + C[/b]

17
cos2x=cos^2x-sin^2x
f(x)=(cos^2x-sin^2x)/sin^2x
f(x)=tg^2x - 1
f(x)=(1/cos^2x)-1 -1
f(x)=(1/cos^2x) -2
[b]F(x)=tgx - 2x + C [/b]

18
2cosx*cos5x=2*(1/2)*(cos((x+5x)/2)+cos(x-5x)/2)
cos(-t)=cost - функция четная

f(x)=cos3x+cos2x
F(x)=(1/3)sin3x + (1/2)sin2x + C

19.
tg^2x= (1/cos^2x) - 1

f(x)=(1/cos^2x) - 1

[b[F(x)=tgx - x + C[/b]

23
f(x)=x*x^(1/2)*x^(-3/4)
f(x)=x^(1+(2/4)-(3/4))
f(x)=x^(3/4)
F(x)=x^((3/4)+1)/((3/4)+1)+C
F(x)=(4/7)*x^(7/4) + C
[b] F(x)=(4x*x^(3/4))/7 + C [/b]

24
f(x)=x/sqrt(x) - x^(2/3)/sqrt(x)
f(x)=x^(1/2) - x^(1/6)
F(x)=x^(3/2)/(3/2) - x^(5/3)/(5/3)
[b]F(x)=(2/3)xsqrt(x)) - (3/5)x∛(x^2)[/b]

25
f(x)=3 - 2*(3/2)^x
[b]F(x)=3x-2*(3/2)^x/ln(3/2) + C [/b]

26
f(x)=(2*3*5)^(x)
f(x)=30^(x)
[b]F(x)=(30^(x)/ln30) + C[/b]

27
f(x)=(1+2sqrt(x)+x)/x
f(x)=(1/x)+2sqrt(x)/x + (x)/x
f(x)=(1/x)+(2/sqrt(x))+1
[b]F(x)=ln|x|+4sqrt(x)+x +C[/b]
28
cos(x/2)*sin(3x/2)=(1/2) sin((x/2)-(3x/2))+(1/2)sin((x/2)+(3x/2))
sin(-t)=-sint

f(x)= - (1/2) sinx+(1/2)sin2x
F(x)=(-1/2)(-cosx)+(1/2)*(1/2)(-cos2x) + C
[b]F(x)=(1/2)cosx-(1/4)cos2x+C[/b]

d(x^2+144)=2xdx ⇒ xdx=(1/2)d(x^2+144)

∫^(9) _(5)xsqrt(x^2+144)dx=(1/2) ∫^(9) _(5)sqrt(x^2+144)d(x^2+144)=

=(1/2) ∫^(9) _(5)(x^2+144)^(1/2)d(x^2+144)=

( табличный интеграл ∫ u^(α )du=u^(α +1)/(α +1);
u=x^2+144)

=(1/2)* (x^2+144)^((1/2)+1)/((1/2)+1) |^(9) _(5) =

=(1/3)sqrt(x^2+144)^3|^(9) _(5) =

=(1/3)*(sqrt(9^2+144)^3-sqrt(5^2+144)^3)=

=(1/3)sqrt(225^3)-(1/3)sqrt(169^3)=

=[b](1/3)*225*15-(1/3)*169*13= 1178/3[/b]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Случайная величина Х– число стандартных деталей
может принимать значения : 1; 2; 3; 4; 5

Считаем вероятности
Вероятность того, что в партии из пяти отобранных деталей нет стандартной
p_(1) =C^(1)_(5)*С^4_(4)/C^(5)_(9)=5*1/(9!.(5!*4!))=5/126

p_(2) =C^(2)_(5)*С^3_(4)/C^(5)_(9)=5*1/(9!.(5!*4!))=40/126

p_(3) =C^(3)_(5)*С^2_(4)/C^(5)_(9)=5*1/(9!.(5!*4!))=60/126

p_(4) =C^(4)_(5)*С^1_(4)/C^(5)_(9)=5*1/(9!.(5!*4!))=20/126

p_(1) =C^(5)_(5)*С^0_(4)/C^(5)_(9)=1/(9!.(5!*4!))=1/126

Cумма вероятностей должна быть равна 1, так и есть.

Составляем закон распределения в виде таблицы:
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sqrt(5+x) = u
sqrt(2-y) = v

{u + 3v = 6
{5v– 2u = – 1

{u = 6 - 3v
{5v - 2*(6 - 3v) = - 1 ⇒ 11v=11 ⇒ v=1

{u=6-3*1
{v=1

Обратный переход
{sqrt(5+x)=3
{sqrt(2-y)=1

{5+x=9
{2-y=1

{x=4
{y=1

О т в е т. (4;10

Ответ выбран лучшим

1+b^(3/4)=(1+b^(1/4))^3=(1+b^(1/4))*(1-b^(1/4)+(b^(/4)^2)=

=(1+b^(1/4))*(1-b^(1/4)+b^(1/2))

Сокращаем и числитель и знаменатель дроби на (1-b^(1/4)+b^(1/2))

(1+b^(3/4))/(1-b^(1/4)+b^(1/2)) -2b^(1/8) =1+b^(1/4)-2b^(1/8)=

=(1-2b^(1/8)+(b^(1/8))^2)=(1-b^(1/8))^2

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 2)

Исполнительная власть - это подзаконная ветвь государственной. власти, деятельность которой направлена на обеспечение исполнения законов и других актов законодательной власти.

Исполнительная власть реализуется через систему исполнительных органов - органы государства, призванные осуществлять исполнительно-распорядительную деятельность - [b] правительство, президент[/b]

Исполнительную власть РФ осуществляет Правительство РФ.

Правительство РФ состоит из:

- Председателя Правительства РФ

- заместителей Председателя Правительства РФ

- федеральных министров

Применяем метод подведения под дифференциал ( замена переменной )
Так как
d(lnx)=dx/x

∫ dx/(x*sqrt(1+ln^2x))= ∫ d(lnx)/sqrt(1+ln^2x) =

(табличный интеграл, см в приложении формулу)

u=lnx

О т в е т. ln|lnx+sqrt(1+ln^2x)|+C (прикреплено изображение)

cos3x*cosx=(1/2)*(cos((3x+x)/2)+cos((3x-x)/2))=

=(1/2)cos2x+(1/2)cosx

Уравнение принимает вид:
(1/2)cos2x+(1/2)cosx=сos2x;
(1/2)cos2x-(1/2)cosx=0
(1/2)*(cos2x-cosx)=0
cos2x-cosx=0
(2cos^2x-1)-cosx=0
2cos^2x-cosx-1=0
Замена переменной
cosx=t
2t^2-t-1=0
D=1+8=9
t_(1)=(1-3)/4=-1/2; t_(2)=(1+3)/4=1
cosx= -(1/2)
x= ± (2π/3)+2πk, k ∈ Z
или
сosx=0
x=2πn, n ∈ Z

О т в е т. ± (2π/3)+2πk, k ∈ Z
2πn, n ∈ Z

1)
sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ sin α =+sqrt(1-cos^2 α ), знак +, так как
π/2< α <π, угол α во второй четверти и синус во второй четверти имеет знак +
sin α =sqrt(1-(-0,6)^2 )=0,8

sin2 α =2sin α cos α =2*0,8*(-0,6)=-0,96
О т в е т. -0,96
2)
cos α =–0,6
см. в 1)
sin α =0,8
tgα=sinα/cosα= - 4/3

tg((π/4)+ α )=(tg (π/4)+tg α )/(1-tg(π/4)*tg α )=(1+tg α )/(1-tg α )=

=(1-(4/3))/(1+(4/3))=(-1/3)/(7/3)=-1/7
О т в е т. -1/7

Ответ выбран лучшим

a
r ≥ 0 ⇒ sin2 φ ≥ 0 ⇒ 0+2πk ≤ 2 φ ≤ π+2πk, k ∈ Z ⇒
[b] πk ≤ φ ≤ (π/2)+πk, k ∈ Z ⇒
график расположен в 1 и 3 координатных углах плоскости.
см. рис. 1

б)
Вводим полярные координаты
x=r*cos φ
y=r*sin φ
x^(2)+ y^(2)=r^2
так как cos^(2) φ +sin^(2) φ =1

Уравнение кривой принимает вид:
4(r^2-r*sinφ)^2=9*r^2

4r^2*(r-sin φ )^2=9r^2

(r-sin φ )^2=9/4

см. рис. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b](x^2+y^2)^2= - 6xy[/b]

Вводим полярные координаты
x=r*cos φ
y=r*sin φ
x^(2)+ y^(2)=r^2
так как cos^(2) φ +sin^(2) φ =1

Уравнение кривой принимает вид:
(r^2)^2= - 6*r*cos φ *r*sin φ

r^2= - 3sin2 φ

r=sqrt(- 3sin2 φ )

-3sin2 φ ≥ 0 ⇒ sin2 φ ≤ 0 ⇒ график расположен во втором и четвертом координатных углах (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:sin4πt=cos((π/2)-4πt)
Так как функция косинус четная, то
cos((π/2)-4πt)=cos(4πt-(π/2))
Значит
x=3*cos(4πt-(π/2))
Общее уравнение гармонического колебания имеет вид:
х=Acos(ωt+ φ ),
где
А- амплитуда
ω-круговая частота
t- время
φ - начальная фаза.

Сопоставляя, пишем ответ
ω=4π
φ =-π/2
T=2π/ω=2π/4π=1/2 - период

v(t)=x`(t)=(3sin4πt)`=3*(cos4πt)*(4πt)`=12πcos4πt- скорость

a(t)=v`(t)=(x`(t))`=12π*(cos4πt)`=12π*(-sin4πt)*(4πt)`=
= - 48π^2sin4πt
- ускорение.
x_(o)
v_(o)
a_(o)
можно найти зная начальное время t_(o).

Его в условии задания нет

Ответ выбран лучшим

Имеем неопределенность (0/0)
Устраняем: (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть точка M(x;y;z) - произвольная точка плоскости.

Тогда векторы
vector{AM}; vector{AB} и vector{j} компланарны.
Условие компланарности трех векторов- равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат векторов.
vector{AM}=(х-2;y-5;z-(-1))=(x-2;y-5;z+1)
vector{AB}=(-3-2;1-5;3-(-1))=(-5;-4;4)
vector{j}=(0;1;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=4x-4x^3

График см. рис. (прикреплено изображение)

(x-1)^2+(y-3)^2=25
Окружность с центром в точке (1;3) радиусом 5

Точки пересечения с осью Ох:
y=0
(x-1)^2+(0-3)^2=25
(x-1)^2=25-9
(x-1)^2=16
x-1=-4 или x-1=4
x=-3 или х=5
(-3;0) и (5;0) - точки пересечения с осью Ох

Точки пересечения с осью Оу:
х=0
(0-1)^2+(у-3)^2=25
(у-3)^2=25-1
(у-3)^2=24
у-3=-sqrt(24) или y-3=sqrt(24)
y=3 - sqrt(24) или y=3+sqrt(24)
(0;3-sqrt(24)) и (0;3+sqrt(24)) - точки пересечения с осью Оy
(прикреплено изображение)

Это поверхность второго порядка.
Выделим полный квадрат:
(x^2-2x)+z^2=0
(x^2-2x+1)+z^2=1
(x-1)^2+z^2=1 - круговой цилиндр.
Основание- окружность (x-1)^2+z^2=1 на плоскости xOz
центр в точке (0;1) радиус 1
Образующие параллельны оси Оу.
(прикреплено изображение)

х=0
предел слева
f(-0)=lim_(x→ -0) f(x)=lim_(x→ -0) (-х)=0
предел справа
f(+0)=lim_(x→ +0) f(x)=lim_(x→ +0) x^2=0

lim_(x→ -0) f(x)=lim_(x→ +0) f(x)=f(0)=0
Предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке, значит х=0 - точка непрерывности.

х=2
предел слева
f(2-0)=lim_(x→ 2-0) f(x)=lim_(x→2 -0) (х^2)=4
предел справа
f(2+0)=lim_(x→2 +0) f(x)=lim_(x→ +0) (x+1)=3
im_(x→ 2-0) f(x)≠ lim_(x→2 +0) f(x)
x=2 - точка разрыва первого рода. Оба предела ( слева и справа существуют, конечны. Есть конечный скачок )

f(2+0)-f(2-0)=3-4=-1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
x=0 - точка непрерывности.
так как
lim_(x→ -0) f(x)=lim_(x→ +0) f(x)=f(0)=9^(1/2)=3
Предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке.
2)
х=2
Функция не определена в точке x=2
Так как (2-х) - знаменатель дроби (1/(2-х))

lim_(x→2 -0) f(x)=9^(lim_(x→2 -0)1/(2-x))=9^(+∞)=+ ∞

lim_(x→ 2+0) f(x)=9^(lim_(x→2 +0)1/(2-x))=9^(-∞)=0

Левосторонний предел равен ∞ ,

значит х=2 - точка разрыва второго рода.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=0,5x^2+3x+3 - парабола.
Ветви которой направлены вверх, так как a=0,5>0
Преобразуем квадратный трехчлен:
выделим полный квадрат
0,5*(x^2+6x+6)=0,5*(x^2+6x+9-9+6)=0,5(x^2+6x+9-3)=
=0,5*(x+3)^2-1,5
Вершина параболы в точке
(-3;-1,5)

Можно найти координаты вершины с помощью производной
y`=0,5*2x+3
y`=x+3
y`=0
x=-3 - абсцисса вершины
y(-3)=0,5*(-3)^2+3*(-3)+3
y(-3)=-1,5

Пересечение с осью Оу в точке (0;3)
Симметричная ей точка относительно оси параболы ( прямой х=-3) имеет координаты (-6;3)

Дополнительные точки (2;9) и (-8;9) (прикреплено изображение)

Значит трапеция описана около окружности. Суммы противолежащих сторон такого четырехугольника равны.
Т. е сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Трапеция равнобедренная. Значит, боковые стороны равны.
AB+CD=BC+AD
AB=CD
2AB=9+25
AB=17
Проводим высоты из вершин меньшего основания на большее.
Получаем два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник.
Cм. рис.
По теореме Пифагора
h^2=17^2-((25-9)/2)^2
h^2=289-8^2
h^2=225
h=15

S_(трапеции)=(a+b)*h/2=(9+25)*15/2=255 cм^2 (прикреплено изображение)

Я так понимаю, что дано скалярное произведение
vector{a}*vector{b}=30
Так как по определению скалярное произведение
vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|сos ∠(vector{a},vector{b}) , то

сos∠(vector{a},vector{b})=(vector{a}*vector{b})/(|vector{a}|*|vector{b}|)=
=30/(3*20)=1/2

Значит,
sin(∠(vector{a},vector{b})= ± sqrt(3)/2

По определению векторное произведение:
vector{a}×vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|sin ∠(vector{a},vector{b})=

=3*20*( ±sqrt(3)/2)= ± 30 sqrt(3).

|vector{a}×vector{b}|=30sqrt(3)

О т в е т. 30 sqrt(3)

n=600
p=0,65
q=1-p=1-0,65=0,35
np=390
npq=390*0,35=136,5
sqrt(npq)≈11,68
1) Применяем интегральную формулу Лапласа
( см. приложение)
P_(600) (400 ≤ x ≤ 600)=Ф(x_(2))-Ф(х_(1))

x_(2)=(600-390)/sqrt(136,5)≈17,97
x_(1)=(400-390)/sqrt(136,5)≈0,8562

Ф(x_(2))=0,4999999 ( cм таблицу. Для х>5 0,5)
Ф(x_(1))≈0,3051

О т в е т.P_(600) (400 ≤ x ≤ 600)≈ 0,5-0,3051=0,1949

2)
Применяем локальную теорему Лапласа ( см. приложение 1)
P_(n)(k)=(1/sqrt(npq))*φ (x)
x=(k-np)/sqrt(npq)=(410-390)/11,68≈1,7123

P_(600)(410)=(1/11,68)* φ (1,7123) ≈ (1/11,68)*0,0925=0,0079 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула нахождения наивероятнейшего числа:
np - q ≤ k_(o) ≤ np+p

n=900
p=0,25
q=1-p=1-0,25=0,75
np=900*0,25=225

225-0,75 ≤ k_(o) ≤ 225+0,75
k_(o)=225

б)Применяем локальную теорему Лапласа
P_(n)(k)≈(1/sqrt(npq))*φ((k-np)/sqrt(npq))

npq=900*0,25*0,75=168,75
sqrt(npq)≈13
(k-np)/sqrt(npq)=0

P_(900)(225)≈ (1/13) *φ(0)=(1/13)*0,3989 ( cм приложение)
=0,0307 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=6
p=0,23
A-" отклонение от размера менее чем у трех деталей"
значит 0,1, 2 детали имеют отклонение.
Формула Бернулли
P_(6)(0)+P_(6)(1)+P_(6)(3)=

=C_(6)^(0)0,23^(0)(1-0,23)^6+C^(1)_(6)0,23^(1)(1-0,23)^5+C^(2)_(6)0,23^(2)(1-0,23)^4=

=1*1*0,77^6+6*0,23*0,77^5+15*0,23^2*0,77^4=

=0,2084+0,3735+0,2789=

Ответ выбран лучшим

n=600
p=0,001
q=1-p=1-0,001=0,999

np=0,6
npq=600*0,001*0,999=0,5994

a)
Применяем формулу Пуассона
λ =np=0,6
m=5

P_(600)(5)= ((0,6)^(5)/5!)e^(-5)=0,0004 ( cм таблицу в приложении 1 выделено красным цветом)

О т в е т. 0,0004

б) событие A - " хотя бы в трех ответах к задачам есть ошибки"

Значит в трех, в четырех, в пяти... и так далее

Рассмотрим противоположное событие
vector{A} - "менее чем в трех ответах к задачам есть ошибки"
Значит ни в одной, в одной или в двух задачах

p=0,001
n=600
λ =np=0,6
m=0
P_(600)(0)= (0,6)^(0)*e^(-0)/0!=0,5488( cм таблицу в приложении 1
выделено синим цветом)
m=1
P_(600)(1)= (0,6)^(1)*e^(-1)/1!=0,3293
m=2
Р_(600)(2)=(0,6)^2*e^(-2)/2!=0,0988

p(vector{A})=P_(600)(0)+P_(600)(1)+P_(600)(2)=0,5488+0,3293+0.0988=0,9769

p(A)=1-p(vector{A})= 1- 0,9669=0,0231
О т в е т. 0,0231

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

Замена переменной
lgx=t
t^2-6t+5=0
D=(-6)^2-4*5=16
t_(1)=(6-4)/2=1 или t_(2)=(6+4)/2=5

lgx=1 или lgx=5
x=10^(1) или x=10^5
Оба корня входя в ОДЗ
О т в е т. 10 ; 100 000

ОДЗ:
x^2-4x+3 > 0
По определению логарифма
x^2-4x+3=3^(1) - удовл. ОДЗ
x^2-4x=0
x*(x-4)=0
x=0 или x=4

О т в е т 0; 4

задача на применение формулы Байеса (Бейеса)
Вводим в рассмотрение три гипотезы
H_(i) - магнитофон изготовлен на i- ом заводе
i=1;2;3

p(H_(1))=1/6
p(H_(2))=2/6
p(H_(3))=3/6
(по условию, пусть производительность первого х, тогда второго 2х;третьего 3х)
Событие А - "случайно выбранный магнитофон выдержал гарантийный срок"
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3)*p(A/H_(3))- формула полной вероятности

[b]р(H_(1)/A)*p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))[/b] ⇒

р(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A) - формула Байеса

р(A/H_(1))=0,85
р(A/H_(2))=0,92
р(A/H_(1))=0,95

О т в е т. р(H_(1)/A)=(1/6)*0,85/((1/6)*0,85+(2/6)*0,92+(3/6)*0,95)=

=0,85/(0,85+2*0,92+3*0,95) - это сосчитать и получить ответ

1.
a)
б) A_(1)=[1-1;3*1+1]=[0;4]
B_(0)={x ∈ [b]R[/b]| x^2<9}=(-3;3)
A_(1)×B_(0)=[0;4]×(-3;3) - прямоугольник на пл. см. рис.1
A_(0,5)=[0,5-1;3*0,5+1]=[-0,5;2,5]
B_(1)={x ∈ [b]R[/b]| x^2-х <3+9}=(-3;4)
A_(0,5)×B_(1)=[-0,5;2,5]×(-3;4) - прямоугольник на пл. см. рис.2

A_(1)×B_(0) \ A_(0,5)×B_(1) - часть первого прямоугольника, из которой вырезан второй на рис. 3 прямоугольник АВСD
Стороны АВ; СD и DA - [b]пунктирные линии![/b]

в) B_(t) - промежуток, если неравенство имеет решение в виде промежутка.
x^2-tx-(3t+9) <0
D=t^2-4*(3t+9)=(t-6)^2 >0 при t ≠ 0
При t=6 неравенство имеет решением х=6

корни
x_(1)=t-(t+6)/2=-3 и х_(2)=(t+t+6)/2=t+3

Переформулируем вопрос.
При каких t пересечение
отрезка [t-1; 3t+1] и интервала (-3;t+3) не пусто.

2.
а) выделяем полный квадрат
(x+1)^2+(2y^2-4)+1>0
(x+1)^2+2(y^2-2y+1)-2+1>0
(x+1)^2+2(y-1)^2 >1
внешность эллипса со смещенным центром ( см. рис. 4)
б) ax^2+ax+1 >0
y=ax^2+ax+1 - графиком функции является парабола.
Спрашивается при каких а парабола расположена выше оси Ох
Т. е неравенство ax^2+ax+1 >0 выполняется при любом х
при
{a>0
{D>0
D=a^2-4a; a^2-4a> 0 ⇒ __+__( 0) ____(4) _+__

О т в е т. (4;+ ∞ )
в) x^2+2x-3 ≤ 0 D=16; x_(1)=-3; x_(2)=1
[-3;1] - решение неравенства.

Переформулируем вопрос
Найти х ∈ [a; 2a-1] являющийся и решением неравенства
x^2+2x-3 ≤ 0
-3 ≤ a < 2a-1 ≤ 1
{a ≥ -3
{a < 2a-1 ⇒ a > 1
{2a-1≤1 ⇒ a ≤ 1

При a =1 и х=1 - верно
О т в е т. {1}

3 вариант
3.
в) x^2-2x-3 <0 D=16; x_(1)=-1; x_(2)=3
(-1;3) - решение неравенства.

Переформулируем вопрос
Найти х ∈ [a; 2a+1] являющийся и решением неравенства
x^2-2x-3 <0
-1 < a < 2a+1 < 3

{a<2a+1 ⇒ a> -1
{2a+1<3 ⇒ a < 1

При a ∈ (-1;1) верно

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8
a) Применяем правило нахождения производной дроби
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2 ; u=1-cos3x; v=1+cos3x
и правило вычисления производной сложной функции по формуле:
(e^(u))`=e^(u)*u` u=x^2-sqrt(x)

y`=((1-cos3x)`*(1+cos3x)-(1-cos3x)*(1+cos3x)`)/(1+cos3x)^2 + e^(x^2-sqrt(x))*(x^2-sqrt(x))`=

(1-cos3x)`=(sin3x)*(3x)`=3sin3x
(x^2-sqrt(x))`=2x-(1/2sqrt(x))

О т в е т. y`=6sin3x/(1+cos3x)^2 + (2x-(1/2sqrt(x)))*e^(x^2-sqrt(x))

б)
Применяем свойства логарифма :
lnx^(k)=klnx , x>0 логарифм степени
ln(u/v)=lnu-lnv, u>0; v>0 логарифм частного

y=(1/3)ln(1-x^3)-(1/3)ln(1+x^4)

y`=(1/3)*(1/(1-x^3))*(1-x^3)`-(1/3)*(1/(1+x^4))*(1+x^4)`=

=(-3x^2)/(3*(1-x^3)) - (4x^3)/(3*(1+x^4)).

в)
Применяем метод "логарифмическое дифференцирование".

Находим lny и находим производную lny

lny=e^(1/sinx)*ln(ctg(4x^2+1))

Дифференцируем
Слева производная сложной функции
(lnu)`=u`/u
Справа производная произведения
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`/y=(e^(1/sinx))`*ln(ctg(4x^2+1))+e^(1/sinx)*(ln(ctg(4x^2+1)))`

y`/y=((e^(1/sinx))*(1/sinx)`*ln(ctg(4x^2+1))+e^(1/sinx)*(1/ctg(4x^2+1))*(ctg(4x^2+1))`;

y`/y=(-cosx/sin^2x)*(e^(1/sinx))*ln(ctg(4x^2+1)) + e^(1/sinx)*(1/ctg(4x^2+1))*(-1/sin^2(4x^2+1))*(4x^2+1)`;

y`/y=(-cosx/sin^2x)*(e^(1/sinx))*ln(ctg(4x^2+1)) - e^(1/sinx)*(1/ctg(4x^2+1))*(8x/sin^2(4x^2+1));

y=[b]y[/b]*[b]([/b](-cosx/sin^2x)*(e^(1/sinx))*ln(ctg(4x^2+1)) - e^(1/sinx)*(1/ctg(4x^2+1))*(8x/sin^2(4x^2+1))[b])[/b];

где [b]y[/b] - функция, которая дана.

г) Производная неявной функции.

Дифференцируем равенство.
х- независимая переменная.
y- зависимая от х, сложная.

(x^3*y^3)`-3*(xy)`+(5)`=0`
(x^3)`*(y^3)+(x^3)*(y^3)`-3*(x`*y+x*y`)+0=0

3x^2*y^3+x^3*(3y^2)*y`-3(y+xy`)=0

Находим y`

y`*(3x^3y^2-3x)=3y-3x^2y^3

y`=(y-x^2y^3)/(3x^3y^2-x) - о т в е т.

8
а)lim_(x→0)(4^(sinx)-1)/3x^2=(0/0)- неопределенность

применяем правило Лопиталя

=lim_(x→0)(4^(sinx)-1)`/(3x^2)`=

=lim_(x→0)(4^(sinx)*cosx*ln4)/(6x)= ∞

О т в е т. ∞

б)lim_(x→5)(5-x)^(tg(x^2-25))=(0^(0)) - неопределенность.

Представим (5-х)=e^(ln(5-x)) - основное логарифм. тождество.

Тогда
(5-x)^(tg(x^2-25))=e^(ln(5-x)*tg(x^2-25))=e^(ln(5-x)/ctg(x^2-25))

и

lim_(x→5)(5-x)^(tg(x^2-25))=e^(lim_(x→5)ln(5-x)/ctg(x^2-25))

Вычислим

lim_(x→5)ln(5-x)/ctg(x^2-25)=(0/0)- неопределенность.
Применяем правило Лопиталя.

=lim_(x→5)(ln(5-x))`/(ctg(x^2-25))`=

=lim_(x→5)((1/(5-x))*(5-x)`) / [b]((-1/sin^2(x^2-25))*(x^2-25)`)[/b]=

=lim_(x→5) (-1/(5-x)) : (-2x/sin^2(x^2-25))=

=lim_(x→5) (sin^2(x^2-25))/(2x*(5-x))=(0/0)

применяем правило Лопиталя

=lim_(x→5)(sin^2(x^2-25))`/(10x-2x^2)`=

=lim_(x→5)(2sin(x^2-25)*(sin(x^2-25))`/(10-4x)=

=lim_(x→5)(2sin(x^2-25)*(cos(x^2-25))*(2x)/(10-4x)=

=0

lim_(x→5)(5-x)^(tg(x^2-25))=e^(lim_(x→5)ln(5-x)/ctg(x^2-25))=e^(0)=1

О т в е т. 1

В равнобедренном треугольнике АВС углы при основании равны, ∠ А= ∠ С=45^(o)
значит ∠ В=90^(o)
Треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S_( Δ ABC)=(1/2)AB*BC=(1/2)*30*30=450 кв. cм.

По теореме Пифагора
АС=sqrt(30^2+30^2)=30sqrt(2)
Медиана, проведенная из вершины В является и высотой и разбивает треугольнк АВС на два равных прямоугольных треугольника
Медиана ВК=(1/2)АС=15sqrt(2)

S_( Δ ABC)=(1/2)AC*BK=(1/2)*30sqrt(2)*15sqrt(2)=450 кв. cм.

О т в е т. 450 см^2 (прикреплено изображение)

Из подобия треугольников АВС и МКВ
АС:MK=CB:KB

6:x=(4,2+1,8):1,8
6:х=6:1,8
х=1,8
О т в е т. 1,8 м (прикреплено изображение)

Возводим обе части в квадрат.
2x-3 > 4^2
2x-3 > 16
2x > 16+3
2x> 19
x> 19/2
x> 9,5
О т в е т. (9,5;+ ∞ )

Задача1.
Находим скалярное произведение векторов:
vector{a}*vector{b}=
=(2vector{m}+vector{n}-vector{p})*(vector{m}-3vector{n}+vector{p})=
применяем законы векторной [b] алгебры [/b].
Раскрываем скобки как в алгебре:
=2vector{m}*vector{m}-6vector{m}*vector{n}+2vector{m}*vector{p}=
+vector{n}*vector{m}-3vector{n}*vector{n}+vector{m}*vector{n}-
-vector{p}*vector{m}+3vector{p}*vector{n}-vector{p}*vector{p}=

Так как векторы vector{m};vector{n};vector{p} взаимно ортогональны, то их скалярные произведения равны 0

vector{m}*vector{n}=|vector{m}|*|vector{n}|*cos90^(o)=0
vector{m}*vector{p}=|vector{m}|*|vector{p}|*cos90^(o)=0
vector{n}*vector{p}=|vector{n}|*|vector{p}|*cos90^(o)=0

vector{m}*vector{m}=|vector{m}|*|vector{m}|cos0^(o)=|vector{m}|^2=1
так по условию векторы vector{m};vector{n};vector{p} - орты.
vector{n}*vector{n}=|vector{n}|*|vector{n}|cos0^(o)=|vector{n}|^2=1
vector{p}*vector{p}=|vector{p}|*|vector{p}|cos0^(o)=|vector{p}|^2=1

Из определения скалярного произведения

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|cos∠ (vector{a},vector{b})
cos∠ (vector{a},vector{b})=(vector{a}*vector{b})/(|vector{a}|*|vector{b}|)

vector{a}*vector{b}=2vector{m}*vector{m}-3vector{n}*vector{n}-vector{p}*vector{p}=2-3+1=0

Значит векторы vector{a} и vector{b} ортогональны.
cos(∠ (vector{a},vector{b})=0
sin(∠ (vector{a},vector{b})=1
О т в е т. 1
Задача 3.
Пусть vector{d}=(x;y;z)
По условию vector{d}⊥ vector{a} и vector{d}⊥ vector{b}
Значит скалярные произведения равны 0
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат
vector{d}*vector{a}=8x+4y+z
vector{d}*vector{b}=2x-2y+z

Система:
{8x+4y+z=0
{2x-2y+z=0
Вычитаем из первого уравнения второе:
6х+6у=0
у=-х
z=2y-2x=2*(-x)-2x=-4x
vector{d}=(x;-х;-4х)
По условию вектор vector{d} - единичный.
Это означает, что
x^2+(-x)^2+(4x)^2=1
18x^2=1
x=±1/sqrt(18)

vector{d}=(1/sqrt(18);-1/sqrt(18);-4/sqrt(18))
или
vector{d}=(-1/sqrt(18);1/sqrt(18);4/sqrt(18))

Чтобы из двух ответов выбрать один надо воспользоваться условием
" упорядоченные тройки векторов vector{a};vector{b};vector{c} и vector{a};vector{b};vector{d} имеют одинаковую ориентацию.

Что означает, что вектор vector{d} образует с вектором vector{c} острый угол.
Скалярное произведение vector{d}*vector{с}>0
тогда косинус положительный и угол между векторами острый.

Нетрудно проверить, что этому условию удовлетворяет
vector{d}=(-1/sqrt(18);1/sqrt(18);4/sqrt(18))
О т в е т. vector{d}=(-1/sqrt(18);1/sqrt(18);4/sqrt(18))=vector{d}=(-1/(3sqrt(2));1/(3sqrt(2));4/(sqrt(2)))

Задача 2.
1) ; 3) ; 2) (прикреплено изображение)

1.
6!=5!*6
Сокращаем на 5!
3!=1*283=6
О т в е т. 6/6=1
2.
P_(4)=4!
P_(6)=6!=4!*5*6=30*4!
P_(4)+P_(6)=4!+30*4!=4!*(1+31)=4!*31=3!*4*31=3!*124

О т в е т. 124

3.
а)
A^5_(13)=13!/(13-5)!=13!/8!=(8!*9*10*11*12*13)/8!=
cокращаем на 8!=
9*10*11*12*13= ответ
б)
С^4_(8)=8!/(4!*(8-4)!)=(4!*5*6*7*8)/(4!*4!)=(5*6*7*8)/(1*2*3*4)=70

4.
P_(6)=6!=1*2*3*4*5*6=720 способов.
О т в е т. 720 способов

5.
Задача некорректно сформулирована: флажки из флажков не составляют.

Имеется 5 флажков разных цветов.
Сколькими способами можно выбрать[b] набор [/b] из трех флажков.

О т в е т.
C^3_(5)=5!/((5-3)!*3!)=(3*4*5)/(6)=10 флажков.

y`_(x)(x_(o);y_(o))=1/x`_(y)(x_(o);y_(o))

x`_(y)=(y^3+3y)`_(y)=3y^2+3=3*(y^2+1)

При x_(o)=(28/27)
найдем чему равна вторая координата y_(o)

Подставляем x=28/27 в данное уравнение:

28/27=y^3+3y;

27y^3+81y-28=0

Решаем уравнение и находим y

27y^3+81y-1 -27=0
(27y^3-1)+(81y-27)=0
(3y-1)*(9y^2+3y+1) +27(3y-1)=0
(3y-1)*(9y^2+3y+1+27)=0
3y-1=0 или 9y^2+3y+28=0
y=1/3
9y^2+3y+28=0 - уравнение не имеет корней, D < 0

y_(o)=1/3)

(x_(o);y_(o))=(28/27;1/3)

x`_(y_(o))=3*((1/3)^2+1)=8

y`_(x)(x_(o))=1/8

О т в е т. 1/8

Ответ выбран лучшим

Прямоугольные треугольники МКВ и АСВ подобны, так как MK|| AC
Из подобия следует пропорциональность сторон.
КВ:СВ=КМ:СА
КВ=х
СВ=СК+КВ=6+х

x:(x+6)=1,75:7
7x=1,75*(x+6)
7x-1,75x=10,5
5,25x=10,5
x=2
На расстоянии 2 м. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Количество переменных 5, количество уравнений 4. Систему можно решить методом Гаусса.

По второму условию "сумма квадратов координат равна 69" можно составить уравнение
x^2_(1)+x^2_(2)+x^2_(3)+x^2_(4)+x^2_(5)=69

Далее скорее всего подбор.
x_(5)=2k, k ∈ Z

994-829*k должно быть кратно 55 ⇒ 994-829*k=55m⇒
При k=1
994-829=165
165:55=3

Значит x_(5) = 2
x_(1)=3
x_(2) = - 4;
x_(3) = 6
x_(4)=-2

3^2+(-4)^2+6^2+(-2)^2+2^2=69 - верно

О т в е т. (3;-4;6;-2;2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем свойства логарифмов:
(см. приложение правило первое. Применяем справа налево)
a>0; b>0, x>0, x≠ 1

1)=log_(12)(1/2)*(1/72)=log_(12)(1/144)=-2,
так как по определению логарифма (12)^(-2)=1/12^2=1/144

2)=log_(12)(4*36)=log_(12)144=2,
так как 12^2=144

3)=log_(144)3*4=log_(144)12=(1/2)
так как 144^(1/2)=sqrt(144)=12

4)=log_(1/8)4*2=log_(1/8)8=-1
так как (1/8)^(-1)=(8^(-1))^(-1)=8

5)=log_(216)2*3=log_(216)6=1/3
так как 216^(1/3)=∛216=6 (прикреплено изображение)

По формуле синуса суммы

sin(х +(π/6))=sinх*cos(π/6)+cosх*sin(π/6)=(sqrt(3)sinx+cosx)/2

Уравнение принимает вид

sqrt(3)*sinx+cosx-2sqrt(3)cos^2x=cosx-2sqrt(3)

sqrt(3)*sinx+2sqrt(3)cos^2x=-2sqrt(3)

Так как сos^2x=1-sin^2x

2sqrt(3)sin^2x+sqrt(3)sinx=0

sqrt(3)*sinx*(2sinx+1)=0

sinx=0 ⇒ x=πk,k ∈ Z

или

2sinx+1=0 ⇒ sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^(n+1)*(π/6)+πn, n ∈ Z

О т в е т.
а) πk,k ∈ Z

(-1)^(n+1)*(π/6)+πn, n ∈ Z

б) -π; -2π; (-π/6)-2π=-13π/6 три корня, принадлежащих указанному промежутку (прикреплено изображение)

Линейное уравнение 1 порядка.
Решение будем искать в виде
y=u*v
тогда
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение

u`*v+u*v`-(1/x)*u*v=x*e^(x)
сгруппировываем:
u`*v+u*(v`-(1/x)*v)=x*e^(x)

Так как функции u(x) и v(x) - произвольные, то считаем
v`-(1/x)*v=0 ⇒ dv/v=dx/x ⇒ ln|v|=ln|x| ⇒ v=x
и
u`*v+0=x*e^(x)
v=x
u`*x=xe^(x)
u`=e^(x)
u=e^(x)+C

y=u*v=(e^(x)+C)*x=x*e^(x)+Cx общее решение.

Нет данных для нахождения частного решения

Ответ выбран лучшим

-0,8x=-8
x=-8:(-0,8)
x=10
О т в е т. 10

Множество прямых, параллельных прямой 3х -4у -10 =0
имеет вид:
3х - 4у +K=0

Пусть M(x_(o);y_(o)) принадлежит прямой 3х - 4у +K=0
Значит 3x_(o)-4*y_(o)+K=0

K=3x_(o)-4y_(o)

По формуле расстояния от точки M(x_(o);y_(o)) до прямой Ax+By+C=0
d=|A*x_(o)+B*y_(o)+C|/sqrt(A^2+B^2)

3=|3x_(o)-4*y_(o)-10|/sqrt(3^2+4^2)

3=|3x_(o)-4*y_(o)-10|/5

15=|3x_(o)-4*y_(o)-10|

⇒ 3x_(o) - 4*y_(o) - 10 = 15 или 3x_(o) - 4*y_(o) -10 = - 15

3x_(o) - 4*y_(o) = 25 или 3x_(o) - 4*y_(o) = - 5

K=25 или K=-5

О т в е т. 3x - 4y + 25 = 0 или 3х - 4у - 5 = 0

Пусть вес картофеля х кг.
Тогда вес капусты (х +0,38х) = 1,38х (кг)

Вес моркови
х - 0,4х=0,6х ( кг)

Всего
х + 1,38х + 0,6х=14,9

х=5 кг

Ответ выбран лучшим

пусть ((π/6)- α )= β
По условию
sin β =2sqrt(2)/3
β ∈ [π/2;π]
угол β во второй четверти, косинус во второй четверти имеет знак минус

cosβ = - sqrt(1-sin^2 β )=-sqrt(1-(2sqrt(2)/3)^2)=-1/3

По формуле синуса разности

sin((π/6)- α )=sin α *cos(π/6)-cos α sin(π/6)=(sqrt(3)sin α- cosα) /2

тогда

[b] (sqrt(3)sin α- cosα) /2=2sqrt(2)/3[/b]

По формуле косинуса разности

cos((π/6)- α )=cos(π/6)*cos α +sin(π/6)*sinα=(sqrt(3)cosα+sinα) /2

[b](sqrt(3)cosα+sinα) /2= -1/3[/b]

Система:

{(sqrt(3)sin α- cosα) /2=2sqrt(2)/3
{(sqrt(3)cosα+sinα) /2= -1/3

Умножаем первое уравнение на 2, второе на (-2sqrt(3))
{sqrt(3)sin α- cosα=4sqrt(2)/3
{-sqrt(3)sinα- 3cosα= 2sqrt(3)/3

Cкладываем

-4cos α =(4sqrt(2)+2sqrt(3))/3

cos α =(-2sqrt(2)-sqrt(3))/6

S=(1/2)c*h=(1/2)*6*2=6 (прикреплено изображение)

Рис. 1 соответствует R=5sqrt(2)-1
Рис.2 соответствует R=sqrt(58)+1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Производная положительна там где функция возрастает.
Участки возрастания отмечены на оси Ох зеленым цветом.
В это множество входят пять отмеченных точек. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

vector{a}*vector{AB}=|vector{a}|*|vector{AB}|* cos ∠ (vector{a},vector{AB})

⇒

cos ∠ (vector{a},vector{AB})=(vector{a}*vector{AB})/(|vector{a}|*|vector{AB}|)

пр_(vector{AB})vector{a}=|vector{a}|*cos∠ (vector{a},vector{AB})=

= |vector{a}|*(vector{a}*vector{AB})/(|vector{a}|*|vector{AB}|)=

=(vector{a}*vector{AB})/|vector{AB}|

vector{AB}=(x_(B)-x_(A);y_(B)-y_(A); z_(B)-z_(A))= (4;4;2)

|vector{AB}|=sqrt(4^2+4^2+2^2)=sqrt(36)=6

vector{a}*vector{AB}=1*4+2*4+3*2=18

пр_(vector{AB})vector{a}=18/6=3

О т в е т. 3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Векторная [b] алгебра[/b].
Раскрываем скобки как в алгебре:

(vector{a}+vector{b}+vector{c})*(2*vector{a}-vector{b})=

=2*vector{a}*vector{a}+2vector{b}*vector{a}+2*vector{c}*vector{a}-

-vector{a}*vector{b}-vector{b}*vector{b}-vector{c}*vector{b}

По свойству скалярного произведения

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos∠ (vector{a},vector{b})
vector{a}*vector{b}=vector{b}*vector{a}

и

vector{a}*vector{a}=|vector{a}|*|vector{a}|=(|vector{a}|)^2

Поэтому
vector{a}*vector{b}=1*2*cos60^(o)=1*2*(1/2)=1
vector{a}*vector{c}=1*5*cos60^(o)=1*5*(1/2)=5/2
vector{b}*vector{c}=2*5*cos60^(o)=2*5*(1/2)=5

vector{a}*vector{a}=1*1*cos0^(o)=1*1*1=1
vector{b}*vector{b}=2*2*cos0^(o)=2*2*1=4
vector{c}*vector{c}=5*5*cos0^(o)=5*5*1=25

О т в е т. 2*1+2*1+2*(5/2) - 1 - 4 - 25= -21

Ответ выбран лучшим

vector{с}= α*vector{a}+ β*vector{b}

-4= α *5+ β *1
13= α *4+ β *(-1)

Решаем систему двух уравнений с двумя переменными α и β .

{-4= α *5+ β *1
{13= α *4+ β *(-1)

Складываем
9=9 α
α =1

β =-4- α *5=-4-5=-9

О т в е т. vector{с}= vector{a} - 9vector{b}

Ответ выбран лучшим

Пусть производительность первого цеха [b]х[/b]телевизоров в сутки.
0,75*x телевизоров в сутки - производительность второго цеха до реконструкции.
1,2*0,75*х=0,9х телевизоров в сутки производительность второго цеха после реконструкции.

По условию первого цеха завода не более 730 произведённых телевизоров в сутки:
x ≤ 730
После реконструкции второй цех стал выпускать более 640 телевизоров в сутки.
0,9x ≥ 640
x; 0,9x - целые числа

Система
{x ≤ 730;
{0,9x ≥ 640⇒ x ≥ 712

x; 0,75x; 0,9x - целые числа

x; 3x/4; 9x/10 - целые числа
⇒ x кратно 4 и 5

значит х=720

0,9х=0,9*720=648

О т в е т. 648 телевизоров в сутки выпускает второй цех после реконструкции

Ответ выбран лучшим

(6/5)^(cos3x)=t
t>0

(5/6)^(cos3x)=1/t

t+(1/t)=2

(t^2-2t+1)/t=0

t^2-2t+1=0

t=1

(6/5)^(cos3x)=1

(6/5)^(cos3x)=(6/5)^(0)

cos3x=0

3x=(π/2)+πk, k ∈ Z

x=(π/6)+(π/3)*k, k ∈ Z

О т в е т.
a) (π/6)+(π/3)*k, k ∈ Z
б) x= (π/6)+(π/3)*12= (π/6)+4π=25π/6 ∈ [4π; 9π/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Второе уравнение имеет решения при a>0 [b] (!) [/b]

{x^4-y^4=12a-28;
{x^2+y^2=a

{(x^2-y^2)*(x^2+y^2)=12a-28
{x^2+y^2=a

{(x^2-y^2)*a=12a-28
{x^2+y^2=a ⇒ y^2=a-x^2

{(x^2-a+x^2)*a=12a-28
{y^2=a-x^2

{2ax^2= a^2+12a-28
{y^2=a- ((a^2+12a-28)/2a)

{x^2=(a^2+12a-28)/2a
{y^2=(a^2-12a+28)/2a

Первое уравнение имеет два корня при
(a^2+12a-28)/2a >0
Второе уравнение имеет два корня при
(a^2-12a+28)/2a >0
Учитывая a>0 [b] (!) [/b]

остается решить cистему неравенств:
{a^2+12a-28 >0⇒ a < -14 или a>2
{a^2-12a+28 >0 ⇒ a<6-4sqrt(2) или a> 6+4sqrt(2)

О т в е т. a > 6+sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

По правилу треугольника
vector{AB}+vector{BC}=vector{AC}

⇒ vector{AC} =vector{a}+vector{b}

По правилу треугольника
vector{AB} + vector{BM} =vector{AM}

Так как

vector{АМ}=(1/2)*vector{AC} ⇒

vector{AМ} =(1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{b}

значит

vector{а} + vector{BM} =(1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{b}

⇒

vector{BM} =(1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{b}- vector{а}

⇒

vector{BM} =(1/2)*vector{b}-(1/2)*vector{a}

Выражаем из второго уравнения у
2y=-1-3x;
y=(1/2)*(-1-3x)

и подставляем в первое уравнение:

x^2+x*(1/2)*(-1-3x)-3*((1/2)*(-1-3x)=9

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

x^2-8x+15=0
D=64-60=4
x_(1)=(8-2)/2=3; x_(2)=(8+2)/2=5
y_(1)=(1/2)*(-1-3*3)=-5; у_(2)=(1/2)*(-1-3*5)=-8

О т в е т. (3;-5);(5;-8)

Выражаем из второго уравнения х
3х= -1 -2y;
x=(1/3)*(-1-2x)

и подставляем в первое уравнение:

(1/9)*(-1-2y)^2+(1/3)*y*(-1-2y)-3y=9

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
y^2+13y+40=0
D=169-160=9
y_(1)=-8; y_(2)=-5
x_(1)=5; x_(2)=3

О т в е т. (3;-5);(5;-8)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
8-2x ≥ 0
2x ≤ 8
x ≤ 4
х ∈ (- ∞ ;4]

Возводим обе части уравнения в квадрат
8-2x=6^2
-2x=36-8
-2x=28
x=-14
-14 ∈ ОДЗ
О т в е т. -14

(прикреплено изображение)

Уравнение стороны АВ как прямой, проходящей через две точки:
(x-x_(А))/(x_(В)-x_(А))=(y-y_(А))/(y_(В)-y_(А))

(x+3)/(5+3)=(y-3)(-1-3)
(x+3)/8=(y-3)/(-4)
-4*(x+3)=8*(y-3)
[b]x+2y-3=0[/b] - уравнение стороны АВ

Высота АМ: уравнение y=3
Перпендикулярная ей сторона BC:[b] x=5 [/b]

Уравнение высоты ВМ как прямой, проходящей через две точки:
(x-x_(B))/(x_(M)-x_(B))=(y-y_(B))/(y_(M)-y_(B))

(x-5)/(4-5)=(y+1)/(3+1)
(x-5)/(-1)=(y+1)/4
4x-5=-y-1
y=-4x+4
k_(BM)=-4
Значит k_(АС)=1/4
Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно (-1)
Уравнение прямой АС имеет вид:
y=(1/4)x + b
Чтобы найти b подставляем координаты точки А в уравнение
3=(1/4)*(-3)+b
b=3+(3/4)
b=15/4
y=(1/4)x+(15/4) ⇒[b] x-4y+15=0[/b]

О т в е т. x+2y-3=0; х=5; x-4y+15=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y^2-2y+1=x
(y-1)^2=x
Новая переменная
у-1=y`

(y`)^2=x - каноническое уравнение параболы вида y^2=2px
2p=1
p=1/2
вершина в точке (0;0)
F(1/4;0)
x=-1/4 - уравнение директрисы.

Данная парабола со смещенным центром.
Центр в точке (0;1)
фокус в точке (1/4;1)
х=-1/4 - уравнение директрисы (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

через три точки, не лежащие на одной прямой!

а)
x^2=9y
2p=9
p=9/2

F(0;9/4)

y=-9/4 - уравнение директрисы.

б)у^2= - 10y
2p= -10
p= -5

F( -5/2;0)

х=5/2 - уравнение директрисы.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть весь путь х км
Расстояние от магазина до кинотеатра
(1/10)*х км.
По условию 72 км
Уравнение:
(1/10)х=72
х=720

Расстояние от дома до магазина
(3/10)*720=216 км

4) Пусть х кг - запас муки.
(1/6)*х кг израсходовано за неделю.
По условию израсходовано 340 кг.
Уравнение:
(1/6)х=340
х=340*6
х=2 040 кг=2 т 040 кг

5)Пусть весь путь х км
(1/7)*х км проходили в день.
По условию в день проходили 5 км.
(1/7)х=5
х=35 км

Ответ выбран лучшим

16 328 = 1*10 000 + 6* 1 000 + 3*100 +2*10 +8
2 844 635 = 2*1 000 000 + 8 * 100 000 +4*10 000 + 4*1 000 +6*100+3*10+5

Складываем

16 328 + 2 844 635 =
= 2*1 000 000 +
+ 8 * 100 000 +
+(4*10 000 + 1*10 000)+
+(4*1 000 + 6* 1 000)+
+(6*100+3*100)+
+(3*10+2*10)+
+(5+8)=

=2*1 000 000 +
+ 8 * 100 000 +
+[b](4 + 1)*[/b]10 000+
+[b](4+6)*[/b]1 000
+[b](6+3)*[/b]100
+[b](3+2)*[/b]10+
+[b](5+8)[/b]=

Весь алгоритм в скобках. Сложение сводится к сложению однозначных чисел!

Ну и с вычитанием также.

[b]с > a[/b]
Фокус F_(2)(c;0) правее вершины (a;0)

В случае если мнимая ось - ось Ох, то
F(0;c) выше вершины (0;b) и
с>b
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

sin α =3/5; sin β =5/13
и углы [b] острые[/b]

(3/5) < sqrt(3)/2, значит sin α < sin 60^(o)
На [0;π/2] функция синус возрастает, поэтому
α < 60^(o)

(5/13) < (1/2), значит sin β < sin 30^(o)
На [0;π/2] функция синус возрастает, поэтому
β < 30^(o)

[b] α + β < 60^(o)+30^(o)=90^(0)[\b]

γ =180^(o)- α - β=180^(o)-(α + β) > 90^(o)

[b] γ - во второй четверти[/b]

Косинус во второй четверти имеет знак минус.

Так как
sin^2α+cos^2α=1 ⇒ cos^2α=1-sin^2α= 1-(3/5)^2=1-(9/25)=(25-9)/25=16/25
cos α =4/5 ( угол α - острый, поэтому знак +) ;

Аналогично
cos β =12/13

γ =180^(o)- α - β

sinγ = sin(180^(o)- α - β )=sin(180^(o)- (α - β ))=

=sin( α + β )=sin α cos β +cos α sin β =

=(3/5)*(12/13)+(4/5)*(5/13)=56/65

⇒

cosγ =± sqrt(1-sin^2 γ )

cosγ = - sqrt(1-(56/65)^2) = - sqrt(65^2-56^2)/65 =
= - sqrt((65-56)*(65+56))/65 =- 3*11/65=- 33/65

О т в е т. cosγ = - 33/65

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем системы уравнений:
{x+3y–3=0 Умножаем уравнение на (-3): и складываем со вторым
{3x–11y–29=0
-20y-20=0
y=-1
x=-3y+3=-3*(-1)+3=6
(6;-1) - первая точка

{x+3y–3=0
{3x–y+11=0 умножаем на 3 и складываем с первым
10х+30=0
y=-3
x= -3y+3=-3*(-3)+3=12
(12;-3) - вторая точка

{3x–11y–29=0
{3x–y+11=0
Вычитаем из первого уравнения второе
-10у-40=0
y=-4
x=(y-11)/3=(-4-11)/3=-5
(-5;-4) - третья точка
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В первый день прошли путь АС.
АС=(1/15)*АО
АС=14 км
14=(1/15)*АО ⇒ АО=210 км

СО=АО-АС=210-14=196 км

Во второй день
CD=(1/4)CO=(1/4)*196=49 км

DO=СO-СD=196 - 49=147 (км)

DM + (1/7)*DO=(1/7)*147=21 ( км)

MO = DO - DM = 147 - 21 = 126 (км)

126:3=62 км

О т в е т. в первый день - АС, это 14 км,
во второй день СD - это 49 км,
в третий день DM - это 21 км
в четвертый, пятый и шестой поровну по 62 км

Применяется метод подведения под дифференциал.
Номер формулы ( см. таблицу в приложении), по которой вычислен интеграл над знаком равенства в кружке. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если имеется каноническое уравнение параболы x^2=2py, то
вершина параболы в точке (0;0), уравнение директрисы
y=-p/2.
Ветви параболы направлены вверх по отношению к оси Оу.

Упрощаем данное уравнение:
x^2-4x=y-3
Выделяем полный квадрат.
(x^2-4x+4)-4=y-3
(x-2)^2=y+1
Новые переменные
x-2=x`
y+1=y`
Значит вершина параболы в точке (2;-1)

Получили каноническое уравнение вида (x^2=2py):

[b](x`)^2 =y`[/b]
⇒ 2p=1
p=1/2

F(0;1/2) - фокус
уравнение директрисы
y`=-1/4

или обратная замена
F(2;-1/2) - фокус данной параболы

y+1=-1/4
⇒ y=-5/4 уравнение директрисы данной параболы. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{a}×vector{b}=(-2;1;7)

Векторы коллинеарны ⇒ их координаты пропорциональны

-2: α =1:3=7: β ⇒
-2: α =1:3

α =-6

1:3=7: β

β =21 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки A, B, C
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{F}=(-4;-4;-4)
vector{AB}=(12-11;-10-(-9);3-5) =(1;-1-2)- плечо силы

vector{M}= vector{F}× vector{AB} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ KFM подобен Δ DFM ( KM || DA)

Из подобия следует пропорциональность сторон

KM: DA= FK: FD

KM:15 =3 : 5

КМ=9 (см) (прикреплено изображение)

vector{BC}=(2/3)vector{a}+(4/3)vector{b}

Решение.
По правилу треугольника
vector{АК}+vector{КC}=vector{AC}
и
vector{BM}+vector{MC}=vector{BC} ⇒ (т.к. vector{MC}=(1/2)vector{АC}

vector{BC}=vector{b}+(1/2)*vector{AC}=

=vector{b}+(1/2)vector{АК}+(1/2)vector{КC}=

=vector{b}+(1/2)vector{a}+(1/2)*(1/2) vector{BC}.

Итак,
vector{BC}=vector{b}+(1/2)vector{a}+(1/2)*(1/2) vector{BC}.

(3/4)vector{BC}=vector{b}+(1/2)vector{a}

vector{BC}=(4/3)*vector{b}+(4/3)*(1/2)vector{a}

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x-x_(A))/(x_(B)-x_(A))=(y-y_(A))/(y_(B)-y_(A))=(z-z_(A))/(z_(B)-z_(A))

(x-0)/(2-0) = (y-(-1))/(1-(-1))=(z-(-2))/(0-(-2));

(x/2)=(y+1)/2=(z+2)/2

x=y+1=z+2
Это уравнение можно записать как систему:

{x=y+1
{x=z+2

z=0 - уравнение плоскости xOy
Решаем систему трех уравнений:
{x=y+1
{x=z+2
{z=0

x=2;
y=1
(2;1;0) - точка пересечения с пл. хОу

Аналогично
{x=y+1
{x=z+2
{x=0

(0; -1;-2) - точка пересечения с пл. yОz

{x=y+1
{x=z+2
{y=0

(1; 0;2) - точка пересечения с пл. xОz

Ответ выбран лучшим

vector{n}=vector{AB}=(0-(-1); -1-2; 1-(-3))=(1;-3;4} - нормальный вектор искомой плоскости.

1*(x-(-1)) - 3*(y - 2) + 4* (z -(-3))=0 - уравнение плоскости, проходящей через точку с заданным нормальным вектором.

О т в е т. x - 3y +4z +19 =0

Ответ выбран лучшим

считаю, что
vector{c}=(-6+2*(-8);10+2*12)=(-22;34)
считаю, что опечатка и
vector{d}=vector{b}-vector{d}
vector{d}=(-8-(-6);12-10)=(-2;2)

Считаю, что вместо пустого квадратика знак -:

A(1, 2, 1), B(3, -1, 1), C(0, 2, -1).

vector{AC}=(0-1; 2-2; -1-1)=(-1; 0; -2)
vector{AВ}=(3-1; -1-2; 1-1)=(2; -3; 0)

vector{AC}*vector{AB}=|vector{AC}|*|vector{AB}|*cos ∠ A

vector{AC}*vector{AB}=-1*(-2)+0*(-3)+(-2)*0=2
|vector{AC}|=sqrt((-1)^2+0^2+(-2)^2)=sqrt(5)
|vector{AB}|=sqrt(2^2+(-3)^2+0^2)=sqrt(13)

cos ∠ A=vector{AC}*vector{AB}/(|vector{AC}|*|vector{AB}|)=

=2/(sqrt(13)*sqrt(5))=2/sqrt(65)

Ответ выбран лучшим

Находим координаты точки М - середины АВ

x_(M)=(x_(A)+x_(B))/2=(5+2)/2=7/2
y_(M)=(y_(A)+y_(B))/2=(0+(-1))/2=-1/2

СM=sqrt((x_(M)-x_(C))^2+(y_(M)-y_(C))^2)=

=sqrt(((7/2)-6)^2+((-1/2)-2)^2)=

=sqrt((25/4)+(25/4)=sqrt(50/4)=sqrt(25/2)=5sqrt(2)/2

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R
имеет вид

(x - a)^2+(y-b) ^2=R^2

AB=sqrt((x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2)=sqrt((2-5)^2+(-1-0)^2)=

=sqrt(9+1)=sqrt(10)

d=sqrt(10)
R=d/2=sqrt(10)/2

(x - 5)^2+(y - 0)^2=(sqrt(10)/2)^2

(x - 5)^2+y ^2=10/4

М(5;–2)
Подставляем координаты точки в уравнение:
(5-5):2+(-2)^2=10/4 - неверно.
Точка М не принадлежит окружности

О т в е т. (x - 5)^2+y ^2=10/4

1. sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos α = ± sqrt(1-sin^2 α )

Так как α ∈ [3π/2;2π] cos α >0

сos α =sqrt(1-(-5/13)^2)=12/13
tg α =sin α :cos α =-5/12
ctg α =cos α :sin α =-12/5

2
а) = (sin^2α +cos^2α) +tg^2α =1+tg^2α =1/cos^2α ;
б)= (1-sinα)*(1+sinα)/(1-cos α)*(1+cos α)=(1-sin^2 α )/(1-cos^2 α)=

=cos^2 α /sin^2 α =ctg^2 α

3.
1)
2sinxcosx=sin2x
поэтому
2*(2sinx*cosx)=sqrt(2)
sin2x=sqrt(2)/2
2x=(-1)^(k)*(π/4)+πk, k ∈ Z
x=(-1)^(k)(π/8)+(π/2)*k, k ∈ Z
О т в е т. (-1)^(k)(π/8)+(π/2)*k

2) sinx=t
4t^2-t-3=0
D=1+48=49
t=-3/4 или t=1
sinx=-3/4 ⇒ x=(-1)^(k)*arcsin(-3/4)+πk, k ∈ Z
sinx=1 ⇒ x=2πn, n ∈ Z
О т в е т. (-1)^(k)*arcsin(-3/4)+πk, k ∈ Z ; 2πn, n ∈ Z

3) cos^2x-sin^2x=cos2x

cos2x=1 ⇒ 2x=2πn, n ∈ Z ⇒ x=πn, n ∈ Z
О т в е т. πn, n ∈ Z

4) Так как 1+cosx=2cos^2(x/2), то уравнение принимает вид:
2cos^2(x/2)=cos(x/2);

2cos^2(x/2)-cos(x/2)=0

cos(x/2)*(2cos(x/2)-1)=0

cos(x/2)=0 или 2cos(x/2)-1=0

cos(x/2)=0 ⇒ (x/2)=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ x=π+2πk, k ∈ Z

2cos(x/2)-1=0 ⇒ cos(x/2)=1/2 ⇒ (x/2)= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒

x= ± (2π/3)+4πn, n ∈ Z
О т в е т. ± (2π/3)+4πn, n ∈ Z

5.
Область определения функции (-∞ ;+∞ )
f`(x)=(-2x^3+15x^2-36x+20)`= -6x^2+30x-36
f`(x)=0
-6x^2+30x-36=0
x^2-5x+6=0
D=25-24=1
x_(1)=(5-1)/2=2; x_(2)=(5+1)/2=3

Знаки производной f`(x)= -6x^2+30x-36 ( парабола, ветви вниз, на (2;3) знак +)

_-__ (2) __+__ (3) _-__

Функция возрастает на (2;3), так как производная положительна.
Функция убывает на ( (-∞ ;2) и на (3;+∞ ), так как производная отрицательна

6.
Область определения функции (-∞ ;+∞ )
f`(x)=(x^3-6x^2+16)`= 3x^2-12x
f`(x)=0
3x^2-12x=0
3*(x^2-4x)=0

x_(1)=0; x_(2)=4

Знаки производной f`(x)= 3x^2-12 ( парабола, ветви вверх, на (-2;2) знак -)

_+__ (0) __-__ (4) _+__

x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=4- точка минимума, производная меняет знак с - на +

f(-2)=0^3-6*0^2+16=16

f(4)=4^3-6*4^2+16=-16

y``=(3x^2-12x)`=6x-12

f``(x)=0
6x-12=0
x=2 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

4.
1) f`(x)=3*(4/3)x^(1/3)-2 +0 - (1/x^2) - 2*(5/2)x^(-7/2)

f`(x)=∛x +0 - (1/x^2) - (5/(x^3sqrt(x)))
f`(1)=1-1-5=-4

2)f`(x)=sqrt(x^2+1)+(x+1)*(2x)/(2sqrt(x^2+1))
f`(x)=sqrt(x^2+1)+((x+1)*x)/sqrt(x^2+1)
f`(1)=sqrt(2)+1

3)f`(x)=(9*sqrt(x^2+1)-9x*(2x)/2sqrt(x^2+1))/(sqrt(x^2+1))^2

f`(x)=(9x^2+9-9x^2)/((x^2+1)*sqrt(x^2+1))

f`(x)=9/((x^2+1)*sqrt(x^2+1))

f`(2sqrt(2))=9/(9*3)=1/3

4)f(x)=(1/2)ln(x+1)-(1/2)ln(x-1)

f`(x)=(1/(2*(x+1))+(1/(2*(x-1))
f`(x)=(x-1+x+1)/(2*(x-1)(x+1))

f`(x)=x/(x^2-1)
f`(2)=2/3

5) f`(x)=(1/3)*e^(-3x)*(-3x)`-(1/3)*e^(3x)*(3x)`
f`(x)=(1/3)*e^(-3x)*(-3)-(1/3)*e^(3x)*(3)
f`(x)=-e^(-3x)-e^(3x)
f`(0)= -e^(0)-e^(0)=-1 -1=-2

Ответ выбран лучшим

1)Локальная теорема Лапласа
n=400; p=0,8; q=0,2
npq=400*0,8*0,2=64
sqrt(npq)=8

x=(310-400*0,8)/sqrt(400*0,8*0,2)=-10/8=-1,25

φ (-1,25)= φ (1,25)=0,1826 ( cм. таблицу)

P_(400)(310)=0,1826/8=0,022825

2) Интегральная теорема Лапласа.
P_(400) (310 ≤ x ≤ 320)=Ф(х_(2))-Ф(х_(1))=0-(-0,3944)=0,3944

x_(1)=(310-400*0,8)/sqrt(400*0,8*0,2)=-10/8=-1,25
x_(2)=320-400*0,8)/sqrt(400*0,8*0,2)=0

Ф(х_(1))=Ф(-1,25)=-Ф(1,25)=-0,3944

3)
np=400*0,8=320
np-q=320-0,2=319,8
np+p=320+0,8=320,8

319,8 ≤k_(o) ≤ 320,8

k_(o)=320 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Отсекающей на оси Oy отрезок, равный 3 - означает, что плоскость проходит через точку (0;3;0)

Выберем на прямой
2x–y+z–3=0
x+y–3[b]z[/b]–1=0
(опечатка в условии)

две точки и напишем уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть z=0
{2x-y-3=0
{x+y-1=0
Cкладываем
3x=4
x=4/3
y=-1/3
Одна точка (4/3;-(1/3);0)

Пусть х=0
{-y+z-3=0
{y-3z-1=0

Складываем
-2z=4
z=-2
y=3z+1=3*(-2)+1=-5

Вторая точка (0;-5;-2)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки
(0;-5;-2); (4/3;-(1/3);0);(0;3;0)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Угол между прямыми- угол между их направляющими векторами
vector{s_(1)}=(3;6;2)
vector{s_(2)}=(2;9;6)

сos φ =vector{s_(1)}*vector{s_(2)}/|vector{s_(1)}|*|vector{s_(2)}|=

=(3*2+6*9+2*6)/(sqrt(3^2+6^2+2^2)*sqrt(2^2+9^2+6^2))=

=72/(7*11)=72/77
φ =arccos(72/77)

2) угол между прямыми АВ и АС можно вычислить так же как в п. 1
vector{s_(AB)}=(3;4)
vector{s_(AC)}=(1;7)

сos φ =vector{s_(AB)}*vector{s_(AC)}/|vector{s_(AB)}|*|vector{s_(AC)}|=

=(3*1+4*7)/(5*sqrt(50))=31/*25*sqrt(2))

φ =arccos(31/(25*sqrt(2)))

А можно через угловые коэффициенты
k_(AB)=-3/4
tg α =-3/4
k_(AC)=-1/7
tg β =-1/7

tgφ =tg ( α - β)=(tgα - tgβ )/(1+tgα*tgβ)= -19/31
φ = arctg (-19/31) - это тупой угол, а смежный arctg (19/31) - острый (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a_(n)=3^(n)/((n+2)!*4^(n))
a_(n+1)=3^(n+1)/((n+3)!*4^(n+1))
Применяем признак Даламбера
lim_(n→ ∞)a_(n+1)/a_(n)=lim_(n→ ∞)3/(4*(n+3))=0 < 1

По признаку Даламбера ряд сходится

Ответ выбран лучшим

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью ( f(x)=x-x^2 - многочлен второго порядка)

Решаем однородное:
y``+4y`+4y=0
Характеристическое:
k^2+4k+4=0
k_(1)=k_(2)=-2
Общее решение по правилу ( см. вторую строку)
y_(общее однород.)=C_(1)e^(-2x) + C_(2)*[b]x*[/b]e^(-2x)

Частное решение ищем в виде подобном правой части f(x)
y_(част.)=ax^2+bx+c
y`_(част.)=2ax+b
y``_(част)=2а

Подставляем в данное уравнение:
2a+4*(2ax+b)+4*(ax^2+bx+c)=x-x^2

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной и свободные члены:
4а = - 1 ⇒ а=-1/4
8а+4b = 1 ⇒ 8*(-1/4) + 4b = 1 ⇒ b=3/4
2a+4b+4c=0 ⇒ -(1/2)+3+4c=0 ⇒ c=5/8

О т в е т. y=y_(общее одн.)+y_(част)=C_(1)e^(-2x) + C_(2)*[b]x*[/b]e^(-2x)- (1/4)x^2+(3/4)x+(5/8)

Ответ выбран лучшим

Выделяем полные квадраты
(x^2-12x)-4(y^2-2y) - 7=0;
(x^2-2*x*6+6^2)-4*(y^2-2*y*1+1)-6^2+4-7=0
(x-6)^2-4*(y-1)^2=39
(x-6)^2/39 - (y-1)^2/(39/4) =1 - уравнение гиперболы
с центром в точке O_(1) (6;1)
a=sqrt(39)
b=sqrt(39)/2

b^2=c^2-a^2 ⇒
c^2=b^2+a^2=(39/4)+39=39*5/4
c=sqrt(195)/2
Эксцентриситет:
ε=c/a=sqrt(5)/2 > 1
(характеризует вытянутость основного прямоугольника гиперболы).

Гипербола
(x`)^2/39 -(y`)^2/(39/4)=1
имеет фокусы в точках (- sqrt(195)/2;0) и (sqrt(195)/2;0).
и асимптоты
y=± b/a=± (1/2)x
Фокусы данной гиперболы с учетом смещения центра О (0;0) в точку О_(1) (6;1) имеют вид:
F_(1)(6 - sqrt(195)/2;1); F_(2)( 6+sqrt(195)/2;1)
Асимптоты данной гиперболы с учетом смещения:

у= (1/2)x - 2 и y=-(1/2)x+4

Асимптоты - диагонали основного прямоугольника гиперболы. см. рис.
(прикреплено изображение)

1.
а) A_(1)B_(1) || ABC, так A_(1)B_(1) || AB
б) АСD_(1) || A_(1)C_(1)B так как две пересекающиеся прямые одной плоскости
АС и AD_(1) параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости A_(1)C_(1) b BC_(1)
в) пересекаются по прямой DO.
2.
Неверно. Прямые должны быть не произвольными, а пересекающимися.
См. рис. 2 доказывающий, что утв. неверно

3. См. рис 3

(прикреплено изображение)

1.
AS и BC - скрещивающиеся прямые. Одна лежит в основании, а вторая пересекает в точке не принадлежащей ВС.
AS и BS пересекаются в точке S.

2. Можно. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая AS, которая не лежит в плоскости АВС.

3. Cм рис. KL|| AC; MN|| AC LM || DB; KN || DB
(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

По определению логарифма:
2-sin^2x - sinx-cos2x=1,75^(1)

Так как cos2x=1-2sin^2x, уравнение можно записать в виде:
4sin^2x-4sinx-3=0
D=16-4*4*(-3)=64
sinx= -1/2 или sinx=3/2 - уравнение не имеет корней, |sinx| ≤ 1

sinx= -1/2
x=(-1)^(k)(-π/6) + πk, k ∈ Z

О т в е т.
a)(-1)^(k)(-π/6) + πk, k ∈ Z

б) Указанному отрезку принадлежат корни
x_(1)=(-5π/6)-2π=-17π/6
и
x_(2)=(-π/6)-2π=-13π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем свойства степени:
a^(m)*a^(n)=a^(m+n)
(a^(m))^(n)-a^(m*n)
a^(m):a^(n)=a^(m-n)

Числитель:
x^(1/2)*x^(6/7)=x^((1/2)+(6/7))=x^(19/14)
Знаменатель:
(x^(2/7))^(-4)=x^((2/7)*(-4))=x^(-8/7)=x^(-16/14)
Дробь:
x^(19/14) : x^(-16/14)= x^((19/14)-(-16/14))=x^(35/14)=x^(5/2)=x^2*sqrt(x)

vector{a}*vector{b}=-3*5+5*3=0
Скалярное произведение равно 0, значит
cos ∠ (vector{a},vector{b}) = 0
⇒
∠ (vector{a},vector{b}) =90 градусов

Ответ выбран лучшим

vector{n_(1)}=(2;-1;3)
vector{n_(2)}=(1;2;-1)
vecto{n}=vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=-5vector{i}+5vector{j}+5vector{k}
vector{(-5;5;5)} - один из направляющих векторов прямой

Найдем точку, принадлежащую двум плоскостям.
Принимаем z=0
Тогда будем иметь систему уравнений
{2x-y-5=0
{x+2y+2=0
Умножаем первое уравнение на 2 и складываем со второым
Складываем
5х=8
х=1,6
y=-1,8
Точка А(1,6; -1,8; 0) принадлежит данным плоскостям, значит принадлежит их линии пересечения.

Пусть М(х;у;z) - произвольная точка искомой плоскости.
Тогда три вектора
vector{AM}=(x-1,6;y+1,8;z)}; vector{n}=(-5;5;5) и vector{a}=(2;-1; -2) - [b]компланарны[/b]

Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0

О т в е т. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(3-(-2);-6-4)=(5;-10)
vector{СД}=(1-4);5-(-2))=(-3;7)

vector{AB}*vector{СД}=5*(-3)+(-10)*7=-15-70=-85

Ответ выбран лучшим

(x^2 -8x + 16)+(y^2 -2y + 1) = 1
(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 1

Окружность с центром в точке (4;1) и радиусом 1

Окружность касается оси Ох в точке B(4;0) см. рис.

Пусть прямая y=kx касается окружности в точке А.

А(x; kx)

Координаты точки А удовлетворяют уравнению окружности.

Подставляем их в данное уравнение

x^2 +y^2−8x−2y+16=0

x^2+(kx)^2-8x-2kx+16=0

(1+k^2)x^2-(8+2k)x + 16 = 0

D=(8+2k)^2-4*(1+k^2)*16=64 + 32k + 4k^2 - 64 -64k^2=
=32k -60k^2

При D=0 уравнение имеет один корень.
32k-60k^2=0
k*(32-60k)=0

k=0 и k=32/60=8/15
прямая касается окружности

При 0 < k < (8/15) прямая пересекается с окружностью в двух точках

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть М(x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{AM}=(x-1;y-1;z+4);
vector{AB}=(-3-1;-1-1;2+4)=(-4:-2;6)и
vector{k}=(0;0;1)
[b] компланарны[/b]

Условием компланарности векторов, является равенство 0 их смешанного произведения.

Смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Уравнение с разделяющимися переменными
(1+x^2)dy=2x(y+3)dx
Делим на (1+x^2)*(y+3)
dy/(y+3)=(2x)dx/(1+x^2)
Интегрируем
∫ dy/(y+3)= ∫(2x)dx/(1+x^2)
ln|y+3|=ln|1+x^2)+lnC
y+3=C*(1+x^2) - общее решение

При x=0; y=-1

-1+3=С*(1+0^2) ⇒ C=2

y+3=2(1+x^2) ;
y=2x^2-1 - частное решение

2.
Разделим на (1+x^2)
y`- (2x/(1+x^2))y=(1+x^2)^3

Это линейное уравнение первого порядка.
Решение находят в виде произведения
y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`

u`*v+u*v` - (2х/(1+х^2))*u*v=(1+x^2)^3

u`*v+u*[b](v` - (2х/(1+х^2))*v)[/b]=(1+x^2)^3

Полагая
[b](v` - (2х/(1+х^2))*v)[/b]=0 ⇒ dv/v=2xdx/(1+x^2) ⇒ ln|v|=ln|1+x^2| ⇒
[b]v=(1+x^2)[/b]
получаем
u`*[b](1+x^2)[/b] -0=(1+x^2)^3

u`=(1+x^2)^2
u= ∫ (1+x^2)^2dx= ∫ (x^4+2x^2+1)dx= (x^5/5)+2*(x^3/3)+x+C

y=u*v=((x^5/5)+2*(x^3/3)+x+C)*(1+x^2)^3 - общее решение дифференциального уравнения

4.
Линейное дифферециальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k+5=0
D=4-4*5=-16
k_(1)=(-2-4i)/2=-1-2i; k_(2)=(-2+4i)/2=-1+2i ;

корни комплексно сопряженные
α =-1
β =2

Общее решение имеет вид:

y=e^(-x)*(C_(1)cos2x+C_(2)sin2x)

Чтобы найти частное решение, находим y`
y`=e^(-x)*(-1)*(C_(1)cos2x+C_(2)sin2x)+e^(-x)*(C_(1)(-sin2x)*2+C_(2)(cos2x)*2)

y`=e^(-x)*(-C_(1)cos2x-C_(2)sin2x)-2C_(1)sin2x+2C_(2)cos2x)

y(0)=0 ⇒

0=e^(-0)*(C_(1)*cos0+C_(2)sin0) ⇒ C_(1)=0

y`(0)=1 ⇒
1=e^(-0)*(-C_(1)cos0-C_(2)sin0-2C_(1)sin0+2C_(2)cos0)
1= - C_(1)+2C_(2)
C_(2)=-1
y= - e^(-x)*sin2x - частное решение (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
cosx ≥ 0 ⇒ x в 4-й или в 1-й четвертях

Произведение равно 0,когда хотя бы один из множителей равен 0

5sqrt(cоsx)-1=0 ⇒ cosx=1/25 ⇒

[b] x= ± arccos(1/25)+2πn, n ∈ Z[/b]

5-4cosx=0 ⇒ cosx5/4 уравнение не имеет корней, так как |cosx| ≤ 1

О т в е т. ± arccos(1/25)+2πn, n ∈ Z

б) (- arccos(1/25)+4π) ∈ [7π/2;4π]

Сгруппируем:
(3x^2+12x)-(y^2+4y)-4=0
Выделяем полный квадрат
3*(x^2+4x+4)-(y^2+4y+4)- 12+4-4=0
3*(x+2)^2-(y+2)^2=12

(x+2)^2/4-(y+2)^2/12= 1 - каноническое уравнение гиперболы
x+2=x`
y+2=y`

(x`)^2/4 - (y`)^2/12=1 (прикреплено изображение)

Линейное уравнение первого порядка.
Решение ищут в виде произведения двух функций
y=u*v

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)*u*v=x^3
u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=x^3

Поскольку функции u и v - произвольные, выбираем функцию v
Так, чтобы выражение в скобках обращалось в 0

{v`+(1/x)*v=0 ⇒ dv/v=-dx/x ⇒ ln|v|=-ln|x| ⇒ ln|v|=ln|x|^(-1) ⇒ v=1/х

2)u`*(1/x)=x^3
u`=x^4
u=(x^5/5)+ C

y=((x^5/5)+ C)*(1/x)

y=(x^4/5) +(C/x) - общее решение дифференциального уравнения

при х=1; у=-5/6

-5/6=(1/5) +(С/1)

C=-31/30

y=(x^4/5) +(-31/30x) - частное решение

Ответ выбран лучшим

2.
Выделим полные квадраты:
(x^2-4x)+(y^2-2y)-15=0
(x-2)^2+(y-1)^2=10
центр окружности O(2;1)

(x^2+6x)+y^2+18y)-55=0
(x+3)^2+(y+9)^2=155
центр окружности O_(1)(-3;-9)

ОО_(1)=sqrt((-3-2)^2+(-9-1)^2)=sqrt(25+100)=sqrt(125)=5sqrt(5)

1.
1)Уравнение прямой проходящей через точкy (x_(o);y_(o)) с направляющим вектором vector {s}=(p;q) имеет вид
(x-x_(o))/p=(y-y_(o))/q

Уравнение прямой АМ как прямой проходящей через точкy А(-2;-2) с направляющим вектором vector {BC}=(1-7;2-(-6))=(-6;8)

(x-(-2))/(-6)=(y-(-2))/(8) ⇒ (x+2)/(-6)=(y+2)/8
[b] AM: 8x+6y+28=0[/b]

2) Координаты точки D - середины BC
x_(D)=(x_(B)+x_(C))/2 = (7+1)/2=4
y_(D)=(y_(B)+y_(C))/2= (-6+2)/2)=-2
[b]D(4;-2)[/b]
По условию
[b]А(-2;-2)[/b]

Значит,
[b]уравнение медианы AD:
y=-2[/b]

AD=sqrt(4-(-2))^2+(-2-(-2))^2)=6

3)
Высота BF перпендикулярна прямой AC.

Уравнение прямой АС как прямой, проходящей через две точки:
(x-(-2))/(1-(-2))=(y-(-2))/(2-(-2)) ⇒ (x+2)/(3)=(y+2)/4 ⇒
4х - 3у +2=0
y=(4/3)x+(2/3)
k_(AC)=4/3

k_(AC)*k_(BF)=-1
⇒
k_(BF)=-3/4

Общий вид прямых, перпендикулярных АС:
у=(-3/4)х + m

Подставим координаты точки В
-6 = (-3/4)*7 + m
m=-3/4

[b] BF: у=(-3/4)х -(3/4); 3x+4y+3=0[/b]

4) Центр тяжести треугольника - точка пересечения медиан.
Составим уравнение медианы ВК.
К - середина АС
К((-2+1)/2;(-2+2)/2)=К(-1/2; 0)

(x-7)/((-1/2)-7)=(y-(-6)/(0-(-6));

(x-7)/(-7,5)=(y+6)/6

4x +5y +2 =0

Точка пересечения медианы АМ и медианы ВК:
y=-2
4x=8
x=2

(2; -2) - координаты центра тяжести

(прикреплено изображение)

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+9=0
k_(1,2)= ± 3i - корни комплексно-сопряженные.
α=0; β=1.
Общее решение пишем по правилу ( см. приложение, третья строка)

e^(0x)=1
Поэтому все гораздо проще:
y=C_(1)cosx+C_(2)sinx - общее решение.
О т в е т. C_(1)cosx+C_(2)sinx (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4.
а)
A*(x-x_(1))+B*(y-y_(1))+C*(z-z_(1))=0 - уравнение плоскости, проходящей через точку M_(1) и имеющей нормальный вектор
vector{n}=(A;B;C)

P_(1) и Р_(3) параллельны. Значит их нормальные векторы совпадают.
Нормальный вектор плоскости Р_(1):
vector{n_(1)}=(1;1;-1)
Нормальный вектор плоскости Р_(3):
vector{n_(1)}=(1;1;-1)
Р_(3): 1*(x-1)+1*(y-(-1))-1*(z-1)=0
[b]Р_(3): x + y - z + 1 = 0[/b]

б) Нормальный вектор плоскости Р_(4) ортогонален
vector{n_(1)}=(1;1;-1) и vector{n_(2)}=(1;-1;-2)
vector{n_(4)}=vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=(5;9;1)
(cм. рис.1)
A*(x-x_(2))+B*(y-y_(2))+C*(z-z_(2))=0 - уравнение плоскости, проходящей через точку M_(2) и имеющей нормальный вектор
vector{n}=(A;B;C)

P_(4):-2*(x-(-2))+0*(y-0)-2*(z-3)=0

[b]P_(4):x + z - 1=0[/b]

в)
P_(5) - уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{M_(1)M}=(x-1;y+1;z-1); vector{M_(1)M_(2)}=(-3;1;2); vector{M_(1)M_(3)}=(1;2;-2) [b] компланарны[/b].
Условие компланарности - равенство 0 определителя третьего порядка составленного из координат данных векторов. см. рис. 2
[b]P_(5): 6x +4y+7z-9=0[/b]

г) угол между плоскостями P_(1) и P_(2) - угол между нормальными векторами vector{n_(1)} и vector{n_(2)}

cos ∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=vector{n_(1)} * vector{n_(2)}/( |vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|)=(1*1+1*(-1)+(-1)*(-2))/sqrt(1^2+1^2+(-1)^2)*sqrt(1^2+(-1)^2+(-2)^2)=2/(sqrt(3)*sqrt(6)) =sqrt(2)/3

cos∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=sqrt(2)/3

д) Расстояние от точки M_(3) до плоскости Р_(3) находим по формуле ( cм. рис.3)

е) Находим общую точку плоскостей.
Пусть z=0
{x+y-2=0
{x-y+2=0
x=0
y=2
Направляющий вектор прямой - ортогонален векторам vector{n_(1)} и vector{n_(2)}
Это вектор vector{n_(4)}=vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=(-2;0;-2) ( см. б)

M_(o)(0; 2; 0) - точка принадлежащая прямой L

Уравнение прямой L- как уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором.
(x-0)/(-2)=(y-2)/0=(z-0)/(-2) - каноническое

Параметризуем:
(x-0)/(-2)=(y-2)/0=(z-0)/(-2) = t
Параметрические уравнения:
{x= - 2t;
{y=2
{z= - 2t

ж)
Прямая L_(1) имеет тот же направляющий вектор, что и прямая L
Уравнение прямой L_(1) как уравнение прямой проходящей через точку с заданным направляющим вектором.
(x+2)/(-2)=(у-0)/0=(z-3)/(-2)

з) См. рис. 4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3.
a)
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
vector{a}*vector{b}=4*2+(-2)*(-1)+(-4)*1=8 + 2 - 4 = 6
б)
vector{a}*vector{a}=4*4+(-2)*(-2)+(-4)*(-4)=16+4+16=36
vector{b}*vector{b}=2*2+(-1)*(-1)+1*1=4+1+1=6

(3*vector{a}-*vector{b})*(vector{a}+2*vector{b})=
=3*vector{a}*vector{a}-vector{b}*vector{a}+6*vector{a}*vector{b}-2*vector{b}*vector{b}=
=3*36- 6 +6*6 - 6*6 =108 - 6 = 102

в) Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю векторного произведения.
( cм приложение)
S=|*vector{a}×vector{b}|=sqrt((-10)^2+(-10)^2+(-15)^2)=sqrt(425)

г) Объем призмы равен модулю смешанного произведения векторов.
Смешанное произведение равно определителю третьего порядка, составленному из координат данных векторов. ( cм.приложение) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
(1/2)=2^(-1)
2^(x^2) > 2^(-2x^3)
Показательная функция с основанием 2 возрастает, значит
x^2>-2x^3
x^2+2x^3>0
x^2*(1+2x) >0 так как x^2≥0 ⇒ 1+2x >0 и х≠0 ⇒ 2x > -1 и х≠0 ⇒ x > -1/2 и х≠0

О т в е т. (-1/2;0) U (0; + ∞ )

2)
2^(x) > 2^(-1)
x > - 1

О т в е т. (-1; + ∞ )

3) 0,25=1/4=4^(-1)

4^(5^(2x)) ≤ 4^(-1) ⇒ 5^(2x) ≤ (-1) - не выполняется ни при каком х, потому что 5^(2x) > 0 при любом х
Показательная функция принимает положительные значения !

непонятно что там написано

1) A_(1)(4;-5); B_(1)(2;3); C_(1)(-6;-1); D_(1)(-4;5)
2) C_(2)(6;1); D_(2)(4;-5)
3)
AB=sqrt((x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2) =sqrt((2-4)^2+(-3-5)^2)=

=sqrt(4+64)=sqrt(68)=2sqrt(17)

CD=sqrt((x_(D)-x_(C))^2+(y_(D)-y_(C))^2)=sqrt((-4-(-6))^2+(-5-1)^2)=

=sqrt(4+36)=sqrt(40)=2sqrt(10)

4) M - середина А и С
x_(M)=(x_(A)+x_(C))/2=(4+(-6))/2=-1
y_(M)=(y_(A)+y_(C))/2=(5+1)/2= 3

M(-1;3)

N- середина B и D

x_(N)=(x_(B)+x_(D))/2=(2+(-4))/2=-1
y_(N)=(y_(B)+y_(D))/2=(-3+(-5))/2= -4

N(-1;-4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3;
{3x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3;
{x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2

ОДЗ: х ∈ [2;+ ∞ )

Перепишем
sqrt(x+3) > sqrt(3x-2) + sqrt(x-2)

Левая и правая части неравенства неотрицательны, теперь можно возвести в квадрат:

x+3 > 3x - 2 +2*sqrt(3x-2)*sqrt(x-2) + x - 2;

2*sqrt(3x-2)*sqrt(x-2) < 7 - 3x

Если 7-3x < 0, то неравенство не имеет смысла, так как левая часть неотрицательна и потому не может быть меньше отрицтельного выражения

Если 7-3x ≥ ⇒ [b] x ≤ 7/3[/b], тогда
возводим в квадрат

4*(3x - 2)(x - 2) < (7 - 3x)^2

3x^2 + 10x - 33 <0

D=10^2-4*3*(-33)=100 + 396=496

x_(1)=(-10-4sqrt(31))/6 или x_(2)=(-10+4sqrt(31))/6

x_(1)=(-5-2sqrt(31))/3 или x_(2)=(-5+2sqrt(31))/3

Решение неравенства 3x^2 + 10x - 33 <0

(-5-2sqrt(31))/3 < x < (-5+2sqrt(31))/3 < 7/3

С учетом ОДЗ и x ≤ 7/3,
и
так как
(-5+2sqrt(31))/3 < 7/3

О т в е т. [2; (-5+2sqrt(31))/3)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 3)
{x>3/2
{-5x< -15

{x>3/2
{x>3

О т в е т. x>3 или (3;+ ∞ )

y=(1/2)^x - монотонно убывает на (- ∞ ; + ∞ )

y=(1/5)^x - монотонно убывает на (- ∞ ; + ∞ )

Cумма монотонно убывающих функций - монотонно убывающая функция.
Монотонная убывающая функция каждое свое значение принимает только [b] один раз[/b]

Поэтому значение 7 функция принимает в единственной точке х.
Такой точкой является точка x = - 1, которая находится подбором.

В самом деле
(1/2)^(-1)=2
(1/5)^(-1)=5

2+5=7

О т в е т. -1

Ответ выбран лучшим

5x-x^2- целое ⇒ х*(5-х) - целое.

x+(1/x) - целое при x=1 и x=-1
Вася выписал 1 и (-1)
Cумма модулей |1|+|-1|=2 ⇒

Замена
y`=p
xp`+p=-x
p`+(1/x)p=-1 - линейной уравнение первого порядка.

Будем искать решение в виде
p(x)=u(x)*v(x)

p`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/х)*uv= - 1

u`*v+u[b](v`+(1/х)*v)[/b]= - 1

Поскольку u и v - произвольные, полагаем, что выражение в скобках ( выделено жирным шрифтом) равно 0

Получаем два уравнения с разделяющимися переменными

1) v`+(1/x)*v=0 ⇒ dv/v= -dx/x
Интегрируем
ln|v|=-ln|x| ⇒ v=1/x

2) u`*v+u[b]*0[/b]= - 1
v=1/x найдено в п.1)

u`*(1/x)= - 1

u`= -xdx

u= (-x^2/2) +C_(1)

p=((-x^2/2) + C_(1))(1/x)

y`=(-x^2/2) +C_(1)/x

Интегрируем
y=(-x^3/6)+C_(1)ln|x| + C_(2) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными.
y(4+e^(x))dy=e^(x)dx
ydy=e(x)dx/(4+e^(x))
Интегрируем
∫ ydy= ∫e(x)dx/(4+e^(x))
∫ ydy= ∫d(4+e^(x))/(4+e^(x))
y^2/2=ln|4+e^(x)|+lnC
y^2=2lnC(4+e^(x)) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

[b] момент финиша Вити[/b]
Витя пробежал 1000 м,
Паша отставал на 100 м,значит пробежал 900м
Коля отставал от Паши на 90 м, значит пробежал 810 м

810/v_(Коли) =900/v_(Паши)⇒ v_(Коли)=(810/900)*v_(Паши)
[b] v_(Коли)=0,9*v_(Паши)[/b]

Паша закончил бег на 18 секунд позже Вити.
Значит 100 м Паша пробежал за 18 секунд.
v_(Паши)=(100/18) (м/сек)

v_(Коли)=0,9*v_(Паши)=0,9*(100/18)=5 (м/сек)

1000:5=200 (сек) бежал дистанцию Коля
1000:(100/18)=180 (сек) бежал дистанцию Паша

200 - 180 = 20 (cек)
О т в е т. на 20 секунд позже Паши прибежал Коля

Прямая MB пересекает две стороны АС и AN треугольника ACN и продолжение стороны CN в точке В
По теореме Менелая

(CB:BN)*(NP:PA)*(AM:MC)=1

(4:1)*((NP:PA)*(4:5)=1

NP=10
PA=32 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

y=x^2 - парабола ⇒ x=± sqrt(y)
Область D ограничена линией x=sqrt(y)
y=2-x - прямая ⇒ х=2-у

= ∫ ^(1)_(0)( ∫ ^(2-y)_(sqrt(y))f(x;y)dx)dy ⇒ ± (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.
z=x+iy=-4-3i
vector{z}=-4+3i

5.
NO ⊥ пл. KLM

Составляем уравнение плоскости KLM по координатам точек K, L, M.
Высота NO - расстояние от точки N до плоскости KLM

(прикреплено изображение)

Замена. Понижение степени дифференциального уравнения
y`=p
(1+x^2)p`+2xp=12x^3 - линейного уравнение первого порядка
Делим на (1+х^2)

p`+(2x/(1+x^2))*p=12x^3/(1+x^2)

Будем искать решение в виде
p(x)=u(x)*v(x)

p`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(2x/(1+x^2))*uv=12x^3/(1+x^2)

u`*v+u[b](v`+(2x/(1+x^2))*v)[/b]=12x^3/(1+x^2)

Поскольку u и v - произвольные, полагаем, что выражение в скобках ( выделено жирным шрифтом) равно 0

Получаем два уравнения с разделяющимися переменными

1) v`+(2x/(1+x^2))*v=0 ⇒ dv/v=-2xdx(1+x^2)
Интегрируем
ln|v|=-ln|1+x^2| ⇒ v=1/(1+x^2)

2) u`*v+u[b]0[/b]=12x^3/(1+x^2)
v=1/(1+x^2) найдено в п.1)

u`*(1/(1+x^2))=12x^3/(1+x^2)

u`=12x^3dx

u=(12x^4/4)+C_(1)=3x^4+C_(1)

p=(3x^4+C_(1))/(1+x^2)

Обратный переход в замене.

y`=(3x^4+C_(1))/(1+x^2)

y= ∫ (3x^4+C_(1))/dx(1+x^2)=

=3* ∫ (x^4-1)dx /(1+x^2) - 3* ∫ 1*dx /(1+x^2) + ∫ C_(1)/dx(1+x^2)=

=3* ∫ (x^2-1)dx- 3*arctgx + C_(1) arctgx + C_(2)=

=x^3 -3x - 3*arctgx + C_(1) arctgx + C_(2)

(прикреплено изображение)

Пусть на сервере №1 обрабатывается x^2 Гб, а на сервере №2 обрабатывается y^2 Гб.
По условию
x^2+y^2=3364 ⇒ y=sqrt(3364-x^2)

По условию выход информации составляет (20x+21y)Гб.

Найти наибольшее значение функции
f(x)=20x+21*sqrt(3364-x^2)

Исследуем функцию на максимум с помощью производной
f`(x)=20+21*(1/2sqrt(3364-x^2))*(3364-x^2)`;
f`(x)=20+21*(1/2sqrt(3364-x^2))*(-2x);
f`(x)=20-(21x/sqrt(3364-x^2))

f`(x)=0

20-(21x/sqrt(3364-x^2))=0

20sqrt(3364-x^2)=21x
400*(3364-x^2)=441x^2
841x^2=400*3364
x^2=1600
x=40

x=40 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

f`(39)=20-(21*39/sqrt(3364-39^2))>0
f`(41)=20-(21*41/sqrt(3364-41^2) < 0

При х=40
f(40)=sqrt(3364-40^2)=sqrt(1764)=42
По условию 25 < t < 55
при x= 40
25<40<55 - верно
при y=42
25<42<55 - верно

Наибольшее значение суммы
20х+21y=20*40+21*42=800+882=1682
О т в е т. 1682 Гб

Ответ выбран лучшим

20:100=0,2 руб составляет 1% от 20 рублей
20*0,2=4 рубля составляют 20% от 20 рублей

20*4=24 рубля новая плата за использование природного газа на одного человека

3*24=72 рубля должна заплатить семья из трех человек за использование природного газа за месяц

3*72=216 рублей должна заплатить семья из трех человек за использование природного газа за три месяца

О т в е т. 216 рублей

Ответ выбран лучшим

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников
АОВ;ВОС;COD;DOE;EOF.

Окружность касается сторон шестиугольника.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
r=OK
OK ⊥ DK

OK - высота, медиана и биссектриса равностороннего Δ DOK
Значит ∠ DOK=30^(o)

Из прямоугольного треугольника DOK
DK=OK*tg30^(o)=5sqrt(12)*(sqrt(3)/3)=10

DC=2DK=2*10=20
О т в е т. 20 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

радиус основания которого равен 3 ⇒ диаметр основания цилиндра равен 6
По теореме Пифагора
AC^2=6^2+8^2=36+64=100
AC=10
AC=2R ( R - радиус сферы)

R=5
О т в е т. 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения функции (0;+ ∞ )

y`=(6/x)-2(x-2)

y`=0

(6/x) - 2*(x-2)=0

(3/x) - (x-2)=0

((3-х*(х-2))/х=0 ⇒
{x ≠ 0
{3-х*(х-2)=0 ⇒ x^2-2x-3=0 D=16 х_(1)=-1; х_(2)=3

х_(1)=-1 не входит в ОДЗ

Расставляем знаки производной:

(0) __+__ (3) ___-___

x=3 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{ cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z
{sinx ≠ 0 ⇒ x ≠ πn, n ∈ Z

tgx+ctgx=(sinx/cosx)+(cosx/sinx)=(sin^2x+cos^2x)/sinx*cosx=1/(sinx*cosx)

Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2
1+2sinx*cosx=t^2 ⇒ sinx*cosx=(t^2-1)/2

Уравнение принимает вид:
sqrt(2)*t=2/(t^2-1)

{t^2-1 ≠ 0 ⇒ t ≠ ± 1
{sqrt(2)t^2-sqrt(2)t=2 ⇒

t^3-t-sqrt(2)=0 ⇒
( t-sqrt(2))*(t^2+sqrt(2)t+1)=0

t-sqrt(2)=0 или t^2+sqrt(2)t+1=0 - нет корней. D=2-4<0

Обратная замена
sinx+cosx=sqrt(2)
(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2))cosx=1
cos(x-(π/4))=1
x-(π/4)=2πm, m ∈ Z
x=(π/4)+2πm, m ∈ Z - удовл. ОДЗ

О т в е т. а)(π/4)+2πm, m ∈ Z
б)(π/4) ∈ [-π;π/2]

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.
Тогда векторы vector{AM}; vector{AB}; vector{AC} компланарны.
Условие компланарности - равенство 0 смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение - определитель третьего порядка, составленный из координат указанных векторов. (прикреплено изображение)

7.
M(X)=x_(1)*p_(1) x_(2)*p_(2) x_(3)*p_(3)=2*0,1 3*0,2 4*0,7=3,6

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

M(X^2)=x^2_(1)*p_(1) x^2_(2)*p_(2) x^2_(3)*p_(3)=2^2*0,1 3^2*0,2 4^2*0,7=13,4

D(X)=13,4-3,6^2=13,4-12,96=0,44

σ(Х)=sqrt(D(X))=sqrt(0,44)=

8.
p(X)= F`(x) ( cм. рис.)

P(0<X<1)= ∫ ^(1)_(0)p(x)dx=(1/4)*∫ ^(1)_(0)dx=(1/4)*(1-0)=(1/4)

9.

По свойству плотности
[b]∫^(+∞) _(- ∞)f(x)dx=1[/b]

Проверяем:
∫^(+∞) _(- ∞)f(x)dx=∫^(-π/2) _(- ∞)f(x)dx+ ∫^(0)_(-π/2)sinxdx +∫^(+∞) _(0)0dx=

=-1

Указанная в условии функция f(x) не является функцией плотности.

[Задачу можно решить, если перед синусом стоит знак -)

Тогда имеет смысл говорить о функции распределения:

F(x)= ∫^(x) _(- ∞)f(x)dx
Вычисление на трех участках:

x ∈ (- ∞ ;(-π/2))
f(x)=0

F(x)=∫^(x) _(- ∞)0dx=0

x ∈ (-π/2;0]
F(x)=∫^(x) _(- ∞)f(x)dx=∫^(-π/2) _(- ∞)0dx+ ∫^(x)_(-π/2)(-sinx)dx=0+ ( cosx)|^(x)_(-π/2)= cosx -cos(-π/2) = cosx

x ∈ (0; ∞)
F(x)=∫^(x) _(- ∞)f(x)dx=∫^(-π/2) _(- ∞)0dx+ ∫^(0)_(-π/2)(-sinx)dx+ ∫^(x)_(0)0dx=

= (cosx)|^(0)_(-π/2) 0 = cos0 - cos(-π/2) =1

cм. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
а)
x_(M)=(x_(B)+x_(C))/2=(3+10)/2=6,5
y_(M)=(y_(B)+y_(C))/2=(1+7)/2=4

A(-2;4) M(6,5;4)
Уравнение прямой АМ:[b] y=4[/b]

Уравнение прямой AВ:
(x-x_(A))/(x_(B)-x_(A))= (y-y_(A))/(y_(B)-y_(A))

(x-(-2))/(3-(-2))=(y-4)/(1-4)
(x+2)/5=(y-4)/(-3)
-3*(x+2)=5*(y-4)
-3x-6-5y+20=0
3х+5у-14=0
[b]у=-(3/5)х +(14/5)[/b]
k_(AB)=-3/5
СН⊥АВ
k_(AB)*k_(CH)=-1 ⇒ k_(CH)=-1/k_(AB)=5/3

y=(5/3)x + m
Прямая проходит через точку С(10;7)
7=(5/3)*10+m
m=-29/3

y=(5/3)x-(29/3) - уравнение СН

При y=4
4=(5/3)*x-(29/3)
x=41/5
(41/5;4) - точка пересечения медианы АМ и высоты СН.

б)
Уравнение прямой ВС:
(x-x_(B))/(x_(C)-x_(B))= (y-y_(B))/(y_(C)-y_(B))

(x-3)/(10-3)=(y-1)/(7-1)

(х-3)/7=(у-1)/6
6*(х-3)=7*(у-1)
6х-7у-11=0 - уравнение ВС
y=(6/7)x-(11/7)
k_(BC)=6/7
AD ⊥ BC
k_(AD)=-7/6
y=(-7/6)x+n
Подставляем координаты точки А
4=(-7/6)*2+n
n=19/3
y=(-7/6)x+(19/3)

⇒
tg β =-7/6; β - угол, который образует прямая y=(-7/6)x+(19/3) c положительным направлением оси Ох

Медиана АМ || оси Ох.
Значит, угол между медианой и высотой равен 180^(o)- β

α =arctg(7/6)
(прикреплено изображение)

cos α =-7/(13sqrt(2)) ⇒ α = arccos(-7/13sqrt(2))=π- arccos(7/13sqrt(2))=

=(π-0,7169) ( радиан) α во второй четверти.

π радиан = 180 градусов

(π-0,7169) радиан = 180^(o)- (0,7168/3,14)*180^(o)=

≈180^(o) - 41^(o) =139*(o)

1.
a)=3p^2/2q^3;
б)=(a-4b)/(a*(a-4b))=1/a;
в) 5*(x+y)/(x-y)*(x+y)=5/(x-y)

2.
Подставляем координаты точки в уравнение:
5*(-1)+9-4=0 - верно
(-1;9) является

5*2+(-7)-4=0 - неверно
(2;-7) не является

3. cм рис.
Точка C(-1,2;-10) не принадлежит графику

Эта точка в 4 четверти.

Графику принадлежит точка (-1,2; 10) Она отмечена на рисунке.
Может быть все-таки там опечатка.???

4.
5х+у -4=0

y=-5x+4

k=-5
m=4

5.
Функция y= - 5x + 4 убывает на (- ∞ ;+ ∞ ) и значит убывает и на [1-;2]

Значит наибольшее значение функция принимает в точке x=-1
y_(наиб. на [-1;2])=-5*(-1)+4=9
наименьшее значение функция принимает в точке x=2
y_(наим. на [-1;2])=-5*2+4=-10+4=-6

6.
y=2x
График расположен в 1 и 3 координатных четвертях

7.
Решаем систему уравнений:
{y=3x-2
{y=-2x+3

3x-2=-2x+3
3x+2x=3+2
5x=5
x=1

y=3x-2=3*1-2=1
О т в е т. (1;1) (прикреплено изображение)

D: 0 < x < 1; -x^3 < y < ∛x

∫ ∫ (8xy+9x^2·y^2)dxdy= ∫^(1) _(0) (∫ ^(∛x)_(-x^3)((8xy+9x^2·y^2)dy)dx=

= ∫^(1) _(0)( (8xy^2/2)+(9x^2y^3/3))| ^(∛x)_(-x^3)dx=

=∫^(1) _(0)( (4x*(x^2/3)-4*x*x^6+(3x^2*x)+3x^2*x^(9))dx=

= ∫^(1) _(0)( (4x^(5/3)-4*x^7+3x^3+3x^(11))dx=

=(4*x^(8/3)/(8/3) -4*x^(8)/8 +3x^(4)/4 +3x^(12)/12)|^(1)_(0)=

=32/3 -(1/2) +(3/4)+(1/4)= (32/3)+(1/2)=65/3
О т в е т 65/3. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
|z|=sqrt(x^2+y^2)
cosφ = x/|z|
sinφ = y/|z|

|z|=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(4+4)=sqrt(8)=2sqrt(2);
cosφ = x/|z| = 1/sqrt(2)
sinφ = y/z = 1/ sqrt(2)
φ=π/4

z=2sqrt(2)*(cos(π/4) + i*sin(π/4))- триг форма

z=2*e^(i(π/4)) - показ форма (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n^2-4n+3=(n-1)(n-3)

12/(n^2-4n+3)= A/(n-1) + B/(n-3)

12=А*(n-3) + B*(n-1)
A+B=0
-3A-B=12
B=6;
A=-6

Тогда
a_(4)=(-6/3)+(6/1)
a_(5)=(-6/4)+(6/2)
a_(6)=(-6/5)+(6/3
а_(7)=(-6/6)+(6/4)
а_(8)=(-6/7)+(6/5)
...

a_(n)=-6/(n-1) + 6/(n-3)

Складываем
S_(n)=(6/1) +( 6/2)+ (-6/(n-2))-6/(n-1)-6/(n)

S=lim_(n→ ∞ )S_(n)=9

О т в е т. 9

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

S_(n)=(a_(1)+a_(n))*n/2 ⇒ 275=(10+40)*n/2 ⇒ 550=50n ⇒ n=11

a_(n)=a_(1)+(n-1)d

40= 10 + 10d

d=3

Ответ выбран лучшим

1 ; 3

Делим обе части уравнения на х
y`=2sqrt(3+(y/x)^2) + (y/x)

Однородное уравнение
y/x=u
y=ux
y`=u`*x+u*x` ( x`=1, так как х независимая переменная)

u`*x+u*=2*sqrt(3+u^2)+u;

u`*x=2sqrt(3+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

x*du=2sqrt(3+u^2)dx

делим на x*sqrt(3+u^2)

du/(sqrt(3+u^2))=2dx/x

Интегрируем

∫ du/(sqrt(3+u^2))= 2 ∫ dx/x

ln|u+sqrt(3+u^2))=2ln|x|+lnC

u+sqrt(3+u^2)=Cx^2

(y/x)+sqrt(3+(y/x)^2)=Cx^2 - общее решение дифференциального уравнения

Ответ выбран лучшим

∫ ∫ y*sin(2xy)dx dy =∫^(3π/2)_(π/2)(∫^(3) _(1/2)y*sin2xy [b]dх[/b]) dу=

[так как d(2xy)=2ydx, то ∫y*sin2xy dx= (1/2) ∫ sin(2xy)d(2xy)=
=(1/2)*(-cos(2xy))]

=∫^(3π/2)_(π/2)( (1/2)*(-cos(2xy)))|^(x=3) _(x=1/2)dy=

=(-1/2)*∫^(3π/2)_(π/2)(cos2*3y-cos2*(1/2)y)dy=

=(-1/2)* ∫^(3π/2)_(π/2)(cos6y-cosy)dy=

=(-1/2)*((1/6)sin6y-siny)|^(3π/2)_(π/2)=

=(-1/2)*(1/6)sin6*(3π/2)-(-1/2)*(1/6)sin6*(π/2) + (1/2)sin(3π/2)-(1/2)sin(π/2)=

= (-1/12)*sin9π+(1/12)sin3π+(1/2)sin(3π/2)-(1/2)sin(π/2)=

=0+0+(1/2)*(-1)-(1/2)*1= -1

Ответ выбран лучшим

Область определения
(- ∞ ;+ ∞ )
y`=-3x^2+6x+9

y`=0

-3x^2+6x+9=0
3x^2 -6x - 9 =0

D=(-6)^2-4*3*(-9)=36+3*36=36*(1+3)=36*4=12^2

x_(1)=(6-12)/6=-1; х_(2)=(6+12)/6=3

Расставляем знак производной:

_-__ (-1) __+___ (3) __-___

Производная отрицательна на (- ∞ ;-1) и на (3;+ ∞), значит функция убывает на на (- ∞ ;-1) и на (3;+ ∞).

Производная положительна на (- 1 ;3), значит функция возрастает на на (- 1 ;3)

x= - 1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

у(-1)=-(-1)^3+3*(-1)^2+9*(-1)-2 = 1 + 3 - 9 - 2 = -7

х=3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(3)=-(3)^3+3*3^2+9*3-2=25

y``=-6x+6

y``=0

-6x+6=0

x=1 - точка перегиба, так как вторая производная меняет знак.

На (- ∞;1) вторая производная положительна, функция выпукла вниз.

На (1;+ ∞ ) вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх.

(прикреплено изображение)

Мне кажется., что вы неправильно написали условие
G={(a,1),(b,3),(c,2),([b]d[/b],2)} (прикреплено изображение)

Диаметр первого d=2r;
диаметр второго D=2R.
По условию D=3d ⇒
2R=3*2r ⇒ R=3r

V(жидкости в первом цилиндре)=πr^2*h
V(жидкости во втором цилиндре)=πR^2*H

Объем жидкости один тот же.
πr^2*h=πR^2*H
r^2*h=R^2*H

r^2*27=(3r)^2*H
r^2*27=9r^2*H
H=3

О т в е т. 3 cм (прикреплено изображение)

Замена переменной:
x/(x+1)=t ⇒ x=xt+t ⇒ x-xt=t ⇒ x*(1-t)=t ⇒ x=t/(1-t)

x^2=(t/(1-t))^2

f(t)=((t/(1-t))^2

Поскольку неважно, какой буквой обозначена переменная.
Это верно и для y и для u и для х

О т в е т. f(x)=(x/(1-x))^2 или f(x)=x^2/(x^2-2x+1)

{5cos2x-11cosx+8=0
{25sin^2x-16 ≠ 0 ⇒ sinx ≠ ± 4/5

5cos2x-11cosx+8=0
5*(2cos^2x-1)-11cosx+8=0
10cos^2x -11cosx+3=0
D=121-4*10*3=1
cosx=1/2 или cosx=3/5

cosx=1/2 ⇒ x=±(π/3)+2πk, k ∈ Z

cosx=3/5 ⇒ sinx=± 4/5, что невозможно

О т в е т. ±(π/3)+2πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: cosx≠ 0;
cos((3π/2)+2x)≠ 0

По формулам приведения:
cos((3π/2)+2x)=sin2x
sin2x=2sinx*cosx

tg^2x+1=1/cos^2x

Уравнение принимает вид:
1/cos^2x=1/(2sinx*cosx)

2sinxcosx=cos^2x
cosx*(2sinx-cosx)=0

cosx ≠ 0
2sinx-cosx=0
2tgx=1
tgx=1/2
x=arctg(1/2)+πk, k ∈ Z

а) arctg(1/2)+πk, k ∈ Z

б) arctg(1/2); arctg (1/2)+π; arctg(1/2)+2π

Пусть образующая конуса L, радиус основания r.
r=L*sin( α /2)

Р=2L+2r ⇒[b] L+r=P/2[/b]
L=(P/2)-r
r=((P/2)-r)*sin(α /2)⇒r+rsin(α /2)=(P/2)*sin(α /2)
[b] r=(P/2)*sin(α /2)/(1+sin(α /2))[/b]

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)=

=πr*L+π*r^2=π*r*(L+r)=

=π*(P/2)^2*sin(α /2)/(1+sin(α /2))

Ответ выбран лучшим

2π*L - длина окружности с радиусом L
(2π*L/360^(o))- длина дуги этой окружности в 1^(o)
(2π*L/360^(o))*120^(o)- длина дуги этой окружности в 120^(o)

По условию длина дуги в 120^(o) равна 1,8π дм

Значит
(2π*L/360^(o))*120^(o)=1,8π
L=2,7 дм
C другой стороны, эта дуга - окружность основания конуса.
Поэтому
С=2πr - длина окружности основания с радиусом r.

C=1,8π
2πr=1,8π
r=0,9

H^2=L^2-r^2=2,7^2-0,9^2=1,8*3,6=6,48
H=1,8sqrt(2)
V=(1/3)πr^2*H=(1/3)*π*0,9^2*1,8*sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора второй катет равен 9, так как
15^2-12^2=225-144-81

H=9
R=12
L=15

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)=
=πR*L+π*R^2=π*(12*15+12^2)cм^2=324π cм^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2sin(x+(π/3))=2sinx*cos(π/3) + 2cosx*sin(π/3)=

=sinx+sqrt(3)*cosx

Уравнение принимает вид:
sinx+sqrt(3)*cosx+cos2x=sqrt(3)*cosx+1;
sinx+cos2x=1.

Так как
cos2x=1-2sin^2x,
sinx-2sin^2x=0
sinx*(1-2sinx)=0
sinx=0 или sinx=1/2
x=πk, k ∈ Z или x=(-1)^(n)(π/6)+πn, n ∈ Z

О т в е т. πk; (-1)^(n)(π/6)+πn, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

3.
a)
Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
vector{a}*vector{b}=2*3+1*(-6)+(-2)*2=6-6-4=-4
б)
(2*vector{a}-3*vector{b})*(vector{a}+2*vector{b})=
=2*vector{a}*vector{a}-3*vector{b}*vector{a}+4*vector{a}*vector{b}-6*vector{b}*vector{b}=
=2*(2*2+1*1+(-2)*(-2))-3(-4)+4*(-4)-6*(3*3+(-6)*(-6)+2*2)=
=2*9+12-16-49= - 35

в) Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю векторного произведения.
( см. рис.1)
S=|*vector{a}×vector{b}|=sqrt((-10)^2+(-10)^2+(-15)^2)=sqrt(425)

г) Объем призмы равен модулю смешанного произведения векторов.
Смешанное произведение равно определителю третьего порядка, составленному из координат данных векторов. ( cм. рис.2)

4.
а)
A*(x-x_(1))+B*(y-y_(1))+C*(z-z_(1))=0 - уравнение плоскости, проходящей через точку M_(1) и имеющей нормальный вектор
vector{n}=(A;B;C)

P_(1) и Р_(3) параллельны. Значит их нормальные векторы совпадают.
Нормальный вектор плоскости Р_(1):
vector{n_(1)}=(5;-3;2)
Р_(3): 5*(x-1)-3*(y-1)+2*(z-1)=0
Р_(3): 5х -3у+2z-4=0

б) Нормальный вектор плоскости Р_(4) ортогонален
vector{n_(1)}=(5;-3;2) и vector{n_(2)}=(2;-1;-1)
vector{n_(4)}=vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=(5;9;1)
(cм. рис.3)
A*(x-x_(2))+B*(y-y_(2))+C*(z-z_(2))=0 - уравнение плоскости, проходящей через точку M_(2) и имеющей нормальный вектор
vector{n}=(A;B;C)

P_(4):5*(x-0)+9*(y-2)+1*(z+1)=0
5x+9y+z-17=0

в)
P_(5) - уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{M_(1)M}; vector{M_(1)M_(2)}; vector{M_(1)M_(3)} [b] компланарны[/b].

Условие компланарности - равенство 0 определителя третьего порядка составленного из координат данных векторов. см. рис. 4

г) угол между плоскостями P_(1) и P_(2) - угол между нормальными векторами vector{n_(1)} и vector{n_(2)}

cos ∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=vector{n_(1)} * vector{n_(2)}/( |vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|)=(5*2+(-3)*(-1)+2*(-1))/sqrt(5^2+(-3)^2+2^2)*sqrt(2^2+(-1)^2+(-1)^2)=6/(sqrt(38)*sqrt(6)) =sqrt(3/19)
∠ (vector{n_(1)},vector{n_(2)})=arccso(sqrt(3/19))

д) Расстояние от точки M_(3) До плоскости Р_(3) находим по формуле ( cм. рис.5)

е) Находим общую точку плоскостей.
Пусть х=0
{-3y+2z-5=0
{-y-z-1=0
Умножаем второе уравнение на 2 и складываем с первым
-5у-7=0 ⇒ у=-1,4
z=-y-1=1,4-1=0,4
Направляющий вектор прямой - ортогонален векторам vector{n_(1)} и vector{n_(2)}
Это вектор vector{n_(4)}=vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=(5;9;1) ( см. б)

M_(o)(0;-1,4;0,4) - точка принадлежащая прямой L

Уравнение прямой L- как уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором.
(x-0)/5=(y+1,4)/9=(z-0,4)/1 - каноническое

Параметризуем:
(x-0)/5=(y+1,4)/9=(z-0,4)/1 = t
Параметрические уравнения:
{x=5t;
{y=9t-1,4
{z=t+0,4

ж)
Прямая L_(1) имеет тот же направляющий вектор, что и прямая L
Уравнение прямой L_(1) как уравнение прямой проходящей через точку с заданным направляющим вектором.
(x-0)/5=(у-2)/9=(z+1)/1

з) См. рис. 6

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Средняя балка- средняя линия прямоугольной трапеции:
c=(a+b)/2=(100+40)/2=70 cм

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{BC}=(-3-(-2); 4-0)=(-1;4)
vector{BA}=(2-(-2); 5-0)=(4;5)

vector{BC}*vector{BA}=|vector{BC}|*|vector{BA}|*cos ∠ (vector{BC},vector{BA})

vector{BC}*vector{BA}=(-1)*4+4*5=16
|vector{BC}|=sqrt((-1)^2+4^2)=sqrt(17);
|vector{BA}|=sqrt(4^2+5^2)=sqrt(41);

cos ∠ (vector{BC},vector{BC})=16/(sqrt(17)*sqrt(41))

Ответ выбран лучшим

Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник АВС см. рис.
ВС - диаметр окружности
S( Δ АВС)=(1/2)BC*AO=(1/2)*2R*H=R*H
R=S/8=48/8=6
S(конуса)=(1/3)πR^2*H=(1/3)π*6^2*8=96π cм^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx

dy/dx=-y^2

-(dy/y^2)=dx

Интегрируем:

1/y=x + C

y=1/(x+C)

Из прямоугольного треугольника AKO:
(C/2)=(d/2)*sinβ
H/2=(d/2)*cosβ

С=d*sin β
2πR=d*sin β
R=d*sin β /(2π)

V=π*R^2*H=π*(dsin β /(2π))*(d/2)*cosβ=(d^2sin β *cos β )/8π=

=(d^2sin2 β) /(16π) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Первоначальный объем
V= π*R^2*H=π*(7,6/2)^2*87=π*3,8^2*87
M=ρ*V

7,6:100*25=1,9 cм
На 1,9 см уменьшился диаметр и стал равным:
7,6-1,9=5,7 см

v= π*r^2*H=π*(5,7/2)^2*87=
m=ρ*v

M-m=ρ*V-ρ*v=ρ*(V-v)=ρ*v*π*87*(3,8^2-2,85^2)= далее калькулятор...

Ответ выбран лучшим

1) H=2,36
C=3,48 ⇒ 2πR=3,48 ⇒ R=3,48/(2π)

V=π*R^2*H=π*(3,48/(2π))^2*2,36= и калькулятор в помощь

2) H=3,48
C=2,36 ⇒ 2πR=2,36 ⇒ R=2,36/(2π)

V=π*R^2*H=π*(2,36/(2π))^2*3,48= и калькулятор в помощь

Ответ выбран лучшим

C=2πR
100π=2πR ⇒ R=50 cм =0,5м

V=π*R^2*H=π*(0,5)^2*6=1,5 м^3

Ответ выбран лучшим

если одна из сторон прямоугольника 0,8 дм, то вторая тоже 0,8
4 дм - 2*0,8=2,4 дм приходится на две другие стороны
2,4:2=1,2 дм длинная сторона прямоугольника.

H=1,2 дм
r=0,8 дм

S_(полн)=S_(бок.)+2S_(осн.)=2π*r*H+2π*r^2=

=2π*0,8*1,2+2π*0,8^2=2*π*0,8*(1,2+0,8)=3,2π дм ^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем свойства степени:
a^(m)*a^(n)=a^(m+n)
(a^(m))^(n)=a^(mn)
(a*b)^(n)=a^(n)*b^(n)

=[b]([/b]a^(-3/2)*b*a^(-1/2)*b^((-2)*(-1/2))*a^((-1)*(-3/2))[b])[/b]^(3)=

=( a^(-3/2)+(-1/2)+(3/2))*b^2)^3=(a^(-1/2)b^(2))^3=a^(-3/2)*b^(6)

При a=sqrt(2)/2; b=1/∛2

a^(-3/2)=(1/a)^(3/2)=(2/sqrt(2))^(3/2)=sqrt(((sqrt(2))^3)=2^(3/4)

b^(6)=(1/∛2)^6=1/2^(2)=2^(-2)

О т в е т. 2^(3/4)*2^(-2)=2^(-5/4)=(1/2)^(5/4)=корень четвертой степени из (1/32)

sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ cos^2 α =1-sin^2 α =1-(5/13)^2=1-(25/169)=144/169
cos α = ± 12/13

Так как α во второй четверти, косинус имеет знак минус.

cos α =-12/13

tg α =sin α /cos α = - 5/12
ctg α =cos α /sin α = - 12/5

Ответ выбран лучшим

Выделяем полный квадрат:
x^2+3x=x^2+2*x*(3/2)+(9/4) -(9/4)=(x+(3/2))^2-(9/4)

∫ dx/sqrt(x^2+3x)= ∫ dx/sqrt((x+3/2)^2-9/4)= u=x+(3/2) du=dx=

= ∫ du/sqrt(u^2-(9/4))= ln|u+sqrt(u^2-(9/4))|+C=

=ln|(x+(3/2)+sqrt(x^2+3x)| + C (прикреплено изображение)

Применяем формулу
cos α -cos β = - 2sin((1/2)( α + β )*cos(1/2)( α - β )

= -2lim_(x→0) sin(3x)*sin(-2x)/(3x^2)=

= 2lim_(x→0) sin(3x)*sin(2x)/(3x^2)= 2* lim_(x→0) sin(3x)/(3x)* lim_(x→0) sin(2x)/(2x) * lim_(x→0) 2x/x = 2*1*1*2=4

Ответ выбран лучшим

Если точка С лежит на оси абсцисс, значит b=0
Треугольник равнобедренный с основанием , значит АВ=ВС
Точка В лежит на оси Оу.

Ось Оу - серединный перпендикуляр к АС.

Значит АО=ОС

Координата точки С(-4;0)

а=-4

О т в е т. 2а+b=2*(-4)+0=-8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2-4x+4 < x^2+x-1;
x^2-4x+4-x^2-x+1 < 0;
-5x+5 < 0;
-5x < -5;
делим на (-5) и меняем знак неравенства на противоположный
x > 1

О т в е т. (1;+ ∞ )

Область определения ( - ∞;+ ∞ )

y`=-3x^2-6x

y`=0

-3x^2-6x=0

-3x*(x+2)=0

x=0 и х=-2

Расставляем знаки производной

__-__ (-2) ___+__ (0) __-___

Производная отрицательна на (- ∞ ;-2) и на (0;+ ∞), значит функция убывает на на (- ∞ ;-2) и на (0;+ ∞).

Производная положительна на (- 2 ;0), значит функция возрастает на на (- 2 ;0)

x= - 2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

у(-2)=-6

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(0)=-2

y``=-6x-6

y``=0

-6x-6=0

x=-1 - точка перегиба, так как вторая производная меняет знак.

На (- ∞;-1) вторая производная положительна, функция выпукла вниз.

На (-1;+ ∞ ) вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх. (прикреплено изображение)

1.
cos∠(vector{a},vector{b}) = vector{a}*vector{b}/|vector{a}|*|vector{b}| =
=(2*1+(-2)*(-3)+1*2)/(sqrt(2^2+(-2)^2+1^2)*sqrt(1^2+(-3)^2+1^2))=
=10/3*sqrt(14)
cos^2∠(vector{a},vector{b})+sin^2∠(vector{a},vector{b}) =1
sin^2∠(vector{a},vector{b}) =1-(10/3sqrt(14))^2=1-(100/126)=26/126
sin∠(vector{a},vector{b})=sqrt(13/63)

3. M((-3+2)/2;(1-4)/2)
AM=sqrt((-1/2-2)^2+((-3/2)+5))^2)=sqrt(34/4)=sqrt(17/2)

4.
Уравнение пл. хОу:
z=0
Уравнение плоскости ей параллельной и проходящей через точку М:
z =3

5.
Находим общую точку, принадлежащую плоскостям.
Пусть z=0
{x+2y-6=0
{2x-y+1=0

Умножаем второе уравнение на 2 и складываем
5х-4=0
х=0,8
y=2x+1=2*0,8+1=2,6

(0,8; 2,6;0) принадлежит линия пересечения плоскостей.
Направляющий вектор этой прямой
vector{m}=vector{n_(1)}×*vector{n_(2)}( см. приложение)=(1;-3;-5)

Уравнение прямой:
(x-0,8)/1=(y-2,6)/(-3)=z/-5

Параметризуем:
(x-0,8)/1=(y-2,6)/(-3)=z/-5=t
О т в е т.
x=t+0,8
y=-3t+2,6
z=-5t

6.
см рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

V_(1)=π*r^2*H
V_(1)=12
[b]π*r^2*H=12[/b]

V_(2)=π*R^2*h;
R=2r; h=H/2

V_(2)=π*R^2*h=π*(2r)^2*(H/2)=π*4r^2*(H/2)=2π*r^2*H=2*V_(1)=24
О т в е т. 24 cм^3

a)b=2; c=4sqrt(2) ⇒ a^2-b^2=c^2; a^2=c^2+b^2=32+4=36;
(x^2/36)+(y^2/4)=1
ε=c/a=4sqrt(2)/6=2sqrt(2)/3.

б) а=7
ε=sqrt(85)/7

ε=c/a ⇒ c=ε*a=sqrt(85) ⇒ b^2=c^2-a^2=85-49=36

(x^2/49)-(y^2/36)=1

в) x=5 - уравнение директрисы.

Если уравнение директрисы y=p/2, то уравнение параболы
y^2=-2px

x=p/2 ⇒ p/2=5 ⇒ p=10
y^2=-20x - уравнение параболы

(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

z`_(t)=z`_(x)cos α +z`_(y)*cos β

cos α =t_(x)/sqrt(t^2_(x)+t^2_(y))
cos β =t_(y)/sqrt(t^2_(x)+t^2_(y))

Так как
cos α =3/sqrt(3^2+2^2)=3/sqrt(13)
cos β =2/sqrt(3^2+2^2)=2/sqrt(13)
z`_(x)=y*/(1+(sqrt(lnx))^2)*(sqrt(lnx))`_(x)=

=y/((1+lnx)*2sqrt(lnx))*(lnx)`=y/(2x*(1+lnx)*sqrt(lnx))

z`_(y)=arctg sqrt(lnx)

z`_(x) (M)=1/(4*(1+ln2)*sqrt(ln2))
z`_(y)(M)=arctgsqrt(ln2))

z`_(t)(M)=z`_(x)(M)cos α +z`_(y)(M)cos β

z`_(t)(M)= 3/(4*sqrt(13)*(1+ln2)*sqrt(ln2)) + 2*(arctgsqrt(ln2))/sqrt(13) - о т в е т.

z`_(x)=32x+32
z`_(y)=50y-100

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{32x+32=0 ⇒ x=-1
{50y-100=0 ⇒ y=2

О т в е т. (-1;2)

Пусть vector{AD}=vector{a}; vector{AB}=vector{b}; vector{OS}=vector{c};
причем
|vector{a}|=|vector{b}|=4sqrt(2);
|vector{c}|=3.

vector{a}*vector{b}=0;
vector{a}*vector{c}=0;
vector{b}*vector{c}=0.

vector{BO}=(1/2)*vector{BD}=(1/2)*(vector{a}-vector{b})=(1/2)*vector{a}-(1/2)*vector{b};

vector{BS}=vector{BO}+vector{OS}=(1/2)*vector{a}-(1/2)*vector{b}+vector{c};

vector{AN}=vector{AB}+vector{BN}=vector{b}+(1/2)*vector{a}-(1/2)*vector{b}+vector{c}=
=[b](1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{b}+vector{c}[/b]

vector{MC}=vector{MD}+vector{DC}=(1/2)*vector{AD}+vector{DC}=
=[b](1/2)*vector{a}+vector{b}[/b];

Применяем скалярное произведение векторов.

vector{AN}*vector{MC}=|vector{AN}|*|vector{MC}|*cos(vector{AN},vector{MC})
⇒
cos(vector{AN},vector{MC}) = vector{AN}*vector{MC}/|vector{AN}|*|vector{MC}|

vector{AN}*vector{MC}=((1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{b}+vector{c})*((1/2)*vector{a}+vector{b})=

=(1/2)*vector{a}*(1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{a}*vector{b}+
+(1/2)*vector{b}*(1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{b}*vector{b}+
+vector{c}*(1/2)*vector{a}+vector{c}*vector{b}=

=(1/4)*|vector{a}|^2+0+0+(1/2)|vector{b}|^2+0+0=

=(1/4)*(4sqrt(2))^2+(1/2)*(4sqrt(2))^2=8+16=24;

[b]vector{AN}*vector{MC}=24[/b]

|vector{AN}|^2=((1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{b}+vector{c})*((1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{b}+vector{c})=

=(1/4)*|vector{a}|^2+0+0+(1/4)*|vector{b}|^2+0+0+|vector{с}|^2=

=8+8+9=25

[b]|vector{AN}|=5[/b]

|vector{МС}|^2=((1/2)*vector{a}+vector{b})*((1/2)*vector{a}+(vector{b})=

=(1/4)*|vector{a}|^2+|vector{b}|^2=

=8+32=40

[b]|vector{MC}|=2sqrt(10)[/b].

О т в е т. cos∠ (vector{AN},vector{MC}) =24/(5*sqrt(40))
∠ (vector{AN},vector{MC})=arccos (12/(5sqrt(10)) (прикреплено изображение)

ОДЗ:
x≥ 0; y≥ 0

Применяем способ подстановки:

{sqrt(x)=10-3sqrt(y)
{(10-3sqrt(y))*sqrt(y)=8

3(sqrt(y))^2-10sqrt(y)+8=0
D=100-4*3*8=4
sqrt(y)=4/3 или sqrt(y)=2
y=16/9 или y=4

sqrt(x)=10-3*(4/3) или sqrt(x)=10-3*2
sqrt(x)= 6 или sqrt(x)=4
x=36 или х=16

Найденные решения удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. (36;16/9); (16;4) ≥

3^3=x+2
x=27-2
x=25

Замена:
log_(2)(x+3a)-log_(2)(x+a)=t
Квадратное уравнение:
t^2-13at+40a^2-3a-1=0
D=169a^2-160a^2+12a+4=9a^2+12a+4=(3a+2)^2
t_(1)=(13a-(3a+2))/2=5a-1; t_(2)=(13a+(3a+2))/2=8a+1

Обратная замена
log_(2)(x+3a)-log_(2)(x-3a)=5a-1 ИЛИ log_(2)(x+3a)-log_(2)(x-3a)=8a+1

Вопрос задачи какой?

Все три треугольника имеют одинаковую высоту H
Обозначим
АВ=ВК=m
KC=CD=n

В равнобедренном треугольнике высота одновременно и медиана.
Поэтому
АК=2х;
KD=2y
BC=x+y

S ( Δ ABK ) =(1/2)AK*H=(1/2)*2x*H=xH
S ( Δ KCD ) =(1/2)KC*H=(1/2)*2y*H=yH
S( Δ KBC)=(1/2)*(x+y)*H;

По условию S ( Δ ABK ) :S ( Δ KCD )=3,5 ⇒
x*H/y*H=3,5
[b] x=3,5y[/b]

C другой стороны по формуле S(Δ)=p*r

S ( Δ ABK ) =7*(2m+2x)/2=7*(m+x)
x*H=7*(m+x)⇒ (m+x)=x*H/7
S ( Δ KCD ) =4*(2n+2y)/2=4*(n+y)
y*H=4*(n+y) ⇒ (n+y)=y*H/4

S( Δ KBC)=r*(m+n+x+y)/2
(1/2)*(x+y)*H=r*(m+n+x+y)/2

r= (x+y)*H/((m+x)+(n+y))= (x+y)*H/((x*H/7)+(y*H/4))=

=(x+y)/((7x+4y)/28)=28*(x+y)/(4x+7y)

Подставляем вместо [b] x=3,5y[/b]

r=28*4,5y/(4*3,5y+7y)=28*4,5/(21)=6

О т в е т. 6
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

O- точка пересечения биссектрис СО; ВО и АО.
∠ NCO=∠ DCO=45^(o);
∠ NBO=∠ DBO;
Обозначим α =∠ NBO=∠ DBO

В треугольнике АВС
∠ B=2*α ; ∠ A=90^(o)-2*α

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
Значит, AN=AM

Δ AMN - равнобедренный

∠ ANM=∠ AMN= (180^(o)- ∠A)/2= (180^(o)- (90^(o)-2*α))/2=

=(90^(o)+2α )/2=45^(o)+ α

∠ CNM - смежный с углом ∠ ANM
∠ СNM= 180^(o) - ∠ ANM= 180^(o)-(45^(o)+α )=135^(o)- α

В Δ NKC:
∠ СNM=135^(o)- α
∠ NCO=45^(o);

Значит ∠ СKN= 180^(o) - ∠ СNM - ∠ NCO= 180^(o) - (135^(o)- α )-45^(o)= α

∠ СKN= α =(1/2) ∠ АВС

б) По одной стороне ВС ничего найти нельзя. Недостаточно данных для ответа на вопрос. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

5^(2x+1)=5^(2x)*5=5*5^(2x)
5^(x+2)=5^(x)*5^(2)=25*5^(x)

5^(x)=t
t>0
5^(2x)=t^2

5t^2-25t-t+5 ≤ 0
5t^2 -26t +5 ≤ 0
D=(-26)^2-4*5*5=676 - 100=576=24^2
корни1/5 и 5

(1/5) ≤ t ≤ 5

(1/5) ≤ 5^(x) ≤ 5

-1 ≤ x ≤ 1
О т в е т.[-1;1]

По формуле косинуса двойного угла
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
По формулам приведения
sin((π/2)-2x)=cos2x

Уравнение принимает вид:
cosx=cos2x;

так как cos2x=2cos^2x-1

2cos^2x-cosx-1=0
D=(-1)^2-4*2*(-1)=9
корни (-1/2) и 1
cosx=-1/2 ⇒ х= (± 2π/3)+2πn, n ∈ Z
или
сosx=1 ⇒ x = 2πk, k ∈ Z

а) (± 2π/3)+2πn; 2πk, n,k ∈ Z

б) х=(-2π/3)+2π=4π/3 ∈ [π; 5π/2]
x=2π ∈ [π; 5π/2]

О т в е т. 4π/3 ; 2π

По правилу логарифм частного и логарифм степени:

log_(a)(a^7:b^3)=log_(a)a^7 - log_(a)b^3=7log_(a)a-3log_(a)b=7-3*10=7-30=-23

Ответ выбран лучшим

Это параболический цилиндр.
На плоскости хОу парабола:
y=(x^2/5)+(1/5)

(прикреплено изображение)

1)
ОДЗ: 3x-1≥0 ⇒ x ≥ 1/3

Возводим в квадрат
3х - 1 = 4
3х = 5
х=5/3

5/3 ≥ 1/3
О т в е т. 5/3

2) ОДЗ:
{6- x ≥ 0 ⇒ x ≤ 6
{x≥ 0

x∈ [0;6]

Возводим в квадрат
6 - х = x^2
x^2 + x - 6 = 0
D=1-4*(-6)=25
x_(1)=(-1-5)/2=-3; x_(2)=(-1+5)/2=2
x_(1) не входит в ОДЗ
О т в е т. 2

3)
ОДЗ:
{6+2x ≥ 0⇒ x ≥ - 3
{x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1

x ∈ [1;+ ∞ )
Возводим в квадрат
(х-1)^2=6+2x;
x^2-4x-5=0
D=(-4)^2-4*(-5)=36
x_(1)=(4-6)/2=-1; x_(2)=(4+6)/2=5
x_(1) не входит в ОДЗ
О т в е т. 5

4)
ОДЗ:
{5x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/5=0,2
{3x-9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3
x ∈ [3;+ ∞ )
Возводим в квадрат
5x-1=3x-9
2x=-8
x=-4
не входит в ОДЗ
О т в е т. уравнение не имеет корней

5)
ОДЗ:
{x + 13 ≥ 0 ⇒ x ≥ -13
{x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 1
x ∈ [ - 1;+ ∞ )
Возводим в квадрат

(х+13) - 2sqrt(x+13)*sqrt(x+1) + x+1=4

sqrt(x+13)*sqrt(x+1)=x+5

Возводим в квадрат при условии, х+5 ≥ 0, которое при х∈ [-1;+ ∞ ) выполняется.

(x+13)(x+1)=(x+5)^2

x^2+14x+13=x^2+10x+25

4x=12

x=3

3 ∈ [-1;+ ∞ )

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{M_(1)M}=(x-1;y-1;z)
vector{M_(1)M_(2)}=(4-1;0-1;0-0)
vector{k}=(0;0;1)
[b] компланарны [/b]
Условие компланарности: равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат данных векторов

(прикреплено изображение)

Находим координаты точки N пересечения прямой
x/2=(y–1)/(–3)=(z+1)/1
с плоскостью x+y–z+2=0.

{x/2=(y–1)/(–3) ⇒ -3x= 2y - 2 ⇒ y=(-3x+2)/2
{x/2=(z+1)/1 ⇒ x=2z+2 ⇒ z=(x-2)/2
{ x+y–z+2=0 ⇒ x + (-3x+2)/2 - (x-2)/2 + 2 = 0 ⇒ 2x -3x+2-x+2+4=0

-2x=-8
x=4
y=-5
z=1

Уравнение прямой, проходящей через две точки
M (3;–4;0) и N (4; -5; 1)

(x-3)/(4-3)=(y+4)/(-5+4)=z/1

Направляющий вектор которой имеет координаты
(1:-1;1)

Угол между прямой и плоскостью находим как угол между направляющим вектором прямой с координатами (1:-1;1) и нормальным вектором плоскости 2x+y+2z–5=0 с координатами
(2;1;2)

Применяем свойства скалярного произведения:
cos φ = (1*2+(-1)*1+1*2)/(sqrt(1+1+1)*sqrt(2^2+1+2^2))=
=3/(sqrt(3)*3)=1/sqrt(3)
φ = arccos(1/sqrt(3))

Ответ выбран лучшим

А ___ В _____________________ С

АВ:ВС=1:7
λ =1/7
Формулы деления отрезка в данном отношении
x_(B)=(x_(A)+ λ*x_(C))/(1+ λ );
у_(B)=(у_(A)+ λ*у_(C))/(1+ λ );

-3=(-4+(1/7)x_(C))/(1+(1/7))
-3*(8/7)=-4+(1/7)x_(C)
(1/7)x_(C)=4/7
x_(C)=(4/7):(1/7)
x_(C)=4

5=(7+(1/7)*у_(С))/(1+(1/7))
5*(8/7)=7+(1/7)y_(C)
(1/7)y_(C)= - 9/7
y_(C)=- (9/7):(1/7)
y_(C)= - 9

О т в е т. (4; - 9)

Ответ выбран лучшим

y`=2e^(2x)-4e^(x)
y`=0
2e^(2x)-4e^(x)=0
2e(x)*(e^(x)-2)=0
e^(x) > 0
e^(x)-2=0
e^(x)=2
x=ln2

ln 2 ∈ [-1;2]

Производная меняет знак с - на +
х=ln2 - точка минимума

y(ln2)=e^(2ln2)-4e^(ln2)+4=(e^(ln2))^2-4*2+4=4-8+4=0
О т в е т. y_(наим на [-1;2])=0

Пусть АВ=СD=a
BC=AD=b

Р( параллелограмма АВСD)=2a+2b

2a+2b=70 ⇒ a + b = 35

Треугольники АВN и CMN подобны:
AB: MC=BN: NC=5:3

AB=CD

CD:MC=5:3
MC=(3/5)CD=0,6a

Треугольники MNC и MAD подобны
NC: AD=MC:MD

(b-a)/b=0,6b/(0,6b+b)

(b-a)/b=3/8

Система двух уравнений:
{a+b=35
{(b-a)/b=3/8 ⇒ 5b=8a ⇒ b=(8/5)a

a+(8/5)a=35
a=175/13
b=280/13

MD=1,6b=1,6*(280/13)=448/13

1)
Решаем систему уравнений:
{y=4x+6
{y=x+3

4x+6=x+3
3x=-3
x=-1
y=-1+3=2
О т в е т. (-1;2)

2) 5x+2y -3 =0 ⇒ 2y = -5x + 3 ⇒ y = (-5/2)x + (3/2)
Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид
y = kx + b
k = - 5/2
О т в е т. k=-2,5
3) vector{AC}=(4-2;1-3;0-(-1))=(2;-2;1) - направляющий вектор прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку M(x_(o);y_(o);z_(o)) c направляющим вектором (p;q;r)
(x-x_(o))/p=(y-y_(o))/q=(z-z_(o))/r

(x - (-1))/2=(y - 0)/(-2)=(z - 2)/1

О т в е т. (x + 1 )/2=y/(-2)=(z - 2)/1

4) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат
vector{a}*vector{b}=3*2+4*(-5)+7*2=6-20+14=0

Векторы ортогональны, так как их скалярное произведение равно 0

О т в е т. vector{a}*vector{b}=0

Ответ выбран лучшим

A(c;0;0) - точка на оси Ох
и
В(0;0;с) - точка на оси Оz
с > 0

Пусть M (x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.

Тогда векторы
vector{M_(1)M}; vector{M_(1)M_(2)}; vector{ M_(1)A} компланарны.
и
vector{M_(1)M}; vector{M_(1)M_(2)}; vector{ M_(1)B} компланарны.

Условие компланарности трех векторов - равенство 0 определителя третьего порядка составленного из координат данных векторов.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

=(1/2)ln|x-1|/|x+1|+C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой, проходящей через точку M(x_(o);y_(o);z_(o)) c направляющим вектором (p;q;r)
(x-x_(o))/p=(y-y_(o))/q=(z-z_(o))/r

vector{m}=vector{a}×vector{b} - направляющий вектор искомой прямой.

(x - 1)/(-15)=(y - (-1))/(-6)=(z - 2)/14

О т в е т.
(x - 1)/(-15)=(y +1 )/(-6)=(z - 2)/14 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=4*(1-isqrt(3))/(1^2-(i*sqrt(3))^2)= 4*(1-i*sqrt(3))/4=1-i*sqrt(3)
|z|=sqrt(1^2+(sqrt(3))^2)=sqrt(1+3)=sqrt(4)=2;
cosφ = x/|z| = 1/2
sinφ = y/z = - sqrt(3)/2
φ=-π/3

z=2*(cos(-π/3) + i*sin(-π/3))
cos(-π/3)=cos(π/3)
sin(-π/3)= - sin(π/3)

z=2*(cos(π/3) - i*sin(π/3)) - триг форма

z=2*e^(i(-π/3)) - показ форма
2) ∛z=∛2*(cos((π/3)+2πk )/3 + i *sin ((π/3)+2πk )/3
k=0;1;2

k=0
∛z_(0) =∛2*(cos(π/9) + i *sin (π/9))
k=1
∛z_(1) =∛2*(cos(7π/9) + i *sin (7π/9))
k=1
∛z_(2) =∛2*(cos(13π/9) + i *sin (13π/9))

3) По формуле Муавра
z^3=2^3*(cos3*(π/3)-i*sin3*(π/3))=8*(cosπ-i*sinπ)=-8

Ответ выбран лучшим

см.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

2*(1 - cos^2x) + 3 cosx=0

2cos^2x - 3cosx - 2 = 0
D=(-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25

сosx = -1/2 ⇒ x = ± (2π/3) +2πk, k ∈ Z
или
cosx=2 - уравнение не имеет корней, |cosx| ≤ 1

О т в е т. ± (2π/3) +2πk, k ∈ Z

vector{AB}+vector{BC}+vector{CD}+vector{DA}=vector{0}
( α /2)*vector{a}+4*( β *vector{a}-vector{b})-4*( β vector{b})+vector{a}+α*vector{b}=vector{0}

(( α /2) + 4* β + 1)*vector{a}+(- 4 - 4* β + α )*vector{b}=vector{0}

Пусть векторы а и в неколлинеарны, значит их линейная комбинация равна 0, если:
{( α /2) + 4* β + 1=0
{- 4 - 4* β + α = 0

{( α /2) + 4* β = -1
{ α - 4* β = 4

Складываем
3*( α /2)=3
( α /2)=1
α =2

β = -1/2

vector{BC} = 4*( β *vector{a}-vector{b}) = - 2*vector{a} - 4*vector{b};
vector{DA} = vector{a}+α*vector{b}= vector{a}+2vector{b}

vector{BC}= - 2*vector{DA} ⇒ vector{ВС} и vector{DA} коллинеарны

Ответ выбран лучшим

Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении
x^2-12x+37=x^2-12x+36+1=(x-6)^2+1
(x-6)^2 ≥ 0 ⇒ (x-6)^2+1 ≥ 1

Подкоренное выражение принимает наименьшее значение 1 при х=6
Значит y принимает наименьшее значение 1-3 =-2 при х=6

Площадь основания пирамиды 16 дм^2, значит сторона основания 4 дм.
Площадь сечения, параллельного основанию 1 дм^2

Из подобия:
15:1=(15+x):4
15*4=15+x
x=45
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть точки деления C и D.
По условию
AC:CD:DB=2:3:5

1)
AC:CB=2:8
λ =1/4
{x_(C)=(x_(A)+ λx_(B))/(1+ λ)
{y_(C)=(y_(A)+ λy_(B))/(1+ λ)

x_(C)=(-11+ (1/4)*9))/(1+ (1/4)) ⇒ x_(C)=(-45/4)/(5/4)=-9
y_(C)=(1+ (1/4)*11)/(1+ (1/4)) ⇒ y_(C)=(15/4)/(5/4)=3

2) AD:DB=5:5
Значит, точка D - середина отрезка АВ.
x_(D)=(x_(A)+x_(B))/2 ⇒ х_(D)=(-11+9)/2=-1
у_(D)=(у_(A)+у_(B))/2 ⇒ у_(D)=(1+11)/2=5

A____|____ C ____|_____| ____D ____| ____|_____|_____|____ B

О т в е т. (-9;3) и (-1;5)

Ответ выбран лучшим

По формуле общего члена арифметической прогрессии:

a_(n)=a_(1)+(n-1)d

4=15+(n-1)*d

(n-1)d=4-15

(n-1)d=-11

[b](n-1)d=-11[/b];

Так как
(1/a_(1))-(1/a_(2))=(a_(2)-a_(1))/(a_(1)a_(2))=d/(a_(1)*a_(2));
(1/a_(2))-(1/a_(3))=(a_(3)-a_(2))/(a_(2)a_(3))=d/(a_(2)*a_(3));
...
(1/a_(n))-(1/a_(n-1))=(a_(n)-a_(n-1))/(a_(n)*a_(n-1))=d/(a_(n-1)*a_(n))

складываем
слева останутся два слагаемых
Справа выносим d за скобки и в скобках сумма по условию равна 11.
(1/a_(1))-(1/a_(n))=d* 11

(1/15)-(1/4)=d*11

d=-1/60

(n-1)=-11/d=60

n=60+1=61
О т в е т. 61

Ответ выбран лучшим

D=2^2-4p^2=4-4p^2=4*(1-p^2)=4*(1-p)*(1+p)
a)D ≥ 0
p ≤ -1 или p ≥ 1
б) D < 0 ⇒ -1 < p < 1

Ответ выбран лучшим

y`= -5sinx+6 > 0 при любом х, так как -1 ≤ sinx ≤ 1
Значит функция возрастает на (- ∞ ;+ ∞ ) и наименьшее значение в левом конце отрезка [0;3π/2]
y(0)=5cos0+6*0+7=5+7=12

Ответ выбран лучшим

f(250)=f(247)+247^2+247-7=
=f(244)+244^2+244-7+247^2+247-7=
=
...
=f(4)+4^2+4-7+...
= f(1)+1^2+1-7+4^2+4-7+7^2+7-7+... + 244^2+244-7+247^2+247-7

так как f(1)=1
осталось найти:
s_(1)=1+4+7+...+244+247 -
cумма членов арифметической прогрессии
d=3; a_(1)=1
a_(n)=a_(1)+(n-1)*d⇒ 247=1+(n-1)*3 ⇒ n-1=82; n=83

s_(1)=(1+247)*83/2=10292;

s_(2)1^2+4^2+7^2+...+244^2+247^2=
надо подумать как сосчитать, есть формула ( см. приложение, но она для слагаемых от 1 до n)

s_(3)=83*7

О т в е т. f(250)=f(1)+s_(1)+s_(2)-s_(3)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сечение усеченной пирамиды,проходящее через высоту и апофему - - равнобедренная трапеция.
Основания 4 и 10, опустим высоту из вершины K_(1) ,
получим прямоугольный треугольник К_(1)РК:
K_(1)P=H=4
PK=(10-4)/2=3
По теореме Пифагора
h=5

Диагональное сечение A1C1CA - равнобедренная трапеция с высотой H=4
А1С1=4sqrt(2)
AC=10sqrt(2)
По теореме Пифагора
A_(1)C^2=4^2+(7sqrt(2))^2=114
АС=sqrt(114) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1=log_(3)3

log_(3)(1-2x)/(1+x) ≤ log_(3) 3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, бОльшему значению функции соответствует бОльшее значение аргумента и под знаком логарифма выражение положительно. Система двух неравенств:
{(1-2x)/(1+x) >0
{(1-2x)/(1+x) ≤ 3 ⇒ (1-2x)/(1+x) - 3 ≤ 0 ⇒ (1-2x-3-3x)/(1+x) ≤ 0

{(1-2x)/(1+x) > 0 ⇒ x ∈ (-1;1/2)
{(-5x-2)/(1+x) ≤ 0 ⇒ x ∈ (- ∞ ;-1)U[-2/5;+ ∞ )

О т в е т. [-2/5;1/2)

б)
{(3x+2)/x > 0 ⇒ x ∈ (- ∞ ;-2/3)U(0;+ ∞ )
{(3x+2)/x ≤ 1/16 ⇒ (47x+32)/16x ≤ 0 ⇒ x ∈ [-32/47;0)

О т в е т. [-32/47;-2/3)

Ответ выбран лучшим

vector{n_(1)}=(2;1-2)
vector{n_(2)}=(1;1;1)

vector{n_(1)}× vector{n_(2)}=(3;-4;1) -направляющий вектор прямой, по которой пересекаются данные плоскости.
Это вектор является и нормальным вектором искомой плоскости.

Уравнение плоскости с нормальным вектором vector{n}=(А;В;С) и проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) имеет вид:
A*(x-x_(o)) + B * (y- y_(o)) + C *(z-z_(o))=0

3*(х-2) -4*(у+3)+1*(z-5)=0
3x-4y+z-23=0 (прикреплено изображение)

Всего 5+2+3=10 деталей.
Из них 3 бракованных

Случайная величина X может принимать значения :
0;1;2;3

Найдем вероятность того, что среди вынутых трех деталей 0 бракованных
p_(o)=C^3_(7)/C^3_(10)=35/120;

Найдем вероятность того, что среди вынутых трех деталей 1 бракованная и значит 2 небракованных
p_(1)=(С^1_(3)*C^2_(7))/C^3_(10)=63/120;

Найдем вероятность того, что среди вынутых трех деталей 2 бракованных и значит 1 небракованных

p_(2)=(С^2_(3)*C^1_(7))/C^3_(10)=21/40;

Найдем вероятность того, что среди вынутых трех деталей 3 бракованных

p_(2)=С^3_(3)/C^3_(10)=1/120.

Закон распределения в виде таблицы:
(прикреплено изображение)

1) (x-x_(1))/(x_(2)-x_(1))=(y-y_(1))/(y_(2)-y_(1))

(x-1)/(0-1)=(y-2)/(3-2);
x+y-3=0 - о т в е т.

2) A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))=0 - уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o)) c нормальным вектором vector{n}=(A;B)

vector{n}=(1;-2)
1*(x-1)-2*(y-2)=0
x-2y+3=0 - ответ.

3)
y=kx+b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k и проходящей через точку (0;b)

у=(-1/3)х + (2/3) - о т в е т.

4) Уравнение прямой в отрезках
(x/a)+(y/b)=1

(x/3)+(y/-2)=1
2x-3y-6=0 - о т в е т.

5)
A(3;1)
3-5*1+2=0 - верно
А принадлежит прямой
B(1;5)
1_5*5+2=0 - неверно
В не принадлежит прямой
С(1;3)
1-5*3+2=0 - неверно
С не принадлежит прямой
В(8;2)
8--5*2+2=0 - верно
B принадлежит прямой

Ответ выбран лучшим

a)
n=A^(3)_(10)=10!/(10-3)!=720 ( упорядоченные наборы из трех цифр)
m=1( число 123)
p=m/n=1/720

б)
n=C^(3)_(10)=10!/(3!*(10-3)!=120 ( неупорядоченные наборы из трех цифр)
m=1 ( набор 1;2;3)
p=m/n=1/120

2. Двузначное число vector{ab}=10a+b
Сумма квадратов его цифр
a^2+b^2
По первому условию
10a+b+11=a^2+b^2
По второму условию
10a+b-5=2ab

Система
{ 10a+b+11=a^2+b^2
{10a+b-5=2ab⇒ 10a+b=5+2ab
a^2+b^2=2ab+5+11
(a-b)^2=16
a-b=4 Или a-b=-4

a-b=-4 ⇒ a+4=b
a=1; b=5
15 - двузначное число о котором спрашивают.

4.
Раскрываем знак модуля:
при x ≥ - 2
|x+2|= x+2
y=(x+2)/(4-x^2)
4-x^2=(2-x)(2+x)
y=1/(2-x)

при x< - 2
|x+2|= - x- 2
y=(x+2)/(4-x^2)
4-x^2=(2-x)(2+x)
y=-1/(2-x)
y=1/(x-2)

Строим две гиперболы.
Одну y=1/(x-2) при x < -2
Вторую y=1/(2-x) при х ≥ -2

5.
Слева произведение и справа произведение.
x^2=1*x^2
или x^2=x*x

Но x+1 ≠ x

Только так: либо
x+1=x^2 нет решений в целых числах
(y^2-x^2-4)=1

либо

x+1=1⇒ х=0
(y^2-x^2-4)=x^2 ⇒ y^2-4=0 ⇒ y= ± 2

О т в е т. (0;-2);(0;2) (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Продолжим MO за точку О.
MO=OP
ОК - высота, мединана Δ MKP.
Значит MK=KP

АО=OB ( O- середина гипотенузы)
∠ AOM = ∠ BOP как вертикальные.

Δ АМО= Δ OPB по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов:
1) АМ=ВР
2) ∠МАО=∠РВО - эти углы внутренние накрест лежащие,
значит BP || AM,
AM ⊥ BC ⇒ BP ⊥ BC и
Δ BPK - прямоугольный.

KP^2=PB^2+BK^2
Заменим
KP=MK
PB=AM
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном треугольнике FOK:
∠ FKO=60^(o)
Значит ∠OFK=30^(o)
OK=H*tg30^(o)=2,7*sqrt(3)/3=0,9*sqrt(3)⇒
сторона квадрата
a=2OK=1,8sqrt(3)
апофема боковой грани
h=SK=H/sin60^(o)=2,7/(sqrt(3)/2)=5,4/sqrt(3)=5,4*sqrt(3)/3=1,8sqrt(3)

S (полн)=S(бок)+S(осн)= 4*(1/2)a*h+a^2=2(1,8sqrt(3))*1,8sqrt(3)+
+(1,8sqrt(3))^2=29,16 кв. м
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{2x=5-3y ⇒ (2x)^2=(5-3y)^2 ⇒ 4x^2=(5-3y)^2
{(5-3y)^2 - 9y^2=15;

(5-3y)^2 - 9y^2=15;
25-30y+9y^2-9y^2=15;
30y=10
y=1/3
2x=5-3*(1/3);
x=2

О т в е т. (2;1/3)

Ответ выбран лучшим

(5cos^2 α +5sin^2 α ) - 3= 5*(cos^2 α +sin^2 α) - 3= 5*1-3=2

так как cos^2 α +sin^2 α=1

Пусть снижение цены на k%.
10 000:100= 100 руб. составляет 1% от первоначальной цены

10 000:100*k=100k руб. - составляют k% от первоначальной цены

(10 000 - 100k) руб - цена после первого снижения

(10 000 - 100k):100*k=(100 - k)*k руб. - составляют k% от новой цены

(10 000 - 100k)-(100 -k)*k (руб.) - цена после второго снижения.

Что по условию задачи равно 9 409 руб.

Уравнение:

(10 000 - 100k) - (100 - k)*k = 9 409;

k^2 - 200k +591 =0

D=(-200)^2-4*591=194^2

k=(200-194)/2=3 k_(2) не удовл смыслу задачи.

О т в е т. на 3%

x^2+y^2=25 - уравнение окружности с центром в точке (0;0) радиус R=5
y=x^2-6 уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, вершина в точке (0;-6)

Координаты точек А; В; C; D и есть решение системы (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

(5x^2+20x)+(2y^2+4y)+12=0;
5*(x^2+4x+4)-20+2*(x^2+2y+1)-2+12=0
5*(x+4)^2+2*(y+1)^2=10
((x+4)^2/2)+((y+1)^2/5)=1 - каноническое уравнение эллипса
со смещенным центром
центр в точке (-2;-1)
полуоси

b=sqrt(2)
a=sqrt(5)
Значит
с^2=a^2-b^2=5-2=3
с=sqrt(3)

Координаты фокусов:
F_(1) ( -2; -1-sqrt(3)) и F_(2)(-2;-1+sqrt(3))

Эксцентриситет
ε=c/a=sqrt(3)/sqrt(5)=sqrt(3/5)

Координаты вершин
A_(1)(-1; -2-sqrt(2))
A_(2)(-1;-2+sqrt(2))
B_(1)(-2;-1-sqrt(5))
B_(2)(-2;-1+sqrt(5))
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Расстояние от точки M до плоскости:
d=|4*1+6*0+4*1-25|/sqrt(4^2+6^2+4^2)=|-17|/sqrt(68)=sqrt(17)/2

Уравнение прямой, проходящей через точку M с направляющим вектором, равным нормальному вектору данной плоскости
vector{n}=(4;6;4):

(х-1)/4=(y-0)/6=(z-1)/4

Находим точку пересечения прямой MM_(1) и данной плоскости
{4x+6y+4z-25=0;
{(x-1)/4=y/6 ⇒ y=(3/2)(x-1)
{(x-1)/4=(z-1)/4 ⇒ z=x

4x+6*(3/2)(x-1)+4*x -25=0
17x=34
x=2
y=(3/2)*(2-1)
y=(3/2)
z=2

Обозначим D(2;(3/2);2)

Составим уравнение сферы с центром в точке D и радиусом d:
(x-2)^2+(y-(3/2))^2+(z-2)^2=17/4

Найдем координаты точки M_(1) - точки пересечения сферы и прямой MM_(1):
{(x-2)^2+(y-(3/2))^2+(z-2)^2=17/4
{y=(3/2)(x-1)
{z=x

(x-2)^2+((3/2)x-3)^2+(x-2)^2=17/4

2x^2-8x+8+(9/4)x^2-9x+9=17/4

(17/4)x^2-17x+51/4=0
x^2-4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=(4-2)/2=1 или х_(2)=(4+2)/2=3
y_(1)=0 или y_(2)=3
z_(1)=1 или z_(2)=3

О т в е т. M_(1)(3;3;3) (прикреплено изображение)

Пусть A(1;1); B(2x;3y); C(3y;0)

Тогда
vector{AB}=((2x-1);(3y-1))
vector{CB}=((2x-3y);(3y-0))

z - это сумма длин векторов vector{AB}+vector{CB}

z= |vector{AB}|+|vector{СB}|

Так как |vector{СB}|=|vector{BС}|

z= |vector{AB}|+|vector{BС}|

По свойствам модуля:
|vector{AB}+vector{CB}| =| vector{AB}-vector{BС}|=

=|vector{AB}+ (-1*vector{BС})| ≤ |vector{AB}|+|vector{BС}|=

= |vector{AB}|+|vector{СB}|=z

Значит,

z ≥ | vector{AB}-vector{BС}|

vector{CB}=-vector{BС}
vector{BС}=((-2x+3y);(-3y))

vector{AB}-vector{BС}=(2x-1-2x+3y;3y-1-3y)=(3y-1;-1)

| vector{AB}-vector{BС}|=sqrt((3y-1)^2+(-1)^2) принимает наименьшее значение 1 при у=1/3
Значит,
z ≥ 1

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=0,95 - вероятность выбрать стандартное изделие;
q=1-p=1-0,95=0,05 - вероятность выбора нестандартного изделия.
Это повторные независимые испытания с двумя исходами.
Биномиальное распределение.

n=6
D(x)=n*p*q=6*0,95*0,05=0,285

Ответ выбран лучшим

101
S= ∫ ^(1)_(0)(2-x)dx + ∫ ^(2)_(1)sqrt(x)dx=

=( 2x-(x^2/2))|^(1)_(0) + (x^(3/2)/(3/2))|^(2)_(1)=

=2*1-(1/2) + (2/3)*(2^(3/2)-1)=(3/2)+(2/3)*sqrt(2^3)-(2/3)=

=(5/6) + 4sqrt(2)/3

102
S= ∫ ^(1)_(-1)(1-x^2)=2 ∫ ^(1)_(0)=(1-x^2)dx=

=2*(x-(x^3/3))|^(1)_(0) = 2* (1-(1/3))=4/3 (прикреплено изображение)

l: 4x=-3(y-3) ⇒ 4x+3y-9=0

d(P,l)=|4*(-2)+3*1-9|/sqrt(4^2+3^2)=|-14|/5=2,8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

81 a)
= ∫^(1)_(0)(sqrt(x)dx- ∫^(1)_(0)x^2dx=

=(x^(3/2)/(3/2))|^(1)_(0) - (x^3/3)|^(1)_(0)=

=(2/3)*1-(1/3)*1=1/3

81 б)

Так как d(e^(-x^2))=(e^(-x^2))`*dx=(e^(-x^2))*(-x^2)`dx=-2x*e^(-x^2)dx, то

d(e^(-x^2))=-2x*e^(-x^2)dx ⇒ можно вместо x*e^(-x^2)dx=(-1/2)d(e^(-x^2))

∫ xe^(-x^2)dx=(-1/2)* ∫ (-2x)*e^(-x^2)dx = (-1/2)* ∫ d (e^(-x^2))=
=(-1/2)e^(-x^2) + С

∫d (f(x))=f(x) интеграл и дифференциал две взаимно обратные операции (как корень квадратный и квадрат, которые " уничтожают друг друга" и остается то что там написано после них)
В определенном интеграле С нет

∫^(1)_(-1) xe^(-x^2)dx=((-1/2)e^(-x^2))|^(1)_(-1)=(-1/2)*((e^(-1))-(e^(-1)))=0

61 а)
Правила:
интеграл от суммы равен сумме интегралов;
постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
= ∫ sqrt(x)dx-2 ∫ (1/sqrt(x))dx=

= ∫ x^(1/2)dx- 2 ∫ x^(-1/2)dx =
формула 1
=x^((1/2)+1)/((1/2)+1) - 2*x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1) + C=

=x^(3/2)/(3/2) - 2*x^(1/2)/(1/2) + C=

=(2/3)* sqrt(x^3) - 4sqrt(x) + C.

б)
Так как
d(1+3cosx)=(1+3cosx)`dx=(-3sinx)dx
Значит
sinxdx=(-1/3)d(1+3cosx)

∫ (sinx)dx/(1+3cosx) = ∫ (-1/3)d(1+3cosx)/(1+3cosx)=

постоянный множитель вынесем за знак интеграла.
Применяем формулу 2 (правая колонка; u=1+3cosx)

=(-1/3)ln|1+3cosx|+C

в)
Интегрирование по частям

∫ udv=u*v- ∫ v*du

Полагаем
u=lnx
dv=x^3dx
тогда
du=(lnx)`dx=(1/x)dx=dx/x
v= ∫ dv= ∫x^3dx=(x^4)/4 ( применили формулу 1)

∫ (lnx)*(x^3dx)= (lnx)*(x^4/4) - ∫ (x^4/4)*(dx/x)=

вычисляем второй интеграл по формуле 1

=(x^4*lnx)/4 - (1/4) ∫ x^3dx= (x^4*lnx)/4 - (1/4) *( x^4/4) + С =

= (x^4*lnx)/4 - (x^4/16) + C
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AM- медиана Δ АВС, значит BM=MC, M - середина ВС.
ВK- медиана Δ АВС, значит AK=KC, K - середина АС.
Значит KM - средняя линия Δ АВС:
KM || AB
KM=(1/2)AB.

По условию AE:AM=2:1 ⇒ AM=ME и M - середина AE
Значит, KM - средняя линия Δ АСЕ:
KM || СЕ
KM=(1/2)СЕ.

AB || KM || CE ⇒ AB || CE

б)
[b]AB=CE=2KM[/b]
Значит и дуги АВ и СЕ, стягиваемые равными хордами равны.
рис.3
∠САЕ= ∠ BCA как углы, опирающиеся на равные дуги.

Δ АМС - равнобедренный.
MС=MA.
Так как
MA=ME, то
MC=MA=ME и поэтому
M- центр окружности, описанной около треугольника АСЕ.
а значит и около треугольника АВС.
MС=MB
MC=MA
MC=MB=MA

∠ A=90^(o)
BC и АЕ - диаметры.

Обозначим MC=MB=MA=ME=R

KF=x, по условию BF:BK=2:3 , значит BK=2x

Медианы АМ и BK пересекаются в точке D.
AD:DM=2:1
BD:DK=2:1

AD=(2/3)R; DM=(1/3)R
BD=(4/3)x; DK=(2/3)x

DF=DK+KF=(2/3)x+x=(5/3)x
DE=DM+ME=(1/3)R+R=(4/3)R

По свойству пересекающихся хорд:
BD*DF=AD*DE

(4/3)x*(5/3)x=(2/3)R*(4/3)R
[b]x^2=(2/5)R^2[/b]

Из Δ MDB по теореме косинусов:
DB^2=MD^2+MB^2-2MD*MB*cos ∠ BMD
⇒
cos ∠ BMD=((R/3)^2+R^2-(4/3x)^2)/(2*(R/3)*R)=

=((10R^2/9)-(16/9)*(2/5)R^2)/(2*R^2/3)= (18/45)*(3/2)=0,6

По теореме косинусов из Δ АМВ

АВ^2=R^2+R^2-2R*R*0,6

AB=R*sqrt(0,8)

sin ∠ C =AB/CB=sqrt(0,8)/2=sqrt(0,2)=1/sqrt(5)
∠ C= arcsin(1/sqrt(5))

sin ∠ B= cos ∠ C= 2/sqrt(5)

∠ B= arcsin(2/sqrt(5))

tg∠ B=sin∠ B/cos∠ B=2; tg∠ C=1/2

О т в е т. 90^(o); arcsin(1/sqrt(5));arcsin(2/sqrt(5))
или
90^(o); arctg2 и arctg(1/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем две какие- нибудь точки, принадлежащие линии пересечения плоскостей.

Пусть x=1
{4 - y + 3z -1=0
{1 - 5y - z+2=0

{ - y + 3z + 3=0
{ - 5y - z + 3 =0

Умножаем второе уравнение на 3 и складываем
-16y+12=0
y=3/4
z=-3/4

B(1;(3/4);(-3/4))

Пусть x=-1
{-4 - y + 3z-1=0
{-1-5y-z+2=0

{-y+3z-5=0
{-5y-z+1=0

Умножаем второе на 3 и складываем
-16y-2=0
y= -1/8
z=3/8

С(-1; -1/8; 3/8)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

(прикреплено изображение)

vector{n_(1)}=(1;-2;1);vector{n_(2)}=(2;1;-1)- нормальные векторы плоскостей,задающих данную прямую.
Направляющий вектор данной прямой vector{m}=(1;3;5)- вектор, который равен векторному произведению vector{n_(1)} и vector{n_(2)}
( cм. приложение)

Уравнение прямой, проходящей через точку А с заданным направляющим вектором имеет вид:
(x-(-4))/1=(y-3)/3=(z-0)/5

(x+4)/1=(y-3)/3=z/5
О т в е т. (x+4)/1=(y-3)/3=z/5
(прикреплено изображение)

6*14=84 квартиры в одном подъезде.
322:84=3 целых ( ост. 70)
Значит кв. 322 находится в четвертом подъезде.

Всего в четырех подъездах 84*4=336 квартир

О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

sin(π(x+9))/4 = –√2/2

(π(x+9))/4 =(-1)^(k)*(-π/4)+πk, k ∈ Z

При k=2n
(π(x+9))/4 =(-π/4)+2πn, n ∈ Z
(x+9)/4=(-1/4)+2n, n ∈ Z
x+9=-1+8n, n ∈ Z
x=-10+8n, n ∈ Z
при n=2
x=-10+8*2=6 положительный корень

При k=2m+1
(π(x+9))/4 =π-(-π/4)+2πm, m ∈ Z
(π(x+9))/4 =(5π/4)+2πm, m ∈ Z
x+9=5+8m, m∈ Z
x=-4+8m, m∈ Z
при m=1
x=-4+8=4 - положительный корень

О т в е т. 4 - наименьший положительный корень

Ответ выбран лучшим

Δ BDC - равнобедренный, DC=BC.
⇒ ∠ 1= ∠ 2

∠ 1= ∠ 3 - внутренние накрест лежащие углы при параллельных DC и AB и секущей DB.

∠ A= ∠ B - трапеция равнобедренная.

Сумма углов прилежащих к боковой стороне AD равна 180 градусов.
Пусть ∠ 1= α
∠ B=2 α
⇒
∠ A=2 α

∠ А + ∠ D=180^(o)

2 α +90^(o)+ α =180^(o)
3 α =90^(o)
α =30^(o)

∠ A= ∠ B=60^(o)
∠ D= ∠ C=120^(o)

О т в е т.120^(o)

Ответ выбран лучшим

1.
Область определения (- ∞;-1)U(-1;+ ∞ )

Производная дроби:
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
u=x^3
v=(x+1)^2

y`=(3x^2*(x+1)^2-x^(3)*2(x+1))/(x+1)^(4)

y`=(x+1)*(3x^2*(x+1)-2*x^3)/(x+1)^4

cокращаем на (х+1)

y`=(3x^3+3x^2-2x^3)/(x+1)^3

y`=x^2(x+3)/(x+1)^3

y`=0
x^2=0 или х+3=0
x=0 или x=-3

y` не существует в точке х=-1 ( эта точка не входит в область определения)

Отмечаем эти точки на области определения:
_+__ (-3) __-_ (-1) __+__ (0) __+_

возр. убыв. возр. возр.

x=-3 - точка максимума
см. рис.1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

21
y`=((x-1)^(-1))= -1*(x-1)^(-2) ( формула 1)
y``=(y`)`=-1*(-2)*(x-1)^(-3)=2/(x-1)^3 ( формула 1)

d^(2)y=y``(x)*dx^(2)

О т в е т.
d^(2)y=(2/(x-1)^3)*dx^(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В нижнем основании
прямоугольник длина 4 ширина 3
s_(1)=4*3=12

В верхнем основании прямоугольник (квадрат)
длина 3 и ширина 3
s_(2)=3*3=9

Cлева прямоугольник 4 на 3
s_(3)=4*3=12

Cправа квадрат 3 на 3
s_(4)=3*3=9

Cпереди и сзади квадрат 4 на 4 с вырезанным в углу квадратом 1 на 1.
s_(5)=s_(6)=4*4-1*1=15

и два прямоугольника 1 на 3
s_(7)=s_(8)=1*3=3

S=2*(12+9+15+3)=78
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k(касательной)=tg α ,
α - угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох.

На рисунке касательная образует с положительным направлением оси Ох тупой угол α.

Смежный с ним угол (π - α) - острый
Тангенс смежного угла (π - α) находим из прямоугольного треугольника ABO:
tg((π - α)= AB/ВО=2/4=1/2

(отношение противолежащего катета AB к прилежащему катету ВО)
tg ((π - α)= - tg α
Значит tg α =-1/2
и
f`(-4)=-1/2

О т в е т. - 1/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу:
sin^2 α =(1 - cos2α)/2.

(1 - сos4x)/2 + (1 - cos8x)/2= 1- cos(2x)/(cos3x)

-(cos4x)/2 - (cos8x)/2=-(cos2x)/(cos3x)

(cos4x+cos8x)*cos3x =2cos2x

По формуле
cosα + cos β = 2*cos((1/2)*( α + β)) * cos ((1/2)*( α - β )

2*cos6x * cos (-2x)= 2cos2x

В силу четности косинуса
cos(-2x)=cos2x

2*cos6x*cos2x*cos3x = 2*cos2x

2*cos6x*cos2x*cos3x - 2*cos2x =0

2cos2x*(cos6x*cos3x-1)=0

cos2x = 0 ⇒ 2x= (π/2) + π*n, n ∈ Z ⇒ [b] x = (π/4) + (π/2)*n, n ∈ Z [/b]

или

cos6x*cos3x - 1 = 0 ⇒ cos6x*cos3x = 1 ⇒

В силу ограниченности косинуса:
|cosα| ≤ 1 произведение косинусов равно 1, когда оба равны 1 или оба равны (-1):

{cos6x=1 ⇒ 6х=2π*k, k ∈ Z ⇒ х=(2π/6)*k, k ∈ Z
{cos3x=1 ⇒ 3x =2π*m, m ∈ Z ⇒ х=(2π/3)*m, m ∈ Z
Решение системы [b] х=(2π/3)*m, m ∈ Z [/b] (см. рис.1)

или

{cos6x=-1 ⇒ 6х=π+ 2π*k, k ∈ Z ⇒ х=(π/6)+(π/3)*k, k ∈ Z
{cos3x=-1 ⇒ 3x =π+ 2π*m, m ∈ Z ⇒ х=(π/3)+(2π/3)*m, m ∈ Z
Cистема не имеет решений. ( см. рис.2)

О т в е т. (π/4) + (π/2)*n; (2π/3)*m, m,n ∈ Z

б)
Указанному отрезку принадлежат корни:
(-π/4); (π/4); (3π/4)
0; 2π/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1а)
Формула
производная произведения
(u*v)`=u`*v+u*v`
y`=(x^2*lnx)=(x^2)`*lnx+(x^2)*(lnx)`=
формулы из таблицы производных (см.формулу номер 1 и формулу номер 5, левый столбец)
=2x*lnx+(x^2)*(1/x)=2x*lnx+x;
О т в е т. y`=2x*lnx+x.

1б)
Производная сложной функции . ( см. формулу номер 8, правый столбец)
u=e^(x)

y`=(e^x)`/(1+(e^(x))^2) = так как (e^(x))`=e^(x) ( см. формулу номер 4 левый столбец)

О т в е т. y`=(e^x)/(1+e^(2x))

в)
Производная сложной функции ( см. формулу 1, правый столбец)
u=sin((1-x)/(1+x))

y`=(u^2)`=2u*u`= 2*sin((1-x)/(1+x)) * (sin((1-x)/(1+x)))`=

(cм. формулу номер 2, правый столбец) теперь u=(1-x)/(1+x)

= 2*sin((1-x)/(1+x)) * (cos((1-x)/(1+x)))* ((1-x)/(1+x))`=

применяем правило производная частного:
(f(x)/g(x))`= (f`(x)*g`(x)-f(x)*g`(x))/g^2(x)

= 2*sin((1-x)/(1+x)) * (cos((1-x)/(1+x)))* ((1-x)`(1+x)-(1-x)*(1+x)`/(1+x)^2)=

=2*sin((1-x)/(1+x)) * (cos((1-x)/(1+x)))* (-(1+x)-(1-x))/(1+x)^2)=

по формуле синуса двойного угла
=sin(2*(1-x)/(1+x)) * (-2/(1+х)^2)

О т в е т. (-2/(1+х)^2)* sin ((2-2x)/(1+x)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(6^(-2))^(cos^2x)=6^(sin2x)*6^(-2)
6^(-2cos^2x)=6^(sin2x-2)

-2cos^2x=sin2x-2

2 - 2*cos^2x - sin2x=0
2*(1-cos^2x)-sin2x=0

2*sin^2x - 2*sinx*cosx=0
2sinx*(sinx - cosx)=0

sinx=0 ИЛИ sinx-cosx=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z

ИЛИ

sinx - cosx =0 делим на cosx ≠ 0 ⇒ tgx -1 =0
tgx=1
x=(π/4)+πn, n ∈ Z

О т в е т. а) πk; (π/4)+πn, k, n ∈ Z

б) Указанному интервалу принадлежат корни:

x_(1)=2π;
x_(2)=(π/4)+π=5π/4;
x_(3)=(π/4)+2π=9π/4.

О т в е т. 5π/4; 2π; 9π/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Задача была решена [b]ВЕРНО[/b]
UPD от 29.10 2015 неверное!!!

Из [b]равнобедренного[/b] треугольника АВF:
AB=AF=1
∠ BAF=120^(o)
по теореме косинусов:
ВF=sqrt(3).
или
Из прямоугольного треугольника АВК:
∠ КAВ=60^(o)
ВК=sqrt(1^2-(1/2)^2)=sqrt(3)/2

Из равнобедренного треугольника SFB:
по теореме Пифагора
FK^2=FB^2-BK^2=2^2-(sqrt(3)/2)^2=4-(3/4)=13/4
FK=sqrt(13)/2

О т в е т. sqrt(13)/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Апофема боковой грани FK= sqrt(1+1)=sqrt(2)

S_(бок)=4*(1/2)*2*sqrt(2)=4sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AB=sqrt(12^2+9^2)=sqrt(144+81)=sqrt(225)=15
Так как
S( Δ ABC)=(1/2)AB*CM и S( Δ ABC)=(1/2)AС*ВC, то
AB*CM=AC*BC ⇒ CM=AC*BC/AB=12*9/15=7,2

БОльшая грань AFB

FM=sqrt(FC^2+CM^2)
FC=H

S( ΔAFB)=(1/2)AB*FM=(1/2)*15*sqrt(H^2+7,2^2)
По условию
S( ΔAFB)=27sqrt(29)

(1/2)*15*sqrt(H^2+7,2^2)=27sqrt(29);

sqrt(H^2+7,2^2)=18sqrt(29)/5
H^2=(324*29/25)-7,2^2
H^2=324
H=18 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника SOK
OK=(1/2)SK =h/2 - катет против угла в 30 градусов.
SO=hsqrt(3)/2
В треугольнике АВС:
r=ОК=h/2

OK=a/(2sqrt(3))

a=hsqrt(3)

S(осн.)=a^2sqrt(3)/4=h^2*3*sqrt(3)/4=h^2*3sqrt(3)/4

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*(=h^2*3sqrt(3)/4)*hsqrt(3)/2=3h^3/8

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Пусть точки деления M и К.
По условию
AM:MK:KB=2:3:5

1)
AM:MB=2:8
λ =1/4
{x_(M)=(x_(A)+ λx_(B))/(1+ λ)
{y_(M)=(y_(A)+ λy_(B))/(1+ λ)

x_(M)=(-11+ (1/4)*9))/(1+ (1/4)) ⇒ x_(M)=(-45/4)/(5/4)=-9
y_(M)=(1+ (1/4)*11)/(1+ (1/4)) ⇒ y_(M)=(15/4)/(5/4)=3

2) AK:KB=5:5
Значит, точка К - середина отрезка АВ.
x_(K)=(x_(A)+x_(B))/2 ⇒ х_(К)=(-11+9)/2=-1
у_(K)=(у_(A)+у_(B))/2 ⇒ у_(К)=(1+11)/2=5

О т в е т. (-9;3) и (-1;5)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Точка пересечения с осью Ох
А(3;0;0)
Точка пересечения с осью Оу
В(0;-4;0)
Точка пересечения с осью Оz
C(0;0;5)

(прикреплено изображение)

0,2^(-(2x+3)/(x-5))=(5^(-1))^(-(2x+3)/(x-5))=5^((2x+3)/(x-5));

25^(-(2x+3)/(x-5))=(5^(2))^(-(2x+3)/(x-5))=5^((-2*(2x+3)/(x-5)));

15^(2x)=(3*5)^(2x)=3^(2x)*5^(2x)=9^(x)*5^(2x).

Левая часть принимает вид:
5^((2x+3)/(x-5))*5^(2x+2)*9^(x)/(x^2).

Правая часть принимает вид:
5^((-2*(2x+3)/(x-5)))*9^(x)/(5x^2).

9^(x) > 0 при любом х
x^2 > 0 при всех x ≠ 0.

Делим обе части неравенства на (9^(x)/5x^2).

Неравенство принимает вид:

5^((2x+3)/(x-5)+(2x+3)) ≥ 5^((-2*(2x+3)/(x-5)))

5>1, показательная функция с основанием 5 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому

(2x+3)/(x-5)+(2x+3) ≥ -2*(2x+3)/(x-5);

(2x+3)/(x-5)+(2x+3) + 2*(2x+3)/(x-5) ≥ 0;

(2x+3)*(1/(x-5)+ 1 + 2/(x-5)) ≥ 0;

(2x+3)(x-2)/(x-5) ≥ 0;

_-___ [-3/2] __+___ (0) ______+_____ [2] __-____ (5) ___+___

О т в е т. (- ∞ ;-3/2) U[2;5)

Ответ выбран лучшим

d=4
d- диаметр,
значит R=d/2=2

По теореме Пифагора:
h^2=L^2-R^2=6^2-2^2=36-4=32
h=sqrt(32)=4sqrt(2)

V(конуса)=(1/3)*S(осн.)*h=(1/3)*π*R^2*h=

=(1/3)*π*2^2*4*sqrt(2)=16πsqrt(2)/3

S_(бок)=π*R*L=π*2*6=12π

S_(осн)=π*R^2=π*2^2=4π

S_(полн)=S_(бок)+S_(осн)=12π+4π=16π (прикреплено изображение)

Пусть M- произвольная точка плоскости.
Векторы
vector{AM}=(x-2;y-5;z-(-1))=(x-2;y-5;z+1)
vector{AB}=(-3-2;1-5;3-(-1))=(-5;-4;4)
и направляющий вектор оси Оу
vector{j}=(0;1;0)
компланарны.

Условие компланарности - равенство нулю определителя третьего порядка.

(прикреплено изображение)

По определению трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Так как даны координаты точек, будем искать координаты векторов, задающих стороны трапеции.

vector{AB}=(x_(B)-x_(A); y_(B)-y_(A))=(5-3;2-6)=(2;-4)
vector{BС}=(x_(С)-x_(В); y_(С)-y_(В))=(-1-5;-3-2)=(-6;-5)
vector{СD}=(x_(D)-x_(C); y_(D)-y_(C))=(-5-(-1);5-(-3))=(-4;8)
vector{DA}=(x_(A)-x_(D); y_(A)-y_(D))=(3-(-5);6-5)=(8;1)

Векторы коллинеарны ( лежат на параллельных прямых), если их координаты пропорциональны.

vector{AB} и vector{СD} коллинеарны.
2:(-4)=(-4):8
vector{BC} и vector{DA} не коллинеарны.

АВСD- трапеция

Ответ выбран лучшим

Равномерное распределение.
Плотность равномерного распределения
f(x)=1/(b-a)=1/10,
(b-a) - интервал движения.

a)
Пассажир, пришедший к остановке будет ожидать автобус менее 4 минут, если до прибытия автобуса остается от 6 до 10 минут.

P(6 < X < 10)= ∫^(10)_(6) f(x)dx= ∫^(10)_(6) 0,1dx=
= (0,1x)|^(10)_(6)=0,1*(10-6)=0,1*4=0,4

б)
cм. приложение.
M(X)=(0+10)/2 =5
D(X)=(10-0)^2/12=100/12=25/3

σ(Х)=sqrt(D(X))=sqrt(25/3)=5/sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D=4
D- диаметр,
значит R=D/2=2

По теореме Пифагора:
h^2=L^2-R^2=6^2-2^2=36-4=32
h=sqrt(32)=4sqrt(2)

V(конуса)=(1/3)*S(осн.)*h=(1/3)*π*R^2*h=

=(1/3)*π*2^2*4*sqrt(2)=16πsqrt(2)/3

6+2=8 км в час - скорость лодки по течению
6-2=4 км в час - скорость лодки против течения.
5-2=3 часа - время в пути, (именно находился в плавании)

Пусть отплыл на S км.

(S/4)+(S/8)=3
умножаем обе части уравнения на 8:

2S+S=24
3S=24
S=8
О т в е т. 8 км

198:100*50=99 руб стоимость билета школьника.

198*4+99*12=792+1188=1980
О т в е т. 1980 рублей

Пусть цена за одну тонну была х .
Планировали купить у тонн товара.
Должны были заплатить х*y

25%=25/100=0,25

Новая цена 1,25x
Купили (y-1) тонну
Заплатили
1,25x(y-1)

По условию денег не добавилось и не убавилось, т.е
x*y=1,25x*(y-1)

y=1,25*(y-1)

0,25y=1,25

y=5
5 тонн планировали купить, купили на тонну меньше
О т в е т. 4 тонны товара купили.

Ответ выбран лучшим

1)
y`=dy/dx
cosxdy=ysinxdx
Уравнение с разделяющимися переменными.
Делим обе части уравнения на ycosx
dy/y=sindx/cosx

Интегрируем
∫ dy/y= -∫ d(cosx)/cosx
ln|y|=-ln|cosx|+lnC
ln|y|=ln(C/|cosx|)
y=C/cosx - общее решение

Так как y(π)=3, то
3=С/cosπ
C=-3

y=-3/cosx - частное решение

2)

y`=3*(sqrt(x^2+y^2)/x)+(y/x)

y`=3*sqrt(1+(y/x)^2)+(y/x) - однородное уравнение.

Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`
x`=1, так как х - независимая переменная.

Подставляем в ту строчку, где написано однородное уравнение:

u+x*u`=3*sqrt(1+u^2)+u

x*u`=3*sqrt(1+u^2)

u`=du/dx

x*du/dx=3*sqrt(1+u^2)

x*du=3*sqrt(1+u^2)dx - уравнение с разделяющимися переменными

Делим обе части на х*sqrt(1+u^2)

du/sqrt(1+u^2)=3dx/x

Интегрируем

∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫ 3dx/x

ln|u+sqrt(1+u^2|=3ln|x|+lnC

u+sqrt(1+u^2)=Cx^3 , u=y/x

(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx^3 - общее решение

3)
Линейное уравнение первого порядка.
Будем искать решение в виде произведения функций
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в данное уравнение:
u`*v+u*v` - (uv)/x =x^2*e^(x)

сгруппируем второе и третье слагаемые

u`*v+u*[b](v` - (v)/x)[/b] =x^2*e^(x)

Функцию v выберем так, чтобы выражение [b](v` - (v)/x)=0[/b], тогда
u`*v+u*[b]0[/b]=x^2*e^(x)

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v` - (v)/x=0 ⇒ dv/v=dx/x Интегрируем ln|v|=ln|x| ( С=0) ⇒ [b]v=x[/b]

u`*v+u*[b]0[/b]=x^2*e^(x)

(du)*x=x^2e^(x)dx

du=x*e^(x)dx

u= ∫x*e^(x)dx= интегрирование по частям=

=x*e*(x)-e^(x)+C

y=u*v=( x*e*(x)-e^(x)+C)*x=x^2e^(x)-xe^(x)+Cx

О т в е т. y=x^2e^(x)-xe^(x)+Cx

4) Уравнение вида
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
Так как
P`_(y)(x;y)=5
Q_(x)(x;y)=5
Это уравнение в полных дифференциалах.
U(x;y)=C - общее решение уравнения в полных дифференциалах
причем
U`_(x)(x;y)=P(x;y)
U`_(y)(x;y)=Q(x;y)

По частной производной U`_(x) =5y+12x^2 находим
U(x;y)= ∫ (5y+12x^2)dx= (5y)*x+(12x^3/3)+ C_(1)(y)

Дифференцируем по переменной y и сравниваем c U`_(y)(x;y)=Q(x;y)

((5y)*x+(12x^3/3)+ C_(1)(y))`_(y)=5x+C`(y)

⇒ 5x+C`_(1)(y)=5x+12y

C`_(1)(y)=12y

С_(1)(y)=(12y^2/2)+C_(2)

Итак,

U(x;y)= (5y)*x+(12x^3/3)+ C_(1)(y)=

= (5y)*x+(12x^3/3)+(12y^2/2)+C_(2)=

=5xy+4x^3+6y^2+C - о т в е т. C_(2)=C

Существуют. И не только три. Сколько угодно (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

У равностороннего треугольника все стороны равны, все углы 60^(o).
Все высоты, все медианы, все биссектрисы равны.

Ответ выбран лучшим

Нет.
У ромба диагонали разные.

У прямоугольника равны. Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
У квадрата диагонали равны. Квадрат, это прямоугольник ( а значит и параллелограмм с углами в 90:^(o)), у которого стороны равны (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(log_(5)20)=3^(log_(5)4+log_(5)5)=3^(log_(5)4+1)=3^(log_(5)4)*3;

4^(log_(5)3+log_(2)3)=4^(log_(5)3)*4^(log_(2)3)=4^(log_(5)3)*(2^2)^(log_(2)3)=4^(log_(5)3)*2^(log_(2)3^2)=4^(log_(5)3)*(3^2)=
=9*4^(log_(5)3)

3^(log_(5)4)=4^(log_(5)3)

От первой дроби останется 3/9=1/3

25^(log_(5)(2+(1/sqrt(3))))=5^(2log_(5)(2+(1/sqrt(3))))=

=5^(log_(5)(2+(1/sqrt(3)))^2)=(2+(1/sqrt(3)))^2

2^(log_(sqrt(2))(2-(1/sqrt(3))))=(sqrt(2))^(2log_(sqrt(2))(2-(1/sqrt(3))))=

=(sqrt(2))^(log_(sqrt(2))(2-(1/sqrt(3)))^2)=(2-(1/sqrt(3)))^2

О т в е т. (1/3)+(2+(1/sqrt(3)))^2+(2-(1/sqrt(3)))^2=

=(1/3)+4+(1/3)+2*2*(1/sqrt(3)) + 4 +(1/3)-2*2*(1/sqrt(3))=9

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу Герона.
p=(5+6+9)/2=10
S=sqrt(10*(10-9)*(10-5)*(10-6))=sqrt(200)=10sqrt(2)

r(вписанной окр.)=S/p=sqrt(2)

cos ∠ α =r/L=sqrt(2)/2sqrt(2)=1/2
L - апофема боковой грани

α =60^(o)

S(бок)=(1/2)*5*2sqrt(2)+(1/2)*6*2sqrt(2)+(1/2)*9*2sqrt(2)=

=20sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

так как в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон
a+b=2c
c=(a+b)/2
h^2(трапеции)=c^2-((a-b)/2)^2=ab
h=sqrt(ab)

r=sqrt(ab)/2
L(апофема боковой грани)=r/cos60^(o)=sqrt(ab)

S(бок)=(a*L/2)+(b*L/2)+(c*L/2)+(c*L/2)=(a+b+2c)*sqrt(ab)/2=(a+b)*sqrt(ab)

Ответ выбран лучшим

SK=H/sin60^(o)=0,6*2/sqrt(3)=0,4*sqrt(3)

S(бок)=4*S( ΔSBC)=4*(1/2)*(1,8)*(0,8sqrt(3))=2,88sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

h(трапеции)=с*sin 60^(o)=csqrt(3)/2
r(вписанной окр.)=h/2=csqrt(3)/4
Угол между гранями - угол между апофемой и радиусом вписанной окр.
Н(пирамиды)=r*tg β =(c*sqrt(3)/4)*tg β

так как в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон
a+b=2c

V=(1/3)S(трапеции)*H= (1/3)*((a+b)*h/2)*H= (1/3)*c*h*H=

=(1/3)*c*(c*sqrt(3)/2)*(csqrt(3)/4)*tg β =c^3*tg β /8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2sqrt(3)-4sqrt(2)= sqrt(2)*sqrt(2)*sqrt(3)-4sqrt(2)=

=sqrt(2)*(sqrt(2)*sqrt(3)-4)=sqrt(2)*(sqrt(6)-4);

О т в е т. 1/(sqrt(6)-4) можно перевести иррациональность в числитель. Для этого умножаем и числитель и знаменатель на
(sqrt(6)+4)

Получим (sqrt(6)+4)/(sqrt(6))^2-4^2)= -(1/10)*(sqrt(6)+4);

2) ОДЗ
{x^2-2 ≥ 0 ⇒ x ≤ - sqrt(2) или x ≥ sqrt(2)
{x ≥ 0
⇒ x ∈ [sqrt(2);+ ∞ )

Возводим в квадрат:
x^2-2=x
x^2-x-2=0
D=1-4*(-2)=9
x=(1-3)/2=-1 не принадлежит ОДЗ или x=(1+3)/2= 2 принадлежит
О т в е т. 2

в)
ОДЗ
{x-6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 6
{4-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
Система не имеет решений.
Уравнение не имеет корней.

г)
ОДЗ
{x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥2
{x - 8 ≥ 0 ⇒ x ≥ 8

x ∈ [8;+ ∞ )

Возводим обе части
x-2=x-8
0*х=-6 - уравнение не имеет корней.

(1/9)=3^(-2)
(1/9)^((2x+2)/(x+4))=3^(-4*(x+1)/(x+4))
18^(2x)=(3^2*2)=3^(2*2x)*2^(2x)=3^(4x)*2^(2x)

(27)^((x+1)/(x+4))=3^(3*(x+1)/(x+4))
12^(x)=3^(x)*4^(x)=3^(x)*2^(2x)

2^(2x) > 0 при любом х
x^2 > 0 при любом х ≠ 0
Умножаем обе части неравенства на x^2/(2^(2x))

3^(4x -4*(x+1)/(x+4) + 1) ≤ 3^(3*(x+1)/(x+4) + x - 2)

Основание 3 > 1, показательная функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента ⇒

4x -4*(x+1)/(x+4) + 1 ≤ 3*(x+1)/(x+4) + x - 2;

(x+1)*(3-(7/(x+4))) ≤ 0

(x+1)*(3x-12-7)/(x+4) ≤ 0

(x+1)(3x-19)/(x+4) ≤ 0

_-__ (-4) ____+___ [-1] __-_ (0) __-_______ [19/3] __+__

О т в е т. (- ∞ ;-4) U[-1;0) U(0;19/3]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

7^(log_(3)15)=7^(log_(3)3+log_(3)5)=7^(1+log_(3)5)=7*7^(log_(3)5);

5^(log_(3)7+log_(5)2)=5^(log_(3)7)*5^log_(5)2)=5^(log_(3)7)*2

так как
7^(log_(3)5)= 5^(log_(3)7) - верное равенство, для доказательства прологарифмируем его по основанию 3

log_(3)7^(log_(3)5)= 5^(log_(3)7) ⇒ log_(3)5*log_(3)7=log_(3)7*log_(3)5

От первой дроби останется 7/2.

5*log_(9sqrt(3))(2-(1/sqrt(2))= 5* log_((3)^(5/2)) (2-(1/sqrt(2)))=

=5*(1/(5/2))*log_(3) (2-(1/sqrt(2)))=2log_(3)(2-(1/sqrt(2)))=

=log_(3)(2-(1/sqrt(2)))^2=log_(3)(4,5-2sqrt(2))

вот это не нравится, поэтому и прошу написать, так чтобы было видно где основание логарифма.

4^(log_(1/2)sqrt(2)/(2-sqrt(2)+1)= (2^2)^(log_(2^(-1))sqrt(2)/(2-sqrt(2)+1)=

=2^(-2log_(2)(sqrt(2)/(2-sqrt(2)+1)=

=2^(log_(2)((sqrt(2)/(2-sqrt(2)+1))^(-2))=

=(sqrt(2)/(2-sqrt(2)+1))^(-2)=

=(2-sqrt(2)+1)^2/(sqrt(2))^2=(4+2+1-4sqrt(2)-2sqrt(2)+4)/2=

=(11/2)-3sqrt(2)

Первое и последнее выражение
(7/2)+(11/2)-3sqrt(2)=9-3sqrt(2)

Что в середине ?

Ответ выбран лучшим

а)
Применяем логарифмическое дифференцирование.

lny=ln(5x+4)-(1/2)ln(x^3+3x+5);

дифференцируем

y`/y=(5/(5х+4))-(1/2)*(3x^2+3)/(x^3+3x+5)
y`=y*(10*(x^3+3x+5)-(3x^2+3)*(5x+4))/(5x+4)*2*(x^3+3x+5)

y`=(-5x^3-12x^2+15x+38)/(2(x^3+3x+5)^(3/2))

б)
y`=3(∛(x^2)+3^(sin2x))^2*(∛(x^2)+3^(sin2x))`=

=3(∛(x^2)+3^(sin2x))^2*((2/3)x^(-1/3)+3^(sin2x)*ln3*(sin2x)`)=

=(∛(x^2)+3^(sin2x))^2*((2/∛x)+3^(1+sin2x)*(ln3)*2cos2x).

в)
y`=(sqrt(x))`/sqrt(1-(sqrt(sinx))^2)=

=cosx/(2sqrt(x)*sqrt(1-sinx))

г)
Применяем логарифмическое дифференцирование.

lny=(1/2)n(x^2-3)-(1/2)ln(x^2+3);

дифференцируем

y`/y=(1/2)*(2x)/(x^2-3) -(1/2)*(2x)/(x^2+3)
y`= (6x/(x^2-3)*(x^2+3))*sqrt((x^2-3)/(x^2+3))

д)
Применяем логарифмическое дифференцирование.

lny=sqrt(x)*ln(tgx+(1/x));

дифференцируем

y`/y=(sqrt(x))`*ln(tgx+(1/x))+sqrt(x)*(tgx+(1/x))`/(tgx+(1/x))=

y`/y=(1/2sqrt(x))*ln(tgx+(1/x))+sqrt(x)*((1/cos^2x)-(1/x^2))/(tgx+(1/x))=

y`=(tgx+(1/x))^(sqrt(x)) * (1/2sqrt(x))*ln(tgx+(1/x))+sqrt(x)*((1/cos^2x)-(1/x^2))/(tgx+(1/x))

e)
Дифференцируем данное равенство.
При этом x`=1, так как х - независимая переменная

((x+y)`*e^(y)+(x+y)*(e^(y))`-e^(x)=0
(1+y`)*e^(y)+(x+y)*e^(y)*y`-e^(x)=0

y`=(e^(x)-e^(y))/(e^(y)+x*e^(y)+y*e^(y))

ж)
y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)=a*(1/cos^2t)/(-a*(-sint)/cos^2t)=1/sint

Ответ выбран лучшим

С(окружности)=2π*R

α=18^(o)=2π*18^(o)/360^(o)=π/10
L(дуги)=С*α /2π

L=2π*R*(π/10)/(2π)=R*(π/10)

По условию
L=5
R*(π/10)=5
R*π=50
2R*π=100
С=2R*π=100
О т в е т. 100

Можно устно сосчитать так:
360^(o):18^(o)=20
Это значит, что меньшая дуга в 18^(o) в 20 раз меньше длины всей окружности.
Если дуга имеет длину 5, то длина окружности, наоборот, в 20 раз больше.
О т в е т. 20*5=100

vector{AB}=(1-2;-3-(-5))=(-1;2)
vector{AC}=(4-2;1-(-5))=(2;6)

vector{a}=vector{AB}
vector{b}=vector{AC}

Cм приложение.
Уравнение средней линии,параллельной ВС:
vector{BC}=(4-1;1-(-3)) =(3;4) - направляющий вектор и прямой ВС и ей параллельной.
Средняя линия проходит через точку М - середину АС
x_(M)=(x_(A)+x_(C))/2=(2+4)/2=3;
y_(M)=(y_(A)+y_(C))/2=(-5+1)/2=-2

(x-x_(M))/(x_(C)-x_(B))=(y-y_(M))/(y_(C)-y_(B))

(x-3)/(3)=(y-(-2))/(1-(-3)) ⇒ [b]4x-3y-18=0[/b]

(прикреплено изображение)

Пусть М(x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{AM};{AB} и {AC} лежат в одной плоскости, т. е компланарны.
Условием компланарности является равенство нулю определителя третьего порядка.

(прикреплено изображение)

1)
2-4sinx=0 или 2+4sinx=0
sinx=1/2 или sinx=-1/2
x=(-1)^(k)(π/6)+πk, k ∈ Z или x=(-1)^(n)(-π/6)+πn, n ∈ Z

можно объединить ответы в один
х= ± (π/3)+πm, m ∈ Z

О т в е т. ± (π/3)+πm, m ∈ Z

2)
sinx*(4sinx+1)=0
sinx = 0 или sinx =-1/4
x=πk, k ∈ Z или x=(-1)^(n)*(arcsin(-1/4))+πn, n ∈ Z

О т в е т. πk, k ∈ Z ; (-1)^(n)*(arcsin(-1/4))+πn, n ∈ Z

a=sqrt(2);
b=sqrt(3)
с^2=a^2+b^2=(sqrt(2))^2+(sqrt(3))^2=2+3=5
c=sqrt(5)
Гипотенуза прямоугольного треугольника - диаметр описанной окружности:
с=2R
R=sqrt(5)/2
V(цилиндра)=π*R^2*H=π*(5/4)*(3/π)=15/4=3,75

2π/5=72^(o)
sin(2π/5)=sin72^(o)=0,9511
cos(2π/5)=cos72^(o)=0,3090

sin(4π/5)=sin144^(o)=sin(180^(o)-36^(o))=sin36^(o)=0,5878
cos(4π/5)=cos144^(o)= - cos36^(o)= - 0,8090

sin(6π/5)=sin216^(o)=sin(180^(o)+36^(o))= - sin36^(o)= - 0,5878
cos(6π/5)=cos216^(o)= - cos36^(o)= - 0,8090

sin(8π/5)=sin288^(o)=sin(360^(o)-72^(o))= - sin72^(o)= - 0,9511
cos(8π/5)=cos288^(o)=cos72^(o)=0,3090

при k=0
z^(1/5)_(0)=cos(0)+i*sin(0)=1

при k=1
z^(1/5)_(1)=1*(cos(2π/5)+i*sin(2π/5))=0,9511+i*0,3090

при k=2
z^(1/5)_(2)=1*(cos(4π/5)+i*sin(4π/5))=0,5878-i*0,8090*

при k=3
z^(1/5)__(3)=1*(cos(6π/5)+i*sin(6π/5))=-0,5878-i*0,8090

при k=4
z^(1/5)__(4)=1*(cos(8π/5)+i*sin(8π/5))=-0,9511-i*0,3090
5 чисел
Их расположение на рисунке.
(прикреплено изображение)

(1-x)/(2-x)=((2-x)-1)/(2-x)=(2-x)/(2-x) -(1/(2-x))=1+(1/(x-2)).

lim_(x→ ∞ )(1 + (1/(x-2)))^(x-2)=e

lim_(x→ ∞ )((1-x)/(2-x))^(3-x)=

=lim_(x→ ∞ )((1 + (1/(x-2)))^(x-2))^((3-x)/(2-x))=e^(lim_(x→ ∞ )(3-x)/(2-x))=e^(-1)
О т в е т. 1/e

Ответ выбран лучшим

Так как
(ax+b)^3+(cx+d)^3=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3+c^3x^3+3c^2dx^2+3cd^2x+d^3

Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
{a^3+c^3=0 ⇒ a^3=-c^3 ⇒ a= - c
{3a^2b+3c^2d=6 ⇒a^2*(b+d)=2
{3ab^2+3cd^2=24⇒ 3a*(b^2-d^2)=24 ⇒ a*(b-d)*(b+d)=8
{b^3+d^3=26 ⇒ (b+d)*(b^2-bd+d^2)=26

a^2*(b+d)=2

⇒
a^2=1
b+d=2

a+b+c+d=(a+c)+(b+d)=0+(b+d) =0+2=2
О т в е т. 2

Обозначим сумму, которую требуется найти через S.
По формуле общего члена арифметической прогрессии:

a_(n)=a_(1)+(n-1)d

a_(443)=a_(1)+442d

17=2+442d

[b]d=15/442[/b];

Так как
(1/a_(1))-(1/a_(2))=(a_(2)-a_(1))/(a_(1)a_(2))=d/(a_(1)*a_(2));
(1/a_(2))-(1/a_(3))=(a_(3)-a_(2))/(a_(2)a_(3))=d/(a_(2)*a_(3));
...
(1/a_(442))-(1/a_(443))=(a_(443)-a_(442))/(a_(442)*a_(443))=d/(a_(442)*a_(443))

складываем
(1/a_(1))-(1/a_(443))=d* S

S=(1/d)*((1/2)-(1/17))=(442/15)*(17-2)/34=13
О т в е т. 13

Ответ выбран лучшим

log_(4)36=log_(2^2)6^2=(2/2)8log_(2)6;
2log_(2)sqrt(15)=log_(2)(sqrt(15))^2=log_(2)15;
4^((1/2)log_(2)5)=(2^(2))^((1/2)log_(2)5)=2^(log_(2)5)=5

получим:
log_(2)6+log_(2)10-log_(2)15+5=log_(2)((6*10)/15)+5=log_(2)4+5=2+5=7

Ответ выбран лучшим

log_(4)100=log_(2^2)10^2=(2/2)log_(2)10=log_(2)10;
2log_(2)sqrt(30)=log_(2)(sqrt(30))^2=log_(2)30;
3^(log_(3)4)=4

тогда

log_(4)100+log_(2)12-2log_(2)sqrt(30)+3^(log_(3)4)=

=log_(2)10+log_(2)12-log_(2)(30) +4=

=log_(2)(10*12)/(30) +4= log_(2)4+4=2+4=6

Ответ выбран лучшим

ctg5x=1/(tg5x)

lim_(x→0)(tg^22x)/(tg^25x)=lim_(x→0)(tg2x)*(tg2x))/((tg5x)*(tg5x))=
=2*2/(5*5)=4/25

Ответ выбран лучшим

f(1)=1
f(4)=f(1+3)=f(1)+1-7=1+1-7=-5;
f(7)=f(4+3)=f(4)+4-7=-5+4-7=-8
f(10)=f(7+3)=f(7)+7-7=-8

f(13)=f(10+3)=f(10)+10-7=-8+10-7=-5
f(16)=f(13+3)=f(13)+13-7=-5+13-7=1
f(19)=f(16+3)=f(16)+16-7=1+9=10

f(22)=f(19+3)=f(19)+19-7=10+19-7=22
f(25)=f(22)+22-7=37
...

{y=(π/4)-x;
{tgx*tg((π/4)-x)=5-2sqrt(6)

tg((π/4)-x)=(tg(π/4)-tgx)/(1+tgx*tg(π/4))=(1-tgx)/(1+tgx)

tgx*(1-tgx)/(1+tgx)=5-2sqrt(6);

tgx*(1-tgx)=(5-2sqrt(6))*(1+tgx);

tgx-tg^2x =5-2sqrt(6)+5tgx -2sqrt(6)*tgx
tg^2x+(4-2sqrt(6))tgx +(5-2sqrt(6))=0

D=(4-2sqrt(6))^2-4*(5-2sqrt(6))=16-16sqrt(6)+24-20+8sqrt(6)=

=20 -8sqrt(6)=4*(5-2sqrt(6))

tgx=2-sqrt(6)-sqrt(5-2sqrt(6)) или tgx = 2-sqrt(6)+sqrt(5-2sqrt(6))
x_(1) =arctg(2-sqrt(6)-sqrt(5-2sqrt(6)))+πn, n ∈ Z или x_(2)=artctg( 2-sqrt(6)+sqrt(5-2sqrt(6)))+πm, m ∈ Z
y_(1)=( π/4)-arctg(2-sqrt(6)-sqrt(5-2sqrt(6)))-πn, n ∈ Z или y_(2)=( π/4)-arctg(2-sqrt(6)+sqrt(5-2sqrt(6)))-πm, m∈ Z

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета:
x_(1)+x_(2)=a^2+4;

Так как a^2 ≥ 0, то a^2+4 ≥ 4 ⇒ наименьшее значение 4 при а=0
О т в е т. 4

{2^x=1-2y
{3y-6y^2=2^(x)*2^(-1)

3y-6y^2=(1-2y)*(1/2);

6y-12y^2=1-2y;
12y^2-8y+1=0
D=64-48=16
y_(1)=(8-4)/24=1/6 или y_(2)=(8+4)/24=1/2

2^(x)=1-2y

y_(1)=1/6
2^(x)=1-2y_(1);
2^(x)=1-2*(1/6);
2^(x)=1/3
x_(1)=log_(2)(1/3)

или
2^(x)=1-2y_(1);
2^(x)=1-2*(1/2);
2^(x)=0
уравнение не имеет корней, 2^(x) > 0 при любом х

О т в е т. (log_(2)(1/3); 1/6)

Ответ выбран лучшим

log_(6)4+log_(6)9=log_(6)4*9=log_(6)36=2;
log_(4)6=log_(2)6/log_(2)4=(log_(2)6)/2
log_(sqrt(6))2=log_(2)2/log_(2)sqrt(6)=1/log_(2)6^(1/2)=
=1/((1/2)*log_(2)6)=2/log_(2)6

log_(4)6*log_(sqrt(6))2=((log_(2)6)/2) *( 2/log_(2)6)=1
О т в е т. 2+1=3

Ответ выбран лучшим

Раскладываем знаменатели на множители:
x^2-15x+56=(x-8)*(x-7);
x^2-19x+88=(x-8)*(x-11)

Приводим дроби к общему знаменателю:
(x-11+x-7)/((x-7)*(x-8)*(x-11)) ≤ 0;

(2x-18)/((x-7)*(x-8)*(x-11)) ≤ 0;

применяем метод интервалов:

_+__ (7) __-__ (8) __+___ [9] _____-_____ (11) __+__

О т в е т. (7;8) U[9;11)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
x^2+16x+64=(x+8)^2
sqrt(x^2+16x+64)=sqrt((x+8)^2)=|x+8|
Аналогично
sqrt(x^2+4x+4)=sqrt((x+2)^2)=|x+2|

Неравенство принимает вид:
|x+8|-|x+2| ≥ 5
Решаем методом интервалов.
Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках х=-8 и х=-2.
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка
1) (- ∞;-8]
|x+8|=-x-8
|x+2|=-x-2
-x-8 -(-x-2) ≥ 5
0x ≥ 11 - неверно
Неравенство не имеет решений на (- ∞ ;-8]

2)(-8;-2)
|x+8|=x+8
|x+2|=-x-2
x+8 -(-x-2) ≥ 5
2x ≥ -5
x ≥ -2,5
множество решений при пересечении с (-8;-2) даст [-2,5;-2)
Неравенство не имеет решений на (-8 ;-2)

3) [-2;+ ∞ )
|x+8|=x+8
|x+2|=x+2
x+8 -(x+2) ≥ 5
6 ≥ 5 - верно.
Значит решением неравенства являются все x ∈ [-2;+ ∞ )
О т в е т. [-2,5;-2)U[-2;+ ∞)=[-2,5;+∞)
см. рисунок

2.
ОДЗ определяется системой:
{-1 ≤ 3x-4 ≤ 1
{2x+3 ≠ 0

{4-1 ≤ 3x ≤ 4+1
{x ≠ -3/2

{1 ≤ x ≤ 5/3
x ≠ -3/2

О т в е т. [1;5/3] (прикреплено изображение)

8.
Выражение под знаком логарифма должно быть положительно, т.е
sqrt(x^2+2x-3)>0, выражение под корнем неотрицательно, поэтому
ОДЗ определяется строгим неравенством:
x^2+2x-3 > 0
D=4-4*(-3)=16
x=(-2-4)/2=-3; x=(-2+4)/2=1
x < -3 или х > 1

О т в е т. (- ∞ ;-3)U(1;+ ∞ )

9. Непосредственная подстановка х=-1 в выражение дает неопределенность (0/0).
Чтобы ее устранить надо сократить на (x-(-1))=x+1

2x^2-3x-5=(x+1)*(2x-5)

Умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(x+17)+4)

(sqrt(x+17)-4)(sqrt(x+17)+4)= (формула (a-b)(a+b)=a^2-b^2)=
=(sqrt(x+17))^2-4^2=x+17-16=x+1

Решение.
lim_(x→-1)(2x^2-3x-5)/(sqrt(x+17)-4)=

=lim_(x→-1)(x+1)(2x-5)((sqrt(x+17)+4)/((sqrt(x+17))^2-4^2)=

=lim_(x→-1)(x+1)(2x-5)((sqrt(x+17)+4)/(x+1)= сокращаем на (х+1)=

=lim_(x→-1)(2x-5)((sqrt(x+17)+4)= (2*(-1)-5)*(sqrt(-1+17)+4)=

=-7*8=56

Ответ выбран лучшим

Раскрываем определитель:
3*0*(-4)+1*2*(x-4)+(-2)*3*(x+2) - (x-4)*0*(x+2)-3*2*3-(-2)*1*(-4) ≥- 50;
2x - 4 - 6x - 12 -18 -8 ≥ -50;
-4x ≥ -8
x ≤ 2
О т в е т. (- ∞ ; 2]

Ответ выбран лучшим

Дано:cosx= 0,99 Как найти чему равен угол x? Для этого существуют таблицы значений тригонометрических функций - таблицы Брадиса.
Таблицей можно пользоваться в двух направлениях.
Найти синус или косинус угла, например, 3^(o)42` А можно наоборот, зная значение - найти угол. На первом приложении находим в таблице число 0,99 и в правой колонке угол, косинус которого равен 0,99. Это 8^(o). В левой колонке угол, синус которого равен 0,99. Это 81^(o)+60`=82^(o) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение, параллельной данной, отличается «свободным членом» (в уравнении плоскости АВС он равен -120) см приложение
2x-3y+5z-q=0
Найдем расстояние от точки А до этой плоскости. Оно должно равняться 3,5
|2*65-3*20+5*10-q|=3,5sqrt(38) ⇒ |120-q|=3,5sqrt(38)
отсюда находим q=120-3,5*sqrt(38)
Уравнение плоскости, параллельной плоскости АВС и отстоящей на расстоянии 3,5 см=35 мм
2x-3y+5z-120+3,5sqrt(38)=0 (прикреплено изображение)

a)=(0/0)= lim_(x→2)((x-2)*(x-3))/((x-2)*(2x-7))=lim_(x→2)(x-3)/(2x-7)=
=(2-3)/(2*2-7)=1/3

б)=( ∞ / ∞ )=lim_(x→ ∞)((1/x^5)+(1/x)-3)/((1/x^6)-(6/x^5)-2) =3/2

в)=(0/0)=lim_(x→1)(sqrt(1-x^2)*sqrt(8+x^2)+3)/(x^2-1)= [x^2-1=-(1-x^2)]=

=lim_(x→1)(sqrt(1+x)*sqrt(8+x^2)+3)/(-(1+x)*sqrt(1-x))= ∞

г)
1-cos^3t=(1-cost)*(1+cost+cos^2t)
При t →0 ( 1+cost+cos^2t)→3
1-cost=2sin^2(t/2)

lim_(t→0)(2sin(t/2))*(sin(t/2))/(t - sin2t) делим и числитель и знаменатель на t

=im_(t→0)(2sin(t/2))/(t)*(sin(t/2))/(1 - (sin2t/t)) =

=1*0/(1-2)=0

10.
x=0

левосторонний предел f(-0)=tg0=0
f(0)=2*0-1=-1
правосторонний предел тоже f(+0)=2*0-1=-1
х=0 - точка разрыва первого рода.
Есть конечный скачок -1-0=-1

x=3
левосторонний предел f(3-0)=2*3-1=5
f(0)=3^2+1=10
правосторонний предел тоже f(3+0)3^2+1=10
х=3 - точка разрыва первого рода.

Есть конечный скачок 10-5=5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{a}×vector{b}=(3vector{p}+vector{q})×(vector{p}-3vector{q})=

=3vector{p}×vector{p}+vector{q}×vector{p}-9vector{p}×vector{q}-3vector{q}×vector{q}=

так как
vector{p}×vector{p}=vector{q}×vector{q}=0,
vector{p}×vector{q}=-vector{q}×vector{p}, то

получим
=-10vector{p}×vector{q}

S=|vector{a}×vector{b}|=|-10vector{p}×vector{q}|=

=10*|vector{p}|*|vector{q}|*sin ( vector{p},vector{q})=

=10*7*2*sqrt(2)/2=70sqrt(2)
О т в е т. 70sqrt(2)

ОДЗ:
cosx > 0 ⇒ x ∈ ((-π/2)+2πn; (π/2)+2πn), n ∈ Z ( 1 и 4 четверти)

log_(4)cosx=log_(2^2)(cosx)=(1/2)log_(2)cosx
log^(2)_(4)cosx=(1/4)log^(2)_(2) cosx

5(log_(2)cosx)^2+4log_(2)cosx - 1 ≤ 0
D=16-4*5*(-1)=36
корни - 1 и 1/5
(5log_(2)cosx -1)*(log_(2)cosx+1) ≤ 0
-1 ≤ log_(2) cosx ≤ 1/5
log_(2)(1/2) ≤ log_(2) cosx ≤ log_(2) 2^(1/5) ⇒
(1/2) ≤ cosx≤ 2^(1/5)
⇒
(1/2) ≤ cosx
(-π/3)+2πm ≤ x ≤ (π/3)+2πm, m ∈ Z
о т в е т.
(-π/3)+2πm ≤ x ≤ (π/3)+2πm, m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1.
(5^2)^(3-x)=5^(-1) ⇒ 5^(6-2x)=5^(-1)⇒ 6-2x=-1⇒ x=3,5
2.
(2^2)^(x-2)=2^(-1) ⇒ 2^(2x-4)=2^(-1)⇒ 2x - 4=-1⇒ x=1,5
3.
3^(x-(1/2)+x+1)=3^(0) ⇒ 3^(2x+0,5)=3^(0) ⇒ x=-1/4
4.
4^(x+1+2x-(1/2)=4^(0) ⇒ 4^(3x+0,5)=3^(0) ⇒ x=-1/6
5.
6^(x^2-2x)=6^(0) ⇒ x^2-2x = 0 x=0 или х=2 сумма 0+2=2
6.
5^(3х - x^2)=5^(0) ⇒ 3х-x^2 = 0 x=0 или х=3 сумма 0+3=3
7.
(3^(-2))^(2,5x-2)=3^(3) ⇒ 3^(-5x+4)=3^(3) ⇒ -5x+4=3 ⇒ 5x=1 ⇒ x=1/5=0,2
8.
(3^(-3))^(0,5x-1)=3^(2) ⇒ 3^(-1,5x+3)=3^(2) ⇒ -1,5x+3=1 ⇒ x=2/3
9.
(6^(-2))^(0,25x-2)=6^(1) ⇒ 6^(-0,5x+4)=6^(1) ⇒ -0,5x+4=1 ⇒ x=6
мелко написано, плохо видно, что там 0,25x-2 или нет
10.
(5^(-3))^(2x+1)=5^2 ⇒ -6x-3=2 ⇒ x=-5/6
11.
(2^(-4))^(0,5x+1)=2^(3) ⇒ -2x-4=3 ⇒ x=-3,5
12.
(2^(-5))^(0,1x-1)=2^(4) ⇒ -0,5x+5=4 ⇒ x=2
13.
5^(x)*(5+1)=30 ⇒ 5^(x)=5 ⇒ x=1
14.
3^(x)*(5*3-6)=81 ⇒ 3^(x)=9 ⇒ x=2
15.
7^(x)*(7^2-14)=5 ⇒ 7^(x)=1/7 ⇒ x=-1
16
5^(x)*(10+5)=3 ⇒ 5^(x)=1/5 ⇒ x=-1
17.
3^(x)*(3^2-1)=216 ⇒ 3^(x)=27 ⇒ x=3
18.
5^(x)*(5^2+11)=180 ⇒ 5^(x)=5 ⇒ x=1
19.
x=-1 cм. рис
20
х=1 cм. рис.
21.
(2^(3))(2x+1)>2^(-3)
Показательная функция с основанием 2 возрастает, поэтому
6x+3 > -3
x> -1
о т в е т. (-1;+ ∞)
22.
(10^2)^(2x+1) < 10^(-2)
Показательная функция с основанием 10 возрастает, поэтому
4x+2 < -2
x< -1
о т в е т. (- ∞;-1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2+2x-3 > 0
D=4-4*(-3)=16
x=(-2-4)/2=-3; x=(-2+4)/2=1
x < -3 или х > 1

О т в е т. (- ∞ ;-3)U(1;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
tg(2π-x)=-tgx
cos((3π/2)+2x)=sin2x
Так как
sin2x=2*sinx*cosx
b
sin(-π/2)=-1

уравнение принимает вид:
-tgx*(2sinx*cosx)=-1
sin^2x=1/2
cosx ≠ 0

sinx=-1/sqrt(2) ⇒ x = (-1)^(k)*(-π/4)+πk, k ∈ Z
sinx=1/sqrt(2) ⇒ x = (-1)^(n)*(π/4)+πn, n ∈ Z

Обе серии ответов можно записать в одну
x=(π/4)+(π/2)*m, m ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат корни
(π/4)+2π=9π/4;
(3π/4)+2π=11π/4;
(5π/4)+2π=13π/4

О т в е т.
a) (π/4)+(π/2)*m, m ∈ Z
б) 9π/4; 11π/4;13π/4

По формуле Байеса ( Бейса)
p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))/p(A)

р(А)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))

p(H_(1))=14/54=7/27
p(H_(2))=20/54=10/27
p(H_(3))=20/54=10/27

p(A/H_(1))=0,8
p(A/H_(2))=0,6
p(A/H_(3))=0,7

p(A)=(7/27)*0,8 + (10/27)*0,6+(10/27)*0,7=31/45

p(H_(1)/A)=(7/27)*0,8/(31/45)=28/93

Ответ выбран лучшим

vector{n}=(7;-6;9) является направляющим вектором прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку N(x_(o);y_(o);z_(o)) и с направляющим вектором vector{m}=(p;q;r) имеет вид

(x-x_(o))/p=(y-y_(o))/q=(z-z_(o))/r

О т в е т. (x-2)/7=(y+3)/(-6)=(z-5)/9

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сначала замена переменной.
x+(1/(x-a))=t
Квадратное уравнение
t^2-(a+9)t+2a*(9-a)=0
D=(a+9)^2-4*2a*(9-a)=9a^2-54a+81=9*(a^2-6a+9)=9*(a-3)^2
D>0 ⇒ уравнение имеет два корня
⇒ (a-3)^2>0 ⇒ a ≠ 3

t_(1)=((a+9)-3(a-3))/2=9-a или t_(2)=2а

Обратная замена приводит к уравнениям
1)
х +(1/(x-a))= 9-a - должно иметь два корня.
2)
х +(1/(x-a))= 2a - должно иметь два корня.
Значит дискриминант каждого уравнения положителен.
Система двух неравенств и условие a ≠ 3 приведут к ответу

Ответ выбран лучшим

x^2=2py - yравнение параболы, имеющей фокус F(0;p/2) на оси Оу,
а уравнение директрисы y=-p/2
x^2=-2py - уравнение параболы, имеющей фокусF(0;-p/2) на оси Оу,
а уравнение директрисы y=p/2.

Так как фокус в точке F(0;–3) на оси Оу|,
а уравнение директрисы y=3, то
p/2=3
p=6
О т в е т. x^2=-6y

Ответ выбран лучшим

Нормальный вектор vector{n} плоскости x-y-2z-4=0
имеет координаты (1;-1;-2)
Нормальный вектор vector{n} перпендикулярен пл x-y-2z-4=0
По условию искомая плоскость перпендикулярна пл x-y-2z-4=0
Значит, vector{n} || пл. x-y-2z-4=0
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.

Тогда векторы
vector{MO}=(x;y;z); vector{AO}=(1;-2;3) и vector{n} компланарны.

Условие компланарности - равенство нулю определителя третьего порядка составленного из координат векторов

(прикреплено изображение)

См. рис. 1
пл. α = пл Δ PKM
пл. β = пл. трапеции KFEM

МК=1
МК - средняя линия Δ АВС
∠ PNA = 30 ^(o)
∠ TND = 30^(o)
SA ⊥ пл. PKM, ∠ SPN=90^(o)

а)
ВС=2MK=2
Δ АВС - равносторонний ⇒ АВ=ВС=АС=2; AD=sqrt(3);
AO=(2/3)AD=2sqrt(3)/3;
OD=(1/3)AD=sqrt(3)/3.

Δ АРN - прямоугольный, ∠ PNA = 30 ^(o); AN=(1/2)AD=sqrt(3)/2
PN=AN*cos30^(o)=3/4

S_( Δ РКМ)=(1/2)*МК*PN=(1/2)*1*(3/4)=3/8
[b]S_(пл. α )=3/8 [/b]

б)
Δ ASО - прямоугольный, ∠ SAO=60^(o) ( это следует из прямоугольного треугольника АРN с острым углом 30^(o))

SA=AO/cos60(o)=(2sqrt(3)/3): (1/2)=4sqrt(3)/3
SO=AO*tg60^(o)=(2sqrt(3)/3)*sqrt(3)=2

Из прямоугольного Δ SDО по теореме Пифагора
SD^2=SO^2+OD^2=2^2+(sqrt(3)/3)^2=13/3

В треугольнике SAD биссектриса AQ || высоте трапеции NT
так как ∠ QAO=∠TND=30^(o) ( односторонние углы равны, прямые параллельны)

По свойству биссектрисы угла треугольника
SQ:QD=SA: AD=(4sqrt(3)/3 ): sqrt(3)=4:3

SQ=(4/7)AQ
QD=(3/7)AQ=sqrt(39)/7

Из AQD по теореме косинусов:
QD^2=AQ^2+AD^2-2AQ*AD*cos30^(o)
Получим квадратное уравнение:
AQ^2-3AQ+(108/49)=0
D=9-4*(108/49)=9/49

AQ=(3 ± (3/7))/2
[b]AQ=24/14=12/7 [/b] или AQ=9/7

NT=(1/2)AQ=[b]6/7[/b] - cредняя линия Δ AQD
QN=ND
и потому

ST:TD=(4+(3/2)):(3/2)=11 : 3

Из подобия Δ SFE и Δ SBC
FE: BC=11:14
FE=11BC/14=11*2/14=11/7

S_(трапеции KFEM)=(MK+FE)*NT/2=(1/2)*(1+(11/7))*(6/7)=54/49

[b]S_(пл β )=54/49[/b]

О т в е т.а) [b]S_(пл. α )=3/8 [/b]; б)[b]S_(пл β )=54/49[/b]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) cлучай
[b]a<0[/b]
|xy| ≥ 0 ⇒ |xy|=a не имеет решений и вся система не имеет решений

2) случай
[b]а=0[/b]

|xy| = 0 ⇒x=0; y=0- [b]одно решение[/b]

3) случай
[b]a>0[/b]
и
xy>0 ⇒ |xy|=xy

xy=a ⇒ y=a/x
подставляем в первое уравнение

(a*(a/x)+a*x+3)*((a/x)+x-a)=0

ax^2 + 3x + a^2 = 0 или x^2 - ax + a = 0

D=9-4a*a^2 или D=a^2-4a

Если оба дискриминанта положительны

{9-4a^3 >0 ⇒ a < ∛(9/4)
{a^2-4a > 0 ⇒ a ∈(-∞ ;0) U (4; +∞ )
⇒ a ∈(-∞ ;0)

но это противоречит условию случая 3) а>0

Если один дискриминант положительный, а другой отрицательный, система имеет 2 решения
{9-4a^3 >0 ⇒ a < ∛(9/4)
{a^2-4a < 0 ⇒ a ∈(0 ;4)
⇒ a∈(0 ;∛(9/4))

{9-4a^3 <0 ⇒ a > ∛(9/4)
{a^2-4a > 0 ⇒ a ∈(-∞ ;0) U (4; +∞ )
⇒ a ∈ (4; +∞ )
Итак, при a∈(0 ;∛(9/4))U(4; +∞ ) система имеет [b]два решения[/b]

Если один равен 0, а другой положителен
{9-4a^3=0 ⇒ a=∛(9/4)
{a^2-4a>0 ⇒ a ∈(-∞ ;0) U (4; +∞ )
нет таких значений а
или
{9-4a^3>0 ⇒ a< ∛(9/4)
{a^2-4a=0 ⇒ a={0;4}
4 не удовл. условию a< ∛(9/4)
a=0 не удовл. условию а >0

4) случай
[b] a>0[/b]
и
xy<0 ⇒ |xy|=-xy

-xy=a ⇒ y=-a/x
подставляем в первое уравнение

(a*(-a/x)+a*x+3)*((-a/x)+x-a)=0

ax^2 + 3x - a^2 = 0 или x^2 - ax - a = 0

D=9+4a*a^2 или D=a^2+4a

{ 9+4a^2 > 0 при любом а, то первое уравнение имеет два корня
{a^2+4a > 0 , a ∈ (-∞;-4)U(0;+∞ )
[b]4 решения cистемы [/b] c учетом a > 0 при a ∈ (0; +∞ )

{ 9+4a^2 > 0 при любом а, то первое уравнение имеет два корня
{a^2+4a < 0, т.е a ∈ (-4;0), второе уравнение не имеет корней,
система имеет [b]два решения[/b]

{9+4a^2 > 0 при любом а, то первое уравнение имеет два корня
{a^2+4a = 0, то второе уравнение имеет один корень.
Но a=0 и a=-4 противоречит условию a>0

Повторные независимые испытания с двумя исходами.

n=10 000
p=0,0006
p велико, n мало, λ =np=10 000 * 0, 0006=6
по формуле
P_(n)(k)=(λ ^(k)/k!)*e^(- λ )

При n=10 000, k=5, λ=6
P_(10 000) (5)= 6^(5)*e^(-6)/(5!)= 0,1606 ( cм. таблицу) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Перепишем:
1-x=|x-1|
Раскрываем знак модуля по определению
1)
если x ≥ 1 ⇒ |x-1|=x-1
уравнение принимает вид:
1-х=х-1
2х=2
х=1
2)
если x < 1 ⇒ |x-1|=1-x
уравнение принимает вид:
1-х=1-x
0x=0
х- любое из (- ∞ ;1)

Объединяем ответы
(- ∞ ;1}U{1}=(- ∞ ;1]

О т в е т. (- ∞ ;1]

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

y`=((x^2)`*(x^2+3)-(x^2)*(x^2+3)`)/(x^2+3)^2=

=(2x*(x^2+3)-x^2*2x)/(x^2+3)^2=6x/(x^2+3)^2

При x > 0 y`>0 ⇒ функция возрастает
При х < 0 y` < 0 ⇒ функция убывает

x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

(прикреплено изображение)

1) = (∞ / ∞ ) неопределенность, устраняем.
Делим на 3^(n+1)

=lim_(n→∞)((2/3)^(n+1) +1)/((1/3)*(2/3)^(n)+(1/3))=(0+1)/(0+(1/3)=1/(1/3)=3

(2/3)^(n+1)→0 и (2/3)^(n)→0 ( показательная функция c основанием (2/3) убывает)

2)
x→2 ⇒ x-2 → 0

Замена

x-2=t
x=(t+2)

=lim_(t→0)(tg(t+2)-tg2)/sin(ln(t+1))= применяем формулу разности тангенсов=
=lim_(t→0)sin(t+2-2)/(cos(t+2)*cost)*sin(ln(t+1)))=

=(1/cos2)*lim_(t→0)sint/sin(ln(t+1))=1/cos2

так как
(lim_(t→0)(sint/t))*(lim_(t→0)(t/sin(ln(t+1))=

=1*(lim_(t→0)(t/sin(ln(t+1))=(lim_(t→0)(t/ln(t+1))*(lim_(t→0)ln(t+1)/sin(ln(t+1))=1*1

(lim_(t→0) cos(t+2)=cos2

(lim_(t→0)cost)=cos0=1

Ответ выбран лучшим

9^(log_(3)(3+(1/sqrt(2)))=(3^2)^(log_(3)(3+(1/sqrt(2)))=3^(2*log_(3)(3+(1/sqrt(2)))=3^(log_(3)(3+(1/sqrt(2))^2=(3+(1/sqrt(2))^2=
=9+2*3*(1/sqrt(2))+(1/2)=9,5+3sqrt(2);

25^(log_(1/5)(sqrt(2))/(3sqrt(2)-1))=(5^(2))^(log_(5^(-1))(sqrt(2))/(3sqrt(2)-1))=
=5^(-2log_(5) (sqrt(2)/(3sqrt(2)-1)))=5^(log_(5) (sqrt(2)/(3sqrt(2)-1)^(-2)))=
=((3sqrt(2)-1)/sqrt(2))^2=(3-(1/sqrt(2))^2=9-2*3*(1/sqrt(2))+(1/2)=
=9,5-3sqrt(2)

3)
9,5+3sqrt(2)-(9,5-3sqrt(2))=6sqrt(2);

4) 3^(log_(5)10)=3^(log_(5)2*5)=3^(log_(5)2+log_(5)5)=
=3^(log_(5)2+1)=3^(log_(5)2)*3^(1)=3^(log_(5)2)*3

4)2^(log_(5)3sqrt(5))=2^(log_(5)3+log_(5)sqrt(5))=
=2^(log_(5)3+(1/2)log_(5)5)=2^(log_(5)3)*2^(1/2)=
=sqrt(2)*2^(log_(5)3)

Так как
2^(log_(5)3)=3^(log_(5)2),в чем можно убедиться прологарифмировав равенство по основанию 5 и применив свойство логарифма степени, то

О т в е т. 6sqrt(2)*sqrt(2)/3=4

Ответ выбран лучшим

1) (∛3)^(-1/log_(64)(1/3))=(∛3)^(-log_(1/3)64)=(∛3)^(log_(3)64)=
=(3^(1/3))^(log_(3)64)=3^((1/3)*log_(3)64)=3^(log_(3)64^(1/3))=
=3^(log_(3)4)=4

2) log_(1/25)25/(sqrt(7)-sqrt(5))=log_(5^(-2))5^2/(sqrt(7)-sqrt(5))=
=-(1/2_log_(5)(5^(2))+(1/2)log_(5)(sqrt(7)-sqrt(5))=-1log_(5)5+(1/2)log_(5)(sqrt(7)-sqrt(5))=-1+(1/2)log_(5)(sqrt(7)-sqrt(5))

3)
Так как
(sqrt(7)-sqrt(5))^2=(sqrt(7))^2-2*sqrt(7)*sqrt(5)+(sqrt(5))^2=

=7-2sqrt(35)+5=12-2sqrt(35);

log_(5)(12-2sqrt(35))=log_(5)(sqrt(7)-sqrt(5))^2=2log_(5)(sqrt(7)-sqrt(5))

(1/4)*log_(5)(12-2sqrt(35))=(1/2)*log_(5)(sqrt(7)-sqrt(5))

Остальное не понимаю, так как вначале задания есть скобка открытия , а второй скобки закрытия - нет.

a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

6^((-1/2)+log_(6)sqrt(3)/2)=6^(-1/2)*6^(log_(6)sqrt(3)/2)= sqrt(1/6)*(sqrt(3)/2)=1/(2*sqrt(2))

2^((-1/2)+log_(2)(1/2))=2^(-1/2)*(1/2)=1/(2*sqrt(2))

О т в е т. 0

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора:
|vector{s_(1)}|=sqrt(45^2-27^2)=36

По определению косинуса угла прямоугольного треугольника
cos(vector{s},vector{s_(1)})=|vector{s_(2)}|/|vector{s}|=27/45=0,6
cos(vector{s},vector{s_(2)})=|vector{s_(1)}|/|vector{s}|=36/45=0,8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как
log_(2)5=1/log_(5)2
log_(9)25=log_(3^2)5^2=(2/2)*log_(3)5
и
5^(1/log_(3)5)=5^(log_(5)3)=3

log_(225)-2*log_(2)5 -log_(2)9+ 5^(log_(5)3)=

=log_(2)225-log_(2)5^2-log_(2)9 + 3=

=log_(2) (225/(25*9))+3= log_(2)1+3=0+3=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Так как
log_(2)5=1/log_(5)2

log_(9)25=log_(3^2)5^2=(2/2)log_(3)5
и
1/log_(3)5=log_(5)3

log_(2)225-[b]2[/b]*log_(2)5-log_(2)9 + 5^(log_(5)3)=

=log_(2)225-log_(2)5^(2)-log_(2)9 + 5^(log_(5)3)=

=log_(2)(225/(5^2*9))+3=log_(2)(1)+3=0+3=3

О т в е т. 3

Cм. рисунок.
а)
Δ СMD = Δ CMD' по построению симметричной точки D' ⇒
СD=CD'
Δ СPD' = Δ CPD'' по построению симметричной точки D''⇒
СD'=CD''

СD = CD' = CD''

BС - серединный перпендикуляр к DD' ⇒
BD=BD'

Обозначим
∠ СD'D= ∠ CDD'= α
∠ CD'D'' = ∠ CD''D'= β

Проведем DK ⊥ AC;
DK || D'D''
Δ CDK - прямоугольный равнобедренный треугольник.
∠CDK =∠ KСD=45^(o)

PD'DK - прямоугольная трапеция.
Cумма углов, прилежащих к стороне DD' равна 180^(o)
∠CDK +∠ СDD'+ ∠ DD'C+ ∠ CD'D'' =180^(o) ⇒
45^(o)+ α + α + β =180^(o) ⇒
2 α + β =135^(o)

В прямоугольном треугольнике MD'D''
сумма острых углов равна 90 ^(o)

∠ DD'C+ ∠ CD'D'' + ∠ CD''D' =90^(o) ⇒
α + β+β =90^(o)

Решаем систему двух уравнений:
{2 α + β =135^(o)
{α + 2β =90^(o)

Умножаем первое уравнение на 2:
{4α + 2β =270^(o)
{α + 2β =90^(o)

Вычитаем из первого второе
3α=180^(o)
α =60^(o)

Δ СDD' - равносторонний.
BD=BD' ⇒ B - равноудалена от двух вершин равностороннего треугольника, значит равноудалена и от третьей.
BD=BD'=ВС
BD=BC и значит Δ СBD - равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть BC=x, тогда из условия задачи СD'' = x*sqrt(3)
так как в а) получено СD = CD' = CD'', то
СD= x*sqrt(3)
Так как B - равноудалена от двух вершин равностороннего Δ СDD', то BD и ВС - биссектрисы ∠ СDD' и ∠ DСD'

Значит в треугольнике АВС:
∠ АВС=60 ^(o);
∠ АСВ=105^(о)⇒
∠ BAC =15^(o)

По теореме синусов
АС: sin ∠ ABC= BC: sin ∠ BAC

BC=AC*sin15^(o)/sin60^(o)=6*sin15^(o)/(sqrt(3)/2)= 12*sin15^(o)/sqrt(3)

S_( Δ ABC)=(1/2)AC*BC*sin ∠ ACB=

=(1/2)*6*(12*sin15^(о)/sqrt(3))*sin105^(o)=[[b] sin105^(o)=cos15^(o)[/b]]

=(1/2)*6*(12*sin15^(о)/sqrt(3))*cos15^(o)=

=([b]2*sin15^(o)*cos15^(o)=sin30^(o)=1/2[/b])=

=[b]3sqrt(3)[/b]

О т в е т. б) 3sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Случайная величина ξ принимает значения 0; 1
c соответствующими вероятностями
p_(0)=0,1
p_(1)=0,9

Случайная величина η принимает значения 0; 1
c соответствующими вероятностями
p_(0)=0,2
p_(1)=0,8

Случайная величина (ξ ;η) принимает значения
(0;0) (0;1);(1;0);(1;1)
c вероятностями:
p_(0,0)=0,1*0,2=0,02
p_(0,1)=0,1*0,8=0,08
p_(1,0)=0,9*0,2=0,18
p_(1,1)=0,9*0,8=0,72

Проверка :
0,02+0,08+0,18+0,72=1

Случайна величина (ξ ;η) задана следующей таблицей: (прикреплено изображение)

решаем однородное уравнение:
y````+4y```+4y``=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^4+4k^3+4k^2=0
k^2*(k^2+4k+4)=0
k_(1,2)=0; k_(3,4)=-2

y_(общее одн)=С_(1)e^(0x)+C_(2)*x*e^(0x)+C_(3)e^(-2x)+C_(4)*x*e^(-2x)

характеристическое уравнение имеет корень х=0 кратности 2

частное решение данного неоднородного будем искать в виде похожем на правую часть, т. е. на f(x)=x-x^2 с учетом кратности корня x=0:
y_(част. неодн)=x^2*(Ax^2+Bx+C)

y_(част. неодн)=Ax^4+Bx^3+Cx^2

y`_(част. неодн)=4Ax^3+3Bx^2+2Cx

y``_(част. неодн)=12Ax^2+6Bx+2C

y```_(част. неодн)=24Ах+6B

y````_(част. неодн)=24A

подставляем в данное уравнение:

24A+4*(24Ax+6B)+4*(12Ax^2+6Bx+2C) = x - x^2

48Ax^2+(96A+24B)x+(24A+24B+8C) = x - x^2

Два многочлена равны, степени равны, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
{48A=-1 ⇒ A=-1/48
{96A+24B=1 ⇒ B= - 1/24
{24A+24B+8C=0 ⇒ C=3/16

О т в е т. y_(общее неодн.)=y_(общее одн.)+y_(част. неодн)=

=С_(1)+C_(2)*x+C_(3)e^(-2x)+C_(4)*x*e^(-2x)+x^(2)*((-x^2/48)-(x/24)+(3/16))

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x-1>0
{2x-1≠ 1⇒ х≠ 1
{3x-2>0
{9x^2-12x+4>0 - верно при любом х, кроме х=2/3
{6x^2-7x+2>0 - верно при условии 2x-1> 0 и 3x-2 > 0

х ∈ (2/3;1)U(1;+ ∞)

В условиях ОДЗ (3x-2>0 и 2x-1 >0), поэтому по свойству логарифма степени:
log_(2x-1)(9x^2-12x+4)=log_(2x-1)(3x-2)^2=2log_(2x-1)|3x-2|=
=2log_(2x-1)(3x-2)
и
по свойству логарифма произведения:
log_(2x-1)(6x^2-7x+2)=log_(2x-1)(2x-1)(3x-2)=

=log_(2x-1)(2x-1)+log_(2x-1)(3x-2)= 1+ log_(2x-1)(3x-2)

Замена переменной:
log_(2x-1)(3x-2)=t

Неравенство принимает вид:
(t^2 - 2t - 7)/(1-2-2t) ≤ 3

(t^2 - 2t - 7)/(-2t-1) - 3 ≤ 0

(t^2-2t-7-3*(-2t-1))/(-2t-1) ≤ 0

(t^2+4t-4)/(2t+1) ≥ 0

D=16+16=32
t=-2-2sqrt(2) или t=2+2sqrt(2)

Не нравится. Проверяйте условие.

Пусть х штук пряников с клубничной начинкой;
тогда (4000/х) руб. - цена пряника с клубничной начинкой.

Цена пряника с вишневой начинкой такая же, (4000/х) руб.
Стоимость пряников с вишневой начинкой:(4000/х)*60 руб.

Пряников с шоколадной начинкой заказали (х+60) штук, цена 150 руб за штуку, стоимость 150*(х+60) руб

Стоимость заказа
f(x)=4000 + (4000/x)*60 + 150*(x+60)

Исследуем функцию на экстремум.
f`(x)= - (240 000/x^2) + 150

f`(x)=0

150x^2=240 000

x^2=1600

x=40

х=40 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

f(40)= 4000 + (4000/40)*60+150*(40+60) =25 000 руб - наименьшая стоимость заказа, при этом цена пряников с фруктовой начинкой равна 4000/40=100 руб.

О т в е т. 25 000 руб; 100 руб.

Треугольник АВС - равнобедренный, значит
∠САВ=∠CBА

ED || AC ⇒ ∠EDB=∠CAB , ∠CAB =∠CBA ⇒∠EDB=∠CBA
Значит, треугольник DEB - равнобедренный

Аналогично

FD || BC ⇒ ∠FDA=∠CBF , ∠CAB =∠CBA ⇒∠FDA=∠CAB
Значит, треугольник AFD - равнобедренный

Пусть ВЕ=х, тогда СЕ=10-х

Тогда FD=CE=10-x ( противоположные стороны параллелограмма равны)
Треугольники AFD и DEB - равнобедренные
∠EDB=∠CAB

BE=DE=x
DF=AF=10-x

CF=10-(10-x)=x

Р( параллелограмма)=СF+CE+ED+DF=x+10-x+x+10-x=20
О т в е т. Р=20

Ответ выбран лучшим

Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках:
x=3
x=-5
x=3/4
Отрезку [1;6] принадлежит точка x=3

а)
Раскрываем знаки модуля на [1;3]
|x-3|=-x+3
|x+5|=x+5
|4x-3|=4x-3
y=7*(-x+3)-2*(x+5)-(4x-3)+5
y=-13x+19
Функция убывающая, значит наименьшее значение принимает в точке х=3
y(3) = - 13*3+19=-20

б)
Раскрываем знаки модуля на (3;6]
|x-3|=x-3
|x+5|=x+5
|4x-3|=4x-3
y=7*(x-3)-2*(x+5)-(4x-3)+5
y=x-23
функция возрастающая, значит наименьшее значение принимает в точке х=3
но точка 3 не входит в интервал (3;6]
О т в е т. наименьшее значение функции на отрезке [1;6]
y(3)=-20

Приводим дроби к общему знаменателю: 2cosx*(2cosx-1)

((2cosx-3)*cosx+1)/(2cosx*(2cosx-1)) = 0

Условие равенства дроби нулю:
{(2cosx-3)*cosx+1 = 0
{2cosx*(2cosx-1) ≠ 0 ⇒ cosx ≠ 0 и cosx ≠ 1/2

2cos^2x-3cosx+1=0
D=(-3)^2-4*2*1=9-8=1

cosx=1/2 или cosx=1

Так как cosx ≠ 0 и cosx ≠ 1/2
решаем уравнение
сosx=1
[b]x=2πk, k ∈ Z[/b]

б)
Указанному отрезку [-4π; -5π/2] принадлежит х=-4π

О т в е т. а) x=2πk, k ∈ Z; б) -4π

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0; x ≠ 1
{(x+1)/12x > 0 ⇒ x ∈ (- ∞ ;-1) U (0; + ∞ )
{(x+1)/12 > 0 ⇒ x > -1
{(x+1)/12 ≠ 1 ⇒ x ≠ 11
{x>0

[b]ОДЗ: х ∈ (0;1)U(1;11) U (11; + ∞ )[/b]

По свойству логарифмов:
log_(x)(x+1)/(12x)=log_(x)((x+1)/12) +log_(x)(1/x)=log_(x)((x+1)/12)-1

Замена переменной
log_(x)(x+1)/12=t
log_((x+1)/12)x=1/t

Неравенство принимает вид:

t - 1 > 2/t

(t^2 - t - 2)/t > 0

(t-2)(t+1)/t > 0

_-__ (-1) __+__ (0) __-__ (2) __+__

-1 < t < 0 или t > 2

Обратная замена

-1 < log_(x)(x+1)/12 < 0 или log_(x) (x+1)/12 > 2

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
1)
-1 < log_(x)(x+1)/12 < 0

{log_(x) (x+1)/12 > log_(x) (1/х)⇒ (x-1)*(((x+1)/12) -(1/х)) >0
{log_(x)(x+1)/12 < log_(x) 1 ⇒ (x-1)*(((x+1)/12) - 1) < 0

{(x-1)*(x^2+x-12)/(12x) >0
{(x-1)(x-11)/12 < 0

{(x-1)*(x+4)(x-3)/x >0 x < -4 или 0 < x < 1 или х >3
{(x-1)(x-11) < 0 ⇒ 1 < x< 11

C учетом ОДЗ x ∈ (3;11)

2) log_(x)(x+1)/12 > 2
log_(x)(x+1)/12 > log_(x)x^2 ⇒ (x-1)*(((x+1)/12) - x^2)>0 ⇒

(x-1)(12x^2-x-1) < 0 D=1-4*12*(-1)=49

(x-1)*(4x+1)(3x-1)<0

_-__ (-1/4) __+__ (1/3) __-_ (1) __+__

С учетом ОДЗ
x ∈ (1/3;1)

О т в е т. (1/3;1) U(3;11)

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость третьего автомобиля х км в час.
Пусть до встречи со вторым прошло t часов.

За это время третий проехал xt км,
второй проехал (60*0,5+60*t)=(30+60t) км

Уравнение:
xt=30+60t

За 1 час 15 мин =1 час 15/60=1 час 1/4=(5/4) часа
Третий автомобиль до встречи с первым проехал ((5/4)+t)*х км
Первый автомобиль проехал
80*0,5+80*((5/4)+t)=40 + 100 +80t=140+80t

Второе уравнение:
((5/4)+t)*x=140+80t

Решаем систему двух уравнений:
{xt=30+60t
{((5/4)+t)*x=140+80t

x^2 -148x + 4800 = 0

D=(-148)^2-4*4800=2704=52^2

x=(148+52)/2=100 или х=(148-52)/2=48 ( не удовл. смыслу задачи)
О т в е т. 100 км в час

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4x^2-4x+2 ≥ 0 верно при любом х, так как D=(-4)^2-4*4*2 < 0
{1+x-2x^2 ≥ 0 ⇒ 2x^2 - x - 1 ≤ 0 D=(-1)^2-4*2*(-1)=9
x_(1)=-1/2 или х_(2)=1
х ∈ [-1/2;1]

Возводим обе части уравнения в квадрат:
4x^2-4x+2=1+x-2x^2;
6x^2-5x+1=0
D=(-5)^2-4*6*1=25-24=1
x=(5-1)/12=4/12=1/3 или х=(5+1)/12=1/2
Оба корня принадлежат [-1/2;1]
Больший из них (1/2) его и указываем в ответе.
О т в е т. 1/2

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что бросают два игральных кубика.
n=36 - число исходов испытания.

событие А - " произведение выпавших очков больше или равно 10.
m=19
Событию А благоприятствуют исходы
(2;5);(2;6); (3;4);(3;5);(3;6);(4;3);(4;4);(4;5);(4;6);(5;2);(5;3);(5;4);(5;5);(5;6);(6;2);(6;3);(6;4);(6;5);(6;6)
По формуле классической вероятности:

p(А)=m/n=19/36
О т в е т. 19/36 ≈ 0,53

Ответ выбран лучшим

Умножаем на x^2
x^4 - 22x^2 -3*(21)^2=0
x^2 ≠ 0
Решаем биквадратное уравнение
t=x^2
t^2=x^4
t^2-22t-3*(21)^2=0
D=(-22)^2-4*(-3*21^2)=484+12*441=484+5292=5776=76^2
t=(22-76)/2=-27 или t=(22+76)/2=49
x^2=-27 - уравнение не имеет корней
или
x^2=49
x= ± 7
О т в е т. х= ± 7

Ответ выбран лучшим

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{x+1 >0 ⇒ x> -1
{x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0
{x-1>0 ⇒ x>1
{x+2>0 ⇒ x>-2
ОДЗ: х ∈ (1;+ ∞ )

Тогда неравенство равносильно
(х+1-1)*(х-1-1)*(х+1-1)*(х+2-1) ≤ 0
х*(х-2)*х*(х+1) ≤ 0
x^2*(x-2)*(x+1) ≤ 0
Метод интервалов:
_+__ [-1] __-___ [0] __-___[2] __+__

[-1;2]
C учетом ОДЗ
о т в е т. (1;2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ
x>0
x^2≠ 1
[b]x ∈ (0;1)U(1;+∞)[/b]

По формуле перехода к другому основанию
ln25sqrt(5)/lnx=log_(x)25sqrt(5)=log_(x)5^(2,5)=2,5log_(x)5
По свойствам логарифма:
2log_(x^2)sqrt(5)=log_(x)sqrt(5)=0,5log_(x)5

0,5log_(x)5=2,5log_(x)5-2
log_(x)5=1
x=5

х=5 удовлеторяет ОДЗ

О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное уравнение:
y``+6y`+5y=0
Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2+6k+5=0
D=36-4*5=36-20=16
k_(1)=(-6-4)/2=-5 или y_(2)=(-6+4)/2=-1
Общее решение однородного уравнения примет вид:
y_(одн.)=С_(1)e*(-5x)+C_(2)e^(-x)

Частное решение неоднородного уравнения
будем искать в виде похожем на правую часть.
Справа многочлен второго порядка f(x)=25x^2-2,
поэтому
y_(част)=Ax^2+Bx+C

y`_(част)=2Ax+B

y``_(част)=2A

подставляем в данное уравнение:

2А+6*(2Ax+B)+5*(Ax^2+Bx+C)=25x^2-2;

5Ax^2+(12A+5B)*x+(2A+6B+5C)=25x^2-2

Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при

одинаковых степенях переменной:

5А=25
12А+5B=0
2A+6B+5C=-2

А=5
B=-12
C=12

у_(част)=5x^2-12x+12

y_(общее неодн)=y_(одн)+y_(част)= С_(1)e*(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, подставляем
данные
y(0)=3
y`(0)=3

y= С_(1)e*(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12
y`=-5C_(1)e^(-5x) - C_(2)e^(-x)+10x-12
{С_(1)e*(-5*0)+C_(2)e^(0) + 5*0^2-12*0+12=3 ⇒ C_(1)+C_(2)=-9
{-5C_(1)e^(-5*0) - C_(2)e^(0)+10*0-12=3 ⇒ -5C_(1)-C_(2)=15

{C_(1)= -9 - C_(2)
{-5*(-9-C_(2)) - C_(2)=15 ⇒ 4C_(2)=-30 ⇒ C_(2)=-7,5
C_(1)=-9-(-7,5)=-1,5

О т в е т.
y= С_(1)e*(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12 - общее решение данного неоднородного уравнения
y= -1,5*e^(-5x)-7,5*e^(-x) + 5x^2-12x+12 - решение задачи Коши.
т.е. частное решение данного неоднородного уравнения, соответствующее условию y(0)=y`(0)=3

7,29 < a < 7,31
4,18 < b < 4,22
11,47=7,29+4,18 < a+b < 7,31+4,22=11,53
3,07=7,29-4,22 < a - b < 7,31-4,18=3, 13
1/3,13 < 1/(a-b) < 1/3,07
11,47*1,19 < (a+b)*c < 11,53*1,21
11,47*1,19/3,13 < x < 11,53*1,21/3,07
4,36079872 < x < 4,54439739
x=4,45 ± 0,09

4,45=(4,54+4,36)/2
0,09=(4,54-4,36)/2

{3x-5>0;
{x+1>0;
{3x-5 < x+1.

{x>5/3
{x>-1
{2x < 6 ⇒ x < 3
О т в е т. (5/3;3)

x_(o)=a_(o)
x_(1)=a_(o), a_(1)
x_(2)=a_(o), a_(1)a_(2)

x_(m)=a_(o), a_(1)....a_(m)
...
x_(n)==a_(o), a_(1)....a_(m)...a_(n)

|x_(n)-x_(m)| = 0, 00...a_(m+1)... a_(n)|

Для любых m и n достаточно больших эта разность мала.

По признаку Коши сходится.

y`+(1/x)y=-e^(-x^2)
Линейное уравнение первого порядка.
Ищем решение в виде произведения двух функций
y(x)=u(x)*v(x)
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)u*v=-e^(-x^2)
u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=-e^(-x^2)
Функцию v выбираем так, чтобы выражение в скобках было равно 0
Тогда
1) v`+(1/x)v=0 ⇒ dv/v=-dx/x ⇒ ln|v|=-ln|x| ⇒ v=1/x
2)u`*(1/x)=-e^(-x^2)
du=-xe^(-x^2)dx
u=(1/2)e^(-x^2)+C
y=u*v=(1/2)(e^(-x^2))/x + (C/x) - общее решение

у(1)=(1/2)e^(-1)+C
(1/2)e^(-1)=(1/2)e^(-1) + C ⇒ C=0
y=(1/2)(e^(-x^2))/x - частное решение

1.
АМ:МC=1/2 ⇒ λ =1/2
x_(M)=(x_(A)+ λ x_(C))/(1+ λ )=(7+(1/2)*(-3))/(3/2)=11/3
y_(M)=(y_(A)+ λ y_(C))/(1+ λ )=(0+(1/2)*7)/(3/2)=7/3
z_(M)=(z_(A)+ λ z_(C))/(1+ λ )=(-1+(1/2)*3)/(3/2)=1/3
BN:ND=2/3 ⇒ λ =2/3
x_(N)=(x_(B)+ λ x_(D))/(1+ λ )=(-6+(2/3)*2)/(5/3)=-8/5;
y_(N)=(y_(B)+ λ y_(D))/(1+ λ )=(-8+(2/3)*(-8))/(5/3)=-8
z_(N)=(z_(B)+ λ z_(D))/(1+ λ )=(-5+(2/3)*3)/(5/3)=-1/5

vector{MN}=((-8/5)-(11/3); -8-(7/3); (-1/5)-(1/3))=(-79/15; -31/3; -8/15)
2.
vector{AC}=(-3-7;7-0;3-(-1))=(-10;7;4)
|vector{AC}|=sqrt((-10)^2+7^2+4^2)=sqrt(165)
3.
vector{BD}=(2-(-6);-8-(-8);3-(-5))=(8;0;8)
|vector{BD}|=8sqrt(2)
сos α =8/8sqrt(2)=1/sqrt(2)
cos β=0
cos γ 8/8sqrt(2)=1/sqrt(2)

4.
vector{AB}=(-13;-7;-4)
vector{DA}=(5;8;-4)

vector{AB}*vector{DA}=(-13)*5+(-7)*8+(-4)*(-4)=-65-56+16=-105

5.
пр_(vector{CA})(vector{BD}=|vector{BD}|*cos(vector{CA},vector{BD})=

=(vector{CA}*vector{BD})/|vector{CA}|=

=(10*8+(-7)*0+4*8)/sqrt(165)=128/sqrt(165)

6.
vector{BC}=(-3-(-6);7-(-8);3-(-5))=(3;15;8)
|vector{BC}|=sqrt(3^2+15^2+8^2)=sqrt(298)
vector{AD}=-vector{DA}=(-5;-8;4)
|vector{BC}|=sqrt((-5)^2+(-8)^2+4^2)=sqrt(105)

cos(vector{BC},vector{AD})=(vector{BC}*vector{AD})/(|vector{BC}|*|vector{AD}|)=

=(3*(-5)+15*(-8)+8*4)/(sqrt(298)*sqrt(105))=-103/(sqrt(298)*sqrt(105))

7.vector{СB}=(-3;-15;-8)
vector{ВA}=(13;7;4)
далее см приложение

8.
vector{AB}=(-13;-7;-4)
vector{AC}=(-10;7;4)

далее см. приложение (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если уравнение директрисы у=p/2, то уравнение параболы x^2=2py

y=3/2;
3/2=p/2 ⇒ p=3
x^2=-2py
x^2=-6y - уравнение параболы

(6+2i)-(-3-4i)=6+2i+3+4i=(6+3)+(2i+4i)=9+6i
(2-3i)-(1-2i)=2-3i-1+2i=(2-1)+(2i-3i)=1-i
(3-2i)*(-1-i)=3*(-1)-2i*3+3*(-i)-2i*(-i)=-3-6i-3i+2i^2=-3-6i-3i-2=-5-9i
(3-2i)*(2-i)*(1+4i)=(3*2-2i*2+3*(-i)-2i*(-i))*(1+4i)= (6-4i-3i-2)*(1+4i)=
=(4-7i)*(1+4i)=4*1-7i*1+4*4i-7i*(4i)=4-7i+16i-28i^2=4-7i+16i+28=
=32+9i

vector{A_(1)A_(2)}=(4-(-1); -1-2; 0-(-3))=(5;-3;3)
vector{A_(1)A_(3)}=(2-(-1); 1-2; -2-(-3))=(3;-1;1)
vector{A_(1)A_(4)}=(3-(-1); 4-2; 5-(-3)) =(4;2;8)
(прикреплено изображение)

1.
Так как tg α+2ctg2α=ctgα,то

2tgx+4ctg2x=2ctgx

tg(x/2)+2ctgx=ctg(x/2)

Уравнение примет вид:

ctg(x/2)=ctg3x
cos(x/2)/sin(x/2)-(cos(3x))/(sin(3x))=0
cos(x/2)*sin(3x)-sin(x/2)*cos3x=0
sin(x/2) ≠0
sin3x ≠0

sin((3x)-(x/2))=0
sin(5x/2)=0
(5x/2)=πk, k ∈ Z
x=(2/5)πk, k ∈ Z
x ≠2πn, n ∈ Z
x ≠(1/3)πm, m ∈ Z

О т в е т. x=(2/5)πk, k ∈ Z, но
x ≠2πn, n ∈ Z
x ≠(1/3)πm, m ∈ Z

2.
в условии опечатка, знака + не должно быть.

sin^6 α+cos^6 α =(sin^2 α)^3 +(cos^2 α)^3=

=(sin^2 α +cos^2 α )*(sin^4 α -sin^2 α cos^2 α +cos^4 α )=

=1*(sin^4 α -sin^2 α cos^2 α +cos^4 α )=

1-(sin^6 α +cos^6 α )=1-(sin^4 α -sin^2 α cos^2 α +cos^4 α )=

=1-sin^4 α +sin^2αcos^2 α -cos^4α=

=(1-sin^2 α )*(1+sin^2 α )+cos^2 α *(sin^2 α-cos^2α)=

=cos^2 α *(1+sin^2 α )+cos^2 α *(sin^2 α -cos^2 α)=

=cos^2 α *(1+sin^2 α +sin^2 α -cos^2 α )=

=cos^2 α *(sin^2+sin^2 α +(1-cos^2 α))=

=cos^2 α *3sin^2 α

левая часть равна правой, тождество доказано.

1.
Сумма смежных углов 180 градусов, если один 159 градусов, то второй
180 градусов - 159 градусов = 21 градусов
2.
Пусть один угол х, второй (х+49).
Сумма смежных углов равна 180 градусов
х + (х+49)= 180
2х+49 = 180
2х=131
х=65,5 градусов
х+46=65,5+49=114,5 градусов.

3
Сумма смежных углов 180 градусов, если один 83 градусов, то второй
180 градусов - 83 градусов = 97 градусов

Вертикальные углы равны между собой.
Значит два угла по 83 градусов и два угла по 97 градусов.
См. рис.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{a}×vector{b}=(7vector{p}-2vector{q})×(vector{p}+3vector{q})=

=7vector{p}×vector{p}-2vector{q}×vector{p}+21vector{p}×vector{q}-6vector{q}×vector{q}=

так как
vector{p}×vector{p}=vector{q}×vector{q}=0,
vector{p}×vector{q}=-vector{q}×vector{p}, то

=23vector{p}×vector{q}

S=|vector{a}×vector{b}|=|23vector{p}×vector{q}|=

=23*|vector{p}|*|vector{q}|*sin ( vector{p},vector{q})=

=23*(1/2)*2*1=23
О т в е т. 23

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

vector{x}=(x_(1);x_(2);x_(3)}
Координаты коллинеарных векторов пропорцинальны
x_(1):2=x_(2):(-4)=x_(3):4=k

x_(1)=2k
x_(2)=-4k
x_(3)=4k

|vector{x}|=sqrt((x_(1))^2+(x_(2))^2+(x_(3))^2)=

=sqrt((2k)^2+(-4k)^2+(4k)^2)=

=sqrt(36k^2)=6*|k|

По условию:
|vector{x}|=60

6*|k|=60
|k|=10

k= ± 10

при k=10
vector{x}=(20;-40;40} - этот вектор образует острый угол с осью Ох
cos α =x_(1)/|vector{x}|=20/60=1/3

при k= - 10
vector{x}=(- 20;40; -40} - этот вектор образует тупой угол с осью Ох
cos α =x_(1)/|vector{x}|=-20/60=- 1/3

О т в е т. vector{x}=(- 20;40; -40}

Ответ выбран лучшим

По формуле включений и исключений:

N-n(A)-n(B)-n(C)+n(A∩ B) +n(A∩C)+n(B∩C)-n(A∩B∩C)=

= 10 000 - 3 333 - 2 500 - 526 + 666+175+105 - 35 = 4 552 числа

N=10000
A- числа делящиеся на 3; n(A)=3 333
B- числа делящиеся на 5; n (B) = 2 500
С - числа делящиеся на 19; n (C) = 526
A ∩ B- числа делящиеся и на 3 и на 5; n(A∩ B)=666
A ∩ C- числа, делящиеся и на 3 и на 19 ; n (A ∩ C)=175
B ∩ C - числа, делящиеся и на 5 и на 19 ; n (A ∩ C)=105
A ∩ B ∩ C- числа, делящиеся и на 3 и на 5 и на 19; n (A ∩ B ∩ C)=35

Делится на 3 каждое третье
10 000: 3 = 3 333 числа

На 12 делятся те, которые одновременно делятся и на 3 и на 4
Поэтому если число не делится на 3, то оно точно не делится и на 12.

На 5 делится каждое пятое
10 000 : 5=2 000 чисел

На 19 делится каждое девятнадцатое
10 000 : 19 =526

На 3 и 5 делятся:
10 000 : 15=666 чисел

На 3 и 19 делятся
10 000 : 57=175

На 5 и 19 делятся
10 000 :95= 105 чисел

На 3;5 и 19 делится
10 000 : 285= 35 чисел

(прикреплено изображение)

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=(x^2-4)`*(x+3)+(x^2-4)*(x-3)`=2x*(x+3)+(x^2-4)*1=
=3x^2+6x-4
y`=0
3x^2+6x-4=0
D=36-4*3*(-4)=36+48=84=(2sqrt(21))^2
x_(1)=(-6-2sqrt(21))/6 или х_(2)=(-6+2sqrt(21))/6
х_(1)=(-3-sqrt(21))/3 или х_(2)=(-3+sqrt(21))/3

Исследуем знак производной

___+__ (x_(1)) ______-_____ ( x_(2)) ___+___

Функция возрастает на ( -∞; х_(1)) и на ( х_(2);+ ∞ )
убывает на (х_(1);х_(2))

х_(1)- точка максимума, производная меняет знак с + на -
х_(2)- точка минимума, производная меняет знак с - на +

y``=(3x^2+6x-4)`=6x+6
y``=0
6x+6=0
x=-1 - точка перегиба, вторая производная меняет знак
__-__ (-1) __+__
на (- ∞;-1) кривая выпукла вверх
на (-1;+ ∞ ) кривая выпукла вверх.

(прикреплено изображение)

10 м = 1000 см
11м=1100 см

Пусть длина планки равна х см
9х < 1000 ⇒ x < 111,1 см
10x > 1100 ⇒ x > 110 cм

x=111 cм

О т в е т. 111 см

Р(2;2;1;1)=6!/(2!*2!)=180 перестановок цифр, числа А
Сосчитаем те, в которых две одинаковые цифры идут рядом.
Свяжем каждую пару вместе. Получим четыре набора [b]3[/b] и [b]6[/b] двойные, и 2 и 5
Из четырех предметов можно сделать 4!=24 перестановок
О т в е т. 180 - 24 = 156 перестановок

Первый вариант
Три места из восьми можно выбрать С^(3)_(8)=8!/(3!*5!)=56 способами.
Оставшиеся пять мест можно занять Р_(5)=5! способами.
По правилу умножения ( нужен выбор и мест и размещения пяти предметов)
56*120 способов.
Аналогично
второй вариант
Четыре места из восьми можно выбрать С^(4)_(8)=8!/(4!*4!)=70 способами.
Оставшиеся четыре места можно занять Р_(4)=4!=24 способами
По правилу умножения ( нужен выбор и мест и размещения пяти предметов)
70*24 способов.
По правилу сложения ( выбор или первого варианта или второго)
56*120+70*24=8400 перестановок

В разложении (10+1)=11 слагаемых

k-ый член бинома ( k+1-е слагаемое ) имеет вид

T_(k)=C^(k)_(10)*(3,5)^(k)*(sqrt(11))^(10-k)

Согласно условия задачи: T_(k) - наибольший член разложения.
Значит должны выполняться условия:
T_(k) > T_(k-1)
и
T_(k) > T_(k+1)

{C^(k)_(10)*(3,5)^(k)*(sqrt(11))^(10-k) >C^(k-1)_(10)*(3,5)^(k-1)*(sqrt(11))^(10-k+1)
{C^(k)_(10)*(3,5)^(k)*(sqrt(11))^(10-k) >C^(k+1)_(10)*(3,5)^(k+1)*(sqrt(11))^(10-k-1)

{(10!/(k!*(10-k)!))*(3,5)^k*(sqrt(11))^(10-k) > (10!/((k-1)!*(10-k+1)!))*(3,5)^(k-1)*(sqrt(11))^(10-k+1)
делим обе части равенства на 10!*(3,5)^(k-1)*sqrt(11)^(10-k)/((k-1)!*(10-k)!)
{(10!/(k!*(10-k)!))*(3,5)^k*(sqrt(11))^(10-k) > (10!/((k+1)!*(10-k-1)!))*(3,5)^(k+1)*(sqrt(11))^(10-k-1)
делим обе части равенства на 10!*(3,5)^(k)*sqrt(11)^(10-k-1)/(k!*(10-k-1)!)
{7/(2k) > 2(sqrt(5)/(7*(10-k+1)) ⇒ k < 77/(7+2sqrt(11))
{sqrt(11)/(10-k) > 7/(2k+2)⇒ k> (70-2sqrt(11))/(7+2sqrt(11))

(70-2sqrt(11))/(2sqrt(11)+7)< k< 77/(2sqrt(11)+7)

умножаем дроби слева и справа на (7- 2sqrt(11)) и числитель и знаменатель и получаем неравенство для k

(70-2sqrt(11))(7-2sqrt(11)/(7^2-(2sqrt(11))^2)< k< 77*(7-2sqrt(11))/(7^2-
(2sqrt(11))^2)

(534 - 154sqrt(11))/5 < k < (539-154sqrt(11)/5

k=5

О т в е т. C^(5)_(10)*(3,5)^5*(sqrt(11))^(5)=16014970,1*sqrt(11)

(x*(2-x^2+x^6))^(19)=x^(19)*(2-x^2+x^6)^(19)
Теперь достаточно найти коэффициент при x^(38)
второго множителя
(2-x^2+x^6)^(19)
см. приложение.

Осталось сосчитать слагаемые в последнем столбце таблицы.
2^2 можно вынести за скобки

(прикреплено изображение)

Точка (1;1;1) принадлежит только прямой Г: x+y-2z=0
Подставляем ее координаты во все уравнения и только
в последнем получаем верное равенство
1+1-2=0 - верное равенство

Ответ выбран лучшим

С^(y+2)_(x)=x!/((y+2)!*(x-y-2)!);
С^(y+1)_(x)=x!/((y+!)!*(x-y-1)!);
С^(y)_(x)=x!/((y)!*(x-y)!);

С^(y+2)_(x):С^(y+1)_(x):С^(y)_(x)=42:35:20 ⇒
С^(y+2)_(x):С^(y+1)_(x)=42:35⇒(x-y-1)/(y+2)=42/35
С^(y+1)_(x):С^(y)_(x)=45:20⇒ (x-y)/(y+1)=35/20

Система:
{(x-y-1)/(y+2)=42/35⇒ 5x-5y-5=6y+12 ⇒ 5x=11y+17
{(x-y)/(y+1)=35/20 ⇒ 4x-4y=7y+7 ⇒ 4x=11y+7

(11y+187/5=(11y+7)/4
y=3
x=10

В разложении (13+1)=14 слагаемых

k-ый член бинома ( k+1-е слагаемое ) имеет вид

T_(k)=C^(k)_(13)*(sqrt(5))^(k)*(2^(13-k))

Согласно условия задачи T_(k) - наибольший член разложения.
Значит должны выполняться условия:
T_(k) > T_(k-1)
и
T_(k) > T_(k+1)

{C^(k)_(13)*(sqrt(5))^(k)*2^(13-k) >C^(k-1)_(13)*(sqrt(5))^(k-1)*2^(13-k+1)
{C^(k)_(13)*(sqrt(5))^(k)*2^(13-k)>C^(k+1)_(13)*(sqrt(5))^(k+1)*2^(13-k-1)

{1/k > 2/(sqrt(5)*(13-k+1) ⇒ k < 14sqrt(5)/(sqrt(5)+2)
{1/(13-k) > sqrt(5)/(2k+2)⇒ k> (13sqrt(5)-2)/(sqrt(5)+2)

(13sqrt(5)-2)/(sqrt(5)+2)< k < 14sqrt(5)/(sqrt(5)+2)

умножаем дроби слева и справа на (sqrt(5)-2) и числитель и знаменатель и получаем неравенство для k

69-28sqrt(5) < k < 70-28 sqrt(5);

k=7

О т в е т. C^(7)_(13)*(sqrt(5))^7*2^(6)=13278000*sqrt(5)

Ответ выбран лучшим

(x^2/4)+(y^2/4)-(z^2/4)=1 - однополостный гиперболоид
a=2
b=2
c=2

y=3 - плоскость, параллельная плоскости xOz
и проходящая через точку (0;3;0)

Сечение такое как на картинке справа, только обратите внимание как расположена ось Оу (прикреплено изображение)

14 букв, 7 гласных, 7 согласных

Пусть гласные на нечетных местах
a_е_е_и_и_и_о_
7 согласных на 7 мест с повторения можно разместить 7!/(3!*2!*1!*1!)=420 способами.

Пусть гласные на четных местах
_a_е_е_и_и_и_о
7 согласных на 7 мест с повторения можно разместить 7!/(3!*2!*1!*1!)=420 способами.

О т в е т. 420+420=840 "слов"

Ответ выбран лучшим

Проверяем какой ответ, если сложить два, три, четыре слагаемых

C^(1)_(n+1)=1+n
C^(1)_(n+1) - 2C^(2)_(n+1)= (1+n)*(1-n)
C^(1)_(n+1) - 2C^(2)_(n+1)-3C^(3)_(n+1)=(1+n)*(1-n)(2-n)/2
C^(1)_(n+1) - 2C^(2)_(n+1)-3C^(3)_(n+1)+4C^(4)_(n+1)=(1+n)*(1-n)(2-n)(3-n)/3!

...
О т в е т. (1+n)*(1-n)*(2-n)*(3-n)*...(n-n)/n!=0
так как
n-n=0 (прикреплено изображение)

С^(y+1)_(x)=x!/((y+1)!*(x-y-1)!);
С^(y)_(x)=x!/((y)!*(x-y)!);
С^(y-1)_(x)=x!/((y-1)!*(x-y+1)!);

С^(y+1)_(x):С^(y)_(x):С^(y-1)_(x)=72:45:20 ⇒
С^(y+1)_(x):С^(y)_(x)=72:45⇒(x-y)/(y+1)=72/45
С^(y)_(x):С^(y-1)_(x)=45:20⇒ (x-y+1)/y=45/20

Система:
{(x-y)/(y+1)=72/45⇒ 5x-5y=8y+8 ⇒ 5x=13y+8
{(x-y+1)/y=45/20 ⇒ 4x-4y+4=9y ⇒ 4x=13y-4

(13y+8)/5=(13y-4)/4
y=4
x=12

(прикреплено изображение)

1.vector{a}=(3;–1;–2); vector{b}=(1;2;–1).

1)vector{a}·vector{b}=3*1+(-1)*2+(-2)*(-1)=3-2+2=3

2)vector{2a}=(6;-2;-4)
vector{2a}+vector{b}=(6+1;-2+2;-4+(-1))=(7;0;-5)

(vector{2a}+vector{b})·vector{b}=7*1+0*2+(-5)*(-1)=7+0+5=12

3)
vector{2a}-vector{b}=(6-1;-2-2;-4-(-1))=(5;-4;-3)
(vector{2a}-vector{b})·(vector{2a}+vector{b)= 5*7+(-4)*0+(-3)*(-1)=
=35+0+3=38

2.
vector{AB}=(3-1;0-2;3-0)=(2;-2;3)
vector{AC}=(5-1;2-2;6-0)=(4;0;6)

S_(Δ АВС)=(1/2) | vector{AB}×vector{AC}|=

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A ∪ B=(-6;5]
A ∩ B=(-2;-1]
A\B=(-6;-2]
A×B={(x;y)| -6 < x ≤ -1; -2<y ≤ 5} - cм. рис. (прикреплено изображение)

(A ∩ B) Δ C= ((A ∩ B) \ С) U ( C \ (A ∩ B)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1) cлучай
[b]a<0[/b]
|xy| ≥ 0 ⇒ |xy|=a не имеет решений и вся система не имеет решений

2) случай
[b]а=0[/b]

|xy| = 0 ⇒x=0; y=0- [b]одно решение[/b]

3) случай
[b]a>0[/b]
и
xy>0 ⇒ |xy|=xy

xy=a ⇒ y=a/x
подставляем в первое уравнение

(a*(a/x)+a*x+3)*((a/x)+x-a)=0

ax^2 + 3x + a^2 = 0 или x^2 - ax + a = 0

D=9-4a*a^2 или D=a^2-4a

Если оба дискриминанта положительны

{9-4a^3 >0 ⇒ a < ∛(9/4)
{a^2-4a > 0 ⇒ a ∈(-∞ ;0) U (4; +∞ )
⇒ a ∈(-∞ ;0)

но это противоречит условию случая 3) а>0

Если один дискриминант положительный, а другой отрицательный, система имеет 2 решения
{9-4a^3 >0 ⇒ a < ∛(9/4)
{a^2-4a < 0 ⇒ a ∈(0 ;4)
⇒ a∈(0 ;∛(9/4))

{9-4a^3 <0 ⇒ a > ∛(9/4)
{a^2-4a > 0 ⇒ a ∈(-∞ ;0) U (4; +∞ )
⇒ a ∈ (4; +∞ )
a∈(0 ;∛(9/4))U(4; +∞ ) система имеет [b]два решения[/b]

Если один равен 0, а другой положителен
{9-4a^3=0 ⇒ a=∛(9/4)
{a^2-4a>0 ⇒ a ∈(-∞ ;0) U (4; +∞ )
нет таких значений а
или
{9-4a^3>0 ⇒ a< ∛(9/4)
{a^2-4a=0 ⇒ a={0;4}
4 не удовл. условию a< ∛(9/4)
a=0 не удовл. условию а >0

4) случай
[b] a>0[/b]
и
xy<0 ⇒ |xy|=-xy

-xy=a ⇒ y=-a/x
подставляем в первое уравнение

(a*(-a/x)+a*x+3)*((-a/x)+x-a)=0

ax^2 + 3x - a^2 = 0 или x^2 - ax - a = 0

D=9+4a*a^2 или D=a^2+4a

Так как 9+4a^2 > 0 при любом а, то первое уравнение имеет два корня, значит и система имеет два решения.

Если a^2+4a < 0, т.е a ∈ (-4;0), второе уравнение не имеет корней, система имеет [b]два решения[/b]

Если
a^2+4a > 0 , то и второе уравнение имеет два корня.
Всего [b]4 решения[/b] c учетом a > 0 при a ∈ (0; +∞ )

Если
a^2+4a = 0, то второе уравнение имеет один корень.
Но a=0 и a=-4 противоречит условию a>0

Ответ выбран лучшим

1/3 урока это (1/3)*45 мин=(45/3) мин= 15 мин

1/5 урока это (1/5)*45 мин=(45/5) мин= 9 мин

1/9 урока это (1/9)*45 мин=(45/9) мин= 5 мин

1/45 урока это (1/45)*45 мин=(45/45) мин= 1 мин

а) Внутренность круга: (x-1)^2+(y+1)^2 < 4 c центром в точке
(1;-1) и радиусом 2

-1 ≤ x-y-1 ≤ 1
полоса между прямыми
x-y-1=-1 ⇒ y=x
x-y-1=1 ⇒ y=x-2
см. рис. 1

б) Внутренняя часть параболы y = - x^2 + 3x

и

полосы между параллельными прямыми
y= -2x+2πk и y = -2x + π+2πk , k ∈ Z

Так как
sin(2x+y) ≥ 0 ⇒ 2πk ≤ 2x + y ≤ π+2πk , k ∈ Z

⇒
-2x+2πk ≤ y ≤ -2x + π+2πk , k ∈ Z

в)
(x - y - 1)(2x - y) >0 ⇒
{x-y-1>0;
{2x-y>0

или

{x-y-1 <0
{2x-y < 0

Две области
см. рис. 3

При этом
для любого a
(x;y) не должны принадледжать окружностям
c центром (0;-1)
x^2+(y+1)^2=9-a^2
и радиусом R=sqrt(9-a^2)
(9-a^2 ≥ 0 ⇒ а ∈ [-3;3] )

и найдется хотя бы одно b такое, что x^2-x+b^2=2 ⇒
x^2-x=2-b^2
x*(x-1)=2-b^2
c этим не знаю что делать (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: sinx >0 ⇒ x ∈ (2πk; π+2πk) , k ∈ Z

так как
log_(4)(sinx)^3=3log_(4)sinx=3log_(2^2)sinx=(3/2)log_(2)sinx
log^2_(4)(sinx)^3=((3/2)log_(2)sinx)^2=(9/4)log^2_(2)sinx

Замена:
log_(2)sinx=t

9t^2+8t-1 ≥0
D=64^2-4*9(-1)=64+36=100
t_(1)=(-8-10)/18=-1 или t_(2)= (-8+10)/18=1/9

t ≤ -1 или t ≥ 1/9

log_(2)sinx ≤ -1 или log_(2) sinx ≥ 1/9

sinx ≤ 1/2 или sinx ≥ 2^(1/9) - не имеет решений, 2^(1/9) > 1

а |sinx|≤1

C учетом ОДЗ
(2πn;(π/6)+2πn]U[5π/6)+2πn;π+2πn), n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin ∠ BAC=?
По определению
sin ∠ BAC=ВС/АВ
АВ=BC/sin ∠ BAC=4,5/?

По теореме Пифагора

AC^2=AB^2-BC^2

S( Δ)=(1/2)BC*AC

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx
dy=(2^(x+y)+2^(x-y))dx - уравнение с разделяющимися переменными

dy=2^(x)*(2^(y)+2^(-y))dx;
делим обе части уравнения на (2^(y)+2^(-y))=((2^y)^2+1)/2^(y)

dy/(2^(y)+2^(-y))=2^(x)dx
2^(y)dy/((2^(y))^2+1)=2^(x)dx
интегрируем:

∫ 2^(y)dy/((2^(y))^2+1) = 2^(x)dx

arctg(2^(y))=(2^(x)/ln2) + C - общее рещение дифференциального уравнения
при х=0 y=0

arctg(2^(0))=2^(0)/ln2 + C
arctg 1 =(1/ln2) + C
C= (π/4)*ln2

arctg(2^(y))=(2^(x)/ln2) + (π/4)*ln2 - частное решение
дифференциального уравнения

Ответ выбран лучшим

9.
sin^2 α +cos^2 α =1 ⇒ sin^2 α =1-cos^2 α=1-(0,8)^2=0,36

sin α =-0,6 ( так как π < α < 2π, это 3 или 4 четверть), синус имеет знак -
sin2 α =2sin α *cos α =2*(-0,6)*0,8=-0,96

11.
Пусть у папы было х руб.
(1/5)х руб. стоил первый букет.
х-(1/5)х=(4/5)х руб осталось

(3/7)*(4/5)х=(12/35)х руб. стоил второй букет
(4/5)х - (12/35)х=(16/35)х руб. - остаток после второй покупки

(3/5)*(16/35)х=(48/175)х руб - стоил третий букет
(16/35)х руб. - (48/175)х руб.=(32/175)х руб. - остаток после третьей покупки

По условию
(32/175)х руб. это 192 руб.

(32/175)x=192
x=1050
О т в е т. 1050 руб. было

12
x^2-12x+55>0 при любом х, так как D=(-12)^2-4*55 <0

y`=((x^2-12x+55)^(-1/2))`=(-1/2)(x^2-12x+55)^((-1/2)-1)*(x^2-12x+55)`=-(3/2)(2x-12)/sqrt((x^2-12x+55)^3)=

=-3(x-6)/sqrt((x^2-12x+55)^3)

y`=0

x-6=0
x=6
x=6- точка максимума, так как производная меняет знак с + на -

ОДЗ:
{3x-9>0 ⇒ 3x > 9 ⇒ x > 3
{2x-1>0 ⇒ 2x>1 ⇒ x > 1/2

Разность логарифмов заменим логарифмом частного

log_(2)(3x-9)/3=log_(2)(2x-1)
(3x-9)/3=2x-1;
3x-9=6x-3
3x-6x=-3+9
-3x=6
x=-2
-2 не входит в ОДЗ
О т в е т. уравнение не имеет корней.

1
1)
z_(1)+z_(2)=(-3+3sqrt(3)*i)+(2+2*i)=(-3+2)+(3sqrt(3)+2)*i=-1+(3sqrt(3)+2)*i;

2)
z_(1)-z_(2)=(-3+3sqrt(3)*i)-(2+2*i)=(-3-2)+(3sqrt(3)-2)*i=-5+(3sqrt(3)-2)*i;

3) z_(1)*z_(2)=( - 3 + 3sqrt(3)*i)*(2 +2 *i)=
= - 6 + 6sqrt(3)*i -6*i + 6sqrt(3)*i^2=
=(так как i^2=-1)=
= - 6 + 6sqrt(3)*i - 6*i - 6sqrt(3)=
=(-6sqrt(3)-6)+(6sqrt(3)-6)*i

4) z_(1)/z_(2)=(-3+3sqrt(3)*i)/(2+2*i) ( умножаем и числитель и знаменатель на (2-2*i))
=(-3+3sqrt(3)*i)*(2-2*i)/(2+2*i)*(2-2*i)=

=(-6+6sqrt(3)*i+6*i+6sqrt(3)*i^2)/(4 -4* i^2)=

=((-6-6sqrt(3))+(6sqrt(3)+6)*i)/(4+4)=

=(1/4)*(- 3 -3 sqrt(3)) + (3sqrt(3) +3)*i

5) z^2_(1)=(z_(1))^2=(- 3 + 3sqrt(3)*i)^2=

=9 - 18sqrt(3)*i + 27*i^2=

=9 - 18sqrt(3)*i - 27=

=-18 -1 8 sqrt(3)*i

vector{z_(2)}=2-2i

z^2_(1)*vector{z_(2)}= ( - 18 - 18sqrt(3)*i)*(2 -2 i) =

= - 36 -36*sqrt(3)*i +36*i +36*sqrt(3)*i^2=

= - 36 -36*sqrt(3)*i +36*i -36*sqrt(3)=

= (-36-36sqrt(3)) + (36-36sqrt(3))*i

2.
1)
z_(1)=(-3+3sqrt(3)*i)

|z_(1)|=sqrt((-3)^2+(3sqrt(3))^2)=sqrt(9+27)=sqrt(36)=6
argz_(1)=phi

sin(phi)=y/|z_(1)|=3sqrt(3)/6=sqrt(3)/2
cos(phi)=x/|z_(1))=-3/6=-1/2
phi=2π/3

z_(1)=6*(cos(2π/3)+i*sin(2π/3))

Аналогично

|z_(2)|=sqrt(2^2+2^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)

argz_(2)=ψ

sinψ=y/|z_(2)|=1/sqrt(2)
cosψ=x/|z_(2))=1/sqrt(2)
ψ=π/4

z_(2)=2sqrt(2)*(cos(π/4)+i*sin(π/4))

Применяем формулу Муавра (cм. приложение)
a)
z^(3)_(1)=6^2(cos3*(2π/3)+i*sin3*(2π/3))=36*(cos(2π)+i*sin(2π))=36(1+0*i)=36
z^(4)_(2)=(2sqrt(2))^4*((cos4*(π/4)+i*sin4*(π/4))=
=64*(cosπ+i*sinπ)= -6 4*(-1+0*)=-64

z^(3)_(1)*z^(4)_(2)=36*(-64)=-3304

б)
z^(5)_(1)=6^5(cos5*(2π/3)+i*sin5*(2π/3))=
=7776*(cos(10π/3)+i*sin(10π/3))=
=7776*((-1/2)+i*(-sqrt(3)/2)=-3888-i*3888sqrt(3)

z^(3)_(2)=(2sqrt(2))^3*((cos3*(π/4)+i*sin3*(π/4))=
= 16sqrt(2)*(cos(3π/4)+i*sin(3π/4))= 16sqrt(2)*(-sqrt(2)/2)+i*(sqrt(2)/2)=
=-16+16i*

z^(5)_(1)/z^(3)_(2)=(-3888-i*3888sqrt(3))/(-16+16*i))=

сокращаем на 16 и умножаем
и числитель и знаменатель на
(-1-i)

=(-243-i*243sqrt(3))*(-1-i)/(-1-1)=

=(-1/2)*(243-243sqrt(3))+(-1/2)*(243+243sqrt(3))

в)

z^(1/4)_(2)=(2sqrt(2))^(1/4)*cos(((π/4)/4)+(πk/2))+i*sin((((π/4)/4)+(πk/2))

k=0,1,2,3

при k=0
(z^(1/4)_(2))_(0)=2^(3/8)*(cos(π/16)+i*sin(3π/16))

при k=1
(z^(1/4)_(2))_(1)=2^(3/8)*(cos(9π/16)+i*sin(9π/16))

при k=2
(z^(1/4)_(2))_(2)=2^(3/8)*(cos(17π/16)+i*sin(17π/16))

при k=3
(z^(1/4)_(2))_(2)=2^(3/8)*(cos(25π/16)+i*sin(25π/16))
4 числа, которые являются ответом.
Их расположение на рисунке.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нет скобок, поэтому условие можно понять как:

4^(log_(2)3+2log_(1/16)4)

4^(m+n)=4^(m)*4^(n)

4^(log_(2)3)=(2^(2))^log_(2)3)=2^(2*log_(2)3)=2^(log_(3)3^2)=3^2=9

4^(2log_(1/16)4)=4^(log_(1/16)4^2)=4^(log_(1/16)16)=4^(-1)=1/4

О т в е т. 9*(1/4)

и

так:

4^(log_(2)3)+2log_(1/16)4= тогда ответ

9 -1=8

Так как
log_(12)27=log_(12)3^3=3log_(12)3

1)
упрощаем дробь:

(3+log_(12)27)/(3-log_(12)27)=

=(3+3log_(12)3)/(3-3log_(12)3)=

=(1+log_(12)3)/(1-log_(12)3)=

=(log_(12)12+log_(12)3)/(log_(12)12-log_(12)3)=

=log_(12)36/log_(12)4=log_(4)36=log_(2)6

2)
(log_(2)6)*(log_(6)16)=log_(2)6*(log_(2)16)/(log_(2)6)=log_(2)16=4

ОДЗ:
{(x-3)/3 > 0 ⇒ x > 3
{((x-4)^2*(x-3)/48)>0 ⇒ при x > 3 ⇒ x ≠ 4
ОДЗ: [b]х ∈ (3;4)U(4;+ ∞ )[/b]

[m]log_{0,2}\frac{x-3}{3}=\frac{log_{5}\frac{x-3}{3}}{log_{5}0,2}= -log_{5}\frac{x-3}{3}[/m]

[m]log^2_{0,2}\frac{x-3}{3}=\frac {log_{5}\frac{x-3}{3}}{log_{5}0,2}= (-log_{5}\frac{x-3}{3})^2=

log^2_{5}\frac{x-3}{3}[/m]

Неравенство принимает вид:

[m]log^2_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)}{48}>log^2_{5}\frac{x-3}{3}[/m]

[m]log^2_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)}{48}-log^2_{5}\frac{x-3}{3}>0[/m]

Раскладываем на множители:

[m](log_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)}{48}-log_{5}\frac{x-3}{3})(log_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)}{48}+log_{5}\frac{x-3}{3})>0[/m]

Разность логарифмов заменим логарифмом частного, cумму логарифмов - логарифмом произведения:

[m]log_{5}\frac{(х-4)^2}{16}\cdot log_{5}\frac{(х-4)^2(x-3)^2}{144} > 0[/m]

[b]Применяем метод рационализации логарифмических неравенств[/b]:

[m](\frac{(x-4)^2}{16}-1)\cdot(\frac{ (x-4)^2(x-3)^2}{144} -1)>0[/m]

[m](x-4-4)(x-4+4)((x-4)(x-3)-12)((x-4)(x-3)+12) >0[/m]

[m](x-8)\cdot x \cdot (x^2-7x)(x^2-7x+24) >0[/m]

[m](x-8)\cdot x^2 \cdot (x-7)>0[/m]

x^2-7x+24 > 0 при любом х, так как D=(-7)^2-4*24 < 0

__+__ (0) _______+_______ (7) __-__ (8) __+__

(- ∞ ;0) U(0;7) U(8;+ ∞ )

с учетом ОДЗ

О т в е т. (3;4)U(4;7)U(8;+ ∞ ) (прикреплено изображение)

Cтроим
∠ АВС=106^(o)
∠ ABD = 34 ^(o)

с помощью транспортира ( см. рис.)

Луч BD [b] разделил [/b] угол АВС на два угла.

∠ DBC= ∠ ABC- ∠ ABD=106^(o)-34^(o)=72^(o) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть прямая а лежит в плоскости α, а прямая b пересекает плоскость α в точке M

Проведем через точку М
прямую с || a

Через две пересекающиеся прямые с и b можно провести плоскость и притом только одну.

Любая прямая, проходящая через точку прямой b и параллельная прямой c лежит в этой плоскости. Значит любая прямая, пересекающая прямую b и параллельная c, значит и параллельная a лежит в этой же плоскости. (прикреплено изображение)

4
=lim_(x→0)(xtg3x)/(cosx*(1-cos^2x))=lim_(x→0)(xtg3x)/(cosx*sin^2x)=

предел произведения равен произведению пределов, предел частного равен частному пределов

= lim_(x→0)(x/sinx)*lim_(x→0)(tg3x/sinx)*(1/lim_(x→0)/cosx)=

=1*3*1=3
так как lim_(x→0)(tg3x/3x)=1, а lim_(x→0)(tg3x/х)*(3/3)= lim_(x→0)3*(tg3x/3x)=3
lim_(x→0)cosx=cos0=1

5.
lim_(x→0)(x-sin4x)/tg2x=-3/2

Делим и числитель и знаменатель на х:

=lim_(x→0)((x/x)-(sin4x/x))/(tg2x/x)=(1-4)/2=-3/2

6.
=lim_(x→-2)(3*(x-2)(x+2))/(4*(x+2)(x-1))=

=lim_(x→-2)(3*(x-2)/(4*(x-1))= 3*(-2-2)/(4*(-2-1))=1

Ответ выбран лучшим

ДАНО:
b_(9)=4
b_(17)-b_(1)=15

По формуле
b_(n)=b_(1)*q^(n-1)

b_(9)=b_(1)*q^(8)
b_(17)=b_(1)q^(16)

b_(1)*q^(8)=4
b_(1)q^(16)-b_(1)=15

Решаем систему двух уравнений с двумя переменными:
{b_(1)*q^(8)=4 ⇒ b_(1)=4/q^(8)
{b_(1)(q^(16)-1)=15

(4/q^(8))*(q^(16)-1)=15

4q^(16) - 15*q^(8) - 4 =0
q^(8) ≠ 0

D=(-15)^2-4*4*(-4)=225+64=289

q^(8)=(15-17)/8 или q^(8)=(15+17)/8
q^(8) =-1/4 или q^(8)=4

q^(8) не может быть отрицательным, уравнение q^(8) =-1/4 не имеет корней

q^(8) =4 ⇒ q^2=2 ⇒[b] q^4=4[/b]

b_(1)=4/q^(8)=1

[b]b_(1)=1[/b]

b_(5)=b_(1)*q^4=1*2^2=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

А –"появление четного числа очков";

Всего результатов испытания
n=6
Четные: 2;4;6
m=3
р(А)=3/6=1/2

В –"появление не менее пяти очков";
Всего результатов испытания
n=6
Не менее пяти: 5 и 6
значит m=2
р(А)=2/6

С – "появление не более пяти очков".
Всего результатов испытания
n=6
не более пяти очков
1;2;3;4
m=4
p(C)=4/6=2/3

После извлечения черного шара в урне осталось 3 белых и два черных
р(В/А)=3/5=0,6

log_(2)3*log_(3)2=1
7^(2log_(7)3)=7^(log_(7)3^2)=3^2
О т в е т. 1*3^2=9

a)
a^2+7a+6=(a+1)(a+6)
(a–3)^2–16=(a-3-4)(a-3+4)=(a-7)(a+1);
О т в е т. (а+6)/(а - 7)

б)
4b^2–7b–2=4*(b+(1/4))*(b-2)

81–(b+7)^2=(9-b-7)(9+b+7)=(2-b)(b+16)

О т в е т.(-4b-1)/(b+16).

Ответ выбран лучшим

а) p^2–10p + 21<0;
D=(-10^2-4*21=100-84=16
р=(10-4)/2=3 или p=(10+4)/2=7

__+__ (3) __-___ (7) __+___

О т в е т. (3;7)

б) u^2–8u+16>0;
D=(-8)^2-4*16=0
u=4
__+__ (4) __+__

О т в е т. (-∞;4) U(4;+∞)

в) q^2+6q+13>0;
D=6^2-4*13=36-42 <0
Парабола выше оси
Неравенство верно при любых q
О т в е т.(- ∞; + ∞)

г) –m^2–2m–3>0.
m^2+2m+3 <0
D=4-4*3 < 0
Парабола выше оси
О т в е т. ни при каких m

Ответ выбран лучшим

Функция непрерывна в точке х_(о), если
f(x_(o)-0)=f(x_(o)+0)=f(x_(o))

Две точки исследуем
х= - 1

f(-1 - 0)=lim_(x→-1-0)(-2*(x+1)) =-2*(-1+1)=0
f(-1-0)=-2*(-1+1)=0
f(-1+0)=lim_(x→ -1+0)(x+1)^3=0

x=-1 - точка непрерывности

х=0
f(-0)=lim_(x→-0)(x+1)^3=(+0+1)^3=1
f(0)=0
f(+0)=lim_(x→ +0)x=0

х=0 - точка разрыва первого рода
Есть конечный скачок
1-0=1

График (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) 4x^2+5y^2+8x+10y=0
(4x^2+8x)+(5y^2+10y)=0
4*(x^2+2x)+5*(y^2+2y)=0
4*(x^2+2x+1)-4 + 5*(y^2+2y+1)-5=0
4*(x+1)^2+5*(y+1)^2=9
(x+1)^2/(3/2)^2 + (y+1)^2/(3/sqrt(5))^2=1
уравнение эллипса c центром в точке M (-1;-1)
фокусы на оси, параллельной оси Ох.

Полуоси:
a=(3/2) и АВ=2а=3
b=(3/sqrt(5)) и СD=2b=6/sqrt(5)
c^2=a^2-b^2=(9/4)-(9/5)=9/20
c=3/(2sqrt(5))
ε=с/a=1/sqrt(5)

cм. рис.1

б) 4x^2–y^2–8x–6y–4=0
(4x^2-8x)-(y^2+6y)-4=0
4*(x^2-2x)-(y^2+6y)-4=0
4(x^2-2x+1)-4-(y^2+6y+9)+9-4=0
4*(x-1)^2-(y+3)^2=-1
((x-1)/(1/2))^2-(y+3)^2= - 1
уравнение гиперболы с центром в (1;-3)
фокусы на оси параллельной оси Оу.

Полуоси
a=1 и AB=2
b=1/2
a^2=c^2-b^2
c^2=1-(1/2)^2=3/4
с=sqrt(3)/2

ε=c/b=sqrt(3)

см. рис. 2

в) y=2x^2–12x–9
y=2*(x^2-6x+9)-18-9
y=2*(x-3)^2-27
парабола, вершина в точке (3;-27)
2p=1/2
p=1/4

фокус F(3;-27+(1/8))

Уравнение директрисы:

y=27+(1/8)
y=27,125
cм. рис.3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вводим систему координат, так как показано на рисунке.
Применяем свойство скалярного произведения векторов:
cos(vector{a},vector{b})=vector{a}*vector{b}/|vector{a}|*|vector{b}|

1)
vector{AB}=(1;0;0)
vector{DO}=(0;0;-sqrt(2)/sqrt(6))

cos(vector{AB},vector{DO})=vector{AB}*vector{DO}/|vector{AB}|*|vector{DO}|=
=1*0+0*0+0*(-sqrt(2)/sqrt(6)/|vector{AB}|*|vector{DO}|=0

(vector{AB},vector{DO})=90 градусов.

2)
МК - средняя линия треугольника АВС
МК || АС
МК=АС/2

vector{MK}=1/2vector{АC}

vector{MK} и vector{СА} коллинеарны и противоположно направлены.
Угол между такими векторами равен 180 градусов.

3)
vector{ВС}=(-1/2;sqrt(3)/2;0)

vector{AD}=(1/2; sqrt(3)/6; sqrt(2)/sqrt(6))

cos(vector{BC},vector{AD})=vector{BC}*vector{AD}/|vector{BC}|*|vector{AD}|=
=((-1/2)*(1/2)+(sqrt(3)/2)*(sqrt(3)/6)+0*(sqrt(2)/sqrt(6)))/|vector{AB}|*|vector{DO}|=
=((-1/4)+(1/4)+0)/|vector{AB}|*|vector{DO}|=0

(vector{BC},vector{AD})=90 градусов.

(прикреплено изображение)

log_(3)4=log_(2)4/log_(2)3 - формула перехода к другому основанию

Поэтому
log_(2)3*log_(3)4=log_(2)3*(log_(2)4)/(log_(2)3)=log_(2)4

log_(2)3*log_(3)4/log_(2)4=log_(2)4/log_(2)4=[b]1[/b]

[b]1[/b]*log_(5)25=2

Ответ выбран лучшим

S(полн.)=S(бок.)+S( осн.);

S(осн.)=a^2sqrt(3)/4=6^2*sqrt(3)/4=9sqrt(3)

S(бок.)=3*S( Δ SBC)

OM=r=a/(2sqrt(3))=6/(2sqrt(3))= sqrt(3)
∠ SMO=60 градусов.
SM=OM/cos60^(o)=sqrt(3)/(1/2)=2sqrt(3)

S( Δ SBC)=(1/2)BC*SM=(1/2)*6*2sqrt(3)=6sqrt(3)
S(бок.)=3*S( Δ SBC)=3*6sqrt(3)=18sqrt(3)

S(полн.)=S(бок.)+S( осн.)=18sqrt(3)+9sqrt(3)=27sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол у вершины пирамиды 60 °означает, что боковые треугольники такие же как и треугольник в основании- равносторонние.
Т.е. пирамида - тетраэдр.

Пусть сторона основания равна a.
В равностороннем треугольнике со стороной а:
высота AM=asqrt(3)/2; S = a^2sqrt(3)/4; R=asqrt(3)/3; r=a/(2sqrt(3))

SM=AM=sqrt(3)/2
OM- радиус вписанной окружности,
OM=a/(2sqrt(3))
По теореме Пифагора:
SO^2=SM^2-OM^2=(asqrt(3)/2)^2-(a/(2sqrt(3))^2)=

=(3/4)a^2-(1/12)a^2=(8/12)a^2=(2/3)a^2

SO=a*sqrt(2/3)
По условию SO=2sqrt(3)

a*sqrt(2/3)=2sqrt(3)
а=3sqrt(2)

V=(1/3)S(осн)*H= (1/3)*(a^2sqrt(3)/4)*2sqrt(3)=9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В правильном шестиугольнике АВСDEF:
АВ=ВС=СD=DE=EF=FA=OA=OB=OC=OD=OE=OF=12 cм
Значит, диагональ
ВЕ=ВО+ОЕ=12+12=24
В прямоугольном треугольнике SBO( SO⊥ пл. АВСDEF, а значит SO ⊥ BE):
SO=ВО*tg ∠ SBO=12*sqrt(3)

S(диаг.сеч)=S( Δ SBE)=(1/2)BE*SO=(1/2)*24*12sqrt(3) =144sqrt(3)
О т в е т. 144 sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
lim_(x→2)(2x^2-3x-2)/(x-2)=(2*2^2-3*3-2)/(2-2)=0/0 - неопределенность
раскладываем числитель на множители:
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))*(x-x_(2))

=lim_(x→2)((x-2)(2x+1))/(x-2)=

=lim_(x→2)(2x+1) = 2*2+1 = 5

б)

lim_(x→ ∞)(4x^3-2x)/(5-x^2+1) =∞ / ∞

(Неопределенность ∞ / ∞ )
Выносим за скобки х в наивысшей степени из числителя и знаменателя, чтобы получить числа в числителе 4x^3/x^3=4
-x^2/x^2=-1
остальные слагаемые 2/x^2; (5/x) и (1/x^2) - бесконечно малые, т.е
→0, как обратные к бесконечно большим ( →∞)

lim_(x→ ∞)(x^3*(4 - (2/x^2)))/(x^2*(-1+(5/x)+(1/x^2)))=

=lim_(x→ ∞)(x(4 - (2/x^2)))/(-1+(5/x)+(1/x^2))= ∞ *4/(-1)= ∞

в)
lim_(x→ -1) (sqrt(3-x)-2)/(x+1)=(sqrt(3-(-1))-2/(-1+1)=0/0
неопределенность 0/0
умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(3-x)+2)
Применяем формулу
(a-b)*(a+b)=a^2-b^2
(sqrt(3 - x) - 2)(sqrt(3 - x) + 2)= (sqrt(3-x))^2 - 2^2 =3 - x - 4= -x - 1

lim_(x→ -1) ((sqrt(3 - x) - 2)*(sqrt(3 - x) + 2))/((x+1)*(sqrt(3-x)+2))=

=lim_(x→ -1) (3 - х - 4)/((x+1)*(sqrt(3-x)+2))=

=lim_(x→ -1) ( - х - 1)/((x+1)*(sqrt(3-x)+2))= -1/sqrt(3-(-1))+2)=-1/4

г)
Так как по первому замечательному пределу:
lim_(x→ 0) arcsin [b]6x[/b]/[b]6x[/b]=1

lim_(x→ 0) (arcsin 6x)/(3x) = lim_(x→ 0) arcsin [b]6x[/b]/((1/2)*[b]6x[/b])=1/(1/2)=2

д)
Так как по второму замечательному пределу ( cм следствия из второго замечательного предела):
lim_(x→ ∞) (1+k/x)^x=e^(k)

((3x-1)/(3x+5))^(x+1)=((3x-1)/(3x+5))^(x)*((3x-1)/(3x+5))^(1)

Предел произведения равен произведению пределов.
Второй предел равен 1.

Первый предел - неопределенность 1^(∞)
Применяем второй замечательный предел
Делим и числитель и знаменатель дроби (3x-1)/(3x+5) на 3х

(1-(1/3x))/(1+(5/3x))

lim_(x→ ∞) ((1-(1/3x))/(1+(5/3x)))^x=

=lim_(x→ ∞) ((1-(1/3x))^x/(1+(5/3x)))^x=

=lim_(x→ ∞) (((1-(1/3x))^3x)^1/3/((1+(5/3x)))^3x)^(1/3)=

=(e^(-1))^(1/3)/(e^5)^(1/3)=e^(-2)=1/e^2

Ответ выбран лучшим

log_(1/2)∛(1/4)=log_(1/2)(1/2)^(2/3)=2/3
log_(1/4)(1/2)=1/2
log_(1/16)(1/4)=1/2
log_(sqrt(2))∛8=log_(sqrt(2))∛(sqrt(2))^6=log_(sqrt(2))sqrt(2)^(6/3)=2

(2/3)+6*(1/2)-2*(1/2):2=(2/3)+3 -(1/2)=3 целых 1/6=19/6

Ответ выбран лучшим

1)
Находим
| f(n)-a|=|(5n-4)/(2n+1) - (5/2)|=|(2*(5n-4)-5*(2n-1))/(2n+1)|=13/(2n+1)

Решаем неравенство:
13/(2n + 1) < ε

( по свойству неравенств: если 1/a < 1/b, то a > b,
a и b – положительные)

(2n+1)/13> 1/ε

2n + 1 > 13/ε

2n > (13/ε)-1

n > (13-ε)/2ε

Достаточно N (ε)=[(13-ε)/2ε] + 1

[(13-ε)/2ε] - квадратные скобки означают целую часть числа(13-ε)/2ε

Для любого ε>0 найдется N(ε), что как только
| f(n)-a| < ε

N=[(13-ε)/2ε] + 1
что и доказывает существование предела по определению

Найдем при каких n

13/(2n+1) < 0, 0001

2n+1/13 > 10 000 (по свойству неравенств:
если 1/a < 1/b, то a > b (a и b - положительные)

2n+1> 130 000

2n > 130 000 - 1

2n > 129 999

n > 64 999,5
[64 999,5]=64999

N=64999+1=65 000

2)

Находим
| f(n)-a|=|(5n+4)/(5n-6) - 1|=|(5n+4 -(5n-6))/(5n-6)|=2/(5n-6)

Решаем неравенство:
2/(5n - 6) < ε
( по свойству неравенств: если 1/a < 1/b, то a > b,
a и b – положительные)

(5n-6)/2> 1/ε

5n - 6 > (2/ε)

5n > (2/ε)+6

n > (2+6ε)/(5ε)

Достаточно N (ε)=[ (2+6ε)/(5ε)] + 1
[(2+6ε)/(5ε)] - квадратные скобки означают целую часть числа.

Для любого ε>0 найдется N(ε), что как только
| f(n)-a| < ε

N=[ (2+6ε)/(5ε)] + 1

что и доказывает существование предела по определению

Найдем при каких n

2/(5n-6) < 0, 01

(5n-6)/2 > 100 ( по свойству неравенств:
если 1/a < 1/b, то a > b, a и b - положительные)

5n-6 > 200

5n>202

n> 40,4

[40,4]=40

N=41

Ответ выбран лучшим

Потому что если расположить треугольник АВС на плоскости хоу в привычном для нас виде, все станет понятно
С(0;0;0)
Катет ВС против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Гипотенуза АВ равна 10, значит ВС равен 5, но направление оси Ох противоположное, значит точка B имеет первыю координату (-5), а остальные нули
АС считаем по теореме Пифагора или через тригонометрические функции угла в 30 градусов и получим 5 sqrt(3)

Направление оси Оу противоположно направлению СА.
Поэтому у точки А координата по оси у, равна (-5 sqrt(3))

Из треугольника BCD
BD=BC*tg60 градусов=5*sqrt(3)

BD имеет такое же направление как и ось Оz, поэтому третья координата точки D равна (5sqrt(3)), вторая - такая же как вторая у точки В
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Булеан - множество всех подмножеств множества А

Пустое;
Одноэлементные {2};{3};{4};{5}
Двуэлементные {2;3};{2;4};{2;5}; {3;4};{3;5}; {4;5}
Трехэлементые {2;3;4} {2;3;5}; {2;4;5};{3;4;5}
Cамо множество А
Всего 1+4+6+4+1=16

Булеан равен 16

2)
Решаем неравенство
x^2+5x-14 ≤ 0
D=25+56=81
x=-7 или х=2
Решение неравенства
[-7;2]

А=(-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2}

Ответ выбран лучшим

Функция непрерывна в точке х_(о), если
f(x_(o)-0)=f(x_(o)+0)=f(x_(o))

Две точки исследуем
х=0

f(-0)=lim_(x→-0)sqrt(1-x)=sqrt(1-0)=1
f(0)=sqrt(1-0)=1
f(+0)=lim_(x→ +0)0=0
Разрыв первого рода
Есть конечный скачок
0-1=-1

х=2
f(2-0)=lim_(x→2-0)0=0
f(2)=0
f(2+0)=lim_(x→2 +0)(x-2)=2-2=0

х=2 - точка непрерывности

График (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1
Область определения (- ∞ ; ∛4) U(∛4; ∞)

y`=(3x^2)/(4-x^3)^2 > 0 на (- ∞ ; ∛4) и на (∛4; ∞)
Функция монотонно возрастает, значит каждое свое значение принимает один раз и потому обратима.

Меняем х и у местами
x=1/(4-y^3) ⇒ 4- y^3=1/x ⇒ y^3=4-(1/x) ⇒ y=∛(4-(1/x))

Область определения x ≠ 0
(- ∞ ;0) U(0; ∞ )

2

Область определения (- ∞ ;-1) U(-1;1) U (1; ∞)

y`=(10x)/(1-x^2)^2 < 0 на (- ∞;-1 )U(-1;0)

Функция монотонно убывает, значит каждое свое значение принимает один раз и потому обратима.

y` > 0 на (0;1) U (1; ∞ )
Функция монотонно возрастает, значит каждое свое значение принимает один раз и потому обратима.

Меняем х и у местами

x = (4 y^2)/(1-y^2)

x-xy^2=4 y^2
x-4=y^2(x 1)

y^2=(x-4)/(x 1)
y=-sqrt((x-4)/(x 1) или y=sqrt((x-4)/(x 1))

На (- ∞;-1 )U(-1;0) обратная y= - sqrt((x-4)/(x 1))

На (1;0)U(1; ∞) обратная y= sqrt((x-4)/(x 1))

Область определения

(- ∞ ;-1) U(4; ∞ )

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

log_(2)6 ·log_(6)9=log_(2)6*(log_(2)9/log_(2)6)=log_(2)9

log_(2)9 в числителе и знаменателе сокращаем.

Основное логарифмическое тождество
a^(log_(a)b)=b , a > 0; a ≠ 1; b >0

6(^log_(6)X)=X

О т в е т. 1/Х

Ответ выбран лучшим

x=20^(1/6) или корень шестой степени из 20

1)
{x>0 область определения у=log_(1/3)x
log_(1/3)x ≤ log_(1/3)(1/9) ⇒ x ≥ 1/9 по свойству убывания лог. функции с основанием (1/3)
О т в е т. [1/9;+ ∞ )

2) {2x-5>0⇒ x>2,5
{log_(1/3)(2x-5) ≤ log_(1/3)(1/9) ⇒ 2x-5 ≥ 1/9 ⇒ x ≥ 23/9

О т в е т. [23/9;+ ∞ )

3) {x^2-8 >0 ⇒ (- ∞ ;-2sqrt(2)) U (2sqrt(2);+ ∞ )
{2-9x > 0 ⇒ x < 2/9
{x^2-8 ≤ 2-9x ⇒ x^2+9x-10 ≤ 0; D=81+40=121 ⇒ [-10;1]

О т в е т. [-10;-2sqrt(2))

4.
ОДЗ:
x>0

замена переменной
log_(1/2)x=t

t^2+3t ≤ - 2

t^2+3t + 2 ≤ 0

D=9 - 4*2 = 9 - 8 =1

t=-2 или t=-1

-2 ≤ t ≤ -1

-2 ≤ t ≤ -1

-2 ≤ log_(1/2)x ≤ -1 ⇒ log_(1/2) 4 ≤ log_(1/2)x ≤ log_(1/2)2

Логарифмическая функция с основанием (1/2) убывает, поэтому
4 ≥ х ≥ 2
или
2 ≤ х ≤ 4 - удовл ОДЗ: х >0

О т в е т. [2;4]

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона тетраэдра равна а. Все четыре его грани равносторонние треугольники.

S(осн)=a^2sqrt(3)/4
S(бок)=3*S(осн)

S(полн)=4(a^2*(sqrt(3)/4)

4a^2sqrt(3)/4=324sqrt(3)
a^2=324
a=18 см

H^2=a^2-R^2=a^2-(asqrt(3)/3)^2=a^2-(a^2/3)=2a^2/3

H=a*sqrt(2/3)

V=(1/3)*S(осн)*H

V=(1/3)*324*(sqrt(3)/4)*18sqrt(2/3)=486sqrt(2) см^3

О т в е т. 486 см^3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(полн)=S(бок) + S(осн)
S(осн.)=8 - 5,44=2,56
В основании квадрат
S=a^2
a^2=2,56
a=1,6 дм

S(бок.)=(P(осн)/2)*h, h - апофема

h=5,44/3,2=1,7 дм

H^2=h^2-(a/2)^2=1,7^2- (0,8)^2= 2,89 -0,64=2,25

H=1,5 дм

О т в е т. а=1,6 дм; Н=1,5 дм (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V(пирамиды)=(1/3)*S(осн)*H ⇒ H=3V/S(осн)

S(осн.)=(1/2)a*a*sin60^(o)=(1/2)*24*24*sqrt(3)/2=144sqrt(3)

H=3*432/(144sqrt(3))=3sqrt(3)

ОК=r=a/(2sqrt(3)) ( см. рис.2) =4sqrt(3)

По теореме Пифагора
SK^2=SO^2+OK^2=(3sqrt(3))^2+(4sqrt(3))^2=75

SK= 5sqrt(3)

О т в е т. 5 sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АС=sqrt(10^2+10^2)=10sqrt(2)
AO=(1/2)AC=5sqrt(2)
SO=AO*tg ∠ SAO=5sqrt(2)*sqrt(3)=5sqrt(6)

Из Δ SKO (OK=(1/2)AB-5)
по теореме Пифагора
SK^2=SO^2-KO^2=(5sqrt(6))^2+(5^2)=25*7
SK=5sqrt(7)

S(бок.)=4*S( Δ SBC)= 4*(1/2)*BC*SK=2*10*5sqrt(7)=100sqrt(7) кв. см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применем формулу перехода к другому основанию
log_(a)b=log_(c)b/log_(c)a, a>0; a≠1; c>0; c ≠1; b>0

log_(2)3 · log_(3) 4=log_(2)3 · log_(2) 4/log_(2)3=log_(2)4=2

log_(2)4=2
log_(5) 25=2

(log_(2)3 · log_(3) 4) /( log_(2)4 · log_(5) 25)=2/(2*2)=1/2

Ответ выбран лучшим

81=9^2

81^(2,6)=(9^(2))^(2,6)=9^(2*2,6)=9^(5,2)

81^(2,6)/9^(3,7)=9^(5,2)/9^(3,7)=9^(5,2-3,7)=9^(1,5)=9^(3/2)=sqrt(9^3)=27

9a)
2 + x - x^2 ≥ 0
x^2 - x - 2 ≤ 0
D=(-1)^2-4*(-2)=9
x_(1)=(1-3)/2=-1 или x_(2)=(1+3)/2=2

_+__ [-1] __-__ [2] __+__

О т в е т. [-1; 2]

б)
2x^3 -3x^2 -2x ≥ 0
x*(2x^2 - 3x - 2) ≥ 0

D=(-3)^2-4*2*(-2)=9+16=25

x_(1)=(3-5)/4=-1/2 или x_(2)=(3+5)/4=2

_-__ [-1/2] __+__ [0] __-__ [2] __+__

О т в е т. [-1/2; 0] U [2;+ ∞)

Ответ выбран лучшим

1) AUB={1;2;3;5;6;7;9;11;12;13}

2) A ∩ B={{9}

3) A Δ B= {A \ B} U {B \ A}={3;5;7;11} U{1;2;6;12;13}=

={1;2;3;5;6;7;11;12;13}

4) vector{A}=U \ A= {1; 2; 4; 6; 8;10; 12;13;14;15}

5) vector{A} ∩ C={4}

6) A × C= { (3;3);(5;3); (7;3); (9;3);(11;3); (3;4);(5;4);(7;4);(9;4);(11;4)}

Ответ выбран лучшим

(sqrt(5))^5=(5^(1/2))^5=5^(5/2)

log_(5)sqrt(5^5)=log_(5)5^(5/2)=5/2

Ответ выбран лучшим

По формуле производной степенной функции и правилу вычисления производной сложной функции:
y=sqrt(u)
y`=u`/2sqrt(u)

О т в е т. f`(x)=(4x+3)`/2sqrt(4x+3)=4/2sqrt(4x+3)=2/sqrt(4x+3)

По формуле
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(4x+7)^2=(4x)^2+2*(4x)*7+7^2=16x^2+56x+49

(sqrt(3))^3=(3^(1/2))^(3)=3^(3/2)

log_(3)(sqrt(3))^3=log_(3)3^(3/2)=3/2

Ответ выбран лучшим

log_(2)sqrt(2)=1/2,

так как 2^(1/2)=sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

(1/16)^(5)=(4^(-2))^(5)=4^(-10)

log_(4)(1/6)^5=log_(4)4^(-10)=-10

Ответ выбран лучшим

(1/9)^3=(3^(-2))^(3)=3^(-2*3)=3^(-6)

log_(3)(1/9)^3=log_(3)3^(-6)=-6

Ответ выбран лучшим

Есть формула:
1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6
(слева n слагаемых)

Доказательство
Метод математической индукции
1) База индукции:
проверяют для n=1

1^2=(1*2*3/6) - верно
2)
Индукционное предположение:
Предполагают, что формула верна для
n=k,
1^2+2^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
(слева к слагаемых)
И используя это предположение,
доказывают справедливость для следующего за k , т.е

для n=k+1,
1²+...+k²+(k+1)²=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
слева (k+1) слагаемое

Доказываем
1²+...+k²+(k+1)²=(1²+...+k²)+(k+1)²=

=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=(k+1)(k(2k+1)/6+(k+1))=

=(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))/6=(k+1)(2k²+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Что и требовалось доказать

Тогда

1^2+2^2+... +(n-1)^2=(n-1)*n*(2*(n-1)+1)/6=(n-1)*n*(2n-1)/6

О т в е т. (n-1)*n*(2n-1)/6

Ответ выбран лучшим

1.
Область определения функции
(- ∞ ; + ∞ )
2
y`=((1/3)x^3-3x^2+8x-4)`=x^2-6x+8

y`=0

x^2-6x+8=0
D=(-6)^2-4*8=36-32=4
x_(1)=(6-2)/2=2; x_(2)=(6+2)/2=4

Знак производной
_+__ (2) __-__ (4) __+__

На (- ∞ ;2) и на (4; + ∞ ) производная положительна, значит функция возрастает.
На (2;4) производная отрицательна, значит функция убывает

x=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(2)=(1/3)*2^3-3*2^2+8*2-4=8/3

х=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.

y(4)=(1/3)*4^3-3*4^2+8*4-4=4/3

3.
y``=2x-6
y``=0

2x-6=0
x=3 - точка перегиба, вторая производная меняет знак.

4.
График: (прикреплено изображение)

Так как
ctg(11π/10)=ctg(π+(π/10))=ctg(π/10)=cos(π/10)/sin(π/10)
и
2cos(π/10)*sin(π/10)=sin(π/5)
то
2cos^2(π/10)/(ctg(11π/10)*sin(π/5))=

=(2cos^2(π/10)*sin(π/10))/(cos(π/10)*sin(π/5))=

=2cos(π/10)*sin(π/10)/sin(π/5)=sin(π/5)/sin(π/5)=1

log_(2)sqrt(2)=1/2, так как 2^(1/2)=sqrt(2)

log_(sqrt(2))2=2, так как (sqrt(2))^2=2

Ответ выбран лучшим

1) уравнение не имеет корней, так как (1/9)^x>0

2) (1/6)^(x)=(1/6)^(-2)
x=-2

3)
6^(2x-8)=(6^(3))^(x)
6^(2x-8)=6^(3x)
2x-8=3x
2x-3x=8
-x=8
x=-8

4)
2^(x)*((3^x)/2^(x))=3^(-2)
3^(x)=3^(-2)
x=-2

Ответ выбран лучшим

log^(2)_(4)x–log_(4)x–2=0

D=1-4*(-2)=9

log_(4)x=-1 или log_(4)x=2

x=4^(-1) или х=4^2

x=1/4 или х=16

О т в е т. 1/4; 16

ОДЗ:
{x+4>0 ⇒ x > -4
{2x+3 > 0 ⇒ x >-1,5
{1-2x >0 ⇒ x < 0,5

log_(2)(x+4)*(2x+3)=log_(2)(1-2x) ⇒ (x+4)*(2x+3) = (1-2x) ⇒

2x^2+13x+11=0
D=169-4*2*11=81
x_(1)=(-13-9)/4=-5,5 или х_(2)=(-13+9)/4= - 1
С учетом ОДЗ
О т в е т. -1

Поскольку в данной пирамиде все боковые грани наклонены под одинаковым углом к основании, то О - центр вписанной окружности

r=h/2

Из вершины C тупого угла трапеции проведем высоту CF и получим прямоугольный треугольник CFD
с гипотенузой CD=12 см и углом 30^(o).

Катет, против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
СF=6
h(трапеции)=6 ⇒ r=OM=OK=h/2=3

DF=6sqrt(3)

FA=(15-6√3) см.

CB=FA=(15-6√3) см

Из прямоугольного треугольника SKO, угол SKO которого равен 60 градусов
SK=r/cos60^(o) = 3/(0,5)=6 см - апофема боковой грани.

Апофемы всех боковых граней равны. Это следует из равенства прямоугольных треугольников SKO и SMO ( и еще двух других)

Sбок = (1/2)6*6+(1/2)15*6+(1/2) 12*6+(1/2)(15-6sqrt(3))*6=

=(144 - 18 sqrt(3))кв см (прикреплено изображение)

Так как длины всех ребер одинаковые, а равные наклонные имеют равные проекции, то AO=BO=CO
O- центр окружности описанной около треугольника АВС.
Треугольник равнобедренный,
высота, проведенная к основанию одновременно и медиана, поэтому по теореме Пифагора
h=sqrt(10^2-(16/2)^2)=6

S( Δ ABC)=(1/2)c*h=(1/2)*16*6=48

R=abc/4S=(10*10*16)/(4*48)=25/3

H^2=15^2-(25/3)^2=225-(625/9)=1400/9
H=(10/3)sqrt(14)

V=(1/3)*S(осн)*H=(1/3)*48*(10sqrt(14))/3=(160sqrt(14))/3

Ответ выбран лучшим

Гипотенуза АВ по теореме Пифагора равна 15.

Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности
r=(a+b-c)/2

r=(9+12-15)/2=3

ОМ=ОN=OK=3

SO=H(пирамиды)=2sqrt(10)

Равные проекции имеют равные наклонные.
Поэтому высоты каждой из трех боковых граней (апофемы) равны между собой ( это следует из равенства прямоугольных треугольников с одинаковыми r и H) :

h=sqrt(r^2+H^2)=sqrt(3^2+(2sqrt(10))^2)=sqrt(49)=7

S(бок)=(1/2)*9*7+(1/2)*12*7+(1/2)*15*7=126 см^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как длины всех ребер одинаковые, а равные наклонные имеют равные проекции, то AO=BO=CO
O- центр окружности описанной около треугольника АВС.
Треугольник прямоугольный, значит О - середина гипотенузы АВ

По теореме Пифагора
AB=sqrt(6^2+8^2)=10

AO=BO=5 cм

По теореме Пифагора
DO=sqrt(SA^2-AO^2)=sqrt(13^2-5^2)=sqrt(144)=12 - высота пирамиды и высота грани DAB

Осталось найти высоты граней DCA и DCB.

Это равнобедренные треугольники.
Высота h_(1) из вершины D на АС является одновременно и медианой
По теореме Пифагора
h_(1)=sqrt(13^2-3^2)=sqrt(169-9)=sqrt(160)=4sqrt(10)

Высота h_(2) из вершины D на BС является одновременно и медианой
По теореме Пифагора
h_(2)=sqrt(13^2-4^2)=sqrt(169-16)=sqrt(153)=3sqrt(17)
О т в е т. 12; 4sqrt(10); 3sqrt(17)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(3)(1/3)=-1

и

log_(1/3)3=-1

4^2=(2^2)^2=2^(4)

log_(1/2)4^2=log_(1/2)2^(4) = - 4

Ответ выбран лучшим

0,5^(-(x-2)/(2x+4))=(2^(-1))^(-(x-2)/(2x+4))=2^((x-2)/(2x+4));

32^(-(x-2)/(2x+4))=(2^(5))^(-(x-2)/(2x+4))=2^((-5*(x-2)/(2x+4));

40^(x)=(4*10)^(x)=4^(x)*10^(x)

(32^(-(x-2)/(2x+4))*(4^(x)/16)=2^((2x-4)-(5*(x-2)/(2x+4)))=

=2^((4x^2-16-5x+10)/(2x+4))=2^((4x^2-5x-6)/(2x+4))=2^((4x+3)(x-2)/(2x+4))

Неравенство принимает вид:

(10^(x)/x^2)*(2^((x-2)/(2x+4)) - 2^((4x+3)(x-2)/(2x+4))) ≥ 0

x ≠ 0

10^x > 0 при любом х

2^((x-2)/(2x+4)) - 2^((4x+3)(x-2)/(2x+4)) ≥ 0

2^((x-2)/(2x+4)) ≥ 2^((4x+3)(x-2)/(2x+4))

(x-2)/(2x+4) ≥ (4x+3)(x-2)/(2x+4)

((x-2)/(2x+4))*(1-(4x+3) ) ≥ 0

((x-2)/(2x+4))*(-2-4x ) ≥ 0

(x-2)*(2x+1)/(2x+4) ≤ 0

_-___ (-2) __+__ [-1/2] __-___ (0) ______-_____ [2] __+____

О т в е т. (- ∞ ;-2) U[(-1/2);0) U (0; 2]

Ответ выбран лучшим

8^3=(2^(3))^3=2^(9)

log_(1/2)2^(9)=-9

Ответ выбран лучшим

8.

Координаты середины М отрезка АВ находят по формулам
x_(M)=(x_(A)+x_(B))/2;
y_(M)=(y_(A)+y_(B))/2;

Подставляем
x_(M)=1; y_(M)=4
x_(A)=-2; y_(A)=2

1=(-2+x_(B))/2 ⇒ 2=-2+x_(B) ⇒ x_(B)=4
4=(2+y_(B))/2 ⇒ 8 = 2 + y_(B) ⇒ y_(B)=6

О т в е т. В(4;6)

9.

3*vector{a}-2*vector{b}=3*vector{a} + (-2*vector{b})
см. рис.

Применяем правило треугольника для нахождения суммы двух векторов.

Начало первого вектора помещаем в точку А, конец в точке В.
Начало второго вектора помещаем в точку В, конец в точке,
Тогда вектор АС является суммой векторов АВ и ВС.

a) Строим вектор сонаправленный данному vector{a} и имеющий длину в три раза больше
получили vector{AB}=3*vector{a}

Строим вектор сонаправленный данному vector{b} и имеющий длину в два раза больше
получили vector{MN}=2*vector{b}

Строим вектор противоположно направленный vector{Mn} и имеющий такую же длину

vector{NM}= - vector{ MN }

от точки В строим vector{ BC }=vector{ NM }

vector{AB}+ vector{ NM }= vector{AB}+ vector{ BC }=vector{AC}

vector{AC}=3*vector{a} + ( - 2vector{b })

б)
Строим вектор сонаправленный данному vector{a} и имеющий длину в два раза меньше
получили vector{AB}=(1/2)vector{a}

от точки В строим vector{ BC }=vector{ b }

vector{AB}+ vector{ BC }=vector{AC}

vector{AC}=(1/2)vector{a}+vector{ b } (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению: логарифм, это показатель степени, в которую нужно возвести основание (1/2), чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

В какую степень нужно возвести (1/2), чтобы получит 2.
Конечно же в (-1)

(1/2)^(-1)=2, значит

log_(1/2)2=-1

Ответ выбран лучшим

Все ребра образуют одинаковые углы с основанием, значит,
прямоугольные треугольники SOA; SOB и SOC равны по катету SO и острому углу.
Из равенства треугольников следует
АО=ОВ=ОС

Значит вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности.

AO=BO=CO=R

По теореме синусов
14/sin135^(o)=2R
R=7sqrt(2)

Треугольник SOA - прямоугольный с острым углом 45 градусов, значит он прямоугольный равнобедренный
Его катеты равны

H=R=7sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AC^2=1,6^2+1,2^2=2,56+1,44=4
AC=2
OC=(1/2)AC=1

SO^2=SC^2-OC^2=2,6^2-1^2=5,76
SO=2,4
H=SO

V=(1/3)S(осн)*Н=(1/3)*1,6*1,2*2,4=1,536 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
АО=ОС=8
ВО=ОD=6
По теореме Пифагора
АВ=sqrt(6^2+8^2)=10

S(ромба)=(1/2)*d_(1)*d_(2)=(1/2)*12*16=96

С другой стороны
S(ромба)=a*h
h=S/a=96/10=9,6

OK=(1/2)h=4,8

S(бок)=4S_( Δ)SDC)=4*(1/2)DC*DK
120=2*10*DK
DK=6 ( апофема боковой грани)

По теореме Пифагора из Δ SOK
SK=sqrt(6^2-(4,8)^2)=3,6
H(пирамиды)=SO

V=(1/3)*S(осн)*H=(1/3)*96*3,6=115,2

о т в е т. 115,2 см^3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4.
ОДЗ: сosx > 0 ( значит х в первой или четвертой четвертях)

2сos^2x+2sinx*cos2x-1=0
2cos^2x-1=cos2x

cos2x+2sinx*cos2x=0
cos2x*(1+2sinx)=0
cos2x=0 ⇒ 2x=(π/2)+πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/4)+(π/2)k, k ∈ Z
ОДЗ удовлетворяют корни в первой и четвертой четвертях:
± (π/4)+2πm, m ∈ Z

2) 1+2sinx=0
sinx=-1/2
x=(-1)^(n)*(-π/6)+πn, n ∈ Z
ОДЗ удовлетворяют корни в 4-ой четверти
х=(-π/6)+2πn, n ∈ Z

О т в е т. ± (π/4)+2πm, m ∈ Z
(-π/6)+2πn, n ∈ Z

5.
По формулам приведения
cos( (π/2) - x ) = sinx
sin( x + (π/2))= cosx
(3^(-2))^sinx=3^(2cosx)
3^(-2sinx)=3^(2cosx) ⇒
-2sinx=2cosx
tgx=-1
x=(-π/4)+πk, k ∈ Z

а) О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z

б) х=(-π/4)-2π=-9π/4
х=(-π/4)-3π=-13π/4

- два корня принадлежащих указанному отрезку.

Все зависит от того, какого цвета шары переложены.
Гипотезы
H_(1) - "переложены два белых" ( тогда во второй урне стало
3+2=5 белых и 2 черных)
H_(2) - "переложены два черных" ( тогда во второй урне стало
3 белых и 2+2=4 черных)
Н_(3) - "переложены белый и черный" (тогда во второй урне стало
3+1=4 белых и 2+1=3 черных)

р(H_(1))=0,4*0,4=0,16
р(H_(2))=0,6*0,6=0,36
р(H_(3))=0,4*0,6+0,6*0,4=0,48

А-"из второй урны излечен белый шар"
p(A/H_(1))=5/7
p(A/H_(2))=3/7
p(A/H_(3))=4/7

p(A)=0,16*(5/7)+0,36*(3/7)+0,48*(4/7)=

=3,8/7=19/35

Ответ выбран лучшим

а) MP
б) ∠ QMP и ∠QPM
в) ∠QMP
г) ∠P (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) CD
б) ∠ BCD и ∠BDC
в) ∠CBD
г) ∠C (прикреплено изображение)

Δ АВС - равносторонний.
AB=BC=AC=6 дм.
Все углы по 60 градусов.

Треугольник АSB - равнобедренный ( опечатка в условии)
AS=BS=x
∠ ASB=120 градусов.
Тогда
из прямоугольного треугольника SAO
SO=AS/2=x - катет против угла в 30 градусов
AO=(1/2)AB=3 дм
По теореме Пифагора
АО^2=AS^2-SO^2
3^2=(2x)^2-x^2
9=3x^2
x^2=3
x=sqrt(3)

SO=sqrt(3)

V=(1/3) S( Δ ABC)*SO=(1/3)*(1/2)*6*6*sin60^(o)* sqrt(3)=

=9 дм^3

О т в е т. 9 дм^3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула полной вероятности

Н_(1) - изделие изготовлено автоматом 1
Н_(2) - изделие изготовлено автоматом 2
Н_(3) - изделие изготовлено автоматом 3

Пусть производительность третьего х, первого 2х, второго х
р(Н_(1))=2х/(2х+х+х)=2/4=1/2
p(H_(2))=x/4x=1/4
p(H_(3))=1/4

А- "выбранное изделие окажется бракованным"

р(А/Н_(1))=0,01 ( 1%)
р(А/Н_(2))=0,02 ( 2%)
р(А/Н_(3))=0,03 ( 3%)

р(А)=(1/2)*0,01+(1/4)*0,02+(1/4)*0,03=0,0175

О т в е т. 0,0175

Ответ выбран лучшим

n=C^(5)_(50)

m=C^(2)_(40)*C^(3)_(10)

а) р=m/n=(C^(2)_(40)*C^(3)_(10))/C^(5)_(50)

б)
Находим вероятность противоположного события
: ни одной стандартной

p=С^(5)_(10)/C^(5)_(50)

1-p= 1 - (С^(5)_(10)/C^(5)_(50))

Ответ выбран лучшим

Рассмотрим противоположное событие
vector{A}-" сделано не более 4 выстрелов"

vector{A}=A_(1)+vector{A_(1)}*A_(2)+vector{A_(1)}*vector{A_(2)}A_(3)
(либо мишень поражена первым выстрелом, либо вторым, либо третьим)
p(vector{A})=0,8+0,2*0,8+0,2*0,2*0,8=

=0,8+0,16+0,032=0,992
О т в е т. 0,992

р(A)=1-0,992=0,008

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что бросают две игральные кости. На каждой из них цифры от 1 до 6
n=36 число исходов испытания
(1;1);(1;2); ... (6;6) - тридцать шесть пар, если их выписать

Событие А - " разность выпавших очков равна 2"
Событию А благоприятствуют исходы
(1;3);(2;4)(3;5)(4;6)
(6;4);(5;3);(4;2);(3;1)
m=8

p(A)=m/n=8/36=2/9

О т в е т. 2/9

Ответ выбран лучшим

АС=ВС=12 см
По теореме Пифагора
AC=sqrt(12^2+12^2)=12sqrt(2)

CK - высота, проведенная из вершины прямого угла С на гипотенузу АВ

CK=(AC*BC)/AB=6sqrt(2)

По теореме Пифагора:
DK=sqrt(9^2+(6sqrt(2))^2)=sqrt(81+72)=sqrt(153)

S( полн.)=S( Δ АВС)+S( Δ ACD)+S( ΔBCD)+S( ΔDAB)=

=(1/2)AC*BC+(1/2)DC*AC+(1/2)DC*BC+(1/2)DK*AB=

=(1/2)*12*12+(1/2)9*12+(1/2)9*12+(1/2)*12sqrt(2)*sqrt(153)=

=180+6sqrt(306)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Осевое сечение квадрат,значит диаметр окружности цилиндра равен высоте.
2*R=H ( cм. рис.)

S(бок)=2π*R*H

2π*R*H=25π ⇒ 2*R*H=25

так как 2R=H, то
H*H=25
H^2=25
H=5

2)
S(бок)=2π*R*H

2π*R*H=24π ⇒ R*H=12

По теореме Пифагора
(2R)^2+H^2=d^2
4R^2+H^2=5^2

Система двух уравнений:
{R*H=12 ⇒ R=12/H
{4R^2+H^2=25

4*(12/H)^2+H^2=25
H^4-25H^2+576=0

D=25^2-4*576 < 0

Не может быть.

3) Значит осевое сечение квадрат.
H_(цилиндра)=2r(цилиндра) ( см. первую задачу)
H_(цилиндра)=2R_(шара) ( см. рис. )

2r_(цилиндра)=2R_(шара)

S(поверхности шара)= 4πR^2-(шара)

4πR^2_(шара)=321
R^2_(шара)=321/4π

S(боковое цилиндра)=2π*r_(цилиндра)*H=

=2π*r_(цилиндра)*2*r_(цилиндра)=4π*r^2_(цилиндра)=321 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z_(1)=(-2+2sqrt(3)*i)

|z_(1)|=sqrt((-2)^2+(2sqrt(3))^2)=sqrt(4+12)=sqrt(16)=4
argz_(1)=phi

sin(phi)=y/|z_(1)|=2sqrt(3)/4=sqrt(3)/2
cos(phi)=x/|z_(1))=-2/4=-1/2
phi=2π/3

z_(1)=4*(cos(2π/3)+i*sin(2π/3))

Аналогично

|z_(2)|=sqrt(1^2+(-1)^2)=sqrt(2)

argz_(2)=ψ

sinψ=y/|z_(2)|=-1/sqrt(2)
cosψ=x/|z_(2))=1/sqrt(2)
ψ=-3π/4

z_(2)=sqrt(2)*(cos(-3π/4)+i*sin(-3π/4))

так как
cos(-3π/4)=cos(3π/4)
sin(-3π/4) = - sin(3π/4)

z_(2)=sqrt(2)*(cos(3π/4)-i*sin(3π/4))

Применяем формулу Муавра (cм. приложение)
a)
z^(3)_(1)=4^3(cos3*(2π/3)+i*sin3*(2π/3))= 64*(cos2π+i*sin2π)=64
z^(4)_(2)=(sqrt(2))^4*((cos4*(3π/4)-i*sin4*(3π/4))=
=4*(cos3π-i*sin(3π)= - 4

z^(3)_(1)*z^(4)_(2)=64*(-4)=-256

б)
z^(5)_(1)=4^5(cos5*(2π/3)+i*sin5*(2π/3))=
=1024*(cos(10π/3)+i*sin(10π/3))=
=1024*((-1/2)+i*(-sqrt(3)/2)=-512-i*512sqrt(3)

z^(3)_(2)=(sqrt(2))^3*((cos3*(3π/4)-i*sin3*(3π/4))=
= 2sqrt(2)(cos(9π/4)-i*sin(9π/4)= 2sqrt(2)*(-sqrt(2)/2)-i*(-sqrt(2)/2)=
= - 4+4*i

z^(5)_(1)/z^(3)_(2)=(-512-i*512sqrt(3))/(-4+4*i)=

сокращаем на 4 и умножаем и числитель и знаменатель на
(-1-i )

=(-128-i*128sqrt(3))*(-1-i)/(1+1)=

=(64 + 64sqrt(3))+(64+64sqrt(3))*i

в)

z^(1/4)_(2)=(sqrt(2))^(1/4)*cos(((-3π/4)/4)+(πk/2))+i*sin(cos(((-3π/4)/4)+(πk/2))

k=0,1,2,3

при k=0
(z^(1/4)_(2))_(0)=2^(1/8)*(cos(3π/16)+i*sin(-3π/16))

при k=1
(z^(1/4)_(2))_(1)=2^(1/8)*(cos(5π/16)+i*sin(5π/16))

при k=2
(z^(1/4)_(2))_(2)=2^(1/8)*(cos(13π/16)+i*sin(13π/16))

при k=3
(z^(1/4)_(2))_(2)=2^(1/8)*(cos(21π/16)+i*sin(21π/16))

4 числа, которые являются ответом.
См их расположение на рисунке.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5a)
Область определения
(- ∞ ;4)U(4;+ ∞ )
Функция монотонно возрастает на (- ∞ ;4) и на (4;+ ∞ ),
ее графиком является гипербола
Значит каждое свое значение функция принимает только один раз . Поэтому обратима ( каждому х свой у и обратно каждому у свой х)

Меняем х и у местами
x=(4+y)/(4-y) ⇒
4x-xy=4+y
4x-4=xy+y
4x-4=y*(x+1)
y=(4x-4)/(x+1) - обратная
Область определения:
(- ∞ ;-1)U(-1;+ ∞ )

5б)
Область определения:
(- ∞ ;-sqrt(3))U(-sqrt(3);sqrt(3))U(sqrt(3);+ ∞ )

функция монотонна на ( см график красного цвета )
на (- ∞ ;-sqrt(3))U(-sqrt(3);0)
и
на [0;sqrt(3))U(sqrt(3);+ ∞ )

Меняем x и y местами
x=(3+y^2)/(3-y^2)
3x-xy^2=3+y^2
3x-3=y^2*(x+1)

y^2=(3x-3)/(x+1) - обратная к данной.

Состоит из двух ветвей ( cм график синего цвета)

y= - sqrt((3x-3)/(x+1)) и y=sqrt((3x-3)/(x+1))

Область определения определяется неравенством
(3x-3)/(x-1) ≥ 0 ⇒ x ∈ (- ∞ ;-1) U(1;+ ∞ )

Синяя кривая вообще говоря не является графиком функции, потому что одному и тому же х ( например, х=5) cоответствует два у.
Поэтому за обратную функцию берут либо
y= - sqrt((3x-3)/(x+1))
(та часть кривой, которая на графике ниже оси Ох)
либо
y=sqrt((3x-3)/(x+1))
(та часть кривой, которая на графике выше оси Ох) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x-2)^2+(y-3)^2=3^2 - уравнение первой окружности с центром в точке А и радиусом 3
x^2-12x+y^2-6y+20=0 ⇒ выделяем полные квадраты
(x^2-12x+36)-36+(y^2-6y+9)-9+20=0
(x-6)^2+(y-3)^2=25 - уравнение второй окружности с центром в точке В
Координаты точки В:
В(6;3)

АВ=sqrt((x_(b)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2)=sqrt((6-2)^2+(3-3)^2)=4

Точка пересечения окружностей:
{(x-2)^2+(y-3)^2=3^2
{(x-6)^2+(y-3)^2=25
Вычитаем из первого уравнения второе.
(x-2)^2-(x-6)^2=3-25
x=2
y=0 или y=-6

АС=sqrt((2-2)^2+(0-3)^2)=3
ВС=sqrt(2-6)^2+(0-3)^2)=5

Р=4+3+5=12

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3y^2-4z^2=12
(3y^2/12) - (4z^2/12)=1
(y^2/4) - (z^2/3) = 1 - гипербола в плоскости yOz. (синего цвета)

Вращение вокруг оси Оz приводит к тому, что в плоскости xOz
также получим гиперболу
(x^2/4)-(y^2/3)=1 ( зеленого цвета)

Поверхность вращения:
(x^2/4)+(y^2/4)-(z^2/3)=1 - однополостный гиперболоид (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим
BC_(1) || AD_(1)

Угол между AD_(1) и BD - это угол между BC_(1) и BD.

Его легко найти из равностороннего треугольника BDC_(1)
Все стороны которого равны sqrt(2).
О т в е т. 60 градусов
(прикреплено изображение)

x^2+y^2=16 - круговой цилиндр, образующие которого параллельны оси Оz.
При пересечении с плоскостью z=0
получаем на пл. хОу
окружность
x^2+y^2=16

плоскость z=5y проходит через Ось Ох

Она отсекает от цилиндра "нижнюю часть"
В основании этой части на пл. хОу полуокружность AB
A(4;0) B(-4;0)

Соединить точку С с точками А и В плавной линией.
( см. рядом эскиз того, что должно получиться)
В сечении половина эллипса.

б) Две плоскости 2х+у=5 и 3х+у=5, снизу ограничены плоскостью z=0
Получаем в основании треугольник АDK
На плоскости y=0 получаем полосу

сверху ограничиваем плоскостью х+у+z=5

На пл. xOz сечение х+у=5
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 246:72=41/12 (часа) был в пути автобус
2) (41/12)-(35/60)=17/6 (часа) был в пути мотоциклист ( ехал)
3)221:(17/6)=221*(6/17)=78 км в час - скорость мотоциклиста

Cумма смежных углов равна 180 градусов.
Если внешний угол при вершине А равен 150 градусов, то смежный с ним угол А равен `180 градусов - 150 градусов= 30 градусов.
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Катет ВС - против угла А в 30 градусов.
О т в е т. ВС=25 градусов (прикреплено изображение)

а) 2x + 3y=7;
2x=7-3y
умножаем обе части равенства на (1/2)
x=(1/2)*(7-3y)
x=(7/2)-(3/2)y

б) 3x – 5y=1;
3x=5y+1
умножаем обе части равенства на (1/3)
x=(1/3)*(5y+1)
х=(5/3)у+(1/3)

в) x+xy=10;
x*(1+y)=10
x=10/(1+y)

г) xy–y^2–2x=1.
xy-2x=1+y^2
x*(y-2)=1+y^2
x=(1+y^2)/(y-2)

Ответ выбран лучшим

Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид:
x^2+y^2=R^2
а) окружность проходит через точку М, значит координаты точки удовлетворяют уравнению окружности ( подставляем координаты в уравнение)
5^2+12^2=R^2
R^2=25+144=169
о т в е т. x^2+y^2=169
R=13
б)
(-1)^2+(-3)^2=R^2
R^2=10
о т в е т. x^2+y^2=10
R=sqrt(10)

Ответ выбран лучшим

|a_(n)-a| = |(sqrt(n^2+2n)/(n-1))-1| = |sqrt((n^2+2n)/(n-1)^2)-1|=

=| sqrt((n^2-2n+1+4n-1)/(n^2-2n+1))-1|=

=| sqrt(1+(4n-1)/(n^2-2n+1)) - 1 | ≤ sqrt(4n-1)/(n-1)^2 ≤ sqrt(4n)/(n-1) =

=2sqrt(n)/(n-1) < 1/sqrt(n)

1/sqrt(n) < ε ⇒ sqrt(n) > (1/ε)
n > (1/ε)^2

Для любого ε > 0 найдется N = [(1/ε)^2]+1, что....

Ответ выбран лучшим

1.
Область определения функции
(- ∞ ; + ∞ )
2
y`=((1/3)x^3+(1/2)x^2-2x-(1/3))`=x^2+x-2

y`=0

x^2+x-2=0
D=1-4*(-2)=9
x_(1)=(-1-3)/2=-2; x_(2)=(-1+3)/2=1

Знак производной
_+__ (-2) __-__ (1) __+__

На (- ∞ ;-2) и на (1; + ∞ ) производная положительна, значит функция возрастает.
На (-2;1) производная отрицательна, значит функция убывает

x=(-2) - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(-2)=(1/3)*(-2)^3+(1/2)*(-2)^2-2*(-2)-(1/3)=(-9/3)+2+4=3
х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.

y(1)=(1/3)*1+(1/2)*1-2*1-(1/3)=-3/2

3.
y``=2x+1
y``=0

2x+1=0
x=-1/2 - точка перегиба, вторая производная меняет знак.

4.
График: (прикреплено изображение)

[vector{a},vector{b}]=|vector{a}|*|vector{b}|*sin ∠ (vector{a},vector{b})
причем
[vector{a},vector{a}]=|vector{a}|*|vector{a}|*sin 0=0

[vector{a_(1)}+vector{a_(2)},2*vector{a_(1)}+vector{a_(2)}]=

=[(vector{a_(1)},2*vector{a_(1)}]+[(vector{a_(2)},2*vector{a_(1)}]+
+[vector{a_(1)},vector{a_(2)}]+[vector{a_(2)},vector{a_(2)}]=

=2*0+2*|vector{a_(1)}|*|vector{a_(2)}|*sin( π/6)+ +|vector{a_(1)}|*|vector{a_(2)}|*sin( π/6)+0=

=18

|[vector{a_(1)}+vector{a_(2)},2*vector{a_(1)}+vector{a_(2)}]|=18

Ответ выбран лучшим

vector{a}=(1; -2; -2)

Пусть vector{x}=(x_(1);x_(2);x_(3))

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Значит
x_(1)/1=x_(2)/(-2)=x_(3)/(-2) = k

x_(1)=k
x_(2)=-2k
x_(3)=-2k

|vector{x}|=sqrt((k^2)+(-2k)^2+(-2k)^2)=sqrt(9k^2)=3|k|

По условию |vector{x}|=15

3*|k|=15
|k|=5
k= ± 5

При k=-5
vector{x}=(5;-2*5;-2*5)=(5;-10;-10)

При k=-5
vector{x}=(-5;-2*(-5);-2*(-5))=(-5;10;10)

О т в е т. (-5;10;10) образует с vector{j} острый угол, так как
cos β =2/|vector{x}|=2/15 > 0

Ответ выбран лучшим

1
1) ∫ ^(3)_(1)(x^4+x-9)dx=((x^5/5)+(x^2/2)-9x)|^(3)_(1)=

=((3^5/5)+(3^2/2)-9*3)-((1^5/5)+(1^2/2)-9*1)=

=(243/5)+(9/2)-27)-((1/5)-(1/2)-9)=

=(243-1)/5+(9-1)/2 -27+9=48,5+4-18=34,5

2) ∫ ^(3)_(2)dx/(x-1) =
подведение под дифференциал
d(x-1)=(x-1)`*dx=1*dx=dx

= ∫ ^(3)_(2)d(х-1)/(x-1) = ( табличный интеграл ∫du/(u) )

=(ln|x-1|)|^(3)_(2)=ln(3-1)-ln(2-1)=ln2-ln1=ln2-0=ln2

3) ∫ ^(5)_(4)dx/sqrt(x-3) =

подведение под дифференциал
d(x-3)=(x-3)`*dx=1*dx=dx

= ∫ ^(5)_(4)d(х-3)/sqrt(x-3) = ( табличный интеграл ∫du/sqrt(u) )

= (2*sqrt(x-3))|^(5)_(4)=2sqrt(5-3)-2sqrt(4-3)=
=2sqrt(2)-2

4) ∫ ^(2)_(1)(x^3-2)*x^2dx=раскрываем скобки

= ∫ ^(2)_(1)(x^3*x^2-2x^2)dx= свойства интегрирования:
интеграл от разности равен разности интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла)

= ∫ ^(2)_(1)x^5dx - 2∫ ^(2)_(1)x^2dx=

=(x^6/6)|^(2)_(1) -2*(x^3/3)|^(2)_(1)=

=(2^6/6)-(1^6/6)-2*((2^3/3)-(1^3/3))=

=(32/3)-(1/6)-(16/3)+(2/3)=35/6

5) ∫ ^(1)_(0)(2+x)e^(x)dx
интегрирование по частям ∫ udv=u*v- ∫ v*du

Обозначаем
u=(2+x) ⇒ du=(2+x)`dx ; du=dx
dv=e^(x)dx ⇒ ∫ dv= ∫ e^(x)dx ⇒ v =e^(x)

∫ (2+x)e^(x)dx=(2+x)*e^(x)- ∫e^(x)*dx = (2+x)*e^(x)+e^(x)=(2+x+1)*e^(x)

∫ ^(1)_(0)(2+x)e^(x)dx=((3+x)*e^(x)| ^(1)_(0) =(3+1)*e-(3+0)*e^(0)=

=4e-3

6) ∫ ^(2)_(1)3x*lnxdx=
интегрирование по частям:
[u=lnx ⇒ du=(1/x)dx;
dv=3xdx ⇒ v=3x^2/2

∫ ^(2)_(1)3x*lnxdx= ((3/2)x^2*lnx)|^(2)_(1)-∫ ^(2)_(1)(3x/2)dx=

= (3/2)*2^2*ln2-(3/2)*1^2*ln1-(3x^2/4)|^(2)_(1)=

=6ln2 - 0 - ((3*2^2/4)-(3*1/4)) =

=6ln2 -(3-3/4)= 6 ln2 - (9/4)

2

1) S= ∫^(4)_(2)(3x-1)dx=((3x^2/2)-x)|^(4)_(2)=(24-4)-(6-2)=20-4=16

2) S=∫^(3)_(0)((-1/3)x^2+3)dx=

=((-1/3)*(x^3/3) +3x)|^(3)_(0)=(-1/3)*(3^3/3)+3*3=-3+9=6

3)
Находим абсциссы точек пересечения графиков:
-x^2+6=2x+3;
x^2+2x-3=0
D=4-4*(-3)=16
x_(1)=(-2-4)/2=-3; х_(2)=(-2+4)/2=1

S= ∫^(1)_(-3) ((-x^2+6)-(2x+3))dx=

= ∫^(1)_(-3)(-x^2-2x+3)dx= ((-x^3/3)-(2x^2/2)+3x)|^(1)_(-3)=

=(-1/3)-1+3-(9-9-9)=10(2/3) (прикреплено изображение)

6
1) lim_(x→1)(x^3-4x^2-2)=1^3-4*1^2-2=-5;

2) lim_(x→2)(x^4-5x+6)/(8x^2-3)=(2^4-5*2+6)/(8*2^3-3)=12/29

3)lim_(x→2)(5x-10)/(x^2-4)=(0/0) это неопределенность. Ее надо устранить. Раскладываем и числитель и знаменатель на множители:
lim_(x→2)(5(x-2))/((x-2)*(х+2))= можно сократить на (х-2), это не 0, х только стремится к 2,
=lim_(x→2)(5)/(x+2)=5/(2+4)=5/6

4) lim_(x→0,5)(10x^2-x-2)/(2x-1)=(0/0)
Раскладываем и числитель и знаменатель на множители:
lim_(x→0,5)((2x-1)(5x+2))/(2x-1)= можно сократить на (2х-1),
=lim_(x→0,5)(5x+2)=4,5

5) lim_(x→2)(x^2+3x-10)/(3x^2-5x-2)=(0/0)
Раскладываем и числитель и знаменатель на множители:
lim_(x→2)((x-2)(x+5))/((x-2)(3x+1))= можно сократить на (х-2),
=lim_(x→2)(x+5)/(3x+1)=(2+5)/(3*2+1)=7/7=1

6) lim_(x→5)(sqrt(x-1)-2)/(x-5)=(0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на
(sqrt(x-1)+2)
lim_(x→5)(sqrt(x-1)-2)(sqrt(x-1)+2)/((x-5)*(sqrt(x-1)+2))=
=lim_(x→5)(sqrt(x-1))^2-2^2)/((x-5)*(sqrt(x-1)+2))=
=lim_(x→5)(x-1-4)/((x-5)*(sqrt(x-1)+2))= сокращаем на (х-5)=
=lim_(x→5)1/(sqrt(x-1)+2)=1/(sqrt(5-1)+2)=1/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x^2+(x+a))^2=2x^4+2*(x+a)^2
Раскрываем скобки:
x^4+2*x^2*(x+a)+(x+a)^2=2x^4+2*(x+a)^2
x^4-2*x^2*(x+a)+(x+a)^2=0
(x^2-(x+a))^2=0
x^2-x-a=0
Квадратное уравнение.
Решаем графически.

График y=x^2-x-a - парабола, ветви вверх.

Чтобы парабола пересекала ось Ох в единственной точке отрезка [0;2] необходимо выполнение условий:
1)
{f(0) ≥ 0 ⇒ 0^2 -0 - a ≥0 ⇒ a≤0
{f(2) < 0 ⇒ 2^2 - 2 - a <0 ⇒ a>2

нет пересечения множеств a≤0 и a > 2

2)
{f(0) < 0 ⇒ -a < 0 ⇒ a > 0
{f(2) ≥ 2 ⇒ a ≤ 2
(0;2]

См. рисунок.
Парабола должна быть расположена примерно так, как на рисунке.

О т в е т. (0;2] (прикреплено изображение)

10.
В основании равносторонний треугольник АВС.
Середина ВС - точка К.
АК - одновременно и медиана и высота треугольника АВС

Из прямоугольного треугольника АВК:
АВ=8
ВК=4
АК^2=AB^2-BK^2=8^2-4^2=64-16=48
AK=4sqrt(3)

S (сечения)=AK*AA_(1)

30 = 4sqrt(3)* AA_(1)

AA_(1)=30:(4sqrt(3))=5sqrt(3)/2

H=AA_(1)=5sqrt(3)/2

12. На отрезке [π/2;π] график функции расположен ниже оси Ох

По определению криволинейной трапецией на отрезке [a;b]называется фигура, ограниченная кривой у=f(x), f(х) > 0

Поэтому, если кривая расположена ниже оси Ох, то рассматривают равную ей по площади фигуру, но расположенную выше оси Ох
Кривые симметричны относительно оси Ох
Их уравнения отличаются знаками.

Поэтому на [π/2;π] считаем площадь от функции у=-cosx,

S= ∫^(π) _(-π/6) |cosx| dx=

= ∫^(π/2) _(-π/6) cosx dx+ ∫^(π) _(π/2) (-cosx) dx=

= (sinx)|^(π/2) _(-π/6) +(-sin)|^(π) _(π/2) =

=sin(π/2)-sin(-π/6) + (-sinπ) - (-sin(π/2))=

=1-(-1/2)+(0) +1=2,5
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4

см. рисунок

9

f`(x)=(x-lnx)`=(x)`-(lnx)`=1-(1/x)=(x-1)/x

f`(x)=0
(x-1)/x=0
x-1=0
x=1
О т в е т. 1

11
Чтобы получить права, курсант должен сдать и теоретическую часть и вождение.
Применяем правило умножения.
р=0,7*0,8=0,56 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

B U C={3;4;6;8;9;12;15;16;18;20;21;24;27;28}
- натуральные числа кратные 3 и 4 и меньшие тридцати.

vector{(B U C)}={1;2;5;7;10;11;13;14;17;19;22;23;25;26}

числа, не кратные 3 и 4 и меньшие тридцати.

vector{(B U C)} ∩ A={2;10;14;22;26} - четные ( делящиеся на 2 числа) из множества vector{(B U C)}

Из этого множества надо исключить те, которые принадлежат D ( т. е делятся на 5). Исключили одно число 10:

vector{(B U C)} ∩ A \ D= {2;14;22;26}

О т в е т. vector{BUC} ∩ A \ D= {2;14;22;26}

Ответ выбран лучшим

2x+3y–6=0 ⇒ y= (-2/3)x + 2
Прямая имеет угловой коэффициент k = (-2/3) и проходит через точку А (0; 2) на оси Оу

4x+6y+17=0 ⇒ y= (-2/3)x -(17/6)
Прямая имеет угловой коэффициент k = (-2/3) и проходит через точку В (0; -17/6) на оси Оу

C - середина АВ,
тогда
С(0; -5/12)
(2+(-17/6))/2=-5/12

Третья прямая параллельная данным имеет угловой коэффициент k=-2/3

y=(-2/3)x + b - уравнение любой прямой, параллельной данным.

Чтобы найти b, подставим координаты точки С

-5/12=(-2/3)*0 + b

b=-5/12

y=(-2/3)x -(5/12)

12y=-8x -5
8x+12y+5=0 - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Пусть vector{m}=(x;y;z)

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
x/(-4)=y/5=z/(-3) = k

x = - 4*k
y = 5k
z = - 3k

|vector{n}|=sqrt((-4)^2+5^2+(-3)^2)=sqrt(50)=5sqrt(2)

|vector{m}| =3*5sqrt(2)=15*sqrt(2)

|vector{m}|=sqrt((-4k)^2+(5k)^2+(-3k)^2)= sqrt(50k^2)=5sqrt(2)*|k|

5sqrt(2)*|k| = 15*sqrt(2)

|k|= 3

При k=3
vector{m}=(-12;15;-9)
При k =-3
vector{m}=(12;-15;9)

О т в е т. (-12;15;-9) или (12;-15;9)

Ответ выбран лучшим

Пусть vector{b}=(x;y;z)

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
x/2sqrt(2)=y/(-1)=z/4 = k

x=2sqrt(2)*k
y=-k
z=4k

|vector{b}|=sqrt((2sqrt(2))^2+(-k)^2+(4k)^2)=sqrt(25k^2)=5|k|
5|k|=10
|k|=2

При k=2
vector{b}=(4sqrt(2);-2;8)
При k =-2
vector{b}=(-4sqrt(2);2;-8)

О т в е т. (-4sqrt(2);2;-8) или (4sqrt(2);-2;8)

Ответ выбран лучшим

vector{CB}+vector{BD}=vector{CD}
vector{CD}=vector{BA}=vector{B_(1)A_(1)}

vector{B_(1)A_(1)}+vector{A_(1)B_(1)}=vector{0}

vector{DA_(1)}=vector{CB_(1)}

vector{DD_(1)}=vector{BB_(1)}=

vector{DD_(1)}+vector{DA_(1)}+vector{BB_(1)}=

=2*vector{BB_(1)}+vector{CB_(1)}

Ответ выбран лучшим

vector{BA}=vector{CD}
vector {CD}=-vector{DC}
Поэтому
vector{BA}+ vector{DC}=vector{0}

Аналогично,
vector{A_(1)D_(1)}+ vector{CB}=vector{0}

Осталось найти
vector{AС}+ vector{DА}=vector{DA}+vector{AС}=vector{DС}

О т в е т. =vector{DС}
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

C ( окружности )=2πR

L( дуги)=(2πR/360^(o))* α ^(o)

По условию
α =28^(o)

L(меньшей дуги АВ)=(2π*R/360^(o))*28^(o)

63= (2π*R/360^(o))*28^(o)

2πR=63*360^(o)/28^(o)=810

С(окружности)=2π*R=810

L ( большей дуги АВ)=С(окружности )- L ( меньшей дуги АВ)=

=810 - 63= 747

О т в е т. 747

ОДЗ:
{x ≠0
{(9/2)-2*7^(-x) >0 ⇒(9/2) > 2*7^(-x)⇒ 7^(x)> (4/9)⇒x > log_(7)(4/9)

x∈ ( log_(7)(4/9); 0) U (0;+ ∞ )

Рассматриваем x∈ ( log_(7)(4/9); 0)
Умножаем обе части неравенства на х и меняем знак неравенства:

log_(7) ((9/2) -2*7^(-x)) < x

log_(7) ((9/2) -2*7^(-x)) < x*log_(7)7

log_(7) ((9/2) -2*7^(-x)) < log_(7)7^(x)

7 > 1, логарифмическая функция с основанием 7 возрастает, поэтому

(9/2) -2*7^(-x)) < 7^(x)

2*(7^(x))^2 - 9*7^(x) + 4 > 0

D=81 - 4 * 2* 4= 81 - 32 = 49

корни : 1/2 и 4

7^(x) < 1/2 или 7^(x) > 4

x < log_(7) 1/2 или x > log _(7)4

С учетомx∈ ( log_(7)(4/9); 0)

получаем о т в е т ( log_(7)(4/9); log_(7)1/2)

Рассматриваем x∈(0;+ ∞ )

Умножаем обе части неравенства на х:

log_(7) ((9/2) -2*7^(-x)) > x

log_(7) ((9/2) -2*7^(-x)) > x*log_(7)7

log_(7) ((9/2) -2*7^(-x)) > log_(7)7^(x)

7 > 1, логарифмическая функция с основанием 7 возрастает, поэтому

(9/2) -2*7^(-x)) > 7^(x)

2*(7^(x))^2 - 9*7^(x) + 4 < 0

D=81 - 4 * 2* 4= 81 - 32 = 49

корни : 1/2 и 4

1/2 < 7^(x) < 4

log_(7) 1/2 < x < log _(7)4

так как x∈(0;+ ∞ )
о т в е т (0; log_(7)4)

Решением данного неравенства является объединение двух ответов.

О т в е т. ( log_(7)(4/9); log_(7)1/2) U (0 ; log_(7)4)

Ответ выбран лучшим

Четные цифры:
0; 2; 4; 6; 8

Нечетные цифры:
1; 3; 5; 7; 9

Вероятность выбора четной цифры
p=5/10=1/2

Вероятность выбора нечётной цифры тоже равно
1/2

Пусть событие А - "произведение трех последних цифр случайно выбранного телефонного номера четно"

Произведение трех последних цифр случайно выбранного телефонного номера чётно, если хотя бы одна из трех последних цифр чётная.

Найдем вероятность противоположного события
vector{A} - " произведение трех последних цифр случайно выбранного телефонного номера нечётно.

Произведение трех последних цифр случайно выбранного телефонного номера нечётно, если все три последние цифры нечётные.

Вероятность выбора нечетной цифры равна (1/2)

р(vector{A})=(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8

р(А)=1-р(vector{A})=1-(1/8)=7/8

О т в е т. 7/8

Ответ выбран лучшим

Пусть основание параллелограмма равно a, высота h.

Тогда основание заштрихованного треугольника a/3; высота h/2.

S_( Δ )=(1/2)*(a/3)*(h/2)=a*h/12

S_(заштрихованной фигуры)=2S_( Δ)=2*(a*h/12)=a*h/6

По условию

S_(заштрихованной фигуры)= 7

a*h/6 = 7

a*h = 42

S (параллелограмма)=a*h=42 ( см^2)

О т в е т. 42 ( см^2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения функции:
{2lgx-1 ≥ 0 ⇒ lgx ≥ 1/2 ⇒ x ≥ sqrt(10)
{x>0

х ∈ [sqrt(10);+ ∞ )

y`=(sqrt(2lgx - 1) - lgx)` = (1/(2sqrt(2lgx-1))) *(2lgx-1)` - (1/x)*(1/ln10)=

=(1-sqrt(2lgx-1))/(x*lg10*sqrt(2lgx-1))

y`=0

1-sqrt(2lgx-1)=0 ⇒ sqrt(2lgx-1)=1 ⇒

2lgx-1=1
2lgx=2
lgx=1
x=10

Производная не существует при х=0 и 2lgx-1=0 ⇒ x=sqrt(10)
0 ∈ ОДЗ
x=sqrt(10) - крайняя левая точка ОДЗ

Исследуем точку х=10 на экстремум

(sqrt(10)) __+__ (10) _____-____

x=10 - точка максимума, производная при переходе через точку меняет знак с + на -

y(10)=sqrt(2*lg10) - lg10=sqrt(2*1-1)-1=0

О т в е т. 0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
sinx ≥ 0 ⇒ x ∈ [2πn; π+2πn], n ∈ Z

В условиях ОДЗ возводим обе части уравнения в квадрат:
4+3cosx - cos2x = 6 sin^2x
Так как
сos2x=2cos^2x-1
sin^2x=1-cos^2x,
уравнение принимает вид:

4cos^2x+3cosx-1=0
D=9-4*4*(-1)=25

сosx=-1 или сosx=1/4

cosx=-1 ⇒ x= π+2πk, k ∈ Z - удовл. ОДЗ

или

cosx=1/4 ⇒ x= ± arccos(1/4)+2πm, m ∈ Z

Учитывая ОДЗ
x=arccos(1/4)+2πm, m ∈ Z

Указанному отрезку [–7π/2; –2π]
принадлежат один корень:
х_(1) = - π - 2π = - 3π

О т в е т. π+2πk; arccos(1/4)+2πm, k, m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1.
а) так как 1=3^(0), то
3^(x^2-4x-12)=3^(0)
x^2-4x-12=0
D=(-4)^2-4*(-12)=16+48=64
x_(1)=(4-8)/2=-2 или х_(2)=(4+8)/2=6
О т в е т. -2; 6

б) Квадратное уравнение.
Замена переменной:
2^(x)=t
4^(x)=(2^(2))^(x)=2^(2*x)=(2^(x))^2=t^2
t^2-6t+8=0
D=(-6)^2-4*8=36-32=4
t_(1)=(6-2)/2=2 или t_(2)=(6+2)/2=4

Обратный переход
2^(x)=2
x=1
или
2^(x)=4
2^(x)=2^2
x=2

2.
а) По определению: log_(a)b=x ⇒ a^(x)=b ( a>0; a ≠ 1, b>0)
ОДЗ:
{x> 0
{x ≠ 1
x^(-2)=36 ⇒ 1/x^2=36 ⇒ x^2=1/36 ⇒ x= ± 1/6
х = - 1/6 не удовл. ОДЗ
О т в е т. 1/6

б)
ОДЗ:
{x> 0
{x ≠ 1
x^4=81 ⇒ x^2=9 ⇒ x= ± 3
х= - 3 не удовл. ОДЗ
О т в е т. 3

3.
а)
ОДЗ: 3х-2 > 0 ⇒ x > 2/3
По определению логарифма
(3х-2)=7^2
3x-2=49
3x=49+2
3x=51
x=17
17 входит в ОДЗ
О т в е т. 17

б)
ОДЗ:
{x-1>0 ⇒ x > 1
{x>0 ⇒ x > 0

ОДЗ x > 1

По формуле
log_(a)b+log_(a)c=log_(a)bc( b>0,c>0,a>0, a ≠ 1)

log_(4)(x-1)*x=log_(4)30
(x-1)*x=30
x^2-x-30=0
D=1-4*(-30)=121
х_(1)=(1-11)/2=-5; x_(2)=(1+11)/2=6

х_(1) не удовл. ОДЗ
О т в е т. 6

4
lg0,001=-3, так как по определению 10^(-3)=0,001
lg 10000=4, так как 10^4=10000
lg sqrt(1000)=3/2, так как 10^(3/2)=1000^(1/2)

5
Применяем формулы:
log_(a)b+log_(a)c=log_(a)bc( b>0,c>0,a>0, a ≠ 1)
и
log_(a)b^(k)=klog_(a)b ( a>0, a ≠ 1, b > 0)

lgx=lg(sqrt(a)*b^3/(c^2d))
lgx=lg(sqrt(a))+lgb^3-lgc^2-lgd
lgx=lg(a)^(1/2)+lgb^3-lgc^2-lgd
lgx=(1/2)lga+3lgb-2lgc-lgd

a>0; b>0; c>0;d>0

О т в е т. lgx=(1/2)lga+3lgb-2lgc-lgd, a>0; b>0; c>0;d>0

6.
Применяем формулы:
log_(a)bc= log_(a)b + log_(a)c ( b>0,c>0,a>0, a ≠ 1)

klog_(a)b =log_(a)b^(k) ( a>0, a ≠ 1, b > 0)

y=2a^2*c^3/sqrt(b)
О т в е т. у=2a^2*c^3/sqrt(b)

(прикреплено изображение)

1

7^(-4-x)=7^(1) ⇒
-4-x=1
-x=1+4
-x=5
x=-5

2

6^(4x-10)=6^(-2) ⇒
4x-10=-2
4x=10-2;
4x=8;
x=2

3

(1/2)^(4x-16)=(1/2)^4
4x-16=4
4x=4+16
4x=20
x=5

4

9^(x-2)=9^(-1/2)
x-2=-1/2
x=(-1/2)+2
x=3/2

5

(1/5)^(11-x)=(1/5)^(-3)
11-x=-3
-x=-3+11
x=-8

6

(1/16)^(x-2)=(1/16)^(-1/2)
x-2=(-1/2)
x=(3/2)

7

x+7=3
x=-4

8

Делим на 10^(4+x)
(4/10)^(4+x)=(4/10)
4+x=1
x=3

9

Делим на 5^(3+4x)
(7/5)^(3+4x)=(7/5)
3+4x=1
4x=3-1
4x=2
x=1/2

10

(5^(-2))^(x+2)=5^(x+5)
5^(-2x-4)=5^(x+5)

-2x-4=x+5
-2x-x=5+4
-3x=9
x=-3

Ответ выбран лучшим

Комментарий дан для того, чтобы понять как начать счет. Ясно, что между 2014 и 2017 два столбика: 2015 и 2016. Бабочка с 2018 перелетает на 2016. Затем бабочка с 2017 перелетает на 2015. Вот два хода.

Решение основной задачи:
Между 498 и 992 столбиков больше, чем между 992 и 1301, поэтому начинаем с бабочки на 1301 столбике.
Она с 1301 перелетает на 745, находящийся посередине между 498 и 992.
745=(498+992)/2

[b]498 ..... 745 ...... 992 [/b] - первый ход

Теперь три бабочки находятся на одинаковых расстояниях друг от друга. И разницы нет, какая бабочка начнет игру.
Между 745 и 498 находится 248 столбиков.
a_(n)=a_(1)+(n-1)*d ⇒ 745=498 + (n-1) ⇒ n=745 - 498 +1 =248

Столбиков четное число, поэтому бабочка может сесть как на столбик 621, так и на столбик 622.

Разницы никакой, потому что

[b]498 ...... 621 .....745 [/b]

между 498 и 621 находится 124 столбика,
между 621 и 745 находится 125 столбиков. ⇒

Бабочка со столбика 498 садится на столбик между 621 и 745.
683=(621+745)/2

[b]498 ..... 622 ..... 745[/b]

между 498 и 622 находится 125 столбиков,
между 622 и 745 находится 124 столбика. ⇒

Чтобы действий было наибольшее количество выбираем ту часть, где столбиков больше.

[b]621 ..... 683 ..... 745 [/b] - второй ход

между 621 и 683 находится 63 столбика,
между 683 и 745 находится 63 столбика. ⇒

[b] 621 ..... 652 ..... 683 [/b] - третий ход

652=(621+683)/2=652

между 621 и 652 находится 32 столбика,
между 652 и 683 находится 32 столбика. ⇒

[b] 621 .... 637 ..... 652 [/b] - четвертый ход

[b] 621 ..... 629 ..... 637[/b] - пятый ход

[b] 621 .... 625 ..... 629 [/b] - шестой ход

[b] 621 ..... 623 ..... 625 [/b] - седьмой ход

[b] 621 ....622 ..... 623 [/b] - восьмой ход

О т в е т. 8 ходов

Замена переменной.
5^(x)=t,
так как 5^(x)> 0 при любом х, t>0.

5^(x-1)=5^(x)*5^(-1)=5^(x)*(1/5)=t/5
25^(x)=(5^(2))^(x)=(5^(x))^(2)=t^2

Основное логарифмическое тождество:
a^(log_(a)b)=b при a>0; a ≠ 1, b >0

Поэтому
5^(log_(5)3)=3

t^2-(24/5)t -1=0
5t^2-24t-5=0
D=(-24)^2-4*5*(-5)=576+100=676=26^2
t=(24-26)/10=-1/5 или t=(24+26)/10=5

Условию t > 0 удовлетворяет только второй корень.

5^x=5
x=1
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

На кубике шесть цифр. Кубик правильный, т.е выпадение любой из этих цифр равновероятно и равно (1/6):

р=1/6 - вероятность выпадения цифры 1,
р=1/6 - вероятность выпадения цифры 2,
р=1/6 - вероятность выпадения цифры 3.

Событие А - " выпало число очков менее четырех"
значит выпали цифры 1 или 2 или 3.

Вероятность события А равна сумме вероятностей :

р(А)=p+p+p=(1/6)+(1/6)+(1/6)=3/6=1/2

О т в е т. (1/2)

5^(x-1)*(1+5^3)=70*3^(x)
(5^(x)/5)*126=70*3^(x)
(5^(x)/5)*9=5*3^(x)
(5/3)^(x)=350/126
(5/3)^x=(25/9)
(5/3)^x=(5/3)^2
x=2

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(lnu)`=(1/u)*u`

y`=(2ln(2x+1))`=2*(1/(2x+1))*(2x+1)`=2*(1/(2x+1))*(2)=4/(2x+1)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Область определения:
(- ∞ ;+ ∞ )
y`=x^2-2x-3

y`=0 ⇒ x^2-2x-3=0 D=16; корни (-1) и 3

Знак производной:
_+__ ( -1) __-__ (3) _+__

Функция возрастает на (- ∞ ; -1) и на (3;+ ∞ )
убывает на (-1;3)

х=-1 - точка максимума ( производная меняет знак с + на -)
х= 3 - точка минимуму ( производная меняет знак с - на +)

y(-1)= (-1/3)-(-1)^2-3*(-1)+(1/3)=2
y(3)=(27/3)-9 -3*3+(1/3)=-8 целых 2/3

y``=2x-2
y``=0
2x-2=0
x=1 - точка перегиба, производная меняет знак.

График: см. рис. (прикреплено изображение)

х- y*y`=1
x - 1 = y*y`
y`=dy/dx
(x-1)dx=ydy
Уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем.
(x-1)^2/2=y^2/2+ (C/2)
(x-1)^2=y^2+C - о т в е т.

Леопард легче верблюда, значит верблюд тяжелее леопарда.

Жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее леопарда, значит
жираф тяжелее леопарда и 2) верно

жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра.
Значит жираф тяжелее тигра
и 2) получено жираф тяжелее леопарда.
Значит, жираф самый тяжелый из всех животных.

4) верно

О т в е т. 24

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(3y)-(77/3y)-76=0

9y^2-228y-77=0
(D/4)=(-114)^2-9*(-77)=12996+693=13689=117^2

y_(1)=(114-117)/9=-1/3 или y_(2)=(114+117)/3=77

Ответ выбран лучшим

0,2=1/5=5^(-1)

5^(x-1)+5*(5^(-1))^(x-2)=26

5^(x-1)+5^(3-x)=26

(5^(x)/5)+(125/5^(x))=26

5^(x)=t
t > 0

(t/5)+(125/t)=26;

(t^2-130t+625)/(5t)=0

t^2-130t+625=0
D=(-130)^2-4*625=16900 - 2500 = 14400

t_(1)=(130-120)/2=5 или t_(2)=(130+120)/2=125

Обратный переход

5^(-x)=5
-x=1
x=-1

ИЛИ

5^(-x)=125
5^(-x)=5^3
-x=3
x=-3

О т в е т. -1; -3

Ответ выбран лучшим

1)Логарифмируем.
lny=(1/2)ln(x-3)+5ln(x+5)+6lnx-4 ln (2-x)-2ln(x-5)+3ln(2x-1)

По формуле производной сложной функции:
lnu=(1/u)*u`

y`/y=[b](1/(2(x-3))+(5/(x+1))+(6/x)-(4/(2-x))-(2/(x-5))-(3/(2x-1))*2[/b]
Приводим справа к общему знаменателю.
И тогда О т в е т:

у`= y* [b](1/(2(x-3))+(5/(x+1))+(6/x)-(4/(2-x))-(2/(x-5))-(3/(2x-1))*2[/b]
где y - данная функция.

2)
(x*siny+y*sinx)`=(0)`
Производная суммы равна сумме производных:
(x*siny)`+(y*sinx)=(0)`
Применяем правило нахождения производной произведения:
(x)`*(siny)+x*(siny)`+y`*(sinx)+y*(sinx)`=0

1*(siny) + x*(cosy)*y`+y`*(sinx)+y*cosx=0
x*(cosy)*y`+y`*(sinx)=-siny-y*cosx
y`*(x*cosy+sinx)=-siny-y*cosx

y`=(-siny-y*cosx)/(xcosy+sinx) - о т в е т.

3) Логарифмируем
y*lnx=x*lny
(y*lnx)=(x*lny)
Применяем правило нахождения производной произведения:
y`*lnx+y*(lnx)`=x`*(lny)+x*(lny)`

y`*lnx +y*(1/x)=1*lny + x*(y`/y)

y`*lnx - x*(y`/y)=1*lny -y*(1/x)

y`=(lny - (y/x))/(lnx-(x/y)) - о т в е т.

9^(x+1)=9^(x)*9^(1)=9*9^(x)=9*(3^x)^2
3^(x+2)=3^(x)*3^(2)=3^(x)*9=9*3^(x)

Уравнение принимает вид
9*(3^x)^2+9*(3^x)-18=0
9*((3^(x))^2+3^(x)-2)=0

(3^(x))^2 + 3^(x) -2 =0

Замена переменной
3^(x)=t,
t>0

D=1-4*(-2)=9

t_(1)=(-1-3)/2=-2 или t_(2)=(-1+3)/2=1

3^(x)=-2 уравнение не имеет корней, 3^x > 0 при любом х

3^(x)=1
3^(x)=3^(0)
x=0

О т в е т. 0

Ответ выбран лучшим

30x^5

Ответ выбран лучшим

р=0,05*0,05=0,0025
О т в е т. 0,0025

Телятина дороже баклажанов, баклажаны дороже грибов.
Голубика дороже грибов.
Значит грибы самая дешевая из покупок.
1) верно
3) верно

О т в е т. 13

Ответ выбран лучшим

Четырёхзначное число А:
1605
Четырехзначное число В
3210

3210=2*1605

О т в е т. 1605

1,71:0,9=1,9

1,9-0,4=1,5

О т в е т. 1,5

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
tg 765°=tg(720°+45°)=tg(4*180°+45°)=tg45°

–17tg765° =-17*tg 45° = -17*1 = -17.

Ответ выбран лучшим

(sin(3x))`=
по формуле производной сложной функции
(sin u)`=(cos u) * u`

=(cos(3x))*(3x)`=(cos(3x))* (3)= 3*cos(3)x

О т в е т. 3cos3x

Парабола, ветви вниз. Наибольшее значение в вершине.
х_(о) = - 3/(2*(-5))=0,3
у_(о) = -5*(0,3)^2+3*0,3+1=-0,45+0,9+1=1,45

О т в е т. 1,45 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решается только второе. В первом и третьем уточняйте условие

2) ОДЗ:
{cosx > 0
{sin^2x>0 ⇒ sinx ≠ 0

log_(2)(4cosx)=log_(2)4+log_(2)cosx
log_(2)(16sin^2x)=log_(2)16+log_(2)sin^2x
log_(2)(64cos^3x)=log_(2)64+log_(2)cos^3x=6+3log_(2)x
log_(2)(256sin^4x)=log_(2)256+log_(2)(sin^2x)^2=
=8+2log_(2)sin^2x

Уравнение принимает вид:

6 + (2+log_(2)cosx)*(4+log_(2)sin^2x)=6+3log_(2)cosx+8+2log_(2)sin^2x;

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

6+8+4log_(2)cosx+2log_(2)sin^2x+log_(2)cosx*log_(2)sin^2x=6+8+3log_(2)cosx+2log_(2)sin^2x;

4log_(2)cosx-3log_(2)cosx+log_(2)cosx*log_(2)sin^2x=0

log_(2)cosx+log_(2)cosx*log_(2)sin^2x=0

log_(2)cosx*(1+log_(2)sin^2x)=0

log_(2)cosx=0 ИЛИ (1+log_(2)sin^2x)=0

1)
log_(2)cosx=0 ⇒ cosx=1 ⇒ x=2πn, n ∈ Z

2)1+log_(2)sin^2x=0 ⇒ log_(2)sin^2x = -1 ⇒ sin^2x=2^(-1) ⇒

sin^2x=1/2

sinx=sqrt(2)/2 или sinx=-sqrt(2)/2

C учетом ОДЗ: сosx >0 ( х в первой или в четвертой четв)

x=(π/4)+2πk, k ∈ Z или х=(-π/4)+2πk, k ∈ Z

О т в е т. 2πn, n ∈ Z; ± (π/4)+2πk, k ∈ Z (прикреплено изображение)

а) x^2+y^2=2^2;
x^2+y^2=4

б)x^2+y^2=(9/2)^2;
x^2+y^2=81/4

в)x^2+y^2=(sqrt(13))^2;
x^2+y^2=13

г)x^2+y^2=(sqrt(6)/2)^2;
x^2+y^2=3/2

Ответ выбран лучшим

Подставляем координаты точки в уравнение окружности.
Если равенство верное, точка принадлежит окружности

В (7;9)
7^2+9^2 ≠ 144
не принадлежит

С (10;7)
10^2+7^2 ≠ 144
не принадлежит

D (0; –12)
0^2+(-12)^2 = 144 - верное равенство
принадлежит

Е (–8; 4 √5).
(-8)^2+(4sqrt(5))^2 = 144
принадлежит

О т в е т. точки D и E принадлежат окружности x^2+y^2=144

Ответ выбран лучшим

[b]ОДЗ[/b]:
{3x^2+2x >0 ⇒ x*(3x+2) > 0 ⇒ x < -2/3 или x >0
{6x^2-5x>0 ⇒ x*(6x-5) > 0 ⇒ x < 0 или x > 5/6
{log_(6)(6x^2-5x) ≠ 0 ⇒ 6x^2-5x≠ 1 D=49, корни (-1/6) и 1

[b](- ∞;(-2/3))U((5/6);1)U(1;+ ∞)[/b]

Перейдем к основанию 10:
(lg(3x^2+2x)/lg5):(lg(6x^2-5x)/lg6)=((lg(3x^2+2x)/lg(6x^2-5x))*(lg6/lg5)

Снова применяем формулу перехода к другому основанию, но в обратном направлении:
(log_(6x^2-5x)(3x^2+2x))*log_(5)6 ≤ 0

log_(5)6>log_(5)5=1

Поэтому решаем неравенство

lg_(6x^2-5x)(3x^2+2x) ≤ 0

Так как 0=log_(6x^2-5x)1

lg_(6x^2-5x)(3x^2+2x) ≤ log_(6x^2-5x)1

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

{(6x^2-5x-1)*(3x^2+2x-1) ≤ 0 - применяем метод интервалов:

6x^2-5x-1=0
D=49
корни -1/2 и 1

3x^2+2x-1=0
D=16;
корни -1 и (1/3)

c учетом ОДЗ решение:

___ [-1] _-_ (-2/3) __ [1/3] ___(1/2) ___ (5/6) _-_ (1)] ___

О т в е т. [-1;-2/3) U (5/6; 1)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

площадь = длина * ширину

длина = площадь : ширину = 179,5 : 3,9 =45 м

79
y=tgx - возрастающая функция на ((-π/2) + πk; (π/2) + πk), k ∈ Z

1) (π/5)> (π/7), поэтому tg(π/5)> tg(π/7)

3) (-7π/9)> (-8π/9), поэтому tg(-7π/9)> tg(-8π/9)

4) (-π/5)< (-π/7), поэтому tg(-π/5) < tg(-π/7)

6) 1 < 1,5, поэтому tg1 < tg 1,5

y=ctgx - убывающая функция на (0 + πk; π + πk), k ∈ Z

2) (7π/8) < (8π/9), поэтому ctg(7π/8)> ctg(8π/9)

5) 2 < 3 , поэтому ctg2 > ctg3

80.

1) ctgx=1 ⇒ x=( π/4) +πk, k ∈ Z

интервалу (-π;2π) принадлежат корни

( π/4) +π*(-1)=-3π/4
( π/4) +π*0=π/4
( π/4) +π*1=5π/4

2)tgx=sqrt(3) ⇒ x=(π/3)+πn, n ∈ Z

интервалу (-π;2π) принадлежат корни

(π/3)+π*(-1)=-2π/3
(π/3)+π*0=π/3
(π/3)+π*1=4π/3

3)ctgx=- sqrt(3) ⇒ x=(-π/6)+πn, n ∈ Z

интервалу (-π;2π) принадлежат корни

(-π/6)+π*0=-π/6
(-π/6)+π*1=5π/6
(-π/6)+π*2=11π/6

4)) tgx = - 1 ⇒ x=( -π/4) +πk, k ∈ Z

интервалу (-π;2π) принадлежат корни

( -π/4) +π*0=-π/4
(- π/4) +π*1=3π/4
( -π/4) +π*2=7π/4

ОДЗ:
x>0
lgx≠ 1 ⇒ x≠ 10

(lg^2x-lgx-4)/(lgx-1) - 1 > 0

(lg^2x-lgx-4-lgx+1)/(lgx-1) > 0

(lg^2x-2lgx-3)/(lgx-1) > 0

(lgx-3)(lgx+1)/(lgx-1) > 0

Применяем метод интервалов
Находим нули числителя:
(lgx-3)(lgx+1)=0
lgx-3=0 или lgx+1=0
lgx=3 или lgx=-1
x=1000 или x=0,1
Находим нули знаменателя:
lgx-1=0
lgx=1
x=10

(0)_-_ (0,1) __+__ (10) __-___ (1000) _+__

О т в е т. (0,1;10) U (1000; + ∞ )

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

∠ ОКМ + ∠ МКF = 180 градусов.
(сумма смежных углов равна 180 градусов)

Пусть ∠ ОКМ = х градусов , тогда ∠ МКF = (х + 40) градусов.

х+(х+40)=180
2х=140
х=70
х+40=70+40=110

∠ МКF =110 градусов
∠ FKA=110 градусов - 90 градусов = 20 градусов.
∠ FKA= 20 градусов.

О т в е т. 20 градусов

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(x-1)-3^(x+1)+2^(4-x)=0
2^(4-x)=3^(x+1)-3^(x-1)
2^(4-x)=3^(x-1)*(3^2-1)
2^(4-x)=3^(x-1)*8
2^(4-x)=3^(x-1)*2^(3)
2^(4-x-3)=3^(x-1)
(3/2)^(x-1)=(3/2)^(0)
x-1=0
x=1

Ответ выбран лучшим

a) гипербола y=6/x в первой и третьей четверти, график синего цвета
б) гипербола y=6/x во второй и четвертой четверти, график зеленого цвета (прикреплено изображение)

x^2+y^2=R^2 - уравнение окружности с центром в точке (0;0) радиусом R

а) x^2+y^2=16; ( R=4 окружность красного цвета)
б) x^2+y^2=36; (К=6 окружность голубого цвета)
в) x^2+y^2=6 (1/4); (R=5/2, зелёного цвета)
г) x^2+y^2=20; (R=2sqrt(5), сиреневого цвета)
д) x^2+y^2=12; (R=2sqrt(3), черного цвета)
е) x^2+y^2=0. - одна точка (0;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными.
Делим обе части уравнения на х*(у+1)
dx/x=dy/(y+1)
Интегрируем
∫ dx/x=∫ dy/(y+1)
ln|x|+lnC=ln|y+1|
lnС*|x|=ln|y+1|

y+1=Cx
y=Cx-1
О т в е т. y+1=Cx или y=Cx-1

а)Да.
12
12+1=13
13+1=14
14:2=7
7+1=8
8:2=4
4:2=2

б) Нет.
1200; 600; 300; 150;75
Чтобы получить 100 надо прибавить 25 раз по 1.
А далее от 50 двигаться к 63

в) 12
1200; 600; 300; 150; 75; 75+1=76; 38; 39; 40; 20; 10; 5

tg( α -(π/2))=tg((π/2)- α )=-ctg α

ctg(π- α )=-ctg α

cos( α -(3π/2))=cos((3π/2)- α )=-sin α

sin(π+ α )=-sin α

Итог:
(-сtg α -(-ctg α )+(-sin α ))/(-sin α)=-sin α /(-sin α )=1 (прикреплено изображение)

2^(x-1)*(2^2-1)=3^(2-x)
2^(x-1)*3=3^(2-x)
2^(x-1)=3^(2-x-1)
2^(x-1)=3^(1-x)
2^(x-1)*3^(x-1)=3^(1-x)*3^(x-1)
6^(x-1)=1
6^(x-1)=6^(0)
x-1=0
x=0
О т в е т.0

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

X*A=B
X*A*A^(-1)=B*A^(-1)
X=B*A^(-1)

(прикреплено изображение)

38*3^(x)=7^(x+1)-7^(x-2)

38*3^(x)=7^(x-2)*(7^3-1)

38*3^(x)=342*7^(x-2)

3^(x)=9*7^(x-2)
3^(x-2)=7^(x-2)
(3/7)^(x-2)=1
(3/7)^(x-2)=(3/7)^(0)
x-2=0
x=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора из треугольника РАО:
РО^2=PA^2+AO^2=24^2+7^2=576+49=625
PO=15

S_( Δ PAO)=(1/2)PA*AO=(1/2)*24*7=84

S_( Δ PAO)=(1/2)PO*AK

84=(1/2)*25*AK

AK=168/25

AB=2AK=324/25=12,96 (прикреплено изображение)

В условии должны быть скобки.
Если
y=sqrt(x-4)+(1/x), то решение:
Подкоренное выражение - неотрицательно.
Знаменатель дроби отличен от 0

{4-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
{x ≠ 0

_____ (0) _____[4]

О т в е т. (- ∞ ;0) U (0;4]

Если
y=sqrt(4-x+(1/x)), то
решение:
4-x+(1/x) ≥ 0
(4х - x^2 +1)/x ≥ 0
(x^2-4x-1)/x ≤ 0

x^2-4x-1=0
D=16+4=20
x_(1)=(4-2sqrt)5))/2=2-sqrt(5) или х_(2)=2+sqrt(5)

_-__ [2-sqrt(5)] _+_ (0) ____-___ [2+sqrt(5)] __+_

О т в е т. (- ∞ ; 2-sqrt(5)] U (0; 2+sqrt(5)]

p_(1)=0,6 - вероятность выигрыша игрока А
p_(2)=0,4 - вероятность выигрыша игрока В

Cоответственно
q_(1)=1 - p_(1)=1 - 0,6 = 0,4 - вероятность не выигрыша игрока А
q_(2)=1 - p_(2)=1 - 0,4 = 0,6 - вероятность не выигрыша игрока В

Событие M- сыграны две игры, значит два раза подряд выиграл игрок А или два раза подряд выиграл игрок В

p(M)=p_(1)*p_(1)+p_(2)*p_(2)=0,52

Событие К- сыграны три игры, значит ни игрок А, ни игрок В не выиграли два раза подряд.

р(К)=p_(1)*p_(2)+p_(2)*p_(1)=0,6*0,4+0,4*0,6=0,48

А вот какой результат будет в третьей игре нас не спрашивают. Нас спрашивают: какова вероятность, что третья игра состоится.

О т в е т. 0,52; 0,48

Ответ выбран лучшим

1)
z_(1)+z_(2)=(-2+2sqrt(3)*i)+(1-i)=(-2+1)+(2sqrt(3)-1)*i=-1+(2sqrt(3)-1)*i;

2)
z_(1)-z_(2)=(-2+2sqrt(3)*i)-(1-i)=(-2-1)+(2sqrt(3)+1)*i=-3+(2sqrt(3)+1)*i;

3) z_(1)*z_(2)=( - 2 + 2sqrt(3)*i)*(1 - i)=
= - 2 + 2sqrt(3)*i + 2*i - 2sqrt(3)*i^2=
=(так как i^2=-1)=
= - 2 + 2sqrt(3)*i + 2*i + 2sqrt(3)=

=(2sqrt(3)-2)+(2sqrt(3)+2)*i

4) z_(1)/z_(2)=(-2+2sqrt(3)*i)/(1-i) ( умножаем и числитель и знаменатель на (1+i))
=(-2+2sqrt(3)*i)*(1+i)/(1-i)*(1+i)=

=(-2+2sqrt(3)*i-2*i+2sqrt(3)*i^2)/(1 - i^2)=

=((-2-2sqrt(3))+(2sqrt(3)-2)*i)/(1+1)=

=(- 1 - sqrt(3)) + (sqrt(3) - 1)*i

5) z^2_(1)=(z_(1))^2=(- 2 + 2sqrt(3)*i)^2=

=4 - 8sqrt(3)*i + 12*i^2=

=4 - 8sqrt(3)*i - 12=

=-8 - 8 sqrt(3)*i

vector{z_(2)}=1+i

z^2_(1)*vector{z_(2)}= ( - 8 - 8sqrt(3)*i)*(1 + i) =

= - 8 - 8*sqrt(3)*i -8*i -8*sqrt(3)*i^2=

= - 8 - 8*sqrt(3)*i -8*i + 8*sqrt(3)=

= (-8+8sqrt(3)) - (8+8sqrt(3))*i

Ответ выбран лучшим

1)
Область определения определяется из неравенства:

(2+x)/(2-x) > 0

Решаем его методом интервалов.
Умножаем на (-1) знаменатель и меняем знак неравенства на противоположный

(2+х)/(x-2) < 0

_+__ (-2) __-__ (2) __+__

О т в е т. (-2;2)

2)
Область определения определяется из системой неравенств:

{x+5 ≥ 0 ⇒ x ≥ -5
{9-x > 0 ⇒ x < 9
{ lg(9 - x) ≠ 0 ⇒ 9 - x ≠ 1 ≠ x ≠ 8

О т в е т.[-5; 8) U (8;9) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
[b]3^x=t, t>0 [/b]
3^(x+2)=3^(x)*3^(2)=9*3^(x)=9t;
9^(x+1)=9^(x)*9^(1)=(3^(2))^(x)*9=9*3^(2*x)=9*(3^x)^2=9*t^2

9t^2 + 9t - 18=0

9*(t^2 + t - 2) = 0

t^2 + t - 2 = 0
D=1-4*(-2)=9

t_(1)=(1-3)/2 = -1 или t_(2)=(1+3)/2=2

Возвращаемся к переменной х:

3^x = -1 уравнение не имеет корней. 3^x > 0 при любом х.

3^(x)=2

x=log_(3)2

О т в е т. log_(3)2

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
x-y=0 или х+у=0
у=х или y=-x
График уравнения - это объединение двух прямых
y=-x и y=x - биссектрисы 2 и 4; 1 и 3 координатных углов.

б)
x-3=0 или y+1=0
x=3 или y=-1

График уравнения - это объединение двух прямых
х=3 ( || оси оу) и y=-1 (|| оси ох)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(x_(B)-x_(A);y_(B)-y_(A); z_(B)-z_(A))=(3-2;0-1;-1-4)=
=(1;-1;-5)
2*vector{AB}=2*(1;-1;-5)=(2;-2;-10)

vector{BC}=(x_(C)-x_(B);y_(C)-y_(B); z_(C)-z_(B))=(1-3;-2-0;0-(-1))=
=(-2;-2;1)
3*vector{BC}=3*(-2;-2;1)=(-6;-6;3)

2*vector{AB}+3*vector{BC}=(2;-2;-10)+(-6;-6;3)=(2+(-6);-2+(-6);-10+3)=
=(-4;-4;-7)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию
[b] оба числа x+√n и x^3+1228√n являются целыми [/b]

Значит, их сумма - целое число

x+sqrt(n)+x^3+1228sqrt(n)=(x^3+x)+1229*sqrt(n) - целое

x*(x^2+1)+1229sqrt(n) - целое.
1229 - число простое

⇒

x^2+1 = 1229
x^2=1228
Только
x=-sqrt(1228)
удовлетворяет условию задачи

ИЛИ

разность этих чисел - целое число

x^3+1228sqrt(n)-х- sqrt(n)=(x^3-x)+1227*sqrt(n) - целое

x*(x^2-1)+1227sqrt(n) - целое.
1227 - число простое

⇒

x^2-1 = 1227
x^2=1228
Только
x=-sqrt(1228)
удовлетворяет условию задачи

n=1228 - натуральное

О т в е т. Одно число х=-sqrt(1228)

Функция обратима, если каждое свое значение принимает только один раз.
Такая функция должна быть монотонно возрастающей или монотонно убывающей.

Область определения данной функции:
(- ∞ ;2)U(2;+ ∞ )

Функция монотонно убывающая, так как
y`=(1*(x-2)-(x+1))/(x-2)^2=-3/(x-2)^2 < 0
на (- ∞ ;2)U(2;+ ∞ )

Значит, обратима.

Меняем х на у, у на х

x=(y+1)/(y-2)

Выражаем у через х:

у+1 = ху -2х;

1+2х=у*(х-1)

у=(1+2х)/(х-1)

График - гипербола. См. рис.1

На рис. два построены два графика

y=(x+1)/(x-2) ( cинего цвета)

у=(1+2х)/(х-1) ( красного цвета)

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатых углов ( прямая у=х - зеленого цвета)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть [b]k[/b] прямоугольников 1×3 и [b]n[/b] прямоугольников 1×4.

Тогда

[b]3k+4n=59[/b]

Далее перебор вариантов.

k=1; n=14
3*1+4*14=59

k=5; n=11
3*5+4*11=59

k=9; n=8
3*9+4*8=59

k=13; n=5
3*13+4*5=59

k=17; n=2
3*17+4*2=59

О т в е т. 5 способов.

Пусть [b]k[/b] прямоугольников 1×3 и [b]n[/b] прямоугольников 1×4.

Тогда

[b]3k+4n=58[/b]

Далее перебор вариантов.

k=2; n=13
3*2+4*12=58

k=6; n=10
3*6+4*10=58

k=10; n=7
3*10+4*7=58

k=14; n=4
3*14+4*4=58

k=18; n=1
3*18+4*1=58

О т в е т. 5 способов.

L( окружности)=2πR

L(дуги)=(2πR/2π)*α =R*α

Пусть ∠ АОВ=α, тогда второй ( бОльший угол) равен (2π- α)

L_(1)=R*α
L_(2)=R*(2π- α)

По условию L_(2) в 2,6 длиннеe L_(1)

L_(2)=2,6*L_(1)

R*(2π- α)=2,6*R*α

2π - α =2,6* α

2π= α +2,6 α

2π=3,6 α

α =2π/3,6 ( радиан)=360 градусов/3,6=100 градусов

О т в е т. 2π/3,6 радиан или 100 градусов

S(параллелограмма)=AD*BP
и
S(параллелограмма)=СD*BQ

AD*BP=СD*BQ
AD=BC
9*7=8*BQ
BQ=63/8
О т в е т. 63/8

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Группируем слагаемые так, чтобы можно было выделить полные квадраты:
(4a^6-4a^3b^4+b^8)+4a^3b^4-a^3b^4+(b^8-4b^4+4)+1=

=(2a^3-b^4)^2+(b^4-2)^2+3a^3b^4+1

(2a^3-b^4)^2 ≥ 0 при любых a и b
наименьшее значение (2a^3-b^4)^2
при 2a^3=b^4
значит при a^3=b^4/2

(b^4-2)^2 ≥ 0 при любых a и b

наименьшее значение (b^4-2)^2 при b^4=2

Значит минимальность данного выражения

при b^4=2; a^3=b^4/2=1

0+0+ 3a^3b^4+1=3*1*2+1=7

О т в е т. 7

Ответ выбран лучшим

Если две стороны треугольника АВ и ВС, то третья сторона AC, исправление CD на AC - верное.

vector{AC}=vector{AB}+vector{BC}=(3*vector{a}-4*vector{b})+(vector{a}+5*vector{b})=4*vector{a}+vector{b}

|vector{AC}|^2=vector{AC}*vector{AC}=

=(4*vector{a}+vector{b})*(4*vector{a}+vector{b})=

=16vector{a}*vector{a}+8*vector{a}*vector{b}+vector{b}*vector{b}=

=16*|vector{a}|^2+|vector{b}|^2,

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|cos90 градусов=0

Орты - единичные векторы.
значит
|vector{AC}|^2=16*|vector{a}|^2+|vector{b}|^2=16*1+1*1=17

АС=sqrt(17)
(прикреплено изображение)

2*3^(x)=5^(x)*5^(-2) ( свойства: степени a^(m+n)=a^(m)*a^(n), a^(-n)=1/a^(n))

2*3^(x)=5^(x)/25

Умножаем на 5^2=25
50*3^x=(5)^x
Делим на 3^(x) >0 при любом х

50=(5/3)^x
По определению
a^x=b ⇒ x=log_(a)b

(a>0;b>0; a ≠ 1)

(5/3)^x=50 ⇒ x=log_(5/3)(50)

О т в е т. log_(5/3)50

Ответ выбран лучшим

3^3*2^(2x)=2^3*3^(2x)
делим на 2^3*3^(2x)

(2/3)^(2x-3)=1

(2/3)^(2x-3)=(2/3)^(0)

2х-3=0

x=3/2

Ответ выбран лучшим

3^3*5^(x)=5^3*3^(x)

делим на 5^3*3^(x)

5/3)^(x-3)=1

(5/3)^(x-3)=(5/3)^(0)

x-3=0

x=3

9*5^x=25*3^x
3^2*5^x=5^2*3^x
делим на 5^2*3^x

(5/3)^(x-2)=1
1=(5/3)^(0)

(5/3)^(x-2)=(5/3)^(0)

x-2=0
x=2

1) х=log_(3)4
2)x=log_(2)7
3)x=log_(5)(1/2)

Это парабола. Строим по точкам.

Вершина параболы у=ax^2+bx+c в точке
x_(o)=-b/2a

t - время,
t ≥ 0

t_(o) = -2/(-2*0,1)=10 - абсцисса вершины данной параболы.
x_(o)=5+2*(10)-0,1*10^2=15

(10;15) - координаты вершины данной параболы.

t=0 x=5
t=20 x=5+2*20-0,1*20^2=5+20-20=5

См. рис.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(x-2)*(3-1)=18
3^(x-2)=9
3^(x-2)=3^2
x-2=2
x=4

4^(x+1)*(1+4)=40
4^(x+1)*5=40
4^(x+1)=8
2^(2x+2)=2^3
2x+2=3
2x=1
x=1/2

Ответ выбран лучшим

2^(2x+2)-2^(2x-2)=60
2^(2x-2)*(2^4-1)=60
2^(2x-2)*15=60
2^(2x-2)=2^2
2x-2=2
2x=4
x=2

3^(2x+1) -3^(2x)=18
3^(2x)*(3-1)=18
3^(2x+1)*2=18
3^(2x+1)=9
3^(2x+1)=3^2
2x+1=2
x=1/2

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают:
9^(log_(5)50–log_(5) 2)=
разность логарифмов равна логарифму частного
9^(log_(5) 50/2)=9^(log_(5) 25)
log_(5)25=2
=9^2=81

9^(x+1)=(3^(2))^(x+1)=3^(2x+2)

3^(2x+2) + 3^(2x+4)=30

3^(2x+2) *(1+3^2)=30

3^(2x+2)*10=30

3^(2x+2)=3 ⇒ 2x+2=3

x=1/2

О т в е т. 1/2

Выносим за скобки 5 в меньшей степени
(Делим и первое и второе слагаемое на 5^(x-1)

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают

5^(x-1) *[b]([/b] (5^(x)/5^(x-1)) - (5^(x-1)/5^(x-1))[b])[/b] =100;

5^(x-1)*(5^(x-x+1)-1)=100;

5^(x-1)*(5-1)=100

5^(x-1)*4=100

5^(x-1)=25

5^(x-1)=5^2 ⇒ x-1=2

x=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

а) x–xy=15;
x*(1-y)=3*5

{x=3
{1-y=5 ⇒ y=-4
(3;-4) - решение

ИЛИ

{x=-3
{1-y=-5 ⇒ y=-6

(-3;-6) - решение

О т в е т. (3;-4); (-3;-6)

б) x^2+3y=1;
{x=0
{3y=1⇒ y=1/3
(0;1/3) - решение
ИЛИ

{x^2=1⇒ x=-1 или х=1
{3y=0 ⇒ у=0
(-1;0); (1;0) - решения

О т в е т. (0;1/3); (-1;0); (1;0)

в) (x–1)(y–2)=0;
{x-1=0⇒ x=1
{y-2= любому числу, например 5⇒y=7
(1;7) - решение
ИЛИ
{x-1=7⇒x=8
{y-2=0 ⇒y=2
(8;2) - решение
О т в е т. (1;7);(8;2)

г) (x2+1)(y–5)=0
y-5=0 ⇒ у=5
x^2+1= любому числу
Например,
x^2+1=1 ⇒ x=0
(0;5) - решение

если
x^2+1=2
x= ± 1

(-1;5) - решение
(1;5) - тоже решение

О т в е т. (-1;5); (0;5); (-1;5)

Ответ выбран лучшим

(x+5)^2 ≥ 0 при любом х ∈ (- ∞ ;+ ∞ )
(y-2)^2 ≥ 0 при любом у ∈ (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, их сумма
(x+5)^2+(y-2)^2 ≥ 0 при любых х и у
и не будет равняться (-1) ни при каких x и у.

б)
(x-7)^2 ≥ 0 при любом х ∈ (- ∞ ;+ ∞ )
(y+4)^2 ≥ 0 при любом у ∈ (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, их сумма
(x-7)^2+(y+4)^2 ≥ 0 при любых х и у

Равенство нулю возможно лишь при

x-7=0
y+4=0

x=7
y=-4

(7;-4) - единственное решение.

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу суммы косинусов:

2*cos(74°+16°)/2*cos(74°-16°)/2=2cos90° сos29°=2*0*cos29°=0
Левая часть равна 0, значит и правая часть равна 0.
2сosx*cos2=0
cosx=0
x=90°+180°*n, n ∈ Z

О т в е т. 90°+180°*n, n ∈ Z

ОДЗ:
x>0
Замена переменной:
[b]lgx=t[/b]

( 1/t) ≥ t;

(1-t^2)/t ≥ 0

(t^2-1)/t ≤ 0

(t-1)(t+1)/t ≤ 0

Метод интервалов:

_-__ [-1] _+_ (0) _-_ [1] __+__

t ≤ -1 ИЛИ 0 < t ≤ 1

Обратный переход к переменной х

lgx ≤ -1 ИЛИ 0 < lgx ≤ 1

lgx ≤ lg 0,1 ИЛИ lg1 < lgx ≤ lg10

Логарифмическая функция с основанием 10 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Учитывая ОДЗ: х > 0

О т в е т. (0; 0,1] U (1; 10]

(прикреплено изображение)

Определение.
Функция называется четной ( нечетной), если
1) eё область определения симметрична относительно 0
2) и для любого х из области определения выполняется равенство
f(–x)=f(x) для чётности
и соответственно
f(–x)=–f(x) для нечётности

а)
область определения (–∞ ; + ∞ ) – симметрична относительно 0
y(–x)= (–x)*| - x|= -(x*|x|)= - y(x)
функция нечётная

б) y=2x^3+3x^7 ( нечетко на изображении)

область определения (–∞ ; + ∞ ) – симметрична относительно 0
y(–x)=2*(–x)^3+3(–x)^7 = - 2x^3 - 3x^7 = - (2x^3+3x^7)= - y(x)
функция нечётная

Неравенство |x| ≤ α равносильно двойному неравенству:
- α ≤ х ≤α

Неравенство |x| ≥ α равносильно совокупности двух неравенств:
x ≤ - α или x ≥ α

Получаем совокупность двух систем:
1)
{-2 ≤ x+1 ≤ 2 ⇒ -3 ≤ x ≤ 1
{x-1 ≥ 3 ⇒ х≥ 4
нет решений

или
2)

{-2 ≤ x+1 ≤ 2 ⇒ -3 ≤ x ≤ 1
{х-1 ≤ -3 ⇒ х ≤ -2
-3 ≤ x ≤ -2

О т в е т. [-3;-2]

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу перехода к другому основанию:

log_(250)(120)=lg(120)/lg(250)=lg(3*4*10)/lg(25*10)=

=(lg3+lg4+lg10)/(lg25 + lg10)=

=(lg3+2lg2+1)/(2lg5+1)=

=(lg3+2lg2+1)/(2lg(10/2)+1))=

=(lg3+2lg2+1)/(2lg10-2lg2+1)=

=(lg3+2lg2+1)/(3-2lg2)

Осталось найти lg3

Для этого преобразуем
log_(9)20=lg(20)/lg9=lg(2*10)/lg3^2)=(lg2+lg10)/(2lg3)=(lg2+1)/2lg3

Так как
log_(9)20=а

(lg2+1)/2lg3 =а

lg3=(b+1)/2a

О т в е т. (lg3+2lg2+1)/(3-2lg2)=((b+1)/2a)+2b+1) /(3-2b) =

=(b+1+4ab+2a)/(2a*(3-2b))

2cos^2x/sin^2x =3/sinx

Применяем основное свойство пропорции:
{3sin^2x=2cos^2x*sinx
{sinx ≠ 0

{3sin^2x-2cos^2x*sinx=0 ⇒ sinx*(3sinx-2cos^2x)=0
{sinx ≠ 0

3sinx-2cos^2x=0

так как cos^2x=1-sin^2x

2sin^2x+3sinx-2=0
D=9-4*2*(-2)=9+16=25
sinx=-2 ( уравнение не имеет корней, |sinx| ≤ 1
или
sinx=1/2
x=(-1)^(k)*(π/6)+πk, k ∈ Z

Интервалу [0; 2π) принадлежат два корня:
(π/6) и
π -(π/6)=(5π/6)

О т в е т. (π/6) ; (5π/6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Биквадратное уравнение. Замена x^2=t; x^4=t^2

t^2-13t+36=0
D=(-13)^2-4*36=169-144=25
t_(1)=(13-5)/2=4 или t_(2)=(13+5)/2=9

Обратный переход

x^2=4 или x^2=9
x= ± 2 или х= ± 3

О т в е т. -3; -2; 2; 3

Ответ выбран лучшим

cos^26x=(1+cos12x)/2

∫cos^26x dx= ∫ (1+cos12x)dx/2=(1/2) ∫ dx + (1/2) ∫ cos12xdx=

=(1/2)*x +(1/2)*(1/12) ∫ cos12xd(12x)=

=(1/2)*x+(1/24)sin12x +С

О т в е т. (1/2)*x+(1/24)sin12x +С

Так как sin^2t+cos^2t=1
cos^2t=1-sin^2t=1-0,96^2=0,0784=0,28^2

По формулам приведения
–4sin((3п/2)–t)=-4*(-cost)=4cost=4*0,28=1,12

Так как sin^2t+cos^2t=1
cos^2t=1-sin^2t=1-0,96^2=0,0784=0,28^2

Четные и нечетные, наверное, так.

Определение.
Функция называется четной ( нечетной), если
1) eё область определения симметрична относительно 0
2) и для любого х из области определения выполняется равенство
f(-x)=f(x) для чётности
и соответственно
f(-x)=-f(x) для нечётности

а)
область определения (-∞ ; + ∞ ) - симметрична относительно 0
y(-x)= (-x)^3-(-x)/((-x)^5+(-x)^3))=(-x^3+x)/(-x^5-x^3)=(x^3-x)/(x^5+x^3)=y(x)
функция чётная

b)
область определения (-∞ ; + ∞ ) - симметрична относительно 0
y(-x)= (-x)^2+2))/((-x)^3+(-x)))=(x^2+2)/(-x^3-x)=-(x^2+2)/(x^3+x)=-y(x)
функция нечётная

c) область определения (-∞ ; + ∞ ) - симметрична относительно 0
y(-x)=(-х)+sin(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-y(x)
функция нечётная

d) область определения (-∞ ; + ∞ ) - симметрична относительно 0
y(-x)=(-х)*cos(-x)=-x*cosx=-(x*cosx)=-y(x)
функция нечётная

e) область определения не содержит точек, в которых
cosx ≠ 0
x ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z
область определения симметрична относительно 0

y(-x)=(-х)*sin(-x)/cos(-x)=-x*(-sinx)/cosx=(x*sinx/cosx)=y(x)
функция чётная

Ответ выбран лучшим

1) Прямая.Уравнение у=kx+b
Выбираем две точки, например, (1;0) и (0;-2), которые принадлежат прямой.
Координаты точек удовлетворяют уравнению.
Подставляем и получаем
0=k*1+b
-2=k*0+b ⇒ b=-2
k=2
О т в е т. y=2x-2
2)
(3;0) и (0;2)
0=k*3+b
2=k*0+b
b=2
k=-2/3
О т в е т. y=(-2/3)x+b
3) (4;1) и (3;4)
1=k*4+b
4=k*3+b
Вычитаем из первого второе
-3=k
b=1-4k=1-4*(-3)=13
О т в е т. y=-3x+13
4)
Парабола, вершина в точке (2;-3)
Уравнение имеет вид
y=a*(x-2)^2-3
Чтобы найти a выбираем точку (0;0), которая принадлежит параболе.
Ее координаты удовлетворяют уравнению
0=a*(0-2)^2-3
4a=3
a=3/4
О т в е т. y=(3/4)*(x-2)^2-3

Ответ выбран лучшим

1)
f(-1)=2*(-1)+((-1)^2/(-1-1))= - 2+ (-1/2)=-2,5
f(2)=2*2+(2^2/(2-1))=4+4=8

2) x^2-9x+18 ≥ 0
D=81-4*18=9
x_(1)=(9-3)/2=3 или x_(2)=(9+3)/2=6

__+__ [3] _____ [6] ___+__

D(y)=(- ∞ ;3]U[6;+ ∞ )

3a)
-1 ≤ sinx ≤ 1
-4 ≤ 4 sinx ≤ 4
-4+2 ≤ 4 sinx+2 ≤ 4+2
-2 ≤ 4 sinx+2 ≤ 6
[-2;6] - множество значений
б)
-1 ≤ cos8x ≤ 1
-11 ≤11cos8x ≤ 11
[-11;11] - множество значений

4) см. рисунок

5) y`=2x-4
y`>0
2x-4 >0
x>2

На (2;+ ∞ ) функция возрастает, так как ее производная положительна. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

площадь=длина * ширинy

Чтобы найти множитель произведение делим на второй множитель
длина = площадь :ширинy=175,5:3,9=45 м

О т в е т. 45 м

В силу симметрии достаточно найти площади трех треугольников:
BA_(1)B_(1)
BA_(1)F_(1)
BF_(1)E_(1)

В шестиугольнике АВСDEF:
AB=BC=CD=DE=EF=FA=sqrt(3)
BF=3
BE=2sqrt(3)

По теореме Пифагора из треугольника ВА_(1)В_(1)
BA_(1)=sqrt(BA^2+BB^(2)_(1))=sqrt(3+3)=sqrt(6)

По теореме Пифагора из треугольника ВFF_(1)
BF_(1)=sqrt(BF^2+FF^(2)_(1))=sqrt(3^2+3)=sqrt(12)

По теореме Пифагора из треугольника ВEE_(1)
BE_(1)=sqrt(BE^2+EE^(2)_(1))=sqrt((2sqrt(3))^2+3)=sqrt(15)

Легко заметить, что
BE^(2)_(1)=BF^(2)_(1)+F_(1)E^(2)_(1)
Выполняется условие теоремы, обратной теореме Пифагора.

Треугольники ВА_(1)В_(1) и ВF_(1)E_(1) - прямоугольные.

S_( ΔВА_(1)В_(1) )=(1/2)BB_(1)*A_(1)B_(1)=sqrt(3)*sqrt(3)/2=[b]3/2[/b]
S_( ΔВF_(1)E_(1) )=(1/2)BF_(1)*F_(1)E_(1)=2sqrt(3)*sqrt(3)/2=[b]3[/b]

S_(( ΔВA_(1)F_(1) )=(1/2)BA_(1)*BF_(1)*sin ∠ A_(1)BF_(1)

По теореме косинусов:
cos ∠ A_(1)BF_(1)= ((ВА_(1))^2+(BF_(1))^2-(A_(1)F_(1))^2)/(2*BA_(1)*BF_(1))=
=(6+12-3)/(2*2sqrt(3)*sqrt(6))=15/(12sqrt(2))=5/(4sqrt(2))
cos^2∠ A_(1)BF_(1)+sin^2∠ A_(1)BF_(1)=1

sin^2∠ A_(1)BF_(1)=1- cos^2∠ A_(1)BF_(1)==1-(25/32)=7/32

sin∠ A_(1)BF_(1)=sqrt(7/32)

S_( Δ ВA_(1)F_(1) )=(1/2)*2sqrt(3)*sqrt(6)*sqrt(7/32)=[b]3sqrt(7)/2[/b]

S_(бок)=2*((3/2)+3+(3/2)sqrt(7)0=3+6+3sqrt(7)=9+3sqrt(7)

9+3sqrt(7)=3*(3+sqrt(7))

3*(3+sqrt(7))*(18-sqrt(7))=3*(54-7+15sqrt(7))=141+45sqrt(7)

Умножение на (18-sqrt(7)) не помогло избавиться от иррациональности.

Проверьте условие и ответ.

1) =3^(-7+2)/3^(-9)=3^(-5)/3^(-9)=3^(-5-(-9))=3^4=81

2)=2^(-5+9)/2^(-4)=2^(4)/2^(-4)=2^(4-(-4))=2^(8)=256

3)=7^(-3+9)/7^(4)=7^(6)/7^(4)=7^(6-4)=7^2=49

4)4^8=(2^2)^8=2^(2*8)=2^(16)
2^(16)/2^(13)=2^(16-13)=2^(3)=8

5)8^9=(2^(3))^9=2^(3*9)=2^(27)
64^(3)=(2^(6))^(3)=2^(6*3)=2^(18)

2^(27)/2^(18)=2^(27-18)=2^(9)=512 (прикреплено изображение)

1)2,34-(3/50)=2,34-(6/100)=2,34-0,06=2,28
2) (2/3)+(2/5)-(1/15)=(10/15)-(6/15)-(1/15)=3/15=1/5
3)=5^(-6+3)/5^(-5)=5^(-3)/5^(-5)=5^(-3-(-5))=5^(2)=25
4)=4^(-6+3)/4^(-7)=4^(-3)/4^(-7)=4^(-3-(-7))=4^4=256 (прикреплено изображение)

8^4=(2^3)^4=2^(3*4)=2^(12)

2^(5)*2^(8)=2^(5+8)=2^(13)

2^(12)/2^(13)=1/2
О т в е т. 1/2

12% годовых, проценты начисляют за 1 месяц. Значит 1% в месяц
24% годовых, проценты начисляют за 1 месяц. Значит 2% в месяц
18 годовых, проценты начисляют за 1 месяц. Значит 1,5% в месяц

Итак,
пусть сумма вклада равна S

1-ый месяц:
начислено банком [b]0,01S[/b]
Оксана внесла 0,04S
1,05S - cумма вклада к началу второго месяца.

На эту сумму начисляют 1%
[b]0,0105S[/b]
Оксана вносит 0, 0395S
1,05S+0,0105S+0,0395S=1,1S - сумма вклада к началу третьего месяца

Начисляют 2%
[b]0,022S[/b]
Оксана вносит 0,028S
1,1S+0,022S+0,028S=1,15S - сумма вклада к началу четвертого месяца.

Начисляют 2%
[b]0,023S[/b]
Оксана вносит 0,027S
1,15S+0,023S+0,027S=1,2S - сумма вклада к началу четвертого месяца.

Начисляют 1,5%
[b]0,018S[/b]
Оксана вносит 0,032S
1,2S+0,018S+0,032S=1,25S - сумма вклада к началу пятого месяца.

Начисляют 1,5%
[b]0,01875S[/b]
Оксана ничего не вносит

Считаем начисления банка:
[b]0,01S+0,0105S+0,022S+0,023S+0,018S+0,01875S[/b]=
=0,10225S

S cоставляет 100%
0,10225S составляет p%

p=0,10225S*100/S=10,225%

О т в е т. 10,225%

Ответ выбран лучшим

3,4*10^2+1,8*10^3=10^2*(3,4+1,8*10)=10^2*(3,4+18)=100*21,4=2140

168/72=7/3 (часа) потребуется Алексею, чтобы приехать в Н-ск.
(7/3)-(1/2)=11/6 (часов) потребуется ехать Ивану, чтобы прибыть в Н-ск вместе с Алексеем
165:(11/6)=90 км в час - скорость с которой должен ехать Иван.

О т в е т. 90 км в час

Ответ выбран лучшим

Так как
x^2-2x+2=(x-1)^2+1 > 0 при любом х ∈ (- ∞ ; + ∞ )
x^2-10x+29=(x-5)^2+4 > 0 при любом х ∈ (- ∞ ; + ∞ )
Область определения функции (- ∞ ; + ∞ )

y`= (sqrt(x^2-2x+2) + sqrt(x^2-10x+29))` =

=(2x-2)/(2*sqrt(x^2-2x+2)) + (2x-10)/(2*sqrt(x^2-10x+29)) =

=(x-1)/sqrt(x^2-2x+2) + (x-5)/sqrt(x^2-10x+29)

y`=0

(x-1)/sqrt(x^2-2x+2) + (x-5)/sqrt(x^2-10x+29) = 0

(x-1)*sqrt((x-5)^2+4)+(x-5)*sqrt((x-1)^2+1)=0

(x-1)*sqrt((x-5)^2+4)= -(x-5)*sqrt((x-1)^2+1)

(x-1)*sqrt((x-5)^2+4)= (5-х)*sqrt((x-1)^2+1)

{x-1 ≥ 0;
{5-x ≥ 0;
{(x-1)^2*((x-5)^2+4)=(5-x)^2*((x-1)^2+1).

{1 ≤ x ≤ 5;
{4*(x-1)^2=(5-x)^2.

4x^2-8x+4=25-10x+x^2

3x^2+2x-21=0
D=4-4*3*(-21)=4+252=256

x_(1)=(-2-16)/6=-3 ∉ [1;5] или x_(2)=(-2+16)/6= 7/3

х=7/3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

[1] __-__ (7/3) ___+____ [5]

н_(наименьшее)=y(7/3)=sqrt(((7/3)-1)^2+1) + sqrt(((7/3)-5))^2+4)=

=sqrt((4/3)^2+1) + sqrt((-8/3)^2+4)=

=sqrt(25/9) +sqrt(100/9)=(5/3)+(10/3)=15/3 = 5

О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{cosx ≠ 0
{sinx ≠ 0
{3sinx+cos2x ≠ 0 ⇒ 2sin^2x-3sinx-1 ≠ 0

Так как
сtgx-tgx=(cosx)/(sinx) - (sinx)/(cosx) = (cos^2x -sin^2x)/sinx*cosx=

=cos2x/((1/2)*sin2x)=2ctg2x

Уравнение принимает вид
2ctg2x/(3sinx+cos2x)=ctg2x

ctg2x*((2/(3sinx+cos2x)) -1) = 0

1) cos2x=0
2x=(π/2)+πk, k ∈ Z
x=(π/4)+(π/2)k, k ∈ Z

или

2) (2/(3sinx+cos2x)) -1=0
Дробь равна 0, если числитель равен 0, а знаменатель нет.

{2-3sinx-cos2x=0
{3sinx+cos2x≠ 0 ⇒ 2sin^2x-3sinx-1 ≠ 0 ( см. третье условие ОДЗ)

2-3sinx-(1-2sin^2x)=0
2sin^2x-3sinx+1=0
D=9-8=1
sinx=1/2 или sinx =1

(При sinx=1/2 и sinx=1 знаменатель 2sin^2x-3sinx-1 отличен от 0)

х=(-1)^(n)(π/6)+πn, n ∈ Z или x=(π/2)+2πm, m ∈ Z ( не удовл. ОДЗ, так как при этих значениях сos x равен 0)

б) Указанному отрезку принадлежат корни ( см. рисунок)
-5π/4; -7π/6; -3π/4; -π/4.

О т в е т.
а) (π/4)+(π/2)k, k ∈ Z
(-1)^(n)(π/6)+πn, n ∈ Z
б)-5π/4; -7π/6; -3π/4; -π/4. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b] Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных [/b]:

∠ СBD= ∠ BAC + ∠ ВАС = 48 градусов + 56 градусов = 104 градусов.

Треугольник BCD - равнобедренный (ВС=BD)
Значит ∠ ВСD = ∠ BDC

Угол при вершине 104 градуса.

Сумма углов треугольника BCD равна 180 градусов
Значит,
∠ ВСD + ∠ BDC=180 градусов - 104 градусов = 76 градусов.

∠ ВСD = ∠ BDC= 76 градусов/2=38 градусов

О т в е т. 38 градусов

Ответ выбран лучшим

(πx/6)= arctg(-1/sqrt(3))+ πk, k ∈ Z

(πx/6)=-(π/6)+πk, k ∈ Z

Умножаем обе части равенства на (6/π)

x= -1 + 6k, k ∈ Z

При k=0 x=-1 - наибольший отрицательный корень

О т в е т. -1

Ответ выбран лучшим

Пусть АВ=ВС=СD=AD=x

S(квадрата АВСD)=x^2

x^2=10

x=sqrt(10)

По теореме Пифагора диагональ квадрата
AC^2=AD^2+DC^2=x^2+x^2=2x^2

АС=xsqrt(2)=sqrt(10)*sqrt(2)=sqrt(20)=2sqrt(5)

Сторона меньшего квадрата является средней линией треугольника DAC и равна половине диагонали АС, т. е sqrt(5)

S( меньшего квадрата)=(sqrt(5))^2=5

О т в е т. 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
16x^4-8x^2+1> 0 ⇒ x ≠ ± 1/2

Так как
3^(log_(1/9)(16x^4-8x^2+1)=3^((-1/2)log_(3)(16x^4-8x^2+1))=

=3^(log_(3)(16x^4-8x^2+1)^(-1/2))=(16x^4-8x^2+1)^(-1/2))=

=1/(16x^4-8x^2+1)^(1/2)=1/sqrt(4x^2-1)^2)=1/|4x^2-1|,

неравенство принимает вид:

x/|4x^2-1| < 1/3

(3x- |4x^2-1|)/|4x^2-1| < 0

Так как |4x^2-1| > 0 при любом х ∈ ОДЗ

3x - |4x^2-1| <0

|4x^2-1| > 3x

Если [b]x ≤ 0[/b], неравенство верно при любом х из ОДЗ
Поэтому ответ в первом случае:
[b](- ∞ ;-1/2) U(-1/2;0] [/b]

(велика опасность потерять 0, чтобы этого не произошло можно рассмотреть случаи x < 0; x=0 и x > 0)

Если [b]х > 0[/b]
возводим в квадрат
16x^4-8x^2+1 > 9x^2

16x^4-17x^2+1 >0
(16x^2+1)*(x^2-1) >0

16x^2+1 > 0 при любом х, значит

x^2 - 1 > 0 ⇒ x ∈ (- ∞ ;-1) U(1;+ ∞ ) C учетом x ≥ 0
о т в е т во втором случае
[b](1;+ ∞ )[/b]

О т в е т. (- ∞ ;-1/2) U(-1/2;0] U (1;+ ∞)

Прослеживается тенденция решения иррациональных неравенств вида

sqrt(f(x)) > g(x) и sqrt(f(x)) < g(x)

Ответ выбран лучшим

По условию
[b] оба числа x+√n и x^3+1092√n являются целыми [/b]

Значит, их сумма - целое число

x+sqrt(n)+x^3+1092sqrt(n)=(x^3+x)+1093*sqrt(n) - целое

x*(x^2+1)+1093sqrt(n) - целое.
1093 - число простое

⇒

x^2+1 = 1093
x^2=1092
Только
x=-sqrt(1092)
удовлетворяет условию задачи

ИЛИ

разность этих чисел - целое число

x^3+1092sqrt(n)-х- sqrt(n)=(x^3-x)+1091*sqrt(n) - целое

x*(x^2-1)+1091sqrt(n) - целое.
1091 - число простое

⇒

x^2-1 = 1091
x^2=1092
Только
x=-sqrt(1092)
удовлетворяет условию задачи

n=1092 - натуральное

О т в е т. Одно число х=-sqrt(1092)

Обозначим
x+y=u
xy=v
x^3+y^3=(x+y)^3-3(x+y)*xy=u^3-3uv

Тогда
x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000
можно записать
u^3-3uv+u^3+30v=2000
2u^3-2000+30v-3uv=0
2*(u-10)*(u^2+10u+100)+3*v*(10-u)=0

(u-10)*(2u^2+20u+200-3v)=0

2u^2+20u+200-3v=2*(x+y)^2+20*(x+y)+200-3xy=

=2x^2+4xy+2y^2+20x+20y+200-3xy=

=2x^2+xy+2y^2+20x+20y+200 > 0 при любых x и у положительных, поэтому только

u-10=0

u=10

Значит,
x+y=10

О т в е т. 10

Пусть log_(x)(x^4-27x+3)= c
Тогда
x^(c)=x^4-27x+3

[b]Переформулировка задачи[/b]:
при каком значении параметра с, корни уравнения x^9–3x^5+9x–1=0 являются корнями уравнения
x^(c)=x^4-27x+3

Значит, корни уравнения x^9–3x^5+9x–1=0 будут и корнями разности
x^(c)-3x^9- x^4+9x^5=0
x^4*(x^(c-4)-3x^5+9x-1)=0

x ≠ 0 ⇒ x^(c-4)-3x^5+9x-1)=0
Сравнивая с
x^9-3x^5+9x-1=0
заключаем, что
с-4=9
с=13
О т в е т. 13

Основное свойство арифметической прогресcии
a_(n+1)-a_(n)=a_(n)-a_(n-1)

Поэтому:

(a^4+b^4)/(a^3+b^3) - (a^3+b^3)/(a^2+b^2) = (a^3+b^3)/(a^2+b^2) - (a^2+b^2)/(a+b)

(a^4+b^4)/(a^3+b^3) + (a^2+b^2)/(a+b) =2*(a^3+b^3)/(a^2+b^2) [b](#)[/b]

По условию
a+b =10
Обозначим
ab=x

[b]a и b - положительные числа по условию, значит x > 0[/b]

Выразим
a^2+b^2; a^3+b^3; a^4+b^4 через х

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=100-2x;
a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(100-2x)^2-2x^2=10000 - 400x+2x^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=10*(100-2x-x)=10*(100-3x)

Подставим в равенство (#)

16x^3 -800x^2 + 10000x=0

16x*(x^2-50x+625)=0

16x*(x-25)^2=0
Так как x >0, то равенство возможно лишь
при х-25=0

Значит, х=25

a^2+b^2=100-2x=100 -2*25=50

О т в е т. 50

О т в е т. 2) sqrt(13)-2; 7 (прикреплено изображение)

Находим производную
y`=(-x^3-15x^2-27x-4)`=-3x^2-30x-27
Находим критические точки
y`=0
-3x^2-30x-27=0 ( делим на (-3))
x^2+10x+9=0
D=10^2-4*9=100-36=64

x_(1)=(-10-8)/2 = -9 или x_(2)=(-10+8)/2= -1 , x_(1) < -7

Значит указанному отрезку принадлежит одна критическая точка
x=-1
Рассматриваем знак производной y`=-3x^2-30x-27 на указанном отрезке.
Графиком производной служит парабола, ветви вниз, так как коэффициент при х^2 отрицателен.
На (-9;-1) знак +

[-7] ___+____ (-1) __-__[3]

x=-1 - точка максимума, проходя через эту точку производная меняет знак с + на -

y_(наибольшее)=y(-1)= - (-1)^3-15*(-1)^2-27*(-1)-4=9

у_(наименьшее) надо выбрать из двух значений на концах отрезка
y(-7)= - (-7)^3-15*(-7)^2-27*(-7)-4 =343 -735 +189 - 4= -207
y(-3)= - (-3)^3-15*(-3)^2-27*(-3)-4 = 9*(3 -15 +9)-4=-27-4=-31

О т в е т. у_(наибольшее)=y(-1)=9
y_(наименьшее)=y(-7)=-207

[b] Замечание[/b]

Ни один из ответов, указанных в тексте невозможно выбрать.

y(-9)=-247, но точка - 9 не принадлежит указанному отрезку. [b] !!! [/b]

Ответ выбран лучшим

Так как cos^4x=(cos^2x)^2=(1-sin^2x)^2=1-2sin^2x+sin^4x
Уравнение принимает вид:
sin^4x+sin^3x-2sin^2x=0
sin^2x*(sin^2x+sinx-2)=0
sin^2x=0 или sin^2x+sinx-2=0

Решаем первое уравнение:
sin^2x=0
sinx=0
x=πk, k ∈ Z

Решаем первое уравнение:
sin^2x+sinx -2 =0
Квадратное уравнение относительно (sinx)
D=1-4*(-2)=9
корни (-1± 3)/2;

sinx=-2- уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1

sinx=1
x=(π/2)+2πn, n ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни:

-π; 0; π; 2π

-3π/2; π/2
О т в е т. а) πk; (π/2)+2πn; k, n ∈ Z б)-3π/2;-π; 0; π/2; π; 2π

Ответ выбран лучшим

Дробь равна 1, если числитель равен знаменателю.

{2x-2=3x^2-17x+14
{3x^2-17x+14 ≠ 0

2x-2=3x^2-17x+14
3x^2 - 19x +16 =0
D=(-19)^2-4*3*16=361-192=169
x_(1)=(19-13)/6=1 или x_(2)=(19+13)/6=16/3

При х_(1)=1
3*1^2-17*1+14 = 0
х=1 - посторонний корень

При х_(1)=16/3
3*(16/3)^2-17*(16/3)+14 ≠ 0 , так как (256/3)-(272/3)+14=26/3

О т в е т. 16/3

ОДЗ:
x>0

Логарифмируем обе части неравенства по основанию 2:

log_(2)x^(log_(2)x+4) < log_(2)32.

log_(2)32=5.

По свойству логарифма степени:

(log_(2)x+4)*log_(2)x < 5;

Квадратное неравенство:

(log_(2)x)^2+4*log_(2)x-5 <0.

D=16+20=36

-5 < log_(2)x < 1

log_(2)2^(-5) < log_(2)x < log_(2)2

Логарифмическая функция по основанию 2 возрастает, поэтому

2^(-5) < x < 2

Решение неравенства удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 4) (2^(-5);2)

По формулам приведения
cos((π/2)- α )=sin α
sin((π/2)- α )=cos α

Так как косинус - четная функция

cos(- α )=cos α

2sin α *cos((π/2)- α )-2cos(- α )*sin((π/2)- α )=

=2sin α *sin α -2cos α *cos α =

=2sin^2 α -2cos^2 α =

= -2*(cos^2 α -sin^2 α )=

=-2cos2 α

Ответ выбран лучшим

Преобразуем правую часть.
Числитель:
(sint+cost)^2-1=sin^2t+2sint*cost+cos^2t-1=
=(sin^2t+cos^2t)+2sintcost-1=
=1+2sintcost-1=2sintcost

знаменатель:

tgt-sintcost=(sint/cost)-sint*cost=sint((1/cost)-cost)=

=sint*(1-cos^2t)/cost=sint*sin^2t/cost=sin^3t/cost

Делим числитель на знаменатель:

2sintcost : sint*sin^2t/cost=

=2sintcost * (cost/sin^3t)=2cos^2t/sin^2t=2ctg^2t

Правая часть равна левой.
Тождество доказано

Ответ выбран лучшим

Сгруппируем так:
(cos20°+cos160°)+(cos40°+cos140°)+(cos60°+cos120°)+(cos80°+cos100°)
Применяем формулу ( см. рисунок)
=2cos90°*(cos70°+cos50°+cos30°+cos10°)=
=2*0*(cos70°+cos50°+cos30°+cos10°)=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.

sin^2x-2sinx*cosx+cos^2x=2
1-sin2x=2
sin2x=-1
2x=(-π/2)+2πk, k ∈ Z
x=(-π/4)+πk, k ∈ Z
О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z

2.

Прямоугольный треугольник АВС - равнобедренный.
Значит ∠ АВС= ∠ ВСА=45 градусов.

По условию ВС=6

Пусть сторона квадрата х.
Тогда треугольники BDM и PKC - прямоугольные равнобедренные и
ВМ=DM=x
CK=PK=x

x+x+x=6
3x=6
x=2

О т в е т. 2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу ( см. рисунок)

cos(-2x)-cos4x=cos2x

Так как cos(-2x)=cos2x ( в силу четности косинуса)

cos4x=0

4x=(π/2)+πk, k ∈ Z
x=(π/8)+(π/4) k, k ∈ Z

Промежутку (0;π) принадлежат корни:
π/8; (π/8)+(π/4)=3π/8; (π/8)+2*(π/4)=5π/8;(π/8)+3*(π/4)=7π/8 .

О т в е т. а)(π/8)+(π/4) k, k ∈ Z б) π/8; 3π/8; 5π/8; 7π/8 . (прикреплено изображение)

Раскладываем левую часть на множители. Выносим х за скобки:
х*(x^4-3x^2+1)=0
Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0.
х=0 или х^4-3x^2+1=0

Решаем биквадратное уравнение.
Замена переменной
x^2=t
t^2-3t+1=0
D=9-4=5
t_(1)=(3-sqrt(5))/2 или t_(2)=(3+sqrt(5))/2

Возвращаемся к переменной х:

x^2=(3-sqrt(5))/2
x_(1)=-sqrt((3-sqrt(5))/2); x_(2)=sqrt((3-sqrt(5))/2)

x^2=(3+sqrt(5))/2
x_(3)=-sqrt((3+sqrt(5))/2); x_(4)=sqrt((3+sqrt(5))/2)

x_(5)=0

О т в е т. 0; ± sqrt((3-sqrt(5))/2); ± sqrt((3+sqrt(5))/2);

Ответ выбран лучшим

Приводим к общему знаменателю.
((3х+2)·(14х+16)–(6х-21)·(7х-17))/((7х-17)·(14х+16)) = 0
Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель нет.

{(3х+2)·(14х+16)–(6х-21)·(7х-17)=0
{(7х-17)·(14х+16) ≠ 0

42x^2+28x+48x+32–42x^2+147x+102x–357=0
325х=325
х=1

При х=1
(7х-17)·(14х+16)=-10*30 ≠ 0

О т в е т. 1

Приводим к общему знаменателю.
((9х–4)*(х+5)–(3х+4)*(3х+7))/((3х+7)*(х+5)) = 0
Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель нет.

(9x-4)·(x+5)–(3x+4)·(3x+7)=0
3x+7 ≠ 0
x+5 ≠ 0

9x^2-4x+45x-20–9x^2–12x–21x–28=0
8х=48
х=6

При х=6
3x+7 =3·6+7≠ 0
x+5 =6+5 ≠ 0

О т в е т. 6

1.
∠ BMC и ∠ CМК - смежные;
∠ АКB и ∠ ВКС - смежные.

2
∠ МВС=180 градусов - ∠ АВК - ∠ КВМ =

=180 градусов - 36 градусов - 90 градусов= 54 градусов;

3.
∠ 3= ∠ 1= 135 градусов ( вертикальные углы равны)
∠ 2 = ∠ 4 = 180 градусов - 135 градусов = 45 градусов

4. Один угол х градусов, второй (х + 40) градусов.
Сумма смежных углов 180 градусов.

Уравнение
х + (х + 40) = 180;

2х=140

х=70

х+40=110

О т в е т. 110 градусов - больший из смежных

5.
Один 110 градусов.
Биссектриса делит его на два угла по 55 градусов.
Второй 70 градусов.
Биссектриса делит его на два угла по 35 градусов.

35 градусов + 55 градусов = 90 градусов.

Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 градусов.
( половина от 180 градусов !)

a=4; b=16; c=5sqrt(7)

L^2_(c)=4*16*(1 - (5sqrt(7))^2/(4+16)^2)=64*(1-(175)/(400))=

=64*225/400

L_(c)=8*15/20=6

О т в е т. 6

φ ( φ (х))= sgn х

φ : x → sgn (x)
φ : sgn x → sgn x

ψ(ψ(x))=x, x ≠ 0

ψ : x → 1/x
ψ : 1/x → 1/(1/x)=x

φ (ψ(x))=system{1, если x >0; -1, если х <0}, x ≠ 0
ψ : x → 1/x

φ : (1/x) → system{1, если x >0; -1, если х <0}, x ≠ 0

ψ( φ (x))=system{1, если x >0; +∞, если x→ +0; -∞, если x→ -0; -1, если х <0}

φ : x → sgn (x)
ψ : sgn x → system{1, если x >0; +∞, если x→ +0; -∞, если x→ -0; -1, если х <0}

Приводим к общему знаменателю.
Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель нет.

(9x+5)*(x+6)-(3x+7)*(3x+10)=0
3x+10 ≠ 0
x+6 ≠ 0

9x^2+5x+54x+30-9x^2-21x-30x-70=0
8х=40
х=5

При х=5
3x+10 =3*5+10≠ 0
x+6 =5+6 ≠ 0

О т в е т. 5

а)
В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы - центр описанной окружности.
Пусть
AM=BM=CM=R

Треугольники ВМС и АМС - равнобедренные.
∠МВС=∠ВСМ
∠МСА=∠МАС

Прямоугольные треугольники
АВС и СМК подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
АВ : СК = АС : СM

Пусть х - коэффициент пропорциональности.
AK=x
KC=2x

2R : 2x = 3x : R

2R^2=6x^2
R^2=3x^2
R=x*sqrt(3)

сos ∠ BAC=AC/AB=3x/2R=3x/2x*sqrt(3)=sqrt(3)/2 ⇒
∠ BAC = 30 градусов

б)
Δ ВМС - равностороний.
По условию ВС=6sqrt(7)
BC=R

R=6sqrt(7)
x=6sqrt(7)/sqrt(3)=2sqrt(21)

AK=2sqrt(21)
KC=4sqrt(21)

По теореме Пифагора
из прямоугольного треугольника ВСК
ВК^2=BC^2+CK^2=(6sqrt(7))^2+(4sqrt(21))^2=588
BK=sqrt(588)

В прямоугольном треугольнике РСМ
∠ РСМ=60 градусов, значит ∠ СРМ=30 градусов.
Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Значит гипотенуза РС=2СM=2R=12sqrt(7)

Т.е. точка В - середина СР.

(прикреплено изображение)

ctg2x=1/tg2x

tg2x ~ 2x при х → 0

lim_(x→0)(3x*ctg2x)=lim_(x→0)(3x)/(tg2x)=lim_(x→0)(3x)/(2x)=3/2

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Из прямоугольного треугольника ВОС по теореме Пифагора
BC^2=5^2+12^2=25+144=169
BC=13

Значит, сторона ромба 13.

vector{AD}=-vector {DA}

vector{BC}=vector{AD}

Так как
vector{BC}-vector{DA}+vector{AD}-vector{CD}=

=vector{AD}+vector{AD}+vector{AD}+vector{DC}=

=2*vector{AD}+vector{AC}

|vector{BC}-vector{DA}+vector{AD}-vector{CD}|=

=|2*vector{AD}+vector{AC}|

Так как
| vector{a}|^2=vector{a}*vector{a}

Находим
(2*vector{AD}+vector{AC})^2=

=4*(vector{AD})^2+2*2*vector{AD}*vector{AC}+(vector{AC})^2=

=4*13^2+2*2*13*13*cos(*vector{AD} (^)*vector{AC})+24^2=

=4*169+4*169*(12/13)+576=1876

|2*vector{AD}+vector{AC}|=sqrt(1876)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x-2x=7-3
-x=4
x=-4

8asqrt(a)-bsqrt(b)=(2sqrt(a))^3-(sqrt(b))^3=
=((2sqrt(a)-sqrt(b))*((2sqrt(a))^2+2sqrt(a)*sqrt(b)+(sqrt(b))^2)=
=(2sqrt(a)-sqrt(b))*(4a+2sqrt(a)*sqrt(b)+b)

4√а+2в√в –√(ав) - проверяйте так ли написано?

(4sqrt(a)+2sqrt(b))/(4a-b)=

=2*[b](2sqrt(a)+sqrt(b))[/b]/(2sqrt(a)-sqrt(b))*[b](2sqrt(a)+sqrt(b))[/b]=

=2/(2sqrt(a)-sqrt(b))

((4sqrt(a)+2sqrt(b))/(4a-b))^2=4/(2sqrt(a)-sqrt(b))^2

Если sinx < 0, уравнение не имеет смысла ( противоречит определению арифметического квадратного корня)

Если sinx ≥ 0, возводим в квадрат (подкоренное выражение неотрицательно при любом х)
{sinx ≥ 0
{sin^2x=(1-cosx)/2

sin^2x=1-cos^2x

1-cos^2x=(1-cosx)/2

(1-cosx)*(1+cosx) -(1-cosx)/2=0

(1-cosx)*(1+cosx-(1/2))=0

(1-cosx)*((1/2)+cosx)=0

1-cosx=0 или сosx +(1/2)=0

Решаем первое уравнение

1-cosx=0
cosx=1
x=2πk, k ∈ Z

Решаем второе уравнение

cosx= - (1/2)

x= ± ( 2π/3)+2πn, n ∈ Z

Условию sinx ≥ 0 удовлетворяют х=( 2π/3)+2πn, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни:
x_(1)=2π
x_(2)=( 2π/3)+2π=8π/3

О т в е т.
2πk, k ∈ Z; ( 2π/3)+2πn, n ∈ Z
{2π; 8π/3} ∈ [2π; 7π/2]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3
{3x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3
{x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2

x ∈ [2;+ ∞ )

Перепишем неравенство:

sqrt(x+3) > sqrt(x-2)+sqrt(3x-2)

Возводим в квадрат

x + 3 > x - 2 + 2 sqrt(x - 2) * sqrt ( 3x - 2) + 3x -2

2 sqrt(x - 2) * sqrt ( 3x - 2) < 7 - 3x

Если 7-3x ≤ 0 неравенство не имеет решений
(левая часть неотрицательна при любом х из ОДЗ и не может быть меньше неположительного выражения)

Если 7-3x > 0, т.е x < 7/3
возводим в квадрат

4*(х - 2)* (3х - 2) < (7 - 3x)^2

3x^2 +10x - 33 < 0

D=10^2-4*3*(-33)=100 + 396 = 496

x_(1)=(-10-4sqrt(31))/6 или х_(2)=(-10+4sqrt(31))/6

x ∈ ( (-5-2sqrt(31))/3; (-5+2sqrt(31))/3)

C учетом 7-3x > 0 и ОДЗ получаем
О т в е т. [2; (-5+2sqrt(31))/3) )

Ответ выбран лучшим

64=2^6
корень 6-ой степени из 64^(3x–1)=(2^6)^(3x-1)/6=2^(3x-1)

sqrt((1/16)^(1-3x)/(x-1))=sqrt((2^(-4))^((1-3x)/(x-1))=

=(2)^(-2*(1-3x)/(x-1))

Неравенство принимает вид:
2^(3x-1) > (2)^(-2(1-3x)/(x-1))

Показательная функция с основанием 2>1 возрастает, поэтому

3х - 1 > -2*(1-3x)/(x-1);

(3x-1)*(1-(2/(x-1))) >0

(3х - 1)*(х - 3)/( х - 1) > 0

Применяем метод интервалов:

_-__ (1/3) ___+____ (1) __-_ (3) ___+___

О т в е т. (1/3;1) U(3;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

(36^(sinx))^(cosx)=((6^2)^(sinx))^(cosx))=6^(2*sinx*cosx);
6^(2*sinx*cosx)=6^( sqrt(3)*cosx)

2*sinx*cosx=sqrt(3)*cosx;

2*sinx*cosx-sqrt(3)*cosx=0;

cosx*(2sinx-sqrt(3))=0

cosx=0 или 2sinx - sqrt(3)=0

Решаем первое уравнение:
cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

Решаем второе уравнение:
sinx=sqrt(3)/2 ⇒ x=(-1)^(n)*(π/3)+πn, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат три корня:
x_(1)=(π/2)+2π=5π/2
x_(2)=(π/3)+2π=7π/3
x_(3)=(2π/3)+2π=8π/3

О т в е т. x=(π/2)+πk, k ∈ Z; (-1)^(k)*(π/3)+πn, n ∈ Z
{5π/2; 7π/3; 8π/3} ∈ [2π;3π]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

11.
Так как x ∈[0;1]
Возводим в квадрат.
x^2*(x-a)=4x^2-(4a-2)x-2a
или
x^3-4x^2-2x=a*(x^2-4x-2)
x*(x^2-4x-2)=a*(x^2-4x-2)
x^2-4x-2=0
x_(1)=2-sqrt(6) ∉[0;1] и x_(1)=2+sqrt(6) ∉[0;1]

Уравнение x=a имеет один корень на [0;1]
при a ∈[0;1]
О т в е т. a∈[0;1]

12.
Решаем способом подстановки.
Выражаем из второго уравнения
y=(a^2-3a)/x
и подставляем в первое уравнение:

x^2 + ((a^2-3a)/x)^2=a^2
x ≠ 0 ⇒ a≠ 0 и a≠ 3

Решаем биквадратное уравнение:
x^4-a^2x^2 + (a^2-3a)^2=0

Замена переменной:
x^2=t

t^4-a^2t+(a^2-3a)^2=0

Квадратное уравнение имеет корни, если D ≥ 0

D=(a^2)^2 - 4*(a^2-3a^2)^2=применяем формулу разности квадратов=
=(a^2-2*(a^2-3a))*(a^2+2*(a^2-3a))=
=(a^2-2a^2+6a)*(a^2+2a^2-6a)=
=3a^2*(6-a)*(a-2)

3a^2(6-a)*(a-2)≥0
при a=0
t_(1)=t_(2)=0
тогда
x_(1)=x_(2)=x_(3)=x_(4)=0
а=0 не удовлетворяет требованию задачи ( два различных корня)

или
при 2 < a <3 и 3 < a < 6
t_(1)=(1/2)*(a^2- sqrt(3a^2*(6-a)(a-2))) или t_(2)=(1/2)*(a^2+ sqrt(3a^2*(6-a)(a-2)))

Так как при a≠ 0 и a≠ 3
a^2>sqrt(3a^2*(6-a)(a-2))
a^4>3a^2*(6-a)(a-2)
a^2*(4a^2-24a+36)=a^2*4*(a-3)^2 >0

То биквадратное уравнение при 2 < a <3 и 3 < a < 6
имеет 4 корня.
(см. рис.1)
При a=2 или a=6

t_(1)=t_(2)=2^2=4 или t_(1)=t_(2)=6^2=36

Уравнения
x^2=4 или x^2=36
имеют по два корня и данная система имеет два решения
( cм. рис.2)
О т в е т. a=2; a=6
(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{2x>0 ⇒ x > 0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{16x^3 >0 ⇒ x >0
{log_(2x)16x^3 ≥ 0 ⇒метод рационализации логарифмических неравенств: log_(2x)16x^3 ≥ log_(2x)1 ⇒ (2x-1)*(16x^3-1) ≥0⇒x ≤ 1/∛16 или x ≥ 1/2

ОДЗ: x ∈ (0; 1/∛16] U(1/2; ∞ )

Применяем формулу перехода к другому основанию.

log_(2x)4x=(log_(2)4x)/(log_(2)2x)=

=(log_(2)4+ log_(2)x)/(log_(2)2+ log_(2)x)=

=(2+ log_(2)x)/(1+ log_(2)x)

log_(2x)16x^3=(log_(2)16x^3)/(log_(2)2x)=

=(log_(2)16 +log_(2)x^3)/(log_(2)2+ log_(2)x)=

=(4+3log_(2)x)/(1+ log_(2)x)

Введем новую переменную:

log_(2)x=t

Неравенство принимает вид:

(2+ t)/(1+ t) ≤ sqrt((4+3t)/(1+ t))

[b]1 случай[/b]:
Если (2+ t)/(1+ t) <0 ⇒ неравенство верно при всех t, для которых: (4+3t)/(1+ t) ≥ 0

Решаем систему неравенств:
{(2+t)/(1+ t) <0
{(4+3t)/(1+ t) ≥ 0

которая равносильна совокупности систем
1)
{1+ t >0 ⇒ t > -1
{2+ t <0 ⇒ t < -2
{4+ 3t ≥ 0

Система не имеет решений.
Множества t<-2 и t > -1 не имеют общих точек

ИЛИ

2)
{1+ t < 0 ⇒ t < -1
{2+ t > 0 ⇒ t > -2
{4+ 3t ≤ 0 ⇒ t ≤ -4/3
-2 < t ≤ - 4/3

Обратный переход

-2 < log_(2)x ≤ -4/3
log_(2) (1/4) < log_(2)x ≤log_(2)(1/∛16)

о т в е т в первом случае
[b] (1/4; 1/∛16] [/b]

[b]2 случай[/b].

Если (2+ t)/(1+ t) ≥ 0
Возводим обе части неравенства
(2+ t)/(1+ t) ≤ sqrt((4+3t)/(1+ t))
в квадрат

{((2+ t)^2-(4+3t)*(1+ t))/(1+ t)^2 ≤ 0
{(2+t)/(1+t) ≥ 0 ⇒ t ≤ -2 или t > -1

{t*(2t+ 3)/(1+ t)^2 ≥ 0
{ t ≤ -2 или t > -1

{t ≤ -3/2 или t ≥ 0
{ t ≤ -2 или t > -1

Обратный переход

log_(2)x ≤ -2 или log_(2)x ≥ 0

log_(2)x ≤ log_(2)2^(-2) или log_(2)x ≥ log_(2)1

Основание 2 логарифмической функции больше 1, значит функция возрастает

x ≤ 1/4 или x ≥ 1

С учетом ОДЗ получаем
о т в е т во втором случае
[b](0;1/4] U [1;+∞)[/b]

Объединение ответов первого и второго случаев даст

О т в е т. [b](0;1/∛16] U[1; ∞)[/b]

Ответ выбран лучшим

Так как
5+2sqrt(6)=2+2*sqrt(2)*sqrt(3) + 3=(sqrt(2)+sqrt(3))^2

sqrt(5+2sqrt(6))=sqrt(2)+sqrt(3)

5-2sqrt(6)=2-2*sqrt(2)*sqrt(3) + 3=(sqrt(2)-sqrt(3))^2

sqrt(5-2sqrt(6))=|sqrt(2)-sqrt(3)|=sqrt(3)-sqrt(2)

Кроме того
(sqrt(3)+sqrt(2))*(sqrt(3)-sqrt(2))=3-2=1

Основания (sqrt(3)+sqrt(2)) и (sqrt(3)-sqrt(2)) взаимно обратны.

Обозначим

(sqrt(5+2sqrt(6)))^(sinx)=(sqrt(3)+sqrt(2))^(sinx) =t
t>0

Тогда

(sqrt(5-2sqrt(6)))^(sinx)=(sqrt(3)-sqrt(2))^(sinx)=1/t

[b] Уравнение принимает вид: [/b]

t+(1/t)=10/3

3t^2-10t+3=0
D=100-4*3*3=64

t_(1)=1/3 или t_(2)=3

Обратная замена

1)
(sqrt(3)+sqrt(2))^(sinx)=1/3

sinx=log_(sqrt(3)+sqrt(2))(1/3)

Так как
log_(sqrt(3)+sqrt(2))(1/3)=

=log_(sqrt(3)+sqrt(2))3^(-1)=

= -log_(sqrt(3)+sqrt(2))3=

=log_(sqrt(3)+sqrt(2))^(-1)3=

=log_(sqrt(3)-sqrt(2))^(-1)3> -1

|sinx|≤ 1

Уравнение не имеет корней.

2)
(sqrt(3)+sqrt(2))^(sinx)=3

sinx=log_(sqrt(3)+sqrt(2))3

или

x=(-1)^k arcsin(log_(sqrt(3)+sqrt(2))3)+πk, k ∈ Z

О т в е т. (-1)^k arcsin(log_(sqrt(3)+sqrt(2))3)+πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
sinx+cosx=t.
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=t^2

sinx*cosx=(t^2-1)/2

Неравенство принимает вид

|2t + (2/(t^2-1))+(2t/(t^2-1))| ≤ 2

2*|(t^3+1)/(t^2-1)|≤ 2

|(t^3+1)/(t^2-1)|≤ 1

-1 ≤( t^2-t+1)/(t-1) ≤ 1; t ≠ -1

{t ≠ -1
{(t^2-t+1)/(t-1) - 1 ≤ 0 ⇒ (t^2-2t+2)/(t-1) ≤ 0
{t^2-t+1)/(t-1)+1 ≥ 0 ⇒ (t^2)/(t-1) ≥ 0

Так как t^2-2t+2 >0 при любом t ⇒ t-1 <0
значит неравенство t^2/(t-1)≥ 0 верно при
t^2≤0

Решение системы t=0

sinx+cosx=0
tgx=-1
x=(-π/4)+πk, k ∈ Z

О т в е т. (-π/4)+πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Пусть ребро куба равно 1.

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.
Проекцией АС_(1) на плоскость ВСС1 будет диагональ ВС_(1)

ВС_(1)=sqrt(2)

Из прямоугольного треугольника АС_(1)В
tg ∠ BC_(1)A=AB/BC_(1)=1/sqrt(2)

∠ BC_(1)A=arctg (1/sqrt(2))

О т в е т. arctg (1/sqrt(2))

1. См. рис.1
2. См. рис 2
Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов

х=360 градусов-90 градусов-90 градусов-142 градусов=38 градусов

Второй способ.
[b] Если не изучали четырехугольников[/b]

Треугольник АВС равнобедренный. Значит угол А равен углу С.
В прямоугольных треугольниках АВN и CBM
угол B общий.
Значит и вторые углы в них равны
∠ BCM=∠BAN
Если от равных углов А и С вычесть равные, то остатки будут равны.
Значит,
∠ CAN=∠ACM

Треугольник AOC - равнобедренный.
Сумма углов треугольника 180 градусов
∠AOM =142 градусов ( вертикальные углы равны)

∠ CAN=∠ACM=(180 градусов - 142 градусов)/2=19 градусов.

Из прямоугольного АМС
∠А=90 градусов - 19 градусов=71 градусов ( сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов)

∠С=∠А=71 градусов

x=180 градусов - 71 градусов - 71 градусов = 38 градусов
3.
Из первого неравенства следует, что АВ >AC
Из второго, что BC > AB

Итак ВС > AB > AC
Против большей стороны лежит больший угол.
Угол А - наибольший, затем угол С, затем угол В

4. С(длина окружности)=2πR

2*π*27=54π cм - длина окружности в 360 градусов.
Дуга в 40 градусов меньше в 9 раз (360:40=9)
Длина дуги меньше длины окружности в 9 раз
54π:9=6π (см)
О т в е т. 6π см

5. Угол α - центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.
Данный вписанный угол, он измеряется половиной дуги, на которую опирается.
Значит дуга в два раза больше данного вписанного угла.
α =146 градусов. (прикреплено изображение)

Находим координаты точки D - середины BC
x_(D)=(x_(B)+x_(C))/2=(4+2)/2=3
y_(D)=(y_(B)+y_(C))/2=(5+3)/2=4
z_(D)=(z_(B)+z_(C))/2=(2+4)/2=3

AD=sqrt((x_(D)-x_(A))^2+(y_(D)-y_(A))^2+(z_(D)-z_(A))^2)=
=sqrt((3-1)^2+(4-2)^2+(3-4)^2)=sqrt(4+4+1)=sqrt(9)=3

О т в е т. 3

Общие корни уравнений будут и корнями разности этих уравнений
x^3-5x^2+7x-a - (x^3-8x+b)=0;
-5x^2 +15x - a - b = 0.

Умножаем это уравнение на х:
-5x^3+15x^2-ax-bx=0
Умножаем второе на 5
5x^3-40x+5b=0
Складываем:
15x^2-40x-ax-bx+5b=0

Умножаем
-5x^2 +15x - a - b = 0.
на 3

-15x^2 +45x - 3a - 3b = 0.
и
15x^2-40x-ax-bx+5b=0
складываем

5х-ax-bx-3a+2b=0
(5-a-b)x=3a-2b получили линейное уравнение.
Оно имеет решения при
5-a-b=0
3a-2b=0

a=5-b
3*(5-b)-2b=0 b=3
a=2

Значит при а=2 и b=3 уравнение

-5x^2 +15x - a - b = 0

имеет два корня.
А потому и данные уравнения имеют два общих корня ( третьи отличаются друг от друга)
О т в е т. При а=2; b=3

Ответ выбран лучшим

1. см. рис.

2. (5,68+7,84+6,25):3=6,58 (прикреплено изображение)

1.

В1.
5^(2x+1)-1> 0 ⇒ 5^(2x+1) > 1; 1=5^0
2x+1 > 0 ⇒ x > -1/2
Наименьшее целое х=0

В2.
-1 ≤ sin2x ≤ 1
Делим на 2:
-1/2 ≤ (sin2x)/2 ≤ 1/2
Наименьшее значение равно (-1/2)

Ответы на В.3 и В.4 cм приложение1.

Изображение 2.

В.5
Период функции у=sinx равен 2π.

Период функции у=sinkx равен 2π/k.
k=1/3
Значит T=2π/(1/3)=6π

о т в е т. T/π=6π/π=6

В.6
tg2x~2x при х→0
sin5x~5x при х→0
о т в е т. 2/5

B.7
f(-a)=f(a)=5
g(-a)=-g(a)=-(-1)=1
о т в е т. 6*5*(5-1)+1^2=121

C.1
Область определения функции
3+4x-2x^2 > 0
2x^2-4x-3 < 0
D=16-4*2*(-3)=40
x_(1)=1-(sqrt(10)/2); x_(2)=1+(sqrt(10)/2)
x ∈ (1-(sqrt(10)/2); 1+(sqrt(10)/2))
y`=(4-4x)/(3+4x-2x^2)*ln5
y`=0
4-4x=0
x=1
1 ∈ (1-(sqrt(10)/2); 1+(sqrt(10)/2))
Производная при переходе через точку х=1 меняет знак с+ на -
х=1 точка максимума.
y(1)=log_(5)5=1
о т в е т. 1 - наибольшее значение функции при х=1

2.
В1.
х^2-4> 0 ⇒ (х-2)(х+2) > 0;
_+__ (-2) _____ (2) _+__
Наименьшее натуральное х=3

В2.
-1 ≤ cos3x ≤ 1
Делим на (-0,4)
0,4 ≥ -0,4 cos3x ≥ -0,4
-0,4 ≤ -0,4cos3x ≤ 0,4
Наименьшее значение равно (-0,4)

В.3 рис.2
В.4 1) y=2^x
В.5
Период функции у=cos2x равен 2π.

Период функции у=coskx равен 2π/k.
k=2
Значит T=2π/2=π

о т в е т. T/π=π/π=1

В.6
sin3x-sinx=2sin((3x-x)/2)*cos((3x+x)/2)=2sinx*cos2x
sinx~x при х→0
cos2x →1при х→0
о т в е т. 2/2=1

B.7
f(-a)=f(a)=4
g(-a)=-g(a)=-(-2)=2
о т в е т. 5*4*(4-3*2)-2^2=-44

C.1
Область определения функции
x^2+2x+50 > 0
D=4-4*50 < 0

х - любое

y`=(2x+2)/(x^2+2ч+50)*ln7
y`=0
2x+2=0
x=-1

Производная при переходе через точку х=-1 меняет знак с- на +
х= - 1 точка минимума.
y(-1)=log_(7)(1-2+50)=log_(7)49=2
о т в е т. 2 - наименьшее значение функции при х=-1

Далее аналогично

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{2-x>0 ⇒ x < 2
{log_(18)(2-x)-log_(36)(2-x)≠0 (cм. преобразования знаменателя ⇒ (2-х)≠1 ⇒х≠1)
[b] x ∈ (0;1)U(1;2) [/b]

Применяем формулу перехода к другому основанию и переходим к основанию 9:

(log_(9)x - (log_(9)x/log_(9)18))/(log_(9)(2-x)/log_(9)18)-(log_(9)(2-x)/log_(9)36) ≤ log_(9)9/log_(9)36;

[b]упрощаем

1) числитель[/b]
log_(9)x - (log_(9)x/log_(9)18)=

=log_(9)x*(log_(9)18 - 1)/(log_(9)18)=

=log_(9)x*(log_(9)18-log_(9)9)/(log_(9)18)=

=log_(9)x*(log_(9)18/9)/(log_(9)18)=

=log_(9)x*(log_(9)2)/(log_(9)18)=

[b] знаменатель [/b]:

(log_(9)(2-x))/(log_(9)18)-(log_(9)(2-x))/(log_(9)36) =

=log_(9)(2-x)*(log_(9)36-log_(9)18)/(log_(9)18*log_(9)36)=

=log_(9)(2-x)*(log_(9)36/18)/(log_(9)18*log_(9)36)=

=log_(9)(2-x)*(log_(9)2)/(log_(9)18*log_(9)36)

Тогда неравенство принимает вид:

log_(9)x*log_(9)36/log_(9)(2-x) ≤ 1/(log_(9)36)

log_(9)x/log_(9)(2-x) ≤ 1/(log^2_(9)36)

Неравенство верно при любом х из области допустимых значений уравнения:

При x ∈ (0,1)
log_(9)x < 0
log_(9)(2-x) > 0
cм. рис.1
При x ∈ (1,2)
log_(9)x > 0
log_(9)(2-x) < 0

log_(9)x/log_(9)(2-x) < 0 при любом х ∈ (0;1)

1/(log^2_(9)36) > 0

О т в е т. (0;1) U (1;2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
F`(x)=k (касательной)

По условию
k (каcательной)=0 (касательная параллельна оси абсцисс)
Решаем уравнение:

F`(x)=0
Но по условию F(x) - первообразная f(x)

F`(x)=f(x)

Решаем уравнение
f(x)=0 при 0 < x < 5.

(10x^2–57x+54)*sinπx =0

10x^2–57x+54= 0 или sinπx =0

1)
10x^2–57x+54= 0

D=(-57)^2-4*10*54=3249-2160=1089

x_(1)=(57-33)/20=1,2 или x_(2)=(57+33)/20=4,5

Обе точки удовлетворяют условию 0 < x < 5

2)
sinπx =0

πx=πk, k ∈ Z

x = k , k ∈ Z

x_(3)=1;
x_(4)=2;
x_(5)=3;
x_(6)=4

- точки, удовлетворяющие условию 0 < x < 5

О т в е т. 1; 1,2; 2; 3; 4; 4,5

Перепишем
x*(y^2+1)dx=y(x^2+1)dx

Уравнение с разделяющимися переменными

xdx/(x^2+1)=ydy/(y^2+1)

Интегрируем
∫ xdx/(x^2+1)= ∫ ydy/(y^2+1)

(1/2)ln|x^2+1| + c=(1/2)ln|y^2+1|

ln|x^2+1|+lnC=ln|y^2+1|, ( lnC=2c)

C*(x^2+1)=(y^2+1) - общее решение

При х=1; y=2

C*(1+1)=(4+1)

C=5/2

5(x^2+1)/2=y^2+1 - частное решение при х=1; у=2

Проводим BK || CD.

∠ 3= ∠ 2 как соответственные при параллельных прямых BK || CD и секущей АС

∠ 4= ∠ 1 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BK || CD и секущей ВС

∠ 1= ∠ 2 ( по условию, СD - биссектриса) ⇒ ∠ 3= ∠ 4
Значит, треугольник ВКС - равнобедренный и
ВС=КС

По теореме Фалеса

AD : BD = AC : KC

Заменим КС на ВС и получим требуемое
(прикреплено изображение)

y`=dy/dx

-(2x+2xy^2)dx = sqrt(2-x^2)dy

-2x*(1+y^2)dx=sqrt(2-x^2)dy

Уравнение с разделяющимися переменными

-2xdx/sqrt(2-x^2)=dy/(1+y^2)

Интегрируем:

2sqrt(2-x^2)=arctgy+C - общее решение ( общий интеграл) дифференциального уравнения.

Пусть х - коэффициент пропорциональности.
Тогда
MN=3x, MR=4x

S=3x*4x=12x^2
P=(3x+4x+3x+4x)=14x

Чтобы найти х, нужны дополнительные данные.
По теореме Пифагора
NR^2=MN^2+MR^2
NR^2=(3x)^2+(4x)^2=9x^2+16x^2=25x^2
x=NR/5

Если указано значение NR, то легко найти ответ.

О т в е т. S=12*(NR^2)/25; P=(14/5)*NR

Проводим MK || AN.
По теореме Фалеса
BK:KN=BM:MA=3:2

Пусть СN=x, тогда NB=2x ( BN:NC=2x:x=2:1 cм. условие )

KN=(2/5)BN=(2/5)*2x=(4/5)x

CN: NK=x:(4/5)x=5:4

По теореме Фалеса
CO:OM=CN:NK=5:4

О т в е т. 5:4 (прикреплено изображение)

Пусть вектор х имеет координаты (x_(1);x_(2);x_(3)).

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат.

Получаем систему трех уравнений:
{3x_(1)-2x_(2)+4x_(3)=4;
{5x_(1)+x_(2)+6_(3)=35;
{-3x_(1)+2x_(3)=0

Из третьего уравнения выражаем x_(1)=(2/3)x_(3)
и подставляем в первое и второе уравнения:
{2x_(3)-2x_(2)+4x_(3)=4⇒ 3x_(3)-x_(2)=2⇒x_(2)=3x_(3)-2
{(10/3)x_(3)+x_(2)+6x_(3)=35 ⇒ (10/3)x_(3)+3x_(3)-2+6x_(3)=35;

(37/3)x_(3)=37
x_(3)=3

x_(2)=3*3-2=7

x_(1)=(2/3)x_(3)=(2/3)*3=2

О т в е т. (2; 7; 3)

ОДЗ:
Так как - основание логарифмической функции положительно и не равно 1, то
{|sinx| >0
{|sinx| ≠ 1
Так как выражение под логарифмом неотрицательно:
{x^2-8x+23 >0
{|sinx|>0
Так как знаменатель дроби не равен 0:
log_(2)|sinx| ≠ 0 ⇒ |sinx| ≠ 1

ОДЗ определяется системой следующих условий:
{|sinx| >0 ⇒ sinx ≠ 0 и sinx ≠ ±1
{|sinx| ≠ 1
{x^2-8x+23 >0 - верно при любом х, так как D=(-8)^2-4*23<0

ОДЗ: x ≠ πk, k ∈ Z ; x ≠ (π/2)+2πn, n ∈ Z; x ≠ (-π/2)+2πm, m ∈ Z

Так как по формуле перехода к другому основанию:

log_(2)|sinx|=1/log_(|sinx|), то неравенство имеет вид:

log_(|sinx|) (x^2-8x+23) > 3 * log_(|sinx|)2.

По свойству логарифма степени:

log_(|sinx|) (x^2-8x+23) > log_(|sinx|)2^3;

log_(|sinx|) (x^2-8x+23) > log_(|sinx|)8.

Логарифмическая функция с основанием 0 < |sinx| < 1 убывающая, поэтому

x^2-8x+23 < 8

x^2-8x+15 < 0

D=64-4*15=4

корни 3 и 5

Решение x∈ (3;5)

C учетом ОДЗ: x ≠ πk, k ∈ Z ; x ≠ (π/2)+2πn, n ∈ Z; x ≠ (-π/2)+2πm, m ∈ Z

из указанного интервала исключаем х= π и х= (-π/2)+2π=3π/2

О т в е т. (3;π)U (π; (3π/2))U((3π/2);5)

Находим значение числителя:
x^2-8x+15 при х=2/3
равен
(2/3)^2-8*(2/3)+15=(8/9)-(16/3)+15=(8-48+135)/9=95/9

Знаменатель:
x - 3 + sqrt(x^2-8x+16)
при х=2/3 равен
(2/3)-3 + sqrt( (2/3)^2-8*(2/3)+16)=(2/3)-(9/3)+sqrt((8/9)-(16/3)+16)=

=(-7/3) + sqrt((8-48+144)/9)=(-7+sqrt(104))/3

Делим (95/9) на (-7+sqrt(104))/3

Получаем:
95/(3*(sqrt(104)-7)=
переводим иррациональность из знаменателя в числитель:

95*(sqrt(104)+7)/(3*((sqrt(104))^2-7^2))=

=95*(sqrt(104)+7)/(3*(104-49))=

=95*(sqrt(104)+7)/(3*55)=

сокращаем на 5

=19*(sqrt(104)+7)/33

О т в е т. 19*(sqrt(104)+7)/33

ОДЗ:
{x+1 > 0 ⇒ x > -1;
{x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0;
{x>0;
ОДЗ: [b] x ∈ (0;+ ∞ )[/b]
По формуле перехода к другому основанию:
log_(1/2)(x+1)=log_(2)(x+1)/log_(2)(1/2)=-log_(2)(x+1)=log_(2)1/(x+1)

log_(x+1)x=log_(2)x/log_(2)(x+1).

Неравенство принимает вид:
(log_(2)1/(x+1))log_(2)x > log_(2)x/log_(2)(x+1);

(log_(2)1/(x+1))log_(2)x - (log_(2)x/log_(2)(x+1)) > 0;

log_(2)x*(log_(2)(1/(x+1))-(1/log_(2)(x+1))) > 0

log_(2)(1/(x+1))=-log_(2)(x+1)

log_(2)x*(log^2_(2)(x+1) + 1)/(log_(2)(x+1)) < 0

Так как (log^2_(2)(x+1) + 1) > 0 при любом х ∈ ОДЗ, то

(log_(2)x)/(log_(2)(x+1)) < 0

Находим нули числителя:
log_(2)x=0
x=1
Находим нули знаменателя:
log_(2)(x+1)=0
x+1=1
x=0
С учетом ОДЗ:

(0) __-_ (1) __+__

О т в е т. (0;1)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х ≠ 0

Так как 1=log_(2)2, то

log_(2)|1–(12/x^2)| < log_(2)2.

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому c учетом ОДЗ:

|1-(12/x^2)| < 2 ⇒ по определению модуля это неравенство равносильно двойному:

-2 < 1 - (12/x^2) < 2

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

{1 - (12/x^2) < 2 ⇒ (x^2 + 12)/(x^2) > 0 ⇒ х ≠ 0
{(1-(12/x^2) > -2 ⇒ (3x^2-12)/(x^2) > 0 ⇒ x < - 2 или х >2

О т в е т. (-∞;-2) U (2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
2-х >0 ⇒ x < 2
По определению модуля неравенство равносильно совокупности неравенств:
log_(3)(2-x) < -2 или log_(3)(2-x) >2;
log_(3)(2-x) < log_(3)(1/9) или log_(3)(2-x) > log_(2)9.

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому c учетом ОДЗ:

0 < 2-х < 1/9 или 2-х > 9 ⇒

-2 < - x < -2 +(1/9( или - х > 7;

17/9 < x < 2 или x < - 7

О т в е т. (- ∞; -7) U(17/9;2).

Ответ выбран лучшим

а) x(2y–3x+4)+y(3x–2y+1)=(x–2y)(y–2x);
раскроем скобки:
2xy-3x^2+4x+3xy-2y^2+y=xy-2y^2-2x^2+4xy;
y=x^2-4x - уравнение параболы у=ax^2+bx+c
a=1
b=-4
c=0

б) (2x–3y)^2 – (y–6x)^2= 8y^2–5(x+2)^2;
4x^2-12xy+9y^2-y^2+12xy-36x^2=8y^2-5x^2-20x-20;
-32x^2+5x^2+20x+20=0
-27x^2+20x+20=0 - это не уравнение параболы.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-1> 0 ⇒ (x-1)*(x+1) > 0 ⇒ (- ∞;-1) U (1;+ ∞ )

1=(1/7)^(0)

(1/7)^(log_(7)(x^2–1) > (1/7)^(0).

Показательная функция с основанием 0 < 1/7 < 1 убывает, поэтому:
log_(7)(x^2–1) < 0

0=log_(7)1;

log_(7)(x^2–1) <log_(7)1.

логарифмическая функция с основанием 7 > 1 возрастает, поэтому

(x^2–1) < 1

x^2 < 2 ⇒ | x | < sqrt(2)

- sqrt(2) < x < sqrt(2)

С учетом ОДЗ
О т в е т. (-sqrt(2);-1) U (1; sqrt(2))

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
1+2x>0 ⇒ x > -0,5

9^(log_(3)(1+2x))=3^(2log_(3)(1+2x))=3^(log_(3)(1+2x)^2)=(1+2x)^2;

(1+2x)^2=5x^2-5;
4x^2+4x+1=5x^2-5;
x^2-4x-6=0
D=16+24=40
x_(1)=(4-2sqrt(10))/2=2-sqrt(10) или x_(2)=(4+2sqrt(10))/2=2+sqrt(10)

x_(1) не принадлежит ОДЗ:
2-sqrt(10) < -0,5, так как 2+0,5 < sqrt(10), потому что 2,5^2 < 10

О т в е т. 2+sqrt(10)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: {6х + 2 > 0 ⇒ x > - 1/3.
{x>0
ОДЗ: х > 0
Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя:
1-log_(0,5)x=0
log_(0,5)x=1
x=0,5

(0) __-___ (0,5) ___+____

О т в е т. ( 0; 0,5)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+4 > 0 ⇒ x > - 4;
{log_(3)(x+4) > 0 ⇒ log_(3) (x+4) > log_(3) 1 ⇒ x + 4 > 1 ⇒ x> -3

ОДЗ: [b] x ∈ (-3;+ ∞ ) [/b]

1=log_(1/4) (1/4)

log_(1/4)(1/4)+log_(1/4)(log_(3)(x+4)) > 0;

log_(1/4) (1/4)*(log_(3)(x+4)) > log_(1/4) 1;

0 <(1/4) < 1, логарифмическая функция убывает, поэтому

(1/4)*(log_(3)(x+4)) < 1;

log_(3)(x+4) < 4;

log_(3) (x+4) < log_(3) 81;

3> 1, логарифмическая функция возрастает, поэтому

x+ 4 < 81;

x < 77

С учетом ОДЗ
О т в е т. (-3;77)

Ответ выбран лучшим

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
OM ⊥ MK
PK ⊥ MK

KOMP - прямоугольная трапеция.
MO=2
KP=8
OP=2+8=10

Проводим высоту из точки О на РК,
получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом
8-2=6
MK=8 ( по теореме Пифагора, египетский треугольник, 10 ; 8 ; 6)

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны:

ВМ=ВА
ВА=MK

BM=BK=(1/2)MK=4

AB=BM=4

О т в е т. 4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)В основании пирамиды прямоугольник.
По теореме Пифагора
АС^2=AD^2+DC^2=12^2+5^2=144+25=169
[b]AC=13[/b].

Δ ASC - равнобедренный
SA-AC=13

Перпендикуляр AH - высота равнобедренного треугольника, которая одновременно является и [b]медианой[/b].
Значит,
[b] SH=HC[/b]

б)

Рассмотрим треугольник равнобедренный (SB=SC=13)
треугольник SBC.

Высота SP равнобедренного треугольника делит сторону ВС пополам.
ВР=РС=6

В а) доказано, что SH=HC,
значит HP - средняя линия Δ SBC и
HP|| SB

Проводим PF ⊥ SB и HK || PF ⇒ HK ⊥ SB.

HK=PF

PF- высота прямоугольного треугольника SBP.
SB=13
BP=6
SP=sqrt(SB^2-BP^2)=sqrt(169-36)=sqrt(133)

Так как S_(Δ SBP)=(1/2)SB*PF и S_(Δ SBP)=(1/2)*BP*SP, то

PF* SB=BP*SB ⇒ PF=6*sqrt(133)/13

HK=PF=6*sqrt(133)/13
О т в е т.6*sqrt(133)/13
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ KLQ и Δ SNQ подобны по трем углам:
∠ LQK = ∠ NQS как вертикальные,
два других угла как внутренние накрест лежащие при параллельных KL и SN.

Из подобия следует пропорциональность сторон:
SN:LK=QS:KQ=QN=LQ=1:2 ( по условию LP=PQ=QN и значит LQ=2QN)
S_( Δ SNQ) : S_( Δ KLQ)=1:4

Пусть S(параллелограмма KLMN)=[b]S[/b]
S_(Δ KLN)=[b]S[/b]

S_( Δ LKP)=S_( Δ KPQ)=S_( Δ KQN)=S_(Δ KLN)/3=([b]S[/b]/6;

S_( Δ SNQ) =S_( Δ KLQ)/4 = 2*([b]S[/b]/6)/4=[b]S[/b]/12;

Аналогично,

S_( Δ LPR)=S_( Δ KPN)/4=[b]S[/b]/12;

S_(MRPQS)=[b]S[/b] - ([b]S[/b]/12)-3*([b]S[/b]/3)-([b]S[/b]/12)=
(cм. рис.2)
=([b]S[/b]/3)

S(параллелограмма KLMN) : S_(MRPQS)=3:1

О т в е т. 3:1 (прикреплено изображение)

1) Делим и числитель и знаменатель дроби справа на х

y`=(y/x)/(1-(y/x))

Замена
y/x=u
y=ux
y`=u`*x+u*x` (x`=1, так как х - независимая переменная)

u`*x+u=u/(1-u)
u`*x=(u/(1-u))-u;
u`*x=u^2/(1-u) - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

(u-1)du/u^2=dx/x

Интегрируем
ln|u|+(1/u)=ln|x| + lnC

(lnCx/u)=1/x

или

Cx^2/y=e^(1/x) - общее решение данного уравнения

2)Делим на х

y`=(y/x)ln(y/x))

Замена
y/x=u
y=ux
y`=u`*x+u*x` (x`=1, так как х - независимая переменная)

u`*x+u=ulnu
u`*x=u*(lnu-1) - уравнение с разделяющимися переменными

du/(u(lnu-1))=dx/x

Интегрируем
ln|lnu-1|=lnx+C

ln|y/x| -1 = Cx - общее решение

y(1)=1

ln|1|-1=C*1 ⇒ C=-1

ln|y/x| -1 = -x - частное решение

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Δ АОВ - равносторонний:
AO=OB=R=1
AB=1 по условию
Значит, ∠ ∠ BAD =60 градусов, ∠ CAD= 45 градусов.

Δ AOC - равнобедренный, (AO=OC=R=1)
∠ CAD=45 градусов, Значит ∠ ACO =45 градусов.
AC=sqrt(2)

[b] Первый способ решения[/b]
По теореме косинусов
BC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos ∠ BAC.

∠ BAC=60 градусов + 45 градусов=105 градусов

сos ∠ BAC=cos105 градусов= сos(60 градусов+ 45 градусов)=

=cos 60 градусов*cos 45 градусов - sin 60 градусов* sin 45 градусов =(sqrt(2)/2)*(1-sqrt(3))/2

BC^2=1+(sqrt(2))^2 -2*1*sqrt(2)*(sqrt(2)/2)*(1-sqrt(3))/2=

=1+2 -1+sqrt(3)=2+sqrt(3)

[b]BC=sqrt(2+sqrt(3))[/b]

[b] Второй способ решения[/b]

По теореме синусов:

BC/sin∠ BAC=2R

sin∠ BAC=sin 105 градусов=sin(60 градусов+ 45 градусов)=

=sin 60 градусов*cos 45 градусов +cos 60 градусов* sin 45 градусов =
=(sqrt(2)/2)*(sqrt(3)+1)/2=sqrt(2)*(sqrt(3)-1)/4

BC=2R*sin105 градусов = 2*(sqrt(2)/2)*((sqrt(3)+1)/2)=

=sqrt(2)*(sqrt(3)+1)/2=(sqrt(6)+sqrt(2))/2

[b]BC=(sqrt(6)+sqrt(2))/2[/b]

Оба ответа равны между собой ( !!!)

sqrt(2+sqrt(3))=(sqrt(6)+sqrt(2))/2

Возводим в квадрат:

2+sqrt(3) =( 6+2sqrt(6)*sqrt(2) + 2)/4 - верно

2+sqrt(3) = 2+sqrt(3)

О т в е т. [b]BC=(sqrt(6)+sqrt(2))/2[/b] или [b]BC=sqrt(2+sqrt(3))[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного
треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников ( см. рис) ⟹
∆ ABC ~∆ AB_(1)C_(1)
k =cos ∠A =cos α

B_(1)С_(1) : ВС = сos α

BC=B_(1)C_(1)/cos α =l/cos α

О т в е т. l/cos α (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(x+(3π/2))= - cosx

2cos^2x ≥ 1/2

cos^2x ≥ 1/4

cosx ≤ -1/2 или cosx ≥ 1/2

[b][2π/3)+2πk; (4π/3)+2πk], k ∈ Z или [(-π/3)+2πn; (π/3)+2πn], n ∈ Z[/b]

б)
ctg3x–√3 ≥ 0

ctg3x ≥ √3

0+πk< 3x ≤ (π/6)+πk, k ∈ Z

[b](π/3)*k< x ≤ (π/18)+(π/3)*k, k ∈ Z [b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ANM=∠ABM = 30°,
∠NAK=∠BMK = 15°
как углы опирающиеся на одну и ту же дугу

∠ АМВ= 90 °, как угол опирающийся на диаметр АВ

∠ АМК= 90 ° – 15 °= 75 °.

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных, поэтому

∠ MKA= ∠ BMN + ∠ ABM=

=15 ° + 30 ° = 45 °

∠ МAК= 180 ° – 75 °- 45 °= 60°.

МК=3

По теореме синусов из Δ MAK

MА/sin45° = MK/sin60° ⇒ MA=sqrt(6)

MB=2MA=2sqrt(6) по свойству катета, лежащего в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов.

По теореме Пифагора

АВ^2=MA^2+MB^2=(sqrt(6))^2+(2sqrt(6))^2=6+24=30

AB= sqrt(30)

О т в е т. MB=2sqrt(6); AB=sqrt(30) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проекции на смежные грани - диагонали этих граней.

Грани AA_(1)D_(1)D и DD_(1)C_(1) C- смежные.

B_(1)D=d;

A_(1)D - проекция B_(1)D на плоскость AA_(1)D_(1)D , значит

∠A_(1)DB_(1)= α;

С_(1)D - проекция B_(1)D на плоскость DD_(1)C_(1) C , значит

∠B_(1)DC_(1)= β

A_(1)B_(1) ⊥ пл. AA_(1)D_(1)D⇒A_(1)B_(1)⊥A_(1)D

Значит, треугольник A_(1)DB_(1) – прямоугольный:

A_(1)B_(1)=d*sin α.

Аналогично,
B_(1)С_(1) ⊥ пл. DD_(1)C_(1) C ⇒B_(1)C_(1)⊥C_(1)D

Значит, треугольник B1DC_(1) – прямоугольный:

B_(1)C_(1) = d*sinβ
C_(1)D = d*cos β

3) AB=CD = A_(1)B_(1) = d sin α (как стороны прямоугольников АВСD и A_(1)B_(1)C_(1)D_(1)).

Из треугольника DCC_(1) по теореме Пифагора найдем C_(1)C:

C_(1)C^2=C_(1)D^2-CD^2= d^2cos^2β-d^2sin^2α

H( параллелепипеда)=d*sqrt(cos^2β-sin^2α)

V( параллелепипеда ABCDA1B1C1D1)=AB*BC*CC_(1)=

= (d sinα )*(d*sinβ)*d*sqrt(cos^2β-sin^2α)=

=d^3sin α *sin β *sqrt(cos^2β-sin^2α)

О т в е т. [b]d^3sin α *sin β *sqrt(cos^2β-sin^2α)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон:
[b]d^2_(1)+d_(2)=2a^2+2b^2[/b]

Из треугольников DBC и ABC по теореме косинусов:
BD^2=BC^2+CD^2-2BC*CD*cos ∠ BCD;
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos ∠ ABC.

AD=CD;
cos ∠ BCD=-cos ∠ ABC;
складываем и получаем:
BD^2+AC^2=2*AB^2+2BC^2

О т в е т. d_(1)=sqrt(2a^2+2b^2-d^2_(2)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть медианы ВМ и СN пересекаются в точке P.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Обозначим
BM=3x, тогда BP=2x; PM=x
CP=y

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BPC:
(2x)^2+(y)^2=a^2;
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MPC:
(x)^2+(y)^2=(b/2)^2.

Система уравнений:
{(2x)^2+(y)^2=a^2;
{(x)^2+(y)^2=(b^2)/4.

Вычитаем из первого второе:
3x^2=a^2-(b^2)/4;
x^2=(4a^2-b^2)/12

y^2=(b^2)/4-x^2=(4b^2-4a^2)/12

S( Δ АВМ)=S(BMC), так как АМ=МС, высота общая.

S( Δ BMC)=(1/2)BM*CP=(1/2)*3*x*y=

=(1/2)*3*sqrt((4a^2-b^2)/12)*sqrt(4b^2-4a^2)/12)=

=sqrt(5a^2b^2-a^4-b^4)/4

О т в е т. sqrt(5a^2b^2-a^4-b^4)/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть боковая сторона a, основание с.

S=(1/2)c*m и S =(1/2)a*n

c*m=a*n

[b]c=(n/m)a[/b]

По теореме Пифагора:
a^2=m^2+((1/2)c)^2.

a^2=m^2+(n/m)^2*a^2;

a^2=m^2/sqrt(m^2-n^2)

a=m/sqrt(m^2-n^2)

с=(n/m)*a

c=n/sqrt(m^2-n^2)

О т в е т. m/sqrt(m^2-n^2); m/sqrt(m^2-n^2); c=n/sqrt(m^2-n^2) (прикреплено изображение)

По теореме синусов
a/sin α =2R
20/sin α =25
sin α =20/25=0,8 ⇒ cosα=sqrt(1-sin^2α)=sqrt(1-0,8^2)=0,6

h_(c)=a*sin α =20*0,8=16

(1/2)c=a*cos α =20*0,6=12
c=24

r=S/p

S=(1/2)c*h_(c)=(1/2)*24*16=192
p=(20+20+24)/2=32

r=192/32=6

О т в е т. 6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны:
AM+AK=2
CM=CL=3
BK=BL=x.

По теореме косинусов:
AB^2=AC^2+BC^2-2*AB*BC*cos(π/3)

(х+2)^2=5^2+(x+3)^2-2*5*(x+3)*(1/2)
x=5

Из прямоугольного треугольника МОС
OM=MC*tg(π/6)=3*(sqrt(3)/3)=sqrt(3)

Четырехугольник BKLO :
∠ BKO = ∠BLO = 90 градусов

BK=BL=5
OK=OL=sqrt(3)
BO=sqrt(5^2+(sqrt(3))^2)=sqrt(28)=2sqrt(7)

Диагонали четырехугольника BO и KL взаимно перпендикулярны.

Из фомул вычисления площади прямоугольного треугольника
S=(1/2)a*b и S=(1/2)c*h

(1/2)KL=BK*OK/BO

KL=2*5*sqrt(3)/2sqrt(7)=5sqrt(3/7)

О т в е т. 5 sqrt(3/7) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОP=OT=OK=OM=5

АК=АО-ОК=13-5=8
ВМ=ВО-МО=7-5=2

По теореме Пифагора из треугольника APO
АP=sqrt(AO^2-OP^2)=sqrt(13^2-5^2)=sqrt(144)=12

Обозначим ∠ СAB=α
sinα = OP/AO = 5/13;
cosα = AP/AO = 12/13.

По теореме Пифагора из треугольника BTO
BT=sqrt(BO^2-OT^2)=sqrt(7^2-5^2)=sqrt(24)=2sqrt(6)
Обозначим ∠ СBA=β
sinβ = OT/OB = 2sqrt(6)/7;
cos β =BT/OB=5/7.

Так как AB=13+7=20
по теореме синусов

AB/sin ∠ ACB=2R

∠ ACB=180 градусов - α - β

sin∠ ACB=sin(180 градусов - α - β )=sin( α+ β)=

=sin α *cos β +cos α *sin β =

=(5/13)*(2sqrt(6)/7)+(12/13)*(5/7)=10(6+sqrt(6))/91

R=10*91/10*(6+sqrt(6))= 91/(6+sqrt(6))

О т в е т. 91/(6+sqrt(6))

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.
Дуги АВ и СD, заключенные между параллельными хордами ВС и AD равны. Значит и хорды AB и CD равны.

Проводим высоту СК
KD=(b-a)/2
AK=b-(b-a)/2=(a+b)/2

H( трапеции) =СK=AK*cos α = (a+b)cos α /2

Окружность описана не только около трапеции, но и около треугольника ACD.

Поэтому для нахождения радиуса применим формулу

R= AC*CD*AD/4S(Δ ACD)

S ( Δ ACD)=(1/2)AD*CK= (1/2)*b* (a+b)cos α /2=b*(a+b)*cos α /4.

AC^2=AK^2+CK^2=((a+b)/2)^2+((a+b)*(cos α)/2)^2

AC=(a+b)sqrt(1+cos^2α)/2

CD^2=CK^2+KD^2=((a+b)*(cos α)/2)^2+ ((b-a)/2)^2=

=(a^2+b^2)*(1+cos^2 α )/4

CD=sqrt((a^2+b^2)*(1+cos^2 α ))/2

[b]R=((1/cosα)+cosα)*sqrt(a^2+b^2)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Площадь треугольника со сторонами а, b и с :

S=sqrt(p*(p-a)P(p-b)*(p-c)),
p=(a+b+c)/2

[b]S=sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b+c-a))/4[/b]

Высота, проведенная к стороне с

h_(c)=2S/c

[b]h_(c)=sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b+c-a))/(2c)[/b]

Mедиана, проведенная к стороне с:
Удваиваем медиану, получаем параллелограмм.
Удвоенная медиана и сторона c - диагонали.
Так как в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме всех сторон, то
(2m_(c))^2+c^2=2a^2+2b^2 ⇒

[b]m_(c)=(sqrt(2a^2+2b^2-c^2))/2 [/b]

Биссектриса, проведенная к стороне с:
(см.рис.)
По свойству биссектрисы угла треугольника :
биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

AL : LB= AC : BC

AL=(b/a)LB

AL+LB=AB

(b/a)LB+LB=c ⇒ LB=ac/(a+b)

AL=c - LB= bc/(a+b)

В треугольниках ACL и BCL

∠ ACL= ∠ BCL= α

По теореме косинусов

сos α =(AC^2+CL^2-AL^2)/(2AC*CL)
и
сos α =(ВC^2+CL^2-ВL^2)/(2ВC*CL)

Приравниваем правые части:

(AC^2+CL^2-AL^2)/(2AC*CL)=(ВC^2+CL^2-ВL^2)/(2ВC*CL) ⇒

[b]СL=sqrt(ab(a+b)^2-abc^2)/(a+b)[/b]

r=S/p

[b]r=sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b+c-a))/(2(a+b+c))[/b]

R=abc/4S

[b]R=abc/sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b+c-a))[/b]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойству касательных к окружности,проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
СМ=СP;
AM=AK;
BK=BP

Пусть
СМ=СP=x, тогда АМ= b-x и BP=a-x

Значит, АК=b-x и ВК = а-х

Но АК+КВ=АВ

(b-x) + (a-x) = c

x=(a+b-c)/2

О т в е т. (a+b-c)/2
или
(a+b-c)/2= p-c, где p=(a+b+c)/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АМ=МС=(1/2)АС ( М - середина АС)

ВМ =(1/2)АС.

Получили АМ=МС=МB , точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.
Значит, М - центр описанной около треугольника АВС окружности.

АС - диаметр и значит ∠ ABL=LBC=45 градусов.

Сумма углов треугольника ВLС равна 180 градусов.

∠ ВСА= 180 градусов - ∠ СВL - ∠ BLC=
=180 градусов - 45 градусов - 55 градусов=80 градусов.

∠ ВAC= 90 градусов - ∠ ВCA= 90 градусов - 80 градусов = 10 градусов.

О т в е т. 90 градусов; 80 градусов; 10 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Касательная перпендикулярна радиусу проведенному в точку касания

Диаметр ОК перпендикулярен одной из параллельных прямых, значит перпендикулярен и второй, т.е АВ.

Диаметр KD, перпендикулярный хорде AB делит хорду пополам
Пусть М - точка пересечения АВ и КD
.
AM=MB=3

Значит KM=4

(египетский прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и катетом 3, значит второй катет 4)

По свойству пересекающихся хорд:

AM*MB=KM*MD

3*3=4*MD

MD=9/4

KD=KM+MD=4+(9/4)=25/4

R=(1/2)KD=25/8

О т в е т. 25/8=3,125 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АВН:

BH=AB*cos∠ B

Из прямоугольного треугольника ВКС
BK=BC*cos∠ B

cos∠ B=BH/AB=BK/BC

Треугольники АВС и НВК подобны,
так как угол В - общий и стороны, заключающие этот угол пропорциональны

По условию
S( Δ АВС) : S( Δ BHK)=18 : 2 = 9

Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон,

АС^2 : HK^2 = 9 ⇒ АС : HK = 3

BH/AB=BK/BC=HK/AC=1/3

AC=3HK=6sqrt(2)

cos∠ B=BH/AB=1/3

sin∠ B=sqrt(1-cos^2∠ B)=[m]\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/m];

По теореме синусов:
[m]\frac{AC}{sin\angle B}=2R[/m] [m]\Rightarrow R=\frac{AC}{2sin\angle B}[/m]

[m]R=\frac{6\sqrt{2}}{2\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{9}{2}=4,5[/m]

О т в е т. 4,5

(прикреплено изображение)

ВМ - медиана, значит АМ=МС

АМ=ВМ по условию

АМ=ВM=MC

Точка М равноудалена от всех вершин треугольника АВС, поэтому
M - центр описанной окружности.

АС - диаметр этой окружности, и ∠ АВС= 90 градусов
По теореме Пифагора
AC^2=AB^2+BC^2
AC^2=1+4=5
AC=sqrt(5)
AM=MC=BM=sqrt(5)/2

Пусть AН=х, тогда из прямоугольного треугольника ABН по теореме Пифагора
BH^2=AB^2-AH^2=1-x^2

Из прямоугольного треугольника ВНС (HC=AC-AH=sqrt(5)-x;

по теореме Пифагора
BH^2=BС^2-HС^2
1 - x^2 = 2^2-(sqrt(5) - x)^2;
1 - x^2 = 4-5 +2 sqrt(5)x -x^2;

x=1/sqrt(5)

BH=sqrt(1-x^2)=sqrt(1-(1/sqrt(5))^2)=sqrt(1-(1/5)=sqrt(4/5)=2/sqrt(5)

Из прямоугольного треугольника МВН

cos ∠ MBH=BH/BM=(2/sqrt(5))/(sqrt(5)/2)=4/5=0,8

∠ MBH=arccos 0,8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

h=CK=BM=4 ( катет прямоугольного египетского треугольника)
BC=12-3=9
AD=12+3=15

S=(a+b)*h/2=(15+9)*4/2=48

d=AC

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСК
AC^2=AK^2+KC^2=12^2+4^2=144+16=160
AC=4*sqrt(10)

О т в е т. верхнее основание трапеции 9; ее площадь 48, высота 4 и диагональ 4sqrt(10) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В условии опечатка, не может быть два противолежащих угла.
Угол β- [b] прилежащий [/b]

По теореме синусов:

a/sin α =b/sin β ⇒ b=(a•sin β )/sin α

S( Δ)=(1/2)a•b•sin γ =(1/2)• a • ((a•sin β )/sin α ) • sin (180 ° – α – β )=

=(1/2)•a2•(sin β sin( α + β))/sin α

О т в е т. (1/2)•a2•(sin β sin( α + β))/sin α

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S=(1/2)a*h_(a) ⇒ a=2S/h_(a)
S=(1/2)b*h_(b) ⇒ b=2S/h_(b)
S=(1/2)c*h_(c) ⇒ c=2S/h_(c)

По формуле ГЕРОНА:

S= sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

p=((2S/h_(a))+(2S/h_(b))+(2S/h_(c)))/2=S*((1//h_(a))+(1/h_(b))+(1/h_(c))

p-a=S*((1//h_(a))+(1/h_(b))+(1/h_(c)) - (2S/h_(a))=

= S*((1/h_(b))+(1/h_(c) -(1//h_(a)) )

p-b=S*((1//h_(a))+(1/h_(b))+(1/h_(c)) - (2S/h_(b))=

= S*((1/h_(a))+(1/h_(c) -(1//h_(b)) )

p-c=S*((1//h_(a))+(1/h_(b))+(1/h_(c)) - (2S/h_(c))=

= S*((1/h_(a))+(1/h_(b) -(1//h_(c)) )

S^2= p*(p-a)*(p-b)*(p-c)

S^2=S^4*((1//h_(a))+(1/h_(b))+(1/h_(c))*((1/h_(b))+(1/h_(c) -(1//h_(a)) ) *((1/h_(a))+(1/h_(c) -(1//h_(b)) )*((1/h_(a))+(1/h_(b) -(1//h_(c)) )

S^2=1: ((1//h_(a))+(1/h_(b))+(1/h_(c))*((1/h_(b))+(1/h_(c) -(1//h_(a)) ) *((1/h_(a))+(1/h_(c) -(1//h_(b)) )*((1/h_(a))+(1/h_(b) -(1//h_(c)) )

Значит, чтобы найти S извлекаем корень из выражения справа.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х+3 ≠ 0 ⇒ х ≠ -3

Применяем метод интервалов.

Находим нули числителя:

3^(2x)–54·(1/3)^(2(x+1))–1=0;

3^(2x)–54·((3)^(-1))^(2(x+1))–1=0;

3^(2x)–6·((3)^(-2x)–1=0;

3^(2x)=t; t > 0 при любом х

3^(-2/x)=1/t

t -(6/t)-1=0

(t^2-t-6)/t=0

D=1+24=25

t_(1)=(1-5)/2=-2 или t=(1+5)/2=3

3^(2x)=-2 уравнение не имеет корней

3^(2x)=3 ⇒ 2x=1 ⇒ x= 0,5

__+__ (-3) __-__ [0,5] _+_

О т в е т. (-3; 0,5]

x^2-5x+6=(x-2)*(x-3)
D=25-24=1
x_(1)=(5-1)/2=2; x_(2)=(5+1)/2=3

1 действие в скобках:
приводим к общему знаменателю

(3*(x-2)+4+2x*(x-3))/((x-2)(x-3))=

=(2x^2-3x-2)/((x-2)(x-3))=(x-2)*(2x+1)/((x-2)*(x-3))=(2x+1)/(x-3)

так как
2x^2-3x-2=2*(x-2)(x-(-1/2))=(x-2)*(2x+1)

D=9+16=25;
x=(-1/2) или х=2

2 действие деление:

((2x+1)/(x-3)) :(2х+1)/3=((2x+1)/(x-3)) * (3/(2х+1))=3/(х-3)

3 действие вычитание

(3/(х-3))-(х-12)/(3*(3-х))=
меняем знак перед второй дробью и в знаменателе второй дроби
(3/(х-3)) + (х-12)/(3*(х-3))=(9+х-12)/(3*(х-3))=(х-3)/(3*(х-3))=1/3

x ≠2; x ≠ 3

Ответ выбран лучшим

По теореме синусов:
AB/sin α =2R ⇒[b] AB=2R*sin α [/b]

ВС=АВ=2R*sin α

Проводим высоту равнобедренного треугольника ВК. Она одновременно и медиана и биссектриса.

АК=КС
Из прямоугольного треугольника АВК
ВК= AB*sin α =2R*sin α *sin α;
АК=AB*cos α =2R*sin α *cos α ⇒
АC=2АК=4R*sin α *cos α

По формуле:

r=S/p

S=(1/2)AC*BK=(2R*sin α *cos α)*(2R*sin α *sin α)=

=4R^2sin^3α*cosα;

p=(AB+BC+AC)/2=(2R*sin α+2R*sin α+4R*sin α *cos α)/2=

=2Rsinα (1+cos α )

r= (4R^2sin^3α*cosα)/(2Rsinα (1+cos α ))=

=2R*sin^2 α cos α /(1+cos α )=

=R*sin α *sin2 α /(1+cos α )

так как sin α/(1+cos α )=tg( α/2)

О т в е т. r=R*(sin2 α)*(tg( α/2)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AC=AB*cos α =c*cos α ;
BC=AB*sin α = c*sin α ;

Пусть АК=х, ВК=с-х.

По свойству биссектрисы угла треугольника:

AK : BK = AC : BC

х : (с - х) = c*cos α : c*sin α

⇒ x=(c*cos α )/(sin α +cos α )

AK=(c*cos α )/(sin α +cos α )

По теореме синусов для треугольника АСК:

CK : sin α = AK : sin 45 градусов.

CK= (AK*sin α )/sin45 градусов=

= (sqrt(2)*c*sinα cos α )/(sin α +cos α )=

=((sqrt(2)/2)*csin2 α) /(sin α +cos α ).

Преобразуем сумму в произведение:

sin α +cos α =sin α + sin((π/2)- α )=2 sin(π/4)*cos( α -(π/4))=

=sqrt(2)cos((π/4)-α)=sqrt(2)sin((π/2)-((π/4)-α))=sqrt(2)sin((π/4)+α)

Ответ. с*sin2 α /(2*sin((π/4)+α)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это прямоугольный треугольник, так как для него выполняется условие теоремы Пифагора:

10^2+24^2=26^2

И по теорем, обратной теореме Пифагора:
∠ С=90 градусов

Значит c=26; a=10; b=24

sin ∠ A=a/c=10/26=5/13 ⇒ ∠ A=arcsin(5/13)
sin ∠ B=b/c=24/26=12/13 ⇒ ∠ B=arcsin(12/13)

О т в е т. 90 градусов и arcsin(5/13) и arcsin(12/13)

Ответ выбран лучшим

20^(cosx)=(4*5)^(cosx)=4^(cosx)*5^(cosx)

4^(cosx)*5^(cosx)=4^(cosx)*5^(-sinx)

4^(cosx) > 0 при любом х, показательная функция принимает только положительные значения.

5^(cosx)=5^(-sinx) ⇒ cosx=-sinx ⇒ tgx=-1

x=(-π/4)+πk, k ∈ Z

О т в е т. а) (-π/4)+πk, k ∈ Z

б) Корни уравнения
в 4-ой
((-π/4)+2πn, n∈ Z )
и
во 2-ой
(3π/4)+2πn, n∈ Z )
четвертях.
Чтобы отобрать принадлежащие указанному промежутку, рассматриваем единичную окружность ( см. рис.)

Указанному промежутку принадлежат корни

x_(1)= (-π/4)-4π=-17π/4;
x_(2)=(3π/4)-4π=-13π/4

О т в е т. б) -17π/4; -13π/4 (прикреплено изображение)

D(y)=(- ∞;0) U(0;+ ∞ )

y`=((x^2+4)/x)`=(x+(4/х))`=1-(4/x^2)=(x^2-4)/x^2

так как (1/х)`=(x^(-1))`=-1*x^(-2)=-(1/x^2)

y`=0
x^2-4=0
x= ± 2

2 ∉ [–14;–1]
-2∈ [–14;–1]

Расставляем знаки производной на отрезке [–14;–1]

[-14] ____+___ (-2)_-_ [-1]

x=-2 - точка максимума функции на [–14;–1].

Значит в точке x = - 2 функция принимает наибольшее значение на отрезке.
y(-2)=((-2)^2+4)/(-2)=-4
О т в е т. x=-4 - наибольшее значение функции на [–14;–1]

Р.S
Других значений на концах отрезка находить не нужно, потому что внутри отрезка только [b]одна критическая точка[/b].

Функция сначала возрастает до своего наибольшего значения, потом убывает.

В этом и смысл задачи.

Все остальные вычисления отнимают драгоценное время на экзамене [b](!)[/b]

Для наглядности и убедительности cм. рис.

График состоит из двух ветвей. Наибольшее значение на [–14;–1]
в точке х=-2 (прикреплено изображение)

D(y)=(– ∞ ;+ ∞)

y`=3x^2–12

y`=0

x^2–4=0

x^2=4

x= ± 2

Расставляем знаки производной:

_+__ (–2) __–__ (2) __+__

x= 2 – точка минимума функции, так как производная меняет знак с - на +

О т в е т. 2

D(y)=(- ∞ ;+ ∞)

y`=3x^2-48

y`=0

3x^2-48=0

x^2=16

x= ± 4

Расставляем знаки производной:

_+__ (-4) __-__ (4) __+__

x= -4 - точка максимума функции, так как производная меняет знак с + на -

О т в е т. - 4

Функция принимает наименьшее значение в том случае, если наименьшее значение принимает подкоренное выражение.

Подкоренное выражение - квадратный трехчлен:
x^2-6x+73.

Выделим полный квадрат:
x^2-6x+73=x^2-6x+9+64=(x-3)^2+64 > 0 при любом х

При х=3
(x-3)^2+64=64 - наименьшее значение квадратного трехчлена

sqrt(64)=8 - наименьшее значение данной функции

О т в е т. 8 при х=3

Раскрываем скобки:
х^4-2x^3-2ax-3x^2+2ax+3a+a^2=0
Перегруппировываем:
(x^4-2ax^2+a^2)+(2ax-2x^3)-3x^2+3a=0
(x^2-a)^2-2x(x^2-a)-3(x^2-a)=0
(x^2-a)*(x^2-a-2x-3)=0
x^2-a=0 или x^2-2x-a-3=0

1) Уравнение
x^2-a =0
имеет корни при a ≥ 0
при a > 0
x= ± sqrt(a) - два корня
при а=0
один
x=0

2)
Уравнение
x^2-2x-a-3=0
имеет корни при
D=4-4*(-a-3)=4+4a+12=16+4a ≥ 0

при a > - 4
два корня
x=1 ± sqrt(4+a)

при a=-4
один корень
х=1

О т в е т.
При a=-4 один корень х=1
При -4 < a < 0 два корня x=1 ± sqrt(4+a)
При a=0 три корня x=1 ± 2 и х=0
При а > 0 четыре корня х= ± sqrt(а) и x=1 ± sqrt(4+a)

Ответ выбран лучшим

Касательная АС перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
∠ ОАС=90 градусов.
Треугольник АОС - прямоугольный, сумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов. Один угол 62 градусов, значит второй 28 градусов.
∠ АОС = 28 градусов.
∠ АОС - центральный угол, измеряется дугой, на которую он опирается. Он опирается на дугу АВ. Значит дуга АВ содержит 28 градусов.
О т в е т. 28 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(4cosx+13x+9)`=4*(-sinx)+13 > 0 при любом х, так как
-1 ≤ sinx ≤ 1
-1 ≤ -sinx ≤ 1
-4 ≤ -4sinx ≤ 4
-4+13 ≤ -4sinx+13 ≤ 13+4
-4sinx+13 ≤ -4+13=9>0

Значит функция y=4cosx+13x+9 [b] возрастает[/b] на всей числовой прямой и наименьшее значение на [0; π/2] принимает в левом конце этого отрезка, т.е в точке х=0

y(0)=4*cos0+13*0+9=4*1+9=13

Искать значение функции в точке x=π/2 и тем более сравнивать с у(0) не нужно, это пустая трата времени на экзамене.

Задача именно на свойство возрастания.

О т в е т. 13

Ответ выбран лучшим

СM : CH =5 : 4 ⇒ 5 CH = 4 CM ⇒ CH =(4/5) CM =0,8 CM

В прямоугольном треугольнике основание медианы, проведенной из прямого угла - центр описанной окружности

АМ=МВ=СМ = R
CM =0,8 CM=0,8*R

Из прямоугольного треугольника СНМ по теореме Пифагора:

НМ^2=CM^2-CH^2

НМ^2=R^2-(0,8R)^2=R^2 -0,64R^2=0,36R^2

HM=0,6R

AH=AM-HM=R-0,6R=0,4R.

AH : AM =0,4R : R=4:10=2:5

О т в е т. 2:5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АОЕ:
АЕ=4 ( египетский треугольник: катеты 3 и 4; гипотенуза 5)

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касасния.
OD ⊥ BC
AC ⊥ BC ( угол С – прямой)
OD ||AC
Δ ODB подобен Δ АСВ

Из подобия следует пропорциональность сторон:

OB : AB = OD : AC;

OB : (OB+5) = 3 : 7;
4OB=15
OB=15/4=3,75

АВ=АО+ОВ=5+3,75=8,75
AC=7

По теореме Пифагора
BC^2=AB^2- AC^2 = 8,75^2 - 7^2=(8,75-7)*(8,75+7)=441/16
BC=21/4=5,25

Можно найти OD по теореме Пифагора из Δ ODB:
(OD=2,25), тогда ВС=3+2,25=5,25

S ( Δ ABC) = (1/2)*AC * BC=(1/2)*7*5,25=18,375=147/8

О т в е т. 18,375 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касасния.
OD ⊥ BC
AC ⊥ BC ( угол С - прямой)
OD ||AC
Δ ODB подобен Δ АСВ

Из подобия следует пропорциональность сторон:

BD : BC = OD : AC;

3 : (3 + r) = r : (1 + r);

r^2=3

r=sqrt(3)

Из прямоугольного треугольник ODB:

tg ∠ B=OD/BD=sqrt(3)/3
∠ B=30 градусов.
О т в е т. 30 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4x - 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/4
{3 -4x ≠ 0 ⇒ x ≠ 3/4

ОДЗ: x ∈ ((3/4);+∞)

Так как
x^3–8+6x(2–x)=(x-2)(x^2+2x+4)-6x*(x-2)=(x-2)*(x^2+2x+4-6x)=
=(x-2)*(x^2-4x+4)=(x-2)*(x-2)^2=(x-2)^3;

и при x ∈ ((3/4);+∞)
3 - 4x < 0
и
|3-4x| = 4x -3

Неравенство принимает вид

(x - 2)^3/(4x-3) ≤ sqrt(4x - 3);

так как x > 3/4

(x-2)^3 ≤ (sqrt(4x-3))^3

Функция y=u^3 монотонно возрастающая, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента:

(x-2) ≤ sqrt(4x-3)

При x ≤ 2 неравенство верно при любом х∈ОДЗ
а) x∈((3/4);2]

При x-2 > 0 возводим в квадрат

{x-2 > 0 ⇒ x > 2
{x^2-4x+4 ≤ 4x-3 ⇒ x^2-8x +7 ≤ 0 D=64-28=36; корни 1 и 7; 1≤x ≤7

б) x ∈ ([2;7]

Объединение а) и б) приводит к ответу.
О т в е т. ((3/4);2) U[2;7]=((3/4);7]

Ответ выбран лучшим

Подмодульное выражение 2^(1-x)-1 обращается в 0 при
x=1
Значит при переходе через х=1 меняет знак.

Рассматриваем

1) случай
x ≥ 1 ⇒ 1 - x ≤ 0 ⇒ 2^(1-x) ≤ 1 и значит 2^(1-x) - 1 ≤ 0

|2^(1-x) - 1|=1 - 2^(1-x)

Уравнение принимает вид:

2^(|x-2|) +2^(1-x) -1 =2^(1-x) +1;
2^(|x-2|) =2
|x-2|=1
x-2= ± 1
x=1 или x=3

Оба корня входя в рассматриваемый промежуток x ≥ 1
о т в е т. 1) 1; 3.

2) случай
x < 1 ⇒ 1 - x > 0 ⇒ 2^(1-x) > 1 и значит 2^(1-x) - 1 > 0

|2^(1-x) - 1|= 2^(1-x) - 1

Уравнение принимает вид:

2^(|x-2|) -2^(1-x) +1 =2^(1-x) +1;

2^(|x-2|)1 =2*2^(1-x);

2^(|x-2|) =2^(1+1-x)

2^(|x-2|) =2^(2-x)

|x-2|=2-x;

так как x < 1, то x-2 < -2+1=-1 и |x-2|=2-x

2-x=2-x
х- любое,
учитывая , что в рассматриваемом случае x < 1

о т в е т. 2) (- ∞ ;1)

Объединяем ответы 1) и 2)
О т в е т. (- ∞ ;1] U {3}

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x^2-x+4 > 0 при любом х
так как D=1-4*4 < 0

ОДЗ: x ∈ (-∞; +∞).

Раскрываем знак модуля по определению

1)
Если 3х + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2/3, то
|3x+2|=3x+2
неравенство принимает вид:

sqrt(x^2 - x + 4) ≤ 2x + 3x + 2;
sqrt(x^2 - x + 4) ≤ 5x + 2

sqrt(x^2-x+4) ≥ 0 при любом х ∈ ОДЗ

Возводим обе части неравенства в квадрат, при условии,что 5x+2 ≥ 0.

{5x+2 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 0,4
{x^2 - x + 4 ≤ (5x+2)^2 ⇒ x*(24x +11) ≥ 0 ⇒ x ≤ -11/24 или х ≥ 0

- 11/24 =-55/120 < -2/5=-48/120
c учетом x ≥ -2/3
о т в е т. 1) [0;+ ∞ )

2)

Если 3х + 2 < 0 ⇒ x < -2/3, то
|3x+2| = - 3x - 2
неравенство принимает вид:

sqrt(x^2 - x + 4) ≤ 2x - 3x - 2;
sqrt(x^2 - x + 4) ≤ - x - 2

sqrt(x^2-x+4) ≥ 0 при любом х ∈ ОДЗ

Возводим обе части неравенства в квадрат, при условии,
что - x - 2 ≥ 0.

{- x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≤ - 2.
{x^2 - x + 4 ≤ (- x - 2)^2 ⇒ -5х ≤ 0 ⇒ х ≥ 0

с учетом x < -2/3 убеждаемся, что второй случай не имеет решений.

О т в е т. [0;+ ∞ )

ОДЗ: x≥ 0

Так по свойствам степени:
(1/5)^(x)*(1/5)^(sqrt(x))=(1/5)^(x+sqrt(x))=
=(5^(-1))^(x+sqrt(x))=5^(-x-sqrt(x))

5^(75)*(1/5)^(x)*(1/5)^(sqrt(x))=5^(75 - x - sqrt(x))

и

1=5^(0).

Неравенство принимает вид:

5^(75 - x - sqrt(x)) > 5^(0)

Показательная функция с основанием 5 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение
аргумента:

75 - х - sqrt(x) > 0

Квадратное неравенство

t^2+t -75 < 0, где t = sqrt(x);
D=1+4*75=301

t_(1)=(-1 - sqrt(301))/2 ; t_(2)=(-1 + sqrt(301))/2

(-1 - sqrt(301))/2 < t < (-1 + sqrt(301))/2

Обратная замена:

(-1 - sqrt(301))/2 < sqrt(x) < (-1 + sqrt(301))/2

sqrt(x) > 0 при любом х ∈ ОДЗ

0 < sqrt(x) < (-1 + sqrt(301))/2

Возводим в квадрат:

0 < x < ( (-1 + sqrt(301))/2)^2= (1 - 2 sqrt(301) +301)/4=(151-sqrt(301))/2

О т в е т. (0; (151-sqrt(301))/2)

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.

Пусть АВ=2х, тогда ВС=х

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.

СM=CK=r=sqrt(3);

BM=BP=x - sqrt(3);

AP=AK= 2x-(x-sqrt(3))=x+sqrt(3)

Значит,
АС=sqrt(3) + (x+sqrt(3))=x+2sqrt(3)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС
AB^2=AC^2+BC^2

Уравнение:

(2x)^2=(x+2sqrt(3))^2+x^2

4x^2=x^2+4sqrt(3)x+12+x^2

2x^2-4sqrt(3)x-12=0

x^2-2sqrt(3)x - 6=0

D=(2sqrt(3))^2-4*(-6) = 12+24=36

x_(1)=(2sqrt(3)+6)/2 = sqrt(3) +3

x_(2)=(2sqrt(3)-6)/2 < 0 и не удовлетворяет смыслу задачи

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
ВСК:
ВК^2=BC^2+CK^2=(sqrt(3)+3)^2+(sqrt(3))^2=3+6sqrt(3)+9+3=
=15+6sqrt(3)
BK=sqrt(15+6sqrt(3)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть AD=BC=x, тогда DB=3-x

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CDB:

CB^2=CD^2+DB^2

Составляем уравнение:
x^2=(sqrt(3))^2+(x-3)^2;

6х=12
х=2

AD=BC=2

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADC:

AC^2=AD^2+DC^2=2^2+(sqrt(3))^2=4+3=7
AC=sqrt(7)

О т в е т. sqrt(7) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника СВК:
ВК=sqrt(BC^2-CK^2)=sqrt(13^2-12^2)=sqrt(25)=5

Треугольники АСК и ВСК подобны по двум углам

Из подобия следует пропорциональность сторон:
AK:CK=CK:BK

AK:12 = 12 : 5

АК=144/5=28,8

АВ=АК+КВ=28,8+5=33,8

S( Δ ABC)= (1/2)*AB * CK=(1/2)*33,8*12=202,8

О т в е т. 202,8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
3^(x)-2=0
3^(x)=2
x=log_(3)2
Находим нули знаменателя:
x^2-6x+5=0
D=36-20=16
x_(1)=(6-4)/2=1 или x_(2)=(6+4)/2=5

_-__ [log_(3)2] __+__ (1) _________-__________(5) _____+______

О т в е т. (- ∞ ; log_(3)2] U(1;5)

Ответ выбран лучшим

Раскрываем знак модуля.

1) если x ≥ 0, |x|=x
неравенство принимает вид:
2^(x)+2^(x) ≥ 2sqrt(2)
2*2^(x) ≥ 2sqrt(2)
2^x ≥ sqrt(2)
x ≥ 1/2
C условием x ≥ 0 получаем ответ 1) [1/2; + ∞ )

2)1) если x < 0, |x|= -x
неравенство принимает вид:
2^(x)+2^(-x) ≥ 2sqrt(2)
((2^(x))^2 - 2sqrt(2)*2^(x)+1)/2^(x) ≥ 0;
2^x >0 при любом х, поэтому остается решить неравенство:
(2^(x))^2 - 2sqrt(2)*2^(x)+1 ≥ 0;

D=8-4=4
корни sqrt(2)± 1

решение неравенства
2^(x) ≤ sqrt(2) -1 или 2^(x) ≥ sqrt(2) +1
Показательная функция с основанием 2 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение
аргумента:
x ≤ log_(2)(sqrt(2) -1) или x ≥ log_(2)( sqrt(2) +1)
С учетом условия 2) x<0
получаем ответ 2)
(- ∞; log_(2)(sqrt(2)-1)]
Окончательный ответ - объединение ответов 1) и 2)

О т в е т. (- ∞; log_(2)(sqrt(2)-1)] U [1/2; + ∞ )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0;
{x ≠ 1
{(6-5x)/(4x+5)>0 ⇒ (5x-6)/(4x+5) <0 ;_+_ (-5/4) _ -_ (6/5) _+_
6/5=1,2
[b] ОДЗ: х ∈(0;1)U(1;1,2)[/b]

Так как 1=log_(x)x, неравенство принимает вид:

log_(x)(6-5x)/(4x+5) > log_(x) x.

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(см. приложение, разность логарифмом может быть заменена разностью, которая есть в приложении, а знак неравенства остается таким же)

(x-1)*((6-5x)/(4x+5) -x) > 0;

(x-1)(6-5x-4x^2-5x)/(4x+5) > 0;

(x-1)(4x^2+10x-6)/(4x+5) < 0

4x^2+10x-6=0
D=10^2-4*4*(-6)=196
Раскладываем квадратный трехчлен на множители
4x^2+10x-6=4*(x-(-3))*(x-(1/2)

4*(x-1)(x+3)(x-(1/2))/(4x+5) <0

Применяем метод интервалов:

__+__ (-3) __-__ (-5/4) __+__ (1/2) __-__ (1) __+__

C учетом ОДЗ получаем ответ:
((1/2);1) (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x+2>0 ⇒ x>-2;
{x^(-2)>0 ⇒ (1/x^2)>0 ⇒ x ≠ 0
{x^(-2) ≠ 1 ⇒ 1/x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1

[b]ОДЗ: (-2;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;+ ∞ )[/b]

Так как
-1=log_(x^(-2))(x^(-2)) ⇒ log_(x^(_2))(x^(-2))^(-1)=log_(x^(-2))x^(2), неравенство принимает вид:
log_(x^(-2))(x+2) > log_(x^(-2))x^2
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^(-2)-1)*(x+2-x^2) >0;
(1-x^2)(x+2-x^2)/x^2 >0;
(x^2-1)*(x^2-x-2)/x^2>0
(x+1)^2*(x-1)(x-2)/x^2 >0
Метод интервалов:

_+__ (-1) __+__ (0) __+___ (1) __-___ (2) __+__

C учетом ОДЗ получаем ответ:
[b](-2;-1)U(-1;0)U(0;1)U(2;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0;
{log_(2)x>0 ⇒ x>1
{log_(2)2sqrt(2)x> 0 ⇒ x>sqrt(2)/4

[b]ОДЗ: х ∈ (1;+ ∞ )[/b]

По формуле перехода к другому основанию:
log_(4)(log_(2)x)=(log_(2)(log_(2)x))/(log_(2)4)=(1/2)log_(2)(log_(2)x);
log_(1/8)(log_(2)2sqrt(2)x)=(log_(2)log_(2)2sqrt(2)x)/log_(2)(1/8)=
=(-1/3)*(log_(2)log_(2)2sqrt(2)x);
уравнение принимает вид:

(1/2)log_(2)(log_(2)x) - log_(2)(2sqrt(2)x)=1.

Умножаем на 2
log_(2)(log_(2)x) - 2log_(2)(2sqrt(2)x)=2.

Переносим второе слагаемое вправо, 2=log_(2)4:
log_(2)(log_(2)x) = 2log_(2)(2sqrt(2)x)+ log_(2)4.

По свойству логарифма степени:
2log_(2)(log_(2)2sqrt(2)x)=log_(2)(log_(2)2sqrt(2)x)^2=
=log_(2)(log_(2)2^(3/2)+log_(2)x)^2=
=log_(2)((3/2)+log_(2)x)^2, тогда

log_(2)(log_(2)x) =log_(2) ((3/2)+log_(2)x)^2+ log_(2)4.

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
log_(2)(log_(2)x) = log_(2)(4*((3/2)+log_(2)x)^2)

Значения логарифмической функции равны, значит равны и аргументы, так как логарифмическая функция монотонна и принимает каждое свое значение в единственной точке.

log_(2)x =4*((3/2)+log_(2)x)^2

4(log_(2)x)^2 +11 log_(2)x +9=0
D=121-4*4*9< 0
Уравнение не имеет корней?

Или опечатка в тексте?

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу синуса разности:
√2 sin(a–π/4)–sina=√2sina*cos(π/4)-√2cosa*sin(π/4)-sina=
так какcos(π/4)=sin(π/4)=√2/2
=sina-cosa-sina=-cosa

Ответ выбран лучшим

|cos α | ≤ 1 и не может равняться (-6/4)=-3/2

10-4=6
О т в е т. 6

а)
Продолжим стороны AB и DC до пересечения в точке P.
Cм. рис.1.
Так как ABCD трапеция, ( BC|| AD), то и треугольники BPC и APD подобны.
Из подобия следует пропорциональность сторон.
AP:BP=DP:CP=AD:BC
По условию
AD в два раза больше основания BC.
Значит, AB=BP и DC=CP,
т.е. В – середина BР, а С – середина DP.

MB и MC – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника APD, а значит, точка M – центр окружности, описанной около Δ APD
АM = DM =R.

б)

Pасстояние от точки M до стороны AD равно высоте В равнобедренного Δ AMD.
По условию MK=BC; AD=2BC
Значит АК=КD=MK
Треугольники АКМ и DKM - прямоугольные, равнобедренные.
∠ МАК= ∠ MDK=45 градусов.

Значит ∠ AMD=90 градусов
См. рис. 2
∠ AMD - центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.
∠ APD - вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается
∠ APD =45 градусов.
Сумма углов треугольника APD равна 180 градусов, значит
∠ BAD=180 градусов - ∠ APD - ∠ ADP=180 градусов - ∠ APD - ∠ ADC=180 градусов- 45 градусов - 70 градусов = 65 градусов.
О т в е т. ∠ BAD= 65 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V(конуса)=(1/3)πR^2*H.
По условию
V(конуса)=9,

значит
(1/3)πR^2*H=9 ⇒ πR^2*H=27

V(цилиндра)=πR^2*H=27.

О т в е т. 27 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x^2+6x+18> 0 при любом х, так как D=36-4*18 <0
{- x - 4 > 0 ⇒ - x > 4 ⇒ x < - 4.
ОДЗ: х ∈ (- ∞ ; -4)

Так как по формуле перехода к другому основанию:
log_(1/5)(x^2+6x+18)=log_(5)(x^2+6x+18)/log_(5)(1/5)=-log_(5)(x^2+6x+18)
и
по свойству логарифма степени
2log_(5)(-x-4)=log_(5)(-x-4)^2
Неравенство принимает вид:
- log_(5)(x^2+6x+18) + log_(5)(–x–4)^2 < 0;
log_(5)(–x–4)^2 < log_(5)(x^2+6x+18)
Логарифмическая функция с основанием 5>1 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
(-х-4)^2 < (x^2+6x+18);
x^2+8x+16 < x^2+6x+18;
2x < 2
x < 1
С учетом ОДЗ получаем о т в е т:
(- ∞ ; - 4)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-x-2 > 0 ⇒ D=1+8=9 корни -1 и 2; решение неравенства x< -1 или x>2
{3-x>0 ⇒ x < 3
ОДЗ: х ∈ (-∞ ; -1)U(2;3)

Логарифмическая функция с основанием 0 < 0,1 < 1 убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому
x^2-x-2 < 3 - x;
x^2 - 5 < 0;
x^2 <5;
|x| <sqrt(5);
- sqrt(5) < x < sqrt(5)

C учетом ОДЗ получаем о т в е т:
(-sqrt(5);-1)U(2;sqrt(5) )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0;
{2x-2>0 ⇒ x>1
ОДЗ: х ∈ (1;+ ∞ )

Так как 1=log_(2)2,
неравенство принимает вид:

2log_(2)x - log_(2)(2x-2) > log_(2)2

Перенесем слагаемое вправо:
2log_(2)x > log_(2)(2x-2) + log_(2)2

По свойству логарифма степени:

2log_(2)x=log_(2)x^2;

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

log_(2)x^2 > log_(2)2 *(2x-2).

Логарифмическая функция с основанием 2>1 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
x^2 > 2*(2x-2);
x^2-4x+4 >0;
(x-2)^2 >0

(x-2)^2 > 0 при любом х, кроме х=2

Решение неравенства (x-2)^2 >0:
x≠ 2
С учетом ОДЗ получаем ответ:

(1;2) U(2;+ ∞ )

О т в е т. (1;2) U(2;+ ∞ )

Ответ выбран лучшим

Замена переменной

log_(3)x = t

Неравенство принимает вид:

t ≤ 2/(t-1);
t - (2/(t-1)) ≤ 0;

(t^2-t-2)/(t-1) ≤ 0

D=1-4*(-2)=1+8=9 корни t=(1± 3)/2;

(t +1) (t -2)/(t-1) ≤ 0

_-__ [-1] __+__ (1) _____-_____ [2] __+__

t ≤ -1 или 1 < t ≤ 2

Обратная замена:

log_(3) x ≤ -1 или 1 < log_(3) x ≤ 2

log_(3) x ≤ log_(3)(1/3) или log_(3) 3 < log_(3) x ≤ log_(3) 9

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, с учетом ОДЗ логарифмической функции y=log_(3)x
(x > 0), получаем ответ

0 < x ≤ (1/3) или 1 < x ≤ 9

О т в е т. (0; (1/3] U (3; 9]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2-x > 0 ⇒ x < 2
{x^2+3x+2 > 0 ⇒ D=9-4*2=1 ⇒ x_(1)= -2 или x_(2)= -1
ОДЗ: х ∈ (- ∞ ;-2) U (-1;2)

Так как 1=log_(2)2,
неравенство принимает вид:

log_(2)2 + log_(2) (2-x) > log_(2) (x^2+3x+2)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:

log_(2)2*(2-x) > log_(2) (x^2+3x+2).

Логарифмическая функция с основанием 2>1 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
2*(2-х) > x^2+3x+2;
4-2x> x^2+3x+2;
x^2+5x - 2 < 0
D=25-4*(-2)=33
x_(1)=(-5-sqrt(33))/2 или x_(2)=(-5+sqrt(33))/2
решение квадратного неравенства x^2+5x - 2 < 0:
(-5-sqrt(33))/2 < x < (-5+sqrt(33))/2
С учетом ОДЗ получаем ответ:
(- ∞ ;(-5-sqrt(33))/2 ) U ((-5+sqrt(33))/2 ;2)

ОДЗ: x > 0

Замена переменной
log_(0,5)x=t

t^2 - t ≤ 2;

t^2 - t - 2 ≤ 0;

D=1-4*(-2)=1+8=9

t_(1)=(1-3)/2=-1 или t_(2)=(1+3)/2=2

Решение неравенства
-1 ≤ t ≤ 2

Обратная замена

-1 ≤ log_(0,5) x ≤ 2;

log_(0,5) (2) ≤ log_(0,5) x ≤ log_(0,5)0,25;

Логарифмическая функция с основанием 0< 0,5<1 монотонно убывает, значит большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента:

0,25 ≤ х ≤ 2

[0,25; 2] входит в ОДЗ

О т в е т. [0,25; 2]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
Замена переменной
lgx=t.

(t^2-3t+3)/(t-1) ≤ 1;
(t^2-3t+3)/(t-1) - 1 ≤ 0;
(t^2-3t+3-t+1)/(t-1) ≤ 0;
(t^2-4t+4)/(t-1) ≤ 0;
(t-2)^2/(t-1) ≤ 0
__-__ (1) __+__ [2] _+__

t=2 или t-1 <0
t=2 или t < 1

Обратная замена
lgx=2 или lgx <1
x=100 или 0 < x < 10
О т в е т. (0;10)U {100}

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(π-x)=-cosx
Замена переменной
16^(cosx)=t
16^(-cosx)=1/(16^(cosx))=1/t
Уравнение принимает вид
t+(1/t)=17/4;
4t^2-17t+4=0
D=289-4*4*4=289-64=225
t_(1)=(17-15)/8=1/4 или t_(2)=(17+15)/8=4

Обратная замена

16^(cosx)=1/4;
4^(2cosx)=4^(-1)
2cox=-1
cosx=-1/2
x= ± (2π/3)+2πk, k ∈ Z

ИЛИ

16^(cosx)=4
4^(2cosx)=4
2cosx=1
cos=1/2
x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

а) О т в е т. ± (π/3)+2πn, n ∈ Z или ± (2π/3)+2πk, k ∈ Z
что можно записать короче так:
±( π/3)+πm, m ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат три корня:
x_(1)=(-2π/3)+2π=4π/3;
x_(2)=(-π/3)+2π=5π/3
x_(3)=(π/3)+2π=7π/3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x>0
В условиях ОДЗ по свойству логарифма степени:
log_(2)sqrt(x)=log_(2)x^(1/2)=(1/2)log_(2)x
Уравнение принимает вид:
(log_(2)x)^2-log_(2)x-2=0
D=1+8=9
log_(2)x=(1 ± 3)/2;
log_(2)x=-1 или log_(2)x=2
x=2^(-1) или x=2^2
x=1/2 или х=4
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. (1/2); 4

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0

В условиях ОДЗ: lgx^2=2lg|x|=2lgx;
уравнение принимает вид:
(lgx)^2-4lgx=2lgx-5;
(lgx)^2-6lgx+5=0
D=36-20=16
lgx=(6 ± 4)/2;
lgx=1 или lgx=5
x=10 или x=10^5=100 000
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 10; 100 000.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x/8>0 ⇒ x>0
{(x/16)>0 ⇒ x>0
{log_(2)(x/16)-1 ≠ 0 ⇒ (x/16) ≠ 2 ⇒ x ≠ 32.
x ∈(0;32)U(32;+ ∞ )

По формуле логарифма частного:
log_(2)(x/8)=log_(2)x-log_(2)8=log_(2)x-3;
log_(2)(x/16)=log_(2)x-log_(2)16=log_(2)x-4;
Уравнение принимает вид:
log_(2)x-3=15/(log_(2)x-4-1)

Замена переменной
log_(2)x=t;
(t-3)=15/(t-5)
t-5 ≠ 0
(t-3)(t-5)=15;
t^2-8t+15=15
t^2-8t=0
t(t-8)=0
t=0 или t=8

Обратный переход
log_(2)x=0 или log_(2)x=8
x=2^(0) или x=2^8
x=1 или х=256
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 1;256.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{1-x>0 ⇒ x < 1;
{1-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 0;
{x^2+3x+1 >0 ⇒ D=9-4=54 x_(1)=(-3-sqrt(5)/2 или х_(2)=(-3+sqrt(5))/2
x_(2) < 0
ОДЗ:(-∞;(-3-sqrt(5)/2) U(-3+sqrt(5))/2; 1)

По определению логарифма:
(1-x)^(1)=x^2+3x+1;
x^2+4x=0
x*(x+4)=0
x_(1)=0 или x+4=0 ⇒ x_(2)=-4
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. -4; 0

ОДЗ:
{-x-1>0 ⇒ x < -1;
{1-x>0 ⇒ x < 1
{7+x > 0 ⇒ x > -7
х ∈ (-7;-1)

По формуле перехода к другому основанию:
log_(1/sqrt(2))(7+x)=log_(1/2)(7+x)/log_(1/2)(1/sqrt(2))=log_(1/2)(7+x)/(1/2)=2log_(1/2)(7+x).
По свойству логарифма степени:
2log_(1/2)(7+x)=log_(1/2)(7+x)^2.
Так как
1=log_(1/2)(1/2)
Уравнение принимает вид:
log_(1/2)(–x–1)+log_(1/2)(1–x)–log_(1/2)(7+x)^(2) = log_(1/2)(1/2);
перепишем:
log_(1/2)(–x–1)+log_(1/2)(1–x)=log_(1/2)(7+x)^(2) + log_(1/2)(1/2).
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
log_(1/2)(-x-1)*(1-x)=log_(1/2)(1/2)*(7+x)^2;
Логарифмическая функция монотонна: каждое свое значение принимает в единственной точке. Поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:
(-x-1)*(1-x)=(1/2)*(7+x)^2;
x^2-1=(1/2)(49+14x+x^2);
2x^2-2=49+14x+x^2;
x^2-14x-51=0
D=196+4*51=400=20^2
x_(1)=(14-20)/2=-3 или х_(2)=(14+20)/2=17
х_(2) не удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. -3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+(1/8) >0 ⇒ x> -(1/8)
{x+(1/2) > 0 ⇒ x > -(1/2)
{x-(1/2) > 0 ⇒ x >(1/2)
{x>0
х ∈ ((1/2);+ ∞ )

Умножаем обе части уравнения на 2:
lg(x+(1/8))–2* lg(x+(1/2)) = lg(x–(1/2))–2*lgx
Применяем свойство логарифма степени:
lg(x+(1/8))– lg(x+(1/2))^2 = lg(x–(1/2))–lgx^2
Перепишем:
lg(x+(1/8)) +lgx^2= lg(x–(1/2))+ lg(x+(1/2))^2
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
lg(x+(1/8))*x^2= lg(x–(1/2))*(x+(1/2))^2
Применяем свойство монотонности логарифмической функции.
Логарифмическая функция каждое своё значение принимает только в одной точке, поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:
(x+(1/8))*x^2= (x–(1/2))*(x+(1/2))^2;
x^3+(1/8)x^2=x^3+(1/2)x^2-(1/4)x_(1/8);
(3/8)x^2-(1/4)x-(1/8)=0;
3x^2-2x-1=0
D=4+12=16
x_(1)=(2-4)/6=-1/3 или x_(2)=(2+4)/6=1
x=- (1/3) не входит в ОДЗ
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0; x ≠ 1
x ∈ (0;1)U(1;+ ∞ )

x^(log_(sqrt(x))(x^2+1))=(sqrt(x))^(2*log_(sqrt(x))(x^2+1))=(sqrt(x))^(log_(sqrt(x))(x^2+1)^2)=(x^2+1)^(2) - основное логарифмическое тождество.

(x^2+1)^2=25 ⇒ x^2+1=5 или x^2+1=-5;
x^2=4 или x^2=-6
x= ± 2 или уравнение не имеет корней, x^2 ≥ 0 при любом х

x=-2 не удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0
{x^2 ≠ 1
x ∈ (0;1)U(1;+ ∞ )

Применяем формулу перехода к другому основанию
log_(x^2)4=(log_(2)4)/(log_(2)x^2)=(2)/(2log_(2)x)=1/log_(2)x;
Уравнение принимает вид:
log_(2)x -(4)/(log_(2)x)=3
Замена переменной
log_(2)x=t;
t-(4)/(t)-3=0
t ≠ 0
t^2-3t-4=0
D=9+16=25
t_(1)=(3-5)/2=-1 или t_(2)=(3+5)/2=4
Обратная замена
log_(2)x=-1 или log_(2)x=4
x=2^(-1) или x=2^(4)
x=1/2 или х=16
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. (1/2); 16

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0; x ≠ 1
Применяем формулу перехода к другому основанию:
(log_(2)2)/(log_(2)sqrt(x))+8*(log_(2)x^2)/(log_(2)16) +9=0;
Применяем формулу логарифма степени:
(2)/(log_(2)x)+4log_(2)x+9=0
Замена переменной:
log_(2)x=t
(2)/(t)+4t+9=0
(4t^2+9t+2)/t=0
t ≠ 0
4t^2+9t+2=0
D=81-4*4*2=49
t_(1)=(-9-7)/8=-2 или t_(2)=(-9+7)/8= - (1/4)
Обратный переход
log_(2)x=-2 или log_(2)x=-(1/4)
x=2^(-2) или х=2^(-1/4)
x=1/4 или x=sqrt(sqrt(2))
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 1/4;sqrt(sqrt(2))

Ответ выбран лучшим

x^4+2x^3+x+2-2x^2-2=0;
x^4+2x^3-2x^2+x=0
x*(x^3+2x^2-2x+1)=0
x=0 или x^3+2x^2-2x+1=0

Второе уравнение имеет один корень ≈ -2,8 ( см. рисунок) (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{2x>0 ⇒ x > 0
{x^2+1-2x > 0 ⇒ (x-1)^2>0 при любом х, кроме х=1, поэтому x ≠ 1

ОДЗ: х ∈ (0;1)U(1;+ ∞ )

Применяем свойство логарифма степени
2log_(8)(2x)=log_(8)(2x)^2

Уравнение принимает вид:
log_(8)(2x)^2+ log_(8)(x-1)^2=(4/3)

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:
log_(8)(2x)^2*(x-1)^2=4/3
По определению логарифма
(2x)^2*(x-1)^2=8^(4/3);
((2x)(x-1))^2=2^(4);

2x(x-1)=4 или 2x(x-1)= - 4;

2x(x-1)=4
x*(x-1)=2;
x^2-x-2=0; D=9; x_(1)=-1; x_(2)=2
x_(1) не удовлетворяет ОДЗ

или
(2x(x-1))= - 4;
x^2-x+2=0
D=1-4*2=-7 <0
уравнение не имеет корней

О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(x+2)(x-2)>0 ⇒ (- ∞;-2)U(2;+ ∞ )
{2x+3>0 ⇒ (-1,5;+ ∞ )

ОДЗ: х ∈ (2;+ ∞ )

По формуле log_(a^(n))b=(1/n)log_(a)b,
где a>0; b>0; a≠ 1

log_(9)(2x+3)=log_(3^(2))(2x+3)=(1/2)log_(3)(2x+3)

log_(sqrt(5))5=2

Уравнение принимает вид

log_(3)((x+2)(x-2))=2log_(3)(2x+3) - 2

log_(3)((x+2)(x-2)) + 2 = 2log_(3)(2x+3)
Так как
2=log_(3)9;

2log_(3)(2x+3)=log_(3)(2x+3)^2,
то
log_(3)((x+2)(x-2))+log_(3)9=log_(3)(2x+3)^2

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_(3)(9*(x+2)(x-2))=log_(3)(2x+3)^2

Применяем свойство монотонности логарифмической функции:
монотонно возрастающая ( или убывающая) функция каждое свое значение принимает один раз.
Поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:

9*(x+2)(x-2)=(2x+3)^2

9x^2-36=4x^2+12x +9;

5x^2 - 12x -45=0

D=(-12)^2-4*5*(-45)=144+900=1044

sqrt(D)=2sqrt(261)

x_(1)=(12-2sqrt(261))/10 или х_(2)=(12+2sqrt(261))/10

x_(1)=(6-sqrt(261))/5 или х_(2)=(6+sqrt(261))/5

x_(1) < 0 и не удовлетворяет ОДЗ

x_(2) > 2 и входит в ОДЗ

О т в е т. (6+sqrt(261))/5

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+10>0 ⇒ x > -10;
{21x-20 > 0 ⇒ x > 20/21;
{2x-1>0 ⇒ x > 1/2
ОДЗ: х ∈ (20/21;+ ∞ )

По формуле перехода к другому основанию
log_(2)5/log_(2)10=log_(10)5=lg5

1=lg10

Уравнение принимает вид:

lg5 +lg(x+10)+lg(2x-1)=lg10+lg(21x-20)

Cумму логарифмом заменяем логарифмом произведения:

lg(5(x+10)(2x-1))=lg(10*(21x-20))

Логарифмическая функция с основанием 10 монотонно возрастает, поэтому каждое свое значение принимает в единственной точке.

Значения функции равны, значит и аргументы равны.

5(x+10)(2x-1) = 10*(21x-20);
10x^2-115x+150=0;
2x^2-23x+30=0
D=(-23)^2-4*2*30=529-240=289=17^2
x_(1)=(23-17)/4=3/2 или x_(2)=(23+17)/4=10

3/2 > 20/21, так как 63/42 > 60/42
x_(1) ∈ ОДЗ
x_(2) ∈ ОДЗ

О т в е т. 3/2; 10

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x>0;
{lgsqrt(x)>0 ⇒ sqrt(x) >10^(0) ⇒ x> 1

По основному логарифмическому тождеству:
10^(lg(lgsqrt(x)))=lgsqrt(x)

Уравнение принимает вид:

lgsqrt(x) - lgx+lgx^2-3=0

По свойству логарифма степени:
(1/2)lgx - lgx +2lgx = 3;
1,5lgx=3;
lgx=2
x=10^(2)
x=100 - входит в ОДЗ
О т в е т. 100

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+1>0; ⇒ x > -1
{x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0
x ∈ (-1;0)U(0;+ ∞ )

По определению логарифма, это показатель степени (3), в которую надо возвести основание (х+1), чтобы получить 2

(x+1)^3=2.

Извлекаем корень кубический из обеих частей уравнения:
x+1=∛2;
x=∛2-1;
∛2-1>0 входит в ОДЗ

О т в е т. ∛2-1

Ответ выбран лучшим

Так как по формуле синуса суммы:
2sin(2x+(π/6)=2sin2xcos(π/6)+2cos2xsin(π/6)=
=sqrt(3)sin2x+cos2x, то
уравнение примет вид:
sinx+cos2x=1;
sinx+1-2sin^2x=1
sinx–2sin^2x=0;
sinx·(1–2sinx)=0
sinx=0 или 1–2sinx=0
sinx=0 ⇒x=πk, k ∈ Z
или
sinx=1/2⇒ x=(π/6) +2πn, n ∈ Z или х=(5π/6)+2πm, m ∈ Z
О т в е т. πk,(π/6) +2πn, (5π/6)+2πm, k, n, m ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат 3 корня:
–3π; –2π и (5π/6) –4π=–19π/6

-7π/2=-21π/6 <–19π/6 < -3π=-18π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как по формуле синуса суммы:
2sin(x+(π/3)) = 2sinxcos(π/3) + 2cosxsin(π/3) = sinx+sqrt(3)cosx, то
уравнение принимает вид
sinx+cos2x=1
sinx+1-2sin^2x=1
sinx-2sin^2x=0;
sinx*(1-2sinx)=0
sinx=0 или 1-2sinx=0
sinx=0 ⇒x=πk, k ∈ Z
или
sinx=1/2⇒ x=(π/6) +2πn, n ∈ Z или х=(5π/6)+2πm, m ∈ Z
О т в е т. πk,(π/6) +2πn, (5π/6)+2πm, k, n, m ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат 3 корня:
-3π; -2π;(π/6) -2π=-11π/6
–2π=–12π/6 <–11π/6 < –3π/2=–9π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{8x^2+7> 0 при любом х;
{x^2+x+1>0 при любом х, так как D=1-4<0
{(x/(x+5))+7>0 ⇒ (x+7x+35)/(x+5) >0 ⇒ (8x+35)/(x+5) >0 ⇒
x ∈ (- ∞;-5) U(-35/8;+ ∞ )
Перепишем
log_(11)(8x^2+7) ≥ log_(11) (((x/(x+5))+7)+log_(11)(x^2+x+1)
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:
log_(11)(8x^2+7) ≥ log_(11) (8х+35)(x^2+x+1)/(x+5)

Логарифмическая функция с основание 11> 1 возрастает, поэтому
(8x^2+7) ≥ (8х+35)(x^2+x+1)/(x+5) ;
((8x^2+7)(x+5)- (8х+35)(x^2+x+1))/(x+5) ≥ 0;
-3x*(x+12)/(x+5) ≥ 0
x*(x+12)/(x+5)≤ 0
_-__ [-12] __+___(-5) __-___ [0] ______+__

C учетом ОДЗ получаем ответ:
(- ∞ ;-12]U (-35/8;0]

Ответ выбран лучшим

D=(-1)^2-4*2*3=-23 < 0
уравнение не имеет действительных корней.

Может, опечатка в условии:
Если
2x^2-x-3=0
D=(-1)^2-4*2*(-3)=1+24=25
x_(1)=(1-5)/2=-2 или х_(2)=(1+5)/2=3

Пусть х - коэффициент пропорциональности.
Тогда одна сторона 2х см, вторая 5х см и 2х:5х=2:5
S=2x*5x, что по условию равно 520 кв.см
10x^2=520
x^2=52
x=sqrt(52)
x=2sqrt(13)

P=2x+5x+2x+5x=14x
при х=2sqrt(13)
Р=14*2sqrt(13)
P=28sqrt(13)
О т в е т. 28*sqrt(13) cм.

а)
Удвоим медиану. Получим точку K. ( cм. рис.)
Четырехугольник КАВС - параллелограмм.
(Диагонали АС и ВК в точке пересечения делятся пополам.
АМ=МС по условию, что ВМ - медиана,
ВМ=МК по построению)

Значит, АК=ВС; КС=АВ.

Запишем неравенство треугольника
ВК ≤ KA+AB=BC+AB
BK ≤ KC+BC=AB+BC

Cкладываем
2BK ≤ 2AB+2BC
BK≤ AB+BC
2BM ≤ AB+BC
BM ≤ (AB+BC)/2

б)Δ АВК=Δ ВСК
( по трем сторонам)

В треугольнике АВК известны три стороны:
АВ=17
АК=9
ВК=10
По формуле Герона находим площадь Δ АВК
p=(17+10+9)/2=18

S=sqrt(18*1*9*8)=36
S(параллелограмма КАВС)=2S(Δ АВК)=2*36=72

S( Δ ABC)=(1/2)S(параллелограмма КАВС)=36

О т в е т. 36 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Долг перед банком по состоянию на ноябрь каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:
S; 0,7S; 0,5S; 0
По условию в январе следующего года долг увеличивается на 22%, значит
в январе 2018 года долг составит 1,22S;
в январе 2019 года долг составит 1,22*0,7S=0,854S;
в январе 2018 года долг составит 1,22*0,5S=0,61S.

Cледовательно, выплаты с февраля по октябрь каждого года:
1,22S-0,7S=0,52S;
0,854S-0,5S=0,354S;
0,61S

По условию числа
S; 0,52S; 0,354S и 0,61S - целое число тысяч рублей.

S; 13S/25; 48S/125;61S/100

S должно быть кратно
25;125 и 100
наименьшее общее кратное (25;125;100)=500
[b]S=500[/b]

Наименьшее целое число тысяч рублей при этом :
[b] 500 000[/b]
Проверка
0,52S=260 000 руб - целое число тысяч рублей
0,354S=177 000 руб.-целое число тысяч рублей
0,61S=305 000 руб. - целое число тысяч рублей
О т в е т. 500 000 руб.

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=21134

Пусть скорость автомобиля х км в час, тогда
скорость мотоциклиста (х+5) км в час
(340/х) час - время в пути автомобиля
(300/(х+5)) час - время мотоциклиста.
По условию, автомобиль и мотоциклист прибыли одновременно в В, но мотоциклист делал остановку на 40 мин=(40/60) часа=(2/3) часа
Уравнение:
(300/(х+5)) +(2/3)=(340/х);

900х+2*(x^2+5x)=1020*(x+5)
2x^2-110x-5100=0;
x^2-55x-2550=0
D=(-55)^2-4*(-2550)=13225=115^2
x=(55+115)/2=85
второй корень уравнения отрицательный и не удовл. смыслу задачи
85+5=90 км в час - скорость автомобиля
О т в е т. 90 км в час

Ответ выбран лучшим

Правильная треугольная пирамида SABC ( cм. рис.)
АВ=ВС=АС=sqrt(39)
SA=SB=SC=7

Высота правильной пирамиды проектируется в центр треугольника АВС, точка О - центр вписанной и центр описанной около окружности треугольника.

АО=R; ОМ=r

Известна формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника
R=asqrt(3)/3, где а - сторона правильного треугольника

R=sqrt(39)*sqrt(3)/3=sqrt(13)

АО=ОВ=ОС=sqrt(13)
По теореме Пифагора из треугольника SAO:
SO^2=SA^2-AO^2=7^2-(sqrt(13))^2=49-13=36
SO=6

H=SO=6

О т в е т. 6
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

v(средняя)=S/t=S(3)-S(2)/(3-2)=(80-40) км/(1час)=40 км /час.
О т в е т. 40 км/час. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула
r=(a+b-c)/2 ( cм. приложение)
AC=b=36
BC=a=15

с=AB
По теореме Пифагора:
AB^2=AC^2+BC^2=36^2+15^2=1296+225=1521=39^2
c=39

r=(36+15-39)/2=6

О т в е т. 6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=1-(-1/x^2)
y`=1+(1/x^2)>0 при любом x ∈ [0,5;13]
Значит функция возрастает на указанном отрезке и наименьшее значение принимает при х=0,5

y(0,5)=0,5-(1/0,5)+6=0,5-2+6=4,5
О т в е т. 4,5

Ответ выбран лучшим

Пусть первый принтер расходует пачку бумаги за х минут, второй за
(х+15) минут.
(1/x) - производительность первого
(1/(х+15)) - производительность второго

(1/x)+ (1/(x+15))=(2x+15)/(x^2+15x) - совместная производительность

1 : (2х+15)/(x^2+15x) (минут) - время расходования бумаги двух одновременно работающих принтеров, что по условию равно 10 минут
Уравнение
(x^2+15x)/(2x+15)=10;

x^2+15x=20x+150
2x+15 ≠ 0

x^2-5x-150=0
D=25+600=625

x=(5+25)/2=15
второй корень уравнения <0 и не удовл. смыслу задачи
О т в е т. 15 минут

Ответ выбран лучшим

Пусть ребро куба равно x.
V(куба)=х^3;
x^3=729/π

Куб описан около цилиндра.
h(цилиндра)=a;
Окружность вписана в квадрат и значит,
2r=a
r=a/2

V(цилиндра)=πr^2*h=π*(a/2)^2*a=
=(π/4)*a^3=(π/4)*(729/π)=729/4=182,25
О т в е т. 182,25
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A(12;5) - вершинa параболы y=(x–12)^2+5
В(-8;7) - вершина параболы y=(x+8)^2+7.
Параллельный перенос на вектор vector{AB}(-8-12;7-5);
vector{AB}(-20;2); (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Извлекаем корень кубический из обеих частей:
x^2=7x-12
x^2-7x+12=0
D=(-7)^2-4*12=1
x_(1)=(7-1)/2; x_(2)=(7+1)/2
x_(1)=3 или х_(2)=4

Ответ выбран лучшим

Значит в круг вписан квадрат, площадь круга 72π.

πR^2=72π
R^2=72
R=6sqrt(2)

Диагональ квадрата равна 2R.
Значит сторона квадрата
а=2R*sin45 градусов = 12 sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=12

S(поверхности куба)=6a^2=6*12^2=864 куб. ед.

Ответ выбран лучшим

Пусть второй фильтр очистит цистерну за х минут, тогда первый за (x+20) минут.
(1/x)- производительность второго,
1/(х+20) - производительность первого.
По условию , работая одновременно, фильтры очищают цистерну за 24 минуты
Совместная производительность:
(1/х)+(1/(х+20))=(х+20+х)/(х*(х+20))=(2х+20)/(х^2+20x)
Уравнение:
1:((2x+20)/(x^2+20x))=24

(х^2+20x)/(2х+20)=24;

x^2-28x-480=0

D=(-28)^2-4*(-480)=784+1920=2704=52^2

x_(1)=(28+52)/2=40 минут
x_(2)=(28-52)/2 < 0 и не удовлетворяет смыслу задачи.
О т в е т. 40 минут

Ответ выбран лучшим

У Кати в копилке
7+6*2+3*5=7+12+15=34 рубля.
Чтобы в копилке осталось более 30 рублей, Катя может выбрать монету достоинством 1 руб или 2 рубля.
Всего монет 7+6+3=16
Вероятность выбрать монету достоинством 1 руб
p_(1)=7/16;
Вероятность выбрать монету достоинством 2 рубля
p_(2)=6/16
p=p_(1)+p_(2)=(7/16)+(6/16)=13/16
О т в е т. 13/16 ≈ 0,8125

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-log_(5)6 >0;
{log_(sqrt(2))(x-log_(5)6) >0 ⇒ log_(sqrt(2))(x-log_(5)6)> log_(sqrt(2))1

{x-log_(5)6>0 ;
{x-log_(5)6 > 1

ОДЗ: x-log_(5)6 > 1 ⇒ x > log_(5)6+1

Так как
4=log_(sqrt(3))(sqrt(3))^4=log_(sqrt(3))9

log_(sqrt(3))log_(sqrt(2))(x-log_(5)6 < log_(sqrt(3))9
Логарифмическая функция с основанием sqrt(3) возрастает, поэтому
log_(sqrt(2))(x-log_(5)6 < 9
9=log_(sqrt(2))(sqrt(2))^9=log_(sqrt(2)16sqrt(2)
log_(sqrt(2))(x-log_(5)6) < log_(sqrt(2))16sqrt(2)
Логарифмическая функция с основанием sqrt(2) возрастает, поэтому
x-log_(5)6 < 16sqrt(2);
x < log_(5)6+16sqrt(2).
Учитывая ОДЗ, получаем ответ
(log_(5)6 + 1; log_(5)6 + 16sqrt(2))

1<log_(5)6<2 ⇒ 2<log_(5)6+1<3;

sqrt(2) ≈ 1,4 ⇒
23,4<1+16*1,4<log_(5)6+16sqrt(2)<2+16*1,4=24,4

Значит целые решения неравенства:
3 ≤ х ≤ 23
О т в е т. 3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
-sinx > 0 ⇒ sinx < 0 ⇒ x ∈ (-π+2πk; 0+2πk)

10cos^2x+cosx-2=0
Замена переменной
cosx=t
10t^2+t-2=0
D=1-4*10*(-2)=81
t_(1)=-0,5; t_(2)=0,4

cosx=-0,5 ⇒ x= ± (2π/3)+2πn, n ∈ Z
Учитывая ОДЗ
x=- (2π/3)+2πn, n ∈ Z

cosx=0,4 ⇒ x= ± arccos0,4+2πm, m ∈ Z
Учитывая ОДЗ
x= - arccos 0,4 +2πm, m ∈ Z

О т в е т. а) - (2π/3)+2πn, arccos 0,4 +2πm, n, m ∈ Z
б) Указанному промежутку (- π; 3π/2) принадлежат корни:
x_(1) = - 2π/3;
x_(2)=-arccos 0,4;
x_(3)= (-2π/3)+2π=4π/3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть длина пути S м.

(S/24) м/сек - скорость пассажира вместе с эскалатором;
(S/56) м/сек - скорость эскалатора
(S/24)-(S/56)=(S/42) м/сек - cкорость пассажира.

S:(S/42)=42 сек.
О т в е т. 42 сек.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4x^2-1>0 ⇒ (2x-1)(2x+1)>0⇒x <-1/2 или x >1/2 ;
{x>0;
{x+(9/x)-11>0 ⇒ (x^2-11x+9)/x >0; D=121-36=85; x=(11 ± sqrt(85))/2
1/2 < (11-sqrt(85))/2; так как sqrt(85) < 11-1; 85 < 100.
Значит
ОДЗ: (1/2; (11-sqrt(85))/2) U ((11+sqrt(85))/2;+ ∞ )

Перепишем:
log_(2)(4x^2-1) ≤ log_(2)x+log_(2)(x^2-11x+9)/x
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
log_(2)(4x^2-1) ≤ log_(2)(x^2-11x+9);
x ≠ 0
Применяем свойство монотонности логарифмической функции:
4x^2-1 ≤ x^2-11x+9;
3x^2+11x-10 ≤ 0
D=121+120=241
x_(1)=(-11-sqrt(241))/6 или x_(2)=(-11+sqrt(241))/6
Решение неравенства:
((-11-sqrt(241))/6 ; (-11+sqrt(241))/6)

Сравниваем
(-11+sqrt(241))/6 и (11-sqrt(85))/2
Обычно между таким числами ставят знак "звездочка" и работают с выражениями как с равенствами.
Т.е переносят слагаемые из одной стороны в другую, умножают на положительное число, возводят положительные числа в квадрат.

Умножаем каждое выражение на 6
-11+sqrt(241) и 33 - 3sqrt(85)
Сравниваем:
sqrt(241) и 44 - 3sqrt(85)
Сравниваем квадраты этих чисел:

Возводим в квадрат:
241 и 44^2-6*44sqrt(85)+9*85

Сравниваем
256sqrt(85) и 2460

Делим на 4
64 sqrt(85) и 615
Возводим в квадрат
4096*85=348160 < 378225

Значит,
(-11+sqrt(241))/6 < (11-sqrt(85))/2

Сравниваем 1/2 и (-11+sqrt(241))/6
3 и (-11)+sqrt(241);
14 и sqrt(241)
Сравниваем квадраты положительных чисел:
196 < 241
Значит, (1/2) < (-11+sqrt(241))/6

С учетом ОДЗ получаем ответ:

(0,5; (-11+sqrt(241))/6)

Ответ выбран лучшим

Количество клеток, которые пересекает диагональ прямоугольника равно ( см. приложения)
(m + n - НОД(m,n))
Так как
НОД(m,n)=1,
то
количество клеток, которые пересекает диагональ прямоугольника равно
m+n-1
Уравнение:
m+n-1=mn-116
Решаем это уравнение в натуральных числах:
mn-m+n-1=116
m(n-1)+(n-1)=116
(n-1)*(m-1)=116

Раскладываем правую часть на множители и выбираем подходящие варианты:

116=2*58=2*2*29
m-1=1 ⇒ m=2
n-1=2*58⇒ n=117
или
m-1=2⇒m=3
n-1=58 ⇒ n=59
или
m-1=4⇒ m=5
n-1=29 ⇒ n=30
противоречие, m и n не взаимно простые.

аналогично не подходит вариант m-1=29; n-1=4

m-1=116 ⇒ m=117 > n не удовлетворяет условию

О т в е т. 2 и 117; 3 и 59 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть на линии х самолетов первого типа, у самолетов второго типа и z самолетов третьего типа.
По условию
Каждый самолет первого, второго и третьего типа может принять на борт соответственно 230, 110 и 40 пассажиров, а все самолеты одновременно 760 пассажиров.
Уравнение:
230x+110y+40z=760 или
23x+11y+4z=76

Второе условие:"Каждый самолет первого, второго и третьего типа может принять на борт соответственно 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты линии могут принять на борт одновременно 88 контейнеров" приводит ко второму уравнению:
27х+12у+5z=88

Решаем систему двух уравнений с тремя переменными в натуральных числах:
system{23x+11y+4z=76; 27х+12у+5z=88}
Выражаем из каждого уравнения z и приравниваем:
(76-23х-11у)/4 = (88-27х-12у)/5
Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
7x+7y=28
x+y=4

Вычитаем из второго уравнения первое:
4х+у+z=12
Так как y ≥ 1; z≥1, то 4х+y+z≥4x+2
4x+2 ≤ 12
4x≤ 10
x≤ 2

Используем дополнительное условие- ограничение:
x+y+z ≤ 8 и перебор вариантов:
x=1; y=3;z=4 , тогда 230+3*110+4*40 < 760
x=2; y=2; z=1, тогда 2*230+2*100+40< 760
x=2; y=1; z=5, тогда 2*27+1*12+5*5 >88
x=2; y=2; z=2
2*230+2*110+2*40=760;
2*27+2*12+2*5=88
увеличение z нарушает равенство.

О т в е т. 2;2;2

Ответ выбран лучшим

Пусть
в первом проекте m домов по х квартир в каждом, тогда
mx=12096

Во втором проекте (m+8) домов по y квартир в каждом, тогда
(m+8)*y=23625

Решаем систему уравнений с тремя неизвестными
[b] в натуральных числах[/b]:
system{mx=12096; (m+8)*y=23625}

В каждом уравнении слева произведение натуральных множителей, поэтому раскладываем правую часть на натуральные множители:
system{mx=2^4*3^3*7; (m+8)*y=3^3*5^3*7}

23625 - нечетное, значит y- нечетное и (m+8) - нечетное
Но тогда m - четное
Перебор вариантов c учетом, y>x

m ≠3, так как тогда m+8=11, что невозможно ( среди множителей правой части нет числа 11)

m=7; m+8=15
x=64*27=1728
y=25*9*7=1575
не выполняется условие y>x

m ≠9, так как тогда m+8=17, что невозможно ( среди множителей правой части нет числа 17)
m ≠21, так как тогда m+8=29, что невозможно ( среди множителей правой части нет числа 29)

m=27; m+8=35;
x=16*7=112;
y=27*7=189
189>112
m ≠63, так как 63+8=71, что невозможно ( среди множителей правой части нет числа 71)

m ≠189, так как m+8=197, что невозможно ( среди множителей правой части нет числа 197)

О т в е т. 27 домов.

Ответ выбран лучшим

Перепишем систему
system{cosy=-3sinx;siny=(6cosx-7)/2}.
Возводим каждое уравнение в квадрат и складываем
учитывая, что cos^2y+sin^2y=1;
получаем 1=9sin^2x+(36cos^2x-84cosx+49)/4⇒ cosx=27/28
Тогда
siny=(6*(27/28)-7)/2 ⇒ siny=-17/28

Находим x
[b]cosx=27/28[/b] ⇒ x_(1,2)= ± arccos(27/28)+2πn, n ∈ Z
или
x_(1)=arccos(27/28)+2πk, k ∈ Z; x_(2)=- arccos(27/28)+2πn, n ∈ Z
Находим y
[b]siny=-17/28[/b] ⇒
y_(1)=arcsin(-17/28)+2πm, m ∈ Z или y_(2)=π-arcsin(-17/28)+2πs, s ∈ Z

О т в е т.
(x_(1);y_(1));
(x_(1);y_(2));
(x_(2);y_(1));
(x_(2);y_(2))

Обозначим события
M_(1) - первым пришел мальчик;
D_(2) - второй пришла девочка;
p(M_(1))=p(D_(2))=(1/2)
р(M_(1)D_(2))=p(M_(1))*p(D_(2))=(1/2)*(1/2)=1/4=0,25

Пусть мастер делает х деталей в час,
тогда ученик делает (х-2) детали в час.
Пусть мастер работает у часов, тогда
заказ состоит из (х*у) деталей.
2 ученика работают на 1 час быстрее мастера, т.е (у - 1) час
значит заказ состоит из 2*(х-2)*(у-1) деталей.
По условию заказы у мастера и двух учеников одинаковые.
Составляем уравнение:
xy = 2*(x - 2)(y - 1)
xy = 2xy - 4у - 2х + 4
xy - 4у - 2х + 4 = 0
(xy - 4y) - (2x - 8) -8+4 = 0
y*(x-4)-2*(x-4)=4
(x-4)*(y-2)=4
По условию x>5, x∈N, y∈N
Правая часть раскладывается на натуральные множители:
4 = 4*1 = 1*4 = 2*2

Пусть
1)
x-4=4⇒ x=8;
y-2=1 ⇒ y=3
xy=8*3=24 детали - заказ

2)
x-4=1⇒ x=5 - не удовлетворяет условию x > 5;

3)
x-4=2⇒ x=6;
y-2=2 ⇒ y=4
xy=6*4=24 детали - заказ

О т в е т. 24 детали.

Ответ выбран лучшим

100%+10%=110%=110/100=1,1
[b]Первый год[/b]:
после начисления процентов долг равен
1,1*1 000 000= 1 100 000 руб.
Вычитаем выплату в 240 000 руб, остаток 860 000 руб.

[b]Второй год[/b]:
Начисляем проценты
1,1*860 000 =946 000 руб.
Вычитаем выплату
946 000 - 240 000 = 706 000 руб - остаток

[b]Третий год[/b]:
Начисляем проценты
1,1*706 000 = 776 600 руб
Вычитаем выплату
776 600 -240 000 = 536 600 руб. - остаток

[b]Четвертый год[/b]:
Начисляем проценты
1,1*536 600=590 260 руб.
Вычитаем выплату
590 260 - 240 000 =350 260 руб. - остаток

[b]Пятый год[/b]:
Начисляем проценты
1,1*350 260 = 385 286 руб
Вычитаем выплату
385 286 - 240 000 = 145 286 руб - остаток

[b]Шестой год[/b]:
Начисляем проценты
1,1*145 286 = 159 814, 6 руб < 240 000 руб.

О т в е т. на 6 лет.

Ответ выбран лучшим

Пусть банк представляет кредит в сумме х рублей.
Через год [b] долг[/b] увеличивается на 20%, т.е составляет 120%
120%=120/100=1,2

1,2х руб. - долг на начало второго года кредитования.

Первая выплата на втором году 810 000 руб.
Остаток к концу второго года составит
(1,2x - 810 000) руб.

На начало третьего года [b] долг[/b] увеличится на 20%
1,2*(1,2x-810 000)=1,2^(2)x-1,2*810 000 (руб.)

Вторая выплата на третий год кредитования 810 000.
Остаток долга к концу третьего года
1,2^(2)x-1,2*810 000 - 810 000 (руб.);

Вначале четвертого года кредитования [b] долг[/b] увеличивается на 20%:
1,2*(1,2^(2)x-1,2*810 000 - 810 000)=1,2^3x-1,2^2*810 000 -1,2*810 000 (руб.)
Третья выплата на четвертый год кредитования 810 000 руб.
и остаток составит
1,2^(3)x-1,2^(2)*810 000 -1,2*810 000 - 810 000 ( руб.)

Вначале пятого года кредитования [b] долг[/b] увеличивается на 20%:
1,2*(1,2^(3)x-1,2^(2)*810 000 -1,2*810 000 - 810 000) (руб.)
и становится равным последней четвертой выплате, 810 000 (руб.).

[b] Уравнение[/b]
1,2*(1,2^(3)x-1,2^(2)*810 000 -1,2*810 000 - 810 000) =810 000;
Упрощаем и считаем большие числа один раз, калькуляторов нет(!)
1,2^(4)*x=(1,2^(3)+1,2^(2)+1,2+1)*810 000
В скобках сумма четырех слагаемых [b]геометрической прогрессии[/b] (b_(1)=1; q=1,2):
1,2^(4)*x=810 000*((1,2)^4-1)/(1,2-1)
Формула разности квадратов:
1,2^(4)*x=810 000 *((1,2)^2-1)(1,2^2+1)/(1,2-1)
1,44^(2)*x=10 000*(9*9)(0,44)*(2,44)/0,2
x=(10 000*(9*9)(44)*(244))/(144*144*0,2)
x=(10 000*11*61)/(16*0,2)
x=2 096 875 руб.
О т в е т. 2 096 875 руб.

[b]ОДЗ:x ≠ (π/2)+πm, m ∈ Z; y ≠ (π/2)+πm, m ∈ Z[/b]

Применяем формулу суммы тангенсов:
system{x+y=π/4; sin(x+y)/(cosx*cosy) =1}

Учитывая, что sin (x+y)=sin(π/4)=sqrt(2)/2
и дробь равна 1, когда числитель равен знаменателю:
system(x+y=π/4; cosx*cosy=sqrt(2)/2}

Применяем формулу произведения косинусов:
system{x+y=π/4; (1/2)cos(x+y)+(1/2)cos(x-y)=sqrt(2)/2}

Учитывая, что cos(x+y)=cos(π/4)=sqrt(2)/2

system{x+y=π/4; cos(x-y)=sqrt(2)/2}

system{x+y=π/4; x-y= ± (π/4)+2πk, k ∈ Z}

Совокупность систем
1)system{x+y=π/4; x-y=(π/4)+2πk, k ∈ Z}
2)system{x+y=π/4; x-y=-(π/4)+2πn, n ∈ Z}

Cкладываем первое и второе уравнение каждой системы

1)system{x+y=π/4; 2x=(π/2)+2πk, k ∈ Z}
2)system{x+y=π/4; 2x=2πn, n ∈ Z}

1)system{y=(π/4)-x; x=(π/4)+πk, k ∈ Z}
2)system{y=(π/4)-x; x=πn, n ∈ Z}

1)system{y=-πk; x=(π/4)+πk, k ∈ Z}
2)system{y=(π/4)-πn; x=πn, n ∈ Z}

Найденные решения удовлетворяют [b] ОДЗ [/b]
О т в е т. ((π/4)+πk; -πk,k ∈ Z); (πn; ((π/4)-πn,n ∈ Z)

y=x^2+px+q - уравнение новой параболы.
Подставляем координаты точек А и В в это уравнение, получаем систему относительно неизвестных p и q.
system{-1=4^2+4p+q; 7=0+0+q}
⇒ -1=16+4p+7 ⇒ 4p=-24; p=-6;
y=x^2-6p+7
y=(x-3)^2-2
Параллельный перенос на вектор с координатами (3;-2)

Можно:a),б).г)

y=1/x бардового цвета
a) y=(1/(x-5))+3
график синего цвета. Перенос на вектор vector{OO_(1)} синего цвета
O_(1)(5;3)

б)y=(1)/(x+3) – 2
график зеленого цвета. Перенос на вектор vector{OO_(1)} зеленого цвета
O_(1)(-3;-2)

г) y=(x+3)/(x+2).
(х+3)/(х+2)=(х+2)/(х+2) +1/(х+2);
y=1+(1/(x+2))
график оранжевого цвета. Перенос на вектор vector{OO_(1)} оранжевого цвета
O_(1)(-2;1)

Нельзя
в)y=(x-3)/(x-2)
y=(x-2)/(x-2) - (1/(x-2));
y=-(1/(x-2))+1
Нельзя гиперболу y=1/x параллельным переносом отобразить на гиперболу y=-1/x, тем более на y=-(1/(x-2))+1 (прикреплено изображение)

Первый пакет: количество х (штук), цена p (руб.), стоимость p*x (руб).
Второй пакет: количество y (штук), цена q (руб.), стоимость q*y (руб.)
Третий пакет: количество (x+y)(штук), цена r (руб.), стоимость r*(x+y) ( руб.)

Всего в трех пакетах:
x+y+(x+y)=2x+2y (акций)
Требуется найти наибольшее и наименьшее значение выражения:
x/(2x+2y)=1/(2+2(y/x))

По условию:
q*y=4p*x
r*(x+y)=5p*x
p+16 ≤ q ≤ p+20
42 ≤ r ≤ 60

Эти данные позволяют найти границу изменения (y/x), а тем самым и границу изменения x/(2x+2y)=1/(2+2(y/x)).

О т в е т. 1/8 ≤ x/(2x+2y) ≤ 3/20
1/8=0,125=12,5%
3/20=0,15=15%

Ответ выбран лучшим

В 4 года ролевые игры, они копируют взрослых. Играют в то, что видят и к чему приучили. Любят играть в посуду, варят понарошку, коляски катают как мама и т.д. Раскрашивают, собирают лего и железную дорогу, рисуют красками, рассматривают книги.

Пусть в первой бригаде x землекопов, во второй y землекопов, по условию производительность каждого землекопа одинаковая, обозначим ее p.
Тогда первая бригада за час выполняет px часть работы, вторая py часть работы.
Обозначим объем выполненной работы S.
(S/(px)) час. время,затраченное первой бригадой
(S/(pу)) час. время,затраченное второй бригадой
По условию вторая бригада затратила на полчаса больше, полчаса=1/2 часа
Уравнение
(S/(py)) - (S/(px)) =1/2
Второе уравнение:
(S/(py)) - (S/(p(x+5)))=2
О т в е т. x=25; y=24

Ответ выбран лучшим

Пусть х руб. - цена акций вида А, y руб. - цена акций вида В.

Пусть первый брокер имел a_(1) акций вида А, (11 - a_(1)) акций вида Б;
второй брокер имел a_(2) акций вида А, (21 - a_(2)) акций вида Б;
третий брокер имел a_(3) акций вида А, (29 - a_(3)) акций вида Б.

Тогда
{x*a_(1)+y*(11 - a_(1))=4402
{x*a_(2)+y*(21 - a_(2))=4402;
{x*a_(3)+y*(29 - a_(3))=4402.

Вычитая из первого уравнения второе, а из второго уравнения вычитаем третье.
{x*(a_(1) - a_(2))+y*(a_(2)-a_(1)-10)=0
{x*(a_(2) - a_(3))+y*(a_(3)-a_(2)-8)=0

{a_(1) - a_(2)=10y/(x-y);
{a_(2) - a_(3)=8y/(x-y).

По условию x > y , т.е. (x -y) > 0.
a_(1);a_(2);a_(3) - натуральные
a_(1) < 11,
и
(a_(1)-a_(2)):(a_(2)-a_(3))=5:4
Значит возможно только единственное решение:
a_(1) - a_(2)=5;
a_(2) - a_(3)=4.

a_(1)=10; a_(2)=5; a_(3)=1

x/y=3⇒ [b] x=3y [/b]

x*10+y*1=4402 ⇒ 3y*10+y*1=4402⇒ 31y=4402 ⇒ y=142;

y=142 руб.
x=426 руб.
О т в е т. 426 руб цена продажи акции вида А; 142 руб. цена продажи акции вида Б.

Ответ выбран лучшим

1) Уравнение с разделяющимися переменными.
2) Однородное уравнение вида y`=phi(y/x)
3)Линейное уравнение первого порядка
4)Уравнение второго порядка, допускающее понижение степени, замена y`=p(x)
5)Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
6)Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Ответ выбран лучшим

Замечаем, что 12/23 > 12/24=1/2=0,5
Значит, осталось проверить,
0,4 < 12/23 - верно, так как
4,4=(4/10)=(4*23)/(10*23)=112/230 < 120/230=12/23
[b]0,4 < 12/23 < 0,5[/b]
О т в е т 4)12/23

(x/2)+(x-1)/2=4
Умножаем уравнение на 2
x+(x-1)=8
2x-1=8
2x=8+1
2x=9
x=4,5

a=0,5
x=0,46
Δx =|a-x|=|0,5-0,46|=0,04 - абсолютная погрешность

δ=Δx/a=0,04/0,5=0,08 - относительная погрешность (прикреплено изображение)

В № 3717 уравнения x_(1)=k_(1)t+b_(1) и x_(2)=k_(2)t+b_(2)
20t-4t написано с опечаткой.
Считаю, что x_(1)=20-4t
20-4t=10+t
20-10=t+4t
10=5t
t=2
x_(1)(2)=20-4*2=12
x_(2)(2)=10+2=12

О т в е т. при t=2 в точке (2;12) (прикреплено изображение)

Диаметр TM делит окружность на две дуги 180 градусов каждая.
Центральный угол MOK измеряется дугой, на которую он опирается.
Значит дуга MK 30 градусов.
Дуга KT 180 градусов - 30 градусов = 150 градусов.
Угол ТОК центральный, измеряется дугой, на которую опирается.
угол ТОК равен 150 градусов. (прикреплено изображение)

sin373 градусов=sin(360 градусов+13 градусов)=sin13 градусов
–20sin373 градусов *sin13 градусов=-20*sin^213 градсусов

sqrt(18)=sqrt(9*2)=3sqrt(2)
sqrt(14)=sqrt(7*2)=sqrt(7)*sqrt(2)

О т в е т. 3sqrt(2)-(sqrt(7)*sqrt(2)-2sqrt(7))*sqrt(7)=3sqrt(2)-7sqrt(2)+14=14-4sqrt(2)

(прикреплено изображение)

1) 164 - 8 = 156 cм рост Кати, она выше Димы на 12 см, значит Дима ниже Кати на 12 см
2) 156-12=144 см рост Димы
О т в е т. Дима, Катя, Сережа

P_(4)(3)=C^3_(4)*(1/2)^3*(1/2)=4/16=1/4

(x/y)+(9y/x)-6=(x*x+9y*y-6xy)/(y*x)=(x^2-6xy+9y^2)/(xy)=(x-3y)^2/(xy)

Во второй упаковке
(т-n)=526-328=198
О т в е т. 198 пуговиц во второй

2*(2y-x)/((x-2y)(x+2y)) = -2/(x+2y)
При х=0,8; y=0,1
-2/(0,8+2*0,1)=-2/1=-2
О т в е т. -2

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=a-2
x_(1)*x_(2)=-a-3

x^2_(1)+x^_(2)=(x_(1)+x_(2))^2 - 2x_(1)*x_(2)=(a-2)^2-2*(-a-3)=a^2-4a+4+2a+6=a^2-2a+10

Квадратный трехчлен ( график его парабола, ветви вверх) принимает наименьшее значение в вершине.
a_(o)=1
О т в е т. при а=1

Сумма смежных углов 180 градусов, биссектрисы делят каждый угол пополам. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 градусов. (прикреплено изображение)

(7-2x)/4=(x/3)
В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних
(7-2x)*3=4*x
21-6х=4х
21=4х+6х
21=10х
х=21:10
x=2,1

5х+3 больше или равно 2х+1
5х - 2 х больше или равно 1-3
3х больше или равно -2
х больше или равно -2/3

Сравним 0,6 и (5/9)
(6*9)/(10*9) > (5*10)/(9*10)
Поэтому 5/9 расположена левее точки 0,6
Проверяем
0,5 = (5*9)/(10*9) < (5*10)/(9*10)
Значит
0,5 < (5/9) < 0,6
О т в е т. 1

1.
Пусть скорость пешехода x км в час, тогда скорость велосипедиста (х+6) км в час.

За 30 минут пешеход прошел (x/2) км и оказался в точке C.

A___ (x/2) ___ C ______ M ____ B

Пусть M - точка в которой велосипедист обогнал пешехода.
Значит за одно и то же время t_(1) час. пешеход прошел путь СМ
CМ=xt_(1)
Велосипедист за это время t_(1) час, проехал АМ
АМ=(x+6)*t_(1)

АМ=AC+CМ ⇒
(x+6)*t_(1) = (x/2)+xt_(1) ⇒
t_(1)=x/12

MB=AB-AM=10 - (x+6)*t_(1)=10 -(x+6)*(x/12)
После встречи в точке М велосипедист за время t_(2) проехал путь
МВ+ВА
Пешеход за это же время t_(2) прошел МВ

x*t_(2)=10 - (x+6)*(x/12)⇒ t_(2)=(10/x)-(x+6)/12
(x+6)*t_(2)=10 - (x+6)*(x/12)+10 ⇒ t_(2)=(20/(x+6))-(x/12)

Приравниваем правые части:
(10/x)-(x+6)/12 = (20/(x+6))-(x/12)

20*(x+6)-40x=(x+6)*x
x ≠ 0; x ≠ -6

x^2+26x-120=0
D=26^2-4*(-120)=676+480=1156=34^2
x=(-26+34)/2=4

О т в е т. 4 км в час.

2.
Пусть первый двигатель расходует х г топлива в час, второй y г топлива в час.
Пусть второй работал t часов, тогда первый (t+2) часа
x*(t+2)=300
yt=192

Второе условие
если бы первый двигатель расходовал y г топлива, второй x г. топлива, то расход бензина был бы одинакoвый.
Второе уравнение:
y*(t+2)=x*t

Решаем системy:
{x*(t+2)=300 ⇒ xt=300-2x
{yt=192
{y*(t+2)=xt ⇒ yt+2y=xt ⇒ 192+2y =300-2x; 2x+2y=108
x+y=54

Из первого
t=(300-2x)/x
Из второго
t=192/y

Приравниваем
{(300-2x)/x=192/y
{y=54-x

(300-2x)*(54-x)=192x;
x^2-300x+8100=0
D=(-300)^2-4*8100=90000-32400=57600
x=(300-240)/2=30 или x=(300+240)/2=270 ( не удовл. смыслу задачи y=54-x будет отрицат.)

y=54-x=54-30=24

О т в е т. 30 г и 24 г; сумма найдена выше 54 г

3.
{(12-x)(x-2)=0⇒ x=12 или х=2
{4-x^2 ≠ 0 ⇒ х ≠ -2 и х ≠ 2
О т в е т. 12

1)
Несобственный интеграл 1 рода с бесконечным верхним пределом.
=lim_(A→∞) ∫ ^(A)_(0)xdx/sqrt(x^2+4)=

=lim_(A→∞) (1/2)∫ ^(A)_(0)2xdx/sqrt(x^2+4)=

=(1/2)*lim_(A→∞)∫ ^(A)_(0)d(x^2+4)/sqrt(x^2+4)=

=(1/2)*lim_(A→∞)2sqrt(x^2+4)|^(A)_(0)=∞

Расходится.

2)
Несобственный интеграл второго рода с особой точкой х=-3

=lim_(ε→0) ∫ ^(0)_(-3+ε)dx/sqrt(x+3)=

=lim_(ε→0) 2sqrt(x+3)|^(0)_(-3+ε)=2sqrt(3)-2*0=2sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

Найдем абсциссы точек пересечения графиков.
-4x = 32 - x^2;
x^2 - 4x - 32 = 0;
D=(-4)^2-4*(-32)=16+128=144=12^2
x_(1)=(4-12)/2=-4; x_(2)=(4+12)/2=8

S= ∫ ^(8)_(-4)(32 - x^2 -( - 4x))dx=∫ ^(8)_(-4)(32 - x^2 + 4x))dx=

=(32x - (x^3/3)+(4x^2/2)|^(8)_(-4)=

=32*(8+4)-(1/3)*(8^3-(-4)^3)+2*(8^2-(-4)^2)=287 целых 1/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(5/22) - (8/11) = (5/22) - (16/22) = -11/22 =-1/2
(-1/2)*(11/5)=-11/10

Применяем метод подведения под дифференциал.
(См. метод замены переменной)
В квадратных скобках номер формулы из таблицы интегралов. См. рис. 1
Решение - скриншот cм. рис.2 и рис.3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ctgx=cosx/sinx

(cosx/sinx)+(sinx/(1+cosx) -2=0

{cosx*(1+cosx)+sinx*sinx-2*sinx*(1+cosx)=0;
{cosx≠0; 1+cosx≠0

cosx+cos^2x+sin^2x-2sinx-2sinx*cosx=0
cosx+1-2sinx*(1+cosx)=0
(cosx+1)(1-2sinx)=0
cosx+1≠0
1-2sinx=0
sinx=1/2
x=(Pi/6)+2PIk, k ∈Z или х=(5Pi/6)+2Pin, n∈ Z
Указанному интервалу принадлежат корни:
(Pi/6) и (5Pi/6)

Их сумма равна Pi или 180 градусов.
Правильный ответ. 180 градусов.

Пусть M(x), так как АМ:МВ=1:1, значит M – середина АВ и MA=BM;
MA=x–2; BM=10–x;
уравнение x–2=10–x;
2x=10+2;
2x=12;
x=6.
О т в е т. M(6)

О т в е т. 250 м
См. рисунок (прикреплено изображение)

Повторные независимые испытания с двумя исходами. Схема Бернулли.
n=10 000; p=0,0002
п велико, p мала.
Применяем формулу Пуассона

a) P_(10000)(5)=(2^(5)/5!)*e^(-2) ≈ 0,036089 ( cм.таблицу значений)
б) P_(10000)(3 меньше или равно k меньше или равно 5)=P_(10000)(3)+P_(10000)(4)+P_(10000)(5)=(2^(3)/3!)*e^(-2) +(2^(4)/4!)*e^(-2) +(2^(5)/5!)*e^(-2) ≈0,180447+0,090224+0,036089=0,306790 (прикреплено изображение)

1093+100=1193 груш.
1093+1193=2286 яблок и груш ВСЕГО.

Слово ВСЕГО груш неуместно для одних груш.

Ответ выбран лучшим

а) x^2–5x+6 < 0;
D=(-5)^2-4*6=25-24=1
x_(1)=(5-1)/2=2; x_(2)=(5+1)/2=3
___ (2) __-__ (3) ___
О т в е т. (2;3)
б)x^2–7x+6 > 0;
D=(-7)^2-4*6=49-24=25=5^2
x_(1)=(7-5)/2=1; x_(2)=(7+5)/2=6
__+_ (1) ____ (6) _+__
О т в е т. (- бесконечность;1)U(6;+бесконечность)
в) 3x^2+4x–7 > 0;
D=4^2-4*3*(-7)=16+84=100=10^2
x_(1)=(-4-10)/6=-7/3; x_(2)=(-4+10)/6=1
__+_ (-7/3) ____ (1) _+__
О т в е т. (- бесконечность;7/3)U(1;+бесконечность)
г) –3x^2–10x < 0.
-x*(3x+10) < 0
x*(3x+10) > 0
x_(1)=-10/3; x_(2)=0
__+_ (-10/3) ____ (0) _ +__
О т в е т. (- бесконечность;-10/3)U(0;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(-6;0;0); B(0;3;0); C(0;0;3)
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
vector{AM}=(x-(-6);y-0;z-0);
vector{AB}=(0-(-6);3-0;0-0);
vector{AC}=(0-(-6);0-0;3-0)
[b] компланарны[/b]
Условием компланарности векторов, является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат векторов. (прикреплено изображение)

1) Напечатано неверно. См. рис.
Тогда в числителе:
16(m^(1/32))^(1/3) + 5 (m^(1/2))^(1/48)=16 m^(1/96) + 5 m^(1/96);
В знаменателе
7*(m^(1/8))^(1/12)=7m^(1/96);

О т в е т. (21m^(1/96))/(7m^(1/96))=3

2.
q(3+x)=((3+x)*(6-(3+x)))^(1/5)((3+x)*(3-x))^(1/5)=(9-x^2)^(1/5);
q(3-x)=((3-x)*(6-(3-x)))^(1/5)=((3-x)*(3+x))^(1/5)=(9-x^2)^(1/5)

О т в е т. 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
sin^2 альфа +cos^2 альфа =1
По условию
Pi < альфа < 3Pi/2, угол альфа в III четверти, синус и косинус в III четверти имеют знак '' минус''
Что противоречит дано тому, что написано в условии sin альфа=5/13
( будем считать, что там (-5/13))

cos альфа =-sqrt(1-sin^2 альфа )=-sqrt(1-(-5/13)^2)=
=-sqrt((169-25)/169)=-12/13

По формуле приведения
sin((3Pi/2)+альфа)= - сos альфа=-(-12/13)=12/13

О т в е т. а) 12/13

2)
(sin альфа *sin3 альфа +cos альфа *cos3 альфа )/cos3 альфа *sin3 альфа =cos(3 альфа - альфа )/((sin6 альфа) /2)=2cos2 альфа /sin6 альфа ;

sin5 альфа +sin7 альфа =
=2*sin((5 альфа +7 альфа )/2)*cos((5 альфа -7 альфа )/2)=
=2sin6 альфа *cos(- альфа )=2sin6 альфа *cos альфа , так как косинус четная функция и cos(- альфа )=cos альфа

Итак,
(2cos2альфа/sin6альфа )*((2sin6 альфа *cos альфа)/cos2 альфа )=4cos альфа

При альфа =60 градусов

4cos альфа =4 cos60 градусов=4*(1/2=2

О т в е т. б) 2

Ответ выбран лучшим

V(пирамиды)=(1/3)*S(осн.)*H
Пусть Р - точка пересечения диагоналей прямоугольника.

V=(1/3)*S(прямоугольника)*SP=(1/3)*x*y*[b]SP[/b]

Выразим SP через R; x и у.

Функция неоднозначна.
а) Если центр шара расположен внутри пирамиды,
SP=SO+OP=R+OP
б)Если центр шара расположен вне пирамиды,
SP=SO-OP=R-OP

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
АОР:
ОР^2=AO^2-AP^2;
AP=(1/2)AC=(1/2)sqrt(x^2+y^2)
AP^2=(x^2+y^2)/4
OP^2=R^2-((x^2+y^2)/4)=(4R^2-x^2-y^2)/4
OP=sqrt(4R^2-x^2-y^2)/2

Тогда
а)SP=R+sqrt(4R^2-x^2-y^2)/2=(2R+sqrt(4R^2-x^2-y^2))/2
[b]V(x;y)=(1/6)*(xy)*(2R+sqrt(4R^2-x^2-y^2))[/b]

б)SP=R-sqrt(4R^2-x^2-y^2)/2=(2R-sqrt(4R^2-x^2-y^2))/2
[b]V(x;y)=(1/6)*(xy)*(2R-sqrt(4R^2-x^2-y^2))[/b]

D(V(x;y)): 0 < x меньше или равно 2R; 0 < y меньше или равно sqrt(4R^2-x^2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть точка M (a,b,c) симметрична O(0,0,0) относительно плоскости 10х +2у-11z+450=0
[b]Cередина[/b] отрезка МО - точка K (a/2;b/2;c/2) лежит на плоскости.
Значит её координаты удовлетворяют уравнению плоскости:
10*(a/2)+2*(b/2)-11*(c/2)+450=0 [b] (#) [/b]

Нормальный вектор vector{n}(10;2;-11} плоскости коллинеарен вектору vector{OK}=(a/2;b/2;c/2}
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:
(a/2):10=(b/2):2=(c/2):(-11)=t
a/2= 10t
b/2=2t
c/2=-11t

Подставляем в [b] (#) [/b]

10*(10t)+2*(2t)-11*(-11t)+450=0
225t=-450
t=-2

a=20t=-40
b=4t=-8
c=-22t=44

О т в е т. (-40;-8; 44)

Пусть случайная величина X - число включенных ламп за время T.
Так как проводятся повторные независимые испытания с двумя исходами:
p=0,8
q=1-p=0,2
n=20,
это означает, что случайная величина распределена по биномиальному закону.
Значит
M(X)=np=20*0,8=16
D(X)=npq=20*0,8*0,2=3,2

Согласно неравенству Чебышева:
P(|X-M(X)| < ε) больше или равно 1-(D(X)/ε^2)

а) Р(|X-16| < 3) больше или равно 1- (3,2/9^2)=(9-3,2)/9=
=5,8/9=0,64444... ≈ 0,64
б)
Так как события | X-16| < 3 и |X-16| больше или равно 3,
то
P(|X-M(X)| больше или равно 3) =1- Р(|X-16| < 3) ≈

≈1 - 0, 64 = 0,36

О т в е т. а) ≈0,64; б) ≈0,36

Ответ выбран лучшим

Пусть основания перпендикуляров
на плоскость xOy:
M_(1)(2;2;0)
на плоскостьxOz
M_(2)(2;0;2)
на плоскостьyOz
M_(3)(0;2;2)

Векторы vector{M_(1)М}(x-2;y-2;z), vector{M_(1)M_(2)}(0;-2;2) и vector{ M_(1)M_(3)}(-2;0;2) [b] компланарны [/b]

Условием компланарности, является равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов.

(прикреплено изображение)

Плоскость Зх + у — 2z —18 = 0 пересекает координатные оси в точках
K(6;0;0); M(0;18;0) и N (0;0;-9)

Пусть ребро куба равно а.
Пирамида, образованная координатными плоскостями и
плоскостью 3х - у -2z - 18 =0 расположена в Y октанте.

Расположим куб так, чтобы A(a;0;0)
В(0;0;0), C(0;a;0); D(a;a;0)

По условию одна из вершин куба лежит на плоскости
Зх + у — 2z —18 = 0
Это вершина D_(1) и ее координаты (a;a;-a) ( третья координата имеет знак минус в пятом октанте)

Координаты точки D_(1) удовлетворяют уравнению плоскости:
3а + а - 2*(-а) - 18 =0

6a=18

a=3

V (куба)=a^3=3^3=27.

О т в е т. 27 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Случайная величина Х - разность между истинным значением времени и временем, которое показывают часы.
Эта разность положительна, значит часы могут только запаздывать.
Х равномерно распределена на [0;60]
p(X < 20)=p(0 < X < 20)=
=F(20)-F(0)=
(20-0)/(60-0) - (0-0)/(60-0)=20/60=1/3
О т в е т. 1/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

х= - Pi

f(-Pi-0)=lim_(x→-Pi-0)f(x)=0
f(-Pi+0)=lim_(x→-Pi+0)f(x)=sin(-Pi)=0
f(-Pi-0)=f(-Pi+0)
Функция не определена в точке x= - Pi
В точке х=-Pi функция имеет [b] разрыв 1 рода[/b].
Скачок функции равен 0. Разрыв называется устранимым.

Функция может быть доопределена по непрерывности в точке x=- Pi.
Для этого полагают f(-Pi)=0

х=0
f(-0)=lim_(x→ - 0)f(x)=sin (-0)=0
f(+0)=lim_(x→+0)f(x)=Pi
f(-0)≠f(+0)
f(0)=Pi

В точке х=0 функция имеет [b] разрыв 1 рода[/b].

Скачок функции в точке x=0 равен Pi
f(+0)-f(-0)=Pi

Функция непрерывна в точке х=0 справа.

См. рисунок. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Осевое сечение конуса - прямоугольный равнобедренный треугольник АВС.
АС - диаметра окружности.

AB=BC=R*sqrt(2)
L=AB=BC=R*sqrt(2)
S( бок. конуса)= Pi*R*L

По условию
S(бок. конуса)=sqrt(2)

sqrt(2)=Pi*R*(R*sqrt(2)

[b] Pi*R^2=1 [/b]

S(сферы)=4Pi*R^2=4*(Pi*R^2)=4*1=4

О т в е т. 4 (прикреплено изображение)

1)344:4=86 км в час проезжает автобус
2) 86:2=43 км в час проезжает поезд
3)43*10=430 км проедет поезд за 10 часов

О т в е т. 430 км

y`=(sqrt(x))`-(arctg(sqrt(x)))`=1/(2sqrt(x)) - 1/(1+(sqrt(x))^2) *(sqrt(x))`=

=1/(2sqrt(x)) * (1 - (1/(1+х))=х/(2*(1+х)*sqrt(x))

y`=(cos^5(3x))`*sin^3(5x)+cos^5(3x) * (sin^3(5x))`= 5*(cos^43x)*(-sin3x)*3*(sin^35x) + (cos^53x)*(3sin^25x)*(cos5x)*5=

=-15(cos^43x)*(sin3x)(sin^35x)+15(cos^53x)*(sin^25x)*(cos5x)=

=15(cos^43x)*(sin^25x)*(cos3x*cos5x-sin5x*sin3x)=

=15(cos^43x)*(sin^25x)*(cos(5x-3x)=

=15(cos^43x)*(sin^25x)*(cos2x)

y`=(x)`*e^(-x^2)+(x)*(e^(-x^2)`=

=e^(-x^2)+x*(e^(-x^2)*(-x^2)`=

=e^(-x^2)+x*(e^(-x^2)*(-2x)=

=e^(-x^2)*(1-2x^2)

y``=(e^(-x^2))`*(1-2x^2) + (e^(-x^2))*(1-2x^2)`=

=(e^(-x^2))*(-x^2)`*(1-2x^2) + (e^(-x^2))*(-4x)=

=e^(-x^2)*(4x^2-6x)

Есть такая версия:
4sin3x*sinx + 2сos2x+1=0
4*(1/2)*(cos(3x-x)-cos(3x+x)) + 2cos2x+1=0
2cos2x - 2cos4x + 2cos2x + 1 = 0

cos4x=2cos^22x-1

4cos2x -2*(2cos^22x-1)+1=0

4cos^22x-4cos2x+1=0

(2cos2x-1)^2=0

cos2x=1/2

2x=±(Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

x= ± (Pi/6)+Pin, n ∈ Z

x=Pi/6 - наименьший положительный корень

Ответ выбран лучшим

Расход бензина и оплата труда водителя на 100 км

Автомобиль без прицепа:
(x+3,2x) руб=4,2x руб

Автомобиль с прицепом
(1,3x+3,2*1,3x)=1,3x*4,2руб = 5,46х руб

По условию автомобиль без прицепа перевозит груза в 2 раза меньше.

Значит на перевозку груза S грузовым автомобилем с прицепом расходы составят 5,46 руб на 100 км пути
а на перевозку груза S грузовым автомобилем без прицепа расходы составят 2*4,2=8,4 руб на 100 км пути

Грузовой автомобиль с прицепом сделал 4 рейса, грузовой автомобиль без прицепа сделал 8 рейсов, значит перевез груза столько же сколько грузовой автомобиль с прицепом.

8,4х руб составляют 100%
5,46х руб составляют p%

p=5,46*100/8,4=65%

100%-65%=35% экономии.

2.
l=sqrt(2Rh)⇒ l^2=2Rh

l_(1)=1,6 км
R=6400 км

1,6^2=2*6400*h_(1)
[b]h_(1)=1,6^2/12800[/b]

l_(2)=6,4 км
R=6400 км

6,4^2=2*6400*h_(2)
[b] h_(2)=6,4^2/12800 [/b]

h=h_(2)-h_(1)=(6,4^2/12800) - (1,6^2/12800)=

=(1/12800)*(6,4^2-1,6^2)= формула разности квадратов=

=(1/12800)*(6,4-1,6)*(6,4+1,6)=

=(4,8*8)/12800=(4,8/1600) км = 0,003 км= 3 м

О т в е т. на 3 м

Область определения ( - бесконечность; + бесконечность)
Вычислим производную функции:
y'=(x^2)'*е^(x)+x^2*(е^x)'=(2x+x^2)*e^(x)

Приравняем производную к нулю и найдём стационарные точки
y`=0
2x+x^2=0
x*(2+x)=0
x = 0 или х= - 2

_+__ (-2) _-__ (0) _+___
x=2 - точка максимума функции., в окрестностях этой точки производная меняет знак с ''+'' на ''–''

x=0 – точка минимума функции, в окрестностях этой точки производная меняет знак с ''–'' на ''+''

См. график на рисунке.
(прикреплено изображение)

Пропорция
1:(8x-3)=5:1
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
(8х - 3)*5 = 1*1
40х -15 = 1
40х = 16
х=16/40
х=4/10
х=0,4
О т в е т. 0,4

Пусть M_(o)(x_(o);0;z_(o)) - точка на плоскости Oxz.
Тогда координаты середины C отрезка MM_(o)
C((x_(o)+2)/2;(0+6)/2; (z_(o)-5)/2)

C((x_(o)+2)/2;[b]3[/b]; (z_(o)-5)/2)

Все точки, являющиеся серединами лучей, будут иметь ординаты [b] 3[/b]

Это [b] характеристическое свойство[/b]
геометрического места середин отрезков лучей от точки М до точки пересечения с плоскостью Oxz.
Уравнение плоскости, содержащей такие точки
y=3 или y-3=0
Эта плоскость параллельна плоскости Oxz
О т в е т. [b] y-3=0 [/b]

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x_(o);y_(o);z_(o)) основание перпендикуляра.

vector{OM} коллинеарен вектору vector{n}
vector{OM}=(x_(o);y_(o);z_(o))
vector{n}=(20;-5;4)
Значит, координаты этих векторов пропорциональны
x_(o)/20=y_(o)/(-5)=z_(o)/4
или
x_(o)=20k
y_(o)=-5k
z_(o)=4k
k- коэффициент пропорциональности.

Точка M_(o) лежит на плоскости, значит ее координаты удовлетворяют соотношению
20x_(o)-5y_(o)+4z_(o)-210=0
20*20k-5*(-5k)+4*4k-210=0
441k=210
k=10/21

x_(o)=20k=200/21;
y_(o)=-5k=-50/21
z_(o)=4k=40/21

|OM_(o)|=sqrt((200/21)^2+(-50/21)^2+(40/21)^2)=

=sqrt(44100/441)=sqrt(100)=10

cosγ=z_(o)/|OM_(o)|=(40/21)/10=4/21

О т в е т. длина перпендикуляра равна 10; угол, образованный этим перпендикуляром и осью Оz равен arccos (4/21)

Ответ выбран лучшим

Единичный вектор оси Ох vector{i}=(1;0;0)

vector{n_(1)}=(1;-2;3)
vector{n_(2)}=(1;1;-5)

vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=vector{i}*(-2*(-5)-1*3)-vector{j}*(1*(-5)-1*3)+vector{k}*(1*1-1*(-2))=
=7*vector{i}+8*vector{j} +3*vector{k}

Вектор vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=(7;+8;3) - один из направляющих векторов прямой, являющейся линией пересечения двух плоскостей.

Найдем точку, принадлежащую двум плоскостям.
Принимаем х=0
Тогда будем иметь систему уравнений
{-2y+3z-4=0
{y-5z+9=0

Умножаем второе уравнение на 2 и складываем
-7z+14=0
z=2
y=1
Точка А (0;1;2) принадлежит данным плоскостям
х — 2у + 3z — 4 = 0 и х + y — 5z + 9 = 0, значит
принадлежит их линии пересечения.

Пусть М(х;у;z) - произвольная точка искомой плоскости.
Тогда три вектора
vector{AM}=(x-0;y-1;z-2);
vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=(7;8;3)
vector{i}=(1;0;0) -[b] компланарны[/b].

Условием [b] компланарности [/b] векторов,
заданных координатами является равенство нулю
определителя третьего порядка,
составленного из координат этих векторов
( см. приложение)

О т в е т. 3y-8z+13=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y;z) произвольная точка плоскости
Значит векторы
vector{M_(1)M}=(x-4;y-2;z-3);
vector{M_(1)M_(2)}=(2-4;0-2;1-3)=(-2;-2;-2)
и нормальный вектор vector{n}=(1;2;3}
[b]компланарны [/b].

Условие [b]компланарности[/b] векторов, заданных
координатами - равенство нулю определителя третьего порядка,
составленного из координат векторов.

Вместо вектора vector{M_(1)M_(2)}=(-2;-2;-2) можно
можно взять коллинеарный ему вектор с координатами (1;1;1)

См. приложение.

О т в е т. х-2у+z-3=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y;z) принадлежит указанному геометрическому месту точек.

По условию
M_(1)M=M_(2)M

sqrt((x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2)=sqrt(x+2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2)
или
(x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=(x+2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2

x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2+4z+4=x^2+4x+4+y^2-6y+9+z^2-8z+16;
8x-4y-12z+20=0
2x-y-3z+5=0

О т в е т. 2х-у-3z+5=0

Ответ выбран лучшим

Плоскость отсекает на отрицательной
полуоси Оy отрезок, равный 4, значит плоскость проходит через точку (0;-4;0)
vector{n} = ( 3 ;–2 ;4 ) - нормальный вектор искомой плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o);z_(o)) с нормальным вектором vector{n}=(A;B;C)
имеет вид
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

3*(x-0)-2*(y-(-4))+4*(z-0)=0

3х-2y+4z-8=0

О т в е т. 3х-2y+4z-8=0

Ответ выбран лучшим

Находим прямую, являющуюся пересечением двух плоскостей
{x-y+2z-3=0
{2x-z+4=0 ⇒ z=2x+4

x -y +2*(2x+4)-3=0 ⇒ y=5x+5

x=(y-5)/5=(z-4)/2 - уравнение линии пересечения плоскостей.

Направляющий вектор прямой - нормальный вектор искомой плоскости.

vector{n}=(1;5;2)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o);z_(o)) с нормальным вектором vector{n}=(A;B;C)
имеет вид
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

А=1; B=5; C=2
x_(o)=1; y_(o)=1; z_(o)=1
1*(x-1)+5*(y-1)+2*(z-1)=0
x+5y+2z-8=0
О т в е т. x+5y+2z-8=0

Ответ выбран лучшим

vector{M_(1)M_(2)}=(-3-2;1;3-(-1))=(-5;1;4) и vector{s} = (1; 2; –1) коллинеарны.

Нормальный вектор плоскости - вектор, ортогонален векторам
vector{M_(1)M_(2)} и vector{s}

Находим векторное произведение
vector{M_(1)M_(2)} × vector{s}
Составляем определитель третьего порядка
в первой строке базисные векторы
vector{i}vector{j}vector{k}
во второй координаты вектора vector{M_(1)M_(2)}=(-5;1;4)
в третьей координаты вектора
vector{s}=(1;2;-1)

Получим:
=vector{i}(1*(-1)-2*4)- vector{j}*(-5*(-1)-1*4)+vector{k}*(-5*2-1*1)=
=-9vector{i} - vector{j} -9vector{k}

Уравнение плоскости, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o);z_(o)) с нормальным вектором vector{n}=(A;B;C)
имеет вид
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

-9*(x - 2) -(y - 0) - 11*(z+1)=0

-9x + 18 - y -11 z -11=0

9х+y+11z-7=0

О т в е т. 9х+y+11z-7=0

Ответ выбран лучшим

Плоскость пересекает координатные оси в точках
А(15;0;0)
B(0;5;0)
C(0;0;3)

V( пирамиды)=(1/3)*S( осн)*H

Пусть основание - прямоугольный треугольник АОВ
Высота H равна длине отрезка ОС

V=(1/3)*(1/2)*15*5*3=75/2 =37,5

О т в е т. 37,5

Ответ выбран лучшим

Значит vector{OM} - нормальный вектор плоскости.
vector{OM} =(2;-4;4)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o);z_(o)) с нормальным вектором vector{n}=(A;B;C)
имеет вид
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

2*(x-2)-4*(y+4)+4*(z-4)=0

2x-4y+4z-36=0

О т в е т. х - 2y+2z-18 = 0

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y;z) произвольная точка поверхности.

MF_(1)=sqrt(x^2+(y+5)^2+z^2)
MF_(2)=sqrt(x^2+(y-5)^2+z^2)

|MF_(1)-MF_(2)|=|sqrt(x^2+(y+5)^2+z^2)-sqrt(x^2+(y-5)^2+z^2)|

По условию
|MF_(1)-MF_(2)|=6

|sqrt(x^2+(y+5)^2+z^2)-sqrt(x^2+(y-5)^2+z^2)|=6

Возводим в квадрат
x^2+(y+5)^2+z^2 - 2sqrt(x^2+(y+5)^2+z^2)*sqrt(x^2+(y-5)^2+z^2)+x^2+(y-5)^2+z^2=36

или

2x^2+2y^2+2z^2+14=2sqrt(x^2+(y+5)^2+z^2)*sqrt(x^2+(y-5)^2+z^2)

или

x^2+y^2+z^2+7=sqrt(x^2+(y+5)^2+z^2)*sqrt(x^2+(y-5)^2+z^2)

(x^2+y^2+z^2+7)^2=(x^2+(y+5)^2+z^2)*(x^2+(y-5)^2+z^2)

(x^2+y^2+z^2)^2+14(x^2+y^2+z^2)+49=
=x^4+x^2y^2-10x^2y+25x^2+x^2z^2+
+x^2y^2+10x^2y+25x^2+y^4-50y^2+625+
z^2y+10z^2y+25z^2+z^2x^2+z^2y^2-10z^2y+25z^2+z^4

x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2+14(x^2+y^2+z^2)+49=
x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2+50(x^2+-y^2+z^2)

36x^2-64y^2+36z^2+576=0
9x^2-16y^2+9z^2+144=0

О т в е т.

Двуполостный гиперболоид
(x^2/16)-(y^2/9)+(z^2/16)= - 1

Ответ выбран лучшим

Нормальное уравнение сферической поверхности
в центром в точке С(a;b;c) и радиусом R имеет вид:
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2

Подставляем координаты точки С
(x-2)^2+(y-1)^2+(z+4)^2=R^2

Точка А принадлежит сфере, значит ее координаты удовлетворяют уравнению. Подставляем координаты точки А и находим R

(5-2)^2+(3-1)^2+(2+4)^2=R^2

R^2=9+4+36
R^2=49

О т в е т. (x-2)^2+(y-1)^2+(z+4)^2=49

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y;z) - произвольная точка поверхности
По условию
BМ=2AM

BM=sqrt((x+2)^2+y^2+z^2)
AM=sqrt((x-2)^2+(y-3)^2+z^2)

sqrt((x+2)^2+y^2+z^2)=2*sqrt((x-2)^2+(y-3)^2+z^2)

Возводим в квадрат

(x+2)^2+y^2+z^2=4*((x-2)^2+(y-3)^2+z^2)

4(x-2)^2-(x+2)^2+4(y-3)^2-y^2+4z^2-z^2=0

(4x^2-16x+16-x^2-4x-4)+(4y^2-24y+36-y^2)+3z^2=0
3x^2-20x+12+3y^2-24y+36+3z^2=0
3x^2-20x+3y^2-24y+3z^2+48=0
Выделим полные квадраты:
3(x-(10/3))^2+3*(y-4)^2+3z^2=100/3
(x-(10/3))^2+(y-4)^2+z^2=100/9
Сфера с центром в точке (10/3;4;0) и радиусом
R=10/3

О т в е т. сфера: (x-(10/3))^2+(y-4)^2+z^2=100/9

Ответ выбран лучшим

1
{x^2-16 меньше или равно 0 ⇒ x ∈ [-4;4]
{x^2+3x > 0 ⇒ x ∈ (-∞;-3)U(0;+∞)
О т в е т. [-4;-3) U(0;4]

2
{x^2+x > 0 ⇒ x ∈ (-∞;-1)U(0;+∞)
{|x| меньше или равно 0 ⇒x ∈ [-3;3]
О т в е т. [-3;-1) U(0;3]

3
{x^2-25 меньше или равно 0 ⇒ x ∈ [-5;5]
{x(х+4) > 0 ⇒ x ∈ (-∞;-4)U(0;+∞)
О т в е т. [-5;-4) U(0;5]

4.
{x+7 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно -7
{|x-3| < 2 ⇒ -2 < x-3 < 2

{x больше или равно -7
{-2+3 < х < 2+3

{x больше или равно -7
{1 < х < 5

О т в е т. (1;5)

Ответ выбран лучшим

Нормальное уравнение сферы
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
c центром в точке (a;b;c) и радиусом R

Выделяем полные квадраты
(x^2-2x)+y^2+(z^2+6z)-6=0
(x^2-2x+1)+y^2+(x^2+6z+9)-1-9-6=0

(x-1)^2+y^2+(z+3)^2=16

(x-1)^2+y^2+(z+3)^2=4^2

О т в е т. (1;0;-3) - координаты центра; R=4

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1)
Возводим обе части в квадрат
9-х=х-3;
2х=9+3
2х=12
х=6
[b]Проверка[/b]
sqrt(9-6)=sqrt(6-3) - верно, так как
sqrt(3)=sqrt(3)
Проверку сделать проще, чем находить ОДЗ.
О т в е т. 6

2)
Pi*(x+2)/6= ±arccos(sqrt(3)/2)+2Pin, n ∈ Z
Pi*(x+2)/6= ±(Pi/6)+2Pin, n ∈ Z
Умножаем обе части на (6/Pi)
(x+2)= ± 1 +12n, n ∈ Z
x=-2 ± 1+12n, n ∈ Z
Две серии ответов:
x=-3+12n или х=-1+12m, n, m ∈ Z
Наименьший положительный корень при n=1
х= - 3 + 12 = 9
О т в е т. 9
3)
sin7x-sin5x=0
2*sin((7x-5x)/2)*cos((7x+5x)/2)=0
2*sinx*cos6x=0
sinx=0 или cos6x=0
x=Pik, k ∈ Z или 6x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z ⇒ x=(Pi/12)+(Pi/6)n, n ∈ Z

На [0;Pi/4] корни
при k=0; n=0
х_(1)=Pi*0=0; x_(2)=(Pi/12)+(Pi/6)*0;
при n=1
x_(3)=(Pi/12)+(Pi/6)*1=(3Pi/12)=Pi/4
При остальных значениях k и n корни либо отрицательны, либо больше Pi/4
О т в е т. три корня.

4)Pi*(x-3)/4= ±arccos(sqrt(2)/2)+2Pin, n ∈ Z
Pi*(x-3)/4= ±(Pi/4)+2Pin, n ∈ Z
Умножаем обе части на (4/Pi)
(x-3)= ± 1 +8n, n ∈ Z
x=3 ± 1+8n, n ∈ Z
Две серии ответов:
x=2+8n или х=4+8m, n, m ∈ Z
Наибольший отрицательный при m = - 1
х = 4 + 8*(-1) = - 4
О т в е т. -4

5)
sqrt(3)*sinx - cosx =0 - однородное
тригонометрическое уравнение первой степени
Делим на cosx≠0
sqrt(3)tgx=1
tgx=1/sqrt(3)
x = (Pi/6) + Pik, k∈ Z
На [0;Pi] один корень при k=0
х=(Pi/6)+Pi*0=(Pi/6)
при остальных значениях k > 0 корни больше Pi
при k < 0 корни отрицательные.
О т в е т. Один корень (Pi/6)

6)
3x-(Pi/4)= ±arccos(sqrt(2)/2)+2Pin, n ∈ Z
3x=(Pi/4) ±(Pi/4)+2Pin, n ∈ Z
Две серии ответов:
3x=(Pi/4) + (Pi/4)+2Pin, n ∈ Z или 3x=(Pi/4) - (Pi/4)+2Pin, n ∈ Z
3x=(Pi/2)+2Pin или 3х=2Pin, n∈ Z

x=(Pi/6)+(2/3)Pin или х=(2/3)Pim, n, m∈ Z
При n=0
x_(1)=(Pi/6);
При n=1
x_(2)=(Pi/6)+(2Pi/3)*1=5Pi/6;
При m=0
x_(3)=(2/3)Pi*0=0;
При m=1
x_(4)=(2/3)Pi*1=2Pi/3
4 корня принадлежащих [0;Pi]

О т в е т. 4 корня

7)
(1/7)^(x-9)=7^(2x)

Так как (1/7)=7^(-1)

уравнение принимает вид:

(7^(-1))^(x-9) =7^(2x);

7^(9-x)=7^(2x)

9-x=2x

9=3x

x=3
О т в е т. х=3

8)
ОДЗ x больше или равно 0

Выносим за скобки 2 в меньшей степени:

2^(2sqrt(x)-1)*(2 + 3) = 40
2^(2sqrt(x)-1)*5 = 40
2^(2sqrt(x)-1) = 8
2^(2sqrt(x)-1) = 2^3
2sqrt(x)-1 = 3
2sqrt(x) = 3+1
sqrt(x)=2
x=4
4 больше или равно 0, входит в ОДЗ
О т в е т. 4

ОДЗ:
{x-1 > 0 ⇒ x > 1
{(x-3)^2 > 0 ⇒ x ≠ 3

Применяем свойство логарифма степени
log_(a)x^k=klog_(a)x, если x > 0; a > 0; a ≠ 1

log_(2)(x-1)^2+log_(2)(x-3)^2=0

Сумму логарифмов заменяем логарифмом произведения

log_(2)(x-1)^2*(x-3)^2=0

По определению логарифма

(x-1)^2*(x-3)^2=2^0

(x-1)^2*(x-3)^2=1

((x-1)*(x-3))^2=1

(x^2-4x+3)^2=1 ⇒

x^2-4x+3=1 или x^2-4x+3= -1
x^2-4x+2=0 или x^2-4x+4=0
D=16-8=8 или (x-2)^2=0
x_(1)=2-sqrt(2) или x_(2)=2+sqrt(2) или х=2
x_(1) < 1 не входит в ОДЗ
О т в е т. 2; 2+sqrt(2)

1) Делим обе части уравнения на 6^x > 0

(5/6)^x + 1 = (11/6)^x

Рассматриваем графический способ решения.
y=(5/6)^x - убывающая на (- бесконечность; + бесконечность) показательная функция с основанием 0 < (5/6) < 1
y=(5/6)^x +1 - убывающая на (- бесконечность; + бесконечность) функция, как сумма убывающей и константы
y=(11/6)^x - возрастающаяна (- бесконечность; + бесконечность) показательная функция
с основанием 11/6 > 1

Возрастающая и убывающая функции пересекаются ровно в одной точке.
Cм. приложение
Уравнение имеет один корень.
Находим его методом подбора.
x=1
5^(1)+6^(1)=11^(1)

2)
3^(11-2x)=3^5

11-2x=5
2x=6
x=3

3)
2^(x-2)=3^(x-2)
Делим на 3^(x-2)
(2/3)^(x-2)=1
(2/3)^(x-2)=(2/3)^(0)
x-2=0
x=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Правильный ответ 3)
(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

При а=1 уравнение принимает вид:
6х-8=0
x=4/3 - единственный корень

При a≠1
квадратное уравнение
(a-1)x^2+6x+a-9=0
имеет единственный корень, если дискриминант этого уравнения равен 0:
D=6^2-4*(a-1)*(a-9)=36-4a^2-+40a -36=40a-4a^2

D=0 ⇒ 40a-4a^2=0
4a*(10-a)=0
a=0; a=10

О т в е т. 0; 1; 10

Это однородное тригонометрическое уравнение.

Решают так: делим все слагаемые на сos^2x ≠ 0

cos^2x ≠ 0 в противном случае sin^2x-2*0=3*0 ⇒ sin^2x=0
А синус и косинус одновременно не могут равняться 0

tg^2x-2tgx-3=0
D=(-2)^2-4*(-3)=16

tgx=(2-4)/2 ИЛИ tgx=(2+4)/2
tgx=-1 ИЛИ tg x=3
x=(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z ИЛИ x=arctg 3 + Pin, n ∈ Z

Наибольший отрицательный корень (-Pi/4) радиан=-45 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу
cos альфа +cos бета

(cosx+cos3x)+cos2x=0

2*cos((x+3x)/2)*cos((x-3x)/2)+сos2x=0

2cos2x*cos(-x) + cos2x=0

cos(-x)=cosx, так как косинус - четная функция

[b] cos2x*(2cosx+1)=0 [/b]

Произведение двух множителей равно 0, ели хотя бы один из них 0.

[b] cos2x=0[/b] ⇒ 2x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z ⇒ x=(Pi/4)+(Pi/2)k, k∈ Z
[b]ИЛИ
2cosx+1=0 [/b] ⇒ сosx = -1/2 ⇒ x= ± (2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

Среди корней (Pi/4)+(Pi/2)k ; ± (2Pi/3)+2Pin, k, n∈ Z отбираем те, которые находятся на [0;2Pi]

х_(1)=(Pi/4)+(Pi/2)*0=Pi/4
x_(2)=(Pi/4)+(Pi/2)*1=3Pi/4
x_(3)=(Pi/4)+(Pi/2)*3=5Pi/4
x_(4)=(Pi/4)+(Pi/2)*3=7Pi/4

x_(5)=(2Pi/3)
x_(6)=(-2Pi/3)+2Pi=4Pi/3

О т в е т. Pi/4;3Pi/4;5Pi/4;7Pi/4; 2Pi/3;4Pi/3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найти сумму пятидесяти четных чисел.
Применяем формулу суммы арифметической прогрессии:
S_(n)=(a_(1)+a_(n))*n/2

S=(2+100)*50/2=102*25=2550

ОДЗ:
{x > 0;
{x ≠1

Так как
[b] 9^(log_(6)x)=x^(log_(6)9)[/b]
в чем легко убедиться прологарифмировав выражение по основанию 6 и применив свойства логарифма степени
log_(6)9^(log_(6)x)=log_(6)x^(log_(6)9);
log_(6)x * log_(6)9 = log_(6)9* log_(6)x - верно

Неравенство принимает вид
9^(log_(6)x) +2*9^(log_(6)x) < 3*x^(2log_(x)3).

3*9^(log_(6)x) < 3*x^(log_(x)3^2).

Делим на 3 и применяем основное логарифмическое тождество

9^(log_(6)x) < 9

Показательная функция c основанием 9 > 1 возрастает, поэтому

[b] log_(6) x < 1 [/b]

1=log_(6)6

[b]log_(6) x < log_(6)6 [/b]

Логарифмическая функция с основанием 6 > 1 возрастает, поэтому

x < 6

С учетом ОДЗ решение неравенства (0;1)U(1;6)

Наибольшее целое x=5

О т в е т. 5

Δ LNC подобен Δ LMА по двум углам:
∠ LCN = ∠ LAM - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей AC
∠ LNC = ∠ LMA - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей MN

Из подобия следует пропорциональность сторон
[b] NL : LM=NC:AM [/b]

Δ NKC подобен Δ DKM по двум углам:
∠ CNK = ∠ KDM - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей ND
∠NCK = ∠ DMK - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей CM

Из подобия следует пропорциональность сторон
[b]NK : KD=NC:MD [/b]

Из полученных пропорций c учетом АМ=MD
NL : LM=NK : KD
По теореме, обратной теореме Фалеса, получаем, что
LK || AD
Но AD||BC
Значит,
LK || AD || BC

По условию AD:BC=3:2
Обозначим AD=3x; BC=2x
Тогда
AM=MD=3x/2

Обозначим высоту треугольника DMK через h.
Высоту трапеции через Н.
Δ APL подобен Δ ABC ( PL || BC)
PL : BC=h:H
PL=(h/H)*BC

Так как по условию

[b]S( Δ ABL)=4[/b]

И с другой стороны
S( Δ ABL)=(1/2)PL*H,

4=(1/2)*(h/H)*BC*H

[b] 4=x*h [/b]

S(Δ DMK)=(1/2)*(3x/2)*h=(3/4)*(xh)=(3/4)*4=3

О т в е т. 3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет, то белый цвет занимает половину круга и черный цвет занимает половину круга.
По формуле геометрический вероятности
p=S(белой части)/S(круга)=(1/2)S/S=(1/2)
О т в е т. 1/2=0,5

Ответ выбран лучшим

1.
23978
{0 меньше или равно x меньше или равно 2
{0 меньше или равно y меньше или равно 2
{xy меньше или равно 1;
{y/x меньше или равно 2

См. рис. 1

Первые два неравенства задают квадрат [0;2]×[0;2]

По формуле геометрической вероятности

p=S(области)/S(квадрата)

S(квадрата)=2*2=4

Найдем абсциссы точки пересечения
прямой y=2x и гиперболы y=1/x
2x=1/x
2x^2=1
x=±sqrt(1/2)

S(области)=∫ ∫_(D) dxdy=

= ∫^(sqrt(1/2)) _(0)dx ∫^(2x)_(0)dy + ∫^(2) _(sqrt(1/2))dx ∫^(1/x)_(0)dy=

= ∫^(sqrt(1/2)) _(0)(2x)dx + ∫^(2) _(sqrt(1/2))(1/x)=

=(x^2)|^(sqrt(1/2)) _(0)+ln|x||^(2) _(sqrt(1/2))=(1/2) - 0 +ln2- ln sqrt(1/2)=

=(1/2)+ln2-ln(2)^(-1/2)=(1/2)+(3/2)ln2

S(квадрата)=2*2=4

p=((1/2)+(3/2)ln2)/4=(1/8)+(3/8)ln2

2)
23979
По формуле геометрической вероятности
р(А)=l/L
L– расстояние от между прямыми
l– расстояние от монеты до прямой.

L=2a; r=a
l=L-2r=2a-2r

p(А)=(2a-2r)/2a=(a-r)/a
О т в е т. (a-r)/a

3.
23975

Так как диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет, то белый цвет занимает половину круга и черный цвет занимает половину круга.

По формуле геометрический вероятности
p=S(белой части)/S(круга)=(1/2)S/S=(1/2)

О т в е т. 1/2=0,5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле геометрической вероятности
р(А)=l/L
L– расстояние от между прямыми
l– расстояние от монеты до прямой.

L=2a; r=a
l=L-2r=2a-2r

p(А)=(2a-2r)/2a=(a-r)/a
О т в е т. (a-r)/a

Ответ выбран лучшим

{0 меньше или равно x меньше или равно 2
{0 меньше или равно y меньше или равно 2
{xy меньше или равно 1;
{y/x меньше или равно 2

См. рис. 1

Первые два неравенства задают квадрат [0;2]×[0;2]

По формуле геометрической вероятности

p=S(области)/S(квадрата)

S(квадрата)=2*2=4

Найдем абсциссы точки пересечения
прямой y=2x и гиперболы y=1/x
2x=1/x
2x^2=1
x=±sqrt(1/2)

S(области)=∫ ∫_(D) dxdy=

= ∫^(sqrt(1/2)) _(0)dx ∫^(2x)_(0)dy + ∫^(2) _(sqrt(1/2))dx ∫^(1/x)_(0)dy=

= ∫^(sqrt(1/2)) _(0)(2x)dx + ∫^(2) _(sqrt(1/2))(1/x)=

=(x^2)|^(sqrt(1/2)) _(0)+ln|x||^(2) _(sqrt(1/2))=(1/2) - 0 +ln2- ln sqrt(1/2)=

=(1/2)+ln2-ln(2)^(-1/2)=(1/2)+(3/2)ln2

S(квадрата)=2*2=4

p=((1/2)+(3/2)ln2)/4=(1/8)+(3/8)ln2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя независимыми исходами.
Вероятность вынуть белый шар p=4/5
Вероятность противоположного события q=1/5

Найти n из того, что
P(|(m/n) - p| < 0,01)=0,95

Неравенство:
|(m/n) -p| < ε
влечет за собой
неравенство
-ε < (m/n)-p < ε;
-ε < (m-np)/n < ε
Умножаем неравенство на sqrt(n/pq):
-ε*sqrt(n/pq) < (m-np)/sqrt(npq) < ε*sqrt(n/pq)
По теореме Лапласа
P(|(m/n)-p| < ε) ≈ 2Ф(εsqrt(n/pq))

По условию
2Ф(εsqrt(n/pq))=0,95 ⇒ Ф(εsqrt(n/pq))=0,475
По таблице значений функции Лапласа
εsqrt(n/pq)=1,96

По условию
ε=0,01
p=4/5
q=1/5
pq=4/25
sqrt(pq)=2/5

0,01*sqrt(n)/(2/5)=1,96
sqrt(n)=196*(2/5)
sqrt(n)=78,4
n=(78,5)^2=6146,56
n=6147
О т в е т. ≈ 6147

Ответ выбран лучшим

Событие A - '' при аварии сработает только один сигнализатор'', это означает, что первый сработает, а второй нет или второй сработает, а первый нет
Введем в рассмотрение события
A_(1) - ''сработал первый''
А_(2) - '' сработал второй''
По условию
р(А_(1))=0,95
р(А_(2))=0,9
⇒
vector{A_(1)} - ''первый не сработал''
vector{A_(2)} - ''второй не сработал''

р(vector{А_(1)})=1-0,95=0,05
р(vector{А_(1)})=1-0,9=0,1

Тогда
А=A_(1)*vector{A_(2)} ∪ vector{A_(1)}*A_(2)

Так как сигнализаторы работают независимо, то
p(А)=p(A_(1))*p(vector{A_(2)})+p(vector{A_(1)})*p(A_(2))=

=0,95*0,1+0,05*0,9=0,095+0,045=0,14

Ответ выбран лучшим

По формуле геометрической вероятности
р(А)=l/L
L– расстояние от между прямыми
l– расстояние от монеты до прямой.

L=6; r=1
l=L-2r=6-2=4
Р(А)=4/6=2/3
О т в е т. (2/3)

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час - скорость второго поезда

По условию
48=(2/4)*x
х=48:(2/4)
x=96 км в час скорость второго поезда.

первый способ решения

1)48*7=336 км проедет первый поезд за 7 часов
2) 96*7=672 км проедет второй поезд за 7 часов
3)336+672+196=1204 км - расстояние между поездами через 7 часов пути

второй способ

1)(48+96)=144 км - проходят оба поезда за час, удаляются друг от друга на 144 км за час.
2)144*7=1008 км проедут оба поезда за 7 часов, удалятся друг от друга на 1008 км.

Так как между поездами вначале движения было 196 км, то
3)1008+196=1204 км - расстояние между поездами через 7 часов

О т в е т. 1204 км
(прикреплено изображение)

Событие А - '' монета не пересечет ни одной из сторон квадрата'' состоит из произведения двух событий
B-''монета не пересечет горизонтальных линий''
C-''монета не пересечет вертикальных линий''

По формуле геометрической вероятности
р(В)=р(С)=l/L
L- расстояние от между прямыми
l- расстояние от монеты до стороны.

L=a
l=L-2r=a-2r

p(B)=p(C)=(a-2r)/a

А=В*С
События В и С независимы.
p(A)=p(b)*p(C)=((a-2r)/a)^2

О т в е т. ((a-2r)/a)^2

Ответ выбран лучшим

По формуле геометрической вероятности
р(А)=S(кольца)/S(большого круга)=(Pi*R^2-Pir^2)/(PiR^2)=

=Pi*(10^2-5^2)/(Pi10^2)=(100-25)/100=75/100=0,75

О т в е т. 0,75

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами p и q=(1-p).
Это биномиальное распределение случайной величины.
В таком случае
D=npq
По условию n=3; D=0,63
q=1-p
Получаем уравнение
0,63=3*p*(1-p)
0,21=p*(1-p)
p^2-p+0,21=0
D=1-4*0,21=1-0,84=0,16
p=(1-0,4)/2=0,3 или p=(1+0,4)/2=0,7

О т в е т. 0,3 или 0,7

Ответ выбран лучшим

Соединяем вершины ребер, лежащих в одной грани:
МQ - средняя линия Δ ADC⇒ MQ||DC
МN - средняя линия Δ ADВ⇒ MN|| AB
NP - средняя линия Δ ВDC⇒ NP||DC
QP - средняя линия Δ AВC ⇒QP||AB

MQ||DC и NP||DC⇒ MQ || NP
MN|| AB и QP||AB⇒ MN || QP

MNPQ - параллелограмм, диагонали параллелограмма MP и QN в точке пересечения О делятся пополам.

Аналогично доказывается, то RS и QN - диагонали параллелограмма, которые тоже в точке пересечения О делятся пополам. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1,8*1-1,8*2=-2*1,8x-2*3+7,8;
1,8 - 3,6x = - 3,6x - 6 + 7,8;
0x=0 - верно при любом х
Уравнение имеет бесчисленное множество корней
О т в е т. (- бесконечность ;+ бесконечность)

а) x^2–4x–21=0;
D=(-4)^2-4*(-21)=16+84=100=10^2
x_(1)=(4-10)/2=-3 или х_(2)=(4+10)/2=7
Квадратный трехчлен ax^2+bx+c можно разложить на множители по формуле:
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))*(x-x_(2))
x^2–4x–21=(x-(-3))*(x-7)
x^2–4x–21=(x+3)*(x-7)

б) 5x^2+13x+8=0;
D=13^2-4*5*8 =169-160=9=3^2
x_(1)=(-13-3)/10=-1,6 или х_(2)=(-13+3)/10=-1

5x^2+13x+8=5(x+1,6)*(x+1)

в) –4x^2+7x–3=0;
4x^2-7x+3=0
D=(-7)^2-4*4*3=49-48=1
x_(1)=(7-1)/8=3/4 или х_(2)=(7+1)/8=1

-4x^2+7x–3=-4*(x-(3/4))*(x-1)
-4x^2+7x–3=(3-4x)*(x-1)

г) 10x^2+9x–63=0;
D=9^2-4*10*(-63)=81+2520=2601=51^2
x_(1)=(-9-51)/20=-3 или х_(2)=(-9+51)/20=2,1
10x^2+9x–63=10*(x+3)*(x-2,1)
10x^2+9x–63=(x+3)*(10x-21)

д) a^2+a–20=0;
D=1+80=81
a_(1)=-5; a_(2)=4
a^2+a–20=(а+5)(а-4)

е)7b^2–3b+1=0;
D=(-3)^2-4*7=9-28 < 0
Нельзя разложить на множители

ж) a^2–ab+6b^2=0;
D=(-b)^2-4*6b^2 < 0
нельзя разложить на множители

з) x^2+ax–30a^2=0;
D=a^2-4*(30a^2)=121a^2
х_(1)=(-а-11а)/2=-6а; x_(2)=(-a+11a)/2=5a
x^2+ax–30a^2=(x+6a)*(x-5a)

и) 3y^2–2by–5b^2=0;
D=(-2b)^2-4*3*(-5b^2)=64b^2
y_(1)=(2b-8b)/6=-b; y_(2)=(2b+8b)/6=5b/3
3y^2–2by–5b^2=3*(y+b)*(y-(5b/3))
3y^2–2by–5b^2=(y+b)*(3y-5b)

к) x^2–2xz–z^2=0;
D=(-2z)^2-4*(-z^2)=8z^2
x_(1)=(2z-2sqrt(2)z)/2=z-sqrt(2)z; x_(2)= z+sqrt(2)z
x^2–2xz–z^2=(x-z+sqrt(2)z)*(x-z-sqrt(2)z)

л) 2с^2+cd+4d^2=0;
D=d^2-4*2*4d^2 < 0
нельзя разложить на множители

м) x^3–12x^2+20x=x*(x^2-12x+20)=x*(x-2)(x-10)
x^2-12x+20=0
D=144-80=64
x_(1)=(12-8)/2=2; x_(2)=(12+8)/2=10

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

sin альфа *cos бета =(1/2)*sin( альфа - бета )+(1/2)*sin( альфа + бета )

(1/2)*sin(4x-10x)+(1/2)*sin(4x+10x)=(1/2)*sin(x-7x)+(1/2)sin(x+7x)

(1/2)*sin(-6x)+(1/2)*sin(14x)=(1/2)*sin(-6x)+(1/2)sin(8x)

sin14x=sin8x

sin14x-sin8x=0

2*sin((14x-8x)/2)*cos((14x+8x)/2)=0
sin3x=0 или cos11x=0
3x=Pik, k ∈ Z или 11x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
x=(Pi/3)k, k ∈ Z или x=(Pi/22)+(Pi/11)n, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/3)k, (Pi/22)+(Pi/11)n, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Если D > 0 нуля, квадратное уравнение x^2+px+q=0 имеет два различных корня:

x_(1)=(-p - sqrt(D))/2 или x_(2)=(-p + sqrt(D))/2

тогда x_(2)-x_(1)= 2sqrt(D)/2=sqrt(D)

В условиях задачи
D=D(a)= (3a)^2-4*a^4=9a^2-4a^4

9a^2-4a^4 > 0 на (- sqrt(3/2);sqrt(3/2))

_-_ ( - sqrt(3/2)) __+__ (0) __+____ (sqrt(3/2)) __-_

[b] x_(2)-x_(1)=sqrt(9a^2-4a^4) [/b]

Можно и так найти разность корней ( 2 способ):

Если D=D(a)=a^2*(9a^2-4a^4) > 0, то применима теорема Виета
{x_(1)+x_(2)=-3a
{x_(1)*x_(2)=a^4

Возводим в квадрат первое равенство
x_(1)^2+2x_(1)*x_(2)+x^2_(2)=9a^2
Прибавим к обеим частям равенства (-4х_(1)х_(2)):

x_(1)^2+2x_(1)*x_(2)+x^2_(2)-4x_(1)x_(2)=9a^2 -4x_(1)x_(2)

x_(1)^2-2x_(1)*x_(2)+x^2_(2)=9a^2 -4x_(1)x_(2)

получим квадрат разности корней:

(x_(2)-x_(1))^2=9a^2-4a^4

|x_(2)-x_(1)|=sqrt(9a^2-4a^4)

Cчитая, x_(2) > x_(1)

[b]x_(2)-x_(1)=sqrt(9a^2-4a^4) [/b]

Значение разности корней максимально, когда значение sqrt(9a^2-4a^4) максимально, когда D(a)=9a^2-4a^4 максимально.

Исследуем функция D(a) с применением производной на (-sqrt(3/2); sqrt(3/2))

D`(a)=18a-16a^3

D`(a)=0

a*(9-8a^2)=0

a=0 или a^2=9/8

a=0 или a= ±sqrt(9/8) - найденные точки принадлежат (-sqrt(3/2); sqrt(3/2), так как

sqrt(3/2) > sqrt(9/8), так как sqrt(12/8) > sqrt(9/8)
и
-sqrt(3/2) < sqrt(9/8)

(-sqrt)3/2) ___+__ (-sqrt(9/8)) __-___ (0) ___+____ (sqrt(9/8) ____-___(sqrt(3/2)

a= ±sqrt(9/8) - точки максимума, производная меняет знак с + на -

a=±(3/4)sqrt(2)

О т в е т. ±(3/4)sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

|(49/18)-3|=|(49-54)/18|=5/18

|(79/24)-3|=|(79-72)/24|=7/24

Сравним 5/18 и 7/24

(5*24)/(18*24) и (7*18)/(18*24)

120/(18*24) < 136/(18*24)
Значит (49/18) расположено ближе чем (79/24)

Ответ выбран лучшим

1) x = y
Точки у которых x=y расположены на плоскости: x=y
Плоскость проходит через ось Оz и расположена
в 1,5,3 и 7 октантах ( cм. рис.)

2) x = -z
Точки у которых x=-z расположены на плоскости, x=-z
Плоскость проходит через ось Оy и расположена
в 5,8,2 и 3 октантах

3) xy > 0 ⇒ точки, у которых абсцисса и ордината имеют одинаковые знаки расположены в 1,5,3 и 7 октантах

4) xyz < 0

Рассмотрим каждый октант:

I октант
{x > 0
{y > 0
{z > 0
Тогда xyz > 0
Точки I октанта не удовлетворяют требованию задачи

II октант
{x < 0
{y > 0
{z > 0
Тогда xyz < 0
Точки второго октанта удовлетворяют требованию задачи

III октант
{x < 0
{y < 0
{z > 0
Тогда xyz > 0
Точки третьего октанта не удовлетворяют требованию задачи

IY октант
{x > 0
{y < 0
{z > 0
Тогда xyz < 0
Точки четвертого октанта удовлетворяют требованию задачи

Y октант
{x > 0
{y > 0
{z < 0
Тогда xyz < 0
Точки пятого октанта удовлетворяют требованию задачи

YI октант
{x < 0
{y > 0
{z < 0
Тогда xyz > 0
Точки YI октанта не удовлетворяют требованию задачи

YII октант
{x < 0
{y < 0
{z < 0
Тогда xyz < 0
Точки YII октанта удовлетворяют требованию задачи

YIII октант

{x > 0
{y < 0
{z < 0
Тогда xyz > 0
Точки YIII октанта не удовлетворяют требованию задачи
О т в е т. 4) во 2,4,5,7 октантах (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть M- середина A_(1)D_(1)
K- середина BB_(1)
Ребра A_(1)D_(1) и BB_(1) скрещиваются, так как
A_(1)D_(1) лежит в плоскости A_(1)B_(1)C_(1)D_(1), а BB_(1) пересекает эту плоскость в точке B_(1), не принадлежащей прямой A_(1)D_(1).

Проводим KP|| AB
AB ⊥ пл. A_(1)A_(1)D_(1)D, значит
KP ⊥ пл. AA_(1)D_(1)D
KP ⊥ MP
Треугольник MKP - прямоугольный.

MP=(1/2)AD_(1)=sqrt(2)/2
PK=1
По теореме Пифагора
из прямоугольного треугольника MPK
MK^2=MP^2+PK^2=(sqrt(2)/2)^2+1=3/2
MK=sqrt(3/2)

О т в е т. sqrt(3/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сфера касается всех трех координатных плоскостей, значит
расстояние от центра сферы до каждой координатной плоскости равно R
Точка А расположена в 8 октанте.
x > 0
y < 0
z < 0
Значит центр сферы точка в 8 октанте имеет координаты (R;-R;-R)
Уравнение сферы принимает вид:
(x-R)^2+(y - (-R))^2+ (z - (- R))^2=R^2
или
(x-R)^2+(y + R)^2+ (z+ R)^2=R^2

Подставим координаты точки А
(4-R)^2+(-1 + R)^2+ (-1+ R)^2=R^2
16-8R+R^2+1-2R+R^2+1-2R+R^2=R^2
2R^2-12R+18=0
R^2-6R+9=0
(R-3)^2=0
R=3

О т в е т. (x - 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2 = 9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Точка A на оси Оz, пусть ее координаты
A(0;0;z)
AM=sqrt((x_(M)-x_(A))^2+(y_(M)-y_(A))^2+(z_(M)-z_(A))^2)=
=sqrt((-2)-0)^2+((-1)-0)^2+(z-4)^2)=sqrt(4+1+(z-4)^2)
По условию АМ=3
sqrt(4+1+(z-4)^2)=3
Возводим в квадрат
4+1+(z-4)^2=9
(z-4)^2=4
|z-4|=2
z-4= - 2 или z-4=2
z=2 или z=6

О т в е т. (0;0;2) или (0;0;6)

Ответ выбран лучшим

vector{BA}=(2-0; -3-(-11);1-3)=(2;8;-2)
vector{BC}=(4-0;5-(-11);-1-3)=(4;16;-4)

vector{BC} = 2*vector{BA}

Векторы коллинеарны, их координаты пропорциональны.
Векторы сонаправлены,значит три точки лежат на одной прямой.

Ответ выбран лучшим

Пусть точка M (x;y;z)

|vector{r}|=sqrt((x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2)
|vector{r}|=sqrt(x^2+y^2+z^2)

а) |vector{r}|=1 ⇒ sqrt(x^2+y^2+z^2)=1
При x=1
sqrt(1^2+y^2+z^2)=1
1+y^2+z^2=1
y^2+z^2=0 равенство возможно лишь при y=0 и z=0

О т в е т. а) да

б) |vector{r}|=1 ⇒ sqrt(x^2+y^2+z^2)=1

При x=2
sqrt(2^2+y^2+z^2)=1
4+x^2+y^2=1
x^2+y^2=-3, что невозможно
О т в е т. б) нет

Ответ выбран лучшим

Уравнение сферы имеет вид:
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
Подставляем координаты точек
{(0-a)^2+(0-b)^2+(0-c)^2=R^2
{(2-a)^2+(0-b)^2+(0-c)^2=R^2
{(0-a)^2+(3-b)^2+(0-c)^2=R^2
{(0-a)^2+(0-b)^2+(6-c)^2=R^2

или

{a^2+b^2+c^2=R^2 ⇒ b^2+c^2=R^2-a^2
{(2-a)^2+b^2+c^2=R^2 ⇒(2-a)^2-a^2=0 ⇒ 2-a-a=0 ⇒ a=1
{a^2+(3-b)^2+c^2=R^2 ⇒(3-b)^2-b^2=0 ⇒3-b-b=0 ⇒b=3/2
{a^2+b^2+(6-c)^2=R^2 ⇒ (6-c)^2-c^2=0 ⇒ 6-c-c=0 ⇒ c=3

R^2=a^2+b^2+c^2=1+(9/4)+9=49/4

R=7/2=3,5

О т в е т. 3,5

Ответ выбран лучшим

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Координаты точки М как середины отрезка AC:
x_(M)=(x_(A)+x_(C))/2;
y_(M)=(y_(A)+y_(C))/2;
z_(M)=(z_(A)+z_(C))/2;

4=(1+x_(C))/2 ⇒ x_(C)=7
0=(1+y_(C))/2 ⇒ y_(C)=-1
3=(-1+z_(C))/2 ⇒ z_(C)=7

Координаты точки М как середины отрезка BD:
x_(M)=(x_(B)+x_(D))/2;
y_(M)=(y_(B)+y_(D))/2;
z_(M)=(z_(B)+z_(D))/2;

4=(-2+x_(D))/2 ⇒ x_(D)=10
0=(3+y_(D))/2 ⇒ y_(D)=-3
3=(0+z_(D))/2 ⇒ z_(D)=6

О т в е т. С(7;-1;7); D(10;-3;6)

Ответ выбран лучшим

vector{BA}=(1-5;-5-(-1);3-7)=(-4;-4;-4)
vector{BC}=(6-5;0-(-1);8-7)=(1;1;1)

vector{BA} = - 4*vector{BС}

Векторы коллинеарны, их координаты пропорциональны.
Векторы противоположно направлены,значит три точки лежат на одной прямой.

Ответ выбран лучшим

4x^2+8x+3 < 0 ⇒ D=16; корни (-3/2) и (-1/2)
-3/2 < x < 1/2

Переформулируем задачу:
при каких значениях параметра а решения неравенства
2ax^2-(7a-4)x-14 > 0 содержат интервал (-3/2;-1/2).

Во первых D=(7a-4)^2-4*(2a)*(-14) должен быть неотрицательным

D=(7a-4)^2+112a=(7a+4)^2 > 0 при любом a, a ≠ -4/7
При a=-4/7 квадратный трехчлен имеет один корень
x=(7a-4)/4a
При D > 0, квадратный трехчлен имеет два корня
Обозначим их
x_(1) и х_(2)

Во вторых, графиком квадратного трехчлена служит парабола, ветви которой при a > 0 направлены вверх и неравенство имеет решения
при D=0 и a > 0
(-бесконечность; (7a-4)/4a) U ((7a-4)/4a;+ бесконечность )
При D > 0; a > 0
(- бесконечность; x_(1)) U (x_(2);+ бесконечность )
и
При D=0; a < 0
не имеет решений
При D > 0; a < 0
(x_(1);x_(2))
Все эти ограничения позволяют составить совокупность систем неравенств, которая и приведет к ответу.

Ответ выбран лучшим

n=n_(1)+n_(2)+n_(3)=6+11+3=20

Найдём общую среднюю:
vector{x}=(x_(1)*n_(1)+x_(2)*n_(2)+x_(3)*n_(3))/n-
=(1*6+4*11+3*5)/20=3,25

[b]Отклонением [/b] называется разность между значением признака и общей средней.
(x_(1)-vector{x})=(1-3,25)
(x_(2)-vector{x})=(4-3,25)
(x_(3)-vector{x})=(5-3,25)

Соответствующие частоты:
ω_(1)=6/20
ω_(2)=11/20
ω_(3)=3/20

Сумма произведений отклонений на соответствующие частоты
(x_(1)-vector{x})*ω_(1)+(x_(2)-vector{x})*ω_(2)+(x_(3)-vector{x})*ω_(3)=

=(1-3,25)*(6/20)+(4-3,25)*(11/20)+(5-3,25)*(3/20)=

=(1/20)*(1*6+4*11+5*3-3,25*(6+11+3))=

=(1/20)*(65-65)=0

Ответ выбран лучшим

а)
см. рис.
Проведем ED ⊥ BC
По теореме Фалеса
СD:DB=5:9
Обозначим коэффициент пропорциональности k, тогда
CD=5k
DB=9k
CB=CD+DB=5k+9k=14k
CN=NB=7k ( N - середина ВС)

Δ BMC подобен Δ BED
ED:MC=BD:BC=9:14
ED=(9/14) MC

Из подобия треугольников EDN и ACN:
ED:AC=DN:CN

(9/14)MC/(AM+MC)=2:7
Из пропорции
2АМ+2MC=(9/2)MC
AM=(5/4)MC
[b]AM:MC=5:4[/b]

б)
АС=18
AM:MC=5:4
Биссектриса BM делит сторону АС на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника,
значит АВ=5х, СВ=4х
По теореме Пифагора
AB^2=AC^2+BC^2
(5x)^2=18^2+(4x)^2
9x^2=324
x^2=36
x=6
BC=4x=4*6=24

S( Δ АВС)=(1/2)АС*BC=(1/2)*18*24=216
О т в е т. 216 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

N_(1)=3+2+5=10
vector{x_(1)}=(x_(1)*n_(1)+x_(2)*n_(2)+x_(3)*n_(3))/N_(1)=
=(0,1*3+0,4*2+0,6*5)/10=4,1/10=0,41
N_(2)=10+4+6=20
vector{x_(2)}=(x_(1)*n_(1)+x_(2)*n_(2)+x_(3)*n_(3))/N_(2)=
=(0,1*10+0,3*4+0,4*6)/20=4,6/20=0,23
О т в е т. [b]vector{x_(1)}=0,41; vector{x_(2)}=0,23[/b]

Ответ выбран лучшим

Найдем групповые средние:
N_(1)=30+15+5=50
vector{x_(1)}=(x_(1)*n_(1)+x_(2)*n_(2)+x_(3)*n_(3))/N_(1)=
=(1*30+2*15+8*5)/50=2
N_(2)=10+15=25
vector{x_(2)}=(x_(1)*n_(1)+x_(2)*n_(2)+x_(3)*n_(3))/N_(2)=
=(1*10+6*15)/25=4
N_(3)=20+5=25
vector{x_(3)}=(x_(1)*n_(1)+x_(2)*n_(2)+x_(3)*n_(3))/N_(3)=
=(3*20+8*5)/25=4

Найдем групповые дисперсии:
D_(1 гр)=((x^2_(1)*n_(1)+x^2_(2)*n_(2)+x^2_(3)*n_(3))/N_(1)) - (vector{x_(1)})^2=
=(1/50)*(1^2*30+2^2*15+8^2*5)-2^2=4,2

D_(2 гр)=((x^2_(1)*n_(1)+x^2_(2)*n_(2)+x^2_(3)*n_(3))/N_(2)) - (vector{x_(2)})^2=

=(1/25)*(10*1^2+15*6^2)-2^2=22-16=6

D_(3 гр)=((x^2_(1)*n_(1)+x^2_(2)*n_(2)+x^2_(3)*n_(3))/N_(3)) - (vector{x_(3)})^2=
=(1/25)*(20*3^2+5*8^2)-4^2=20-16=4

n=N_(1)+N_(2)+N_(3)=50+25+25=100

D_(внгр)=(N_(1)*D_(1гр)+N_(2)*D_(2гр)+N_(3)*D_(3гр))/n=

=(1/100)*(50*4,2+25*6+25*4)=4,6

Найдем общую среднюю
vector{x}=
(1/100)*(1*30+2*15+8*5+1*10+6*15+3*20+8*5)=3

D_(мжгр)=(1/100)*(50*(2-3)^2+25*(4-3)^2+25*(4-3)^2)=1

D_(общ)=(1/100)*(30*(1-3)^2+15*(2-3)^2+5*(8-3)^2+
+10*(1-3)^2+15*(6-3)^2+20*(3-3)^2+5*(8-3)^2)=5,6

О т в е т. D_(внгр)=4,6; D_(мжгр)=1; D_(общ)=5,6

Ответ выбран лучшим

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки, не лежащей на этой прямой. Прямая называется директрисой, точка F– фокусом параболы.
Cм. рис. 1

F – фокус параболы.
A_(1) и A_(2) – точки касания параболы
и касательных CA_(1) и СА_(2)
C принадлежит директрисе d.

A_(1)D_(1) ⊥ d, A_(2)D_(2) ⊥ d.

Треугольник FA_(1)D_(1) – равнобедренный (FA_(1)=A_(1)D
по определению параболы)
A_(1)C– высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.
∠ FA_(1)C = ∠D_(1)A_(1)C = альфа
тогда
∠ FCA_(1)=∠D_(1)CA_(1)= бета
альфа + бета =90 градусов

Аналогично, треугольник FA_(2)D_(2) – равнобедренный (FA_(2)=A_(2)D по определению параболы)
A_(2)C– высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.
∠ FA_(2)C = ∠D_(2)A_(2)C =
и
∠ FCA_(2)=∠D_(2)CA_(2)

Углы D_(2) СF и D_(1)C F - cмежные.
Их cумма 180 градусов.
Биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.
∠ А_(2)CA_(1)= 90 градусов.

Значит,
∠ FCA_(2)=∠D_(2)CA_(2)=альфа
∠ FA_(2)C = ∠D_(2)A_(2)C = бета

CF ⊥ A_(1)A_(2)
CF- кратчайшее расстояние от С до A_(1)A_(2).
Значит, три точки A_(1), F и А_(2) лежат на гипотенузе прямоугольного треугольника A_(1)CA_(2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Дано:
γ = 0,95
δ = 0,2
σ = 2
Найти
n_(min) – ?

Воспользуемся формулой необходимого объёма выборки n при повторном отборе
[b] n = t²σ²/δ² [/b]. (#)

Так как 2Ф(t) = γ,
( Ф(t) – функция Лапласа ),
то 2Ф(t) = 0,95 и Ф(t) = 0,95/2 = 0,4725.
По таблице функции Лапласа находим t = 1,96.

Подставляем в (#) и получим искомый объём выборки n:
n = 1,96²·(2²/0,2²) = 384,16.
Значит минимальный объём выборки n_(min) = 385.
Ответ: n = 385.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки, не лежащей на этой прямой. Прямая называется директрисой, а точка – фокусом параболы.
Cм. рис. 1

F – фокус параболы.
M – точка параболы
MD ⊥ d, прямая d– директриса.

Треугольник FMD – равнобедренный (FM=MD по определению параболы)
MP– высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.

MP – касательная к параболе есть биссектриса
∠FMD

∠ FMP = ∠ MPD
∠ MPD = ∠ BMC - как вертикальные.

∠ FMD = ∠ BMC - касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом FМ и лучом МB, выходящим из точки M и сонаправленным с осью параболы.

Угол падения равен углу отражения, это означает, что луч направленный из фокального радиуса в точку M параболы, отразится в направлении луча MB,т.е по прямой параллельной оси Ох ( оси симметрии параболы) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение параболы
y^2=2*px;
F(p/2;0) – фокус параболы.

В данном случае
2p=12
p=6
F(3;0)

Прямая, проходящая через точку F имеет угловой коэффициент k=3/4
Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:
y=kx+b
k=3/4
Для того чтобы найти b подставим координаты точки F
0=(3/4)*3+b
b=–9/4

Прямая, проходящая через фокус F под углом α ;
tg α =3/4 задается уравнением
y=(3/4)x – (9/4)

Находим точки пересечения этой прямой и параболы.
Решаем систему уравнений:
{y^2=12x ⇒ x=y^2/12
{y=(3/4)x–(9/4)
⇒ y=(3/4)*(y^2/12) – (9/4) ⇒
y^2–16y–36=0
D=(–16)^2–4*(–36)=256+144=400
y_(1)=–2 или y_(2)=18
x_(1)=(–2)^2/12=1/3 или x_(2)=18^2/12=27

A(1/3;–2) и B(27;18)

Согласно оптического свойства параболы:
отраженный луч - прямая параллельная оси параболы.

Значит, уравнения прямых, на которых лежат отраженные лучи, имеют вид
y=-2 и у=18
О т в е т. y=-2; y=18 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению.
Парабола - геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки, не лежащей на этой прямой. Прямая называется директрисой, а точка – фокусом параболы.
Cм. рис. 1

F - фокус параболы.
M - точка параболы
MD ⊥ d, d- директриса.

Треугольник FMD - равнобедренный (FM=MD по определению параболы)
MP- высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.
MP - серединный перпендикуляр к FD
MP - касательная к параболе.

Покажем, что M - единственная точка касания касательной и параболы, лежащая на биссектрисе MP.

Возьмем точку M_(1), лежащую на биссектрисе MP
M_(1) ≠ M
Проведем перпендикуляр M_(1)D_(1) ⊥ d ( d - директриса)
FM_(1)=M_(1)D - по свойству серединного перпендикуляра
Но
M_(1)D > M_(1)D_(1) ( наклонная больше перпендикуляра)
Значит,
FM_(1) > M_(1)D и точка M_(1) не принадлежит параболе.

Касательная к параболе МР - биссектриса ∠FMD

∠ FMP = ∠ MPD
∠ MPD = ∠ BMC - как вертикальные.

∠ FMP = ∠ BMC, значит касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом FМ и лучом МB, выходящим из точки M и сонаправленным с осью параболы.

Угол падения равен углу отражения, это означает, что луч направленный из фокального радиуса в точку M параболы, отразится в направлении луча MB,т.е по прямой параллельной оси Ох ( оси симметрии параболы)

Это и есть оптическое свойство параболы:
луч света, исходящий из фокуса параболы, отразившись от нее, идет по прямой, перпендикулярной директриcе и стало быть параллельной оси параболы.
См. рис.2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) y=(x^2-1)*(x^2+1) ⇒ y=x^4-1
Два корня x= - 1 или х =1
б) y=(x^2+1)^2 ⇒ y= x^4 +2x^2 +1
Нет корней.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-1 больше или равно 0
{1-sqrt(x-1) больше или равно 0 ⇒ sqrt(x-1) меньше или равно 1 ⇒ x меньше или равно 2
x ∈ [1;2]
Возводим в квадрат
1-sqrt(x-1) > 1
-sqrt(x-1) > 0
sqrt(x-1) < 0
Нет таких х, так как по определению арифметического квадратного sqrt(x) больше или равно 0 при всех х больше или равно 0

Объем выборки
n=10+15+30+33+12=100

Полигон частот - ломаная, соединяющая точки
(1;10);(3;15);(5;30);(7;33)(9;12)

Находим относительные частоты
ω_(1)=10/100=0,1
ω_(2)=15/100=0,15
ω_(3)=30/100=0,3
ω_(4)=33/100=0,33
ω_(5)=12/100=0,12

Полигоном относительных частот называется ломаная, которая соединяет точки
(1;0,1); (3;0,15);(5;0,3);(7;0,33);(9;0,12)

cм. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Объем выборки 2+3+8+7=20
Наименьшая варианта 5, следовательно
F(x)=0 при x меньше или равно 5
Значение x < 7, а именно x=5 наблюдалось 2 раза, следовательно
F(x)=2/20=0,1 при x меньше или равно 7
Значение x < 10, а именно х=5 наблюдалось 2 раза и х=7 наблюдалось три раза
следовательно
F(x)=(2+3)/20=0,25 при 7 < x меньше или равно 10
Значение x < 15
Наблюдалось при х=5 два раза, при х=7 три раза, при х=10 восемь раз
F(x)=(2+3+8)/20=0,65 при 10 < x меньше или равно 15
Так как х=15 - наибольшая варианта, то
F(x)=1 при x > 15
Итак
F(x)=
{0 при x меньше или равно 5
{0,1 при 5 < x меньше или равно 7
{0,25 при 7 < x меньше или равно 10
{0,65 при 10 < x меньше или равно 15
{1 при x > 15

Графиком функции распределения является ступенчатая функция ( см. рис.) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Eсли ось симметрии параболы y^2=4x повернуть на 90°
то уравнение параболы примет вид:
x^2=4y

Eсли ось симметрии параболы y^2=4x повернуть на
на 180°, то уравнение параболы примет вид
y^2= - 4x
Eсли ось симметрии параболы y^2=4x повернуть на
на —90°, уравнение параболы примет вид
x^2=-4y (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение параболы
y^2=2px
Тогда
x=-p/2 - уравнение директрисы
F(p/2;0) - фокус
(см. приложение)

Так как по условию
y=3/t ⇒ t=3/y

выразим х через y

x=2/t^2=2/(3/y)^2

x=(2/9)y^2

y^2=(9/2)x

2p=9/2
p=9/4

F(9/8;0) - фокус
х= - 9/8 - уравнение директрисы.

О т в е т.[b] F(9/8;0); х= - 9/8 [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение параболы
y^2=2px
Тогда уравнение директрисы
х=-p/2 ( cм. приложение)

Каноническое уравнение параболы
x^2=2px
Тогда уравнение директрисы
y=-p/2

Так как по условию
2y+7 = 0 ⇒ y = - 7/2

p=7
x^2=2*7y - уравнение параболы
x^2=14y

О т в е т. x^2=14y (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение параболы
x^2=2py
F(0;p/2) - фокус.

По условию задачи
8=2p
p=4
F(0;2) - фокус

Ось симметрии параболы x^2=8y - ось Оу
Уравнение прямой перпендикулярной оси Оу и проходящей через точку F(0;2) имеет вид:
y=2

О т в е т. y=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как точка лежит на плоскости Оху, то третья координата
такой точки равна 0
Пусть координаты точки M (x;y;0)
По условию
АМ=ВM=СM
AМ=sqrt((x_(M)-x_(A))^2+(y_(M)-y_(A))^2+(z_(M)-z_(A))^2)=
=sqrt((x-4)^2+(y-0)^2+(0-2)^2)

BМ=sqrt((x_(M)-x_(B))^2+(y_(M)-y_(B))^2+(z_(M)-z_(B))^2)=
=sqrt((x-(-1))^2+(y-2)^2+(0-4)^2)

CМ=sqrt((x_(M)-x_(C))^2+(y_(M)-y_(C))^2+(z_(M)-z_(C))^2)=
=sqrt((x-1)^2+(y-1)^2+(0-(-3))^2)

Решаем систему уравнений:
{sqrt((x-4)^2+(y-0)^2+(0-2)^2)=sqrt((x-(-1))^2+(y-2)^2+(0-4)^2)
{sqrt((x-4)^2+(y-0)^2+(0-2)^2)=sqrt((x-1)^2+(y-1)^2+(0-(-3))^2)

{(x-4)^2+y^2+4=(x+1)^2+(y-2)^2+16
{(x-4)^2+y^2+4=(x-1)^2+(y-1)^2+9

{10x-4y+1=0
{6x-2y-9=0

{10x-4y+1=0
{-12x+4y+18=0
Cкладываем
-2х+19=0
х=9,5
y=(6x-9)/2=(57-9)/2=48/2=24
О т в е т. (9,5;24;0)

Ответ выбран лучшим

Находим длины сторон:

AВ=sqrt((x_(В)-x_(A))^2+(y_(В)-y_(A))^2+(z_(В)-z_(A))^2)=
=sqrt((0-(-3))^2+(-2-2)^2+(-1-4)^2)=sqrt(9+16+36)=sqrt(50)
AC=sqrt((x_(C)-x_(A))^2+(y_(C)-y_(A))^2+(z_(C)-z_(A))^2)=
=sqrt((1-(-3))^2+(5-2)^2+(9-4)^2)=sqrt(16+9+25)=sqrt(50)

АВ=АС=sqrt(50)
Треугольник АВС - равнобедренный.

1)
относительно плоскости хОу
(3;-4;-2)
относительно плоскости хОz ( см. рис.3)
(3;4;2)
относительно плоскости yОz (см. рис.4)
(-3;-4;2)
2)
относительно оси Ох
(3;4;-2)
относительно оси Оу (см. рис.2)
(-3;-4;-2)
относительно оси Оz( cм. рис. 1)
(-3;4;2)
3)
относительно начала координат ( см. рис.5)
(-3;4;-2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Медиана - отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

Найдем координаты середины отрезка ВС
x_(M)=(x_(B)+x_(C))/2=(-3+3)/2=0
y_(M)=(y_(B)+y_(C))/2=(6+2)/2=4
z_(M)=(z_(B)+z_(C))/2=(0+(-4))/2=-2

Находим длину отрезка АМ,
А(5;2;4) и M(0;4;-2)
AM=sqrt((x_(M)-x_(A))^2+(y_(M)-y_(A))^2+(z_(M)-z_(A))^2)=
=sqrt((0-5)^2+(4-2)^2+(-2-4)^2)=sqrt(25+4+36)=sqrt(65)

О т в е т. sqrt(65)

Ответ выбран лучшим

Пусть B(x_(B);y_(B);z_(B))
Тогда
x_(M)=(x_(A)+x_(В))/2
y_(M)=(y_(A)+y_(В))/2
z_(M)=(z_(A)+z_(В))/2

1=(-2+x_(В))/2 ⇒ x_(B) = 4
-1=(-1+y_(В))/2 ⇒ y_(B) = - 1
5=(7+z_(В))/2 ⇒ z_(B) = 3

О т в е т. (4;-1;3)

Ответ выбран лучшим

Пусть точки А(x_(1);y_(1)) и В(x_(2);y_(2)) - концы этой хорды.
По условию точка (5/2;1) - середина отрезка АВ.
Система уравнений:
{(x_(1)+x_(2))/2=5/2;
{(у_(1)+у_(2))/2=1;
{y^2_(1)=4x_(1) ⇒ x_(1)=y^2_(1)/4
{y^2_(2)=4x_(2) ⇒ x_(2)=y^2_(2)/4

{(y^2_(1)+y^2_(2))/8=5/2
{(у_(1)+у_(2))/2=1;

{y^2_(1)+y^2_(2)=20
{y_(1)+y_(2)=2

Возводим второе уравнение в квадрат
y^2_(1)+2y_(1)*y_(2)+y^2_(2)=4
20+2y_(1)*y_(2)=4 ⇒ 2*y_(1)*y_(2) = -16

{y_(1)+y_(2)=2 ⇒ y_(1)=2-y_(2)
{y_(1)*y_(2) = -8 ⇒(2-y_(2))*y_(2) =-8 ⇒ y^2_(2)-2y_(2)-8=0

D=(-2)^2-4*(-8)=36
y_(2)=-2 или y_(2)=4
y_(1)=4 или y_(1) =-2

x_(1)=y^2_(1)/4=4^2/4=4 или x_(1)=(-2)^2/4=1
x_(2)=y^2_(2)/4=(-2)^2/4=1 или x_(2)=(4)^2/4=4

Получили две точки:
А(1;-2) и B(4;4)

Уравнение хорды АВ как прямой, проходящей через две точки:
(x-x_(A))/(x_(B)-x_(A))=(y-y_(A))/(y_(B)-y_(A))

(x-1)/(4-1))=(y-(-2))/(4-(-2))
6*(х-1)=3*(у+2)
2х-2=у+2
2х - у - 4 = 0
О т в е т. 2х - у - 4=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть R - радиус такого круга.
S( круга)=Pi*R^2
C(длина окружности)=2Pi*R

Pi*R^2=2Pi*R
R=2

О т в е т. Существует, его радиус равен 2, площадь круга
равна
Pi*2^2=4Pi
и длина окружности равна
C=2Pi*2=4Pi.

Решаем однородное
y``+9y=0
Составляем характеристическое
k^2+9=0
k_(1)=-3i; k_(2)=3i
y_(одн.)=С_(1)*cos3x+C_(2)sinx3x

Правая часть f(x) =9/cos3x
Для нахождения частного решения применяем метод вариации произвольных постоянных
y=C_(1)(x)*sin3x+C_(2)(x)*cos3x

Согласно методу вариации C_(1)(x) и С_(2)(x) находим из системы:
{y_(1)x*C`_(1)(x)+y_(2)*C`_(2)(x)=0
{C`_(1)(x)*y`_(1)(x)+C`_(2)(x)*y`_(2)(x)=9/(cos3x)

y_(1)(x)=sin3x;
y_(2)(x)=cos3x

Решаем систему:
{sin3x*C`_(1)(x)+cos3x*C`_(2)(x)=0
{3*C`_(1)(x)cos3x - 3*C`_(2)sin3x=9/cos3x;

Из первого выражаем C`_(1)(x)=-C`_(2)(x)cos3x/sin3x и подставляем во второе
-3C_(2)(x)*(sin^23x+cos^23x)/sin3x=9/cos3x

С`_(1)(x)=3 ⇒ C_(1)(x)=∫3dx= 3x+C_(3)
C`_(2)(x)=-3tg3x ⇒ C_(2)(x)= ∫ (-3tgx)dx= =∫d(cos3x)/(cos3x)=ln|cos3x|+C_(4)

Общее решение данного уравнения

[b]y=(3x+C_(3))*sin3x+(lncos3x+C_(4))*cos3x[/b]

Решение задачи Коши:
y(0)=1
y`(0)=0
Находим
y(0)=C_(4)
C_(4)=1

y`=3*sin3x+3*(3x+C_(3))*cos3x+(-3tg3x)*cos3x+(lncos3x+C_(4))*(-3sin3x)

y`(0)=3C_(3)
3C_(3)=0

Частное решение ( решение задачи Коши) данного уравнения

[b]y=(3x)*sin3x+(lncos3x+1)*cos3x[/b]

Ответ выбран лучшим

1) Это уравнение с разделяющимися переменными.
sqrt(1+y^2)*xdx=-y(4+x^2)dy
Делим обе части уравнения на
sqrt(1+y^2)*(4+x^2)
xdx/(4+x^2) = -ydy/sqrt(1+y^2)
Интегрируем
∫ xdx/(4+x^2) = - ∫ ydy/sqrt(1+y^2)
(1/2) ∫ d(4+x^2)/(4+x^2) = - (1/2)∫ (1+y^2)^(-1/2)d(1+y^2)
(1/2)ln(4+x^2) = (-1/2)*2sqrt(1+y^2) +c
ln(4+x^2)=-2sqrt(1+y^2) +C - о т в е т.
2)Делим уравнение на х*dx
Заменим dy/dx=y`
y`=1+2*(y/x) (#1)
Замена
u=y/x
y=u*x
y`=u`*x+u*x`=u`*x+u ( x`=1, x - независимая переменная)

Подставляем в (#1)
u`*x+u=1+2u;
u`*x=1+u - уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
x*(du/dx)=(1+u)
du/(1+u)=dx/x
Интегрируем
ln|1+u|=ln|x|+lnC
1+u=Cx
1+(y/x)=Cx - о т в е т.
3)Делим на х
y`-(2/x)*y=2x^3 (#2)
Линейное уравнение первого порядка.
Решаем однородное
y`-(2/x)*y=0 - это уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируем
∫dy/y= 2∫dx/x
ln|y|=2ln|x|+lnC
y=Cx^2

Применяем метод вариации произвольной постоянной.
Полагаем , что константа С зависит от переменной х: С(x)
y=C(x)*x^2
y`=C`(x)*x^2+2*C(x)*x
Подставляем в уравнение (#2)
C`(x)*x^2+2*C(x)*x -2*(C(x)*x^2/x)=2x^3
C`(x)=2x
C(x)= ∫ 2xdx=x^2+C
y=(x^2+C)*x^2
y=Cx^2+x^4 - общее решение
Учитывая условие
y(1)=1
1=C*1^2+1^4
C=0
y=x^4- частное решение задачи Коши.
о т в е т. y=Cx^2+x^4; y=x^4
4) Понижаем степень
y`=p
y``=p`
p`*(x^2+1)=2x*p
Разделяем переменные
dp/p=2xdx/(x^2+1)
lnp=ln|x^2+1|+lnC_(1)
p=C_(1)(x^2+1)

y`=C_(1)(x^2+1)
y= ∫ C_(1)(x^2+1)dx=C_(1)*(x^3/3)+C_(1)x+C_(2)
y=C_(1)*(x^3/3)+C_(1)x+C_(2) - о т в е т.
5)
Решаем однородное
y``+6y`+5y=0
Составляем характеристическое
k^2+6k+5=0
D=36-20=16
k_(1)=-5; k_(2)=-1
y_(одн.)=С_(1)*e^(-5x)+C_(2)*e^(-x)
Частное решение находим в виде, похожем на правую часть.
y_(част)=Аx^2+Bx+C
y`_(част)=2Ax+B
y``_(част)=2A

Подставляем в данное уравнение
2А+6*(2Ах+В)+5*(Ax^2+Bx+C)=25x^2-42
5Аx^2+(12A+5B)*x+(2A+6B+5C)=25x^2-42
{5A=25 ⇒ A=5
{12A+5B=0⇒ B=-12
{2A+6B+5C=-42 ⇒ 2*5+6*(-12)+5C=-42⇒C=4
О т в е т. y=y_(одн)+у_(част)=С_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x)+5x^2-12x+4

6)
Решаем однородное
y``+9y=0
Составляем характеристическое
k^2+9=0
k_(1)=-3i; k_(2)=3i
y_(одн.)=С_(1)*cos3x+C_(2)sinx3x

Правая часть f(x) =27/(3cos3x) немного непонятна.
Во-первых 27 и 3 сокращаются.
В условии обычно такого не бывает.
Вольфрам выдает частное решение
9x*sin3x+3cos3xlncos3x

Можно и нужно применять метод вариации произвольных постоянных
y=C_(1)(x)*cos3x+C_(2)(x)*sin3x
Находим
y`
y``
Подставляем в данное уравнение
и находим C_(1)(x) и С_(2)(х)
Мне считать не хочется, потому как не уверена в правильности условия.
Считайте.

Ответ выбран лучшим

Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания а по абсолютной величине меньше заданного положительного числа ε

P(|X-a| < ε)

Так как
P(|X-a| < ε) =2Ф(ε/σ)

По условию
σ=1,6
a=0
ε=2

Ф(ε/σ)=Ф(2/1,6))=Ф(1,25)=0,3944 ( см. приложение)

2*Ф(ε/σ)=2*0,3944=0,7888 ≈ 0,79

0,79=79%

О т в е т. [b] ≈ 79% [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Функция надежности в случае распределения случайной величины по показательному закону имеет вид:
R(t)=1- F(t)=1-(1-e^(-лямбдаt)= e^(-лямбда t)

По условию,
лямбда =0,01
t=100

R (100) = е^(-0,01*100)=е^(-1) = 1/e ≈ 0,37.

О т в е т.
Вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч, приближенно равна 0,37.

Ответ выбран лучшим

P(X < (1/2); Y < (1/3))=F(1/2;1/3)=

=((1/Pi)*arctg1+(1/2))*((1/Pi)*arctg1+(1/2))=

=((1/Pi)*(Pi/4)+(1/2))*((1/Pi)*(Pi/4)+(1/2))=

=((1/4)+(1/2))*((1/4)+(1/2)=9/16

О т в е т. [b] 9/16 [/b]

Ответ выбран лучшим

Найдем плотность распределения составляющей X:
f_(1)(x)= ∫ ^(+∞)_(-∞)f(x;y)dy=

=(3sqrt(3)/Pi)* ∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-4x^2-6xy-9y^2)dy

Вынесем за знак интеграла множитель e^(-4x^2) , не зависящий от переменной интегрирования y, и [b]дополним[/b] оставшийся показатель степени
(-6xy-9y^2)
до полного квадрата
(-9y^2-6xy-x^2)+x^2 и значит вынесем ещё и e^(x^2) за знак интеграла, тогда:

(3sqrt(3)/Pi)*e^(-4x^2)*e^(x^2) ∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-(x+3y)^2)dy=

=(3sqrt(3)/Pi)*e^(-3x^2)*(1/3)∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-(x+3y)^2)d(x+3y)

Учитывая, что интеграл Пуассона
∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-t^2)dt=sqrt(Pi),
получим плотность распределения составляющей X:

[b]f_(1)(x)=(sqrt(3)/sqrt(Pi))*e^(-3x^2)[/b]

Найдем плотность распределения составляющей Y:
f_(2)(y)= ∫ ^(+∞)_(-∞)f(x;y)dy=

=(3sqrt(3)/Pi)* ∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-4x^2-6xy-9y^2)dx

Вынесем за знак интеграла множитель e^(-9y^2) , не зависящий от переменной интегрирования x, и [b] дополним [/b] оставшийся показатель степени (-4x^2-6xy)
до полного квадрата
(-4x^2-6xy-(9/4)y^2) +(9y^2/4) и стало быть вынесем ещё и e^(9y^2/4) за знак интеграла, тогда:

(3sqrt(3)/Pi)*e^(-9y^2)*e^(9y^2/4) ∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-(2x+(3y/2))^2)dy=

=(3sqrt(3)/Pi)*e^(-27x^2/4)*(1/2)∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-(2x+(3y/2))^2)d(2x+(3y/2))

Учитывая, что интеграл Пуассона
∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-t^2)dt=sqrt(Pi),
получим плотность распределения составляющей Y:

[b]f_(2)(y)=(3sqrt(3)/(2sqrt(Pi)))*e^(-27y^2/4)[/b]

phi (x|_(y))=f(x;y)/f_(2)(y)=

=(3sqrt(3)/Pi)*(2sqrt(Pi)/3sqrt(3))*e^(-4x^2-6xy-9y^2+(27y^2/4))=

=[b](2/sqrt(Pi))*e^(-(2x+(3y/2))^2)[/b]

ψ (y|_(x))=f(x;y)/f_(1)(x)=

=(3sqrt(3)/Pi)*(sqrt(Pi)/sqrt(3))*e^(-4x^2-6xy-9y^2+3x^2)=

=[b](3/sqrt(Pi))*e^(-(x+3y)^2)[/b]

О т в е т.

phi (x|_(y))=(2/sqrt(Pi))*e^(-(2x+(3y/2))^2)

ψ (y|_(x))=(3/sqrt(Pi))*e^(-(x+3y)^2)

Ответ выбран лучшим

а)
Так как функция y=x+1 строго возрастает и дифференцируема на (- бесконечность ;+ бесконечность ) применяем формулу
g(y)=g(ψ(y))*|ψ`(y)|
где ψ(y) - функция, обратная y = x+1

Находим ψ(y)=y-1

f(ψ(y))=f(y-1)
ψ`(y)=(y-1)`=1

f((ψ(y))|ψ`(y)|=f(y-1)*|1|=f(y-1)
-∞ < x < +∞;
-∞ < y-1 < +∞
--∞ < y < +-∞

б)
Так как функция y=2x строго возрастает и дифференцируема на (- а ;+ а ) применяем формулу
g(y)=g(ψ(y))*|ψ`(y)|
где ψ(y) - функция, обратная y = 2х.

Находим ψ(y)=y/2

f(ψ(y))=f(y/2)
ψ`(y)=(y/2)`=1/2

f((ψ(y))|ψ`(y)|=f(y/2)*|1/2|=(1/2)*f(y/2)
-a < x < a;
-a < y/2 < a
--2a < y < 2a

О т в е т.
а) g(y)=f(y-1) (- бесконечность < y < + бесконечность )
б) g(y)=(1/2)f(y/2) (-2a < y < 2a)

Ответ выбран лучшим

а)
Используем свойство двумерной плотности вероятности:
[b] ∫ ∫ _((D))f(x;y)dxdy=1[/b]

∫ ^(+∞)_(-∞) ∫ ^(+∞)_(-∞)Csin(x+y)dxdy=1;

Так как
f(x;y)=Csin(x+y) при 0 меньше или равно х меньше или равно Pi/2; при 0 меньше или равно y меньше или равно Pi/2;
f(x;y)= 0 вне этого прямоугольника
∫ ^(+∞)_(-∞) ∫ ^(+∞)_(-∞)Csin(x+y)dxdy=

=С* ∫ ^(Pi/2)_(0) ∫ ^(Pi/2)_(0)sin(x+y)dxdy=

=C*∫ ^(Pi/2)_(0)(-cos(x+y))|^(Pi/2)_(0)dy=

=C*∫ ^(Pi/2)_(0)(cosy-cos((Pi/2)+y))dy=

=C*(siny-sin((Pi/2)+y))|^(Pi/2)_(0)=

=C*(1-0-0+1)=2C

2C=1 ⇒ [b] C=0,5 [/b]

б)

F(x;y) = ∫ ^(y)_(-∞) ∫ ^(x)_(-∞)f(x;y)dxdy =

= 0,5∫ ^(y)_(0) ∫ ^(x)_(0)sin(x+y)dxdy=

=0,5*∫ ^(y)_(0)(-cos(x+y))|^(x)_(0)dy=

=0,5*∫ ^(y)_(0)(cos(y)-cos(x+y))dy=

=0,5*(siny-sin(x+y))|^(y)_(0)=

=[b]0,5*(siny-sin(x+y)+sinx)[/b]

О т в е т.
а)0,5 б)F(x;y) =0,5*(sinx+siny-sin(x+y))

Ответ выбран лучшим

а)
Дано: f(x;y)=C, при 4 меньше или равно х меньше или равно 6;10 меньше или равно у меньше или равно 15.
f(x;y)=0 вне прямоугольника.

Используем свойство двумерной плотности вероятности:
[b] ∫ ∫ _((D))f(x;y)dxdy=1[/b]

∫ ^(15)_(10) ∫ ^(6)_(4)Cdxdy=1;

C*(x)|^(6)_(4)*(y)|^(15)_(10)=1;

C*(6-4)*(15-10)=1

10C=1 ⇒ [b] C=0,1 [/b]

б)

F(x;y) = ∫ ^(y)_(-∞) ∫ ^(x)_(-∞)f(x;y)dxdy =

= 0,1∫ ^(y)_(10) ∫ ^(x)_(4)dxdy =

=[b]0,1*(x-4)*(y-10)[/b]

О т в е т.
a) 0,1;
б) F(x;y) =0,1*(x-4)*(y-10)

Ответ выбран лучшим

а)
Используем свойство двумерной плотности вероятности:
[b] ∫ ∫ _((D))f(x;y)dxdy=1[/b]

∫ ^(+∞)_(-∞) ∫ ^(+∞)_(-∞)Cdxdy/(4+x^2)(9+y^2)=1;

C*(1/2)*arctg(x/2)|^(+∞)_(-∞)*(1/3)*arctg(y/3)|^(+∞)_(-∞)=1;

C*(1/6)*((Pi/2)-(-Pi/2))*((Pi/2)-(-Pi/2))=1

C*(1/6)*(Pi)^2=1 ⇒ [b] C=6/(Pi)^2 [/b]

б)

F(x;y) = ∫ ^(y)_(-∞) ∫ ^(x)_(-∞)f(x;y)dxdy =

= (6/(Pi)^2)*∫ ^(y)_(-∞) ∫ ^(x)_(-∞)dxdy/(4+x^2)(9+y^2) =

=(6/(Pi)^2)*(1/2)*arctg(x/2)|^(x)_(-∞)*(1/3)*arctg(y/3)|^(y)_(-∞)=

=(1/2Pi)*(artg(y/2)-(-Pi/2))*(arctg(x/2)-(-Pi/2))

=(1/(Pi)^2)*(artg(y/2)+(Pi/2))*(arctg(x/2)+(Pi/2))

=[b]((1/Pi)arctg(x/2)+(1/2))* ((1/Pi)arctg(y/3)+(1/2))[/b]
О т в е т.
a) 6/(Pi)^2;
б) F(x;y) =((1/Pi)arctg(x/2)+(1/2))* ((1/Pi)arctg(y/3)+(1/2))

Ответ выбран лучшим

Сложив вероятности по столбцам, получаем вероятности возможных значений х:
р(x_(1))=0,12+0,10=0,22
p(x_(2))=0,18+0,11=0,29
p(x_(3))=0,10+0,39=0,49

р(x_(1))+p(x_(2))+p(x_(3))=0,22+0,29+0,49=1

Заполняем таблицу и получаем закон распределения случайной величины Х ( см. рис.)

Сложив вероятности по строкам, получаем вероятности возможных значений у:
р(y_(1))=0,12+0,18+0,10=0,4
p(y_(2))=0,10+0,11+0,39=0,6

р(y_(1))+p(y_(2))=0,4+0,6=1

Заполняем таблицу и получаем закон распределения случайной величины Y ( см. рис.) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как x больше или равно 0 и y больше или равно 0 и
Z= X+Y, то z больше или равно 0

Применяем формулу

g(z)= ∫ ^(z)_(0)f_(1)xf_(2)(z-x)dx

Используя данные задачи

g(z)= ∫ ^(z)_(0)(1/3)*e^(-x/3)*(1/5)*e^(-(z-x)/5)dx=

=(-1/2)*e^(-z/5)*∫ ^(z)_(0)e^(-2x/15)d(-2x/15)=

=(-1/2)*e^(-z/5)*(e^(-2z/15)-e^(0))=

=(1/2)e^(-z/3)-(1/2)e^(-z/5)

О т в е т.
g(z)= (1/2) * (e^(-z/3)-e^(-z/5)) при z ∈ [0;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Пусть случайная величина Х - ошибка измерения.

Так как вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания а по абсолютной величине меньше заданного положительного числа ε вычисляется по формуле:
P(|X-a| < ε) =2Ф(ε/σ)
и
по условию
σ=1
a=0
ε=1,28
ε/σ=1,28
Ф(1,28/1)=Ф(1,28)=0,3997 ( см. приложение),
то
вероятность ошибки в одном наблюдении
2Ф(ε/σ)=2*Ф(1,28)=2*0,3997=0,7994
p=0,7994

Найдем вероятность противоположного события:, что ошибка превзойдет 1,28 мм
q=1 - p =1 - 0,7994 = 0,2006

Вероятность того, что ошибка превзойдет 1,28 в двух испытаниях
q*q=q^2=0,2006^2≈0,04

Тогда вероятность того, что из двух независимых испытаний ошибка [b] хотя бы в одном из них [/b] не превзойдет 1,28
равна
1-q^2=1-0,2006^2≈1-0,04=0,96
О т в е т. 0,96

Ответ выбран лучшим

Вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания а по абсолютной величине меньше заданного положительного числа ε , значит найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал
(a -ε; a+ε)

Поэтому
P(|X-a| < ε) = Ф ((a+ε-a)/σ)-Ф((a-ε-a)/σ)=Ф(ε/σ) - Ф(- ε/σ) =
=2Ф(ε/σ)

По условию
σ=0,4
ε=0,3

Ф(0,3/0,4)=Ф(0,75)=0,2734 ( см. приложение)

О т в е т. 2*Ф(0,75)=2*0,2734=0.5468

Ответ выбран лучшим

Плотность вероятности f (х) непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону с параметром λ = 5:

f(x)=system{0 при x < 0;5e^(-5x) при х больше или равно 0}

Функция распределения F (х) непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону с параметром λ = 5.

F(x)=system{0 при x < 0;1 - e^(-5x) при x больше или равно 0}

M(X)=1/5;
D(X)=1/5^2

Ответ выбран лучшим

Для нормально распределённой случайной величины вероятность попадания случайной величины Х в интервал (альфа; бета) находится по формуле:

P( альфа < x < бета )=
=Ф(( бета -a)/σ)-Ф(( альфа -a)/σ)
где Ф(x) - функция Лапласа

По условию
a=6
σ=2
альфа =4
бета =8

P( 4 < x < 8 )=Ф(( 8 -6)/2)-Ф(( 4 -6)/2)= Ф(1)-Ф(-1)
Так как функция Лапласа нечетная
Ф(-1)=-Ф(1)
Получаем
Ф(1) - Ф(-1) = Ф(1) - ( - Ф(1)) = 2Ф(1)
По таблице
Ф(1)=0,3413
( см. приложение)

О т в ет. 2*0,3413=0,6826 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению.
Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х.

F(x)=P(X < x)

Поэтому
F(x)=

{0 при x меньше или равно 2;
{0,5 при 2 < x меньше или равно 6;
{0,9 при 6 < x меньше или равно 10;
{1 при x > 10

Cм. соответствующий график на рис.

F(x) ступенчатая функция (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
(x-5)*(x-7)=0
x^2-12x+35=0
О т в е т. x^2-12x+35=0
б)
(x+3)*x*(x-3)=0
x^3-9x=0
О т в е т. x^3-9x=0
в)
(x-1)(x-1)*(x-5)*(x+1)=0;
((x-1)*(x+1))*(x-5)*(x-1))=0
(x^2-1)(x^2-6x+5)=0
x^4-6x^3+2x^2-5=0
О т в е т. x^4-6x^3+4x^2+6x-5=0
г)
(x+(1/2))*(x+3)*(x-(1/2))*(x-3)=0
(x^2-(1/4))*(x^2-9)=0
x^4-(37/4)x^2+(9/4)=0
4x^4-37x^2+9=0

О т в е т. 4x^4-37x^2+9=0

Ответ выбран лучшим

a) Биквадратное уравнение.
Замена
x^2=t
x^4=t^2
t^2-17t+16=0
D=(-17)^2-4*16=289-64=225=15^2
t_(1)=(17-15)/2=1 ИЛИ t_(2)=(17+15)/2=16
Обратный переход
x^2=1 ИЛИ x^2=16
x_(1)=-1 или x_(2)=1 ИЛИ x_(3)=-4 или x_(4)=4

О т в е т. -4;-1;1;4

б)Биквадратное уравнение.
Замена
x^2=t
x^4=t^2
t^2+15t-16=0
D=(15)^2-4*(-16)=225+64=289=17^2
t_(1)=(-15-17)/2=-16 или t_(2)=(-15+17)/2=1
Обратный переход
x^2=-16 - уравнение не имеет действительных корней
ИЛИ
x^2=1
x_(1)=-1 или x_(2)=1

О т в е т. -1;1

в)Применяем формулы сокращенного умножения
y^4-2y^3+y^2=(y^2-y)^2
Уравнение принимает вид
(y^2-y)^2-6^2=0
По формуле разности квадратов
(y^2-y-6)*(y^2-y+6)=0
Произведение равно 0 если хотя бы один множитель 0

y^2-y-6=0 ИЛИ y^2-y+6=0
D=1+24=25 ИЛИ D=1_4*6=-23 < 0 нет корней
x_(1)=-2 или x_(2)=3

О т в е т. -2; 3

г)
y^4-y^2-4y-4=0
(y^2)^2-(y^2+4y+4)=0
(y^2)^2-(y+2)^2=0
(y^2-y-2)*(y^2+y+2)=0
y^2-y-2=0
D=1+8=9
y_(1)=-1; y_(2)=2
ИЛИ
y^2+y+2=0
D=1-4*2=-7 < 0
уравнение не имеет корней
О т в е т. -1;2

Ответ выбран лучшим

По определению арифметического квадратного корня
sqrt(f(x)) больше или равно 0 при любом f(x) больше или равно 0

sqrt(x^2-25)+sqrt(x-3) больше или равно 0
при всех, удовлетворяющих системе:
{x^2-25 больше или равно 0 ⇒ x ∈(-∞;-5]U[5;+∞)
{x-3 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно 3

О т в е т. [5;+∞)

а) Да.
0,9;0,1
0,9;0,1
0,9;0,1
0,9;0,1;
0,9;0,1
0,9;0,1
Cумма равна 6
б) Нет
Будет отличаться только на 6
в) 6

Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
{(x+2a)*(x-a)+(x-5)*(x-2)=(x-5)*(x-a)
{x ≠5
{x ≠a
Cистема имеет ед. решение, если уравнение имеет ед решение и оно удовлетворяет второму и третьему неравенствам.

Упрощаем уравнение, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение
x^2+(2a-2)x+(10-5a-2a^2)=0

1)если D =0
квадратное уравнение имеет один корень

2) если D > 0
квадратное уравнение имеет два различных корня

Итак,
1)
D=(2a-2)^2-4*(10-5a-2a^2)=4a^2-8a+4-40+20a+8a^2=
=12*(a^2+a-3)

a^2+a - 3 =0
a_(1)=(-1-sqrt(13))/2 или a_(2)=(-1+sqrt(13))/2
При a_(1) =(-1-sqrt(13))/2 и a_(2)=(-1+sqrt(13))/2 квадратное уравнение имеет один корень
x=-(a-1)
учитывая, что
х ≠ 5 и х≠a получаем
-a+1 ≠ 5 ⇒ a ≠- 4
-a+1 ≠ a ⇒ a ≠ 1/2

2)
При a < (-1-sqrt(13))/2 или a > (-1+sqrt(13))/2 уравнение имеет два корня.

x_(1)=-(a-1)- sqrt(3a^2+3a-9) и x_(2)=-(a-1)+sqrt(3a^2+3a-9)

Один из корней должен быть исключен, значит должен удовлетворять условиям: x=5 или x=a

^(Пусть
-(a-1)- sqrt(3a^2+3a-9) =5 ⇒ sqrt(3a^2+3a-9)=-a-4
⇒ 3a^2+3a-9=a^2+8a+16 ⇒2a^2-5a-25=0 ⇒ a=5 или a=-5/2
При а=5
х=13 - ед. корень
При а=-5/2
х=2 - ед. корень.

Пусть
-(a-1)- sqrt(3a^2+3a-9) =а ⇒ sqrt(3a^2+3a-9)=-2a+1⇒ 3a^2+3a-9=4a^2-4a+1 ⇒a^2-7a+10=0 ⇒ a=5 или а=2
При а=5
х=13 -ед корень
При а=2
х=-4 - ед. корень)

Пусть
-(a-1)+ sqrt(3a^2+3a-9) =5 ⇒ sqrt(3a^2+3a-9)=a+4
⇒ 3a^2+3a-9=a^2+8a+16 ⇒2a^2-5a-25=0 ⇒ a=5 или a=-5/2
При а=5
х=13 - ед. корень
При а=-5/2
х=2 - ед. корень.

Пусть
-(a-1)+ sqrt(3a^2+3a-9) =а ⇒ sqrt(3a^2+3a-9)=2a-1⇒ 3a^2+3a-9=4a^2-4a+1 ⇒a^2-7a+10=0 ⇒ a=5 или а=2
При а=5
х=13 -ед корень
При а=2
х=-4 - ед. корень

О т в е т. (-1-sqrt(13))/2; (-5/2); (-1+sqrt(13))/2; 5; 2

а)
Обозначим h - расстояние от точки С до AD, тогда
h/2 - расстояние от точки M до AD

S(Δ AMD) =(1/2)AD*(h/2)
S( Δ CED)= (1/2)ED*h=(1/2)*(AD/2)*h=(1/2)AD*(h/2)=S(Δ AMD)
Значит, S(Δ AMD)=S( Δ CED)

Так как
S(Δ AMD)= S (AMOE) + S (Δ OED)
S( Δ CED)= S ( Δ COD)+ S (Δ OED)
Левые части равны, приравниваем правые
S (AMOE) + S (Δ OED)=S ( Δ COD)+ S (Δ OED) ⇒
S (AMOE)=S ( Δ COD)

б)
Продолжим MD до пересечения с BC в точке К
Δ AMD и ΔBMK равны по
стороне ( АМ=МВ) и двум прилежащим к ней углам
∠ KMB=∠AMD - вертикальные
∠ KBM=∠MAD - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей АВ
Значит,
КB=AD=5
Δ KOC и OED подобны по двум углам.
∠ KOC=∠EOD - вертикальные
∠ KCO=∠EOD - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей CE

Из подобия следует пропорциональность сторон
CO:OE=KC:ED=(5+2):2,5=14:5

S( Δ CED) : S ( Δ EOD)=CE:OE=19:5

S( Δ COD)=(14/19)*S( Δ CED)
Так как
S( трапеции ABCD)=(BC+AD)*h/2=(2+5)*h/2=7h/2
S( Δ CED)=(1/2)ED*h=(1/4)AD*h=5h/4
то
S(AMOE)=S( Δ COD)=(14/19)*S( Δ CED)=
=14/19)*(1/2)ED*h=
=(14/19)*(5h/4)=(5/19)*(7h/2)=
=5/19) S( трапеции ABCD)
О т в е т. 5/19 (прикреплено изображение)

Пусть общая численность персонала завода равна х.
(1/9)*x работает в заводоуправлении
(x-(1/9)*x-55)=(8/9)*x-55 работают в цехах.
Причем в каждом цехе работает (1/7)*x

Пусть цехов n.
Уравнение:
(8/9)x - 55 = (1/7)x*n

(8/9)x-(1/7)*x*n=55

x*(56-9n)=55*7*9

Решаем уравнение методом перебора с учетом данных задачи:
x - натуральное число;
n- натуральное число
56-9n > 0 ⇒ 9n < 56 ⇒ n < 56/9 ⇒ n=1;2;3;4;5;6.

При n=1
56-9n=56-9=47
x*47 = 55*7*9
x - не является натуральным числом, так как левая часть кратна 47, а правая нет

При n=2
x*3= 55*7*9
x - не является натуральным числом, так как левая часть кратна 19, а правая нет

При n=3
x*29 = 55*7*9
x - не является натуральным числом,так как левая часть кратна 29, а правая нет

При n=4
x*20 = 55*7*9
х не является натуральным числом,так как левая часть кратна 4, а правая нет

При n=5
х*11=55*7*9
х=35*9=315

При n=6
x*2=55*7*9
х не является натуральным числом,так как левая часть кратна 2, а правая нет

(1/9)*315=35
35+55=90
315-90=225 работают в пяти цехах
225:5=45, что составляет (1/7) от 315
О т в е т. 315

Ответ выбран лучшим

Подставляем координаты точек в каждое уравнение:
а)
M_(1)(4;1;0)
4-1-3=0 - верно
M_(2)(3;0;0)
3-0-3=0 - верно
Обе точки принадлежат плоскости.
Значит плоскость х-у-3=0 задает уравнение плоскости, проходящей через данные точки M_(1) и M_(2)

б)
M_(1)(4;1;0)
4-1-1=0 - неверно
Уравнение не может быть уравнением плоскости, проходящей через две точки, так как одна точка M_(1) не принадлежит плоскости.
Вторую точку не проверяем

в)
M_(1)(4;1;0)
4+1-8=0 - неверно

г)
M_(1)(4;1;0)
4+7*1-3=0 -неверно
О т в е т. а) х-у-3=0

Возводим в квадрат
cos^2x+15,25-cos2x=16

Подкоренное выражение равно 16, значит положительно, про ОДЗ можно ничего не говорить.

cos^2x - cos2x - (3/4)=0

Так как
cos2x=2cos^2x-1

cos^2=1/4

cosx=-1/2 или сosx=1/2

x= ± (2Pi/3)+2Pik, k ∈ Z или x= ± (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни ( см. рис.)

x_(1) = - (Pi/3) - 4Pi= -13Pi/3;
x_(2) = (Pi/3) - 4Pi= -11Pi/3;
x_(3)= (2Pi/3) - 4Pi = - 10 Pi/3.
(прикреплено изображение)

3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V_(тела вращ. вокруг оси Ох)=Pi∫^(b) _(a)f^2(x)dx.
Строим параболу f(x)=-x^2+1.
Абсциссы точек пересечения с осью ОХ
-1 и 1
a=-1; b=1
V=Pi ∫^(1) _(-1)(-x^2+1)^2dx=
[В силу симметрии тела вращения
можно применить свойства интеграла
∫^(1) _(-1) f^2(x)dx=2*∫^(1) _(0) f^2(x)dx]

=2*Pi*∫^(1) _(0)(x^4-2x^2+1)dx=

=2Pi*((x^5/5)-2*(x^3/3)+x)|^(1)_(0)=

=2Pi*((1/5)-(2/3)+1)=16Pi/15 (прикреплено изображение)

. (прикреплено изображение)

Вероятность появления события А в одном испытании равна p.
Тогда вероятность появления события А в серии из n испытаний ровно m раз по формуле Пуассона:
P(m)=((лямбда )^(m)/m!)*e^(-лямбда)
лямбда=np (если n - велико, p очень мало)

По условию
n=100
p=0,02

лямбда =100*0,02=2

а) P(m=3)= ((2)^3/3!)*e^(-3) ≈ 0, 1805
( cм . приложение. Таблица значений)

б) P(m =4)= ((2)^4/4!)*e^(-4) ≈ 0,0902

0,1805 > 0,0902
О т в е т. Вероятнее, что позвонят 3 абонента (прикреплено изображение)

Вероятность появления события А в одном испытании равна p.
Тогда вероятность появления события А в серии из n испытаний ровно m раз по формуле Пуассона:
P(m)=((лямбда )^(m)/m!)*e^(-лямбда)
лямбда=np (если n - велико, p очень мало)

В условии задачи нет ни n, ни p.

Но известно, что если случайная величина распределена по закону Пуассона, то математическое ожидание этой величины равно лямбда , впрочем как и дисперсия.
Дисперсия тоже равна лямбда

По условию среднее число опечаток на странице равно 1000/1000=1
Среднее число вызовов - это и есть математическое ожидание, поэтому
лямбда =1

а) Найдем вероятность противоположного события: ни одной опечатки на странице
P(0)= ((1)^0/0!)*e^(-1) ≈0,3679
( cм . приложение. Таблица значений)

Тогда P(m > 0)=1 - P(0) ≈1 - 0,3679=0,6321

б)P(m=2)= ((1)^2/2!)*e^(-1) ≈ 0, 1839
( cм . приложение. Таблица значений)

в) Найдем вероятность противоположного события:
менее двух опечаток на странице ( одна или ни одной)
P(m < 2)=P(m=0)+P(m=1) =
= ((1)^0/0!)*e^(-1)+ ((1)^1/1!)*e^(-1)=

≈0,3679+0,3679=0,7358

Тогда P(m больше или равно 2)=1-P(m < 2)=
≈1- 0,7358=0,2642

О т в е т. а)≈ 0,6321; б)≈0,1839; в) ≈ 0,2642 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вероятность появления события А в одном испытании равна p.
Тогда вероятность появления события А в серии из n испытаний ровно m раз по формуле Пуассона:
P(m)=((лямбда )^(m)/m!)*e^(-лямбда)
лямбда=np (если n - велико, p очень мало)

В условии задачи нет ни n, ни p.

Но известно, что если случайная величина распределена по закону Пуассона, то математическое ожидание этой величины равно лямбда , впрочем как и дисперсия.
Дисперсия тоже равна лямбда

По условию среднее число вызовов за одну минуту равно 5, а за 2 минуты равно 5*2=10

Среднее число вызовов - это и есть математическое ожидание, поэтому
лямбда =2

а) P(m=2)= ((10)^2/2!)*e^(-10)=50*e^(-10) ≈ 0, 0023
( cм . приложение. Таблица значений)

б) P(m < 2)=P(m=0)+P(m=1) =
= ((10)^0/0!)*e^(-10)+ ((10)^1/1!)*e^(-10)=
=0,0001+0,0005=0,0006

в) P(m больше или равно 2)=1-P(m < 2)=

=1 - 0,006=0,9994

О т в е т. а) 0,0023; б) 0,0006; в) 0,9994 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Событие А в двух независимых испытаниях может появиться 0 раз; 1 раз; 2 раза.

Пусть X - случайная величина, равная появлению события А в двух независимых испытаниях.

Составим закон распределения случайной величины Х.

p - вероятность появления события А в одном испытании
q=(1 - p) - вероятность непоявления события А в одном испытании

Х=0
P(0)=q^2

X=1
P(1)=pq+qp=2pq

X=2
P(2)=p^2

Найдем математическое ожидание

M(X)=0*q^2+1*2pq+2*p^2

По условию M(X)=0,8

0*q + 1*2pq + 2*p^2=0,8

2*p(1-p)+2*p^2=0,8

2p=0,8

p=0,4

D(X)=M(X^2) - (M(X))^2 = 0^2*q^2+1^(2)*2pq+2^(2)*p^2-(0,8)^2=

=2*0,4*0,6+4*0,4^2-0,64=0,48

О т в е т. D(X)=0,48

Ответ выбран лучшим

Данная фигура трапеция.
S( трапеции)=(a+b)·h/2

a=6; b=2; h=4

S=(6+2)·4/2=16 (прикреплено изображение)

Данная фигура трапеция.
S( трапеции)=(a+b)*h/2

a=6; b=2; h=4

S=(6+2)*4/2=16 (прикреплено изображение)

Геометрический смысл производной в точке:

f`(x_(o))=k(касательной)=tg альфа

f`(x)=(4-x^2)=-2x

f`(-2)=-2*(-2)=4

tg альфа =4

О т в е т. tg альфа =4

P( |(m/n) - p | < ε) ≈ 2Ф(ε * sqrt(n/pq))

n=?
p=0,5
q=1- p =1 - 0,5= 0,5
ε=0,01

sqrt(n/pq) =sqrt(5000/(0,2*0,8))=sqrt(5000/0,16)=sqrt(31250) =176,776695≈176,78

По условию
2Ф(ε * sqrt(n/pq)) = 0,6

Ф(ε * sqrt(n/pq)) =0,3

По таблице значений функции Лапласа ( см. приложение)
Ф(x)=0,3 ⇒ x= 0,84

Из уравнения
ε * sqrt(n/(pq))= 0,84

находим n
0,01* sqrt(n/(0,5*0,5)) =0,84

sqrt(n/(0,5*0,5))=84

sqrt(n)=42
sqrt(n)=42
n=42^2=1764

О т в е т. 1764 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

P( |(m/n) - p | < ε) ≈ 2Ф(ε * sqrt(n/pq))

n=5000
p=0,2
q=1- p =1 - 0,2= 0,8

sqrt(n/pq) =sqrt(5000/(0,2*0,8))=sqrt(5000/0,16)=sqrt(31250) =176,776695≈176,78

По условию
2Ф(ε * sqrt(n/pq)) = 0,9128

Ф(ε * sqrt(n/pq)) =0,4564

По таблице значений функции Лапласа ( см. приложение)
Ф(x)=0,4564 ⇒ x= 1,71

Из уравнения
ε * sqrt(n/(pq))= 1,71
находим ε
ε *176,78 =1,71

ε = 1,71/176,78=0,00967

О т в е т. 0,00967 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть событие А - '' цель поражена''

Введем в рассмотрение гипотезы:
H_(1) - '' цель поражена в результате одного попадания''
H_(2) - '' цель поражена в результате двух попаданий''

р(Н_(1))=p*q+q*p=2*p*q=2*0,9*0,1=0,18
p(H_2)=p*p=0,9*0,9=0,81

Условные вероятности находим по данной в условии задачи формулы:
1-q^(k), k больше или равно 1.

p(A/H_(1))=1-0,1^(1)
p(A/H_(2))=1-0,1^(2)

По формуле полной вероятности

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) =

=0,18*(1-0,1)+0,81*(1-0,01^2)=

=0,162+0,8019=0,9639

О т в е т. 0,9639

Ответ выбран лучшим

Пусть X и У - две случайные величины, равные числу очков, выпавших на первой и второй кости.

Закон распределения этих величин одинаков:

X;Y принимают значения от 1 до 6 с равными вероятностями (1/6) ( см. таблицу)

M(X)=M(Y)=(1/6)*(1+2+3+4+5+6)=21/6=3,5

[b]Математическое ожидание произведения[/b] двух независимых случайных величин [b]равно произведению их математических ожиданий [/b]

M(X*Y)=M(X)*M(Y)=3,5*3,5=12,25

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2

D(X)=D(Y)

Найдем
M(X^2)=M(Y^2)=(1/6)*(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)=

=91/6

D(X)=D(Y)=(91/6)-(3,5)^2=(91/6)-(49/4)=(182-157)/12=35/12

D(X*Y)=M((X*Y)^2)-(M(X*Y))^2=

=M(X^2*Y^2) - (M(X*Y))^2=

=M(X^2)*M(Y^2)- (M(X*Y))^2

D(X*Y)=M(X^2)*M(Y^2)- (M(X*Y))^2=(91/6)*(91/6)-(12,25)^2=

=(8281/36) - (2401/16)= (8281*4 - 2401*9)/144=11515/144

О т в е т. M(X*Y)=12,25; D(X*Y)=11515/144 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

M(X)= -C*0,5 + C*0,5=0

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=(-С)^2*0,5+ C^2*0,5 - 0^2=

=C^2

О т в е т. D(X)=C^2

Ответ выбран лучшим

Cогласно неравентсву Чебышева:
P( |X-M(X)| < ε) больше или равно 1 - (D(X)/ε^2)

Подставляем данные
D(X)=0,001
ε=0,1

1- (0,001/0,1^2)=9/10

О т в е т. P(|X-M(X)| < 0,1) больше или равно 0,9

Ответ выбран лучшим

Дано:
n=9
D(X)=36
vector{X}=(X_(1)+...+X_(9))/9

Найти D ( vector{X})

Дисперсия среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величии в п раз меньше дисперсии D каждой из величин:

D(vector{X})=D/n

О т в е т. D(vector{X})=36/9=4

Ответ выбран лучшим

Дано:
n=16
сигма=10
vector{X}=(X_(1)+...+X_(16))/16

Найти сигма ( vector{X})

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в sqrt(n) раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:

сигма( vector{X})=сигма/sqrt(n)=10/sqrt(16)=10/4=2,5

О т в е т. 2,5

Ответ выбран лучшим

Подставляем числовые данные в выражение
Pi(q)=q*(p-v)-f
p=800 руб
v=600 руб.
f=200 000 руб.

Pi(q)=200q-200 000

По условию
Pi(q) не меньше 600 000, значит

200q - 200 000 больше или равно 600 000;

200q больше или равно 800 000

q больше или равно 4 000

О т в е т. Наименьшее значение q, удовлетворяющее требованию задачи 4000

3^(сosx)=3
cosx=1
x=2Pik, k ∈ Z

О т в е т. 2Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Пусть случайная величина Х - число отказавших приборов.
Х может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Составим закон распределения этой дискретной случайной величины.

Считаем вероятность наступления каждого значения случайной величины.
Так как по условию
p_(1)=0,3; p_(2) = 0,4; p_(3) = 0,5; p_(4) = 0,6, то
q_(1)=1-p_(1)=1-0,3=0,7;
q_(2)=1-p_(2)=1-0,4=0,6;
q_(3)=1-p_(3)=1-0,5=0,5;
q_(4)=1-p_(4)=1-0,6=0,4

1) значение случайной величины X=0, значит не отказал ни один прибор.
p(0)=q_(1)*q_(2)*q_(3)*q_(4)=
=0,7*0,6*0,5*0,4=0,084;

2) значение случайной величины X=1, значит отказал один из приборов.
p(1)=p_(1)*q_(2)*q_(3)*q_(4)+q_(1)*p_(2)*q_(3)*q_(4)+
+q_(1)*q_(2)*p_(3)*q_(4)+q_(1)*q_(2)*q_(3)*p_(4)=
=0,3*0,6*0,5*0,4+0,7*0,4*0,5*0,4+0,7*0,6*0,5*0,4+0,7*0,6*0,5*0,6= 0,036 + 0,056 + 0,084 + 0,126 = 0,302.

3) значение случайной величины X=2, значит отказали два прибора.
p(2)=p_(1)*p_(2)*q_(3)*q_(4)+p_(1)*q_(2)*p(3)*q_(4)+
+p_(1)*q_(2)*q_(3)*p_(4)+q_(1)*p_(2)*p_(3)*q_(4)+
+q_(1)*p_(2)*q(3)*p_(4)+q_(1)*q_(2)*p_(3)*p_(4)=
=0,3*0,4*0,5*0,4+0,3*0,6*0,5*0,4+0,3*0,6*0,5*0,6+0,7*0,4*0,5*0,4+0,7*0,4*0,5*0,6+0,7*0,6*0,5*0,6= 0,024 + 0,036 +0,054 + +0,056 + 0,084 + 0,126 = 0,38.

4) значение случайной величины X=3, значит отказали три прибора.
p(3)=p_(1)*p_(2)*p_(3)*q_(4)+p_(1)*p_(2)*q_(3)*p_(4)+
+p(1)*q_(2)*p_(3)*p_(4)+q_(1)*p_(2)*p_(3)*p_(4)=
=0,3*0,4*0,5*0,4+0,3*0,4*0,5*0,6+0,3*0,6*0,5*0,6+0,7*0,4*0,5*0,6= 0,024 + 0,036 + 0,054 + 0,084 = 0,198.

5) значение случайной величины X=4, значит отказали все приборы.
p(4)=p_(1)*p_(2)*p_(3)*p_(4)=0,3*0,4*0,5*0,6=0,036

Получаем закон распределения:
Х=0; p(0)=0,084
X=1; p(1)=0,302
X=2; p(2)=0,38
X=3; p(3)=0,198
X=4; p(4)=0,036.

Математическое ожидание:
M(X)=0*0,084+1*0,302+2*0,38+3*0,198+4*0,036=1,8

Дисперсия:
D(x)=M(X^2)-(M(X))^2=
=0*0,084+1*0,302+2^2*0,308+3^2*0,198+4^2*0,036=4,18-(1,8)^2=4,18-3,24=0,94

О т в е т. М(Х)=1,8; D(X)=0,94

Ответ выбран лучшим

Вероятность появления события А в одном испытании
p=0,3
Тогда
q=1 - 0,3 = 0,7 - вероятность противоположного события ( вероятность того, что событие А не появится в одном испытании

Событие А появится в пяти независимых испытания не менее двух раз, значит 2 или 3 или 4 или 5 раз.

По формуле Бернулли

P(m больше или равно 2 )= P_(5)(2)+P_(5)(3)+P_(5)(4)+P_(5)(5)=

=C^2_(5)p^2*q^3+C^3_(5)p^3*q^2+C^4_(5)*p^4*q+C^5_(5)*p^5=
=10*0,3^2*0,7^3+10*0,3^3*0,7^2+5*0,3^4*0,7+1*0,3^5=

=0,3087 + 0,1323+0,02853+0,0243=0,47178

или

Событие А появится в пяти независимых испытаниях менее двух раз'',значит 0 раз или 1 раз

P(m < 2) =P^0_(5)+P^1_(5)=
=C^(0)_(5)p^0*q^5+C^(1)_(5)*p^1*q^4=

=1*0,7^5+5*0,3*0,7^4=0,16807+0,36015=0,52822

P(m больше или равно 2)=1-P(m < 2)=
=1-0,52822=0,47178

О т в е т. 0,47178

Ответ выбран лучшим

Достраиваем до прямоугольника ( см. прямоугольник розового цвета) с размерами 4 на 9

Из площади прямоугольника вычитаем площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 9; с катетами 3 и 1 и площадь трапеции со сторонами 2 и 3 и высотой 8

S=4*9 - (1/2)*2*9-(1/2)*3*1-((3+2)*8/2)=

=36 - 9 - (3/2) - 20= 5,5 (прикреплено изображение)

По формулам приведения
cos(Pi+5x)=-cos5x
Так как
cos альфа *cos бета =(1/2)*(cos( альфа - бета ) + cos( альфа + бета ))
Уравнение принимает вид:
2*(1/2)*(cos7x-2x)+ cos(7x+2x)) - cos5x=-sqrt(2)/2;
cos5x+cos9x-cos5x=-sqrt(2)/2;
cos9x=-sqrt(2)/2;
9x= ± arccos(-sqrt(2)/2)+2Pin, n ∈ Z
9x= ± (3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z
9x= ± (3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z
x= ± (Pi/12)+(2Pi/9)*n, n ∈ Z

Наименьший положительный корень (Pi/12)

О т в е т. (Pi/12)

4^(6x+11) больше или равно 16 ;

4^(6x+11) больше или равно 4^2

6x+11 больше или равно 2

6x больше или равно -9

х больше или равно -3/2
О т в е т. [-3/2;+ бесконечность )

Так как
x-4=(sqrt(x)-2)(sqrt(x)+2)

и
(х-4)*(sqrt(x)-2)/(sqrt(x)+2)=(sqrt(x)-2)^2=x- 4sqrt(x)+4,

то
(х-4)*(sqrt(x)-2)/(sqrt(x)+2) + 4sqrt(x)=

=x-4sqrt(x)+4+4sqrt(x)=x+4

При х=7

х+4=7+4=11

О т в е т. 11

Ответ выбран лучшим

ОА=R=17
АK=25
Значит
ОК=25-17=8
Из прямоугольного треугольника МОК:
MK=sqrt(17^2-8^2)=sqrt(289-64)=sqrt(225)=15
Длина хорды 2*MK=2*15=30 cм (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
tg77 градусов=tg(90 градусов - 13 градусов)=ctg 13 градусов;

tg 13 градусов * ctg 13 градусов = 1

О т в е т.
7*tg13 градусов* tg 77 градусов = 7* tg 13 градусов *ctg 13 градусов = 7*1=7

. (прикреплено изображение)

2^(x)*(2^(x)+(a-6))=(2+3|a|)*(2^(x)+(a-6));
(2^(x)+(a-6))*(2^(x)-(2+3|a|)=0;

2^(x)+(a-6)=0 или 2^(x)-(2+3|a|)=0

2^(x)=6-a или 2^(x)=2+3|a|

Область значений показательной функции y=2^(x)
(0;+ бесконечность)
Прямые y=6-a и y=2+3|a| параллельны оси Ох и пересекаются с графиком показательной функции при
6-a > 0 и 2+3|a| > 0

Так как
2+3|a| > 0 при любом a

Значит, уравнение 2^(x)=2+3|a| имеет решение при любом a.
Это решение будет единственным, если
6-a меньше или равно 0 или 6-a=2+3|a|
а больше или равно 6 или а+3|a|=4 ⇒ a=4 или а=-2

О т в е т. {-2} U {4} U [6;+ бесконечность )

x^2+px+q=(x-x_(1))*(x-x_(2))

а) x^2+x-56=(x-7)*(x+8)
x^2-14x+49=(x-7)^2

(x^2+x–56)/(49–14x+x^2)=(x+8)/(x-7)

б)(2y-3)^2-1=(2y-3-1)*(2y-3+1)=(2y-4)(2y-2)=
=2*(y-2)*2*(y-1)=4*(y-2)*(y-1)
y^2+7y-8=(y-1)*(y+8)

((2y–3)^2–1)/(y^2+7y–8)=4*(y-2)/(y+8)

Ответ выбран лучшим

15 спиц разбивают круг на 15 частей, см. рис.
Каждая часть - центральный угол, величина которого равна
360 градусов :15 = 24 градусов..
Ответ:24 градусов (прикреплено изображение)

24:100*15=3 600 рублей составляют 15% от 24 000
24 000+3 600 =27 600 руб будет на счете через год

a < 0 ⇒ a^2 > 0
- 1 < a < 0 ⇒ -1 < a^3 < a^5 < 0
Cм. рис.

О т в е т. Наименьшее a^3
(прикреплено изображение)

3*(sqrt(11/6)^2*(sqrt(6/3))^2=3*(11/6)*(6/3)=11

Ответ выбран лучшим

sin ∠ A= BC/AB ⇒ BC=AB*sin ∠ A=0,8*AB

По теореме Пифагора:
AB^2=AC^2+BC^2
AB^2=9^2+(0,8*AB)^2
AB^2=81+0,64*AB^2
0,36*AB^2=81
AB^2=81/0,36
AB^2=225
AB=15

О т в е т. 15 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{x≠1
{(x+3)/(x-1) > 0
__+__ (-3) ____ (0) ____ (1) __+____

ОДЗ: x > 1

Так как 1=log_(x)x

log_(x+3)/(x-1) > log_(x) x

При x > 1 ( cм. ОДЗ) логарифмическая функция с основанием х возрастает, поэтому
(x+3)/(x-1) > x
((x+3)-(x-1)*x)/x > 0
(х+3-x^2+x)/x > 0
(x^2-2x-3)/x < 0

x^2-2x-3=0
D=4+12=16

x_(1)=(2-4)/2=-1 или х_(2)=(2+4)/2=3

___-__ (-1) __+__ (0) _____-___ (3) __+__

C учетом ОДЗ получаем О т в е т. (1;3)

1.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков
y=-x^2+8x+2 и y=9

-x^2+8x+2 = 9
x^2-8x+7=0
D=64-4*7=36
x_(1)=(8-6)/2=1 или x(2)=(8+6)/2=7

См. рис.1
О т в е т. (1;7)

2.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков
y=2x^2 + x - 6 и y=4

2x^2 + x - 6 = 4
2x^2 + x - 10 =0
D=1-4*2*(-10)=81
x_(1)=(-1-9)/4= - 2,5 или x(2)=(-1+9)/4=2

См. рис.2
О т в е т. (-2,5;2)

3. См. рис. 3
а) (-бесконечность;х_(1))U(x_(2);+бесконечность)
б) (х_(1);х_(2))
4. См. рис. 4
а) ( - бесконечность;+бесконечность)
б)( - бесконечность;+бесконечность) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проекцией АС_(1) на плоскость АВСD является AC
AC ⊥ BD как диагонали квадрата АВСD.

По теореме о трех перпендикулярах
АС_(1) ⊥ BD

Проекцией АС_(1) на плоскость АА_(1)В_(1)В является
АВ_(1).
АВ_(1) ⊥ А_(1)В как диагонали квадрата АА_(1)В_(1)В

По теореме о трех перпендикулярах
АС_(1) ⊥ A_(1)B

Итак AC_(1) перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD и A_(1)B плоскости A_(1)BD, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
прямая АС_(1) перпендикулярна плоскости А_(1)BD (прикреплено изображение)

(6b - 8)*(8b + 6) - 8b*(6b + 8) =

=48^2 - 64b + 36b - 48 - 48b^2 - 64b =

= - 92b - 48

При b = - 4,8 получаем

-92*(-4,8) - 48 = 9,2*48 - 48 = 48*(9,2 -1)= 48*8,2 =393,6

О т в е т. 393,6

ОДЗ:
{sinx > 0
{cosx > 0
{cosx ≠ 1
x ∈ (0+2Pim; (Pi/2)+2Pim), m ∈ Z

По определению логарифма
sinx= cos^1x
tgx=1
x=(Pi/4)+Pik, k ∈ Z

Учитывая ОДЗ получаем ответ
О т в е т. (Pi/4)+2Pin, n ∈ Z (прикреплено изображение)

(sqrt(67)+3)^2-6sqrt(67)=(sqrt(67))^2+2*sqrt(76)*3+3^2-6sqrt(67)=
=67+6sqrt(67)+9-6sqrt(67)=67+9=76
О т в е т. 76

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу

cos альфа *cos бета=(1/2)((альфа- бета)+cos( альфа+ бета )

(1/2)cos4x+(1/2)cos20x=(1/2)cos4x+(1/2)cos6x;

cos20x-cos6x=0;

Применяем формулу

cos альфа - cos бета = - 2sin(( альфа -бета)/2)sin(( альфа +бета)/2)

-2sin7x*sin13x=0

sin7x=0 ⇒ 7x=Pik, k ∈ Z⇒ x=(Pi/7)k, k ∈ Z
или
sin13x=0 ⇒ 13x=Pin, n ∈ Z ⇒x=(Pi/13)n, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/7)k, k ∈ Z (Pi/13)n, n ∈ Z

x^2+ρx+3ρ^4=0

D=p^2-4*3p^4 > 0

p^2*(1-12p^2) > 0 ⇒ 1-12p^2 > 0 ⇒

[b] -1/sqrt(12) < p < 1/sqrt(12) [/b]

По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-p
x_(1)*x_(2)=3p^4

Найдем как выражается разность корней через p.

Возведем первое равенство в квадрат:
x^2_(1)+2*x_(1)*x_(2)+x^2_(2)=p^2

Отнимем от обеих частей 4x_(1)*x_(2)

x^2_(1)+2*x_(1)*x_(2)+x^2_(2)-4x_(1)*x_(2)=p^2-4x_(1)*x_(2)

x^2_(1) - 2*x_(1)*x_(2) + x^2_(2) = p^2 - 4*3p^4

(x_(1) - x_(2))^2 = p^2 - 12p^4

Разность между корнями наибольшая, когда квадрат этой разности наибольший.

Исследуем функцию
y=p^2 - 12p^4
на экстремум.

y`=2p-48p^3

y`=0

2p - 48p^3=0

2p*(1-24p^2)=0

p=0 или 1 - 24p^2 = 0 ⇒ p = ± 1/sqrt(24)

[b] -1/sqrt(12) < 0 < 1/sqrt(12) [/b]

и

[b] -1/sqrt(12) < -1/sqrt(24) < 1/sqrt(12) [/b]

и

[b] -1/sqrt(12) < 1/sqrt(24) < 1/sqrt(12) [/b]

Но при p=0 уравнение принимает вид:
x^2=0
Оба корня уравнения равны 0
Разность равна 0

При р = ± sqrt(1/24)

|x_(1)-(x_(2)| = sqrt(p^2-3p^4)=

=sqrt((1/24)-(3/576))= sqrt(21)/24 - наибольшее значение разности.

О т в е т. При p=± 1/sqrt(24)

Ответ выбран лучшим

log_(3)(2x-1)/6=log_(3)(2x-1) - log_(3)6

(x+1)*log_(3)6=x*log_(3)6 +log_(3)6

(x+1)log_(3)6+log_(3)((2x–1)/6) =

x*log_(3)6 +log_(3)6+log_(3)(2x-1) - log_(3)6=

=x*log_(3)6 +log_(3)(2x-1)=log_(3)6^(x)*(2x-1)

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра значит окружность вписана в основание прямоугольного параллелепипеда.
Высота цилиндра и высота прямоугольного параллелепипеда совпадают.
Н=5

Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник.
Окружность можно вписать только в квадрат.
См. рис.
Сторона квадрата является диаметром окружности.
По условию
R=4
2R=8
a=8 - сторона квадрата.

S( квадрата)=а^2=8^2=64

V( параллелепипеда)= S( осн.)*Н= S(квадрата)*Н=
=64*5=320.
(прикреплено изображение)

Так как
1=sin^2x+cos^2x, то
(sinx+cosx)*1=(sinx+cosx)*(sin^2x+cos^2x)=

=sin^3x+sin^2x*cosx+sinx*cos^2x+cos^3x.

Уравнение примет вид

4cos^3x-sin^3x-sin^2x*cosx-sinx*cos^2x-cos^3x=0;

sin^3x+sin^2x*cosx+sinx*cos^2x-3cos^3x=0

Это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. Делим на cos^3x ≠ 0

tg^3x+tg^2x+tgx-3=0

3=1+1+1

tg^3x-1+tg^2-1+tgx-1=0

(tgx-1)*(tg^2x+tgx+1+tgx+1+1)=0

(tgx-1)*(tg^2x+2tgx+3)=0

tgx-1=0 или tg^2x+2tgx+3=0
tgx=1 или D=4-12 < 0 уравнение не имеет корней
x=(Pi/4)+Pik, k ∈ Z

О т в е т. (Pi/4)+Pik, k ∈ Z

Область допустимых значений переменной:
x больше или равно 0

x-1=(sqrt(x)-1)*(sqrt(x)+1)

(x-1)/(sqrt(x)+1)=sqrt(x)-1

(x-1)/(sqrt(x)+1) - 1 = sqrt(x)-1 - 1= sqrt(x)-2

При х=1,21
sqrt(x) - 2= sqrt(1,21) - 2 = 1,1 - 2 = - 0,9

Ответ выбран лучшим

Обозначим
(Pix/12)=t

sin t= 0,5
t=(-1)^(k)*arcsin0,5+Pik, k∈Z

t=(-1)^(k)*(Pi/6)+Pik, k∈ Z

Обратная замена

Pix/12=(-1)^(k)*(Pi/6)+Pik, k∈ Z

Умножаем обе части равенства на (12/Pi)

x=(-1)^(k)*2+12k, k ∈ Z

О т в е т. (-1)^(k)*2+12k, k ∈ Z

Функция определена на (-бесконечность;+ бесконечность)
Для нахождения производной применяем формулы
(u*v)`=u`*v+u*v`
и
(u^5)`=5u^4*u`

f `(x)=((0,4x+2)^5)`*(2x-3) + (0,4x+2)^5*(2x-3)`=

=5*(0,4x+2)^4*(0,4x+2)`*(2x-3)+(0,4x+2)^5*2=

=2*(0,4x+2)^4*(2,4x-1)

Так как (0,4x+2)^4 > 0 при любом х ≠ -5, то знак производной зависит от знака множителя (2,4x-1)
2,4x-1 > 0 при x > 5/12
2,4x - 1 < 0 при x < 5/12

При x=-5 f`(x)=0

Поэтому
f `(x) меньше или равно 0 на (- бесконечность;0] , значит функция у=f(x) невозрастающая на (- бесконечность;0] и наименьшее значение принимает в точке x=0.
(cм. рис)

f(0)=2^5*(-3)=32*(-3)=-96
О т в е т. -96 (прикреплено изображение)

Пусть M(x:y) - точка, принадлежащая линии.
МО=sqrt((x-0)^2+(y-0)^2)=sqrt(x^2+y^2)
d=sqrt((x+4)^2+(y-y)^2)=|x+4|

По условию
d=MO
|x+4|=sqrt(x^2+y^2)
Возводим обе части в квадрат
x^2+8x+16=x^2+y^2
y^2=8x+16

О т в е т. Парабола y^2=8x+16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Неправильная дробь - степень числителя больше степени знаменателя.
Можно выделить целую часть.
Делим
_-2x^3 + 6x^2 - 3 | x+2
..-2x^3 -4x^2.........-2x^2+10x-20
---------------
........._10x^2-3
...........10x^2+20x
------------------------
..................._-20x-3
.....................-20x- 40
-----------------------------
............................37

О т в е т. -2x^2+10x -20 + (37/(x+2))

Пусть
событие A - ''при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы един раз''.
По условию
p=0,6
q=1-p=1-0,6=0,4
событие vector{A} - ''при n выстрелах стрелок ни разу не попадает в цель''
p(vector{A})=q^n-0,4^(n)

Так как.
p(A)+p(vector{A})=1, то

p(A)= 1 - p(vector{A}) = 1- q^n = 1 - 0,4^(n)

По условию
p(A) больше или равно 0,8

Получаем неравенство
1 - 0,4^(n) больше или равно 0,8
0,4^(n) меньше или равно 0,2

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

lg 0,4^(n) меньше или равно lg0,2.

n*lg0,4 меньше или равно lg0,2

(Делим обе части неравенства на lg(0,4) < 0 и потому меняем знак неравенства на противоположный)

n больше или равно lg0,2/lg0,4=(-0?698970004)/(-0,39794009)=1,75

стрелок должен произвести не менее 2 выстрелов.

О т в е т. Не менее двух

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение гипотезы:
H_(1)- '' из первого ящика во второй переложена стандартная лампа''
H_(2)- '' из первого ящика во второй переложена нестандартная лампа''
p(H_(1))=11/12
p(H_(2))=1/12

Событие А-'' извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

p(A/H_(1))=1/11
p(A/H_(2))=2/11

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) =

=(11/12)*(1/11)+(1/12)*(2/11)=13/132=

=0,0984848...≈0,098

О т в е т. 13/132≈0,098

Ответ выбран лучшим

Пусть первоначальная масса травы x.
Скашивалось 3 раза одно и то же количество травы y.

После первого скашивания осталось:
(x-y)
Через неделю прирост травы составил:
0,1(x-y)
Перед вторым скашиванием
(x-y)+0,1*(x-y)=1,1*(x-y)

После второго скашивания осталось:
1,1*(x-y) - y = 1,1x - 2,1у

Прирост составил
0,1*(1,1x-2,1y)=0,11x-0,21y

Перед третьим скашиванием
(1,1x - 2,1у)+0,1*(1,1х-2,1у)=1,1*(1,1х-2,1у)

После третьего скашивания осталось
1,1*(1,1х-2,1y) - y=1,21x-3,31y

После 3 покосов масса травы на лугу уменьшилась на 78,3% по сравнению с ее значением до начала покосов, т.е составила 100%-78,3%=21,7% от первоначальной массы.
0,217x

Уравнение:
1,21x-3,31y=0,217х
0,993х = 3,31у ⇒ 3х=10y

Определить сколько процентов составляет масса всей скошенной травы от первоначальной массы,
значит найти:
(3y/x)*100%

(3y/x)*100%=(3/x)*y*100%=

=(3/x)(3x/10)*100%=90%

О т в е т. 90%

Ответ выбран лучшим

Первый сплав массой 8 кг.
Процентное содержание меди - p%
Значит
(8:100)*p=0,08p кг меди в первом сплаве.

Во втором куске, весом 2 кг процентное содержание меди
100%-40%=60%

Из второго сплава берут кусок, пусть вес этого куска х кг, тогда меди в нем 0,6x кг.
0 меньше или равно х меньше или равно 2.

Получившийся новый сплав весом (8+x) кг
содержит
(0,08p + 0,6x) кг меди.

(0,08p+0,6x)*100%/(8+x) - процентное содержание меди в новом сплаве.
Оно и должно быть наименьшим.

Упростим:
(0,08p+0,6x)*100%/(8+x)=(8p+60x)*1%/(8+x)=

=60%*((8/60)p+x)/(8+x)

Если числитель дроби равен знаменателю, т.е
(8/60)p+x=8+x,
При любом х
p=60%
и минимальное содержание меди в новом сплаве 60%, потому как и в первом и во втором сплаве 60%
Можно брать любое количество второго сплава

При
(8/60)p+x > 8+x ⇒ p > 60%, минимальное содержание меди будет в том случае, если х=2

При p < 60% минимальное содержание меди при x=0

О т в е т.
При p=60% - любое значение от 0 до 2 кг
При p > 60% - 2 кг второго сплава
При p < 60% - 0 кг второго сплава.

Ответ выбран лучшим

а) Всего пять цифр, нечетных три.
p=3/5=0,6

б) Первый раз выбрана четная цифра.
Всего цифр пять, четных 2, вероятность выбора первой четной цифры равна (2/5).
Из оставшихся четырех цифр, три нечетные, вероятность выбора нечетной цифры равна (3/4)
По правилу умножения вероятностей получаем ответ

p= (2/5)*(3/4)=6/20=0,3

в)
p=(3/5)*(2/4)=6/20=0,3

О т в е т. а) 0,6; б) 0,3; в) 0,3

Ответ выбран лучшим

p_(1)=0,7 ⇒ q_(1)=1-p_(1)=1 - 0,7=0,3
p_(2)=0,6 ⇒ q_(2)=1-p_(2)=1 - 0,6=0,4

Найдем вероятность противоположного события
vector{A} - '' ни один из стрелков не попал в мишень''

p(vector{A})=q_(1)*q_(2)=0,3*0,4=0,12

Так как
p(A)+p(vector{A})=1, то

p(A)=1 - p(vector{A}) = 1 - 0, 12=0,88

или
так
p(A)=p_(1)*p_(2)+q_(1)*p_(2)+p_(1)*q_(2)

p(A)=0,7*0,6+0,3*0,6+0,7*0,4=0,42+0,18+0,28=0,88

О т в е т. 0,88

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение

событие А - ''извлечена стандартная деталь ''

гипотезу H_(1) - ''деталь извлечена из коробки завода №1''
гипотезу H_(2) - ''деталь извлечена из коробки завода №2''

Всего коробок 3+2=5
p(H_(1))=3/5
p(H_(2))=2/5

p(A/H_(1))=0,8
p(A/H_(2))=0,9

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) =

=(3/5)*0,8+(2/5)*0,9= (3*0,8+2*0,9)/5=4,2/5=84/100=0,84

О т в е т. 0,84

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение

событие А - ''спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму. ''

гипотезу H_(1) - ''спортсмен - лыжник''
гипотезу H_(2) - ''спортсмен - велосипедист''
гипотезу H_(3) - ''спортсмен - бегун''

Всего спортсменов 20+6+4= 30

p(H_(1))=20/30
p(H_(2))=6/30
p(H_(3))=4/30

p(A/H_(1))=0,9
p(A/H_(2))=0,8
p(A/H_(3))=0,75

По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) +
+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(20/30)*0,9+(6/30)*0,8+(4/30)*0,75=

=(20*0,9+6*0,8+4*0,75)/30=(18+4,8+3)/30=25,8/30=258/300=

=86/100=0,86

О т в е т. 0,86

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение

событие А - ''наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная. ''

гипотезу H_(1) - ''деталь из первого ящика''
гипотезу H_(2) - ''деталь из второго ящика''
гипотезу H_(3) - ''деталь из третьего ящика''

p(H_(1))=p(H_(2))=p(H_(3))=1/3

p(A/H_(1))=15/20
p(A/H_(2))=24/30
p(A/H_(3))=6/10
По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) +
+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=(1/3)*(15/20)+(1/3)*(24/30)+(1/3)*(6/10)=

=(1/3)*((15/20)+(16/20)+(12/20))=

=(1/3)*((15+16+12)/20)=

=43/60 =0,7166666... ≈ 0,72
О т в е т. 43/60 ≈ 0,72

Ответ выбран лучшим

Введем в рассмотрение

событие А - 'студент в итоге соревнования попал в сборную.''

гипотезу H_(1) - ''студент из первой группы''
гипотезу H_(2) - ''студент из второй группы''
гипотезу H_(3) - ''студент из третьей группы''

Всего студентов 4+6+5=15
По условию
p(H_(1))=4/15
p(H_(2))=6/15
p(H_(3))=5/15

p(A/H_(1))=0,9
p(A/H_(2))=0,7
p(A/H_(3))=0,8
По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2)) +
+p(H_(3))*p(A/H_(3))=
=(4/15)*0,9+(6/15)*0,7+(5/15)*0,8=
=(3,6+4,2+4)/15=11,8/15=118/150

По формуле Байеса
p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) /p(A)=
=36/118
p(H_(2)/A)=p(H_(2))*p(A/H_(2)) /p(A)=
=42/118
p(H_(3)/A)=p(H_(3))*p(A/H_(3)) /p(A)=
=40/118

42/118 > 36/118
и
42/118 > 40/118

О т в е т. Вероятнее всего студент принадлежал ко второй группе.

Ответ выбран лучшим

p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2))

Введем в рассмотрение
событие А - ''изделие при проверке признано стандартным''
гипотеза H_(1) - ''изделие взято на проверку из группы, удовлетворяющей стандарту''
гипотеза H_(1) - ''изделие взято на проверку из группы, не удовлетворяющей стандарту''
По формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) + p(H_(2))*p(A/H_(2))

По формуле Байеса
p(H_(1)/A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) /p(A)

По условию
p(H_(1))=0,96
p(H_(2))=1-0,96=0,04

p(A/H_(1))=0,98
p(A/H_(2))=0,05

О т в е т. 0,96*0,98/(0,96*0,98+0,04*0,05)=0,9408/0,9428 =
=0,997878659... ≈ 0,998

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 20 деталей (16+4) выбирают две.
n=C^2_(20)=20!/((20-2)!*2!)=190 исходов испытания.
Пусть событие A - '' что хотя бы одна из двух деталей окажется изготовленной заводом № 1''
Рассмотрим противоположное событие
vector{A} - '' ни одна из двух деталей окажется изготовленной заводом № 1''
m=C^2_(4)=4!/(4-2)!*2!=6 - число исходов испытания, благоприятствующих наступлению события vector{A}
p(vector{A})=m/n=6/190

Так как
p(A)+p(vector{A})=1,
то
p(A)=1 - p(vector{A})=1 - (6/190)=184/190=0,968421... ≈ 0,97
О т в е т. 184/190≈0,97

Ответ выбран лучшим

Из условия легко получить, что
в свежих грибах от 1% до 10% твердого вещества (собственно грибов)
в сушеных грибах от 55% до 70% твердого вещества (собственно грибов)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначим весь проданный товар через Х.
26,8%=0,268
0,268*X - общая прибыль от продажи товара.

60% =60/100=0,6
0,6*Х часть товара, проданная в первом магазине.
Х - 0,6Х=0,4Х - остаток.
40%=40/100=0,4
0,4*(0,4*X)=0,16*X часть товара, проданная во втором магазине
0,4*X - 0,16*X=0,24*X часть товара, проданная в третьем магазине.

30%=30/100=0,3
0,3*(0,6*Х)=0,18*X - прибыль от продажи в первом магазине.
25%=25/100=0,25
0,25*(0,16*Х)=0,04*Х - прибыль от продажи во втором магазине
Пусть прибыль от продажи в третьем магазине составила
p%
p%=p/100=0,01*p

0,01*p*(0,24*X)=0,0024*p*X - прибыль от продажи в третьем магазине.

Так как сумма прибыли первого, второго и третьего магазинов равна общей прибыли от продажи, составим уравнение:

0,18*Х + 0,04*Х + 0,0024*p*X=0,268*X;

0,0024*p= 0,048
p=20%

О т в е т. 20% составила прибыль от продаж в третьем магазине.

Ответ выбран лучшим

y^2=36x
Пусть (x_(o);y_(o)) - точка касания.
Уравнение касательной:
y-y_(o)=f`(x_(o))*(x-x_(o)).

Запишем уравнение параболы в виде:
y=6sqrt(x)
f(x)=6sqrt(x)
f`(x)=6/(2sqrt(x))=3/sqrt(x)
f`(x_(o))=3/sqrt(x_(o))
Точка касания лежит как на касательной, так и на параболе, поэтому
y_(o)=6sqrt(x_(o))

Уравнение касательной:
y - 6sqrt(x_(o)_=(3/sqrt(x_(o))*(x - x_(o))

Точка А (1;10) принадлежит касательной, значит ее координаты удовлетворяют уравнению касательной:
10 - 6sqrt(x_(o)) = (3/sqrt(x_(o))*(1 - x_(o))
или
3x_(o) - 10 sqrt(x_(o)) +3 =0
D=100-36=64
sqrt(x_(o))=1/3 или sqrt(x_(o))=3
x_(o)=1/9 или x_(o)=9
y_(o)=6*(1/3)=2 или y_(o)=6*3=18

M(1/9; 2) и N (9;18) - точки касания.
Уравнение прямой MN как прямой
проходящей через две точки:

(х–x_(M))/(x_(N)–x_(M))=(y–y_(M))/(y_(N)–y_(M))

(x-(1/9))/(9-(1/9)) = (y - 2)/(18-2)

9x-1=5*(y-2);

9x-5y+9=0

О т в е т. 9x-5y+9=0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Парабола y^2=x расположена в правой полуплоскости,
[b] x больше или равно 0.[/b]

Пусть точка M(x;y) лежит на прямой.
О(0;0)
По условию
МО=sqrt(2)

sqrt(x^2+y^2)=sqrt(2)
или
x^2+y^2=2
Так как точка M(x;y) лежит и на параболе y^2=x, то заменим
y^2 на x:
x^2+x=2;
x^2+x-2=0
D=1^2-4*(-2)=1+8=9
x_(1)=(-1+3)/2=1 или x_(2)=(-1-3)/2= - 2
x_(2) не удовлетворяет условию x больше или равно 0 Точка с абсциссой х_(2) не лежит в правой полуплоскости.

Значит абсцисса точки пересечения прямой и параболы
х_(1)=1

Тогда
y^2=1
и получаем две точки
M_(1)(1;-1) и M_(2)(1;1)
Уравнение прямой ОM_(1) - уравнение биссектрисы второго и четвертого координатных углов
[b] y= - x [/b]

Уравнение прямой ОM_(2) - уравнение биссектрисы первого и третьего координатных углов
[b] y=x [/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и имеющей фокус на оси Ох имеет вид:
y^2=2p_(1)x
F_(1)(p_(1)/2;0)

Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оy и имеющей фокус на оси Оy имеет вид:
x^2=2p_(2)y
F_(2)(0; p_(2)/2)

Так по условию
F_(1)(p_(2)/2;0)=(2;0) ⇒ p_(1)/2=2 ⇒ p_(1)=4
F_(2)(0; p_(2)/2)=(0;2) ⇒ p_(2)/2=2 ⇒ p_(2)=4

Уравнения парабол имеют вид:
y^2=8x и x^2=8y

Находим точки пересечения парабол, решаем систему уравнений:
{y^2=8x;
{x^2=8y ⇒ y=x^2/8
и подставляем в первое уравнение:
(x^2/8)^2=8x;
x^4/64=8x
x^4=512x
x^4-512x=0
x*(x^3-512)=0
x_(1)=0 или x^3-512=0 ⇒ x_(2)=8
y_(1)=0 ; y_(2)=(x^2_(2))/8=8

Расстояние между точками O(0;0) и А (8;8)
OA=sqrt((8-0)^2+(8-0)^2)=sqrt(64+64)=8sqrt(2)

О т в е т. 8 sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение параболы имеет вид:
y^2=2px ( p > 0)
F(p/2;0) - фокус параболы.

у^2 = 12х
2p=12
p=6
F(3;0)
х=3 - прямая, проходящая через фокус перпендикулярно оси параболы.

Находим точки пересечения прямой x=3 и параболы y^2=12x
y^2=12*3
y^2=36
y_(1)=-6 или y_(2)=6

Прямая x=3 пересекает параболу в точках
A(3:-6) и В (3;6)
d=AB=|y_(2) - y_(1)| = |6 - ( - 6)| =12
О т в е т. 12. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

40% от 225 у.е. составляют
225:100*40=0,4*225=90 - прибыль от продажи двух матрешек.

Пусть стоимость одной матрешки x у.е., тогда стоимость второй матрешки (225-х) у.е.
0,25х у.е. - прибыль от продажи первой матрешки;
0,5*(225-х) у.е - прибыль от продажи первой матрешки.
Прибыль от продажи двух матрешек равна сумме прибылей от продажи каждой.

0,25*х + 0,5*(225-х)=90
0,25х+112,5 - 0,5х = 90
-0,25х = 90 -112,5
0,25х=22,5
x=90
90 у.е. стоимость первой матрешки
225-90=135 у.е. стоимость второй матрешки

О т в е т. 90 у.е; 135 у.е.

Ответ выбран лучшим

1)
а)x^2–6x < 0;
x*(x-6) < 0
Решаем неравенство методом интервалов:
___ (0) __-___ (6) ____

Решение x∈ (0;6)
Целые числа, входящие в этот интервал:
1;2;3;4;5
О т в е т. 1;2;3;4;5
б) x^2–4 < 0;
(x-2)*(x+2) < 0
Решаем неравенство методом интервалов:
___ (-2) __-___ (2) ____

Решение x∈ (-2;2)
Целые числа, входящие в этот интервал:
-1;0;1
О т в е т. -1;0;1

в)3x+x^2 < 0
x*(3+x) < 0
Решаем неравенство методом интервалов:
___ (-3) __-___ (0) ____

Решение x∈ (-3;0)
Целые числа, входящие в этот интервал:
-2;-1
О т в е т.-2;-1

г) x^2–5 < 0.
(x-sqrt(5))*(x+sqrt(5)) < 0
Решаем неравенство методом интервалов:
___ (-sqrt(5)) __-___ (sqrt(5)) ____

Решение x∈ (-sqrt(5);sqrt(5))
Целые числа, входящие в этот интервал:
-2;-1;0;1;2
О т в е т. -2;-1;0;1;2
2)
а) 5z(z+1) < 11z^2+1;
5z^2+5z < 11z^2+1;
6z^2-5z+1 > 0
D=(-5)^2-4*6=1
z_(1)=(5-1)/12=1/3 или z_(2)=(5+1)/12=1/2

Решаем неравенство методом интервалов:
_+__ ((1/3)) __-___ ((1/2)) __+__

Решение x∈ (-бесконечность;(1/3))U)((1/2);+ бесконечность)

б) 2p(p+1) < 5p
2p^2+2p-5p < 0
2p^2-3p < 0
p*(2p-3) < 0
Решаем неравенство методом интервалов:
_+__ (0) __-___ ((3/2)) __+__
Решение (0;(3/2))

Ответ выбран лучшим

1)
{x_(1)-x_(2)=1;
{-2x_(2)+a+1=-x_(2)-3;
{2x_(1)-a+1=-x_(1)-3

{(a-4)/3 -(a+4)=1 ⇒ a=-9,5
{x_(2)=a+4
{x_(1)=(a-4)/3

2)
{x_(1)-x_(2)=1;
{-2x_(2)+a+1=x_(2)+3;
{2x_(1)-a+1=x_(1)+3

{ (a+2)-(a-2)/3=1 ⇒ a=-2,5
{x_(2)=(a-2)/3
{x_(1)=a+2

О т в е т. -9,5; -2,5 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x > 0
{x ≠ 1
{3x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/3
ОДЗ:x ∈ (0;1/3)U(1/3;1)U(1;+ бесконечность )
По формуле перехода к другому основанию:

log_(x)3 = log_(3)3/log_(3)x=1/log_(3)x
log_(3x)x=log_(3)x/log_(3)(3x)=log_(3)x/(log_(3)3+log_(3)x)=
=log_(3)x/(1+log_(3)x)

Замена переменной
log_(3)x=t
Уравнение принимает вид
(t+(1/t)+2)*(t-(t/(1+t)))=6
или
((t^2+2t+1)/t)* ((t^2+t-t)/(1+t))=6

(t+1)^2*t^2/(t*(t+1))=6;

(t*(t+1))^2/(t*(t+1))=6;

{(t+1)*t=6
{t ≠0 и t ≠ -1

Решаем первое уравнение:
t^2+t-6=0
D=1-4*(-6)=1+24=25
t_(1)=(-1-5)/2=-3 или t_(2)=(-1+5)/2=2

-3≠0 и -3 ≠ -1
2≠0 и 2 ≠ -1

Обратная замена

log_(3)x=(-3) или log_(3)x=2
x=3^(-3) или x=3^2
x=1/27 или х=9

Оба найденных корня входят в ОДЗ
О т в е т. (1/27); 9

ω_(i)=5/100=0,05 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть в парке m деревьев.
Пусть вырубили x деревьев.
Осталось (m-x) деревьев

m деревьев составляют 100%
(m - x) деревьев составляют p %

p=(m - x) *100/m

100% - p%= 100% - ((m-x)/m)*100= x*100/m
По условию
число оставшихся деревьев равно числу процентов, на которое число деревьев уменьшилось за время вырубки.

[b] m - х = x*100/m [/b]
m((m - x)= 100*x
Правая часть кратна 100 и x.

Значит, и левая часть кратна 100 и x

Пусть m=kx

kx*(kx-x)=100*x
k*(k-1)*x=100

(k-1)*k - произведение двух последовательных натуральных чисел
k-1=4
k=5
⇒
x=5

Было 5*5 = 25 деревьев, вырубили 5
25-5=20 деревьев осталось

25 деревьев составляют 100%
20 деревьев составляют 80%

100%-80%=20%

20 оставшихся деревьев число равны 20%
О т в е т. 20 деревьев.

Ответ выбран лучшим

По формуле классической вероятности
р=m/n
Испытание состоит в том, что из ШЕСТИ карточек выбирают ЧЕТЫРЕ и раскладывают их по порядку.
n=A^4_(6)=6!/(6-4)!=3*4*5*6=360 способов
m=1
слово ''торс'' при этом появится только в одном случае

p=1/360 = 0,002777777... ≈ 0,0028

О т в е т. 0, 0028 или 0,003

Ответ выбран лучшим

Пусть Х станков - годовой план.

25%=25/100=0,25

0,25*Х станков выпустил завод за первый квартал.

По условию
[b] во втором квартале завод выдал продукции в 1,08 раза больше, чем в первом [/b]

1,08*0,25*X=0,27X станков выпустил завод за второй квартал.

По условию
[b] числа станков, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, находятся в отношении 11,25 : 12 : 13,5. [/b]

Пусть m cтанков - выпустил завод за третий квартал,
n станков выпустил завод за четвертый квартал.

0,27*Х : m : n = 11,25 : 12 : 13,5.

m=12*0,27*X/11,25

m=0,288*X

n=13,5*0,27*X/11,25

n=0,324*X

Всего за 4 квартала завод выпустил

0,25*Х + 0,27*Х + 0,288*Х + 0,324*Х=1,132*Х

X станков составляют 100%
1,132*Х составляют p%

p=1,132*X*100/X=113,2%

113,2%-100%=13,2%
на 13,2% завод перевыполнил план

О т в е т. на 13,2%

Ответ выбран лучшим

По формуле геометрической вероятности
p=S(квадрата)/S(круга)

Пусть сторона квадрата равна a.
S (квадрата)=a^2

S(круга)=Pi*R^2

Найдем выражение стороны квадрата a через радиус круга R.
Так как диаметр круга является диагональю квадрата, то по теореме Пифагора:
a^2+a^2=(2R^2)
2a^2=4R^2
a^2=2R^2

p=a^2/(Pi*R^2)=2R^2/(Pi*R^2)=2/Pi

О т в е т. 2/Pi

Ответ выбран лучшим

Найдем вероятность противоположного события
vector{A} - ''среди наудачу извлеченных 2 деталей нет ни одной стандартной''

Применяем формулу классической вероятности:
p(vector{A})=m/n
Испытание состоит в том, что из десяти деталей выбирают две.
Это можно сделать
n=C^2_(10)=10!/((10-2)!*2!)=45 способами.
Событию vector{A} благоприятствуют исходы испытания, при котором обе детали нестандартные.
Из двух деталей выбрать две можно одним способом.
m=1

p(vector{A})=1/45

p(A)+p(vector{A})=1

p(A)=1 - p(vector{A})=1 - (1/45)= 44/45=0,9777777...

О т в е т. 44/45 ≈ 0,978

Ответ выбран лучшим

''Не менее девяти очков''=''9 очков или 10 очков''
p_(1)=0,3 - вероятность выбить 9 очков при одном выстреле
p_(2)=0,1 - вероятность выбить 10 очков при одном выстреле

p=p_(1)+p_(2)=0,3 +0,1=0,4

О т в е т. 0,4

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=14816

Пусть на p% -процентов повышалась зарплата.
100%+p%=(100+p)%

100 у.е. - первоначальная зарплата составляет 100%
[b]m [/b] y.e - зарплата после повышения на p% и она составляет (100+p)%

[b]m [/b]=(100+p)*100/100=(100+p) у.е.

(100+p) у.е составляют 100%
[b]m [/b] y.e. составляют (100+p)%

[b]m [/b]=(100+p)*(100+p)/100

Уравнение
(100+p)*(100+p)/100 = 125,44

[b](100+p)*(100+p)/100 = 125,44 [/b]

(100+p)^2=12544

100+p=112

p=112-100
p=12

О т в е т. 12%

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

По формуле классической вероятности
p(А)=m/n

n- число исходов испытания
Испытание состоит в том, что 8 книг переставляют на полке, это перестановка из восьми элементов.
n=8!
Событию А - '' две определенные книги окажутся рядом''
благоприятствует
m=2*7!
Свяжем две определенные книги вместе.
Тогда получим перестановку из 7-ми элементов.
Умножаем на два, на перестановку этих определённых книг местами.
p=2*7!/8!=1/4=0,25
О т в е т. 0,25

Ответ выбран лучшим

р=m/n
n=10 000
m=150+50=200
p=200/10000=2/100=0,02

Ответ выбран лучшим

Канонический вид гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

[b] Уравнения асимптот гиперболы имеют вид:[/b]

[b]y=(±b/a)x[/b]

[b]Фокусы гиперболы имеют координаты
F_(1)(-с;0) и F_(2)(с;0)
b^2=c^2-a^2[/b]

В условиях задачи:
a=1; b=1
c^2=a62+b^2=1+1=2
c=sqrt(2)
F_(1)(-sqrt(2);0) ; F_(2)(sqrt(2);0)

Пусть M(x;y) - произвольная точка на гиперболе.
F_(1)M ⊥ F_(2)M
Значит, скалярное произведение векторов
vector{F_(1)M}* vector{F_(1)M} =0

vector{F_(1)M}=(x+sqrt(2);y-0);
vector{F_(2)M}=(x-sqrt(2);y-0);

vector{F_(1)M}* vector{F_(1)M}=
=(x-sqrt(2))*(x+sqrt(2))+y*y=
=x^2-2+y^2

Так как для точек, лежащих на гиперболе
x^2-y^2=1 ⇒ y^2=x^2-1

x^2-2+(x^2-1)=0
2x^2=3
x^2=3/2

x_(1)=-sqrt(3/2) или x_(2)=sqrt(3/2)
y^2=x^2-1=(3/2)-1=1/2
Получаем 4 точки
M_(1)(-sqrt(3/2);-sqrt(1/2));
M_(2)(-sqrt(3/2);sqrt(1/2));
M_(3)(sqrt(3/2);-sqrt(1/2));
M_(4)(sqrt(3/2);sqrt(1/2)); (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Канонический вид гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

[b] Уравнения директрис гиперболы имеют вид:

x=±a/ε,[/b]

где

ε=c/a - эксцентриситет гиперболы

Расстояние между директрисами гиперболы
2d=2a/ε

Фокусы гиперболы имеют координаты
F_(1)(-с;0) и F_(2)(с;0)

Расстояние между фокусами:
F_(1)F_(2)=2c

По условию:
расстояние между фокусами в 4 раза больше расстояния между ее директрисами

2d*4=2c
4d=c

4*(a/ε)=c
4a=c*(c/a) ⇒4a^2=c^2 ⇒ c=2a

Тогда эксцентриситет гиперболы
эпсилон=с/a=2a/a=2
О т в е т. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Канонический вид гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

[b] Уравнения асимптот гиперболы имеют вид:[/b]

[b]y=(±b/a)x[/b]

[b]Фокусы гиперболы имеют координаты
F_(1)(-с;0) и F_(2)(с;0)
b^2=c^2-a^2[/b]

Разделим обе части уравнения на 144:
(9x^2/144)-(16у^2/144)=1
Канонический вид гиперболы:
(x^2/16)-(y^2/9)=1
a^2=16
b^2=9
Тогда
[b] уравнения асимптот гиперболы

y=(±3/4)x[/b]

c^2=b^2+a^2=9+16=25
[b]Фокусы гиперболы имеют координаты
F_(1)(-5;0) и F_(2)(5;0) [/b]

OF_(2)=5
R=OF_(2)=5

Уравнение окружности с центром в точке
F_(2) (5;0) и радиусом R=5 имеет вид

(x-5)^2+(y-0)^2=25;
(x-5)^2+y^2=25

Чтобы найти точки пересечения гиперболы
асимптоты y=(-3/4)x
и
окружности
(x-5)^2+y^2=25
решим систему уравнений:

{y=(-3/4)x
{(x-5)^2+y^2=25

Подставим y=(-3/4)x во второе уравнение
(х-5)^2+((-3/4)x)^2 = 25;

Упрощаем
x^2-10x+25+(9/16)x^2=25
(25/16)x^2-10x=0
x*((5/16)x-2)=0
x_(1)=0 или x_(2)=(32)/5=6,4
y_(1)= (-3/4)*(6,4)=-4,8

Итак, асимптота y=(-3/4)x пересекается с окружностью
(х-5)^2+y^2=25 в точках
O(0;0) и А(6,4; - 4,8)
Аналогично, асимптота y=(3/4)x пересекается с окружностью (х-5)^2+y^2=25 в точках
O(0;0) и B(6,4; + 4,8)

ОА=ОВ=sqrt(6,4^2+4,8^2)=sqrt(40,96+23,04)=sqrt(64)=8
AB=2*4,8=9,6

О т в е т. 8; 9,6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть Х единиц продукции - месячный план выпуска
Проце́нт по определению - сотая часть.

20%=20/100=0,2

0,2Х ед продукции фабрика выполнила за первую неделю.

120%=120/100=1,2
1,2*(0,2Х)=0,24Х ед. продукции фабрика выполнила за вторую неделю.

0,2Х+0,24Х=0,44Х ед. продукции фабрика выполнила за первые две недели.

60% от 0,44Х составляют
0,6*0,44Х=0,264Х ед. продукции фабрика выполнила за третью неделю.

0,44Х+0,264Х=0,704Х ед. продукции фабрика выполнила за три недели

X - 0,704X = 0,296Х ед продукции осталось выполнить фабрике за последнюю (четвертую) неделю.

По условию за последнюю неделю месяца необходимо изготовить 1480 единиц продукции

0,296Х=1480
Х=5000

О т в е т. 5000 ед. продукции - месячный план выпуска продукции

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть х участников конкурса.
58%=58/100=0,58

58% от х это 0,58х

95%=95/100=0,95

95% от х это
0,95*х

0,95x участников остались довольны результатами конкурса.

60%=60/100=0,6

60% от 0,95х это
0,6*0,95х=0,57х участников довольных результатами конкурса получили призы.

0,58x-0,57x=0,01x участников недовольных результатами получили призы

0,01x/0,05x=1/5=20/100=20% участников недовольных результатами конкурса получили призы.

О т в е т.(1/5) или 20%

Ответ выбран лучшим

22 кг свежих грибов составляют 100%
x кг воды составляет 90%
х=22*90/100=19,8 кг

22 - 19,8 = 2,2 кг масса сухого вещества в свежих грибах.

В сухих грибах масса сухого вещества та же,
2, 2 кг.
Вся масса сухих грибов составляет 100%.
Из них 12% влаги, значит
100%-12%=88% составляет сухое вещество в сушеных грибах.
Составляем пропорцию:
m кг сухих грибов составляют 100%
2,2 кг сухого вещества в их составляют 88%

m=2,2*100/88=2,5 кг

О т в е т. 2,5 кг сухих грибов получается из 22 кг свежих

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение гиперболы
(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1
Асимптоты гиперболы
y= ± b/a

У гиперболы
y^2=100-x^2
канонический вид
(x^2/100)-(y^2/100)=1,
a=10; b=10
асимптоты
y= ± x

Прямая y=x - биссектриса 1 и 3 координатных углов.
Прямая y= - x - биссектриса 2 и 4 координатных углов.

Угол между асимптотами равен 90 градусов.
см. рисунок.
О т в е т. 90 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
Асимптоты гиперболы
y= ± b/a

У гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
асимптоты
y= ± x

S (фигуры)=2S(прямоугольного треугольника KAO:
K(0;2); A(2;2) см. рисунок

S (фигуры)=2*(1/2)ОК*КА=2*2=4

О т в е т. 4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ВВ_(1)(боковое ребро)=sqrt(26)
B_(1)E( высота призмы)=5
Из прямоугольного треугольника В_(1)ВЕ:
ВЕ^2=BB^2_(1)-B_(1)E^2=26-25=1
BE=1
tg ∠ B_(1)BE=B_(1)E/BE=5/1=5
О т в е т. 5 (прикреплено изображение)

а) Графиком y=x^2-4x+10 является парабола
с вершиной в точке х_(o)= - b/2a= - (-4)/2=2
y_(o)=2^2-4*2+10=6

Парабола не пересекает ось Ох, так как уравнение
x^2-4x+10=0 не имеет корней,
D=(-4)^2-4*10 = 16-40 =- 24 < 0
Парабола расположена выше оси Ох ( см. рис.)
Поэтому неравенство x^2-4x+10 > 0 верно при любом х

б)
Выделяем полный квадрат
x^2-4x+10=x^2-4x+4+6=(x-2)^2+6
(x-2)^2 больше или равно 0 при любом х
(x-2)^2+6 > 0 при любом х (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

63:6=10,5 пачек.
В ответе указываем целое число.
О т в е т. 11 пачек.

Ответ выбран лучшим

V( призмы)=S(осн.)*H=S(ромба)*H=a^2*sin альфа *h
a- сторона ромба,
альфа - угол между сторонами
h- высота призмы

По условию
V=8,
значит
a^2*sin альфа *h=8

У новой призмы
сторона ромба b, угол между сторонами такой же, угол альфа, высота H
По условию:
H=4h
b=a/2

V( новой призмы)=b^2*sin альфа *H=
=(a/2)^2*sin альфа *4h=(a^2/4)*sin альфа *4h=
=a^2*sin альфа *h=V(данной призмы)=8

Объемы равны.

О т в е т. 8

Решаем однородное:
y``+4y=0
Составляем характеристическое:
k^2+4=0
k= ± 2i
альфа =0; бета =2
Общее решение однородного уравнения имеет стандартный вид:
y_(общее однород.)=С_(1)sin2x+C_(2)cos2x

Так как f(x)=1*sinx+0*cosx, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
y_(част. неодн)=A*sinx+B*cosx

y`=Acosx-Bsinx
y``=-Asinx-Bcosx

Подставляем y`` и y в данное неоднородное уравнение:

-Asinx-Bcosx+4(sinx+Bcosx)=sinx;
3Asinx+3Bcosx=sinx
3A=1
3B=0
A=1/3

y_(частное неодн.)=(1/3)sinx

y_(общее неодн.)=y_(общее одн)+y_(частное неодн.)=

=С_(1)sin2x+C_(2)cos2x+(1/3)sinx

чтобы найти C_(1) и С_(2)
используем условия:
y(0)=1
y`(0)=1

y`=2C_(1)cos2x-2C_(2)sin2x+(1/3)cosx
1=2C_(1)+(1/3)
1=C_(2)

C_(2)=1; C_(1)=(1/3)

О т в е т.
у=С_(1)sin2x+C_(2)cos2x+(1/3)sinx - общее решение данного неоднородного уравнения
y=(1/3)sin2x+2cos2x+(1/3)sinx - частное решение данного неоднородного уравнения, удовлетворяющее задаче Коши.

y``= ∫ y```dx= ∫ (5cos6x+e^(7x))dx=
=5*(1/6) ∫ cos6xd(6x)dx+(1/7) ∫ e^(7x)d(7x)dx=
=(5/6)sin6x + (1/7)e^(7x)+C_(1)

y`= ∫ y``dx= ∫ ((5/6)sin6x + (1/7)e^(7x)+C_(1))dx=
=(5/36)*(-cos6x)+(1/49)e^(7x)+C_(1)x+C_(2)

y= ∫ y`dx=(5/216)(-sin6x)+(1/343)e^(7x)+C_(1)x^2/2+C_(2)x+C_(3)

О т в е т. (5/216)(-sin6x)+(1/343)e^(7x)+C_(1)x^2/2+C_(2)x+C_(3)

Уравнение с разделяющимися переменными
y`=dy/dx

dy/dx=(1+y^2)/(1+x^2)
dy/(1+y^2)=dx/(1+x^2)

Интегрируем
∫ dy/(1+y^2)= ∫ dx/(1+x^2)
arctgy=arctgx+C

При х=0 у=1

arctg1=arctg0+C
C=arctg1=Pi/4

О т в е т.
arctgy = arctg x + C - общее решение;
arctgy = arctgx + (Pi/4) - решение задачи Коши ( частное решение при х=0; y=1)

Ответ выбран лучшим

АБОНЕНТОМ
добросовеСтным

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+3 > 0
{x > 0
ОДЗ: х > 0

Применяем формулу перехода к другому основанию:
log_(4)x=log_(2)x/log_(2)4=(log_(2)x)/2;
уравнение принимает вид:
log_(2)(x+3)-log_(2)x=a;
log_(2)((x+3)/x)=a;
[b] log_(2)(1+(3/x))=a [/b]

Применяем свойства неравенств ( см. приложение)

Так как
3 < x < 4 ( интервал (3;4) входит в ОДЗ)
то
(1/4) < (1/x) < (1/3)
(3/4) < (3/x) < (3/3)=1
1+(3/4) < 1+(3/x) < 1+1
7/4 < 1+(3/x) < 2
Логарифмируем по основанию 2
log_(2) (7/4) < [b] log_(2) (1+(3/x)) [/b] < log_(2)2=1
log_(2)(7/4) < [b] a [/b] < 1

О т в е т. (log_(2)(7/4); 1)
(прикреплено изображение)

tg(x-(Pi/4))=(tgx-tg(Pi/4))/(1+tgx*tg(Pi/4))=(tgx-1)/(1+tgx)
ctgx=1/tgx
Уравнение принимает вид:
(tgx-1)/(tgx+1) =(2/tgx)+1;
{tgx*(tgx-1)=(2+tgx)*(tgx+1);
{tgx ≠ 0; tgx ≠ -1

tg^2x-tgx=2tgx+tg^2x+tgx+2
-4tgx=2
tgx=-1/2
x=arctg(-1/2)+Pik, k ∈ Z
x= - arctg(1/2)+Pik, k ∈ Z

О т в е т. - arctg(1/2)+Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Треугольники АDС, АDB и ABC - прямоугольные, так как
CD^2=AD^2+AC^2; 5^2=4^2+3^2 - верно;
BD^2=AB^2+AD^2; (sqrt(17))^2=1^2+4^2 - верно;
BC^2=AB^+AC^2; (sqrt910))^2=1^2+3^2 - верно.

Применяем формулу ( cм. приложение)
R=3V(пирамиды ABCD)/S(полн.)

V(пирамиды)=(1/3)*S( Δ ABC)*AD=(1/3)*S( ΔABD)*AC=
=(1/3)S( ΔADC)*BD=(1/3)*(1*3*4)/2=2

S(полн.)=S( Δ ABC)+S( ΔABD)+S( ΔADC)+S( ΔBDC).

Проведем высоту АК в треугольнике АВС
Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и половине произведение гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе, то
АВ*AC=AK*BC
АК=1*3/sqrt(10)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
ADK:
DK^2=AD^2+AK^2=4^2+(3/sqrt(10))^2=169/10
DK=13/sqrt(10)

S(полн.)=S( Δ ABC)+S( ΔABD)+S( ΔADC)+S( ΔBDC)=
=(1/2)AB*AC+(1/2)AB*AD+(1/2)AD*AC+(1/2)*BC*DK=
=(1/2)1*3+(1/2)1*4+(1/2)4*3+(1/2)sqrt(10)*(13/sqrt(10))=
=(3/2)+2+6+(13/2)=16

R=3*2/16=3/8

О т в е т. 3/8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение в виде:
a=(x^4+10x^2+1)/(x^3+x)
Решим задачу графически.
Исследуем функцию
f(x)=(x^4+10x^2+1)/(x^3+x) и построим график.

Область определения (- бесконечность;0)U(0;+ бесконечность)
Функция нечетная, так
((-x)^4+10*(-x)^2+1)/((-x)^3+(-x))= - (x^4+10x^2+1)/(x^3+x)

Рассматриваем (0;+ бесконечность )

y`=((x^4+10x^2+1)*(x^3+x)-(x^4+10x^2+1)*(x^3+x)`)/(x^3+x)^2;
y`=((4x^3+20x)*(x^3+x)-(x^4+10x^2+1)*(3x^2+1))/(x^3+x)^2;
y`=(x-1)(x+1)*(x^4-6x^2+1)/(x^3+x)^2
y`=0
x=1 ; x=-1;
x^4-6x^2+1=0
D=36-4=32
x^2=3-2sqrt(2) или x^2=3+2sqrt(2)
Интервалу (0;+ бесконечность ) принадлежат три точки:
x_(1)=sqrt(3-2sqrt(2)); х_(2)=1; x_(3)= sqrt(3+2sqrt(2))

Знак производной:
(0) _-__ (x_(1)) __+__ (x_(2)) __-___ (x_(3)) __+__

x_(2)= 1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
f(1)=(1+10+1)/(1+1)=2
При a=2 уравнение имеет три корня.
При a > 2 уравнение имеет два корня.
( см. рис.)

x_(1) и x_(3) - точки минимума, производная меняет знак с - на +
Покажем, что значения функции в точках x_(1) и x_(3) равны.

f(x_(1))=((3-2sqrt(2))^2+10(3-2sqrt(2)+1)/(sqrt(3-2sqrt(2))*(3-2sqrt(2)+1)=
=8*sqrt(3-2sqrt(2))/(2-sqrt(2);
f(x_(3))=((3+2sqrt(2))^2+10(3+2sqrt(2)+1)/(sqrt(3+2sqrt(2))*(3+2sqrt(2)+1)=
=8*sqrt(3+2sqrt(2))/(2+sqrt(2);

f(x_(1))=f(x_(3)) так как
sqrt(3-2sqrt(2))/(2-sqrt(2)=sqrt(3+2sqrt(2))/(2+sqrt(2)
В самом деле, возводим обе части в квадрат
(3-2sqrt(2))/(4-4sqrt(2)+2)=(3+2sqrt(2)/(4+4sqrt(2)+2)
(3-2sqrt(2))/2*(3-2sqrt(3)=(3+2sqrt(2)/2*(3+2sqrt(2))=1/2
f(x_(1))=f(x_(3))=sqrt(2)/2

C учетом нечетности функции получаем
О т в е т. При a ∈ (- бесконечность;-6)U{-sqrt(2)/2}U{sqrt(2)/2}U(6;+ бесконечность) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОM ⊥ AB; OK ⊥ AD ⇒
AMOK - квадрат.
АМ=АК=r ⇒ BM=AB-AM=9-r; KD=AD-AK=8-r;

Треугольник СON - равнобедренный ( OC=ON=r)
OF- медиана, биссектриса и высота.
OF ⊥ CD
АВ || СD ⇒ OM ⊥ AB и OF ⊥ CD ⇒ три точки M, O и F лежат на одной прямой, на диаметре MP
СN=2BM=2*(9-r)=18-2r
DN=CD-CN=9-(18-2r)=2r-9
Применяем свойство касательной и секущей:
[b]произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.[/b]
DC* DN=DK^2

9*(2r-9)=(8-r)^2;
18r-81=64-16r+r^2;

r^2-34r+145=0
D=34^2-4*145=1156-580=576
r_(1)=(34-24)/2=5 или r_(2)=(34+24)/2=29 ( не удовл. смыслу задачи.)

ND=2r - 9 =2*5-9=1

S ( трапеции ABND)=(AB+ND)*AD/2=(9+1)*8/2=40

О т в е т. 40 кв см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
9х-4a=t ⇒ x=(t+4a)/9
Тогда правая часть
3х-а=3*((t+4a)/9)-a=((t+4a)/3)-a=(t+4a-3a)/3=(t+a)/3
Уравнение принимает вид
sqrt(t)=(t+a)/3
Возводим в квадрат
{t больше или равно 0
{t=(t^2+2at+a^2)/9
t^2+(2a-9)t+a^2=0
Квадратное уравнение имеет единственный корень при
D=0
D=(2a-9)^2-4a^2=4a^2-36a+81-4a^2=81-36a
D=0
81-36a=0
a=81/36
a=9/4
a=2,25
О т в е т. 2,25

(прикреплено изображение)

Условие, при котором прямая Ax+By+C=0 касается эллипса
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 имеет вид

[b]a^2A^2+b^2B^2=C^2[/b]

1) x+2y-sqrt(39)=0
A=1; B=2;C=-sqrt(39)
[b] a^2+4b^2=39 [/b]
2)x-3y+7=0
A=1; B=-3; C=7
[b]a^2+9b^2=49

Решаем систему:
{a^2+4b^2=39
{a^2+9b^2=49
Вычитаем из второго первое:
5b^2=10⇒ b^2=2
a^2=39-4b^2=39-4*2=31

О т в е т. (x^2/31)+(y^2/2)=1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
3^x-3=t ⇒ 3^x = t+3 ⇒ 3^x-5=t-2
Неравенство примет вид:
sqrt(t)/(t-2) < 1
ОДЗ:
{t > 0
{t ≠ 2

(sqrt(t)-t+2)/(t-2) < 0

(t-sqrt(t)-2)/(t-2) > 0

Решаем методом интервалов:
Нули числителя:
t-sqrt(t)-2=0
D=1-4*(-2)=9
sqrt(t)=-1 ( не удовл. ОДЗ для t ) или sqrt(t)=2 ⇒ t=4
Нули знаменателя:
t=2

Отмечаем нули числителя и знаменателя на ОДЗ:
(0) _+___ (2) ___-____ (4) ___+___

0 < t < 2 или t > 4

Обратная замена
0 < 3^x-3 < 2 или 3^x -3 > 4
3 < 3^x < 5 или 3^x > 7
Показательная функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
1 < x < log_(3)5 или x > log_(3)7

О т в е т. (1; log_(3)5) U (log_(3)7; + бесконечность)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения
lg(x+12)*(x+3)=1
По определению логарифма
(x+12)*(x+3)=10^1
x^2+12x+3x+36=10
x^2+15x+26=0
D=225-4*26=121
x_(1)=(-15-11)/2=-13 или x_(2)=(-15+11)/2 = - 2

При х=-13
lg (x+12) и lg(x+3) не существуют
х=-13 - посторонний корень

При х=2
lg(-2+12)+lg(-2+3)=1 - верно
lg10+lg1=1
О т в е т. -2

Замена переменной
7^(x)=t
t > 0
7^(2x)=(7^(x))^2=t^2

t^2-7t+6=0
D=49-24=25
t=1 или t=6

Обратная замена
7^x=1 ⇒ 7^x=7^0 ⇒ x=0
или
7^x=6 ⇒ x= log_(7)6

О т в е т. 0; log_(7)6

12.
См. приложение 1.
- 4 / (6 + а) = 6/2 ⇒
6*(6 + a)=-4*2;
36 + 6a = - 8
6a = -8 -36
6a = - 44
a= -22/3

О т в е т. 2)

13.
См. рис. 2
Пусть сторона куба равна а
d^2=a^2+a^2+a^2
4^2=3a^2
[b]a^2=16/3[/b]
D( сферы) = а
D(сферы)=2R

S( сферы)=4Pi*R^2=PiD^2=Pia^2=Pi*(16/3)=16Pi/3
О т в е т. 2)

14.
Пусть одна часть х, вторая (1500 -х)
4%=0,04
12%=0,12
10,4%=0,104
Уравнение
0,04х +0,12*(1500-х)=0,104*1500;
0,04х +180 - 0,12х = 156
-0,08х= - 24
х=300
1500 - х =1500 - 300 = 1200

О т в е т. 5) 300 (прикреплено изображение)

2a^5-32a=2a*(a^4-16)=2a*(a^2-4)*(a^2+4)=
=2a*(a-2)(a+2)(a^2+4)

a=0; a=2; a=-2 - действительные корни многочлена

y^3+y^2+9y+9=y^2*(y+1)+9*(y+1)=(y+1)*(y^2+9)
y=-1 - действительный корень многочлена

2) x/(x+2) – данная дробь
(x+2)/x – обратная
((x+2)–3)/x =(х–1)/х

(х–1)/х – (х/(х+2)) = 1/15
Приводим к общему знаменателю 15•x•(x+2) и
приравниваем числители:

15•(x–1)•(x+2)–15x•x=x•(x+2)

x2–13x+30=0
D=169–120=49
корни
3 и 10
Дробь
3/5 или (10/12) – не удовл условию: дробь должна быть несократимой.
3+5=8
О т в е т. 3)8.

3)См. рис.
О т в е т. 1) 4
4)
sqrt(x-0,5)=0 или 3*3^x+3*3^(-x)-10=0

1)sqrt(x-0,5)=0 ⇒ x-0,5=0 ⇒ x=0,5

2)3*3^x+3*3^(-x)-10=0
Замена
3^(x)=t
t > 0
3^(-x)=1/t
Уравнение принимает вид
3t+(3/t)-10=0
или
3t^2-10t+3=0
D=100-4*3*3=64
t=1/3 или t=3
Обратная замена
3^x=1/3 ⇒ x=-1
или
3^x=3 ⇒ x=1

Три корня в уравнении:
0,5; -1 и 1
О т в е т. 3) 0,5

5) так как
sin^2x=1-cos^2x, то уравнение принимает вид:
1-cos^2x-(sqrt(3)/2)cosx=1
или
cosx*(cosx+(sqrt(3)/2))=0

cosx=0 или cosx=-sqrt(3)/2
x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z или x = ± (5Pi/6)+2Pin, n ∈ Z
О т в е т. 1)

6)
По определению логарифма
log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x+5=3^2
Квадратное уравнение
log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x - 4 = 0
D=9+16=25
log_(0,5)x=(-1) или log_(0,5)x= 4
x=0,5^(-1) или х=0,5^4
x=2 или x=1/16
Cумма корней
2+(1/16)=33/16
О т в е т. 1)

7)
По условию
{b_(4)-b_(2)=24⇒ b_(2)*q^2-b_(2)=24 ⇒ b_(2)*(q^2-1)=24
{b_(2)+b_(3)=6 ⇒ b_(2)+b_(2)*q=6 ⇒ b_(2)*(1+q)=6

Подставляем
b_(2)*(1+q)=6
в первое уравнение
6*(q-1)=24
q-1=4
q=5

b_(2)*(1+5)=6 ⇒ b_(2)=1

b_(2)=b_(1)*q ⇒ b_(1)=b_(2)/q=1/5

b_(3)=b_(2)*q=1*5=5

b_(4)=b_(3)*q=5*5=25

5b_(1)+2b_(2)+b_(3)+b_(4)=5*(1/5)+2*1+5+25=33

О т в е т. 4)33

8.
f`(x)=((cosx)`*(1+sinx)-cosx*(1+sinx)`)/(1+sinx)^2=

=(-sinx(1+sinx)-cosx*cosx)/(1+sinx)^2=-1/(1+sinx)

f`(Pi/2)=-1/(1+1)=-1/2
О т в е т. 5) -1/2

9.
Координаты середины отрезка равны
((x_(A)+x_(B))/2; (у_(A)+у_(B))/2; (z_(A)+z_(B))/2)

Подставляем данные из условия значения
((4+2)/2;(m-2)/2; (5+n)/2)

Точка принадлежит оси Ох, значит вторая и третья координаты равны 0.
(m-2)/2=0 ⇒ m = 2
(5+n)/2=0 ⇒ n = - 5
m+n=-5+2=-3
О т в е т. 4) -3

|3x-1|=2+x
Возводим обе части в квадрат
9x^2-6x+1=4+4x+x^2
8x^2-10x-3=0
D=100-4*8*(-3)=196
x_(1)=-1/4 или х_(2)=3/2

Проверка:
При х=-1/4
|(-3/4)-1|=2-(1/4) - верно, |-7/4|=7/4
При х=3/2
|(3/2)-1|=2-(3/2)
|1/2|=1/2 - верно

О т в е т. -1/4; 3/2

sqrt(x-0,5)=0 или 3*3^x+3*3^(-x)-10=0

1)sqrt(x-0,5)=0 ⇒ x-0,5=0 ⇒ x=0,5

2)3*3^x+3*3^(-x)-10=0
Замена
3^(x)=t
t > 0
3^(-x)=1/t
Уравнение принимает вид
3t+(3/t)-10=0
или
3t^2-10t+3=0
D=100-4*3*3=64
t=1/3 или t=3
Обратная замена
3^x=1/3 ⇒ x=-1
или
3^x=3 ⇒ x=1

Три корня в уравнении:
0,5; -1 и 1
О т в е т.3) 0,5

Ответ выбран лучшим

1) x/(x+2) - данная дробь
(x+2)/x - обратная
((x+2)-3)/x =(х-1)/х

(х-1)/х - (х/(х+2)) = 1/15
Приводим к общему знаменателю 15*x*(x+2) и
приравниваем числители:

15*(x-1)*(x+2)-15x*x=x*(x+2)

x^2-13x+30=0
D=169-120=49
корни
3 и 10
Дробь
3/5 или (10/12) - не удовл условию: дробь должна быть нескоратимой.
3+5=8
О т в е т. 3)8.

2)См. рис.
О т в е т. 1) 4 (прикреплено изображение)

Перепишем
sqrt(3)*|cosx|-sinx < sqrt (2)

Рассматриваем два случая:
1)
cosx больше или равно 0
x ∈ [(-Pi/2)+2Pin;(Pi/2)+2Pin], n ∈ Z
sqrt(3)cosx-sinx < sqrt(2)
Применяем метод вспомогательного угла
Делим обе части неравенства на 2
(sqrt(3)/2)*cosx - (1/2)*sinx < sqrt(2)/2;
Пусть cos phi=sqrt(3)/2; sinphi=1/2
phi Pi/6
cos(Pi/6)*cosx-sin(Pi/6)sinx < sqrt(2)
cos(x+(Pi/6)) < sqrt(2)/2
(Pi/4)+2Pim < x+(Pi/6) < (7Pi/4)+2Pim, m ∈ Z
(Pi/4)-(Pi/6)+2Pim < x < (7Pi/4)-(Pi/6)+2Pim, m ∈ Z
(Pi/12)+2Pim < x < (19Pi/12) + 2Pim , m ∈ Z

C учетом x ∈ [(-Pi/2)+2Pin;(Pi/2)+2Pin], n ∈ Z
получаем ответ в первом случае

(Pi/12)+2Pim < x < (Pi/2) + 2Pim , m ∈ Z

2)

сosx < 0 ⇒ x ∈ ((Pi/2)+2Pik,(3Pi/2)+2Pik), k ∈ Z

Неравенство примет вид:

sinx > sqrt(3)*(-cosx) - sqrt(2)

sinx +sqrt(3)cosx > - sqrt(2)

Делим на 2
(1/2)*sinx + (sqrt(3)/2)*cosx > - sqrt(2)/2

sin(Pi/6)*sinx+ cos(Pi/6)*cosx > -sqrt(2)/2

cos(x-(Pi/6)) > -sqrt(2)/2

(-3Pi/4)+2Pin < x - (Pi/6) < (3Pi/4) + 2Pin, n ∈ Z

(-3Pi/4)+(Pi/6)+2Pin < x < (3Pi/4) +(Pi/6) + 2Pin, n ∈ Z

((-7Pi/12)+2Pin < x < (11Pi/12) + 2Pin, n ∈ Z

с учетом x ∈ ((Pi/2)+2Pik,(3Pi/2)+2Pik), k ∈ Z

получаем ответ второго случая

((Pi/2)+2Pik; (11Pi/12)+2Pik)U ((17Pi/12)+2Pik; (3Pi/2)+2Pik), k ∈ Z

О т в е т.
((Pi/12)+2Pik,(11Pi/12)+2Pik)U ((17Pi/12)+2Pik; (3Pi/2)+2Pik), k ∈ Z
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
k( касательной)=f`(x_(o))
x_(o)=1
f`(x)=(1+(1/x))`=0-(1/x^2)
f`(x_(o))=f`(1)=-1
Уравнение касательной к кривой у=f(x) в точке (x_(o);y_(o))
имеет вид:
y-y_(o)=f`(x_(o))*(x-x_(o))

y-2 = -1* (x-1)
y=-x+3

Касательная пересекает оси координат в точках
A(0;3) и B(3;0)
По теореме Пифагора длина отрезка касательной - длина АВ равна
AB=sqrt(3^2+3^2)=sqrt(18)=3sqrt(2)
О т в е т. 3sqrt(2)
(прикреплено изображение)

Замена переменной
2^x=t
t > 0
2^(2x)=t^2
t^2-4t+3=0
D=16-4*3=16-12=4
t_(1)=(4-2)/2=1 или t_(2)=(4+2)/2=3

Обратная замена
2^x=1 или 2^(x)=3
x=0 или х=log_(2)3

О т в е т. 0; log_(2)3.

1.
О т в е т. (a-5)/(a+5)
При а=95 получаем
(95-5).(95+5)=90/100=0,9

Так как по формуле суммы кубов:

asqrt(a)+sqrt(125)=(sqrt(a))^3+(sqrt(5))^3=

=(sqrt(a)+sqrt(5))*(a-sqrt(5a)+5)

и действие деление заменим умножением, то

(sqrt(a)-sqrt(5))*(sqrt(a)+sqrt(5))^2/(a+5)*(sqrt(a)+sqrt(5))=
=(a-5)/(a+5)

2.
Вершина параболы
y=(x-a)^2+b находитcя в точке (a; b) ,
где а > 0; b > 0

Cоставляем систему
{5a > 0
{-a^2-3a+10 > 0

{a > 0
{a^2+3a-10 < 0 ⇒ D=49, корни -5 и 2

{a > 0
{-5 < a < 2

О т в е т. (0;2)

10.
6:(1/3)=6*3=18

Второе слагаемое
-0,8:(1,5/0,6*25)=-0,8:(0,1)=-8
последняя дробь
1+(1/(2*0,25))=1+(1/0,5)=1+2=3
6-(46/(1+22))=6-(46/23)=6-2=4

Итог:
18 - 8 +(1/4) + (3/4)=11
О т в е т. 11
11.
Перепишем
-5+| 2 - 6x| < 2x
|2 - 6x | < 2x + 5

Раскрываем модуль по определению
{2-6x больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 1/3
{2-6x < 2x+5 ⇒ -8х < 3 ⇒ x > -3/8
(-3/8) < x меньше или равно (1/3)

{2-6x < 0 ⇒ x > 1/3
{-2+6x < 2x+ 5 ⇒ 4x < 7 ⇒ x < 7/4
1/3 < x < 7/4

О т в е т. ((-3/8) ; 7/4)

10.
В числителе:
45 целых (10/63)-44 целых (25/84)=1 целая + (10/63)-(25/84)=

Приводим дроби со знаменателями 63 и 84 к общему знаменателю:
63=3*21
84=4*21
Общий знаменатель 3*4*21=252
10/63=40/252
25/84=75/252

1 целая = 252/252

1+(10/63)-(25/84)=(252+40-75)/252=217/252=(7*31)/(3*7*12)=31/36

В знаменателе:
2 целых (1/3) - 1 целая 1/9= 2 целых 3/9 - 1 целая 1/9=
=1 целая 2/9=11/9

(11/9) : 4= (11/9)*(1/4)=11/36

(11/36) - (3/4)=(11/36) - (27/36)= -16/36= -4/9

Делим числитель на знаменатель:

(31/36):(-4/9) = - (31/36)*(9/4)= - (9*31)/(36*4)=

=(-31/16)

((-31)/16):31= -(31)/(16)*(1/31)=-1/16

О т в е т. (-1/16)

6.
Перепишем уравнение:
log_(3)(x-2)+log_(3)(x+6)=2

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения.
( При этом область допустимых значений переменной изменится, поэтому в конце решения необходимо сделать проверку)
log_(3)(x-2)*(x+6)=2
(x-2)*(x+6)=3^2
x^2-2x+6x-12=9
x^2+4x-21=0
D=16-4*(-21)=16+84=100
x_(1)=(-4-10)/2=-7 или х_(2)=(-4+10)/2=3

Проверка.
При х=-2 log_(3)(x-2) не существует
х=-2 - посторонний корень.
При х=3
log_(3)(3-2)=2-log_(3)(3+6) - верно, так как
0=2-2 - верно
О т в е т. 3

sqrt(2)=2^(1/2)
sqrt(2)/2=2^(-1/2)
(sqrt(2)/2)^(x)=(2^(-1/2))^x=2^(-x/2)

1/sqrt(256)=1/sqrt(2^(8))=1/2^4=2^(-4)
(1/sqrt(256))^(-x-1)=(2^(-4))^(-x-1)=2^(4x+4)

4^(x)/64=4^x/4^3=4^(x-3)=(2^2)^(x-3)=2^(2x-6)

Неравенство принимает вид:
2^((-x/2)+4x+4) больше или равно 2^(2x-6)
Показательная функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому
(-x/2)+4x+4 больше или равно 2x -6;
3x/2 больше или равно -10
x больше или равно -20/3
О т в е т. [-20/3;+ бесконечность )

2.
Пусть arcctg(-1/4)= альфа

В силу нечетности синуса:
sin( альфа -(5Pi/2)=- sin((5Pi/2)- альфа)
По формулам приведения
sin((5Pi/2)- альфа)=cos альфа

Итак,
sin( альфа -(5Pi/4))=-cos альфа

Так как
arcctg(-1/4)=альфа ⇒ сtg альфа =-1/4 и альфа ∈ (Pi/2;Pi)

1+сtg^2 альфа =1/sin^2 альфа ⇒
1+(-1/4)^2=1/sin^2 альфа
1+(1/16)=1/sin^2 альфа
sin^2 альфа =16/17
cos^2 альфа =1-sin^2 альфа =1-(16/17)=1/17

cos альфа = - 1/sqrt(17), так как угол альфа во второй четверти, а косинус во второй четверти имеет знак минус.

О т в е т. sin(arcctg(-1/4)-(5Pi/2)=1/sqrt(17)

Линейного уравнение первого порядка.
Решаем однородное уравнение
y`+(2/x)y=0
dy/dx=-2y/x - уравнение с разделяющимися переменными.
dy/y=-2dx/x
Интегрируем:
∫ dy/y=-2 ∫ dx/x
ln|y|=-2ln|x|+lnC
y=C/x^2

Метод вариации произвольной постоянной:
y=C(x)/x^2
y`=(C`(x)*x^2-2x*C(x))/x^4

(C`(x)*x^2-2x*C(x))/x^4 + (2*C(x)/x^3)=5x^4

C`(x)/x^2=5x^4
C`(x)=5x^6
C(x)=5*(x^7/7)+ c

y=(5/7)(x^7+c)/x^2

y=(5/7)x^5+(c/x^2)

О т в е т. (5/7)x^5+(c/x^2)

Применяем формулы понижения степени:
cos^2 альфа =(1 + cos2 альфа )/2
sin^2 альфа = (1 - cos2 альфа)/2

cos^6((Pi/4)-x)=(cos^2((Pi/4)-x))^3
cos^2((Pi/4)-x)=(1+cos((Pi/2)-2x))/2=(1+sin2x)/2
cos^6((Pi/4)-x)=(1+sin2x)^3/8

sin^6((Pi/4)+x)=(sin^2((Pi/4)+x))^3
sin^2((Pi/4)+x)=(1-cos(Pi/2)+2x)/2=(1-(-sin2x))/2=(1+sin2x)/2
sin^6((Pi/4)+x)=(1+sin2x)^3/8

Уравнение принимает вид:

(17/8)*(1+sin2x)^3+(7/8)(1+sin2x)^3=3

((17/8)+(7/8))*(1+sin2x)^3=3

3*(1+sin2x)^3=3

1+sin2x=1
sin2x=0 ⇒ 2х=Pin, n ∈ Z ⇒x=(Pi/2)*n, n ∈ Z

О т в е т.(Pi/2)n, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

За 20 минут автобус проехал
60*(20/60)=20 км
Расстояние между автобусом и велосипедистом
составляет
110-20=90 км

С этого момента автобус и велосипедист движутся одновременно и расстояние между ними 90 км

60+15=75 км в час - скорость сближения
90:75=1,2 часа=1 час 12 минут потребуется им на преодоление расстояния в 90 км.
15.20 + 1.12=16.32
О т в е т. В 16 часов 32 минуты встретятся.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
[b] Подкоренное выражение неотрицательно:[/b]
33-4x больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 33/4
[b]По определению арифметического квадратного корня:[/b]
3-х больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 3

Система:
{ x меньше или равно 33/4
{ x меньше или равно 3

ОДЗ: x меньше или равно 3

Возводим обе части уравнения в квадрат

{33-4x=(3-x)^2

33-4x=9-6x+x^2

x^2-2x-24=0

D=(-2)^2-4*(-24)=4+4*24=100
x_(1)=(2-10)/2=-4 или х_(2)=(2+10)/2=6 ( не удовл. ОДЗ)

О т в е т. -4

Ответ выбран лучшим

Случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m вычисляется по формуле:
P(m)= (лямбда ^m/m!)*e^(- лямбда)

лямбда=np

лямбда - среднее значение случайной величины

Значит, вопрос задачи в нахождении параметра лямбда.

Вероятность того, что страница рукописи не содержит ни одной опечатки равна
1 - 0,95=0, 05

По формуле Пуассона
P(0)=((лямбда)^(0)/0!)*e^(-лямбда)=e^(-лямбда)
(лямбда)^(0)=1 и 0!=1

e^(-лямбда)=0,05
Логарифмируем по натуральному логарифму
- лямбда = ln0,05
- лямбда = -2,99573227
лямбда ≈ 3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

p_(1)+p_(2)+p_(3)=1
p_(3)=1-p_(2)-p_(3)=1-0,4-0,15=0,45
О т в е т. 0,45

Ответ выбран лучшим

Вероятность выпадения шестерки при одном броании кости равна (1/6).
Вероятность невыпадения шестерки равна
1-(1/6)=5/6
Значения случайной величины:
х_(1)=0
Вероятность того, что и на первой кости и на второй и третьей шестерка не выпала равна:
p_(1)=(5/6)*(5/6)*(5/6)=125/216

x_(2)=1
Вероятность того, что или первой или на второй или третьей выпала шестерка равна:
p_(2)=(1/6)*(5/6)*(5/6)+(5/6)*(1/6)*(5/6)+(5/6)*(5/6)*(1/6)=
=75/216

x_(3)=2
Вероятность того что или на первой и второй или на второй и третьей или на первой и третьей кости выпала шестерка равна:
p_(3)=(1/6)*(1/6)*(5/6)+(5/6)*(1/6)*(1/6)+(1/6)*(5/6)*(1/6)=
=15/216

x_(4)=3
Вероятность того, что и на первой кости и на второй кости и на третьей кости выпала шестерка равна:
p_(4)=(1/6)*(1/6)*(1/6)=1/216

Проверка, что все вычислено верно:
p_(1)+p_(2)+p_(3)+p_(4)=1

Cоставляем таблицу:
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Всего 28 костей домино, из них 7 дублей.

а) Если первая извлеченная кость дубль, тогда оставшихся костей 27 и среди них 6 подходящих
p=6/27=2/9

б) Если первая извлеченная кость не дубль, тогда оставшихся костей 27 и среди них 12 подходящих (шесть для цифры с одной стороны и 6 для цифры с другой стороны)
p=12/27=4/9

О т в е т. 2/9;4/9

Ответ выбран лучшим

Пусть производительность x единиц продукции в час, тогда за смену 8x единиц продукции.

8х единиц продукции составляют 100%,
k единиц продукции составляют 105%
k=8x*105/100=8,4x единиц продукции

Пусть производительность повышена на p %
(x+0,01px)- новая производительность за час,
7*(х+0,01х) - производительность за 7 часов, что равно
8,4х
Составляем уравнение:
7*(х+0,01*p*x)=8,4x
0,07p=1,4
p=20%

О т в е т. на 20%

Ответ выбран лучшим

Правая вершина эллипса имеет координаты
A(1;0)
Треугольник КАМ - равносторонний, значит все его углы имеют гра.дусную меру 60 градусов.
∠ КАР= ∠ МАР=30 градусов,
k_(прямой АК)=tg150 градусов=-sqrt(3/3)
уравнение прямой АК имеет вид:
y=(-sqrt(3)/3)x+b
Подставим координаты точки А в это уравнение:
0=(-sqrt(3)/3)+b
⇒ b=sqrt(3)/3

Точка К - точка пересечения прямой АК и эллипса.
Координаты точки найдем из системы:
{x^2+(y^2/4)=1
{y=(-sqrt(3)/3)x+(sqrt(3)/3)

x^2+(sqrt(3)/3)^2*(-x+1)^2/4=1
4x^2+(1/3)*(x^2-2x+1)=4
13x^2-2x-11=0
D=(-2)^2-4*(13)*(-11)=4*(1+143)=4*144=(2*12)^2
x_(1)=(2-24)/26=-22/26=-11/13 или x_(2)=1 ( это абсцисса точки А)
y_(1)=(sqrt(3)/3)*((11/13)+1)=8sqrt(3)/13

K(-11/13; 8sqrt(3)/13).
В силу симметрии эллипса относительно координатных осей
M(-11/13; -8sqrt(3)/13)

О т в е т. (-11/13; 8sqrt(3)/13); (-11/13; -8sqrt(3)/13).

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вершины эллипса в точках
А(-4;0); В(0;3); С(4;0); D(0;-3)
Тогда по теореме Пифагора стороны четырехугольника
AB^2=sqrt(4^2+3^2)=sqrt(16+9)=sqrt(25)=5
Р(ромба)=4*AB=4*5=20

О т в е т. 20
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох имеет вид
(x^2/a^2) - (y^2/b^2)=1

Подставим координаты точек М_(1) и М_(2) в уравнение и найдем а и b из системы:

{(36/a^2)-(1/b^2)=1
{(64/a^2)-(8/b^2)=1

⇒
64b^2-8a^2=36b^2-a^2 ⇒
4b^2=a^2

подставляем в первое уравнение
(36/4b^2)-(1/b^2)=1
(9/b^2)-(1/b^2)=1
8/b^2=1
b^2=8

a^2=4b^2=4*8=32

О т в е т.
[b] (x^2/32)-(y^2/8)=1 [/b]

Ответ выбран лучшим

Раскрываем скобки и выделяем полный квадрат
(x-2)*(x-4)=x^2-2x-4x+8=x^2-6x+9-1=(x-3)^2-1

y=(x-3)^2-1 - парабола, которая конгруэнтна парfболе у=x^2
ветви которой также направлены вверх и вершина имеет координаты (3;-1) (прикреплено изображение)

x^2+2x+1+x^2+1=x^2+x+2x+2
x^2-x=0
x*(x-1)=0
x=0 или х-1=0 ⇒ х=1
О т в е т. 0; 1

Δ АВС подобен Δ ВОМ
(ОМ ⊥ СВ ⇒ ОМ || АС)

Из подобия треугольников
следует пропорциональность сторон:
АС:ОМ=АВ:OВ [b](#)[/b]
По условию
АС=4; ОМ=AO=OB=r=3
тогда
АВ=АК+КВ=AO+OK+KB=r+r+КB=2r+KB=6+KB
[b] AB=6+KB[/b]
OB=OK+KB=r+KB=3+KB
[b]OB=3+KB[/b]

Подставляем в (#)
4:3=(6+KB):(3+KB)

Произведение крайних членов пропорции
равно произведению средних:
3*(6+КВ)=4*(3+КВ)ж

18+3КВ=12+4КВ;

КВ=6.

АВ=2r+KB=6+6=12

О т в е т. 12 (прикреплено изображение)

∠АВD=85 градусов.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Значит дуга AD имеет гра дусную меру 170 градусов.

∠САD=19 градусов.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Значит дуга DС имеет гра дусную меру 38 градусов.

Градусная мера дуги АС равна сумме гра дусных мер дуг AD и DC
170 градусов+38 градусов=208 градусов.

Угол АВС - вписанный угол измеряется половиной дуги АС, на которую он опирается.

∠ АВС=208 градусов/2=104 градусов

Ответ выбран лучшим

Выделим полный квадрат.
y= - (x - 1)^2+9 - графиком функции является парабола, ветви вниз, вершина в точке (1;9)

а) множество значений аргумента,
при которых y=0:
x=-2 и х=4;
y < 0
(- бесконечность;-2) U(4; + бесконечность
y > 0
(-2;4);
б) множество значений аргумента, на котором функция возрастает
(-бесконечность; 1),
убывает
(1;+бесконечность);
в) значение х, при котором функция принимает наибольшее значение
При х=1
y=9 - наибольшее
(прикреплено изображение)

27.
(250/100)*15 +(30/100)*20=37,5+6=43,5 г соли

b_(1)=5;
b_(2)=b_(1)q=5q
b_(3)=b_(2)*q=5q*q=5q^2

По условию
3*b_(2)-(b_(3)/2) > 20;
3*5q-(5q^2/2) > 20;
30q-5q^2 > 40
5q^2-30q+40 < 0
q^2-6q+8 < 0
D=6^2-4*8=36-32=4=2^2
q_(1)=(6-2)/2=2 или q_(2)=(6+2)/2=4
2 < q < 4
q=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Пусть первоначальная цена товара x рублей.
х рублей составляют 100%
100%+25%=125%
Находим 125% от х
(х:100)*125=1,25х рублей - цена товара после повышения.

Составляем пропорцию
новая цена 1,25x рублей составляет 100%
старая цена х рублей составляет p %

p=(x*100):1,25x=80

100%-80%= 20%
О т в е т. на 20%

2^(1-3x)=2^4
1-3x=4
-3x=4-1
-3x=3
x=-1

а) f(x)=0
x=1 или х=5
f(x) меньше или равно 0
1 меньше или равно х меньше или равно 5
f(x) больше или равно 0
х меньше или равно 1 или x больше или равно 5
б) f(x)=2,5
х=0 или х=6
f(x)= – 4
не таких х
в) функция f возрастает при х > 3
функция f убывает при х < 3
наименьшее значение функции f(x)=-2 при х=3;
г) область значений функции f.
[-2; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

1=sin^2x+cos^2x

2sinx*1+cos^2x =2sinx*(sin^2x+cos^2x)=
=2sin^3x+2sinx*cos^2x

Уравнение принимает вид:

2sin^3x+2sinx*cos^2x+cos^2x=2sin^3x;

2sinx*cos^2x+cos^2x=0

cos^2x*(2sinx+1)=0

cos^2x=0 или 2sinx+1=0
cosx=0 ⇒ х=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z
или
sinx=-1/2 ⇒ x = (-Pi/6)+2Pin или х=(-5Pi/6)+2Pim, n, m ∈
Z

Указанному промежутку принадлежат корни:
х1=7Pi/2;
x_(2)=(-Pi/6)+4Pi=23Pi/6
x_(3)=9Pi/2

О т в е т.
(Pi/2)+Pik, (-Pi/6)+2Pin, (-5Pi/6)+2Pim, k, m, n ∈ Z
б) 7Pi/2; 23Pi/6; 9Pi/2 (прикреплено изображение)

Пусть M(x;y)
ОК=R=4
OM= sqrt(x^2+y^2)
MK=OK-OM=4-sqrt(x^2+y^2)

МА=sqrt((x-2)^2+(y-0)^2)

По условию
[b] МА=МК [/b]

sqrt((x-2)^2+y^2)=4-sqrt(x^2+y^2) (#)
4-sqrt(x^2+y^2) больше или равно 0 ⇒
sqrt(x^2+y^2) меньше или равно 4 ⇒
x^2+y^2 меньше или равно 16 ⇒ ⇒
Точка М(х;у) расположена внутри области, ограниченной данной окружностью.

Возводим обе части уравнения (#) в квадрат

(x-2)^2+y^2=16 - 8*sqrt(x^2+y^2)+x^2+y^2

8sqrt(x^2+y^2)=12+4x
2sqrt(x^2+y^2)=3+x
x больше или равно - 3
4*(x^2+y^2)=9+6x+x^2
3x^2-6x-9+4y^2=0
3(x^2-2x+1)+4y^2=12
О т в е т. эллипс ((x-1)^2/4) +(y^2/3)=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как
(sqrt(3)+1)^2=(sqrt(3))^2+2sqrt(3)+1=4+2sqrt(3)

Применяем метод замены :
Пусть
sqrt(3)+1=a, a > 0
тогда
4+2sqrt(3)=a^2

Перепишем выражение

log_(sqrt(sqrt(3)+1))7*log_(7)sqrt((4+2sqrt(3))^5)=

=log_(sqrt(a))7*log_(7)sqrt((a^2)^5)=

[применяем в первом логарифме формулу перехода к другому основанию]

=((log_(7)7)/log_(7)(sqrt(a))) * log_(7)sqrt((a^2)^5)=

=log_(7)a^5/log_(7)a^(1/2)=

[ по формуле логарифма степени log_(a)b^(k)=klog_(a)b, a > 0, a≠1;b > 0]

=5log_(7)a/(1/2)log_(7)a=5/(1/2)=10

О т в е т. 10

-2x^2-5x-2=-2*(x^2+(5/2)x+1)=
= -2*(x^2+2*1*(5/4)+(5/4)^2-(5/4)^2+1)=
= -2*((x+(5/4))^2-(25/16)+1)=
=-2*((x+(5/4))^2-(9/16))==-2*(x+5/4)^2+(9/8)

Ответ выбран лучшим

По условию прибыль
f(P,t)=( PQ – 3000Q –1000000 – tQ) рублей
Q=15 000 - P
Значит P=15 000 - Q

Выразим прибыль через Q и t
f(Q,t)=(15 000-Q)*Q-3 000Q-1 000 000 - tQ
или
f(Q,t)=-Q^2+(12 000-t)Q- 1 000 000

По условию
фирма производит такое количество товара, при котором ее прибыль максимальна.
Исследуем функцию на экстремум на [0; 15 000]

Находим производную по переменной Q

f`(Q,t)_(Q)=-2Q+(12 000 -t)
Приравниваем к 0
-2Q+(12 000 -t)=0 ⇒
Q=(12 000 - t)/2 - точка максимума, производная меняет знак с - на +
Обозначим
g(t)=tQ - налог, собранный государством
Подставим наибольшее Q=(12 000 - t)/2
и получим
g(t)=(12 000 - t)*t/2
Исследуем функцию g(t) на максимум на (0; 10 000)

g`(t)=6000 - t
g`(t)=0
t=6000
6000- внутренняя точка (0; 10 000), это точка максимума, производная меняет знак с + на -
О т в е т. 6000

Ответ выбран лучшим

Дробь неправильная, степень числителя равна степени знаменателя.
Выделяем целую часть
(x^3+1)/(x^3-x^2)=((x^3-x^2)+(x^2+1))/(x^2-x^2)=

= 1 + ((x^2+1)/(x^3-x^2)

Раскладываем дробь
(x^2+1)/(x^3-x^2) на простейшие.
Знаменатель
x^3-x^2=x^2*(x-1)

(x^2+1)/(x^3-x^2)=(A/x)+(B/x^2)+(D/(x-1))

x^2+1= Ax*(x-1)+B*(x-1)+D*x^2
Применяем метод частных значений
при х=0
1=-В
при х=1
2=4D
D=1/2
при х=2
5=2А+В+4D
A=3

О т в е т.
∫ (x^3+1)/(x^3-x^2)= ∫ (1+(3/x)-(1/x^2)+(1/2)*(1/(x-1)))dx=

=x+3ln|x| +(1/x)+(1/2)ln|x-1| + C

z`_(x)=z`_(u)*u`_(x)+z`_(v)*v`_(x)
z`_(y)=z`_(u)*u`_(y)+z`_(v)*v`_(y)

z`_(u)=(arcsinu^3v^5)`_(u)=(u^3*v^5)`_(u)/sqrt(1-(u^3v^5)^2)=

=3u^2v^5/sqrt(1-u^6v^(10));

z`_(v)=(arcsinu^3v^5)`_(v)=(u^3*v^5)`_(v)/sqrt(1-(u^3v^5)^2)=

=5u^3v^4/sqrt(1-u^6v^(10));

u`_(x)=(e^(2x+y))`_(x)=e^(2x+y)*(2x+y)`_(x)=

=e^(2x+y)*2=2*e*(2x+y)

u`_(y)=(e^(2x+y))`_(y)=e^(2x+y)*(2x+y)`_(y)=

=e^(2x+y)*1=e^(2x+y)

v`(x)=(cosx-siny)`_(x)=-sinx+0=-sinx

v`(y)=(cosx-siny)`_(y)=0-cosy=-cosy

О т в е т.
z`_(x)=(6u^2v^5*e*(2x+y))/sqrt(1-u^6v^(10))+
+(5u^3v^4*e^(2x+y))/sqrt(1-u^6v^(10))
z`_(y)=(-3*u^2*v^5*sinx)/sqrt(1-u^6v^(10))-
(5u^3*v^4*cosy)/sqrt(1-u^6v^(10))

Ответ выбран лучшим

vector{a}=(2;-3)
Направляющие косинусы:
cos альфа =2/sqrt(2^2+(-3)^2)=2/sqrt(13)
cos бета =-3/sqrt(2^2+(-3)^2)=-3/sqrt(13)

z`_(x)=2/(2x+3y)
z`_(y)=3/(2x+3y)

z`_(x)(A)=2/(2*2+3*2)=2/10
z`_(y)(A)=3/(2*2+3*2)=3/10

z`_(vector{a})(A)=z`_(x)(A)*cos альфа +z`_(y)(A)*cos бета=

=(2/10)*(2/sqrt(13))+(3/10)*(-3/sqrt(13))=

=4/(10sqrt(13)) - 9/(10sqrt(13)) = -5/(10sqrt(13))=

=-1/(2sqr(13))

О т в е т. -1/(2sqrt(13))

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=28667

ОДЗ:
{4-x+x^2 > 0 при любом х, так как D=1-4*4 < 0

Возводим обе части уравнения в квадрат при условии, что
2x больше или равно 0
Получаем систему:
{2x больше или равно 0;
{(2x)^2=(sqrt(4-x+x^2))^2

{x больше или равно 0
{3x^2+x-4=0

{x больше или равно 0
{x=-4/3 или x=1

О т в е т. х=1

2. Применяем метод интегрирования по частям
∫ udv=u*v- ∫ vdu

Обозначаем:
lnx=u
(x+2)dx=dv

du=dx/x
v=(x^2/2)+2x

∫ (x+2)*lnxdx=((x^2/2)+2x)*lnx - ∫ ((x^2/2)+2x)*(dx/x)=

=((x^2/2)+2x)*lnx - ∫ ((x/2)+2)dx=

=((x^2/2)+2x)*lnx - (x^2/4)-2x + C

3.
Раздели обе части уравнения на х:
y`=(y/x)-e^(y/x)
Уравнение имеет вид:
y`=phi(y/x) - это однородное уравнение первого порядка.
Обозначим
(y/x)=u ⇒ y=ux
y`=u`*x + u* x` ( x`=1, так как х - независимая переменная)

u`*x + u = u - e^(u)
u`*x = - e^(u) - это уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
x*(du/dx)=-e^(u)
- du/e^(u)=dx/x
Интегрируем
∫ e^(-u)d(-u) = ∫ dx/x
e^(-u) = ln|x| + ln C, C > 0

e^(-u)=ln(C|x|)

Обратная замена
e^(- y/x)=lnC|x| - общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть автомобиль стоит a денежных единиц, его стоимость составляет 100%.
Пусть картина стоит b денежных единиц, ее стоимость составляет (100%+х%)=(100+х)% по отношению к стоимости автомобиля.
Составляем пропорцию:
a денежных единиц составляют 100%
b денежных единиц составляют (100+х)%

b=a*(100+x)/100

Составляем вторую пропорцию:
Стоимость картины составляет 100%,
стоимость автомобиля составляет y%

a*(100+x)/100 денежных единиц составляют 100%
a денежных единиц составляют y%

y=a*100/(a*(100+x)/100)=10000/(100+x) % составляют а денежных единиц

100% - y%= 100 - (10000/(100+x))=(10000+100x-10000)/(100+x)=(100x/(100+x)) %

О т в е т. на (100/(100+х))%

Найдем точки пересечения кривых:
y=1/(1+x^2) и y=x^2/2
1/(1+x^2)=x^2/2

2=x^2+x^4
x^4+x^2-2=0
D=9
x^2=-2 или x^2=1

x^2=-2 уравнение не имеет корней
x^2=1 ⇒ x= ± 1
S= ∫ ^(1)_(-1) ((1/(1+x^2))-x^2/2)dx=2*∫ ^(1)_(0) ((1/(1+x^2))-x^2/2)dx=

=2*(arctgx - (x^3/6))| ^(1)_(0) =

=2arctg1-(1/6)=2*(Pi/4)-(1/6)=(Pi/2)-(1/6)

О т в е т. (Pi/2)-(1/6) (прикреплено изображение)

Замена
sqrt((2x-1))=t
2x-1=t^2 ⇒ 2x=t^2+1 ⇒
x=(t^2+1)/2
dx=tdt

5- x=5-(t^2+1)/2=(9-t^2)/2
Меняем пределы интегрирования:
если х=5,5, то t=sqrt((2*5,5-1))=sqrt(10) - нижний предел
если x=6, то t=sqrt(2*6-1)=sqrt(11) - верхний предел
∫ ^(6)_(5,5)sqrt(2x-1)dx/(5-x)=
= ∫^(sqrt(11))_(sqrt(10)) (t*tdt)/((9-t^2)/2)=
= - 2∫^(sqrt(11))_(sqrt(10)) (9-t^2+9)dt/(9-t^2)=
= -2 ∫^(sqrt(11))_(sqrt(10)) dt - 18 ∫^(sqrt(11))_(sqrt(10)) dt/(9-t^2)=
=-2t|^(sqrt(11))_(sqrt(10)) -
-(18/(2*3))ln|(3+t)/(3-t)|^(sqrt(11))_(sqrt(10)) =

=-2sqrt(11)+2sqrt(10)- 3 ln|(3+sqrt(11))/(3-sqrt(11))|+
+3 ln|(3+sqrt(10))/(3-sqrt(10))| =

=2sqrt(10)-2sqrt(11)+
+3ln|(3+sqrt(10))*(3-sqrt(11))/(3-sqrt(10))*(3+sqrt(11))|

По условию
p - вероятность что при считывании показаний прибора [b]допущена[/b] ошибка
q=1-p - вероятность того, что при считывании прибора [b]не допущена [/b] ошибка
События
A-''при считывании показаний прибора допущена хотя бы одна ошибка''
и
vector{A} -''при считывании показаний прибора не допущено ни одной ошибки''
противоположны
p(vector{A})=q^n
p(A)=1-q^(n)
По условию p(A)=P
P > альфа

Неравенство
1 - q^(n) > альфа ⇒ 1 - альфа > q^(n) ⇒
q^(n) < 1 - альфа

Логарифмируем по основанию e:
lnq^(n) < ln ( 1 - альфа)
n* lnq < ln ( 1- альфа )
n < ln(1 - альфа )/lnq
n < log_(q)(1 - альфа )
n < n_(o)
n_(o)= [log_(q)(1 - альфа )]+1

О т в е т. [log_(q)(1 - альфа )]+1

Ответ выбран лучшим

Согласно метода моментов для распределения с одним параметром, его оценка определяется из уравнения:
M[X]=vector{x}

Математическое ожидание случайной величины, распределённой по закону Пуассона:
M[X]=лямбда

Следовательно
лямбда=vector{x}

Значит, для оценки параметра лямбда, найдем выборочное среднее арифметическое значение
vector{x}=(1/n)*(x_(0)*p_(0)+x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4))=
=(132*0+43*1+20*2+3*3+4*2)/200=100/200=1/2=0,5
О т в е т. 0,5

Ответ выбран лучшим

Делим обе части уравнения на х
y`+(y/x)=sqrt(1+(y/x)^2)
Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u` (x`=1, так как х - независимая переменная)

u+x*u`+u=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными.
u`=du/dx
x*(du/dx)=sqrt(1+u^2)-2u
du/(sqrt(1+u^2)-2u)=dx/x
Интегрируем
∫ du/(sqrt(1+u^2)-2u)=∫ dx/x

Применяем тригонометрическую подстановку
u=tgt
du=dt/cos^2t

∫ dt/cost(1-2sint) = ln|x|+lnC

Для вычисления первого интеграла надо применить универсальную тригонометрическую подстановку
tg(t/2)=z ⇒
cost=(1-tg^2(t/2))/(1+tg^2(t/2))=(1-z^2)/(1+z^2);
sint=2tg(t/2)/(1+tg^2(t/2))=2z/(1+z^2)

t/2=arctgz
t=2arctgz
dt=2dz/(1+z^2)

∫dt/cost(1-2sint)= ∫2(1+z^2)dz/(1-z^2)(z^2-4t+1) - интеграл от дроби.
Её нужно разложить на простейшие....

Я так думаю, что уравнение имеет вид:
xy`- y = sqrt(x^2+y^2)

Тогда та же замена приводит к уравнению с разделяющимися переменными более простого вида:
u+x*u`-u=sqrt(1+u^2)
du/sqrt(1+u^2)=dx/x
ln|u+sqrt(1+u^2)|=lnx+lnC
u+sqrt(1+u^2)=Cx
(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx - общее решение дифференциального уравнения:
xy`- y = sqrt(x^2+y^2)

Ответ выбран лучшим

Задача на формулу полной вероятности.

Рассмотрим следующие гипотезы
( связаны с первоначальным составом урны):
Н_(0) - ''в урне нет белых шаров''
H_(1) - '' в урне один белый шар''
...
H_(n)-''в урне n белых шаров''

Всего (n+1) гипотеза.
Гипотезы составляют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей этих событий равна 1.
Все гипотезы равновероятны, значит
p(H_(0))=p(H_(1))=...p(H_(n))=1/(n+1)

Cобытие А - ''из урны извлечен белый шар''
Событие A/H_(0) - ''из урны извлечён белый шар, при условии, что в урне не было белых шаров, но в нее добавили один белый, значит там (n+1) шар и среди них один белый шар''
p(A/H_(0))=1/(n+1)

A/H_(1) - ''в урне был один белый шар, после того как в нее добавили один белый, там стало два белых шара. Из урны, содержащей (n+1) шар, среди который два белых, извлекли белый''
p(A/H_(1))=2/(n+1)

...
A/H_(n) - в урне n белых шаров, после того как нее добавили еще один белый, там (n+1) белых шаров. Из нее извлекли белый шар''
р(А/Н_(n))=(n+1)/(n+1)=1

По формуле полной вероятности
p(A)=p(A/H_(0))*p(H_(0)) + p(A/H_(1))*p(H_(1)) + ...+
+p(A/H_(n))*p(H_(n))=

=(1/(n+1))*(1/(n+1)) + (2/(n+1))*(1/(n+1)) + ... + ((n+1)/(n+1))*(1/(n+1)) =

=(1/(n+1)) * (1+2+...+(n+1))/(n+1)=

=(1/(n+1)^2)*(1+(n+1))*(n+1)/(2)=

=(n+2)/(2(n+1))

О т в е т. (n+2)/(2(n+1))

Ответ выбран лучшим

x_(1)=1 - сброшена одна бомба
p_(1)=0,7 - ( первый попал)

x_(2)=2 - сброшено две бомбы
p_(2)=0,3*0,8=0,24 ( первый промахнулся, второй попал)

x_(3)=3 - сброшено три бомбы
р_(3)=0,3*0,2*0,7=0,042 ( первый промахнулся, второй промахнулся, первый попал)

x_(4)=4 - cброшено четыре бомбы
p_(4)=0,3*0,2*0,3*0,8=0,0144 ( первый промахнулся, второй промахнулся, первый промахнулся, второй попал)

таблица

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Задача на применение формулы Байеса (Бейеса).
Пусть событие A_(i)- '' i-ый стрелок поразил мишень''
p(A_(1))=0,6
p(A_(2))=0,5
p(A_(3))=0,4
событие vector{A_(i)} - ''i-ый стрелок не попал в цель''
p(vector{A_(1)})=1-0,6=0,4
p(vector{A_(2)})=1-0,5=0,5
p(vector{A_(3)})=1-0,4=0,6

Вводим в рассмотрение гипотезы:
A_(3) -''третий стрелок попал в цель''
vector{A_(3)} - ''третий стрелок не попал в цель''

р(A_(3))+p((vector{A_(3)})=1

Событие А - ''две пули поразили мишень''

Событие А/А_(3) - ''мишень поразили две пули, причем одна из них принадлежит третьему стрелку, а вторая или первому или второму''
р(А/A(3))=p(A_(1))*p(vector{A_(2)})+p(vector{A_(1)})*p(A_(2))=
=0,6*0,5+0,5*0,4=0,5
Событие A/vector{A_(3)} - ''мишень поразили две пули
первого и второго стрелка''
р(А/vector{A_(3)})=p(A_(1))*p(A_(2))=
=0,6*0,5=0,3

По формуле полной вероятности:
р(А)=р(А/A_(3))*p(A_(3))+р(А/vector{A_(3)}*p(vector{A_(3)})=
=0,5*0,4+0,3*0,6=0,2+0,18=0,38

По формуле Байеса:
Р(A_(3)/A)=р(А/H_(3))*p(A_(3))/p(A)=0,2/0,38=20/38=
=10/19=0,526315789≈ 0,53
О т в е т. 10/19 ≈0,53

Ответ выбран лучшим

Вероятность того, что в партии из пяти деталей ровно 4 стандартные найдем по формуле Бернулли:
P_(n)(m)=C^(m)_(n)*p^(m)*q^(n-m)

По условию p=0,9, значит q=1-p=1-0,9=0,1
P_(5)(4)=C^4_(5)*p^4*q=5*0,9^4*0,1=0,32805.

X - случайная величина числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия.
Так как математическое ожидание дискретной случайной величины по определению равно:
M[X]=x_(1)p_(1)+ ... +x_(n)*p_(n)

Все испытания независимы, вероятность в каждом испытании одна и та же.
р_(1)=... = p_(n)=0,32805
x_(1)+... +x_(n)=50

M[X]=50*P^(4)_(5)=50*0,32805 ≈ 16,4

О т в е т. M[X]≈ 16,4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Время ожидания автобуса является случайной величиной [b] равномерно распределенной [/b] в интервале [0;5]
Плотность вероятности f(x)=1/5

P(0 меньше или равно X меньше или равно 3)=3/5=0,6

О т в е т. 0,6

Ответ выбран лучшим

Рассмотрим случайную величину Х - отклонение размера от проектного.
Деталь будет признана годной, если случайная величина принадлежит интервалу [-10;10] .

Вероятность изготовления годной детали найдём по формуле (cм нормальный закон распределения):
P(|X|меньше или равно ε )=2Ф(ε/σ)
По условию
σ=5
а=0
ε=10

P( -10 меньше или равно X меньше или равно 10)=
=Ф(10/5)-Ф(-10/5)=Ф(2)-Ф(-2)=
=2Ф(2)=2*0,4772=0,9544
О т в е т. 95% (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию: имеются три отрезка одинаковой длины.
Вероятность попадания точки на один из трёх равных отрезков равна 1/3

Вероятность, того что вторая точка попадет на второй отрезок равна 1/3

Вероятность того, что третья точка попадет на третий отрезок равна 1/3

Так как на первый отрезок может может попасть любая из трех точек ( три способа), а на второй - любая из двух оставшихся ( два способа), а на третий отрезок оставшаяся третья точка ( один способ), то варианты выбора точки на отрезке определяются перестановок без повторений из трех элементов:
Р=3!=1*2*3=6

По правилу умножения вероятностей

р=6*(1/3)*(1/3)*(1/3)=6/27=2/9

О т в е т. 2/9

Задача на применение формулы полной вероятности.

Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) - ''студент делает расчет на клавишном автомате''
Н_(2) -''студент делает расчет на полуавтомате''

Всего 6+4=10 машин для выполнения расчета
Поэтому
р(H_(1))=6/10
p(H_(2))=4/10

р(H_(1))+p(H_(2))=1

Событие А - ''до окончания расчета машина не выйдет из строя''
р(А/H_(1))=0,95
р(А/H_(2))=0,8

По формуле полной вероятности:
р(А)=р(А/H_(1))*p(H_(1))+р(А/H_(2))*p(H_(2))=

=0,95*(6/10)+0,8*(4/10)=0,57+0,32=0,89

О т в е т. 0,89

Ответ выбран лучшим

Задача на применение формулы полной вероятности.

Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) - ''деталь изготовлена на заводе №1''
Н_(2) -'' деталь изготовлена на заводе №2 ''
Н_(3) -'' деталь изготовлена на заводе №3 ''
Всего деталей в ящике 12+20+18=50
Поэтому
р(H_(1))=12/50
p(H_(2))=20/50
р(H_(3))=18/50

р(H_(1))+p(H_(2))+p(H_(3))=1

Событие А - ''извлеченная наудачу деталь отличного качества''
р(А/H_(1))=0,9
р(А/H_(2))=0,6
p(A/H_(3))=0,9

По формуле полной вероятности:
р(А)=р(А/H_(1))*p(H_(1))+р(А/H_(2))*p(H_(2))+р(А/H_(3))*p(H_(3))=

=(12/50)0,9+(20/50)*0,6+(18/50)*0,9=0,78

О т в е т. 0,78

Ответ выбран лучшим

Задача на применение формулы Байеса (Бейеса).

Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) - ''проезжающая машина грузовая''
Н_(2) -'' проезжающая машина легковая ''
По условию

р(H_(1)):p(H_(2))=3:2
Пусть
p(H_(1))=3x
p(H_(2))=2x
так как
р(H_(1))+p(H_(2))=1
3х+2х=1
5х=1
х=1/5

Значит,
p(H_(1))=3/5
p(H_(2))=2/5

Событие А - ''машина подъехала на заправку''
р(А/H_(1))=0,1
р(А/H_(2))=0,2

По формуле полной вероятности:
р(А)=р(А/H_(1))*p(H_(1))+р(А/H_(2))*p(H_(2))=
=0,1*(3/5)+0,2*(2/5)=7/50

По формуле Байеса:
Р(H_(1)/A)=р(А/H_(1))*p(H_(1))/p(A)=0,1*(3/5)/(7/50)=3/7

О т в е т. 3/7

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
tgx=t
t^2+5t+6=0
D=5^2-4*6=25-24=1
t=(-5-1)/2=-3 или t=(-5+1)/2=-2

tgx = - 3 ⇒ x= arctg(-3)+Pik, k ∈Z
⇒ x=-arctg3+Pik, k ∈ Z
или
tgx = - 2 ⇒ x= arctg(-2)+Pin, n ∈Z
⇒ x=-arctg2+Pin, n ∈ Z

б) x= - arctg3-Pi и х=-arctg2-Pi - корни, принадлежащие отрезку [-2Pi;-Pi/2]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
p=0,51; значит q=1-0,51=0,49
Применяем формулу Бернулли:
Р_(n)(k)=C^(k)_(n)p^(k)*q^(n-k)
а) два мальчика;
P_(5)(2)=C_(5)^2*p^(2)*q^(3)=(5!/(3!*2!))*0,51^(2)*0,49^(3)=
=10*0,2601*0,117649 ≈ 0,3
б) не более двух мальчиков (значит меньше или равно двум)
Р_(5)(2)+Р(5)(1)+P_(5)(0)=
=С^2_(5)p^(2)*q^3+C^(1)_(5)p^(1)*q^(4)+C^(0)_(5)*p^(0)*q^(5)=
=10*0,51^3*0,49^2+5*0,51*0,49^4+1*1*0,49^5≈
≈ 0,3+0,147+0,03=0,477
в) более двух мальчиков;
Р_(5)(k > 2)=P_(5)(3)+P_(5)(4)+P_(5)(5)=
=C_(5)^3*p^3*q^2+C^(4)_(5)*p^4*q^1+C^5_(5)*p^5*q^(0)=
=10*0,51^(3)*0,49^2+5*(0,51)^4*0,49+1*0,51^5*0,49^(0)≈
≈0,32+0,17+0,03=0,52
г) не менее двух и не более трех мальчиков.
P_(5)(2 меньше или равно k меньше или равно 3) =P_(5)(2)+P_(5)(3)=C_(5)^2*p^2*q^3+C_(5)^3*p^3*q^2=10*0,51^3*0,49^2+10*0,51^(3)*0,49^2≈ 0,3+0,32=0,62

Ответ выбран лучшим

Задача на применение формулы Байеса.

Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) -''больной с заболеванием К''
Н_(2) - ''больной с заболеванием L''
Н_(3) - '' больной с заболеванием М''

По условию
р(H_(1))=0,5, (50%=50/100=0,5)
p(H_(2))=0,3, (30%=30/100=0,3)
p(H_(3))=0,2 (20%=20/100=0,2)

р(H_(1))+p(H_(2))+p(H_(3))=1

Событие А - '' больной выписан здоровым''
р(А/H_(1))=0,7
р(А/H_(1))=0,8
р(А/H_(1))=0,9

р(А)=р(А/H_(1))*p(H_(1))+р(А/H_(2))*p(H_(2))+р(А/H_(3))*p(H_(3))=
=0,7*0,5+0,8*0,3+0,9*0,2=0,35+0,24+0,18=0,77

По формуле Байеса
Р(Н_(1)/А)=р(А/H_(1))*p(H_(1))/p(A)=0,35/0,77=35/77
=5/11≈ 0,454545...

О т в е т. 0,45

Ответ выбран лучшим

Задача на применение формулы Байеса (Бейеса).

Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) - ''перфокарта изготовлена первой перфораторщицей''
Н_(2) -'' перфокарта изготовлена второй перфораторщицей ''
По условию

р(H_(1))=p(H_(2))=0,5 ( одинаковое число перфокарт набили)
р(H_(1))+p(H_(2))=1

Событие А - ''обнаружена ошибка на перфокарте''
р(А/H_(1))=0,05
р(А/H_(2))=0,1

По формуле полной вероятности:
р(А)=р(А/H_(1))*p(H_(1))+р(А/H_(2))*p(H_(2))=
=0,05*0,5+0,1*0,5=0,025+0,05=0,075

По формуле Байеса:
Р(H_(1)/A)=р(А/H_(1))*p(H_(1))/p(A)=0,025/0,075=
=1/3=0,333333...

О т в е т. 1/3 ≈ 0,3

Ответ выбран лучшим

Задача на применение формулы Байеса (Бейеса).

Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) -''изделие попадёт к первому продавцу''
Н_(2) - ''изделие попадёт ко второму продавцу''
По условию

р(H_(1))=0,55,
p(H_(2))=0,45,
р(H_(1))+p(H_(2))=1

Событие А - ''изделие признано стандартным''
р(А/H_(1))=0,9
р(А/H_(2))=0,98

По формуле полной вероятности:
р(А)=р(А/H_(1))*p(H_(1))+р(А/H_(2))*p(H_(2))=
=0,9*0,55+0,98*0,45=0,495+0,441=0,936

По формуле Байеса:
Р(H_(2)/A)=р(А/H_(2))*p(H_(2))/p(A)=0,441/0,936=
=0,471153846≈0,47

О т в е т. 0,47

Ответ выбран лучшим

Случайная величина Х имеет следующие возможные значения:
x_(1)=1;
x_(2)=2;
x_(3)=3.

P(X=1)=(C^(1)_(4)*C^(2)_(2))/С^(3)_(6)=(1/5)=0,2
P(X=2)=(C^(2)_(4)*C^(1)_(2))/С^(3)_(6)=(3/5)=0,6
P(X=3)=(C^(3)_(4)*C^(0)_(2))/С^(3)_(6)=(1/5)=0,2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

p=0,01 вероятность р мала ⇒ q=1-p=1-0,01=0,99
n=200 велико
k=4

Применяем формулу Пуассона
P_(n)(k)=(лямбда^(k)/k!)*e^(-лямбда)
лямбда=np=200*0,01=2
k=4

P_(200)(4) =(2^(4)/4!)*e^(-2) =0,0902 ( cм. приложение) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению:
F(x)= ∫ ^(x)_(-∞)f(t)dt

Так как f(x) - кусочная функция, то решение разобьется на три случая ( три шага):
1)
На(- бесконечность ; Pi/6]
f(x)=0
поэтому
F(x)= ∫ ^(x)_(-∞)[b]0[/b]dt=0
2)
На (Pi/6; Pi/3]
f(x)=3sin3x

F(x)= ∫ ^(x)_(-∞)f(t)dt= ∫ ^(Pi/6)_(-∞)0dt+ ∫ ^(x)_(Pi/6)[b]3sin3t[/b]dt=

=0+ (-cos3t)|^(x)_(Pi/6)=-cos3x+cos(Pi/2)=-cos3x

3)
На(Pi/3;+ бесконечность )
f(x)=0

F(x)= ∫ ^(x)_(-∞)f(t)dt= ∫ ^(Pi/6)_(-∞)0dt+ ∫ ^(Pi/3)_(Pi/6)3sin3tdt+

+ ∫ ^(x)_(Pi/3)[b]0[/b]dt=0+(-cos3t)|^(Pi/3)_(Pi/6)+0=

=-cos(Pi)+cos(Pi/2)=-(-1)+0=1

F(x)=
{0, при x меньше или равно Pi/6;
{-cos3x, при Pi/6 < x меньше или равно Pi/3
{1, при x > Pi/3

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y``-3y`-4y=0
Cоставляем характеристическое уравнение
k^2-3k-4=0
D=(-3)^2-4*(-4)=25
k_(1)=(3-5)/2=-1 или k_(2)=(3+5)/2=4
Общее решение однородного уравнения в этом случае
( два действительных различных корня) имеет вид
y_(общее одн)=С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(4x)

Частное решение данного неоднородного уравнения со специальной правой частью f(x)=x находим в виде
y_(част)=Ax+B
y`_(част)=A
y``_(част)=0

Подставляем в данное уравнение
0-3А-4Ax-4B=x
Два многочлена равны, если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях переменной
-4А=1
-3А-4В=0

А=-1/4
В=(-3/4)А=(-3/4)*(-1/4)=3/16

y_(част)=(-1/4)х+(3/16)
О т в е т. y=y_(общее одн.)+y_(част)=
=С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(4x)+(-1/4)x+(3/16)

(2a-1)^4=((2a-1)^2)^2=(4a^2-4a+1)^2=
=(4a^2-4a+1)*(4a^2-4a+1)=
=16a^4-16a^3+4a^2-16a^3+16a^2-4a+4a^2-4a+1=
=16a^4-32a^3+24a^2-8a+1

По формуле бинома
Коэффициенты возведения в четвертую степень в треугольнике Паскаля
(2a-1)^4=1*(2a)^4+4*(2a)^3*(-1)+6*(2a)^2*(-1)^2+4*(2a)*(-1)^3+1*(-1)^4=
=16a^4-32a^3+24a^2-8a+1
О т в е т. 16a^4-32a^3+24a^2-8a+1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Задача на применение формулы полной вероятности.
Вводим в рассмотрение гипотезы:
H_(1) -''сбой в арифметическом устройстве''
Н_(2) - ''сбой в оперативной памяти''
Н_(3) - '' сбой в остальных устройствах''

р(H_(1))+p(H_(2))+p(H_(3))=1

По условию
р(H_(1)):p(H_(2)):p(H_(3))=3:2:5

Пусть
р(H_(1))=3k,
p(H_(2))=2k,
p(H_(3))=5k
3k+2k+5k=1
k=0,1

Значит
р(H_(1))=0,3,
p(H_(2))=0,2,
p(H_(3))=0,5

Событие А - ''возникший в машине сбой будет обнаружен''
р(А/H_(1))=0,8
р(А/H_(1))=0,9
р(А/H_(1))=0,9

р(А)=р(А/H_(1))*p(H_(1))+р(А/H_(2))*p(H_(2))+р(А/H_(3))*p(H_(3))=
=0,8*0,3+0,9*0,2+0,9*0,5=0,24+0,18+0,45=0,87
О т в е т. 0,87

Ответ выбран лучшим

Пусть
событие A_(i) -'' нужная сборщику деталь содержится в i-ом ящике''
р(A_(1))=0,6
p(A_(2))=0,7
p(A_(3))=0,8
p(A_(4))=0,9

событие vector{A_(i)} -'' нужная сборщику деталь не содержится в i-ом ящике''
р(vector{A_(1)})=1-p(A_(1))=1-0,6=0,4
р(vector{A_(2)})=1-p(A_(2))=1-0,7=0,3
р(vector{A_(3)})=1-p(A_(3))=1-0,8=0,2
р(vector{A_(4)})=1-p(A_(4))=1-0,9=0,1

a)Пусть событие B- ''деталь содержится не более чем в трех ящиках; тогда событие vector{B}-''деталь содержится более чем в трех ящиках.
Значит в четырех.
Выразим событие vector{B} через события A_(i)
vector{B}=A_(1)*A_(2)*A_(3)*A_(4)
p(vector{B})=0,6*0,7*0,8*0,9=0,3024
Тогда
p(B)=1-p(vector{В})=1-0,3024=0,6976

б) Пусть событие С - ''нужная сборщику деталь находится не менее чем в двух ящиках''
Cобытие vector{C} - '' нужная сборщику деталь находится менее чем в двух ящиках.
Значит в одном или ни в одном.
Выразим событие vector{С} через события A_(i) и vector{A_(i)}
vector{С}=A_(1)*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}*vector{A_(4)}+
+vector{A_(1)}*A_(2)*vector{A_(3)}*vector{A_(4)}+
+vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*A_(3)*vector{A_(4)}+
+vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}*A_(4)+
+vector{A_(1)}*vector{A_(2)}*vector{A_(3)}*vector{A_(4)}

p(vector{C})=
=0,6*0,3*0,2*0,1+0,4*0,7*0,2*0,1+0,4*0,3*0,8*0,1+0,4*0,3*0,2*0,9+0,4*0,3*0,2*0,1=
=0,0036+0,0056+0,0096+0,0216+0,0024=0,0428
Тогда
p(C)=1-p(vector{C})=1-0,0428=0,9572

Ответ выбран лучшим

Пусть
событие А - ''попадание в цель при одном выстреле первым орудием''
событие B - ''попадание в цель при одном выстреле вторым орудием''
событие С - ''одно попадание в цель при одном залпе из двух орудий''
С=A*vector{B}+vector{A}*B
р(С)=p(A)*p(vector{B})+p(vector{A})*p(B)
По условию
р(С)=0,38
р(В)=0,8
Обозначим р(А)=х
р(vector{B})=1-p(B)=1-0,8=0,2
p(vector{A})=1-p(A)=1-x

0,38=x*0,2+(1-x)*0,8
0,38=0,2x+0,8-0,8x
0,6x=0,8-0,38
0,6x=0,42
x=0,7

О т в е т. 0,7

Ответ выбран лучшим

(3х-6)/(x^2-2)=(3/2)*(2x)/(x^2-2) - 6/(x^2-2)

Интеграл от суммы ( разности) равен сумме (разности) интегралов

∫ ((3x–6)/(x^2–2) –1)dx=

=.∫ (3x–6)dx/(x^2–2) - ∫ dx=

= ∫ (3/2)*(2x)/(x^2-2) - ∫ 6dx/(x^2-2)- ∫ dx=

=(3/2) ∫ d(x^2-2)/(x^2-2) - 6 ∫ dx/(x^2-2) - ∫ dx=

=(3/2)ln|x^2-2| - 6 *(1/2sqrt(2))ln|(x-sqrt(2))/(x+sqrt(2))| - x + C. (прикреплено изображение)

Так как
sin^2 бета +cos^2 бета =1, то

sin бета = ± sqrt(1- cos^2 бета )

По условию
3Pi/2 меньше или равно бета меньше или равно 2Pi,
это четвёртая четверть.
синус в четвёртой четверти имеет знак минус:
sin бета = - sqrt(1 - cos^2 бета ) = - sqrt(1-0,8^2)=
= - sqrt(1 - 0,64)= - sqrt(0,36) = - 0,6

О т в е т. sin бета = - 0,6

2.
y`=(y^2-xy)/(-x^2)
Однородное уравнение второй степени однородности
Замена
y/x=u
y=xu
dy=xdu+udx
Подставляем в данное уравнение:

(x^2u^2-x^2u)dx=-x^3du
(u^2-u)dx=-xdu - уравнение с разделяющимися переменными
dx/x=-du/(u^2-u)
Интегрируем
Разложим дробь на простейшие
-1/(u^2-u)=(1/u)-(1/(u-1))
dx/x=-du/u^2

ln|x|=ln|u|-ln|u-1|+lnC
ln|x|=lnC*|u|/|u-1|
x=C/(u*(u-1))
u=y/x
x=C/(y/x)*((y/x)-1)
x=Cx^2/(y*(y-1))
y*(y-1)=Cx
y^2-y-Cx=0 - общее решение данного уравнения
3.
vector{a}=(2;-3)
Направляющие косинусы:
cos альфа =2/sqrt(2^2+(-3)^2)=2/sqrt(13)
cos бета =-3/sqrt(2^2+(-3)^2)=-3/sqrt(13)

z`_(x)=2/(2x+3y)
z`_(y)=3/(2x+3y)

z`_(x)(A)=2/(2*2+3*2)=2/10
z`_(y)(A)=3/(2*2+3*2)=3/10

z`_(vector{a})=z`_(x)(A)*cos альфа +z`_(y)(A)*cos бета=

=(2/10)*(2/sqrt(13))+(3/10)*(-3/sqrt(13))=

=4/(10sqrt(13)) - 9/(10sqrt(13)) = -5/(10sqrt(13))=

=-1/(2sqr(13))

О т в е т. -1/(2sqrt(13))

(1/y^2)y`-(1/y)tgx=cosx

Решаем однородное уравнение:
(1/y^2)y`-(1/y)tgx=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=dxtgx
Интегрируем
∫ dy/y=- ∫ d(cosx)/cosx
ln|y|=-ln|cosx|+lnC
y=C/cosx

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y(x)=C(x)/cosx
y`(x)=(C`(x)*cosx-C(x)*(cosx)`)/cos^2x
y`=(C`(x)*cosx+C(x)*sinx)/cos^2x

Подставляем y и y` в данное уравнение

((C`(x)*cosx+C(x)*sinx)/cos^2x)-(C(x)/cosx)*tgx=

=cosx*(C^2(x)/cos^2x)

C`(x)/cosx=C^2(x)/cosx

C`(x)=C^2(x)

dC(x)/C^2(x)=dx

Интегрируем

-1/С(x)=x+c

C(x)=-1/(x+c)

О т в е т. y=-1/((x+c)*cosx) - общее решение данного уравнения

2.
Выделяем полный квадрат
3*(x^2-(4/3)x+1)=3*((x-(2/3))^2+(5/9))

Замена переменной
x-(2/3)=t
dx=dt

∫ dx/sqrt(3x^2-4x+3)= ( 1/sqrt(3))* ∫ dt/sqrt(t^2+(5/9))=

=(1/sqrt(3))*ln|t+ sqrt(t^2+(5/9))|+C=

=(1/sqrt(3))*ln|(x-2/3)+sqrt(x^2-(4/3)x+1)|+C

f`(x_(o))=k(касательной)=tg альфа ,
альфа - угол наклона касательной

tg альфа легко найти из прямоугольного треугольника.

tg альфа =2/8=1/4

О т в е т. f`(x_(o))=1/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=x^2+2x-3 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх ( см. рис.)
Парабола принимает наименьшее значение в вершине.
Абсцисса вершины х_(o)=-b/2a=-2/2=-1 и есть точка минимума.
Можно выделить полный квадрат
y=(x+1)^2-4
Можно найти абсциссу, приравняв производную данной функции к 0:

f`(x)=2x+2
f`(x)=0
x = - 1 - точка минимума.

О т в е т. -1 (прикреплено изображение)

40:680=(1/17) литра расходуется на 1 км
(1/17)*100=(100/17)=5,88235294 ≈ 6 литров расходуется на 100 км

менее половины, значит от 0 до 499
P(0)+P(1)+...P(499)

n=1000 - велико
p=0,51
q=1-p=1-0,51=0,49

m_(1)=0
m_(2)=499

Применяем интегральную теорему Лапласа
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1-p=1-0,25=0,75=3/4 - вероятность того, что деталь годная.

Вероятность того, что первая деталь годная:
р_(1)=3/4
Вероятность того, что вторая деталь годная ( первая дефектная)
р_(2)=q*p=(1/4)*(3/4)=3/16
Вероятность того, что третья деталь годная
р_(3)=(1/4)*(1/4)*(3/4)=3/64
Вероятность того, что четвертая деталь годная
р_(4)=(1/4)*(1/4)*(1/4)*(3/4)=3/256
Вероятность того, что пятая деталь годная
р_(5)=(1/4)*(1/4)*(1/4)*(1/4)*(3/4)=3/1024

Вероятности представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 3/4 и знаменателем q=1/4.
Такое распределение носит название – геометрическое распределение вероятностей. Как известно, сумма такой прогрессии равна1

М(Х)=1*(3/4)+2*(3/16)+3*(3/64)+4*(3/256)+5*(3/1024)=

=(3/1024)*(256+2*64+3*16+4*4+5)=

=1359/1024 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена
log_(0,5)x=t
x > 0

3/(t+2) - 4/(t+3)=1
дробно-рациональное уравнение:
3*(t+3)-4*(t+2)=(t+2)*(t+3)
t^2+6t+5=0
D=36-20=16
t=-1 или t=-5

Обратная замена
log_(0,5)x=-1 ⇒ x=0,5^(-1)
х=2
или
log_(0,5)x=-5 ⇒ x=0,5^(-5)
х=32

О т в е т. 2

По свойству плотности вероятности:
∫^(+∞) _(-∞)f(x)dx=1

∫^(+∞) _(-∞)f(x)dx=∫^(1) _(-∞)0dx+∫^(+∞) _(1)ax^(-4)dx=
=(ax^(-3)/(-3))|^(++∞) _(1)=0+(a/3)=a/3
a/3=1
[b]a=3[/b]

F(x)=∫^(1) _(-∞)0dx+∫^(x) _(1)3x^(-4)dx=
=0+(-1/x^3)|^(x)_(1)=
=(-1/x^3)+1.

{0, если x меньше или равно 1;
{(-1/x^3)+1, если x > 1

P(0 < x < 2)= ∫^(2) _(0)f(x)dx= ∫ ^(2)_(1)(3x^(-4))dx=
=(-1/x^3)|^(2)_(1) = (-1/8) + 1 = 7/8

Ответ выбран лучшим

Общее решение написано неверно, так как во второй строчке вместо +3y` написано (-3y`)
k_(1)=-1
k_(2)=-2
y_(o)=C_(1)e^(-x)+C_(2)e^(-2x)

альфа =-1 является корнем характеристического уравнения.
y_(част)=Axe^(-x)

y`_(част)=A(x)`*e^(-x)+A*x*(e^(-x))`=
=Ae^(-x)+A*x*e^(-x)*(-x)`=
=Ae^(-x)-Axe^(-x)

y``_(част)=A^e^(-x)*(-1)-Ae^(-x)+Axe^(-x)=
=-2Ae^(-x)+Axe^(-x)

Подставляем в уравнение:
y``+3y`+2y=e^(-x)

-2Ae^(-x)+Axe^(-x)+3Ae^(-x)-3Axe^(-x)+2Axe^(-x)=e^(-x)

Ae^(-x)=e^(-x)
A=1

y_(част)=x*e^(-x)

О т в е т. y=C_(1)e^(-x)+C_(2)e^(-2x)+xe^(-x)+(-1/5)cosx+(2/5)sinx

Дифференциальное уравнение третьего порядка, допускающее понижение порядка.
Замена
z(x)=y``(x)
Тогда
z`(x)=y```(x)

Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
x*z`+z=1
z`+(1/x)z=1/x [b]#[/b]
Линейное уравнение первого порядка
Решаем однородное уравнение
z`+(1/x)z=0
это уравнение с разделяющимися переменными
dz/z=-dx/x
ln|z|=-ln|x|+lnC
ln|z|=ln(C/|x|)
z=C/x
Применяем метод вариации произвольной постоянной
z(х)=С(х)/х
Находим z`
z`=(C`(x)*x-C(x))/x^2

Подставляем z и z` в уравнение [b]#[/b]
(C`(x)/x)-(C(x))/x^2)-(C(x)/x^2)=1/x
С`(x)=1
C(x)=x+C_(1)

z(x)=(x+C_(1))/x=1+(C_(1)/x)
y``(x)=1+(C_(1)/x)
y`(x)= ∫( 1+(C_(1)/x))dx=x+C_(1)ln|x| +C_(2)

y(x)= ∫( x+C_(1)ln|x| +C_(2))dx=
=(x^2/2)+C_(1) ∫ lnxdx+C_(2)x+C_(3)=
=[вычисляем интеграл ∫ lnxdx по частям u=lnx; dv=dx]=
=(x^2/2)+C_(1)*(x*lnx-x)+C_(2)x+C_(3)

О т в е т. у(х)=(x^2/2)+C_(1)*(x*lnx-x)+C_(2)x+C_(3)

Ответ выбран лучшим

Делим обе части уравнения на y^2:

(1/y^2)y`-(1/y)sinx=e^(cosx)

Решаем однородное уравнение
(1/y^2)y`-(1/y)sinx=0
Это уравнение с разделяющимися переменными.
dy/y=sinxdx
Интегрируем:
∫dy/y=∫sinxdx
ln|y|=-cosx + с
y=e^(-cosx+c)
y=e^(c)*e^(-cosx)
y=C*e^(-cosx) , где С=e^(c)

Применяем метод вариации произвольной постоянной:
y(x)=C(x)*e^(-cosx)

y`(x)=C`(x)*e^(-cosx)+C(x)*e^(-cosx)*(-cosx)`

y`(x)=C`(x)*e^(-cosx)+C(x)*e^(-cosx)*(sinx)

Подставляем y(x) и y`(x) в данное уравнение:

C`(x)*e^(-cosx)+C(x)*e^(-cosx)*(sinx)-
-C(x)*e^(-cosx)*sinx=C^2(x)*e^(-2cosx)*e^(cosx)

C`(x)*e^(-cosx)=C^2(x)e^(-cosx)
C`(x)=C^2(x) - уравнение с разделяющимися переменными
dC(x)/dx=C^(2)(x)
dC(x)/C^2(x)=dx
Интегрируем
∫dC(x)/C^2(x)= ∫dx
-1/С(x)=x+C
C(x)=-1/(x+C)

y=(-1/(x+C))*e^(-cosx) - общее решение данного уравнения

vector{a}=(2;-3)
Направляющие косинусы:
cos альфа =2/sqrt(2^2+(-3)^2)=2/sqrt(13)
cos бета =-3/sqrt(2^2+(-3)^2)=-3/sqrt(13)

z`_(x)=2/(2x+3y)
z`_(y)=3/(2x+3y)

z`_(x)(A)=2/(2*2+3*2)=2/10
z`_(y)(A)=3/(2*2+3*2)=3/10

z`_(vector{a})=z`_(x)(A)*cos альфа +z`_(y)(A)*cos бета=

=(2/10)*(2/sqrt(13))+(3/10)*(-3/sqrt(13))=

=4/(10sqrt(13)) - 9/(10sqrt(13)) = -5/(10sqrt(13))=

=-1/(2sqr(13))

О т в е т. -1/(2sqrt(13))

При вычислении предела применяем метод замены переменной:
x-(Pi/2)=t
x=t+(Pi/2)
x→ Pi/2
t→ 0

=lim_(t→ 0)(1-sin^2(t+(Pi/2))/(t+(Pi/2))*cos(t+Pi/2)=
применяем формулы приведения
=lim_(t→ 0)(1-cos^2t)/(t+(Pi/2))*(-sint)=
=lim_(t→ 0)(sin^2t)/(t+(Pi/2))*(-sint)=
=lim_(t→ 0)(-sint)/(t+(Pi/2))=0

∫ ^(Pi/6)_(0)(sin3x+cos3x)dx=
=((1/3)(-cos3x)+(1/3)sin3x)| ^(Pi/6)_(0)=

=(1/3)*0+(1/3)+(1/3)-0=2/3

D(y)=(- бесконечность :+ бесконечность )
y`=(x^3+18x^2+81x+7)`=3x^2+36x+81
y`=0
3x^2+36x+81=0
x^2+12x+27=0
D=144-4*27=36
x=(-12-6)/2=-9 или х=(-12+6)/2=-3

Знак производной

_+__ (-9) __-__ (-3) _+__

х=-9 - точка максимума
х=-3 - точка минимума.
Функция возрастает на ( - бесконечность;-9) и на (-3;+ бесконечность )
Функция убывает на (-9;-3)
График на рисунке (прикреплено изображение)

1.
k(касательной)=f`(x_(o))
f`(x)=8/cos^2x
f`(x_(o))=f`(Pi/3)=8/cos^2(Pi/3)=8/(1/2)^2=32
k=32

2.
f`(x)=4*22*(x^2+3x+2)^(21)*(x^2+3x+2)`=
=88*(2x+3)*(x^2+3x+2)^(21)
f`(-1)=88*1*0=0

3.
v(t)=s`(t)=t^2-6t+8
v`(t)=0
t^2-6t+8=0
D=(-6)^2-4*8=36-32=4
t=(6-2)/2=2 или t=(6+2)/2=4
О т в е т. на второй и четвертой

4.
=2sqrt(x)|^(9)_(0)=2sqrt(9)=2*3=6
5.
vector{a}*vector{b}=3*4+0*5+(-6)*2=12-12=0
6.
7!=6!*7
9!=6!*7*8*9

7!+9!=6!*(7+7*8*9)=6~*7*(1+8*9)=73*7*6!

О т в е т. 73*7=511

S(потолка)=a*b=8,23*5,5=45, 265
S( стен)=P(осн)*Н=2*(a+b)*H=2*(8,23+5,5)*4,2=115,332
S(общая площадь)=S(потолка) + S (стен)=
45,265+15,332=160,597

160,597 кв м cоставляют 100%
двери и окна составляют 9,1%

двери и окна 160,597*9,1/100=14,614327 ≈ 14,614 кв. м

160,597-14,614=145,983 ≈ 146 кв. м - площадь которую необходимо белить.

V( комнаты)=8,23*5,5*4,2=190, 113 куб м

4=log_(2)16

log_(2)(x+1) больше или равно log_(2)16

Логарифмическая функция с основанием 2 > 1 возрастает, поэтому
x+1 больше или равно 16
C учетом области определения логарифмической функции получим систему двух неравенств:
{х+1 > 0
{х+1 больше или равно 16
⇒
х+1 больше или равно 16
x больше или равно 15
О т в е т. [15;+ бесконечность)

:a) 3x–17=0
3х=17
х=17/3
х=5 целых (2/3)

b) 9(x–1)+2(x–4)=72–3(x+1)
9х-9+2х-8=3х+3
9х+2х-3х=3+9+8
8х=20
х=20:8
х=2,5

3!=1*2*3=6 способов.
или
рассуждаем так:
На первое место можно поставить любую из трех машин - три способа, на второе место - любую из двух оставшихся, два способа и на третье место оставшуюся машину, один способ.
Количество способов
и на первое и на второе и на третье место находится по правилу умножения.
3*2*1=6
О т в е т. 6 способов

0=log_(3/7)1

log_(3/7)(2x-3) < log_(3/7)1

Логарифмическая функция с основанием 3/7 убывает, поэтому
2x-3 > 1
C учетом области определения логарифмической функции получим систему двух неравенств:
{2x-3 > 0
{2x-3 > 1
⇒
2x-3 > 1
2x > 3+1
2x > 4
x > 2
О т в е т. (2;+ бесконечность)

2.
3log_(3)2=log_(3)2^3=log_(3)8

3log_(3)2+log_(3)(27/8)=log_(3)8+log_(3)(27/8)=log_(3)8*(27/8)=log_(3)27=3

3
5^(x+2)*5^(1/2)=5^(-2)
5^(x+2+(1/2)=5^(-2)
x+2+(1/2)=-2
x=-4,5

4.
log_(1/2)(5x+2) > -2*log_(1/2)(1/2)
log_(1/2)(5x+2) > log_(1/2)(1/2)^(-2)
log_(1/2)(5x+2) > log_(1/2)4
(1/2) < 1, логарифмическая функция убывает, поэтому
{5x+2 > 0
{5x+2 < 4

{x > -2/5
{x < 2/5
О т в е т. (-2/5;2/5)

5.
5^(4-2х)-25 > 0
5^(4-2x) > 5^2
Показательная функция с основанием 5 возрастает, поэтому
4-2х > 2
x < 1
6
Замена переменной
sinx=t
t^2-t-2=0
D=9
t=2 или t=-1
sinx=2 - уравнение не имеет корней, |sinx| меньше или равно 1
или
sinx=-1
x=(-Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
О т в е т. (-Pi/2)+2Pik, k ∈ Z

cosx*(2cosx-1)=0
cosx=0 или 2сosx-1=0
x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z или cosx=1/2 ⇒ x= ± (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z
О т в е т. (Pi/2)+Pik, ± (Pi/3)+2Pin, k, n ∈ Z

Подинтегральную дробь, раскладываем на простейшие дроби.
(х+2)/(x2(x–2))=(A/x)+(B/x2)+(D/(x–2))

x+1=A·x·(x–2)+B·(x–2)+D·x2
x+1=(A+D)x2+(B–2A)x–2B

A+D=0
B–2A=1
–2B=1 ⇒ B=–1/2
2A=B–2
2A=–5/2
A=–5/4
D=5/4

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
∫(х+2)dx/(x2(x–2)) = (–5/4) ∫ dx/x –(5/2) ∫ dx/x2+
+(5/4) ∫ dx/(x–2)=
=(–5/4)ln|x|+(5/2)·(1/x)+(5/4)ln|x–2|+C

z`_(x)=3cos^2(x-2sqrt(y))*(cos(x-2sqrt(y)))`_(x)=
=3cos^2(x-2sqrt(y))*(-sin(x-2sqrt(y))*(x-2sqrt(y))`_(x)=
=3cos^2(x-2sqrt(y))*(-sin(x-2sqrt(y))*1=
=-3sin(x-2sqrt(y))*cos^2(x-2sqrt(y))

z``_(xx)=(-3sin(x-2sqrt(y)))`_(x)*cos^2(x-2sqrt(y))+
+(-3sin(x-2sqrt(y)))*(cos^2(x-2sqrt(y)))`_(x)=
=-3cos(x-2sqrt(y))*cos^2(x-2sqrt(y))+
+(-3sin((x-2sqrt(y)))*(2cos(x-2sqrt(y)))*(cos(x-2sqrt(y)))`_(x)=
=-3cos^3(x-2sqrt(y))+6sin^2(x-2sqrt(y))*cos(x-2sqrt(y))

z`_(y)=3cos^2(x-2sqrt(y))*(cos(x-2sqrt(y))`_(y)=
=3cos^2(x-2sqrt(y))*(-sin(x-2sqrt(y))*(x-2sqrt(y))`_(y)=
=3cos^2(x-2sqrt(y))*(-sin(x-2sqrt(y))*(-1/sqrt(y))=
=(3/sqrt(y))*sin(x-2sqrt(y))*cos^2(x-2sqrt(y))

z``_(yy)=((3/sqrt(y))*sin(x-2sqrt(y))*cos^2(x-2sqrt(y)))`_(y) и так далее
считать производную произведения трех множителей.

Подинтегральную дробь, раскладываем на простейшие дроби.
(х+2)/(x^2(x-2))=(A/x)+(B/x^2)+(D/(x-2))

x+1=A*x*(x-2)+B*(x-2)+D*x^2
x+1=(A+D)x^2+(B-2A)x-2B

A+D=0
B-2A=1
-2B=1 ⇒ B=-1/2
2A=B-2
2A=-5/2
A=-5/4
D=5/4

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
∫(х+2)dx/(x^2(x-2)) = (-5/4) ∫ dx/x -(5/2) ∫ dx/x^2+
+(5/4) ∫ dx/(x-2)=
=(-5/4)ln|x|+(5/2)*(1/x)+(5/4)ln|x-2|+C

1.
2cosx - sqrt(3)sin^2x=2cos^3x;
2cosx - sqrt(3)*(1-сos^2x)=2cos^3x;
2cosx-2cos^3x-sqrt(3)*(1-cos^2x)=0
2cosx*(1-cos^2x)-sqrt(3)*(1-cos^2x)=0
(1-cos^2x)*(2cosx-sqrt(3))=0
1-cos^2x=0 ИЛИ 2cosx-sqrt(3)=0
cosx= ± 1 ИЛИ сosx=sqrt(3)/2
x= 2Pik или х=Pi+2Pim ИЛИ х= ± (Pi/6)+2Pin, k,m, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни
х_(1)=-3Pi
x_(2)=(-Pi/6)-2Pi= - 13Pi/6
x_(3)=-2Pi

О т в е т. 2Pik; (Pi)+2Pim ; ± (Pi/6)+2Pin; k, m, n ∈ Z
- 3Pi; -13Pi/6; -2Pi - корни, принадлежащие отрезку [-7Pi/2; -2Pi]

2.
ОДЗ:
{(1/x)-1 > 0⇒ (1-x)/x > 0 ⇒ (x-1)/x < 0 ⇒ x∈ (0;1)
{(1/x)+1 > 0 ⇒ (1+x)/x > 0 ⇒ x ∈ (- ∞;-1)U(0;+∞)
ОДЗ=(0;1)

В условиях ОДЗ сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(2)((1/x)-1)*((1/x)+1) меньше или равно log_(2)(27x-1)
log_(2)((1/x)^2-1) меньше или равно log_(2)(27x-1)
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, поэтому
(1/х)^2-1 меньше или равно 27х-1
(1-27x^3)/x^2 меньше или равно 0
⇒ 1-3x меньше или равно 0, x ≠ 0
x больше или равно 1/3
C учетом ОДЗ получаем
О т в е т. [1/3; 1)

3.
В равнобедренном треугольнике СН- высота, медиана и биссектриса, значит АН=НВ=20
В прямоугольном треугольнике АСН
tg ∠ A=CH/AH=16/20=0,8
О т в е т. tg ∠ A=0,8

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
1-2cosx больше или равно 0 ⇒ cosx меньше или равно 1/2

1)
Если sinx < 0 - неравенство верно при любом х из ОДЗ

{sinx < 0
{cosx меньше или равно 1/2

см. решение на рис.1

2)
Если sinx больше или равно 0, обе части неравенства в квадрат
1 - 2cosx > sin^2x
1 - 2cosx > 1-cos^2x
cos^2x-2cosx > 0
cosx*(cosx-2) > 0
Так как |cosx| меньше или равно 1 ⇒ cosx-2 < 0, значит и второй множитель отрицателен

{sinx больше или равно 0
{cosx < 0

см. решение на рис.2

О т в е т.( (PI/2)+2Pik, (5Pi/3)+2Pik], k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=(x^2/2)
f(x_(o))=(x^2_(o)/2)

f`(x)=x
f`(x_(o))=x_(o)

Уравнение касательной
у - f(x_(o))=f`(x_(o))*(x - x_(o))

y - (x^2_(o)/2)=x_(o)*(x-x_(o))

Подставляем координаты точки М в это уравнение:
х=1/2; у=-1
-1 - (x^2_(o)/2)=x_(o)*((1/2) -x_(o))

Решаем квадратное уравнение
х^2_(o)-x_(o)-2=0
D=1-4*(-2)=9
x_(o)=-1 или х_(o)=2

Уравнение касательной в точке x_(o)=-1
у-(1/2)=-1*(х-(-1))
у=-х-(1/2)

Уравнение касательной в точке x_(o)=2
у-(2)=2*(х-2)
у=2х-2

Фигура, ограниченная этими касательными и осями координат на рисунке.

S=S(квадрата 1×1)-S(розового треугольника)-S(сиреневого треугольника)=
=1*1-(1/2)*(1/2)*(1/2)-(1/2)*(1/2)*1=1-(1/8)-(1/4)=5/8
(прикреплено изображение)

150:100*15=22,5 руб. составляют 15% от 150 руб.
150 - 22,5 = 127,5 руб стоимость шампуня со скидкой на 15%
900:127,5≈ 7,06
О т в е т. 7 флаконов

Переносим х+1 влево и приводим к общему знаменателю
(x+5-(x+1)*(x-1))/(x-1) < 0

(-x^2+x-6)/(x-1) < 0

(x^2 - x + 6) /(x-1) > 0

(x+2)(x-3)/(x-1) > 0

_-__ (-2) __+__ (1) __-__ (3) __+__

О т в е т. (-2;1)U(3;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

По одной стороне в разностороннем треугольнике невозможно что-то определить.
Другое дело, если треугольник раВносторонний.
Тогда биссектриса - это и высота и медиана
Она равна
12sqrt(3)*sin60^(o)=12sqrt(3)*sqrt(3)/2=18

Свойства логарифмов:
логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного равен разности логарифмов.
А мы наоборот, сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, а разность - логарифмом частного

log_(3)(45*2/10)=log_(3)9=2

2. Знакочередующийся ряд.
Сходится по признаку Лейбница
Последовательность
(n+1)/sqrt(n^3))- монотонна и стремится к 0
Ряд из модулей расходится, так как
|(-1)^n*(n+1)/sqrt(n^3))| =(n+1)/sqrt(n^3)~ n/sqrt(n^3)=1/sqrt(n)
Ряд ∑1/sqrt(n) - расходится, обобщенный гармонический ряд при p=1/2 расходится.
Значит по признаку сравнения в предельной форме и ряд из модулей расходится.
О т в е т. Ряд сходится условно

Ответ выбран лучшим

250:100*40=100 руб. составляют 40% от 250 руб.
250-100=150 руб стоит билет школьника
100*8+250*2=1300 руб стоимость билетов для группы , состоящей из двух взрослых и 8 школьников

y`=(x-2)(3x-10)
y`=0
x=2 или х=10/3

Знак производной:
_+__ (2) __-__ (10/3) _+__

x=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

log_(a)x+log_(a)y=log_(a)xy, a > 0;a ≠ 1; x > 0;y > 0

log_(5)2+log_(5)62,5=log_(5)2*62,5=log_(5)125=3

D(y)=(- бесконечность ;+ бесконечность )
y`=(x^3+x^2+2x+8)`=3x^2+2x+2

3x^2+2x+2=0
D=2^2-4*3*2 < 0

y` > 0 при любом х.
Функция возрастает на D(y)

Так как фигура, расположена ниже оси оси Ох, но ее площадь равна площади такой же фигуры, расположенной выше оси Ох.

S= ∫ ^(2)_(0)|2x^2-4x|dx= ∫ ^(2)_(0)(-2x^2+4x)dx=
((-2x^3/3)+(4x^2/2))|^(2)_(0)=
=(-16/3)+8=8/3 (прикреплено изображение)

Найдем вероятность того, что шахматист А не выйграет ни одну партию.
p_(1)=(1-0,65)∗(1-0,28)=0,35*0,72=0,252
Вероятность того, что А. выиграет хотя бы одну партию, равна
p=1−p_(1)=1-0,252=0,748
О т в е т. 0,748

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-3 больше или равно 0
(x-4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4
x ∈ [3;4) U(4;+ бесконечность )

Переносим 1 влево и приводим к общему знаменателю
(sqrt(x-3)-(x-4))/(x-4) < 0
Применяем метод интервалов
Нули числителя:
sqrt(x-3)=x-4
Возводим в квадрат при условии x больше или равно 4
х-3=x^2-8x+16
x^2-9x+19=0
D=81-76=5
х=(9+sqrt(5))/2
x=(9-sqrt(5))/2 - не удовл условию х больше или равно 4

Отмечаем нули числителя на ОДЗ:

[3] _____-__ (4) __+__ ((9+sqrt(5))/2) __-__

О т в е т. см. условие задачи

Ответ выбран лучшим

1.
Замена переменной:
3^(x)=t
3^(x+1)=3^(x)*3=3t
3^(2x)=(3^(x))^2=t^2
t^2-6t+5=0
D=36-20=16
t=1 или t=5
3^(x)=1 ⇒ x=0 или 3^(x)=5 ⇒ x=log_(3)5

2.
log_(1/2)(x-4)=-log_(2)(x-4)
Применяем правила :
логарифм произведения равен сумме логарифмов;
Заменим сумму
log_(2)x+log_(2)(x-4) логарифмом произведения
log_(2)x*(x-4)

log_(2)(x^2-4x)=log_(2)5
x^2-4x=5
x^2-4x-5=0
D=16+20=36
x=(4 ± 6)/2
x=-1 или х=5

При х=-1
log_(2)x не существует
О т в е т. х=5

Ответ выбран лучшим

Так как
sin^2x+cos^2x=1

–3sin(x)·cos(x)+cos^2(x)+sin^2x+cos^2x=0
sin^2x -3sinx*cosx+2cos^2x=0
Однородное тригонометрическое уравнение.
Делим на cos^2x ≠ 0
tg^2x-3tgx+2=0
D=(-3)^2-4*2=1
tgx=1 или tgx=2
x=(Pi/4)+Pik, k ∈ Z или х=arctg2+Pin, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/4)+Pik, arctg2+Pin, k, n ∈ Z

1.
3=7^(log_(7)3)

7^((x-1)*log_(8)3)=7^(log_(7)3)

Степени равны, основания равны, приравниваем показатели
(x-1)*log_(8)3=log_(7)3
х-1=log_(7)3/log_(8)(3)

Применяем формулу перехода к другому основанию
Переходим справа к сонованию3
х-1=log_(3)8/log_(3)7

х-1=log_(7)8
x=1+log_(7)8
x=log_(7)7+log_(7)8
x=log_(7)7*8
x=log_(7)56

2. см. 4

3.

замена переменной
3^x=t
3^(2x)=t^2
t^2+2t-3=0
D=2^2-4*(-3)=16
t=1 или t=-3

3^x=1 ⇒ x=0
3^(x)=-3 - уравнение не имеет корней, 3^(x) > 0 при любом х
О т в е т. 0

4.
замена переменной
5^x=t
25^(x)=t^2
t^2-4t-5=0
D=(-4)^2-4*(-5)=16+20=36
t= - 1 или t=5

5^(x)=-1 - уравнение не имеет корней, 5^(x) > 0 при любом х
5^x=5 ⇒ x=1
О т в е т. 1

5.
ОДЗ:
{-x+6 > 0 ⇒ x < 6
{x+6 > 0 ⇒ x > -6
ОДЗ=(-6;6)
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(5)(-x+6)*(x+6) > log_(5)11
Логарифмическая функция с основанием 5 возрастает, поэтому
(-х+6)*(х+6) > 11
36-x^2 > 11
25-x^2 > 0
-5 < x < 5
С учетом ОДЗ получаем
О т в е т. (-5;5)

6.
ОДЗ:
{x+2 > 0 ⇒ x > -2
{-x+2 > 0 ⇒ x < 2
ОДЗ=(-2;2)
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(1/10)(x+6)*(-x+2) < log_(1/10)5
Логарифмическая функция с основанием (1/10) убывает, поэтому
(х+2)*(-х+2) > 5
4-x^2 > 5
-1-x^2 > 0
1+x^2 < 0
нет таких х

О т в е т. нет решений

y=1,5*(x-2)^2+5

Ответ выбран лучшим

Применяем метод интегрирования по частям.
u=arcctg(x/5)
dv=dx
du=(–1/(1+(x/5)^2))·(x/5)`dx⇒ du=–5dx/(25+x^2)
v=x

∫ arcctg(x/5)dx=x·arcctg(x/5) + ∫ 5xdx/(25+x^2)=

=x·arcctg(x/5) + (5/2) ∫ 2xdx/(25+x^2)=

=x·arcctg(x/5) + (5/2) ∫ d(25+x^2)/(25+x^2)=

=x·arcctg(x/5) + (5/2) ln (25+x^2) + C

2
Уравнение с разделяющимися переменными.
y`=dy/dx
Разделяем переменные
ydy=e^x·dx/(1+e^x).
Интегрируем
∫ ydy= ∫ e^xdx/(1+e^x).
или
∫ ydy= ∫ d(1+e^x)/(1+e^x).
y^2/2=ln(1+e^x)+lnC
y^2/2=lnC·(1+e^x)
y^2=2lnC·(1+e^x) – общее решение данного уравнения

Пределы интегрирования написаны с ошибкой ( не может быть и сверху 4 и снизу 4)

Вычисляем неопределённый интеграл.
Применяем свойство: интеграл от разности равен разности интегралов.
∫ 8/(1+x^2)dx- ∫ 12sinxdx=
=8*arctgx -12(-cosx) + C=
=8arctgx+12cosx + C

Ответ выбран лучшим

y`=(x)`*(1+x^2)-x*(1+x^2)`/(1+x^2)^2

y`=(1+x^2-2x^2)/(1+x^2)^2

y`=(1-x^2)/(1+x^2)^2

y``=((1-x^2)`*(1+x^2)^2-(1-x^2)*((1+x^2)^2)`)/(1+x^2)^4=

=(-2x*(1+x^2)^2-(1-x^2)*2(1+x^2)*(1+x^2)`)/(1+x^2)^4=

=2x*(1+x^2)*(-1-x^2-2+2x^2)/(1+x^2)^4=

=2x*(x^2-3)/(1+x^2)^3

y``=0

2x*(x^2-3)=0

x=0 или x= ± sqrt(3)

__-__(-sqrt(3) ___+__ (0) ___-__ (sqrt(3)) __+___

x=0; x= ± sqrt(3) - точки перегиба

Ответ выбран лучшим

(x^2+xy-e^(x)y^3+5)`=0`
2x+(x)`*y+x*y`+(e^(x))`*y^3+e^(x)*(y^3)`+(5)`=0
2x+y+xy`+e^(x)*y^3+e^(x)*3y^2*y`+0=0 ⇒
xy`+e^(x)*3y^2*y`=-2x-y-e^(x)*y^3
y`*(x+e^(x)*3y^2)=-2x-y-e^(x)*y^3
y`=(-2x-y-e^(x)y^3)/(x+e^(x)*3y^2)

2.
3x^2*y+x^3*y`-(y`/y)+e^(x)=0
y`(x^3-(1/y))=-3x^2y-e^(x) ⇒
y`=(3x^2+e^(x))/((1/y)-x^3)

Ответ выбран лучшим

1.
k(касательной)=f`(x_(o))
f`(x)=2/cos^2x
f`(x_(o))=f`(Pi/3)=2/cos^2(Pi/3)=2/(1/2)^2=8
k=8
2.
f`(x)=8*18*(x^2+3x+2)^(17)*(x^2+3x+2)`=
=144*(2x+3)*(x^2+3x+2)^(17)
f`(-1)=144*1*0=0
4.
=2sqrt(x)|^(4)_(0)=2sqrt(4)=2*2=4
5.
vector{a}*vector{b}=3*4+0*5+(-6)*2=12-12=0
6.
7!=6!*7
9!=6!*7*8*9

7!+9!=6!*(7+7*8*9)=6~*7*(1+8*9)=73*7*6!

О т в е т. 73*7=511

Формула косинуса двойного угла
cos2 альфа =cos^2 альфа -sin^2 альфа

Поэтому в знаменателе
cos^242^(o)-sin^242^(o)=cos2*42^(o)=cos84^(o)

О т в е т. 32

2.
D(y)=(- бесконечность ;+ бесконечность )
f`(x)=(x^3-2x^2-4x+3)`=3x^2-4x-4
f`(x)=0
3x^2-4x-4=0
D=(-4)^2-4*3*(-4)=16+48=64
x=(4-8)/6=-2/3 или х=(4+8)/6=2
__+_(-2/3) ___-__ (2) __+__

х= - 2/3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Функция возрастает на (- бесконечность;-2/3) и на (2;+ бесконечность); убывает на (-2/3;2).

См. график на рисунке.

3.
V(части цилиндра)=(1/4)V(цилиндра)=(1/4)*Pi*R^2*H
R=6
H=5
V(части цилиндра)=45 Pi
О т в е т. 45 (прикреплено изображение)

2.
z_(1) - z_(2)=(-1+i) - (3-3i)=-1 + i -3 +3i =
=(-1 - 3)+(i +3i)=- 4 + 4i

z_(1)/z_(2)=(-1+i)/(3-3i)=
умножаем и числитель и знаменатель на (3+3i)
=(-1+i)*(3+3i)/(9-(3i)^2)=(-3+3i-3i+3i^2)/18=-1/3

3.
Так как
sin^2 альфа +cos^2 альфа =1, то

sin альфа = ± sqrt(1- cos^2 альфа )

По условию
180° < альфа < 270°
это третья четверть.
синус в третьей четверти имеет знак минус:
sin альфа = - sqrt(1 - cos^2 альфа ) = - sqrt(1-(-3/5)^2)=
= - sqrt(1 - (9/25))= - sqrt(16/25) = - 4/5
tg альфа =sin альфа /cos альфа = 4/3
ctg альфа =1/tg альфа =3/4

4.
Квадратное уравнение
tg^2x+4tgx+3=0
D=(4)^2-4*3=16-12=4
tgx= - 1 или tgx= - 3
x= ( - Pi/4)+Pik, k ∈ Z или x=arctg(-3)+Pin, n ∈ Z
О т в е т. (-Pi/4)+Pik, - arctg3+Pin, k, n ∈ Z

5.
y=-(x-2)^2+1 - парабола, ветви вниз, вершина в точке (2;1)
cм. рис.
D(y)=(- бесконечность ;+ бесконечность)
E(y)=(- бесконечность ;+1) (прикреплено изображение)

6.
a=15; b=8 - стороны основания.
В основании параллелограмм.
Синус угла между сторонами а и b 0,8
H(параллелепипеда)=b=8

S(полн.)=S(бок.)+2S( осн.)=
=Р(осн.)*Н+2*a*b*sin альфа =2*(8+15)*8+2*8*15*0,8=
=368+192=560 кв см.

2.
R_(1)=6
H_(1)=8
V_(1)=PiR^2_(1)*H_(1)=Pi*6^2*8=288Pi куб. cм.
R_(2)=8
H_(2)=6
V_(2)=PiR^2_(2)*H_(2)=Pi*8^2*6=384Pi куб. дм.

V_(1):V_(2)=288Pi:384Pi=3:4

3.
k(касательной)=f`(x_(o))
f`(x)=(x^2-8x+12)`=2x-8
f`(3)=2*3-8=6-8= - 2
k(касательной)= - 2

4.Возводим обе части уравнения в квадрат.
2х+14=(2х+12)^2
2x+14=4x^2+48x+144
4x^2+46x+130=0
2x^2+23x+65=0
D=23^2-4*2*65=529-520=9
x_(1)=(-23-3)/4= -6,5 или x_(2)=(-23+3)/4= - 5

Так как при возведении в квадрат области определения данного уравнения и нового не совпадают, то необходимо сделать проверку
Проверка
При х=- 6,5
sqrt(2*(-6,5)+14)=2*(-6,5)+12 -неверно, так как
sqrt(1)=1
При х=-5
sqrt(2*(-5)+14)=2*(-5)+12 -верно, так как
sqrt(4)=2
О т в е т. -5

10.
p(герба)=1/2
q=1-(1/2)=1/2 - вероятность выпадения не герба
Р_(4)(3)=С^3_(4)p^3q=4*(1/2)^3*(1/2)=1/4

9.
Возводим обе части уравнения в квадрат.
2х+12=(2х+10)^2
2x+12=4x^2+40x+100
4x^2+38x+88=0
2x^2+19x+44=0
D=19^2-4*2*44=361-352=9
x_(1)=(-19-3)/4=-5,5 или x_(2)=(-19+3)/4=-4

Так как при возведении в квадрат области определения данного уравнения и нового не совпадают, то необходимо сделать проверку
Проверка
При х=- 5,5
sqrt(2*(-5,5)+12)=2*(-5,5)+10 - неверно, так как
sqrt(1)=1
При х=-4
sqrt(2*(-4)+12)=2*(-4)+10 -верно, так как
sqrt(4)=2
О т в е т. -4
2.
Испытание состоит в том, что два раза подбрасывают игральный кубик.
При этом могут выпасть числа
1 на первом кубике и 1 на втором кубике,
запишем результаты выпадения чисел в виде пар:
(1;1)(1;2)...(6;6)
Всего 36 способов.
n=6*6=36

8=2+6=6+2
8=3+5=5+3
8=4+4

Всего 5 случаев выпадения 8 очков.
(2;6)
(6;2)
(3;5)
(5;3)
(4;4)
m=5

По формуле классической вероятности
p=m/n=5/36
О т в е т. 5/36

2.
z_(1)+z_(2)=(-2+i)+(2-4i)=(-2+2)+(i-4i)=-3i
z_(1)*z_(2)=(-2+i)*(2-4i)=-2*2+i*2+(-2)*(-4i)+i*(-4i)=
=-4+2i+8i-4i^2 ( так как i^2=-1)=
=10i

1.
(прикреплено изображение)

1.
a=15; b=8 - стороны основания.
В основании параллелограмм.
Синус угла между сторонами а и b 0,8
H(параллелепипеда)=а=15

S(полн.)=S(бок.)+2S( осн.)=
=Р(осн.)*Н+2*a*b*sin альфа =2*(8+15)*15+2*8*15*0,8=
=690+192=882 кв см.

2.
R_(1)=2
H_(1)=4
V_(1)=PiR^2_(1)*H_(1)=Pi*2^2*4=16Pi куб. дм.
R_(2)=4
H_(2)=2
V_(2)=PiR^2_(2)*H_(2)=Pi*4^2*2=32Pi куб. дм.

V_(1):V_(2)=16Pi:32Pi=1:2

3.
k(касательной)=f`(x_(o))
f`(x)=(x^2-4x+8)`=2x-4
f`(3)=2*3-4=6-4=2
k(касательной)=2

1.
Так как
sin^2 альфа +cos^2 альфа =1, то

сos альфа = ± sqrt(1-sin^2 альфа )

По условию
180° < альфа < 270°
это третья четверть.
косинус в третьей четверти имеет знак минус:
сos альфа =-sqrt(1-sin^2 альфа )=-sqrt(1-(-12/13)^2)=
=-sqrt(1-(144/169))=- sqrt(25/169)=-5/13
tg альфа =sin альфа /cos альфа = 5/12
ctg альфа =1/tg альфа =12/5=2,4

2.
Квадратное уравнение
tg^2x-4tgx+3=0
D=(-4)^2-4*3=16-12=4
tgx=1 или tgx=3
x= (Pi/4)+Pik, k ∈ Z или x=arctg3+Pin, n ∈ Z
О т в е т. (Pi/4)+Pik, arctg3+Pin, k, n ∈ Z

3.
y=(x-2)^2-1 - парабола, ветви вверх, вершина в точке (2;-1)
cм. рис. (прикреплено изображение)

Так как
sin^2 альфа +cos^2 альфа =1, то

сos альфа = ± sqrt(1-sin^2 альфа )

По условию
180° < альфа < 270°
это третья четверть.
косинус в третьей четверти имеет знак минус:
сos альфа =-sqrt(1-sin^2 альфа )=-sqrt(1-(-12/13)^2)=
=-sqrt(1-(144/169))=- sqrt(25/169)=-5/13
tg альфа =sin альфа /cos альфа = 5/12
ctg альфа =1/tg альфа =12/5=2,4

Нужно следить за тем, чтобы дети не играли со взрывчатыми предметами.

Для лучшего понимания этого термина сравнивают ось Оz с высотой: чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше (высота может быть и отрицательной).

Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» ( сечения) проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость ХОУ.

Линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность без построения трёхмерного чертежа!

Область определения y^2+x ≥ 0 ⇒

линии уровня вне параболы y^2+x=0 ( см. рис.1)

Так как z ≥ 0 ⇒ h ≥ 0

При
h=0
√(y^2+x)=0 ⇒ y^2+x=0

Линия уровня на высоте h=0 – парабола y^2+x=0

При
h=1
√(y^2+x)=1 ⇒ y^2=-x+1
Линия уровня на высоте h=1 – парабола у^2=-x+1

При
h=2
√(y^2+x)=2⇒ y^2= - x + 4
Линия уровня на высоте h=2 – парабола y^2= - x + 4
см. рис.2
и т . д (прикреплено изображение)

11/30 и 17/36 приводим к общему знаменателю 360
11/30=(11*12)/(30*12)=132/360
17/36=(17*10)/(36*10)=170/360
1)
(11/30)-(17/36)=(132/360)-(170/360) = - 38/360=
=-19/180
2)
(-19/180):(19/45)=(-19/180)*(45/19)= - (45/180) =
= -1/4

Решаем однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
5y'' + 9y'–2y=0
Составляем характеристическое уравнение:
5k^2+9k-2=0
D=9^2-4*5*(-2)=81+40=121=11^2
k_(1)=(-9-11)/10=-2 или k_(2)=(-9+11)/10=0,2

Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(-2x) + C_(2)e^(0,2x)

Частное решение данного неоднородного уравнения находим в виде
у_(част)=Acos2x+Bsin2x

Находим
y`_(част)=-2Аsn2x+2Bcos2x
y``_(част)=-4Аcos2x-4Bsin2x

Подставляем
y_(част), y`_(част), y``_(част)
в данное уравнение:

5*(- 4Аcos2x - 4Bsin2x) + 9*(-2Аsn2x+2Bcos2x) -2*(Acos2x+Bsin2x) = 2 sin2x-3cos2x

Раскрываем скобки и группируем слагаемые с sin2x и cos2x

(-22B -18A)sin2x+(-22A+18B)cos2B=2sin2x-3cos2x

{-22B -18A=2
{-22A+18B=-3

{-9A - 11B = 1
{-22A +9B=-3

Первое уравнение умножим на 9, второе на 11
{-81A -99B=9
{-242A +99B=-33
Cкладываем
323А=24
А=24/323
B=(-9A-1)/11=-49/323

О т в е т.
y=y_(одн)+у_(част)=С_(1)e^(-2x) + C_(2)e^(0,2x)+(1/323)*(24sin2x-49cos2x)

Так как
сos2x=2cos^2x-1, то

2cos^2x-1+2cos^2x=0 ⇒ 4cos^2x=1 ⇒ cos^2x=1/4 ⇒
cosx= ± 1/2

cosx=1/2 ⇒ x= (± Pi/3)+2Pik, k ∈ Z
или
cosx= - 1/2 ⇒ x = ( ± 2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z
О т в е т. (± Pi/3)+2Pik, ( ± 2Pi/3)+2Pin, k , n ∈ Z

(прикреплено изображение)

2.
Интеграл вычисляют методом интегрирования по частям
u=x^2
v=sin2xdx

du=2xdx
v=-(1/2)cos2x

∫ x^2sin2xdx=-(x^2/2)cos2x+∫ xcos2xdx=

u=x
dv=cos2xdx
du=dx
v=(1/2)sin2x

=-(x^2/2)cos2x+(x/2)sin2x- ∫ (1/2)sin2xdx=

=-(x^2/2)cos2x+(x/2)sin2x+(1/4)cos2x + C

3.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решаем однородное уравнение
y`-(y/x)=0
dy/dx=y/x- уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=dx/x
∫ dy/y= ∫ dx/x
ln||=ln|x|+lnC
y=Cx

Применяем метод вариации произвольной постоянной
у=С(х)*х
y`=C`(x)*x+C(x)*x`
y`=C`(x)*x+C(x)

Подставляем в данное уравнение
C`(x)*x+C(x)-С(х)*х/х=(х+1)/х
C`(x)*x=(х+1)/х
C`(x)=(х+1)/х^2
C(x)= ∫ (x+1)dx/x^2= ∫ dx/x+ ∫ dx/x^2=ln|x|-(1/x)+C

y=(ln|x|-(1/x)+C)*x
y=xlnx-1+Cx - общее решение данного уравнения

D(y)=(- бесконечность ;+ бесконечность )
y`=(3/4)*(3x^2-3)
y`=0
3x^2-3=0
x^2=1
x= ± 1

_+__ (-1) __-__ (1) __+_

x=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
y(-1)=3/2
х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y(1)=-3/2

Функция возрастает на (- бесконечность ;-1) и на (1;+ бесконечность )
убывает на (-1;1) (прикреплено изображение)

R=lim_(n→∞)|a_(n)/a_(n+1)|=lim_(n→∞)(5^(n+1)*(n+1)^3)/(5^n*n^3)=5

sin^3x=sinx*sin^2x=sinx*(1-cos^2x)

sin^3x/cos^2x=(sinx/cos^2x)-sinx

∫ sin^3xdx/cos^2x = ∫ (sinxdx/cos^2x) - ∫sinxdx =

=- ∫ cos^(-2)xd(cosx)- ∫sinxdx=(-1/cosx)+cosx + C

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру описанной окружности.
с=2R

S=(1/2)a*b
c^2=a^2+b^2
Р=a+b+c

Из условия задачи
a*b=4
a+b+c=?

Первые 30 секунд велосипедист и турист двигались в одну сторону.

За 30 секунд велосипедист проехал
5*30=150 метров
За 30 секунд турист прошел
1*30=30 метров.

После этого началось движение навстречу друг другу.
Между ними
200-150+30=80 метров

5+1=6 м/c - скорость сближения

80 м : 6 м/с=(40/3)с.

Через
(40/3) с после того как турист пошел навстречу велосипедисту они встретятся
С момента начала одновременного движения надо добавить 30 сек.

30+(40/3)=130/3 сек

Разделим на (1+x^2)

y``+(2x/(1+x^2))*y`=x

Решаем однородное уравнение (#):

y``+(2x/(1+x^2))*y`=0

y`=u

u`+(2x/(`1+x^2))u=x

u`+(2x/(1+x^2))u=0

du/u=-2xdx/(1+x^2)

∫ du/u= - ∫ 2xdx/(1+x^2)

ln|u|=-ln|1+x^2|+lnC_(1)

u=C_(1)/(1+x^2)

y`=C_(1)/(1+x^2)

y=C_(1)arctg(1+x^2)+C_(2) - общее решение однородного уравнения (#)

Применяем метод вариации произвольных постоянных
y(х)=C_(1)(х)arctg(1+x^2)+C_(2)(х)
Находим
y`=C`_(1)(x)*arctg(1+x^2)+C_(1)(x)*(1/(1+x^2))+C`_(2)(x)

y``=C``_(1)(x)*arctg(1+x^2)+C_(2)(1/(1+x^2))+C1_(1)(x)*(1/(1+x^2))+C_(1)*(1/(1+x^2))`+C``_(2)(x)+C`_(2)*1

Подставляем в данное уравнение и находим С_(1) и С_(2)

Разделим уравнение на у:

y`-(1/x)y=(1/x^2)

Решаем однородное
y`-(1/x)y=0
y`=dy/dx
dy/dx=y/x
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные
dy/y=dx/x
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+lnC
y=Cx- общее решение неоднородного уравнения

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y(x)=C(x)*x
y`(x)=C`(x)*x+C(x)*x`
y`(x)=C`(x)*x+C(x)

C`(x)*x+C(x)-(1/x)*C(x)*x=1/x^2;

C`(x)*x=(1/x^2)
С`(x)=1/x^3
C(x)= ∫ dx/x^3
C(x)=-1/(2x^2) +C

y = (-1/(2x^2) +C)*x

y = (-1/(2x)) + Cx - общее решение данного уравнения

При х=1 у=-1/2

-1/2=-1/2+C
C=0

y=-1/(2x) - частное решение данного уравнения.

Перепишем:

a=2/(х+1)(х-5)
Строим графики
у=2/((x+1)(х-5)) и у=а

Cм. рис. 1

Наибольшее значение данная функция принимает в точке минимума функции
g(x)=(x+1)(x-5)
g(x)=x^2-4x-5
g`(x)=2x-4
g`(x)=0
2x-4=0
x=2

y(2)=2/(2+1)*(2-5)=-2/9

О т в е т. (- бесконечность; -2/9) (прикреплено изображение)

Интеграл вычисляют методом интегрирования по частям
u=lnx
v=(x+2)dx

du=dx/x
v=(x^2/2)+2x

∫ (x+2)lnxdx=((x^2/2)+2x)*lnx- ∫ ((x/2)+2)dx=

=((x^2/2)+2x)*lnx - (x^2/4)-2x + C

Дифуравнение перепишем в виде:
y`=(y/x)- e^(y/x)

Это уравнение вида
y`= phi (y/x)

Замена переменной
y/x=u
y=ux
y`=u`*x+u*x`
y`=u`*x+u

Подставляем в уравнение

u`*x+u =u-e^(u)

u`*x=-e^(u) - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

xdu/dx = - e^(u)

du/e^(u)=-dx/x

e^(-u)d(-u)=dx/x

Интегрируем

e^(-u) =lnx+lnc

cx=e^(-y/x)
x=Ce^(-y/x) C=(1/c)

В таблице 3 строки и 8 столбцов.

Возможное количество пар в строке 7
Возможное количество пар в трех строках 7*3=21
Возможное количество пар в столбце 2
Возможное количество пар в 8-ми столбцах 8*2=16

Возможное количество пар в таблице
21+16=37

Оно состоит из пар с соседними клетками разных цветов ( их по условию 22); пар с соседними клетками черного цвета ( их 11) и пар с соседними клетками белого цвета ( их х)

22+11+х=37

33+х=37

х=37-33

х=4
О т в е т. 4

Находим частные производные:
z`_(x)=6xy-12
z`_(y)=3x^2+3y^2-15

Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{6xy-12=0 ⇒ xy=2
{3x^2+3y^2-15=0 ⇒ x^2+y^2=5

Умножаем первое уравнение на 2 и складываем
x^2+2xy+y^2=9
(x+y)^2=9
Умножаем первое уравнение на (-2) и складываем
(x-y)^2=1

{x-y=1
{x+y=3
или
{x-y=-1
{x+y=3

{x-y=1
{х+y=-3
или
{x-y=-1
{x+y=-3

Система имеет 4 решения

(2;1) ; (1;2); (-1;-2); (-2;-1)

z``_(xx)=6y
z``_(yy)=6y
z``_(xy)=z``_(yx)=6x

Для каждой точки считаем частные производные второго порядка в этой точке
(2;1)
А=z``_(xx)=6*1=6
В=z``_(yy)=6*1=6
С=z``_(xy)=z``_(yx)=6*2=12
АВ-C^2 < 0
в точке (2;1) нет экстремума.

(1;2)
А=z``_(xx)=6*2=12
В=z``_(yy)=6*2=12
С=z``_(xy)=z``_(yx)=6*1=6
АВ-C^2 > 0
A > 0
(1;2) - точка минимума

(-1;-2)
А=z``_(xx)=6*(-2)=-12
В=z``_(yy)=6*(-2)=-12
С=z``_(xy)=z``_(yx)=6*(-1)=- 6
АВ-C^2 > 0
A < 0
(-1;-2) - точка максимума

(-2;-1)
А=z``_(xx)=6*(-1)=-6
В=z``_(yy)=6*(-1)=-6
С=z``_(xy)=z``_(yx)=6*(-2)=-12
АВ-C^2=36-144 < 0
в точке (-2;-1) - нет экстремума

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-10k+25=0
(k-5)^2=0
k_(1)=k_(2)=5 - корень кратный, поэтому частное решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами принимает вид:

y_(общее одн)=C_(1)e^(5x)+C_(2)x*e^(5x) - общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение
находим в виде
y_(частное)=Аe^(2x)
y`_(частное)=2Ae^(2x)
y``_(частное)=4Ae^(2x)

Подставляем в данное неоднородное уравнение:
4Ae^(2x) - 10 *2Ae^(2x)+25Ae^(2x)=9*e^(2x)
9Ae^(2x)=9e^(2x)
A=1

y=C_(1)e^(5x)+C_(2)x*e^(5x) +e^(2x) - общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем задачу Коши
y(0) = 2, y' (0) =7

Подставляем в общее решение неоднородного уравнения вместо х=0, вместо у=1
2=C_(1)+1
C_(1)=1
Находим
y`=5C_(1)e^(5x)+C_(2)e^(5x)+5C_(2)xe^(5x) +2e^(2x)
Подставляем вместо х=0, вместо y`=7
7=5C_(1)+C_(2)+0+2
C_(2)=0

y=e^(5x)+e^(2x) - решение задачи Коши.

Перепишем уравнение в виде:
y`-(1/x)y=x^3 (#)
Это линейное уравнение 1-го порядка
Решаем однородное уравнение
y`-(1/x)y=0 - это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные
dy/y=dx/x
Интегрируем
ln|y|=ln|x| +lnC ⇒ y=Cx

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y(x)=C(x)*x
y`=C`(x)*x+C(x)
Подставляем в (#)

C`(x)*x+C(x)-(1/x)*C(x)*x=x^3

C`(x)*x=x^3

C`(x)=x^2

C(x)=(x^3/3) + c

y=((x^3/3) + c)*x

y=(x^4/3)+cx

y(1)=1/3

1/3=1/3+c*1
c=0

О т в е т.y=(x^4/3)+cx - общее решение
y=(x^4/3)- частное решение задачи Коши

1.
D(y)=(- бесконечность;- ∛-2)U(- ∛-2;+ бесконечность )
y`=((x^4)`*(x^3+2)-x^4*(x^3+2)`)/(x^3+2)^2=
=(4x^6+8x^3-3x^6)/(x^3+2)^2=(x^3*(x^3+8)/(x^2+2)^2
y`=0
x^3*(8+x^3)=0
x^3=0 или x^3+8=0
x=0 или x=-2

__+__ (-2) ___-___ (-∛-2) __-__ (0) __+__

Функция возрастает на (- бесконечность;-2) и на (0;+ бесконечность )
убывает на (-2;-∛-2) и на (-∛-2;0)
х= -2 - точка максимума производная меняет знак с + на -
х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

см. рис. 1

2.
D(y)=(- бесконечность ;+ бесконечность )
y`=cosx+(1/2)(cos2x)*(2x)`
y`=cosx+cos2x
y`=0
cosx+cos2x=0
2cos^2x+cosx-1=0
D=9
cosx=-1 или сosx=1/2
x=Pi+2Pik, k ∈ Z или х= ± (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

x=(Pi/3)+2Pin, n ∈ Z - точки максимума
х=(-Pi/3)+2Pin, n ∈ Z - точки минимума
х=Pi+2Pik, k ∈ Z не являются точками экстремума.
см. рис. 2

3.
x`(t)= - 6 sin2t
y`(t)=- 9sin3t

Графики x`(t) и y`(t) cм. на рис. 3 (прикреплено изображение)

Один из углов ромба 113 градусов, это тупой угол
Противоположный угол тоже 113 градусов.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба равна 180 градусов.

180 градусов - 113 градусов=67 градусов.

О т в е т. 113 градусов, 67 градусов, 113 градусов, 67 градусов. (прикреплено изображение)

74
см. рисунок 6
aльфа=-бета
При бета < 0, а значит при альфа > 0 интеграл не является несобственным

При 0 < бета < 1
а значит при -1 < альфа < 0
интеграл в 74сходится
при альфа меньше или равно -1 интеграл в 74 расходится.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нулем, есть множитель 10.
А вообще тремя нулями.
2·5=10
12·15=180

e^(3-5lnx)=e^(3)*e^(-5lnx)=e^(3)*e^(lnx^(-5))=e^(3)*x^(-5)

∫ e^(3-5lnx)dx/(5x)=(e^3/5) ∫dx/x^6=

= (e^3/5)* ∫ x^(-6)dx=(e^3/5)*x^(-5)/(-5) + C=

=(-e^3/25)*(1/x^5)+C

11.
По определению логарифма
log_(a)x=b ⇒ x= a^b, a > 0; a ≠ 1; x > 0

4+x=5^2
x=25-4
x=21
О т в е т. 21
12.
(Pix/4)=(-Pi/4)+Pin,n ∈ Z
Умножаем обе части равенства на (4/Pi)
x=(-1)+4n, n ∈ Z
при n=1 получим x=-1+4=3
О т в е т. 3
13.
диаметр D=2R ⇒ R=D/2=2/2=1

S(бок. цилиндра)=2Pi*R*H
По условию S(бок. цилиндра)=14Pi

14Pi=2Pi*1*H ⇒ H=7

О т в е т. 7

14.
BD^2_(1)=BD^2+DD^2_(1)
DD1=CC1=2
6^2=BD^2+2^2
BD^2=32

АВ^2+AD^2=BD^2
AB^2+7=32
AB^2=25
AB=5
AB=CD=C1D1=5
О т в е т. 5

15.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
(m^4)^3=m^(4*3)=m^(12)
(m^(3)^4=m^(3*4)=m^(12)
(m^(6))^2=m^(6*2)=m^(12)
О т в е т. (5m^(12)+3m^(12))/(4m^(12))=8m^(12))/(4m^(12))=2

С.1
Квадратное уравнение
Пусть
sinx=t

6t^2+t-1=0
D=1-4*6*(-1)=25
t=(-1-5)/12=-1/2 или t=(-1+5)/12=1/3

sinx=(-1/2)
x=(-Pi/3) + 2Pin, n ∈ Z или х=(-2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

или

sinx=1/3
x=arcsin(1/3)+2Pin, n ∈Z или x=(Pi-arsqin(1/3)+2Pin, n ∈ Z

При n=1
x=-2Pi/3 - наименьший отрицательный корень

х/Pi=-2/3
О т в е т. (-2/3)

С.2
сos(3Pi- бета )=-cos бета
sin((-Pi/2)+бета)=-sin((Pi/2)- бета )=-cos бета
cos( бета -Pi)=cos(Pi- бета )=-cos бета

О т в е т. (-2cos бета -(-cos бета))/(5(-cos бета ))=1/5=0,2

С.3
Ребро куба равно диаметру шара, т.е 2
S ( полн. куба)=6a^2=6*2^2=6*4=24

О т в е т. 24

С.4

ОДЗ
{x > 0;
{x-1 > 0⇒ x > 1

ОДЗ: х > 1

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

lg(x*(x-1)) меньше или равно lg6;

х*(х-1) меньше или равно 6

x^2-x-6 меньше или равно 0 ⇒ D=25; корни - 3 и 2 ⇒ -3 меньше или равно х меньше или равно 2

С учетом ОДЗ
1 < x меньше или равно 2

(1;2]
О т в е т. длина интервала (1;2] равна 1

10.
2^(6-x)=2^7
6-x=7
-x=7-6
-x=1
x=-1
О т в е т. -1

11.
По определению логарифма
log_(a)x=b ⇒ x= a^b, a > 0; a ≠ 1; x > 0

7-х=(1/7)^(-2)
7-х=49
-х=49-7
-х=42
х=-42
О т в е т. -42

12.
Pi*(2x-1)/3=(Pi/3)+Pin,n ∈ Z
Умножаем обе части равенства на (3/Pi)
2x-1=1+3n, n ∈ Z
2х=2+3n, n∈ Z
x=2+1,5n, n∈ Z
при n=0 получим x=2
О т в е т. 2

13.
R=2; H=6

S( пов. цилиндра)=S(бок. цилиндра)+2S(осн.)=2Pi*R*H+2*Pi*R^2

S( пов. цилиндра)=2Pi*2*6+2*Pi*2^2=32Pi

О т в е т. 32Pi/Pi=32

14.
V=(1/3)S(осн.)*H
S(осн.)=S(прямоугольного треуг.)=(1/2)*a*b=(1/2)*6*8=24
V=(1/3)*24*10=80
О т в е т. 80
5.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
(m^4)^6=m^(4*6)=m^(24)
(m^(8)^3=m^(8*3)=m^(24)
(m^(12))^2=m^(12*2)=m^(24)

(7m^(24)+9m^(24))/(16m^(24))=16m^(24))/(16m^(24))=1

О т в е т. 1

C.1
Квадратное уравнение
Пусть
sinx=t

2t^2 + 3 t -2 = 0
D = 9 - 4*2*(-2)=25
t=(-3-5)/4=-2 или t=(-3+5)/4=1/2

sinx=-2
уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно 1
или
sinx=1/2
x=(Pi/6) + 2Pin, n ∈ Z или х=(5Pi/6)+2Pin, n ∈ Z

При n=
x=Pi/6 или х=5Pi/6

О т в е т. Pi/6 или 5Pi/6

С.2
сos(3Pi- бета )=-cos бета
sin((-3Pi/2)+бета)=-sin((3Pi/2)- бета )=-(-cos бета )=cos бета
cos( бета -Pi)=cos(Pi- бета )=-cos бета

О т в е т. (-cos бета -cos бета )/(5(-cos бета ))=2/5=0,4

C.3
V=(1/3)*S(осн.)*Н=(1/3)*S(квадрата)*H=(1/3)*4^2*6=32
О т в е т. 32

С.4
3=log_(2)8

log_(2)(x^2-x-12) меньше или равно log_(2)8

{x^2-x-12 > 0⇒ D=49; корни -3 и 4 ⇒ х < -3 или х > 4
{x^2-x-12 меньше или равно 8 ⇒ x^2-x-20 меньше или равно 0 ⇒ D=81; корни - 4 и 5 ⇒ -4 меньше или равно х меньше или равно 5

____ [-4] ////// (-3) ____ (4) \\\\\\ [5]

О т в е т. [-4;-3) U (4;5]

Замена переменной
sqrt(8+3x)=t
8+3x=t^2 ⇒ x=(t^2-8)/3
d(8+3x)=dt^2
3dx=2tdt ⇒ dx=(2/3)tdt

∫ x^(7)*√(8+3x)dx= ∫ ((t^2-8)/3)^7*t*(2/3)tdt=

=(2/3^(8)) ∫ (t^2-8)^7(t^2dt)=

=(2/3^8)* вычисленный интеграл см на рисунке.

Затем обратная замена. (прикреплено изображение)

3^(x+log_(3)5)=3^(x)*3^(log_(3)5)=3^(x)*5
Замена переменной
3^(x)=t
t > 0 при любом х
9^(x)=(3^(2))^(x)=(3^(x))^2=t^2

(t^2-5t+3)/(t-4) + (5t-27)/(t-6) меньше или равно t+4;

((t^2-5t+3)*(t-6)+(t-4)*(5t-27) - (t+4)*(t-4)*(t-6))/(t-4)(t-6) меньше или равно 0

(2t-6)/((t-4)(t-6)) меньше или равно 0

_-__ [3] __+__ (4) ____-___ (6) ____+_____

C учетом t > 0
получаем
t=3 или 4 < t < 6
3^x=3 или 4 < 3^x < 6
x=1 или log_(3)4 < x < log_(3)6

О т в е т. {1} U( log_(3)4;log_(3)6)

1.
S(бок)=P(осн.)*H
60=15*H
H=4
H = боковому ребру
О т в е т. 4

2.
S(бок)=P(осн)*Н=(2+2+2+2)*11=88
S(полн.)=S(бок.)+2S(осн.)=88+2*2^2=96

3.
d^2=a^2+b^2+c^2=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49
d=7
S( пов.)=2ab+2bc+2ac=2*2*3+2*2*6+2*3*6=72

4. см. рис.
h^2=H^2+(a/2)^2=10^2+4^2=116
h=sqrt(116)
5. см. рис.
h=4

∠ РKО= 60 градусов

а)PO=H=4*sin60 градусов=2sqrt(3) - высота пирамиды

б)(1/2)a=4*cos30^(o)=4*(1/2)=2
r=a/2=2
a=4
в)
d^2=a^2+a^2=462+4^2=32
d=AC=BD=4sqrt(2)
R=АО=ОС=ОB=OD=(1/2)АС=(1/2)BD=2sqrt(2)
г) а=4
д)S( осн)=a^2=4^2=16
е) S=(1/2)a*h=(1/2)4*4=9
ж)V=(1/3)S(осн.)*Н=(1/3)*4^2*2sqrt(3)=32sqrt(3)/3
(прикреплено изображение)

11.
По определению логарифма
log_(a)x=b ⇒ x= a^b, a > 0; a ≠ 1; x > 0

4+x=5^2
x=25-4
x=21
О т в е т. 21

12.
(Pix/4)=(-Pi/4)+Pin,n ∈ Z
Умножаем обе части равенства на (4/Pi)
x=(-1)+4n, n ∈ Z
при n=1 получим x=-1+4=3
О т в е т. 3

13.
диаметр D=2R ⇒ R=D/2=2/2=1

S(бок. цилиндра)=2Pi*R*H
По условию S(бок. цилиндра)=14Pi

14Pi=2Pi*1*H ⇒ H=7

О т в е т. 7

14.

BD^2_(1)=BD^2+DD^2_(1)
DD1=CC1=2
6^2=BD^2+2^2
BD^2=32

АВ^2+AD^2=BD^2
AB^2+7=32
AB^2=25
AB=5
AB=CD=C1D1=5

О т в е т. 5

15.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
(m^4)^3=m^(4*3)=m^(12)
(m^(3)^4=m^(3*4)=m^(12)
(m^(6))^2=m^(6*2)=m^(12
О т в е т. (5m^(12)+3m^(12))/(4m^(12))=8m^(12))/(4m^(12))=2

С.1.
Квадратное уравнение
Пусть
sinx=t

6t^2+t-1=0
D=1-4*6*(-1)=25
t=(-1-5)/12=-1/2 или t=(-1+5)/12=1/3

sinx=(-1/2)
x=(-Pi/3) + 2Pin, n ∈ Z или х=(-2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

или

sinx=1/3
x=arcsin(1/3)+2Pin, n ∈Z или x=(Pi-arsqin(1/3)+2Pin, n ∈ Z

При n=1
x=-2Pi/3 - наименьший отрицательный корень

х/Pi=-2/3
О т в е т. (-2/3)

С.2
сos(3Pi- бета )=-cos бета
sin((-Pi/2)+бета)=-sin((Pi/2)- бета )=-cos бета
cos( бета -Pi)=cos(Pi- бета )=-cos бета

О т в е т. (-2cos бета -(-cos бета))/(5(-cos бета ))=1/5=0,2

С.3
Ребро куба равно диаметру шара, т.е 2
S ( полн. куба)=6a^2=6*2^2=6*4=24

О т в е т. 24

С.4

ОДЗ
{x > 0;
{x-1 > 0⇒ x > 1

ОДЗ: х > 1

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

lg(x*(x-1)) меньше или равно lg6;

х*(х-1) меньше или равно 6

x^2-x-6 меньше или равно 0 ⇒ D=25; корни - 3 и 2 ⇒ -3 меньше или равно х меньше или равно 2

С учетом ОДЗ
1 < x меньше или равно 2

(1;2]
О т в е т. длина интервала (1;2] равна 1

Проводим РК||BC
РК - средняя линия Δ АВС
РК=(1/2)ВС=2

Проводим РР1|| BB1 и KK1|| CC1
PP1=6
PKK1P1- прямоугольник со сторонами РК=2 и РР1=6

S(cечения)=2*6=12

V= ∫ ∫ _(D)(3-x^2-y2)dxdy
D:3-x^2-y^2=0 - круг радиуса sqrt(3) с центром (0;0)
Переход к полярным координатам
х=rcos phi
y=rsin phi
dxdy=rdrd phi
Тело симметрично относительно координатных плоскостей х=0 и у=0, поэтоу можно посчитать только (1/4) часть и умножить на 4
V= 4∫^(Pi/2) _(0) ∫^(sqrt(3) )_(0)(3-r^2)rdr=
=4*(Pi/2)*((sqrt(3)r^2/2)-(r^4/4))|^(sqrt(3))_(0)=
=2Pi*((3sqrt(3)/2)-(9/4)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается. !!! (прикреплено изображение)

D(y)= (- бесконечность; + бесконечность)

y=x^3+3x^2-4x-12
y`=3x^2+6x-4
y`=0
3x^2+6x-4=0
D=36-4*3*(-4)=84
x=(-6-sqrt(84))/2=-3-sqrt(41) и х=-3+sqrt(41) - точки возможных экстремумов

Применяем достаточное условие экстремума, находим знаки производной

_+__ ( -3-sqrt(41)) _-_ (-3+sqrt(41)) _+__

х=-3+sqrt(41)- точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=-3-sqrt(41) - точка максимума, производная меняет знак с + на -

на (- бесконечность;-3-sqrt(41)) и на (-3+sqrt(41);+ бесконечность) функция возрастает
на (-3-sqrt(41);-3+sqrt(41)) функция возрастает

y``=6х+6
y``=0
6x+6=0
x= -1 - точка перегиба, так как вторая производная при переходе через эту точку меняет знак с- на +
на(- бесконечность;-1) функция выпукла вверх, на (-1;+ бесконечность ) вниз.

Точки пересечения с осями координат
c осью Ох
y=0
(x^2-4)*(x+3)=0
x=-2; x=-3; x=2
c осью Оу
х=0
у=-12 (прикреплено изображение)

4.
∫_(L) xdx+ydy=[y=x; dy=dx]= ∫^(1)_(0)(xdx+xdx)=
=2 ∫^(1)_(0)xdx=2*(x^2/2)|^(1)_(0)=1

1. Cм. рис. Вместо ? надо написать 2
Это уравнение прямой х=2
см. рисунок.

2.

S= ∫ ∫ _(D)dxdy= ∫ ^(Pi)_(0)dx ∫^(sinx) _(0)dy=

= ∫ ^(Pi)_(0)( y)|^(sinx) _(0) dx=

= ∫ ^(Pi)_(0)(sinx-0)dx=-(cosx)| ^(Pi)_(0)=-(cos(Pi)-cos0)=2

3.

V= ∫ ∫ ∫ dxdydz= ∫^(3)_(1)dy ∫^(3)_(0)dx ∫^((3-x)/2) _(0)dz=

= ∫^(3)_(1)dy ∫^(3)_(0)(z)|^((3-x)/2) _(0)dx=

= ∫^(3)_(1)dy∫^(3)_(0)((3-x)/2 - 0)dx

= ∫^(3)_(1) ((3/2)x-(x^2/4))|^(3)_(0)dy=

=∫^(3)_(1)((9/2)-(9/4))dy=(9/4)(y)|^3_(1)=9/2=4,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
∠ PKO=30 градусов;
PK=10
Из прямоугольного треугольника РКО:
ОК=10*cos30 градусов=10*sqrt(3)/2=5sqrt(3) см

ОК=(1/2)*a ⇒ a=10sqrt(3) см
S(осн.)=S(квадрата)=a^2=(10sqrt(3))^2=300 кв см

2.
PA=PB=PB=PD=2 cм
∠ РАО= ∠ РВО= ∠ РСО= ∠ РDО=30 градусов
Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
а)PO=H=1 cм - высота пирамиды
б)
R=АО=ОС=ОB=OD=2*cos30 градусов=sqrt(3)
3.
d=АС=BD=2R=2sqrt(3)
4.
S(диагонального сечения)=(1/2)*АС*PO==(1/2)*2sqrt(3)*1=sqrt(3)
5,
d^2=a^2+a^2=
2a^2=(2sqrt(3))^2
2a^2=12
a^2=6
a=sqrt(6)
6.
r=a/2=sqrt(6)/2
7.
S( осн)=a^2=(sqrt(6))^2=6
8.
V=(1/3)S(осн.)*Н=(1/3)*6*1=2

(прикреплено изображение)

1.
270*37=9990г=9 кг 990 г
9 кг 990 г : 3 кг =3 ,33 банок.
Но так как количество банок - натуральное число, то трех банок не хватит и потому надо купить 4 банки
2.
20 тонн=20 000 кг
20 000 : 5=4 000 штук кирпича надо купить
49*4000=196 000 рублей
196 000 +9 000 (доставка)=205 000 руб
54*4000=216 000 руб ( доставка бесплатно)
63*4000=252 000 руб + 2500 руб ( доставка)
Первый вариант выгоднее.
3.
(9^2)^5=9^(2*5)=9^(10)=(3^2)^(10)=3^(20)
(3^(6))^3=3^(18)

3^(20)/3^(18)=3^2
4.
7^(1+log_(7)4)=7^(1)*7^(log_(7)4)=7*4=28

Василию не удастся это сделать, он проезжает 1 км за 1 минуту ( или 60 км за 60 минут=1 час)
На 1 минуту быстрее, значит
1-1=0 минут.
За 0 минут проехать 1 км не получится

1) D(y)=(–∞;+ ∞)

y`=(x³-3x+4)`=3x²-3;
y`=0
3x²-3=0;
x²=1

x= -1 или х= 1

Исследуем знак производной

__+__ (-1) ___-__ (1) __+__

х=-1 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на - .
х=1 - точка минимума функции, так как производная меняет знак с - на +.
y(-1)=-1+3+4=6
y(1)=1-3+4=2

Функция убывает при x∈ (-1;1)
возрастает при x∈ (-бесконечность;-1) и (1;+бесконечность)
(прикреплено изображение)

Условие задачи написано некорректно.
Неравенство
3x1+4x_(2) меньше или равно 18 правая от прямой
3x1+4x_(2) =18 полуплоскость ( см. рис. 1, закрашено красным цветом.)

Три неравенства
3x1 + 4x2≥18, 3x1 – x2≤ 3, x2≤ 6
задают область треугольника АВС ( см. рис. 2)

Четвертое неравенство задает область намного правее и это область не пересекается с треугольников АВС.
( см га рис. 3 область желтого цвета)

Уточняйте условие задания. (прикреплено изображение)

Скорость 60 км/ч означает, что машина в час проезжает 60 км.

1 час= 60 мин, значит Андрей проезжает 60 км за 60 мин,
За 1 минуту Андрей проезжает 1 км

Андрей хочет проезжать каждый километр на 1 минуту быстрее, т. е проезжать каждый километр за 1-1= 0 мин.

О т в е т. Задача некорректно сформулирована.

Либо первоначальная скорость не 60 км в час, либо желание проехать 1 км быстрее на другое количество минут ( не на минуту)

Правильный четырехугольник ABCD - квадрат.
AB=BC=AC=AD=4
S(осн.)=S(квадрата)=4:2=16

Диагонали квадрата
AC=BD=sqrt(4^2+4^2)=4sqrt(2)

SO=H ( пирамиды); АО=(1/2)AC=(1/2)4sqrt(2)=2sqrt(2)
SA=2sqrt(11)

По теореме Пифагора из треугольника SOA

SO^2=SA^2-OA^2=(2sqrt(11))^2-(2sqrt(2))^2=44-8=36
SO=6

V=(1/3)*S(осн.)*H==(1/3)*16*6=32
О т в е т. 32 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{4+5x > 0 ⇒ x > -5/4
{x+1 > 0 ⇒ x > -1
ОДЗ: х > -1

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(2)(4+5x)+log_(2)6=log_(2)(4+5x)*6

Уравнение принимает вид:
[b]log_(2)(4+5x)*6=log_(2)(x+1)[/b]

Логарифмическая функция с основанием 2 > 1 монотонно возрастает, значит каждое свое значение принимает только в одной точке.
Другими словами: если значения функции равны, то и аргументы равны.
6*(4+5х)=х+1
24+30х=х+1
30х-х=1-24
29х=-23
х= - 23/29
-23/29 входит в ОДЗ
О т в е т. -23/29

(прикреплено изображение)

Уравнение с разделяющимися переменными
y`=dy/dx

x^2dy=y^2dx

Разделяем переменные
dy/y^2=dx/x^2

Интегрируем

∫ dy/y^2 = ∫dx/x^2

-1/y=-1/x + С - общее решение дифференциального уравнения.

Область определения
х больше или равно 0
( cм. степенная функция c дробным показателем p/q=5/2)

y`=((2/5)*x^(5/2)-x+11)`=(2/5)*(5/2)*x^(3/2)-1=x^(3/2)-1
y`=0
x^(3/2)-1=0
x^(3/2)=1
x=1

[0] _-__ (1) __+___

x=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
О т в е т. х=1

Продолжим стороны АВ и СD до пересечения в точке K.
Так как
∠ А+ ∠ D=90 градусов и сумма углов треугольника AKD равна 180 градусов, то ∠ AKD=90 градусов.
Δ ВКС подобен треугольнику АКВ
KB:KA=BC:AD
KB=x
x:(x+13)=12:36
36x=12x+156
24x=156
x=6,5

OM ⊥ CD ( касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОN ⊥ AB ( ОА=ОВ=R) ⇒ AN=NB

ONKM - прямоугольник ( три угла равны 90 градусов)
NK=OM
NK=NB+BK=(1/2)AB+BK=(1/2)*13+6,5=13
О т в е т. R=13
(прикреплено изображение)

m= ∫ ∫ _(D)(3-x-y)dxdy
Переход к полярным координатам
x=rcos phi
y=rsin phi
0 < r < 1
0 < phi < 2Pi

m= ∫^(1) _(0)dr ∫ ^(2Pi)_(0)(3-rcos phi -rsin phi )d phi =

= ∫^(1) _(0)(3 phi -r*sin phi +rcos phi )|^(2Pi)_(0) dr

=∫^(1) _(0)(6Pi-r*(0-0)+r(1-1))dr=
=∫^(1) _(0)(6Pi)dr=(6Pir)|^(1)_(0)=6Pi

О т в е т. 24 (прикреплено изображение)

1.sin^2 альфа +cos^2 альфа =1 ⇒
sin альфа = ± sqrt(1-cos^2 альфа )
Так как 0 < альфа < Pi/2 и это первая четверть, а синус в первой четверти имеет знак +, то
sin альфа =sqrt(1-cos^2 альфа )=sqrt(1-(0,8)^2)=0,6
tg альфа =sin альфа /cos альфа =0,6/0,8=3/4
ctg альфа =cos альфа /sin альфа =4/3

2.
Квадратное уравнение.
Замена переменной
7^x=t
t^2-8t+7=0
D=64-4*7=36
t=(8-6)/2=1 или t=7

7^x=1 ⇒x=0
7^x=7 ⇒ x=1

О т в е т. 0; 1

3.
y`=(11/(x+4)) -11
y`=0
11/(x+4)=11
x+4=1
x=-3 - левая концевая точка [-3;0]
y` < 0 на [-3;0]
Значит, функция убывает
Наибольшее значение в точке
х=-3
у(-3)=11ln1-11*(-3)+5=0+33-5=28 наибольшее значение функции на [-3;0]
y(0)=11ln4-11*4-5=11ln4-49 - наименьшее значение функции на [-3;0]

(a^(x))`=a^(x)*lna

(a^(f(x)))`=a^(f(x))*lna * f`(x)

F(х)=(х+3)*(х+2)
F(x)=x^2+5x+6
F`(x)=2x+5
F`(x)=0
2x+5=0
x=-5/2

_-__ ( -5/2) __+__

х= -5/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

у(-5/2)=((-5/2)+3)*((-5/2)+2)=(1/2)*(-1/2)=-1/4

На (- бесконечность ;-5/2) производная отрицательна, значит функция убывает
На(-5/2;+ бесконечность) производная положительна,
значит функция возрастает.

Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью Ох
x+3=0 или х+2=0
х=-3 или х=-2
(-3;0) и (-2;0)
При х=0 у=5
(0;5)
График см. рис. (прикреплено изображение)

Уравнение с разделяющимися переменными
x^2dy=-(y-29)dx
dy/(y-29)=-dx/x^2
ln|y-29|=(1/x)+c

y-29=e^((1/x)+c)
y=Ce^(1/x)+29 (e^c=C)

О т в е т.y=Ce^(1/x)+29

16=4^2
Cвойства степени
(a^(m))^n=a^(m*n)

16^(3x)=(4^2)^(3x)=4^(2*3x)=4^(6x)

4^(x-2)=4^(6x)
x-2=6x
-2=6x-x
5x=-2
x=-2/5
x=-0,4

О т в е т. -0,4

Ответ выбран лучшим

R=3
H=3sqrt(3)/2
S(осевого сечения)=2R*H=6*3sqrt(3)/2=9sqrt(3) - о т в е т.

1=sin^2x+cos^2x

0,5sin2x=cos^2x
sinx*cosx-cos^2x=0
cosx*(sinx-cosx)=0
cosx=0 ⇒ x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z
или
sinx-cosx=0 ⇒ tgx=1 ⇒ x=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z

-Pi/2 - наибольший отрицательный корень уравнения

Ответ выбран лучшим

S(cечения)=(1/2)L*L*sin120 градусов
4sqrt(3)=L^2*sqrt(3)/4
L^2=16
L=4

H=L/2=2 ( катет против угла в 30 градусов)

R=L*sqrt(3)/2=2sqrt(3)

V=(1/3)*Pi*R^2*H=(1/3*)Pi*(2sqrt(3))^2*2=8Pi - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Свойство сторон и диагоналей параллелограмма
d^2_(1)+d^2_(2)=2a^2+2b^2 ⇒

d^2_(1)+d^2_(2)=2*(3^2+4^2) ⇒

d^2_(1)+d^2_(2)=50

Высота параллелепипеда
h^2=7^2-d^2_(1) и h^2=5^2-d^2_(2) ⇒
49-d^2_(1) =5^2-d^2_(2)

Из системы двух уравнений находим диагонали основания
{d^2_(1)+d^2_(2)=50;
{49-d^2_(1) =5^2-d^2_(2)

затем найдем высоту h и площадь основания
S=a*b*sin альфа

Угол между сторонами а и b находим по теореме косинусов из треугольника, образованного сторонами a и b и одной из диагоналей.

Прямой угол MTP опирается на диаметр
Гипотенуза МР - диаметр описанной окружности.
MP=10 ( клеточек)

R=MO=OP=(1/2)MP=5

О т в е т. 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

По определению логарифма
log_(a)x=b ⇒ x= a^b, a > 0; a ≠ 1; x > 0

3x+5=2^3
3x=8-5
3x=3
х=1
О т в е т. 1

y`=3x^2+4x+1
y`=0
3x^2+4x+1=0
D=16-4*3=4
x=(-4-2)/6=-1 или х=(-4+2)/6=-2/3

-1 - является концевой точкой указанного отрезка
-2/3∉ [-4;-1]

[-4] __+__ [-1]

На[-4;-1] y` > 0
Функция возрастает на [-4;-1]
Наибольшее значение принимает в точке x=-1

y(-1)=(-1)^3+2*(-1)^2-1+3=-1+2-1+3=3
О т в е т. 3

Cм. на рисунке (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

В слове ''абрикос'' семь букв.
Выбрать одну букву можно
n=7 способами

Событие А - '' выбрана согласная буква''
Согласных букв 4
m=4 исхода испытания ( выбора буквы) благоприятствующих наступлению события А

p(A)=m/n - формула классической вероятности.
р=4/7

О т в е т. 2)

Ответ выбран лучшим

1.
10^(-3)=0,001

0,7*10^(-3)-20=0,7*0,001-20=0,0007-20=-19,9993
2.
2 и 3 дорожки.
3.
7=105/15 < 116/15 < 120/15=8
Значит, это С или D

7 целых 2/3=23/3=115/15

7 целых (2/3)=115/15 < 116/15 < 10/15=8
Значит это точка D
4.
(sqrt(7)-sqrt(3))*(sqrt(7)+sqrt(3))=(sqrt(7))^2-(sqrt(3))^2=7-3=4

-17;-14;-11;
Замечаем, что
-17+3=-14
-14+3=-11
Значит, следующие два члена прогрессии
-11+3=-8
-8+3=-5 -это и есть пятый по счету
О т в е т. -5

6^2 < (sqrt(45))^2 < 7^2 - верно, так как 36 < 45 < 49
Значит это либо А, либо В

Делим отрезок [6;7] пополам
6,5=13/2
(13/2)^2=169/4=42, 25

42, 25 < 45 < 49
Извлекаем корень
6,5 < sqrt(45) < 7

О т в е т. Точка В

Свойства степени
(a^(m))^(n)=a^(m*n)

(5^(2))^(-8)=5^(2*(-8))=5^(-16)

5^(-16)/5^(-18)=5^(-16-(-18))=5^(2)=25
при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются (прикреплено изображение)

1.
По определению логарифма
log_(a)x=b ⇒ x= a^b, a > 0; a ≠ 1; x > 0

4+x=5^2
x=25-4
x=21

2.
(Pix/4)=(-Pi/4)+Pin,n ∈ Z
Умножаем обе части равенства на (4/Pi)
x=(-1)+4n, n ∈ Z
при n=1 получим x=-1+4=3
О т в е т. 3
3.
диаметр D=2R ⇒ R=D/2=2/2=1

S(бок. цилиндра)=2Pi*R*H
По условию S(бок. цилиндра)=14Pi

14Pi=2Pi*1*H ⇒ H=7

О т в е т. 7

4.
BD^2_(1)=BD^2+DD^2_(1)
DD1=CC1=2
6^2=BD^2+2^2
BD^2=32

АВ^2+AD^2=BD^2
AB^2+7=32
AB^2=25
AB=5
AB=CD=C1D1=5
О т в е т. 5
5.
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
(m^4)^3=m^(4*3)=m^(12)
(m^(3)^4=m^(3*4)=m^(12)
(m^(6))^2=m^(6*2)=m^(12)
О т в е т. (5m^(12)+3m^(12))/(4m^(12))=8m^(12))/(4m^(12))=2

С.1
Квадратное уравнение
Пусть
sinx=t

6t^2+t-1=0
D=1-4*6*(-1)=25
t=(-1-5)/12=-1/2 или t=(-1+5)/12=1/3

sinx=(-1/2)
x=(-Pi/3) + 2Pin, n ∈ Z или х=(-2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

или

sinx=1/3
x=arcsin(1/3)+2Pin, n ∈Z или x=(Pi-arsqin(1/3)+2Pin, n ∈ Z

При n=1
x=-2Pi/3 - наименьший отрицательный корень

х/Pi=-2/3
О т в е т. (-2/3)

С.2
сos(3Pi- бета )=-cos бета
sin((-Pi/2)+бета)=-sin((Pi/2)- бета )=-cos бета
cos( бета -Pi)=cos(Pi- бета )=-cos бета

О т в е т. (-2cos бета -(-cos бета))/(5(-cos бета ))=1/5=0,2

С.3
Ребро куба равно диаметру шара, т.е 2
S ( полн. куба)=6a^2=6*2^2=6*4=24

О т в е т. 24

С.4

ОДЗ
{x > 0;
{x-1 > 0⇒ x > 1

ОДЗ: х > 1

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

lg(x*(x-1)) меньше или равно lg6;

х*(х-1) меньше или равно 6

x^2-x-6 меньше или равно 0 ⇒ D=25; корни - 3 и 2 ⇒ -3 меньше или равно х меньше или равно 2

С учетом ОДЗ
1 < x меньше или равно 2

(1;2]
О т в е т. длина интервала (1;2] равна 1

1.
Диагонали квадрата ABCD равны, в точке пересечения делятся пополам ( cм. рис.)
OB=OD=15

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOB
SB^2=SO^2+OB^2=20^2+15^2=400+225=625
SB=25

2.
АВСD- квадрат
AB=BC=CD=AD=a

SK=h - апофема пирамиды ( или высота боковой грани)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOK ( см. рис. ОК=1/2 АВ=a/2)
SK^2=SO^2+OK^2=20^2+(21)^2=400+441=841
h=SK=29
S=S(осн.)+S(бок)=a^2+(4a*h/2)=42^2+84*29=4200 кв см

3.
По формуле
d^2=a^2+b^2+c^2

d^2=5^2+7^2+10^2
d^2=25+35+100
d=sqrt(160)=4sqrt(10)

(прикреплено изображение)

По определению логарифма
log_(a)x=b ⇒ x= a^b, a > 0; a ≠ 1; x > 0

4+x=5^4
x=625-1
x=624

1:2:4 - это отношение сторон.
Значит, одна сторона a= k, вторая сторона b=2k, третья сторона с= 4k.

По формуле
d^2=a^2+b^2+c^2

d^2=k^2+(2k)^2+(4k^2)
d^2=21k^2
d=k*sqrt(21)

Для нахождения коэффициента пропорциональности k нужны дополнительные условия.

1.
(7!+6!+5!)=5!*(6*7+6+1)=5!*49
(8!-7!)=7!*(8-1)=7!*7=6!*49

(7!+6!+5!)/( 8!–7!)= (5!*49)/(6!*49)=5!/(5!*6)=1/6

2.
9!/(5!·4!)=(6*7*8*9)/(4!)=(6*7*8*9)/24=126

3.
n! / n ( n–1 ) = ((n-1)!*n)/(n*(n-1))=(n-1)!/(n-1)=(n-2)!

Ответ выбран лучшим

p = 0,002 ( мало)
n = 500 ( велико)

В этом случае применяют формулу Пуассона:

P_(n)(k) = (лямбда^(k) * e^(-лямбда))/k!

лямбда = n * p = 500 * 0.002 = 1
P_(500)(5) = (1^5 *e^(-1))/5! = 1/(120e) ≈ 0,0030637..

О т в е т. 0,003

(прикреплено изображение)

Парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через начало координат имеет вид:
x^2=2py,
фокусом параболы является точка F(0;p/2)

По условию
р/2=2
р=4

x^2=2*4y
О т в е т. x^2=8y (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

y=(x+8)^2*(x+1)-3
Находим производную.

Применяем формулу
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=((x+8)^2)`*(x+1)+(x+8)^2*(x+1)` -0

y`=2*(x+8)*(x+1)+(x+8)^2
y`=(x+8)*(2x+2+x+8)
y`=(x+8)*(3x+10)
y`=0
х+8=0 или 3х+10=0
х=-8 или х= - 10/3
-8 ∈ [-15;-7] и -10/3 ∉ [-15;-7]

Знак производной:

[-15] _+_ (-8) __-__ [-7]

х=- 8 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
у(-8)=0-3=-3 - наибольшее значение функции на [-15;-7]

Ответ выбран лучшим

y=(x-4)^2*(x-9)-4
Находим производную.

Применяем формулу
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=((x-4)^2)`*(x-9)+(x-4)^2*(x-9)` -0

y`=2*(x-4)*(x-9)+(x-4)^2
y`=(x-4)*(2x-18+x-4)
y`=(x-4)*(3x-22)
y`=0
х-4=0 или 3х-22=0
х=4 или х=22/3
4∈ [1;5] и 22/3 ∉ [1;5]

Знак производной:

[1] _+_ (4) __-__ [5]

х=4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
у(4)=0-4= -4 - наибольшее значение функции на [1;5]

Ответ выбран лучшим

y=(x-10)^2*(x-6)-8
Находим производную.

Применяем формулу
(u*v)`=u`*v+u*v`

y`=((x-10)^2)`*(x-6)+(x-10)^2*(x-6)` -0

y`=2*(x-10)*(x-6)+(x-10)^2
y`=(x-10)*(2x-12+x-10)
y`=(x-10)*(3x-22)
y`=0
х-10=0 или 3х-22=0
х=10 или х=22/3
10 ∈ [8;15] и 22/3 ∉ [8;15]

Знак производной:

[8] _-_ (10) __+__ [15]

х=10 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
у(10)=0-8=-8 - наименьшее значение функции на [8;15]

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 20 машин выбирают одну.
Это можно сделать 20-ю способами.
n=20
Событие А -''приедет желтое такси''
Наступлению события А благоприятствуют 4 случая ( 4 желтых машины)
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=4/20=1/5=0,2

x/2=y/–3=z/4 ⇒ vector{p}=(2;-3;4) - направляющий вектор прямой.
Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы.
Уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) с направляющим вектором (m;n;q)
имеет вид
(x-x_(o))/m=(y-y_(o))/n=(z-z_(o))/q

(x-1)/2=(y+1)/(-3)=(z-3)/4 - уравнение прямой, проходящей через точку P(1:–1;3) параллельной прямой x/2=y/–3=z/4

б)
Условие - '' прямая, отсекающая на оси Oy отрезок длины 2 см'' означает, что прямая проходит через точку (0;2;0)

И опять непонятно, что в условии.

написать уравнение прямой, проходящей через точку Р и отсекающей отрезок 2 см на оси Оу
или
написать уравнение прямой, параллельной прямой x/2=y/–3=z/4 и отсекающей на оси Oy отрезок длины 2см

Но и в том и в другом случае теперь Вы знаете, что делать

1. Пусть первый студент занял одно место в Туле, тогда вероятность того, что и второй окажется в Туле равна (1/14)
Аналогично для Дружинино - (1/6)
и для Екатеринбурга - (1/7)
Выбор или Тула или Дружинино или Екатерибург означает, что вероятности надо сложить
(1/14)+(1/6)+(1/7)=(3/14)+(1/6)=(18+14)/84=32/84=
16/41
2.
Если вероятность безотказной работы одних элементов не зависит от вероятности безотказной работы других элементов, т.е события независимы, то вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных элементов.
p=0,1*0,15*0,2=0,003
3.
Применяется формула полной вероятности:
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))
p(H_(1))=p(H_(2))=1/2
p(A/H_(1))=0,9
p(A/H_(1))=0,8
О т в е т. (1/2)*(0,9+0,8)=0,85

F`(x)=(4x^2+3x+1)`=8x+3
F`(x)=0
8х+3=0
х=-3/8

Исследуем знак производной
F`(1)=8*1+3 =11 > 0
F`(-1)=8*(-1)+3=-5 < 0
__-__ (-3/8) ___+__

На (- ∞;-3/8) функция убывает
На (-3/8;+∞) функция возрастает

x=-3/8 - точка максимума, производная меняет знак
с - на +

F(-3/8)=4*(-3/8)^2+3*(-3/8)+1=(9/16)+(-9/8)+1=7/16

Строим график
(прикреплено изображение)

f`(x)--12x^2+12x
f`(x)=0
-12x^2+12x=0
-12x*(x-1)=0
x=0 или х=1

__-_ (0) _+__ (1) _-__

х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y(0)=0
О т в е т. 0

1.
4 шоколадки по цене 35 рублей, заплатим 140 рублей, де шоколадки получим в подарок. Итого 6 шоколадок, на оставшиеся 60 рублей купим седьмую
О т в е т. 7
2.
40:100*10=4 рубля - составляют 10%
40-4=36 руб. цена тетради после снижения
750:36 ≈ 20,83
О т в е т 20 тетрадей
3.
8 очков=2+6=3+5=4+4=5+3=6+2
n=6*6 - исходов испытания
m=5

О т в е т. 5/36
4.
|vector{a}|=sqrt((-15)^2+8^2)=sqrt(225+64)=sqrt(289)=17
5.
Возводим обе части уравнения в квадрат
3х-8=25
3х=25+8
3х=33
х=11
Проверка
sqrt(3*11-8)=sqrt(25)=5 - верно
О т в е т. 11
6.
v(t)=x`(t)=(-t^4+6t^3+5t+23)`=-4t^3+18t^2+5
v(3)=-4*3^3+18*3^2+5=9*(18-12)+5=59 м/с
7.
k=f `(x_(o))
k=3
f`(x)=(x^2-5x+8)`=2x-5

2x-5=3
2x=8
x=4
О т в е т. в точке х_(о)=4

8 и 9 см. рис.

10.
32=2^5
2-3x=32
-3x=32-2
-3x=30
x=-10
О т в е т. -10 (прикреплено изображение)

3=log_(2)2^3=log_(2)8

Неравенство принимает вид:

log2(x2–x–12) меньше или равно log_(2)8

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства между аргументами сохраняется
(x^2-x-12) меньше или равно 8
C учетом области определения логарифмической функции:
x^2-x-12 > 0

Решаем систему неравенств:
{x^2-x-12 > 0 ⇒ D=49 корни -3 и 4⇒ x < -3 или х > 4
{x^2-x-12 меньше или равно 8 ⇒x^2-x-20 меньше или равно 0 ⇒D=81, корни - 4 и 5 ⇒ х ∈ [-4;5]

___ [-4] ///// (-3) ______ (4) \\\\\\ [5]

О т в е т. [-4;-3) U(4;5]

По определению логарифма
log_(a)x=b ⇒ a^b=x, x > 0 a > 0, a ≠ 1

log_(1,7)(7–x)=–2 ⇒ 7-x=(1,7)^(-2); 7-x=(10/17)^2
x=7-(100/289)
x=6 целых 189/289
О т в е т. 6 целых 189/289

vector{a}=(x;y)
|vector{a}|=sqrt(x^2+y^2)

О т в е т. |vector{a}|=sqrt((-15)^2+8^2)=sqrt(225+64)=sqrt(289)=17

2.
Применяется формула полной вероятности:
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))
p(H_(1))=p(H_(2))=1/2
p(A/H_(1))=0,95
p(A/H_(1))=0,94
О т в е т. 0,5*(0,95+0,94)=0,945

3. Формула Байеса
p(H_(1)/А)*p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1)) ⇒
p(H_(1)/А)=(p(H_(1))*p(A/H_(1)))/ p(A)
где р(А) вычисляем по формуле полной вероятности
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))

p(H_(1))=0,7
p(H_(2))=0,3
p(A/H_(1))=0,63
p(A/H_(1))=0,83
О т в е т. p(H_(1)/A)=0,7*0,63/(0,7*0,63+0,3*0,83)=0,441/0,690=
=441/690

р=10/20=1/2

Задача не имеет решения. Недостаточно данных

x^2+2x+1=(x+1)^2=(x+1)*(x+1)

поэтому
левая часть уравнения
(x–2)·(х+1):2-4(х+1)=0
может быть разложена на множители
(х+1)*((х-2)(х+1)-4)=0
(x+1)*(x^2-2x+x-2-4)=0
(х+1)*(x^-x-6)=0
x+1=0 или x^2-x-6=0 D=25
x=-1 или х=(1 ± 5)/2
x=-1 или х=-2 или х=3
О т в е т. -2; -1; 3

Табличный интеграл
=(2tgx)|^(Pi/4)_(0)=2tg(Pi/4)-2tg0=2*1-0=2

Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую опирается.
Значит, дуга АС равна 200 градусов.
Дуга АВС равна 360 градусов -200 градусов =160 градусов.
∠ АОС - центральный угол. Измеряется дугой, на которую опирается. значит,
∠ АОС -=160 градусов.

2 способ

Продолжим ОС до пересечения с окружностью в точке К
Дуга АК равна 200-180=20 градусов.
Центральный угол АОК равен 20 градусов, смежны с ним угол 180-20=160 градусов (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

По условию AC1 пересекает ось ОО1 цилиндра.
Значит, прямые лежат в одной плоскости.
Пусть К- точка их пересечения.

Проводим C1O1 до пересечения с окружностью верхнего основания. получаем точку А1

Аналогично прямая АО пересекается с окружностью нижнего основания в точке С.

Треугольники С1О1К и АОК равны по катету
ОА=СО1=R и острому углу (углы С1КО1 и АКО равны, они вертикальные)

О1K =1/2 ОО1

Значит
СС1 АА1=ОО1=ВВ1=6

АА1⊥ пл АВС и СС1⊥ пл. АВС

АС и А1С1- диаметры окружностей нижнего и верхнего основания.
Треугольники АВС и А1В1С1- прямоугольные, так как
∠ АВС = ∠ А1В1С1 = 90 градусов, как углы опирающиеся на диаметр соответствующей окружности.

Значит по теореме Пифагора
АС=А1С1=sqrt(15^2+8^2)=sqrt(225+64)=sqrt(289)=17

BC ⊥ AB ⇒ BC - проекция ВС1, значит по теореме о трех перпендикулярах наклонная BC1 ⊥ АВ;
∠ АВС1 - прямой.

б) ВВ1 || CC1
Значит угол между АС1 и BB1 равен углу между AC1 и CC1
А это угол АС1С
Из прямоугольного треугольника АС1C
tg ∠ АС1C=AC/CC1=17/6
∠ АС1C=arctg(17/6)
О т в е т. arctg(17/6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула одинакова как для y=f(x) так и для x=f^(-1)(y)
s(длина дуги)= ∫ ^(бета)_(альфа) sqrt(1+(x`(y)^2))dy

x=2y^2
x`=4y

1+(x`)^2=1+(4y)^2=

s(длина дуги)= ∫ ^(2)_(0) sqrt(1+4y^2)dy=

[ интегрируем по частям или находим готовую формулу 18.
[b]u=2y[b]]

=(y*sqrt(1+4y^2)+ln|2y+sqrt(1+4y^2)|)|^(2)_(0)=

=2*3+ln(4+3)=6+ln7

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область Ω - треугольная призма:
0 < y < 2
0 < x < y/2
-1 < z < 0

m= ∫ ∫ ∫ _(Ω) y^2e^(xy/2)dxdydz=

= ∫ ^(0)_(-1)dz ∫^(2) _(0)dy ∫^(y/2)_( 0)y^2e^(xy/2)dx=

=∫ ^(0)_(-1)dz ∫^(2) _(0)y^2*(2/y)*(e^(xy/2)|^(y/2)_(0)dy=

=∫ ^(0)_(-1)dz ∫^(2) _(0)(2y*e^(y^2)-2y*e^(0))dy=

=∫ ^(0)_(-1) (e^(y^2)-y^2)|^(2) _(0)dz=

=∫ ^(0)_(-1) (e^(4)-4-1+0)dz=(e^(4)-5)*(z)|^(0)_(-1)=(e^(4)-5)*(0-(-1))=(e^(4)-5)*1=e^(4)-5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

m= ∫ ∫ _(D)(x+y^2)dxdy=

= ∫ ^(1)_(0)dy ∫ ^(2sqrt(y))_(0)(x+y^2)dx=

=∫ ^(1)_(0)((x^2/2)+y^2x)| ^(2sqrt(y))_(0) dy=

=∫ ^(1)_(0) ((2sqrt(y))^2/2+y^2*2sqrt(y))dy=

=∫ ^(1)_(0) (2y+2y^(5/2))dy=

={y^2/2)+2*y^(7/2)/(7/2))|^(1)_(0)=1+(1/7)=8/7 (прикреплено изображение)

Делим обе части уравнения на 100: (прикреплено изображение)

x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)

Перепишем систему так:
{(x^2-y^2)*a=12a-48
{x^2+y^2=a
a ≠ 0, в противном случае второе уравнение вырождается в точку (0;0)

{x^2-y^2=12-(28/a)
{x^2+y^2=a

Складываем и вычитаем
{2x^2=a-(28/a)+12
{2y^2=a-12+(28/a)

{a-(28/a)+12 > 0⇒ a ∈ (-14;0) U(2;+бесконечность)
{a-12+(28/a) > 0 ⇒ а ∈(0;6-2sqrt(2)) Г(6+2sqrt(2);+ бесконечность )

О т в е т. (2; 6-2sqrt(2)) U(6+2sqrt(2);+ бесконечность )

Второе уравнение системы:
y^2-x^2=0 ⇒ (y-x)*(y+x)=0 ⇒ y=x или y=-x

Данная система равносильна совокупности двух систем:
{x^2+y^2+2(a-3)x-4ay+5a^2-6a=0
{y=x
или
{x^2+y^2+2(a-3)x-4ay+5a^2-6a=0
{y=-x

Решаем каждую способом подстановки
1)
2x^2+(2a-6-4a)x+5a^2-6a=0
квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант положителен
(-2a-6)^2-4*2*(5a^2-6a)=36+24a+4a^2-40a^2+48a=
=-36*(a^2-2a-1) > 0 ⇒ a^2-2a-1 < 0 ⇒
[b]a∈(1-sqrt(2);1+sqrt(2))[/b]

2) 2x^2+(2a-6+4a)x+5a^2-6a=0
квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант положителен
(6a-6)^2-4*2*(5a^2-6a)=36a^2-72a+36-40a^2+48a=
=-4*(a^2+6a-9) > 0 ⇒ a^2+6a-9 < 0 ⇒
[b]a∈(-3-3sqrt(2);- 3+3sqrt(2))[/b]

Данная система будет иметь 4 корня, тогда и только тогда, когда каждая из двух систем, рассмотренных выше имеет два корня.

Так как прямые у=х и у=-х пересекаются в точке (0;0) надо исключить те значения параметра а, при которых
x^2+y^2+2*(a-3)-4ay+5a^2-6a=0 проходит через начало координат и стало быть данная система имеет три корня ( cм. рис.)
5a^2-6a=0
a=0 или а=6/5=1,2

Ответ (1-sqrt(2);0)U(0;1,2)U(1,2; -3+3sqrt(2)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a=2n-1; b=2n+1; c=2n+3 - последовательные нечетные числа
(с-b-1)^2+(c-a-3)^2=(2n+3-2n-1-1)^2+(2n+3-2n+1-3)^2=
=1^2+1^2=1+1=2
О т в е т. 2

= ∫ ^(е)_(1)dy ∫ ^(e/y)_(lny)f(x;y)dy (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+2 > 0 ⇒ x- любое
{x^2-x+12 > 0 ⇒ верно при любом x, D < 0
{1-(1/x) > 0 ⇒ (x-1)/x > 0 ⇒ x < 0 или х > 1
ОДЗ: x < 0 или х > 1

Разность логарифмов заменяем логарифмом частного.

log_(3)(x^2+2)/(x^2-x+12) больше или равно log_(3) (1-(1/х))

Логарифмическая функция возрастает с основанием 3, поэтому
((x^2+2)/(x^2-x+12)больше или равно(x-1)/x

Переносим слагаемые из правой части влево и приводим к общему знаменателю

((x^2+2)*x-(x-1)*(x^2-x+12))/(х*(x^2-x+12)) больше или равно 0

(x^3+2x-x^3+x^2-12x+x^2-x+12)/(х*(x^2-x+12) больше или равно 0

(2x^2-11x+12)/(x*(x^2-x+12)) больше или равно 0

Решаем методом интервалов:
D=(-11)^2-4*2*12=121-96=25

x=(11-5)/4=3/2 или х=(11+5)/4=4

_-__ (0) __+__ [3/2] _-__[4] _+__

x∈ (0;3/2] U[4;+бесконечность)
С учетом ОДЗ получаем ответ

О т в е т. (1;3/2] U[4; + бесконечность)

2sqrt(2)sin(x+(Pi/6))=2sqrt(2)*(sinx*cos(Pi/6)+cosx*sin(Pi/6))=
=2sqrt(2)((sqrt(3)/2)*sinx + (1/2)*cosx)=
=sqrt(6)sinx+sqrt(2)cosx

Уравнение примет вид:
sqrt(6)sinx+sqrt(2)cosx-cos2x=sqrt(6)sinx-1
или
sqrt(2)cosx-(2cos^2x-1)=-1
2cos^2x-sqrt(2)cosx-2=0
D=(-sqrt(2))^2-4*2*(-2)=18
корни (sqrt(2) ± 3sqrt(2))/4

cosx=-sqrt(2)/2 ⇒ x= ± (3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z
или
сosx=sqrt(2) - уравнение не имеет корней, |cosx|
меньше или равно 1, а sqrt(2) > 1

О т в е т. ± (3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Cм. общие рассуждения по решению задач подобного вида. (прикреплено изображение)

Из прямоугольного треугольника АСН
сos ∠ CAH=AH/AC
AH=AC*cos ∠ CAH=4*0,8=3,2
О т в е т. 3,2 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x^2+4x > 0 ⇒ x < -4 или х > 0
{x^2-x+14 > 0 ⇒ верно при любом x, D < 0
{1-(1/x) > 0 ⇒ (x-1)/x > 0 ⇒ x < 0 или х > 1
ОДЗ: (-бесконечность;-4) U (1; + бесконечность)

Разность логарифмом заменяем логарифмом частного.
log_(5)(x^2+4x)/(x^2-x+14) = log_(5) (1-(1/х))
Логарифмическая функция с основанием 5 возрастает, поэтому каждое значение принимает только в одной точке.
Другими словами, если значения функции равны, то и аргументы равны.
((x^2+4x)/(x^2-x+14) =(x-1)/x
Переносим слагаемые из правой части влево и приводим к общему знаменателю

((x^2+4x)*x-(x-1)*(x^2-x+14))/(х*(x^2-x+14)) = 0

(x^3+4x^2-x^3+x^2-14x+x^2-x+14)/(х*(x^2-x+14) = 0

(6x^2-15x+14)/(x*(x^2-x+14)) = 0

{6x^2-15x+14=0
{x ≠ 0
{x^2 - x + 14 ≠ 0

D=(-15)^2-4*6*14 < 0

уравнение не имеет корней.

О т в е т. нет корней

Ответ выбран лучшим

(x-8)=6^3
x=216+8
x=224

2sin(2x +(Pi /3))=2sin2x*cos(Pi/3)+2cos2x*sin(Pi/3)=
=(2sin2x)*(1/2)+2cos2x*(sqrt(3)/2)=sin2x+sqrt(3)cos2x

Уравнение примет вид
sin2x+sqrt(3)cos2x - sqrt(3)sinx=sin2x+sqrt(3)
sqrt(3)cos2x - sqrt(3)sinx= sqrt(3)
cos2x - sinx=1

cos2x=1-2sin^2x

-2sin^2x-sinx=0
-sinx*(2sinx+1)=0
sinx=0 или sinx=-1/2
x=Pik, k ∈ Z или х=(-1)^(n)arcsin(-1/2)+Pin, n ∈ Z
или
х=Pik или х=(-1)^(n+1)*(Pi/6) + Pin, k, n ∈ Z

О т в е т. Pik; (-1)^(n+1)*(Pi/6) + Pin, k, n ∈ Z

v(t)=s`(t)=(t^3/3)`+5(t^2)`=t^2+10t
v(5)=5^2+10*5=75
a(t)=v`(t)=(t^2+10t)`=2t+10
a(5)=2*5+10=20

2.
Решаем
Однородное уравнение
y`+y=0
y`=dy/dx
dy/dx=-y уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные
dy/y=-dx
Интегрируем
ln|y|=-x+c
y=C*e^(-x) (C=e^c)

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y=C(x)*e^(-x)
y`=C`(x)*e^(-x)+C(x)*e^(-x)*(-1)

Подставляем y` и y в данное уравнение
C`(x)*e^(-x)-C(x)*e^(-x) + С(х)*e^(-x)=x^2*e^(-x)

C`(x)*e^(-x)=x^2*e^(-x)

C`(x)=x^2

C(x)=(x^3/3)+C

О т в е т. y=((x^3/3)+C)*e^(-x)

3. По формуле Ньютона- Лейбница
=2sqrt(x-1)|^3_(2)=2sqrt(3-1)-2sqrt(2-1)=2sqrt(2)-2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x^2+12 > 0 ⇒ верно при любом х
{x^2-x+12 > 0 ⇒ верно при любом x, D < 0
{2-(1/x) > 0 ⇒ (2x-1)/x > 0 ⇒ x < 0 или х > 1/2

Разность логарифмом заменяем логарифмом частного.
Логарифмическая функция с основанием 7 возрастающая, поэтому
(2x^2+12)/(x^2-x+12) больше или равно 2-(1/х)

((2x^2+12)*x-2x*(x^2-x+12)+x^2-x+12)/(x*(x^2-x+12))
больше или равно 0

(3x^2-13x+12)/(x*(x^2-x+12)) больше или равно 0
3x^2-13x+12=0
D=(-13)^2-4*3*12=169-144=25
x=(13-5)/6=4/3 или х=(13+5)/6=3

_-__ (0) ___+___ [4/3] ____-___ [3] __+___

(0;4/3]U[3;+ бесконечность )

C учетом ОДЗ получаем ответ
((1/2);(4/3)] U [3;+ бесконечность)

sqrt(2)sin(2x+(Pi/4))=sqrt(2)(sin2x*cos(Pi/4)+cos2x*sin(Pi/4))=
=так как sin(Pi/4)=cos(Pi/4)=sqrt(2)/2=
sin2x+cos2x

sin2x+cos2x-sqrt(2)sinx=sin2x+1
или
1-2sin^2x-sqrt(2)sinx=1
sinx+sqrt(2)sin^2x=0
sinx*(1+sqrt(2)sinx)=0
sinx=0 или sinx=-sqrt(2)/2
x=Pin, n ∈ Z или х=(-1)^(k)(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z

О т в е т. Pin, n ∈ Z ; (-1)^(k)(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z

2sin(2x +(Pi /3))=2sin2x*cos(Pi/3)+2cos2x*sin(Pi/3)=
=(2sin2x)*(1/2)+2cos2x*(sqrt(3)/2)=sin2x+sqrt(3)cosx

Уравнение примет вид
sin2x+sqrt(3)cos2x - 3cosx=sin2x- sqrt(3)
sqrt(3)cos2x - 3cosx=- sqrt(3)

или

2cos^2x-sqrt(3)cosx=0
cosx*(2cosx-sqrt(3))=0
cosx=0 или cosx=sqrt(3)/2

x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z или х=±(Pi/6)+2Pin, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/2)+Pik, ±(Pi/6)+2Pin, k, n ∈ Z

Находим абсциссы точек пересечения данных кривых
(x^2/3)=4-(2x^2/3)
x^2=4
x=-2 или x=2

S= ∫ ^(2)_(-2)(4-(2x^2/3)-(x^2/3))dx= ∫ ^(2)_(-2)(4-x^2)dx=

=(4x-(x^3/3))|^(2)_(-2)=(8-(8/3))-(-8+(8/3))=32/3 (прикреплено изображение)

sqrt(x-8)=6
x-8=6^2
x=36+8
x=44
О т в е т. 44

y`=7-(7/(x+10))
y`=0
7=7/(x+10)
x+10=1
x=-9 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

-9 ∈ [-9,5;0]
y(-9)=7*(-9)-7ln1+5=-63-0+5=-58 - наименьшее значение функции на отрезке [-9,5;0]

(прикреплено изображение)

=arctgx+C

2^(6-х)=2^7
6-x=7
x=-1

1.
Подведение под дифференциал или замена переменной.
d(2x+1)=2dx
dx=(1/2)d(2x+1)

∫ (2x+1)^4dx=(1/2) ∫ (2x+1)^4d(2x+1)=(1/2)*((2x+1)^5/5) + C=

=(1/8)*(2x+1)^5 + C

3.
d(x^4+7)=4x^3dx ⇒ x^3dx=(1/4)d(x^4+7)

∫ x^3dx/(x^4+7)=(1/4) ∫ d(x^4+7)/(x^4+7)=(1/4) ∫ du/u=
=(1/4)*ln|x^4+7|+C

5.
∫ sinxcos^3xdx= ∫ cos^3x(-d(cosx))=- ∫ cos^3xd(cosx)=

=(-cos^4x/4) + C

6.
d(5x)=5dx
dx=(1/5)d(5x)
∫ dx/sin^2(5x)=-(1/5)ctg(5x) + C

ВК- биссектриса и медиана и высота,
значит треугольника АВС - равнобедренный
АВ=ВС

Свойство касательных к окружности, проведенных из одной точки.
AK=AF
CK=CQ
Но ВК - медиана, значит АК=СК
и потому
AF=CQ

BF=BQ
Треугольник АВС и BFQ подобны.
Стороны пропорциональны и угол В - общий.

FQ|| AC
(прикреплено изображение)

r(основания цилиндра)=6
R(шара)=10 ( по теореме Пифагора)

V=(4/3)Pi*R^3=(4/3)*Pi*10^3=4000*Pi/3

(прикреплено изображение)

y=|2a-3|-x^2 и подставляем в первое

x^4+(|2a-3|-x^2)^2=2a-7
2x^4-2*|2a-3|x^2+(2a-3)^2=2a-7
x^4 - |2a-3|x^2 + (2a^2-7a+1)=0

Биквадратное уравнение с параметром.
Замена переменной
t^2-|2a-3|t+(2a^2-7a+1)=0
D=(2a-3)^2-4*(2a^2-7a+1)=4a^2-12a+9-8a^2+28a-4)=
=4a^2+14a+5
Если D больше или равно 0, то квадратное уравнение имеет два корня.

Найти эти корни.
t_(1) и t_(2)
Если оба корня положительны, то биквадратное уравнение имеет 4 корня.
Если оба отрицательны, то не имеет корней.
И т.д.

(прикреплено изображение)

Если альфа= бета , то

2sin альфа *cos альфа =sin0 + sin(2 альфа ) - это и есть формула синуса двойного угла

y`=(8/(8x))-8
y`=(1/x)-8
y`=0
1/x=8
x=1/8=2/16 - внутренняя точка [1/16;5/16]

[1/16] ___+__ (1/8) _____-______ [5/16]

y=1/x расположена выше прямой у=8 на (0;1/8),
слева от (1/8) разность (1/х)-8 > 0

x=1/8 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(1/8)=ln1-1+7=0+6=6
О т в е т. 6

(прикреплено изображение)

Пусть a=2; b=6

(b-a)/2=(6-2)/2=3

Высоты, опущенные из вершин верхнего основания разбивают трапецию на прямоугольник и два равнобедренных прямоугольных треугольника, один катет (b-a)/2=3
Значит и второй катет h=3

S=(a+b)*h/2=(2+6)*3/2=12

ОДЗ:
x^2-2x > 0

1=log_(3)3

log_(3)(x^2-2x) > log_(3)1

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, поэтому

{x^2-2x > 3
{x^2-2x > 0

x^2-2x-3 > 0
D=16
x ∈ (- бесконечность ;-1)U(3;+ бесконечность ) - о т в е т.

2sin(2x+(Pi/6))=2sin2x*(cosPi/6)+2cos2x*sin(Pi/6)=
=sqrt(3)sin2x+cos2x

cosx+sqrt(3)sin2x+cos2x+1=sqrt(3)sin2x

cosx+cos2x+1=0
cosx+(2cos^2x-1)+1=0
cosx+2cos^2x=0
cosx*(1+2cosx)=0
cosx=0 ⇒ x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z
или
cosx=-1/2 ⇒ x=±(2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

О т в е т. а) (Pi/2)+Pik, k ∈ Z ; ±(2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z
б)(9Pi/2);(2Pi/3)+4Pi=14Pi/3; (-2Pi/3)+6Pi=16Pi/3; 11Pi/2 ∈ [4Pi;11Pi/2] (прикреплено изображение)

По определению логарифма
log_(a)x=b ⇒ х=a^b

2^(2x)-sqrt(3)cosx-sin2x=4^x
так как
2^(2x)=4^x,
то
-sqrt(3)cosx-sin2x=0

sin2x=2sinx*cosx (формула синуса двойного угла)

-sqrt(3)cosx-2sinx*cosx=0
-cosx*(sqrt(3)+2sinx)=0

cosx=0 или sqrt(3)+2sinx=0

сosx=0 ⇒ x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z

или

sinx=-sqrt(3)/2 ⇒ x=(-1)^(k)arcsin(-sqrt(3))/2)+Pik, k ∈ Z
x=(-1)^(k)*(-Pi/3)+Pik, k ∈ Z

О т в е т.
x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
(-1)^(k)*(-Pi/3)+Pik, k ∈ Z

Отрезку [-Pi/2; + 3Pi/2] принадлежат корни
-Pi/2; +Pi/2; 3Pi/2;
-Pi/3 и (-2Pi/3)+2Pi=4Pi/3
.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Там все объяснено.

arctg(-4/3)-Pi = - arctg(4/3) - Pi левее -5Pi/4, но они очень близко друг к другу

см. корни на единичной окружности
О т в е т. arctg(-4/3)-Pi = - arctg(4/3) - Pi и -5Pi/4 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x+10 > 0⇒ x > -10
{x+10 ≠ 1 ⇒ x ≠ -9
{-8-12x-6x^2-x^3 > 0 ⇒x^3+8+6x^2+12x < 0 ⇒ (x+2)*(x^2-2x+10) > 0 ⇒ x +2 < 0 ⇒ x < -2
ОДЗ: х ∈ (-10;-9)U(-9;-2)

Так как
0=log_(x+10)1
log_(x+10)(-8-12x-6x^2-x^2) больше или равно log_(x+10)1
Чтобы не рассматривать два случая ( основание (х+10) > 1 логарифмическая функция возрастает) и (основание 0 < x+10 < 1 логарифмическая функция убывает) применяем
[b] метод рационализации логарифмических неравенств[/b]
(x+10-1)*(-8-12x-6x^2-x^3-1) больше или равно 0
(x+9)*(x^3+6x^2+12x+9) меньше или равно 0
(х+9)*(х+3)^ меньше или равно 0
метод интервалов
__+_ [-9] ____-__ [-3] _+__

x ∈ [-9;-3]
C учетом ОДЗ получаем ответ
(-9;-3]

a=(20)^2*2,5=1000 м/с^2

Ответ выбран лучшим

2 га=20 000 кв м
S(прямоугольника)=x*y
По условию
S=20 000

ху=20 000 ⇒ y=20 000/x

Р=2*(х+у)=2*(х+(20000/х))=2*х+(40000/x)

Исследуем функцию P(x) c помощью производной

P`(x)=2 - (40000/x^2)
P`(x)=(2x^2-40000)/x^2
P`(x)=0
2x^2-40000=0
x^2=20000
x= sqrt(20 000)

Одна сторона sqrt(20000), вторая 20000/sqrt(20000) Ответы ''нехорошие'', потому что условие не дописано до конца.
Если есть дополнительные условия, как в 20115, что забор с трех сторон.
то
Р=2х+у или Р=у+2х
То решение приведет к ''хорошему ответу'' 100 и 200

По формулам приведения
sin(141 градусов)=sin(90 градусов + 51 градусов)=
=сos 51 градусов

3*sin^2(51 градусов)+3*sin^2(141 градусов)=
=3*sin^2(51 градусов)+3*cos^2(51 градусов)=
=3*(sin^2 (51 градусов)+cos^2(51 градусов))=
=3*1=3

36*70*4=6*[b]6*7*10[/b]*4=24*420

(24*420)/420=24

О т в е т. 24

Формула такая
V(пирамиды)=(1/3)*S(осн.)*H

(468/х) час - время первого
(520/(х–6)) час. - время второго

Время первого на 8 часов меньше.
Составлено уравнение.
Время первого + 8 часов = время второго

2*8=16

30:31:32 см. приложение1

33. см. приложения 2,3,4,5

34. см. приложение 6

35. см. приложение 7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

22.
Замена переменной ( подстановка)
sinx=t
сosxdx=dt
23.
Замена переменной
cosx=t
-sinxxdx=dt ⇒ sinxdx=-dt
24.
Замена переменной
tgx=t
x=arctgt
dx=dt/(1+t^2)
25.
Если показатель одной из тригонометрических функций ( m или n) - нечетное число, то другую функцию принимаем за t ( как в 22 и 23)
Если
m+n- четное, то подстановка tgx=t
Если
m и n - четные неотрицательные, формулы понижения степени
sin^2x=(1-cos2x)/2; cos^2x=(1+cos2x)/2

26
В случае m и n - нечетные положительные
cм. приложение (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Упрощаем:
2sin^2x+bsinx+(1/2)*(1-2sin^2x)+b=0
sin^2x+bsinx+(1/2)=0
или
2sin^2x+2bsinx+1=0
sinx=t

Получаем квадратное уравнение
2t^2+2bt+1=0
D=4b^2-8

При D=0, т.е. при 4b^2=8;
b^2=2
b= ± sqrt(2)
уравнение имеет один корень
t=-b/2
или
при b=sqrt(2)
t=-sqrt(2)/2
Уравнение
sinx=-sqrt(2)/2 не имеет корней на (0;Pi/2)

при b=-sqrt(2)
t=sqrt(2)/2
уравнение
sinx=sqrt(2)/2 имеет один корень на (0;Pi/2)

D > 0 при b ∈ (- бесконечность; -sqrt(2))U(sqrt(2);+ бесконечность)
уравнение
2t^2+2bt+1=0
будет иметь два корня
(-b ± sqrt(b^2-2))/2

Обратная замена приводит к двум уравнениям
sinx=(-b-sqrt(b^2-2))/2 или sinx=(-b+sqrt(b^2-2)/2
Для ответа на вопрос необходимо, чтобы одно уравнение имело решение на (0;Pi/2), а второе нет.
Есои очень нужно, то найдете границы возможного b самостоятельно

Испытание состоит в том, что из (8+7=15) роз выбирают четыре
Это можно сделать C^(4)_(15) способами,
n=C^(4)_(15)=15!/((15-4)!*4!)=12*13*14*15/(1*2*3*4)=
=1365

Событие А -''из 4 выбранных роз 2 будут красного а две другие белого цвета''.
Событию А благоприятствуют исходы, число которых равно:
C^2_(8)*C^2_(7)
(выбираем две розы из восьми красных и две розы из семи белых)
m=C^(2)_(8)*C^(2)_(7)=(81/6!*2!)*(7!/5!*2!)=588

По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=588/1365

Решаем однородное уравнение.
y``-y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-k=0
k*(k-1)=0
k_(1)=1; k_(2)=0
Общее решение имеет вид:
y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x)

y_(общее, однород)=C_(1)e^x+C_(2)

Правая часть имеет вид
f(x)=f_(1)x+f_(2)x

Определим частное решение для
f_(1)(x)=2e^x
Так как k_(1)=1 cовпадает с коэффициентом
перед х в f_(1)(x), то

[b]y_(1)_(частное)=x*Ae^x[/b]

y`_(1)_(частное)=Ae^x+xAe^x
y``_(1)_(частное)= Ae^x+Ae^x+xAe^x

Подставляем в уравнение
y``-y`=2e^x
(Ae^x+Ae^x+xAe^x)-(Ae^x+xAe^x)=2e^x
Ae^x=2e^x
A=2
y_(1)(x)_(частное) =2xe^x

Определим частное решение для
f_(2)(x)=x
Так как k_(2)=0, (e^(0x))=1 множитель перед х), то

[b]y_(2)_(частное)=x*(ax+b)[/b]

y`_(2)_(частное)=(ax^2+bx)`=2ax+b
y``_(2)_(частное)= 2a

Подставляем в уравнение
y``-y`=x
2a-2ax-b=x
2a-b=0
-2a=1 ⇒ a=-1/2
b=2a=-1
у_(2)(х)=-(1/2)x^2-x

y_(частное)=у_(1)(х)+y_(2)(х)

О т в е т. y=y_(общее, одн)+у_(частное)=
=C_(1)+C_(2)e^x+2xe^x-(1/2)x^2-x

Простейшее тригонометрическое уравнение вида
сosx=a
При |a| меньше или равно 1
известна формула его корней
х= ± arccosa+2Pik, k ∈ Z

a=1/2

(Pi/3)x= ± arccos(1/2)+2Pik, k ∈ Z
arccos(1/2)=Pi/3, так как сos (Pi/3)=1/2

(Pi/3)x= ± (Pi/3)+2Pik, k ∈ Z
Умножаем обе части равенства на (3/Pi)
x= ±1+6k, k ∈ Z

О т в е т. ±1+6k, k ∈ Z

ОДЗ:
{x-3 > 0
{x_2 > 0

ОДЗ: х ∈(3;+ бесконечность)
В условиях ОДЗ, знаменатели отличны от 0, применяем основное свойство пропорции.
2*sqrt(x-2)=3*sqrt(x-3)
Возводим в квадрат ( это действие может привести к постронним корням, почему и нужна ОДЗ)
4*(х-2)=9*(х-3)
4х-8=9х-27
-5х=-19
х=19/5 - принадлежит ОДЗ
О т в е т. 19/5

1. Табличный интеграл
∫ dt/ctg^2t

t=3x
d(3x)=3dx
О т в е т. (1/3)(-сtg3x)+C
2.
Интегрирование по частям.
u=lnx
dv=dx
du=dx/x
v=x

∫ lnxdx=x*lnx -∫x*(dx/x)=x*lnx-x+C
3.
Неправильная дробь. Выделяем целую часть.
(x^2+25-25)/(x^2+25)=1-(25/(x^2+25))

= ∫ 1*dx-25 ∫dx/(x^2+25)=x-25*(1/5)arctg(x/5) + C
4
d(sinx)=cosxdx
= ∫ sin^5xd(sinx)=(sin^6x/6)+C
6.
=∫ln^3xd(lnx)=(ln^4x/4)+C

Применяем свойство строгого возрастания показательной функции с основанием 3.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

3-х > 2
- x > 2 -3
- x > -1
x < 1
О т в е т. (- бесконечность;1)

Находим ОДЗ. О каком чередовании может идти речь?
x=5 не входит в ОДЗ.
x=1 не входит в ОДЗ

Это и написано: круглые скобки слева и справа от 1 и от 5

Ответ выбран лучшим

Перепишем:
(9x-4)*(ln(x+a)-ln(2x-a))=0
Произведение равно 0 тогда и только тогда когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла.
Получаем совокупность двух систем:
1)
{9x-4=0 ⇒ х=4/9
{x+a > 0 ⇒ a > -x
{2x-a > 0 ⇒ a < 2x
или
2)
{ln(x+a)-ln(2x-a)=0 ⇒ x+a=2x-a ⇒ x=2a
{x+a > 0 ⇒ a > -x
{2x+a > 0 ⇒ a < 2x

Область a > - x и a < 2x изобразим в системе координат хОа
(вместо оси Оу ось Оа)
Границы y=-x ( пунктирная линия, неравенство строгое) и у=2х ( тоже пунктирная линия)

Так как по условию x∈ [0;1], то рассматриваемая нами область сужается до треугольника АОВ.
Решение первой системы x=4/9 расположены на прямой х=4/9 и попадают в треугольник АОВ при
a ∈ (-4/9;8/9)
Решения второй системы x=2a расположены на прямой фиолетового цвета и попадают в треугольник АОВ при
a ∈ (0;1/2]

Итак,
при a ∈ (-4/9;0] уравнение имеет одно решение;
при a∈(0;1/2] два: x=2a и х=4/9
при а ∈ (1/2;8/9) уравнение имеет одно решение.

О т в е т. a ∈ (-4/9;0]U(1/2;8/9) (прикреплено изображение)

ОДЗ:
tgx > 0 ⇒ x в первой или в третьей четверти, x ≠ Pik. x ≠ (Pi/2)+Pin, k и n - целые.

4sin^2x-3=0
sin^2x=3/4
sinx=-sqrt(3)/2 или sinx=sqrt(3)/2
x=(-2Pi/3)+2Pim, m ∈ Z или х=(Pi/3)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т. (-2Pi/3)+2Pim, m ∈ Z или (Pi/3)+2Pim, m ∈ Z
(прикреплено изображение)

Первое лицо получает х руб.

Второе лицо получает ((2/5)х + 1500) руб

Третье лицо получает ((3/4)*((2/5)х+1500) - 1200)

Всего 18 000 руб.
Уравнение

х+ (2/5)х +1500 + (3/4)*((2/5)х+1500)-1200=18 000

х+(2/5)х+(6/20)х = 18 000 +1200 -1500 -(3/4)*1500

х+0,4x+0,3=18000- 300 +3*375
1,7x=16575
x=16575:1,7
х=9750 руб. получит первый
(2/5)х + 1500 = 3900+1500=5400 руб получит второй
(3/4)*5400 - 1200=2850 руб получит третий

Ответ выбран лучшим

1.
sin^2 альфа +cos^2 альфа =1 ⇒ sin альфа = ± sqrt(1-cos^2 альфа )
Так как угол во второй четверти, синус во второй четверти имеет знак +
sin альфа =+sqrt(1-(0,2)^2)=sqrt(1-0,04)=sqrt(0,96)=0,4*sqrt(6)

2.
sinx=sqrt(3)/2
x=(-1)^karcsin(sqrt(3)/2)+Pik, k ∈ Z
x=(-1)^k*(Pi/3)+Pik, k ∈ Z - о т в е т.

tgx=-sqrt(3)
x=arctg(-sqrt(3))+Pin, n ∈ Z
x=(-Pi/6)+Pin, n ∈ Z
3.
(прикреплено изображение)

Скорее всего условие уравнения такое:
[b]log^2_(3)(10–sinx)^2–4log_(3)(30–3sinx)=4[/b]
ОДЗ: 30-3sinx > 0⇒ sinx < 10 - верно при любом х
ОДЗ: х ∈ (- бесконечность; + бесконечность )
Тогда
log_(3)(10--sinx)^2=2log_(3)(10-sinx)
log_(3)(30-3sinx)=log_(3)3*(10-sinx)=log_(3)3+log_(3)(10-sinx)

Уравнение принимает вид
4log^2_(3)(10-sinx)-4log_(3)(10-sinx)-8=0
или
log^2_(3)(10-sinx)-log_(3)(10-sinx)-2=0
D=1-4*(-2)=9
log_(3)(10-sinx)=2 или log_(3)(10-sinx)=-1
10-sinx=3^2 или 10-sinx=3^(-1) ( нет корней)
sinx=1
x=(Pi/2)+2Pik, k ∈ Z

О т в е т. (Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
(-7Pi/2) и (-5Pi/2) - корни принадлежащие отрезку [–7Pi/2;–2Pi]

Переносим 1 влево и приводим к общему знаменателю

(2x^2-2x+1-2x+1)/(2x-1) меньше или равно 0

(2x^2-4x+2)/*(2x-1) меньше или равно 0

2*(x-1)^2/(2x-1) меньше или равно 0

__-___ (1/2) __+__ [1] __+__

О т в е т. (- бесконечность ;1/2)U{1}

В таблице 5 x 5 имеется 5 строк и 5 столбцов. В каждой строке возможны 4 пары соседних клеток.

В каждом столбце возможны 4 пары соседних клеток.

Всего имеется 4·5+5·4 = 20+20 = 40 соседних клеток.
В них входят соседние пары черных клеток, соседние пары белых клеток и соседние пары разных цветов.
Обозначим искомое число соседних пар белых клеток через x.
По условию
40 = 14+11+x
40=25+ x
х = 15.
Имеется 15 пар соседних клеток белого цвета.
Ответ: 15

Уравнение с разделяющимися переменными.

y`=dy/dx
Разделяем переменные:
dy/y=cosxdx
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ cosdx
ln|y|=sinx+c
y=e^(sinx+c)

e^c=C

y=C8e^(sinx) - о т в е т.

S(бок.)=2Pi*R*H
Подставляем 24 вместо S(бок.), 6 вместо Н

24=2*Pi*R*6

2=Pi*R⇒ R=2/Pi

Диаметр D=2R=2*(2/Pi)=4/Pi

1.Найдётся 12 рогаликов на которых есть глазурь и сахарная пудра - неверно, так как глазурью покрыто только 10!

2.Найдётся 5 рогаликов на которых нет ни глазури ни сахарной пудры
Верно. 10 в глазури, 20 в сахарной пудре, всего 35.
Если глазированные и покрытые сахарной пудрой не пересекаются. то все равно есть 5 не покрытых ни глазурью, ни сахарной пудрой.

3.Рогаликов на которых есть и глазурь и сахарная пудра не может оказаться меньше 14

Нет. Так как покрытых глазурью 10.

4.рогаликов на которой нет ни глазури и нет ни сахарной пудры не может оказаться больше 15
Нет. Если все рогалики, которые покрыты глазурью, посыпать сахарной пудрой, то останется 10 рогаликов, которые покрыты только сахарной пудрой
10+10=20
35-20=15
Может быть, что останется ровно 15, но больше 15-ти непокрытых никогда не останется.

Параллельный перенос графика у=sinx на 1 единицу вверх (прикреплено изображение)

Страна А заключила договор со страной В,
Значит страна А поставила подпись и страна В поставила подпись.
''семь стран подписали договор о ровно с пятью странами'' значит 7*5+5*7=70 подписей поставили
3*7+7*3=42 подписи поставили

70+42=112 подписей поставлено.
56 договоров подписано.
О т в е т. 56

Интегрирование по частям
∫ u*dv=u*v- ∫ vdu

u=arcsinx ⇒ du=dx/sqrt(1-x^2)
dv=dx ⇒ v=x

∫ arcsinxdx=x*arcsinx - ∫ xdx/sqrt(1-x^2)= замена во втором интеграле или подведение под дифференциал 1-x^2=t

⇒ -2xdx=dt ⇒ xdx=(-1/2)dt

=x*arcsinx +(1/2) ∫ dt/sqrt(t)=x*arcsinx+(1/2)*2sqrt(t) +C=

=x*arcsinx+sqrt(1-x^2) +C.

О т в е т. x*arcsinx+sqrt(1-x^2) +C.

Вероятность вынуть стандартную деталь из первого ящика равна 3/10.
Вероятность вынуть стандартную деталь из второго ящика
равна 6/15
Вероятность того, что обе детали стандартные
равна произведению вероятностей
О т в е т. (3/10)*(6/15)=0,12

1375

Решила дополнить ответ. Поскольку добавлено еще два ответа. Значит есть вероятность, что будут добавлять и другие.
Вообще нечетных цифр пять: это 1; 3; 5; 7; 9
Признак делимости на 25 : число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

значит две последние цифры 75
Остальные три цифры могут разместиться на двух первых местах шестью способами.
1375;
3175
1975
9175
3975
9375

Иногда требование задачи звучит так : написать наибольшее , иногда наоборот, наименьшее. Вот и выбирайте.

Высота у конусов общая. Разные основания:
описанная около правильного шестиугольника окружность радиус R и вписанная в правильный шестиугольник окружность радиус r

R=a, где а - сторона правильного шестиугольника
r=asqrt(3)/2=Rsqrt(3)/2 - высота правильного треугольника со стороной a=R

V-v=(1/3)Pi*R^2*H-(1/3)*Pi*r^2*H=

=(1/3)Pi*H*(R^2-r^2)=

=(1/3)*Pi*H*(R^2-(Rsqrt(3)/2)^2=

=(1/3)*Pi*H*(R^2/4)=(1/12)*Pi*R^2*H

О т в е т. (1/12)*Pi*R^2*H
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначим каждый из углов альфа.

Биссектриса СЕ расположена между высотой СН и медианой СМ.

Продолжим биссектрису СЕ до пересечения с окружностью в точке F

∠ ACF=2 альфа
∠ CFB=2 альфа
Вписанные углы измеряются половиной дуги на которую опираются.
Значит ∪ AF= ∪ FB
Значит и хорды, стягивающие равные дуги равны.
AF=FB
Треугольник АFB - равнобедренный.
FM - медиана, а значит и высота.
FM ⊥ AB

СH ⊥ AB

FM||CH

∠ CFM= ∠ HCE= альфа

Треугольник СMF - равнобедренный ( ∠ CFM= ∠ MСЕ),
MC=MF
Значит точка M - равноудалена от точек С и F
M - центр описанной окружности.
M=O

АВ- диаметр
АВ=2R
AM=R
∠ АСВ=90 градусов, значит 4альфа=Pi/2, альфа =Pi/8

Треугольник АМЕ - равнобедренный
∠АСМ=3Pi/8
∠CAM=∠АСМ=3Pi/8

В прямоугольном треугольнике АВС сумма острых углов равна 90 градусов или PI/2,
∠CАВ=∠САМ=3Pi/8
Значит ∠CВAM=Pi/8

АС=АВ*sin(Pi/8)=2R*sin(Pi/8)
BC=AB*cos(Pi/8)=2R*cos(Pi/8)

S( Δ ABC)=(1/2)AB*CH и с другой стороны S( Δ ABC)=(1/2)АС*ВС
(1/2)AB*CH = (1/2)АС*ВС
СН=АС*ВС/АВ=2Rsin(Pi/8)*cos(Pi/8)=Rsin(Pi/4)=Rsqrt(2)/2
[b] высота СН=Rsqrt(2)/2 [/b]
Из треугольника СНЕ:
СЕ=СН/cos(Pi/8)=Rsqrt(2)/(2cos(Pi/8))
[b] биссектриса СЕ=Rsqrt(2)/(2cos(Pi/8)) [/b]
[b] медиана CМ=R[/b]

О т в е т. Rsqrt(2)/2;R*sqrt(2)/(2cos(Pi/8));R

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
S (Δ ABH)= S( ΔBCH)

S( ΔАОС)=(1/3) S ( Δ АВС)

S (Δ AОH)= S( ΔCОH)

S( ΔАОН)=(1/6) S ( Δ АВС)

Все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

[b] Дополнительное построение [/b]

Продолжим медиану AF за точку F на (1/3) ёё длины.

Получим параллелограмм ОВКС,
S(ОВКС)=2S(Δ ОВК)

S(Δ ОВК)=(2/6)S(Δ AВC)

Значит, площадь треугольника АВС найдем, зная площадь треугольника ОВК.

ОВ=(2/3)m_(b)
ВК=(2/3) m_(с)
ОК=(2/3)m_(a)

В треугольнике ОВК известны все стороны.
Значит можно найти площадь по формуле Герона

p=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))
р-а=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))-(2/3)a=
(1/3)((m_(b)+m_(c)-m_(a))
p-b=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))-(2/3)m_(b)=
=(1/3)(m_(a)-m_(b)+m_(c))
p-c=(1/3)(m_(a)+m_(b)+m_(c))-(2/3)m_(c)=
=(1/3)(m_(a)+m_(b)-m_(c))

S( Δ ОВК) =(1/9)sqrt((m_(a)+m_(b)+m_(c))*((m_(a)+m_(b)-m_(c))(m_(a)-m_(b)+m_(c))(m_(b)+m_(c)-m_(a))))

S( Δ АВС)=3*S( ОВС)=
=(1/3)sqrt((m_(a)+m_(b)+m_(c))*((m_(a)+m_(b)-m_(c))(m_(a)-m_(b)+m_(c))(m_(b)+m_(c)-m_(a))))

Пусть
(m_(a)+m_(b)+m_(c))/2=m, тогда
m_(a)+m_(b)+m_(c)=2m
m_(a)+m_(b)-m_(c)=2*(m-m_(c))
m_(a)+m_(c)-m_(b)=2*(m-m_(b))
m_(b)+m_(c)-m_(a)=2*(m-m_(a))

S( Δ АВС)=3*S( ОВС)=
=(1/3)sqrt((m_(a)+m_(b)+m_(c))*((m_(a)+m_(b)-m_(c))(m_(a)-m_(b)+m_(c))(m_(b)+m_(c)-m_(a))))=
=(4/3)sqrt(m*(m-m_(a))*(m-m_(b))*(m-m_(c)))

О т в е т. (4/3)sqrt(m*(m-m_(a))*(m-m_(b))*(m-m_(c)))
Так формула лучше просматривается, есть сходство с формулой Герона. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АВСВ- квадрат, конус вписан в пирамиду, значит основание конуса вписано в квадрат.
Пусть радиус основания конуса R
Значит,
AB=BC=CD=AD=2R

Сфера вписана в конус. Пусть радиус сферы r.
Рассмотрим осевое сечение конуса, равнобедренный треугольник SMN, основание MN, которого равно стороне квадрата и MN=2R

В равнобедренный треугольник SMN вписана окружность
радиус которой равен 1, высота SH=9/4
SO=SH-OH=(9/4)-1=(5/4)

По теореме Пифагора из треугольника SOK
SK^2=SO^2-OK^2=(5/4)^2-1^2=3/4
SK=3/4
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
NK=NH=R
По теореме Пифагора из треугольника SHN
SN^2=SH^2+HN^2
((3/4)+R)^2=(9/4)^2+R^2 ⇒
(3/2)R=72/16;
R=3

AB=6

V( пирамиды)=(1/3)S(квадрата)*H=(1/3)*6^2*(9/4)=27
V(конуса)=(1/3)S(осн.)*H=(1/3)*Pi*3^2*(9/4)=27Pi/4

V( пирамиды)-V(конуса)= 27- (27Pi/4)=27*(4-Pi)/4=6,75*(4-Pi)

О т в е т. 6,75*(4-Pi)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4x-3y+9=0 ⇒ y=(4/3)x+3 k=tg альфа =4/3
альфа - угол, который образует прямая 4x-3y+9=0 с положительным направлением оси Ох.

x–7y+21=0 ⇒ y=(1/7)x+3 ⇒ tg бета =1/7
бета - угол, который образует прямая x–7y+21=0 с положительным направлением оси Ох.

Обе [b] прямые пересекаются в точке M(0;3) [/b]

tg( альфа - бета)=(tg альфа -tg бета )/(1+tg альфа *tg бета)=

= ((4/3)-(1/7))/(1+(4/3)*(1/7))=1

Значит (альфа - бета) =45 градусов
Прямые, на которых лежат стороны угла взаимно перпендикулярны.
y=(4/3)x+3 k=4/3

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

Значит угловой коэффициент прямой, на которой лежит вторая сторона равен (-3/4)

Уравнение прямой имеет вид
y=(-3/4)x+b

Чтобы найти b подставим координаты точки M (0;3)

3=(-3/4)*o+b

b=3

О т в е т. y=(-3/4)x+3 или 4y+3x-12=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Разность логарифмов заменим логарифмом дроби
ln(x+5)-lnx=ln(x+5)/x=ln(1+(5/x))

По свойству логарифма степени
(х+1)*(ln(x+5)-lnx)=(x+1)ln((5+x)/x)=

=ln(1+(5/x))^(x+1)= (ln(1+(5/x))^(x/5))^(5(x+1)/x)

1+(5/x))^(x/5) → e при х→ + бесконечность

lim_( x→ + бесконечность )(x+1)(ln(x+5)–ln(x))=

=e^( lim_( x→ + бесконечность )(5(x+1)/x)=e^(5)

О т в е т. e^(5)

x^2+(y^2+12y+36)=36 - уравнение окружности с центром в точке (0;-6) радиусом R=6

Уравнение окружности, с центром в той же точке, (концентрической ), радиус которой равен 10 имеет вид

x^2+(y+6)^2=100
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Окружность касается осей координат и проходит через точку, расположенную в четвертой координатной четверти, значит центр окружности лежит на биссектрисе второго и четвертого координатных углов, т.е на прямой y = - x.
и потому центр окружности имеет координаты (R;-R)

Следовательно, уравнение окружности имеет вид
(x - R)^2 + (y -(- R))^2 = R^2.

Поскольку точка A(4;-2) лежит на окружности, координаты этой точки удовлетворяют полученному уравнению,
т.е.
(4 - R)^2 + (-2 + R)^2 = R^2.
16-8R+R^2+4-4R+R^2=R^2
R^2-12R+20=0
D=144-80=64
R=2 или R=10

(x - 2)^2 + (y+2)^2 = 4 или
(x - 10)^2 + (y+10)^2 = 100

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2+y^2=9
координаты центра O(0;0)
x^2+y^2–8x+12=0 ⇒ (x^2-8x+16)+y^2=4 ⇒(x-4)^2+y^2=4
координаты центра C(4;0)
[b] Применяем формулу расстояния между двумя точками [/b]
A(x_(1);y_(1)) и В(х_(2);y_(2))
то
АВ=sqrt((x_(2)-x_(1))^2+(y_(2)-y_(1))^2)
или ее частные случаи, в случае
y_(1)=y_(2)
AB=sqrt(sqrt((x_(2)-x_(1))^2)=|x_(2)-x_(1)|
x_(1)=x_(2)
AB=|y_(2)-y_(1)|

О т в е т.
ОС=|4-0|=4

Ответ выбран лучшим

Трапеция вписана в окружность, значит трапеция АВСD - равнобедренная.
AB=CD
и
AC=BD.

Пусть BC= х, AD=7x
Перенесем диагональ BD в точку С
CK || BD

Так как по условию диагонали трапеции перпендикулярны,
треугольник АСК - прямоугольный равнобедренный.
AC=BD=d
AK==x+7x=8x
По теореме Пифагора
AC^2+CK^2=AK^2
d^2+d^2=(8x)^2
d^2=32x^2
h( трапеции)=1/2) AK=4x

Проведем высоты из вершин верхнего основания на сторону AD
AF=HD=3x
По теореме Пифагора AB^2=(4x)^2+(3x)^2=(5x)^2
AB=CD=5x

Р( трапеции)=АВ+ВС+СD+AD=5x+x+5x+7x=18x
По условию Р( трапеции) =18
18х=18
x=1
Значит
BC=1; AD=7; h(трапеции)=4
S( трапеции)=(1+7)*4/2=16

О т в е т. 16

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a*b+b*c=b*(a+c)
Выносим общий множитель b за скобки :
делим аb на b и получаем, что первое слагаемое в скобках это а,
делим bс на b и получаем, что второе слагаемое в скобках это b.

7^(x^2-2x):7^(x^2-2x-1)=при делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаем)
7^(x^2-2x-(x^2-2x-1))=7^(1)=7

7^(x^2-2x-(x^2-2x))=7^(0)=1

sin^73x=sin^63x*sin3x
sin^63x=(sin^23x)^3=(1-cos^23x)^3

d(cos3x)=(cos3x)`*dx
d(cos3x)=-3sin3xdx ⇒ sin3xdx=(-1/3)d(cos3x)

∫ sin^73xdx/cos^63x=(-1/3) ∫ (1-cos^23x)^3d(cos3x)/(cos^23x)^3 =

=(-1/3) ∫ (1/cos^23x)-1)^3d(cos3x)=

=(-1/3) ∫ ((1/cos^63x)-(3/cos^43x)+(3/cos^23x)-1)d(cos3x)

=(-1/3)*(cos^(-5)3x)/(-5) +(cos^(-3)3x)/(-3) -(cos^(-1)3x)/(-1)+(1/3)cos3x + C=

=(1/15)*(1/cos^53x)-(1/3)*(1/cos^33x)+(1/cos3x)+(1/3)cos3x+C

О т в е т.
(1/15)*(1/cos^53x)-(1/3)*(1/cos^33x)+(1/cos3x)+(1/3)cos3x+C

Ответ выбран лучшим

6,36+a-2,9-4,36+2,9=(6,36-4,36)+(-2,9+2,9)+a=2+0+a=a+2

S(квадрата)=a^2

a^2=5sqrt(2)

S(ромба)=a*a*sin45 градусов=a^2*(sqrt(2)/2)=5sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=5

О т в е т. 5 (прикреплено изображение)

Строим три прямые по точкам.
Получаем задание на клетчатой бумаге.
Разбить серый треугольник на два, я разбила так: общее основание белого цвета 4; высоты
(синего цвета, каждая 2)
S=(1/2)*4*2+(1/2)*4*2=4*2=8

Через интеграл:

S=∫^(2)_(0)(3x+1-x-1)dx+∫^(4)_(2)(9-x-x-1)dx=

=∫^(2)_(0)(2x)dx+∫^(4)_(2)(8-2x)dx=

=x^2|^2_(0)+(8x-x^2)|^(4)_(2)=

=4+(8*4-4^2-8*2+2^2)=4+4=8 (прикреплено изображение)

Например, 175
175:25=7
1^2+7^2+5^2=1+49+25=75 кратно 3 и не кратно 9

Неверно определено значение слова
ПРЕСЛОВУТЫЙ–Приобретший [b] отрицательную или сомнительную[/b] известность, славу, нашумевший,

v(t)=x`(t)=(8cost-8)`=-8sint
v(3Pi/4)=-8*sin(3Pi/4)=-8*sqrt(2)/2=-4sqrt(2)

ОДЗ:
{x^2+3x ≠ 0 ⇒ x*(x+3) ≠ 0 ⇒x ≠ 0 и х≠-3
{x +2 ≠ 0⇒ x≠ -2
{ х≠ 0
ОДЗ x ∈ (-бесконечность;-3)U(-3;-2)U(-2;0)U(0;+бесконечность)

Далее [b]''искусственный приём''[/b]
Его как и метод рационализации тоже не изучают в школе или кое-что говорят.
А задание- то - это задание повышенной сложности.

Обычный метод приведения к общему знаменателю не поможет. Запутаетесь в выражениях.
Можно посмотреть в книге Шарыгин И.Ф. Решение задач ( факультатив), 10 класс.

Сгруппировываем числитель первой дроби
x^3+3x^2+3x+3=(x^3+3x^2)+(x+3)+2x
и почленно делим на знаменатель.
Это действие, обратное приведению к общему знаменателю

Тогда первая дробь может быть представлена как сумма трех дробей
(x^3+3x^2)/(x^2+3x)
+
(x+3)/(x^2+3x)
+
(2x/(x^2+3x))

Или [b]сократив[/b] каждую дробь ( это можно сделать, множители не нули, о чем заранее оговорено в ОДЗ)

(x^3+3x^2)/(x^2+3x)=x^2*(x+3)/(x*(x+3))=x;
(x+3)/(x^2+3x)=(x+3)/(x*(x+3))=1/x
2x/(x^2+3x)=2x/(x*(x+3))=2/(x+3)

получим неравенство:

x+(1/x)+(2/(x+3)) больше или равно х + (1/(х+2))+(1/х)

или

2/(x+3) больше или равно 1/(x+2)

Это неравенство уже затруднений не вызывает.

(2*(x+2)-(x+3))/((x+2)*(x+3)) больше или равно 0

(x+1)/(x+2)(x+3) больше или равно 0

метод интервалов
_-__ (-3) _+__ (-2) __-__ [-1] __+__

C учетом ОДЗ:
(-3;-2) U [-1;0) U(0;+ бесконечность ) - о т в е т.

Двойное неравенство
7 меньше или равно t меньше или равно 64
равносильно системе двух неравенств
{7 меньше или равно t ⇒ t больше или равно 7
{t меньше или равно 64

Обратная замена приводит к неравенствам
{2^x больше или равно 7
{2^x меньше или равно 64

1) Формула (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`=((sinx+e^x)`*(e^x-sinx)-(sinx+e^x)*(e^x-sinx)`)/(e^x-sinx)^2

y`=((cosx+e^x)*(e^x-sinx)-(sinx+e^x)*(e^x-cosx))/(e^x-sinx)^2

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:
(cosx+e^x)*(e^x-sinx)-(sinx+e^x)*(e^x-cosx)=
=e^xcosx+(e^x)^2-sinxcosx-e^xsinx-e^xsinx-(e^x)^2+sinxcosx+e^xcosx=2e^xcosx-2e^xsinx=2e^x(cosx-sinx)

О т в е т. y`=2e^(x)*(cosx-sinx)/(e^x-sinx)^2

2.
Применяем метод логарифмического дифференцирования
Логарифмируем данное выражение.

lny=ln(e^x*sinx*ln(sinx)

Применяем свойство: логарифм произведения равен сумме логарифмов.

lny=ln(e^x)+ln(sinx)+ln(ln(sinx))
lny=x +ln(sinx)+ln(ln(sinx))

Дифференцируем равенство, пользуясь формулой производной сложной функции
(lnu)`=u`/u

y`/y=1+(cosx/sinx)+(1/lnsinx)*(cosx/sinx)

y`=y*(1+(cosx/sinx)+(1/lnsinx)*(cosx/sinx))

y`=(e^x*sinx*ln(sinx))*(sinx*ln(sinx)+cosx*ln(sinx)+cosx)/(sinx*lnsinx);

y`=e^x*(sinx*ln(sinx)+cosx*ln(sinx)+cosx)

О т в е т.
y`= e^x*(sinx*ln(sinx)+cosx*ln(sinx)+cosx)

D(y)=(- бесконечность;+ бесконечность )
y`=(3/4)*(3x^2-3)
y`=0
3x^2-3=0
x^2=1
x= ± 1 - точки, в которых возможен экстремум.
Надо применить теорему ( достаточное условие существования экстремума: проверить меняет ли производная при переходе через эти точки знак).
Знак производной:
_+__( -1) __-__ (1) __+_
Знаки легко расставить, зная, что производная квадратный трехчлен, графиком является парабола, которая пересекает ось ох в точках -1 и 1, ветви вверх.

x=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
Функция возрастает на (- бесконечность: -1) и на (1; + бесконечность )
Убывает на (-1;1)
y(-1)=(3/4)*(-1+3)=-3/2
y(1)=3/2
График см. рис.
(прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x+2 > 0 ⇒ x > -2
{x+2 ≠ 1 ⇒ x ≠ -1
{(x-18)^2 > 0 ⇒ x - любое, кроме х=18
{36+16x-x^2 > 0 ⇒ D=400; корни - 2 и 18 ⇒ x ∈ (-2;18)
ОДЗ: х ∉ (-2;-1)U(-1;18)

36+16x-x^2=(18-x)(x+2)
log_(x+2)(18-x)(x+2)=log_(x+2)(18-x)+log_(x+2)(x+2)=
log_(x+2)(18-x)+1

log_(x+2)(x-18)^2=log_(x+2)(18-x)^2=2log_(x+2)|18-x|=
в условиях ОДЗ=2log_(x+2)(18-x)
Здесь можно потерять 2 при возведении в квадрат.
Надо быть внимательным.
Лучше выполнить
[b]замену переменной[/b]
log_(x+2)(18-x)=t
Неравенство примет вид:
(2t)^2+32 меньше или равно 16*(t+1)
4t^2-16t+16 меньше или равно 0
t^2-4t+4 меньше или равно 0
(t-2)^2 меньше или равно 0
Так как
(t-2)^2 больше или равно 0 при любом t
Неравенство имеет единственное решение t=2

log_(x+2)(18-x)=2
18-x=(x+2)^2

x^2+4x+4+x-18=0
x^2+5x-14=0
D=25-4*(-14)=25+56=81
x_(1)=-7 или х_(2)=2

х_(1) не принадлежит ОДЗ
О т в е т. 2

f`(x)=(3x^4-2x^2+5x)`=12x^3-4x+5
f`(-1)=12*(-1)^3-4*(-1)+5=-12+4+5= - 3
О т в е т. -3

Ответ выбран лучшим

d^2=a^2+b^2+c^2
18^2=16^2+2^2+c^2

c^2=324-256-4
c^2=64
c=8
(прикреплено изображение)

Однородное дифференциальное уравнение вида
y`= phi (y/x)

y/x=u
y=ux
y`=u`*x+u
u`*x+u=(1/u)+u
u`*x=1/u - уравнение с разделяющимися переменными
u`=du/dx
x*du/dx=1/u
udu=dx/x
Интегрируем
∫ udu= ∫ dx/x
u^2/2=ln|x|+ lnC
u^2/2=lnCx
Обратная замена
(y/x)^2=2(lnCx)
(y/x)^2=lnCx^2 - о т в е т.

1)(16+16)*30=960 рублей потратила бы не имея проездного
2)960-800=160 рублей экономии.

2.
-10 градусов ( см. рис.) (прикреплено изображение)

1
a) (1/3)x=(1/4)-(2/5)
(1/3)x=-3/20
x=(-3/20):(1/3)
x= - 9/20
x= - 0,45

б) x-3 =0 или 3x+5=0
x=3 или х=-5/3
в)
16^x=256
16^x=16^2
x=2
г)
3^((x+2)*(x-3))=3^(0)
(x+2)*(x-3)=0
x+2=0 или х-3=0
x=-2 или х=3

2.
а) cos (Pi/6)=sqrt(3)/2
sin(Pi/2)=1
ctg(Pi/4)=1
tg(Pi/6)=sqrt(3)/3

(sqrt(3)/2) +2*1+6*1+2sqrt(3)/3=8+(7sqrt(3)/6);

б)
sin30 градусов= сos 60 градусов =1/2
tg 45 градусов=1
сos 90 градусов =0
3-(1/2)-2*(1/2)+2*1-0=3,5
cos1125 градусов= сos (3*360 градусов+ 45 градусов)= сos45 градусов =sqrt(2)/2
tg 570 градусов = tg(3*180 градусов + 30 градусов)=tg 30 градусов=sqrt(3)/3
(sqrt(2)/2) + (sqrt(3)/3)=(3sqrt(2)+2sqrt(3))/6

3.
a) Формула (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
y`=((3-x)`*x^2-(x^2)`*(3-x))/(x^2)^2
y`=(-x^2-2x*(3-x))/x^4
y`=(x^2-6x)/x^4
y`=(x-6)/x^3

б) Формула
(log_(3)u)`=u/uln3

y`=(2x+3)/((x^2+3x-1)*ln3)

4.
D(y)=(- бесконечность;+ бесконечность )
y`=3x^2-24x+36
y`=0
3x^2-24x+36=0
x^2-8x+12=0
D=64-48=16
x=2 или x=6
Находим знак производной
_+__ (2) ___-___ (6) __+__

x=2 - точка максимума
x=6 - точка минимума
Функция возрастает на (- бесконечность ;2) и на (6;+ бесконечность )
убывает на (2;6)

См. рис.1
5
а) 3tgx-sqrt(3)=0 ⇒ tgx=sqrt(3)/3 ⇒ x=(Pi/6)+Pik, k ∈ Z
или
2sinx+1=0 ⇒ sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^n*(-Pi/6)+Pin, n ∈ Z
один из корней при n=2m+1 пересекается с корнем первого уравнения

О т в е т. (Pi/6)+Pik, k ∈ Z; x=(-Pi/6)+2Pim, m ∈ Z

в) 3^(x^2-4,5)*3^(0,5)=3^(-3)
x^2-4=-3
x^2=1
x= ± 1
О т в е т. ± 1

6. Применяем метод подведения под дифференциал
d(2x^3+1)=8x^2dx
=(1/8) ∫^(1) _(0)(2x^3+1)^4d(2x^3+1)=

=(1/8)*((2x^3+1)^5/5)|^(1)_(0)=

=(1/40)*(2+1)^5=243/40

б)
Интегрирование по частям
u=arctgx
dv=xdx
du=dx/(1+x^2)
v=x^2/2

=((x^2/2)*arctgx)|^(1)_(0)- (1/2)∫^(1)_(0)(x^2dx/(1+x^2))=

( во втором интеграле +1 и -1)

= ((x^2/2)*arctgx)|^(1)_(0)- (((1/2)x)|^(1)_(0)+((1/2)arctgx)|^(1)_(0)=

=(1/2)*arctg1)-(1/2)+(1/2)arctg1=(Pi/4)-(1/2)

8
По формуле классической вероятности
р=m/n=3/8

7.
В_(1)K⊥ АС
∠BAK=45 градусов - линейный угол двугранного угла ВАСВ1

В треугольнике ВКА ∠ ВАК=180 градусов- 150 градусов=30 градусов.
ВК⊥ АС по теореме о трех перпендикулярах
ВК и есть искомое расстояние
Δ ВКА - прямоугольный с углом в 30 градусов.
Катет ВК равен половине гипотенузы.
ВК=1

О т в е т. ВК=1 (прикреплено изображение)

АВ- диаметр
Треугольник АВС - прямоугольный, так как∠ АСВ опирается на диаметр.
∠ ВАС=30 градусов.
Катет ВС=(1/2)АВ - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Значит АВ=2BC

S(cечения)=ВС*Н ⇒[b] BC*H=12/Pi[/b]

S(бок.)=2Pi*R*H=Pi*AB*H=Pi*2BC*H=
=2*Pi*[b](BC*H)[/b]=2*Pi*(12/Pi)=24
О т в е т. 24

Пусть один угол альфа , второй бета , третий бета - альфа
Сумма углов треугольника равна 180 градусов
альфа + бета + бета - альфа =180 градусов.
2* бета =180 градусов
бета =90 градусов.

Значит, треугольник прямоугольный.
Пусть наименьший катет а=1
второй катет b; гипотенуза с
Гипотенуза прямоугольного треугольника - диаметр описанной окружности.
R=c/2
S(круга описанного около треугольника)=Pi*R^2=Pi*c^2/4
Так как
b^2+c^2=2*S(круга описанного около треугольника)

[b]b^2+c^2=2*Pi*c^2/4[/b]

По теореме Пифагора
a^2+b^2=c^2
b^2=c^2-1

c^2-1+c^2=Pi*c^2/2
(4-Pi)c^2=2
c^2=2/(4-Pi)
c=sqrt(2/(4-Pi))

О т в е т. sqrt(2/(4-Pi))

Ответ выбран лучшим

3.
a) sin альфа *ctg альфа =sin альфа *(cos альфа /sin альфа )=cos альфа
1-sin альфа *ctg альфа *cos альфа =1-cos^2 альфа =sin^2 альфа
б) tg^2 альфа +2tg альфа *ctg альфа +ctg^2 альфа -tg^2 альфа +2tg альфа *ctg альфа -ctg^2 альфа =
=4tg альфа *ctg альфа =4
в)
Делим и числитель и знаменатель на cos(45 градусов + альфа ), получим
(tg (45 градусов + альфа )-1)/(tg(45 градусов + альфа )+1)=
=
( так как 1 = tg 45 градусов, применяем формулы разности тангенсов и суммы тангенсов)

=(tg(45 градусов + альфа )-tg 45 градусов)/(tg(45 градусов + альфа )+tg 45 градусов)=

=sin альфа /sin(90 градусов + альфа )=

=sin альфа / cos альфа =tg альфа

4.
1+ctg^2x=1/sin^2x
sin^2x=1/(1+(5/12)^2)
sin^2x=1/(1+(25/144))=144/169
Так как угол х в первой четверти
и синус и косинус имеют знаки +
sinx=12/13
cosx=sqrt(1-sin^2x)=sqrt(1-144/169)=sqrt(25/169)=5/13

tgx=sinx/cosx=12/5
ctgx=5/12
5.
S=a^2=25,5^2=650, 25 кв м
Р=4а=4*25,5=102 м

6. Н=6*sin45 градусов=6sqrt(2)/2=3sqrt(2)
S=(a+b)*H/2=(10+12)*3sqrt(2)/2=33 sqrt(2)
(cм. рис) (прикреплено изображение)

1
a) (1/3)x=(1/4)-(2/5)
(1/3)x=-3/20
x=(-3/20):(1/3)
x= - 9/20
x= - 0,45
б) x-3 =0 или 3x+5=0
x=3 или х=-5/3
в)
3^((x+2)*(x-3))=3^(0)
(x+2)*(x-3)=0
x+2=0 или х-3=0
x=-2 или х=3
2.
а) cos (Pi/6)=sqrt(3)/2
sin(Pi/2)=1
ctg(Pi/4)=1
tg(Pi/6)=sqrt(3)/3

(sqrt(3)/2) +2*1+6*1+2sqrt(3)/3=8+(7sqrt(3)/6);
б)
sin30 градусов= сos 60 градусов =1/2
tg 45 градусов=1
сos 90 градусов =0
3-(1/2)-2*(1/2)+2*1-0=3,5
cos1125 градусов= сos (3*360 градусов+ 45 градусов)= сos45 градусов =sqrt(2)/2
tg 570 градусов = tg(3*180 градусов + 30 градусов)=tg 30 градусов=sqrt(3)/3
(sqrt(2)/2) + (sqrt(3)/3)=(3sqrt(2)+2sqrt(3))/6

v(t)=x`(t)=(t^3/3)-2t^2+4t-2)`=t^2-4t+4=(t-2)^2
Функция v(t)=(t-2)^2 больше или равно 0 при любом t
Наименьшее значение
v(2)=0
Наибольшее значение принимает на концах отрезка
v(1)=(1-2)^2=1
v(4)=(4-2)^2=4 - наибольшее значение.
О т в е т. При t=2 скорость наименьшая, v(2)=0
При t=4 скорость наибольшая, v(4)=4

1-( 2/|x|)меньше или равно(23/x^2) ⇒
Умножим на x^2 ≠ 0
x^2-2*|x| меньше или равно 23;
x^2-2*|x| -23 меньше или равно 0
D=4-4*(-23)=96
|x|=(2 ± 4sqrt(6))/2
|x|=1 ± 2sqrt(6)
x=1+2sqrt(6) или х=-1-2sqrt(6)
Решением неравенства является
[-1-2sqrt(6);0) U(0; 1+2sqrt(6)]

(2–(x–5)^(–1))/(2(x–5)^(–1)-1) < =–0.5

(2x-10-1)/(2-x+5) меньше или равно -0,5 при х ≠ 5
или
(4x-22+7-x)/(7-x) меньше или равно 0 при х ≠ 5
3*(x-5)/(х-7) больше или равно 0 при х ≠ 5
_+__ (5) __-__ (7) __+_

(- бесконечность ;5) U (7;+ бесконечность )

1+2sqrt(6) > 5, так как 2sqrt(6) > 4
24 > 16

Находим пересечение решений первого и второго неравенств:
О т в е т. [-1-2sqrt(6);0) U(0;5)

см. рисунок, графическое решение первого неравенства.
На рисунке показано пересечений решений двух неравенств. (прикреплено изображение)

меньшая диагональ основания
d=a^2+a^2-2*a*a*cos120 градусов=3a^2
d=asqrt(3)=2sqrt(3)

S( диагонального сечения)=d*H=2sqrt(3)*3sqrt(3)=18 (прикреплено изображение)

Пусть объем бассейна равен S

S/1,5=2S/3 наполняет первая труда за час.
40 минут=2/3 часа
S/(2/3)=3S/2 - за час наливают обе трубы
(3S/2)-(2S/3)=5S/6 наполняет за час вторая труба

(3S/4):(5S/6)=18/20=9/10 часа=(9/10)*60 минут = 54 минуты
О т в е т. За 54 минуты наполнится бассейн на 3/4 своего объема через одну вторую трубу

1.
S= ∫^(2) _(-1)(2-x^2-(-x))dx=(2x-(x^3/3)+(x^2/2))|^(2)_(-1)=

=4-(8/3)+2-(-2+(1/3)+(1/2))=4,5
2.
∫ ^(2)_(0)(x+2-2x+x^2)dx=∫ ^(2)_(0)(x^2-x+2)dx=((x^3/3)-(x^2/2)+2x)|^(2)_(0)=(8/3)-(4/2)+4=14/3

= (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{(1/x) > 0 ⇒ x > 0
{x^2+3x-9 > 0 ⇒ D=9+36=45;x < (-3-3sqrt(5))/2 или х > (-3+3sqrt(5))/2;
{x^2+3x+(1/x)-10 > 0 ⇒ x^2+3x-10 > -1/x ( см. графическое
решение неравенства на рисунке

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения и учитывая, что логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, получаем неравенство:
(1/x)*(x^2+3x-9) меньше или равно (x^2+3x+(1/x)-10)

((x^2+3x-9)/x)-(1/x) меньше или равно x^2+3x-10;
((x^2+3x-10)/x) - (x^2+3x-10) меньше или равно 0

(x^2+3x-10)*(1-x)/x меньше или равно 0
(x^2+3x-10)*(x-1)/x больше или равно 0
x^2+3x-10=0
D=49
корни 2 и -5

_+__ [-5] __-__ (0) _+__[1] _-__ [2] __+__

(-бесконечность;-5] U(0;1]U[2;+бесконечность)

(-3+3sqrt(5))/2 < 2
3sqrt(5)/2 < 2+(3/2)=7/2
9*5/4 < 49/4

и а - абсцисса точек пересечения графиков у=x^2-3x+9 и y=-1/x меньше 2, то
C учетом ОДЗ получаем ответ.
[2;+ бесконечность ) (прикреплено изображение)

Формула понижения степени
cos^2 альфа =(1+cos2 альфа )/2

(1+cos2x)/2 + (1+cos4x)/2 + (1+cos6x)/2=3/2

cos2x+cos4x+cos6x=0

cos4x + (cos2x+cos6x)=0
cos4x+2*cos4x*cos2x=0
cos4x*(1+2cos2x)=0
cos4x=0 или 1+2сos2x=0

cos4x=0 ⇒ 4x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z ⇒ x=(Pi/8)+(Pi/4)*n, n ∈ Z
или
1+2cos2x=0 ⇒ cos2x=-1/2 ⇒ x= ± (2Pi/3)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т.
(Pi/8)+(Pi/4)*n, n ∈ Z
± (2Pi/3)+2Pim, m ∈ Z

Решаем однородное уравнение
y`-(y/x)=0
Это уравнение с разделяющимися переменными:
dy/dx=y/x
Разделяем переменные.
dy/y=dx/x
ln|y|=ln|x|+lnC
y=Cx
Применяем метод вариации произвольной постоянной
y=C(x)*x
y`=C`(x)*x+C(x)*1 (x`=1)
Подставляем y и у` в данное уравнение.
C`(x)*x+C(x)-(C(x)*x/x)=-2/x^2
C`(x)=-2/x^3
C(х)= ∫ (-2/x^3)dx;
C(x)=-2/(-2x^2) + c

y=((1/x^2)+c)*x
y=(1/x)+cx - общее решение

1=1+c
c=0
y=1/x - решение задачи Коши

Составим уравнение оси, которая перпендикулярна директрисе и проходит через точку А.

x+2y–1=0 ⇒ у=(-1/2)х+(1/2)

Перпендикулярные ей прямые имеют вид
у=2х+b
Подставим координаты точки А и получим
b=3

Начало системы отсчета точка пересечения директрисы и перпендикулярной ей оси.
По рисунку видно ( можно и систему решить) точка (1;1)
Расстояние от вершины до директрисы равно расстоянию
от вершины до фокуса.
F(-3;-2)
Далее как в решении номера 3710

Пусть М(х;у)– любая точка параболы.
d_(1)=FM=sqrt((x+3)^2+(y+2)^2)
d_(2)=|x+2y-1|/sqrt(1+2^2)-см. формулу расстояния от точки до прямой
d_(1)=d_(2)
sqrt((x+3)^2+(y+2)^2)=|x+2y-1|/sqrt(5)
Возводим в квадрат и преобразовываем
(x–4)^2+(y-3)^2=(x+2y-1)^2/5
x^2-8x+16+y^2-6y+9=(x^2+4y^2+1-2x-4y+4xy)/5;
5x^2-40x+80+5y^2-30y+45-x^2-4y^2-1+2x+4y-4xy=0
4x^2-4xy+y^2-38x-26y+124=0
О т в е т.
4x^2-4xy+y^2-38x-26y+124=0 (прикреплено изображение)

sin^2x=1-cos^2x
8*(1-cos^2x)-5=2cosx
8cos^2x+2cosx-3=0
D=4-4*8*(-3)=4*(1+24)=4*25=100

cosx=-12/16 или сosx=8/16

cosx=-3/4
x= ± arccos(-3/4)+2Pin, n ∈ Z
x= ± (Pi- arccos(3/4))+2Pin, n ∈ Z

или

cosx=1/2
x= ± arccos(1/2)+2Pim, m ∈ Z
x= ± (Pi/3)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т. ± (Pi- arccos(3/4))+2Pin, ± (Pi/3)+2Pim, m, n ∈ Z

Если трапеция описана около окружности, то суммы противоположных сторон равны.
Значит a+b=11+14=25 см

Так как b:a=2:3, то b=10 cм; а=15 см
h=2r=2*4=8

S=(a+b)*h/2=(10+15)*8/2=100 кв. см
О т в е т. 100 кв см

сos π/4=sqrt(2)/2
tg(–7π/4)=tg((π/4)-2π)= - (tg(2π)-(π/4))= - (-tg(π/4))=1
sin⁡(7π/6)=sin(π+(π/6))=- sin(π/6)=-1/2
cos⁡(–π)=-1
tg(–π/4)=-1
cos π/4 tg(–7π/4)–sin⁡(7π/6) cos⁡(–π)tg(–π/4)=
=(sqrt(2)/2)+(1/2)=(sqrt(2)+1)/2

вторая задача
cos(–π/3)=cos(π/3)= 1/2
ctg(–7π/4)=ctg((π/4)-2π)= - (ctg(2π)-(π/4))= - (-ctg(π/4))=1
sin (2π/3)=sqrt(3)/2
tg(–5π/6) =-tg(5π/6) =-tg(π-(π/6))=-(-tg( π/6))=sqrt(3)/3

cos(–π/3)ctg(–7π/4)+sin 2π/3 tg(–5π/6)=(1/2)+(3/6)=1

ОДЗ:
{8x^2-23x+15 > 0 ⇒ D=23^2-4*8*15=49 x < 1 или x > 15/8
{8x^2-23x+15 ≠ 1⇒ 8x^2-23x+14 ≠0 D=81 x ≠ 7/8; x ≠ 2;
(2x-2 > 0 ⇒ x > 1
ОДЗ: x∈ (15/8;2) U(2;+ бесконечность)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств ( см. таблицу)
Без него запутаетесь в системах.

(8x^2-23x+15-1)*(2x-2-1) меньше или равно 0
(8x^2-23x+14)*(2x-3) меньше или равно 0

D=(-23)^2-4*8*14=81
корни квадратного трехчлена
(7/8) и 2

_-__ [7/8] __+__ [3/2] __-__ [2] __+__

С учетом ОДЗ:
x∈ (15/8;2)

О т в е т. (15/8;2) (прикреплено изображение)

f(x)=2x^3-4x^2+9
f`(x)=(2x^3-4x^2+9)`=6x^2-8x

f`(2)=6*2^2-8*2=24 -16=8

1.
2^(3x-1)*(2^2-3*1+2) меньше или равно 12;
2^(3x-1)*3 меньше или равно 12
2^(3x-1) меньше или равно 4
2^(3x-1) меньше или равно 2^2
3x-1 меньше или равно 2
3x меньше или равно 3
x меньше или равно 1

2.

S= ∫ ^3_(2)(x^3-1)dx=((x^4/4)-x)|^(3)_(2)=

=(81/4)-3-((16/4)-2)=41/4 (прикреплено изображение)

Замена переменной
∛х=t
x=t^3
∛x^2=(∛x)^2=(t)^2

dx=(t^3)`dt=3t^2dx

∫ dx/(∛(x^2)*(∛x + 1)^3=∫3t^2dt/(t^2*(t+1)^3)=

=3 ∫ dt/(t+1)^3 =3* ∫ (t+1)^(-3)d(t+1)=

=3*(t+1)^(-2)/(-2)+C=

=-3/(2*(t+1)^2)+C=

=-(3/2)*(1/(∛x+1)^2)+C

Достроим до полного параллелепипеда

v=V(полного)-V(надстроенной части)=

=2*1*3-1*1*1=6-1=5 (прикреплено изображение)

0,6*10^2=0,6*100=60
2*10^(-2)=2*0,01=0,02

60:0,02=6000:2=3000

Из А можно попасть в B; С:D и F.
Из B можно попасть в C, D и E.
Из C можно попасть в D и F.
Из D можно попасть в E.
Из E можно попасть в F.

Перебираем пути:
A – B – C –D – E – F
3 + 6 +3 + 2 + 11= 25
A – B – D – E – F
3 + 2 + 2 + 11 = 20
A – B – E – F
3 + 2 + 11 = 16
A – C – D – E – F
9 + 3 + 2 + 11 = 25
A – C – F
9 + 5 = 14
A – F
14
О т в е т. Кратчайший путь между А и F равен 14 км

6 градусов. См рисунок (прикреплено изображение)

1.
Делим и числитель и знаменатель дроби на sin^3x
Получим дробь:
(1-2ctg^3 альфа )/(ctg^3 альфа +2) при ctg альфа =4
получаем ответ
(1-2*4^3)/(4^3+2)=-127/66

2.
tgy+ctgy=5
или
(siny/cosy)+(cosy/siny)=5
(sin^2y+cos^2y)/(siny*cosy)=5
siny*cosy=1/5

tg^2y+2tgy*ctgy+ctg^2y=25
tg^2y+ctg^2y=23

О т в е т. 23 + (1/5)=23 целых (1/5)=23,2

y`=dy/dx

sinxdy=ylnydx - уравнение с разделяющимися переменными.
dy/(ylny)=dx/sinx
Интегрируем
∫ dy/(ylny)=∫ dx/sinx
ln|lny|=ln|tg(x/2)|+lnc
ln|lny|=ln|c*tg(x/2)|
ln|y|=ctg(x/2)
y=e^(ctg(x/2)
e^c=C
y=Ce^(tg(x/2)) - о т в е т. (прикреплено изображение)

5^x*(5^2+5-1) < 3^(x/2)*(3^1-1-(3^(-1)));

3^(x/2)=(3^(1/2))^x=(sqrt(3))^x > 0 при любом х

Делим на (sqrt(3))^x

5^(x)*29 < (sqrt(3))^x*(5/3)

(5/sqrt(3))^x < (5/87)

Показательная функция с основанием (5/sqrt(3)) возрастает.
x < log_(5/sqrt(3))(5/87)

1) 600 листов*6=3600 листов за неделю
2) 3600 : 500= 7,2 пачки

Число 7,2 показывает, что 7 пачек мало.
Количество пачек - целое число, значит потребуется 8 пачек.
О т в е т. 8 пачек.

При закрытом кране один сосуд наполнили водой др уровня на высоте 1м от плоскости. Найти высоту столба воды после[b] закрытия[/b] крана.
При закрытом кране как есть так и останентся
в одной 1м, в другой 0

При открытом кране - поровну
по 0,5 м в каждой.

9a+√(15+2x–x^2)=ax+4;
перепишем в виде:
√(15+2x–x^2)=ax-9a+4;
√(15+2x–x^2)=a(x-9)+4;

Решаем графически:
y=sqrt(15+2x-x^2) - полуокружность
y^2=15+2x-x^2;
(x-1)^2+y^2=16
c центром в точке (1;0) и радиусом R=4
см. рис. 1

y=a*(x-9)+4 - семейство прямых, проходящих через точку (9;4)

Cм. рис. 2

Определим, при каких значениях угловых коэффициентов, прямые из семейства прямых y=a*(x-9)+4 имеют с полуокружностью две общие точки.
Как А и В, М и K на рисунке.

Из рисунка видно, что это - прямые, расположенные между
прямыми [b] AC[/b] и [b] CF[/b].
Угловой коэффициент прямой АС находим из прямоугольного треугольника АСD
tg альфа =CD/AD=4/12=1/3
Угловой коэффициент CF
равен 0 ( CF параллельна оси Ох)
прямая СF имеет с полуокружностью одну точку касания.
0 < a меньше или равно (1/3)
О т в е т. (0;1/3]
(прикреплено изображение)

9.
y`=2cosx + (1/cos^2x);
10.
S(криволинейной трапеции АВСD)= ∫ ^(3)_(1)*2x^2-1)dx=(2x^3/3-x)|^(3)_(1)=18-3-2/3+1=15 целых 1/3 ( см. рис.1)
11.
По теореме Пифагора ( см. рис.2)
ВА_(1)=sqrt(AВ^2-AA^2_(1))=sqrt(5^2-4^2)=sqrt(25-16)=sqrt(9)=3 (прикреплено изображение)

Cм. ответ на рисунке.

Скорее всего метод: применение рядов к решению дифференциальных уравнений (прикреплено изображение)

1) 4x^2=36
x^2=9
x=-3 или х=3
2)
H^2=L^2-R^2
H^2=13^2-5^2=169-25=144
H=12
3)
= tgx)|^(Pi/3)-(Pi/6)=tg(Pi/3)-tg(Pi/6)=sqrt(3)-(sqrt(3)/3)=2sqrt(3)/3

42
S(осевого сечения цилиндра)=2R*H
H=8
2R*8=42
R=42/16=21/8
S(полн)=2PIRH+2PiR^2=2PiR(H+R)=2*Pi*(21/8)(8+(21/8))=
=42*85*Pi/64;
Наверное опечатка и H=6, тогда было бы проще.

44.
F(x)=(x^3/3)-(4x^2/2)+4x+cosx+C
45.
=-2ctgx+C
46.
2x < 12
x < 6
О т в е т. (- бесконечность;6)
47.
По теореме Пифагора
H^2+(2R)^2=d^2
тоже опечатка.
H^2+12^2=(sqrt(41))^2
равенство невозможно.

Наверное диаметр равен 6 см, т. е 2R=6
и тогда
H^2+6^2=41
H^2=5
H=sqrt(5)

48.
∫ ^(2)_(-1)(x^2+3)dx=((x^3/3)+3x)|^(2)_(-1)=(8/3)+6-(-1/3)-(-3)=12 (прикреплено изображение)

Точки, в которых производная равна 0 - точки возможных экстремумов.
Применяем достаточное условие точки максимума.
При переходе через точку, в которой производная равна 0 или не существует, производная меняет знак с + на -.
О т в е т. см. рис.
Три точки максимума (прикреплено изображение)

[b] Еще одна хорошая задача на наибольшее значение, в которой не нужно находить точки экстремума [/b]
Cм. так же:
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=27926
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=27904

Функция [b]определена и непрерывна на отрезке [0;Pi/4][/b]
Находим производную:

y`=(16/cos^2x)-16
y`=(16-16cos^2x)/sin^2x
y`=16tg^2x
y` больше или равно 0 на [0;Pi/4]

Данная функция возрастает на [0;Pi/4]

Наибольшее значение в точке х=Pi/4

y(Pi/4)=16*tg(Pi/4)-16*(Pi/4)+6Pi-5=
=16-4Pi+6Pi-5=2Pi+11
О т в е т. y(Pi/4)=2Pi+11

sin3x*cos^2x-sin3x*sin^2x=0
sin3x*(cos^2x-sin^2x)=0
sin3x*cos2x=0
sin3x=0 или cos2x=0
3x=Pik, k ∈ Z или 2х=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
x=(Pi/3)k, k ∈ Z или х=(Pi/4)+(Pi/2)n, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/3)k, (Pi/4)+(Pi/2)n, k, n ∈ Z

Две серии ответов: (Pi/3)k - синего цвета
(Pi/4)+(Pi/2)n - красного цвета на рис. (прикреплено изображение)

sin^2 альфа +cos^2 альфа =1

cos альфа = - sqrt(1-cos^2 альфа ), знак минус перед корнем, так как угол во второй четверти (Pi/2;Pi); косинус во второй четверти отрицательный.

сos альфа =-sqrt(1-(2sqrt(2/3))^2)=-sqrt(1-(8/9))=-sqrt(1/9)=-1/3

3cos альфа =3*(-1/3)=-
О т в е т. -1

Ответ выбран лучшим

Г=f/d=14/17

Г=H/h

14/17=H/17

H=14

О т в е т. Н=14 см (прикреплено изображение)

cos2x=cos^2x-sin^2x

2sinx*cosx+4cos^2x-4sin^2x=sin^2x+cos^2x
5sin^2x-2sinx*cosx-3 cos^2x=0
Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.
Делим на сos^2x ≠0

5tg^2x-2tgx-3=0
D=4-4*5(-3)=64
tgx=-0,6 или tgx=1
x=arctg(-0,6)+Pik, k ∈ Z или х=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z

О т в е т. -arctg(0,6)+Pik,(Pi/4)+Pin, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
25-x^2 больше или равно 0 ⇒ x ∈ [-5;5]

Так как при x ∈ [-5;5]
sqrt(25-x^2) больше или равно 0, то
x*(x^2-2x+1) больше или равно 0
x*(x-1)^2 больше или равно 0

_-__ [0] _+__ [1] _+__

x ∈ [0;+ бесконечность ) и с учетом х ∈ [-5;5] получаем ответ
[0;5]

Кроме того, так как неравенство нестрогое, решениями неравенства служат корни уравнения
sqrt(25-x^2)=0 ⇒ x= ± 5

О т в е т. {-5}U[0;5]

x`(t)=2*(cost[b]+[/b]tsint)`=2*(-sint+sint+tcost)=2tcost
y`(t)=2(sint-tcost)`=2*(cost-cost+tsint)=2tsint

(x`(t))^2=4t^2cos^2t)
(y`(t))^2=4t^2sin^2t

(x`(t))^2+(y`(t))^2=4t^2(cos^2t+sin^2t)=4t^2

L= ∫ ^(Pi/2)_(0)sqrt(4t^2)dt=(2t^2/2)|^(Pi/2)_(0)=Pi^2/4
О т в е т. Pi^2/4

Если точка C- расположена на диаметре DC ( cм. рис),
то угол DCK=50 градусов.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

(прикреплено изображение)

Достраиваем до прямоугольного параллелепипеда с размерами
5×4×5
(cм. рис.)
Из объема полного параллелепипеда вычитаем объем надстроенной части:
V=5*4*5-3*4*2=100-24 = 76 куб. ед.
О т в е т. 76 (прикреплено изображение)

(С^(-4))^3=C^(-4*3)=C^(-12)

C^(-5)*C^(-12)=C^(-5-12)=C^(-17)

С^(-17): C^(-19)=C^(-17-(-19))=C^2

О т в е т. С^2 (прикреплено изображение)

AМ - биссектриса угла А
∠ 1= ∠ 2
OD- высота и медиана треугольника ADM
Значит, Δ ADM - равнобедренный
∠ 2= ∠ 3

Значит, по свойству транзитивности равенства
∠ 1= ∠ 3

Это внутренние накрест лежащие углы, они равны, значит прямые АВ и DM - параллельны. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А. ВключИм

Начальная форма слова включИть.

Б. СБОРНЫЙ пункт

y`-(1/x)y=-lnx/x
Решаем однородное уравнение
y`-(1/x)*y=0
y`=dy/dx
dy/dx=y/x
dy/y=dx/x
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=Ln|x|+lnC
y=lnCx
y=Cx

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y(x)=C(x)*x
y`=C`*x+C(x)*1

Подставляем в данное уравнение
С`(x)*x+C(x)-(C(x)*x/x)=-lnx/x

C`(x)=- lnx/x^2

С(x)=- ∫ (lnx/x^2)dx= применяем метод интегрирования по частям
u=lnx ⇒ du=dx/x
dv=-dx/x^2 ⇒ v=1/x

C(x)=(lnx/x)- ∫ dx/x^2=(lnx/x)+(1/x)+ c

О т в е т. y = ((lnx/x)+(1/x)+c)*x=lnx+1+cx - общее решение дифференциального уравнения.
При x=1 y=1
1=ln1+1+c ⇒ c=0

y=lnx+1 - частное решение при х=1 y=1

x^2-4x+4=(x-2)^2
16x-20-3x^2=(10-3x)*(x-2)
9x^2-60x+100=(3x-10)^2=(10-3x)^2

ОДЗ:
{x-2 > 0 ⇒ x > 2
{x-2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{10-3x > 0 ⇒x < 10/3
[b]x∈ (2;3)U(3;10/3)[/b]

При x∈ (2;3)U(3;10/3)
16х-20-3x^2 =(10-3x)(x-2) > 0
и
9x^2-60x-100=(3x-10)^2=(10-3x)^2 > 0

Замена переменной
log_(x-2)(10-3x)=t

В условиях ОДЗ:

log_(x-2)(x^2-4x+4)/(10-3x)=log_(x-2)(x-2)^2-log_(x-2)(10-3x) =
=2-log_(x-2)(10-3x)=2-t

log^2_(x-2)(x^2-4x+4)/(10-3x)=(2-log_(x-2)(10-3x)^2=(2-t)^2

log_(x-2)(16x-20-3x^2)=log_(x-2)(x-2)+log_(x-2)(10-3x)
=1+t

Неравенство принимает вид:

2*(2-t)^2/(4-2*(1+t)-2t) меньше или равно 3

(8-8t+2t^2-3*(2-4t))/(2-4t) меньше или равно 0

2*(t+1)^2/(2-4t) меньше или равно 0
(t+1)^2/(2t-1) больше или равно 0

_-__ [-1] __-__ (1/2) __+__

t=-1 или t > 1/2

log_(x-2)(10-3x)=-1 ⇒ 10-3x=(x-2)^(-1) ⇒10-3x=1/(x-2) ⇒ (10-3x)*(x-2)=1 ⇒ 3x^2-16x+21=0
D=(-16)^2-4*3*21=256-252=4
[b]x=(16-2)/6=7/3[/b] или х=(16+2)/6=3 - не входит в ОДЗ

log_(x-2)(10-3x) > (1/2)
2log_(x-2)(10-3x) > 1
log_(x-2)(10-3x)^2 > 1

Применяем метод рационализации:
(х-2-1)*((10-3х)^2-(x-2)) > 0
(x-3)*(9x^2-61x+102) > 0

9x^2-61x+102=0
D=(61)^2-4*9*102=3721-3672=49
x=(61-7)/18=3 или х=(61+7)/18=34/9

(x-3)^2*(9x-34) > 0

_-__ (3) __-__ (34/9) __+__

x > 34/9

34/9 > 10/3=30/9 и потому не входит в ОДЗ.

О т в е т. 7/3

а)Пусть
BC=x, тогда АВ=МВ=2х
ВК=(1/2)ВМ=х

По теореме Пифагора
из прямоугольного треугольника АВК
AK^2=AB^2+BK^2=(2x)^2+x^2=5x^2

По теореме Пифагора
из прямоугольного треугольника ВКC
KC^2=BC^2+BK^2=x^2+x^2=2x^2

По теореме косинусов из треугольника АВС:
AC^2=AB^2+BC^2-2*AC*BC*cos ∠ ABC=(2x)^2+x^2-2*2x*x*(-1/2)=7x^2

Так как
в треугольнике АСК
AC^2=AK^2+KC^2
по теореме, обратной теореме Пифагора, делаем вывод, что треугольник АКС - прямоугольный.

б) РЕ=(1/2)ВТ=(1/2)*(xsqrt(2)/2)=xsqrt(2)/4=
=4sqrt(30)*sqrt(2)/4=sqrt(60)=2sqrt(15)
(прикреплено изображение)

22.
=(x^5/5)-(4x^2/2)+2x+C

23.
S(поверхности шара)=4PiR^2
4PiR^2=36Pi
R^2=9
R=3

26.
=(x^5/5)+C

28
F(x)=(x^3/3)-(4x^2/2)+4x+cosx+C

Ответ выбран лучшим

21 Образующая - гипотенуза, высота - катет.
Гипотенуза не может быть меньше катета.

22.
=(x^5/5)-(4x^2/2)+2x+C

23.
S(поверхности шара)=4PiR^2
4PiR^2=36Pi
R^2=9
R=3

25.
D=b^2-4ac=(-2)^2-4*(-1)=4+4=8

26.
=(x^5/5)+C

27.
R=12
S(поверхности шара)=4PiR^2=4*Pi*12^2=576Pi

28
F(x)=(x^3/3)-(4x^2/2)+4x+cosx+c

29.
x=27^(1/3)
x=3

4cos^3x+4cos^2x-3cosx-3=0
(4cos^3x+4cos^2x)-(3cosx+3)=0
4cos^2x*(cosx+1)-3*(cosx+1)=0
(cosx+1)*(4cos^2x-3)=0

cosx+1=0 ⇒ cosx = - 1 ⇒ х=(Pi)+2Pik, k ∈ Z

ИЛИ

4cos^2x-3=0

cosx=sqrt(3)/2 ⇒ x= ± (Pi/6)+2Pin, n ∈ Z
или
cosx= - sqrt(3)/2 ⇒ x= ± (5Pi/6)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т.
(Pi)+2Pik, k ∈ Z
± (Pi/6)+2Pin, n ∈ Z
± (5Pi/6)+2Pim, m ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат 4 корня:
(Pi/6)+2Pi=13Pi/6
(5Pi/6)+2Pi=17Pi/6
(Pi)+2Pi=3Pi
(-5Pi/6)+4Pi=19Pi/6
(прикреплено изображение)

1) x^2=36/4
x^2=9
x= ± 3
2)
h=sqrt(13^2-5^2)=sqrt(144)=12
3)
=tgx|^(Pi/3)_(Pi/6)=tg(Pi/3)-tg(Pi/6)=sqrt(3)-(sqrt(3)/3)=2sqrt(3)/3
4)
4*(-4)-(-3)*2=-16+6=-10
5)
f(2)=4*2-3=5
g(1)=3*1+2=5
f(2)+g(1)=5+5=10
7)
=(Pi/4)-(Pi/3)=-Pi/12
9)
2cosx+(1/cos^2x)

20)
=1+cosx

14
3^(x^2+3)=3^4
x^2+3=4
x^2=1
x= ± 1
15.
=sinx|^(Pi/2)_(0)=sin(Pi/2)-sin(0)=1-0=1
18.
=(7x-x^3+x^4)|^2_(0)=7*2-2^3+2^4=14-6+16=24
19
=sinx+x+C

Ответ выбран лучшим

{- sin2x > 0 ⇒ sin 2x < 0 ⇒ x во второй или четвертой четвертях
{2cos^2x-cosx-1=0 ⇒ D=9;
cosx= - 1/2 или сosx=1

сosx= -1/2
x= ± arccosx(-1/2) + 2Pin, n ∈ Z

или

x= ± (2Pi/3) + 2Pin, n ∈ Z

x= -(2Pi/3) + 2Pin, n ∈ Z - в третьей четверти и не удовлетворяет первому неравенству системы

значит в ответ включаем только х=(2Pi/3) + 2Pin, n ∈ Z
или
сosx=1
x= Pi+2Pik, k ∈ Z
не удовлетворяет первому неравенству систему ( неравенство строгое)
При х=Pi+2Pik, k∈ Z знаменатель обращается в 0

О т в е т. x=(2Pi/3) + 2Pin, n ∈ Z

Бисектриса АМ делит угол А пополам.
∠ЕАМ=∠МАС

∠ЕМА=∠МАС - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АС и EF и секущей АМ.

∠ЕАМ=∠ЕМА, значит треугольник АЕМ - равнобедренный

АЕ=ЕМ=24

Аналогично, MF=FC
и так как треугольник АВС - равнобедренный и
Δ АЕМ= Δ MFC, то
EM=MF=24

EF=EM+MF=24+24=48
О т в е т. 48 (прикреплено изображение)

{sin2x > 0 ⇒ x в первой или третьей четвертях
{cos^2x-cosx-1=0 ⇒ D=5;
cosx=(1-sqrt(5))/2 или сosx=(1+sqrt(5))/2

sin2x > 0 ⇒ x в первой или третьей четвертях
( см. график у=sin2x, закрашены части, на которых sin2x положителен
или
0 + 2πk < 2x < π + 2πk, делим на 2;
πk < x < (π/2)+πk – это и есть 1 и 3 четверти

сosx=(1+sqrt(5))/2
- уравнение не имеет корней
так как |cosx| меньше или равно 1
(1+sqrt(5))/2 > 1

cosx=(1-sqrt(5))/2
x= ± arccosx(1-sqrt(5))/2 + 2Pin, n ∈ Z

x= + arccosx(1-sqrt(5))/2 + 2Pin, n ∈ Z - во второй четверти и не удовлетворяет первому неравенству системы

О т в е т. x=- arccos (1-sqrt(5))/2 + 2Pin, n ∈ Z

(прикреплено изображение)

По условию
АВСD - квадрат
АВ=ВС=СD=AD=a

Значит АС=BD=sqrt(a^2+a^2)=asqrt(2) - диагонали квадрата.
По условию
АВ1=В1С=ВВ1=BD
Так как боковые грани - ромбы, то
АВ=ВВ1=ВС
и значит треугольник АВВ1- равносторонний.
ВВ1=а

Равные наклонные AB1=B1C=BB1=BD
имеют равные проекции
AO=OC=OB=OD=(1/2)AC=(1/2)BD=asqrt(2)/2

По теореме Пифагора
B1O^2=(BB1)^2-OB^2=a^2-(asqrt(2)/2)^2=2a^2/4
B1O=asqrt(2)/2

б) B1D=BB1=a

О т в е т.
а) asqrt(2)/2;
б)a (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Метод замены переменной
2^x=t
Так как показательная функция принимает только положительные значения, t > 0 при любом х

4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2
4^x-5*2^x+6=(t^2-5t+6)=(t-2)(t-3)-
разложили квадратный трехчлен на множители

Неравенство принимает вид:
(t/(t-3)) + (t+1)/(t-2) + 5/(t-2)(t-3) меньше или равно 0

Приводим дроби к общему знаменателю
(t*(t-2) + (t-1)*(t-3) + 5)/(t-2)(t-3) меньше или равно 0

(t^2-2t+t^2-t-3t+3+5)/(t-2)(t-3) меньше или равно 0

(2t^2-6t+8)/(t-2)(t-3) меньше или равно 0

Применяем метод интервалов
2t^2-6t+8=0
t^2-3t+4=0
D=9-4*4 < 0

_+__ ( 2) __-__ (3) __+__

2 < t < 3

2 < 2^x < 3
1 < x < log_(2) 3

О т в е т. (1; log_(2)3)

Решение, которое не выбрано лучшим из-за одной ошибки (cм. рис.1 -выделено зеленым цветом), на самом деле более рационально с точки зрения ЕГЭ. Оно экономит время, которого и так не хватает, пока доберетесь до 15-й задачи.

Я решила показать, что очень обидно при правильном подходе к решению, не получить за задачу ни одного балла.
Первое.
Что такое О: (-2;-1]U(1;3)
А чуть ниже совершенно правильное нахождение ОДЗ:
x∈(-2;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;3)
Если бы не было первой ошибочной записи - 1 балл бы был. ( правильно найдена ОДЗ)

Вторая ошибка написана: смена знаков в двух множителях не меняет знака неравенства.
(прикреплено изображение)

Нужны скобки в знаменателе.
-15/((x+1)^2-3) больше или равно 0
Так как
(-15) < 0, то
(х+1)^2-3 < 0
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
Числитель (-15) - отрицателен.
Значит и знаменатель отрицателен.

Раскладываем на множители по формуле
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
(x+1-sqrt(3))*(x+1+sqrt(3)) < 0
Решаем методом интервалов.

_+__ (-1 - sqrt(3)) __-___ ( -1 + sqrt (3)) _+__

О т в е т. (-1 - sqrt(3); -1+sqrt(3))

Пусть ширина окантовки х
Тогда стороны прямоугольника с окантовкой
(23+2х)*(41+2х)=2035
23*41+82х+46х+4х^2=2035
4x^2+128x-1092=0
x^2+32x-273=0
D=32^2-4*(273)=1024+1092=2116=46^2
x=(-32+46)/2=7
второй корень уравнения отрицательный и не удовл смыслу задачи
О т в е т. 7

1) По теореме Пифагора второй катет
sqrt(13^2-5^2)=sqrt(144)=12 см
S(осн.)=(1/2)a*b=(1/2)5*12=30 кв см
S(бок)=Р(осн)*Н=(5+12+13)*8=30*8=240 кв см
S(полн)=S(бок) +2S (осн)=240+2*30=300
2)
H=h*sin60^(o)=4*(sqrt(3))/2)=2sqrt(3)
см. рисунок.
3)
Треугольник АСС_(1) - прямоугольный равнобедренный
СС_(1)=АС=6

АС^2=AB^2+BC^2
AB=BC ( стороны квадрата равны)
36=2AB^2
AB^2=18
AB=3sqrt(2)
S(бок)=P(осн)*Н=4*3sqrt(2)*6=72 sqrt(3) кв. см

4)
Значит углы при основаниях в боковых треугольниках тоже по 60^(o)
Боковые треугольники - равносторонние
h( апофема)=4*sqrt(3)/2=2sqrt(3)
S(полн)=S(бок) +S (осн)= 4*S(боковых треугольников)+S (квадрата)=
=4*(1/2)*4*2sqrt(3)+4^2=16sqrt(3)+16 ( кв. см)

(прикреплено изображение)

Треугольник АО_(1)В- равнобедренный (ВО_(1)=АО_(1)=r=2)
Значит
∠ АВО_(1)= ∠ О_(1)АВ=30^(o)
∠ BO_(1)A=120^(o)
По теореме косинусов
АВ^2=r^2+r^2-2*r*r*cos120^(o)=4+4-2*4*(-1/2)=12
AB=2 sqrt(3)
Или высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины O_(1) на сторону АВ, делит АВ пополам.
Поэтому
(1/2) АВ=r*cos30^(o) ( все верно в 536)
AB=2r*cos30^(o)

Аналогично
Треугольник АО_(2)В- равнобедренный (ВО_(2)=АО_(2)=R=3)

∠CАО_(2)=∠ ВAО_(1) как вертикальные

Значит ∠ АСО_(2)= ∠ О_(2)АС=30^(o)
∠ СO_(2)A=120^(o)
По теореме косинусов
АС^2=R^2+R^2-2*R*R*cos120^(o)=9+9-2*9*(-1/2)=27
AC=3 sqrt(3)

Или как верно написано в решении 536
АС=2R*cos 30 градусов=3*sqrt(3)

Или из подобия треугольников
АО_(1)B и СО_(2)А
AC/BC=R/r
AC=(3/2)*BC=3sqrt(3)

BC=BA+AC=2 sqrt(3)+3sqrt(3)=5sqrt(3)

S( Δ BCO_(2))=(1/2)*BC*CO_(2)*sin30^(o)=(1/2)*5sqrt(3)*3*(1/2)=15sqrt(3)/4

Второй случай расположения окружностей.

Решение аналогично предыдущему.
Треугольник АО_(1)В- равнобедренный (ВО_(1)=АО_(1)=r=2)
Значит
∠ АВО_(1)= ∠ О_(1)АВ=30^(o)
∠ BO_(1)A=120^(o)
По теореме косинусов
АВ^2=r^2+r^2-2*r*r*cos120^(o)=4+4-2*4*(-1/2)=12
AB=2 sqrt(3)
Или высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины O_(1) на сторону АВ, делит АВ пополам.
Поэтому
(1/2) АВ=r*cos30^(o) ( все верно в 536)
AB=2r*cos30^(o)

Аналогично
Треугольник АО_(2)В- равнобедренный (ВО_(2)=АО_(2)=R=3)

∠CАО_(2)=∠ ВAО_(1) как вертикальные

Значит ∠ АСО_(2)= ∠ О_(2)АС=30^(o)
∠ СO_(2)A=120^(o)
По теореме косинусов
АС^2=R^2+R^2-2*R*R*cos120^(o)=9+9-2*9*(-1/2)=27
AC=3 sqrt(3)
BC=AC-AB=3 sqrt(3)-2sqrt(3)=sqrt(3)

и потому
S( Δ BCO_(2))=(1/2)*BC*CO_(2)*sin30^(o)=(1/2)*sqrt(3)*3*(1/2)=3sqrt(3)/4

О т в е т. 15 sqrt(3)/4 или 3sqrt(3)/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сделаем замену переменной.
5^x=t > 0; 25^x=(5^2)^x=(5^x)^2=t^2

Если 5^x=t_(1) или 5^x=t_(2)
t_(1) больше или равно 1 и t_(2) больше или равно 1, то данное уравнение будет иметь два неотрицательных корня.
После введённой замены
уравнение примет вид
|2t–a|–|t+2a|=t^2.

Применяем координатно–параметрический метод.
Рассматриваем плоскость аОt
Раскрываем знак модуля в каждой из четырех областей.

1) Подмодульные выражения обращаются в 0
при 2t–a=0 ⇒ t=a/2
при t+2a=0 ⇒ t=–2a

Прямые t=a/2 и t=–2a разбивают координатную плоскость аОt на 4 области.

Раскрываем знаки модуля в каждой области
1 область
{2t-a больше или равно 0
{t+2a больше или равно 0

2t–a-t+2a=t^2 ⇒ a=(-1/3)(t^2-t) - зеленая парабола

Вершина параболы в точке t=1/2 a=1/8.
О т в е т. два неотрицательных решения 0 < t меньше или равно 1 при 0 < a меньше или равно 1/8
Обратная замена приводит к уравнениям
5^x=t_(1) или 5^(x)=t_(2),
не имееющим неотрицательных решений.
В первой области нет решений.

2 область
{2t-a больше или равно 0
{t+2a < 0
2t–a+t+2a=t^2 ⇒ a=t^2–3t
парабола оранжевого цвета, оставлена только та её часть, которая принадлежит области 2.
Вершина в точке t=1,5; a=–2,25.
На (-2,25;-2]
Уравнение имеет два решения
t от 1 до 2
Обратная замена
приводит к двум уравнениям
5^x=t_(1) или 5^(x)=t_(2)
Решение которых и дает неотрицательных решения х

3 область
и
4 область
расположены ниже оси Оа
положительных значений t нет, а значит и уравнение
5^x=t не будет иметь решений

Поскольку показательное уравнение
5^x=t имеет положительный корень, если t > 1, то
при a∈(–2,25;–2] данное уравнение будет иметь ровно два неотрицательных корня.

О т в е т. a∈(–2,25;–2]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cумма углов треугольника 180 градусов.
Значит ∠ D=180 градусов - 28 градусов - 72 градусов=80 градусов.
Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
Верно 3) СE > DE (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{x^2+x > 0 ⇒ x*(x+1) > 0 ⇒ (-∞;-1)U(0;+∞)
{x^2+x ≠ 1 ⇒ x^2+x-1 ≠ 0 ⇒ D=5 ⇒ x ≠ (-1-√5)/2 или x ≠ (-1+√5)/2

{x^2-2x+1 > 0 ⇒ x ≠ 1

ОДЗ:
х∈(-∞; (-1-√5)/2 )U((-1-√5)/2;-1) U(0;1) U (1;(-1+√5)/2)U((-1+√5)/2 ;+∞).

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств ( он съэкономит Вам как минимум час на экзамене и его следует изучить и применять)

(x^2+x-1)*(x^2-2x+1-x^2-x) меньше или равно 0

(x^2+x-1)*(1-3x) меньше или равно 0
(x^2+x-1)*(3x-1) больше или равно 0
x^2+x-1=0 уже решено ( см ОДЗ)
1-3х=0 ⇒ х=1/3

_-_ [ (-1-√5)/2] __+__ [1/3] _-_ [ (-1+√5)/2] _+_

C учетом ОДЗ получаем ответ.
( (-1-√5)/2; -1) U (0;1/3]U ( (-1+√5)/2;1)U(1;+ бесконечность) (прикреплено изображение)

Область определения функции
(- бесконечность;1) U (1; +бесконечность)

3x^2+2x-5=(3x+5)*(x-1)

|(3x+5)*(x-1)|=|3x+5|*|x-1|

y=|3x+5|*|x-1|/(x-1)

При x > 1
|x-1|=x-1
сократим на (х-1) и получим
y=|3x+5|

При х < 1
|x-1|=-x+1
сократим на (х-1)
получим
y=-|3x+5| (прикреплено изображение)

. (прикреплено изображение)

Потому что вопрос такой: сколько роз в белой вазе.
О т в е т. 5

Применяем формулу понижения степени:
sin^2 альфа=(1-сos2альфа)/2

sin^2(23Pi/12)=(1-cos(46Pi/12))/2=(1-сos(4Pi-(2Pi/12)))/2=
=(1-сos(Pi/6))/2=(1-sqrt(3)/2)/2=(2-sqrt(3))/4

О т в е т.
2sqrt(3)-4sqrt(3)*((2-sqrt(3))/4)=2sqrt(3)-2sqrt(3)+3=3

2
По формуле
sin2 альфа =2*sin альфа *cos альфа

⇒

sin альфа *cos альфа =(1/2)*sin2 альфа

О т в е т. (1/2)*sin(10Pi/12)=(1/2)*sin(5Pi/6)=(1/2)*(1/2)=1/4

Ассоциативность выполняется:
A #B=A+B-AB
(A#B)#C=(A+B-AB) + C - (A-B-AB)C=A+B+C-AB-AC-BC+ABC

B#C=B+C-BC
A#(B#C)=A+(B+C-BC)-A(B+C-BC)=A+B+C-BC-AB-AC+ABC

Наличие единицы
A#E=A+E-AE=E
E#A=E+A-EA=E

A#E=E#A

Наличие обратного элемента

A#X=B
A+X-AX=B
(E-A)X=B-A

Y#A=B
Y+A-YA=B
(E-A)Y=B-А

выполняется при обратимости матрицы (E-A)

Наверное, не группа

{9^(5x+4y)=9^3
{3^(5x-4y-1)=3^(0)

{5x+4y=3
{5x-4y-1=0

10х=4
х=0,4

у=(3 - 5х)/4=(3-5*0,4)/4=1/4=0,25
О т в е т. (0,4; 0,25)

Это уравнение с разделяющимися переменными.
y`=dy/dx

y=x*(dy/dx)
или
dy/y=dx/x
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+lnC
ln|y|=lnC|x|
y=Cx
О т в е т у=Сх -общее решение дифференциального уравнения.

Испытание состоит в том, что из 35-ти билетов выбирают один.
Это можно сделать 35-ю cпособами.
n=35

Событие А-'' в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме зоология''
Событию А благоприятствуют исходы испытания, при которых выбран билет, не содержащий вопроса по теме зоология.
Таких билетов 35-14=21
m=21
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=21/35=3/5=0,6
О т в е т. 0,6

1.
См. рис.
2.
3x^2-5x+2=0
D=(-5)^2-4*3*2=1
x_(1)=(5-1)/6=2/3 или х_(2)=(5+1)/6=1
О т в е т. 2/3; 1
3.
f(2)=2*(2)^3-2=16-2=14
4.
0,4x + 5 = - 10
0,4x= -10 - 5
0,4x = - 15
x = -37,5
5.
cм. рис.2
6. см. рис. 3 (прикреплено изображение)

Пусть задание А - это х, задание Б - у.
А выполнил своё задание за 15 часов, значит производительность труда А:
(x/15)
А выполнил задание Б за 30 часов,
y/(x/15)=30 или
15y=30x
y=2x

Б выполнил свое задание за 25 часов
(y/25) - производительность труда Б
x/(y/25)=25x/y=25x/(2x)=12,5 часов
О т в е т. За 12,5 часов Б выполнит задание А

Можно и так рассуждать
А на своё задание тратит времени в два раза меньше, чем на задание Б
Значит, задание Б в два раза больше чем задание А
Значит Б выполнит задание А в два раза быстрее, чем своё, т.е 25:2=12,5 часов

Пусть вся трасса х км.
45% =0,45
0,45*х км прошел за первые 20 мин
35%=0,35
0,35*x км прошел за вторые 20 мин

0,45х+0,35х=0,8х км прошел за 20+20=40 минут
х-0,8х=0,2х км осталось пройти

0,2х км по условию составляют 5 км
0,2х=5
x=25 км

весь путь 25 км
0,45х=0,45*25=11,25 км прошел за первые 20 минут
0,35х=0,35*25=8,75 км прошел за вторые 20 минут

1) 45 км/ч*4=180 км проехал один поезд за 4 часа
2) 484-180=304 км проехал второй поезд за 4 часа
3)304 : 4 =76 км/ час - скорость второго поезда
О т в е т. 76 км в час - скорость второго поезда

Составляем характеристическое уравнение системы:
|(2- лямбда ). .(-2)|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =0
|2. .(8- лямбда )|

(2- лямбда )*(8- лямбда )+4=0
лямбда ^2-11 лямбда +28=0

лямбда _(1)=4 или лямбда_(2)=7

y(t)=C_(1)e^(4t)+ C_(2)e^(7t)
x(t)=C_(3)e^(4t)+ C_(4)e^(7t)

подставляем в первое уравнение

4С_(3)e^(4t)+7C_(4)e^(7t)=3*C_(3)e^(4t)+3C_(4)e^(7t)-2C_(1)e^(4t)-2C_(2)e^(7t)

4C_(3)=3C_(3)-2C_(1)
7C_(4)=3C_(4)-2C_(2)

C_(3)=-2C_(1)
C_(4)=-(1/2)C_(2)

x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t)
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)

О т в е т.
x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t)
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)

2 способ
{x`=3x-2y
{y`=2x+8y ⇒ 2x=y`-8y ⇒ x=(y`-8y)/2 ⇒ x`=(y``-8y`)/2
Подставим х и x` в первое уравнение

((y``-8y`)/2=3*(y`-8y)/2-2y;
y``-8y`=3y`-24y-4y;
y``-11y`+28y=0
Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Составляем характеристическое уравнение
k^2-11k+28=0
D=121-4*28=9
k_(1)=(11-3)/2=4 или k_(2)=(11+3)/2=7

Общее решение однородного уравнения:
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)
Находим
y`=4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t)
и подставляем y и y` в выражение для х
х=(y`-8y)/2

x(t)=(4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t)-8C_(1)e^(4t)-8C_(2)e^(7t))/2

x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2)С_(2)e^(7t)

О т в е т.
x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t)
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение системы:
|(2- лямбда ). .(-2)|
. . . . . . . . . . . .. . =0
|2. .(8- лямбда )|

(2- лямбда )*(8- лямбда )+4=0
лямбда ^2-11 лямбда +28=0

лямбда _(1)=4 или лямбда_(2)=7

y(t)=C_(1)e^(4t)+ C_(2)e^(7t)
x(t)=C_(3)e^(4t)+ C_(4)e^(7t)

подставляем в первое уравнение

4С_(3)e^(4t)+7C_(4)e^(7t)=3*C_(3)e^(4t)+3C_(4)e^(7t)-2C_(1)e^(4t)-2C_(2)e^(7t)

4C_(3)=3C_(3)-2C_(1)
7C_(4)=3C_(4)-2C_(2)

C_(3)=-2C_(1)
C_(4)=-(1/2)C_(2)

x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t)
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)

О т в е т.
x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t)
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)

2 способ
{x`=3x-2y
{y`=2x+8y ⇒ 2x=y`-8y ⇒ x=(y`-8y)/2 ⇒ x`=(y``-8y`)/2
Подставим х и x` в первое уравнение

((y``-8y`)/2=3*(y`-8y)/2-2y;
y``-8y`=3y`-24y-4y;
y``-11y`+28y=0
Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Составляем характеристическое уравнение
k^2-11k+28=0
D=121-4*28=9
k_(1)=(11-3)/2=4 или k_(2)=(11+3)/2=7

Общее решение однородного уравнения:
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)
Находим
y`=4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t)
и подставляем y и y` в выражение для х
х=(y`-8y)/2

x(t)=(4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t)-8C_(1)e^(4t)-8C_(2)e^(7t))/2

x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2)С_(2)e^(7t)

О т в е т.
x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t)
y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t)

BD=AC=sqrt(3^2+4^2)=sqrt(25)=5
B_(1)B^2=B_(1)D^2-BD^2=(5sqrt(2))^2-5^2=25
B_(1)B=5
H=5

S(осн)=AB*BC=3*4=12
V=S(осн.)*H=12*5=60

S(бок)=Р(осн)*Н=(3+4+3+4)*5=70

(прикреплено изображение)

(3-sqrt(2))*(5+sqrt(2))-(sqrt(2)-1)=
=3*5-sqrt(2)*5+3*sqrt(2)-sqrt(2)*sqrt(2)-sqrt(2)+1=
=15-5sqrt(2)+3sqrt(2)-2-sqrt(2)+1=14 -3 sqrt(2)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠ ABD = 80 градусов опирается на дугу AD, значит граду сная мера дуги AD равна 160 градусов.
∠ СAD = 34 градусов опирается на дугу CD, значит граду сная мера дуги CD равна 68 градусов.
∠ ABC опирается на дугу AC, граду сная мера которой, равна сумме мер дуг AD и DC
∠ ABC =(160 градусов+68 градусов)/2=114 градусов

Составляем уравнения плоскостей АВD и BCD
( cм. приложение)
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами
vector{n_(1)}=(- 2845; 2936; - 385)
vector{n_(2)}=(188; 705; 408)

cos phi =(vector{n_(1)}*vector{n_(2)})/(|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|)=

=(-2845*188+2936*705-385*408)/sqrt(188^2+705^2+408^2)*sqrt((-2845)^2+2936^2+(-385)^2))

(прикреплено изображение)

Испытание состоит в том, что из пяти человек выбирают одного. Это можно сделать пятью способами.
n=5
Событие А- ''выбрана девочка''
Событию благоприятствуют три исхода испытания ( выбрана Катя, Даша или Вера)
m=3
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=3/5=0,6
О т в е т. р=0,6

C.38
ОДЗ:
{x^2+3x+3 > 0 при любом х, т.к. D=9-4*3 < 0
{x^2-4x-5 больше или равно 0⇒ D=36 ; x∈ [-1;5]

lg^2(x^2+3x+3) больше или равно 0;
sqrt(x^2-4x-5) больше или равно 0

Cумма двух неотрицательных выражений равна 0, тогда и только тогда когда каждое равно 0.

{lg(x^2+3x+3)=0⇒x^2+3x+3=10^(0) ⇒x^2+3x+2=0 D=1;x=-2 или х=-1
{x^2-4x-5=0 ⇒ x=-1 или х=5

Общий корень двух уравнений x=-1 и есть корень данного уравнения
О т в е т. -1
С.39.
{x^2+x-5=1 ⇒x^2+x-6=0 ⇒ D=25 ; x= - 3 или х=2
{-x^3+9x-10=0
Проверим являются ли корни первого уравнения корнями второго
х=-3
-(-3)^3+9*(-3)-10=27-27-10 - неверно
-(2)^3+9*(2)-10=0 - верно
О т в е т. 2
С.40
{2x^3+x^2-13x+7=1⇒
{2x^2+5x-2=1⇒ 2x^2+5x-3=0; D=49; x= -3 или х=1/2
Проверим, являются ли корни второго уравнения корнями первого.
2*(-3)^3+(-3)^2-13*(-3)+7=1 - верно
2*(1|2)^3+(1/2)^2-13*(1/2)+7=1 - неверно
О т в е т. -3.

С.41
{2005x^3-2004x^2+1=1
{5^(x^2)-1=0 ⇒ x^2=0 ⇒ x=0
x=0 - корень первого уравнения
2005*0-2004*0+1=1
О т в е т. 0
С.42
{2005x^3-2004x^2-1=1
{5^(x^2)-5=0 ⇒ x^2=1 ⇒ x=-1 или х=1
x=- 1
2005*(-1)^3-2004*(-1)^2-1=1 - неверно
х=1
2005*1-2004*1-1=1- неверно
О т в е т. уравнение не имеет корней

С.43
ОДЗ:
{2x-1 > 0 ⇒ x > 1/2
{2x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 1
{x^2+3x-1 > 0

По определению логарифма
x^2+3x-1=(2x-1)^2
x^2+3x-1=4x^2-4x+1
3x^2-7x+2=0
D=(-7)^2-4*3*2=49-24=25
x=(7-5)/6=1/3 или х=(7+5)/6=2
x=1/3 не удовлетворяет ОДЗ (x > 1/2)

О т в е т. х=2

Ответ выбран лучшим

Cоставляем уравнение плоскости ( см. приложение)

d=|188*x_(A)+705*y_(A)+408*z_(A)-36096|/sqrt(188^2+705^2+408^2)=
=|188*70+705*75+408*60-36096|/sqrt(698833)=

=54419/sqrt(698833) (прикреплено изображение)

f`(x)=x^2-4x
f`(x)=0
x^2-4x=0
x*(x - 4) = 0
x=0 или х=4 - точки возможного экстремума.
Исследуем знак производной
f`(10)=10^2-4*10 > 0

__+_ (0) __-__ (4) ___+__

На (- ∞;0) и (4;+∞) функция возрастает
На (0;4) убывает

x=0 - точка максимума, производная меняет знак
с + на -
у(0)=4
х=4 - точка минимума, производная меняет знак
с - на +
у(4)=(1/3)*4^3-2*4^2+4=(64/3)-32+4=(-20/3)
Строим график (прикреплено изображение)

F`(x)=3x^2-2x-1
F`(x)=0
3x^2-2x-1=0
D=(-2)^2-4*3*(-1)=4+12=16
x=(2-4)/6=-1/3 или х=(2+4)/6=1
[-1] _+___ (-1/3) ____-____ (1) ___+____ [2]

F(-1)=(-1)^3-(-1)^2-(-1)+2=1 наименьшее значение
F(-1/3)=(-1/3)^3-(-1/3)^2-(-1/3)+2=2(1/3)-(1/9)-(1/27) < 4
F(1)=1-1-1+2=1- наименьшее значение
F(2)=2^3-2^2-2+2=4 наибольшее значение

(14)^(9)=(2*7)^(9)=2^(9)*7^(9)

14^(9)/(2^(7)*7^(8))=(2^(9)*7^(9))/(2^(7)*7^(8))=2^(2)*7=4*7=28

[b]Функция определена и непрерывна на (-бесконечность;+бесконечность)[/b]
Производная в точке x=0 не существует.
В этой точке и возможен экстремум.

Строим график функции у=|x|
Cм. рис 1.
На отрезке [-1;2] наименьшее значение в точке х=0
(рис.2)
О т в е т. y(0)=0 - наименьшее значение функции на [-1;2] (прикреплено изображение)

x^2+2x-15=0
D=2^2-4*(-15)=4+60=64
x=(-2-8)/2=-5 или х=(-2+8)/2=3
О т в е т. -5; 3

См. рисунок 1.

Из подобия треугольников МО_(1)А и КО_(2)А
О_(1)М=3r- радиус большего круга.
АО_(2)=2r

В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы и обратно.
Катет О_(1)М=3r
Гипотенуза О_(1)А=6r
Значит, ∠ МАО = 30 градусов, вертикальные углы между касательными 60 градусов.

Cм. рис. 2
S ( фигуры)=S(большого круга)+S(малого круга)+S(криволинейного треугольника розового цвета)+
S( криволинейного треугольника сиреневого цвета)

S(большого круга)=Pi*(3r)^2=9Pir^2
S(малого круга)=Pi*r^2=Pir^2
S(криволинейного треугольника розового цвета)=2*S( Δ О_(1)МА)- s( большого сектора с углом в 120 градусов)=
=2*(1/2)*3r*6r*sin60 градусов -(1/3)*Pi*(3r)^2=
=9r^2sqrt(3)-3Pir^2
S( криволинейного треугольника сиреневого цвета) =
2S(ΔО_(2)АК)-s(малого сектора с углом в 120 градусов)=
=2*(1/2)*r*2r*sqrt(3)/2-(1/3)Pi*r^2=r^2sqrt(3)-(Pir^2/3)

О т в е т. 9Pir^2 + Pir^2 + (9r^2sqrt(3)-3Pir^2)+(r^2sqrt(3)-(Pir^2/3))=(20/3)Pir^2+10r^2sqrt(3) (прикреплено изображение)

∠ ОАК= ∠ ОАN - (ОА - биссектриса, делит угол пополам)
∠ОАК = ∠NOA ( внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и MN)
Значит, ∠ ОАN = ∠NOA и треугольник ANO - равнобедренный
AN=NO
Аналогично,
∠ОВМ = ∠ОВК ( ОВ - биссектриса угла В)
∠ОВК = ∠MOB
Значит, ∠MOB = ∠OBM и треугольник MBO - равнобедренный
OM=MB

AN+MB=NO+OM=NM=3

Р(АВMN)=AB+BM+MN+NA=AB+MN+3=5+3+3=11
О т в е т. 11 (прикреплено изображение)

Уравнение прямой АС, как уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x-x_(A))/(x_(C)-x_(A))=(y-y_(A))/(y_(C)-y_(A))
(x+3)/(0+3)=(y-2)/(4-2)
2*(x+3)=3*(y-2)
2x-3y+12=0
vector{n_(AB)}=(2;-3)
Прямая BD перпендикулярна прямой АС, значит нормальный вектор прямой BD ортогонален vector{n_(AB)}

Скалярное произведение ортогональных векторов равно 0, поэтому
vector{n_(BD)}=(3;2)

Уравнение, прямых, ортогональных АС имеет вид
3х+2у+d=0
Подставим координаты точки В и найдем d
3*5+2*(-2)+d=0
d= - 11
О т в е т. 3x+2y - 11 =0 - уравнение прямой BD.

tg ∠ ABC=CT/BT=1/2 (прикреплено изображение)

2,4*10^2=240
8*10^(-1)=8*0,1=0,8
240:0,8=2400:8=300

Умножаем первое уравнение на (- 5)
{-5x+15y=15
{5x-2y=11
Cкладываем
13у=26
у=2
х=3у-3=3*2-3=3
О т в е т. (3;2)

А
часть круга, расположенная внутри центрального угла называется…круговым сектором
О т в е т. 1)
Б
угол с вершиной в центре этой окружности называется…
центральным углом
О т в е т. 3)

y/x=u
y=u`*x+u

u`*x+u=u-1
u`*x=-1
du=-dx/x
u=-ln|x|+lnC
u=lnC/x
C/x=e^(u)
C/x=e^(y/x)

Ответ выбран лучшим

Перепишем
y`=(-y^2/x^2)+2sqrt(y^3/x^3)

y/x=u
y=u*x
y`=u`*x+u

u`*x+u=-u^2+sqrt(u^3)
u`*x=sqrt(u^3)-u^2-u
Уравнение с разделяющимися переменными
du/(sqrt(u^3)-u^2-u)=dx/x
Интегрируем
∫ du/(sqrt(u^3)-u^2-u)= ∫ dx/x

Первый интеграл считается заменой переменной
sqrt(u)=t
u=t^2
du=2tdt
sqrt(u^3)=t^3
u^2=t^4

∫ 2tdt/(t^3-t^4-t^2)= ∫ dt/(t^2-t^3-t)=см интегрирование рациональных дробей=
=- ∫dt/t - ∫ (t-1)dt/(t^2-t+1)=
=-ln|t|-(1/2)ln|t^2-t+1|+(1/2)arctg(t-(1/2))/sqrt(3)/2) +C

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными
dy/(cosy-sny-1)=dx/(cosx-sinx+1)
Интегрируем
∫ dy/(cosy-siny-1)= ∫ dx/(cosx-sinx+1)

Каждый интеграл ( см. интегрирование тригонометрических функций ) считается с помощью универсальной подстановки
tg(y/2)=t
Тогда
siny=2t/(1+t^2)
cosy=(1-t^2)/(1+t^20
y/2=arctgt
y=2arctgt
dy=2/(1+t^2)dt

∫ dy/(cosy-siny-1)=-∫dt/(t^2+t)=
=ln|1+t|-ln|t|

∫ dx/(cosx-sinx+1)=∫ds/(1-s)=-ln|s|

ln|1+tg(y/2)|-ln|tg(y/2)|=-ln|tg(x/2)+lnC - ответ.
Можно упростить

Ответ выбран лучшим

Делим на y^2
(y`/y^2)-(1/y)*(1/(x-1))=1/(x-1)
Пусть
(1/y)=z ⇒ z`=-y`/y^2

z`-(z/(x-1))=1/(x-1)
линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Ищем решение в виде z=u*v
z`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v` - (u*v)/(x-1)=1/(x-1)
u`*v+u*(v` - (v)/(x-1))=1/(x-1)
1) условие на v:
v` - (v)/(x-1)=0
тогда
2)u`*v+u*0=1/(x-1)

1) Уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=dx/x-1
ln|v|=ln|x-1| ( c полагаем равной 0)
v=x-1

2)u`*(x-1)=1/(x-1)
du=dx/(x-1)^2
u=-1/(x-1) + C

z=x-1(C-(1/(x-1))
z=C(x-1) - 1

y=1/z=1/(Cx-C-1)

О т в е т. у=1/(Cx-C-1)

Ответ выбран лучшим

y`ln(y/x)=1+(y/x)*ln(y/x)

u=y/x
y=ux
y`=u`*x+u ( x`=1, х - независимая переменная)

(u`*x+u)*lnu=1+u*lnu;

u`*x*lnu=1
lnudu=dx/x
Интегрируем
∫ lnudu= ∫ dx/x
Интеграл слева считаем по частям
u*lnu-u=ln|x|+lnC
(y/x)*ln(y/x)=lnCx- общее решение
при х=1
у=1
lnC=0
C=1
(y/x)*ln(y/x)=lnx- частное решение

Ответ выбран лучшим

Иногда можно ответить на вопрос не прибегая к исследованию функции.
Функция у=sinx определена и непрерывна на [Pi/6;Pi]

График у=sinx на [Pi/6;Pi] см на рисунке.
Наименьшее значение в точке х=Pi
y=0
(прикреплено изображение)

2x^2 dy = (x^2 + y^2) dx
Делим на x^2
2dy=(1+(y/x)^2)dx
2y`=(1+(y/x)^2)

u=y/x
y=ux
y`=u`*x+u (x`=1, x - независимая переменная)

2(u`x+u)=(1+u^2)*
2u`*x=(1+2u+u^2)
2du/(u^2+2u+1)=dx/x
Интегрируем
(-2/(u+1)) + C=ln|x| - о т в е т.

u=y/x

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение:
y`+(y/sqrt(1-x^2))=arcsinx/sqrt(1-x^2)

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+u*v/sqrt(1-x^2)=arcsinx/sqrt(1-x^2)

u`*v+u*(v`+v/sqrt(1-x^2))=arcsinx/sqrt(1-x^2) (#)

Функцию v выбирают так, чтобы
v`+v/sqrt(1-x^2)=0
Уравнение с разделяющимися переменными.
dv/v=-dx/sqrt(1-x^2)
ln|v|=-arcsinx ( константу выбирают так: c=0)
v=e^(-arcsinx)

Подставляем v в уравнение
u`*e^(-arcsinx)=arcsinx/sqrt(1-x^2)
Уравнение с разделяющимися переменными.
du=(e^(arcsinx))*(arcsinx/sqrt(1-x^2))dx
u=e^(arcsinx) + C

y=(e^(arcsinx) + C)*e^(-arcsinx)
или
у=1+С*e^(-arcsinx) - общее решение линейного дифференциального уравнения.

0=1+С*e^(0)
C=-1
у=1-e^(-arcsinx) - частное решение линейного дифференциального уравнения

Ответ выбран лучшим

Линейное уравнение первого порядка
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+x*u*v+x=0
u`*v+u*(v`+x*v)+x=0

1)(v`+x*v)=0⇒
2) u`*v+x=0

Два уравнения с разделяющимися переменными
v`+x*v=0
dv/v=-xdx
ln|v|=-x^2/2 ( с считаем равным 0)
v=e^(-x^2/2)

u`*e^(-x^2/2)+x=0
du=-xe^(x^2/2)dx
u=-e^(x^2/2) + C

y=(-e^(x^2/2)+C)*e^(-x^2/2)
y=-1+Ce^(-x^2/2)

y`=(x-1,5)`sinx+(x-1,5)(sinx)`+(cosx)`
y`=sinx+(x-1,5)cosx-sinx=(x-1,5)cosx;
y`=0
(x-1,5)cosx=0
x-1,5=0 или cosx=0
x=1,5 x=(π/2)+πk, k∈Z

Знаки у`
(-3π/2) ____+____ (-π/2) __-__ (1,5) _+__ (π/2) __-__

Таких точек бесчисленное множество
Отрезок не задан?

Пусть ВС=а; АС=b
В треугольнике ВСК биссектриса ВО делит сторону СК на части пропорциональные сторонам ВС и ВК
BC:BK=CO:OK=sqrt(3):sqrt(2)
BK=(sqrt(2)/sqrt(3))*b
Аналогично, для треугольника АСК
АК=(sqrt(2)/sqrt(3))*а

AK+KB=(sqrt(2)/sqrt(3))*(a+b)

По теореме Пифагора для треугольника АВС
a^2+b^2=(2/3)(a+b)^2⇒
3a^2+3b^2=2a^2+4ab+2b^2 ⇒
a^2-4ab+b^2=0
(a/b)^2-4*(a/b)+1=0
D=16-4=12
(a/b)=(4-2sqrt(3))/2=2-sqrt(3) или (a/b)=2+sqrt(3)

tg альфа =a/b=2-sqrt(3) или tg альфа =2+sqrt(3)
tg бета =b/a=2+sqrt(3) или tg бета =2-sqrt(3)

альфа =15 градусов; бета =75 градусов
или
альфа =75 градусов; бета = 15 градусов

так как
tg 75 градусов = tg (30 градусов + 45 градусов)=

=(tg 30 градусов + tg 45 градусов)/(1-tg30 градусов*tg 45 градусов)=((sqrt(3)/3)+1)/(1-sqrt(3)/3)=
=(sqrt(3)+3)/(3-sqrt(3))=(sqrt(3)+1)/(sqrt(3)-1)=
=(sqrt(3)+1)^2/(3-1)=(3+2sqrt(3)+1)/2=2+sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
y`=dy/dx
ydy=e^xdx/(1+e^x)
∫ ydy= ∫ e^xdx/(1+e^x)
y^2/2=ln(1+e^x)+lnC
y^2/2=lnC*(1+e^x)

2.
(1+y)(e^xdx–e^(2y)dy)–(1–y^2)dy=0
e^xdx–e^(2y)dy–(1+y)dy=0
e^xdx=(e^(2y)+(1+y))dy
∫e^xdx = ∫ (e^(2y)+(1+y))dy
e^x=(1/2)e^(2y)+y+(y^2/2)+C

Ответ выбран лучшим

sin ∠ A=sqrt(1-cos^2 ∠ A)=sqrt(1-(1/5)^2)=sqrt(24/25)=2sqrt(6)/5;

По теореме синусов
a/sin ∠ A=b/sin ∠ B

a/b=sin ∠ A/sin ∠ B=4sqrt(6)/5⇒b/a=5sqrt(6)/24

S( Δ)=(1/2)a*h_(a)
S( Δ)=(1/2)b*h_(b)

a*h_(a)=b*h_(b)
h_(a)/h_(b)=b/a= 5sqrt(6)/24

О т в е т. 5sqrt(6)/24

В прямоугольном треугольнике гипотенуза - диаметр описанной окружности
с=2R
a=2Rsin альфа
b=2Rcos альфа

S( Δ)=(1/2)a*b и S( Δ)=(1/2)c*h

a*b=c*h

h=a*b/c=(2R*sin альфа *2R*cos альфа)/2R=

=R*sin2 альфа

О т в е т. R*sin2 альфа

Ответ выбран лучшим

Находим координаты точки пересечения прямых
{3x - 4y + 12 = 0
{5x + 12y - 2 = 0

Умножаем первое уравнение на 3
{9x - 12y + 36 = 0
{5x + 12y - 2 = 0

Складываем
14х+34=0
х=-17/7
y=(3x+12)/4
у=33/28

А(-17/7;33/28)

vector{n_(1)}=(3;-4)
нормированный вектор vector{n_(1)}=(3/5;-4/5)
vector{n_(2)}=(5;12)
нормированный вектор vector{n_(2)}=(5/13;12/13)

Нормированный вектор биссектрисы равен сумме нормированных векторов прямых
vector{n_(биссектрисы)}=(64/65;8/65)

Cоставим уравнение прямой с нормальным вектором vector{n_(биссектрисы)}=(64/65;8/65) и проходящей через точку А (-17/7;33/28)

64х+8у+65с=0

64*(-17/7)+8*(33/28)+65с=0

65с=146

64х+8y+146=0
или
32x+4y+73=0 - уравнение одной биссектрисы.

Уравнение второй биссектрисы - уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через точку А.
Перепишем найденное уравнение в виде:
y=-8x-(73/4)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1
y=(1/8)x+d - общее уравнение прямых, перпендикулярных найденной биссектрисе.
Чтобы найти d подставим координаты точки А

(33/28)=(1/8)*(-17/7)+d
d=83/56

y=(1/8)x+(83/56)
7x-56y+83=0

О т в е т.
32х+4y+73=0
7x-56y+83=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx
3^(x+y)=3^x*3^y

dy/dx=3^x*3^y
dy/3^y=3^xdx
∫ dy/3^y= ∫ 3^xdx
∫ 3^(-y)dy= ∫ 3^xdx
-∫ 3^(-y)d(-y)= ∫ 3^xdx
-3^(-y)/(ln3)=3^x/(ln3)+c

О т в е т. -3^(-y)=3^x+С, С=с*ln3
3^x+3^(-y)+C=0

Ответ выбран лучшим

Первая машина за час проехала 50 км.
Когда выехала вторая, расстояние между машинами 50 км.
Вторая машина догонит первую за счет разницы скоростей
60-50=10 км в час ( скорость сближения второй машины с первой)
Чтобы сократить расстояние в 50 км второй машине понадобится
50:10=5 часов.

За это время вторая машина проедет
60*5=300 км.
Третья машина до места встречи первых двух будет ехать 4 часа.
300:4=75 км в час
О т в е т. 75 км в час

1 способ
Прямая, симметричная данной, параллельна данной.
Значит ее уравнение имеет вид
x+2y- d=0
Чтобы найти d подставим координаты точки, принадлежащей этой прямой, например точки Е.
Для этого выберем точку F(2;2), принадлежащую данной прямой и найдем координаты точки Е симметричной относительно А
Е(6;2)
6+2*2-d=0
d=10

2 способ
Составим уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку А
vector{n}_(данной прямой)=(1;2)
vector{n}_(перпендикулярной прямой)=(2;-1)
Скалярное произведение этих векторов равно 0, векторы ортогональны.
2х-у+с=0
Чтобы найти c подставляем координаты точки А
2*4-2=с
с=-6
2х - у - 6 = 0

Найдем расстояние от точки А до данной прямой
d=|4+2*2-6|/sqrt(1+2^2)=2/sqrt(5)

Составим уравнение окружности с центром в точке А и радиусом R=2/sqrt(5).
Эта окружность касается данной прямой и второй прямой, параллельной данной и находящейся на расстоянии 2/sqrt(5) от точки.
(x-4)^2+(y-2)^2=4/5

Решаем систему уравнений
{(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 4/5
{2x - y - 6 = 0 ⇒ y = 2x - 6

(x-4)^2+(2x-6-2)^2=4/5
(x-4)^2=4/25
x-4=2/5 или х-4=-2/5
х=4,4 или х=3,6 - абсцисса точки М
у=2х-6=2*4,4-6=2,8
N(4,4; 2,8)

Прямая, параллельная данной имеет вид
х + 2y - d = 0
Чтобы найти d подставим координаты точки N
4,4+2*2,8 - d=0

d=10

О т в е т. х+2y -10 =0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем систему двух уравнений:
{2x–y+4 = 0
{x+у–7=0
Складываем
3x-3=0
x=1

у=2х+4=2*1+4=6
О т в е т. (1;6)

Ответ выбран лучшим

Диаметр вписанной окружности равен 8, значит меньшее основание трапеции равно 4.
r=4
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
FC=CN=2
DE=DN=x
Проводим высоту СК
КD=x-2
CD=x+2
CK=FE=2r=h
h=2*4=8
По теореме Пифагора
CK^2=CD^2-KD^2
8^2=(x+2)^2-(x-2)^2
64=(x+2-x+2)*(x+2+x-2)
64=4*2x
x=8

AD=2x=16

Проведем ВР || CD ( см. рис. справа)

Треугольник ВМТ подобен треугольнику АВР
2 : 10 = МТ : 12

МТ=2*12:10=2,4

MN=MT+TN=2,4+4=6,4

О т в е т. 6,4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть объем бассейна S
Через первую трубу треть бассейна наполнится за 5 часов
(S/3):5=S/15 за час наполняет первая труба
Через вторую трубу четверть бассейна наполнится за 3 часа
(S/4):3=S/12 за час наполняет вторая труба

(S/2):3=S/6 за час наполняют три трубы

(S/6)-(S/15)-(S/12)=S/60 за час наполняет третья

(S/12)+(S/60)=6S/60=S/10 за час наполняют вторая и третья

S: (S/10)= 10 часов - за 10 часов заполнят весь бассейн вторая и третья трубы, работая вместе

Ответ выбран лучшим

Средняя скорость = путь/время

Путь:
2*60+3*75+47=120+225+47=392 км
время:
2 часа+3 часа + (36/60)часа=5,6

v_(cредняя)=392/5,6=70 км в час
О т в е т. 70 км в час

Ответ выбран лучшим

Это однородное уравнение первого порядка.
Cправа и числитель и знаменатель делим на x^2
y`=phi (y/x)

Обозначим
y/x=u
y=x*u
y`=u+x*u` ( x`=1, x - независимая переменная)

u+x*u`=(1+u-3u^2)/(1-4u)

u-4u^2+x*u`*(1-4u)=1+u-3u^2

x*u`*(1-4u)=1+u^2

(1-4u)du/(1+u^2)=dx/x

Интегрируем
∫ (1-4u)du/(1+u^2)= ∫ dx/x
arctgu-2ln|1+u^2|=ln|x|+lnC
arctg(y/x)=lnCx*(1+(y^2/x^2))^2
О т в е т. arctg(y/x)=lnCx*(1+(y^2/x^2))^2

Ответ выбран лучшим

1) Делим на х
y`-(1/x)y=sqrt(1+(y/x)^2)
Однородное уравнение первого порядка
Обозначим
y/x=u
y=x*u
y`=u+x*u` ( x`=1, x - независимая переменная)

u+x*u`-u=sqrt(1+u^2)
x*u`=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные
du/sqrt(1+u^2)=dx/x
Интегрируем
∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫ dx/x
ln|u+sqrt(1+u^2)|=lnx+lnC
u+sqrt(1+u^2)=Cx
(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx
y+sqrt(x^2+y^2)=C - общее решение уравнения

2)
Перепишем
y`-(2x/(1-x^2))y=(1+x^2)/(1-x^2) (#)

линейное уравнение первого порядка.
Решаем однородное уравнение
y`-(2x/(1-x^2))y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные.
dy/y=(2x/(1-x^2))dx
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ (2x/(1-x^2))dx
ln|y|=-ln|1-x^2| +lnC
y=C/(1-x^2)

Метод вариации произвольной постоянной
y(x)=C(x)/(1-x^2)
y`=(C`(x)*(1-x^2)-(-2x)*C(x))/(1-x^2)^2

y`=C`(x)/(1-x^2) +(2x/(1-x^2)^2)*C(x)

Подставляем в (#)

C`(x)/(1-x^2) +(2x/(1-x^2)^2)*C(x)-(2x/(1-x^2))*(C(x)/(1-x^2))=(1+x^2)/(1-x^2);

C`(x)/(1-x^2) =(1+x^2)/(1-x^2);
C`(x)=(1+x^2);
C(x)= ∫ (1+x^2)dx=x+(x^3/3)+C

y=(x+(x^3/3)+C)/(1-x^2)

y=(x/(1-x^2))+(x^3/(3*(1-x^2))) +C/(1-x^2)

3)
y``-4y`+4y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^2-4k+4=0
D=16-16=0
k_(1)=k_(2)=2

y=C_(1)e^(2x)+C_(2)*x*e^(2x)

Проверка
y`=2C_(1)e^(2x)+C_(2)e^(2x)+2C_(2)*x*e^(2x)
y``=4C_(1)e^(2x)+2C_(2)e^(2x)+2C_(2)*e^(2x)+4C_(2)*x*e^(2x)

Подставляем в уравнение
4C_(1)e^(2x)+2C_(2)e^(2x)+2C_(2)*e^(2x)+4C_(2)*x*e^(2x) -
-4*(2C_(1)e^(2x)+C_(2)e^(2x)+2C_(2)*x*e^(2x))+
+4*(C_(1)e^(2x)+C_(2)*x*e^(2x))=0

Раскрыть скобки и убедиться, что слева 0

Ответ выбран лучшим

(х/3)= ± arccos(-sqrt(3)/2)+2Pik, k ∈ Z
(х/3)= ± (5Pi/6)+2Pik, k ∈ Z
x= ± (5Pi/2)+6Pik, k ∈ Z

О т в е т. ± (5Pi/2)+6Pik, k ∈ Z

AD=7,2-(-2,5)=9,7
AK=(1/2)DK ⇒ AK=AD
-2,5-9,7 = -12,2

К ___________ А(-2,5) ___________ D (7,2)

О т в е т. К (-12,2)

sin(7Pi/6) = sin(Pi + (Pi/6)) = - sin (Pi/6) = - 1/2

cos(5Pi/3)=cos( Pi + (2Pi/3))=-cos(2Pi/3)=-(-1/2)=1/2

О т в е т. (-1/2)*(1/2)=-1/4

1.
Пусть одна сторона х, вторая (37-х)
Пропорциональность сторон из подобия:
х:6=6:(37-х).

Применяем основное свойство пропорции:
х*(37-х)=6*6;
x^2-37x+36=0
D=(-37)^2-4*36=1369-144=1225
x=(37 ± 35)/2
x=1 или х=36

S_(1)=1*6=6
S_(2)=36*6=216

О т в е т. 6 кв м и 216 кв м
2.
Пусть одна сторона прямоугольника х, вторая у
Р=2*(х+у)
176=2*(х+у)
х+у=88
у=88-х

У отсеченного прямоугольника сторона 9.Вторая сторона (88-х)
Пропорциональность сторон из подобия:
9:(88-х)=(88-х):х
х^2-185x+7744=0
D=(-185)^2-*7744=34225-30976=3249=57^2
x=(185 ± 57)/2
x=64 или х=121 ( не удовл. смыслу задачи, 88-х < 0)
88-х=88-64=24
S_(1)=9*24=216 кв м
S_(2)=(64-9)*24=1320 кв м
S_(1):S_(2)=216:1320=9:55
О т в е т. 9:55 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагонали прямоугольника равны (АВ_(1)=А_(1)В) и в точке пересечения делятся пополам
АО=А(1)О=А_(1)С_(1)
Cм. рис.
Треугольник С_(1)А_(1)О- прямоугольный равнобедренный

∠ С_(1)ОА_(1)=45 градусов (прикреплено изображение)

Проведем
B1K||BC_(1)
Пусть ребро куба равно 1
Тогда АВ_(1)=ВС_(1)=В_(1)К=AC=sqrt(2)

AK^2=AC^2+CK^2=(sqrt(2))^2+2^2=2+4=6
AK=sqrt(6)

Из треугольника АВ_(1)К по теореме косинусов
cos ∠ AB_(1)K=
=(AB^2_(1)+B_(1)K^2-AK^2)/(2*AB_(1)*B_(1)K)=
=(2+2-6)/(2*sqrt(2)*sqrt(2))= - 1/2

∠ AB_(1)K=120 градусов
(прикреплено изображение)

Часовая и минутная стрелка находятся между 6-ю и 7-ю часами. Причем минутная стрелка обогнала часовую, значит их встреча только что состоялась.
Следующая встреча состоится не ранее чем через час.
При этом стрелки будут находиться между 7 -ю и 8 -ю часами ( это первая встреча)
Вторая - между 8-ю и 9-ю часами.
Третья - между 9-ю и 10-ю часами.
Четвертая - между 10-ю и 11-ю часами.
Пятая - между 11-ю и 12-ю часами.
Но в 12 часов стрелки совпадут, значит встреча между 11 и 12 и будет встреча в 12 часов.

12 часов - 6 часов 35 минут = 6 часов - 35 минут = 5 часов 60 минут - 35 минут= 5 часов 25 минут= 325 минут
О т в е т. Через 325 минут

Ответ выбран лучшим

AO:OF=2:1 - медиана в точке пересечения делится в отношении 2:1, считая от вершины.
АО=(2/3)AF=(2/3)*6=4
Проведем ОК ⊥ АВ
Треугольник АКО - равнобедренный прямоугольный, так как ∠ КАО=45 градусов

ОК=АО*sin ∠ KAO=4*sin45 градусов=4*sqrt(2)/2=2sqrt(2) (прикреплено изображение)

Пусть одна плохая перчатка находится в одной группе.
Подсчитаем вероятность того, что и вторая перчатка в этой же группе.
Применяем формулу классической вероятности.
р(А)=m/n
Испытание состоит в том, что из оставшихся 15-ти перчаток надо выбрать три.
n=C^(3)_(15)
А-обе бракованные перчатки находятся в одной группе
Событию А благоприятствуют исходы при которых обе перчатки в группе и потому остается подсчитать сколькими способами можно выбрать из оставшихся 14-ти перчаток две.
m=C^(2)_(14)

p=C^(2)_(14)/C^3_(15)=
=(14!/(12!*2!))*((12!*3!)/15!)=3/15=1/5=0,2

Ответ выбран лучшим

Угол между боковым ребром и плоскостью основания - угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания.
Проекция бокового ребра на плоскость основания - это радиус окружности, описанной около основания.

R=asqrt(3)/3, где а - сторона правильного треугольника.
По условию
H=x
a=3x

R=3x*sqrt(3)/3=xsqrt(3)
Из прямоугольного треугольника SAO
tg ∠ SAO=H/R=x/(x*sqrt(3))=1/sqrt(3)
∠ SAO= 30 градусов.
О т в е т. 30 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2–x–2=(x+1)(x–2)
x^2 +x–6=(x–2)(x+3)

(–x^2 +x+2)/(x^2+x–6)=–(( x+1)·(x–2))/((x–2)(x+3)) = – (x+1)/(x+3) при х ≠ 2

2^(3x+2)*8^(-x)=2^(3x)*2^2*8^(-x)=(2^3)^(x)*4*8^(-x)=
=4*8^(x)*8^(-x)=4*8^(x-x)=4*8^(0)=4*1=4

x+2^(3x+2)*8^(-x)=x+4
при х=6
x+4= 6+4=10

О т в е т. 10

Ответ выбран лучшим

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Биссектриса делит угол пополам, значит сумма двух углов треугольника, образованного биссектрисами и гипотенузой равна 45 градусов.
Угол между биссектрисами равен 180 градусов - 45 градусов = 135 градусов (прикреплено изображение)

ОДЗ:
x > 0
x ≠1

Замена переменной
log_(2)x=t

log_(2)(2x)=log_(2)2+log_(2)x =1+t

(log_(x)2-1)=(1/t)-1

Решаем неравенство
((1/t)-1)*(1+t) меньше или равно 3/2

(2t^2+3t-2)/(2t) больше или равно 0

D=9+16=25
корни -2 и 0,5

____ [-2] __+__ (0) ____ [1/2] __+__

-2 меньше или равно log_(2) x < 0 или
log_(2)x больше или равно 1/2

1/4 меньше или равно x < 1 или x больше или равно sqrt(2)
О т в е т. [1/4;1) U[sqrt(2);+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Пусть (х;у) - произвольная точка на кривой.

Уравнение касательной к кривой, проведенной в точке (х;у) имеет вид

Y-y=(dy/dx)(X-x)

По условию

Y=3x; X=0

3x-y=(dy/dx)*(0-x)

или

y`-(1/x)y=-3 (#)

Линейное уравнение первого порядка

Решаем однородное уравнение
y-(1/x)y=0
dy/dx=y/x - уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=dx/x
ln|y|=ln|x| +ln C⇒ y=C*x

Применяем метод вариации постоянной

y=C(x)*x
y`=C`(x)*x + C(x)

Подставляем в (#)

C`(x)*x + C(х)-(1/x)*(C(x)*x)=-3
или
C`(x)*x=-3
C`(x)=-3/x
С(х)=-3lnx+C

y=(-3lnx+C)*x
y=-3x*lnx+Cx

Чтобы найти С подставляем координаты точки

5=-3*1ln1+С

С=5

О т в е т.y=-3xlnx+5x (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin2x = 2 cos2x
Применяя метод в 3155

2sinxcosx= 2 (cos^2x–sin^2x)
sinxcosx= cos^2x – sin^2x
sin^2x + sinxcosx – cos^2x = 0 - однородное тригонометрическое уравнение, делим на cos^2x
tg^2x +tgx – 1 = 0
Квадратное уравнение относительно tgx
D=1+4=5
корни
(-1-sqrt(5))/2 или (-1+sqrt(5))/2

tgx=(-1-sqrt(5))/2
x=arctg((-1-sqrt(5))/2)+ Pik, k - целое
или
tgx=(-1+sqrt(5))/2
x=arctg((-1+sqrt(5))/2)+ Pin, n - целое

Указанному отрезку принадлежат корни
arctg((-1-sqrt(5))/2);
arctg((-1+sqrt(5))/2);
arctg((-1-sqrt(5))/2)+Pi;
arctg((-1+sqrt(5))/2)+Pi. (прикреплено изображение)

S= ∫ _( альфа )^( бета ) (r^2/2)d phi

S= ∫ _(-Pi)^(Pi)(3*(1+cos phi ))^2d phi =

=2 ∫ _(0)^(Pi)9*(1+2cos phi +cos^2 phi )d phi =

=18∫ _(0)^(Pi)(1+2cos phi +(1+cos2phi)/2 )d phi =

=18*((3/2) phi +2sin phi +(1/2)sin2 phi )|_(0)^(Pi)=

=18*(3/2)*Pi=27Pi

Ответ выбран лучшим

Применяем метод рационализации ( см. приложение):
{x^2-12|x|+37 > 0 при любом х, D=144-148 < 0
{1-(x^2/37) > 0; 1-(x^2/37) ≠ 1 ⇒ x^2-37 < 0 и x ≠ 0
{1+(x^2/37) > 0; 1+ (x^2/37) ≠ 1⇒ x ≠ 0
{(x^2-12|x|+37 -1 )*(x^2-12|x|+37 -1)/(1-(x^2/37)-1)*(1+(x^2/37)-1) больше или равно 0

Решаем последнее неравенство:
(x^2-12|x|+36)^2/(-x^4) больше или равно 0
(|x|-6)^4(x^4) меньше или равно 0

x=-6 или х=6 - корни удовлетворяют условию x^2-37 < 0

и х≠ 0

О т в е т. -6; 6 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
х-1 > 0
x > 1

log_(1/2)(x-1) < log_(1/2)(1/2)
1/2 < 1
Логарифмическая функция убывает, поэтому
х-1 > 1/2
x > 3/2

О т в е т. (3/2;+ бесконечность )

5,6*5,5-4,15=30,8-4,15=26,65

y`=(x*lnx)`=x`*lnx+x*(lnx)`=lnx+x*(1/x)=lnx+1

y`=0
lnx+1=0
lnx=-1
x=e^(-1)
x=1/e

[1/e^2] __-__ (1/e) ___+___[1]

x=1/e - точка минимума
y(1/e)=(1/e)*ln(1/e)=-1/e - наименьшее значение функции на указанном отрезке

На концах
y(1)=1*ln1=0
y(1/e^2) < 0

y=0 - наибольшее значение функции на указанном отрезке

Апофема боковой грани
h=sqrt(15^2-5^2)=sqrt(225-25)=sqrt(200)=10sqrt(2)
S(бок.)=6*S( Δ)=6*(1/2)*10*10sqrt(2)=300 sqrt(2)
О т в е т. 300 sqrt(2) (прикреплено изображение)

1)y`=6x^(2) - 12x;
y`=0;
6x^(2) - 12x=0;
6x*(x - 2)=0
x = 0; x = 2.
На промежутке (0;2) функция убывает.
производная отрицательна.
На (-бесконечность;0) и (2;+бесконечность) производная положительна, функция возрастает.

x=0- точка максимума
х=2 - точка минимума.

рис.1

2)
y`=4x^(3)-4x;
y`=0;
4x^(3)-4x=0;
4x(x^(2)-1)=0
x=-1;x=0;x=1.
На промежутках [-3;-1] и [0;1] производная отрицательная
функция убывает
На промежутках [-1;0] и [1;2] производная положительна, функция возрастает.

х=-1 и х=1 - точки минимума
у(-1)=у(1)=2
Наибольшее значение функция принимает в одном из концов отрезка

y(-3)=(-3)^(4)-2*(-3)^(2)+3=66 - наибольшее значение функции на [-3;2].
y(2)=2^(4)-2*2^(2)+3 < 66
y=2 - наименьшее значение функции на отрезке.
3)
y`=15x^4-15x^2
y`=0
15x^(2)*(x^2-1)=0

x=0; x=-1 или х=1

На (-1;1) производная отрицательная, функция убывает.

На (-бесконечность;-1) и (1;+бесконечность) производная положительна, функция возрастает

y``=60x^3-30x
y``=0
60x^3-30x=0
30x*(2x^2-1)=0

Точка х=0; x=±1/sqrt(2) - точки перегиба, вторая производная меняет знак.

рис.2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АС=3sqrt(2)*sqrt(2)=6 - диагональ квадрата со стороной 3sqrt(2)
OC=(1/2)AC=3
По теореме Пифагора
SO^2=SC^2-OC^2=15^2-3^2=216
H=SO=sqrt(216)=6sqrt(6)

V=(1/3)*S(осн.)*Н=(1/3)*(3sqrt(2))^2*6sqrt(6)=36sqrt(6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a=4sqrt(3)- cторона основания
Треугольник равносторонний.
r=asqrt(3)/6=2
H=sqrt(h^2-r^2)=sqrt(4^2-2^2)=sqrt(12)=2sqrt(3)
S(осн.)=a^2sqrt(3)/4=12sqrt(3)

V=(1/3)S*H=(1/3)*(12sqrt(3))*2sqrt(3)=24
О т в е т. 24 (прикреплено изображение)

Замена переменной
3^x=t
[b]t > 0 при любом х[/b]
(t-1)/(t-3) < 1+(1/(t-2));

Переносим влево и приводим к общему знаменателю
(t-2)*(t-3)

((t-1)*(t-2)-(t-3)*(t-2)-(t-3))/((t-3)*(t-2)) < 0

(t-1)/((t-2)*(t-3)) < 0

__-_ (1) __+__ (2) __-__ (3) __+__

[b]t > 0 при любом х[/b]

0 < t < 1 или 2 < t < 3

3^x < 1 или 2 < 3^x < 3
x < 0 или log_(3)2 < x < 1

О т в е т. (- бесконечность ;0) U (log_(3)2; 1)

sin2x = 2 cos 2x
2sinxcosx= 2 (cos^2x–sin^2x)
sinxcosx= cos^2x – sin^2x
sin^2x + sinxcosx – cos^2x = 0 - однородное тригонометрическое уравнение, делим на cos^2x
tg^2x +tgx – 1 = 0
Квадратное уравнение относительно tgx
D=1+4=5
корни
(-1-sqrt(5))/2 или (-1+sqrt(5))/2

tgx=(-1-sqrt(5))/2
x=arctg((-1-sqrt(5))/2)+ Pik, k - целое
или
tgx=(-1+sqrt(5))/2
x=arctg((-1+sqrt(5))/2)+ Pin, n - целое

Указанному отрезку принадлежат корни
arctg((-1-sqrt(5))/2);
arctg((-1+sqrt(5))/2);
arctg((-1-sqrt(5))/2)+Pi;
arctg((-1+sqrt(5))/2)+Pi; (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Уравнение
sint=a
имеет решения лишь при |a| меньше или равно 1

|-sqrt(2)|=sqrt(2)≈ 1,4 > 1

уравнение не имеет корней.

если бы уравнение имело вид
sin7x=-sqrt(2)/2,
то
7х=(-1)^(k) arcsin(-sqrt(2)/2)+Pik, k ∈ Z

что можно записать в виде серии двух ответов см. рис.
7x=(-Pi/4)+2Pin, n ∈ Z или 7x=(-3Pi/4)+2Pim, m ∈ Z
делим на 7
х=(-Pi/28)+(2Pi/7) n, n ∈ Z или x=(-3Pi/28)+(2Pi/7)m, m ∈ Z

О т в е т. х=(-Pi/28)+(2Pi/7) n, n ∈ Z или x=(-3Pi/28)+(2Pi/7)m, m ∈ Z
(прикреплено изображение)

y=x^2-x-6 - парабола, ветви вверх, вершина в точке с абсциссой х_(o)=1/2
y_(o)=(1/2)^2-(1/2)-6=-6 целых 1/4=-25/4

График y=|x^2-x-6| - получаем из графика y=x^2-x-6 отражением относительно оси Ох части графика, расположенной в нижней полуплоскости ( см. рис)

О т в е т. Наибольшее число точек - четыре
(прикреплено изображение)

ОДЗ:
x > 0
x ≠1

Замена
log_(2)x=t

log_(2)(2x)=log_(2)2+log_(2)x =1+t

(log_(x)2-1)=(1/t)-1

Решаем неравенство
((1/t)-1)*(1+t) меньше или равно 3/2

(2t^2+3t-2)/(2t) больше или равно 0

D=9+16=25
корни -2 и 0,5

____ [-2] __+__ (0) ____ [1/2] __+__

-2 меньше или равно log_(2) x < 0 или
log_(2)x больше или равно 1/2

1/4 меньше или равно x < 1 или x > sqrt(2)

2^(x+1)-2=2*(2^x-1)
log_(1/2)(2^(x+1)-2)=log_(2^(-1))(2*(2^x-1))=-log_(2)2-log_(2)(2^x-1)=-1 -log_(2)(2^x-1)

log_(2)(2^x-1)=t
t*(-1-t) > -2
t^2+t-2 < 0

D=1+8=9
t=-2 или t=1
-2 < t < 1
Обратная замена
-2 < log_(2)(2^x-1) < 1

log_(2)2^(-2) < log_(2)(2^x-1) < log_(2) 2

2^(-2) < 2^(x)-1 < 2
5/4 < 2^x < 3
log_(2) (5/4) < x < log_(2) 3

О т в е т. log_(2) (5/4) < x < log_(2) 3

Уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные
y*e^(2x)dx=(1+e^(2x))dy
Делим обе части на у*(1+e^(2x))
e^(2x)dx/(1+e^(2x))=dy/y
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ e^(2x)dx/(1+e^(2x))
Применяем подведение под дифференциал в интеграле справа
∫ dy/y= 1/2∫ d(1+e^(2x)/(1+e^(2x))
ln|y|=(1/2)ln(1+e^(2x))dx+lnC
y=C*sqrt(1+e^(2x)) - о т в е т.

S (квадрата)=a^2, a - сторона квадрата.
36=a^2
a=6 см

Р(квадрата)=4а=4*6=24 см

S ( прямоугольника)= S(квадрата)/3=36/3=12 кв см.

S ( прямоугольника)= x * y , где х и у - длина и ширина прямоугольника.

12= x * y

Р ( прямоугольника) = 2 * ( х + у)

12 = 1*12 ⇒ Р=2*(1+12)=26
12=1,5*8 ⇒ Р=2*(1,5+8)=19
12 = 2 * 6 ⇒ Р=2*(2+6)=16
12 = 3* 4 ⇒ Р=2*(3+4)= 14

Нет указания в задаче какие стороны у прямоугольника, поэтому и ответа однозначного нет.

1.
-6+(1/4)*40=-6+10=4
2.
78/13=6
0 < 6 < 10
О т в е т. 2)
3.
4) - верное равенство. Это и есть тождество.
4.
31-11=2*(х+10)
2*(х+10)=20
х+10=10
х=0

Перепишем в виде

y`=4*sqrt(2+(y/x)^2)+(y/x)

Замена
y/x=u
y=xu
y`=u+x*u` ( x`=1, так как х - независимая переменная)

u+x*u`=4*sqrt(2+u^2)+u

x*u`=4*sqrt(2+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

xdu=4*sqrt(2+u^2) * dx

du/sqrt(2+u^2)=4dx/x

Интегрируем

∫ du/sqrt(2+u^2)=4 ∫ dx/x

ln|u+sqrt(2+u^2)|+ ln с=4lnx

с*(u+sqrt(2+u^2))=x^4

Обратная замена

с*((y/x)+sqrt(2+(y/x)^2)=x^4

с*(y+sqrt(2x^2+y^2)=x^5 - общий интеграл или общее решение дифференциального уравнения.

О т в е т. с*(y+sqrt(2x^2+y^2))=x^5 можно записать и так

y+sqrt(2x^2+y^2)=Сx^5 ( С=1/с)

Ответ выбран лучшим

По условию:
[b]h=(1/4)*H
v(налитой жидкости ) = 5 мл [/b]

Треугольники A1O1K и AOK подобны с коэффициентом подобия 1/4
Из подобия
h:H=r:R=1:4

r=(1/4)*R

V(cосуда)=(1/3)*Pi*R^2*H
v(налитой жидкости)= )=(1/3)*Pi*r^2*h=
=(1/3)*Pi*((1/4)*R)^2*(1/4)H*=
=(1/4)^3* (1/3)PiR^2*H=(1/64)V(cосуда)

v(налитой жидкости):V(сосуда)=(1/4)^3
[b]объемы относятся как кубы коэффициента подобия[/b]

5 : V ( сосуда)= 1: 64
V( сосуда) =5*64=320 мл

Уже налито 5 мл, осталось долить
320-5=315 мл.
О т в е т. 315 мл. (прикреплено изображение)

AC=3sqrt(2) - диагональ квадрата АВСD со стороной 3.

Из прямоугольного треугольника АСС_(1)
tg∠ C_(1)AC=CC_(1)/AC=sqrt(6)/3sqrt(2)=sqrt(3)/3
∠ C_(1)AC=30 ^(o) (прикреплено изображение)

Высоты, проведенные из вершины верхнего основания трапеции на нижнее, разбивают ее на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник. Верхнее основание трапеции 4, это есть длина прямоугольника.
16-4=12
оставшаяся часть состоит из двух равных отрезков, один из них HD. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{3x-2 > 0
{2x-1 > 0
{2x-1 ≠ 1

(2/3;1)U(1;+ бесконечность )

Замена переменной
log_(2x-1)(3x-2)=t
log_(2x-1)(9x^2-12x+4)=log_(2x-1)(3x-2)^2=2log_(2x-1)|3x-2|=
(в условиях одз) =2t

log_(2x-1)(6x^2-7x+2)=log_(2x-1)(2x-1)(3x-2)=( в условиях одз)
=log_(2x-1)(2x-1)+log_(2x-1)(3x-2)=1+t

Неравенство принимает вид
(t^2-2t-7)/(-1-2t) меньше или равно 3

(t^2-2t-7+3+6t)/(-1-2t) меньше или равно 0

(t^2+4t-4)/(1+2t) больше или равно 0

t^2+4t-4=0
D=16+16=32

t=-2-sqrt(2) или t= -2+sqrt(2)

??

_-_ (-2-sqrt(2)) _+_ (-1/2) _-_ (-2+sqrt(2)) __+__

-2-sqrt(2) < log_(2x-1)(3x-2) < -1/2
или
log_(2x-1)(3x-2) больше или равно -2+sqrt(2)

2)
log_(2x-1)(3x-2) больше или равно -2+sqrt(2)

(2х-1-1)(3х-2 - (2х-1)^(-2+sqrt(2)) больше или равно 0

Корень, указанный Вами подходит.

При х=3/4
log_(1/2)(1/4)=2

(4-4-7)/(-1-2*2) =7/5 меньше или равно 3.

Но в решении его не видно
Не понимаю пока почему?

Ответ выбран лучшим

Из подобия треугольников
5:9=x:1,8

x=5*1,8/9=1

О т в е т. на 1 метр (прикреплено изображение)

Пусть блокнотов х, тетрадей 3х
Всего
х+3х=4х принадлежностей.

Испытание состоит в том, что из 4х принадлежностей выбирают одну.
Это можно сделать (4х) способами.
n - число исходов испытания
n=4x

Событие А - ''взят блокнот''
Для выбора одного блокнота из х штук существует х способов.
m=x
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=х/4х=1/4=0,25

О т в е т. 0,25

1) х-х^(2/3)=x^(2/3)*(x^(1/3)-1)

(x^(1/3)-1) в числителе первой дроби и в знаменателе сокращаются.

2) Выражение в скобках

(x^(2/3)-2∛x +1)=(∛x -1)^2

3) (∛x -1)^2 и (x^(1/3)-1) в знаменателе второй дроби сокращаются.

4) (∛х-1)*(x^(1/3)+1)=(∛x^2)-1

1.
Вычеркнуты( розовым цветом) первая и пятая строка, не удовлетворяют условию: стоимость билета не более 2500 рублей

17:10 - 9:30 = (24:00 -17:10)+9:30=6 часов 50 минут + 9 часов 30 минут=
15 часов 80 минут=16 часов 20 минут < 17 часов

Остальные не удовлетворяют условию ( меньше 17 часов)
О т в е т. 4 выделен желтым цветом.
2.
Подобие пирамиды и макета.
Из подобия следует пропорциональность сторон.
15:0,5=36:х
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних
15х=0,5*36
х=1,2 м
О т в е т. 1,2 м (прикреплено изображение)

у=(x^2–9x+9)*e^x

у'=(x^2–9x+9)'*e^x+(x^2–9x+9)*(e^x)'=
=(2x–9)*e^x+(x^2–9x+9)*e^(x)=
=e^(x)*(2x-9+x^2-9x+9)=
=e^(x)*(x^2-7x)

y`=0
e^(x) > 0

x^2-7x=0
x*(x-7)=0
х=0 или х=7

7 ∉ [-5;3]

[-5] ____+_ (0) __-__ [3]

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(0)=9 - наибольшее значение функции на отрезке [-5;3]

D(y)=(- бесконечность ;0) U(0;+ бесконечность )

y`=(1/2)*(1/x)`+(x/2)`=(1/2)*(-1/x^2)+(1/2)=(1/2)*(1-(1/x^2))=
=(1/2)*(x^2-1)/x^2

y`=0
x^2-1=0
x= ± 1
Знак производной:
_+__ (-1) __-_ (0) __-__ (1) __+__

Функция возрастает на (- бесконечность;-1) и на (1;+ бесконечность )
Функция убывает на (-1;0) и на (0;1)

х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(-1)=(-1/2)+(-1/2)=-1
y(1)=(1/2)+(1/2)=1

График. см. рис. (прикреплено изображение)

у=(x^2–9x+9)*e^x

у'=(x^2–9x+9)'*e^x+(x^2–9x+9)*(e^x)'=
=(2x–9)*e^x+(x^2–9x+9)*e^(x)=
=e^(x)*(2x-9+x^2-9x+9)=
=e^(x)*(x^2-7x)

y`=0
e^(x) > 0

x^2-7x=0
x*(x-7)=0
_+_ (0) __-__ (7) _+__

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=7 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(0)=9
y(7)=-5e^(7)

Ответ выбран лучшим

d^2=a^2+b^2+c^2
7^2=6^2+7^2+c^2
0=6^2+с^2
не существует такого параллелепипеда.

Диагональ не может равняться ребру.
Диагональ всегда больше ( как гипотенуза в прямоугольном треугольнике больше каждого катета)

S( полн)=2*(ab+bc+ac)

По определению логарифма
(х+7)=4^2
x+7=16
x=16-7
x=9

О т в е т. 9

Δ AD_(1)B_(1) -[i] равнобедренный[/i] ( D_(1)B_(1)=AB_(1) - диагонали равных прямоугольников)
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на эту плоскость
ADD_(1)A_(1) - квадрат со стороной 1.
Его диагонали
AD_(1)=A_(1)D=sqrt(2)
взаимно перпендикулярны
К- точка пересечения AD_(1) и A_(1)D

A_(1)K ⊥ AD_(1)
AD_(1) ⊥ BK ⇒ A_(1)K ⊥ BK

[b]А_(1)К=(1/2)А_(1)D=sqrt(2)/2[/b]

В_(1)K - проекция A_(1) B_(1) на пл АDB_(1)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на эту плоскость, т. е угол КB_(1)A_(1)

Из прямоугольного треугольника
A_(1)KB_(1)
sin ∠ КB_(1)A_(1)=А_(1)К/А_(1)В_(1)=sqrt(2)/2/2=sqrt(2)/4

∠ КB_(1)A_(1)=[b]arcsin(sqrt(2)/4)[/b]

cos^2 ∠ KB_(1)A_(1)=1-sin^2∠ КB_(1)A_(1)=1-(2/16)=14/16=7/8

О т в е т. arcsin([b]sqrt(2)/4)[/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
9^x=t
t > 0 при любом х
Так как
9^(x-1)/(9^(x-1)-1)=9*(9^(x-1))/(9*(9^(x-1)-1))=9^(x)/(9^(x)-9),

неравенство примет вид:
t/(t-9) больше или равно (5/(t-1))+(36/(t^2+10t+9))

t^2+10t+9=0
D=100-4*9=64
t=(-10-8)/2=-9 или t=(-10+8)/2=-1

t^2+10t+9=(t+9)(t+1)

t/(t-9) - (5/(t-1)) - (36/(t+1)(t+9)) больше или равно 0

((t^2-t-5t+45)(t^2+10t+9) - 36*(t^2-10t+9))/((t^2-1)(t^2-81)) больше или равно 0

...

По-моему в условии опечатка.
Знаменатель последней дроби
не 81^x+10*9^x+9
а 81^x-10*9^x+9

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-1 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно 1
{7-x > 0 ⇒ x < 7
{log_(2)(7-x) ≠ 0 ⇒ 7-x ≠ 2^(0) ⇒ x ≠ 6

[1; 6) U( 6; 7)

В числителе замена переменной
2^(sqrt(x-1))=t
t^2-5t+4=0
D=25-16=9
t=1 или t=4
Обратная замена
2^(sqrt(x-1))=1 ⇒ sqrt(x-1)=0 ⇒ x=1
2^(sqrt(x-1))=4 ⇒ sqrt(x-1)=2 ⇒ x-1=2^2 ⇒ x=5

[1] _-___ [5] __+___ (6) _+___ (7)

О т в е т. {1} U [5;6) U(6;7)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4-x^2 > 0 ⇒ -2 < x < 2
{x^4-8x^2+16 > 0 ⇒ x^2 ≠ 4 ⇒ x ≠ -2 и х ≠ 2
{log_(2)(x^4-8x^2+16)-log^2_(2)(4-x^2) ≠ 0 ( см. первое неравенство -2 < x < 2) ⇒

2log_(2)(4-x^2)- (log_(2)(4-x^2))^2 ≠ 0

log_(2)(4-x^2)*(2-log_(2)(4-x^2)) ≠ 0

log_(2)(4-x^2) ≠0 и log_(2) (4-x^2) ≠ 2
4-x^2 ≠ 1 и 4-x^2 ≠ 2^2

x ≠ ± sqrt(3) и х ≠ 0

ОДЗ: (-2; -sqrt(3)) U (-sqrt(3);0) U(0;sqrt(3))U(sqrt(3);2)

(1- 2log_(2)(4-x^2)+log_(2)(4-x^2))/(log_(2)(4-x^2)*(2-log_(2)(4-x^2)) меньше или равно 0

(log_(2)(4-x^2)-1)^2/((log_(2)(4-x^2)*(2-log_(2)(4-x^2)) меньше или равно 0

Применяем обобщенный метод интервалов.
Нули знаменателя уже найдены ( см. ОДЗ)
Нули числителя:

log_(2)(4-x^2)=1

4-x^2=2
x^2= ± sqrt(2)

Расставляем знаки на ОДЗ:

(-2) _-_ (- sqrt(3)) _+_ [- sqrt(2)] _+_(0) _+_ [sqrt(2)] _+_ sqrt(3) _-_ (2)

О т в е т. (-2; - sqrt(3)) U { - sqrt(2)} U{ sqrt(2)} U (sqrt(3);2)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(x-2)^2 > 0 ⇒ x ≠ 2
{(x-2)^2 ≠ 1 ⇒ x - 2 ≠ -1 и х - 2 ≠ 1 ⇒ х ≠ 1 и х ≠ 3
{9^x-3 > 0 ⇒ 9^x > 3 ⇒ 3^(2x) > 3 ⇒ 2x > 1 ⇒ x > 0,5

ОДЗ: x ∈ (0,5; 1) U (1;2) U (2;3) U (3;+ бесконечность )

Так как 0=log_((x-2)^2)1,

log_((x-2)^2)(9^x-3) меньше или равно log_((x-2)^2)1

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств

((x-2)^2-1)*(9^x-3-1) меньше или равно 0

(x-1)(x-3)*(9^x-4) меньше или равно 0

Применяем обобщенный метод интервалов

Находим нули функции y=(x-1)(x-3)(9^x-4)

x=1
x=3
9^x-4=0 ⇒ 9^x=4 ⇒ x=log_(9)4=log_(3^2)2^2=(2/2)log_(3)2 =log_(3)2 < 1=log_(3)3
Расставляем знаки на ОДЗ

(0,5) _-__ [ log_(3)2] _+_ (1) __-__ (2) __-__ (3) __+__

О т в е т. (0,5; log_(3)2] U (1;2) U(2;3)

Ответ выбран лучшим

4%=4/100=0,04

6%=6/100=0,06

0,04*11=0,44 < 0,06*13=0,78

О т в е т. 6% от 13 больше, чем 4% от 11

ОДЗ:
{x > 0
{6-x > 0 ⇒ x < 6

x ∈ (0;6)

Так как
log_(2)(x^4-12x^3=36x^2)=log_(2)x^2*(x^2-12x+36)=

=log_(2) (x^2)+log_(2)(6-x)^2=

=2log_(2)|x|+2log_(2)|6-x|

при x ∈ (0;6)

=2log_(2)x +2log_(2)(6-x)

Неравенство принимает вид

log_(2)x*log_(2)(6-x) -2log_(2)x-2log_(2)(6-x) +4 меньше или равно 0

Разложим левую часть на множители

log_(2)x*(log_(2)(6-x) -2) -2*(log_(2)(6-x)-2) меньше или равно 0

(log_(2) (6-x) -2)*(log_(2)x - 2) меньше или равно 0

(log_(2)(6-x)/4)* (log_(2) x/4) меньше или равно 0
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств получаем неравенство

(((6-х)/4) - 1)* ((x/4)-1) меньше или равно 0

при 0 < x < 6 ( см. ОДЗ)

(6-х-4)*(х-4)/16 меньше или равно 0

(х-2)*(х-4) больше или равно 0

(0) _+__ [2] __-__ [4] __+__ (6)

О т в е т. (0;2] U [4; 6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^x=t

(t-2)^3/(4t-12) больше или равно (t^3-4t^2+4t)/(9-t^2)

(t-2)^3/(4*(t-3)) + ( t(t^2-4t+4))/((t-3)(t+3)) больше или равно 0

(t-2)^2*((t-2)*(t+3)+4t)/(4t(t-3)(t+3)) больше или равно 0

(t-2)^2*(t^2+5t-6)/(4t(t-3)(t+3)) больше или равно 0

(t-2)^2*(t-1)(t+6)/(4t(t-3)(t+3)) больше или равно 0

C учетом 2^x=t > 0 при любом х

(0) __+__ [1]___-__ [2] _-__ (3) _+__

0 < t меньше или равно 1 или t=2 или t > 3

Обратная замена
0 < 2^(x) меньше или равно 2^(0) или 2^(x)=2 или 2^(x) > 3

x меньше или равно 0 или х=1 или x > log_(2) 3

О т в е т. (- бесконечность;0] U {1} U (log_(2)3; + бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^x=t

(t^3-6t^2+8t+1)/(t^2- 6t+8) больше или равно t -1;

(t^3-6t^2+8t+1)/(t^2- 6t+8) - (t-1) больше или равно 0;

(t^3-6t^2+8t+1-t^3+6t^2-8t+t^2-6t+8)/(t^2- 6t+8) больше или равно 0

(t^2-6t+9)/(t^2- 6t+8) больше или равно 0

(t-3)^2/(t-2)(t-4) больше или равно 0

__+_ (2) __-___[3] ____-__ (4) _+___

t < 2 или t=3 или t > 4

Обратная замена

2^x < 2 или 2^x=3 или 2^x > 4

Показательная функция с основанием 2 монотонно возрастает, поэтому
x < 1 или x=log_(2)3 или x > 2

О т в е т. (- бесконечность ;1) U{log_(2)3} U (2; + бесконечность )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{log_(2)x больше или равно 0 ⇒ x больше или равно 1
{log_(2)x-5sqrt(log_(2)x)+6 ≠ 0 ⇒ sqrt(log_(2)x) ≠ 2 и sqrt(log_(2)x) ≠ 3 ⇒ х ≠ 2^4 и х ≠ 2^(9)

Замена переменной
sqrt(log_(2)x)=t
t больше или равно 0

Неравенство принимает вид

t^2+5t+15 меньше или равно 46(2-t)/((t-2)(t-3));

t^2+5t+15 + (46/(t-3)) меньше или равно 0
(t^3+2t^2+1)/(t-3) меньше или равно 0
При t > 0
t^3+2t^2+1 > 0

t < 3

Обратная замена
sqrt(log_(2)x) < 3
log_(2)x < 9
x < 512

С учетом ОДЗ получаем ответ
[1;16)U(16;512)

Ответ выбран лучшим

D(y)=(-бесконечность;+бесконечность)
y`=3x^2+6x+9

3x^2+6x+9=0
D=6^2-4*3*9 < 0
y` > 0 при любом х
Значит функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Проводим высоты в гранях A1ADD1 и A1AВВ1.
Треугольники A1AM и равны А1АЕ равны по гипотенузе
AA1 и острому углу в 60 градусов.
Значит A1M=AE

Равные наклонные имеют равные проекции
ОЕ=ОМ
Прямоугольные треугольники АОМ и АОЕ равны по гипотенузе и катету
АО - общая
ОЕ=ОМ

Значит АО - биссектриса угла А основания параллелепипеда АВСD. (прикреплено изображение)

Сдвиг влево на 1 единицу и || перенос вниз на 3 единицы.

Вершина из точки (0;0) окажется в точке (-1; -3)
(прикреплено изображение)

n=10 компьютеров.
Испытание состоит в том, что из десяти компьютеров выбирают один.
Событие А - ''выбран белый компьютер''
Событию А благоприятствуют m=4 исходов испытания (выборов белого компьютера)
По формуле классической вероятности
p(A)=m/n=4/10=0,4
О т в е т. 0,4

1.
Умножим на (-1) и меняем знаки в знаменателе и знак неравенства на противоположный

(3x^2-12)/(11x-1) < 0

Применяем метод интервалов

Находим нули числителя: 3x^2 - 12 = 0 ⇒ x^2 - 4 = 0 ⇒
x = -2 или х = 2
Находим нули знаменателя
11х - 1 = 0 ⇒ х = 1/11

Расставляем знаки
функции y=(3x^2-12)/(11x-1)

_-__ (-2) __+__ (1/11) __-__ (2) __+__

О т в е т. (- бесконечность ;-2) U(1/11; 2)

t=1 корень числителя,
1-2+2-2+1=0 - верно, значит
числитель раскладываем на множители
t^4-2t^3+2t^2-2t+1=(t-1)*(t^3-t^2+t-1)=(*t-1)^2*(t^2+1)

Знаменатель перепишем в виде:
((2^x-2)^3-1) + (2^x-3)^3
Применяем формулу a^3-b^3
a=(t-2)
b=1

(2^x-2-1)*((2^x-2)^2+(2^x-2)+1)+ (2^x-3)*(2^x-3)^2=
=(2^x-3)*(2*(2^x)^2-9^(2^x-3)+13)=
=
(t-3)*(2t^2-9t+13)

=(t-3)*(2t^2-9t+13)

2t^2-9t+13 > 0 при любом t, D < 0

t=3 - нуль знаменателя.

_-__ [-1] __-__ (3) __+__ ___

t=-1 или t > 3

2^x=1
x=0

2^x > 3

2^(x) > 2 ^(log_(2)3)

x > log_(2) 3
О т в е т. {0} U (log_(2) 3;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

(1/3)–x^5=5x+(1/3)cos3x
Запишем в виде
x^5+5x=(1/3)*(1-cos3x)
или
x^5+5x=(1/3)*2sin^26x

Рассмотрим две функции
f(x)=x^5+5x
и
g(x)=(2/3)*sin^26x

f`(x)=5x^4+5 > 0

Значит функция y=f(x) возрастает на (-
бесконечность ;+ бесконечность )

y=g(x) > 0 при любом х

х=0 - единственный корень.
См. график

(прикреплено изображение)

(x-7)(x+7) < 0

___ (-7) __-___ (7) ____

О т в е т. (-7;7)

2 способ графический.
Строим параболу у=x^2-49

(прикреплено изображение)

Формула
a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2)

2^3-27y^3=(2)^3-(3y)^3=(2-3y)*(2^2+2*3y+(3y)^2)=
=(2-3y)*(4+6y+9y^2)

От в е т. (2-3y)*(4+6y+9y^2)

Двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:
{120 < n*(n-1)
{n*(n-1) < 140

{ n^2-n-120 > 0⇒ D=1+4*120=481 корни (1± sqrt(481))/2;
{n^2-n-140 < 0 ⇒ D=1+4*140=561; корни (1± sqrt(561))/2

___ (1-sqrt(561))/2 \\\\\\\\\\(1-sqrt(481))/2 ____ (1+sqrt(481))/2 /////////(1+sqrt(561)/2

(1+sqrt(481))/2 > 11
(1+sqrt(561))/2 < 13

Если n ∈ N, то в ((1+sqrt(481))/2; (1+sqrt(561))/2) входит
одно натуральное число n=12

О т в е т. 12

Третья сторона либо 12, либо 17.
Проверим, применяя неравенство треугольника, согласно которому, любая сторона треугольника меньше суммы двух других.
17 < 12+12 - верно
12 < 12+ 17 - верно

12 < 17+17 - верно
17 < 12+17 - верно

Если бы были названы стороны 8 и 17, то ответ один: 17;17 и 8, так как треугольника со сторонами 8; 8 и 17 не существует
17 < 8+8 - неверно
А здесь и 17 - верный ответ и 12 - верный.

О т в е т. 17 см или 12 см. (прикреплено изображение)

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k( касательной) = tg альфа ,
альфа - угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ох.

f(x)=x^3*(x^2+6)
Раскрываем скобки
f(x)=x^5+6x^3
f`(x)=5x^4+18x^2
f`(x_(o))=f`( - 2) =5*(-2)^4+6*( -2) ^2=80+24=104

О т в е т. tg альфа =104

_3,3
. 1,9
====
. 1,4

(1-x)*(x-2)=-x^2+3x-2

S=∫ ^(2)_(1)(-x^2+3x-2)dx=( (-x^3/3)+(3x^2/2)-(2x)) | ^(2)_(1)=

=(-8/3) + 6 - 4 +(1/3) -(3/2)+2=

=1/6 (прикреплено изображение)

=1,4

V= ∫ ∫_(обл. D) (1+y) dxdy

Область D - ограничена двумя кругами
внешний
x^2+y^2=4y ⇒ x^2+(y^2-4y+4)=4 ⇒ x^2+(y-2)^2=4
внутренний
x^2+y^2=2y ⇒ x^2+(y^2-2y+1)=1 ⇒ x^2+(y-1)^2=1
Переходим к полярным координатам
x=rcos phi
y=rsinx phi

x^2+y^2=2y в полярных координатах имеет вид
r^2=2rsin phi
r=2sin phi

x^2+y^2=4y
r=4sin phi
0 меньше или равно phi меньше или равно Pi
2sin phi меньше или равно r меньше или равно 4sin phi

= ∫^(Pi) _(0)d phi ∫^(4sin phi ) _(2sin phi )(1+rsin phi )dr=

=∫^(Pi) _(0)(r+(r^2/2)*sin phi)|^(4sin phi ) _(2sin phi )dphi=

=∫^(Pi) _(0)((4sin phi-2sin phi)+(sin phi/2)*(16sin^2phi-4sin^2phi))dphi=

=∫^(Pi) _(0)(2sin phi+(sin phi/2)*(12-12cos^2phi))dphi=

=(-2cos phi-6sin phi +6 (cos^3phi)/3)|^(Pi) _(0)=

=8+8+6((-1/3)-(1/3))=12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Верно 4)
2.
Верно 3)

1)
|0,5x–4|+(8–x)^4=0
{0,5[-4=0
{8-x=0

x=8

2) 8/(2+|x|)= 4=x^2 - два знака равенства ?

ОДЗ: x > 0

1+2log_(5)3=log_(5)5 + log_(5)3^2=log_(5)5*9=log_(5)45

log_(3)(3/x)=log_(3)3- log_(3)x=1-log_(3)x

Уравнение принимает вид
(1-log_(3)x)*log_(5)x+ log_(5)45 * log_(3)x
больше или равно log_(5)45

(1-log_(3)x)*log_(5)x+ log_(5)45 * log_(3)x
- log_(5)45 больше или равно 0

(log_(3)x-1)*(log_(5)x-log_(5)45) больше или равно 0

log_(3)(3/x)*log_(5)(x/45) больше или равно 0

Применяем метод рационализации
((3/х)-1)*((x/45)-1) /(3-1)*(5-1) больше или равно 0

((3-x)(x-45)*x/x) больше или равно 0
(x-3)(45-x) меньше или равно 0

(0) __+__ [3] __-__ [45] __+___

О т в е т. [3;45]

Ответ выбран лучшим

x=sqrt(1-y^2) - правая полуoкружность x^2+y^2=2
В полярных координатах
x=r·cos θ
y=r· sin θ
ее уравнение имеет вид
r=sqrt(2)

x=1-5y в полярных координатах имеет вид
r*cos θ=1-5r*sinθ
или
r*cos θ+5r*sinθ=1

r=1/(cosθ+5sinθ)

Пределы интегрирования в полярных координатах:
1/(cosθ+5sinθ) меньше или равно r меньше или равно sqrt(2)

Eсли y=0, то r· sin θ =0 ⇒ θ = 0
Eсли y=1, то r· sin θ =1 ⇒ θ = (Pi/4)см рис.

= ∫^(Pi/4) _(0)dθ ∫^(sqrt(2)) _(1/(cosθ+5sinθ)) ((r*cos θ+5r*sinθ)/r^2)* ( r dr) =

= ∫^(Pi/4) _(0)(cosθ+5sinθ)dθ ∫^(sqrt(2)) _(1/(cosθ+5sinθ)) dr=

= ∫^(Pi/4) _(0)(cosθ+5sinθ)(r)|^(sqrt(2)) _(1/(cos(θ)+5sin(θ))) dθ=

= ∫^(Pi/4) _(0)(cosθ+5sinθ)(sqrt(2)-(1/(cosθ+5sinθ))) dθ=

=∫^(Pi/4) _(0)(sqrt(2)*(cosθ+5sinθ) -1)dθ=

=(sqrt(2)sinθ-5sqrt(2)cosθ - θ)|^(Pi/4) _(0)=

=1-5-(Pi/4)+5sqrt(2)=5sqrt(2)-4-(Pi/4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(трапеции)=(1/2)*(a+b)*h=(1/2)(4+9)*5=65/2 (прикреплено изображение)

2x^2+5x-18 больше или равно 0
D=25-4*2*(-18)=169
x=-9/4 или х=2
При x ∈ (- бесконечность ;-9/4]U[2;+ бесконечность )
числитель больше или равен 0, значит и знаменатель рположителен

log_(0,5)|x+5| > 0 ⇒ log_(0,5)|x+5| > log_(0,5) 1

Логарифмическая функция с основанием 0,5 < 1 убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

0 < |x+5| < 1

x ≠ - 5
-1 < x+5 < 1 ⇒ - 6 < x < -4
С учетом
x ∈ (- бесконечность ;-9/4]U[2;+ бесконечность )
О т в е т. (-6;-5)U(-5;-4) U{-9/4} U{2}

(2-с)-с*(с+4)=2-с-с^2-4с=-c^2-5c+2

1) 243=3^5

(1/3)+sqrt((1/9)^3)=(1/3)+(1/27)=10/27

2)
S=2*(ab+bc+ac)=2*(6*4+6*2+6*4)=88 кв. м
На 1 кв м потребуется 0,5 кг краски
На 88 кв м потребуется 44 кг краски
44:6=7,5 банок.
0,5 банки не продадут.

О т в е т. 8 банок

a_(2)=a_(1) - 10= –15 -10 = - 25
a_(3)=a_(2) - 10= - 25 - 10 = - 35
...
d=-10
...
a_(n)=a1+(n-1)d- формула общего члена арифметической прогрессии
a_(8) = a_(1) + 7d = - 15 + 7*(-10)= - 15 - 70 = - 85

S_(8)=((a_(1)+a_(8))*8)/2=((-15-85)*8)/2 = - 400

О т в е т. S_(8) = -400

Формула для вычисления внутреннего угла правильного n-угольника:
альфа = 180*(n-2)/n:

n*150^(o) = n*180^(o) - 360^(o)

(180^(o)-150^(o))*n = 360^(o)

n = 360^(o)/30^(o) = 12

О т в е т. 12 сторон.

1)
(m–n)(m+n)(m^2+n^2)=(m^2-n^2)*(m^2+n^2)=m^4-n^4

2)
((2c+d)^2–(c+2d)^2)·3cd=
=((2c+d)-(c+2d))*((2c+d)+(c+2d))*3cd=
=(2c+d-c-2d)*(2c+d+c+2d)*3cd=
=(c-d)*(3c+3d)*3cd=9cd*(c^2-d^2)

(1/3)=3^(-1)

(1/3)^(x-8)=(3^(-1))^(x-8)=3^(-x+8)

(1/9)=3^(-2)

3^(-x+8) = 3^ (-2)

-x+8 = - 2

-x=-2-8

-x=-10

x=10

О т в е т. 10

(sqrt(6)+sqrt(14))^2 ( по формуле (a+b)^2=a^2+2ab+b^2)=
=(sqrt(6))^2+2*sqrt(6)*sqrt(14)+(sqrt(14))^2=
=6+2sqrt(84)+14=20+2sqrt(84)=2*(10+sqrt(84))

О т в е т. 2

ОДЗ:
7х-1 > 0 ⇒ x > 1/7

Так как 0=log_(1/3)1
неравенство можно записать так:

log_(1/3)(7x-1) > log_(1/3)1

Логарифмическая функция с основанием 0 < (1/3) < 1 убывающая. Большему значению функции соответствует
меньшее значение аргумента.

7x-1 < 1
7x < 2
x < 2/7

С учетом ОДЗ получаем ответ
1/7 < x < 2/7

О т в е т. (1/7; 2/7)

Ответ выбран лучшим

Пусть х сумма, взятая в кредит в банке.
1–го числа следующего месяца (февраль) долг составит:
1,02х.
Со 2–го по 14–е число должна быть произведена выплата в размере:
(х/18)+0,02х.

после чего сумма долга составит
1,02х–(х/18)–0,02х=(17/18)х.
(При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца).
1–го марта долг составит:
1,02·(17/18)х.
Со 2–го по 14–е число должна быть произведена выплата в размере:
(х/18)+0,02·(17/18)х.
после чего сумма долга составит:
1,02·(17/18)х–(х/18)–0,02·(17/18)х=(16/18)x.
...
За 9 месяцев будет выплачено:
((х/18)+0,02·х)+((х/18)+0,02·)17/18)·х)+...+((х/18)+0,02·(10/18)·х)=
=9*(х/18)+(0,02·х)/18·(10+11+12+13+14+15+16+17.+18)=
=(х/2)+0,02*7х=0,64х

0,64x=1024 000

x=1 600 000

По свойству логарифма степени и формуле перехода к другому основанию:
log_(8)2^(4x)=4x*log_(8)2=4x*(log_(2)2/log_(2)8)=4x/3;

По формуле перехода к другому основанию
(log_(sqrt(2))2=log_(2^(1/2))2=log_(2)2/log_(2)2^(1/2)=1/(1/2)=2
2^(log_(sqrt(2))2)=2^(2)=4

Уравнение принимает вид

2*(4x/3) = 4
8x=12
x=3/2
О т в е т. 3/2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{lgx≠ 0 ⇒ x ≠1

lgx^2=2lg|x| ( при x > 0)=2lgx

(1/lgx)+(4*2lgx)+9 =0

{8(lgx)^2+9lgx+1= 0
{lgx ≠ 0

D=9^2-4*8=81-32=49
lgx=-1 или lgx= -1/8
x=1/10 или х=10^(-1/8)=(1/10)^(1/8)

О т в е т. 1/10; (1/10)^(1/8)

Ответ выбран лучшим

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
AO=OC=9
AO и DP - медианы треугольника АВD.

K- точка пересечения медиан AO и DP

AK: KO=2:1
AK=(2/3)AO=(2/3)*9=6
KC=AC-AK=18-6=12

О т в е т. 12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Луч света под углом arctg(-2)

Значит угловой коэффициент прямой
k= - 2

Уравнение прямой
у= -2х + b

Подставим координаты точки А и найдем b
6 = -2*(-5) + b
b=- 4
[b] y = - 2x - 4 [/b]

Прямая y = - 2x - 4 пересекает ось Ох в точке (-2;0)

[b] Угол падения равен углу отражения[/b]
Отраженный луч - прямая имеет угловой коэффициент
k=2

y=2x+d
Подставляем координаты точки (2;0)
0=2*(-2)+d
d=4
[b] y=2x-4[/b]

Прямая у=2х-4 пересекает ось Оу в точке (0;4)

Отраженный луч параллелен первому лучу
Поэтому угловой коэффициент k=-2

у=-2х + p

4=-2*0+p
p=4

[b] y=-2x + 4 [/b]

О т в е т. y = - 2x - 4; у = 2х - 4; у = - 2х + 4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=2x+4
f`(x)=0
2x+4=0
x=-2

_-__ (-2) _+__

на (- бесконечность ; -2) производная отрицательна, функция убывает
на (- 2;+ бесконечность) производная положительна, функция возрастает.

х= - 2 - точка минимума

f(2)=(- 2)^2+4*(- 2)-12= - 16
(прикреплено изображение)

1)
ОДЗ: х > 0

Замена переменной
log_(2)x=t
t^2-3t-4=0
D=9+16=25
t=-1 или t=4

Обратная замена
log_(2)x=-1 или log_(2)x=4
х=2^(-1) или х=2^4
x=1/2 или х=16
оба корня удовл. ОДЗ
О т в е т. (1/2); 16

2)
ОДЗ
{x > 0
{x ≠1

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 10

lgx^(lgx)=lg(100*x)
По свойству логарифма степени ( lg x^(k)=klgx, x > 0)
lgx*lgx=lg100+lgx
lg^2x=2+lgx
lg^2x-lgx-2=0
D=1-4*(-2)=9
lgx=-1 или lgx=2
x=10^(-1) или х=10^2
x=1/10 или х=100
Оба корня входят в ОДЗ
О т в е т. 1/10; 100

3)
x=1 - корень уравнения, так как lg1=1-1; 0=0 - верно

Функция у=lgx строго возрастающая, функция у =1-х строго убывающая.
Графики строго возрастающей и строго убывающей функции пересекаются в одной точке.
х=1 - единственный корень уравнения.

4)
ОДЗ:
x > 0
y > 0

Во втором уравнении сумму логарифмов заменим логарифмом произведения

{y=16-x;
{log_(3)xy=log_(3)9*7

{y=16-x
{xy=63

x*(16-x)=63
x^2-16x+63=0
D=256-4*63=4
x=7 или х=9
у=9 или y=7

О т в е т. (7;9); (9; 7)

Ответ выбран лучшим

Pin это ... -3Pi; -2Pi; -Pi; 0; Pi; 2Pi;3Pi;4Pi ...

2Pin это ... ; -2Pi; 0; 2Pi; 4Pi ...

{3-x > 0 ⇒ x < 3
{x≠0
{x+1 > 0 ⇒ x > -1

О т в е т. (-1;0) U(0;3)

Пусть прямая проходит через точки (0;b) и (a;0)
Составим уравнение прямой:
(x-0)/(а-0)=(y-b)/(0-b)
-bx=ay-ab
ay+bx-ab=0
Подставим координаты точки М (4;3) в уравнение
а*3+b*4-ab=0

По условию прямая отсекает от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3.
Треугольник прямоугольный.
Его катеты |а| и |b|

S = (1/2)|a|*|b| ⇒ 3 = (1/2)|ab| ⇒ |ab| = 6

⇒ ab = 6 или ab= - 6

Две системы уравнений
1)
{ab=6
{3a+4b-ab=0

3a+4b-6=0 ⇒ b = (6-3a)/4 и подставим в первое уравнение

a*(6-3a)/4 = 6
3а^2 - 6a +24=0
a^2-2a+8=0
D=4-32 < 0 уравнение не имеет корней, система не имеет решений.

2)
{ab= - 6
{3a+4b-ab=0

3a+4b+6=0 ⇒ b = (-6-3a)/4 и подставим в первое уравнение

a*(-6-3a)/4 = - 6
3а^2 + 6a - 24=0
a^2+2a - 8=0
D=4+32 = 36
a_(1)=(-2-6)/2=-4 или a_(2)=(-2+6)/2=2
тогда
b_(1)=-6/(-4)=3/2 или b_(2)=(-6)/2=-3

для точек (-4;0) и (0;3/2) уравнение прямой
-4y+(3/2)x+6=0
3х-8у+12=0

для точек (2;0) и (0;-3)
2y-3x+6=0
3х-2у-6=0
О т в е т.
3х - 8у +12 =0
Точки пересечения с осями координат
(-4;0) и (0;3/2)
или
3х-2у-6=0
Точки пересечения с осями координат
(2;0) и (0; -3)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4+x > 0 ⇒ x > -4
{x-2 > 0 ⇒ x > 2

ОДЗ: х > 2

По свойству логарифмов
log_(4)(4+x)=log_(2^2)(4+x)=(1/2)log_(2)(4+x)

Уравнение принимает вид:

2*(1/2)log_(2)(4+x)=4-log_(2)(x-2)

log_(2)(4+x)+log_(2)(x-2)=4

log_(2)(4+x)(x-2)=4

По определению логарифма
(4+х)*(х-2)=2^(4)
4x+x^2-8-2x=16
x^2+2x-24=0
D=4+4*24=100
x =( -2-10)/2= -6 ( не удовл. ОДЗ) или х=(-2+10)/2=4

О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-1 > 0 ⇒ x > 1
{x+1 > 0 ⇒ x > -1

ОДЗ: х > 1

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_(3)(x-1)*(x+1)=1

По определению логарифма
(х-1)*(х+1)=3^(1)
x^2-1=3
x^2-4=0
(x-2)(x+2)=0

x-2=0 или х+2=0
х=2 или x=-2 ( не входит в ОДЗ)

О т в е т. х=2

Ответ выбран лучшим

∫ ∫ _(D)(3x^2-y^2)dxdy=

= ∫^(1) _(0)dx ∫^(x) _(0)(3x^2-y^2)dy+∫^(2) _(1)dx ∫^(2-x) _(0)(3x^2-y^2)dy=

= ∫^(1) _(0)(3x^2y-(y^3/3))|^(x) _(0)dx+∫^(2) _(1)(3x^2y-(y^3/3))|^(2-x) _(0)=

= ∫^(1) _(0)(3x^2*x-(x^3/3))dx+∫^(2) _(1)(3x^2*(2-x)-((2-x)^3/3))dx=

=(8/3)*(x^4/4)|^(1)_(0)+(1/3) ∫^(2)_(1)(-8x^3+12x^2+12x-8)dx=

=(8/12)+(1/3)*(-2x^4+4x^3+6x^2-8x)|^(2)_(1)=

=(2/3)+(1/3)*(-2*2^4+4*2^3+6*2^2-8*+2*1^4-4*1^3 -6*1^2+8*1)=

=(2/3)+(1/3)*0=(2/3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=t·cos(t) ⇒ cos t= x/t
y=t·sin(t) ⇒ sint = y/t

Возводим в квадрат

сos^2t=(x/t)^2
sin^2t=(y/t)^2

Складываем
(x/t)^2+(y/t)^2=1

x^2+y^2=t^2
0 меньше или равно t меньше или равно 2 - область представляет собой внутренность круга с центром в точке (0;0) и радиусом 2

x=t·cos(t); y=t·sin(t)
0 меньше или равно t меньше или равно 2;

L: x=t·cos(t); y=t·sin(t); z=t; 0 < = t < = 2;

dl=sqrt((x`(t))^2 + (y`(t))^2)dt=
=sqrt((cost-tsint)^2+(sint+tcost)^2)dt=sqrt(1+t^2)dt

∫ zdl= ∫^(2)_(0) tsqrt(1+t^2)dt=

=(1/2) ∫^(2)_(0) sqrt(1+t^2)d(1+t^2)=

=(1/2)*((1+t^2)^(3/2)/(3/2))^(2)_(0)=

=(1/2)*(2/3)*((1+2^2)^(3/2)-1)=(1/3)*(sqrt(125)-1)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x^2+5x+7 > 0
x^2+5x+7=0
D=25-4*7 < 0
x^2+5x+7 > 0 при любом х

ОДЗ : x ∈ ( - бесконечность; + бесконечность)

Так как
0=lg1
неравенство можно записать:
lg(x^2+5x+7) < lg1

логарифмическая функция с основанием 10 возрастающая, поэтому

x^2+5x+7 < 1

x^2+5x+6 < 0

D = 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1
x=(-5-1)/2 =-3 или х=(-5+1)/2=-2

____ (-3) __-__ (-2) ____

( - 3; -2)

О т в е т. (-3;-2)

Ответ выбран лучшим

См. рисунок
М(1;0)

Строим точку, симметричеую точке М_(2) относительно оси Ох
Это точка M_(3) (2;-2)

Составим уравнение прямой М_(1)М_(3) как уравнение прямой, проходящей через две точки:

(x-(-3))/(2-(-3))=(y-8)/(-2-8)

(x+3)/5=(y-8)/(-10)

-10*(x+3)=5*(y-8)
-2x - 6 = y - 8

2x + y - 2 = 0

Прямая пересекает ось Ох в точке M (1;0)

2х + 0 - 2 = 0

2х=2

х=1

О т в е т. (1; 0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл углового коэффициента k в уравнении прямой у=kx+b
k=tg альфа ,
альфа - угол который образует прямая у =kx+b с положительным направлением оси Ох.

В уравнении прямой y=√3x+4
k=sqrt(3)
Значит,
tg альфа = sqrt(3)
альфа =60^(o)

y=4 параллельна оси Ох.
Значит угол между прямыми y=√3x+4 и y=4 равен 60^(o)

Биссектриса делит угол в 60^(o) пополам и образует с осью Ох и прямой у=4 угол 30 градусов

tg(30 градусов)=sqrt(3)/3

k_(биссектрисы)=sqrt(3)/3

у=(sqrt(3)/3)x + b - уравнение прямых, образующих с осью Ох угол в 30 градусов. Чтобы выделить среди них биссектрису острого угла, образованного прямыми y=√3x+4 и y=4, подставим координаты их точки пересечения и найдем b

4=(sqrt(3)/3)*0+b
b=4

О т в е т. у=(sqrt(3)/3)х+4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0=log_(1/2)1

log1/2(log2(x2–2)) > log_(1/2)1

Основание логарифмической функции 0 < (1/2) < 1, значит функция убывающая.
Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

log_(2)(x^2-2) < 1, 1=log_(2)2

log_(2)(x^2-2) < log_(2)2

Основание логарифмической функции 2 > 1, значит функция возрастающая.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

x^2-2 < 2

x^2-4 < 0

(x-2)(x+2) < 0

_+__ (-2) __-__ (2) __+__

(-2; 2)

C учетом ОДЗ данного неравенства
{x^2-2 > 0⇒ (- бесконечность ;-sqrt(2))U(sqrt(2);+ бесконечность )
{log_(2)(x^2-2) > 0 ⇒ x^2-2 > 1 ⇒ (- бесконечность ;-sqrt(3))U(sqrt(3);+ бесконечность )
получаем о т в е т.
(-2;-sqrt(3))U(sqrt(3);2)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл углового коэффициента k в уравнении прямой у=kx+b
k=tg альфа ,
альфа - угол который образует прямая у =kx+b с положительным направлением оси Ох.

tg(3Pi/4)=-1
k=-1

Запишем уравнение
Ах+Ву+С=0 как уравнение прямой с угловым коэффициентом k
y=(-A/B)x - (C/A)

k=-A/B

-1=-A/B ⇒ A/B=1 ⇒ A=B

О т в е т. А=В

Ответ выбран лучшим

D=(2*(a-1))^2-4*a*(a-4)=
=4a^2-8a+4-4a^2+16a=8a+4
D > 0
8a + 4 > 0
a > -1/2

При D > 0 уравнение имеет два корня.
x_(1)=(-2*(a-1)- sqrt(8a+4))/2=-(a-1) -sqrt(2a+1) или

х_(2)=-(a-1) + sqrt(2a+1)

Расстояние между корнями
|x_(2)-x_(1)|=2sqrt(2a+1)

По требованию задачи

2sqrt(2a+1) > 3
sqrt(2a+1) > 3/2
2a+1 > 9/4
2a > (9/4)-1
2a > 5/4
a > 5/8

С учетом D > 0
о т в е т. (5/8; + бесконечность )

0 меньше или равно x^2 < + бесконечность

-2 меньше или равно x^2 - 2 < + бесконечность

О т в е т. [ - 2; + бесконечность )

S ( параллелограмма)=a*h_(a)
и
S ( параллелограмма)=b*h_(b)

a*h_(a)=b*h_(b)

10*12=15*h

h_(b)=10*12/15

h_(b)=8

О т в е т. 8

В основании фигуры - квадрат 8×8, из которого вырезан квадрат 2×2

S( осн.)=8*8-2*2=64-4=60

S(поверхности)=S(бок)+2S(осн)=

=P(осн.)*Н+2*S(осн.)=

=(3*8+3+2+2+2+3)*1+2*60=36+120=156

О т в е т. 156 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x+3)/2=t

Неравенство имеет вид

sint больше или равно -sin^2t - cos^2t

Так как
sin^2t+cos^2t=1
-sin^2t-cos^2t=-1

неравенство
sin t больше или равно -1
в силу ограниченности sint ( |sint| меньше или равно 1)

это уравнение

sin t = -1

Обратная замена

sin(x+3)/2 = -1

(x+3)/2= (- Pi/2) + 2Pin, n ∈ Z

x+3 = (-Pi) + 4 Pin, n ∈ Z

x=-3-Pi +4Pin, n ∈ Z

О т в е т. -3-Pi +4Pin, n ∈ Z

7^x*7^2-7^x*7-2*7^x > (2^(1/3))^x *2 + (2^(1/3))^x*2^(-1)
7^(x)* (7^2 - 7 - 2) > (2^(1/3))^x*(2 +1/2)

7^(x)*40 > ( ∛ 2)^x *5/2
Делим обе части неравенства на 40* ( ∛ 2)^x

(7/∛ 2)^(x) > 1/16

Основание (7 / ∛ 2)) > 1, показательная функция с этим основанием возрастает, поэтому

x > log_(7/∛ 2) (1/16)

Умножаем все части неравенства на 48

3*(8х+3) - 16*(2х - 5) больше или равно 4* (11-7х)

24х + 9 - 32х +80 больше или равно 44 - 28х

24х-32х+28х больше или равно 44 - 9 - 80

20х больше или равно -45

х больше или равно -45/20

х больше или равно -9/4

О т в е т. х= - 2 наименьшее целое число,удовлетворяющее условию

{x^2-16=9
{x^2-16 ≠ 0

{x^2=25
{x^2 ≠ 16

{x= ± 5
{x ≠ ± 4

О т в е т. х=5 - больший корень уравнения

ОДЗ:
{5x+4 больше или равно 0
{x + 3 больше или равно 0

Возводим в квадрат

5х+4 -2*sqrt(5x-4)*sqrt(x+3) +x+3 = 1

6x+6 =2*sqrt(5x-4)*sqrt(x+3)

sqrt(5x-4)*sqrt(x+3) = x + 1

Возводим в квадрат при условии
х + 1 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно - 1

(5x-4)*(x+3)=x^2+2x+1

5x^2 -4x +15x - 12 = x^2 + 2x+1

4x^2 + 9x - 13 =0
D=81+4*4*13=289

х=(-9-17)/8=-13/4 ( не удовл усл. х больше или равно - 1 ) или х=(-9+17)/8=1

О т в е т. х=1

ОДЗ:
х+3 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно - 3

1)При x + 1 < 0
неравенство верно при любом x ∈ ОДЗ

о т в е т. 1) [ - 3; -1)

2)При х + 1 больше или равно 0 возводим обе части в квадрат

х+3 > (x+1) ^2

x+3 > x^2 +2x +1

x^2+x-2 < 0

D =1+8=9
x=-2 или х=1
- 2 < x < 1

о т в е т. 2) ∈ [-1;1]

О т в е т. [-3; -1) U[-1;1]=[-3;1]

x=5 - точка разрыва второго рода

lim_(x→5-0)= - бесконечность
lim_(x→5+0)= + бесконечность

3x^2+5x-8=0
D=25-4*3*(-8)=25+96=121
x=(-5-11)/6 =-8/3 или х=(-5+11)/6=1

3x^2+5x-8=(х-1)(3х+8)

x^2- x-2==0
D=1-4*1*(-2)=1+8=9
x=(1-3)/2 =-1 или х=(1+3)/2=2

x^2- x-2=(х+1)(х-2)

__+__ (-8/3) __-__ (-1) __+__ (1) _-_ (2) __+__

х=3 - наименьшее положительное целое решение неравенства

Так как сos^2x=1-sin^2x, то

уравнение принимает вид

2sin^2x+3*(1-sin^2x)+2sinx=0

sin^2x-2sinx-3=0
D=4+12=16

sinx=-1 ⇒ x=-(Pi/2)+2Pin, n ∈ Z
Второе уравнение
sinx=3
не имеет корней в силу ограниченности синуса.
|sinx| меньше или равно 1

О т в е т. (3Pi/2) - наименьший положительный корень

у=|х|–1 - четная функция

у(-х)=| -x | - 1 = | x | - 1 = y(x)

{3-lgx больше или равно 0 ⇒ lgx меньше или равно 3
{x > 0

lgx меньше или равно 3

Так как
3=lg10^3

0 < lgx меньше или равно lg10^3

0 < x меньше или равно 1000

О т в е т. (0;1000]

Умножаем на (-1).
Меняем знак неравенства:
[m]\frac{x^2\cdot (x-2)^2}{(x+4)^5\cdot (x-5)^3}[/m] ≥ 0

Решаем[i] методом интервалов[/i]:

Нули числителя: x=0;x=2
Нули знаменателя:x=-4; x=5

Расставляем знаки функции:

[m]f(x)=\frac{x^2\cdot (x-2)^2}{(x+4)^5\cdot (x-5)^3}[/m]

[m]f(6)=\frac{6^2\cdot (6-2)^2}{(6+4)^5\cdot (6-5)^3}>0[/m]
на (5;+ ∞ ) знак +
[m]f(3)=\frac{3^2\cdot (3-2)^2}{(3+4)^5\cdot (3-5)^3}<0[/m]
на [2;5) знак -
и так далее...

_+__ ( -4 ) ___-___ [0] ___-__ [2] ______-____ (5) __+__

x ∈ (- ∞ ;-4)U{0}U{2}U(5;+ ∞ )

О т в е т. 2 - наименьшее положительное целое число, являющееся решением неравенства

Pi*(x-7)/3= (± Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

(x-7)/3=( ± 1/3)+2n, n ∈ Z

x-7=( ± 1) + 6n, n ∈ Z

x=7+( ± 1) +6n, n ∈ Z

О т в е т. При n= -2
x=7+1-12=-4 - наибольший отрицательный корень

16x^2-24x+9 +49x^2+14x+1 < 65x^2-52x+5x-4;
65x^2 -10x+10 < 65x^2-47x-4
37x < -14
x < -14/37

Наибольшее целое
х=-1
О т в е т. - 1

По формулам приведения
cos(π/2+2x)=-sin2x

sin2x=2sinx*cosx

-2sinx*cosx=sqrt(2)sinx
2sinx*cosx+sqrt(2)sinx=0
sinx*(2cosx+sqrt(2))=0

sinx=0 или 2 cosx + sqrt(2)=0

sinx=0
x=Pik, k ∈ Z

2cosx+sqrt(2)=0
cosx= - sqrt(2)/2
x= ± (3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z

О т в е т. Pik, k ∈ Z; ± (3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z

промежутку[b] (–5π;–4π)[/b] принадлежит один корень

(-3Pi/4)-4Pi = - 19Pi/4

см. рис. (прикреплено изображение)

∠ BOD и ∠ АOD- cмежные.
Их сумма равна 180 градусов.
∠ BOD=180 ° –126 ° =54 °

Треугольник BOD - равнобедренный (OB=OD=R)
∠ OBD = ∠ ODB

∠ DOA - внешний угол треугольника BOD, равен сумме внутренних с ним не смежных
∠ DOA=∠ OBD + ∠ ODB

∠ OBD = ∠ ODB=126^(o)/2=63^(o)

О т в е т. 54^(o);63^(o);63^(o)

(прикреплено изображение)

7 целых 3/7=(7*7+3)/7=52/7

(4/7)х=(52/7)

х=(52/7):(4/7)

х=(52/7)*(7/4)

х=13

или

Умножим уравнение
(4/7)х=(52/7)
на 7

4х=52
х=52:4
х=13

Δ АЕС - равнобедренный ( АЕ=СЕ)
Значит,
∠ ЕАС= ∠ ЕСА

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
ВЕ : ЕС = 1 : 2

∠ ВАС = ∠ ЕАС= ∠ ЕСА

Данных недостаточно, чтобы составить равенство ( уравнение)

Формула
sin альфа +sin бета

2*sin2x*cos(-x)=0

cos(-x)=cosx

2sinx*cosx*cosx=0
2sinx*cos^2x=0

sinx=0 ⇒ x=Pik, k ∈ Z
или

cosx=0 ⇒ x=(Pi/2)+Pin, n ∈

Наибольший отрицательный корень
x=-Pi/2

2*(x_(o)+4)^2=16
(x_(o)+4)*2=8

Извлекаем корень из обеих частей равенства
sqrt(x^2)=|x|

sqrt|x_(o)+4|= ± 2sqrt(2)
По определению модуля |x_(o)+4| больше или равно 0
и не может равняться - sqrt(2)
Остается
|x_(o)+4|=2sqrt(2)

x_(o)+4 = 2sqrt(2) или х_(о)+4= -2sqrt(2)

так и написано

9x^2-12x+4=(3x-2)^2
6x^2-7x+2=(2x-1)*(3x-2)
ОДЗ:
{2x -1 > 0 ⇒ x > 1/2
{2x - 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 1
{9x^2 - 12x + 4 > 0 ⇒ x ≠ 2/3
{3x - 2 > 0 ⇒ x > 2/3
{6x^2 - 7x + 2 > 0 ⇒ (2x-1)(3x-2) > 0 ⇒x < 1/2 или x > 2/3

ОДЗ: х ∈ (2/3;1) U (1; +бесконечность)
В условиях ОДЗ
log_(2x-1)(9x^2-12х+4)=log_(2x-1)(3x-2)^2=2log_(2x-1)|3x-2|=
=2log_(2x-1)(3x-2)
log_(2x-1)(6x^2-7x+2)=log_(2x-1)(2x-1)*(3x-2)=
=log_(2x-1)(2x-1)+log_(2x-1)(3x-2)=1+log_(2x-1)(3x-2)

Замена переменной
log_(2x-1)(3-2x)=t

((2*t)^2-10t+18)/(3*(1+t)-2) меньше или равно 2;

(4t^2-16t+16)/(3t+1) меньше или равно 0;

4(t-2)^2/(3t+1) меньше или равно 0

__-__ (-1/3) ___+__ [2] _____

t < - 1/3 или t=2

log_(2x-1)(3x-2) < - 1 ⇒ (применяем метод рационализации в условиях ОДЗ) (2x - 1 - 1)(3x-2 -(1/(2x-1))) < 0 ⇒

(x-1)*(6x^2-7x+1)/(2x-1) < 0

(x-1)^2*(6x-1)/(2x-1) < 0
__+_ (1/6) _-__(1/2) __+__ (1) _+__

1/6 < x < 1/2 - не удовлетворяет ОДЗ

ИЛИ

log_(2x-1)(3x-2)=2

(3х-2)=(2х-1)^2

3х-2 = 4x^2-4x+1

4x^2-7x +3 =0

D = (-7)^2-4*4*3=1

x=3/4 или х=1 ( не входит в ОДЗ)

О т в е т. х=3/4

f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)+f_(3)(x)

f_(1)(x)=1+x^2
y_(1)=Mx^2+Nx+K

f_(2)(x)=x*e^(-3x)sinx
альфа=-3; бета=1
-3+i ≠ лямбда 1
-3+i ≠ лямбда 2

у_(2)=(Px+Q)*e^(-3x)*(Rsinx+Tcosx)

f_(3)(x)=cos2x
y_(3)= Acos2x+Bsin2x

y_(частн)=y_(1)+y_(2)+y_(3)=
=Mx^2+Nx+K + (Px+Q)*e^(-3x)*(Rsinx+Tcosx) Acos2x+Bsin2x

y_(0)=C_(1)e^(-x)+C_(2)e^(-3x)+Mx^2+Nx+K +
+ (Px+Q)*e^(-3x)*(Rsinx+Tcosx) +Acos2x+Bsin2x

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4sin^2x+4cos^2x+8=4*((sin^2x+cos^2x)+2)=4*(1+2)=12

9x^2-60x+100=(3x-10)^2
16x-20-3x^2=(x-2)*(10-3x)
ОДЗ:
{x - 2 > 0 ⇒ x > 2
{x - 2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{(x^2-4x+4)/(10-3x) > 0 ⇒ x ≠ 2; x < 10/3
{16x - 20 - 3x^2 > 0 ⇒ 2 < x < 10/3
{9x^2 - 60x + 100 > 0 ⇒ x ≠ 10/3

ОДЗ: х ∈ (2;3) U (3; 10/3)
В условиях ОДЗ
log_(x-2)(9x^2-60х+100)=log_(x-2)(3x-10)^2=2log_(x-2)|3x-10|=
=log_(x-2)(10-3x)
log_(x-2)(16x-20-3x^2)=log_(x-2)(x-2)*(3x-10)=
=log_(x-2)(x-2)+log_(x-2)(3x-10)

4-2log_(x-2)(16x-20-3x^2)-log_(x-2)(9x^2-60х+100)=
4-2log_(x-2)(x-2)-2log_(x-2)(3x-10)-2log_(x-2)(3x-10)=
=4-2- 4log_(x-2)(3x-10)

log_(x-2)(x^2-4x+4)/(10-3x)=log_(x-2)(x-2)^2-log_(x-2)(10-3x)
=2-log_(x-2)(10-3x)

log^2_(x-2)(x^2-4x+4)/(10-3x)=(2-log_(x-2)(10-3x))^2

Неравенство принимает вид:

2*(2-log_(x-2)(10-3x))^2/(2-4log_(x-2)(10-3x)) меньше или равно 3

Замена переменной
log_(x-2)(10-3x)=t

2*(2-t)^2/(2-4t) меньше или равно 3;

(8-8t+2t^2-6+12t)/(2-4t) меньше или равно 0;

(2t^2+4t+2)/(4t-2) больше или равно 0

__-__ [-1] ___-__ (1/2) __+__

t = - 1 или t > 1/2

log_(x-2)(10-3x) = - 1 ⇒ (x - 2) ^ (-1) = 10 - 3x ⇒
16x-20-3x^2=1 ⇒ 3x^2 - 16x +21=0 D=256-252=4
корни (16 ± 2)/6
[b]x=7/3[/b] или х=3 ( не входит в ОДЗ)

ИЛИ

log_(x-2)(10-3x) > 1/2

Так как ОДЗ: х ∈ (2;3) U (3; 10/3)

решаем неравенство на (2;3)
10-3x > 0
и
0 < (x-2) < 1
Логарифмическая функция убывает, поэтому
10-3x < sqrt(x-2)
или
sqrt(x-2) > 10-3x
Возводим в квадрат
x-2 > 100 - 60 x + 9x^2
9x^2-61x+102 < 0
D=(-61)^2-4*9*102=49
x=3 или х=(34/9)
x ∈ (3; 34/9)
не удовл. условию x ∈ (2;3)
нет решений

на (3;10/3)
(x-2) > 1
Логарифмическая функция возрастает, поэтому
10-3x > sqrt(x-2)
Возводим в квадрат
100 - 60 x + 9x^2 > x -2
9x^2-61x+102 > 0
D=(-61)^2-4*9*102=49
x=3 или х=(34/9)
x ∈ (- бесконечность ;3) U (34/9;+ бесконечность )
не пересекается с (3;10/3)
нет решений

О т в е т. х=7/3

Ответ выбран лучшим

0,3×(4–2х)–0,5×(3х–4)=0,1 (8–х)

1,2 - 0,6х - 1,5х + 2=0,8 -0,1х

3,2-0,8=0,6х+1,5х-0,1х
2,4=2х
х=1,2

∠ АСВ=90 ^(o) - угол опирающийся на диаметр.
Δ ABC - прямоугольный. Сумма острых углов 90 градусов.
Один угол 35 градусов, значит второй угол 90 градусов - 35 градусов = 55 градусов.
Треугольник СОВ - равнобедренный
OC=OB=R

∠ ОСВ =∠ CBA= 55 градусов
(прикреплено изображение)

k= f`(x_(o)) - угловой коэффициент касательной в точке х=x_(o) к кривой у=f(x)

f`(x) = ((x^3/3)-x^2+1)`= (3x^2/3)-2x = x^2-2x

f`(x_(o)) = f`(1) = 1^2-2*1 = - 1
О т в е т. k=-1

{2sin^2x-sqrt(3)sinx=0
{2cosx+1 ≠ 0

{sinx*(2sinx-sqrt(3))=0 ⇒ sinx=0 или sinx=sqrt(3)/2
{cosx ≠ -1/2 ⇒ x ≠ ± (2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

sinx=0 ⇒ x=Pik, k ∈ Z
или
sinx=sqrt(3)/2 ⇒ x = (Pi/3)+2Pim или х=(2Pi/3)+2Pim, m ∈Z

О т в е т.
Pik, k ∈ Z
(Pi/3)+2Pim, m ∈ Z (прикреплено изображение)

∠ВОС–центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.
∠ВАС - вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается.
∠BOC=2*∠BAC

Треугольник АВС - равнобедренный.
АВ=ВС. значит
∠ВАС =∠ ВСА = (180^(o)–29^(o))/2 = 151^(o)/2.
∠ BOC=151^(o)

О т в е т. 151^(o) (прикреплено изображение)

S(полн.)= S ( бок.) + 2S(осн)=
=4а*Н+2*(1/2)d_(1)*d_(2)=
=4*5,5*7,5+6,6*8,8=
...
V=S(осн.)*H=(1/2)d_(1)*d_(2)*H=(1/2)*6,6*8,8*7,5=
...

2^x=t
2^(-x)=1/t

(2t^2-3t+1)/t < 0

D=9-8=1
t=1/2 или t=1

_-_ (0) __+_ (1/2) _-__ (1) __+_

t < 0 или (1/2) < t < 1
2^(x) < 0 - нет решений, так как 2^(x) > 0 при любом х

(1/2) < 2^(x) < 1

2^(-1) < 2^(x) < 2^(0)

-1 < x < 0

О т в е т. (-1;0)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

84-57=27 л яблочного сока или 9 банок
27:9=3л - вместимость каждой банки
57:3=19 банок томатного
84:3=28 банок яблочного

Проверка
28-19=9 банок

О т в е т. 19 банок томатного и 28 банок яблочного

log_(0,5)*x^2+5x+6) > - log_(0,5)0,5

log_(0,5)*x^2+5x+6) > log_(0,5)0,5^(-1)

{x^2+5x+6 > 0⇒ x < -3 или х > -2
{x^2+5x+6 < 2 ⇒ -4 < x < -1

О т в е т. (-4;-3) U (-2;-1)

Ответ выбран лучшим

Если надо решить уравнение
(x–10)(x^2–11x+10)=0, то
x-10=0 или x^2-11x+10=0
x=10
или
x^2-11x+10=0
D=(-11)^2-4*10=121-40=81
x=(11-9)/2=1 или х=(11+9)/2=10
О т в е т. 1; 10 - два корня.

Если надо решить неравенство
(x–10)(x^2–11x+10) больше или равно (или меньше или равно ) 0, то раскладываем левую часть на множители
(x-10)*(x-10)(x-1)больше или равно (или меньше или равно ) 0,
(x-10)^2*(x-1)больше или равно (или меньше или равно ) 0, то отмечаем нули на числовой прямой и расставляем знаки:
__-__ [1] __+___ [10] __+__

(x-10)^2*(x-1)больше или равно 0
о т в е т. [1;+ бесконечность)
(x-10)^2*(x-1) меньше или равно 0
о т в е т. (- бесконечность ;1] U{10}

Ответ выбран лучшим

Так как
arcsin(sinx)=x, если (–π/2) ≤ х ≤ π/2;
3arccos(cosx)=3x, если 0 ≤ х ≤ π
Функция
у=arcsin(sinx) определена для любого х
и функция
у=3arccos(cosx) определена для любого х.

y=arcsin(sinx) представляет собой кусочно-непрерывную функцию (cм. рис.1) и
у=3arccos(cosx) тоже представляет собой кусочно-непрерывную функцию (cм. рис.2)

Их сумма представляет собой также кусочно- непрерывную функцию.
На (- бесконечность; (3Pi/2)] неравенство верно при любом х
[b] о т в е т. 1) (- бесконечность; (3Pi/2)] [/b]

Решаем методом интервалов.
A)
[3Pi/2;2Pi]
arcsin(sinx)=x-2Pi
3arccos(cosx)=6Pi -3x
x-2Pi+6Pi-3x больше или равно 3x-18 ⇒
-5x больше или равно -4Pi-18
x меньше или равно (4Pi+18)/5
c учетом интервала [3Pi/2;2Pi] получаем
[b] о т в е т 2).[3Pi/2; (4Pi+18)/5] [/b]

B)
[2Pi; 5Pi/2]
x-2Pi+3x-6Pi больше или равно 3x-18;
x больше или равно 8Pi-18
[b] о т в е т 3) [8Pi-18;5Pi/2]

C)
[5Pi/2; 3Pi]
3Pi-x+3x-6Pi больше или равно 3x-18
x меньше или равно 18-3Pi
[b]о т в е т. 4) [5Pi/2; 18-3Pi] [/b]

D)
[3Pi;7Pi/2]
3Pi-x+12Pi-3x больше или равно 3x-18
-7x больше или равно -18-15Pi
x меньше или равно (18+5Pi)/7
нет решений на [3Pi;7Pi/2], так как
(18+5Pi)/7 < 3Pi
18+5Pi < 21Pi
18 < 16Pi

и далее будет получаться то же самое. Нет решений.
( см. рис.3)

Объединяем ответы и получаем окончательный
О Т В Е Т.
[b](- бесконечность; (4Pi+18)/5] U[8Pi-18; 18-3Pi][/b] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

H=6sqrt(3)
a=H/2=3sqrt(3)

S(призмы)=S( бок.) + 2 S( осн.)= 3*a*H+2*(1/2)*a*a*sin60^(o)=

=3*3sqrt(3)*6sqrt(3)+(3sqrt(3))^2*sqrt(3)/2=

=162 + (27sqrt(3)/2)

V=S(осн)*H=(1/2)*((3sqrt(3))^2*sqrt(3)/2) * 6 sqrt(3)=

=243/2

225.
Две точки. Слева и справа. Ставим иголку циркуля в точку F и радиусом, равным 3,5 см проводим окружность ( или просто делаем засечки).
226.
Строим отрезок АВ=5 см.
Из точки А радиусом 7 см ( АС=7) проводим окружность.
Из точки В радиусом 6 см (ВС=6 см) проводим вторую окружность. Обе окружности пересекаются в двух точках:
над отрезком АВ и под отрезком АВ.
Это и есть точка С.
Получим два треугольника

1=log_(3)3

log_(3)(x^2+2x) > log_(3)3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
{x^2+2x > 3
{x^2+2x > 0 ( одз уравнения)

Второе неравенство выполняется автоматически, если выполняется первое.
x^2+2x > 3 > 0

Решаем только первое.

x^2+2x-3 > 0
D=2^2-4*(-3)=4+12=16
x_(1)=(-2-4)/2=-3 или x_(2)=(-2+4)/2=1
О т в е т. (- бесконечность; -3) U(1;+ бесконечность )

Пусть таблица составлена так:
a_(1) b_(1) c_(1)
a_(2) b_(2) c_(2)
...
a_(n) b_(n) c_(n)

По условию

a_(1)+a_(2)+...+a_(n)=174;
b_(1)+b_(2)+...+b_(n)=158;
c_(1)+c_(2)+...+c_(n)=184;

Cкладываем числ
а во всех столбцах
174+158+184=516 - cумма всех чисел в таблице
Кроме того, по условию: сумма чисел в каждой строке больше 46, но меньше 53
Это могут быть числа:
47; 48;49;50; 51; 52

Пусть в каждой строке сумма чисел равна наименьшему числу 47
47*n < 516
n < 10,97

Пусть сумма чисел в каждой строке равна наибольшему числу 52
52n > 516
n > 9,92

9,92 < n < 10,97

n=10

Четырехугольник ВКРС вписан в окружность.
Сумма противоположных углов равна 180 градусов.
∠ КРС+∠ КВС= 180 градусов, Угол АРК - смежный с углом КРС.
Поэтому
∠ АРК=∠ КВС
и
∠ АКР=∠ РСВ

Δ АКР подобен Δ АВС по двум углам.
Из подобия
AC:AK=BC:KP

КР=AK*BC/AC

Так как по условию АС=(4/3)*ВС

КР=9/4
(прикреплено изображение)

1)
{1-12х+3у=0,7^(0) ⇒ 3y=12x ⇒ y=4x
{6y-14x=0,5=1/2x ⇒ 6*4x-14x-(1/2)-(1/2x) =0 ⇒ 20x^2-x-1=0
x_(1)=-0,4 или х_(2)=0,5
y=-1,6 или у_(2)=2
При (0,4;-1,6) log_(5) (-9,6 +5,6 - 0,5) не существует
О т в е т. (0,5;2)
2)
По теореме косинусов АС=sqrt(2^2+5^2-2*2*5*(-1/2))=7
Р( Δ АВС)=2 + 5 + 7 =14

Р( Δ A`B`C`)=10

В условии некорректно написано расположение треугольника A`B`C`

D_(1)=2r
D_(2)=2R
D_(2)=3D_(1)

С_(1)=2Pi*r=Pi*D_(1)
C_(2)=2Pi*R=PiD_(2)=3PiD1

C_(2): C_(1)=3
О т в е т. в три раза больше длина той окружности, у которой диаметр в три раза больше

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, которую стягивает хорда.

∠ 1= ∠ 2= ∠ 3 ( измеряются полoвиной дуги MK)
∠ 4= ∠ 5= ∠ 6 ( измеряются полoвиной дуги MР)
∠ 7= ∠ 8= ∠ 9 ( измеряются полoвиной дуги KР)

Сумма углов треугольника АМК равна 180 градусов
∠ 1= ∠ 2= ∠ 3 =(180^(o)-70^(o))/2=55^(o)

Аналогично
∠ 4= ∠ 5= ∠ 6 =((180^(o)-63^(o))/2=58,5^(o)
∠ 7= ∠ 8= ∠ 9=(180^(o)-47^(o))/2=66,5^(o)

О т в е т. 55^(o); 58,5^(o);66,5^(o)
(прикреплено изображение)

а)
Введем систему координат.
Пусть A(0;0;0); B(0;1;0); C(1;1;0); D(1;0;0)
A_(1)(0;0;1) ; B(0;1;1); C(1;1;1) ; D(1;0;1)

Плоскости АСD1 и BDC1 имеют две общие точки.
АС ∩ BD=0
и
D1C ∩ C1D=K

[b]O((1/2);(1/2);0) и K(1;(1/2);(1/2) [b]

vector{OK}=(1-(1/2);(1/2)-(1/2);)(1/2)-0)=(1/2; 0; 1/2)
vector{B1D}=(0-1;1-0;1-0)=(-1; 1; 1)

[b]vector{OK}*vector{B1D}= (1/2)*(-1)+0*1+(1/2)*1=0[/b]

Векторы vector{OK} и vector{B1D} ортогональны, значит и прямые их содержащие ортогональны.

б)
Проводим плоскость, параллельную BDD1B1
через точку К

d=AC/4=2sqrt(2)/4=sqrt(2)/2 (прикреплено изображение)

По логике знаменатель (1/5)^(x) + (1/3)^x

Cумма убывающих показательных функций с основаниями меньше 1, есть функция убывающая. Тогда
данная функция возрастает.
Наибольшее значение в правом конце отрезка.
При х=-2
у=34/(5^(2)+3^(2))=34/34=1

О т в е т. 1

S= ∫ ^(3)_(2)(-x^2+5x-5)-S(квадрата со стороной1)=
=(-x^3/3)+(5x^2/2)-5x)|^(3)_(2)-1=
=(7/6)-1=1/6
О т в е т. 6S=6*(1/6)=1 (прикреплено изображение)

10+15+20+...=450
Слева сумма арифметической прогрессии
a_(1)=10
d=5
a_(n)=?
n=?

a_(n)=a_(1)+d*(n-1)
S_(n)=(a_(1)+a_(n))*n/2

a_(n)=10+5*(n-1)

450=(10+(10+5*(n-1))*n/2
900=10n+10n+5*(n-1)*n

5n^2+15n-900=0
n^2+3n-180=0
D=9+4*180=729
n=(-3+27)/2=12 второй корень отрицательный и не удовлетворяет смыслу задачи.

О т в е т. 12 дней преодолевали маршрут.
12+8=20 дней были на маршруте

а)
∠ BKH= ∠ BHP=90 градусов, как углы, опирающиеся на диаметр.
ВН ⊥ АС
∠СВН=90 градусов.

Из прямоугольного треугольника РВН:
sin ∠ АBH =PH/HB
Из прямоугольного треугольника СВН:
cos ∠ CBH =BH/BC
Из прямоугольного треугольника АВН:
сos ∠ АBH =BH/AB
Из прямоугольного треугольника КВН:
sin ∠ CBH=КН/ВН

∠ ABC= ∠ АBH - ∠ CBH

sin∠ ABC= sin (∠ АBH - ∠ CBH) =

=sin ∠ АBH * cos ∠ CBH - сos ∠ АBH *sin ∠ CBH=

=(РН/НВ)*(BH/BC)-(BH/AB)*(KH/BH)= [b](PH/BC)-(KH/AB)[/b]

б) По условию АВ=13; ВС=8
sin∠ ABC=7√3/26
Найдем cos∠ ABC=sqrt(1-sin^2∠ ABC)=
=sqrt(1-(7√3/26)^2)=sqrt(676-147)/26=sqrt(529)/26=
=[b]23/26[/b]

По теореме косинусов из Δ АВС
АС^2=13^2+8^2-2*13*8*(23/26)=169+64-184=49
АС=7

S( ΔABC)=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
p=(13+7+8)/2=14
S=sqrt(14*1*7*6)=14sqrt(3)

S(ΔABC)=(1/2)AC*BH

BH=2S/AC=28sqrt(3)/7=4sqrt(3)
[b]BH=4sqrt(3) [/b]

[b]BH=2R [/b] - диаметр описанной около четырехугольника HKPB и около треугольника КРВ окружности

∠PBC=∠ABC
По теореме синусов
KP/sin∠PBC=2R

KP=2R*sin∠ABC=4sqrt(3)*(7sqrt(3)/26)=[b]42/13[/b]

О т в е т. 42/13

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Однородное уравнение первого порядка.
Подстановка
y=ux
y`=u`*x+u ( х - независимая переменная и x`=1)

x*(u`*x+u)=ux+sqrt(x^2+x^2u^2)

x^2u`=sqrt(x^2+x^2u^2)- уравнение с разделяющимися переменными

u`=du/dx

du/sqrt(1+u^2)=dx/x

Интегрируем
ln|u+sqrt(1+u^2)|=ln|x|+lnC
Cx=u+sqrt(1+u^2)

Обратная замена
Сх=(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)

y(1)=0
C*1=(0/1)+sqrt(1+(0/1)^2)
C=1

О т в е т. Общее решение
Сх=(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)
Частное решение
х=(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)

S(1+(n/300))+(S/n^2) - S = (Sn/300)+(S/n^2) - переплата сверх взятой в долг суммы

Так как S=648 000, обозначим

f(x)=(648 000* x/300)+(648 000/x^2)

f(x)=2160x+(648 000/x^2)

Исследуем f(x) на экстремум

f`(x)=2160-2*(648 000/x^3)

f`(x)=0

2160-2*(648 000/x^3) =0
2160*(x^3-2*300)/x^3)=0
x^3-600=0
x=∛600 - точка минимума.
x =8,17120593

Так как количество дней целое положительное, то
n=8
При n=8
648 000*(n/300)+(1/n^2)=
=648 000 *(8/300)+(1/8^2))=6 480 *8+648 000(1/64)=
27 405 рублей - переплата сверх взятой в долг суммы выплат.

О т в е т. Через 8 дней;27 405 рублей

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение в виде

y`-(1/(х^2+x))у=1

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Существует два способа решения
метод вариации произвольных постоянных и метод Бернулли.
Решаю методом Бернулли.
Будем искать решение в виде
y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-(1/(x^2+x))*u*v=1

Перегруппируем
u`*v+[b]u*(v`-(1/(x^2+x))*v)[/b]=1 (#)

Так как u(x) и v(x) - произвольные функции.
Будем искать v(x) так, чтобы
[b]v`-(v/(x^2+x))[/b]=0

Это уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=dx/(x^2+x)
ln|v|=ln|x|-ln|x+1| ( полагаем с=0)
v=x/(x+1)

Подставляем v в (#)

u`*(x/(x+1))=1
u`=(x+1)/x - уравнение с разделяющимися переменными
du=(x+1)dx/x

u=x+ln|x|+ C

y=u*v=(x+ln|x|+C)*x/(x+1) - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное уравнение
y``+y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^2+1=0
k= ± i
альфа=0;
бета =1

Общее решение однородного уравнения
имеет вид
y_(однород.)=e^(0x)*(C_(1)cosx+C_(2)sinx)
y_(однород.)=C_(1)cosx+C_(2)sinx

Представим правую часть неоднородного уравнения
y``+y=sinx
в виде
sin2x = e^(0x)*(0*cos2x+1*sin2x)
альфа=0
бета=2
z=0+2i
0+2i
Частное решение ищем в виде
y_(част) = Asin2x + Bcos2x
y`_(част) = 2A*cos2x + 2B*(-sin2x)
y``_(част) = - 4A*sin2x - 4Bcos2x

Подставляем в данное уравнение
- 4A*sin2x - 4Bcos2x+ Asin2x + Bcos2x = sin2x

-3Asin2x-3Bcos2x=sin2x
-3A=1
-3B=0

A=-1/3

О т в е т. y=y_(однород)+у_(част)=
=C_(1)cosx+C_(2)sinx -(1/3)sin2x

Ответ выбран лучшим

1=5^(0)

Уравнение принимает вид:
5^(x^2+6x+8)=5^(0)

Показательная функция с любым основанием строго монотонна. Это означает, что каждое своё значение функция принимает в единственной точке.
Если значения функции равны, то и аргументы равны

x^2+6x+8=0
D=6^2-4*8=36-32=4
x_(1)=(-6-2)/2=-4 или х_(2)=(-6+2)/2=-2

О т в е т. -4; -2

Ответ выбран лучшим

0,125=1/8=2^(-3)
0,25=1/4=2^(-2)

0,125*2^(-4x-16)=2^(-3)*2^(-4x-16)=2^(-3-4x-16)=2^(-4x-19)

(0,25/sqrt(2))^(x)=(2^(-2)*2^(-1/2))^(x)=2^((-5/2)x)
Уравнение принимает вид:

2^(-4x-19) = 2^((-5/2)x)

Показательная функция с любым основанием строго монотонна. Это означает, что каждое своё значение функция принимает в единственной точке.

Если значения функции равны, то и аргументы равны

-4x-19=-(5/2)x
-19=(-5/2)x+4x
-19=(3/2)x

x=-38/3

О т в е т. (-38/3)=-12 целых 2/3

Ответ выбран лучшим

Так как
(2/5)=(5/2)^(-1), то

(2/5)^(6x–7)=((5/2)^(-1))^(6x-7)=(5/2)^(-6x+7)

Уравнение принимает вид:

(5/2)^(-6x+7)=(5/2)^(14x–3)

Показательная функция с любым основанием строго монотонна. Это означает, что каждое своё значение функция принимает в единственной точке.
Если значения функции равны, то и аргументы равны

-6x+7=14x-3
7+3=14x+6x
10=20x
x=1/2

О т в е т. 1/2

Ответ выбран лучшим

S=S(криволинейного треугольника OAKN)- S ( прямоугольного треугольника MNK)=

= ∫^(9) _(0)sqrt(x)dx - (1/2)*3*3=(2/3)*(x^(3/2))|^(9) _(0) - (9/2)=

=(2/3)*3^(3/2)-(9/2)=(2/3)*27-(9/2)=18-4,5=13,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть прямоугольный треугольник SBC- основание пирамиды, AS ⊥ пл SBC .
Значит AS - высота пирамиды
H=AS=3

S( Δ SBC) = (1/2) SB*SC=(1/2)*3*3=9/2

V ( пирамиды SABC)=(1/3)*S(осн.)*H=

=(1/3)*S ( Δ SBC)* H=(1/3)*(9/2)*3=9/2=4,5

О т в е т. 4,5

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{cos2x ≠ 0⇒ 2x≠ (Pi/2)+Pim, m ∈ Z⇒ x≠ (Pi/4)+(Pi/2)*m, m ∈ Z
{cos ≠ 0 ⇒x≠ (Pi/2)+Pim, m ∈ Z
{sinx ≠ 0 ⇒ x≠ Pi, s ∈ Z
{sin2x ≠ 0 ⇒ 2x≠ Pis, s ∈ Z⇒ x≠ (Pi/2)s, s ∈ Z

ОДЗ: x ≠(Pi/4)m, m∈ Z

В условиях ОДЗ перемножаем крайние и средние члены пропорции

sin2x*sinx=cos2x*cosx

cos2x*cosx-sin2x*sinx=0
cos(2x+x)=0
cos3x=0 ⇒ 3x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
⇒ [b] x=(Pi/6)+(Pi/3)*n, n ∈ Z [/b]
С учетом ОДЗ ( cм. рис.) получаем ответ
х= ±(Pi/6) + Pik, k ∈ Z

О т в е т.
А) ±(Pi/6) + Pik, k ∈ Z

Б) Указанному отрезку принадлежат корни
(-Pi/6)
(Pi/6)-Pi = - 5Pi /6
(-Pi/6)-Pi=-7Pi/6
-2Pi+(Pi/6)=-11Pi/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4^(1–x^2–3x)=(2^(2))^(1-x^2-3x)=2^(2*(1-x^2-3x))=2^(2-2x^2-6x)

Уравнение принимает вид:
2^(3+2x) = 2^(2-2x^2-6x)

Показательная функция с любым основанием строго монотонна. Это означает, что каждое своё значение функция принимает в единственной точке.
Если значения функции равны, то и аргументы равны

3+2x = 2-2x^2-6x;
2x^2+8x+1=0
D=64 - 4*2=56
x_(1,2)=(-8 ± sqrt(56))/4

x_(1,2)=(-4 ± sqrt(14))/2=-2 ± sqrt(7/2)

О т в е т. -2 ± sqrt(7/2)

Ответ выбран лучшим

Света заметила, что если она отдаст
все свои конфеты Маше, то у Маши и Оли станет поровну конфет,
Значит, у Оли столько же конфет, сколько у Маши и Светы.

Всего у Оли, Маши и Светы 60 конфет.
Значит у Оли 30 конфет
И у Светы с Машей тоже 30 конфет.

Пусть у Маши х конфет.
Значит, у Светы (30-x) конфет

Если Света отдаст все свои конфеты Оле, то у Оли станет в 11 раз больше конфет, чем у Маши.

11x=30+(30-x)
12x=60
x=5

О т в е т. У Маши 5 конфет, у Светы 30-5=25 конфет, у Оли 30 конфет

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

Так как
2,25=9/4=(4/9)^(-1)=(2/3)^(-2)

(2/3)^(4√x) = ((2/3)^(-2))^(2√x–4);
(2/3)^(4√x) = ((2/3)^(-2*(2√x–4));

Показательная функция с любым основанием строго монотонна. Это означает, что каждое своё значение функция принимает в единственной точке.
Если значения функции равны, то и аргументы равны
4√x =-2*(2√x–4);

8√x = 8;

√x=1

х=1 - удовлетворяет ОДЗ

О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sinx + cosx = t

Возводим это равенство в квадрат
sin^2x + 2 sinx* cosx+ cos^2x=t^2
2sinx*cosx=t^2-1

Неравенство принимает вид:
3*(t^2-1) > t +1
или
3t^2 - t - 4 > 0
D=1-4*3*(-4)=49
t_(1)=(1-7)/6=-1 или t_(2)=(1+7)/6=4/3

sinx+cosx < -1 или sinx + cosx > 4/3

Применяем метод введения вспомогательного угла:
делим каждое неравенство на sqrt(2)

1)
(1/sqrt(2))sinx + (1/sqrt(2)) cosx < -1/sqrt(2)
sin(x+(Pi/4)) < -1/sqrt(2)
(-3Pi/4) + 2Pin < x+(Pi/4) < (-Pi/4) + 2Pin, n ∈ Z
(-3Pi/4)-(Pi/4) + 2Pin < x < (-Pi/4)-(Pi/4) + 2Pin, n ∈ Z

-Pi + 2Pin < x < (-Pi/2) + 2Pin, n ∈ Z
или
что то же самое
- Pi + 2Pi + 2Pin < x < (-Pi/2)+Pi + 2Pin, n ∈ Z
Pi + 2Pin < x < (Pi/2) + 2Pin, n ∈ Z

2)
1/sqrt(2) sinx + (1/sqrt(2)cosx > 2sqrt(2)/3
sin(x+(Pi/4)) > 2sqrt(2)/3
или
применяя формулы приведения и учитывая четность косинуса
sin((Pi/2)-x-(Pi/4)) > 2sqrt(2)/3

cos(x-(Pi/4)) > 2sqrt(2)/3

arccos( 2sqrt(2)/3)+ 2Pin < x -Pi/4 < Pi- arccos( 2sqrt(2)/3)+2Pin, n ∈Z

Pi/4 + arccos( 2sqrt(2)/3)+ 2Pin < x < (Pi/4)+Pi- arccos( 2sqrt(2)/3)+2Pin, n ∈Z

О т в е т.
Pi + 2Pin < x < (Pi/2) + 2Pin, n ∈ Z

Pi/4 + arccos( 2sqrt(2)/3)+ 2Pin < x < (Pi/4)+Pi- arccos( 2sqrt(2)/3)+2Pin, n ∈Z

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
cos 2x = t

2t^2-(2+√2)t+√2 > 0
D=(2+√2)^2-4*2*√2=[b]4+4√2+2-8√2=(4-4√2+2)[/b]=(2-√2)^2
t_(1)=((2+√2)-(2-√2))/4= √2/2 или t_(2)=((2+√2)+(2-√2))/4= 1

__+__ ( √2/2 ) __-___ (1) _+__

cos2x < √2/2 или cos2x > 1 ( не имеет решений, так как
|cos2x| меньше или равно 1)

cos2x < √2/2

(Pi/4)+2Pin < 2x < (2Pi)-(Pi/4)+2Pin, n ∈ Z

(Pi/4)+2Pin < 2x < (7Pi/4)+2Pin, n ∈ Z

(Pi/8)+Pin < x < (7Pi/4)+Pin, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/8)+Pin < x < (7Pi/4)+Pin, n ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=(1/3)*3*x^2;
f`(x)=x^2;

g`(x)=6x-9
Уравнение f`(x)=g`(x) имеет вид
x^2=6x-9
x^2-6x+9=0
(x-3)^2=0
x-3=0
x=3
О т в е т. 3.

81 < 94 < 100
причем 94 расположено ближе к числу 10

9^2 < 94 < 10^2

9 < sqrt(94) < 10

значит sqrt(94) расположено ближе к 10
О т в е т. 4) D

6^(n+2)=6^(n)*6^2=36*6^(n)
О т в е т. 1)

sin((x/2)–(Pi/4)) > -1/2
⇒
(-Pi/6) +2Pin < (x/2)–(Pi/4) < Pi-(-Pi/6) + 2Pin, n ∈ Z
(-Pi/6) +2Pin < (x/2)–(Pi/4) < (7Pi/6) + 2Pin, n ∈ Z
(-Pi/6)+(Pi/4) +2Pin < (x/2) < (7Pi/6)+ (Pi/4) + 2Pin, n ∈ Z
(Pi/12) +2Pin < (x/2) < (17Pi/12)+ 2Pin, n ∈ Z
(Pi/6) +4Pin < x < (17Pi/6)+ 4Pin, n ∈ Z (прикреплено изображение)

16.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ВС1С
СС^2_(1) =BC^2_(1) - BC^2.

СС^2_(1) =(√34)^2 - 5^2 = 9.

CC_(1)=3

V = AB*BC*BB1 = 7*5*3 = 105

О т в е т. 105

0,5=1/2=2^(-1)

(2^(-1))^x больше или равно 2
2^(-x) больше или равно 2
Показательная функция у=2^(x) возрастает.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента ( знак неравенства сохраняется)
-x больше или равно 1
x меньше или равно -1
О т в е т. (- бесконечность ;-1]

a^2+b^2=0 ⇔ a=0 [b] и [/b] b=0

(х²–25)²+(х²+3х–10)²=0

[b] и [/b] в математике соответствует знаку системы ( или на знаку совокупности)
{х²–25=0 ⇒ x = ±5
{x^2+3x-10=0 ⇒ D=9+40=49 x_(1) = -5; x=2

Пересечение ответов первого и второго уравнений - число (-5)

О т в е т. - 5

tg ∠ A=BC/AC

BC=AC*tg ∠ A=12*2sqrt(10)/3=8sqrt(10)

АВ^2=AC^2+BC^2=12^2+(8sqrt(10))^2=144+640=784
AB=28

К- центр описанной около прямоугольного треугольника окружности ( гипотенуза АВ- диаметр этой окружности)
СК=ВК=АК=R

По теореме Пифагора
AB^2=BC^2+AC^2=(11,2)^2+21^2=125,44+441=566,44
АВ=23,8

СК=23,8/2=11,9

Значит проекция этой точки на плоскость треугольника - центр описанной окружности.

Боковую сторону равнобедренного треугольника найдем по теоремеПифагора
a=b=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(20)

R=abc/4S
S (Δ)=(1/2)*c*h=(1/2)*4*4=8

R=sqrt(20)*sqrt(20)*4/32=5/2

d^2=R^2+H^2=(5/2)^2+6^2=(25/4)+36=169/4
d=13/2=6,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(π/2+x)=-sinx

Уравнение принимает вид:
2sin^2x+2= - 3√2sinx
2sin^2x+3√2sinx+2=0
D=(3√2)^2-4*2*2=18-16=2
корни (-3√2 ± √2)/4

sinx=-√2/2 ⇒ x=(-1)^(k)(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z
или
sinx=-√2 - уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно 1, а √2 > 1

О т в е т
а)(-1)^(k+1)(Pi/4)+Pik, k ∈ Z
б) x=(-Pi/4)-2Pi=-9Pi/4∈[–3π; –3π/2]
x=(Pi/4)-3Pi=-11Pi/4∈[–3π; –3π/2] (прикреплено изображение)

tgx=-1 - решение уравнение, так как
(-1)^3+(-1)^2-3*(-1)-3=0 ⇒ 0=0 - верно.

Значит можно разложить левую часть уравнения на множители, один из которых нам известен.
Это (tgx+1)
Искусственный прием: прибавить и отнять 1:
tg^3x+1+tg^2x-1-3tgx-3=0
(tgx+1)*(tg^2-tgx+1)+(tgx-1)*(tgx+1)-3*(tgx+1)=0
(tgx+1)*(tg^2x-tgx+1+tgx-1-3)=0

[b](tgx+1)*(tg^2x-3)=0 [/b]
tgx+1=0 ⇒ tgx =-1 ⇒ x=(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z
или
tg^2x-3=0 ⇒ tgx =-sqrt(3) или tgx =sqrt (3) ⇒
x=(-Pi/3)+Pin, n ∈ Z или ⇒ x=(Pi/3)+Pim, m ∈ Z

О т в е т:
а)(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z
± (Pi/3)+Pim, m ∈ Z
б)(Pi/3)+2Pi=7Pi/3 ∈ [2π; 7π/2]
(-Pi/3)+Pi+2Pi=8Pi/3 ∈ [2π; 7π/2]
(-Pi/4)+Pi+2Pi=11Pi/4∈ [2π; 7π/2]
(Pi/3)+Pi+2Pi=10Pi/3 ∈ [2π; 7π/2]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin2x+2cos(x–π/2) = √3cosx+√3,

cos(x–π/2)=cos ((π/2)-x) в силу четности косинуса;
по формулам приведения
cos ((π/2)-x) =sinx.

sin2x=2sinxcosx

Уравнение принимает вид
2sinx*cosx+2sinx=sqrt(3)cosx+sqrt(3);

2sinx*(cosx+1)=sqrt(3)*(cosx+1);
2sinx*(cosx+1)-sqrt(3)*(cosx+1)=0;
(cosx+1)*(2sinx-sqrt(3))=0
cosx+1=0 ⇒ cosx=-1 ⇒ [b]x=Pi+2Pin, n ∈ Z[/b]
или
2sinx-sqrt(3)=0 ⇒ sinx=sqrt(3)/2
⇒ x=(-1)^(k)arcsin(sqrt(3)/2)+Pik, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)(Pi/3)+Pik, k ∈ Z[/b]
Этот ответ удобнее ( для выполнения задания пункта б) ) записать как две серии ответов в первой и во второй четвертях:
x=(Pi/3)+2Pim, m ∈ Z (m=2k)
или
x=(-Pi/3)+Pi+2Pim, m ∈ Z (m=2k+1) ⇒
x=(2Pi/3)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т.
а) Pi+2Pin, n ∈ Z
(-1)^(k)(Pi/3)+Pik, k ∈ Z
б)
х=Pi-4Pi=-3Pi ∈ [–3π; –3π/2]
x=(Pi/3)-2Pi=-5Pi/3 ∈ [–3π; –3π/2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Из прямоугольного треугольника SAD
tg∠ADS=AS/AD
AD=AS/tg60^(o)=24*2/sqrt(3)=16sqrt(3)

SD=32sqrt(3)
катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета.
В равностороннем треугольнике АВС
AD=16sqrt(3)
AB=BC=AC=32

S=S( ΔABC)+S(ΔSAB)+S(ΔSAC)+S(ΔSBC)=

=(32*sqrt(3)/4)+2*(1/2)32*24+(1/2)*12*32sqrt(3)=
=200 sqrt(3)+786

2.В основании прямого параллелепипеда - параллелограмм АВСD

По формуле
АС^2+BD^2=2*AB^2+2CD^2
находим ВD
BD=sqrt(14)

H^2=(5sqrt(2))^2-6^2=14
H=sqrt(14)

S(BDD1B1)=BD*H=14 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

SK - апофема пирамиды - высота и медиана равнобедренного треугольника SKD
DK=KC=12
По теореме Пифагора
SK=sqrt(25^2-12^2)=13

S= S(осн.)+S(бок)=24*24+4* (1/2)*24*13=576+624=1200 кв. ед. (прикреплено изображение)

9=1+2+6
9=1+3+5
9=2+3+4

Из трех цифр (1;2;6) дающих в сумме 9 возможно 6 вариантов выпадения их на трех костях.
1;2;6
1;6;2
2;1;6
2;6;1
6;1;2
6;2;1

6*3=18 вариантов

9=1+4+4
9=2+2+5
Из двух цифр (1;4;4) - три варианта
1; 4; 4 и 4; 1; 4 и 4; 4;1
3*2=6

9=3+3+3
один вариант, на каждой из трех костей тройки
n=6*6*6

m=6*3+3*2+1

р=m/n=25/216

D (цилиндра)=H (цилиндра)=12 см
R=6 cм
S( бок. цилиндра)=2*PiR*H=Pi*12*12=144Pi кв. см.
V( цилиндра)=S(осн)*Н=Pi*R^2*H=Pi*(6)^2*12=432 куб см

L ( конуса)=D( конуса)=12 см
R( конуса)= 6 см
S ( бок. конуса)=Pi*R*L=Pi*6*12=72Pi кв см

Ответ выбран лучшим

Разность логарифмов можно заменить логарифмом частного.

log_(3)(54/2)=log_(3)27=3

Переносим все вправо.
Выносим за скобки общий множитель
(log_(5-x)(x^2-6x+9))^2* ( 3+(3/x)-4) больше или равно 0

( 3+(3/x)-4) больше или равно 0 при условии, что первый множитель не теряет смысла

Система
{3+(3/x)-4 больше или равно 0
{5-x > 0 ⇒ x < 5
{5-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 4
{x^2-6x+9 > 0 ⇒ x ≠ 3

3+(3/x)-4 больше или равно 0
(3/x)-1 больше или равно 0
(3-x)/x больше или равно 0
(x-3)/x меньше или равно 0
___ (0) __-__ [3] ____

C учетом указанных выше ограничений получаем ответ

(0;3)

1) 30:100*10=3 рубля составляют 10% от 30 руб
2) 30-3=27 руб новая цена тетради.
3)450:27=16 тетрадей и сдачу

Если функция возрастает, то производная положительна.
На рис. к задаче № 1434 производная положительна
на интервалах (-7;а) и (b;4)
Cм приложение.
На (-7;a) одна точка с целыми координатами
- 6
На (b;4) 6 точек с целыми координатами
-2;-1;0;1;2;3

Всего 7 точек.
Их сумма
- 6+(-2)+ (-1) +0+ 1 +2+3= -3

О т в е т. 7 точек, сумма равна - 3 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
{log_(2)(x-1)/(2-x) > 0 ⇒ log_(2) (x-1)(2-x) > log_(2) 1
{(x-1)/(2-x) > 0

(x-1)/(2-x) > 1 ⇒ (x-1-2+x)/(2-x) > 0⇒ (2x-3)(x-2) < 0
__+__ (3/2) __-__(2) __+__

Второе неравенство выполняется автоматически.
ОДЗ: (3/2;2)
По формуле перехода к другому основанию:
log_(1/3)t=log_(3^(-1)t=log_(3)t/log_(3)3^(-1)=-log_(3)t
t > 0

- log_(3)log_(2)(x-1)/(2-x) > -1
Умножаем на (-1) и меняем знак неравенства на противоположный.

log_(3)log_(2)(x-1)/(2-x) < 1

1=log_(3)3

log_(3)log_(2)(x-1)/(2-x) < log_(3)3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
log_(2)(x-1)/(2-x) < 3
3=log_(2)8
log_(2)(x-1)/(2-x) < log_(2)8
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая

(x-1)/(2-x) < 8
(х-1)(2-х) - 8 < 0
((x-1-8*(2-x))/(2-x) < 0
(9x-17)/(2-x) < 0

(9x-17)*(x-2) > 0
_+__ (17/9) __-__ (2)_+__

C учетом ОДЗ получаем ответ.

(3/2;17/9)

45 градусов.
Линейный угол двугранного угла - угол САВ.
АА_(1) ⊥ пл. АСВ
Значит АС ⊥ АА1
и ВА ⊥ АА1

Треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный, значит его острые углы 45 градусов.

(прикреплено изображение)

500 учащихся составляют 100%
600 учащихся составляют x %

x=600*100/500=120%

120%-100%=20%

О т в е т. На 20% увеличилось за учебный год число учащихся

ОДЗ:
{x > 0;
{x ≠ 1
{x^2+3 > 0 ⇒ х - любое
{4x > 0 ⇒ x > 0 cм. первое неравенство.

Логарифмическая функция монотонна. Значит каждое свое значение она принимает в единственной точке.
Если значения равны, то и аргументы равны.

x^2+3=4x
x^2-4x+3=0
D=16-12=4
x_(1)=(4-2)/2=1 или x_(2)=(4+2)/2=3

x_(1) не удовлетворяет ОДЗ,
О т в е т. х=3

{2cos^2х–5cosх+2=0
{8cosх–2у=3

{D=25-16=9 корни 2 и 1/2; cosx ≠ 2, |cosx| меньше или равно 1
cosx=1/2 ⇒ х= ± (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

8*(1/2)-2y=3
y=1/2

{x= ± (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z
{y=1/2

О т в е т. ( ± (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z ;1/2)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

V= ∫ ∫ ∫ dxdydz
3 меньше или равно z меньше или равно 30;
область D ограничена окружностью
x^2+y^2=2
параболой x=sqrt(y) и осью Оу:x=0

V= ∫ ^(30)_(3)dx ∫ ∫_(по области D) dxdy=
=(30-3) ∫ ∫_(по области D) dxdy=
=27* ∫^(1) _(0)dx ∫^sqrt(2-x^2) _(x^2)dy
=27*∫^(1) _(0)(sqrt(2-x^2) -(x^2))dx=

=27*( -(x^3/3)+sqrt(2-x^2)/2+(arcsin(x/sqrt(2)))|^(1) _(0)=

=27*((-1/3)+(1/2)+arcsin(1/sqrt(2))-sqrt(2)/2=
=(27/6)+27*(Pi/4)-27*(sqrt(2/2)) (прикреплено изображение)

Начнем считать количество путей с конца маршрута — с города H.
Пусть N_(X) — количество различных путей из города А в город X,
N — общее число путей.

В город Н можно приехать из G или F,
поэтому N = N_(H) = N_(G) + N_(F) (#).

Аналогично,
N_(G) = N_(E) + N_(F) = 2+ 1 = 3;
N_(F) = N_(E)+N_(B)+N_(C) =2+1+1=3;

так как
N_(E)=N_(B)+N_(D)=1+1=2
N_(В) = N_(А) = 1;
N_(C)=N_(A)=1
N_(D)=N_(A)=1

Подставим найденные значения в формулу (#):
N = 3 + 3 = 6.

tg2x+ctgx=(sin2x/cos2x)+(сosx/sinx)=

=(cos2x*cosx+sin2x*sinx)/*cos2x*sinx)=

=(cosx)/(cos2x*sinx)

Уравнение принимает вид:

(cosx)/(cos2x*sinx) + 4 cos^2x=0

cosx*( (1/cos2x*sinx)+4cosx)= 0

cosx=0 ⇒ [b] x= (Pi/2) + Pik, k ∈ Z[/b]

(1/cos2x*sinx)+4cosx=0

(1+4cosx*sinx*cos2x)/(cos2x*sinx)=0

1+4cosx*sinx*cos2x=0
1+2sin2x*cos2x=0
1+sin4x=0
sin4x=-1
4x=-(Pi/2)+2Pin, n ∈ Z

[b]x=- (Pi/8)+(Pi/2)n, n ∈ Z[/b]

О т в е т.
x = (Pi/2) + Pik, k ∈ Z
х =- (Pi/8)+(Pi/2)n, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(Pi/4)+ Pik меньше или равно 1/(1+x^2) < (Pi/2)+Pik, k ∈ Z

1/((Pi/2)+Pik) < 1+x^2 меньше или равно 1/((Pi/4)+ Pik ), k ∈ Z

(2/(Pi+2Pik)) -1 < x^2 меньше или равно (4/(Pi+4Pik)) - 1, k ∈ Z

(2-Pi-2Pik)/(Pi+2Pik) < x^2 меньше или равно (4-Pi-4Pik)/(Pi+4Pik)) , k ∈ Z
(4-Pi-4Pik)/(Pi+4Pik)) > 0 при k=0

(2-Pi-2Pik)/(Pi+2Pik) < 0 при любом k

x^2 > (2-Pi-2Pik)/(Pi+2Pik) при любом х
Решаем неравенство:
x^2 меньше или равно (4-Pi)/Pi

O т в е т. - sqrt((4-Pi)/Pi) меньше или равно x меньше или равно sqrt((4-Pi)/Pi)

Ответ выбран лучшим

(1/4)*16=4
16+4=20 см - сторона нового квадрата
Р( данного)=4*16=64 см.
Р(нового)=4·20=80 см.

80-64=16 см

Периметр увеличился на 16 см.

2sin^2x+sin(x^2)=1

sin(x^2)=1-2sin^2x

sin(x^2)=cos2x

sin(x^2)=sin(Pi/2)-2x)

x^2=(Pi/2)-2x+2Pin, n ∈ Z
x^2+2x-(Pi/2)-2Pin=0, n ∈ Z
D=4-4*(-(Pi/2)-2Pin)=4+2Pi+8Pin, n ∈ Z
D больше или равно 0
4+2Pi+8Pin больше или равно 0 ⇒ n ∈ Z n больше или равно 0 ⇒ n =0 ; n ∈ N

x=(-2 ± sqrt(4+2Pi+8Pin))/2

4+2Pi+8Pin=4*(1+(Pi/2)+2Pin)

x= -1± sqrt(1+(Pi/2)+2Pin), n =0 ; n ∈ N ( или n ∈ N_(+))
N_(+) - 0 и натуральные.

О т в е т. -1± sqrt(1+(Pi/2)+2Pin), n =0 ; n ∈ N

Ответ выбран лучшим

Пусть АВ+ВD равен 63+57=120 км
Делим на среднюю скорость, получаем время
120/80=1,5 часа

Путь АС+СD=48+52=100 км
100/80=5/4=1 час 15 минут

Пусть AD - 116 км
116 км/58=2 часа

О т в е т. АСD

(прикреплено изображение)

S(поверхности)=2ab+2ac+2bc

s(новой поверхности)=2(a/4)*(b/4)+2*(a/4)*(c/4)+2(b/4)*(c/4)=(1/16)*(2ab+2ac+2bc)=(1/16)*S=(1/16)*16=1

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

y`=2sqrt(3)*(-sinx)+3
y`=0
2sqrt(3)sinx=3
sinx=sqrt(3)/2
x=(Pi/3)+2Pin, n ∈ Z или x= (2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

x=(Pi/3)+2Pin, n ∈ Z - точки максимума, производная меняет знак с + на - (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула k-го члена бинома имеет вид
Т_(k)=C^(k)_(n)x^(k)y^(n-k)
В биноме (x+y)^(n) - (n+1) слагаемое

Первое слагаемое (k=0) называют 0-членом бинома, второе слагаемое (k=1) - первым.
и т.д.

В данном биноме 12 слагаемых
Средние
T_(5)=C^5_(11)x^5y^6
и
T_(6)=C^6_(11)x^6y^5

C^(5)_(11)=C^(6)_(11)=11!/(5!*6!)=7*8*9*10*11/120

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{cos(π*tgx) ≠0 ⇒ πtgx ≠ (π/2)+ πs, s∈Z
{sin(π*ctgx)) ≠0 ⇒ π сtgx ≠ + πm, m∈Z

По формулам приведения
сtg (πctgx)=tg((π/2)-πctgx)

tg(πtgx) = tg((π/2)-πctgx);

tg(πtgx) - tg((π/2)-πctgx) = 0;

sin(πtgx- (π/2)+πctgx)/(cos(πtgx) * sin(π*ctgx)) = 0

В условиях ОДЗ приравниваем к нулю числитель:
sin(π*tgx- (π/2)+π*ctgx)=0

πtgx- (π/2)+πctgx=πk, k∈Z

tgx+ctgx=(1/2+k)

ctgx=1/tgx

tg^2x-(1/2+k)tgx+1=0
2tg^2x-(1+2k)*tgx+2=0
D=(1+2k)^2-4*2*2=4k^2+4k-15
D > 0
4k^2+4k-15 > 0
D_(1)=16-4*4*(-15)=16*(1+15)=16^2
корни (-4 ± 16)/8
-20/8=-5/2 или 12/8=3/2
k < -5/2 или k > 3/2
⇒ k ≠ -2;-1;0;1

tgx=(1+2k ± sqrt(4k^2+4k-15))/4

x=arctg((1+2k ± sqrt(4k^2+4k-15))/4)+πn, n∈Z
k ≠ -2;-1;0;1

При k=2
tgx+ctgx=5/2
2tg^2x-5tgx+2=0
tgx=2 или tgx=1/2
x=arctg2+Pim, m ∈ Z или х=arctg(1/2)+Pim, m ∈ Z

О т в е т. x=arctg((1+2k ± sqrt(4k^2+4k-15))/4)+πn, n∈Z
k ≠ -2;-1;0;1;2
x=arctg2+Pim, m ∈ Z
х=arctg(1/2)+Pim, m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

cos(arcsin2x)=cos(arccos|x|)

cos(arccosa)=a, |a| меньше или равно 1

Пусть
arcsin2x= альфа ⇒ sin альфа =2x; |2x| меньше или равно 1 ⇒
|x| меньше или равно 1/2
альфа ∈ [-Pi/2;Pi/2]

cos(arcsin2x)=cos альфа = sqrt(1-sin^2 альфа ) =
(Знак + так как альфа ∈ [-Pi/2;Pi/2], косинус в 1-й и 4-1 четвертях имеет знак +)
= sqrt(1-(2x)^2)= sqrt(1-4x^2)

Уравнение
cos(arcsin2x)=cos(arccos|x|)
принимает вид:
sqrt(1-4x^2)=|x|

sqrt(1-4x^2)=|x|
Возводим в квадрат
{|x| меньше или равно 1/2
{1-4x^2=x^2
5x^2=1
x^2=1/5
x= ± 1/sqrt(5)

x=(-1/sqrt(5)) - посторонний корень

arcsin(-2/sqrt(5)) ∈ [-Pi/2;0]
arccos|-1/sqrt(5)|∈ [0;Pi]

О т в е т. 1/sqrt(5)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x*(x+1)*(x+3)*(x+4) > 0 ⇒ x∈(-∞;-4)U(-3;-1)U(0;+∞)
{(x+2)^2 > 0⇒ x ≠ -2
{(x+2)^2 ≠ 1 ⇒ x+2 ≠ -1 и х+2 ≠ 1 ⇒ х ≠ -3 и х ≠ -1

ОДЗ: x∈(-∞;-4)U(-3;-2)U(-2;-1)U(0;+∞)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
((x+2)^2-1)*(x*(x+1)(x+3)*(x+4)-(x+2)^2) > 0
(x+1)*(x+3)*[b](x*(x+1)*(x+3)*(x+4)-(x+2)^2)[/b] > 0

(x+1)*(x+3)*((x^2+4x)(x^2+4x+3)-(x^2+4x+4)) > 0
(x+1)*(x+3)*((x^2+4x)^2+2(x^2+4x)-4)) > 0
Решаем методом интервалов:
(x^2+4x)^2+2(x^2+4x)-4=0
D=4-4*(-4)=4+16=20
x^2+4x=-1-sqrt(5) или x^2+4x=-1+sqrt(5)

Решаем два квадратных уравнения. Отмечаем корни, х=-1 и х=-3 и расставляем знаки

ОА=АВ=17
Из прямоугольного треугольника SOA
cos ∠ SAO=OA/SA
cos30^(o)=17/SA
SA=17/(sqrt(3)/2)=34sqrt(3)/3

SB=SA
В равнобедренном треугольнике SAB
SK - высота и одновременно медиана
SK^2=SA^2-AK^2=(34sqrt(3)/3)^2-(17/2)^2=17^2*((4/3)-(1/4))=
=17^2*(13/12)

S(бок)=6*S ( Δ SAB)=6*(1/2)*AB*SK=
=3*17*(17/2)sqrt(13/3)=(867/2)sqrt(13/2)

sin^2x=1-cos^2x
20*(1-cos^2x)+9cosx-21 < 0
-20 cos^2x+9cosx-1 < 0
20cos^2x-9cosx+1 > 0
D=81-4*20=1
cosx < 1/5 или cosx > 1/4

cosx < 1/5
arccos(1/5)+2Pi < x < 2Pi-arccos(1/5)+2Pin=-arccos(1/5)+2Pi(n+1), n ∈ Z

или
cosx > 1/4
-arccos(1/4)+2Pim < x < arccos(1/4)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т.
-arccos(1/4)+2Pim < x < arccos(1/4)+2Pim, m ∈ Z

arccos(1/5)+2Pi < x < 2Pi-arccos(1/5)+2Pin=-arccos(1/5)+2Pi(n+1), n ∈ Z (прикреплено изображение)

(Pi/6)+2Pin < x < (5Pi/6)+2Pin, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(-Pi/2)+Pin < x < (Pi/4)+Pin, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(2Pi/3)+2Pin меньше или равно x меньше или равно (4Pi/3)+2Pin, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как
arcsin(x^2–x+(1/√2)) + arccos(x^2–x+(1/√2))=Pi/2 ⇒
arccos(x^2–x+(1/√2))=Pi/2 - arcsin(x^2–x+(1/√2))

arcsin(x^2–x+(1/√2)) = Pi/2 - arcsin(x^2–x+(1/√2))
2arcsin(x^2–x+(1/√2)) = Pi/2
arcsin(x^2–x+(1/√2)) = Pi/4
sin( arcsin(x^2–x+(1/√2))) = sin(Pi/4)
Так как sin(arcsina)=a

x^2–x+(1/√2)=1/√2
x^2-x=0
x*(x-1)=0
x=0 или х=1
О т в е т. 0; 1

Ответ выбран лучшим

arcsinx=-1
sin(arcsinx)=sin(-1)
x=sin(-1)
x=-sin1

О т в е т. - sin1

Ответ выбран лучшим

D=9--4*2*(-2)=9+16=25

arccosx=2 или arccosx=-1/2 (уравнение не имеет корней)
0 меньше или равно arccosx меньше или равно Pi

arccosx=2
cos(arccosx)=cos2
x=cos2

О т в е т. cos2

Ответ выбран лучшим

Так как
arcsinx+arccosx=Pi/2 ⇒ arcsinx = (Pi/2) - arccosx

(Pi/2) - arccosx=arccosx
2arccosx=Pi/2
arccosx=Pi/4
x=sqrt(2)/2
О т в е т. sqrt(2)/2

Ответ выбран лучшим

vector{BA}=(-1;2;-3}
vector{BC}=(2;2;-2}

vector{BA}*vector{BC}=(-1)*2+2*2+(-3)*(-2)=8

|vector{BA}|=sqrt((-1)^2+2^2+(-3)^2)=sqrt(14)
|vector{BC}|=sqrt((2^2+2^2+(-2)^2)=sqrt(12)=2sqrt(3)
cos(vector{BA},vector{BC})=(vector{BA}*vector{BC})/|vector{BA}|*|vector{BC}|=
=8/(sqrt(14)*2sqrt(3))=4sqrt(42)/42=2sqrt(42)/21≈0,6172134

О т в е т. cos(vector{BA},vector{BC})=2sqrt(42)/21;
(vector{BA},vector{BC})≈ 52 градусов
(прикреплено изображение)

Решение в случае
cos^2 2x+9cos^2 3x–6cos2xcos3x–8cos2x+24cos3x=–16

(сos2x-3cos3x)^2-8(cos2x-3cos3x)+16=0
(cos2x-3cos3x+4)^2=0
cos2x-3сos3x+4=0
cos2x-3cos3x=-4
Так как
-1 меньше или равно cos2x меньше или равно 1
-3 меньше или равно -3cos3x меньше или равно 3
-4 меньше или равно cos2x-3cos3x меньше или равно 4
равенство - 4 возможно лишь при

{cos2x=-1⇒ 2x=(Pi)+2Pin, n∈ Z⇒ x=(Pi/2)+Pin, n∈ Z
{-3cos3x=-3 ⇒ cos3x =1 ⇒ 3x=2Pik, k∈ Z ⇒ x=(2P/3)ik, k∈ Z

Пересечение полученных множеств ( решений) даст ответ. ( см. рис.)

Множества не пересекаются.
Ответ нет решений.

(прикреплено изображение)

1.
sin(2 альфа -(3Pi/2))= - sin((3Pi/2)- 2альфа )=cos 2альфа

cos(2 альфа -(8Pi/3))=cos((8Pii/3)-2 альфа )
=cos(2Pi+(2Pi/3)-2 альфа )=cos((2Pi/3)-2 альфа )

cos((2Pi/3)-2 альфа )+cos((2Pi/3)+2 альфа )=
=2cos(2Pi/3)*cos(-2 альфа )=cos2 альфа

cos2 альфа+ cos2 альфа=2cos2 альфа

2.
cos(6 альфа -Pi)=cos(Pi-6 альфа )= - cos 6альфа

sin6 альфа cos2 альфа -cos6 альфа sin2 альфа =sin4 альфа =2sin2 альфа cos2 альфа (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
По теореме косинусов
АС^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos ∠ ABC=
=(3sqrt(2))^2+4^2-2*3sqrt(2)*4*(sqrt(2)/2)=
=18+16-24=10
АС=sqrt(10)
S=(1/2)AB*BC*sin ∠ ABC=(1/2)*3sqrt(2)*4*(sqrt(2))/2=6

R=abc/4S=(3sqrt(2)*4*sqrt(10))/(4*6)=sqrt(5)

2.
S(круга)=Pir^2
Pir^2=9Pi
r^2=9
r=3 - радиус вписанного круга
a=2r=6 - сторона квадрата
d^2=a^2+a^2=6^2+6^2=72
d=6sqrt(2) - диагональ квадрата, диаметр описанной окружности
R=6sqrt(2)/2=3sqrt(2)- радиус описанного круга

3.
(x+5)^2+(y-12)^2=R^2 - уравнение окружности с центром в точке (–5;12) и радиусом R
Окружность проходит через начало координат.
Подставим координаты точки (0;0) в уравнение:
(0+5)^2+(0-12)^2=R^2 ⇒ 25+144=R^2 ⇒ R=13

О т в е т. (x+5)^2+(y-12)^2=13^2

Ответ выбран лучшим

[m]\frac{log_{3}x}{log_{3}\frac{x}{27}} ≥ \frac{4}{log_{3}x}+\frac{8}{log^{2}_{3} x– log_{3} x^{3}}[/m]

[i]замена переменной[/i]

[m]log_{3}x=t[/m]

[m]log_{3}\frac{x}{27}=log_{3}x-log_{3}27=t-3[/m]

[m]log^{2}_{3} x– log_{3} x^{3}=t^2-3t[/m]

[m]\frac{t}{t-3} ≥ \frac{4}{t}+\frac{8}{t^2-3t} [/m]

[m]\frac{t}{t-3} - \frac{4}{t}-\frac{8}{t^2-3t} ≥ 0[/m]

[m]\frac{t^2-4t+12-8}{t\cdot (t-3)} ≥ 0[/m]

[m]\frac{t^2-4t+4}{t\cdot (t-3)} ≥ 0[/m]

__+__ (0) __ [2] ___ (3) _+___

[m]t < 0[/m] или [m]t=2[/m] или [m]t > 3[/m]

[m]log_{3}x < 0[/m] ⇒ [m]0 < x < 1[/m]
[m]log_{3}x=2[/m] ⇒ [m] x=3^2; x=9[/m]
[m]log_{3}x > 3[/m] ⇒ [m]x > 27[/m]
О т в е т.[b] (0;1)U{9}U(27;+ ∞ )[/b]

Ответ выбран лучшим

Удалено, так как отмечено лучшее

Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам
ВО=OD
∠АВО = ∠ODC по условию
∠ AOB= ∠ COD как вертикальные

О т в е т. 5

tg2x*tg7x=1
ОДЗ:
2х ≠ (Pi/2)+Pik , k ∈ Z ⇒ x ≠ (Pi/4)+(Pi/2)k , k ∈ Z
7x ≠ (Pi/2)+Pin , n ∈ Z ⇒ x ≠ (Pi/14)+(Pi/7)n , n ∈ Z

sin2x*sin7x/(cos2x*cos7x)=1

В условиях ОДЗ

(sin2x*sin7x-cos2xcos7x)=0
-cos(2x+7x)=0
cos9x=0
9x=(Pi/2)+Pim, m ∈ Z
х=(Pi/18)+(Pi/9)m, m ∈ Z

Найдем при каких k, m и n выполняются условия
(Pi/18)+(Pi/9)m ≠ (Pi/4)+(Pi/2)k , m, k ∈ Z
(Pi/18)+(Pi/9)m≠ (Pi/14)+(Pi/7)n , m, n ∈ Z

(1/18)+(m/9) ≠ (1/4)+(k/2)
Умножаем на 36
2+4m≠9+18k
4m≠7+18k, m, k ∈ Z
2*(2m-9k)≠7
нет таких к и m
множества (Pi/18)+(Pi/9)m и (Pi/4)+(Pi/2)k ( m, k ∈ Z) не имеют пересечений

(Pi/18)+(Pi/9)m≠ (Pi/14)+(Pi/7)n , m, n ∈ Z
Умножаем на 126
7+14m ≠ 9+18n
14m≠2+18n,
2*(7m-9k)≠2
7m-9n≠1
7m≠1+9n ( m, n ∈ Z)
Например,
m=4; n=3
m=13; n=10
и т.д

Убедились, что такие пересечения есть. Поэтому в ответе следует написать ответ и ограничения к ответу.

О т в е т.
(Pi/18)+(Pi/9)m, m ∈ Z
7m≠1+9n ( m, n ∈ Z)
или даже в таком виде
(Pi/18)+(Pi/9)m, m ∈ Z
(Pi/18)+(Pi/9)m≠ (Pi/14)+(Pi/7)n , m, n ∈ Z

По-моему во втором слагаемом пропущен множитель сosx
Это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени:
2sin^3x-sin^2x*cosx+2sinxcos^2x–cos^3x =0
Делим на соs^3x ≠ 0
2tg^3x-tg^2x+2tgx-1=0
tg^2x*(2tgx-1)+(2tgx-1)=0
(2tgx-1)(tg^2x+1)=0
tgx=1/2
x=arctg(1/2)+Pik, k ∈ Z

ОДЗ
х≠ Pis, s ∈Z

Так как
ctg^2x+1=1/sin^2x ⇒
ctg^2x=(1/sin^2x)-1

(3–ctg^2x)sin2x = 2(1+cos2x)
(4-(1/sin^2x))*sin2x=2*(1+cos2x)
Заменим (1+cos2x)=2cos^2x
((4sin^2x-1)*2sinx*cosx)/(sin^2x) -4cos^2x=0
Приводим к общему знаменателю
В условиях ОДЗ приравниваем к нулю только числитель
(4sin^2x-1)*2sinx*cosx -4cos^2x*sin^2x=0

2sinx*cosx*(4sin^2x-1-2sinx*cosx)=0

sinx ≠ 0 х≠ Pis, s ∈Z

cosx=0 ⇒ [b]x=(Pi/2)+Pik, k∈Z[/b]

ИЛИ

4sin^2x-1-2sinx*cosx=0 - однородное тригонометрическое уравнение второй степени
1=sin^2x+cos^2x

3sin^2x-2sinx*cosx-cos^2x=0
Делим на cos^2x≠ 0

3tg^2x-2tgx-1=0
D=4+12=16
tgx=1 или tgx=-1/3

[b]х=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z[/b] или [b] x=arctg(-1/3)+Pim, m ∈ Z[/b]

Найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
[b]x=(Pi/8)+(Pi/2)k, k ∈ Z[/b] или [b]x=(Pi/4)+(Pi/2)n, n ∈ Z[/b]

О т в е т.
x=(Pi/2)+Pik, k∈Z
х=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z
x= - arctg(1/3)+Pim, m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

x^2+2y^2=1/z
z > 0

При z=1
эллипс
x^2+2y^2=1
При z=2
эллипс
x^2+2y^2=1/2

При z=3
эллипс
x^2+2y^2=1/3

При z=1/2
эллипс
x^2+2y^2=2

При z=1/3
эллипс
x^2+2y^2=3

По ним легко представить поверхность
см. рис.
Поверхность похожая на эллиптический конус
не имеющего остроконечной вершины

Чем выше по оси Оz делаетсЯ срез, тем эллипсы имеют размер меньше ( а и b меньше)

(прикреплено изображение)

Решаем первое неравенство [b] методом рационализации [/b] логарифмических неравенств:
{7 - x > 0; 7 - x ≠ 1 ⇒ х < 7; x≠ 6
{14+5x-x^2 > 0 ⇒ x^2-5x-14 < 0 ⇒ D=81 корни -2 и 7 х ∈ (-2;7)
{ [b](7-x-1)*(14+5x-x^2-(7-x)) меньше или равно 0 [/b]

{x ∈ (-2;6)U(6;7)
{[b](x-6)*(x+1)*(x-7) меньше или равно 0 [/b]

о т в е т. (-2;-1]U(6;7)

Второе неравенство приводим к общему знаменателю и решаем методом интервалов
(х-6)*(х+1)*(х+2)/(х*(х+2)) больше или равно 0
(х-6)*(х+1)*/х больше или равно 0
x≠ -2
о т в е т. [-1;0)U[6;+ бесконечность )

Пересечение множеств
О т в е т. {-1}U(6;7)

tg3x=tg(x+2x)=(tgx+tg2x)/(1-tgx*tg2x)

tg2x=2tgx/(1-tg^2x)

tg3x=(tgx+(2tgx/1-tg^2x))/(1-tgx*(2tgx/1-tg^2x))=
=(tgx*(1-tg^2x)+2tgx)/(1-tg^2x-2tg^2x)=
=(3tgx-tg^3x)/(1-3tg^2x)

Уравнение принимает вид:
(3tgx-tg^3x)/(1-3tg^2x)=(2+sqrt(3))tgx
tgx*( (3-tg^2x)/(1-3tg^2x)-(2+sqrt(3)))=0

x ≠ (Pi/2)+Pim, m ∈ Z
tg^2x≠1/3 ⇒tgx≠1/sqrt(3) и tgx≠ - 1/sqrt(3)
x ≠ (Pi/6)+Pim, m ∈ Z и x ≠ -(Pi/6)+Pim, m ∈ Z

tgx=0 ⇒ [b] x=Pik, k ∈ Z[/b]

ИЛИ

(3-tg^2x)/(1-3tg^2x)-(2+sqrt(3))=0

tg^2x=(sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3))

tgx= - sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))
или
tgx=sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))
[b]
x=arctg(- sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))) + Pin, n ∈ Z
х=arctg(sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))) + Pin, n ∈ Z
[/b]

О т в е т. x=Pik, k ∈ Z
±arctg(sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))) + Pin, n ∈ Z

13^(2x+3)/13^(-4x-11)=13^(2x+3)*13^(4x+11)=13^(2x+3+4x+11)=13^(6x+14)

13^(6x+14)=13^(2)
6x+14=2
6x=2-14
6x=-12
x=-2
О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

Формула перехода к другому основанию
log_(2)2/log_(2)x + 2*log_(2)2/log_(2)(2x) больше или равно 2
(1/t)+(2/(1+t)) больше или равно 2

(1+t+2t-2t-2t^2)/(t*(1+t)) больше или равно 0

(2t^2-t-1)/(t*(1+t)) меньше или равно 0

_+_ (-1) _-_ [-1/2] _+_ (0) ___-__ [1]_+__

-1 < log_(2)x меньше или равно -1/2 или 0 < log_(2)x меньше или равно 1
О т в е т. (1/2; sqrt(2)/2] U(1;2]

Ответ выбран лучшим

sin^4(2x/3)+cos^4(2x/3) = 5/8
(sin^2(2x/3)+cos^2(2x/3))^2-2sin^2(2x/3)*cos^2(2x/3)=5/8
1-2sin^2(2x/3)*cos^2(2x/3)=5/8
2sin^2(2x/3)*cos^2(2x/3)=3/8
4sin^2(2x/3)*cos^2(2x/3)=3/4
sin^2(4x/3)=3/4
sin(4x/3)=- sqrt(3)/2 или sin(4x/3)=sqrt(3)/2

1)sin(4x/3)=- sqrt(3)/2
(4x/3)=(-1)^(k)*(-Pi/3)+Pik, k ∈ Z
[b]x=(-1)^(k)*(-Pi/4)+(3Pi/4)k, k ∈ Z[/b]
2)sin(4x/3)= sqrt(3)/2
(4x/3)=(-1)^(n)*(Pi/3)+Pik,n ∈ Z
[b]x=(-1)^(n)*(Pi/4)+(3Pi/4)n, n ∈ Z[/b]

О т в е т.
(-1)^(k)*(-Pi/4)+(3Pi/4)k, k ∈ Z
(-1)^(n)*(Pi/4)+(3Pi/4)n, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

5^(-3)*5^(-9)=5^(-3+(-9))=5^(-12)

5^(-12)/5^(-11)=5^(-12-(-11))=5^(-1)=1/5

О т в е т. 1/5

3=log_(3)27
log_(3) ( x^2–3x–1) < log_(3)27

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
{x^2-3x-1 > 0 ⇒ D=9+4=13; корни (3±sqrt(13))/2
{x^2-3x-1 < 27 ⇒ x^2-3x-28 < 0 ⇒ D=9-4*(-28)=121
корни -4 и 7 ⇒ (-4;7)

О т в е т. (-4; (3-sqrt(13))/2)U(3+sqrt(13))/2; 7)

ОДЗ
сosx ≠ 0 ⇒ x≠ (Pi/2)+Pik, k∈ Z

Формулы понижения степени
sin^2 альфа =(1-cos2 альфа )/2
cos^2 альфа =(1+cos2 альфа )/2

(2*(1-2cos2x+cos^2x)-4)/(1+2cos2x+cos^22x)=2

(2-4cos2x+2cos^22x-4-2-4cos2x-2cos^22x)/(1+2cos2x+cos^22x)=0

-4-8cos2x=0

cos2x=-1/2
2x= ± (2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z
[b] x =± (Pi/3)+Pin, n ∈ Z [/b]

О т в е т. x =± (Pi/3)+Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

sinx+sin^2x+sin^3x = cosx+cos^2x+cos^3x

sinx+sin^2x+sin^2x*sinx = cosx+cos^2x+cos^2x*cosx
cosx+cos^2x+cos^2x*cosx-sinx-sin^2x-sin^2x*sinx =0
cosx+cos^2x+(-sin^2x)*cosx-sinx-sin^2x-(1-cos^2x)*sinx =0
2(cosx-sinx)+(cos^2x-sin^2x)+cosxsinx*(cosx-sinx)=0
(cosx-sinx)*(2+cosx+sinx+cosxsinx)=0
cosx-sinx=0
tgx=1
[b]x=(Pi/4)+Pik, k ∈ Z[/b]
или
2+cosx+sinx+cosxsinx =0
Замена переменной
cosx+sinx=t
Возводим в квадрат
cos^2x+2cosx*sinx+sin^2x=t^2
2sinxcosx=t^2-1
cosxsinx=(t^2-1)/2

2+t+(t^2-1)/2=0
4+2t+t^2-1=0
t^2+2t+3=0
[b]уравнение не имеет корней[/b], D=4-12 < 0

О т в е т. (Pi/4)+Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Формула понижения степени
sin^2x=(1-cos2x)/2
(1-cos2x)/2–(1-cos4x)/2+(1-cos6x)/2 = 1/2
1-cos2x-1+cos4x+1-cos6x=1
cos4x-cos2x-cos6x=0
2x=t
cos2t-cost-cos3t=0
2cos^2t-1-cost-4cos^3t+3cost=0
-4cos^3t+2cos^2t+2cost-1=0
-2cos^2t*(2cost-1)+(2cost-1)=0
(2cost-1)*(-2cos^2t+1)=0
cost=1/2
cos2x=1/2
2x= ± (Pi/3)+2Pik, k ∈ Z
[b]x=± (Pi/6)+Pik, k ∈ Z [/b]

или

-2cos^2t+1=0
cos^2t=1/2
cost=-sqrt(2)/2 или сost=sqrt(2)/2
cos2x=-sqrt(2)/2 или сos2x=sqrt(2)/2
2x= ± (3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z или 2x= ± (Pi/4)+2Pim, m ∈ Z

[b]x= ± (3Pi/8)+Pin, n ∈ Z[/b] или [b]х=± (Pi/8)+Pim, m ∈ Z[/b]

О т в е т.
± (Pi/6)+Pik, k ∈ Z
± (3Pi/8)+Pin, n ∈ Z
± (Pi/8)+Pim, m ∈ Z

Два ответа
± (3Pi/8)+Pin, n ∈ Z и
± (Pi/8)+Pim, m ∈ Z
можно объединить в один
(Pi/8)+(Pi/4)*s, s ∈ Z
cм. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ctg((π/4)+x)=1/tg((π/4)+x)=
=(1-tgxtg(π/4))/(tg(π/4)+tgx)= (1-tgx)/(1+tgx)

tg2x=2tgx/(1-tg^2x)

Уравнение принимает вид:
(1-tgx)/(1+tgx) = 7 - (10tgx/(1-tg^2x))

(1-tgx)/(1+tgx) -7 + (10tgx/(1-tg^2x))=0

((1-tgx)^2-7*(1-tg^2x)+10tgx)/(1-tg^2x)=0

(8tg^2x+8tgx-6)/(1-tg^2x) =0

{4tg^2x+4tgx-3=0
{tgx ≠ ± 1
{cosx ≠ 0

D=16-4*4*(-3)=16+48=64
tgx=-3/2 или tgx = 1/2
x=arctg(-3/2)+Pik, k ∈ Z или х=arctg(1/2)+Pin, n ∈ Z
не входят в указанные выше ограничения.

О т в е т. -arctg(3/2)+Pik, k ∈ Z или х=arctg(1/2)+Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

sin^8x-cos^8x=(sin^4x-cos^4x)*(sin^4x+cos^4x)=

=(sin^2x-cos^2x)*1*(sin^4x+cos^4x)=-cos2x*(sin^4x+cos^4x)

sin^4x+cos^4x=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=
=1 - (1/2)sin^22x

Уравнение принимает вид
-2cos2x*(1-(1/2)sin^22x)=cos^22x-cos2x;

cos2x*(cos2x-1+2 -sin^22x)=0

cos2x=0 ⇒ 2x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z ⇒ x=(Pi/4)+(Pi/2)k, k ∈ Z
или

cos2x+1-sin^22x=0
cos2x+1-1+cos^22x=0
cos2x+cos^22x=0
cos2x*(1+cos2x)=0
cos2x=0 или
cos2x=-1 ⇒ 2х=Pi+2Pin, n ∈ Z ⇒ x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z

О т в е т.
(Pi/4)+(Pi/2)k, k ∈ Z
(Pi/2)+Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

sin((π/2)cosx)/cos((π/2)cosx) + cos(πsinx)/sin(πsinx) = 0

cos( πsinx - ((π/2)cosx))/(cos((π/2)cosx)*sin(πsinx)) = 0

{ cos( πsinx - ((π/2)cosx))=0
{cos((π/2)cosx ≠ 0
{sin(πsinx) ≠ 0

{ πsinx - (π/2)cosx=(π/2)+πk, k∈ Z
{(π/2)cosx ≠ (π/2)+πm, m∈ Z
{πsinx ≠ πn, n ∈ Z

{ sinx - (1/2)cosx=(1/2)+k, k∈ Z
{(1/2)cosx ≠ (1/2)+m, m∈ Z
{sinx ≠ n, n ∈ Z

{ sinx - (1/2)cosx=(1/2)+k, k∈ Z ⇒возможны k=-1; k=0.
{cosx ≠ 1+2m, m∈ Z ⇒ m=0; m=-1
{sinx ≠ n, n ∈ Z ⇒ n=0; n=-1; n=1
cosx ≠ 0
cosx ≠ -1
sinx ≠ 0
sinx ≠ 1
sinx ≠ -1

Возможные значения для k
k=-1; k=0.

При k=-1
sinx - (1/2)cosx=-1/2
Применяем метод вспомогательного угла
2/sqrt(5)sinx-(1/sqrt(5))cosx= -1/sqrt(5)
cos phi *sinx - sin phi *cosx=-1/sqrt(5)
sin(x- phi )=-1/sqrt(5)
[b]x=arcsin(1/sqrt(5))+(-1)^(s) arcsin(-1/sqrt(5))+Pis, s ∈ Z[/b]

При s=2r
x=arcsin(1/sqrt(5))+arcsin(-1/sqrt(5))+2Pir=
=2Pir, r ∈ Z не удовл усл.( sinx ≠ 0)

При s=2r+1
x=arcsin(1/sqrt(5))-arcsin(-1/sqrt(5))+Pi+2Pir=
=2arsin(1/sqrt(5))+Pi+2Pir, r ∈ Z

При k=0
sinx - (1/2)cosx=1/2
Применяем метод вспомогательного угла
2/sqrt(5)sinx-(1/sqrt(5))cosx= 1/sqrt(5)
cos phi *sinx - sin phi *cosx=1/sqrt(5)
sin(x- phi )=1/sqrt(5)
[b]x=arcsin(1/sqrt(5))+(-1)^(s) arcsin(1/sqrt(5))+Pis, s ∈ Z[/b]

При s=2r
x=arcsin(1/sqrt(5))+arcsin(1/sqrt(5))+2Pir=
=2arcsin(1/sqrt(5)+2Pir, r ∈ Z

При s=2r+1
x=arcsin(1/sqrt(5))-arcsin(1/sqrt(5))+Pi+2Pir=
=Pi+2Pir, r ∈ Z (не удовл усл.( sinx ≠ 0))

О т в е т.
1)x=2arsin(1/sqrt(5))+Pi+2Pir, r ∈ Z
2)x=2arcsin(1/sqrt(5)+2Pir, r ∈ Z

Так как
arccos(-a)=Pi-arccosa;
arcsina+arccosa=Pi/2
arccosa=(Pi/2)-arcsina

2arccos(-1/sqrt(5))=2Pi-2arccos(1/sqrt(5))=
=2Pi-2*((Pi/2)-arcsin(1/sqrt(5))=2Pi-Pi+2arcsin(1/sqrt(5))

2arccos(1/sqrt(5))=2*(Pi/2-arcsin(1/sqrt(5))=
=Pi-2arcsin(1/sqrt(5))
-2arccos(1/sqrt(5))=
=2arcsin(1/sqrt(5)) - Pi

Значит
ответ 1) x=2arsin(1/sqrt(5))+Pi+2Pir, r ∈ Z равен -2arccos(-1/sqrt(5))+2Pin, n Z
ответ 2) x=2arcsin(1/sqrt(5)+2Pir, r ∈ Z равен
-2arccos(1/sqrt(5) + Pi+2Pir, r ∈ Z

Ответ выбран лучшим

а)
∠ АСB - вписанный в окружность, он измеряется половиной дуги АС.
∠ ЕАB - угол между касательной АЕ и хордой АВ, измеряется половиной дуги АС.
Значит ∠ АСB= ∠ ЕАB= альфа.

∠ СAD= ∠ BAD = бета ( АD биссектриса ∠ ВАС)

∠ ЕАD= ∠ЕАВ + ВAD= [b]альфа + бета[/b]
∠ АDE=∠ DАВ+ ∠СAD=[b]альфа + бета[/b] ( внешний угол треугольника АСD.
∠ ЕАD=∠ АDE=альфа + бета

Значит треугольник ЕАD равнобедренный,
[b] АЕ=ЕD.[/b]

б)
CE*BE=AE^2 - [b] произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной [/b]
9*4=AE^2
AE=6
По теореме косинусов из треугольника АВЕ
АВ^2=АЕ^2+BE^2-2*AE*BE*cos∠ AEB=6^2+4^2-2*6*4*(9/16)=52-27=25
AB=5

По теореме косинусов из треугольника АCЕ
АC^2=АЕ^2+CE^2-2*AE*CE*cos∠ AEB=6^2+9^2-2*6*9*(9/16)=117-(243/4)=225/4
AC=15/2=7,5
Треугольник АВС равнобедренный
АВ=ВС=5
ВК ⊥ АС
Высота ВК равнобедренного треугольника одновременно и медиана.
АК=КС=15/4
По теореме Пифагора
ВК^2=AB^2-AK^2=5^2-(15/4)^2=(400-225)/16=175/16
h=BK=5sqrt(7)/4
О т в е т. 5sqrt(7)/4 (прикреплено изображение)

ОДЗ:
х ≠(Pi/2)+Pik, k ∈ Z
x-(Pi/4) ≠ (Pi/2)+Pik, k ∈ Z ⇒ x ≠ (Pi/4)+(Pi/2)+Pik, k ∈ Z ⇒
x ≠ (3Pi/4)+Pik, k ∈ Z
x+(Pi/4) ≠ (Pi/2)+Pik, k ∈ Z ⇒ x ≠- (Pi/4)+(Pi/2)+Pik, k ∈ Z ⇒
x ≠ (-Pi/4)+Pik, k ∈ Z
(3Pi/4)+Pik, k ∈ Z и (-Pi/4)+Pik, k ∈ Z это одно и то же
ОДЗ:
x ≠ (-Pi/4)+Pik, k ∈ Z
х ≠(Pi/2)+Pik, k ∈ Z

Применяем формулу
tgx+tgy=sin(x+y)/(cosx*cosy)

tg(x+π/4)+tg(x–π/4)=
=sin(x+(Pi/4)+x-(Pi/4))/(cos(x+(Pi/4))*cos(x-(Pi/4))=
=sin2x/(cos(x+(Pi/4))*cos(x-(Pi/4)

(cos(x+(Pi/4))*cos(x-(Pi/4)=(1/2)*(cos(2x)+cos(Pi/2))=
(1/2)cos2x
Уравнение принимает вид
2sin2x/сos2x=sinx/cosx
Пропорция
2*sin2x*cosx=cos2x*sinx
2sinxcos^2x=(cos^2x-sin^2x)*sinx
2sinxcos^2x-sinx*cos^2x+sin^3x=0
sinx(cos^2x+sin^2x)=0
sinx=0
x=Pin, n ∈ Z корни удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. Pin, n ∈ Z

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла
Делим уравнение на 2

сos3x=sqrt(3)/2 cosx+(1/2)sinx

Так как
sqrt(3)/2=sin(Pi/3)
(1/2)=cos(Pi/3)

сos3x=sin(Pi/3)* cosx+cos(Pi/3)*sinx

cos3x=sin(x+(Pi/3))
sin(x+Pi/3)-sin((Pi/2)-3x)=0
2sin(2x-(Pi/12))*cos(5Pi/12)-x)=0

sin(2x-(Pi/12))=0
2x-(Pi/12)=Pik, k∈ Z
2x =(Pi/12)+Pik, k∈ Z
x=(Pi/24)+(Pi/2)*k, k∈ Z

или
cos(5Pi/12)-x)=0
сos(x-(5Pi/12))=0
x-(5Pi/12)=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
x=(5Pi/12)+(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
x=(11Pi/12)+Pin, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/24)+(Pi/2)*k,(11Pi/12)+Pin, k, n ∈ Z

√2cos^25x=cos5x
√2cos^25x-cos5x=0
cos5x*(√2cos5x-1)=0
cos5x=0 или сos5x=1/sqrt(2)
5x=(Pi/2)+Pik, k ∈Z или 5х= ± (Pi/4)+2Pin, n ∈ Z ⇒
x=(Pi/10)+(Pi/5)k, k ∈Z или х= ± (Pi/20)+(2Pi/5)*n, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/10)+(Pi/5)k, ± (Pi/20)+(2Pi/5)*n, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Удалено, так как другое выбрано лучшим

Удалено, так как отмечено лучшее

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна радиусу описанной окружности и равна половине гипотенузы ( гипотенуза - диаметр этой окружности).
СМ=АВ=ВМ=R

Треугольники АСМ и ВСМ - равнобедренные.
Обозначим
∠ А= ∠ АСМ=альфа
∠ В= ∠ ВСМ=90 градусов - альфа

AL- бисеектриса угла А
∠ СAL= ∠ LAB=альфа/2

∠ СTL=(aльфа/2)+альфа=3альфа/2
внешний угол треугольника АТС равен сумме внутренних с ним не смежных

Треугольник СТL - равнобедренный ( СT=CL)
∠CTL= ∠CLT=3альфа/2

Cумма углов треугольника СТL равна 180 градусов.
Уравнение
(3альфа/2)+(3альфа/2)+(90 градусов - альфа)=180 градусов
2 альфа=90 градусов
альфа =45 градусов.

Треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный
∠ А= ∠ В=45 градусов
О т в е т. 45 градусов

Ответ выбран лучшим

V( пирамиды SABC)=(1/3) S (Δ АВС) * SM
SM=H
V( пирамиды SABC)=(1/3) S (Δ АВС)*Н
V( пирамиды DABC)=(1/3) S (Δ АВС) * DN
DN=h
V( пирамиды DABC)=(1/3) S (Δ АВС) * h

Из подобия треугольников SMB и DNB
H:h=3:2
h=2H/3

V( пирамиды DABC)=(1/3) S (Δ АВС) * h=(1/3)S (Δ АВС) *(2/3)H=(2/3)*V(пирамиды SABC)=(2/3)*15=10
Оставшаяся часть имеет объем 5.
Он меньше чем 10.
О т в е т. 10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть выбрана первая вершина, например А.

Чтобы получить сторону пятиугольника второй следует выбрать либо вершину В либо вершину D
Вероятность выбора В или D:
(1/4)+(1/4)=2/4=1/2

О т в е т. 1/2

Ответ выбран лучшим

Если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

На рисунке три промежутка убывания.
Первый содержит три точки, с целыми xi,
второй - две,
третий - одну
См. рис.
О т в е т. 6
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть расстояние между пунктами А и В равно S км, скорость первого х км/ч, второго - у км/ч.

Первый прошел полпути, т. е (S/2) cо скоростью х км в час.Значит
(S/2x) часов - время первого
За это же время второй прошел
y*((S/2x)=(S*y)/(2*x) км, и ему осталось пройти 24 км
Получаем первое уравнение:
(S*y)/(2*x) +24=S

Второй прошел полпути за (S/2у) часов.
За это время первый прошел ((S/2у)*х=(S*х)/(2*у) км
и ему осталось пройти 15 км
Получаем второе уравнение:
(S*х)/(2*у)+15=S

{(S*y)/(2*x) +24=S
{(S*х)/(2*у)+15=S

Перепишем
{(S*y)/(2*x) =S-24
{(S*х)/(2*у)=S-15

Умножаем первое уравнение на второе
(S/2)*(S/2)=(S-24)*(S-15)

S^2/4=S^2-39S+360
S^3-52S+480=0
D=(-52)^2-4*480=2704-784=28^2

S_(1)=(52-28)/2=12 не удовл. смыслу задачи
S_(2)=(52+28)/2=40 км

Значит, когда первый прошел 20 км, второй прошел (40-24)=16 км
20/x=16/y ⇒ 5y=4x ⇒ y=(4/5)x
Когда второй прошел 20 км, первому оставалось еще 15 км.

(15/x) час время за которое первый пройдет эти 15 км,
второй за это время пройдет
y*(15/x)=(4/5)x*(15/x)=(4/5)*(15)=12 км

20-12=8 км останется пройти второму до А после того, как первый дойдет из А в В

О т в е т. 8 км

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(13π/2–x)=cos(6π+(π/2)–x)=cos((π/2)–x)=sinx

(5/sin^2x)+(7/sinx) - 6 =0

(5+7sinx-6sin^2x)/sin^2x=0

{5+7sinx-6sin^2x=0
{sin^2x ≠ 0 ⇒ sinx ≠ 0 ⇒ x ≠ Pik, k ∈ Z

6sin^2x-7sinx-5=0
D=(-7)^2-4*6*(-5)=49+120=169
sinx=5/3 - уравнение не имеет корней,
так как |sinx| меньше или равно 1
5/3 > 1

sinx=-1/2
x=(-1)^k arcsin(-1/2)+Pik, k ∈ Z
x=(-1)^k *(-Pi/6)+Pik, k ∈ Z
можно записать в виде серии двух ответов
x=(-Pi/6)+2Pik или х=Pi+(Pi/6)+2Pik=(7Pi/6)+2Pik, , k ∈ Z

Указанному отрезку принадлежит корень
х=(-Pi/6)+2Pi=11Pi/6

3Pi/2=9Pi/6 < 11Pi/6 < 18Pi/6=3Pi

О т в е т.
a)x=(-1)^k *(-Pi/6)+Pik, k ∈ Z
б)11Pi/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

cos^2(x/2)=1-sin^2(x/2)

4sin^4(x/2)+12*(1-sin^2(x/2))=7

4sin^4(x/2)-12*sin^2(x/2))+5=0

sin^2(x/2)=t

4t^2 -12t+5=0
D=144-4*4*5=64=8^2
t=(12-8)/8=1/2 или t=(12+8)/8=5/2

sin^2(x/2)=(5/2) ⇒ sin(x/2)=± sqrt( 5/2)
уравнения
sin(x/2)= - sqrt( 5/2) и sin(x/2)= sqrt( 5/2)
не имеют корней в силу ограниченности косинуса и синуса
|sinx| меньше или равно 1;
|cosx| меньше или равно 1;
sqrt(5/2) > 1

sin^2(x/2)=1/2 ⇒ sin(x/2)=-sqrt(2)/2 или sin(x/2)=sqrt(2)/2

sin(x/2)=-sqrt(2)/2 ⇒ (x/2)=(-1)^k*(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z ⇒
x=(-1)^k(-Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
при k=2m
x=(-Pi/2)+2Pim, m ∈ Z
при k=2m+1
x=(5Pi/2)+2Pim, m ∈ Z

ИЛИ

sin(x/2)=sqrt(2)/2 ⇒ (x/2)=(-1)^n*(Pi/4)+Pin, n ∈ Z ⇒
x=(-1)^n(Pi/2)+2Pin, n ∈ Z ⇒
при n=2m
x=(Pi/2)+4Pim,
при n=2m+1
x= (3Pi/2)+4Pim,
m ∈ Z

О т в е т.
(-Pi/2)+2Pim, (Pi/2)+4Pim, (3Pi/2)+4Pim,(5Pi/2)+2Pim, m ∈ Z

sinx=π/6
x=(-1)^(k)arcsin(π/6)+Pik, k ∈ Z
О т в е т. (-1)^(k)arcsin(π/6)+Pik, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения х ≠ 0

(250+50x-x^3)/x=(250/x)+(50x/x)-(x^3/x)=(250/x)+50-x^2

y`=( (250/x)+50-x^2)`=(-250/x^2)-2x
y`=0
(-250/x^2)-2x=0
(-250/x^2)=2x
x ≠ 0
x^3=-125
x=-5

[-10] __+__ (-5) _ -_ [-1]
-8 ∈ (-10;-5)
y`(-8)=(-250/(-8)^2)-2*(-8) > 0
-4 ∈ (-5;-1)
y`(-4)=(-250/(-4)^2)-2*(-4) < 0

x=-5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
y_(max)=y(-5)=(250+50*(-5)-(-5)^3)/(-5)= -25

О т в е т. -25 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию
DF=FC ( F- середина DC)
AE=EB ( E- середина AB)
AB=DC
DF=FC=AE=EB

FE || AD и FE || BC

FE делит параллелограмм на 2 равные части
параллелограмм ADFE и параллелограмм EFCB

Так как Δ ADF= ΔAFE по трем сторонам
Δ FEC= ΔBCE по трем сторонам

FE - диагональ параллелограмма AFCE делит параллелограмм на два равных треугольника
ΔAFE= ΔBCE

Итак
Δ ADF= ΔAFE =Δ FEC= ΔBCE
S(Δ ADF) = S(ΔAFE) = S(Δ FEC) = S( ΔBCE)=
=1/4 S(АВСВ)=12/4=3

S(АEFC)=2*3=6

О т в е т. 6

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2
так как
sin^2x+cos^2x=1 ⇒ 2sinx*cosx=t^2-1

Уравнение принимает вид
6t-(t^2-1)+6=0
t^2-6t-7=0
D=36-4*(-7)=36+28=64=8^2
t=(6-8)/2=-1 или t=(6+8)/2=7

Обратная замена
sinx+cosx=7 - уравнение не имеет решений, так как
-1 меньше или равно sinx меньше или равно 1
-1 меньше или равно cosx меньше или равно 1
Cкладываем
-2 меньше или равно sinx+cosx меньше или равно 2

sinx+cosx=-1
cosx=sin((Pi/2)-x)

sinx+ sin((Pi/2)-x) =-1
2sin(x+(Pi/2)-x))/2 * cos(x-((Pi/2)-x))/2=-1
2sin(Pi/4) * cos(x-(Pi/4)=-1
sin(Pi/4)=sqrt(2)/2

sqrt(2)* cos(x-(Pi/4)=-1
cos(x-(Pi/4))=-1/sqrt(2)

x-(Pi/4)= ± arccos(-1/sqrt(2))+2Pin, n ∈ Z
x=(Pi/4) ±(3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/4) ±(3Pi/4)+2Pin, n ∈ Z
можно записать как две серии ответов(-Pi/2)+2Pin, n ∈ Z
Pi+2Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1=sin^2x+cos^2x

4sinx*cosx-3sin^2x=sin^2x+cos^2x
4sin^2x-4*sinx*cosx+cos^2x=0
(2sinx-cosx)^2=0
2sinx-cosx=0
Однородное тригонометрическое уравнение первой степени.
Делим на cosx ≠ 0
2tgx-1=0
tgx=1/2
x=arctg (1/2)+Pik, k ∈ Z
О т в е т. arctg (1/2)+Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

{6sinx–2cos2x–4cos^2x–3 = 0
{√7sinx–3cosx ≠ 0 ⇒ tgx ≠ 3/sqrt(7)

6sinx–2cos2x–4cos^2x–3 = 0

cos2x=1-2sin^2x
cos^2x=1-sin^2x

6sinx–2*(1-2sin^2x)–4*(1-sin^2x)–3 = 0

8sin^2x+6sinx-9=0
sinx=t
8t^2+6t-9=0
D=36-4*8*(-9)=36+288=324=18^2
t_(1)=(-6-18)/16=-24/16=-3/2
или
t_(2)=(-6+18)/16=12/16=3/4

sinx=- 3/2 - уравнение не имеет корней, |sinx| меньше или равно 1

sinx=3/4 ⇒ cosx=± sqrt(1-sin^2x)= ± sqrt(1-(3/4)^2)= ± sqrt(7)/4

tgx=sinx/cosx=(3/4):( ± sqrt(7)/4)=3/( ± sqrt(7))

Так как второе неравенство системы приводит к неравенству tgx ≠ 3/sqrt(7)

решаем уравнение
sinx=3/4 при условии tgx ≠ 3/sqrt(7) ( т.е корень уравнения не принадлежит 1 и 3 четверти)

x= Pi - arcsin(3/4)+2Pik, k ∈ Z

О т в е т. Pi - arcsin(3/4)+2Pik, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg3x-tgx=0
sin(3x-x)/(cos3x*cosx)=0

{sin(3x-x)=0 ⇒sin2x=0
{cos3x≠0 ⇒ 3x≠(Pi/2)+Pin, n∈ Z ⇒ x≠(Pi/6)+(Pi/3)n, n∈ Z
{cosx≠0 ⇒ x≠(Pi/2)+Pim, m∈ Z

sin2x=0
2x=Pik, k ∈ Z
x=(Pi/2)k, k ∈ Z
В ответ не входят точки (Pi/2)+Pim, m∈ Z

О т в е т. Pik, k ∈ Z ( cм. рис) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

На первом комбинате m человек изготавливают по 2 детали A, за смену – 2m деталей A.

Так же на первом комбинате (200- m) человек изготавливают по 2 детали B, за смену – всего 2*(200–m) деталей B.

Пусть на втором комбинате изготавливают a деталей A, и b деталей B.

Тогда на изготовление деталей A требуется a^2 человеко-смен, соответственно, для деталей B – b^2 человеко-смен.

Всего (a^2 + b^2) = 200, т.к. в одну смену трудятся все 200 рабочих второго комбината (200 человеко-смен).

Тогда на 2–х комбинатах изготавливают (2m+a) деталей А и (2*(200–m)+b) деталей В.

Чтобы собирать наибольшее число изделий необходимо соблюдать пропорцию:
N_(A) / N_(B) = 1 / 1
N_(A) = N_(B) , где N_(A)–количество деталей А, N_(B) – количество деталей В (так как для сборки одного изделия: на одну деталь A нужна одна деталь B)

Т.о. 2m+a= 2*(200–m)+b

В каждом изделии одна деталь A и одна деталь B, значит общее количество изделий равно числу деталей A или числу деталей В, т.е. N = N_(A) = N_(В)
2m+a =2(200–m)+b → max
2m+a = 400–2m+b

4m = 400 + b–a

m = 100 + (b–a)/4

Необходимо, чтобы (b–a) делилось нацело на 4
в силу того, что все числа целые.

Т.к. a и b – целые, а также a^2 + b^2 = 200,
возможны следующие значения:
1)a = 10; b = 10
m = 100 + 0 = 100
N = 2*100+10 = 210

2)a = 2; b = 14
m = 100 + (14–2)/4= 103
N = 2*103+2 =208

3)a = 14; b = 2
m = 100 + (2–14)/4 = 97
N = 2*97+14=208

Таким образом, наибольшее число изделий 210

ОДЗ:
{(x^2-7x+12)/(x-1) > 0

(1;3) U (4;+ бесконечность)

Так как
log_(sqrt(2))y=1/(1/2)log_(2)y=2log_(2)y
y > 0

5log_(2)(x-6+(6/(x-1))=5log_(2)(x^2-7x+12)/(x-1)

2log_(2)(3/(x-4)-(2/(x-3))=2log_(2)(x-1)/(x^2-7x+12)

5log_(2)(x^2-7x+12)/(x-1) меньше или равно 2log_(2)(x-1)/(x^2-7x+12) + 7

5log_(2)(x-3)+5log_(2)(x-4)-5log_(2)(x-1)меньше или равно 2log_(2)(x-1)-2log_(2)(x-3)-2log_(2)(x-3) +7

7log_(2)(x-4)(x-3)/(x-1) меньше или равно 7

log_(2)(x-4)(x-3)/(x-1) меньше или равно 1

(x-4)(x-3)/(x-1) меньше или равно 2

(x^2-7x+12-2x+2))/(x-1) меньше или равно 0

(x^2-9x+14)/(x-1) меньше или равно 0

(x-2)(x-7)/(x-1) меньше или равно 0

_-__ (1) ____ (2) _____-_____ (7) __________

С учетом ОДЗ получаем ответ.
(4;7)

ОДЗ:
{x+7 > 0
{x+4 > 0; x+4 ≠ 1
{x^2+2x+1 > 0; x^2+2x+1 ≠ 1

Переходим к другому основанию (10 или е)
log_(x+4)(x+7)=lg(x+7)/lg(x+4)

log_(x^2+2x+1)(x+7)=lg(x+7)lg(x^2+2x+1)

(lg(x+7)/lg(x+4)) -( lg(x+7)lg(x^2+2x+1)) меньше или равно 0

Приводим к общему знаменателю

(lg(x^2+2x+1) - lg(x+4))lg(x+7)/ (lg(x+4)*lg(x^2+2x+1)) меньше или равно 0

В числителе разность логарифмов заменим логарифмом частного

(lg(x^2+2x+1)/(x+4))*lg(x+7)/(lg(x+4)*lg(x^2+2x+1)) меньше или равно 0

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя и знаменателя и расставляем знаки

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1 способ
cos4x=1-2sin^22x
4sin^42x+3*(1-2sin^22x)-1=0
4*(sin^22x)^2-6*(sin^22x)+2=0
2*(sin^22x)^2-3*(sin^22x)+1=0
D=9-8=1
sin^2 2x=1 или sin^22x=1/2

sin2x=-1 ⇒ 2x=(-Pi/2)+2Pik, k∈ Z
или
sin2x=1⇒ 2x=(Pi/2)+2Pik, k∈ Z

ответы
x=(-Pi/4)+Pik, k∈ Z или х=(Pi/4)+Pik, k∈ Z
можно записать одним выражением
х=Pi/4)+(Pi/2)k, k∈ Z

или
sin2x=sqrt(2)/2⇒ 2x=(Pi/4)+2Pik, k∈ Z или
2х=(3Pi/4)+2Pik, k∈ Z

x=(Pi/8)+Pik, k∈ Z или х=(3Pi/8)+Pik, k∈ Z

или
sin2x=- sqrt(2)/2⇒ 2x=(-Pi/4)+2Pik, k∈ Z или
2х=(-3Pi/4)+2Pik, k∈ Z

x=(-Pi/8)+Pik, k∈ Z или х=(-3Pi/8)+Pik, k∈ Z

ответы
x=(Pi/8)+Pik, k∈ Z или х=(3Pi/8)+Pik, k∈ Z или
x=(-Pi/8)+Pik, k∈ Z или х=(-3Pi/8)+Pik, k∈ Z
можно записать одним выражением
х=(Pi/8)+(Pi/4)n, n∈ Z
(3Pi/8)-(Pi/8)=2Pi/8=Pi/4

2 способ см. № 2314

sin^2[b]2x[/b]=(1-cos[b]4x[/b])/2

Уравнение принимает вид:
4*((1-cos[b]4x[/b])/2)^2+3cos4x-1=0
1-2cos4x+cos^24x+3cos4x-1=0
cos^24x+cos4x=0
cos4x*(cos4x+1)=0
cos4x=0 или сos4x=-1

Одно и то же

Ответ выбран лучшим

sin (x+60°)=sinx*cos60°+cosx*sin60°

cosx=sqrt(3)/2
sinx=-sqrt(1-cos^2x)
знак минус перед корнем так, как угол в 4-й четверти
синус в 4-й четверти имеет знак минус.
sinx=-sqrt(1-(sqrt(3)/2)^2)=-sqrt(1/4)
sinx=-1/2

sin60°=sqrt(3)/2
cos60°=1/2

sin (x+60°)=(-1/2)*(1/2)+sqrt(3)/2*sqrt(3)/2=-1/4+(3/4)=2/4=1/2

Ответ выбран лучшим

1.
A) log_(2)(x-1) < 1 ⇒ log_(2)(x-1) < log_(2)2 ⇒
{x-1 > 0 ⇒ x > 1
{x-1 < 2⇒ x < 3
О т в е т. 3) 1 < x < 3
Б) 3^(-2x) > 3^(-2) ⇒ -2x > -2 ⇒ x < 1
О т в е т. 1) x < 1
В) __-__ (1) __+___ (3) __+___
О т в е т. 2) 1 < x < 3 или х > 3
Г) __+_ (1) __-__ (3) __+__
О т в е т. x < 1 или x > 3

2. По рисунку
1/2 < m < 1
-1 < - m < (-1/2)
4- < 4-m < 4-(1/2)
3 < 4- m < 3 целых 1/2
О т в е т. 4)[3;4]
1/4 < m^2 < 1
О т в е т. 2) [0;1]
1+(1/2) < m +1 < 2
sqrt(1,5) < sqrt(m+1) < sqrt(2)
О т в е т. 3) [1;2]
-2/m
О т в е т. 1)

DE=(1/2)c
DE- диаметр окружности, значит
r=(1/2)DE=c/4

DEM - прямоугольный треугольник, ОM - медиана из прямого угла,
ОM=r=c/4

Аналогично
DEN - прямоугольный треугольник, ON - медиана из прямого угла,
ON=r=c/4

Треугольник ОMN - равнобедренный.
OM=ON=c/4

Теперь используя а,b,c находим косинус NOM и по теореме косинусов найдем MN (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{|x-1| > 0 ⇒ x ≠ 1
{|x-1| ≠ 1 ⇒ x ≠ 0; x ≠ 2
{x-2)^2 > 0 ⇒ x ≠ 2

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(|x-1|-1)*((x-2)^2-|x-1|^2) меньше или равно 0
(|x-1|-1)*(x^2-4x+4-x+2x-1) меньше или равно 0
(|x-1|-1)*(3-2x) меньше или равно 0

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули
|x-1|-1=0 ⇒ | x-1| = 1 ⇒ x-1 = - 1 или х-1=1 ⇒
х=0 или х=2
3-2x=0
x=1,5

_+__ (0) _____-_____ (1) ___-___ [1,5] __+___ (2) __-___

О т в е т. (0;1) U(1;1,5]U(2;+ бесконечность )

∫ dx/(5–x^(2/3))

Замена переменной
x^(2/3)= t^2
x^2=t^6
x=t^3
dx=3t^2dt

∫ dx/(5–x^(2/3)) = ∫ 3t^2dt/(5-t^2)=

=-3 ∫ ((5-t^2)-5)dt/(5-t^2)=

= - 3 ∫ dt+15 ∫ dt/(5-t^2) = - 3t -
- (15/2sqrt(5))ln|(t-sqrt(5))/(t+sqrt(5))| + C, t=∛x

Как-то так. Транспортиром построить точнее. (прикреплено изображение)

Саша назвал 4;5;6;7;8
Дима не мог назвать 7 и 8
потому закончил счет на числе 6
О т в е т. 4;5;6.

ОДЗ
x≠ -2
x≠ 1

Раскладываем на множители
x^4-2x^3+x^2=x^2*(x^2-2x+1)=x^2*(x-1)^2
x^2+x-2=(x-1)(x+2)
В условиях ОДЗ
первая дробь примет вид: x^2*(x-1)/(x+2)

2x^3+x^2+x-1=x^2*(2+x) + (x-1)

Итак, неравенство принимает вид

x^2*(x-1)/(x+2) - ((2x^3 +x^2+x-1))/(x+2)) - 1 меньше или равно 0

(x^3-x^2-2x^3-x^2-x+1-x-2)/(x+2) меньше или равно 0

(-x^3-2x^2-2x-1)/(x+2) меньше или равно 0
(x^3+2x^2+2x+1)/(x+2) больше или равно 0
((x^3+1)+2x*(x+1))/(x+2)больше или равно 0
(x+1)*(x^2-x+1+1)/(x+2)больше или равно 0
(x+1)*(x+2)больше или равно 0

C учетом ОДЗ ответ
(-бесконечность;-2)U[-1;1)U(1;+ бесконечность )

2.
оДЗ:
{x > 0
{x^2-|x|≠0

При x > 0 |x|=x
x^2-x≠0
x≠0 и х ≠1

(0;1)U(1;+бесконечность)

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя
log_(2)8x=0
8x=1
x=1/8
log_(3)27x=0
27x=1
x=1/27

Отмечаем на промежутке (0;1) U(1;бесконечность) эти точки и расставляем знаки.

(0) __-_ [1/27] ___+__ [1/8] __-__ (1) __+___

log_(2)8x > 0 при х > 1/8
log_(3)27x > 0 при x > 1/27
x^2-|x|=x^2-x < 0 при 0 < x < 1
x^2-|x|=x^2-x > 0 при х > 1
О т в е т. 90;1/27]U [1/8;1)

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная с основанию является одновременно и медианой.
АН=НВ=4
Значит АВ=8

Формула для вычисления радиуса описанной окружности
R=a*b*c/4S=5*5*8/(4*(1/2)*8*3)=25/6 (прикреплено изображение)

Найдем точки пересечения данных линий ( параболы и оси Ох)
3x+18–x^2=0

x^2-3x-18=0
D=9-4*(-18)=9+72=81
x_(1)=(3-9)/2=-3 или х_(2)=(3+9)/2=6

S= ∫ ^(6)_(-3)(3x+18-x^2)dx=

=((3x^2/2)+18х-(x^3/3))^(6)_(-3)=
Применяем формулу Ньютона -Лейбница и получим ответ.
=3*18+18*6-(216/3)-(27/2)-18*(-3)+(-27/3)=
=18*9-18*4-13,5+54-9=121,5 (прикреплено изображение)

Чтобы не потерять время при решении полезнее ввести новую переменную.
|3-x|=t
При любом х по определению модуля t больше или равно 0
Уравнение принимает вид
|-2t|=t-2
При t < -2 уравнение не имеет корней.
|-2t| больше или равно 0, а t-2 < 0

Возводим уравнение |-2t|=t-2 в квадрат при условии t больше или равно 2
4t^2=t^2-4t+4
3t^2+4t-4=0
D=16-4*3*(-4)=16+48=64
t_(1)=2/3 или t_(2)=-2
корни не удовлетворяют условию t больше или равно 2
О т в е т. уравнение не имеет корней.

Применяем метод неопределенных коэффициентов.
Представим дробь, записанную под интегралом в виде суммы двух дробей
(A/(x+2)) и (Mx+N)/(x^2+1)
Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
х=А*(x^2+1)+(Mx+N)*(x+2)
x=Аx^2+A+Mx^2+Nx+2Mx+2N
x=(A+M)x^2+(2M+N)x+(A+2N)
Два многочлена ( слева х) равны если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях
Слева многочлен 0*x^2+1*x+0

0 = A + M ⇒ А= - М
1= 2M + N
0= A + 2N ⇒ А = - 2N
M=2N
и подставляем в
1=2M + N
1=2*2N+N
5N=1
N=1/5
M=2N=2/5
A=-2N=-2/5

∫ xdx/((x+2)*(x^2+1))= (-2/5)∫ dx/(x+2) +(1/5) ∫ (2x+1)dx/(x^2+1)=

=(-2/5)∫ d(x+2)/(x+2) + (1/5))∫ d(x^2+1)/(x^2+1)+(1/5)∫dx/(x^2+1)=

=(-2/5)ln|x+2|+(1/5)ln|x^2+1|+(1/5)arctgx+C

ОДЗ:
{-5cosx > 0
{cosx ≠ 0 ( область определения тангенса)

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла
sqrt(3)tg^2x-tgx=0
tgx*((sqrt(3)tgx -1)=0 ⇒
tgx= 0 или tgx=1/sqrt(3) ⇒
x=Pik, k ∈ Z или х=(Pi/6)+Pis, s ∈ Z
С учетом ОДЗ
х=Pi+2Pin, n ∈ Z (k=2n+1) или х=(Pi/6)+(Pi)+2Pim, m ∈Z (s=2m+1)

sqrt(-5cosx)=0 не может, противоречит второму условию ОДЗ

О т в е т.а) Pi+2Pin; (7Pi/6)+2Pim, n, m ∈Z
б) 7Pi/6-4Pi=-17Pi/6; Pi-4Pi=3Pi
(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

A ___________ C ____ B

Пусть автомобиль проехал 500 км за t часов.
Значит скорость автомобиля равна (500/t) км в час.
Мотоциклист выехал на 2 часа позже автомобиля, приехал в А одновременно с автобусом, который прибыл в В.
Значит мотоциклист был в пути (t-2) часов и проехал АС + СА cо скоростью 75 км в час.
Значит на путь АС мотоциклист затратил (t-2)/2 часов и на путь СА затратил (t-2)/2
Cкорость мотоциклиста 75 км в час
Расстояние АС равно
75*(t-2)/2 км.
Время мотоциклиста на путь СА и время автобуса на путь CB - одинаково и равно (t-2)/2
Значит на пусть АС автомобиль затратил (t - ((t-2)/2))=(t+2)/2 часов и ехал со скоростью (500/t) км в час.
Расстояние АС, пройденное автомобилем (500/t)*(t+2)/2 км равно расстоянию АС, пройденному мотоциклистом
75*(t-2)/2
Уравнение
(500/t)*(t+2)/2 = 75*(t-2)/2
Умножаем на 2:
500(t+2)/t = 75*(t-2)
Делим на 25:
20(t+2)/t=3(t-2)
3t^2-26t-40=0
D=26^2-4*3*(-40)=676+480=1156=34^2
t=(26+34)/6=10 часов ; второй корень (26-34)/6 < 0 и не удовлетворяет смыслу задачи

500/t=500/10=50 км в час - скорость автомобиля

V ( пирамиды)= (1/3)*S( осн.) * Н

S(осн.)=S( Δ АВС)=(1/2) *АВ*ВС* sin 60^(o)=
=(1/2)*sqrt(3)*sqrt(3)*(sqrt(3)/2)=3sqrt(3)/4

H=MA=sqrt(3)

V ( пирамиды)= (1/3)*(3sqrt(3)/4) *sqrt(3)=3/4

S( Δ ABC)=(1/2)* AB*AC*sin ∠A

Так как АС=2*АМ
АВ=5АК

S( Δ ABC)=(1/2)*(5AК)*(2AМ)*sin ∠A=
=10*[b](1/2)* АК*АМ*sin ∠A[/b] = 10*S( Δ AMK)=10*3=30

О т в е т. S( Δ ABC) = 30

Четырехугольник КРСВ вписан в окружность.
Сумма противоположных углов равна 180 градусов.
∠ КРС+∠ КВС= 180 градусов, Угол АРК - смежный с углом КРС.
Поэтому
∠ АРК=∠ КВС
и
∠ АКР=∠ РСВ

Δ АКР подобен Δ АВС по двум углам.
Из подобия
AC:AK=BC:KP

КР=AK*BC/AC

Так как по условию АС=2ВС

КР=7 (прикреплено изображение)

S(бок)=P(осн)*h=6a*h

6a*h=648 ⇒ ah=108

Из прямоугольного треугольника АВ1В по теореме Пифагора
AB^2_(1)=AB^2+BB^2_(1)
15^2=a^2+h^2

решаем систему двух уравнений:
{ ah=108
{a^2+h^2=225
Умножаем первое уравнение на 2 и складываем

a^2+2ah+h^2=441 ⇒ a+h=21 или a+h=-21 ( не удовл. смыслу задачи)

{a+h=21 ⇒ h = 21 - a
{ah=108

a* (21 - a) =108
a^2-21a+108=0
D=441-432=9
a_(1)=(21-3)/2=9 или а_(2)=(21+3)/2=12

О т в е т. 9 или 12 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

y`=3x^2-16x+16
y`=0
3x^2-16x+16=0
D=(-16)^2-4*3*16=16*(16-12)=16*4=64=8^2
x_(1)=(16-8)/6=8/6=4/3 ∉ [2,5 ; 13]
x_(2)=(16+8)/6=4 ∈ [2,5 ; 13]

x=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

у(4)=4^3-8*4^2+16*4+11=11
О т в е т. 11

0,75x^2+1,5x)=0,75x*(x+2)*|x|/(x+2)

y=0,75x*|x| ( х ≠ -2)

При х больше или равно 0
у=0,75x^2 ( ветвь параболы в первой четверти)
При x < 0
y= -0,75 x^2 ( ветвь параболы в третьей четверти)

Точка c абсциссой (-2) отсутствует (выколота), данная функция не определена в точке х=-2

Прямая
у= -3 не имеет общих точек с графиком.

При а=-3 уравнение не имеет решений, при всех остальных a имеет единственное решение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСР
АС^2=AP^2-CP^2=13^2-5^2=169-25=144
AC=12
AB^2=AC^2+BC^2=12^2+16^2=144+256=400
AB=20 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(–5/6)x +3 = (1/6)x +9

(-5/6)x- (1/6)x=9-3
-x=6
x=-6

y=( 1/6)*(-6) +9
у=-1+9
у=8
О т в е т. ( - 6; 8)

Неопределенность 0/0
lim_(x→0)f(x)/g(x)=(0/0)=lim_(x→0)f`(x)/g`(x)

f(x)=a^(2x)-e^(2x)
f`(x)=a^(2x)*lna*(2x)`-e^(2x)*(2x)`=2*(a^(2x)*ln2-e^(2x))

g(x)=arctg4x
g`(x)=(1/(1+(4x)^2))*(4x)`=4/(1+16x^2)

lim_(x→0)f`(x)/g`(x)=
=lim_(x→0)2*(a^(2x)*ln2-e^(2x))*(1+16x^2)/4=
=(ln2-1)/2

Треугольник тупоугольный.
Проведем высоту ВК на продолжение стороны АС
Пусть ВК=х

Треугольник АВК - прямоугольный равнобедренный
АК=х
По теореме Пифагора из треугольника АВК:
ВК^2+KC^2=BC^2
x^2+(x+9)^2=27^2
2x^2+18x-648=0
x^2+9x-324=0
D=81-4*(-324)=1377

x=(-9+9sqrt(17))/2 второй корень отрицательный.

АВ=с=sqrt(2)*x=(9sqrt(17)-9)/sqrt(2)

По теореме синусов
a/sin альфа =b/sin бета
27/sin135^(o)=9/sin бета
sin бета =sqrt(2)/6

a/sin альфа =c/sin гамма

sin гамма= сsin альфа /a=
=(9sqrt(17)-9)/(54)=(sqrt(17)-1)/6 (прикреплено изображение)

Применяем метод подведения под дифференциал:
d(5x)=(5x)`*dx=5dx
dx=d(5x)/5

= ∫ sin(5x)*d(5x)/5=(1/5) ∫ sin(5x)d(5x)=(1/5)cos5x + C

(прикреплено изображение)

1)
y`=dy/dx
lnydy/y=xdx
∫ lnydy/y=∫xdx
∫lnyd(lny)= =∫xdx
ln^2(y)/2=x^2/2+c
ln^2y=x^2+C, C=2c

2) y=ux
y`=u`x+u
u`x+u=(u^2x^2+x^2u)/x^2
u`x+u=u^2+u
u`x=u^2
u`=du/dx
du/u^2=dx/x
∫du/u^2= ∫dx/x
-1/u=ln|x|+lnC
-1/u=lnCx

u=y/x
-x/y=lnCx
y=-x/lnCx

(прикреплено изображение)

9^(x) больше или равно 3*4^(x)
Делим на 4^(x) больше или равно 0
(9/4)^(x) больше или равно 3
x больше или равно log_(9/4)3=log_((3/2)^2)3=(1/2)*log_(3/2)3=log_(3/2)sqrt(3)

О т в е т. [log_(3/2)sqrt(3);+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Пусть луч приходит в точку M на оси Ох
Координаты точки М (m;0)

Уравнение прямой АM : у = kx+b_(1)
k- угловой коэффициент прямой,
k=tg альфа,
альфа - угол,который образует прямая АМ с положительным направлением оси Ох.

Так как точки А и M принадлежат прямой АМ, подставим координаты этих точек в уравнение:
3=2k+b_(1)
0=mk+b_(1)

Так как угол падения равен углу отражения, то (180^(o) - альфа) - угол, который образует прямая ВМ с положительным направлением оси Ох.
tg(180^(o)- альфа)=- tg альфа =- k

Уравнение прямой BM: у =- kx+b_(2)

Так как точки В и M принадлежат прямой ВМ, подставим координаты этих точек в уравнение:
4= - k* (-5)+b_(2)
0= -k*m+b_(2)

Cистема:
{3=2k+b_(1)
{0=mk+b_(1)
{4= - k* (-5)+b_(2)
{0= -k*m+b_(2)

Из первого и третьего
{b_(1)=-b_(2)
Складываем второе и четвертое
7 = 7k
k=1
tg альфа = 1
альфа = 45 градусов
О т в е т. 45 градусов (прикреплено изображение)

12-3х=20
-3х=20-12
-3х=8
х=-8/3
х=-2 целых 2/3

BC=5k; XC=7k
тогда ВС: XC=5k:7k=5:7
BX=BC+CX=5k+7k=12k

Из подобия треугольников DСX и YBX
BY:CD=BX:CX

CD=AB=70 мм

BY:70=12k:7k
BY=120мм
АУ=УВ-АВ=120мм-70мм=50 мм
(прикреплено изображение)

9^(2+5x)=1,8*5^(2+5x)
Делим на 5^(2+5x) > 0
(9/5)^(2+5x)=9/5
2+5x=1
5x=1-2
5x=-1
x=-1/5

vector{OP} - направляющий вектор прямой ОР
vector{OP} =(2;3)

Уравнение прямой ОР
(x-2)/2=(y-3)/3
3(х-2)=2(у-3)
3х-2у=0
Уравнение перпендикулярной ей прямой имеет вид:
2х+3у+с=0
Эта прямая проходит через точку Р(2;3)
2*2+3*3+с=0
с= - 13

О т в е т. 2х + 3у - 13 = 0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Общее уравнение прямой у=kx+b
k- угловой коэффициент
k=tg альфа
альфа - угол, который прямая образует с положительным направлением оси Ох
Уравнение прямой образующей угол 3Pi/4 c положительным направлением оси Ох имеет вид
у=-х
k=tg (3Pi/4)=-1
k=0 - прямая проходит через начало координат

Перпендикулярная ей прямая - это прямая
у=х+d
Прямая у=х+d отсекает на осях координат отрезки длины d
Высота прямоугольного треугольника с катетами d и гипотенузой dsqrt(2) равна sqrt(2)
Значит,
из формул площади прямоугольного треугольника
S=(1/2)a*b
и
S=(1/2)c*h
получим
a*b=c*h
d*d=dsqrt(2)*sqrt(2)
d^2-2d=0
d=2

О т в е т. у=х+2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Прямая у=- х - биссектриса второго и четвертого координатных углов.
Это следует из общего уравнения прямой у =kx+b
k- угловой коэффициент прямой
k=tg альфа,
альфа- угол, который образует прямая у= kx+b c положительным направлением оси Ох
b=0 - биссектриса проходит через начало координат

Параллельная ей прямая имеет вид
y=-x + с
Так как по условию прямая отсекает на оси Оу отрезок, равный 3.
ОА=3
ОВ=3
см. рисунок

с = - 3 или с = 3
О т в е т. у= - х - 3 или у= - х + 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямая 2x-5y+10=0 пересекает ось Ох в точке (-5;0); ось Оу в точке (0;2)
Прямоугольный треугольник имеет катеты длиной 5 и 2
S=(1/2)a*b=(1/2)*5*2=5
О т в е т. 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Все аналогичные задачи имеют такое же толкование. Слово проезд понимается как въезд на участок, указанной длины.
2·(30+55)–5=165

Ответ:165 метров

см. рисунок к аналогичной задаче (прикреплено изображение)

Составляем характеристическое уравнение
k^2+k=0
k_(1)=0 или k_(2)=-1
y_(однород)=C_(1)*e^(0) + C_(2)e^(-x) - общее решение однородного уравнения y``+y`=0

решение неоднородных уравнений в каждом случае см в приложении (прикреплено изображение)

. (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

x^2-2x-1=1;
7x^2-x-8=0;
D=b^2-4ac=(-1)^2-4*7*(-8)=1+224=225=(15)^2
x1=(-1-15)/14=-8/14=-6/7 или х_(2)=(-1+15)/14=1;

О т в е т. -6/7; 1

sin^4x=(sin^2x)^2=((1-cos2x)/2)^2
cos^4x=(cos^2x)^2=((1+cos2x)/2)^2

уравнение принимает вид:
((1-cos2x)/2)^2 + ((1+cos2x)/2)^2 + сos2x=0,5

((1-2cos2x+cos^22x)/4) +((1+2cos2x+cos^22x)/4) + сos2x=0,5

((2+2cos^22x)/4)+ сos2x=0,5

1+cos^22x+2cos2x=1

cos2x*(cos2x+2)=0
cos2x=0 ⇒ 2x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z ⇒ x=(Pi/4)+(Pi/2)k, k ∈ Z
или
сos2x=-2 - нет корней, так как |cos2x|меньше или равно 1

О т в е т. (Pi/4)+(Pi/2)k, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(sqrt(u))`=(1/2sqrt(u))*u`

y`=1/(2sqrt(ctg(5x^2-7)) * (ctg(5x^2-7))`=[ так как

(ctgu)`=(-1/sin^2u)*u` ]

y`=1/(2sqrt(ctg(5x^2-7)) * (-1/sin^(5x^2-7))*(5x^2-7)`;

y`=1/(2sqrt(ctg(5x^2-7)) * (-1/sin^(5x^2-7))*(10x);

О т в е т. y`= - 5х/((2sqrt(ctg(5x^2-7)) * sin^(5x^2-7)).

Так как
x^2- sqrt(x)=sqrt(x)*(x^(3/2)-1)=sqrt(x)*((sqrt(x))^3-1)=

=sqrt(x)*(sqrt(x)-1)*(x+sqrt(x)+1)

Получаем
((sqrt(x)+1)/(1+sqrt(x)+x)): (1/(x^2-sqrt(x))=

=((sqrt(x)+1)/(1+sqrt(x)+x)) * (x^2-sqrt(x))=

=((sqrt(x)+1)/(1+sqrt(x)+x)) * sqrt(x)*(sqrt(x)-1)*(x+sqrt(x)+1)=

=(sqrt(x)+1)*(sqrt(x)-1)* sqrt(x)=(x-1)*sqrt(x)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1.
y`=(u^ (альфа))`= альфа *u^ (альфа - 1)*u`
альфа=8/13
u=ctgx

y`=(8/13)*ctg^((8/13)-1)x * (ctgx)`=

=(8/13)*ctg^(-5/13)x * (-1/sin^2)

2.
∫ x^(альфа)=x^(альфа+1)/(альфа+1) +С
∫ x^(-7/4)dx=x^((-7/4)+1)/((-7/4)+1)+C =
=x^(-3/4)/(-3/4) +C=-4/(3x^(3/4))+C

3. табличный интеграл = arctgx +C
4.
∫ x^(-6)dx=x^(-6+1)/(-6+1) + C=x^(-5)/(-5) + C=-1/(5x^5) + C

Расстояние от точки Р до плосоксти измеряется перпендикуляром.
По условию СР перпендикулярна плоскости BDC.
Значит надо найти СP
Угол между PB и плоскостью BDC составляет 60 °.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Из прямоугольного треугольника СРВ следует, что ВС - проекция ВР
ВС=17
Значит, PC=ВС*tg ∠ PBC=17*tg60^(o)=17*sqrt(3)

Угол BAC 45 ° - не применяется в решении ?

5^(3+x)/2^(3+x)=(1/0,4)
(5/2)^(3+x)=5/2
3+x=1
x=1-3
x=-2

(прикреплено изображение)

Уравнение прямой
у=-x+k
точки на осях имеют координаты (0;k) и (k;0)
По теореме Пифагора
k^2+k^2=(7sqrt(2))^2
2k^2=98
k^2=49
k=7
k=-7 не удовлетворяет условию задачи
О т в е т. у=- х + 7
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2400 руб составляют 100%
1800 руб составляют х %

х=1800*100/2400=75%

100-75=25%
О т в е т. На 25% снизилась цена

По формуле перехода к другому основанию
log_(c)a/log_(c)b=log_(b)a, ( a > 0;b > 0; c > 0; c≠1)

{log_(x^2+10x+26)(log_(2x^2+10x+15)(x^2+2x)) больше или равно 0
{3^((x+2)^2-2 ) > 0 при любом х

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
получаем систему из шести неравенств.
{(x^2+10x+26-1)*(log_(2x^2+10x+15)(x^2+2x) - 1) больше или равно 0
{x^2+10x+26 > 0 при любом х, D=100-4*26 < 0
{x^2+10x+26 ≠ 1 ⇒ x ≠ -5
{2x^2+10x+15 > 0 ⇒
{2x^2+10x+15 ≠ 1 нет таких х, D < 0
{x^2+2x > 0⇒
{log_(2x^2+10x+15)(x^2+2x) > 0 ⇒ (2x^2+10x+15-1)*(x^2+2x-1) > 0

{(x^2+10x+25)*(log_(2x^2+10x+15)(x^2+2x) - 1) больше или равно 0⇒(log_(2x^2+10x+15)(x^2+2x) - 1) > 0
{x^2+10x+26 > 0 при любом х, D=100-4*26 < 0
{x^2+10x+26 ≠ 1 ⇒ x ≠ -5
{2x^2+10x+15 > 0 при любом х, D=100-4*2*15 < 0⇒
{2x^2+10x+15 ≠ 1 ⇒ при любом x, D < 0
{x^2+2x > 0⇒ (-∞;-2) U (0; +∞)
{log_(2x^2+10x+15)(x^2+2x) > 0 ⇒ (2x^2+10x+15-1)*(x^2+2x-1) > 0 ⇒ x^2+2x-1 > 0 ⇒ (-∞;-1-sqrt(2)) U (-1+sqrt(2); +∞)

О т в е т. (-∞;(-5) U(-5;-1-sqrt(2)) U (-1+sqrt(2); +∞)

АВ=5,46-(-1,56)=7,02
1+2=3 части
7,02:3=2,34

-1,56+2,34=0,78
Или по формулам.

AM:MB=лямбда

x_(M)=(x_(A)+ лямбда x_(B))/(1+ лямбда )

лямбда =1/2
x_(M)=(-1,56+(1/2)*5,46)/(1+ (1/2))=1,17/1,5=0,78

О т в е т. М(0,78)

1)x=tgt ⇒ sqrt(x^2+1)=sqrt(tg^2t+1)=(1/cost)
dx=dt/cos^2t

= ∫ (1/tg^2t)*(cost)*(dt/cos^2t)=

=∫dt/(tg^2t*cost)=∫costdt/sin^2t=

=∫d(sint)/sin^2t=∫ sin^(-2)td(sint)=

=(-1/sint) + C

tgt=x
1+tg^2t=1+x^2
1/cos^2t=x^2+1
cost=1/sqrt(x^2+1)
sin^2t=1-cos^2t=1-(1/(x^2+1))=x^2/(x^2+1)
sint=x/sqrt(x^2+1)

О т в е т. sqrt(x^2+1)/x + C

2) x=3sint
dx=3costdt

= ∫ sqrt(9-9sin^2t) * 3 costdt/(81sin^4t)=)1/9) ∫ cos^2t/sin^4tdt=
(1/9) ∫ ctg^2t*(-dctgt)=-(1/9)(ctg^3t/3)+C=
=(-1/27)ctg^3t +C
sint=x/3
cost=sqrt(1-sin^2t)=sqrt(1-(x/3)^2)=sqrt(9-x^2)/3
ctg t=cost/sint=sqrt(9-x^2)/x

О т в е т.(-1/27) (sqrt(9-x^2)/x)^3+ C

3) x=2/sint
dx=-2costdt/sin^2t

sqrt(x^2-4)=sqrt((2/sint)^2-4)=2sqrt((1-sin^2t)/sin^2t)=2ctgt

= ∫ (2ctgt)*(sin^4t/16) *(-2costdt/sin^2t)=

= -(1/4)∫ cos^2t*sin^tdt= (1/4)∫ cos^2td(cost)=(1/12)cos^3t+C

sint=2/x
cost=sqrt((1-(2/x)^2)=sqrt(x^2-4)/x

=(1/12)(sqrt(x^2-4)/x)^3+C

Ответ выбран лучшим

7,6·10^(–2)+5,4·10^(–1) =10^(-2)*(7,6+5,4*10)=
=0,01*(7,6+54)=0,01*61,6=0,616

1) ∠ BCA= ∠ ВАС= (180^(o)-144^(o))/2=18^(o)
2) АВ=2R=20
По теореме Пифагора
BC^2=AB^2-AC^2=20^2-16^2=400-256=144
BC=12
3) Δ АВС - равнобедренный
∠ ВАС= ∠ ВСА=40^(o)
∠ BAD= 2*∠ BAC=80^(o)

Ответ выбран лучшим

4*5,4=21,6

21,6-21,2=0,4
О т в е т. на 0,4 кв.м

x*3^(x-1)-3^(x)=x*3^(sqrt(3-x))- 3*3^(sqrt(x-3))
3^(x-1)*(x-3)=3^(sqrt(3-x))*(x-3)
(x-3)*(3^(x-1)-3^(sqrt(3-x))=0
x-3=0 или 3^(x-1)=3^(sqrt(3-x))
x=3 или x-1 = sqrt(x-3) возводим в квадрат
x^2-2x+1=x-3
x^2-3x+4=0
D < 0
нет корней
О т в е т. х=3

sinx - cosx=sqrt(3/2)
sinx-sin((Pi/2)-x)=sqrt(3/2)
2*sin((x-(Pi/2)+x)/2) * cos(((x+(Pi/2)-x)/2)=sqrt(3/2)
2*sin((x-(Pi/4))* cos(Pi/4)=sqrt(3/2)
sin((x-(Pi/4))=sqrt(3)/2
x-(Pi/4)=(-1)^k*(Pi/3)+Pik, k ∈ Z
x=(-1)^k*(Pi/3)+(Pi/4)+Pik, k ∈ Z

О т в е т. (-1)^k*(Pi/3)+(Pi/4)+Pik, k ∈ Z

По формуле перехода к другому основанию
log_(c)a/log_(c)b=log_(b)a

log_(x^2-3)(x^2-6x+5) меньше или равно log_(x^2-3)5

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{(x^2-3-1)*(x^2-6x+5-5) меньше или равно 0
{(x^2-3 > 0; x^2-3 ≠ 1
{x^2-6x+5 > 0

{x*(x-2)*(x+2)*(x-6) меньше или равно 0
{x < -sqrt(3) или x > sqrt(3); х ≠ ± 2
{ x < 1 или x > 5

О т в е т. (-2;-sqrt(3)) U (5;6]

Ответ выбран лучшим

Спасибо и Вам. Не знаю как это Вы так сразу поняли, что первый ехал 5 часов.

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k( касательной )=tg альфа
Из прямоугольного треугольника (см. рис)
tg альфа =6/8=3/4

О т в е т. f`(x_(o))=3/4=0,75 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

10.
50=55R/(R+0,5) - пропорция.
Перемножаем крайние и среднике члены пропорции
50*(R+0,5)=55R
Делим обе части равенства на 5
10*((R+0,5)=11R
10R+5=11R
11R-10R=5
R=5
О т в е т. 5

11.
Путь скорость первого х км в час, скорость второго на первой половине (х-16) км в час
Пусть поездка продолжалась t часов.
Тогда путь равен xt км ( скорость первого умножили на время).
Время второго состоит из двух слагаемых
(xt/2(x-16))+(xt/2*96)=t
Сократив на t
x/(2x-32) + x/(192)=1
Приводим к общему знаменателю:
x*(192+2x-32)=192*(2x-32)
2x^2+160x=384x-6144
x^2-112x+3072=0
D=(112)^2-4*3072=256
x_(1)=(112-16)/2=48 или х_(2)=(112+16)/2 > 60
О т в е т. 48

12.
Фунцкия у =sqrt(g(x)) принимает наибольшее значение в той же точке, в которой наибольшее значение принимает g(x)

g(x)=3-3x-2x^2 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.
Наибольшее значение в вершине, в точке x_(o)=-b/2a
О т в е т. х_(о)=-(-3)/2*(-2))=-3/4=-0,75

В прямоугольном треугольнике АС1C катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Значит гипотенуза в два раза больше катета.
О т в е т. AC1=6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1) a_(18)=a_(1)+d*(18-1)=7+4*17=75
2)d=a_(2)-a_(1)=4-8=-4
a_(16)=a_(1)+d*(16-1)=8-4*15=-52
S_(16)=(a_(1)+a_(16))*16/2=(8-52)*8=- 44*8 = - 352
3)b_(7)=b_(1)*q^(6)=(-25)*(-1/5)^(6)=(-5)^2/(-5)^6=1/(-5)^4=1/(625)
4)S_(5)=b_(1)*(q^(5)-1)/(q-1)=11*(2^5-1)/(2-1)=11*31=341

y*(y^2+1)+x*(1-y^2-x)y`=0

y=ux
y`=u`*x+u
Указанная замена должна привести к уравнению с разделяющимися переменными, что невозможно.
Проверяйте условие.

ux*(u^2x^2+1)+x*(1-u^2x^2-x)*(u`x+u)=0
2ux-x^2u+(x^2-u^2x^4-x^3)*u`=0
Можно разделить на х
2u-xu+(x-u^2x^3-x^2)*u`=0 - не получается уравнения с разделяющимися переменными

Ряд сходится по признаку Лейбница.
Последовательность (1/2n) - монотонно убывает
и
(1/2n)→0

Ряд сходится условно, так как ряд из модулей∑(1/2n) - расходится, как гармонический ( умноженный на (1/2))

О т в е т. Сходится условно

1) D(y)=(–∞;+ ∞)

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(-х)=2-3*(-х)^2-(-х)^3=2-3x^2+x^3
y(-x)≠y(x)
y(-x)≠-y(x)

3)y`=(2-3x^2-x^3)`;
y`=-6x-3x^2;
y`=0
-6x-3x^2=0
-3x*(2+x)=0
x=0 или х= -2
Знак производной:
___–____ (-2) __+__ (0 ) __-__

y` < 0 на (-бесконечность ; -2 ) и на (0; + бесконечность)
функция убывает на (-бесконечность ;-2 ) и на (0; + бесконечность)
y` > 0 на (-2;0)

функция возрастает на (-2;0)

x=-2 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(-2)=2-3*(-2)^2-(-2)^3=2-12+8=-2
у(0)=2

7)y``=(-6x-3x^2)`=-6-6x
y``=0
-6-6x=0
x=-1
Знак второй производной
_+__ (-1) __-_

y`` > 0 , функция выпукла вниз на (-бесконечность;-1)
y`` < 0, функция выпукла вверх на (-1; + бесконечность)
х=-1 - точка перегиба

(прикреплено изображение)

x=2sint
dx=2costdt

= ∫ sqrt(4-4sin^2t) * 2 costdt=4 ∫ cos^2tdt=4 ∫ (1+cos2t)dt/2=
=2 ∫ dt+2 ∫ cos2tdt=2t+(1/2)*(sin2t)+C

sint=x/2 ⇒ t=arcsin(x/2)
cost=sqrt(1-sin^2t)=sqrt(1-(x/2)^2)=sqrt(4-x^2)/2
sin2t=2sint*cost=2*(x/2)*(sqrt(4-x^2)/2)=(1/2)x*sqrt(4-x^2)

О т в е т. 2*arcsin(x/2) +(1/4)*x*sqrt(4-x^2) + C

x=3tgt ⇒ sqrt(x^2+9)=sqrt(9tg^2t+9)=3sqrt(tg^2t+1)=(3/cost)
dx=3dt/cos^2t

= ∫ (1/9tg^2t)*(cost/3)*(3dt/cos^2t)=

=(1/9)∫dt/(tg^2t*cost)=(1/9)∫costdt/sin^2t=

=(1/9)∫d(sint)/sin^2t=(1/9)∫ sin^(-2)td(sint)=

=(1/9)*(-1/sint) + C

tgt=(x/3)
1+tg^2t=1+(x/3)^2
1/cos^2t=(x^2+9)/9
cost=3/sqrt(x^2+9)
sin^2t=1-cos^2t=1-(9/(x^2+9))=x^2/(x^2+9)
sint=x/sqrt(x^2+9)

О т в е т. (-1/9)*(sqrt(x^2+9)/x) + C

x=1/sint
dx=-costdt/sin^2t

= ∫ (sin^3t*sint/cost)*(-costdt/sin^2t)=

= -∫ sin^2tdt=- ∫ (1-cos2t)/2=(-1/2)*t+(1/2)sin2t+C

sint=1/x ⇒ t=arcsin(1/x)
cost=sqrt(1-(1/x)^2)
cost=sqrt(x^2-1)/x

(-1/2)*t+(1/2)sin2t+C=(-1/2)*t+(1/2)*2sintcost+C
=(-1/2)*arcsin(1/x)+(1/x)*sqrt((x^2-1)/x) + C=

=(-1/2)*arcsin(1/x)+sqrt((x^2-1)/x^2) + C

ОДЗ:
{2x-1 > 0; 2x-1 ≠ 1 ⇒ x ∈ (0,5; 1) U(1;+ бесконечность )
{9x^2-12x+4 > 0 ⇒ (3x-2)^2 > 0 ⇒ x ≠ 2/3
{3x-2 > 0 ⇒ x > 2/3
(6x^2-7x+2 > 0 ⇒ D=49-48=1 x ∈ (- бесконечность;1/2)U(2/3;+ бесконечность )
{3log_(2x-1)(6x^2-7x+2)-2 ≠ 0 ⇒ (6x^2-7x+2)^3 ≠ (2x-1)^2 ⇒
(2x-1)^3*(3x-2)^3 ≠ (2x-1)^2 ⇒ (2x-1)^2*(2x-1)*(3x-2)^3-1) ≠ 0
⇒ 2x-1 ≠ 0 или (2x-1)*(3x-2)^3 ≠ 1 ⇒ x ≠ 1 или x ≠ a, 0 < a < 1 и не войдет в ОДЗ
ОДЗ: (3/2; + бесконечность )

В условиях ОДЗ
log_(2x-1)(9x^2-12x+4)=log-(2x-1)(3x-2)^2=2log_(2x-1)(3x-2);

log^2_(2x-1)(9x^2-12x+4)=(2log_(2x-1)(3x-2))^2=4log^2_(2x-1)(3x-2);
log_(2x-1)(6x^2-7x+2)=log_(2x-1)(2x-1)(3x-2)=
=log_(2x-1)(2x-1)+log_(2x-1)(3x-2)=1+log_(2x-1)(3x-2)

Замена переменной
log_(2x-1)(3x-2)=t
Неравенство принимает вид
(4t^2-10t+18)/((3+3t)-2) меньше или равно 2;

(4t^2-16t+16)/(3t+1) меньше или равно 0
так как 4t^2-16t+16 > 0 при любом t ⇒
3t+1 < 0
t < -1/3

log_(2x-1)(3x-2) < -1/3
(2x-1-1)*(3x-2-(2x-1)^(-1/3)) < 0
(2x-2)*(3x-2-(1/∛(2x-1))) < 0

При x ∈ ОДЗ
2x-2 > 0
значит
(3x-2 - (1/∛2x-1)) < 0 ⇒ (3x-2)^3*(2x-1) < 1 см последнее неравенство при нахождении ОДЗ
Решением служит (a;1) , который не входит в ОДЗ

Cм. рис. Графики у=(2х-1)(3х-2)^3 и y=1

О т в е т. Нет решений (прикреплено изображение)

x^2-10x+25-x^2=3
-10x=-22
x=22/10
x=2,2

Одно х, второе 28-х
Далее составляем функцию
f(x)=x*(28-x) или еще какую-нибудь согласно условия и исследуем ее

v км/ч - скорость первого
(130/v) ч - время первого

(v+1) км/ч - скорость второго
(130/(v+1)) ч - время второго

По условию первый был в пути на 12 мин=12/60 часа=1/5 часа больше.

Уравнение
(130/v)-(130/(v+1))=(1/5)
130*(v+1-v)=(1/5)
650=v*(v+1)
v^2+v-650=0
D=1+4*650=2601=51^2
v=(-1+51)/2=25 км в час - скорость первого
v+1=25+1=26 км в час - скорость второго
О т в е т. 26 км в час

(x-5-x)*(x-5+x)=3
-5*(2x-5)=3
2x-5=-3/5
2x=5-(3/5)
2x=22/5
x=22/10
x=2,2
О т в е т. 2,2

Если прямая у=k_(1)x+b_(1) перпендикулярна прямой у=k_(2)x+b_(2), то k_(1)*k_(2)= - 1
Перепишем уравнение прямой x–20y+5=0 в виде
y=(1/20)x+(5/20)
k_(1)=1/20
k_(2)=-20
Угловой коэффициент касательной
k( касательной) = - 20

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o)=k(касательной)

f`(x)=(-3x^2+4x+7)`=-6x+4
f`(x_(o))=-6x_(o)+4

-6x_(o)+4=-20
-6x_(o)=-24
x_(o)=4

y_(o)=-3*4^2+4*4+7=-48+16+7=-25

О т в е т. (4;-25)

ОДЗ:
{8x^2+24x-16 > 0 ⇒ 8*(x^2+3x-2) > 0 ⇒ D=17;x =(-3 ±√17)/2
{x^4+6x^3+9x^2 > 0 ⇒ x^2(x^2+6x+9) > 0 ⇒ x^2*(x+3)^2 > 0⇒x≠ 0 и х≠ -3
{x^2+3x-10 ≠0⇒ D= 49; x≠ -5 и х≠ 2

x^2+3x-2 > 0
D=9-4*(-2)=17
x_(1)=(-3-sqrt(17))/2 или x_(2)=(-3+sqrt(17))/2

ОДЗ
(- бесконечность ;-5)U(-5;(-3-sqrt(17))/2)U((-3+sqrt(17))/2;2)U(2;+ бесконечность )

log_(0,5)(8x^2+24x-16)=log_(2)(8*(x^2+3x-2))/log_(2)0,5=
=-log_(2)8(x^2+3x-2)

Тогда
log_(0,5)(8x^2+24x-16)+log_(2)(x^4+6x^3+9x^2)=

=-log_(2)(8*(x^2+3x-2))+log_(2)x^2(x+3)^2=
=log_(2)(x^2*(x+3)^2/(8*(x^2+3x-2)))=
=log_(2)(x*(x+3))^2/(8*(x^2+3x-2)=
=log_(2)(x^2+3x)^2/(8*(x^2+3x-2))

Неравенство принимает вид:
(log_(2)(x^2+3x)^2/(8*(x^2+3x-2)))/(x^2+3x-10) больше или равно 0
Замена переменной
x^2+3x=t
(log_(2)t^2/(8t-16))/(t-10) больше или равно 0
Неравенство равносильно двум системам
1)
{log_(2)(t^2)/(8t-16) больше или равно 0
{t-10 > 0

или

2)
{log_(2)(t^2)/(8t-16) меньше или равно 0
{t-10 < 0

Решаем первое неравенство:
{log_(2)(t^2)/(8t-16) больше или равно 0

(2-1)*((t^2/(8t-16))-1)больше или равно 0

(t^2-8t+16)/(8t-16) больше или равно 0
так как t^2-8t+16 > 0 при любом t ⇒ 8t-16 > 0 ⇒ t > 2 ⇒ x^2+3x-2 > 0

1)
{x^2+3x-2 > 0 ( см. ОДЗ)
{ D=49 x∈ (-∞; -5)U(2;+∞)

2)
Первое неравенство второй системы имеет два решения: a) t=4 или б) t < 2
a)
{t=4 ⇒ x^2+3x=4 ⇒ x=-4 или х=1
{x∈ (-5;2)
Ответ а) x=-4 или х=1
Или
б)
{(x^2+3x-2 < 0 - противоречит ОДЗ
{ x∈ (-5;2)
Cистема не имеет решений

Объединяем ответы 1) и 2а и с учетом ОДЗ получаем ответ
О т в е т. ( (-∞; -5)U{-4} U {1} U(2;+∞)

Ответ выбран лучшим

y(0)=-3
- 3 = (0^3/6)-sin0+C_(1)0+C_(2) ⇒ С_(2) = - 3

y`= (x^2/2)-cosx + C_(1)

y`(0)=0

0=(0/2)-cos0+C_(1)
C_(1)=1

О т в е т. С_(1)=1; С_(2)=-3

∠ ABD=34^(o) - вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается
∠ BDC=36^(o)
∠ BEC=∠ ABD+ ∠ BDC=34^(o)+36^(o)=70^(o) - внешний угол треугольника BED

-х-3=-x^2+3
x^2-x-6=0
D=1+24=25
x_(1)=(1-5)/2=-2 или х_(2)=(1+5)/2=3
у_(1)=-х_(1)-3=-(-2)-3=-1 или у_(2)=-х_(2)-3=-3-3=-6
(-2;-1) или (3;-6)

О т в е т. А (-2;-1)

2) Продолжим сторону ВС на СМ=а
МС1=СB1=x
MC1|| CB1

По теореме косинусов из треугольника АСМ, угол АСМ 120 °
AM^2=AC^2+CM^2-2AC*CM*cos 120^(o) =a^2+a^2+a^2=3a^2
АМ=a·√3

Тогда по теореме косинусов из треугольника АС_(1)
AM^2=AC^2_(1)+MC^2_(1)-2*AC_(1)*MC_(1)cos альфа=2x^2-2x^2*(1/25)

3a^2=2x^2-(2x^2/(25))
3a^2=2*(24/25)*(a^2+36)
75a^2=48a^2+72
27a^2=72
3a^2=8
a=sqrt(8/3)

S=2S(осн)+S(бок)=2*a^2*(sqrt(3)/4)+3*a*6=
=(4sqrt(3)/3)+18*sqrt(8/3)=

=(4sqrt(3)/3)+4sqrt(6)=4sqrt(3)*(1+3sqrt(2))/3 (прикреплено изображение)

Правильный шестиугольник АВСDEF состоит из шести правильных правильных треугольников
Пусть А(0;0)
Ось проходит через сторону АВ.
Тогда В(1;0)
Из треугольника АВС ∠CABC=30^(o)
∠ABC=120^(o) по теореме косинусов
АС^2=1^2+1^2-2*1*1*cos120^(o)=1+1+1=3
AC=sqrt(3)
С(sqrt(3); Pi/6)

AC=AE

AD=FC=2
FC- ( бо`льшая диагональ правильного шестиугольника)
AD=2
∠DAC=60^(o)
D(2;Pi/3)
E(sqrt(2);Pi/2)

AF=1
=∠FAB=120^(o)
F(1;2Pi/3)

О т в е т. A(0;0); B(1;0) ; C (sqrt(3);Pi/6); D(2;Pi/3); E(sqrt(3);Pi/2); F(1;2Pi/3)
В силу симметрии возможна и вторая серия ответов
A(0;0); B(1;0) ; C (sqrt(3); - Pi/6); D(2;- Pi/3); E(sqrt(3);-Pi/2); F(1; -2Pi/3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть центр правильного шестиугольника имеет координаты O(x;y) ,
Так как OA=OB,то
sqrt((x-2)^2+(y-0)^2)=sqrt((x-5)^2+(y-3sqrt(3))^2)
Возводим в квадрат
(x-2)^2+y^2=(x-5)^2+(y-3sqrt(3))^2
(x-2)^2-(x-5)^2=(y-3sqrt(3))^2-y^2
(x-2-x+5)*(x-2+x-5)=(y-3sqrt(3)-y)*(y-3sqrt(3)+y)
3*(2x-7)=-3sqrt(3)*(2y-3sqrt(3))
(2x-7)=-sqrt(3)*(2y-3sqrt(3))
2x+2sqrt(3)y-16=0
x+sqrt(3)y-8=0
( это уравнение серединного перпендикуляра к прямой АВ)

AB=sqrt((5-2)^2+(3sqrt(3)-0)^2)=sqrt(9+27)=sqrt(36)=6

Составляем уравнение окружности с центром в точке А и радиусом АВ=6
(x-2)^2+y^2=36

Решаем систему двух уравнений
{x+sqrt(3)y-8=0 ⇒ x =8-sqrt(3)y
{(x-2)^2+y^2=36

(8-sqrt(3)y-2)+y^2=36
(6-sqrt(3)y)^2+y^2=36
36 - 12sqrt(y)+3y^2+y^2=36
4y^2-12sqrt(3)y=0
4y*(y-3sqrt(3))=0
y_(1)=0 или y_(2)=3sqrt(3)
x_(1)=8-sqrt(3)*0=8 или х=8-sqrt(3)3*sqrt(3)=8-9=-1

О т в е т. (8;0) или (-1; 3sqrt(3))

Cм рисунок. Графическое решение
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sqrt(32)=2sqrt(8)

sqrt(8)-sqrt(32)sin^2(11Pi/8)=sqrt(8)*(1-2sin^2(11Pi/8))=
=sqrt(8)*cos2*(11Pi/8)=sqrt(8)*cos(11Pi/4)=
=sqrt(8)* cos((12Pi-Pi)/4)=sqrt(8)*cos(3Pi-(Pi/4))=
=sqrt(8)*(-cos(Pi/4))=sqrt(8)*(-sqrt(2)/2)=-4sqrt(2)

1)
В уравнении прямой у=kx+b

Геометрический смысл коэффициента k - тангенс угла наклона прямой с положительным направлением оси Ох.
Если угол острый - тангенс положительный - k > 0
Если угол тупой - тангенс отрицательный, k < 0

Прямая y=kx+b пересекает ось Оу в точке (0;b)
Точка с b > 0 расположена выше оси оси Ох
точка с b < 0 - ниже оси Ох

k > 0 - рис 1 или рис. 3
b < 0 - рис. 1
b > 0 - рис. 3
2) Парабола y=ax^2+bx + c пересекает ось Ох в точке (0;с)
Если с > 0 - точка расположена выше оси Ох, если c < 0 - ниже оси Ох.

Если a > 0 ветви параболы направлены вверх.
Если а < 0 - вниз

Вершина параболы имеет абсциссу в точке
х_(o)=-b/2a

Поэтому В) рис. 2 ( ветви вниз)

A) x_(o)=5/2 - вершина справа от оси Оу.

Это рис. 1 (прикреплено изображение)

ОДЗ: x > 0

log_(5)(25x^2)=log_(5)25+log_(5)x^2=2+2log_(5)|x|В условиях ОДЗ=2+2log_(5)x

Замена
log_(5)x=t

(2+2t+28)/(t^2-49) больше или равно -1 ⇒

(2+2t+28)/(t^2-49) +1 больше или равно 0

(t+1)^2/(t^2-49) больше или равно 0

_+__ ( - 7) ___ [ - 1] ____ (7) _+__

t < - 7 или t= -1 или t > 7

log_(5)x < - 7 ⇒ 0 < x < 1/5^(7)
log_(5)x = - 1 ⇒ x= 1/5
log_(5)x > 7 ⇒ x > 5^7

О т в е т. (- бесконечность; 1/5^7)U {1/5}U (5^7;+ бесконечность )

Диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями a; b и c

d^2=a^2+b^2+c^2

Так как куб - прямоугольный параллелепипед у которого все измерения равны
a=b=c=5sqrt(3), то

d^2=3*(5sqrt(3))^2=225
d=15

12+43+17=72
360^(o):72=5^(o) в одной части

Меньший угол опирается на дугу, в которой 12 частей.
12*5^(o)=60^(o)
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Значит меньший угол треугольника 30 градусов.
По теореме синусов
21/sin(30^(o))=2R
21/(1/2)=2R
2R=42
R=21

О т в е т. 21

(х+b)^8=x^8+8x^7*b+28x^6*b^2+56x^5*b^3+
+70x^4*b^4+56x^3*b^5+28x^2*b^6+8x*b^7+b^8

(a+b)^9=
=a^9+9a^8*b+36a^7*b^2+84x^6*b^3+126x^5*b^4+
+126a^4*b^5+84a^3*b^6+36a^2*b^7+9a*b^8+b^9

Диагональ квадрата АС имеет длину 4.
AC=AO+OC=2+2=4
d=4
S(квадрата)=(1/2)d^2=(1/2)*4^2=8

О т в е т. 8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ АОВ:
OA=2
OB=4
∠ AOB=Pi/3=60^(o)

По теореме косинусов
АВ^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos ∠ AOB=

=2^2+4^2-2*2*4*(1/2)=12

AB=2sqrt(3)

S( Δ AOB)= (1/2)OA*OB*sin ∠ AOB=(1/2)*2*4*sin 60^(o)=

=2sqrt(3)

p= (OA+OB+AB)/2=(2+4+2sqrt(3))/2=3+sqrt(3)

r=S/p=2sqrt(3)/(3+sqrt(3))=2sqrt(3)*/sqrt(3)*(sqrt(3)+1)=2/(sqrt(3)+1)
или
r=2*(sqrt(3)-1)/((sqrt(3))^2-1)=sqrt(3)-1

О т в е т. r=2/(sqrt(3)+1)=sqrt(3)-1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть M(x;y) - произвольная точка кривой.
F_(1)M=sqrt((x-(-2))^2+(y-0)^2)=sqrt((x+2)^2+y^2);
F_(2)M=sqrt((x-2)^2+(y-0)^2)=sqrt((x-2)^2+y^2);
По условию
F_(1)M+F_(2)M=2sqrt(5)

sqrt((x+2)^2+y^2)+sqrt((x-2)^2+y^2)=2sqrt(5);

sqrt((x+2)^2+y^2)=2sqrt(5) - sqrt((x-2)^2+y^2)

Возводим в квадрат.

(x+2)^2+y^2=20-2sqrt((x-2)^2+y^2)+(x-2)^2+y^2

x^2+4x+4+y^2=20-2*2sqrt(5)sqrt((x-2)^2+y^2)+x^2-4x+4+y^2
4sqrt(5)*sqrt((x-2)^2+y^2)=20-8x;
sqrt(5)*sqrt((x-2)^2+y^2)=5-2x
Возводим в квадрат
5*((x-2)^2+y^2)=25 - 20x+4x^2
5x^2- 20x+20+y^2=25 - 20x + 4x^2
x^2 +5 y^2=5
(x^2/5)+y^2=1 - уравнение эллипса
с полуосями a=sqrt(5) и b=1

О т в е т. (x^2/5)+y^2=1

Ответ выбран лучшим

y`=-3*e^(2x)*(2x)`+12*e^(x)
y`=-6e^(2x)+12e^(x)
y`=0
-6e^(x)*(e^x-2)=0, так как e^(x) > 0 при любом х, то
e^(x)-2=0
e^(x)=e^(ln2)
x=ln2 ∈ [0;1]

[0] _ +__ (ln2) __-_ [1]

x=ln2- точка максимума

y(ln2)=-3*e^(2ln2)+12e^(ln2)-7=-3*(e^(ln2))^2+12e^(ln2)-7=
=-3*(2)^2+12*2-7=5

Ответ выбран лучшим

(75sqrt(3)/3)*ctg альфа меньше или равно 75
ctg альфа меньше или равно sqrt(3)
0 < альфа меньше или равно Pi/6

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-5cosx больше или равно 0
{cosx ≠ 0 ( область определения тангенса)

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла
3tg^2x-1=0 ⇒ tgx=-1/sqrt(3) или tgx=1/sqrt(3) ⇒
x=(-Pi/6)+Pik, k ∈ Z или х=(Pi/6)+Pis, s ∈ Z
С учетом ОДЗ
х=(-Pi/6)+Pi+2Pin, n ∈ Z (k=2n+1) или х=(Pi/6)+(Pi)+2Pim, m ∈Z (s=2m+1)

sqrt(-5cosx)=0 не может, противоречит второму условию ОДЗ

О т в е т. (5Pi/6)+Pi+2Pin; (7Pi/6)+2Pim, n, m ∈Z

S(поверхности фигуры) = S( поверхности куба) - S (двух квадратов призмы в основаниях)+S( боковой поверхности призмы)=
=6*1^2-2*0,7^2+4*0,7*1=6-0,98+2,8=7,82

Ответ выбран лучшим

По свойству степени a^(n)/b^(n)=(a/b)^(n)

Делим уравнение на 9^(2x-7)

(2/9)^(2x-7)=9/2

(2/9)^(2x-7)=(2/9)^(-1)

2x-7=-1
2x=-1+7
2x=6
x=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Ф_(1) ___ Ф_(2) ___ Ф_(3) ___ Ф_(4) ___Ф_(5) ___ Ф_(6)

250:5=50 метров

y`=(x+1)`*e^(2x)+(x+1)*(e^(2x))`
y`=e^(2x)+(x+1)*e^(2x)*(2x)`
y`=e^(2x)*(1+2x+2)
y`=e^(2x)*(2x+3)

y`=0
2x+3=0
x=-3/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
__-_ (-3/2) _+__
О т в е т. -3/2

Уравнение прямой АВ:
(х–x_(A))/(x_(B)–x_(A))=(y–y_(A))/(y_(B)–y_(A))
(х–2)/(-1–2)=(y–(-1))/(3–(-1))
4*(х-2)=-3(у+1)
4х+3у-5=0 - уравнение АВ

АВ=sqrt((-3)^2+4^2)=5

Уравнения прямых, перпендикулярных АВ
имеют вид 3х-4у+k=0

Одна такая прямая проходит через точку A
Подставим координаты точки А в уравнение 3х-4у+k=0
3*2-4*(-1)+k=0
k=-10
Уравнение АD:
3х-4у-10=0
Расстояние от точки С(x_(C); y_(C)) до прямой AB равно 5
d=|4x_(C)+3y_(C)-5| /5
|4x_(C)+3y_(C)-5| /5=5

Уравнение прямой ВС:
3*(-1)-4*3+k=0
k=15
3x-4y+15=0 - уравнение ВС

Расстояние от точки D(x_(D);y_(D))
до прямой AB равно 5
d=|4x_(D)+3y_(D)-5|/5
|4x_(D)+3y_(D)-5|/5=5

Точка С принадлежит прямой ВС, значит ее координаты удовлетворяют уравнению ВС
3x_(С)-4y_(С)+15=0
Точка D принадлежит прямой AD, значит ее координаты удовлетворяют уравнению AD
3x_(D)-4y_(D)-10=0

Из двух систем:
{|4x_(C)+3y_(C)-5| /5=5
{3x_(С)-4y_(С)+15=0 ⇒ y_(C)=(3x_(C)+15)/4
и
{|4x_(D)+3y_(D)-5|/5=5
{3x_(D)-4y_(D)-10=0 ⇒ y_(D)=(3x_(D)+10)/4

находим координаты точек С и D.
|4x_(C)+(3/4)*(3x_(C)+15)-5|=25
25x_(C)+25 = -100 или 25x_(C)+25=100
25x_(C)=-125 или 25x_(C)=75
x_(C)=- 5 или х_(С)=3
у_(С)=0 или у_(С)=6

C(3;6) или С (-5;0)
D(6;2) или D(-2;-4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-3 > 0
{x^2-3 ≠ 1
{x^2+6 > 0
{x > 0

x ∈ (sqrt(3);2)U(2;+ бесконечность )

log_(x^2-3)(x^2+6) больше или равно log_(x^2-3)7x
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(х^2-3-1)*(x^2+6-7x) больше или равно 0
(x-2)(x+4)(x-1)(x-6) больше или равно 0

__+__ [-4] __-__ [1] __+__ [2] __-__ [6]_+__

C учетом ОДЗ получаем ответ.
О т в е т. (sqrt(3);2) U [6;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

5+6^(2*5+1):(6^2)^(5)=5+6^(11):6^(10)=5+6=11

Ответ выбран лучшим

2^(-x)=(1/2)^x
(5/2)^x=2/5
(5/2)^x=(5/2)^(-1)
x=-1
О т в е т. -1

Ответ выбран лучшим

√2cos(x+5π/4)=√2cosx*cos(5PI/4)-√2sinxsin(5Pi/4)=
=√2cosx*(-√2/2)-√2sinx*(√2/2)=-cosx-sinx

cos2x-cosx - sinx=sinx

(cos2x-cosx) -2 sinx=0

-2sin(3x/2)*sin(x/2)-2sin(x/2)*cos(x/2)=0

2sin(x/2) * (sin(3x/2)+cos(x/2))=0

sin(x/2)=0 ⇒ x/2=Pik, k ∈ Z ⇒ x=2Pik, k ∈ Z

или

sin(3x/2)+cos(x/2)=0

sin(3x/2)+sin((Pi/2)-(x/2))=0

sin((Pi/2)-(x/2))+sin(3x/2)=0
2sin((Pi/4)+(x/2))*sin(Pi/4)-x)=0

sin((Pi/4)+(х/2))=0
(Pi/4)+(x/2) = Pin, n ∈ Z ⇒ x/2 = (-Pi/4) + Pin, n ∈ Z
x = (-Pi/2)+2Pin, n∈ Z
или

sin((Pi/4)-x)=0
-sin(x-(Pi/4))=0
x-(Pi/4)=Pim, m ∈ Z
x=(Pi/4)+Pim, m ∈ Z
Объединяем ответы
О т в е т. 2Pik, (-Pi/2)+2Pin, (Pi/4)+Pim, k, n, m ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат корени
2Pi*3=6Pi; (Pi/4)+6PI=25Pi/4; (Pi/4)+7Pi=29Pi/4; (Pi/2)+8Pi=15Pi/2

Ответ выбран лучшим

= ∫ ^(0)_(-4)(2+(x/2))dx + ∫^(4)_(0)(2-x/2)dx=

=(2x+(x^2/4))|^(0)_(-4)+(2x-(x^2/4))|^(4)_(0)=

=0-(-8+4)+(8-4)-0=8

sqrt(12-r)=9-3r
Возведение в квадрат возможно при условии
{12-r больше или равно 0
{9-3r больше или равно 0 (арифметическим квадратным корнем называется неотрицательное число)
⇒ r меньше или равно 3

Второй корень не удовлетворяет этому ограничению

По теореме Пифагора
d^2=(2,4)^2+(0,7)^2
d^2=5,76+0,49
d^2=6,25
d=2,5 м
О т в е т.2,5 м

1.
x=4
3^4-log_(2)4=81-2=79
79=79 - верно
2
3^(2x^2-3)=3^(-1) ⇒ 2x^2-3=-1 ⇒ 2x^2=2 ⇒ x^2=1 ⇒ x = ± 1
О т в е т. -1;1.
3.
log_(3)x*(x+6)=3
x*(x+6)=3^3
x^2+6x-27=0
D=36+4*27=144
x=(-6-12)/2=-9 или х=(-6+12)/2=3
О т в е т. -9; 3
4.
3^(x)*(3^2+1)=30
3^(x)*10=30
3^x=3
x=1
О т в е т. 1
5
log_(5)(3x+7)=log_(5)x-log_(5)25
log_(5)(3x+7)=log_(5)(x/25)

3x+7=(x/25)
x=-175/74 не удол ОДЗ ( x > 0)

log_(a)b-log_(a)c=log_(a)b/c
a > 0; a ≠ 1
b > 0
c > 0

lg(x2–6x+9)–lg(x–3) > lg(2x–5) ⇒
lg(x-3)^2/(x-3) > lg(2x-5)

{x-3 > 0 ⇒ x > 3
{2x-5 > 0 ⇒ x > 2, 5
{x-3 > 2x-5 ⇒ x-2x > -5+3 ⇒ -x > - 2 ⇒ x < 2

Нет решений

P(x;y)=y^2e^(xy)-3
Q(x;y)=e^(xy)*(1+xy)

P`_(y)=2y*e^(xy)+y^2*e^(xy)*(xy)`_(y)=e^(xy)*(2y+xy^2)
Q`_(x)=e^(xy)*(xy)`_(x)*(1+xy)+e^(xy)*(1+xy)`_(x)=
=e^(xy)*(y+xy^2+y)=e^(xy)*(2y+xy^2)

P`_(x)=Q`_(y)

является дифференциалом некоторой функции u(x;y)

du=(y^2e^(xy)-3)dx+(e^(xy)*(1+xy))dy
u`_(x)=P(x;y) и u`_(y)=Q(x;y)

u(x;y)=∫u`_(x)dx=∫P(x;y)dx= ∫ (y^2e^(xy)-3)dx=y* ∫ e^(xy)d(xy) - ∫ 3dx=y*e^(xy)-3x+C(y) ⇒

u`_(y)=(y*e^(xy)-3x+C(y))`_(y)=

=e^(xy)+y*e^(xy)*(xy)`_(x)+C`(y)=

=e^(xy)*(1+xy)+C`(y)

Сравниваем с Q(x;y)=u`_(y) получаем, что С`(y)=0 и значит
С(y)=c ( c= const)

О т в е т. u(x;y) = y*e^(xy)-3x+с

dz=f`_(x)(x;y)*dx+f`_(y)(x;y)dy=

=(1/(xy+1))*(xy+1)`_(x)*dx+=(1/(xy+1))*(xy+1)`_(y)*dy=

=(1/(xy+1))*(ydx+xdy)

a^(m)*a^(n)/a^(k)=a^(m+n-k)

О т в е т. 5^(-6+3-(-5))=5^2=25

x*(x+36p)=0
x=0 или х=-36p

BC^2=AB^2-AC^2=25^2-24^2=(25-24)*(25+24)=1*49=49
BC=7
cos ∠ B=BC/AB=7/25=0,28

1)(1/2)^(x+2) =(1/2)^2 ⇒ x+2=2 ⇒ x=0
О т в е т. 0
2)(0,7)^(x^2+2x) < 0,7^3 ⇒ x^2+2x > 3 ⇒ x^2+2x-3 > 0
D=4+12=16
x_(1)=(-2-4)/2=-3 или х_(2)=(-2+4)/2=1

__+__ (-3) ____ (1) __+__

x < -3 или х > 1

О т в е т. (- бесконечность ;-3)U(1;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

log_(0,3)log_(6)((x^2+x)/(x+4)) < log_(0,3)1 ⇒

{log_(6)((x^2+x)/(x+4)) > 1;log_(6)6=1
{((x^2+x)/(x+4)) > 0 ⇒

((x^2+x)/(x+4)) > 6

(x^2+x-6x-24)/(x+4) > 0

(x^2-5x-24)/(x+4) > 0

D=25+4*24=121

(x+3)(x-8)/(x+4) > 0

_-__ (-4) _+__ (-3) ____-___ (8) ___+_

О т в е т. (-4;-3) U(8;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

(154/x) час.- время первого
(154/(х+3)) час. - время второго.
Время второго на 3 часа меньше
(154/х) -(154/(x+3))=3
154*(х+3-х)=3х*(х+3);
x^2+3x-154=0
D=9+4*154=625
x=(-3+25)/2=11
второй корень не считаем, он отрицательный.
О т в е т. 11 км в час

1)
Прямая 4х+3у=24 cм. рис.
пересекает ось Ох в точке (6;0) ( если y=0, то 4x=24; x=6)
ось Оу в точке (0;8) ( если x=0, то 3y=24; y=8)
Значит катеты прямоугольного треугольника 6 и 8, гипотенуза по теореме Пифагора 10
Р=6+8+10=24

2)
{х+у–5=0 ⇒ y= -x+5
{(x+1)²+(y+2)²=40) ⇒
(x+1)^2+(-x+5+2)^2=40;
x^2+2x+1+x^2-14x+49=40
2x^2-12x+10=0
x^2-6x+5=0
D=36-20=16
x_(1)=1 или х_(2)=5
у_(1)=4 или у_(2)=0

A(1;4) ; B(5;0)

AB=sqrt((5-1)^2+(0-4)^2)=4sqrt(2)
О т в е т. 4 sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=((x+4)`*sqrt(x)-(sqrt(x))`(x+4))/(sqrt(x))^2

y`=(sqrt(x)-((x+4)/2sqrt(x)))/x

y`=(2x-x-4)/(2xsqrt(x))

y`=(x-4)/(2xsqrt(x))

y`=0

x-4=0

x=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(4)=(4+4)/sqrt(4)=(8/2)=4 - наименьшее значение функции на указанном отрезке.

y(1)=5 - наибольшее значение функции на указанном отрезке.

y(9)=13/3 < 5

1) x²+y²–4x+2y=0.
Выделяем полные квадраты
(x^2-4x)+(y^2+2y)=0
(x^2-4x+4)-4 + (y^2+2y+1)-1=0
(x-2)^2+(y+1)^2=5
(2;-1) - координаты центра
R=sqrt(5)

2)Решаем систему двух уравнений
{(x+1)²+(y+2)²=40)
{ второе уравнение не приведено в условии

3)
б) 5х–4=0 ⇒ х=4/5 - уравнение прямой параллельной оси Оу
в) 2у–9=0 ⇒ у=4,5 - уравнение прямой параллельной оси Ох

Ответ выбран лучшим

S(бок. пов. цилиндра)=2Pi*R*H
2Pi*R*H=72Pi
H=8
8R=36
2R=9

D=2R=9

О т в е т. 9

Ответ выбран лучшим

V=S(осн)*H
S=(1/2)a*b*sin гамма

S( правильного треугольника со стороной а и острыми углами в 60^(o)) =(1/2)*a*a*sin60^(o)=(1/2)*a*a*sqrt(3)/2= a^2sqrt(3)/4

При а=2
S(осн)=2^2*sqrt(3)/4=sqrt(3)

V=sqrt(3)*4=4sqrt(3)

О т в е т. 4sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

1)
Применяем свойства
Интеграл от суммы равен сумме интегралов.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и формулу
∫ x^( альфа )dx=x^( альфа +1)/( альфа +1)+ C

= ∫ x^(-1/5)dx+ 3* ∫ x^(5)dx=x^*(-1/5)+1)/((-1/5)+1)+3*(x^(5+1))/(5+1) + C=
=(5/4)x^(4/5)+(1/2)x^6 + C

2) х/(x+1)^2=((x+1)-1)/(x+1)^2 = почленно делим каждое слагаемое на знаменатель =
(х+1)/(x+1)^2 - (1/(x+1)^2)=(1/(x+1))-(1/(x+1)^2)

Применяем свойство: интеграл от суммы равен сумме интегралов.
= ∫ (1dx/(x+1))- ∫(dx/(x+1)^2)= так как d(x+1)=(x+1)`*dx=dx, то

∫ (d(x+1)/(x+1))- ∫(d(x+1)/(x+1)^2)=

=ln|x+1|- ∫ (x+1)^(-2)d(x+1)=

=ln|x+1|- (-1/(x+1))+C=

=ln|x+1|+(1/(x+1))+C

3) Интегрирование по частям
u=lnx ⇒ du =(1/x)dx
dv=x^2 dx ⇒ v= ∫ x^2 dx =(x^3/3)

= u*v- ∫ vdu=

=(x^3/3)*lnx - ∫ (1/x)*(x^3/3) dx=

=(x^3/3)*lnx - (1/3) ∫ (x^2) dx=

=(x^3/3)*lnx - (1/3) (x^3/3) + C

=(x^3/3)*lnx - (x^3/9) + C

4.
Раскладываем подинтегральную дробь на простейшие
(4x^2-x+3)/(x^2*(x-1))= (A/x)+(B/x^2)+(D/(x-1))

Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем числители
4x^2-x+3=A*x*(x-1)+B*(x-1)+Dx^2
Два многочлена равны, если их степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны
4x^2-x+3=(A+D)x^2+(B-A)x - B
При x^2
4=(A+D)
При х
-1=В-А
При x^(0)
3= - В ⇒ В=-3 ⇒
В - А = -1 и при В =-3 ⇒ А=-2
D=4-A=6

∫ (4x^2-x+3)dx/(x^2*(x-1))= ∫(-2dx/x)+∫(-3dx/x^2)+∫(6dx/(x-1))=

=-2ln|x| + (3/x) + 6 ln|x-1| + C

5. (x-2)/x=t^2 ⇒ x-2=xt^2 ⇒ x=2/(1-t^2)
dx=(2/(1-t^2))`dt=(-2/(1-t^2)^2)*(1-t^2)1dt=4tdt/(1-t^2)^2

= ∫ ((1-t^2)^2/4)*t*(4tdt/(1-t^2)^2)= ∫ t^2dt=(t^3/3) + C=

=sqrt(((x-2)/x)^3) + C

6) tg(x/2)=t ⇒ (x/2)=arctg t ⇒ x=2arctgt ⇒

dx=2*(1/(1+t^2)dt

sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)

=∫ 2/(t^2+2t-1)dt=2∫dt/((t+1)^2-2)=2/sqrt(2)arctg(t+1)/sqrt(2) + C

t=tg(x/2)

7)
Находим координату точки пересечения прямых
у=х и х+у=3
Решаем систему уравнений:
{y=x
{y=3-x

x=3-x
2x=3
x=1,5

S=∫^(1,5)_(0)(3-x -x) dx==∫^(1,5)_(0)(3-2x) dx=

=(3x - x^2)|^(1,5)_(0)=3*1,5-(1,5)^2=4,5-2,25=2,25 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=sqrt(f(x))
f(x)=240-8x-x^2
240-8x-x^2 больше или равно 0
x^2+8x-240 меньше или равно 0
D=64-4*(-240)=64+960=1024=32^2
x_(1)=(-8-32/2)=-20 или х_(2)=(-8+32)/2=12
-20 меньше или равно х меньше или равно 12

[-18;10] ∈ [-20;12]

у=sqrt(f(x)) принимает наибольшее значение в той же точке, в которой принимает наибольшее значение f(x)

f(x)=240-8x-x^2 - графиком является парабола, ветви вниз, наибольшее значение в вершине
х_(о)=-b/2a=8/(-2)=-4
y(-4)=sqrt(240-8*(-4)-(-4)^2)=sqrt(256)=16

О т в е т. 16

а) f`(x)=(x^2–3x+2)`=2x-3
f`(x)=0
2х - 3 =0
х=1,5
Находим знак производной:

__-_ (1,5) _+__

На (- бесконечность; 1,5)функция убывает
На (1,5;+ бесконечность ) функция возрастает

1) Применяем признак Даламбера
R=lim_(n→∞)a_(n)/a_(n+1)=
=lim_(n→∞)((n+1)^2*2^(n+1))/((n+2)^2*2^n)=2
(-2;2) - интервал сходимости
При х=2 и х=-2 числовые ряды ∑^(+∞)_(1) (n+1)^2 и ∑^(+∞)_(1) (-1)^n(n+1)^2 расходятся
О т в е т. (-2;2) - область сходимости
3)
Применяем признак Даламбера
R=lim_(n→∞)a_(n)/a_(n+1)=
=lim_(n→∞)(5^(n+1)*(n+1))/(n*5^(n))=5
|x-3| < 5
-5 < x-3 < 5
-2 < x < 8
(-2;8) - интервал сходимости
При х= 8 числовой ряд ∑^(+∞)_(1) *(1/n) расходится . Это гармонический ряд
При х= - 2 числовой ряд ∑^(+∞)_(1) (-1)^n1(1/n) сходится
по признаку Лейбница.
|a_(n)|→0 и (1/n) монотонно убывает
О т в е т. [-2;8) - область сходимости

1) 4 целых 1/4 – 2=2 целых 1/4=9/4
2) 6 целых 2/3=20/3
3) (9/4)*(20/3)=(9*20)/(4*3)=3*5=15

30:100*25=0,3*25=7,5 руб. составляют 25% от 30 руб.
30+7,5=37,5

600 : 37,5 = 16 ручек

О т в е т. 16 ручек

АО=ОВ=R=15
AB=2R=30
АВ - диаметр окружности и гипотенуза прямоугольного треугольника АВС.

ВС^2=AB^2-AC^2=30^2-24^2=324
BC=18

О т в е т. 18

250 составляют 100%
180 рублей составляют х%

х=180*100/250=72%

100%-72%=28%

О т в е т. на 28%

(х+3)^2-(х–9)^2=0
Применяем формулу
a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(x+3-x+9)(x+3+x-9)=0
12(2x-6)=0
2x-6=0
x=3

∠А + ∠В+∠С+∠D=
=68^(o)+114^(o)+96^(o)+82^(0)=360^(o)

Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов.
(прикреплено изображение)

(х+3)/(2x–11)=(x+3)/(3x–7) - пропорция

{(3х-7)*(х+3)=(2х-11)*(х+3)
{2x-11≠ 0
{3x-7≠ 0

(3х-7)*(х+3)-(2х-11)*(х+3)=0
(х+3)*(3х-7-2х+11)=0
(х+3)*(х+4)=0
х=-3 или х=-4

При х=-3 и х=-4 выполняются условия 2x-11≠ 0 и 3x-7≠ 0

О т в е т. -3; -4

Ответ выбран лучшим

1050 градусов = 3*360 градусов - 30 градусов

tg 1050 градусов =tg (3*360 градусов - 30 градусов)=
= - tg 30 градусов = - sqrt(3)/3

О т в е т. 17*sqrt(3)*(-sqrt(3)/3)=17

Находим точки возможных экстремумов.
Для этого находим производную функции
у`=(2x-x^2)`=2-2x;
y`=0
2-2x=0
x=1 ∉ [-2;0]

y` > 0 на [-2;0]
Значит функция возрастает на [-2;0]
И наибольшее значение принимает в правом конце отрезка
у(наибольшее на [-2;0])=у(0)=0.
Ответ. 0

x–4(x–13)=х-4х+52=-3х+53
При х=7
-3*7+52=-21+52=31

sinx=t
3t^2-5t-2=0
D=25+24=49
t1=-1/3 или t2=2
sinx=-1/3 ⇒ x=(-1)^(k)arcsin(-1/3)+Pik, k ∈ Z

sinx=2 - уравнение не имеет корней |sinx| меньше или равно 1

О т в е т. (-1)^(k)arcsin(-1/3)+Pik, k ∈ Z

AC=8sqrt(2) - диагональ квадрата.
Из прямоугольного треугольника D1AC
D1C^2=D1A^2+AC^2=8^2+(8sqrt(2))^2=8^2*(1+2)
D1С=8sqrt(3) (прикреплено изображение)

AB=sqrt((0-8)^2+(6-0)^2)=10

В прямоугольном треугольнике AС=ВС=ОС=(1/2)AB=5

Биссектриса OD делит прямой угол О пополам:
∠BOD=∠DOA=45 градусов

S(Δ BOD)=(1/2) BO*OD*sin 45^(o)
S(Δ DOA)=(1/2)OA*OD*sin 45^(o)
S(Δ BOD) + S(Δ DOA)=S(Δ BOA)
(1/2)OD* sin45^(o)*(BO+OA)=(1/2)BO*OA

OD=2BO*OA/((BO+OA)sqrt(2))=

=2*6*8/(6+8)*sqrt(2)=24sqrt(2)/7

Второй способ вычиcления биссектрисы OD

Биссектриса OD делит сторону АВ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

BD: DA=BO: AO=6:8=3:4

Пусть BD=3x; DA=4x
BD+DA=10
3x+4x=10
7x=10
x=10/7

BD=30/7
DA=40/7

По теореме косинусов
BD^2=BO^2+OD^2-2BO*OD*cos 45 градусов

(30/7)^2=6^2+OD^2-2*6*OD*cos 45 градусов
OD^2 - 6*sqrt(2)*OD +(864/49) =0

D=(6*sqrt(2))^2-4*(864/49)=(72*49-3456)/49=72/49=
=(6sqrt(2)/7)^2
OD=(6sqrt(2)+(6sqrt(2)/7))/2=24sqrt(2)/7
или
OD=(6sqrt(2)-(6sqrt(2)/7))/2=18sqrt(2)/7≈3,6 не удовлетворяет условию задачи, потому что высота из точки О равна 6*8/10=4,8
А высота это перпендикуляр. Наклонная всегда больше перпендикуляра.

О т в е т. медиана ОС = 5
биссектриса OD=24sqrt(2)/7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой MN:
(х–x_(M))/(x_(N)–x_(M))=(y–y_(M))/(y_(N)–y_(M))

(х–(-1))/(1–(-1))=(y–5))/(1–5);

-2(x+1)=y-5 ⇒ y=-2x+3

MN- средняя линия треугольника, параллельна стороне.
Пусть это сторона АВ. Тогда уравнение прямой АВ имеет вид
у=-2х+b
Для нахождения b подставляем координаты точки P(3;4)
3=-2*4+b
b=11
y= - 2x +11

Аналогично находим уравнение прямой
MP:
(x+1)/(4+1)=(y-5)/(3-5) ⇒ y=(-2/5)x+(23/5)

Уравнение прямой AС имеет вид у=(-2/5)х+p
Подставляем координаты точки N
1=(-2/5)+p
p=7/5

y=(-2/5)x+(7/5)

Находим точку пересечения прямых АВ и AС
Решаем систему
{y= - 2x +11
{у=(-2/5)x+(7/5)

-2х+11=(-2/5)х+(7/5)
-2х+(2/5)х=(7/5)-11
(-8/5)х=-48/5
х=6
y=-2*6+11=1

А(6;-1)

и прямой
NP:
(x-1)/(4-1)=(y-1)/(3-1) ⇒ y=(2/3)x+(2/3)

Уравнение прямой ВС имеет вид у=(2/3)х+q
Подставляем координаты точки M
5=(2/3)*(-1)+q
q=17/3

y=(2/3)x+(17/3)

Находим точку пересечения прямых АВ и ВС
Решаем систему
{y= - 2x +11
{у=(2/3)x+(17/3)

-2х+11=(2/3)х+(17/3)
-2х-(2/3)х=(17/3)-11
(-8/3)х=-16/3
х=2

y=-2*2+11=7

B(2;7)

Находим координаты точки С
{у=(-2/5)x+(7/5)
{у=(2/3)x+(17/3)

(-2/5)x+(7/5)=(2/3)x+(17/3)

(-2/5)x-(2/3)x=(17/3)-(7/5)

-16x/15=64/15
x=-4
y=(-2/5)*(-4)+(7/5)=15/5=3

C(-4;3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Задание на клетчатой бумаге.
Достроим до прямоугольника.

S=6*9-(1/2)2*6-(1/2)3*3-(1/2)3*1-(1/2)4*8=

=54-28=26
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(-7/(2-x))*(2-x)`-7
y`=(7/(2-x))-7
y`=0
(7/(2-x))-7=0
7/(2-x)=7
2-x=1
x=1
[0] _-__ (1) __+_ [1,3]

x=1 - точка минимума.

y(1)=-7ln1-7+10=-7*0+3=3 - наименьшее значение указанной функции на [0;1,3]

Интеграл от дроби.
Дробь неправильная.
Выделяем целую часть. Раскрываем в знаменателе скобки и делим числитель на знаменатель углом

(x^3+6x^2+14x+10)/(x+1)·(x+2)^2=
=((x^3+6x^2+14x+10)/(x^3+5x^2+8x+4)=

=1+(x^2+6x+6)/(x+1)(x+2)^2=

Разложим дробь (x^2+6x+6)/(x+1)(x+2)^2 на простейшие =

=1+(2/(x+2)^2)+(1/(x+1))

∫ (x^3+6x^2+14x+10)dx/(x+1)·(x+2)^2=
=∫( 1+(2/(x+2)^2)+(1/(x+1)))dx=
=x-(2/(x+2))+ln|1+x| + C

1)4m+2k=2*2m+2k=2*(2m+k)
2)6a^2b+3a=2*3a*ab+3a=3a*(2ab+1)
3) 21xy^4+9x^5y-6x=3x*(7y^4+9x^4y-6)
4)a^10-5a^2+a^2b=a^2*(a^8-5+b)

1м=100 см
5 кубиков высотой 12 см это 12*5=60 см
1 м - 60 см = 100 см - 60 см = 40 см

40:5= 8 кубиков

О т в е т. 8

По формуле
(a-b)(a+b)=a^2-b^2

(3✓2–✓5)(3✓2+✓5)=(3✓2)^2–(✓5)^2=18-5=13

16.
S=(1/2)a*h=(1/2)*24*19=228

Метод подведения под дифференциал
(метод замены переменной)

1)=(3/2)* ∫cos2xd(2x)+(-1/2) ∫ e^(-2x)d(-2x)=
=(3/2)sin2x - (1/2)e^(-2x) + C

2)=(-1/5) ∫ d(2-5x)/sqrt(2-5x))=(-1/5)*2sqrt(2-5x)+C=
=(-2/5)sqrt(2-5x) + C

3)=- ∫ d(2-x)/(2-x)=-ln|2-x|+C

4)=(1/2) ∫ ^(1)_(0)d(4+x^2)/(4+x^2)=(1/2)ln (4+x^2)|^(1)_(0)=
=(1/2)ln5-(1/2)ln4=(1/2)ln(5/4)

5) = ((2^(x)/ln2)+x^2+x)|^(2)_(1)=(4/ln2)+4+1-(2/ln2)-1-1=
=(2/ln2)+3

1) верно.
Не выполняется неравенство треугольника
a < b+c
16 < 4+8 - неверно
2)верно
3) неверно, противоречит аксиоме.
4) верно.

Пусть второй ехал до встречи t часов, тогда
первый (t-(2/60)) =(t-(1/30)) часов

30t+16*(t-(1/30)=277
30t+16t-(8/15)=277
46t=4163/15
t=6 целых (1/30)часов=6 часов 2 мин

30км в час *6 часов 2 мин=181 км - проехал второй до встречи

О т в е т. На расстоянии 181 км от места встречи.

S(Δ)=(1/2)*a*h
4=(1/2)*a*h
a*h=8
Отсекаемый треугольник ( см. рис) - равнобедренный, прямоугольный
а=2h
8=2h*h
h^2=4
h=2
О т в е т.
При а < - 4
(прикреплено изображение)

y`=4x^3-4x
y`=0
4x^3-4x=0
4x*(x^2-1)=0

_-__ (-1) _+__ (0) _-__ (1) _+__

Функция возрастает на (-1;0) и (1;+ бесконечность )
Функция убывает на (- бесконечность;-1) и на (0;1)
х=-1 и х=1 - точки минимума
х=0 - точка максимума
(прикреплено изображение)

s( поверхности куба)=6a^2
S( поверхности нового куба)=6*(2,5а)^2=
=6*(6,25)a^2=6,25*(6a^2)=6,25s

О т в е т S=6,25s, увеличится в 6,25 раз.

∛(x+2)=t ⇒ x+2=t^3

4t=t^3
t^3-4t=0
t*(t-2)*(t+2)=0
t=0 или t=2 или t=-2
∛(x+2)=0 или ∛(x+2)=2 или ∛(x+2)=-2
x+2=0 или х+2=8 или х+2=-8
х=-2 или х=6 или х=-10
О т в е т. -10; -2; 6

220-40=180 осталось в понедельник
180:100*40=72
180+72=252

∠ CBA- cмежный с углом АВО,
Сумма смежных углов равна 180 градусов.
∠ CBA= 180 градусов - 150 градусов= 30 градусов.

Треугольник АВС - прямоугольный. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Значит ∠ ВАС = 60 градусов. Биссектриса AD делит этот угол пополам. Значит ∠СAD = ∠DAB = 30 градусов

∠ CDA=90^(o)-30^(o)=60^(o) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Касательная MN перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
OM ⊥ MN
Треугольник ОMN - прямоугольный ( ∠ OMN=90^(o))
∠ MNO = 30 градусов.
Катет OM против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Значит гипотенуза ON в два раза больше катета ОM=5 см
ON=10 cм

2. cм https://reshimvse.com/zadacha.php?id=26370 (прикреплено изображение)

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
∠ ОMN=90^(o)
∠ ОKN=90^(o)
По условию
∠ MNК=90^(o)

OMNK- квадрат
ON - диагональ квадрата
R=ОM=ОК=ON*sin45^(o)=2sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=2
О т в е т. 2 (прикреплено изображение)

Пусть х=1
3*1-у-2=0 ⇒ 3-2=y ⇒ y=1
(1;1) - точка принадлежит графику

Пусть х=2
3*2-у-2=0 ⇒ 6-2=у ⇒ у=4
(2;4) - точка принадлежит графику

Пусть х=3
3*3 - у - 2 = 0 ⇒ 9-2=у ⇒ у=7
(3;7)-точка принадлежит графику
и т .д

ОДЗ: x > 0

Замена переменной
log_(3)x=t

t^2 + 2 > 3t;
t^2 - 3 t + 2 > 0
D=9-8=1
t_(1)=(3-1)/2=1 или t_(2)=(3+1)/2=2

_+__ (1) __-__ (2) _+__

t < 1 или t > 2

Обратная замена
log_(3)x < 1 или log _(3) x > 2
log_(3)x < log_(3)3 или log _(3) x > log_(3)9
C учетом ОДЗ получаем:
0 < x < 3 или x > 9

О т в е т. (0;3) U ( 9; + бесконечность )

Ответ выбран лучшим

1. Коэффициент а находим из условия
∫^(+∞)_(- ∞)f(x)dx=1

∫^(+∞)_(- ∞)f(x)dx=∫^(0)_(- ∞)0dx+∫^(Pi/2)_(0)a*cosxdx+ ∫ ^(+∞)_(Pi/2)0dx=

=∫^(Pi/2)_(0)a*cosxdx=asinx|^(Pi/2)_(0)=a*(sin(Pi/2)-sin0)=a

a=1

Если 0 < x < Pi/2
F(x)=∫^(x)_(- ∞)f(t)dt=∫^(0)_(- ∞)0*dt+∫^(x)_(0)costdt=
=0+(sint)|^(x)_(0)=sinx-sin0=sinx

Если x > Pi/2
F(x)=∫^(x)_(- ∞)f(t)dt=∫^(0)_(- ∞)0*dt+
+∫^(Pi/2)_(0)costdt + ∫^(x)_(Pi/2)0*dt =
=0+(sint)|^(Pi/2)_(0)+0=sin(Pi/2)-sin0=1

F(x)=
{ 0 при x < 0
{ sinx при 0 < x < Pi/2
{ 1 при х > Pi/2

M(X)= ∫^(+∞)_(- ∞)xf(x)dx=∫^(0)_(- ∞)x*0dx+ ∫^(Pi/2)_(0)xcosxdx+ ∫ ^(+∞)_(Pi/2)x*0dx=(интегрируем по частям)
=(x*sinx)|^(Pi/2)_(0)-∫^(Pi/2)_(0)(sinx)dx=
=(Pi/2)*(sin(Pi/2))-0-(-cosx)|^(Pi/2)_(0)=(Pi/2)-1

D(X)=∫^(+∞)_(- ∞)x^2f(x)dx-(M(X))^2=∫^(0)_(- ∞)x^(2)*0dx+ ∫^(Pi/2)_(0)x^2cosxdx+ ∫ ^(+∞)_(Pi/2)x^2*0dx - ((Pi/2)-1) ^2=
интегрируем по частям дважды:
=(x^2)*(sinx)|^(Pi/2)_(0)-2∫^(Pi/2)_(0)xsinxdx -((Pi/2)- 1)^2=(Pi/2)^2 -2*(-xcosx+sinx)|^(Pi/2)_(0)-
-((Pi/2)- 1)^2
=(Pi/2)^2-2-(Pi/2)^2+Pi-1=Pi-3

P(0 < x < Pi/4)=F(Pi/4)-F(0)=sin(Pi/4)-0=sqrt(2)/2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{5x-9 > 0 ⇒ 5x > 9 ⇒ x > 1,8
{3x+1 > 0 ⇒ 3x > -1 ⇒ x > - 1/3
ОДЗ: х ∈ (1,8; + бесконечность)

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента

5x - 9 < 3x + 1
5x - 3x < 1 + 9
2x < 10
x < 5

О т в е т. с учетом ОДЗ
(1,8; 5)

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые
3у-7ху+7ху+63у=264
66у=264
у=4
х-любое

S(криволинейной трапеции)= ∫ ^(b)_(a)f(x)dx.

Криволинейная трапеция ограничена осью Ох ( у=0)
прямыми х=а и х=b
кривой у=f(x); f(x) больше или равно 0 на [a;b] a < b

1) S= ∫ ^(3)_(1) x^3dx=(x^4/4)|^(3)_(1) =(3^4-1^4)/4=20
2)S= ∫ ^(3)_(1) xdx=(x^2/2)|^(3)_(1) =(3^2-1^2)/4=8
3)S= ∫ ^(1)_(-1)e^(x)dx=(e^(x))|^(1)_(-1) =(e-e^(-1))=e-(1/e)
4)S= ∫ ^(3Pi/4)_(Pi/2) sinxdx=(-cosx)|^(3Pi/4)_(Pi/2) =
=-cos(3Pi/4)+cos(Pi/2)=-(-sqrt(2)/2)+0=sqrt(2)/2

Если кривая f(x) < 0 на [a;b], то считают площадь равновеликой криволинейной трапеции, расположенной выше оси Ох.

S(криволинейной трапеции)= ∫ ^(b)_(a)(-f(x))dx.

5) S= ∫ ^(3Pi/2)_(Pi) (-sinx)dx=(cosx)|^(3Pi/2)_(Pi) =
=cos(3Pi/2)-cos(Pi)=0 - (- 1) = 1
6) x^2+2x+2=(x+1)^2+1 > 0 на (-бесконечность; +бесконечность )
S= ∫ ^(2)_(-1) (x^2+2x+2)dx=((x^3/3)+x^2+2x)| ^(2)_(-1) =
=8/3+4+4-(-1/3)-1-(-2)=13

7)
См. рис.
Площадь заштрихованной фигуры считаем так:
из площади прямоугольника АВСD вычитаем площадь криволинейной трапеции АВОСD

S=2*1- ∫ ^(1)_(-1)x^2dx=2-(x^3/3)|^(1)_(-1)=2-(2/3)=4/3 (прикреплено изображение)

y=3^(u)
y`=3^(u)*ln3*(u)`

y`=3^(cos2x)*ln3*(cos2x)`

y`=3^(cos2x)*ln3*(-sin2x)*(2x)`

y`=3^(cos2x)*ln3*(-sin2x)*2

y`(Pi/4)=3^(cos(Pi/2))*ln3*(-sin(Pi/2))*2=

=3^(0)*ln3(-1)*2=-2ln3

2
v(t)=x`(t)=((t+5)^(4/3))`=(4/3)*(t+5)^((4/3)-1)=

=(4/3)*(x+5)^(1/3)

a(t)=v`(t)=((4/3)*(x+5)^(1/3))`=(4/3)*(1/3)*(x+5)^((1/3)-1)=

=(4/9)*(x+5)^(-2/3)

a(3)=(4/9)*(3+5)^(-2/3)=(4/9)*8^(-2/3)=

=(4/9)*(2^(3))^(-2/3)=(4/9)*2^(-2)=(4/9)*(1/4)=1/9

(1/2)=2^(-1)

(1/2)^(x)=(2^(-1))^(x)=2^(-x)

4=2^2

2^(-x) меньше или равно 2^2 ⇒ - x меньше или равно 2 ⇒
x больше или равно -2
О т в е т. [-2;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 8-х больше или равно 0 ⇒ х меньше или равно 8

При любом х из ОДЗ sqrt(8-x) больше или равно 0

Значит
x^2-x-6 меньше или равно 0
D=1+24=25
x_(1) = - 2 или х_(2) = 3
-2 меньше или равно х меньше или равно 3

О т в е т. [ - 2; 3]

4.

F=1,8*50+32=90+32=122

5.

Переход к другому основанию
log_(27)74=log_(3)74/log_(3)27=(1/3)*log_(3)74

О т в е т. 1/(1/3)=3

x- любое кроме х=4

При х=4
0 > 0 -неверно
При всех остальных х возведение в квадрат дает положительное число, которое всегда больше 0

О т в е т. (- бесконечность ;4) U(4;+ бесконечность )

52:200=0,26
62:250=0,248 - дешевле всех
75:300=0,25
85:200=0,425 - дороже всех

ВК - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС
ВК⊥ АС
и
АК=КС=5

АО - биссектриса
∠ ВАО=∠ОАС= альфа
Из прямоугольного треугольника АОК (ВК⊥ АС)
ОК=r=5*tg альфа =5*0,6=3

V=(4/3)Pi*r^3=(4/3)*Pi*3^3=36Pi

См. график на рис.
Уравнение
(1+4x2)×(1+2x2) = а
при а=1 имеет одно решение
при а ∈ (1;+бесконечность) - два
при а ∈ (- бесконечность;1) - не имеет решений

tgx=t
sqrt(3)t^2-4t+sqrt(3)=0
D=16-4*sqrt(3)*sqrt(3)=4
t_(1)=(4-2)/2sqrt(3)=1/sqrt(3) или t_(2)=(4+2)/2sqrt(3)=3/sqrt(3)=sqrt(3)

Обратная замена
tgx=sqrt(3)/3 ⇒ x=(Pi/6)+Pik, k ∈ Z
или
tgx=sqrt(3) ⇒ x=(Pi/3)+Pin, n ∈ Z

О т в е т. x=(Pi/6)+Pik, k ∈ Z; x=(Pi/3)+Pin, n ∈ Z

y=u*v
y`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`＋u*v·sinx=sin2x (#)

Решаем однородное уравнение
u`*v+u*v`+u*v*sinx=0
u`*v+u*(v`+v*sinx)=0

Пусть функция v=v(x) такова, что

v`+v*sinx=0 это уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=-sinxdx
Интегрируем
ln|v|=cosx ( константу с считаем равной 0)
v=e^(cosx)

Подставляем в данное уравнение (#)

u`*e^(cosx)=sin2x
du=sin2xdx/e^(cosx)

u= ∫ sin2x*e^(-cosx)dx - интегрирование по частям дважды приведет к нахождению u

u=-2*(-cosx-1)*e^(-cosx)+C_(1)
y=u*v
y=e^(cosx)*(-2*(-cosx-1)*e^(-cosx)+C_(1)) (прикреплено изображение)

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды - сумма площадей трех равнобедренных треугольников с основанием а.

S(бок.)=3*S( Δ)=3*(1/2)*a*h, где h- высота равнобедренного треугольника или апофема пирамиды.
h=DK
h=2S/3a=2*(sqrt(3)/2)/(3*1)=sqrt(3)/3

S(осн)=a^2sqrt(3)/4=(при а=1)=sqrt(3)/4
р=(1+1+1)/2=3/2 - полупериметр основания

r=S(осн)/p - радиус окружности вписанной в основание.
r=sqrt(3)/(4*(3/2))=sqrt(3)/6
ОК=r

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника DOK
H=DO
H^2=h^2-r^2=(sqrt(3)/3)^(2)-(sqrt(3)/6)^(2) = (3/9)-(3/36)=
=1/4
H=1/2
О т в е т. 1/2 (прикреплено изображение)

(–5/6)·х = 12 целых 1/2 ;
(–5/6)·х = 25/2
х=(25/2):(-5/6)
х=(25/2)*(-6/5)
х=-15

Испытание состоит в том, что из 18 команд выбирают 9
n=C^(9)_(18)

А - ''в одну из групп попадут две команды экстра класса''
тогда в другую группу автоматически попадут три.

m=C^(2)_(5)*C^(7)_(13)

p=m/n=C^(2)_(5)*C^(7)_(13)/C^(9)_(18)=

C^(k)_(n)=n!/(k!*(n-k)!)

p=54/170

Гипотезы:
H_(1)- карандаш взят из 1-ой коробки;
H_(2)- карандаш взят из 2-ой коробки.
р(Н_(1))=р(Н_(2))=1/2

Событие А - '' взят красный карандаш''

р(А/Н_(1))=12/20=0,6
р(А/Н_(2))=6/10=0,6

По формуле полной вероятности
р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1))+р(Н_(2))*р(А/Н_(2))=

=(1/2)*0,6+(1/2)*0,6=0,6

Так как
р(Н_(2))*р(А/Н_(2))=р(А)*р(Н_(2)/А), то

р(Н_(2)/А)=р(Н_(2))*р(А/Н_(2))/р(А)=0,3/0,6=1/2=0,5

О т в е т. 0,5

1.
Формула разности квадратов
(a-b)*(a+b)=a^2-b^2
(sqrt(15)^2-sqrt(8)^2=15-8=7
2. По правилу:
sqrt(a)*sqrt(b)=sqrt(ab)
sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)

=sqrt(1,5*1,8/0,3)=sqrt(9)=3

3.
=∛(10*25/2)=∛125=∛5^3=5

4.

=(7+2sqrt(7)*sqrt(17)+17)/(12+sqrt(119)=
=(24+2sqrt(119))/(12+sqrt(119))=
=2*(12+sqrt(119))/(12+sqrt(119))=2

5. не видно. 100^(?)

Геометрическая вероятность
p=S( заштрихованной области)/S(круга)

S(круга)=Pi*R^2=Pi*100^2=10000Pi кв.см

S( заштрихованной области)=s( круга r=10) + s (кольца)=

=Pi*10^2+Pi*(30^2-20^2)=

=100Pi+500Pi=600Pi

p=600Pi/10000Pi=6/100=0,06 (прикреплено изображение)

6^x=(2*3)^x=2^x*3^x

6^x-4*3^x=2^x*3^x-4*3^x=3^x*(2^x-4)

x*(2x)–5*(2x)–4*x+20= (x*(2x)–5*(2x))–(4*x-20)=

=2^x*(x-5)-4*(x-5)=(x-5)*(2^x-4)

Неравенство принимает вид
3^x*(2^x-4)/((x-5)*(2^x-4)) меньше или равно 1/(x-5)

(3^x-1)/(x-5) меньше или равно 0
2^x ≠ 4 ⇒ x ≠ 2

_+__ [0] __-__ (2) _-__ (5) __+__

О т в е т. [0;2)U(2;5)

Ответ выбран лучшим

sin Pi=0
cosPi/3=1/2
tg Pi/4=1
ctg Pi/2=0

sin (a+2п)=sina
cos (3п/2+a)=sina

5 sin (a+2п)+2cos (3п/2+a)=5sina+2sina=7sina

lg4+2lg2=lg4+lg2^2=lg4*4=lg16

lg(x+2)/lg16=1

lg(x+2)=lg16

x=2=16

x=14

О т в е т. 14

Потому что 4^x > 0 при любом х

ОДЗ: sinx > 0 ⇒ х в первой или второй четверти
х ≠ Pik, k ∈ Z

Замена переменной
log_(3)(2sinx)=t

2t^2+t-1=0
D=1-4*2*(-1)=9

t_(1)=(-1-3)/4=-1 или t_(2)=(-1+3)/4=1/2

Обратная замена

log_(3)(2sinx)=-1
2sinx=1/3
sinx=1/6
x=(-1)^(k)arcsin(1/6) + Pik, k ∈ Z

или

log_(3)(2sinx)=1/2
2sinx=sqrt(3)
sinx=sqrt(3)/2
x=(-1)^(n)*(Pi/3) + Pin, n ∈ Z

О т в е т. (-1)^(k)arcsin(1/6) + Pik, (-1)^(n)*(Pi/3) + Pin, k,n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни
arcsin(1/6)-Pi; -arcsin(1/6); Pi/3

y`=-17+(17/cos^2x)

y` > 0 на [-Pi/4;0]

Значит функция возрастает на этом промежутке.
Наименьшее значение в точке х=(-Pi/4)

у(-Pi/4) = - 17*(-Pi/4)+17*tg(-Pi/4)+8-(17Pi/4)=-17+8=-9

Пусть х км в час - скорость зебры,
х км в час=1000*х/60 м в минуту=50х/3 м в минуту

(50х/3)+200= (50х+600)/3 м в минуту скорость антилопы

90 км =90 000 м

90 000 : (50х/3)=270 000/50х=27 000/(5х) минут время зебры
90 000 : ((50х+600)/3)= 27 000/(5х+60) минут время антилопы.

По условию время зебры на 15 минут больше.
Уравнение:
27 000/(5х) -27 000/(5х+60)=15

27 000 * 60 = 15*5х*(5х+60)
1620000=375x*(x+12)

x^2+12x-4320=0
D=144+4*4320= 17424=132^2
x=(-12+132)/2= 60 второй корень отрицательный и не удовл смыслу задачи
О т в е т. 60 км в час - скорость зебры

(-8;3)

_+__ (-8) __-__ (3) _+__

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=26021

Найдем при каких положительных х
3x^2=x^3 ⇒ x=3

При x > 3
3x^2 < x^3
При x=1
3x^2=3 > 1=x^3

При x=1
3x^2 > x^3 на 2, так как 3*1^2 > 1^3 на 2

При x=2
3x^2 > x^3 на 6, так как 3*2^2 > 2^3 на 6

О т в е т. х=2

Угол А - тупой
Можно просто нарисовать треугольник в системе координат и убедиться, что он тупоугольный.
Рис см в приложении
Вычисления см в приложении (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Точка М на оси абсцисс, значит вторая координата равна 0, первая равна х.
АМ=sqrt((x-1)^2+(0-4)^2)
AM=5.
Уравнение
sqrt((x-1)^2+(0-4)^2)=5
(x-1)^2+16=25
(x-1)^2=9
x-1=-3 или х-1=3
х=-2 или х=4

О т в е т. (-2;0) ; (4;0)

Ответ выбран лучшим

Квадрат - ромб, диагонали которого равны, поэтому применяем формулу:
S(квадрата)=(1/2)d^2
d- диагональ квадрата.

d=AC=sqrt((1-3)^2+(-3-5)^2))=sqrt(4+64)=sqrt(68)

S=(1/2)*(sqrt(68))^2=34

Ответ выбран лучшим

Так как точка равноудалена от осей координат, то она лежит на биссектрисе 1-го и 3-го координатных углов.

Значит точка М имеет координаты (х; х).
Расстояние до осей координат равно |x|

Расстояние
АM=sqrt((x-1)^2+(x-8)^2)

Уравнение
sqrt((x-1)^2+(x-8)^2)=|x|

(x-1)^2+(x-8)^2=x^2;
x^2-18x+65=0
D=(-18)^2-2*65=324-260=64
x_(1)=(18-8)/2=5 или х_(2)=(18+8)/2=13

О т в е т. (5;5) ; (13;13)

Ответ выбран лучшим

4.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих
...Ф...И...США...,
...США...И...Ф...,
...Ф..США...И...,
...США...Ф..И...,
..И...Ф...США...,
..И...США...Ф...

Испания находится после Франции и перед США в одном случаем из шести
р=1/6

5.

(Piх/3)=(Pi/3)+Pin, n ∈ Z
x=1+3n, n ∈ Z

Наибольший отрицательный при n=-1
x=1-3=-2

Замена
((х-2)/2) - (3/(х-2))=t

Возводим в квадрат

((х-2)^2/4)-2*(1/2)*3*(x-2)/(x-2) + (9/(x-2)^2)=t^2
Поэтому
((х-2)^2/4)+ (9/(x-2)^2)=t^2+3

((х-2)^2/2)+ (18/(x-2)^2)=2t^2+6

Уравнение принимает вид:
2t^2+6=7t+2
2t^2-7t+4=0
D=49-4*2*4=49-32=17
t=(7-sqrt(17))/4 или t=(7+sqrt(17))/4

Обратная замена
((х-2)/2) - (3/(х-2))=(7-sqrt(17))/4
или
((х-2)/2) - (3/(х-2))=(7+sqrt(17))/4

Громоздкие коэффициенты указывают на опечатку в условии
Может быть
(x–2)^2/2+18/(x–2)^2=7((x–2)/2–3/(x–2))+[b]1[/b]

2t^2-7t+5=0
D=49-4*2*5=9
t=1 или t=2,5

Обратная замена
((х-2)/2) - (3/(х-2))=1
(x-2)^2-2(x-2)-3=0
D=4+12=16
x-2=-1 или x-2=3
x_(1)=1 или x_(2)=5

((х-2)/2) - (3/(х-2))=2,5
(x-2)^2-5(x-2)-3=0
D=25+12=37
x-2=(5-sqrt(37))/2 или x-2=(5+sqrt(37))/2
х_(3)=(9-sqrt(37))/2 или х_(4)=(9+sqrt(37))/2

Указанному отрезку принадлежат корни
х_(1) и х_(3)

см. также
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=17506

(9/10)х=9/4
х=(9/4):(9/10)
х=10/4
х=2,5

y=log_(0,5)u; u=3/(x-2)
По правилу вычисления производной сложной функции
(log_(0,5)u)`=(1/u*ln0,5)*u`

u`=(3/(x-2))`=-3/(x-2)^2
y`=1/(3/(x-2))*(1/ln0,5)*(-3/(x-2)^2)=-1/((x-2)*ln0,5)
y` > 0 при любом х из области определения функции(2;+ бесконечность )
Значит функция возрастает на (2;+ бесконечность) и в том числе на [6;14]
Наибольшее значение в правом конце отрезка, т.е в точке х=14
у(14)=log_(0,5)(3/(14-2))=log_(1/2)(1/4)=2
О т в е т. 2 (прикреплено изображение)

Пусть смешали х единиц 12% раствора и 4х единиц 9% раствора.
Получилось 5х единиц НОВОГО раствора
В нем (0,12х+0,09*4х)=0,48х единиц уксуса

5х единиц составляют 100%
0,48х единиц составляют ? %

?%=0,48х*(100%/5х)=(48/5)%=9,6%

За 4 шага вперёд и 2 шага назад мальчик переместился на 2 шага вперед.
За 5 шагов вперёд и 1 шаг назад мальчик переместился на 4 шага вперед.
За 4+2+5+1=12 шагов мальчик переместился на 6 шагов вперёд, т.е. оказался на расстоянии 6 шагов от места отправления.
Повторив это 4 раза, т.е. пройдя еще 12*4=48 шагов мальчик переместился на расстояние равное 24 шагам от места отправления.
За 48+4= 52 шагов переместился на 28 шагов вперед
За 52+2=54 шагов переместился на 28-2=26 шагов вперед.
За 54+4=58 шагов переместился на 26+4=30 шагов вперед
О т в е т. 58 шагов.

50 шагов.

Сделав 7 шагов вперед и 4 назад ослик переместился на 3 шага вперед
7+4=11 шагов
За 11 шагов ослик совершает движение вперед на 3 шага вперёд.
Еще за 11 шагов ослик переместится на 3 шага вперёд
Эту процедуру следует повторить 4 раза

За 11*4=44 шагов ослик переместится на 4*3=12 шагов вперёд

Ослику останется сделать еще 6 шагов
он переместится на 18 шагов
12+6=18 шагов

При этом сделает
11*4+6=50 шагов

Пусть это произойдет через х минут.
60 минут на часах составляют 360 градусов
1 минута составляет 6 градусов (360:60=6)
х минут составят угол в 6х градусов

Часовая стрелка за 60 минут проходит 5 делений на часах,
т. е 1 деление она проходит за 12 минут.
Скорость часовой стрелки в 12 раз меньше .
Значит за х минут часовая стрелка повернется
на 6х/12=х/2 градусов.

Когда часы показывают 5 часов, угол между стрелками равен 6^(o)*35 (делений) =210 градусов

Уравнение
6х-(х/2)=210

х=420/11

х=38 целых 2/11 минут

Тригонометрические подстановки:

1.

x=5tgt
dx=5dt/cos^2t

= 5∫dt/(25*(1+tg^2t)*5sqrt((1+tg^2t)*cos^2t)=

=(1/25) ∫ costdt=(sint)/(25)+C, где t=arctg(x/5)

2.
x=sint
dx=costdt

= ∫ sqrt(1-sin^2t)costdt/(sin^4t)=

= ∫(cos^2t/sin^2t)*(dt/sin^2t)=

= -∫ctg^2t*d(ctgt)=(-ctg^3t/3) + C

где t=arcsinx

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x+3 > 0 ⇒ x > -1,5
{2x+3≠1 ⇒ x ≠ - 1

По свойству логарифма степени
log_(10)|2x+3|^3=3log_(10)|2x+3|
В условиях ОДЗ
|2x+3|=2x+3

По формуле перехода к другому основанию
log_((2x+3)^3) 10=1/log_(10)(2x+3)^3=(1/3)*(1/log_(10)(2x+3))

Замена переменной
log_(10)(2x+3)=t

Неравенство примет вид:
3t + (2/(3t)) < 3

(9t^2-9t+2)/(3t) < 0

D=81-4*9*2=81-72=9
корни квадратного трехчлена (1/3) и (2/3)

(3t - 1)*(3t - 2)/(3t) < 0

(-бесконечность; 0) U (1/3; (2/3))

log_(10) (2x+3) < 0 ⇒ 0 < 2x+3 < 1 ⇒ -1,5 < x < -1

(1/3) < log_(10) (2x+3) < (2/3) ⇒
∛10 < 2x+3 < ∛(10^2)

∛10 -3 < 2x < ∛(100) - 3

(∛10 -3)/2 < 2x < ( ∛(100) - 3)/2

О т в е т. (-1,5;-1) U ((∛10 -3)/2; ( ∛(100) - 3)/2)

Ответ выбран лучшим

Вырезаны два прямоугольный параллелепипеда, общая часть которых куб с ребром два.

v( вырезанной части)=2*S_(осн)*Н [b]+[/b]v(маленького куба с ребром 2)

Потому то объем маленького куба вырезан дважды в каждом из параллелепипедов

v( вырезанной части) =2*2^2*6 [b]+[/b] 2^3=56

V=V(большого куба)-v( вырезанной части)=
=6^3-56=216-56=160
О т в е т. 160

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{25x^6 > 0 ⇒ x^6 > 0 ⇒ x > 0
{x > 0
{log^2_(5)x-1 ≠ 0 ⇒ log^2_(5)x ≠ 1 ⇒ x ≠ 5 или х ≠ 1/5

(log_(5)(25x^6)–12)/(log^2_(5) x–1) меньше или равно 1
или
(log_(5)(25x^6)–12)/(log^2_(5) x–1) - 1 меньше или равно 0
или
log_(5)(25x^6)–12-log^2_(5) x+1)//log^2_(5) x–1) меньше или равно 0

Замена переменной
log_(5)x=t

(2+6t-12-t^2+1)/*(t^2-1) меньше или равно 0
(t^2-6t+9)/(t^2-1) больше или равно 0
t^2-6t+9 больше или равно 0 при любом t
Значит и знаменатель:
t^2-1 > 0
t < -1 или t > 1

log_(5)x < -1 ⇒ 0 < x < 1/5
или

log_(5)x > 1 ⇒ x > 5

О т в е т. (0;1/5)U(5;+ бесконечность )

Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
9*(х-1)=2*(5-х)
9х-9=10-2х
9х+2х=10+9
11х=19
х=19/11
х=1 целая 8/11

9*7=63
63+7=70

3х-(Pi/2)=Pik, k ∈ Z

3x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z

x=(Pi/6)+(Pi/3)k, k ∈ Z

6/7)–(1/4)=(24/28)–(7/28)=17/28 бака израсходовано на 340 км
(17/28)*84=51 литр израсходован на 340 км

(51:340)*100=15 литров бензина автомобиль расходует на 100 км пути

1.
см. рисунок. Можно нарисовать более плавную кривую, типа параболы

2.
f`(x)=4*cos(2x-3)*(2x-3)`-(-sin(x+2))*(x+2)`;
f`(x)=8*cos(2x-3)+sin(x+2)

f`(x)=(x^3)`*lnx+(x^3)*(lnx)`;
f`(x)=3x^2*lnx+(x^3*(1/x));
f`(x)==3x^2*lnx+x^2.

3.
f`(x)=6x-12
f`(x)=0
6x-12=0
x=2

[1] _-__ (2) ____+____[4]

x=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
у(2)=3*4-12*2+1=-11

4.
k(касательной )=0
f`(x_(o))=k ( касательной)

f`(x)`=x^2-4

f`(x)`=0

x^2-4=0
x=-2 или х=2

О т в е т. в точках х=-2 и х=2 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

y`=dy/dx
sinxdy=ylnydx - уравнение с разделяющими переменными.
Разделяем переменные
dy/(y*lny)=dx/sinx
Интегрируем
ln|lny|=ln|tg(x/2)|+lnC
lny=C*tg(x/2) - общее решение

у(пи/2)=е
lne=C*tg(Pi/4) ⇒ C=1

lny=tg(x/2) - решение задачи Коши

Применяем метод понижения степени дифференциального уравнения.
y`=z
y``=z`

z`(1+x^2)+2xz=x^3
z`+(2x/(1+x^2))z=(x^3/(1+x^2)) - линейное уравнение первого порядка
z=u*v
z`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+((2x/(1+x^2))*uv=(x^3/(1+x^2)) #
Пусть функция v такова, что
v`+(2x/(1+x^2))v=0
Это уравнение с разделяющимися перемнными
dv/v=(-2x/(1+x^2))dx
Интегрируем
ln|v|=-ln|1+x^2| (C=0)
v=(1/(1+x^2))

Подставляем в #
u`=x^3
u=(x^4/4)+C_(1)

z=((x^4/4)+C_(1))*(1/(1+x^2))

y`=((x^4/4)+C_(1))*(1/(1+x^2))

dy=((x^4/4)+C_(1))*(1/(1+x^2))dx
Интегрируем
у= ∫ (x^4)dx/(4*(1+x^2))+ C_(1) ∫ dx/(1+x^2)=

=(1/4) ∫ (x^2-1)+(1/4) ∫ dx/(1+x^2)+C_(1) ∫ dx/(1+x^2)=

=(1/12)x^3-(1/4)x+((1/4)+C_(1))tgx+C_(2)

О т в е т. (1/12)x^3-(1/4)x+((1/4)+C_(1))tgx+C_(2)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=(2x^3+x^2–3x+3)`=6x^2+2x-3
f`(-1)=6*(-1)^2+2*(-1)-3=6-2-3=1

Графическое решение.
Строим график функции
у=3x^3-4x^2+4x-1

y`=12x^2-8x+4 > 0 при любом х, так как D=64-4*12*4 < 0
Значит функция у=3x^3-4x^2+4x-1 возрастает на (-
бесконечность ;+ бесконечность )

Кривая пересекает ось Ох в единственной точке.
Эта точка принадлежит отрезку [0;1/2], так как на концах этого отрезка кривая принимает значения разных знаков.
у(0)=-1 < 0;
y(1/2)=(3/8)-4*(1/4)+4*(1/2)-1=3/8 > 0

См. рис (прикреплено изображение)

S_(n)=(1/(1*3))+(1/(2*4))+(1/(3*5))+... + (1/(n*(n+2)))=

=(1/2)(1-(1/3)+(1/2)-(1/4)+(1/3)-(1/5)+... + (1/(n-2))-(1/n)+(1/(n-1))-(1/(n+1))+(1/n)-(1/(n+2))=

=(1/2)*(1+(1/2)+...-(1/(n+1))-(1/(n+2))

lim_(n→∞)S_(n)=(1/2)*(1+(1/2))=3/4

Ряд сходится по определению: существует конечный предел его n-ой частичной суммы.
О т в е т. S=3/4

9 метров за 3 оборота, 3 метра за один оборот.
Оборот - длина окружности
С=2Pi*R
R=5r
3=2*Pi*(5r)
r=3/10Pi=3/30=1/10 м

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
∪ АВ = 60^(o)
Длина этой дуги по условию 4Pi cм
Вся окружность имеет длину в 6 раз больше (360^(o):60^(o)=6)

С=2Pi*r
2Pi*r=6*4Pi
2r=24
r=12 см

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

V=S(осн.)*Н

S( осн.)=S( ромба)= (1/2)d_(1)*d_(2)=(1/2)*8*12=48

V=S(осн.)*Н=48*6=288 куб см

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=23290

5000:15=1000/3 руб за час
9*(1000/3)=3000 руб получит за 9 часов

120 мм= 12 см= 0,12 м
40 мм=4 см=0,04 м

V(доски)=4,2*0,12*0,04=0,2016 м^3

V(куба):V(доски)= 1: 0,2016=4,96

Почти пять досок.

S(бок. конуса)=Pi*R*L
L- образующая.
Если образующая увеличится в 36 раз, то и площадь боковой поверхности конуса увеличится в 36 раз

По формуле
sin2x = 2 sinx cosx

sin2x = 1/2
2x = (-1)^k *(Pi/6) + Pik, k ∈ Z
x =(-1)^k ( Pi/12) + (Pi/2)k, k ∈ Z

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Пусть
d_(1)=3x; d_(2)=5x

a^2=(d_(1)/2)^2+(d_(2)/2)^2

Р=4а ⇒ 136 = 4а ⇒ а= 34

34^2=(3x/2)^2+(5x/2)^2

1156 = (9x^2/4) + (25x^2/4)

1156 = 34x^2/4
x^2=34*4
x=2sqrt(34)

S ( ромба) = (1/2)d_(1)*d_(2) = (1/2) *3x * 5x = 15x^2/2 =
=1020

S(ромба) = a*h ⇒ h=S/a=1020/34= 30

Площадь внутреннего круга (маленький): S_(1 )= πr^2 =

Площадь внешнего круга (большой): S_(2) = πR2

По рисунку ( по клеткам) можно найти отношение
R/r
Так как рисунка нет, то обозначим R/r=k

Значит R=k*r

S_(2) = πR^2 = π(k*r)2 = k^2*πr^2 =k^2*S_(1)

Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, надо из площади большого круга вычесть площадь маленького.

S = S_(2) – S_(1) = k^2*S_(1) –S_(1) = S_(1)*(k^2-1)
Так как S_(1)=2 по условию
О т в е т. 2*(k^2-1)
При k=3
2*(3^2-1)=2*8=16

По теореме Виета
для приведенного квадратного уравнения x^2+px+q=0

х_(1)+х_(2)=-р
х_(1)*х_(2)=q

По условию
х_(1)+х_(2)=4 ⇒ 4 = - p ⇒ p =- 4
х_(1)*х_(2)=q ⇒ q= -3

О т в е т. x^2 - 4x - 3 = 0

Замена переменной
2^x=t
t > 0
4^x=t^2

4^(x-3)=4^x*4^(-3)=t^2/64
2^(x-6)=2^x*2^(-6)=t/64

t^2-71t+7*64 меньше или равно 0
D=71^2-4*7*64=5041-1792=3249=57^2
t_(1)=7 или t_(2)=64

7 меньше или равно t меньше или равно 64

7 меньше или равно 2^x меньше или равно 64

log_(2)7 меньше или равно x меньше или равно 6

О т в е т. [log_(2)7;6]

Ответ выбран лучшим

Cумма углов, прилежащих к одной стороне трапеции равна 180^(o)

(x+90)+x=180
x=45 (прикреплено изображение)

p=(1/5)*67=13,4
q=(2/7)*57=16 целых 2/7
q > p

(прикреплено изображение)

Радиус проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, т.е. ∠OKN=90^(o) = > ∠OKM=90^(o)–75^(o)=15^(o)
. По тереме о сумме углов треугольника ∠OKM+∠OMK+∠MOK=180^(o).
Треугольник ОКМ равнобедренный (ОК=ОМ как радиусы) = > ∠OMK=∠OKM=15^(o) = > ∠MOK=180^(o)–15^(o)–15^(0)=150^(o) (прикреплено изображение)

{sinx=(cosx+1)*(1-cosx)
{cosx+1 ≠ 0 ⇒ cosx ≠ - 1 ⇒ x ≠ Pi+2Pim, m∈ Z

sinx=1-cos^2x
sinx=sin^2x
sinx*(1-sinx)=0
sinx=0 или sinx=1
x=Pik, k ∈ Z или х=(Pi/2)+2Pin, n ∈ Z
Учитывая, что k≠2m+1
О т в е т.
а)2Pim, (Pi/2)+2Pin, m, n ∈ Z
б) Указанному промежутку принадлежат корни: -2PI и (-3Pi/2)

Ответ выбран лучшим

Пусть за время t первый из них проехал половину пути,второму осталось ехать 24 км.
Это значит, что
S/2t - скорость первого;
(S-24)/t - cкорость второго.

Когда же второй велосипедист проехал половину всего пути,первому осталось ехать 15 км.

(S/2)/((S-24)/t)=(S-15)/(S/2t)

S/(2*(S-24))=(S-15)/S

S^2=4S^2-156S+1440;

3S^2-156S+1440=0
D=156^2-4*3*1440=24336-17280=7056=84^2
Ы=(156+84)/6=40
S=(156-84)/6=12 не удовл смыслу задачи

S/2t=20/t - скорость первого;
(S-24)/t=16/t - cкорость второго.
20/t : 16/t=20:16=5:4
О т в е т. 40 км, 5:4

Ответ выбран лучшим

5^x*(5^2+5-1) < 3^(x/2)*(3-1-(1/3))
5^x*29 < 3^(x/2)*5/3
(5/sqrt(3))^x < 5/87
x < log_(5/sqrt(3))(5/87)

1)6,63:0,85=7,8
2)(34–30,9248)=3,0752
3)(34–30,9248):0,62= 4,96
4)7,8-4,96=2,84

cos((–3Pi/2)–x)=cos((3Pi/2)+x) - в силу четности косинуса
По формулам приведения
sin(x+Pi)=-sinx
cos((3Pi/2)+x)=sinx

Уравнение принимает вид:
(-sinx)^2-sinx=0
sin^2x-sinx=0
sinx*(sinx-1)=0
sinx=0 или sinx-1=0
x=Pik или sinx=1 ⇒ x=(Pi/2)+2Pin, k,n ∈ Z

О т в е т. Pik ; (Pi/2)+2Pin, k,n ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат корни
(-7Pi/2); -3Pi;(-5Pi/2); -2Pi.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

В основании пирамиды правильный треугольник, все стороны равны 4, все углы 60^(o)

S( Δ)=(1/2)a*b*гамма =(1/2)sin4*4*sin60^(o)=16sqrt(3)/4=
=4sqrt(3)
По условию SA⊥ пл. АВС
H=SA=3sqrt(3)

V=(1/3)*S(осн.)*Н=(1/3)*4sqrt(3)*(3sqrt(3))=12

3000:100=30 руб составляет 1%
11*30=330 руб составляют 11%
3000+330=3330 руб будет на счете через год

В основании правильной призмы - правильный многоугольник.
Призма четырехугольная, значит в основании квадрат со стороной 6, призма прямая - значит боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и является высотой призмы.
V=S( осн.) * Н = 6^2*4=36*4=144 (прикреплено изображение)

y`=dy/dx
(1-x^2)=xy(dy/dx)
(1-x^2)dx=xydy - уравнение с разделяющимися переменными.
(1-x^2)dx/x=ydy
Иинтегрируем
∫ (1-x^2)dx/x=∫ ydy
∫ ((1/х)-x)dx=∫ ydy
ln|x|-(x^2/2)+c=(y^2/2)
c=lnC
lnC|x|=(x^2+y^2)/2 - общее решение

у(1)=-1
lnC=(1^2+(-1)^2)/2 ⇒ lnC=0 ⇒ C=1
ln|x|=(x^2+y^2)/2- решение задачи Коши

Подставим координаты точки А
1=k*(-2)+5
1-5=-2k
k=2

y=2x+5
1) (-3;11) подставляем координаты точки в уравнение прямой
11=2*(-3)+5 - неверно, точка не принадлежит прямой
2) (-5;-10)
-10=2*(-5)+5 - неверно
3)(6;17)
17=2*6+5 - верно, точка принадлежит прямой
4) (8;20)
20=2*8+5- неверно
О т в е т. 3) (6;17) принадлежит прямой

Пусть турист должен был идти со скоростью х км в час.
И затратить на весь путь (40/х) час.
Турист увеличил скорость на 1 км в час, т..е шел со скоростью (х+1) и затратил (40/(х+1)) час. , что по условию на 2 часа меньше.

40/(х+1) меньше 40/х на 2.
Составляем уравнение
40/(х+1) +2= 40/х
х ≠0
х+1 ≠ 0
40*х+2*х*(х+1)=40*(х+1)
40х+2х^2+2x=40x+40
2x^2+2x-40=0
x^2+x-20=0
D=81
x_(1)=4 или х_(2)=-5 < 0 не удовл. смыслу задачи
О т в е т. 4 км в час

V=abc ⇒ a = V/bc.

При V = 55, b = 2 и c = 5,5

a = 55/(2·5,5) = 55/11 =5

О т в е т. 5

a < x < b или с < x < d (прикреплено изображение)

∠ АОВ - центральный, измеряется дугой, на которую опирается.
Значит ∪ АВ =120°
∠ ВОС - центральный, измеряется дугой, на которую опирается.
Значит ∪ ВС =140°

∪ АС=360 °-∪ АВ - ∪ ВС =360 ° -120°- 140°=100°

Углы треугольника- вписанные, измеряются половиной дуги, на которую опираются
∠ А=(1/2) ∪ ВС=(1/2)*140°=70°
∠ В=(1/2) ∪ АС=(1/2)*100°=50°
∠ С=(1/2) ∪ АВ=(1/2)*120°=60°

По условию
уровень жидкости достигает 1/5 высоты.

(2;3)
cм рисунок

(e^(u))`=e^(u)*(u)`

y`=е^(sinx)*(sinx)`+e^(cosx)*(cosx)`

y`=е^(sinx)*cosx - e^(cosx)sinx

F(x)=(x^4/4)-3*(x^3/3)+(x^2/2)-x+C
F(x)=(x^4/4)-x^3+(x^2/2)-x+C

Неравенство равносильно совокупности двух систем
1)
{20-17x меньше или равно 0
{log_(3x+7)(x^2-2x+2) больше или равно 0
или
2){20-17x больше или равно 0
{log_(3x+7)(x^2-2x+2) меньше или равно 0

0=log_(3x+7)1

1)
{x больше или равно 20/17
{(3x+7-1)(x^2-2x+2-1) ≥ 0⇒ 3x+6 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2
{3x+7 > 0; 3x+7≠ 1 ⇒ x > -7/3; x≠ -2
{x^2-2x+2 > 0- верно при любом х, D < 0
или
2){x меньше или равно 0
{(3x+7-1)(x^2-2x+2-1) ≤ 0 ⇒ 3x+6 ≤0 ⇒ x ≤ -2
{3x+7 > 0; 3x+7≠ 1⇒ x > -7/3; x≠ -2
{x^2-2x+2 > 0 - верно при любом х, D < 0

О т в е т. (-7/3;-2) U[20/17;+ бесконечность )

sin((Pi/3)-x)=1/2

sin(x-(Pi/3))= - 1/2
x-(Pi/3)=(–π/6) +2πk или х-(Pi/3)=–(5π/6)+2πn, k и n – целые
x=(Pi/3)+(–π/6) +2πk или х=(Pi/3)–(5π/6)+2πn, k и n – целые
x=(π/6) +2πk или х= – (π/2)+2πn, k и n – целые

Ответ выбран лучшим

sinx=-1/2
x=(-Pi/6) +2Pik или х=-(5Pi/6)+2Pin, k и n - целые

х==(-Pi/6) +2Pi=11Pi/6 ∈ [0;2Pi]
и
х=(-5Pi/6) +2Pi=7Pi/6 ∈ [0;2Pi]

Ответ выбран лучшим

1,75=1 целая (3/4)=7/4
28=4*7

= (7/4)^(1/9) * 4^ (2/9)* 4^(8/9)*7^(8/9)=

=7^((1/9)+(8/9))*4^(8/9)+(2/9)-(1/9))=7*4=28

d^2=a^2+b^2+c^2

a=sqrt(6)*x;
с=sqrt(5)*x
b=sqrt(10)*x

(2sqrt(21))^2=6x^2+5x^2+10x^2
x^2=4
x=2
a)
a=2sqrt(6)
c=2sqrt(5)
b=2sqrt(10)
б)
sin phi=c/d=2sqrt(5)/2sqrt(21)=sqrt(5/21)

По определению логарифма
2х-1=2^3
2x=8+1
2x=9
x=4,5
О т в е т. 4,5

Ответ выбран лучшим

1.
y`=(1/(cos^22x))*(2x)`
y`=2/(cos^22x)
y`(0)=2/(cos^2(2*0))=2
y(0)=tg(2*0)=tg0=0

y-0=2*(x-0)
y=2x

2.
(arcsinu)`=(1/sqrt(1-u^2))*u`

y`=(1/arcsin(1-(lnx+1)^2))*(lnx+1)`
y`=(1/arcsin(-ln^2x-2lnx))*(1/x)

3.
Логарифмируем
lny=ln(9x+3)-ln5-6ln(2+x)
Дифференцируем
y`/y=(1/(9x+3))*(9x+3)`-0-6*(1/(2+x))*(2+x)`
y`/y=3/(3x+1)-(1/(2+x))
y`/y=(3*(2+x)-3x-1)/((3x+1)*(2+x))
y`/y=5/((3x+1)*(2+x))

y`=y*(5/((3x+1)*(2+x)))

y`=(9x+3)*/((3+1)(2+x)^7)

4
Логарифмируем
lny=(1/4)*ln(x^2+3x+1)-(1/3)ln(x^2+4)-(1/2)ln(3x+5)

y`/y=(1/4)*(2x+3)/(x^2+3x+1) -( 1/3)*(2x/(x^2+4))-(1/2)*(3/(3x+5))

y`=y*(1/4)*(2x+3)/(x^2+3x+1) -( 1/3)*(2x/(x^2+4))-(1/2)*(3/(3x+5))
Осталось упростить, вместо у написать то, что дано и в скобках привести дроби к общему знаменателю.

5.
Логарифмируем
lny=cosx*ln(x-5)

y`/y=(cosx)*ln(x-5)=cosx*(ln(x-5))`

y`=y*(-sinx*ln(x-5)+cosx*(1/(x-5)))

=2*(-cosx)+6x-3*(x^2/2)+C

1) Неопределенность (0/0)
раскладываем и числитель и знаменатель на множители
2x^3+x^2+x+2=(2x^3+2)+(x^2+x)=2*(x^3+1)+x*(x+1)=

=(x+1)*(2x^2-2x+2+x)=(x+1)(2x^2-x+2)

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

Сокращаем и числитель и знаменатель на (х+1)

lim_(x→ -1)((2x^2-x+2)/(x^2-x+1)=5/3

2.
Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(225+x^2+15)*(1+sqrt(1+x))

lim_(x→ 0)(225+x^2-15^2)*(1+sqrt(1+x))/(sqrt(225+x^2)+15)*(1-1-x))=
=lim_(x→ 0)(x^2)*(1+sqrt(1+x))/(sqrt(225+x^2)+15)*(-x))=
=lim_(x→ 0)(x)*(1+sqrt(1+x))/(sqrt(225+x^2)+15)*(-1))=0

3. Так как
lim_(x→ 0)(tgx^2)/(x^2)=1
lim_(x→ 0)(5x)/(arcsin5x)=1
lim_(x→ 0)(x/4)/(sin(x/4))=1

=lim_(x→ 0)(tgx^2)/(x^2) * (x^2) * (5x)/(arcsin5x) * (1/5x) * (x/4)/(sin(x/4)) * (1/(x/4))=

=lim_(x→ 0) (x^2)/(5x)*(x/4)=1/20

4. Так как
lim_(x→ 0) ln(1+4tgx)/(4tgx)=1

lim_(x→ 0) ln^2(1+4tgx)/(4tgx)^2=1

=lim_(x→ 0) ln^2(1+4tgx)/(4tgx)^2 * (4tg^2x)/(cos^2x-1)=

=lim_(x→ 0) (4tg^2x)/(cos^2x-1)=

=lim_(x→ 0) (4tg^2x)/(-sin^2x)=

=-4

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
2х+1=1
2х=0
х=0
Проверка
sqrt(2*0+1)=1 - верно.
О т в е т. 0

=(440/15)*(45/320)=(440*45)/(15*320)=(44*3)/(32)=

=(11*3)/(8)=33/8=4 целых (1/8)=4,125

1.Область определения функции
(-бесконечность;1)U(1;+бесконечность)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
y(-x)=(-x)^2/((-x)^3-1) =x^2/(-x^3-1)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x) ≠ -y(x)

3. Точки пересечения с осями координат
y=0 ⇒ x=0
(0;0)- точка пересечения и осью Ох и с осью Оу.

4. Асимптоты
x=1 - вертикальная асимптота
lim_(x→1-0)= - ∞
lim_(x→1+0)= + ∞
y=0 - горизонтальная асимптота
lim_(x→∞)=0

5.Интервалы монотонности и экстремумы

y`=((x^2)`*(x^3-1)-(x^3-1)`*x^2)/(x^3-1)^2
y`=(-x^4-2x)/((x^3-1)^2
y`=0
-x^4-2x=0
x*(-x^3-2)=0
x=0 или х=∛-2
Расставляем знак производной:
_-__ (∛-2) _+__ (0) _-__ (1) _-__

х= ∛-2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Функция возрастает на (∛-2;0)
убывает на ( - бесконечность; ∛-2) и на (0;1) и на (1;+ бесконечность)

6.Интервал выпуклости, точки перегиба

y``=((-x^4-2x)`*(x^3-1)^2 - ((x^3-1)^2)`*(-x^4-2x))/(x^3-1)^4

y``=(2x^6+14x^3+2)/(x^3-1)^3

y``=0 ⇒ 2x^6+14x^3+2=0 D=196-4*2*2=180
x^3=(-14-sqrt(180))/4 или x^3=(-14+sqrt(180))/4

Две точки перегиба
(отмечены на рисунке).
a= ∛ (-14-sqrt(180))/4 и b= ∛(-14+sqrt(180))/4

Кривая выпукла вверх на (-бесконечность;∛ (-14-sqrt(180))/4 )
и на (∛(-14+sqrt(180))/4; 1)
Кривая выпукла вниз на (∛ (-14-sqrt(180))/4; ∛(-14+sqrt(180))/4) и на (1;+ бесконечность)

7.
x=2 y=4/7
x=4 y=16/63

x=-2 y=-4/9

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(19Pi/12)=sin(Pi+(7Pi/12))= - sin(7Pi/12)
(7Pi/12) во второй четверти.
синус во второй четверти имеет знак +
По формуле
sin( альфа /2)=sqrt((1-cos альфа )/2)

sin( 7Pi /12)=sqrt((1-cos (7Pi/6) )/2)=sqrt((1+(sqrt(3)/2))/2)=
sqrt(2+sqrt(3))/2

√48–√192sin19π/12 =√48–√192*(-sin7π/12)=

= √48+√192*sqrt(2+sqrt(3))/2=

=√48+√48*sqrt(2+sqrt(3))=

=√48*(1+sqrt(2+sqrt(3)))

Замена переменной:
u=7^(sqrt(2)sinx)
u > 0
u^2=49^(sqrt(2)sinx)
v=3^(sqrt(2)sinx)
v > 0
v^2=9^(sqrt(2)sinx)

Уравнение принимает вид
(1/49)u^2-(42/(21^2))u*v+(81/9^3)v^2=0 - однородное уравнение второго порядка. Делим на u^2

(1/49)t^2-(2/(21))t+(1/9)=0 Умножаем на 421
t=u/v

9t^2-42t+49=0
(3t-7)^2=0
3t-7=0
t=7/3

(7/3)^(sqrt(2)sinx=(7/3)

sqrt(2)sinx=1
sinx=1/sqrt(2)
x=(-1)^(k)*(Pi/4)+Pik, k ∈ Z

Указанному отрезку принадлежит корень х=(PI/4)+2Pi=9Pi/4

О т в е т.
а) (-1)^(k)*(Pi/4)+Pik, k ∈ Z
б)9Pi/4 (прикреплено изображение)

Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних

2*(3-х)=3*х
6-2х=3х
6=3х+2х
6=5х
х=1,2

Ответ выбран лучшим

S=(1/2)a*h=(1/2)*4*5=10 (прикреплено изображение)

(6/7)-(1/4)=(24/28)-(7/28)=17/28 бака израсходовано на 340 км
(17/28):340*100=15/28 бака расходуется на 100 км

sqrt(x+2)=x-3
ОДЗ:
х+2 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно -2

При x+3 < 0 уравнение не имеет корней,
При х+3 больше или равно 0 возводим в квадрат

х+2=(x-3)^2
x+2=x^2-6x+9
x^2-7x+7=0
D=49-28=21
x_(1)=(7-sqrt(21))/2 или x_(2)=(7+sqrt(21))/2

Ответ выбран лучшим

(3x)/(3x+4)+(7)/(4–3x)–(9x²+16)/(9x²–16)=

=(3x)/(3x+4)-(7)/(3x- 4)–(9x²+16)/((3х-4)(3х+4))=

=(3x*(3x-4)-7*(3х+4)-(9x^2+16))/((3x-4)(3x+4))=

=(9x^2-12x-21x-28-9x^2-16)/((3x-4)(3x+4))=

=-11*(3x+4)/((3x-4)(3x+4))=-11/(3x-4)=11/(4-3х)

О т в е т. 3)

((2x²y)/(15x⁴y³))·((35xy⁴)/(16x²))·((6)/(49y³))=

=(2x^2*y*35xy^4*6)/(15x^4y^3*16x^2*49y^3)=

=(x^3y^5)/(28x^6y^5)=1/(28x^3)

О т в е т. 1)

х^2+х–12=(x-3)(x+4)

x*(x-3)*(x+4)-5*(x-3)=0
(x-3)*(x^2+4x-5)=0
x-3=0 или x^2+4x-5=0 D=16+20=36
х_(1)=3 или х_(2)=-5 или х_(3)=1

y`=dy/dx
ydy*(1+e^x)/dx=e^x- уравнение с разделяющимися переменными.
ydy=e^xdx/(1+e^x)
Интегрируем
∫ ydy=∫ e^xdx/(1+e^x)
y^2/2=ln(1+e^x)+C

y(0)=1
1/2=ln2+C
C=(1/2)-ln2

y^2/2=ln(1+e^x)+(1/2)-ln2- решение задачи Коши.

y`=dy/dx
ydy*(1+e^x)/dx=e^x;
ydy=e^xdx/(1+e^x)
∫ ydy=∫ e^xdx/(1+e^x)
y^2/2=ln(1+e^x)+C

y(0)=1
1/2=ln2+C
C=(1/2)-ln2

y^2/2=ln(1+e^x)+(1/2)-ln2

Применяем метод рационализации:
{x-1 > 0; x-1 ≠ 1
{(x^2-x-6)/(2x-8) > 0
{(x-1-1)*((x^2-x-6)/(2x-8)-(x-1)) меньше или равно 0

{(1;2)U(2;+ бесконечность )
{(- бесконечность ;-2]U[3;4)
{(x^2-9x+14)/(2x-8) больше или равно 0 ⇒ [2;4)U[7;+ бесконечность )

О т в е т. [3;4)

Р=2*(a+b)=2*(30+20)=100 м
100м:2м=50 реек

рис. 1
О т в е т. а = -1 или а = -11
рис.2
y=|x+3|-1 - график красного цвета
у=2*|x-(a/2)| - два графика. синего и зеленого цвета
(прикреплено изображение)

Есть
О т в е т. (Pi/2)+Pik, k ∈Z при k=1 содержит х=3Pi/2

Условие задачи состоит из двух частей.
В первой части важные данные.

Р=2*(a+b)
340 < 2*(a+b) < 500

170 < a+b < 250

a=50+4+50+2=106
b=30+4+30+2=66

106+66=172

(прикреплено изображение)

Пусть учеников х ( без Петрова)
98*(х+1) -баллов набрали все ученики

(98*(x+1)-2)=98х+98-2=(98х+96) набрали х учеников
Их средний балл на 2 больше чем 98

(98*x+96)/х = 100

98х+96=100х
96=100х-98х
96=2х
х=48

Ответ выбран лучшим

Центральные углы, измеряются дугой на которую опираются.
Сумма центральных углов,отмеченных на рисунке 180^(o)
Значит
S=S( Δ)+S((1/2 )круга))= 135+(1/2)Pi*(0,6)^2=
=135+0,5652=135+0,57
О т в е т. Г) (прикреплено изображение)

Расстояние между 3 и 12 рядами - 9 м. Это один катет.
Расстояние между креслами в ряду равно 0,8 м.
Между 22 и 6 местами 15 кресел по 0,8
0,8*15=12 м. Это второй катет
Искомое d - гипотенуза
d=sqrt(9^2+12^2)=sqrt(81+144)=sqrt(225)=15 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

log(25)(1/4)=log_(5^2)(0,5)^2=log_(5)0,5=1/(log_(0,5)5)

log_(25)(1/4)*log_(0,5)(x+25)=log_(0,5)(x+5)/(log_(0,5)5)=

=log_(5)(x+5)

log_(5)(x+5) больше или равно 2
{x+5 > 0
{x+5 больше или равно 25
⇒x больше или равно 20
О т в е т. [20;+ бесконечность )

(прикреплено изображение)

Пусть в кредит планируется взять S рублей, а ежегодный платеж по кредиту будет составлять x рублей. Тогда каждый год долг увеличивается на 20% или в 1,2 раза и уменьшается на x млн рублей.

Тогда в первый год долг составит1,2S, остаток будет равен:
1,2S-x
После второго года остаток по кредиту составит:
1,2*(1,2S-x) - x=1,2^2S-1,2x-x=1,44S-2,2x

В конце третьего года он будет равен:
1,2*(1,44S-2,2x)-x=1,728S-2,64x-x=1,728S-3,64x

В конце четвертого года он будет равен:
1,2*(1,728S-3,64x)-x
По условию кредит был погашен за 4 года, а это значит, что остаток за четвертый год равен 0, то есть:
1,2*(1,728S-3,64x)-x=0
2,0736S-5,368x=0

По условию общая сумма выплат составила 311040, а значит:
4х=311040 ⇒ x=77 760

2,0736S-5,368*77760=0

S=201300

Можно найти только площадь осевого сечения
S=AB*AA1=2R*H=2*5*9=90 (прикреплено изображение)

8х-3х-27 < -9
5x < -9+27
5x < 18
x < 3,6

P(x)=px-(0,5x^2+x+7)=-0,5x^2+(p-1)x-7
Наибольшее значение в точке
х_(о)=-(р-1)/2(-0,5)=p-1

Р(р-1)=-0,5*(р-1)^2+(p-1)*(p-1)-7=
=0,5*(p^2-2p+1)-7=0,5p^2-p-6,5

3*(0,5p^2-p-6,5) больше или равно 75

1,5p^2-3p-19,5 больше или равно 75

3р^2-6p-189 больше или равно 0
D=36+4*3*189=2304=48^2
p_(1)=(6-48)/6=-7 или p_(2)=(6+48)/6 =9
p меньше или равно -7 или p больше или равно 9
p=9

1.
Δ АВС - равнобедренный. Медиана АМ, значит ВМ=МС=3
Медиана АМ в равнобедренном треугольнике и высота.
АМ ⊥ ВС
Из прямоугольного треугольника АВМ по теореме Пифагора
АМ=4
Δ АА1М - прямоугольный равнобедренный.
АА1=АМ=4
АА1=H (призмы)
S(бок.) =Р(осн.)*Н=(5+5+6)*4=64
2.
Δ АА1С - прямоугольный
По теореме Пифагора
A1С^2=АА^2_(1)+AC^2=9^2+12^2=81+144=225
A1C=15
Δ А1CB- прямоугольный
S(Δ А1CB)=(1/2) А1С*ВС=(1/2)*15*20=150
3.
Δ АВD - равнобедренный (АВ=AD), угол при вершине 60^(o). Углы при основании равны, их сумма (180^(o)-60^(o))=120^(o)
Значит каждый угол при основании тоже 60^(o)/
Δ АВD - равноcторонний

Δ ВВ1D - прямоугольный равнобедренный
ВВ1=ВD=2
S(бок.) =Р(осн.)*Н=(2+2+2+2)*2=16

4.
S(бок.) =Р(осн.)*Н ⇒ Н=АА1=S/P=220/(3+8+3+8)=220/22=10

5.
По теореме косинусов
АС^2=3^2+5^2-2*3*5*cos120^(o)=9+25=15=49
AC=7
S(AA1C1C)=AC*AA1 ⇒ AA1=S/AC=35/7=5

6.
По теореме косинусов
BС^2=1^2+3^2-2*1*3*cos альфа=1+9-2*3*(2/3)=6
ВC=sqrt(6)
S(BB1C1C)=BC*BB1 ⇒ BB1=S/BC=5sqrt(6)/sqrt(6)=5
AA1=BB1=5

7.
AK ⊥ BC
Из прямоугольного треугольника АСК
АК=АС*sin∠C=12*(1/8)=3/2
tg альфа= АА1/АК=6/(3/2)=4
альфа угол между указанными плоскостями

8.
ВК=S( ABC)/AC= 7,5/15=0,5
tg альфа= BB1/BК=12/(1/2)=24
альфа угол между указанными плоскостями

9.
Проведем высоту СН
АК=СН=СD*sin∠D=2sqrt(3)*sin60^(o)=3
tg∠AKA1=AA1/AK=6/3=2

10.
tg ∠B1KB=3/4
tg ∠B1KB=BB1/BK
BB1=AA1=3
BK=4
AB=CD=4sqrt(2)

sin ∠BAD=BK/AD=4/4sqrt(2)=1/sqrt(2)
∠BAD=45^(o)

Ответ выбран лучшим

sqrt(75)=sqrt(3*25)=5sqrt(3)
(3/5)*(5sqrt(3))=3sqrt(3)

Пусть длина каждого участка х метров, ширина первого участка у метров, ширина второго (15-у)
{160=ху
{140=х*(15-у) ⇒ 140 =15x-xy ⇒ 140=15x-160 ⇒ 140+160=15x ⇒300=15x

x=20
y=160/20=8

15-y=15-8=7
О т в е т. 7 метров

При х больше или равно 0
|x|=x
y=x*(x-2)+2
y=x^2-2x+2

При х < 0 |x|=-x
y=-x*(x-2)+2
y=-x^2+2x+2

О т в е т.
m=1 и m=2 (прикреплено изображение)

1)r=6; h=12*sin60^(o)=6sqrt(3)

V=(1/3)Pir^2*h=(1/3)*Pi*6^2*6sqrt(3)=72Pisqrt(3)

2)r=6 ; h=6*tg30^(o)=6sqrt(3)/3=2sqrt(3)

V=(1/3)Pir^2*h=(1/3)*Pi*6^2*2sqrt(3)=24Pisqrt(3) (прикреплено изображение)

∠ ВАС= ∠ BDC =53^(o) как углы опирающиеся на одну и ту же дугу ВС.
∠ ADC= ∠ ADB+ ∠ BDC=20^(o)+53^(o)=73^(o)

План решения у Вас верный, видимо, вычислительные ошибки.

sqrt(1+2x)+sqrt(9+6x)=14;

1+2x+2*sqrt(1+2x)*sqrt(9+6x)+9+6x=196;
2*sqrt(1+2x)*sqrt(9+6x)=186-8x;
sqrt(1+2x)*sqrt(9+6x)=93-4x;

(1+2x)*(9+6x)=93^2-2*93*4x+16x^2;
12x^2+24x+9=93^2-2*93*4x+16x^2;
4x^2-768x+8640=0
x^2-192x+2160=0
D=192^2-4*2160=36864-8640=28224=168^2
x_(1)=(192-168)/2=12 или х_(2)=(192+168)/2=180

Ответ выбран лучшим

Пусть пирожное стоит х руб.
4 пирожных стоят 4х руб
(138-4х) руб стоит шоколадка.

8х руб стоят 8 пирожных
(250-8х) руб стоит шоколадка

138-4х=250-8х
8х-4х=250-138
4х=112
х=28
28 руб стоит пирожное
28*4=112 руб стоят 4 пирожных
138-112=26 руб стоит шоколадка
О т в е т. 26 руб. стоит шоколадка

8^((5x+3)/3) < (16^(-(2x+1)/x))^(1/2)
8=2^3
16=2^4

2^(5x+3) < 2^((-4x-2)/x) ⇒

5x+3 < (-4x-2)/x;

((5x+3)*x-(-4x-2))/x < 0

(5x^2+3x+4x+2)/x < 0

(5x^2+7x+2)/x < 0

D=49-4*5*2=9

x1=-1 или х2=-4/10=-2/5

Метод интервалов:

__-_ (-1) __+__ (-2/5) _-__ (0) _+__

О т в е т. х < –1, –2/5 < х < 0

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1)6x=36
х=36:6
х=6

2)5x=5/7
х=(5/7):5
х=(5/7)*(1/5)
х=1/7

3)–x=18
х=-18

4)11x=–1/3
х=(-1/3):11
х=(-1/3)*(1/11)
х=-1/33

5)49x=0
х=0:49
х=0

6)21x=–3
х=-3/21
х=-1/7

6)–3/7x=–1
х=(-1):(-3/7)
х=(-1)*(-7/3)
х=7/3
х=2 целых 1/3

3x^2+7x–1=3*(x^2+(7/3)x-(1/3))=3*((x+(7/6))^2-(61/36))

x+(7/6)=u ⇒ 4x+1=4*(u-(7/6))+1=4u-(22/6)=4u-(11/3)
dx=du

∫ (4x+1)dx/sqrt(3x^2+7x–1)=

=(1/sqrt(3))* ∫ (4u-(11/3))du/sqrt(u^2-(61/36))=

=(1/sqrt(3))* ∫ 4udu/sqrt(u^2-(61/36))+

+(11sqrt(3)/9)* ∫ du/sqrt(u^2-(61/36))=

=(2/sqrt(3))*2sqrt(u^2-(61/36)) +

+(11sqrt(3)/9)*ln|u+sqrt(u^2-(61/36))|+C=

Ответ выбран лучшим

u=x
du=dx
v=dx/cos^2x
v=tgx

u*v- ∫ vdu=x*tgx- ∫ tgxdx=x*tgx- ∫ (sinxdx/cosx)=

=x*tgx- ∫ d(-cosx)/cosx)=x*tgz+ln|cosx| + C

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
x^(11)=t
11x^(10)dx=dt

∫ x^(10)dx/sqrt(6–3x^(22))=(1/11) ∫ dt/sqrt(6-3t^2)=

=(1/(11sqrt(3)))* ∫ dt/sqrt(2-t^2)=

=(1/(11sqrt(3)))* (1/sqrt(2))* arcsin(t/sqrt(2)) + C=

=(sqrt(6)/66)* arcsin((x^11)/sqrt(2)) +С

Ответ выбран лучшим

(6/7)-(1/4)=(24/28)-(7/28)=17/28 бака израсходовано на 340 км
(17/28)*84=51 л израсходован на 340 км
51:340=3/20 л расходуется на 1 км
на 100 км в 100 раз больше

О т в е т. 15 л расходует на 100 км

Примем стоимость куртки за 100%.

Пусть стоимость одной рубашки составляет х%, тогда стоимость девяти рубашек 9х%

9х+7 = 100

9х = 100 - 7

9х = 93

x=93/9

x=31/3

Тогда стоимость 12-ти рубашек составит
12*(31/3)%

12*(31/3)% – 100% = 124%–100% = 24%

О т в е т. Дороже на 24 %

Второй способ

Пусть стоимость куртки х руб
тогда (x:100)*7=0,07х руб составляют 7%
х-0,07х=0,93х руб стоимость 9 рубашек
одна рубашка стоит (0,93х :9) руб. ,
а 12 рубашек 12*( 0.93х : 9)=1,24 х руб

х составляет 100%
1,24х составляет 124%
124-100=24%

О т в е т. Дороже на 24 %

1=sin^2x+cos^2x

1-sin^4x-cos^4x=sin^2x+cos^2x-sin^4x-cos^4x=

=sin^2x-sin^4x+cos^2x-cos^4x=

=sin^2x*(1-sin^2x)+cos^2x*(1-cos^2x)=

=sin^2x*cos^2x+cos^2x*sin^2x=2sin^2x*cos^2x

О т в е т. 2sin^2x*cos^2x/cos^4x=2sin^2x/cos^2x=2tg^2x

f`(x)=2*е^(x)+6x

-46*cos2 альфа =-46*(2cos^2 альфа -1)=-46*(2*0,1^2-1)=
=-46*(0,02-1)=-46*0,98

а) f`(x)=((-1/3)x^3+4х)`=-x^2+4
f`(x)=0
-x^2+4=0

x1=-2 или x2=2
Находим знак производной:

_-__ (-2) _+_ (2) _-__

На (- бесконечность; -2) и на (2;+ бесконечность ) функция убывает, на (-2;2) возрастает

х=-2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

S_(n)=(1/(7*8))+((1/(8*9))+...+(1/(n+6)*(n+7)))=

=(1/7)-(1/8)+(1/8)-(1/9)+...+(1/(n+6))-(1/(n+7))=

=(1/7)-...(1/(n+7))

S=lim_(n→∞)S_(n)=1/7

ctgx=cosx/sinx

(cos^2x+cosx-sin^2x)/sinx=0

sin^2x=1-cos^2x

(2cos^2x+cosx-1)/sinx=0

{sinx ≠ 0 ⇒ x ≠ Pik, k ∈ Z
{2cos^2x+cosx-1=0; D=1+8=9 cosx=-1 или cosx=1/2

cosx=-1 ⇒ x=Pi+2Pin, n ∈ Z не удовл. условию x ≠ Pik, k ∈ Z

cosx=1/2 ⇒ х= ± (Pi/3)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т.
а)х= ± (Pi/3)+2Pim, m ∈ Z
б) (Pi/3)+2Pi=7Pi/3 ∈ [ 2п; 3п ]

Графику функции принадлежат точки (0;3) ; (-1;2); (-2;3)
Подставляем координаты в уравнение
3=0+0+с ⇒ с=3
2=а*(-1)^2+b*(-1)+3 ⇒ a-b=-1
3=a*(-2)^2+b*(-2)+3 ⇒ 4a-2b=0 ⇒ 2a-b=0

{a-b=-1
{ 2a-b=0
Вычитаем из первого второе
-а=-1
а=1
(прикреплено изображение)

1 м=100 см=1000 мм

1куб.м=1м*1м*1м=1000мм*1000мм*1000мм=
1000 000 000 куб. мм

1 000 000 000 мм= 100 000 000 см=1 000 000 м= 1000 км

Ответ выбран лучшим

20 : 5 · (2 + 6 · 6) =4*38= 152.

Ответ выбран лучшим

Полтина - 50 коп.
половина - 0,5

Разделить на половину - разделить на 0,5

50:0,5=100 коп

Ответ выбран лучшим

Решение однородного дифференциального уравнения y''+5y'=0

Составляем характеристическое уравнение
k^2+5k=0
k*(k+5)=0
k=0 или k=-5
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
y_(одн)=C_(1)e^(0x)+C_(2)e^(-5x)
y_(одн)=C_(1)+C_(2)e^(-5x)

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения y''+5y'=39cos3x–105sin3x
запишем в виде, похожем на правую часть
y_(част)=Acos3x+Bsin3x

y`_(част)=(Acos3x+Bsin3x)`=-3Asin3x+3Bcos3x
y``_(част)=(-3Asin3x+3Bcos3x)`=-9Acos3x-9Bsinx3x

Подставляем в данное уравнение
-9Acos3x-9Bsinx3x+5*(-3Asin3x+3Bcos3x)=39cos3x–105sin3x

{-9A+15B=39
{-9B-15A=-105
⇒
{-3A+5B=13
{-3B-5A=-21

{-3A+5B=13
{-5A-3B=-21

{-9A+15B=39
{-25A-15B=-105
Вычитаем из первого второе
16А=144
А=9
В=(13+3А)/5=(13+27)/5=8

О т в е т. у=у_(одн)+у_(част)=С_(1)+С_(2)e^(-5x)+9cos3x+8sin3x

позавчера, вчера, сегодня, завтра, послезавтра

Ответ выбран лучшим

H(цилиндра)=2R

V(цилиндра)=PiR^2*H=PiR^2*(2R)=2Pi*R^3
По условию
V(цилиндра)=30
Значит
2Pi*R^3=30
Pi*R^3=15

V(шара)=(4/3)Pi*R^3=(4/3)*15=20
О т в е т. 20

Ответ выбран лучшим

В ОДЗ cos^2x ≠ 0;
x ≠ (Pi/2)+Pin, n ∈ Z

В решении написано, что sinx=1 ⇒ x= (Pi/2)+2Pin, n ∈ Z
Эти решения не входят в ОДЗ

О т в е т. 2)

V(PABCD)=V(PABCD)+V(DABC)=
=(1/3)S( Δ ABC)*DA + (1/3)S( Δ ABC)* PC=
=(1/3)*S( Δ ABC)*(DA+PC)
DA=1; PC=2

По теореме Пифагора из треугольника АВС
AB^2=AC^2-BC^2=2^2-1^2=4-1=3
AB=sqrt(3)

S( Δ ABC)=(1/2)AB*BC=(1/2)*sqrt(3)*1=sqrt(3)/2

V(PABCD)=sqrt(3)/2

Ответ выбран лучшим

V (воды)=S(осн)*h, h=35
S(осн)=V(воды)/h=10850/35

V( грота)=S(осн)*(H-h)=(10850/35)*(37-35)=310*2=620 куб. см

Ответ выбран лучшим

20:100*2=0,4€ первоначальная скидка.
20-0,4=19,6 € стоит книга.

19,6€ составляют 100%
х € составляют 4%
х=19,6*4:100=0,784€ новая скидка

19,6 - 0,784 =18,816 € стоит книга

(прикреплено изображение)

cos ∠ BAC=cos ∠ CBA=BH/AB=2/8=1/4 (прикреплено изображение)

a_(12)=a_(1)+11d
a_(17)=a_(1)+16d

-34=a_(1)+11d
-74==a_(1)+16d

Вычитаем из первого уравнения второе

40=-5d
d=-8

1) 60*6=360 км проехала первая машина за 6 часов
2) 780 - 360=420 км проехала вторая за 6 часов
3) 420:6=70 км в час - скорость второй машины

AO- биссектриса АВК.
По свойству биссектрисы
АВ:AK=5:3 ⇒ AK=(3/5)AB=(3/5)*42,5=25,5
АС=2АК=2*25,5=51 см (прикреплено изображение)

360^(o)-90^(o)-90^(o)-105^(o)=75^(o)

D=16-4*2=8
x_(1)=4-2sqrt(2)/2=2-sqrt(2); x_(2)=2+sqrt(2)

S=(1/2)(2-sqrt(2))*(2+sqrt(2))=(1/2)*(4-2)=1

|x|+23=-0,3
|x|=-0,3-23;
|x|=-23,3 - нет корней, |x| больше или равно 0 и ни при каком х не равняется отрицательному -23,3

Диаметр этой окружности равен 2R=52sqrt(2) и является диагональю квадрата.
Пусть сторона квадрата х, по теореме Пифагора
x^2+x^2=(52sqrt(2))^2
2x^2=52^2*2
x^2=52^2
x=52
О т в е т. 52

х- абсцисса, у-ордината, у=x^2
x*y=x*x^2=x^3
По условию
ху=125
x^3=125
x=5
y=5^2=25
x+y=5+25=30
О т в е т. 30

cos ∠ B=BC/AB
9/10=BC/60
BC=54

Пусть сторона а, площадь S=a^2
Новая длина 0,9а, площадь s=(0,9a)^2=0,81a^2

a^2 составляет 100%
0,81a^2 составляют х%
х=0,81a^2*100/a^2=81%

100-81=19%
О т в е т. на 19%

1) ctg (Pi/3)- sin(Pi/3)+cos(Pi/6)=sqrt(3)/3 -sqrt(3)/2+sqrt(3)/2=sqrt(3)/3
О т в е т. 4)
2) y=cosx имеет период Т=2Pi
у=сos(kx) имеет период T/k
О т в е т. 2)Pi
3) 2537^(o)=360^(o)*7+17^(o)
По формулам приведения
sin( 2537^(o))=sin(360^(o)*7+17^(o))=sin17^(o)
О т в е т. 4)
4) Функция косинус - четная, поэтому
cos(-82^(o))=cos82^(o)
cos(-80^(o))=cos80^(o)
Функция косинус убывает в 1-й четверти, т. е большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
О т в е т. 1) cos(-82^(o)) - наименьшее число.
5) -1 меньше или равно sinx меньше или равно 1
-4 меньше или равно 4sinx меньше или равно 4

Наибольшее значение 4
О т в е т. 3)
6) sin(3Pi/2)=-1
cos(Pi/6)=sqrt(3)/2
cos^2(Pi/6)=3/4
О т в е т. (-4+(3/4)*1)/((1/2)*1)=(-13/4)*2=-6,5

Ответ выбран лучшим

(168:3)*5=280 руб

Дробь равна нулю, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.
{2sin^2x+sinx=0
{2cosx-sqrt(3) ≠ 0

{sinx*(2sinx+1)=0 ⇒ sinx=0 или sinx=-1/2
{cosx=sqrt(3/2)

{ x= Pik, k ∈ Z или х=(-1)^(n)(-Pi/6)+Pin, n ∈ Z
{x ≠ ± (Pi/6)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т. x= Pik, k ∈ Z или х=(Pi/6)+Pi+2Pin, n ∈ Z
Указанному отрезку принадлежат корни
х=-Pi; x=0;
x=(7Pi/6)-2Pi=-5Pi/6 (прикреплено изображение)

Если по 4 в ряд, то в неполном ряду может быть 1 или 2 или 3.
Так как по условию в неполном ряду на 2 больше чем в случае, если в каждом ряду 5 штук, то в неполном ряду при раскладывании по 5 только 1

Пусть было х полных рядов.

5*х+1=4*х+3
5х-4х=3-1
х=2

5*2+1 = 11 карандашей
4*2+3 = 11 карандашей.

О т в е т. 11 карандашей (прикреплено изображение)

168:3=56 руб - цена 1 кг
56*5=280 руб стоимость 5 кг

Правильный треугольник со стороной а, тогда
высота этого треугольника h=asqrt(3)/2
площадь
S=a^2*sqrt(3)/4

a^2*(sqrt(3)/4)=3
a^2=12/sqrt(3)

V=(1/3)*Pi*r^2*h=(1/3)*Pi*(a/2)^2*h=

=(1/3)*Pi*a^3sqrt(3)/8=(1/24)Pia^3*sqrt(3)=

=(1/24)*PI*(12/sqrt(3))*sqrt(12)/sqrt(sqrt(3))*sqrt(3)=

=Pisqrt(12)/sqrt(sqrt(3)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что выбирают упорядоченную тройку из трех цифр
На первое место можно выбрать любую из шести цифр, на второе тоже - любую из шести, а третье - любую из шести. Всего :*:*:=216 вариантов составления такой тройки.
n=6*6*6=216
Событию, в сумме выпадает 9 очков благоприятствуют выпадения цифр:

1+2+6=9 ( 6 cпособов выпадения этих цифр на трех кубиках 126 162 216 261 612 621)
1+3+5=9 - 6 способов
1+4+4=9 - 3 способа
2+2+5=9 - 3 способа
2+3+4=9 - 6 способов
3+3+3=9 - 1 способ
m=6+6+3+3+6+1=25

p=m/n=25/216

Ответ выбран лучшим

Боря может выбрать три книги из шести
C^3_(6)=6!/(3!*(6-3)!)=20 способами.
Вова может выбрать три книги из четырех
C^3_(4)=4!/(3!*(4-3)!)=4 способами.
20*4=80 способов

Ответ выбран лучшим

360^(o)/36 = 10^(o)

4-2x=0
2x=4
x=2
О т в е т. 2

cos2x=2cos^2x-1

sin2x+2cos^2x-1=2cos^2x
sin2x=1
2x=(Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
x=(Pi/4)+Pik, k ∈ Z

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.
Делим на cos^2x ≠ 0
tg^2x-6tgx+5=0
D=36-4*5=16
tgx=1 или tgx=5
x=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z или х=arctg 5 + Pim, m ∈ Z

6cosx=-6
cosx=-1
x=Pi+2Pik, k ∈ Z

р=5/6

y`=12
Производная данной функции постоянна, принимает одно и то же значение вл всех точках
y`(5)=12
О т в е т. 12

Пусть радиус основания первой бочки r; высота H
радиус основания второй бочки R; высота h
H=4h;
R=3r

V_(1)=Pi*r^2*H=Pir^2*(4h)=4Pir^2h
V_(2)=Pi*R^2*h=Pi*(3r)^2*h=9Pir^2*h

V_(2):V_(1)=9:4=2,25

Ответ выбран лучшим

p=(2/10)+(3/10)=5/10

(0;+ бесконечность )

сos(-Pi/6)=cos(Pi/6)=sqrt(3)/2
sin(-Pi/3)=-sin(Pi/3)=-sqrt(3)/2

2*сos(-Pi/6)*sin(-Pi/3)=2*(sqrt(3)/2)*(-sqrt(3)/2)=-3/2=-1,5

(4/5)-(1/3)=(12/15)-(5/15)=7/15 бака было израсходовано
(7/15)*45=21 литр израсходовали

На 300 км израсходован 21 литр, значит на 100 км расходуется 7 литров.
300:100=3
21:3=7

По определению логарифма
х=4^(1/2)
х=2

в)
у(-х)=у(х)
(-x)^2+(-x)^4-3=x^2+x^4-3

S=√(p(p–a)(p–b)(p–c))- формула Герона для вычисления площади треугольника по трем известным сторонам,
где р -полупериметр треугольника
р=(a+b+c)/2
r=S/p - формула для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности

p = (625+625+350)/2 = 800
S=√(800*(800–625)(800–625)(800–350))= 105 000
=
r =105 000/ 800=131,25

S=a*h
На рисунке
a=2
h=3
S=2*3=6 (прикреплено изображение)

sin ∠ B=AC/AB=15/17
По теореме Пифагора
ВС=sqrt(AB^2_AC^2)=sqrt(17^2-15^2)=sqrt(64)=8
cos ∠ B=BC/AB=8/17
tg ∠ B=AC/BC=15/8 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Пусть дуга MON равна альфа , тогда
дуга MN равна 360 градусов - альфа
Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
∠ MON : ∠ MO_(1)N=(180 градусов - (альфа/2))/альфа

Ответ выбран лучшим

Н=r*tg бета

r=S/p(=(1/2)a*sqrt(b^2-(a/2)^2))/(a+b+b)/2=

=a*sqrt(b^2-(a/2)^2))/(a+2b)

V(конуса)=(1/3)Pir^2*H=(1/3)Pi*r^2*r*tg бета=
=(1/3)Pi*(a*sqrt(b^2-(a/2)^2))/(a+2b))^3*tg бета

Ответ выбран лучшим

H(призмы)=Н(цилиндра)=a*tg бета

r=S/p(=(1/2)a*sqrt(b^2-(a/2)^2))/(a+b+b)/2=

=a*sqrt(b^2-(a/2)^2))/(a+2b)

V(цилиндра)=Pir^2*H=
=Pi*(a*sqrt(b^2-(a/2)^2))/(a+2b))^2*a*tg бета

Ответ выбран лучшим

Четырехугольник АВСD вписан в окружность, поэтому
∠ 1+ ∠ 2= 180 градусов
∠ 2 и ∠ 3 - смежные,
значит
∠ 2 + ∠ 3=180 градусов

∠ 1 = ∠ 3

Треугольники подобны по двум углам, ∠ М - общий (прикреплено изображение)

OO^2_(1)=OA^2-AO^2_(1)=15^2-9^2=225-81=144
OO_(1)=12

OO^2_(2)=OB^2-ВO^2_(2)=15^2-12^2=225-144=81
OO_(1)=9
h(шарового слоя)=O1O2=OO1-OO2=12-9=3

Формула для вычисления объема шарового слоя
V=(1/2)Pi*h(R^2+r^2+(1/3)h^2)
R=12
r=9
V=(1/2)Pi*3*(12^2+9^2+(1/3)*3^2) =342Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Высота пирамиды - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра)
Основание этого перпендикуляра может быть любой точкой основания. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=C^5_(11)=11!/(5!*(11-5)!)=462

m=C^2_(4)*C^3_(7)=(4!/(2!*2!))*(7!/(3!*(7-3)!)=210

По формуле классической вероятности

р=m/n=210/462=0,454545.. ≈ 0,45

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу полной вероятности.Вводим в рассмотрение гипотезы
Н_(1)- ''выбрана кость с разными числами''
Н_(2)-''выбрана кость с одинаковыми числами''
р(Н_(1))=21/28=3/4
р(Н_(2))=7/28=1/4

Событие А - ''вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой''
р(А/Н_(1))= (6+6)/27 =12/27=4/9
р(А/Н_(2))= 6/27 =2/9

По формуле полной вероятности
р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1))+р(Н_(2))*р(А/Н_(2))=
=(3/4)*(4/9)+(1/4)*(2/9)=14/36=7/18

О т в е т. 7/18

Ответ выбран лучшим

95%-1%=94% воды стало во фруктах

4 тонны - составляют 100%
x тонн воды составляют 94%
х=4*94:100=3,76 т - воды

4-3,76=0,24 т твердого вещества

В первоначальных фруктах было столько же твердого вещества и это твердое вещество составляло 5% (100-95)
0,24 т составляю 5%
у тонн составляют 100%

у=0,24*100:5=4,8 тонн

О т в е т. 4,8 тонн

Применяем формулу полной вероятности.
Вводим в рассмотрение гипотезы
Н_(I)-''выбрана деталь изготовленная на i-том станке '', i=1,2.
Пусть на станке №1 изготавливают х деталей, на станке N2 изготавливают 1,5х деталей.
Всего на двух станках (х+1,5х)=2,5х
Тогда
р(Н_(1))=х/(2,5х)=2/5
р(Н_(2))=1,5х/(2,5х)=3/5

A-'' взятая наудачу на сборке деталь окажется нестандартной''
По условию
p(A/H_(1))=1-0,96=0,04
p(A/H_(2))=1-0,92=0,08

По формуле полной вероятности
р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1))+р(Н_(2))*р(А/Н_(2))=
=(2/5)*0,04+(3/5)*0,08=
=0,016+0,048=0,064
О т в е т. 0,064

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу полной вероятности.
Вводим в рассмотрение гипотезы
Н_(I)-''выбран i-тый кинескоп'', i=1,2,3,4
р(Н_(1))=р(Н_(2))=р_(Н_(3))=р_(Н_(4))=1/4

A-''кинескоп выдержит гарантийный срок службы''
По условию
p(A/H_(1))=0,8
p(A/H_(2))=0,85
p(A/H_(3))=0,9
p(A/H_(4))=0,95

По формуле полной вероятности
р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1))+р(Н_(2))*р(А/Н_(2))+
+р(Н_(3))*р(А/Н_(3))+р(Н_(4))*р(А/Н_(4))=
=(1/4)*0,8+(1/4)*0,85+(1/4)*0,9+(1/4)*0,95=
=(1/4)*(0,8+0,85+0,9+0,95)=
=3,5/4=0,875
О т в е т. 0,875

Ответ выбран лучшим

Множество точек, находящихся на расстоянии 5 единиц от точки А (3;-8) - окружность с центром в точке А и радиусом
R=5
Уравнение окружности имеет вид:
(х-3)^2+(y+8)^2=25
Находим точки пересечения окружности и оси Оу из системы:
{(х-3)^2+(y+8)^2=25
{x=0

(y+8)^2=25-9
(y+8)^2=16
y+8 = -4 или у+8=4
у=-12 или y=-4
О т в е т. (0;-12) и (0; -4) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Координаты середины отрезка АС вычисляем по формулам
x_(O)=(x_(A)+x_(C))/2
y_(O)=(y_(A)+y_(C))/2

x_(O)=(2+(-6))/2=-2;
y_(O)=(4+6)/2=5

O(-2;5)

С другой стороны - точка О - середина отрезка BD
и
x_(O)=(x_(B)+x_(D))/2
y_(O)=(y_(B)+y_(D))/2

-2=(-3+x_(D))/2 ⇒ x(D)=-1
5=(7+y_(D))/2 ⇒ y_(D))=3

О т в е т. D (-1;3)

Ответ выбран лучшим

AM:MB= лямбда
x_(M)=(x_(A)+ лямбда x_(B))/(1+ лямбда )
y_(M)=(y_(A)+ лямбда y_(B))/(1+ лямбда )

AC:CB=1:2
лямбда =1/2
x_(C)=(x_(A)+ лямбда x_(B))/(1+ лямбда )=
=(1+(1/2)*4)/(1+(1/2)=2
y_(C)=(y_(A)+ лямбда y_(B))/(1+ лямбда )=
=(-5+(1/2)*3)/(1+(1/2))=-7/3

AD:DB=2:1
лямбда =2
x_(C)=(x_(A)+ лямбда x_(B))/(1+ лямбда )=
=(1+2*4)/(1+2)=3
y_(C)=(y_(A)+ лямбда y_(B))/(1+ лямбда )=
=(-5+2*3)/(1+2)=1/3

О т в е т. С(2;-7/3) и D (3;1/3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

точка, симметричная точке А относительно оси Оx имеет координаты
А_(ох)(3;2)
точка, симметричная точке А относительно оси Оу
имеет координаты
А_(оу)(-3;-2)
точка, симметричная точке А относительно начала координат имеет координаты
А_(о)(-3;2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому треугольник АВО - прямоугольный.
По теореме Пифагора
АО^2=AB^2+BO^2=(2sqrt(34))^2+15^2=361
АО=19 (прикреплено изображение)

По теореме Пифагора
AO^2=AB^2+BO^2=(2sqrt(34))^2+15^2=361
АО=19

3^(х^2 +2х–5) – 2^(х)= 2^(х+3) –3^(х^2 +2х –5)

3^(х^2 +2х–5)+3^(х^2 +2х–5)=2^(х+3)+2^(х)

2*3^(х^2 +2х–5)=2^(x)*(2^3+1)

2*3^(х^2 +2х–5)=2^(x)*9

3^(x^2+2x-5)/9=2^(x)/2

3^(x^2+2x-5)/3^2=2^x/2

3^(x^2+2x-5-2)=2^(x-1)

Что-то не так в условии.
Проверяйте.

ОДЗ: x > 0; x ≠ 1; x ≠ 1/25; x ≠ 1/sqrt(5).

log_(5)x=t

20*(2/(1+2t)) меньше или равно 3*(3/t)+7*(2/(2+t)

(40*t*(2+t)-9*(1+2t)*(2+t)-14*t*(1+2t))/(t*(1+2t)*(2+t)) меньше или равно 0

(40*t*(2+t)-9*(1+2t)*(2+t)-14*t*(1+2t))/(t*(1+2t)*(2+t)) меньше или равно 0

(t-2)(2t-3)//(t*(1+2t)*(2+t)) больше или равно 0

_-__ (-2) _+__(-1/2) _-__ (0) _+__ [3/2] _-_ [2]_+_

-2 < t < -1/2 или 0 < t меньше или равно 3/2 или
t больше или равно 2

(1/5^2) < x < 1/sqrt(5) или 1 < x меньше или равно 5^( 3/2) или
x больше или равно 25

(прикреплено изображение)

1)
n=C^3_(5)=5!/(3!*2!)=10
m=6
123;124;125;234;235;345.
p=6/10=0,6
2)
Н_(1)=H_(2)=H_(3)=1/3 - гипотезы, выбор эксперта
р(А)=(1/3)*0,9+(1/3)*0.8+(1/3)*0,7 - по формуле полной вероятности
р(А)=0,8
3)
По формуле полной вероятности
р(А)=(1/3)*0,75+(2/3)*0,70=
=0,25+0,47
Вероятность того, что ехал по мосту больше 0,47 > 0,25

По формуле
(a-b)^2

получаем
(sqrt(70))^2-2sqrt(70)+1=71-2sqrt(70)

По определению логарифма
x^2-4x+3=3^3
x^2-4x+3=27
x^2-4x-24=0
D=16+96=112
x_(1)=(4-sqrt(112))/2=2-2sqrt(7) или х_(2)=2+2sqrt(7)

Правильная дробь- это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Натуральные числа, которые меньше 123:
1;2;3;... 122
Таких чисел 122
Значит правильных дробей 122

У Пети найдена сумма
122+123=245

У остальных надо спрашивать как считал, после этого станет ясно, что не так

b_(1) = –384
q = b_(2)/b_(1) = –384/(–96) =4
q = b_(3)/b_(2) = –96/(–24) =4

S_(n) = b_(1)(q^(n) – 1) / (q–1)

Проводим высоты
АН ⊥ ВС; СК ⊥ АД
Сумма углов прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусов
∠С+ ∠D=180^(o)·
∠D=180^(o)–150^(o)=30^(o)
В прямоугольном треугольнике КDС
КС=СD/2=32/2=16- катет против угла в 30^(o) равен половине гипотенузы.
АН=КС=16
Треугольник АВН - прямоугольный
∠ АВН=45^(o), значит и ∠ВАН=45^(o),
Треугольник АВН - равнобедренный,
поэтому ВН=АН=16
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВН

АВ^2= AH^2+BH^2=16^2+16^2=512
AB=16sqrt(2)
О т в е т. 16sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

k=f`(x_(o))
1)
f`(x)=x^2-x
f`(-2)=(-2)^2-(-2)=4+2=6
k=6
2)
f`(x)=cosx
f`(Pi/2)=cos(Pi/2)=0
k=0

По теореме Пифагора
d=sqrt(690^2+920^2)=sqrt(1322500)=1150 м

Кратчайшее расстояние - перпендикуляр.
Найдем высоту равнобедренного треугольника, проведенную к боковой стороне.
Обозначим х и 24-х отрезки боковой стороны
По теореме Пифагора
h^2=12^2-x^2
и
h^2=24^2-(24-x)^2

12^2-x^2=24^2-(24-x)^2
x=3
h=sqrt(135)

sqrt(135)/6 часов

Проверяйте условие (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле Бернулли
а) Р(0)=С^3_(3)*(0,8)^(0)*(0,2)^3=0,008
б) 1-0,008=0,992
в) P(1)=С^1_(3)*(0,8)^1*(0,2)^2=3*0,08*0,04=0,0096

Замена переменной
log_(5)x=t

(2+t)/(t-2) + (t-2)/(2+t) больше или равно (6-4t)/(t^2-4) ⇒

(4+4t+t^2+t^2+4t+4-6+4t)/(t^2-4) больше или равно 0

2*(t+1)^2/(t^2-4) больше или равно 0
t < -2 или t=-1 или t > 2
log_(5)x < -2 или log_(5)x=-1 или log_(5)x > 2
0 < x < 1/25 или x=1/5 или x > 25

Ответ выбран лучшим

Разделим каждую из двух дробей на 5^x и числитель и знаменатель:
5^x > 0 ⇒ 5^x ≠ 0

((1/4)*(4/5)^x)/(1-(4/5)^x) - (1/(2+4*(4/5)^x)) больше или равно 0

Замена переменной
(4/5)^x=t
t > 0
(t/(4-4t)) - (1/(2+4t)) больше или равно 0

(2t^2+3t-2)/(4*(1-t)*(1+2t)) больше или равно 0

(2t+1)(t+2)/(t-1)(2t+1) меньше или равно 0

C учетом t > 0 получим
0 < t < 1

0 < (4/5)^x < 1 ⇒ x > 0

Площадь треугольника находим по формуле Герона
p=(600+500+220)/2=660

S=sqrt(660*60*160*440)=11*60*80

h=2S/a=2*11*60*80/500=211,2

m^2=220^2-211,2^2=(220-211,2)*(220+211,2)=61,6^2

m=61,6

300-61,6=238,4

211,2+238,4=449,6 м от вольера с зебрами до продавца мороженого (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Центр тяжести треугольника - точка пересечения медиан треугольника.
Точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от сторон- центр вписанной окружности.

Треугольник равнобедренный. Высота, проведенная к основанию, является одновременно и медианой и биссектрисой.

h^2=300^2-180^2=240^2
h=240
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Школа находится на расстоянии
240:3*2=160 м от зеленого дома.

S=(1/2)360*240=360*120

р=(300+300+360)/2=480

r=S/p=120*360/480=90

О т в е т. 10 м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть катет а=40+50=90 м
второй катет b, гипотенуза с
Колодец, расположенный в точке H, находится на одинаковом расстоянии от границ участка. - значит Н - центр вписанной окружности
Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
b/c=40/50=4/5
b=(4/5)c

По теореме Пифагора
с^2=a^2+b^2
c^2=90^2+((4/5)c)^2
(9/25)c^2=8100
c^2=900*25
c=30*5=150

b=(4/5)c=(4/5)*150=120 м

S=(1/2)ab=(1/2)*90*120=540 кв м

Ответ выбран лучшим

v(t)=S`(t)
v(t)=-t^2+5t+24

v(3)=-3^2+5*3+24=-9+15+24=30 м в сек

2*(3m–2)*(1–m)–3*(1–2m)²=
=2*(3m-2-3m^2+2m)-3*(1-4m+4m^2)=
=2*(-3m^2+5m-2)-3*(1-4m+4m^2)=
=-6m^2+10m-4-3+12m-12m^2=
=-18m^2+22m-7

{sinx больше или равно 0 ⇒ х в первой или во второй четверти;
{sin^2x=(1-cosx)/2 ⇒ 2(1-cos^2x)-(1-cosx)=0 ⇒ (1-cosx)(2+2cosx-1)=0

cosx=1 ⇒ x=2Pik, k ∈ Z

ИЛИ

cosx=-1/2 ⇒ x= ± (2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

Учитывая первое условие получаем
О т в е т.
2Pik, k ∈ Z
x= (2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни
2Pi и (2Pi/3)+2Pi=(8Pi/3)

Ответ выбран лучшим

y`=-3ln0,5/((x-5)*ln^2(x-5)) > 0 на [6;8]
значит функция возрастает и наименьшее значение на указанном отрезке принимает в точке х=6

у(6)=3/log_(0,5)(6-2)=-3/2

Ответ выбран лучшим

Тригонометрическая подстановка
x=3/sint
dx=(-3cost/sin^2t)dt
√(x²-9)=√((9/sin²t)-9)=√(9*(1-sin²t)sin^2t)=3cost/sint=3ctgt;

Тогда
∫√(x^2–9)/x dx =-3 ∫ ctg^2tdt=-3 ∫ ((1/sin^2t)-1)dt==3t+3ctgt+C,

t=3/sinx

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Тригонометрические подстановки
х=sint
dx=costdt

sqrt(1-x^2)=sqrt(1-sin^2t)=sqrt(cos^2t)=cost

∫x2·√(1–x2) dx= ∫ sin^2t*cost*costdt=(1/4)∫sin^22tdt=
=(1/4) ∫ (1-cos4t)/2dt=
=(1/8)t-(1/32)sin4t + C,
t=arcsinx

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1)
=(-1/3) ∫ (7-х^3)^(-1/6) d(7-x^3)=
= (-1/3) * (7-x^3)^((-1/6)+1)/((-1/6)+1)) + C=
=(6/5)*(-1/3) *(7-x^3)^(5/6)+C=
=(-2/5)*(7-x^3)^(5/6)+C=

y`=1+2x
y`=0
1+2x=0
x=-1/2

х=-1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

у(1)=1=1=2
у(-1/2)=(-1/2)+(-1/2)^2=(-1/2)+(1/4)=-1/4
y(2)=2+2^2=2+4=6

f`(x_(o))=tg альфа =-1/4 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

2450:100*60=1470 руб составляют 60%
2450-1470=980 руб стоимость билета для ребенка.

2450*3=7350 руб стоимость трех взрослых билетов
980*8=7840 руб стоимость восьми детских билетов

7350 + 7840 =15 190 руб стоимость поездки для 3-х взрослых и 8-ми детей

y`=3-4x^3 < 0 при любом х ∈ [1;2]
Значит функция у=3х-х^4 убывает на [1;2]
и наибольшее значение принимает в точке х=1
наименьшее в точке х=2
у(1)=3-1=2
у(2)=3*2-2^4=6-16=-10

см. график у=3х-x^4
и график у`=3-4x^3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пополам- значит на две равные части
3300:2=1650

Если это задача-шутка, то см. рис. (прикреплено изображение)

1) 4-3=1 час занял подъем
2) 1*1=1км- за 1 час на подъеме прошел со скоростью 1 км в час 1 км
3)13-1=12 км спуск
4012:3=4 км в час скорость на спуске

Это точка пересечения диагоналей.
Она равноудалена от всех вершин стола.
d^2=a^2+b^2=80^2+60^2=6400+3600=10000
d=100
Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам.

(1/2)d=50 см - расстояние от точки до вершин.

Расстояние до сторон равно половине длины противоположной стороны.
См рис. (прикреплено изображение)

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
4 см =(2/3)m_(1)
m_(1)=4:(2/3)=6 см

6 см =(2/3)m_(2)
m_(2)=6:(2/3)=9 cм

8 см =(2/3)m_(3)
m_(3)=8:(2/3)=12 см

Р( Δ АВС)=АВ+ВС+АС=2AB+2AP
AB+AP=P( Δ АВС)/2=6,5 cм
Р( Δ АВР)=АВ+ВР+АР

10,5 =6,5+ВР
ВР=4 см

Масштаб 1 : 1000 значит в 1 см изображено 1000 см
в 4 см - 4000 см =40 м

О т в е т. длина общего забора 40 м

Ответ выбран лучшим

(sqrt(5)-2)^(x)=(sqrt(5)+2)^(2x-3)

Так как
(sqrt(5)-2)*(sqrt(5)+2)=1, то
(sqrt(5)-2)=1/(sqrt(5)+2)

(1/(sqrt(5)+2))^(x)=(sqrt(5)+2)^(2x-3);

(sqrt(5)+2)^(-x)=(sqrt(5)+2)^(2x-3)

-x=2x-3
-3x=-3
x=1

Ответ выбран лучшим

20;13; 6; 6-7=-1; -1-7=-8; -8-7=-15; -15-7=-22

Из прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами r и r и гипотенузой R
( cм. рис.)
R=r*sqrt(2)=(24sqrt(2))*sqrt(2)=24*2=48
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a_(1)=100
a_(n)=200
d=2

200=100+2*(n-1)
(200-100)/2=n-1
n=51

1)
m(t) больше или равно 10

40*2^(-t/10) больше или равно 10;

2^(-t/10) больше или равно 1/4;

2^(-t/10) больше или равно 2^(-2);

(-t/10) больше или равно -2;

t меньше или равно 20

2)
До дождя расстояние до воды равно
h_(1)=5*(0,6)^2=5*0,36=1,8 м

Время изменилось на 0,2 с
0,6-0,2=0,4

h_(2)=5*0,4^2=5*0,16 =0,8 м

h_(2)-h_(1)=1,8 м - 0,8 м = 1 м

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

(x^2-5x+6)/(x^2+5x+6) больше или равно 1

(x^2-5x+6)/(x^2+5x+6) - 1 больше или равно 0

(x^2-5x+6 - x^2 -5x -6)/(x^2+5x+6) больше или равно 0

(-10x)/((x+2)(x+3)) больше или равно 0

10x/((x+2)(x+3)) меньше или равно 0

_-__ (-3) __+__ (-2) ____-_____ [0] ___+__

О т в е т. (- бесконечность ; -3) U (-2;0]

Ответ выбран лучшим

8 кубиков.
см. рис (прикреплено изображение)

Диагональ ромба делит угол ромба пополам.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и разбивают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника.

(1/2)d_(2)=(1/2)d_(1) * tg 30^(o)=5*sqrt(3)/3
d_(2)=10sqrt(3)/3

a^2=((1/2)d_(1))^2 + ((1/2)d_(2))^2=5^2+(5sqrt(3)/3)^2=

=25+25*(3/9)=25*(1+(1/3))=25*(4/3)

a=5*2/sqrt(3)=10sqrt(3)/3

О т в е т. d_(2)=a=10sqrt(3)/3 (прикреплено изображение)

Правильный 12-тиугольник состоит из 12-ти правильныйх треугольников АОВ
∠ AOB=360^(o)^12=30^(o)
cм. рис.

S_(12)=12*S( Δ AOB)=12*(1/2)*R*R*sin30 градусов=

=6*(5sqrt(2+sqrt(3)))*(5sqrt(2+sqrt(3)))*(1/2)=3*25*(2+sqrt(3)) ≈

≈ 279,90381

О т в е т. 279,9 или 280 (прикреплено изображение)

По теореме Пифагора из треугольника КОМ
R^2=29^2-21^2=(29-21)*(29+21)=8*50=400
R=20

О т в е т. 20 (прикреплено изображение)

a=14; b=15;c=13
p=(a+b+c)/2=21
S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))=sqrt(21*(21-14)*(21-15)*(21-13))=
=sqrt(21*7*6*8)=7*3*4=84
R=abc/4S=(14*15*13)/(4*84)=65/8

По теореме синусов
c/sin гамма= 2R
sin гамма=с/(2R)=13:(65/4)=13*(4/65)=4/5=0,8

sin^2 гамма+cos^2 гамма=1

cos^2 гамма= 1- sin^2 гамма=1-(0,8)^2=0,36

cos гамма = 0,6 ( угол гамма острый)

tg гамма= sin гамма/ cos гамма=4/3

(прикреплено изображение)

При x < -2
|x+2|=-x-2
y=(3+x)/(-x-2) - графиком функции является ветвь гиперболы, область значений
y ∈ (-1;+ бесконечность )

При х > -2
|x+2|=x+2
y=(3+x)/(x+2) - графиком является ветвь гиперболы, с областью значений (1;+ бесконечность )
Прямые у= ± 1 - горизонтальные асимптоты.

у=а - прямые, параллельные оси Ох.

О т в е т. (-1;1]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

При любом х ∈ [-5;-1] производная f`(x) отрицательна, значит функция f(x) убывает на [-5;-1]

Убывающая функция принимает наибольшее значение в левом конце отрезка, т. е в точке х=-5 (прикреплено изображение)

Пусть ∠ СMB= альфа ; тогда ∠ СMA=(Pi- альфа )

Из треугольника СМВ по теореме косинусов
(BC)^2=8^2+10^2-2*8*10*cos альфа

Из треугольника AМC по теореме косинусов
(AC)^2=4^2+8^2-2*4*8*cos( Pi - альфа)

Складываем
(BC)^2+(AC)^2=8^2+10^2-2*8*10*cos альфа +
+4^2+8^2-2*4*8*cos( Pi - альфа)

По теореме Пифагора
BC^2+AC^2=AB^2=(4+10)^2=14^2

14^2=8^2+10^2-2*8*10*cos альфа +
+4^2+8^2-2*4*8*cos( Pi - альфа);

14^2=8^2+10^2-2*8*10*cos альфа +
+4^2+8^2+2*4*8*cos альфа ⇒

cos альфа =1/2
альфа = 60 градусов (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть активы первого банка a, тогда 0,7a составляют рубли, 0,3a составляют доллары.
Пусть в 4-й банк переведено x рублей и t долларов.
Осталось
(0,7a-x) рублей и (0,3a-t) долларов.
По условию доля каждой валюты сохранилась,
т.е (0,7a-x) cоставляют 70% от остатка (a-x-t) и
(0,3a-t) составляют 30 % от остатка (a-x-t).
0,7a-x=0,7(a-x-t) ⇒ (a-x-t)=(10/7)*(0,7a-x)
0,3a-x=0,3(a-x-t) ⇒ (a-x-t)=10/3*(0,3a-x)
[b]3x=7t ⇒ t=(3/7)x[/b]

Итак. Из первого банка отправлено[b] x рублей и (3/7)x долларов [/b]

Аналогично из второго банка отправлено [b]y рублей и (1/4)y евро[/b]
Из третьего банка отправлено [b] z рублей, (1/5)z долларов и (4/5) z евро[/b]

В четвертом банке стало
(x+y+z) рублей, ((3/7)x+(1/5)z) долларов и ((1/4)y+(4/5)z) евро
Всего
x+(3/7)x+y+(1/4)y+z+(1/5)z+(4/5)z=(10/7)x+(5/4)y+2z

По условию
((3/7)x+(1/5)z) составляют 15% от всех активов 4-го банка, т. е
(3/7)x+(1/5)z=0,15*((10/7)x+(5/4)y+2z) ⇒

(20/3)*((3/7)x+(1/5)z)=(10/7)x+(5/4)y+2z

(5/4)y=(10/7)x-(10/15)z

[b] y=(8/7)x-(8/15)z [/b]

Все активы 4-го банка
(10/7)x+(5/4)y+2z=(10/7)x+(10/7)x-(10/15)z+2z=
= (20/7)x+(20/15)z=20*((1/7)x+(1/15)z)

Рублей в 4-ом банке
x+y+z=x+(8/7)x-(8/15)z+z=(15/7)x+(7/15)z -

20*((1/7)x+(1/15)z) - составляют 100%
((15/7)x+(7/15)z) - cоставляют p %

p=5*((15/7)x+(7/15)z):((1/7)x+(1/15)z) % ≈ 35%

Ответ выбран лучшим

S=2*10-1*7=13 кв. см.
P=2+10+1+7+1+3=24 см (прикреплено изображение)

∫ dz/z=ln|z| + C

100%+20%=120%
120%=1,2

Марина оказалась в первой группе.
р=17/51=1/3 - вероятность того, что Марина займет место в одной группе (17 из 51)
Настя займет место в той же группе
р=16/50
Настя займет одно из оставшихся 16-ти с учетом того, что Марина уже заняла одно место.
Вероятность того, что Марина и Настя оказались в одной группе равна произведению вероятностей
(17/51)*(16/50)=(1/3)*(0,32)
Так как Марина и Настя могли оказаться в любой из трех групп, умножаем на 3
О т в е т. 3*(1/3)*(16/50)=0,32

Ответ выбран лучшим

V( пирамиды) = (1/3)*S(осн.)*Н
S(шестиугольника)=6*S( Δ AOB)=6*(a^2*sqrt(3)/4)
где а - сторона правильного шестиугольника.
при а=1
S=3sqrt(3)/2

H=3V/S(осн.)=4sqrt(3)

По теореме Пифагора
SA^2=SO^2+OA^2=(4sqrt(3))^2+1^2=48+1=49
SA=7

О т в е т. 7
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8^(3+2x)=0,64*10^(3+2x)
Делим на 10^(3+2x) ≠ 0

(8/10)^(3+2x)=(8/10)^2
3+2x=2
2x=2-3
2x=-1
x=-1/2

О т в е т. -1/2

Ответ выбран лучшим

Проведем высоту ВК.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является одновременно и медианой и биссектрисой.
ВК=АВ*sin ∠ BAC=4sqrt(15)*0,25=sqrt(15)
По теореме Пифагора
АК^2=AB^2-BK^2=(4sqrt(15))^2-(sqrt(15))^2=225
AK=15
AC=2AK=30

S( Δ ABC)=(1/2)AC*BK или S( Δ ABC)=(1/2)ВC*АН

(1/2)AC*BK =(1/2)ВC*АН

АН=АС*ВК/ВС=30*sqrt(15)/4sqrt(15)=30/4=7,5

О т в е т. 7,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sinx–cosx=3/√10
Возводим в квадрат
sin^2x-2*sinx*cosx+cos^2x=9/10
1-sin2x=9/10
sin2x=1/10

cos4x=1-2sin^22x=1-2*(1/10)^2=1-(2/100)=1-(1/50)=49/50

Ответ выбран лучшим

15^x-27*5^x=5^x*(3^x-27)
x*3^x-4*3^x-27x+108=3^x*(x-4)-27*(x-4)=(x-4)*(3^x-27)

Неравенство принимает вид:
5^x*(3^x-27)/(x-4)*(3^x-27) меньше или равно 1/(x-4);

(3^x-27)(5^x-1)/(3^x-27)*(x-4) меньше или равно 0;

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя:
3^x-27=0
x=3
5^x-1=0
x=0
Находим нули знаменателя:
х-4=0
х=4
3^x-27=0
x=3

__+__ [0] __-__ (3) _-__ (4)_ +__

x ∈ [0;3) U (3;4)

О т в е т. [0;3) U (3;4)

Ответ выбран лучшим

{sin2x ≥0 ⇒ x ∈ в 1- ой или 3-ей четверти
{cosx ≥ 0 ⇒ x в 1- ой или 4-ой четверти
Возводим в квадрат
sin2x =sqrt(2)cosx
2sinxcosx-sqrt(2)cosx=0
cosx*(2sinx-sqrt(2))=0
cosx=0 или sinx=sqrt(2)/2
x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z x=(-1)^k*(Pi/4)+Pik, k ∈ Z
Учитывая, что х в первой четверти, получаем ответ
а) х=(Pi/2)+2Pin, n ∈ Z x=(Pi/4)+2Pik, k ∈ Z
б) Указанному промежутку принадлежит корень
х=(Pi/2)-2Pi= -3Pi/2

Ответ выбран лучшим

{sin^2(x/2) ≠ 0 ⇒ (x/2) ≠ Pik, k ∈ Z ⇒ x ≠2 Pik, k ∈ Z
{sinx=4sin^2(x/2)*cos^2(x/2) ⇒
так как 2sin(x/2)*cos(x/2)=sinx, то уравнение принимает вид:
sinx=sin^2x
sinx*(sinx-1)=0

sinx=0 ⇒ x=Pin, n ∈ Z
sinx=1 ⇒ x=(Pi/2)+2Pim, m ∈ Z

C учетом x ≠2 Pik, k ∈ Z получаем ответ
а)х=(Pi)+2Pin, n ∈ Z и x=(Pi/2)+2Pim, m ∈ Z
б) Указанному промежутку принадлежат корни
х=(Pi)+-4Pi=-3Pi и х=(Pi/2)-4Pi=-7Pi/2

Ответ выбран лучшим

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель либо оба положительны либо оба отрицательны.
Так как sqrt () - арифметический квадратный корень принимает только положительные или равные 0 значения, то получается, что знаменатель должен быть положительным.
{2x^2+5x-18 ≥ 0 ⇒ D=169; x ∈(-∞; -4,5]U[2;+∞)
{log_(0,5)|x+5| > 0 ⇒ |x+5| < 1
{|x+5| > 0 ⇒ x ≠ -5

О т в е т. (-6;-5)U(-5;-4,5]

Каждый пожал руку 9-ти друзьям.
9*10=90
Но рукопожатие первого второму и второго первому это одно и то же рукопожатие.
И так далее, второго и третьего, пятого и десятого.
Поэтому 90 делим поплам.
О т в е т. 45 рукопожатий.

Или так
Первый сделал 9 рукопожатий, второй уже 8, потому что с первым уже было рукопожатие, третий 7, четвертый 6 и т.д. девятый одно.
Десятый ни одного. Все предыдущие 9 друзей уже совершили с 10-ым рукопожатие и не осталось ни одного друга с кем бы он не совершил рукопожатие

9+8+7+6+5+4+3+2+1=45

Ответ выбран лучшим

В решении № 15091 все подробно написано.
Выражение не изменится, если его умножить и разделить на одно и то же число или выражение, отличное от 0.
Таким числом является sin(Pi/7)≠0
Затем применяются формулы тригонометрии.

sin альфа * cos бета= (1/2) sin(альфа + бета)+(1/2) sin(альфа - бета)

1) 82-23-11=48 грибов собрали Вася и Юля
2) 48-26=22 гриба собрал кто-то четвертый
Так как больше всех ( а это 26) грибов собрала девочка, то 26 грибов собрала Юля, 22 гриба собрал Вася.
3) 22+11 =33 грибов собрали мальчики

(прикреплено изображение)

m=(a+b)/2
a=4
b=10

m=(4+10)/2=7 (прикреплено изображение)

По формулам приведения
cos(x+2Pi)=cosx(1/49)=7^(-2)

(1/49)^(cos(x+2Pi))=7^(-2cosx)=7^(-2cosx)

cos(2x-(Pi/2))=cos((Pi/2)-2x)=sin2x

7^(-2cosx)=7^(sin2x) ⇒

-2cosx=sin2x

sin2x+2cosx=0
2sinxcosx+2cosx=0
2cosx*(sinx+1)=0
cosx=0 или sinx=-1
x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z или х=(-Pi/2)+2Pin, n ∈ Z
Вторая серия корней является частным случаем первого.

О т в е т. (Pi/2)+Pik, k ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни
-Pi/2; Pi/2;3Pi/2

x^2+6x+9+4=(x+3)^2+4 - наименьшее значение при х=-3 равно 4

log_(2)sqrt(21-x)*log_(x-1)2=log_(x-1)(21-x)

log_(x-1)(21-x) меньше или равно 1
⇒
{x-1 > 0; x-1 ≠ 1
{21-x > 0
{(x-1-1)(21-x-x+1) меньше или равно 0

О т в е т. (0;2)U(11;21)

Ответ выбран лучшим

[-2;3]→[0,1; 1]
см рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле синуса двойного угла
2 sin112^(o)×cos112^(o)= sin224^(o)

16sin112^(o)×cos112^(o)/sin224^(o)=8*sin224^(o)/sin224^(o)=8

По формуле 1+ctg^2 альфа =1/sin^2 альфа ⇒

ctg^2 альфа =(1/sin^2 альфа )-1=1/(6/sqrt(61))^2-1=(61/36)-1=
=25/36
ctg альфа =sqrt(25/36) ( знак + , угол в первой четверти)
ctg альфа=5/6
tg альфа =1/ctg альфа =6/5=1,2

Пусть
х=∛(7+sqrt(50))+∛(7-sqrt(50))
Возводим в куб
х^3=7+sqrt(50)+3*(∛(7+sqrt(50)))^2*∛(7-sqrt(50))+
+3*(∛(7+sqrt(50)))*(∛(7-sqrt(50)))^2+7-sqrt(50)

х^3=14+3*∛(7+sqrt(50))*∛(7-sqrt(50))*(∛(7+sqrt(50))+∛(7-sqrt(50));

x^3=14+3*∛(49-50)*x
x^3=14-3x
x^3+3x-14=0
x=2
(х-2)*(x^2+2x+7)=0
x^2+2x+7 > 0 при любом х, так как D=4-28 < 0
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

По свойству геометрической прогрессии:
(2sqrt(5))^2=2^(2x+1)*2^(2x)

20=2^(2x+1+2x)
20=2^(4x+1)
20=2^(4x)*2
10=2^(4x)
10=(2^4)^(x)
16^x=10
x=log_(16)10 < log_(16)16
x ∈ (0;1)

Ответ выбран лучшим

=корень четвертой степени из произведения (3/64)*(27/4)=
=корень четвертой степени из (81/256)=
=корень четвертой степени из ((3/4)^4)=3/4=0,75

Ответ выбран лучшим

Потому что при x=1 и x=2 знаменатель обращается в 0.
Это учтено, когда решают неравенство с переменной t ( t ≠ 3 и t ≠ 9) методом интервалов

=sin(3 альфа + альфа )=sin4 альфа

ОДЗ:x больше или равно 0
y`=2*(3/2)*x^(1/2)-18*(1/2)x^(-1/2);
y`=3sqrt(x)-(9/sqrt(x));
y`=(3x-9)/sqrt(x)
y`=0
3x-9=0
x=3

(0)__-__(3)__+_

x=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Апофема боковой грани по теореме Пифагора равна 13
S(поверхности)=S(бок.)+S(осн)
=4S(боковых треугольников)+S(квадрата)

S=4*(1/2)*24*13+24^2=
=1200 (прикреплено изображение)

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны
8:(-2)=16:(-4)=k:1
8:(-2)=k:1 - пропорция
Умножаем крайние и средние члены пропорции
-2k=8
k=-4

cos^2x+sinx*cosx=sin^2x+cos^2x
sinx*cosx-sin^2x=0
sinx*(cosx-sinx)=0
sinx=0 или cosx-sinx=0
x=Pik, k ∈ Z или tgx=1 ⇒ x=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z

промежутку [–П; П]
принадлежат корни
-Pi; 0; Pi; Pi/4;-3Pi/4

Среднее арифметическое корней
((-Pi)+ 0+ Pi+( Pi/4)+(-3Pi/4))/5= - Pi/10

h(конуса)=r( конуса) * tg30^(o)=6sqrt(3) * (sqrt(3)/3)=6

О т в е т. 6 см

0,2^(3x+1) больше или равно 1/5
0,2^(3x+1) больше или равно 0,2
3x+1 меньше или равно 1
3x меньше или равно 0
х меньше или равно 0

Ответ выбран лучшим

S( Δ)=(1/2)a*h=(1/2)*6*3=9 (прикреплено изображение)

{y < 3-2x
{y больше или равно (1/2)x-(5/2)

Строим прямые y = 3-2x и у= (1/2)x-(5/2)
и закрашиваем соответствующую область

(П/3; П/2), (П/3; П/3), (–П/3; –П/3),(П/3;–П) - это точки с координатами.
Сине-красной области ( области принадлежащей системе неравенств) принадлежат третья точка ( см. рис)
(прикреплено изображение)

3^(x^2-3x+5) < 3^3

x^2-3x+5 < 3

x^2-3x + 2 < 0

D=9-8=1
x1=1 или х2=2

___ (1) _-__ (2) ___

О т в е т. (1;2)

В таблице 4 строки и 6 столбцов.

Возможное количество пар в строке 5
Возможное количество пар в 4–х строках 4·5=20
Возможное количество пар в столбце 3
Возможное количество пар в 6–ти столбцах 6·3=18

Возможное количество пар в таблице
20+18=38

Оно состоит из пар с соседними клетками разных цветов ( их по условию 19); пар с соседними клетками черного цвета ( их 15) и пар с соседними клетками белого цвета ( их х)

19+15+х=34+х

34+х=38

х=38-34

х=4

О т в е т. 4

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки - отрезки касательных равны.
P=(10+7)+(10+7)+(7+7)=17+17+14=48 (прикреплено изображение)

p^2+20p+100=(p+10)^2
(p+10)^2/(p–10):(p+10)=(p+10)^2/((p-10)*(p+10))=(p+10)/(p-10)
При p=-40
(-40+10)/(-40-10)=(-30)/(-50)=0,6

на брюки приходится 1 часть, на свитер 3 части
1+3=4
1200:4=300 руб стоят брюки
3*300=900 руб стоит свитер.

Или уравнением
х+3х=1200
4х=1200
х=300
3х=900

а)Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда
a=х;b= х;c= 2х.
Тогда их отношение 1:1:2

d^2=a^2+b^2+c^2

d^2=x^2+x^2+(2x)^2
2^2=6x^2
x^2=2/3

a=sqrt(2/3);b= sqrt(2/3); c=2sqrt(2/3) - измерения параллелепипеда

б)
sin phi =c/d=2sqrt(2/3)/2=sqrt(2/3)

f`(x_(o))=k(касательной)

f`(x)=2x+a
f`(0)=a
a=2

Ответ выбран лучшим

S_(n)=a1+a2+...+a_(n)=
=(1/(4*7))+(1/(7*11))+ ... +(1/((3n+1)(3n+4)))=

=(1/3)*((1/4)-(1/7))+(1/3)*((1/7)-(1/11))+... +(1/3)*((1/(3n+1))-(1/(3n+4)))=

=(1/3)*(1/4 - (1/(3n+4)))=

S=lim_(n →∞)S_(n)=1/12

Ответ выбран лучшим

Приравниваем соответствующие координаты
3,5=х*1+у*2
1=х*(-1)+у*1
2=х+у

х+у=2

Ответ выбран лучшим

{y < 3-2x
{y больше или равно (1/2)x-(5/2)

Строим прямые y = 3-2x и у= (1/2)x-(5/2)
и закрашиваем соответствующую область (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos4x=1-2sin^22x

sin2x*(1-2sin^22x)=1
2sin^32x-sin2x+1=0
(sin2x+1)*(2sin^22x-2sin2x+1)=0
sin2x=-1
2x=-(Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
x=-(Pi/4)+Pik, k ∈ Z

2sin^22x-2sin2x+1=0 - уравнение не имеет корней D < 0

О т в е т. -(Pi/4)+Pik, k ∈ Z

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и разбивают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника.
По теореме Пифагора
a^2=(d_(1)/2)^2+(d_(2)/2)^2=3^2+4^2=9+16=25
a=5

Сторона ромба а= 5 см.
S ( бок.)=P(осн.)*Н=(5+5+5+5)*4=80 кв см
О т в е т. 80 кв см

Пусть товар стоил х денежных единиц

х:100*(66 целых (2/3))=х:100*(200/3)=(2/3)х денежных единиц - повышение цены.
х+(2/3)х=(5/3)х денежных единиц - новая цена

х:(5/3)х=3/5 кг=0,6 кг = 600 г товара можно купить на те же деньги

S=9*4=36

Cм. рис.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки отрезки касательных равны.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x`=xsiny
x`/x=siny
dx/x=sinydy
∫ dx/x= ∫sinydy
ln|x|=-cosy + C

О т в е т. ln|x|+cosy = C

Точки с целочисленными координатами отмечены на рисунке. Их 11.
О т в е т. 11 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) = ∫ (x^(2/5)-2x^(-3)+4)dx=x^((2/5)+1)/((2/5)+1) -2x^(-3+1)/(-3+1) +4x+C=
=(5/7)*x^(7/5)+(1/x^2)+4x+C

2) = ∫ d(2+x)/(2+x)^3= ∫ (2+x)^(-3)d(2+x)=(2+x)^(-3+1)/(-3+1) + C=
=-1/(2(2+x)^2) + C

S(A1A2...A_(n))=75
S(B1B2...B_(n))=12

S(A1A2...A_(n)): S(A1A2...A_(n))=
=(AA1)^2:(BB1)^2=75:12=25:4
AA1:BB1=5:2
H:h=AA1:BB1=5:2
⇒ 2H=5h
По условию
Н-h=6
H=6+h

2H=5h
2*(6+h)=5h
12=3h
h=4
H=6+h=6+4=10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть ВК=х, тогда BF=BK+KF=x+6

Треугольники BDM и BAC подобны ( DM|| AC)

Из подобия следует пропорциональность сторон и отрезков:
BK:BF=DM:AC
x:(x+6)=2:3
Применяем основное свойство пропорции.
Произведение крайних членов равно произведению средних
х*3=2*(х+6)
3х=2х+12
х=12

BF=x+6=12+6=18
О т в е т. 18

Ответ выбран лучшим

Трехзначное число записанное тремя знаками:
на первом месте х, на втором месте у, на третьем месте 3
это
100х+10у+3
Трехзначное число записанное тремя знаками:
на первом месте 3, на втором месте х, на третьем месте у
это
300+10х+у

По условию новое число больше утроенного первоначального на 1
300+10х+у больше 3*(100х+10у+3) на 1
Уравнение
300+10х+у-3*(100х+10у+3) = 1
300+10х+у-300х-30у-9=1
290=290х+29у
10=10х+у
х=1
у=0
x+y+3=1+0+3=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

F(x)=(x^3/3)+3x+C

R=2r
S=PiR^2=Pi(2r)^2=4Pir^2
s=Pir^2
s=5
Pir^2=5
S-s=PiR^2-Pir^2=Pi(4r^2-r^2)=3Pir^2=3*5=15 (прикреплено изображение)

Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2*sinx*cosx+cos^2x=t^2
sin2x=t^2-1

t^2-1=3*(t-1)
t^2-3t-4=0
D=9+16=25
t1=-1 или t2=4

sinx+cosx=1
(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2)cosx=(1/sqrt(2))
cos(x-(Pi/4))=(1/sqrt(2))
x-(Pi/4)= ± (Pi/4)+2Pin, n ∈ Z

x=(Pi/2)+2Pin, n ∈ Z или х=2Pin, n ∈ Z

9/с=cos30^(o)

c=18/sqrt(3)=6sqrt(3) (прикреплено изображение)

Если четырехугольник ( в том числе и трапеция) описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны:
a+b=2c
a и b - основания трапеции
c - боковая сторона

a=9x
b=16x
2c=9x+16x
2c=25x
c=(25/2)x

По теореме Пифагора
c^2=((b-a)/2)^2+h^2
((25/2)x)^2=(7x/2)^2+12^2
576x^2/4=144
x^2=1
x=1

c=25/2=12,5

a1+a2+a3+a4+a5=75
a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=75
5a1+10d=75
a1+2d=15
2d=15-a1
2d=15-7
2d=8
d=4

a_(n-2)+a_(n-1)+a_(n)=129
a1+(n-3)d+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d=129;
3a1+(n-3+n-2+n-1)d=129
3*7+(3n-6)*4=129
(3n-6)*4=108
3n-6=27
3n=27+6
3n=33
n=11

a_(11)=a1+10d=7+10*4=47

О т в е т. 47

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час - собственная скорость теплохода, у км в час - скорость течения реки.
(х+у) км в час - скорость теплохода по течению
(х-у) км в час - скорость теплохода против течения
3*(х+у) км путь по течению ( от А до В)
4*(х-у) км путь против течения ( от В до А)
Пусть от А до В равен пути от В до А
3*(х+у)=4*(х-у)
3х+3у=4х-4у
х=7у

Скорость теплохода по течению
х+у=7у+у=8у
8у км в час в 8 раз больше у км в час,
значит и времени плоту надо в 8 раз больше.
3*8=24 часа будет плыть плот от А до В

Пусть на x процентов увеличивалось число студентов ежегодно.
5000:100*х =5000* (х/100)
5000+5000*(х/100)=5000*(1+(x/100)) студентов после первого года
5000*(1+(х/100))*(1+(х/100)=5000*(1+(х/100))^2 студентов после второго года
5000*(1+(х/100))^2*(1+(х/100)=5000*(1+(х/100))^3 студентов после третьего года

5000*(1+(x/100))^3=6655
(1+(х/100))^3=6655/5000
(1+(х/100))^3=1331/1000
1+(x/100)=11/10
x/100=1/10
x=10

на 10% ежегодно увеличивалось количество студентов.

5000*1,1=5500 студентов после первого года
5500*1,1=6050 студентов после второго года
6050*1,1=6655 студентов после третьего года

Так как с 1 по 9 включительно живет всего 12 человек, то
с 1 по 6 живет 6 человек, и в 7,8,9 - живет 6 человек.
С 6 по 14 живет 22 человека, из них в6 ой квартире 1, а 7-ой,8-ой,9-ой живет 6 человек,
значит в 10,11,12,13,14 живет 22-6-1=15 человек

О т в е т. 5+7+15=27 человек.

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0
{29sin^2x–20sinx=0
{29cosx+21 ≠ 0 ⇒ cosx ≠ -21/29

Решаем первое уравнение
29sin^2x–20sinx=0
sinx*(29sinx-20)=0
sinx=0 ⇒ x= Pik, k ∈ Z
или
29sinx - 20 =0 ⇒ sinx=20/29
x=(-1)^(n)arcsin(20/29) + Pin, n ∈ Z

Учитывая условие второго неравенства системы
cosx ≠ -21/29
и формулы тригонометрии:
sin^2x+cos^2x=(20/29)^2+(-21/29)^2=1, получаем, что

уравнению удовлетворяют только корни, расположенные в первой четверти, а именно:
х=arcsin(20/29) + 2Pin, n ∈ Z - корни уравнения
( см. рис.)
О т в е т. Pik, k ∈ Z и arcsin(20/29) + 2Pin, n ∈ Z
б)
х=-3Pi ∈ [–7π/2; –2π] и -2Pi ∈ [–7π/2; –2π] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть радиус первой кружки r, высота H.
радиус второй кружки R, высота h.
H=2h
R=4r
V2/V1=(PiR^2*h)/(Pir^2H)=(4r)^2*h/r^2*2h=16/2=8/1
О т в е т. 8:1

Ответ выбран лучшим

34 градуса.
90 градусов - 56 градусов=34 градуса.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Высота, проведенная к гипотенузе разбивает прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=C^2_(21)=21!/((21-2)!*2!)=210
m=C^2_(7)=7!/((7-2)!*2!)=21
p=m/n=21/210=1/10

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час - скорость мотоциклиста, у км в час - скорость автомобилиста.
После встречи, мотоциклист ехал 2 часа и проехал путь 2х км, автомобилист ехал 0,5 часа и проехал 0,5y км.

До встречи путь в 0,5 у км ехал мотоциклист со скоростью х км в час, а путь 2х км ехал автомобилист со скоростью у км.

Время до встречи одно и то же и у автомобилиста и у мотоциклиста.
0,5у/х=2х/у
y^2=4x^2
y=2x
x=y/2
0,5y/x=0,5y/(y/2)=1 час ехал мотоциклист до встречи
1+2=3 часа был мотоциклист в пути.
О т в е т. 3 часа

Выпали страницы с 126 по 214
Последняя страница перед выпавшими 125, первая после выпавших 215.

a_(n)=a_(1)+d*(n-1)
214=126+2*(n-1)
n-1=(214-126)/2=44 листа выпало

ОДЗ
{x^2-4 > 0
{(x+2)/(x-2) > 0
ОДЗ: х ∈ (- бесконечность ;-2) U( 2; + бесконечность )

log_(2)(x^2–4)–3log_(2)(x+2)/(x–2) =
=log_(2)(x-2)(x+2) - log_(2)((x+2)/(x–2))^3=
=log_(2)(x-2)^4/(x+2)^2

log_(2)(x-2)^4/(x+2)^2 > 2
log_(2)(x-2)^4/(x+2)^2 > log_(2)4

(x-2)^4/(x+2)^2 > 4
(x-2)^4-4(x+2)^2 > 0
((x-2)^2-2(x+2))*((x-2)^2+2(x+2)) > 0
(x^2-6x)*(x^2-2x+8) > 0
x*(x-6) > 0
_+__ (0) _____ (6) __+_
C учетом ОДЗ
(- бесконечность ;-2) U( 2; + бесконечность )

о т в е т (- бесконечность ;-2) U( 6; + бесконечность )

x^2+y^2=0 ⇒ x^2=0 и y^2=0 ⇒ x=0 и y=0

sin2x=2sinx*cosx

cosx*(cos2x*sin3x-(1/2)sinx)=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k∈Z

ИЛИ

cos2x*sin3x-(1/2)sinx)=0

cos2x*cos((Pi/2)-3x)-(1/2)sinx=0
(1/2)cos(Pi/2)-x)+(1/2)cos(Pi/2-3x-2x)+(1/2)sinx=0
(1/2)sinx+(1/2)cos(Pi/2-5x)+(1/2)sinx=0

sinx5x=0
5x= πn, n∈Z
x= (π/5)n, n∈Z

О т в е т. x=(π/2)+πk, k∈Z и (π/5)n, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Медиана BM равнобедренного треугольника АВС одновременно и биссектриса и высота.
Пусть К1- проекция точки К на сторону АВ.
К1М=(1/2) ВС=(1/2)АB (AB=BC по условию)
АК1=К1В=(1/2)АВ
К1M=AK1=K1B
Равные проекции имеют равные наклонные, поэтому
KM=KA=KB

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АКК1:
АК=5
Значит КМ=5

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Проекцией КМ на плоскость АВВ1 является КА
По теореме косинусов
сos ∠ MKA=(5^2+5^2-3^2)/(2*5*5)=41/50

На 2 делится каждое второе число.
Если число делится на 8, то оно делится и на 2.
Поэтому число 8 можно в условии задачи опустить.
На 5 делится каждое пятое, на 9 каждое девятое
На 10=2*5 каждое десятое
На 18 =2*9 - каждое 18-ое
На 45=5*9 - каждое 45-ое
На 90=2*5*9 - каждое 90-е

Применяем формулу включений и исключений:
N=10 000 - [(10 000/2)] -[(10000/5)]-[(10000/9)]+
+[(10000/10)]+[(10000/18)]+
+[(10000/45)]-[(10000/90)]=
=10 000 -5000 - 2000 -1111+1000+555+222-111=3555
[..] - знак целой части числа
О т в е т. 3555 чисел

Ответ выбран лучшим

Общий член разложения по полиномиальной формуле имеет вид:
1^(m)*(-x^4)^(n)*(x^6)^(k)
При этом
m+n+k=14
4n+6k=46 ⇒ 2n+3k=23 ⇒ 2n=23-3k

k=1; n=10 и m=14-1-10=3
k=3; n=7 и m=4
k=5; n=4 и m=5
k=7; n=1 и m=6

Итак получаем 4 слагаемых, содержащих x^(46)

P(3;10;1)*1^(3)*(-x^(4))^(10)*(x^(6))^(1)
P(4;7;3)*1^(4)*(-x^(4))^(7)*((x^(6))^(3)
P(5;4;5)*1^(5)*(-x^(4))^(4)*((x^(6))^(5)
P(6;1;7)*1^(6)*(-x^(4))^(1)*((x^(6))^(7)

Cкладываем:
(14!*(1^3/(3!*10!*1!))-14!*(1^4/(4!*7!*3!))+14!*(1^5/(5!*4!*5!))-14!*(1^6/(6!*1!*7!))x^(46)=

=14!*(43/10!)-(31/7!*6!))x^(46)

О т в е т. 11*12*13*14*43-11*12*13*14*31=
=11*12*13*14*(43-31)=288 288

Ответ выбран лучшим

пожалуйста

1)
20,64:2,4=8,6 кв. м - площадь второй комнаты.
2)
20,64+8,6=29,24 кв. м - сумма площадей

Можно решить выражением
20,64+(20,64:2,4)=29,24 кв. м

Уравнением не решить, нет условия для того чтобы составить равенство

n=7!/(2!*2!)=1260 чисел, которые можно получить перестановкой указанных цифр
m=6!/2!=360 чисел, в которых цифры 44 идут друг за другом
k=6!/2!=360 чисел, в которых цифры 77 идут друг за другом

p=5!=120 чисел, в которых 44 и 77 идут друг за другом.

По формуле включений и исключений

n-m-k+p=1260-360-360+120=660 чисел, в которых 44 и 77 не идут друг за другом

Ответ выбран лучшим

2x^2+17x–9=0

D = 17^2 - 4·2·(-9) = 289 + 72 = 361

x1 = (17+19)/4 = 9
x2 = (17–19)/4 = –1/2
наибольший из корней 9, его и запишем в ответ
О т в е т. 9

(x+7)^2=28x;
x^2+14x+49=28x
x^2-14x+49=0
(x-7)^2=0
x1=x2=7
Один корень, который повторяется дважды.
О т в е т. 7
И так далее

(1/3) от 12 км это 4 км
12:3=4 км или (1/3)*12=12/3=4 км
О т в е т.
4 км прошли до привала.

Пусть T_(k)=C^(k)_(10)*(4)^(k)*(sqrt(13))^(10-k) - наибольший член разложения данного бинома.

Тогда
{T_(k) > T_(k-1)
{T_(k) > T_(k+1)

T_(k-1)=C^(k-1)_(10)*(4)^(k-1)*(sqrt(13))^(10-k+1)=
=(10!/(k-1)!*(10-k+1)!)4^(k-1)*(sqrt(13))^(10-k+1)

T_(k)=C^(k)_(10)*(4)^(k)*(sqrt(13))^(10-k)=
=(10!/(k)!*(10-k)!)4^(k)*(sqrt(13))^(10-k)

T_(k+1)=C^(k+1)_(10)*(4)^(k+1)*(sqrt(13))^(10-k-1)=
=(10!/(k+1)!*(10-k-1)!)4^(k+1)*(sqrt(13))^(10-k-1)

{(4/k) > sqrt(13)/(10-k+1) ⇒ k < 44/(sqrt(13)+4) ≈ 5,785
{sqrt(13)/(10-k) > 4/(k+1) ⇒ k > (40-sqrt(13))/(sqrt(13)+4) ≈ 4,785

k=5

T_(5)=C^5_(10)4^5*(sqrt(13))^5=
=252*1024*169sqrt(13)

Ответ выбран лучшим

С^(y+2)_(х+1)=(x+1)!/((y+2)!*(x+1-y-2)!)

С^(y+1)_(х+1)=(x+1)!/((y+1)!*(x+1-y-1)!)

С^(y)_(х+1)=(x+1)!/((y)!*(x+1-y)!)

1)
С^(y+2)_(x+1) : C^(y+1)_(x+1) = 5:6

(x+1)!/((y+2)!*(x+1-y-2)!) : (x+1)!/((y+1)!*(x+1-y-1)!) = 5 : 6;

(x-y)/(y+2)= 5 : 6 ⇒ 6x - 6y = 5y + 10 ⇒ 6x - 11 y =10;

2)
C^(y+1)_(x+1) : C^(y)_(x+1) = 6:5

(x+1)!/((y+1)!*(x+1-y-1)!): (x+1)!/((y)!*(x+1-y)!) = 6 : 5

(x-y+1)/(y+1)=6:5 ⇒ 6y+6=5x-5y+5 ⇒ 5x - 11y = 1

Система двух уравнений:
{6x - 11 y =10;
{ 5x - 11y = 1

Вычитаем из первого уравнения второе
х=9
у=4

О т в е т. х=9; у=4

Ответ выбран лучшим

y' = 3x^2 + 12x

y`=0

3x2 + 12x = 0

x(3x+12) = 0

x1 = 0, x2 = – 4

__+_ (-4) _-_ (0) _+__

x=-4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

у(0) = 4
у(-4) = - 64+36+4 = - 24

а)

[b]Дробь[/b] равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0
{ log^2_(2)(sinx)+log_(2)(sinx)=0.
{ 2cosx+√3 ≠ 0 ⇒ cosx ≠ -√3 /2 ⇒ x ≠ ± (5Pi/6)+2Pin, n ∈ Z

Решаем первое уравнение:
log^2_(2)(sinx)+log_(2)(sinx)=0

{ [b]sinx > 0[/b]
{log_(2)sinx*(log_(2)sinx +1)=0 ⇒

log_(2) sinx=0 ⇒ sinx=2^(0) ⇒ sinx=1 ⇒ x = (π/2)+2πk, k∈Z

log_(2) sinx+1=0 ⇒ sinx=1/2 ⇒
x=(Pi/6)+2Pim или х=(5Pi/6)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т.(π/2)+2πk, k∈Z и x=(Pi/6)+2Pim, m ∈ Z

б)(π/2); (Pi/6) - корни, принадлежащие указанному отрезку

Ответ выбран лучшим

(log_(3)(9x)⋅log_(4)(64x))/(5x^2−|x|) ≤ 0.

ОДЗ:
{9x > 0 ⇒ x > 0
{64x > 0 ⇒ x > 0
{5x^2-|x| ≠ 0 ⇒при х > 0
|x|=x
x*(5x-1) ≠ 0
x ≠ 0 и х ≠ 1/5
ОДЗ: (0;1/5) U (1/5; +бесконечность)

log_(3)9x=log_(3)9+log_(3)x=2+log_(3)x;
log_(4)64x=log_(4)64+log_(4)x=4+log_(4)x

Неравенство принимает вид
(2+log_(3)x)*(3+log_(4)x)/(5x^2-|x|) меньше или равно 0

Применяем обобщенный метод интервалов
Находим нули числителя
2+log_(3)x=0 ⇒ х=1/9
3+log_(4)x =0 ⇒ х=1/64

(0) _-__ [1/64] _+__ [1/9] _-_ (1/5) __+____

О т в е т. (0;1/64] U [1/9; 1/5)

Ответ выбран лучшим

встревожЕнный

___ (-8) __ - ___ (3) ____

О т в е т. (-8;3)

ОДЗ:
{x+5 > 0 ⇒ x > -5
{x^2+10x+25 > 0 ⇒ x ≠ - 5
{x^2+10x+25 ≠ 1 ⇒ (x+5-1)(x+5+1)≠0 ⇒ x ≠ - 6 и х x ≠ - 4

х ∈ (-5;-4) U(-4;+ бесконечность )

log_(16)(x+5)=log_(2)(x+5)/log_(2)16=(1/4)log_(2)(x+5)
log_(x^2+10x+25)2=log_(2)2/log_(2)(x+5)^2=1/2log_(2)(x+5)

Замена переменной:
log_(2)(x+5)=t

(1/4)t+(1/2)*(1/t) больше или равно 3/4;

(t^2-3t+2)/(4t) больше или равно 0;

(t-1)(t-2)/(4t) больше или равно 0

__-__ (0) _+__ [1] _-__ [2] __+__

0 < t меньше или равно 1 ИЛИ t больше или равно 2

0 < log_(2)(x+5) меньше или равно 1 ⇒

1 < x+5 меньше или равно 2 ⇒ -4 < x меньше или равно (-3)

ИЛИ

log_(2)(x+5) больше или равно 2 ⇒
x+5 больше или равно 4 ⇒ x больше или равно -1
С учетом ОДЗ
О т в е т.(-4;-3] U [-1;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

1. n=C^(4)_(12)=12!/((12-4)!*4!)=9*10*11*12/24=495
m=C^4_(6)=6!/((6-4)!*4!)=15
p=m/n=15/495=3/99=1/33
2.
n=8! способов разместить 8 человек на 8 мест
Событие A– '' два определенных лица окажутся рядом ''
Два определенных лица могут занять
1и 2; 2и 3; 3 и 4; ... 7и 8 места
Всего 7 способов
И умножим на 2 потому как эти лица могут меняться местами (2 и 1; ... 8 и 7)
Оставшиеся 6 человек можно разместить на 6 мест 6! способами

m=2·7·6!=2·7!
p(A)=m/n=2·7!/8!=1/4

Пусть х км в час скорость первого, тогда (х+10) км в час - скорость второго.
За час первый пробежал х км.
Второй пробежал круг 18 минут назад, т.е за 60-18=42 минуты, пробежал на 4 км больше.

Уравнение:
(42/60)*(х+10) - х = 4
42х+420-60х=240
18х=180
х=10

О т в е т. 10 км в час

Геометрическая вероятность
p=S(заштрихованной области)/S( квадрата)=

S(заштрихованной области)=S(квадрата)- ∫ ^(1)_(0,3)(0,3/x)dx=1-(0,3lnx)|^(1)_(0,3)=1-0,3*(0-ln0,3)=1+0,3*ln0,3

р=(1+0,3*ln0,3)/1=1+0,3ln0,3 < 1
так как ln0,3 < 0 (прикреплено изображение)

15 м : 2 = 7 бантов ( 1 метр в остатке)
О т в е т. 7 бантов

n=8! способов разместить 8 человек на 8 мест
Событие A- '' два определенных лица окажутся рядом ''
Два определенных лица могут занять
1и 2; 2и 3; 3 и 4; ... 7и 8 места
Всего 7 способов
И умножим на 2 потому как эти лица могут меняться местами (2 и 1; ... 8 и 7)
Оставшиеся 6 человек можно разместить на 6 мест 6! способами

m=2*7*6!=2*7!
p(A)=m/n=2*7!/8!=1/4

Пусть масса второго сплава х кг, тогда масса первого сплава (х+ 30) кг.

0,45(x+30) кг меди в первом сплаве.
0,2х кг меди во втором сплаве

х+(х+30)=(2х+30)кг масса третьего сплава
0,4*(2х+30) кг меди в третьем сплаве.

Масса меди в первых двух сплавах равна массе меди в третьем сплаве.
Уравнение:
0,45*(x+30)+0,2*x=0,4*(2x+30);
0,45x+13,5+0,2x=0,8x+12;
13,5-12=0,8x-0,2x-0,45x
1,5=0,15x
x=10

2x+30=2*10+30=50 кг масса третьего сплава

О т в е т. 50 кг

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-4x+3 > 0; D=16-12=4 корни 1 и 3
{log_(9/16)(x^2-4x+3) > 0 ⇒ x^2-4x+3 < 1 ⇒ D=8 корни 2± sqrt(2)

____ (2-sqrt(2)) /////// (1)____ (3) \\\\\\\ (2+sqrt(2))

x ∈ (2-sqrt(2);1) U(3;2+sqrt(2))

log_(3)log_(9/16)(x^2-4x+3) меньше или равно log_(3) 1 ⇒

log_(9/16)(x^2-4x+3) меньше или равно 1

1=log_(9/16)(9/16)

log_(9/16)(x^2-4x+3) меньше или равно log_(9/16)(9/16)

x^2-4x+3 меньше или равно 9/16

x^2-4x+(39/16) меньше или равно 0

D=16-4*(39/16)= 16-(39/4)=(64-39)/4=25/4

корни (4 ± 5/2)/2=2 ± (5/4)

3/4 меньше или равно х меньше или равно 13/4

С учетом ОДЗ получаем о т в е т

[3/4;1) U (3;13/4]

Ответ выбран лучшим

y`=((√3/3)π)`–2(cosx)`–(√3x)`–(5)`=

=0-2*(-sinx)-sqrt(3)-0=2sinx-sqrt(3)

y`=0
2sinx-sqrt(3)=0

sinx=sqrt(3)/2
x=Pi/3 ∈ [0; π/2]

[0] _-__ (Pi/3) _+__ [Pi/2]

x=Pi/3 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

у(Pi/3)=(√3/3)π–2cos(Pi/3)–√3*(Pi/3)–5=-1-5=-6

О т в е т. -6

Ответ выбран лучшим

Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) имеет вид:

np−q≤k≤np+p,q=1−p.

В условии задачи
n=10
p=0,75
q=1-p=1-0,75=0,25

np-q=10*0,75-0,25=7,25
np+p=10*0,75+0,75=8,25
7,25 меньше или равно k меньше или равно 8,25

k=8

О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

Выбираем гипотезы:
Н1-''выбрана винтовка с оптическим прицелом''
Н2-''выбрана винтовка без оптического прицела''
р(Н1)=4/10
p(H2)=6/10
Cобытие А - '' стрелок поразит мишень''
Вероятность события А при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95;
p(A/H1)=0,95
Вероятность события А при выстреле из винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8
p(A/H2)=0,8

По формуле полной вероятности
р(А)=р(Н1)*р(А/Н1)+р(Н2)*р(А/Н2)=
=0,4*0,95+0,6*0,8=
=0,38+0,48=0,86

p(Н1/А)*р(А)=р(Н1)*р(А/Н1) ⇒ p(Н1/А)=0,38/0,86 ≈ 0,44
p(Н2/А)*р(А)=р(Н2)*р(А/Н2) ⇒ p(Н2/А)=0,48/0,86 ≈ 0,56

вероятнее, что стрелок стрелял из винтовки без оптического прицела

Ответ выбран лучшим

n=C^2_(100)=100!/(100-2)!*2!=98*99/2=4851
m=C^2_(5)=5!/(5-2)!*2!=10

p=m/n=10/4851 ≈ 0,002

Ответ выбран лучшим

Пусть A1=A
A2=B
A3=C
A4=D (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

(3^(3*(2x-3)))^(1/3) > (3^4*(6-4x)/(x+1))^(1/2)

3^(2x-3) > 3 ^ ((12-8x)/(x+1)) ⇒

2x-3 > (12-8x)/(x+1)

((2x-3)(x+1)-(12-8x))/(x+1) > 0

(2x^2+7x-15)/(x+1) > 0

D=49+120=169

(2x-3)(x+5)/(x+1) > 0

_-__ (-5) __+__ (-1) _-__ (3/2) _+_

О т в е т. (-5;-1) U ( 3/2;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

АВ=СD=20
BC+AD=AB+CD
8+AD=40
AD=32

h=2r
h^2=20^2-((32-8)/2)^2=400-144=256
h=16
r=8 (прикреплено изображение)

3^(x+2)+4*3^(x+1)=63
Выносим за скобки 3 в меньшей степени
3^(x+1)*(3+4*1)=63
3^(x+1)*7=7*9
3^(x+1)=3^2
x+1=2
x=1

1)
y`=e^(4x)*(4x)`-(-sin3x)*(3x)`=4e^(4x)+3sin3x.
5)
{x^2-5x+7 > 0
{x^2-5x+7 > 1
⇒ x^2-5x+6 > 0 ⇒ D=1 корни 2 и 3
(- бесконечность ;2)U(3;+ бесконечность )
6)
{x^2+2x > 0
{x^2+2x > 3
⇒
x^2+2x-3 > 0
D=16
корни
-3 и 1
(- бесконечность;-3) U(1;+ бесконечность )

Всего из слова ТАНКЕТКА по формуле перестановок с повторениями можно составить
8!/(2!•2!•2!) = 5040 «слов».

Считаем ''слова'' с сочетанием АНТ.
АНТ можно расположить на 8 мест шестью способами

А Н Т _ _ _ _ _
_ А Н Т_ _ _ _
_ _ А Н Т _ _ _
_ _ _ А Н Т _ _
_ _ _ _ А Н Т _
_ _ _ _ _ А Н Т

Оставшихся букв 5, среди них буква К повторяется два раза

m= 6*5!/2!=360
5040-360= 4680 ''слов'' без словосочетания АНТ

О т в е т. 4950

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

Замена переменной:
log_(3)x=t;

log_(3)(x/27)=log_(3)x-log_(3)27=t-3

log_(3)x^3=3log_(3)x=3t

t/(t-3) больше или равно (4/t)+(8/(t^2-3t)) ⇒
(t^2-4t+4)/(t^2-3t) больше или равно 0

(t-2)^2/t(t-3) больше или равно 0

__+_ (0) __-___ [2] _-_ (3) __+_

t < 0 или t=2 или t > 3

log_(3)x < 0 ⇒ 0 < x < 1
log_(3)x=2 ⇒ x=9
log_(3)x > 3 ⇒ x > 27

О т в е т. (0; 1) U {9} U (27; + бесконечность )

(6x-8)^3=(x^2)^3
6x-8=x^2;
x^2-6x+8=0
D=36-32=4
x1=2 или х2=4
О т в е т. 2;4

(3х+4у)^5=
=(3х)^5+5*(3х)^4*(4у)+10*(3х)^3*(4у)^2+
+10*(3х)^2*(4у)^3+5*(3х)*(4у)^4+(4у)^5=

(прикреплено изображение)

много

Пусть х руб. первоначальная стоимость товара
х:100*20=0,2х руб. - уценка
х-0,2х=0,8х руб. стоимость после уценки

0,8x=520
x=650 руб первоначальная стоимость товар

2^(5x+3) < 2^(-2*(2x+1)/x);
5x+3 < -4-(2/x);
(5x^2+7x+2)/x < 0
(x+1)(5x+2)/x < 0

_-__ (-1) _+__ (-2/5) _-__ (0) __+__

О т в е т. (- бесконечность;-1) U(-2/5; 0)

Ответ выбран лучшим

При cosx < 0 нет корней.

Если cosx больше или равно 0 ( x в первой или в четвертой четверти), то возводим в квадрат

cos^2x=(1-sinx)/2;
1-sin^2x=(1-sinx)/2;
2-2sin^2x=1-sinx;
2sin^2x-sinx-1=0
D=1+8=9
sinx=-1/2 или sinx=1
x= - (π/6)+2πk, k∈Z или x = (-5π/6)+2πk, k∈Z или х=(π/2)+2πn, n∈Z

(-5π/6)+2πk, k∈Z не удовл. условию cosx больше или равно 0 ( так как расположены в третьей четверти)

О т в е т. (-π/6)+2πk; (π/2)+2πn, k, n∈Z

б) Указанному отрезку принадлежат корни
(-π/6)+4π=23π/6 ; (π/2)+2π= (9π/2);

Ответ выбран лучшим

Дробь равна 0 тогда и только тогда когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0
{cos2x + √3cos + 1 = 0
{ctgx + √3 ≠ 0
{2cos^2x-1 + √3cosx +1 = 0
{x ≠ (-π/6) + πn, n ∈ Z

Решаем только первое уравнение системы:
2cos^2x + √3cosx= 0

cosx(2cosx + √3) = 0

cosx=0

x=(π/2)+πk, k ∈ Z

или

2cosx + √3 = 0;
cosx =- √3/2
х = ±(5π/6) + 2πm, m ∈ Z

с учетом x ≠ (-π/6) + πn, n ∈ Z

Ответ:(π/2)+πk; (-5π/6) + 2πm, k, m ∈ Z
б) -5π/6; -π/2; π/2 (прикреплено изображение)

S=F(-6)-F(-8)=-(-6)^3-21(-6)^2-144*(-6)-(-(-8)^3-21*(-8)^2-144*(-8))=
=216-756+864-512+1344-1152= о т в е т.

ОДЗ:
{54-x^3 > 0;
{x > 0
log_(2)⁡(54–х^3 )=3log_(2)⁡х
log_(2)⁡(54–х^3 )=log_(2)⁡х^3
54-x^3=x^3
x^3=27
x=3
x=3 удовл ОДЗ
О т в е т. 3

z`_(x)=2x;
z`_(y)=2y

Область D: внутренность круга x^2+y^2 меньше или равно 4

S( поверхности)= ∫ ∫ sqrt(1+(2x)^2+(2y)^2)dxdy=

= вводим полярные координаты:
х=r*cos phi
y=r*sin phi
|J|=r

= ∫^(2 Pi)_(0)d phi∫^2 _(0)sqrt(1+4(r)^2)*rdr =

=(phi)|^(2 Pi)_(0)* (1/8)((1+ 4(r)^2)^(3/2)/(3/2))|^(2)_(0)=

=(1/12)*2 Pi*(sqrt(17)-1)=

=(sqrt(17)-1)*Pi/6

Ответ выбран лучшим

x^2=2/9
x=-sqrt(2)/3 или х=sqrt(2)/3

6040*7:8=5285
302 000- 39430=262 570
262 570:2=131 285
192*5=960

5285+131 285 - 960=135 610

95.
формула синуса двойного угла
=sin(Pi/6)=1/2

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Умножаем последнюю строку на (-1) и складываем с первой, потом со второй, и т.д.

Получим определитель
cм. рис. 1

Затем умножаем последний столбец на (-1) и складываем с первым, предпоследний столбец на(-1) и складываем с первым и т.д.
получим определитель рис.2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

M[X]=x1*p1+x2*p2=2*0,35+3*0,25=
=1,45

D[X]=(x1)^2*p1+(x2)^2*p2-(M[X])^2=
4*0,35+9*0,25-(1,45)^2=
=1,5475

M[Y^2]=(y1)^2*p1+(y2)^2*p2+(y3)^2p3= =4*0,15+0,36*0,5+2,25*0,15=
=0,6+0,18+0,3375=
=1,1175

D[Y^2]=(y1)^4*p1+(y2)^4*p2+(y3)^4*p3-(M[Y^2])^2=
=16*0,15+0,1296*0,5+5,0625*0,15-(1,1175)^2=
=8+0,0648+0,759375-1,24880625=
=7,57536875

D(Z)=D(5Y^2-3X)=5^2*D(Y^2)-3^2*D(X)=
=25*7,57536875-9*1,5475=
=189,384219-13,9275=175,456719

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k(касательной)=tg альфа
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Отмечаем в каждом случае прямоугольный треугольник с целочисленными катетами ( см. рис)

1)
tg альфа =5/5=1
f`(x_(o))=1
2)
tg альфа =2/8=1/4
f`(x_(o))=1/4
3)tg(180 ^(o)- альфа)=8/4=2
tg aльфа=-2
f`(x_(o))=-2 (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

9^(x+5) > 27^(x);
(3^2)^(x+5) > (3^(3))^x;
3^(2x+10) > 3^(3x)
2x+10 > 3x
2x-3x > -10
-x > -10
x < 10
О т в е т. (- бесконечность ;10)

1) x^3+x^2-7x+2=(x-2)*(x^3+3x-1)
О т в е т. х-2
4) x^5-3x^4-4x=x*(x^4-3x^2-4)=x*(x^2+1)(x^2-4)=
=x*(x^2+1)*(x-2)(x+2)=x*(x-2)(x+2)(x^2+1);

Длина окружности радиуса R вычисляется по формуле:
С=2PiR

R=5 cм
C=2Pi*5=10Pi cм.

Длина дуги в 1 градус в 360 раз меньше:
L( дуги в 1 градус)= С/360 градусов

L (дуги в 36 градусов)=(С/360 градусов)* 36 градусов=

=10 Pi/10=Pi см

b2=2b1=2*(-2)=-4
b3=2b2=2*(-4)=-8
b4=2b3=2*(-8)=-16
b5=2b4=2*(-16)=-32
b6=2b5=2*(-32)=-64
b7=2*b6=2*(-64)=-128

S7=-2+(-4)+(-8)+(-16)+(-32)+(-64)+(-128)=-254

В наборе из пяти карт точно 2 дамы, 2 туза, 1 карта пиковой масти.'
Значит, карта пиковой масти : не дама и не туз.
Тогда их 7 карт пиковой масти;
а две дамы выбираем из трех мастей (кроме пик)
и два туза из трех мастей (кроме пик)
m=7*C^2_(3)*C^2_(3)=7*3*3=63
О т в е т. 63 способа

Ответ выбран лучшим

∠ BAC= ∠ BCA=х °, углы при основании равнобедренного треугольника равны.
∠ BAD= ∠ CAD=(х/2) °, биссектриса AD делит угол ВАС пополам.
Сумма углов треугольника ADC равна 180 °.
∠ ADC+ ∠ СAD + ∠ACD= 180 °
147 ° +х ° +(х/2) ° = 180 °
3х/2=33°
х=22°
О т в е т. 22° (прикреплено изображение)

∠ BAC= ∠ BCA=14 градусов, углы при основании равнобедренного треугольника равны.
∠ BAD= ∠ CAD=7 градусов, биссектриса AD делит угол ВАС пополам.
Сумма углов треугольника ADC равна 180 градусов.
∠ ADC= 180 градусов - ∠ СAD - ∠ACD=

=180 градусов - 7 градусов - 14 градусов = 159 градусов (прикреплено изображение)

Область определения ( - бесконечность; + бесконечность).

y`=x^2-1
y`=0
x^2-1=0
x=-1 или х= 1
х=-1 - точка максимума, производная меняет знак + на -
х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
у(-1)=(1/3)*(-1)^(3)-(-1)=2/3
y(1)=(1/3)*1-1=-2/3
Функция возрастает на (- бесконечность; -1) и на (1;+ бесконечность).
функция убывает на (-1;1)
Точки пересечения с осью Ох:

(1/3)x^3-х=0
х*((1/3)x^2-1)=0
x=0 или (1/3)x^2-1=0 x=-sqrt(3) или х=sqrt(3)

с Осью Оу
х=0 у=0

2)
y(1)=3*1^2-4*1+6=5

y`=6x-4

y`(1)=6*1-4=2

y-5=2*(x-1)

y=2x+3
О т в е т. у=2х+3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2,1=(1,7+x)/2
4,2=1,7+x
x=4,2-1,7=2,5

Ответ выбран лучшим

b2=-6b1= –6*(-2)=12
b3=-6b2= - 6 *12 = - 72
b4=-6b3= - 6 * (-72)= 452
b5=-6b4 = -6*452=-2712

S5=-2+12+(-72)+452+(-2712)=-2322

Ответ выбран лучшим

7^2*(1/7^3)=1/7
9*(2/21)=9*2/21=18/21=6/7

(1/7)+(6/7)=1

Ответ выбран лучшим

п=6*5*4=120 способов составления трехзначных чисел

Кратны трем:
составлены из цифр
1;2;3
1;3;5
1;5;6
2;3;4
2;4;6
3;4;5

В каждом наборе шесть чисел.
Всего 36 чисел, кратных трем:
m=36
p=36/120=3/10

Ответ выбран лучшим

a2=a1+4= – 9 + 4= - 5
a3=a2+4= - 5 + 4 = - 1
a4=a3+ 4= - 1 + 4 = 3
а5=а4+4= 3+4 =7
а6= а5+4=7+4=11

S6=-9+(-5)+(-1)+3+7+11=6
...
a_(n)=a1+(n-1)d- формула общего члена арифметической прогрессии
a6=a1+5d=-9+5*4=11

S6=((a1+a6)*6)/2=((-9+11)*6)/2=6

Ответ выбран лучшим

Это прямоугольный треугольник, так как
a^2+b^2=c^2
1^2+3^2=(sqrt(10))^2
1+9=10- верно

Ответ выбран лучшим

∫ 7^(x^2)·2·x·ln(7)dx=ln7* ∫ 7^(u)du ( где u=x^2)=

=ln7*(7^(x^2))/ln7 + C=7^(x^2) + C

Ответ выбран лучшим

1) МР- средняя линия треугольника АВС
МР=(1/2) АС=(1/2)*14=7
2)
МК- средняя линия треугольника АВС
МК=(1/2)АС
КF- средняя линия треугольника АВС
КF=(1/2)АB
MF- средняя линия треугольника АВС
MF=(1/2)BC

Р( Δ MKF)=(1/2)P( Δ АВС)

3) АС^2=АН*АВ
Пусть НВ=х
Тогда
АС^2=АН*АВ
6^2=4*(4+x)
36=16+4x
20=4x
x=5
ВН=5
4)sin^2 альфа +cos^2 альфа =1
sin альфа =sqrt(1-cos^2 альфа )=sqrt(1-(8/17)^2)=15/17
tg альфа =sin альфа /cos альфа =15/8

Ответ выбран лучшим

∪ КМ=104^(o)
∠ КОМ=104^(o) ( центральный угол)
∠ ОКМ= ∠ ОМК= (180^(o)-104^(o))/2=38^(o) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

P(x)=0
x^3–(a–3)x^2+ax=0
x*(x^2-(a-3)x+a)=0
x1=0, чтобы уравнение имело еще 2 корня, необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение
x^2-(a-3)x+a=0
имело 2 корня.
Для этого
D=(a-3)^2-4a должен быть положительным.
(a-3)^2-4a > 0
a^2-10a+9 > 0
a < 1 или a > 9

О т в е т. (- бесконечность;1) U(9;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

у=3х
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

При sinx < 0 нет корней.

Если sinx больше или равно 0 ( x в первой или во второй четверти), то возводим в квадрат

sin^2x=(1-cos)/2;
1-cos^2x=(1-cosx)/2;
2-2cos^2x=1-cosx;
2cos^2x-cosx-1=0
D=1+8=9
cosx=-1/2 или cosx=1
x=- (2π/3)+2πk, k∈Z или х=2πn, n∈Z

(-2π/3)+2πk, k∈Z не удовл. условию sinx больше или равно 0 ( так как расположены в третьей четверти)

О т в е т. (2π/3)+2πk; 2πn, k, n∈Z

б) Указанному отрезку принадлежат корни
2π; (2π/3)+2π=8π/3

Ответ выбран лучшим

Область определения:
sin^2x+7sinx-1 больше или равно 0
Замена переменной
sinx=t
t^2+7t-1 больше или равно 0
D=49+4=53
t1=(-7-sqrt(53))/2; t2=(sqrt(53)-7)/2
sinx меньше или равно (-7-sqrt(53))/2 или sinx больше или равно (sqrt(53)-7)/2
у=t^2+7t-1 возрастает при t больше или равно (sqrt(53)-7)/2
Так как -1 меньше или равно sinx меньше или равно 1, то наибольшее значение выражение
sin^2x+7sinx-1 принимает при sinx=1

y(при sinx=1) =(4/3)sqrt(7)≈1,98

Наибольшее целое значение равно 1.

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=13031

Ответ выбран лучшим

МС=(1/2)АС=12
ОМ=sqrt(OC^2-MC^2)=sqrt(13^2-12^2)=sqrt(25)=5
cos ∠ MOC=OM/OC=5/13

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=24569

Ответ выбран лучшим

1)
sin((π/3)–x)=-sin(x-(π/3))

sin(x-(π/3))=-1/2
x-(π/3)=(π/6)+2πk или x-(π/3)=(5π/6)+2πn, k, n ∈ Z
x=(π/3)+(π/6)+2πk или x=(π/3)+(5π/6)+2πn, k, n ∈ Z
x=(π/2)+2πk или x=(7π/6)+2πn, k, n ∈ Z
О т в е т. (π/2)+2πk ; (7π/6)+2πn, k, n ∈ Z

2) tgx=-1/sqrt(3)
x=-(π/6)+πk, k ∈ Z

x1=-(π/6)+π*2=11π/6∈ [π;3π]
x2=-(π/6)+π*3=17π/6 ∈ [π;3π] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sinx*(x-4)-(x-4)=0
(x-4)*(sinx-1)=0
x-4=0 или sinx-1=0
x=4 или sinx=1 ⇒ x=Pik, k ∈ Z

О т в е т. 4; Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Пусть АВ=ВС=АС=а

R(cферы)=asqrt(3)/3
r(конуса)=(a/2)
L( образующая конуса)=а

S_(сферы)/S(бок. конуса)=4PiR^2/PirL=
=(4Pia^2/3)/(Pi(a/2)*a)=8/3

Ответ выбран лучшим

S_(cферы)=4PiR^2
4PiR^2=6 ⇒ [b] 2PiR^2=3[/b]

r(цилиндра)=R/2
H(цилиндра)=2R
S(бок. цилиндра)=2Pir*H=2Pi(R/2)**2R)=2PiR^2=3 ⇒

Ответ выбран лучшим

40*70=2800
P ( периметр=длина забора)=2*(40+70)=220

Ответ выбран лучшим

Биссектриса делит угол пополам, значит угол при основании 34^(o)+34^(o)=68^(o)
углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит и второй угол при основании равен 68^(o)

Cумма углов треугольника равна 180 градусов.
Значит угол при вершине
180^(o)-68^(o)-68^(o)=44^(o)
Высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника на основание является одновременно и биссектрисой
Биссектриса делит угол при вершине пополам
Угол, который образует высота с боковой стороной равен 22^(o) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной а равен
R=asqrt(3)/3;
a=2sqrt(3)
R=2sqrt(3)*(sqrt(3)/3=2
S_(сферы)=4Pi*R^2=4Pi*2^2=16Pi

Ответ выбран лучшим

Перепишем в виде:
sqrt(x^2+5x+1)=2x-1

При 2х-1 < 0 нет решений
при 2х-1 больше или равно 0 (х больше или равно (1/2) )
возводим в квадрат
x^2+5x+1=4x^2-4x+1
3x^2-9x=0
3x*(x-3)=0
x=0 или х=3

х=0 не удовл. условию х больше или равно 1/2

О т в е т. 3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. -9

vector{AD}⋅vector{CB}=|vector{AD}|⋅|vector{CB}|* сos180^(o)=

=3*3*(-1)=-9

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:х > 0

log_(5)(25/x)=log_(5)25-log_(5)x=2-log_(5)x;
log_(5)sqrt(5x)=log_(5)sqrt(5)+log_(5)sqrt(x)=
=(1/2)+(1/2)log_(5)x;

2-log_(5)x+(1/2)+(1/2)log_(5)x=2
log_(5)x=1
x=5
О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов
AC^2=2^2+2^2-2*2*2*(-1/2)
AC=sqrt(12)
По теореме синусов
AC/sin120^(o)=2R
R=2
S_(сферы)=4PiR^2=16Pi

Ответ выбран лучшим

Умножаем на 27

4х-3х+9+9х+9 < 0
10x < -18
x < 1,8

Ответ выбран лучшим

11500:327=35,1681957
О т в е т А) 35

Ответ выбран лучшим

Δ АСD вписан в окружность.
По теореме синусов
AC/sin ∠ CDA=2R
2/(1/2)=2R
4=2R
R=2

S_(сферы)=4*Pi*R^2=4*Pi*2^2=16Pi

Ответ выбран лучшим

(5a/8c)-(25a^2+64c^2)/(40ac)+(8c-25a)/(5a)=

=(25a^2-25a^2-64c^2+8c*(8c-25a))/40ac=

=-200ac/40ac=-5

Ответ выбран лучшим

По условию
Pir^2=16
По рисунку
R/r=5x/2x=5/2⇒ R=(5/2)r

S=PiR^2=Pi*(5/2r)^2=(25/4)*Pi*r^2=(25/4)*16=100

s(фигуры)=S-s=100-16=84

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

5х=Pik, k ∈ Z

x=(Pi/5)k, k ∈ Z

О т в е т. (Pi/5)k, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Покупали тетради и книгу.
Стоимость всей покупки 174 рубля.

Одна тетрадь стоит 8 рублей. Купили 9 тетрадей
8 ... 8 - это значит слева 8+8+8+8+8+8+8+8+8=8*9=72 рубля заплатили за тетради.
174-72=102 рубля стоит книга.

Ответ выбран лучшим

cos2x ≠ 0
2х ≠ (Pi/2)+Pik, k ∈ Z
x ≠ (Pi/4)+(Pi/2)k, k ∈ Z
точки (Pi/4) и (3Pi/4) не входят в указанный промежуток.

y`=(-5/(cos^22x))*(cos2x)`

y`=(-5/(cos^22x))*(sin2x)*(2x)`

y`=(10sin2x)/(cos^22x))

y`=0
sin2x=0
2x=Pin, n ∈ Z
x=(Pi/2)n, n ∈ Z

Указанному отрезку принадлежит точка (Pi/2)
Это точка возможного экстремума.
Проверим как меняет знак производная при переходе через эту точку.
Pi/3 < x < Pi/2 ⇒ sin2x > 0 y` > 0
Pi/2 < x < 2Pi/3 ⇒ sin2x < 0 y` < 0
x=(Pi/2)- точка максимума

у(Pi/2)=5/сosPi=- 5
О т в е т. -5

Ответ, конечно, кажется странным. Но в точках (Pi/4)+(Pi/2)k, k ∈ Z кривая у=5/сos2x имеет разрыв и потому кривая расположена то выше оси Ох, то ниже.
См. рис.1

По модулю так же, просто нижней части графика не будет и ветви графика снизу отразятся симметрично оси Ох наверх.
О т в е т. |-5|=5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

T=2sqrt(L)
L=12
T=2sqrt(12)
sqrt(12)=sqrt(4*3)=sqrt(4)*sqrt(3)=2sqrt(3)
T=4sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

R=(1/2) диагонали AC=(1/2)10=5
S_(сферы)=4PiR^2=4*Pi*5^2=100Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=6- точка максимума, производная меняет знак с + на - (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

11000-3200=7800 руб. уплачено за билеты для детей
7800:78=100 билетов для детей куплено

Cхема ( см. рис. 1)

2)
300*4=1200 руб заплатили за взрослые билеты
50*23=1150 руб.заплатили за детские билеты

1150+1200=2350 руб. заплатили за все билеты
4000-2350=1650 руб сдача.
Схема ( см. рис. 2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

11.
b_(2)=-5b_(1)=-5*(-6)=30
b_(3)=-5b_(2)=-5*30=-150
b_(4)=-5b_(3)=-5*(-150)=-750
b_(5)=-5b_(4)=-5*(-750)=3750

12.
((2*2+3)/14y)*(y^2/5)=y/10
при у=-14
ответ -1,4
13.
18=((8+b)*(9/7))/2
36=(8+b)*(9/7)
Делим на 9
4=(8+b)/7
28=8+b
b=28-8=20

Ответ выбран лучшим

y`=(2x^2-16x+16)`*e^(x+28)+(2x^2-16x+16)*(e^(x+28))`=

=(4x-16)*e^(x+28)+(2x^2-16x+16)*e^(x+28)=

=e^(x+28)*(2x^2-12x)

y`=0
2x^2-12x=0
2x*(x-6)=0

__+__ (0) __-___ (6) _+__

x=0- точка максимума, производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

-8х -2х больше или равно -1-3
-10х больше или равно -4
х меньше или равно 0,4

Ответ выбран лучшим

На первой кости может выпасть любое из шести чисел, на второй кости может выпасть любое из шести чисел, на третьей кости - любое из шести чиисел
n=6*6*6=216
Результаты появления чисел можно записать тройками.
(1;1;1) - на первой кости 1, на второй кости 1, на третьей 1
...
(1;1;6)
...
(6;6;6)
Всего 216 троек.

Cобытие А - ''хотя бы на одном кубике выпало число 1 и ни на одном кубике не выпало число 6''
Событию А благоприятствуют исходы
(1;1;1);(1;1;2);(1;1;3);(1;1;4);(1;1;5)
(1;2;1);(1;2;2);(1;2;3);(1;2;4);(1;2;5)
...

75 троек
На первом месте 1, на втором -любая из пяти цифр, на третьем - любая из пяти цифр Всего 25
На втором месте 1, на первом- любая из четырех цифр, на третьем -любая из пяти цифр Всего 20
На третьем месте 1, на первом - любая из четырех цифр, на втором - любая из пяти цифр Всего 16

m=61

p(A)=m/n=61/216

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3х*(2x^2+7x+3)=0
x=0 или 2x^2+7x+3=0 D=49-24=25 x=-3 или х=-(1/2)
О т в е т. -3; -1/2; 0

Ответ выбран лучшим

3х*(2x^2+7x+3)=0
x=0 или 2x^2+7x+3=0 D=49-24=25 x=-3 или х=-(1/2)
О т в е т. -3; -1/2; 0

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{100x ≠ 1 ⇒ x ≠ 0,01

x ∈ (0; 0,01) U (0,01;+ бесконечность )

Применяем формулу перехода к другому основанию:
log_(0,01)10x=lg10x/lg0,01=(lg10+lgx)/(-2)=(1+lgx)/(-2)

log_(100x)10=lg10/lg(100x)=1/(lg100+lgx)=1/(2+lgx)

Замена переменной
lgx=t

((-1/2)+(-1/2)t)*(1/(2+t)) + (1/4) меньше или равно 0

(-4-4t+2+t)/(2+t) меньше или равно 0

(-t)/(2+t) меньше или равно 0

(t)/(t+2) больше или равно 0
t < -2 или t больше или равно 0

lgx < -2 или lgx больше или равно 0

0 < x < 0,01 или х больше или равно 1

(0;0,01) U [1;+ бесконечность )
О т в е т.x=1- наименьшее целое

y`=5cosx+(24/Pi)

y` ≠ 0

Поэтому точек экстремума нет, производная положительна, функция возрастает.

О наименьшем значении или о наибольшем можно говорить, если указан отрезок.
Для возрастающей функции наименьшее значение в левом, наибольшее значение в правом конце отрезка.

Ответ выбран лучшим

r=S(Δ ABC)/p (ΔABC)

p (ΔABC)=(AB+BC+AC)/2=(10+10+12)/2=32/2=16
S(Δ ABC)=(1/2)AC*BD=(1/2)12*8=48

r=48/16=3

S ( сферы)=4Pir^2=4*Pi *3^2=36 Pi

Ответ выбран лучшим

-0,7*0,0001-8*100-26=-826, 00007

Ответ выбран лучшим

По формуле
a^2-b^2=(a-b)*(a+b)

3*(x-2)^2-3x^2=3*(x-2-x)*(x-2+x)=3*(-2)*(2x-2)=
=3*(-2)*2*(x-1)=-12*(x-1)

Ответ выбран лучшим

Δ ABC - равносторонний треугольник.
АВ=ВС=АС=6

r=asqrt(3)/6=6*sqrt(3)/6=sqrt(3)

S( сферы)=4Pi*r^2=4*Pi*(sqrt(3))^2=12Pi

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
∠ ABD = ∠ACD=(1/2) ∪ DA
∠ ABD - ∠ACD =0 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos((9π/2)–x)=sinx
six((3π/2)+x)=-cosx

3sin^2x-(sinx)*(-cosx)-2=0
3sin^2x+sinx*cosx-2=0 - однородное тригонометрическое уравнение.
1=sin^2x+cos^2x
2=2sin^2x+2cos^2x

3sin^2x+sinx*cosx-2sin^2x-2cos^2x=0
sin^2x+sinx*cosx-2cos^2x=0
Делим на cos^2x ≠ 0

tg^2x+tgx-2=0
D=1-4*(-2)=9
tgx=-2 или tgx=1
х=arctg(-2)+Pin, n ∈ Z или x = (Pi/4) + Pik, k ∈ Z

О т в е т. (Pi/4) + Pik, arctg(-2)+Pin, k, n ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
arctg(-2)+4Pi
и
(Pi/4)+3Pi=13Pi/4

Ответ выбран лучшим

R(цилиндра)=2r ( сферы)
H(цилиндра)=2r (сферы)

S (бок)/S(сферы)=2*Pi*R*H/(4Pir^2)=2*Pi*(2r)*(2r)/(4Pir^2)=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-1 > 0 ⇒ x > 1
{x+2 > 0 ⇒ x > -2
{x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2

ОДЗ: х ∈ (1;2)U(2;+ бесконечность )

В условиях ОДЗ:

log_(4)(x–1)*log_(x–1)(x+2)=

=log_(4)(x–1)*(log_(4)(x+2)/log_(4)(x-1)=

=log_(4)(x+2)

log_(4)(x+2) > (log_(4)(x+2))^2
или
t > t^2
0 < t < 1

0 < log_(4)(x+2) < 1

log_(4)1 < log_(4)(x+2) < log_(4)4

1 < x+2 < 4

-1 < x < 2

C учетом ОДЗ

О т в е т (1;2)

Ответ выбран лучшим

(πx/7)=Pi+2Pin, n ∈ Z

x=7+14n, n ∈ Z

n=-1
x=7-14=-7 - наибольший отрицательный корень

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из десяти чисел выбирают одно. Это можно сделать 10-ю способами.
n=10
Событие А - '' число на выбранной карточке больше 7''
Событию А благоприятствуют исходы:
8; 9; 10
m=3
p(A)=m/n=3/10=0,3

О т в е т. 0,3

Ответ выбран лучшим

S(пов.)=2S(осн)+S(бок.)=2*Pi*R^2+2*Pi*R*H=

=2*Pi*4^2+2*Pi*4*3=2*Pi*(16+12)=56Pi

О т в е т. S/Pi=56 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Биссектриса AL делит угол BAC пополам.
∠ BAL= ∠ CAL=22^(o)
∠ BAC=∠ BAL+ ∠ CAL=22^(o)+22^(o)=44^(o)
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
∠ ABC=180^(o)- ∠ BAC- ∠ ACB=180^(o)-44^(o)-30^(o)=106^(o)

О т в е т. 106^(o)

Ответ выбран лучшим

1,75=175/100=7/4

1,75^(1/9)*4^(2/9)*28^(8/9)=(7/4)^(1/9)*4^(2/9)*(4*7)^(8/9)=

=7^((1/9)+(8/9))*4^(-(1/9)+(2/9)+(8/9))=7*4=28

Ответ выбран лучшим

y`=(5)`-(x-14)`*sqrt(x+13)-(x-14)*(sqrt(x+13))`

y`=-sqrt(x+13)-(x-14)/(2sqrt(x+13))

y`=-(2*(x+13)+(x-14))/(2sqrt(x+13))

y`=-(3x+12)//(2sqrt(x+13))

y`=0
3x+12=0
x=- 4

[-9] ___+__ (-4) _____-_______[3]

x=-4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(-4)=5-(-4-14)*sqrt(-4+13)=5-(-18*3)=5+54=59

Ответ выбран лучшим

30:8 ≈ 4 раза

Ответ выбран лучшим

Область определения:( - бесконечность; + бесконечность)
x^2+6x+12 > 0
D < 0

y`=(1/(x^2+6x+12)ln(1/3)))*(x^2+6x+12)`
y`=(2x+6)/((x^2+6x+12)*ln(1/3))
y`=0
2x+6=0
x=-3
[-19] __+___ (-3)_-_ [-1]

x=-3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(-3)=log_(1/3)3=-1

Ответ выбран лучшим

Опечатка. См. рисунок и дальнейшие рассуждения
∠ СВD= ∠ CDB

Ответ выбран лучшим

7,5%=7,5/100=75/1000=0,075

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+2x > 0 ⇒ x*(x+2) > 0 ⇒ (-бесконечность;-2)U(0;+бесконечность)
{x^2 > 0 ⇒ x ≠ 0
ОДЗ: х ∈ ( - бесконечность;-2)U(0;+бесконечность)

(2log_(2) x*(x+2) - log_(2)x^2)/2log_(2) x^2 меньше или равно 0

(log_(2) x^2*(x+2)^2 - log_(2)x^2)/2log_(2) x^2 меньше или равно 0

(log_(2) (x+2)^2/2log_(2) x^2 меньше или равно 0
Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя:
(x+2)^2 =1
x+2= ± 1 ⇒ x=-3 или х=-1
Находим нули знаменателя.
x^2=1 ⇒ x= ± 1
-1 не принадлежит ОДЗ
_-_ [-3] _+_ (-2) ______ (0) __+__(1) __+_

х меньше или равно -3

О т в е т. -3

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора
h^2=17^2-8^2=289-64=225
h=15 м

Ответ выбран лучшим

Область определения (– ∞ ;+ ∞ )
y`=2x-4
y`=0
2x-4=0
x=2

__–_ (2) _+__

y` < 0 на (– ∞;2), функция убывает,
y` > 0 на (2;+∞), функция возрастает,
х=2 точка минимума, производная меняет знак с – на +

у(2)=2^2-4*2+5=1 – наименьшее значение функции.

y``=2 > 0
кривая выпукла вниз (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения (- бесконечность ;+ бесконечность )
y`=6x+6
y1=0
6x+6=0
x=-1

__-_ (-1) _+__

y` < 0 на (- бесконечность;-1), функция убывает,
y` > 0 на (- 1;+бесконечность), функция возрастает,
х=-1 точка минимума, производная меняет знак с - на +

у(-1)=3*(-1)^2+6*(-1)-7=3-6-7=-10 - наименьшее значение функции.

y``=6 > 0
кривая выпукла вниз
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
4 - 2х > 0 ⇒ x < 2

y`=(4-2x)`/(4-2x)+2

y`=2-(2/(4-2x))

y`=2-(1/(2-x))

y`=(4-2x-1)/(2-x)

y`=0
3-2x=0
x=1,5

[0] __+__ (1,5) _-_[1,7]

x=1,5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(1,5)=ln1+2*1,5-7=-4 - наибольшее значение функции на указанном отрезке.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

3^(x)*(27+9-1) < 2^(x/2)*(1+(1/2)+(1/4))

3^(x)*35 < 2^(x/2)*(7/4)

3^(x)*20 < 2^(x/2)

(3/sqrt(2))^x < 1/20
x < log_(3/sqrt(2))(1/20)

Ответ выбран лучшим

АB - гипотенуза прямоугольного треугольника АВК.
АК=2
КВ=1
АВ=sqrt(2^2+1^2)=sqrt(5)

средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN=(1/2)AB=sqrt(5)/2
О т в е т. sqrt(5)/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

На первой кости может выпасть любое из шести чисел, на второй кости может выпасть любое из шести чисел
n=36
Результаты появления чисел можно записать парами.
(1;1) - на первой кости 1 и на второй кости 1
...
(1;6)
...
(6;6)
Всего 36 пар.

Cобытие А - ''хотя бы на одном кубике выпало число 1 и ни на одном кубике не выпало число 6''
Событию А благоприятствуют исходы
(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(1;5)
(2;1);
(3;1)
(4;1)
(5;1)

m=9

p(A)=m/n=9/36=1/4

Ответ выбран лучшим

tg(–300^(o))= - tg300^(o)=- tg(360^(o)-60^(o))
По формулам приведения
tg(360^(o)-60^(o))=-tg60^(o)
Итак
tg(–300^(o))=-(-tg60^(o))=tg60^(o)=sqrt(3)

2√3tg(–300^(o)) = 2·√3·√3 = 2·3 = 6

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма

3-2х=(1/3)^(-4)
( ОДЗ можно не находить, так как 3-2х =81 > 0)
3-2x=81
-2x=81-3
-2x=78
x=-39

Ответ выбран лучшим

Формула перехода к другому основанию
log_(5)27=log_(3)27/log_(3)5=3/log_(3)5
Формула логарифма степени
log_(3)25=log_(3)5^2=2log_(3)5

О т в е т. (3/log_(3)5)*(2log_(3)5)=6

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
sin(x/2) ≠ 0⇒ (x/2)≠ Pin, x≠ 2Pin, n ∈ Z
cos(x/2) ≠ 0⇒ (x/2)≠(Pi/2)+ Pim, x≠ Pi+2Pim, m ∈ Z

1/tg(x/2)=ctg(x/2)=cos(x/2)/sin(x/2);
1/ctg(x/2)=tg(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2);

1/tg(x/2) - 1/ctg(x/2)=

=cos(x/2)/sin(x/2)- sin(x/2)/cos(x/2)=

=(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))/sin(x/2)*cos(x/2)=

=2cosx/sinx=2ctgx

2ctgx-1-2ctgx=sin2x

sin2x=-1
2x=(-Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
x=(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z
О т в е т. (-Pi/4)+Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1.
b=4 по теореме Пифагора (b^2=c^2-a^2=5^2-3^2=25-9=16)
h=a*b/c=3*4/5=2,4
a^2_(c)=a^2-h^2=3^2-2,4^2=5,4*0,6=(1,8)^2
a_(c)=1,8
b^2_(c)=b^2-h^2=4^2-2,4^2=6,4*1,6=3,2^2
b_(c)=3,2

a_(c)+b_(c)=1,8+3,2=5= c

2.
a^2_(c)=a^2-h^2=6^2-4,8^2=1,2*10,8=3,6^2
a_(c)=3,6

a_(c)*b_(c)=h^2
3,6*b_(c)=4,8^2
b_(c)=6,4

c=a_(c)+b_(c)=3,6+6,4=10
b^2=c^2-a^2=10^2-6^2=64
b=8

Ответ выбран лучшим

50*(- 0,001) - 25*(0,01) - 9= - 0,05 -0,25 - 9= -9,3

Ответ выбран лучшим

а)
Так как по условию диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке М⇒ AM=MD и ∪АС1=∪С1D
Обозначим ∪АС1=∪С1D=у
(диаметр перпендикулярный хорде делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам).
Аналогично, так как по условию диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N, то
AN=NB
∪ AD1= ∪ D1B
Обозначим
∪ AD1= ∪ D1B= х

Кроме того, так как СС1 ; DD1 и АА1 - диаметры, то
∪ AD1= ∪ DA1=x
∪ AC1= ∪ A1C=∪ D1C=y

MN - средняя линия треугольника ABD
MN || BD
∠ DNM= ∠ NDB внутренние накрест лежащие углы при параллельных MN и BD и секущей DN.
∠ NDB= ∠ BA1D1 как углы опирающиеся на одну и ту же дугу D1B
По свойству транзитивности
∠ DNM= ∠ BA1D1

б)
∠ ADB=2* ∠ CDB
∠ CDB измеряется половиной дуги ВС
∪ BC=y-x

∠ ADB=2*(y-x)/2=y-x
с другой стороны
∠ ADB=х, как угол опирающийся на дугу АВ.
y-x=x
у=2х

Так как у+у+х=180 градусов, то 2х+2х+х=180 градусов
х=36 градусов.

у=2х=72 градусов

∠ А=(1/2)*∪BD=(1/2)*(y-x+y+x)=(1/2)*2y=y=72 градусов
∠ В=(1/2)∪ADC=(1/2)*(y+y+x+y)=(1/2)(72 градусов+72 градусов+36 градусов+72 градусов)=
=(1/2)*252 градусов=126 градусов
∠ С=(1/2)∪BAD=(1/2)*(x+x+y+y)=(x+y)=108 градусов
∠ D= (1/2)∪СВА=(1/2)*(у-х+х+х)=(1/2)(у+х)=54 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=(1/3)^(-1-x^2)
(1/3)=3^(-1)

y=(3^(-1))^(-1-x^2)
y=3^(1+x^2)

y`=3^(1+x^2)*(1+x^2)`*ln3
y`=2x*3^(1+x^2)*ln3
y`=0
x=0
_-__ (0) __+_
x=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
у(0)=(1/3)^(-1)=3

Ответ выбран лучшим

1) По формулам приведения
sinx(x+Pi)=-sinx
sin((Pi/2)-x)=cosx

2sinx=2sqrt(3)cosx;
tgx=sqrt(3);
x=(Pi/3)+Pik, k ∈ Z

x=(Pi/3)+3Pi=10Pi/3 ∈ [3Pi;9Pi/2]
и
х=(Pi/3)+4Pi=13Pi/3 ∈ [3Pi;9Pi/2]

2.
По формулам приведения
sin((Pi/2)-x)=cosx

3cos2x+1=cosx;
3*(2cos^2x-1)+1=cosx;
6cos^2x-cosx-2=0
D=1-4*6*(-2)=49
cosx=-1/2 или cosx=2/3
x= ± (2Pi/3)+2Pik, k ∈ Z или х= ± arccos(2/3)+2Pin, n ∈ Z

x=(2Pi/3)-6Pi=-16Pi/3 ∈ [-11Pi/2;-4Pi];
x=(-2Pi/3)-4Pi=-14Pi/3 ∈ [-11Pi/2;-4Pi];
x=-arccos(2/3)-4Pi ∈ [-11Pi/2;-4Pi].

3)2sinx*cosx-sqrt(3)cosx=0
cosx*(2sinx-sqrt(3))=0
cosx=0 или sinx=sqrt(3)/2
x=(Pi/2)+Pik или х=(Pi/3)+2Pin или х=(2Pi/3)+2Pim,
k, n, m ∈ Z
x=(Pi/3)+2Pi=(7Pi/3) ∈ [2Pi;3Pi].
x=(Pi/2)+2Pi=(5Pi/2) ∈ [2Pi;3Pi].
x=(2Pi/3)+2Pi=(8Pi/3) ∈ [2Pi;3Pi].

Ответ выбран лучшим

Январь 2019 года
Долг 1,02S
Выплата 1,02S-0,9S=0,12S

Январь 2020 года
Долг 1,02*0,9S=0,918S
Выплата 0,918S-0,8S=0,118S

Январь 2021 года
Долг 1,02*0,8S=0,816S
Выплата 0,816S-0,7S=0,116S

Январь 2022 года
Долг 1,02*0,7S=0,714S
Выплата 0,714-0,6S=0,114S

Январь 2023 года
Долг 1,02*0,6S=0,612S
Выплата 0,612S-0,5S=0,112S

Январь 2024 года
Долг 1,02*0,5S=0,51S
Выплата 0,51S

Общая сумма выплат
0,12S+0,118S+0,116S+0,114S+0,112S+0,51S=327 тыс. руб
1,09S=327 тыс руб
S=327:1,09=300 тыс. руб.

О т в е т. 300 тыс. руб.

Ответ выбран лучшим

6+10=16 рабочих
16:2=8 рабочих в каждой группе
6 сборщиков:2 = 3 сборщика в каждой группе.

Испытание состоит в том, что из 16 человек выбирают 8
n=C^8_(16)=16!/(8!*8!)=12870

Cобытие А - ''в группе окажется 3 сборщика''

m=C^3_(6)*C^5_(10)=(6!/(3!*3!))*(10!/(5!*5!))=5040

p(A)=m/n=5040/12870=504/1287=0,391608392 ≈ 0,39

Ответ выбран лучшим

Введем полную группу независимых гипотез:
H_(i) -''Деталь изготовлена на i -ом станке), i =1,2,3 .

Найдем вероятности гипотез
р(Н_(1))=0,45
р(Н_(2))=0,35
р(Н_(3))=0,2

p(H_(1))+p(H_(2))+p(H_(3))=1

Событие A - (деталь стандартна).
Даны вероятности нестандартности:
0,025; 0,02; 0,015
Значит вероятности стандартности деталей
р(А/H_(1))=1-0,025=0,975
р(А/H_(2))=1-0,02=0,98
р(А/H_(3))=1-0,015=0,985

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:

p(A)=p(H_(1))*р(А/H_(1))+p(H_(2))*р(А/H_(2))+p(H_(3))*р(А/H_(3))=0,45*0,975+0,35*0,98+0,2*0,985=
=0,43875+0,343+0,197=
=0,97875

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 12-ти шаров извлекают 4
n=C^4_(12)=12!/(4!*(12-4)!)=495

Событие A - '' среди наудачу извлеченных 4–х шаров окажется более 2–х желтых''
значит 3 желтых или 4 желтых
m=C^3_(5)*C^1_(7)+C^4_(5)=10*7+5=75

p(A)=m/n=75/495=5/33 ≈ 0,15

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x+3 > 0 ⇒ x ∈ (-3;+ бесконечность )

Так как при любом х из ОДЗ
sqrt(x+3) > 0, то на ОДЗ неравенство равносильно неравенству:

10^x-2*5^x-25*2^x+50 больше или равно 0;
5^x*(2^x-2)-25*(2^x-2) больше или равно 0;
(2^x-2)*(5^x-25) больше или равно 0

2^x-2=0 или 5^x-25=0
x=1 или x=2

(-3) __+__ [1] __-_ [2] __+_

(-3;1] U[2;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx;
cos(x+(7π)/6)=cosx*cos(7Pi/6) - sinx*sin(7Pi/6)=
=-(sqrt(3)/2)cosx+(1/2)*sinx

Уравнение принимает вид
2sinx*cosx+3cosx-sqrt(3)sinx-3cosx=0
2sinx*cosx-sqrt(3)sinx=0
sinx*(2cosx-sqrt(3))=0
sinx=0 ⇒ x=Pin, n ∈ Z
ИЛИ
cosx=sqrt(3)/2
x=±(Pi/6)+2Pik, k ∈ Z

О т в е т. Pin; ±(Pi/6)+2Pik, n, k ∈ Z

б) Отрезку [-(3Pi/2);0] принадлежат корни
-Pi; -Pi/6; 0

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

21.
{y=5-x^2
{6x^2-(5-x^2)=2 ⇒ 7x^2=7

x^2=1
x= ± 1
y=5-1=4

О т в е т. (-1;4); (1;4)

22.
1) 36 минут =36/60=0,6 часа
2) 0,6*10 = 6 км проехал второй пока первый отдыхал.
3) 82-6=76 км оба велосипедиста ехали одновременно
4) 28+10=38 км в час совместная скорость ( скорость сближения)
5) 76:38= 2 часа затрачено на совместное движение.
6) 28*2=56 км место встречи от города из которого выехал первый
7) 82-56=26 км место встречи от города из которого выехал второй.

23.
См. рисунок в приложении (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx

2sinx*cosx+sqrt(3)*cosx=0
cosx*(2sinx+sqrt(3))=0

cosx=0 или 2 sinx+sqrt(3) =0

cosx=0
x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z

ИЛИ

sinx=-sqrt(3)/2
x=(-1)^n*(-Pi/3) + Pin, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/2)+Pik, k ∈ Z (-1)^n*(-Pi/3) + Pin, n ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни

-Pi/2; Pi/2; 3Pi/2;
-2Pi/3; -Pi/3;
(-2Pi/3)+2Pi=4Pi/3
(-Pi/3)+2Pi=5Pi/3

Ответ выбран лучшим

sin^2 альфа +cos^2 альфа =1
Так как по условию угол альфа в третьей четверти, синус в третьей четверти имеет знак минус, то
sin альфа =-sqrt(1-cos^2 альфа )= -sqrt(1-(2sqrt(6)/5)^2)=

=-sqrt(1-(24/25))=-sqrt(1/25)=-1/5

Ответ выбран лучшим

Область определения функции
(- бесконечность;2)U(2;+ бесконечность )

y`=((x+5)`*(x-2)-(x+5)*(x-2)`)/(x-2)^2

y`=-7/(x-2)^2 < 0 при любом х из области определения.
Нет точек экстремума.
Функция убывает на (- бесконечность;2) и на (2;+ бесконечность ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

lim_(x→ π/4)tg2x=tg( π/2)= бесконечность

если x→ (π/4)-0
ответ + бесконечность
если x→ (π/4)+0
ответ - бесконечность

Ответ выбран лучшим

16=4^2
(1/4)=4^(-1)
(1/4)^(2sin2x)=4^(-2sin2x)

(4^2)^(sinx)=4^(-2sin2x)
4^(2*sinx)=4^(-2sin2x)

2*sinx=-2sin2x;
2sinx+4sinx*cosx=0
2sinx*(1+2cosx)=0
sinx=0 или сosx=-1/2
x=Pik, k ∈ Z или х= (± 2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
k2-4k+8=0
D=16-32=-16
k_(1,2)=2 ± i·2
альфа =2 бета=2

y(одн.)=e^(2x)*(C_(1)cos2x+C_(2)sin2x)

vector{y}=Asinx+Bcosx

vector{y}`=Acosx-Bsinx
vector{y}``=-Asinx-Bcosx

-Asinx-Bcosx-4*(Acosx-Bsinx)+8*(Asinx+Bcosx)=3sinx+5cosx;

{-A+4B+8A=3
{-B-4A+8B=5

{7A+4B=3;
{-4A+7B=5

{28A+16B=12
{-28A+49B=35
Cкладываем
B=47/65
A=-1121/455

О т в е т. у=у(одн.)+vector{y}=

=e^(2x)*(C_(1)cos2x+C_(2)sin2x)+(-1121/455)sinx+(47/65)cosx

не нравятся такие А и В может где-то опечатка?

Ответ выбран лучшим

19 000 : 100 *12=2 280

19 000 + 2 280=21 280 руб

Ответ выбран лучшим

5*(х+1)=4
5х+5=4
5х=4-5
5х=-1
х=-1/5
х=-0,2

Ответ выбран лучшим

k( пропорциональности)=12:8=21:14=3:2=1.5
P:p=k=1,5

Ответ выбран лучшим

6+3·(6:3)+8=

=6+3*2+8=

=6+6+8=20

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

согласно неравенству треугольника
x < 10+6
наибольшее х, удовлетворяющее этому неравенству :
х=15
Р=6+10+15=31 см
О т в е т. 31 см

Ответ выбран лучшим

sin((Pi/2)-x=cosx

cosx меньше или равно 1/sqrt(2)
(Pi/4)+2Pin меньше или равно x меньше или равно (7 Pi/4)+2Pin, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.7
Coставляем характеристическое уравнение
k^2+1=0
k_(1,2)= ± i

y_(одн)=С_(1)cosx+C_(2)sinx

vector{y}=((Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx)*x

vector{y}`=((Ax^2+Bx)sinx+(Cx^2+Dx)cosx)`=
=(2Ax+B)*sinx+(Ax^2+Bx)*cosx+(2Cx+D)*cosx-(Cx^2+Dx)*sinx

vector{y}``=2A*sinx+(2Ax+B)*+(2Ax+B)*cosx-(Ax^2+Bx)*sinx+
+2Ccosx-(2Cx+D)sinx-(Cx^2+Dx)*sinx-(Cx^2+Dx)*cosx

(2A-Ax^2-Bx-2Cx-D+Ax^2+Bx)*sinx + (4Ax+2B+2C-Cx^2-Dx+Cx^2+Dx)*cosx=2cosx-(4x+4)sinx
{2A-D=2
{-B=0
{4A=-4⇒ A=-1 D=-4
{2B+2C=-4 ⇒ C=-2

О т в е т. у=y_(одн)+vector{y}=
=С_(1)cosx+C_(2)+(-x^2sinx-(2x^2+4x)cosx

3.7
k^2+2k+1=0
k_(1,2)=-1
y_(одн)=С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(-x)*x

vector{y}=(Ax^3+Bx^2+Cx+D)*x

vector{y}`=(Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx)`=4Ax^3+3Bx^2+2Cx+D

vector{y}``=12Ax^2+6Bx+2C

12Ax^2+6Bx+2C+2*(4Ax^3+3Bx^2+2Cx+D)+
+Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx=4x^3+24x^2+22x-4

{A=0
{8A+B=4⇒ B=4
{12A+6B+C=24 ⇒ C=0
{6B+4C+D=22 ⇒ D=-2
{C+2D=-4 ⇒ 0+2*(-2)=-4 - верно

О т в е т. у=y_(одн)+vector{y}=
=С_(1)e^(-x)+C_(2)e^(-x)*x+4Bx^3-2x

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
k^2-4k+13=0
D=16-4*13=-36
k1=2+i*3 k2=2-i*3
О т в е т.
y=e^(2x)*(C_(1)cos3x+C_(2)sin3x)

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
k^2+2=0
k= ± i*sqrt(2)

y_(одн)=C_(1)cos(sqrt(2)x)+C_(2)sin(sqrt(2)x)

vector{y}=Ax^2+Bx+C
vector{y}`=2Ax+B
vector{y}``=2A

2A+2*(Ax^2+Bx+C)=x^2+2
2A=1⇒ A=1/2
2B=0 ⇒ B=0
2A+2C=2 ⇒ C=1/2

vector{y}=(1/2)x^2+(1/2)

О т в е т. у=у_(одн)+vector{y}=

=C_(1)cos(sqrt(2)x)+C_(2)sin(sqrt(2)x)+(1/2)x^2+(1/2)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
u=2x
du=2dx
=(1/2)∫du/(4-u^2)
Табличный интеграл ( cм формулу в приложении)
=(1/(2*2))*ln|(2+u)/(2-u))+C=

=1/4 ln|(2+2x)/(2-2x)|+C=

=1/4 ln|(1+x)/(1-x)|+C (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4*3=12 кв см. площадь прямоугольника.
6*6=36 - площадь квадрата.

36:12=3 прямоугольника, при условии, что квадрат можно разрезать.
Например так (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)2
2)129

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^x=t
t > 0
9^x=t^2
t^2-4t+3 < 0
D=16-12=4
t1=(4-2)/2=1 или t2=(4+2)/2=3
1 < t < 3
1 < 3^x < 3
0 < x < 1
О т в е т. (0;1)

Ответ выбран лучшим

можно. Найти ОДЗ.Рассмотреть две системы
множители разных знаков. Каждая система распадается на 4 случая, основания больше 1, основания от 0 до 1 и основания разные: одно больше 0 и меньше 1, другое наоборот больше1. Всего 8 случаев. С учетом ОДЗ выбрать ответ

Ответ выбран лучшим

Задача имеет бесчисленное множество решений.
Потому что через две точки можно провести единственную прямую. Здесь же каждая прямая проходит через точку на оси оХ, координаты которой указаны и точку на оси Оу, координаты которой не указаны на рисунке.
Может указаны вначале задания?
См. рисунок.
Через точку (0;2) проведены зеленая и голубая, через точку (0;1) синяя и фиолетовая. И таких пар много. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
k^2-5k+6=0
D=25-24=1
k1=2 k2=3
y_(однор)=С_(1)e^(2x)+C_(2)e^(3x)

vector{y}=Asin3x+Bcos3x - частное решение
vector{y}`=3Acos3x-3Bsin3x
vector{y}``= - 9Asin3x - 9Bcos3x

- 9Asin3x - 9Bcos3x - 5*(3Acos3x-3Bsin3x )+
+6*(Asin3x+Bcos3x )=13 sin3x

(3A+15B)sin3x+(-3B-15A)cos3x=13sin3x

{3A+15B=13
{-3B-15A=0

A=1/6
B-5/6

О т в е т. С_(1)e^(2x)+C_(2)e^(3x)+(1/6)sin3x-(5/6)cos3x

Ответ выбран лучшим

Умножим первый столбец на (-2) и сложим со вторым, во втором столбце все нули, но вместо х+1 получим х+1-2

Умножим первый столбец на (-3) и сложим с третьим, в третьем столбце все нули, но вместо х+1 получим х+1-3
...

О т в е т. 1*(x+1-2)*(x+1-3)*...(x+1-n)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) D=2^2-4*(-1)=8
sqrt(8)=2sqrt(2)
x1=(-2-2sqrt(2))/2=-1-sqrt(2) или x_(2)=-1+sqrt(2)
2)D=(-6)^2-4*2*3=36-24=12
sqrt(12)=2sqrt(3)
x1=(6-2sqrt(3))/2=3-sqrt(3) или x_(2)=3+sqrt(3)
3)D=(-2)^2-4*3*(-1)=4+12=16
sqrt(16)=4
x1=(2-4))/2=-1 или x_(2)=3
4)D=3^2-4*3*(-1)=9+12=21

x1=(-3-sqrt(21))/2 или x_(2)=(-3+sqrt(21))/2

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А и В - зависимы.
Можно вытянуть туз любой масти, значит если вытянут туз бубновой масти, то для выбора красной карты осталось 25 красных карт.

А и С так же зависимы.
Если в случае А вытянут бубновый туз, то p(F)=1/4; р (С)=0
Если не бубновый, то p(C)=1/3

A и D независимы

В и С - зависимы
р(В)=1/2 р (С) зависит от того взят бубновый туз или не взят первый раз.

С и D независимы.

B и D зависимы, так как десятка может быть красной картой.

Ответ выбран лучшим

Если все три игры будут играть новыми мячами, то неигранных мячей не останется.

Вероятность игры новыми мячами в первой игре равна равна 1.
р_(1)=1

После первой игры в коробке 3 игранных мяча и 6 новых (неигранных)
Находим вероятность того, что во второй раз мы будем играть новыми ( неигранными) мячами.

р_(2)=C^3_(6)/С^3_(9)

После второй игры в коробке три новых и шесть играных.
Находим вероятность того, что и в третий раз мы будем играть новыми ( неигранными) мячами.

р_(3)=C^3_(3)/С^3_(9)

Вероятность того, что после 3 игр не останется не игранных мячей:
p=p_(1)*p_(2)*p_(3)=1*(C^3_(6)/С^3_(9))*(C^3_(3)/С^3_(9))=
=1*0,44444*0,01190476 ≈ 0,06

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 52-х карт выбирают 4
n=C^4_(52)
Событие А – среди вынутых хотя бы одна бубновая.
Событие В – среди вынутых хотя бы одна червонная.
Cобытие A+B- среди вынутых хотя бы одна бубновая или хотя бы одна червонная
Событие vector{А}+ vector{В}- среди вынутых нет ни одной червонной и ни одной бубновой

m=C^4_(26) ( из 13 крестей и 13 пик выбираем 4 карты)
p(vector{А}+vector{А})=m/n=C^4_(26)/C^4_(52)=
26*25*24*23/52*51*58*49=0,05522209≈ 0,056

Так как р(А+В)+ p(vector{А}+vector{B)=1, то
р(А+В)=1-p(vector{А}+vector{B})≈1-0,056=0,944

О т в е т. ≈0,944

Ответ выбран лучшим

f`(x) = cosx-sqrt(3)sinx-1

f`(x)=0
cosx-sqrt(3)sinx-1=0
Делим на 2
(1/2)*cosx - (sqrt(3)/2)*sinx=(1/2)

cos(Pi/3)*cosx-sin(Pi/3)*sinx=1/2
cos(x+(Pi/3))=1/2
x+(Pi/3)= ± (Pi/3)+2Pik, k ∈ Z
x = ± (Pi/3) -(Pi/3)+2Pik, k ∈ Z
x = 2Pik, k ∈Z или х=(-2Pi/3)+2Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

0,6*(-10):3+50=0,6*(-1000)+50 = -600 + 50 = - 550

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(3) (sqrt(x))*(1/x)=-1;

log_(3) (1/sqrt(x))=log_(3)(1/3)
1/sqrt(x)=1/3
sqrt(x)=3
x=9

О т в е т. х=9

Ответ выбран лучшим

|cosx|=1
cosx=-1 или cosx=1
x=Pi+2Pi, k ∈ Z или х= 2Pim, m ∈ Z
оба ответа можно записать как один ответ
х=Pin, n ∈ Z

|cosx|^(sin^2x-(3/2)sinx+(1/2)) больше или равно |cosx|^(0)
0 < |cosx| < 1
Показательная функция убывает
sin^2x-(3/2)sinx+(1/2) меньше или равно 0
D=(9/4)-4*(1/2)=1/4
sinx=1/2 или sinx=1
(1/2) < sinx < 1
(Pi/6)+2Pik < x < (Pi/2)+2Pik , k ∈ Z

О т в е т. ((Pi/6)+2Pik;(Pi/2)+2Pik); Pin; k , n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1)65*6=390 км проехала в первый день
2)390+98=388 км проехала в второй день
3)6+2=8 ч была в пути во второй день
4)488:8=61 км в час скорость во второй день

Ответ выбран лучшим

1.В последнем числе в разряде тысяч стоит цифра 3– неверно (4634 в разряде тысяч 4)
2. Все числа записаны в порядке возрастания– верно

3 Среди этих чисел есть два чётных числа– верно
(2932 и 4634)
4.Среди этих чисел есть число которое при делении на 100даёт остаток 1– верно
(это число 4051)

Общее - это четырехзначные числа

Ответ выбран лучшим

2,6r/100 < 1,2-1
2,6r/100 < 0,2
r < 0,2*100/2,6
r < 100/13

Ответ выбран лучшим

Слева формула разности квадратов
((16+2х)-(5+2х))*((16+2х)+(5+2х))=121
11*(21+4х)=121
21+4х=11
4х=-10
х=-2,5

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2-3
y`=0
x^2-1=0
x=-1 или х=1
-1 ∉ [0;2]

[0] _-_ (1) _+_ [2]

x=1 - точка минимума,производная меняет знак с - на +

y(1)=1-3+23=21 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a=2sqrt(3)
R=abc/4S=a*a*a/4*(a^2sqrt(3)/4)=a/sqrt(3)=asqrt(3/3)=2
D=4

H=4*tg60^(o)
H=4sqrt(3)

V(цилиндра)=S(осн.)*Р=Pi*R^2*H=Pi*2^2*4sqrt(3)=
=16sqrt(3)Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
Сечение PTQF - равнобедренная трапеция
PT || A1C1
PT=(1/4) A1C1
QF || AC
QF=(1/2)AC
QF- средняя линия треугольника АВС
QF=5sqrt(3)
TP=(1/2)QF=5sqrt(3)/2

NB=MB1=asqrt(3)/2=10sqrt(3)*(sqrt(3)/2)=15 - высоты равностороннего треугольника

МB^2=MN^+NB^2=7,5^2+15^2=15sqrt(5)/2

DE - высота равнобедренной трапеции, боковые стороны которой QT=PF=sqrt(7,5^2+(5sqrt(3)/2)^2)=sqrt(75)=5sqrt(3)

DE=15sqrt(5)/4 из прямоугольной трапеции DB1BE

Из подобия треугольников MKD и KEB
DK/KE=MD/BE=(3/4h)/(h/2)=(3/2) ⇒

DE=DK+KE=(3/2)KE+KE=(5/2)KE
15sqrt(5)/4=(5/2) KE
KE=3sqrt(5)/2
DK(3/2)*KE=(3/2)*3sqrt(5)/2=9sqrt(5)/4

MK/KB=MD/BE=(3/4h)/(h/2)=(3/2) ⇒
KB=(2/3)MK
MK+KB=MB
MK+(2/3)MK=15sqrt(5)/2
MK=9sqrt(5)/2

MD^2=MK^2+KD^2
(45/4)^2 =(9sqrt(5)/2)^2+(9sqrt(5)/4)^2 - верно, значит по теореме обратной теореме Пифагора, треугольник MKD - прямоугольный, угол MKD - прямой
MK ⊥ KD

BN⊥ QF
MN ⊥ пл. АВС, значит MN ⊥ OF
QF перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости MNB1B, значит QF⊥ пл MNB1B
Плоскость α проходит через перпендикуляр QF к плоскости MNB1B, плоскость α и пл. MNB1B взаимно перпендикулярны.
Значит QF ⊥ MB

MK ( а значит и MB)⊥DE ,MB ⊥ QF

MB⊥ пл. α

б)
MK=9sqrt(5)/2

О т в е т. MD = 9sqrt(5)/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

20*√3tg390^(o)=20*√3tg (360^(o)+30^(o))=
=20*√3tg30^(o)=20*√3*(√3/3)=20
По формулам приведения
tg( 2π+a)=tg a
и
tg30^(o)=sqrt(3)/3

Ответ выбран лучшим

1) рис.1 ВС=2R - диаметр окружности.
BF ⊥ BC
AF ⊥ OA
По свойству касательных, проведенных из точки F отрезки касательных равны.
AF=BF
Из прямоугольного треугольника OAF:
tg ∠ OFA=OA/FA=2sqrt(5)/2=sqrt(5)
Δ OBF = ΔOAF по двум катетам
FO - биссектриса
Применяем формулу тангенса двойного угла
tg ∠ BFA=2tg∠ OFA/(1-tg^2∠ OFA)=2sqrt(5)/(1-5)=-sqrt(5)/2 < 0
Значит, ∠ BFA > Pi/2
∠ BFA - тупой, что не соответствует рис.1

2)
см. рис. 2
продолжение стороны ВС
ВТ=2R

ОА=ОВ=2sqrt(5)
AF=BF=2
Из прямоугольного треугольника AOF
tg ∠ AOF=AF/AO=2/2sqrt(5)=1/sqrt(5)
Прямоугольные треугольники AOF и BOF равны по двум катетам.
OF- биссектриса
По формуле тангенса двойного угла:
tg ∠ AOC=2*tg ∠ AOF/(1-tg ^2∠ AOF)=sqrt(5)/2
cos^2∠ AOC=1/(1+tg^2 ∠ AOB)=1/(1+5/4)=4/9
cos∠ AOC=2/3
cos∠ AOC=OA/OC ⇒ OC=OA/cos ∠ AOC=3sqrt(5)

BC=OC-OB=3sqrt(5)-2sqrt(5)=sqrt(5)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BFC:
FC^2=BC^2+BF^2=(sqrt(5))^2+2^2=9
FC=3
AC=5
S( Δ ABC)=(1/2)AC*BC*sin ∠ ACO=
=( sin ∠ ACO=cos ∠ AOC=2/3)=
=(1/2)*5*sqrt(5)*(2/3)=5sqrt(5)/3

О т в е т. 5 sqrt(5)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Только построение (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

70 000 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Sбок. пов. =6*S( Δ SAB)

S( Δ SAB)= (1/2)*AB*h/
h- высота треугольника SAB или апофема боковой грани
h^2=37^2-(24/2)^2=37^2-12^2=(37-12)*(37+12)=25*49
h=5*7
h=35
Sбок. пов. =6*(1/2)*24*35=2520 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{10-x^2 > 0⇒ (-sqrt(10);sqrt(10))
{10-x^2 ≠ 1⇒ x≠ -3; x≠ 3
{(16/5)x-x^2 > 0⇒ (0; 3,2)
{(10-x^2-1)*((16/5)x-x^2-10+x^2) < 0 ⇒(9-x^2)*((16/5)x-10) < 0 ⇒(x-3)*(x+3)*(x-50/16) > 0 ⇒ (-3;3)U(3,125;+ бесконечность)

50/16=3 целых 2/16=3,125

sqrt(10) < 3,2, так как 10 < 10,24
sqrt(10) > 3,125, так как 10 > 9,765625

О т в е т (0;3)U(3,125;sqrt(10))

Ответ выбран лучшим

8:30 + 4*45+10+20+10=8:30+3 часа 40 минут=
=12:10 закончатся 4 урока

12:10+10+45=13:05 закончатся 5 уроков

или так:

8:30 - 9:15- первый урок
9:15 - 9:25 - перемена
9:25 -10:10 - второй урок
10:10-10:30 - перемена
10:30 - 11:15 - третий урок
11:15 - 11:25 - перемена
11:25 -12:10 - четвертый урок
12:10-12:20 - перемена
12:20- 13:05 - пятый урок

О т в е т. Через 5 минут

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что составляют наборы вида
(1;1);(1;2); ... ;(9;9)
Всего можно составить
n=9*9=81 пару чисел
Событие А - '' сумма чисел в наборе делится на 3''
Событию А благоприятствуют пары
(1;2); (1;5); (1;8)
(2;1); (2;4);(2;7)
(3;3);(3;6);(3;9)
(4;2);(4;5);(4;8)
(5;1);(5;4);(5;7)
(6;3);(6;6);(6;9)
(7;2);(7;5);(7;8)
(8;1);(8;4);(8;7)
(9;3);(9;6);(9;9)
m=3*9=27 наборов
p(A)=27/81=1/3 ≈ 0,33

Ответ выбран лучшим

Пусть весь путь равен х км
(1/3)х:12=х/36 ч- время на первом участке пути
(1/3)х:16=х/48 ч- время на втором участке пути
(1/3)х:24=х/72 ч - время на третьем участке пути

v(cредняя)=S/t
S=x
t=(x/36)+(x/48)+(x/72)=x*(9/144)=x*(1/16)

v(cредняя)=х/(х/16)=16 км в час

О т в е т. 16 км в час

Ответ выбран лучшим

сos2x=1-2sin^2x

1-2sin^2x+3sqrt(2)sinx-3=0;
2sin^2x-3sqrt(2)sinx+2=0
D=(-3sqrt(2))^2-4*2*2=18-16=2

sinx=(3sqrt(2)-sqrt(2))/4=sqrt(2)/2
x=(-1)^k(Pi/4)+Pik, k ∈ Z
ИЛИ
sinx=(3sqrt(2)+sqrt(2))/4=sqrt(2)
уравнение не имеет корней, |sinx| меньше или равно 1

О т в е т.
а) (-1)^k(Pi/4)+Pik, k ∈ Z
б) указанному промежутку принадлежит
х=3Pi/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos2x=1-2sin^2x

2sin^2x-13sinx-7=0
D=169+56=225

sinx=-1/2 или sinx=7

sinx=-1/2
x=(-1)^k*(-Pi/6)+Pik, k ∈ Z

sinx=7
нет решений
|sinx| меньше или равно 1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть один угол х, третий - (Pi - бета -х)
По теореме синусов стороны пропорциональны синусам противолежащих улов:
a/sin бета = b/sinx
Поэтому вторая сторона b=asin x/sin бета
a/sin бета = c/sin(Pi-бета -x)
sin(Pi - бета -х)= sin( бета +x)
третья сторона с=asin (бета + x)/sin бета

P(x)=a+b+c=a+a*(sinx/sin бета) +a*(sin( бета +x)/sin бета)=

=(a/sin бета )*(1+sinx+sin( бета +x))

P`(x)=(a/sin бета )*(cosx+cos( бета +x))

P`(x)=0
cosx+cos( бета +x)=0
2cos(x+ (бета/2))*cos(- бета /2)=0
cos(x+ (бета/2))=0
x+ (бета/2)=Pi/2
x=(Pi/2)-(бета /2)

Третий угол
Pi- бета -((Pi/2)-( бета /2))=

=(Pi/2)- бета +(бета/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А–(А/15)=14A/15

Ответ выбран лучшим

х=-2
у=-1
(-2+2)^2+(-1+1)^2=225 - неверно, 0 ≠ 225
x=7
y=11
(7+2)^2+(11+1)^2=225 - верно, 81+144=225

О т в е т.
через точку (–2:–1) не проходит
через точку (7:11) проходит

Ответ выбран лучшим

4.25)
k^2+8k=0
k=0 или k=-8
y_(одн.)=С_(1)+С_(2)e^(-8)
Так как х=0 - корень f(x)=18x+60x^2-32x^3, то частное решение имеет вид
vector{y}=(Ax^3+Bx^2+Cx+D)*x
Находим
vector{y}`=4Ax^3+3Bx^2+2Cx+D
vector{y}``=12Ax^2+6Bx+2C
и подставляем в исходное уравнение
12Ax^2+6Bx+2C+8*(4Ax^3+3Bx^2+2Cx+D)=18x+60x^2-32x^3;
32A= - 32 ⇒ A= - 1
12A+24B=60 ⇒ B=3
16C+6B=18 ⇒ C=0
2C+8D=0 ⇒ D=0

vector{y}=(-x^3+3x^2)*x
y=С_(1)+С_(2)e^(-8) + (-x^3+3x^2)*x- общее решение данного уравнение.
Задача Коши.
у(0)=5
у`(0)=2
5=C_(1)+C_(2)
y`=-8C_(2)e^(-8x)+(-4x^3+9x^2)
2=-8C_(2)
C_(2)=-1/4= - 0,25
C_(1)=5 целых 1/4 = 5, 25

y=5,25-0,25e^(-8x)-x^4+3x^3

Ответ выбран лучшим

3.25) k^2-14k+49=0
k1=k2=7
y_(одн.)=С_(1)e^(7x)+c_(2)xe^(7x)

vector{y}=Asin7x+Bcos7x
vector{y}`= 7Acos7x - 7Bsin7x
vector{y}``= - 49Asin7x - 49B cos7x

- 49Asin7x - 49Bcos7x-14*(7Acos7x - 7Bsin7x)+49*(Asin7x+Bcos7x)=144 sin7x
(-49A+98B+49A)sin7x+(-49B-98A+49B)cos7x=144sin7x
98B=144 ⇒ B=72/49 ( чтобы получилось 2 справа должно быть 144*sin6x)
98A=0 ⇒ A= 0

vector{y}=0*sin7x+(72/49)*cos7x

О т в е т. С_(1)e^(7x)+c_(2)xe^(7x)+(72/49)*cos7x

Ответ выбран лучшим

0,5-0,5cos2 альфа =sin^2 альфа
1-sqrt(0,5-0,5cos2 альфа )=1-sqrt(sin^2 альфа)=
1-|sin альфа|=1+sin альфа , так как
при π < альфа < 3/2π
sin альфа < 0
|sin альфа |=-sin альфа

1+sin альфа =1+cos((Pi/2)- альфа )=2cos(((Pi/2)- альфа )/2=
=2 cos((Pi/4)-( альфа/2))

sqrt(1+sin альфа )=sqrt(2cos((Pi/4)-( альфа/2)))

Ответ выбран лучшим

Первый интеграл табличный
ln|x+sqrt(x^2+1)|

Второй интеграл представляем как сумму двух:
∫2dy/cosy- табличный = 2 ln|tg((x/2)+(Pi/4)))
∫ dy=y (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

421-401=20 квт/ч

1,16*20=23,2 руб

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) x^2-x+1=1
x=0; x=1
1 в любой степени =1 в любой степени
2)
если
{x^2-x+1 > 1 показательная функция возрастает и
{(x-11)/(x-4) меньше или равно 3
Решаем систему двух неравенств

3)
если
{0 < x^2-x+1 < 1, показательная функция убываеи
{(x-11)/(x-4) больше или равно 3
решаем систему двух неравенств.
О т в е т. объединение ответов 1) 2) и 3) случаев.

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными.
Делим на sqrt(1+x^2)*cosy

dx/sqrt(1+x^2)=(2dy/cosy)+dy

Интегрируем
∫ dx/sqrt(1+x^2) = ∫ (2dy/cosy)+ ∫ dy

Получим то, что написано в ответе, только слева направо

Ответ выбран лучшим

k^2-12k+40=0
D=144-160=-16
k1=6-2i или k2=6+2i
y_(oдн.)=e^(6x)*(C_(1)cos2x+C_(2)sin2x)- общее решение однородного уравнения
Частное решение ищем в виде
vector{y}=A*e^(6x)
Находим
vector{y}`=6Ae^(6x)
vector{y}``= 36Ae^(6x)

и подставляем в данное уравнение
e^(6x)(36A-72A+40A)=2e^(6x)
Сокращаем на e^(6x)
4A=2 ⇒
A=1/2

Частное решение
vector{y}=(1/2)*e^(6x)

О т в е т. сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного
y=y_(oдн.)+vector{y}=
=e^(6x)*(C_(1)cos2x+C_(2)sin2x)+(1/2)e^(6x)

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
а) k^2+5=0
k1=-isqrt(5); k2=isqrt(5)
альфа =0 бета = ± isqrt(5)

y=C_(1)cos(sqrt(5))x+C_(2)sin(sqrt(5))x
б)
9k^2-6k+1=0
k1=k2=(1/3)
y=C_(1)e((1/3)x)+C_(2)*x*e((1/3)x)
в)
k^2+6k+8=0
D=36-32=4
k1=-4 или k2=-2
y=C_(1)e^(-4x) + C_(2) e^(-2x)

Ответ выбран лучшим

Один угол х градусов, второй 3х градусов, третий 4х градусов.
[b] Сумма углов треугольника равна 180 градусов [/b]
Уравнение
х+3х+4х=180
8х=180
х=22,5
3х=3*22,5=67.5
4х=90
О т в е т. 90 градусов; 67,5 градусов; 22,5 градусов

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^x=t
t > 0
9^x=t^2

(t^2-2t-1)/(t-1)+(2t-6)/(t-3) меньше или равно t+1

(t^2-2t-1)/(t-1)+2*(t-3)/(t-3) меньше или равно t+1

{(t^2-2t-1)/(t-1)+2 меньше или равно t+1
{t ≠ 3

{(t^2-2t-1)/(t-1) меньше или равно t-1
{t ≠ 3

{((t^2-2t-1)- (t-1)^2)/(t-1) меньше или равно 0
{t ≠ 3

{(-2/(t-1) меньше или равно 0 ⇒ t-1 > 0 ⇒ t > 1
{t ≠ 3

1 < t < 3 или t > 3
1 < 3^x < 3 или 3^x > 3

О т в е т . (0;1)U(1;+ бесконечность

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2-5x > 0; 2-5x ≠ 1 ⇒ (- бесконечность ;1/5)U(1/5;2/5)
{5x+2 > 0 ⇒ x > - 2/5
{5x+3 > 0 ; 5x+3 ≠ 1 ⇒ x > - 3/5; x ≠ -2/5
{3-5x > 0 ⇒ x < 3/5

ОДЗ: х ∈ (-2/5;1/5) U (1/5;2/5)

На ОДЗ с помощью метод рационализации логарифмических неравенств ( см. приложение) данное неравенство равносильно неравенству
(2 - 5х - 1)*(5х + 2 - 1)*(3 - 5х - 1)* (5х + 3 - 1) меньше или равно 0
(1 - 5х)(5х + 1)*(2 - 5х)*(5х + 2) меньше или равно 0

(5х - 1) * (5х + 1) * (5х + 2)* ( 5х - 2) меньше или равно 0

(-2/5) __-__ [-1/5] ___+___ (1/5) _-_ (2/5)

О т в е т. [-1/5;1/5) (прикреплено изображение)

3^(x^2)=t
3^(x^2-2)=(1/9)t
9^(x^2-1)=(1/9)t^2

(t^2/3)-(4/3)t+1 больше или равно 0
t^2-4t+3 больше или равно 0
D=16-12=4
t меньше или равно 1 или t больше или равно 3
3^(x^2) меньше или равно 1 или 3^(x^2) больше или равно 3

x^2 меньше или равно 0 или x^2 больше или равно 1

О т в е т. (- бесконечность ;-1] U{0}U[1;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

- x = 2, 1 + 3
x = -5, 1

Ответ выбран лучшим

Треугольник МКТ - равнобедренный, прямоугольный,
значит ∠ К= ∠ М=45 градусов
По теореме Пифагора
КМ^2=7^2+7^2=49+49=98
KM=sqrt(98)=7sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(конуса)=S(осн)+S(бок)=Pi*r^2+Pi*r*L

S(тетрадэра)=4S( Δ )=4*a^2sqrt(3)/4=a^2sqrt(3)

a^2sqrt(3)=12sqrt(3)
a^2=12

r=asqrt(3)/6=sqrt(12)*sqrt(3)/6=1
h=asqrt(3)/2=sqrt(12)*sqrt(3)/2=3
L=h=3

S(конуса)=Pi*1^2+Pi*1*3=4Pi

Ответ выбран лучшим

1/(3*5)=(1/2)((1/3)-(1/5))
...
1/((4·n–1)·(4· n+1))=(1/2)*((1/(4n-1))-(1/(4n+1)))

S_(n)=(1/2)((1/3)-(1/(4n+1))
S=lim_(n→∞)S_(n)=1/6

Ответ выбран лучшим

=(0/0)=lim_(x→5)(x-5)(x-2)/(x-5)(x-4)=lim_(x→5)(x-2)/(x-4)=
=(5-2)/(5-4)=3

lim_(x→0) (sqrt(x+1)-1)/x=(0/0)=
=lim_(x→0)(sqrt(x+1)-1)*(sqrt(x+1)+1)/x*(sqrt(x+1)+1)=
=lim_(x→0 x/x*(sqrt(x+1)+1)=
=lim_(x→0 1/(sqrt(x+1)+1)=1/2

Ответ выбран лучшим

2ydy=dx
2 ∫ydy= ∫ dx

y^2=x+C
y=1 при x=2
1=2+С
С=-1

О т в е т. y^2=x+C - общее решение
y^2=x-1 - частное решение

Ответ выбран лучшим

d=5
a1=–4,8
n=15

a_(n)=a_(1)+d*(n-1);
a_(15)=-4,8+ 5*14
a_(15)=65,2

Ответ выбран лучшим

(1/81)=9^(-2)

9^(-2cosx)=9^(2sin2x)

-2cosx=2sin2x
-cosx=2sinx*cosx
cosx*(2sinx+1)=0
cosx=0 или sinx=-1/2

cosx=0 ⇒ x= (π/2)+πk, k∈Z

sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^n*(-Pi/6)+Pin, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Пусть дуга содержит 2х градусов, тогда

центральный угол равен 2х градусов
( центральный угол измеряется дугой)

вписанный угол равен х градусов
(вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается)

2х-х=45 градусов
х=45 градусов
О т в е т. вписанный угол 45 градусов

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из шести цифр составляют шестизначное число.
На первое место можно выбрать любую из пяти цифр ( 0 нельзя ставить на первое место), на второе место – любую из пяти ( четыре оставшихся + ноль), на третье – любую из четырех, на четвертое – любую из трех, на пятое – любую из двух, на шестое – последнюю одним способом.
n=5·5·4·3·2·1=600 способов составления таких чисел
А – ''полученное шестизначное число делится на 5''
Cобытию А благоприятствуют исходы, при которых на последнем месте 0 или 5
Если на последнем месте 0, то оставшиеся пять цифр можно разместить на 5 мест 5! способами.
Если на последнем месте 5, то среди оставшихся пяти цифр (0;2;3;4;7) на первое место можно выбрать цифру четырьмя способами ( 0 нельзя ставить на первое место), на второе – четыре способа ( см. объяснение при подсчете n), на третье – три способа, на четвертое – два, на пятое – один.
m=5!+4·4·3·2·1=120+96=216

p(A)=m/n=216/600=36/100

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АОВ
АВ^2=AO^2+OB^2=3^2+4^2=9+16=25
AB=5
Из прямоугольного треугольника АОC
АC^2=AO^2+OC^2=3^2+5^2=9+25=34
AB=sqrt(34)
По теореме косинусов из треугольника АВС
BC^2=АB^2+АC^2-2АB*АC*cos60 ^(o)=
=5^2+34-2*5*sqrt(34)*(1/2)=59-5sqrt(34)
ВС=sqrt(59-5sqrt(34))

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x км/ч - скорость скворца.
y км/ч – скорость ласточки

(х/60) км пролетает скворец за 1 минуту
(у/60) км пролетает ласточка за 1 минуту

скворец каждую минуту пролетает на 300 метров =0,3 км больше

(х/60)-(у/60)=0,3

(140/x) ч - время скворца
(140/у) ч - время ласточки
на путь 140 км скворец тратит времени на 1 ч меньше чем ласточка

(140/y)-(140/x)=1

Cистема
{(х/60)-(у/60)=0,3 ⇒ x - y = 18 ⇒ x = 18+y
{(140/y)-(140/x)=1 ⇒ (140/y)-(140/(18+y))=1 ⇒
y^2+18y-2 520=0
D=18^2-4*(-2 520)=324+10 080=10 404=102^2
y_(1)=(-18+102)/2=42 ; y_(2) < 0
x_(1)=18+42=60

О т в е т. 60 км в час - скорость скворца и 42 км в час - скорость ласточки

Ответ выбран лучшим

y`=15-(15/cos^2x)
y`=(15/cos^2x)*(cos^2x-1) меньше или равно 0 на [0; Pi/3]
Функция убывает
Значит наибольшее значение принимает в точке х=0
у(0)=11

Ответ выбран лучшим

15 450 р составляют 103%
х р. составляют 100%

х= 15450*100:103=15 000 р - первоначальная цена

Ответ выбран лучшим

Подмодульные выражения меняют знак в точках
х=0; х=-2/3; х=1/2

Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка
Раскрываем модули на каждом
1)
(- бесконечность; -2/3]
-x-3x-2-2x+1=3;
-6x=4
x=-2/3- входит в (- бесконечность; -2/3] и потому является корнем уравнения.
2)
(-2./3; 0]
-x+3x+2-2x+1=3
3=3 - верно при любом х из (-2./3; 0]
Решением уравнения является множество (-2./3; 0]
3)
(0;1/2]
x+3x+2-2x+1=3
2x=0
x=0 не входит в (0;1/2]
нет корней на данном промежутке
4)
(1/2; + бесконечность)
х+3х+2+2х-1=3
6х=2
х=1/3 не входит в (1/2; + бесконечность)
нет корней на данном промежутке

О т в е т. {-2/3}U(-2/3;0]=[-2/340]

Cм графичекое решение.
Строим графики
у=|x|+|3x+2|+|2x-1|
и
у=3

Общие точки c с абсциссами [-2/3;0] ордината 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

a2=a1+4=-9+4=-5
a3=a2+4=-5+4=-1
a4=a3+4=-1+4=3
...
d=a_(n+1)-a_(n)=4
a_(n)=a_(1)+(n-1)d - формула общего члена прогрессии
а_(1)=-9
d=4
можно найти любой член прогрессии
a_(8)=-9+4*7=19
S_(n)=(a_(1)+a_(n))*n/2 - формула суммы n- первых членов прогрессии
S_(8)=(-9+19)*8/2=40

Ответ выбран лучшим

V ( пирамиды) = (1/3)*S(осн.)*Н

S(осн)=S(квадрата)=(8sqrt(2))^2=128

Диагональ квадрата равна 8*sqrt(2)*sqrt(2)=16
Половина диагонали 8
H=sqrt(17^2-8^2)=sqrt(225)=15

V=(1/3)*128*15=128*5=640
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`= ∫ (x+sinx)dx=(x^2/2)-cosx + C_(1)
y= ∫ ((x^2/2)-cosx + C_(1))dx=(x^3/6)-sinx+C_(1)x+C_(2)

Ответ выбран лучшим

y=x+(441/x)
y`=1-(441/x^2)
y`=0
x^2-441=0
x=-21 или х=21
-21 ∉ [2;32]

[2] __-_ (21) _+_ [32]

x=21 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(21)=1+(441/21)=1+21+22

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
x^2-5x=t

(t-3)/(t+3) - (t+24)/(t) меньше или равно 0

(t*(t-3) -(t+24)*(t+3))/(t*(t+3)) меньше или равно 0

(-30t-72)/(t*(t+3)) меньше или равно 0

(5t+12)/(t*(t+3)) больше или равно 0

_-__ (-3) _+__ [-2,4] _-__ (0) _+___

-3 < t меньше или равно -2,4 ИЛИ t > 0

-3 < x^2-5x меньше или равно -2,4 ИЛИ x^2-5x > 0

{x^2-5x > -3⇒ D=13 (- ∞; (5-sqrt(13))/2) U ((5+sqrt(13))/2;+∞)
{x^2-5x меньше или равно 2,4⇒ [(5-sqrt(15,4))/2; (5+sqrt(15,4))/2]
[(5-sqrt(15,4))/2;(5-sqrt(13))/2) U (5+sqrt(13))/2;(5+sqrt(15,4))/2]
или
х*(х-5) > 0 ⇒ (- бесконечность ; 0) U (5; + бесконечность ) ⇒

О т в е т. - бесконечность ; 0) U [(5-sqrt(15,4))/2;(5-sqrt(13))/2) U (5+sqrt(13))/2;(5+sqrt(15,4))/2]U (5; + бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Область определения (- бесконечность;+ бесконечность)
y`=(4*(x-4)^3*(x^2-2x+5)-(x-4)^4*(2x-2))/(x^2-2x+5)^2;
y`=(x-4)^3*(4x^2-8x+20-2x^2+10x-8)/(x^2-2x+5)^2;
y`=(2*(x-4)^3*(x^2+x+6))/(x^2-2x+5)^2

y`=0
x-4=0 или x^2+x-6=0 D < 0 корней нет

__-__ (4) _+__

На (- бесконечность; 4) y` < 0, значит функция убывает
На (4; + бесконечность) y` > 0, значит функция возрастает
x=4 - точка минимума
y_(min)=y(4)=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула синуса двойного угла
2sin альфа *cos альфа = sin2 альфа

2sin(Pi/12)* cos(Pi/12)= sin( 2*(Pi/12))=sin(Pi/6)+1/2

Ответ выбран лучшим

1) 2a^2- 4ab + 2b^2=2*(a-b)^2;
2) 3x^2+ 6xy + 3y^2=3*(x+y)^2;
3) 6a^2- 6b^2=6*(a^2-b^2)=6*(a-b)*(a+b)
4) 4x^2- 4y^2=4*(x^2-y^2)=4*(x-y)(x+y)
5)12a-12b=12(a-b)
6) 8x+ 8y=8(x-y)

НОК (2*(a-b)^2;6*(a-b)*(a+b);12(a-b))=2*3*2*(a-b)^2*(a+b)=

=12(a-b)*(a+b)^2

НОК(3*(x+y)^2;4*(x-y)(x+y);8*(x-y))=3*4*2(x+y)^2*(x-y)=

=24(x-y)*(x+y)^2

Ответ выбран лучшим

21.
Сложим оба уравнения
x^2+xy+y^2+xy=4x+4y
(x+y)^2-4(x+y)=0
(x+y)*(x+y-4)=0

x+y=0 ИЛИ х+у-4=0
y=-x ИЛИ у=4-х

Подставлем в первое уравнение
x^2+x*(-x)=4*(-x) ⇒ x=0 ⇒ y=0

ИЛИ

x^2+x*(4-x)=4*(4-x) ⇒ 8x=16 ⇒ x=2 ⇒ y=2
О т в е т. (0;0) и (2;2)

22. пусть вместимость бассейна х куб. м
(2/3)x выкачает за 7,5 мин
(2/3)х:7,5=(4/45)х за одну минуту
9*(4/45)х=(4/5)х за 9 минут.
Осталось (1/5)х и она равна 20 куб. м
Значит вместимость бассейна 100 куб. м

Ответ выбран лучшим

1.
=103,2-9,4=93,8
2.
a < 0; b > 0⇒ ab < 0
неверно 3)

Ответ выбран лучшим

1)a_(6)=2*6^2-3=2*36-3=72-3=69
2)a3=a1+a2=1=2=3
a4=a2+a3=2=3=5
a5=a3+a4=3+5=8
a6=a4+a5=5+8=13
a7=a5+a6=8+13=21

Ответ выбран лучшим

10^2-x^2 +x^2 меньше или равно х+90
100-90 меньше или равно х
х больше или равно 10

Ответ выбран лучшим

S=2*6+2*6+(1/2)*3*4+(1/2)2*1=

=12+12+6+1=31 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

сos ∠ A=AC/AB
AC=AB*cos ∠ A=25*0,6=15

Ответ выбран лучшим

sin(Pi+x)=-sinx
sin((Pi/2)+x)=cosx

-2sinx*cosx=sinx
sinx(1+2cosx)=0
sinx=0 ИЛИ cosx=-1/2
x=Pik, k ∈ Z ИЛИ х= ± (2Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

x1=3Pi; x2=(-2Pi/3)+4Pi=10Pi/3; x3=4Pi принадлежат указанному промежутку

Ответ выбран лучшим

16.
y`=((x^2*tgx)*lnx-(x^2*tgx)*lnx)/(ln^2x) =

= (2x*tgx*lnx+(x^2/cos^2x)*lnx - x*tgx)/ln^2x.

17.
y`=(1/(1+(x^3+sqrt(x))^2)*(x^3+sqrt(x))`=

=(3x^2+(1/2sqrt(x)))/(1+(x^2+sqrt(x))^2).

18.
y`=(-1/(1+((tg(x/2)+1)/2))^2)*((tg(x/2)+1)/2)`=

=(-1/(1+((tg(x/2)+1)/2))^2)*(1/2)*(1/(cos^2(x/2)) * (x/2)`=

=-1/(4*(1+((tg(x/2)+1)/2))^2)*(1/(cos^2(x/2)) ).

19.
y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)

y`_(t)=(1/sqrt(1-(sqrt(1-t^2))^2)*(sqrt(1-t^2))`=

=(1/sqrt(1-(sqrt(1-t^2))^2)*(-2t/(2sqrt(1-t^2)))=

=-t/(sqrt(t^2))*sqrt(1-t^2))

x`_(t)=(1/(1/sqrt(1-t^2)))*(1/sqrt(1-t^2))`=

=(sqrt(1-t^2))*(-1/2)*(1/sqrt((1-t^2)^3))* (1-t^2)=

=(t/2)/sqrt(1-t^2).

y`=-2/|t|

Ответ выбран лучшим

АМ=МВ=6
Из треугольника АCМ
tg ∠ CAM=CM/AM
CM=AM*tg∠ CAM=6*3sqrt(7)/7=18sqrt(7)/7
AC^2=AM^2+CM^2=6^2+(18sqrt(7)/7)^2=36+(324/7)
AC=sqrt(576/7)=24/sqrt(7)

S (Δ ABC) = (1/2)AB*CM и S (Δ ABC) = (1/2)BС*АН

AB*CM = BС*АН

АН=(12*18sqrt(7)/7)*(sqrt(7)/24)=9

Ответ выбран лучшим

1) y=(1/4)x+(2/4)
Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид
y=-4x+b
Подставляем координаты точки А и найдем b
5=-4*1+b
b=9
О т в е т. y=-4x+9 или 4х+у-9=0

2) См. теорию решения в приложении
Находим точку, принадлежащую каждой из плоскостей.
Пусть z_(o)=0
2x_(o)+y_(o)+2=0
2x_(o)+3y_(o)-15=0
Вычитаем из второго первое
2у_(о)-17=0
у_(о)=8,5
х_(о)=-5,25

Находим координаты направляющего вектора
14*vector{i}-12*vector{j}+4vector{k}
или
7*vector{i}-6*vector{j}+2vector{k}

О т в е т. (x+5,25)/7 = (y-8,5)/(-6)=z/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:

{x+3 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно -3 ;
{3x-2 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно 2/3 ;
{x-2 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно 2.

ОДЗ: х ∈ [2;+ бесконечность )

Перепишем неравенство в виде:

sqrt(x+3) > sqrt (3x-2)+sqrt(x-2)

И левая и правая части неравенства неотрицательны на ОДЗ, поэтому возводим неравенство в квадрат.

х+3 > 3x-2 +2*sqrt(3x-2)*sqrt(x-2) + x-2;

7-3x > 2*sqrt(3x-2)*sqrt(x-2)

7-3x > 7-3*2 > 1 > 0 на ОДЗ

Возводим в квадрат

(7 - 3х)^2 > 4*(3x - 2)*(x - 2)

49 - 42x + 9x^2 > 4*(3x^2 - 8x + 4);

0 > 3x^2 +10x -33;

3x^2 +10x -33 < 0

D=10^2-4*3*(-33)=100+396=496

x1=(-10-4sqrt(31))/6=(-5-2sqrt(31))/3 ; x2=(-5+2sqrt(31)/3

____ (x1) __-__ (x2) ____

C учетом ОДЗ получаем ответ
[2; (-5+2sqrt(31))/3)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ
{3-x > 0 ⇒ x < 3
{ 1-x > 0 ⇒ x < 1
{1-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 0

(- бесконечность;0)U(0;1)

log_(1–x)(3–x) = 1/(log_(3–x)(1–x))

log_(1-x)(3-x)=-1 или log_(1-x)(3-x)=1
3 - x = 1/(1 - x) или 1 - х = 3 - х
x^2-4x+2=0 или 1=3 - неверно
В=16-8=8
х1=2-sqrt(2) принадл. ОДЗ или х_(2)=2+sqrt(2) не входит в ОДЗ
О т в е т. 2-sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

x^2+x-2=(x-1)*(x+2)

(x^2+x-2)/(x-1)=x+2 при х ≠ 1

Ответ выбран лучшим

Одна сторона прямоугольника равна R, dnjhfz 2R
Р=R+2R+R+2R=6R
6R=36/Pi
R=6/Pi

C=2PiR - длина окружности радиуса R
C/2=Pi*R=Pi*(6/Pi)=6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∪ AC= ∪ AD+ ∪ DC=102^(o)+114^(o)=216^(o)
Вписанный угол АВС измеряется половиной дуги, на которую он опирается
∠ ABC=(1/2) ∪ AC=(1/2)*216^(o)=108^(o) (прикреплено изображение)

AB=a
BC=a
CD=a+d
AD=a+2d

a+a+a+d+a+2d=288
4a+3d=288 (1)

Проводим высоту СК
СК=АВ=а
AK=a ⇒ KD=AD–AK=a+2d–a=2d
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника СКD:
CD2=CK2+KD2
(a+d)2=a2+(2d)2
2ad=3d2
2a=3d
4a=6d
Подставляем в первое уравнение
6d+3d=288
9d=288
d=32

a=3d/2=48

АВ=48 дм; ВС=48дм ; СD=48+32=80 дм; AD=38+2·32=102 дм

В данной задаче наибольшей стороной трапеции является
сторона основания AD=102 дм (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Два случая
1)
1-2cosx+cos2x больше или равно 0, т. е
2cosx*(cosx-1) больше или равно 0
сosx меньше или равно 0 или сosx=1

| 1–2cosx+cos2x| = 1–2cosx+cos2x
уравнение принимает вид
sinx–2sin2x+sin3x = 1–2cosx+cos2x
(sinx+sin3x)-2sin2x=1-2cosx+2cos^2x-1
2sin2x*cosx-2sin2x=2cos^2x-2cosx
2sinx*(cosx-1)=2cosx*(cosx-1)
2*(cosx-1)*(sinx-cosx)=0
cosx=1 ИЛИ sinx=cosx ; tgx=1
x=2Pik, k- целое ИЛИ x=(Pi/4)+Pin, n- целое
cучетом сosx меньше или равно 0
О т в е т 1) случая
2Pik, k- целое или (5Pi/4)+2Pin, n- целое

2)1-2cosx+cos2x < 0, т . е
0 < cosx < 1

| 1–2cosx+cos2x| = -1 + 2cosx - cos2x
уравнение принимает вид
sinx–2sin2x+sin3x = - 1 + 2cosx - cos2x
2sinx*(cosx-1)=2cosx-2cos^2x
2*(cosx-1)*(sinx+cosx)=0
cosx=1 не удовл условию 0 < cosx < 1
tgx=-1
x=( - Pi/4)+Pim, m - целое
С учетом 0 < cosx < 1 выбирает корни расположенные в четвертой четверти.
О т в е т. 2) случая х=( - Pi/4)+2Pim, m - целое

О т в е т. 2Pik, k- целое или (5Pi/4)+2Pin, n- целое ( - Pi/4)+2Pim, m - целое

Ответ выбран лучшим

{sinx больше или равно 0
{7-cosx-6cos2x=16sin^2x ⇒
cos2x=2cos^2x-1
sin^2x=1-cos^2x

4cos^2x-cosx-3=0
D=1+48=49
cosx=1 ИЛИ cosx=-3/4

cosx=1 ⇒ x=Pi+2Pik, k ∈ Z
ИЛИ
сosx=-3/4 ⇒ x= ± arccos(-3/4)+2Pin, n ∈ Z
x=-arccos(-3/4) +2Pin, n ∈ Z не удовл условию sinx больше или равно 0

О т в е т. Pi+2Pik, k ∈ Z; arccos(-3/4) +2Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

СоставлЯем характеристическое уравнение
k^2-2k-8=0
D=4+32=36
k1=-2 или k_(2)=4

y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(4x)

Ответ выбран лучшим

dy/(2y+4)=dx
Интегрируем обе части
(1/2)ln|2x+4|+C=x - о т в е т.

Ответ выбран лучшим

lim_(x→(-1))(x^3-x^2+1)=(-1)^3-(-1)^2+1=-1-1+1=-1

lim_(x→0)(2x^3-2x^2)/(5x^3-4x^2)=
=lim_(x→0)(2x-2)/(5x-4)=(-2)/(-4)=1/2

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=23824

Ответ выбран лучшим

(4c-7)*(4c+7)=0
4c-7=0 или 4с+7=0
с=7/4 или с =-7/4

Ответ выбран лучшим

80:100*10=8 г соли в 10% растворе.
Добавим х г соли
Получим раствор (80+x) г в котором (х+8) г соли
80+х составляет 100%
х+8 составляют 25
25*(80+х)=100*(х+8)
80+х=4*(х+8)
80+х=4х+32
80-32=4х-х
48=3х
х=16
О т в е т. 16 г [b] соли [/b] следует добавить.

Воду добавлять нельзя, получится раствор более низкой концентрации чем 10%

Ответ выбран лучшим

В [b] прямоугольном треугольнике АВС [/b]:
cos ∠ A=AC/AB ⇒
AС=AB*cos ∠ A=25*0,6=15
BC=sqrt(AB^2-AC^2)=sqrt(25^2-15^2)=sqrt(400)=20
sin ∠ A=BC/AB=20/25=0,8

sin ∠ A=cos ∠ B=0,8
cos ∠ A=sin ∠ B=0,6
tg ∠ A=sin ∠ A/cos ∠ A=3/4=0,75
tg∠ A=ctg∠ B=0,75
ctg ∠ A=1/(tg ∠ A)=4/3
ctg ∠ A=tg ∠B=4/3

Ответ выбран лучшим

По определению:
Логарифм - показатель степени (-1), в которую надо возвести основание (1/5), чтобы получить выражение под знаком логарифма (2х-3)

(1/5)^(-1)=2х-3;
5=2x-3
8=2x
x=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

звонкие капли

С=2PiR - формула длины окружности

(2Pi*R/360^(o))*120^(o)- длина дуги АВ, соответствующей углу АОВ в 120^:(o)

Большей дуге АВ соответствует центральный угол в 240 ^(o)
(120^(o)+240^(o)=360^(o))

(2Pi*R/360^(o))*120^(o)=67
(2Pi*R/360^(o))*240^(o)=2*67=134 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть ребро куба равно а.
АС=A1C1=asqrt(2)
A1O=(1/2)*(A1C1)=(asqrt(2))/2

∠ A1AO - угол между прямой и плоскостью, равен углу между прямой и ее проекцией на плоскость
Проекция АА1 на плоскость АB1D1 есть отрезок, лежащий на АО.
( провести перпендикуляр из точки А1 на АО )

tg ∠ A1AO=A1O/AA1=(asqrt(2)/2)/a=sqrt(2)/2

Ответ выбран лучшим

{сos^2(2x)-sin^2x=0
{sin3x-1 ≠ 0 ⇒ 3x ≠ (Pi/2)+2Pir, r ∈ Z ⇒ x ≠ (Pi/6)+(2Pi/3)*r, r ∈ Z

сos^2(2x)-sin^2x=0
(1-2sin^2x)^2-sin^2x=0
4sin^4x-5sin^2x+1=0
sin^2x=t
4t^2-5t+1=0
D=25-16=9
t1=1/4 или t_(2)=1

sin^2x=1/4 или sin^2x=1

sinx=-1/2 ⇒ x=(-1)^k*(-Pi/6)+Pik, k ∈ Z
что можно записать и как совокупность
х=(-Pi/6)+2Pik, k ∈ Z или х=(-5Pi/6)+2Pik, k ∈ Z
sinx=1/2 ⇒ x=(-1)^k*(Pi/6)+Pin, n ∈ Z

sinx=-1 ⇒ x=(-Pi/2)+2Pim, m ∈ Z

sinx=1 ⇒ x=(Pi/2)+2Pis , s ∈ Z

Так как x ≠ (Pi/6)+(2Pi/3)*r, r ∈ Z ( отмечены на рис. 2 красным цветом)

О т в е т.(Pi/2)+2Pi*s, (-1)^k*(-Pi/6)+Pik, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1
а) р=1/3
б) р=2/3
в) р=2/3
г)р=1/3
д)р=1,5/3=1/2
е)р=2,5/3=25/30=5/6

Ответ выбран лучшим

Формулировка принципа Дирихле:
''Если в n клетках сидит n+1 или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца''.

В роли зайцев могут выступать различные предметы и математические объекты - числа, отрезки, места в таблице и т. д.
О т в е т. Да.
Самый худший вариант: в каждой клетке по три кролика, то десятого посадим четвертым в одну из клеток.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрическая вероятность
а)p=длина отрезка [3;4]/длина отрезка [3;6]=1/3
О т в е т. (1/3)
б) неравенство
1 меньше или равно х < 3 выполняется с вероятностью 0
3 меньше или равно 4,5 выполняется с вероятностью p=1,5/3=1/2
0+(1/2)=1/2
О т в е т. (1/2)
в)5 < х меньше или равно 6 выполняется с вероятностью 1/3
6 < x < 7 c вероятностью 0
О т в е т. (1/3)

Ответ выбран лучшим

OO1=sqrt(5^2-3^2)=4
OO2=sqrt(5^2-4^2)=3
h(шарового слоя)=O1O2=OO1-OO2=4-3=1

Формула для вычисления объема шарового слоя
V=(1/2)Pi*h(R^2+r^2+(1/3)h^2)
R=4
r=3
V=(1/2)Pi*1*(4^2+3^2+(1/3)*1^2) =38Pi/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cечение равносторонний треугольник со стороной L
(угол при вершине 60^(o), значит и углы при основании равны 60^(o))
Значит длина хорды L.
Высота сечения L*sqrt(3)/2
Угол между высотой сечения и пл. основания равен 30^(o)
Значит расстояние от хорды до центра конуса
d=(L*sqrt(3)/2)8cos(30^(o))=(3L/2)
R=sqrt((3L/2)^2-(L/2)^2)=Lsqrt(2)

S( полн)=S(осн.)+S(бок.)= Pi*R^2+Pi*R*L=

=Pi*2L^2+PiL^2sqrt(2)=PiL^2*(2+sqrt(2)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6
a) =(16/30)+(3/30)=19/30
б)= (5/60)+(42/60)=47/60
в)=(15/40)+(12/40)=27/40
г)=(8/50)+(45/50)=53/50

Ответ выбран лучшим

В [b] прямоугольном треугольнике АВС [/b]:
cos ∠ A=AC/AB ⇒
AB=AC/cos ∠ A=9/(3/5)=15

Ответ выбран лучшим

AB=a
BC=a
CD=a+d
AD=a+2d

a+a+a+d+a+2d=18
4a+3d=18 (1)

Проводим высоту СК
СК=АВ=а
AK=a ⇒ KD=AD-AK=a+2d-a=2d
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника СКD:
CD^2=CK^2+KD^2
(a+d)^2=a^2+(2d)^2
2ad=3d^2
2a=3d
4a=6d
Подставляем в первое уравнение
6d+3d=18
9d=18
d=2

a=3d/2=3

АВ=3; ВС=3; СD=3+2=5; AD=3+2*2=7

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Квадратный трехчлен раскладывается на множители по формуле
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))*(x-x_(2))

D=(-8)^2-4*(-12)=64+48=112=16*7
sqrt(112)=4sqrt(7)
корни
x_(1)=(8-4sqrt(7))/2=4-2sqrt(7) или x_(2)=4+2sqrt(7)

x^2-8x-12=(x-4+2sqrt(7))*(x-4-2sqrt(7))

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x^2-6x+9 > 0 ⇒ x ≠ 3

Применяем обобщенный метод интервалов:
х-3=0 ⇒ х=3
log_(2)(x^2-6x+9)=0 ⇒ x^2-6x+9=2^(0) ⇒ x^2-6x+8=0
D=36-32=4
x1=2 или х2=4

__-__ (2) _+__ (3) __-__ (4) ___+__

x < 2 или 3 < x < 4

О т в е т. (- бесконечность ;2) U (3;4)

Ответ выбран лучшим

Пусть х мальчиков и (1200-х) девочек
(5/13)х на 100 больше (3/11)*(1200-х)

Уравнение

(5/13)х - (3/11)*(1200-х)=100
55х -39*1200+39х=14300
94х=46800+14300
х=650
1200-650=550

О т в е т 650 мальчиков и 550 девочек

Ответ выбран лучшим

Пусть в первой х книг, во второй (5600-х).
(х-400) книг стало в первой
(5600-х)+400 =(6000-х)книг стало во второй

х-400=(13/15)*(6000-х)
х+(13/15)х=5600
28х/15=5600
х=3000

5600-3000=2600

Проверка

3000-400=2600
2600+400=3000
2600=(13/15)*3000

О т в е т. 3000 книг в первой и 2600 книг во второй

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a=AB=BC=CD=AD=4

S( ромба)=a*h

h=S:a=(44/Pi):4=11/Pi

r=h/2=11/(2Pi)

C=2Pir=2Pi*(11/(2Pi))=11

Ответ выбран лучшим

Найдем стороны треугольника АВЕ по теореме Пифагора из цветных прямоугольных треугольников ( см. рис.)
АВ=5 ( катеты синего 3 и 4)
ВЕ=sqrt(3^2+4^2)=sqrt(13)
AE=sqrt(5^2+1^2)=sqrt(26)

пусть BF=x, AF=5-x
Из треугольника АЕF
EF^2=AE^2-AF^2
Из треугольника BЕF
EF^2=BE^2-BF^2

Приравниваем правые части

AE^2-AF^2=BE^2-BF^2
26-(5-х)^2=13-x^2
10x=12
x=1,2

EF^2=BE^2-BF^2=13-(1,2)^2=11,56

EF=sqrt(11,56)=3,4

О т в е т. 3,4 см

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V( цилиндра) = Pi*r^2*H

Pi*r^2*H= Pi*R^2*h

R=5r
Pi*r^2*H= Pi*(5r)^2*h
Pir^2*150=Pi25r^2*h

h=150/25=6

Ответ выбран лучшим

(a-4b)*(a+4b)

Ответ выбран лучшим

y=log_(0,5)(x–2) - убывающая функция,
область определения (2;+ бесконечность )
функция не имеет ни наибольшего ни наименьшего значения на области определения ( потому что это + бесконечность и - бесконечность )

И обратная функция у=3/(log_(0,5)(x-2)) не имеет ни наибольшего ни наименьшего см. график (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ни при каких.
Парабола и прямая могут иметь либо две общие точки, либо одну.
В №15732 функция с модулем.

Ответ выбран лучшим

phi =arctg(-sqrt(3))+Pin, n ∈ Z
phi =(-Pi/3)+Pin, n ∈ Z
Указанному промежутку принадлежит phi =(-Pi/3)+Pi=2Pi/3

Ответ выбран лучшим

(1/2)L=sqrt(10^2-6^2)=8
L=16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(бок. поверхности)=Р ( основания)*H
P( основания)=4а, где а сторона ромба
a^2=(d_(1)/2)^2+(d_(2)/2)^2=7^2+24^2=625
a=25
Р(ромба)=4*25=100
Н=S(бок.)/Р=1232/100=12,32

Ответ выбран лучшим

3^(2x)-2sinx-sin2x=9^x
3^(2x)=9^(x)
sin2x=2sinx*cosx

-2sinx-2sinxcosx=0
2sinx*(-1-cosx)=0
sinx=0 или -1-cosx=0

sinx=0 ⇒ x=Pik, k ∈ Z

cosx=-1⇒ x= (Pi)+2Pin, n ∈ Z

- 2Pi; -Pi; 0 принадлежат указанному промежутку

Ответ выбран лучшим

cos((π/2) – 2x) =sin2x=2sinx*cosx;

2cos((π/2)-2x)=2sin2x=4sinx*cosx

Уравнение принимает вид:

(cosx/sinx)-4sinx*cosx=0

cosx*((1/sinx)-4sinx)=0
cosx=0 или (1/sinx)-4sinx=0

cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]

(1/sinx)-4sinx=0 ⇒ (1-4sin^2x)/sinx=0

sin^2x=1/4
sinx= ± 1/2

sinx=-1/2 или sinx=1/2
x=(-1)^(k)(-π/6)+π*k, k ∈ Z или x=(-1)^(m)(π/6)+π*m, m ∈ Z
Две серии ответов можно записать так:

[b]x=±(π/6)+π*n, n ∈ Z[/b]

См. рисунок.

Указанному промежутку принадлежат корни
-5π/6; -π/2;-π/6;π /6;π/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

треугольников - 27; ромбов - 33; квадратов - (97-27-33)=37

97-34=63 желтого цвета
Среди них поровну треугольников, ромбов и квадратов
63:3=21

21 треугольник желтого цвета
27-21=6 треугольников синего цвета

21 ромб желтого цвета
33-21=12 ромбов синего цвета

21 квадрат желтого цета
37-21=16 квадратов синего цвета

Проверка:
6+12+16=34 фигуры синего цвета

Ответ выбран лучшим

а)
О- центр окружности, вписанной в треугольник АВС - точка пересечения биссектрис.
АО- биссектриса.
О1 и О2 - центры окружностей,вписанных в угол А и в угол С соответственно.
АО1 - биссектриса угла А, совпадает с биссектрисой АО.
СО2- биссектриса угла С, совпадает с биссектрисой CO.

Радиусы ОN, O1M и O2F перпендикулярны касательной АС в точках касания.

Рассмотрим прямоугольную трапецию
MO1ON
OO1=(3/2)+6=15/2
OP=6 - (3/2)=9/2
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
OO1P
O1P=sqrt((15/2)^2-(9/2)^2)=6
tg ∠ OO1P=OP/OO1=(9/2)/6=9/12=3/4
tg ∠ (A/2)=tg ∠ OO1P=3/4
tg ∠ A= 2tg( ∠ (A/2))/(1-tg^2( ∠ (A/2)))=2*(3/4)/(1-9/16)=

=24/7

б)
Из подобия треугольников
АО1М и АОN
AM: AN=O1M : ON=1,5 : 6 =1 : 4 (AM одна часть; АN - четыре таких части, значит MN - три таких части)
MN=OP=6

АМ=6:3=2
AN=AM+MN=2+6=8

Аналогично для угла С

OO2=26/3
OT=10/3
O2T=sqrt((26/3)^2-(10/3)^2)=8

CF: CN=(8/3):6 =8/18=4/9
FN=O2T=8 и содержит пять частей
8:5=1,6 в одной части
СN=1,6*9=14,4

AC=AN+NC=8+14,4=22,4

tg (∠ C/2)=OT/O2T=10/24=5/12
tg ∠ C=120/119

1+tg^2 альфа =1/cos^2 альфа ⇒

cos^2 ∠ A=1/(1+(24/7)^2)=49/625
cos ∠ A =7/25
sin ∠ A =24/25

Пока думаю, как найти площадь,зная то, что уже вычислено (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле
cos2 альфа =1-2sin^2 альфа =1-2*(0,5)^2=0,5

4cos2 альфа =4*0,5=2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{7-x > 0 ⇒ x < 7
{7-x ≠ 1 ⇒ x ≠ 6
{(1-x)/(x-7) > 0 ⇒ c учетом x < 7 получаем x > 1

ОДЗ: х ∈ (1;6)U(6;7)

Первое неравенство:
log_(7-x)(1-x)/(x-7) меньше или равно -1*log_(7-x)(7-x)
или
log_(7-x)(1-x)/(x-7) меньше или равно log_(7-x)(7-x)^(-1)

log_(7-x)(1-x)/(x-7) меньше или равно log_(7-x)(1/(7-x))

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств, согласно которому последнее неравенство на ОДЗ равносильно неравенству
(7-x-1)*((1-x)/(x-7)-(1/(7-x)) меньше или равно 0
(6-х)*(2-х)/(х-7) меньше или равно 0

(1) __-__ [2] _____+______ (6) __-___ (7)

Решение первого неравенства с учетом ОДЗ:
1 < x меньше или равно 2 или 6 < x < 7

Решаем второе неравенство.
Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю
((x^2-4x+3)*(x-7)+(x-2)*(4x-22)-(x+2)*(x-2)*(x-7))/((x-2)*(x-7)) меньше или равно 0

(5х-5)/(x-2)(x-7) меньше или равно 0
__-__ [1] _+__ (2) _____-____ (7) __+___
C учетом ОДЗ:
2 < x < 7

решением системы служит пересечение решений первого ви второго неравенств

О т в е т. (6;7)

Ответ выбран лучшим

Δ АОС и Δ BOD подобны по двум углам
∠COA=∠BOD - вертикальные
∠САО=∠ОBD - внутренние накрест лежащие при параллельных АС и ВD и секущей АВ.

Из подобия треугольников АОС и BOD :
стороны пропорциональны:
AC/BD=AO/OC = > 0,9/BD=1,5/3,5 = > BD= 2,1
∠ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из шести цифр составляют шестизначное число.
На первое место можно выбрать любую из пяти цифр ( 0 нельзя ставить на первое место), на второе место - любую из пяти ( четыре оставшихся + ноль), на третье - любую из четырех, на четвертое - любую из трех, на пятое - любую из двух, на шестое - последнюю одним способом.
n=5*5*4*3*2*1=600 способов составления таких чисел
А - ''полученное шестизначное число делится на 5''
Cобытию А благоприятствуют исходы, при которых на последнем месте 0 или 5
Если на последнем месте 0, то оставшиеся пять цифр можно разместить на 5 мест 5! способами.
Если на последнем месте 5, то среди оставшихся пяти цифр (0;2;3;4;7) на первое место можно выбрать цифру четырьмя способами ( 0 нельзя ставить на первое место), на второе - четыре способа ( см. объяснение при подсчете n), на третье - три способа, на четвертое - два, на пятое - один.
m=5!+4*4*3*2*1=120+96=216

p(A)=m/n=216/600=36/100

Ответ выбран лучшим

cos (x/2)*(2sin3x -1)=0
cos(x/2)=0 ИЛИ sin3x=1/2
(x/2) = (Pi/2)+Pik ИЛИ 3x = (-1)^(n)*(Pi/6)+Pin, k, n ∈ Z

x = (Pi)+2Pik ИЛИ х = (-1)^(n)*(Pi/18)+(Pi/3)n, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4x+x^2 > 0 ⇒ ( - бесконечность; -4) U( 0; + бесконечность)
{x+6 > 0 ⇒ x > - 6

ОДЗ:x ∈ (-6;-4) U(0;+ бесконечность )

Так как логарифмическая функция с основанием больше 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, ( 11 > 1 и 10 > 1)

{4x+x^2 меньше или равно 5
{ x+6 < 6,5

{x^2+4x-5 меньше или равно 0 ⇒ D=36 ⇒ (x - 1)* (x + 5) меньше или равно 0
{x < 0,5

____ [-5] \\\\\\\\\\\\\\\ (0,5) ___ [1]

C учетом ОДЗ получаем ответ

[-5; -4) U (0; 0,5)

Ответ выбран лучшим

Уравнение сферы:
(x+1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=4^2

1)
x=1
(1+1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=4^2
(y+1)^2+(z-1)^2=12- окружность R=sqrt(12)
S=PiR^2=12Pi
1) - B)
2)
y=2
(x+1)^2+(2+1)^2+(z-1)^2=4^2
(x+1)^2+(z-1)^2=16-9
R^2=7
S=PiR^2=7Pi
2)- Б)
3)
z=2
(x+1)^2+(y+1)^2+(2-1)^2=4^2
(x+1)^2+(y+1)^2=15
S=PiR^2=15Pi
3) - Г)

Ответ выбран лучшим

ОДНОЧЛЕН - это произведение чисел, переменных и их степеней.

4) не является одночленом, так как содержит деление на переменную.

Ответ выбран лучшим

Применяем свойства степени:
(a^(m))^(n)=a^(m*n)
6^(sqrt(2))^2=6^(2*sqrt(2))

a^(m)+a^(n)=a^(m+n)
6^(3sqrt(2)+2)*6^(2sqrt(2))=6^(5sqrt(2)+2)

a^(m):a^(n)=a^(m-n)
6^(5sqrt(2)+2):6^(5sqrt(2)-1)=6^(2-(-1))=6^3=216

Ответ выбран лучшим

cos4x=1-2sin^2(2x)
Уравнение принимает вид
sin(2x)+1-2sin^2(2x)=0
2sin^2(2x)-sin(2x)-1=0
Замена переменной
sin(2x)=t
2t^2-t-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
t1=(1-3)/4=-1/2 ИЛИ t_(2)=(1+3)/4=1

sin2x=-1/2 ИЛИ sin2x=1

sin2x= 1 ⇒ 2x=Pik, k ∈ Z ⇒ x=(Pi/2)*k, k ∈ Z

ИЛИ

sin2x=-1/2 ⇒ 2x=(-1)^(n)*arcsin(-1/2)+Pin, n ∈ Z
⇒ 2x=(-1)^(n)*(-Pi/6)+Pin, n ∈ Z ⇒
x=(-1)^(n)*(-Pi/12)+(Pi/2)*n, n ∈ Z

при k=2m
2х=(-Pi/6)+2Pim, m ∈ Z

х=(-Pi/12)+Pim, m ∈ Z

при k=2m+1
2х=(7Pi/6)+2Pim, m ∈ Z

х=(7Pi/12)+Pim, m ∈ Z

О т в е т. (Pi/2)*k, (-Pi/12)+Pim, (7Pi/12)+Pim, k, m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

156:4=39 м в одной седьмой
39*7=273 м длина всего провода
273:39=6 раз в 6 раз вся длина больше одной седьмой

176:4*7=44*7=308 м

Ответ выбран лучшим

Ряд a_(n)=n^4/(n^6+4) сходится, так как эквивалентен ряду с общим членом b_(n)=1/n^2 ( который сходится p=2 > 1)
lim_(n→∞)a_(n)/b_(n)=1

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные
Делим обе части уравнения на у

e^(x)dx=(y+4)dy/y

Интегрируем

∫ e^(x)dx= ∫ (1+(4/y))dy

e^(x)=y+ln|y| + C

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
u=(2x+3)/5
du=((2x+3)/5)`dx
du=(2/5)dx ⇒ dx=(5/2)du

= ∫ u^7*(5/2)du=(5/2)*u^(8)/8 + C=

=(5/16)((2x+3)/5)^8 + C

Ответ выбран лучшим

Интегрируем по частям
∫ udv=u*v- ∫ vdu

u=x ⇒ du=dx
dv=e^(2x)dx ⇒ v= ∫ e^(2x)dx=(1/2) ∫ e^(2x)d(2x)=(1/2)e^(2x)

∫ xe^(2x)dx=x*(1/2)e^(2x)- ∫ (1/2)e^(2x)dx=

=(1/2)x*e^(2x) -(1/4)e^(2x) + C

Ответ выбран лучшим

{7-x > 0 ⇒ x < 7
{log_(1/3)(7-x) ≠ 0 ⇒ 7 - x ≠ 1 ⇒ x ≠ 6
{x^2+2x+1 > 0 ⇒ x ≠ -1 ( при х=-1 равенство 0)
{log_(8)(x^2+2x+1) больше или равно 0 ⇒ x^2+2x+1 больше или равно 1 ⇒x*(x+2) больше или равно 0

(- бесконечность ;-2]U[0;6)U(6;7)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
6^x=t
t > 0
6^(x+1)=6t
36^x=t^2

(t^2-6t+3)/(t-5) + (6t-39)/(t-7) меньше или равно t+5

Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю

((t^2-6t+3)*(t-7)+(6t-39)*(t-5)-(t+5)(t-5)*(t-7))/(t-5)(t-7) меньше или равно 0

(-25t+139)/(t-5)(t-7) меньше или равно 0
с учетом t > 0

(0) ___+____ (5) __-__ [139/25] __+__ (7) ___-_____

5 < t меньше или равно 139/25 или t > 7

log_(6)5 < x меньше или равно log_(6) (139/25) или x > log_(6)7

О т в е т. (log_(6)5; log_(6)(139/25)]U(log_(6)7; +
бесконечность )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x > 0

Замена переменной
log_(2)x=t

1/(t-4) > 1/t
(1/(t-4)) - (1/t) > 0
(t-(t-4))/(t*(t-4)) > 0
4/(t*(t-4)) > 0

t < 0 ИЛИ t > 4
log_(2) x < 0 ИЛИ log_(2) x > 4
x < 1 ИЛИ x > 16
C учетом ОДЗ
О т в е т. (0;1) U(16;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

a_(n)=(2n+4)/5^n
a_(n+1)=(2*(n+1)+4)/5^(n+1)=(2n+6)/(5*5^n)

Ряд сходится по признаку Даламбера
lim_(n→∞) a_(n+1)/a_(n)=1/5 < 1

Ответ выбран лучшим

x^2+y^2-1 > 0
x^2+y^2 > 1 - внешность круга радиуса R=1 c центром в точке (0;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=-4x-y
z`_(y)=-x-2y

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{-4x-y=0
{-x-2y=0 ⇒ х=-2у
-4*(-2у)-y=0
y=0
x=0
Cтационарная точка принадлежит области D, является граничной точкой

Находим вторую производную
z``_(xx) = - 4
z``_(xy) = z``_(yx) = -1
z``_(yy)=-2

Δ=(-4)*(-2)-(-1)*(-1)=7 > 0
z``_(xx) < 0

(0;0)- точка максимума
z(0)=3

Находим значения на границе:
если х=1
z=3-2-y-y^2
z=-y^2-y+1 - парабола ветви вниз, 0 меньше или равно y меньше или равно 1
y=-1/2 - абсцисса вершины параболы
z((-1/2))=5/4
y(1;1)=-1

у=х
z=3-2x^2-x^2-x^2
z=3-4x^2

y=0
z=3

(0;0) - точка максимума
z(0;0)=3
(1;1) - точка минимума
z(1;1)=-1
(прикреплено изображение)

S (cектора) = (S ( круга)/360^(o))*(45^(o)+90^(o))

12=S( круга)*135/360

S(круга)=360*12/135=32 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

2lgx - lg^2x < 0
lgx*(2-lgx) < 0
lgx=0 или lgx=2
x=1 или х=100

(0) _ -_ (1) ___+____ (100) ___-___

(0;1) U (100;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

a) Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противоположных сторон равны
АВ+СD=BC+AD=9+25=34
Трапеция равнобедренная
АВ=CD=17

б) h^2=17^2-((25-9)/2)^2=289-8^2=225
h=15
h=2r
r=h/2=7,5

в) сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусов.
Центр вписанной окружности точка пересечения биссектрис.
Значит сумма углов ОВА и ВАО равна 90 градусов, поэтому
угол АОВ равен 180 градусов - 90 градусов=90 градусов

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
cosx ≠ 0
cosx ≠ 1/2

(4cosx-5)*cosx + 1=2*(2cos^2x-cosx)
cosx=1/3

x= ± arccos(1/3)+2Pik, k ∈ Z
корни удовлетворяют ОДЗ

Указанному промежутку принадлежит корень
x=arccos(1/3)-4Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Два фиксированных человека могут занять места с 1 по (n-2)
Один на первом месте, второй на третьем,
один на втором, второй на четвертом,
...
один на (n-2)-ом, другой на n-ом.

2*(n-2) способов, так как эти фиксированные люди могут меняться местами.
Остальных (n-2) человек можно разместить на (n-2) мест
(n-2)! способами

p=2*(n-2)*(n-2)!/n!=2*(n-2)/n*(n-1)

Ответ выбран лучшим

Два фиксированных человека могут занять места с 1 по (n–1)-ое
Один на первом месте, второй на втором,
один на втором, второй на третьем,
...
один на (n–1)–ом, другой на n–ом.

(n-1) способ.
Надо умножить на 2, так как 2 человека могут поменяться местами.

Остальных (n-2) можно расставить на оставшиеся (n-2) места (n-2)! cпособами

p=2*(n-1)*(n-2)!/(n!)=2/n

Ответ выбран лучшим

p=(C^5_(8)*C^4_(4))/C^9_(12)=

=56/220=28/100=14/55

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя исходами
кинескоп львовского завода:
p=10/15=2/3
и
не Львовского
q=1-p=1-(2/3)=1/3

По формуле Бернулли
Р(5;3)=C^3_(5)p^3q^2=(5!/(3!*2!))*(2/3)^3*(1/3)^2=

=10*(8/27)*(1/9)=80/243

Ответ выбран лучшим

a)p=C^4_(90)/C^4_(100)
б)p=C^4_(10)/C^4_(100)

Ответ выбран лучшим

p=(1/6)*(1/6)*(1/6)=1/216

Ответ выбран лучшим

Формула синуса двойного угла
sin2 альфа = 2* sin альфа * сos альфа

sin192^(o)=2*sin96^(o)*cos96^(o)

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

Формула синуса двойного угла
sin2 альфа = 2* sin альфа * сos альфа

sin192^(o)=2*sin96^(o)*cos96^(o)

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

Pix/3=-Pi/3+2Pik, k ∈ Z ИЛИ Pix/3=-2Pi/3+2Pin, n ∈ Z
x=-1+6k, k∈ Z ИЛИ x=-2+6n, n ∈ Z

Корней у данного уравнения бесчисленное множество.
Но может быть наименьший положительный корень, тогда ответ -2+6=4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма оснований = периметр - сумма непараллельных (боковых) сторон

40-20=20

a+b=20

m=(a+b)/2=20/2=10 - длина средней линии

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4-x > 0; 4-x ≠ 1 ⇒ (- бесконечность ;3)U(3;4)
{x+1 > 0, x+1 ≠ 1 ⇒ (-1;0)U(0;+ бесконечность )
{x+5 > 0 ⇒ (-5;+ бесконечность )
{2x > 0 ⇒ (0;+ бесконечность )
{x ≠ 1
{sinx ≠ 0 ⇒ x ≠ Pik, k ∈ Z

ОДЗ: x ∈ (0;1)U(1;3)U(3:Pi)U(Pi;4)

Нули числителя:
x + 5 = 1 ⇒ x = - 4
log_(2)10 - x = 1 ⇒ x=log_(2)10-log_(2)2 ⇒ x=log_(2)5

Нули знаменателя
х=Pik, k ∈ Z

2x=x^(0)
2x=1
x=1/2

О т в е т.
(1/2;1)U(1;log_(2)5]

Ответ выбран лучшим

1)
На [π;2π] у=sinx отрицательна, поэтому

S=∫^(2π)_(π)(-sinx)dx=( cosx)|^(2π)_(π)=

=(cos(2π)-cos(π))=(1-(-1))=2

2)
Находим абсциссы точек пересечения кривых
x^2=2x-x^2
x^2=x
x_(1)=0 и x_(2)=1

S=∫^(1)_(0)(2x - x^2 - x^2)dx=∫^(1)_(0)(2x - 2x^2)dx=

=2((x^2/2)-(x^3/3))|^(1)_(0)=2*((1/2)-(1/3))=1/3

3)
2-x^2=-x
x^2-x-2=0
D = 1 + 8 = 9
x_(1)= - 1 или х_(2)=2

S=∫^(2)_(-1)(2 - x^2 - (-x))dx=∫^(2)_(-1)(2 - 2x^2+х)dx=

=( 2x-(2x^3/3)+(x^2/2))|^(2)_(-1)=

=4-(16/3)+2-(-2+(2/3)+(1/2))=

=1,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость одного х км в час, скорость другого у км в час.
Пусть весь путь S.
Kогда первый прошёл половину пути второму осталось пройти ещё 1.5 часа.
За эти 1,5 часа второй пройдет 1,5y.
А прошел (S-1,5y)
(S/2x)- время первого на половину пути
(S-1,5y)/y - время второго.
Они равны.
(S/2x)=(S-1,5y)/y

Когда второй прошёл половину, то первому оставалось идти ещё 45 минут.
45/60=3/4 часа
х*(3/4) осталось пройти первому
S-(3x/4) - прошел первый за то же время, что и второй половину
(S-(3x/4))/x=(S/2y)

Система
{(S/2x)=(S-1,5y)/y ⇒(S/x)=(2S/y)-3
{(S-(3x/4))/x=(S/2y) ⇒ (4S/x)-3=(2S/y)

2S/y=5 ⇒ S/y=2,5 часа потребуется второму
S/x=2 потребуется первому

О т в е т. 2,5-2=0,5 часа раньше первый, чем второй

Ответ выбран лучшим

(33/х)=(33/(х+22))+2

33*22=2х*(х+22)

x^2+22x-33*11=0
D=22^2+4*33*11=(2*11)^2+3(*2*11)*(2*11)=(2*11)^2*4=
=44^2
x=(-22+44)/2=11 км в час

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0
y`=2x-11+(15/x)

y`=0
2x^2-11x+15=0
x > 0 согласно ОДЗ и значит точно х ≠ 0
D=121-4*2*15=120=1
х1=(11-1)/4=5/2 или х2=(11+1)/4=3

(0) __+__ (5/2) __-__(3) __+_

х=5/2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

Потому что sin^2x больше или равно 0 при любом х.
Первое неравенство ОДЗ
sin^2x > 0 - верно при любых х, кроме тех, при которых sin^2x=0, эти значения и исключают из ОДЗ

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 2:5

V(PABC)=(1/3)*S( Δ АВС) * H
V(PABK)=(1/3*S( Δ ABK)* H

H пирамид одинаковая

S( Δ АВС) : ( Δ ABK)=(1/2)BC*h/(1/2(BK*h)=BC/BK=5/2
h треугольников одинаковая (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 8*6=48 кв. м площадь дома
2) 48+25+100=173 кв м площадь дачного участка (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Метод рационализации логарифмических неравенств
{x-2 > 0; x-2 ≠ 1
{2x^2+x-3 > 0
{x^2-1 > 0
{(x-2-1)*(x^2-1-2x^2-x+3) < 0

Решение систему приведет к ответу

Ответ выбран лучшим

Формула общего члена арифметической прогрессии
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(11)=9,2+(10-1)*(-5)=-35,8

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
S_(n)=(a1+a_(n))*n/2

S_(11)=(9,2+(-35,8))*11/2=

Ответ выбран лучшим

log_(8)(2^(7x–8))=2
ОДЗ х - любое

По определению логарифма
8^2=2^(7x-8)
2^6=2^(7x-8)
6=7x-8
7x=14
x=2

О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
k^2-6k+5=0
D=36-20=16
k1=1 или k2=5

y=C1e^x+C2e^(5x)

Ответ выбран лучшим

1) f`(x)=7(x-3)^6
2) f`(x)=(1/(2sqrt(x^5+1)))*(x^5+1)`
f`(x)=5x^4/(2sqrt(x^5+1))

Ответ выбран лучшим

y`=(4*(x+1)^3/2)+C
или
dy=2*(x+1)^3dx+Cdx
Подставить это в уравнение и убедиться, что получено верное равенство.
Не могу это сделать условие написано некорректно

y=(x+1)4/2+C(x+2)
y(0)=3
3=(0+1)^4/2+C*(0+2) ⇒ C=5/4

y=(x+1)^4/2+(5/4)(x+2) - частное решение

Ответ выбран лучшим

S=6*a^2
242=6a^2
a^2=242/6
a^2=121/3
a=sqrt(121/3)
a=11sqrt(3)/3

Ответ выбран лучшим

Гипотезы
H1 - '' выбран первый ящик'',
Н2 - '' выбран второй ящик''
p(H1)=p(H2)=1/2

A-''выбран карандаш''
р(А/Н1)=3/5
р(А/Н2)=4/5

По формуле полной вероятности
р(А)=(1/2)*(3/5)+(1/2)*(4/5)=7/10

По формуле Байеса
р(Н2/А)=p(H2)*p(A/H2)/p(A)=((1/2)*(4/5))/(7/10)=

=4/7

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если 1/((1/8)-(1/7))=1/((7-8)/56)=-56

Если (1/(1/8))-(1/7)=8-(1/7)=7 целых 6/7

Ответ выбран лучшим

Пусть H – высота конуса, h – высота налитой жидкости.
R/r=H/h=H/(H/5)=5
R=5r
r=R/5
V(конуса)=(1/3)π*R^2*H
v(жидкости)=(1/3)π*r^2*h=
=(1/3)π*(R/5)^2·(H/5)=V/125=500/125=4 мл
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

сtgx=cosx/sinx
sinx≠ 0

(cosx/sinx)-cosx=1-(cosx/sinx)*cosx;
sinx≠ 0

cosx-sinx*cosx=sinx-cos^2x
sinx ≠ 0

cosx-sinx-(sinx*cosx-cos^2x)=0
(cosx-sinx)-cosx*(sinx-cosx)=0
(cosx-sinx)*(1+cosx)=0
cosx-sinx=0 или сosx=-1
tgx=1 или х=Pi+2Pin, n∈ Z не удовл усл. sinx≠ 0
x=(Pi/4)+Pik, k ∈ Z

О т в е т. (Pi/4)+Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1) 6+4=10 часов были в поездке
2) 600 : 10 = 60 км в час - скорость
3) 60*6=360 км проехали в первый день
4) 60*4=240 км проехали во второй день

Ответ выбран лучшим

V(пирамиды)=(1/3)*S(осн.)·Н
Н=14
S(осн)=S(равностороннего треугольника)=
=a^2*aqrt(3)/4=20^2*sqrt(3)/4=100sqrt(3)

V=(1/3)*100sqrt(3)*14=1400sqrt(3)/3 куб. см

Ответ выбран лучшим

3*5=15 детей

5+15= 20 человек всего вышли на прогулку

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinxcosx

cosx+1=2*2sinxcosx+4sinx
cosx+1-4*sinx*(cosx+1)=0
(cosx+1)*(1-4sinx)=0
cosx=-1 ИЛИ sinx=1/4

x=Pi+2Pin, n ∈ Z ИЛИ x=(-1)^karcsin(1/4)+Pik, k ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни

х=Pi-arcsin(1/4)-4Pi=-arsin(1/4)-3Pi
x=-3Pi
x=arcsin(1/4-2Pi

Ответ выбран лучшим

13-8=5 часов в пути были теплоходы до встречи
28*5=140 км прошел один из них за 5 часов
290-140=150 км прошел второй
150:5=30 км в час скорость второго

Ответ выбран лучшим

a2=-5+12=7
a3=7+12=19
...
a6=55

S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=-5+7+19+31+43+55=150
Или по формуле:
S_(n)=(a1+a_(n))*n/2
S6=(-5+55)*6/2=50*3=150

Ответ выбран лучшим

Треугольник АХВ - прямоугольный
5^2=3^2+4^2
S( Δ АХВ)=(1/2) АХ*ХВ
S( Δ АХВ)=(1/2) АВ*ХО
⇒ АХ*ХВ= АВ*ХО
⇒ ХО=3*4/5=2,4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагональ d квадрата равна диаметру D окружности

d(квадрата)=D ( окружности)

S (круга)=PiR^2
6,75=PiR^2
R^2=6,75/Pi
R=sqrt(6,75/Pi)

D=2R=2sqrt(6,75/Pi)

d=D=2sqrt(6,75/Pi)
a=dsqrt(2)/2=2sqrt(6,75/Pi)*(sqrt(2))/2=sqrt(6,75/Pi)*(sqrt(2)
=sqrt((13,5/Pi))

Ответ выбран лучшим

2.
tgx=-7/2
x=arctg(-7/2)+Pik, k ∈ Z

5.
Делим все слагаемые на 2:

(sqrt(3)/2)cosx-(1/2)*sinx=sqrt(2)/2
Вводим вспомогательный угол
phi
cos phi =sqrt(3)/2
sin phi =1/2

phi Pi/6

cos(Pi/6)* cosx-sin(Pi/6)*sinx=sqrt(2)/2

cos(x+(Pi/6))=sqrt(2)/2

x+(Pi/6)= ± (Pi/4)+2Pik, k ∈ Z

x=± (Pi/4)-(Pi/6)+2Pik, k ∈ Z

6.
ОДЗ
1-x^2 больше или равно 0 ⇒ x ∈ [-1;1]

cosx-2sinxcosx=0 ИЛИ 1-x^2=0

сosx*(1-2sinx)=0 ИЛИ х= ± 1

сosx=0 или sinx=1/2

x=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z - нет корней, удовлетворяющих ОДЗ

sinx=1/2 ⇒ х=(-1)^k*(Pi/6)+Pik, k ∈ Z

x=Pi/6 ∈ [-1;1]

О т в е т. 3 корня
-1; Pi/6; 1

Ответ выбран лучшим

3.
АВС и А1В1С1- равносторонние треугольники
АВ=ВС=АС=а
А1В1=А1С1=В1С1=а

В треугольнике
A1PC1
A1C1=a
A1P=a/2
PC1=asqrt(3)/2
∠ A1PC1=90^(o)

В треугольнике ВСС1
∠ ВСС1=90^(o)
ВС=а
ВС1=2а
СС1=a*sqrt(3)

Треугольники подобны, так как ∠А1РС1 = ∠ ВСС1 и стороны, образующие эти углы пропорциональны

Ответ выбран лучшим

tg(–930^(o)) = tg(-30^(o)–900^(o))= tg(-30^(o)–5*180^(o))=tg(-30^(o))=-sqrt(3)/3

3tg(-930^(o)) =3*(-√3)/3=-√3

О т в е т. - √3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

15-13,8=1,2 руб составляет скидка

15 руб --- 100%
1,2 руб - х %

х=1,2*100/15=8%

Недостаточно данных (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S( правильного шестиугольника)=
=6*S( правильного треугольника)=
=6*(a^2sqrt(3))/4=
=6*(0,15)^2*sqrt(3)/4=3*0,0225*sqrt(3)/2 ≈ 0,057 кв. м

S (пола)=3*3=9 кв. м

9:0,057≈ 158 плиток (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S( комнаты)=5*3=15 кв м
S(веранды)=4*4=16 кв м.
Маша бо`льшую площадь покрасила

Ответ выбран лучшим

cos((Pi/2)–(2х/3))=sin(2x/3)

sin(Pi/3)=sqrt(3)/2

sin(2x/3)=sqrt(3)/2

(2x/3)=(-1)^(k)*(Pi/3)+Pik, k ∈ Z

x=(-1)^(k)(Pi/2)+(3Pi/2)k, k ∈ Z

О т в е т. (-1)^(k)(Pi/2)+(3Pi/2)k, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

48 кг --- 100%
х кг ---- 120%

х=48*120/100=57,6 кг

Ответ выбран лучшим

∠ ACB=16^(o)
∠ ACB - вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается.
Значит
∪ AB=32^(o)
∠ AOB - центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.
∠ AOB =32^(o)

∠ AOD - смежный
∠ AOD=180^(o)-32^(o)=148^(o)

Ответ выбран лучшим

9+4sqrt(2)=1+2*2sqrt(2)+(2sqrt(2))^2=(1+2sqrt(2))^2

sqrt(9+4sqrt(2))=sqrt((1+2sqrt(2))^2)=1+2sqrt(2)

sqrt(2+1+2sqrt(2))=sqrt((1+sqrt(2))^2)=1+sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость вестового х км в час.
(х-3) км в час - скорость вестового относительно обоза при движение из конца обоза в начало обоза.
(х+3) км в час - скорость вестового относительно обоза в обратном направлении
(2/(х-3))+(2/(х+3))=(1/2)
х≠ -3; х≠ 3
4*(х+3+х-3)-(х+3)(х-3)=0
x^2-8x-9=0
D=64+36=100
x=(8+10)/2=9 второй корень отрицательный и не удовл смыслу задачи.
О т в е т. 9 км в час

Ответ выбран лучшим

m=5
(2;6);(3;5);(4;4);(5;3);(6;2)

Ответ выбран лучшим

sin7x-sin5x=2sinx*cos6x

sin7x–cos6x–sin5x =2sinx*cos6x-cos6x

Уравнение принимает вид

2sinx*cos6x - cos6x =2 sinx +5

cos6x*(2sinx-1)=2sinx-1+6
(2sinx-1)*(cos6x-1)=6

В силу ограниченности синуса и косинуса и того, что
6=(-3)*(-2)
{sinx=-1 ⇒ x=(-Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
{cos6x=-1 ⇒ 6x=(-Pi)+2Pin, n ∈ Z ⇒ x=(-Pi/6)+(Pi/3)n, n ∈ Z

Общее решение x=(-Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
Указанному отрезку принадлежит корень х=-13Pi/2

Ответ выбран лучшим

y`=(4^x)*ln4-8*(2^x)*ln2
y`=(4^x)*(2ln2)-(8ln2)*(2^x)
y`=2ln2*(4^x-4*2^x)
y`=0
2ln2 ≠ 0, значит
4^x-4*2^x=0
2^x*(2^x-4)=0
2^x > 0
2^x-4=0
2^x=4
x=2 ∈ [1;3]

[1] _-_ (2) _+__ [3]

x=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(2)=4^(2)-8*2^(2)+1=16-32+1=-15
О т в е т. -15

Ответ выбран лучшим

АН^2=DH*HC
AH^2=24*6
AH=12

Ответ выбран лучшим

Угол АОВ составляет третью часть от 360^(o)
S ( сектора)=S(круга)/3=36/3=12

Ответ выбран лучшим

j=10×(2^2+2^2+1^2)=10*9=90 B

Ответ выбран лучшим

y`=5*5x^4-3*4x^3;
y`=25x^4-12x^3

y`=cosx-sinx

Ответ выбран лучшим

S (пола)=24*12=288

150г*288=43200 г=43 кг 200 г

Ответ выбран лучшим

Один катет 6х, второй 8х, их отношение
6х:8х=6:8
По теореме Пифагора
(6х)^2+(8x)^2=(100)^2
36x^2+64x^2=10 000
100x^2=10 000
x^2=10
x=10

Один катет 6х=6*10=60 мм
Второй катет 8х=8*10=80 мм

S( прямоугольного треугольника)=(1/2)*a*b
S( прямоугольного треугольника)=(1/2)*c*h

a*b=c*h

Высота, проведенная из вершины прямого угла
h=ab/c=60*80/100=48 мм

Из подобия двух меньших прямоугольных треугольников
t:h=h^(100-t)

h^2=t*(100-t)

48^2=t*(100-t)

t^2-100t+48^2=0

D=100^2-4*48^2=100^2-(2*48)^2=100^2-96^2=
=(100-96)*(100+96)=4*196=(2*14)^2=28^2
t1=(100-28)/2=36 ИЛИ t2=(100+28)/2=64

100-t1=64
100-t2=36

О т в е т. 36 и 64

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выделим прямоугольный треугольник АКD.
AK= 4 клеткам=4·(√2/2)=2√2
KD= 2 клеткам = 2·(√2/2)=√2
По теореме Пифагора
AD^2=AK^2+KD^2=(2√2)^2+(√2)^2=8+2=10
AB=BC=CD=AD=sqrt(10)
r=AD/2=(sqrt(10))/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg ∠ B1AB=B1B/AB=5/4

Ответ выбран лучшим

В написании условия нужны скобки:
(70^2–6·70+9) / (70^2–9) : (10·70–30) / (70^2+3·70)

1)70^2–6·70+9=(70-3)^2=67^2
2)70^2–9=(70-3)*(70+3)=67*73

3)67^2/(67*73)=67/73;

4)10·70–30=700-30=670
5) 70^2+3·70=70*(70+3)=70*73

6)670/(70*73)=67/(70*73)

7)

(70^2–6·70+9) / (70^2–9) : (10·70–30) / (70^2+3·70) =

=(67/73):(67/(70*73))=(67/73)*((70*73)/67)=70

Ответ выбран лучшим

сos 53^(o)=cos(90^(o)-37^(o))=sin37^(o)

sin37^(o)*cos53^(o)=sin^2(37^(o))

Проверяйте условие

Ответ выбран лучшим

25*30=750 руб. израсходует, если будет покупать
750-720=30 руб. сэкономит

Ответ выбран лучшим

V( конуса)=(1/3)*Pi*R^2*h

r=R/2
H=2h
v(нового конуса)=(1/3)*Pi*r^2*H=
=(1/3)*PI*(R/2)^2*2h=(1/3)*PI*(R^2/4)*2h=(1/3)*Pi*(R^2*h)/2=
=V/2

О т в е т. уменьшится в два раза

Ответ выбран лучшим

11%=0,11
60 000·0,11=6600 (рублей)–начислено за год
60 000+ 6 600=66 600(рублей)– на счёте через год
или
60 000 * 1,11= 66 600 рублей на счете через год
66 600 *1,11=73260 рублей через два года
73260*1,11=81318,6 рублей через три года

или
60 000 * (1,11)^3=81318,6 рублей через три года

Ответ выбран лучшим

Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
AO:OA1=2:1
AA1=6
AO=(2/3)AA1=(2/3)*6=4

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+2 больше или равно 0
{2x-1 больше или равно 0
x-2 больше или равно 0

х ∈ [2;+ бесконечность )

√(x+2) > √(2x–1) + √(x–2)

x+2 > 2x-1+x-2+2√(2x–1) *√(x–2)
2√(2x–1) *√(x–2) < 5-2x

{5-2x больше или равно 0
{4*(2x-1)(x-2) < (5-2x)^2

8x^2-20x+8 < 25-20x+4x^2

4x^2 < 17

О т в е т.[2;sqrt(17)/2)

Ответ выбран лучшим

Пусть точка C находится на расстоянии S км от А,
значит на расстоянии (400-S) км от B
Пусть скорость автомобиля х км в час.
S/x час - время автомобиля до места первой встречи,
S/(120) час- время мотоциклиста до места первой встречи.
По условию автомобиль выехал на час раньше, значит
(S/x)-(S/(120))=1

Пока автомобиль ехал до пункта В расстояние (400-S) cо скоростью х км в час, мотоциклист проехал путь от С до А, равный S км со скоростью 120 км в час.
Время, которые они затратили - одинаковое
S/120=(400-S)/x

Система
{(S/x)-(S/(120))=1 ⇒ S*(120-x)=120*x ⇒ S=120x/(120-x)
{S/120=(400-S)/x ⇒ S*x=48000-120S ⇒ S=48000/(x+120)

120x/(120-x)=48000/(120+x)

x/(120-x)=400/(120+x)
x^2+120x=48000-400x
x^2+520x-48000=0
D=520^2+4*(48000)=680^2
x=(-520+680)/2=80
второй корень отрицательный и не удовл смыслу задачи
О т в е т. 80 км в час

Ответ выбран лучшим

x=-sqrt(3)
y=-1
|z|=r=sqrt((-sqrt(3))^2+(-1)^2)=sqrt(3+1)=sqrt(4)=2
argz=phi=arctg(y/x)-Pi=arctg(-1/(-sqrt(3))=( Pi/6)-Pi=-5Pi/6

-1-isqrt(3)=2*(cos(-5Pi/6)+isin(-5Pi/6)

По формуле Муавра получим
(-1-isqrt(3))^(3)=2^(3)(cos(-5Pi/2)+isin(-5Pi/2))=
=8*(0+i*(-1))=-8i

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(o))=k ( касательной) = tg альфа

k - угловой коэффициент касательной
альфа - угол наклона касательной

Проводим касательные к кривой в указанных точках
Две точки сразу исключаем, угол наклона касательной - тупой, тангенс тупого угла отрицательный.

Две остальные касательные ( красного и синего цвета) ( в первой слева направо точке и в третьей)
Видно, что в третьей по счету точке угол наклона больше, значит тангенс больше и k соответственно больше.
О т в е т. в третьей по счету точке (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим оценку:
0 ≤ {x} < 1
10000*0 < 10000{x} ≤10000*1

[x] =10000{x}/29

0 < 10000{x}/29 < 10000/29

0 < [x] < 344,83

От 1 до 344
О т в е т. 344 целых решения

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{17-2^x > 0 ⇒ 2^x < 17 ⇒ x < log_(2)17
x≠( Pi/2)+Pim,m∈ Z⇒ x ≠ ( Pi)+2Pim, m∈ Z

[red]ОДЗ: [/red]x ∈ (- ∞ ; log_(2)17) и на этом интервале "дырки" в точках вида
х=π+2πm, m∈ Z

log_(2)17 < log_(2)16=4 < 2π

Поэтому самая правая "дырка" в точке π

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя:
4^x-3=0
x=log_(4)3
0 < log_(4)3 < log_(4)4 =1

log_(4)(17-2^x)=0
17-2^x=1
2^x=16
x=4

tg(x/2)=0
(x/2)=Pik, k ∈ Z
x=2Pik, k ∈ Z

Находим нули знаменателя
log_(16)x-log_(4)2=0
(log_(4)x/log_(4)16)-log_(4)2=0
log_(4)(sqrt(x)/2)=0
x=4

Расставляем знаки:

(0) _+__ [log_(4)3] _-_ (Pi) __+__ (4) _+_ (log_(2)17)

О т в е т. (0;log_(4)3]U(Pi;4)U(4;log_(2) 17)

Ответ выбран лучшим

log_(8)2=(1/3)

log_(81)(log_(8)2)=log_(81)(1/3)=-1/4·

Ответ выбран лучшим

у'=((26-x)*e^(27-x))`=(26-x)`*e^(27-x)+(26-x)*(e^(27-x))`=
=(-1)*e^(27-x)+(26-x)*e^(27-x)*(27-x)`=
=(-1)*e^(27-x)+(26-x)*e^(27-x)*(-1)=
=e^(27-x)*(-27+x-26+x)=
=e^(27-x)*(2x-53)
y`=0
e^(27-x) > 0
2x-53=0
x=26,5
26,5∈ [24;38]
[24] _-__ (26,5) __+___ [38]

x=26,5 - точка минимума, так как производная при переходе через точку меняет знак с - на +.

y(26,5)=(26-26,5)*e^(27-26,5)=-0,5*e^(0,5)=-sqrt(e)/2 - наименьшее значение функции на указанном отрезке

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 9

Из А в B (1) Из B в C (2 ) Из C в D (3) Из D в F (3)
1+2+3+3=9 - кратчайший путь

Ответ выбран лучшим

сos^2x=1-sin^2x

√2sin^3x–√2sinx+1-sin^2x=0
√2*sinx(sin^2x-1)-(sin^2x-1)=0
(sin^2x-1)*(√2sinx-1)=0

sinx=1
x=(Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
ИЛИ
sinx=-1
x=(-Pi/2)+2Pim, m ∈ Z
ИЛИ
sinx=1/sqrt(2)
x=(-1)^n*(Pi/4)+Pin, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/2)+2Pik, (-Pi/2)+2Pim, (-1)^n*(Pi/4)+Pin,
k, m, n ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат корни
-5Pi/2;
(Pi/4)-2Pi=-7Pi/4;
(Pi/2)-2Pi=-3Pi/2;
(3Pi/4)-2Pi=-5Pi/4;
-Pi/2;
Pi/4;
Pi/2;
3Pi/4

Ответ выбран лучшим

4*(1-sin^2x)-8sinx+1=0
4sin^2x+8sinx-5=0
D=64+80=144
sinx=-5/2 или sinx=1/2

sinx=-5/2 - уравнение не имеет корней, |sinx| меньше или равно 1

sinx=1/2
х=(-1)^k*(Pi/6)+Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Нет никакой необходимости решать эту задачу составлением уравнения
Потому что неизвестная величина x находится так:
х=345-2*72-2*68

4 действия расписаны в приведенном Вами условии

ИЛИ

х=345-2*(72+68)

1) 72+68 =140 км в час - скорость сближения таксистов
2)2*140=280 км проедут за 2 часа
3)345-280=145 км между ними через 2 часа (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x^3+2)^2=x^6+4x^3+4

(x^3+2)^2/sqrt(x)=x^(5,5)+4x^(2,5)+4x^(-0,5)

∫ (x^3+2)^2dx/ sqrt(x)= ∫ x^(5,5)dx+4 ∫ x^(2,5)dx+4 ∫ dx/sqrt(x)=

=x^(6,5)/(6,5)+x^(3,5)/(3,5)+8sqrt(x)+C

=2/(13)x^6 sqrt(x)+(2/7)x^3sqrt(x)+8sqrt(x) +C

Ответ выбран лучшим

сos2x=1-2sin^2x

3*(1-2sin^2x)-5sinx+1=0
6sin^2x+5sinx-4=0
D=25+96=121
sinx=1/2 или sinx=-4/3

sinx=-4/3 - не имеет корней, |sinx| меньше или равно 1

sinx=1/2
x=(-1)^k(Pi/6)+Pik, k ∈ Z

О т в е т. (-1)^k(Pi/6)+Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

sin ∠ A=BC/AB ⇒ AB=BC/sin ∠ A=5/0,2=25

Из треугольника ВСН
sin∠BCH=BH/BC

sin∠BCH=sin∠A=0,2

BH=BC*sin∠BCH=5*0,2=1

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

Пусть мальчиков х, девочек (1200-х)
(5/13)х больше человек (3/11)*(1200-х) на 100
Уравнение
(5/13)х=(3/11)*(1200-х) + 100

Умножаем на 11*13=143
55х=39*1200 - 39х +14300
94х=61100
х=650
1200-650=550

О т в е т. 650 мальчиков и 550 девочек

Ответ выбран лучшим

1)
Неправильная дробь.Выделяем целую часть
x^3/(x^2+4)=(x^3+4x-4x)/(x^2+4)=x-(4x/(x^2+4)

∫ x^3dx/(x^2+4)= ∫ xdx-2 ∫ d(x^2+4)/(x^2+4)=

=(x^2/2)=2ln(x^2+4)+C

2)Неправильная дробь.Выделяем целую часть
(2x^3+5)/(x^2x-2)=(2x^3-2x^2-4x+2x^2+4x+5)/(x^2-x-2)=2x+(2x^2+4x+5)/(x^2-x-2)=

=2x+(2x^2-2x-4)/(x^2-x-2)+ (4x+2x+4+5)/(x^2-x-2)=

=2x+2+(6x+9)/(x^2-x-2)

∫ (2x^3+5)dx/(x^2x-2)= ∫ (2x+2)dx+ ∫ (6x+9)dx/(x^2-x-2)=

=(x^2+2x)+3 ∫ (2x-1)dx/(x^2-x-2)+ 12 ∫ dx/(x^2-x-2)=

=(x^2+2x)+3 ln|x^2-x-2|+ 12 ∫ dx/((x-(1/2))^2-9/4)=

==(x^2+2x)+3 ln|x^2-x-2|+ (12 /2*(3/2))ln|(x-(1/2)-(3/2))/(x-(1/2)+(3/2))|+C

Ответ выбран лучшим

Геометрическая вероятность.
Событие А - '' монетка попадет в меньший эллипс''
р(А)=mes(S_(o))/mes S
где
S- площадь всей области, S_(o) - площадь меньшей области.

x2/49 + y2/16 = 1,
S=Piab=PI*7*4=28Pi
x2/25 + y2/9 = 1
S_(o)=Pi*5*3=15Pi

p(A)=15Pi/28Pi=15/28=0,535714... ≈ 0,54 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Треугольник ОFB- прямоугольный равнобедренный, острые углы 45 градусов
ОВ=6*sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

sqrt(cos^2x)=|cosx|

6|tgx|*|cosx|=6|sinx|

6|sinx|=(|sinx|+1)/(|sinx|)
6|sinx|^2-|sinx|-1=0
D=1+24=25
|sinx|=1/2 или |sinx|=-1/3

|sinx|=1/2

x= ± (Pi/6)+Pik, k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AD - диагональ квадрата со стороной 8
AD=8*sqrt(2)
R=AO=OD=OH=4sqrt(2)

ОК=4

КН=OH-OK=4sqrt(2)-4=4*(sqrt(2)-1)

Ответ выбран лучшим

Четырехугольник ADCB вписан в окружность, значит суммы противоположных углов равны 180 градусов.
∠ A+ ∠ C=180^(o)
∠ C=80^(o)

Cумма углов треугольника РСВ равна 180 градусов
∠ B=180^(o)-80^(o)-25^(o)=75^(o)

y=80^(o)
x=75^(o)
y-x=5^(o)

Ответ выбран лучшим

3x+7x=-2-3
10x=-5
x=-5/10
x=-1/2

Ответ выбран лучшим

B ⋂ C ={3}

[b] A × (B ⋂ C) ={(1;3);(2;3)}[/b]

A × C={(1;1};(1;3);(2;1);(2;3)}
C \ B={1;3}\{2;3}={1}
A × (C \ B)={(1;1);(2;1)}
[b](A × C) \ (A × (C \ B)) ={(1;1};(1;3);(2;1);(2;3)}\{(1;1);(2;1)}=
={(1;3);(2;3)}[/b]

Верно

Ответ выбран лучшим

A={(x;y):y+x2–6 ≤ 0}
B={(x;y):|x| > 2; |y| > 2
C=((x;y): x < y}

На рис. 1 множество A ∩ C

На рис. 2 множество В

На рис. 3
(A ∩ C) ∩ B= Δ MNK

MN и KN - пунктирными линиями (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^4-2x^3-5x^2-4x+20=0
(x+2)^2*(x-1)*(x-5)=0
B={-2;1;5}
AUB={-3;-2;-1;1;2;4;5}
B ⋂ A=∅
A \ B=A
B \ A=B,
A ∆ B=(A \ B)U(B\А)=AUB={-3;-2;-1;1;2;4;5}
vector{B}={-5;-4;-3;-1;2;3;4}
C = (A ∆ B) ∆ A=(AUB)ΔA={-2;1;5}=B
2)
A ∩ C= ∅
3)
P(B)- мощность всех подмножеств множества В
У трехэлементного множества В имеется 2^3=8 подмножеств
P(B)=|P(B)|=8

Ответ выбран лучшим

1)D(y)=(- бесконечность; + бесконечность)
2) Функция не является ни четной и ни нечетной
f(-x)= (-х)^ 3- (-х)^ 2= - х^3+ х^2

f(-x) ≠ f(x)
и
f(-x) ≠ -f(x)

3) Исследуем функцию с помощью первой производной
y'= 3x^2- 2x
y`=0
3x^2-2x=0
x*(3x-2)=0
х1= 0, х2= 2/3 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума
Находим знаки певрой производной
___+__ (0) _-_ (2/3) __+__

х= 0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -,
х= 2/3 - точка минимум, производная меняет знак с - на +
Вычислим значения функции в этих точках:
у (0)= 0,
у (2/3)= 8/27- 4/9= - 4/27= -0,148.

На (- бесконечность;0) и на ((2/3); + бесконечность) производная положительна, функция возрастает
На (0;(2/3)) производная отрицательна, функция убывает

4) Исследование функции с помощью второй производной
у''= 6х- 2
y``=0
х= 1/3 - точка перегиба
На (- бесконечность; (1/3)) вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх
На ((1/3);+ бесконечность) вторая производная пооожительна, функция выпукла вниз .
Значение функции в точке х=(1/3):
у (1/3)= 1/27- 1/9= - 2/27= - 0,074.

5) Точки пересечения с осью Ох
х^3- х^2= 0,
х= 0 и х= 1.

То есть график функции пересекает ось Ох в точках
(0;0) и (1;0)

6) Дополнительные точки
х= -2
у (-2)= -8- 4= -12,

х= 2
у (2)= 8- 4= 4

х= 3
у (3)= 27- 8= 15.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) О - точка пересечения биссектрис.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне CD
равна 180 градусов.
Значит
∠ OCD + ∠ ODC=90 градусов
и ∠ СOD = 90 градусов, треугольник СOD - прямоугольный
По теореме Пифагора
CO^2+OD^2=CD^2
Cм. приложение
По свойству 1^(o)
BC+AD=AB+CD

CD=BC+AD-AB

CO^2 +OD^2 = (BC+AD–AB)^2

2)
Проводим CК ⊥ AD
В прямоугольном треугольнике КCD
катет СК против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы CD.
Значит СD=2*CK=4

KD=4*cos30^(o)=4sqrt(3)/2=2sqrt(3)

Пусть ВС=х, AK=x
AB+CD=BC+AD
2+4=x+(x+2sqrt(3))
x=3-sqrt(3)
BC=3-sqrt(3)
AD=3-sqrt(3)+2sqrt(3)=3+sqrt(3)

Из подобия Δ ВСМ и Δ ADM
d/(h-d)=BC/AD

d/(2-d)=(3-sqrt(3))/(3+sqrt(3))

d=(3-sqrt(3))/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) неопределенность (бесконечность / бесконечность )
Делим и числитель и знаменатель на x^2

=lim_(x→∞ )((1/x^2)-2)/(3+(5/x)+(1/x^2))=-2/3

2) неопределенность (0/0)
Раскладываем на множители и числитель
2x^2-9x-18=(x-6)*(2x+3)
и знаменатель
x^2-7x+6=(x-6)(x-1)

Сокращаем дробь на (х-6) и числитель и знаменатель
=lim_(x→6)(2x+3)/(x-1)=(2*6+3)/(6-1)=15/5=3

3) неопределенность (0 /0 )

Умножаем и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, т.е на такое же, но с плюсом

В числителе получаем
(4+3х)-(4-3х) =6x
Применили формулу (a-b)(a+b)=a^2-b^2

x в числителе и х в знаменателе сокращаем.

=lim_(x→0) (6/7*(sqrt(4+3x)+sqrt(4-3x)))=

=6/28=3/14

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 12-ти пирожков выбирают один.
n=12
А-''выбран пирожок не с капустой''
Событию А благоприятствуют исходы, в которых выбран пирожок с творогом или с яблоками.
m=4+2=6
По формуле классической вероятности
p(A)=6/12=1/2

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 4) 24 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

MN наклонная, наклонная всегда больше перпендикуляра
ОN=24
MN=10 не может быть.

По теореме Пифагора можно найти ОМ
ОМ=d(O,[b]l[/b]) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(1/5) (1/125)=3, так как (1/5)^3=(1/125)

log_(√3)(log1/5 1/125)=log_(sqrt(3))3=2, так как
(sqrt(3))^2=3

Ответ выбран лучшим

a1=37
a2=a1+16=37+16=53
a3=a2+16=53+16=69
a4=a3+16=69+16=85
a5=a4+16=85+16=101

S5=a1+a2+a3+a4+a5=37+53+69+85+101=345

Или по формуле
S_(n)=(a1+a_(n))*n/2

S_(5)=(37+101)*5/2=345

Ответ выбран лучшим

1)= ∫ x^(3/2)dx=x^(5/2)/(5/2)+C=(2/5)x^2sqrt(x) +C
2)=x^(-1/5)dx=x^(4/5)/(4/5)+C=(5/4)x^(4/5) +C
3) Замена переменной
lnx=u
dx/x=du
= ∫ du/u=ln|u|+C=ln|lnx|+C
4)Замена переменной
x^2=u
2xdx=du
xdx=(1/2)du
=(1/2) cosx du=(1/2)sinu+C=(1/2)sin(x^2)+C

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что 10 детей рассаживаются на 10 мест. Это можно сделать 10! способами
n=10!
Событие A - ''мальчики займут стулья с четными номерами''.
Стульев с четными номерами 5, 5 мальчиков могут расположиться на этих стульях 5! способами. При этом девочки рассаживаются на стулья с нечетными номерами 5! cпособами
m=5!*5!
По формуле классической вероятности
p=m/n=(5!*5!)/(10!)=1/252

Ответ выбран лучшим

D=(-1)^2-4*4*(-3)=49
x1=(1-7)/8=-3/4 или х2=(1+7)/8=1

Ответ выбран лучшим

2) S ( поверхности тела вращения)=S(бок. конуса 1) + S(бок. конуса 2)
Конус 1 - радиус ОА, высота SO
Конус 2 - радиус ОА, высота CO

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АSC
SC=sqrt(30^2+40^2)=sqrt(2500)=50

S( Δ ASC)=(1/2)SA*CA
и
S( Δ ASC)=(1/2)AО*SC

SA*CA=AO*SC ⇒ AO=SA*CA/SC=(30*40)/50=24

S=Pi*AO*SA+PiAO*CA=PiAO*(SA+CA)=Pi*24*(30+40)=1680Pi кв см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

604+83=687

604*687= 414 948

Ответ выбран лучшим

Формула
1+tg^2 альфа =1/cos^2 альфа ⇒

cos^2 альфа =1/(1+(5/169))=169/174

sin^2 альфа =1-cos^2 альфа =1-(169/174)=5/174

угол альфа в третьей четверти, косинус и синус в третьей четверти имеют знак минус

cos альфа =-13/sqrt(174)
sin альфа =-sqrt(5)/sqrt(174)

ctg альфа =cos альфа/sin альфа = 13/sqrt(5)

Ответ выбран лучшим

Первый столбик
Читаем сверху вниз
21
второй столбик 3*7=21

48
6*8=48

Значит
?7=3*9
?=2

О т в е т. В)2

Ответ выбран лучшим

2) Пусть вектор vector{c}=(x;y;z)
Cкалярное произведение векторов в координатах равно сумме произведений одноименных координат, поэтому
vector{a}*vector{c}=x+5y+2z
vector{a}*vector{c}=2x+2y-z
Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно 0
Система:
{x+5y+2z=0
{2x+2y-z=0

Умножаем второе уравнение на 2
{x+5y+2z=0
{4x+4y-2z=0

Складываем
{5x+9y=0 ⇒ x=-9y/5
{x+5y+2z=0

(-9y/5)+5y+2z=0 ⇒ z=-8y/5

vector{c}=(-9y/5;y;-8y/5)
|vector{c}|=sqrt((-9y/5)^2+y^2+(-8y/5)^2)=|(170/25)y^2|

(170/25)y^2=1
⇒ y=5/sqrt(170) или y=-5/sqrt(170)

vector{e}=±(5/sqrt(170)) * vector{c}=(-9/5;1;-8/5)=

= ± (1/sqrt(170))(-9;5;-8)

Ответ выбран лучшим

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки
AD=AM
BD=BN
KM=KN

По свойству прямоугольного треугольника
AD*DB=CD^2

АВ=10

Других числовых данных нет, одной данной величины недостаточно для решения задачи. Проверьте условие. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

h=E/(mg)=4,9/(5*9,8)=4,9/49=0,1

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

ОА ⊥ оси Ох
Значит первая координата точки О равна -6

Уравнение окружности принимает вид

(x-(-6))^2+(y-b)^2=R^2
или
(х+6)^2+(y-b)^2=R^2

Подставим координаты точки А и точки В в это уравнение
{(-10+6)^2+(4-b)^2=R^2
{(-6+6)^2+(0-b)^2=R^2

Из второго R^2=b^2 и подставим в первое

(-10+6)^2+(4-b)^2=b^2
16=(b-4+b)*(b+4-b)
4=2b-4
b=4

R^2=b^2=16
О т в е т. (x+6)^2+(y-4)^2=16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть один вектор vector{a}, второй вектор vector{b}.
|vector{a}|=|vector{b}|=a
Угол между ними альфа.
Применяем правило треугольника и находим сумму векторов.
По теореме косинусов

|vector{a}+vector{b}|^2=|vector{a}|^2+|vector{b}|^2--2|vector{a}|*|vector{b}|*cos(π- α),

1) |vector{a}+vector{b}|^2=0

⇒cos(π- α)=1 ⇒ π- α =0 ⇒ альфа =Pi - векторы противоположно направлены
2)|vector{a}+vector{b}|^2=(2a)^2=4a^2

⇒ cos(π- α)=-1 ⇒ π- α= π⇒ альфа =0 - векторы сонаправлены

3) |vector{a}+vector{b}|^2=a^2
⇒ cos(π- α)=1/2 ⇒ π- α= π/3 ⇒ альфа =2π/3

4) |vector{a}+vector{b}|^2=(asqrt(2))^2

⇒ cos(π- α)=0 ⇒ π- α = π/2 ⇒ α = π/2

5) |vector{a}+vector{b}|^2=(asqrt(3))^2

⇒ cos(π- α)=-1/2 ⇒ π- α = 2π/3 ⇒ α = π/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АВ- диаметр шара

Плоскость под углом 30 градусов , значит и диаметр сечения СВ проходит под углом 30 градусов.
Треугольник САВ - прямоугольный, угол C - опирается на диаметр.

Из треугольника АВС
ВС=АВ*cos 30 градусов=dsqrt(3)/2

линия пересечения – окружность
C=πD =π·(dsqrt(3))/2 = (πd√3)/2 (прикреплено изображение)

АВ=d;
OA=ОВ=ОС=R
R=d/2

Cечение шара плоскостью – круг,
CB– диаметр этого сечения.

Плоскость проведена под углом 45^(o) к диаметру шара, значит CВ составляет угол 45^(o) c диаметром шара AB.

Треугольник СОВ - равнобедренный
ОО1- высота, медиана и биссектриса.
Из прямоугольного треугольника
ОО1В:
ОО1=ОВ* sin 45^(o)=dsqrt(2)/4
r(cсечения)=О1В=ОО1=dsqrt(2)/4
S(ceчения)=Pir^2=Pi*(dsqrt(2)/4)^2=Pid^2/8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем признак параллельности плоскостей:
Если две [b] пересекающиеся [/b]прямые , лежащие в одной плоскости соответственно параллельны двум [b]пересекающимся [/b] прямым лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Плоскости оснований параллельны и равны
КО и PF - средние линии оснований.
КО || PF

AC || A1C1
ОС=A1F
Значит две противоположные стороны Ос И A1F четырехугольника ОА1FC параллельны и равны. Этот четырехугольник параллелограмм.
Поэтому A1O || FC
Доказана параллельность двух пересекающихся прямых
КО и A1O двум пересекающимся прямым PF и FC

По признаку плоскости OA1K и CPF параллельны. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В условии задачи используется формула
l=sqrt(R*h/500)
R=6400 км
l измеряется в км, а h в [b] метрах [/b]

Наименование у параметра 500 нам неизвестно, скорее всего это отношение м\км

Поэтому

8=sqrt(6400*h/500)

8=sqrt(64*h/5)

8=8*sqrt(h/5)

h/5=1
h=5 [b] ( метров) [/b]

Ответ выбран лучшим

1.1
n=5! - способов размещения пяти вагонов в ряд
m=1 способ, при котором каждый вагон стоит на своих путях
р=1/5!=1/120

1.2
Испытание состоит в том, что на 4 места раскладывают девять карточек
На первое место можно положить любую из девяти, 9 способов.
На второе - любую из восьми, на третье- любую из семи, на четвертое - любую из шести
n=9*8*7*6
ИЛИ
n=A^4_(9)
Cобытие В- получено четное число - благоприятствуют способы, в которых на последнем месте
2 ИЛИ 4 ИЛИ 6 ИЛИ 8

Тогда на первые три места в каждом из этих четырех вариантов можно занять так:
на первое место расположить любое из 8 чисел; на второе любое из семи чисел, на третье- любое из шести

(6*7*8)+(6*7*8)+(6*7*8)+(6*7*8)=4*6*7*8 способов
m=4*6*7*8
ИЛИ
m=4*A^3_(8)
р(В)=m/n=(4*6*7*8)/(9*8*7*6)=4/9

1.9
Вероятность того, что первое место займет желтый равна 5/12
Вероятность того, что второе место займет желтый равна 4/11

Вероятность того, что два первых места займут желтые гонщики равна произведению веоятностей
(5/12)*(4/11)=5/33

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

28:7*4=16 тетрадей в клетку

ИЛИ

(4/7)*28=16 тетрадей в клетку

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(3,5*10^(–2))*(2*10^(–3))=(3,5*2)*(10^(-2)*10^(-3))=
=7*10^(-2+(-3))=7*10^(-5)=7*0,00001=0,00007.

ОДЗ:
{x^2 > 0 ⇒ x ≠ 0
{(x-1)^2 > 0 ⇒ x ≠ 1

log_(x^2) (x-1)^2 меньше или равно 1

log_(x^2) (x-1)^2 меньше или равно log_(x^2) (x^2)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств

(x^2-1)*((x-1)^2-x^2) меньше или равно 0

(x-1)(x+1)(-2x+1) меньше или равно 0
(x-1)(x+1)(2x-1) больше или равно 0

_-__ (-1) ________+_______(1/2) __-__ (1) __+__

С учетом ОДЗ
О т в е т. (-1;0) U(0$(1/2)) U(1;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

{2x+5 > 0
{2x+5 < 8

{x > -2,5
{x < 1,5

О т в е т. (-2,5; 1,5)

Ответ выбран лучшим

tg ∠ A=BC/AC

2/3=ВС/АС ⇒ 3ВС=2АС ⇒ АС = (3/2)ВС

По теореме Пифагора
АС^2+BC^2=AB^2

((3/2)ВС)^2+BC^2=AB^2

(9/4)BC^2+BC^2+26^2

BC=4sqrt(13)

AC=6sqrt(13)

Из подобия треугольников АВС и АСН
АС: АН=АВ:АС

АН=АС^2/AB=36*13/26=18

Ответ выбран лучшим

x+2,1=3 ИЛИ x+2,1=-3
x=3-2,1 ИЛИ х=-3-2,1
х=0,9 ИЛИ х=-5,1
О т в е т. -5,1; 0,9

Ответ выбран лучшим

a^x=a^(y) ⇒ x=y

Ответ выбран лучшим

1) 720*0,25= 180
720-180=540 тг стал стоить товар
2) 720*0,08=57,6
720+57,6=777,6 тг стал стоить товар

Ответ выбран лучшим

a1 = – 5 и a2 = –11

d = a2 - a1 = -11 - ( - 5) = - 6

a3 = a1+2d=-5+2*(-6)= - 17
a4= a1+3d=-5+3*(-6)=-23

S4=a1+a2+a3+a4=-5-11-17-23=-56

Ответ выбран лучшим

∠ C= 25°+ 10°= 35°
∠ A+ ∠ C= 25°+ 35°=60 °
∠ B=180 °- ∠ A- ∠ C= 180 °-60 °= 120 °

О т в е т. 1)

Ответ выбран лучшим

По формуле понижения степени
sin^2 альфа =(1-cos2 альфа )/2

(1-cos2x)/2+(1-cos2y)/2=1
cos2x+cos2y=0

{y=(Pi/4)-x;
{cos2x+cos((Pi/2)-2x)=0

2cos(Pi/4)*cos(2x-(Pi/4))=0

2x-(Pi/4)=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z

x=(3Pi/8)+(Pi/2)k, k ∈ Z
y=(-Pi/8) - (Pi/2)k, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

100-88=12% составляет сухая часть свежих фруктов.
100-30=70% составляет сухая часть в высушенных фруктах

72 кг высушенных фруктов составляют 100%
х кг сухой части составляют 70%

х=72*70/100=50,4 кг составляет сухая часть в высушенных фруктах

Эта же сухая часть, 50,4 кг была и в свежих фруктах, только там она составляла 12%
50,4 составляют 12% в свежих.
х кг свежих составляют 100%

х=50,4*100/12=5040/12=420 кг

О т в е т. 420 кг

Ответ выбран лучшим

12+5=17 ч во второй бригаде

Ответ выбран лучшим

D=25-4*3*2=1
sinx=-1 ИЛИ sinx=-2/3
x=(-Pi/2)+Pik, k ∈ Z ИЛИ x=(-1)^k arcsin(-2/3)+Pin, n ∈ Z

О т в е т. (-Pi/2)+Pik,(-1)^k arcsin(-2/3)+Pin, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

A1K=A1B* sin45^(o)=9sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=9

АА1=4 и АВС - правильный треугольник не используются в решении.
???

Ответ выбран лучшим

Основное логарифмическое тождество
4^(log^2_(4)x)=(4^(log_(4)x))^log_(4x)=x^(log_(4)x)
x > 0, x ≠ 1

2*x^(log_(4)x) больше или равно 2*sqrt(2)

x^(log_(4)x) больше или равно sqrt(2)

Логарифмируем по основанию 4

log_(4) x^(log_(4)x) больше или равно log_(4) sqrt(2)

(log_(4)x)^2 больше или равно 1/4

(log_(4)x-(1/2))*(log_(4)x+(1/2)) больше или равно 0

log_(4)x меньше или равно -1/2 ИЛИ log_(4)x больше или равно (1/2)

х меньше или равно 1/2 ИЛИ log_(4)x больше или равно (2)

С учетом ОДЗ
(0;(1/2)]U [2;+ бесконечность )

О т в е т. (0;(1/2)]U [2;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x > 0
Замена переменной
log_(3)x=t
log_(3)(x/27)=t-3
log_(3)x^3=3log_(3)x=3t

t/(t-3) больше или равно (4/t)-(8/(t^2-3t))

(t-2)^2/(t*(t-3)) больше или равно 0

_+__ (0) __-__ [2] _-_ (3) __+__

t < 0 ИЛИ t=2 ИЛИ t > 3

log_(3) x < 0 ИЛИ log_(3) x= 2 ИЛИ log_(3) x > 3

x < 1 ИЛИ х=9 ИЛИ x > 27

С учетом ОДЗ получаем
О т в е т. (0;1) U{9} U(27;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

300^(o)=360^(o)-60^o
sin300^(o)=sin(360^(o)-60^o)=-sin60^(o)=-sqrt(3)/2;
tg300^(o)=tg(360^(o)-60^o)=-tg60^(o)=-sqrt(3)

3sin300^(o)-sqrt(3)tg300^(o)=3*(-sqrt(3/2)-sqrt(3)*(-sqrt(3))=

=(-3sqrt(3))/2+3=3*(1-(sqrt(3)/2))=(3/2)*(2-sqrt(3))

Ответ выбран лучшим

События
A- '' Маша и Миша [b] будут сидеть рядом [/b]''
и
vector{A} - '' Маша и Миша [b] не будут сидеть рядом [/b]'' противоположные

[b] p(A) + p(vector{A})=1 [/b]

Пусть первой за стол сядет Маша, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 8 человек, среди них Миша.
Вероятность того, что Маша и Миша [b] будут сидеть рядом [/b]равна
2*(1/8)=2/8=1/4
Вероятность того, что Маша и Миша [b]не будут сидеть рядом [/b]равна
1-(1/4)=3/4

О т в е т. 0,75

Второй способ

Число способов рассадить 9 человек по девяти стульям равняется 9!
n=9!
Неблагоприятным для нас исходом будет вариант рассадки, когда на ''первом'' стуле сидит Маша или Миша, а на соседнем справа сидит Миша или Маша, а на остальных семи произвольно рассажены остальные. Количество таких исходов равно 2*7!
Так как ''первым'' стулом может быть любой из девяти стульев (стулья стоят по кругу), то количество благоприятных исходов нужно умножить на 9.
m=9*2*7!
Таким образом, вероятность того, что Маша и Миша [b] будут сидеть рядом [/b] равна
р=9*2*7!/9!=2/8=1/4

Вероятность того, что Маша и Миша [b] не будут сидеть рядом [/b] равна
1-p=1-(1/4)=3/4=0,75

О т в е т. 0, 75

Ответ выбран лучшим

y`=9x^2+4x
y`=0
9x^2+4x=0
x*(9x+4)=0
x=0 или х=-4/9

[-1] _+_ (-4/9) __-_ (0) ____+_____ [1]

На (-1;(-4/9)) и на (0;1) производная положительна, функция возрастает,
на ((-4/9);0) производная отрицательна, функция убывает.

х=-4/9 - точка максимума
у(-4/9)=3*(-4/9)^3+2*(-4/9)^2=32/243
х=0 - точка минимума
y(0)=0
y(-1)=-3+2=-1 - наименьшее значение функции на отрезке.
y(1)=3+2=5 - наибольшее значение функции на отрезке

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1a)d^2=a^2+a^2+a^2

8^2=3a^2
a=8sqrt(3)/3

1б)
диагональ боковой грани квадрата равна a sqrt(2)
cos phi =asqrt(2)/asqrt(3)=sqrt(2/3)

2a)
Cм. рис.
ВК ⊥ пл. АВСD Значит ВК ⊥ ВА
Треугольник АВК - прямоугольный
АК^2=AB^2+BK^2=8^2+4^2=80
AK=sqrt(80)=4sqrt(5)

расстояние от точки С равно расстоянию от точки В
BT=CQ=4*8/sqrt(80)=8sqrt(5)/5

2б) .
∠ KАВ - линейный угол двугранного угла ВАDM.

2в) sin ∠ МАВ =ВК/KА=4/4sqrt(5)=1/sqrt(5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

18*(1/4)-10=(9/2)-10=4,5-10=-5,5

3*(2cos^2x-1)+1=cosx;
6t^2-t-2=0
D=1+48=49
t1=-1/2 ИЛИ t2=2/3

cosx=-1/2
± (2π/3)+2πk, k∈Z

ИЛИ

cosx=2/3
x=±arccos (2/3)+2πn,n∈Z

О т в е т.
а) ± (2π/3)+2πk, ±arccos (2/3)+2πn, k, n ∈ Z
б) x1 = (2π/3)-6π= -16π/3
x2 = (-2π/3)-4π=-14π/3
x3=- arccos(2/3)-4π

Ответ выбран лучшим

y`=(4-5x)`*cosx+(4-5x)*(cosx)`+5(sinx)`+(17)`
y`=-5cosx+(4-5x)(-sinx)+5cosx
y`=-(4-5x)sinx
y`=0
sinx=0 ИЛИ 4-5х=0
x=Pik, k ∈ Z - ни одна из точек не принадлежит (0; π/2)
ИЛИ
х=4/5 ∈ (0; π/2)

sinx > 0 на (0; π/2)
y` < 0 при х < (4/5) и y` > 0 при х > (4/5)
При переходе через точку х=4/5 производная меняет знак с - на +, значит х=4/5 точка минимума на (0; π/2)

Ответ выбран лучшим

-200x=-100
x=1/2

62x+38x=114+256
100x=370
x=3,7

-92x+72x=51-351
-20x=-300
x=15

-43x-62x=-44-229
-105x=-273
x=2,6

(1/10)x=8
x=8:(1/10)
x=80

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x/5)= ± (2π/3)+2πk, k∈Z

x= ± (10π/3)+10πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

∫ sinx 5x dx= ∫ (sin (5x)) *(1/5)*d(5x)=(1/5)*(-cos5x)+C

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x-3 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно 1,5
{-x больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 0

ОДЗ: нет ни одного х

Уравнение не имеет решений

Ответ выбран лучшим

(x^2-7)/x=35/x
x ≠ 0

x^2-7=35
x^2=42
x= ± sqrt(42)

Ответ выбран лучшим

2sin^2x - 3sinx – 2 = 0
Замена переменной
sinx = t

2t^2 - 3t – 2 = 0
D=(-3)^2-4*2*(-2)=25
t1=–1/2, t2=2

sinx = -1/2
х=(-1)^k*(-π/6)+πk, k ∈ Z
при k=2n
x = (-π/6) + 2πn, n ∈ Z
или
при k=2n+1
x = (7π/6) + 2πn, n ∈ Z

sinx=2 - уравнение не имеет решений, так как |sinx| меньше или равно 1

О т в е т. (-π/6) + 2πn; (7π/6) + 2πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов
∠ АВС= 60 градусов

В прямоугольном треугольнике СНВ угол НСВ равен 30 градусов, катет, лежащий против этого угла НВ=12.
Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы СВ этого треугольника.
Значит гипотенуза СВ в два раза больше катета НВ, СВ=24

В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС лежит против угла в 30 градусов и значит он равен половине гипотенузы АВ.
Значит гипотенуза АВ в два раза больше катета ВС
АВ=48

Ответ выбран лучшим

1) верно
2) верно
3) нет, равно квадрату отношения сходственных сторон.

Ответ выбран лучшим

Значит АВ- диаметр окружности, ∠ С=90 ^(o)
Треугольник АВС - прямоугольный.
АВ=2R=50
По теореме Пифагора
АС=sqrt(50^2-48^2)=sqrt(2*98)=14
S( Δ ABC) =(1/2)AC*BC=(1/2)*14*48=336

Ответ выбран лучшим

S(параллелограмма)=|vector{v}xvector{x}|

vector{v}xvector{x}= определителю третьего порядка,
в первой строке векторы vector{i} vector{j} vector{k}
Во второй строке координаты одного вектора 15; 10; 0
В третьей строке координаты второго вектора -9; 9; 0

Раскрываем определитель
получаем (15*9-(-9*10)))*vector{k}=225*vector{k}

Длина этого вектора 225

S ( параллелограмма)=225
S ( треугольника )=(1/2)*S ( параллелограмма)=225/2

Ответ выбран лучшим

1.
ФОРМУЛА
(a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2

1)
a)a=x; b=3
(x+3)^2=x^2+2*x*3+3^2=x^2+6x+9
б)a=8; b=y
(8+y)^2=8^2+2*8*y+y^2=64+16y+y^2
в) (p+a)^2= p^2+2*p*a+a^2=p^2+2pa+a^2

2)
a)(a-5)^2= a^2-2*a*5+5^2=a^2-10a+25
б)(7-c)^2= 7^2-2*7*c+c^2=49-14c+c^2
в) (x-10)^2=x^2-2*x*17+17^2=x^2-34x+289

3)
а)(3a-8)^2=(3a)^2-2*(3a)*8+8^2=9a^2-48a+64
б)(5x+6)^2=(5x)^2+2*(5x)*6+6^2=25x^2+60x+36
в)(2y-3)^2=(2y)^2-2*(2y)*3+3^2=4y^2-12y+9

4)
а)(3x+y)^2=(3x)^2+2*(3x)*y+y^2=9x^2+6xy+y^2
б)(2m-2n)^2=(2m)^2-2*(2m)*(2n)+(2n)^2=4m^2-8mn+4n^2
в)(-8x+a)^2=(-8x)^2-2*(8x)*a+a^2=64x^2-16ax+a^2

5)
а) (a^2-2)^2=(a^2)^2-2*a^2*2+2^2=a^4-4a^2+4
б)(b+c^2)^2=b^2+2*b*c^2+(c^2)^2=b^2+2bc^2+c^4
в)(x^2-y^2)^2=(x^2)^2-2*(x^2)*(y^2)+(y^2)^2=x^4-2x^2y^2+y^4

2.
(0,2x)^2+2*(0,2x)*2+2^2=0,04x^2+0,8x+4
(0,2x)^2-2*(0,2x)*2+2^2=0,04x^2-0,8x+4

(2y)^2+2*(2y)*(1/6)+(1/6)^2=4y^2+(2/3)y+(y^2/36)
(2y)^2-2*(2y)*(1/6)+(1/6)^2=4y^2-(2/3)y+(y^2/36)

(ab)^2+2*(ab)*4+4^2=a^2b^2+8ab+16
(ab)^2-2*(ab)*4+4^2=a^2b^2-8ab+16

(x^2)^2+2*(x^2)*(6a)+(6a)^2=x^4+12x^2a+36a^2
(x^2)^2-2*(x^2)*(6a)+(6a)^2=x^4-12x^2a+36a^2

(a^2b^2)^2+2*(a^2b^2)*8+8^2=a^4b^4+16a^2b^2+64
(a^2b^2)^2-2*(a^2b^2)*8+8^2=a^4b^4-16a^2b^2+64

3.
((a+b)+c)^2=(a+b)^2+2*(a+b)*c+c^2=
=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

((a-b)-c)^2=(a-b)^2-2*(a-b)*c+c^2=
=a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2=
=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac

(x+y+z)^2=((x+y)+z)^2=(x+y)^2+2*(x+y)*z+z^2=
=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2=
=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz

(x-y-z)*(x-y-z)=(x-y-z)^2=((x-y)-z)^2=(x-y)^2-2*(x-y)*z+z^2=
=x^2-2xy+y^2-2xz+2yz+z^2=
=x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2xz

4.

(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2

3*(x-2y)^2=3*(x^2-4xy+4y^2)=3x^2-12xy+12y^2

9*(x-2y)^2=9*(x^2-4xy+4y^2)=[b]9x^2-36xy+36y^2[/b]

(3x-6y)^2=[b]9x^2-36xy+36y^2[/b]

(1/9)*(3x-6y)^2=(1/9)*(9x^2-36xy+36y^2)=x^2-4xy+4y^2

О т в е т.

(x-2y)^2=(1/9)*(3x-6y)^2

9*(x-2y)^2=(3x-6y)^2

Ответ выбран лучшим

10 деталей это (2/5) от числа деталей изготовленных мастером.
Половина, т.е 5 деталей - это (1/5)
А в пять раз больше это 25 деталей и они составляют 1 целую всех деталей.

О т в е т. 25 деталей изготовил мастер

Или уравнением
Пусть х деталей изготовил мастер
(2/5)х деталей изготовил ученик
(2/5)х=10
х=10:(2/5)
х=10*(5/2)
х=50/2
х=25

Ответ выбран лучшим

(3х+(у/2))^3=(3x)^3+3*(3x)^2*(y/2)+3*(3x)*(y/2)^2+(y/2)^3=

=27x^3+(27/2)x^2y+(9x/4)y^2+(y^3/8)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

Замена
lgx=t

(1/(t+1))+(6/(t+5))=1

(t+5+6t+6-t^2-6t-5)/(t+1)(t+5)=0

(-t^2+t+6)/(t+1)(t+5)=0
t≠ -1; t≠ -5

t^2-t-6=0
D=1+24=25
t1=(1-5)/2=-2 или t2=(1+5)/2=3

lgx-= -2 или lgx= 3
x=10^(-2) или x=10^3
x=0,01 или х=1000

О т в е т. 0,01 ; 1000

Ответ выбран лучшим

У куба 6 граней. На каждой грани расположено 10*10=100 квадратов, которые являются основаниями маленьких кубиков.

С тремя окрашенными гранями 8 кубиков , они расположены в 8-ми вершинах куба.

Кубики, имеющие 2 окрашенные грани, находятся на ребрах куба и не совпадают с вершинами.
На одном ребре куба находится 10 кубиков.
2 кубика в углах - вершины, они имеют по три окрашенные грани, значит
10-2=8 кубиков имеют по две окрашенные грани.
У куба 12 ребер, следовательно, всего таких кубиков 12*8=96 штук.

Одну окрашенную грань имеют кубики, которые лежат на грани, но не лежат на ребре.

Таких кубиков на одной грани 100- 8*4-4=64

На 6 гранях лежат 64*6= 384 кубика с одной окрашенной гранью.

По формуле классической вероятности
1) р=384/1000=0,384 вероятность того, что на удачу извлечённый кубик имеет 1 окрашенную грань;
2) p=96/1000=0,096 вероятность того, что на удачу извлечённый кубик имеет 2 окрашенные грани;
3) р=8/1000 = 0,008 вероятность того, что на удачу извлечённый кубик имеет 3 окрашенные грани.

О т в е т.
1) 0,384;
2)0,096;
3)0,008

Между прочим, кубиков с неокрашенными гранями
1000-384-96-8=512 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

315:(3+4)=45 км в час - скорость поезда
45*3=135 км проехал до остановки
45*4=180 км проехал после остановки

Проверка
135+180=315 км всего

О т в е т. 135 км; 180 км (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(cечения):S(ABCDEF)=(3:9)^2
(3:9)^2=(1:3)^2=1/9
S( сечения) =(1/9)*S(ABCDEF)=(1/9)*18=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

(2/8)*16=32/8=4 кг
О т в е т. 4кг

Ответ выбран лучшим

Исправила

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
19+5х=4
5х=4-19
5х=-15
х=-3

Проверка
sqrt(19+5*(-3))=sqrt(4)=2- верно

О т в е т. -3

Ответ выбран лучшим

Каждый диск имеет 6 секторов.
Значит вероятность того, что каждый диск займет одно правильное положение в нужном секторе 1/6.

Правильная установка дисков на общей оси относительно корпуса замка - независимые между собой события, то вероятности надо перемножить.

Вероятность того, что произвольной установке дисков замок можно будет открыт:

p = (1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)=(1/6)^5 =
=1/7776 ≈ 0,00013

О т в е т. 0,00013

Ответ выбран лучшим

О _____ К _____ М _____ А

Разобъем отрезок OA на три равные части, длина каждой части равна (1/3)*L:
OK = KM = MA = (1/3)*L;

Обозначим событие C - '' меньший из отрезков ОВ и В А имеет длину, меньшую, чем L/3''

Если точка B(x) попадает на отрезок ОК, то длина отрезка ОВ меньше, чем (1/3)L.
ИЛИ
Если точка В(х) попадает на отрезок МА, то длина отрезка ВА меньше, чем (1/3)L.

Cумма длин отрезков ОК и МА равна (2/3)L.

По формуле геометрической вероятности

р(С)=(сумма длин отрезков ОК и МА)/(длина отрезка ОА)=

=((2/3)L)/L=(2/3)

О т в е т. р=(2/3)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу перехода к другому основанию
log_(11)25=log_(5)25/log_(5)11=2/log_(5)11

О т в е т. log_(5)11 * (2/log_(5)11)=2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-1 > 0; x-1 ≠ 1 ⇒ x ∈ (1;2)U(2;+ бесконечность )

Замена переменной
log_(1/3)(x-1)=t
logx–1(1/3)=1/t
t ≠0

(-3/t)+t > 2|t|
Cовокупность двух систем
{ t > 0
{(-3/t)+t > 2t ⇒ (t^2+3)/t < 0 ⇒ t < 0

Cистема не имеет решений

ИЛИ

{ t < 0
{(-3/t)+t > -2t ⇒ 3(t^2-1)/t > 0 ⇒ (-1;0) U(1;+ бесконечность)

Решение системы (-1;0)

-1 < log_(1/3) (x-1) < 0
log_(1/3) 3 < log_(1/3) (x-1) < log_(1/3)1

Логарифмическая функция с основанием (1/3) убывающая, значит [b] большему[/b] значению функции соответствует [b] меньшее [/b] значение аргумента

1 < (x-1) < 3
Прибавим 1 ко всем частям неравенства
2 < x < 4
С учетом ОДЗ получаем ответ
О т в е т. (2;4)

Ответ выбран лучшим

S=(1/2)*1*2=1

О т в е т. 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из k изделий выбирают r.
Это можно сделать
C^(r)_(k) способами
n=C^(r)_(k)

Cобытие А -'' из r выбранных деталей s дефектных''
Событию А благоприятствуют исходы в которых
s дефектных деталей выбирают их l дефектных, а оставшиеся (r-s) недефектных выбраны из
(k-l) недефектных
C^(s)_(l)*C^(r-s)_(k-l)
m=C^(s)_(l)*C^(r-s)_(k-l)

р(А)=m/n=(C^(s)_(l)*C^(r-s)_(k-l))/(C^(r)_(k))
О т в е т.

Ответ выбран лучшим

{|x| > 0, |x| ≠ 1 ⇒ (-∞;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;+∞)
{(x-1)^2 > 0 ⇒ x ≠ 1

ОДЗ: х ∈ (-∞;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;+ ∞)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
(|x|-1)*(x-1)^2-x^2) меньше или равно 0
(|x|-1)*(1-2x) меньше или равно 0

_+__ (-1) __-_ [1/2] _+__ (1) _-__

C учетом ОДЗ получим ответ
(-1;0)U(0;(1/2))U(1;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВС - равнобедренный, значит
СН - высота, медиана и биссектриса. Но на доске никак не отмечено хотя бы одно свойство СН, наверное прямой угол при точке Н не нарисован.
Получим прямоугольный треугольник АСН
sin ∠ A=CH/AC
CH=AC*sin ∠ A=0,9*AC
АС=СН/0,9
По теореме Пифагора
АС^2=AH^2+CH^2
(СН/0,9)^2=AH^2+CH^2
CH^2/(0,81)-CH^2=3,5^2
0,19CH^2/0,81=12,25
CH^2=992,25/19

CH=sqrt(992,25/19) ≈ 7,2265956...

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
х-2=3^2
x=9+2
x=11

О т в е т. 11

Ответ выбран лучшим

а) см. рис.
sin( альфа /2)=(a/2)/R ⇒ R=(a/2)*sin( альфа /2)=a/(2sin (альфа /2))

CO1:СО=r:R ⇒ 1:2=r:R
r=R/2=a/(4sin (альфа /2))

S(сеч.)=Pi*r^2=Pi*(a^2/16sin^2( альфа /2))

a) О т в е т. Pi*(a^2/16sin^2( альфа /2))

б) Проведем высоту СК в треугольнике САВ.
Треугольник равнобедренный. Значит АК=КВ=AB/2=a/2
Из прямоугольного треугольника АСК
СК=КВ*tg бета

S( сеч)= S ( Δ CАВ) = (1/2) АВ*СK=КВ*КВ*tg бета =
=a^2tg бета/4

Угол альфа не используется в решении ? (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(-Pi/3)+2Pik < (3x/4)-(2Pi/3) < (Pi/3)+2Pik, k ∈ Z

Прибавляем (2Pi/3) ко всем частям неравенства

(Pi/3)++2Pik < (3x/4) < ( Pi)+2Pik, k ∈ Z

Умножаем на (4/3) все части неравенства
(4Pi/9)+(8Pi/3)*k < x < (4Pi/3)+(8Pi/3)*k, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

9000-х=750
х=9000-750
х=8250

Ответ выбран лучшим

∠ С=180 градусов - ∠ А - ∠ В=
=180 градусов - 70 градусов - 80 градусов = 30 градусов

По теореме синусов
AB/sin ∠ C=2R
8/sin30^(o)=2R
2R=16

Осевое сечение квадрат
Значит диаметр окружности равен высоте цилиндра
2R=H=16

S( бок)=2Pi*R*H=Pi*(2R)*H=Pi*16*16=256Pi

О т в е т. 256Pi

Ответ выбран лучшим

Обозначим каждую сторону каждого прямоугольника (см. рисунок).

Площадь каждого маленького прямоугольника по часовой стрелке, начиная с нижнего левого:
S1 = a *d ⇒ a*d=14 ⇒ d=14/a
S2 = a *c ⇒ a*c=7
S3 = b ⋅ c = 21 ⇒ b*c=21⇒ b=21/c
S4 = b ⋅ d = ?

S4=(21/c)*(14/a)=(21*14)/(a*c)=(21*14)/7=42

S4=S1*S3/S2

S=S1+S2+S3+S4=14+7+21+42=84

О т в е т. 84 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х г - перманганата калия в растворе, тогда (120-x) г воды.
120 г составляю 100%
х г составляют 5%
х=120*5:100=6 г

120-х=120-6=114 г воды

О т в е т. 6 г перманганата калия и 114 г воды

y`=(sinx-4cosx-4xsinx+5)`
y`=cosx+4sinx-4sinx-4xcosx
y`=cosx-4xcosx
y`=0
cosx-4xcosx=0
cosx*(1-4x)=0
cosx=0 или 1-4х=0
x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z - ни одна из точек не принадлежит (0; π/2)
х=1/4 ∈ (0; π/2)

y`=cosx*(1-4x)
cosx > 0 на (0; π/2)
y` > 0 при х < (1/4) и y` < 0 при х > (1/4)
При переходе через точку х=1/4 производная меняет знак с + на -, значит х=1/4 точка максимума на (0; π/2)

Ответ выбран лучшим

Пусть концентрация первого раствора кислоты –p% , а концентрация второго – q%

Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 40% кислоты:
5p+10q=0,4*15
Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 35% кислоты:
p+q=0,7
Решаем систему уравнений:
{p+q=0,7
{5p+10q=0,4*15

Умножаем первое на (-5) т складываем со вторым
5q=2,5
q=0,5
p=0,2
5*0,2=1 кг кислоты в первом растворе.
О т в е т. 1 кг

Ответ выбран лучшим

Останавливалась, значит скорость движения была равна 0.
Скорость - производная пути.
Значит, надо найти точки, в которых производная равна 0.
Это точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Охю
Таких точек 7.
О т в е т. 7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ ВСЕ - внешний угол треугольника АВС, равен сумме внутренних с ним не смежных
∠ ВСЕ=30 градусов + 86 градусов = 116 градусов

Биссектриса СD делит угол ВСЕ пополам
∠ ВСD= ∠ ECD= 58 градусов.

∠ABC- внешний угол треугольника BCD
Значит ∠ABC= 86 градусов
Внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных

∠ BСD+ ∠BDC=86 градусов
∠BDC=86 градусов - 58 градусов =28 градусов

Δ BCD= Δ ECD по двум сторонам
СD - общая
ВС=СЕ
и углу между ними
∠ ВСD= ∠ ECD= 58 градусов.

Значит ∠ ЕDC= ∠ BDC=28 градусов
∠ ADE= ∠ BDC+∠ EDC= 56 градусов.

О т в е т. 56 градусов

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-12 > 0
{-x > 0 ⇒ x < 0

x^2-12=-x
x^2+x-12=0
D=1-4*(-12)=49
x1=(-1-7)/2=-4 или х2=(-1+7)/2=3

х1 удовл ОДЗ
x2 не удовл условию -x > 0 или x < 0

О т в е т. -4

Ответ выбран лучшим

sqrt((a-2)^2)=|a-2|
sqrt((a-4)^2)=|a-4|

При 2 ≤ a ≤ 4
a-2 больше или равно 0, т.е |a-2|=a-2
a-4 меньше или равно 0, т.е |a-4|=-a+4

sqrt((a-2)^2)+sqrt((a-4)^2) =|a-2|+|a-4|=a-2-a+4=2

О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Формула разности синусов
sin4x-sin2x=2sin((4x-2x)/2)*cos((4x+2x)/2)=2sinx*cos3x

Уравнение примет вид:
8sinx*cos3x=sinx*(4cos^2(3x)+3)
или
8sinx*cos3x-sinx*(4cos^2(3x)+3)=0
sinx*(8cos3x-4cos^23x-3)=0

sinx=0 ⇒ x=Pik, k ∈ Z
или
8cos3x-4cos^23x-3=0
4t^2-8t+3=0
t=cos3x
D=(-8)^2-4*4*3=64-48=16
t1=(8-4)/8=1/2 или t2=(8+4)/8=3/2

cos3x=1/2 ⇒ 3x= ± (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z ⇒

х= ± (Pi/9)+(2Pi/3)n, n ∈ Z

ИЛИ

cos3x=3/2 ⇒ нет корней, (3/2) > 1 , |cosx| меньше или равно 1

О т в е т. а) Pik ; ± (Pi/9)+(2Pi/3)n; k, n ∈ Z

б) х1=0 ∈ [0; 3π/2]
х2=(Pi/9) ∈ [0; 3π/2]
x3=(-Pi/9)+(2Pi/3)=5Pi/9∈ [0; 3π/2]
х4= (Pi/9)+(2Pi/3)=7Pi/9∈ [0; 3π/2]
x5=Pi ∈ [0; 3π/2]
x6=(-Pi/9)+(4Pi/3)=11Pi/9∈ [0; 3π/2]
х7= (Pi/9)+(4Pi/3)=13Pi/9∈ [0; 3π/2]

Ответ выбран лучшим

Пусть х рублей стоит одна шоколадка, у рублей стоит 1 яблоко.
По условию

4х > 6у на 24
7х > 9у на 69

Вычитаем из второго неравенства первое
3х > 3 у на 45

Делим на 3
х > у на 15⇒ х= у +15

4х - 6у = 24
4*(у+15)-6у=24
4у+60-6у=24
36=2у
у=18
х=18+15=33

Проверка
4*33 > 6*18 на 24 - верно 133-108=24
7*33 > 9*18 на 69 - верно 231 - 162=69

О т в е т. 33 рубля стоит шоколадка, 18 рублей стоит яблоко

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 10 книг выбирают две.
n=C^2_(10)=10!/(2!*(10-2)!)=45
Событие А - '' взятые наудачу [b] две [/b]
книги стоят 5 рублей.
Событию А благоприятствуют исходы, при которых выбрана 1 книга за 4 рублей и одна книга за рубль.
m=C^(1)_(5)*C^(1)_(3)=5*3=15
р(А)=m/n=15/45=1/3

О т в е т. р=1/3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

20*2=40 км прошел первый
90-40=50 км прошел второй
50:2=25 км в час - скорость второго

Ответ выбран лучшим

(5/12)*60=25 мальчиков
60-25=35 девочек

Ответ выбран лучшим

x^5*(64z^2-49x^2)=x^5*((8z)^2-(7x)^2)=x^5*(8z-7x)*(8z+7x)

Ответ выбран лучшим

4^x + (18/x^2) больше или равно 13*(2^(x+1))/x

ОДЗ: х≠ 0
Замена
2^x=u
2^(x+1)=2^x*2=2u
4^x=u^2
(1/x)=v
(1/x^2)=v^2

Неравенство имеет вид
u^2+18v^2 больше или равно 26uv

Делим на u^2 ≠ 0

1+18(v/u)^2=26(v/u)

18t^2-26t+1 больше или равно 0, t=v/u
D=(-26)^2-4*18*1=676-72=604

Уточните условие. Нужны скобки. Может быть так:

4^(x +1) + (8/x^2) больше или равно 13*(2^(x+1))/x

Ответ выбран лучшим

116:100*20=23,2 составляют 20% от 116 см
116+23,2=139,2 см. рост Ивана в 10 лет

139,2:100*15=20,88 составляют 15% от 139,2 см
139,2+20,88=160,08 cм рост Ивана в 13 лет

Ответ выбран лучшим

4^x=(2^x)^2=u^2

(4/x)=v
(16/x^2)=v^2

Ответ выбран лучшим

По-моему наоборот, является периодической

f(x+T)=f(x)

При T=2Pin, n ∈ Z

ln(cos(x+2Pi))=ln(cosx) для cos x > 0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Две особые точки
0 и + бесконечность

Поэтому рассматриваем интеграл как сумму интегралов
∫^(1)_(0) x^ альфа dx и ∫^(+∞)_(1) x^ альфа dx

Первый интеграл сходится при альфа > -1, расходится при
альфа меньше или равно -1

Второй интеграл сходится при альфа < -1, расходится при
альфа больше или равно -1

Области сходимости первого и второго интегралов не пересекаются

О т в е т. При любых альфа интеграл расходится.

Ответ выбран лучшим

(8/x)-(9/2x)=(16/2x)-(9/2x)=(16-9)/2x=7/2x
При х=1,4
7/(2*1,4)=7/(2,8)=2,5

Ответ выбран лучшим

ОДЗ
{x > 0, x ≠ 1 ⇒ (0;1) U (1;+ бесконечность)
{(8-12x)/(x-6) > 0 ⇒ (12х-8)/(x-6) < 0 ⇒ ((2/3);6)

ОДЗ: (1;6)

log_(x)(8-12x)/(x-6) больше или равно 5
log_(x) (8-12x)/(x-6) больше или равно log_(x) x^5

При х > 1 логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(x-1)*((8-12x)/(x-6) больше или равно x^5

⇒ (x-1)*(x^6-6x^5+12x-8)/(x-6) меньше или равно 0

Если 1 < x < 6
x^6-6x^5+12x-8 < 0
(исследовать функцию
у=x^6-6x^5+12x-8 с помощью производной и построить график)

(x-1)*(x^6-6x^5+12x-8)/(x-6) > 0 при х < 1 или х > 6

Или графическое решение неравенства
(8х-12)/(x-6) больше или равно x^5

О т в е т . Нет решений.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

b1=3*1-1=2
b2=3*2-1=5
b3=3*3-1=8

a1=2
d=a2-a1=5-2=3 или d=a3-a2=8-5=3

S_(n)=(2a_(1)+d(n-1))*n/2

S_(60)=(2*2+3*59)*60/2=5430

Ответ выбран лучшим

{sinx*cosx=0
{tg2x ≠ -1 ⇒ 2x ≠ (- Pi/4)+Pin⇒ x ≠ (- Pi/8)+(Pi/2)n, n ∈ Z
{cos2x ≠ 0 ⇒ 2x ≠ (Pi/2)+Pim⇒ x ≠ (Pi/4)+(Pi/2)m, m∈ Z

sinx=0 или сosx =0
x=Pik, k ∈ Z или x = (Pi/2)+Pik, k ∈ Z

О т в е т.Pik, k ∈ Z или x = (Pi/2)+Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1 час 10 мин это 13 часов 10 мин

13 часов 10 минут - 9 часов 25 минут=

=12 часов 70 минут - 9 часов 25 минут = 3 часа 45 минут

ОДЗ:
{x+6 > 0; x+6 ≠ 1
{(x+2)^2 > 0 ⇒ x ≠ -2

ОДЗ: x ∈ (-6;-5)U(-5;-2)U(-2;+ бесконечность 0

Применяем метод интервалов.

Находим нули числителя и нули знаменателя.

x^2+9x+20=(x+5)(x+4)

2x^2+21x+54=(2x+9)(x+6)

log_(x+6)(x+5)=0
x+6=1
x=-5

log_(x+2)^2=0
(x+2)^2=1
x=-1 или х=-3

Расставляем знаки:

_+__ (-6) _-_ (-5) _-__ (-4) _+_ [-3] __-__ [-1] ___+__

(-6;-5)U(-5;-4) U[-3;-1]

Ответ выбран лучшим

S( прямоугольного треугольника)=(1/2)*a*b

S_(1)=ab/2
S_(2)=3ab/2=3*(ab/2)=3*S_(1)
S_(2):S_(1)=3
О т в е т. Увеличится в три раза

2:3
Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон ( высот, биссектрис и т.д)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Задача на формулу Байеса
Пусть
гипотеза Н1- из урны вынули белый шар
р(Н1)=a/(a+b)
гипотеза Н2- из урны вынули черный шар
р(Н1)=b/(a+b)

p(H1)+p(H2)=1 - гипотезы выбраны верно.

Пусть событие А - второй раз из урны вынут белый шар

р(А/Н1)=(a-1)/(a+b-1)
р(А/Н2)=(a)/(a+b-1)

По формуле полной вероятности
р(А)=р(Н1)*р(А/Н1)+р(Н2)*р(А/Н2)=
=(a/(a+b))*((a-1)/(a+b-1))+(b/(a+b))*(a/(a+b-1))=

=(a^2-a+ab)/(a+b)(a+b-1)=

По формуле Байеса
р(Н1/А)=(р(Н1)*р(А/Н1))/(р(А))=

=((a^2-a)/(a+b)*(a+b-1)): ((a^2-a+ab)/(a+b)(a+b-1))=

=(a^2-a)/(a^2-a+ab)=а*(а-1)/а*(a+b-1)=(a-1)/(a+b-1)

Ответ выбран лучшим

1+2+3=6 частей
180 градусов : 6= 30 градусов в одной части
30 градусов; 60 градусов и 90 градусов - углы треугольника.
Большая высота проведена к большей стороне,
т. е к гипотенузе.
Тогда один катет в два раза больше этой высоты, т.е 2 sqrt(3)
Второй катет равен 2sqrt(3)*tg 30 градусов= 2sqrt(3)*sqrt(3)/3=2
S=(1/2)a*b=(1/2)*2sqrt(3)*2=2sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 200:40=5 м на один плащ
2) 60:5=12 плащей
О т в е т. 12 плащей

Ответ выбран лучшим

527:8=65(ост.7),
527:10=52( ост. 7)
5+2=7 - первая цифра СПРАВА,

О т в е т. 527

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

90° < 125° < 180° - вторая четверть

-90° < -75° < 0° - четвертая четверть

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение.
Замена переменной sinx=t; sin²x=t.
3t² + 5t +3 = 0;
D=5²-4*3*3=25-36 < 0
Квадратное уравнение не имеет корней.
Значит и данное уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

Упрощаем числитель
=5^5*p^(15)*25*p^(8)=25^(2)*5*25*p^(23)

Упрощаем знаменатель
=р^2*25^(3)*p^(18)=25^(3)*p^(20)

сокращаем числитель и знаменатель на 25^(3)*p^(20)

Получим 5*p^(3)

При р=0,5

5*(0,5)^3=0,625

Ответ выбран лучшим

120:4=30 тг - стоит одна пачка
30*8=240 тг заплатили за 8 пачек

или
8:4=2 в 2 раза 8 больше чем 4
120*2=240 тг в два раза больше придется заплатить за 8 чем за 4

Ответ выбран лучшим

Всего 4 конфеты
n=4

Событие A-'' потерялась конфета «Василёк» ''
Событию А благоприятствует один случай, так как конфета «Василёк» '' одна
p(A)=m/n=1/4=0,25

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника СНN
СН^2=HN^2+CN^2 ( # )

Из подобия ( по общему острому углу СВН) прямоугольных треугольников СНN и HNB
СN:HN=HN:BN
CN=HN^2/BN=HN^2/12 подставляем в (#)

8^2= (HN^2/12)^2+HN^2
Получаем биквадратное уравнение относительно HN.
(HN)^4+144HN^2-64*144=0
D=144^2+4*64*144=144*(144+256)=144*400=
=(12*20)^2=240^2
HN^2=(-144+240)/2 или HN^2=(144-240)/2 < 0
HN^2=48
HN=4sqrt(3)
CN=4

Значит ∠ NСН=60^(o) , так как tg∠ NСН=HN/CN=
=4sqrt(3)/4=sqrt(3)

Аналогично
Из подобия СМН и АМН
МН:СМ=АМ:МН
СМ=МН^2/(4sqrt(3)/3)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
СМН
СН^2=CM^2+MH^2
8^2=(MH^2/(4sqrt(3)/3))^2+MH^2
Биквадратное уравнение относительно MH^2
3MH^4+16MH^2-64*16=0
D=16^2+4*3*64*16=16*(16+12*64)=16*784=(4*28)^2=112^2
MH^2=16
MH=4
CM=4 sqrt(3)

Значит ∠ МСН=30^(o) , так как tg∠ МСН=MH/MC=
=4/4sqrt(3)=1/sqrt(3)

Значит ∠ АСВ= ∠ ACH+ ∠ BCH=∠ MCH+ ∠ NCH=30^(o)+60^(o)=90^(o)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
СMN можно найти MN.

Или так:

MCNH - четырехугольник, у которого три угла прямые.
Значит MCNH - прямоугольник

MN=СН=8 - диагонали прямоугольника MCNH равны.

О т в е т. 8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каждое слагаемое неотрицательно.
Cумма неторицательных слагаемых равна нулю
тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно 0
{x^2-25=0 ⇒ х=5 или х=-5
{x^2+3x-10=0 ⇒ х=2 или х=-5

Решением системы, а значит и уравнения является один корень х=-5
О т в е т. -5

Ответ выбран лучшим

Составим два уравнения касательных

y-f(x_(o))=f`(x_(o))*(x-x_(o))

1) x_(o)=Pi/18

f(x_(o))=f(Pi/18)=sin3*(Pi/18)=sin(Pi/6)=1/2
f`(x)=3cos3x
f`(x_(o))=f`(Pi/18)=3*cos(Pi/6)=(3sqrt(3))/2
у-(1/2)=(3sqrt(3))/2*(x-Pi/18)

2)x_(o)=5Pi/18

f(x_(o))=f(5Pi/18)=sin3*(5Pi/18)=sin(5Pi/6)=1/2
f`(x)=3cos3x
f`(x_(o))=f`(5Pi/18)=3*cos(5Pi/6)=(-3sqrt(3))/2
у-(1/2)=(-3sqrt(3))/2*(x-5Pi/18)

Решаем систему уравнений
{у-(1/2)=(3sqrt(3))/2*(x-Pi/18)
{у-(1/2)=(-3sqrt(3))/2*(x-5Pi/18)

Приравниваем правые части
(3sqrt(3))/2*(x-Pi/18)=(-3sqrt(3))/2*(x-5Pi/18)⇒
х=Pi/6

у=(sqrt(3)*Pi/6)+(1/2)

Ответ выбран лучшим

Приводим к общему знаменателю.
Общий знаменатель 100.
Первую дробь умножаем на 25, вторую на 4
(15/100)+(28/100)=(15+28)/100=43/100

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2-6
y`=0
3x^3-6=0
x^2=2
x1=-sqrt(2) или х2=sqrt(2)

[-3] _+___ (-sqrt(2)) ___-____ (sqrt(2)) ____+_____ [4]

х=-sqrt(2) - точка максимума
производная меняет знак с + на -

y(-sqrt(2))=(-sqrt(2))^3-6*(-sqrt(2))=-2sqrt(2)+6sqrt(2)=4sqrt(2)
y(4)=4^3-6*4=64-24=40

y(4) - наибольшее значение функции на [-3;4] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2sin^2x - 3sinx – 2 = 0
Замена переменной
sinx = t

2t:2 - 3t – 2 = 0
t1=–1/2 или t2=2

sinx = - 1/2
x=(-1)^k(-π/6) + πk, k ∈ Z
при k=2n или при k=2n+1
x=(-π/6) + 2πn, n ∈ Z или x=(-5π/6) + 2πn, n ∈ Z

sinx=2 - уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно 1

О т в е т. (-π/6) + 2πn, (-5π/6) + 2πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х1 и х2 - корни уравнения.
По теореме Виета
х1*х2 = - (k^2-7k-18)/k

х1*х2=(-k-7)/k

По условию
х1=-х2
Значит
х1+х2=0

k^2-7k-18=0

D=(-7)^2-4*(-18)=49+72=121=11^2
k1=-2 или k2=9

х1*х2=-х1^2
-x1^2=(-k-7)/k

При k1= - 2
-x1^2=5/2 - уравнение не имеет корней

При k1= 9
-x1^2=-16/9 - уравнение не имеет корней

х1=4/3 или х1=-4/3
х2=-4/3 или х2= 4/3

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость велосипедиста по дороге из А в В равна х км в час.
154/х час. - время на путь от А до В

(х+3) км в час - скорость на пути от В к А
154/(х+3) час. - время в пути от В до А
Уравнение
154/(х+3) + 3=154/х
х ≠ 0; х+3 ≠ 0
154x-154(x+3)+3x*(x+3)=0
х^2+3x-154=0
D=9+4*154=9+616=625=(25)^2
x=11
второй корень уравнения отрицательный.
О т в е т. 11 км в час

Ответ выбран лучшим

Да

Дано: Δ АВС- равносторонний,
AB=BC=AC=8 sqrt(3)
SC=10

Так как пирамида правильная, основание О -высоты SO - центр вписанной и центр описанной окружности.
SA=SB=SC=10

АО=ВО=СО=R=asqrt(3)/3=8
OM=r=asqrt(3)/6=4

SM- апофема боковой грани
По теореме Пифагора из треугольника SCM:
SM^2=SC^2-CM^2=10^2-(4sqrt(3))^2=100-48=52
SM=sqrt(52)

По теореме Пифагора из треугольника SOM
SO=sqrt(SM^2-OM^2)=
=sqrt((sqrt(52))^2-4^2)=sqrt(36)=6
Из треугольника SAO
cos ∠ SAO=AO/SA=8/10=0,8

По теореме косинусов из треугольника АКМ
KM^2=AK^2+AM^2-2AK*AM*cos∠ SAO=
=5^2+12^2-2*5*12*0,8=73
По теореме косинусов из треугольника АКМ

cos ∠ SAO=(AM^2+KM^2-AK^2)/2AM*KM=

=(12^2+73-25)/2*12*sqrt(73)=8/sqrt(73) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1 куртка – 100%
10 рубашек – 96%

1 рубашка = 96% / 10 = 9,6 % от стоимости куртки.

Значит

15 рубашек – 15*9,6%=144%
1 куртка – 100%

144%-100%=44%
Следовательно 15 рубашек дороже куртки на 44%

Ответ: 44%

Ответ выбран лучшим

cos(25Pi/4)=cos((24Pi/4)+(Pi/4))=cos(6Pi+(Pi/4))=cos(Pi/4)

sin(-35Pi/4)=sin((-32Pi/4)-(3Pi/4))=
=sin(-8Pi-(3Pi/4))=sin(-3Pi/4)= - sin(Pi/4)

sin(–35Pi/4)cos(25Pi/4)=-sin( Pi/4)*cos(Pi/4)=-(1/2)*(2*sin( Pi/4)*cos(Pi/4))=-(1/2)*sin(Pi/2)=-1/2

О т в е т. 32/(-1/2)=-64

Ответ выбран лучшим

y`=(x^4-4x^3-3)`=4x^3-12x^2
y`=0
4x^3-12x^2=0
4x^2*(x-3)=0
x=0 и х=3 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума.
Находим знаки производной
__-__ (0) __-___ (3) __+__

x=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y(3)=3^4-4*3^3-3=81-108-3=-30
Функция убывает на (- бесконечность; 3)
Функция возрастает на (3;+ бесконечность)

y``=(4x^3-12x^2)`=12x^2-24x
y``=0
12x^2-24x=0
12x*(x-2)=0
x=0 и х=2 - точки перегиба, вторая производная меняет знак
на(- бесконечность 0) и (2;+ бесконечность) кривая выпукла вниз, вторая производная положительна
На (0;2) кривая выпукла вверх, вторая производная отрицательна (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть собственная скорость лодки ( в неподвижной воде) равна х км в час.
Во второй колонке расстояние , в третьей время

скорость по течению (х+1) км/ч | 16 км | 16/(x+1) ч
скорость против течения (х-1) км/ч | 28 км | 28/(х-1) ч

(16/(х+1)+(28/(х-1))=3

16(х-1)+28(х+1)=3*(х-1)(х+1)

3x^2-44x-15=0

D=44^2-4*3*(-15)=1936+180=2116=46^2
x=(44-46)/6 < 0 не удовл условию задачи
х=(44+46)/6=15

О т в е т. 15 км в час

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона куба равна а
V=a^3
a^3=12

Площадь квадрата S=a^2
Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника, площади которых равны S/2

S(Δ ABD)=S(Δ BCD)=S/2

EF - средняя линия прямоугольного треугольника BCD.

Треугольники FCЕ и BCD подобны
Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон
s - площадь треугольника FCE
S/2 - площадь треугольника BCD

s: (S/2)=(a/2)^2:a^2

s=(1/4)*S/2=S/8

V ( призмы)= s( Δ FCE)*CC1=(S/8)*a=
=(a^2/8)*a=a^3/8=12/8=3/2

Ответ выбран лучшим

1=sin^2x+cos^2x;
sin2x=2*sinx*cosx

cos^2x+2*sinx*cosx-3sin^2x=sin^2x+cos^2x
2sinx*cosx-4sin^2x=0
2sinx*(cosx-2sinx)=0
sinx=0 или сosx-2sinx=0

sinx=0 ⇒ x=Pik, k ∈ Z

cosx-2sinx=0 ⇒ 2sinx=cosx ⇒ Делим уравнение на cosx 2tgx=1 ⇒ tgx=1/2
x=arctg(1/2)+Pim, m ∈ Z

О т в е т. Pik, arctg(1/2)+Pim, k, m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Периметры подобных треугольников относятся как сходственные стороны
х/(х+8)=9/11
11х=9*(х+8)
11х=9х+72
11х-9х=72
2х=72
х=36
х+8=36+8=44
О т в е т. 44 см

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-2 > 0 ⇒ x > 2
{x+1 > 0 ⇒ x > -1
{x^2-x-2 > 0 ⇒ (x+1)(x-2) > 0 ⇒ (- ∞ ;-1) U (2; +∞ )

( Пояснение к ответу третьего неравенства: парабола у=x^2-x-2 выше оси Ох при
x ∈ (- бесконечность ;-1) U (2; + бесконечность ) )

ОДЗ: x ∈ (2; + бесконечность )

Применяем свойства логарифмов
log_(2)(x^2-x-2)=log_(2)(x-2) + log_(2) (x+1)

Уравнение примет вид
log_(2)(x-2) + log_(2) (x+1) - 1 -( log_(2)(x-2)) *( log_(2) (x+1))=0

Разложим на множители
(log_(2)(x-2)-1)*(1-log_(2)(x+1))=0
log_(2)(x-2)-1=0 или 1-log_(2)(x+1)=0
log_(2)(x-2)=1 или log_(2) (x+1)=1
х-2=2 или x+1=2
х=4 или x=-1 не входит в ОДЗ

О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

1)60*3=180 м прошла первая за 3 мин
2)70*3=210 м прошла вторая за 3 мин
3)180+210=390 м расстояние между домами

или
1)60+70=130 м в мин - скорость сближения
2)130*3=390 м - расстояние между ними

Ответ выбран лучшим

Слева
(1/2) =cos(Pi/3) , sqrt(3)/2=sin(Pi/3)

cos(Pi/3)*cos2x+sin(Pi/3)*sin2x=1
Формула
cos альфа *cos бета +sin альфа *sin бета =cos( альфа- бета )

cos((Pi/3)-2x)=1
или
так как косинус функция четная
сos(2x-(Pi/3))=1
2x-(Pi/3)=2Pin, n ∈ Z
2x=(Pi/3)+2Pin, n ∈ Z
x=(Pi/6)+Pin, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/6)+Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Получили четыре уравнения
1) sin2x=1
2x=(Pi/2)+2Pin, n ∈ Z
[b]x=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z[/b]

2) sin2x=-1
2x=(-Pi/2)+2Pin, n ∈ Z
[b] x=(-Pi/4)+Pin, n ∈ Z[/b]

О т в е т ы 1) и 2) можно записать вместе
[b] х=(Pi/4)+(Pi/2)*n, n ∈ Z[/b]

3)sin2x=sqrt(2)/2
2x=(-1)^k(Pi/4)+Pik, k ∈ Z
x=(-1)^k(Pi/8)+(Pi/2)k, k ∈ Z
При k=2m получим
х=(Pi/8)+(Pi/2)*2m, m ∈ Z
[b] х=(Pi/8)+Pim, m ∈ Z[/b]
При k=2m+1 получим
х=(-Pi/8)+(Pi/2)*(2m+1), m ∈ Z
х=(-Pi/8)+(Pi/2) +Pim, m ∈ Z
[b] х=(3Pi/8)+Pim, m ∈ Z[/b]

4)sin2x=-sqrt(2)/2
2x=(-1)^k(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z
x=(-1)^k(-Pi/8)+(Pi/2)k, k ∈ Z
При k=2m получим
х=(-Pi/8)+(Pi/2)*2m, m ∈ Z
[b] х=(-Pi/8)+Pim, m ∈ Z[/b]
При k=2m+1 получим
х=(Pi/8)+(Pi/2)*(2m+1), m ∈ Z
х=(Pi/8)+(Pi/2) +Pim, m ∈ Z
[b] х=(5Pi/8)+Pim, m ∈ Z[/b]

2 ответа 3) и 2 ответа 4) можно записать вместе
[b] х=(Pi/8)+(Pi/2)*n, n∈ Z[/b]

Ответ выбран лучшим

3000:100*15=450 на столько выросло число жителей в 2010 году
3450:100*20=690 на столько выросло число жителей в 2011 году
3000+450+690=4140 жителей стало проживать в квартале в 2011 году

Ответ выбран лучшим

Из этого не получится.
Если Вы решали уравнение
sinx=1/2, то общее решение пишут в виде
х=(-1)^k(Pi/6) + Pik
которое включает в себя две серии ответов
х=(Pi/6)+2Pin
(n=2k)
и
(5Pi/6)+2Pin
(n=2k+1)

см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S( прямоугольного треугольника)=(1/2)*a*b,
где a и b - катеты прямоугольного треугольника

S=(1/2)*4*11=22

Ответ выбран лучшим

1) 3 cм=30 мм; 2см 5 мм= 25 мм; 4 см 3 мм= 43 мм
Р=30+25+43=98 мм = 9 см 8 мм
2) и 3) см. рис.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x^2-4 ≠ 0
x ≠ -2 и х ≠ 2

О т в е т. (- бесконечность;-2)Г(-2;2)U(2;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

log_(x+4)(x^4+x^2+2x)*log_(x+1)(x+4)=2
ОДЗ:
{x+4 > 0; x+4 ≠ 1 ⇒x > -4; x ≠ -3
{x+1 > 0; x+1 ≠ 1⇒x > -1; x ≠ 0
{x^4+x^2+2x > 0 ⇒ x*(x^3+x+2) > 0 ⇒x*(x+1)(x^2-x+2) > 0⇒x < -1 или x > 0
ОДЗ х > 0

log_(x+1)(x+4)=1/log_(x+4)(x+1)

log_(x+4)(x^4+x^2+2x)=2log_(x+4)(x+1)

log_(x+4)(x^4+x^2+2x)=log_(x+4)(x+1)^2

x^4+x^2+2x=(x+1)^2

x^4+x^2+2x=x^2+2x+1

x^4=1
x=-1 или х=1

x=-1 не удовл ОДЗ

О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

b-3sqrt(b)=sqrt(b)*(sqrt(b)-3)
(3sqrt(b))^2+3sqrt(b)=3sqrt(b)*(3sqrt(b)+1)

(b-3sqrt(b))/((3sqrt(b))^2+3sqrt(b))=

=sqrt(b)*(sqrt(b)-3)/(3sqrt(b)*(3sqrt(b)+1))=

=(sqrt(b)-3)/(9sqrt(b)+3)

Ответ выбран лучшим

1) 240:3=80 л тратит один трактор за 4 часа
2) 80:4=20 л в час тратит один трактор
3) 400:20=20 часов на 20 часов хватит одному трактору 400 л.

Ответ выбран лучшим

cos(Pi/5)=(1+sqrt(5))/4
sin^2(Pi/5)=1-cos^2(Pi/5)=1-(1+2sqrt(5)+5)/16=
=(10-2sqrt(5))/16=(5-sqrt(5)/8
sin(Pi/5)=sqrt((5-sqrt(5))/8)

формула
sin^3 альфа =(3sin альфа -sin3 альфа )/4

a1=sin(Pi/5)
a2=3sin(Pi/5)-4(sin(Pi/5))^3=sin(3Pi/5)

a_(3)=3sin(3Pi/5)-4(sin(3Pi/5))^3=sin(9Pi/5)
a_(4)=3sin(9Pi/5)-4(sin(9Pi/5))^3=sin(27Pi/5)
a_(5)=sin(81Pi/5)=sin(Pi/5)
цикл повторится

значит
a_(2018)=sin(3^(2017)*Pi/5)=sin((3^(2016)*3)Pi/5)=
=sin(3Pi/5)=sin(2Pi/5) - синус двойного угла=

a_(1)*a_(2018)=
=sqrt((5-sqrt(5))/8)*2sqrt((5-sqrt(5))/8)*((1+sqrt(5))/4)=

=2*((5-sqrt(5))/8)*((1+sqrt(5))/4)=

=sqrt(5) *((1-sqrt(5))/4)*((1+sqrt(5))/4)=

=sqrt(5)*(1-5)/16=-sqrt(5)/4

(a_(1)*a_(2018))^2=5/16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольники ВОС и АОД подобны.
Вертикальные углы ВОС и АОД равны.
Стороны, составляющие эти углы пропорциональны
6:18=5:15

BC/AД=5/15=6/18=1/3

О т в е т. 1:3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)28*24=672 м² площадь сада
2)60+15=75 м² выделили ученикам второго класса
3) 60+75+90+90=315 м² выделили ученикам 1,2,3 и 4 классов
4)672-315=357 м² выделено под цветы и ягоды

Ответ выбран лучшим

По таблице эквивалентности бесконечно малых:
при x → 0:
sin2x ~ 2x, arctg3x~3x
(1+2x)^(1/7)-1 ~(1/7)*(2х)

lim_(x → 0)((2/7)х/3х)=2/21

Ответ выбран лучшим

T(k)=C^(k)_(220)*(8^(1/7))^(k)*((18)^(1/3))^(220-k) - формула общего члена формулы бинома.

Слагаемые являющиеся натуральными числами не должны содержать 8 в дробной степени и 18 в дробной степени.
Это возможно, если k кратно 7, (220-k) кратно 3

k=7 (220-7)=213 кратно 3
k=28 (220-28)=192 кратно 3
k=49 (220-49 )=171 кратно 3
k=70 (220-70)=150 кратно 3
k=91 (220-91)=129 кратно 3
k=112 (220-112)=108 кратно 3
k=133 (220-133)=87 кратно 3
k=154 (220-154)=66 кратно 3
k=175 (220-175)=45 кратно 3
k=196 (220-196)=24 кратно 3
k=217 (220-217)=3 кратно 3

О т в е т. 11

Ответ выбран лучшим

Решаем неравенство методом интервалов.
Разбиваем прямую на промежутки точками -sqrt(99), -sqrt(98), ... , -1, 0, 1, sqrt(2), ... , sqrt(98),sqrt(99), 10.

_+_ (-√(99)) ... (-1)_+ _ (0) _-_ (1) ... (√(99)) _-_ (10) __

О т в е т. 10

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

За 1-й и 2-й час программы
30+25=55 SMS
За 3-й и 4-й час программы
40+20=60 SMS

60-55=5
О т в е т. на 5

Ответ выбран лучшим

По свойству биссектрисы.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
АК:КВ=АС:ВС
18:10=45:ВС
ВС=10*45/18=25

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{((x-1)/(x+1,3)) > 0 ⇒ x ∈ (- бесконечность ;-1,3)U(1;+ бесконечность )

Применяем свойство логарифма степени
2log_(2)((x–1)/(x+1,3))=log_(2)((x–1)/(x+1,3))^2
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(2)((x–1)/(x+1,3))^2*(x+1,3)^2=log_(2)(x-1)^2

Неравенство примет вид
log_(2)(x-1)^2 больше или равно 2
log_(2)(x-1)^2 больше или равно log_(2)4
(x-1)^2 больше или равно 4
(x-1-2)*(x-1+2) больше или равно 0
(x-3)(x+1) больше или равно 0
x ∈ (- бесконечность ;-1)U(3;+ бесконечность )

C учетом ОДЗ
х ∈ (- бесконечность ;-1/3)U(3;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

6cos^2x-5cosx-4=0
D=25+96=121

cosx=-1/2 или cosx=4/3 не имеет корней (4/3) > 1

x= ± (2π/3)+2πk, k∈Z

б) отрезку принадлежит корень
- (2π/3)+4π=10π/3

Ответ выбран лучшим

F(x)=(x^3/3)-(-cosx)+5x+C

F(x)=(x^3/3)+cosx+5x+C

Ответ выбран лучшим

AB:A1B1=AC:A1C1=BC:B1C1

AB:A1B1=AC:A1C1 ⇒
49:A1B1=28:16
A1B1=49*16/28=28

AC:A1C1=BC:B1C1 ⇒
28:16=BC:24
BC=28*24/16=42

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
(x-2)/2 - 3/(x-2)=t
Возводим в квадрат
((x-2)^2/4) -2*((х-2)/2)*(3/(х-2)) +(9/(x-2)^2)=t^2

⇒ ((x-2)^2/4)+(9/(x-2)^2)=t^2+3

((x-2)^2/2)+(18/(x-2)^2)=2t^2+6

2t^2+6=7t+2
2t^2-7t+4=0

D =49-4*2*4=17
t1=(7-sqrt(17))/4 или t2=.(7+sqrt(17))/4

Обратная замена

(x-2)/2 - 3/(x-2)=(7-sqrt(17))/4

Решить квадратное уравнение

(x-2)/2 - 3/(x-2)=(7+sqrt(17))/4

Решить квадратное уравнение.

Но по сравнению с другими задачами этой серии получены громоздкие уравнения.
Поэтому встречала где-то похожую задачу,
кажется так:

(x–2)^2/2+18/(x–2)^2=7((x–2)/2[b]+[/b]3/(x–2))[b]-[/b]2
7((x–2)/2[b]+[/b]3/(x–2))[b]=t
(x–2)^2/2+18/(x–2)^2=2t^2-6
2t^2-6=7t-2
2t^2-7t-4=0
D=49-4*2*(-4)=49+32=81=9^2
корни
1 или 5/2

Ответ выбран лучшим

320:100*20=64 руб составляют 20%
320+64=384 руб
О т в е т. 384 руб

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{3x+1 > 0, 3x+1 ≠ 1
{x+3 > 0
{3x^2+10x+3 > 0 ⇒ (3x+1)*(x+3) > 0

x∈ (-1/3;0) U (0; + бесконечность)
В условиях ОДЗ можно заменить логарифм произведения суммой логарифмов:
log_(x+3)(3x^2+10x+3)=log_(x+3)(3x+1)*(x+3)=

=log_(x+3)(3x+1)+log_(x+3)(x+3)=

=log_(x+3)(3x+1)+1

log_(3x+1)(x+3)=1/log_(x+3)(3x+1)

Замена
log_(x+3)(3x+1)=t

Уравнение примет вид:
(1/t)-t-1=-1
(1/t)-t=0
1-t^2=0
t ≠ 0 ⇒3x+1 ≠ 1 (см. ОДЗ)

t=-1 или t=1
log_(x+3)(3x+1)=-1 или log_(x+3)(3x+1)=1
3x+1=1/(x+3) или 3x+1=x+3
3x^2+10x+3=1 или 2х=2
3x^2+10x+2=0
D=10^2-4*3*2=76
sqrt(76)=2sqrt(19)
х1=(-5-sqrt(19))/3 не входит в ОДЗ
или
x2=(-5+sqrt(19))/3 > (-1/3)
x2 входит в ОДЗ
х3=1 входит в ОДЗ

О т в е т. (-5+sqrt(19))/2; 1

Ответ выбран лучшим

S(коридора)=длина коридора* ширина коридора=

=(3+4,5-2)*2=5,5*2=11 кв м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть расстояние х км,
t час.- время прибытия по расписанию.
(х/3) час. - время, затраченное на путь со скоростью 3 км в час.
(x/3)=t+(45/60) ⇒ (x/3)-(3/4)=t

(х/4) час. - время, затраченное на путь со скоростью 4 км в час.
(x/4)=t-(15/60) ⇒ (x/4)+(1/4)=t

Приравниваем время по расписанию
(x/3)-(3/4)=(х/4)+(1/4)

(х/3)-(х/4)=(1/4)+(3/4)
х/12=1
х=12

О т в е т. 12 км

Ответ выбран лучшим

V(призмы)=S(осн.)*Р=S( Δ)*H=(1/2)a*b*sin гамма *H=
=(1/2)*4*5*sin30^(o)*12=(1/2)*4*5*(1/2)*12=60

Найдем вторую сторону
2 целых (4/5)-(3/10)=(14/5)-(3/10)=(28/10)-(3/10)=25/10=2,5

2,5+(7/20)=2,5+0,35=2,85 - третья сторона

Р=2 целых (4/5)+2,5+2,85=8,15 м

Ответ выбран лучшим

Да, конечно

Ответ выбран лучшим

v км/ч - скорость первого
(130/v) ч - время первого

(v+1) км/ч - скорость второго
(130/(v+1)) ч - время второго

По условию первый был в пути на 12 мин=12/60 часа=1/5 часа больше.

Уравнение
(130/v)-(130/(v+1))=(1/5)

130*(1/(v*(v+1)))=1/5
130*5=v^2+v
650=v*(v+1)
v^2+v-650=0
D=1+4*650=2601=51^2
v=(-1+51)/2=25 км в час - скорость первого
v+1=25+1=26 км в час - скорость второго
О т в е т. 26 км в час

Ответ выбран лучшим

Из треугольника BB1D
BB1=sqrt(6)*sin30^(o)=sqrt(6)/2

Из треугольника B1C1D
B1C1=sqrt(6)*sin60^(o)=sqrt(6)*(sqrt(3)/2)=sqrt(18)/2=
=(3/2)*sqrt(3)

Из треугольника A1B1D
A1B1=sqrt(6)*sin45^(o)=
=sqrt(6)*(sqrt(2)/2)=sqrt(12)/2=2sqrt(3)/2=sqrt(3)

V=abc=A1B1*B1C1*BB1=

=(sqrt(6)/2)*((3/2)*sqrt(3))*(sqrt(3))=9sqrt(6)/4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Легко проверить, что х=1 - корень
1-3-17+51+16-48=0 - верно

(х-1)*(x^4-2x^3-19x^2+32x+48)=0

Решаем уравнение четвертой степени
x^4-2x^3-19x^2+32x+48=0

х=-1 корень
1+2-19-32+48=0 - верно

(х+1)*(x^3-3x^2-16x+48)=0

Решаем уравнение третьей степени

x^3-3x^2-16x+48=0

х=4 - корень

64-48-64+48=0 - верно

(х-4)*(x^2+x-12)=0

Решаем квадратное уравнение

x^2+x-12=0
D=1+48=49
x=-4 или х=3

О т в е т. 1; -1; 4; -4; 3

Ответ выбран лучшим

1) Если x^2+2x-3 больше или равно 0,
|x^2+2x-3|=x^2+2x-3

Уравнение принимает вид:
x^2-x^2-2x+3=a
-2x+3=a
x=(3-a)/2

x∈(-бесконечность;-3]U[1;+бесконечность)

(3-a)/2 меньше или равно -3
а больше или равно 9

(3-а)/2 больше или равно 1
а меньше или равно 1

При любых а∈(- бесконечность;1]U[9;+бесконечность) уравнение имеет один корень

(см. так же рис.1 Прямая у= -2х+3 на
(- бесконечность;-3]U[1;+бесконечность) пересекается с прямой у= а ровно в одной точке.

2) Если x^2+2x-3 < 0, т.е x ∈(-3;1)
|x^2+2x-3|=-x^2-2x+3

Уравнение принимает вид
x^2+x^2+2x-3=a
2x^2+2x-(3+a) =0

Найдем при каких значениях а уравнение имеет 2 корня.
Как известно, квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант квадратного уравнения положителен.

D=2^2-4*2*(-(3+a))=28+8a
8a > -28
a > -3,5

x1=(-2-sqrt(28+8a))/2=-1-sqrt(7+2a) или х2=-1+sqrt(7+2a)

Причем оба корня должны быть в промежутке от (-3;1)

{-3 < -1-sqrt(7+2a) < 1
{-3 < -1+sqrt(7+2a) < 1

О т в е т. (-3,5;1]U[9;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол ∠ ABD измеряется [b]половиной [/b] дуги AD, на которую он опирается.
Значит дуга AD имеет градусную меру 76^(o)

Вписанный угол ∠ CAD измеряется [b]половиной [/b] дуги DC, на которую он опирается.
Значит дуга DC имеет градусную меру 108^(o)

Дуга АС сумма дуг AD и DC имеет градусную меру
76^(0)+108^(o)=184^(o)

Вписанный угол ∠ ABC измеряется [b]половиной [/b] дуги AC, на которую он опирается.
О т в е т. 184^(o)/2=92^(o)

Ответ выбран лучшим

1) Проводим SK⊥АС
SK - высота равнобедренного треугольника ASC
По теореме Пифагора
SK^2=SA^2-AK^2=(sqrt(33))^2-(2sqrt(3)/2)^2=33-3=30
SK=sqrt(30)

2)Проводим BK⊥АС
BK - высота равностороннего треугольника AВC
По теореме Пифагора
BK^2=AB^2-AK^2=(2sqrt(3))^2-(2sqrt(3)/2)^2=12-3=9
BK= 3

3) Из треугольника SKB находим косинус угла SKB по теореме косинусов:
cos ∠SKB=((sqrt(30))^2+3^2-7^2)/(2*3*sqrt(30))=-10/6sqrt(30) < 0
∠SKB > 90 градусов, значит основание высоты SO лежит вне треугольника АВС

4) В прямоугольном треугольнике SOK ( SO⊥ пл. АВС) острый угол SKO - смежный углу SKB
cos ∠SKO = cos(180^(o) - ∠SKB)= - cos∠SKB=10/6sqrt(30);
sin∠SKO=sqrt(1-cos^2∠SKO)=sqrt(1-(100/(36*30)))=sqrt(98/108)

SO = SK*sin∠SKO=sqrt(30)*sqrt(98/108)=(7/6)*sqrt(20)
ОК=SK*cos∠SKO= sqrt(30)*(10/6sqrt(30))=10/6=5/3

6) Из равенства прямоугольных треугольников SOA и SOC ( SO- общая высота, SA=SC по условию) следует
АО=СО
Треугольник АОС - равнобедренный. Высота ОК - одновременно медиана.

6) V( пирамиды SABCO)=(1/3)*S(четырехугольника ABCO)*SO=

=(1/3)*((S Δ ABC)+S( Δ AOC))*SO=

=(1/3)*((1/2)AC*BK + (1/2)AC*OK)*SO=

=(1/6)AC*(BK+OK)*SO=

=(1/6)*(2sqrt(3))*(3+(5/3))*(7/6)*sqrt(20)=

=(sqrt(3)/3)*(14/3)*(7/6)*2sqrt(5)

=98sqrt(15)/27 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть некоторое количество раствора равно х ед. измерения ( литров, кг, г не знаю?)
Тогда 0,35х ед измерения - количество вещества в первом растворе.
Пусть процентное содержание этого же вещества во втором растворе равно p%.
По условию второго раствора взяли столько же, т.е х ед измерения.
0,01*р*x ед измерения некоторого вещества во втором растворе.

При смешивании получили (х+х) ед раствора, содержащего 47% некоторого вещества.
0,47*(2х)=0,94х единиц вещества.
Уравнение
0,35х+0,01*р*х=0,94х
0,01р=0,59
р=59%
О т в е т. 59%

Ответ выбран лучшим

Потому что решаем неравенство
cosx > 0
Это значения от (-Pi/2) до (Pi/2) плюс период.

Ответ выбран лучшим

log_(1/3)5=1/log_(5)(1/3)

log_(1/3)5+ log_(5)(1/3)=(1/log_(5)(1/3))+log_(5)(1/3)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(3/x) > 0 ⇒ x > 0
{x^2-7x+11 > 0 ⇒ D=49-44=5 ; ( - ∞;(7 - √5)/2) U ((7 +√5)/2;+∞)
{x^2-7x+10+3/x > 0 ⇒ x^2-7x+10 > (-3/x)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(7)((3/x)*(x^2-7x+11)) ≤ log_(7) (x^2-7x+10+(3/x))

По свойству монотонности логарифмической функции
большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(3/x)*(x^2-7x+11) ≤ x^2-7x+10+(3/x);
(3/x)*(x^2-7x+10)+(3/x) ≤ x^2-7x+10+(3/x);
(x^2-7x+10)*((3/x)-1) ≤0

(x-2)(x-5)(x-3)/x больше или равно 0

_ (0) _ [2] _+_(7-√5)/2)_+_ ( c) _+_ [3] _ ((7+√5)/2) _( d ) _ [5] +_

Система четырех неравенств приводит к ответу
x ∈ [2;(7-sqrt(5))/2) U [5;+ бесконечность)

Cм. рисунки.
Парабола у=x^2-7x+10 выше гиперболы у =-3/x
при x ∈ (0; c] U [d; + бесконечность)
При 0 < x≤ c и при x≥5
x^2-7x+10+3/x > 0
так как
0 < 2 < (7-sqrt(5))/2 < c
(7+sqrt(5))/2 < d < 5

Получаем ответ.
[2;(7-sqrt(5))/2) U [5;+ бесконечность)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

h_( Δ ABC)=3 (катет прямоугольного треугольника с гипотенузой АВ=5, катетом (АС/2=4)

S( Δ ABC)=(1/2)*AC*h=(1/2)*8*3=12

r=S/p=12/(5+5+8)/2=12/9=4/3

S(круга)=Pir^2=PI*(4/3)^2=16Pi/9

S( заштрихованной области)=

=S( Δ ABC) - S ( круга)=

=12 - (16Pi/9)

Ответ выбран лучшим

Пусть событие
A - «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет»,
С = «чайник прослужит ровно два года»,
тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность события С, чайник выйдет из строя именно через два года равна нулю.

Тогда

P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),

откуда,

0,97 = P(A) + 0,89.

P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
z^2=x^2+2ixy-y^2

f(z)=x^2-y^2-9x+2ixy-9iy+4i=(x^2-9x-y^2)+i*(2xy-9y+4)

Действительная часть функции Re(f(z))=x^2-9x-y^2);
мнимая часть функции Im(f(z))=2xy-9y+4

Ответ выбран лучшим

=((x^((1/2)+1)/((1/2)+1))|^2_(1)=

=(sqrt(x^3)/(3/2))|^2_(1)=

=(2/3)(sqrt(2^3)-sqrt(1^3))=(2/3)*(sqrt(8)-1)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(x+Pi)=-sinx
cos((-3Pi/2)-x)=cos((3Pi/2)+x)=sinx

Уравнение примет вид
sin^2x-sinx=0
sinx*(sinx-1)=0
sinx=0 или sinx=1
x=πk, k∈Z или х=(π/2)+2πn, n∈Z

Указанному промежутку принадлежат корни

-7Pi/2; -3Pi; -2Pi

Ответ выбран лучшим

Треугольники АОВ и СОD равнобедренные.
ОА=ОВ=ОС=ОD=R

ОК одновременно высота и медиана равнобедренного треугольника АОВ
FR=RD=16/2=8

По теореме Пифагора из треугольника ОВК
OB^2=OK^2+BK^2
OB^2=15^2+8^2=225+64=289
OB=17.

ОА=ОВ=ОС=ОD=17

ОМ одновременно высота и медиана равнобедренного треугольника COD
CM=MD

Из треугольника СОМ по теореме Пифагора
CM^2=OC^2–OM^2
CM^2=17^2–8^2=225
CM=15
CD=2CM=30

О т в е т. 30 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Делим отрезок АВ на 7 частей и берем таких частей 6

Ответ выбран лучшим

Функция не определена в точке М(о)
Существует
lim_(M→M_(o))f(x;y)=lim_(t→0)ln(1+t)/3t=
=(1/3)lim_(t→0)in(1+t)/t=(1/3)*1=(1/3)

Доопределить функцию по непрерывности - считать значение функции в этой точке равным пределу.

f(0;4)=1/3

Ответ выбран лучшим

(x+iy)^2=x^2+i*2xy-y^2
При
x^2-y^2=0
квадрат числа х+iy является чисто мнимым числом i*2xy

x^2=y^2
или
|x|=|y|

О т в е т. при |x| = |y| или при y = ± x

Ответ выбран лучшим

y*sinx больше или равно 0 ⇒

{y больше или равно 0
{sinx больше или равно 0

cм. рис.1 пересечение зеленых полос и красной области
или

{y меньше или равно 0
{sinx меньше или равно 0

см. рис. 2 пересечение зеленых полос и красной области

О т в е т. Объединение множеств рис. 1 и рис. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sinx(x-2)=-1/2
x-2=(-1)^k*(-Pi/6)+Pik, k ∈ Z
x=2+(-1)^(k+1)*(Pi/6)+Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

При h=0

x^2+y^2-z^2=0 ⇒ z^2=x^2+y^2 - поверхность уровня h=0
конус

При h=1
x^2+y^2-z^2=1 - поверхность уровня h=1 однополостный гиперболоид x^2+y^2-z^2=1
a=1; b=1; c=1

При h=2
x^2+y^2-z^2=2
или
(x^2/2)+(y^2/2)-(z^2/2)=1 - поверхность уровня h=2 - однополостный гиперболоид (x^2/2)+(y^2/2)-(z^2/2)=1
a=sqrt(2); b=sqrt(2); c=sqrt(2)

При h=23
x^2+y^2-z^2=3
или
(x^2/3)+(y^2/3)-(z^2/3)=1 - поверхность уровня h=3 - однополостный гиперболоид (x^2/3)+(y^2/3)-(z^2/3)=1
a=sqrt(3); b=sqrt(3); c=sqrt(3)
и т.д.

Ответ выбран лучшим

Для лучшего понимания этого термина сравнивают ось Оz с высотой: чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше (высота может быть и отрицательной).

Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» ( сечения) проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость ХОУ.

Линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность без построения трёхмерного чертежа!

Область определения xy больше или равно 0 ⇒
линии уровня в 1-ой и 3-ей четвертях

z больше или равно 0 ⇒ h больше или равно 0

При
h=0
sqrt(xy)=0
xy=0
x=0 или у=0
Линия уровня на высоте h=0 - оси Ох и Оу

При
h=1
sqrt(xy)=1
xy=1 ⇒ y=1/x - гипербола
Линия уровня на высоте h=1 - гипербола у=1/x

При
h=2
sqrt(xy)=2
xy=4 ⇒ y=4/x - гипербола
Линия уровня на высоте h=2 - гипербола у=4/x

см. рис.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) ∫ ^(1)_(0) e^x dx=(e^x)|^(1)_(0) =e^(1)-e^(0)=e-1;
2)∫^(4)_(0) 4 e^(0,5x–1) dx= метод подведения под дифференциал d(0,5x-1)=0,5dx=
=(1/0,5))∫^(4)_(0) 4 e^(0,5x–1)(0,5dx)=
=2 ∫^(4)_(0) 4 e^(0,5x–1)d(0,5x-1)=
=(e^(0,5x–1))|^(4)_(0)=e^(2-1)-e^(-1)=e-(1/e)
3) ∫^(0)_(-1) 3 sqrt( 1–2х) dx=
Замена переменной
sqrt(1-2x)=t
1-2x=t^2
d(1-2x)=d(t^2)
-2dx=2tdt
dx=-tdt

При х=0 получим t=1
При х=-1 получим t=sqrt(3)

=∫^(1)_(sqrt(3)) 3 *t*(-tdt)=
=(-3t^3/3}|^(1)_(sqrt(3))=-1+3sqrt(3)

О т в е т. 3sqrt(3)-1

4)∫^(2)_(1) dx/x=(ln|x|)|^(2)_(1)=ln2-ln1=ln2-0=ln2
5) ∫^(6)_(3)3 dx/(2x–1)= метод подведения под знак дифференциала d(2x-1)=2dx

(1/2)*3*∫^(6)_(3) d(2x-1)/(2x–1)=

=(3/2)(ln|2x-1|)^(6)_(3)=

=(3/2)*(ln11-ln5)=(3/2)ln(11/5)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πk, k∈Z

4cosx*sin^3x=1-cos^2x
4cosx*sin^3x-sin^2x=0
sin^2x*(4cosx*sinx-1)=0
sin^2x=0 или 4cosx*sinx-1=0

sin^2x=0 ⇒ sinx=0 ⇒ x=Pim, m ∈ Z

4cosx*sinx-1=0 ⇒ 2sin2x=1 ⇒ sin2x=1/2
⇒ x=(-1)^n*(Pi/6)+Pis, s ∈Z, это можно записать как две серии ответов
х= (Pi/6)+2Pin ( n=2s) или х= (5Pi/6)+2Pin (n=2s+1) n∈ Z

Все корни входят в ОДЗ
О т в е т. Pim, (Pi/6)+2Pin, (5Pi/6)+2Pin, m, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

y`=(5x-14)`*sinx+(5x-14)*(sinx)`+5*(cosx)`-(4)`=

=5*sinx+(5x-14)*cosx+5*(-sinx)+0=

=5sinx+(5x-14)cosx-5sinx=

=(5x-14)cosx

y`=0

(5x-14)*cosx=0
5x-14 = 0 или сosx = 0

x=14/5 или х=(π/2)+πk, k ∈ Z

Интервалу ((π/2);π)
принадлежит х=14/5
14/5=2,8

Исследуем знак производной:

cosx < 0 при любом х ∈ ((π/2);π)

Слева от точки х=2,8 (5x -14) < 0,
справа от точки х=2,8 (5x - 14) > 0
Значит y` имеет знаки:

(π/2) __+__ (2,8) __-__ (π)

При переходе через точку х=(14/5) производная меняет знак с + на -, значит х=(14/5)=2,8 - точка максимума

у(2,8)=0+5cos(14/5)-4 =5cos(2,8)-4 - наибольшее значение функции на ((π/2);π)

Ответ выбран лучшим

Возведем в квадрат три уравнения системы:
{(5/9)+cosx=(9/16)sin^2z+cosz+(4/9)ctg^2z;
{(5/9)+cosy=(9/16)sin^2x+cosx+(4/9)ctg^2x;
{(5/9)+cosz=((9/16)sin^2y+cosy+(4/9)ctg^2y;

Cкладываем
(15/9)=9/16*(sin^2x+sin^2y+sin^2z)+(4/9)*(ctg^2x+ctg^2y+ctg^2z)

Применяем формулу ctg^2 α =(1/sin^2α) –1.
Получаем:
15/9=9/16*(sin^2x+sin^2y+sin^2z)+(4/9)·((1/sin^2x)+(1/sin^2y)+1/sin^2z)–4/9*(1+1+1)

(15/9)+(12/9)=9/16*(sin^2x+sin^2y+sin^2z)+(4/9)·((1/sin^2x)+(1/sin^2y)+1/sin^2z)
Проведем оценку правой части, применим неравенство Коши:
a+b ≥ 2√ab,
равенство достигается при a=b.
9/16*(sin^2x+sin^2y+sin^2z)+(4/9)·((1/sin^2x)+(1/sin^2y)+1/sin^2z) ≥
(2·((3/4)*(2/3)9(sinx)/sinx)+2·((3/4)*(2/3)9(siny)/siny)+2·((3/4)*(2/3)9(sinz)/sinz)=3

27/9 больше или равно 3

Возможно лишь равенство
1=(9/16)sin^2x+(4/9)*(1/sin^2x)
1=(9/16)sin^2y+(4/9)*(1/sin^2y)
1=(9/16)sin^2z+(4/9)*(1/sin^2z)

Отсюда находим sin^2x; sin^2y; sin^2z
затем cos^2x; cos^2y; cos^2z
подставляем в сумму косинусов
t=x+y
cos(x+y+z)= cos(t + z) =
= cos(t)cos(z) - sin(t)sin(z) =
= cos(x + y)cos(z) - sin(x + y)sin(z) =
= (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y))cos(z) - (sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y))sin(z) =

= cos(x)cos(y)cos(z) - sin(x)sin(y)cos(z) -sin(x)cos(y)sin(z) – cos(x)sin(y)sin(z)

Ответ выбран лучшим

8^(-5)*8^(-5)=8^(-5+(-5))=8^(-10)
8^(-10):8^(-8)=8^(-10-(-8))=8^(-2)=1/8^2=1/64

О т в е т. 1/64

Ответ выбран лучшим

168=1,8*(4200*1,4/63)*log_(2)(75-15)/(T-15)
168=168*log_(2)(75-15)/(T-15)
log_(2)(75-15)/(T-15)=1
(75-15)/(T-15)=2^1
(75-15)=2*(T-15)
60=2*(T-15)
30=T-15
T=45
О т в е т. T=45^(o) C

Ответ выбран лучшим

Применяем свойства степени с одинаковым основанием
a^(m)^(n)=a^(mn)
a^(m)*a^(n)=a^(m+n)
a^(m):a^(n)=a^(m-n)
a^(-n)=1/(a^(n))
и свойства степени с разными основаниями
(a*b)^n=a^(n)*b^(n)

1) Упрощаем числитель
(7^(3/5)*9^(2/3))^(15)=(7^(3/5))^(15)*(9^(2/3))^(15)=
=7^((3/5)*15)*9^((2/3)*15)=7^(9)*9^(10)
2) упрощаем знаменатель
63=7*9
63^9=(7*9)^(9)=7^(9)*9^(9)
3) Делим числитель на знаменатель
7^(9)*9^(10)/7^(9)*9^(9)=9
О т в е т. 9

Ответ выбран лучшим

3^(x-23^(-3)
x-2=-3
x=-3+2
x=-1
О т в е т . -1

Ответ выбран лучшим

x^3+3x^2=16x+48
x^2*(x+3)=16*(x+3) [b] заметили, что можно вынести за скобки[/b]

Переносим все влево и [b] приравниваем к 0 [/b]
x^2*(x+3)-16(x+3)=0
(x+3)*(x^2-16)=0
(x+3)*(x-4)*(x+4)=0
x+3=0 или х-4 =0 или х+4=0
х=-3 или х=4 или х=-4
О т в е т. -4 ; - 3; 4

Ответ выбран лучшим

Подкоренное выражение - квадратичная функция
ax^2+bx+c, принимающая свое наименьшее значение в точке х_(о)=(-b/2a ) - абсцисса вершины параболы

х_(o)=10/2=5

y(5)=sqrt(5^2-10*5+29)=sqrt(4)=2

Ответ выбран лучшим

(5+15) ·5 ·(90 :(3 ·3)) +(1 +1) ·5 =1010

20*5*10+10=1000+10

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2x^3-x^2=x^2*(2x-1)

Строим график у=x^2 c ''выколотой точкой (1/2; 1/4)

при с=1/2 и с меньше или равно 0

Ответ выбран лучшим

Внешний угол при вершине С и ∠ ВСА, смежные, их сумма 180 градусов.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
∠ ВАС=∠ ВСА=180 градусов - 133 градусов= 47 градусов

Ответ выбран лучшим

v(t)=S`(t)=(2t^4+3t^2–t+sqrt(t^3))`=8t^3+6t-1+(3/2)sqrt(t)
a(t)=v`(t)=(8t^3+6t-1+(3/2)sqrt(t))`=24t^2+6+(3/2)*(1/2)*(1/sqrt(t))=24t^2+6+(3/4)*(1/sqrt(t))

Ответ выбран лучшим

2х-6 > 0
2x > 6
x > 3
О т в е т. (3;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора
АС^2=AB^2-BC^2=17^2-8^2=289-64=225
AC=15

OT=r(вписанной окр.)=S/p
S=(1/2)AC*BC=(1/2)*15*8=60
p=(15+17+8)/2=20
r=60/20=3

CН=h=2S/AB=120/17
CК=р=h-r=(120/17)-3=69/17

Из подобия треугольников СMN и CAB ( MN|| AB)
MN:AB=CK:CH

MN=AB*CK/CH=69*17/120=1173/120=9 целых 93/120=9 целых 31/40=9,775

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2+6x+9+16=(x+3)^2+4^2

∫ dx/(x^2+6x+25)= ∫ dx/((x+3)^2+4^2)=
=∫ d(x+3)/((x+3)^2+4^2)=arctg((x+3)/4)+C

Ответ выбран лучшим

60^(o) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Запишем каноническое уравнение эллипса
(x^2/100)+(y^2/16)=1
a=10
b=4

Составим уравнение плоскости, проходящей через малую ось.
Общий вид уравнения
Ax+By+Cz=0
Точка (10;0;5) принадлежит плоскости, значит
А*10+В*0+С*5=0
С=-2А

Точка (0;4;0) принадлежит плоскости ⇒ В=0

Итак, уравнение плоскости
x-2z=0

V= ∫ ∫ _(по половине эллипса)(х/2) dxdy

переходим к обобщенным полярным координатам.
х=10rcos phi
y=4rsin phi
Модуль якобиана
|J|=10*4*r

0 меньше или равно r меньше или равно 1
-Pi/2 меньше или равно phi меньше или равно Pi/2

V= 200∫ ^1_(0)dr ∫ ^(Pi/2)_(-Pi/2)r*rcos phi d phi =

=200*(r^3/3)|^(1)_(0)(sin phi )|^(Pi/2)_(-Pi/2)=400/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Покрасил 40%, осталось покрасить 100%-40%=60%

207 ед. площади составляют 60%
площадь забора составляет 100%

площадь забора = 207*100:60=345 ед. площади

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
|z|=sqrt(x^2+y^2)

|3+iz|=|3+ix-y|=sqrt((3-y)^2+x^2)

sqrt(3-y)^2+x^2) меньше или равно sqrt(x^2+y^2)

Возводим в квадрат
(3-y)^2+x^2 меньше или равно x^2+y^2;

9-6y меньше или равно 0

y больше или равно 3/2

Часть плоскости хОу, расположенная выше прямой у=3/2 вместе с этой прямой

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном треугольнике АС1D катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы.
AD=12 cм
В основании призмы квадрат.
АD=DС=12
S(основания)=12^2=144 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S ( Δ )=(1/2)*a*h

1)S=(1/2)*52*16=416 кв. см

2)S=(1/2)*98*37=1813 кв. см

Ответ выбран лучшим

12/5=(10+2)/5=(10/5)+(2/5)=2 целых 2/5;

72/10=7 целых 2/10 = 7 целых 1/5

64/8=8 целых

Ответ выбран лучшим

sin(2x–(5п/2))= - sin ( (5п/2)-x) в силу нечетности синуса

=-cosx по формулам приведения

- 7cosx + 9cosx + 1 =0

2cosx=-1
cosx=-1/2
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена
(х-4)^2=t
(x-4)^4=t^2

t^2-4t-21=0
D=(-4)^2-4*(-21)=16+84=100=10^2
t1=(4-10)/2=-3 или t2=(4+10)/2=7

(x-4)^2=-3 - уравнение не имеет решений, справа положительное число, слева отрицательное

(x-4)^2=7
|x-4|=sqrt(7)
x-4=sqrt(7) или х-4=sqrt(7)
x1=4-sqrt(7) или x2=4+sqrt(7)

можно раскрыть скобки и решать как квадратное уравнение
x^2-8x+9=0
D=64-36=28
x1=4-sqrt(7) или x2=4+sqrt(7)

Ответ выбран лучшим

a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(32)=a_(1)+d*(32-1)=

=a_(1)+31d=

=65+31*(-2)=3

a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(32)=a_(1)+d*(32-1)=

=a_(1)+31d=

=-25+31*6=161

Ответ выбран лучшим

Р(прямоугольника)=2*(a+b)
S(прямоугольника)=a*b

2*(a+b)=4⇒ a+b=2
a=2-sqrt(2)
b=2-a=2-2+sqrt(3)=sqrt(3)

S=(2-sqrt(3))*sqrt(3)=2sqrt(3)-3

О т в е т. 2sqrt(3)-3

Ответ выбран лучшим

Заменим cos^2x=1-sin^2x

6*(1-sin^2x)-5sinx-2=0

6sin^2x+5sinx-4=0
Квадратное уравнение относительно синуса.
Новая переменная
t=sinx
6t^2+5t-4=0
D=25-4*6*(-4)=121=11^2
t1=(-5-11)/12=-4/3 или t2=(-5+11)/12=1/2

Обратная замена
sinx=-4/3 - уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно 1

sinx=1/2
x=(-1)^k(Pi/6)+Pik, k ∈ Z
Ответ можно записать в виде серии двух множеств
х=(Pi/6)+2Pin, n ∈ Z (k=2n)
и
х=(5Pi/6)+2Pin, n ∈ Z (k=2n+1)
(см. рис.1)
б) Указанному промежутку принадлежат корни
х=х=(Pi/6) - 2Pi= - 11Pi/6
и
х=(5Pi/6) - 2Pi= - 7Pi/6
(см. рис.2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Купили несколько кг картофеля по цене 50 руб, моркови на 5 кг больше по цене 20 руб и свеклы в 5 раз больше чем картофеля. Заплатили 460 руб.
Ск кг картофеля купили

Уравнение
50*х+20*(х+5)+10*(5х)=460

Ответ выбран лучшим

Разные треугольники обозначены разным цветом
и можно раскраску продолжить (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AB^2=AC^2+BC^2=48^2+14^2=2304+196=2500
AB=50

sin ∠ A=BC/AB=14/50=7/25

cos ∠ A=AC/AB=48/50=24/25

tg ∠ A=sin ∠ A/cos ∠ A=7/24

Ответ выбран лучшим

tg ∠ A=BC/AC
2,4=(36)/AC
AC=15

tg ∠ B=AC/CB=1/2

АВ^2=AC^2+BC^2=15^2+36^2=225+1296=1521=39^2

AB=39

sin ∠ A=BC/AB=36/39=12/13

cos ∠ A=AC/AB=15/39=5/13

sin ∠ B=AC/AB=15/39=5/13

cos ∠ B=BC/AB=36/39=12/13

Ответ выбран лучшим

z=x+iy

x=-1
y=sqrt(3)
|z|=r=sqrt((-1)^2+(sqrt(3))^2)=2
argz=phi=arctg(y/x)+Pi, если х < 0, y > 0
phi=2Pi/3

z^(1/2)=sqrt(2)*(cos((2Pi/3)+2Pik)/2+isin((2Pi/3)+2Pik)/2)

k=0
z_(o)=sqrt(2)*(cos(Pi/3) + isin(Pi/3))=
=sqrt(2)*((1/2) + isqrt(3)/2)=
= sqrt(2)/2 + isqrt(3/2)
k=1
z_(1)=sqrt(2)*(cos(4Pi/3)+isin(4Pi/3))=
=sqrt(2)*((-1/2) - isqrt(3)/2)=
= - sqrt(2)/2 - isqrt(3/2)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x+ix+y-iy=3-i
(x+y)+i(x-y)=3-i

{x+y=3
{x-y=-1
Cкладываем
2x=2
x=1
у=х+1=1+1=2

О т в е т. (1;2)

Ответ выбран лучшим

а) cos ∠ E=ED/EF 3)
б) cos ∠ F=DF/EF 4)
в) tg ∠ E=DF/ED 2)
г) tg ∠ F=ED/DF 1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=x+iy
|z|=r=sqrt(x^2+y^2)

|z|=sqrt((2sin альфа )^2+(cos альфа)^2)=

=sqrt(4sin^2 альфа +cos^2 альфа )=

=sqrt(3sin^2 альфа +1)

При альфа =0 |z|=1- наименьшее значение,
При альфа =Pi/2 |z|=sqrt(3+1)=sqrt(4)=2 - наибольшее значение.

Ответ выбран лучшим

1) Да, см. рис.1
2) Нет, см. рис. 2
Если прямые АВ и СD параллельны, то ∠ АВС= ∠ BCD - внутренние накрест лежащие. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 90 градусов - прямой угол

Ответ выбран лучшим

S(z)=k/z^2
При z=3
20=k/9
k=180

S(z)=(180/z^2)

V= ∫ ^(4)_(1)(180/z^2)dz=(-180/z)|^(4)_(1)=(-180/4)+(180/1)=
=180-45=135

Ответ выбран лучшим

Выберем систему координат с центром в одной из вершин основания обелиска, а оси Ox иOy направим вдоль сторон основания
Пусть а – длина стороны нижнего основания,
b – длина стороны нижнего основания.
Сечение рассматриваемого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Oz в точке z, представляет квадрат со сторонами параллельными сторонам оснований.
Длину стороны сечения обозначим с(z). Площадь сечения S (z) =с(z).

Из подобия
(a-b)/2 : (c-b)/2=h/(h-z)
c-b=(a-b)(h-z)/h
c=((a-b)(h-z)/h)+b=((b-a)z/h)+a
S(z)=((b-a)^2z^2/h^2)+(2(b-a)az/h)+a^2

V= ∫^(h) _(0)S(z)dz=
=(((b-a)^2/h^2)*(z^3/3)+((b-a)az^2/h)+a^2z)|^(h)_(0)=

=(h/3)*(b^2-2ab+a^2+3ab-3a^2+3a^2)=

=(h/3)(a^2+ab+b^2)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

При z=4
(x^2/9)+(y^2/3)=4 - уравнение области D - проекции тела V на плоскость хОу.
Запишем в каноническом виде
(x^2/36)+(y^2/12)=1
V= ∫ ∫_(по обл. D)( (x^2/9)+(y^2/3))dxdy.
Применяем обобщенные полярные координаты.
х=6rcos phi
y=sqrt(12)*rsin phi

0 меньше или равно r меньше или равно 1
0 меньше или равно phi меньше или равно 2Pi

Якобиан
|J|=6sqrt(12)r

(x^2/9)+(y^2/3)=(36r^2cos^2phi/9)+(12r^2sin^2phi/12)=
=4r^2*(cos^2phi+sin^2phi)

V=6sqrt(12) ∫^(2Pi) _(0)(cos^2 phi +sin^2 phi )d phi ∫ ^(1)_(0)4r^3dr=24sqrt(3)Pi

Ответ выбран лучшим

Объем тела, содержащегося между плоскостями
z = а и z = Ь, выражается формулой:
V= ∫ ^(b)_(a)S(z)dz,
где S (z) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси ординат в точке z.

Плоскость, перпендикулярная оси Оz, в точке с апликатой z пересекает гиперболоид по эллипсу x^2+y^2/4=(1+z^2)
Запишем каноническое уравнение эллипса
(x^2/(1+z^2))+(y^2/(4(1+z^2)))=1
Площадь эллипса с полуосями а и в
равна Pi*a*b8

a=sqrt(1+z^2)
b=2sqrt(1+z^2)
S(сечения)=S(z)=Pi*a*b=2*Pi*(1+z^2)

V= ∫^(3) _(0)2*Pi(1+z^2)dz=2Pi(z+(z^3/3))|^(3)_(0)=

=2Pi(3-0+(27)/(3)-0)=24Pi

Ответ выбран лучшим

Пусть в первой коробке х красных шаров,тогда во второй (7/6)х красных шаров
d(арифм. прогрессии)=(7/6)х-х=(1/6)х
Поэтому
в третьей коробке (7/6)х+(1/6)х=(8/6)х
в четвертой коробке (8/6)х+(1/6)х=(9/6)х
в третьей коробке (9/6)х+(1/6)х=(10/6)х
...
в девятой коробке (14/6)х
Всего (х+(7/6)х +... + (14/6)х)=(90/6)х=15х

В первой коробке 25% синих и значит 75% красных шаров.
х красных шаров в первой коробке составляют 75%, значит
25% (это третья часть от 75%) синих шаров это (х/3)
В третьей коробке (8/6)х красных составляют 50% шаров, значит синих тоже (8/6)х

Итак, в первой коробке (х/3) синих шаров, в третьей (8/6)х синих шаров.
Синие шары образуют геометрическую прогрессию.
Значит,
(8/6)х=(х/3)*q^2
q^2=sqrt(4)
q=2
Всего синих шаров:
(х/3)+(2х/3)+(4/3)x+(8/3)x+(16/3)x+(32/3)x+(64/3)x+(128/3)x+(256/3)x=511x
Делим эту сумму на 15.
О т в е т.
511/15

Ответ выбран лучшим

9z^2+18zy+9y^2=9(z^2+2zy+y^2)=9*(z+y)^2=
=9*(z+y)*(z+y)

Ответ выбран лучшим

Справа сумму логарифмов заменим логарифмом произведения и применим метод рационализации логарифмических неравенств:
{|2x+2| > 0 ⇒ x ≠ -1
{|2x+2| ≠ 1 ⇒ x ≠ -1/2 или х ≠ -3/2
{1-9^x > 0 ⇒ 9^x < 1 ⇒ x < 0
{1+3^x > 0 ⇒ x - любое
{(5/9)+3^(x-1) > 0 ⇒ x - любое
{(|2x+2|-1)*(1-9^x-(1+3^x)*((5/9)+3^(x-1))) < 0

Решаем последнее неравенство:
(|2x+2|-1)*(1+3^x)(1-3^x-(5/9)-(3^(x)/3)) < 0;
(|2x+2|-1)*((4/9)-4*3^(x-1)) < 0;

_+_ (-3/2) _-_ (-1) _+_ (-1/2) __-__ (0)

((-3/2);-1)U(-1/2;0)

О т в е т. ((-3/2);-1)U(-1/2;0)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{2x-1 > 0
ОДЗ: x > 1/2

log_(3)(2x-1)^3=3log_(3)(2x-1)
log^2_(3)(2x-1)^3=(3log_(3)(2x-1))^2=9log_(3)(2x-1)

9log^2_(3)(2x-1)=9log^2_(3)x

log^2_(3)(2x-1)-log^2_(3)x=0
(log_(3)(2x-1)-log_(3)x)*(log_(3)(2x-1)+log_(3)x)=0

log_(3)(2x-1)-log_(3)x=0 или log_(3)(2x-1)+log_(3)x=0
log_(3)((2х-1)/x)=0 или log_(3)(2x-1)*x=0
(2x-1)/x=1 или (2х-1)*х=1
2х-1=х или 2x^2-x-1=0 D=9
х=1 или х=-1/2 не принадлежит ОДЗ или х=1
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

Значит описка в условии, ответ с 4 по 10 включитально

Ответ выбран лучшим

1. замена cosx=t
8t^2-10t-7=0
D=100-4*8*(-7)=100+224=324=18^2
t=(10-18)/16=-1/2 или t=(10+`18)/16=7/4
cosx=-1/2 ⇒ x= ± (2π/3)+2πk, k∈Z
cos=7/4 - уравнение не имеет корней, |cosx| меньше или равно 1

2.
4*(1-sin^2x)-sinx+1=0
4sin^2x+sinx-5=0
4t^2+t-5=0
D=1-4*4(-5)=81=9^2
t=-1/2 или t=1/4
sinx=1/2 ⇒ x=(-1)^k(-Pi/6)+Pik, k ∈ Z
или
sinx=1/4 ⇒ x=(-1)^n*arcsin(1/4)+Pin, n∈ Z

3. Делим на cos^2x

3tg^x+10tgx+8=0
D=100-4*3*8=4
tgx=1 или tgx=7/3
x =(π/4)+πk, k∈Z или х=arctg(7/3) + Pin, n ∈Z

4.ctgx=1/tgx

2tg^x+5tgx-12=0
D=25-4*2*(-12)=121
tgx=-4 или tgx=3/2
x=arctg(-4)+πk, k∈Z или х=arctg(3/2)+πn, n∈Z

5.
14sin^2x-22sinx*cosx-18*(sin^2x+cos^2x)=0
Делим на (-2cos^2x)
2tg^2x+11tgx+9=0
D=121-4*2*9=49
tgx=-9/2 или tgx=-1
x=arctg(-9/2)+πk, k∈Z или х=(-π/4)+πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

y`=3z^2-(3/z)
y`(3)=3*3^2-(3/3)=27-1=26

Ответ выбран лучшим

План ''100''
102+350*0,6=102+210=312 руб

План ''0''
0,9*450=405 руб.

План ''600'' невыгоден подавно.
О т в е т. 312 руб

Ответ выбран лучшим

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Рассматриваем три трапеции ( выделены разным цветом) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Первое уравнение однородное
u^2+u*v=2v^2
u=log_(2)y
v=log_(2)x
дели на v^2
(u/v)^2+(u/v)-2=0
D=9
(u/v)=-2 или (u/v)=1
u=-2v или u=v

1)Система
{log_(2)y=-2log_(2)x⇒ y=1/x^2
{9x^2y-xy^2=1 ⇒ 9-(1/x^3)=1 ⇒ x=(1/2), а y=4
2)Система
{log_(2)y=log_(2)x ⇒ x=y
{9x^2y-xy^2=1 ⇒ 9x^3-x^3=1 ⇒ x^3=(1/8) ⇒ x=(1/2) и y=1/2

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными.
Делим на 5ху
2dx/x=dy/y
Интегрируем
∫ dy/y=2 ∫ dx/x
ln|y|=2ln|x|+lnC
y=Сx^2
О т в е т. у=Сx^2

Ответ выбран лучшим

а) ни в какой, так как 7,8 > 1
б) 3/4 > (1/2) в правой 3/4 > 2/4=1/2
в) 3/10 < (1/2)=5/10 в левой
г) 5/16 < (1/2)=8/16 в левой

Ответ выбран лучшим

0=log_(x+4)^2 1
Применяем [b]метод рационализации логарифмических неравенств [/b]

{(x+4)^2 > 0 ⇒ x ≠ -4
{(x+4)^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ -3 и х ≠ -5
{3x^2-x-1 > 0 ⇒ D=13 x < (1-sqrt(13))/6 или x > (1+sqrt(13))/6
{((x+4)^2-1)*(3x^2-x-1-1) меньше или равно 0

⇒ (x+3)(x+5)(x-1)(3x+2) меньше или равно 0

__+__ (-5) _-_ (-4) _-_ (-3) __+__ [-2/3] __-__ [1] __+__

(-5;-4) U(-4;-3)U [-2/3:-1]
О т в е т. (-5;-4) U(-4;-3)U [-2/3:-1]

Ответ выбран лучшим

Так как sin^2x=1-cos^2x,
13+(1-cos^2x) > 3a^2–a+(4a–5)cosx;
cos^2x+(4a-5)cosx+3a^2-a-14 < 0 - квадратное неравенство относительно cosx.
Замена
cosx=t,
-1 меньше или равно t меньше или равно 1
Переформулируем задачу.
При каких значениях параметра a
t^2+(4a-5)t+3a^2-a-14 < 0
имеет решения
для любого t ∈ (- бесконечность ;1)U(1;+ бесконечность )

Необходимое и достаточное условие этого требования (см. тему: расположение квадратного трехчлена относительно его корней) определяется системой неравенств

{D > 0
{f(-1) < 0, где ( f(t)=t^2+(4a-5)t+3a^2-a-14 )
{f(1) < 1
{-1 меньше или равно t_(o) меньше или равно 1
t_(o) - абсцисса вершины параболы
f(t)=t^2+(4a-5)t+3a^2-a-14

Решение системы:
{(4a-5)^2-4*(3a^2-a-14) > 0
{1-4а+5+3a^2-a-14 < 0
{1+4a-5++3a^2-a-14 < 0
{-1 меньше или равно (4а-5)/2 меньше или равно 1
определяет ответ.

Ответ выбран лучшим

с^2=a^2+b^2=40^2+9^2=1600+81=1681=41^2
c=41

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном параллелепипедеABCDA1B1C1D1 длины ребер AA1=7,AB=16,AD=6.Точка К–середина ребра C1D1.
Никаких уравнений написать нельзя.
Можно ввести систему координат. Но плоскость АВС так и будет иметь уравнение z=0

Найти угол между плоскостью 6x+8y +7z–128=0 и плоскостью z=0.
Угол между плоскостями - угол между нормальными векторами этих плоскостей.
vector{n_(1)}=vector{n_(АВС)}=(0;0;1).
vector{n_(2)}=(6;8;7).

cos(vector{n_(1),vector{n_(2))=
=(0*6+0*8+1*7)/sqrt(6^2+8^2+7^2)=7/sqrt(149)

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета для квадратного уравнения
ax^2+bx+c=0
x1 и х2 - корни,

х1+х2=-b/a
x1*x2=c/a

x1=7
7+x2=7/2
x2=-7/2

7*(-7/2)=c/2

c=-49

О т в е т. второй корень (-7/2); с=49

Ответ выбран лучшим

log_(5)(150)/(2+log_(5)6)=

=log_(5) (150)(log_(5)25+log_(5)6)=

=log_(5)150/log_(5)(25*6)=

=log_(5)150/log_(5)150=1

=

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

V= ∫ ∫ (1-y^2)dxdy= ∫^(12)_(0)dx ∫^(1) _(0)(1-y^2)dy=
=12*(y-y^3/3)|^(1) _(0)=12*(1-(1/3))=8

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Продолжение. Начало см в приложении

0 меньше или равно z меньше или равно 4
0 меньше или равно r меньше или равно 2
0 меньше или равно phi меньше или равно 2Pi

V= ∫^4 _(0)dz ∫^(2Pi) _(0)d phi ∫^(2) _(0)rdr=

=4*2Pi*(r^2/2)|^(2)_(0)=16Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Объем тела, содержащегося между плоскостями y = а и y = Ь, выражается формулой:
V= ∫ ^(b)_(a)S(y)dy,
где S (y) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси ординат в точке у.

Плоскость, перпендикулярная оси Оу, в точке с ординатой у пересекает шар по окружности x^2+z^2=(25-y^2), значит радиус этой окружности r(y)=sqrt(25-y^2)

S(сечения)=S(y)=Pir^2(y)=Pi*(25-y^2)

V= ∫^(4) _(1)Pi(25-y^2)dy=Pi(25y-(y^3/3))|^(4)_(1)=

=Pi(25*(4-1)-(64-1)/3)=54Pi

Ответ выбран лучшим

24*(5/6)=(24*5)/6=20 девочек

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/8)-(1/12)=(3/24)-(2/24)=1/24

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть ∠ 2=х, тогда ∠ 1=3х
∠ 1: ∠2=3х:х=3:1

Прямые b и с параллельны, так как соответственные углы равны ( см рис.)

Если прямые b и c параллельны, то
∠ 2+ ∠ 4 = 180 градусов.
Но ∠ 4= ∠ 1 как вертикальные, значит
∠ 2+ ∠ 1 = 180 градусов.
х+3х=180 градусов
4х=180 градусов
х=45 градусов

∠ 2=45 градусов
∠ 1= ∠ 3 = 135 градусов ( соответственные углы при параллельных прямых b и с равны) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

110 - наименьшее трехзначное число, кратное 11
242- трехзначное число, кратное 11, вторая цифра 4 равна произведению двух других 2*2

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение эллипсоида в виде
(x^2/4)+(y^2/4)+z^2=1
a=2
b=2
c=1

V=(4/3)Piabc=(4/3)Pi*2*2*1=(16/3)Pi
Cм. приложение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∫–∞0 cos3хdx=(1/3) ∫–∞0 cos3хd(3x)=

=(sin3x/3)|^0_(- бесконечность)=

=0-lim_(x → - ∞)(sin3x/3) расходится, так как
lim_(x → - ∞)sin3x не существует.

Ответ выбран лучшим

1)Функция непрерывна на отрезке [0;1].
2)Функция дифференцируема на интервале (0;1).
Значит внутри интервала (0;1) найдется такая точка с,что
f(1)-f(0)=f`(c)*(1-0)

f(x)=e^x
f(1)=e
f(0)=1

f `(x)=e^x
f `(c)=e^(c)

e - 1=e^(c)*(1-0) ⇒ e^(c)=e - 1 ⇒ c=ln(e -1)
О т в е т. c=ln(e - 1)

Ответ выбран лучшим

1)Функция непрерывная на отрезке [π/2; 3π/2]
2)Функция дифференцируема на интервале (π/2; 3π/2),
3) принимает на концах отрезка [a,b] одинаковые значения
cos(π/2)=cos(3π/2)=0

Все условия выполнены.
Значит на интервале (π/2; 3π/2) найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

с=Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Предел слева
(1/x)→ - бесконечность при x→ - 0 поэтому
lim_(x→ - 0)f(x)=[e^(- бесконечность )]=0.

Предел справа
(1/x)→ + бесконечность при x→ + 0, поэтому
lim_(x→ +0)f(x)=[e^(+ бесконечность )]=+бесконечность .

Ответ выбран лучшим

{t=x-3
{y=(x-3)^2+6*(x-3)+10

y=x^2-6x+9+6x-18+10
y=x^2+1
О т в е т. у=x^2+1

Ответ выбран лучшим

P(x_(o))=P(-1)=(-1)^3+4*(-1)^2-6*(-1)-8=1
P`(x)=3x^2+8x-6
P`(x_(o))=P`(-1)=3*(-1)^2+8*(-1)-6=-11
P``(x)=6x+8
P``(x_(o))=P``(-1)=6*(-1)+8=2
P```(x)=6
P```(x_(o))=P``(-1)=6

По формуле Тейлора
P(x)=(6/3!)(x+1)^3+(2/2!)(x+1)^2+(-4/1!)(x+1)+1

Ответ выбран лучшим

sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
1=sin^2(x/2)+cos^2(x/2)

1/sinx=(sin^2(x/2)/(2sin(x/2)*cos(x/2))+(cos^2(x/2)/(2sin(x/2)*cos(x/2))=
=(sin(x/2)/2cos(x/2)) + (cos(x/2)/2sin(x/2))

∫ dx/sinx= ∫ (sin(x/2)dx/2cos(x/2)) + ∫ (cos(x/2)dx/2sin(x/2))=
оба интеграла методом замены приводятся к интегралу ∫du/u)=-ln|cos(x/2)|+ln|sin(x/2)+C=
=ln|tg(x/2))+C

Ответ выбран лучшим

Можно и на диагонали.
S=(1/2)d_(1)*d_(2)=(1/2)*4*6=12

Ответ 12.

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=22775

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: tgx больше или равно 0 (1 или 3 четверть)

sqrt(tgx) больше или равно 0 при tgx больше или равно 0
1+sqrt(tgx) > 0
Поэтому нулю равняется только первый множитель

cosx-sin2x=0
cosx-2sinxcosx=0
cosx*(1-2sinx)=0
cosx=0 или 1-2sinx=0

cosx=0
x=(π/2)+πk, k∈Z не удовл ОДЗ, в этих точках tgx не существует
или
sinx=1/2
x=(-1)^k(π/6)+πn, n∈Z

Учитывая ОДЗ
х=(π/6)+2πm, m∈Z

О т в е т. (π/6)+2πm, m∈Z

Ответ выбран лучшим

y`=(1/3)*3x^2+2x-3
y`=x^2+2x-3

y`=0
x^2+2x-3=0
D=2^2-4*(-3)=4+12=16
x1=(-2-4)/2=-3 или х2=(-2+4)/2=1

___ (-3) ____ (1) ___

Производная - квадратичная функция, графиком является парабола, веви которой направлены вверх и пересекают ось Ох в точках -3 и 1.
Парабола ниже оси ох между этими точками, ставим -
на других промежутках +

_+__ (-3) __-__ (1) __+_

Применяем достаточное условие экстремума.
Если при переходе через точку производная меняет знак с + на -, то это точка максимума.
х=-3 - точка максимума
х=1 - точка минимума.

Доп. точки
х=3 у=9
х=0 у=0

График см на рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Косинус - функция четная.
Поэтому
cos(2a-5Pi)=cos(5Pi-2a)
Период косинуса 2Pi
Это означает, что
cosx=cos(x+2Pi)=cos(x-2Pi) ...=cos(x+4Pi)=cos(x-4Pi)

Поэтому
cos(4Pi+Pi-2a)=cos(Pi-2a)
По формулам приведения
cos(Pi-2a)=-cos2a
cos2a=cos^2a-sin^2a=cos^2a-(1-cos^2a)=2cos^2a-1
-cos2a=1-2cos^2a=1-2*(-sqrt(0,5))^2=1-2*0,5=0

Ответ выбран лучшим

49=7^2=((sqrt(7))^2)^2=(sqrt(7))^4

log_(sqrt(7))sqrt(7)^4=4log_(sqrt(7))sqrt(7)=4*1=4

(log_(sqrt(7))49)^2=(log_(sqrt(7))(sqrt(7)^4))^2=4^2=16

Ответ выбран лучшим

В прямоугольных треугольниках
САА1 и АНВ1 угол САА1 - общий
О т в е т. ∠ АНВ= ∠ АСВ=20 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Четырехугольник AQPC вписан в окружность, суммы противолежащих углов равны 180 градусов.
∠ ВАС+ ∠ QPC=180^(o)
Углы
∠ BPQ и ∠ OPC - смежные, их сумма 180 градусов.
Поэтому ∠ ВАС= ∠ BPQ
Аналогично
∠ ВСА= ∠ BQР

Треугольник АВС и AQP подобны по двум углам.
АС:QP=AB:BP=BC:BQ

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Поэтому
AE:EP=AB:BP(=AC:QP)
и
FC:QF =BC:BQ(=AC:QP)

AE:EP=FC:QF
AE:7=9:6
AE=7*9/6=10,5
О т в е т. 10,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cosx*(2cosx+tgx)=1
Раскрываем скобки слева:
cosx*2cosx+cosx*tgx=1
cosx*2cosx+cosx*(sinx/cosx)=1
2cos^2x+sinx=1
Заменим сos^2x=1-sin^2x

2-2sin^2x+sinx=1
Квадратное уравнение
2sin^2x-sinx-1=0

далее все должно быть понятно

Ответ выбран лучшим

Четырехугольник AQPC вписан в окружность, суммы противолежащих углов равны 180 градусов.
∠ ВАС+ ∠ QPC=180^(o)
Углы
∠ BPQ и ∠ OPC - смежные, их сумма 180 градусов.
Поэтому ∠ ВАС= ∠ BPQ
Аналогично
∠ ВСА= ∠ BQР

Треугольник АВС и AQP подобны по двум углам.
АС:QP=AB:BP=BC:BQ

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Поэтому
AE:EP=AB:BP(=AC:QP)
и
FC:QF =BC:BQ(=AC:QP)

AE:EP=FC:QF (меняем местами средние члены пропорции)
AE:FC=EP:QF=11:4
О т в е т. 11:4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=2cosx-sin2x*(2x)`
y`=2cosx-2sin2x
y`=0
2cosx-4sinx*cosx=0
2cosx*(1-2sinx)=0
cosx=0 или 1-2sinx=0

cosx=0
x1=Pi/2; x2=3Pi/2
или
sinx=1/2
x3=Pi/6 ; x4=5Pi/6

[0] _+_ (Pi/6) _-_ (Pi/2) _+_ (5Pi/6) _-_ (3Pi/2) _+_ [2Pi]

Возрастает на [0;Pi/6] ; на [Pi/2; 5Pi/6]; на [3Pi/2; 2Pi]
Убывает на [Pi/6; Pi/2]; на [5Pi/6; 3Pi/2]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg ∠ NOE=NE/OE
OE=NE/tg60^(o)=2/sqrt(3)=2sqrt(3)/3
ОЕ=r=asqrt(3)/6
asqrt(3)/6=2sqrt(3)/3
a=4

V=(1/2)a^2*sin60^(o)*AA1=(1/2)*16*(sqrt(3)/2)*2=
=8sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

V=S(осн)*Н
V=(1/2)a^2*sin60^(o)*AA1
8sqrt(3)=a^2sqrt(3)/2
a^2=16
a=4

ОС=a*sqrt(3)/3=4sqrt(3)/3

О т в е т.4sqrt(3)/3

Ответ выбран лучшим

СС1=С1О/2= 2 sqrt(3) - катет против угла в 30^(o)

CO=sqrt((4sqrt(3))^2-(2sqrt(3))^2)=sqrt(48-12)=sqrt(36)=6

CO=R=asqrt(3)/3

asqrt(3)/3=6 ⇒ a=6sqrt(3)

V=S(осн)*Н=(1/2)a^2*sin60^(o)*CC1=
=(1/2)*(6sqrt(3))^2*(sqrt(3)/2)*2sqrt(3)=
=162

Ответ выбран лучшим

Площадь треугольника по формуле Герона равна 84.
р=(13+14+15)/2=21
р-а=21-14=7
р-b=21-15=6
p-c=21-13=8
S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))=sqrt(21*7*6*8)=84
CO=R=a*b*c/(4S)=(13*14*15)/4S=65/4

Из треугольника СОС1
СС1=СО*tg 30^(o)=65*(sqrt(3))/12

V=S(осн.)*Н=84*(65sqrt(3))/12=455*sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

sin4x=2sin2x*cos2x

Уравнение принимает вид
2sin2x*cos2x/(сos2x)=2sinx
{2sin2x=2sinx
{cos2x ≠ 0 ⇒ 2x≠ (Pi/2)+Pim, m ∈ Z ⇒
x≠ (Pi/4)+(Pi/2)m, m ∈ Z

Решаем первое уравнение системы
2sin2x=2sinx;
4sinxcosx-2sinx=0
2sinx*(2cosx-1)=0
sinx=0 или 2cosx-1=0

sinx=0 ⇒ x=Pik, k ∈ Z

2cosx-1=0 ⇒ cosx=1/2 ⇒ x= ± (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

а) О т в е т. Pik, ± (Pi/3)+2Pin, k, n ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни

-Pi/3; 0; Pi/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АА1В1В- квадрат.
АВ=ВВ1=2
Основание призмы правильный треугольник со стороной 2
V=S(осн.)*Н=(1/2)a^(2) sin60^(o)*ВВ1=
=(1/2)*2^2*(sqrt(3)/2)*2=2 sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

С1О- биссектриса треугольника С1ОС
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
С1С:С1О=СМ:МО=1:3
СС1=12*1/3=4
По теореме Пифагора
СО=sqrt(12^2-4^2)=sqrt(128)=8sqrt(2)
CО=R=asqrt(3)/3 ( радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной а)
asqrt(3)/3=8sqrt(2)
a=8sqrt(6)

V=S(осн)*Н=(1/2)a^2*sin60^(о) *CC1=
=(1/2)*(8sqrt(6))^2*(sqrt(3)/2)*4=
=384sqrt(3)

О т в е т. =384sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

asinx+bcosx=c
Уравнение решают методом введения вспомогательного угла.
Делят уравнение на sqrt(a^2+b^2).

Делим данное уравнение на 26
(24/26) cosx-(10/26)sinx=13/26
или
(12/13) cosx-(5/13)sinx=1/2
Обозначив
сos phi =12/13 ⇒ phi = arccos(12/13)
sin phi =5/13
получим слева
сos phi *cosx-sin phi *sinx=cos(x+ phi )

cos(x+ phi )=1/2
(x+ phi )= ± arccos(1/2)+2Pik, k ∈ Z
x=± arccos(Pi/3)-phi+2Pik, k ∈ Z
x=± arccos(Pi/3)-arccos(12/13)+2Pik, k ∈ Z
О т в е т. ± arccos(Pi/3)-arccos(12/13)+2Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

много. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А(-4/5) _ _ _ _ (0) _ _ _ В(3/5)
АВ=из координаты точки В вычитаем координату точки А
(3/5)-(-4/5)=(3/5)+(4/5)=7/5=1,4

С(3/2) _ _ _ _ (2) _ _ _ _ (3) _ _ Д(3,5)

CД= 3,5-(3/2)=3,5-1,5=2

КС=(3/2)-(-3,5)=1,5+3,5=5

КМ=2,5-(-3,5)=6

СМ=2,5-1,5=1

Ответ выбран лучшим

нет, именно 0,5

Ответ выбран лучшим

_+__ (-2) __-__ (8) _+__

О т в е т. (- бесконечность;-2) U(8;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

1) (3/4)+(7/25)=(75/100)+(28/100)=103/100=1,03
2) см. рис.
3) см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вычислим первую производную функции:
y'=((х – 2)^2)'·е^(x–5)+(х – 2)^2·(е^(x–6))'=
=2(x–2)·(x–2)'·e^(x–5)+(x–2)^2·e^(x–5)·(x–5)'=
=2(x–2)·e^(x–5)+(x–2)^2·e^(x–5)=
=e^(x–5)·(x–2)·(2+x–2)=e^(x–5)·(x–2)·x

Приравняем производную к нулю и найдём точки возможных экстремумов функции
(x–2)·x=0
x=2 или х=0
Применяем достаточное условие экстремума.
В окрестности точки производная меняет знак с ''+'' на ''–'' = > x=0 – точка максимума функции.
В окрестностях точки х=2 производная меняет знак с ''–'' на ''+'' = > x=2 – точка минимума функции.

Ответ выбран лучшим

f(g(x))=(-2x-3)^2+3*(-2x-3)+1=4x^2+12x+9-6x-9+1=
=4x^2+6x+1

Ответ выбран лучшим

a_(n) = a_(1) + (n – 1) d

a_(1)=-25
a_(2)=-19

a_(2)=a_(1)+d ⇒ d=a_(2)-a_(1)=-19-(-25)=6

30=-25+(n-1)*6
(n-1)*6=55
n-1 ≠ 55/6 , так как 55/6 не является натуральным числом.
О т в е т. не является

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{x+6 > 0
x ∈ (0;+ бесконечность )

Основание показательной функции
(2^x+3*2^(-x)) > 1 при любом х, так как решая данное неравенство методом замены переменной:
2^x=t; t > 0
2^(-x)=1/t
Получаем неравенство
(t+(3/t)) > 1
(t^2-t+3)/t > 0 - верное при любом t > 0
D=1=4*3 < 0
t^2-t+3 > 0 при любом t

Pyfxbn функция y=(2^x+3*2^(-x)) возрастает,
1=(2^x+3*2^(-x))^0
и
(2^x+3*2^(-x))^(2log_(2)x-log_(2)(x+6) ) > (2^x+3*2^(-x))^0
Значит
2log_(2)x-log_(2)(x+6) > 0

log_(2)x^2/(x+6) > log_(2)1

x^2/(x+6) > 1
(x^2-x-6)/(x+6) > 0

x^2-x-6=0
D=1+24=25
x1=(1-5)/2=-2 или х2=(1+5)/2=3

_-__ (-6) __+__ (-2) ___-__ (3) __+__

С учетом ОДЗ x > 0
получаем
О т в е т. (3;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Дробь равна 0 тогда и только тогда когда числитель дроби равен 0, а знаменатель отличен от 0.
{2-3sinx-cos2x=0
{6x^2-Pix-Pi^2 ≠ 0

Решаем первое уравнение
Так как cos2x=1-2sin^2x, то

2-3sinx-1+2sin^2x=0
2sin^2x-3sinx+1=0
Квадратное уравнение
t=sinx
2t^2-3t+1=0
D=9-4*2*1=9-8=1
t1=(3-1)/4=1/2 или t2=(3+1)/4=1

sinx=1/2
⇒ x=(-1)^(k)(π/6)+πk, k∈Z , что можно записать в виде серии двух ответов
х= (π/6)+2πn, n∈Z ( при k - четных, k=2n)
или
х= (5π/6)+2πn, n∈Z ( при k - нечетных, k=2n+1)

sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πk, k∈Z

Решаем второе неравенство системы
Для этого решим уравнение
6x^2-Pix-Pi^2=0
D=(-Pi)^2-4*6*(-Pi^2)=Pi^2+24Pi^2=25Pi^2
x1=(Pi-5Pi)/12=-4Pi/12=-Pi/3 или x2=Pi/2

Значит, второе неравенство системы исключает корни
х=-Pi/3 и х=Pi/2

О т в е т. а) (π/6)+2πn, (5π/6)+2πn, n∈Z

(π/2)+2πk, k∈Z, k ≠ 0

б) Указанному промежутку принадлежит корень
(π/6)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V( шара) = (4/3) Pi R^3

V1( шара) = (4/3) Pi R1^3
V2( шара) = (4/3) Pi R2^3
V3( шара) = (4/3) Pi R3^3

V1+V2+V3= (4/3) Pi(R1^3+R2^3+ R3^3)=

=(4/3) Pi(3^3+4^3+5^3)=

=(4/3) Pi(27+64+125)=(4/3) Pi*(216)

V=V1+V2+V3

(4/3) Pi R^3=(4/3) Pi*(216)

R^3=216
R=6

О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

Треугольник АОС - равнобедренный АО=OC=R
∠ OAC= ∠ OCA=66 градусов
∠ AOC=180 градусов - ∠ OAC - ∠ OCA=
=180 градусов - 66 градусов - 66 градусов=48 градусов

Сумма смежных углов АОС и ВОС равна 180 градусов.

∠ ВОС = 180 градусов - ∠ AOC=180 градусов - 48 градусов = 132 градусов

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
∠ОВТ = ∠ОСТ = 90 градусов

Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов.
Значит
∠ ВОС + ∠ ВТС = 180 градусов
∠ ВТС=180 градусов - ∠ ВОС= 180 градусов - 132 градусов= 48 градусов
О т в е т. 48 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А1 - из первой корзины вынут белый шар
р(А1)=3/5
А2 - из второй корзины вынут белый шар
р(А2)=1/6

В1 - из первой корзины вынут черный шар
р(В1)=2/5
В2 - из второй корзины вынут черный шар
р(В2)=5/6

С- из корзин вынуты шары разного цвета
белый из первой, черный из второй или черный из первой, белый из второй

С= А1B2+A2B1
p(C)=(3/5)*(5/6)+(2/5)*(1/6)=(15/30)+(2/30)=17/30≈0,57
О т в е т. 17/30≈0,57

Ответ выбран лучшим

5+3=8
24:8=3 клетки в одной части

3*5=15 клеток одного цвета
3*3=9 клеток другого

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

от (-Pi/2) + период до (-Pi/3) + период
О т в е т. [(-Pi/2) + Pik; до (-Pi/3) + Pik], k ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

c^2=(5sqrt(2))^2+8^2-2*5sqrt(2)*8*cos135 градусов;
с^2=50+64+80=194
c=sqrt(194)

Ответ выбран лучшим

По теореме синусов из треугольника АВD:
45/sin 67 градусов= 42/sin ∠ BDA

sin ∠ BDA= (42/45)* sin 67 градусов= 0,859
∠ BDA= 59,2 градусов или ∠ BDA= 120,8 градусов

Если ∠ BDA= 59,2 градусов
∠ BAD= 180 градусов - ∠ АBD-∠ BDA=
=180 градусов - 76 градусов -59,2 градусов =53,8 градусов

По теореме синусов
BD= 45*sin53,8 градусов/sin 67 градусов =39,4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ С=180 градусов - ∠ А - ∠ В= 180 градусов - 28 градусов - 53 градусов= 99 градусов
Применяем теорему синусов
ВС=42*sin 28 градусов/sin 99 градусов ≈ 20
АС=42*sin 53 градусов/sin 99 градусов ≈ 34

СН=ВС*sin ∠ B= 20*0,4694 ≈ 9,4

Ответ выбран лучшим

∛(х^2)=x^(2/3)
sqrt(x)=x^(1/2)
1/(x^(1/2))=x^(-1/2)

(5-∛(х^2))/sqrt(x)=(5-x^(2/3))/x^(1/2)=(5-x^(2/3))*x^(-1/2)=
=5x^(-1/2)-x^((2/3)*x^((-1/2))=
=5x^(-1/2)-x^((4/6)-(3/6))=
=5x^(-1/2)-x^(1/6)

∫ (5-∛(х^2))dx/sqrt(x) =∫ (5x^(-1/2)-x^(1/6))dx=

=5*x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1) - (x^(1/6)+1)/((1/6)+1) + C=

=5*x^(1/2)/(1/2)) - (x^(7/6))/(7/6) + C=

=10sqrt(x) -(6/7)*x*x^(1/6) + C

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Умножение АВ невозможно, количество столбцов (3)матрицы А должно быть равно количеству строк матрицы В(2)
ВА см приложение 1
2) -1*(1*4-(-3)*1)+0+2*(3*(-3)-2*1)=
=-1*7+2*(-11)=-29 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∫ e^( cosx)* sin x dx =замена переменной
cosx=t
(cosx)`dx=dt
-sinxdx=dt ⇒ sinxdx = - dt

∫ e^( cosx)* sin x dx= ∫ e^(t)*(-dt)=- ∫ e^(t)dt=-e^(t)+C=

=-e^(cosx) + C

О т в е т. -e^(cosx) + C

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
sin(π+x)=-sinx
sin((π/2)+x)=cosx

2*(-sinx)*(cosx)=sinx;
-2sinx*cosx - sinx=0
sinx*(-2cosx -1)=0
sinx=0 или -2 cosx-1=0

sinx=0 ⇒ x=πn, n∈Z

-2 cosx-1=0 ⇒ cosx =- 1/2 ⇒ x=± (2π/3)+2πk, k∈Z

О т в е т. πn, ± (2π/3)+2πk, n, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Обозначим
y=(lnx)^(1/x)
Найдем
lny=ln ((lnx)^(1/x))
По свойству логарифма степени
lny=(1/x)*ln (lnx)

lim_(x→+∞)lny=lim_(x→+∞)(ln(lnx))/x
Неопределенность (+ бесконечность / +бесконечность)
Применяем правило Лопиталя
=lim_(x→+∞)(ln(lnx))`/(x)`=
=lim_(x→+∞)(1/(lnx))*(lnx)`/1=
=lim_(x→+∞)(1/(xlnx))=0

lim_(x→+∞)lny=0 ⇒ lim_(x→+∞)y=e^0=1

Ответ выбран лучшим

a)xy-2y=y*(x-2);
б) x^2-10x+25=(x-5)^2=(x-5)*(x-5)

Ответ выбран лучшим

у`=(x^2+24x+24)`е+24
y`=(2x+24)e
у`=0
2x+24=0
x=-12

__–_ (-12)__+__

x=-12– точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
у(-12)=((-12)^2+24*(-12)+24)*e + 24 =
=-120e+24 – наименьшее значение функции

Ответ выбран лучшим

1.
а)2z^2+bx-5=0
D=b^2-4*2*(-5)=b^2+40
При b= ± 3 дискриминант D=49 > 0 уравнение имеет два корня.
б)
При b=3
x1=(-3-7)/4=-5/2 или х2=(-3+7)/4=1

в)
При b=-3
x1=(3-7)/4=-1 или х2=(3+7)/2=5/2

2.
Пусть 2х книг - школьные учебники, 3х - художественная литература
2х:3х=2:3
По условию 2х меньше 3x на 150
Уравнение
3х-2х=150
х=150

2х=300 книг - школьные учебники
3х=450 книг - художественная литература

300+450=750 книг в библиотеке.

3.
а)Подставим координаты точек в уравнение
{1=-2m+n
{11=3m+n

Вычитаем из второго первое
10=5m
m=2
n=11-3m=11-6=5

y=2x+5

б) ((x^2+7)/(3x-1))-x=3
(x^2+7)/(3x-1)=3+х
{x^2+7=(3x-1)*(3+x)
{3x-1≠ 0

{x^2+7=9x-3+3x^2-x
{x≠ 1/3

Решаем первое уравнение:
2x^2+8x-10=0
x^2+4x-5=0
D=16-4*(-5)=36
x1=(-4-6)/2=-5 или х2=(-4+6)/2=1
x1≠1/3 и х2 ≠ 1/3 О т в е т. -5;1

Ответ выбран лучшим

∛(x^2)+∛х =6
Квадратное уравнение относительно ∛х
t^2+t-6=0
D=1-4*(-6)=25
t1=(-1-5)/2=-3 или t2=(-1+5)/2=2

∛x=-3 или ∛x=2
x=(-3)^3 или х=2^3
x=-27 или x=8

О т в е т. -27; 8

Ответ выбран лучшим

2*∛(x^2)-5∛x +2=0
Квадратное уравнение относительно ∛х
2t^2-5t+2=0
D=25-4*2*2=9
t1=(5-3)/4=1/2 или t2=(5+3)/4=2

∛x=(1/2) или ∛x=2
x=(1/2)^3 или х=2^3
x=1/8 или x=8

О т в е т. (1/8); 8

Ответ выбран лучшим

cos^ альфа =1-sin^2 альфа 1-(1/2)^23/4
cos альфа= ± sqrt(3)/2
+ или - зависит от того в какой четверти угол.
Если речь об остром угле прямоугольного треугольника, то
cos альфа =sqrt(3)/2
tg альфа =sin альфа /cos альфа =1/sqrt(3)
ctg альфа =cos альфа /sin альфа =sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
7Pi/2=(4Pi+3Pi)/2=2Pi+(3Pi/2)
sin(x+2Pi)=sinx ( 2Pi- период синуса)

sin(7Pi/2+x)=sin(2Pi+(3Pi/2)+x)=sin((3Pi/2)+x)=-cosx

(3Pi/2)+x в 4-й четверти

О т в е т. -cosx

Ответ выбран лучшим

f(x) =x^3–x+cos(3x–2), x_(o)= 2
f'(x) = 3x^2-1-3sin(3x-2)
f'(2) = 12-1-3sin4=11-3sin4
f(2) = 8-2+cos4=6+cos4
Уравнение касательной:
y = f(x_(о)) + f'(x_(о))(x – x_(о))
Подставляем найденные значения:
y = 6+cos4+ (11-sin4)(x – 2)
y=(11-sin4)x-16+2sin4+cos4

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin((3π/2)–x)=-cosx
cos((3π/2)+x)=sinx

sqrt(2)*(-cosx)(sinx)-cosx=0
cosx*(-sqrt(2)*sinx-1)=0
cosx=0 или sinx=-1/sqrt(2)
x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z или х=(-1)^(k+1)*(Pi/4)+Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

BC=AB*sin ∠ A=25*0,28=7
По теореме Пифагора
АС^2=AB^2-BC^2=25^2-7^2=625-49=576=24^2
AC=24
cos ∠ B=sin ∠ A=BC/AB=7/25=0,28
cos ∠ A=sin ∠ B=AC/AB=24/25=0,96
tg ∠ A=sin ∠ A/cos ∠ A=7/24
tg ∠ B=24/7

Ответ выбран лучшим

120:6+80=20+80=100

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8+x=2^3
x=8-8
x=0

Ответ выбран лучшим

а)По формулам приведения
[m]cos(\frac{11\pi}{2} + x)=sinx [/m]

[m]\frac{5}{sin^2x} – \frac{3}{sinx} –2=0[/m]

Приводим к общему знаменателю

[m]\frac{-2sin^2x-3sinx+5}{sin^2x}=0[/m]

[m]2sin^2x+3sinx-5=0[/m]

квадратное уравнение
D=9-4*2*(-5)=49
sinx=(-3-7)/4=-5/2 уравнение не имеет корней в силу ограниченности синуса
или
sinx-(-3+7)/4=1
x= [m]\frac{\pi}{2}+2\pi k[/m], k ∈ Z

б)(Pi/2)+2Pi=5Pi/2 - принадлежит указанному промежутку

Ответ выбран лучшим

cos^2 альфа =1-sin^2 альфа =1-(-3/5)^2=1-(9/25)=16/25
cos альфа =4/5, так как угол альфа в 4-ой четверти, косинус в четвертой четверти положительный.
tg альфа =sin альфа /cos альфа =-(3/5)/(4/5)=-3/4
ctg альфа =1/tg альфа =-4/3

Ответ выбран лучшим

2^4=16
2^2=4
16sinx+20sinx-14=0
36sinx=14
sinx=7/18
x=arcsin(7/18)+2Pik, k ∈ Z или х=(Pi-arcsin(7/18))+2Pin, n ∈ Z
О т в е т. arcsin(7/18)+2Pik; (Pi-arcsin(7/18))+2Pin, k, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Умножаем второе на (–2) и складываем ( значит это способ сложения)
{2x+5y=1
{–2x+12y=16

{17у=17
{x-6y=-8

{у=1
х=–8+6*1

{y=1
{x=–2

От в е т. х=–2 у=1

Ответ выбран лучшим

z=4-3i
x=4
y=-3
|z|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(4^2+(-3)^2)=sqrt(25)=5
arg z= phi
tg phi=y/x=-3/4
phi=arctg(-3/4)

sqrt(z)=(5*cos(phi+2Pik)+isin(phi+2Pik))^(1/2)=

=sqrt(5)*(cos(phi+2Pik)/2)+isin(phi+2Pik)/2)), k ∈ Z
phi=arctg(-3/4)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть ручей находится на расстоянии х км от А, значит на расстоянии (15-х) км от Б
9:10+(x/4)=11:00+(15-х)/5
(9х)/20=4 целых 5/6
9х/20=29/6
27х=290
x=290/27

9:10+ (290/(27*4))=9:10+(145/54)=9:10+2часа (37/54)=
=11 часов 46/54= 11часов 23/27

11:00+(15-(290/27))/5=11:00+(115/135)=11:00+(23/27)=11 часов 23/27

Ответ выбран лучшим

S=∫^(1)_(0)(x^2-2x+1)dx=((x^2/3)-x^2+x)|^(1)_(0)=(1/3)-1+1=1/3 (прикреплено изображение)

Выделяем полный квадрат в знаменателе
x^2-4x+8=(x^2+4x+4)+4=(x+2)^2+4
Замена переменной
x+2=u
x=u-2
dx=du

= ∫ (u+1)du/(u^2+4)= ∫ udu/(u^2+4)+ ∫1*du/(u^2+4)=
=(1/2)ln |u^2+4|+arctg(u/2)+C=
= (1/2)ln |x^2+4x+8|+arctg((x-2)/2)+C

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

=10*7-9*20=70-180=-110

Ответ выбран лучшим

log_(2)0,5=log_(2)2^(-1)=-1*log_(2)2=-1

Ответ выбран лучшим

y`=38-(38/cos^2x)=38*(cos^2x-1)/cos^2x=-38sin^2x/cos^2x=
=-38tg^2x < 0 при любом х из отрезка [0; π/4]
Функция убывает на [0; π/4]
Наибольшее значение принимает в левом конце промежутка.
y(0)=20

Ответ выбран лучшим

1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подставляем данные в формулу

(1/2)=(1*d_(2)*(1/3) )/2

Умножаем обе части равенства на 2

1=1*d_(2)*(1/3)

d_(2)=1/(1/3)=1*(3/1)=3

Ответ выбран лучшим

x^2+px+q=(x-x1)*(x-x2)
х1 и х2 - корни квадратного трехчлена x^2+px+q

x2+11x+28=0
D=11^2-4*28=121-112=9
x1=(-11-3)/2=-7 или х2=(-11+3)/2=-4

x^2+11x+28=(x+7)·(x+4)

О т в е т. x^2+11x+28=(x+7)·(x+4)

6*7*4=168 - наименьшее трехзначное число, которое делится на 6; 7 и 8

168+3=171 -наименьшее трехзначное число, которое при делении на 6; на 7 и на 8 даст в остатке три.

Ответ выбран лучшим

(1,8–1,9)*3,7=-0,37

1,8 - 1,9 = - 0,1

Ответ выбран лучшим

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты k.

Прямая y=4x–5 имеет угловой коэффициент k = 4

Значит угловой коэффициент касательной тоже равен 4

Геометрический смысл производной функции в точке:
f`(x_(o))=k

f(x)=x^2+2x
f`(x)=2x+2
f`(x_(o))=2x_(o)+2
2x_(o)+2=4
2x_(o)=2
x_(o)=1

f(x_(o))=f(1)=1^2+2*1=3

Уравнение касательной
у-3=4*(х-1)
у=4х-1

Прямая у=4х-1 пересекает оси координат в точках
(0;-1) и (1/4;0)

S( Δ)=(1/2)*a*b=(1/2)*1*(1/4)=1/8

О т в е т 1/8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg альфа =- tg(180- альфа )=-2/2=-1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

давление
P= F/S =m*g/S
Пусть а - ребро куба, тогда масса
m = ρ*V = ρ*a³
V(куба)=a³
поэтому
m = ρ*V = ρ*a³
площадь опоры- площадь квадрата
S = a²

⇒
a=30 cм=0,3 м
ρ=2000 кг/м³

P = ρ*a³*g / a² = ρ*a*g = 2000*0,30*10 = 6 000 Па = 6 кПа

Ответ выбран лучшим

В)
х=3
Функция принимает наименьшее значение там, где наименьшее значение принимает квадратный трехчлен
x^2-6x+8
Квадратный трехчлен x^2-6x+8 принимает наименьшее значение в вершине параболы х_(о)=-b/2a=6/2=3

или
находим производную
(g(x))`=(x^2-6x+8)`=2x-6
Приравниваем ее к нулю
2х-6=0
х=3

Ответ выбран лучшим

4) cos альфа =(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=

=(25+81-4*13)/(2*5*9)=54/90=0,6

5) tg альфа > 0
tg бета < 0
tg альфа > tg бета

sin альфа ≈ 0,8
sin бета ≈ 0,2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(поверхности)=6a^2, где а – сторона ( ребро) куба.
6a^2=96
a^2=16
a=4

V( куба)=a^3
V=4^3cм^3=64 cм3=0,000064м3
в 1 м =100 см
в 1 м^3=100*100*100=1000000 cм^3
1 cм^3=0,000001 м^3
64 cм^3=0,000001*64=0,000064 м^3

m=p·V=700·0,000064 кг=0,0448 кг=44,8 г≈45 г
1 кг=1000 г
0,0448*1000=44,8 кг
О т в е т. 45 г

Ответ выбран лучшим

(1–ctg^215 градусов)/2ctg15 градусов=-ctg30 градусов=- sqrt(3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

. (прикреплено изображение)

S(поверхности)=6a^2, где а - сторона ( ребро) куба.
6a^2=96
a^2=16
a=4

V(куба)=a^3

V=4^3cм^3=64 cм^3=0,000064 м3
в 1 м =100 см
в 1 м^3=100*100*100=1000000 cм^3
1 cм^3=0,000001 м^3
64 cм^3=0,000001*64=0,000064 м^3

m=p·V=700·0,000064 кг=0,0448 кг=44,8 г≈45 г
1 кг=1000 г
0,0448*1000=44,8 кг
О т в е т. 45 г

Ответ выбран лучшим

x*(x^3-8x^2+20x-48) > 0
x*(x^3-6x^2-2x^2+12x+8x-48) > 0
x*(x-6)*(x^2-2x+8) > 0 ( D кв. трехчлена x^2-2x+8 отрицат !)
x*(x-6) > 0
___+_ (0) ____ (6) _+___
О т в е т. (- бесконечность ;0)U(6;+ бесконечность

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(o))=k(касательной)=tg альфа

tg альфа =1/4

О т в е т. f`(2)=1/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)Умножаем первое уравнение на 4, второе на (-3)
{8*4^x+12*5^y=44
{-15*4^x-12*5^y=-72
Складываем
-7*4^x=-28
4^x=4
x=1

2*4^(1)+3*5^y=11 ⇒ 3*5^y=3 ⇒ 5^y=1 ⇒ y=0

О т в е т. х=1; у=0

2)Раскладываем второе на множители по формуле
a^3-b^3

{2^x-2^y=1
{(2^x-2^y)*((2^x)^2+2^x*2^y+(2^y)^2)=7

{2^x=1+2^y и подставляем во второе
{1*((1+2^y)^2+(1+2^y)*2^y+(2^y)^2)=7

Решаем второе
3*(2^y)^+3*2^y-6=0
(2^y)^2+2^y-2=0
Квадратное уравнение
D=1+8=9
корни 1 и -2
2^y=1
y=0
2^y=-2 уравнение не имеет решений, 2^y > 0 при любом у.

2^x=1+2^0
2^x=2
x=1
О т в е т. х=1; у=0

3) Перемножим
2^x*3^y*3^x*2^y=648*432
(2^x*3^x)*(3^y*2^y)=648*432

6^x*6^y=(3*6^3)*(2*6^3)
6^(x+y)=6^7

x+y=7

y=7-x и подставляем в первое

2^x*3^(7-x)=648
2^x*3^7*3^(-x)=648
(2/3)^x=(2/3)^3
x=3
y=7-x=7-3=4

О т в е т. х=3; у=4

4)y=4+x и подставляем в первое

3^x*2^(4+x)=576
3^x*2^4*2^x=576
(3*2)^x*16=576
6^x=36
x=2
y=4+x=4+2=6
О т в е т. х=2; у=6

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=22797
(см. нахождение определителя этой матрицы) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По первой строке
3*(-9-48)-5*(-63-16)+4*(-42+2)=
=-171+395-160=64

По правилу треугольника
3*(-1)*9+5*8*2+(-7)*6*4-2*(-1)*4-3*6*8-5*(-7)*9=
=-27+80-168+8-144+315=64

Ответ выбран лучшим

1) Складываем
2*5^x=50
5^x=25
5^x=5^2
x=2
5^2-5^y=20
5^y=5
y=1
О т в е т. х=2 у=1

2)х=1+у
2^(1+y)+2^(y)=12
2^1*2^(y)+2^(y)=12
2^(y)*(2+1)=12
2^y*3=4*3
2^y=2^2
y=2
x=1+y=1+2=3
О т в е т. х=3; у=2

3)Умножаем второе на 2 и складываем с первым
5*2^x=10
2^x=2
x=1
2^1-3^y=1
3^y=3
y=1
О т в е т. х=1 у=1
4)
{2^x*(2^2)y=2^5
{x-y=2

{2^(x+2y)=2^5 ⇒ x+2y=5 ⇒ x=5-2y
{5-2y-y=2 ⇒ -3y=-3 ⇒ y=1

x=5-2e=5-2=3
О т в е т. х=3 у=1

Ответ выбран лучшим

11036:62=178

11036 | 62
..62.......178
..483
..434
....496
....496
--------
0

Ответ выбран лучшим

Пусть в первый день решил х задач, во второй (х+y), в третий день (х+2у).
Всего 189. Уравнение
x+(x+у)+(x+2у)=189
В третий в два раза больше чем в первый.
Уравнение
х+2у=2х
Система
{x+(x+y)+(x+2y)=189
{x+2y=2x

{3x+3y=189
{2y=x ⇒
3*(2y)+3y=189
y=21
x=42

х+2у=42+42=84
О т в е т. 84

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов
с^2=a^2+b^2-2ab*cos ∠ C=4^2+6^2-2*4*6*cos135 градусов=
=16+36-24sqrt(2)=52-24sqrt(2)

c= sqrt(52-24sqrt(2))

Ответ выбран лучшим

1+cosx=2cos^2(x/2)
Уравнение примет вид

2cos^2(x/2)+(sin(x/2)/cos(x/2))=0
Приводим к общему знаменателю:

(2cos^3(x/2)+sin(x/2))/(cos(x/2)) =0

{2cos^3(x/2)+sin(x/2)=0
{cos(x/2) ≠ 0 ⇒ (x/2) ≠ Pi/2+2Pik, k ∈ Z ⇒x ≠ Pi+4Pik, k ∈ Z

Решаем первое уравнение.
2cos^3(x/2)+sin(x/2)=0- однородное тригонометрическое уравнение третьей степени, 1=sin^2(x/2)+cos^2(x/2)
2cos^3(x/2)+sin(x/2)*(sin^2(x/2)+cos^2(x/2))=0
Делим на cos^3(x/2)
tg^3(x/2)+tg(x/2)+2=0
(tg(x/2)+1)(tg^2(x/2)-tg(x/2)+2)=0
tg(x/2)+1=0 или tg^2(x/2)-tg(x/2)+2=0 не имеет корней, D < 0
tg(x/2)=-1
(x/2)=(-Pi/4)+Pik, k ∈Z
x=- Pi/2+2Pik, k ∈ Z

О т в е т. - Pi/2+2Pik, k ∈ Z
На вопрос, какие корни принадлежат отрезку ответить не могу, так как не написано в каких единицах измерения указан отрезок.

Скорее всего в градусах
270 градусов и 630 градусов - корни, принадлежащие отрезку [100 градусов; 700 градусов]
В радианах
100 < - Pi/2+2Pik < 700, k ∈ Z
100+(Pi/2) < 2Pik < 700 + (Pi/2)
50+(Pi/4) < Pik < 350+(Pi/4)
k=17; k=18; ... k=110; k=111
95 корней

Ответ выбран лучшим

y=(2/3) *x+(a/3)
подставляем во второе
|x^2–x–6|=((2/3) *x+(a/3)–1)^2+x–7

Раскрываем модуль
1)
Если
x^2-x-6 ≥ 0, то |x^2–x–6|=x^2–x–6
и уравнение принимает вид
x^2–x–6=((2/3) *x+(a/3)–1)^2+x–7

Переформулировка задачи
При каких значениях параметра а уравнение
x^2–x–6=((2/3) *x+(a/3)–1)^2+x–7
имеет 1 или 2 корня и эти корни удовлетворяют условию
x^2-x-6 больше или равно 0
Наличие одного или двух корней зависит от дискриминанта.
D=0
D > 0

2)
Если
x^2-x-6 < 0, то |x^2–x–6|= - x^2+x+6
и уравнение принимает вид
- x^2 + x+ 6=(–1)^2+x–7

Переформулировка задачи
При каких значениях параметра а уравнение
x^2–x–6=((2/3) *x+(a/3)–1)^2+x–7
имеет 1 или 2 корня и эти корни удовлетворяют условию
x^2-x-6 < 0
D=0
D > 0

Ответ выбран лучшим

выделяем полный квадрат в знаменателе
x^2+4x+1=x^2+4x+4-3=(x+2)^2-3

= ∫ dx/((x+2)^2-3)[ замена х+2=u; dx=du]
= ∫ du/(u^2-3)=[ табличный интеграл]=
=(1/(2*sqrt(3))) *ln|(u-sqrt(3))/(u+sqrt(3))|+C=

=(1/(2*sqrt(3))) *ln|(x+2-sqrt(3))/(x+2+sqrt(3))|+C

О т в е т. (1/(2*sqrt(3))) *ln|(x+2-sqrt(3))/(x+2+sqrt(3))|+C

Ответ выбран лучшим

Прямая 2х+3у+4=0 может быть записана в виде уравнения с угловым коэффициентом k у=kx+b так
3y=-2x-4
у=(-2/3)х-(4/3)
Значит угловой коэффициент данной прямой
k=(-2/3)
Геометрический смысл углового коэффициента:
k=tg альфа
альфа- угол наклона прямой у=kx+b c положительным направлением оси Ох.
При пересечении двух прямых
у=k1x+b1 и у=k2x+b2
k1=tg альфа1
k2=tg альфа2

угол между прямыми
альфа=альфа1-альфа2

tg альфа = tg ( альфа1- альфа2)
По формуле тангенса разности двух углов
tg ( альфа1- альфа2)=(tg альфа1- tg альфа2)/(1+tg альфа1*tg альфа 2)

tg альфа = tg 45 градусов = 1

1=((-2/3)-k2)/(1+(-2/3)*k2)

k2=-5

Прямая у=-5х+b проходит через точку (1;3)

3=-5*1+b
b=8
О т в е т. у=-5х+8

Ответ выбран лучшим

АВ, наверное 7, тогда все хорошо
MN=3,5
P=3,5+3+2,5=9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 9

Пусть 30 одного цвета и три гирлянды трех остальных цветов.
Значит ( 30 одного цвета есть !)

Но ...
самый наихудший вариант, когда всех цветов поровну.
8;8;8;9

Значит, 9 гирлянд одного цвета найдутся всегда, в том числе и когда есть 30 гирлянд одного цвета

Ответ выбран лучшим

В правильном треугольнике высота является одновременно и медианой и биссектрисой.
Поэтому О - точка пересечения медиан это центр вписанной и центр описанной окружности.
Из точки О проводим перпендикуляр ОМ на сторону АВ.
OM=r=asqrt(3)/6=24*sqrt(3)/6=4sqrt(3)

Из прямоугольного треугольника OМК
tg ∠ OМК=OK/OM=6/(4sqrt(3))=sqrt(3)/2
∠ OМК=arctg(sqrt(3)/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

u=3x
du=3dx ⇒ dx=(1/3)du

= ∫ (1/3)du/cos^2u ( табличный интеграл)=

=(1/3)tgu + C=(1/3)tg3x+C

Ответ выбран лучшим

(1/2)a=L*cos альфа
a=2L*cos альфа
h=L*sin альфа

V=(1/3)*S(осн.)*h=(1/3)*a^2*h=
=(1/3)*(2L*cos альфа)^2*L*sin альфа =
=(4/3)*L^3*sin альфа *cos^2 альфа

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx
x(1+y)+(dy/dx)*y(1+x)=0 - уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем
x*(1+y)dx=-y*(1+x)dy
xdx/(1+x)=-ydy/(1+y)
Интегрируем
∫ xdx/(1+x)=-∫ ydy/(1+y)
В каждом числителе +1 и -1 и выделим целую часть
∫ (x+1-1)dx/(1+x)=-∫ (y+1-1)dy/(1+y)
∫ (1-(1/(1+x)))dx=-∫ (1-(1/(1+y)))dy

x-ln|1+x|=-y+ln|1+y| +lnC
x+y=lnC(1+y)(1+x)

О т в е т. x+y=lnC(1+y)(1+x)

Ответ выбран лучшим

32=2^5

(2^5)^(x-3)=2^(-1)
2^(5x-15)=2^(-1)
5x-15=-1
5x=-1+15
5x=14
x=14:5
x=2,8

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin((Pi/2)-x)=cosx
sin(2Pi-x)=-sinx

(1/10)=10^(-1)

Уравнение примет вид
10^(-sqrt(3)cosx)=10^(-sinx)

-sqrt(3)cosx=-sinx

tgx=sqrt(3)

x=(Pi/3)+Pik,k ∈ Z

б)(Pi/3)-4Pik=-11Pi/3

-12,5Pi/3=-9Pi/2 < -11Pi/3 < -3Pi=-9Pi/3

Ответ выбран лучшим

11+(11+х)+(11+2х)+(11+3х)+(11+4х)+(11+5х)+(11+6х)=245
21х=168
х=8

2) y`=8-(4/cos^2x)
y`=0
cosx=sqrt(2)/2 или cosx=-sqrt(2)/2 ( но на указанном отрезке косинус принимает положительные значения)

x=-Pi/4 или х=Pi/4

х=Pi/4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(Pi/4)=8*(Pi/4)-4tg(Pi/4)-2Pi+2=-2

y(-Pi/3)=8*(-Pi/3)-4tg(-Pi/3)-2Pi+2=-4Pi < -2

О т в е т. Наибольшее значение у=-2 при х=Pi/4

Ответ выбран лучшим

3^x=t
t > 0
3^(x-2)=3^x*3^(-2)=3^x/3^2=3^x/9=t/9

(t+3)/4=3/(t/9)
(t+3)/4=27/t
t*(t+3)=4*27
t^2+3t-108=0
D=9+432=441=21^2
t1=(-3+21)/2=9 или t2 < 0 ( не удовл. усл. t > 0)
3^x=9
x=2

Ответ выбран лучшим

S (осн)=a^2
V(жидкости)=a^2*h=90a^2

Этот же объем в сосуде с длиной стороны (3а) и высотой H
(3a)^2*H=90a^2
9a^2H=90a^2
Н=10 cм

О т в е т. 10 см

2) см. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/3)х-1=(1/4)х+(1/4)*(4/5)
(1/3)х-1=(1/4)х+(1/5)
(1/3)х-(1/4)х=(1/5)+1
(4/12)х-(3/12)х=(1/5)+(5/5)
(1/12)х=(6/5)
х=(6/5):(1/12)
х=(6/5)*12
х=72/5
х=14,4

Ответ выбран лучшим

7+c+1+7+c= 2с+15

Ответ выбран лучшим

3х+4х=19-5
7х=14
х=14:7
х=2

Ответ выбран лучшим

d=-6,8
a_(1)=-3

a_(2)=a_(1)+d= - 3+(-6,8)= - 9,8
a_(3)=a_(2)+d= - 9,8+(-6,8)= - 16,6
a_(4)=a_(2)+d= - 16,6+(-6,8)= - 23,4

Ответ выбран лучшим

Один угол х, второй (2/7) х.
Сумма углов прилежащих к секущей 180 градусов
Уравнение
х+(2/7)х=180
9/7х=180
х=140 градусов

(2/7)х=(2/7)*140 градусов=40 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АС=ВС*tg ∠ B=48*(7/12)=28

Ответ выбран лучшим

|sin(x/3)| меньше или равно 1

ОДЗ:
25-x^2 больше или равно 0
-5 меньше или равно x меньше или равно 5

см. графическое решение
у=sin(x/3)
и
y=√(25–x^2)+x^2–25 (y= sqrt(t)-t, t=25-x^2)
пересекаются в ОДНОЙ ТОЧКЕ (!) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x-2)/x^3-x*(2-x)=0

(x-2)/x^3+x*(x-2)=0
(x-2)*((1/x^3)+x)=0
(x-2)(1+x^4)/x^3=0
x-2=0
x=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

а1=1, а_(n+1)=2*a_(n)+1
a_(2)=2a_(1)+1=2*1+1=3
a_(3)=2a_(2)+1=2*3+1=7
a_(4)=2a_(3)+1=2*7+1=15
a_(5)=2a_(4)+1=2*15+1=31

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль по определению.
1)
Если 2x^2+3x–2 больше или равно 0 (х меньше или равно -2 или х больше или равно (1/2)
то
|2x^2+3x–2|=2x^2+3x-2
и уравнение имеет вид
2x^2+3x-2=8х-2x^2-a;
4x^2-5x+(a-2)=0 - квадратное уравнение с параметром.
Имеет два корня, один или ни одного.
Это зависит от дискриминанта.
D=25-16*(a-2)=57-16a
Если
D < 0 - нет корней
57-16a < 0
a > 57/16
Если
D=0 ,т.е. a=57/16
x1=x2=5/8 удовл. условию x > 1/2
Если
D > 0, т.е. a < 57/16
два корня
x1=(5-sqrt(57-16a))/8 или x2=(5+sqrt(57-16a))/8
При этом надо проверить, при каких а корни удовлетворяют условию 2x^2+3x–2 больше или равно 0

2)
Если 2x^2+3x–2 < 0 ( -2 < х < (1/2))
то
|2x^2+3x–2|= - 2x^2- 3x + 2
и уравнение имеет вид
- 2x^2 - 3x + 2=8х-2x^2-a;
11x=a+2- линейное уравнение, имеет ед корень
х=(а+2)/11
Найдем при каких а этот корень является решением уравнения, т.е при каких а
-2 < (a+2)/11 < (1/2) - верно.

-22 < a+2 < 11/2
-24 < a < 3,5

При а ∈ (-24; 3,5) х=(а+2)/11 - корень

Ответ выбран лучшим

Пусть стороны прямоугольника a и b.
Р=2*(a+b)
S=a*b

{26=2*(a+b) ⇒ 13= a+b ⇒ b=13-a
{36=a*b

36=a*(13-a)
a^2-13a+36=0
D=(-13)^2-4*36=169-144=25
a1=(13-5)/2=4 или a2=(13+5)/2=9
b1=13-4=9 или b2=13-9=4
О т в е т. 4 см и 9 см

Ответ выбран лучшим

Касательная перпендикулярна радиусу ОК, проведенному в точку касания
Продолжим радиус ОК за точку О, получаем диаметр.
Диаметр, перпендикулярный хорде делит хорду пополам
АМ=МВ
По теореме Пифагора из треугольника АОМ
АМ^2=AO^2-OM^2
AO=R
OM=KM-KO=25-17=8

АМ=sqrt(17^2-8^2)=sqrt(225)=15
AB=2AM=30 (прикреплено изображение)

sin (2x–(5π/2))= - sin ((5π/2)-2х)=- cos2x

7·(-cos2x) + 9·cosx +1=0

7*(1-2cos^2x)+9·cosx +1=0

14t^2-9t-8=0
t=cosx
D=81-4*14*(-8)=81+448=529=23^2
t=(9-23)/28=-1/2 или t2=(9+23)/28=8/7 > 1

cosx=-1/2
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z

cosx=8/7
уравнение не имеет корней, так как |cosx| меньше или равно 1

О т в е т. ± (2π/3)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

((x+1)/(4-x))^2-(1/4) меньше или равно 0
Раскладываем левую часть на множители по формуле
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
(((x+1)/(4-x))-(1/2))*(((x+1)/(4-x))+(1/2)) меньше или равно 0
Приводим дроби к общему знаменателю в каждой из скобок
(2х+2-4+х)*(2х+2+4-х)/(2^2*(4-x)^2) меньше или равно 0

(3x-2)*(x+6)/(4*(4-x)^2) меньше или равно 0

Методом интервалов получаем ответ

__+__ [-6] __-__ [2/3] __+___ (4) __+__

О т в е т. [-6;(2/3)]

Ответ выбран лучшим

Треугольники АВМ и СDМ подобны по двум углам
∠АMВ = ∠СМD как вертикальные
∠САВ = ∠ACD - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АB и CD и секущей BD

Из подобия
AB:CD=AM:MC
так как
AM=AC-MС

11:33=(28-МС):МС
Пропорция.
Перемножаем крайние и средние члены пропорции

11МС=33*(28-МС)
МС=3*(28-МС)
МС=84-3МС
МС+3МС=84
4МС=84
МС=21

О т в е т. 21 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1 целая 2/5+ 2 целых 7/10 + 2 =

= 1 целая 4/10 + 2 целых 7/10 + 2 =

=5 целых 11/10= 6 целых 1/10 > 6

О т в е т. Хватит

Ответ выбран лучшим

290-10=280 билетов не счастливых
p=m/n=280/290=28/29

Ответ выбран лучшим

1) Пропорция
(3–7x)/2 = 12/1
Перемножаем крайние и средние члены пропорции
(3-7х)*1=2*12
3–7x = 24
–7x = 24–3
–7x = 21
x = 21:(–7)
х= –3

2) Формула
cos^2 ∠ A+sin^2 ∠ A=1
sin^2 ∠ A=1-cos^2 ∠ A=1-(2sqrt(10)/7)^2=1-(40/49)=9/49
sin ∠ A=3/7

Ответ выбран лучшим

cos^2(п–α )*tg(п+α )* tg (3п/2–α ) +sin ( 2п–α )* cos( п/2+α )

cos(п–α )=-cosα
tg(п+α )=tgα
tg (3п/2–α ) =ctgα
sin ( 2п–α )=-sinα
cos( п/2+α ) =-sinα

cos^2(п–α )*tg(п+α )* tg (3п/2–α ) +sin ( 2п–α )* cos( п/2+α ) =
(-cosα )^2*tgα *ctgα +(-sinα )*(-sinα )=
=cos^2α +sin^2α =1
так как
tgα *ctgα =1

Ответ выбран лучшим

(2x+1)/4–(5x–1)/2=28
((2х+1)-2*(5х-1))/4=28
(2х+1-10х+2)/4=28
3-8х=4*28
-8х=109
х=-13 целых 5/8

Ответ выбран лучшим

6^(log_(6)5)=5 - основное логарифмическое тождество
О т в е т. 60/5=12

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
Дуга ADC имеет градусное измерение 200 градусов.
Дуга DC 130 - градусов.
Значит дуга AD имеет градусное измерение 200 градусов - 130 градусов = 70 градусов.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
∠ CAD= ∠ CBD=65 градусов
∠ DСА= ∠ DВА=35градусов

Ответ выбран лучшим

ВС=АВ*sin ∠ A=10*(2sqrt(6)/5)=4sqrt(6)

По теореме Пифагора
АС^2=AB^2-BC^2=10^2-(4sqrt(6))^2=4
AC=2

Ответ выбран лучшим

12*(2/3)=(12*2)*3=8 cм

А_____8____С____B

Ответ выбран лучшим

1)
40 мин = 40/60 часа = 2/3 часа

Пусть скорость второго автомобиля х км/ч
(2/3)·х км – проехал второй автомобиль
(2/3)·95 =190/3 км – проехал первый автомобиль
Так как через 2/3 часа первый автомобиль опережал второй на 19 км, то
(190/3) больше (2х/3) на 19.
Уравнение:
(190/3)–(2х/3)=19
Умножим уравнение на 3
190 - 2х =57
2х=190-57
2х=133
х=66,5
Скорость второго автомобиля равна 66,5 км/ч

3) Расстояние между ними равно сумме расстояний, которое прошел до встречи первый и второй.
75*5,5+85*5,5=412,5+467,5=880 км

или

5,5*(75+85)=880 км

Аналогично

75*0,5+85*0,5=37,5+42,5=80 км

или

0,5*(75+85)=80 км (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(∛-27)^3=-27

Ответ выбран лучшим

1*2=1*(1+1)=1^2+1
2*3=2*(2+1)=2^2+2
...
2016*2017=2016*(2016+1)=2016^2+2016

Складываем, получаем, что в числителе cумма двух выражений:
(1^2+2^2+...+2016^2)+(1+2+...2016)
Для вычисления этих сумм есть формулы:

(1+2+...2016)=(1+2016)*2016/2=2017*1008 - формула суммы n членов арифметической прогрессии.

1^2+2^2+...+2016^2=2016*2017*4033/6 ( cм. рис.)

(1^2+2^2+...+2016^2)+(1+2+...2016)=
=2017*1008*((4033/3)+1)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x больше или равно 0
Возводим в квадрат
6-sqrt(x+2)=x
sqrt(x+2)=6-x
6-x больше или равно ⇒ x меньше или равно 6

Возводим в квадрат
(х+2)=(6-х)^2
x+2=36 - 12x + x^2
x^2 - 13x + 34 =0
D=169-4*34=169-136=33

x1=(13-sqrt(33))/2 или х2=(13+sqrt(33))/2
x2 не удовлетворяет условию x меньше или равно 6

О т в е т. (13-sqrt(33))/2

Ответ выбран лучшим

BB1=3 ( по теореме Пифагора из треугольника АВВ1 но можно и не считать зная, что в египетском прямоугольном треугольнике гипотенуза 5, а два катета 4 и 3)
V=4*6*3=72 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По классической формуле
р(А)=m/n
событие А - из коробки вынули 2 яблока.
m=2,
значит n=4
и
р(А)=2/4=1/2

Ответ выбран лучшим

y=(113x-11)/69=x+(44x-11)/69=x+(11*(4x-1)/69)

11 не кратно 69
Значит,
4x-1 должно быть кратно 69

4х-1=69
4х=70
х - не целое

4х-1=207
4х=208
х=52

у=85

х+у=52+85=137

Ответ выбран лучшим

Из треугольника АСН
АН=АС*cos ∠ A=5*(4/5)=4
По теореме Пифагора
АС^2=AH^2+CH^2
CH^2=5^2-4^2=25-26=9
CH=3

Ответ выбран лучшим

В) и Г)

Ответ выбран лучшим

1)7+4=11 частей
2)44:11=4 га приходится на одну часть
3)4*7=28 га под зерновыми культурами
О т в е т. 28 га

Ответ выбран лучшим

1)=4*(-1)^3-5*(-1)^2+(-1)-2=-4-5-1-2=-4
2) Раскладываем знаменатель на множители (х-3)(х+3)
Сокращаем на (х-3)
Предел дроби (1/(х+3)) равен 1/6
3) Раскладываем на множители числитель (3х-2)(х-2)
и знаменатель (5х-4)(х-2)
Сокращаем на (х-2)

Предел дроби (3х-2)/(5х-4) равен 4/6=2/3

4) Предел разности равен разности пределов.
Предел первого слагаемого
2*(4+3)=24
Предел второго
4/(4-2)=2
О т в е т. 24-2=22

Ответ выбран лучшим

800 м : 50 сек=16 м в сек
16*77=1232 м

Ответ выбран лучшим

10525 мм =10 м 5 дм 2 см 5 мм

Ответ выбран лучшим

7050; 7100; ... ;8950

Ответ выбран лучшим

1) (7/15)*30=14 учащихся получили оценку''5''
2) (5/15)*30=10 учащихся получили оценку''4''
3) 14+10=24 учащихся получили оценку''5'' или ''4''
4)30-24=6 учащихся получили оценку''3''

2 спобоб
1)(7/15)+(5/15)=12/15 всех учащихся получили оценку''5'' или ''4''
2) 1-(12/15)=3/15 всех учащихся получили оценку''3''
3)30*(3/15)= 6 учащихся получили оценку''3''

О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

DA имеет длину 11 =12-1

4+1=5
11:5=2,2 в одной части
2,2*4=8,8 первой части ( в АК)
1+8,8=9,8 - координата точки К
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскладываем левую часть уравнения на множители
2х*(х-5)=0
х=0 или х=5

Ответ выбран лучшим

По условию парабола у=2x^2+ax+b пересекает ось Ох дважды, т.е квадратное уравнение 2x^2+ax+b=0 имеет два корня
х_(о) и х_(D)
2x^2_(o)+ax_(o) +b=0
2х^2_(D)+ax_(D)+b=0
вычтем
2(x^2_(o)-x^2_(D))+а*(x_(o)-x_(D))=0
((x_(o)-x_(D))*(2x_(o)+2x_(D)+а)=0
x_(o)-x_(D)≠0, точки по условию различны.
Значит
2x_(o)+2x_(D)+а=0
(x_(o)+x_(D))=-a/2 (# 1)

точка касания расположена на оси Ox, значит (x_(o);0)

Составим уравнение касательной к параболе у=2x^2+ax+b.

f(x)=2x^2+ax+b
f(x_(o))=0,
f`(x)=4x+a
f`(x_(o))=4x_(o)+a

y-0=(4х_(о)+a)*(x-x_(o)) - уравнение касательной к первой параболе.

Составим уравнение касательной к параболе у=2x^2+ax+b.

f(x)=-5x^2+сx+d
f(x_(o))=0,
f`(x)=-10x+c
f`(x_(o))=-10x_(o)+c

y-0=(-10х_(о)+c)*(x-x_(o)) - уравнение касательной ко второй параболе.

Касательная общая, значит
4х_(о)+a=-10х_(о)+c ( угловые коэффициенты равны)
14x_(o) + a - c =0
x_(o)=(c-a)/14 ( # 2)

У точек А;В и D - одинаковые абсциссы.
Найдем ординаты.
Точка А лежит на второй параболе
Точка В на касательной

А(x_(D);-5x^2_(D)+cx_(D)+d)
В(х_(D);(4х_(о)+a)(x_(D)-x_(o))
D(х_(D); 0)

|AD|=|-5x^2_(D)+cx_(D)+d|
-5x^2_(o)+сx_(o) +d=0
d=5x^2_(o)-сx_(o)
|AD|=|-5x^2_(D)+cx_(D)+5x^2_(o)-сx_(o)|=
=|x_(o)-x_(D)|*|5x_(o)+5x_(D)-c|

|ВD|=|x_(o)-x_(D)|*|4x_(o)+a|

|DА|:|DВ|=|5x_(o)+5x_(D)-c|/|4x_(o)+a|
так как
(x_(o)+x_(D))=-a/2 ( # 1)
x_(o)=(c-a)/14 ( # 2)

|DА|:|DВ|=|5x_(o)+5x_(D)-c|/|4x_(o)+a|=

=|5*(-a/2)-c|/|(4*(c-a)/14)+a|=

=|(-5a-2c)/2|/|(2c+5a)/7|=7/2

О т в е т. 7/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S( Δ)=(1/2)* основание * высота=(1/2)*5*4=10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

((5/35)-(14/35))*25=(-9/35)*25=-45/7

Ответ выбран лучшим

-5log_(2)(2sinx)=-3
log_(2)(2sinx)3/5
2sinx=2^(3/5)
sinx=2^((3/5)-1)
sinx=2^(-2/5)
sinx=(1/4)^(1/5) ???? можно кончено и ответ написать, но что-то подсказывает что условие написано неверно

Ответ выбран лучшим

График у=2/х - гипербола (красный график)
Сдвиг влево на 0,5, получим
у=2/(х+0,5) ( синий график)
Параллельный перенос вверх на 0,5
получаем
у=2/(х+0,5) + 0,5 ( зеленый график)

б) у=ctgx (красный график, пересекает ось ох в точке х=Pi/2)
y=ctg(-x)(оранжевый график, пересекает ось ох в точке х=Pi/2)
y=ctg((Pi/3)-x) сдвиг оранжевого на Pi/3 вправо
y=2ctg((Pi/3)-x) растяжение вдоль оси Оу в 2 раза.
Абсциссы не меняются, а ординаты каждой точки графика увеличиваются в два раза (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вынесем из х из-под корня и из квадратного трехчлена в знаменателе.
sqrt(x^2)=|x|
lim_(x→∞)x*|x|sqrt(1+(5/x)+(1/x^2))/x^2*((2/x^2)-(1/x)-5)

(-1/5), если x→ + ∞, |x|=x
=
(1/5), если x→ - ∞, |x|=-x

При х→ ± ∞
(5/x)→0
(1/x^2)→0
(2/x^2)→0
(1/x)→0

О т в е т.
(-1/5), если x→ + ∞
=
(1/5), если x→ - ∞

Ответ выбран лучшим

(( 5ху^2)/(х^2–9у^2))*((х–3у)/(ху)) =

=(5y)(x-3y)/((x-3y)*(x+3y))=(5y)/(x+3y)

при х=0.4,у=0.2

(5*0,2)/(0,4+3*0,2)=1/(0,4+0,6)=1/1=1

Ответ выбран лучшим

y`=0
3x^2+6x=0
3x*(x+2)=0
x=0 и х=-2 - стационарные точки- точки, в которых производная обращается в 0

Ответ выбран лучшим

Делим и числитель ( в числителе каждое слагаемое делим на х) и знаменатель на х

В числителе
(sin2x/x)→ 2 при х →0
(3sinx/x) →3 при х→0

в знаменателе
сosx →1 при х→0

О т в е т (2-3)/1=-1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

_+__ [-2,5] __-___ [4] __+__

О т в е т. [-2,5;4]

Ответ выбран лучшим

(2–x)(2x+1)=(2+x)(x–2)
(2–x)(2x+1) - (2+x)(x–2)=0
(2–x)(2x+1) + (2+x)(2-x)=0
(2-x)*(2x+1+2+x)=0
(2-x)*(3x+3)=0
2-x=0 или 3x+3=0
x=2 или х=-1

Ответ выбран лучшим

В основании квадрат со стороной 3 дм
H=28*3=84 дм

V=S(осн.)*Н=3*3*84=756 куб. дм

Ответ выбран лучшим

3б)
Гипербола у=2/x
Сдвиг этой гиперболы вправо на 1 единицу,
Параллельный перенос вниз на 1 единицу

3а) y=lnx
сдвигаем влево на 3 единицы
y=ln(x+3) -
симметрия относительно оси Ох
у=-ln(x+3)
параллельный перенос на 2 единицы вверх

Ответ выбран лучшим

z=-1-i
z=x+ iy

x=-1
y=-1

r=|z|=sqrt((-1)^2+(-1)^2)=sqrt(2)
argz=phi
tgphi=(x/y)
tgphi=-1/(-1)
tgphi=1
phi=(Pi/4)-Pi=-3Pi/4

В тригонометрической форме:
z=sqrt(2)*(cos(-3Pi/4)+isin(-3Pi/4))

z=sqrt(2)*(cos(-3Pi/4)+isin(3Pi/4))

В показательной форме

z=sqrt(2)e^((-i*3Pi/4))

По формуле корня n-ой степени из комплексного числа
n=4
(корень четвертой степени из z)=(sqrt(2)*(cos(-3Pi/4)+isin(-3Pi/4)))^(1/4)=
=(корень четвертой степени из sqrt(2))*(cos((-3Pi/4)+2Pik)/4+isin((-3Pi/4)+2Pik)/4), k∈Z.

Полагая
k=0
z_(o)=(четвертой степени из sqrt(2))*(cos(-3Pi/16)+isin(-3Pi/16))

Найти все значения
(корень четвертой степени из sqrt(2))
cos(-3Pi/16)
sin(-3Pi/16)
сложить и перемножить и получить ответ
и так еще 3 раза

для
k=1

для
k=2

для
k=3

Ответ выбран лучшим

Схематически кривая у=x^4-2017x^2-2018x-2017 имеет вид см. рис.1
Более крупное изображение кривой при пересечении с осью Ох см. рис. 2
Приближенное значение корней можно получить (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=-2-2sqrt(3)*i
z=x+ iy

x=-2
y=-2sqrt(3)

r=|z|=sqrt((-2)^2+(-2sqrt(3))^2)=4
argz=phi
tgphi=(x/y)
tgphi=-1/sqrt(3)=-Pi/6

В тригонометрической форме:
z=4*(cos(-Pi/6)+isin(-Pi/6))

z=4*(cos(Pi/6)-isin(Pi/6))

В показательной форме

z=4e^((-iPi/6))

По формуле корня n-ой степени из комплексного числа
n=5
(корень пятой степени из z)=(4*(cos(-Pi/6)+isin(-Pi/6)))^(1/5)=
=(корень пятой степени из 4)*(cos((-Pi/6)+2Pik)/5+isin((-Pi/6)+2Pik)/5), k∈Z.

Полагая
k=0
z_(o)=(корень пятой степени из 4)*(cos(-Pi/30)+isin(-Pi/30))=1,3195079107729*(cos(-6°)+isin(-6°)=...

(корень пятой степени из 4)=1,3195079107729

Все значения тригонометрических функций см в приложении

для
k=1
z_(1)=1,3195079107729*(cos(66°)+isin(66°)=...

для
k=2
z_(2)=1,3195079107729*(cos(138°)+isin(138°)=...

для
k=3
z_(3)=1,3195079107729*(cos(210°)+isin(210°)=...

для
k=4
z_(4)=1,3195079107729*(cos(282°)+isin(282°)=...

Калькулятор поможет получить приближенные ответы

Корни расположены на окружности на равных промежутках друг от друга
360°:5=72°.

Первое значение
(-Pi/30) рад= -6 градусов
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Неопределенность (0/0).
Умножаем и числитель и знаменатель на
(sqrt(x+3)+2)(sqrt(x+15)+4)

получим lim_(x→1) (x-1)*(sqrt(x+15)+4)/(x-1)(sqrt(x+3)+2)=

=lim_(x→1) (sqrt(x+15)+4)/(sqrt(x+3)+2)=8/4=2

2) Неопределенность (0/0).
Значит х=2 - корень и числителя и знаменателя.
Раскладываем их на множители
3х^2-5x-2=(x-2)(3x+1)
2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)

сокращаем на (х-2) и

lim_(x→2)(3х+1)/(2х+1)=7/5 - ответ

3) 1-cos4x=2sin^22x

lim_(x→0)(x*sin3x/(2*sin2x*sin2x))=

=(1/2)lim_(x→0)(x/sin2x)*(sin3x/sin2x)=(1/2)*(1/2)*(3/2)=3/8

4) Неопределенность (бесконечность/бесконечность)
Делим и числитель и знаменатель на х^2

О т в е т. (1-0-0)/(0-3+0)=-1/3

5) Второй замечательный предел

(2х)/(2x-1)=(2x-1)/(2x-1) + (1/(2x-1))=1+(2/(2x-1))

e^(lim_(x→∞)(2x/2x-1))=e - о т в е т.

При решении используется искусственный прием возведения в степень (2х-1) и потом возведения в степень (1/(2х-1))
При возведении степени в степень показатели перемножаются,получается что произведение равно 1, т.е внешне это действие не изменило выражения, но дало возможность перевести вычисление предела в показатель e

( cм. образец похожего решения) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2х+1=2х+5-4

(2х+1).(2х+5)=1-(4/(2x+5))

lim_(x→∞)(1-4/t)^(-t/4)=e

t=2x+5

Поэтому
получим (e^(-4/(2x+5)))^(x)

lim_(x→∞)e^(-4x/(2x+5))=e^(-2)

При решении используется искусственный прием возведения в степень (2х+5)\(-4) и потом возведения в степень (-4/(2х+5))
При возведении степени в степень показатели перемножаются,получается что произведение равно 1, т.е внешне это действие не изменило выражения, но дало возможность перевести вычисление предела в показатель e

( cм. образец похожего решения)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z=-sqrt(3)+i
z=x+ iy

x=-sqrt(3)
y=1

r=|z|=sqrt((-sqrt(3))^2+1^2)=2
argz=phi
tgphi=(x/y)
tgphi=(-sqrt(3))
phi=(-Pi/3)+Pi=2Pi/3 ( 2-ая четверть)

В тригонометрической форме:
z=2*(cos(2Pi/3)+isin(2Pi/3))

z=2*(cos(2Pi/3)+isin(2Pi/3))

В показательной форме

z=2e^((i*2*Pi/3))

По формуле корня n-ой степени из комплексного числа
n=3

∛z=∛(2*(cos(2Pi/3)+isin(2Pi/3)))=(2*(cos(2Pi/3)+isin(2Pi/3)))^(1/3)=
=∛2*(cos((2Pi/3)+2Pik)/3+isin((2Pi/3)+2Pik)/3), k∈Z.

Полагая
k=0

k=1
z_(1)=∛2*(cos(8Pi/9)+isin(8Pi/9))

k=2
z_(2)=∛2*(cos(14Pi/9)+isin(14Pi/9))

Найти приближенные значения
∛2≈1,4422495703
cos(2Pi/9)=cos40 градусов≈0,7660444431
sin(2Pi/9))=sin40 градусов≈0,6427876097

cos(8Pi/9)=cos160 градусов≈-0,9396926208
sin(8Pi/9))=sin160 градусов≈0,4320201433

cos(14Pi/9)=cos280 градусов≈-0,7660444431
sin(14Pi/9))=sin280 градусов≈-0,6427876097

z_(o)=∛2*(cos(2Pi/9)+isin(2Pi/9))≈
≈1,4422495703*(0,7660444431+0,6427876097)

z_(1)=∛2*(cos(8Pi/9)+isin(8Pi/9))≈
≈1,4422495703*(-0,9396926208+0,4320201433)

z_(2)=∛2*(cos(14Pi/9)+isin(14Pi/9))≈
≈1,4422495703*(-0,7660444431-0,6427876097)

Окончательные ответы Вам поможет найти калькулятор (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/а^7) ·(1/а^(–6))=a^(-7)*a^(6)=a^(-7+6)=a^(-1)

Ответ выбран лучшим

(3b/4a)-((9b^2+36a^2)/12ab)+((6a-3b)/2b)=

=(3b*3b-9b^2-36a^a+6a*(6a-3b))/(12ab)=

=-18/12=-3/2

Ответ выбран лучшим

1) В числителе многочлен третьей степени
4x^3+...
В знаменателе многочлен третьей степени
Неопределенность ( бесконечность / бесконечность )

О т в е т. 4/8 ( отношение коэффициентов при высших степенях)

2)1-cos^2x=sin^2x
sinx/x →1 при х→0
(sinx/x)^2=sin^2x/x^2 →1при х→0

О т в е т. 3/7

3) (3+х)^3-27=(3+x-3)*((3+x)^2+3*(3+x)+3^2)=
=x*(x^2+9x+27)
х в числителе и х в знаменателе сократятся.
О т в е т. 3^2+9*3+27=63

4) lim_(x→∞)(1+(3/x))^(x/3)=e

e^( lim_(x→∞)(3/x)*2x)=e^(6)

О т в е т. e^(6)

Ответ выбран лучшим

1+tg^2∠ A=1/(cos^2 ∠ A) ⇒ cos ∠ A=15/17

sin ∠ A=tg ∠ A*cos ∠ A=8/17

BC=AB*sin ∠ A=17*(8/17)=8

или

АС=х
ВС=хtg∠ A=(8x)/15

По теореме Пифагора
х^2+(8x/15)^2=17^2
289x^2/225=289
x^2=225
x=15
BC=8x/15=8
О т в е т.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos2x=1-2sin^2x

4sin^3x-3sinx+2-4sin^2x+1=0
4sin^2x*(sinx-1)-3*(sinx-1)=0
(sinx-1)*(4sin^2x-3)=0
sinx-1=0 или 4sin^2x-3=0
sinx=1 или sinx=-sqrt(3)/2 или sinx=sqrt(3)/2

x=(π/2)+2πk, k∈Z или х=(-1)^n (-π/3)+πn, n∈Z или
х= (-1)^m (π/3)+πm, m∈Z

О т в е т. (π/2)+2πk; (-1)^n (-π/3)+πn; (-1)^m (π/3)+πm;
k, n, m∈Z

Ответ выбран лучшим

Основное свойство пропорции
a:b=c:d
ad=bc

3х=(2/3)*(3 целых (3/8))
3х=(2/3)*(27/8)
3х=9/4
х=3/4

Ответ выбран лучшим

S (осн)=a^2
V(жидкости)=a^2*h=180a^2

Этот же объем в сосуде с длиной стороны (3а) и высотой H
(3a)^2*H=180a^2
9a^2H=180a^2
Н=20 cм

О т в е т. 20 см

Ответ выбран лучшим

S(трапеции)=(BC+AD)*h/2
27=(3+6)*h/2
h=6

S( Δ ABC)=(1/2)*BC*h=(1/2)*3*6=9

Ответ выбран лучшим

V( тела вращения)=V(большого цилиндра)-v(маленького)=

=PiR^2H-Pir^2H=Pi*H*(R^2-r^2)

r=2
R=3+r=3+2=5
H=5

V( тела вращения)=Pi*H*(R^2-r^2)=Pi*5*(5^2-2^2)=105Pi кв. м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула
cos альфа *cos бета =(1/2)*(cos( альфа + бета )+cos( альфа - бета ))

cosx=(1/2)cos5x+(1/2)cosx
(1/2)*(cos5x-cosx)=0

Формула
cos альфа -cos бета=-2* sin(( альфа + бета )/2)*sin(( альфа - бета )/2)

sin3x*sin2x=0

3x=Pik, k ∈ Z или 2х=Pin, n ∈ Z

x=(Pi/3)k, k ∈ Z или х=(Pi/2)*n, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/3)k; (Pi/2)*n, k, n ∈ Z

Можно записать ответ иначе, с учетом того, что некоторые корни повторяются дважды
О т в е т. (Pi/3)k; (Pi/2)+(Pi)*n, k, n ∈ Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ A=8°+8°=16 ° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем точку, принадлежащую всем прямым пучка ( см. приложение на фото)
{x-2y+1=0
{x-3y=0
Вычитаем
y+1=0
y=-1

Прямая || оси Ох, проходит через точку у=-1
Ее уравнение у=-1
О т в е т. y=-1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ A=16 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

?=180 градусов-86 градусов - 86 градусов=8 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2α/(sin α–cos α)+(sin α+cos α)/(1–tg^2 α)=

=sin^2α/(sin α–cos α)+(sin α+cos α)/(1–(sin^2 α/cos^2α))=

=sin^2α/(sin α–cos α)+(sin α+cos α)/((cos^2α-sin^2α)/cos^2α)=

=sin^2α/(sin α–cos α)+(sin α+cos α)*cos^2α/((cosα-sinα)(cosα+sinα)=

=sin^2α/(sin α–cos α)+(cos^2α/(cosα-sinα))=

=(cos^2α/(cosα-sinα))-(sin^2α/(cosα-sinα))=

=(cos^2 альфа -sin^2 альфа )/(cos альфа -sin альфа )=

=cos альфа+sin альфа

Ответ выбран лучшим

∠ BAD=43 градусов, биссектриса AD делит ∠ ВАС пополам.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
sinx+cosx ≠ 0
tgx ≠ -1
x ≠ (-Pi/4)+Pik, k ∈ Z

y`=-2*(sinx+cosx)^(-3)*(sinx+cosx)`=

=-2*(sinx+cosx)^(-3)*(cosx-sinx)=

=2(sinx-cosx)/(sinx+cosx)^3

y`=0

sinx-cosx=0
tgx=1
x=(Pi/4)+Pin, n ∈ Z - точки минимумов, производная меняет знак с - на + (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) По частям
u=4x-3
du=4dx
dv=e^(-2x)dx
v=(-1/2)e^(-2x)

∫ udv=u*v- ∫vdu

=(-1/2)*(4x-3)*e^(-2x)- (-1/2) ∫ e^(-2x)*4dx=

=((3-4x)*e^(-2x))/2-(1/4)e^(-2x) + C

2) x^2+x-2=(х+(1/2)^2)-(9/4)

Замена
х+(1/2)=u ⇒ x=u-(1/2)
dx=du

= ∫ (4u-1)du/(u^2-(9/4))=

=2 ∫ 2udu/(u^2-(9/4)) - ∫ du/(u^2-(9/4))=

=2ln|x^2+x-2)-(1/3)*ln|(x-1)/(x+2)|+C

Ответ выбран лучшим

Формула
1+tg^2 альфа =1/(cos^2 альфа )

cos^2 альфа =1/(1+tg^2 альфа )=1/(1+3^2)=1/10
sin^ альфа =1-cos^2 альфа =1-(1/10)=9/10

y=(sin^2α–3cos^2α )/(2sin^2α+cos^2α)=

=(0,9-0,3)/(1,8+0,1)=0,6/1,9=6/19

Ответ выбран лучшим

АМ=МС=38/2=19
Медиана делит противоположную сторону АС пополам

Ответ выбран лучшим

2)
Пусть vector{m}=(x;y;z)
vector{m}⊥vector{a}, значит скалярное произведение этих векторов равно 0
и
vector{m}⊥vector{b}, значит скалярное произведение этих векторов равно 0

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector{a}=(1;5;2)
vector{b}=(2;2;-1)

{x+5y+2z=0
{2x+2y-z=0 ⇒ z=2x+2y и подставляем в первое

{x+5y+4x+4y=0 ⇒5х+9у=0
{z=2x+2y

5х+9у=0
х=-1,8у

z=2*(-1,8y)+2y=-1,6y

vector{m}=(-1,8y;y;-1,6y)
|vector{m}|^2=(-1,8y)^2+y^2+(-1,6y)^2=6,8y^2
|vector{m}|=ysqrt(6,8)

Значит
vector{e}=(-1,8/sqrt(6,8); 1/sqrt(6,8);-1,6/sqrt(6,8))- единичный вектор, удовлетворяющий указанным условиям

О т в е т. vector{e}=(-1,8/sqrt(6,8); 1/sqrt(6,8);-1,6/sqrt(6,8))

Ответ выбран лучшим

3^x*(1+3)=4
3^x=1
3^x=3^0
x=0

Ответ выбран лучшим

28.
Графики функций не ограничивают никакую фигуру.
См. рис.

29.
При пересечении параболы, прямой и оси Оу получаются две фигуры. ( Не сказано какую выбрать).
Выберем зеленую
на [0;3]
V=π∫_(0)^(3)(9+7x-x^2-7x)^2dx=

=π∫_(0)^(3)(9-x^2)^2dx=

=π∫_(0)^(3)(81-18x^2+x^4)dx=

=π(81x-6x^3+(x^5/5))|_(0)^(3)=

=π(81*3-6*27+(243/5))=97,2π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(cos^4α+sin^2α·cos^2α)+sin^2α=
=cos^2 альфа (cos^2 альфа +sin^2 альфа)+sin^2 альфа =
=cos^2 альфа *1+sin^2 альфа =1

Ответ выбран лучшим

Первое и пятое - подобные слагаемые дадут -5a^2x
Второе и четвертое 6ax^2
Третье и шестое -5a^3

3а^2х+3ах^2+5а^3+3ах^2–8а^2х–10а^3=
=-5a^2x+6ax^2-5a^3=
=a*(6x^2-5ax-5a^2)

Ответ выбран лучшим

Треугольники АВD и ACD - прямоугольные египетские, второй катет 3 см
( или по теореме Пифагора)
Треугольник BDC - прямоугольный равнобедренный
BD=3sqrt(2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AA1 || BB1
Поэтому ∠ B1BD1- искомый, найдем его из прямоугольного треугольника B1BD1.
ВВ1=a - ребро куба
B1D1=asqrt(2) - диагональ квадрата
ВD1=asqrt(3) - диагональ куба
sin ∠ B1BD1=B1D1/BD1=sqrt(2)/sqrt(3)=sqrt(2/3))

2) Проведем МA1 || BC1
MA1=asqrt(2)
A1C=asqrt(3)
МС=asqrt(5) (-диагональ сиреневого прямоугольника)
По теореме косинусов
cos ∠MA1C=((MA1)^2+(A1C)^2-MC^2)/(2MA1*A1C)=
=2a^2+3a^2-5a^2/(2MA1*A1C)=0

∠MA1C=90 градусов

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S=S(прямоугольного треугольника слева)+S(прямоугольного треугольника внизу)+S(прямоугольника)=

=(1/2)*1*2+(1/2)*8*2+7*2=1+8+14=23 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

((х-2)(х-4)/(х-1))+((х-4)/(х-1)(х-2)) меньше или равно 0

((х-4)/(х-1))*((x-2)+(1/(x-2))) меньше или равно 0
(x-4)*(x^2-4x+5)/((x-1)(x-2)) меньше или равно 0
(x-4)(x-1)(x-4)/(x-1)(x-2) меньше или равно 0
x-2 < 0 и х ≠ 1
Решение неравенства:
(- бесконечность;1)U(1;2)
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

0,25*20=5 кв. м стекла надо купить

5*300+17*20=1500+340=1840
5*320+13*20=1600+260=1860
5*340+17*20=1700+180=1880
5*310+10*20=1550+200=1750 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Малый конус (жидкость) и большой конус ( сосуд) подобные фигуры
H:h=5
значит R:r=5
Объемы подобных фигур относятся как кубы их соответствующих линейных размеров ( почему? см внизу).
Т.е. объем сосуда в 5^3=125 раз больше объема налитой в него жидкости
8*125=1000
1000-8=992 мл нужно долить

V:v=((1/3)Pi*R^2*H):((1/3)Pi*r^2*h)=R^2H:r^2h=(R/r)^2*(H/h)=

=5^2*5=5^3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Тимур - 15
Алия - (15+6)

Обратная задача.
Во время прогулки Тимур сделал 15 снимков.
Всего Алия и Тимур сделали 36 снимков,
Сколько снимков сделала Алия? На сколько больше снимков сделала Алия?
( Или кто сделал больше снимков Алия или Тимур)
1) 36-15=21 снимок сделала Алия
2) 21-15=6 на 6 снимков больше сделала Алия

Ответ выбран лучшим

d(конуса)=6 ⇒ r(конуса)=3
r(цилиндра)=r(конуса)=3

S(осевого сечения конуса)=(1/2)d(конуса)*h(конуса)
12=(1/2)*6*h(конуса) ⇒ h(конуса)=4

S(бок. конуса)=Pi*r(конуса)*L(конуса)

L(конуса) находим по теореме Пифагора:
L^2(конуса) =r^2(конуса)+h^2(конуса)=3^2+4^2=9+16=25
L(конуса)=5

Значит
S(бок. конуса)=Pi*r(конуса)*L(конуса)=Pi*3*5=15Pi

S(бок. конуса)=S(бок. цилиндра)

S(бок. цилиндра)=2Pi*r(цилиндра)*h(цилиндра)=

=2*Pi*3*h(цилиндра)

2*Pi*3*h(цилиндра)=15Pi
h(цилиндра)=2,5

V((цилиндра)=Pir^2((цилиндра)*h((цилиндра)=
=Pi*3^2*2,5=22,5Pi

О т в е т. 22,5Pi=45Pi/2

Ответ выбран лучшим

Запишем неравенство в виде:
(х+11)*(2х-а)/(2х+4) > 0
Решаем методом интервалов
Нули числителя
х=-11
x=a/2
Нули знаменателя
х=-2

Пусть a/2 > -2

Расставляем их на числовой прямой

_-___ (-11) __+___ (-2) ____-_____ (a/2) ___+___

В данной ситуации решением неравенства и будет
(–11;–2)∪(8;+∞), где a/2=8 ⇒ a=16

Другое расположение точек не приведет к указанному ответу.

О т в е т. а=16

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов, выходящих из любой точки.

Пусть это будут
vector{AB}=(-4;3;1}
и
vector{AС}=(-5;-9;4}

Находим вектор, являющийся результатом векторного произведения vector{AB}×vector{AС}
Составляем
определитель третьего порядка ( см. приложение)
S=(1/2)sqrt(3163)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора второй катет
BC=sqrt(4^2-2^2)=sqrt(12)=2sqrt(3)

Пусть вершина пирамиды проектируется в точку К ( cм. рис 1)
SK- перпендикуляр к плоскости основания.
∠ KSA= ∠ KSB= ∠ KSC=30 градусов
Прямоугольные треугольники
SKA; SKB;SKC равны по катету SK и острому углу.

Значит КА=КВ=КС
Точка К равноудалена от вершин треугольника АВС.
К-центр описанной окружности ( см. рис. 2)

КА=КВ=КС=(1/2)АВ=2

В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы,
Значит SA=SB=SC=4
H=SK=sqrt(4^2-2^2)=2sqrt(3)

V_(пирамиды SABC)= (1/3)*S( Δ АВС)*Н=

=(1/3)*(1/2)*АС*BC*SO=

=(1/6)*2*2sqrt(3)*2sqrt(3)=4

О т в е т. 4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5.
Высота равностороннего треугольника
h=asqrt(3)/2

слева ответ 3sqrt(3) справа 2 sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть Р- точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD.

По правилу параллелограмма сложения векторов
vector{OA}+vector{OC}=2*vector{OP}

vector{OВ}+vector{OD}=2*vector{OP}
Значит

vector{OA}+vector{OC}=vector{OВ}+vector{OD}
vector{OD}=vector{OA}+vector{OC}-vector{OВ} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{OM}= vector{r}
Точка М и vector{OM} имеют одинаковые координаты ( координаты О(0;0;0)

Координаты vector{r} - это проекции вектора на оси координат
r_(x)=6*cos45 градусов=6sqrt(2)/2=3sqrt(2)
r_(y)=6*cos 60 градусов=6*(1/2)=3

vector{r}=(3sqrt(2); 3; z)
|vector{r}|^2=(3sqrt(2))^2+3^2+z^2=27+z^2
По условию
|vector{r}|=6
|vector{r}|^2=36
Уравнение
27+z^2=36
z^2=9
z= ± 3
По условию третья координата отрицательная
Значит
z=-3
О т в е т. М(3sqrt(3);3;-3)

Ответ выбран лучшим

Пусть vector{m}=(x;y;z)
vector{m}⊥vector{a}, значит скалярное произведение этих векторов равно 0
и
vector{m}⊥vector{b}, значит скалярное произведение этих векторов равно 0

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector{a}=(2;1;1)
vector{b}=(1;1;2)

{2x+y+z=0
{x+y+2z=0

{z=-2x-y
{x+y-4x-2y=0 ⇒ -3x-y=0 ⇒ y=-3x

z=-2x-(-3x)=x

vector{m}=(x;-3x;x)
|vector{m}|^2=x^2+9x^2+x^2=11x^2
|vector{m}|=xsqrt(11)

Значит
vector{e}=(1/sqrt(11); -3/sqrt(11);1/sqrt(11))

О т в е т. vector{e}=(1/sqrt(11); -3/sqrt(11);1/sqrt(11))

Ответ выбран лучшим

Откладываем векторы от одной общей точки С
vector{CA}=vector{a}
vector{CB}=vector{b}

От точки K откладываем vector{КМ}=2vector{a}
|vector{КМ}|=2*|vector{a}|=6
От точки K откладываем vector{КP}=1,5*vector{b}
|vector{КP}|=1,5*|vector{b}|=6
От точки K откладываем vector{КD}=-vector{КP}=-1,5*vector{b}
|vector{КD}|=|vector{КP}||=6

∠MKD=60 градусов, как смежный углу в 120 градусов.

Δ МKD - равнобедренный с углом 60 градусов при вершине, значит и другие его углы по 60 градусов и он равносторонний.

По правилу параллелограмма
vector{КF}=vector{КM}+vector{КD}=2vector{a}-1,5vector{b}
что и требовалось построить
|vector{КF}|=2|vector{КT}|

KT- высота равностороннего треугольника со стороной 6
КТ=6*sin60 градусов=6sqrt(3)/2=3sqrt(3)

|vector{КF}|=6sqrt(3)
О т в е т. 6sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

СD=BС*sin ∠ B

Находим скалярное произведение векторов vector{BА} и vector{BC}.
vector{BА}=(2;4;-4)
vector{BС}=(10;10;0)
vector{BА} *vector{BC}=2*10+4*10-4*0=
=60
Находим длины .векторов vector{BА} и vector{BC}.
|vector{BА}|^2=2^2+4^2+(-4)^2=36
|vector{BА}|=6
|vector{BC}|^2=10^2+10^2=200
|vector{BC}|=10sqrt(2)

cos(vector{BА},vector{BC})=60/(6*10sqrt(2))=1/sqrt(2)
sin(vector{BА},vector{BC})=1/sqrt(2)

CD=10sqrt(2)*(1/sqrt(2))=10

О т в е т. CD=10

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)14,5*60=870 руб заплатили за творог
2) 870-30=840 руб заплатили за молоко
3) 840:60=14 руб стоит пакет молока

Ответ выбран лучшим

В трапеции две стороны ( основания) параллельны, а две другие не параллельны.
Значит, векторы, лежащие на основаниях коллинеарны.

vector{AB}=(1-3;2-(-1);-1-2)=(-2;3;-3)
vector{CD}=(3+1;-5-1;3-(-3))=(4;-6;6)
-2:4=3:(-6)=(-3):6 - координаты пропорциональны.

vector{AB} и vector{CD} коллинеарны.

vector{BС}=(-1-1;1-2;-3-(-1))=(-2;-1;-2)
vector{АD}=(3-3;-5-(-1);3-2)=(0;-4;1)
- координаты не пропорциональны, векторы vector{BС} и vector{АD} не коллинеарны.

ABCD - трапеция с основаниями АВ и СD

Ответ выбран лучшим

vector{a}=(2;-1;3)
vector{b}=(1;-3;2)
vector{c}=(3;2;-4)

Пусть вектор vector{х}=(m;n;p)

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector{x}*vector{a}=-5, значит
2m-n+3p=-5

vector{x}*vector{b}=-11, значит
m-3n+2p=-11

vector{x}*vector{c}=20, значит
3m+2n-4p=20

Решаем систему трех уравнений с тремя переменными
{2m-n+3p=-5
{m-3n+2p=-11
{3m+2n-4p=20

Умножаем первое на 2 и складываем с третьим
{2m-n+3p=-5
{m-3n+2p=-11
{7m+2p=10

Умножаем первое на (-3) и складываем со вторым
{2m-n+3p=-5
{-5m-7p=4
{7m+2p=10

Умножаем третье на 5, второе на 7
{2m-n+3p=-5
{-35m-49p=28
{35m+10p=50
Складываем второе и третье
-39р=78
р=-2
m=(10-2p)/7=(10+4)/7=2
n=2m+3p+5=2*2+3*(-2)+5=4-6+5=3

О т в е т. vector{х}=(2;3;-2)

Ответ выбран лучшим

Переносим вектор vector{AC} в точку B ( cм. рис.1), получаем
vector{BK}= vector{AC} = vector{a}
По правилу треугольника
vector{DK}= vector{BK} - vector{BD}= vector{a} - vector{b}
vector{AB}=(1/2)vector{DK}= (vector{a} - vector{b})/2
vector{CD}=-vector{AB}
vector{CD}=(vector{b} - vector{a})/2

Переносим вектор vector{AC} в точку D ( cм. рис.2), получаем
vector{DP}= vector{AC} = vector{a}
По правилу треугольника
vector{BP}= vector{BD} + vector{BP}= vector{b} + vector{a}
vector{BC}=(1/2)vector{BP}= (vector{a} + vector{b})/2
vector{DA}=-vector{BC}
vector{DA}=(-vector{a} - vector{b})/2

О т в е т.
vector{AB}= (vector{a} - vector{b})/2
vector{CD}=(vector{b} - vector{a})/2
vector{BC}= (vector{a} + vector{b})/2
vector{DA}=(-vector{a} - vector{b})/2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(0;3;5)
x_(vector{AB})=x_(B)-x_(A)
0=x_(B)-1 ⇒ x_(B)=1

y_(vector{AB})=y_(B)-y_(A)
3=y_(B)-(-6) ⇒ y_(B)=-3

z_(vector{AB})=z_(B)-z_(A)
5=z_(B)-3 ⇒ z_(B)=8

B(1; -3; 8)

vector{BC}=(4;2;-1)
x_(vector{BC})=x_(C)-x_(B)
4=x_(C)-1 ⇒ x_(C)=5

y_(vector{BC})=y_(C)-y_(B)
2=y_(C)-(-3) ⇒ y_(B)=-1

z_(vector{BC})=z_(C)-z_(B)
-1=z_(C)-8 ⇒ z_(C)=7

C(5; -1; 7)

x_(vector{CA})=x_(A)-x_(C)=1-5=-4

y_(vector{CA})=y_(A)-y_(C)=(-6)-(-1)=-5

z_(vector{CA})=z_(A)-z_(C)=3-7=-2

vector{CA}=(-4;-5;-2)

О т в е т.B(1; -3; 8); C(5; -1; 7); vector{CA}=(-4;-5;-2)

Ответ выбран лучшим

Пусть vector{m}=(x;y;z)
vector{c}⊥vector{m}, значит скалярное произведение этих векторов равно 0
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат
-3x+0*y+2z=0

vector{m}*vector{a}=4, значит
3х-2y+4z=4

vector{m}*vector{b}=35, значит
5х+y+6z=35

Решаем систему трех уравнений с тремя переменными
{-3x+0*y+2z=0
{3х-2y+4z=4
{5х+y+6z=35

Выразим из первого уравнения 2z=3x и подставим во второе и третье
{3x-2y+6x=4
{5x+y+9x=35

{9x-2y=4
{14x+y=35

Умножаем второе на 2
{9x-2y=4
{28x+2y=70
Складываем
37х=74
х=2

2z=3x
2z=3*2
2z=6
z=3
у=35-14х=35-14*2=35-28=7

О т в е т. vector{m}=(2;7;3)

Ответ выбран лучшим

AD=AB*sin ∠ B

Находим скалярное произведение векторов vector{BА} и vector{BC}.
vector{BА}=(3;2;-6)
vector{BА} *vector{BC}=(3)*(-2)+(2)*4-6*4=
=-22
Находим длины .векторов vector{BА} и vector{BC}.
|vector{BА}|^2=3^2+2^2+(-6)^2=49
|vector{BА}|=7
|vector{BC}|^2=(-2)^2+4^2+4^2=36
|vector{BC}|=6

cos(vector{BА},vector{BC})=-22/(7*6)=-11/21
sin(vector{BА},vector{BC})=sqrt(1-(-11/21)^2)=
=sqrt(1-(121/441))=8sqrt(5)/21

AD=7*(8sqrt(5)/21)=8sqrt(5)/3

О т в е т. 8sqrt(5)/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) vector{AB} = -vector{CD}
x=-1
2) vector{AC} = 2·vector{AO}
x=2
3) vector{OB} = -(1/2)·vector{BD}
x=-1/2
4) OC = x·CD
?? (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим скалярное произведение векторов vector{a} и vector{b}.

vector{a}*vector{b}=(3vector{p} +vector{q} )*(vector{р} – 2vector{q})=3vector{p}*vector{р}+vector{q}*vector{р} -6vector{p}*vector{q}-2vector{q} vector{q} =

=3*| vector{p}|^2-5|vector{р}|*| vector{q}|*cos(Pi/4)-2*|vector{q}|^2=

=3*16 - 5*4*1*sqrt(2)/2-2*1=46-10sqrt(2)

Находим косинус угла между векторами
cos(vector{a}^vector{b})=(vector{a}*vector{b})/|(vector{a}|*|vector{b}|

Находим длины векторов vector{a} и vector{b}

|vector{a}|^2=vector{a}*vector{a}=(3vector{p} +vector{q} )*(3vector{p} +vector{q} )*=9vector{p}*vector{р}+3vector{q}*vector{р} +3vector{p}*vector{q}+vector{q} vector{q} =
=9| vector{p}|^2+6|vector{р}|*| vector{q}|*cos(Pi/4)+|vector{q}|^2=
=9*16 +6*4*1*sqrt(2)/2+1=144+12sqrt(2)

|vector{b}|^2=vector{b}*vector{b}=(vector{p} -2vector{q} )*(vector{p} -2vector{q}=
=vector{p}*vector{р}-4vector{q}*vector{р} +4vector{q} vector{q} =
=| vector{p}|^2-4|vector{р}|*| vector{q}|*cos(Pi/4)+4|vector{q}|^2=
=16 -4*4*1*sqrt(2)/2+4=20-16sqrt(2)

cos(vector{a}^vector{b})=(46-10sqrt(2))/(144+12sqrt(2))*(20-16sqrt(2))=

sin(vector{a}^vector{b})=

S=|(vector{a}|*|vector{b}|*sin(vector{a}^vector{b})

vector{c}=9vector{i}+4vector{j}

vector{a}=vector{i}+2vector{j}

vector{b}=2vector{i}-3vector{j}

vector{c}= альфа* vector{a}+ бета* vector{b}

9vector{i}+4vector{j}=альфа*(vector{i}+2vector{j})+бета *(2vector{i}-3vector{j}

Приравниваем коэффициенты перед вектором vector{i} и
vector{j}
Система
{9= альфа +2 бета
{4=2 альфа -3 бета

Умножаем первое на 3, второе на 2
{27= 3 альфа +6 бета
{8=4 альфа -6 бета

Складываем
35=7 альфа ⇒ альфа =5
бета =(9 - альфа)/2=(9-5)/2=2

О т в е т. vector{c}= 5* vector{a}+ 2* vector{b}

Ответ выбран лучшим

Функция двух переменных определена для всех
(х;у)∈ R^2, кроме y=x^2

Точки плоскости R^2 принадлежащие этой параболе являются точками разрыва второго рода для данной функции.

Ответ выбран лучшим

x`(t)=arctgt+(t)/(1+t^2)
x``(t)=(1/(1+t^2))+(1-t^2)/(1+t^2)^2=

=(1+t^2+1-t^2)/(1+t^2)^2=2/(1+t^2)^2 > 0 при любом t

Функция выпукла вниз, точек перегиба нет (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D(f)=(- бесконечность; + бесконечность )
Точек разрыва второго рода нет, вертикальных асимптот нет.

Горизонтальной асимптоты нет, так как
lim_(x→+∞)(x-arctgx)=+ бесконечность
lim_(x→-∞)(x-arctgx)=- бесконечность

k=lim_(x→∞)(x-arctgx)/x=1, так как
|arctgx| меньше или равно Pi/2

b=lim_(x→+∞)(f(x)-kx)=

=lim_(x→+∞)(x-arctgx-x)=lim_(x→+∞)(-arctgx)=-Pi/2

и

b=lim_(x→-∞)(f(x)-kx)=

=lim_(x→-∞)(x-arctgx-x)=lim_(x→-∞)(-arctgx)=Pi/2

Функция имеет две наклонных асимптоты
у=х-(Pi/2) на + бесконечность
и
у=х+(Pi/2) на - бесконечность (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

z`_(x)=e^(x^2+y^2)*(x^2+y^2)`_(x)=2x*e^(x^2+y^2)
z`_(y)=e^(x^2+y^2)*(x^2+y^2)`_(y)=2y*e^(x^2+y^2)

Ответ выбран лучшим

(7/12)+(4/12)=11/12 кг зеленой получится

Ответ выбран лучшим

1)
(1/10)-(1/15)=(3/30)-(2/30)=1/30
1:(1/30)=30
О т в е т. 30
2)
(-1)^6=1
(-1)^3=-1
6*1+2*(-1)=6-2=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx
((x+1)·y')/y=2 - уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=2dx/(x+1)

Интегрируем
∫ dy/y =∫ 2dx/(x+1)
ln|y|=ln|x+1|^2+lnC
y=C*(x+1)^2
О т в е т. y=C*(x+1)^2

Ответ выбран лучшим

Выделяем полный квадрат.
x^2+4x=(x^2+4x+4)–4=(x+2)^2–4

Формула ( см. рисунок) а^2=4 ⇒ a=2

получаем
= (1/(4))·ln|(x+2–2)/(x+2+2|+C=(1/(4))·ln|(x)/(x+4)|+C

О т в е т. (1/(4))·ln|(x)/(x+4)|+C
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Площадь треугольника равна [b]половине[/b] произведения основания на высоту
основание а=8
высота h=12

S(Δ) = (1/2)·a·h= 1/2·8·12 = 48

Ответ выбран лучшим

Пусть длина второй части х см, тогда длина первой части
0,4х см ( х:100*40)
Вторая больше третьей на 3 см, значит третья меньше второй на 3 см, поэтому длина третьей части (х-3) см.
Вместе 12,6 см.
Уравнение:
0,4х+х+(х-3)=12,6
2,4х=15,6
х=6,5 см - вторая часть
0,4*6,5=2,6 см первая часть.
6,5 см - 3 = 3,5 см третья часть
П р о в е р к а:
6,5+2,6+3,5=12,6 см
О т в е т. 6,5; 2,6; 3,5

Ответ выбран лучшим

С_____18_____А _____________место встречи

Пусть скорость второго автомобиля х км в час.
(х-72) км в час разница скоростей, за счет которой и происходит процесс сближения второго с первым.
1 час 15 минут=1 целая 15/60 часа=1,25
Уравнение:
18:(x-72)=1,25
18=1,25*(х-72)
18=1,25х-90
1,25х=108
х=86,4 км в час

Ответ выбран лучшим

[b]В условии рассматриваются положительные числа![/b]

{x+y=9
{x^2+y^2 > 43
Выразим у из первого и подставим во второе
x^2+(9-x)^2 > 43
x^2-9x+19 > 0
C учетом х > 0
x∈((9+sqrt(5))/2);+ бесконечность)

Найдем, при каких значениях
х ∈[(9+sqrt(5))/2);+ бесконечность)
( обратите внимание левый край включен)
f(x)=x^5+(9-x)^5 принимает наименьшее значение, оно и будет наибольшим значением m

Находим производную
y`=5x^4+5*(9-x)^4*(-x)`=
=5x^4+5*(9-x)^4*(-1)=
=5x^4-5*(9-x)^4=
=5x^4-5*(x-9)^4
(9-x)^2=(x-9)^2, и в любой четной степени так же)

y`=0
5x^4-5*(x-9)^4=0
Раскладываем на множители
5*(x^2-(x-9)^2)*(x^2+(x-9)^2)=0
5*(x-(x-9))*(x+(x-9))*(x^2+(x-9)^2)=0
45*(2x-9)*(x^2+(x-9)^2)=0
2x-9=0
x=4,5 - точка возможного экстремума функции
f(x)=x^5+(9-x)^5

НО
эта точка не входит в промежуток ((9+sqrt(5))/2);+ бесконечность).
Так как производная положительна на этом промежутке, то функция возрастает и наименьшее значение принимает в точке (9+sqrt(5))/2

Находим значение функции в точке (9+sqrt(5))/2.

Применяем формулу биному Ньютона
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5
Cкладываем
(a+b)^5+(a-b)^5=2a^5+2*10a^3b^2+2*5ab^4 ( #)

f((9+sqrt(5))/2)=((9+sqrt(5))/2)^5+(9-((9+sqrt(5))/2))^2=
=((9+sqrt(5))/2)^5+((9-sqrt(5))/2)^5=
применяем (#) при a=9/2; b=sqrt(5)/2

=2*(9/2)^5+20*(9/2)^3*(sqrt(5)/2)^2+10*(9/2)*(sqrt(5)/2)^4=
=2*(9^5+10*9^3*5+5*9*25)/2^5=
=9*(9^4+50*9^2+125)/16=6039
Наименьшее значение функции f(x)=x^5+y^5 на [(9+sqrt(5))/2; + бесконечность) равно 6039
При всех x из интервала ((7+sqrt(5))/2; + бесконечность) f(x) > 6039
(На графике в точке с ординатой 6039 ''дырка'' и затем кривая растет вверх)
Значит наибольшее m=6039
О т в е т. m=6039

Ответ выбран лучшим

Привезли:
24 л и 27 л
Осталось после завтрака22л
Выпили на завтраке - ?
Решение
1)(24+27)=51л привезли
2)51-22=29 л выпили на завтраке
О т в е т. 29 л

Пусть осталось в первом бидоне 22 л, тогда выпили все молоко из второго 27 л и 2 л из первого бидона
1)24-22=2л
2) 27+2=29 л

Пусть осталось во втором бидоне 22 л, тогда выпили все молоко из первого 24 л и 5 л из второго бидона
1)27-22=5 л
2) 24+5=29 л

3 м соответствуют 4м 50 см
4 см соответствуют 6 м

Размеры кухни 4 м 50 см на 6 м

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть весь бассейн 1.
Тогда за 1 час первая труба заполняет (1/6) часть бассейна.

3 часа (1/3)=10/3

За (10/3) часов при совместной работе первая труба заполняет
(10/3)*(1/6)=10/18=5/9
Значит вторая труба за 10/3 часов при совместной работе заполняет оставшуюся часть, т.е
1-(5/9)=4/9 бассейна
(4/9):(10/3)=4/30=2/15=1/(7,5) часть бассейна заполянет вторая труба за час.
1:(1/7,5)=7,5 час. потребуется второй трубе, чтобы заполнить весь бассейн

Ответ выбран лучшим

Обозначим
К- деньги Кирилла
Н- деньги Никиты
П- деньги Паши
И- деньги Ильи

По условию
Н+П+И = 90
К+ П + И =85
К+Н+ И=80
К+Н+П=75

Cкладываем все 4 кучи

3К+3Н+3П+3И=330

Делим на 3
К+Н+П+И=110
Н+П+И = 90
значит К=110-90=20

К+Н+П+И=110
К+ П + И =85
Н=110-85=25

П=30
И=35

Ответ выбран лучшим

y^2=x(x-3)^2/9
В силу симметрии относительно оси Ох вычислим половину длины дуги.

y=sqrt(x*(x-3)^2)/3
y`=(1/3)*(1/2sqrt(x*(x-3)^2))*(x*(x-3)^2)`
y`=(1/6)(x^3-6x^2+9x)`/sqrt(x*(x-3)^2)
y`=(1/6)*(3x^2-12x+9)/sqrt(x*(x-3)^2)
y`=(1/2)*(x^2-4x+3)/sqrt(x*(x-3)^2)
y`=(1/2)*(x-1)*(x-3)/sqrt(x*(x-3)^2)

1+(y`)^2= 1+((x-1)^2/4x)=(x+1)^2/4x

sqrt(1+(y`)^2)=(x+1)/(2sqrt(x))

(1/2)L= ∫ ^(3)_(0) dx=

= ∫ ^(3)_(0)(x+1)/(2sqrt(x))dx=

=(1/2) ∫ ^(3)_(0)(sqrt(x)+(1/sqrt(x)))dx=

=((1/2)*(2/3)sqrt(x^3) +sqrt(x))|^(3)_(0)=

=(1/3)*3sqrt(3)+sqrt(3)=2sqrt(3)

L=4sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2)
2*(4х-1)(4х+1)/(х-3) < 0

_-__ (-1/4) __+__ (1/4) ____-____ (3) __+__

(- бесконечность; -1/4) U(1/4; 3)

4) 3^(x)*(9-1)=72
3^x=9
x=2

Ответ выбран лучшим

30 декабря 2007 года + 3 года = 30 декабря 2010 года.

+5 дней получим 4 января 2011 года.
+ 2 месяца получим 4 марта 2011 года

Ответ выбран лучшим

Найдем точку персечения
2phi=2PI
phi=Pi

Внутри окружности r=2π находится половина первого витка спирали Архимеда при изменении
phi от 0 до Pi
Применяем формулу вычисления длины дуги в полярных координатах
L= ∫^(бета)_(альфа) sqrt(r^2+(r`)^2)d phi

r`=2

L= ∫^(Pi)_(0) sqrt(4(phi)^2+4)d phi=

=2 ∫^(Pi)_(0) sqrt((phi)^2+1)d phi=

( формула ∫ sqrt(1+x^2)dx=(x/2)sqrt(1+x^2)+(1/2)ln|x+sqrt(1+x^2)|+C)

=(phi*sqrt(1+(phi)^2)+ln|phi+sqrt(1+(phi)^2)|)|^(Pi)_(0)=

=Pisqrt(1+(Pi)^2)+ln|Pi+sqrt(1+(Pi)^2)| (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В силу симметрии достаточно вычислить четвертую часть искомой площади.
(1/4)S=(1/2) ∫^( Pi/4)_(0)a2cos2φ d phi =

=(a^2/2)*(sin2 phi /2)|^( Pi/4)_(0)=

=a^2/4

S=a^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Функция r(phi)=2+cos phi определена для всех phi.
r > 0 при любом phi.

Применяем формулу нахождения площади в полярных координатах.
S=(1/2) ∫ ^( бета )_( альфа ) r^2(phi) d phi

S=(1/2) ∫ ^(2Pi)_(0) (2+cosphi)^2 d phi=

=(1/2)* ∫ ^(2Pi)_(0) (4+4cosphi+(1+cos2phi)/2) d phi=

=(2 phi +2sin phi +(1/4) phi+(1/8)sin phi )|^(2Pi)_(0)=

=9Pi/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{cost=(x-2)/3
{sint=(y-3)/2
Возводим в квадрат и складываем
Это эллипс.
(x-2)^2/9+(y-3)^/4=1

Этот эллипс равновелик эллипсу
(x^2/9)+(y^2/4)=1
Параметрическое уравнение которого
{x=3cost
(y=2sint

[0;3] на оси Ох получаем
если t1=Pi/2 и t2=0
В силу симметрии достаточно вычислить четвертую часть искомой площади, результат умножить на 4.
S=4*∫^0_(Pi/2) y(t)*x^(t)dt=

= -4∫^(Pi/2) _(0) (2sint)*(-3sint)dt= 24∫^(Pi/2) _(0) (sin^2t)dt=

= 24∫^(Pi/2) _(0) (1-cos2t)/2dt=

=12t|^(Pi/2) _(0) -(3sin2t)|^(Pi/2) _(0) =6Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S=2 ∫^1 _(0)((Pix/2)-arcsinx)dx

∫ arcsinxdx считаем по частям
u=arcsinx
dv=dx
v=x
du=dx/sqrt(1-x^2)

S=2*((Pix^2/4)|^1_(0)-(x*arcsinx)|^1_(0)-(1/2)2sqrt(1-x^2)||^1_(0))=

=2*((Pi/4)-1*(Pi/2)+1)=2-(Pi/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Надо проследить на какую цифру оканчиваются степени 8, 7, 6
661=6
6^2=_ 6
6^3=_ _ 6
...
Любая степень числа, оканчивающегося на 6, оканчивается на 6
7^1=7
7^2=_ 9
7^3=_ _ 3
7^4=_ _ _ 1
И все зациклилось.
66=64+2
7^(66)=7^(64)*7^2=(_ _ _ _ 1) * (_ 9) =
= ( _ _ _ _ _ _ 9)

8^1=8
8^2=_ 4
8^3=_ _ 2
8^4=_ _ _6
8^5=_ _ _ _ _ 8
Снова цикл.
77=76+1
8^(77)=8^(76+1)=8^(76)*8=(_ _ _ _ _ 6) * 8=
= _ _ _ _ _ _ 8

сумма
(_ _ _ _ _ _ 8) + ( _ _ _ _ _ _ 9)-(_ _ _ _ _ 6)

оканчивается на _ _ _ _ 1

Умножаем число, оканчивающееся на 1 на 2^3 ( т.е на 8) получим _ _ _ _ _ 8
О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

1) можно использовать стандартные разложения с помощью замены переменной
x+1=t
Если х→-1, то t→0
f(x)=x*e^x или
f(t)=(t-1)*e^(t-1)
Разложим функцию f(t) по степеням t, используя разложение
e^t=1+t+(t^2/2!)+(t^3/3!)+(t^4/4!)+(t^5/5!) + o(t^5)
o(t^5) - остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано

(t-1)*e^(t-1)=(1/e)*t*e^(t)-(1/e)*e^t

(1/e)*t*e^(t)=(1/e)*(t+t^2+(t^3/2!)+(t^4/3!)+(t^5/4!)+ о(t^5))
-(1/e)*e^t=(1/e)*(-1-t-(t^2/2!)-(t^3/3!)-(t^4/4!)-(t^5/5!) + o(t^5))
Cкладываем:

f(t)=(1/e)*(-1+(t^2/2)+(t^3/3)+(t^4/8)+(t^5/30)+o(t^5))

Обратная замена

x*e^x=(1/e)*(-1+((x+1)^2/2)+((x+1)^3/3)+((x+1)^4/8)+((x+1)^5/30)+o((x+1)^5))

сравнить ответ с ответом, полученным с помощью машинного разложения. (прикреплено изображение)

1)
sin^2x=(1-cos2x)/2

cosx=1-(x^2/2!)+(x^4/4!)+o(x^4)
cos2x=1-((2x)^2/2!)+((2x)^4/4!)+o(x^4)
-cos2x=-1+((2x)^2/2!)-((2x)^4/4!)+o(x^4)
1-cos2x=((2x)^2/2!)-((2x)^4/4!)+o(x^4)
(1-cos2x)/2=(1/2)*((2x)^2/2!)-(1/2)*((2x)^4/4!)+o(x^4)

sin^2x=(1/2)*((2x)^2/2!)-(1/2)*((2x)^4/4!)+o(x^4)

2)
chx=(e^x+e^(-x))/2

e^x=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+(x^4/4!)+(x^5/5!)+o(x^5)
e^(-x)=1-x+(x^2/2!)-(x^3/3!)+(x^4/4!)-(x^5/5!)+o(x^5)

e^x+e^(-x)=2+2*((x^2/2!))+2*(x^4/4!)+o(x^5)
(e^x+e^(-x))/2=1+(x^2/2!))+(x^4/4!)+o(x^5)

chx=1+(x^2/2!))+(x^4/4!)+o(x^5)

Ответ выбран лучшим

0,15 - серной кислоты,
0,85 - воды
200*0,85=170 г воды
200*0,15=30 г серной кислоты

Ответ выбран лучшим

[b]В условии рассматриваются положительные числа![/b]

{x+y=7
{x^2+y^2 > 27
Выразим у из первого и подставим во второе
x^2+(7-x)^2 > 27
2x^2-14x+22 > 0
или
x^2-7x+11 > 0
D=49-4*11=5
x1=(7-sqrt(5))/2 или x2=(7+sqrt(5))/2
C учетом х > 0
x∈(0;(7-sqrt(5))/2) U(7+sqrt(5))/2);+ бесконечность)

Найдем, при каких значениях
х ∈(0;(7-sqrt(5))/2] U[(7+sqrt(5))/2);+ бесконечность)

( обратите внимание на квадратные скобки).

f(x;y)=x^5+y^5
Заменим у=7-х

f(x)=x^5+(7-x)^5

Находим производную
y`=5x^4+5*(7-x)^4*(7-x)`=
=5x^4+5*(7-x)^4*(-1)=
=5x^4-5*(7-x)^4=
=5x^4-5*(x-7)^4
(7-x)^2=(x-7)^2, и в любой четной степени так же)

y`=0
5x^4-5*(x-7)^4=0
Раскладываем на множители
5*(x^2-(x-7)^2)*(x^2+(x-7)^2)=0
5*(x-(x-7))*(x+(x-7))*(x^2+(x-7)^2)=0
35*(2x-7)*(x^2+(x-7)^2)=0
2x-7=0
x=3,5 - точка возможного экстремума функции
f(x)=x^5+(7-x)^5

НО
эта точка не входит в промежуток (0;(7-sqrt(5))/2]U[(7+sqrt(5))/2);+ бесконечность).

Так как производная отрицательна на (0;(7-sqrt(5))/2], значит функция убывает и наименьшее значение принимает в точке (7-sqrt(5))/2
Так как производная положительна на [(7+sqrt(5))/2);+ бесконечность), то функция возрастает и наименьшее значение принимает в точке (7+sqrt(5))/2
В силу симметрии
f((7-sqrt(5))/2)=f((7+sqrt(5))/2)
Находим значение функции в точке (7+sqrt(5))/2.

Применяем формулу биному Ньютона
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5
Cкладываем
(a+b)^5+(a-b)^5=2a^5+2*10a^3b^2+2*5ab^4 ( #)

f((7+sqrt(5))/2)=((7+sqrt(5))/2)^5+(7-((7+sqrt(5))/2))^2=
=((7+sqrt(5))/2)^5+((7-sqrt(5))/2)^5=
применяем (#) при a=7/2; b=sqrt(5)/2

=2*(7/2)^5+20*(7/2)^3*(sqrt(5)/2)^2+10*(7/2)*(sqrt(5)/2)^4=
=2*(7^5+10*7^3*5+5*7*25)/2^5=
=7*(7^4+50*7^2+125)/16=2177
Наименьшее значение функции f(x)=x^5+y^5 на [(7+sqrt(5))/2; + бесконечность) равно 2187
При всех x ∈((7+sqrt(5))/2; + бесконечность) f(x) > 2177
Значит наибольшее m=2177
О т в е т. m=2177

Ответ выбран лучшим

bn=–1/bn–1
b2=–1/b1=–1/2

Ответ выбран лучшим

в) ОДЗ:
1- cosx больше или равно 0
cosx меньше или равно 1 - верно при любом х.

Возводим в квадрат при условии sinx больше или равно 0
sin^2x=(1-cosx)/2 - равенство верное при любом х,
значит решением уравнения является множество точек от
0+2Pik до Pi+2Pik, k ∈ Z.
Указанный отрезок входит в это множество.
Все точки [2Pi;7Pi/2] являются решениями уравнения.

г)
OДЗ:
(1-cos) больше или равно 0 ⇒ cosx меньше или равно 0 ⇒х ∈ (- бесконечность ;+ бесконечность )

Перепишем уравнение в виде
sqrt(3*(1-cosx)/2)=-sinx

Возводим обе части уравнения в квадрат при условии, что
-sinx больше или равно 0⇒
sinx меньше или равно 0⇒
x ∈ [(Pi)+2Pi*n; (2Pi)+2Pi*n], n∈Z.

3*(1-cosx)/2=sin^2x
3*(1-cosx)/2=(1-cosx)/2
(заменили по формуле 2sin^2x=1-cosx)
1-сosx=0
cosx=1
x=2Pi*m ,m ∈ Z.

С учетом x ∈ [(Pi)+2Pi*n; (2Pi)+2Pi*n], n∈Z. получаем ответ
О т в е т.
2Pi*m ,m ∈ Z.
Указанному промежутку принадлежит корень
( -6Pi) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=14sqrt(2)cosx-14
y`=0
cosx=1/sqrt(2)
x=Pi/4 ∈ [0;Pi/2]- точка минимума, производная меняет знак с - на +

Подставляем х=Pi/4 в данное выражение и получаем ответ
О т в е т. 17

Ответ выбран лучшим

АА1В1В или СС1D1D

ОТ лежит в пл. MM1K1K, которая параллельна
грани АА1В1В или грани СС1D1D. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначим сумму всех чисел S.
x_(1)+x_(2)...+x_(239)=S

Заменяем
x_(1) на S - x_(1)
x_(2) на S - x_(2)
…
x_(239) на S - x_(239)

Получаем
(S - x_(1))+( S - x_(2))+...+( S - x_(239))=S
239S-S=S
237S=0

S=0

Находим произведение
x_(1)*x_(2)*...*x_(239)=(S-x_(1))(S-x_(2))…(S-x_(239)) x_(1)*x_(2)*...*x_(239)=(0-x1)(0-x2)*…(0-x2009)
x_(1)*x_(2)*...*x_(239)=- x_(1)*x_(2)*...*x_(239)
2*x_(1)*x_(2)*...*x_(239)=0
x_(1)*x_(2)*...*x_(239)=0
О т в е т.x_(1)*x_(2)*...*x_(239)=0

Ответ выбран лучшим

ОК=r ( радиус вписанной окружности)
r=asqrt(3)/6=4*sqrt(3)/6=2sqrt(3)/3
По теореме Пифагора из треугольника МКО
МК=sqrt(2^2+(2sqrt(3)/3)^2)=sqrt(48/9)=4sqrt(3)/3
О т в е т. 4sqrt(3)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)Множество точек на окружности y^2+z^2=48, у которых х=4

2)
{x^2+y^2+z^2=64
{x^2+y^2+z^2-2x=58 ⇒ 64-2x=58 ⇒ 2x=6 ⇒ x=3
3^2+y^2+2^2=64 ⇒ y^2=51
О т в е т. (3;-sqrt(51);2) или (3;sqrt(51);2)

Ответ выбран лучшим

В пятом октанте
х > 0; у > 0; z < 0

Так как шар касается всех трех координатных плоскостей, значит ему принадлежат точки
(5,5,0)
(5,0,-5)
(0,5,-5)

Координаты центра (5,5,-5). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Биссектральная плоскость координатного угла Оуz проходит через ось Ох.
Значит, проходит через начало координат и точку (1;0;0) оси Ох
Поэтому уравнение этой плоскости имеет вид
z=y
или
y–z=0
Нормальный вектор этой плоскости (0;1;–1) является направляющим вектором прямой.
Но первая координата направляющего вектора равна 0!

Уравнение этой прямой, проходящей через точку М(2;1;–4) с заданным направляющим вектором имеет вид

{x=2
{(y–1)/1=(z+4)/(–1)

О т в е т.

{x=2
{(y–1)/1=(z+4)/(–1)
y+z+3=0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Жигули - 28 - это (4/7) всех машин

Значит (1/7) всех машин в 4 раза меньше
28:4=7
А всех машин в 7 раз больше
7*7=49 машин на стоянке

49- 28=21 машина других марок, они составляют 3/7

Ответ выбран лучшим

b_(n)=-1/b_(n-1)
b_(2)=-1/b1=-1/2

Ответ выбран лучшим

у`=(x^2+40x–40)`е^(-40-x)+(x^2+40x-40)*(е^(-40-x))`=
=(2x+40)*е^(-40-x)+((x^2+40x-40)*е^(-40-x)=
=e^(-40-x)*(2x+40+x^2+40x-40)=
=e^(-40-x)*(x^2+42x)

у`=0
e^(-40-x)*(x^2+42x)=0

Так как
e^(-40-x) > 0 при любом х

x^2+42x=0
x=0 или х=-42 - точки возможных экстремумов
х=0 не принадлежит указанному промежутку
[-46] __–_ (-42)__+__ [-35]
x=-42– точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
у(-42)=((-42)^2+40*(-42)-40)*e^(-40-(-42))=
=44e^2 – наименьшее значение функции

Ответ выбран лучшим

К___40____Н____22__M_____51 ______Л

МН=22
НЛ=22+51=73

Ответ выбран лучшим

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Решается делением уравнения на sin^2x ≠ 0
Получаем квадратное уравнение относительно тангенса
4tg^2x-3tgx-1=0
В=9+16=25
корни (-1/4) и 1

tgx=-1/4
x=arctg(-1/4)+πk, k∈Z

или

tgx=1
x= (π/4)+πn, n∈Z

О т в е т.
а) -arctg(1/4)+πk, (π/4)+πn, k, n∈Z

б) Указанному промежутку принадлежит один корень (π/4)

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а второй при этом не теряет смысла.
Так как sqrt(tgx) больше или равно 0, а
1+ sqrt(tgx) > 0,только первый множитель может обращаться в 0.
Система

{cosx-sinx=0
{tgx больше или равно 0

{tgx=1 ⇒ х=(π/4)+πk, k∈Z
{tgx больше или равно 0 согласуется с первым уравнением 1 > 0
О т в е т. х=(π/4)+πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

2) AB=AD=sqrt(12)=2sqrt(3)
R=AD/2=sqrt(3)
S(осн.)=Pi* R^2=Pi*(sqrt(3))=3Pi
S(осн.)/Pi

3) AD=2R=2sqrt(3)
H=CD=AD*tg 60 градусов=2sqrt(3)*sqrt(3)=6

4) S( бок)=2Pi*R*H
2Pi*R*H=36Pi
Делим на Pi
2R*H=36
AD=2R; AB=H
AD*AB=36
S(ABCD)=36

Ответ выбран лучшим

Прямые
(x–3)/2=(y+3)/(–1)=(z+6)/3
и
(x+5)/8=(y+3)/(–4)=(z+6)/12
параллельны, так как направляющие векторы данных прямых коллинеарны, так как координаты пропорциональны
2:8=(-1):(-4)=3:12

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

делением

Ответ выбран лучшим

9904*30=297 120 деталей произведет за месяц ( 30 дней)

9904:8=1238 деталей в час.

1238*7=8666 деталей произведет завод, если смена будет длится 7 часов

9904*30=297 120 деталей произведет за месяц ( 30 дней)

Ответ выбран лучшим

13 часов = 12 часов 60 минут
13 часов 10 минут = 12 часов 70 минут

12 часов 70 минут - 4 часа 25 минут= 8 часов 45 минут

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку А, нормальный вектор которой совпадает с направляющим вектором данной прямой
-2*(х-0)+(у-2)+3*(z-5)=0
-2x+y+3z-17=0

Составим параметрические уравнения прямой
x-1=-2t; y=t; z+3=3t

x=-2t+1;
y=t;
z=3t-3

Подставляем х; у; z выраженные через t в уравнение плоскости.
-2*(-2t+1)+t+3*(3t-3)-17=0
14t-28=0
t=2

значит
х=-2*2+1=-3
у=2
z=3*2-3=3

В(-3;2;3) - точка пересечения прямой и плоскости.
АВ=sqrt((-3-0)^2+(2-2)^2+(3-5)^2)=sqrt(13)
О т в е т. sqrt(13)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между двумя плоскостями - угол между нормальными векторами этих плоскостей.

Составим уравнение второй плоскости.
Плоскость проходит через ось Ох.
Значит проходит через начало координат и уравнение таой плоскости имеет вид
Ax+By+Cz=0
Плоскость проходит через точку (1;0;0)
Подставляем координаты этой точки в уравнение
A*1+B*0+C*0=0 ⇒ A=0

Точка М принадлежит плоскости. Подставляем координаты точки М в уравнение плоскости
0*3+B*(-1)+C*(-1)=0
-B-C=0 ⇒ B=-C

Уравнение плоскости имеет вид
-Су+Сz=0
Делим на С
y-z=0

Нормальный вектор плоскости х+у=0
vector{n_(1)}=(1;1;0)

Нормальный вектор плоскости у-z=0
vector{n_(2)}=(0;1;-1)

cos phi =A_(1)*A_(2)+B_(1)*B_(2)+C_(1)*C_(2))/(sqrt(A^2_(1)+B^2_(1)+C^2_(1))*sqrt(A^2_(2)+B^2_(2)+C^2_(2))=

=(1*0+1*(-1)+0*(-1))/(sqrt(2)*sqrt(2))=-1/2
phi =120 градусов.
Так как углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями, то

Ответ. 60 градусов.

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости 5x–2y+z+15=0 и проходящей через точку А(2; –1; 3).
При этом нормальный вектор плоскости – это направляющий вектор прямой.
vector{n} =(5;–2;1)

Уравнение прямой:
(x–2)/5=(y+1)/(–2)=(z–3)/1

Находим точку пересечения прямой и плоскости.
{(x–2)/5=(y+1)/(–2)=(z–3)/1
{5x–2y+z+15=0

Первое уравнение – можно записать как пересечение двух плоскостей
{(x–2)/5=(z–3)/1 ⇒ x=5z–13
{(y+1)/(–2)=(z–3)/1⇒ y=–2z+5
{5·(5z–13)–2·(–2z+5)+z+15=0 ⇒ z=2

x=5z–13=5·2–13=–3
y=–2z+5=–2·2+5=1

От в е т. (–3;1;2)

vector{n_(1)}=(1;-3;2)
vector{n_(2)}=(2;-1;4)

Найдем векторное произведение

vector{n_(1)}×vector{n_(2)}, которое равно определителю третьего порядка в первой строке, которого записаны базисные векторы vector{i};vector{j};vector{k}
во второй- координаты вектора vector{n_(1)},
в третьей - координаты вектора vector{n_(2)}.

vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=vector{i}*(-3*4-(-1)*2)-vector{j}*(1*4-2*2)+vector{k}*(1*(-1)-2*(-3))=
=-10vector{i}+5vector{k}= -5*(2*vector{i}+vector{k})
- направляющий вектор искомой плоскости.
Координаты направляющего вектора (-2;0;1)
Уравнение прямой, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o);z_(o)) с направляющим вектором (p;0;r)

{(х–х_(о))/p=(z–z_(о))/r
{y=y_(o)

{(x-5)/2=9-z
{y=-7

О т в е т.
{(x-5)/2=9-z
{y=-7

Ответ выбран лучшим

Пусть точка М(x;0;0) удовлетворяет указанным условиям
Тогда расстояние от точки М до прямой х+у-5=0
равно
d=|x-5|/sqrt(1^2+1^2)
d=|x-5|/sqrt(2)

Расстояние АМ=sqrt((x-1)^2+(0-2sqrt(2))^2+(0-0)^2)
ПО условию
d=АМ
|x-5|/sqrt(2)=sqrt((x-1)^2+8)
(x-5)^2/2=(x-1)^2+8;
x^2+6x-7=0
D=36-4*(-7)=64
x1=(-6-8)/2=-7; x2=(-6+8)/2=1

О т в е т. (-7;0;0) или (1;0;0)

Ответ выбран лучшим

Точка M0(2;–1;–3) принадлежит сфере, так как ее координаты удовлетворяют уравнению сферы
(2–1)^2+(-1+2)^2+(-3–2)^2=27,
1+1+25=27 - верно.

R=sqrt(27)=3sqrt(3)
C(1;-2;2)- центр сферы.

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Значит вектор vector{СM} - нормальный вектор касательной плоскости.
vector{\СM} =(2-1;-1-(-2);-3-2)=(1;1;-5)
Уравнение плоскости с нормальным вектором vector{n}=(a;b;c) и проходящей через точку М_(о)(x_(o);y_(o);z_(o)) имеет вид
a*(x-x_(o))+b*(y-y_(o))+c*(z-z_(o))=0
1*(x-2)+1*(y+1)-5*(z+3)=0
x+y-5z-16=0
О т в е т. x+y-5z-16=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть М - точка, принадлежащая искомому множеству.
М(х; у; z).
A_(1)M=MA_(2)
sqrt((x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2)=sqrt((x+4)^2+(y+2)^2+(z-1)^2)
(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=(x+4)^2+(y+2)^2+(z-1)^2
(x-3)^2-(x+4)^2+(y-2)^2-(y+2)^2=0
(x-3-x-4)*(x-3+x+4)+(y-2-y-2)*(y-2+y+2)=0
-7*(2x+1)-4*2y=0
14x+8y+7=0
О т в е т. плоскость 14х+8у+7=0

Ответ выбран лучшим

3x-1=t
x=(t+1)/3
dx=(1/3)dt

=(1/3)∫ (2*(t+1)/3 +1)dt/t=(1/9) ∫ (2t+5)dt/t=
=(1/9) ∫ 2dt+(1/9) ∫ 5dt/t=(2/9)t+(5/9)ln|t)+C,
где t=3x+1

Ответ выбран лучшим

Точка D делит отрезок АВ в отношении 2:3
лямбда =2/3

x_(D)=(x_(A)+ лямбда x_(B))/(1+ лямбда ) ⇒
x_(D)=(2+(2/3)*(-3))/(1+(2/3)) ⇒ x_(D)=0

y_(D)=(y_(A)+ лямбда y_(B))/(1+ лямбда ) ⇒
y_(D)=(2+(2/3)*1)/(1+(2/3)) ⇒ y_(A)=8/5=1,6

z_(D)=(z_(A)+ лямбда z_(B))/(1+ лямбда ) ⇒
z_(D)=(5+(2/3)*0)/(1+(2/3)) ⇒ z_(D)=3

A(0;1,6;3)

Координаты точки C - координаты середины отрезка АD
x_(C)=(x_(A)+ x_(D))/2 ⇒ x_(C)=(2+0/2=1

y_(C)=(y_(A)+ y_(D))/2 ⇒ y_(C)=(2+1,6)/2=1,8

z_(C)=(z_(A)+ z_(D))/2 ⇒ x_(C)=(5+3)/2=4

О т в е т. А ( 0; 1,6; 3); С( 1; 1,8; 4)

Ответ выбран лучшим

Уравнение сферы
(x-4)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=10^2
Уравнение плоскости Оуz
x=0

Решаем систему двух уравнений:
{(x-4)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=10^2
{x=0

(0-4)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=10^2
(y+3)^2+(z-2)^2=84 - уравнение окружности на плоскости Оуz с центром (-3; 2) радиусом sqrt(84)

Ответ выбран лучшим

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Координаты точки М как середины диагонали АС:
x_(М)=(x_(A)+x_(C))/2
y_(М)=(y_(A)+y_(C))/2
z_(М)=(z_(A)+z_(C))/2

Подставляем координаты точек А и С и находим координаты точки М
х_(М)=(2-4))/2 ⇒ х_(М)=-1
у_(М)=(4+2)/2 ⇒ у_(М)= 3
z_(М)=(3+1)/2 ⇒ z_(М)= 2

Координаты точки М как середины диагонали BD:
x_(М)=(x_(B)+x_(D))/2
y_(М)=(y_(B)+y_(D))/2
z_(М)=(z_(B)+z_(D))/2

Подставляем координаты точки B и М и находим координаты точки D
-1=(-3+x_(D))/2 ⇒ х_(D)=1
3=(0+у_(D))/2 ⇒ у_(D)= 6
2=(6+у_(D))/2 ⇒ у_(D)= -2

Уравнение стороны AD, как прямой проходящей через две точки

(х-2)/(1-2)=(у–4)/(6-4)=(z-3)/(-2-3);
или
(х-2)/(-1)=(у–4)/2=(z-3)/(-5);

Уравнение диагонали BD, как прямой проходящей через две точки

(х+3)/(1+3)=(у–0)/(6-0)=(z-6)/(-2-6);
(х+3)/4=(у–0)/6=(z-6)/(-8)

О т в е т.
AD:(х-2)/(-1)=(у–4)/2=(z-3)/(-5);
BD:(х+3)/4=(у–0)/6=(z-6)/(-8)

Ответ выбран лучшим

Пусть это точка М и она имеет координаты (x;0;0)
АМ=МВ
АМ=sqrt((x-3)^2+(0+1)^2+(0-2)^2)
МВ=sqrt((x-4)^2+(0-1)^2+(0+1)^2)

sqrt((x-3)^2+(0+1)^2+(0-2)^2)=sqrt((x-4)^2+(0-1)^2+(0+1)^2)

Возводим в квадрат

(x-3)^2+(0+1)^2+(0-2)^2=(x-4)^2+(0-1)^2+(0+1)^2

(х-4)^2-(х-3)^2=3
(x-4-x+3)(x-4+x-3)=3
2x-7=-3
2x=7-3
2[=4
x=2

О т в е т. (2;0;0)

Ответ выбран лучшим

1) 400:100=4 л в бидоне
2) 2*400+5*4=820 л в двух бочках и 5 бидонах
3) 820:10=82 л сока получил каждый детский сад

Ответ выбран лучшим

1) 50*2=100 км - проедет первый за 2 часа
2) 75-50=25 км в час - разница скоростей.
3) 100:25= 4 часа - через 4 часа второй догонит первого.

О т в е т. через 4 часа второй догонит первого.
2 способ
пусть второй автомобиль догонит первый через х часов.
Тогда второй автомобиль проедет 4х км, а первый
50*(2+х).
Расстояния равны.
Составляем уравнение
75*х=50*(2+х)
75х=100+5х
75х-50х=100
25х=100
х=4
О т в е т. Через 4 часа легковой догонит грузовой.

Ответ выбран лучшим

8+4=12 лет первой
5+3=8 лет второй
12-8 = 4 года разница между ними
О т в е т. на 4 года

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

12:6=2
24:12=2
48:12=2
и так далее
Значит пропущено 96

Ответ выбран лучшим

y`=(1/4)*(3x^2+6x)
y`=0
3x^2+6x=0
3x*(x+2)=0
x=0 или х=-2 - точки возможных экстремумов.

Проверяем расположение знаков производной ( параболы у=(1/4)*(3x^2+6x), ветви которой направлены вверх)

_+_(-2) _-__ (0) _+__

Данная функция возрастает на (- бесконечность; -2) и на (0;+ бесконечность 0
Убывает на (-2;0)
х=-2 - точка максимума
х=0 - точка минимума (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

210:100*25=52,5 руб составляют 25% от 210 рублей
210-52,5=157,5 руб новая( сниженная на 25%) цена
1000:157,5=6,34...
О т в е т. 6 штук
2)
45 руб. составляют 100%
36 руб. составляю х %
х=36*100:45=80%
100-80=20%
О т в е т. на 20% снизилась цена

Ответ выбран лучшим

a^2=16
b^2=7
c^2=a^2-b^2=16-7=9

диаметр окружности соединяет точки (3;0) и (4;0)
Уравнение окружности
(x-3,5)^2+y^2=0,5^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sinx=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)+...

1 градус=Pi/180 радиан =0,0174444... радиан ≈0, 01744
радиан

sin1 градусов = 0,01744- (0,01744^3/6)+ (0,01744^5/120)+... ≈ 0,01744-0,00000088+ очень маленькое слагаемое≈ 0,01744
достаточно взять только первое слагаемое и тогда остаток

|r_(3)|=(0,01744^3/6)=0,00000088 < 0,0001

Ответ выбран лучшим

tgx=x+(x^3/3) + o(x^4)
sinx=x-(x^3/6)+o(x^4)
tgx-sinx=(x^3/2)+o(x^4)

lim_(x– > 0) (tgx–sinx)/(x^3)=lim_(x– > 0) (x^3/2+o(x^4))/(x3)=(1/2)

Ответ выбран лучшим

Имеем неопределенность (бесконечность/бесконечность)
Делим и числитель и знаменатель на х
lim(x→∞)(1-(cosx/x))/(1+(cosx/x))=(1-0)/(1+0)=1
Произведение бесконечно малой (1/х) на ограниченную (|cosx| меньше или равно 1) равно 0.

Наверное, не выполняются условия теоремы ( правило Лопиталя):
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х_(о) , за исключением быть может самой точки х_(о) и
знаменатель g`(x) ≠ 0 для всех х из окрестности точки х_(о).
Это не так
g(x)=x+cosx
g`(x)=1-sinx
1-sinx может обращаться в 0 некоторых точках на бесконечности

Ответ выбран лучшим

360 градусов : 30= 12 градусов приходится на 1 ученика.
12*12=144 градусов на мальчиков
12*18=216 градусов на девочек (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=-1
y=-sqrt(3)
|z|=r=sqrt((-1)^2+(-sqrt(3))^2)=sqrt(1+3)=sqrt(4)=2
argz=phi=arctg(y/x)-Pi=arctg(-sqrt(3)/(-1)=( Pi/3)-Pi=-2Pi/3

-1-isqrt(3)=2*(cos(-2Pi/3)+isin(-2Pi/3)

По формуле Муавра получим
(-1-isqrt(3))^(15)=2^(15)(cos(-10Pi)+isin(-10Pi))=2^(15)*(1+i*0)=
=2^(15)=32768

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим частные производные
z`_(x)=y-(50/x^2)
z`_(y)=x-(20/y^2)

Находим стационарные точки
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{y-(50/x^2)=0 ⇒ yx^2=50
{x-(20/y^2)=0 ⇒ xy^2=20

Перемножаем
x^3y^3=1000
xy=10
⇒
10x=50
x=5
у=2

М(5;2)- стационарная точка.

Применяем достаточный признак экстремума
z``_(xx)=(y-(50/x^2))`_(x)=-50*(x^(-2))`_(x)=100/x^3
z``_(xy)=(y-(50/x^2))`_(y)=1
z``_(yx)=((x-(20/y^2))`_(x)=1
z``_(yy)=((x-(20/y^2))`_(y)=-20*(y^(-2))`_(y)=40/y^3

Находим значение частных производных в точке М
А=z``_(xx)(М)=100/125
В=z``_(xy)(М)=z``_(yx)(М)=1
С=z``_(yy)(М)=40/8=5

Определитель второго порядка, составленный из значений частных производных
АС-В^2=(100/125)*5-1=3 > 0
A > 0
значит точка М - точка минимума

Ответ выбран лучшим

По определению производной в точке.
Производная - предел отношения приращения функции к приращению аргумента

f`(x_(o))=lim_( Δx→0)Δf/Δx

х_(о)=0
х_(о)+ Δх
f(x_(o))=0
f(x_(0)+ Δx)=f(0+ Δx)=f( Δx)=| Δx|
Приращение функции
Δf= f(x_(0)+ Δx)-f(x_(o))=
=f(0+ Δx)-f(0)=f( Δx)=| Δx|

При Δх > 0
lim_(Δx→0+0) Δx/ Δx=1
При Δx < 0
lim_(Δx→0-0) (-Δx)/ Δx=-1
Предел в точке 0 не существует, потому что пределы слева и справа различны, и производная в точке 0 не существует.
Что и требовалось доказать

Ответ выбран лучшим

yk–yl=k·(k+1)–l·(l+1)=k2+k–l2–l=(k2–l2)+(k–l)=
=(k–l)·(k+l+1)

По условию разность кратна 3^(11)
Это можно записать так:
(k–l)·(k+l+1)=3^(11)·m
k,l,m – натуральные
l < 115 < k

(k–l)·(k+l+1)=3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·m
Слева произведение двух множителей
(k–l) и (k+l+1)
Справа произведение
3 и 3^(10)·m или 3*m и 3^(10);
3^2 и 3^(9)·m или 3^2*m и 3^(9);
3^3 и 3^(8)·m или 3^3*m и 3^(8);

и так далее.

Если
k–l=3^7
то
k=l+729
k+l+1=l+729+l+1=2l+730=2·(l+365) должно быть кратно 3^4·m

l < 125
l+365 < 125+365=490
l+365=405 и 405 кратно 81
l=40
k=40+729=769

(k–l)·(k+l+1)=729·810 – кратно (3^6)·3^5=3^11

О т в е т. l+k=40+769=809

Ответ выбран лучшим

y=sqrt(16)=4
y=sqrt(49)=7
y=sqrt(25)=5
y=sqrt(0,09)=0,03

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из (5+3+2)=10 карандашей извлекают три
Это можно сделать C^3_(10)=10!/(3!*(10-3)!)=8*9*10/6=120 способами
n=120

Событие А - ''все извлеченные карандаши разного цвета''.
Событию А благоприятствую исходы
C^(1)_(5)*C^(1)_(3)*C^(1)_(2)=5*3*2=30
р(А)=30/120=1/4
О т в е т. 0,25

Ответ выбран лучшим

a^3+6a^2+17a+7=0,
b^3–3b^2+8b+5=0.

Складываем

a^3+6a^2+17a+7+b^3–3b^2+8b+5=0

(a^3+3·2a^2+3·a·2^2+8)+5a–1+(b^3–3b^2+3b–1)+5b+6=0
(a+2)^3+(b–1)^3+5(a+2)+5(b–1)=0
(a+2+b–1)·(a+2)^2–(a+2)·(b–1)+(b–1)^2+5)=0
a+b+1=0
a+b=–1
(a+2)^2–(a+2)·(b–1)+(b–1)^2+5)≠0
т.к.
b^2-(4+a)b+(a^2+5а+12) > 0 как квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом
D=(4+a)^2-4*(a^2+5a+12)=-3a^2-4a-32 < 0
его дискриминант тоже отрицательный
16-4*3*32 < 0

О т в е т. a+b=-1

Ответ выбран лучшим

50 км/ч - средняя скорость.
средняя скорость находится как путь 100 км деленный на время t, затраченное на этот путь.
t=100 км/50 км в час = 2 часа

t складывается из суммы времени, затраченного на путь в 20 км и на путь в 80 км.
на путь в 20 км он потратил
20/80=1/4 часа = 15 минут.
45 минут ехал со скоростью 60 км в час и проехал
(3/4)*60=45 км.
80-45=35 км осталось проехать

t=100/50=2 часа
2 часа - 15 мин - 45 мин = 1 час

35 км ехал 1 час со скоростью 35 км в час.

О т в е т. 35 км в час

Ответ выбран лучшим

vector{p}=vector{a}-vector{b}
|vector{p}|^2=vector{p}*vector{p}=(vector{a}-vector{b})*(vector{a}-vector{b})=
(перемножаем скобки как в алгебре, почему и называется векторная алгебра)=
=vector{a}*vector{a}-vector{a}*vector{b}-vector{b}*vector{a}+vector{b}*vector{b}=
=|vector{a}|^2-2*|vector{a}|*|vector{b}|*cos+|vector{b}|^2=
=4^2-2*4*6*(1/2)+6^2=18
|vector{p}|=3sqrt(2)
sqrt(7)*|vector{p}|=3sqrt(14)

Ответ выбран лучшим

2^((5x+3)/(x+1))=2^((2x+3x+3)/(x+1))=2^(2x/(x+1))*2^3=8*2^(2x/(x+1))

(2^(x/(x+1))-9*2^(2x/(x+1)) +8 меньше или равно 0
Замена переменной
(2^(x/(x+1))=t
t > 0
9t^2-t-8 больше или равно 0
D=1+4*9*8=289=17^2
t1=(1-17)/18 или t2=(1+17)/18=1
t1 < 0, что противоречит t > 0

t больше или равно1
2^(x/(x+1)) больше или равно 1

x/(x+1) больше или равно 0
О т в е т. (-бесконечность; -1)U [0; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

S=(a+b)*h/2=(4+8)*3/2=18 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=22291

Ответ выбран лучшим

7*(1-сos^2x)+8cosx-8=0
7cos^2x-8cosx+1=0
D=(-8)^2-4*7*1=64-28=36
корни уравнения
(8-6)/14=1/7 или (8+6)/14=1
cosx=1/7
х= ± arccos(1/7)+2Pik, k ∈ Z
или
сosx=1
x=2Pin, n ∈ Z

О т в е т. а) ± arccos(1/7)+2Pik; 2Pin, k, n ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни:
-arccos(1/7); 0 принадлежат отрезку [-Pi/2;0]
и
arccos(1/7); 2Pi принадлежат промежутку (0; 2Pi]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) На единично окружности ( см. рисунки)
О т в е т. 5π/3 и 11π/6
2) С помощью двойного неравенства

π < (2π/3)+πn < 5π/2, n ∈ Z
Делим на π
1 < (2/3)+n < 5/2, n ∈ Z
Вычитаем (2/3) от всех частей
(1/3) < n < 11/6=1 целая 1/6
Единственное целое n, удовлетворяющее этому неравенству n=1
Значит х=(2π/3)+π*1=5π/3 - удовлетворяет указанному условию

Аналогично
π < (-π/6)+2πn < 5π/2, n ∈ Z
Делим на π
1 < (-1/6)+2n < 5/2, n ∈ Z

(7/6) < 2n < 16/6=2 целых 4/6
Единственное целое n, удовлетворяющее этому неравенству n=1
Значит х=(-π/6)+π*2*1=11π/6 - удовлетворяет указанному условию
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 24*3=72 см - длина
2) 72-12=60 см - высота
3) S(поверхности)=Р( основания) * Н =2*(72+24)*60
Умножайте и получите ответ

Ответ выбран лучшим

y=x^2
Если точка принадлежит графику функции, то ее координаты удовлетворяют уравнению функции.
Подставим координаты указанных точек в уравнение
y=x^2
L(–5;25)
x=-5; y=25
25=(-5)^2 - верно, 25=25
Точка L принадлежит графику
D(–3;–9)
х=-3; у=-9
-9=(-3)^2 - неверно, -9≠ 9
Точка D не принадлежит графику
K(0,2;0,4)
х=0,2; у=0,4
0,4=(0,2)^2 - неверно, 0,4 ≠0,04
Точка K не принадлежит графику

О т в е т. Точка L принадлежит графику

Ответ выбран лучшим

Функция возрастает, если ее производная неотрицательна.

y`=2x^2-2аx+7а

y` > 0 при любом х из множества всех действительных чисел, если
D=(-2a)^2-4*2*7a < 0
4a^2-56a < 0
4a*(a-14) < 0
a ∈ (0;14)

y`=0 при a=0 и а=14
a ∈ [0;14]
О т в е т. 14 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y````=27e^(-3x)+81
Интегрируем
y```=(-27/3)e^(-3x)+81x+C_(1)
Интегрируем
y``=(9/3)e^(-3x)+(81x^2/2)+C_(1)x+C_(2)
Интегрируем
y`=(-1)e^(-3x)+(81x^3/6)+(C_(1)x^2/2)+C_(2)x+C_(3)
Интегрируем
y=(1/3)e^(-3x)+(81x^4/24)+(C_(1)x^3/6)+(C_(2)x^2/2)+C_(3)x+C_(4)

Ответ выбран лучшим

y`=0
6x^2-12x=0
6x*(x-2)=0
x=0 и х=2 - точки возможных экстремумов.
Проверяем знак производной

_+__ (0) _-__ (2) _+_

Функция возрастает на (- бесконечность ;0) и на (2; + бесконечность), убывает на (0;2)
х=0 - точка максимума
х=2 - точка минимума.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2Pik < 2x < Pi+ 2Pik, k ∈ Z
Pik < x < (Pi/2)+ Pik, k ∈ Z

О т в е т. (Pik ; (Pi/2)+ Pik), k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4-x > 0
{x+2 > 0
-2 < x < 4

По свойству логарифма степени
2log_(5)sqrt(x+2)=log_(5)(x+2)
Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(5)(4-x)+log_(5)(x+2)=log_(5)(4-x)*(x+2)

log_(5)(4-x)*(x+2)=1
(4-x)*(x+2)=5^1
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x=-1 или х=3
Оба корня входят в ОДЗ
О т в е т. -1; 3

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

1+2sqrt(3)cosx+8-8cos^2x=0
8cos^2x-2sqrt(3)cosx-9=0
D=(2sqrt(3))^2-4*8*(-9)=12+288=300
cosx=(2sqrt(3)-10sqrt(3))/16
cosx=-sqrt(3)/2 ⇒ x=± (2π/3+2πk, k∈Z

или

cosx=(2sqrt(3)+10sqrt(3))/16
cosx=3sqrt(3)/4
уравнение не имеет корней, так как 3sqrt(3)/4 > 1
О т в е т. ± (2π/3)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

95:(2+3)=19 костюмов для мальчиков и для 19 костюмов для девочек

19*2=38 м ткани на костюмы для девочек
19*3=57 м ткани на костюмы для мальчиков

Ответ выбран лучшим

Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(cosx)+1

cosx-1=-2sin^2(x/2)

Применяем первый замечательный предел.

lim_(x→0)(-2sin^2(x/2))/((x/2)^2*4(sqrt(cosx)+1))=-1/4

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу
cos альфа -cos бета

-2sin((4x+2x)/2)*(sin(4x-2x)/2)=0
sin3x=0 или sin x=0
3x=Pik, k ∈ Z или x=Pin,n ∈ Z
x=(Pi/3)k, k ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни
2π/3; π; 4π/3; 5π/3; 2π
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=-6*(3/2)*x^(1/2)+36*(1/2)*x^(-1/2)
y`=-9sqrt(x)+(18/sqrt(x))
y`=0
x=2
x=2-точка максимума, производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

15+6 = 21 снимок сделала Алия

15+21=36 снимков сделали оба

Ответ выбран лучшим

y'=8х-8х^3
y`=0
8x-8x^3=0.
8x(1-x^2)=0
x=-1; x=0; x=1 - точки возможного экстремума
Исследуем знак производной
[-2] _+_ (-1) _-_ [0]

x=-1 - точка максимума
f(-1)=1+4-2=3 - наибольшее значение функции на отрезке

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость велосипедиста х км в час, скорость мотоциклиста у км в час.
За 40 мин. велосипедист проехал (40/60) х км=(2/3)х км.
Мотоциклист проехал за 10 минут (10/60)у км=(1/6)у км.
Эти расстояния равны.
(2/3)х=(1/6)у
4х=у

10+44=54 минуты был в пути мотоциклист до момента второй встречи

(54/60) у км проехал мотоциклист до второй момента второй встречи

40+44 =84 мин был в пути велосипедист. до момента второй встречи

(84/60) х км проехал велосипедист. до второй момента второй встречи

Мотоциклист проехал на круг больше, т.е. на 33 км больше.
Уравнение

(84/60)х + 33 = (54/60)у
84х+1980=54*4x
132x=1980
x=1980/132
x=15 км в час - скорость велосипедиста

у=4х=4*15=60 км в час - скорость мотоциклиста.

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость первого автобуса х км в час, а второго– у км в час.
х:у=4:3
3х=4у
у=3/4х
(120/х) час - время первого при движении
(120/(3х/4)) час.=(160/х) час. - время второго при движении
((120/х) + (10/60)) час. - были в пути пассажиры первого
(160/х) +(5/60) час.- были в пути пассажиры второго.

Нет данных, чтобы составить уравнение.
Что известно ро это время в пути? Одинаковое, у какого-то больше? На сколько? во сколько раз ?

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу
cos альфа -cos бета

-2sin((4x+2x)/2)*(sin(4x-2x)/2)=0
sin3x=0 или sin x=0
3x=Pik, k ∈ Z или x=Pin,n ∈ Z
x=(Pi/3)k, k ∈ Z

О т в е т. x=(Pi/3)k, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

1) Значит плоскость проходит через начало координат и имеет вид
Ах+Ву+Сz=0

базисный вектор vector{k} оси Оz имеет координаты
(0;0;1)
Поэтому точка (0;0;1) принадлежит плоскости
Ax+By+Cz=0
A*0+B*0+C*1=0⇒ C=0
Подставляем координаты точки А
2A-3B=0
A=3B/2
Ax+By+Cz=0
(3B/2)x+By=0
Cокращаем на В
3х+2у=0

2)
Нормальный вектор этой плоскости - базисный вектор
vector{k}
Поэтому вектор vector{n} имеет координаты:
vector{n}=(0,0;1)
Значит A=0, B=0, C=1
Уравнение плоскости имеет вид:
z+D=0.
Чтобы найти D подставляем координаты точки А
4+D=0
D=-4

Уравнение плоскости:
z-4=0
О т в е т. а) 3х+2у=0
б) z-4=0

Ответ выбран лучшим

Нормальный вектор плоскости, является направляющим вектором этого перпендикуляра.
vector{n}=(A;B;C)=(1;-2;1)

Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором (p;q;r):

(x-x_(o))/p=(y-y_(o))/q=(z-z_(o))/r

(x+2)/1=(y-0)/(-2)=(z+1)/1

Находим координаты точки Р - основания перпендикуляра или точки пересечения прямой и плоскjсти
{x-2y+z-9=0
{(x+2)/1=(y-0)/(-2)=(z+1)/1

{x-2y+z-9=0
{(x+2)/1=(y-0)/(-2)⇒y=-2x-4
{(x+2)/1=(z+1)/1 ⇒ z=x+1

и подставляем в первое
х-2*(-2х-4)+(х+1)-9=0
6х=0
х=0
y=-2*0 - 4 = - 4
z=0 + 2= 2

О т в е т. (x+2)/1=(y-0)/(-2)=(z+1)/1

(0; -4; 2)

Ответ выбран лучшим

20+15=35 деталей вместе за 1 час,
35*3=105 деталей за 3 часа

День? Сколько часов будут работать?
Месяц - то же самое?

Ответ выбран лучшим

Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон
16:25=2^2^:x^2
Пропорция
4*25=16x^2
x^2=100/16
x=10/4=2,5
О т в е т. 2,5 см

Ответ выбран лучшим

У Оли не меньше 30 руб, значит больше 30 - то есть либо 40, либо 36.
Но у Кати больше чем у Оли, значит у Кати 40,
у Оли 36, у третьей девочки 25

Ответ выбран лучшим

вероятность. на одном кубике 2 очка равна (1/6)
вероятность. на другом– чётное число очков равна (3/6)
Умножаем вероятности
(1/6)*(3/6)=3/36=1/12

Ответ выбран лучшим

1) Выделяем полные квадраты
(x^2-10x+25)+(y^2+8y+16)+z^2-25-16-8=0
(x-5)^2+(y+4)^2+z^2=49 - сфера с центром в точке
(5;-4;0)
2) Параболический цилиндр
Образующие которого параллельны оси Ох
На плоскости zOу парабола
z^2=(1/4)y
cм. рис. для произвольного p

В данном случае ветви параболы будут еще более прижаты к оси Оz
2p=1/4
p=1/8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А(6;0;0)
В(0;4;0)
С(0;0;3)

Находим координаты точки М - середины АС
x_(M)=((x_(A)+x_(B))/2=(6+0)/2=3
y_(M)=((y_(A)+y_(B))/2=(0+0)/2=0
z_(M)=(z_(A)+z_(B))/2=(0+3)/2=3/2

Находим координаты точки N - середины BC
x_(N)=((x_(B)+x_(C))/2=(0+0)/2=0
y_(N)=((y_(B)+y_(C))/2=(4+0)/2=2
z_(N)=(z_(B)+z_(C))/2=(0+3)/2=3/2

Уравнение MN как уравнение прямой, проходящей через две точки
{z=3/2
{(x-3)/(-3)=(y-0)/2 ⇒ 2x+3y-6=0

О т в е т.
{z=3/2
{ 2x+3y-6=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AM:MB=1:3= лямбда
лямбда =1/3

Формулы деления отрезка в данном отношении ( см. приложение)
x_(M)=(x_(A)+ лямбда x_(B))/(1+ лямбда )⇒
-1=(2+(1/3)*x_(B))/(1+(1/3)) ⇒ x_(B)=-10

y_(M)=(y_(A)+ лямбда y_(B))/(1+ лямбда ) ⇒
2=(-3+(1/3)*y_(B))/(4/3) ⇒ y_(B)=17

z_(M)=(z_(A)+ лямбда z_(B))/(1+ лямбда ) ⇒
5=(4+(1/3)*z_(B))/(4/3) ⇒ z_(B)=8

О т в е т. В(-10;17;8)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Дробь равна 0, числитель равен 0, знаменатель отличен от 0.
{25sin2x-24=0
{3tgx-4 ≠ 0 ⇒ tgx ≠ 4/3

sin2x=24/25 ⇒
2х=arcsin(24/25)+2Pik, k ∈ Z или 2х=Pi-arcsin(24/25)+2Pin, n ∈ Z
х=(1/2)arcsin(24/25)+Pik, k ∈ Z или х=(Pi/2)-(1/2)arcsin(24/25)+Pin, n ∈ Z

Осталось проверить будет ли при этих значениях tgx=4/3

Ответ выбран лучшим

{x+1=2
{x+4 ≠ 0

{x=1
{x ≠ -4

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

S( Δ ) =(1/2)ah=(1/2)18*17=153

Ответ выбран лучшим

798
7+9+8=24 кратно 12

798+6 =804
8+0+4=12 кратно 12

О т в е т. sin ∠ A=8/10; проекция диагонали 11 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(sqrt(3))^6=((sqrt(3))^2)^3=3^3=27

Ответ выбран лучшим

альфа =90 градусов, как угол опирающийся на дугу в 180 градусов.

Ответ выбран лучшим

Пусть гусей х, кур 19х
Всего 20х птиц.
р=х/(20х)=1/20=0,05

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(x^3+3x^2+2x) > 0 ⇒ x*(x+1)(x+2) > 0
{x+1 > 0 ⇒ в первом неравенстве х*(х+2) > 0
{(x+1)≠ 1⇒ x≠0

х ∈ (0;+бесконечность)
При х > 0
x+1 > 0 и х+2 > 0
можем применить формулу логарифма произведения
log_(x+1) (x^3+3x^2+2x) =log_(x+1) (x(x+1)(x+2))=
=log_(x+1)x+log_(x+1)(x+1)+log_(x+1)(x+2)=
log_(x+1)x+1+log_(x+1)(x+2)

Неравенство принимает вид
log_(x+1)x+1+log_(x+1)(x+2) < 2;
log_(x+1)x+log_(x+1)(x+2) < 1;
log_(x+1)(x*(x+2) < log_(x+1)(x+1)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:

{(x+1-1)*(x*(x+2) - (x+1)) < 0 ⇒
x*(x^2+x-1) < 0
D=1+4=5
x1=(-1-sqrt(5))/2 < 0 и х2=(-1+sqrt(5))/2 > 0

(0) __-__ ((-1+sqrt(5))/2) __+___

О т в е т. (0; (-1+sqrt(5))/2)

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x – x0) + f(x0).
Точка x0 =1 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.

Найдем значение функции.
f (x0) = f (1) =1-3+1+1 = 0;
Теперь найдем производную:
f ’(x) = (x^3-3x^2+x+1)’ = 3x^2-6x+1;
Подставляем в производную x0 = 1:
f ’(x0) = f ’(2) = 3 -6+1 = -2;
Получаем:
y = -2 · (x – 1) + 0
у= -2x+ 2.
Это и есть уравнение касательной.

Ответ выбран лучшим

Стандартная, опорная ( базовая ) задача:
В выпуклом четырехугольнике ABCD отмечены точки K, L, M, N – середины сторон AD, AB, BC и CD соответственно. Отношение площади четырехугольника ABCD к площади четырехугольника KLMN равно 2.

11:17 - отношение каких площадей?

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВС - прямоугольный по теореме о трех перпендикулярах
CD- проекция СB на плоскость АСD
и СD⊥AC по условию,
значит и наклонная BC⊥AC
∠BCA=90 градусов
с^2+b^2=a^2

Пусть СD=x
BD⊥СD
Из прямоугольного треугольника СDB
BD^2=c^2-x^2

Проводим DM|| AC и DM=AC=b

Треугольник АВМ - прямоугольный по теореме о трех перпендикулярах
МD⊥СD, так как AC⊥ СD
MD -проекция BM на плоскость АСD
значит и наклонная BM⊥CD, BM⊥ AM
∠BMA=90 градусов
BM^2=a^2-x^2

Из треугольника BDM
по теореме косинусов найдем
BM^2=BD^2+DM^2-2BD*DM*cosα

a^2-x^2=c^2-x^2+b^2-2sqrt(c^2-x^2)*bcosα
?
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^x=t
Если 3^x=9, то x=2

Пусть y=t^2-2*(a-2)t+a
Переформулируем задачу.
При каких значениях параметра а уравнение
t^2-2*(a-2)t+a=0
имеет хотя бы один корень, больший 9.
Хотя бы один - означает один или оба.
См. рис.

1) один корень больше 9, другой меньше 9
Для того чтобы корни уравнения f(x) = 0 лежали по разные стороны от точки x = 9, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось неравенство
f(9) < 0
9^2-2*(a-2)*9+a < 0 ⇒ 117-17a < 0 ⇒ a > 117/17

2)
Для того чтобы оба корни уравнения f(t) = 0 были различны и находились правее точки t = 9, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
{D > 0 ⇒ a^2-3a+4 > 0 ⇒ a < 1 или a > 3
{f(9) > 0 ⇒ 9^2-2*(a-2)*9+a > 0 ⇒ 117-17a > 0 ⇒ a < 117/17
{t_(o) > 9 ⇒ a-2 > 9 ⇒ a > 11
нет таких а

О т в е т. (117/17; + бесконечность ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выделяем целую часть

3- x^2= (-x^2-4)+7

(3- x^2)/(x^2+4)= ((-x^2-4)+7)/(x^2+4)=-1 + (7/(x^2+4))

∫ (-1 + (7/(x^2+4)))dx=-x + 7arctg(x/2)

lim_(x→∞)(-x)= бесконечность
Интеграл расходится

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{x/2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{16x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/16
{4x ≠1 ⇒ x ≠ 1/4

Применяем формулу перехода к другому основанию и делаем замену переменной:

log_( x/2)( x^2)=log_(x)x^2/log_(x)(x/2) =2/(1-log_(x)2)
log_(16 x) (x^3)=log_(x)x^3/log_(x)(16x)= 3/(4log_(x)2+1)
log_(4 x)(√x) =log_(x)sqrt(x)/log_(x)(4x) =0,5/(2log_(2)+1)

log_(x)2=t

(2/(1-t))-14*(3/(t+1))+40*(0,5/(2t+1))=0

Приводим дроби к общему знаменателю

2*(4t+1)(2t+1)-42*(1-t)*(2t+1)+20*(1-t)*(4t+1)=0

20t^2+30t-20=0
2t^2+3t-2=0
D=3^2-4*2*(-2)=9+16=25
t1=-2 или t2=1/2

log_(x)2=2
x^2=2
x=-sqrt(2) не входит в ОДЗ или х=sqrt(2) входит в ОДЗ

log_(x)2=1/2
x^(1/2)=2
x=4 не входит в ОДЗ

О т в е т. sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

См. аналогичную задачу.
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=17867

a^3+6a^2+17a+7=0,
b^3–3b^2+8b+5=0.

Cкладываем

a^3+6a^2+17a+7+b^3–3b^2+8b+5=0

(a^3+3*2a^2+3*a*2^2+8)+5a-1+(b^2-3b^2+3b-1)+5b+6=0
(a+2)^3+(b-1)^3+5(a+2)+5(b-1)=0
(a+2+b-1)*(a+2)^2-(a+2)*(b-1)+(b-1)^2+5)=0
a+2+b-1=0
a+b+1=0
a+b=-1

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=17865

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=22028

Ответ выбран лучшим

О т в е т. По формуле разности квадратов
2) (sqrt(25))^2-(sqrt(3))^2=25-3=22

Ответ выбран лучшим

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Координаты точки М как середины диагонали АС:
x_(М)=(x_(A)+x_(C))/2
y_(М)=(y_(A)+y_(C))/2

Подставляем координаты точки А и М и находим координаты точки С
1=(-2+x_(C))/2 ⇒ х_(С)=4
-1=(4+у_(С))/2 ⇒ у_(С)= - 6

Координаты точки М как середины диагонали BD:
x_(М)=(x_(B)+x_(D))/2
y_(М)=(y_(B)+y_(D))/2

Подставляем координаты точки B и М и находим координаты точки D
1=(2+x_(D))/2 ⇒ х_(D)=0
-1=(2+у_(D))/2 ⇒ у_(D)= - 4

Уравнение стороны ВС, как прямой проходящей через две точки

(х–2)/(4-2)=(у–2)/(-6-2);
-8*(x-2)=2*(y-2)
-4*(x-2)=(y-2)
4x+y-10=0

Уравнение стороны СD, как прямой проходящей через две точки

(х–4)/(0-4)=(у+6)/(-4+6);
2*(x-4)=-4*(y+6)
x-2=-2y-12
x+2y+10=0

О т в е т. 4x+y-10=0; x+2y+10=0

Ответ выбран лучшим

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов СА и СB.
S (Δ ABC) =(1/2)*|vector{CA}×vector{CB}|

vector{CA}=(6;y-1)
vector{CB}=(2;y-2)
vector{CA}×vector{CB} = pvector{k}
p=6*(y-2)-2*(y-1)=4y-10

|vector{CA}×vector{CB}| = |4y-10|

S (Δ ABC) = 1/2 * |4y-10|
S(Δ ABC) = |2у-5|.

По условию S(Δ ABC) =15,
получаем уравнение
|2у-5|=15.
2y-5=-15 или 2у-5=15
у=-5 или у=10

О т в е т. -5; 10

Ответ выбран лучшим

Находим точку пересечения прямых:
{2x–y=0
{x+3y–1=0

Умножаем второе уравнение на (-2)
{2x–y=0
{-2x-6y+2=0

Складываем
-7у+2=0
у=2/7
х=y/2=1/7

Переформулируем задачу:
Найти уравнение прямой, проходящей через точку
M(1/7;2/7) и перпендикулярной прямой у=3-х

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно –1
Значит, общий вид прямых, перпендикулярных прямой у=3-х можно написать так
у=х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки М в это уравнение
(2/7)=(1/7)+b
b=1/7

у=х+(1/7)
или
х-7у+1=0

О т в е т. 7х-7у+1=0

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(a;b) имеет вид:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

По условию
точка С лежит на прямой
(x/4)+(y/4)=1,
значит координаты точки С удовлетворяют этому уравнению
(a/4)+(b/4)=1
или
a+b=4

Окружность проходит через точки M1(1;5) и M2(5;3), значит координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными
a, b, R
{a+b=4
{(1-a)^2+(5-b)^2=R^2
{(5-a)^2+(3-b)^2=R^2

Вычитаем из второго третье
(1-a)^2-(5-a)^2+(5-b)^2-(3-b)^2=0
Применяем формулу разности квадратов
(1-а-5+а)*(1-а+5-а)+(5-b-3+b)*(5-b+3-b)=0
-4*(6-2a)+2*(8-2b)=0
2a-b-2=0
Из первого выражаем b=4-a и подставляем в полученное уравнение
2a-(4-a)-2=0
3a-6=0
a=2
b=4-a=4-2=2

R^2=(1-2)^2+(5-2)^2
R^2=10

О т в е т. (x-2)^2+(y-2)^2=10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение эллипса
(x^2/15)+(y^2/6)=1
a=sqrt(15)
b=sqrt(6)
c^2=a^2-b^2=15-6=9

Для канонического уравнения гиперболы:
c=sqrt(15)
a=3
b^2=c^2-a^2=15-9=6

(x^/9)-(y^2/6)=1

О т в е т. (x^/9)-(y^2/6)=1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Наверное, на те, у которых стороны попарно параллельны и те, у которых стороны не параллельны.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

19/7 < 11/4 так как 19*4=76 < 11*7=77
19/3 < 32/5 так как 19*5=95 < 32*3=96

PUQ=[19/7;32/5]
(PUQ) ∩ S=[19/7;32/5] ∩ [3;15]=[3;32/5]

(PUQ) ∩ S={3 меньше или равно x меньше или равно 32/5}

Ответ выбран лучшим

Х ={10; 11; ... 99}
Y={2;4;6; ... ;100; ... ;1000;... }
Р={4; 8; 12; ... ; 100;...}

a) X∩Y={10;12;... 98; 100}
X∩Y∩P={12; 16; ...; 96;100}
А={12; 16; 96;100}- двузначные числа кратные 4

б) Y∩P={4;8;12;... ;100;...;1000;...]
B=X∩(Y∩P)={12;16;...;96;100}-двузначные числа кратные 4

б) 24 ∈ А - верно
23 ∈ В - неверно (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол, противолежащий стороне 10 см равен
180 градусов -75 градусов - 60 градусов =45 градусов
По теореме синусов
10 : sin 45 градусов = х : sin 60 градусов

30sqrt(2)=x*2sqrt(3)

x=10*sqrt(3/2)

О т в е т. 10*sqrt(3/2)

Ответ выбран лучшим

Дано
p =7,7*10^(-3) кг/м^3=7,7г/м^3 - абсолютная влажность воздуха
t=15 градусов

Ф-?
Решение. По таблице ''Давление и плотность насыщающего пара'' ( есть в задачнике), находим плотность насыщенных паров при температуре 15 градусов Цельсия.
p_(н) =12,8 г/куб м
Относительная влажность воздуха равна отношению абсолютной влажности к плотности насыщенного водяного пара при данной температуре
Ф= p/p_(н)=7,7/12,8=0,6015625
Ф =60,16% ≈ 60%
О т в е т. 60%

Ответ выбран лучшим

Из подобия треугольников
х : (х+10)=3,6:6,6
6,6х=3,6*(х+10)
6,6х=3,6х+36
6,6х-3,6х=36
3х=36
х=12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Значит угол С равен 180 градусов - 30 градусов- 70 градусов = 80 градусов.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
О т в е т. АВ - наибольшая, ВС - наименьшая

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-cosx > 0 ⇒ cosx < 0, значит х во второй и третьей четв.;
{-cosx ≠ 1 ⇒ сosx ≠ -1
{1-0,5sinx > 0 ⇒ sinx < 2 - верно при любом х

ОДЗ: ((π/2)+2πr, π+2πr)U(π+2πr; (3π/2)+2πr), r ∈Z
По определению логарифма
(1 - 0,5 sinx)=(-cosx)^2
cos^2x=1-sin^2x
1-0,5sinx=1-sin^2x
sin^2x-0,5sinx=0
sinx*(sinx-0,5)=0
sinx=0 или sinx-0,5=0

sinx=0 ⇒ х=πk, k∈Z не входит в ОДЗ
или
sinx=0,5
x1= (π/6)+2πm, m∈Z или x2= (5π/6)+2πn, n∈Z
х1 не входит в ОДЗ

а) О т в е т. (5π/6)+2πn, n∈Z

б)
Отрезку [14π; 16π] принадлежит корень
х= (5π/6)+14π=89π/6

Ответ выбран лучшим

x^3-(a-3)x^2+ax=0
x*(x^2-(a-3)x+a)=0
x=0 или x^2-(a-3)x+a=0

Чтобы уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы второе уравнение имело два различных корня и ни один из них не был равен 0
Квадратное уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант положителен.
D=(a-3)^2-4a=a^2-6a+9-4a=a^2-10a+9
D > 0
a^2-10a+9 > 0
корни a1=1 и а2=9
а ∈ (- бесконечность;1)U(9;+ бесконечность)

При а=0 уравнение принимает вид
x^2+3x=0
и один из его корней равен 0, что не отвечает требованию задачи.
О т в е т. (- бесконечность;0)U(0;1)U(9;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Так как синус - нечетная функция и sin(-x)=-sinx
ОДЗ:
{sin(-x) > 0 ⇒ -sinx > 0 ⇒ sinx < 0
{ sin(-x )≠ 1 ⇒ -sinx ≠ 1 ⇒ sinx ≠ -1
{sin(x/2)+sin(3x/2) > 0 ⇒ 2sin(x)(cosx/2) > 0
c учетом первого неравенства системы sinx < 0 ⇒
cosx/2 < 0 ⇒

(Pi/2)+2Pin < x/2 < (3Pi/2)+2PIn, n ∈ Z
⇒
(Pi)+4Pin < x < (3Pi)+4PIn, n ∈ Z

ОДЗ:
((Pi)+4Pin; (3Pi/2)+4PIn)U(3Pi/2)+4PIn; (2Pi)+4PIn)

По определению логарифма
sin(x/2)+sin(3x/2)=(-sinx)^(1)

2sin(x)(cosx/2)+sinx=0
sinx*(2cos(x/2) +1)=0
sinx=0 или 2 cos(x/2)+1=0

sinx=0 ⇒ x=Pim, m ∈ Z корни не принадлежат ОДЗ
2 cos(x/2)+1=0 ⇒
cos(x/2)=-1/2
(x/2)=± (2π/3)+2πk, k∈Z
x=± (4π/3)+4πk, k∈Z

x=- (4π/3)+4πk, k∈Z не принадлежат ОДЗ

(π+4πn) ___ ((3π/2)+4πn) ___(2π+4πn), n∈Z

О т в е т. x= (4π/3)+4πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

360 градусов : (5+7)=30 градусов
30 градусов * 5 = 150 градусов - величина меньшей из дуг
∠ AOB=150 градусов - центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=9208

Ответ выбран лучшим

СE=AE=BE
Треугольник АВЕ - равнобедренный с углом 60 градусов при основании, значит от равносторонний.
ВК - высота, медина и биссектриса.
Угол КВЕ=30 градусов.
ВЕ=2 ( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, а гипотенуза в два раза больше)
СЕ=2 и ЕА=2
СА=СЕ+ЕА=2+2=4

О т в е т. 4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos((3π/2)+x)=sinx

sqrt(5sin2x-cos2x)=sinx

ОДЗ:
{5sin2x-cos2x больше или равно 0
{sinx больше или равно 0

Возводим в квадрат
5sin2x-cos2x=sin^2x (sin^2x больше или равно 0, значит первое неравенство ОДЗ выполняется)
10sinxcosx-cos^2x+sin^2x=sin^2x
10sinxcosx-cos^2x=0
cosx*(10sinx-cosx)=0
cosx=0 или 10sinx-cosx=0
x=(π/2)+πk, k∈Z или tgx=1/10 ⇒ x=arctg(1/10)+Pin, n ∈ Z

Осталось отобрать корни, удовлетворяющие ОДЗ
(sinx больше или равно 0, х в первой или во второй четверти)

х=(π/2)+2πk, k∈Z
и
х=arctg(1/10)+2πn, n∈Z

О т в е т. (π/2)+2πk, arctg(1/10)+2πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

По формуле
vector{f}=(1/(b-a)) ∫ ^(b)_(a)f(x)dx

vector{f}=(1/(4-3)) ∫ ^(4)_(3)(0,2·cos((2·pi/3)·x+(pi/2))dx

=0,2 ∫ ^(4)_(3)(-sin((2·pi/3)·x)dx=

=0,2*(3/2Pi)(cos(2·pi/3)·x)|^(4)_(3)=

=(0,3/Pi)*(cos(8Pi/3)-cos(2Pi))=

=(0,3/Pi)*(cos(2Pi/3)-cos(0))=

=(0,3/Pi)*(-1/2-1)=-9/(20Pi)

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx

dy/dx=-x/y - уравнение с разделяющимися переменными

ydy=-хdx

Интегрируем
∫ ydy=- ∫хdx
y^2/2=-(x^2/2)+C_(1)
x^2+y^2=C
a) при х=1 у=3
С=10
x^2+y^2=10
б) при х=-1 у=-1
С=2
x^2+y^2=2

Решение - семейство окружностей с центром (0;0)
а) окружность черного цвета
б) окружность красного цвета (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|АВ|=sqrt((4-1)^2+(1-5)^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5
|AC|=sqrt((13-1)^2+(10-5)^2)=sqrt(144+25)=sqrt(169)=13

Пусть АК - биссектриса, К ∈ BC.
Применяем свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.
Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

ВК:КС=АВ:АС=5:13
Точка К делит отрезок ВС в отношении 5:13
лямбда =5/13
Применяем формулу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении
x_(K)=(x_(B)+ лямбда x_(C))/(1+ лямбда )
y_(K)=(y_(B)+ лямбда y_(C))/(1+ лямбда )

x_(K)=(4+(5/13)*13)/(1+(5/13))=13/2
y_(K)=(1+(5/13)*10)/(1+(5/13))=63/18=7/2

К(13/2; 7/2)

О т в е т. К(13/2; 7/2)

Ответ выбран лучшим

∛(x+1)=t
x+1=t^3
x=t^3-1
x-1=t^3-2
dx=3t^2dt

при х=1
t=∛2

= ∫ ^(+ бесконечность )_(∛2)(t^3-2)*3t^2dt/t=
= ∫ ^(+ бесконечность )_(∛2) (3t^4-6t)dt=

=(3t^5/5-3t^2)|^(+ бесконечность )_(∛2)= бесконечность

Интеграл расходится
О т в е т. 1)

Ответ выбран лучшим

x^2-4x+4=(x-2)^2 больше или равно 0 при любом х
Поэтому первое неравенство верно лишь при х=2
Проверим верно ли при этом значении второе неравенство
-5*2-10 меньше или равно 0 - верно
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

1)(1/3)*54=18 участников 11-классники
2)(2/3)*18=12 участников 10-классники
3)54-(18+12)=24 участников 9-классники

Ответ выбран лучшим

Улитка за день поднимается вверх на 3 м, а опускается вниз на 1 м.
Таким образом за сутки она продвигается вверх на 2 м. За 5 суток она поднимется на 10 м. На 6-й день она достигнет вершины дерева.

Ответ выбран лучшим

Область определения функции
x^2+x≠0
х≠0 и х+1≠0
х≠0 и х≠–1

Cтроим гиперболу y=-4-(1/x) c выколотой точкой, абсцисса которой х=-1

О т в е т. при m=-3 и m=-4
cм. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Пусть О-точка пересечения диагоналей
О- середина диагонали АС
х_(О)=(x_(A)+x_(C))/2=(-2-4)/2=-3
y_(О)=(y_(A)+y_(C))/2=(5-3)/2=1

Пусть вершина D(x;y)
О- середина диагонали BD.
х_(О)=(x_(B)+x_(D))/2
-3=(2+x)/2 ⇒ x=-8
y_(О)=(y_(B)+y_(D))/2
1=(7+y)/2 ⇒ y=-5

Уравнение прямой BD как прямой проходящей через две точки
(x-2)/(-8-2)=(y-7)/(-5-7)
или
(x-2)/(-10)=(y-7)/(-12)

6*(х-2)=5*(у-7)
6х-5у+23=0

О т в е т. D(-8;-5) и 6х-5у+23=0

Ответ выбран лучшим

Запишем каноническое уравнение эллипса
(x^2)/(180/5)+(y^2)/(180/9)=1
или
(x^2)/(36)+(y^2)/(20)=1

a=6
b=sqrt(20)=2sqrt(5)
c^2=a^2-b^2=36-20=16

S(четырехугольника)=(1/2)d_(1)*d_(2)=(1/2)*8*4 sqrt(5)=

=16sqrt(5)

О т в е т. 16sqrt(5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ax+3y+C=0 ⇒ y=(-A/3)x +(-C/3)
a) 3x–у+8 = 0⇒ y=3x + 8

Прямые у=k_(1)x+b_(1) и у=k_(2)x+b_(2) параллельны
если k_(1)=k_(2) и b_(1) ≠b_(2)
(-A/3)=3 ⇒ A=-9
(-C/3) ≠ 8 ⇒ C ≠ -24
При А=-9; С=-24 прямые совпадают.

О т в е т. A=-9; C≠ -24

б) y=5x
Прямые у=k_(1)x+b_(1) и у=k_(2)x+b_(2) перпендикулярны, если k_(1)* k_(2) = -1

k_(1)=(-A/3)
k_(2)=5

k_(1)* k_(2)=(-A/3)*5
(-A/3)*5 =-1
A=3/5
C - любое от - бесконечность до + бесконечность

О т в е т. A=3/5; C - любое.

b) Уравнение прямой, проходящей через две точки:
(x-2)/(-1-2)=(y-2)/(4-2)
(x-2)/(-3)=(y-2)/2
2*(x-2)=-3*(y-2)
2x+3y-10=0
Это уравнение совпадает с данным Ах+3у+С=0 при
А=2
С=-10

О т в е т. А = 2; С = -10

г)
4x–2y+7 = 0 ⇒ 2у=4х+7 ⇒ у=2х+(7/2)

Ах+3y+С = 0 ⇒ y=(-A/3)x +(-C/3)

(-A/3) ≠ 2

A ≠ -6
C - любое от - бесконечность до + бесконечность

О т в е т. A ≠ -6; C - любое

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Каноническое уравнение эллипса
(x^2/10) + y^2 = 1
a=sqrt(10)
b=1
b^2=a^2-c^2 ⇒ c^2=a^2-b^2=10-1=9
Фокусы эллипса
F_(1)(-3;0) и F_(2)=(3;0)

Фокусы гиперболы
F_(1)(-3;0) и F_(2)=(3;0)
эксцентриситет гиперболы ε=с/a ⇒
2=3/a ⇒ a=3/2
b^2=c^2-a^2=3^2-(3/2)^2=9-(9/4)=27/4

О т в е т. (x^2/(3/2)^2)-(y^2/(3sqrt(3)/2)^2)=1
или
108x^2-36y^2=243

Ответ выбран лучшим

Запишем каноническое уравнение окружности, выделим полные квадраты
(x^2-6x)+(y^2+4y)+8=0
(x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)-9-4+8=0
(x-3)^2+(y+2)^2=5
C(3;-2) - центр данной окружности.

Переформулируем задачу:
написать уравнение прямой, проходящей через точку С и перпендикулярной прямой x–3y+2=0
Выразим у из уравнения
у=(1/3)х+(2/3)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1
y=-3x+b
Подставим координаты точки С и найдем b
-2=-3*3+b
b=7

О т в е т. у=-3х+7

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

ОВ ⊥ оси Ох
Значит первая координата точки О равна -6

Уравнение окружности принимает вид

(x-(-6))^2+(y-b)^2=R^2
или
(х+6)^2+(y-b)^2=R^2

Подставим координаты точки А и точки В в это уравнение
{(-10+6)^2+(4-b)^2=R^2
{(-6+6)^2+(0-b)^2=R^2

Из второго R^2=b^2 и подставим в первое

(-10+6)^2+(4-b)^2=b^2
16=(b-4+b)*(b+4-b)
4=2b-4
b=4

R^2=b^2=16
О т в е т. (x+6)^2+(y-4)^2=16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Точка О(0;0).
Прямая МО ⊥ прямой у=kx+4
Значит угловой коэффициент прямой МО
(-1/k)
Уравнение прямых перпендикулярных данной имеют вид
у=(-1/k)х + b
Чтобы найти b подставим координаты точки О (0;0)
b=0

Найдем координаты точки М - точки пересечения прямых
у=kx+4 и у= (-1/k)*х

{y=kx+4
{y=(-1/k)*x

(-1/k)x=kx+4
x=4k/(k^2+1)
y=-4/(k^2+1)

M(4k/(k^2+1); -4/(k^2+1))
MO^2=(0-(4k/(k^2+1)))^2+(0-(-4/(k^2+1)))^2=16/(k^2+1)

|MO|=4/sqrt(k^2+1)

4/sqrt(k^2+1)=sqrt(3)
16/(k^2+1)=3
k^2+1=16/3
k^2=13/3
k=-sqrt(13/3) или k=sqrt(13/3)

Ответ выбран лучшим

Найдем асимптоты гиперболы
Запишем каноническое уравнение гиперболы
(x^2/4)-(y^2/4)=1
a=2
b=2
Уравнения асимптот гиперболы (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
у=(-b/a)x и у=(b/a)x
Значит уравнения асимптот гиперболы
(x^2/4)-(y^2/4)=1
у=-х и у=х
Через первую и третью четверть проходит асмптота
у=х
Перпендикулярная ей прямая имеет угловой коэффициент k=-1
Уравнение прямых перпендикулярных асимптоте у=х имеет вид у=-х+b
Чтобы найти b подставим координаты центра эллипса ( 0;0) в это уравнение
b=0

Уравнение диаметра эллипса, удовлетворяющего условию задачи у=-х
Найдем координаты точек пересечения прямой с эллипсом
{y^2=-x
{ 9x^2+27^y2 = 225
9x^2+27(-x)^2=225
36x^2=225
6|x|=15
x1=-5/2 или х2=5/2
y1=5/2 или y2=-5/2

d^2=(x_(2)-x_(1))^2+(y_(2)-y_(1))^2=

=((5/2)-(-5/2))^2+(-(5/2)-(5/2))^2=

=(25/2)+(25/2)=25

d=5

О т в е т . 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(0,8) 3·log_(3) 1,25= ( log_(3) 3/log_(3)0,8)·log_(3) 1,25=

=log_(3) 1,25/log_(3)0,8=log_(0,8)1,25=log_(4/5)(5/4)=-1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-x-6 > 0 ⇒ (х+2)*(х-3) > 0
{(x+2)^7/(x-3) > 0 ⇒ (x+2)/(x-3) > 0 ( x+2)^6 больше или равно 0 при любом х)

ОДЗ: х ∈ (- бесконечность;-2)U(3;+ бесконечность)

7log_(9) (x^2-x-6)=log_(9)9^8+log_(9) (x+2)^7/(x-3)

log_(9)(x+2)^7*(x-3)^7=log_(9)9^8*(x+2)^7/(x-3)

(x+2)^7*(x-3)^7=9^8*(x+2)^7/(x-3)
(x+2)^7*((x-3)^8-9^8)/(x-3)=0

(x-3)^8-9^8=0
((x-3)^4-9^4)=0
(x-3)^2-9^2=0
((x-3)-9)*((x-3)+9)=0
(x-12)*(x+6)=0
x=12 или х=-6
Оба корня входят в ОДЗ
О т в е т. -6; 12

Ответ выбран лучшим

938
4 - 7*(x+3) меньше или равно -9;
4 - 7x - 21 меньше или равно -9;
- 7x меньше или равно -9 -4 +21;
- 7x меньше или равно 8;
x больше или равно -8/7
О т в е т. 3)
939
6х-7 > 7x+8
6x-7x > 8+7
-x > 15
x < -15
О т в е т. 4)

Ответ выбран лучшим

Это линейное уравнение вида
y′+ p(x)·y =f(x)

Будем искать решение в виде
у=u(x)*v(x)

y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(x/(1+x^2))*u*v=x

u`*v+u*(v`+(x/(1+x^2)*v)=x (#)

Пусть
v`+(x/(1+x^2)*v =0
Это уравнение с разделяющимися переменными

dv/v=-(xdx/(1+x^2))

Интегрируем
∫ dv/v=-∫(xdx/(1+x^2))
ln|v|=-(1/2) ln(1+x^2)
v=1/sqrt(1+x^2)

Подставляем найденное v в (#)
u`*(1/sqrt(1+x^2))=x
u`=xsqrt(1+x^2)
u= ∫ xsqrt(1+x^2)dx=(1/2)*(1+x^2)^(3/2)/(3/2)+C

y=u*v=(1/sqrt(1+x^2))*((1/3)*(1+x^2)*sqrt(1+x^2)+C)

у=((x^2+1)/3) + (C/sqrt(1+x^2))

y(0)=1
1=(1/3)+C
C=2/3

y=(x^2+1)/3 + (2/(3*sqrt(1+x^2)))

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение параболы имеет вид
y^2=2px
2p=-1
p=-1/2

Координаты фокуса параболы - точки F(-1/4;0)
Уравнение прямой под углом 135 градусов к оси, это уравнение прямой с угловым коэффициентом k=tg135 градусов =-1
имеет вид
у=-х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки F в это уравнение
0=-(-1/4)+b
b=-1/4

y=-x-(1/4)

Найдем координаты точек пересечения прямой у =-х - (1/4) с параболой y^2=-x

(-x-(1/4))^2=-x
x^2+(x/2)+(1/16)=-x
x^2+3x/2+(1/16)=0
16x^2+24x+1=0
D=(24)^2-4*16=576-64=512
x1=(-24-16sqrt(2))/32 или x2=(-24+16sqrt(2))/32
x1=(-3-2sqrt(2))/4 или x2=(-3+2sqrt(2))/4
y1=(2+2sqrt(2))/4 или y2=(2-2sqrt(2))/4

AB^2=(x_(2)-x_(1))^2+(y_(2)-y_(1))^2=

=((sqrt(2)))^2+(-sqrt(2)))^2=4

|AB|=sqrt(4)=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

b^2=a^2-с^2 (a > b; a-большая полуось; b- малая полуось)
F_(1)(-c;0) и F_(2)(c;0) - фокусы эллипса.

a) По условию
{a+b=7
{sqrt(a^2+b^2)=5

{b=7-a
{a^2+(7-a)^2=25 ⇒ 2a^2-14a+24=0
D=196-4*2*24=4
a=(14-2)/4=3 или a=(14+2)/4=4
b=7-3=4 или b=7-4=3
a > b ⇒ a=4; b=3
О т в е т.
a) (x^2/4^2)+(y^2/3^2)=1

б) 2a=16 ⇒ a=8 ( cм рис.)
c=6
b^2=a^2-c^2 ⇒ b^2=8^2-6^2=64-36=28

(x^2/64)+(y^2/28)=1

О т в е т. б) (x^2/64)+(y^2/28)=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим точку пересечения прямых
{2x-y-1=0;
{3x-y+4=0

Вычитаем из второго уравнения первое
х+5=0
х=-5
тогда
у=2х-1=2*(-5)-1=-11

Переформулируем задачу: написать уравнение прямой, проходящей через точку (-5; -11) параллельно прямой
4х+2у-13=0

Нормальный вектор прямой vector{n}=(4;2)
Если две прямые параллельны, то их нормальные векторы тоже.
Значит у искомой прямой тот же самый нормальный вектор vector{n}=(4;2)
Уравнение прямой с заданным нормальным вектором vector{n}=(A;B)и проходящей через точку (х_(о);у_(о)) имеет вид
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))=0
4*(x-(-5))+2*(y-(-11))=0
4x+2y+42=0
О т в ет 4х+2у+42=0

Ответ выбран лучшим

Если точка В лежит на биссектрисе, то уравнение биссектрисы у=х и потому координаты точки В(х;х)
Для нахождения расстояния АВ применяем формулу
AB=sqrt((x-3)^2+(x-3)^2)
sqrt((x-3)^2+(x-3)^2)= sqrt(2)
Возводим в квадрат
2(х-3)^2=2
(x-3)^2=1
x - 3 = - 1 или х -3 = 1
х=3-1 или х=3+1
х=2 или х=4
О т в е т. В(2;2) или B(4;4)

Ответ выбран лучшим

Пусть х - количество акций нефтяной компании, у- количество акций газовой компании.
Согласно условия задачи
100х + 65,6y = 13120
x+y < 200

Из уравнения выразим у
65,6y=13120-100x

y=200-(100/65,6)x

y=200-(125/82)x

х кратно 82, значит единственно возможное значение х=82

Если х=82, то y=200-125 =75 -целое.
При х=164, y < 0

100*82=8200 долл - выручка от продажи нефтяных акций, тогда
13120-8200=4920 дол. выручка от продажи акций газовой компании
или
65,6*75=4920 долларов выручка от продажи акций газовой компании.

200 акций составляют 100%
75 акций составляют х %

х=75*100/200=37,5% составляют акции газовой компании

О т в е т. 37,5% и 4920 долларов.

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
4^4=3x-5
3x=256+5
3x=261
x=87
Проверка
log_(4)(3*87-5)=log_(4)256=4
О т в е т. 87

Ответ выбран лучшим

1) (4/15)*120=32
2)120-32=88 осталось решить после 1-го дня
3) (3/8)8*88=33 решил во второй день
4) 88-33=55 задача осталось на третью декаду

Ответ выбран лучшим

Неопределенность ( бесконечность*0) надо свести к неопределенности( бесконечность / бесконечность ) или (0/0).
Это можно сделать двумя способами
ln(1+(3/x))/(1/ln(1+2x)) или (ln(1+2x))/(1/ln(1+(3/x))
Применить правило Лопиталя

lim_(x→∞)(ln(1+(3/x)))`/(1/ln(1+2x))`=

Ответ выбран лучшим

200 000 посетителей составляют 100%
750 000 посетителей составляют х %

х=(750 000 * 100)/200 000=375%

375-100=275%
О т в е т. на 275%

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-3 > 0; x-3 ≠ 1 ⇒ x ∈ (3;4)U(4;+ бесконечность)
{x+3 > 0; x+3 ≠ 1 ⇒ x ∈ (-3;-2)U(-2;+ бесконечность )

ОДЗ: х ∈ (3;4)U(4;+ бесконечность)

По формуле перехода к другому основанию
(1/log_(6)(x-3))+(1/log_(6)(x+3)) > 1/(log_(6)(x-3))*(log_(6)(x+3))
Приводим к общему знаменателю и применяем формулу суммы логарифмов

(log_(6)(x+3)+log_(6)(x-3) - 1)/(log_(6)(x-3))*(log_(6)(x+3)) > 0

(log_(6)((x^2-9)/6))/(log_(6)(x-3))*(log_(6)(x+3)) > 0

Применяем обобщенный метод интервалов

Нули числителя:
log_(6)((x^2-9)/6)=0

(x^2-9)/6=6^(0)
x^2-9=6
x^2=15
x= ± sqrt(15)
х=-sqrt(15) не принадлежит ОДЗ

Нули знаменателя:
log_(6)(x-3)=0 или log_(6)(x+3)=0
x=4 или х=-2

х=-2 не принадлежит ОДЗ

(3)__+__ (sqrt(15)) ___-__ (4) __+___

О т в е т. (3;sqrt(15)) U(4 ;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 313 долларов за унцию
См. рис.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойству равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны ( см. приложение)
h=(a+b)/2
Тогда

S=(a+b)*h/2=h*h=h^2=14^2=196
О т в е т. 196 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что в трех матчах подбрасывается монета. У монеты две стороны ''герб'' и ''цифра''
Всего исходов испытания 8
n=2^3
ЦЦЦ, ЦЦГ, ЦГЦ, ГЦЦ, ГГЦ, ГЦГ,ЦГГ, ГГГ
Событие А - '' команда ''Саратов'' начнет игру мячом не более одного раза ( один раз или ни разу)''

Пусть выпадение ''герба'' на монете, означает, что команда ''Саратов'' начнет игру мячом '', а выпадение ''цифры'' на монете означает, что команда не начнет игру мячом

Тогда событию А благоприятствуют исходы
благоприятных комбинаций четыре: ЦЦЦ, ЦЦГ, ЦГЦ, ГЦЦ
m=4

Формула классической вероятности
р(А)=m/n=4/8=1/2

О т в е т. 1/2

Ответ выбран лучшим

Пусть х второклассников, у-третьеклассников и z- четвероклассников.
Второклассники отработали 3х дней и собрали 30х кг макулатуры.
Третьеклассники отработали 12у дней и собрали 130y кг макулатуры.
Четвероклассники отработали 16z дней и собрали 170z кг макулатуры.

Общее количество отработанных дней
3х+12у+16z, что по условию задачи равно 95.
Уравнение:
3х+12у+16z=95

16z=95-3х-12y
16z=5*16+15-3x-12y

Так как х,y и z - натуральные, то
чтобы z было натуральным, необходимо, чтобы второе слагаемое было целым, т. е
15-3х-12у должно быть кратно 16

Это возможно, при
1)x=1; y=5
15-3*1-60=-48 кратно 16
тогда
z=5-3=2

2) х=5; y=4
15-3*5-16=-16 кратно 16
z=2
3) x=5; y=8
15-3*5-12*8=-96 кратно 16, но z < 0

Общее количество собранной макулатуры
P(x;y;z)=30x+130y+170z максимально.
значит
1)P(x;y;z)=30*1+130*5+170*2 =30+650+340=
= 1020 кг.
2)P(x;y;z)=30*5+130*4+170*2 =150+520+340=
= 1010 кг.

О т в е т. 1 второклассник, 5 третьеклассников и 2 четвероклассника.

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 15 гвоздик выбирают 4.
Это можно сделать C^4_(15).
Событие А - ''выбраны 2 красных и 2 белых гвоздики''.
m=C^2_(10)* C^2_(5)
Классическая формула вероятности
р(А)=m/n=(C^2_(10)* C^2_(5))/C^4_(15)=

=(10!/(2!*8!))*(5!/(2!*3!)/(15!/(4!*11!))=
=450/1365 ≈ 0,330

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
(5х+26)/6=36
При этом область определения данного уравнения и получившегося не совпадают, поэтому в конце решения сделаем проверку.
5х+26=216
5х=216-26
5х=190
х=190:5
х=38

Проверка
sqrt((5*38+26)/6)=sqrt((190+26)/6)=sqrt(216/6)=sqrt(36)=6
6=6 - верно.
О т в е т. 38

Ответ выбран лучшим

По свойствам степени с одинаковым основанием
a^m*a^n=a^(m+n)
a^m:a^n=a^(m-n)
(a^(m))^n=a^(mn)

Получаем
a^((5/8)-((1/24)+(1/3)))=a^((15/24)-(1/24)-(8/24))=a^(6/24)=a^(1/4)

При а=16 получим
16^(1/4)=(2^4)^(1/4)=2
О т в е т 2

Ответ выбран лучшим

OДЗ:
{x > 0; x≠1
{log_(x)3+2 > 0 ⇒ log_(x)3 > -2
{2-sqrt(log_(x)3+2) > 0 ⇒ log_(x)3 < 2
{log_(x)3+5 > 0 ⇒ log_(x) 3 > -5

-2 < log _(x) 3 < 2, x > 0; x≠1

Так как
2*2^(-log_(x)3)-4=2*(2^(-log_(x)3)-2), то числитель первой дроби в два раза больше числителя второй.

Замена переменной
log_(x)3=t.

Перенесем слагаемые влево и вынесем за скобки общий множитель.

Неравенство примет вид:

(2^(-t)-2)*sqrt(2-sqrt(t+2))*(2/(1+sqrt(t+5))-1/(sqrt(t+5)-2)) > 0

(2^(-t)-2)*sqrt(2-sqrt(t+2))*(sqrt(t+5)-5)/((sqrt(t+5)+1)*(sqrt(t+5)-2)) > 0

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя:
2^(-t)-2=0 ⇒ 2^(-t)=2 ⇒ -t=1 ⇒ t=-1
sqrt(2-sqrt(t+2))=0 ⇒ sqrt(t+2)=2 ⇒ t+2=4 ⇒ t=2
sqrt(t+5)-5=0 ⇒ sqrt(t+5)=25 ⇒ t=20
Находим нули знаменателя:
(sqrt(t+5)+1 > 0 - верно при любом t > -5
(sqrt(t+5)-2=0 ⇒ t+5=4 ⇒ t=-1

_+___ (-1) ___+__ (2) ___-___ (20) ___+___

Учитывая согласно ОДЗ -2 < t < 2, получаем,
-2 < t < -1 или -1 < t < 2

Обратная замена
-2 < log_(x)3 < -1 или -1 < log_(x)3 < 2
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств, получаем
{(x-1)*(3-(1/x)) < 0
{(x-1)*(3-(1/x^2)) > 0
или
{(x-1)*(3-(1/x)) > 0
{(x-1)*(3-x^2)) < 0

Первая система имеет решение
{x < 0 или 1/3 < x < 1
{(-sqrt(1/3);0)U(0;sqrt(1/3)) U(1;+ бесконечность)
(-sqrt(1/3);0)U(1/3;sqrt(1/3))
с учетом x > 0
О т в е т.1)(1/3;sqrt(1/3))

Первая система имеет решение
{0 < x < 1/3 или x > 1
{(-sqrt(3);1)U(sqrt(3);+ бесконечность)
и с учетом ОДЗ
О т в е т. 2) ( 0; 1/3) U (sqrt(3);+ бесконечность)

О т в е т. (0;1/3)U(1/3;sqrt(1/3))U(sqrt(3);+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Пусть первый рабочий делает х деталей за час, а второй у деталей за час.
За три часа первый рабочий изготовил
3х деталей, осталось изготовить (72-3х) деталей.
Их изготовил второй рабочий за 4 часа.
Значит
4y=72-3x

Так как первый рабочий изготавливает 18 деталей на полчаса быстрее, чем второй, можно составить второе уравнение.
(18/y)-(18/x)=(1/2)

Решаем систему уравнений
{4y=72-3x;
{(18/y)-(18/x)=(1/2)

{4y=72-3x ⇒ y=(1/4)*(72-3x)
{36x-36y=xy ⇒ 36x=(1/4)*(72-3x)*(x+36)

Решаем второе уравнение:
36х=18х-(3/4)x^2+18*36-27x
(3/4)x^2+45x-18*36=0
Умножаем на (4/3)
x^2+60x-864=0
D=3600+3456=7056=84^2
x=(-60+84)/2=12
второй корень отрицательный, не находим, он не удовл. смыслу задачи.
О т в е т. 12 деталей

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение в виде:
сos3x-cos5x=sqrt(3)sin4x
Применяем формулу
cos альфа - cos бета =-2sin( альфа + бета )/2 * sin( альфа - бета )/2

-2sin 4x*sin(-x)=sqrt(3)sin4x;
2sin 4x*sinx-sqrt(3)sin4x = 0;
sin4x* (2sinx-sqrt(3))=0
sin4x=0 или 2 sinx - sqrt(3)=0

sin4x=0 ⇒ 4x = Pik, k ∈ Z ⇒ x = (Pi/4)*k, k ∈ Z

2 sinx - sqrt(3)=0 ⇒ sinx=sqrt(3)/2 ⇒
x= (π/3)+2πm, m∈Z или х= (2π/3)+2πn, n∈Z

О т в е т. а) (Pi/4)*k, (π/3)+2πm, (2π/3)+2πn, k, m, n∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
Pi/2; 3Pi/4; (2π/3); Pi
См. рис. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

На [-2;3] производная y=f `(x) > 0 при любом х, значит функция f (x) возрастает на [-2;3], поэтому наименьшее значение функция f(x) принимает в точке х=-2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В основании пирамиды - квадрат.
Пусть сторона квадрата равна а,
тогда диагонали квадрата по теореме Пифагора
АС=BD=a*sqrt(2)
Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
ВО=OD=(a*sqrt(2))/2

Δ MBO - прямоугольный равнобедренный.
BO=MO=(a*sqrt(2))/2

S(диагонального сечения)= S( Δ MBD)=(1/2)BD*MO=

=(1/2)*a*sqrt(2) * (a*sqrt(2))/2=a^2/2

36=a^2/2
a=6sqrt(2)
MO=H=(a*sqrt(2))/2=(6*sqrt(2)*sqrt(2))/2=6

V=(1/3)*S( осн.) * Н=(1/3)* a^2*MO=
=(1/3)*72*6=144

О т в е т. 144 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 50-ти вопросов выбирают три.
Это можно сделать С^3_(50)
n=C^3_(50)
А- событие, означающее, что школьник знает ответы на все три вопроса.
Событию А благоприятствуют исходы, при которых из 30 вопросов ( которые он знает) в билет включены 3
m=C^3_(30)
p(A)=m/n - формула классической вероятности

р(А)=С^3_(30)/C^3_(50)=(30!/(27!*3!)):(50!/(47!*3!))=
=(28*29*30)/(48*49*50)=(7*29)/(4*49*5)=203/980 ≈ 0,207

О т в е т. 0,207

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а.
АО =R=asqrt(3)/3
OK=r=asqrt(3)/6
По теореме Пифагора из треугольника МОК
МК=h=sqrt(MO^2+OK^2)=sqrt(4+a^2*(3/36))=(sqrt(4+(a^2/12))

S(бок.)=(1/2)P(осн.)*h
72=(1/2)*3a*(sqrt(4+(a^2/12))
24=(1/2)*a*(sqrt(4+(a^2/12))

Возводим в квадрат

24^2=(1/2)^2*a^2*(4+(a^2/12))
576=(1/4)a^2*(4+(a^2/12))

(1/48)a^4+a^2-576=0 - биквадратное уравнение

D=1^2-4*(1/48)*(-576)=1+48=49

a^2=(-1+7)/(1/24)=24*6=144

a^2=(-1-7)/(1/24) < 0

a=12
О т в е т. 12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
4x^2+4x+3≠0
D=4^2-4*4*3 < 0, значит 4x^2+4x+3 > 0 при любом х и не обращается в 0 ни при каких х

ОДЗ: х ∈ (- бесконечность; + бесконечность )

Выделим целую часть:

y=-(4x^2+4x+3+4)/(4x^2+4x+3);

y=-1-(4/(4x^2+4x+3));

y`=(-1)`-4*(1/(4x^2+4x+3))`;
Применяем правило нахождения производной сложной функции
(1/u)`=-u`/u^2

y`=-4*(4x^2+4x+3)`*(-1/(4x^2+4x+3)^2)=

=4*(8x+4)/((4x^2+4x+3)^2);

y`=0

8x+4=0

x=-1/2 - точка возможного экстремума.

Проверяем выполнение достаточного условия.
Знак производной
__-__ (-1/2) __+__

x=-1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

у(-1/2)=-(4*(-1/2)^2+4*(-1/2)+7)/(4*(-1/2)^2+4*(-1/2)+3)=
=-6/2=-3
О т в е т. -3

Ответ выбран лучшим

y`=(e^(2x))`-8*(e^x)`+(1)`
Производная e^(2x) считается по правилу производной сложной функции.

y`=e^(2x)*(2x)`-8*e^x
y`=2e^(2x)-8*e^x
y`=0
2e^(2x)-8*e^x=0
2*e^x*(e^x-4)=0

e^x > 0 поэтому e^x-4=0 ⇒ e^x=4 x=ln4

1=lne < ln4 < lne^2=2

[0] ____-___ (ln 4) __+_ [2]

x=ln4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.

y(ln4)=(e^(ln4))^2-8*e^(ln4)+1=

применяем основное логарифмическое тождество
a^(log(a)b)=b, a > 0; b > 0, a≠1

=(4)^2-8*4+1=
=16-32+1=-15 - наименьшее значение на [0;2]

Ответ выбран лучшим

5^x=t;
t > 0
25^x=t^2
125^x=t^3

t^3-t^2+(4t^2-20)/(t-5) меньше или равно 4;

t^3-t^2+(4t^2-20)/(t-5) - 4 меньше или равно 0;

(t^2(t-1)(t-5)+4t^2-20-4*(t-5))/(t-5) меньше или равно 0;

(t*(t-1)(t^2-5t+4))/(t-5) меньше или равно 0

(t*(t-1)^2*(t-4))/(t-5) меньше или равно 0

__-__ [0] _+__ [1] __+__ [4] _-_ (5) _+__

C учетом t > 0
получаем ответ: t=1 или 4 ≤ t <5

Обратный переход:
5^x=1 ⇒ 5^(x)=5^(0) ⇒ x=0
ИЛИ
4 ≤ 5^x < 5 ⇒ 5^(log_(5)4) ≤ 5^x < 5^(1) ⇒ log_(5)4 ≤ х < 1

О т в е т. {0}U [log_(5)4; 1)

Ответ выбран лучшим

=0/0= ( неопределенность, устраняем, умножаем и числитель и знаменатель на выражение sqrt(x)+0,5sqrt(2))=

=lim_(x→0,5)((2-4x)*(sqrt(x)+0,5sqrt(2)))/(x-(2/4))=

=lim_(x→0,5)(-4)*(sqrt(x)+0,5sqrt(2))=-4*(sqrt(0,5)+0,5sqrt(6))

О т в е т. -4*(sqrt(0,5)+0,5sqrt(6))

Ответ выбран лучшим

В чем смысл задачи? Берутся 18 млн в сентябре. В январе на эту сумму начисляются проценты,
18 млн:100*2,5=450 000 тыс.
Таким образом сумма долга увеличивается и становится равной
18 млн. + 450 000

С февраля по август необходимо выплатить сумму долга.
В этой задаче, есть дополнительное условие на эту сумму:
в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга а сентябрь предыдущего года.
Это можно выполнить, если
сумму кредита разделить на общее количество лет.
(18 млн/х) - эта сумма выплачивается каждый сентябрь. И поэтому каждый сентябрь сумма долга и будет уменьшаться именно на это число.
Но плюс ко всему каждый сентябрь к этой сумме придется выплачивать и проценты, начисленные в январе.

Итак в сентябре
первого года выплачиваем (18/x) + (2,5/100)*18
Тогда по истечении этого года, долг на январь составит
18+(2,5/100)*18 - (18/x) - (2,5/100)*18
Видно, что второе и последнее слагаемое это и есть начисленные проценты и выплаченные.

Поэтому на январь следующего года долг составит
18-(18/x) и в январе начислят проценты (2,5/100)*(18-(18/x))

В сентябре будет выплачено
(18/x) + (2,5/100)*(18-(18/x)) - эта выплата меньше чем предыдущая

И так далее

В сентябре последнего года
будет выплачено
(18/х) + (2,5/100)*(18/x) - это наименьшая выплата

Сумма наибольшей и наименьшей выплат
(18/x) + (2,5/100)*18 + (18/х) + (2,5/100)*(18/x) по условию равна 7, 74 млн. руб

Уравнение:
(18/x) + (2,5/100)*18 + (18/х) + (2,5/100)*(18/x) = 7, 74
(36,45/х)=7,74-0,45
х=36,45:7,29
x=5

Общая сумма выплат
18+(2,5/100)*(18/х)*(х*(х+1)/2 ( см. https://reshimvse.com/zadacha.php?id=16267)
при х=5 равна
18+1,35=19,35

Ответ выбран лучшим

lim_(x→∞) (1+(1/x))^x=e

lim_(x→∞) (((1+(1/x))^x)^(1/x))^((x+1)/x)=

=e^(lim_(x→∞) ((x+1)/x^2))=e^(0)=1

Ответ выбран лучшим

=0/0= ( неопределенность, устраняем, умножаем и числитель и знаменатель на выражение sqrt(x)+0,5sqrt(6))=

=lim_(x→1,5)((3-2x)*(sqrt(x)+0,5sqrt(6)))/(x-(6/4))=

=lim_(x→1,5)(-2)*(sqrt(x)+0,5sqrt(6))=-2*(sqrt(1,5)+0,5sqrt(6))

Ответ выбран лучшим

= ∫ (1+(1/e^(-x)))dx= ∫ dx+ ∫ e^xdx=x+e^x+C

Ответ выбран лучшим

(sqrt(u))`=(1/2sqrt(u))*u`

y`=(x+1)`/(2*sqrt(x+1));

y`=1/(2sqrt(x+1))

y`(2)=1/(2sqrt(3))

О т в е т. 1/(2sqrt(3))

Ответ выбран лучшим

OD-биссектриса ∠ АОВ.
АО и ОВ - касательные, DР ⊥ AO; DK ⊥ BO

∠ РOD= ∠ KOD=60 градусов;

∠ РDО= ∠ KDО=30 градусов;

Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, OD=2OP=2*1=2

О т в е т. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) сos(arccosa)=a, a ∈ [-1;1]
О т в е т. 1/2
2) 4sin^2xcos^2x=(sin2x)^2
0 меньше или равно sin^22x меньше или равно 1
-1 меньше или равно -sin^22x меньше или равно 0
2=3-1 меньше или равно 3-4sin^2xcos^2x меньше или равно 3
О т в е т. [2;3]
3)
sin3x=1/sqrt(2)
3x=(π/4)+2πk, k∈Z или 3х=(3π/4)+2πk, k∈Z
x=(π/12)+(2π/3)*k, k∈Z или х=(π/4)+(2π/3)k, k∈Z

О т в е т. (π/12)+(2π/3)*k, k∈Z или х=(π/4)+(2π/3)k, k∈Z

Ответ выбран лучшим

S= ∫^5_(-1)(-0,5x^2+3x+6-0,5x^2+x-1)dx=

= ∫^5_(-1)(-x^2+4x+5)dx=

=((-x^3/3)+2x^2+5x)|^5_(-1)=

=(-5)^3/3+2*5^2+5*5-((-1)^3/3+2*(-1)^2+5*(-1))=

=(-126/3)+48+30=36 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
(4-х)/(1-х) больше или равно 0;

(х-4).(х-1) больше или равно 0;
ОДЗ:
x < 1 или х больше или равно 4;

Так как
2=log_(3)9
и
log_(9) ((x-1)^(10))^(1/10)=log_(3^2)|x-1|=(1/2)log_(3)|x-1|=
=log_(3)sqrt(|x-1|)

Неравенство принимает вид
log_(3)(x-4)/(x-1) меньше или равно log_(3) 9/sqrt(|x-1|).

3 > 1 логарифмическая функция возрастает, поэтому

(x-4)/(x-1) меньше или равно 9/sqrt(|x-1|)

См. графическое решение.

Гипербола у=(4-х)/(1-х) пересекается с кривой у=9/sqrt(|x-1|) в одной точке, при x < 1
Раскрываем знак модуля, чтобы найти эту точку
(4-х)/(1-х) =9/sqrt(1-x)
Возводим в квадрат
(4-х)^2/(1-x)^2=81/(1-x)
или
16-8х+х^2=81*(1-x)
x^2+72x-65=0
D=72^2-4*(-65)=5184+260=5444
x1=-72+sqrt(5444)/2=-36+sqrt(1361) < 1
х2=36+sqrt(1361) не удовл. условию х < 1
О т в е т. (-бесконечность; -36+sqrt(1361)] U[4;+ бесконечность) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y_(k)-y_(l)=k*(k+1)-l*(l+1)=k^2+k-l^2-l=(k^2-l^2)+(k-l)=
=(k-l)*(k+l+1)

По условию разность кратна 3^(10)
Это можно записать так:
(k-l)*(k+l+1)=3^(10)*m
k,l,m - натуральные
l < 100 < k

(k-l)*(k+l+1)=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*m
Слева произведение двух множителей
(k-l) и (k+l+1)
Справа произведение
3^(5) и 3^(5)*m;
3^(6) и 3^(4)*m
и так далее ( возможны разные комбинации)

Например,
k=102; l=99
k–l=3
значит
k+l=3^(9)·m, но 102+99+1 не кратно 3^(9)·m

k=101; l=98
k–l=3
k+l+1=101+98+1=200 не кратно 3^(9)*m

Если
k-l=3^(6)
то
k=l+729
k+l+1=l+729+l+1=2l+730=2*(l+365) должно быть кратно 3^(4)*m

l < 100
l+365 < 100+365=465
l+365=405 и 405 кратно 81
l=40
k=40+729=769

(k-l)*(k+l+1)=729*810 - кратно (3^6)*3^(5)=3^(10)

О т в е т. l+k=40+769=809

Ответ выбран лучшим

а)

36=6^2
((6^2)^(sinx))^(cosx)=6^(sqrt(3)*cosx);
2*sinx*cosx=sqrt(3)cosx;

2*sinx*cosx-sqrt(3)cosx=0;
cosx*(2sinx-sqrt(3))=0
cosx=0 или 2sinx-sqrt(3)=0

cosx=0 ⇒ x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z
2sinx-sqrt(3)=0 ⇒ sinx=sqrt(3)/2 ⇒ x=(Pi/3)+2Pin, n ∈ Z или
х=(2Pi/3)+2Pim, m ∈ Z

О т в е т. а) (Pi/2)+Pik; (Pi/3)+2Pin, (2Pi/3)+2Pim, k, n, m ∈ Z

б)
Указанному отрезку принадлежат корни
х=(Pi/3)+2Pi=7Pi/3
х=(Pi/2)+2Pi=5Pi/2
х=(2Pi/3)+2Pi=8Pi/3

Ответ выбран лучшим

sqrt(2x+3)=-x
ОДЗ:
{2x+3 больше или равно 0⇒ x больше или равно -1,5
{-x больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 0

x ∈ [-1,5;0]

Возводим в квадрат
2х+3=x^2
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x1=-1 или х2=3
х2 ∉ ОДЗ
О т в е т. -1

Ответ выбран лучшим

Нужно найти разницу между суммой произведений цифр в отрезке от 2017 до 20179999 и отрезка от 2031 до 20180013. Достаточно рассмотреть концы отрезков, которые не совпадают.
А это отрезки от 2017 до 2031 и 20179999 до 20180013.
2017+14=2031
У числа 2017 произведение цифр равно 0
и у числа 2031 произведение цифр равно 0

2018+14=2032
произведение цифр числа 2018 равно 0
и у числа 2032 произведение цифр равно 0
О т в е т. 0

Ответ выбран лучшим

АВ=СD=10+10,5=20,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если пределы написаны верно: и верхний 1 и нижний 1, то не считая, ответ 0

Если где-то опечатка, то
∫ (x+1)(x-1)dx= ∫ (x^2-1)dx=(x^3/3)-x +C

∫^1_(-1) (x+1)(x-1)dx= ∫^1_(-1) (x^2-1)dx=((x^3/3)-x)|^1_(-1)=

=(1/3)-1-((-1/3)-(-1))=(2/3)-2=-4/3

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 5
{2x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1,5
{x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3

x ∈ [3;+ ∞)

Перепишем неравенство в виде
√x+5 > √2x–3+√x–3
Левая и правая части уравнения положительны на ОДЗ, поэтому возводим обе части в квадрат
х + 5 > 2х – 3 +2·√2x–3·√x–3 + x – 3;
11–2х > 2·√2x–3·√x–3
При 11–2х < 0 ⇒ x > 5,5 неравенство неверно ( отрицательное слева выражение не может быть больше положительного справа.
При x < 5,5 возводим в квадрат
(11–2х)2 > 4·(2х–3)·(х–3)

121–44x+4x2 > 4·(2x2–9x+9);
–4x2–8x+85 > 0;
4x2+8x–85 < 0;

D=82–4·4·(–85)=16·(4+85)=16·89

x1=(–8–4√89)/8 или х2=(–8+4√89)/8
x1=–1–(1/2)·√89 или x2=–1+(1/2)·√89

–1–(1/2)·√89 < x < –1+(1/2)·√89

C учетом ОДЗ и условия x < 5,5 получаем
о т в е т.
[3;–1+(1/2)√89)

Ответ выбран лучшим

Cвойства логарифмов:
log_(5^3)9=(1/3)log_(5)9
log_(c)a/log_(c)b=log_(b)a, a > 0, b > 0, b ≠ 1, c > 0 , c ≠ 1

Неравенство принимает вид:
log_(8y^2-6y+1)(9y^2-3y+1) меньше или равно 1
Метод рационализации позволяет заменить неравенство системой неравенств:
{9y^2-3y+1 > 0
{8y^2-6y+1 > 0 , 8y^2-6y+1 ≠ 1
{(8y^2-6y+1-1)*(9y^2-3y+1-8y^2+6y-1) меньше или равно 0

О т в е т. [-3;0)U(0;1/4)U(1/2;3/4)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

cos^2 альфа =1-sin^2 альфа =1-(6/sqrt(61))^2=25/61
cos альфа =-5/sqrt(61), знак минус, так как угол во второй четверти, косинус во второй четверти имеет знак минус.

tg альфа =sin альфа /cos альфа =6/5

Ответ выбран лучшим

2cos^2 альфа =1+cos2 альфа
2sin^2 альфа =1-cos2 альфа

1+cos12x-1+cos12x=sqrt(2)

2cos12x=sqrt(2)
cos12x=sqrt(2)/2
12x=± (π/4)+2πk, k∈Z
x=± (π/48)+(π/6)k, k∈Z

Ответ выбран лучшим

631с=10 мин 31 с.

Ответ выбран лучшим

2 мин 21 с + 1 мин 23 с =3 мин. 44 с=180 с+44 с=224 с

Ответ выбран лучшим

1) в секунды: 4 мин = 4*60 с=240 с;

2) в минуты: 600 с = 600:60 мин =10 мин.

Ответ выбран лучшим

2814:14=201 заготовку в день токарь
201:3=67 заготовок в день ученик
804:(210+67) - за 3 дня

Ответ выбран лучшим

25-12=13 с
12*16+13*13=192+169=361 м

Ответ выбран лучшим

1. 7 ц — 80 кг = 700 кг — 80 кг = 620 кг =6 ц 20 кг;

2. 3 а — 17 м² =300 м² — 17 м² =283 м² = 2 а 83 м².

Ответ выбран лучшим

210:70=3 детали в день изготавливает 1 бригада.
210:21=10 деталей в день изготавливают обе бригады
10-3=7 деталей в день изготавливает вторая бригада
210:7=30 дней потребуется второй бригаде.
О т в е т. 30 дней

Ответ выбран лучшим

1. 159кг+286кг=445 кг =4ц 45кг;

2. 211м²+113м²= 324 м² =3 а 24 м².

Ответ выбран лучшим

см. график данной функции в приложении (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. тоннах, центнерах и килограммах:
5644 кг = 5т6ц 44кг;

2. гектарах, арах и квадратных метрах:
29968 м² = 2 га 99а 68м².

Ответ выбран лучшим

увеличится в 9 раз

Ответ выбран лучшим

. . .576
. . .345
. .2880
.2304
1728
-------
198720

Ответ выбран лучшим

1. 770кг+30кг=800 кг=8ц

2. 306кв.м+194 кв.м=500 м² =5а

Ответ выбран лучшим

___834
___726
__5004
_1668
5838
_________
605484

Ответ выбран лучшим

x:737+300=972
x:737=972-300
x:737=672
x=672*737
x=495 264

Ответ выбран лучшим

x:738+300=968
x:738=968-300
x:738=668
x=668*738
x=492 984

Ответ выбран лучшим

=(2(х-1))^2*(x+1)^2=(2*(x-1)*(x+1))^2=4(x^2-1)^2=
=4*(x^4-2x^2+1)

Ответ выбран лучшим

3 часа 45 минут =3*60+45=180+45=225 минут
1 руб. 15 коп. * 225=258 руб. 75 коп.
Ответ: 258 руб 75коп

Ответ выбран лучшим

666*(331+23)=666*354=235 764

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Р=2*(a+b), где а -длина участка, b- ширина
2470=2*(a+b)
1235=a+b
b=1235-a=1235-839=396 дм

S=a*b=839*396=332 244 кв. дм.

Ответ выбран лучшим

604+54=658 - второй сомножитель
604*658=397 432

Ответ выбран лучшим

607*706=428 542

Ответ выбран лучшим

866*(521+42)=866*563=487 558

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sqrt(х+1)=t
x+1=t^2
d2tdt
При х=15 sqrt(1+15)=sqrt(16) t=4
При х=24 sqrt(1+24)=sqrt(25) t=5

∫ ^(5)_(4)tdt/(3+t)=∫ ^(5)_(4)(t+3-3)dt/(3+t)=

=∫ ^(5)_(4)(1-(3/(3+t)))dt=(t-3ln|3+t|)|^(5)_(4)=

=(5-4)-3(ln(3+5)-3ln(3+4))=1-3ln(8/7)

Ответ выбран лучшим

4) x-6=0 или 4х-6=0
х=6 или х=1,5
О т в е т. 1,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x:755+300=923
x:755=923-300
x:755=623
x=623*755
x=430 365

Ответ выбран лучшим

27898:x=481
x=27898:481
x=58

Ответ выбран лучшим

4169*2=8338
8338:379=22
Ответ: ширина второго участка равна 22 м.

Ответ выбран лучшим

700-m=23672:538
700-m=44
m=700-44
m=656

Ответ выбран лучшим

Пусть длина первого х, ширина у.
Тогда
Р=2*(х+у)
2*(х+у)=178
х+у=178:2
х+у=89

S_(1)=xy=x*(89-x)

По условию длина второго на 6 см меньше, значит (х-6)
Р=178
Обозначим ширину второго z
2*(x-6+z)=178
x-6+z=89
x+z=89+6
x+z=95
z=95-x
S_(2)=(x-6)*(95-x)

По условию S_(2) > S_(1) на 114

Составляем уравнение
(x-6)*(95-x)-x*(89-x)=114
95x-570-x^2+6x-89x+x^2=114
12x=114+570
12x=684
x=57

S_(1)=57*(89-57)=57*32=1824 кв. см
S_(2)=(57-6)*(95-57)=51*38=1938 кв. см

О т в е т. 1824 кв. см и 1938 кв. см

Ответ выбран лучшим

Пусть х длина первого прямоугольника, у - ширина
хy=178
(x-6)- длина второго, z- ширина второго
(x-6)*z=178+114

{xy=178
{(x-6)*z=292

Ответ выбран лучшим

sqrt(l)=T/2
sqrt(l)=3/2
l=(3/2)^2
l=9/4
l=2,25 м

ОДЗ:
4*3^(1-2x)-5 > 0 ⇒ 4*3^(2x)*3^(1-2x) > 5*3^(2x);
12 > 5*3^(2x);
3^(2x) < 12/5
9^(x) < (12/5)
x < log_(9) (12/5)

Перепишем уравнение так:
log_(3) > 4x+ log_(3)(4*3^(1-2x)-5)

Так как
log_(3)3^(4x)=4x

log_(3)4 > log_(3)3^(4x) +log_(3)(4*3^(1-2x)-5)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(3)4 > log_(3)3^(4x) *4*3^(1-2x)-5)
Логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает, поэтому
4 > 3^(4x)*3^(1-2x)-5

4 > 3^(4x+1-2x) -5*3^(4x)
4 > 3^(1+2x)-5*3^(4x)

Замена переменной
3^(2x)=t
t > 0
Квадратное неравенство
5t^2–12t+4 > 0
D=(–12)^2–4·5·4=144-80=64
t1=2/5 или t2=2

3^(2x) < 2/5 или 3^(2x) > 2
9^x < (2/5) или 9^x > 2

x < log_(9)(2/5) или x > log_(9)2

C учетом ОДЗ получаем ответ.
О т в е т. (-бесконечность; log_(9)(2/5)) U (log_(9) 2; log_(9) (12/5))

Ответ выбран лучшим

Пусть первое число а, второе b.
По условию
a+b=25

Перенос запятой на одну цифру вправо увеличил первое число в 10 раз.
Значит
10a+b=149,02

Решаем систему двух уравнений
{a+b=25
{10a+b=149,02

Вычитаем из второго уравнения первое:
9а=149,02-25
9а=124,02
a=13,78
О т в е т. 13,78

Проверка
13,78+11,22=25
137,8+11,22=149,02

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
k(касательной)=f`(x_(o))

По условию касательная, проведённая к графику функции, совпадает или параллельна оси абсцисс
Значит k=0
f`(x_(o))=0
Таких точек четыре ( см. рис.)
О т в е т. четыре (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть
arcsin(8/17)= альфа ⇒ sin альфа =8/17,
альфа ∈ [-Pi/2;Pi/2]

cos альфа =+sqrt(1-sin^2 альфа )
Знак +, так как альфа ∈ [-Pi/2;Pi/2]
cos альфа =sqrt(1-(8/17)^2)=sqrt(1-(64/289))=sqrt(289-64)/17=15/17
ctg альфа =cos альфа /sin альфа =15/8
О т в е т. ctg(arcsin(8/17)=15/8

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
4-3^x > 0
3^x < 4
3^x < 3^(log_(3)4)

Перепишем уравнение так:
log_(3)(4–3x) + x+2 < log_(3)11

Так как
log_(3)3^(x+2)=x+2

log_(3)(4–3^x) +log_(3)3^(x+2) < log_(3)11

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения
log_(3)(4-3^x)*3^(x+2) < log_(3)11
Логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Поэтому
(4-3^x)*3^(x+2) < 11
(4-3^x)*3^x*3^2 < 11

Замена переменной
3^x=t
t > 0
Квадратное неравенство
9t^2-36t+11 > 0
D=(-36)^2-4*9*11=36*(36-11)=36*25=(6*5)^2=(30)^2
t1=1/3 или t2=(11/3)

3^x < (1/3) или 3^x > (11/3)
Учитывая, что t > 0 и согласно ОДЗ 3^x < 4
получаем
3^(x) < (1/3) или 11/3 < 3^x < 4
x < -1 или log_(3)(11/3) < x < log_(3)4
О т в е т. (- бесконечность;-1) U ( log_(3)(11/3); log_(3)4)

Ответ выбран лучшим

cos5x=a
sin(x-(Pi/10))=b
a^2+2a*b+1=a^2+2ab+b^2-b^2+1
Прибавим и вычтем
sin^2(x-(Pi/10))

Выделим полный квадрат
(сos5x+sin(x-(Pi/10))^2+1-sin^2(x-(Pi/10))=0

Так как
1-sin^2(x-(Pi/10))=сos^2((x-(Pi/10))

уравнение принимает вид
(сos5x+sin(x-(Pi/10))^2+cos^2(x-(Pi/10))=0

Cумма двух неотрицательных выражений равна 0 тогда и только тогда, когда каждое из них равно 0
{сos5x+sin(x-(Pi/10))=0
{cos(x-(Pi/10))=0
Решаем первое уравнение:
Так как
cos5x=sin((Pi/2)-5x), то

sin((Pi/2)-5x)+sin(x-(Pi/10))=0
2*sin((2Pi/10)-2x)*cos((3Pi/10)-3x)=0

sin((2Pi/10)-2x)=0 или cos((3Pi/10)-3x)=0
Используем свойство нечетности синуса и четности косинуса

-sin(2х-(2Pi/10))=0 ⇒ 2х-(2Pi/10)=Pik, k ∈ Z ⇒
2x=(Pi/5)+Pik, k ∈ Z ⇒ x=(Pi/10)+(Pi/2)*k, k ∈ Z

cos(3x-(3Pi/10))=0 ⇒ 3х-(3Pi/10)=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z ⇒
3x=(3Pi/10)+(Pi/2)+Pim, m ∈ Z ⇒
x=(Pi/10)+(Pi/6)+(Pi/3)*m, m ∈ Z ⇒
x=(4Pi/15)+(Pi/3)*m, m ∈ Z

Решаем второе уравнение
cos(x-(Pi/10))=0
x-(Pi/10)=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
⇒ х=(Pi/10)+(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
х=(6Pi/10)+Pin, n ∈ Z

Решение системы
{ x=(Pi/10)+(Pi/2)*k, k ∈ Z или =(4Pi/15)+(Pi/3)*m, m ∈ Z
{x=(6Pi/10)+Pin, n ∈ Z

О т в е т а).(6Pi/10)+Pin, n ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
2016Pi < (6Pi/10)+Pin < 2017Pi
2016 < (6/10)+n < 2017
20160 < 6+10n < 20170
20154 < 10n < 20164
n=2016

(6Pi/10)+Pi*2016=(20166/10)Pi ∈ [2016π; 2017π]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула
sin альфа +sin бета

2sin(5x/2)*cos(3x/2)=0
sin(5x/2)=0 или cos(3x/2)=0
(5x/2)=Pik, k ∈ Z или (3х/2)=(Pi/2)+Pin, n ∈ Z
x=(2Pi/5)k, k ∈ Z или х=(Pi/3)+(2Pi/3)n, n ∈ Z

О т в е т. (2Pi/5)k; (Pi/3)+(2Pi/3)n, k,n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

9148 9149 9150 (умножаем на (-1) и складываем с третьей строкой)
9151 9153 9156
9151 9152 9153 умножаем на (-1) и складываем со второй строкой
Получаем определитель
9148 9149 9150
0 1 3
3 3 3

Выносим 3 из третьей строки
Получаем определитель
9148 9149 9150
0 1 3
1 1 1

Раскладываем по первому столбцу
3*(9148*(1*1-1*3)-0*(9149-9150)+1*(9149*3-1*9150))=
=3*(9148-3*9148+3*(9148+1)-9150)=
=3*(9148-3*9148+3*9148+3-9150)=
=3*1=3

Ответ выбран лучшим

а)
(tgx-1)*(tgx+sqrt(3))=0
tgx=1 или tgx=-sqrt(3)
x=(π/4)+πk, k∈Z или х= (-π/3)+πn, n∈Z
б)
х=(3π/4)
х=(-π/3)+π=2π/3
х=(-π/3)+2π=5π/3

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=ln^2u, u=cos^3(x+4)/(ctg2x^2)
y`=2lnu*(lnu`)=(2lnu/u)*u`

u`=3cos^2((x+4)/(ctg2x^2))*(cos(x+4)/(ctg2x^2))`=

=3cos^2((x+4)/(ctg2x^2))*(-sin(x+4)/(ctg2x^2))*((x+4)/(ctg2x^2))`=

=-3cos^2((x+4)/(ctg2x^2))*sin((x+4)/(ctg2x^2))*((x+4)`ctg2x^2-(ctg2x^2)`*(x+4)/(ctg^22x^2))=

=-3cos^2((x+4)/(ctg2x^2))*sin((x+4)/(ctg2x^2))*(ctg2x^2-(-1/sin2x^2)*(2x^2)`*(x+4)/(ctg^22x^2))=

=-3cos^2((x+4)/(ctg2x^2))*sin((x+4)/(ctg2x^2))*(ctg2x^2+(4x*(x+4)/(sin2x^2))/(ctg^22x^2))

О т в е т. (2lnu/u)*u`
u=cos^3(x+4)/(ctg2x^2)
u`=-3cos^2((x+4)/(ctg2x^2))*sin((x+4)/(ctg2x^2))*(ctg2x^2+(4x*(x+4)/(sin2x^2))/(ctg^22x^2))

Ответ выбран лучшим

Находим скалярное произведение векторов, выходящих из точки B.

vector{BA}=(-5-1;-3-4;4-6)=(-6;-7;-2) |vector{BA}|=sqrt((-6)^2+(-7)^2+(-2)^2)=sqrt(82)
vector{BC}=(3-1;2-4;-2-6)=(2;-2;-8) |vector{BC}|=sqrt(2^2+(-2)^2+(-8)^2)=sqrt(72)

vector{AC}=(3-(-5);2-(-3);-2-4)=(8;5;-6)
|vector{AC}|=sqrt(8^2+(5)^2+(-6)^2)=sqrt(125)
- наибольшая сторона, угол треугольника тупой.
cos ∠ B=-
(vector{BA}*vector{BC})/(|vector{BA}|*|vector{BC}|)=
=-(-6*2-7*(-2)-2*(-8))/(sqrt(82)*sqrt(72))=18/(12*sqrt(41))=
=-3/(2sqrt(41))
sin^2 ∠ B=1-cos^2∠ B=1- (3/(2sqrt(41))^2)=1-(9/164)=155/164

S=(1/2)*|vector{BA}|*|vector{BC}|*sin ∠ B=
=(1/2)*sqrt(82)*sqrt(72)*sqrt(155/164)=
=3sqrt(155)

Ответ выбран лучшим

Повторные испытания с двумя независимыми исходами.
n=450
q=0,8 - вероятность того, что саженец приживется
р=1-q=1-0,8=0,2 - вероятность того, что саженец погибнет
npq=450*0,2*0,8=72 > 25
В таком случаем применяют интегральную теорему Лапласа:
P(k_(1) меньше или равно k меньше или равно k_(2))=
=Ф(х_(2))-Ф(х_(1))

Ф(х) - функция Лапласа, нечетная,
Ф(-х)=-Ф(х)
Значения этой функции находят в таблице ( см. фото)

х_(1)=(k_(1)-np)/sqrt(npq);
х_(2)=(k_(2)-np)/sqrt(npq);

x_(1)=(82-90)/sqrt(72) ≈ - 0,94
x_(2)=(106-90)/sqrt(72) ≈ 1,88

P(82 меньше или равно k меньше или равно 106)=
=Ф(1,88)-Ф(-0,94)=Ф(1,88)+Ф(0,94) ≈ 0,0681+0,2565=
=0,3246
О т в е т. 0,3246 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Возведем в квадрат три уравнения системы:
{(15/16)-sinx=(1/16)tg^2z-2*(1/4)tgz*(2cosz)+4cos^2z;
{(15/16)-siny=(1/16)tg^2x-2*(1/4)tgx*(2cosx)+4cos^2x;
{(15/16)-sinz=(1/16)tg^2y-2*(1/4)tgy*(2cosy)+4cos^2y;

Cкладываем
(45/16)-sinx-siny-sinz=
=(1/16)(tg^2x+tg^2y+tg^2z)-sinx-siny-sinz+
+4*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
Применяем формулу tg^2 альфа =(1/cos^2альфа) –1.
Получаем:
45/16=(1/16)*((1/cos^2x)-1+(1/cos^2y)-1+(1/cos^2z))-1)+
+4*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)

48/16=(1/16)*((1/cos^2x)+(1/cos^2y)+(1/cos^2z))+
+4*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
Проведем оценку правой части, применим неравенство Коши:
a+b больше или равно 2√ab,
равенство достигается при a=b.
(1/16)*((1/cos^2x)+(1/cos^2y)+(1/cos^2z))+
+4*(cos^2x+cos^2y+cos^2z) больше или равно
2*((1/(4cosx))*(2*cosx)+(1/(4*cosy))*(2*cosy)+(1/(4cosz))*(2*cosz))=3

3 больше или равно 3
Таким образом, в уравнении возможно лишь равенство,
1/(16 cos^2x)=4cos^2x) ⇒
cos^4x=1/64
cos^2x=1/8
sin^2x=1-cos^2x=1-(1/8)=7/8

t=x+y
sin(x+y+z)= sin(t + z) =
= sin(t)cos(z) + cos(t)sin(z) =
= sin(x + y)cos(z) + cos(x + y)sin(z) =
= (sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y))cos(z) + (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y))sin(z) =

= sin(x)cos(y)cos(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + cos(x)cos(y)sin(z) - sin(x)sin(y)sin(z)

sinx *(1/8)+siny*(1/8)+sinz*(1/8)-sinx*(7/8)

Наибольшее значение при
sinx=-sqrt(7/8)
siny=sqrt(7/8)
sinz=sqrt(7/8)

[b]Наибольшее значение [/b] равно
(sqrt(7/8)*((1/8)+(1/8)+(1/8))=3sqrt(7)/64

Ответ выбран лучшим

y_(k)-y_(l)=k*(k+1)-l*(l+1)=k^2+k-l^2-l=(k^2-l^2)+(k-l)=
=(k-l)*(k+l+1)

По условию разность кратна 3^(11)
Это можно записать так:
(k-l)*(k+l+1)=3^(11)*m
k,l,m - натуральные
l < 125 < k

(k-l)*(k+l+1)=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*m
Слева произведение двух множителей
(k-l) и (k+l+1)
Справа произведение
3 и 3^(10)*m;
3m и 3^(10);
9m и 3^(9)

и так далее.
Рассмотреть различные варианты

Например,
k=126; l=123
k–l=3
значит
k+l=3^(10)·m, но 126+123+1 не кратно 3^(10)·m

k=129; l=120
k–l=9
k+l+1=129+120+1=250 не кратно 3^(9)*m

Если
k-l=3^(5)*m
то
k+l+1 должно быть кратно 3^(6)

l=121
k=607

k-l=486=3^5*2
k+l+1=729=3^6
О т в е т. l+k=121+607=728

Ответ выбран лучшим

Пусть отплыли на х км.
х/(6-3) час - время против течения
х/(6+3) час. - время по течению
Всего в пути 6-2=4 часа.
Уравнение
(х/3)+(х/9)=4
(3х+х)/9=4
х=9
О т в е т. 9 км

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{|x+6| > 0 ⇒ x ≠ -6
{|x+6| ≠ 1 ⇒ |x+6| ≠ 1 ⇒ x+6 ≠ ± 1 ⇒ x ≠ -7; x ≠ -5
{x^2-x-2 > 0 ⇒ x ∈ (- бесконечность ;-1)U(2;+ бесконечность)
ОДЗ:
х ∈ (- бесконечность ;-7)U(-7;-6)U(-6;-5)U(-5;-1)U(2;+ бесконечность)

Применяем формулу перехода к другому основанию
log_(|x+6|)2=1/log_(2)|x+6|

log_(2)(x^2-x-2)/log_(2)|x+6|=log_|x+6|(x^2-x-2)

Применяем метод рационализации логарифмических
неравенств к неравенству

log_|x+6|(x^2-x-2) больше или равно 1

и решаем неравенство:

(|x+6|-1)*(x^2-x-6-|x+6|) больше или равно 0;

Применяем метод интервалов

|x+6|-1=0 ⇒ |x+6|=1 ⇒ x+6=±1
x=-7 или х=-5
x^2-x-2-|x+6|=0
Раскрываем знак модуля
При x больше или равно -6
x^2-x-2-x-6=0
x^2-2x-8=0
D=4+32=36
x=-2 или х=4
При х < -6
x^2-x-2+x+6=0
x^2+4=0
уравнение не имеет корней.

_+_ (-7) _+_ (-6) _+_ (-5) _+__ [-2] _-_ (-1) __-__ (2) _-_ [4] +_

О т в е т. (-бесконечность; -7)U(- 7;-6)U(-6;-5)U(-5;-2]U[4;+бесконечность)

По определению скалярного произведения векторов
vector{CA}*vector{CB}=|vector{CA}|*|vector{CB}|*cos ∠ C
vector{CA}=(2-1;3-0;-1-2)=(1;3;-3)
vector{CB}=(1-4;0-1;2-(-2))=(-3;-1;4)

vector{CA}*vector{CB}=1*(-3)+3*(-1)+(-3)*4=-18

|vector{CA}|=sqrt(1^2+3^2+(-3)^2)=sqrt(19)
|vector{CB}|=sqrt((-3)^2+(-1)^2+4^2)=sqrt(26)

cos ∠ C=-18/(sqrt(19)*sqrt(26))

vector{AB}=(4-3;1-3;2-(-1))=(1;-2;3)
|vector{AB}|=sqrt(1^2+(-2)^2+3^2)=sqrt(14)

Треугольник остроугольный
Значит
cos ∠ C=18/(sqrt(19)*sqrt(26))

Ответ выбран лучшим

f(x_(o))=2cos(Pi/3)+1=2*(1/2)+1=1+1=2
f`(x)=-2sinx
f`(x_(o))=-2sin(Pi/3)=-2*(sqrt(3)/2)=-sqrt(3)
Уравнение касательной имеет вид:
y-f(x_(o))=f`(x_(o))*(x-x_(o))
y-2=-sqrt(3)*(x-(Pi/3))
или
у=-sqrt(3)*x+2+(Pi/sqrt(3))
О т в е т. у=-sqrt(3)*x+2+(Pi/sqrt(3))

Ответ выбран лучшим

Берем производную от обеих частей.
При этом х - независимая переменная, у - зависимая.
Производная по переменной у считается как производная сложной функции.
(x^3+xy+y^3)`=(1)`
3x^2+x`*y+y`*x+3y^2*y`=0
3x^2+y+xy`+3y^2*y`=0
y`=(-3x^2-y)/(x+3y^2)
О т в е т. y`=(-3x^2-y)/(x+3y^2)

Ответ выбран лучшим

Δ АВH= Δ BHC
по двум катетам.АН=НС
ВН- общий катет.
Из равенства треугольников следует равенство сторон
АВ=ВС=5
О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2 > 0 ⇒ x ≠ 0
{|x| > 0 ⇒ x ≠ 0
{|x| ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1

Так как log_(|x|)x^2=2log_(|x|)|x|=2, то
log^2_(|x|)x^2=4
Неравенство принимает вид
4+log_(2)x^2 меньше или равно 8;
log_(2) x^2 меньше или равно 4;
log_(2)x^2 меньше или равно log_(2) 16
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

x^2 меньше или равно 16
x ∈ [-4;4]
C учетом ОДЗ
[-4;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;4]
О т в е т. [-4;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;4]

Ответ выбран лучшим

В июле 31 день.
Из них 25 (31-6) ясных.
Пусть
событие A -''первого июля будет ясная погода''
р(А)=25/31
событие B -''второго июля будет ясная погода''
P(В/А) = 24/30 =4/10

событие AB - ''первого и второго июля будет ясная погода''
P(AB) = P(A)*P(B/A) = (25/31)*(4/5) = 20/31

О т в е т. 20/31

Ответ выбран лучшим

Возведем в квадрат три уравнения системы:
{(24/25)-sinx=(1/25)tg^2z-2*(1/5)tgz*(5/2)cosz+(25/4)cos^2z;
{(24/25)-siny=(1/25)tg^2x-2*(1/5)tgx*(5/2)cosx+(25/4)cos^2x;
{(24/25)-sinz=(1/25)tg^2y-2*(1/5)tgy*(5/2)cosy+(25/4)cos^2y;

Cкладываем
(72/25)-sinx-siny-sinz=
=(1/25)(tg^2x+tg^2y+tg^2z)-sinx-siny-sinz+(25/4)*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
Применяем формулу tg^2 альфа =(1/cos^2альфа) –1.
Получаем:
72/25=(1/25)*((1/cos^2x)-1+(1/cos^2y)-1+(1/cos^2z))-1+
+(25/4)*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)

75/25=(1/25)*((1/cos^2x)+(1/cos^2y)+(1/cos^2z))+
+(25/4)*(cos^2x+cos^2y+cos^2z)
Проведем оценку правой части, применим неравенство Коши:
a+b больше или равно 2√ab,
равенство достигается при a=b.
(1/25)*((1/cos^2x)+(1/cos^2y)+(1/cos^2z))+
+(25/4)*(cos^2x+cos^2y+cos^2z) больше или равно
2*((1/(5cosx))*(5/2)*cosx+(1/(5*cosy))*(5/2)*cosy)+(1/(5cosz))*(5/2)*cosz))=3

3 больше или равно 3
Таким образом, в уравнении возможно лишь равенство,
1/(25 cos^2x)=(25/4)cos^2x) ⇒
cos^4x=4/625
cos^2x=2/25
sin^2x=sqrt(621)/25

t=x+y
sin(x+y+z)= sin(t + z) =
= sin(t)cos(z) + cos(t)sin(z) =
= sin(x + y)cos(z) + cos(x + y)sin(z) =
= (sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y))cos(z) + (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y))sin(z) =

= sin(x)cos(y)cos(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + cos(x)cos(y)sin(z) - sin(x)sin(y)sin(z)

[b]Наибольшее значение [/b] равно

Ответ выбран лучшим

R(конуса)=3
H(конуса)=4
L(конуса)=5 - образующая конуса - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3.

r(шара)=h(высоте прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе)
3*4=5*h
h=12/5=2,4

V(шара)=(4/3)Pi*r^3=(4/3)*Pi*(2,4)^3=18,432Pi
V(конуса)=(1/3)Pi*R^2H=(1/3)*Pi*3^2*4=12Pi

V(шара):V(конуса)=18,432:12=1,536 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x больше или равно 0
{y больше или равно 0

Тогда
{x^2+x^2ysqrt(x)=80
{y^2+y^2x*sqrt(y)=5
Графический метод решения

Строим графики функций
{y=(80-x^2)/(x^2sqrt(x))
{x=(5-y^2)(/y^2sqrt(y))

См. рис.
A( ≈ 5,1; ≈ 1,96)

Можно применить и метод подстановки, х из второго уравнения подставить в первое.
Но выражения громоздкие.
Лучше пока ничего не вижу. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
(x+5)dx=4dy
Интегрируем
∫ (х+5)dx= ∫ 4dy
(x^2)/2 + (5x) + C =4y
О т в е т. 4у=(x^2)/2 + (5x) + C
2) Делим на х ≠ 0
y`-(2/x)y=1
Это линейное уравнение первого порядка.
Находим решение в виде
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`-(2/x)u*v=1
Перегруппировываем
(u`-(2/x)u)*v+u*v`=1 (#)
Пусть функция u такова, что выражение в скобках равно 0.
u`-(2/x)u=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
du/dx=2u/x
du/u=2dx/x
Интегрируем
ln|u|=2ln|x| ( C=0)
ln|u|=ln|x|^2
u=x^2

Подставляем в (#)
x^2v`=`
v`=1/x^2
v=(-1/x)+C

y=x^2*((-1/x)+C)
y=-x+Cx^2
О т в е т. y=-x+Cx^2

Ответ выбран лучшим

a^3-3a^2+5a-17=0 ⇒a^3-3a^2+3a-1+2a-16=0
b^3-6b^2+14b+2=0 ⇒(b^2-6b^2+12b-8)+2b+10=0

(a-1)^3+2(a-1)-14=0
(b-2)^3+2(b-2)+14=0
Cкладываем
(a-1)^3 +2(a-1)+(b-2)^3+2(b-2)=0
((a-1)+(b-2))*((a-1)^2-(a-1)(b-2)+(b-2)^2)+2*(a-1+b-2)=0
(a-1+b-2)*(a^2-2a+1-ab+2a+b-2+b^2-4b+4+2)=0
(a-1+b-2)=0 ⇒ a+b=3
или
a^2+b^2-ab-3b+5=0 ⇒
a^2-ba+(b^2-3b+5)=0 квадратное уравнение отн. а
D=(b^2)-4*(b^2-3b+5)=-3b^2+12b-20=-3*(b^2-4b+5)=
=-3*(b-2)^2 -3 < 0 при любом b
Уравнение a^2-ba+(b^2-3b+5)=0 не имеет корней

О т в е т. а+b=3

Ответ выбран лучшим

y'=3x^2+6
3x^2+6 > 0 при любом х, значит функция возрастает на (-
бесконечность ;+ бесконечность)
Наибольшее значение может принимать только на отрезке.
В данной ситуации в правом его конце.

Ответ выбран лучшим

x^2-0,16 больше или равно 0
(x-0,4)*(x+0,4) больше или равно 0
x меньше или равно -0,4 или х больше или равно 0,4
О т в е т. (- бесконечность:-0,4]U[0,4;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+1 > 0; x+1 ≠ 1 ⇒ x > -1; x≠ 0
{1-x^2 > 0 ⇒ -1 < x < 1
{(x-1)^4 > 0 ⇒ x ≠ 1

x ∈ (-1;0)U(0;1)
В условиях ОДЗ можно применить свойства логарифмов
4log_(x+1)(1-x^2)=4log_(x+1)(1-x)+4log_(x+1)(1+x)=
=4log_(x+1)(1-x)+4

(1/4)log^2_(x+1)(x-1)^4=(1/4)log^2_(x+1)(1-x)^4=
=(1/4)*(4log_(x+1)(1-x))^2=
=4log^2_(x+1)(1-x)

Неравенство примет вид
4t+4-4t^2-5 больше или равно 0
4t^2-4t+1 меньше или равно 0
(2t-1)^2 меньше или равно 0 неравенство верно при одном значении t=1/2

log_(x+1)(1-x) =1/2
sqrt(x+1)=1-x
x+1=(1-2x+x^2)
x^2-3x=0
x=0 или х=3
оба корня не входят в ОДЗ
О т в е т Неравенство не имеет решений

Ответ выбран лучшим

y`=2e^(2x)-5*e^x
y`=0
2e^(2x)-5*e^x=0
e^x*(2e^x-5)=0

e^x > 0 поэтому 2e^x-5=0 ⇒ e^x=5/2 x=ln(5/2)

ln(5/2) < lne=1

[-2] ____-___ (ln(5/2)) __+_ [1]

x=-5/2- точка минимума, производная меняет занк с - на +.

y(ln(5/2))=(e^(ln(5/2)))^2-5*e^(ln(5/2))-2=(25/4)-(25/2)-2=
=-2 -(25/4) = -8 целых 1/4

Ответ выбран лучшим

y`=2e^(2x)-5*e^x
y`=0
2e^(2x)-5*e^x=0
e^x*(2e^x-5)=0

e^x > 0 поэтому 2e^x-5=0 ⇒ e^x=5/2 x=ln(5/2)

ln(5/2) < lne=1

[-2] ____-___ (ln(5/2)) __+_ [1]

x=ln (5/2)- точка минимума, производная меняет знак с - на +.

y(ln(5/2))=(e^(ln(5/2)))^2-5*e^(ln(5/2))-2=

( используем основное логарифмическое тождество a^(log_(a)b)=b, a > 0; b > 0; a≠1)

=(25/4)-(25/2)-2=
=-2 -(25/4)= - 8 целых 1/4

Ответ выбран лучшим

-4х= arctg(1/sqrt(3))+Pik,k ∈ Z
-4x=(Pi/6)+Pik,k ∈ Z
x=(-Pi/24)+(Pi/4)*n,n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{y=6x+1
{y=-6x+7

6x+1=-6x+7
6x+6x=7-1
12x=6
x=1/2
y=6*(1/2)+1
y=4
(1/2;4)

y=6x+1 ⇒ k_(1)=6 ⇒ tg альфа =6
y=-6x+7 ⇒ k_(2)=-6 ⇒ tg бета =-6

tg( бета - альфа )=(tg бета -tg альфа)/(1+tg бета *tg альфа )=

=(-6-6)/(1+(-6)*6)=-12/(-35)=12/35

Угол между ними arctg(12/35)

Ответ выбран лучшим

Находим скалярное произведение векторов, выходящих из точки B.

vector{BA}=(-2;-3;1) |vector{BA}|=sqrt((-2)^2+(-3)^2+1^2)=sqrt(14)
vector{BC}=(1;-2;6) |vector{BC}|=sqrt(1^2+(-2)^2+6^2)=sqrt(41)

cos ∠ B=(vector{BA}*vector{BC})/(|vector{BA}|*|vector{BC}|)=
=(-2+6+6)/(sqrt(14)*sqrt(41))=10/(sqrt(14)*sqrt(41))

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
cosx > 0
log_(2)(2cosx)=log_(2)2+log_(2)cosx
log_(2)(4cosx)=log_(2)4+log_(2)cosx=2+log_(2)cosx

Замена

log_(2)cosx=t

(2+t)-8(1+t)+3=0
-7t=3
t=-3/7
log_(2)cosx=(-3/7)
cosx=2^(-3/7)
cosx=(1/8)^(1/7)

х=± (arccos(1/8)^(1/7))+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

6*5=30 руб стоят 5 конфет.
35 > 30
О т в е т. сможет купить конфет

Ответ выбран лучшим

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
x^2-1=(x+1)(x-1)
1) D(y)=(–∞;-1)U(-1;1)U(1;+ ∞)
Вертикальная асимптота
х=1, так как
lim_(x→ 1+0)f(x)=+∞
lim_(x→ 1-0)f(x)=-∞
х=-1 не является вертикальной асимптотой.
lim_(x→- 1+0)f(x)=lim_(x→ -1-0)f(x)=(-1)^2-(-1)+1/(-1-1)=-3/2
Точка (-1;-3/2) отсутствует на графике - ''дырка'' там.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной
у(–х) ≠-у(х)
y(–x) ≠ y(x)

3)limx→ +∞)f(x)=+бесконечность
limx→–∞f(x)=- бесконечность.
Горизонтальных асимптот нет

k=limx→∞(f(x))/x=1
b=limx→∞(f(x)-x)=0

у=х - наклонная асимптота

4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
x^3+1=0
x^2-1≠0
точек пересечения с осью Ох нет
C осью Оу
х=0 ⇒ у=-1

5)
y`=((x^3)+1)`*(x^2-1)-(x^2-1)`*(х^3+1))/(x^2-1)^2;
y`=(x^4-3x^2-2x)/(x^2-1)^2
y`=0
(x^4-3x^2-2x)=0 ⇒ x*(x+1)(x^2-x-2)=0⇒ x=0; x=-1;x=2
(x^2-1)≠0
x=0 и х=2 - точки возможного экстремума
Знак производной

_+__ (0) ___-___ (2) __+_

x=0 – точка максимума, производная меняет знак с +
на - .
Функция возрастает при x∈ (–∞;0) и (2;+∞)
убывает при x∈ (0;1) и (1;2)

у(0)=-1 - максимум функции
у(2)=3 - минимум функции

6)y``=((x^4-3x^2-2x)/(x^2-1)^2)`=

(x^4-3x^2-2x)`(x^2-1)^2-((x^2-1)^2)`*(x^4-3x^2-2x))/(x^2-1)^4=
=(2x^3+6x^2+6x+2))/(x^2-1)^3
y``=0
2x^3+6x^2+6x+2=0 ⇒ x=-1
(x^2-1)^3 ≠ 0

точек перегиба нет

Функция выпукла вверх на (– ∞ ;1)
выпукла вниз на (1; бесконечность ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция является четной.
у(–х)=3(–х)^2/((–x)^2+1)=3x^2/(x^2+1)
y(–x)=y(x)

3)limx→ +∞)f(x)=+3
limx→–∞f(x)=+3.
y=3 - горизонтальная асимптота

Наклонной асимптоты нет, так как
k=limx→∞(f(x))/x=0

4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
3x^2/(x^2+1)=0
x^2=0
x=0
C осью Оу
х=0 ⇒ у=0
(0;0) – точка пересечения с осью Ох и с осью Оу.

5)
y`=((3x^2)`*(x^2+1)-(x^2+1)`*(3x^2))/(x^2+1)^2;
y`=6x/(x^2+1)
y`=0
6x=0
x=0

Знак производной

_–__ (0) ___+___

x=0 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

Функция убывает при x∈ (–∞;0) и
возрастает при x∈ (0;+∞)

у(0)=0 - наименьшее значение функции

6)y``=(6x)`(x^2+1)^2-((x^2+1)^2)`*6x)/(x^2+1)^4=
=(6-18x^2)/(x^2+1)^3
y``=0
6-18x^2=0
x= ± √(1/3) –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вверх на (– ∞ ;–√(1/3)) и на (√(1/3);+ ∞ )
выпукла вниз на (–√(1/3);√(1/3)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

12 год 55 хв. - 6 год. 40 хв. = 6 год 15 хв.

Ответ выбран лучшим

120:20=5 ( в 5 раз больше ткани)
32*5=160 фартуков можно пошить

Ответ выбран лучшим

3!=6
4!=24
5!=120
6!=720

Наименьшее число
123456789
Считаем остальные наименьшие

720 чисел, начинающихся со 123
123_ _ _ _ _ _
и оставшиеся цифры, это перестановка из шести оставшихся цифр 6!=720

720 чисел, начинающихся на 124 и перестановка из оставшихся шести цифр
124_ _ _ _ _ _

720 чисел, начинающихся на 125 и перестановка из оставшихся шести цифр
125_ _ _ _ _ _

720*3=2160 > 2018

Значит, число начинается со 125
следующая за 5 цифра 3:
1253_ _ _ _ _ 120 чисел
1254_ _ _ _ _ 120 чисел
1256_ _ _ _ _ 120 чисел
1257_ _ _ _ _ 120 чисел

720+720+120+120+120+120=1920 чисел
12583_ _ _ _ 24
12584_ _ _ _ 24
12586_ _ _ _ 24
12587_ _ _ _ 24

1920 + 96 = 2016 чисел

Значит, на 2018 месте написано число
125873469
125873496

О т в е т. 125873496

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что дважды бросают игральный кубик.
Число исходов испытания
n= 6*6=36
А-событие, означающие, что произведение выпавших очков больше 15-ти.
Наступлению события А благоприятствуют исходы
(6;6);(6;5);(5;6);(6;4);(4;6);(6;3);(3;6);(5;4);(4;5);(5;5);(4;4)
m=11
p(A)=m/n=11/36 ≈ 0,31

Ответ выбран лучшим

13[x]=2018-46{x}
[x]=(2018-46{x})/13
Проводим оценку:
0 меньше или равно {x} < 1
-1 < -{x} меньше или равно 0
-46 < -46{x} меньше или равно 0
2018-46 < 2018 -46{x} меньше или равно 2018
1972 < 2018 -46{x} меньше или равно 2018
1972/13 < (2018 -46{x})/13 меньше или равно 2018/13
151, 692308 < [x] меньше или равно 155,230769
x=152;153;154;155

О т в е т. четыре числа удовл. условию задачи

Ответ выбран лучшим

Так как в итоге получилось 2, значит предпоследнее частное - четное.
Это число двузначное, иначе следующего деления не будет.
Рассматриваем двузначные четные числа
12 (сумма цифр 3) 12:(1+2)=4 - не удовл. усл. задачи
...
18 (сумма цифр 9) 18:(1+8) =2 - удовл. усл задачи
...
Последнее возможное деление 18:9=2

Так как 18 делится на 9, значит и все предыдущие числа делились на 9, а суммы цифр этих чисел могли либо 9, либо 18, либо 27...
У трехзначного числа максимально возможная сумма цифр равна 27 ( число 999)
Но 999:(9+9+9)=37 , 37:(3+7) деление нацело невозможно поэтому достаточно проверить варианты чисел
162= 18*9
и
324=18*18=324,
сумма цифр которых 9.
162:(1+6+2)=18,
324:(3+2+4)=36, но 36:(3+6)=4 - не удовл. усл. задачи

Найдем число, которое при делении на
на сумму своих цифр даст 162.

1458=162*9 ⇒ 1458:(1+4+5+8)=81 ⇒ 81:*(8+1)=9 - не удов.
2916=162*18 ⇒ 2916:(2+9+1+6)=18 ⇒ 18:(1+8)=2 - удов.
4374=162*27 ⇒ 4374:(4+3+7+4)=243 ⇒ 243:(2+4+3)=27
⇒ 27:(2+7)=3 - не удовлетворяет условию задачи
5832=162*36 ⇒ 5832:(5+8+3+2)=324 ⇒ 324:(3+2+4)=36 ⇒
36:(3+6)=4 - не удовлетворяет условию задачи

Чисел, которые при делении на сумму своих цифр дают 2916 и удовлетворяют условию задачи нет.

О т в е т. 2916

Ответ выбран лучшим

15*4=60 страниц печатает первая за 4 часа, а вторая за 5 часов.
60:5=12 страниц в час печатает вторая
15+12=27 страниц в час печатают обе
27*6=162 страницы отпечатают обе за 6 часов совместной работы
О т в е т. 162 стр.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вероятность события А при условии наступления события В
Например, в корзине 2 белых и 3 черных, в нее положили еще один шар (белый или черный).
А- событие, состоящее в том, что из корзины вынут белый шар.
Оно зависит, от того, какой шар в корзину положили
Событие В- добавлен белый шар.
р(А/В)- вероятность вынуть белый, при условии, что туда добавлен белый
равна 3/6
Событие С - добавлен черный шар
р(А/С)-Вероятность вынуть белый, при условии, что туда добавлен черный равна
2/6

Ответ выбран лучшим

1) АВ+ВС+СD+DE+EF=2+1+3+3+2=11
2)AB+BE+EF=2+7+2=11
3)AC+CD+DE+EF=4+3+3+2=12
4)AC+CE+EF=4+4+2=10 - кратчайший маршрут

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Однородное уравнение второй степени
3cos^2x+4sinxcosx+sin^2x=0
Разделили на сos^2x
Получили уравнение
(sin^2x/cos^2x) + 4(sinx/cosx)+3=0
tg^2x+4tgx+3=0

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=21780
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является четной.
у(-х)=(-х)^4-6*(-x)^2+9=x^4-6x^2+9
y(-x)=y(x)

3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=+бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=+бесконечность.
Горизонтальных асимптот нет
Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→бесконечность)(x^4-6x^2+9)/x=+бесконечность

4) f(x)=0
x^4-6x^2+9=0
x^2=3
x=-sqrt(3) или x=sqrt(3)

(-sqrt(3);0) и (sqrt(3);0) - точки пересечения с осью Ох.

При х=0 у=9
(0;9) - точка пересечения с осью Оу.

5)
y`=4x^3-12x;
y`=0
4x^3-12x=0
4x*(x^2-3)=0
x=0 или x^2-3=0 ⇒х=±sqrt(3)

Знак производной
_-__ (-sqrt(3)) ___+___ (0) __–__ (sqrt(3) ) __+__

x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на -

x=-sqrt(3) и х=sqrt(3) - точки минимума, производная меняет знак с - на +

Функция убывает при x∈ (-бесконечность;-sqrt(3)) и хx∈ (0;sqrt(3))
возрастает при x∈ (-sqrt(3);0) и (sqrt(3);+бесконечность)

у(0)=9 -

y(-sqrt(3))=y(sqrt(3))=0

7)y``=(4x^3)-12x)`=12x^2-24
y``=0
12x^2-24=0
x= ± sqrt(2) -точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вниз на (- бесконечность ;-sqrt(2)) и на (sqrt(2);+ бесконечность )
выпукла вверх на (-sqrt(2);sqrt(2)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим скалярное произведение векторов, выходящих из точки B.

vector{BA}=(7;-2;3) |vector{BA}|=sqrt(7^2+(-2)^2+3^2)=sqrt(62)
vector{BC}=(5;2;3) |vector{BC}|=sqrt(5^2+2^2+3^2)=sqrt(38)

cos ∠ B=(vector{BA}*vector{BC})/(|vector{BA}|*|vector{BC}|)=
=(35-4+6)/sqrt(62)*sqrt(38)

Ответ выбран лучшим

Пусть а - сторона равностороннего треугольника.
См. рис
Р(треугольника)=3a
3a=84
a=28 cм

Р(четырехугольника)=4а=4*28=112 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Запишем параметрическое уравнение прямой, заданной в условии ( см. теорию на рис. в приложении)
vector{n1}=(2;-2;1)
vector{n2}=(2;1;-2)
vector{q}=vector{n1}×vector{n2}=
определитель третьего порядка в первой строке которого векторы vector{i} ,vector{j},vector{k};
во второй строке координаты вектора vector{n1};
в третьей строке координаты вектора vector{n2}.

=3vector{i}+6vector{j}+6vector{k}=

=3*(vector{i}+2vector{j}+2vector{k})

vector{q}=(1;2;2)- направляющий вектор данной прямой.

Составляем уравнение плоскости, ортогональной данной и проходящей через точку А

Вектор vector{q} - нормальный вектор этой плоскости
(x-3)+2(y+1)+2(z-4)=0
x+2y+2z-9=0

Находим точку пересечения плоскости и прямой
{x+2y+2z-9=0
{2x-2y+z-3=0
{2x+y-2z+3=0
x=1
y=1
z=3

О(1;1;3)

|AО|=3

Надо найти точку B, находящуюся на расстоянии 3 от точки О и лежащую на плоскости
x+2y+2z-9=0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S( прямоугольного треyгольника)=(1/2)*a*b

a=6
b=a/3=2

S=(1/2)*6*2=6 кв. см

Ответ выбран лучшим

882*(614+32)
=
569 772

Ответ выбран лучшим

По свойству логарифма степени
2*log_(4)(3x^2+2)=log_(2)(3x^2+2)

Так как логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, то
(3x^2+2) больше или равно (2x^2+5x+2)
C учетом области определения логарифмической функции, то что меньше из двух выражений, стоящих под логарифмами:
2x^2+5x+2 > 0

Cистема
{(3x^2+2) больше или равно (2x^2+5x+2)
{2x^2+5x+2 > 0

{x^2-5x больше или равно
{2x^2+5x+2 > 0

О т в е т.(-1/2;0]U[5;+ бесконечность )

х:784+300=956
х:784=956-300
х:784=656
х=656*784
х=514 304

Ответ выбран лучшим

60*60=3600 коп в час=36 руб в час

36*12=432 руб в день

432*7= 3024 руб.в неделю.

3024 *300=907200 руб в год

Ответ выбран лучшим

44050000*= 4405000*10

10=881000:88100
или
10=5000:500

Ответ выбран лучшим

800*250=200000 г=200 кг

Ответ выбран лучшим

1)
15*15=225 м пробежал за 15 с
2)
28-15=13с осталось бежать 13 с.
3)
12*13=156 м пробежал за 13 с со скоростью 12 м/с
4)
225+156=381 м - всего пробежал
О т в е т. 381 м

Ответ выбран лучшим

Возводим обе части уравнения в квадрат
х+9=4^2
x+9=16
x=7
Проверка
sqrt(7+9)=4 - верно
О т в е т. 7

Ответ выбран лучшим

1) (8/16)+16^(1/4)=(1/2)+2=2,5
2) плохо видно
3) а) х=9=16
х=7

б) Возводим в квадрат при условии 2х-1 больше или равно 0 и х-2 больше или равно 0

2х-1=х^2-4x+2
x^2-6x+3=0
D=3 ± sqrt(3)
3-sqrt(3) не удовл. усл. х больше или равно 2
О т в е т. 3+sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
х+9=16
х=7
Проверка
sqrt(7+9)=4 - верно.
О т в е т. 7

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Проведём MН перпендикулярно AС
MН - высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника.
НС=sqrt(3)
Из треугольника МСН (∠СНМ=90 градусов):
MН^2=MС^2 - НС^2
MН^2=12-3=9
Ответ: MН=3 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Множество точек, находящихся на расстоянии 5 от (5;-7) есть окружность радиуса 5
Пересечение окружности с осью оу - искомая точка.
Такая в нашей ситуации одна (0;-7) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что выбирают трехзначное число.
Всего трехзначных чисел 900 ( от 100 до 999).
n=999–99=900

Событие А – ''трехзначное число делится нацело на 8''.
Наступлению события А благоприятствуют исходы испытания:
104;112;...;992

Это арифметическая прогрессия
a_(1)=104
d=8
a_(m)=a_(1)+d*(m-1)
992=104+8*(m-1)
888=8*(m-1)
m-1=111
m=112

По классической формуле вероятностей
р(А)=m/n=112/900=56/450=28/225

Ответ выбран лучшим

sqrt(x+2)*sqrt(x-1)-sqrt(x-2)*sqrt(x-1)=2
sqrt(x-1)*(sqrt(x+2)-sqrt(x-2))=2
Умножим обе части уравнения на
(sqrt(x+2)+sqrt(x-2))
sqrt(x-1)*(x+2-x+2)=(sqrt(x+2)+sqrt(x-2))
4sqrt(x-1)=(sqrt(x+2)+sqrt(x-2))

{sqrt(x+2)-sqrt(x-2)=2/(sqrt(x-1))
{sqrt(x+2)+sqrt(x-2)=4sqrt(x-1)

Cкладываем

2sqrt(x+2)=(2/sqrt(x-1))+4sqrt(x-1)

и вычитаем

-2sqrt(x-2)=(2/sqrt(x-1))-4sqrt(x-1)

{sqrt(x+2)*sqrt(x-1)=2x-1
{sqrt(x-2)*sqrt(x-1)=2x-3

Возводим в квадрат
{(x+2)(x-1)=(2x-1)^2
{(x-2)(x-1)=(2x-3)^2

{3x^2-5x+3=0 D < 0 уравнение не имеет корней.
{3x^2-9x+7=0 D < 0 уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

Многочлен P(x) при делении на x^2–3x+2 дает остаток 5x+4.
Значит,
P(x)=Q(x)·(x^2-3x+2)+(5x+4)
P(2)=Q(2)·0+5*2+4
P(2)=14

Многочлен P(x) при делении на x^2–x-6 дает остаток 3x-2.
Значит,
P(x)=R(x)·(x^2-x-6)+(3x-2)
P(-2)=R(-2)·0+3*(-2)-2
P(-2)=-8

P(x)=(x^2–4)·T(x)+S(x)
P(x)=(x–2)(x+2)·T(x)+S(x)
P(2)=2, значит S(2)=14
P(-2)=-8, значит S(-2)=-8

S(x)=ax+b
потому что остаток от деления имеет степень меньше чем делитель.
2a+b=14
-2a+b=-8
Вычитаем из первого второе
4а=22
а=5,5
b=14-2a=14-2*(5,5)=3
О т в е т. 5,5х+3

Ответ выбран лучшим

Неполное частное от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) равно (x–2), а остаток равен 4.

Значит,
P(x)=Q(x)*(x-2)+4
P(2)=Q(2)*0+4
P(2)=4

Q(x)=(x^2-9)*R(x)+(3x+1)
Q(3)=0*R(x)+10
Q(3)=10

Возвращаемся к равенству:
P(x)=Q(x)*(x-2)+4
P(3)=Q(3)*1+4=10+4=14

P(x)=(x^2-5x+6)*T(x)+S(x)
P(x)=(x-2)(x-3)*T(x)+S(x)
P(2)=2, значит S(2)=4
P(3)=14, значит S(3)=14

S(x)=ax+b
потому что остаток от деления имеет степень меньше чем делитель.
2a+b=4
3a+b=14
Вычитаем из второго первое
а=10
b=-16
О т в е т. 10х-16

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
π(х+15)/18 =t

cost=–√3/2;
t=±arccos(–√3/2)+2πk, k ∈ Z;
t=±(π–arccos(√3/2))+2πk, k ∈ Z;
t=±(π–(π/6))+2πk, k ∈ Z;
t=±(5π/6)+2πk, k ∈ Z;

Обратная замена
π(х+15)/18=±(5π/6)+2πk, k ∈ Z;
x+15=±(15)+36k, k ∈ Z;
x=±(15)-15 +36k, k ∈ Z;

x36 - наименьший положительный корень

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

Замена переменной t=lgx
t^2+t < 0
t(t+1) < 0
_+_(-1)__-_ (0) __ +
-1 < t < 0

-1 < lgx < 0
0,1 < x < 1
С учетом ОДЗ получаем
О т в е т. ( 0,1;1)

Ответ выбран лучшим

Нужно найти разницу между суммой произведений цифр в отрезке от 2017 до 20179999 и отрезка от 2030 до 20180012. Достаточно рассмотреть концы отрезков, которые не совпадают.
А это отрезки от 2017 до 2031 и 20179999 до 20180013.
2017+13=2030
У числа 2017 произведение цифр равно 0
и у числа 2030 произведение цифр равно 0

2018+13=2031
произведение цифр числа 2018 равно 0
и у числа 2031 произведение цифр равно 0
О т в е т. 0

Ответ выбран лучшим

{4z=x2–4y2
{2y+z–5=0 ⇒ z=5-2y
{x+z–7=0 ⇒ z=7-x

7-x=5-2y
x=2y+2

z=7-2y-2
z=5-2y

Подставляем в первое уравнение

4*(5-2у)=(2у+2)^2-4y^2
20-8y=4y^2+8y+4-4y^2
16=16y
y=1
x=2*11+2
x=4
z=5-2
z=3
О т в е т. (4;1;3)

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2+10x+7
y`=0
D=100-4*3*7=16
x=(-7/3) или х=-1

Расставляем знак производной
[-2] _-_ (-1) __+_ [0]

х=-1 - точка минимума
f(-1)=(-1)^3+5*(-1)^2+7*(-1)-4=-7 - наименьшее значение функции на отрезке
f(0)=-4
f(-2)=(-2)^3+5*(-2)^2+7*(-2)-4=-6

f(0)=-4 - наибольшее значение функции на отрезке

Ответ выбран лучшим

9*4=36 квартир в каждом подъезде

177:36=4 ( ост.33)
Максим живет в 5-ом подъезде

Ответ выбран лучшим

Прямая
(x–1)/2=(y+2)/1=z/3
проходит через точку (1;-2;0) и имеет направляющий вектор
vector{a}=(2;1;3)
Прямая
(x+1)/2=(y–2)/3=(z–2)/–5
имеет направляющий вектор
vector{b}=(2;3;-5)

Искомое уравнение плоскости имеет вид:
Ax+By+Cz+D=0
Нормальный вектор этой плоскости имеет координаты
vector{n}=(A;B;C).

Так как искомая плоскость проходит через заданную прямую,
то она проходит и через точку (1;- 2; 0).
Подставим координаты точки в уравнение плоскости:
A-2B+D=0

Так как искомая плоскость проходит через заданную прямую,
то она параллельна заданной прямой. В этом случае, направляющий вектор прямой и нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярны, а значит их скалярное
произведение равно 0:
vector{a}*vector{n} =0
2A+B+3C=0

Так как искомая плоскость параллельна и прямой с
направляющим вектором vector{b}, то направляющий вектор
прямой и нормальный вектор искомой плоскости
перпендикулярны, а значит их скалярное
произведение равно 0:
vector{n}*vector{n} =0
2A+3B-5C=0

Решаем систему:
{A-2B+D=0
{2A+B+3C=0
{2A+3B-5C=0
Из второго
2A=-B-3C
Из третьего
2А=-3В+5С
-B-3C=-3В+5С
B=4C

А=-3,5С

Подставляем в первое
-3,5С-2*4С+D=0
D=11,5C

Уравнение плоскости имеет вид
-3,5Сx+4Сy+Сz+11,5С=0
Сокращаем на С
-3,5х+4у+z+11,5=0
-7x+8y+2z+23=0

О т в е т. -7x+8y+2z+23=0

Ответ выбран лучшим

∫^(π/2)_(0) (cosx-sinx)dx=(sinx-(-cosx))|^(π/2)_(0) =

=sin(π/2)+cos(π/2)-sin0-cos0=1+0-0-1=0

Ответ выбран лучшим

=(4,1*2)*(10^(-20)*10^(19))=8,2*10^(-20+19)=8,2*10^(-1)=

=8,2*0,1=0,82

Ответ выбран лучшим

{x^2-17x+12 < 17x-3 ⇒ x^2-34x+15 < 0 D=1096
{x^2-17x+12 > 0 ⇒ D=241

{(34-sqrt(1096)/2) < x < (34+sqrt(1096))/2;
{(-бесконечность; (17-sqrt(241))/2)U((17+sqrt(241))/2;+бесконечность)
О т в е т. ((34-sqrt(1096)/2);(17-sqrt(241))/2))U
((17+sqrt(241))/2;(34+sqrt(1096))/2)

Ответ выбран лучшим

cosa= - sqrt(1-sin^2a)= - sqrt(1-(20/29)^2)=

= - sqrt(1-(400/841))=-sqrt(441/841)=-21/29

sin2a=1sina*cosa=2*(-21/29)*(20/29)=-840/841

О т в е т. -840/841

Ответ выбран лучшим

S=a*H ⇒ 36=6*H ⇒ H=6
S=b*h ⇒ 36=12*h ⇒ h=3

О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx
dy=e^(-2x)dx
∫ dy= ∫e^(-2x)dx
y=(-1/2)e^(-2x) +C

Ответ выбран лучшим

По свойству логарифма степени
2log_(5)3=log_(5)3^2=log_(5)9

5-x=9
x=5-9
x=-4

Ответ выбран лучшим

4)
Обозначим
a=2^(lg7) b=7^(lg2)
Логарифмируем
lga=lg(2^(lg7))=lg7*lg2
lgb=lg(7^(lg2))=lg2*lg7
Правые части равны, значит lga=lgb
и
a=b
a-b=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

y`=4x-10 -(6/x)
y`=0
4x^2-10x-6=0
D=100+4*4*6=196
x=(10-14)/8=-1/2 или х=(10+14)/8=3

Знак производной
(0) _-__ (3) __+__

x=3 - точка минимума

Интервал указан некорректно.
Наибольшее значение не возможно найти

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Диагональ ромба делит угол ромба пополам
∠NKM=∠ LKM=30 градусов
Биссектриса КS делит ∠LKM пополам
∠MKS=∠LKS=15 градусов

Из треугольника KSL (∠LKS=15 градусов; ∠KLS=120 градусов; ∠KSL=45 градусов)
по теореме синусов
LS/sin15 градусов= KL/sin45 градусов

sin15 градусов=sqrt((1-cos30 градусов)/2)=
=(sqrt(2-sqrt(3)))/2

KL=sin45 градусов*LS/sin15 градусов.
Подставляем данные и получаем ответ

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-3 > 0; x-3 ≠ 1 ⇒ x ∈ (3;4)U(4;+ бесконечность)
{x+3 > 0; x+3 ≠ 1 ⇒ x ∈ (-3;-2)U(-2;+ бесконечность )

ОДЗ: х ∈ (3;4)U(4;+ бесконечность)

По формуле перехода к другому основанию
(1/log_(2)(x-3))+(1/log_(2)(x+3)) > 4/(log_(2)(x-3))*(log_(2)(x+3))
Приводим к общему знаменателю и применяем формулу суммы логарифмов

(log_(2)(x+3)+log_(2)(x-3) - 4)/(log_(2)(x-3))*(log_(2)(x+3)) > 0

(log_(2)((x^2-9)/16))/(log_(2)(x-3))*(log_(2)(x+3)) > 0

Применяем обобщенный метод интервалов

Нули числителя:
log_(2)((x^2-9)/16)=0

(x^2-9)/16=1
x^2-9=16
x^2=25
x= ± 5
х=-5 не принадлежит ОДЗ

Нули знаменателя:
log_(2)(x-3)=0 или log_(2)(x+3)=0
x=4 или х=-2

х=-2 не принадлежит ОДЗ

(3)__+__ (4) ___-__ (5) __+___

О т в е т. (3;4) U(5;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

а)
Выделим полный квадрат
cos^2x+4cos^23x+4cos3x*cosx=
=(cosx+2cos3x)^2

Уравнение принимает вид
(cosx+2cos3x)^2-6*(cosx+2cos3x)+9=0
Формула квадрата разности
(cosx+2cos3x-3)^2=0
cosx+2cos3x-3=0
cosx+2cos3x=3
Так как наибольшее значение косинуса 1, то равенство возможно лишь при
{cosx=1
{2cos3x=2

Система
{cosx=1 ⇒ x=2Pik, k ∈ Z
{cos3x=1⇒ 3x=2Pin, n ∈ Z ⇒ x=(2Pi/3)n, n ∈ Z

Решение удовлетворяющее системе
x=2Pik, k ∈ Z
(см. рис.)

б) Указанному промежутку удовлетворяет х=2016Pi

О т в е т. а)2Pik, k ∈ Z; б) 2016Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть токарь по плану должен был изготавливать [b]х деталей[/b]
Тогда за 7 дней он должен был изготовить 7х деталей.

Фактически он изготавливал (х+7) деталей в день и за 6 дней изготовил 6*(х+7) деталей

По условию за 6 дней он изготовил на 35 деталей больше запланированного на 7 дней.

6(х+7)-7х=35
6х+42-7х=35
42-35=7х-6х
х=7
По плану должен был изготавливать 7 деталей.
О т в е т. Фактически изготавливал 14 деталей

Ответ выбран лучшим

Пусть SK=L ( апофема боковой грани)
Из прямоугольного треугольника SOK (SO ⊥ пл. АВСD)
ОК=SK/2=L/2 ( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)

По теореме Пифагора
SO^2+OK^2=L^2
(sqrt(3))^2+(L/2)^2=L^2
3L^2/4=3
L^2=4
L=2
SK=2
OK=1
a=АВ=BC=CD=AD=2OK=2

S(полн.)=S(осн.) + S(бок.)=a^2+(1/2)P(осн)*L=

=2^2+(1/2)*4*2*2=
=4+8=12
О т в е т. 12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

[b]Диаметр, перпендикулярный хорде делит хорду пополам[/b]
Пусть отрезки диаметра х и 9х

По свойству отрезков пересекающихся хорд:
[b]Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное[/b]

То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то

AF ∙ FB=CF ∙ FD

6*6=х*9х
36=9х^2
x^2=4
x=2

Весь диаметр равен
х+9х=10х, а радиус R=5x
При х=2
R=5*2=10
О т в е т. 10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть
2π/17= альфа, тогда
4PI/17=2 альфа
8π/17=4 альфа
16π/17=8 альфа альфа

4cos альфа *cos2 альфа *cos4 альфа *cos8 альфа =

Умножим и разделим на sin альфа

Тогда
sin альфа *cos альфа =(1/2)sin2 альфа
sin2 альфа *cos2 альфа =(1/2)sin4 альфа
sin4 альфа *cos4 альфа =(1/2)sin8 альфа
sin8 альфа *cos8 альфа =(1/2)sin16 альфа

4sin альфа *cos альфа *cos2 альфа *cos4 альфа *cos8 альфа /sin альфа =

=4*(1/2)sin2 альфа *cos2 альфа *cos4 альфа *cos8 альфа /sin альфа =

=4*(1/2)*(1/2)sin4 альфа *cos4 альфа *cos8 альфа /sin альфа

=4*(1/2)*(1/2)*(1/2)sin8 альфа *cos8 альфа /sin альфа=

=4*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)sin16 альфа /sin альфа.

Итак,

4cos(2π/17)cos(4PI/17)cos(8π/17)cos(16π/17)=

=4*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)sin32Pi|17/sin2Pi/17=

применяем формулы приведения

=(1/4)sin(2Pi-(2Pi/17))/sin(2Pi/17)=

=(1/4)(-sin(2Pi/17))/sin(2Pi/17)=-1/4

Ответ выбран лучшим

Дано:
S_(4)=40
S_(7)-S_(3)=1080
Найти q

Решение.
Формула суммs n- первых членов геометрической прогрессии:
S_(n)=b_(1)*(1-q^n)/(1-q)

Значит
S_(7)=b_(1)*(1-q^7)/(1-q)
S_(3)=b_(1)*(1-q^3)/(1-q)

S_(7)-S_(3)=
b_(1)*(1-q^7)/(1-q)-b_(1)*(1-q^3)/(1-q)

b_(1)*(1-q^7)/(1-q)-b_(1)*(1-q^3)/(1-q)=

=(b_(1)/(1-q))*(1-q^7-1+q^3)=(b_(1)/(1-q))*(q^3-q^7)=

=(b_(1)*q^3*(1-q^4))/(1-q)

S_(4)=b_(1)*(1-q^4)/(1-q)

40=b_(1)*(1-q^4)/(1-q) подставляем в S_(7)-S_(3)

1080=40q^3
q^3=27
q=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

log_(3)=27=3
Основное логарифмическое тождество
2^(log_(2)(x+3)=x+3 при х+3 > 0
Уравнение принимает вид:
x+3 = 3
x=0

Ответ выбран лучшим

∫ cos(3x-16)dx=(1/3) ∫ cos(3x-16)d(3x-16)=
(формула ∫ cosudu=sinu+C)
=(1/3)sin(3x-16) + C

Ответ выбран лучшим

v(t)=S`(t)

S(t)= ∫ v(t)dt=t^4-t^3+t^2+C

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-4x > 0⇒ x(x-4) > 0 ⇒ (-∞;0)U(4;+∞)
{x^2 > 0 ⇒ x≠0

ОДЗ: (-∞;0)U(4;+∞)
(2log3(x^2–4x))/log3 x^2 < 1
(log3(x^2–4x)^2)/log3 x^2 < 1
По формуле перехода к другому основанию
log_(x^2)(x^2–4x)^2 < 1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^2-1)(x^2-4x)^2-x^2) < 0
(x-1)(x+1)(x^2-4x-x)*x^2-4x+x) < 0
(x-1)(x+1)(x^2-5x)(x^2-3x) < 0
x^2(x-1)(x+1)(x-5)(x-3) < 0

_+_ (-1) _-_ (0) _-__ (1) ___+__ (4) __-__ (5) _+__

(-1;0)U(0;1)U(4;5)

C учетом ОДЗ получаем о т в е т
(-1;0)U(4;5)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=11989

Ответ выбран лучшим

По формуле
(sqrt(f(x)))`=f`(x)/2sqrt(f(x))

О т в е т. 3/(2sqrt(3x-2))

Ответ выбран лучшим

sin2x+cos(п–2)+9=3^2
sin2x+cos(п–2)=0
Что такое Pi-2
может там Pi-х

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=7929

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение относительно sinx
Замена
sinx=t
3t^2+10t+3=0
D=100-36=64
t=-3 или t=-1/3

sinx=-3 - уравнение не имеет корней, |sinx| меньше или равно 1

sinx=(-1/3)
x=arcsin(-1/3)+2Pik, k ∈ Z или х=(Pi-arcsin(-1/3))+2Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

По теореме Менелая (см треугольник АВК; прямая СL)
(AL/LB)*(BQ/QK)*(KC/CA)=1 ⇒ BQ=2QK
Проводим высоты
QF и BD
QF/BD=QK/BK=1/3
BD=3QF
S( ΔAQC)=(1/2)AC*QF
QF=1/2
BD=3*(1/2)=1,5

О т в е т. 1,5

Ответ выбран лучшим

x^2+8x=(1/3)^(-2)
x^2+8x-9=0
D=64+36=100
x1=-9 или х=1
Оба корня удовлетворяют условию
x^2+8x > 0
(-9)^2+8*(-9) > 0 - верно
(1)^2+8*1 > 0 - верно

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0; x≠ 1
log_(x)5*log_(5)x=1

(1/log_(5)x)-3log_(5)x=2
Квадратное уравнение
3t^2+2t-1=0
t=log_(5)x
D=4+12=16
log_(5)x=-1 или log_(5)x=1/3
x=5^(-1) или x=5^(1/3)
x=1/5 или х=∛5

О т в е т. (1/5);∛5

Ответ выбран лучшим

7sin альфа +13cos альфа =15sin альфа -51 cos альфа

8sin альфа =64 cos альфа ⇒ tg альфа =8

Ответ выбран лучшим

cos альфа =(b^2+c^2-a^2)/2bc=
=(25+49-18)/(2*5*7)=56/70=8/10=0,8

Ответ выбран лучшим

1)y`=(1/10)*(4x^3-36x)
y`=0
4x^3-36x=0
4x*(x^2-9)=0
x=0 или х=-3 или х=3

__-_ (-3) _+_ (0) _-_ (3) _+__

х=-3 и х=3 - точки минимума
х=0 - точка максимума.
2)y`=2*(x+1)*(x-1)+(x+1)^2*1
y`=(x+1)*(2x-2+x+1)
y`=(x+1)*(3x-1)
y`=0
x=-1 или х=1/3

_+__ (-1) ___-___ (1/3) __+____

х=-1 - точка максимума
х=1/3 - точка минимума (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Функция у=(1/3)^x убывает на (- бесконечность;+ бесконечность ) и значит и на [2;6]
Наибольшее значение при х=2
у(2)=(1/3)^2=(1/9)

Ответ выбран лучшим

Интегрируем
y``=(x^2/2)-(1/2)cos2x+C_(1)
Интегрируем
y`=(x^3/6)-(1/4)sin2x+C_(1)x+C_(2)
Интегрируем
y=(x^4/24)+(1/8)cos2x+C_(1)(x^2/2)+C_(2)x+C_(3)

Ответ выбран лучшим

y`=5x^4-6x^2+1
y`=0
5x^4-6x^2+1=0
биквадратное уравнение
D=36-20=16
x^2=1/5 или x^2=1

_+__ (-1) __-__ (-sqrt(1/5)) __+__ (sqrt(1/5) __-__ (1) __+__

x=-1 и х=sqrt(1/5) - точки максимума
х=-sqrt(1/5) и х=1 - точки минимума
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формулы приведения
sin(2π+3x)=sin3x
sin(3π/2+3x)=–cos3x

Уравнение
sin3x+√3cos3x=0
tg3x=–√3
3x=(–π/3)+πk, k ∈ Z
x=(–π/9)+(π/3)k, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Формулы приведения
sin(2π+3x)=sin3x
sin(3π/2+3x)=-cos3x

Уравнение
sin3x+sqrt(3)cos3x=0
tg3x=-sqrt(3)
3x=(-Pi/3)+Pik, k ∈ Z
x=(-Pi/9)+(Pi/3)k, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Формулы
1^3+2^3+3^4^3+...+n^3=(n*(n+1)/2)^2
1^2+2^2+3^2+... + n^2=(n*(n+1)*(2n+1)/6)
1+2+3+... +n=n*(n+1)/2

(5n+1)^3=25n^3+75n^2+15n+1
При n=0 получаем первой слагаемое
25*0^3+75*0^2+15*0+1
При n=1 - второе
25*1^3+75*1^2+15*1+1
При n=2 - третье и так далее.
Теперь складываем столбиками
(25*0^3+25*1^3+25*2^3+...+25n^3)+
+(75*0^2+75*1^2+75*2^2+...+75*n^2)+
+(15*0+15*1+15*2+...+15*n)+
+(0+1+1+...+1)

=25*(n*(n+1)/2)^2+75*(n*(n+1)/2n+1)/6)+
+15*(n(n+1)/2)+n=
осталось привести к общему знаменателю, упростить и т.д.

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=21364

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=7929

Ответ выбран лучшим

cos ∠ KBM=(vector{BK}*vector{BM})/(|vector{BK}|*|vector{BM}|)

vector{BK}=(1-1;3-(-1);3-3)=(0;4;0)
vector{BM}=(-1-1;0-(-1);1-3)=(-2;1;2)

cos ∠ KBM=(0*(-2)+4*1+0*2)/4*sqrt((-2)^2+1^2+2^2)=
=4/(4*3)=1/3

Ответ выбран лучшим

Е- середина АВ
АЕ=MN=1/2CD=(1/2)*1=1/2
AEMN - параллелограмм
EM||AN
Угол между AN и MD равен углу между прямой
EM и MD.

AN=sqrt(3)/2 - высота равностороннего треугольника АКD
MD- высота равностороннего треугольника КDС
ЕМ=AF=MD=sqrt(3)/2
E=sqrt(5)/2 - по теореме Пифагора из Δ АЕD.

По теореме косинусов из треугольника EMD:
сos ∠ EMD =(EM^2+MD^2-ED^2)/(2EM*MD)=1/6

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
2sinxcosx+2cos^2x+cos^2x-sin^2x=0

sin^2x-2sinxcosx-3cos^2x=0
однородное тригонометрическое уравнение
tg^2x-2tgx-3=0
D=(-2)^2-4*(-3)=16
tgx=-1 или tgx=3
x=(-π/4)+πk, k∈Z или x=arctg3 +πn, n∈Z

б)
[–9Pi/2;–3Pi]

x1=(-π/4)-4π=-17π/4 ∈ [–9Pi/2;–3Pi]
x2=(-π/4)-3π=-13π/4∈ [–9Pi/2;–3Pi]
x3=arctg3-4π∈ [–9Pi/2;–3Pi] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

=8x^3y^4*(-0,5)^3*(x^2)^3*(y^5)^3=

=8x^3y^4*(-0,125)*(x^6)*(y^(15))=

=8*(-0,125)x^(3+6)*y^(4+15)=

=-x^9*y^(19)

Ответ выбран лучшим

y`=(4-x)`*e^(5-x)+(4-x)^(e^(5-x))`=
=-1*e^(5-x)+(4-x)*e^(5-x)*(5-x)`=
=-1*e^(5-x)+(4-x)*e^(5-x)*(-1)=
=e^(5-x)*(-1-4+x)=e^(5-x)*(-5+x)=
y`=0
-5+x=0
x=5- точка минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с - на +
у(5)=-1*e^(5-5)=-1- наименьшее значение функции

Ответ выбран лучшим

Пусть произведено х книжных шкафов и у сервантов
Тогда выручка
Р(x;y)=(500х + 1200у) руб.
При условии
(4/3)х+2у ≤180
(4/3)х+1,5у ≤ 165
(2/3)х+2у ≤ 160
Наибольшее значение функция Р(х;у) примет в точке А.
Наибольшее значение при х=30 у=70
Р(30;70)=500·30+1200·70=
=15 000 + 84 000 = 99 000 руб
О т в е т. 99 тыс. руб. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ BAC=∠ BCA=75 градусов
∠ АВС=180 градусов - ∠ BAC-∠ BCA=
=180 градусов - 75 градусов - 75 градусов
=30 градусов
ВО- высота и биссектриса равнобедренного треугольника АВС,значит
∠ CBO=15 градусов.
Δ BOC- равнобедренный (BO=OC=R)
∠CВО=∠ BCO= 15 градусов
Значит
∠ BOC=180 градусов - ∠ BCO-∠BOC=
=180 градусов - 15 градусов - 15 градусов=
=150 градусов

S( Δ BOC)=(1/2)*BO*OC*sin∠ BOC

16=(1/2)R*R*(1/2)
64=R^2
R=8
О т в е т. 8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
1-сosx≠0
cosx≠1
x≠2πk, k∈Z

sin^2x+2sinx=2(1+cosx)(1-cosx)
sin^2x+2sinx=2(1-cos^2x)
так как 1-cos^2x=sin^2x
уравнение принимает вид:
sin^2x-2sinx=0
sinx*(sinx-2)=0
sinx=0 или sinx -2=0 ( уравнение не имеет корней,|sinx|
меньше или равно 1)

x=Pin, n ∈ Z
Учитывая ОДЗ, получаем ответ
х=Pi+2Pim, m ∈ Z

б) указанному отрезку принадлежит корень Pi

О т в е т.
а)Pi+2Pim, m ∈ Z
б)Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0=log_(x^2)1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
{x^2 > 0; x^2 ≠ 1
{(2/x)+(3/x^2) > 0
{(x^2-1)*((2/x)+(3/x^2))-1) меньше или равно 0

{x ≠ 0; x ≠ ± 1
{2x+3 > 0 ⇒ x > -1,5
{(x-1)(x+1)(-x^2+2x+3)/x^2 меньше или равно 0

(x-1)(x+1)^2(x-3)/x^2 больше или равно 0

(-1,5) _+__ (-1) __+__ (0) __+__ (1) __-__ [3] __+_

О т в е т.
(-1,5;-1) U(-1;0)U(0;1) U[3;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

До свидания

Ответ выбран лучшим

Р(ромба)=а+а+а+а=4а
4а=72
а=18
См. рис.

Что найти?
S(ромба)=18*18*sin 30 градусов=324*(1/2)=162
Можно найти высоту ромба
Так как
S(ромба)=a*h,то

h(ромба)=S/a=162/18=9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскроем скобки
5х*x+(5x)*(-4)-x*3-x*5x=4
Получим уравнение:
5x^2-20x-3x-5x^2=4
-23x=4
x=-4/23

Ответ выбран лучшим

Применяем правила действия со степенями с одинаковыми основаниями
(cм. рис.)

Собираем множители с разными основаниями 4 и 5
100=25*4

100*4^(x^2)=25*4*4^(x^2)=25*4^(x^2+1)

25*4^(x^2+1)/(5^5x)=2^(5x)/25^(x^2)

Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции

25*4^(x^2+1)*25^(x^2)=2^(5x)*5^(5x)

4^(x^2+1)*25^(x^2+1)=2^(5x)*5^(5x)
(4*25)^(x^2+1)=(2*5)^(5x)
100^(x^2+1)=10^(5x)
10^(2x^2+2)=10^(5x)
2x^2+2=5x
2x^2-5x+2=0
D=25-16=9
x1=(5-3)/4=1/2 или х2=(5+3)/4=2
О т в е т. 1/2; 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)42*(5/7)=42:7*5=6*5=30 девочек
2)42-30=12 мальчиков

или
1) 1-(5/7)=(7/7)-(5/7)=(2/7) всех участников мальчики
2) 42*(2/7)=42:7*2=6*7=12 мальчиков

Ответ выбран лучшим

1) D(y)=(–∞;1)U(1;+ ∞)
2)y`=3^((x+3)/(2x-2))*ln3*((x+3)/(2x-2))`;
((x+3)/(2x-2))`=-8/(2x-2)^2
3^((x+3)/(2x-2))*ln3 > 0
-8/(2x-2)^2 < 0 на D(y)

y` < 0
Функция убывает на D(y)
x=1 - вертикальная асимптота( справа)
lim_(x→1+0)y=+ бесконечность
lim_(x→1-0)y=0
y=3^(1/2)
т.е
у=sqrt(3) - горизонтальная асимптота.
lim_(x→бесконечность)=3^(lim_(x→бесконечность)(x+3)/(2x-2))=3^(1/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)2,6:4,8=13/24 час - потребуется второму, чтобы дойти до опушки
2)3*(13/24)=(13/8) км пройдет за это время первый
3) 2,6-(13/8)=78/80=39/40
расстояние между и вторым в тот момент, когда второй дошел до опушки и будет возвращаться обратно
4)3+4,8=7,8 км/ч - совместная скорость с которой они идут навстречу друг другу
5)39/40:7,8=1/8 час. через (1/8) часа встретятся
6)3*(1/8)=(3/8) км пройдет за это время первый.
7)(13/8)+(3/8)=16/8 = 2 км пройдет первый от дома до места встречи
О т в е т. На расстоянии 2км от дома

Ответ выбран лучшим

1. Строим параболу y=x^2–x–2
Отражаем часть графика, расположенную ниже оси Ох симметрично оси Ох вверх.

2. y=x^2–6|x|+8
При х больше или равно 0
строим параболу у=x^2-6x+8
При х < 0
y=x^2+6x+8
3.
y=((x^2–x–6)(x^ 2–4x–5))/(x^2–2x–3)
Раскладываем каждый квадратный трехчлен на множители
y=((x-3)(x+2)(x-5)*(x+1))/(x+1)(x-3)
Строим график
y=(x+2)(x+5) или y=x^2+7x+10
при этом точки с абсциссами х=-1 и х=3 выкалываем.

4. y=x^2+4
Парабола у=x^2
Параллельный перенос на 4 единицы вверх
5. y=–x^2–1
Парабола у =-x^2 и параллельный перенос на 1 единицу вниз
6. y=x^+p ?
7. y=((x2+x)|x|)/x–2 ? не хватает скобок, что в знаменателе?
х или
x-2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ A+ ∠ C=180 градусов - ∠ B=180 градусов -75 градусов=105 градусов.
По картинке не совсем понятно, потому что все три угла обведены одинаковыми дугами. Если бы так ( см. рис.)
то в равнобедренном треугольнике углы при основании равны и

∠ A= ∠ С=105 градусов/2=52 градусов 30`
О т в е т. 52 градусов 30`
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

v=x`(t)
x= ∫ v(t)dt= ∫ (2+4t)dt=2t+2t^2+C

О т в е т. 2t^2+2t+C

Ответ выбран лучшим

4^(2x-2)=(2^2)^(2x-2)=2^(4x-4)

2^(4x-4)=2^x

4x-4=x
3x=4
x=4/3

Ответ выбран лучшим

Функция убывающая.
Наименьшее значение при х=2
(1/4)^2=1/16

Ответ выбран лучшим

При x→0 tg4x~4x; sin2x~2x
lim_(x→0)tg4x/sin2x=lim_(x→0)4x/2x=2

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
u=2-4x
du=-4dx

=(1/4) ∫ du/u^7=(-1/4) ∫ u^(-7)du=(-1/4)*u^(-7+1)/(-7+1)+C=

=(3/2)*u^(-6)+C=3/(2u^6)+C=3/(2*(2-4x)^6) ) + C

Ответ выбран лучшим

1) log_(3)x=t
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
t1=1 или t2=2
log_(3)x=1 или log_(3)x=2
x=3^1 или x =3^2
x=3 или х=9

2) = бесконечность
3) (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
f`(x)=((2x-1)`*(3-x)-(2x-1)*(3-x)`)/(3-x)^2
f`(x)=5/(3-x)^2

4)=3sinx-x^2+C

5) p=(850-15)/850=835/850

6) Второй катет по Теореме Пифагора 8
Это и есть высота
V(конуса)=(1/3)Pir^2*h=(1/3)Pi6^2*8=96Pi

Ответ выбран лучшим

Пусть
сos3x=a
sin(x-(Pi/6))=b

Уравнение имеет вид
a^2-2ab+1=0
[b]Значит надо выделить полный квадрат(!) [/b]

(сos3x-sin(x–(π/6))^2-sin^2(x–(π/6))+1=0
Так как
1-sin^2(x–(π/6))=cos^2(x-(π/6))
уравнение принимает вид
(сos3x-sin(x–(π/6))^2+cos^2(x-(π/6))=0

Сумма квадратов равна 0, когда каждый 0.
Система уравнений
{cos3x-sin(x-(Pi/6))=0
{cos(x-(Pi/6))=0

Решаем первое уравнение
cos3x-sin(x-(Pi/6))=0
По формулам приведения
sinальфа =cos((Pi/2)- альфа)

сos3x-cos((Pi/2)-x+(Pi/6))=0

cos3x-cos((2Pi/3)-x)=0

Применяем формулу разности косинусов

-2sin(x+(Pi/3))*sin(2x-(Pi/3))=0

sin(x+(Pi/3))=0 или sin(2x-(Pi/3))=0

x+(Pi/3)=Pik, k ∈ Z или 2x-(Pi/3))=Pin, n ∈ Z
x=(-Pi/3)+Pik, k ∈ Z или х=(Pi/6)+(Pi/2)n, n ∈ Z

Решаем второе уравнение
cos(x-(Pi/6))=0
x-(Pi/6)=(Pi/2)+Pim, m ∈ Z
x=(2Pi/3)+Pim, m ∈ Z

{x=(-Pi/3)+Pik, k ∈ Z или х=(Pi/6)+(Pi/2)n, n ∈ Z
{x=(2Pi/3)+Pim, m ∈ Z

О т в е т.
а)(-Pi/3)+Pik, k ∈ Z
б) Указанному промежутку принадлежит
х=(-Pi/3)+Pi*2017=6050Pi/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2017+2018+2019 годы выплачено (0,33*0,01*r)*3

На январь 2020 долг составил
0,33+0,33*0,01*r
выплачено S
остаток
0,33+0,33*0,01*r - S
На январь 2021
(0,33+0,33*0,01*r - S)+0,01*r*(0,33+0,33*0,01*r - S)
выплачено S
Остаток
(0,33+0,33*0,01*r - S)+0,01*r*(0,33+0,33*0,01*r - S)-S
равен 0
Уравнение
(0,33+0,33*0,01*r - S)+0,01*r*(0,33+0,33*0,01*r - S)-S =0
и второе уравнение
(0,33*0,01*r)*3+S+S=1,05

Из системы двух уравнений находим S, потом r

Ответ выбран лучшим

261:9=29
261:13=20( ост.1)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Вероятность выбора одного мальчика 12/25
(всего детей- 25, мальчиков -12)
Вероятность выбора второго мальчика
11/24
(детей осталось - 24, мальчиков осталось- 11)
p=(12/25)*(11/24)=11/50=0,22

Ответ выбран лучшим

1) Сходится по признаку Даламбера
lim_(n→∞)a_(n+1)/a_(n)=lim_(n→∞)(1/(n+2)!)/(1/(n+1)!)=

=lim_(n→∞)(1/(n+2))=0 < 1
2)Странно, что n в числителе и знаменателе. Они сокращаются и остается ряд ∑1/(ln n)
Суммирование от 1 неверно.
Так как ln1=0
1/0 - бесконечность, чего не должно быть в условии.

3) lim_(n→∞)a_(n)=1/10
Необходимое условие сходимости не выполняется.
Ряд расходится.

Ответ выбран лучшим

За три часа один пароход пройдет 45 км, второй 60 км. По теореме Пифагора
d^2=45^2+60^2=2025+3600=5625
d=75
О т в е т. 75 км (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sinx*(sinx-sqrt(3)cosx)=0
sinx=0 или sinx-sqrt(3)cosx=0

sinx=0
x=πk, k∈Z
или
sinx-sqrt(3)cosx=0
tgx=sqrt(3)
x=(π/3)+πn, n∈Z
О т в е т. πk, ;(π/3)+πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Составляем уравнение прямой, проходящей через точку Р и перпендикулярной плоскости
Нормальный вектор плоскости 3x+y-2z=0 имеет координаты
(3;1;-2)
Этот вектор является направляющим вектором прямой, перпендикулярной плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) c направляющим вектором (m;n;p)имеет вид
(x-x_(o))/m=(y-y_(o))/n=(z-z_(o))/p

Подставляем данные в это уравнение
(x-1)/3=(y-3)/1=(z-4)/(-2)

Находим проекцию точки Р на плоскость 3x+y–2z=0
Это точка пересечения прямой и плоскости.
Решаем систему уравнений:
{3x+y-2z=0
{(x-1)/3=(y-3)/1
{(y-3)/1=(z-4)/(-2)

{3x+y-2z=0
{x-3y+8=0 ⇒ x=3y-8
{2y+z-10=0 ⇒ z=-2y+10

3*(3y-8)+y-2*(-2y+10)=0
14y=44
y=22/7

x=10/7
z=26/7

K(10/7; 22/7; 26/7)
- точка пересечения прямой и плоскости
Q(x;y;z) - точка на прямой

vector{PK}=vector{KQ}

vector{PK}((10/7)-1; (22/7)-3; (26/7)-4)
vector{KQ}=(x-(10/7); y-(22/7);z-(26/7)

Векторы равны, если их координаты равны.
(10/7)-1=х-(10/7)
х=13/7
x=1 целая 6/7
(22/7)-3=у-(22/7)
у=23/7
у=3 целых 2/7
(26/7)-4=z-(26/7)
z=24/7
z=3 целых 3/7

О т в е т. Q(1целых 6/7; 3 целых 2/7; 3 целых 3/7)

(2x^3)^4=2^4*x^(3*4)=16x^(12)
(x^2)^6=x^(2*6)=x^(12)
16x^(12)-x^(12)=15x^(12)

15x^(12)/(3x12) =5
О т в е т. 5

2cos^2x-sinx-4sin^2x=0;
Так как
cos^2x=1-sin^2x
2*(1-sin^2x)-sinx-4sin^2x=0
2-2sin^2x-sinx-4sin^2x=0
6sin^2x+sinx-2=0

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку P

Нормальный вектор данной прямой имеет координаты
(4;-5)
Пусть нормальный вектор перпендикулярной прямой имеет координаты (А;B)
Нормальные векторы взаимно перпендикулярных прямых ортогональны.
Значит, их скалярное произведение равно 0.
4А-5B=0
A=5B/4
Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид
Ax+By+C=0 (A=5B/4)
(5B/4)x+By+C=0
Прямая проходит через точку P(-6;4)
Подставим координаты этой точки в уравнение
(5B/4)*(-6)+B*4+C=0
С=14В/4
Итак
(5B/4)x+(By+14В/4)=0
Сокращаем на В
5х+4у+14=0 - уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку P

Точка пересечения прямых 4x–5y+3=0 и 5х+4у+14=0
и есть проекция точки Р
{4x–5y+3=0
{5х+4у+14=0

Умножаем первое уравнение на 4, второе на 5
{16x–20y+12=0
{25х+20у+70=0
Складываем
41x+82=0
x=-2
y=(-5x-14)/4=(10-14)/4=-1
О т в е т. (-2;-1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вектор vector{OP}-нормальный вектор данной плоскости
vector{OP}=(2;-1;1)
Уравнение плоскости, проходящей через точку Р(х_(о);y_(o);z_(o)) c нормальным вектором vector{n}=(A;B;C} имеет вид:
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0

Подставляем координаты точки Р и вектора vector{OP} в это уравнение
2*(х-2)-(y-(-1))+(z-1)=0
2x-y+z-6=0
О т в е т. 2x-y+z-6=0

Ответ выбран лучшим

Нормальный вектор плоскости 6x–3y–5z+2=0 имеет координаты
(6;-3;-5)
Он является направляющим вектором прямой
Уравнение прямой, проходящей через точку (х_(о);у_(о);z_(o)) c направляющим вектором (m;n;p) имеет вид
(x-x_(o))/m= (y-y_(o))/n= (z-z_(o))/p
Подставляем
(x-2)/6= (y-(-3))/(-3)= (z-(-5))/(-5)
(x-2)/6= (y+3))/(-3)= (z+5)/(-5)
О т в е т.
(x-2)/6= (y+3))/(-3)= (z+5)/(-5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
ОДЗ:
{(x+4)/x > 0 ⇒ (-бесконечность;-4) U(0; + бесконечность)
{x^2 > 0 ⇒ x ≠ 0

С учетом ОДЗ можно применять правило: сумма логарифмов равно логарифму произведения

log_(2)(x+4)*x^2/x=5
По определению логарифма
2^5=(x+4)*x
x^2-4x-32=0
D=16-4*(-32)=16+128=144=12^2
x1=(4-12)/2=-4 или х2=(4+12)/2=8
х1 не принадлежит ОДЗ
О т в е т. 8

2)
ОДЗ:
{х/(x+6) > 0 ⇒ (-бесконечность;-6) U(0; + бесконечность)
{x^2 > 0 ⇒ x ≠ 0

На ОДЗ применяем правило разность логарифмов равна логарифму частного

log_(3)(x+6)*x/x^2=3
По определению логарифма
3^3=(x+6)*x
x^2+6x-27=0
D=36-4*(-27)=36+108=144=12^2
x1=(-6-12)/2=-9 или х2=(-6+12)/2=3
х1 не принадлежит ОДЗ
О т в е т. 3

3)
ОДЗ:
{x^2+2x > 0 ⇒ x < -2 или х > 0
{x+2 > 0 ⇒ x > -2
x ∈ (0;+ бесконечность )

Применяем правило логарифма степени
(1/2)lg(x^2+2x)-(1/2)lg(x+2)=0
Сокращаем на (1/2)
lg(x^2+2x)-lg(x+2)=0
Разность логарифмов заменяем логарифмом частного
lg(x^2+2x)/(x+2)=0
lgx=0
x=10^0
x=1
1 принадлежит ОДЗ
О т в е т. 1

4)
ОДЗ
x > 0
В условиях ОДЗ: lgx^2=2lgx
Уравнение принимает вид
4lg^2x-2=2lgx
4lg^2x-2lgx-2=0
2lg^2x-lgx-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
lgx=(-1/2) или lgx=1
x=10^(-1/2) или х=10^1
x=sqrt(10) или х=10
Оба корня принадлежат ОДЗ
О т в е т. sqrt(10); 10

Ответ выбран лучшим

f`(x)=30x-30
f`(x)=0
30x-30=0
x=1

Точка возможного экстремума х=1 не принадлежит [2;4]
Поэтому определяем знак производной на [2;4]
f`(x) > 0
Значит функция возрастает на этом отрезке
f(2)=15*4-30*2-3=-3 - наименьшее значение функции
f(4)=15*16-30*4-3=117 - наибольшее значение функции

Ответ выбран лучшим

L- апофема пирамиды
L=SF
S(бок)=(1/2)P(осн.)*L
sqrt(3)/2=(1/2)*3*L
L=sqrt(3)/3

OF=r=asqrt(3)/6=sqrt(3)/6

По теореме Пифагора из треугольника SOF

SO^2=SF^2-OF^2=(sqrt(3)/3)^2-(sqrt(3)/6)^2=

=(3/9)-(3/36)=1/4

SO=1/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть числа х и у.
x > 0; y > 0
По условию
49=x*y ⇒ y=49/x
Сумма чисел
x+y=x+(49/x)
Обозначим сумму чисел
f(x)=x+(49/x)
Исследуем функцию f(x) на экстремум.
f`(x)=1-(49/x^2)
f`(x)=0
x^2-49=0
x=-7 ( не удовл. усл. x > 0) или х=7
Исследуем точку х=7 на экстремум.
Находим знак производной
_-__ (7) _+__

x=7 - точка минимума функции, значит при х=7 сумма чисел наименьшая.
Если х=7, то y=49/7=7

График функции у=х+(49/х) см. на рисунке.

[b]В условии задачи не сказано, что числа натуральные.[/b]

Поэтому наибольшим может быть любое число,

Например 98 * (1/2)
и т.д.
98+(1/2)=98,5

Если речь идет о наименьшей сумме, то ответ 7

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначим
arccos(1/sqrt(10))= альфа
значит по определению арккосинуса
сos альфа =1/sqrt(10) и угол альфа в первой четверти.

sin альфа =sqrt(1-cos^2 альфа )=sqrt(1-(1/10))=sqrt(9/10)=
=3/sqrt(10)

tg((arccos(1/√10) )=tg альфа =sin альфа /cos альфа =3

Ответ выбран лучшим

Площадь фигуры равна площади синего квадрата со стороной 4
S=4*4=16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
2-3^(-x) > 0
2 > 3^(-x)
3^(log_(3)2) > 3^(-x)
Показательная функция с основанием 3 возрастает.
log_(3)2 > -x
x > -log_(3)2
x > log_(3)(1/2)

ОДЗ (log_(3)(1/2); + бесконечность)

Так как
x+1=log_(3)3^(x+1) при х+1 > 0

log_(3)(2–3^(–x)) < log_(3)3^(x+1)–log_(3)4

log_(3)(2–3^(–x)) < log_(3)(3^(x+1)/4)

3 > 1 логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
2–3^(–x) < 3^(x+1)/4

Замена переменной
3^x=t
t > 0
3^(-x)=1/t

2-(1/t) < (3/4)t

3t^2-8t+4 > 0
D=64-4*3*4=16
t=2/3 или t=2
t < (2/3) или t > 2

3^x < (2/3) или 3^x > 2
x < log_(3)(2/3) или x > log_(3)2
C учетом ОДЗ ( и log_(3)(1/2) < log_(3)(2/3))
О т в е т. (log_(3)(1/2); log_(3)(2/3) )U log_(3)2); + бесконечность) или (−log_(3) 2;log_(3)2−1) U (log_(3) 2;+∞)

Ответ выбран лучшим

arctg(sqrt(3)/3)=Pi/6
sin(arctg(sqrt(3)/3)=sin(Pi/6)=1/2

Ответ выбран лучшим

R=lim_(n→∞)(a_(n)/a_(n+1))=

=lim_(n→∞)(n!)/(n+1)!)=

=lim_(n→∞)(1)/(n+1)=0

ряд сходится в одной точке х=0

Ответ выбран лучшим

Биссектриса CD равностороннего треугольника является и медианой.
AD=DC=3
AC=6
AB=BC=AC=6
P=6+6+6=18

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными

dy/(y(y+2))=dx

Интегрируем

(1/2) ∫ (1/y)-(1/(y+2))dy= ∫ dx
(1/2)ln|y|-(1/2)ln|y+2|=x+c_(1)
ln|y/(y+2)|=2x+c_(2)
y/(y+2)=Ce^(2x)
О т в е т. y/(y+2)=Ce^(2x)

Ответ выбран лучшим

(x+4)/(x*(x+4))=1/x

(1/x):(5/(x+2))=(1/x)*(x+2)/5=(x+2)/(5x)

При х=4
(4+2).(5*4)=6/20=3/10=0,3

Ответ выбран лучшим

{x^2+2x+2 > 0 х- любое
{x^2+2x+2 ≠ 1 х≠ -1
{(x^2+2x+2-1)*(4-x^2-2x-2) > 0 ⇒ (х+1)^2*(x^2+2x-2) < 0

x^2+2x-2 < 0
D=8
x1=-1-sqrt(2) x2=-1+sqrt(2)

О т в е т. (-1-sqrt(2);-1) U(-1; -1+sqrt(2))

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное уравнение
y``-2y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^2-2k=0
k(k-2)=0
k=0 или k=2
Общее решение однородного
y=C_(1)e^(0x)+C_(2)e^(2x)

Для нахождения решения однородного уравнения применяем метод вариации произвольных постоянных
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составляем характеристическое уравнение
k^2-8k+16=0
D=0
k1=k2=4
y=C_(1)e^4x+C_(2)x*e^(4x)

Ответ выбран лучшим

Точка А имеет координату 2
После перемещения на 6 вправо, координата 2+6=8
После перемещения влево 8-10=-2
Расстояние от точки А до начала равно 0, от точки (-2) до начала тоже равно 0

Ответ выбран лучшим

60 дм=6 м
90:6=15 м - длина
Р=2*(15+6)=42 м

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению модуля
если sinx больше или равно 0, |sinx|=sinx
y=(sinx/sinx)+sinx=1+sinx
если sinx < 0, |sinx|=-sinx
y=(sinx/-sinx)+sinx=-1+sinx
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула
cos^2( альфа /2)=(1+cos альфа)/2

1+ctg^2 альфа =1/sin^2 альфа

sin^2 альфа =1/(1+(7/441))=441/448
cos^2 альфа =1-sin^2 альфа =1-(441/448)=7/448=1/64

cos альфа =sqrt(1/64)=1/8 ( знак + так как косинус в первой четверти имеет знак плюс)

сos(альфа /2)=+sqrt(1+(1/8))/2=3/4sqrt(2)

знак + так как угол альфа/2 также в первой четверти )

Ответ выбран лучшим

3^x=t
t > 0
3^(2x)=t^2
3^(2x+4)=3^4*3^(2x)=81t^2
3^(x+3)=3^3*3^x=27t
3^(x+1)=3t

81t^2-729t-3t+27 меньше или равно 0
81t(t-9)-3(t-9) меньше или равно 0
(t-9)*(81t-3) меньше или равно 0
1/27 меньше или равно t меньше или равно 9
3^(-3) меньше или равно 3^x меньше или равно 3^2
-3 меньше или равно x меньше или равно 2
О т в е т. [-3;2]

Ответ выбран лучшим

y`=(1/3)*(1/∛((x+1)^2)-1/∛((x-1)^2))=

=(1/3)*(∛(x-1)^2 - ∛(x+1)^2)/∛(x^2-1)^2

y`=0

∛(x-1)^2=∛(x+1)^2
(x-1)^2=(x+1)^2
(x-1)^2-(x+1)^2=0
x=0 - точка возможного экстремума.
При переходе через эту точку производная меняет знак с + на - ( достаточно подставить х=-1/2 в y` и х=1/2 в y`), значит х=0 - точка максимума
y(0)=1-(-1)=2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(R1·R2)/(R1+R2) больше или равно 9
(90·R2)/(90+R2) больше или равно 9
90·R2 больше или равно 9*(90+R2)
10R2 больше или равно 90+R2
9R2 больше или равно 90
R2 больше или равно 10
О т в е т. Наименьшее возможное R2=10

Ответ выбран лучшим

x^2-8=(x-2)^2
x^2-(x-2)^2=8
(x-(x-2))*(x+(x-2))=8
2*(2x-2)=8
4*(x-1)=8
x-1=2
x=3

Ответ выбран лучшим

1,5км : 5 минут=0,3 км в минуту =300 м в минуту

Ответ выбран лучшим

Свойства неравенств (7-8) класс:
если a > 0 и b > 0
и
a больше или равно b ⇒ 1/a меньше или равно 1/b

Ответ выбран лучшим

a) Пусть КМ пересекается с SH (высотой пирамиды) в точке F.
Q- точка пересечения KM c AC.
По теореме Менелая
(SK/KA)*(AQ/QC)*(CM/MS)=1
AQ=2QC
AC=CQ
так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то АН=НС=z
CQ=2z
По теореме Менелая для треугольника SHC и прямой КМ
(SF/FH)*(HQ/QC)*(CM/MS)=1
3SF=4FH
HF/FS=3/4

Пусть LF пересекается с BD в точке G
По теореме Менелая для треугольника SBH и пресекающей его прямой GF
(SL/LB)*(BG/GH)*(HF/FS)=1
(2/3)*(BG/GH)*(3/4)=1
(BG/GH)=2
BH=HG

Значит, G=D

б)
Объемы [b]двух треугольных[/b] пирамид, имеющих по равному трехгранному углу, относятся друг к другу, как произведения длин трех ребер равных трехгранных углов''.

Пирамиды SKLM и SABC имеют общий трехгранный угол.
Поэтому
V(SKLM)/V(SABC)=(SK/SA)*(SL/SB)*(SM/SC)
V(SKLM)/V(SABC)=(1/2)*(2/5)*(2/3)=2/15

V(SKLM)/V(SABC)=2/15
V(SABC)=(1/2)V(SABCD)

V(SKLM)=(1/15)V(SABCD)

Аналогично,
V(SKMD)/V(SACD)=(SK/SA)*(SM/SC)*(SD/SD)=(1/2)*(2/3)=(1/3)
V(SKMD)=(1/3)V(SACD)=(1/6) V(SABCD)

V(SKLMD)=V(SKLM)+V(SKMD)=((1/15)+(1/6))V(SABCD)=
=(7/30)V(SABCD)

О т в е т.
б) V(SKLMD):V(SABCD) =7:30 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(6^(-3))^(2)=6^((-3)*2)=6^(-6)

6^(-6)/6^(-8)=6^(-6-(-8))=6^2=36

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{1-9x^2 > 0 ⇒ (-1/3;1/3)
{1-9x^2≠ 1 ⇒ х≠0
{(|x|-2)^2 > 0 ⇒ |x|-2≠0 ⇒ х ≠ ± 2
{14x^2+4x+(1/4) > 0 ⇒ (-бесконечность; (-4-sqrt(2))/28) U ((-4+sqrt(2))/28;+ бесконечность)

ОДЗ: х∈ ( -1/3; (-4-sqrt(2))/28)U
U((-4+sqrt(2))/28;0)U(0;1/3)

На рисунке
a=(-4-sqrt(2))/28)
b=(-4+sqrt(2))/28)
Применяем формулу логарифма степени (2 перемещаем в показатель) и применяем формулу перехода к другому основанию
log_(c)a/2log_(c)b=log_(c)a/log_(c)b^2=log_(b^2)a

Получаем неравенство
log_(b^2)a меньше или равно 1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств, которых с учетом ОДЗ позволяет свести решение неравенства к неравенству:
(b^2-1)*(a-b^2) меньше или равно 0

или
(14x^2+4x+(1/4)-1)*(14x^2+4x+(1/4)+1)*((|x|-2)^2-(14x^2+4x+(1/4)^2) меньше или равно 0

(14x^2+4x-(3/4))*(14x^2+4x+(5/4))*(|x|-2-14x^2-4x-(1/4))*(|x|-2+14x^2+4x+(1/4)) меньше или равно 0

14x^2+4x+(5/4) > 0 при любом х, так как D=16-14*5 < 0

Решаем неравенство
(14x^2+4x-(3/4))*(|x|-14x^2-4x-(9/4))*(|x|+14x^2+4x-(7/4)) меньше или равно 0
методом интервалов

14x^2+4x-(3/4)=0
D=16+4*14*(3/4)=16+42=58
x1=(-4-sqrt(58))/28 или х2=(-4+sqrt(58))/28
x1=(-4-sqrt(58))/28 находится левее (-1/3)

(-4-sqrt(58))/28 < -1/3
(1/3)-(4/28) < sqrt(58)/28

16/(3*28) < sqrt(58)/28
(16/3) < sqrt(58)
256/9 < 58

х2=(-4+sqrt(58))/28
расположена между
0 и (1/3)
Обозначена на рисунке
с=(-4+sqrt(58))/28

Раскрываем модуль по определению
При х > 0
|x|-14x^2-4x-(9/4)=-14x^2-3x-(9/4) < 0 при любом х, D < 0

|x|+14x^2+4x-(7/4)=14x^2+5x-(7/4) D=123
x3=(-5-sqrt(123))/28 и x4=(-5+sqrt(123))/28

При х < 0
|x|-14x^2-4x-(9/4)=-14x^2-5x-(9/4) < 0 при любом х, D < 0

|x|+14x^2+4x-(7/4)=14x^2+3x-(7/4) D=107
x5=(-3-sqrt(109))/28 и x6=(-3+sqrt(109))/28

См. рисунки. Красным цветом у=14x^2+4x+(1/4)
При нахождении ОДЗ ( отмечено на оси Ох) жирным цветом
Графики у=14x^2+4x-(7/4) и у=(14x^2+4x-(9/4) изображены синим и зеленым цветом.
На ОДЗ обе функции отрицательны.

Остается решить неравенство
14x^2+4x-(3/4) меньше или равно 0

С учетом ОДЗ ответ.
О т в е т.( -1/3; (-4-sqrt(2))/28)U((-4+sqrt(2))/28;0)U(0;(-4+sqrt(58))/28]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cosx=-sqrt(3)/2
x=± (5π/6)+2πk, k∈Z

Наибольший отрицательный (-5π/6)

Ответ выбран лучшим

x=-5 или х=5
у=-7 или y=7

x-y=-5-7=-12
при х=-5; у=7

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
(sqrt(х-5))^2=2^2
x-5=4
x=9
О т в е т. 9

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
(sqrt(х-5))^2=2^2
x-5=4
x=9
О т в е т. 9

Ответ выбран лучшим

(x^2+4x-3-3x+4)/(x^2+4x-3)=1+(-3x+4)/(x^2+4x-3)
∫(x^2+4x-3-3x+4)dx/(x^2+4x-3)= ∫( 1+(-3x+4)/(x^2+4x-3))dx=
=x+∫(-3x+4)dx/(x^2+4x-3)

Применяем метод замены переменной
x^2+4x-3=x^2+4x+4-1=(x+2)^2-1

Замена
х+2=u⇒ x=u-3 ⇒-3x+4=-3*(u-3)+4=-3u+15
dx=du

∫ (-3x+4)dx/(x^2+4x-3)=

= ∫ (-3u+15)du/(u^2-1)=

=(-3/2)ln|u^2-1|+(15/2)ln|(u-1)/(u+1)|

О т в е т. х+(-3/2)ln|х^2+4х-3|+(15/2)ln|(х+2-1)/(х+2+1)|+С

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Так как 3/8=15/40 > 14/40=7/20
cos альфа > cos гамма ⇒ альфа < гамма

Так как 3/8=9/24 < 16/24=2/3
cos альфа < cos бета ⇒ альфа > бета
бета < альфа < гамма

Ответ выбран лучшим

1 целая 1/4=5/4

Так как (4/5)*(5/4)=1

При а=4/5
(а*(8/11))*1 целая 1/4=(4/5)*(8/11)*(5/4)=8/11

О т в е т. 8/11

Ответ выбран лучшим

4^(x^2)(12-2*4^2+1)=-19*4^(6x+2)
-19*4^(x^2)=-19*4^(6x+2)

делим обе части на (-19)
4^(x^2)=4^(6x+2)

Показательная функция с основанием 4 монотонно возрастает, т. е принимает каждое свое значение только в единственной точке.
Если значения функции равны, то и аргументы равны.

x^2=6x+2
x^2-6x-2=0
D=36+8=44
x1=(6-2sqrt(11))/2 или х2=(6+2sqrt(11))/2

О т в е т. x1+x2=3-sqrt(11)+ 3+sqrt(11)=6

Ответ выбран лучшим

lim_(x→0)(x^2*ctg3x)=lim_(x→0)(x^2/tg3x)=
=lim_(x→0)(3x)/(tg3x)*lim_(x→0)x/3=1*0=0

Ответ выбран лучшим

0,8^(-2)=(10/8)^2=100/64
0,6^(-2)=(10/6)^2=100/36

(100/64)+(100/36)=100*(36+64)/(64*36)=100*100/(64*36)

(100*100/(64*36))^(-1)=(64*36)/10000=0,2304

Ответ выбран лучшим

1) 100+100+100+100=400 тенге
или
100*4=400 тенге
2) 200+200+200=600 тенге
200*3=600 тенге

Ответ выбран лучшим

lim_(x→0)x^2/tg3x=0
так как
lim_(x→0)(3x)/(tg3x)=1

Ответ выбран лучшим

log_(x)3 < 2

ОДЗ:
{x > 0; x ≠ 1

log_(x)3 < 2*log_(x)x
или
log_(x)3 < log_(x)x^2

Теперь надо бы рассмотреть два случая:
x > 1 логарифмическая функция возрастает
и
0 < x < 1 логарифмическая функция убывает
Но есть так называемый ''метод рационализации логарифмических неравенств'', который сводит это неравенство к системе
{x > 0, x ≠ 1
{(x-1)*(3-x^2) < 0

Решаем второе методом интервалов
_+__ (-sqrt(3)) ______-_____ (1) ____+___ (sqrt(3)) __-___

C учетом ОДЗ
О т в е т. (0;1)U(sqrt(3);+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Поэтому ∠ NKL=60 градусов, ∠ KLM = 120 градусов.
Пусть сторона ромба равна х,
SM=x-15
КМ=xsqrt(3) по теореме косинусов из треугольника KLM

Биссектриса угла КS сторону LM на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
LS : SM=KL: KM
x: 15= xsqrt(3) : (x-15)
15sqrt(3)=x-15
x=15*(sqrt(3)+1)

S ( ромба)=x^2*sin60 градусов=225*(3+2sqrt(3)+1)*sqrt(3)/2=

=225*(2sqrt(3)+3)

О т в е т. 225*(2sqrt(3)+3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

C=2PiR- формула длины окружности.

L=2PiR/360 градусов)* альфа - находим длину дуги в альфа градусов

60=((2Pi*800)/(360 градусов))* альфа

альфа =(27 градусов/Pi)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=21378

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x больше или равно 0
{9- sqrt(x) больше или равно 0 ⇒ sqrt(x) меньше или равно 9 ⇒ x меньше или равно 81
ОДЗ: x ∈ [0;81]

Строим два графика на [0;81]
y=sqrt(9-sqrt(x))+ sqrt(x)
y`=(1/2sqrt(x))*(1-(1/2sqrt(9-sqrt(x)))) > 0 на [0;81]
Функция монотонно возрастает и потому каждое свое значение принимает ровно в одной точке

При х=0 y=3 - наименьшее значение
При х=81 y=9 - наибольшее значение

При а ∈ [3;9] уравнение имеет единственное решение
О т в е т. а ∈ [3;9] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В основании квадрат, площадь которого 36 см^2.
Длина стороны 6 см.
По теореме Пифагора апофема боковой грани
L^2=h^2+(a/2)^2=(sqrt(7))^2+(6/2)^2=7+9=16
L=4
S(бок.)=(1/2)P(осн.)*L=12*4=48 см^2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|x|=6-4
|x|=2
x=-2 или х=2
так как |-2|=|2|=2
О т в е т. -2;2

Применяем формулу
1+tg^2 альфа =1/cos^2 альфа
tg^2 альфа =(1/cos^2 альфа -1)
tg^2 альфа =1/(4/5)^2-1=(25/16)-1=9/16
tg альфа =-3/4, так как угол альфа в 4-ой четверти и тангенс имеет знак минус

r^2=R^2-d^2=15^2-12^2=81
r=9

C=2Pi*9=18Pi

О т в е т. 18Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(3/8)*16=6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ х ≠ 0

3^(1/x)=t
t > 0
3^(2/x)=t^2

t^2+2xt–6x–9 < 0
(t^2–9)+2x(t–3) < 0
(t–3)(t+3)+2x(t–3) < 0
(t–3)·(t+3+2x) < 0

Обратная замена
(3^(1/x)-3)*(3^(1/x)+2x+3) < 0
Произведение двух множителей отрицательно,
когда множители имеют разные знаки.

Имеем две совокупности
систем
1)
{3^(1/x) < 3 ⇒ (-бесконечность;0)U(1;+бесконечность)
{3^(1/x) > -2x-3 ⇒ (а;0)U(0;+бесконечность)
решение системы 1) (а;0) U(1;+бесконечность)
a- корень уравнения
3^(1/x)=-2x-3

3^(1/x)=3^(log_(3)(-2x-3))
(1/x)=log_(3)(-2x-3)
x=1/log_(3)(-2x-3)
при этом (-2х-3 > 0, значит х < -1,5)

О т в е т . (1/log_(3)(-2x-3);-1/5)
или
2)
{3^(1/x) > 3 ⇒ (0;1)
{3^(1/x) < -2x-3⇒ (-бесконечность;a)
система 2) не имеет решений.

О т в е т. (1/log_(3)(-2x-3);-1/5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ х ≠ 0

31/x=t
t > 0
32/x=t2

t2+2xt–6x–9 < 0
(t2–9)+2x(t–3) < 0
(t–3)(t+3)+2x(t–3) < 0
(t–3)·(t+3+2x) < 0

Обратная замена
(31/x–3)·(31/x+2x+3) < 0
Произведение двух множителей отрицательно,
когда множители имеют разные знаки.

Имеем две совокупности
систем
1)
{31/x < 3 ⇒ (–∞;0)U(1;+∞)
{31/x > –2x–3 ⇒ (а;0)U(0;+∞)
решение системы 1) (а;0) U(1;+∞)
a– корень уравнения
31/x=–2x–3

31/x=3log3(–2x–3)
(1/x)=log3(–2x–3)
x=1/log3(–2x–3)
при этом (–2х–3 > 0, значит х < –1,5)

О т в е т . (1/log3(–2x–3);–1/5)
или
2)
{31/x > 3 ⇒ (0;1)
{31/x < –2x–3⇒ (–∞;a)
система 2) не имеет решений.

О т в е т. (1/log3(–2x–3);–1/5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

http://self-edu.ru/ege2016_30_2.php?id=1_6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нормальный вектор данной прямой имеет координаты
vector{n}=(6;4)
Нормальные векторы взаимно перпендикулярных прямых ортогональны.
Значит нормальный вектор прямой, перпендикулярной данной имеет координаты
(2;–3)
Скалярное произведение 6•2+4•(–3)=0–верно

Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид
2х–3у+с=0
Подставим координаты точки (5;7)
2•5–3•7+с=0
с=11
2х–3у+11=0 – уравнение второго катета.

Треугольник равнобедренный прямоугольный. Значит прямая, задающая гипотенузу, образует угол 45 градусов с каждым катетом.
Значит и нормальные векторы гипотенузы и катета образуют между собой угол 45 градусов.

Угол между вектором vector{n}=(6,4) и нормальным вектором гипотенузы обозначим координаты m и k, равен 45 градусов.
cos45 градусов=(6m+4k)/sqrt(6^2+4^2)*sqrt(m^2+k^2)
sqrt(2)/2=(6m+4k)/sqrt(6^2+4^2)*sqrt(m^2+k^2)
26(m^2+k^2)=36m^2+48mk+16k^2)
5m^2+24mk-5k^2=0
D=24^2-4*5*(-5)=576+100=676
m=1/5k или m=-5k
(1/5)kx+ky+d=0
(1/5)x+y+(d/k)=0
Подставлям координаты точки А
(1/5)*5+7+(d/k)=0
d/k=-8
(1/5)x+y-8=0
x+5y-40=0 - уравнение прямой, проходящей через точку А и образующей угол 45 градусов с катетом 6х+4у-9=0
или

-5kx+ky+p=0
-5x+y+(p/k)=0
Подставляем координаты точки А
-25+7+(p/k)=0
p/k=18
-5x+y+18=0 или 5х-y-18=0

О т в е т.
2х–3у+11=0
5х-у-32=0
или
2х–3у+11=0
х+5у-40=0
(см. рис. зеленая или оранжевая прямая гипотенуза)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{sinx > 0
{sinx ≠ 1
{2x+5 > 0

Ответ выбран лучшим

Раскладываем на множители левую часть
3х*(х+6)=0
х=0 или х+6=0
х=0 или х=-6
О т в е т. -6; 0

Ответ выбран лучшим

1=0,8^(0)

(0,8)^(2x-x^2) > 0,8^(0)
2x-x^2 < 0
x ∈ (- бесконечность;0)U(2;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Раскрываем определитель по первой строке
2*(х-6)-(х+2)*(х+10)-1*(-3-5) > 0;
-x^2-10x-24 > 0
Умножаем на (-1) и меняем знак
x^2+10x+24 < 0
D=100-96=4
x1=-6; x2=-4
-6 < x < -4
О т в е т. (-6;-4)

Ответ выбран лучшим

2 целых5/18– 5 целых 1/12+1 целых 2/9 =
=2 целых10/36– 5 целых 3/36+1 целых 8/36=
=3 целых 18/36 - 5 целых 3/36=
= 3 целых 18/36 - 4 целых 39/36=
= -1 целая 21/36 =-1 целая 7/12

0,81:0,4=2,025=81/40

-1 целая 7/12*(81/40)=(-19/12)*(81/40)=-513/160

Ответ выбран лучшим

О1А=13 см
О2А=15 см
О1К= х
О2К=(14-х)
По теореме Пифагора
АК^2=O1A^2-O1K^2
АК^2=O2A^2-O2K^2
Приравниваем правые части
O1A^2-O1K^2=O2A^2-O2K^2
13^2-x^2=15^2-(14-x)^2
28x=140
x=5
O1K=5 cм
О2К=14-х=14-5=9 см
О т в е т. 5 см; 9 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x^2+x-3 > 0 x∈(-∞;-3/2)U(1:+∞)
{x^2-x-3 > 0 x∈(-∞;(1-sqrt(13))/2)U((1+sqrt(13))/2;+∞)
{(x^2-2)^2 > 0 x∈(-∞;-sqrt(2))U(-sqrt(2);sqrt(2))U(sqrt(2);+∞)

ОДЗ x∈(-∞;(1-sqrt(13))/2)U((1+sqrt(13))/2;+∞)
log_(2)(2x^2+x-3)+log_(2)(x^2-x-3)=log_(2)(2x^2+x-3)(x^2-x-3)

2log_(2)3=log_(2)3^2=log_(2)9

2log_(1/2)2=log_(1/2)2^2=log_(1/2)4=-log_(2)4

log_(2)(x^2-2)^2+2log_(2)3-log_(2)4=log_(2)(9(x^2-2)^2/4)

log_(2)(2x^2+x-3)(x^2-x-3) больше или равно log_(2)(9(x^2-2)^2/4)
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому
(2x^2+x-3)(x^2-x-3) больше или равно 9(x^2-2)^2/4
x^2*(x^2+4x+4) меньше или равно 0
x=0 или x^2+4x+4=0 х=-2

C учетом ОДЗ получаем ответ.
х=-2
О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(3x+2)/(x+1) больше или равно 0
{3x+2)/(x–1) больше или равно 0
{(x+1)/(x–1) больше или равно 0

ОДЗ: x∈ (-,бесконечность; -1)U(1;+бесконечность)

Однородное уравнение второго порядка вида
u^2+3uv-4v^2=0
сводится к квадратному
t^2+3t-4=0
t=-4 или t=1
t=u/v

t=((3x+2)/(x+1))1/4/((x+1)/(x-1))^(1/4)=
=((3x+2)(x-1))^(1/4)/sqrt(x+1)
t > 0
Обратная замена

((3x+2)(x-1))^(1/4)/sqrt(x+1) =1
Возводим в квадрат
sqrt((3х+2)(x-1))/(x+1)=1
Возводим в квадрат
(3х+2)(х-1)=(х+1)^2
3x^2+2x-3x-2=x^2+2x+1
2x^2-3x-3=0
D=9+24=33
x1=(3-sqrt(33))/4 или х2=(3+sqrt(33))/4
x1 не принадлежит ОДЗ
О т в е т. (3+sqrt(33))/4

Ответ выбран лучшим

V(цилиндра)=Sосн·h
V(конуса)=(1/3)*Sосн·h
V(конуса)=(1/3)*V(цилиндра)=(1/3)*120=40

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
x^2+4x+4=8+x
x^2+3x-4=0
D=9-4*(-4)=9+16=25
x1=(-3-5)/2=-4 или х2=(-3+5)/2=1
При х=-4
-4+2=sqrt(8-4) - неверно, противоречит определению арифметического квадратного корня.
При х=1
1+2=sqrt(1+8)-верно
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

АС=BD=4/sin45 градусов=4sqrt(2)
OD=(1/2)BD=2sqrt(2)

vector{AB}*vector{OD}=|vector{AB}|*|vector{OD}|*cos 135 градусов=
=4*2sqrt(2)*(-sqrt(2)/2)=-8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

18:6=3
В 3 раза мальчиков больше, чем девочек,
В 3 раза девочек меньше, чем мальчиков. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть P(x)=a_(n)x^n+a_(n-1)x^(n-1) +... + a_(o)
-многочлен степени n

P(x^4)=a*(x^4)^n+ ... + a_(o) - многочлен степени 4n

(x^6+1)·P(x) - многочлен степени (n+6)

Два многочлена (x^6+1)·P(x) и P(x^4)+2x^2 равны, если их степени равны.
n+6=4n
3n=6
n=2

Значит P(x) = ax^2+bx+c
(x^6+1)·P(x)=ax^8+bx^7+cx^6+ax^2+bx+c

P(x^4)=ax^8+bx^4+c
P(x^4)+2^x2=ax^8+bx^4+2x^2+c

ax^8+bx^7+cx^6+ax^2+bx+c=ax^8+bx^4+2x^2+c

Два многочлена равны, если степени их равны и коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны.
Например, при x^2
слева а, справа 2
a=2

b=0
c=0

О т в е т. P(x)=2x^2
(x^6+1)·2x^2=2(x4)^2+2x^2 - верно

Ответ выбран лучшим

S(квадрата)=а^2=13^2=169

Ответ выбран лучшим

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(2t+6t^2)/(2+6t)=t(1+3t)/(1+3t)=t

Подставляем в уравнение :
t^2+2t^3=(t)^2+2*(t)^3 - верно

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=17670

Ответ выбран лучшим

Область определения:
-1-х ≠ 0
х ≠ - 1

-1-x=-(1+x)
Сокращаем на (х+1) и числитель и знаменатель.
Строим параболу у=-(x^2+2,25)
на (- бесконечность;-1)U(-1;+ бесконечность)
При х=-1 получаем, что у=-((-1)^2+2,25)=-3,25
точка (-1;-3,25) не принадлежит графику функции
Прямая у=kx, проходящая через эту точку пересекает график в одной точке.
-3,25=-k⇒ k=3,25

Прямые у=kx, которые являются касательными тоже будут иметь одну общую точку с графиком.

Составим уравнения таких касательных в точке с абсциссой х_(о)
у_(о)=-х^2_(о)-2,25

Находим
f`(x)=-2x
f`(x_(o))=-2x_(o)

y-(х^2_(о)-2,25)=-2x_(o)*(x-x_(o))

Так как касательные проходят через начало координат, то
подствляем в это уравнение вместо х 0 и вместо у 0
х^2_(о)=2,25
x_(о)=-1,5 или x_(o)=1,5
y_(о)=-4,5 или y_(о)=-4,5
k=3 или k=-3

О т в е т. -3; 3; 3,25 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S( параллелограмма)=a*b*sin альфа =18*12*(1/6)=36

Ответ выбран лучшим

Область определения:
-1-х ≠ 0
х ≠ - 1

-1-x=-(1+x)
Сокращаем на (х+1) и числитель и знаменатель.
Строим параболу у=-(x^2+2,25)
на (- бесконечность;-1)U(-1;+ бесконечность)
точка (-1;-1,25) не принадлежит графику функции
Прямая у=kx, проходящая через эту точку пересекает график в одной точке.
-1,25=-k⇒ k=1,25

Прямые у=kx, которые являются касательными тоже будут иметь одну общую точку с графиком.

Составим уравнения таких касательных в точке с абсциссой х_(о)
у_(о)=-х^2_(о)-2,25

Находим
f`(x)=-2x
f`(x_(o))=-2x_(o)

y-(х^2_(о)-2,25)=-2x_(o)*(x-x_(o))

Так как касательные проходят через начало координат, то
подствляем в это уравнение вместо х 0 и вместо у 0
х^2_(о)=2,25
x_(о)=-1,5 или x_(o)=1,5
y_(о)=-4,5 или y_(о)=-4,5
k=3 или k=-3

О т в е т. -3; 1,25; 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть длина дистанции S.
По условию
S/5 м пробежал за 16 секунд со скоростью 5 м/с
(S/5)=5*16
S/5=80
S=400

400-80=320 м осталось пробежать

320:96=10/3 м в сек.

Ответ выбран лучшим

Одно основание 2х, второе 3х
Средняя линия равна полусумме оснований
(2х+3х)/2, по условию 25
Уравнение
(2х+3х)/2=25
5х=50
х=10
Одно основание 2х=2*10=20, второе - 3х=3*10=30
О т в е т. 20

Ответ выбран лучшим

Четырехугольник КРСВ вписан в окружность.
Сумма противоположных углов равна 180 градусов.
∠ КРС+∠ КВС= 180 градусов, Угол АРК - смежный с углом КРС.
Поэтому
∠ АРК=∠ КВС
и
∠ АКР=∠ РСВ

Δ АКР подобен Δ АВС по двум углам.
Из подобия
КР:ВС=АР:АВ
КР:ВС=30:(1,2*ВС)
КР=30:1,2
КР=25 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ
{cosx > 0 х в первой или четвертой четверти
Замена
log_(2)(2cosx)=t
log_(2)(4cos^2x)=log_(2) (2cosx)^2=2log_(2)(2cosx)=2t
log^2_(2)(4cos^2x)=4t^2

4t^2-8t+3=0
D=64-48=16
t=1/2 или t=3/2

log_(2)(2cosx)=1/2
2^(1/2)=2cosx
cosx=sqrt(2)/2
x=± (π/4)+2πk, k∈Z

или

log_(2)(2cosx)=3/2
2^(3/2)=2cosx
cosx=sqrt(8)/2 - уравнение не имеет корней, |cosx| меньше или равно 1

О т в е т. ± (π/4)+2πk, k∈Z
Указанному отрезку принадлежит корень

х=(-π/4)-2π=-9π/4

–7π/2=-14π/4 < -9π/4 < -2π=-8π/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(1/3)54-log_(1/2)2=log_(1/3)54-(-1)=

=log_(1/3)54 + 1=

=log_(1/3)54 + log_(1/3)(1/3)=log_(1/3)(54*(1/3))=

=log_(1/3) 18

Ответ выбран лучшим

∠ А= ∠ К
∠ В= ∠ Н
∠ С= ∠ Р

АВ=КН
ВС=НР
АС=КР

Ответ выбран лучшим

Завод выпускает холодильники. В среднем на 1000 качественных холодильников приходится 89 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным.

Решение.
На 1000 качественных приходится 89 некачественных.
Значит в партии 1000+89=1089 холодильников.
По схеме классической вероятности:
n=1089
m=1000
p=m/n=1000/1089

1000/1089 ≈ 0,92
Если в условии задачи речь идет о партии в 1000 холодильников, а некачественных 89, то это означает,
что 1000 -89 = 911 холодильников качественных.

р=911/1000=0,911

Ответ выбран лучшим

(3/2) участка - это участок и еще половина.
Наверное, вспахали (2/3) участка, осталось вспахать (1/3).
Эта (1/3) и есть 4 га.
А весь участок 4*3=12 га

Ответ выбран лучшим

Если есть ответ, то можно просто раскрыть скобки и посмотреть, как он получился.

((x–y)+4)((x+y)–2)= (х-у)(х+у)+4(х+у)-2(х-у)-8=

=(х-у)(х+у)+4х+4у-2х+2у-8=

=(х-у)(х+у)+2х+6у-8=

=(х-у)(х+у)+2(х+3у)-8

Если теперь подняться снизу вверх, то получим решение этой задачи.
Надо догадаться (!), что
2х+6у=2х+4у+2у=4х+4у-2х+2у=4(х+у)-2(х-у)

Ответ выбран лучшим

10.
1)-5) см. рис. 1-5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Р( прямоугольника)=2*(4+6)=20 см
И сумма длин боковых ребер (боковые стороны равнобедренных треугольников)
8*4=32 см
20 см +32 см=52 см
О т в е т. 52 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

20:5=4 палочки на одну сторону квадрата.
Всего сторон у квадрата 4,
4*4=16 палочек на построение большого квадрата.

Чтобы разделить его на квадратики 5на 5
потребуется 3*4=12 палочек по вертикали
и 3*4=12 палочек по горизонтали
12=12=24 палочки на разделение квадрата
Всего 16+24=40 палочек (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Рассчитаем сколько мг активного вещества в одной таблетке
20*0,05=1 мг
Ребенку весом 5 кг требуется
1,4 мг*5= 7 мг активного вещества в день
7:1=7 таблеток лекарства дать в день

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_( 81) (13)=log_(3^4)(13)=(1/4)log_(3)13
О т в е т.
log_(3)13/((1/4)log_(3)13)=4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть произведено х единиц продукции А и у единиц продукции В
Тогда выручка
Р(x;y)=(1500х +900у) руб.
При условии
7х+7у меньше или равно 5600
2х+6у меньше или равно 3600
6х+2у меньше или равно 3000
Наибольшее значение функция Р(х;у) примет в точке А.
Наибольшее значение при х=300 у=500
Р(300;500)=1500*300+900*500=
=450 000 + 450 000 = 900 000 руб
О т в е т. 900 тыс. руб. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть хорды АВ и СD пересекаются в точке М
∠ СMB= ∠ FAB =50 градусов- односторонние углы при параллельных прямых AF || CD и секущей АВ.
∠ FAB- вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Значит, градус ная мера дуги в два раза больше, т.е 100 градусов.
О т в е т. 100 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D(y)=(- бесконечность;+ бесконечность )
y`=8x^3-8x
y`=0
8x*(x^2-1)=0
x=-1; х=0; х=1 - точки возможного экстремума
Находим знак производной

_-__ (-1) __+__ (0) __-__ (1) __+__

х=-1 и х=1 -точки минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
на (-бесконечность;-1) и на (0;1) функция убывает
на (-1;0) и на (1;+бесконечность) возрастает (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=4x^3-12x^2
f`(x)=0
4x^3-12x^2=0
4x^2*(x-3)=0
x=0 или х=3
Знак производной
_-__ (0) _-__ (3) ___+___

х=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
На (- бесконечность;0) и на (0;+ бесконечность ) функция убывает, на (3;+ бесконечность ) возрастает (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

△АA1В подобен △CС1A1
(по двум углам:
∠ ВА1А – общий, ∠ВАА1=∠С1СА1=90 °)
Из подобия
АA1:CA1=АВ:CC1
Пусть СА1=х

(6+х):x=10,5:1,5
Перемножаем крайние и средние члены пропорции

10,5х=1,5*(6+х)

10,5х=9+1,5х

10,5х-1,5х=9

9х=9

х=1
Ответ: 1 м
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos4x=1-2sin^2x
Уравнение принимает вид:
sin^22x-2sin2x*(1-2sin^22x)+1=0
sin^22x-2sin2x+4sin^32x+1=0
При sin2x=-1 равенство верно,
значит можно разложить левую часть на множители
(sin2x+1)*(4sin^22x-3*sin2x+1)=0
sin2x+1=0 или 4sin^22x-3sin2x+1=0
sin2x=-1 или D=9-4*4 < 0 уравнение не имеет корней
2x=(-Pi/2)+2Pik, k ∈ Z
x=(-Pi/4)+Pik, k ∈ Z

б)
2016π < (- π/4)+π*k < 2017π

2016 < (-1/4) + k < 2017
8064 < -1+4k < 8068
8065 < 4k < 8069
2016,25 < k < 2017,25
k=2017

Указанному отрезку принадлежит корень
х=(-Pi/4)+2017Pi=8067Pi/4

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
9*2^(2х+1)-5
2^(2x+1) > 5/9
2*2^2x > (5/9)
4^x > (5/18)
x > log_(4)(5/18)

Так как
4x=log_(2)2^(4x)
4x+log_(2)9=log_(2)2^(4x)+log_(2)9=log_(2)(9*2^4x)

Неравенство принимает вид
log_(2)(9*2^4x) > log_(2)(9*2^(2x+1)-5)
Логарифмическая функция с основанием 2 > 1 возрастающая, поэтому
9*2^4x > 9*2^(2x+1)-5
Замена переменной
2^(2x)=t
t > 0
2^(2x+1)=2t
9t^2-18t+5 > 0
D=324-180=144
t1=(18-12)/18=1/3 или t2=(18+12)/18=30/18=5/3
t < 1/3 или t > 5/3
2^2x < 1/3 или 2^(2x) > (5/3)
4^x < (1/3) или 4^x > (5/3)
x < log_(4)(1/3) или х > log_(4)(5/3)

5/18 < 6/18=1/3

C учетом ОДЗ получаем
(log_(4)(5/18);log_(4)(1/3)) U( log_(4)(5/3);+ бесконечность )
О т в е т. (log_(4)(5/18);log_(4)(1/3)) U( log_(4)(5/3);+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

ОДЗ
{x^2-8 больше или равно 0
{-2x больше или равно 0

{(- бесконечность;-2sqrt(2)]U[2sqrt(2);+ бесконечность)
{(- бесконечность;0]
x ∈ (- бесконечность:-2sqrt(2)]

Возводим в квадрат
x^2-8=-2x
x^2+2x-8=0
D=4+32=36
x1=(-2-6)/2=-4 или х2=(-2+6)/2=2∉ ОДЗ
О т в е т -4

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания равна а.
Тогда S(осн.)=a^2sqrt(3)/4
Боковые ребра пирамиды- катеты прямоугольных треугольников с гипотенузой а.
Значит, боковые ребра пирамиды равны (a*sqrt(2))/2
Высота пирамиды проектируется в центр правильного треугольника ( это центр как вписанной, так и описанной окружности).
Радиус описанной окружности
R=(a*sqrt(3))/3
По теореме Пифагора
H^2=(asqrt(2)/2)^2-(asqrt(3)/3)^2

H=sqrt(3)
3=(a^2/2)-(a^2/3)
a^2=18
a=3sqrt(2)
V=(1/3)S*H=(1/3)a^2sqrt(3)/4*(sqrt(3))=(1/3)*18*(3)/4=4,5

Ответ выбран лучшим

0+0=0 ·0 – верное равенство,
значит
уравнение имеет решение если
{sin2x=0 ⇒ 2x=πk, k∈Z x=(π/2)·k, k∈Z
{cos(x/2)=0 ⇒ x/2=(π/2)+πn, n∈Z x=π+2π·n, n∈Z
Общие решения первого и второго уравнений
(π/2)·k=π+2π·n, k, n∈Z
k=2+4n,n∈Z
о т в е т
π+2π·n, n∈Z

Делим на sin^223x ·cos(x/2) ≠ 0
(1/cos^2(x/2))+(1/sin^22x)=1
Применяем формулу
1+сtg^2 α =1/sin^2 α
1+tg^2α=1/cos^2α
(1+tg^2(x/2))+(1+ctg^22x)=1
tg^2 (x/2)+ctg^22x=–1
Уравнение не имеет корней.

О т в е т.
а)π+2π·n, n∈Z
б) Указанному отрезку принадлежат корни
–π; π
Значит сумма решений равна 0

Ответ выбран лучшим

Перенос запятой вправо на одну цифру соответствует умножению числа на 10.
{x+y=27,95
{x+10y=49,1

Вычитаем из второго уравнения первое
9у=21,15
у=2,35
О т в е т. 2,35

Ответ выбран лучшим

arcsin(–√3/2)=-Pi/3
cos(-Pi/3)=1/2
О т в е т. cos(arcsin(–√3/2))=cos(-Pi/3)=1/2

Ответ выбран лучшим

v( по течению)=v(лодки) + v( реки)
v( против течения)=v(лодки) - v( реки)

Пусть АВ=ВА=S

v(против течения)=S/4
v(реки)=S/8

v(лодки)=v(против течения)+v(реки)=(S/4)+(S/8)=3S/8
v(по течению)=(3S/8)+(S/8)=(4S/8)=S/2

t( по течению)=S/v(по течению)=S/(S/2)=2 часа

О т в е т. 2 часа

Ответ выбран лучшим

Пусть одно число х, второе у
x+y=28
у=28-х
Найдем сумму кубов:
x^3+y^3=x^3+(28-x)^3=x^2+28^3-3*28^2x+3*28*x^2-x^3=
=3*28*x^2-3*28^2x+28^3=
=28*(3x^2-3*28x+28^2)

Квадратный трехчлен
3x^2-3*28x+28^2 принимает наименьшее значение при
x=3*28/6=14
при этом
у=28-14=14

О т в е т. х=у=14

Ответ выбран лучшим

S=S(прямоугольника 5× 6) - s +s=S(прямоугольника 5× 6) =
=5*6=30 кв. ед.
О т в е т.. 30 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть АB=BC=CD=x
(x/40) час. - время, затраченное на путь АВ
(х/60) час. - время, затраченное на путь ВС
(х/24) час.- время, затраченное на путь СD.

(x/40)+(x/60)+(x/24) час. - время, затраченное на путь от А до D.

(x/40)+(x/60)+(x/24)=(3x+2x+5x)/120=10x/120=x/12

v(cp.)=S/t=(x+x+x)/(x/12)=36 км/час

О т в е т. 36 км/час.

Ответ выбран лучшим

sin(7π/6 – 2a)=sin(2π-(5π/6) – 2a)=-sin((5π/6) + 2a)
sin((5π/6) + 2a)=sin(5π/6)*cos(2a)+cos(5π/6)*sin2a
Формула
1+tg^2 альфа =1/(cos^2альфа)
tg альфа =(3sqrt(3))/2 ⇒ угол альфа в первой или третьей четверти
1+tg^2 альфа =1+(27/4)=31/4
cos^2альфа=1/(31/4)=4/31

2cos^2альфа=1+cos2альфа ⇒
cos(2альфа)=2cos^2альфа-1=
=2*(4/31)-1=-23/31
cos(2альфа) < 0, значит угол 2альфа во второй четверти ( а не в четвертой, где косинус имеет знак +)
Поэтому синус 2альфа во второй четверти и имеет знак +.
sin(2альфа)=sqrt(1-cos^22альфа)=sqrt(1-(-23/31)^2)=
=(sqrt(432))/31=(6/31)*sqrt(12)

sin((5π/6) + 2a)=
=sin(5π/6)*cos(2a)+cos(5π/6)*sin2a=
=(1/2)*(-23/31)*sqrt(12)+(-sqrt(3)/2)*(6/31)sqrt(12)=
=((-23/62)-6sqrt(3)/62)*sqrt(12)

31sin(7π/6 – 2a)=(23/2)+3srt(3)*sqrt(12)=

=(23/2)+3sqrt(36)=(23/2)+18=59/2=29,5

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinx*cosx

4sinx*cosx-4cosx+sinx-1=0
4cosx*(sinx-1)+(sinx-1)=0
(sinx-1)*(4cosx+1)=0
sinx-1=0 или 4сosx+1=0
sinx=1 или сosx=-1/4
x=(Pi/2)+2Pin, n ∈ Z или х= ± (Pi-arccos(1/4))+2Pik, k ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни ( см. рис.)
x1=(Pi/2)+2Pi*0=(Pi/2)
х2= (Pi-arccos(1/4))+2Pi*0=Pi-arccos(1/4)
х2=- (Pi-arccos(1/4))+2Pi*1=Pi+arccos(1/4)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению периодической функции
f(x)=f(x+Tn), где T- период, n ∈ Z

f(2)=f(2+7)=f(2+7*2)=f(16)
f(2)=7, значит f(16)=7

f(5)=f(5+7)=f(5+7*4)=f(33)
f(5)=1, значит f(33)=1

f(8)=f(8+7*4)=f(36)
f(8)=8, значит f(36)=8

О т в е т.
-4*f(16)+6f(33)+f(36)=-4*7+6*1+8=-28+6+8=-14

Ответ выбран лучшим

а) В основании пирамиды квадрат.
Все ребра пирамиды равны.
Вершина Е проектируется в центр квадрата- точку пересечения диагоналей ( точку О).
Построение сечения.
Соединяем М с N и продолжаем до пересечения с АВ.
Получаем точку F.
Соединяем K с N и продолжаем до пересечения с CB.
Получаем точку R.
Прямая FR - след секущей плоскости на основании АВСD

Продолжаем DB до пересечения с FR. Получаем точку Q.
Соединяем точку Q с точкой N и продолжаем до пересечения с ребром ЕD.
Получаем точку Т.
Сечение NKTM - искомое.

б)
Пирамиды ЕВСА и ЕNKM имеют общий трехгранный угол.
''Объемы двух треугольных пирамид, имеющих по равному трехгранному углу, относятся друг к другу, как произведения длин трех ребер равных трехгранных углов''.
Поэтому
V(ENKM)/V(EBCA)=(EM/EA)*(EN/EB)*(EK/EC)
V(ENKM)/V(EBCA)=(1/2)*(2/3)*(1/3)
V(ENKM)/V(EBCA)=1/9
V(EBCA)=(1/2)V(EABCD)
V(ENKM)=(1/18)V(EABCD)
Аналогично,
V(EMTK)/V(EACD)=(EM/EA)*(ET/ED)*(EK/EC)
Для нахождения отношения ET/ED применяем теорему Менелая.
По условию ЕМ : ЕА = 1:2, значит ЕМ:МА=1:1
EN : ЕВ = 2 :3, значит EN:NB=2:1
ЕК : ЕС = 1:3, значит EK:KC=1:2.
Из треугольника ЕСА
(ЕК/КС)*(СU/UA)*(AM/ME)=1 ⇒CA+AU=2AU; AU=CA
Из треугольника ЕОА
(EP/PO)*(OU/UA)*(AM/ME)=1
3EP=2PO
EP/PO=2/3
Треугольника BEO
(EN/NB)*(BQ/QO)*(OP/PE)=1
BQ/QO=1/3
BQ/QD=1/5
Из треугольника EBD
(EN/NB)*(BQ/QD)*(DT/TE)=1
TE/DT=2/5
ET/ED=2/7
V(EMTK)/V(EACD)=(EM/EA)*(ET/ED)*(EK/EC)=(1/2)*(2/7)*(1/3)=1/21

V(EMTK)=(1/15)V(EACD)=(=(1/42)V(EABCD)
V(EMNKT)=V(ENKM)+V(EMTK)=((1/18)+(1/42)) V(EABCD)=(5/63) V(EABCD)=(
V(EMNKT): V(EABCD)=5:58

О т в е т. 5:58
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Для построения прямой достаточно двух точек, например,
х=0 у=(3/4)*0+7=7
х=4 у=(3/4)*4+7=3+7=10
Через точки (0;7) и (4;10) проводим прямую.
2) у ≈13,5
3) Подставим координаты точки в уравнение
-5=(3/4)*(-16)+7
-5=-12+7 - верно
Принадлежит
4) с Осью оу точка (0;7)
С осью Ох
Решаем уравнение
(3/4)х+7=0
(3/4)х=-7
х=-7:(3/4)
х=-7*(4/3)
х=-28/3
х=-9 целых 1/3

5 Множество точек плоскости, у которых ординаты лежат выше прямой.
См. рис.2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В таблице 4x5 имеется 4 строки и 5 столбцов. В каждой строке возможны 4 пары соседних клеток.
Например,
(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)
В каждом столбце возможны 3 пары соседних клеток.
Например,
(1,6), (6,11), (11,16).
Всего имеется 4*4+5*3 = 16+15 = 31 соседних клеток.
В них входят соседние пары черных клеток, соседние пары белых клеток и соседние пары разных цветов.
Обозначим искомое число соседних пар белых клеток через x.
По условию
31 = 15+11+x
31=26+ x
х = 31-26 = 5.
Имеется 5 пар соседних клеток белого цвета.
Ответ: 5.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Функция f переводит х в 6^x
Функция g х делит на 6, значит и 6^x разделит на 6

g(f(x))=6^x/6=6^(x-1)
g(f(4))=6^(4-1)=6^3=216

Ответ выбран лучшим

https://ege.sdamgia.ru/problem?id=517584 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть высота СH пересекает сторону АВ в точке М
СM⊥ AB
Δ ВМС - прямоугольный с острым углом В в 30 градусов, значит
∠BCМ=60 градусов.
Пусть высота АH пересекает сторону ВС в точке Р
СM⊥ AB
Аналогично, Δ ВАР- прямоугольный с острым углом В в 30 градусов, значит
∠BАР=60 градусов.

∠BKH=60 градусов, как опирающийся на ту же дугу ВН)
Значит, ΔKBC - равнобедренный, с углами при основании КС по 60 градусов.
КВ=ВС
Значит, ΔKBC - равносторонний, все углы треугольника 60 градусов.
∠АВС = 30 градусов, значит и ∠ КВМ=30 градусов.
и АВ - биссектриса ∠KBC.

Δ АКВ=ΔАВС по двум сторонам и углу между ними.
Значит АК=АС=12
Δ АКВ вписан в окружность, значит по теореме синусов
АК/sin 30 градусов=2R;
R=12.

Δ КВЕ вписан в окружность,

∠BKE=∠BKH-∠EKH=60 градусов-∠EBH=
=60 градусов -15 градусов = 45 градусов.
П теореме синусов
BE/sin 45 градусов =2R
ВЕ=2*12*(√2)/2=12√2

О т в е т. 12√2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x+2)=3/(x+2)
f(2-x)=3/(2-x)

f(x+2)+f(2-x)=(3/(x+2))+(3/(2-x))=(3(2-x)+3(x+2))/((x+2)(2-x))=
=(6-3x+3x+6)/(x+2)(2-x)=12/(x+2)(2-x)

t(x^2-4)=3/(x^2-4)
-4f(x^2-4)=-12/(x^2-4)

12/((2+x)*(2-x))=-12/(x-2)(x+2) - верно

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 7 месяцев (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,305 м = 30,5 см

30,5 см *5+2,54 см*3=(152,5 + 7,62) см=160,12 см ≈ 160 см
О т в е т. 160 см

Ответ выбран лучшим

Если производная положительна на (a;b), то функция возрастает
Производная, график которой изображен на рисунке, положительна на интервалах, обозначенных на оси Ох синим цветом.
Целых точек, входящих в эти промежутки 6=2+4
Они отмечены на рисунке красным цветом (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

100%-((1,02)^2/(1,36)^2)*100%=100%-56,25%=
=43,75%

Пусть сумма вклада х руб, стоимость кирпича у руб
1 мая можно было купить (х/у) кирпича.

1 июня вклад составил 1,02х руб.
1 июля 1,02х*1,02=(1,02)^2x

1 июня стоимость кирпича 1,36у руб
1 июля стоимость кирпича (1,36)^2y руб.

Если (х/у) - составляет 100%,
то (1,02)^2x/(1,36)^2y составляют ? %

?=((1,02)^2/(1/36)^2)*100%=56,25%
100-56,25%=43,75%
О т в е т. на 43,75%

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Раскрываем знак модуля по определению
1)
При sinx больше или равно 0, |sinx|=sinx
уравнение принимает вид
sinx+sin3x+sinx=0
2sinx+sin3x=0
По формуле
sin3 альфа =3sin альфа -4sin^3 альфа
2sinx+3sinx-4sin^3x=0
5sinx-4sin^3x=0
sinx*(5-4sin^2x)=0
sinx=0 или 5-4sin^2x=0 ⇒ sin^2x=5/4
⇒ sinx=-sqrt(5)/2 < -1 или sinx=sqrt(5)/2 > 1 уравнение
sin^2x=5/4 не имеет корней.

sinx=0 ⇒ x=πk, k∈Z

2) При sinx < 0
|sinx|=-sinx
sinx+sin3x-sinx=0
sin3x=0
3x=πn, n∈Z
x=(π/3)*n, n∈Z
C учетом sinx < 0
О т в е т. a)(4π/3)+2πn, n∈Z и (5π/3)+2πm, m∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат 4 корня
π; 4π/3; 5π/3; 2π

Ответ выбран лучшим

Переносим 4 влево, приводим к общему знаменателю
((х-32)-4*(х-2))/(х-2)=0
(х-32-4х+8)/(х-2)=0
(-3х-24/(х-2)=0
Дробь равна 0 когда ее числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0
{-3х-24=0 ⇒ х=-8
{x-2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2

О т в е т. -8

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагональ белого квадрата равна 2-(-2)=4
Диагональ черного квадрата равна 4-(-4)=8
S(квадрата)=(1/2)d^2
S(белого квадрата )=(1/2)*4^2=8
S(черного квадрата)=(1/2)*8^2=32

S(заштрихованной фигуры)=S(черного квадрата)-S(белого квадрата )=32-8=24

О т в е т. 24

Ответ выбран лучшим

Р(ромба)=а+а+а+а=4а
4а=200
а=50
Пусть BD=3x; AC=4x
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
AOD
AD^2=AO^2+OD^2
50^2=(2x)^2+(3x/2)^2
2500=25x^2/4
x^2=400
x=20
Значит
BD=3x=3*20=60
AC=4x=4*20=80
S(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)=(1/2)BD*AC=(1/2)*60*80=2400
S(ромба)=a*h=50h
50h=2400
h=2400/50
h=48
О т в е т. 48

Ответ выбран лучшим

В основании пирамиды - квадрат.
Высота проектируется в центр квадрата- точку О.
Точка О - точка пересечения диагоналей.
АО=ОВ=ОС=ОD.
Равные проекции имеют равные наклонные.
Все ребра пирамиды равны. Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и его проекцией на основание.
Из прямоугольного треугольника SCO с острым углом в 30 градусов находим SO=2 ( катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)
По теореме Пифагора
ОС=sqrt(4^2-2^2)=sqrt(12)=2sqrt(3)
АС=4sqrt(3)
AD=AC*sin45 градусов=4sqrt(3)*sqrt(2)/2=2sqrt(6)

V(пирамиды)=(1/3)*S(основания)*Н=
=(1/3)*S(квадрата АВСD)*SO=
=(1/3)*(2sqrt(6))^2*2=
=16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле логарифма разности
=log_(5)(312,5/2,5)=log_(5)125=3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

y`=(0,5x^2-11x+28lnx+9)`=x-11+(28/x)=(x^2-11x+28)/x
y`=0
x^2-11x+28=0
D=121-4*28=9
x1=(11-3)/2=4 или х2=(11+3)/2=7
4 и 7 точки, в которых возможно наличие экстремума ( максимума или минимума)
Применяем достаточное условие экстремума. Проверяем знак производной.
(0) __+__ (4) __-___ (7) __+___

х=4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

О т в е т. Точка х=4

Ответ выбран лучшим

1%=1/100=0,01
8%=8/100=0,08
Пусть куртка стоит х руб
рубашка у руб.
8% от х это 0,08х
х-0,08х=0,92х

Уравнение
4у=0,92х ⇒ у=0,23х

5у=5*0,23х=1,15х
1,15х-х=0,15х
0,15=15/100=15%

О т в е т. на 15%

Ответ выбран лучшим

=(tgx)|^( Pi/2)_(0)=tg(Pi/12)-tg0=tg(Pi/12)
По формуле тангенса половинного аргумента
=tg(Pi/12)=sin(Pi/6)/(1+cos(Pi/6))=

=(1/2)/(1+sqrt(3)/2)=1/(2+sqrt(3))

О т в е т. 1/(2+sqrt(3))

Ответ выбран лучшим

Δ АВС - равносторонний, АВ=ВС=АС=16
Точка М делит ребро В1С1 на 4 части (1+3=4)
В1M=4
MC1=12
Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АВС и А1В1С1 по параллельным прямым.
Проводим МК || АС|| A1C1
Получаем трапецию АКМС
КМ=4
АС=16
Из прямоугольного треугольника МС1С
МС^2=МС^2_(1)+C_(1)C^2=12^2+6^2=180
Проводим высоту из точек К и М на АС
Они делят основание на три части.
Средняя часть равна MK и равна 4
Боковые части (16-4)./2=6
По теореме Пифагора
H ( сечения)=sqrt((sqrt(180))^2-6^2)=sqrt(144)=12
S(сечения- трапеции АКМС)=(1/2)*(КМ+АС)*H=
=(1/2)((4+16)*12=120
О т в е т. 120

Ответ выбран лучшим

4x^2+4x+5=(2x+1)+4
Замена переменной
u=2x+1
du=2dx
dx=(1/2)du
Получаем интеграл
∫ (1/2)du(/u^2+4)=(1/2)arctg(u/2) + C
Обратная замена приводит к ответу
О т в е т. (1/2) arctg((2x+1)/2) + C

Ответ выбран лучшим

1)x·√(x^2–4)+√(x^2–4)=0
Раскладываем левую часть на множители
√(x^2–4)*(x+1)=0
Произведение двух множителей равно
когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла (!)
√(x^2–4)=0 или х +1=0 при условии, что x^2-4 больше или равно 0
x^2=4 или x=-1, но при х=-1 подкоренное выражение x^2-4=1-4 < 0
x^2=4
х=-2 или х=2.
О т в е т. -2;2

2) 5*cos^2α–sin^2α=5*cos^2α–sin^2α=5*cos^2α–(1-cos^2α)=
=6*cos^2α–1
При cosα= – 0,7
6*cos^2α –1=6*(-0,7)^2 - 1=6*0,49 - 1=1,94.

3) 15–2x–x^2 больше или равно 0.
Умножаем на (-1)
x^2+2x-15 меньше или равно 0
D=4-4*(-15)=64
x1=(-2-8)/2=-5 или х2=(-2+8)/2=3
x^2+2x-15 меньше или равно 0 при х ∈(-5;3)

Условие√(4–x^2)+1 > 0 выполняется при всех х, при которых подкоренное выражение определено (существует)
т.е при х ∈ [-2;2]

Целочисленные решения неравенства
-2;-1;0;1;2

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

700:100*15=7*15=105 руб составляют 15%
700+105=805 рублей будет на счете

Ответ выбран лучшим

См. рисунок. Прямая пересекает ось Оу в точке (0;-6) ось Ох в точке (2;0)
И отсекает треугольник АОВ с катетами
ОА=6
ОВ=2
S=(1/2)OA*OB=(1/2)*6*3=9
О т в е т. 9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(π+x)=-sinx

-2sinx=2sinx*cosx-3sin^3x

3sin^3x-2sinx*cosx-2sinx=0
sinx*(3sin^2x-2cosx-2)=0
sinx=0 или 3sin^2x-2cosx-2=0

sinx=0 ⇒ x=Pik, k ∈ Z
3sin^2x-2cosx-2=0 ⇒ 3*(1-cos^2x)-2cosx-1=0
3cos^2x+2cosx-1=0
D=4-4*3*(-1)=16
cosx=-1 или cosx=1/3
x=π+2πm, m∈Z или х=± arccos(1/3)+2πn, n∈Z

О т в е т.
а) Pik,
π+2πm
± arccos(1/3)+2πn
k,m,n∈Z
б) указанному промежутку принадлежат корни
-Pi;0;Pi; 2Pi
-arccos(1/3);-arccos(1/3)+2π;
arccos(1/3)

Ответ выбран лучшим

Когда первая машина свернула на грунтовую дорогу, вторая продолжает движение по асфальтированной дороге.

Вторая машина проедет по асфальту 36 м со скоростью 90 км/ч за 0,036:90=0,0004 ч.
За это время первая машина проедет по грунтованной дороге
60*0,0004 =0,024 км или 24 м
О т в е т. 24 м

Ответ выбран лучшим

скорость - первая производная пути, зависящего от времени t
v(t) = S'(t) =(3t^4+3t^2+10)' = 12t^3+6t

v(5) = 12*5^3+6*5= 1530 м/с

ускорение, зависящее от времени t - это вторая производная пути, зависящего от времени t или первая производная скорости, зависящей от времени t
а(t) = S``(t)=(S`(t))` =(v(t))`=(12t^3+6t)`=36t^2+6

a(5) = 36*5^2+6=36*25+6=906 м/с2

v_(cp.)=S/t=(S(5)-S(0))/5=(3*625+3*25+10-10)/5=

=1950/5=390 м/с

Ответ выбран лучшим

Пусть первоначальная стоимость увеличивается на р процентов
20 000:100·р=200р
(20 000 +200р ) – стоимость после первого повышения через 6 месяцев

(20 000 +200р ) :100·р =(200+2р)·р– второе повышение через следующие 6 месяцев.
(20 000 +200р )+(200+2р)·р - стоимость через 12 месяцев.
Больше стоимость не повышалась.

Уравнение
(20 000 +200р )+(200+2р)·р =22 050
2p^2+400p-2050=0
p^2+200p-1025=0
D=200^2-4*(-1025)=40000+4100=44100=210^2
p=(-200+210)/2=5
второй корень отрицательный

О т в ет. 5%

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

http://class-fizika.ru/10_a8.html (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

https://infourok.ru/statya-geometricheskie-zadachi-dlya-uchaschihsya-klassa-podgotovka-k-olimpiadam-1538170.html (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

△АВ1В подобен △СС1А1 (по двум углам:
∠ ВА1А - общий, ∠ВАА1=∠С1СА1=90 градусов)
Из подобия
АА1:СА1=АВ:СС1
Пусть АС=х
(х+9):9=5,7:1,9
(х+9):9=3
х+9=27
х=27-9
х=18
Ответ: 18 м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проведем BK⊥OA
Из прямоугольного треугольника ОВК:
tg ∠ BOK=BK/OK= 3/5
∠ AOB и ∠ BOK это один и тот же угол.
О т в е т. 3/5=0,6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула
tg альфа +tg бета =sin( альфа + бета )/(cos альфа *cos бета )
tg(2x+1)+tgx=0
sin(2x+1+x)=0
sin(3x+1)=0
3x+1=Pik, k ∈ Z
x=(Pik-1)/3, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

7x^2-x-6=0
D=(-1)^2-4*7*(-6)=169=13^2
x1=(1-13)/14=-12/14=-6/7 или х2=(1+13/14=1

Ответ выбран лучшим

Пусть стоимость украшений первого вида х руб, стоимость украшений второго вида у руб.

По условию задачи
(если купить 7 украшений первого вида и 8 второго, то придётся заплатить более 165 рублей.
если же купить 8 украшений первого вида и 7 второго, то придётся заплатить меньше 165 рублей)
можно составить систему двух неравенств:

{7x+8y > 165
{8x+7y < 165

8х + 7у < 165 < 7х + 8у

Причем стоимость украшений разных видов не должна отличаться больше чем на 2 рубля.
Значит 7х+8y-(8x+7y) ≤ 2 ⇒ y - x ≤ 2

При
x=10; y=12

7х+8у=7*10+8*12 = 166> 165
8x+7y=8*10+7*12=164 < 165

О т в е т. 10 рублей стоимость украшения первого вида и 12 рублей стоимость украшения второго вида

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол ВАС измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Центральный угол ВОС измеряется дугой, на которую он опирается.
∠ ВОС = 140 градусов.
Сумма углов четырехугольника СОВМ равна 360 градусов
∠ МВО= ∠ МСО = 90 градусов ( касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания)
О т в е т. ∠BMC= 360 градусов - 140 градусов - 90 градусов - 90 градусов = 40 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

100-25-23-27=25 учащихся в 10 ''В'' классе.

25/100=1/4 часть составляют учащиеся 10 ''В'' класса.

О т в е т. 25% или 1/4 часть

Ответ выбран лучшим

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
События ''температура тела будет не больше, чем 36,6'' и
''температура тела человека будет больше, чем 36,6'' - противоположны.
1-0,83=0,17
О т в е т. 0,17.

Ответ выбран лучшим

За час первый кран наполняет (1/6) часть бассейна, второй кран наполняет (1/8) часть бассейна, третий опорожняет (1/4) часть бассейна.
(1/6)+(1/8)-(1/4)=1/24 часть бассейна.
Весь бассейн наполнится за 24 часа
О т в е т . 24 часа

Ответ выбран лучшим

0+0=0 ·0 – верное равенство,
значит
уравнение имеет решение если
{cos(3x/2)=0 ⇒ 3x/2=(π/2)+πk, k∈Z x=(π/3)+(2π/3)·k, k∈Z
{sinx=0 ⇒ x=πn, n∈Z
Общие решения первого и второго уравнений
х=π+2πm, m∈Z
( см. рис.)

о т в е т
x=π+2πm, m∈Z

Делим на cos^2(3x/2) · sin^2x ≠ 0
(1/sin^2x)+(1/cos^2(3x/2))=1
Применяем формулы
1+сtg^2α =1/sin^2α
и
1+tg^2α =1/cos^2α
(1+ctg^2x)+(1+tg^2(3x/2))=1
ctg^2x+tg^2(3x/2)=–1
Уравнение не имеет корней.

О т в е т.
а)x=π+2πm, m∈Z
б) Указанному отрезку принадлежат корни
–5π; –3π; -π; π; 3π; 5π
Их сумма равна 0
В ответе 0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=1 или x=2 или х=5 или lnx=0 ⇒ x=e^0; x=1 - точки, в которых производная обращается в ноль.
Применяем достаточное условие экстремума.
Находим как меняются знаки производной при переходе через каждую точку

(0) _ +_ (1) _+_ (2) ___-_____ (5) __+___

x=5 - точка минимума, производная меняет знак с - на 5

О т в е т. сколько точек минимума - одна

Ответ выбран лучшим

n=1000 - число исходов испытания
m=75+50=125 - число исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А -'' билет выигрышный''
р(А)=m/n=125/1000=0,125=1/8
О т в е т. 0,125

Ответ выбран лучшим

0+0=0 *0 - верное равенство,
значит
уравнение имеет решение если
{sin3x=0 ⇒ 3x=πk, k∈Z x=(π/3)*k, k∈Z
{sin5x=0 ⇒ 5x=πn, n∈Z x=(π/5)*n, n∈Z
Общие решения первого и второго уравнений
(π/3)*k=(π/5)*n, k, n∈Z
5k=3n
k- кратно 3, n - кратно 5
k=3m; n=5m, m∈Z
о т в е т
x=πm, m∈Z

Делим на sin^23x · sin^25x ≠ 0
(1/sin^25x)+(1/sin^23x)=1
Применяем формулу
1+сtg^2 альфа =1/sin^2 альфа )
(1+ctg^2 5x)+(1+ctg^23x)=1
ctg^2 5x+ctg^23x=-1
Уравнение не имеет корней.

о т в е т.
нет корней

О т в е т.
а)πm, m∈Z

б)-2π; -π; 0; π - корни, принадлежащие отрезку [–5π/2; 5π/3]
Сумма корней равна -2π

Ответ выбран лучшим

120 градусов.
См. рисунок.
АВ=АС- отрезки касательных проведенных к окружности из одной точки, равны.
ОВ=ОС=R
ОВ ⊥ АВ
ОС ⊥ АС
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Прямоугольные треугольники ОАВ и ОАС равны по двум катетам.
∠ ОАВ= ∠ ОАС=30 градусов,
Значит
∠ АОВ= ∠ АОС=60 градусов.
∠ ВОС - центральный угол, опирающийся на дугу n
Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
Значит градусная мера дуги n равна 120 градусов.
Градусная мера дуги m равна 360 градусов - 120 градусов=
240 градусов.
О т в е т. 120 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(поверхности шара_(1))=4Pi*r^2
S(поверхности шара_(2))=4Pi*R^2
По условию
S(поверхности шара_(2))=9S(поверхности шара_(1))
4Pi*R^2=9*4Pi*r^2
R^2=9r^2
R=3r

V(шара_(1))=(4/3)Pi*r^3
12=(4/3)Pi*r^3
Pi*r^3=9
V(шара_(2))=(4/3)Pi*R^3=(4/3)*Pi*(3r)^3=36Pi*r^3=

=36*9=324

О т в е т. 324

Ответ выбран лучшим

S( пов. шара)=4Pi*R^2
4Pi*R^2=393 ⇒ Pi*R^2=393/4

r=R/sqrt(3)

s(нового шара)=4Pi*r^2=4Pi*(R/sqrt(3))^2=(4/3)Pi*R^2=
=(4/3)*(393/4)=131
О т в е т. 131

Ответ выбран лучшим

1)vector{c}=(1/4)*vector{a}-2*vector{b}

vector{c}=((1/4)*8-2*3;(1/4)*(-4)-2*(-2))=(-4;3)

2)
Уравнение окружности с центром в точке О и радиусом R имеет вид
(х-(-11))^2+(y-2)^2=R^2
(х+11)^2+(y-2)^2=R^2
Чтобы найти R подставляем координаты точки У(-5;-6) в уравнение
(-5+11)^2+(-6-2)^2=R^2
R^2=10^2
О т в е т. (х+11)^2+(y-2)^2=10^2
3)
Треугольник НСD - равнобедренный,

∠ НСD= ∠ ВСН - биссектриса СН делит угол С пополам
∠ СHD=∠ ВСН- внутренние накрест лежащие углы.
Поэтому ∠ НСD= ∠ СHD
СD=DH
Аналогично,
треугольник АВН - равнобедренный,

∠ АВН= ∠ НВС- биссектриса ВН делит угол В пополам
∠ АHВ=∠ НВС- внутренние накрест лежащие углы.
Поэтому ∠ АВН= ∠ АHВ
AH=AB

Пусть CD=x, тогда и DH=x
AD=BC=15, противоположные стороны параллелограмма равны.
Значит АН=15-x
АВ=АН=15-х

АВ=СD
15-x=x
2x=15
x=7,5

Р( параллелограмма)=2*(АВ+ВС)=

=2*(7,5+15)=45
О т в е т. 45 см

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойствам степени
a^m*a^n=a^(m+n)

a^(12)*a^(-4)=a^(12+(-4))=a^(8)

При а=-1/2

a^8=(-1/2)^8=1/2^8=1/256

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/5)=5^(-1)
(1/5)^(1/x)=(5^(-1))^(1/x)=5^(-1/x)

Уравнение имеет вид
5^(-1/x)=5^3
(-1/x)=3
x=-1/3

Ответ выбран лучшим

1 красный и 7-1=6 синих
или
2 красных и 7-2=5 синих
или
3 красных и 7-3=4 синих
или
4 красных и 7-4=3 синих
или
5 красных и 7-5=2 синих
или
5 красных и 7-6=1 синий.

Ответ выбран лучшим

Выносим за скобки 3 в меньшей степени
3^(x-1)*(1-3+3^2)=63
3^(x-1)*7=63
3^(x-1)=9
3^(x-1)=3^2
x-1=2
x=3

Ответ выбран лучшим

3^x=(5^2)^x;
3^x=25^x
Делим обе части уравнения на 25^x > 0
(3/25)^x=1
(3/25)^x=(3/25)^0
x=0
О т в е т. х=0

Ответ выбран лучшим

0,5x=± (2π/3)+2πk, k∈Z
x=± (4π/3)+4πk, k∈Z

Отрезку [-2Pi;0] принадлежит корень
-(4π/3).

Ответ выбран лучшим

2^x=t
t > 0
2^(-x)=1/t
t+(3/t) меньше или равно 4

или

t^2-4t+3 меньше или равно 0
D=16-12=4
t=1 или t=3

Решение неравенства
1 меньше или равно t меньше или равно 3
Обратная замена
1 меньше или равно 2^x меньше или равно 3

0 меньше или равно х меньше или равно log_(2)3

О т в е т. [0; log_(2)3]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) х+у=9 - плоскость проходящая через ось Оz, перпендикулярно пл. хОу ( см. рис.1 граница зеленого цвета)
2x-y=0 - плоскость проходящая через ось Оz, перпендикулярно пл. хОу ( см. рис. 2, граница синего цвета)

Эти плоскости пересекаются по прямой ( сиреневого цвета), проходящей через точку К(3;6) на плоскости хОу и параллельной оси Оz
z=0 - плоскость хОу.

z=x^2 - параболический цилиндр с образующими параллельными оси Оу.

Получаем треугольную призму, в основании которой треугольник MOК.
Со стороны ОК - плоскость 2х-у=0, со стороны КМ - плоскость х+у=9, со стороны ОМ - поверхность z=x^2

см. рис. 1; рис. 2 и рис. 3 приложения1

2)
Бесконечный конус с вершиной в точке (8;0;0)
Плоскость х=-1 ограничивает круговой конус, условие
z больше или равно 0 приводит к тому, что от конуса остается верхняя половина.
см. приложение 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

u=9x^2+2
du=18xdx
3xdx=(1/6)du

=(1/6) ∫ du/u=(1/6)ln|u|+C=(1/6)ln|9x^2+2|+C

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7*2=14
5^(log_(5)2)=2 - основное логарифмическое тождество

Ответ выбран лучшим

1) z=(x^2/9)+y^2 - эллиптический параболоид
На плоскости хОу одна точка (0;0;0)
При z=1 в сечении эллипс (x^2/9)+y^2 =1
(''прижатый'' к оси ох)
2) z=(4/3) - (1/3)y^2 - параболический цилиндр.
Вершины парабол лежат на прямой, проходящей через точку (0;0;4/3) и параллельной пл. хОу.
Все параболы параллельны параболе z=(4/3) - (1/3)y^2, построенной в пл. yOz
3) Эллипсоид
a=1
b=2
c=4
4) (x^2/4)-(z^2/4)=1
- гиперболический цилиндр, образующие которого параллельны оси Оу.
Гипербола при на плоскости хОz
имеет вершины в точках (2;0;0) и (-2;0;0)
5) Конус вращения.
Сечения конуса, плоскостями, параллельные пл. уОz, окружности, радиусы которых с увеличением x по модулю, увеличиваются (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составить уравнения грани ABD - уравнение плоскости, проходящей через три точки.
См. приложение.

Уравнение высоты СН - уравнение прямой, проходящей через точку С, направляющий вектор этой прямой - это нормальный вектор плоскости АВD.

(х+5)/8=(y+2)/(-29)=z/(-1) - уравнение высоты СН

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из уравнения прямой получаем уравнения
(x–5)/1 = (y–3)/(–1) ⇒ x+y-8=0 ⇒y=8-х
(y–3)/(–1) = (z–2)/0 ⇒ z=2

Подставляем в уравнение плоскости
3х+(8-х)-5*2-12=0
2х=14
х=7

у=8-х=8-7=1

Координаты точки пересечения плоскости и прямой (7;1;2)

Найти угол между плоскостью и прямой - найти угол между нормальным вектором
плоскости vector{n}=(3;1;-5) и направляющим вектором прямой vector{р}=(1;-1;0)

cos phi =( vector{n}*vector{р})/(|vector{n}|*|vector{р}|)=

=(3*1+1*(-1)+(-5)*0)/(sqrt(35)*sqrt(2))=2/sqrt(70)=sqrt(2/35)

тогда

sin phi = sqrt(1-cos^2 phi )=sqrt(1-(2/35))=
sqrt(33/35)

phi =arcsin sqrt(33/35)

Ответ выбран лучшим

Нормальный вектор плоскости
4x–5y+3z–1=0
vector{n}=(4;-5;3) является вектором коллинеарным искомой плоскости.
Пусть M ( x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.
Три вектора vector{n}; vector{M1M2}=(-3;0;-4) и vector{M1M}=(x-1; y-4; z+1) компланарны.
Значит определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0
x-1 ; y-4 ; z+1
4 ; -5 ; 3
-3 ; 0 ; -4

20(x-1)-9(y-4)-15(z+1)+16(y-4)=0
20x+7y-15z-63=0

d=|20*0+7*0-15*0-63|/sqrt(20^2+7^2+15^2)=
=63/sqrt(674)
О т в е т. 20х+7у-15z-63=0
d=63/sqrt(674)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По правилу умножения матрицы первой матрицы на матрицу Х следует, что матрица Х должна содержать три строки и два столбца.
Обозначим
a e
b f
c g

Тогда
Умножая первую матрицу на Х получим матрицу размером 2 на 2
a+2b+c e+2f+g
a+b+c e+f+g

Умножая эту матрицу на третью матрицу
получим
e+2f+g 2a+4b+2c
e+f+g 2a+2b+2c

По правилу равенства двух матриц, размеры полученный матрицы и матрицы справа 2 На 2.
Приравниваем соответствующие элементы
e+2f+g=4
2a+4b+2c=2 ⇒ a+2b+c=1
e+f+g=1
2a+2b+2c=2 ⇒ a+b+c=1

b=0 и a+c=1

Из третьего равенства
e+g=1-f
подставляем в первое равенство
1-f+2f=4
f=3

e+g=-2

О т в е т.
a e
0 3
1-a -2-e

Ответ выбран лучшим

m=0 и m=-15 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из площади желтого параллелограмма вычитаем площадь розового и добавляем площадь сиреневого прямоугольного треугольника
S=8*6-2*2+(1/2)2*2=48-4+2=46 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) да
2) Нет, так как самая большая хорда- диаметр
3) С=2PiR=PiD
C/D=Pi > 3 - верно

Ответ выбран лучшим

заниматься преподавательской деятельностью. И все

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=20920

АТ=ТА1=3см
Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости
ВВ1С1С и AA1D1D по параллельным прямым
ТК - средняя линия треугольника AA1D

B1C=A1D=√(6^2+6^2)=√(72)=6sqrt(2)
TK=(1/2)A1D=3sqrt(2)
DK=3

КС=sqrt(6^2+3^2)=√45=3sqrt(5)
TB1=sqrt(6^2+3^2)=√45=3sqrt(5)

P(сечения)=В1С+СК+ТК+КВ1=
=6sqrt(2)+3sqrt(2)+3sqrt(5)+3sqrt(5)=
=9sqrt(2)+6sqrt(5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6:0,15=40
3:0,15=20
40*20=800 плиток потребуется

160*5=800 плиток имеется.
О т в е т. Хватит

Ответ выбран лучшим

1600 граммов сплава - 100%
х граммов меди - 14%

х=1600*14:100=224 г - медь

1600-224=1376 г цинк

Ответ выбран лучшим

cosx=-1 или tg(x/2)=0 ⇒ sin(x/2)=0; cos(x/2) ≠ 0

x=Pi+2Pik, k ∈ Z

x/2=Pin, n ∈ Z ⇒ x=2Pin, n ∈ Z

(x/2) ≠ (Pi/2)+Pim, m ∈ Z ⇒ x ≠ Pi+2Pim, m ∈ Z

О т в е т. 2Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

40-12-16=12 рублей
О т в е т. 12 рублей

Ответ выбран лучшим

Переносим все слагаемые влево и выносим х за скобки
x*(3*3^x+3^2*3^(-x)-28) больше или равно 0
Произведение положительно, когда множители имеют одинаковые знаки
{x больше или равно 0
{3*3^x+3^2*3^(-x)-28 больше или равно 0
или
{x меньше или равно 0
{3*3^x+3^2*3^(-x)-28 меньше или равно 0

Замена переменной
3^x=t
t > 0
3^(-x)=1/t

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение
2t^2+7t+3=0
D=49-24=25
t=-3 или t=-1/2

cosx=-3 - уравнение не имеет корней

cosx=(-1/2)
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z

Указанному отрезку принадлежат корни
2π/3
и
(-2π/3)+2π=4π/3

Ответ выбран лучшим

АВ- диаметр, значит угол В - прямой.

АВ - гипотенуза

AB=20

АВ^2 = ВС^2 + АС^2

ВС^2=400-256=144

BC=12

Ответ выбран лучшим

21,5 - большее значение (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+x-6 > 0 ⇒ (- бесконечность;-3)U(2;+ бесконечность)
{x-2 > 0, x-2 ≠ 1 ⇒ (2;3)U(3;+ бесконечность)
{x+3 > 0; x+3 ≠ 1 ⇒ (-3;-2)U(-2;+ бесконечность )

x ∈ (2;3)U(3;+ бесконечность)

1=log_(3)3
1/log_(x-2)3=log_(3)(x-2)
1/log_(x+3)3sqrt(3)=log_(3sqrt(3)(x+3)=log_(3^(4/3))(x+3)=
=(1/(4/3))log_(3)(x+2)=(3/4)log_(3)(x+2)

Неравенство принимает вид
log_(3) 3 + log_(3) (x^2+x-6) больше или равно log_(3)(x-2)+(3/2)log_(3)(x+3)

log_(3)3*(x^2+x-6) больше или равно log_(3)(x-2)*sqrt((x+3)^3)

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому
3*(x^2+x-6) больше или равно (x-2)*sqrt((x+3)^3)
3*(x-2)*(x+3) больше или равно (x-2)*sqrt((x+3)^3)
(x-2)*(3(x+3)-sqrt((x+3)^3) больше или равно 0
Применяем метод интервалов.
Находим нули функции
у=(x-2)*(3(x+3)-sqrt((x+3)^3)
х-2=0 ⇒ х=2 не входит в ОДЗ
или
3(x+3)-sqrt((x+3)^3)=0
3(x+3)=sqrt(x+3)^3
Возводим в квадрат
9(х+3)^2=(x+3)^3
9(х+3)^2-(x+3)^3=0
(x+3)^2*(9-x-3)=0
(x+3)^2*(6-x)=0
x=-3 или х=6

-3 не принадлежит ОДЗ
Отмечаем х=6 ( сплошным кружком, на рисунке квадратные скобки, означающие принадлежность точки помежутку) на ОДЗ:
При х=10
(10-2)*(3*13-13sqrt(13)) < 0, ставим минус на (6;+ бесконечность)
далее знаки чередуем, при переходе через точку х=3 знак не меняется.

(2) __+__(3) ___+____ [6] __-__

О т в е т. (2;3) U (3;6]

Ответ выбран лучшим

y`=0
((x-1)/(x-3))*(e^(x-1)-1)=0
x-1=0 или e^(x-1)-1=0 ⇒ e^(x-1)=1 ⇒ e^(x-1)=e^0 ⇒ x-1=0
x=1 - точка возможного экстремума, в которой производная обращается в 0
и
х=3 - точка возможного экстремума, в которой производная не существует.
Применяем достаточное условие экстремума.
Проверяем знак производной:

При х=10 y`=(9/7)*(e^9-1) > 0
При х=2 y`=(1/(-1))*(e-1) < 0
При х=1/2 y`=(-1/2)/(-5/2)*(e^(-1/2)-1)=(1/5)*((1/sqrt(e))-1) < 0
[0] __-_ (1) ____-_____ (3) ___+____

x=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=1 не является точкой экстремума.

О т в е т. Одна точка х=3

Ответ выбран лучшим

V( данного шара)=(4/3)PiR^3
D=3d
D=2R; d=2r

2R=3*2r
R=3r
V( данного шара)=(4/3)Pi(3r)^3
135=(4/3)*27*Pi(r)^3 ⇒ (4/3)Pi(r)^3=135/27=5

V( второго шара)=(4/3)Pi(r)^3=5

О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

На 5 делятся числа
5; 10; 15; 20; 25; 30
На 7 делятся числа
7; 14; 21; 28

Всего чисел 32,
n=32
Чисел, удовлетворяющих наступлению события
m=10

р=m/n=10/32=5/16=0,3125

Ответ выбран лучшим

Раскрываем скобки, возводим в квадрат.
Так как
sin^2x+cos^2x=1
sin^22x+cos^22x=1
sin2xsinx+cos2xcosx=cos(2x-x)=cosx

уравнение принимает вид:
2cosx=-1
cosx=-1/2
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z

Указанному промежутку принадлежат корни
х=-2π/3 и х=2π/3

О т в е т.
a)± (2π/3)+2πk, k∈Z

б)(-2π/3)∈ [–5π/6; 5π/6];
(2π/3) ∈[–5π/6; 5π/6] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть r- радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.
V( цилиндра)=Pir^2h

Тогда радиус основания конуса R=2r, высота H
V ( конуса) = (1/3)*Pi* R^2*H= (1/3)*Pi* (2r)^2*H=(4/3)Pi* r^2*H

По условию
V( цилиндра)=V ( конуса)
Pir^2h= (4/3)Pi* r^2*H
h=(4/3)H
H:h=3:4

О т в е т. 3:4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Значит, градусная мера дуги AD ( на нее опирается угол ABD)
74 градусов *2= 148 градусов.
градусная мера дуги DС ( на нее опирается угол DBC)
38 градусов *2= 76 градусов.
градусная мера дуги ВС ( на нее опирается угол BDC)
65 градусов *2= 130 градусов.

Окружность содержит 360 градусов.
Значит градусная мера дуги АВ=
360 градусов - 148 градусов - 130 градусов - 76 градусов=
6 градусов.
∠ ADC=3 градусов

Наибольший угол четырехугольника АВСD опирается на наибольшую дугу.
Дуга АВС 136 градусов
Дуга АDС 224 градусов - наибольшая дуга
Дуга DАВ 154 градусов
Дуга ВСD 206 градусов

На дугу ADC опирается угол B
О т в е т. ∠ В= 112 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

12,5=25/2
0,08=8/100=2/25=(25/2)^(-1)

(25/2)^(x–3) = ((25/2)^(-1))^(5).

(25/2)^(x-3)=(25/2)^(-5)

x-3=-5
x=-5+3
x=-2

О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0;
{x ≠ 0

ОДЗ: х ∈ (0; + бесконечность )

y`=((lnx+1)`*x-(x)`*(lnx+1))/x^2

y`=((1/x)*x-(lnx+1))/x^2

y`=(1-lnx-1)/x^2

y`=-lnx/x^2

y`=0

lnx=0

x=e^0

x=1

При переходе через точку х=1 производная меняет знак с + на -

(0) _+__ (1) __-___

Значит х=1 - точка максимума функции.

О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
2^3=8x+1
8=8x+1
8-1=8x
7=8x
x=7/8

О т в е т. 7/8

Ответ выбран лучшим

ΔМСК= Δ ЕСР
по двум сторонам и углу между ними.
MC=CE
KC=CP
∠MCK= ∠ ECP как вертикальные
Из равенства треугольников следует равенство углов

Ответ выбран лучшим

D=(- бесконечность ;+ бесконечность )
y`=3x^2-12x

y`=0
3x^2-12х=0
3х*(х-4)=0
x=0 или х=4 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума.
Находим знак производной ( парабола, ветви вверх, поэтому + слева от 0 и справа от 4).

_+__ (0) __-__ (4) __+_

на (- бесконечность;0) и на (4;+ бесконечность ) функция возрастает
на (0;4) убывает
х=0 - точка максимума
х=4 - точка минимума (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.
Из прямоугольного равнобедренного треугольника с острыми углами в 45 градусов:

a=d*sin45 градусов=sqrt(8)*(sqrt(2))/2=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

2x^2-3x-5=0
D=9-4*2*(-5)=49
x1=(3-7)/4x=-1 или х2=(3+7)/4=2,5
2·x^2–3x–5 < =0
x ∈ [-1;2,5]

2)–x^2+8x–12 < 0
х^2-8x+12 > 0
D=64-48=16
x3=(8-4)/2=2 или х4=(8+4)/2=6
х^2-8x+12 > 0
х ∈ (- бесконечность ;2)U(6;+ бесконечность )

Решение системы, содержащей два неравенства- пересечение множества решений 1-го и 2-го неравенств.
[-1;2)

О т в е т. [-1;2)

Ответ выбран лучшим

36:2=18 км в час

Ответ выбран лучшим

48 тыс жителей - это 100%
48 000 : 100 = 480 жителей составляют 1%

480*35=16 800 жителей ( мужчины)
480*40=19 200 жителей ( женщины)
480*25=12 000 жителей ( дети)

См. рис.
360 градусов : 100=3,6 градусов в 1%
3,6 градусов*35 =126 градусов - сектор обозначающий количество мужчин
3,6 градусов*40 =144 градусов - сектор обозначающий количество женщин
3,6 градусов *25 =90 градусов - сектор обозначающий количество детей (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

((2x+1)(x-5))/(x-5)(x-7) меньше или равно 0

(2x+1)/(x-7) меньше или равно 0, x ≠ 5

_+__ [ -1/2] ___-____ (5) __-__ (7) __+__

О т в е т. [-1/2; -5) U (-5;7)

Ответ выбран лучшим

f(1)=(5-1)/1=4
f(-1)=(5-1)/1=4

f`(x)=((-2x)*x^4-4x^3*(5-x^2))/x^8)

f`(x)=(2x^5-20x^3)/x^8

f`(x)=(2x^2-20)/x^5

f`(x)=0

2x^2-20=0
x^2=10

x=-sqrt(10) или х=sqrt(10)

Не выполняется условие непрерывности f(x) на[-1;1]

в точке х=0 функция имеет разрыв

Ответ выбран лучшим

tg(-600 градусов)=-tg 600 градусов=

=- tg ( 540 градусов + 60 градусов)=

=-tg 60 градусов =- sqrt(3)

О т в е т. -32*sqrt(3)*(-sqrt(3))=96

Ответ выбран лучшим

По определению
4^2=x^2-6x
x^2-6x-16=0
D=100
x=-2 или х=8

Проверка
При х=-2
log_(4)(4+12)=log_(4)16=2
При х=8
log_(4)(64-48)=log_(4)16=2

О т в е т. -2; 8

Ответ выбран лучшим

sin(a–3П/2)=-sin((3П/2)-а)=cosa
cos(п–a)=-cosa
sin(a–п)=-sin(п-а)=-sina
sin(п–a) =-sina

sin(a–3П/2)cos(п–a)–sin(a–п)sin(п–a) =

=-cos^2a-sin^2a=-(cos^2a+sin^2a)=-1

Ответ выбран лучшим

1 (1/8)+2 (3/8)=4 (4/8)=4 (1/2)=4,5
5-4,5=0,5

Осталось полмешка

Ответ выбран лучшим

(x^2-9)(x^2-1)/(4x+12) меньше или равно 0

(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)/4*(x+3) меньше или равно 0

(x-3)(x-1)(x+1)/4 меньше или равно 0, x ≠ -3

_-__ (-3) __-____ [-1] _+__ [1] __-____ [3] __+__

О т в е т. (- бесконечность ;-3)U(-3;-1]U[1;3]

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов
104^2=65^2+65^2-2*65*65*cos альфа

cos альфа =-0,28

sin альфа =sqrt(1-cos^2 альфа )=sqrt(1-(-0,28)^2)=

=sqrt(0,9216)=0,96

S(ромба)=a*a*sin альфа =65*65*0,96=4056

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5 спиц делят колесо на 5 равных частей по 72 градусов каждый.
72 градусов : 9= 8 частей.
8*5=40 спиц
О т в е т. 40 спиц

Ответ выбран лучшим

сos124=cos(90+34)=-sin 34
2sin34*cos34=sin68
sin34*cos34=(1/2) sin68

О т в е т. -4

Ответ выбран лучшим

Из третьего уравнения
z=4+xy
подставляем в первое
x^2+y^2-2*(4+xy)=8
x^2-2xy+y^2=16
(x-y)^2=16
x-y=4 или х- y= - 4

y=x-4 или у=х+4
z=4+xy= или z=4+xy=
=4+x(x-4)= или =4+x(x+4)=
=x^2-4x+4= или =x^2+4x+4=
=(x-2)^2 или = (x+2)^2

Подставляем во второе
х+y+2z=20
x+(x-4)+2*(x-2)^2=20
x^2-3x-4=0
x1=-1 или х2=4
y1=-5 или у2=0
z1=49 или z2=4

x+(x+4)+2*(x+2)^2=20
x^2+5x-4=0
x3=(-5-sqrt(41))/2 или х4=(-5+sqrt(17))/2

|x3|=(5+sqrt(17))/2 - наибольшее значение
y=x+4=3-sqrt(17)/2
z=(-1-sqrt(17))^2/4=(9+sqrt(17))/2

О т в е т. |10000*(-5-sqrt(17))/2+100*(3-sqrt(17))/2+(9+sqrt(17))/2|

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение
2t^2+3t-1=0
D=9-4*2*(-1)=17
t=(-3-sqrt(17)) /4 > -1 или t=(-3+sqrt(17))/4

cosx=(-3+sqrt(17))/4
x= ± arccos(-3+sqrt(17))/4+2Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Все жители поселка - это 100%
100%-35%-45%=25%составляют мужчины.

900 мужчин - это 25%
Все жители - 100%

900*100:25=900*4=3600 жителей в поселке

Ответ выбран лучшим

а) f`(x)=(x^3–2x2+x+3)`=3x^2–4x+1
f`(x)=0
3x2–4x+1=0
D=(–4)2–4·3·1=16–12=4
x1=(4–2)/6=1/3 или x2=(4+2)/6=1
Находим знак производной:

_+__ (1/3) __–_ (1) _+__

На (– ∞; 1/3) и на (1;+ ∞ ) функция возрастает, на (1/3;1) убывает
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

r=c/2=(sqrt(5^2+12^2))/2=13/2=6,5

Ответ выбран лучшим

График функции у=2x^2-(3a-1)x+(a-4) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию парабола пересекает ось Ох в двух точках x1 и х2, отрезок [x1;x2] содержит точку 1.

Значит значение функции в точке 1 отрицательно
2-(3а-1)+а-4<0;
-2a< 1
a > -1/2

Но точка 1 может быть концом отрезка [x1; x2],

Значит значение функции в х=1 равно 0
Получаем
2*1^2-(3a-1)*1+a-4=0
a=1/2

О т в е т. а ≥ 1/2

Ответ выбран лучшим

H=sqrt(17^2-15^2)=8
проекция АС=sqrt(10^2-8^2)=sqrt(36)=6
О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

Пусть х; у; z - измерения прямоугольного параллелепипеда ( длина, ширина, высота)
xy=12
xz=15
yz=20
Перемножаем все три неравенства
(xyz)^2=12*15*20
xyz=3*4*5
V=xyz=60 куб. см

Ответ выбран лучшим

Пусть диагонали АС и BD пересекаются в точке О.
Обозначим BO=OD=x
OM=x+2,25.
По свойству диагоналей параллелограмма
AC^2+BD^2=2*(AB^2+2BC^2)
AC^2=50-4x^2
AO=(1/2)sqrt(50-4x^2)

Произведение отрезков хорд АС и BM удовлетворяет соотношению
AO*OC=BO*OM
(1/2)sqrt(50-4x^2)*(1/2)sqrt(50-4x^2)=x*(x+2,25)

8х^2+9х-50=0
D=1681
x=2
BD=2x=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

1.
f(1)=(∛3)/2
f(0,5)=∛2,5/(1,5)=∛20/3
f(0)=∛2
(f(0))^2=∛4
f(1)-f(0,5)+(f(0))^2=(∛3)/2-(∛20)/3+∛4
Вычислить приближенно можно с помощью калькулятора.
≈1,403720 округляем до тысячных 1,404
2) y=3х-3*ln(x+3)
y`=3-(3/(x+3))
y`=(3x+6)/(x+3)
y`=0
3x+6=0
x=-2

При переходе через точку х=-2 производная меняет знак с - на +, значит х=-2 - точка минимума.

y(-2,5)=3*(-2,5)-3ln(0,5)=-7,5-3ln0,5≈-5,421
y(-2)=3*(-2)-3ln(1)=-6 - наименьшее
y(0)=3*0-3ln3=-3ln3≈-3,296 - наибольшее

3) Параболы симметричны относительно оси Ох.
Пересекают ось ох в точках -9 и 1
S=2 ∫^(1)_(-9)(-x^2-8x+9)dx =
=((-x^3/3)-(8x^2/2)+9x)|^(1)_(-9)
=(9^3/3)-4*9^2-9^2+(1/3)-4-9=500/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S=x*y*sin30 градусов
8=x*y*(1/2) ⇒ xy=16 ⇒ y=16/x

P=2*(x+y)=2*(x+(16/x))

P`(x)=2*(1-(16/x^2))

P`(x)=2*(x^2-16)/x^2

P`(x)=0

x^2-16=0
x=4 или х=-4 ( не удовл. смыслу задачи)

х=4 - точка минимума, производная при переходе через эту точку меняет занк с - на +.

х=4, тогда у=16/4=4
P=2*(4+4)=16

О т в е т. 16 м

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=20119 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если речь идет об измерении по клеткам, тогда условие 2 в задаче не нужно.

S (круга)=Pir^2

r (внутреннего круга)=1 ( 1 клетка)
Значит, s(внутреннего круга)=Pi*1^2=Pi

R(большего круга)=3 ( три клетки)
Значит, S ( большего круга)=Pi*3^2=9Pi

S(заштрихованной фигуры)=S(большего круга)-s(внутреннего круга)=9Pi-Pi=8Pi

Если же речь не идет об измерении по клеткам, то
из рисунка R=3r

s (внутреннего круга)=Pir^2
2=Pir^2
S (большего круга) =Pi(3r)^2=9Pir^2=3^2*2=18
s(заштрихованной фигуры)=18-2=16
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

=log_(3) (18)/(3+log_(3)12)=

=log_(3)18/(log_(3)27+log_(3)12)=

=log_(3)18/log_(3)(27*12)=

=log_(3)18/log_(3)(324)=

=log_(3)18/log_(3)(18^2)=log_(3)18/2log_(3)18=1/2

Ответ выбран лучшим

V1=Pi(2r)^2*h ⇒ 54=Pi*4r^2h ⇒2Pir^2h=27
V2=Pi(r)^2*2h
V2=2Pi(r)^2*h =27
О т в е т. 27 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

549
∫ ^(1)_(0)dx/(x+2)=(ln|x+2|)|^(1)_(0)=ln3-ln2=ln(3/2)
551
∫ ^(Pi/4)_(0)sin4xdx=(1/4)(-cos4x)|^(Pi/4)_(0)=
=(1/4)*(-cos(Pi)+cos0)=(1/4)*(1+1)=(1/4)*(2)=1/2

Ответ выбран лучшим

0,6=3/5
25/9=(5/3)^2=(3/5)^(-2)

(3/5)^(2x)=((3/5)^(-2))^(-3)
(3/5)^(2x)=(3/5)^6
2x=6
x=3
О т в е т. х=3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > -3
y`=2x/(x^2+8)-(1/(x+3))
y`=(x^2+6x-8)/((x^2+8)*(x+3))
y`=0
x^2+6x-8=0
D=36-4*(-8)=36+32=68
x1=-3-sqrt(17) или х2=-3+sqrt(17)
x1 не принадлежит ОДЗ
(-3) __-___ (-3+sqrt(17)) ___+__

x=-3+sqrt(17) - точка минимума, производная меняет знак с - на +
О т в е т.-3+sqrt(17)

Ответ выбран лучшим

y`=2x-5
y`=0
2x-5=0
x=2,5

Знак производной:
При х=10 2х-5=2*10-5 > 0 справа от точки 2, 5 ставим плюс и знаки чередуем.
_-__ (2,5) ___+_
х=2,5 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
у(2,5)=(2,5)^2-5*2,5+2=6,25-12,5+2=-6,25+2=-4,25

Ответ выбран лучшим

487
Дробь 1/(х-1)(х+2) раскладываем на две дроби методом неопределенных коэффициентов
1/(х-1)(х+2) =(А/(х-1)) +(В/(х+2))
Приводим справа к общему знаменателю и приравниваем числители
1=А*(х+2)+В*(х-1)
При х=-2
получим
1=-3В
В=-1/3
При х=1
получим
1=3А
А=1/3

О т в е т. =(1/3) ∫ dx/(x-1)-(1/3) ∫dx/(x+2) =
=(1/3)ln|x-1|-(1/3)ln|x+2|+C=
=ln∛|x-1|/|x+2| + C

491
Преобразуем подынтегральную функцию
Прибавим и отнимем 1
x^4-1+1=(x^2-1)*(x^2+1)+1
Тогда
x^4/(x^2+1)(x^2-1)+(1/(x^2+1))

О т в е т. = (x^3/3)-x+arctgx+C

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+5 > 0; x+5 ≠ 1
{x/(x-3) > 0 ⇒ x ∈ (- бесконечность ;0)U(3:+ бесконечность)
{((3-x)/x)^4 > 0 ⇒ x ∈ (- бесконечность;0)U(0;+ бесконечность

ОДЗ: x ∈ (-5;-4)U(-4;0)U(3;+ бесконечность )

Основания у логарифмов одинаковые. Применяем формулу суммы логарифмов.
3=log_(a)a^3 для любого а > 0 в том числе и х+5

Неравенство примет вид
log_(x+5) ((x-3)/x)^3 меньше или равно log_(x+5)(x+5)^3

Теперь надо бы рассматривать два случая.
Основание больше 1, функция возрастает.
Основание от 0 до 1 функция убывает.
Но если воспользоваться чудесным методом рационализации логарифмических неравенств, то все сводится к неравенству
(x+5-1)*( ((x-3)/x)^3-(x+5)^3) меньше или равно 0, которое
решаем методом интервалов и с учетом ОДЗ получим ответ
(-5;-4)U[-3;-1]U(0;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

D(y)= (- бесконечность ;3/4) U(3/4; + бесконечность )

y`=((x^2-11)`*(4x-3)-(4x-3)`*(x^2-11))/(4x-3)^2=

=(2x*(4x-3)-4*(x^2-11))/(4x-3)^2=

=(2x^2-6x+44)/(4x-3)^2 > 0 при любом х ≠ 3/4
Так как дискриминант квадратного трехчлена в числителе
D=36-4*2*44 < 0

Значит функция возрастает на всей области определения
Не имеет экстремумов.
Прямая х=3/4 - вертикальная асимптота.
Горизонтальных асимптот нет
lim_ (x⇒бесконечность )f(x)= бесконечность.
k= lim_ (x⇒бесконечность )f(x)/x=(1/4)
b=lim_ (x⇒бесконечность )(f(x)-(1/4)x) =
=lim_ (x⇒бесконечность )(3x-44)/(4-3x)=(3/4)
Прямая у=(1/4)х-(3/4) - наклонная асимптота.
См. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos2x=1-2sin^2x
1-2sin^2x=2sin^2x
4sin^2x=1
sinx=1/2 или sinx=-1/2

x=± (π/6)+πk, k∈Z ( cм. рис.) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Р(ромба)=а+а+а+а=4а
24=4а
а=6

S (ромба)=а*а*sin30 градусов=6*6*(1/2)=18 кв. см.

О т в е т. 18 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3*х-2*1-4-3=0
3х=9
х=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

f`(x)=(3*x^(-1/3))`=3*(-1/3)*x^((-1/3)-1)=-x^(-4/3)=-1/(x∛x)

Второе задание не видно условие на снимке

Ответ выбран лучшим

1) f(x)=x^(-4/3)
∫ f(x)dx= ∫ x^(-4/3)dx=x^((-4/3)+1)/((-4/3)+1) + C=
=-3/(∛x)+C

Проверка
(-3/(∛x)+C)`=(-3)*(x^(-1/3))`+(C)`=(-3)*(-1/3)*x^((-1/3)-1)=
=x^(-4/3)=1/(x∛x)

2) f(x)=x^(10)+2x^5*x^2+x^4
∫ f(x)dx= ∫ (x^(10)+2x^(7)+x^4)dx=(x^(11)/11)+2*(x^8/8)+(x^5)/5+C
Проверка.
((x^(11)/11)+2*(x^8/8)+(x^5)/5+C)`=

=(11x^(10)/11)+2*(8x^7)/8+ 5x^4/5+0=
=x^(10)+2x^7x+x^4=
=(x^5+x^2)^2

Ответ выбран лучшим

3.9
Неопределенность 0/0
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель
3x^2+2x–1=(x+1)(3x–1)
27x^3-1=(3x-1)(9x^2+3x+1)
Сокращаем и числитель и знаменатель на (3х-1)
О т в е т. ((1/3)+1)/(9*(1/3)^2+3*(1/3)+1)=4/9
2.9
Неопределенность бесконечность/бесконечность.
Делим и числитель и знаменатель на x^7
(1+0-0)/(0+0-0)= бесконечность

1.9
Неопределенность бесконечность/бесконечность.
Делим и числитель и знаменатель на x^7
(1+0-0)/(1+0+0)=1

Ответ выбран лучшим

Неопределенность 0/0
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель
2x^2+7x-4=(x+4)(2x-1)
x^3+64=(x+4)(x^2-4x+16)

Сокращаем и числитель и знаменатель на (х+4)
О т в е т. (2*(-4)-1)/((-4)^2-4*(-4)+16)=-9/48

Ответ выбран лучшим

С^2_(x)=x!/((x-2)!*2!)=x*(x-1)/2

Уравнение
х(х-1)/2=153
х(х-1)=306
х=18
18*17=306
О т в е т. х=18

Можно решить уравнение
х*(х-1)=306 через D
x^2-x-306=0
D=1-4*(-306)=1225
x=18 или х=-17 ( не удовл. условию задачи)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=20655

Ответ выбран лучшим

n=6
m=3 ( три случая, когда выпадет 4 или 5 или 6)
p=m/n=3/6=1/2
О т в е т. 1/2

Ответ выбран лучшим

Размеры ящика
длина а, ширина b, высота с.
ab=2187
ac=1701

V (одного кубика)=9*9*9=9³ куб. см
Имеется 189 кубиков, значит объем
189*9³=189*729=137781 куб. см
С другой стороны,
V=авс и аb=2187 куб. см.

137781=2187*с
с=137781 : 2187
с=63 см

Из условия ас=1701 находим а
a=1701:63
a=27 см

Из условия ab=2187 находим b
b=2187:27=81

О т в е т. Размеры ящика: 27см × 81см × 63см

Ответ выбран лучшим

Всего шаров 9+6+5=20
Вероятность выбрать черный равна (6/20); зеленый (5/20)
Черный или зеленый ( правило сложения если выбор или... или)
(6/20)+(5/20)=11/20
О т в е т. 11/20

Ответ выбран лучшим

4 карты из 36 выбираем С^4_(36)=36!/(4!*32!)=33*34*35*36/(1*2*3*4)=
=58905

4 туза можно выбрать - одним способом.

р=1/58905

Ответ выбран лучшим

Из 40 выбрать три вопроса можно
С^(3)_(40) cпособами
n=С^(3)_(40)=40!/(37!*3!)=38*39*40/6=9880
m=C^2_(30)*C^(1)_(10)=10*(30!/(28!*2!))=10*(29*30/2)=
=10*(29*15)=4350
О т в е т. р=m/n=4350/9880=435/988

Ответ выбран лучшим

12+7=19
Из 19-ти человек выбирают 5.
Это можно сделать С^(5)_(19) способами
n=С^(5)_(19)
A)
5 юношей из 7 можно выбрать C^5_(7) способами
m=C^5_(7)
О т в е т. р=m/n=C^5_(7)/C^5_(19)
Счет
7!/(5!*(7-5)!) : 19!/(5!*(19-5)!) =7!/(5!*(2)!) * (5!*(14)!) /(19!)=
сокращаем=
=(6*7)/(2*15*16*17*18*19)=7/(5*16*17*18*19)=0, 0001505

Б)
3 юношей выбираем из 12 и двух девушек из 7.
Результат перемножаем ( так как нужен выбор и юношей и девушек см. теорема умножения в комбинаторике)
р=С^3_(12)*C^2_(7)/C^5_(19)

Ответ выбран лучшим

у``= ∫ e^(2x)dx=(1/2) ∫ e^(2x)d(2x)=(1/2)e^(2x)+C_(1)
y`= ∫ ((1/2)e^(2x)+C_(1))dx=(1/4)e^(2x)+C_(1)x+C_(2)
y= ∫ ((1/4)e^(2x)+C_(1)x+C_(2))dx=(1/8)e^(2x)+(1/2)C_(1)x^2+
+C_(2)x+C_(3)
О т в е т. у=(1/8)e^(2x)+(1/2)C_(1)x^2+C_(2)x+C_(3)

Ответ выбран лучшим

6!=1*2*3*4*5*6
5!=1*2*3*4*6

5! и 6! можно сократить на 1*2*3*4*5 останется 6 там, где написано 6!

3!=1*2*3=6
3!/6=6/6=1

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

1) Появление не менее 3 и не более 18 очков при бросании трех игральных кубиков - это верно
самое наименьшее 1;1;1 или самое наибольшее 6;6;6

2) Появление двух очков при бросании трех игральных кубиков- это невозможно

3) Появление 19 очков при бросании трех игральных кубиков- это невозможно

4) Появление 12 очков при бросании трех игральных кубиков.- это возможно
4;4;4 или 2;5;5 и т.д.

О т в е т. 2) и 3)

Ответ выбран лучшим

2) и 4) векторы лежат в плоскости ХОУ.
О т в е т. 2) и 4)

Ответ выбран лучшим

1.«А» и «Б» равновероятны- верно

2.Вероятность события «Б» равна 1/2 - верно

3.«А» и «Б» несовместны- верно

4.Событие «А» невозможно

О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

сos альфа = ± sqrt(1-sin^2 альфа )= ± sqrt(1-(-3/5)^2)=

= ± sqrt(1-(9/25))= ± sqrt(16/25)= ± 4/5
3Pi/2 < альфа < 2Pi - четвертая четверть
косинус в четвертой четверти имеет знак +
поэтому
сos альфа =4/5

сos бета = ± sqrt(1-sin^2 бета )= ± sqrt(1-(7/17)^2)=

= ± sqrt(1-(49/289))= ± sqrt(240/289)= ± 4sqrt(15)/17
0 < бета < Pi/2 - первая четверть
косинус в первой четверти имеет знак +
поэтому
сos альфа =4sqrt(15)/17

Далее применить формулы и посчитать

Ответ выбран лучшим

{(2^x)+(2^y)=40
{(2^x)/2 - (2^y)/2=12

{(2^x)+(2^y)=40
{(2^x) - (2^y)=24

Складываем
2*(2^x)=64
2^x=32
2^x=2^5
x=5

2^y=40-32
2^y=8
2^y=2^3
y=3
О т в е т. х=5; у=3

2) 0=log_(0,5)1
log_(0,5)(x^2-5x+7) меньше или равно log_(0,5)1

Логарифмическая функция с основание 0,5 убывает, поэтому
(x^2-5x+7) больше или равно 1
x^2-5x+6 больше или равно 0
D=25-24=1
x=2 или х=3
_+__ (2) ___ (3) _+__

О т в е т. 2)

Ответ выбран лучшим

cos2x=2cos^2x-1

Уравнение принимает вид
2cos^2x-2sqrt(2)cosx-3=0
D=8-4*2*(-3)=8+24=32
sqrt(32)=4sqrt(2)
cosx=-sqrt(2)/2 или cosx=3sqrt(2)/2 ( не имеет корней, так как |cosx| меньше или равно 1)

cosx=-sqrt(2)/2
х=± (3π/4)+2πk, k∈Z

О т в е т. ± (3π/4)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Пусть первое слагаемое х, последнее (х+1)
А что между ними?
Между ними два числа
расположенных между х и х+1
Ясно, что это дробные числа.
х целых у и х целых z
y+z - дроби, их сумма меньше или равна 1

х+хцелых у + х целых z + (x+1)=2017
4x+(y+z)=2016
x=2016:4=504
тогда у+z=0

504+504+504+505=2017
504 меньше или равно 504 меньше или равно 504 < 505
О т в е т. 504+504+504+505=2017

Ответ выбран лучшим

x+6=4x-9
4x-x=6+9
3x=15
x=5
Проверка
log_(9)(5+6)=log_(9)(4*5-9)
log_(9)11=log_(9)11 - верно
О т в е т. х=5

Ответ выбран лучшим

q=b_(2)/b_(1)=-250/(-1250)=1/5

b_(4)=-50*(1/5)=-10
b_(5)=-10*)(1/5)=-2

S_(5)=-1250-250-50-10-2=-1562

Ответ выбран лучшим

Пусть первого сорта купили х кг, тогда второго сорта (8-х) кг.
Уравнение
20х+30*(8-х)=190
20х-30х=190-240
-10х=-50
х=5
8-х=8-5=3
О т в е т. 5 кг первого сорта и 3 кг второго сорта

Ответ выбран лучшим

Число должно делиться на 3 ⇒ сумма цифр должна делиться на 3.
Число должно делиться на 4 ⇒ две последние цифры числа должны делиться на 4.
Значит,
255624 кратно 12 в ответе 21302
Вычеркнули 3;1;1.

Ответ выбран лучшим

(-11) < 0
Дробь неотрицательна когда числитель и знаменатель одного знака
(-11) < 0
Значит и знаменатель отрицателен ( знаменатель не может равняться 0)
((x-2)^2-3 < 0
(x-2+sqrt(3))*(x-2-sqrt(3)) < 0

О т в е т. (2-sqrt(3); 2+sqrt(3))

Ответ выбран лучшим

МЕжду множеством отрезков и множеством положительных чисел
АВ ⇒ 7
СД
. ⇒12
XY
KL ⇒15

От CД и ХУ стрелочки идут в число 12

Ответ выбран лучшим

1)
2^(x+3)+2^(x–3) > 65
Выносим за скобки 2 в мЕньшей степени
2^(x-3)*(2^6+1) > 65
2^(x-3) > 1
x-3 > 0
x > 3

2)
sqrt(x–1)=4
Возводим в квадрат
х-1=16
х=17
О т в е т. 17
3)
Решите уравнение 4^x–3·2^x–4=0
Замена
2^x=t
4^x=t^2
t^2-3t-4=0
D=25
t=-1 или t=4
2^x=4
x=2
2^x=-1 нет решения
О т в е т. 2
4) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
10x^2–3x–1 больше или равно 0
D=9+40=49
х=-0,2 или х=0,5
_+__ (-0,2) ____ (0,5) __+_

О т в е т. (- бесконечность;-0,2)U(0,5;+ бесконечность )

7)Найдите корни уравнения
log_(x)196=2
x^2=196
x=14 или х=-14 ( не удовл. условию основание лог. функции положительно)
О т в е т. 14
8)Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если
b_(3)=\frac{3}{4};q=\frac{1}{4}
b_(2)=b_(3)/q=(3/4):(1/4)=3
b_(2)=b_(2)/q=(3):(1/4)=12
S=b_(1)/(1-q)=12/(1-(1/4))=12:(3/4)=12*(4/3)=16

О т в е т. 16
9) \sqrt[3]{2–x}=–2
Возводим в куб
х-2=-8
х=-6
О т в е т. -6

Ответ выбран лучшим

х(a-c)*(1/(a-c))=x

Ответ выбран лучшим

1а) и 1б) см. здесь
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=20292
2) При n=2k, k - натуральное
х_(2k)=(1/2k)+(2/e)
при k→∞ (x_(2n)) →(2/e) - это верхний предел.
При n=2k+1, k - натуральное
х_(2k+1)=(-1/(2k+1))+0
при k→∞ (x_((2k+1))) →0 - это нижний предел.

3) x_(n)=(1/n^2)-(1/n^5)
- разность двух бесконечно малых послед. есть послед. бесконечно малая

Ответ выбран лучшим

d=a_(2)-a_(1)=a_(3)-a_(2)=a_(4)-a_(3) и так далее.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(12-x)/x > 0
{(12-x)/x ≠ 1 ⇒ x ≠ 6
ОДЗ х∈ (0;6) U(6;12)

По определению логарифма
((12-х)/х)^1=3
12-x=3x
4x=12
x=3 принадлежит ОДЗ
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки.
См. приложение.
Проекция точки А на плоскость - это точка пересечения плоскости с перпендикуляром, опущенным из точки М на данную плоскость.
Ax+By+Cz+D=0- общее уравнение плоскости, нормальный вектор vector{n}=(A, B,C).
Получаем уравнение перпендикуляра к плоскости:
\frac{x-5}{-6}= \frac{y-2}{12}= \frac{z+3}{-18}
или
\frac{x-5}{1}= \frac{y-2}{-2}= \frac{z+3}{3}

Находим точку пересечения плоскости и перпендикуляра.
Детали решения системы уравнений даны в приложении.
{x-2y+3z-6=0
{\frac{x-5}{1}= \frac{y-2}{-2} ⇒y=-2x+12
{\frac{x-5}{1}= \frac{z+3}{3} ⇒ z=18-3х

x+4x-24+54-9x-6=0
-4x=-24
x=6
у=-2х+12=-2*6+12=0
z=18-3x=18-3*6=0
О т в е т. (6;0;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-7 > 0
{x-7 ≠ 1
(x-7)^2=25
x-7=5 ( второй случай x-7=-5 не удовлетворяет ОДЗ)
х=12

О т в е т. 12

Ответ выбран лучшим

с=sqrt(16^2+12^2)=sqrt(256+144)=sqrt(400)=20

Ответ выбран лучшим

A______C____B

AC=5-3=2

A___________B______C

AC=5+3=8

Ответ выбран лучшим

Пусть d=(x;y;z)
Условие перпендикулярности его векторам а и b означает, что скалярные произведения равны 0
{2x-y+0z=0 ⇒ y=2x
{3x+3y+z=0
3x+3*2x+z=0 ⇒ z=-9x

Третье условие в координатах записывается так:
3х-у+2z=8
вместо у=2х, вместо z=-9x
3x-2x-18x=8
x=-8/17
y=-16/17
z=72/17

Ответ выбран лучшим

См. пояснения на рисунке
1) S (бок. усеч. конуса)=PiL(r+R)
треугольник BFQ- прямоугольный равнобедренный, значит
BQ=FQ=r_(1)
Треугольник АВК- прямоугольный равнобедренный.
AK=r_(1)
Значит
AO=2r_(1)
AB=2r_(1)*sqrt(2)

12Pisqrt(2)=Pi2r_(1)sqrt(2)*(r_(1)+2r_(1))
r_(1)=sqrt(2)

2)
S(бок. усеч. конуса)=Pi2*(1+2)=6Pi (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойству касательных, проведенных из одной точки:
AN=AM;BK=BN;CM=CL;SK=SL
Обозначим
AN=AM=a
BK=BN=b
CM=CL=c
SK=SL=d
(cм. рис.1)
а)
Пусть b=c.
Тогда MN|| BC и KL|| BC, значит MN|| KL и четыре точки K, L,M,N лежат в одной точке.
пусть b < c
Тогда на СМ есть точка М_(1) такая, что ММ_(1)=b
и на СL есть точка L_(1) такая, что LL_(1)=b

AM_(1)=AB MN || M_(1)B
SL_(1)=SB LK || L_(1)B
( cм. рис.2)
Значит, прямые MN и LK пересекаются с ВС в точках P и Q
на продолжении ВС за точку В.

Рассматриваем подобные треугольники
ΔCBM_(1) подобен треугольнику СРМ
СМ_(1):СМ=СВ:СР
СР=(b/(c-b))CB
ΔCBL_(1) подобен треугольнику СQL
СL_(1):СL=СВ:СQ
СQ=(b/(c-b))CB

CQ=CP ⇒ точки Р и Q слвпадают.
Значит MN и KL пересекаются в точке P=Q и тем самым доказано, что четыре точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.

Аналогично и в случае b > c.

б)
Четырехугольник KLMN вписан в окружность, значит сумма противоположных углов равна 180 градусов.
Обозначим
∠MLK=α
тогда
∠MNK=π-α
По теореме косинусов
KM^2=8^2+8^2-2*8*8cosα
KM^2=6^2+4^2-2*6*4cos(π-α)

KM^2=8^2+8^2-2*8*8cosα
KM^2=6^2+4^2+2*6*4cosα
Вычитаем из первого равенства второе
0=76-176cosα
cosα=19/44

KM^2=8^2+8^2-2*8*8*(19/44)
KM^2=8^2+8^2-2*8*8*(19/44)
KM=20sqrt(2/11)
О т в е т. б) 20sqrt(2/11)=20sqrt(22)/11 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Две пересекающиеся прямые плоскости АВС параллельны двум пересекающимся прямым плоскости
А1В1С1.
Значит пл. АВС || пл. А1В1С1
Пл. альфа пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.

2) Δ АМВ подобен Δ АМ1В
Из подобия
А1В1:АВ=А1М:АМ
А1В1:4=9:6
А1В1=6

А1В1:АВ=В1М:ВМ
6:4=12:ВМ
ВМ=8
В1В=12-8=4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x^2)=(x^2)^(–2/3)=x^(-4/3)
16/(f(x^2))=16/x^(-4/3)=16x^(4/3)=16x∛3

g(2/x)=(1/3*(2/x))=x/6
(g(2/x))^-(1)=(x/6)^(-1)=6/x

16x∛3 ≠ 6/x

Ответ выбран лучшим

∠ NKL= ∠ NLK так как углы опираются на равные дуги равных окружностей.
MN ⊥ AC
AB=r
KL=2r
r=4,5

KN=LN=AC=9
О т в е т. 9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть потребуется х самолетов I типа, у cамолетов II типа и z самолетов III типа.
Тогда они перевезут не менее
310х+270у+160z пассажиров
и
35х +28у+17z грузовых контейнеров.

{310x+270y+160z = 1790
{35х +28у+17z = 195

или
{31x+27y+16z = 179
{35х +28у+17z = 195

Решаем систему двух уравнений в натуральных числах.

Заменим первое уравнение разностью двух уравнений
{4x+y+z=16
{35x+28y+17z=179

x=(16-y-z)/4=4-(y+z)/4

Чтобы х было натуральным
y+z должно быть кратно 4

Значит возможны варианты
у+z=4 или у+z=8 или у+z=12
тогда
x=3 или х=2 или х=1

Подставляем х=3 y=4-z во второе уравнение
35*3+28*(4-z+17z=195
11z=22
z=2
y=2
получен первый возможный ответ
х=3; у=2; z=2

Подставляем х=2 и у+z=8, y=8-z во второе уравнение
35*2+28*(8-z)+17z=195
11z=99
z=9 не удовл условию задачи, так как y+z=8

x=1 и y+z=12
35*1+28*(12-x)+17z=195
y=16 не удовл. условию задачи, так как y+z=12

Единственный возможный ответ
х=3:у=2;z=2
3+2+2=7 самолетов.
О т в е т. 7 самолетов

Ответ выбран лучшим

х=± (π/3)+2πk, k∈Z

х=π/3 и х=- (π/3)+2π=-5π/3 - корни, принадлежащие указанному промежутку

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Пусть во втором х, в первом 7х
7х–38 больше х–14 на 78
Уравнение
7х–38–78=х–14
6х=102
х=17

2) 3х+6=4х–14–х
0х=–20
Уравнение не имеет корней, при любом х слева 0, справа –20
0 никогда не будет равен –20
3)
(13/4)+(13/6)=(3·13+2·13)/12=65/12
(65/12):(13/5)=(65/12)·(5/13)=25/12
(2/3):(4/9)=(2/3)·(9/4)=18/12
(25/12)–(18/12)=7/12
О т в е т. 7/12

Ответ выбран лучшим

https://vunivere.ru/work3037/page9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(3/17)=(17/3)^(-1)

((17/3)^(-1))(x+1/sqrt(x))=(17/3)^2/sqrt(x)-x-1

Приравниваем показатели
(-1)*(х+1/sqrt(x))=2/sqrt(x) -x-1

Дальше не понимаю условие, что в числителях, что в знаменателях

Если так:

-х - (1/sqrt(x))=(2/sqrt(x))-x-1
3/sqrt(x)=1
sqrt(x)=3
x=9

Ответ выбран лучшим

S(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)
⇒ d_(1)*d_(2)=48

S_(1) (сеч.)=d_(1)*H ⇒ 30 = d_(1)*H
S_(2) (сеч.)=d_(2)*H ⇒ 40 = d_(2)*H

H=30/d_(1) и Н=40/d_(2)

30/d_(1) =40/d_(2)
40d_(1)=30d_(2)

Cистема
{d_(1)*d_(2)=48
{40d_(1)=30d_(2) ⇒ d_(1)=(3/4)d_(2)

(3/4)d^2_(2)=48
d^2_(2)=64
d_(2)=8

H=40/d_(2)=40/8=5

V=S(осн.)*Н=24*5=120

О т в е т. 120

Ответ выбран лучшим

Угол (5π/2+2a) во второй четверти, синус во второй четверти имеет знак +
Название функции меняется на кофункцию.
Поэтому по формулам приведения
sin(5π/2+2a)=cos2a=1-2sin^2a=1-2(-sqrt(0,4))^2=0,2

О т в е т. 0,2

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х+3 > 0 ⇒ х > - 3

y=ln(x+3)-ln(x^2+8)
y`=(1/(x+3))-(1/(x^2+8))*2x
y`=(-x^2-6x+8)/((x^2+8)*(x+3))
или по формуле производной сложной функции
(lnu)`=(1/u)*u`
u=(x+3)/(x^2+8)

y`=((x^2+8)/(x+3)) *((x+3)/(x^2+8))`;
y`=(-x^2-6x+8)/((x^2+8)*(x+3))

y`=(-x^2-6x+8)/((x^2+8)*(x+3))

Получается одно и то же.

y`=0

x^2+6x-8=0
D=36+32=68
х1=-3-sqrt(17) или х2=-3+sqrt(17)
х1 не принадлежит ОДЗ

Знак производной

(-3) __+__ (-3+sqrt(17)) __-____

х=-3+sqrt(17) - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{sin3x-sinx+2 > 0
{sin2x > 0 ⇒ x ∈ (Pik;(Pi/2)+Pik), k ∈ Z ( углы в 1-й и 3-й четв)

Так как
1=log_(2)2
и
2log_(2)sinx=log_(2)sin^2x
уравнение принимает вид
log_(2)(sin3x-sinx+2)=log_(2)2sin^2x

sin3x-sinx+2=2sin^22x

Так как sin^22x=1-cos^22x и sin3x-sinx=2sinxcos2x
2sinxcos2x+2=2*(1-cos^22x)

2sinxcos2x+2cos^22x=0
2cos2x*(sinx+cos2x)=0
cos2x=0 или sinx+cos2x=0

cos2x=0 ⇒ 2x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z
⇒ x=(Pi/4)+(Pi/2)*k, k ∈ Z
Учитывая условие х x ∈ (Pik;(Pi/2)+Pik), k ∈ Z ( углы в 1-й и 3-й четв) получаем
о т в е т (Pi/4)+Pi*k, k ∈ Z

sinx+ cos2x=0
sinx+1-2sin^2x=0
2sin^2x-sinx-1=0
D=9
sinx=-1/2 или sinx=1
x=(-π/6)+2πn, n∈Z (4-ая четверть) или sinx=(-5π/6)+2πn, k∈Z
или
х=(π/2)+2πm, m∈Z (не входит в ОДЗ)

О т в е т. (Pi/4)+Pi*k, (-5π/6)+2πn, k∈Z , k, n ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат корни
х=(-3Pi/4)
х=(-5Pi/6)
х=(Pi/4)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
5^x=t
t > 0
5^(2x)=t^2

(t^2-3t-25)/(t-5) + (3t^2-14t+45)/(t^2-8t+15) меньше или равно t+5
Переносим все слагаемые вправо и приводим к общему знаменателю
((t^2-3t-25)*(t-3)+(3t^2-14t+45) -(t+5)*(t-5)*(t-3))/((t-5)*(t-3)) меньше или равно 0

(-5t+45)/((t-5)(t-3))меньше или равно 0

(t-9)/((t-5)*(t-3)) больше или равно 0

__-__ (3) __+__ (5) __-___ [9]_+_

3 < t < 5 или t больше или равно 9

3 < 5^x < 5 или 5^x больше или равно 9
log_(5)3 < x < 1 или x > больше или равно log_(5)9

О т в е т. ( log_(5)3;1)) U [(log_(5)9;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

(cos3x+sinx)^2 + (sin3x+cosx)^2 =3
Раскрываем скобки
cos^23x+2cos3x*sinx+sin^2x+sin^23x+2sin3x*cosx+cos^2x=3
Так как
сos^23x+sin^23x=1
cos^2x+sin^2x=1,
то
уравнение принимает вид
2cos3x*sinx+2sin3x*cosx=1
Применяем формулу
sin альфа *cos бета =(1/2)*(sin( альфа + бета)+sin( альфа -бета ))
sin4x+sin(-2x)+sin4x+sin2x=1
sin(-2x)=-sin2x

2sin4x=1
sin4x=1/2
4x=(Pi/6)+2Pik, k ∈ Z или 4x=(5Pi/6)+2Pin, n ∈ Z или
x=(Pi/24)+(Pi/2)k, k ∈ Z или х=(5Pi/24)+(Pi/2)*n, n ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни:
х=(5Pi/24)-(Pi/2)=-7Pi/24 > –π/3=-8π/24
x=Pi/24
x=5Pi/24
x=(Pi/24)+(Pi/2)=13Pi/24
x=(5Pi/24)+(Pi/2)=17Pi/24

О т в е т.

а)(Pi/24)+(Pi/2)k,(5Pi/24)+(Pi/2)*n, k,n ∈ Z

б)(-7Pi/24)∈ [–π/3; π]
(Pi/24)∈ [–π/3; π]
(5Pi/24)∈ [–π/3; π]
(13Pi/24)∈ [–π/3; π]
(17Pi/24)∈ [–π/3; π]

Ответ выбран лучшим

Так как
S(параллелограмма)=(1/2)*d_(1)*d_(2)*sin гамма,
гамма - угол между диагоналями.

Наибольшее значение площади получим, если угол между диагоналями 90 градусов.

Пусть одна диагональ х, вторая (8-х)
S(х)=х*(8-х)
S`(x)=8-2x
s`(x)=0
x=4
S=(1/2)4*4=8 кв. м - наибольшее значение площади.

О т в е т. 8 кв. м

Ответ выбран лучшим

Метод рационализации логарифмических неравенств:
{(x^2+3x+2)/(x^2–3x+4) > 0⇒ x^2+3x+2 > 0 ⇒ (-∞;-2)U(-1;+∞)
{ 1+(1/(x+2)^2 ) > 0 верно при х≠ -2
{(1+(1/(x+2)^2)-1)* ((x^2+3x+2)/(x^2–3x+4) -1) меньше или равно 0 ⇒ (6x-2)/((x+2)^2*(x^2-3x+4))меньше или равно 0

__-___ (-2) ___ (-1) ____-____ [3] __+___

О т в е т. (- бесконечность;-2) U(-1;3]

Ответ выбран лучшим

cos альфа =(b^2+c^2-a^2)/2bc=106,75/140;
cos бета =(a^2+c^2-b^2)/2ac=93,25/130;
cos гамма =a^2+b^2-c^2)/2ab=-8,75/91.

Ответ выбран лучшим

=21(x^7/7)+16(x^6/6)-6(x^2/2)+3x+C=

=3x^7+(8/3)x^6-3x^2+3x+C

Ответ выбран лучшим

(3 sqrt(2))^2=3^2*(sqrt(2))^2=9*2=18

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной функции в точке:
f`(x_(o))=k( касательной)=tg альфа
угол альфа наклона касательной обозначен красным цветом.
Легко найти тангенс смежного с ним угла
(Pi - альфа )
Построим треугольник с таким же углом и катетами, равными целым значениям ( клеточкам), чтобы можно было точно найти значения.

tg(Pi- альфа )=9/5=1,8
тогда tg альфа =-1,8

О т в е т. f`(x_(o))=-1,8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

х-3=2:4
х-3=16
х=16+3
х=19

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

2-cos^2x+cosx=0

cos^2x-cosx-2=0
D=9
cosx=-1 или cosx=2 ( не имеет корней)
х=Pi+2Pin, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Найдём длину окружности колеса:
С=2π*R=2*3,14*(80/2)=251,2 см
20*251,2 см=5024 см=50, 24 м

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=20435

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos 735 градусов= cos ( 2*360 градусов+15 градусов)=
= cos 15 градусов

Ответ выбран лучшим

{2x_(1)+3x_(2)+x_(3)=15
{8x_(2)-8x_(3)=72
{8x_(1)+8x_(3)=-8

{x_(1)=-1-x_(3)
{x_(2)=9+x_(3)
подставляем в первое
2*(-1-х_(3))+3*(9+х_(3))+х_(3)=15
2х_(3)=-10
х_(3)=-5
х_(1)=4
х_(2)=4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

d_(1)=10 cм
r_(2)=(2/5)d_(1)=(2/5)*10=4
d_(2)=2r_(2)=2*4=8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S=ab
S=(b+12)b ⇒ 189=b^2+12b
b^2+12b-189=0
D=144+4*189=4*(36+189)=4*225=30^2
b=9 второй корень уравнения отрицательный и не удовл.
смыслу задачи.
а=(b+12)=(9+12)=21
P=2*(a+b)=2*(9+21)=60
d^2=a^2+b^2=21^2+9^2=441+81=522
d=sqrt(522)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Соединяем D c F и D с С_(1).
Проводим FE|| AB_(1)

Сечение - четырехугольник DFEC_(1)
По т. Пифагора
из Δ DCC_(1)
C_(1)D=sqrt(CD^2+CC^2_(1))=sqrt(2^2+4^2)=sqrt(20)=2sqrt(5)
AB_(1)=C_(1)D=2sqrt(5)
FE=sqrt(5) - средняя линия Δ АА_(1)В_(1)
По т. Пифагора
из Δ AFD
FD^2 = AF^2 + AD^2 = 2^2 + 2^2 = 8
FD = 2√2
По т. Пифагора
из Δ B_(1)C_(1)E
EC1^2 = EB^2_(1) + B_(1)C^2_(1) = 1^2 + 2^2 =5
EC1 = √5

P (четырехугольникa DFEC_(1) )= FD+ DC1+ EC1+ EF= 2√2 + 2√5 + √5 + √5 = 2√2+4√5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

e^(1-x^2)=1 ⇒ 1-x^2=0 ⇒ x^2=1
x=-1 или х=1

Уравнение касательной
у-f(x_(o))=f`(x_(o))*(x-x_(o))
Уравнение нормали
у-f(x_(o))=(-1/f`(x_(o)))*(x-x_(o))

f(1)ff=f(-1)=e^(0)=1
f`(x)=e^(1-x^2)*(1-x^2)`=-2x*e^(1-x^2)
f`(`1)=-2
f`(-1)=2

Уравнение касательной в точке х=1
у-1=-2*(x-1) ⇒ у=-2х+3
Уравнение нормали в точке х=1
у-1=(1/2)*(x-1) ⇒ у=(1/2)х + (1/2)

Уравнение касательной в точке х=-1
у-1=2*(x+1) ⇒ у=2х+3
Уравнение нормали в точке х=-1
у-1=(-1/2)*(x+1) ⇒ у=(-1/2)х + (1/2)

Ответ выбран лучшим

b_(2)=2*b_(1)=2*(-2)=-4
b_(3)=2*b_(2)=2*(-4)=-8
b_(4)=2*b_(3)=2*(-8)=-16
b_(5)=2*b_(4)=2*(-16)=-32
b_(6)=2*b_(5)=2*(-32)=-64
b_(7)=2*b_(6)=2*(-64)=-128

Ответ выбран лучшим

1) нет рисунка
2) Количество рейки = сумме длин всех ребер, ребер 12
4·(40 см + 30 см + 5 дм)=4·( 40 + 30 +50) см=
=480 см=4 м 80 см

Ответ выбран лучшим

1) В трех одинаковых банках 9 литров сока, сколько литров сока в пяти таких банках?
9:3=3 л в одной банке
5*3=15 л в пяти банках.
2)В трех одинаковых банках 9 литров сока, сколько таких же банок потребуется, чтобы разлить 15 литров сока ?
9:3=3 л в одной банке
15:3=5 банок.
3)В пяти одинаковых банках 15 литров сока, сколько литров сока в трех таких банках
15:5=3 л в одной банке
3*3=9 л в трех банках.

Ответ выбран лучшим

Все грани куба - квадраты со стороной 4.
d (квадрата)=4sqrt(2)
AP=AK=(1/2)d=2sqrt(2)
KP-средняя линия
КР=(1/2)В1С=2sqrt(2)

Р=6sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) нет рисунка
2) Количество рейки = сумме длин всех ребер, ребер 12
4*(40 см + 30 см + 5 дм)=4*( 40 + 30 +50) см=
=480 см

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это разложение в ряд Тейлора.
См. приложение.

Замена х на x^2 даст ряд
p(x)=1-(1/2)*(x^2)+((1/2)*(3/4)x^4 - (1/2)*(3/4)*(5/6)x^6+...
Интегрирование на [0;x] содержащемся внутри (-1;1)приведет к данному в условии задачи ряду (прикреплено изображение)

16^x < 16^(log_(16)1,8) ⇒ x < log_(16)1,8

Ответ выбран лучшим

1)
при x > 4 y=x^2-6x+8
f`(x)=2x-6
f`_(+)(4)=2*4-6=2
при x < 4 y=-x^2+6x-8
f`(x)=-2x+6
f`_(-)(4)=-2*4+6=-2

2) y`=1/(1+(x-2)^2) при х < 2
y`=1 при х больше или равно 2

3) f(1-0)=2*1-2=0
f(1+0)= альфа *0=0
Предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке х=1

Функция непрерывна в точке х=1 при любом значении альфа

Ответ выбран лучшим

Пусть
P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
P(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d

P(x+1)-P(x)=a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d-ax^3-bx^2-cx-d=
=3ax^2+(3a+2b+c)x+(a+b)

=3ax^2+(3a+2b+c)x+(a+b)=6x^2+6x+1
Cистема
{3a=6 ⇒ a=2
{3a+2b+c=6
{a+b=1

{3*2+2b+c=6
{2+b=1 ⇒ b=-1

6-2+c=6
c=2

О т в е т.
P(x)=2x^3-x^2+2x+d

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^x=t
4^x=t^2
t^2-3t-40=0
D=9-4*(-40)=169=13^2
t=-5 или t=8

2^x=-5 уравнение не имеет корней, 2^x > 0 при любом х.
2^x=2^3 ⇒ x=3

Ответ выбран лучшим

1=log_(x^2+x)(x^2+x)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
{x^2+x > 0; x^2+x ≠ 1
{x^2-2x+1 > 0
{(x^2+x-1)*x^2-2x+1-x^2-x) меньше или равно 0

{x(x+1) > 0 и x^2+x-1 ≠ 0 D=sqrt(5)
{x ≠ 1
{(x^2+x-1)(1-3x) меньше или равно 0

О т в е т. ((1/2)*(-1-sqrt(5)); -1) U(0;1/3] U((1/2)*(-1+sqrt(5);1)U(1; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

1)3200*(2/5)=1280 тетрадей в линейку
2)3200*(3/10)=960 тетрадей в клетку
3)3200-1280-960=960 тетрадей - общих
О т в е т. 960 тетрадей

Ответ выбран лучшим

Находим координаты векторов АВ и АС.
Для этого из координат конца вектора вычитаем координаты начала.
vector{AB}=(4;2;-4)
vector{AC}=(4;0;-1)
|vector{AB}|=sqrt(16+6+16)=6
|vector{AC}|=sqrt(16+1)=sqrt(17)

Cкалярное произведение векторов,выходящих из одной точки равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
vector{AB}*vector{AC}=|vector{AB}|*|vector{AC}|*cos ∠А

С другой стороны скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат
vector{AB}*vector{AC}= 4*4+2*0+4*(-1)=16-4=12

cos ∠А =12/(6*sqrt(17))=2/sqrt(17)

О т в е т. 3√17cos∠A =(3√17)*(2/√17)=6

Ответ выбран лучшим

В основании призмы квадрат со стороной sqrt(2).
По теореме Пифагора
диагональ основания равна 2
d=sqrt((sqrt(2))^2+(sqrt(2))^2)=sqrt(4)=2
d - проекция диагонали призмы.
Из прямоугольного треугольника с острым углом 45 градусов, следует, что высота призмы h равна диагонали основания d.
h=d=2
V(призмы)=S(основания)*h=((sqrt(2))^2*2=2*2=4
О т в е т. 4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(o))=k(касательной)

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты k.

Прямая у=-3х имеет угловой коэффициент k=-3

Значит k(касательной) =-3

f`(x_(o))=-3

Проводим прямую через у=-3 параллельно оси Ох.
Эта прямая пересекается с графиком производной в двух точках
х=4 и х=6
О т в е т. две точки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,75=3/4
ОДЗ:(2х-1)/(x+2) > 0

(2x-1)/(x+2)=3/4 ( 3/4 > 0; согласовано с ОДЗ)

Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
4*(2х-1)=3*(х+2)
8х-4=3х+6
8х-3х=6+4
5х=10
х=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{cos x > 0; cosx ≠ 1
{7–10cosx > 0 ⇒ cosx < 7/10

По определению логарифма
(7–10cosx)/8=(cosx)^2
или
8cos^2x+10cosx–7=0
D=100–4·8*(–7)=324
cosx=1/2 ( удовл. ОДЗ)
или
cosx=–7/4( уравнение не имеет корней, так как |cosx| ≤ 1)

cosx=1/2
x=±(π/3)+2πk, k∈Z

Указанному отрезку [-π;0] принадлежит корень
х=(-π/3)

Ответ выбран лучшим

Треугольник ВОМ - прямоугольный равнобедренный с катетами ВM=ОМ=5
Острые углы этого треугольника 45 градусов.
∠ BOM=45 °

Треугольник АОК - прямоугольный с катетами AK=sqrt(3)
ОК=2
tg∠ AOК=AK/OK=sqrt(3)/2
∠ AOК=arctg(sqrt(3)/2)
Нет такого угла в таблице не только 9 класса, тангенс которого равен sqrt(3)/2

Есть sqrt(3) и sqrt(3)/3
Значит, скорее всего опечатка и точка А возможно имеет координаты А(–3 и корень из 3)
Тогда
∠ AOК=30 градусов
∠ AOM=150 градусов

О т в е т. (180 ° – arctg( √3/2))–45 °
если учесть мое замечание, то ответ 105 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем систему( см. объяснения в приложении):
{x^2-8x+8 > 0 ⇒ x ∈ (- ∞:4-√2)U(4+√2;+∞)
{4x > 0 ⇒ x ∈ (0 ;+∞)
{x^2+3 > 0 ⇒ x ∈ (– ∞ ;∞)
{x^2-8x+8–1)·(x^2+3-4x)/((4x–1)·(x^2+3–1)) > 0 ⇒
((x^2-8x+7)(x–1)(x–3))/((x^2+2)·(4x–1)) > 0
Решаем последнее неравенство методом интервалов.

x2–8x+7=0
D=64–4·7=36
x=1 или х=7

4x-1=0
x=1/4

_–_ (1/4) _+_ (1) _+_ (3) _-_ (7) _+ _

x ∈ ((1/4;1)U(1;3)U(7;+ ∞)

Решение системы (1/4;1)U(1;4-√2)U(7;+ ∞)

О т в е т. (1/4;1)U(1;4-√2)U(7;+ ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем систему( см. объяснения в приложении):
{x > 0 ⇒ x ∈ (0;+ ∞)
{4x-x^2 > 0 ⇒ x ∈ (0 ;4)
{12-3x > 0 ⇒ x ∈ (– ∞ ;4)
{x-1)·(12-3x-4x+x^2)/((4х-x^2–1)·(12-3x–1)) > 0 ⇒
((x-1)(x-3)(x-4))/((x^2-4х+1)·(3x-11)) > 0
Решаем последнее неравенство методом интервалов.

x^2–7x+12=0
D=49–4·12=1
x=3 или х=4

x^2-4x+1=0
x=2–√3 или х=2+√3

11-3x=0
x=11/3

_+_ (2-√3) _-_ (1) _+_ _ (3) _-_ (11/3) _+_ (2+√3) _–_ (4) _+ _

x ∈ (– ∞ ;2–√3)U(1;3)U(11/3;2+√3)U(4;+ бесконечность)
C учетом решений первых трех неравенств х∈(0;4) решение системы (0; 2-sqrt(3)) U (1; 3) U (11/3; 2+sqrt(3))

О т в е т. (0; 2-sqrt(3)) U (1; 3) U (11/3; 2+sqrt(3)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это табличный интеграл.
∫ sqrt(a^2-x^2)dx=(1/2)*(a^2*arcsin(x/a)+ x*sqrt(a-x^2))+C
(cм. приложение.
О т в е т.
(1/2)*(256*arcsin(x/16)+ x*sqrt(256-x^2))|^(16)_(0)=
=(1/2)*(256*Pi/2)-(16/2)*sqrt(256-0)=(256/2)*((Pi/2)-1)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{cosx > 0; т.е х в 4-й или в 1-й четверти
{sin2x-sin4x+2 > 0

Упрощаем уравнение.
Так как
1=log_(2)2;
2log_(2)cosx=log_(2)cos^2x
1 + 2log_(2)(cos x)=log_(2)2+log_(2)cos^2x=
=log_(2)2cos^2x

Уравнение принимает вид:
log_(2)(sin2x – sin4x + 2) = log_(2) 2cos^2x.

Применяем свойство монотонности логарифмической функции: если значения функции равны, то и аргументы равны.
sin2x-sin4x+2=2cos^2x
cos^2x > 0 и cos^2x > 0, значит
sin2x-sin4x+2 > 0, что удовл. второму неравенству системы ОДЗ.
Так как
сos^2x=(1+cos2x)/2, то
sin2x-2sin2x*cos2x+2=1+cos2x
sin2x-2sin2x*cos2x+1-cos2x=0

Замена переменной
sin2x-cos2x=t
Возводим в квадрат
sin^2x-2sin2x*cos2x+cos^2x=t^2
-2sin2x*cos2x=t^2-1

Уравнение принимает вид:

t+t^2=0
t(t+1)=0
t=0 или t=-1

Обратная замена

sin2x-cos2x=0 или sin2x-cos2x=-1

Решаем первое уравнение:
sin2x-cos2x=0 - однородное уравнение первого порядка, делим на cos2x.

tg2x=1
2x=(π/4)+πm, m∈Z
x=(π/8)+(π/2)m, m∈Z
С учетом cosх > 0, т.е х в 4-й или в 1-й четверти , получаем ответ
х=(π/8)+2πm, m∈Z и х=(-3π/8)+2πm, m∈Z

Решаем второе уравнение
sin2x-cos2x=-1

2 sinx*cosx-cos^2x+sin^2x=-cos^2x-sin^2x;
2sinx*cosx + 2sin^2x=0
2sinx*(cosx+sinx)=0
sinx=0 или cosx+sinx=0⇒
х=πk, k∈Z или tgх=-1, x=(-π/4)+πn, n∈Z
С учетом cosх > 0, т.е х в 4-й или в 1-й четверти ,

х=2πk, k∈Z
х=(-π/4)+2πn, n∈Z

О т в е т. 2πk ;(π/8)+2πm;(-3π/8)+2πm;(-π/4)+2πn, k, m, n∈Z

Указанному промежутку принадлежат 3 корня
(-π/4); 0; (π/8)

Ответ выбран лучшим

∠ AOM - ∠ BOM
tg ∠ AOM=-tg ∠ AOK=-sqrt(3)/2
∠ AOM=(180 градусов - arctg( sqrt(3)/2))
∠ BOM=45 градусов

∠ AOM - ∠ BOM=(180 градусов - arctg( sqrt(3)/2))-45 градусов
О т в е т. (180 градусов - arctg( sqrt(3)/2))-45 градусов
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{sinx > 0; sinx ≠ 1
{9-10sinx > 0 ⇒ sinx < 9/10

По определению логарифма
(9-10sinx)/16=(sinx)^2
или
16sin^2x+10sinx-9=0
D=100-4*16*(-9)=676
sinx=1/2 ( удовл. ОДЗ)
или
sinx=-9/8( уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно 1)

sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈Z или sinx=(5π/6)+2πn, n∈Z

Указанному отрезку [0; π] принадлежат два корня
х=(π/6) и x=(5π/6)

Ответ выбран лучшим

Решаем систему( см. объяснения в приложении):
{x^2-4x+3 > 0 ⇒ x ∈ (- бесконечность ;1)U(3;+ бесконечность)
{x^2-2x > 0 ⇒ x ∈ (- бесконечность ;0)U(2;+ бесконечность)
{2x > 0 ⇒ x ∈ (0;+ бесконечность)
{x^2-4x+2)*(2x-x^2+2x)/((x^2-2x-1)*(2x-1)) > 0 ⇒
((x^2-4x+2)(x^2-4x)/((x^2-2x-1)*(2x-1)) < 0
Решаем последнее неравенство методом интервалов.

x^2-4x+2=0
D=16-4*2=8
x=2-sqrt(2) или х=2+sqrt(2)

x^2-2x-1=0
D=4+4=8
x=1-sqrt(2) или х=1+sqrt(2)

2x-1=0
x=1/2

4x-x^2=0
x=0 или х=4
_-_ (1-sqrt(2))_+_ (0) _-_ (1/2) _+_ (2-sqrt(2)) _-_ (1+sqrt(2)) _+_ (2+sqrt(2)) _- _ (4) _+__

x ∈ (- ;1-sqrt(2))U(0;1/2)U(2-sqrt(2);1+sqrt(2))U(2+sqrt(2);4)

C учетом ответа первых трех неравенств системы х ∈ (3; + бесконечность)

Решение системы (2+sqrt(2);4)

О т в е т. (2+sqrt(2);4)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х и у - стороны параллелограмма.
S(площадь параллелограмма)=x*y* альфа
8=x*y*sin(Pi/6)
⇒ x*y=16

P(параллелограмма)=2x+2y
Так как y=16/х, то
Р(х)=2х+(32/х)
Исследуем функцию Р(х) на минимум
Р`(x)=2-(32/x^2)
P`(x)=(2x^2-32)/x^2
P`(x)=0
x^2=16
x=4
Знак производной
(0) __-__ (4) __+_
х=4- точка минимума, производная меняет знак с - на +.

у=16/4=4
Р(4)=2*(4+4)=16
О т в е т. 16 м

Ответ выбран лучшим

2-2,4=-0,4

-0,4/1,6=-1/4=-0,25

(-0,25)*(-3)=0,75

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
tg(x/2)=t
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t^2)

cosx=(1-t^2)/(1+t^2)

Пределы интегрирования
при х =0 получим t=0
при х=Pi/2 получим t=1

= ∫ ^1_(0)((2-2t^2)dt/(9+t^2)(1+t^2)=

=раскладываем дробь на две дроби)=

=(-5/2)∫ ^1_(0)dt/(9+t^2) +(1/2)*∫ ^1_(0)dt/(1+t^2)=

=((-5/2)arctg(t/3)+(1/2)arctgt) |^1_(0)=

=-(5/2)arctg(1/3)+(1/2) arctg1=

=(5/2)arctg(1/3)+(1/2) *(Pi/4)

Ответ выбран лучшим

vector{b}=(-3;0;1)
vector{c}=(0;1;1)

Ответ выбран лучшим

vector{p}=(4*0-(-1)+2*2;4*(-5)-2+2*1;4*(-2)-0+2*(-3))=
=(5;-20;-14)
vector{q}=(3*2-2*0+(-1);3*1-2*(-5)+2;3*(-3)-2*(-2)+0)=
=(5;15;-5)

Ответ выбран лучшим

sin^2a=1/9
cos^2a=1-sin^2a=1-(1/9)=8/9
tg^2a=sin^2a/cos^2a=(1/9)/(8/9)=1/8

О т в е т. (1/9)*(1/8)-(8/9)=(1/9)*((1/8)-8)=
=(1/9)*(-63/8)=-7/8

Ответ выбран лучшим

Замена:
3^x=t
3^(x+2)=3^x*3^2=9t
9^x=(3^x)^2=t^2

t^2-9t+14=0
D=(-9)^2-4*14=81-56=25
t=(9-5)/2=2 или t=(9+5)/2=7
Обратная замена
3^x=2 или 3^x=7
x=log_(3)2 или x=log_(3)7
О т в е т. log_(3)2; log_(3)7

Ответ выбран лучшим

|AB|=sqrt((x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2+(z_(B)-z_(A))^2)=

=sqrt((-2-4)^2+(4-(-1))^2+(-3-0)^2)=

=sqrt(36+25+9)=sqrt(70)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

34+17-6=45

Проверка.
45+6=51
51-17=34

О т в е т. Было 45 учащихся.

Ответ выбран лучшим

Применить метод неопределенных коэффициентов.
Представить дробь, записанную под интегралом в виде суммы двух дробей
(A/x) и (Mx+N)/(x^2+1)
1=Аx^2+A+Mx^2+NX
A=1
N=0
A+M=0
M=-A=-1

∫ dx/(x*(x^1+1))= ∫ dx/x- ∫ xdx/(x^2+1)=

=ln|x|-(1/2)ln|x^2+1|+C=ln(|x|/sqrt(x^2+1))+C

Ответ выбран лучшим

Если детей в группе х, то каждый ребенок роздал (х-1) подарков остальным детям, кроме себя самого.
Всего роздано подарков х*(х-1), что по условию равно 1756
х*(х-1)=1756
Нет такого натурального х, удовлетворяющего условию задачи.
Значит число 1756 написано неверно.

41*40=1640 < 1756
42*41=1722 < 1756
43*42=1806 > 1756

Может 2756
Тогда 53 ребенка в группе
Каждый из 53 детей роздал 52 подарка.
Всего роздано
53*52=2756 подарков.
Но что то многовато для группы и 40 детей и 53

Ответ выбран лучшим

Найдите значение выражения:
–20·tg 52 ° · tg 142 °.

РЕШЕНИЕ:
По формулам приведения
tg 142 ° = tg (90 ° +52 °)= – ctg 52 °.

Так как tgα · ctgα=(sinα/cosα)·(cosα/sinα)=1, то

–20· tg52° · tg 142 ° = –20·tg52° ·(–сtg 52 °)=
=–20·(–1)·tg52° ·сtg 52 ° = 20.

Ответ выбран лучшим

1дм=10 см
81 дм=810 см

S=ab
144=a*810
а=144:810

Ответ выбран лучшим

По определению.
1) Область определения симметрична относительно 0, так как это (- бесконечность;+ бесконечность )
2) f(-x)=-f(x) - функция нечетна
или
f(-x)=f(x) - функция четна.

f(-x)=-x+(-x)^2+sin(-x)=-x+x^2-sinx
f(-x) ≠ -f(x) функция не является нечетной
f(-x) ≠ f(x) функция не является четной
О т в е т. функция не является ни четной,ни нечетной

Ответ выбран лучшим

Вопросы в задачах разные.
И поэтому проценты считаются так: за первый месяц проценты берутся со всей суммы кредита 24Х, за второй с 23Х и так далее до 12-го месяца, с 13Х и Р=(24Х+...+13Х)*12)0,01/2=2,22Х
177 750=12Х+2,22Х
177 750 = 14,22Х
Х=125 000
24Х=24*12 500 = 300 000 руб.

Ответ выбран лучшим

Пусть ежемесячные выплаты по кредиту(без процентов)–Х руб.
Тогда сумма кредита – 24Х, а за 12 месяцев без процентов нужно выплатить – 12Х.
Пусть P – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.
Составим уравнение:
177 750=12x+P
Sn=((a1+an)/2)·n
P=(24x+23x+...+13x)·0,01=
=((24x+13x)/2)·12·0,01=37x·0,06=2,22x
177 750=12Х+2,22Х
177 750=14,22Х
x=12 500
Это ежемесячные выплаты по кредиту без процентов.
А сумма кредита будет равна:
12 500·24=300 000.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(sqrt(11))^(2-log_(sqrt(11))0,2)

По свойству степени
a^(m+n)=a^(m)*a^(n)

(sqrt(11))^(2-log_(sqrt(11))0,2)=

=(sqrt(11))^2*(sqrt(11))^(-log_(sqrt(11))0,2)=

=11*(sqrt(11))^(log_(sqrt(11))(0,2^(-1)))=

по основному логарифмическому тождеству
a^(log_(b)a)=b
получаем,

=11*0,2^(-1)=11*5=55

Ответ выбран лучшим

y=(ln3x)^(-2)
По формуле
y`=-2(f(x))^(-3)*f`(x)

y`=-2(ln3x)^(-3) * (ln3x)`=

=-2(ln3x)^(-3) * (1/3x)*(3x)`=

=-6/(3x*ln^33x)=

=-2/(xln^33x)

Ответ выбран лучшим

-4x-4x=-5-3
-8x=-8
x=1

Ответ выбран лучшим

tg56 градусов = tg ( 90 градусов - 34 градусов)= сtg 34 градусов
59tg56° · tg34 °=59* ctg34°* tg 34°=59, так как
tg альфа * ctg альфа =1

Ответ выбран лучшим

а)
Уравнение АС как уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:
(x-x_(C))/(x_(A)-x_(C))=(y-y_(C))/(y_(A)-y_(C))

(x-17)/(-1-17)=(y-10)/(7-10)
Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
-3*(х-17)=-18*(у-10)
х-17=6(у-10)
х-6у+43=0
б)
х_(М)=(х_(В)+х_(С))/2=(11+17)/2=14
у_(М)=(у_(В)+у_(С))/2=(2+10)/2=6
M(14;6)
Уравнение АМ как уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид
(x-x_(M))/(x_(A)-x_(M))=(y-y_(M))/(y_(A)-y_(M))
(x-14)/(-1-14)=(y-6)/(7-6)
или
х-14=-15(у-6)
х+15у-104=0
в) ВН ⊥ АС
Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых равны -1
Так как уравнение АС имеет вид
у=(1/6) х-(43/6)

у=-6х+b - уравнение прямых, перпендикулярных АС
Уравнение ВН найдем подставив координаты точки В в данное семейство
2=-6*11+b
b=68
y=-6x+68

или второй способ направляющие векторы взаимно перпендикулярных прямых тоже взаимно перпендикулярны.
Направляющий вектор АС имеет координаты.
(1;-6)
Направляющий вектор ВН имеет координаты (6;1)
Тогда их скалярное произведение (1*6-6*1=0)
6х+у+m=0
Подставляем координаты точки В
6*11+2=m
m=-68
6х+у-68=0

ВН=d( расстоянию от точки В до АС)=
=|11-6*2+43|/sqrt(1+6^2)=
=42/sqrt(37)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1)
Выразим t в каждом из уравнений
{cost=1-x
{y=t-sqrt(1-x)^2)

{t=arccos(1-x)
{(t-y)^2=(sqrt(1-x))^2⇒D=4(1-x^2)
y=y+sqrt(1-x^2) или t=y-sqrt(1-x^2)
Приравниваем
arccos(1-x)=y+sqrt(1-x^2) или arccos(1-x)=y-sqrt(1-x^2)
у=arccos(1-x)-sqrt(1-x^2) или у=arccos(1-x)+sqrt(1-x^2)
Исследование функций с помощью производной
См. рис.
1) красного цвета у=arccos(1-x)-sqrt(1-x^2)
2) зеленого цвета у=arccos(1-x)+sqrt(1-x^2)
2)
Выразим t в каждом из уравнений
{t=x-1
{t=y
Приравниваем
у=х-1 - прямая проходящая через точки (0;-1) и (1;0)
sqrt(подкоренное выражение) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 2x+5y+11=0 ⇒ y= (-2/5)x-(11/5)
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
Значит общий вид таких прямых:
у=(-2/5)х +b
Выделим ту, которая проходит через точку М (5;-2)
Подставляем координаты этой точки в уравнение
-2=(-2/5)*5+b ⇒ b=0
о т в е т. у=(-2/5)х или 5у+2х=0 (рис.1)

2) Выразим t из первого уравнения и из второго
{t=(x-3)/2
{t=y-7
Приравниваем
(х-3)/2=у-7
или
у=(1/2)х +(11/2)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1.
Значит прямая перпендикулярная прямой
{x=2t+3
{y=t+7
имеет вид
у=-2х+b
Выделим ту, которая проходит через точку М (5;-2)
Подставляем координаты этой точки в уравнение
-2=-2*5+b ⇒ b=8
о т в е т. у=-2х+8 или 2х+у-8=0 ( рис.2)

3) (x+2)/t=y/3
y=(3/t)x+(2/t)
k=3/t
k=tgα
tg β =?

tg(α -β)=tg45 градусов = 1
Значит надо найти tg β

По формуле
tg( α- β)=(tg α - tg β)/(1+tgα tgβ)

1=((3/k)-tgβ)/(1+(3/k)*tgβ )

tg β =(3-k)/(3+k)

Уравнение прямых имеют вид
у=((3-k)/(3+k))x+b
Выделим ту, которая проходит через точку М (5;-2)
Подставляем координаты этой точки в уравнение
-2=5*((3-k)/(3+k))+b ⇒ b=-2-5*((3-k)/(3+k))
b=(3k-9)/(k+3)
о т в е т. у=((3-k)/(3+k))x+(3k-9)/(3+k)
или
(3+k)y-(3-k)x-(3k-9)=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(2+arcsin(√x) +(√x–x^2))` =

=0+(1/sqrt(1-(sqrt(x))^2))* (sqrt(x))`+(1/(2sqrt(x-x^2)))*(x-x^2)`=

=1/(2sqrt(x)*sqrt(1-x))+(1-2x)/(2sqrt(x-x^2))=

=(1+1-2x)/2sqrt(x-x^2)=

=(1-x)/sqrt(x-x^2)=sqrt((1-x)/x)

Ответ выбран лучшим

1)= 5*(x^5/5)-2*(x^4/4)+3*(x^3/3) +C=x^5-(x^4/2)+x^3+C
2)=x^(3/2)/(3/2)+2*(x^(4/3)/(4/3)+C=(2/3)∛(x^2)+(3/2)x∛x + C
3)= ∫ (x^2+3x+2)dx=(x^3/3)+3(x^2/2)+2x+C=
=(x^3/3)+(3/2)*x^2+2x+C
4)=3sinx+4cosx+C
5)=3e^x-6*(x^(3/2)/(3/2)+C=3e^x-4x sqrt(x)
6)=(1/8)*sin(8x+5) +C
7)=(1/5)*(5x-2)^(3/2)/(3/2)+C=(2/15)(5x-2)* sqrt(5x-2)+C

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 7х-2 > 0
x > 2/7

7x-2=3^2
7x=9+2
7x=11
x=11/7
11/7 > 2/7
О т в е т. 11/7

Ответ выбран лучшим

Cкорее всего неравенство имеет вид
log_(x^3+3x^2+3x+1)(4–x) больше или равно 0
Так как
x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3, то
log_((x+1)^3)(4–x) больше или равно log_((x+1)^3)1

ОДЗ:
(х+1)^3 > 0 ⇒ x+1 > 0 ⇒ x > -1
x+1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 0
4-x > 0 ⇒ x < 4
ОДЗ: x∈ (-1;0)U(0;4)

Если (x+1)^3 > 1, логарифмическая функция возрастает и
(4-х) > 1
Система
{x+1)^3 > 1 ⇒ x > 0
{4-x > 1 ⇒ x < 3
C учетом ОДЗ ответ (0;3)

Если (x+1)^3 < 1, логарифмическая функция убывает и
0 < (4-х) < 1
Система
{x+1)^3 < 1 ⇒ x < 0
{4-x > 1 ⇒ x > 3
система не имеет решений
О т в е т. (0;3)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8^((5x+3)/3) < 16^(-(2x+1)/2x))
или
2^(5x+3) < 2^((-4x-2)/x)
Показательная функция с основанием 2 убывает.
5х+3 < (-4x-2)/x
(5x^2+3x+4x+2)/x < 0
(5x^2+7x+2)/x < 0

_-_ (-1) _+__ (-0,4) __-___ (0) __+___

О т в е т. (- бесконечность;-1) U(-0,4;0)

Ответ выбран лучшим

A=[sqrt(7)+1; + бесконечность )
B=(- бесконечность;sqrt(19))
AUB=(- бесконечность;+ бесконечность)
A ∩ B=[sqrt(7)+1;sqrt(19))

Ответ выбран лучшим

Формула полной вероятности
р=0,6*0,05+0,4*0,1=0,3+0,04=0,34

Ответ выбран лучшим

h=18^3=6
S( Δ)=(1/2)a*h=(1/2)*18*6=54 кв. см

Ответ выбран лучшим

При х=2 и у=3
3*2+а*3=9 ⇒ 3а=3 ⇒ а=1

Решаем систему
{3x+y=9
{2x-3y=6

Умножаем первое уравнение на 3
{9x+3y=27
{2x-3y=6
Складываем
11х=33
х=3
у=9-3х=9-3*3=0
О т в е т. (3;0)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
x^2-2x=t
t^2-2t-3=0
D=16
t=-1 или t=3
Обратная замена
x^2-2x=-1 или x^2-2x=3
x^2-2x+1=0 или x^2-2x-3=0
x=1 или х=-1 или х=3

О т в е т. -1; 1; 3

Ответ выбран лучшим

4!=1*2*3*4=24
Последнее место занято цифрой 2, число должно быть четным.
Осталось заполнить 4 места перед цифрой 2.
На первое месту любую из четырех цифр(1;3;5;9)- 4способа
Второе место - три
Третье - два
Четвертое - один способ
Умножаем 4*3*2*1=24

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

121
Зачеркиваем 5; 8; 9 и 4
О т в е т. 121*121=14631

Ответ выбран лучшим

S(бок.)=2PiR*H
20Pi=2PiR*5 ⇒ R=2
S(осн.)= PiR^2=Pi*2^2=4Pi

S(полн)=S(бок.)+2S(осн.)=20Pi+8Pi=28Pi

Ответ выбран лучшим

Вершина параболы - точка минимума, так ветви параболы направлены вверх.
Поэтому наибольшее значение либо в левом, либо в правом конце отрезка.
у(-18)=(-18)^2+64*(-18)=-18*46=-748
у(-4)=(-4)^2+64*(-4)=16-64*4=16*(1-16)=16*(-15)=-240- наибольшее значение функции на [-18;-4]

Ответ выбран лучшим

Делим на (1+x^2)
y``+(2x/(1=x^2))y`=x^3/(1+x^2)
Замена
y`=z
y``=z`
z`+p(x)z`=q(x)
Ищем решение в виде
z(x)=u(x)*v(x)
z`=u`v+uv`
u`v+uv`+puv=q
u`v+u*(v`+pv)=q

v`+pv=0
dv/dx=-(2x)v/(1+x^2) - уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=(-2x)dx/(1+x^2)
Интегрируем.
ln|v|=-ln|1+x^2|+lnC
v=C/(1+x^2)
C=1 (полагаем так)
u`*v=(x^3)/(1+x^2)
u`/(1+x^2)=(x^3)/(1+x^2)
u=(x^4/4)+C_(1)
z=((x^4/4)+C_(1))*(1/(1+x^2))
y`=z
y`=C_(1)/(1+x^2)+(x^4)/(4+4x^2)
y`=C_(1)/(1+x^2)+(1/4)*(x^4-1)/(1+x^2)+(1/4)*1/(1+x^2)
y`=C_(1)/(1+x^2)+(1/4)*(x^2-1)+(1/4)*1/(1+x^2)

Интегрируем
y=C_(1)arctgx+(x^3/12)-(x/4)+(1/4)stctgx+C_(2)

О т в е т. y=C_(1)arctgx+(x^3/12)-(x/4)+(1/4)stctgx+C_(2)

Ответ выбран лучшим

v(cр.)=s/t=(4+2)/(0,8+0,7+0,5)=6/2=3 км/ч

Ответ выбран лучшим

http://self-edu.ru/oge2016_36.php?id=20_25 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из равенства треугольников АВО и КРЕ следует
РЕ = ВО.
∠ АВО= ∠ КРЕ

ВО и РЕ - биссектрисы, значит
∠ АВО=∠ ОВС
∠ КРЕ=∠ЕРМ
Значит ∠ ОВС=∠ЕРМ
ΔОВС= ΔЕРМ
и
ΔАВС= ΔКРМ

АС=КМ=9 см
КЕ=х, ЕМ=х+3.8
х+х+3,8=9
2х=9-3,8
2х=5,2
х=2,6
ЕМ=2,6+3,8=6,4 см
О т в е т. 6,4 см

Ответ выбран лучшим

t=s/(u_(1)-u_(2))=3/30 =1/10 ч=6 мин

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
7х-29 > 0
x > 29/7

Возведем обе части в квадрат
10/(7x–29) = 1/9
Перемножаем крайние и средние члены пропорции
10·9 = 7x–29
7х=90-29
7x = 61
x = 61/7 удовл. ОДЗ
x = 8 целых 5/7

Ответ выбран лучшим

1а) 3^(-3)=1/3^3=1/27
81^(1/2)=9
81^(1/4)=3
О т в е т. (1/27)*9-3:(1/9)=(1/3)-27=-80/3
1б)∛(7+sqrt(22))*∛(7-sqrt(22))=∛7^2-(sqrt(22))^2=∛(49-22)=

=∛27=3

2) |a-b|-2|a+b|
b > a ⇒ a-b < 0 ⇒ |a-b|=b-a
|a+b|=a+b
О т в е т. b-a-2a-2b=-3a-b
4а)
4*(sqrt(7)-3)/(sqrt(7))^2-3^3=6-2sqrt(7)

Ответ выбран лучшим

cos^2x-6cosx*cos2x+9cos^22x=(cosx-3cos2x)^2

8cosx-24cos2x=8*(cosx-3cos2x)

Замена переменной

cosx-3cos2x=t

Уравнение принимает вид:
t^2+8t+16=0
t=-4 - единственный корень уравнения.

сosx-3cos2x=-4

cos2x=2cos^2x-1
cosx-3*(2cos^2x-1)=-4
6cos^2x-cosx-7=0
D=1-4*6*(-7)=1+168=169
cosx=-1 или сosx=7/6
x=(π)+2πk, k∈Z

2016π < (π)+2πk < 2018π
2015π < 2πk < 2017π
2015 < 2k < 2017
k= 1008
x= (π)+2π*1008=2017π
Указанному промежутку [2016π;2018π] принадлежит корень
х=2017π

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{sinx > 0; sinx ≠ 1
{5-6sinx > 0 ⇒ sinx < 5/6

По определению логарифма
(5-6sinx)/8=(sinx)^2
или
8sin^2x+6sinx-5=0
D=36-4*8*(-5)=196
sinx=1/2 ( удовл. ОДЗ)
или
sinx=-5/4( уравнение не имеет корней)

sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈Z или sinx=(5π/6)+2πn, n∈Z

Указанному отрезку [0; π] принадлежат два корня
х=(π/6) и x=(5π/6)

Ответ выбран лучшим

36%=36/100=0,36
0,36*102=36,72 кг соли в первом растворе.
Пусть второй раствор х кг,
тогда
0,66*х кг соли во втором растворе.
В смеси (102+х) кг содержится 49% соли, т.е
0,49*(102+х)
Эта соль равна сумме соли в первом растворе и во втором.
Уравнение
36,72+0,66х=0,49*(102+х)
36,72+0,66х=49,98+0,49х
0,66х-0,49х=49,98-36,72
0,17х=13,26
х=13,26:0,17=78
О т в е т. 78 кг

Ответ выбран лучшим

Δ АОВ - равнобедренный ( АО=ВО=R; ∠ AOB=60 градусов)
Значит Δ AOB - равносторонний.
∠ ВАО= ∠ АВО = 60 градусов.
Значит КО- высота, медиана и биссектриса

Δ AO_(1)B- равнобедренный.
АО_(1)=ВО_(1)=r=19
KO_(1)- высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.
KO_(1) ⊥ AB
Из точки К к прямой АВ можно провести только один перпендикуляр, значит три точки К, О_(1) и О лежат на одной прямой.

∠ABO_(1)= ∠ OBO_(1)=30 градусов
∠ВАO_(1)= ∠ OАO_(1)=30 градусов
АО_(1) и ВО_(1) - биссектрисы
О_(1) - точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника АВО,
значит О_(1)- центр окружности, описанной около равностороннего треугольника АВО
ОО_(1)=r=19

О т в е т. 19
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть АМ - путь в гору, MN - спуск, NB- ровная местность.
тогда на обратной дороге путь NM в гору, MA - cпуск с горы.

Пусть АM=x, MN=y, NB=z

На путь АВ затрачено ( х/40)+(y/60)+(z/48) час.
На путь ВА затрачено (z/48)+(у/40)+(х/60) час.

Всего 5 часов.
Уравнение
( х/40)+(y/60)+(z/48) + (z/48)+(у/40)+(х/60) = 5

х*((1/40)+(1/60))+у*((1/40)+(1/60))+2* (z/48)=5

(х/24)+(у/24)+(z/24)=5
x+y+z=120

О т в е т. 120 км

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos 20 градусов= sin 70 градусов

Тогда в числителе
sin 70 градусов - sin 20 градусов = 2* sin 25 градусов * cos 45 градусов=sqrt(2)sin 25 градусов

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x -2 > 0; x-2 ≠ 1
{x+2 > 0; x+2 ≠ 1
x∈ (2;3)U(3;+бесконечность)
Перейдем к основанию 3 .

(1/log_(3)(x-2))+(1/log_(3)(x+2)) > 1/(log_(3)(x-2) *log_(3)(x+2))

Замена
log_(3)(x-2)=u
log_(3)(x+2)=v

(1/u)+(1/v) > (1/(uv))
(v+u-1)/(uv) > 0
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
Совокупность двух систем:
{uv > 0
{u+v-1 > 0
или
{uv < 0
{u+v-1 < 0

Если
1)
{u > 0 ⇒ log_(3)(x-2) > 0 ⇒x-2 > 1 ⇒x > 3
{v > 0 ⇒ log_(3)(x+2) > 0 ⇒x+2 > 1 ⇒x > -1
{u+v > 1 ⇒ log_(3)(x-2)+log_(3)(x+2) > 1 ⇒(x-2)(x+2) > 3 ⇒x^2-7 > 0
о т в е т 1) (3;+ бесконечность )

Если
1)
{u < 0
{v < 0
{u+v > 1 cумма отрицательного u и отрицательного v не может быть больше 1
о т в е т 2) нет решений

Если
3)
{u < 0 ⇒ log_(3)(x-2) < 0 ⇒x-2 < 1 ⇒x < 3
{v > 0 ⇒ log_(3)(x+2) > 0 ⇒x+2 > 1 ⇒x > -1
{u+v < 1 ⇒ log_(3)(x-2)+log_(3)(x+2) < 1 ⇒(x-2)(x+2) < 3 ⇒x^2-7 < 0
с учетом ОДЗ:
о т в е т 3) (2;sqrt(7) )

Если
4)
{u > 0 ⇒ log_(3)(x-2) > 0 ⇒x-2 > 1 ⇒x > 3
{v < 0 ⇒ log_(3)(x+2) < 0 ⇒x+2 < 1 ⇒x < -1
{u+v < 1 ⇒ log_(3)(x-2)+log_(3)(x+2) < 1 ⇒(x-2)(x+2) < 3 ⇒x^2-7 < 0
о т в е т 4) нет решений

О т в е т. (2; sqrt(7)) U (3;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

ABCD- квадрат.
AB=BC=CD=AD=sqrt(3)
ОК=(1/2)AD=sqrt(3)/2
NK⊥CD по теореме от трех перпендикулярах (так как ОК ⊥ СD).
Угол NOK- линейный угол двугранного угла между плоскостью NCD и ABCD, угол наклона боковой грани к плоскости основания
Из прямоугольного треугольника NKO
H(пирамиды)=NO=OK*tg60 градусов=(sqrt(3)/2)*sqrt(3)=3/2
V(пирамиды)=(1/3)S(осн.)*Н=(1/3)*S(квадрата АВСD)*H=
=(1/3)*(sqrt(3))^2*(3/2)=3/2
О т в е т. 3/2=1,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 12 целых(2/3) : 1 целую(16/41)=(38/3):(57/41)=

=(38/3)*(41/57)=82/9 км в час - скорость второго
2) 12 целых(2/3)-82/9=(38/3)-(82/9)=(114/9)-(82/9)=32/9 км в час - разница скоростей, фактически скорость сближения (первого со вторым)
3)8:(32/9)=8*(9/32)=9/4=2,25 часа
О т в е т. 2, 25 часа= 2 часа 15 минут

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{x+2 > 0
x∈(0;+ бесконечность)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения.
log_(2)x*(x-3)=2
По определению логарифма
х*(х+3)=2^2
x^2+3x-4=0
D=9+16=25
x=-4 или х=1

х=-4 не принадлежит ОДЗ
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х+1 > 0
x > -1

Так как log_(3)81=4, уравнение принимает вид
2^(log_(2)(x+1)) =2^2 ⇒ log_(2)(x+1) =2
x+1=2^2
x=1=4
x=3
удовл. ОДЗ
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Пусть это b; bq; bq^2; bq^3
По условию
{b+bq^3=27 ⇒ b=27/(1+q^3)
{bq+bq^2=18⇒ b*q*(1+q)=18
(27/(1+q^3))q*(1+q)=18

18q^2-45q+18=0
2q^2-5q+2=0
В=25-4*2*2=9
q=2 или q=1/2 ( не удовл. условию возрастания прогрессии)

b=27/(1+q^3)=27/(1+2^3)=27/(1+8)=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Там где производная положительна функция возрастает, значит это промежутки [-5;0] и [2;6].
Длина первого равна 5, второго 4
Сумма длин 5+4=9

Ответ выбран лучшим

Значит, диаметр равен 2+18=20
R=10
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
См. рис.
По теореме Пифагора
x=6
2x=12
О т в е т. 12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АА1К ( см. рис.)
А1К=Н=2 - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
V( призмы)= S( осн.) * Н= 3*6*sin(arcsin(3/4))*2=
=3*6*(3/4)*2=27
О т в е т. 27 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х+30 > 0
x > - 30

По определению логарифма
х+30=(0,25)^(-2)
x+30=4^2
x=16-30
x=-14
-14 > -30 удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. х=-14

Ответ выбран лучшим

d^2=a^2+b^2
d^2=6^2+8^2
d^2=100
d=10
H=10
V(призмы)=S(осн.)*Н=6*8*10=480
О т в е т. 480

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{tgx > 0; tgx ≠ 1 ⇒ x в первой или третьей четверти и
х ≠(Pi/4)+Pis,s ∈ Z

{cos2x-cos4x > 0

По определению логарифма
cos2x-cos4x=(tgx)^(0)
или
cos2x-cos4x=1 ( 1 > 0, что удовлетворяет ОДЗ)
Так как
cos4x=cos^22x-sin^22x
1=cos^22x+sin^22x
уравнение принимает вид:
cos2x-cos^22x+sin^22x=cos^22x+sin^22x
cos2x-2cos^22x=0
cos2x*(1-2cos2x)=0
cos2x=0 или сos2x=1/2
2x=(Pi/2)+Pik,k ∈ Z или 2х=± (π/3)+2πn, n∈Z
x=(Pi/4)+(Pi/2)k,k ∈ Z или х=± (π/6)+πn, n∈Z

Так как согласно ОДЗ х ≠(Pi/4)+Pis,s ∈ Z
и х в первой или третьей четверти, то первая серия ответов
x=(Pi/4)+(Pi/2)k,k ∈ Z не принадлежит ОДЗ.
х=- (π/6)+πn, n∈Z не принадлежат ОДЗ
О т в е т. х= (π/6)+πn, n∈Z
Указанному отрезку [-Pi;0] принадлежит корень
х= (π/6)-π=-5π/6)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:х ∈ (- бесконечность;+ бесконечность )

y`=((2x)`*(x^2+8)-(x^2+8)`*(2x))/(x^2+8)^2

y`=(2x^2+16-4x^2)/(x^2+8)^2

y`=(16-2x^2)/(x^2+8)^2

y`=0

x^2=8
x=-2sqrt(2) и х=2sqrt(2) - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума и находим знак производной

__-__ (-2sqrt(2)) ___+___ ( 2sqrt(2)) __-__

x=2sqrt(2) - точка максимума, производная при переходе через точку меняет знак с+ на -

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{cosx > 0; cosx ≠ 1
{9-14cosx > 0 ⇒ сosx < 9/14

По определению логарифма
(9-14сosx)/8=cos^2x
8cos^2x+14cosx-9=0
D=14^2-4*8*(-9)=196+288=484=22^2
cosx=1/2 или сosx= - 9/4 (уравнение не имеет корней)
cosx=1/2 ( 1/2 < 9/14, что удовл. ОДЗ)
х=± (π/3)+2πk, k∈Z
Отрезку [–π; 0] принадлежит корень х=-(π/3)

Ответ выбран лучшим

Пусть одна сторона прямоугольника равна х м, вторая у м.
S=xy ⇒ y=200/x

Cумма трех сторон:
х+(200/х)+х=Р(х)
Исследуем функцию на экстремум
P`(x)=(2x+(200/x))`
P`(x)=2-(200/x^2)
P`(x)=(2x^2-200)/x^2
P`(x)=0
2x^2-200=0
x^2=100
x=10

200/x=20

10+20+10=40 м - наименьшая возможная длина изгороди (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+4 > 0 всегда ⇒ x ∈(- бесконечность; + бесконечность)
{x > 0
ОДЗ: х∈(0; + бесконечность)

Делим обе части уравнения на (х^2+4)^(x^2+2x-3).

((5x)/(x^2+4))^(x^2+2x-3) > 1

Рассматриваем два случая
1) (5x)/(x^2+4) > 1
Показательная функция с основанием больше 1 возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x^2+2x-3 > 0

Система неравенств:
{(5x)/(x^2+4) > 1⇒(5x-x^2-4)/(x^2+4) > 0⇒x^2-5x+4 < 0 ⇒(1;4)
{x^2+2x-3 > 0 ⇒ (-бесконечность;-3)U(1;+бесконечность)
Ответ 1) (1;4) удовлетворяет ОДЗ

2) 0 < (5x)/(x^2+4) < 1
Показательная функция с основанием меньше 1 убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
x^2+2x-3 < 0

Система неравенств:
{0 < (5x)/(x^2+4) < 1⇒ x > 0 и x^2-5x+4 > 0 ⇒(4;+бесконечность)
{x^2+2x-3 < 0 ⇒ (-3;1)
Ответ 2) нет решений

О т в е т. (1;4)

Ответ выбран лучшим

3) и 4)

Ответ выбран лучшим

Первое число х, второе х+d, третье х+2d
Сумма
х+(х+d)+(x+2d)=105
3x+3d=105
x+d=105:3
x+d=35

О т в е т. 35

Ответ выбран лучшим

450км составляют 75%
х км составляют 100%

х=450*100:75=600 км - весь путь

Пусть первоначальная скорость поезда v км в час.
(600/v) час - время по расписанию
Фактически:
(450/v) час - время в пути до остановки
Оставшийся путь 600-450 =150 км поезд проходил со скоростью (v+15) км в час.
И стоянка 30 мин=1/2 часа
Уравнение:
(450/v)+(150/(v+15))+(1/2)=600/v
(150/v)-150/(v+15)=1/2
v^2+15v-4500=0
D=225+4*4500=18225=135^2
v=(-15-135)/2 < 0 или v=(-15+135)/2=60
v+15=60+15=75
О т в е т 75 км в час

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{5x+6 > 0 ⇒ x > -6/5
{x > 0

x ∈ (0;+ бесконечность )

lg(5x+6)=2lgx
или
применяя свойство логарифма степени
plgx=lgx^(p)

lg(5x+6)=lgx^2
5x+6=x^2
x^2-5x-6=0
D=(-5)^2-4*(-6)=25+24=49
x=(5-7)/2=-1 или х=(5+7)/2=6
х=-1 не входит в ОДЗ
О т в е т. х=6

Ответ выбран лучшим

Значит первый стрелок промахнулся, а второй попал
Вероятность промаха первого стрелка равна 1-0,6=0,4

р=0,4*0,7=0,28

О т в е т. 0,28

Ответ выбран лучшим

Параллелепипед TPCDA1B1P1T1 расположен между двумя сиреневыми плоскостями.
Его объем равен (1/2) V(куба)=(1/2)*4^3=32 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Боковая грань DD1C1C квадрат, площадь этого квадрата
СD*DD_(1)=16 ⇒ CD=DD_(1)=4
В ромбе все стороны равны
АВ=ВС=СD=AD=4
V( параллелепипеда)=S( осн.) * Н=
=AB*AD*sin 45 градусов * DD_(1) =
=4*4*(sqrt(2)/2)*4=32sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

V(призмы)=S(осн.)*Н
S(осн.)=S( Δ)=(1/2)*5*4*sin30 градусов= (1/2)*5*4*(1/2)=5
V(призмы)=5*12=60
О т в е т. 60

Ответ выбран лучшим

y`=6+e^(-6x)*(-6x)`
y`=6-6e^(-6x)
y`=0
6-6e^(-6x)=0
e^(-6x)=1
-6x=0
x=0
Знак производной:
1-e^(-6x) > 0 или e^(-6x) < 1 при х > 0
__-___ (0) __+__

x=0 - точка минимума, так как производная при переходе через эту точку меняет знак с - на +.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{3x-1 > 0 ⇒ x > 1/3
{2x+1 > 0 ⇒ x > -1/2

x ∈ (-1/2; + бесконечность)

Так как 3=log_(2)8
перепишем уравнение в виде:
log_(2)8=log_(2)(3x-1)+log_(2)(7/(2x+1))
Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(2)8=log_(2)((3x-1)*(7/(2x+1))
В силу монотонности логарифмической функции, если значения функции равны, то и аргументы равны.
8=(3х-1)*(7/(2х+1))
или
8*(2х+1)=7*(3х-1)
16х+8=21х-7
16х-21х=-8-7
-5х=-15
х=3
3 ∈ ОДЗ

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{sinx > 0; sinx ≠ 1
{1+ cos2x+ cos4x > 0
По определению
1+cos2x+cos4x=sinx^(0)
1+cos2x+cos4x=1 ( 1 > 0. значит условие ОДЗ
1+cos2x+cos4x > 0 выполнено

cos2x+cos4x=0
Формула
cosα + cos β

2cos((2x+4x)/2)cos((2x-4x)/2)=0
cos3x=0 или cosx=0

cos3x=0
3x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z
x=(Pi/6)+(Pi/3)k, k ∈ Z (с учетoм ОДЗ получим x=(Pi/6)+2Pik, или x=(5Pi/6)+2Pin, k, n∈ Z

cosx=0
x=(Pi/2)+Pim, m ∈ Z
при m=2k не удовлетворяют условию ОДЗ sinx ≠ 1
при m=2k+1 не удовлетворяют условию ОДЗ sinx > 0

О т в е т. (Pi/6)+2Pik; (5Pi/6)+2Pin, k, n∈ Z

Отрезку [0;Pi] принадлежат корни:
х=Pi/6 и х=5Pi/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

15*12=180 деталей изготовил токарь

А вместе с учеником они изготовили 142 детали. Этого быть не может, 180 > 142

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
9x^2-4 > 0 ⇒ (3x-2)(3x+2) > 0 ⇒
x ∈(- бесконечность;-2/3)U(2/3;+ бесконечность)

y`=(2-x^2)`*sqrt(9x^2-4)-(sqrt(9x^2-4))`*(2-x^2)/(9x^2-4);

y`=-x*(9x^2+10)/(9x^2-4)^(3/2)

y`=0 при х=0
х=0 не принадлежит ОДЗ.

На (- бесконечность; -2/3) y` > 0 функция возрастает
На (2/3; + бесконечность ) y` < 0 функция убывает

х=-2/3 и х=2/3 - вертикальные асимптоты.
lim _(x→ - 2/3 - 0)f(x)=+∞
lim _(x→ 2/3+0)f(x)=+∞

См. график. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х+5 > 0 ⇒ x > - 5

y`=(1/(x+5))-5

y`=0

(1-5x-25)/(x+5)=0
-5x=24
x=-4,8

знак производной:
(-5) _+__ (-4,8) ___-__

х = - 4,8 - точка максимума, производная меняет
знак с + на -
О т в е т. х=-4,8

Ответ выбран лучшим

По определению:
два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Корень данного уравнения х=2
Корень уравнения Б) х=2
О т в е т. Б)

Ответ выбран лучшим

1) b=7,2
2)b=9
3)b=-8
4)b=-1/4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2=log_(1/3) (1/9)

log_(1/3)(1/9)+log_(1/3)13=log_(1/3)(13/9)

log_(1/3)(7x-4)=log_(1/3) (13/9)

7х-4=13/9
7х=49/9
х=7/9

О т в е т. 7/9

Ответ выбран лучшим

140:2=70 км в час

Ответ выбран лучшим

1=log_(3)3;

log_3(x2–2x) меньше или равно log_(3)3;

{x^2-2x меньше или равно 3;
{x^2-2x > 0

{(x+1)(x-3) меньше или равно 0
{x(x-2) > 0

О т в е т. [-1;0)U(2;3]

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=15239

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:x > 0
y`=2x–20+(48/x)
y`=(2x^2–20x+48)/x
y`=0
2x^2–20x+48=0
x2–10x+24=0
D=(–10)^2–4*(24)=100-96=4
x=(10–2)/2=4 или х=(10+2)/2=6
x=-2 не принадлежит ОДЗ

Знак производной
(0) __+__ (4) __-__ (6) ___ + ___

х=4 – точка максимума, производная меняет знак с + на -

О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

выделяем полный квадрат в знаменателе
= ∫ dx/((x+2)^2-9)= замена х+2=u; dx=du=
= ∫ du/(u^2-9)= табличный интеграл=
= (1/6)ln|(u-3)/(u+3)|+C=
=(1/6)ln|(x+2-3)/(x+2+3)|+C=
=(1/6)ln|(x-1)/(x+5)|+C=

Ответ выбран лучшим

(27+7*k) кратно 9
27 кратно 9
значит и 7k должно быть кратно 9
Наименьшее двузначное число k=18
7*18 : 9 = 14
О т в е т. 18

Ответ выбран лучшим

y`=(x-1)`*e^(2x)+(x-1)*(e^(2x))`=e^(2x)+(x-1)*e^(2x)*(2x)`=
=e^(2x)*(1+2x-2)=e^(2x)*(2x-1)
y`=0
Так как e^(2x) > 0 при любом х
2x-1=0
x=1/2

Проверяем знак производной
_-__ (1/2) __+_
х=1/2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

Пусть производительность труда первого рабочего х, второго рабочего у.
Обозначим всю работу за 1.
Из 11 дней они вместе работали 8 дней и последние три дня работал только первый.
Уравнение:
8*(х+у)+3х=1
За 7 дней они выполнили 7*(х+у), что составляет 80% или 0,8.
Второе уравнение
7*(х+у)=0,8

Система уравнений
{8*(х+у)+3х=1
{7*(х+у)=0,8
упрощаем
{11x+8y=1 ( умножаем на 7)
{7x+7y=0,8 ( умножаем на (-8))

{77x+56y=7
{-56x-56y=-6,4
Складываем
21х=0,6
х=0,6:21
х=6/210=2/70=1/35

1:(1/35)= 35 дней
О т в е т. За 35 дней выполнит всю работу первый рабочий

Ответ выбран лучшим

-1 < x < 1, поэтому
sqrt(5)=sqrt(1+4)=sqrt(4*((1/4)+1))=2sqrt(1+(1/4)
-1 < 1/4 < 1
sqrt(5)=2sqrt(1+(1/4)=
=2*(1+(1/4)/2-((1/4)^2)/8+((1/4)^3)/16+...)=
=2*(1+(1/8)-(1/128)+(1/1024)+...)=
=2*(1+0,125-0,0078125+0,00097656+...)=
=2,23632812≈
≈ 2,24

Ответ выбран лучшим

Велосипедист за час проедет 15 км.
30-15 = 15 км/ч - скорость сближения мотоциклиста и велосипедиста.
15:15=1 час
О т в е т. Через 1 час мотоциклист догонит велосипедиста

Ответ выбран лучшим

В случае, если заемщик брал сумму[b] 641 000[/b],
( в условии скорее всего опечатка)
641 000 : 100 * 10=64 100 руб - проценты за 1-й год
К концу первого года долг составил
641 000+64 100=705 100 руб.
(1,1*641 000 руб.)

Пусть выплата равна х, остаток (705 100 - х) руб
тогда
(705 100 - х)*1,1 руб.=(775 610 -1,1х)руб - долг к концу второго года
Выплата второго года 2х руб.
Остаток
(775 610 -1,1х- 2х) руб.=(775 610 - 3,1х) руб.

1,1*(775 610 -3,1х)=(853 171 - 3,41х) руб. -долг к концу третьего года
По условию долг к концу третьего года и есть третья выплата.
Уравнение
853 171 -3,41х=3х
853 171 =6,41х
х=133 100
О т в е т. 133 100 руб

Ответ выбран лучшим

5+7=12
360 градусов:12=30 градусов в одной части
Меньшая дуга
30 градусов*5=150 градусов.
Угол АСВ - вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается
О т в е т. 75 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле
1+tg^2a=1/cos^2a
cos^2a=1/(1+tg^2a)=1/(1+(sqrt(3))^2)=1/4
cosa=-1/2 ( π < a < 3π/2 - третья четверть, косинус имеет знак минус)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что выбирают двузначные числа.
Двузначных чисел 90
n=90
Двузначных чисел, записанных одинаковыми цифрами
9.
Это 11,22,...,99
Значит 90-9=81 двузначное число записывается различными цифрами
m=81
По формуле классической вероятности
р=m/n=81/90=9/10=0,9

Ответ выбран лучшим

Интегрируем методом замены переменной
sinx-cosx=u
(sinx-cosx)`dx=du
du=cosx+sinx

Интеграл принимает вид

∫ du/∛u= ∫ u^(-1/3)du=u^(2/3)/(2/3) + C=

=(3/2)*∛(sinx-cosx)^2+C

Ответ выбран лучшим

3000:100*11=330 руб. составляют 11%
3000+330=3330 руб на счете через год

Ответ выбран лучшим

a)AB=CD=(BC+AD)/2=(9+25)/2=17
б) h= sqrt(9*25)=15
r=h/2=7,5
см. рисунки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

http://school.umk-spo.biz/gia/forum/prlgrm/prltck_3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x-2)^2+(y-1)^2=1 - окружность с центром в точке (2;1) радиусом 1
При х больше или равно 2 прямая у=х-2+а
При x < 2 прямая у=2-х+а
Графиком является так называемая ''галочка'', которая двигается вдоль оси Оу.
Результаты этой передвижки изображены на рисунке.
2 решения наблюдаем у графика, который нарисован зеленым цветом ( стороны угла касаются окружности и до графика темно синего цвета)

Осталось найти как можно записать уравнение зеленой ''галочки'' и темно синей.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)500 г *2=1000 г - расходуется на 2 взрослых свитера
2) 1000 г : 5= 200 г пряжи расходится на детский свитер

Ответ выбран лучшим

1) 144:3,2=45 руб - цена 1 кг баклажанов
2)216:45=4,8 кг баклажанов

Ответ выбран лучшим

Область определения (- бесконечность;+бесконечность)
y`=2x+4
y`=0
x=-2
y(-2)=(-2)^2+4*(-2)-12=-16
Парабола ветви вверх, вершина в точке
(-2; -16)
Точка(-2;-16) - точка минимума.
Функция убывает(-бесконечность:-2), возрастает на (-2;+бесконечность)
Точки пересечения с осью Оу: (0;-12)
с осью Ох: (-6;0) и (2;0)
x^2+4x-12=0
D=16+48=64
корни
х=(-4-8)/2=-6 и х=(-4+8)/2=2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

100-35-25=40

Ответ выбран лучшим

По формуле производной сложной функции
(arcsinf(x))`=f`(x)/sqrt(1-f^2(x))

(2x/(1+x^2))`=((2x)`*(1+x^2)-(1+x^2)`*(2x))/(1+x^2)^2=

=(2+2x^2-4x^2)/(1+x^2)^2=2*(1-x^2)/(1+x^2)^2

О т в е т. 2*(1-x^2)/(1+x^2)^2/sqrt(1-(2x/(1+x^2))^2)=

=2*(1-x^2)/((1+x^2)*sqrt((1+x^2-2x)(1+x^2+2x)))=

=2*(1-x^2)/((1+x^2)*|1-x|*|1+x|)

Ответ выбран лучшим

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны

vector{a} имеет координаты (3;4;-12)

Длина этого вектоа
|vector{a}|=sqrt(3^2+4^2+(-12)^2)=sqrt(169)=13

Коллинеарный единичный вектор может иметь координаты
(3/13;4/13; -12/13)
или
(-3/13;-4/13;12/13)

Ответ выбран лучшим

sqrt(x-1)=x-3
Возводим в квадрат
х-1=(х-3)^2
x-1=x^2-6x+9
x^2-7x+10=0
D=49-40=9
x=(7-3)/2=2 или х=(7+3)/2=5
Проверка:
При х=2
2-sqrt(2-1)=3- неверно
При х=5
5-sqrt(5-1)=3 - верно
О т в е т. х=5

Ответ выбран лучшим

О т в е т. Г) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть расстояние между пунктами А и В равно S.
х км в час - собственная скорость катера
у км в час - скорость течения реки.
Тогда
S=71,5y - скорость течения реки умножаем на время плота
S=5,5*(x+y)
S=6,5*(x-y)

Из двух последних уравнений
5,5*(х+у)=6,5*(х-у)
х=12y
Собственная скорость катера в 12 раз больше скорости течения реки.

Для нахождения расстояния недостаточно условий задачи.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

y`=((x^2+64)`*x-(x)`*(x^2+64))/(x^2)
y`=(2x^2-x^2-64)/x^2
y`=0
x^2=64
x=-8 или х=8

_+__ (-8) _-_ (0) _-_ (8) _+__

x=8 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл
∫ u^(5/6)du=u^((5/6)+1)/((5/6)+1) + C=

=(6/11)(x+4)^(11/6) + C

Ответ выбран лучшим

1000 кг молока составляют 100%
z кг жира составляют 6%
z=60 кг

В тонне молока 6% жирности присутствует 60 кг жира.
Этот жир распределяется в твороге и сыворотке.

Пусть из тонны молока получается х кг творога, тогда
(1000–х) кг сыворотки.
Содержание жира в твороге:
х:100·22,5=0,225х кг
Содержание жира в сыворотке:
(1000–х):100·0,5=0,005(1000–х)кг
В сумме количество жира в твороге и жира в сыворотке равно количеству жира в молоке.
Уравнение:
0,225х+0,005·(1000–х)=60;
0,225х+5–0,005х=60
0,22х=55
х=250
О т в е т. 250 кг творога.

Ответ выбран лучшим

Пусть MP=13x, NP=5x
P=MN+NP+MP
62=26+5x+13x
36=18x
x=2
Значит
MP=13х=13*2=26
MN=MP=26 см

Δ MNP - равнобедренный, ∠ N= ∠ Р

Ответ выбран лучшим

По формуле логарифма частного
log_(4)(x/64)=log_(4)x–log_(4)64=
=t–3

Потому что log_(4)64=log_(4)4^3=3

Ответ выбран лучшим

Пусть товар стоил х рублей
100%-35%=65%
х:100*65=0,65х руб - новая стоимость товара

0,65х=650
х=1000
О т в е т. 1000 руб.

Ответ выбран лучшим

1) Имеем неопределенность 0/0.
Умножаем и числитель и знаменатель на
sqrt(x^2+x+1) +1
В числителе применяем формулу разности квадратов.
(x^2+x+1)-1=x^2+x=x*(x+1)
Сокращаем и числитель и знаменатель на х.
О т в е т. 1/2
2)
Подставляем 0 в выражение под знаком предела
(0/1)-1=-1
3) Неопределенность 0/0
Раскладываем числитель на множители
x^3+1=(x+1)*(x^2-x+1)
Раскладываем знаменатель на множители
3x^2-x-4=(x+1)(3x-4)

Сокращаем на (х+1)
Считаем предел дроби (x^2-x+1)/(3x-4)
получим(1+1+1).(-3-4)=-3/7
4) как и в 1) умножаем и числитель и знаменатель на
(3+sqrt(5+x))*(2+sqrt(5-x))
Применяем формулу разности квадратов и получаем двобь
(9-5-х)*(1+sqrt(5-x))/(1-5+x)*(3+sqrt(5+x))
Сокращаем на 4-х
Находим предел дроби
(1+sqrt(5-x))/(-3-sqrt(5+x))
Получаем
(1+sqrt(5-4))/(-3-sqrt(5+4))=2/(-6)=-1/3
5) arcsin(x+2)→0 при х →-2
arcsin(x+2)/(x+2) →1 при х→-2
О т в е т. -1/2
6)Неопределенность (беск/беск)
Делим и числитель и знаменатель на х^3
О т в е т. 8/5

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

sinп=0
ctg(–п/2)=0
cos(–3п/2)=0
tgп=0

sinп +ctg(–п/2)+cos(–3п/2)+tgп=0

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Потому что угол (Pi+х) в третьей четверти, а синус в третьей четверти отрицательный.
Знак перед приведенной функцией ставится такой, какой имеет приводимая функция

Ответ выбран лучшим

Катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
В прямоугольном треугольнике АВТ
∠ АТВ =90 градусов, ∠ АВТ = 30 градусов,
значит АВ=2АТ
АВ=8

Стороны ромба равны
AD=AB=8

∠ ВАТ = 60 градусов,

Треугольник ABD- равносторонний.
BD=8

Ответ выбран лучшим

а_(1)=а_(2)=1
а_(3)=a_(1)+a_(2)=1+1=2
а_(4)=a_(2)+a_(3)=1+2=3
а_(5)=a_(3)+a_(4)=2+3=5
а_(6)=a_(4)+a_(5)=3+5=8

Ответ выбран лучшим

(1/2)C=65
C=130
По формуле
C=2PiR=PiD, D=2R - диаметр
130=PiD
D=130/Pi=130/3,1 ≈ 42 см

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Делим и числитель и знаменатель на sina, получим
(2sqrt(5)ctga-1)/(sqrt(5)ctga-2)
При ctg a = √5 получим
((2sqrt(5)*sqrt(5)-1)/(sqrt(5)*sqrt(5)-2)=(2*5-1)/(5-2)=9/3=3

Ответ выбран лучшим

sqrt(x^2+6x+9)=sqrt((x+3)^2)=|x+3|

3*|x+3|-(3+14sqrt(3)+49)-2|x-1| меньше или равно 0

Раскрываем знак модуля
1) на (- бесконечность;-3]
3*(-x-3)-(3+14sqrt(3)+49)-2(-x+1) меньше или равно 0;
-x < 63+14sqrt(3)
x > -63-14sqrt(3)
О т в е т. 1) (-63-14sqrt(3); -3)
2) на (-3;1]
3*(x+3)-(3+14sqrt(3)+49)-2(-x+1) меньше или равно 0;
5x < 45+14sqrt(3)
x < 9+2,8 sqrt(3)
О т в е т. 2)(-3;1]
3) на (1;+ бесконечность)
3*(x+3)-(3+14sqrt(3)+49)-2(x-1) меньше или равно 0;
x < 41+14sqrt(3)
О т в е т. 3)(1;41+14sqrt(3)]
Объединяем полученные ответы
(-63-14sqrt(3);41+14sqrt(3))

О т в е т. (-63-14sqrt(3);41+14sqrt(3))

Ответ выбран лучшим

6-2tg^2x*cos^2x=6-2sin^2x
При sinx=0,2
6-2*sin^2x=6-2*(0,2)^2=6-0,08=5,92

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx

(dy/dx)+2xy=0

dy=-2xydx

Разделяем переменные

dy/y=-2xdx

Интегрируем

ln|y|=-x^2 +c
y=e^(-x^2)*e^(c)

e^c=C
О т в е т. y=C*e^(-x^2)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
tg(5П/2 – a)=tg(П/2 – a)=ctga
tg(a + 4П) =tga
3tg(5П/2 – a) / 4tg(a + 4П)=3ctga/4tga=(3/4) ctg^2a

При a=5П/4
сtg 5П/4 =-1
ctg^2(5П/4)=1
О т в е т. 3/4

Ответ выбран лучшим

Так как cos2x=2cos^2x-1 уравнение принимает вид
cosx+2-2cos^2x+1=0

2cos^2x-cosx-3=0
D=(-1)^2-4*2*(-3)=1+24=25

cosx=-1 или сosx =3/2 ( не имеет корней, |cosx| меньше или равно 1)

x=(π)+2πn, n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{3+2cos2x+2cos4x > 0
{ctgx > 0, ctgx ≠1

По определению логарифма
3+2сos2x+2cos4x=(ctgx)^0 ( согласовано с первым неравенством ОДЗ, (ctgx)^0=1 > 0)
Так как
cos4x=2cos^22x-1, уравнение принимает вид
3+2сos2x+2*(2cos^22x-1)=1
4cos^22x+2cos2x=0
2cos2x*(2cos2x+1)=0
cos2x=0 или 2сos2x+1=0
2x=(π/2)+πk, k∈Z или 2х=±(2π/3)+2πn, n∈Z
x=(π/4)+(π/2)k, k∈Z или х=±(π/3)+πn, n∈Z

Согласно ОДЗ ctgx больше или равно 0, сtgx ≠1, поэтому x=(π/4)+(π/2)k, k∈Z не удовл ОДЗ
х=-(π/3)+πn, n∈Z не удовл ОДЗ.
О т в е т. а) х=(π/3)+πn, n∈Z
б)(π/3) - корень, принадлежащий отрезку [0;π], (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

у=8-х
угловой коэффициент k=-1

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.

k=f`(x_(o))
-1=f`(x_(o))
x_(o)=-5
(cм. рисунок) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D=8^2-4*(-33)=64+132=196
x1=(-8-14)/2=-11 или х2=(-8+14)/2=3
О т в е т. -11

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1)340 : 5 = 68 г на 1 часть
2)68 г *4 = 272 г березового сока
3) 68 г * 2 = 136 г сахара

Ответ выбран лучшим

0,225x+0,005·(1000–x)=0,225x+5-0,005x=0,22х+5

Ответ выбран лучшим

Пусть А (–3;–2); В(0;3); С(4;–3)
vector{АВ}=(3;5)
vector{АC}=(7;-1)

vector{АВ}*vector{АC}=|vector{АВ}|*|vector{АC}|*cos ∠ A

cos ∠A=(vector{АВ}*vector{АC})/(|vector{АВ}|*|vector{АC}|)=
=(3*7+5*(-1))/sqrt(34)*sqrt(50)=8/(5*sqrt(17))
sin∠A=sqrt(1-cos^2 ∠ A)=sqt=sqrt(1-(64/(25*17)))=19/5sqrt(17)

S=(1/2)*AB*AC*sin ∠ A=(1/2)sqrt(34)*sqrt(50)*(19/5sqrt(17))=
=19

Ответ выбран лучшим

y=4−3x и y=3−4x - пересекаются
y=3−4x и y=−4x+6 - параллельны, имеют одинаковые угловые коэффициенты (- 4)
y=−4x+2 и y=−3−4x - параллельны, имеют одинаковые угловые коэффициенты (-4)
y=8−3x и y=−3x+5 - параллельны, имеют одинаковые угловые коэффициенты (-3)

Ответ выбран лучшим

Это квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вверх, вершина в точке (-1; 9)

Ответ выбран лучшим

9х:5=27
9х=27*5
9х=135
х=15

Ответ выбран лучшим

270=2*3*3*3*5

675=3*3*3*5*5

Наибольшее число на которое делятся и 270 и 675 это 135
О т в е т. 135

Ответ выбран лучшим

(25/9)^(x-12)=((5/3)^2)^(x-12)=(5/3)^(2x-24)=(3/5)^(24-2x)

(3/5)^x*(3/5)^(24-2x)=(3/5)^9

(3/5)^(x+24-2x)=(3/5)^9

x+24-2x=9
-x=-15

x=15

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1)
6^(16)=(2*3)^(16)=2^(16)*3^(16)
18^(15)=(2*3*3)^(15)=2^(15)*3^(15)*3^(15)

Сокращаем и числитель и знаменатель на 2^(15)*3^(15)*3^(15)

О т в е т. 3^2*2*3=54

2)Cм. рисунок в приложении, ответ 1 км.

3) -4х - 9 = 6х
-4х - 6х = 9
- 10х = 9
х=-0,9

4) 700:100 = 7 рублей составляет 1%
7*15=105 рублей составляют 15%
700+105=805 рублей

или

100%+15%=115%

700:100*115=805 рублей
О т в е т. 805 рублей на счете через год

Ответ выбран лучшим

Найти наименьшее натуральное решение данного неравенства?
Тогда так:
2^x(1+(1/2)+(1/4)+...+(1/2^(2000)) > 2^(2017)
В скобках сумма геометрической прогрессии b_(1)=1; q=(1/2); n=2001

Формула
S_(n)=b_(1)(1-q^n)/(1-q)

S_(2001)=(1-(1/2)^(2000))/(1-(1/2))=2*(1-(1/2)^(2000))

2^(x+1)*(1-(1/2)^(2000) > 2^(2017)
2^(x+1) > 2^(x+1)*(1-(1/2)^(2000) > 2^(2017)
x+1 > 2017
x > 2016
n=2017

Ответ выбран лучшим

В силу монотонности логарифмической функции
Если значения функции равны, то и аргументы равны.
xa^2+xa+2x-x^3=2x-x^2
Учитывая область определения логарифмической функции
2x-x^2 > 0 ⇒ x ∈ (0;2)

x^3-x^2-(a^2+a)x=0
x*(x^2-x-(a^2+a))=0
x=0 ∉ (0;2) значит не является корнем уравнения
Требование задачи можно переформулировать так:
При каком значении параметра а уравнение
x^2-x-(a^2+a)=0
имеет один корень
D=1+4a^2+4a=(2a+1)^2
Квадратное уравнение имеет один корень при а=-1/2

О т в е т. а=-1/2

Ответ выбран лучшим

60%=60/100=0,6

Ответ выбран лучшим

A) Решаем неравенство:
1/(n^2+n) < 1/2017;
Умножаем на 2017
2017/(n^2+n) < 1;
(2017-n^2-n)/(n^+n) < 0
Умножаем на (-1)
(n^2+n-2017)/(n^2+n) > 0

Учитывая, что n - натуральное n^2+n > 0 при любом натуральном n, остается решить неравенство

n^2+n-2017 > 0

n^2+n-2017=0
D=1-4*(-2017)=1+8068=8069
89^2 < 8069 < 90^2=8100
n_(1)=(-1-sqrt(8069)/2 < 0 или n_(2)=(-1+sqrt(89)/2 > 0

44=(-1+89)/2 < n_(2) < (-1+90)/2=44,5

Неравенство верно при n > n_(2)
Значит наименьшее значение n=45.

Б)
S_(n)=1/(1+1)+1/(2^2+2)+ ....+ 1/(n^2+n)=
=1-(1/2) +(1/2)-(1/3) +...+(1/n)-(1/(n+1))=
=1-(1/(n+1))=n/(n+1)

n/(n+1) > 0,99
Умножаем обе части неравенства на 100/99:
(100n)/(99n+99) > 1
(100n-99n-99)/(99n+99) > 0
n > 99
Значит наименьшее значение n=100

В)
Пусть такая прогрессия существует, тогда
и
а_(1)=1/(k^2+k) и а_(2)1/(n^2+n) - два члена этой прогрессии.

Тогда разность этой прогрессии

d=а_(2)-а_(1)=

=(1/(n^2+n))-(1/(k^2+k))=(k^2+k-n^2-n)/(k^2+k)(n^2+n)=

=(k-n)*(k+n+1)/(k^2+k)(n^2+n)

Тогда
a_(3)=1/(n^2+n)+d

=(1/(n^2+n))+(k-n)*(k+n+1)/(k^2+k)(n^2+n)=

=(1/(n^2+n))* ( k^2+k+k^2-n^2+k-n)/(k^2+k)

a_(3) должно иметь вид 1/(m^2+m)

Нет, таких k, m, n удовлетворяющих указанным требованиям.
О т в е т.
А) n=45
Б) n=100

Ответ выбран лучшим

cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (Pi/2)+Pik, k ∈ Z

tg^2x=sin^2x/cos^2x
(cos^3x+cosx+cos^4x+sin^2x)/cos^2x=3/4
4cos^4x+4cos^3x-7cos^2x+4cosx+4=0
Разложим на множители левую часть уравнения
(cosx+2)*(cosx+0,5)*(4cos^2x-6cosx+4)=0
cosx=-2 - уравнение не имеет корней
квадратное уравнение относительно косинуса
4cos^2x-6cosx+4=0 имеет отрицательный дискриминант,
cosx=-0,5
x=± (2π/3)+2πn, n∈Z
О т в е т.
А) ± (2π/3)+2πn, n∈Z
Б) Указанному промежутку принадлежит корень
х=- (2π/3)+4π=10π/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1 000 000 : 100*10=100 000 руб. проценты в ноябре.
1 000 000 + 100 000 = 1 100 000 руб. долг на 1-ое декабря.
1 100 000 - 800 000 = 300 000 руб - выплата в декабре.
В декабре выплата была произведена вовремя и пени не взимались.

800 000 + 80 000 = 880 000 руб - долг на 1-е января.
880 000 - 700 000 = 180 000 руб - выплата в январе.
В январе задержка выплат на сутки, поэтому взимались пени
180 000*0,01=1 800 руб.

770 000 руб - долг на 1.02.
770 000 - 500 000 = 270 000 руб - выплаты в феврале.
В феврале выплаты произведены в срок, пени не взимались

550 000 руб - долг на 1.03
550 000 - 300 000= 250 000 руб - выплаты в марте.
Пени не взимались

330 000 руб -долг на 1.04
330 000 - 200 000 = 130 000 руб. - выплаты в апреле
Пени не взимались

220 000 руб. - выплата в мае.
Задержка выплат на 4 суток.
220 000 * 0,01*4=8 800 руб,

Общая сумма выплат
300 000 + 180 000 + 1 800 + 270 000 + 250 000 + 130 000 + +220 000 + 8 800=
=1 360 600 руб

О т в е т. 1 360 600 руб.

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость велосипедиста по дороге из А в В равна х км в час.
180/х час. - время на путь от А до В

(х+8) км в час - скорость на пути от В к А
180/(х+8) час. - время в пути от В до А
Уравнение
180/(х+8) + 8=180/х
х ≠ 0; х+8 ≠ 0

х^2+8x-180=0
D=64+4*180=4*(16+180)=4*196=(2*14)^2
x=10 второй корень уравнения отрицательный.
О т в е т. 10 км в час

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х больше или равно 0

Делим все члены уравнения на (х-3)^2, считая, что х ≠ 3
(при х=3 неравенство неверно 0 > 3 - неверно)
Обозначим sqrt(x)/(x-3)=t

2 + t > t^2

t^2 - t - 2 < 0

D=1+8=9

-1 < t < 2

Обратная замена
-1 < sqrt(x)/(x-3) < 2

Неравенство равносильно системе:
(sqrt(x)+x-3)/(x-3) > 0
{(sqrt(x)-2x+6)/(x-3) < 0

а система совокупности двух систем
{x-3 > 0 ⇒ x > 3
{x+sqrt(x)-3 > 0 ⇒ D=1+12=13; sqrt(x) > (sqrt(13)-1)/2
{-2x+sqrt(x)+6 < 0 ⇒ (sqrt(x)-2)(2sqrt(x)+3) > 0⇒ x > 4
решение которой х > 4
или
{x-3 < 0 ⇒ x < 3
{x+sqrt(x)-3 < 0 ⇒ x < (sqrt(13)-1)/2
{-2x+sqrt(x)+6 > 0 ⇒ x < 4
решение которой с учетом ОДЗ
[0; (sqrt(13)-1)/2)

О т в е т. [0; (sqrt(13)-1)/2) U (4;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=((x+4)^2)`*(x+3)+(x+4)^2*(x+3)`=
=2(x+4)*(x+3)+(x+4)^2=(x+4)*(2x+6+x+4)=(x+4)(3x+10)
f`(x)=0
(x+4)*(3x+10)=0
x=-4 или х=-10/3
x=-10/3 не принадлежит указанному отрезку

[5] __+__ (-4) _ -__ [-3,5]

x=-4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -.
f(-4)=(-4+4)^2*(-4+3)=0*(-1)=0 - наибольшее значение функции на отрезке [-5; -3,5]

Ответ выбран лучшим

1+tg^2x=(1/cos^2x) ⇒ cos^2x=1/(1+tg^2x)
cos^2x=1/(1+3^2)=1/10
sin^2x=1-cos^2x=1-(1/10)=9/10
sinx=-3/sqrt(10), так как угол х в третьей четверти и синус в третьей четверти имеет знак -.
О т в е т. sqrt(10)*(-3/sqrt(10))=-3

Ответ выбран лучшим

(3x+5)^3=0,2^3
3x+5=0,2
3x=0,2-5
3x=-4,8
x=-1,6
О т в е т. -1,6

Ответ выбран лучшим

Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 равна 10.
Гипотенуза - диаметр описанной окружности, значит R=5
V(цилиндра)=Pi*R^2*H=Pi*5^2*(6/Pi)=150

Ответ выбран лучшим

P (Δ ABC)= AB+BC+AC
AB+BC+AC=24sqrt(3)
АВ=ВС=АС=24sqrt(3)/3=8sqrt(3)

AO-биссектриса, ∠ ОАК=30 градусов.
ОК ⊥ АВ
Из прямоугольного треугольника АОК
r=ОК=AK*tg 30 градусов=(1/2)АВ*tg 30 градусов=
4sqrt(3)*(1/sqrt(3))=4 Δ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ f=f(x_(o)+ Δx)-f(x_(o))
1) Δf=f(-2)-f(1)=2*(-2)^3-3*(-2)^2-(2*1^3-3*1^2)=
=-16-12-2+3=-27
2) Δf=f(0)-f(-1)=0-(4*(-1)^5-8*(-1)^3+4*(-1)^2)=0+4-8-4=-8
3) Δf=f(-2)-f(2)=(-2)^5-4*(-2)^4+1-(2^5-4*2^4+1)=
=-32-64+1-32+64-1=-64

Ответ выбран лучшим

Обозначим данный треугольник АВС, треугольник,образованный средними линиями треугольника АВС обозначим A1B1C1

Так как средняя линия треугольника равна половине соотвествующей стороны, то получим

A1C1=AC/2, B1C1=BC/2, A1C1=AC/2

Периметр - сумма всех сторон.
P( Δ А1В1С1)= А1В1+В1С1+А1С1=1/2(AB+BC+AC)=
=(1/2)P( Δ ABC)=15 дм
P( Δ АВС)=2*15 дм=30 дм
О т в е т. 30 дм (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольники АВС и CDE подобны с коэффициентом подобия 2.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
S( Δ ABC) : S( Δ CDE)=(2:1)^2
S( Δ CDE)=152:4
S( Δ CDE)=38
О т в е т. 38

Ответ выбран лучшим

Складываем числа, записанные в кружочках, которые попали в квадрат, ограниченный синей линией в 30 км и красной линией в 12 часов ( полдень) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Делится на 12, значит делится на 2,
это число - четное,поэтому оканчивается нулем.
Это число кратно 3,
значит сумма цифр этого числа кратна 3.
Всего шесть мест, последнее занято 0, значит в числе возможны только три единицы.
Число имеет вид
1 - - - - 0
Осталось расположить две единицы и два нуля на 4 места
Число кратно 12, значит делится на 4,
на 4 делятся числа, две последние цифры которого делятся на 4, значит две последние цифры не могут быть 10, там именно 00.
1 - - - 00
Осталось проверить
111000 - кратно 12
110100 - кратно 12
101100 - кратно 12

О т в е т. любое из чисел
111000 ;110100 ;101100

Ответ выбран лучшим

20,4*13,2=5,1*(3х)
Делим обе части на 5,1
4*13,2=3х
Делим обе части на 3
4*4,4=х
х=17,6

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
tg142°=tg(90°+52°)=-ctg52°
и
tg альфа *ctg альфа =1

О т в е т. 20

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Непосредственная подстановка х=1 приводит к неопределенности вида (0/0).
Чтобы ее устранить, разложим числитель и знаменатель на множители
x2–2x+1=(х-1)^2
2x2–7x+5=(x-1)(2x-5)

Сокращаем на (х-1)

lim (x-1)/(2x-5)=0/(-3)=0

Ответ выбран лучшим

Плата за телефон составляет 320 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 12%. Сколько рублей придётся платить ежемесячно за телефон в следующем году?

1. 320·0,12 = 38,4 –это 12%
2. 320+38,4 = 358,4 руб.

Ответ выбран лучшим

(n+1)^3–(n–1)^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3+3n^2-3n+1=6n^2+2
(n+1)^2+(n–1)^2=n^2+2n+1+n^2-2n+1=2n^2+2

lim(6n^2+2)/(2n^2+2)=3

Ответ выбран лучшим

а) f`(x)=(x^3–2x^2+x+3)`=3x^2-4x+1
f`(x)=0
3x^2-4x+1=0
D=(-4)^2-4*3*1=16-12=4
x1=(4-2)/6=1/3 или x2=(4+2)/6=1
Находим знак производной:

_+__ (1/3) __-_ (1) _+__

На (- бесконечность; 1/3) и на (1;+ бесконечность ) функция возрастает, на (1/3;1) убывает

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S= ∫^5_(3) (x+3-x^2+6x-13)dx= ∫^5_(3) (7x-x^2-10)dx=

=(7(x^2/2)-(x^3/3) -10x)|^5_(3)=

=(7/2)*25-(125/3)-50-(7/2)*(9/2)+9+30=осталось выполнить сложение и вычитание
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, большему значению функции соответствтует большее значение аргумента, значит
х-1 меньше или равно 2х+3;
И учитывая, что логарифмы отрицательных чисел ( и выражений) не существуют получаем систему трех неравенств
{x-1 меньше или равно 2х+3
{x-1 > 0
{2x+3 > 0 ( Это условие выполняется автоматически из первых двух:

0 < x-1 меньше или равно 2х+3

{x-1 меньше или равно 2х+3
{x-1 > 0

{x больше или равно -4
{x > 1

О т в е т. (1;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Разность логарифмов заменим логарифмом частного
log_(13)26-log_(13)2=log_(13)(26/2)=log_(13)13=1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной имеет вид
у-f(x_(o))=f`(x_(o))*(x-x_(o))

х_(о)=6sqrt(3)
y_(o)=f(x_(o))=(6sqrt(3))^2/12=9

y`=f`(x)=2x/12
y`=f`(x)=x/6
k(касательной)=f`(x_(o))
k=6sqrt(3)/6
k=sqrt(3)

Уравнение одной касательной в точке (6sqrt(3);9) :
y-9=sqrt(3)*(x-6sqrt(3)) или
у=sqrt(3)*x-9

Если прямые y=k_(1)x+b_(1) и y=k_(2)x+b_(2) перпендикулярны, то
k_(1)*k_(2) = -1

Значит угловой коэффициент второй касательной
равен (-1/sqrt(3))

Найдем вторую точку x_(o), в которой угловой коэффициент равен (-1/sqrt(3)) из условия
k(касательной)=f`(x_(o))

-1/sqrt(3)=x_(o)/6
x_(o)=-6/sqrt(3)=-2sqrt(3)
у_(o)=f(x_(o))=(-2sqrt(3))^2/12
y_(o)=f(x_(o))=1
Уравнение второй касательной
у-1=(-1/sqrt(3))*(x+2sqrt(3))
или
y=(-1/sqrt(3))x-1

О т в е т. у=sqrt(3)*x-9 и y=(-1/sqrt(3))x-1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

( sqrt(3)+sqrt(7))^2=(sqrt(3))^2+2*sqrt(3)*sqrt(7)+(sqrt(7))^2=
=3+2sqrt(21)+7=10+2sqrt(21)=2*(5+sqrt(21))

( sqrt(3)+sqrt(7))^2/(5+sqrt(21))=2*(5+sqrt(21))/(5+sqrt(21))=2

Ответ выбран лучшим

10^(-8)=0,00000001
2,7*10^(-8)=0,000000027

2,7*10^(-8)*43=0,000001161

Ответ выбран лучшим

68 км составляют 40 %
х км составляют 100%

х=68*100:40=170 км расстояние между городами

170-68-72=30 км осталось после двух часов

2) 36 участников составляют 45%
х участников составляют 100 %

х=36*100:45=80 участников всего

80-36=44 участника стартовали на 2 км

3) Пусть товар стоит х евро, транспортные расходы составляют 0,06х евро.
Уравнение
х+0,06х=1038,8
х=1038,8:1,06
х=980 евро
О т в е т. 980 евро

Ответ выбран лучшим

Подходят только 2) и 3) но в вашем условии нет данных, сколько стоит стол и сколько стоит стул на фабрике №2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

450:х=-1999
х=-450/1999

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

11*7=77 метров
77 метров: 55 см=7700:55=140 шагов

Ответ выбран лучшим

| sin(x) – 1 | – 1/2 > 0
| sin(x) – 1 | > 1/2 ⇒ sinx-1 > 1/2 или sinx-1 < -1/2

sinx-1 > 1/2
sinx > 3/2 - неравенство не имеет решений, так как |sinx| меньше или равно 1

sinx-1 < -1/2
sinx < 1/2

(-7Pi/6)+2Pik < x < (Pi/6)+2 Pik, k ∈ Z

О т в е т.( (-7Pi/6)+2Pik ; (Pi/6)+2 Pik), k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

y`=6x-3x^2
y`=0
6x-3x^2=0
3x*(2-x)=0
x=0 и х=2 - точки возможных экстремумов
Применяем достаточное условие экстремума, находим знаки производной
_-__ (-2) _+_ (0) _-__
х=-2- точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

на (- бесконечность;-2) и на (0;+ бесконечность) функция убывает
на (-2;0) функция возрастает

y``=6-6х
y``=0
6-6x=0
x=1 - точка перегиба, так как вторая производная при переходе чере эту точку меняет знак с + на -
на(- бесконечность;1) функция выпукла вниз, на (1;+ бесконечность ) вверх.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
u=x^2+4
du=2xdx ⇒ xdx=(1/2)du

Получаем
∫ (1/2)du/u=(1/2) ∫ du/u=(1/2)ln|u|+C=(1/2)ln|x^2+4| + C

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ ВОС - равнобедренный ( диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам)
с углом 60 градусов при вершине, значит Δ ВОС - равносотороний
ВО=ОС=28
АС=ВD=56
О т в е т. 56

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника СВН
sin ∠ CBH=CH/BC=3sqrt(11)/10

sin ∠ ABC=sin ∠ CBH=3sqrt(11)/10

cos∠ ABC=-sqrt(1-sin^2∠ ABC)=-sqrt(1-(99/100)=-1/10

Ответ выбран лучшим

lgtg1°*lgtg2°*lgtg3°*...*lgtg88°*lgtg89° =
=lgtg1°·lgtg2°·lgtg3°*...*lgtg45°*...*lgtg88°·lgtg89° =

Так как tg 45°=1
lg tg45°=0

=lgtg1°*lgtg2°*lgtg3°*...*0*...*lgtg88°·lgtg89° =0.
О т в е т. 0.

Ответ выбран лучшим

(а–3 1/3), при а=5 1/6
5 1/6 -3 1/3=5 1/6 -3 2/6 = 4 7/6- 3 2/6=1 5/6

3,2+(а–3 1/3)=3 2/10 + 1 5/6=3 1/5 +1 5/6=
3 6/30 +1 25/30=4 31/30=5 1/30

Ответ выбран лучшим

Логарифмируем
lny=ln(cos5x^2)^(arcsin2x)
Применяем формулу логарифма степени
lny=arcsinx*ln(cos5x^2)
Дифференцируем
(1/y)*y`= (справа производная произведения)
(arcsinx)`*ln(cos5x^2)+(arcsinx)*(1/cos5x^2))*(cos5x^2)`

y`/y=ln(cos5x^2)/sqrt(1-x^2) +
+ ((-5sin5x^2)*(5x^2)`arcsinx)/(cos5x^2)
(y`/y=ln(cos5x^2)/sqrt(1-x^2) +
+ ((-50x^2*sin5x^2)*arcsinx)/(cos5x^2)

y`=y*ln(cos5x^2)/sqrt(1-x^2) +
+((-50x^2*sin5x^2)*arcsinx)/(cos5x^2)

вместо у справа пишем ту функцию, которая дана в условии

Ответ выбран лучшим

Если окружность вписана в четырехугольник, то суммы противолежащих сторон равны.
Пусть основания трапеции a и b.

Высота трапеции 2r
Боковая сторона 4r
Катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, а гипотенуза наоборот, в два раза больше
a+b=2r+4r=6r
Р=a+b+2r+4r
P=48
a+b+2r+4r=48
12r=48
r=4

Ответ выбран лучшим

Делим и числитель и знаменатель на х

Каждое слагаемое в числителе содержит корень кубический, чтобы разделить на х, вносим х под корень в третьей степени.
Получаем
∛ ((1+2x^2)/x^3)=∛ ((1/x^3)+(2/x)) стремится к 0 при х стремящемся к бесконечность
∛ ((3+2x^2+x^3)/x^3)=∛ ((3/x^3)+(2/x)+1) стремится к ∛ 1=1
при х стремящемся к бесконечность
(3х+1)/х=3+(1/х) стремится к 3 при х стремящемся к бесконечность

О т в е т. (0-1)/3=-1/3

Ответ выбран лучшим

16 см.
Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, гипотенуза наоборот в два раза больше катета.

Ответ выбран лучшим

Окружность 360 градусов, поделена на 18 частей
360 градусов :18=20 градусов

7 частей по 20 градусов это 140 градусов

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Если дуга содержит 140 градусов, то угол равен половине. 70 градусов

Ответ выбран лучшим

Выражение cos18·sin18 представляют в виде

(1/2)·2·cos18·sin18

1=(1/2)*2

По формуле синуса двойного угла
2·cos18·sin18 =sin36

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
х-(Pi/4)=t
x=t+(Pi/4)
cos2x=cos2*(t+(Pi/4))=cos(2t+(Pi/2)=-sin2t ( по формулам приведения)
tgx=tg(t+(Pi/4))
1=tg(Pi/4)
Тогда
tgx-1=tg(t+(Pi/4))-tg(Pi/4)=по формуле разности тангенсов=
=sint/(cos(t+(Pi/4))*cos(Pi/4))

Вычисляем предел дроби
-(sin2t)*(cos(t+(Pi/4))*cos(Pi/4))/sint при t стремящемся к 0

Так как sin2t=2sint*cost и сокращая на sint

вычисляем предел
-(2cost)*(cos(t+(Pi/4))*cos(Pi/4)) при t стремящемся к 0

=-2*1*cos(Pi/4)*cos(Pi/4)=-1

Ответ выбран лучшим

Пусть АВСD трапеция, ВС и АD - основания.
Обозначим ∠ А= х, тогда ∠ В = (х+56 °),
∠В и ∠ С при основании ВС равны.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 ° .
Уравнение:
х+х+56=180
2х=180-56
2х=124
х=62
∠ А = ∠D - углы при основании AD равны

∠ В =∠ С = 62+56=118.
Ответ: ∠ А = ∠D=62 градуса, ∠ В = ∠С=118 градусов.

Ответ выбран лучшим

1)
y`=3x^2+4 > 0 при любом х, значит функция возрастает.
Наибольшее значение в правом конце указанного промежутка
у(наиб)=у(0)=0

2)
у`=5x^4+60x^2-65
y`=0
Биквадратное уравнение
5x^4+60x^2-65=0
D=60^2-4*5*(-65)=3600+1300=4900
x^2=1 или х^2=-13 ( уравнение не имеет корней)
х=-1 или х=1

-1 ∈ [-4;0]

[-4] _____+____ (-1) _ -__ [0]

x=-1 - точка максимума
y(-1)=-1-20+65=44 - наибольшее значение

Ответ выбран лучшим

х+у+z= 72(19/)
x+y=44(3/4) подставим в первое уравнение, найдем z
y+z=52(3/8) подставим в первое, найдем х

Ответ выбран лучшим

решаем характеристическое уравнение
лямбда^2+5 лямбда +6=0
лямбда_(1)=-3 ; лямбда _(2)=-2
Общее решение однородного уравнения
у_(общ)=С_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(-2x)

Частное решение данного неоднородного ищем в виде:
у_(част)=Asin2x+Bcos2x
y`=2Acos2x-2Bsin2x
y``=-4Asin2x-4Bcos2x
Подставляем в данное уравнение
(-4Asin2x-4Bcos2x)+5*(2Acos2x-2Bsin2x)+6*(Asin2x+Bcos2x)=52sin2x
(2A-10B)sin2x+(2B+10A)cos2x=52sin2x
Приравниваем коэффициенты перед sin2x слева и справа и перед соs2x cлева и справа
2А-10В=52
2В+10А=0

А=1
В=-5

у_(част)=sin2x-5cos2x

О т в е т. у=у_(общ)+у_(част)=С_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(-2x)+sin2x-5cos2x

Ответ выбран лучшим

x^2+2x+1 > 0 при х ≠ -1

При х ≠ -1 данное неравенство равносильно неравенству
9(x^5-8x^2) > 16(x^2-8)
9x^2(x^3-8) > 16(x^2-8)

Скорее всего опечатка в условии.
Должно быть:
9x^2(x^3-8) > 16(x^3-8)
9x^2(x^3-8) -16(x^2-8) > 0
(x^3-8)(9x^2-16) > 0
(x-2)(x^2+2x+4)(3x-4)(3x+4) > 0

Метод интервалов

__-__ (-4/3) _+_ (-1) ____+___ (4/3) __-__ (2) __+__

О т в е т. (-4/3;-1) U (-1;4/3) U (2;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

10^(-1)=0,1
10^1=10
10^2=100

9*0,1+60+500=560,9

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=17867

Ответ выбран лучшим

1) 84:100*20=16,8 кг - это 20% - продано во второй день
2) 16,8:100*26=4,368 кг - это 26% от проданного во второй день
3) 84+16,8+4,368=105,168 кг продано за три дня

Ответ выбран лучшим

tg53 градусов=tg(90 градусов - 37 градусов)=сtg 37 градусов
так как
tg альфа *ctg альфа =1, то
24*1+16=40
О т в е т. 40

Ответ выбран лучшим

По определению
2^7=x+3
128=x+3
x=125

Ответ выбран лучшим

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2
По условию
a=-1; b=2
(х+1)^2+(y-2)^2=R^2

Для нахождения R подставим координаты точки, принадлежащей окружности:
K(-2;4)
x=-2
y=4
в уравнение (х+1)^2+(y-2)^2=R^2
((-2)+1)^2+(4-2)^2=R^2
1+4=R^2

О т в е т.
(х+1)^2+(y-2)^2=5 - уравнение окружности,
множество точек, лежащих внутри окружности задается неравенством
(х+1)^2+(y-2)^2 < 5 - это неравенство задает внутренность окружности.
(х+1)^2+(y-2)^2 меньше или равно 5 - внутренность с границей - это и есть круг

Ответ выбран лучшим

Так как 0 < a < π/2, 0 < b < π/2, т.е. углы a и b в первой четверти, то косинус и синус этих углов положительные.

сosa=+sqrt(1-sin^2a)=sqrt(1-(7/27)^2)=
=sqrt(1-(49/729)=sqrt(680)/27

sinb=sqrt(1-cos^2a)=sqrt(1-(5/13)^2)=
=sqrt(1-(25/169)=sqrt(144/169)=12/13.

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb=(sqrt(680)/27)*5/13-(7/27)*(12/13)=
=(10sqrt(170)-84)/351

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
5^x=t
25^x=(5^x)^2=t^2

5t^2-51t+10=0
D=(-51)^2-4*5*10=2601-200=2401=49^2
t=(51-49)/10=1/5 или t=(51+49)/10=10

5^x=1/5 или 5^x=10
x=-1 или x=log_(5)10 < log_(5)sqrt(125)=log_(5)5^(3/2)=3/2
0,5 =log_(5)5^(1/2) < log_(5)10

О т в е т.
а) -1 и log_(5)10
б) log_(5)10

Ответ выбран лучшим

v(t)=x`(t)=B+2Ct+3Dt^2
v(2)=B+4C+12D

a(t)=v`(t)=2C+6Dt
a(2)=2C+12D

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

так как
log_(2)60=1/log_(60)2
и
log_(2)60=log_(2)(3*4*5)=log_(2)3+log_(2)4+log_(2)5⇒
то
log_(2)3+2+log_(2)5=1/a
так как
log_(5)60=1/log_(60)5
и
log_(5)60=log_(5)(3*4*5)=log_(5)3+log_(5)4+log_(5)5⇒
то
log_(5)3+2log_(5)2+1=1/b

Так как
log_(60)27=log_(2)27/log_(2)60=log_(2)3^3/log_(2)60=
=(3log_(2)3)*log_(60)2=3*a*log_(2)3
и
log_(60)27=log_(5)27/log_(5)60=log_(5)3^3/log_(5)60=
=(3log_(5)3)*log_(60)5=3*b*log_(2)5

левые части равны, приравниваем правые
3*a*log_(2)3=3*b*log_(2)5
a*log_(2)3=b*log_(2)5

Система
{{log_(2)3+2+log_(2)5=1/a
{log_(5)3+2log_(5)2+1=1/b
{a*log_(2)3=b*log_(2)5
и
log_(2)5=1/log_(5)2

Ответ выбран лучшим

y`=-3x^2+4x
y`=0
x(-3x+4)=0
x=0 или х=4/3

_-__ (0) _+__ (4/3) _-___
убывает возрастает убывает (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскрываем скобки
с^3-3c-9c^2+27-c^3+6c^2=27-3c^2-3c=3*(9-c^2-c)
При с=-5
3*(9-(-5)^2-(-5))=3*(9-25+5)=-33

Ответ выбран лучшим

M__15__K_?_F_а__N

MN=29
MN=MK+KF+FN
29=15+KF+a
14=KF+a
KF=14-a
При а=7
KF=7

Ответ выбран лучшим

P ( Δ PKM)=PK+KM+PM
По условию
P ( Δ PKM)=42 целых 1/2 см
PK+KM+PM=42 целых 1/2 см
По условию
РК + КМ = 25 целых 2/15 см

Значит,
25 целых 2/15 см+РМ= 42 целых 1/2 см

РМ=42 целых 1/2 см -25 целых 2/15 см
РМ=42 целых 15/30 см -25 целых 4/30 см
РМ=17 целых 11/30 см.

По условию
КМ + РМ = 23 целых 5/6 см
КМ+17 целых 11/30 см= 23 целых 25/30 см.
Км=23 целых 25/30 см- 17 целых 11/30 см
КМ=6 целых 14/30 см

РК + КМ = 25 целых 2/15 см
РК + 6 целых 14/30 см= 25 целых 2/15 см
РК= 25 целых 4/30 см- 6 целых 14/30 см
КМ=18 целых 20/30 см

Ответ выбран лучшим

S( Δ АВС)= 1/2 S( параллелограмма)

S( параллелограмма)=| [vector{AB},vector{AC}]|=

=|[(5vector{p}+7vector{q}),(vector{p}+3vector{q})]=

=|5*[vector{p},vector{p}]+7*[vector{q},vector{p}]+15*[vector{p},vector{q}]+21*[vector{q},vector{q}]|=

=|5*0+8|[vector{p},vector{q}]|+21*0=

=|8*|vector{p}|*|vector{q}|*sinPi/3|=

=8*3*sqrt(3)/2=12sqrt(3)

S( Δ АВС)= 6sqrt(3)

S ( Δ АВС)= (1/2)*АВ*H

|AB|^2=vector{AB}*vector{AB}=
=(5vector{p}+7vector{q},5vector{p}+7vector{q})=

=25vector{p}*vector{p}+70*vector{p}*vector{q}+49*vector{q}*vector{q}=

=25*|vector{p}|*|vector{p}|cos 0 градусов +70*/vector{p}|*|vector{q}|*cos 60 градусов+49*|vector{q}|*|vector{q}|*cos0 градусов=

=25*3*3cos0+70*3*1*cos 60 градусов+49*1*1*cos0=
=379

|AB|=sqrt(379)

H=2S( Δ АВС)/АВ=12sqrt(3)/sqrt(379)

б) Медиана треугольника - половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС и выходящая из вершины А.

А эта диагональ - сумма векторов АВ и АС.

Поэтому

vector{AM}=(1/2)*vector{AB}+(1/2)*vector{AC}=
=3vector{p}+5vector{q}

|AM|^2=vector{AM}*vector{AM}=
=(3vector{p}+5vector{q},3vector{p}+5vector{q})=

=9vector{p}*vector{p}+30*vector{p}*vector{q}+25*vector{q}*vector{q}=

=9*|vector{p}|*|vector{p}|cos 0 градусов +30*|vector{p}|*|vector{q}|*cos 60 градусов+25*|vector{q}|*|vector{q}|*cos0 градусов=

=9*3*3cos0+30*3*1*cos 60 градусов+25*1*1*cos0=
=151

|AB|=sqrt(151)

cos(vector{AM},vector{AB})=vector{AM}*vector{AB}/|vector{AM}|*|vector{AB}|

vector{AM}*vector{AB}=(3vector{p}+5vector{q},5vector{p}+7vector{q})=
=15*3*3+46*3*(1/2)+35*1*1=
=239

cos(vector{AM},vector{AB})=239/sqrt(379)*sqrt(45)=
=239/sqrt(379*45)

Ответ выбран лучшим

Пусть вектор vector{e}={x;y;z}

Из условий ортогональности вектора vector{e} и вектора vector{a}:
2х+4у+z=0
Из условий ортогональности вектора vector{e} и вектора vector{b}:
-4х+2у+z=0
Условие единичности вектора vector{e} :
х^2+у^2+z^2=1

Решаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
{2х+4у+z=0
{-4х+2у+z=0
{х^2+у^2+z^2=1

Вычитаем из первого второе, умножаем второе на (-2) и складываем с первым

{6х+2у=0
{10х-z=0
{х^2+у^2+z^2=1

Выражаем у и z через x и подставляем в третье:

{y=-3x
{z=10x
{ x^2+( -3x)^2+(10x)^2=1

110x^2=1
x=-1/sqrt(110) или х=1/sqrt(110)

По условию угол между vector{e} и vector{i} больше π/2
Значит,
х=-1/sqrt(110)
у=-3х=3/sqrt(110)
z=10x=-10/sqrt(110)

О т в е т. vector{e}={-1/sqrt(110);3/sqrt(110);-10/sqrt(110)}

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По правилу параллелограмма
одна диагональ параллелограмма является суммой двух векторов vector{а} и vector{b}, другая диагональ - разностью двух векторов vector{а} и vector{b}
vector{d_(1)}= vector{а} +vector{b}
vector{d_(2)}= vector{а} -vector{b}
vector{d_(1)}={1+3;-2+0;3+(-1)}={4;-2;2}
vector{d_(2)}={1-3;-2-0;3-(-1)}={-2;-2;4}
|vector{d_(1)}|=sqrt(4^2+(-2)^2+2^2)=sqrt(24)=2sqrt(6)
|vector{d_(2)}|=sqrt((-2)^2+(-2)^2+4^2)=sqrt(24)=2sqrt(6)

a) cosphi=(vector{d_(1)})*(vector{d_(2)}/(|vector{d_(1)}|*|vector{d_(2)}|)=
=(4*(-2)+(-2)*(-2)+2*4)/(2sqrt(6)*2sqrt(6))=
=1/sqrt(36)=1/6

б) S( параллелограмма)=(1/2)*d_(1)*d_(2)*sin phi=
=sqrt(6)*2sqrt(6) *sqrt(1-cos^2 phi )=
=12*sqrt(1-(1/36))=2sqrt(35)

S( параллелограмма)=a*h

h=S/a=2sqrt(35)/sqrt(1^2+(-2)^2+3^2)=2sqrt(35)/sqrt(14)=
=sqrt(10)

О т в е т.
а) 1/6
б) sqrt(10)

Ответ выбран лучшим

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Поэтому vector{х}={3k;3k;6k}
Если векторы заданы координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат
Найдем скалярное произведение
vector{x} *vector{b}=3k*3+3k*3+6k*6=54k
По условию, скалярное произведение этих векторов равно 2.
Уравнение
54k=2
k=1/27

vector{х}={3*(1/27);3*(1/27);6*(1/27)}={1/9;1/9; 2/9}

О т в е т. {1/9;1/9; 2/9}

Ответ выбран лучшим

Если векторы vector{a} и vector{b} взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

Найдем скалярное произведение
vector{a} *vector{b}=(5*vector{p}+vector{q})*( 3*vector{p}+λvector{q}) =
= применяем законы векторной [b]алгебры[/b]
( перемножаем скобки как в алгебре)=
=15*vector{p}*vector{p}+3*vector{p}*vector{q}+5λ*vector{q}*vector{p}+
+λvector{q}*vector{q}=
=находим скалярные произведения векторов по правилу: скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними=
=15*2*2*сos0+3*2*4*cos(Pi/3)+5λ*4*2*cos(Pi/3)+λ*4*4*cos0=
=60+12+20λ+16λ=72+36λ

Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно 0

Уравнение

72+36λ=0
λ=-2

О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит
(-7/(x^2+3x)) больше или равно 0.
Так как (-7) < 0, то
x^2+3x < 0
Знаменатель дроби не должен равняться 0.
Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому ОДЗ находим из системы:
{x^2+3x < 0
{x+1 ≠ 0

{x ∈ (-3;0)
{x ≠ -1

О т в е т. ОДЗ: (-3;-1)U(-1;0)

Ответ выбран лучшим

Для любого А > 0 найдется δ > 0 такое, что для любого х ∈ (а+0; а+ δ) выполняется неравенство f(x) > -A

для любого х ∈ (а+0; а+ δ) можно записать в виде двойного неравенства а+0 < x < а+ δ

Ответ выбран лучшим

Для любого А > 0 найдется δ > 0 такое, что для любого х ∈ (а+0; а+ δ) выполняется неравенство f(x) > -A

для любого х ∈ (а+0; а+ δ) можно записать в виде двойного неравенства а+0 < x < а+ δ)

vector{AD}=vector{AB}+vector{BC}+vector{CD}=
=(vector{a}+2vector{b})+(-4vector{a}-vector{b})+(-5vector{a}-3vector{b})=
=-8vector{a}-2vector{b})
vector{AD}=2*vector{BC}
Векторы коллинеарны, значит прямые ВС и AD параллельны.
ABCD - трапеция

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Используя свойства математического ожидания
(математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, математическое ожидание константы равно константе), получим
М (Z) = М (3Х+2У+8) = М (3X) + М (2Y)+М(8) =
=3*М (X)+2М (Y)+M(константы)=
= 3*3+2*4+8=15+8+8=31.

Ответ выбран лучшим

1) непосредственная подстановка x=1 в дробь
(2-1-1)/(3+4-7)=0/0
неопределенность
Устраняем.
Раскладываем и числитель и знаменатель на множители
(2х+1)(х-1)/(3х+7)(х-1)= х только стремится к 1 , но х ≠ 1, поэтому х-1 ≠ 0 и на множитель (х-1) можно сократить и числитель и знаменатель.
Остается найти предел дроби
(2х+1)/(3х+7)
Подставляем х=1 получаем (2*1+1)/(3*1+7)=3/10
О т в е т. 3/10
2)
0/0
(х+1)(х-2)/(х+1)(х^2-х+1)
Сокращаем на (х+1)
Находим предел дроби
(х-2)/(x^2-x+1) непосредственно подставляя х=-1
О т в е т. (-1-2)/(1+1+1)=-1
3)0/0
(х+1)(7х+1)/2(х+1)
Сокращаем на (х+1)
Находим предел дроби
(7х+1)/2 непосредственно подставляя х=-1
О т в е т. (-7+1)/2=-3
4)0/0
(х+2)(х-4)/(х+2)(2х+1)
Сокращаем на (х+2)
Находим предел дроби
(х-4)/(2x+1) непосредственно подставляя х=-2
О т в е т. (-2-4)/(-4+1)=2
5)0/0
(2х+1)(х-2)/(х-2)(4х+1)
Сокращаем на (х-2)
Находим предел дроби
(2х+1)/(4x+1) непосредственно подставляя х=2
О т в е т. (4+1)/(8+1)=5/9

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cумма 1009 членов арифметической прогрессии.
Считаем по формуле
S_(n)=(a1+a_(n))/2

Если бы числа были выписаны подряд, с 1 до 2018 их было бы 2018.
А здесь взяты только нечетные. Их половина
2018:2=1009
(1+2017)*1009/2=2018*1009/2=1009*1009= 1 018 081

Ответ выбран лучшим

320+ 0,05*320=320+16=336

Ответ выбран лучшим

Cоединяем А с О и откладываем АО=ОА1
Cоединяем В с О и откладываем ВО=ОВ1
Cоединяем С с О и откладываем СО=ОС1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Против тупого угла в параллелограмме лежит бОльшая диагональ
Большая наклонная имеет большую проекцию и обратно.

По теореме косинусов
АС^2=6^2+10^2-2*6*10*cos120 градусов=196
АС=14

Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
ОС=7

Треугольник РСО прямоугольный равнобедренный.
РО=7 ОС=7
Острые углы 45 градусов
О т в е т. 45 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Правило параллелограмма.
Суммой двух векторов, выходящих из одной вершины является диагональ параллелограмма, выходящая из этой же вершины.
Поэтому
vector{DE}+vector{DB}=vector{DF}

По правилу треугольника
vector{EF}+vector{FB}=vector{EB}
(маршрут такой из точки Е дошли до F, из F до B, получается переместились из Е в В)

Ответ выбран лучшим

Вершина параболы
у=|x^2-2x-3| в точке (1;4)

Прямая у=4 имеет с графиком три общие точки.
О т в е т. а=4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{2b} (8;2;-4)
vector{4с} (4;16;-12)
vector{2b}-vector{4с} ( (8;2;-4)-(4;16;-12))=(4;-14;8)
|vector{2b}-vector{4с}|=sqrt(4^2+(-14)^2+8^2)=sqrt(276)=2sqrt(69)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ 1= ∠ 2 - BE биссектриса.1
∠ 1= ∠ 3 - внутренние накрест лежащие углы.
Значит ∠ 2= ∠ 3
Δ АВЕ - равнобедренный.

∠ В=2* ∠ 3=2*62 градусов=124 градусов
∠ А=180 градусов- ∠ В= 56 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V=S(осн)*H

S(осн.)=a^2sqrt(3)/2=2sqrt(3)

H=V/S(осн.)=1/2

S(бок)=Р(осн.)*Н=6*(1/2)=3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Скорость первого х км в час, скорость второго у км в час.
За час первый проехал х км, второй у км и между ними 60 км.
Значит АВ равно (х+у+60)

За 40 минут автомобили встретились и разъехались в разные стороны.
Если за час они проехали (х+у) км, то за 40 минут=(2/3)часа они проехали
(2/3)* ( х+у)
(2/3)(х+у)=60
х+у=60:(2/3)
х+у=90
АВ=60+х+у=150

Ответ выбран лучшим

cos ∠ A=sqrt(1-sin^2 ∠ A)=0,6
cos ∠ A=AB/AC ⇒ AC=AB/cos ∠ A=6/0,6=10
S ( Δ АВС)=(1/2)*АВ*АС*sin ∠ A=(1/2)*6*10*0,8=24

Ответ выбран лучшим

х=33015-3000-10-5
х=30000

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

1-cos^2x+4cosx+1,25=0

cos^2x-4cosx-2,25=0
D=16-4*(2,25)=25
cosx=-0,5 или сosx=4,5 ( не имеет корней)
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z

б) указанному промежутку принадлежат корни
(2π/3) и - (2π/3)+2π=(4π/3)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. (А;В) см. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∫ dx/cos^2x=tgx+C
табличный интеграл

Ответ выбран лучшим

=tgx+C

(6x+3):2=4x-2-10
(6x+3):2=4x-12
6x+3=2*(4x-12)
6x+3=8x-24
6x-8x=-24-3
-2x=-27
x=13,5

Ответ выбран лучшим

1) Находим координаты точки М -середины АС
M( -7;-7;0)
2) Находим длину вектора ВМ.
vector{BM}=(-6; -10;-4)
|vector{BM}|=sqrt(36+100+16)=sqrt(152)

Еще две медианы находим также.

Для нахождения углов применяем формулу скалярного произведения двух векторов

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

C другой стороны
скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Из точки А можно провести два вектора
АС и АВ.
Находим их координаты.
vector{АС}=(8;-10;0)
vector{АB}=(10;5;-4)

Скалярное произведение равно
(8*10+(-10)*5+0*(-4))
Длины
|vector{АС}|=sqrt(8^2+(-10)^2+0^2)=sqrt(164)
|vector{АB}|=sqrt(10^2+5^2+(-4)^2)=sqrt(141)

cos ∠ A=(8*10+(-10)*5+0*(-4))/sqrt(164)*sqrt(141)=
=30/sqrt(164*141)

Косинусы углов В и С находим также.

Ответ выбран лучшим

cos^272 градусов - sin^2 72 градусов=сos 144 градусов.

О т в е т. -22

Ответ выбран лучшим

y=in(f(x))
y`=(1/f(x)) * f`(x)

y`=(1/cossqrt(1+x^3))*(cossqrt(1+x^3))`

(cos g(x))`=(-sin g(x))* (g(x))`

y`=(1/cossqrt(1+x^3))*(-sinsqrt(1+x^3))* (sqrt(1+x^3))`

(sqrt(h(x)))`=(1/2*sqrt(h(x)))* (h(x))`

y`=(1/cossqrt(1+x^3))*(-sinsqrt(1+x^3))* (1/2*sqrt(1+x^3))*(1+x^3)`

y`=(3x^2)*(-tgsqrt(1+x^3))/(2*sqrt(1+x^3))

Ответ выбран лучшим

Пусть было х монет и у друзей

Первый взял
100 + 0,1(х - 100) = 90 + 0,1х

После этого осталось
х - (90 + 0,1х) = 0,9х - 90

Второй взял
200 + 0,1 (0,9х - 90 - 200) = 171 + 0,09х

По условию все получили поровну, значит то что взял первый равно тому количеству, которое взял второй

Получаем уравнение
90 + 0,1х = 171 + 0,09х

х = 8100

Клад поделили поровну, каждый из друзей получил
0,1х + 90 = 900

у = 8100:900=9 друзей было.

О т в е т. 8100 монет и 9 друзей

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-x > 0 ⇒ x < 0
{x-2 > 0 ⇒ x > 2
множества не пересекаются.
Уравнение не имеет корней.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть М(х,у) - точка, принадлежащая линии.
Расстояние от этой точки до оси Оу равно х.
А расстояние до окружности есть расстояние от этой точки до центра окружности минус радиус окружности.

Преобразуем уравнение:
(x^2-4x+4)+y^2=4
sqrt((x-2)^2+y^2) - 2 =x.
Переносv 2 вправо, возводим в квадрат и упрощаем:
y^2=8x - парабола вдоль оси Ох
х=(1/8)y^2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0
В условиях ОДЗ
log_(3)(9x)=log_(3)9+log_(3)x=2+log_(3)x;
log_(3)x^4=4log_(3)x
Замена переменной
log_(3)x=t
(2*(2+t)-13)/(t^2-4t) меньше или равно 1

Упрощаем
(t^2-6t+9)/(t*(t-4)) больше или равно 0
t=3 или t < 0 или t > 4
Обратная замена

log_(3)x=3 ⇒ x=27
или
log_(3)x < 0 ⇒ x < 1
или
log_(3)x > 4 ⇒ x > 81

C учетом ОДЗ получаем о т в е т.
(0;1) U{27}U(81;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

D(y)=(- бесконечность ;+ бесконечность )

y`=(x^2-5x+6)`=2x-5

y`=0

2x-5=0
x=5/2 - точка, в которой производная обращается в 0, касательная к кривой в этой точке параллельна оси Ох.

Чтобы узнать есть в этой точке экстремум или нет, надо применить достаточное условие экстремума и проверить как меняется знак производной при переходе через эту точку

__-__ (2,5) __+__

производная меняет знак с + на _, х=2,5 - точка минмума

у( мин,)=(2,5)^2-5*2,5+6=-0,25

(2,5; -0,25) - точка минимума, вершина параболы ветви которой направлены вверх

Точки пересечения с осью Ох
x^2-5x+6=0
D=25-24=1
x=2 или х=3
с осью Оу
х=0 у=6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

t_(cp)=S/v_(ср)=100/50=2 часа

Ответ выбран лучшим

5+5+5+5+5+5=30 деталей
или
5*6=30 деталей

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(2+1;-1-3;5+7)=(3;-4;12)
vector{BA}=(-3;4;-12)
2vector{AB}=(6;-8;24)
vector{BC}=(-2;2;-10)
vector{CB}=(2;-2;10)
2vector{BC}=(-4;4;-20)
2vector{AB}-vector{CB}=(6-2;-8-(-2);24-10)=(4;-6;14)
2vector{BC}+vector{BA}=(-4+(-3);4+4;-20+(-12))=(-7;8;-32)

(2vector{AB}-vector{CB})*(2vector{BC}+vector{BA})=
=4*(-7)+(-6)*8+14*(-32)=

Ответ выбран лучшим

При делении на 9 могут получаться следующие остатки.

0;1;2;3;4;5;6;7;8.

Например,
27:9=3 ( ост 0)
28:9=3( ост.1)
29:9=3(ост.2)
и т.д.
34:9=3(ост.7)
35:9=3(ост.8)

36:9=4 ( ост. 0)

Числа 27 и 36 дают одинаковые остатки 0, значит они просто напросто делятся на 9 без остатка.

Числа 28 и 37 дают при делении на 9 одинаковые остатки 1

Числа 29 и 38 дают при делении на 9 одинаковые остатки 2
и так далее

Ответ выбран лучшим

1.
y`=3x^2+x
2.
y`=12x^3-35
3.
y`=14x-(1/7)*(-2)x^(-3)=14x+(2/7)*(1/x^3)

Ответ выбран лучшим

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат
vector{a}*vector{b}=2*(-3)+(-4)*2+4*6=-6-8+24=10

C другой стороны
скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
|vector{a}|=sqrt(2^2+(-4)^2+4^2)=sqrt(36)=6
|vector{b}|=sqrt((-3)^2+2^2+6^2)=sqrt(49)=7

cos phi =(vector{a}*vector{b})/(|vector{a}|*|vector{b}|)=10/(6*7)=
=10/42=5/21

Ответ выбран лучшим

y=x^3+(1/2)x^2-18 - функция.
Производная этой функции
y`=3x^2+x

y`=0
3x^2+x=0
x*(3x+1)=0
x=0 и x=-1/3 - точки, в которых производная равна 0.
Это точки возможного экстремума функции.
Для того чтобы узнать, что в этих точках, максимум или минимум, надо расставить знак производной.

Производная
у=3x^2+x -квадратичная функция,
ее график - парабола, ветви которой направлены вверх.

Производная пересекает ось ох в точках х=0 и х=-1/3

Значит знаки производной:

_+__ (-1/3) __-__ (0) _+__

х=-1/3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(min)=y(-1/3)=(-1/3)^3+(1/2)*(-1/3)^2-18=
(-1/27)+(1/18)-18=
=(-2/54)+(3/54)-18=(1/54)-18=- 17 целых 53/54
у(max)=y(0)=-18
График функции
у=x^3+(1/2)x^2-18 (см. на рисунке)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A__D__C_____B

AC=CB
AD=DC
CB=2DC, значит DB=3DC

3DC=15,3
DC=5,1
AC=2DC=10,2
О т в е т. 10,2 см

Ответ выбран лучшим

Делим обе части уравнения на x^2
((y/x)+(y/x)^2)=(2+(y/x))y`

Замена переменной
у/x=t
y=x*t
y`=x`*t+x*t` ( x`=1, х - независимая переменная)

Уравнение принимает вид
t+t^2=(2+t)*(t+x*t`)
Упрощаем
-t=2x*(1+t)*t`
Уравнение с разделяющимися переменными
t`=dt/dx
2(1+t)dt/t=-(1/x)dx
Интегрирем
2t+2ln|t|+ln|x|+C=0
Обратная замена
2*(у/х)+2ln|y/x|+ln|x|+C=0
О т в е т. 2*(у/х)+2ln|y/x|+ln|x|+C=0

Ответ выбран лучшим

х=-1 корень данного уравнения, так как при подстановке х=-1 в уравнение получаем верное равенство.
2*(-1)^4-7*(-1)^3-7*(-1)^2+3*(-1)+1=0
2+7-7-3+1=0 - верно, значит левую часть уравнения можно разложить на множители
(x+1)*(2x^3-9x^2+2x+1)=0

(разделить многочлен
2*х^4-7*х^3-7*х^2+3*х+1 на двучлен (х+1) ''уголком'' и сделать ''искусственное'' выделение множителя (х+1) прибавляя и вычитая, например так
2*х^4-7*х^3-7*х^2+3*х+1=2x^4+2x^3-2x^3-7x^3-9x^2+2x^2+2x+x+1=(2x^4+2x^3)-(9x^3+9x^2)+(2x^2+2x)+(x+1))

х=1/2 - корень многочлена (2x^3-9x^2+2x+1)

(2x^3-9x^2+2x+1)=(2х-1)*(x^2-4x+1)

Итак, данное уравнение представимо в виде
(х+1)*(2х-1)*(x^2-4x+1)=0
x1=-1
x2=1/2
x3=(4-sqrt(20))/2=2-sqrt(5)
x4=2+sqrt(5)

Ответ выбран лучшим

y= ∫ (1/(1+sqrt(x))dx=
замена переменной
sqrt(x)=t
x=t^2
dx=2tdt
= ∫ 2tdt/(1+t)= под знаком интеграла неправильная дробь, выносим 2 за знак интеграла и выделяем целую часть прибавив 1 и отняв 1=
=2 ∫ (1-(1/t+1))dt=2t-2ln|1+t|+C=
=2sqrt(x)-2ln|sqrt(x)+1|+C

Ответ выбран лучшим

1/4=1:4=0,25

Ответ выбран лучшим

Получившаяся плоскость пройдет через сторону AB, середину стороны CC1, середину стороны DD1 ; секущая плоскость - прямоугольник. AB=12 см. Осталось найти вторую сторону . Рассмотрим боковую грань ВВ1С1С.
По теореме Пифагора вторая сторона прямоугольника ( сечения)
sqrt(5^2+12^2)=sqrt(25+144)=sqrt(169)=13

Значит, периметр P=2*(12+13)=2*25=50 см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

49^(-5)=(7^(2))^(-5)=7^(2*(-5))=7^(-10)
1/7=7^(-1)

Ответ выбран лучшим

Пусть в первой коробке х красных карандашей, во второй коробке y синих карандашей.

Первое перекладывание.
40%=0,4
Из первой коробки забираем 0,4х красных карандашей и перекладываем во вторую.

В первой коробке останется 0,6х красных,
во второй у синих и 0,4х красных, т.е
(у+0,4х) карандашей

После второго перекладывания
20%=0,2

Из второй коробки взято 0,2*(у+0,4х) карандашей.
Из них 0,1*(y+0,4x) синих и 0,1*(y+0,4x) красных.

Тогда в первой коробке стало
0,6х + 0,1*(y+0.4х)=(0,64x+0,1y) красных карандашей.

Во второй коробке
0,4х - 0,1*(у+0,4х) =(0,36x-0,1y)красных карандашей.

По условию в первой коробке на 26 карандашей больше.

Уравнение
0,64х+0,1у=26+0,36x-0,1y

Во второй коробке осталось
0,8*(у+0,4х)=0,32х+0,8у что больше первоначального на 5%, получаем неравенство
0,32х+0,8у > 1,05y

Система, состоящая из уравнения и неравенства
{0,64х+0,1у=26+0,36x-0,1y
{0,32х+0,8у > 1,05y

Упрощаем
{0,28x+0,2y=26
{0,32х > 0,25 y

{7x+5y=650 - уравнение в натуральных числах y=(650-7x)/5
{32x > 25у

650 кратно 5, значит 7х кратно 5, значит х кратно 5.

у=130-(7х/5)

и по условию красных меньше чем синих,
х < у.

y=60
x=50
32*50 > 25*60 - верно
О т в е т. 60 синих карандашей.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Класс!

M((1+3)/2; (-1+5)/2)
M(2;2)
Уравнение ВМ
(x+2)/(2+2)=(y-1)/(2-1)
4y-4=x+2
y=(1/4)x+(6/4)

Уравнение прямой, перпендикулярной ВМ
у=-4х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки А в это уравнение
-1=-4+b
b=3
О т в е т. у=-4х+3

Ответ выбран лучшим

D=(- бесконечность ;0)U(0;+ бесконечность )
и для одной и для второй ( в скобках)
Графики см. рис.
(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ACD= ∠ BCD=30 градусов.

Пусть DK и DM - перпендикуляры из точки D на стороны АС и ВС соответственно.

Из прямоугольного треугольника DKC
CD=16 , так как DK=DM=8 - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

Ответ выбран лучшим

|__76____|__?___|

АВ=АС+СВ
СВ=АВ-АС=104 мм - 76 мм=28 мм=2,8 см

О т в е т. ВС=СВ=2, 8 см

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ BAF= ∠ FAD - биссектриса AF делит угол пополам
∠ BFА= ∠ FAD - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей AF.

∠ BAF= ∠ BFА, значит ∆ABF–равнобедренный

Ответ выбран лучшим

(1/cost)+tgt=(1/cost)+(sint/cost)=(1+sint)/cost
(1/cost)-tgt=(1/cost)-(sint/cost)=(1-sint)/cost

((1/cost)+tgt)*((1/cost)-tgt)=
=(1+sint)*(1-sint)/cos^2t=(1-sin^2t)/cos^2t=
=cos^2t/cos^2t=1

Ответ выбран лучшим

Применяем способ группировки:
(x^4-x^3)-12x^2+12-x^2+x=0

x^3*(x-1)-12*(x^2-1)-(x^2-x)=0
x^3*(x-1)-12*(x-1)(x+1)-x*(x-1)=0

(x-1)*(x^3-12x-12-x)=0

(x-1)*(x^3+x^2-x^2-x-12x-12)=0
(x-1)*(x^2*(x+1)-x*(x+1)-12*(x+1))=0
(x-1)*(x+1)*(x^2-x-12)=0

x-1=0 или х+1=0 или x^2-x-12=0
x=1 или х=-1 или D=1+48=49 x=-3 или х=4

О т в е т. 1+(-1)+(-3)+4=1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8:m=(-6):(-3)
m=4

Ответ выбран лучшим

x_(C)=(x_(M)+x_(N))/2 ⇒ x_(N)=2x_(C)-x_(M)=2*(-5)-(-3)=-7
y_(C)=(y_(M)+y_(N))/2 ⇒ y_(N)=2y_(C)-y_(M)=2*4-8=0

О т в е т. N (-7; 0)

Ответ выбран лучшим

3^(log_(2) (1/4)+log_(3) 55=
=3^(-2+log_(3)55)=
=3^(-2)*3^(log_(3)55)=
=(1/9)*55=55/9

Ответ выбран лучшим

20 мин =1/3 часа

18 * (1/3)=6 км расстояние между катерами в тот момент, когда второй катер начал движение.

22-18=4 км в час - разница скоростей катеров, за счет которой и будет происходить сокращение расстояния.

6-4=2 км - расстояние между катерами через час после отплытия второго катера.

О т в е т. 2 км

Ответ выбран лучшим

2+4=6

3x-5=4^2
3x=16+5
3x=21
x=7

Ответ выбран лучшим

6/8=3/4
18/15=6/5
21/21=1
44/36=11/9
15/55=3/11
46/30=23/15
42/90=7/15
88/88=1
16/60=4/15
56/96=7/12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(7)36=log_(7)6^2=2log_(7)6⇒
(1/2)log_(7)36=log_(7)6

(1/2)*log_(7)36-log_(7)14-log_(7)∛21=
=log_(7)6-log_(7)14+log_(7)∛21=log_(7)(6*∛21/14)=
=log_(7)(3∛21/7)=log_(7)(3^(4/3)*7^(-2/3)=(4/3)log_(7)3-(2/3)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{x^2+x > 0, x^2+x≠1
{x^2-2x+1 > 0
{(x^2+x-1)*(x^2-2x+1-1) меньше или равно 0

Решаем каждое неравенство
{x*(x+1) > 0, x^2+x-1≠0 ⇒ x ∈(-бесконечность;(-1-sqrt(5))/2)U((-1-sqrt(5))/2;-1) U (0; ( -1+sqrt(5))/2)U((-1+sqrt(5))/2; + бесконечность)

{x^2-2x+1 > 0 ⇒ х≠1
{(x^2+x-1)*(x^2-2x+1-1) меньше или равно 0 ⇒
((-1-sqrt(5))/2);0]U((-1+sqrt(5))/2);2]

О т в е т. ((-1-sqrt(5))/2; -1) U ((-1+sqrt(5))/2; 1) U (1;2]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
а) 2x*(1+4x)/(2x-1) < 0
Метод интервалов
_-__ (-1/4) __+__ (0) ___-___ (1/2) __+__
О т в е т. (- бесконечность ;-1/4) U(0;1/2)
б) log_(9)(4-3x) > log_(9)3
{4-3x > 0 ⇒ x < 4/3
{4-3x > 3 ⇒ x < 1/3

О т в е т. (- бесконечность; 1/3)
2)
а) 3^x*(3^2-5)=36;
3^x*4=36
3^x=9
3^x=3^2
x=2
б) sin^2x+2sinx+1=sin^2x+1 ⇒ 2sinx=0 ⇒ sinx=0
x=Pik, k ∈ Z
b) -log_(7)(5-x)=log_(7)2-log_(7)7;
log_(7)7=log_(7)2+log_(7)(5-x)
log_(7)7=log_(7)2*(5-x)
7=2*(5-x)
7=10-2x
2x=3
x=1,5
3)
10^(1/4)*4^(1/4)*10^(1/4)*5^(1/2)=10^(2/4)*4^(1/4)*5^(1/2)=
=10^(1/2)*5^(1/2)*(2^2)^(1/4)=
=10^(1/2)*5^(1/2)*(2)^(1/2)=
=(10*5*2)^(1/2)=100^(1/2)=10
4) (cos^2 альфа )^2+sin^2 альфа cos^2 альфа +sin^2 альфа=
=cos^2 альфа *(cos^2 альфа +sin^2 альфа )+sin^2 альфа =
=cos^2 альфа *1+sin^2 альфа =1
5) y`=-3x^2+6x
y`=0
-3x^2+6x=0
3x*(-x+2)=0
x=0 или х=2

[-3] _____-____ (0) ___+___ (2) __-_ 3]

x=0- точка минимума
х=2- точка максимума

F(-3)=-(-3)^3+3*(-3)^2+4=58 - наибольшее
F(0)=-0^3+3*0^2+4=4 наименьшее
F(2)=-2^3+3*2^2+4=8
F(3)=-3^3+3*3^2+4=-27+27+4=4 наименьшее

6) F`(x)=2x-6
F`(4)=2*4-6=2
F(4)=4^2-6*4+5=-3

y-(-3)=2*(x-4)
y=2x-11
О т в е т. у=2х-11

7) S= ∫^3_(0)x^2dx=(x^3/3)|^3_(0)=9

Ответ выбран лучшим

Δ АВС подобен Δ MBK, так как МК || AC.
Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
АВ: МВ=7:5
S ( Δ ABC) : S ( Δ MBK)= (AB)^2 : (MB)^2= 7^2 : 5^2
S ( Δ MBK)= 98*25/49=50 кв. см.

Ответ выбран лучшим

Скорость лодки по течению = собственная скорость лодки + скорость течения реки=8+2=10 км / час
За 4 часа лодка проплывет по течению 40 км.
10 км/ч*4=40 км
Скорость лодки против течения = собственная скорость лодки - скорость течения реки=8-2=6 км / час
За 4 часа лодка проплывет против течения 24 км.
6км / ч * 4 = 24 км

Ответ выбран лучшим

1) Строим прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см;
2) Р( Δ АВС)/Р( Δ А1В1С1)=0,6
Р( Δ А1В1С1)=12:0,6=20 см.

Ответ выбран лучшим

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{1-(1/(x-3)^2)) > 0 ,
{1-(1/(x-3)^2)) ≠ 1
{(x^2+5x+8)/(x^2-7x+12) > 0
{(1-((1/(x-3)^2)-1)*((x^2+5x+8)/(x^2-7x+12)-1) меньше или равно 0

Упрощаем и решаем каждое неравенство
{(x-3)^2-1)/(x-3)^2 > 0⇒(х-4)(x-2)/(x-3)^2 > 0 ⇒ (-бесконечность;2)U(4;+ бесконечность)
{(x^2+5x+8)/((x-3)(x-4)) > 0 ⇒ (- бесконечность ;3)U(4;+ бесконечность)
{(12x-4)/(x-3)(x-4) больше или равно 0 ⇒ [1/3;3) U (4;+ бесконечность)

О т в е т. [1/3;2) U (4;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Общую емкость делим на емкость банки:

36 000:2=18 000 банок двухлитровых для того чтобы разлить 36 000 л сока
720 000:2=360 000 банок двухлитровых, чтобы разлить
720 000 л сока

36 000:3=12 000 банок трехлитровых для того чтобы разлить 36 000 л сока
720 000:3=240 000 банок треххлитровых, чтобы разлить
720 000 л сока

Ответ выбран лучшим

(65/12)–(125/36)=(65·3)/(12·3)–(125/36)=(195–125)/36=70/36=
=35/18

(27/10)·(35/18)=(27·35)/(10·18)=(21/4)

(8/3)·(3/2)=24/6=4

8/3•3/2–27/10•(65/12–125/36)=
=4–(21/4)=(16/4)–(21/4)=–5/4=–1,25

Ответ выбран лучшим

По формуле
logax+logay=logaxy, x > 0,y > 0,a > 0, a ≠ 1

log62+log618=log6(2·18)=log636=2

log_(6)2+log_(6)18 + 4 =2+4=6

Ответ выбран лучшим

По формуле
log_(a)x+log_(a)y=log_(a)xy, x > 0,y > 0,a > 0, a ≠ 1

log_(6)2+log_(6)18=log_(6)(2*18)=log_(6)36=2

2+4=6

Ответ выбран лучшим

F(x)=(12/4)sin4x+8Pix-tgx+C
Пусть дана точка (а;0)
Это позволяет найти С
0=3sin4a+8Pia-tga+C
C=tga-8Pia-3sin4a

F(x)=3sin4x+8Pix-tgx+tga-8Pia-3sin4a
Пусть
х=b
F(b)=3sin4b+8Pib-tgb+tga-8Pia-3sin4a

Ответ выбран лучшим

(65/12)–(125/36)=(65*3)/(12*3)–(125/36)=(195-125)/36=70/36=
=35/18

(27/10)*(35/18)=(27*35)/(10*18)=(21/4)

(8/3)*(3/2)=24/6=4

4-(21/4)=(16/4)-(21/4)=-5/4=-1,25

С=2PiR=PiD, D- диаметр
26*3,14=81,64 см > 81 cм
О т в е т. нет

Ответ выбран лучшим

1) 2 трубы за 50 минут

50:20=х:2

20х=100
х=5
О т в е т. 5 труб выльют воду из бассейна за 20 минут. Значит надо подключить 5-2=3 трубы.

2) пусть ВС=4х, АВ=3х.
Тогда АВ:ВС=3:4

Но если ВС = 4х, тогда АС =6х и ВС:АС=2:3

Р ( Δ АВС) = АВ+ВС+АС= 3х+4х+6х=13х
По условию Р ( Δ АВС)=78
13х=78
х=6

О т в е т. АВ=18 см, ВС=24 см, АС=36 см

3) 5х=4у
Основное свойство пропорции : произведение средних членов пропорции равно произведению крайних.
5х - средние, 4у - крайние
4:5=х:у
4:х=5:у
или наоборот
5х- крайние, 4у - средние
5:4=у:х
5:у=4:х

Ответ выбран лучшим

Область определения функции
(- бесконечность;+ бесконечность ).

y`=(1-(х+2)^2)`=-2*(x+2)

y`=0

-2*(x+2)=0 ⇒ x+2=0
х=-2 - точка возможного экстремума.
Находим знак производной при переходе через точку х=-2

_+__ (-2) _-__

х=-2 точка максимума, так как производная меняет знак с + на -.
точек минимума у функции нет.

Ответ выбран лучшим

Вы правы, но (-π/3)+πk, k∈Z
содержит значения
(-π/3)+2πm, m∈Z в четвертой четверти и
(2π/3)+2πm, m∈Z во второй четверти.
Как и написано в решении № 1597.

Там же написано, что (2π/3)+2πm, m∈Z из второй четверти не входят область определения уравнения ( ОДЗ).

Поэтому никаких ошибок в решении нет

Ответ выбран лучшим

|___19___|______?_______|___17__|
D L P E

75-19-17=39
О т в е т. 39

Ответ выбран лучшим

1) 80*10=800 м пройдет Андрей
2) 1700-800=900 м расстояние между мальчиками к моменту выхода Бориса из школы
3)80+20=100 м/мин - скорость Бориса
4) 100+80=180 м/мин - скорость сближения мальчиков
5)900:180=5 мин- через 5 мин после выхода Бориса из школы мальчики встретятся.
6) 10+5=15 мин идет до встречи Андрей.

1) 80*2=160 км проехал скорый поезд за 2 часа
2) 720-160=560 км - расстояние между поездами в тот момент, когда из В вышел пассажирский
3)80+60=140 км в час - скорость сближения поездов
4) 560:140=4 часа
Через 4 часа после выхода пассажирского поезда встретятся.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
х > 0

Решаем неравенство обобщенным методом интервалов.
Находим нули функции у=(2^x-3)*(2log_(2)x-1)*log^2_(2)x
1) log_(2)x=0
x=1
2)2log_(2)x-1=0
x=sqrt(2) ≈ 1,4
3)2^x=3
x=log_(2)3

log_(2)3 > sqrt(2)
Расставляем знаки, см. рис. в приложении
(знаки функций у=2^x-3 и
y=2log_(2)x-1)

(0) _+_ [1] _+_ [sqrt(2)] __-__ [ log_(2)3] ___+__

О т в е т. {1}U[sqrt(2);log_(3)2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5 000 - 36,6*45=3 353 руб.

О т в е т. 3 353 руб. сдачи

Ответ выбран лучшим

|____ s ______|____ (150-s) ______|
A C B

Пусть АС=s км. Тогда СВ=(150-s) км
Скорость автомобиля х км в час.

Первая часть пути до встречи в С.

Автомобиль проехал путь s со скоростью х км в час за время (s/x).
Мотоциклист проехал этот же путь со скоростью 90 км в час и затратил на 30 мин=(1/2) часа меньше.
Получаем первое уравнение:
(s/x)-(s/90)=(1/2)

Вторая часть пути после встречи.
Мотоциклист проехал путь СА, равный s cо скоростью 90 км в час, а автомобиль за это же время проехал путь
(150-s) км со скоростью х км в час.
Второе уравнение
s/90=(150-s)/x

Cистема двух уравнений:
{(s/x)-(s/90)=(1/2)
{s/90=(150-s)/x

или

{2s*(90-x)=90x ⇒s=(45x)/(90-x)
{s(90+x)=150*90 ⇒ s=150*90/(90+x)

Приравниваем правые части
(45x)/(90-x)=13500/(90+x)
(х)/(90-х)=300/(90+х)

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:
300*(90-х)=(90+х)*х
x^2+390x-27000=0
D=(390)^2-4*(-27000)=
=152100+10804=260100=(510)^2
x=(-390+510)/2=60 второй корень отрицателен и не удовлетворяет смыслу задачи

Подставляем 60 в первое уравнение системы
(s/60)-(s/90)=1/2
s/180=1/2
s=90

О т в е т. 90 км

Ответ выбран лучшим

Находим производную
y`=5x^4+60x^2-65

y`=0

5x^4+60x^2-65=0
5*(x^4+12x^2-13)=0

x^4+12x^2-13=0
Замена переменной
x^2=t; x^4=t^2
t больше или равно 0

D=144-4*(-13)=144+52=196=14^2
t1=(-12-14)/2=-13 или t2=(-12+14)/2=1

x^2=1 ⇒ x=-1 или х=1
Указанному отрезку [b]принадлежит[/b] точка х=-1

Определяем знак производной при переходе через точку х=-1

[-4] __+___ (-1) _-_ [0]

x=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Значит точка х=-1 - точка в которой функция принимает
наименьшее значение на указанном отрезке

y(-1)=(-1)^5+20*(-1)^3-65*(-1)=-1-20+65=44

О т в е т. 44

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinxcosx

2sinxcosx+2sinx-(1+cosx)=0

2sinx*(cosx+1)-(cosx+1)=0

(cosx+1)*(2sinx-1)=0

cosx+1=0 или 2sinx - 1=0

сosx=-1 или sinx=1/2

x=(π)+2πk, k∈Z или х=(π/6)+2πm, m∈Z или х=(5π/6)+2πn, n∈Z
а) О т в е т.(π)+2πk; (π/6)+2πm;(5π/6)+2πn, k,m,n∈Z
cм. рис. 1
б)Указанному промежутку принадлежат корни
х1=- Pi
х2=(5Pi/6)-2Pi=-7Pi/6
см. рис. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1.
1) По правилу треугольника:
4*3*7+1*(-5)*8+2*1*(-1)-2*3*8-4*(-5)*(-1)-1*1*7=
=84-40-2-48-20-7=
=-33
2)По первой строке
0 *(0-4)-10*(5+6)+2*(-10-0)=
=-110-20=-130
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) подставляем значение х=2 в выражение под знаком предела.
2*(2^2)-3*2+4=3
О т в е т. 3
2)подставляем значение х=-1 в выражение под знаком предела.
((-1)^2+(-1)-3)/(2*(-1)-1)=(-5)/(-3)=5/3
О т в е т. 5/3
3)подставляем значение х=0 в выражение под знаком предела.
(1-0^2)/(1+2*0^2)=1/1=1
О т в е т. 1
4)подставляем значение х=0 в выражение под знаком предела.
(4*0^3-3*0^2)/(2*0^2+5)=0/5=0
О т в е т. 0

5) подставляем х=бесконечность в выражение под знаком предела.
Получаем (бесконечность/бесконечность) - неопредленность
Устраняем неопределенность.
Делим и числитель и знаменатель на х
Получаем 2/(1-(1/x))
Если х→∞, то х - бесконечно большая величина, тогда обратная ей (1/х)- бесконечно малая.
(1/х)→∞

Получаем ответ
2/(1-0)=2
О т в е т. 2

6) как 5)

Делим на х^2
((1/x^2)-1)/(1+2*(1/x^2))=(0-1)/(0+2)=-1/2

7) Делим на x^5 ( в самой высокой степени из имеющихся в данном выражении)

((1/x^3)+(1/x^2))/((1/x)+1)=(0+0)/(0+1)=0

8) Дробь в 8) обратная той, которая написана в 7)
Значит если в 7) получилось в ответе бесконечность , бесконечно много, то в этом ответе 0 ( бесконечно мало)

Ответ выбран лучшим

x^2-6x+9=(1/2)^(-2)
x^2-6x+9=4
x^2-6x+5=0
D=36-20=16
x1=(6-4)/2=1 или x2=(6+4)/2=5

О т в е т. 1; 5

Ответ выбран лучшим

log_(4)16=2

log_(4)(log_(4)16)=log(4)2=1/2

Ответ выбран лучшим

Волга - река

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x ÷12) × 14 =13688+712
(x ÷12) × 14 =14400
(x ÷12) =14400 : 14
x=(14400/14)*12
x=28800/7
x=4114 целых (2/7)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-1=log_(4-x)(4-x)^(-1)
log_(4-x)(-5-x)/(x-4) меньше или равно log_(4-x) (1/(4-x))

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{(-5-x)/(x-4) > 0 ⇒ х ∈(-5;4)
{(4-x > 0, 4-x ≠ 1 ⇒ х ∈ (-∞;3)U(3;4)
{(4-x-1)·((-5-x)/(x-4)–(1/(4-x))) меньше или равно 0 ⇒
(x-3)·(-4-x)/(4-х) меньше или равно 0

_-__ [-4] ___+____ (3) _-__ ( 4) ____+___

О т в е т. (-5;-4] U (3;4)

Ответ выбран лучшим

27^x-9^x=(3^3)^x-(3^2)^x=3^(3x)-3^(2x)=(3^x)^3-(3^x)^2
Что написано справа непонятно.
Далее замена переменной.
3^x=t
t > 0
3^(2x)=(3^x)^2=t^2
(3^3x)=(3^x)^3=t^3

Ответ выбран лучшим

f_`(x)=(1/cos(x^2y^2+z))*(cos(x^2y^2+z))`_(x)=
=(-sin(x^2y^2+z)/cos(x^2y^2+z))*(x^2y^2+z)`_(x)=
=(-tg(x^2y^2+z)*(2x*y^2)

f_`(x)(M_(o))=0

Ответ выбран лучшим

0=log_(x/2)1

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{4x^2-3x+1 > 0 - верно при любом х
{x/2 > 0, x/2≠ 1 ⇒ х ∈ (0;2)U(2;+бесконечность)
{(4x^2-3x+1-1)*((x/2)-1) больше или равно 0 ⇒

x*(4x-3)*(x-2) больше или равно 0

(0) _+__[3/4] ___-___ (2) __+___

О т в е т. (0;(3/4)] U(2;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Первая прямая проходит через точку М1(-2;2;-3) и имеет направляющий вектор (2;-1;3)

Находим направляющий вектор прямой l2 , для этого
находим векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей, задающих эту прямую
Первый имеет координаты (4;5;–5)
Второй (1;2;–2)

Считаем определитель третьего порядка
в первой строке векторы i,j,k
во второй координаты первого нормального вектора, в третьей – координаты второго нормального вектора.
получим вектор (3j+3k)

Значит направляющий вектор прямой имеет координаты
(0;3;3)
Или можно взять коллинеарный ему вектор
(0;1;1)

Три вектора
(0;1;1)
(2;-1;3) - направляющий вектор прямой l1

и вектор
М1М(x+2;y-2;z+3) компланарны.
(М(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости).

Определитель третьего порядка, составленный из координат векторов равен 0

Раскрывая его получаем искомое уравнение.
x+y-z-3=0
О т в е т. x+y-z-3=0

Ответ выбран лучшим

Находим направляющий вектор заданной прямой, для этого находим векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей, задающих эту прямую.
Первый имеет координаты (2;1;-2)
Второй (1;0;-3)

Считаем определитель третьего порядка
в первой строке векторы i,j,k
во второй координаты первого нормального вектора, в третьей – координаты второго нормального вектора.
получим вектор (3i+4j-k)

Значит направляющий вектор прямой имеет координаты
(3;4;–1)

Уравнение прямой, проходящей через точку Р с направляющим вектором (3;4;-1) имеет вид
(х-1)/3=(y-1)/4=(z+2)/-1

Параметризуем
(x-1)/3=t ⇒ x=3t+1
(y-1)/4=t ⇒ y=4t+1
(z+2)/(-1)=t ⇒ z=-t-2

О т в е т. x=3t+1; y=4t+1; z=-t-2

Ответ выбран лучшим

Находим точку, принадлежащую первой прямой
1) пусть z=0
{x+2y-1=0 умножаем на (-3)
{3x+3y+1=0

{-3x-6y+3=0
{3x+3y+1=0
-3у+4=0
у=4/3
х=1-2у=1-(8/3)=-5/3

Точка M1(-5/3;4/3;0) принадлежит первой прямой

Находим направляющий вектор первой прямой.
Нормальные векторы плоскостей имеют координаты
(1;2;-2) и (3;3;-3)
Их векторное произведение - направляющий вектор прямой.
Находим векторное произведение
Считаем определитель третьего порядка
в первой строке векторы i,j,k
во второй координаты первого нормального вектора, в третьей - координаты второго нормального вектора.
получим вектор (-6i-6k)
Значит направляющий вектор первой прямой имеет координаты
(0;-6;-6)

Аналогично для второй прямой
2)
z=0;x=-1/3;y=x-2=-7/3
M2(-1/3;-7/3;0) - точка принадлежащая второй прямой
направляющий вектор второй прямой
(0;3;3)

Прямые параллельны.

Переформулируем задачу.
Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
(см. рис.)

Составляем определитель третьего порядка
для нахождения нормального вектора искомой плоскости
В первой строке векторы i,j,k
Во второй координаты вектора, параллельного направляющим векторам (0;1;1)
В третьей координаты вектора М1М2

(11/3)i+(4/3)j-(4/3) k - нормальный вектор искомой плоскости.
Значит уравнение плоскости имеет вид
(11/3)(х+5/3)+(4/3)(y-(4/3))-(4/3)z=0
11(x+(5/3))+4*(y-(4/3)-4z=0
11x+4y-4z+13=0
О т в е т. 11х+4у-4z+13=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нормальный вектор плоскости–3x+y+z–3 = 0 имеет координаты (-3;1;1)
vector{a}=2vector{i}–3vector{j}+vector{k}
имеет координаты
(2;-3;1)

сos phi =(2*(-3)+(-3)*1+1*1)/sqrt(9+1+1)*sqrt(4+9+1)=
=-8/sqrt(11*14)
Это тупой угол.
Косинус смежного угла
8/sqrt(154)

Ответ выбран лучшим

Если плоскость проходит параллельна OZ,
значит нормальный вектор c координатами (a;b;c) плоскости ax+by+cz+d=0
перпендикулярен вектору (0,0,1)
значит c = 0

Уравнение имеет вид aх+bу+d=0
Подставляем координаты точек А и В в это уравнение и находим а;b;d.
{3a+4b+d=0 ⇒ d=-3a-4b
{-2a+3b+d=0 ⇒ d= 2a-3b

-3a-4b=2a-3b ⇒ b=-5a

d=2a-3b=2a+15a=17a

ax-5ay+17a=0
x-5y+17=0
О т в е т. x-5y+17=0

Ответ выбран лучшим

vector{AB}=(5;-2;1)

(x-3)/5=(y+4)/-2=(x-5)/1

vector{АВ}=(5;-2;1) - направляющий вектор прямой

Ответ выбран лучшим

Выражаем t из каждого уравнения и приравниваем
{t=(x+1)/3
{t=y-2
{t=-z/3

(x+1)/3=y-2=-z/3

или как линия пересечения двух плоскостей:
{x+1=3*(y-2)
{x+1=-z

{x-3y+7=0
{x+z+1=0

Ответ выбран лучшим

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба равна 180 градусов.
Значит это противоположные углы.
Они равны между собой.
Значит 210:2=105 градусов ( один из углов ромба , а именно тупой)
180-105=75 градусов- острый угол ромба (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По правилу параллелограмма:
vector{AC}=vector{a}+vector{b}
vector{ОC}=(1/2)*vector{AC}=(1/2)*vector{a}+(1/2)*vector{b}

vector{АК}=(2/3)vector{а}
По правилу треугольника
vector{АК}+vector{КС}=vector{АС}
⇒ vector{КС}=vector{АС}-vector{АК}=
=(vector{a}+vector{b})-(2/3)vector{а}=
=(1/3)*vector{а}+vector{b}

vector{СК}=- vector{КС}=-(1/3)*vector{а}-vector{b}

Ответ выбран лучшим

∠MON=3х
∠NOK=4х
∠MOE=5х

По рисунку
∠ MON= ∠ KOE=3х

4 угла образуют 360 градусов

3х+4х+3х+5х= 360 градусов
15х=360 градусов
х=24 градуса

∠MON=72 градусов
∠NOK=96 градусов
∠MOE=120 градусов
∠ KOE=72 градусов

Все эти углы центральные. Значит и дуги, на которые опирается каждый из углов имеют ту же градусную меру.

∪MN=72 градусов
∪NK=96 градусов
∪МE=120 градусов
∪KE=72 градусов

Ответ выбран лучшим

cos((π/2)–x)=sinx;
cos2x=1-2sin^2x

4*(1-2sin^2x)=2sinx+1;

8sin^2x+2sinx-3=0
Замена переменной
sinx=t
8t^2+2t-3=0
D=2^2-4*8*(-3)=4+96=100
t1=(-2-10)/16=-3/4 или t2=(-2+10)/16=1/2
sinx=-3/4
x= (arcsin(-1/2))+2πk, k∈Z или
x=(π-arcsin(-3/4))+2πn, n∈Z

sinx=1/2
x=(π/6)+2πm, m∈Z или х=π-(π/6)+2πr=(5π/6)+2πr, r∈Z

О т в е т.
(arcsin(-1/2))+2πk, k∈Z
(π-arcsin(-3/4))+2πn, n∈Z
(π/6)+2πm, m∈Z
(5π/6)+2πr, r∈Z

По формулам приведения
cos(3pi/2–a) = - sina
sin(pi/2–a) = cosa

(sin(2a)-sina)/(cosa –0,5)=
=2sin(a/2)*cos(3a/2)/(cos альфа -(1/2))

Ответ выбран лучшим

Система двух уравнений
{41=sqrt(a^2+b^2)
{180=ab/2

{1681=a^2+b^2
{ab=360 ⇒ b=360/a и подставляем в первое

a^4-1681a^2+129600=0
D=1681^2-4*129600=
=1519^2
a^2=81 или a^2=1600
a=9 или а=40
b=40 или b=9

о т в е т. 9 и 40

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Получился прямоугольный треугольник KNM
с катетами MN=600 и NK=450
Гипотенуза MK по теореме Пифагора
MK^2=MN^2+NK^2=600^2+450^2=360000+202500
=562500=750^2
MK=750

Ответ выбран лучшим

Cм. приложение.
Считаем определитель третьего порядка
В первой строке i , j, k
Во второй 1; -3; 2
В третьей 2; 1; -1

Получим
vector{i}+5vector{j}+7vector{k}

О т в е т. [1;5:7} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим высоту АД.
В равнобедренном треугольнике она также и медиана.
АД=ДС=20
Из прямоугольного треугольника АВД
ВД=АД*tg ∠ A=20*(9/8)=180/8=45/2
S ( Δ АВС)=(1/2)*АС*ВД=(1/2)*40*(45/2)=40*45/4=450

Ответ выбран лучшим

(2-c)^2–c(c+4) =
=4-4c+c^2-c^2-4c=
=4-8c

при c=–1/8
4-8c=4-8*(-1/8)=4-(-1)=4+1=5

О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

3a+9=3*(a+3)
Приводим дроби в скобках к общему знаменателю:
Общий знаменатель 3*(а+3)
(а+6-3)/(3(а+3))=(а+3)/(3(а+3))=1/3

(1/3)*(3/(а-3))=1/(а-3)

1/(а-3)-(6/(а^2-9))=1/(а-3)-(6/(а-3)(a+3))=(a+3-6)/((a-3)(a+3))=
=(a-3)/((a-3)(a+3))=1/(a+3)

При а=-1/4
1/(а+3)=1/((-1/4)+3)=1/(2 целых (1/4))=1/(9/4)=4/9

Ответ выбран лучшим

6=(0,5)^(log_(0,5)6)

(0,5)^(x-2) > 0,5^(log_(0,5)6)
x-2 < log_(0,5)6
x < 2+log_(0,5)6
x < log_(0,5)(0,25)+log_(0,5)6
x < log_(0,5)1,5

Ответ выбран лучшим

Первая цифра числа 3, вторая 1,
значит число должно делиться на 3 и на 1.
На 3 делятся числа, сумма цифр которых длится на 3.

3162
делится на 3
делится на 2
делится на 6

Ответ выбран лучшим

Установка счетчиков позволяет ежемесячно экономить 1100 − 900 = 200 руб.
Затраты окупятся
3500 : 200 = 17,5 месяцев или за 18 полных месяцев.

Ответ выбран лучшим

vecttor{a} образует с осью Оz острый угол.
cos гамма =8/|vector{a}|
Значит, вектор х, коллинеарный вектору а и образующий с осью Оz тупой угол, противоположно направлен вектору а.

Коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты
vector{x}{-k;4k;-8k} k - коэффициент пропорциональности.
|vecor{x}|=sqrt(k^2+16k^2+64k^2)=sqrt(81k^2)=9k
По условию
|vector{x}|=6
9k=6
k=2/3

О т в е т.vector{x}{-2/3;8/3;-16/3}

Ответ выбран лучшим

2) х(х-1) больше или равно 0;
решаем неравенство методом интервалов
х=0 или х=1

Расставляем знаки
___+__ [0] _ ___ [1] __+__
[r]текст в рамке[/r]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

6*8=48 квартир в первом подъезде
Номера с 1 по 48
во втором подъезде с 49 по 96
В третьем с 97 по 144
В четвертом с 145 по 192
в пятом 193 по 240
в шестом
на первом этаже с 241 по 246
на втором находится квартира под номером 250

в 10-ом подъезде с 433 по 480
в 11-ом на первом этаже с 481 по 486
на втором с 487 по 492
на третьем с 493 по 498
на 4-ом квартира 499

в 13-ом подьезде квартиры с 625 по 672
672 в 13-ом подьезде на 8 этаже

Ответ выбран лучшим

V=a*b*c=3*6*12=216 куб. м

Ответ выбран лучшим

Плоскость, отсекающая на осях Ox и Oz отрезки 3 и 4, проходит через точки
А (3;0;0) и В (0;0;4)

Три вектора М_(o)M; AM_(o) и ВА компланарны. Значит определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0
В первой стороке х; у-3 и z
Во второй 3 ; -3 и 2
В третьей -3 ; 0 и 4

Раскрываем определитель и получаем
-12*x-6(у-3)-9(z+2)-12(у-3)=0
12x-18y-9z+36=0
4x-6y-3z+12=0

Ответ выбран лучшим

В параллелограмме АВСК противоположные стороны равны. Значит АВ=СК.
Почему в условии АВ=12, а СК=4 Не понимаю.

Решение:
∠ 1= ∠ 2 ( биссектриса АМ делит угол пополам)
∠ 2= ∠ 3 ( внутренние накрест лежащие углы)
Значит ∠ 1= ∠ 2 =∠ 3
Δ АВМ - равнобедренный
ВМ=АВ=12
Если МС=4, то ВС=ВМ+МС=12+4=16
Р=2*(АВ+ВС)=2*(12+16)=56
О т в е т. 56 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выделить полный квадрат по переменной х
(х+3)^2-4y^2=4

(x+3)^2/(2^2)-y^2=1 - гипербола со сдвигом вдоль оси ох на 3 единицы влево

Обозначим t=х+3
t^2/(2^2)-y^2=1 - каноническое уравнение гиперболы
a=2; b=1
y=(± b/a)x- уравнение асимптот
y=(± 1/2)t - уравнение асимптот для гиперболы
t^2/(2^2)-y^2=1
t=x+3
y=(± 1/2)x± (3/2) или
у=(1/2)х+(3/2) и у=(-1/2)х-(3/2) - уравнения асимптот

Ответ выбран лучшим

Никаких ограничений на х нет.
х- любое действительное число

х ∈ (- бесконечность;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

=log_(3)9+log_(3)2=2+log_(3)2

Ответ выбран лучшим

Находим координаты точки А
{9x-5y+8=0
{3x-7y+40=0 умножаем на (-3)

{9x-5y+8=0
{-9x+21y-120=0
Складываем
16у=112
у=7
х=3
(3;7) - координата точки А

ВС:
{t=x+1
{x=(-y-5)/3
⇒ x+1=(-y-5)/3 ⇒ 3x+y+8=0

Находим координаты В
{9x-5y+8=0
{3x+y+8=0 умножаем на (-3)

{9x-5y+8=0
-9x-3y-24=0
Cкладываем
-8у=16
у=-2
х=-2
В(-2;-2)

Находим координаты С
{3x-7y+40=0
{3x+y+8=0
у=4
х=-4
С(-4;4)

Координаты точки D - середины ВС

x_(D)=(x_(B)+x_(C))/2=-3
y_(D)=(y_(B)+y_(C))/2=1

Уравнение медианы AD
A(3;7) D(-3;1)
AD:
(x-3)/(-3-3)=(y-7)/(1-7)
(x-3)/(-6)=(y-7)/(-6)
x-3=y-7
y=x+4

Уравнение медианы ВК
К- середина АС
К(-1/2;3/2)

ВК: (х+2)/(1,5)=(y+2)/2,5
3(y+2)=5(x+2)
5x-3y+4=0

Координата точки М - точки пересечения медиан AD и ВК
{y=x+4
{5x-3y+4=0 ⇒ 5x-3*(x+4)+4=0 ⇒ 2x=8 ⇒ x=4
y=8

О т в е т. у=х+4; (4;8)

Ответ выбран лучшим

ТАНЯ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле Байеса
р(H_(1)/A)=0,8*0,6/(0,8*0,6+0,4*1)=0,48/0,88=6/11
р(H_(2)/A)=0,4*1/(0,8*0,6+0,4*1)=0,4/0,88=5/11

О т в е т. Вероятнее, что снабжен С1

Ответ выбран лучшим

90 км=9000 м
1 час=60 минут = 3600 секунд
90 км в час= 9000м/3600сек=2,5 м/сек

37 км в час = 3700м/3600 сек=37/36 м/сек

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
4-x^2 больше или равно 0 ⇒ x ∈ [-2;2]

При любом х ∈ ОДЗ
sqrt(4-x^2) больше или равно 0, поэтому
4+5х+x^2 больше или равно 0
или
х^2+5x+4 больше или равно 0
D=25-16=9
х1=(-5-3)/2=-4 или х2=(-5+3)/2=-1
х ∈ (- бесконечность;-4] U[-1;+ бесконечность )

C учетом ОДЗ
о т в е т [-1;2]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 5х-1 > 0
x > 1/5

По формуле перехода к другому основанию:
log_(121)(5x-11)=log_(11^2)(5x-11)=log_(11)(5x-11)/(log_(11)11^2)=log_(11)(5x-11)/2=(1/2)log_(11)(5x-1)=(по формуле логарифма степени)
=log_(11)sqrt(5x-11)

11^(log_(11)sqrt(5x-11))=12
Применяем основное логарифмическое тождество
sqrt(5x-11)=12
5x-11=144
5x=155
x=31

Ответ выбран лучшим

(6:-1)- нормальный вектор прямой.

Ответ выбран лучшим

H=2*(a+b)=2*(20+30)=100 cм (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(2a¯−3b¯)(a¯+2b¯) =2*a¯*a¯-3*b¯*a¯+2a¯*2b¯-3b¯*2b¯=
=2*a¯^2+a*b-6b¯^2

a^2=|a¯|*|a¯|*cos 0=|a¯|^2
|a¯|=sqrt(4^2+(-2)^2+(-4)^2)=sqrt(36)=6

b^2=|b¯|*b¯|*cos 0=|b¯|^2
|b¯|=sqrt(6^2+(-3)^2+2^2)=sqrt(49)=7

a*b=4*6+(-2)*(-3)+(-4)*2=24+6-8=22

О т в е т. (2a¯−3b¯)(a¯+2b¯) =
=2*a¯^2+a*b-6b¯^2=
=2*6^2+22-6*7^2=-200

Ответ выбран лучшим

По формуле классической вероятности
р=m/n
Испытание состоит в том, что переставляют 9 цифр на 9 местах, это можно сделать 9!
n=9! - число исходов испытания
Событию В благоприятствуют испытания, в которых 1 и 2 стоят рядом в порядке возрастания

1 и 2 могут стоять
на первом и втором, втором и третьем, ... восьмом и девятом местах - всего 8 способов.
Остальные цифры занимают 7 мест и могут быть переставлены 7!
Всего 8*7!=8!
m=8!

p(B)=m/n=8!/9!=1/9

Ответ выбран лучшим

Трехзначное число, записанное цифрами х, у, z это
100х+10у+z
( сравни: 325 - три сотни, два десятка и 5 единиц)

Трехзначное число у которого первая цифра (х+3), вторая (у+2), третья (z+1)
это (х+3)*100+(у+2)*10+(z+1)
По условию
(х+3)*100+(у+2)*10+(z+1) в 4 раза больше 100х+10у+z
Уравнение
4*(100х+10у+z)=(х+3)*100+(у+2)*10+(z+1)
300х+30у+3z=321
3*(100x+10y+z)=3*107
100x+10y+z=107

х=1 у=0 z=7
1+3=4;
0+2=2
7+1=8

428 новое число.

428 больше 107 в 4 раза
О т в е т. 107
х=1 у=0 z=7

Ответ выбран лучшим

(3^7)/(3^5)=3^(7-5)=3^2
(3^2)^3=3^(2*3)=3^(6)

О т в е т. 3^2*3^6=3^(2+6)=3^8

Ответ выбран лучшим

Секущая плоскость пересекает верхнее и нижнее основание по параллельным прямым.
Через точку E проводим EK || AC

АС=8sqrt(2) - диагональ квадрата
ЕК - средняя линия треугольника А1В1С1
EK=(1/2) A1C1=(1/2) АС =4 sqrt(2)

Сечение - трапеция АКЕС

Боковые стороны трапеции АК=ЕС=5 по теореме Пифагора из треугольника АА1К

Р=5+5+8sqrt(2) + 4sqrt(2)=10+12sqrt(2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть ∠ ВАС= альфа , тогда ∠CBA=90 градусов - альфа
Но ∠CBA можно назвать и CDA
В прямоугольном треугольнике АСD
∠ ACD=90 градусов - альфа

∠ ACD=90 градусов - альфа =∠СBD

Подобных прямоугольных треугольников три.
Большой и два маленьких.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть снижается на р процентов
8000:100*р=80р
(8000 - 80р ) - цена после первого снижения

(8000-80р):100*р =(80-0,8р)*р- второе снижение

(8000 - 80р ) -(80-0,8р)*р - что по условию равно 5120
Уравнение
(8000 - 80р ) -(80-0,8р)*р = 5120
0,8р^2 -160р + 2880 = 0
p^2-200p+3600=0
D=40000-14400=25600
p=(200-160)/2=20 или p=180 ( не удовл. условию)
О т в ет. 20%

Ответ выбран лучшим

2 и 50
4 и 25
5 и 20
10 и 10

Ответ выбран лучшим

120 м:8 = 15
96м:8=12

8 м соответствует 1 см
120 м соответствует 15 см
96 м соответствует 12 см

Рисуем прямоугольник длина 15 см, ширина 12 см

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АВ=ВС=АС=DF=DB=DC=a

Р( Δ FOT)=12
FO+FT+TO=12
FO=FT=OT=(1/2)АВ=1/2a
3*(1/2)a=12 ⇒
a=8
S(бок)=3*S(равностороннего Δ-ка со стороной 8)=
=3*8*sqrt((3))/2=12sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

a < 0 ⇒ a^3 < 0
1) неверно
a < 0 ⇒ a^3 < 0
2) неверно
a < 0
b > 1 > 0
a*b < 0
3) a^2 > 0
b^2 > 1 > 0
a^2+b^2 > 0 - верно
О т в е т. 3)

Ответ выбран лучшим

1)17-3=14 масса двух рюкзаков, если бы они имели одинаковую массу без разницы в 3 кг.
2) 14:2=7 масса меньшего
3)7+3=10 кг масса большего

или
пусть масса одного х, второго (х-3)
Уравнение
х+(х-3)=17
2х=20
х=10
х-3=7

Ответ выбран лучшим

S1:S2=(a1)^2:(a2)^2

21:84=(6)^2:(a2)^2
(a2)^2=144
a2=12

S( прямоугольного треугольника)=(1/2)ab

21=6*b_(1)/2 ⇒ b_(1)=7

84=12*b_(2)/2 ⇒ b_(2)=14

Ответ выбран лучшим

vector{s}= 2* vector{a}-4*vector{b}+7*vector{c}

p_(l) vector{s}=
=2*p_(l) vector{a} -4*p_(l)vector{b}+7*p_(l) vector{c}=
=2*| vector{a}|* cos альфа -4 | vector{b}|*cos бета +7*| vector{c}| *cos гамма=
=2*3*cos(-45 градусов)-4*2* cos(-60 градусов)+7*2*cos(120 градусов)=
=6*(sqrt(2))/2-8*(1/2)+14*(-1/2)=
=3sqrt(2)-11

Ответ выбран лучшим

Проводим ДЕ|| ВМ
По теореме Фалеса
АМ:МЕ=АР:РД=3:2 ⇒ АМ=(3/2)МЕ

Δ АРМ подобен Δ АДЕ
РМ:ДЕ=АР:АД=3:5 ⇒ ДЕ=(5/3)РМ

Δ ВМС подобен Δ ВДС
СЕ:СМ=ДЕ:ВМ=((5/3)РМ):(ВР+РМ)=
=((5/3)РМ):((4/5)РМ+РМ)=25/27

Пусть МЕ=2х, тогда АМ=3х (АМ:МЕ=АР:РД)
СЕ=25х, СМ=27х и (СЕ:СМ=25:27)

СМ:МА=27:3=9:1

Вторая часть аналогично
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Метод интервалов.
Подмодульные выражения меняют знаки в точках
х=-3 и х=-1
Эти точки разбивают числовую прямую на 3 промежутка.
Раскрываем знаки модулей на каждом
1) (- бесконечность ;-3)
x+3 < 0 и 2x+2 < 0
|x+3|=-x-3
|2x+2|=-(2x+2)

2*(-x-3)-(-2x-2)=4
-2x-6+2x+2=4
-4=4 - неверно, уравнение не имеет решений на
(- бесконечность;-3)
2) [-3;-1)
x+3 больше или равно 0 и 2x+2 < 0
|x+3|=x+3
|2x+2|=-(2x+2)
2*(x+3)-(-2x-2)=4
2x+6+2x+2=4
4x=-4
x=-1
-1 ∉ [-3;-1)
х=-1 не является корнем уравнения в этом случае
3) [1;+ бесконечность )
x+3 > 0 и 2x+2 больше или равно 0
|x+3|=x+3
|2x+2|=2x+2
2*(x+3)-(2x+2)=4
2x+6-2x-2=4
4=4 - верно при любом х ∈ [1;+ бесконечность )

О т в е т. ) [1;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

ВЗЛЕТ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

х^4–5х^3+10х^2–10х+4=0

Корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена.
± 1; ± 2; ± 4

Проверяем х=1
1-5+10-10+4=0 - верно

Значит левая часть раскладывается на множители, один из которых (х-1)
Далее можно разделить
х^4–5х^3+10х^2–10х+4 на (х-1) '' углом''
В частном получится х^3-4х^2+6х-4

Если вы не умеете это делать, можно применять искусственные приемы.

Представляем
-5x^3=-x^3-4x^3
10x^2=4x^2+6x^2
и т.д
Например,
x^4-x^3-4x^3+4x^2+6x^2-6x-4x+4=0
Применяем способ группировки
x^3(x-1)-4x^2(x-1)+6x*(x-1)-4*(x-1)=0

Аналогично многочлен
х^3-4х^2+6х-4 имеет корень
х=2
2^3-4*2^2+6*2-4=0 - верно
8-16+12-4=0
0=0

x^3-2x^2-2x^2+4x+2x-4=0
x^2*(x-2)-2x*(x-2)+2*(x-2)=0
(х-2)*(х^2-2x+2)
Итак левая часть уравнения раскладывается на множители
(х-1)(х-2)(х^2-2x+2)=0

Уравнение х^2-2x+2=0 не имеет корней, так как
D < 0

О т в е т. 1 и 2

Ответ выбран лучшим

ВД:ДС=3:4 ⇒ BД=3х; ДС=4х

АМ:МС=2:5. ⇒ AM=2y; MC=5y

Проведем ДЕ || ВМ

По теореме Фалеса
CД:ДВ=СЕ:ЕM=4:3
CM=5y

Отрезок СМ разделен на (4+3)=7частей, значит
СЕ=(4/7)CM=(4/7)*5y=20y/7
ЕM=(3/7)CM=(3/7)*5y=15y/7

По теореме Фалеса

AK: КД=АМ:MЕ=2y:(15y/7)=14:15

Аналогично.

Проведем MF || AД

По теореме Фалеса
CF:FД=СM:MA=5:2
CД=4х

Отрезок СД разделен на (5+2)=7 частей, значит
СF=(5/7)CД=(5/7)*4х=20х/7
FД=(2/7)CД=(2/7)*4х=8х/7

По теореме Фалеса
BK:KM=ВД:ДF=3x:(8х/7)=21:8

Итак,
AK: КД=14:15 ⇒ [b]КД=15р[/b] и [b]АК=14р[/b]
BK:KM=21:8⇒ [b] ВК=21k [/b] и [b]KM=8k[/b]

S( Δ BKД)=(1/2)ВК*КД*sin ∠ ВКД
S( Δ АKМ)=(1/2)АК*КМ*sin∠ АКМ

Так как
[b]∠ ВКД=∠ АКМ,[/b] то

[m]\frac{S( Δ BKД)}{S( Δ АKМ)}=\frac{ВК\cdot КД}{АК\cdot КМ}=

=\frac{21k\cdot 15p}{14p\cdot 8k}=\frac{45}{16}[/m]

По условию
S( Δ BKД)=45
Значит
S( Δ АKМ)=16
О т в е т. 16
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если ∠ САД=30 градусов, то СД=6 см ( катет, лежащий против угла в 30 градусов)
По теореме Пифагора
АД=sqrt(12^2-6^2)=sqrt(108)=6sqrt(3)

Р=2*(АД+СД)=2*(6+6sqrt(3))=12*(1+sqrt(3))

Ответ выбран лучшим

(a^4*∛ a^4)=a^4*a^(4/3)=a^(4+(4/3))=a^(16/3)

(a^(16/3))^(1/6)=a^(16/18)=a^(8/9)

Ответ выбран лучшим

27=3*3*3
48=3*4*4
27 и 48 имеют общий делитель 3

3 группы.

Ответ выбран лучшим

(3/4)+(7/25)=
(приводим дроби к общему знаменатель 100=4*25,
для этого первую дробь умножаем на 25 и числитель и знаменатель, а вторую дробь на 4)
=(75/100)+(28/100)=(75+28)/100=103/100

Ответ выбран лучшим

sqrt(64)=8
(sqrt(6,4))^2=6,4

sqrt(64)+(sqrt(6,4))^2=8+6,4=14,4

Ответ выбран лучшим

x^2-5x+6=0
D=(-5)^2-4*6=25-24=1
x_(1)=(5-1)/2=2 или х_(2)=(5+1)/2=3
2 < 3
Меньший корень 2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

2800 руб составляют 100%
2520 руб составляют х%

х=2520*100/2800=90%

100%-90%=10%

О т в е т. На 10%

Ответ выбран лучшим

Вероятность найти приз в пакете равна 1/25.
Вероятность не найти приз равна 1-(1/25)=24/25

Ответ выбран лучшим

(2+c)^2–c(c–4) =
=4+4c+c^2-c^2+4c=
=4+8c

при c=–1/8
4+8c=4+8*(-1/8)=4-1=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

d=a_(n+1)-a_(n)=4

a_(6)=a_(1)+(6-1)d=-9+5*4=11
S_(6)=(a_(1)+a_(6))*6/2=(-9+11)*3=6

или просто найти еще пять членов прогрессии
a_(2)=a_(1)+4=-9+4=-5
a_(3)=a_(2)+4=-5+4=-1
a_(4)=a_(3)+4=-1+4=3
a_(5)=a_(4)+4=3+4=7
a_(6)=a_(5)+4=7+4=11

S_(6)=a_(1)+a_(2)+a_(3)+a_(4) +a_(5)+a_(6)=
=-9+(-5)+(-1)+3+7+11=-15+21=6

О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х-2 ≠ 0 ⇒ х ≠ 2

Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

х*(х-2)=6х-15
х^2-2x-6x+15=0
x^2-8x+15=0
D=(-8)^2-4*15=4
x1=(8-2)/2=3 или x2=(8+2)/2=5
Оба корня принадлежат ОДЗ
Бо`льший из корней 5
О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

Из формулы
cos^2a+sin^2a=1

cosа=±sqrt(1-sin^2а)

Так как а ∈ [3Pi/2; 2Pi] ( четвертая четверть), косинус в четвертой четверти имеет знак +

cosа= sqrt(1-(2sqrt(2)/3)^2)= sqrt(1-(8/9))= sqrt(1/9)= 1/3

3*сosa=3*(1/3)=1

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

Пусть ∠ AOB=x; ∠ AOC=3x; ∠ BOC=y
По условию
х+3х+у=360 градусов ⇒ 4х = 360 градусов - у⇒
х=90 градусов -(у/4)

Так как по условию
x < y < 3x, то

90 градусов - (y/4) < y < 270 градусов - (3y/4)

Cистема

{90 градусов - (y/4) < y ⇒ 5y/4 > 90 градусов ⇒ y > 72 градусов
{y < 270 градусов - (3y/4) ⇒ 7у/4 < 270 градусов ⇒ у < 154 целых 2/7 градусов

72 градусов < y < 154 целых 2/7 градусов

y= 73; 74; 75; ...; 154

Из них кратны четырем:
76; 80; 84; 88; ... ; 144; 148; 152.

b_(1)=76
b_(n)=152

b_(n)=b_(1)+4*(n-1)
152=76+4*(n-1)
n-1=76:4
n=20

О т в е т. 20

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каждая из семи стран подписала договоры ровно с тремя другими странами, значит была поставлена
7*3=21 подпись
и каждая из трех стран подписала договор с семью странами, значит была поставлена
3*7=21 подпись
Всего было поставлено
21+21=42 подписи

Каждый договор имеет две подписи.
Значит подписей в два раза больше, чем договоров.
42:2=21 договор
О т в е т. 21 договор

Ответ выбран лучшим

В таблице 5 строк и 6 столбцов.

Возможное количество пар в строке 5 ( см. рис. 1)
Возможное количество пар в 5-ти строках 5*5=25
Возможное количество пар в столбце 4 ( см. рис. 2)
Возможное количество пар в 6-ти столбцах 6*4=24

Возможное количество пар в таблице
25+24=49

Оно состоит из пар с соседними клетками разных цветов ( их по условию 26); пар с соседними клетками черного цвета ( их 6) и пар с соседними клетками белого цвета ( их х)

26+6+х=32+х

32+х=49

х=49-32

О т в е т. 17

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проведем высоты BK и СM.
BK=CM=h

S( Δ ABD)=(1/2)AD*h
S( Δ ACD)=(1/2)AD*h

S( Δ ABD)=S( Δ ACD)

Так как

S(Δ ABD)=S(Δ ABО)+S(Δ AОD) ⇒ S(Δ ABО)=S(Δ ABD)-S(Δ AОD)

S( Δ ACD)=S( Δ СОD)+S( Δ AОD) ⇒ S(Δ CОD)=S(Δ ACD)-S(Δ AОD)

Правые части равны, значит равны и левые.

S( Δ AOB)=S( Δ COD)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проведем высоту BE, ∠ BEC=90 градусов, ВС- диаметр,
∠ BEC опирается на диаметр ВС.
Значит точка Е - точка пересечения полуокружности с диаметром ВС и стороны АС.

Достроим полуокружность до окружности и продолжим высоту AD до пересечения с окружностью,
получим точку F.

По условию AD=9, MD=6
Значит АМ=AD-MD= 9 - 6 = 3

MD = DF = 6
AF = AD+DF= 9+6=15

По свойству секущих
AM*AF=AE*AC

AM*AF=3*15

Значит и AE*AC=45

Δ AНЕ и Δ ADC подобны как прямоугольные треугольники, имеющие общий острый угол ∠ DAC.

Из подобия

AH:AC=AE:AD ⇒ AH = AE* AC/AD= 45/9 = 5

О т в е т. АН=5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть в кофейне х пирожных.
Тогда Боря может выбрать любое из х пирожных ( х способов выбора) и Оля может может выбрать любое из х пирожных ( х способов выбора)

Вместе они могут выбрать по одному пирожному
х*х способами.

Уравнение
х^2=9
x=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Находим производную данной функции по формуле производная показательной функции и по правилу производной сложной функции:

(a^(f(x))`=a^(f(x) * (ln a) * f`(x)

y`=(2^(x^2-6x+6))=2^(x^2-6x+6)*(ln2)*(x^2-6x+6)`=
=2^(x^2-6x+6)*ln2*(2x-6)

y`=0

так как ln2 > 0 и 2^(x^2-6x+6) > 0 при любом х,то
2x-6=0
x=3

__-__ (3) __+____

При переходе через точку х=3 производная меняет знак с - на + , значит х=3 - точка минимума.

y(наименьшее)=у(3)=2^(3^2-6*3+6)=2^(-3)=1/8

О т в е т. (1/8)=0,125
О т в е т

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k ( касательной)

Если прямые у=k_(1)x+b_(1) и у=k_(2)x+b_(2) параллельны, то k_(1)=k_(2)

У прямой у=-4х - 11
k=-4

значит k ( касательной)=-4

Находим
f`(x)=3x^2+14x+7

f`(x_(o))=3x^2_(o)+14x_(o)+7

3x^2_(o)+14x_(o)+7 = - 4

3x^2_(o)+14x_(o)+11 = 0

D=14^2-4*3*11=196-132=64=8^2

x_(o)=(-14-8)/6=-11/3 или х_(o)=(-14+8)/6= - 1

x_(o)=-11/3

при этом ордината прямой y=4x-11

y_(o)_(прямой)=-4*(-11/3)-11=11/3

ордината кривой y=x^3+7x^2+7x-6

y_(o)_(кривой)=(-11/3)^3+7*(-11/3)^2+7*(-11/3)-6=455/27

Точка с абсциссой (-11/3) не является точкой касания

х_(o)= - 1

ордината прямой y=4x-11

y_(o)_(прямой)=-4*(-1)-11=-7

ордината кривой y=x^3+7x^2+7x-6

y_(o)_(кривой)=(-1)^3+7*(-1)^2+7*(-1)-6=-7

О т в е т. -1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x-1 > 0 ⇒ x > 1/2
{x-1 > 0 и х-1 ≠ 1 ⇒ x > 1 и х ≠ 2
{ log_(3)(2x-1) ≠ 0 ⇒ 2x-1≠ 1 ⇒ x≠ 1
{log_(3)(x-1) ≠ 0 ⇒ x-1≠ 1 ⇒ x≠ 2
{log_(x-1)9 ≠ 0 ⇒ x≠ 2

ОДЗ: х ∈ (1;2)U(2;+ бесконечность)

Так как по формуле перехода к другому основанию:
log_(x-1)9=log_(3)9/log_(3)(x-1)=2/log_(3)(x-1)
и по формуле логарифма степени:
log_(3)sqrt(2x-1)=log_(3) (2x-1)^(1/2)=(1/2)log_(3)(2x-1)

Неравенство принимает вид:

(log_(3)(x-1))/(log_(3)(2x-1) - (log_(3)(2x-1))/(log_(3)(x-1)) < 0

или

(log^2_(3)(x-1)-log^2_(3)(2x-1))/ (log_(3)(2x-1)*log_(3)(x-1)) < 0

или

(log_(3)(x-1)-log_(3)(2x-1))(log_(3)(x-1)+log_(3)(2x-1))/ (log_(3)(2x-1)*log_(3)(x-1)) < 0

(log_(3)((x-1)/(2x-1))*log_(3)(x-1)(2x-1)/ (log_(3)(2x-1)*log_(3)(x-1)) < 0

Применяем обобщенный метод интервалов:
находим нули числителя.
log_(3)((x-1)/(2x-1))=0 или log_(3)(x-1)(2x-1)=0

(x-1)/(2x-1)=1 или (х-1)(2х-1)=1

х-1=2х-1 или 2x^2-2x-х+1=1

x=0 или х*(2х - 3) =0 ⇒ х=0 или х=1,5

Нули знаменателя:
log_(3)(2x-1)=0 или log_(3)(x-1) = 0
х=1 или х=2

Отмечаем эти точки на ОДЗ
и расставляем знаки

(1) _-_(1,5) _+_ (2) ____-____

Выбираем точку например х=10 и находим знак каждого множителя и в числителе и в знаменателе.
Получаем знак -

О т в е т. (1; 1,5)U (2;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

27 выпускников составляют 30%
х выпускников составляют 100%

х=27*100:30=90

О т в е т. 90 выпускников

Ответ выбран лучшим

sin^2x=(1-cos2x)/2

(1-cos2x)*sin2x=sqrt(3)(1-cosx2x)/2

(1-cos2x)*sin2x-sqrt(3)(1-cosx2x)/2=0

(1-cos2x)*(sin2x-sqrt(3)/2)=0

1-cos2x=0 или sin2x - sqrt(3)/2=0

cos2x=1 или sin2x=sqrt(3)/2

2x=2πk, k∈Z или 2х= (π/3)+2πm, m∈Z или 2х= (2π/3)+2πn, n∈Z

x=πk, k∈Z или х= (π/6)+πm, m∈Z или х= (π/3)+πn, n∈Z

а) о т в е т. πk; (π/6)+πm; (π/3)+πn, k, m, n∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
при k=-1
x1=-Pi
при k=0
x4=0

при m=0
x5=Pi/6
при m=-1
x2=(Pi/6)-Pi=-5Pi/6

при n=0
x6=Pi/3
при n=-1
x3=(Pi/3)-Pi=-2Pi/3

б) о т в е т.
-Pi ; -5Pi/6; -2Pi/3; 0; Pi/6; Pi/3. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 6- x больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 6

Упрощаем уравнение
x^2–3x+√(6–x) - √(6–x)-28=0
x^2-3x-28=0
D=(-3)^2-4*(-28)=9+112=121
x1=(3-11)/2=-4 или х2=(3+11)/2=7
x2 ∉ ОДЗ
О т в е т . -4

Ответ выбран лучшим

1) p=0,8*0,7=0,56
2) 3*3*2*1=18 чисел
На первом месте не может быть цифры 0, число не будет четырехзначным.
На первое место можно поставить любую из трех цифр (1;2;3) три способа.

На второе место любую из двух оставшихся и 0, получается три способа

На третье место любую из двух оставшихся.

3) n=6*6=36 исходов испытания.
а) 7 очков получим в следующих случаях
(1;6) (2;5) (3;4) (4;3) (5;2) (6;1)
6 случаев
m=6
Применяем формулу классической вероятности
р=m/n=6/36=1/6

б)
Произведение очков равно 15 в двух случаях
(3;5) и (5;3)
р=2/36=1/18

Ответ выбран лучшим

Так как в условии ничего не сказано сколько деталей у Тимура, то можем считать, что и красных и синих больше пяти.

Тимур мог взять:
две синих детали или две красных детали или красную и синюю.
Второй раз Тимур мог взять три синих; три красных; две синих и одну красную; одну синюю и две красных.

Ответ выбран лучшим

сos ∠ C=(a^2+b^2-c^2)/2ab=(5^2+6^2-(sqrt(31))^2)/(2*5*6)=
=30/60=1/2

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 240:100*20=48 страниц составляют 20% от 240
48 страниц напечатала в первый день
2) 240 - 48 =192 страницы осталось напечатать
3) 192:100*25=48 страниц напечатала машинистка во второй день
4) 192-48=144 страницы осталось напечатать после двух дней
5) 144:48=3 дня
Еще три дня машинистка будет печатать рукопись.
1+1+3= 5 дней
О т в е т. за 5 дней напечатает всю рукопись

Ответ выбран лучшим

Так как функция тангенс - нечетная, то
tg(-60 градусов)= - tg 60 градусов= - sqrt(3)

-29*sqrt(3) * (-sqrt(3))=-29*(-3)=87

Ответ выбран лучшим

1) 12*8=96 деталей изготовил токарь
2) 144-96=48 деталей изготовил ученик
3)48:6=8 деталей в час изготовлял ученик

Ответ выбран лучшим

(0,04)–1,5–(√25)0–(–1,5)+(2,3)–4(3,2)–3 =
=0,04-1,5-5*0+1,5+2,3-4*3,2-3=
=2,34-15,8=-13,46

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a/sin альфа =b/sin бета ⇒ a/(1/8)=16/(1/9)
a*(1/9)=16*(1/8)
(1/9)a=2
a=2:(1/9)
a=2*9
a=18

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 20 способов.

Если бы все предметы были различны, т.е их было бы всего 5, то расставить их можно 5! = 5*4*3*2*1=120 способов.

Три одинаковых фигуры ( в вашем случае треугольники), если их менять местами между собой, повторяют вариант,

3!=6 способов перестановки треугольников
Поэтому количество способов будет в 6 раз меньше.

Ответ выбран лучшим

1-(1/3)= 2/3 осталось
(1/2)*(2/3)=1/3 взяли во второй раз
(2/3)-(1/3)=1/3 осталось после этого
(1/3) это 9 тарелок,
значит третья часть 9 тарелок , а всего на полке в три раза больше, т.е 27
О т в е т. 27

Ответ выбран лучшим

третье звено на 20% меньше второго звена, значит составляет 80% от b
b:100*80=0,8b
четвертое звено составляет 2/3 первого звена, значит
(2/3)а

L ( длина ломаной)= a + b + 0,8b + (2/3)a=(5/3)a+1,8b

При а=60см, b=20см
L=(5/3)*60+1,8*20=100+36=136
О т в е т. 136 см

Ответ выбран лучшим

(x–1)^2/8 + 8/(x–1)^2 = 7((x–1)/4 – 2/(x–1)) – 1
ОДЗ: х ≠ 1

Замена переменной

((х-1)/4) -(2/(х-1))=z

Возведем в квадрат

((x–1)^2/16) -1+ (4/(x–1)^2) =z^2

((x–1)^2/16) +( 4/(x–1)^2)=z^2+1

Умножим на 2

(x–1)^2/8 + 8/(x–1)^2 =2z^2+2

Уравнение принимает вид
2z^2+2=7z-1
2z^2-7z+3=0
D=49-24=25
z1=1/2 или z2=3

Обратная замена
1) ((x–1)/4) – (2/(x–1)) =1/2
(x–1)/4=(х+3)/(2*(х-1))
Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
2(x-1)^2=4*(x+3)
2x^2-8x-10=0
D=64+80=144
x1=5 или х2=-1

2) ((x–1)/4) – (2/(x–1)) =3
(x–1)/4=(3х-1)/(х-1)
Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
(x-1)^2=4*(3x-1)
x^2-14x+5=0
D=196-20=176
x3=7-2sqrt(11) или х4=7+2sqrt(11)

а) О т в е т. 5;-1; 7-2sqrt(11); 7+2sqrt(11)

б) Указанному отрезку принадлежат корни
-1 и 7-2sqrt(11)

Ответ выбран лучшим

vector{a}+vector{2b}={-2+2*1;1+2*(-3);-1+2*2}={0;-5;3}
|vector{a}+2vector{b}|=sqrt(0^2+(-5)^2+3^2)=sqrt(34)

|vector{a}|=sqrt((-2)^2+1^2+(-1)^2)=sqrt(6)
|vector{b}|=sqrt(1^2+(-3)^2+2^2)=sqrt(14)
|vector{a}|+|vector{b}|=sqrt(6)+sqrt(14)

Ответ выбран лучшим

в 1 см на карте 5,5 км
в 2 см 2*5,5=11 км

О т в е т. 11 км

Ответ выбран лучшим

Подходит гостиница Турист с рейтингом 8,7, Южная с рейтингом 7,5 и Уют - плюс с рейтингом 8,6
Наибольший рейтинг у гостиницы Турист.
3200 * 3= 9600 рублей
О т в е т. Турист, 9600 рублей

Ответ выбран лучшим

Каждый из десяти столбов связан с 8-ю другими, всего 10⋅8=80 соединений.

Два столба связаны друг с другом одним проводом, значит, проводов будет протянуто в два раза меньше, чем соединений.

80:2=40.

Ответ: 40.

Ответ выбран лучшим

О т в е т. В) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость Маши х, Медведя 3х.
За время t Маша съела xt варенья
А Медведь такую же половинку банки xt ел со скоростью 3х и значит затратил времени в три раза меньше
xt/3x=t/3

2 часть

Медведь за время t, со скростью 3х съел 3хt печений,
а Маша за время (t/3) cо скоростью х съела xt/3 печений.
Вместе они съели 160 печений
3xt+(xt/3)=160
10xt/3=160
xt=48

3xt=144 печенья съел Медведь
xt/3=16 печений съела Маша

О т в е т. 144 печенья съел Медведь

Ответ выбран лучшим

17/15 км в минуту

18*(17/15)=20,4 км

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Детей - одна часть, женщин две такие части, мужчин 4 такие части.
Всего 7 частей
672:7=96 человек в одной части
96 детей
96*2=192 женщин
96*4=384 мужчин

Ответ выбран лучшим

Вазы не стоят в том порядке как написано.
Просто перечислены цвета ваз.
НО!
По условию:
Слева от красной расположены синяя и белая вазы и в них 15 роз.

Справа от синей расположены белая и красная вазы и в них 12 роз.

Значит синяя левее всех, красная правее.
Синяя Белая Красная

в синей + в белой = 15 роз
в белой + в красной = 12 роз

Складываем
в синей + в белой + в белой +в красной = 27 роз.
Известно,что
в синей + в белой + в красной = 22 розы
Значит,
22 розы +в белой = 27 роз
В белой вазе 5 роз
в синей вазе 10 роз
В красной вазе 7 роз

О т в е т. В синей 10 роз; за ней стоит белая ваза, в ней 5 роз; крайняя справа красная - в ней 7 роз.

Слева от красной расположены синяя и белая вазы и в них 15 роз. Все верно
Справа от синей расположены белая и красная вазы и в них 12 роз. Тоже верно

Ответ выбран лучшим

Для каждого задания нужно подбирать разные границы для m и n.

А) Из рисунка
-1,3 < m < -1
2 < n < 2,5
1/2,5 < (1/n) < 1/2 ⇒

2/5 < (1/n) < 0,5
-1,3 < m < -1

Почленно складываем

(2/5)-1,3 < (1/n) + m < -0,5
-0,9 < (1/n) + m < -0,5
(-0,9; -0,5) входит в отрезок [-1;0]

Значит А - 2

Б) Из рисунка:
-2 < m < -1
2 < n < 3
перемножаем
-4 < mn < -3
Значит, Б - 1

В) n ≈2,4
m ≈-1,2
n^2-m^2≈5,76-1,44=4,32∈ [4;5]

Значит, В-4

Г) остается вариант 3

A Б В Г
2 1 4 3

Ответ выбран лучшим

7632

Число должно начинаться с 7, вторая цифра 6
Из чисел близких к 7600, делящихся на 18 более всего подходит 7632

Ответ выбран лучшим

Пусть одна рубашка стоит х, куртка у.

у составляет 100%
8х составляют 98%

98у=800х ⇒ у=800x/98

у составляет 100%
12х составляют ? %

?=12х*100/y=1200x/(800x/98)=147%

147%-100% = 47%

О т в е т. на 47% дороже.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
BC=AD=3 cм

Р( Δ AOD)=AO+OD+AD= (1/2) АС+(1/2)BD+AD=
=(1/2)(AC+BD)+AD=(1/2)(8+5)+3=6,5+3=9,5 cм

Ответ выбран лучшим

У Матроскина скорость х м/ мин.
у Шарика 3х м/мин.
За 5 минут Матроскин прошел 5х м
Шарик догонит Матроскина потому, что у него скорость больше.
Ему надо наверстать эти 5х м.
Если бы у них скорость была одинаковая, то Шарик никогда бы не догнал Матроскина, так между ними и было бы 5х метров.

3х-х=2х м/мин - разность скоростей ( за счет нее и будет проходить процесс сокращения расстояния)

5Х:2х=2,5 мин

О т в е т. Через 2,5 минуты Шарик догонит Матроскина

Ответ выбран лучшим

6 кг 320 г
18 кг 004 г

Ответ выбран лучшим

Пусть х подъездов, у квартир на этаже, z этажей.

1 < x < y < z

x*y*z=60
60=2*2*3*5

Возможны варианты:

х=2 у=5 z=6
x=2 y=3 x=10

x=3 y=4 z=5

О т в е т. 5 или 6 или 10.

Ответ выбран лучшим

=6* ∫ (2x+3)^(-3)dx=6* ∫ (2x+3)^(-3) d(2x+3)/2=
=(6/2)*(2x+3)^(-3+1)/(-3+1) + C=
=-3/(2(2x+3)^2)+C

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

х-3х больше или равно 3
-2х больше или равно 3
х меньше или равно -3/2

Ответ выбран лучшим

∫^4_(0)(-t^2+2t+4)dt=
=((-t^3/3)+t^2+4t))|^4_(0)=-64/3+16+16=32/3

По определению площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=f(x); f(x) больше или равно 0; снизу отрезком [a;b] оси ох ; с боков прямыми х=a и x = b вычисляется по формуле:

S= ∫^(b)_(a)f(x)dx

Для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница
∫^(b)_(a)f(x)dx=F(b)-F(a)

Но в данном случае y=f(t) не является положительной на отрезке [0;3]

В этом случае применяется правило.
Часть фигуры, расположенную ниже оси Ох, отражают симметрично оси Ох.

Тогда
S( фигуры на рис.2)= ∫^(с) _(0) f(t)dt + ∫ ^(4)_(c)(-f(t))dt=

= ∫^(с) _(0) (-t^2+2t+4)dt + ∫ ^(4)_(c)(t^2-2t-4)dt=

=((-t^3/3)+t^2+4t)|^(c)_(0) +((t^3/3)-t^2-4t)|^(4)_(c)=

=(-c^3/3)+c^2+4c-0+(4^3/3)-4^2-4*4-c^3/3+c^2+4c=
=2c^2+8c-2*(c^3/3)+(64/3)-32

(ответ зависит от значения точки с)
с- это точка пересечения графика f(t) c осью Ох.

-t^2+2t+4=0
или
t^2-2t-4=0
D=(-2)^2-4*(-4)=4+16=20
t1=(2-2sqrt(5))/2=1-sqrt(5) или t2=1+sqrt(5)

c=1+sqrt(5)
S=2*(1+sqrt(5))^2+8*(1+sqrt(5))-2*(1+sqrt(5))^3/3+(64/3)-32
- это площадь

32/3=10 целых 2/3

А по клеточкам площадь если сосчитать, то намного больше 10-ти получится. Считаем целые клетки, потом половинки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из формулы
cos^2x+sin^2x=1

sinx=±sqrt(1-cos^2x)

Так как х ∈ [3Pi/2; 2Pi] ( четвертая четверть), синус в четвертой четверти имеет знак минус

sinx= - sqrt(1-(sqrt(3)/2)^2)= - sqrt(1-(3/4))= - sqrt(1/4)= -1/2

tgx= sinx/cosx=-1/sqrt(3)
ctgx= cosx/sinx= - sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

1+tg^2 ∠ A=1/(cos^2 ∠ A)

cos^2 ∠ A=1/(1+tg^2 ∠A)=1/(1+(15/8)^2)=1/(289/64)=64/289

cos ∠ A=8/17 ( угол А - острый)

cos ∠ A=AC/AB

AC=AB*cos ∠ A=8,5 * (8/17)=4

О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

Всего 4*4*4=64 кубика.
Значит сторона кубика равна 4 см.
Кубиков, у которых три окрашенных грани -8 ( см. рисунок, это кубики в углах они белого цвета)
А) р=8/64
В) кубиков у которых одна окрашенная грань - 24 ( это кубики с черными точками посередине)
р=24/64
Б) кубиков, у которых две окрашенные грани - 24 ( окрашены в синий цвет)
р=24/64
И еще остались 8 кубиков не окрашенных вообще, они внутри. Это кубик 2*2*2=8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+7 > 0
{5-x > 0
{3-x > 0
x ∈ (-7;3)

log_(1/3) (3-x)=log_(3)(3-x)/log_(3)(1/3)=-log_(3)(3-x)

Перепишем неравенство в виде

log_(3)(x+7)+log_(3)(3-x) < log_(3)(5-x)
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения
log_(3)(x+7)*(3-x) < log_(3)(5-x)
Применяем свойство монотонности логарифмической функции ( с основанием 3, функция возрастает, значит знак неравенства сохраняется)
(x+7)*(3-x) < (5-x)
x^2+3x-16 > 0
D=9-4*(-16)=73
x1=(-3-sqrt(73))/2 ; x2=(-3+sqrt(73))/2
Отмечаем найденные корни на области определения и расставляем знаки
(-7) __+__ (x1) ____ (x2) _ +__(3)

О т в е т. (-7; (-3-sqrt(73))/2)U((-3+sqrt(73));3)

Ответ выбран лучшим

BD=2R=90sqrt(2)

Из прямоугольного равнобедренного треугольника
ВАD
BA=AD=90sqrt(2)*(sqrt(2))/2=90
О т в е т. 90 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим производную
y`=(4-5x)`*cosx+(4-5x)*(cosx)`+5*(sinx)`+(17)`;
y`=-5cosx+(4-5x)(-sinx)+5*(cosx)+0
y`=-(4-5x)sinx

y`=0
4-5x=0 или sinx=0
x=0,8 или x=Pik, k ∈ Z

Указанному интервалу принадлежит точка х=0,8

Исследуем знак производной при переходе через эту точку

при х=Pi/6
( Pi/6 < 0,8)
y`=-(4-5*(Pi/6))sin(π/6) < 0
при х=Pi/3
(Pi/3 > 1 > 0,8)
y`=-(4-5*(Pi/3))sin(π/3) > 0

0,8 - точка минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(π/2–x)=сosx

cos2x=2cos^2x-1

Уравнение примет вид:
3*(2cos^2x-1)+1=cosx
или
6cos^2x-cosx-2=0
D=1-4*6*(-2)=49
cosx=2/3 или сosx=-1/2
x=± arccos(2/3)+2πk, k∈Z или х=± (2π/3)+2πn, n∈Z

a) о т в е т. ± arccos(2/3)+2πk ;± (2π/3)+2πn, k, n ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
( см. рисунок)
х=-arccos(2/3)-4π
х=(-2π/3)-4π=-14π/3
х=(2π/3)-6π=-16π/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ AOC=x
∠ AOB=3x
∠ AOB+ ∠ AOC= ∠BOC
x+3x=80 градусов
4х=80 градусов
х=20 градусов
О т в е т. ∠ AOC=20 градусов; ∠ AOB=3*20 градусов=60 градусов.

Ответ выбран лучшим

1) в точке (0;0)
2) -4=а*2^2 ⇒ a=-1
3) на интервале (0;+ бесконечность )
4) пересекаются в двух точках
Приравниваем правые части
x^2=4
x=-2 или х=2
(-2:4) и (-2;4)
5) функция возрастает на (- бесконечность ;+ бесконечность)
6) Решаем неравенство

x^3 > 8
x^3 > 2^3
x > 2

о т в е т. при х > 2
8) В первой и во второй четверти
9) Подставляем координаты точки А
2=-2*1 - неверно
Подставляем координаты точки В
16=-2*(-2):3
16=16 - верно
о т в е т. точка В.
10) -2x^3 < 0
при всех х > 0.

Ответ выбран лучшим

Обозначим высоты АК и СM
По формуле
S( Δ)=a*h/2

S( Δ ABC) = AK*BC/2 и S( Δ ABC) = СМ*АВ/2

Приравниваем правые части:
AK*BC/2 = СМ*АВ/2
или
AK*BC = СМ*АВ

АВ=10; ВС=2
СМ=3
АК=3*10/2=15
О т в е т. 15

Ответ выбран лучшим

81=9^2
(81^(sinx))^(cosx)=9^(sqrt(2)*cosx)
9^(2*sinx*cosx)=9^(sqrt(2)*cosx)
2*sinx*cosx=sqrt(2)*cosx;
или
2*sinx*cosx-sqrt(2)*cosx=0
cosx(2sinx - sqrt(2))=0
cosx=0 или 2sinx-sqrt(2)=0 ⇒ sinx=(sqrt(2))/2
x=(π/2)+πk, k∈Z или х= (π/4)+2πn, n ∈Z или х= (3π/4)+2πm, m ∈Z
a) о т в е т.
(π/2)+πk ; (π/4)+2πn; (3π/4)+2πm, k, n, m ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
при k=0
х_(1)=π/2
при k=1
x_(2)=(π/2)+π=(3π/2)
при m=0
x_(3)=(3π/4)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ состоит из системы четырех неравенств
{x-1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1;
{x+12 > 0 ⇒ x > -12 ;
{3-x > 0 ⇒ x < 3
{x+7 > 0 ⇒ x > - 7

ОДЗ: х ∈ (-7;1) U (1;3)

Приведем каждый логарифм основанию 2 и применим формулу
log_(a^k)b=1/k log_(a)b при a > 0; a ≠ 1; b > 0

log_(4)(x-1)^2=log_(2^2)(x-1)^2=(1/2)log_(2)(x-1)^2;
log√2(x+12)=log_(2^(1/2))(x+12)=2log_(2)(x+12)
log1/2(x+7) =log_(2^(-1))(x+7)=-log_(2)(x+7)

Неравенство принимает вид:
log_(2)(x-1)^2 +log_(2)(x+12) меньше или равно log_(2)(3-x)^2+log_(2) (x+7)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log_(2) ((x-1)^2*(x+12)) меньше или равно log_(2) ((3-x)^2*(x+7)).
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
(х-1)^2*(x+12) меньше или равно (3-x)^2*(x+7)
Упрощаем
x^3-2x^2+x+12x^2-24x+12 меньше или равно 9x-6x^2+x^3+63-42x+7x^2;
9x^2+10x-51 меньше или равно 0

D=100-4*9*(-51)=100+1836=1936=44^2
x_(1)=(-10-44)/18=-3 или x_(2)=(-10+44)/18=34/18=17/9

x ∈ [-3; 17/9]

С учетом ОДЗ получаем
о т в е т
[-3;1)U(1;17/9]

Ответ выбран лучшим

Если нужно найти минимальное количество лет, на которые нужно взять кредит, то выплаты должны быть максимальными, т.е. в условиях нашей задачи составлять
760 000 рублей в год.
1 год:
В январе долг станет равным 2 500 000* 1,2 = 3 000 000 рублей.
После 1 платежа в июле сумма долга составит 3 000 000 - 760 000 = 2 240 000 рублей.
2 год:
В январе долг станет равным 2 240 000*1,2 = 2 688 000 рублей.
После 2 платежа в июле сумма долга составит 2 688 000 - 760 000 = 1 928 000 рублей.
3 год:
Январь: 1 928 000*1,2 = 2 313 600 руб .
После 3 платежа в июле: 2 313 600 - 760 000 = 1 533 600 руб.
4 год:
Январь: 1 533 600*1,2 = 1 864 320 руб.
После 4 платежа: 1 864 320 -760 000 = 1 104 320 руб.
5 год:
Январь: 1 104 320*1,2 = 1 325 184 руб.
После 5 платежа: 1 325 184 – 760 000 = 565 184 руб.
6 год
Январь:
565 184*1,2=678 220 руб 80 копеек
6-й платеж будет последним
Получили, что кредит можно взять минимум на 6 лет.

О т в е т. 6 лет.

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^x=t;
t > 0
9^(x+1)=9^(x)*9=9*(3^2)^x=9*3^(2x)=9*(3^x)^2=9t^2

9t^2-64t+7=0
D=(-64)^2-4*9*7=4096-252=3844=62^2
t_(1)=(64-62)/18=1/9 ; t_(2)=(64+62)/18=7

3^x=(1/9) или 3^x=7

3^x=3^(-2) ⇒ x=-2
3^x=7 ⇒ x=log_(3)7

а) о т в е т. -2; log_(3)7

б) -2 ∈ [–2,5; 1,5] , так как -2,5 < -2 < 1,5

log_(3)7 ∉ [–2,5; 1,5] , так как
1,5=log_(3)3^(1,5)=log_(3)sqrt(3^3) < log_(3)sqrt(49)=log_(3)7

б) о т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

n(AUB)=8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{a,b,c}U{b,c,d}={a,b,c,d}

Ответ выбран лучшим

240+180+210=630 км прошел теплоход за три дня
630:21=30 км в час - скорость теплохода
240:30=8 часов был в пути в первый день
180:30=6 часов был в пути во второй день
210:30=7 часов был в пути в третий день

Ответ выбран лучшим

12x^2+21x=2016y+2017

3x*(4x+7)=2016у+2017

Выражение слева кратно 3, значит и выражение справа должно быть кратно 3
2016 кратно трем, а 2017 - простое число.
Нет такого у чтобы равенство было верным.
(Уточните условие)

Ответ выбран лучшим

y`=-x+7
k(кас.)= -3+7=4
k(нормали)=-1/4

у(3)=9

у-9=4*(х-3) ⇒ у=4х -3 - уравнение касательной

у-9=(-1/4)*(х-3) ⇒ у=(-1/4)х+9целых(3/4) - уравнение нормали

Ответ выбран лучшим

y`=((x-1)`*(x+1)-(x+1)`*(x-1))/(x-1)^2=2/(x+1)^2

y``=-2*2*(x+1)^(-3)=-4/(x+1)^3

y```=-4*(-3)*(x+1)^(-4)=12/(x+1)^4

Ответ выбран лучшим

Cкидка на вторую футболку
400:100*40=160 руб.
400-160 руб=240 руб. стоимость второй

400+240=640 руб придется заплатить за покупку двух футболок.

Ответ выбран лучшим

-5; 2; 9; ...

d=a_(2)-a_(1)=2-(-5)=7
d=a_(3)-a_(2)=9-2=7

a_(6)=a_(1)+(6-1)*d=-5+5*7=30
S_(6)=(a_(1)+a_(6))*6/2=(-5+30)*3=75

Ответ выбран лучшим

(-1)^3=-1
Значит
х-7=-1
х=6
О т в е т. х=6

Ответ выбран лучшим

1)
Замена переменной
5^x=t
5^(x-1)=5^(x)*5^(-1)=t*(1/5)=t/5

(t-4)/5=(3-(t/5))/2t
Пропорция.
Перемножаем крайние и средние члены пропорции
2t*(t-4)=5*(3-(t/5))
2t^2-8t=15-t
2t^2-7t-15=0
D=49+120=169
t=5 или t=-3/2
5^x=5
x=1

2) (2*3)^(x^2+2x)=(6^3)^(x+2)
6^(x^2+2x)=6^(3x+6)
x^2+2x=3x+6
x^2-x-6=0
D=1+24=25
x1=-2 или х2=3
О т в е т. -2; 3

Ответ выбран лучшим

3^(x+2)=3^x*3^2
3^(x+2)*4^x=9*(12)^x
так как
3^x*4^x=(12)^x

Первое уравнение системы:
(12)^x=108:9
(12)^x=12
x=1

Подставляем х=1 во второе
18*1=(3^y*3^2)/4^y
2=(3/4)^y
y=log(3/4)2
О т в е т. (1; log_(3/4)2)

|____24____|___24____|
|_________48 ________|

Через 48 часов
Первый сделает 2 рейса, второй один

Ответ выбран лучшим

В равнобедренной трапеции углы при основании равны
∠ А= ∠ D

В треугольнике сумма углов равна 180 градусов.
В треугольнике ACD:
∠ СAD+ ∠ ACD+ ∠D=180 градусов
20 градусов + 100 градусов + ∠ D=180 градусов
∠ D=60 градусов.
∠ А=∠ D=60 градусов.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусов.
∠ АВС= ∠ ВСD=120 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Р=13+14+15=42
р=P/2=21
S=sqrt(p*(p-a)(p-b)*(p-c))=sqrt(21*8*7*6)=84
r=S/p=84/21=4
R=abc/4S=(13*14*15)/(4*84)=65/8=8,125
a/sin альфа =2R ⇒ sin альфа =a/2R=14/16,25
b/sin бета =2R ⇒ sin бета =15/16,25
c/sin гамма =2R ⇒ sin гамма =c/2R=13/16,25

Ответ выбран лучшим

Пусть было х детей, 2х женщин и 4х мужчин.
Всего 672.
Уравнение
х+2х+4х=672
7х=672
х=96
2х=192
4х=384

Ответ выбран лучшим

Для любого ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для любого х, удовлетворяющего неравенству
a- δ < x < a
выполняется неравенство
b-ε < f(x) < b+ε

Ответ выбран лучшим

Проводим перпендикуляр m к прямой k c помощью прямоугольного треугольника.
Или с помощью циркуля и линейки.
Для этого на прямой k выбираем две точки M и N.
Проводим две окружности одинакового радиуса ( больше половины длины отрезка MN ) из точки M и из точки N.

При пересечении двух прямых образуется четыре прямых угла.
Делим угол пополам.
Откладываем два одинаковых отрезка АВ и ВС
Делим угол АВС пополам.
Из точки А радиусом большем половины АВ проводим окружность и из точки С.
Пересечение окружностей соединяем с точкой В (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-3Pi/4 и -Pi/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть длина х, ширина у (x > 0; y > 0)
Площадь ху.
По условию
ху=144, значит у=144/х

Забор=периметр
Р=2х+2у=2*(х+у)=2*(х+(144/х))
Задача сводится к исследованию функции
P(x)=2*(x+(144/x)) на экстремум.
Обозначим
f(x)=x+(144/x)
Находим производную
f`(x)=1-(144/x^2)
Решаем уравнение
f`(x)=0
1-(144/x^2)=0
x^2=144
x=12 ( второй корень отрицательный и не удовл усл.)
Исследуем знак производной:
(0) __-__ (12) ___+___
х=12 - точка минимума, производная меняет знак с-на+
О т в е т. 12 м

Ответ выбран лучшим

Комплексное число a+bi
a=2sqrt(3)
b=-2
r=|z|=sqrt((2sqrt(3))^2+(-2)^2)=4
tg phi =b/a=-1/sqrt(3)
phi =-Pi/6

Тригонометрическая форма комплексного числа
z=4*(cos(-Pi/6)+isin(Pi/6))=4cos(Pi/6)-4sin(Pi/6)
Показательная форма
z=4e^((-Pi/6)+2Pik), k ∈Z

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

147:7=21 га в день пашут оба.
Пусть первый х га, тогда второй (21-х) га.
Первый за три дня вспашет 3х га.
Второй за 4 дня вспашет 4*(21-х) га
3х=4*(21-х)
7х=84
х=12
21-х=21-12=9
О т в е т. Первый 12 га в день, второй 9 га в день

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

два раза надо применять метод.
1-й раз
u=x^2 ⇒ du=2xdx
dv=e^x dx ⇒ v=e^x
∫ x^2*e^xdx=x^2*e^x- ∫2x*e^xdx=x^2*e^x- 2∫x*e^xdx=
2-й раз
считаем
∫x*e^xdx
u=x ⇒ du=dx
dv=e^x dx ⇒ v=e^x
∫ x*e^xdx=x*e^x- ∫e^xdx=x*e^x- e^x.

Итак,
∫ x^2*e^xdx=x^2*e^x- ∫2x*e^xdx=x^2*e^x- 2∫x*e^xdx=
=x^2*e^x-2*(x*e^x- ∫e^xdx)=x^2*e^x-2*x*e^x+2* e^x+С

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В равнобедренном треугольнике АВС (AB=BC) высота ВК, опущенная на основание АС, является одновременно и медианой.
АК=КС=20
Из прямоугольного треугольника АКС
tg ∠ A=ВК/АК ⇒ ВК= АК*tg ∠A=20*(9/8)=45/2

S ( Δ АВС)=(1/2)* АС*ВК=(1/2)*40*(45/2)=45*10=450

Ответ выбран лучшим

Пусть в зрительном зале х мест в каждом ряду и у рядов, тогда ху = 160
После того, как число мест в каждом ряду увеличили на 1, а число рядов на 2, то стало (х+2) мест и (у+1) рядов.
А количество мест увеличилось на 38, т.е стало равным 160+38=190
Тогда (х+2)*(у+1) =198.
Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
{xy=160;
{(х+1)(у+2)=198

{х=160/у и подставляем во второе
{((160/y)+1)(y+2)=198

Раскрываем скобки во втором уравнении
(160/у)*у+у+2*(160/у)+2=198;
у+(320/у)-36 = 0;
у^2-36y+320 = 0.
D=(-36)^2-4*320=1296-1280=16
y1=(36-4)/2=16 или у2=(36+4)/2=20
x1=160/y1=160/16=10 или х2=160/у2=160/20=8

О т в е т. В зрительном зале было либо 16 рядов по 10 мест, либо 20 рядов по 8 мест.

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(2x+π/2) = cos2x
cos(x+π/2)=- sinx
sin(x+π/2)= cosx

Уравнение принимает вид:
сos2x= -sinx + cosx
Так как
сos2x=cos^x-sin^2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx), то
(cosx-sinx)(cosx+sinx)-(сosx-sinx)=0
(cosx-sinx)*(cosx+sinx-1)=0
cosx-sinx=0 или сosx+sinx-1=0

Решаем первое уравнение
сosx-sinx=0
Это однородное тригонометрическое уравнение
Делим на cosx ≠0,
tgx=1
x= (π/4)+πk, k∈Z

Решаем второе уравнение
сosx+sinx-1=0
сosx+sinx=1
По формулам двойного аргумента
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
и
1=сos^2(x/2)+sin^2(x/2)
cos^2(x/2)-sin^2(x/2)+2sin(x/2)*cos(x/2)-сos^2(x/2)-sin^2(x/2)=0
2sin(x/2)*cos(x/2)-2sin^2(x/2)=0
Раскладываем левую часть на множители
2sin(x/2)*(cos(x/2)-sin(x/2))=0
sin(x/2)=0 или cos(x/2)-sin(x/2)=0
x/2=πn, n∈Z или tg(x/2)=1
x=2πn, n∈Z или х/2=(π/4)+πm, m∈Z ⇒ x=(π/2)+2πm, m∈Z

a) О т в е т. (π/4)+πk; 2πn; (π/2)+2πm, k, n, m ∈ Z.

б) Указанному промежутку принадлежат корни:
При

m=1
х1= (π/2)-2π*1=-3π/2

n=0
х2= 2π*0=0;

k=-1
х3= (π/4)-π = - 3π/4;

О т в е т. - 3π/2 ; 0; - 3π/4.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(17)*6^(16)=3*3^(16)*6^(16)=3*(3*6)^(16)=3*(18)^(16)

(3^(17)*6^(16))/(18^(15))=(3*(18)^(16))/(18^(15))=
=3*18^(16-15)=3*18=54

Ответ выбран лучшим

О т в е т. На 9 лет. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть
АL=3х;LС=7х ( тогда АL=(3/7)LC)
КС=у, тогда АК=4у
LK=AK-AL=4у-3х, c другой стороны LK=LC-KC=7х-у
Приравниваем
4у-3х=7х-у ⇒ 5у=10х ⇒ у=2х

Итак,
АL=3х;LС=7х
КС=у=2х, тогда АК=4у=4*2х=8х

Тогда LT=5x.
Проведем высоту ВТ.
ВТ || EL
EL- средняя линия Δ АВТ.
AL=LT=3x
TK=KC=2x
DK- средняя линия Δ ВТС
и точка D - середина ВС
Значит AD и биссектриса и медиана Δ АВС ⇒
Δ АВС - равнобедренный,
АВ=АС
АС=10х, значит и АВ=10х

По теореме Пифагора из треугольника AEL
EL^2=AE^2-AL^2=(5x)^2-(3x)^2=16x^2
EL=4x

По теореме Пифагора из треугольника ELC
EC^2=EL^2+LC^2=16x^2+(7x)^2=65x^2
EC=xsqrt(65)

EL=DK=4x
По теореме Пифагора из треугольника АDK
AD^2=AK^2+DK^2
AD^2=(8x)^2+(4x)^2=80x^2
AD=xsqrt(80)

AD:CE=xsqrt(80):xsqrt(65)=sqrt(80)/sqrt(65)=sqrt(80/65)=
=sqrt(16/13)=4/sqrt(13)
О т в е т. 4:sqrt(13) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Неопределенность ( бесконечность / бесконечность)
Выносим за скобки х в большей степени т.е. х^4 и в числителе и в знаменателе x^3.
x^4((4/x^4)+(2/x^3)+3)
x^3(1+(2/x^2)-(10/x^3))

(4/x^4)→0 при х→ бесконечность и так далее

О т в е т. бесконечность

2) Раскладываем на множители числитель, получим
(х-2)(х-3)
Раскладываем на множители знаменатель, получим
(х-2)(х-1)

Сокращаем на (х-2)
Считаем предел дроби (х-3).(х-1) Получим (2-3).(2-1)=-1
3)
Умножаем и числитель и знаменатель на (2+sqrt(x))
(x-4)*(2+sqrt(x))/(2-sqrt(x))(2+sqrt(x))=(x-4)(2+sqrt(x))/(4-x)

(2-sqrt(x))(2+sqrt(x))=2^2-(sqrt(x))^2=4-x

Сокращаем на (х-4)
В числителе (х-4), в знаменателе (4-x)
поэтому останется выражение -(2+sqrt(x))
Находим предел
(-2-sqrt(x)) при х→4 получим ответ
-2-sqrt(4)=-2-2=-4
4) Как во втором, раскладываем на множители и сокращаем на (х+4)
(x+4)(x+1)/(x+4)(x+2)

Находим предел дроби( (х+1)/(х+2)) получим (-3)/(-2)=1,5

Ответ выбран лучшим

260 000 :100 *10=26 000 - проценты с 260 000
к концу 1-го года
сумма + проценты
260 000 + 26 000=286 000
2-й год
К данной сумме добавляет 260 000
286 000 + 260 000=546 000
Проценты от 546 000 составляют 54 600
к концу второго года 546 000 + 54 600 = 600 600
3-й год
600 600 + 260 000=860 600
к концу третьего года 860 600 + 86 060=946 660
946 660 < 950 000
Значит деньги должны храниться в банке еще год
Через 4 года

Ответ выбран лучшим

vector{AB}={1-(1/4);(1/2)-1;3-2}={3/4;-1/2;1}
|vector{AB}|=sqrt((3/4)^2+(-1/2)^2+1^2)=sqrt(29)/4

vector{AC}={0-(1/4);-1-1;3-2}={-1/4;-2;1}
|vector{AC}|=sqrt((-1/4)^2+(-2)^2+1^2)=9/4=2,25

vector{BC}={0-1);-1-1/2;3-3}={-1;-3/2;0}
|vector{BC}|=sqrt((-1)^2+(-3/2)^2+0^2)=sqrt(13)/2

Р(Δ АВС)=(sqrt(29)/4)+2,25+(sqrt(13)/2)=
=(sqrt(29)+9+2sqrt(13))/4

vector{a}+vector{b}={3+(-2);2+3;1+1}={1;5;2}
|vector{a}+vector{b}|=sqrt(1^2+5^2+2^2)=sqrt(30)

|vector{a}|=sqrt(3^2+(-2)^2+1^2)=sqrt(14)
|vector{b}|=sqrt((-2)^2+3^2+1^2)=sqrt(14)
|vector{a}|-|vector{b}|=0

vector{2a}-vector{3c}={2*3-3*(-3);2*(-2)-3*2;2*1-3*1}=
={15;-10;-1}
|vector{2a}-vector{3c}|=sqrt(15^2+(-10)^2+(-1)^2)=sqrt(326)

Ответ выбран лучшим

x^2+8x+25 > 0 при любом х, так как D=64-4*25 < 0
Квадратный трехчлен
x^2+8x+25=x^2+8x+16+9=(x+4)^2+9
принимает наименьшее значение при х=-4
Это значение равно 9.
Функция у=sqrt(x^2+8x=25) принимает наименьшее значение также при х=-4
Это значение равно sqrt(9)=3
О т в е т. 3 при х=-4

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
сos(6Pi+x)=cosx
Уравнение принимает вид:
- sqrt(2)cosx*sinx=cosx
Перепишем
- sqrt(2)cosx*sinx-cosx=0
cosx*(-sqrt(2)sinx-1)=0
cosx=0 или -sqrt(2)sinx-1=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k∈Z
-sqrt(2)sinx-1=0 ⇒ sinx=-sqrt(2)/2 ⇒
x=(-Pi/4)+2Pin, n ∈ Z или х=Pi-(-Pi/4)+2Pim, m ∈ Z

а) О т в е т. (π/2)+πk; (-Pi/4)+2Pin,(5Pi/4)+2Pim, k, n, m ∈ Z

Указанному промежутку принадлежат корни
(см. рисунок)
x=(π/2)+4π=9π/2
х=(π/2)+5π=11π/2
х= (-Pi/4)+6Pi=23π/4
х=(5Pi/4)+4Pi=21π/4

б) О т в е т. 9π/2; 21π/4; 11π/2; 23π/4. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим производную
у`=13+6cosx
Так как -1 меньше или равно cosx меньше или равно 1, то
-6 меньше или равно 6cosx меньше или равно 6
0 < 13-6 меньше или равно 13+6cosx меньше или равно 13+6
Значит y` > 0 на (- бесконечность;+ бесконечность ) поэтому функция возрастает на (- бесконечность ;+ бесконечность 0
и на отрезке [–π/2; 0]
Наибольшее значение функция принимает в правом конце отрезка, т.е в точке х=0
y(0)=13*0+6*sin0-9=-9
О т в е т. Наибольшее значение на [–π/2; 0] равно ( - 9).

Ответ выбран лучшим

Представим
1=(x-4)^0

(x-4)^(x^2+4x-12) > (x-4)^0

Если (x-4) > 1, то показательная функция возрастает и
x^2+4x-12 > 0
Система двух неравенств
{x-4 > 1⇒ x > 5
{x^2+4x-12 > 0 ⇒ D=16+48=64 корни -6 и 2 ⇒ x < -6 или х > 2
Решение системы (5;+ бесконечность )

Если 0 < (x-4) < 1, то показательная функция убывает и
x^2+4x-12 < 0
Система двух неравенств
{0 < x-4 < 1⇒ 4 < x < 5
{x^2+4x-12 < 0 ⇒ D=16+48=64 корни -6 и 2 ⇒ -6 < x < 2

Множества решений первого и второго неравенств не пересекаются.
Система не имеет решений.
О т в е т. (5;+ бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

sin^2x=(1-cos2x)/2

2*(1-cos2x)/2 + 4 = 3sqrt(3)

cos2x=5-3sqrt(3)

2x=± arccos(5-3sqrt(3))+2πk, k∈Z
x=± (1/2)arccos(5-3sqrt(3))+πk, k∈Z
x=± (1/2)*(π-arccos(3sqrt(3)-5))+πk, k∈Z

О т в е т. x=± (1/2)*(π-arccos(3sqrt(3)-5))+πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

∫(6^x–12^x)dx/3^x= ∫((6^x/3^x)–(12^x)/3^x))dx= ∫ (2^x- 4^x)dx=
= ∫ 2^xdx- ∫ 4^xdx=
=(2^x/ln2)-(4^x/ln4) + C

Ответ выбран лучшим

Зависимость пути x от времени t для равноускоренного прямолинейного движения точки обязательно должна включать слагаемое с временем t во второй степени (t^2) Зависимость скорости v от времени t для равноускоренного прямолинейного движения точки должна включать слагаемое с временем t в первой степени (t).
О т в е т. 5)

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
|x^2–13x+35|^2=|35–x^2|^2
что можно переписать так
(x^2–13x+35)^2=(35–x^2)^2
и так:
(x^2–13x+35)^2-(35–x^2)^2=0
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов
(x^2-13x+35-35+x^2)*(x^2-13x+35+35-x^2)=0
(2x^2-13x)*(70-13x)=0
x*(2x-13)*(70-13x)=0
x=0 или 2х-13=0 или 70-13х=0
х=0 или х=6,5 или х=70/13
От в е т. 0; 70/13; 6,5

Ответ выбран лучшим

За час автобус проехал 90 км.
Задачу можно переформулировать
Автомобиль выехал из города А со скоростью 110 км в час,
Автобус выехал в том же направлении из пункта, находящегося на расстоянии 90 км со скоростью 90 км в час. Через какое время автомобиль догонит автобус

Автомобиль догонит автобус потому что скорость автомобиля на 20 км в час больше.
Значит каждый час автомобиль сокращает расстояние на 20км.
90:20=4,5 часа
О т в е т. Через 4,5 часа автомобиль догонит автобус.

Ответ выбран лучшим

sin120 градусов = sin(180 градусов-60 градусов)=
= sin60 градусов = sqrt(3)/2
cos120 градусов = cos(180 градусов-60 градусов)=
=- cos 60 градусов= - (1/2)
tg120 градусов = tg(180 градусов-60 градусов)=
= - tg60 градсов = - sqrt(3)
или
tg 120 градусов= sin 60 градусов/cos60 градусов= - sqrt(3)

sin135 градусов = sin(180 градусов - 45 градусов)=
= sin 45 градусов = sqrt(2)/2
cos135 градусов = cos(180 градусов - 45 градусов)=
=- cos 45 градусов= - (sqrt/2)
tg135 градусов = tg(180 градусов-45 градусов)=
= - tg 45 градусов = - sqrt(3)
или
tg 135 градусов= sin 45 градусов/cos 45 градусов= -1

Ответ выбран лучшим

(6/(5x-20))-(x-5)/((x-8)(x+8))=
=6/(5(x-4)) - (x-5)/(x^2-64)=
приводим дроби к общему знаменателю
=(6*(x^2-64)-(x-5)*(5x-20))/((5x-20)(x^2-64))=
=(6x^2-384-5x^2+45x-100)/((5x-20)(x^2-64))=
=(x^2+45x-484)/((5x-20)(x^2-64))=
=(x-9)(x+54)/((5x-20)(x^2-64))

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: система неравенств
х > 0;
log_(2)(4x) ≠ 0 ⇒ 4x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/4

ОДЗ: х ∈ (0;1/4)U(1/4;+ бесконечность )

По формуле логарифма произведения
log_(2)4x=log_(2)4+log_(2)x=2+log_(2)x

Неравенство принимает вид:
9/(2+log_(2)x) меньше или равно 4-log_(2)x

Замена переменной
log_(2)x=t

9/(2+t) меньше или равно 4-t;
9/(2+t)-4+t меньше или равно 0;
(9-4*(2+t)+t*(2+t))/(2+t) меньше или равно 0;
(t^2-2t+1)/(t+2) меньше или равно 0;
(t-1)^2/(t+2) меньше или равно 0.
(t-1)^2 больше или равно 0 при любом t
значит
t=1 - решение неравенства или t+2 < 0 ⇒ t < - 2

Обратная замена

log_(2)x=1 ⇒ x = 2 или log_(2)x < -2⇒ 0 < x < 1/4

О т в е т. (0;0,25)U{2}

Ответ выбран лучшим

Первая рубашка стоит 500 рублей. Вторая
со скидкой 60%,
500:100*60=300 рублей - скидка на вторую,
т.е стоимость второй (500-300)=200 рублей
500+200 = 700 рублей придется заплатить за две рубашки

а)
По формулам приведения
sinx=cos((Pi/2)-x)

Уравнение принимает вид
cos((Pi/2)-x)=cos((Pi/3)-x)
или
cos((Pi/2)-x)-cos((Pi/3)-x)=0
Применяем формулу
cos альфа - cos бета =-2sin(( альфа + бета )/2)*sin(( альфа - бета )/2)
-2sin((5Pi/12)-x)*sin(Pi/12) =0
⇒
sin((5Pi/12)-x)=0
пользуясь нечетностью синуса
уравнение можно записать так:
- sin(x-(5Pi/12))=0
x - (5Pi/12)=Pik, k ∈ Z
x=(5Pi/12)+Pik, k ∈ Z
О т в е т.
а) x=(5Pi/12)+Pik, k ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежит один корень
х=(5Pi/12)+4Pi=53Pi/12
4Pi=48Pi/12 < 53Pi/12 < 64Pi/12=16Pi/3
Cм. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 140+210=350 детей пошли в поход
2) 350:70=5 групп

Или
1) 140:70 = 2 группы мальчиков
2) 210:70=3 группы девочек
3) 2+3=5 групп детей

Ответ выбран лучшим

Пусть один угол х, тогда второй угол 2х.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Уравнение
х+2х=90
3х=90
х=30 градусов
2х=2*30 градусов=60 градусов

О т в е т. 30 градусов; 60 градусов

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

4(x^2–2x)–13x–5(x+3)=10
4x^2-8x-13x-5x-15=10
4x^2-26x-25=0
D=(-26)^2-4*4*(-25)=676+400=1076
x1=(26-sqrt(1076))/8 или х_(2)=(26+sqrt(1076))/8

Ответ выбран лучшим

При а+6=0
а=-6
О т в е т. При а=-6

Ответ выбран лучшим

20:100*10=2 рубля составляют 10% от 20 рублей
20+2=22 рубля - стоимость ручки после повышения
500:22=22,7
О т в е т. 22 ручки

Ответ выбран лучшим

Пусть ∠ АОС=х
Тогда ∠ АОВ= х+28
∠ АОВ+ ∠ AОС= ∠ BOC
x+x+28=148
2x=120
x=60 градусов

О т в е т. ∠ АОС=60 градусов, ∠ АОВ= (60+28)=88 градусов

Ответ выбран лучшим

Формула полной вероятности
гипотеза Н_(i) - покупатель становится к кассе i
i=1,2,3,4,5.
p(H1)=21/100=0,21
p(H2)=18/100=0,18
p(H3)=20/100=0,2
p(H4)=22/100=0,22
p(H5)=19/100=0,21

p(H1)+p(H2)+p(H3)+p(H4)+p(H5)=1

Условные вероятности
p(A/H₁)=1/23
p(A/H₂)=1/40
p(A/H₃)=1/150
p(A/H₄)=1/30
p(A/H₅)=1/35

По формуле полной вероятности
Р(А)=p(A/H₁)*p(H1)+p(A/H₂)*p(H2)+p(A/H₃)*p(H3)+
+p(A/H₄)*p(H4)+p(A/H₅)*p(H5)=
=(1/23)*0,21+(1/40)*0,18+(1/150)*0,2+(1/30)*0,22+(1/35)*0,19=
...

Доля каждой кассирши среди всех ошибочных счетов
находится из равенства
p(A)*p(H_(i)/A)=p(H_(i))*p(A/H_(i))
i=1,2,3,4,5
p(H_(i)/A)=p(H_(i))*p(A/H_(i))/(p(A))- формула Байеса

p(H_(1)/A)=((1/23)*0,21)/((1/23)*0,21+(1/40)*0,18+(1/150)*0,2+(1/30)*0,22+(1/35)*0,19)

p(H_(2)/A)=((1/40)*0,18)/((1/23)*0,21+(1/40)*0,18+(1/150)*0,2+(1/30)*0,22+(1/35)*0,19)
и так далее

Ответ выбран лучшим

Первый катер находится в 160 км к востоку от пристани
Второй катер находится в 50 км от пристани.
См. два рисунка (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^x=t

(t)/(t-3) +(t+1)/(t-2) + (5)/(t^2-5t+6) меньше или равно 0

t^2-5t+6=(t-2)(t-3) - общий знаменатель трех дробей слева

Приводим дроби слева к общему знаменателю
(t*(t-2)+(t+1)*(t-3)+5)/((t-2)(t-3)) меньше или равно 0
Упрощаем
2*(t-1)^2/((t-2)(t-3)) меньше или равно 0
Применяем метод интервалов

_+__ [1] __+__ (2) __-__ (3) __+__

t=1 или 2 < t < 3

Обратная замена
3^x=1 или 2 < 3^x < 3
x=0 или log_(3)2 < x < 1

О т в е т. { 0 } U (log_(3)2; 1)

Ответ выбран лучшим

За час первый мастер выполняет (1/6) часть работы,
второй выполняет за час (1/3) часть работы.
Вместе они выполняют за час
(1/6)+(1/3)=(1/6)+(2/6)=3/6=1/2 часть работы.
Значит всю работу выполнят за 2 часа
О т в е т. 2 часа

Ответ выбран лучшим

7650

Ответ выбран лучшим

V(призмы)=S(осн)*H

H=4,4sqrt(3)
V=3,3

значит
S( осн.)=V/H=3,3/(4,4sqrt(3))=3/(4sqrt(3))

В основании равносторонний треугольник.
Пусть сторона этого треугольника равна х.
Тогда по формуле
S( Δ)=(1/2)a*b*sin альфа
S(осн.)=(1/2)х*х*sin 60градусов
S(осн.)=(1/2)х^2*sqrt(3)/2

Получили уравнение
3/(4sqrt(3))=x^2sqrt(3)/4
x^2=1
x=1
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

4^x=3-2
4^x=1

1=4^0

4^x=4^0 ⇒ x=0

4^(x+2)=3
x+2=log_(4)3
x=-2+log_(4)3

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение относительно sinx.
Замена переменной
sinx=t
t^2-3t-4=0
D=9+16=25
t1=(3-5)/2=-1 или t2=(3+5)/2=4

sinx=-1
x=(-π/2)+2πk, k∈Z
или
sunx=4 - уравнение не имеет корней,
так как |sinx| меньше или равно 1
О т в е т.
а)(-π/2)+2πk, k∈Z
б) Отрезку [–4Pi;–5Pi/2] принадлежит корень
х=(-π/2)-2π=(-5π/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos(x–(Pi/2))=cos((Pi/2)-x) в силу четности косинуса
По формулам приведения
cos((Pi/2)-x) = sinx

cos2x=1-2sin^2x

1-2sin^2x+(sinx)^2=3/4
sin^2x=1/4
sinx=1/2 или sinx=-1/2

sinx=1/2
x= (π/6)+2πk или х=(5π/6)+2πk, k∈Z

sinx=-1/2
x= (-π/6)+2πn или х=(-5π/6)+2πn, n∈Z

Эти четыре серии ответов можно записать так:
x= (π/6)+πk или х=(-π/6)+πn, k,n∈Z

Указанному промежутку принадлежат корни
х=(π/6)+π=(7π/6)
х=(-π/6)+2π=(11π/6)
х=(π/6)+2π=(13π/6)

О т в е т.
а)(π/6)+πk; (-π/6)+πn; k,n∈Z
б) (7π/6);(11π/6);(13π/6) - корни, принадлежащие отрезку
[Pi;5Pi/2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V(цилиндра)=S(осн.)*H
H=V(цилиндра)/S(осн.)=100,8/12=8,4
О т в е т. 8,4

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора
АВ^2=AC^2+BC^2
AB^2=8^2+15^2
AB^2=64+225
AB^2=289
AB=17
S(осн.)=(1/2)АС*ВС=(1/2)8*15=60 кв. см
S(бок)=Р(осн)*CC1=(8+15+17)*`10=400 rкв. см
S(полн)=S(бок.)+2S(осн.)=400+2*60=520 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
1+4x-x^2 больше или равно 0
⇒
x^2-4x-1 меньше или равно 0
D=16+4=20
x1=2-sqrt(5) x2=2+sqrt(5)

ОДЗ х ∈ [2-sqrt(5);2+sqrt(5)]

Возводим уравнение в квадрат при условии

х-1 больше или равно 0 (#)

1+4х-x^2=x^2-2x+1
2x^2-6x=0
2x*(x-3)=0
x=0 или х=3

х=0 не удовлетворяет условию (#) ( см выше)

О т в е т. х=3

Ответ выбран лучшим

Пусть ∠ АВC=60 градусов, тогда
∠ ВАC=30 градусов

Обозначим
АВ=х
Тогда
АС=xsqrt(3)/2
BC=x/2

S( Δ ABC)=(1/2)*AC*BC
128*sqrt(3)=(1/2)*(x sqrt(3)/2)*(x/2) ⇒
128*8=x^2
x=32

BC=16
О т в е т. 16

Ответ выбран лучшим

1)
1+ctg^2 альфа =1/sin^2 альфа ⇒
sin^2 альфа =1/(1+ctg^2 альфа)
sin^2 альфа =1/(1+(-24/7)^2)
sin^2 альфа =1/(1+(576/49))
sin^2 альфа =49/625
sin альфа = ± sqrt(49/625)
Так как в условии сказано, что угол во второй четверти,синус во второй четверти положительный, то
sin альфа = + sqrt(49/625)
sin альфа = 7/25
2)
Упрощаем
(sinα–tgα)/tgα=cos альфа - 1

1+tg^2 альфа =1/cos^2 альфа ⇒
cos^2 альфа =1/(1+tg^2 альфа)
cos^2 альфа =1/(1+(-5/12)^2)
cos^2 альфа =1/(1+(25/144))
cos^2 альфа =144/169
cos альфа = ± sqrt(144/169)
Так как в условии сказано, что угол в четвертой четверти, косинус во 4-й четверти положительный, то
cos альфа = + sqrt(144/169)
cos альфа = 12/13

(sinα–tgα)/tgα=cos альфа - 1=(12/13)-1=-1/13

Ответ выбран лучшим

tg ∠ A=BC/AC
1/4=BC/AC ⇒ AC=4BC

По теореме Пифагора
АС^2+BC^2=AB^2
(4BC)^2+BC^2=51^2
17(BC)^2=(3*17)^2
BC^2=9*17
BC=3sqrt(17)
AC=4BC=12sqrt(17)
В прямоугольном треугольнике АСН
tg ∠ A=CH/AH
1/4=CH/AH
AH=4CH
По теореме Пифагора
АН^2+CН^2=AС^2
(4CH)^2+CH^2=(3sqrt(17))^2
17(CH)^2=9*17
CH^2=9
CH=3
АН=4СН=12

Ответ выбран лучшим

(а+3)/(а²–3а)+(а–3)/(3а+9)+(12)/(9–а²)=(а–3)/(3а)
Меняем знак перед третьей дробью в левой части в знаменателе.
Раскладываем знаменатели левой части на множители
(а+3)/а(а–3)+(а–3)/3(а+3)-(12)/(а-3)(а+3)
Приводим к общему знаменателю
(3(a+3)^2+a(a-3)^2-36a)/(3a(a-3)(a+3))=
=(a^3-3a^2-9a+27)/(3a(a-3)(a+3))=
=((a-3)^2(a+3))/(3a(a-3)(a+3))=(a-3)/3a

Ответ выбран лучшим

По формуле
sin^2x+cos^2x=1
Значит
sinx= ± sqrt(1-cos^2x)
Так как в условии задачи сказано, что угол во второй четверти, синус во второй четверти положителен,
то sinx= +sqrt(1-cos^2x)=+sqrt(1-(-sqrt(15)/4)^2)=+sqrt(1-(15/16))=1/4
О т в е т.1/4

Ответ выбран лучшим

4^(3x+1)=(4^4)^x
4^(3x+1)=4^(4x)
3x+1=4x
4x-3x=1
x=1
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

Треугольники ВОР и DOQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
BO=OD ( диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам)
∠ BOP= ∠ DOQ как вертикальные
∠ РBO= ∠ QDO внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС

Из равенства треугольников следует равенство отрезков BP=DQ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Упростим выражение
13y+224+24y–67=37у+157
При у=15 получим
37*15+157=555+157=712

Ответ выбран лучшим

Квадратный трехчлен
ax^2+bx+c можно разложить на множители по формуле
ax^2+bx+c=a*(x-x1)*(x-x2)
D=b^2-4ac > 0

x^2-5x-6=(x+1)(x-6)
-3x^2+x+2=-(x-1)(3x+2)
9x^2-6x+1=(3x-1)^2
Квадратный трехчлен
5x^2-2x+2 на множители не раскладывается, так как
D=4-4*5*2 < 0

Парабола у=5x^2-2x+2 не пересекает ось Ох и потому
5x^2-2x+2 > 0 при любом х

Дробь принимает вид
(х+1)(х-6)(5x^2-2x+2)/(3x-1)^2(x-1)(3x+2)

Скорее всего надо определить знаки этой дроби.
Применяем метод интервалов.
Отмечаем нули числителя и нули знаменателя и расставляем знаки:

_+_(-1) _-_ (-2/3) _+_ (1/3) __+__ (1) __-__ (6)_+_

Ответ выбран лучшим

Пусть координата точки А(0), тогда координата точки B(5), координата точки C(8), а координата точки D(9).
Пусть координата точки M(x).

Тогда
МА=х
МВ=х-5
МС=8-х
MD=9-x

По условию
МА ∙ МВ = МС ∙ MD.

х*(х-5)=(8-х)*(9-х)
x^2-5x=72-9x-8x+x^2
12x=72
x=6

Координата точки М равна 6
Значит ВМ=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Строим указанные точки на координатной плоскости, соединяем в указанном порядке
А B C D
Cм. рис. Не получается прямоугольника. Уточните условие (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

016А
отправляется из Москвы в 01:00,
прибывает в 08:38 + 30 мин до места встречи =09:08
Начало встречи в 09:30

Ответ выбран лучшим

1) 50 км/ч *3=150 км проехал первый автомобиль за три часа
2)750-150=600 км - путь пройденный первым и вторым автомобилем одновременно
3)50+70=120 км в час - скорость сближения автомобилей
4) 600:120=5 часов через пять часов после выезда второго автомобиля встретятся
4) 3+5=8 часов проедет первый до встречи
5)50 км/ч*8=400 км от А автомобили встретятся

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Решаем однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
2y''+5y'=0
Составляем характеристическое уравнение:
2k^2+5k=0
k*(2k+5)=0
k=0 ; к=-2,5
Общее решение однородного уравнения
у=С1e^(0x)+C2e^(-2,5x)
у=С1+C2e^(-2,5x) ( так как e^(0*x)=e^0=1)

Частное решение неоднородного уравнения 2y''+5y'=e^x
записываем в виде,
z=A*e^x
Находим
z`=A*e^x
z``=A*e^x
и подставляем в данное уравнение
2*A*e^x+5*A*e^x=e^x
7*A*e^x=e^x
7A=1
A=1/7
Общее решение неоднородного уравнения
Y=y+z
О т в е т. Y=C1+C2*e^(-2,5x)+(1/7)e^x

Ответ выбран лучшим

По формуле
S=(a+b)*h/2=(2+6)*4/2=16 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1)600:2=300 кг продали во второй день
2) 600+300=900 кг продали за два дня
3) 2т=2000 кг
2000-900=1100 кг осталось после двух дней

Ответ выбран лучшим

(1/3) от (2/5) это (1/3)*(2/5)=2/15

Ответ выбран лучшим

2м=200 см
400 мм=40 см

200 ×30 ×40=240 000 куб см
или 240 000 кубиков размером 1 см × 1см × 1 см

Ответ выбран лучшим

(sqrt(7)+3)^2–3*(2sqrt(7)+3) =7+6sqrt(7)+9-6sqrt(7)-9=7

Ответ выбран лучшим

y_(k)-y_(l)=k*(k+1)-l*(l+1)=k^2+k-l^2-l=(k^2-l^2)+(k-l)=
=(k-l)*(k+l+1)

По условию разность кратна 3^12
Это можно записать так:
(k-l)*(k+l+1)=3^(12)*m
k,l,m - натуральные
l < 157 < k

(k-l)*(k+l+1)=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*m
Слева произведение двух множителей
(k-l) и (k+l+1)
Справа произведение
3 и 3^11*m
3m и 3^11
и так далее.
Рассмотрев различные варианты

Например,
k=159; l=156
k-l=3
значит
k+l=3^11*n, но 159+156+1 =316 не кратно 3^11*n

k=163
l= 160
k-l=3
k+l+1=163+160+1=324=3*81
Это уже лучше
(k-l)*(k+l+1)=3*3*81*n
а надо то справа 3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*m получить.

О т в е т.
k–l=35·m
k+l+1=37
l=121
k=2065

l+k=2186

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
система трех неравенств:
x+5 больше или равно 0;
2x-3 больше или равно 0;
x-3 больше или равно 0.

ОДЗ: х ∈ [3;+ бесконечность )

Перепишем неравенство в виде:

sqrt(x+5) > sqrt (2x-3)+sqrt(x-3)

И левая и правая части неравенства неотрицательны на ОДЗ, поэтому возводим неравенство в квадрат.

х+5 > 2x-3 +2*sqrt(2x-3)*sqrt(x-3) + x-3;

11-2x > 2*sqrt(2x-3)*sqrt(x-3)

11-2x > 11-2*3 > 5 > 0 на ОДЗ

Возводим в квадрат

(11-2х)^2 > 4*(2x-3)*(x-3)

121-44x+4x^2 > 4*(2x^2-9x+9);

0 > 4x^2 +8x-85;

4x^2+8x-85 < 0

D=8^2-4*4*(-85)=64+16*85=16*89

x1=(-8-4sqrt(89))/8=-1-(1/2)sqrt(89) ; x2=-1+(1/2)sqrt(89)

____ (x1) __-__ (x2) ____

C учетом ОДЗ получаем ответ
[3; -1+(1/2)sqrt(89))

Ответ выбран лучшим

0,01х^(1/3)=10^(-2)x^(1/3)
(0,01x^(1/3))^(-1/2)=(10^(-2)x^(1/3))^(-1/2)=
=(10^(-2))^(-1/2)*(x^(1/3))^(-1/2)=10*x^(-1/6)

1000x=10^3*x
(1000x)^(2/3)=(10^3*x)^(2/3)==(10^(3))^(2/3)*x^(2/3)=10^2x^(2/3)=100x^(4/6)

О т в е т. 10x^(-1/6)*100x^(4/6)=1000x^(3/6)=1000x^(1/2).

Ответ выбран лучшим

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=f(x), f(x) ≥0 ; снизу отрезком [a;b] оси ох; прямыми х=а и х=b вычисляют по формуле:

S(криволинейной трапеции)=∫^(b)_(a)
По формуле Ньютона-Лейбница
∫^(b)_(a)=F(b)-F(a)

Значит,
S( криволинейной трапеции)=F(b)-F(a)=

В данной задаче криволинейная трапеция вырождается в криволинейный треугольник.

S=F(-6)-F(-8)=-(-6)^3-21*(-6)^2-144*(-6)-(11/4)-(-(-8)^3-21*(-8)^2-144*(-8)-(11/4))=
=216-756+864-512+1344-1152=4

О т в е т. 4

Первый пешеход:
А________М_____В
Путь АМ прошел за 6 часов, путь МВ за 4 часа.
Значит
АМ:МВ=3:2

Второй пешеход прошел ВМ за 6 часов,
значит МА пройдет за 9 часов.
11+9=20 часов.

Второй пешеход прибудет в А в 20 часов

Ответ выбран лучшим

Упрощаем
–5(x+0,3)+2(11–3x)=-5х-1,5+22-6х=20,5-11х
при х=0,2
20,5-22х=20,5-22*0,2=20,5-4,4=16,1

Ответ выбран лучшим

171:100·50=85,5 руб цена льготного билета
2·171+16·85,5=342+1368=1710 руб

О т в е т. 1710 руб.

Ответ выбран лучшим

171:100*50=85,5 руб цена льготного билета
2*171+16*85,5=342+1368=1710 руб

О т в е т. 1710 руб.

Ответ выбран лучшим

Это одна точка - центр окружности, описанной около треугольника АВС.

Пусть координаты этой точки- точки О (х;у)

ВО=СО
АО=ВО
{(х-3)^2+(y-1)^2=(x-2)^2+(y-4)^2
{(x-2)^2+(y-4)^2=(x-1)^2+(y-4)^2

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и получаем систему:
{6y=2x+6
{2х=3 ⇒ х=1,5

значит
6у=9
у=1,5

О т в е т. О (1,5; 1,5)

Ответ выбран лучшим

Цена на пылесос была равна 100%
Стала (100+14) 114%
12768 руб составляют 114 %,
х рублей составляют 100 %

х=12768*100:114=11 200 руб

Ответ выбран лучшим

р=0,2 - вероятность того, что лампа не перегорит
q=1-р - вероятность того, что лампа перегорит.

Вероятность того, что не перегорит хотя бы одна лампа ( либо одна, либо не перегорят две, либо все три)

р*q*q+q*p*q+q*q*p+p*p*q+p*q*p+q*p*p+p*p*p=

=0,2*0,8*0,8+0,8*0,2*0,8+0,8*0,8*0,2+0,2*0,2*0,8+0,2*0,8*0,2+0,8*0,2*0,2+0,2*0,2*0,2=
=3*0,2*0,8^2+3*0,2^2*0,8+0,2^2=
=0,384+0,096+0,008=0,488

Ответ выбран лучшим

Раскрываем скобки
16x^2-8x+1-12x^2+8x+15 больше или равно 4x^2-16x+16+16x;
0 больше или равно 0
Неравенство верно при любом х
О т в е т. (- бесконечность ; бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Дробь имеет смысл, если ее знаменатель не обращается в ноль.
Поэтому находим те значения х, при которых знаменатель обращается в 0.
x^2-16=0
(x-4)*(x+4)=0
x-4=0 или x+4=0
x=4 или х=-4
О т в е т. (- бесконечность;-4)U(-4;4)U(4;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Пусть Вова купил х тюльпанов, тогда Серёжа купил (8-х) тюльпанов.
Цена тюльпана Вовы (54/х)
Цена тюльпана Сережи (18/(8-х)).
По условию мальчики купили тюльпаны по одинаковой цене, значит можно составить равенство:
(54/х)=18/(8-х)
Пропорция
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
54*(8-х)=18х
Делим обе части равенства на 18
3*(8-х)=х
24-3х=х
24=3х+х
24=4х
х=6
О т в е т. Вова купил 6 тюльпанов, Серёжа 8-6=2 тюльпана.
Цена одного тюльпана 9 рублей.

Ответ выбран лучшим

Оно заканчивается тремя нулями
10*2*5*12*15 даст три нуля

Ответ выбран лучшим

Фигура вращения конус.

ВС=h
AC=R
АВ=l

По теореме Пифагора АС=12
ПО формулам нахождения поверхности конуса и объема конуса:
S=S(бок)+S(осн.)=
=Pi*R*l+Pi*R^2=Pi*12*(13+12)=300Pi кв. см.
V=(1/3)*Pi*R*h=(1/3)*Pi*12*5=20Pi куб. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

vector{b}= альфа 1*vector{a1}+ альфа 2*vector{a2}+ альфа 3*vector{a3}

В координатах это равенство приведет к системе трех уравнений с тремя неизвестными альфа1, альфа2, альфа 3

2=1*альфа1+ 3*альфа2+ 3*альфа 3
5=2*альфа1+ 6*альфа2+ 9*альфа 3
0=(-1)*альфа1+ 1*альфа2+3*альфа 3

Решение этой системы и даст координаты
Выразим из последнего уравнения
альфа1=альфа2+3*альфа3
и подставим в первое и второе
4*альфа2+6*альфа3=2
8*альфа2+15*альфа3=5
или
умножим первое на (-2) и сложим
3*альфа3=1
альфа3=1/3

альфа2=0

альфа1=1

О т в е т.(альфа1;альфа2;альфа 3)=(1;0;1/3)

Ответ выбран лучшим

Как видно из таблицы все простые числа, кроме 2, нечетные. Сумма трех нечетных чисел не может быть четным числом 180. Значит один угол обязательно равен 2 градусам, а далее простой перебор
2 градусов + 47 градусов+131 градусов (прикреплено изображение)

cos( альфа + бета )=cos альфа *cos бета -sin альфа *sin бета

Зная cos альфа можно найти sin альфа
sin альфа = ± sqrt(1-cos^2 альфа )= ± sqrt(1-(3/5)^2)=
= ± sqrt(1-(9/25)= ± sqrt(16/25)= ± 4/5

cos бета = ± sqrt(1-cos^2бета )= ± sqrt(1-(-8/17)^2)=
= ± sqrt(1-(64/289)= ± sqrt(225/289)= ± 15/17

Задача должна содержать указание отнгосительно расположения углов
альфа и бета

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
tg160 градусов= tg( 90 градусов+70 градусов)=-сtg70 градусов

-24*tg 70 градусов * (-сtg 70 градусов)=24,
т.к tg альфа * ctg альфа =1

Ответ выбран лучшим

3^4=81, значит log_(3)81=4

Ответ выбран лучшим

(8/3)+(5/7)=(56/21)+(15/21)=71/21
-5,3+(7/9)=(-53/10)+(7/9)=(-477/90)+(70/90)=-407/90
(71/21):(-407/90)=-2130/2849

(3/2)-4,1=1,5-4,1=-2,6
(-2 целых5/21)+1,7=(-47/21)+(17/10)=
=-(470/210)+(357/210)=-113/210

Сравниваем
(-2130/2849) и (-113/210)
Общий знаменатель:
407*7*30

(-2130*30)/(407*7*30) и (-113*407)/(407*210)

-63900/(407*210) < -45991/(407*210)

О т в е т. Первое выражение меньше второго

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0.
х-6=0 или -5х-9=0
х=6 или х=-1,8
О т в е т. -1,8; 6

Ответ выбран лучшим

1.
x^2+2x-3=0
D=16
x=(-2±4)/2
x=-3;x=1
2.((mn+n^2-m^2-mn)/mn) *( m/(m+n))= (n-m)(n+m)/n(m+n)=
=(n-m)/n
3.{3x-5y=16;
{10x+5y=10
13x=26
x=2
y=2-2x=2-4=-2
4.
{x < 5/2
{x < 0
О т в е т. х < 0
5.
3x^2-15x=0
3x*(x-5)=0
x=0 или х=5
7.
sqrt(8)=2sqrt(2)

sqrt(2)/(sqrt(2)+2sqrt(2))=1/3

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x больше или равно 0

Замена переменной:
sqrt(x)=t
x=t^2

(3t^2-1)(t+3t^2-1)=2t^2;
9t^4+3t^3-8t^2-t+1=0

t=-1 - корень уравнения, так как 9-3-8+1+1=0 -верно.

Левую часть уравнения разложим на множители:
(t+1)*(9t^3-6t^2-2t+1)=0

t=1/3 - корень уравнения 9t^3-6t^2-2t+1=0, так как
(9/27)-(6/9)-(2/3)+1=0 - верно 0=0

(t+1)(t-(1/3))(9t^2-3t-3)=0
t1=-1 или t2=1/3 или 9t^2-3t-3=0
3t^2-t-1=0
D=1-4*3*(-1)=13
t3=(1-sqrt(13))/6 или t4=(1+sqrt(13))/6

t1 и t3 отрицательны и по определению арифметического квадратного корня не являются корнями уравнения
sqrt(x)=t

sqrt(x)=1/3
x=1/9

sqrt(x)=(1+sqrt(13))/6
x=(14+2sqrt*13)/36
x=(7+sqrt(13))/18

О т в е т. 1/9; (7+sqrt(13))/18

Ответ выбран лучшим

Цилиндр.
На плоскости хОу окружность х^2+y^2=3
и образующие, параллельные оси Оz

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть второе поле х га, тогда первое 2,4х га.
Всего
х+2,4х=3,4х, что по условию равно 79,9
Уравнение
х+2.4х=79,9
3,4х=79,9
х=79,9:3,4
х=17,5
О т в е т. 17,5 га

Ответ выбран лучшим

Умножаем все слагаемые первого неравенства на 12, второго на 14
{5x+`16 больше или равно 4х+4;
{28-5x < 14-7x

{x больше или равно -12;
{x < - 7

О т в е т. [-12;-7)

Ответ выбран лучшим

Пусть второй рабочий выполняет х деталей в час, тогда первый (х+6) деталей в час. Значит, второй 1 деталь выполняет за (1/х) час., первый - за (1/(х+6)) час.
9 деталей второй выполняет за (9/х) час, первый - за (9/(х+6)) час.
По условию первый на два часа быстрее, уравнение:
(9/(х+6))+2=(9/x)
Переносим все влево, приводим к общему знаменателю, приравниваем числитель к нулю.
9*х+2*х*(х+6)=9*(x+6)
2х^2+12х-54=0
х^2+6x-27=0
D=36+108=144
x1=(-6+12)/2=3 x2 < 0
О т в е т. 3 детали в час выполняет второй рабочий

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
sinx больше или равно 0
x принадлежит первой или второй четверти.

По формулам приведения
cos((Pi/2)-x)=sinx.
Так как
cos^2x=1-sin^2x

2sinx=sqrt(sinx)+1-sin^2x
sin^2x+2sinx-sqrt(sinx)-1=0

Замена переменной
sqrt(sinx)=t
t^4+2t^2-t-1=0

Пусть f(t)=t^4+2t^2-t-1
При t=0 f(0) =-1 < 0
При t=1 f(1)=1 > 0
На [0;1] уравнение t^4+2t^2-t-1=0 имеет корень.
(cм. рис.)

Пусть t=a
0 < a < 1
sqrt(sinx)=a
sinx=a^2
x=(arcsinx a^2)+2Pik или х=(Pi-arcsina^2)+2Pin, k,n ∈ Z

Второй корень уравнения
t^4+2t^2-t-1=0
отрицательный пусть (-b).
Уравнение sqrt(sinx)=-b не имеет корней. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 70*4кг 200 г=294 рубля стоит покупка
2)500-294=206 руб сдача

Ответ выбран лучшим

В первом матче играют две команды: Белые и Красные. Вероятность того, что белые будут играть первыми равна (1/2), p=1/2. Не будут владеть мячом тоже вероятность (1/2).q=1-p=1/2
Bероятность того, что ровно в двух матчах из трех Белые будут владеть мячом равна
С^2_(3)p^2q=3*(1/2)^2*(1/2)=3/8

или

так
Белые могут владеть мячом в первом и втором матчах, в первом и третьем или во втором и третьем:
ppq+pqp+qpp
(1/2)*(1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2)*(1/2)=3/8

Ответ выбран лучшим

m:M=v:М ⇒ m:M=(r/R)^3=((d/2)/(D/2))^3=(d/D)^3=(4/7)^3

128:M=(4/7)^3
M=128:(64/343)=686

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть
КМ=х

Δ PKD подобен Δ PBA
Из подобия
KР:BР=DР:AP
AP=AD+DP
AP=BC+DР
3:(2+х+3)=DP:(BC+DP)

Δ BMC подобен Δ АМР
Из подобия
MP:BM=AP:BC
АР=AD+DP=BC+DP
(3+x):2=(BC+DP):BC

3:(2+х+3)=DP:(BC+DP)⇒
3BC+3DP=DP*(5+x)⇒3BC=(5+x-3)DP
3BC=(2+x)DP ⇒ DP=3BC/(2+x)
(3+x):2=(BC+DP):BC ⇒
(3+x):2=(BC+(3BC/(2+x))):BC
(3+x)/2=(5+x)/(2+x)
x^2+3x-4=0
D=25
x=1 второй корень отрицательный.
О т в е т. КМ=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4cos^4x-4cos^2x+1=0
(2cosx-1)^2=0
2cosx-1=0
cosx=1/2
x=± (π/3)+2πk, k∈Z

Указанному промежутку принадлежит корень
(π/3)-2π=-5π/3

Ответ выбран лучшим

(2 + Зс)^2 – 9с(с + 1)=4+12c+9c^2-9c^2-9c=4+3c

При с=-4/3

4+3с=4+3*(-4/3)=4-4=0
О т в е т. 0

Ответ выбран лучшим

∠ ВСЕ - внешний угол треугольника АВС, равен сумме двух внутренних углов с ним не смежных.
∠ ВСЕ= ∠ ВАС+ ∠ АВС=26 градусов + 76 градусов = 102 градусов.
Биссектриса СD делит угол ВСЕ пополам.
∠ BCD= ∠ DCE= 51 градусов.

∠ CBD = 180 градусов - ∠ АВС= 180 градусов - 76 градусов = 104 градусов.
( ∠ СBD - смежный с углом АВС)
Сумма смежных углов равна 180 градусов.

Сумма углов треугольника 180 градусов.
∠ BDC= 180 градусов - 51 градусов - 104 градусов = 25 градусов.

Δ BCD= Δ DCE по двум сторонам и углу между ними.
ВС=СЕ
СD- общая
∠ BCD= ∠DCE= 51 градусов.

∠ BDC = ∠ ЕDС = 25 градусов.
∠ BDE=25 градусов +25 градусов = 50 градусов
О т в е т. 50 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час - собственная скорость моторной лодки, тогда
(х+3) км в час - скорость лодки по течению,
(х-3) км в час - скорость лодки против течения.

30/(x+3) час. - время в пути по течению
30/(х-3) час. - время в пути против течения.

Всего лодка была в движении
21.00- 11.00 - 2 часа 30 мин (стоянки)=7 часов 30 мин=7,5 часа

(30/(x+3))+(30/(x-3))=7,5

Делим на 7, 5

(4/(х+3))+(4/(х-3))=1

4х-12+4х+12=x^2-9

x^2-8x-9=0

D=(-8)^2-4*(-9)=64+36=100
х=(8+10)/2=9
второй корень отрицательный и не удовлетворяет смыслу задачи.
О т в е т. 9 км в час

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час - собственная скорость байдарки, тогда
(х+3) км в час - скорость байдарки по течению,
(х-3) км в час - скорость байдарки против течения.

15/(x+3) час. - время в пути по течению
15/(х-3) час. - время в пути против течения.

Всего байдарка была в движении ( по течению и против течения)
18.00- 10.00 - 1 час 20 мин (стоянки)=6 часов 40 мин=6 целых 2/3=20/3

(15/(x+3))+(15/(x-3))=(20/3)

Делим на 5

(3/(х+3))+(3/(х-3))=4/3

9х-27+9х+27=4(x^2-9)

4x^2-18x-36=0
2x^2-9x-18=0
D=(-9)^2-4*2*(-18)=81+144=225
х=(9+15)/4=6
второй корень отрицательный и не удовлетворяет смыслу задачи.
О т в е т. 6 км в час

Ответ выбран лучшим

S=(1/2)*R*l=(1/2)*12*3=18
cм. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

R=d/2, d- диагональ прямоугольника

d=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(13^3+(sqrt(155))^2)=sqrt(169+155)=
=sqrt(324)=18
R=18/2=9
О т в е т. 9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∪ AB=2α =2*32 градусов= 64 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(трапеции)=(a+b)*h

Требуется уменьшить стороны, значит высота трапеции остается постоянной

(a+b)*h/2 составляют 100%
(a1+b1)*h/2 составляют (100-40,71)%

(a1+b1)=0,5929(a+b)

a+b - составляют 100%
0,5929(a+b) составляют х %

х=59,29%

100% - 59,29%=40,71%
О т в е т. на 40, 71%

Ответ выбран лучшим

Прямая 3x + 4 y − 12 = 0 проходит через точки

x=0 , тогда 4у-12=0 и у= 3
(0;3)
у=0 , тогда 3х-12=0 и х=4
(4;0)

Ответ выбран лучшим

x+(Pi/3)=t

2cost+4sint=5/2
или
4сost+8sint=5
Два способа решения уравнений вида
acosx+bsinx=c

1) формулы двойного угла
4*(cos^2(t/2)-sin^2(t/2))+8*2sin(t/2)*cos(t/2) = 5*(cos^2(t/2)+sin^2(t/2))
cos^2(t/2)-16sin(t/2)*cos(t/2)+9sin^2(t/2)=0
Однородное тригонометрическое уравнение второй степени.
Делим на cos^2(t/2)
9tg^2(t/2)-16tg(t/2)+1=0
D=(-16)^2-4*9=256-36=220
tg(t/2)=(16-sqrt(220))/18 или tg(t/2)=(16+sqrt(220))/18
t/2=arctg((8-sqrt(55))/9)+Pik или t/2=arctg((8+sqrt(55))/9)+Pin, k и n - целые.

x+(Pi/3)=2arctg((8-sqrt(55))/9)+2Pik ⇒
х=2arctg((8-sqrt(55))/9)- (Pi/3)+2Pik, k ∈ Z
или
x+(Pi/3)=2arctg((8+sqrt(55))/9)+2Pin ⇒
х=2arctg((8+sqrt(55))/9)- (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z

О т в е т. 2arctg((8-sqrt(55))/9)- (Pi/3)+2Pik
или
=2arctg((8+sqrt(55))/9)- (Pi/3)+2Pin, k, n ∈ Z

2) метод вспомогательного угла.
Делим обе части уравнения
на sqrt(4^2+8^2)=sqrt(80)
sqrt(80)=4sqrt(5)

(1/sqrt(5)) cos(t/2) + (2/sqrt(5)) sin(t/2)=sqrt(5)/4

пусть 1/sqrt(5)=сos phi ; 2/sqrt(5)= sin phi
phi=arccos(1/sqrt(5)) или
phi=arcsin(2/sqrt(5))

cos phi cos(t/2)+sin phi sin(t/2)=sqrt(5)/4
cos((t/2)- phi)=sqrt(5)/4
(t/2)- phi= ± arccos(sqrt(5)/4)+2Pik, k ∈ Z
t/2= ± arccos(sqrt(5)/4)+phi+2Pik, k ∈ Z
t=±2 arccos(sqrt(5)/4)+2phi+4Pik, k ∈ Z

x+(Pi/3)=±2 arccos(sqrt(5)/4)+2phi+4Pik, k ∈ Z
x=±2 arccos(sqrt(5)/4)+2phii- (Pi/3)+4Pik, k ∈ Z
x=±2 arccos(sqrt(5)/4)+2*arccos(1/sqrt(5))-(Pi/3)+4Pik, k ∈ Z
О т в е т. ±2 arccos(sqrt(5)/4)+2arccos(1/sqrt(5))-(Pi/3)+4Pik, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(2,4*10^6)/(0,6*10^4)=(2,4/0,6)*10^(6-4)=4*10^2=400

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной к кривой у=f(x) в точке (x_(o);y_(o)) имеет вид:
y- y_(o) = f`(x_(o))*(x-x_(o))
x_(o)=Pi/2; y_(o)=-5
f`(x)=3*(-sin2x)*(2x)`=-6sin2x
f`(x_(o))=-6*sin(2*(Pi/2))=-6*sinPi=-6*0=0
у-(-5)=0*(х-(Pi/2))
у=-5
О т в е т. у=-5

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме синусов

AB/sin 60 градусов = 2R

АВ= 2sqrt(3) * sqrt(3)/2=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Около трапеции описана окружность, значит сумма противоположных углов равна 180 градусов.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180 градусов. Значит трапеция равнобедренная.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований,
значит сумма оснований равна 50.
Две боковые стороны 60-50=10
Одна боковая сторона 5.
О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

Прямоугольные треугольники (см.рис.) выделенные песочным и серым цветом подобны по двум углам
Один угол у них прямой, угол альфа есть в каждом треугольнике, это вертикальные углы.
Пусть один отрезок высоты у, тогда другой 5у.
5у:у=5:1
Один отрезок 2х, другой 5х
2х:5х=2:5

Из подобия
5у:2х=5х:у

у^2=2x^2
y=xsqrt(2)

cos альфа =y/2x=xsqrt(2)/2x=sqrt(2)/2

альфа =45 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{0,5x > 0; 0,5x ≠ 1 ⇒ x > 0; x≠2
{0,5x-6 > 0; 0,5x-6 ≠ 1 ⇒ x > 12; x≠14

x ∈ (12;14)U(14;+ бесконечность)

Применяем формулу перехода к другому основанию

(lg10/lg(0,5x-6))-(lg100/lg0,5x) > 0;

(1/lg(0,5x-6)) - (2/lg0,5x) > 0

(lg0,5x-2lg(0,5x-6))/(lg(0,5x-6)*lg0,5x) > 0

lg(0,5x*(0,5x-6)^2)/(lg(0,5x-6)*lg0,5x) > 0

Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя и нули знаменателя.
lg(0,5x*(0,5x-6)^2)=0
0,5x*(0,5x-6)=10^0
0,25x^2-3x-1=0
x^2-12x-4=0
D=144+16=160
x=(12-2sqrt(10))/2=6-sqrt(10) < 12 или х=6+sqrt(10) < 12
Найденные нули числителя не входят в ОДЗ

lg(0,5x-6)=0
0,5x-6=10^0
0,5x=7
x=14

lg0,5x=0
0,5x=10^0
0,5x=1
x=2

Отмечаем эти точки на числовой прямой с учетом ОДЗ и расставляем знаки

(12) __-__ (14) __+__

О т в е т. (14; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(4x-1)+3^(4x+1) = 3^(4x-1) * ( 1+ 3^(4x+1)^3^(4x-1))=
=3^(4x-1) *(1+3^(4x+1-4x+1))=3^(4x-1)*(1+3^2)=3^(4x-1)*10

Ответ выбран лучшим

0=log_(4)1

Логарифмическая функция с основанием 4 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(3x-8)/(x-2) > 1

Cистема
{(3x-8)/(x-2) > 1
{(3x-8)/(x-2) > 0 ( ОДЗ логарифмической функции)

Решение системы - решение первого неравенства. Решение второго выполняется автоматически.
(если дробь больше 1, то она и подавно больше 0)

(3x-8)/(x-2) > 1
(3x-8)/(x-2) -1 > 0
(3x-8-x+2)/(x-2) > 0
(2x-6)/(x-2) > 0
Метод интервалов

_+__ (2) ____ (3) ____+____

О т в е т. (- бесконечность;2) U(3; бесконечность )

Ответ выбран лучшим

Графически чуть больше 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Клиент А хранил деньги в банке 2 года, клиент Б – год.

Пусть банк начислял p процентов годовых

Вклад клиента А через два года составил
2500·(1+(p/100))^2 руб.

Вклад клиента Б через год составил
2500·(1+(p/100)) руб.

По условию клиент А получил на 275 руб. больше.

Уравнение:
2500·(1+(p/100))^2–2500·(1+(p/100))=275;

Пусть (1+(р/100))=х

100х^2–100x – 11=0
D=1002–4·100·(–11)=10000+4400=14400=1202

x=(100+120)/200=1,1
второй корень отрицательный и не удовлетворяет смыслу задачи.
1+(p/100)=1,1
p=10
О т в е т. 10% годовых

Ответ выбран лучшим

Подобие двух конусов: большого и наполненного жидкостью.
R:r=H:h
h=H/2
Значит
R=2r

V(жидкости)=(1/3)*Pi *r^2*h
По условию
V(жидкости)=60
(1/3)*Pi *r^2*h=60 ⇒ Pi *r^2*h=180

V( большого конуса)=(1/3)*Pi *R^2*H=
=(1/3)*Pi *(2r)^2*2h=(8/3)* Pi *r^2*h=
=(8/3)*180=480

V ( добавки)=480 - 60 =420
О т в е т. Надо долить 420 мл жидкости

Ответ выбран лучшим

Наибольшее трехзначное в записи которого нет девяток
888.
888 не кратно 9.
О т в е т. 882

Ответ выбран лучшим

р=11/55=1/5

55-22-22=11 учаcтников из Парагвая.

Ответ выбран лучшим

16 - (12/5)^2=16-(144/25)=приводим к общему знаменателю =(16*25-144)/25=(400-144)/25

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0, x≠ 1.

По основному логарифмическому тождеству
2= 7^(log_(7)2)

7^(log_(x)5) > 7^(log_(7)2)

Показательная функция с основанием 7 > 1 возрастает.

log_(x)5 > log_(7)2

По формуле перехода к другому основанию
ln5/lnx > ln2/ln7
Упрощаем:

(ln7*ln5 - ln2*lnx)/(ln7*lnx) > 0

Применяем обобщенный метод интервалов
Находим нули числителя и нули знаменателя.
lnx=(ln5*ln7)/ln2 ⇒ x=e^((ln5*ln7)/ln2)≈ e^(4,47)=88,2=A
lnx=0 ⇒ x=1

___ (1) __+__ ( A) ___-___

О т в е т. (1; e^((ln5*ln7)/ln2))

Ответ выбран лучшим

См. рисунок.
Расстояние, на котором находится от дороги средний столб, является средней линией прямоугольной трапеции.

8,6=(7,5+х)/2

7,5+х=17,2

х=9,7

О т в е т. 9,7 м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной к кривой у=f(x)
в точке (х_(о); f(x_(o)) имеет вид:

y - f(x_(o))=f`(x_(o))* (x-x_(o))

Находим
f(x_(o))=x^2_(o)+2

f`(x)=2x
f`(x_(o))=2x_(o)

Уравнение касательной к кривой y=x^2+2 в точке (x_(o);f(x_(o)) принимает вид

y - x_^2(o)-2=2x_(o)* (x-x_(o))

или

у=2x_(o)x+2-x^2_(o)

Так как по условию касательная проходит через точку (2;2) подставим координаты этой точки в полученное уравнение и найдем х_(о)

2=2х_(о)*2 +2 -x^2_(o)

2х_(о)*2 -x^2_(o)=0

х_(о)=0 или х_(o)=4

Уравнения касательных
в точке х_(о)=0 прямая, параллельная оси Ох: у=2
в точке х_(о)=4 у=8х-14

S=S( криволинейного треугольника ОРК)-S( прямоугольного треугольника MPK)

S( криволинейного треугольника ОРК)=
численно равна площади криволинейного треугольника ограниченного параболой у=x^2
и отрезком оси ох [0;4], т. е равна
=∫^4_(0)(x^2)dx =(x^3/3)|^4_(0)=64/3

S( прямоугольного треугольника MPK)=(1/2)MP*KP=
=(1/2)*(4-2)*(18-2)=(1/2)*2*16=16

О т в е т. (64/3)-16=16/3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора
ВС^2=AC^2-AB^2=10^2-(sqrt(19))^2=100-19=81
BC=9

cos ∠ C=BC/AC=9/10=0,9

Ответ выбран лучшим

(5000):100*11=550 литров бензина потребуется на путь в 5000 км.
36 руб*550=19 800 руб

Ответ выбран лучшим

Найдем вероятность противоположного события
''Дима не пойдет в магазин''

Испытание состоит в том, что из 8 человек выбирают шестерых
Это можно сделать
С^6_(8)=8!/(6!*(8-6)!)=28 способами.

Событию ''Дима не пойдет в магазин'' благоприятствуют
С^6_(7)=7 способов, при которых Дима не будет выбран
p=7/28=1/4

Значит вероятность того, что Дима будет выбран
равна
1-(1/4)=3/4

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 25 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

См. решение на рисунке

65 градусов - 25 градусов = 40 градусов.
О т в е т. 40 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Всего 36 исходов испытания.
Событию удовлетворяют исходы:
1 на одной кости, 5 на другой
2 на одной, 4 на другой
3 на одной, 3 на другой
Всего 5 случаев
р=5/36

Ответ выбран лучшим

Наибольшее значение подкоренного выражения
-x^2+6x+7 это наибольшее значение квадратного трехчлена.
Графиком квадратного трехчлена является парабола, ветви которой направлены вниз.
Значит наибольшее значение в вершине параболы.

Абсцисса вершины
х_(o)=-b/2a=-6/(-2)=3

g(3)=-3^2+6*3+7=16

y=sqrt(g(x))

y_(наибольшее)=sqrt(16)=4

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k (касательной)

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты k.
y=3x-4 ⇒ k=3

k(касательной)=3
f`(x)=(-2x^3+6x-11)`=-6x^2+6
f`(x_(o))=-6x^2_(o)+6

-6x^2_(o)+6=3
-6x^2_(o)=3-6
x^2_(o)=1/2
x_(o)=-sqrt(1/2) или x_(o)=sqrt(1/2)

Ответ выбран лучшим

Так как log_(2)64=6, log_(2)4=2, то
log_(2)64–log_(2)4=6–2=4

Применяя формулу логарифма частного:
log_(2)64–log_(2)4=log_(2)(64/4)=log_(2)16=4

Ответ выбран лучшим

Так как log_(2)64=6, log_(2)4=2, то
log_(2)64–log_(2)4=6–2=4

Применяя формулу логарифма частного:
log_(2)64–log_(2)4=log_(2)64/4=log_(2)16=4

Ответ выбран лучшим

S( параллелограмма)=a·h_(a)=b·h_(b)

a·h_(a)=b·h_(b)
24·21=28·h
h=21·24/28=18

О т в е т. 18

Ответ выбран лучшим

S( параллелограмма)=a·ha=b·hb

a·h_(a)=b·h_(b)
21·15=28·h
h=21·15/28=11,25
О т в е т. 11,25

Ответ выбран лучшим

S( параллелограмма)=a*h_(a)=b*h_(b)

a*h_(a)=b*h_(b)
21*20=28*h
h=21*20/28=15
О т в е т. 15

Ответ выбран лучшим

Из одной буквы : А и Б - два слова.
Из двух букв : АА; ББ; АБ и БА - четыре
Из трех букв:
перестановки с повторениями из двух букв А и одной буквы Б
Р(2;1)=(2+1)!/(2!*1!)=3 слова ААБ; АБА; БАА
перестановки с повторениями из одной буквы А и двух букв Б
Р(1;2)=(1+2)!/(1!*2!)=3 слова АББ; ББА; БАБ
и слово из трех повторяющихся букв БББ
Всего семь слов
И так далее
...
Слов из 10 карточек:
Р(2;8)- перестановка с повторениями
=(2+8)!/(8!*2!)=45
О т в е т. 2+4 + 7 + (4+4+1) + (5+10+1) + (6+15+1)+
+(7+21+1)+(8+28+1) + (9+36+1)+ 45=

Ответ выбран лучшим

x^2+3x-10 < -x +2;
x^2+3x-10 +x - 2 < 0;
x^2 + 4x - 12 < 0
D=4^2-4*(-12)=16+48=64
x1=(-4-8)/2=-6 или x2=(-4+8)/2=2

___+_____ (-6) ___-____ (2) ____+_____

О т в е т. (-6;2)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin ∠ A=BC/AB ⇒ AB=BC/(sin ∠ A)=15/0,4=37,5

cos ∠ A=sqrt(1-sin^2 ∠ A)=sqrt(1-(0,4)^2)=sqrt(0,84)=sqrt(21/25)=(sqrt(21))/5

AC=AB*cos ∠ A=37,5*(sqrt(21))/5=(15sqrt(21))/2

Из Δ АВН
ВН=АС*сos ∠ A=3sqrt(21)

О т в е т. 3sqrt(21)

Ответ выбран лучшим

Как часто пишут в различных пособиях:
З А М Е Ч А Е М, что х=1 - корень уравнения
х^3+2x^2-13x+10=0.

1+2-13+10=0 - верно.

Далее '' искусственный прием'': прибавим и вычтем

x^2-x^2+x^2+2x^2-3x - 10x +10=
=x^3-x^2+3x^2-3x-10x+10=
=x^2*(x-1)+3x*(x-1)-10*(x-1)=
=(x-1)*(x^2+3x-10)

Про ОДЗ:
{(1/x) > 0 ⇒ x > 0
{x^2+3x-10 > 0

Сумма двух положительных чисел - положительна, поэтому
третье неравенство ( x^2+3x+(1/x) - 10 ) > 0 - верно.
И его можно не включать в систему.

Ответ выбран лучшим

(х(10–х)/2)+х > 0 ⇒ (10x-x^2+2x)/2 > 0 ⇒ x*(12-x)/2 > 0
_-__ (0) __+___ (12) ____-_____

О т в е т. (0;12)

х(10–х)/(2+х) > 0

_+__ (-2) __-__ (0) _____+_____ (10) __-__

О т в е т. (- бесконечность;-2)U (0;10)

Ответ выбран лучшим

8^(1/2) ^ 8^(1/6)=8^((1/2)-(1/6))=
=8^((3/6)-(1/6))=8^(2/6)=8^(1/3)=2

9^(3/2)=(9^(1/2))^3=3^3=27

О т в е т. 2/27

Ответ выбран лучшим

3^(3-x)=(3^3)^x;
3^(3-x)=3^(3x) ⇒ 3-x=3x ⇒ 3=x+3x;
4x=3
x=3/4
О т в е т. 3/4

Ответ выбран лучшим

1) sqrt(5)+sqrt(2) ≈ 2,24+1,41=3,65 - это точка С
2)3sqrt(5):sqrt(2)≈ 3*2,24/1,41=4,7 - это точка D
3)sqrt(5)-sqrt92) ≈ 2,24-1,41 < 1 - это точка A
4) (sqrt(2))^3-1=2sqrt(2)-1 ≈ 2*1,41-1=2,81-1=1 < 82 - это
точка В

Ответ выбран лучшим

1.
4x^2+28x+49=4x^2-4x+1;
28x+4x=1-49
32x=-48
x=-1,5
2.
x=1(1/9):(-2/9)
x=10/9*(-9/2)
x=-5
3.
x^2+9=x^2+18x+81;
8-81=18x
x=-4
4.
2x+1=2
2x=1
x=1/2
5.
4x-11=3x-4
3x-4≠0
4x-11≠0

4x-3x=-4+11
x=7
6.
x+89=-5
x ≠ 7

x=-5-89
x=-94
7.
1/(15-4x)=0,2^2
15-4x=25
-4x=25-15
-4x=10
x=-2,5
8.
x+2=(-2)^3
x+2=-8
x=-8-2
x=-10
9.
5^(x-7)=5^(-3) ⇒ x-7=-3 ⇒ x=4
10.
3^(-x+8)=3^(-2) ⇒ -x+8=-2 ⇒ x=10
11.
2^(3+x)=(2/5)*5^(3+x)
2^(2+x)=5^(2+x)
(2/5)^(2+x)=1
2+x=0
x=-2
12.
18,5x+0,7=-3
18,5x=-3,7
x=-0,2
13.2^x=t
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
t=1 или t=2
2^x=1 или 2^x=2
x=0 или x=1
14.
2^x=t
2^(-x)=1/t
t+(1/t)-2=0
t^2-2t+1=0
t ≠0

t=1
2^x=1
x=0
15.
(2/(t-1))+4=5/(t-2)

2*(t-2)+4*(t-1)*(t-2)=5*(t-1)
t ≠ 1; t ≠ 2

2t-4+4*(t^2-3t+2)=5*(t-1);
4t^2-15t+9=0
В=225-4*4*9=81
t=3/4 или t=3
3^x=(3/4) или 3^x=3
x=log_(3)(3/4) или х=1
О т в е т. log_(3)(3/4); 3

16. 4^(x+1)*(1+4)=40
4^(x+1)=8
2^(2x+2)=2^3
2x+2=3
2x=1
x=1/2
17.
9*9^x+81*9^x=30
9^x(9+81)=30
9^x=1/3
2x=-1
x=-1/2
18.
27*5^x=125*3^x
5^(x-3)=3^(x-3)
(5/3)^(x-3)=1
x-3=0
x=3
19.
27*4^x=8*9^x
2^(2x-3)=3^(2x-3)
(2/3)^(2x-3)=1
2x-3=0
x=1,5
20.
3x-7=2
3x=9
x=3
21
x+12=(1/3)^(-2)
x+12=9
x=-3
22
((1/4)+(1/2)+1)*log_(3)x=7
(7/4)*log_(3)x=7
log_(3)x=4
x=3^4
x=81

423:4=(420+3):4=105 ( ост. 3)

Ответ выбран лучшим

2.
Замена переменной
3^x=t
9^x=t^2
3^(x+1)=3*3^x=3t
Квадратное уравнение
t^2+3t-54=0
имеет корни
-9 и 6
Обратная замена
3^x=-9 - уравнение не имеет корней
3^x=6 x=log_(3)6

О т в е т. log_(3)6
5.
Замена переменной
3^x=t
9^(x+0,5)=(3^2)^x*9^(0,5)=3t^2
27^(x+1)=3^(3x)*27=27t^3

Кубическое уравнение
27t^3+60t^2+11t-2=0

Проверкой убеждаемся, что t=-2 - уравнения, значит левая часть может быть разложена на множители.
(t+2)*(27t^2+6t-1)=0

27t^2+6t-1=0
D=6^2-4*27*(-1)=36+108=144=12^2
t=-1/3 или t=1/9

Обратная замена
3^x=-2 - уравнение не имеет корней
3^x=-1/3 - уравнение не имеет корней
3^x=1/9
x=-2
О т в е т. х=-2

17.
2^3*2^(x/2)/(2^6)^(x-1) > 2^(-5x);
2^(3+(x/2)-6x+6) > 2^(-5x).
Показательная функция с основанием 2 возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
3+(х/2) -6х+6 > -5x;
x < 18
О т в е т. (- бесконечность; 18)

20.
3^(3x-6)/3^(2/3) меньше или равно 3^((1/3)+2x).
Показательная функция с основанием 3 возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
3x-6-(2/3) меньше или равно (1/3) + 2х;
х меньше или равно 7
О т в е т. (- бесконечность; 7]

21.
Замена переменной
7^x=t;
t > 0
49^x=t^2
49^(x+1)=49*49^x=49t^2

49t^2-28t-21 меньше или равно 0
D=(-28)^2-4*49*(-21)=4900=70^2
t=-3/7 или t=1

-3/7 < t меньше или равно 1
Учитывая, что t > 0 при любом х,
7^x меньше или равно 1=7^0
x меньше или равно 0
О т в е т. ( - бесконечность; 0]

Ответ выбран лучшим

Обозначим
∠ ABD= ∠ BCD = альфа
∠ ABD вписанный в окружность, опирается на дугу AD.
∠ ABD=(1/2) ∪ AD

∠ DAC =(1/2) ∪ AD как угол между касательной и хордой.

∠ ABD= ∠ BCD = ∠ DAC= альфа

Обозначим
∠ DВС = бета
Это угол между касательной ВС и хордой BD,
∠ DВC =(1/2) ∪ ВD .
∠ BАD вписанный в окружность, опирается на дугу ВD.
∠ BАD=(1/2) ∪ ВD
∠ DBC= ∠ BAD = бета

Из прямоугольного треугольника ВКD
KB=sqrt(2) ctg альфа
Из прямоугольного треугольника AКD
AK=sqrt(2) ctg бета
AB=AK+KB=sqrt(2)*(ctg альфа +ctg бета)

[b]AB=sqrt(2)*(ctg альфа +ctg бета)[/b]

Аналогично.
Из прямоугольного треугольника ВМD
BМ=sqrt(5) ctg бета
Из прямоугольного треугольника СМD
СМ=sqrt(5) ctg альфа
BС=ВМ+МС=sqrt(5)*(ctg альфа +ctg бета)

[b]BС=sqrt(5)*(ctg альфа +ctg бета)[/b]

Δ BDC подобен Δ ABD по двум углам.
Из подобия
[b]ВС:АВ=BD:AD[/b]

По теореме синусов:
BD:sin бета =AD:sin альфа ⇒
[b] BD:AD=sin бета : sin альфа [/b]

и
из ВС:АВ=BD:AD получаем
[b] sin бета : sin альфа =sqrt(5):sqrt(2) [/b]

Δ АВС - равнобедренный (ВС=АС по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки С).

ΔАОВ - равнобедренный (ОА=ОВ=R)
CO ⊥ AB
BP=PA
В равнобедренном треугольнике высота СР является одновременно и медианой и биссектрисой.

Δ ОВР - прямоугольный ( ∠ OBC= 90 градусов, значит
∠ ОВР=90 градусов - альфа - бета, ∠ BOP= альфа + бета)

Из прямоугольного треугольника ВРС
ВР=ВС*cos( альфа + бета )
ВР=1/2 АB

АB=2ВС*cos( альфа + бета )
sqrt(2)*(ctg альфа +ctg бета)=2sqrt(5)*(ctg альфа +ctg бета)*cos( альфа + бета ) ⇒

[b] cos( альфа + бета)=(sqrt(10))/10 [/b] ⇒

Планиметрия закончилась.
Тригонометрия:

Система
{cos( альфа + бета)=sqrt(10)/10,
{ sin бета : sin альфа =sqrt(5):sqrt(2)

Обозначим.
sin бета = x, тогда сos бета = sqrt(1-x^2).
sin альфа=sqrt((2/5))x и cos альфа=sqrt(1-(2/5)x^2)

Так как
cos( альфа + бета)=cos альфа * cos бета - sin альфа * sin бета, то

sqrt(1-x^2)*sqrt(1-(2/5)x^2)-x*sqrt((2/5))x=(sqrt(10))/10
sqrt(1-x^2)*sqrt(1-(2/5)x^2)=(sqrt(10))/10+sqrt((2/5))x^2

Возводим обе части уравнения в квадрат.

(1-x^2)*(1-(2/5)x^2)=(1/10+(2/5)x^2+(2/5)x^4

x^2=1/2
x=sqrt(2)/2

sin бета = sqrt(2)/2

бета = 45 градусов.

О т в е т. 45 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
BО=ОD

∠OBK = ∠ODM - внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей BD.

∠BOK = ∠DOM - вертикальные углы

Δ ВОК = Δ DOM

Из равенства треугольников следует равенство отрезков BK и DM (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямоугольные треугольники ВМК и ВTК равны по общей гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников
СК=МК

Прямоугольные треугольники КАМ и КАP равны по общей гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников
KP=МК

CK=MK=KP

Точка К равноудалена от АВ, ВС и AD. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, то суммы противолежащих углов равны 180 градусов.
∠ СBA= альфа , тогда ∠ СDA= 180 градусов - альфа .

Сумма смежных углов равна 180 градусов.
∠ CDA + ∠CDK = 180 градусов
∠ CDK= альфа

∠ CKD - общий для двух треугольников.
Треугольники КАВ и КСD подобны по двум углам. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Знаменатель 2+sinx ≠ 0, так как |sinx| меньше или равно 1.

(1+cos2x)/(2+sinx)=-2
1+cos2x=-2*(2+sinx);
так как 1=cos^2x+sin^2x; cos2x=cos^2x-sin^2x, получаем
2cos^2x=-4-2sinx;
2*(1-sin^2x)=-4-2sinx;
sin^2x-sinx-3=0
D=1-4*(-3)=13
sinx=(1-sqrt(13))/2 или sinx=(1+sqrt(13))/2

(1+sqrt(13))/2 > 1; (1-sqrt(13))/2 < -1

О т в е т. Уравнение (1+cos2x)/(2+sinx)=-2 не имеет корней.

Уравнение
(1+cos^2x)/(2+sinx)=-2
1+cos^2x=-2*(2+sinx);
1+1-sin^2x=-4-2sinx;
sin^2x-2sinx-3=0
D=(-2)^2-4*(-3)=4+12=16
sinx=-1 или sinx=3 (уравнение не имеет корней),
3 > 1.

О т в е т. (-π/2)+ 2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

(1-x)*|(x-3)(x+4)| больше или равно 0

Расставляем знаки:

[-2] __+___ [1] __-___ [3] _-_ [4]

x=-2;-1;0; 1; 2;3 - целые решения неравенства на отрезке [-2;4]
-2+(-1)+0+1+2+3=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

D=(-1)^2-4*2*(-10)=81
x1=(1-9)/4=-2 или х2=(1+9)/4=2,5

Ответ выбран лучшим

Правильная запись уравнения:
(4sin^2x-3)/(2cosx+1)=0

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля, что записываем в виде системы.
{4sin^2x-3=0;
{2cosx+1 ≠ 0

{sin^2x=3/4;
{cosx ≠ -1/2

{sinx=sqrt(3/2) или {sinx = sqrt(3)/2
{cosx ≠ -1/2 ... {cosx ≠ -1/2

О т в е т.
х=± (π/3)+2πk, k∈Z ( см. рисунок) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 23
см. рисунки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cм. рис.
∠ АСА1= ∠ ВСВ1 как вертикальные.

Δ АСА1 подобен Δ ВСВ1 по двум углам.
Из подобия следует пропорциональность сторон.
АС: ВС=А1С: В1С.

Δ А1СВ1 и Δ ВСА подобны, стороны пропорциональны, а углы заключающие эти стороны равны как вертикальные
∠ А1СВ1=∠ АСВ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма всех чисел таблицы
85+77+71=233

В задании сказано, что сумма чисел в строках лежит в диапазоне (12; 15), то есть, это могут быть числа 13 или 14 (так как все числа натуральные). Предположим, что сумма чисел во всех строках равна 13, тогда таких строк в таблице ровно
13*n < 233
n < 17,9
Если сумма во всех строках равна 14, то таких строк
14*n > 233
n > 16,6

Число строк в таблице целое число и оно должно лежать в пределах от 16,6 до 17,9. Это единственное целое число 17. Значит, в таблице 17 строк.

Ответ: 17.

Ответ выбран лучшим

За час сухогрузы прошли 12 км на запад и 16 км на север.
См. рис.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора
d^2=12^2+16^2=144+256=400
d=20 км.
О т в е т. 20 км (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть высоты ВК и ВМ. См. рис.
Сумма углов четырехугольника BKDM 360 градусов.
Два угла - прямые, ∠ KBM= 47 градусов.
Значит, ∠ D=360 градусов - 90 градусов - 90 градусов - 47 градусов=133 градусов.
Сумма углов прилежащих к одной стороне ромба равна 180 градусов

∠ А = ∠ С = 180 градусов - 133 градусов = 47 градусов.

О т в е т. 47 градусов.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-1 меньше или равно cosx меньше или равно 1

Умножаем на k:

-k меньше или равно k* cosx меньше или равно k

По рисунку видно, что график расположен в полосе от -3 до 3.
k=3

О т в е т. k=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ ABD=88 градусов.

Сумма смежных углов равна 180 градусов, значит смежный ∠ CBD = 180 градусов - 88 градусов = 92 градусов.

Биссектриса ВЕ делит ∠ CBD пополам

∠ CBЕ= ∠ DBE = 92 градусов : 2= 46 градусов.

Ответ выбран лучшим

''Среди любых 18 шаров имеется хотя бы один белый'' означает, что черных 17.

''Среди любых 9 шаров - хотя бы один черный'' означает, что белых - 8.
17+8=25
О т в е т. 17 черных шаров

Ответ выбран лучшим

''Среди любых 33 грибов имеется хотя бы один рыжик'' означает, что груздей 32.

''Среди любых 4 грибов хотя бы один груздь'' означает, что рыжиков 3.

О т в е т. 3 рыжика

Ответ выбран лучшим

1) неверно.
Если сотрудник этой фирмы летом 2014 г. отдыхал в Анапе, то он отдыхал и в Туапсе противоречит тому, что все сотрудники, которые отдыхали в Туапсе, не отдыхали в Анапе.
2) верно
3) верно, так как согласно тому, что
все сотрудники, которые отдыхали в Туапсе, не отдыхали в Анапе, множества сотрудников, отдохнувших в Анапе и отдохнувших в Туапсе не пересекаются.
4) Неверно. см. п.1) и 3)

О т в е т. 23

Ответ выбран лучшим

Cумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусов.
Один угол х, другой 5х.
х+5х=180
6х=180
х=30 градусов.
5х=5*30 градусов=150 градусов.
О т в е т. 30 градусов и 150 градусов.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению модуля:

Если x больше или равно 0, то |x|=x

Уравнение
(х+10).(х-10)=-36
x^2-100=-36
x^2=64
x=-8 или х=8
х=-8 посторонний корень, так как есть ограничение, что х больше или равно 0

Если x < 0, то |x|=- x

Уравнение
(х+10).(-х-10)=-36
(x+10)^2=36
x+10=-6 или х+10=6
x=-16 или х=-4
оба корня удовлетворяют ограничению, что х < 0

О т в е т. -16; -4; 8.

Ответ выбран лучшим

tg(x^2-y^2)=sin(x^2-y^2)/cos(x^2-y^2) ⇒
cos(x^2-y^2) ≠ 0

Систему запишем в виде:
{х-ysin(x^2-y^2)=sqrt(Pi/2)cos(x^2-y^2);
{y-xsin(x^2-y^2)=sqrt(Pi/3)cos(x^2-y^2).
Сложим уравнения и вычтем из первого второе:
{(x+y)-(x+y)sin(x^2-y^2)=(sqrt(Pi/2)+sqrt(Pi/3))*cos(x^2-y^2);
{(x-y)+(x-y)sin(x^2-y^2)=(sqrt(Pi/2)-sqrt(Pi/3))*cos(x^2-y^2).
Разложим левую часть каждого уравнения на множители, получим систему (#):

{(x+y)*(1-sin(x^2-y^2))=(sqrt(Pi/2)+sqrt(Pi/3))*cos(x^2-y^2);
{(x-y)*(1+sin(x^2-y^2))=(sqrt(Pi/2)-sqrt(Pi/3))*cos(x^2-y^2).

Перемножим уравнения
(x^2-y^2)*(1-sin^2(x^2-y^2))=((sqrt(Pi/2))^2-sqrt(Pi/3))^2)*cos^2(x^2-y^2).

(x^2-y^2)*cos^2(x^2-y^2)=(Pi/6)cos^2(x^2-y^2)

Переносим все слагаемые влево и раскладываем на множители:
(x^2-y^2-(Pi/6))*cos^2(x^2-y^2)=0

Так как
сos(x^2-y^2)=0 не удовлетворяет ОДЗ системы, то
cos^2(x^2-y^2) ≠0, и значит
x^2-y^2= Pi/6

Подставляем это значение в систему (#)
{(x+y)*(1-sin(Pi/6))=(sqrt(Pi/2)+sqrt(Pi/3))*cos(Pi/6);
{(x-y)*(1+sin(Pi/6))=(sqrt(Pi/2)-sqrt(Pi/3))*cos(Pi/6).

{x+y=sqrt(3)*sqrt(Pi)*(sqrt(3)+sqrt(2))/sqrt(6);
{x-y=(sqrt(3)/3)*sqrt(Pi)*(sqrt(3)-sqrt(2))/sqrt(6).

Cкладываем два уравнения и находим х
х=((2sqrt(3)+sqrt(2))*sqrt(Pi))/(3sqrt(2)).
Вычитаем из первого второе и находим у
у=((sqrt(3)+2sqrt(2))*sqrt(Pi))/(3sqrt(2)).

О т в е т.( ((2sqrt(3)+sqrt(2))*sqrt(Pi))/(3sqrt(2));((sqrt(3)+2sqrt(2))*sqrt(Pi))/(3sqrt(2))).

Ответ выбран лучшим

В конце года t пенсионные бумаги стоят 10t тыс. руб. (t=1;2;3;...)

Это значит, что за год t ценные бумаги увеличиваются в цене в
10t/10(t-1)=t/(t-1) раз
.
При t=11 получим 11/10 и соответственно при t=12 получим 12/11

По условию бумаги следует продать в конце 11-го года, потому что за 11-ый год прирост стоимости ценных бумаг будет больше, чем (1+r), а в конце 12-го года - меньше (1+r)

При t=11 получим 11/10 и соответственно при t=12 получим 12/11

Система двух неравенств:
{11/10 > 1+r
{12/11 < 1+r
Записываем в виде двойного неравенства
12/11 < 1+r < 11/10
(12/11)-1 < r < (11/10)-1
1/11 < r < 1/10

О т в е т. 1/11 < r < 1/10

Ответ выбран лучшим

v(t)=s`(t)=(3t^2+5t-1)`=6t+5

Ответ выбран лучшим

Пусть весь путь АВ=S км.
Пусть [b] собственная [/b] скорость катера Василия u км в час,
[b] собственная [/b] скорость второго катера v км в час.
По условию u> v.
Пусть скорость течения реки z км в час
До встречи с Григорием Василий преодолел 8 км.
АГ=8 км, значит ГВ=(S-8)
По пути в С Василий и Григорий встретили друзей
в точке Д.
По условию ДВ=(S/3) км
тогда ДГ=ДВ–ГВ=(S/3)–(S–8)=8–(2S/3) (км)

Обозначим СД=Q.
До встречи в Д друзья преодолели (2S/3) км со скоростью (v+z) км в час, время в пути
(2S/3(v+z))
Василий преодолел путь АГ+ГД
Путь АГ со скоростью (u+z) км в час и (8-(2S/3)) со скоростью (u-z) км в час
8/(u+z)+(8–(2S/3))/(u-z) ( час.) - время в пути Василия
(Время одинаковое. Василий и друзья отправились в путь одновременно)

Первое уравнение
2S/(3(v+z))= (8/(u+z))+(8–(2S/3))/(u-z)

После этого друзья преодолели (S/3) км со скоростью (v+z) км в час, затратив
S/(3(v+z)) час.

Василий преодолел путь ДС+СД+ДВ

ДС cо скоростью (u-z) км в час, ДС/(u-z)

СД cо скоростью (u+z) км в час.

Расстояние СД равно расстоянию ДС. Обозначено Q
ДВ cо скоростью (u+z) км в час.
Время в пути друзей и Василия одинаковое,
так как по условию оба катера прибыли в пункт В одновременно.

Второе уравнение

S/(3(v+z)) =Q/(u-z)+Q/(u+z)+(S/3(u+z))

Решаем систему уравнений

{ 2S/(3(v+z))= (8/(u+z))+(8–(2S/3))/(u-z)
{( S/(3(v+z)) =Q/(u-z)+Q/(u+z)+(S/3(u+z))
2*(Q/(u-z)+Q/(u+z)+(S/3(u+z)))= (8/(u+z))+(8–(2S/3))/(u-z)
2Q+(2S/3)=8
Q+(S/3)=4
CB=CД+ДВ=4-(S/3)+(S/3)=4

О т в е т. 4 км.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a+b+c=6
Возводим в квадрат
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=6^2
Так как
a^2+b^2+c^2=16, то
2ab+2ac+2bc=36-16
ab+ac+bc=10
О т в е т. 10

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

4,4x-3,3x=2,2
1,1x=2,2
x=2
Уравнение имеет решение при любом значении параметра а.
О т в е т. х=2

Ответ выбран лучшим

sin7x+sin6x=sinx
Применяем формулы
sinальфа +sin бета =2sin((альфа + бета)/2)*cos((альфа - бета)/2)
sin(альфа)=2sin((альфа)/2)*cos((альфа)/2)

2sin((7x+6x)/2)*cos((7x-6x)/2)=2sin(x/2)*cos(x/2)
2cos(x/2)*(sin(13x/2)-sin(x/2))=0
2cos(x/2)*2sin((13x/2)-(x/2))/2 * cos ((13x/2)+(x/2))/2 =0
4cos(x/2) * sin(3x)*cos(7x/2)=0
cos(x/2)=0 или sin3x=0 или cos(7x/2)=0
(x/2)= (π/2)+πk или 3х=πn или (7х/2)= (π/2)+πm,
k,n,m ∈ Z
x=π+2πk или х=(π/3)n или х= (π/7)+(2π/7)m,
k,n,m ∈ Z
x=π+2πk можно получить из (π/7)+(2π/7)m, при m=3: 10: 17, ..., (3+7p)

О т в е т. (π/3)n; (π/7)+(2π/7)m,
n,m ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат.
(6/7)+7+(7/6) и 9
7+(36+49)/42 > 9, так как
7+2 целых (1/42) > 9
О т в е т. √((6/7)+7+(7/6)) > 3

Ответ выбран лучшим

a+b+c=5 ⇒ (a+b+c)^2=5^2
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=25
Так как
ab+bc+ac=4, то
2ab+2bc+2ac=8

a^2+b^2+c^2=25-8
a^2+b^2+c^2=17
О т в е т. 17

Ответ выбран лучшим

а)
PC- высота пирамиды.
РС ⊥ пл. АВС

ВС- проекция РВ, АС- проекция РА.
По условию РA ⊥ BC, значит по теореме о трех перпендикулярах АС ⊥ ВС.
∠ АСВ=90 градусов, Δ АВС - прямоугольный.
б)
По теореме косинусов из треугольника РАВ:
РА^2=AB^2+PB^2-2*AB*PB*cos ∠PBA=
=17^2+10^2-2*17*10*(32/85)=289+100-128=261

По теореме Пифагора
PA^2=PC^2+AC^2;
PB^2=PC^2+BC^2
AC^2+BC^2=AB^2

261=PC^2+AC^2
100=PC^2+BC^2
Cкладываем
361=2PC^2+AC^2+BC^2, но AC^+BC^2=289

2РC^2=361-289
PC^2=36
PC=6

AC=sqrt(PA^2-PC^2)=sqrt(261-36)=sqrt(225)=15;
BC=sqrt(PB^2-PC^2)=sqrt(100-36)=sqrt(64)=8;

V=(1/3)S(основания)*Н=
=(1/3)*(1/2)*АС*ВС*РС=(1/6)*15*8*6=120 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
Пусть ВМ=х, тогда АМ=8х
СN=y, тогда DN=2y
По свойству касательной, проведенной к окружности из одной точки, отрезки касательных равны.
Поэтому
ВМ=ВК=x
СN=CK=y
AM=AP=8x
DN=DP=2y

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов.
Биссектрисы АО и ВО делят углы А и В пополам, значит сумма острых углов треугольника АОВ равна 90 градусов.
Треугольник АОВ- прямоугольный.
Высота ОM прямоугольного треугольника АОВ есть среднее пропорциональное между отрезками АМ и ВМ.
ОM^2=AM*BM
OM=r
r^2=8x*x
r^2=8x^2
Аналогично, Δ СOD - прямоугольный и
ON^2=CN*ND
r^2=y*2y
r^2=2y^2

8x^2=2y^2
4x^2=y^2
y=2x

AD=AP+DP=8x+2y=8x+2*2x=12x
BC=BK+CK=x+y=x+2x=3x/(sqrt(x^2+r^2
AD=12x=4*(3x)=4BC

б)
r=sqrt(6)
Обозначим
∠ МОВ= ∠ ВОК= альфа
∠ KOC= ∠ CON= бета
sin альфа =MB/BO=x/sqrt(x^2+r^2)
cos альфа =MO/BO=r/sqrt(x^2+r^2)
sin бета=CN/CO=y/sqrt(y^2+r^2)
cos бета =ON/CO=r/sqrt(y^2+r^2)

sin( альфа + бета )=
=sin альфа*cos бета +cos альфа *sin бета =
=r*(x+y)/(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))

Треугольник MON - равнобедренный,
МО=ОN=r
∠ MON=2*( альфа + бета )
Высота ОF делит основание MN пополам и сторону MN пополам.
MF=(1/2)MN=OM*sin( альфа + бета )=
MN=2*r*r*(x+y)//(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))
Так как у=2х и r^2=6 и r^2=8x^2; r^2=2y^2, то
MN=
=2*r^2*((r/sqrt(8))+(r/sqrt(2)))/(r*sqrt((1/8)+1)*r*sqrt((1/2)+1))=
=(2*r*3/(2sqrt(2)))/(sqrt(9/8)*sqrt(3/2))=4

О т в е т. MN=4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg(π/10)-ctg(π/10)=(sin(π/10)/cos(π/10))-(cos(π/10)/sin(π/10)=
=(sin^2(π/10)-cos^2(π/10))/(sin(π/10)·cos(π/10))=
=-cos(2π/10)/(sin(π/10)·cos(π/10))=
=-2cos(π/5)/(2sin(π/10)·cos(π/10))=
=-2cos(π/5)/(sin(2π/10))
-2ctg(π/5)

-2ctg(π/5)/ctg^2(π/5)=-2/ctg(π/5)

Ответ выбран лучшим

sin(2π/7)=2sin(π/7)*cos(π/7)

tg(π/7)+ctg(π/7)=(sin(π/7)/cos(π/7))+(cos(π/7)/sin(π/7)=
=(sin^2(π/7)+cos^2(π/7))/(sin(π/7)*cos(π/7))=
=1/(sin(π/7)*cos(π/7))

sin(2π/7)*(tg(π/7)+ctg(π/7))=2

1+cos(π/7)=2cos^2(π/14)

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

sin^2(π/5)*cos^2(π/5)=((1/2)*(2sin(π/5)*cos(π/5)))^2=
=(1/4)sin^2(2π/5)

1-cos^4(2π/5)-cos^2(2π/5)*sin^2(2π/5)=
1-cos^2(2π/5)*(cos^2(2π/5)+sin^2(2π/5))=
=1-cos^2(2π/5)*1=
=sin^2(2π/5)

О т в е т. 1/4

Ответ выбран лучшим

0,5^(5-x)=0,5^2
5-x=2
x=3

Ответ выбран лучшим

AБДИК
АБДЖК
АБВДИК
АБВДЖК
АБВЖК
АВЖК
АГВЖК
АГВДЖК
АГВДИК
АГЕЖК
АГЕК
О т в е т. 13 (прикреплено изображение)

Достроим до прямоугольника DMKP.
S=S(прямоугольника) - S( ΔDMC ) - S( ΔBKA ) - S( ΔADP )=
=14*9-(1/2)*9*3-(1/2)*5*5-(1/2)*14*4=126-13,5-12,5-28=
=72
О т в е т. 72 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(трапеции)=(a+b)*h/2=(5+10)*10/2=15*5=75 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0; x ≠ 1
log_(x)2 ≠ 0
{10+(1/log_(x)2) > 0

По свойствам логарифмов
log_(2)(0,5sqrt(x))=log_(2)0,5+log_(2)sqrt(x)=-1+(1/2)log_(2)x
1/log_(x)2=log_(2)x

Замена переменной
log_(2)x=t

sqrt(10+t)=2*(-1+(1/2)t) ( #)

Возводим обе части уравнения в квадрат.
При этом могут появиться посторонние корни. Поэтому решив уравнение (#) сделаем проверку.
10+t=4*(1-t+(1/4)t^2;
t^2-5t-6=0
D=25+24=49
t=(5-7)/2=-1 или t=(5+7)/2=6

Проверка.
t=-1 не является корнем уравнения (#), так как по определению арифметического корня
sqrt(9)=3
а при t=-1
sqrt(10-1)=2*(-1-1/2)
sqrt(9)=-3 - неверно

t=6 - корень уравнения (#),
sqrt(10+6)=2*(-1+(6/2))
sqrt(16)=2*2 - верно.

Обратная замена
log_(2)x=6
x=2^6
x=64
О т в е т. 64.

Ответ выбран лучшим

а)Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит
АС ⊥ BD.

Призма прямая , боковые ребра перпендикулярны плоскости основания
А1А ⊥ АС

По теореме о трех перпендикулярах, АС - проекция А1С
и АС перпендикулярна BD, значит и наклонная А1С перпендикулярна BD.

б) Пусть АВ=ВС=СD=AD=x
По условию
АВ=АА1 и значит АА1=х
Применяем формулу, связывающую квадраты диагоналей параллелограмма и его стороны:
d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a^2+b^2)

AC^2+BD^2=4x^2
AC^2+2^2=4x^2
AC^2=4x^2-4

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АА1С:
А1С^2=A1A^2+AC^2
2^2=x^2+(4x^2-4)
5x^2=8
x^2=8/5
x=sqrt(8/5)

V(призмы)=S(ромба)*H=(1/2)d_(1)*d_(2)*AA1=
=(1/2)2*sqrt(4x^2-4)*x=
=(1/2)*2*sqrt(4*(8/5)-4)*sqrt(8/5)= sqrt(12/5)*sqrt(8/5)=4sqrt(6)/5

О т в е т. 4sqrt(6)/5
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения функции (- бесконечность;+ бесконечность )
Находим
y`=(3x^2/3)-81
y`=0
x^2-81=0
x=-9 или х=9 - точки возможных экстремумов
Проверяем выполнение достаточного условия экстремума.
Находим знак производной.

__+__ (-9) __-__ (9) __+__

x=-9- точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
Находим знак в точке
х=-9
y(-9)=((-9)^3/3)-81*(-9)-3=-243+729-3=483

О т в е т. Наибольшее значение функции на отрезке [-13;-8]
у(-9)=483

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2x^2-17x+35 > 0 ⇒ D=(-17)^2-4*2*35=9 x∈ (-бесконечность;3,5)U(5;+ бесконечность )
{x+6 > 0 ⇒ x > - 6
{log_(7)(x+6) ≠ 0 ⇒ x+6 ≠ 1 ⇒ x ≠ -5

x ∈ (-6;-5) U(-5; 3,5 ) U(5;+ бесконечность )

Применяем обобщенный метод интервалов.

Находим нули числителя:
log_(2)(2x^2-17x+35)-1=0
log_(2)(2x^2-17x+35)=1
2x^2-17x+35=2
2x^2-17x+33=0
D=(-17)^2-4*2*33=289-264=25
x=(17-5)/4=3 или х=(17+5)/4=5,5

Находим нули знаменателя
log_(7)(x+6)=0
x+6=7^0
x+6=1
x=-5

Отмечаем найденные точки на числовой прямой с учетом ОДЗ и расставляем знаки.

(-6) _-_ (-5) _+_ [3] _-_ (3,5) \\\\\\\ (5) _-_ [5,5] _+_

О т в е т.(-6;-5)U [3; 3,5) U(5;5,5]

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

2xcosx–8cosx+x–4=0
Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки
(2xcosx–8cosx)+(x–4)=0;
2cosx*(x-4)+(x-4)=0;
(x-4)*(2cosx+1)=0
Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла.
x-4=0 или 2cosx+1=0
x=4 или сosx=-1/2 ⇒ ± (2π/3)+2πk, k∈Z
О т в е т.
а) 4; ± (2π/3)+2πk, k∈Z
б) (2π/3)∈ [–π/2; π] cм. рисунок. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x^2-24x > 0 ⇒ x*(x-24) > 0 ⇒ x < 0 или х > 24

По определению логарифма
x^2-24x=3^4;
x^2-24x-81=0
D=(-24)^2-4*(-81)=576+324=900
x=(24-30)/2=-3 или x=(24+30)/2=27
-3 < 0 и 27 > 24
Оба корня удовлетворяют ОДЗ

Сравним
log_(2)0,1 и -3=log_(2)(1/8)
Логарифмическая функция с основанием 2 > 1 возрастающая, большему значению аргумента соответствует большее значение функции
0,1 < 1/8
log_(2)0,1 < -3
-3 ∈ [log2 0,1; 12√5]

Сравним
12sqrt(5) и 27
Возводим числа в квадрат
144*5 и 729
144*5 < 729
Значит
12sqrt(5) < 27
27 ∉ [log2 0,1; 12√5]

О т в е т.
а) -3; 27
б) -3

Ответ выбран лучшим

1.
(4^(20)*3^(22))/(12)^(21)=(4^(20)*3^(22))/(3*4)^(21)=
=(4^(20)*3^(22))/((3)^(21)*4^(21))=3/4.
2.
x^2-2x-3=(x+1)(x-3)
D=(-2)^2-4*(-3)=16
корни -1 и 3

Решаем неравенство
(x+1)(x-3)/(5-x) меньше или равно 0
методом интервалов
_+_ [-1] ___-____ [3] _+_ (5) __-___

О т в е т. [-1;3]U(5;+ бесконечность)
3.
Возводим обе части уравнения в квадрат.
15-7х=(x-1)^2
При этом могут появиться посторонние корни.
Сделаем проверку.
15-7х=x^2-2x+1
x^2+5x-14=0
D=25+56=81
x=(-5-9)/2=-7 или х=(-5+9)/2=2

Проверка:
При х=-7
sqrt(15-7*(-7))=-7-1,
sqrt(64)=-7-1- неверно, противоречит определению арифметического квадратного корня.
При х=2
sqrt(15-7*2)=2-1 - верно.
О т в е т. х=2
4.
Так как sin^2x=1-cos^2x, уравнение принимает вид:
2*(1-cos^2x)+7cosx-5=0
2cos^2x-7cosx+3=0.
Замена переменной
cosx=t;
2t^2-7t+3=0
D=(-7)^2-4*2*3=49-24=25
t=(7-5)/4=1/2 или t=(7+5)/4=3

cosx=1/2 ⇒ x=± (π/3)+2πk, k∈Z
или
cosx=3 - уравнение не имеет корней, так как
-1 меньше или равно cosx меньше или равно 1

О т в е т.
а) x=± (π/3)+2πk, k∈Z
б) указанному отрезку принадлежат корни
х=(-π/3)+2π=5π/3
и
х=(π/3)+2π=7π/3

соs2x+cos^2(x–(π/2))=0,75
Так как косинус - четная функция, то
cos(x–(π/2))=cos((π/2)-x).
По формулам приведения
cos((π/2)-x)=sinx.
Уравнение принимает вид:
cos2x+sin^2x=0,75
cos2x=1-2sin^2x
1-2sin^2x+sin^2x=0,75
sin^2x=1/4
sinx=-1/2 или sinx=1/2

sinx=-1/2
x=- (π/6)+2πk, k∈Z или x= (-5π/6)+2πn, n∈Z

sinx=1/2
x=(π/6)+2πm, m∈Z или x= (5π/6)+2πp, p∈Z

О т в е ты можно записать и так
х=± (π/6)+πk, k∈Z или х=± (5π/6)+πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения

sin65° = sin(90°–25°) = cos25°

По формулам синуса двойного угла
4sin25°·cos25°=2*(2sin25°·cos25°)=2sin50°

Итак,
4sin25°·cos25° /sin50°= 2sin50°/sin50°=2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
х+2 больше или равно 0
х больше или равно -2

Функция возрастает,
наименьшее значение при х=-2 равно 0
f(-2)=3sqrt(-2+2)=3sqrt(0)=0

Множество значений [0; + бесконечность ) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя
х+7=0
х=-7
Находим нули знаменателя
x^2-2x-3=0
D=(-2)^2-4*(-3)=4+12=16
x=(2-4)/2=-1 или х=(2+4)/2=3

Расставляем знаки функции
f(x)=(x+7)/(x^2-2x-3)
При х=10
f(10)=(17)/(100-2003) > 0
Cтавим справа от точки х=3 знак + и далее влево знаки чередуем

__-_ (-7) _+___ (-1) __-__ (3) ___ + ___

О т в е т. (- бесконечность;-7) U(-1;3)
Наибольшее целое отрицательное х=-8

Ответ выбран лучшим

По формуле косинуса двойного угла
cos2 альфа =cos^2 альфа -sin^2 альфа
Так как
sin^2 альфа +cos^2 альфа =1, то
cos^2 альфа =1-sin^2 альфа

сos2 альфа =(1-sin^2 альфа)-sin^2 альфа=1-2sin^2 альфа=
=1-2*(-3/5)^2=1-2*(9/25)=7/25
О т в е т. 7/25

Ответ выбран лучшим

tg альфа =k(касательной)=f`(x_(o))

f`(x)=(2x^2-x)`=4x-1
f`(x_(o))=f`(-2)=4*(-2)-1=-9

О т в е т. tg альфа =-9

Ответ выбран лучшим

а) область определения функции — отрезок [−3; 4];
Значит, график располагается на оси Ох на отрезке [−3; 4]
б) значение функции составляют промежуток[–4;4],
значит график не выходит за границы полосы
- 4 меньше или равно у меньше или равно 4;
в) производная функции положительна на интервале (0;2), значит функция монотонно возрастает на интервале (0;2),

производная функции отрицательна на интервалах (-3;0) и (2;4) значит функция монотонно убывает на интервалах (-3;0) и (2;4).;

при переходе через точку х=0 производная меняет знак с - на +, значит х=0 - точка минимума.
у( мин)=у(0)= - 4

при переходе через точку х=2 производная меняет знак с + на -, значит х=2 - точка максимума.
у( макс)=у(2)= 4

г) график функции имеет единственную касательную параллельную оси абсцисс
Значит в какой-то из точек экстремума (х=0 или х=2) производная не существует, т.е график функции имеет ИЗЛОМ. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Дробь равна 0, тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.
{sinx-1/2=0
{cosx-(sqrt(3))/2 ≠ 0

{sinx=1/2 ⇒ x=(π/6)+2πn, n∈Z или х=(5π/6)+2πm, m∈Z
{cosx ≠ (sqrt(3))/2 ⇒ x ≠ ± (π/6)+2πk, k∈Z

О т в е т. (π/6)+2πn, n∈Z
Отрезку [-2Pi;0] принадлежит один корень (π/6)-2π=-11(π/6)

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, тогда и только тогда когда хотя бы один множитель равен 0, а другой при этом не теряет смысла

2cosx-1=0 при условии, что sinx больше или равно 0
или
sqrt(sinx)=0

1)
{cosx=1/2
{sinx больше или равно 0

x=(Pi/3)+2Pik, k ∈ Z

2) sinx=0
x=Pin, n ∈ Z

О т в е т. (Pi/3)+2Pik, Pin, k, n ∈ Z
Наибольший отрицательный корень (-180 градусов)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

45- (4*3+2,5*8)=45-(12+20)=45-32=13
О т в е т. 13

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что бросают кубик.
Исходов шесть.
n=6
(может выпасть любое число от 1 до 6 - 6 вариантов, 6 исходов испытания)
Событие А-"выпадет четное число очков, более чем 2"
Этому событию благоприятствуют два исхода испытания (
выпадает 4 и выпадает 6)
m=2
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=2/6=1/3
О т в е т. 1/3

Ответ выбран лучшим

Пусть в первом сплаве х г цинка.
Тогда масса первого сплава
800+900+х=(1700+х) г
Масса второго сплава 3,5 кг=3500 г

Пусть во втором сплаве у г олова, тогда
800:y=(1700+x):3500
у зависит от х

Пусть во втором сплаве z г меди, тогда
900:z=(1700+x):3500
z зависит от х

Ни у ни z не найти, если неизвестен х - содержание цинка в сплаве.
Проверьте условие, чего-то не хватает

Ответ выбран лучшим

87:6=29/2=14,5 ц собрали с 1 га
14,5*34=493 ц собрали с 34 га

Ответ выбран лучшим

Пусть х км/ч скорость первого, у км в час скорость второго.

По условию "первый автомобиль может проехать между этими пунктами за 4 часа", значит расстояние между пунктами 4х
"второй автомобиль может проехать между этими пунктами за 3 часа", значит расстояние между пунктами 3у.
Так как это одно и то же расстояние, то
3х=4у ⇒ х=(3/4)у

За 1 час 30 мин первый автомобиль проехал 1,5х км, второй 1,5 у км.

__1,5х км__-------30 км -----__1,5y км__

Уравнение:
1,5 х + 30 +1,5 у= 3у
или
1,5 х + 30 +1,5 у= 4х

х=(3/4)у

1,5*(3/4)у+30+1,5у=3у
(3/8)у=30
у=80
х=(3/4)у=(3/4)*80=60

О т в е т. 60 км/ч скорость первого, 80 км в час скорость второго

Ответ выбран лучшим

Пусть в бассейне х куб. м. воды.
(х/8) куб м выливается через первую трубу за час;
(х/12) куб м выливается через вторую трубу за час.
Уравнение. 330+(х/8)+2*(х/8)+2*(х/12)=х

11х/24=330
х=720 куб. м

О т в е т. 720 куб. м

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

30*2=60
60:10=6
50-4+6=52

Ответ выбран лучшим

Пусть основания трапеции a и b.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Значит, (a+b)/2=8 ⇒ a+b=16

Перенесем диагональ BD в точку С.
Получим равнобедренный треугольник АСМ, у которого углы при основании АМ равны 30 градусов и основание АМ равно сумме оснований трапеции
АМ=АD+DM=AD+BC=a+b=16

СК=(1/2) AM* tg 30 градусов =8*(sqrt(3))/3

О т в е т. 8*(sqrt(3))/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(0,5)(x-1)=log_(0,5)(x^2-7x+11)
Логарифмическая функция с основанием 0,5 монотонно убывает. Это означает, что каждое значение она принимает только в единственной точке.
Значения равны, значит и аргументы равны.
х-1=x^2-7x+11
x^2-8x+12=0
D=64-48=16
x=(8-4)/2=2 или х=(8+4)/2=6

Так как не находили ОДЗ, то делаем проверку
При х=2
log_(0,5)(2-1)-log_(0,5)(2^2-7*2+11)=0
log_(0,5)1-log_(0,5)1=0
0-0=0- верно.
При х=6
log_(0,5)(6-1)-log_(0,5)(6^2-7*6+11)=0
log_(0,5)5-log_(0,5)5=0
0=0- верно.
О т в е т. 2; 6

Ответ выбран лучшим

(1/6) часть работы выполняет первый за час,
(1/8) часть работы выполняет второй за час,

2*((1/6)+(1/8))=2*(7/24)=7/12 часть выполнили оба за 2 часа.
Осталось выполнить (1-(7/12))=5/12.
5/12:(1/8)=40/12=10/3=3 часа 20 мин. работал второй в одиночку

Ответ выбран лучшим

(x-3)^2=|x-3|^2;
|x-3|^2-2*|x-3|=0
|x-3|*(|x-3|-2)=0
|x-3|=0 или |x-3|=2
x=3 или х-3=2 или х-3=-2
х=3 или х=5 или х=1
О т в е т. 1;3;5.

Ответ выбран лучшим

(1/x)+(1/20)=1/12;
1/x=1/30
x=30
О т в е т. За 30 часов

Ответ выбран лучшим

(cos(x/2)–sin (x/2))^2 =cos^2 (x/2) – 2 cos (x/2)·sin (x/2) +sin^2 (x/2)=1-sinx
так как
cos^2 (x/2) +sin^2 (x/2)=1
2 cos (x/2)·sin (x/2)=sinx
Уравнение принимает вид
cosx=1-sinx-1
sinx+cosx=0
Делим на cosx ≠ 0
tgx+1=0
tgx=-1
x=-(π/4)+πk, k ∈ Z

О т в е т. -(π/4)+πk, k ∈ Z

Ответ выбран лучшим

cos 60 градусов=1/2;
По формулам приведения:
cos160 градусов= cos( 180 градусов- 20 градусов)=- cos 20 градусов

12cos40 · cos60 · cos 160 =-6cos40 градусов*cos 20 градусов=-6*(1/2)*(сos60 градусов+cos20 градусов)=
=-3*(1/2)+cos20 градусов)

Ответ выбран лучшим

Прямые
у=k1x+b1 и у=k2x+b2 перпендикулярны, если k1*k2=-1

В уравнениях прямых
3x+2y-8=2
2x-2y=2y-5
нет параметра b.

Записываем эти уравнения в виде уравнений с угловыми коэффициентами
у=(-3/2)х+5 ⇒ k1=-3/2 (должно быть выражение с b)
у=(1/2)+(5/4) ⇒ k2=1/2 (должно быть выражение с b)

k1*k2=-1
Подставляем найденные выражения для k1 и k2
и решаем уравнение.

Ответ выбран лучшим

Основное логарифмическре тождество:
2^(log_(2)(10))=10

О т в е т. log_(2)10=1/lg2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+2 > 0;
{x+5 > 0; x+5≠1
{log_(9)(x+5) больше или равно 0 ⇒ x+5 больше или равно 1
ОДЗ: х∈(-2;+бесконечность)

В условиях ОДЗ
sqrt(log_(9)(x+5)) > 0

Решаем неравенство
(x-9)*log_(x+5)(x+2) меньше или равно 0
обобщенным методом интервалов.

х-9=0 или log_(х+5)(x+2)=0
x=9 или х+2=1

(-2) _+__ [-1] ___-____ [9] __+___

О т в е т. [-1;9]

Ответ выбран лучшим

а)
ABCD- квадрат со стороной 3;
AM|| DN и АМ=DN=1, значит AMND- параллелограмм с углами в 90 градусов, т. е прямоугольник. Противоположные стороны прямоугольника параллельны
[b]MN || AD[/b].

АС=3sqrt(2) - диагональ квадрата АВСD.
Значит АО=ОС=3sqrt(2)/2.

Δ SOA - прямоугольный равнобедренный, SO=OA=3sqrt(2)/2
SC=3

Δ SAB - равносторонний.
AK=AM=1
По теореме, обратной теореме Фалеса KM || SB.

Две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM и MN) параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости ( SB и BC), значит пл. (KMN) и (SBC) параллельны.

б)
Плоскость (KMN) пересекает плоскoсть (SAD) по прямой KL || AD || MN.
Сечение KLMN - равнобедренная трапеция
KM=LN=1
KL=2 ( KL=SL=SK=3-1=2)

Проводим апофему SP в треугольнике SAD.
SP пересекает KL в точке Е.
MN пересекает РО в точке F.

Расстояние от точки К до плоскости (SBC) равно расстоянию от точки S до плоскости KLMN, т. е расстоянию от точки S до прямой EF.
Значит искомое расстояние равно высоте треугольника SEF, проведенной из вершины S на сторону EF.

Находим стороны треугольника SEF.

PO=AB/2=3/2
PF=AM=1
FO=(3/2)-1=1/2
По теореме Пифагора из треугольника SOF
SF^2=SO^2+FO^2=(3sqrt(2)/2)^2+(1/2)^2=(18/4)+(1/4)=19/4
SF=sqrt(19)/2
SE- высота равностороннего треугольника SLK со стороной 2, SE=2sqrt(3)/2=sqrt(3)
EF- высота равнобедренной трапеции KLMN, EF=sqrt(3)/2.

По теореме косинусов
cos ∠ SEF=(SE^2+EF^2-SF^2)/(2*SE*EF)=-1/3
sin∠ SEF=sqrt(1-(-1/3)^2)=sqrt(8)/9=2sqrt(2)/3
sin∠ SEF=sin(180 градусов - ∠ SEF)=2sqrt(2)/3
h=SE*sin(180 градусов - ∠ SEF)=sqrt(3)*(2sqrt(2)/3)=2sqrt(6)/3
О т в е т. 2sqrt (6)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
см. рис. 1
АВ=ВС=СD=AD=a=sqrt(10)
AT=TB=BK=KC=CF=FD=DP=PA=(1/2) a=(1/2)sqrt(10),
По теореме Пифагора из Δ АТР
TP=sqrt(5)
По теореме Пифагора из Δ BCТ= ΔDСР
СЕ=СР=sqrt(a^2+(a/2)^2)=sqrt(5/4)a=a(sqrt(5))/2=(5sqrt(2))/2

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной, поэтому
СM*CT=CK^2
CM*(5sqrt(2))/2=(sqrt(10))^2/4
CM=(sqrt(2))/2
Аналогично,
СN=CM=(sqrt(2))/2
По теореме, обратной теореме Фалеса,
MN|| TP.

б)
Рассматриваем равнобедренный треугольник СТР.
Высота СЕ является одновременно и медианой. Из прямоугольного треугольника СТЕ:
сos ∠ CTE=TE/CT=1/sqrt(10)

MT=CT-CM=(5sqrt(2))/2-(sqrt(2))/2=(4sqrt(2))/2=2sqrt(2)

Из треугольника МTP по теореме косинусов
МР^2=MT^2+TP^2-2MT*TP*cos∠ CTE=9
MP=3
О т в е т. 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х рабочих, работая у часов выполняют всю работу за 14 дней.
Тогда 14ху - вся работа.

(х+4) рабочих, работая (у+1) час выполняют работу за 10 дней.
(х+4)*(у+1)- часть работы за один день
(х+4)*(у+1)=14ху/10

(х+10) рабочих, работая (у+2) час выполняют работу за 7 дней.
(х+10)*(у+2)- часть работы за один день
(х+10)*(у+2)=14ху/7

Система двух уравнений с двумя неизвестными:
{(x+4)(y+1)=14xy/10;
{(x+10)*(y+2)=14xy/7.

{10ху+40у+10х+40=14xy
{xy+10y+2x+20=2xy.

{20y+5x+20=2xy
{10y+2x+20=2xy

Умножаем второе на (-2) и складываем
х=20
у=6
О т в е т. 20 рабочих; 6 дней.

Ответ выбран лучшим

Дано: Δ АВС- равносторонний,
SA=SB=SC=9;
SO=3sqrt(5);
О- центр вписанной в Δ АВС окружности и центр описанной около треугольника АВС окружности.
АО=ВО=СО=R
OM=r
В правильном треугольнике высота является одновременно медианой и биссектрисой.
Высоты пересекаются в точке О.
О-точка пересечения медиан.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
R=2h/3
r=h/3
r=R/2

По теореме Пифагора из Δ SOB
OB=R=sqrt(SB^2-SO^2)=sqrt(9^2-(3sqrt(5))^2)=sqrt(81-45)=sqrt(36)=6

OM=r=3
АМ=h=AO+OM=R+r=6+3=9

Значит, треугольник SAM- равнобедренный
SA=9 и AM=9
Медиана АТ (ST=TM по условию) этого треугольника является одновременно и высотой.
АТ ⊥ SM
Так как ВС ⊥ SM и ВС⊥ AM, то BC ⊥ пл. (SAM) ⇒ BC ⊥ AT
АТ перпендикулярна двум пересекающимся прямым пл. (SBC) ( SM и BC), значит АТ перпендикулярна пл. (SBC).

б)
По теореме Пифагора из треугольника SOM
SM=sqrt(SO^2+OM^2)=sqrt((3sqrt(5))^2+3^2)=sqrt(45+9)=sqrt(54)
По теореме Пифагора из треугольника SBM
BM=sqrt(SB^2-SM^2)=sqrt(9^2-(sqrt(54))^2)=sqrt(81-54)=sqrt(27)=3sqrt(3)
Прямоугольный Δ SBM подобен прямоугольному Δ SKT по острому углу ∠ ВSM.
Из подобия
KT:BM=ST:SB
KT:3sqrt(3)=((sqrt(54))/2) : 9
KT=(3sqrt(2))/2
О т в е т. (3sqrt(2))/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+1 > 0;
{x+3 > 0; x+3≠1
ОДЗ: х∈(-1;+бесконечность)

Применяем формулу перехода к другому основанию:
log_(x+3)(x+1)=log_(3)(x+1)/log_(3)(x+3).
По формуле логарифма степени
log_(3)(x+3)^3=3log_(3)(x+3).

Неравенство принимает вид:

(x-7)*log_(3)(x+1)*3*log_(3)(x+3)/log_(3)(x+3) меньше или равно 0;
log_(3)(x+3)≠0 ⇒ x≠-2 - не входит в ОДЗ.
Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя.
х-7=0 или log_(3)(x+1)=0
x=7 или х=0
___ (-1) _+__ [0] ___-____ [7] __+___

О т в е т. [0;7]

4,2*1,1 =4,62 млн. руб долг в январе 2017, 2018, 2019 и 2020 годов.
4,62-4,2=0,42 млн. руб - выплаты в феврале-июне 2017,2018,2019 и 2020 годов.

Долг в январе 2021 года 4,2*1.1=4,62 млн. руб
Пусть в феврале - июле выплачен х, на июль остаток составил (4,62-x) млн. руб.
Долг в январе 2022 года (4,62-x)*1,1 млн. руб
В феврале - июле выплачен долг х, на июль остаток составил ((4,62-x)*1,1-x) млн. руб. Что по условию равно 0.
Уравнение
(4,62-х)*1,1-х=0
2,1х=5,082
х=2,42

2,42 -0,42=2 млн. руб
О т в е т. на 2 млн. руб

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(3π/2–x)=-cosx
Уравнение принимает вид:
-1-4sin^2x=-8cosx;
так как sin^2x=1-cos^2x, то
-1-4*(1- cos^2x)=-8cosx;
4cos^2x+8cosx-5=0
D=64+80=144
cosx=-2,5 (уравнение не имеет корней |cosx| меньше или равно 1) или сos=1/2
x=± (π/3)+2πk, k∈Z
О т в е т.
а) ± (π/3)+2πk, k∈Z
б)(π/3)+2π=(7π/3)∈[9π/4; 3π]

Ответ выбран лучшим

Дано:
b_(9)-b_(3)=245b_(6)
Найти
b_(10)/b_(5)
Решение.
b_(10)=b_(1)*q^(9)
b_(5)=b_(1)*q^(4)
Значит
b_(10)/b_(5)=q^(5)

Из условия
b_(9)-b_(3)=245b_(6)
найдем q
b_(1)*q^8-b_(1)*q^2=245b_(1)*q^5
Делим равенство на b_(1)q^2
q^(6)-1=245q^3
Замена переменной
q^3=t;
t^2-245t-1=0
D=(-245)^2+4=60029
t=(245-sqrt(60029))/2 второй корень положительный и не удовлетворяет условию знакочередования.
q^3=(245-sqrt(60029))/2
О т в е т. ((245-sqrt(60029))/2)^(5/3)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора из Δ ВDD1:
BD=sqrt(6^2-2^2=sqrt(32).

По теореме Пифагора из Δ ABD:
AB=sqrt(((sqrt(32))^2-(sqrt(7))^2)=sqrt(25)=5.
AB=CD=A1B1=C1D1=5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
3^x=t;
t > 0.
3^(x+1)=3^x*3=3t;
9^x=(3^2)^x=(3^x)^2=t^2.
Неравенство принимает вид:
(t^2+5t-14)/(t^2-6t+8) меньше или равно ((t+4)/(t-4)) + (2/(t-3));
переносим все слагаемые влево и приводим дроби к общему знаменателю:
t^2-6t+8=(t-4)(t-2)

((t-3)*(t^2+5t-14)-(t+4)*(t-2)(t-3)-2*(t-4)(t-2))/(t-2)(t-3)(t-4) меньше или равно 0;

(t^2-3t+2)/(t-2)(t-3)(t-4) меньше или равно 0;

(t-1)(t-2)/(t-2)(t-3)(t-4) меньше или равно 0.

Применяем метод интервалов.

_-__[1] _+__ (2) __+__ (3) __-__ (4) __+__

t меньше или равно 1 или 3 < t < 4

Возвращаемся к переменной х:
3^x меньше или равно 1 или 3 < 3^x < 4
x меньше или равно 0 или 1 < x < log_(3)4
О т в е т. (- бесконечность;0]U(1;log_(3)4)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(7π/2–x)=-sinx
и
cos^2x=1-sin^2x.
Уравнение принимает вид:
-2*(1-sin^2x)=-3sinx;
2sin^2x+3sinx-2=0
D=9+16=25
sinx=-2 (уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно 1) или sinx=1/2 ⇒x= (π/6)+2πk, k∈Z или х= (5π/6)+2πn, n∈Z
О т в е т.
а)(π/6)+2πk; (5π/6)+2πn; k,n ∈ Z
б) х=(5π/6)+2π=(17π/6)∈[5π/2; 4π]

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos(-405 градусов)=сos 405 градусов=
=cos (360 градусов + 45 градусов)=
=cos 45 градусов = sqrt(2)/2

5sqrt(2)*cos(-405 градусов)=5sqrt(2)*( sqrt(2)/2)=5

Ответ выбран лучшим

log_(5^(1/5))sqrt(5)=(1/2)/(1/5)=5/2
log_(3)48-log_(3)16=log_(3)(48/16)=log_(3)3=1
15^(log_(15)4)=4

О т в е т. ((5/2)+1)*4=14

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) Найдем стороны треугольника АТС1.
По теореме Пифагора из треугольника АА1Т:
AT^2=A1A^2+A1T^2=5^2+1^1=26
По теореме Пифагора из треугольника А1ТС1:
C1T^2=A1C1^2-A1T^2=2^2-1^2=3
По теореме Пифагора из треугольника АСС1:
AC1^2=AC^2+C1C^2=2^2+5^2=4+25=29

Так как
AС1^2=29=26+3=AT^2+TC1^2
выполняется заключение теоремы Пифагора.
По теореме обратной теореме Пифагора Δ АТС1 - прямоугольный.

б) C1T ⊥ A1T ⇒ C1T ⊥ AT по теореме о трех перпендикулярах.

∠АТА1 - линейный угол двугранного угла между пл. (АТС1) и (А1В1С1), а значит и между пл. (АТС1) и (АВС).
так как (АВС) || (A1B1C1)

tg∠АТА1=A1A/A1T=5/1=5
∠АТА1= arctg 5
О т в е т. arctg 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Дано:
LM||KN;
KL=MN.

OK=OL=r

OH=r
OB=r
OB⊥MN

а)

OQ-средняя линия трапеции KLMN
OQ||LM
OQ||KN ⇒ OQ||HN
OK=OL=OH=OB=r
Δ KOH- равнобедренный (ОК=ОН=r)
∠ OKH=∠OHK=75 градусов;

∠OHK=∠QNK=75 градусов, это односторонние углы, значит
OH||QN
NQOH- параллелограмм, так как противоположные стороны попарно параллельны:
OQ||HN
и
OH||QN

б)
Дано:
∠ LKN=∠MNK=75 градусов;
LM=4

Пусть боковые стороны трапеции LK и MN пересекаются в точке А.
∠ АLМ=∠ LKN=75 градусов;
∠АML=∠MNK=75 градусов;
Значит, ∠ АLМ=∠АML=75 градусов;
Δ ALM - равнобедренный
∠ LAM=180 градусов - ∠ АLМ-∠АML=180 градусов -75 градусов-75 градусов=30 градусов;

ΔАОВ- прямоугольный (OB⊥MN) с острым углом ∠ LAM=30 градусов, катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы
ОА=2*ОВ=2*r

Тогда AL=AO-LO=2r-r=r
AL=AM=r
LM- средняя линия треугольника AOQ
OQ=2LM=2*4=8

ΔАLM=ΔKOH
AL=AM=OK=OH=r
LM=KH=4

KN=KH+HN=LM+OQ=4+8=12
О т в е т. 12

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/8)^(x-1) меньше или равно (1/8) ^(-1/8)
x-1 больше или равно (1/8)
х больше или равно 1 целая (1/8)
О т в е т. [1 целая (1/8); + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Пусть первому требуется х часов на весь путь, второму (х-5) часов.
(S/x) км/ч - скорость первого
(S/(x-5)) км/ч - скорость второго.
3ч20 мин=10/3 часа
10/3*(S/x)+(10/3)*(S/(x-5))=S
или
3x^2-35x+50=0
D=35^2-4*3*50=1225-600=625
x=(35+25)/6=10 или х=(35-25)/6=10/6 не удовлетворяет смыслу задачи, так как х-5 в таком случае отрицательно
О т в е т. 10 часов

Ответ выбран лучшим

log_(2)sin(5π/12)+log_(2)cos(5π/12)=
=log_(2)(sin(5π/12)*cos(5π/12))=
=log_(2)(1/2)*sin(5π/6)=
=log_(2)(1/2)+log_(2)sin(5π/6)
=log_(2)1/2+log_(2)(1/2)=-1-1=-2

Ответ выбран лучшим

∛ 10 * ∛ (25/16)=∛ ((25*10)/16)=∛ (125/8)=5/2=2,5

Ответ выбран лучшим

р(1)=0,1
p(3)=0,3
p(5)=0,4

p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1
p(2)+p(4)+p(6)=1-p(1)-p(3)-p(5)=1-0,1-0,3-0,4=0,2

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos⁡(5π/2–x)=sinx
Уравнение принимает вид
sin^2x=5sinx
sin^2x-5sinx=0
sinx*(sinx-5)=0
sinx=0 или sinx=5
x=πk, k∈Z или уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно 1
О т в е т. πk ; k∈Z

Ответ выбран лучшим

log_(7)2+log_(7)3=log_(7)2*3=log_(7)6

log_(7)(x-1) < log_(7)6 ⇒

{x-1 > 0;
{x-1 < 6

0 < x-1 < 6
1 < x < 7

О т в е т. (1;7)

ОДЗ:
5sinx ≥0 ⇒ 2πm меньше или равно x меньше или равно π+2πm, m∈Z

2cosx-sqrt(3)=0 или sinx=0
cosx=sqrt(3)/2
x=± (π/6)+2πk, k∈Z или х=πn, n∈Z
x=- (π/6)+2πk, k∈Z не удовлетворяет ОДЗ
значит
х= (π/6)+2πk, k∈Z или x=πn, n∈Z
О т в е т.
а) (π/6)+2πk; πn; k, n∈Z
б) Указанному промежутку принадлежат корни
(-4π); (-3π) и (π/6)-4π=-23π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x≠πt, t∈Z

sinx≠1/2
x≠(π/6)+2πm, m∈Z и х≠(5π/6)+2πk, k∈Z

ctgx-sqrt(3)=0
сtgx=sqrt(3)
x=(π/6)+πn, n∈Z
согласно ОДЗ x≠(π/6)+2πm, m∈Z

О т в е т.
а) (π/6)+π+2πn=(7π/6)+2πn, n∈Z
б) Указанному промежутку принадлежит корень
(7π/6)+2π=19π/6

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{ (2-x)/2 > 0; ⇒ { 2-x > 0
{(2-x)/2≠1; ⇒ {2-x≠2;
{6/(2+x) > 0 ⇒ {2+x > 0
x∈(-2;0)U(0;2)

log_((2-x)/2)6/(2+x) больше или равно log_((2-x)/2)((2-x)/2)^(-1)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств ( см. таблицу в приложении)
(((2-x)/2)-1)*((6/(2+x)) -(2/(2-x))) больше или равно 0
(-х/2)*(8-8х)/((2-х)(2+х)) больше или равно 0
(-2) __+__ (0) ___[1] _+_ (2)
О т в е т. (-2;0) U[1;2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{11sinx > 0 ⇒ 2πk < x < π+2πk, k∈Z

9^(sin2x)-3^(2sqrt(2)sinx)=0

9=3^2;
sin2x=2sinxcosx

3^(4sinx*cosx)-3^(2sqrt(2)sinx)=0;
3^(4sinx*cosx)=3^(2sqrt(2)sinx);
4sinxcosx=2sqrt(2)sinx
4sinxcosx-2sqrt(2)sinx=0
2sinx*(2cosx-sqrt(2))=0
sinx=0 или сosx=sqrt(2)/2
x=πk, k∈Z или х=± (π/4)+2πn, n∈Z

x=πk, k∈Z не принадлежит ОДЗ
х=- (π/4)+2πn, n∈Z не принадлежит ОДЗ

О т в е т.
а) х= (π/4)+2πn, n∈Z
б) Указанному промежутку принадлежит корень
х=(π/4)+4π=(17π/4)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x≠(π/2)+πt, t∈Z

tgx≠-1
x≠(-π/4)+πm, m∈Z

sqrt(2)sinx-1=0
sinx=1/sqrt(2)
x=(π/4)+2πk, k∈Z или х=(3π/4)+2πn, n∈Z

х=(3π/4)+2πn, n∈Z не удовлетворяет ОДЗ (x≠(-π/4)+πm, m∈Z )
О т в е т.
а) (π/4)+2πk, k∈Z
б) Указанному промежутку принадлежит корень
(π/4)+4π=17π/4

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
-19sinx > 0 ⇒ sinx < 0 ⇒π+2πm < x < 2π+2πm, m∈Z

2cosx+1=0
cosx=-1/2
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z
x= (2π/3)+2πk, k∈Z не удовлетворяет ОДЗ
значит
х= -(2π/3)+2πk, k∈Z

О т в е т.
а) -(2π/3)+2πk; k∈Z
б) Указанному промежутку принадлежит корень
-(2π/3)+2π=4 π/3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулы двойного угла
cosx=cos²(x/2)–sin²(x/2);
sinx=2sin(x/2)cos(x/2);
и
1=cos²(x/2)+sin²(x/2);
3=3cos²(x/2)+3sin²(x/2).
Уравнение примет вид
3*2*sin(x/2)cos(x/2)-4*(cos²(x/2)-sin^2(x/2))=
=3*(cos²(x/2)+sin^2(x/2))

sin^2(x/2) +6*sin(x/2)cos(x/2)-7cos^2(x/2)=0 - однородное тригонометрическое уравнение. Делим на cos²(x/2)≠0.
tg²(x/2)+6tg(x/2)-7=0.
D=6^2-4*(-7)=36+28=64
tg(x/2)=-7 или tg(x/2)=1

x/2=arctg(-7)+πk, k∈Z.
x=-2arctg7 +2πk, k∈Z.
или
(х/2)=(π/4)+πn, n∈Z
x=(π/2)+2πn, n∈Z
О т в е т. -2arctg7 +2πk;(π/2)+2πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Применяем формулы двойного угла
cosx=cos²(x/2)–sin²(x/2);
sinx=2sin(x/2)cos(x/2);
и
1=cos²(x/2)+sin²(x/2);
7=7cos²(x/2)+7sin²(x/2).
Уравнение примет вид
3*2*sin(x/2)cos(x/2)-5*(cos²(x/2)-sin^2(x/2))=7*(cos²(x/2)+sin^2(x/2))

2sin^2(x/2) -6*sin(x/2)cos(x/2)+12*cos^2(x/2)=0 - однородное тригонометрическое уравнение. Делим на 2cos²(x/2)≠0.
tg²(x/2)-3tg(x/2)+6=0.
D=(-3)^2-4*6 < 0
уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

80*30*40=96 000 куб. см= 96 л

Ответ выбран лучшим

2,7+5,8=8,5
8,5/6,8=5/4=1,25

Ответ выбран лучшим

3,2-5,7=-2,5
-2,5/2,5=-1

Ответ выбран лучшим

2^(2x)=2^9
2x=9
x=4,5

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+6 > 0;
{x+5 > 0
{x≠-4;
{x≠-3

x∈ (-5;-4)U(-4;-3)U(-3;+ ∞)

По формуле перехода к другому основанию:
log_(2)(x+6)=log_(5)(x+6)/log_(5)2;
log_(5)(x+5)=log_(2)(x+5)/log_(2)5;
так как
log_(5)2 * log_(2)5=1, то
log_(2)(x+6)*log_(5)(x+5)=log_(5)(x+6)*log_(2)(x+5)

Переносим все слагаемые данного неравенства влево, выносим за скобки общий множитель:
log_(2)(x+6)*log_(5)(x+5)* ((1/(х+4))-(1/(х+3))) меньше или равно 0
или
log_(2)(x+6)*log_(5)(x+5)* ((1/(х+4))-(1/(х+3))) меньше или равно 0
-log_(2)(x+6)*log_(5)(x+5)/((х+4)*(х+3)) меньше или равно 0;

log_(2)(x+6)*log_(5)(x+5)/((х+4)*(х+3)) больше или равно 0
Применяем обобщенный метод интервалов.
Нули числителя:
log_(2)(x+6)=0 или log_(5)(x+5)=0
x+6=2^0 или х+5=5^0
x=-5 или х=-4
Нули знаменателя
х=-4 или х=-3

При переходе через точку х=-4 знак не меняется!

(-5) __+__ (-4) __+___ (-3) _-___

О т в е т. (-3; + ∞)

y`=z
y``=z`
(1+x^2)z`-2xz=0 - уравнение с разделяющимися переменными.
(1+x^2)dz=2xzdx
dz/z=2xdx/(1+x^2)
Интегрируем
ln|z|=ln|1+x^2|+lnC_(1)
z=C_(1)*(1+x^2)
y`=C_(1)*(1+x^2)
По условию
y`(0)=3
3=C_(1)*(1+0)
C_(1)=3
y`=3(1+x^2)
dy=3(1+x^2)dx
y=3x+x^3+C_(2)
По условию
у(0)=0
0=С_(2)
у=3x+x^3
О т в е т. у=3x+x^3

Ответ выбран лучшим

Применяем метод интервалов:
Нули числителя.
х-4х^2=0
x(1-4x)=0
x=0; x=1/4
Нули знаменателя:
х-1=0
х=1

_+__ (0) _-_ (1/4) _+_ (1) _-__

О т в е т. (- бесконечность;0)U(1/4;1)

Ответ выбран лучшим

Пусть велосипедист проходит путь S от А до Б за х часов, мотороллер за (х-2) часа.
(S/x) км в час- скорость велосипедиста.
За 45 мин=(45/60) часа = (3/4) часа велосипедист проехал
(3/4)*(S/x) км.
(S/(x-2)) км в час- скорость мотороллера.
За 45 мин=(45/60) часа = (3/4) часа мотороллер проехал
(3/4)*(S/(x-2)) км.
Вместе велоcипедист и мотороллер проехали весь путь S.
Уравнение:
(3/4)*(S/x)+ (3/4)*(S/(x-2))=S
Сокращаем на S, приводим к общему знаменателю:
4x^2-14x+6=0
x(x-2)≠0
x=3 или х=1/2 ( не удовл смыслу задачи, так как х-2 тогда отрицательно)
О т в е т. 3 часа

Ответ выбран лучшим

c_(2)=c_(1)-4=5-4=1
c_(3)=c_(2)-4=1-4=-3
c_(4)=c_(3)-4=-3-4=-7
c_(5)=c_(4)-4=-7-4=-11
c_(6)=c_(5)-4=-11-4=-15

c_(1)=5, c_(n+1) = c_(n) − 4.

c_(2)=c_(1)-4=5-4=1
c_(3)=c_(2)-4=1-4=-3
c_(4)=c_(3)-4=-3-4=-7
c_(5)=c_(4)-4=-7-4=-11
c_(6)=c_(5)-4=-11-4=-15

Ответ выбран лучшим

c_(2)=c_(1)-5=8-5=3
c_(3)=c_(2)-5=3-5=-2
c_(4)=c_(3)-5=-2-5=-7
c_(5)=c_(4)-5=-7-5=-12

Ответ выбран лучшим

=(2^3)^4/2^(5+8)=2^(3*4)/2^(13)=2^(12)/2^(13)=1/2

Ответ выбран лучшим

По частям:
u=x
dv=cos(2-5x)dx
du=dx
v=(-1/5)sin(2-5x)

=x*(-1/5)sin(2-5x) - ∫(-1/5)sin(2-5x)dx=
=(-x/5)*sin(2-5x)+(1/25)cos(2-5x) +C

Ответ выбран лучшим

Январь 2017 года - долг 1,15 S
Выплаты в феврале-июне 2017 г
0,45S
Долг в июле 2017 года 1,15S-0,45S=0,7S

Январь 2018 года - долг 1,15*0,7S=0,805S
Выплаты в феврале-июне 2018 г
0,305S
Долг в июле 2018 года 0,805S-0,305S=0,5S

Январь 2019 года - долг 1,15*0,5S=0,575S
Выплаты в феврале-июне 2019 г
0,375S
Долг в июле 2019 года 0,575S-0,375S=0,2S

Январь 2020 года - долг 1,15*0,2S=0,23S
Выплаты в феврале-июне 2020 г
0,23S
Долг в июле 2020 года 0,23S-0,23S=0

Сумма выплат:
0,45S+0,305S+0,375S+0,23S=1,36S

1,36S < 30 млн
S < 30:1,36
S < 22,0588235
S=22 млн. руб

Ответ выбран лучшим

Каноническое уравнение эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
Подставляем координаты точек.

В(6;0)
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
(6^2/a^2)+0=1 ⇒ a^2=36

A(2sqrt(3);sqrt(6))
((2sqrt(3))^2/36)+(6/b^2)=1⇒ b^2=9
О т в е т. (x^2/36)+(y^2/9)=1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
cosx ≠ - 40/41;

41sin^2x-9sinx=0
sinx*(41sinx-9)=0
sinx=0 или 41sinx-9=0 ⇒ sinx=9/41
x=πk, k∈Z или х=arcsin(9/41)+2πn, n∈Z или х=π-arcsin(9/41)+2πm, m∈Z

так как (9/41)^2+(-40/41)^2=1, то

х=π-arcsin(9/41)+2πm, m∈Z не входит в ОДЗ, так как
cosx=-40/41
О т в е т. а) πk, k∈Z или х=arcsin(9/41)+2πn, n∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат 3 корня:
-3π; -2π;arcsin(9/41)-2π.

Ответ выбран лучшим

Пусть х литров воды в минуту пропускает вторая труба, тогда (х-1) литров пропускает первая.
(252/х) минут - время второй трубы
(420/(х-1)) минут - время первой трубы
По условию первая труба заполняет на 9 мин. быстрее.
Уравнение:
(420/(х-1))=(252/х) +9
Приводим к общему знаменателю.
х(х-1) ≠0
3х^2-59x-84=0
D=(-59)^2-4*3*(-84)=3481+1008=4489=67^2
x=(59+67)/6=21 мин. второй корень отрицателен и не уд. условию задачи
О т в е т. 21 мин.

Ответ выбран лучшим

Область определения
x > 0

y`=3x-42+(144/x)

y`=0

(3x^2-42x+144)/x = 0

3x^2-42x+144=0
x^2-14x+48=0
D=(-14)^2-4*48=196-192=4
x=(14-2)/2=6 или х=(14+2)/2=8

Отмечаем знак производной на области определения:

(0) ___+___ (6) _-_ (8) _+__

х=8 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

А =(A_(1)∩ vector{A_(2)} ∩ vector{A_(3)}) ∪ (vector{A_(1)}∩A_(2)∩ vector{A_(3)})∪( vector{A_(1)}∩ vector{ A_(2)}∩A_(3))

В =(A_(1)∩ vector{A_(2)}∩ vector{A_(3)})∪( vector{A_(1)}∩A_(2)∩ vector{A_(3)})∪(vector{A_(1)}∩ vector{ A_(2)}∩A_(3))∪
∪(A_(1)∩A_(2)∩ vector{A_(3)})∪(A_(1)∩ vector{A_(2)}∩A_(3))∪(vector{A_(1)}∩ A_(2)∩A_(3))∪
∪(A_(1)∩ A_(2)∩A_(3))

С =(vector{A_(1)}A_(2)∩A_(3))∪(A_(1)∩ vector{A_(2)}∩A_(3))∪(A_(1)∩ A_(2)∩ vector{A_(3)})∪
∪(A_(1)∩vector{A_(2)}∩vector{A_(3)})∪(vector{A_(1)}∩A_(2)∩ vector{A_(3)})∪( vector{A_(1)}∩ vector{ A_(2)}∩A_(3))∪
∪( vector{A_(1)}∩ vector{ A_(2)}∩ vector{A_(3)})

Д = ( vector{A_(1)}∩A_(2)∩A_(3))∪(A_(1)∩ vector{A_(2)}∩A_(3))∪(A_(1)∩ A_(2)∩ vector{A_(3)})
Е = vector{A_(1)}∩ vector{ A_(2)}∩A_(3)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos^2(13π/8)=(1+cos(26π/8))/2=(1+cos(24π+2π)/8)/2=
=(1+cos(3π+(π/4)))/2=(1-cos(π/4))/2=(1-(sqrt(2))/2)/2=
=(1/2)-(sqrt(2))/4;

sqrt(72)*cos^2(13π/8)–√18=(sqrt(72))/2-(sqrt(144))/4- sqrt(18)=
=3sqrt(2)-3-3sqrt(2)=-3
О т в е т. -3

Ответ выбран лучшим

Вектор vector{AB}(2-1;1-1;2-1); vector{AB}(1;0;1)
cosα=1/sqrt(2)
cosβ=0
cosγ=1/sqrt(2)

Частные производные :
u`_(x)=2x*sqrt(y^3+z^4)
u`_(y)=x^2*(1/(2sqrt(y^3+z^4)))*y^3)`_(y)=
=3x^2y^2/(2sqrt(y^3+z^4))
u`_(z)=x^2*(1/(2sqrt(y^3+z^4)))*(z^4)`_(z)=
=4x^2z^3/(2sqrt(y^3+z^4)=2x^2z^3/sqrt(y^3+z^4)

u`_(x)(A)=2*sqrt(1^3+1^4)=2sqrt(2)
u`_(y)(A)=3/(2sqrt(1^3+1^4))=3/(2sqrt(2))
u`_(z)=2/sqrt(1^3+1^4)=sqrt(2)

Производная по направлению:
u`_(x)(A)*cosα +u`_(y)(A)*cos β+u`_(z)(A)*cosγ=

=2sqrt(2)*(1/sqrt(2))+3/(2sqrt(2))*0+sqrt(2)*(1/sqrt(2))=2+0+1=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

y`=(x^3+6x^2+11)`=3x^2+12x
y`=0
3x^2+12x=0
3x*(x+4)=0
x=0 или х=-4

Знак производной

_+___ (-4) __-__ (0) _+__

х=-4 - точка максимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с + на -.

Ответ выбран лучшим

Предел слева:
f(4-0)=а-4^2=a-16

Предел справа:
f(4)=f(4+0)=1/sqrt(4-3)=1

Функция непрерывна в точке, если предел слева равен пределу справа и равен значению функции в этой точке.

а-16=1
а=17
О т в е т. 17

Ответ выбран лучшим

z`_(y)=x*2siny*(siny)`_(y)=2x*siny*(cosy)=x*sin2y
z``_(yy)=x*cos2y*(2y)`_(y)=2xcos2y
О т в е т. 2xcos2y

Ответ выбран лучшим

а)
По формулам приведения
sin((π/2)-x)=cosx
Так как
sin^2x+cos^2x=1, то sin^2x=1-cos^2x
уравнение примет вид:
6-6cos^2x+5cosx-2=0
6cos^2x-5cosx-4=0
D=(-5)^2-4*6*(-4)=25+96=121
cosx=-1/2 или сosx=16/12 (16/12) > 1, второе уравнение не имеет корней, так как |cosx| меньше или равно1

сosx=-1/2
x=± arccos(-1/2)+2πk, k∈Z
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z
б)
Указанному промежутку принадлежат корни
-(2π/3)-2π=-8π/3
(2π/3)-4π=-10π/3
-(2π/3)-4π=-14π/3

Ответ выбран лучшим

4^(x+1)=4*4^x=4*2^(2x)
3^(2x+2)=3^(2x)*3^2=9*3^(2x)
6^x=(3*2)^x=3^x*2^x
Неравенство примет вид:
4*2^(2x)-3^x*2^x-18*3^(2x) больше или равно 0.
Делим на 3^(2х) > 0
4t^2-t-18 больше или равно 0, где t=(2/3)^x, t > 0

D=(-1)^2-4*4*(-18)=1+288=289
корни -2 и (9/4)
t больше или равно 9/4
Возвращаемся к переменной х
(2/3)^x больше или равно 9/4
(2/3)^x больше или равно (2/3)^(-2)
x меньше или равно (-2)
О т в е т. (- бесконечность; -2]

Ответ выбран лучшим

79821-79621=200 квт.
4руб. 50 коп.*200=900 руб.
О т в е т. 900 руб.

Ответ выбран лучшим

Производная сложной функции
y=cosu, u=ln(x^2+3x+5)
y`=(-sinu)*u`

y`=(-sinln(x^2+3x+5))*(ln(x^2+3x+5))`=

производная сложной функции у=lnu, u=x^2+3x+5
y`=(1/u)*u`

=(-sinln(x^2+3x+5))*(1/(x^2+3x+5))*(x^2+3x+5)`=
=(-sinln(x^2+3x+5))*(1/(x^2+3x+5))*(2x+3)=
=((2x+3)*(-sinln(x^2+3x+5)))/(x^2+3x+5)

Ответ выбран лучшим

1.
12^(-2,8)=(3*4)^(-2,8)=3^(-2,8)*4^(-2,8)

3^(-2,8)*4^(-2,8)*4^(1,8):3^(-4,8)=3^(-2,8-(-4,8))*4^(-2,8+1,8)=3^2*4^(-1)=9/4=2,25
2.
Формула синуса двойного угла:
sin32°=2*sin16°*cos16°
Сокращаем и числитель и знаменатель на sin 16°.
Получаем
(-6*cos16°/sin74°)=-6, так как по формулам приведения
sin74°=sin(90°-16°)=cos16°

Ответ выбран лучшим

(3^(-7))^4=3^(-7*4)=3^(-28)

3^(-28)/3^(-30)=3^(-28-(-30))=3^(-28+30)=3^2=9
О т в е т. 9

Ответ выбран лучшим

Сделана проверка. Все верно

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
х=sint
dx=costdt
∫x^2*sqrt(1-x^2)dx=∫sin^2t*sqrt(1-sin^2t)*costdt=
=∫sin^2t*cos^2tdt=

=[формула двойного угла sint*cost=(1/2)sin2t]=

=(1/4)∫sin^22tdt=

=[формула понижения степени
sin^22t=(1-cos4t)/2]=

=(1/4)∫(1-cos4t)dt/2=(1/8)∫(1-cos4t)dt=
=(1/8)t-(1/32)sin4t +C
где t=arcsinx.

Ответ выбран лучшим

(2sqrt(2))^(-2)=1/(2sqrt(2))^2=1/8;
((sqrt(3))/3)^(-4)=(3/sqrt(3))^4=(sqrt(3))^4=9

sqrt(7+2sqrt(6))*sqrt(7-2sqrt(6))=sqrt((7+2sqrt(6))*(7-2sqrt(6)))=
=sqrt(7^2-(2sqrt(6))^2)=sqrt(49-48)=sqrt(1)=1

(1/8)+9+1=10 целых (1/8)

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение относительно log_(2)x.
Замена переменной
log_(2)x=t
t^2-4t+3=0
D=(-4)^2-4*3=16-12=4
t=(4-2)/2=1 или t=(4+2)/2=3
log_(2)x=1 или log_(2)x=3
x=2^1 или х=2^3
x=2 или х=8
О т в е т. 2; 8.

Ответ выбран лучшим

∠СAД=∠СВД=34° - углы, опирающиеся на одну и туже дугу СД.
∠АВС=∠АВД+∠СВД=80°+34°=114° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Миллиграмм - это одна тысячная доля грамма;
1 грамм = 1000 мг.

( также как 1 миллиметр - одна тысячная доля метра;
1 м= 100 см =1000 мм)

на 1 грамм = 1000мг добавляют 100 мл физраствора;
на 40 мг доьбавят х мл физраствора.

Пропорция
1000 : 100 = 40 : х

Перемножаем крайние и средние члены пропорции

х=4 мл
О т в е т. 4 мл

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(2,7+5,8)/6,8=1,25
Решение
В скобках:
2,7+5,8=8,5

8,5/6,8=1,25
О т в е т. 1,25

Ответ выбран лучшим

cos 75 ° + cos 15 °= 2 сos((75 ° + 15 °)/2)*cos((75 ° - 15 °)/2)=
=2*cos45 ° *cos30 ° =2*(sqrt(2))/2*(sqrt(3))/2=
=(sqrt(6))/2
О т в е т.(sqrt(6))/2

Ответ выбран лучшим

Формула Лагранжа для отрезка [a;b]:
f(b)-f(a)=f`(c)*(b-a)
a=1; b=4
c∈(1;4)

f(4)=2*4-4^2=-8
f(1)=2*1-1=1
-8-1=f`(c)*(4-1)
f`(c)=-3
f`(x)=2-2x
f`(c)=2-2c
2-2c=-3
2c=5
c=5/2
Если
x=5/2, x=a/2, то
a/2=5/2
a=5
О т в е т. а=5

Ответ выбран лучшим

y`=4x^3-4x
y`=0
4x^3-4x=0
4x(x^2-1)=0
x=0; x=-1; x=1
Знак производной:

_-__ (-1) _+__ (0) _-__ (1) _+__

x=0 - точка максимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с + на -.
у(0)=3

О т в е т. х_(0)=0; y_(max)=3

Ответ выбран лучшим

О т в е т. [-4;5]
cм. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
2sin^2x-3sinx-1=6^0;
2sin^2x-3sinx-2=0
D=9-4*2*(-2)=9+16=25
sinx=-1/2 или sinx=2 ( не имеет корней, |sinx| меньше или равно 1)
sinx=-1/2
x=(-π/6)+2πk, k∈Z или х=(-5π/6)+2πn, n∈Z
О т в е т. (-π/6)+2πk; (-5π/6)+2πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Гипотенуза с=4sqrt(2)
Пусть катеты а=b=x.
По теореме Пифагора
a^2+b^2=c^2
x^2+x^2=(4sqrt(2))^2
2x^2=32
x^2=16
x=4
S( прямоугольного треугольника)=(1/2)a*b=(1/2)*4*4=8
V(призмы)=S(основания)*Н=
=S( прямоугольного треугольника)*Н=8*5=40
О т в е т. 40

Ответ выбран лучшим

Пусть ВС=х; тогда АС =18+18sqrt(2)-x
По теореме синусов:
ВС/sin30 градусов= АС/sin 45 градусов.

х/(1/2)=(18+18sqrt(2)-x)/(sqrt(2)/2)

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:
х*sqrt(2)=18+18sqrt(2)-x

x(1+sqrt(2))=18*(1+sqrt(2))
x=18
О т в е т. 18

Ответ выбран лучшим

{x+2 больше или равно 0;
{-1 меньше или равно (х+4)/3 меньше или равно 1.

{x больше или равно -2;
{-3 меньше или равно х+4 меньше или равно 3.

{x больше или равно -2;
{-7 меньше или равно х меньше или равно -1.
О т в е т. [-2;-1]

Ответ выбран лучшим

y`=4x^3-12x^2+12x-4
y`=0
4x^3-12x^2+12x-4=0
4(x-1)^3=0
x-1=0
x=1
При переходе через точку х=1 производная меняет знак с - на +, значит х=1 - точка минимума.
у(1)=1-4+6-4=-1
О т в е т. -1

Ответ выбран лучшим

Применяем формулы:
sin^2x+cos^2x=1;
cos^2x-sin^2x=cos2x

2cos^2x+3*2sinx*cosx=4*(sin^2x+cos^2x)+3*(cos^2x-sin^2x).
2сos^2x+6sinx*cosx=4sin^2x+4cos^2x+3cos^2x-3sin^2x.

Получаем однородное тригонометрическое уравнение второй степени.
sin^2x-6sinxcosx+5cos^2x=0
Делим на cos^2x≠0
tg^2x-6tgx+5=0
D=(-6)^2-4*5=36-20=16
tgx=5 или tgx=1
x=arctg5+πk, k∈Z или x=(π/4)+πn, n∈Z
О т в е т. arctg5+πk,(π/4)+πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль по определению:

Если 2x+1 больше или равно , то
у=х^3+2x+1
y`=3x^2+2
Если 2х+1 < 0, то
у=х^3-2x-1
y`=3x^2-2

О т в е т. y`=
{3x^2+2, если x больше или равно (-1/2)
{3x^2-2, если x < -1/2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+1 > 0
{x+1≠1
{x+2 > 0
{(x/3)-1 > 0
x∈(3;+ бесконечность)

Произведение двух множителей отрицательно, когда множители имеют разные знаки.
Рассматриваем совокупность двух систем
1)
{log_(x+1)((x/3)-1) < 0;
{log_(x+1)(x+2) > 0
2)
{log_(x+1)((x/3)-1) > 0;
{log_(x+1)(x+2) < 0

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
{log_(x+1)((x/3)-1) < log_(x+1)1;
{log_(x+1)(x+2) > log_(x+1)1

{(x+1-1)*((x/3)-1-1) < 0
{(x+1-1)*(x+2-1) > 0

{x*(x-6)/3 < 0
{x*(x+1) > 0
Так как согласно ОДЗ х > 3 > 0
то система равносильна системе
{x > 0
{x-6 < 0
{x+2 > 0
с учетом ОДЗ x > 3
о т в е т. 1) (3;6)

2)
{log_(x+1)((x/3)-1) > log_(x+1)1;
{log_(x+1)(x+2) < log_(x+1)1

{(x+1-1)*((x/3)-1-1) > 0
{(x+1-1)*(x+2-1) < 0

{x*(x-6)/3 > 0
{x*(x+1) < 0
Так как согласно ОДЗ х > 3 > 0,
то система равносильна системе
{x > 0
{x-6 > 0
{x+1 < 0
система не имеет решений

О т в е т. (3;6)

Ответ выбран лучшим

Пусть a=7 см и b=8 cм - катеты треугольника,
Н (призмы)=6 см

V=S(осн.)*H=(1/2)*a*b*H=(1/2)*7*8*6=168 см^3

По теореме Пифагора гипотенуза прямоугольного треугольника
c=sqrt(7^2+8^2)=sqrt(49+64)=sqrt(113)

S(полн.)=2S(осн.)+S(бок)=
=2*(1/2)*a*b+P(осн.)*Н=
=a*b+(a+b+c)*H=
=7*8+(7+8+sqrt(113))*6=56+42+48+6sqrt(113)

Ответ выбран лучшим

Считаем по формуле объема усеченного конуса.

1)r1=27/2 см
r2=25/2 см
h=750 cм

Vб=(1/3)*π*750*((27/2)^2+(27/2)*(25/2)+(25/2)^2)=
=(1/3)*π*750*(729+675+625)/4=
=(253 625π/2)cм^3≈398 191,25 cм^3

2)r1=25/2 см
r2=23/2 см
h=750 cм
Vм=(1/3)*π*750*((25/2)^2+(25/2)*(23/2)+(23/2)^2)=
=(1/3)*π*750*(625+ 575+529)/4=
=(216 125π/2)cм^3≈339 315,25 см^3

О т в е т. 339 316,25 cм^3 < V (бревна) < 398 191,25 cм^3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D(диаметр основания)=2R

D- основание осевого сечения

По теореме Пифагора:
(2R)^2=8^2-6^2
(2R)^2=64-36
(2R)^2=28
2R=2sqrt(7)
R=sqrt(7)

S(осевого сечения)=D*H=2sqrt(7)*6=12sqrt(7)
V=S(осн.)*Н=π*R^2*H=π*(sqrt(7))^2*6=42π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(трапеции)=(6+12)*1/2=9

S=∫^2_(1)6xdx=(6x^2/2)|^2_(1)=3*2^2-3*1^2=12-3=9

О т в е т. Б)9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x+6=5*sqrt(x+2)
Возводим в квадрат
x^2+12x+36=25(x+2)
x^2-13x-14=0
D=169+56=225
x1=(13-15)/2=-1 или х2=(13+15).2=14
х1 и х2 удовлетворяют ОДЗ
х1+х2=-1+14=13
О т в е т. А) 13

Считаем по формуле объема усеченного конуса.
Сначала
для наибольших радиусов, потом для наименьших.

1)r1=25/2
r2=21/2
Vб=(1/3)*π*650*((25/2)^2+(25/2)*(21/2)+(21/2)^2)=
=(1/3)*π*650*(625+525+441)/4=(517 075π/6)cм^3

2)r1=23/2
r2=19/2
Vб=(1/3)*π*650*((23/2)^2+(23/2)*(19/2)+(19/2)^2)=
=(1/3)*π*650*(529+437+361)/4=(431 275π/6)cм^3

О т в е т. (431 275π/6)cм^3 < V (бревна) < (517 075π/6)cм^3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D(диаметр основания)=2R
D- основание осевого сечения
По теореме Пифагора:
(2R)^2=9^2-7^2
2R=4sqrt(2)
R=2sqrt(2)

S(осевого сечения)=D*H=4sqrt(2)*7=28sqrt(2)
V=S(осн.)*Н=π*R^2*H=π*(2sqrt(2))^2*7=56π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2сos^2x+2cosx-3sin^2x=0
2сos^2x+2cosx-3*(1-cos^2x)=0
5cos^2x+2cosx-3=0
D=4-4*5*(-3)=64
cosx=-1 или cosx=0,6

x=(- π/2)+2πk, k∈Z или х= ± arccos0,6+2πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

y=(x–1)2+1=x2–2x+2
График красного цвета
у=–(х–3)2+5
y=–x2+6x–4
график синего цвета

Графики пересекаются в точках с абсциссами
х=1 и х=3
S=∫31 (–x2+6x–4–x2+2x–2)dx=
=∫31(–2x2+8x–6)dx=
=((–2x3/3)+(8x2/2)–6x)|31=(–18+36–18+(2/3)–4+6)=
=8/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=(x-1)^2+1=x^2-2x+2
График красного цвета
у=-(х-3)^2+5
y=-x^2+6x-4
график синего цвета

Графики пересекаются в точках с абсциссами
х=1 и х=3
S=∫^3_(1) (-x^2+6x-4-x^2+2x-2)dx=
=∫^3_(1)(-2x^2+8x-6)dx=
=((-2x^3/3)+(8x^2/2)-6x)|^3_(1)=(-18+36-18+(2/3)-4+6)=
=8/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: (-бесконечность;0)U(0;+бесконечность)

y`=(1/2)*(x^(-1)+x)`=(1/2)*(-x^(-2)+1)=(1/2)*(1-(1/x^2))
y`=0
1-(1/x^2)=0
x=-1 или х=1
_+__ (-1) __-_ (0) _-__ (1) _+__
х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
у(-1)=-1
у(1)=1
Наибольшего и наименьшего значений нет, о наибольшем и наименьшем можно говорить если задан отрезок.

Ответ выбран лучшим

7b+(8a-7b^2)/b=(7b^2+8a-7b)/b=8a/b
При a=-91; b=40 получим
8*(-91)/40=-91/5=-18,2

Ответ выбран лучшим

1.
p=m/n=4/36=1/9
n=6*6=36
1+4;2+3;3+2;5+1 - 4 варианта выпадения очков, в сумме равных 5.
3.
p=m/n=(1400-7)/1400=1393/1400
5.
p=m/n=(50-27)/50=23/50
6.
p=m/n=2/6=1/3
Всего 6 способов выступления трех групп
РГФ;РФГ;ФРГ;ФГР;ГФР;ГРФ
n=6
m=2- это РФГ;ФРГ
7.
p=m/n=8/16=1/2
Всего 16 чисел, четных 8.
8.
p=m/n=11/20

Ответ выбран лучшим

2^2*10^6*12*10^(-3)=(4*12)*10^(6-3)=48*10^3=48 000

Ответ выбран лучшим

три точки, в которых производная равна 0.
Зеленым цветом точки максимума ( производная меняет знак с + на –)
Синим– минимума ( производная меняет знак с – на +)
О т в е т. 3

S(правильного треугольника со стороной а)=
(1/2)*a*a*sin60 градусов
а=1
V(пирамиды)=(1/3)*S(осн.)*H= [ H=sqrt(3)]=

=(1/3)*1*1*(sqrt(3)/2)*sqrt(3)=1/2

Ответ выбран лучшим

три точки, в которых производная равна 0.
Зеленым цветом точки максимума ( производная меняет знак с + на -)
Синим- минимума ( производная меняет знак с - на +)
О т в е т. 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
x^2-9x больше или равно 0
x*(x-9) больше или равно 0
__+_ [0] ____ [9] _+__
О т в е т. (-бесконечность;0] U [ 9; + бесконечность)
5.
y`=4x^3-4x
y`=0
4x*(x-1)(x+1)=0
_-__ (-1) _+__ (0) __-__ (1) __+_

х=-1 и х=1 - точки минимума
y(-1)=y(1)=9 - наименьшее
y(0)=10
y(-2)=y(2)=16-8+10=18 - наибольшее
6.
y`=(1/3)*(3x^2-32x+69)
y`=0
3x^2-32x+69=0
D=(-32)^2-4*3*69=1024-828=196
x=(32-14)/6=3 или х=(32+14)/6=23/3
__+__ (3) __-__ (23/3) _+__
на (- бесконечность;3) и на (23/3; + бесконечность) возрастает
на(3;23/3) убывает
7.
e^(sqrt(x))8cosxdx

Ответ выбран лучшим

В основании пирамиды прямоугольник АВСD
Диагонали прямоугольника равны.
АС=BD
ОА=ОB=ОС=OD.
Равные проекции имеют равные наклонные, поэтому
боковые ребра пирамиды равны между собой и
SA=SB=SC=SD=8.

Треугольники ASB и BSC - равнобедренные.
Высоты проведенные из вершины S являются одновременно и медианами.
По теореме Пифагора
h_(AB)=sqrt(8^2-2^2)=sqrt(60)=2sqrt(15)
h_(BC)=sqrt(8^2-(2sqrt(2))^2)=sqrt(64-8)=sqrt(56)=2sqrt(14)
Так как
S( Δ SAB)=(1/2)*AB*h_(AB) и S( Δ SAB)=(1/2)*SB*AP, то из равенства
AB*h_(AB)=SB*AP
AP=sqrt(15)
Аналогично
S( Δ SBС)=(1/2)*BС*h_(BС) и S( Δ SBС)=(1/2)*SB*СQ, то из равенства
BC*h_(BC)=SB*CQ
CQ=sqrt(28)=2sqrt(7)
Тогда по теореме Пифагора
SQ=sqrt(8^2-(2sqrt(7))^2)=sqrt(64-28)=sqrt(36)=6
BQ=SB-SQ=8-6=2
по теореме Пифагора
BP^2=sqrt(4^2-(sqrt(15))^2)=sqrt(16-15)=sqrt(1)=1
PQ=BQ-PB=2-1=1
BP=PQ

2)
Проводим PK || CQ в треугольнике BQC
PK⊥ SB
AP⊥SB
∠ APK - линейный угол двугранного угла между плоскостями SBA и SBC.

PK - средняя линия и потому
PК=(1/2)СQ=sqrt(7)

По теореме Пифагора из треугольника АBК:
АК^2=АВ^2+BК^2
AK=4^2+(2sqrt(2))^2=16+8=24
AK=sqrt(24)

Из треугольника АРК по теореме косинусов:
АК^2=AP^2+PK^2-2*AP*PK*cosφ
24=15+7-2sqrt(15)*sqrt(7)*cosφ
cosφ=(15+7-24)/(2sqrt(15)*sqrt(7))=
=-2/(2*sqrt(105)=-sqrt(105)/105.
φ=arccos(-sqrt(105)/105)=π-arccos(sqrt(105)/105).
О т в е т. π-arccos(sqrt(105)/105). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
9^x=t
t > 0
Тогда
9^(x-1)=9^(x)*9^(-1)=(1/9)*9^(x)=(1/9)*t
9^(x-1)-1=9^(x)*9^(-1)-1=(1/9)*9^(x)-1=(1/9)*t -1

Неравенство примет вид:
(1/9)t/((1/9)t-1)больше или равно (5/(t-1))+(36/(t62-10t+9))
Упрощаем
(первую дробь умножаем на 9 и числитель и знаменатель, в третьей разложим знаменатель на множители)
t/(t-9) больше или равно (5/(t-1)) + (36/((t-1)*(t-9)))
Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю
(t*(t-1)-5*(t-9)-36)/((t-1)*(t-9)) больше или равно 0.
(t^2-6t+9)/((t-1)*(t-9)) больше или равно 0

(t-3)^2/((t-1)*(t-9)) больше или равно 0

Решаем методом интервалов

__+___ (1) ___-__ [3] ____-______ (9) __+__

t < 1 или t=3 или t > 9

9^x < 1 или 9^x=3 или 9^x > 9

9^x < 9^(0) или 9^x=9^(1/2) или 9^x > 9

x < 0 или x=1/2 или x > 1
О т в е т. (- бесконечность;0) U {1/2} U(1; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

(x^2-14x+48)/(x) +7 больше или равно 0
Приводим к общему знаменателю:
(x^2-7x+48)/(x) больше или равно 0
Так как
x^2-7x+48 > 0 при любом х ( D=(-7)^2-4*48 < 0), то
х > 0
О т в е т. (0; +∞).

Второй вариант.
Неверно написано условие и в знаменателе (х+7)

(x^2-14x+48)/(x+7) больше или равно 0.
Применяем метод интервалов.
Находим нули числителя
x^2-14x+48=0
D=(-14)^2-4*48=196-192=4
x1=(14-2)/2=6 или х2=(14+2)/2=8
Нуль знаменателя
х+7=0
х=-7
__-____ (-7) ___+____ [6] __-__ [8] __+___

О т в е т. (-7;6] U [8; + бесконечность)

Векторная алгебра- все как в алгебре.
vector{3a}-vector{2b}+vector{c}=
[умножаем координаты вектора а на 3, вектора b на 2
и ставим знаки между ними - и +]
=(-3;3;3)-(0;4;-4)+(-3;2;0)=
[складываем и вычитаем покоординатно, сначала первые координаты, потом вторые и т.д.]=
=(-3-0+(-3); 3-4+2;3-(-4)+0)=
=(-6;1;7)
О т в е т. (-6;1;7)

Ответ выбран лучшим

(7^2)^(sinx)=(7^(-1))^(-sqrt(2)sin2x);
(7)^(2sinx)=(7)^(sqrt(2)sin2x);
2sinx=sqrt(2)sin2x;
2sinx-sqrt(2)*2sinx*cosx=0
2sinx(1-sqrt(2)cosx)=0
sinx=0 или 1-sqrt(2)cosx=0
x=πk, k∈Z
или
cosx=1/sqrt(2)
x=± (π/4)+2πn, n∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни:
2π; (π/4)+2π=(9π/4); 3π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(х+1)^8=x^8+8x^7+28x^6+56x^5+70x^4+56x^3+28x^2+8x+1
(a-1)^9=
=x^9-9x^8+36x^7-84x^6+126x^5-126x^4+84x^3-36x^2+9x-1
(у+2)^6=
=y^6+6*y^5*2+15*y^4*2^2+20*y^3*2^3+15*y^2*2^4+6*y^1*2^5+2^6=

=y^6+12*y^5+60*y^4+160*y^3+240*y^2+192*y+64
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямоугольные треугольники SOA и SOB равны по
гипотенузе (SA=SB) и общему катету SO.

Значит АО=ВО
Треугольник АВО - равнобедренный.
ОМ- высота, медиана и биссектриса треугольника АВО.
АМ=МВ
Значит в равнобедренном треугольнике SAB
SM- высота, медиана и биссектриса.
Больше ничего доказать и найти невозможно, так как про точку О ничего не сказано.
(прикреплено изображение)

По формуле производная произведения
(u*v)`=u`*v+u*v`

(C· f(x))`=C`·(f(x))+ (C· f(x))`=

[ так как С`=0, то ]

=0*f(x) + C·(f(x))` = C·(f(x))`

Ответ выбран лучшим

(4x–1)ln(2x+a)=(4x–1)ln(3x+a);

(4x–1)*(ln(2x+a)-ln(3x+a))=0;

4x-1=0
x=1/4 - корень, принадлежащий отрезку [0;1]

При этом уравнение

ln(2x+a)-ln(3x+a)=0
не должно иметь корней на [0;1]
ln(2x+a)=ln(3x+a);
2x+a=3x+a
x=0
0∈[0;1]
При x=0
ln(2x+a)=ln(3x+a)=lna
lna не существует при а < 0
Значит при a > 0
Уравнение имеет два корня х=1/4 и х=0
При а=0 уравнение имеет один корень х=1/4
О т в е т. а=0

Ответ выбран лучшим

tg(πx)·ln(x+2a)=ln(x+2a);
ln(x+2a)*( tg(πx)-1)=0
tg(πx)-1=0
tg(πx)=1
πx=(π/4)+πk, k∈Z
x=(1/4)+k, k∈Z
Отрезку [0;1] принадлежит корень х=1/4
при этом уравнение
ln(x+2a) =0 не имеет корней на отрезке [0;1]
х+2а≠е^(0)
x≠1-2a
1-2a∉[0;1]
-2a∉[-1;0]
a∉[0;1/2]
значит а∈(-бесконечность;0)U(1/2;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1.
По определению
f(x)=cosx
f`(x)=lim_(Δx→0)(Δf)/(Δx)=

=lim_(Δx→0)(cos(x+Δx)-cosx)/(Δx)=

=lim_(Δx→0)(cos(x+Δx)-cosx)/(Δx)=
[формула сosα -cosβ=-2sin((α+ β)/2)*sin((α - β)/2)]
=lim_(Δx→0)(-2sin(x+(Δx/2))*sin((Δx)/2)/(Δx)=

=lim_(Δx→0)(-1)*sin(x+(Δx/2))*sin((Δx)/2)/(Δx/2)=

=[первый замечательный предел
lim_(Δx→0)sin((Δx)/2)/((Δx)/2)=1;
функция у=sinx непрерывна, поэтому
lim_(Δx→0)sin(х+(Δx/2))/((Δx)/2)=sinx]=

=-sinx
2.

Обычно по определению получают формулу (sinx)`=cosx

Так как по формулам приведения
cosx=sin((π/2)-x),
то по правилу нахождения производной сложной функции
(sinu)=(cosu)*u`

(cosx)`=(sin((π/2)-x))`=(cos((π/2)-x))*((π/2)-x)`=cos((π/2)-x))*(-1)=
=-sinx

Ответ выбран лучшим

a)
Прямые AB и CD пересекаются в точке K.
Плоскости (PAB) и (PCD) перпендикулярны основанию,
значит линия пересечения этих плоскостей PK перпендикулярна основанию.
В треугольнике AKD
∠KAD + ∠ADK=∠BAD + ∠ADC=90 °.
Значит ∠AKD=90°
∠AKD - линейный угол двугранного угла между пл.(PAB) и пл. (PCD).
пл. (PAB) ⊥пл. (PCD)
б) Трапеция АВСD - равнобедренная АВ=СD=3
Значит ∠ВAD = ∠ADС=45 градусов.
Треугольник ВКС - прямоугольный равнобедренный.
BC=3
Пусть
KB=KC=x

По теореме Пифагора
КВ^2+KC^2=BC^2
x^2+x^2=3^2
2x^2=9
x^2=9/2

S( Δ BKC)=(1/2)*KB*KC=(1/2)x^2=9/4

V( пирамиды РВКС)=(1/3)*S(Δ BKC)*PK=(1/3)*(9/4)*8=6
О т в е т. V=6. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

√(x–a) * sinx=√(x–a )
√(x–a )*(sinx-1)=0
√(x–a )=0 или sinx=1
x=a или х=(π/2)+2πk
х=(π/2)∈ [0;π]
значит второй корень х=а не должен принадлежать этому отрезку
х∉ [0;π]
а∉ [0;π]
О т в е т. а∈ (- ∞;0) U (π; + ∞)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x > 0

Замена переменной
log_(2)x=t
log_(2)(4x^2)=log_(2)4+log_(2)x^2=2+2log_(2)|x|;

При х > 0
log_(2)x^2=2log_(2)x=2t
Неравенство принимает вид:
(2+2t+35)/(t^2-36) больше или равно -1;
(2t+37+t^2-36)/(t^2-36) больше или равно 0.
(t^2+2t+1)/(t-6)*(t+6)) больше или равно 0
(t+1)^2/(t-6)*(t+6)) больше или равно 0
_+_(-6) _-__ [-1] ___-____ (6) __+__

t < -6 или t=-1 или t > 6
log_(2) x < -6 или log_(2) x=-1 или log_(2) x > 6

0 < x < 2^(-6) или x = 2^(-1) или х > 2^6
О т в е т. (0;(1/64)) U{1/2}U(64; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Обозначим
sqrt(x-4)=t
x-4=t^2 ⇒ x=t^2+4

sqrt(x–4*sqrt(x–4))–sqrt(x+4*sqrt(x–4)) =sqrt(t^2+4–4t)–sqrt(t^2+4+4t)=sqrt((t-2)^2)-sqrt((t+2)^2)=
=|t-2|-|t+2|

При х=2008
t=sqrt (2008-4)=sqrt(2004) > 2
значит |t-2|=t-2
|t+2|=t+2
Тогда
sqrt(x–4*sqrt(x–4))–sqrt(x+4*sqrt(x–4)) =|t-2|-|t+2|=
=t-2-t-2=-4
О т в е т. -4.

Ответ выбран лучшим

(5^(-3))^(-cosx)=5^(sqrt(3)sin2x);
5^(3cosx)=5^(sqrt(3)sin2x);
3cosx=sqrt(3)sin2x;
2*sqrt(3)*sinx*cosx-3cosx=0
cosx*(2sqrt(3)sinx-3)=0
cosx=0 или 2sqrt(3)sinx-3=0
x= (π/2)+πk, k∈Z или sinx=sqrt(3)/2,
x=(π/3)+2πm, m∈Z или х= (2π/3)+2πn, n∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
(–5π)/2
(π/3)-2π=(-5π)/3
(–3π)/2
(2π/3)-2π=(-4π)/3

О т в е т.
а)(π/2)+πk, (π/3)+2πm, (2π/3)+2πn, k, m, n∈Z

б) (–5π)/2;(-5π)/3;(–3π)/2;(-4π)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sinx(π+x)=-sinx

Замена переменной
4^(sinx)=t;
4^(-sinx)=1/t

Уравнение
(t+(1/t))=5/2
или
2t^2-5t+2=0
t≠0
D=(-5)^2-4*2*2=25-16=9
t=(5-3)/4=1/2 или t=(5+3)/4=2
4^(sinx)=1/2 или 4^(sinx)=2
2^(2sinx)=2^(-1) или 2^(2sinx)=2
sinx=-1/2 или sinx=1/2
x1=(-π/6)+2πk, k∈Z или x3=(π/6)+2πk, k∈Z
х2=(-5π/6)+2πk, k∈Z или х4=(5π/6)+2πk, k∈Z
Можно объединить так:
х=±(π/6)+2πk, k∈Z или х=±(5π/6)+2πn, n∈Z

Указанному промежутку принадлежат корни
(5π/6)+2π=17π/6
(-5π/6)+4π=19π/6
(-π/6)+4π=23π/6
О т в е т.
а)
±(π/6)+2πk, ±(5π/6)+2πn, k, n∈Z
б)17π/6; 19π/6; 23π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть N- количество вопросов в тесте.
Тогда
(N/20) часов потребуется Пете
(N/21) часов потребуется Ване.
По условию Пете потребовалось на
5 минут=(5/60)часа=1/12 часа больше.
Уравнение:
(N/20)-(N/21)=(1/12)
N=35
О т в е т. 35 вопросов.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x > 0

Замена переменной
log_(6)x=t
log_(6)(36x)=log_(6)36+log_(6)x=2+t;
log_(6)x^3=3log_(6)|x|
При х > 0
log_(6)x^3=3log_(6)x=3t
Неравенство принимает вид:
(2+t-1)/(t^2-3t) больше или равно -1;
(t+1+t^2-3t)/(t^2-3t) больше или равно 0.
(t^2-2t+1)/(t*(t-3)) больше или равно 0
(t-1)^2/(t*(t-3)) больше или равно 0
_+__ (0) _-_ [1] ___-____ (3) __+__

t < 0 или t=1 или t > 3
log_(6) x < 0 или log_(6) x =1 или log_(6) x > 3
0 < x < 1 или х=6 или х > 6^3
О т в е т. (0;1) U{6}U(216; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

Замена переменной:
log_(4)x=t

log_(4)(x/64)=log_(4)x-log_(4)64=t-3
log_(4)x^3=3log_(4)|x|
Так как согласно ОДЗ x > 0, то
log_(4)x^3=3log_(4)x=3t

t/(t-3) больше или равно (4/t) + (8/(t^2-3t));
(t^2-4t+12-8)/(t*(t-3)) больше или равно 0;
(t-2)^2/(t*(t-3)) больше или равно 0;

_+__ (0) __-___ [2] _-_ (3) __+___

t < 0 или t=2 или t > 3
log_(4)x < 0 или log_(4)x=2 или log_(4)x > 3
0 < x < 1 или х=16 или х > 64
О т в е т. (0;1) U {16} U(64; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
сos2x-9sqrt(2)cosx-2=13^(0);
2cos^2x-1-9sqrt(2)cosx-2=1;
2cos^2x-9sqrt(2)cosx-4=0;
D=(9sqrt(2))^2-4*2*(-4)=162+32=194
cosx=(9sqrt(2)-sqrt(194))/4 или cosx=(9sqrt(2)+sqrt(194))/4
x=± arccos((9sqrt(2)-sqrt(194))/4 )+2πk, k∈Z

(9sqrt(2)+sqrt(194))/4 > 1
Второе уравнение не имеет корней.
О т в е т. ± arccos((9sqrt(2)-sqrt(194))/4 )+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

n=5
m=3
p=3/5=0,6

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x-1 > 0
x > 1
y`=2+(1/(x-1))
y`=0
(2x-2+1)/(x-1)=0
2x-1=0
x=1/2 - не принадлежит ОДЗ: x > 1
При x > 1 y`=(2x-1)/(x-1) > 0, значит функция возрастает на (1;+ бесконечность).
Точки минимума нет.
См. рисунок.
При х=1 функция не определена.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
cosx > 0
(-π/2)+2πk < x < (π/2)+2πk, k∈Z

Замена переменной
log_(8)cosx=t
6t^2-5t-1=0
D=(-5)^2-4*6*(-1)=25+24=49
t1=(5-7)/12=-1/6 или t2=(5+7)/12=1
log_(8)cosx=-1/6 или log_(8)cosx=1
cosx=8^(-1/6) или cosx=8 ( уравнение не имеет корней, |cosx| меньше или равно 1)
8^(-1/6)=(2^(3))^(-1/6)=2^(-1/2)=1/sqrt(2)
cosx=1/sqrt(2) ( удовл. условию ОДЗ: сosx > 0)
x=± (π/4)+2πk, k∈Z
О т в е т. ± (π/4)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

-4+7x=8x+1;
7x-8x=1+4
-x=5
x=-5

ОДЗ: x > 0

Пусть
log_(5)x=t;
log_(5)(25х)=log_(5)(25)+log_(5)x=2+t;
log_(5)x^(4)=4log_(5)x=4t

Неравенство принимает вид:
((2+t)/(t-2))+(t-2)/(2+t) больше или равно (6-4t)/(t^2-4)
или
((t+2)^2+(t-2)^2)-6+4t)/((t-2)*(t+2)) больше или равно 0;
(2t^2+4t+2)/((t-2)*(t+2))больше или равно 0
2*(t+1)^2/((t-2)*(t+2))больше или равно 0

_+__ (-2) _-_[-1] _-_ (2) _+__

log_(5)x < - 2 или log_(5)x=-1 или log_(5)x > 2
0 < x < 5^(-2) или x=5^(-1) или х > 5^(2)
О т в е т. (0; 1/(25)) U{1/5}U (25; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-7x+12 > 0 ⇒ D=1 ⇒ x < 3 или x > 4
{17-3^x > 0 ⇒ 3^x < 17 ⇒ x < log_(3) (17)
2=log_(2)9 < log_(3) 17 < log_(3) 27=3

ОДЗ: x < log_(3) 17

0 < 0,5 < 1
Логарифмическая функция с основанием < 1 убывает, поэтому
x^2-7x+12 меньше или равно 17-3^x;
x^2-7x-5 меньше или равно -3^x
Так как 3^x > 0 при любом х, то -3^x < 0 при любом х.
x^2-7x-5 < 0
D=49+20=69
x1=(7-sqrt(69))/2 или х2=(7+sqrt(69))/2
(7-sqrt(69))/2 < x < (7+sqrt(69))/2
C учетом ОДЗ
(7-sqrt(69))/2 < x < log_(3)17
О т в е т. ((7-sqrt(69))/2 ; log_(3)17)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

Пусть
log_(3)x=t;
log_(3)(81х)=log_(3)(81)+log_(3)x=4+t;
log_(3)x^(8)=8log_(3)x=8t

Неравенство принимает вид:
((4+t)/(t-4))+(t-4)/(4+t) больше или равно (24-8t)/(t^2-16)
или
((t+4)^2+(t-4)^2)-24+8t)/((t-4)*(t+4)) больше или равно 0;
(2t^2+8t+8)/((t-4)*(t+4))больше или равно 0
2*(t+2)^2/((t-4)*(t+4))больше или равно 0

_+__ (-4) _-_[-2] _-_ (4) _+__

log_(3)x < - 4 или log_(3)x=-2 или log_(3)x > 4
0 < x < 3^(-4) или x=3^(-2) или х > 3^(4)
О т в е т. (0; 1/81) U{1/9}U (81; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0

В условиях ОДЗ
(log7(49x^2)=log_(7)49+log_(7)x^2=2+2log_(7)x

Замена переменной:
log_(7)x=t
Неравенство принимает вид:
(2+2t-7)/(t^2-4) меньше или равно 1
(2t-5-t^2+4)/(t-2)(t+2) меньше или равно 0
(t-1)^2/(t-2)*(t+2) больше или равно 0

___+__ (-2) __-__ [1] _-_ (2) _+__

t < -2 или t=1 или t > 2

log_(7)x < -2 или log_(7)х=1 или log_(7)x > 2
0 < x < 1/49 или х=7 или х > 49
О т в е т. (0; 1/49) U {7} U(49; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

Пусть
log_(2)x=t;
log_(2)32х=log_(2)32+log_(2)x=5+t;

log_(2)x^(16)=16log_(2)|x|=[ c учетом ОДЗ х > 0, |x|=x]=
16log_(2)x=16t

Неравенство принимает вид:
((5+t)/(t-5))+(t-5)/(5+t) больше или равно (16t+18)/(t^2-25)
или
((t+5)^2+(t-5)^2)-16t-18)/((t-5)(t+5)) больше или равно 0;
(2t^2-16t+32)/(t-5)(t+5) больше или равно 0;
2*(t-4)^2/((t-5)*(t+5)) больше или равно 0.

_+__ (-5) _-_[4]_-_ (5) _+__

log_(2)x < - 5 или log_(2)x=4 или log_(2)x > 5
0 < x < 1/(32) или х=16 или х > 32
О т в е т. (0; 1/(32)) U{16}U(32; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

(1/81)^(cosx) = (9)^(sqrt(2)*sin2x)
(9^(-2)) ^(cosx) = (9^(sqrt(2)*sin2x)
(9) ^(-2cosx) =9^(-2sqrt(2)sin2x)
-2cosx=-2sqrt(2)sin2x;
-2cosx+2sqrt(2)sinx*cosx=0
2cosx*(sqrt(2)*sinx-1)=0
cosx=0 или sinx=1/sqrt(2)
x=(π/2)+πk, k∈Z или х= (π/4)+2πm, m∈Z или х= (3π/4)+2πn, n∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни

х=(π/4)-2π=(-7π/4)
х=(-3π/2)
х= (3π/4)-2π=(-5π/4)
х=(-π/2)

О т в е т.
а) (π/2)+πk, (π/4)+2πm, (3π/4)+2πn, k, m, n∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
(-7π/4);(-3π/2);(-5π/4); (-π/2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

25^(√3cos(x+(3π/2))) = (1/5)^(2sin(x+π))
(5^2) ^(√3cos(x+(3π/2))) = (5^(-1))^(2sin(x+π))
(5) ^(2√3cos(x+(3π/2))) = 5^(-2sin(x+π))
2√3cos(x+(3π/2)) = -2sin(x+π)
По формулам приведения:
cos(x+(3π/2)) =sinx
sin(x+π)=-sinx
2sqrt(3)*sinx=2sinx
2*(sqrt(3)-1)*sinx=0
sinx=0
x=πk, k∈Z
О т в е т. πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

y`=0,5*2x+21+(110/x)
y`=0
(x^2+21x+110)/x=0
x≠0, так как по ОДЗ х > 0
x^2+21x+110=0
D=(21)^2-4*110=441-440=1
x=(-21-1)/2=-11 или х=(-21+1)/2=-10

Эти точки не принадлежат интервалу (0; + бесконечность)
y` > 0 на (0; + бесконечность), значит функция возрастает на этом интервале и не имеет точки максимума.

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
4^(sinx)=t;
t > 0
16^(sinx)=(4^2)^(sinx)=(4^(sinx))^2=t^2
Квадратное уравнение:
t^2-6t+8=0
D=(-6)^2-4*8=36-32=4
t=(6-2)/2=2 или t=(6+2)/2=4
4^(sinx)=2 или 4^(sinx)=4

sinx=1/2 или sinx=1
х=(π/6)+2πk, k∈Z или х=(5π/6)+2πm, m∈Z или х=(π/2)+2πn, n∈Z
б) Указанному промежутку принадлежат корни:

(π/6)-4π=(-23π/6) и (π/2)-4π= (-7π/2)
cм. рисунок

О т в е т.
а) (π/6)+2πk, (5π/6)+2πm, (π/2)+2πn, k, m, n ∈ Z.
б) Указанному промежутку принадлежат корни:
(-23π/6)
и
(-7π/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/9)=3^(-2)

3^(-2cos((π/2)-x)))=3^(2sin(x+(π/2)))
В силу монотонности ( с основанием 3 - возрастает) показательной функции: каждое свое значение монотонно
возрастающая функция принимает только один раз. Другими словами: если значения функции равны, то и аргументы равны.
-2cos((π/2)-x))=2sin(x+(π/2))
По формулам приведения:
sin(x+(π/2))=cosx
cos((π/2)-x))=sinx
-2sinx=2cosx
tgx=-1
x=(-π/4)+πk, k∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
(-π/4)-2π=(-9π/4)
и
(-π/4)-3π=(-13π/4)
О т в е т.
а) (-π/4)+πk, k∈Z

б) (-9π/4); (-13π/4);
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как 4^x-2^x*2^4+64=4^x-16*2^x+64=(2^x-8)^2.

1+(11/(2^x-8)+(28/(2^x-8)^2 больше или равно 0;
((2^x-8)^2+11*(2^x-8)+28)/(2^x-8)^2 больше или равно 0
Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя:
(2^x-8)^2+11*(2^x-8)+28=0
D=121-4*28=9
2^x-8=-4 или 2^x - 8 = -7
2^x=4 или 2^x =1
x=2 или х=0
Находим нуль знаменателя
2^x-8=0
2^x=8
x=3
_+__ [0] _-__[2] _+_ (3) _+__

О т в е т. (- бесконечность;0]U[2;3)U(3;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Пусть 9^x=t, тогда
9^(x+1)=9^(x)*9=9t;
81^(x-(1/2))=(9^(2))^(x-(1/2))=9^(2x-1)=9^(2x)*9^(-1)=
=(1/9)*9^(2x)=(1/9)*t^(2).
Неравенство принимает вид:
(54t - 10)/((1/9)t^(2)-9) меньше или равно 1
или
(-t^2+486t-9)/(t-9)(t+9) меньше или равно 0;
(t^2-486t+9)/(t-9)(t+9) больше или равно 0
Решаем неравенство методом интервалов.
Находим нули числителя:
t^2-486t+9=0
D=(-486)^2-4*9=236196-36=236160
t1=(486-24sqrt(410))/2=243-12sqrt(410) или t2=243+12sqrt(410)
Находим нули знаменателя
t=-9 и t=9
Расставляем знаки
_+__ (-9) _-_ [ t1] _+__ 9 __-__ [t2] _+___

C учетом t > 0 получаем ответ:
[t1;9) U [t2; + бесконечность)
Обратная замена
243-12sqrt(410) меньше или равно 9^x < 9
или
9^x больше или равно 243+12sqrt(410)
Так как 9 > 1 и показательная функция возрастает, то
log_(9) (243-12sqrt(410) )меньше или равно х < 1 или
х больше или равно log-(9)(243+12sqrt(410))
О т в е т. [log_(9) (243-12sqrt(410);1)U[ log_(9) (243+12sqrt(410));+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Диаметр окружности равен диагонали квадрата. Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных равнобедренных треугольника с острыми углами 45 градусов.
катет равен гипотенузе ( диаметру), умноженному на синус угла в 45 градусов.

Ответ выбран лучшим

1 год:

В январе сумма долга составит
(1+(a/100))·250 000=250 000+2 500a.

После 1 платежа долг будет равен
250 000+2 500a−150 000=100 000+2 500a.

2 год:

В январе сумма долга составит (1+(a/100))·(100 000+2 500a).

После 2 платежа долг будет равен
(1+(a/100))·(100 000+2 500a)−180 000.

Так как кредит был полностью погашен за 2 года, то после выплаты 2 платежа долга не осталось, то есть

(1+(a/100))·(100 000+2 500a)−180 000=0,
(100+а)*(1000+25а)-180 000=0
25a^2+3 500a - 80 000=0,

a^2 + 140a −3 200=0,
D=140^2-4*(-3200)=19600+12 800=32 400 = 180^2
a1=(-140+180)/2=20 или a2 < 0 ( не уд. смыслу задачи)

a = 20%.
О т в е т. 20 %

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

y`=2x-27+(90/x)
y`=0
(2x^2-27x+90)/x=0
x≠0, так как по ОДЗ х > 0
2x^2-27x+90=0
D=(-27)^2-4*2*90=729-720=9
x=(27-3)/4=6 или х=(27+3)/4=7,5
Отмечаем точки на интервале (0; + бесконечность)
и расставляем знак производной ( парабола у=2x^2-27x+90, ветви вверх, пересекает ось Ох в точках 6 и 7,5)

(0) _+___ (6) ___-__ (7,5) ___+___

х=6- точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
О т в е т. х=6

Ответ выбран лучшим

log_(2)(6-4x-x^2) больше или равно log_(2)1

Логарифмическая функция с основание 2 возрастающая, поэтому
6-4x-x^2 больше или равно 1
С учетом области определения логарифмической функции система:
{6-4x-x^2 больше или равно 1
{6-4x-x^2 > 0

Решения второго неравенства входят в решение первого.
Поэтому решаем первое:
6-4x-x^2 больше или равно 1
x^2+4x-5 меньше или равно 0
D=16+20=36
корни -5 и 1
О т в е т. [-5;1]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{25-x^2 > 0 ⇒ x^2-25 < 0 ⇒ -5 < x < 5
ОДЗ: x∈(-5;5)

Замена переменной
log_(2)(25-x^2)=t

Неравенство принимает вид:
t^2-7t+12 больше или равно 0;

D=(-7)^2-4*12=49-48=1
t1=(7-1)/2=3 или t2=(7+1)/2=4
t меньше или равно 3 или t больше или равно 4
log_(2)(25-x^2) ≤ 3 или log_(2)(25-x^2) ≥ 4
log_(2)(25-x^2) ≤ log_(2)8 или log_(2)(25-x^2) ≥ log_(2) 16

Так как основание логарифмической функции 2 > 1, логарифмическая функция возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

25-x^2 ≤ 8 или 25-x^2 ≥ 16
17-x^2 ≤ 0 или 9-x^2 ≥ 0

х∈(-бесконечность;-sqrt(17)]U][sqrt(17);+бесконечность) или [-3;3]
С учетом ОДЗ:
х∈(-5;-sqrt(17)]U[-3;3]U[sqrt(17);5).

О т в е т.(-5;-sqrt(17)]U[-3;3]U[sqrt(17);5)

Ответ выбран лучшим

Опечатка, скорее всего:
у(max)=-b/2a=-(-30)/(-2)=-15 ( а написано 15)
Далее счет верный:
-219+450-225=-444+450=6

Ответ выбран лучшим

xt=y(t–20)=z(t–55).
Здесь t - время первого, (t-20) - второго, ((t-20)-35)=(t-55)- третьего.

Исключаем t:
xt=y(t–20) ⇒ t=20y/(y–x)
xt=z(t–55) ⇒ t=55z/(z–x)
Приравниваем правые части

20y/(y–x)=55z/(z–x) ⇒ 20y(z–x)=55z(y–x)

Ответ выбран лучшим

По условию задачи:
m = m_(o)·2^(–t/T)

m_(o)=160 мг– начальная масса изотопа,
Через сутки масса вещества составила 10 мг.
m=10 мг
t (час)=24 часа (сутки) – время, прошедшее от начального момента

Ответ выбран лучшим

p=(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8

Ответ выбран лучшим

Пусть у1=х^4-3*х^3-3*х^2+5*х+12
График функции на рисунке кривая синего цвета
у2= х^4-4*х^3+х^2+4*х+6
График функции на рисунке кривая красного цвета

Точка (3;0) принадлежит как первому графику так и второму,

0=3^4-3*3^3-3*3^2+5*3+12=0 - верно.
0=3^4-4*3^3+*3^2+4*3+6=0 - верно.

На [0;+ бесконечность) системе неравенств удовлетворяют точки, лежащие на синей кривой выше оси оХ, а на красной ниже оси Ох.
Кроме точки (3;0) других точек, удовлетворяющих указанному условию нет.
О т в е т. (3;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=arcctgu, u=sin3x
y`=(-1/(1+u^2))*u`=
=(-1/(1+sin^23x))*(sin3x)`=
=(-1/(1+sin^23x))*(cos3x)*(3x)`=
=(-1/(1+sin^23x))*(cos3x)*(3)=
=(-3cos3x)/(1+sin^23x)

ОДЗ:
{4+3x-х^2 > 0 ⇒ x^2-3x-4 < 0
D=(-3)^2-4*(-4)=9+16=25
x1=(3-5)/2=-1 или х2=(3+5)/2=4 ⇒ -1 < x < 4 или х > 4
ОДЗ: x∈(-1;4)

По формуле перехода к другому основанию:
log_(0,5)(4+3x-x^2)=log_(2)(4+3x-x^2)/log_(2)(0,5)=
=log_(2)(4+3x-x^2)/log_(2)(1/2)=-log_(2)(4+3x-x^2)
Неравенство принимает вид:
log^2_(2)(4+3x-x^2)-7log_(2)(4+3x-x^2) +10 > 0
или
t^2-7t+10 > 0
t=log_(2)(4+3x-x^2)
D=(-7)^2-4*10=49-40=9
t1=2 или t2=5
Решение неравенства:
t < 2 или t > 5

Обратная замена
log_(2)(4+3x-x^2) < 2 или log_(2)(4+3x-x^2) > 5
log_(2)(4+3x-x^2) < log_(2)4 или log_(2)(4+3x-x^2) > log_(2)32
Так как основание логарифмической функции 2 > 1, логарифмическая функция возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента
4+3x-x^2 < 4 или 4+3x-x^2 > 32;
x^2-3x > 0 или x^2-3x+28 < 0
x(x-3) > 0 или D=(-3)^2-4*28 < 0
x < 0 или x > 3 или неравенство не выполняется ни при каком х

х∈(-бесконечность;0)U(3;+бесконечность)

С учетом ОДЗ:
х∈(-1;0)U(3;4)
О т в е т. (-1;0)U(3;4)

Если проведена параллель, то глобус будет разделен на 2 части.
Если проведено 2 параллели, то глобус будет разделен на 3 части.
Для 15 параллелей получаем 16 частей.
Если проведен меридиан, то глобус на части не разбивается, то есть будет 1 часть.
Если проведено два меридиана, то получаем две части.
Для трех меридианов - три части.
Для 20 меридианов - 20 частей.
Значит глобус будет разбит на 16 * 20 =320 частей (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

100%-75%=25% стоимости свитера придется заплатить за второй свитер.
25%=0,25

480+0,25*480=480+120=600 руб.
О т в е т. 600

Ответ выбран лучшим

y`=(2x-3)`*cosx+(2x-3)*(cosx)`-2*(sinx)`+(5)`=
=2*cosx+(2x-3)*(-sinx)-2*cosx+0=
=2cosx-(2x-3)*sinx-2cosx=
=-(2x-3)*sinx

Применяются правила:
1) производная суммы(разности) равна сумме(разности) производных
2) производная произведения
(u*v)`=u`*v+u*v`
3) постоянный множитель можно выносить за знак производной

Формулы:
(x)`=1
(sinx)`=cosx
(cosx)`=-sinx
(const)`=0

Ответ выбран лучшим

Число должно делиться на 90, значит оно должно делиться на 9 и на 10.
Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.
Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9
666000
или
660060
или
606060
или
600660

Ответ выбран лучшим

___ |____|____|____|___ - 4 линии, 4 распила и 5 кусков.

Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, значит распилов 4, красных линий - 4
Если распилить палку по жёлтым — 7 кусков, значит распилов 6, 6 желтых линий.
Если распилить палку по зелёным — 11 кусков, значит распилов 10, 10 зеленых линий
4+6+10=20 цветных линий.
Если сделать распилы по этим 20-ти линиям получится 21 кусок.

Ответ выбран лучшим

Так как среди любых 17-ти грибов имеется хотя бы один рыжик ( 1 или больше), то число груздей
17-1=16 или меньше.
Значит рыжиков больше или равно
40-16=24

Так как среди любых 25 грибов хотя бы один груздь ( 1 или больше), то число рыжиков меньше или равно 25-1=24
С одной стороны рыжиков меньше или равно 24, с другой стороны рыжиков больше или равно 24.
О т в е т. 24 рыжика

Ответ выбран лучшим

{ соответствует союзу "и"
[ соответствует союзу "или"

Например
(х-5)*(х+2)=0
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0 ( ИЛИ первый Или второй)
Совокупность двух условий
Квадратная скобка ( пишу две в каждой строчке)
[x-5=0
[x+2=0

у=lg (x-5) + sqrt(x+2)
Область определения функции у
выражение под знаком логарифма положительно И выражение под корнем неотрицательно.
Фигурная скобка ( пишу две)
{x-5 > 0
{x+2 больше или равно 0

Ответ выбран лучшим

s:S=πr^2:πR^2
r^2:R^2=0,91
r^2=0,91R^2
По теореме Пифагора
r^2+h^2=R^2
0,91R^2+3^2=R^2
9=0,09R^2
r^2=100
R=10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

299 градусов=360 градусов-61 градусов
По формулам приведения
sin299 градусов = sin(360 градусов-61 градусов) = = - sin61 градусов.
sin299 градусов = - sin61 градусов
или
sin61 градусов = - sin299 градусов

Ответ выбран лучшим

Неопределенность (бесконечность/бесконечность)
Делим и числитель и знаменатель на х^2
=lim_(x→∞)(2-(3/x)-(4/x^2))/sqrt(1+(1/x^4))=2/sqrt(1)=2

Ответ выбран лучшим

(5,7)/(1,9)=5,7:1,9=3

1.
1) что-то не так в условии.
2) =ln|x|-(1/x)-(1/(2x^2))+C
3)=-cosx+sinx-(8x^5/5)+C
2.
1)=(ln|x|+(x^3/3))|^1_(0)=ln1-ln0 ( ln0 не существует. Опять что-то неправильно написано в условии)+(1/3)
2)=(-cosx+sinx)|^(π/2)_(0)=-cos(π/2)+cos0+sin(π/2)-sin0=
=-0+1+1-0=2
3.
S=∫^(1)_(0)8x^2dx=(8x^3/3)|^(1)_(0)=8/3

(1/3)t^2–(8/3)t+5=0
Умножаем уравнение на 3, значит каждое слагаемое умножаем на 3:
t^2–8t+5*3=0
t^2–8t+15=0.

Ответ выбран лучшим

V=(4/3)*π*R^3
v=(4/3)*π*r^3
V:v=R^3:r^3
M:m=V:v
M:m=R^3:r^3
162:m=3^3:2^3
162:m=27:8
m=162·8/27=48

V=(4/3)*π*R^3
v=(4/3)*π*r^3
V:v=R^3:r^3
M:m=V:v
M:m=R^3:r^3
162:m=3^3:2^3
162:m=27:8
m=162*8/27=48

x^2–4x–2=0
D=16+8=24 √D=√24=2·√6
x1=(4+2·√6)/2=2*(2+√6)/2=2+√6
x2=(4–2·√6)/2=2*(2–√6)/2=2-√6

3х=3^2
3x=9
x=3
О т в е т. 3.

Ответ выбран лучшим

Спасибо и Вам.
Но вы хотели оставить комментарий, а получилось, что заняли окно для новой задачи.

-sin4x=2^(0)
-sin4x=1
sin4x=-1
4x=(-π/2)+2πk, k∈Z
x=(-π/8)+(π/2)*k, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Потому что k- целое и между (7/3) и (37/12) расположено одно такое число. k=3

Ответ выбран лучшим

Пусть сумма вклада А рублей под р% годовых.
А:100*p - проценты за -ый год
A+A*(p/100)=A*(1+(p/100)) - cумма вклада к концу 1-го года.
Сняли четвертую часть этой суммы, осталось (3/4)
(3/4)А*(1+(p/100)*(1+(p+40)/(400)) - сумма вклада к концу второго года.
По условию эта сумма равна 1,44А
Уравнение
(3/4)А*(1+(p/100)*(1+(p+40)/(100))=1,44А
Сокращаем на А
(3/4)(1+(p/100)*(1+(p+40)/(100))=1,44
Умножаем на (40000/3)
(100+р)*(140+р)=19200
p^2+240p-5200=0
D=240^2-4*(-5200)=57600+20800=78400=280:2
р=(-240+280)/2=20
20%+40%=60%
О т в е т. 60%

Ответ выбран лучшим

1.
3900:100*39=390 руб составляют 10%
3900+390=4290 руб стоимость шкафа со сборкой.
2.
40 000:100*30=12 000 чел. не интересуются футболом
40 000 - 12 000 = 28 000 чел. болельщики
28 000 : 100 * 70 = 19 600 чел смотрели по телевизору.
3.
50:100*15=7,5 руб составляют 15%
50+7,5=57,5 руб. стоили в октябре
57,5:100*20=11,5 руб составляют 20% от 57,5 руб.
57,5+11,5=69 руб. стоили в ноябре

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
x^2+x+0,5 > 0- верно при любом х, так как
D=1-4*0,5=1-2 < 0

Примеянем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя:
х-1=0
х=1
Находим нули знаменателя
x+1=0 или log_(3)(x^2+x+0,5)=0
x=-1 или x^2+x+0,5=3^0

x^2+x-0,5=0
D=1-4*(-0,5)=1+2=3
x=(-1-sqrt(3))/2 или х=(-1+sqrt(3))/2

_+_ ((-1-sqrt(3))/2) _-_ (-1) _+_ ((-1+sqrt(3))/2) _-_ [1] _+_

О т в е т. (-бесконечность; (-1-sqrt(3))/2) U (-1; (-1+sqrt(3))/2) U [1;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

sin(x/2)≠0
x≠2πk, k∈Z

Умножаем на sin(x/2)≠0
sin2x-(4/5)cosx+1-5sin(x/2)*cos(x/2)=0
2sinxcosx-(4/5)cosx+1-(5/2)sinx=0
2sinx(cosx-(5/4))-(4/5)*(cosx-(5/4))=0
(cosx-(5/4))*(2sinx-(4/5))=0
cosx=(5/4) - уравнение не имеет корней, так как (5/4) > 1, |сosx| меньше или равно 1.
2sinx-(4/5)=0
sinx=(2/5)
x=arcsin(2/5)+πk, k∈Z или х= (π)-arcsin(2/5)+πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Р=l+l+2R
2l+2R=30
l+R=15
S(полн.) = S(осн.) + S(бок.)=πR^2+πRl=πR*(R+l)=πR*15
60π=πR*15
R=4
l+R=15 ⇒l=15-R=15-4=11
О т в е т. 11см; 11 см; 8 см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

не это - это что?

S(осн.)=π*R^2 ⇒ π*R^2 =36 π⇒ R=6
S(бок.)=π*R*l=π*6*10=60π кв. см.
О т в е т. 60π кв. см.

Ответ выбран лучшим

sin1020 градусов=sin(1080 градусов - 60 градусов)=
=sin (3*360 градусов- 60 градусов)=- sin60 градусов=
=-sqrt(3)/2.
О т в е т. 30*sqrt(3)*(-sqrt(3))/2=-45

Ответ выбран лучшим

По формуле:
cos2x=cos^2x-sin^2x;

3sin^2x=cos^2x-sin^2x+4*2sinx*cosx;
4sin^2x-8sinx*cosx-cos^2x=0- однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.
Делим на cos^2x≠0
4tg^2x-8tgx-1=0
D=64-4*4*(-1)=80
tgx=(8-4sqrt(5))/8 или tgx=(8+4sqrt(5))/8
tgx=1-(sqrt(5))/2 или tgx=1+(sqrt(5))/2
х=arctg(1-(sqrt(5))/2)+πk, k∈Z или
х=arctg(1+(sqrt(5))/2)+πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

2^4*2^(log_(2)7)=16*7=112

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A) lgx больше или равно lg1
х больше или равно 1
4)

Б)
2)

В) х-1 > 0
x > 1
3)

Г)
1)

x^2+10x+24=0
D=10^2-4*24=100-96=4
x1=(-10-2)/2 или x2=(-10+2)/2
x1=-6 или х2=-4
О т в е т. -6; -4.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(3/x) > 0 ⇒ x > 0
{(3/x)≠1 ⇒ x≠3
{9/(24-2x) > 0 ⇒ 24-2x > 0 ⇒ x < 12

ОДЗ: х∈(0;3)U(3;12)

log_(3/x)(9/(24-2x)) ≤ 2*log_(3/x)(3/х);
log_(3/x)(9/(24-2x)) ≤ log_(3/x)(3/х)^2.
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
((3/х)-1)*((9/(24-2х)) - (9/x^2)) ≤0
(3-x)*9*(x^2+2x-24)/(x^3*(24-2x))≤0
9*(x-3)*(x+6)*(x-4)/(2x^3*(x-12))≤0
Применяем метод интервалов с учетом ОДЗ:
(0) _-___ (3) _+__[4] ___-____ (12)
О т в е т. (0;3)U[4;12)

Ответ выбран лучшим

см. рисунок, точки возможного максимума отмечены на рисунке.

Ответ выбран лучшим

Cкладываем оба уравнения:
(2+а)у=2-2a^2;
При а≠-2
у=(2-2a^2)/(2+a); x=2-a-2y=(4-a^2-4+4a^2)/(2+a)=3a^2/(2+a)-
единственное решение.
О т в е т. (-бесконечность;-2)U(-2; +бесконечность)

Ответ выбран лучшим

0,3S+3•(1,331S/3,31)≤ 13;
Умножаем на 3,31
0,993S+3,993S ≤ 43,03
4,986S ≤43,04
S≤8,63016446

Ответ выбран лучшим

6*(1-cos6x)/2+2*(1+cos12x)/2=5
3-3cos6x+1+cos12x=5
сos12x=2cos^26x-1
2cos^26x-3cos6x-2=0
D=9-4*2*(-2)=9+16=25
cos6x=-1/2 или сos6x=2 ( не имеет корней, |cos6x| меньше или равно 1)

сos6x=-1/2
6x=± (2π/3)+2πk, k∈Z
x=± (π/9)+(π/3)k, k∈Z
О т в е т. ± (π/9)+(π/3)k, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Исправила

1)Раскладываем знаменатель на множители
x^3+2x=x*(x^2+2)
Раскладываем дробь
(4x^2+1)/(x^3+2x) на простейшие методом неопределённых коэффициентов
(4x^2+1)/(x^3+2x)=(А/х)+(Mx+N)/(x^2+2)
4x^2+1=Ax^2+2A+Mx^2+Nx
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
4=A+M
0=N
1=2A ⇒ A=1/2
M=4-A=4-(1/2)=7/2

= (1/2)∫dx/x+(7/2)∫xdx/(x^2+2)=
(1/2)∫dx/x+(7/4)∫d(x^2+2)/(x^2+2)=
=(1/2)ln|x|+(7/4)ln|x^2+2|+C.
2)
Выделяем полный квадрат
x^2+8x+15=(x^2+8x+16)-1=(x+4)^2-1
Замена переменной
x+4=t
x=t-4
5x+2=5*(t-4)+2=5t-18
dx=dt

=∫(5t-18)dt/sqrt(t^2-1)=5∫tdt/sqrt(t^2-1)-18∫dt/sqrt(t^2-1)=
=(5/2)∫d(t^2-1)/sqrt(t^2-1)-18∫dt/sqrt(t^2-1)=
=(5/2)*2sqrt(t^2-1)-18ln|t+sqrt(t^2-1)|+C=
=5sqrt(x^2+8x+15)-18ln|x+4+sqrt(x^2+8x+15)|+C

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-3x+3 > 0 ⇒ D=9-12 < 0; неравенство верно при любом х
{x2-3x+3≠ 1⇒ D=1; x≠ 1 или х≠2
{2x^2-3,5x+1,5 > 0⇒ D=0,25 x < 0,75 или х > 1
ОДЗ:
х∈ (–∞;0,75)U(1;2)U(2;+∞).

0=log_(x^2-3x+3)(x^2-3x+3)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^2-3x+3–1)·(2x^2-3,5x+1,5–x^2+3x-3) < 0
(x-1)(x-2)(x^2-0,5x-1,5) < 0
(x-1)(x-2)(x+1)(x-1,5) < 0
_+__ (-1) ____-_____ (1) _+__ (1,5) _-__ (2)__+_

(-1;1)U(1,5;2)

С учетом ОДЗ
(-1;0,75) U(1;1,5)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+2x-3 > 0; ⇒ D=16; x < -3 или х > 1
{x^2+2x-3≠ 1⇒ x≠ -1-sqrt(5) или х≠-1+sqrt(5)
{(|x+4|-|x|)/(x-1) > 0;⇒ x < -2 или х > 1

ОДЗ:
х∈ (-бесконечность;-1-sqrt(5))U(-1-sqrt(5);-3)U(1;-1+sqrt(5))U(-1+sqrt(5);+бесконечность).

0=log_(x^2+2x-3)1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^2+2x-3-1)*((|x+4|-|x|)/(x-1)-1) > 0
Решаем неравенство методом интервалов.
( x^2+2x-4)*(x-1)*(|x+4|-|x|-x+1) > 0
С учетом ОДЗ получаем ответ.
x∈(-1-sqrt(5);-3)(-1+sqrt(5);5)

Решено неравенство
|x-1| < 3
-2 < x < 4
Из интервала исключена точка х=1, которая не входит в ОДЗ.

Ответ выбран лучшим

По условию число кратно 33, значит кратно 3 и 11.
Признак делимости на 3: сумма цифр числа кратна 3.
Цифры числа нечетны.
Значит это могут быть цифры 1;3;5;7;9
Сумма цифр кратна 3, значит это могут быть цифры:
1;3;5;9
1+3+5+9=18 кратно 3.
или
3;5;7;9
3+5+7+9=24 кратно 3

Признак делимости на 11:
Натуральное число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, или модуль их разности кратный 11.
Подходит второй набор
3;5;7;9
5379 - сумма цифр на четных местах 3+9=12
сумма цифр на нечетных местах 5+7=12
О т в е т. 5379 или 7359 или 5973 или 7953

Ответ выбран лучшим

заниматься преподавательской деятельностью

Ответ выбран лучшим

Далее
1=log_(x^2+(1/4)(x^2+(1/4))
И решаем неравенство
log_(x^2+(1/4)((1/2)+(x/4)+(x^2)/(2)) больше или равно log_(x^2+(1/4)(x^2+(1/4))
методом рационализации логарифмических неравенств:
Неравенство сводится к решению неравенства:
(x^2+(1/4)-1)*((1/2)+(x/4)+(x^2)/(2) - (x^2)-(1/4) ) больше или равно 0
(x^2-(3/4))*(-2x^2+x+1)/4 больше или равно 0
_-__ [-sqrt(3)/2] _+__ [-1/2] _-_ [sqrt(3)/2] _+__ [1]_-__
C учетом ОДЗ получаем ответ
(-sqrt(3)/2;-1/2]U(sqrt(3)/2;1]

Ответ выбран лучшим

Cм. рисунок.
1a)
vector{C1A1} (1;1;0)
vector{C1A} (1;1;-1)
vector{C1A1}* vector{C1A}=1*1+1*1+0*(-1)=2
|vector{C1A1}|=sqrt(2)
|vector{C1A}|=sqrt(3)
cos∠A1C1A=2/(sqrt(2)*sqrt(3))=sqrt(2/3)
sin∠A1C1A=sqrt(1-(sqrt(2/3))^2)=1/sqrt(3)
d=|A1C1|*sin∠A1C1A=sqrt(2)*(1/sqrt(3))=sqrt(2/3).
1б)
vector{C1A} (1;1;-1)
vector{C1В} (0;1;-1)
vector{C1A}* vector{C1В}=1*0+1*1+(-1)*(-1)=2
|vector{C1A}|=sqrt(3)
|vector{C1В}|=sqrt(2)
cos∠AC1В=2/(sqrt(3)*sqrt(2))=sqrt(2/3)
sin∠AC1В=sqrt(1-(sqrt(2/3))^2)=1/sqrt(3)
d=|С1В|*sin∠AC1В=sqrt(2)*(1/sqrt(3))=sqrt(2/3).
1в)
vector{C1A} (1;1;-1)
vector{C1С} (0;0;-1)
vector{C1A}* vector{C1С}=1*0+1*0+(-1)*(-1)=1
|vector{C1С1}|=sqrt(1)=1
|vector{C1A}|=sqrt(3)
cos∠AC1С=1/(sqrt(3)*sqrt(1))=1/sqrt(3)
sin∠AC1С=sqrt(1-(1/sqrt(3))^2)=sqrt(2/3)
d=|СC1|*sin∠AC1С=1*(sqrt(2/3))=sqrt(2/3).

2а)
Пусть М(х;у;z)- произвольная точка плоскости А1ВС1
Тогда векторы
vector{MB}(x;y-1;z); vector{A1B}(1;0;1); vector{A1C}(1;1;0) компланарны ( лежат в одной плоскости).
Условие компланарности : определитель третьего порядка, составленный из координат указанных векторов равен 0.
Раскрываем определитель и получаем уравнение плоскости А1ВС1:
x-y-z+1=0
Расстояние от точки с координатами (х_(о);у_(о);z_(o)) находим по формуле
d=|x_(o)-y_(o)-z_(o)+1|/sqrt(3)d=|0
2a)
d=|0-1-1+1|/sqrt(3)=1/sqrt(3);
2б)
d=|0-0-0+1|/sqrt(3)=1/sqrt(3);
2в)
d=|1-0-1+1|/sqrt(3)=1/sqrt(3)
2г)
d=|1-0-0+1|/sqrt(3)=2/sqrt(3)
3 а)
Проводим D1C || AB1. Плоскость DC1A1 || AB1
Cоставляем уравнение плоскости DC1A1
Пусть Р(х;у;z) - произвольная точка этой плоскости.
Векторы
vector{DP} (x;y;z); vector{C1D} (1;0;-1) и vector{DA1}(0;1;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости DC1A1
x-y+z-1=0
расстояние от любой точки прямой АB1, например В1, и есть расстояние между прямыми.
cм формулу в п.2
d(В1)=|0-1+1-1|/sqrt(3)=1/sqrt(3)

3б)
Проводим B1F || BD1. Плоскость B1FC || BD1
Cоставляем уравнение плоскости B1FC
F(1;0;2)
Пусть Р(х;у;z) - произвольная точка этой плоскости.
Векторы
vector{CP} (x;y;z); vector{CB} (0;1;1) и vector{CF}(1;0;2)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости B1FC:
2x-y-z=0
расстояние от любой точки прямой BD1, например В, и есть расстояние между прямыми.
d(В)=|0-1-0|/sqrt(4+1+1)=1/sqrt(6)

3в)
Проводим МК || BD и B1D1||BD.
Плоскость MB1D1K || BD
Cоставляем уравнение плоскости MB1D1K

Пусть Р(х;у;z) - произвольная точка этой плоскости.
Векторы
vectorB1CP} (x;y-1;z-1); vector{B1M} (1/2;0;-1) и
vector{B1D1}(-1;1;0) - компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскостиMB1D1K:
2x+2y+z-3=0
расстояние от любой точки прямой BD, например D, и есть расстояние между прямыми.
d(D)=|2+0+0-3|/sqrt(4+4+1)=1/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
vector{D1B} (sqrt(3);0;-1)
vector{D1F1} (sqrt(3)/2;-3/2;0)
vector{D1B}*vector{D1F}=
=sqrt(3)*sqrt(3)/2+0*(-3/2)+(-1)*0=3/2
|vector{D1B}|=sqrt((sqrt(3))^2+1^2)=2
|vector{D1F}|=sqrt((sqrt(3)/2)^2+(-3/2)^2)=sqrt(3)
cos∠BD1F=(3/2)/(2*sqrt(3))=sqrt(3)/4
sin∠BD1F=sqrt(1-(sqrt(3)/4)^2)=(sqrt(14))/(4)
d=|BD1|*sin∠AC1С=2*(sqrt(13))/(4)=sqrt(13)/2.

б)
Пусть М(х;у;z)- произвольная точка плоскости АС1E1
Тогда векторы
vector{MC!}(x;y-1;z-1); vector{AC1}(-sqrt(3)/2;3/2;1); vector{E1A}(sqrt(3);0;-1) компланарны ( лежат в одной плоскости).
Условие компланарности : определитель третьего порядка, составленный из координат указанных векторов равен 0.
Раскрываем определитель и получаем уравнение плоскости АC1E1:
sqrt(3)*x-y+3z-2=0
Расстояние от точки с координатами (х_(о);у_(о);z_(o)) находим по формуле
d=|x_(o)-y_(o)+3z_(o)-2|/sqrt(3+1+9)
d=|0

d=|(3/2)+(1/2)+3-2|/sqrt(13)=3/sqrt(13);
в)
Проводим DE1 || BA1. Плоскость DE1F || BA1
Cоставляем уравнение плоскости DE1F

Пусть Р(х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
FP (x;y+1;z); FD (-sqrt(3)/2;3/2;0) и FE1(-sqrt(3)/2;1/2;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости DE1F:
sqrt(3)*x+y+z+1=0
расстояние от любой точки прямой BA1, например В, и есть расстояние между прямыми.
d(В)=|(3/2)+(1/2)+0+1|/√(3+1+1)=3/√5
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(x+1)/(x+7) > 0;
{log_(32)(x+1)/(x+7) > 0 ⇒ (x+1)/(x+7) > 1
{log_(0,2)log_(32)(x+1)/(x+7) > 0 ⇒log_(32)(x+1)/(x+7) < 1⇒ (x+1)/(x+7) < 32

{(x+1)/(x+7) < 32
{(x+1)/(x+7) > 1

{x < -223/31
{x < -7

x < -223/31

0=log_(1/3)1
Логарифмическая функция с основанием (1/3) убывающая, поэтому
log_(0,2)log_(32)(x+1)/(x+7) > 1
1=log_(0,2)0,2
Логарифмическая функция с основанием (0,2) убывающая, поэтому
log_(32)(x+1)/(x+7) < 0,2
0,2*1=0,2*log_(32)32=log_(32)32^(0,2)
log_(32)(x+1)/(x+7) < log_(32)32^(0,2)
Логарифмическая функция с основанием (32) возрастающая, поэтому
(х+1)/(х+7) < 2 ( 32^(0,2)=32^(1/5)=(2^(5))^(1/5)=2)

(х+1-2х-14)/(х+7) < 0
(-x-13)/(x+7) < 0
(x+7)(x+13) > 0
x < -13 или х > -7
С учетом ОДЗ получаем ответ.
x < -13
О т в е т. (- бесконечность;-13)

Ответ выбран лучшим

В правильном шестиугольнике FB=F1B1=sqrt(3)

Так как FF1||AA1, то угол между F1B и А1А равен углу между F1B и F1F.

Из прямоугольного треугольника F1FB:
tg∠FF1B=FB/FF1=sqrt(3)
∠FF1B=60 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Плоскости (ВСС1) и (BC1D) пересекаются по прямой ВС1.
Чтобы найти линейный угол двугранного угла надо в каждой плоскости провести перпендикуляры к линии их пересечения.
В плоскости (ВСС1) - диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому В1С⊥BC1
М- точка пересечения диагоналей В1С и ВС1.
В равностороннем треугольнике BС1D
(BC1=C1D=BD=sqrt(2)) медиана DM является и высотой
DM ⊥ BC1.
DM=sqrt(2)*sin60 градусов=sqrt(6)/2
∠DMC- линейный угол двугранного угла между плоскостями (ВСС1) и (BC1D).
По теореме косинусов
из треугольника DMC
1^2=(sqrt(6)/2)^2+(sqrt(2)/2)^2-
-2*(sqrt(6)/2)*(sqrt(2)/2)*cos∠DMC

cos∠DMC=1/sqrt(3)

sin∠DMC=sqrt(1-(1/sqrt(3))^2)=sqrt(2/3)=sqrt(6)/3
О т в е т. sqrt(6)/3. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проекцией диагонали A1C на плоскость С1СDD1 является отрезок СD1
По теореме Пифагора
CD1=sqrt(2)
A1C=sqrt(3)
Из прямоугольного треугольника A1CD1
(∠A1D1C=90 градусов; A1D1=1)
sin(∠A1CD1)=A1D1/A1C=1/sqrt(3)=(sqrt(3))/3
О т в е т. (sqrt(3))/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{|x-5| > 0 ⇒ х ≠ 5
{|x-5|≠1⇒ х ≠ 4 и х ≠ 6
{2x^2-10x+8 > 0; D=100-64=36, корни 1 и 4, x < 1 или х > 4

x∈(-бесконечность;1)U(4;5)U(5;6)U(6;+бесконечность)

log_(|x−5|)(2x^2−10x+8)≤2;
log_(|x−5|)(2x^2−10x+8)≤2*log_(|x−5|)|x-5|;
log_(|x−5|)(2x^2−10x+8)≤log_(|x−5|)|x-5|^2;
Применяем метод рационализации:
(|x-5|-1)*(2x^2-10x+8-|x-5|^2) ≤0
(|x-5|-1)*(2x^2-10x+8-x^2+10x-25) ≤0
(|x-5|-1)*(x^2-17) ≤0
Применяем метод интервалов:
|x-5|-1=0
|x-5|=1
x-5=-1 или х-5=1
х=4 или х=6
x^2-17=0
x=-sqrt(17) или х=sqrt(17)
Отмечаем найденные корни на ОДЗ

_+_ [-sqrt(17)] _-_ (1) (4) _+_[ sqrt(17)] _-_ (5) _-_ (6) _+_

О т в е т. [-sqrt(17);-1) U[sqrt(17);5)U(5;6)

Ответ выбран лучшим

1.
о т в е т. в)
2.
2х+3 больше или равно 0;
х больше или равно -1,5
3.
27^(1/3)=(3^(3))^(1/3)-3^(3*(1/3))=3^(1)=3
(2/5)^0=1
3+1=4
4.
5^((2/7)+(5/7))=5^(7/7)=5^(1)=5
(1/2)(-3)=(2^(-1))^(-3)=2^3=8
5+8=13
5.
возводим в квадрат
х-2=5^2
х=27
6.
1=27^(0)
х+2=0
х=-2
7.
х=0
8.(1/2)^x > (1/2)^2
x < 2
9.
log_(3)log_(2)8=log_(3)(log_(2)2^3)=log_(3)3=1
10.
=5^(log_(5)3^2)=3^2=9
11.
log_(36)(84/14)=log_(36)6=1/2
12.
2x+3=3^2
2x=4
x=2
13.
7-5x > 0
x < 1 целая 2/5
14.
π радиан = 180 градусов
1 градус = (π/180) радиан
140 градусов=(140π/180) радиан=(7π/9) радиан
15.
(5π/6) радиан = 5*180 градусов/6=150 градусов
16.
sin(-π/2)=-1
cos(π/2)=0
=1+0=-1
17.
5*(sqrt(2))/2-3*1=(5sqrt(2)-6)/2
18.
a)
19.
cosα-(sinα)*ctgα=cosα-(sinα)*(cosα/sinα)=cosα-cosα=0
20.
=cos150 градусов=- сos 30 градусов=- sqrt(3)/2
21.
б)
22
г)
23
в)
24
б)
25
f`(x)=-sinx-3
f`(π/6)=-(1/2)-3=-3 целых 1/2
26
а)
27
=-сosx|^(π)_(0)=-cosπ+cos0=-(-1)+1=2

Ответ выбран лучшим

Расстояние от точки В до плоскости A1EF найдем применяя метод координат.
(см. рисунок).
Введем систему координат так как показано на рисунке.
Тогда
F(-1/2; (sqrt(3))/2;0)
E(0;sqrt(3);0)
A1(0;0;1)
B(1;0;0)
Пусть М(х;у;z)- произвольная точка плоскости A1EF.
Тогда векторы
vector{A1M}, vector{A1E} и vector{FE} компланарны.
Что означает, что определитель третьего порядка составленный из координат этих векторов равен 0
(х;y;z-1)
(0;sqrt(3);-1}
(1/2;(sqrt(3))/2;0)
Уравнение плоскости А1EF:
sqrt(3)*x-y-sqrt(3)*z+sqrt(3)=0
Расстояние от точки B(1;0;0)
находим по известной формуле нахождения расстояния от точки до плоскости
d=|sqrt(3)+sqrt(3)|/sqrt(3+1+3)=2sqrt(3)/sqrt(7)
О т в е т. 2sqrt(3)/sqrt(7)=2sqrt(21)/7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) Пусть М- середина АС.
Покажем, что МН - общий перпендикуляр к прямым РВ и АС.
АМ=МС
ВМ - медиана равностороннего треугольника АВС , а значит и высота.
ВМ ⊥ АС.

МН- медиана равнобедренного треугольника РМВ,
Значит МН и высота.
МН ⊥ РВ

ВМ=2sqrt(2)*(sqrt(3)/2)=sqrt(6)
ВН=РВ/2=(2sqrt(2))/2=sqrt(2)
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
ВНМ
МН=sqrt((sqrt(6))^2-(sqrt(2))^2)=sqrt(6-2)=sqrt(4)=2
О т в е т. а)2.
б)
РО ⊥ пл. АВС ⇒∠РОВ=90 градусов
НК|| BO

НК- средняя линия треугольника РОВ
НК⊥ РО
НК=(1/2)ВО=(1/2)*(2sqrt(2))*((sqrt(3))/3)=(sqrt(6))/3
О т в е т. б) (sqrt(6))/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) cм. приложение.
Проводим через середину А1С - точку О, прямую MN || BD.
Плоскость МА1ND параллельна прямой BD
( так как MN || BD).
Применим координатный метод. Введем систему координат, так что точка D совпадает с началом координат.
Направление оси ох совпадает с вектором DC, направление оси оу с вектором DA, направление оси оz c вектором DD1.
D(0;0;0)
C(18;0;0)
B(18;18;0)
A(0;18;0)
A1(0;18;18)
M(0;0;9)
N(18;18;9)
Пусть T (х;у;z) - произвольная точка плоскости MA1NC
Тогда векторы
vector{MT}, vector{MN}, vector{CN} компланарны.
Значит определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
(x; y; z-9)
(18; 18; 0)
(0; 18; 9)
Уравнение плоскости MA1NC:
x - y + 2z - 18 = 0
vector{n}=(1;-1;2)

Расстояние от произвольной точки прямой BD, в частности, точки B находим по формуле
d=|x_(0)-y_(0)+2z_(o)-18|/sqrt(1^2+(-1)^2+2^2);
d=|18-18+2*18-18|/sqrt(6)=3sqrt(6)
О т в е т. а) 3 sqrt(6)
О т в е т. б) 6sqrt(3)
cм. приложение 2. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

t=s/v=5/15=1/3 часа=60минут/3=20 минут

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями вписан в окружность, то квадрат диаметра этой окружности равен сумме квадратов противоположных сторон.
(см. доказательство этого факта в приложении)
(2R)^2=b^2+d^2
R=2
b=3
d^2=(2R)^2-b^2=4^2-3^2=7
d=sqrt(7) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма ( логарифм (1) - это показатель степени, в которую нужно возвести основание (7), чтобы получить 4-х)
4-х=7^1
-x=7-4
-x=3
x=-3
О т в е т. -3

Ответ выбран лучшим

Пусть АВ=4; ВС=3
Медиана АР делит сторону ВС пополам. ВР=РС=1,5
Медиана СК делит сторону АВ пополам. АК=КВ=2

Пусть АР=3х; СК=3у
Медианы АР и СК пересекаются в точке М под прямым углом. Значит Все 4 угла при точке М равны 90 градусов.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
РМ=х
АМ=2х
КМ=у
СМ=2у
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
РМС:
х^2+(2y)^2=1,5^2
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
AMK:
(2х)^2+y^2=2^2
или
{x^2+4y^2=2,25
{4x^2+y^2=4
Складываем
5x^2+5y^2=6,25
x^2+y^2=1,25

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
АМС
АС^2=(2x)^2+(2y)^2
AC^2=4x^2+4y^2
AC^2=4*(x^2+y^2)
AC^2=4*1,25
AC^2=5
AC=sqrt(5)
О т в е т. sqrt(5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольной трапеции KLO2O1 находим
KL=O2P=12
(cм. приложение)
Если из точки М проведены две касательные к окружности, то отрезки этих касательных равны.
МК=МH ( для окружности радиуса 9)
МH=ML ( для окружности радиуса 4)
Значит МК=МH=МL= KL/2=12/2=6
Точка М равноудалена от трех точек:
К, L,H
Значит треугольник КLH- прямоугольный, угол КHL - прямой, опирается на диаметр KL
О т в е т. а)12; б) 6; в) прямоугольный (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как призма прямая, то двугранные углы между боковыми рёбрами равны углам между сторонами основания.

Опустим высоту ВМ на сторону АD.
АМ=(АD-ВС)/2=(37-25)/2=6.
В тр-ке АВМ АМ=ВМ=6, ВМ⊥АD, значит ∠ВАМ=45°.
∠АВС=180-∠ВАD=180-45-135°.
Трапеция равнобедренная,
углы при основаниях равны.
Ответ: двугранные углы между боковыми сторонами призмы равны 45°, 45°, 135° и 135°. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: |x-1| > 0; |x-1|≠1
x≠0; x≠1; x≠2
Так как
1=log_(|x-1|)|x-1|
то
log_(|x-1|)(x-2)^2 меньше или равно 2*log_(|x-1|)|x-1|
log_(|x-1|)(x-2)^2 меньше или равно log_(|x-1|)|x-1|^2
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
(|x-1|-1)*((x-2)^2-|x-1|^2) меньше или равно 0
(|x-1|-1)*(3-2x) меньше или равно 0.
Применяем метод интервалов.
3-2x=0
x=1,5
(|x-1|-1) больше или равно 0
|x-1|-1=0 ⇒ x-1=1 или х-1=-1
х=2 или х=0
_+__ [0] __-__[1,5] _+_ [2] _-___

С учетом ОДЗ
О т в е т. (0;1)U(1;1,5]U(2;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Число, кратное 5, оканчивается на 0 или на 5.
На 0 не может оканчиваться, так как число, записанной в обратном порядке не будет четырехзначным.
Значит последняя цифра числа 5, первая цифра числа записанного в обратном порядке 5
abc5-5cba=2448
a=7
Далее перебор и ответ
7615-5167=2448

Ответ выбран лучшим

{sin3x=1
{sin4x=1

{3x=(π/2)+2πk, k∈Z
{4x=(π/2)+2πn, n∈Z

{x=(π/6)+(2π/3)*k, k∈Z
{x=(π/8)+(2π/4)*n, n∈Z

(π/6)+(2π/3)*k=(π/8)+(2π/4)*n,
n=(1/12)+(16/12)k

Ответ выбран лучшим

Пусть H - высота конуса, h - высота налитой жидкости.
R/r=H/h=5
V(конуса)=(1/3)πR^2H
v(жидкости)=(1/3)πr^2h=
=(1/3)π(R/5)^2*(H/5)=V/125=500/125=4 мл

Ответ выбран лучшим

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120 градусов, значит углы при основании равны
(180 градусов -120 градусов)/2=30 градусов.
Высота, проведенная из вершины на основание является одновременно и биссектрисой и медианой.
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Значит гипотенуза в два раза больше катета.
О т в е т. 28

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВС- равнобедренный (АВ=ВС).
∠ВАС=∠ВСА=(180 градусов - 60 градусов)/2=60 градусов

Треугольник АDС- равнобедренный (AD=СD).
∠DАС=∠DСА=(180 градусов - 110 градусов)/2=35 градусов

∠А=∠ВАC+∠DАC=60 градусов +35 градусов=95 градусов
О т в е т. 95 градусов

Ответ выбран лучшим

7(1)
Треугольник СOD - равнобедренный (ОС=ОD).
∠CDO=∠DCO=14 градусов;
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
∠СOD=180 градусов-14 градусов-14 градусов=152 градусов.
7(2)
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
∠CDO+∠DCO=180 градусов-∠СOD=
=180 градусов-108 градусов=72 градусов.
Треугольник СOD - равнобедренный (ОС=ОD).
∠CDO=∠DCO=36 градусов

8(1) Диаметр перпендикулярный хорде делит хорду и стягиваемую ею дугу пополам.
∠СOD- центральный, измеряется дугой на которую он опирается.
Значит дуга CD имеет градусную величину 100 градусов.
Диаметр, проходящий через точки O и F делит дугу CD пополам.
Градусная мера дуги СF равна 50 градусов.
∠CDF - вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается.
∠СDF=25 градусов.

8(2)
∠CDF - вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается.
Значит градусная мера дуги DF равна 26 градусов.
Диаметр, проходящий через точки O и F, перпендикулярный хорде делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Значит дуга СF имеет градусную меру 26 градусов, а дуга CD имеет градусную меру 26=26=52 градусов.
Угол СOD- центральный, измеряется дугой, на которую опирается.
∠СOD=52 градусов.

y`=3x^2+6x
y`=0
3x^2+6x=0
3x*(x+2)=0
x=0 и х=-2 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума.
Расставляем знак производной:
[-2] __-__ (0) ___+____[3]

x=0 - точка минимума, так как производна меняет знак с - на +
y(0)=0- наименьшее значение функции на отрезке [-2;3].

y(-2)=(-2)^3+3*(-2)^2=-8+12=4
y(3)=3^3+3*3^2=54 - наибольшее значение функции на отрезке [-2;3].

Ответ выбран лучшим

a) cм. приложение.
б) Расстояние между АВ и СD - это высота H треугольника
DMC, проведенная из точки М на сторону СD.
Стороны этого треугольника
CD=AD=5sqrt(3);
CM=h(основания)=6sqrt(3)*(sqrt(3)/2)=9
DM по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника DMA
DM=4sqrt(3)
DO по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника DMC
DO=sqrt((4sqrt(3))^2-3^2)=sqrt(39)
S( DMC)=(1/2)MC*DO=(1/2)CD*H
H=MC*DO/CD=9*sqrt(39)/5sqrt(3)=9sqrt(13)/5
О т в е т. 9sqrt(13)/5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию 12 является и медианой, поэтому высота делит основание пополам.

а)Из прямоугольного треугольника с гипотенузой равной боковой стороне и катетами равными h и половине основания (12/2=6)по теореме Пифагора
h=sqrt(10^2-6^2)=sqrt(64)=8
б)S=(1/2)*12*8=48

Ответ выбран лучшим

Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то высота равна средней линии трапеции.
h=(a+b)/2
а площадь трапеции равна квадрату высоты
S (трапеции)=(a+b)*h/2=h^2
h=sqrt(S)=sqrt(228)=2sqrt(57) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=sqrt(2)*(cosx)-1
y`=0
sqrt(2)*(cosx)-1=0
cosx=1/sqrt(2)
cosx=sqrt(2)/2
x=± (π/4)+2πk, k∈Z
Указанному промежутку принадлежит х=π/4
и х=7π/4
Находим значения на концах отрезка и в точках
y(0)=-1
y(π/4)=-π/4 > -1
y(7π/4)=(-7π/4)-2
y(2π)=-2π-1
Наибольшее значение y(π/4)=-π/4

Ответ выбран лучшим

3/7=30/70
1)[0,1;0,2]=[7/70;14/70]
2)[0,2;0,3] =[14/70;21/70]
3)[0,3;0,4] =[21/70;28/70]
4)[0,4:0,5] =[28/70;35/70]
28/70 < 30/70 < 35/70
О т в е т. 4)

Ответ выбран лучшим

Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны:
a+b=h+c
2+3=a+b=h+c
c=5-h
Проведем высоту из правой вершины верхнего основания. Получим прямоугольный треугольник со сторонами
h; c и (b-a)
По теореме Пифагора
h^2+(b-a)^2=c^2
h^2+1^2=(5-h)^2
10h=24
h=2,4
S(трапеции)=(a+b)*h/2=(2+3)*2,4/2=6
О т в е т. 6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Один угол х, второй угол 8х.
Сумма смежных углов равна 180 градусов.
х+8х=180 градусов
9х=180 градусов
х=20 градусов
8х=160 градусов
О т в е т. 20 градусов; 160 градусов.

Ответ выбран лучшим

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных равны между собой.
АК=КР
ВК=ВТ
СТ=СР.
Пусть АВ=7;ВС=6; АС=9
Обозначим
АК=АР=х, тогда
КВ=7-х
КВ=ВТ=7-х
СТ=6-(7-х)=х-1
РС=СТ=х-1
АС=АР+РС
9=х+х-1
2х=10
х=5
АК=АР=5
ВК=ВТ=2
СТ=СР=4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойству касательной и секущей, проведенной к окружности из одной точки:
АB^2=AK*AC
KC=2R=3,6

Пусть АК=х
AC=AK+KC=x+3,6
8^2=x*(x+3,6)
x^2+3,6x-64=0
D=3,6^2-4*(-64)=12,96+256=268,96
x=6,4 второй корень отрицательный.
АС=х+3,6=6,4+3.6=10
О т в е т. 10
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки:
АР^2=AM*AN
AP=sqrt(9*32)=12sqrt(2)
Продолжим РО до пересечения с окружностью в точке К.
РК- диаметр
РК=2R
Пусть РК пересекает АС в точке Т.
Из прямоугольного треугольника АРТ
сos∠РАТ=АР/АТ
∠РАТ=∠ВАС
2sqrt(2)/3=12sqrt(2)/AT⇒ АТ=18
По теореме Пифагора
PT^2=AT^2-AP^2=18^2-(12sqrt(2))^2=324-288=36
PT=6
По свойству пересекающихся хорд
МТ*TN=PT*TK
MT=AT-AM=18-9=9
TN=AN-AT=32-18=14
9*14=6*TK
TK=21
PK=PT+TK=6+21=27
PK=2R
2R=27
R=13,5
О т в е т. 13,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ PKQ=ΔPLQ
PK=PL=R
QK=QL=r
PQ-общая.
∠КPQ=∠LPQ
В равнобедренном треугольнике KPL
PQ- биссектриса, а значит высота и медиана.
PQ⊥KL
PQ- cерединный перпендикуляр к отрезку KL (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проводим высоту МТ через точку К - точку пересечения биссектрис.
КР=10- расстояние от точки пересечения биссектрис до стороны АВ.
Δ АРК=ΔАКТ
1)∠КРА=∠КТА=90 градусов
2)∠РАК=∠КАТ (биссектриса делит угол А пополам)
3) АК- общая
КР=КТ=10
Δ ВРК=ΔВКМ
1)∠КРВ=∠КМВ=90 градусов
2)∠РВК=∠КВМ (биссектриса делит угол пополам+.
3) ВК- общая
КР=МК=10
МТ=МК+КТ=10+10=20
S(параллелограмма ABCD)=ВС*МТ=19*20=380
О т в е т. 380 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
(3/2)^x=t;
t > 0
(2/3)^(x-1)=(2/3)^x*(2/3)^(-1)=(3/2)*t^(-1)=3/(2t)
(3/t)-4t+1=0
4t^2-t-3=0
D=(-1)^2-4*4*(-3)=49
t=1 или t=-3/4( не удовл. условию t > 0)
(3/2)^x=1
x=0

Ответ выбран лучшим

Область определения функции
(- бесконечность;2)U(2;+бесконечность)

Раскрываем знак модуля и упрощаем выражение, задающее функцию
При х больше или равно 0
|x|=x
y=0,5x(x-2)*x/(x-2)
y=0,5x^2
Строим параболу у=0,5х^2 на [0;+бесконечность)
При этом точка x=2 не входит в область определения данной функции и потому изображена выколотой.
При х < 0
y=0,5x(x-2)*(-x)/(x-2)
y= - 0,5x^2
Строим параболу у=0,5х^2 на (бесконечность;0)

Прямая у=2 не имеет с графиком общей точки
О т в е т. m=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{a*(1-ay)+y=a^2;
{x=1-ay.

{(1-a^2)y=a^2-a;
{x=1-ay.

Решаем первое уравнение
(1-а)(1+а)у=а(а-1)
При а≠1; а≠-1
{y=-a/(a+1)
{x=1-a*(-a/(a+1))

{y=-a/(a+1)
{x=(a^2+a+1)/(a+1)

При а=1
первое уравнение принимает вид
0у=0 - бесчисленное множество решений
(1-y; y), у -любое.
При а=-1
уравнение принимает вид
0у=2- уравнение не имеет корней
О т в е т. Если а≠1; а≠-1
то x=(a^2+a+1)/(a+1), у=-а/(а+1)
Если a = -1, то решений нет
Если а = 1, то система имеет бесчисленное множество решений, множество точек на прямой
х+у=1
(1-y; y) у - любое действительное число

Ответ выбран лучшим

1-2sin^2x+3sinx+1=0;
2sin^2x-3sinx-2=0
D=(-3)^2-4*2*2=9+16=25
sinx=-1/2 или sinx=2 ( уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно 1)
sinx=-1/2
х= (-π/6)+2πk, k∈Z или х=(-5π/6)+2πn, n∈Z
О т в е т. a) (-π/6)+2πk,(-5π/6)+2πn, k, n∈Z
б) х=(-π/6)+2π=(11π/6)∈ [3π/2; 5π/2]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

При x больше или равно -7
|x+7|=x+7
y=3*(x+7)-x^2-13x-42;
y=-x^2-10x-21
Cтроим параболу y=-x^2-10x-21 на [-7;+ бесконечность)

Если х < -7, то |x+7|=-x-7
y=3*(-x-7)-x^2-13x-42
y=-x^2-16x-63
Строим параболу у=-x^2-16x-63
на (-бесконечность;-7)
См. рисунок.
у=1 и у=0 имеет три общих точки с графиком
О т в е т. m=0 ; m=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x-1)(x+4)^2-6(x+4)=0;
(x+4)(x^2+3x-4-6)=0
(x+4)(x^2+3x-10)=0
x+4=0 или х^2+3x-10=0
x=-4 или D=9+40=49; x=-5 или х=2
О т в е т. -5; -4; 2.

Ответ выбран лучшим

log_(3)(2x+1)^(1/3)=1
(2x+1)^(1/3)=3
2x+1=3^3
2x=26
x=13

Ответ выбран лучшим

АК=КМ=MD=AD=4
В прямоугольном треугольнике АКР катет КР против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
АВ=КР=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-7-3+4=-6

Ответ выбран лучшим

y`=((x–25)e^(x–24))`=(x-25)`*e^(x-24)+(x-25)*(e^(x-24))`=
=e^(x-24)+(x-25)*e^(x-24)*(x-24)`=e^(x-24)*(1+x-25)=
=e^(x-24)*(x-24)
y`=0 при х=24
При переходе через точку х=24 производная меняет знак с - на +, х=24- точка минимума.
y(24)=-1
Значит наибольшее значение функция может принимать на концах отрезка
y(23)=-2/e
y(25)=0 - наибольшее значение функции на данном отрезке

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sinx+2cosx=0
sinx=-2cosx
tgx=-2
x=arctg(-2)+πk, k∈Z
x=-arctg2+πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Окружность радиуса, равного расстоянию от центра до середины любой хорды (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть трехзначное число записано цифрами a, b, c
По условию
a+b+c кратно 12.
1 ≤ a ≤ 9;
0 ≤ b ≤ 9;
0 ≤ c ≤ 9, поэтому
a+b+c=24 или a+b+c=12

Например, 798
Проверка.
7+9+8=24 – сумма цифр кратна 12
798+6=804
8+0+4=12 – сумма цифр кратна 12

или
699
Проверка
6+9+9=24 – кратно 12
699+6=705
7+0+5=12 – кратно 12.

О т в е т. 699; 798.

Ответ выбран лучшим

Пусть третья сторона равна х.
Угол между сторонами 2 и х равен φ.
2 < x < 4
S(Δ)=(1/2)*2*x*sinφ
S(Δ)=xsinφ
По условию
S(Δ) > 2sqrt(3)

хsinφ > 2sqrt(3)
Так как
0 < sinφ < 1, то х > 2sqrt(3)
2sqrt(3) < x < 4

Применяем теорему косинусов
4^2=2^2+x^2-2*2*x*cosφ

cosφ=(x^2-12)/4x

При 2sqrt(3) < x < 4

cosφ > 0

Косинус тупого угла отрицателен, ответ не может.

Ответ выбран лучшим

А1.
1)=(4х-(х^3/3))|^2_(1)=(8-(8/3))-(4-(1/3))=5/3
2)=((-x^3/3)-x^2+3x)|^0_(-3)=9
A2
1)=-cosx|^(π/2)_(0)=1
2)=((x^3/3)+x^2+3x)|^3_(2)=17-(8/3)
3)=(-1/x)|^4_(2)=(-1/4)+(1/2)=1/4
A3
F(x)=x^3+x+C
-2=1+1+C
C==-4
О т в е т. F(x)=x^3+x-4

Ответ выбран лучшим

2.
sin^2a+cos^2a=1
sin^2a=1-cos^2a=1-(-0,8)^2=1-0,64=0,36
sina=0,6 ( знак +, синус во второй четверти положителен)
3.
Формула косинуса двойного угла
=cos2*105 градусов=сos210 градусов=по формулам приведения=-сos30 градусов=-sqrt(3)/2
4.
а)3*(5^(-3))^(0,2x+1)=3*25;
5^(-0,6x-3)=5^2;
-0,6x-3=2;
-0,6x=5
x=25/3
б)
2х-4=3^5
2x=247
x=123,5

г) Возводим в квадрат
2x^2-12=-10x;
x^2+5x-6=0
x=-6 или х=1
Так как не находили ОДЗ, то необходимо сделать проверку
При х=1 sqrt(-10x) не существует.
При х=-6
sqrt(60)=sqrt(60)
О т в е т. -6
д)sinx=-1/2
x=(-π/6)+2πk, k∈Z или х=(-5π/6)+2πn, n∈Z
Корень, близкий к нулю
-30 градусов.

Ответ выбран лучшим

a) 2*(3^(-3))^(0,5x-1)=2*9;
3^(-1,5x+3)=3^(2);
-1,5x+3=2
x=2/3
б) 2x+5=3^2
2x=76
x=38
в)Опечатка в основании .
t^2-t-6=0
t=3 или t=-2
log_(1/3)x=3
x=(1/3)^3
x=1/27
или
log_(1/3)x=-2
x=(1/3)^(-2)
х=9

г) Возводим в квадрат
14-2x^2=-12x;
x^2-6x-7=0
x=7 или х=-1
Так как не находили ОДЗ, то необходимо сделать проверку
При х=7 sqrt(-12x) не существует.
При х=-1
sqrt(12)=sqrt(12)
О т в е т. -1
д)sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈Z или х=(5π/6)+2πn, n∈Z
Наибольший отрицательный корень -210 градусов.

Ответ выбран лучшим

Найти гипотенузу по теореме Пифагора.
Медиана=радиусу описанной окружности=(1/2)гипотенузы.

Ответ выбран лучшим

Область определения функции:
х ≠ 1

Упростим выражение, задающее функцию
0,75x^2-0,75x=0,75x*(x-1)
При х больше или равно 0
у=0,75х^2
При x < 0
у=-0,75x^2

Строим две параболы:
у=0,75х^2 на [0;+ бесконечность) с выколотой точкой (1;3/4)
и
у=0,75x^2 на (-бесконечность;0)
Прямая у=3/4 не имеет с графиком данной функции общих точек.
О т в е т. m=3/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Область определения функции:
х^2+5x ≠ 0
x≠0; x≠-5

y=1-(x+5)/(x*(x+5));
y=1-(1/x)
Cтроим график
y=1-(1/x) (это гипербола) на области определения данной функции, поэтому на графике выколота точка х=-5 у=6/5.
Гипербола у=-1/х не принимает значения у=0
Гипербола у=1-(1/х) не принимает значения у=1

Прямые у=6/5 и у=1 не имеют с графиком общих точек
О т в е т. 1; 6/5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2a+cos^2a=1
sin^2a=1-cos^2a=1-(-0,8)^2=1-0,64=0,36
sina=0,6 ( знак +, синус во второй четверти положителен)

Ответ выбран лучшим

Логарифмическая функция с основанием 5 возрастающая, поэтому
{1-x > 3-2x;
{3-2x > 0

{x > 2
{x < 1,5
Cистема на имеет решений
О т в е т. Нет решений

Ответ выбран лучшим

Пусть в одной части х см.
Отношение 2:7 можно записать как 2х:7х.

По свойству касательной к окружности, проведенной из одной точки, отрезки касательных равны ( см. рисунок).

Поэтому боковые стороны имеют длину 2х+7х=9х
основание 2х+2х=4х
9х+9х+4х=110
22х=110
х=5
9*5=45 см -боковая сторона
4*5=20 см - основание (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Рассмотрим ряд c общим членом |a_(n)|=1/(n^2+1)
Ряд сходится потому что эквивалентен ряду с общим членом (1/n^2) - обобщенный гармонический ряд с общим членом (1/n^(p)) при p > 1 cходится.
p=2 > 1

Данный ряд сходится и притом абсолютно.

Ответ выбран лучшим

1) Применяем признак сравнения в предельной форме:
если limn→∞(a_(n))/(b_(n))=1, то ряды с общими членами a_(n) и b_(n) ведут себя одинаково. Сходятся или расходятся одновременно.
Ряд c общим членом b_(n)=1/n - гармонический. Он расходится
limn→∞(a_(n))/(b_(n))=limn→∞((n+2)/n*(n+4))/(1/n)=1
О т в е т. Расходится.
2)
Применяем признак Даламбера.
limn→∞(a_(n+1))/(a_(n))=limn→∞(5n+1)/(4n+3)=5/4 > 1
Ряд расходится
3)Применяем радикальный признак Коши
limn→∞(корня n-ой степени из a_(n))=
=limn→∞((n+1)/2n)^n=(1/2)^(+бесконечность)=0
0 < 1
Ряд сходится.

Ответ выбран лучшим

Область определения функции
|x|-4,5x^2≠0 ⇒
x≠0 и 1-4,5|x|≠0⇒ |x|≠ 2/9 ⇒ x≠ 2/9 и x≠ -2/9

Раскрываем знак модуля
Если
1) x < 0, то |x|=-x
у= (-4,5х-1)/(-х-4,5х^2)
у= (-4,5х-1)/(х*(-1-4,5х))
y=1/x
при x≠0 и x≠ -2/9
Строим график у=1/х при
x∈(-бесконечность;0)
Точка A(-2/9; 9/2) не принадлежит графику.

2) x > 0, то |x|=x
у= (4,5х-1)/(х-4,5х^2)
у= (4,5х-1)/(х*(1-4,5х))
y=-1/x
при x≠0 и x≠ 2/9
Строим график у=-1/х при
x∈(0;+бесконечность)
Точка В(2/9; -9/2) не принадлежит графику.

Cм рисунок

Прямые у=kx , проходящие через точки А и В не имеют с графиком функции у=(4,5|x|-1)/(|x|-4,5x^2) общих точек.
Подставляем координаты этих точек в уравнение прямой у=kx и получаем k=-81/4 и k=81/4

Так как (4,5|x|-1)/(|x|-4,5x^2) > 0 при любых х, то
при k=0 прямая y=0 не имеет с графиком общих точек
О т в е т k=-20,25; k=0; k=20,25. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2+(3/2)x+(9/4)-(9/4)+4=(x+(3/2))^2+(7/4)

Формула
∫du/(u^2+a^2)=(1/a)arctg(u/a)+C=
=(1/(sqrt(7)/2))*arctg(x+(3/2)/(sqrt(7)/2))=
=(2/sqrt(7))*arctg((2x+3)/sqrt(7))+C

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-5x > 0⇒ x(x-5) > 0 ⇒ (-∞;0)U(5;+∞)
{x^2 > 0 ⇒ x≠0

ОДЗ: (-∞;0)U(5;+∞)
(2log3(x2–5x))/log3 x2 < =1
(log3(x2–5x)^2)/log3 x2 < =1
log_(x^2)(x2–5x)^2 < =1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^2-1)(x^2-5x)^2-x^2) < =0
(x-1)(x+1)(x^2-5x-x)*x^2-5x+x) < =0
(x-1)(x+1)(x^2-6x)(x^2-4x) < =0
x^2(x-1)(x+1)(x-6)(x-4) < =0

_+_ [-1] _-_ (0) _-__ [1] ___+__ [4] __-__ [6] _+__

[-1;1]U[4;6]

C учетом ОДЗ
[-1;0)U(5;6]

Ответ выбран лучшим

a1=–9,
a2=-9+4=-5
a3=-5+4=-1
a4=-1+4=3
a5==3+4=7
a6=7+4=11

S6=-9+(-5)+(-1)+3+7+11=6

Ответ выбран лучшим

Потому что S(ΔMDC)=S(ΔMAC)
Основание у этих треугольников общее - МС.
Высота общая, высота- расстояние между параллельными прямыми AD и МС
А если от равных площадей отнять площадь треугольника МВС, то оставшиеся части также будут равны.
S(ΔMDC)–S(ΔMBC)=
=S(ΔMAC)-S(ΔMBC)

Ответ выбран лучшим

=(sqrt(11))^2-(sqrt(3))^2=11-3=8

Ответ выбран лучшим

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{ab}|*cos(vector{a},vector{b})=
=9*2*cos45 градусов=18*sqrt(2)/2=9sqrt(2).

Ответ выбран лучшим

Пусть АВ=ВС
Ас=8
Проводим высоту ВК.
AK=KС=4 ( высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию Ас является одновременно и медианой).
cos∠А=АК/AB
2/3=4/АВ
АВ=6
О т в е т. АВ=ВС=6

Ответ выбран лучшим

Ряд сходится по признаку Даламбера
lim_(n→∞)a_(n+1)/a_(n)=
=lim_(n→∞)((2^(n+1)+7^(n+1))/14^(n+1)):((2^n+7^n)/14^n)=
=(1/14)*lim_(n→∞)(2^(n+1)+7^(n+1))/(2^n+7^n)=
( делим и числитель и знаменатель на 7^n)
=(1/14)*lim_(n→∞)(2*(2/7)^n+7))/(2/7)^n+1)=
=(1/14)*(2*0+7)/(0+1)=7/14=1/2 < 1
lim_(n→∞)(2/7)^n= 0

Со сходящимся знакоположительным рядом можно обращаться так же как с конечными суммами.
В данном случаем можно записать общий член ряда в виде:
(2^n+7^n)/14^n=(2/14)^n+(7/14)^n
Значит можно перегруппировать слагаемые и рассматривать ряд как сумму двух рядов.
С общим членом
(2/14)^n=(1/7)^n
и
(7/14)^n=(1/2)^n
Каждый ряд представляет из себя сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S1=(1/7)/(1-(1/7))=(1/7)/(6/7)=1/6
S2=(1/2)/(1-(1/2))=(1/2)/(1/2)=1
S=S1+S2=(1/6)+1=7/6

Ответ выбран лучшим

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 °.
∠А + ∠С=180 ° ⇒∠А =180 ° – ∠С=

= 180 ° – 108 ° =72 °
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=12x^2+30x-42
y`=0
12x^2+30x-42=0
6x^2+15x-21=0
D=15^2-4*6*(-21)=225+504=729=27^2
x=(-15-27)/12=-3,5 или х=(-15+27)/12=1
x=-3,5 и х=-1 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума. Определяем знаки производной.
Это легко сделать зная как проходит график параболы у=6x^2+15x-21, ветви которой направлены вверх и х=-3,5 и х=1 - точки пересечения с осью Ох.
__+__ (-3,5) _-__ (1) _+__
х=-3,5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

=(4*(x^4/4)+6*(x^2/2)-5x)|^2_(0)=(x^4+3x^2-5x)|^2_(0)=
=2^4+3*2^2-5*2=16+3*4-10=18

1. ∠BAD=12 градусов. Биссектриса делит угол пополам.
2.АВ=2R=26
По теореме Пифагора
АС^2=AB^2-BC^2=26^2-24^2=(26-24)*(26+24)=2*50=100
AC=10
3.
P(квадрата)=а+а+а+а=4а
32=4а
а=8
S(квадрата)=а^2=8^2=64

Высота делит прямоугольный треугольник на два маленьких прямоугольных подобных между собой.
Из подобия
h:25=16:h
h^2=400
h=20

Ответ выбран лучшим

Призма прямая. АА1⊥пл.АВС ⇒ Δ АА1С - прямоугольный.
А1С^2=AA^2_(1)+AC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2
A1C=15
A1C⊥BC по теореме о трех перпендикулярах.
(АС- проекция перпендикулярна ВС, значит и наклонная А1С перпендикулярна ВС)
S(Δ A1CB)=(1/2)A1C*BC=(1/2)15*20=150
О т в е т. 150 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Медиана АМ ( ВМ=МС) равнобедренного треугольника АВС одновременно является и высотой этого треугольника.
АМ⊥ВС
Из прямоугольного треугольника АВМ
АМ=4 ( египетский треугольник, гипотенуза АВ=5; катет ВМ=3)
Треугольника АА1М - прямоугольный равнобедренный, так как один острый угол 45 градусов, значит и второй острый угол тоже 45 градусов.
АА1=АМ=4
H ( призмы)=АА1=4
S( бок.)=Р(осн.)*H=(5+5+6)*4=16*4=64
О т в е т. 64 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{7x-y=10
{5x+y=2
Cкладываем
12х=12
х=1
у=2-5х-2-5*1=-3
О т в е т. (1;-3)

Ответ выбран лучшим

=(1/2)arctg(x/2)|^(+∞)_(0)=
=(1/2)*lim_(x→+∞)arctg(x/2)-(1/2)*arctg0=
=(1/2)*(π/2)-(1/2)*0=π/4

=∫^(+∞)_(0)x^(-1/3)dx=x^((-1/3)+1)/((-1/3)+1)|^(+∞)_(0)=

=x^(2/3)/(2/3)|^(+∞)_(0)=(3/2)∛x^2)|^(+∞)_(0)=

=(3/2)*lim_(x→+∞)∛x^2-(3/2)*0=+∞

Интеграл расходится

(прикреплено изображение)

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

− 1024; − 256; − 64; - 16; -4

S= - 1024 - 256 - 64 - 16 - 4 = - 1364

Ответ выбран лучшим

n=9+5+10+6=30 спортсменов
m=9 ( из Греции)
p=m/n=9/30=3/10=0,3

n=4+6+5+7=22 спортсмена
m=6 ( из Турции)
p=m/n=6/22=3/11=0,272727...≈0,27

Ответ выбран лучшим

{x–2y=14 ⇒ x=2y+14
{2x+5y=1

{x=2y+14
{2*(2y+14)+5y=1⇒ 4y+28+5y=1 ⇒ 9y=-27

{y=-3
{x=2*(-3)+14

{y=-3
{x=8

О т в е т. (8;-3)

Ответ выбран лучшим

По определению модуля.
1)
x^2-3x ≥ 0 ⇒ x*(x-3)≥0 ⇒ (-∞;0]U[3;+∞)
|x^2-3x|=x^2-3x
Неравенство принимает вид:
(x^2-3x)*log_(2)(x+1)≤-(x^2-3x);
(x^2-3x)*(log_(2)(x+1)+1) ≤0
так как x^2-3x ≥ 0, то
log_(2)(x+1)+1 ≤0;
log_(2)(x+1) ≤ -1;
log_(2)(x+1) ≤ log_(2)(1/2);
0 < x+1≤1/2
-1 < x ≤-1/2
C учетом (-∞;0]U[3;+∞) получаем ответ
(-1;-1/2]U{0}U{3}
2)
x^2-3x < 0 ⇒ x*(x-3) < 0 ⇒ (0;3)
|x^2-3x|=-x^2+3x
Неравенство принимает вид:
(-x^2+3x)*log_(2)(x+1)≤-x^2+3x;
(-x^2+3x)*(log_(2)(x+1)-1) ≤0
так как x^2-3x < 0, то
log_(2)(x+1)-1 больше или равно 0;
log_(2)(x+1)≥ 1;
log_(2)(x+1) ≥ log_(2)(2);
{x+1 > 0;
{x+1≥1
x≥0
C учетом (0;3) получаем ответ
(0;3)

О т в е т. (-1;-1/2]U[0;3]

Ответ выбран лучшим

Пусть А(a;0) B(0;b)
Уравнение прямой АВ:
(х/а)+(y/b)=1;
bx+ay=ab
y=(-b/a)x + b
k( касательной АВ)=-b/a

Пусть С(с;0) D(0;d)
Уравнение прямой CD:
(х/c)+(y/d)=1;
dx+cy=cd
y=(-d/c)x +d
k( касательной CD)=-d/c

Касательные параллельны, значит
угловые коэффициенты этих касательных равны.
-b/a=-d/c
ad=cb

S( Δ AOB)=(1/2)*a*b
S( Δ COD)=(1/2)*c*d
По условию
S( Δ AOB) в 4 раза меньше S( Δ COD)
4*(1/2)*a*b=(1/2)*c*d
4ab=cd.

Пусть касательная АВ касается кривой в точке
(х_(о);у_(о))

Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(o))=k ( касательной)

f`(x)=-1/(x^2)
-b/a=-1/(x_(o))^2
(x_(o))^2=a/b

точка (х_(о);у_(о)) принадлежит как касательной АВ, так и кривой у=(1/х)+2

(1/х_(о))+2=(-b/a)*x_(o)+b
и
(x_(o))^2=a/b

Из трех условий наверное получится найти ab/2=S( АВС)

Ответ выбран лучшим

АР=ВР=СР
АО=ВО=ОС
О- центр описанной около треугольника АВС окружности.
Сфера, вписанная в пирамиду, делится плоскостью КРС на две полусферы. Окружность сечения касается сторон
треугольника КРС.
Поэтому точка касания сферы с гранью APB лежит на прямой PK.
б)
Из прямоугольного треугольника РКВ:
РВ=5 ( египетский треугольник)
АР=ВР=СР=5
КС=sqrt(6^2-3^2)=sqrt(36-9)=3sqrt(3)
CO:ОК=2:1
ОК=sqrt(3)
SO=sqrt(6^2-(sqrt(3))^2)=sqrt(33)

По формуле
S( Δ PKC)=p*r
p=(PK+KC+PC)/2=(4+3sqrt(3)+5)/2=(9+3sqrt(3))/2=
S=(Δ PKC)=(1/2)*KC*PO=(1/2)*3sqrt(3)*sqrt(33)=
=9*(sqrt(11))/2
r=9*(sqrt(11)/(9+3sqrt(3))=3sqrt(11)/(3+sqrt(3))
r=9*(sqrt(11))/(2*
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Среднее квадратическое (квадратичное) число s, равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел.
s=sqrt(((sqrt(11,9))^2+10^2)/2)
s=sqrt((11,9+100)/2)=sqrt(55,95)=7,4799732619≈7,48

Ответ выбран лучшим

а)
Δ АКВ - равносторонний:
АК=КВ=АВ
∠ КВА=∠КАВ=∠АКВ=60 градусов.

Δ ВРС - равносторонний:
ВР=РС=ВС
∠ ВРС=∠ВСР=∠РВС=60 градусов.

Так как АВСD - квадрат АВ=ВС, то АК=КВ=АВ=ВС=ВР=РС.
∠КВР=90 градусов.
Δ КВР - прямоугольный равнобедренный (КВ=ВР)
∠ВКР=∠ВРК=45 градусов.

Δ КАD - равнобедренный (КA=AD)
∠ KAD=∠KAB+∠BAD=60 градусов+90 градусов =150 градусов.
∠ AКD=∠AВК=(180 градусов -150 градусов)/2=15 градусов

∠ AКD+∠ ВКР=15 градусов+ 45 градусов=60 градусов
∠ AКВ= 60 градусов
∠РКD=0 градусов.
Прямые КР и KD совпадают.
Точка Р лежит на прямой KD.

б)
S(PKBC)=S(Δ BPC)+S(Δ BKP)=
=(1/2)*2*2*sin60 градусов+(1/2)2*2=sqrt(3)+2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Интегрирование по частям.
u=xsqrt(2) - 3
du=sqrt(2)dx
dv=cos2xdx
v=(1/2)sin2x

∫udv=uv-∫vdu=(1/2)(xsqrt(2) -3)*cos2x- sqrt(2)/2∫sin2xdx=
=(1/2)(xsqrt(2) -3)*cos2x- sqrt(2)/4(-cos2x) + C.

n=20 вариантов выбора пазла для Саши
m=9 вариантов выбор пазла с машиой для Саши.
По формуле классической вероятности
p=m/n=9/20=45/100=0,45
О т в е т. 0,45

Ответ выбран лучшим

(2a–3)^2–4a(a+1)=4a^2-12a+9-4a^2-4a=-16a+9
О т в е т. 2)

Ответ выбран лучшим

Теорема Фалеса.
Если на одной стороне угла отложить пропорциональные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся пропорциональные отрезки.
Верна и обратная теорема.
На сторонах трапеции АВСD отложены пропорциональные отрезки.
DL=x; LC=3x
ВК=у; КА=3у
Эти отрезки делят каждую боковую сторону трапеции на 4 равные части.
Если через точки деления провести прямые, то они будут параллельны основаниям трапеции.
Пусть верхнее основание трапеции а,нижнее основание трапеции 2а, высота трапеции h.
Из подобия находим высоты каждого слоя и длину стороны каждого слоя.

S1=S(розового цвета)=
= (1/2)*((a+(5a/4))*h/4)+(1/2)*(5a/4)*(2h/4)=
=38ah/64
S2=S(желтого цвета)=
= (1/2)*((2a+(7a/4))*h/4)+(1/2)*(7a/4)*(2h/4)=
=58ah/64
S1+S2=96ah/64=3ah/2=S(ABCD)
S1:S2=38:58=19:29
О т в е т. 19:29 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(Δ ABC)= S
S(Δ ABC)= (1/2) AC*H

(1/2) AC*H= S ⇒ AC*H=2S

S(Δ MBK)=(1/2) MK*h
Выразим МК через АС, h через H.

Медины треугольника AВС пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершин.
Пусть О- точка пересечения медиан.
АО:OF=2:1 ⇒ AO=2OF
AM=MF ( по условию М- середина AF).
Пусть OF=2x, тогда АО=2OF=4x
AF=6x
AM=3x
MO=x
Аналогично
СH=6y; CK=3y; OK=y
Треугольники МОК и АОС подобны, так как угол АОС общий, а стороны, образующие этот угол пропорциональны.
МК:АС=МО:АО=КО:СО=1:4
МК=(1/4) АС

Треугольники АОС и АВС имеют общее основание АС,
поэтому высоты этих треугольников относятся как 1:3

Высота треугольника АОC=H/3

Высота треугольника МОК равна (1/4)высоты треугольника АОС и равна H/12
Высота трапеции МАКС равна (Н/3)-(Н/12)=3Н/12=H/4
h=H-(H/4)=3H/4

S(Δ MBK)=(1/2) MK*h=(1/2)*((1/4)AC)*(3H/4)=
=(3/32)*AC*H=(3/32)*2S=(3/16)S
О т в е т. (3/16)S

Ответ выбран лучшим

1. Проводим прямe., отмечаем точку А этой прямой. Проводим луч под заданным углом α к этой прямой.
2. На этом луче берем произвольную точку В и опускаем перпендикуляр на прямую, С- основание перпендикуляра.
3. Проводим окружность с центром в точке В радиусом ВС. Она пересекает луч между точками А и В в точке K.

Остается построить треугольник, подобный треугольнику АВС, такой, что отрезок, соответствующий АK, в этом треугольнике был бы равен заданной разности гипотенузы и катета.
KM=c-a
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(x+10)^2 = (5–x)^2;
(x+10)^2 - (5–x)^2=0;
Применяем формулу разности квадратов
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
((x+10)- (5–x))*((x+10)+ (5–x))=0;
(x+10-5+x)*(x+10+5-x)=0;
(2x+5)*15=0
2x+5=0
x=-2,5

Ответ выбран лучшим

∠A=15градусов + 47 градусов=62 градусов.
Углы при основании равнобедренной трапеции равны
∠A=∠D=62 градусов.
Cумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусов, значит ∠В=∠С=180 градусов -62 градусов= 118 градусов.
О т в е т. 118 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠AC1C=90 градусов;
∠AА1C=90 градусов
Значит, около четырехугольника АС1А1С можно описать окружность.
АС- диаметр этой окружности.
∠АА1С1 =∠АСС1, так как опираются на одну и ту же дугу АС1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если
1)(x/5,5) – (5,5/x) больше или равно 0, то
|(x/5,5) – (5,5/x)|=(x/5,5) – (5,5/x)
y=(1/2)*(2x/5,5)=x/5,5

(x/5,5) – (5,5/x) больше или равно 0
(x^2-(5,5)^2)/(5,5*x) больше или равно 0

решаем неравенство методом интервалов:
_-__ [-5,5] __+__ (0) ___-__ [5,5] ___+__

Строим график у=х/5,5 при
x∈[-5,5;0)U[5,5;+бесконечность)

2)1)(x/5,5) – (5,5/x) < 0, то
|(x/5,5) – (5,5/x)|=-(x/5,5) + (5,5/x)
y=(1/2)*(2*5,5)/(x)=5,5/x

(x/5,5) – (5,5/x) < 0
(x^2-(5,5)^2)/(5,5*x) < 0

решаем неравенство методом интервалов:
_-__ (-5,5) __+__ (0) ___-__ (5,5) ___+__

Строим график у=5,5/x при
x∈(-бесконечность;-5,5)U(0;5,5)

Cм. рисунок

О т в е т. m=-1 или m=1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость первого автомобиля х км в час, тогда скорость второго автомобиля (х-11) км в час.
(660/х) час - время первого автомобиля;
(660/(х-11)) час. - время второго автомобиля.
По условию задачи первый прибывает к финишу на 2 ч раньше второго.
Уравнение:
(660/х)+2=660/(х-11)
Приводим дроби к общему знаменателю
Решаем систему:
{660*(х-11) +2*х*(х-11))=660х
{x*(x-11)≠0

660х-660*11+2x^2-22x=660x;
2x^2-22x-11^2*60=0
x^2-11x-11^2*30=0
D=(-11)^2-4*(-11^2*30)=11^2+4*11^2*30=
=11^2*(1+120)=11^2*11^2=(121)^2
x=(11+121)/2=66 или х=(11-121)/2 < 0 не удовл. усл.
О т в е т. 66 км в час.

Ответ выбран лучшим

x^3+4x^2–4x–16=0;

(x^3+4x^2)–(4x+16)=0;

x^2(x+4)-4(x+4)=0

(x+4)(x^2-4)=0

x+4=0 или х^2-4=0
x=-4 или х=-2 или х=2
О т в е т. -4; -2; 2

Ответ выбран лучшим

(ax–4x^2)/a^2 =x*(a-4x)/a^2

((a–4x)/a) : ((ax–4x^2)/a^2) =

=((a–4x)/a)*(a^2/(x*(a-4x)))=

=((a-4x)*a^2)/(a*x*(a-4x)=

=a/x

При а=-35; х=10
а/х=-35/10=-3,5

Ответ выбран лучшим

a=2r
r=4
a=8
S(квадрата)=a^2=8^2=64
О т в е т. 64 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В равностороннем треугольнике все стороны равны.
Обозначим сторону х.
Медиана является одновременной и высотой ( см. рис.)
По теореме Пифагора
х^2-(x/2)^2=(11sqrt(3))^2
3x^2/4=363
x^2=484
x=22
О т в е т. 22
2 способ

sin 60 градусов=11sqrt(3)/x
sqrt(3)/2=11sqrt(3)/x
x=22 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

0,4=92/230
0,5=115/230
11/23=110/230
92/230 < 110/230 < 115/230
О т в е т. 3) 11/23

Ответ выбран лучшим

5,3 < 5,09 < 4,9
О т в е т. " удовл." (прикреплено изображение)

n=8
Возможны 8 вариантов ( равновероятных):
ООО; ОРО; ООР; РОО; РОР; РРО; ОРР; РРР

Орел выпадает ровно два раза в трех случаях:

ОРО; ООР; РОО

m=3

p=m/n=3/8=0,375

Ответ выбран лучшим

n=6 - число исходов испытания.
m=2 - число исходов испытания, удовлетворяющих наступлению события А.
Событие А - выпало число очков меньшее 3-х .
Этому событию удовлетворяют следующие исходы
испытания : выпало 1 очко, выпало 2 очка
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=2/6=1/3=0,33333...≈0,33

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{sinx > 0 ⇒ х в первой или во второй четверти
{-cosx > 0 ⇒ cosx < 0 ⇒ х во второй или третьей четверти
{log_(4)(-cosx)≠0 ⇒ - cosx≠1 ⇒ cosx≠-1⇒х≠π+2πk, k∈Z

ОДЗ: π/2+2πk < x < π+2πk, k∈Z

В условиях ОДЗ
2log^2_(2)(sinx)-3log_(2)(sinx)-2=0
D=(-3)^2-4*2*(-2)=9+16=25
log_(2)sinx=-1/2 или log_(2)sinx=2
sinx=1/sqrt(2) или sinx=4 ( уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно 1)

sinx=1/sqrt(2)
х=(π/4)+2πk, k∈Z или х=(3π/4)+2πn, n∈Z

х=(π/4)+2πk, k∈Z не входят в ОДЗ

О т в е т. a) х=(3π/4)+2πn, n∈Z
б) Указанному промежутку принадлежит корень
(3π/4)-4π=-13π/4
-4π=-16π/4 < -13π/4 < -10π/4=-5π/2

Ответ выбран лучшим

О т в е т. а)(5π/6)+2πk, k∈Z

при k=0 получаем корень (5π/6)+2π*0=(5π/6)
при k=1 получаем корень (5π/6)+2π*1=(5π+12π)/6=17π/6

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(3п+x)=-cosx
sin(п/2 – х)=cosx
-cosx-cosx=sqrt(2)
-2cosx=-sqrt(2)
cosx=-sqrt(2)/2
x=± (3π/4)+2πk, k∈Z
О т в е т.± (3π/4)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Разностью двух векторов vector{a} и vector{b} по правилу параллелограмма является vector{DB}.
Cуммой двух векторов vector{a} и vector{b} по правилу параллелограмма является vector{АС}.

По теореме косинусов
DB^2=2^2+4^2-2*2*4*cos 60 градусов=12
DB=sqrt(12)
AC^2=2^2+4^2-2*2*4*cos 120 градусов=28
AC=sqrt(28)

(vector{a}-vector{b})*(vector{a}+vector{b})=
=(vector{a})^2-(vector{b})^2=|vector{a}|^2-|vector{b}|^2=
=2^2-4^2=-12
cosα= (vector{a}-vector{b})*(vector{a}+vector{b})/|vector{a}-vector{b}|*|vector{a}+vector{b}|=(-12)/(sqrt(12)*sqrt(28))=
=-sqrt(12)/sqrt(28)=-sqrt(3/7)
α=arccos(-sqrt(3/7))=180 градусов - arccos(sqrt(3/7)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠AOB - центральный, он измеряется дугой, на которую опирается.
Значит, ⌣AВ=167 градусов.
∠С=∠AСB - вписанный, он измеряется половиной дуги, на которую опирается.
∠С=(1/2) ⌣AВ=(1/2)*167 градусов=83,5 градусов.
О т в е т. 83,5 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cвойство касательной к окружности, проведенной из одной точки.
Отрезки касательных равны.
Обозначены на рисунке одинаковым цветом и одной переменной.
х+у=115
х+z=66
z+y=87

Система трех уравнений с тремя неизвестными.
Складываем все три уравнения
2х+2у+2z=268 ⇒
x+y+z=134

x=134-(y+z)=134-87=47

О т в е т. BQ=x=47 см
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠DBE=(1/2) ⌣AD =(1/2)*88 градусов=44 градусов.
∠BDE=(1/2) ⌣BC =(1/2)*164 градусов=82 градусов.

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных
∠BEС=∠DBE+∠BDE=44 градусов + 82 градусов= 126 градусов

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 ° равен половине гипотенузы.
r=OВ=(1/2) АО
значит АО=2r=2*OB=2*8,1 cм=16,2 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
АВ=(1/2) АО=7,7 см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

⌣AC=68 градусов.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, значит гра дусное измерение дуги в два раза больше гра дусного измерения угла

Ответ выбран лучшим

Градусная мера дуги ВС равна
360 градусов- 105 градусов - 25 градусов=230 градусов.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠ВАС=115 градусов.

Ответ выбран лучшим

x-4=8 или х-4=-8
х=4+8 или х=-8+4
х=12 или х=-4

Сумма корней
12+(-4)=8
О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусов.
∠А + ∠С=180 градусов ⇒∠А =180 градусов - ∠С=

= 180 градусов - 108 градусов =72 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольной трапеции АВО2О1 по теореме Пифагора находим
О1О2=sqrt((4sqrt(21))^2+8^2)=20;

Прямоугольные треугольники O1CK и О2DК подобны по двум углам:
∠ O1KC=∠O2KD - вертикальные
∠О1СК =∠О2DK =90 градусов ( касательная СD перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания)
Из подобия
O1C:O2D=O1K:O2K
12: 4=O1K:(20-O1K)
Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
4*O1K=240-12*O1K⇒
16*O1K=240;
O1K=15 ⇒
O2K=20-O1K=20-15=5

По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников
O1CK и O2DK:
СK=sqrt((15^2-12^2)=sqrt(81)=9
DK=3
О т в е т. СK=9; DK=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ А1FO = Δ BPO
по катету (A1F=BP) и острому углу
(∠A1OF=∠BOP- вертикальные)
∠A1FO=∠ OPB=90 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a/sin a = b/ sin B;

13/sin a = 15/ (12/13)- применяем основное свойство пропорции.
Произведение крайних члно пропорции равно произведению средних.
15*sina=13*(12/13)
15*sina=12
sina=12/15=4/5=0,8

Ответ выбран лучшим

СК+KD=6+9=15
AB=CD=15

Треугольники АВМ и МСК по двум углам.

Из подобия
СМ:АМ=СК:АВ
8:АМ=6:15
АМ=20

АС=АМ+МС=20+8=28

О т в е т. 28 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

=(3/2)sqrt(20*5)=(3/2)*sqrt(100)=(3/2)*10=15
О т в е т. 15

Ответ выбран лучшим

Опишем окружность около правильного восьмиугольника.
Стороны восьмиугольника равны.
Равные хорды стягивают равные дуги.
Значит,
дуги СЕ и АК также равны, как суммы равных между собой дуг.
Значит
СЕ=АК.
В четырехугольнике АСЕК все углы прямые, так как они опираются на диаметры окружности.
АСЕК- прямоугольник, противоположные стороны которого СЕ и АК, равны и параллельны. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

d=∛(a*b*c)=∛(3*6*12)=6

Ответ выбран лучшим

S=2*S(трапеции)=2*(5+8)*2/2=2*13=26 кв. дм
0,03 кг* 26=0,78 кг краски потребуется
( если красить с одной стороны)
1,56 кг ( если красить с двух сторон)
О т в е т. 0,78 кг

Ответ выбран лучшим

Пусть третья сторона равна х.
Тогда по теореме косинусов:
(sqrt(7))^2=(sqrt(3))^2-x^2-2*sqrt(3)*x*cos30 градусов.
или
7=3+x^2-3x
x^2-3x-4=0
D=(-3)^2-4*(-4)=9*16=25
x1=(3-5)/2=-1 не удовл. смыслу задачу
х2=(3+5)/2=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

Пусть 1 кг слив стоит х денежных единиц, тогда
1 кг яблок стоит 1,2 х.
Один кг груш стоит 1,15*1,2х=1,38х

стоимость 1 кг слив х составляет 100%
стоимость 1 кг груш 1,38 х составляет ?
?=1,38х*100:х=138 %

138%-100%=38%
О т в е т. на 38%

Ответ выбран лучшим

Приводим дроби к общему знаменателю:
(8/(x^2-4))-(x*(x-2)/(x^2-4))-((x+1)*(x+2))/(x^2-4) =0

(8-x^2+2x-x^2-3x-2)/(x^2-4)=0

(-2x^2-x+6)/(x^2-4)=0

{-2x^2-x+6=0
{x^2-4≠0

-2x^2-x+6=0
или
2x^2+x-6=0
D=1-4*2*(-6)=49
x1=(-1-7)/4=-2 ( не удовл усл. x^2-4≠0)
или
х2=(-1+7)/4=3/2=1,5

О т в е т. 1,5

Ответ выбран лучшим

Построим треугольник на координатной плоскости. Получим задачу на клетчатой бумаге.
Достроим до прямоугольника ( красного цвета) со сторонами 7 и 2.
Чтобы найти площадь треугольника, найдем площадь прямоугольника и вычтем из нее три площади
S_(1); S_(2) и S_(3) прямоугольных треугольников.
Площадь каждого прямоугольного треугольника находим по формуле половина произведения катетов.

S(Δ)=S( прямоугольника)- S_(1)-S_(2)-S_(3)=

=7*2-(1/2)*4*2-(1/2)*3*1-(1/2)*7*1=14-4-1,5-3,5=5
О т в е т. 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6 часов (2/3)= 6 часов 40 минут
6 часов 40 минут - 1 час 40 минут = 5 часов двигалась лодка по течению и против течения.

Пусть х км в час - скорость течения реки, тогда (10+х) км в час - скорость по течению, (10-х) км - скорость против течения.
24/(10+х) час. - время движения по течению
24/(10-х) час. - время движения против течения.
Общее время 5 часов.
Уравнение
(24/(10+х)) + (24/(10-х))=5;
24*(10-х+10+х)=5*(10-х)*(10+х)
10-х≠ 0; 10+х≠ 0
24*20=5*(10^2-х^2);
96=100-x^2
x^2=4
x=2 или х=-2 ( корень не удовлетворяет смыслу задачи)
О т в е т. 2 км в час.

Ответ выбран лучшим

Умножаем обе части неравенства на 15 > 0, при этом знак неравенства сохраняется.
5x^2 > 3*(8x-9)
5x^2-24x+27 > 0
D=(-24)^2-4*5*27=576-540=36
x1=(24-6)/10=1,8 или х2=(24+6)/10=3
Парабола у=5x^2-24x+27 пересекает ось Ох в точках 1,8 и 3, ветви параболы направлены вверх ( см. график)
Неравенству 5x^2-24x+27 > 0 удовлетворяют все
х ∈(- ∞; 1,8) U(3; + ∞)

Или метод интервалов:

_+__ (1,8) ____ (3) _+__

в котором знаки проще всего расставить, зная как именно пройдет парабола.

О т в е т. (- ∞; 1,8) U(3; + ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/a ) скорость первой машины
(1/b)- скорость второй машины
((1/a) + (1/b)) - сумма скоростей или совместная скорость
1/((1/a) + (1/b))=ab/(a+b) - время совместной работы.
О т в е т. 3)

Ответ выбран лучшим

К концу 40-й минуты кандидат А получил 20 тыс. голосов, кандидат Б получил 30 тыс. голосов.
20+30=50 тыс голосов
Но к началу 40-й минуты голосов было меньше.
Поэтому из приведенных ответов условию удовлетворяет ответ 4) 45 тыс. голосов.
45 тыс < 50 тыс.
О т в е т. 4)
(прикреплено изображение)

Всего детей 5.
n=5
Мальчиков двое: Коля и Ваня
m=2
p=m/n=2/5=0,4
О т в е т. 0,4

Ответ выбран лучшим

Пусть пиджак стоит х, тогда куртка стоит (х+(1/4)х)=
=(х+0,25х)=1,25х
Рубашка стоит х/4=0,25х

куртка 1,25х - 100%
рубашка 0,25х - ?
?=0,25х*100:1,25х=20%

100%-20%=80%
100%:20%=5 раз

О т в е т на 80% или в 5 раз

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1 тонна = 1 000 кг

9*10^(9)кг =9*10^(9):10^(3)=9*10^(6)=9 000 000 тонн=
= 9 000 тысяч тонн

Ответ выбран лучшим

АВ=ВС
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является одновременно и медианой и биссектрисой.
АК=КС=4
Из прямоугольного треугольника АВК
сos∠ВАК=АК/АВ
АВ=АК/сos∠BAK=4/(2/3)=12/2=6
О т в е т. АВ=ВС=6
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A) (x-2)*(x+2) < 0
___ (-2) _-_ (2) ___
о т в е т. 3)
Б) (x-2)*(x+2) > 0
_+__ (-2) __ (2) _+__
о т в е т. 4)
В) x^2+4 > 0 при любом х ( см график)
Парабола у=х^2+4 выше оси Ох всегда!
о т в е т. 2)
Г) x^2+4 < 0 не выполняется ни при каком х
о т в е т. 1)
О Т В Е Т. A) - 3); Б) - 4); В) - 2); Г) - 1)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) (х-1)^2=0
Уравнение имеет корень х=1
2) 4x2–3x+1=0
D=(-3)^2-4*4*1 < 0
квадратное уравнение не имеет корней, если D этого уравнения отрицателен.
3) 2x^2–5x+3=0
D=(-5)^2-4*2*3=25-24=1 > 0
квадратное уравнение имеет 2 корня, если D этого уравнения положителен.
4) 3x^2–7x+2=0
D=(-7)^2-4*3*2=49-24=25 > 0
квадратное уравнение имеет 2 корня, если D этого уравнения положителен.
О т в е т. 2)

Ответ выбран лучшим

Графики А и Б - прямые, проходящие через начало координат.
Значит их уравнения могут быть заданы формулами 1) и 2).
Для уточнения подбираем точку, удовлетворяющую уравнению
На рис. А такой точкой является точка (-3;1)
Эта точка удовлетворяет уравнению 2)
1=-(-3)/3 - верно.
Точка (-1;3) принадлежащая графику Б удовлетворяет уравнению 1)
у=-3x
3=-3*(-1) - верно
На рис. В гипербола. Среди уравнений 1)-4) уравнение 4) задает гиперболу. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

b_(2)=(1/2)b_(1)=(1/2)*(-128)=-64
b_(3)=(1/2)b_(2)=(1/2)*(-64)=-32
b_(4)=(1/2)b_(3)=(1/2)*(-32)=-16
b_(5)=(1/2)b_(4)=(1/2)*(-16)=-8
b_(6)=(1/2)b_(5)=(1/2)*(-8)=-4
b_(7)=(1/2)b_(6)=(1/2)*(-4)=-2

или по формуле общего члены геометрической прогрессии.
q=b_(n+1)/b_(n)=1/2
b_(n)=b_(1)*q^(n-1)
b_(7)=(-128)*(1/2)^6=(-128)*(1/64)=-2

О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

Для этого нужно решить систему двух уравнений:
{5x+2y=4;
{2x+y=1

Умножаем второе уравнений на (-2)
{5x+2y=4;
{-4x-2y=-2
и складываем
х=2
у=1-2х=1-2*2=-3
О т в е т. (2;-3)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Показательная функция монотонна, это означает, что каждое свое значение она принимает только в одной точке.
Поэтому если значения функции равны, то аргументы тоже равны.
3х+4=2х+5
3х-2х=5-4
х=1
О т в е т. 1

S_(12)=12*S( Δ AOB)=12*(1/2)*R*R*sin30 граудсов=

=6*10*10*(1/2)=300

О т в е т. 300 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Медиана треугольника делит пополам один из углов треугольника- НЕВЕРНО

2) Средняя линия треугольника соединяет его вершину с серединой противолежащей стороны- НЕВЕРНО

3) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна её половине- ВЕРНО

4) Точка пересечения высот треугольника может лежать вне треугольника- ВЕРНО

О т в е т. 34

Ответ выбран лучшим

1) Соeдиняем точки В и M в грани SAB.
Соeдиняем точки С и M в грани SAС.
Треугольник МВС - искомое сечение.
2) Проводим через точку M прямую MN || AB
( точка N может лежать и на ребре АЕ, и на ребре DE, так и совпасть точкой Е).
Через точки M и N проводим прямые ММ1 и NN1 параллельные ребрам DD1; CC1; AA1; BB1; EE1
3) Если точки А1; С1 и M лежат так как на рис. 1, то сечение - плоскость А1В1С1D1.

Если точка M ∈ СD, то проводим MN|| AC
N- cередина ребра AD.
(MN- средняя линия Δ ADC)
( Секущая плоскость пересекает параллельные между собой плоскости оснований по параллельным прямым).
А1С1|| AC|| MN
A1C1|| MN.
Сечение А1NMC1 - искомое (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1%=0,01

1)
20%=0,2
1/20=0,05 < 0,2=20% - верно;
2)
17%=0,17
1/6 =0,166666... < 0,17=17%- верно;
3)
33%=0,33
1/3=0,3333333 ... < 0,33=33% - неверно, так как
0,333333 ... > 0,33
4)
40%=0,4
1/4=0,25 < 0,4=40%- верно.
О т в е т.3) утверждение неверное.

Ответ выбран лучшим

5^(x-2)=7^(2-x)
Умножаем обе части уравнения на 7^(x-2) > 0 (т.е 7^(x-2)≠ 0)
5^(x-2)*7^(x-2)=7^(2-x)*7^(x-2);
(5*7)^(x-2)=7^(0)
35^(x-2)=1
35^(x-2)=35^(0)
x-2=0
x=2

Ответ выбран лучшим

За кандидата А проголосовало 25 тыс. за 50 минут.
За кандидата Б проголосовало 42, 5 тыс за 50 минут

25 +42,5= 67,5 тыс. < 70 тыс.
Ответы 1) и 2) не подходят.
67,5 > 50 тыс.
О т в е т. 3)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠KAM=∠MBK - вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу КМ.
∠СAM=∠KAM
∠СBK= ∠MBK (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Достроим треугольник ABC до параллелограмма.
Откладываем МN=AM.
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
ВM=MC и МN=AM.

∠ ABN=180°- ∠BAC=135°

По теореме косинусов из треугольника ABN:
AN² = AB² + BN² - 2*AB*BN*cos∠ABN
(2*sqrt(29))^2 = (4sqrt(2))^2 +BN² - 2*4sqrt(2)*BN*cos135°;
116=32+BN²+8BN
BN²+8*BN-84=0
D=64-4*(-84)=64+336=400
BN=6 второй корень уравнения -отрицательный.

АС=BN

S(ABC) = 1/2*AB*AC*sin ∠BAC) = 1/2*4sqrt(2)*6*sin45° =

=12
О т в е т. 12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Медиана делит сторону AD пополам.
AM=MD=12
По свойству биссектрисы угла треугольника:
биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
AK:KD=AB:BD
AK:KD=16:14
AK=(16/14)KD
AK+KD=24
(16/14)KD+KD=24
(30/14)KD=24
KD=11,2

MK+KD=MD
MK+11,2=12
MK=0,8

О т в е т. 0,8

Ответ выбран лучшим

(1/2)a=sqrt(260^2-240^2)=
=sqrt(67600-57600)=sqrt(10 000)=100 cм
а=200 см.
Р=6а=6*200=1200 см=12м
25 руб * 12 м= 300 руб.
О т в е т. 300 руб (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1 га = 10 000 кв. м

1,398* 10^(8)кв. м =1,398 * 10^4 га = 13 980 га

Ответ выбран лучшим

S(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)=(1/2)*4*2sqrt(2)=4sqrt(2)
d_(1) и d_(2) - диагонали ромба.

S( прямоугольника)=(1/2)D_(1)*D_(2)* sinα=

=(1/2)D^2* sin45 градусов

D_(1)=D_(2)=D - диагонали прямоугольника.

S (ромба)=S ( прямоугольника)

S( прямоугольника)=(1/2)D^2* sin45 градусов=
=D^2*(sqrt(2))/4

D^2*(sqrt(2))/4=4sqrt(2)
D^2=16
D=4

Ответ выбран лучшим

tg 60 градусов= AD/CD

CD=AD/tg 60 градусов=12sqrt(3)/sqrt(3)=12

Ответ выбран лучшим

d=a_(2)-a_(1)=a_(3)-a_(2)=-5-(-7)=-3-(-5)=2

a_(16)=a_(1)+d*(16-1)=-7+2*15=23

О т в е т. a_(16)=23

Ответ выбран лучшим

9–4(x–2) < 26–x;
9 -4x +8 < 26 - x;
-4x+x < 26-9-8;
-3x < 9
x > -3
О т в е т. 4) (–3; +∞)

Ответ выбран лучшим

n=6+3+11=20 спортсменов участвуют в гонках.
m=6+3=9 спортсменов из школы №1 и №2
р=m/n=9/20
О т в е т. 9/20=0,45

Ответ выбран лучшим

((х-2)/3)-2=х/5
Умножаем уравнение на 15.
5*(х-2)-2*15=3х;
5х-10-30=3х;
5х-3х=10+30;
2х=40;
х=20.

Ответ выбран лучшим

tg2x=1/3
2x=arctg(1/3)+πk, k∈Z
x=(1/2)*arctg(1/3)+(π/2)*k, k∈Z
О т в е т. (1/2)*arctg(1/3)+(π/2)*k, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Толе - х лет;
Саше - (х-7) лет;
Вите - 2*(х-7)

х+(х-7)+2*(х-7)=х+3*(х-7)=4х-21
О т в е т. 4)

Ответ выбран лучшим

2x^2-6x+3x-9 < -7;
2x^2-3x-2 < 0
D=(-3)^2-4*2*(-2)=9+16=25
x1=(3-5)/4=-1/2 или х2=(3+5)/4=2
___ (-1/2) __-__ (2) ___
О т в е т. (-1/2;2)

Ответ выбран лучшим

{y=3x-10;
{x^2+x*(3x-10)-(3x-10)^2=20;

x^2+3x^2-10x-9x^2+60x-100=20;
-5x^2+50x-120=0;
x^2-10x+24=0
D=(-10)^2-4*24=100-96=4
x1=(10-2)/2=4 или х2=(10+2)/2=6
у1=3*4-10=2 или у2=3*6-10=8
О т в е т. (4;2); (6;8)

Ответ выбран лучшим

4y^2-4x^2-y-x=4*(y^2-x^2)-(y+x)=
=4*(y-x)*(y+x)-(y+x)=
=(y+x)*(4y-4x-1)

(1+4x-4y)/(4y^2-4x^2-y-x)=
=(1+4x-4y)/((y+x)*(4y-4x-1))=
=-(4y-4x-1)/((y+x)*(4y-4x-1))=-1/(y+x)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
сos(π-x)=-cosx;
sin(x+(3π/2))=-cosx

cos^2x+cosx=0;
cosx*(cosx+1)=0
cosx=0 или сosx+1=0
x=(π/2)+πk, k∈Z или x=(-π)+2πn, n∈Z
О т в е т.
а)(π/2)+πk; (-π)+2πn; k, n∈Z
б) Указанному промежутку принадлежат корни:
5π/2; 7π/2; 3π
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x+3)^4=20-(x+1)^4
Cтроим графики функций:
у=(x+3)^4
и
у=20-(х+1)^4

Две точки пересечения.
Два корня имеет уравнение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(-2/3)*(3/2)*x^(1/2)+3
y`=-sqrt(x)+3
При х∈[1;9]
y` > 0
функция возрастает, значит наибольшее значение принимает вправом конце отрезка в точке х=0
у(9)=(-2/3)*9^(3/2)+3*9+1=10
sqrt(x)=3
x=9

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Продолжим сторону ВС за точку С и откладываем
CB1=BC
Продолжим сторону AС за точку С и откладываем
CA1=AC
Треугольник СА1В1 симметричен треугольнику САВ относительно точки С.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
х=2/cost
dx=2sintdt/cos^2t

∫dx/(x^2*(x^2-4))=

=∫2sintdt/(cos^2t*(4/cos^4t)*((4/cos^2t)-4)))=

=(1/8)∫cos^4tdt/sint=(1/8)∫(1-sin^2t)^2dt/sint=

=(1/8)∫(1-2sin^2t+sin^4t)dt/sint=

=(1/8)∫dt/sint -(1/4)∫sintdt +(1/8)∫sin^3tdt=

=(1/8) ln|tg(t/2)|-(1/4)*(-cost)-(1/8)∫(1-cos^2t)d(cost)=

=(1/8) ln|tg(t/2)|-(1/4)*(-cost)-(1/8)cost -(1/8)*(cos^3t/3)+C.

x=2/cost ⇒cost=2/x

Ответ выбран лучшим

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны - половина высоты.
h=8
S(ромба)=a*h=12*8=96

x^4-(2x-3)^2=0;
(x^2)^2-(2x-3)^2=0;
(x^2-2x+3)*(x^2+2x-3)=0
x^2-2x+3=0 или x^2+2x-3=0
D=4-12 < 0 или D=4+12=16
нет корней или х=-3 или x=1
О т в е т. -3; 1

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

2. Применяем формулу соs2α=cos^2α-sin^2α
α=π/8
sqrt(2)* (cos^2(π/8)-sin^2(π/8))=sqrt(2)cos(2*(π/8))=
=sqrt(2)*cos(π/4)=sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=1
4.
1) α+β=0 - неверно, так как
-π/2 < α < 0
π < β < π/2
π/2 < α+β < π/2
2) cosα > 0
cos β < 0
cosα > cosβ - верно
3) -π/2 < α < 0
-π < - β < -π/2
Cкладываем:
-3π/2 < α - β < - π/2
α - β = 2 π - неверно
4) sinα =-sin β
sinα + sin β = 0 - верно

Наименьшее значение функции на [-1;5]
y(0)=1
(прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

h=(1/2)CN=(1/2)*4=2
CN- хорда, перпендикулярная диаметру ВО

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=15443

Ответ выбран лучшим

log_(5)25=2
log_(5)125=3
log_(5)25 < log_(5)100 < log_(2)125
2 < log_(5)100 < 3
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

log_(2) (x^2+4x–5)=4
ОДЗ:
x^2+4x-5 > 0
D=16+20=36
x=-5 или х=1
ОДЗ:x∈(-бесконечность; -5)U(1;+бесконечность)

x^2+4x-5=2^4
x^2+4x-21=0
D=16+84=100
x=(-4-10)/2=-7; x=(-4+10)/2=3
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. -7; 3

Ответ выбран лучшим

3^x=t
t > 0

9^(x+2)=9^x*9^2=81t^2

81t^2-30t+1=0
D=900-4*81=900-324=576=24^2
t=(30-24)/162=6/162=1/27
или
t=(30+24)/162=54/162=1/3

3^x=1/27
3^x=3^(-3)
x=-3
или
3^x=1/3
3^x=3^(-1)
x=-1

Ответ выбран лучшим

a=3; b=4
По теореме Пифагора
с=5
V=S(осн.)*Н=(1/2)*a*b*H=(1/2)*3*4*12=72 куб. см
S=S(бок.)+2S(осн.)=Р(осн.)*Н+2*(1/2)*a*b*=
=(3+4+5)*12+3*4=144+12=156 кв.см.

Ответ выбран лучшим

2.
x^2-6x=6x-27
x^2-12x+27=0
D=144-4*27=36
x=(12-6)/2=3 или х=(12+6)/2=9
При х=3
log_(3)(x^2-6x) не существует.
При х=9
log_(3)(9^2-6*9)=log_(3)(6*9-27);
log_(3)27=log_(3)27 - верно.
О т в е т. 9
3.
log_(2)(12x-13)=log_(2)11^3
12x-13=11^3
12x=1331+13
12x=1344
x=112
О т в е т. 112
4.
ОДЗ:
{2x+2 > 0
{2x+2≠1

25=(2х+2)^2
(2x+2)^2-5^2=0
(2x+2-5)*(2x+2+5)=0
2x-3=0 или 2х+7=0
х=1,5 или х=-3,5 ( не удовл ОДЗ)
О т в е т. 1,5
5.
ОДЗ: x > 0
(log_(2)32+log_(2)x)^2-11log_(2)х=37
(5+t)^2-11t=37
25+10t+t^2-11t=37
t^2-t-12=0
D=1+48=49
t=-3 или t=4
log_(2)x=-3 или log_(2)x=4
x=2^(-3) или х=2^4
x=1/8 или [=16
О т в е т. 1/8; 16

y(0)=27*0–13*sin0+11=0-0+11=11

Ответ выбран лучшим

18 марта - 5 задача
19 марта - (5+х) задач
20 марта - ( 5+х)+х=(5+2х) задач
21 марта - (5+3х) задач
...
2 апреля -(5+15х) задач
Всего (5+(5+15х))*16/2, что по условию равно 560 задач.
Уравнение
(5+(5+15х))*16/2=560;
10+15х=70
15х=60
х=4

(5+15*4)=65 задач решил 2 апреля.

4) Интегрирование по частям.
u=4x-1
dv=e^(-2x)dx
тогда
du=(4x-1)`dx=4dx
v=∫e^(-2x)dx=∫e^(-2x)d(-2x)/(-2)=-(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)=

=(-1/2)e^(-2x) ( C полагают равным 0).
По формуле
∫udv=u*v-∫vdu получаем
=(4х-1)*(-1/2)e^(-2х)- ∫(-1/2)e^(-2x)*4dx=
=-((4x-1)*e^(-2x)/2)+2∫e^(-2x)dx=
=-((4x-1)*e^(-2x)/2)+2∫e^(-2x)d(-2x)/(-2)=
=-((4x-1)*e^(-2x)/2)-e^(-2x)+C
5) Замена переменной
sqrt(2x+1)=t
2x+1=t^2
2x=t^2-1
x=(1/2)*(t^2-1)
dx=(1/2)*2tdt
dx=tdt
3x+1=3*(1/2)(t^2-1)+1=(3/2)t^2-(1/2)

=∫((3/2)t^2-(1/2))*tdt/t=(3/2)∫t^2dt-(1/2)∫dt=

=t^3/3-(1/2)t+C=

=(sqrt(2x+1))^3/3 - (1/2)sqrt(2x+1)+C

Ответ выбран лучшим

40 руб * 100 = 4 000 руб затратила фирма на покупку ягод.

98% влажности означает, что в ягодах 98% процентов воды и 2% сухого вещества.
или
98кг воды и 2 кг сухого вещества.
При хранении сухое вещество остается, а испараяется вода.
На второй день влажность составила 96 %
Это означает, что
2 кг составляют 4%
х кг воды составляют 96%
х=2*96:4=48 кг воды в ягодах на второй день, т.е
2+48=50 кг ягод на складе во второй день
25 кг продали по цене 100 руб
25*100=2500 руб - выручка во второй день.
Осталось 25 кг влажностью 96 %
4% сухого вещества в 25 кг
4% от 25 кг это 1 кг, 25-1=24 кг сухого вещества

На третий день влажность составила 93%
Это означает, что 1 кг сухого вещества, остающийся в ягодах накануне, составляет 7%
1 кг - 7%
х кг воды - 93 %
х=1*93:7=13 кг 2/7=13,29
1 кг +13,29 = 14,29 кг ягод на складе в третий день
75*14,29 кг =996 руб. выручка третьего дня.

2500+996= 3496 руб. получено от продажи ягод.

Фирма понесла убытки
Так как затратила 4000 тысячи, а получила 3496 руб.

Ответ выбран лучшим

2^(ctg^2(πx/2)) меньше или равно 1;
2^(ctg^2(πx/2)) меньше или равно 2^(0);
ctg^2(πx/2) меньше или равно 0;
ctg(πx/2)=0
{πx/2=(π/2)+πk, k∈Z
{πx/2≠πn, n∈Z

{x=1+2k, k∈Z
{x ≠ 2n, n∈Z
Решениями первого неравенства являются нечетные числа.

Второе неравенство.
Замена переменной:
(1/3)^(x^2-6x)=t
t > 0
Умножаем обе части неравенства на 3^7

3^7t^2-(3^(16)+1)t +3^9 < 0
D= (3^(16)+1)^2-4*3^7*3^(9)=(3^(16)-1)^2
t=1/3^7 или t=3^9
(1/3^7) < t < 3^9
(1/3)^7 < (1/3)^(x^2-6x) < (1/3)^(-9)
-9 < x^2-6x < 7
{x^2-6x < 7⇒ -1 < x < 7;
{x^2-6x > -9⇒ (x-3)^2 > 0 ⇒ x≠3

(-1;3)U(3;7)
О т в е т. 1; 5

Ответ выбран лучшим

1.
π(x+20)/30=± (π/3)+2πk, k∈Z
x+20=±10+60k,k ∈Z
x=±10-20+60k,k ∈Z
О т в е т. 30
2.
sin^2(πx/21)=1-cos^2(πx/21)

4-4cos^2(πx/21)+4cos(πx/21)=1
4cos^2(πx/21)-4cos(πx/21)-3=0
D=(-4)^2-4*4(-3)=16+48=64
cos(πx/21)=-1/2 или cos(πx/21)=3/2 уравнение не имеет корней (3/2 > 1)

(πx/21)=± (π/3)+2πk, k∈Z
х=± 7+ 42k, k∈Z
О т в е т. -7
3.
-2sin((x/2)+x/3))*sin((x/2)-(x/3))=0
sin(5x/6)*sin(x/6)=0
sin(5x/6)=0 или sin(x/6)=0
5x/6=πk, k∈Z или x/6=πn, n∈Z
x=(6π/5)*k, k∈Z или x=6πn, n∈Z
x=216 градусов*k, k∈Z или x=1080 градусов*n, n∈Z

О т в е т. 216 градусов.

4.
2sqrt(3)sin^2x+3sqrt(3)sinxcosx+2sinxcosx+3cos^2x=0
sqrt(3)sinx*(2sinx+3cosx)+cosx*(2sinx+3cosx)=0
(2sinx+3cosx)*(sqrt(3)sinx+cosx)=0
2sinx+3cosx=0 или sqrt(3)sinx+cosx=0
tgx=-3/2 или tgx =-1/sqrt(3)
x=-arctg(3/2)+πk, k∈Z или x= (-π/6)+πn, n∈Z
О т в е т. -30 градусов.

10^x-25*2^x-2*5^x+50=2^x*(5^x-25)-2*(5^x-25)=
=(5^x-25)*(2^x-2)
Применяем обобщенный метод интервалов.
Нули числителя:
5^x-25=0 или 2^x-2=0
5^x=5^2 или 2^x=2^1
x=2 или х=1
Нули знаменателя:
5х-x^2-4=0
x^2-5x+4=0
D=(-5)^2-4*4=9
x=1 или х=4

При х=10 получаем знак -
далее знаки чередуем.
При переходе через точку х=1 знак не меняется.
____-____ (1) _-_ [2] ___+__ (4) __-__

О т в е т. [2;4)

Решаем методом интервалов.

10^x-25*2^x-2*5^x+50=2^x*(5^x-25)-2*(5^x-25)=
=(5^x-25)*(2^x-2)
Находим нули числителя:
5^x-25 = 0
x=2
или
2^x-2=0
x=1
5x-x^2-4=0
или
x^2-5x+4=0
D=25-16=9
x=1 или x=4

____-____ (1) _-_ [2] ___+__ (4) __-__

О т в е т. [2;4)

1.
π(x+20)/30=± (2π/3)+2πk, k∈Z
x+20=±20+60k,k ∈Z
x=±20-20+60k,k ∈Z
О т в е т. -40+60=20
2.
sin^2(πx/21)=1-cos^2(πx/21)

4-4cos^2(πx/21)+4cos(πx/21)=1
4cos^2(πx/21)-4cos(πx/21)-3=0
D=(-4)^2-4*4(-3)=16+48=64
cos(πx/21)=-1/2 или cos(πx/21)=3/2 уравнение не имеет корней (3/2 > 1)

(πx/21)=± (π/3)+2πk, k∈Z
х=± 7+ 42k, k∈Z
О т в е т. -7
3.
-2sin((x/2)+x/3))*sin((x/2)-(x/3))=0
sin(5x/6)*sin(x/6)=0
sin(5x/6)=0 или sin(x/6)=0
5x/6=πk, k∈Z или x/6=πn, n∈Z
x=(6π/5)*k, k∈Z или x=6πn, n∈Z
x=216 градусов*k, k∈Z или x=1080 градусов*n, n∈Z

О т в е т. 216 градусов.

4.
2sqrt(3)sin^2x+3sqrt(3)sinxcosx+2sinxcosx+3cos^2x=0
sqrt(3)sinx*(2sinx+3cosx)+cosx*(2sinx+3cosx)=0
(2sinx+3cosx)*(sqrt(3)sinx+cosx)=0
2sinx+3cosx=0 или sqrt(3)sinx+cosx=0
tgx=-3/2 или tgx =-1/sqrt(3)
x=-arctg(3/2)+πk, k∈Z или x= (-π/6)+πn, n∈Z
О т в е т. -30 градусов.

f`(x)=(cos3x)`-(5x)`=(-sin3x)*(3x)`-5=-3sin3x-5 < 0 при любом х.
Значит f(x) убывает при любом х.

Ответ выбран лучшим

2,1/(6,4-3,6)=2,1/2,8=21/28=3/4=0,75

(4^(-4))^(-3)/4^(13)=4^(-4*(-3))/4^(13)=4^(12)/4^(13)=1/4=0,25

m=2E/v^2=2*54/3^2=12

(sqrt(8)-sqrt(18))*(sqrt(8)+sqrt(18))=
=(sqrt(8))^2-(sqrt(18))^2=
=8-18=-10

6 вершин призмы и АВСD - вершины сечения.
СD|| AB.
Секущая плоскость пересекает верхнее и нижнее основание по параллельным прямым.
О т в е т. 10 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Метод интервалов.
Находим нули числителя:
x^2+2x-15=0
D=4+60=64
x=(-2-8)/2=-5; x=(-2+8)/2=3
нули знаменателя:
х+1=0
Отмечаем эти точки на числовой прямой
____ (-5) _____ (-1) ___ (3)___
и расставляем знаки функции
f(x)=(x^2+2x-15)/(x+1)
f(10)=(100+20-15)/(10+1) > 0
Cтавим + справа от точки 3 и знаки чередуем :
__-__ (-5) __+___ (-1) _-__ (3)_+__

О т в е т. (-бесконечность; -5) U (-1;3)

Если неравенство нестрогое:
(x^2+2x-15)/(x+1) меньше или равно 0, то
точки -5 и 3 отмечаем заполненным кружком ( здесь кв. скобки):
__-__ [-5] __+___ (-1) _-__ [3] _+__
О т в е т. (-бесконечность; -5] U (-1;3]

Ответ выбран лучшим

sin^2x+cos^2x=1
ctg^2x=(1/sin^2x)-1

1+sinx+(1/sin^2x)-1=0
sinx+(1/sin^2x)=0
(sin^3x+1)/sin^2x=0
{sin^3x+1=0
{sin^2x≠0

sinx=-1
x=(-π/2)+2πk, k∈Z
О т в е т. а)(-π/2)+2πk, k∈Z
б) Указанному промежутку принадлежит один корень:
х=(-π/2)+2π=3π/2=6π/4 < 7π/4

Ответ выбран лучшим

Они равны.
Пусть сторона квадрата равна а.
S(квадрата)=a^2;
S(незаштрихованной части)=2S(прямоуг. треуг.)=

=2*(1/2)*а*(а/2)=a^2/2

S1=S (квадрата)-2S(прямоуг.треуг)=a^2-(a^2/2)=a^2/2

Ответ выбран лучшим

1.
1)2^(n+2)=2^n*2^2=4*2^n
2.
2)3^(n+2)=3^n*3^2=9*3^n
3.
1)3^(n-3)=3^n*3^(-3)=3^n/3^3=3^n/27
4.
4)5^(2n-1)=5^(2n)*5^(-1)=(5^(2))^n/5=25^n/5
5.
1)7^k/7^2=7^(k-2)
6.
3)7^(n)*7^3=7^(n+3)

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=tgα
α- угол, который образует касательная с положительным направлением оси ох
Так как α- тупой угол, то
tgα=- tg(180 градусов-α)
Строим треугольник (зеленого цвета)
с углом (180 градусов-α) такой, чтобы его катеты можно было просто найти по клеточкам
tg(180 градусов-α)=3/1
tgα=-3
О т в е т. f`(x_(o))=-3 (прикреплено изображение)

По формуле нахождения корней уравнения вида
sinx=a
x=(-1)^k*arcsina+πk, k∈Z и arcsinа ∈[-π/2; π/2]

sinx=-sqrt(2)/2
x=(-1)^k*arcsin(-sqrt(2)/2)+πk, k∈Z

arcsin(-sqrt(2)/2)=- π/4
Поэтому правильно так:
x=(-1)^k*(-π/4)+πk, k∈Z
Эта формула включает в себя две серии ответов
х=(-π/4)+2πn, n∈Z при k=2n
и
х=-(- π/4)+(2n-1)π=(-3π/4)+2πn, n∈Z при k=2n-1.

Некоторые учителя правильно обучают писать сразу две серии ответов
Первая серия сo значениями arcsinа ∈[-π/2; π/2] ( на рисунке серого цвета), вторая серия
π- arcsina.
Это особенно полезно при отборе корней.
См. рисунок.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольник ALM подобен треугольнику АВС.
АВС- равносторонний со стороной 9, ALM - равносторонний со стороной 6.
LM=6

Треугольники SAB, SBC, SAC равны между собой.
Это равнобедренные треугольники, боковые стороны
SA=SB=SC=12
Основания
AB=BC=AC=9
сos∠SAB=4,5/12=3/8
По теореме косинусов
KM^2=AK^2+AM^2-2*AK*KM*cos∠SAB=
=9^2+6^2-2*9*6*(3/8)=81+36-(81/2)=(81/2)+36=153/2
KM=(sqrt(306))/2
KM=KL=(sqrt(306))/2

Cечение KML - равнобедренный треугольник.
Найдем высоту этого треугольника по теореме Пифагора:
h^2=KM^2-(ML/2)^2=(306/4)-3^2=(306-36)/4=
=270/4=135/2
h=sqrt(135/2)
S( Δ KML) =(1/2)ML*h=(1/2)*6*sqrt(135/2)=9*(sqrt(30))/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как
(3x^2-7x+11)`=6x-7
то замена переменной
u=3x^2-7x+11
du=(6x-7)dx
приводит к табличному интегралу
∫du/u=ln|u|+C=ln|3x^2-7x+11|+C

S(поверхности призмы)=2S( осн.)+S(бок.)=
=2*S( ромба) + 4* S(прямоугольника)

=2*a*a*sin30 градусов+4*a*H=

=2*12*12*sin30 градусов+4*12*7=144+336=480 (кв. см.)

Ответ выбран лучшим

Раскладываем левую часть на множители по формуле разности квадратов.
(x-5-x)*(x-5+x)=0
-5*(2x-5)=0
2x-5=0
x=5/2
x=2,5

Ответ выбран лучшим

1.
Пусть один катет а=5 , второй катет b=12, тогда по теореме Пифагора
с=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(5^2+12^2)=sqrt(25=144)=sqrt(169)=
=13.
S(полн.)=2S(осн.)+S(бок.)=2*(1/2)a*b+P(осн.)*H=
=2*(1/2)*5*12+(5+12+13)*8=60+240=300

2.Пусть сторона верхнего основания равна а, нижнего b.
Тогда
S(полн.)=S1(осн.)+S2(осн.)+S(бок.)=
=a^2+b^2+4S(трапеции)=
=a^2+b^2+4*(a+b)*h/2
h-апофема боковой грани.
По теореме Пифагора
h^2=H^2+((b-a)/2))^2=4^2+(4-1)^2=16+9=25
h=5
(см. рис.)

S(полн.)=2^2+8^2+4*(2+8)*5/2=4+64+100=168 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1 cпособ.
Применяем формулу Тейлора.
см. приложение.
f(x)=1/(x^2+3x+2)
a=-4

f(-4)=1/6
f`(x)=-(2x+3)/(x^2+3x+2)^2;
f`(-4)=-(-8+3)/6^2=5/36
f``(x)=-(2*(x^2+3x+2)^2-2(x^2+3x+2)*(2x+3)*(2x+3))/(x^2+3x+2)^4=
=(6x^2+18x+14)/(x^2+3x+2)^3
f``(-4)=38/216
...

Подставляем найденные значения коэффициентов Тейлора в формулу.
Получим ответ ( см. приложение)

2 способ.
Известно разложение функции f(x)=1/(1-x) в ряд:

1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^(n)+...,

которое при |x| < 1 представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ряд сходится для всех х, |x| < 1

Данная функция представима в виде разности двух дробей:
1/(x^2+3x+2)=(1/(1+x)) -(1/(2+x))
Разложим
1/(1+х)=1-х+x^2-x^3+...+(-1)^n*x^n+...
Ряд сходится при |x| < 1

1/(2+x)=(1/2)*(1/(1+(x/2)))=
=(1/2)*(1-(х/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n*(x/2)^n+...)
Ряд сходится при всех |x/2| < 1 или |x| < 2

Тогда
1/(x^2+3x+2)=(1/(1+x)) -(1/(2+x))=

=(1-х+x^2-x^3+...+(-1)^n*x^n+...)+
+(1/2)*(1-(х/2)+(x/2)^2-(x/2)^3+...+(-1)^n*(x/2)^n+...)=

(1+(1/2))-(1+(1/4))x+(1+(1/8))x^3+...
...+ (-1)^n(1+(1/2^(n+1))x^n+...
Ряд сходится как разность двух сходящихся рядов на пересечении областей сходимсти
двух рядов, а это значит на множестве (-1;1)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу:
sin^3x=(1/4)*(3sinx-sin3x)=(3/4)sinx-(1/4)sin3x

Так как
sinx=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...
...+ (-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)! + ...
Ряд сходится на (-бесконечность; + бесконечность)

Тогда
sin3x=(3x)-((3x)^3/3!)+((3x)^5/5!)-((3x)^7/7!)+...
... + (-1)^(n-1)*(3x)^(2n-1)/(2n-1)! + ...
Ряд сходится на (-бесконечность; + бесконечность)

sin^3x=(3/4)*(x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...
... + (-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)! + ...)-
-(1/4)*((3x)-((3x)^3/3!)+((3x)^5/5!)-((3x)^7/7!)+...
...+ (-1)^(n-1)*(3x)^(2n-1)/(2n-1)! + ...)=

=(3/4)x-(3/4)x +((-3x^3)/(4*3!)+(3^3x^3)/(4*3!))+

+((3x^5)/(4*5!)-(3^5x^5)/(4*5!))+...

...+(-1)^(2n-1)(3-3^(2n-1))x^(2n-1)/4*(2n-1)!+ ...

=
cм. приложение.
Ряд сходится на ( - бесконечность; + бесконечность) как разность двух сходящихся рядов.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

M=ρV;
m=ρv

M:m=ρV:ρv=V:v

Так как детали сделаны из одного материала, то массы относятся как объёмы, а объемы относятся как кубы линейных размеров ( в данной задаче даны высоты)
V:v=(40)^3:4^3=1000
М:m=1000
О т в е т. в 1000 раз

Ответ выбран лучшим

3:100*15=0,45 кг жира в 3 кг 15% творога
3:100*20=0,6 кг жира в 3 кг 20% творога
2:100*1=0,02 кг жира в 2 кг 1% творога
2:100*10=0,2 кг жира в 2 кг 10% творога

Общая масса
3+3+2+2=10 кг творога
жира в нем
0,45+0,6+0,02+0,2=1,27 кг

10 кг составляют 100%
1,27 кг составляют х %

х=1,27*100/10=12,7%
О т в е т. Жирность полученной массы творога 12,7%

Ответ выбран лучшим

sqrt(1-sin^2x)=sqrt(cos^2x)=|cosx|
Уравнение
4^(cosx)+4^(|cosx|)=5/2
Раскрываем модуль
1)
Если cosx больше или равно 0, |cosx|=cosx
4^(cosx)+4^(cosx)=5/2
2*4^(cosx)=(5/2)
4^(cosx)=(5/4)
4^(cosx)=4^(log_(4)(5/4))
cosx=log_(4)(5/4) (log_(4)(5/4) > log_(4)1=0)
x=± arccos(log_(4)(5/4))+2πk, k∈Z
2)
Если соsx < 0, то |cosx|=-cosx
4^(cosx)+4^(-cosx)=(5/2)
Замена переменной
4^(cosx)=t
t > 0
t+(1/t)=(5/2)
2t^2-5t+2=0
D=25-4*2*2=9
t=(5-3)/4=1/2 или t=(5+3)/4=2
4^(cosx)=(1/2)
2^(2cosx)=2^(-1)
2cosx=-1
cosx=-1/2 (-1/2 < 0, уд. условию сosx < 0)
x=± (2π/3)+2πn, n∈Z

или

4^(cosx)=2
2^(2cosx)=2^1
2cosx=1
cosx=1/2 ( 1/2 > 0 не удовл усл. сosx < 0)

О т в е т. x=± arccos(log_(4)(5/4))+2πk, k∈Z
x=± (2π/3)+2πn, n∈Z

Указанному промежутку принадлежат корни:
- (2π/3)-2π=-8π/3;
-arccos(log_(4)(5/4))-2π;
arccos(log_(4)(5/4))-2π. (прикреплено изображение)

Плоскость ADC1 это плоскость ADB1C1.

Пл. ADB1C1 ∩ пл. DCC1D1 = C1D.
Проводим KM ⊥ C1D,
так как диагонали квадрата DCC1D1 взаимно перпендикулярны, то КM|| CD1.

KM ⊥ пл.DCC1D1, так как КМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
КM ⊥ C1D
и
КM ⊥AD ( AD ⊥ пл. DCC1D1, а значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой КМ).

КМ - средняя линия Δ DCD1 (D1C=4sqrt(2)- диагональ квадрата со стороной 4)
КЕ - средняя линия Δ АСD
AD=4sqrt(2)
МЕ - средняя линия Δ ADD1
AD1=4sqrt(2)
Равносторонний треугольник ЕКМ - искомое сечение
КМ=КЕ=МЕ=(1/2)АС=(1/2)*4sqrt(2)=2sqrt(2)
S( сечения)=(2sqrt(2))^2*(sqrt(3))/4=2sqrt(3)
О т в е т. 2sqrt(3). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(бок)=(1/2)P(осн)*h,
h-апофема боковой грани.
h=SK на рисунке.

В правильном шестиугольнике
ОА=ОВ=ОС=ОD=OE=OF=AB=BC=CD=DE=DF=AF
По условию равно 3.
Из прямоугольного треугольника SOD
SD=5 ( гипотенуза треугольника с катетами 4 и 3)
SA=SB=SC=SD=SE=SF=5
По теореме Пифагора
h=sqrt(5^2-(3/2)^2)=sqrt(91)/2
S(бок)=(1/2)*6*3*sqrt(91)/2=9*(sqrt(91))/2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

N-центр пирамиды, центр вписанной и описанной окружностей.
АN=BN=CN=R
NK=NL=r

По теореме Пифагора из треугольника DNK
NK=sqrt(18^2-9^2)=sqrt(243)=9sqrt(3)

По формуле радиуса вписанной окружности для правильного треугольника со стороной а
r=asqrt(3)/6
9sqrt(3)=asqrt(3)/6
a=54
S(полн)=S(осн.)+S(бок)=
=(1/2)a*a*sin60градусов +(1/2)P(осн)h=
=54^2(sqrt(3))/4+(1/2)*(54+54+54)*18

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2sinx+sqrt(2) больше или равно 0;
{2cosx больше или равно 0

{sinx больше или равно -sqrt(2)/2;
{cosx больше или равно 0;
cм. рис. ОДЗ на единичной окружности.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом не теряют смысла.Так как ОДЗ найдена, то оба множителя при х принадлежащих ОДЗ имеют смысл
1) sqrt(2sinx+sqrt(2))=0
2sinx+sqrt(2)=0
sinx=-sqrt(2)/2
x=(-π/4)+2πm, m∈Z или x=(-3π/4)+2πn, n∈Z ( не принадлежит ОДЗ)
2) log_(4)(2cosx)=0
2cosx=4^0
cosx=1/2
x=± (π/3)+2πn, n∈Z

x= - (π/3)+2πn, n∈Z не принадлежат ОДЗ.

О т в е т. (-π/4)+2πm;(π/3)+2πn; m, n∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни
х=(-π/4)-2π=-(9π)/4
х=(π/3)-2=-(5π/3)
2) ОДЗ:
{2cosx -1 > 0
{sqrt(3)-2sinx > 0

{cosx > 1/2
{sinx < sqrt(3)/2

Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель нет.
При х, принадлежащих ОДЗ, знаменатель отличен от 0

25^(sinx)+5^(sinx+1)-6=0
25^(sinx)+5^1*^(sinx+1)-6=0
Замена переменной
5^(sinx)=t
t > 0
25^(sinx)=t^2
t^2+5t-6=0
D=25+24=49
t=(-5-7)/2=-6 не удовл. условию t > 0
или
t=(-5+7)/2=1
5^(sinx)=1
5^(sinx)=5^0
sinx=0
x=πk, k∈Z
Учитывая ОДЗ, получим ответ при k=2n
х=2πn, n∈Z
О т в е т. 2πn, n∈Z

(прикреплено изображение)

πx=(π/2)+2πk, k∈Z
Делим на π
х=(1/2)+2k, k∈Z
При k=0
x=(1/2) - наименьший положительный корень

Ответ выбран лучшим

y`=(e^(x+1)-e^(x))`=e^(x+1)*(x+1)`-e^(x)=e^(x+1)-e^(x)=
=e^(x)*e-e^(x)=e^(x)*(e-1)
y` > 0 при любом х, значит функция возрастает и наименьшее значение принимает в левом конце указанного отрезка.
y(-1)=e^(-1+1)-e(-1)=e^0-(1/e)=1-(1/e) - наименьшее значение функции на отрезке [–1;1]

Ответ выбран лучшим

1)∫(45х–54)^(–3/5) dx=(1/45)*∫(45х–54)^(–3/5) d(45x-54)=
=(1/45)*(45x-54)^((-3/5)+1)/((-3/5)+1)+C=
=(1/18)(45x-54)^(2/5) +C;

2)∫18/(6t–15) dt=18*(1/6)∫d(6t-15)/(6t–15)=3ln|6t-15|+C;

3)∫1/((3+5x)^2) dx=(1/5)∫d(3+5x)/(3+5x)^2=
=(1/5)∫(3+5x)^(-2)d(3+5x)=
=(1/5)*((3+5x)^(-2+1)/(-2+1))+C=
=-(1/5)*(1/(3+5x) +C;

4)∫sin((3x/7)+(4/7))dx=
=(7/3)*∫sin((3x/7)+(4/7))d((3x/7)+(4/7))=
=(7/3)*(-cos((3x/7)+(4/7)))+C=
=(-7/3)*cos((3x/7)+(4/7))+C;

5)∫(cos2x/sinx·cosx)dx=(1/2)*2*∫d(sin2x)/(sin2x)=
=ln|sin2x|+C, так как
d(sin2x)=(sin2x)`dx=cos2x*(2x)`dx=2cos2x

Ответ выбран лучшим

tg^2x-3tgx+2tgx*(1/cos^2x)=3*(1/cos^2x)-(1/cos^2x)^2
Так как
1+tg^2x=1/cos^2x,
tg^2x-3tgx+2tgx*(1+tg^2x)=3*(1+tg^2x)-(1+tg^2x)^2,
tg^4x+2tg^3x-tgx-2=0,
(tgx+2)*(tg^3x-1)=0,
tgx=-2 или tgx=1
x=-artg2+πk, k∈Z или x= (π/4)+πn, n∈Z
О т в е т. -artg2+πk; (π/4)+πn; k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

По теореме Фалеса

Ответ выбран лучшим

V(пирамиды)=(1/3)*S(осн.)*H
S(осн.)=S(квадрата)=a^2=8^2=64
tg 60 градусов = Н/(а/2) ⇒
Н=(8/2)*tg60 градусов=4sqrt(3)/2=2sqrt(3)

V=(1/3)*64*2sqrt(3)=(128sqrt(3))/3

Ответ выбран лучшим

b1 = –5
b_(n+1) = –2*(1/b_(n))

При n=1

b_(2)=b_(1+1) = –2*(1/b_(1)) = –2*(1/(–5)) = 2/5

При n=2

b_(3) =b_(2+1)= –2*(1/b_(2)) = –2*(1/(2/5)) = -2*(5/2)=-5

При n=3

b_(4) = –2*(1/b_(3)) = –2(1/(–5)) = 2/5

и т.д.

Ответ выбран лучшим

Значит осевое сечение конуса конуса равнобедренный треугольник с углами 45°, это прямоугольный равнобедренный треугольник
Радиус основания равен высоте.
H=R=169
V(конуса)=(1/3)*πR^2*H=(1/3)π*(169)^3

Ответ выбран лучшим

Перепишем систему:
{|x|+|a| меньше или равно 4;
{a > (1/16)x^2+(1/2)x-3

Рассматриваем координатную плоскость хОа
Первое неравенство задаем внутренность квадрата.
Второе неравенство внутреннюю часть параболы.

Отмечаем по оси Ох полосу
-1 меньше или равно х меньше или равно 0.
По рисунку видим, что требованию задачи удовлетворяют
А < а меньше или равно 4.
Найдем значение А - это ордината точки пересечения графиков:
{-x-a=4;
{a=(1/16)x^2+(1/2)x-3
Из первого уравнения находим а и подставляем во второе:
{a=-x-4;
{-x-4=(1/16)x^2+(1/2)x-3⇒ x^2+24x+16=0
D=24^2-4*16=576-64=512
x1=(-24-16sqrt(2))/2 или х2=(-24+16sqrt(2))/2
x1=-12-8sqrt(2) или х2=-12+8sqrt(2)

А=(1/16)*(-12+8sqrt(2))^2+(1/2)*(-12+8sqrt(2)-3=
=(1/16)*16*(2sqrt(2)-3)^2+(1/2)*4*(2sqrt(2)-3)-3=
=8-12sqrt(2)+9+4sqrt(2)-6-3=8-8sqrt(2)
О т в е т. (8-8sqrt(2);4]

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

7.
sin2x=(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))*(cos^2(x/2)+sin^2(x/2));
sin2x=(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))*1;
sin2x=cosx
2sinx*cosx-cosx=0
cosx(2sinx-1)=0
cosx=0 или 2sinx-1=0
x= (π/2)+πk, k∈Z или
x=(π/6)+2πm, m∈Z; x=(5π/6)+2πn, n∈Z
О т в е т. (π/2)+πk, (π/6)+2πm, (5π/6)+2πn, k, m, n∈Z

8.
2*sqrt((1/2)+cosx)=(1/2)+cosx
ОДЗ:
(1/2)+cosx больше или равно 0;
cosx больше или равно (-1/2);
(-2π/3)+2πk меньше или равно х меньше или равно (4π/3)+2πk, k∈Z
Возводим уравнение в квадрат.
4*(sqrt((1/2)+cosx))^2=((1/2)+cosx)^2;
4*((1/2)+cosx)-((1/2))+cosx)^2=0;
((1/2)+cosx)*(4-(1/2)-cosx)=0
cosx=-1/2 или cosx=-3,5 ( уравнение не имеет корней)
х=± (2π/3)+2πk, k∈Z удовл. ОДЗ.
О т в е т. ± (2π/3)+2πk, k∈Z
9.
cos9x-cos7x+cos3x-cosx=0;
(cos9x+cos3x)-(cos7x+cosx)=0;
2cos6x*cos3x-2cos4xcos3x=0
2cos3x*(cos6x-cos4x)=0
2cos3x*(-2sin5x*sinx)=0
cos3x=0 или sin5x=0 или sinx=0
3x=(π/2)+πk, k∈Z или 5x=πm, m∈Z или х=πn, n∈Z
x=(π/6)+(π/3)*k, k∈Z или x=(π/5)*m, m∈Z или х=πn,
n∈Z
при m=5n третий ответ включается во второй, поэтому третий в ответе не пишем.
О т в е т. (π/6)+(π/3)*k; (π/5)*m; k,m∈Z

Ответ выбран лучшим

Область определения функции:
(х-1)(х-2)≠0
х≠1; х≠2.

x^2-5x+4=(x-1)(x-4)

y=(x-1)(x-4)/(x-1)(x-2)
При х≠1
y=(x-4)/(x-2)
Т. е y=(x-1)(x-4)/(x-1)(x-2) совпадает с функцией y=(x-4)/(x-2) во всех точках, кроме х=1.

Графиком y=(x-4)/(x-2) является гипербола.
Графиком y=(x-1)(x-4)/(x-1)(x-2) является такая же гипербола с выколотой точкой х=1

О т в е т. (- бесконечность;1)U(1;3)U(3;+ бесконечность)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/3)x≥ 2
Умножаем обе части неравенства на 3
х≥ 6

Ответ выбран лучшим

(b+4)/2 > (5-2b)/3
Решаем неравенство, переносим все слагаемые влево и приводим дроби к общему знаменателю 6
3*(b+4)/6 - 2*(5-2b)/6 > 0;
(3b+12-10+4b)/6 > 0
(7b+2)/6 > 0
7b+2 > 0
7b > -2
b > -2/7

Ответ выбран лучшим

log_(3)(2x-1) < log_(3)27
{2x-1 < 27;
{2x-1 > 0

{2x < 28;
{2x > 1.

{x < 14;
{x > 0,5

О т в е т. (0,5;14)

Ответ выбран лучшим

1) Треугольник АОВ- равносторонний,
АО=ОВ=R
∠AOB=60 градусов ⇒∠OАB=∠OBФ=(180°-60°)/2=60 градусов
S(cегмента)=(1/6)S(круга)- S(Δ AOB)=

=(1/6)*π*R^2-(1/2)*AO*BO*sin60 градусов=

=(1/6)*π*10^2-(1/2)*10*10*sqrt(3)/2=

=100*((π/6)-sqrt(3)/4)=

≈100*(0,5236-0,4330)=9,06

2)СН=ОС-ОН=10-(10*sin60 градусов)=10(1-(sqrt(3))/2)=

=10-5sqrt(3)

а=10

S=(2/3)*10*(10-5sqrt(3))+(10-5sqrt(3))^2/20=

=(200/3)-(100/3)sqrt(3)+(100-100sqrt(3)+75)/20=

=(200/3)-(100/3)sqrt(3)+(175/20)-5sqrt(3)=

=(4525/60)-(115/3)sqrt(3)≈75,41667-66,39528=9,02

Ответ выбран лучшим

сos^2x=1-sin^2x
Уравнение принимает вид
2sin^3x -sin^2x-2sinx+ 1=0
sin^2x*(2sinx-1)-(2sinx-1)=0
(2sinx-1)*(sin^2x-1)=0
(2sinx-1)*(sinx-1)*(sinx+1)=0
sinx=1/2 или sinx=1 или sinx=-1

sinx=1/2
x= (π/6)+2πk, k∈Z или x= (5π/6)+2πn, n∈Z

sinx=1
x= (π/2)+2πp, p∈Z

sinx=-1
x= (-π/2)+2πs, s∈Z

Два последних ответа можно объединить и записать так:
(π/2)+πm, m∈Z
О т в е т. (π/6)+2πk; (5π/6)+2πn;
(π/2)+πm, k, n, m∈Z

sinx=-1
x= (-π/2)+2πs, s∈Z

Ответ выбран лучшим

Логарифмическая функция с основанием 5 мотононно возрастает, это означает, что каждое свое значение функция принимает в единственной точке. Поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны.
x^2+2x=x^2+10
2x=10
x=5
Так как не находили ОДЗ, то обязательна проверка.
При х=5
log_(5)(5^2+2*5)=log_(5)(5^2+10)- верно,
log_(5)35=log_(5)35
О т в е т. х=5

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=15238#after_changing

Ответ выбран лучшим

По формуле (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
u=e^x+e^(-x)
v=e^x-e^(-x)
u`=(e^x)`+(e^(-x))`=e^x+e^(-x)*(-x)`=e^(x)-e^(-x)
v`=(e^x)`-(e^(-x))`=e^x-e^(-x)*(-x)`=e^(x)+e^(-x)

y`=((e^x-e^(-x))*(e^x-e^(-x))-(e^x+e^(-x))*(e^x+e^(-x)))/(e^x-e^(-x))^2=
=(e^(2x)-2+e^(-2x))-(e^(2x)+2+e^(-2x))/(e^x-e^(-x))^2=
=-4//((e^x-e^(-x))^2

Так как
((e^x-e^(-x))*(e^x-e^(-x))=(e^(x))^2-2e^(x)*e^(-x)+(e^(-x))^2=
=e^(2x)-2e^(x-x)+e^(-2x)=e^(2x)-2e^(0)+e^(-2x)=
=e^(2x)-2+e^(-2x)

Ответ выбран лучшим

y=7-sqrt(2)sin((π/5)–x)
в силу нечетности синуса можно записать так
у=7+sqrt(2)sin(x-(π/5)).
y`=sqrt(2) cos(x-(π/5))*(x-(π/5))`=sqrt(2) cos(x-(π/5))
y`=0
sqrt(2) cos(x-(π/5))=0
x-(π/5)=(π/2)+πk, k∈Z
x=(π/5)+(π/2)+πk, k∈Z
x=(7π/10)+πk, k∈Z

x=(7π/10)-π=-3π/10 ∈ [–7π/15; –π/20]- единственная точка возможного экстремума, принадлежащая этому промежутку.
–7π/15=-28π/60 < -18π/60 < –3π/60
Проверяем знак производной
х=-3π/10- точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
( см. график производной)
Значит наибольшее значение функция может принимать на концах отрезка
у(–7π/15)=7-sqrt(2)*sin((π/5)–(–7π/15))=
=7-sqrt(2)sin(10π/15)=7-sqrt(2)sin(2π/3)=7-(sqrt(6)/2)
y(–π/20)=7-sqrt(2)*sin((π/5)–(-π/20))=
=7-sqrt(2)sin(5π/20)=7-sqrt(2)sin(π/4)=
=7-(sqrt(2)*sqrt(2))/(2)=7-1=6 - наибольшее значение функции
О т в е т. 6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(1/x)-(x+6y)/(6xy)=(6y)/(6xy)-(x+6y)/(6xy)=(6y-x-6y)/(6xy)=
=(-x)/(6xy)=-1/(6y)
при у=1/9 получим
-1/(6*(1/9))=-9/6=-3/2=-1,5

Ответ выбран лучшим

Пусть
х -закупочная цена
у –магазинная цена товара
Примем количество товара за 1.
4/5=0,8 –количество проданного товара
0,8y – выручка магазина
y -0,4y = 0,6y - цена 0,2 оставшегося товара после уценки на 40 %
0,8y +0,2(0,6y)= 0,92y -выручка за весь товар
(0,92y–x) -прибыль , что по условию задачи равно
0,38x
Уравнение
0,92y–x =0,38x
0,92y=1,38x
y=1,38x/0,92
y=1,5x

y-x =1,5x-x =0,5x -первоначальная наценка магазина, что составляет
(0,4x/x)*100%=50% от закупочной цены
О т в е т. 50%

Ответ выбран лучшим

Проведем высоты из вершин верхнего основания. Получим два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник.
См. рис.
tgα=10/x ( отношение противолежащего катета к прилежащему)
По условию
10/х=2
x=10:2=5
a=x+x+b=5+5+6=16
О т в е т. 16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на х процентов в год.
20 000 : 100 * x =20 000x/100 руб. составляют х%
от 20 000 рублей.
20 000 - (20000х)/(100)=20 000*(1- (х/100)) руб -цена холодильника после первого снижения.

20 000 * (1-(х/100))*(1-(х/100))=20 000 *(1-(х/100))^2 руб.-
цена холодильника после двух снижений, что по условию задачи равно 15842 руб.
Составляем уравнение:
20 000 *(1-(х/100))^2 = 15842
(1-(х/100))^2=(15842)/(20 000)
(1-(х/100))^2=0,7921
|1-(х/100)|=0,89
1-(x/100) > 0, значит |1-(х/100)|=1-(х/100)
1-(х/100)=0,89
x/100=1-0,89
x/100=0,11
x=11
О т в е т. 11%

Ответ выбран лучшим

пусть x - доля стоимости клубники в апреле в процентах,
у - доля стоимости сахара в апреле в процентах.
По условию задачи составим систему
{x+y=100,
{0,4x+1,2y=50
Решаем систему способом подстановки:
{y=100-x,
{0,4x+1,2у=50

0,4x+1,2(100-x)=50
0,4x+120-1,2x=50
-0,8x=50-120
-0,8x=-70
x=87,5
О т в е т. 87,5%

Ответ выбран лучшим

300:100*6=18 г кислоты в растворе.

В новом растворе, содержание кислоты 2%
300 г - 100%
x г - 2%
х=2*300:100=6г кислоты в новом растворе

18 г - 6 г =12 г кислоты отлили

Найдем сколько грамм 6% раствора отлили, если он содержал 18-6=12г кислоты.
12 г составляют 6%
у г составляют 100%
у=12*100:6=200 г
О т в е т. 200г раствора отлили и значит 200 г воды добавлено

Ответ выбран лучшим

Напишем уравнение прямой проходящей через две точки (-2;1) и (3;2).
Уравнение прямой запишем в виде
у=kx+b
Подставим координаты точек в уравнение:
1=k*(-2)+b
2=k*2+b

Решаем систему двух уравнений с двумя переменными:
{1=k*(-2)+b
{2=k*3+b
Вычитаем из первого уравнения второе:
1-2=-2k-3k
-1=-5k
k=1/5
Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k ( касательной)
Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
k(касательной)= 1/5

f`(x_(o))=1/5

О т в е т. f`(x_(o))=1/5

Ответ выбран лучшим

Угол АВС - вписанный, измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Значит, градусная мера дуги АС 110°
Диаметр АВ делит окружность на две дуги, градусные меры которых равны 180 градусов.
Значит градусная мера дуги СВ равна 180 градусов - 110 градусов=70 градусов.
Угол BAC- вписанный угол, опирающийся на дугу ВС.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
О т в е т. 35 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х шаров нужно вынуть из коробки.
Тогда в коробке остнется (15-х) красных шаров, 3 зелёных, 6 жёлтых и 9 лиловых шаров.
Всего 15-х+3+6+9=(33-х) шаров.
По формуле классической вероятности
p=m/n=9/(33-x)
По условию задачи
9/(33-х) > 0,4
90 > 4*(33-x)
-42 > -4x
4x > 42
x > 10,5
О т в е т. 11 шаров.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0;
{x≠1;
{3^x-9 > 0 ⇒ 3^x > 3^2 ⇒x > 2
{log_(9)(3^x-9) ⇒ 3^x -9 > 1 ⇒ 3^x > 10 ⇒ x > log_(3)10
ОДЗ: x > log_(3) 10

Заменим 1=log_(x)x

log_(x)(log_(9)(3^x–9)) < log_(x)x

При х > 2 логарифмическая функция с основанием 2 возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
log_(9)(3^x-9) < x
log_(9)(3^x-9) < x*1, заменим 1=log_(9)9
log_(9)(3^x-9) < x*log_(9)9
Применяем свойство логарифма степени
log_(9)(3^x-9) < log_(9)9^x
Логарифмическая функция с основанием 9 возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
3^x-9 < 9^x
Замена переменной
3^x=t
t > 0
9^x=t^2
t^2-t+9 > 0
D=1-4*9 < 0
Неравенство верно при любом t > 0
C учетом ОДЗ получаем
О т в е т. x > log_(3)10

Ответ выбран лучшим

S(шара)=4π*R^2
1=4π*R^2 ⇒ π*R^2=1/4
S(cечения)=π*R^2=1/4=0,25

Ответ выбран лучшим

3л:100*8=0,24 л жира в молоке
0,5:100*12=0,06 л жира в слитых сливках
0,24-0,06=0,18 л жира в оставшемся молоке
3л-0,5л=2,5л молока осталось в бидоне.

2,5л составляют 100%
0,18 л - составляют х%
x=0,18*100:2,5=7,2%
О т в е т. 7,2%

Ответ выбран лучшим

cos(2πx/6)=√3/2
(2πx/6)=± (π/6)+2πk, k∈Z ( умножаем все слагаемые на 6/2π)
х= ±(1/2)+6k, k∈Z
x=-1/2 - наибольший отрицательный корень

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{4+x > 0 ⇒ x > -4
{4+x≠ 1 ⇒ x≠ -3
{-x-1 > 0 ⇒ x < -1
{-x-1≠ 1 ⇒ x≠ -2
{x^2+2x+1 > 0 ⇒ x≠ -1
{-x^2-5x-4 > 0 ⇒ D=25-16=9; корни (-1)и (-4) ⇒-4 < x < -1
ОДЗ: (-4;-3)U(-3;-2)U(-2;-1)

(1/2)log_(4+x)(x^2+2x+1)=log_(4+x)((x+1)^2)^(1/2)=
=log_(4+x)|x+1|=lоg_(4+x)(-x-1), так как на (-4;-3)U(-3;-2)U(-2;-1)
|x+1|=-x-1
log_(–x–1)(–x2–5x–4)=log_(-x-1)(-x-1)(4+x)=
=log_(-x-1)(-x-1) +log_(-x-1)(4+x)=
=1+log_(-x-1)(4+x)
Неравенство принимает вид:
lоg_(4+x)(-x-1)+1+log_(-x-1)(4+x) меньше или равно 3;
lоg_(4+x)(-x-1)+log_(-x-1)(4+x)-2 меньше или равно 0.
Замена переменной
log_(-x-1)(4+x)=t
log_(-x-1)(4+x)=1/t
(t^2-2t+1)/t меньше или равно 0
(t-1)^2/t меньше или равно 0
_-__ (0) _+__ [1]_+__
t < 0 или t=1
log_(4+x)(-x-1) < 0 или log_(4+x)(-x-1)=1
1)
log_(4+x)(-x-1) < 0
log_(4+x)(-x-1) < log_(4+x)1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(4+х-1)*(-x-1-1) < 0
(x+3)*(-x-2) < 0
_-__ (-3) _+__ (-2)__-_
x < -3 или х > -2
C учетом ОДЗ
о т в е т. 1) (-4;-3) U(-2;-1)
2)
log_(4+x)(-x-1)=1
4+x=-x-1
2x=-4-1
x=-2,5∈ ОДЗ
о т в е т 2) -2,5
О т в е т. (-4;-3) U{-2,5}U(-2;-1)

Ответ выбран лучшим

Возможно следующее сочетание хорошей и отличной погоды в эти числа:
3 4 5 6
Х Х Х О
Х Х О О
Х О Х О
Х О О О
Обозначим эти события
А
В
С
D
p(A)=0,8*0,8*(1-0,8)=0,128
p(B)=0,8*(1-0,8)*0,8=0,128
p(C)=0,2*0,2*0,2=0,008
p(D)=0,2*0,8*0,8=0,128
События А,В,С,D несовместны.
Вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей.
р=р(A)+p(B)+p(C)+p(D)=
=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392
О т в е т.0,392

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{1-x > 0 ⇒ x < 1
{1-x≠1 ⇒ x≠0
{1+x-2x^2 > 0 ⇒ D=1-4*(-2)*1=9 корни (-1/2) и 1 ⇒ (1/2; 1)
{1+2x > 0 ⇒ x > -1/2
{1+2x≠1 ⇒ x≠0
{(x^2-2x+1)^2 > 0 ⇒ x≠1
ОДЗ: (-1/2;0)U(0;1)

(1/4) log_(1+2х)(x^2-2x+1)^2=(1/4) log_(1+2х)(x-1)^4=
=log_(1+2х)|x-1|
Так как при х∈ (-1/2;0)U(0;1)
|x-1|=1-x
и
log_(1-x)(1+x-2x^2)=log_(1-x)(1-x)(2x+1)=log_(1-x)(1-x)+log_(1-x)(2x+1)=1+log_(1-x)(2x+1)
неравенство принимает вид
log_(1-x)(2x+1)+log_(1+2x)(1-x) больше или равно -2.
Замена
log_(1-x)(2x+1)=t;
log_(1+2x)(1-x)=1/t
t+(1/t) больше или равно -2
(t^2+2t+1)/t больше или равно 0
_-__ [-1] _-__ (0) __+_

t=-1 или t > 0

log_(1-x)(2x+1)=-1 или log_(1-x)(2x+1) > 0
1)
log_(1-x)(2x+1)=-1
2x+1=1/(1-x)
(2x+1)(1-x)=1
2x^2-x=0
x(2x-1)=0
x=0 или х=1/2
0∉ ОДз
О т в е т. 1) х=1/2
2)
log_(1-x)(2x+1) > 0
Заменим
0= log_(1-x)1
Перепишем неравенство в виде:
log_(1-x)(2x+1) > log_(1-x)1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств
(1-х-1)*(2х+1-1) > 0
-х*2x > 0
-2x^2 > 0 - неверно, так как x^2 больше или равно 0 при любом х
нет решений
О т в е т. х=1/2

Ответ выбран лучшим

а)
∠АMN=90 градусов; ∠ACN= 90 градусов.
Сумма противоположных углов четырехугольника СNMA равна 180 градусов, значит около четырехугольника CNMA можно описать окружность.
∠СMN=∠CAN как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу NC.
б)
Так как точка М- середина гипотенузы является центром окружности, описанной около треугольника АВС, то
ВM=AM=CM

Треугольник CMB - равнобедренный, так как СM=BM.

Треугольник ANB - равнобедренный, так как NM - серединный перпендикуляр к АВ, поэтому BN=AN.

Угол В в этих треугольниках общий.

По теореме синусов из треугольника АNB
BN/sin∠B=2R1, R1- радиус окружности, описанной около треугольника ANB.
По теореме синусов из треугольника СМВ:
СM/sin ∠B=2R2
R2- радиус окружности, описанной около треугольника СМВ

Значит
R1/R2=BN/CM, так как СМ=ВМ.
R1/R2=BN/BM

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВNM:
cos∠B=BM/BN
R1/R2=1/cos∠B

По условию
tg∠A=4/3 ⇒ 1+tg^2∠A=1/cos^2∠A
значит
cos^2∠A=1/(1+tg^2∠A)=1/(1+(4/3)^2)=9/25
так как угол А -острый, то cos∠A=3/5
sin∠A=4/5
sin∠A=cos∠B

R1/R2=1/cos∠B=1/(4/5)=5/4
О т в е т. 5/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Команда может получить 4 очка в двух играх в трех случаях:
1) Выиграла обе игры;
2) Выиграла одну игру, а вторую игру свела к ничьей.
3) Сыграла одну игру в ничью, а вторую игру выиграла

Вероятность победы равна 0,4.
Вероятность ничьей равна 1 - 0,4 - 0,4 = 0,2.
1)Вероятность победить оба раза равна 0,4 · 0,4 = 0,16.
2) Вероятность победы в одной игре и ничьей во второй 0,4 · 0,2
3) Вероятность сыграть вничью в одной игре, а во второй победить
0,2 · 0,4.

Все три события несовместны. Вероятность суммы событий равна сумме веростностей.
Вероятность выйти в следующий круг:
0,16 + 0,08 + 0,08 = 0,32.
О т в е т. 0,32

Ответ выбран лучшим

Долг перед банком ( в млн. руб) в июле каждого года в соответствии с таблицей:
S; 0,8S; 0,4S и 0
В январе следующего года долг увеличивается на 20% и составляет:
1,2S; 0,96S; 0,48S.
Поэтому выплаты с февраля по июнь составят:
1,2S-0,8S=0,4S;
0,96S-0,4S=0,56S;
0,48S-0=0,48S

По условию каждая из выплат должна быть меньше 5 млн. руб.

0,4S < 5 ⇒ S < 12,5
0,56S < 5 ⇒ S < 8,92
0,48 S < 5 ⇒ S < 10,42

Наибольшее целое S, удовлетворяющее всем трем неравенствам
S=8 млн. руб
О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

Пусть вторая линия упаковывает 8000 единиц продукции за t часов, тогда первая линия упаковывает 6000 единиц продукции за (t+1) час.
Производительность ( скорость упаковывания) первой линии
6000/(t+1) ед. продукции в час.
Производительность ( скорость упаковывания) второй линии
8000/t ед. продукции в час.

Совместная производительность
6000/(t+1) + 8000/t = (6000t+8000t+8000)/*(t^2+t)

По условию за час совместной работы две линии упаковывают 6000 единиц продукции.
Умножаем совместную производительность на 1 час
и получаем 6000.
Уравнение:
(14000t+8000)/(t^2+t)=6000;
14000t +8000 =6000t^2+6000t
3t^2-4t-4=0
D=(-4)^2-4*3*(-4)=16+48=64
t=(4+8)/6=2 второй корень отрицательный и не удовл. условию задачи.

8000 ед/2 часа=4000 ед в час - производительность второй линии
О т в е т. 4000 единиц продукции упаковывает за час вторая линия

Ответ выбран лучшим

Пусть высота конуса 3х, высота цилиндра 4х.
V(цилиндра)=πR^2*4x
V(конуса)=(1/3)*πR^2*3x=πR^2*x
По условию
V(конуса)=30, значит πR^2*x=30

V(цилиндра)=πR^2*4x=4*(πR^2*x)=4*30=120
О т в е т. 120

Ответ выбран лучшим

Пусть выпускаемый паштет состоит их 3х кг свинины, 5х говядины и 2х кг субпродуктов.
3х:5х:2х=3:5:2
Масса паштета 3х+5х+2х=10х кг.

В новом паштете расход свинины планируется увеличить на 100%, т.е масса свинины будет составлять 200%,
3х - составляют 100%
? - составляют 200%
?=3х*200:100=6х кг - масса свинины в новом паштете.

Расход свинины планируется увеличить на 120%, т.е масса свинины будет составлять 220%,
5х кг говядины составляют 100%
? кг составляют 220%
?=5х*220:100=11х кг говядины в новом паштете.

Масса нового паштета будет увеличена в 2,5 раза
10х*2,5=25х

25х-6х-11х=8х кг в новом паштете будут составлять субпродукты

25х кг паштета составляют 100%
8х кг составляют ? %
?=8*100:2=32%
О т в е т. 32% от массы паштета будут составлять субпродукты, если реализовать этот план.

Ответ выбран лучшим

S(пов. шара)=4π*R^2=4π*0,95^2
Внутри куба лежит (1/4) чаcть шара.
(1/4)*4π*0,95^2=0,95^2π
О т в е т. 0,95^2=0,9025

Ответ выбран лучшим

S(бок)=С(окр.)*H=2π*R*H=2π*2*3=12π
О т в е т. 12

Ответ выбран лучшим

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.
Угловой коэффициент k прямой у=4х+3 равен 4.
k=4.
Геометрический смыл производной в точке:
f`(x_(o))=k
f`(x)=3x^2+4
Приравниваем к найденному значению k=4.

f`(x_(o))=3x^2_(o)+4
3x^2_(o)+4=4
3x^2_(o)=0
x_(o)=0

y_(o)=x^3_(o)+4x_(o)+1=0^3+4*0+1=1

А(0;1)
сумма координат точки А
0+1=1
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

5 цифр распределить на 5 мест.
Р₅=5!=1*2*3*4*5=120 чисел
О т в е т. 120

Ответ выбран лучшим

4у=-3х+6
у=(-3/4)х+(6/4)
В уравнении у=kx+b угловой коэффициент k
В данному уравнении k=-3/4=-0,75

Ответ выбран лучшим

10-3=7 деталей без дефектов.
По формуле классической вероятности
р=m/n
n=C^2_(10)=10!/2!*(10-2)!=9*10/2=45 способов выбрать две детали из 10
m=C^2_(7)=7!/(2!*(7-2)!)=6*7/2=21 способ выбрать две детали из 7 без дефектов
р=21/45=7/15=0,46666≈0,47

Ответ выбран лучшим

Мяч должен пролететь на высоте H= 2 м+(13/16)м=35/16 м.
Подставляем данные в формулу:
(35/16)=(15^2)/(4*10)*(1-cos2α)
1-cos2α=7/18
cos2α=11/18
2α=arccos(11/18)
α=(1/2)arccos(11/18)
О т в е т. (1/2)arccos(11/18)

Ответ выбран лучшим

Тогда а=2R
S(круга)=πR^2
S(квадрата)=a^2=(2R)^2=4*R^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Так как
log_(2) 32^(1/5)=log_(2)2=1, то

log_(5)log_(7)(7*1)=log_(5)1=0.

3.
cos^2x ≥1/4 ⇒ cosx ≤ -1/2 или cosx ≥ 1/2
(-4π/3)+2πn ≤ x ≤ (-2π/6)+2πn, n∈Z или
(-π/3)+2πk ≤ x ≤ (π/3)+2πk, k∈Z

cм. рисунок на единичной окружности и на графике.

4.
См. рисунок
Период Т функции у=cos2x
Т=2π/2=π
График сжимается к оси Ох в два раза.( см. второй график на рисунке)
у=-сos2x - зеркально отражаем относительно оси Ох
у=-(1/2)сos2x - уменьшаем полосу, в которой располагался график в два раза, не от -1 до 1, а от (-1/2) до (1/2)
у=-(1/2)сos2x +1 поднимаем вверх на 1 ед.
5.
Замена переменной
9^x=u
2^y=v
{u-v=1
{(1/u)-(1/v)=-1/6
Метод подстановки:
{u=1+v
{(1/(1+v))-(1/v)=-1/6 ⇒ (v-(1+v))/(v*(1+v))=-1/6 ⇒v*(1+v)=6

v1=2 или v2=3
u1=3 или u2=2

2^y=2 ⇒ y1=1
9^x=3 ⇒ 2x=1 ⇒x1=1/2

2^y=3 ⇒y1=log_(2)3
9^x=2 ⇒ y2=log_(9)2

О т в е т. (1/2; 1); (log_(9)2;log_(2)3)

6.
S=∫^(1)_(-1)(4-x^2-(2+|x|)dx= в силу четности графиков=

=2*∫^(1)_(0)(4-x^2-(2+x)dx=2*∫^(1)_(0)(4-x^2-2-x)dx=

=2*∫^(1)_(0)(4-x^2-2-x)dx=2*∫^(1)_(0)(2-x^2-x)dx=

=2*(2х-(x^3/3)-(x^2/2))|^(1)_(0)=2*(2-(1/3)-(1/2))=2*(2-5/6)=14/6

2. см. приложение (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{6-2x больше или равно 0 ⇒x меньше или равно 3;
{x^2-10≠0 ⇒ x≠± sqrt(10)

Так как при x меньше или равно 3
sqrt(6-2x) больше или равно 0 по определению арифметического квадратного корня.
Неравенство имеет вид
x*(x+1)^2/(x^2-10) меньше или равно 0
Решаем методом интервалов на множестве х меньше или равно 3:
__-__ (-sqrt(10)) _+__ [-1] _+__ [0] __-____ [3]

О т в е т. (- бесконечность; -sqrt(10))U[0;3]

Ответ выбран лучшим

Задание на клетчатой бумаге.Решаем по клеткам.
Достроим треугольник до сиреневого прямоугольника.
S(прямоугольника)=9*4=36
И вычтем площадь прямоугольных треугольников в углах
36-(1/2)3*9-(1/2)1*5-(1/2)4*4=36-24=8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.
∠АОВ- центральный угол, опирается на дугу АС и равен градусной мере этой дуги.
Значит градусная мера дуги АС равна 70°
∠АСВ - вписанный угол, опирается на дугу АС. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠АСВ =35°.
3.
Δ АNB - прямоугольный, так как ∠АСВ опирается на диаметр и равен 90°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Значит ∠NAB=90°-∠NBA=90°-34°=56°
∠NAB=∠NMB=56° как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу NB.
4.
∠ABC - вписанный угол, опирающийся на дугу АС.
Значит градусная мера дуги АС равна 92°.
∠AOC-центральный угол, опирающийся на дугу АС.
Значит ∠AOC=92 °
Δ АОC - равнобедренный (АО=ОC=R)
∠OAC=∠OCA=(180 °-92°)/2=44°
∠ВAC=∠ВAО+∠СAО=28°+44°=72°
∠ВAC - вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
Значит градусная мера дуги ВС 144°
Градусная мера дуги ВА
360°-144°-92°=124°
Значит ∠ВCА=62 °
∠ВCО=∠ВCА-∠ОCА=62°-44°=18°
5.
Пусть касательные пересекаются в точке К.
∠АКВ=56°
Касательные перпендикулярны радиусу, проведенному в точку касания.
Значит
∠ОАК=∠ОВК=90°
Сумма углов четырехугольника ОАКВ равна 360°
Значит
∠АОВ=360°-90°-90°-56°=124°
Δ АОВ - равнобедренный (АО=ОВ=R)
∠OAB=∠OBA=(180 °-124°)/2=28°
∠АBO=28°

Ответ выбран лучшим

((3x)^3·x^(–9))/(x^(–10)·2x^5)=

=(3^3*x^3*x^(-9))/(x^(–10)·2x^5)=

=(27/2)x^(3-9-(-10)-5)=13,5x^(-1)=13,5/x

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Плоскость ADC1 это плоскость ADB1C1.

Пл. ADB1C1 ∩ пл. DCC1D1 = C1D.
Проводим KM ⊥ C1D,
так как диагонали квадрата DCC1D1 взаимно перпендикулярны, то КM|| CD1.
KM ⊥ пл.DCC1D1, так как КМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
КM ⊥ C1D
и
КM ⊥AD ( AD ⊥ пл. DCC1D1, а значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой КМ).

КМ - средняя линия Δ DCD1
КЕ - средняя линия Δ АСD
МЕ - средняя линия Δ ADD1

Равносторонний треугольник ЕКМ - искомое сечение
КМ=КЕ=МЕ=(1/2)АС=(1/2)*2sqrt(2)=sqrt(2)
Р( сечения)=3sqrt(2).
О т в е т. 3sqrt(2). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле
r=S/p
S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)

p=(13+14+15)/2=21
S=sqrt(21*(21-13)*(21-14)*(21-15)=sqrt(21*8*7*6)=
=sqrt(7^2*3^2*4^2)=7*3*4=84
r=84/21=4
О т в е т.4

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными.
Перепишем уравнение в виде:
2xydx=-x^2*y^2dy
Делим обе части уравнения на х^2y
2dx/x=-ydy
Интегрируем
2∫dx/x = - ∫ydy;
2ln|x|=-(y^2)/2+C
О т в е т. 2ln|x|=-(y^2)/2+C

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0;
{3-x > 0
x∈(0;3)
По формуле перехода к другому основанию
log_(0,5)(1/(3-x))=log_(2^(-1))(1/(3-x))=-log_(2)(1/(3-x))

Неравенство принимает вид
|log_(2)x + log_(2) (1/(3-x))| < 1.
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
|log_(2)(x /(3-x))| < 1
Неравенство можно записать как двойное неравенство:
-1 < log_(2)(x /(3-x)) < 1;
или как систему двух неравенств:
{log_(2)(x /(3-x)) < 1
{log_(2)(x /(3-x)) > -1
Так как 1=log_(2)2; -1=log_(2)(1/2)
{x/(3-x) < 2 ⇒x/(3-x) - 2 < 0 ⇒(x-6+2x)/(3-x) < 0
{x/(3-x) > 1/2 ⇒ x/(3-x) -(1/2) > 0 ⇒(2x-3+x)/(2*(3-x)) > 0
Решение первого неравенства
__-_____ (2) ___ (3) __-__
Решение второго неравенства
__ (1) ____+_____ (3) _____
Пересечение двух множеств: (1;2)
С учетом ОДЗ, ответ (1;2)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1) ∫dx/((6–8x)^5) =(-1/8) ∫(6-8x)^(-5)d(6-8x)=
=(-1/8)*(6-8x)^(-5+1)/(-5+1)+C=1/(32*(6-8x)^4)+C.
2) ∫1/(5t–27) dt=(1/5)∫d(5t-27)/(5t–27) =
=(1/5)ln|5t-27|+C;
3)∫6^(14–13x)dx=(-1/13)*∫6^(14–13x)dx=
=(-1/13)*(6^(14-13x)/ln6)+C; +C=-(6^(14-13x))/(13ln6)+C;
4)∫cos(x/14–19)dx=14∫cos(x/14–19)d(x/14 -19)=
=14sin((x/14–19) + C;
5)∫(tg^2x/sin^2x) dx=∫1/cos^2x dx= tgx+C;
6) ∫(4x^4 – 2x^3 +x^2)dx/x^2 = ∫(4x^2 – 2x +1)dx=
=(4x^3/3) -x^2+x+C;
7)∫(2x–1)^2dx/x =∫(4x^2-4x+1)dx/x=
=4∫xdx-4∫dx+∫dx/x=
=(4x^2/2) -4x+ln|x|+C=2x^2-4x+ln|x|+C;
8)∫(1/√(1–y^2) + 1/y^2) dy=arcsiny-(1/y)+C;
9)∫(4x^3+2^x+ (1/ cosx)) dx=
=(4x^4/4) + (2^x)/ln2+ ln(tg|(x/2)+(π/4)|) +C;
10)∫(7sin x + 7/sin^2x+ 7/sinx) dx =
=7*(-cosx)+7*(-ctgx)+7ln(tg|(x/2)| +C=
=-7cosx-7ctgx+7ln(tg|(x/2)| +C;

Ответ выбран лучшим

S( полн.)=2ab+2bc+2ac
24a^2=2*3a*a+2*a*c+2*(3a)*c;
24a^2=6a^2+8ac
8ac=18a^2
с=18a/8=9a/4
S (бок.)=P(осн)*с=2*(a+b)*c=2*(3a+a)*(9a/4)=36a^2
d^2(осн.)=a^2+b^2=(3a)^2+a^2=10a^2;
d=asqrt(10)
Из прямоугольного треугольника АС1С:
tgα=c/d=(9a/4)*(1/(a*sqrt(10)))=9/4sqrt(10)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.(x^2 – 6x)^5 ≥ (2x–7)^5
Возводим обе части неравенства в (1/5) ( извлекаем корень пятой степени)
x^2-6x ≥ 2x-7;
x^2-6x-2x+7 ≥ 0;
x^2-8x+7 ≥ 0
D=64-28=36
x=1 или х=7
x≤1 или х≥7.
2. 2sin^2x–3sinx+1 ≤0
Замена переменной
sinx=t
2t^2-3t+1≤0
D=9-8=1
t=(1/2) или t=1
(1/2) ≤ t ≤ 1
(1/2) ≤ sinx ≤ 1
(π/6)+2πk ≤ x ≤ (5π/6)+2πk, k ∈Z

3. x^2 + 1 < = cosx
Cм. рис.
Строим график у=x^2+1- парабола.
и у = cosx
Парабола выше при любом х кроме х=0
При х=0 графики пересекаются.
Т.е значения функций равны.
О т в е т. х=0
4. (2^x –3)(3x–4) < =0
{2^x-3≤0⇒x ≤log_(2)3
{3x-4 ≥ 0⇒ х≥ 4/3
4/3=log_(2)2^(4/3)=log_(2)2^(4/3)=
=log_(2)∛16=log_(2)2*∛2 < log_(2)3
____ [4/3] \\\\\\\\\\\\ [log_(2)3]
///////////
[4/3; log_(2)3]
или
{3x-4≤0⇒ х≤4/3
{2^x-3 ≥ 0⇒ х≥ log_(2)3

____ [4/3] _______[log_(2)3]////////
\\\\\\\\\
нет решений

О т в е т. [4/3; log_(2)3]
5. x√(x+7) < 0
ОДЗ: х+7 ≥ 0⇒ х≥ -7
Так как √(x+7)≥ 0 при любом х из ОДЗ, то
х < 0
О т в е т. [-7;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.vector{b}=-vector{i}+vector{j}-4*vector{k}

2*vector{c}+2*vector{b}=2*(2*vector{i}-vector{j}+3*vector{k})+
+2*(-vector{i}+vector{j}-4*vector{k})=
=2*vector{i}+0*vector{j}-2*vector{k}
|2*vector{c}+2*vector{b}|=sqrt(2^2+0^2+(-2)^2)=sqrt(8)=
=2sqrt(2)
2.
vector{b}(-1;m;-4)
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.
2:(-1)=(-4):m=8:(-4) ⇒ m=2
3.
Если vector{a}(x1;x2;x3); vector{b}(y1;y2;y3), то
vector{a}*vector{b}=x1*y1+x2*y2+x3*y3

vector{2a}(6;-2;8); vector{b}(2;5;-6),
vector{2a}*vector{b}=6*2+(-2)*5+8*(-6)=12-10-48=-46
4.
vector{m}(3;2;-1)
vector{2m}(6;4;-2)
vector{n}(-4;1;-2)
(vector{2m}+vector{n})(6-4;4+1;-2-2)=
=(vector{2m}+vector{n})(2;5;-4)
vector{n}*(vector{2m}+vector{n})=-4*2+1*5+(-2)*(-4)=5.
5.
vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos(a(^)b)

vector{b}*(vector{2c}+vector{b})=
=2vector{b}*vector{c}+(vector{b})^2=
=2*|vector{b}|*|vector{c}|cos(b(^)c)+|vector{b}|^2=
=2*8*4*cos45 градусов+8^2=
=32sqrt(2)+64

Ответ выбран лучшим

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180 градусов ( один уголострый, второй тупой).
Сумма двух тупых углов больше 180 градусов.
Значит сумма двух острых углов трапеции 144 градусов.
Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
Значит 144:2=72 градусов - острый угол трапеции.
180 градусов - 72 градусов = 108 градусов - тупой угол трапеции
О т в е т. 108 градусов

Ответ выбран лучшим

сos2x=1-2sin^2x
Уравнение перепишем в виде:
2sin^4x+3-6sin^2x+1=0
или
sin^4x-3sin^2x+2=0
D=(-3)^2-4*2=1
sin^2x=1 или sin^2x=2

sinx=-1 или sinx=1

x=(-π/2)+2πk, k∈Z или x=(π/2)+2πm, m∈Z

две серии ответов можно записать в виде
х=(π/2)+πn, n∈Z

sinx=-sqrt(2) или sinx=sqrt(2)
уравнения не имеет корней, так как -1 ≤ sinx ≤1

Указанному промежутку [π;3π] принадлежат корни
3π/2; 5π/2

О т в е т.
а)(π/2)+πn, n∈Z;
б) 3π/2; 5π/2.

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 12 или 16
Если угол А - тупой, то меньшая диагональ ромба- сумма векторов.
Если угол А - острый, то большая. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) ∫dx/((6–8x)^5) =(-1/8) ∫(6-8x)^(-5)d(6-8x)=
=(-1/8)*(6-8x)^(-5+1)/(-5+1)+C=1/(32*(6-8x)^4)+C;
2) ∫1/(5t–27) dt=(1/5)∫d(5t-27)/(5t–27) =(1/5)* ln|5t-27|+C;
3)∫6^(14–13x)dx=(-1/13)*∫6^(14–13x)dx=
=(-1/13)*(6^(14-13x)/ln6) +C=-(6^(14-13x))/(13ln6)+C;
4)∫cos((x/14)–19)dx=14∫cos((x/14)–19)d((x/14) -19)=
=14sin((x/14)–19) + C;
5)∫(tg^2x/sin^2x) dx=∫1/cos^2x dx= tgx+C;
6) ∫(4x^4 – 2x^3 +x^2)dx/x^2 = ∫(4x^2 – 2x +1)dx=
=(4x^3/3) -x^2+x+C.

Ответ выбран лучшим

1)∫(2x–1)^2dx/x =∫(4x^2-4x+1)dx/x=
=4∫xdx-4∫dx+∫dx/x=
=(4x^2/2) -4x+ln|x|+C=2x^2-4x+ln|x|+C;
2)∫(1/√(1–y^2) + 1/y^2) dy=arcsiny-(1/y)+C;
3)∫(4x^3+2^x+ (1/ cosx)) dx=
=(4x^4/4) + (2^x)/ln2+ ln(tg|(x/2)+(π/4)|) +C;
4)∫(7sin x + 7/sin^2x+ 7/sinx) dx =
=7*(-cosx)+7*(-ctgx)+7ln(tg|(x/2)| +C=
=-7cosx-7ctgx+7ln(tg|(x/2)| +C;

Ответ выбран лучшим

Из общего ответа при k=1 получим
(π/6)+2π=(13π/6)

Ответ выбран лучшим

Число должно оканчиваться на 0, тогда оно будет делиться на 10. А чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3, наименьшее количество цифр1 в числе - три, остальные нули.
Первая цифра 1 на первом месте, две другие перед 0 на конце, в таком случае число будет наименьшим.
10 000 110 : 30 =333 337
О т в е т. 10 000 110

Ответ выбран лучшим

(14^x/7)–((4·2^x)^x/4)≠56^(x)–(4·2^x)^x·7

14^x*4≠56^(x)

14^x=(2*7)^x=2^x*7^x
14^x*4=2^x*7^x*2^2=7^x*2^(x+2)

(4·2^x)^x·7=(2^2*2^x)^x*7=(2^(x+2))^x*7=2^(x^2+2x)*7

надо основания выделить как-то, что я Вам и сделала.
См.
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=15144

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+2 > 0⇒ x > -2
{log_(6)(x+2)≠ 0 ⇒ x+2≠ 1 ⇒ x≠ -1
{(x-3)^2 > 0 ⇒ x≠ 3
{log_(7)(x-3)^2≠ 0 ⇒ (x-3)^2≠ 1⇒ (x-3)≠ -1 и (x-3)≠ 1⇒х≠2 и х≠4
[red]ОДЗ:[/red] (-2;-1)U(-1;1)U(1;2)U(2;3)U(3;4)U(4;+∞)

Переносим все слагаемые влево

[m]\frac{14^{x}}{7log^4_{7}(x-3)^2\cdot log_{6}(x+2)}- \frac{(4\cdot 2^{x})^{x}}{4log^4_{7}(x-3)^2\cdot log_{6}(x+2)} \leq 0[/m]

Так как при любом х из ОДЗ:[m]\frac{1}{log^4_{7}(x-3)^2} > 0[/m]

[m]\frac{14^{x}}{7 \cdot log_{6}(x+2)}- \frac{(4\cdot 2^{x})^{x}}{4 \cdot log_{6}(x+2)} \leq 0[/m]

Вынесем за скобки общий множитель :

[m]\frac{1}{log_{6}(x+2)}\cdot(\frac{14^{x}}{7}- \frac{(4\cdot 2^{x})^{x}}{4 }) \leq 0[/m]

Решаем неравенство методом интервалов:

[m] log_{6}(x+2)=0\Rightarrow x+2=1; x=-1[/m]

[m]\frac{14^{x}}{7}- \frac{(4\cdot 2^{x})^{x}}{4 }=0\Rightarrow[/m]

[m] 2^{x}\cdot 7^{x-1}-4^{x-1}\cdot (2^{x})^{x}=0[/m]

[m](\frac{7}{4})^{x-1}=2^{x^2-x}[/m]

Логарифмируем по основанию 2 :

[m](x-1)log_{2}\frac{7}{4}=(x^2-x)log_{2}2[/m]

(x-1)\cdot (log_{2}\frac{7}{4}-x)=0

[m]x=1; x=log_{2}\frac{7}{4}[/m]

[m]log_{2}\frac{7}{4}< log_{2}2=1[/m]

Расставляем знаки и с учетом ОДЗ получаем

О т в е т.[m] (-1;log_{2}\frac{7}{4}]\cup[1;2) \cup (2;3) \cup (3;4) \cup(4;+ ∞ )[/m]

Ответ выбран лучшим

v(t)=x`(t)
производная пути есть скорость.
v(t) = x'(t) =((4/3)t^3−13t^2+56,25t−13)`=
=(4/3)*3t^2-13*2t+56,25=
=4t^2-26t+56,25

Приравниваем к 14
Получаем уравнение
4t^2-26t+56,25=14;
4t^2-26t+42,25=0
D=(-26)^2-4*4*42,25=676-676=0
один корень уравнения t=26/(2*4)=13,4=3,25
О т в е т. 3,25 с.

Ответ выбран лучшим

17/19=(17*14)/(19*14)=238/(19*14) < 247/(14*19)=(13*19)/(14*19)=13/14

Представим:

17/19=170/190; 13/14=130/140

1) 6/10=114/190 и 6/10=84/140
114/190=84/140
170/190 > 114/190

0,6 =114/190 < 170/190
не заключено между числами

2)7/10=133/190 и 7/10=98/140
133/190=98/140
170/190 > 133/190

0,7 =133/190 < 170/190
не заключено между числами

3)8/10=152/190 и 8/10=112/140
152/190=112/140
170/190 > 152/190

0,8 =152/190 < 170/190
не заключено между числами

4)9/10=171/190 и 9/10=126/140
171/190=126/140
171/190 > 170/190

170/190 < 0,9 =171/190=126/140 < 130/140
заключено между числами

О т в е т. 0,9

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

b_(2)=4b_(1)=4*3=12
b_(3)=4b_(2)=4*12=48

значит
q=b_(3):b_(2)=b_(2):b_(1)=48:12=12:3=4
Формула общего члена этой прогрессии имеет вид
b_(n)=b_(1)*q^n=3*4^n

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x≠(π/2)+πm, m∈Z
{ x≠πr, r∈Z

(cos^2x/sin^2x)-(1/sinx)=1 ( умножаем на соs^2x≠0)

cos^2x-sinx=sin^2x;
1-sin^2x-sinx=sin^2x;
2sin^2x+sinx-1=0
D=1+8=9
sinx=-1 или sinx=1/2

sinx=-1⇒ x=-(π/2)+2πs, s∈Z ( не удовл. ОДЗ)

sinx=1/2 ⇒ x= (π/6)+2πk, k∈Z или x= (5π/6)+2πn, n∈Z

б)Указанному промежутку удовлетворяют корни
x=(5π/6)-2π=-7π/6
-3π/2=-9π/6 < -7π/6 < -π=-6π/6
и
х=π/6
0 < π/6 < π/2
О т в е т.
а) x= (π/6)+2πk, k∈Z или x= (5π/6)+2πn, n∈Z

б) -7π/6; π/6
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

ОD⊥АС
AC=BD=4sqrt(2) - диагонали квадрата.
OD=(1/2)BD=2sqrt(2)

Проводим FM ⊥ АС ( FM || OD и FM=(1/2)OD)
OK ⊥ пл. ABCD, значит OK⊥FM
FM - перпендикуляр к пл. AKC, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.
KM - проекция KF на плоскость АКС.

FM=(1/2)OD=((1/2)*2sqrt(2)=sqrt(2)

Расммотрим прямоугольный Δ ОКF (OK ⊥ пл. АВСD, значит OK ⊥ OF), ОF=2; OK=2 = > КF = sqrt(4+4) = =2sqrt(2)
Из прямоугольного треугольника KMF
sin∠MKF=MF/KF=sqrt(2)/2sqrt(2)=1/2
∠MKF=30 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{x-2 ≥0 ⇒ x≥2
{log_(4)(x+2)≥0 ⇒ x+2≥1 ⇒ x≥-1
x∈[2;+ ∞)
или
{x-2 ≤ 0 ⇒ x ≤ -2
{log_(4)(x+2) ≤ 0 ⇒ 0 < x+2 ≤ 1⇒ -2 < x ≤- 1
нет решений

О т в е т. [2;+ ∞)

Ответ выбран лучшим

На выражении, которое дано:
log_(2-x)(x+2)*log_(x+3)(3-x)

при х=0
log_(2)(2)*log_(3)(3)=1*1 > 0 ставим + на [-1;1)
при х=-1,5
log_(3,5)(0,5)*log_(1,5)(4,5) < 0
log_(3,5)(0,5) < log_(3,5)1=0
log_(1,5)4,5 > log_(1,5)1=0

Ответ выбран лучшим

По рисунку определяем, что
p < 0
n > 0
p < n
1) n+p > 0 - верно, если |n| > |p|
по рисунку вроде бы так.
2) np > 0 -неверно, произведение положительного n и отрицательного p отрицательно
3)p^2*n > 0 -верно.
4)p-n < 0 - верно

Ответ выбран лучшим

Плиток размером 20×40 потребуется 12*6=72 плитки.
Значит надо купить 5 пачек.
576*5=2880 руб
Плиток размером 30×40 потребуется 8*6=48 плиток.
Придется купить 5 пачек.
561*5=2805 руб
Плиток размером 20×20 потребуется 12*12=144 плитки.
Надо купить 5 пачек.
561*5=2610 руб
О т в е т. 2610 руб

ОДЗ: x≠(π/2)+πk, k∈Z

Умножаем на cos^2x≠0

5*(cos^2x-sin^2x)+(12sinx-7)*(cos^2x+sin^2x)=0
5*(1-2sin^2x)+(12sinx-7)*1=0
10sn^2x-12sinx+2=0
D=144-4*10*2=64
sinx=1/5 или sinx=1
x=arcsin (1/5)+2πm, m∈Z или x=(π-arcsin(1/5))+2πn, n∈Z или x=(π/2)+2πs, s∈Z ( неудовл. ОДЗ)
О т в е т. arcsin (1/5)+2πm; x=(π-arcsin(1/5))+2πn,
m,n∈Z

Ответ выбран лучшим

Пусть уменьшаемое х, вычитаемое у, тогда разность х-у по условию равна 32.
Женя приписала 0 к уменьшаемому, значит увеличила его в 10 раз.
10х - у = 644

Система двух уравнений:
{x-y=32;
{10x-y=644
Вычитаем из второго уравнения первое
9х=612
х=68
О т в е т. К числу 68

y`=(x³+6x²+9x)`=3x²+12x+9;
y`=0
3x²+12x+9=0;
x²+4x+3=0
D=4²-4•3=16-12=4;
x1=(-4-2)/2=-3 или х2=(-4+2)/2=-1
х=-1- внутренняя точка отрезка [-3;0].
y` имеет знаки:

______ (-3)___-___ (-1) ___+___

Исследуем знак производной на отрезке.
на [-3;-1] производная имеет знак -; на [-1;0] - плюс.
Значит х=-1 - точка минимума функции, так как производная при переходе через точку х=1 меняет знак с - на +.
Сравниваем значения функции на концах отрезка
y(0)=0
y(-3)=-27+6*9+9*(-3)=0 - наибольшее значение функции на отрезке [-3;0].

См. график данной функции на рисунке. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

10.
По формуле классической вероятности
р=m/n
n=5+8+3=16
m=8
p=8/16=1/2
11.
18 градусов.
12.
1,3,5
3050+6800+1900 < 12000
или
2,5,6
6050+1900+3900 < 12000

Ответ выбран лучшим

ТЕ- высота медиана и биссектриса равностороннего треугольника АТВ.
АЕ=1
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АТЕ
ТЕ^2=AT^2-AE^2=2^2-1^2=4-1=3
AD=AB=EK=2
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ТЕК
ТК^2=ТЕ^2+EK^2=3+2^2=7
TK=sqrt(7)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
5-(1/4)*0,72=5-0,18=4,82
2.
2,4*10^2/(6*10^(-1))=0,4*10^(2-(-1))=0,4*10^3=400
3.
20 выпускников составляют 40%
х выпускников составляют 100%
х=20*100:30=50
4.
А=6^2*15/9=60 дж.
5.
=(2sqrt(2))^2-4^2=8-16=-8
6.
76:1,6=47,5 миль в час
7.
-2х-7=3^3
-2x-7=27
-2x=27+7
-2x=34
x=-17
8.
Подобие:
1,5:x=2:4
x=3
9.
А-4
Б-2
В-1
Г-3

V=47*92*10=43240 куб. см - объем большого.
v=8*5*6=240 куб. см - объем маленького.
V:v=43240:240≈180

Значит не более 180 прямоугольных параллелепипедов.

Так как высота большого 10 см, а высота маленького 5 см, ясно, что можем получить два слоя.
Чтобы заполнить один слой надо рассмотреть разные возможности расположения прямоугольников с размерами 6*8 в прямоугольнике 92*47
См. рисунок.
Получилось 86 в одном ряду и 86 во втором, всего 172.
Может быть можно и больше расположить. Надо подумать. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
(4/3)x-(4/3)*(5/6)=71/9;
(4/3)x=(71/9)+(10/9);
(4/3)x=(81/9);
(4/3)x=9
x=9:(4/3)
x=9*(3/4)
x=27/4
x=6,75

2.
Замена переменной:
x^4-3x^2=t
t-(40/t)-6=0
t^2-6t-40=0
D=36+160=196
t=10 или t=-4
Обратная замена
x^4-2x^2=10 ⇒ D биквадратного уравнения 44
один корень отрицательный,
x^2=1+sqrt(11)⇒x=-sqrt(1+sqrt(11)) или x=sqrt(1+sqrt(11))
x^4-3x^2=-4 ⇒D=9-16 < 0 биквадратное уравнение не имеет корней

3.
Замена переменной
x^2+8x=t
sqrt(t+27)=sqrt(t)+3
Возводим в квадрат
t+27=t+6sqrt(t)+9
6sqrt(t)=18
sqrt(t)=3
t=9
Возвращаемся к переменной х
x^2+8x=9
x^2+8x-9=0
D=64+36
x=1 или х=-9
Проверка.
при х=1
sqrt(1+8+27)=sqrt(1+8)+3 - верно, так как sqrt(36)=sqrt(9)+3;
6=6
при х=-9
sqrt((-9)^2+8*(-9)+27)=sqrt((-9)^2+8*(-9))+3 - верно, так как
sqrt(36)=sqrt(9)+3;
6=6
О т в е т. -9; 1

5.
Возводим обе части уравнения в 12-ую степень
(x+6)^4=(8x+48)^3;
x^4+4x^3*6+6x^2*6^2+4x*6^3+6^4=(8x)^3+3*(8x)^2*48+3*8x*48^2+48^3;

Ответ выбран лучшим

(4^(-4))^(-3)=4^((-4)*(-3))=4^(12)

4^(12)/4^(13)=4^(12-13)=4^(-1)=1/4=0,25

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВС равнобедренный, высота ВК, проведенная из вершны В на основание АС является одновременно и медианой и биссектрисой.
АК=КС
Из прямоугольного треугольника
АВК:
ВК=АК*tgА
Пусть АК=х, тогда ВК=хsqrt(2)/4
АК^2+ВК^2=АВ^2
x^2+(xsqrt(2)/4)^2=12^2
18x^2/16=144
x^2=128
x=8sqrt(2)

AC=16sqrt(2)
ВК=4
S(ΔABC)=(1/2)*AC*BK=
=(1/2)*16*sqrt(2)*4=32*sqrt(2)

S(ΔABC)=(1/2)*AB*CH
32sqrt(2)=(1/2)*12*CH
CH=32(sqrt(2))/6=16(sqrt(2))/3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-6x+9 ≥0; x∈(-∞;+∞)
{5-x≥0; x≤5
{sqrt(5-x)-1≠0; x≠4
{x≠0
ОДЗ:x∈(-∞;0) U(0;4)U(4;5]

Переносим все слагаемые влево и выносим за скобки общий множитель:
(sqrt(x^2-6x+9)-1)^2/(sqrt(5-x)-1)^2
в скобках остается выражение:
(x+(3/x)-4)
Так как
(sqrt(x^2-6x+9)-1)^2/(sqrt(5-x)-1)^2 > 0 при всех х ∈ОДЗ, кроме тех значений, при которых числитель обращается в 0,т.е sqrt(x^2-6x+9)-1=0, (x-3)^2=1 x-3=-1 или х-3=1,
x=2 или х=4( но при этом и знаменатель обращается в 0)
Значит решением неравенства является только х=2.
Остается рассмотреть неравенство
(x+(3/x)-4) больше или равно 0

(x^2-4x+3)/x больше или равно 0
(x-1)(x-3)/x больше или равно 0
__-__ (0) __+__ [1] ___-____ [3] __+____
x∈(0;1]U[3;+бесконечность)

х=2 также входит в решение неравенства, с учетом ОДЗ получаем окончательный ответ
(0;1]U{2}U[3;4)U(4;5]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+6x+8≠0 ⇒D=36-32=4⇒x≠-2; x≠-4
{x^2+5x+6≠0 ⇒D=25-24=1⇒x≠-2; x≠-3

Раскладываем квадратные трехчлены на множители:
x^2+6x+8=(х+2)(х+4);
x^2+5x+6=(x+2)(x+3);
x^2+5x+4=(x+1)(x+4);
x^2+4x+3=(x+1)(x+3);
x^2+2x+1=(x=1)^2.

Неравенство принимает вид
((x+1)^2*(x+4)/(x+2)(x+4)) + ((x+1)^2*(x+3)/(x+2)(x+3))- (x+1)^2*(x+1)^2 меньше или равно 0;

(x+1)^2*(1/(x+2)+1/(x+2) - (x^2+1)) меньше или равно 0;

(x+1)^2*(-x^3-x-2x^2)/(x+2)меньше или равно 0;

x*(x+1)^4/(x+2) больше или равно 0;
Метод интервалов
_+__ (-4) _+_ (-3) _+_ (-2) _-_ [-1] _-_ [0] _+__

О т в е т. (-∞;-4)U(-4;-3)U(-3;-2)U{-1}U[0;+∞)

Ответ выбран лучшим

Тригонометрические подстановки
х=2sint ⇒ dx=2costdt

4-x^2=4-4sin^2t=4(1-sin^2t)=4cos^2t
sqrt(4-x^2)=sqrt(4cos^2t)=2cost

∫dx/(sqrt(4-x^2)*x^2)=∫2costdt/(2cost*4sin^2t)=
=(1/4)∫dt/sin^2t=(1/4)(-ctgt)+C

x=2sint ⇒ sint=(x/2)
cost=sqrt(1-sin^2t)=sqrt(1-(x/2)^2)=(1/2)sqrt(4-x^2)
ctgt=cost/sint=sqrt(4-x^2)/x

О т в е т. -sqrt(4-x^2)/(4x) + С

Ответ выбран лучшим

3^(x-3)=3^4
x-3=4
x=7

V=(1/3)S(осн.)*H
S(осн.)=(1/2)*6*6*sin60 градусов=9sqrt(3)
H=3V/S=3*3sqrt(3)/9sqrt(3)=1
О т в е т. 1

x³–3x²–4x+12=x²(х-3)-4(х-3)=(х-3)(x²-4)=(х-3)(х-2)(х+2)

(х-3)(х-2)(х+2)/(х-3)(х+2)= х-2

Ответ выбран лучшим

Арксинус и арктангенс нечетные функции, поэтому
arcsin(-x)=-arcsinx
arctg(-x)=-arctgx

Aрккосинус и арктангенс отрицательных значений находят по правилу:
arccos(-x)=π-arccosx
arcctg(-x)=π-arcctgx

Ответ выбран лучшим

12.
1-ый тарифный план "0"
0,9*850=765 руб
2-ой тарифный план "600"
аб плата 678 руб и 0,6*(850-600)=150 руб
678+150=828 руб.
3-ий тарифный план "1000"
аб. плата 897 руб.
Наиболее выгоден первый тарифный план

14.
на (а;b) функция возрастает, значит f`(x) > 0
на (b;c) касательная в точке m параллельна оси Ох.
m- точка максимума.
Производная меняет знак с + на -
на (с;d) функция убывает, значит f`(x) < 0
на (d;e) касательная в точке n параллельна оси Ох.
n- точка минимума.
Производная меняет знак с - на + (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
D=2R; d=2r
d=D/2=2R/2=R
2r=R
r=R/2

V1=π *R^2*h
h=20 cм
V2=π *r^2*H
r=R/2
V1=V2
π *R^2*h=π *r^2*H
π *R^2*20=π *(R/2)^2*H
20=H/4
H=80 cм.

2.
V1=π *R^2*h
V2=π *r^2*H
r=(R/3);
H=2h
V2=π *r^2*H=π *(R/3)^2*2h=(2/9)π *R^2*h=(2/9)V1=
=(2/9)*18=4
3.
S=π *R^2+π *R*L
16=π *R^2+π *R*L
16=π *R*(R+L)
Из подобия
h=H/2 ⇒ r=R/2 и l=L/2

s=π *r^2+π *r*l
π *r*(r+l)=π *R/2*((R/2)+(L/2))=(1/4)*π *R*(R+L)=(1/4)*S=
=(1/4)*16=4

Ответ выбран лучшим

v=(1/3)*π * r^2*h
V=(1/3)*π*R^2H

По условию
v=16
Из подобия:
r=R/3 ⇒ R=3r
h=H/3 ⇒ H=3h

V=(1/3)*π*R^2H=(1/3)π*(3r)^2*3h
=27*((1/3)* π* r^2*h*) =27v=27*16=432

или
так
v=(1/3)*π * r^2*h
16=(1/3)*π * r^2*h
Из подобия
r=R/3
h=H/3

16=(1/3)*π * (R/3)^2*(H/3)
27*16=(1/3) π * R^2*H
432=V

Ответ выбран лучшим

y`=15x^2-15x^4
y`=0
15x^2-15x^4=0
15x^2*(1-x^2)=0
x=0 или x=-1 или х=1
Исследуем точки на экстремум.
Находим знак производной

_-__ (-1) _+__ (0) __+_ (1) _-__

На ( - бесконечность;-1) и на (1;+ бесконечность) функция убывает
На (-1;0) и (0;1) возрастает.
х=-1 точка минимума
х=1 точка максимума

y`` = 30x-60x^3
y``=0
30x*(1-2x^2)=0
знаки второй производной:
_+__ (-sqrt(2)/2) __-__ (0) __+__(sqrt(2)/2) __-_

х=-sqrt(2)/2;x=0; х=sqrt(2)/2 - точки перегиба

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
2,1/(6,4-3,6)=2,1/2,8=21/28=3/4=0,75
2.
(4^(-4))^(-3)=4^((-4)*(-3))=4^(12)

4^(12)/4^(13)=4^(12-13)=4^(-1)=1/4=0,25

3.
30:100*25=7,5 руб составляют 25% от 30 руб.
30+7,5=37,5 руб новая цена ручки
600:37,5=16 ручек.

4.
m=2E/ν^2=2*54/3^2=12

5. (sqrt(8))^2-(sqrt(18))^2=8-18=-10.

6.
6*600=3600 листов требуется на 6 недель
3600:500=7,2 пачки на 6 недель
О т в е т. 8 пачек.
7.
7+х=4^2
7+x=16
x=16-7
x=9
О т в е т. 9
8.
Два треугольника подобны
(см. рисунок, красный подобен синему с коэффициентом 1/2)
l=h/2=4/2=2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

45 градусов.

СК - медиана равнобедренного треугольника АВС, а значит высота и биссектриса.

Угол КСВ - линейный угол двугранного угла между пл. KCC1 и пл. BB1C1C, так как СС1 ⊥ пл АВС ⇒ СС1⊥ СК и СС1⊥ СВ
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника КСС1:
КС=3

В прямоугольном треугольнике СКВ:
СК=КВ=3, значит треугольник СКВ прямоугольный равнобедренный.
Острые углы по 45 градусов

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos (pi /2–x)=sinx
sinx=0
x=πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

log^2_(0,5)(4/x^3)=(log_(0,5)4-log_(0,5)x^3)^2=
=(-2-3log_(0,5)x)^2
log_(0,5)8x=log_(0,5)8+log_(0,5)x=-3+log_(0,5)x

Замена переменной:
log_(0,5)x=t
Неравенство принимает вид:
(-2-3t)^2+(12+32t)/(t-3) больше или равно 0
Приводим к общему знаменателю
(9t^3-15t^2)/(t-3) больше или равно 0
3t^2(3t-5)/(t-3) больше или равно 0
Метод интервалов
_+__ [0] _+__[5/3]_-_(3)___+_
t меньше или равно (5/3) или t > 3
log_(0,5)x меньше или равно (5/3) или log_(0,5)x > 3
x больше или равно 0,5^(5/3) или 0 < x < 0,5^3
О т в е т. 0 < x < 0,5^3 или x больше или равно 0,5^(5/3)

Ответ выбран лучшим

7^(x^2–2x)+7^(x^2–2x–1)=56;
Выносим за скобки 7 в меньшей степени, т.е делим первое слагаемое на 7^(x^2–2x–1) и второе слагаемое на 7^(x^2–2x–1).
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаем.
7^(x^2–2x–1)·(7^(x^2-2x-x^2+2x+1)+7^(x^2-2x-1-x^2+2x+1))=56;
7^(x^2–2x–1)·(7^1+7^(0))=56; 7^(0)=1
7^(x^2–2x–1)*8 = 56;
7^(x^2–2x–1)=7

Ответ выбран лучшим

(2-2sin^2x)^2=13-17sin^2x ⇒
4-8sin^2x+4sin^4x-13+17sin^2x=0
Приводим подобные слагаемые
-8sin^2x+17sin^2x=9sin^2x;
4-13=-9
4*(sin^2x)^2+9sin^2x-9=0

Ответ выбран лучшим

Да, это верное решение.

Ответ выбран лучшим

3. Нет.
По теореме сложения вероятностей двух совместных событий ( см. приложение)
Р(С+D)=p(C)+p(D)-p(CD)=0,6+0,7-0,1=1,2- что неверно, вероятность не может принимать значение большее чем 1
4.
p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=0,4+0,8-0,2=1
Событие, вероятность которого равна 1, называется достоверным.
6.
Пусть событие A1- вызовут на первом уроке
р(A1)=0,1
Тогда событие vector{A1}- не вызовут на первом уроке.

p(vector{A1})=1-p(A1)=1-0,1=0,9
Аналогично для второго урока.
р(A2)=0,3
p(vector{A2})=1-p(A2)=1-0,3=0,7
а)событие А- вызовут хотя бы на одном из двух первых уроков:
А=А1* vector{A2}+A2* vector{A1}+A1*A2
p(A)=0,1*0,7+0,9*0,3+0,1*0,3=0,07+0,27+0,03=0,37

б)событие vector{A}- не вызовут ни на первом уроке, ни на втором.
р( vector{A})=p(vector{A1})*p(vector{A2})=0,9*0,7=0,63

Можно найти вероятность события А и так:
р(А)=1-р( vector{A})=1-0,63=0,37

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1/4
1-cos^2x=1/4
cos^2x=3/4

cosx=–sqrt(3)/2 или cosx=sqrt(3)/2

x=±(π-(π/6))+2πk, k∈Z или x=± (π/6)+2πn, n∈Z

x=±(5π/6)+2πk, k∈Z или x=± (π/6)+2πn, n∈Z

см. рисунок.

Указанному промежутку принадлежат корни
–17π/6; –13π/6; –11π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x-5)=5^(-10) при любом х, функция константа.

f(3)=5^(-10)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
1+(1/4)=1+0,25=1,25
0,8/1,25=0,64
2.
5^(-6)*5^3=5^(-6+3)=5^(-3)

5^(-6)*5^3/5^(-5)=5^(-3-(-5))=5^2=25

3.
100%-13%=87% получила

8 700 руб. составляют 87%
х руб составляют 100%
х=8 700*100:87=10 000 руб

4. С = 7200 + (2700/8)=7200+337,5=7537,5

5. log_(2)16-log_(2)4=log_(2)(16/4)=log_(2)4=2

Ответ выбран лучшим

1+(1/4)=1+0,25=1,25
0,8/1,25=0,64

Ответ выбран лучшим

4.
160-9=151 сумка не имеет дефектов.
р=m/n=151/160=0,94375≈0,94
О т в е т. 0,94
5.
Логарифмическая функция с основанием 27 > 1 монотонно возрастает, это означает, что каждое значение она принимает только в одной точке.
Если значения равны, то и точки, в которых функция принимает эти значения, тоже равны.
23-9х=86
-9х=86-23
-9х=63
х=-7
О т в е т. 7
6.
Пусть АВ=х.
Так как
cos∠A=AC/AB
АС=АВ*cos∠A=х*(12/13)=(12х)/13
По теореме Пифагора
АС^2+BC^2=AB^2
(12x/13)^2+15^2=x^2
x^2-(144x^2)/169=225
25x^2/169=225
x^2=9*169
x=3*13=39
AC=39*(12/13)=36
О т в е т. 36

Ответ выбран лучшим

3^(3x-4)=3^(2x+2)
Показательная функция монотонна, это значит каждое свое значение она принимает в одной точке. Если значения функции ( игреки) равны, то равны и аргументы ( иксы)
3х-4=2х+2
3х-2х=4+2
х=6
О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-5x > 0;
{2x-12 > 0

{x(x-5) > 0 ⇒ _+_ (0) _-_ (5) _+_ ⇒ x < 0 или х > 5
{2x > 12 ⇒ x > 6
ОДЗ: х > 6

5,7 > 1 логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
x^2-5x > 2x-12
или
x^2-7x+12 > 0
D=49-48=1
корни 3 и 4
_+__ (3) _-_ (4) __+_
x < 3 или х > 4
C учетом ОДЗ получаем ответ
х > 6
О т в е т. (6;+бесконечность)

a2=a1-16=-9-16=-25
a3=a2-16=-25-16=-41
d=a3-a2=-41-(-25)=-16
a_(17)=a_(1)+16d=-9-16*16=-265
S_(17)=(a_(1)+a_(17))*17/2=(-9-265)*17/2=-2329

Ответ выбран лучшим

CH высота,
значит угол AHO = 90°
угол AOH = 180° – 90° – 52°= 38°
угол AOC смежный с углом AOН, значит угол AOC = 180 – 38° = 142° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos (7p/2–x)=-sinx
По формуле двойного угла
cos2x=1-2sin^2x
Уравнение принимает вид:
-1+2sin^2x-1+3sinx=0
2sin^2x+3sinx-2=0
D=9-4*2*(-2)=9+16=25
sinx=-1/2 или sinx=2 ( уравнение не имеет корней)
х=(π/6)+2πk, k∈Z или х=(5π/6)+2πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Дана длина дуги в 60 градусов, найти длину дуги в 360 градусов - 60 градусов=300 градусов
300 градусов: 60 градусов=5
Значит длина дуги в 300 градусов в 5 раз длиннее дуги в 60 градусов
46*5=230

Ответ выбран лучшим

Однородное уравнение вида
P(x;y)x+Q(xy)dy=0.
Перепишем уравнение в виде:
x^2+y^2+2xyy`=0
Замена
у=ux
y`=u`x+ux` (x`=1)
y`=u`x+u

x^2+y^2+2xyy`=0
x^2+(ux)^2+2xy*(u`x+u)=0
x^2+3x^2u2+2x^3uu`=0
Делим на х^2
1+3u2+2xuu`=0
u`=du/dx
2xdu=-(1+3u^2)dx- уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные
2udu/(1+3u^2)=-dx/x
Интегрируем
(1/3)ln(1+3u^2)=-ln|x|+lnC
x*∛ (1+3(y/x)^2)=C

Ответ выбран лучшим

у`(x)=x^2-2x-3
у`(x)=0
x^2-2x-3=0
D=4+12=16
x1=(2-4)/2=-1 или х2=(2+4)/2=3 - точки возможного экстремума.
Исследуем знак производной
F`(10)=10^2-2*10-3 > 0

__+_ (-1) __-__ (3) ___+__

На (- ∞;-1) и (3;+∞) функция возрастает
На (-1;3) убывает

x=-1 - точка максимума, производная меняет знак
с + на -
у(1)=(1/3)*(-1)^3-(-1)^2-3*(-1)+(1/3)=(-1/3)-1+3+(1/3)=2
х=3 - точка минимума, производная меняет знак
с - на +
у(3)=(1/3)*3^3-3^2-3*3+(1/3)=9-9-9+(1/3)=-8(2/3)
Строим график (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

v=abc=2,81*1,76*4,9=24,23344≈24,23

Ответ выбран лучшим

S=S(квадрата АВСD)-S( криволинейной трапеции АВKD)=
=2*2-∫^3_(1)(2/x)dx=
4-(2lnx)|^3_(1)=4-3ln3+3ln1=4-2ln3+0=4-2ln3
О т в е т. 4-2ln3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x+1 > 0; ⇒ x > -1
{x+1≠1 ⇒ x≠0
{19+18x-x^2 > 0; ⇒ D=400; -1 < x < 19
{(x-19)^2 > 0 ⇒ x≠19

ОДЗ: x∈(-1;0)U(0;19)

По формуле логарифма степени
log_(a)b^n=(n)log_(a)|b|
получим
log_(x+1)(x–19)^2=2log_(x+1)|x-19|
log^2_(x+1)(x–19)^2=(2log_(x+1)|x-19|)^2=4log^2_(x+1)|x-19|
В условиях x∈(-1;0)U(0;19)
х-19 < 0
|x-19|=19-x
и
log_(x+1)(x–19)^2=4log^2_(x+1)(19-x)
Так как
19+18x-x^2=(x+1)*(19-x)
log_(x+1)(x+1)(19-x)=log_(x+1)(x+1)+log_(x+1)(19-x)
Неравенство принимает вид:
log_(x+1)(x+1)+log_(x+1)(19-x)-(1/4)log^2_(x+1)(19–х) ≥ 2

Замена переменной
log_(x+1)(19-x)=t
log^2_(x+1)(19–х)=t^2

t-(1/4)t^2-1≥0
t^2-4t+4 ≤0
t=2- единственный корень неравенства, так как t^2-4t+4=(t-2)^2 > 0 при всех t кроме t=2

log_(x+1)(19-x)=2
(x+1)^2=19-x;
x^2+2x+1=19-x;
x^2+3x-18=0
D=9+72=81
x1=(-3-9))/2=-6 или х2=(-3+9)/2=3
x1 не принадлежит ОДЗ
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

СМ⊥АВ
ОС- проекция SC
По теореме о трех перпендикулярах SC⊥АВ

Доказали, что скрещивающиеся ребра тетраэдра перпендикулярны!

Значит, в сечении получим квадрат MKPN

MK=KP=PN=NM=(1/2)*1=(1/2)
MK;KP;PN и NM - средние линии.
S(квадрата)=(1/2)^2=(1/4)=0,25
О т в е т. 0,25 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Чтобы участвовать в акции нужно купить 7 или 14 или 21 шоколадку.
Так как по условию сказано, что до проведения акции на 200 рублей можно было купить 20 шоколадок, значит во время проведения акции: за первые 7 купленных шоколадок получаем одну бесплатно и за вторые 7 купленных шоколадок получаем вторую бесплатно.
О т в е т. 20 + 2=22

Ответ выбран лучшим

Нахождение корней по формуле не является ошибкой или недочетом. Навык нахождения корней по теореме Виета отработан хуже.

Ответ выбран лучшим

Правильное, это более рациональное решение. Но и у автора решения все верно

Ответ выбран лучшим

F`(x)=x^2-4x+3
F`(x)=0
x^2-4x+3=0
D=16-12=4
x1=(4-2)/2=1 или х2=(4+2)/2=3 - точки возможного экстремума.
Исследуем знак производной
F`(10)=10^2-4*10+3 > 0

__+_ (1) __-__ (3) ___+__

На (- ∞;1) и (3;+∞) функция возрастает
На (1;3) убывает

x=1 - точка максимума, производная меняет знак
с + на -
у(1)=(1/3)-2+3-1=(1/3)
х=3 - точка минимума, производная меняет знак
с - на +
у(3)=(1/3)*3^3-2*3^2+3*3-1=9-18+9-1=-1
Строим график (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

r₂²=(2r₁)²=4r₁² и по условию площадь маленького круга равна 4, т. е 4*(πr₁²)=4*4=16

Ответ выбран лучшим

Нужно чтобы все четыре решения пересекались.Первые два неравенства приводят к
(2;3); третье и четвертое к (9;10), которые между собой не пересекаются.

Ответ выбран лучшим

2^(2+sinx)=2^2*2^(sinx)=4*2^(sinx)
(sqrt(2))^(1+sinx)=sqrt(2)*(sqrt(2))^(sinx).
Замена переменной
(sqrt(2))^(sinx)=t;
t > 0
2^(sinx)=t^2
4t^2-3sqrt(2)*t+1=0
D=(-3sqrt(2))^2-4*4=18-16=2
t=(3sqrt(2)-sqrt(2))/8=sqrt(2)/4 или t=(3sqrt(2)+sqrt(2))/8=sqrt(2)/2

sqrt(2)^(sinx)=sqrt(2)/4 или sqrt(2)^(sinx) =sqrt(2)/2
sqrt(2)^(sinx)=sqrt(2)^(-3) или sqrt(2)^(sinx)=sqrt(2)^(-1)
Уравнениe
sinx=-3
не имеет корней, так как -1 меньше или равно sinx меньше или равно 1

sinx=-1
x= (-π/2)+2πk, k∈Z
О т в е т. (-π/2)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2 > 0;
{x^2≠1
{(x+1)^2 > 0;
{(x+1)^2≠1

{x≠0
{x≠-1;x≠1
{x≠-1
{x≠0; x≠-2
ОДЗ x∈(-∞;-2)U(-2;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;+∞)

По формуле перехода к другому основанию и по формуле логарифма степени
log_(x^2)(x+1)^2=2/2log_(|x|)|x+1|

Неравенство принимает вид

log_(|x|)|x+1| меньше или равно 1.
Заменим
1=log_(|x|)|x|
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств ( см. таблицу), получим
(|x|-1)(|x+1|-|x|) меньше или равно 0.

Находим нули выражения слева
|x|=1 или |x+1|=|x|
х=±1 или x^2+2x+1=x^2 ⇒ x=-1/2
Отмечаем найденные нули на ОДЗ и расставляем знаки:
( для удобства можно построить графики функций у=|x|-1 и у=|x+1|-|x|)
__-__ (-2) _-_ (-1) _+__ [-1/2] __-__ (0) __-__ (1) __+___

О т в е т. (-∞;-2)U(-2;-1)U[-1/2;0)U(0;1)

Фигура вращения представляет собой два конуса, имеющих общее основание.
Радиус окружности основания R=CO
H1=AO
H2=BO

Рассматриваем прямоугольный треугольник АВС
АВ^2=AC^2+CB^2=8^2+6^2=100
АВ=10
Высоту СО найдем применяя метод площадей.
S(Δ ABC)=(1/2)AB*CO
S(Δ ABC)=(1/2)AC*BC
Приравниваем правые части
(1/2)AB*CO=(1/2)AC*BC
СО=АС*ВС/АВ=8*6/10=4,8

V=V1+V2=(1/3)πR^2H1+(1/3)πR^2H2=
=(1/3)πR^2(H1+H2)=(1/3)*π*4,8^2*10=(1/3)23,04*10*π=
=76,8π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
Квадратное уравнение замена переменной
корень десятой степени из х = t; t > 0
корень пятой степени их х =t^2
t^2-t-2=0
D=1+8=9
t=-1( не удвол. усл. t > 0) или t=2
корень десятой степени из х = 2
x=2^(10)=1024
О т в е т. 1024

sqrt(3x-1)+sqrt(6x+2)=sqrt(9x+1)
возводим в квадрат
3х-1+2sqrt(3x-1)*sqrt(6x+2)+6x+2=9x+1
2sqrt(3x-1)*sqrt(6x+2)=0
3х-1=0 или 6х+2=0
х=1/3 или х=-1/3
При х=1/3
sqrt(3*(1/3)-1)+sqrt(6*(1/3)+2)=sqrt(9*(1/3)+1)
sqrt(0)+sqrt(4)=sqrt(4)- верно
При х=-1/3
sqrt(3*(-1/3)-1) не существует.
О т в е т. х=1/3
2.
сos6x-cos4x=0
2sin((6х-4х)/2)*sin((6x+4x)/2)=0
sinx=0 или sin5x=0
x=πk, k∈Z или x=(π/5)n, n∈Z
О т в е т. x=(π/5)n, n∈Z ( при n=5k первая серия ответов, входит в это решение)

Ответ выбран лучшим

Прибытие 8:23, а Путь от вокзала до университета занимает 45 минут. Опоздает к 9.00

Ответ выбран лучшим

Всего 385+110+160+95=750 дисков
Вероятность взять комедийный фильм
385/750.
Вероятность взять мультипликационный фильм
95/750
Вероятность взять либо комедийный, либо мультипликационный фильм равна сумме вероятностей:
(385/750)+(95/750)=480/750=16/25=0,64

Ответ выбран лучшим

2+7=9
360:9=40 градусов в одной части
7*40 градусов = 280 градусов
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Угол с вершиной С опирается на дугу в 280 градусов.
О т в е т. 140 градусов.

Ответ выбран лучшим

АВ=ВС=CD=AD=7
BD=7sqrt(2) - диагональ квадрата.

vector{AB}*vector{BD}=|vector{AB}|*|vector{AB}|*cos135 градусов =7*7sqrt(2)*(-sqrt(2)/2)=-49 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6х+3х+4х+2х=360
15х=360
х=24°

Угол С опирается на дугу ВАD=6x+2x=8x=8*24°=192°
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается
О т в е т. 96°

Ответ выбран лучшим

По теореме синусов:
АВ:sin∠C=2R
(√3/5):(√3/2)=2R
(2/5)=2R
R=1/5
О т в е т. 1/5

Ответ выбран лучшим

Пусть p% - концентрация 1-го раствора, q% - концентрация второго раствора
Составляем первое уравнение:
30* 0,01p+20*0,01q=50*0,68
или
0,3p+0,2q=34

Пусть во втором случае взяли по x кг каждого раствора, тогда
x*0,01p+x*0,01q=2x*0,7
или
0,01p+0,01q=1,4

Cистема
{0,3p+0,2q=34 умножим на 10
{0,01p+0,01q=1,4 умножим на 200

{3p+2q=340
{2p+2q=280

Вычитаем из первого уравнения второе
p=60
Складываем
х=60
60 % - концентрация раствора в первом сосуде, значит в нем содержится:
30*0,6=18 кг кислоты.
О т в е т. 18 кг

Ответ выбран лучшим

Пусть К и М - точки касания сторон с окружностью.
Тогда ∠A=360 градусов - 90 градусов - 90 градусов - 15 градусов=165 градусов.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна
180 градусов*(n-2)
или
165градусов *n ( так как n-угольник правильный и все углы по 165 градусов)
Из уравнения
180 (n-2)=165n;
15n=360
n=24
О т в е т. 24 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{8-x > 0;⇒ x < 8
{x-2 > 0;⇒x > 2
{x-2≠1;⇒x≠3
{(x^2-10x+16)^2 > 0:⇒ x^2-10x+16 ≠0⇒ x≠2; x≠8
x∈(2;3)U(3;8)

x^2-10x+16=(x-2)(x-8)

log_(x-2)(x^2-10x+16)^2=2log_(x-2)|x^2-10x+16|=
=2log_(x-2)|(x-2)*(x-8)|

log^2_(x-2)(x^2-10x+16)^2=
(2log_(x-2)|x^2-10x+16|)^2=4log^2_(x-2)|x^2-10x+16|

|x^2-10x+16|=|(x-2)(x-8)|=|x-2|*|x-8|

log^2_(x-2)|x^2-10x+16|=(log_(x-2)|x-2|+log_(x-2)|x-8|)^2

В условиях ОДЗ
х-2 > 0 значит |x-2|=x-2
x-8 < 0 значит |x-8|=8-x

Неравенство принимает вид:
3log_(x-2)(8-x)+1 ≤ (1+log_(x-2)(8-x))^2
или
3log_(x-2)(8-x)+1 ≤ 1+2log_(x-2)(8-x)+log^2_(x-2)(8-x)

log^2_(x-2)(8-x)-log_(x-2)(8-x)≥0
t^2-t≥0, где t=log_(x-2)(8-x)
t(t-1)≥0 ⇒ t ≤0 или t ≥1
log_(x-2)(8-x) ≤0 или log_(x-2)(8-x)≥1
log_(x-2)(8-x) ≤log_(x-2)1 или log_(x-2)(8-x)≥ log_(x-2)(x-2)
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(х-2-1)(8-х-1)≤0 или (x-2-1)(8-x-x+2)≥0
(х-3)(7-х)≤0 или (x-3)(10-2x)≥0
(-∞;3]U[7;+∞) или [3;5]

С учетом ОДЗ получаем ответ
(2;3)U(3;5]U[7;8)

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость одного х км в час, скорость второго (х+21) км в час.
Пусть через t часов они поравняются ( тот у которого скорость больше догонит того у которого скорость меньше)
Первый проедет хt км, второй проедет (х+21)t км .
По условию расстояние между ними 7 км (половина трассы)
(х+21)t-xt=7
21t=7
t=7/21=1/3 часа = 20 минут
О т в е т. Через 20 минут

Ответ выбран лучшим

Пусть событие:
А1 означает попадание первого стрелка в мишень;
А2- попадание второго стрелка в мишень.
Тогда
vector{А1} означает промах первого стрелка;
vector{А2} означает промах второго стрелка;
Cобытие А- лишь один из охотников попадёт в цель
Тогда
А=А1*vector{А2}+А2*vector{А1}

p(A1)=0,7
p(A2)=0,8
p(vector{А1})=1-p(A1)=1-0,7=0,3
p(vector{А2})=1-p(A2)=1-0,8=0,2

р(А)=р(А1)*р(vector{А2})+р(А2)*р(vector{А1})=
=0,7*0,2+0,8*0,3=0,14+0,24=0,38
О т в е т. 0,38

Ответ выбран лучшим

V(конуса)=(1/3)S(осн.)*H
По условию
25=(1/3)S(осн.)*H
S(осн.)*H=75
V(цилиндра)=S(осн.)*H=75
О т в ет. 75

Ответ выбран лучшим

Пусть одна сторона параллелограмма 5х, другая 6х.
Тогда 5х:6х=5:6.
Р=2*(5х+6х)=22х
По условию Р=88
22х=88
х=4
5х=5*4=20
6х=6*4=24
О т в е т. 24

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант этого уравнения положителен.
x^2-2a+3=0
D=4a^2-4*3=4a^2-12
4a^2-12 > 0
a^2-3 > 0
(-бесконечность; - sqrt(3))U(sqrt(3); + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

1) 40 000 : 100 * 8= 3 200 человек - 8 % от 40 000
2) 40 000 + 3 200= 43 200 человек проживало в 2009 году
3) 43 200 : 100 * 9= 3 888 человек - 9% от 43 200
4) 43 200 +3 888 = 47 088 человек стало проживать в 2010 году

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADC:
АС^2=AD^2+DC^2
AC^2=8^2+8^2
AC=8sqrt(2)
OC=(1/2)AC=4sqrt(2)
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC:
SO^2=SC^2-OC^2=9^2-(4sqrt(2))^2=81-32=49
SO=7
О т в е т. 7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть радиус окружности равен R, тогда сторона описанного квадрата равна 2R.
a=2R
Сторона вписанного квадрата равна
b=2R*sin45градусов=Rsqrt(2) градусов

S:s=a^2:b^2=(2R)^2:(Rsqrt(2))^2=4R^2:2R^2=2

О т в е т. В 2 раза (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
0,008^(-1/3)=2х-7
((0,2)^3)^(-1/3)=2x-7
0,2^(-1)=2x-7
5=2x-7
2x=12
x=6

Ответ выбран лучшим

S=∫^(9)_(6)f(x)dx=F(x)|^(9)_(6)=
=(-1/10)9^3+(9/4)*9^2-(81/5)*9-(5/2)-(-1/10)6^3-(9/4)*6^2+(81/5)*6+(5/2)=
=-51,3+101,25-48,6=1,35

Ответ выбран лучшим

Биссектрисы внешних углов делят углы пополам
∠1=∠2
∠3=∠4
Вертикальные углы равны
∠2=∠6
∠3=∠5
Биссектрисы углов А и В делят углы пополам.
∠7=∠8
∠9=∠10

∠5+∠8=90 градусов ( половина развернутого)
∠10+∠6=90 градусов ( половина развернутого)

Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов
∠AO2B=360 градусов-90 градусов-90 градусов-110 градусов= 70 градусов.
О т в е т. 70 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Складываем
4x + у = 5,
у + 20 z = 6.
Получаем
4х+2у+20z=11
Делим на 2
2х+у+10z=5,5
О т в е т. 5,5

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть один угол 5х, второй угол 7х, третий угол 11х.
Тогда 5х:7х:11х=5:7:11
Четвёртый угол, смежный с углом 96° равен
180 градусов - 96 градусов=84 градусов.

Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов.
Значит
5х+7х+11х+84=360
23х=276
х=12 градусов

5х=5*12=60 градусов
7х=7*12=84 градусов
11х=11*12=132 градусов.
О т в е т. 60 градусов

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-8x+17 > 0- верно при любом х, так как D=(–8)²–4•17=64–68 < 0;
{x^2-8x+17≠ 1 ⇒ x^2-8x+16≠0 ⇒ x ≠ 4;
{3x^2+5 > 0- верно при любом х;
{2x^2+7x+5 > 0 ⇒D=7^2-4*2*5 =9, корни х=-2,5 и х=-1⇒x < -2,5 или x > -1
ОДЗ:(-бесконечность;-4)U(-4;-2,5)U(-1;+бесконечность)

Перепишем неравенство в виде:
log_(x^2-8x+17)(3x^2+5)^2 ≤ log_(x^2–8x+17)(2x^2+7x+5)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(x^2-8x+17-1)*((3x^2+5)^2-2x^2-7x-5) ≤ 0
или
(x-4)^2*(9x^4+28x^2-7x+20)≤ 0
x=4 или 9x^4+28x^2-7x+20≤ 0
4 не входит в ОДЗ
О т в е т. нет решений (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Каждый ученик раздал 14 фотографий
Всего 15*14=210 фотографий было роздано.
О т в е т. 210

Ответ выбран лучшим

Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 равных кубиков, значит ребро куба равно 10.
Три окрашенные грани имеют кубики, которые расположены в вершинах данного куба.
У куба 8 вершин, значит по формуле классической вероятности:
p=m/n=8/1000=0,008
О т в е т. 0,008
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем вероятность противоположного события
vector{A} - "при двух бросках выпадет одинаковое количество очков", т.е либо 1, либо2, либо 3, либо 4, либо 5, либо 6.
n=6*6
m=6
По формуле классической вероятности:
р(vector{A})=6/36=1/6

р(А)=1-р(vector{A})=1-(1/6)=5/6

Ответ выбран лучшим

y`=(1/15)*5x^4-3x^2
y`=(1/3)x^4-3x^2
y`=0
(1/3)x^4-3x^2=0
x^2*((1/3)x^2-3)=0
x=0 или (1/3)x^2=3 ⇒x^2=9 ⇒x=-3 или х=3
х=3 - внутренняя точка отрезка [0;4]
Находим знак производной на [0;4]
f`(1)=(1/3)*1-3 < 0

[0] ___-_____ (3) __+__ [4]

x= 3 - точка минимума, так как производная при переходе через точку меняет знак с - на +

у(3)=(3^5/15)-3^3=(81/5)-27=16,2-27=-10,8
О т в е т. -10,8

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k (касательной).
По условию касательная и прямая у=12x–6 параллельны, значит их угловые коэффициенты равны.
k (касательной)=k (прямой)=12
f`(x)=4x^3-20
f`(x_(o))=4x^3_(o)-20
4x^3_(o)-20=12
4x^3_(o)=32
x^3_(o)=8
x_(o)=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

(sqrt(32)-3)^2=(sqrt(32))^2-6sqrt(32)+3^2=
=32-6*4sqrt(2)+9=41-24sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

Решаем однородное уравнение
y``+y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^2+1=0
Корни
k=-i или k=i
Общее решение однородного уравнения имеет вид
у=С1*cosx+C2*sinx
Частное решение
u=x(Asinx+Bcosx)
u`=Asinx+Bcosx+Axcosx-Bxsinx
u``= - Acosx - Bsinx +Acosx-Axsinx-Bsinx-Bxcosx

- Acosx - Bsinx +Acosx-Axsinx-Bsinx-Bxcosx +
+A sinx+Bcosx=2sinx

sinx(A-Ax-2B+cosx(B-Bx)=2sinx
А-2В=2 ⇒ В=-1
А=0
u=-xcosx - частное решение

Y=C1sinx+C2cosx- xcosx общее решение данного уравнения.

Ответ выбран лучшим

4) http://reshimvse.com/zadacha.php?id=10802
5) (х-5)^5=(-2)^5
x-5=-2
x=3
6) Проводим высоту СК. Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является медианой.
АК=КВ
Из прямоугольного треугольника АСК
АК=АС*sin∠A
АК=5*(4/5)=4
АВ=2АК=8
О т в е т. 8

7) f`(x)=0
x=-2 или х=4
х=4 - точка минимума функции, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +.

8) V( АВСА1В1С1)=S(осн. АВС)*Н=4*9=36
V(пирамиды А1В1С1B)=1/3 S(осн. А1В1С1)*Н=
=(1/3)*4*9=12
V(ABCA1C1)=V( АВСА1В1С1) - V(пирамиды А1В1С1B)=
=36-12=24

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
x^2-16=(x-4)(x+4)
Умножаем первую дробь на (х+4) и числитель и знаменатель:
((х+2)(х+4)-48)/(х^2-16)=13/7
(x^2+6x-40)/(x^2-16)=13/7
Пропорция.
Применяем основное свойство. Умножаем крайние и средние члены пропорции:
7*(x^2+6x-40)=13*(x^2-16);
x^2-16≠0
6x^2-42x+72=0
x^2-7x+12=0
D=49-48=1
x=3 или х=4( не выполняется x^2-16≠0)
О т в е т. 3

2.
(х+2)(х+1)-3(х-1)-6=0
х ≠ - 1; х ≠ 1
x^2+3x+2-3x+3-6=0;
x^2-1=0
x=-1 или х=1
корни не удовлетворяют условию х ≠ - 1; х ≠ 1
О т в е т. Уравнение не имеет корней.

3.
(х+2)(х+3)+(х+9)(х-2)-20=0
х ≠ - 2; х ≠ 2

x^2+5x+6+x^2+7x-18-20=0
2x^2+12x-32=0
x^2+6x-16=0
D=36+64=100
x=(-6-10)/2=-8 или х=(-6+10)/2=2 не удовл.
О т в е т. -8

4.
(х-2)(х-1)+х(х+3)-20=0
х ≠ - 3; х ≠ 1

x^2-3x+2+x^2+3x-20=0
2x^2-18=0
x^2-9=0
x=-3 ( не удовл.) или х=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

1) 3^(6,5):(3^2)^(2,25)=3^(6,5):3^(4,5)=3^(6,5-4,5)=3^2=9
2)3*10^(-5)*2,5*10^2=(3*2,5)*(10^(-5)*10^2)=7,5*10^(-5+2)=
=7,5*10^(-3)=0,0075
3) (81^6)^4:(9^6)^8=((3^4)^6)^4:((3^2)^6)^8=
=3^(96):3^(96)=1
4)1=log_(3)3 < log_(3)5 < log_(3)9=2
1 < m < 2,
умножаем неравенство на (-1) и меняем знаки
-1 > -m > -2
переписываем в привычном виде:
-2 < -m < -1
прибавляем 6
6-2 < 6-m < 6-1
4 < 6-m < 5
D=6-m

`1 < m^2 < 4
C=m^2

0=1-1 < m-1 < 2-1=1
B=m-1

А=2/m

5)
2^x больше или равно 2⇒
х больше или равно 1
A) cоответствует 1)

0,5^(x)=(1/2)^x=(2^(-1))^x=2^(-x)
2^(-x) больше или равно 2⇒ -x больше или равно 1⇒
x меньше или равно -1
Б) соответствует 3)
В) ------- 4)
Г) -------2)

Ответ выбран лучшим

(x+5)^2-(x-3)^2=0
(x+5-x+3)*(x+5+x-3)=0
8*(2x+2)=0
2x+2=0
x=-1

Ответ выбран лучшим

(3х)!=1*2*3*.... *(3х-3)*(3х-2)*(3х-1)*3х
(3х-3)!=1*2*3*.... *(3х-3)
Сокращаем на 1*2*3*.... *(3х-3)
(3х-2)*(3х-1)*3х=504
504=7*8*9
х- натуральное, поэтому
х=3
Тогда 3х=3*3=9
3х-1=3*3-1=8
3х-2=3*3-2=7

О т в е т. х=3

Ответ выбран лучшим

1задача
1) 3900:100*10=390 руб составляют 10%
2) 3900+390=4290 руб. стоит шкаф со сборкой.
2 задача
1)40 000:100*30=12 000 человек не интересуются футболом
2) 40 000 - 12 000 = 28 000 человек - болельщики
3) 28 000 : 100 * 70 = 19560 человек смотрели футбол по телевизору.
3.
1) 50: 100*15=7,5 руб составляют 15%
2) 50+7,5=57,5 руб новая цена

3) 57,5:100*20=11,5 руб - второе повышение
4) 57,5+11,5=69 руб цена в ноябре

Ответ выбран лучшим

1)
u=x
dv=sin5xdx
du=dx
v=(1/5)(-cos5x)
=-(x/5)cos5x+(1/5)∫cos5xdx=-(x/5)cos5x+(1/25)sin5x +C;

2) u=arcsinx
du=dx/sqrt(1-x^2)
dv=dx/sqrt(1+x)
v=2sqrt(1+x)

=2(arcsinx)*sqrt(1+x)-2∫sqrt(1+x)dx/sqrt(1-x^2)=

=2(arcsinx)*sqrt(1+x)+2∫d(1-x)/sqrt(1-x)=

=2(arcsinx)*sqrt(1+x)+2*2sqrt(1-x)+C=

=2(arcsinx)*sqrt(1+x)+4sqrt(1-x)+C

Ответ выбран лучшим

1)= ∫^e_(1)(dx/x)+∫^e_(1)lnxd(lnx)= (ln|x|+(ln^2x)/2)|^e_(1)=lne-ln1+(ln^2e)/2-(ln^21)/2=ln^2e-lne=1-1=0
2)Интегрирование по частям два раза

u=cos(lnx)
dv=dx
du=-sin(lnx)*(lnx)`dx=-(1/x)sin(lnx)dx
v=x
Тогда

∫cos(lnx)dx=

= uv-∫vdu=xcos(lnx)+∫sin(lnx)dx

u=sin(lnx)
dv=dx
du=cos(lnx)*(lnx)`dx=(1/x)cos(lnx)dx
v=x

=xcos(lnx)+xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx

2∫cos(lnx)dx=xcos(lnx)+xsin(lnx)

∫^(e^(π/2))_(1)cos(lnx)dx=(1/2)(xcos(lnx)+xsin(lnx))|^(e^(π/2))_(1)=

=(1/2)(0+e^(π/2)*1-1-0)=(1/2)(e^(π/2)-1)

Ответ выбран лучшим

D=(-3)^2-4*2=1
x=(3-1)/2=1 или х=(3+1)/2=2
О т в е т. 1; 2

Ответ выбран лучшим

437/(x-2) - 437/(x+2)=4

437*(x+2-x+2)=4(x-2)(x+2);
437=x^2-4;
x^2=441
x=21
О т в е т. 21 км в час

Ответ выбран лучшим

Упрощаем подынтегральную функцию.
Возводим в квадрат и почленно делим каждое слагаемое в числителе на знаменатель:

f(x)=(1-2x+x^2)/x^(3/2)=
= (1/x^(3/2)) -2*(x/x^(3/2))+(x^2)/(x^(3/2)=
=x^(-3/2) -2x^(-1/2)+x^(1/2)

О т в е т. x^((-3/2)+1)/((-3/2)+1)-2*(x^((-1/2)+1)/((-1/2)+1))+(x^((1/2)+1)/((1/2)+1))+C=(-2/sqrt(x))+4sqrt(x)+(2/3)xsqrt(x) +C

Ответ выбран лучшим

Задача на ограниченность тригонометрических функций у=sinx и у =cosx.

-1 ≤sinx ≤ 1 и -1 ≤сosx ≤ 1
1)
0 ≤sin^2x ≤ 1
-5 ≤sin^2x-5 ≤ 1-5
-5/3 ≤(sin^2x-5)/3 ≤ (1-5)/3
На [-5/3;-4/3] нет целочисленных значений.
О т в е т. 0
2)
-1 ≤sinx ≤ 1
-1,2 ≤1,2sinx ≤ 1,2
-1,2-3,7 ≤1,2sinx-3,7 ≤ 1,2-3,7
-4,9 ≤1,2sinx-3,7 ≤ -2,5
На [-4,9;-2,5] целочисленные значения: -4; -3.
О т в е т. 2

И так далее

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=14704

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)16 км/ч * 2=32 км- разница в расстоянии между туристами.
2) 56-16=40 км/ч - разница скоростей, за счет чего и происходит сокращение расстояния между туристами.
3) 32/40=0,8 часа - через 0,8 часа мотоциклист догонит велосипедиста.
4)56*0,8=44,8 км проедет мотоциклист с места старта до велосипедиста.

О т в е т. 44,8 км

Ответ выбран лучшим

Там же написано, с учетом ОДЗ выбираем только корни, отстоящие друг от друга на 2π

Ответ выбран лучшим

Пусть первый корабль не движется. Тогда его скорость равна 0 км в час. За 12 минут второй корабль прошел расстояние 400+120+600+80=1200 м
1200м:12 минут = 100 м в минуту или 6000 м в час=6 км в час
Разность скоростей второго и первого равна 6 км в час.
О т в е т. на 6 км в час

Ответ выбран лучшим

Из точек К и М проводим KP и MN перпендикулярно плоскостям оснований.
KP|| MN|| OO1.
Плоскость КМР || OO1.
OD ⊥KN
OD - расстояние от прямой ОО1 до плоскости КМР.

Из треугольника КМР ( ∠ КРМ=90 градусов; ∠ КМР=60 градусов; КР=24)
МР=24*tg 30 градусов=8sqrt(3)
NK=MP
OD- медиана равнобедренного треугольника ONK
ND=DK=4sqrt(3)
По теореме Пифагора из треугольника ОDK

OD^2=OK^2-KD^2=13^2-(4sqrt(3))^2=169-48=121
OD=11
О т в е т. 11. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания пирамиды равна а.
Тогда диаметр описанной около квадрата окружности равен диагонали квадрата.
2R=asqrt(2)
R=asqrt(2)/2

Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата.
r=a/2
V(описанного конуса): v(вписанного конуса)=

=(1/3)πR^2*H :((1/3)πr^2*H)=

=(R)^2 : (r)^2=(R/r)^2=((asqrt(2)/2: (a/2))^2=

=(sqrt(2))^2=2

Ответ выбран лучшим

AC1=d
d^2=a^2+b^2+c^2=8^2+9^2+12^2=64+81+144=289
d=17
AC1=17
О т в е т. 17

Ответ выбран лучшим

Находим 14% от 200 000 руб..
200 000 руб. составляют 100%
х руб. составляют 14%
х=200 000 * 14:100=28 000

Находим 0,12 от 200 000 руб,
0,12* 200 000= 24 000 руб.

28 000 + 42 000 + 24 000=94 000 руб внесли Митя, Антон и Гоша.

200 000 - 94 000 = 106 000 руб. внес Борис.

Митя получит (28 000/ 200 000)*1 000 000= 140 000 руб.
Антон получит (42 000/ 200 000)*1 000 000= 210 000 руб.
Гоша получит (24 000/ 200 000)*1 000 000= 120 000 руб.
Борис получит (106 000/ 200 000)*1 000 000= 530 000 руб.

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания равна а, Н=sqrt(3)

S(полн)=S(бок)+2S(осн)=3а*Н+2*(a^2sqrt(3)/4)

36sqrt(3)=3sqrt(3)a+(a^2sqrt(3)/2)
36=3a+(a^2/2)
a^2+6a-72=0
D=36+4*72=324
a=(-6+18)/2=6 или а=(-6-18)/2=-12 не удовл. усл. задачи
О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

Событие А- деталь стандартная
р(А)=0,95
Событие В- деталь первого сорта.
р(В)=0,86

С- деталь стандартная и первого сорта.
р(С)=р(А)*р(В)=0,95*0,86=0,817

Ответ выбран лучшим

Суммы противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны.
Сумма оснований равна удвоенной средней линии, т.е 30
О т в е т. 30 + 30 = 60

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 90 градусов-21 градусов=69 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Периметры подобных многоугольников относятся как длины соответствующих сторон.

Площади подобных многоугольников относятся как квадраты длин соответствующих сторон.

s:S=(3)^2:5^2
S=25*18/9=50
О т в е т. 50

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k(касательной)

f`(x)=3x^2+2x+8
f`(x_(o))=3x^2_(o)+2x_(o)+8

k(касательной) у=8х-9 равен 8

3x^2_(o)+2x_(o)+8=8
3x^2_(o)+2x_(o)=0
x_(o)=0 или х_(о)=-2/3
О т в е т. 0; -2/3

Ответ выбран лучшим

y`=(12/cos^2x)-12
y`=0
(12/cos^2x)-12=0
(12/cos^2x)=12
cos^2x=1
cosx=-1 или сosx =1
x=(π)+2πk, k∈Z или x=2πn, n∈Z
Отрезку [–π/4; π/4] принадлежит х=0
y(-π/4)=12tg(-π/4)-12*(-π/4)+3π–5=-12+3π+3π–5=6π-19
y(0)=12tg0-12*0+3π–5=3π–5
y(π/4)=12tg(π/4)-12*(π/4)+3π–5=12-3π+3π–5=7- наибольшее значение функции
О т в е т. 7

Ответ выбран лучшим

Находим вероятность противоположного события
"vector{A}"- cреди выбранных деталей обе нестандартные.
р(vector{A})=(7/10)*(9/15)=63/150=21/50=42/100
р(А)=1-р(vector{A})=1-0,42=0,58

Ответ выбран лучшим

Биссектриса AD делит угол А пополам.
∠BAD=∠DAC=55 градусов

Пусть угол С равен х градусов, тогда угол ADC равен 3х градусов.
Сумма углов треугольника ADC равна 180 градусов.
Уравнение:
55 градусов + х градусов + 3х градусов= 180 градусов.
4х=125 градусов
х=31,25 градусов.

Сумма углов треугольника АВС равна 180 градусов
∠В= 180 градусов-110 градусов - х градусов=

=38,75 градусов

1 градус= 60 минут
0,75 градуса = 45 минут

О т в е т. 38 градусов 45 минут

Ответ выбран лучшим

у` = (7cosx+14x-9)`=–7sinx+14
–1 ≤ sinx ≤ 1
–7 ≤ 7sinx ≤ 7
7 ≥ –7sinx ≥ -7
–7 ≤ –7sinx ≤ 7
–7+14 ≤ –7sinx+14 ≤ 7+14
0 < 7 ≤ -7sinx+14 ≤ 21

y` > 0 на (–∞; + ∞)
Функция у = 7cosx+14x–9 возрастает на (–∞; + ∞)
Значит наибольшее значение на отрезке [–3π/2;0] функция принимает в правом конце отрезке, т.е в точке х=0
у(0)=7·cos0+14·0-9=7-9=-2

О т в е т. -2

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
tg(α+(7π/2))=-ctgα=-1/tgα
При tgα=0,4
получаем
-1/0,4=-2,5
О т в е т. -2,5

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin((3π/2)+β)=-cosβ
cos(3π+β)=-cosβ

9sin((3π/2)+β)–3cos(3π+β)=-9cosβ+3cosβ=-6cosβ

При cosβ=-2/3 получаем ответ
-6*(-2/3)=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

y`=(3x^2–10x+4lnx+11)`=6x-10+(4/x)
y`=0
6x-10+(4/x)=0
x≠ 0
6x^2-10x+4=0
3х^2-5x+2=0
D=25-4*3*2=1
x=(5-1)/6=2/3 или х=(5+1)/6=1
Знак производной ( см. рисунок)

1=11/11∈ [10/11; 12/11]
2/3=22/33 < 10/11=30/11
2/3 ∉[10/11; 12/11]

[10/11] _-__ (1) _+__ [12/11]

x=1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
у(1)=3*1^2-10*1+4ln1+11=4

О т в е т. 4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Возводим обе части уравнения в квадрат.
9x^2-30x+25=25x^2-30x+9;
25-9=25x^2-9x^2;
16=16x^2;
x^2=1;
x=-1 или х=1
О т в е т. -1.

Ответ выбран лучшим

7^(1,2x+0,6)=7^(-3);
1,2x+0,6=-3
1,2x=-3,6
x=-3
О т в е т. - 3

Ответ выбран лучшим

Пусть путь равен S.

(S/20) км в час - скорость по течению
(S/30) км в час - скорость против течения

Если х км в час - собственная скорость лодки, v км в час - скорость течения реки, то
(х+v) км в час - скорость по течению
(х-v) км в час - скорость против течения
х=((х+v)+(x-v))/2

x=((S/20)+(S/30))/2=5S/120 км в час - собственная скорость лодки

S: (5S/120)=120:5=24 часа.

О т в е т. 24 часа

Ответ выбран лучшим

∠ ABC=∠ ADC=90 градусов, угол опирающийся на диаметр.
Треугольник ВОС - равнобедренный (ОВ=ОС=R)
Значит и углы при основании ВС равны.
∠ СВО=ВСО=66 градусов.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов
∠ ВОС=180 градусов - 66 градусов - 66 градусов=48 градусов.
Вертикальные углы АОD и BOC равны.
О т в е т. 48 градусов.

Ответ выбран лучшим

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.
АВ ⊥ DD1C1C ⇒ АВ ⊥ C1D

О т в е т. Это расстояние АВ, которое равно ребру куба

Ответ выбран лучшим

Уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные. Делим на (1+x^2)(1+y^2)
(xdx/(1+x^2))+(dy/(1+y^2))=0
или
xdx/(1+x^2)=-dy/(1+y^2)
Интегрируем
-(1/2)ln|1+x^2|=arcctgy + C
или
ln(1/sqrt(1+x^2))=arcctgy+C

Ответ выбран лучшим

a_(n)=a_(1)+d*(n-1);
a_(7)=-0,2+ (-4,9)*6
a_(7)=-29,6

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

S=∫^(1)_(0)(e^x-e^(-x))dx= (e^x+e^(-x))|^(1)_(0)=

=e+e^(-1)-(e^0+e^0)=e+(1/e)-2. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВК равнобедренный прямоугольный.
АК=ВК=х
АВ=sqrt(2)

Проводим КD ⊥ АС

Треугольни АКD - прямоугольный равнобедренный
AD=KD=x*sqrt(2)/2

Треугольник ABD - прямоугольный ( BD ⊥ АС по теореме о 3-х перпендикулярах)

В прямоугольном треугольнике катет AD равен половине гипотенузы АВ.
∠ABD=30 градусов,
значит угол ВАD равен 60 градусов.
О т в е т. 60 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
{cosx=3/5 ⇒ х= ±arccos (3/5) + 2πk, k∈Z ;
{tgx≠-4/3 ⇒ х ≠ arctg(-4/3)+πn, n∈Z .

если cosx=3/5, то sinx=sqrt(1-cos^2x)=sqrt(1-(3/5)^2)=
=sqrt(16/25)=±4/5
Угол, косинус которого равен 3/5, синус равен 4/5 расположен в первой четверти.
Угол, косинус которого равен 3/5, синус равен (-4/5) расположен в четвертой четверти. Тангенс этого угла
равен (-4/5):(3/5)=-4/3
Этот угол не входит в ОДЗ (иначе знаменатель обращается в 0)
Cм рисунок

О т в е т.
а) arccos (3/5) + 2πk, k∈Z
б)arccos(3/5) + 2π (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нет, задача решена верно

Ответ выбран лучшим

u=arcsinx ⇒ du=dx/sqrt(1-x^2)
dv=dx/sqrt(1+x) ⇒v=2sqrt(1+x)

О т в е т. arcsinx*(2sqrt(1+x)) - 2∫sqrt(1+x)dx/sqrt(1-x^2)=

=arcsinx*(2sqrt(1+x)) - 2∫dx/sqrt(1-x)=

=arcsinx*(2sqrt(1+x)) - 4sqrt(1-x)+ C

Дробь
1/(x^2*(x+1)) раскладываем на простейшие:
1/(x^2*(x+1))= (А/х^2)+(B/(x+1))+C/x
1=Ax+A+Bx^2+Cx^2+Cx ⇒ A=1; C=-1; B=1

∫dx/(x^2*(x+1))=(∫dx/x^2)+(∫dx/(x+1))-(∫dx/x)=
=-1/x + ln|x+1|-ln|x|=(-1/x)+ ln |(x+1)/x|.

∫^(∞)_(1)dx/(x^2*(x+1))=(-1/x)|^(∞)_(1)+ (ln |(x+1)/x|)^(∞)_(1)=

=0+1+ln|1+(1/x))^(∞)_(1)=1-ln2.

О т в е т. Интеграл сходится

Ответ выбран лучшим

По формуле
R=abc/4S.

h=sqrt(5^2-3^2)=4
S=(1/2)6*4=12

R=(5*5*6)/(4*12)=25/8
О т в е т. 25/8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Чтобы число делилось на 15 надо, чтобы число делилось на 3 и на 5.
Число делится на 5, если оно оканчивается на 5 или на 0.
0 не подходит, так как произведение цифр такого числа будет равно 0.
Значит четырехзначное число оканчивается на 5.

По условию произведение цифр четырехзначного числа, последняя цифра которого 5, больше 55, но меньше 65.
Значит произведение цифр равно 60.
60=5*12=5*3*2*2.
Из цифр 2; 2; 3; 5 можно составить три числа:
2325 или 2235 или 3225.

Ответ выбран лучшим

S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))=sqrt(21*(21-13)*(21-14)*(21-15))=
=84
h_(a)=2S/a=168/13
h_(b)=2S/b=(168/14)
n_(c)=2S/c=168/15

h_(a)+h_(b)+h_(c)=168*((1/13)+(1/14)+(1/15))=

=168*(15*14+13*15+14*13)/(13*14*15)=

=(168*587)/(13*14*15)=2348/65

Ответ выбран лучшим

v (маленького кубика)=3*3*3=27 куб. см.

189:27=7 (штук)

Понадобится 7 кубиков с ребром 3 см, чтобы составить прямоугольный параллелпипед.
Если их поставить один на другой, получится параллепипед размеры которого 3 на 3 на 21

Ответ выбран лучшим

S( Δ)=(1/2)·x·x·sin 60°= x2·√3/4

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sqrt(x)=t
x=t^2
dx=2tdt
=∫(2tdt)/(1-t)=-2∫(1+(1/(t-1)))dt=-2t-2ln|t-1|+C=

=-2sqrt(x)-2ln|sqrt(x)-1|+C

Ответ выбран лучшим

Примем работу за 1.
Производительность - это работа , разделенная на время.
Тогда производительность Игоря и Паши будет 1/3, Паши и Володи - 1/4, а Володи и Игоря - 1/6.
Складываем и делим пополам
(1/3)+ (1/4) + (1/6) = (4/12) + (3/12) + (2/12) = 9/12 = 3/4 (3/4)/2 = 3/8 - совместная производительность трех ребят. Чтобы найти время разделим работу на производительность: 1/(3/8) = 8/3=2 часа 40 минут

Ответ выбран лучшим

Может, все подробно написано.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{6+x-x^2 > 0⇒ D=25 x=-2 или х=3 ⇒ -2 < x < 3;
{x^2-5x-2 > 0 ⇒D=33 x=(5-sqrt(33))/2 или х=(5+sqrt(33))/2
⇒x < (5-sqrt(33))/2 или х > (5+sqrt(33))/2
ОДЗ: -2 < x < (5-sqrt(33))/2

9^(log_(4)(x^2-5x-2))=(3^2)^(log_(2^2)(x^2-5x-2))=
=3^(log_(2)(x^2-5x-2))
Показательная функция с основанием 3 возрастающая, значит
6+x-x^2 меньше или равно x^2-5x-2
2x^2-6x-8 меньше или равно 0
x^2-3x-4 меньше или равно 0
D=9+16=25
x=-1 или х=4
-1 меньше или равно х меньше или равно 4
С учетом ОДЗ получаем ответ.
[-1;(5-sqrt(33)/2)

Ответ выбран лучшим

|1–|х+1|| > 0 ⇒ 1- |x+1|≠0

|x+1|≠1
x+1≠1 и х+1≠-1
х≠0 и х≠ -2
Решение неравенства
(-бесконечность; -2) U(-2;0) U(0;+ бесконечность)

В множество {–2,–1,0,1,3} содержатся следующие числа, являющиеся решениями неравенства:
{-1;1;3}
О т в е т. {-1;1;3}

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^x=t
t > 0
27^x=t^3
3^(x+2)=9t
3^(5-x)=3^5/t=243/t
t^3-36t+(243/t)=0
t^4-36t^2+243=0
Биквадратное уравнение
D=36^2-4*243=1296-972=324
t^2=9 или t^2=27
Так как t > 0, то
t=3 или t=3sqrt(3)

3^x=3 или 3^x=3sqrt(3)
x=1 или х=1,5

б) log_(7)4 < log_(7)7=1
log_(7)16 < log_(7)49=2

1∈[log_(7)4; log_(7)16]

1,5=1,5log_(7)7=log_(7)7^(1,5)=log_(7)sqrt(7^3) > log_(7)sqrt(256)=log_(7)16
1,5 ∉[log_(7)4; log_(7)16]
О т в е т.
a) 1; 1,5.
б) 1

ОДЗ:
{25-x^2 > 0 ⇒ x∈(-5;5)

Замена переменной
log_(2) (25-x^2)=t ⇒

t^2-7t+12 ≤0
D=49-48=1
t=3 или t=4
3≤ t ≤4

3≤log_(2) (25-x^2)≤4
log_(2)8 ≤log_(2)(25-x^2)≤log_(2)16
8 ≤ 25 -x^2 ≤ 16
-17 ≤ -x^2 ≤ -9
9≤ x^2 ≤ 17
3≤ x ≤ sqrt(17) или -sqrt(17) ≤x ≤-3
C учетом ОДЗ получаем ответ

[-sqrt(17);-3]U[3;sqrt(17)]

Ответ выбран лучшим

y`=-6sinx+(24/π)
y` > 0 так как
-1 ≤ sinx ≤ 1
-6 ≤ -6sinx ≤ 6
-6+(24/π)≤ -6sinx+(24/π) ≤ 6+(24/π)
-6+(24/π) > 0

Функция возрастает на всей области определения
(-бесконечность; +бесконечность)

наименьшее значение на [–2π/3; 0] достигается в точке
х=–2π/3

y(-2π/3)=6*cos(-2π/3)+(24*(-2π/3))/(π) + 5=

=6*cos(2π/3)+(-16) + 5=6*(-1/2)-11=-14

Ответ выбран лучшим

t_(1)=1 час
s_(1)=60*1=60 км
t_(2)=2 часа
s_(2)=110*2=220 км
t_(3)=2 часа
s_(3)=120*2=240 км

t=t_(1)+t_(2)+t_(3)=1+2+2=5 часов
s=s_(1)+s_(2)+s_(3)=60+220+240=520 км

v(ср.)=s/t=520/5=104 км/час

Ответ выбран лучшим

=(36)^(1/3)*(36)^(1/5)/(36)^(1/30)=

=36^((1/3)+(1/5)-(1/30))=36^((8/15)-(1/30))=

=36^((16/30)-(1/30))=36^(15/30)=36^(1/2)=6

О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

V (ABCDA1B1C1D1)=abc=5*4*3=60

V(ADA1B1C1D1)=(1/2)V (ABCDA1B1C1D1)=30 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f`(x_(o))=tgα

tgα=-tg(π-α)=-3/6=-1/2

О т в е т. -1/2=-0,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2х-2=2*(х-1)
(2х-2)^2=4(x-1)^2

4*(x-1)^2*(x+1)^2-sqrt(2)(x^2-1)-6=0;
4*(x^2-1)^2-sqrt(2)(x^2-1)-6=0
Замена переменной
х^2-1=t
4t^2-sqrt(2)t-6=0
D=(sqrt(2))^2-4*4*(-6)=2+96=98
t=(sqrt(2)-7sqrt(2))/8=-(3/4)sqrt(2) или t=sqrt(2)

Возвращаемся к переменной х:
x^2-1=(-3/4)sqrt(2)
x^2=1-(3/4)sqrt(2)
не имеет корней,
так как 1-(3/4)sqrt(2) < 0
или
х^2-1=sqrt(2)
x^2=1+sqrt(2)
x=sqrt(1+sqrt(2)) или х=-sqrt(1+sqrt(2))

sqrt(1+sqrt(2)) < ∛4
так как
1+sqrt(2) < ∛16
1+1,41 < 2,51

-sqrt(1+sqrt(2)) < -sqrt(2), так как
1+sqrt(2) > 2

О т в е т. sqrt(1+sqrt(2))

Ответ выбран лучшим

Пусть у Вани х яблок, у Акима у яблок

Если Ваня даст Акиму 2 яблока, то яблок у них будет поровну
Уравнение
х-2=у+2

Если Аким даст Ване 2 яблок, то у Вани станет яблок в 5 раз больше, чем у Акима.
Второе уравнение
х+2=5*(у-2)

Решаем систему
{x-2=y+2;
{x+2=5*(y-2)

{x-y=4;
{-x+5y=12

Cкладываем
4у=16
у=4
х=4+у=8

О т в е т. У Вани - 8 яблок, у Акима - 4.

8-2=4+2
8+2=5*(4-2)

Ответ выбран лучшим

(1/3)-(1/4)=(4/12)-(3/12)=-1/12
1:(-1/12)=-12

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
2^x=t;
t > 0
2^(x+2)=2^x*2^2=4*2^x=4t
4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2
4^(x+1)=4^x*4=4t^2

(t^2-9t)^2+4t^2 < 9*4t+140;
t^4-18t^3+85t^2-36t-140 < 0;
Проверкой убеждаемся, что t=1 является корнем уравнения
t^4-18t^3+85t^2-36t-140 =0
1+18+85+36-140=0
0=0
Значит
t^4-18t^3+85t^2-36t-140=(t+1)*(t^3-19t^2+104t-140)
Проверкой убеждаемся, что t=2 корень уравнения
t^3-19t^2+104t-140=0
8-76+208-140=0
0=0
Значит
t^4-18t^3+85t^2-36t-140=(t+1)*(t-2)*(t^2-17t+70)

t^2-17t+70=(t-7)(t-10)

(t+1)(t-2)(t-7)(t-10) < 0

Применяем метод интервалов

_+_ (-1) _-__ (2) _+__ (7) _-__ (10) ___+___

С учетом t > 0 получаем ответ
0 < t < 2 или 7 < t < 10
Возвращаемся к переменной х
0 < 2^x < 2 или 7 < 2^x < 10
-бесконечность < х < 1 или log_(2) 7 < x < log_(2)10

О т в е т.( -бесконечность;1) U( log_(2) 7; log_(2)10)

Ответ выбран лучшим

15 > 0, значит
(x²–3x–10) < 0
D=9+40=49
x=(3-7)/2=-2; x=(3+7)/2=5
О т в е т. (-2;5)

Ответ выбран лучшим

(–1/4)+(1/2)=(–1/4)+(2/4)=(1/4)
(–4/7)+(1/14)=(–8/14)+(1/14)=(-7/14)=(-1/2)
(2/3)+(–1/6)=(4/6)+(-1/6)=3/6=1/2

Ответ выбран лучшим

0,75+(–4/5)=0,75+(-0,8)=-0,05
(–0,2)+1/7=(-1/5)+(1/7)=(-7/35)+(5/35)=-2/35
0,3+(–5/6)=(3/10)+(-5/6)=(9/30)+(-25/30)=(-16/30)=(-8/15)
(–1,8)+7/8=(-9/5)+(7/8)=(-72/40)+(35/40)=(-37/40)

Ответ выбран лучшим

Обозначим R,V,M - радиус, объем и массу большего шара
r,v,m- радиус, объем и массу меньшего шара
V=(4/3)πR^3
v=(4/3)πr^3
M=ρV
m=ρv
M:m=R^3:r^3
162:m=3^3:2^3
162:m=27:8
m=162*8/27

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^x=t,
t > 0
3^(x+1)=3*3^x=3t
9^x=t^2

((t^2-6t+4)*(t-9)+(6t-51)*(t-5)-(t+5)*(t-5)*(t-9))/((t-5)(t-9))≤0

Упрощаем
(2t-6)/((t-5)(t-9))≤0

Применяем метод интервалов:

_-__ [3]__+__ (5) __-__ (9) ___+_

C учетом t > 0 получаем ответ
0 < t ≤ 3 или 5 < t < 9

0 < 3^x ≤ 1 или 5 < 3^x < 9
x ≤ log_(3) 2 или log_(3)5 < x < 2

О т в е т. (- бесконечность; 1] U( log_(3)5; 2)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 5-х > 0
x < 5

log_(3)(5-x)=log_(3)2^2
5-x=2^2
x=1
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона куба равна 4а.
Тогда B1F=2a;
TD=a
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника А1В1F:
A1F=sqrt((4a)^2+(2a)^2)=sqrt(20a^2)=2sqrt(5)*a
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника TOD:
OT=sqrt((a)^2+(2a)^2)=sqrt(5a^2)=sqrt(5)*a

Р( Δ А1В1F)=A1B1+B1F+A1F=4a+2a+2asqrt(5)=
=(6+2sqrt(5))a

Р( Δ TOD)=TD+DO+OT=a+2a+asqrt(5)=
=(3+sqrt(5))a

Р( Δ А1В1F):Р( Δ TOD) = 2 : 1

Ответ выбран лучшим

q=b_(2):b_(1)
q=b_(3):b_(2)

b_(2):b_(1)=b_(3):b_(2)

x:56=14:x ⇒ x^2=56*14 ⇒ x=-28 или х=28

Чтобы выбрать х используем второе условие:
b_(3):b_(2)=b_(4):b_(3)
14:x=-7:14
х=14*14:(-7)=-28
О т в е т. -28

Ответ выбран лучшим

Δ АОР подобен Δ СOD по двум углам.
∠PAO= ∠DCO ( внутренние накрест лежащие углы)
∠POA = ∠COD - вертикальные.

AO:OC=AP:CD=a:2a
AO=x; OC=2x

∠OCD= ∠BCO (диагональ Ас делит угол С пополам)

∠РАО= ∠BCO=α

S(Δ РОА) : S( ΔBOC)=((1/2)*a*x*sinα):((1/2)*2a*2x*sinα)=

=1:4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S (Δ АВС)=АВ*АС/2
24=АВ*8/2⇒ АВ=6
По теореме Пифагора ВС=10.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
МК:МР=KF:FP
MK=25*(3/5)=15
По теореме Пифагора
КР=20

Углы ( прямые равны) и стороны их образующие пропорциональны. Такие треугольники подобны. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме обратное теореме Фалеса
FP|| AC
Значит,
∠ACD=∠FPD
∠CAD=∠PFD
как соответственные углы при параллельных прямых.

∠CAD=∠АСВ внутренние накрест лежащие, значит
∠АСВ=∠PFD
∠CВD=∠FDT внутренние накрест лежащие

Δ СОВ и Δ FDT подобны по двум углам. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть А1В1=х, тогда АА1=2х.
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, значит ОА1=B1O=D1O=C1O

Δ A1OB1 - равнобедренный (А1О=В1О) и угол В1ОА1 равен 60 градусов, значит Δ A1OB1 - равносторонний.

ОА1=B1O=D1O=C1O=х

Δ D1OA1 - равнобедренный (D1О=A1О) и угол D1ОА1 равен 180 градусов -60 градусов=120 градусов.

D1A1=sqrt(3)x

Из прямоугольного треугольника D1TA1
(D1T=(1/2)AA1=(1/2)*2x=x) по теореме Пифагора:
TA1=sqrt(x^2+(sqrt(3)x)^2=sqrt(4x^2)=2x

Δ A1TA- равносторонний

Р(ΔВ1ОА1):Р(Δ A1TA)=А1В1:А1А-х:2х=1:2

Ответ выбран лучшим

Δ AOM подобен Δ ACD ( OM || CD и ОК || AD)
OM:AM=CD:AD
CD:AD=3:6
AD=2CD
AF=FD ( F- середина AD)
AF=CD=AB
Δ ABF - прямоугольный равнобедренный.
∠АВF=∠BFA=45 градусов
Δ OMF - прямоугольный равнобедренный.
∠BFA=45 градусов, значит и ∠МОF=45 градусов.
ОМ=MF=3
AF=6+3=9 см
AB=9 см
AD=2AB=18 см
S(ABCD)=AD*AB=18*9=162 кв. см
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tgα=sinα/cosα
cosα*tgα=sinα

ctgα=cosα/sinα
sinα*ctgα=cosα

(cos α·tg α)^2+(sin α*ctgα)^2=sin^2α+cos^2α=1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2 > 0 ⇒ x≠0
{x^2≠1 ⇒ x≠-1; x≠1
{(x-5)^2 > 0 ⇒ x≠5
{(x-5)^2≠1 ⇒ x≠4; x≠6

Замена переменной
log_(x^2) (x–5)^2=t ⇒ log_ (x–5)^2(x^2)=1/t

t+(1/t) ≤ 2 ⇒ (t^2-2t+1)/t ≤0 ⇒ (t-1)^2/t ≤0

_-__ (0) __+__ [1]_+__

t < 0 или t=1

Решаем неравенство:
1)
log_(x^2) (x–5)^2 < 0
log_(x^2) (x–5)^2 < log_(x^2) 1
Применяем метод рационализации
(x^2-1)(x-5)^2-1) < 0
(х-1)(х+1)(х-4)(х-6) < 0

_+__ (-1) _-_ (1) ____+____ (4) __-__ (6) _+__

(-1;1)U(4;6)

C учетом ОДЗ получаем ответ неравенства 1)
(-1;0)U(0;1)U(4;5)U(5;6)

Решаем уравнение
2)
log_(x^2) (x–5)^2=1
x^2=(x-5)^2
(x-x+5)*(x+x-5)=0
2x-5=0
x=5/2
x=2,5
О т в е т. (-1;0)U(0;1)U{2,5} U(4;5)U(5;6)

Ответ выбран лучшим

s_(1)=πr^2_(1)
s_(2)=πr^2_(2)

s_(1):s_(2)=r^2_(1):r^2_(2) ( π в числителе и в знаменателе сокращается)
s_(1):s_(2)=1:4
s2=4s1
s_(2)=4*4=16

Закрашено (7/8) разности площадей (s_(2)-s_(1)) cм. рисунок.
Ответ. s(k)= (7/8)*(16-4)=(7/8)*12=21/2=10,5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

a) С^2_(3)p^2q
при p=0,7; q=1-p=1-0,7=0,3
3*(0,7)^2*0,3=0,441
б)С^2_(4)p^2q^2
при p=0,7; q=1-p=1-0,7=0,3
6*(0,7)^2*0,3^2=0,4=2646
в)С^3_(5)p^3q^2
при p=0,7; q=1-p=1-0,7=0,3
10*(0,7)^3*0,3^2=0,3087

Ответ выбран лучшим

На рисунке
z < y
z < x⇒ z-x < 0
y < x

О т в е т. z-x

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1) неопределенность (∞/∞). Делим на х^(11) почленно ( т.е каждое слагаемое) и числитель и знаменатель, получим
lim_(x→∞)(9-(7/x^2)+(3/x^10))/(2-(4/x^9)+(1/x^11))=
=(9-0+0)/(2-0+0)=9/2=4,5
2) неопределенность (0/0). Раскладываем на множители числитель:
x^2-25=(x-5)(x+5)
и знаменатель:
2x^2-6x-20=0
D=36-4*2*(20)=196
x=(6-14)/4=-2 или х=(6+14)/4=5
2x^2-6x-20=2*(х+2)(х-5), получим
lim_(x→5)(х-5)(х+5)/(2(х+2)(х-5))=lim_(x→5)(х+5)/(2(х+2))
=10/(2*7)=10/14=5/7
3)
Неопределенность 0/0.
Умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(1+3x)+4)
получим
lim_(x→5)(sqrt(1+3x)-4)(sqrt(1+3x)+4)/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=
=lim_(x→5)(sqrt(1+3x))^2-4^2)/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=

=lim_(x→5)(1+3x-16)/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=

=lim_(x→5)(3x-15)/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=

=lim_(x→5)(3(x-5))/((х-5)(sqrt(1+3x)+4))=

=lim_(x→5)3/(sqrt(1+3x)+4)=3/(4+4)=3/8
4) lim_(x→0)(tg5x)/(sin7x)=(0/0)= применяем первый замечательный предел и следствия из него:
=lim_(x→0)((tg5x)/(5x))*(7х/sin7x)*(5/7)=5/7.
5) Применяем второй замечательный предел.
lim_(t→∞)(1+(1/t)^(t)=e

t=(-x/7)

lim_(x→∞)(1-(7/x)^(x+1)=lim_(x→∞)((1+(1/(-x/7))^(-x/7))^(-7/x)*(x+1))=

=e^(lim_(x→∞)((-7x-7)/x)=e^(-7)

6) Неопределенность (∞-∞).
Умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3x))
получим
lim_(x→∞) (sqrt(3x^2+7x+2)-sqrt(3)x) (sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)/(sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)=

=lim_(x→∞) ((sqrt(3x^2+7x+2))^2-(sqrt(3)x)^2) /(sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)=

=lim_(x→∞) (3x^2+7x+2-3x^2) /(sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)=

=lim_(x→∞) (7x+2) /(sqrt(3x^2+7x+2)+sqrt(3)x)=

(неопределенность∞/∞)

делим и числитель и знаменатель на х почленно

= lim_(x→∞) (7+(2/x)) /(sqrt(3+(7/x)+(2/x^2))+sqrt(3))=

=7/2sqrt(3).

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x/2 > 0, x/2≠1 ⇒ x > 0; x≠2
{x^2-2x+1 > 0 ⇒ x≠1

ОДЗ: х ∈ (0; 1) U (1;2) U (2;+ ∞)

Перепишем неравенство в виде:
log_(x/2) (x^2–2x+1) больше или равно log_(x/2) (x/2)^2
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств (см. таблицу):
((x/2)-1)*(x^2-2x+1-(x/2)^2) больше или равно 0;
(x-1)*(3x^2-8x+4)/8 больше или равно 0
3х^2-8x+4=0
D=64-4*3*4=16
x=(8-4)/6=2/3 или х=(8+4)/6=2
(х-(2/3))(x-2)^2/8 больше или равно 0
Учитывая ОДЗ получаем ответ:
(0)_-__ [2/3] __+__ (1) ___+__ (2) __+___

x∈[2/3;1)U(1;2)U(2;+ ∞)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{1-(1/(x-1)^2) > 0; 1-(1/(x-1)^2≠1⇒(x-1)^2-1 > 0⇒x(x-2) > 0
{(x^2+5x+8)/(x^2-3x+2) > 0 ⇒x^2-3x+2 > 0⇒(x-1)(x-2) > 0
так как x^2+5x+8 > 0 при любом х, D=25-32 < 0

ОДЗ: х∈(- ∞; 0) U(2; ∞)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств ( см. таблицу)

(1-(1/(х-1)^2)-1)*(((x^2+5x+8)/(x^2-3x+2))-1) меньше или равно 0
Упрощаем:
-(1/(x-1)^2)*(8x+6)/(x^2-3x+2) меньше или равно 0;
(8x+6)/((x-1)^2*(x^2-3x+2)) больше или равно 0;
(8x+6)/((x-1)^3*(x-2)) больше или равно 0;

Применяем метод интервалов:
__-__ [-3/4] __+__ (1) __-__ (2) __+___

x∈[-3/4;1)U(2;+ ∞).

C учетом ОДЗ получаем ответ:
[-3/4;0)U(2;+∞). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вероятность вынуть первым белый шар равна 3/6=1/2.
После этого в урне осталось 5 шаров, из них два белых.
Вероятность вынуть белый шар равна 2/5.
Вероятность события " и первый шар белый и второй шар белый " равна произведению вероятностей.
р=(1/2)*(2/5)=1/5
О т в е т. 1/5=0,2

Ответ выбран лучшим

Два прямоугольных треугольника подобны по двум углам.
Один - линейный угол двугранного угла, второй - прямой угол.
Из подобия
9:12=20:х
х=12*20/9=80/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2x=(1-cos2x)/2
sin^4x=(sin^2x)^2=(1-2cos2x+cos^22x)/4

2sin4x+3cos2x+1=(1-2cos2x+cos^22x)/2+3cos2x+1=
=(1-2cos2x+cos^22x+6cos2x+2)/2
Если дано уравнение, то
cos^22x+4cos2x+3=0
D=16-12=4
сos2x=(-4-2)/2 или сos2x=(-4+2)/2
cos2x=-3 - не имеет корней -1 меньше или равно сos2x меньше или равно 1
сos2x=-1
2x=π+2πk, k∈Z
x=(π/2)+πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0; x≠1

Логарифмируем уравнение по основанию 2:
log_(2)x^(log_(2)x-6)=log_(2)2^(-9)
Применяем свойства логарифма степени
log_(a)b^2=klog_(a)b,
(log_(2)x-6)log_(2)x=-9
Квадратное уравнение
log_(2)x=t
t*(t-6)=-9
t^2-6t+9=0
t=3
log_(2)x=3
x=2^3
x=8
8 > 0; 8≠1
О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

1) По теореме Пифагора второй катет равен 7:
sqrt((sqrt(58))^2-3^2)=sqrt(49)=7
V ( призмы) = S(основания)*H=(1/2)*3*7*2=21

2)V ( призмы) = S(основания)*H=(1/2)*3*16*3=72

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:x больше или равно 0
y`=(8x)`-(2/3)(x^(3/2))`-(106)`=8-(2/3)*(3/2)*x^(1/2)=
=8-sqrt(x)
y`=0
8-sqrt(x)=0
sqrt(x)=8
x=64
Находим знак производной на области определения:
[0] __+___ (64) __-__

х=64 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

2^(4x-14)=2^(-2)
4x-14=-2
4x=-2+14
4x=12
x=3

О т в е т. х=3

Ответ выбран лучшим

При х=-1
7^(ln3) меньше или равно 3^(ln7)- верно, так как логарифмируя неравенство по основанию e, верное равенство.
ln7^(ln3) меньше или равно ln3^(ln7)
По свойству логарифма степени ln a^(k)=klna
ln3*ln7 меньше или равно ln7*ln3 - верно

Ответ выбран лучшим

v( средняя)=S/t

t_(1)=300:60=5 часов;
t_(2)=315:90=3,5 часа
t_(3)=120:80=1,5 часа

t=5+3,5+1,5=10 часов

S=300+315+120=735 км

v( cредняя)=735/10=73,5 км в час.
О т в е т. 73,5 км в час.

Ответ выбран лучшим

нет, 150+3+150=303

Ответ выбран лучшим

d^2=a^2+b^2+c^2
d^2=(5)^2+(sqrt(3))^2+(2sqrt(2))^2=25+3+8=36
d=6

Ответ выбран лучшим

Пусть вторая изготовила х деталей, тогда первая 5х деталей, а третья (5х+11) деталей. Всего 2211.
Уравнение:
5х+х+(5х+11)=2211
11х=2200
х=200
5х+11=5*200+11=1011
1011-200=811
О т в е т. на 811 деталей

Ответ выбран лучшим

f`(x)=6x-1
f`(-1)=-7
f(-1)=3*(-1)^2-(-1)=3+1=4

Уравнение касательной
у-4=-7*(х+1) или у=-7х-3
Уравнение нормали
у-4=(1/7)(х+1) или у=(1/7)х + 4 целых 1/7

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:|x| > 0, значит х≠0
|x|≠1

x≠-1; x≠1

log_(|x|)x^2=2log_(|x|)|x|=2;
log^2_(|x|)(x^2)=4

4+log_(2)x^2 меньше или равно 8;
log_(2)x^2 меньше или равно 4;
log_(2)x^2 меньше или равно log_(2)16;

x^2 меньше или равно16;

-4 меньше или равно х меньше или равно 4

С учетом ОДЗ получаем
О т в е т. [-4;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;4]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{1/x > 0, ⇒ x∈ (0;+ ∞)
{x^2+3x-9 > 0 ⇒ x∈ (- ∞;-1,5-sqrt(10))U(-1,5+sqrt(10);+ ∞)
{x^2+3x+(1/x)-10 > 0 ⇒x^2+3x-10 > (-1/x)
см решение на рисунке
ОДЗ: x∈(b:+бесконечность), b < 2
log_(3)((1/x)*(x^2+3x-9) меньше или равно log_(3)(x2+3x+1/x–10)
Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 монотонно возрастает.
(1/х)*(x^2+3x-9) меньше или равно x^2+3x+(1/x) -10;
(1/х)*(x^2+3x-9) -x^2-3x-(1/x)+10 меньше или равно 0;
(1/х)*(x^2+3x-9-1)-(x^2+3x-10) меньше или равно 0;
(x^2+3x-10)*((1/x)-1) меньше или равно 0;
(x-2)(x+5)(1-x)/x меньше или равно 0.

Применяем метод интервалов:

_-___ [-5] __+__ (0) __-__ [1] ___+____ [2] __-_

(-бесконечность;-5]U(0;1]U[2;+бесконечность)

C учетом ОДЗ получаем ответ
[2;+ бесконечность) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)16*2=32 км проехал первый турист
2)56-16=40 км в час разница скоростей туриста на велосипеде и туриста на мотоцикле.
3)32:40=0,8 часа (через 0,8 часа мотоциклист догонит велосипедиста)
4)56*0,8=44,8 км от места старта мотоциклист догонит велосипедиста.

Велосипедист за это время проедет 16*0,8=12,8 км
44,8-12,8=32 км расстояние между ними в момент начала старта мотоциклиста.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: |x-1|≠1 и (х-2)^2 > 0 ⇒ x≠0; x≠2

log_(|x–1|) (x–2)^2 меньше или равно 2;
log_(|x–1|) (x–2)^2 меньше или равно log_(|x–1|) |x–1|^2 .

Применяем метод рационализации ( см. таблицу в приложении)
(|x-1|-1)*((x-2)^2-|x-1|^2)меньше или равно 0;
{|x-1|-1)*(3-2x)меньше или равно 0;
применяем метод интервалов
|x-1|-1=0 ⇒ x-1=1 или х-1=-1
х=2 или х=0
3-2х=0
2х=3
х=1,5

__+__ (0) __-__ [1,5] __+__ (2) __-__

О т в е т. (0;1,5]U(2;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Линейное уравнение 1 порядка.
Метод Бернулли.
Ищем решение в виде произведения u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+2x*uv=2xe^(-x^2)
u`v+u*(v`+2xv)=2xe^(-x^2)

Пусть функция v такова, что
v`+2xv=0
Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
dv/v=-2xdx
ln|v|=-x^2+С, полагаем С=0
v=e^(-x^2)

u`*v+u*0=2xe^(-x^2) - уравнение с разделяющимися переменными.

u`*e^(-x^2)=2xe^(-x^2)
u`=2x
u=x^2+C

y=(x^2+C)*e^(-x^2)
y=x^2*e^(-x^2)+C*e^(-x^2)
О т в е т. y=x^2*e^(-x^2)+C*e^(-x^2)

Ответ выбран лучшим

8k+a=5n+a, к и n - натуральные,
0 меньше или равно а < 5

8k=5n

при k=15, n=24

120 кратно 8 и 120 кратно 5
121 дает при делении на 8 остаток 1 и при делении на 5 остаток 1
122 - остаток 2
123 -остаток 3
124 - остаток 4

О т в е т. 121 или 122 или 123 или 124

Ответ выбран лучшим

Пусть длина круга S км, х км в час скорость первого бегуна, (х+6) км в час скорость второго.

Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 6 минут назад.

Значит первый бегун за час пробежал (S-4) км со скоростью х, т.е
S-4=x
S=(x+4) км.
Второй бегун прошел первый круг за (1 час - 6 мин)=54 мин=54/60=0,9 часа.

S/(x+6)=0,9

(x+4)/(x+6)=0,9

x+4=0,9x+5,4

0,1x=1,4
x=14
О т в е т. 14 км в час - скорость первого бегуна

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:х больше или равно 0
Можно решить уравнение:
3*9^(2sqrt(x)=3^(2x-6);
3*(3^2)^(2sqrt(x))=3^(2x-6);
3^(1+4sqrt(x))=3^(2x-6);
1+4sqrt(x)=2x-6
2x-4sqrt(x)-7=0- квадратное уравнение
t=sqrt(x)
t больше или равно 0 по определению арифметического квадратного корня

D=(-4)^2-4*2*(-7)=16+56=72

t=(4+sqrt(72)/4 или t=(4-sqrt(72)/4) - не удовлетворяет условию t больше или равно 0

sqrt(x)=1+(3/2)sqrt(2)
x=(1+(3/2)sqrt(2))^2;
x=1+3sqrt(2)+(9/2);
x=5,5+3sqrt(2)
О т в е т. 5,5+3sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

АР - высота, медиана и биссектриса треугольника АВС
СК - высота, медиана и биссектриса треугольника АВС
ВМ - высота, медиана и биссектриса треугольника АВС

О- точка пересечения медиан, AO:OP=2:1
AP=AC*sin60 градусов=3*(sqrt(3))/2

R=AO=(2/3)*3*(sqrt(3))/2=sqrt(3)
r=OP=(1/3)*3*(sqrt(3))/2=(sqrt(3))/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
5^x=t
5^(x+1)=5^x*5=5t
25^x=(5^2)^x=(5^x)^2=t^2

Неравенство принимает вид
(t/6)+(3t^2-10t-25)/(t^2-24t-25)-(5/6) больше или равно 0.

t^2-24t-25=(t+1)(t-25)
D=24^2-4*(-25)=576+100=676
t=-1 или t=25

(t^3-11t^2+35t-25)/(6(t+1)(t-25))больше или равно 0;

(t-5)*(t^2-6t+5)/(t+1)(t-25)больше или равно 0;
t^2-6t+5=0
D=36-20=16
t=1 или t=5

(t-5)^2(t-1)/(t+1)(t-25)больше или равно 0.
Применяем метод интервалов.

__-__ (-1) __+__ [1] ___-___ [5] ___-_____ (25) __+__

-1 < t меньше или равно 1
t > 25

Учитывая, что t=5^x и t > 0 при любом х

0 < 5^x меньше или равно 1=5^0 ⇒ x меньше или равно 0
5^x > 25 ⇒ x > 2

О т в е т. (-бесконечность;0] U (2;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

2sin^2x=1–cos2x;
(sin2x+cos2x)^2=sin^22x+2sin2xcos2x+cos^22x
(sin2x+cos2x)^2=1+2sin2xсos2x.
Уравнение принимает вид:
1–cos2x=1+2sin2xcos2x
2sin2xcos2x+cos2x=0
cos2x·(2sin2x+1)=0
cos2x=0 или sin2x=–1/2

cos2x=0 ⇒2x= (π/2)+πk, k∈Z
sin2x=–1/2⇒
2x=(–π/6)+2πn, n∈Z или 2х=(–5π/6)+2πm, m∈Z

x= (π/4)+(π/2)k, k∈Z
x=(–π/12)+πn, n∈Z или х=(–5π/12)+πm, m∈Z

Указанному промежутку
[3π; 4π]=[36π/12; 48π/12] принадлежат корни:
(π/4)+(π/2)·6=13π/4=39π/12
(π/4)+(π/2)·7=15π/4=45π/12
(–π/12)+4π=47π/12
(–5π/12)+4π=43 π/12

О т в е т.
а)
x= (π/4)+(π/2)k, k∈Z
x=(–π/12)+πn, n∈Z
х=(–5π/12)+πm, m∈Z
б)39π/12; 43 π/12; 45π/12; 47π/12.

Ответ выбран лучшим

1)=arctgx-2ctgx+x+C
2)=(9*(x^3/3)-6*(x^2/2)+x)|^1_0=
=3*1-3*1+1-0=1
3)
S=∫^(2)_(-1)(x^2+2)dx=(x^3/3)|^(2)_(-1)+(2x)|^(2)_(-1)=
=8/3-(-1)/3+(4-(-2)=3+6=9
О т в е т. S=9 кв. ед. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=u^2; u=x^6+(3/x^4)-8
y`=2u*u`
y`=2*(x^6+(3/x^4)-8)*(x^6+(3/x^4)-8)`=
=2*(x^6+(3/x^4)-8)*((x^6)`+(3*x^(-4))`-(8)`)=
=2*(x^6+(3/x^4)-8)*(6x^5+(3*(-4)x^(-4-1))-0)=
=2*(x^6+(3/x^4)-8)*(6x^5-(12/x^5)).

Ответ выбран лучшим

1)= ∫5dx+ ∫cosxdx=5x+sinx+C;
2)= ∫(3dx/cos^2x)- ∫2cosxdx=3tgx-2sinx+C;
3)= ∫x^(-2)dx- ∫x^(-4)dx=x^(-1)/(-1) - x^(-3)/(-3)+C=
=(-1/x)+(1/(3x^3))+C;
4)=2arctgx+C;
5)= ∫x^((-2/3)-(1/3))dx- ∫x^(-1/3)dx=∫(dx/x)- ∫x^(-1/3)dx=ln|x|-x^(2/3)/(2/3)+C=ln|x|-(3/2)*∛(x^2)+C;
6)=(x^2/2)-arcsinx+2x+C.

Ответ выбран лучшим

200 грамм раствора - 100%
50 грамм кислоты - х %

х=50*100:200=25% раствор имеется.

Концентрация увеличилась в два раза, значит раствор должен быть 50% концентрации
Пусть х г кислоты надо добавить
(200+х) г составляют 100%
(50+х) г составляют 50%
50*(200+х)=(50+х)*100
200+х=2*(50+х)
200+х=100+2х
100=х
О т в е т. 100 г кислоты нужно добавить

Ответ выбран лучшим

{(xy)^2-(xy)-12=0
{х+у=2
Решаем первое уравнение
заменой переменной
ху=t
t^2-t-12=0
D=1+48=49
t=-3 или t=4

Две системы
{xy=-3
{x+y=2
или
{xy=4
{x+y=2
Решаем первую систему способом подстановки

{xy=-3
{x+y=2 y=2-x
х*(2-х)=-3
х^2-2x-3=0
D=4+12=16
x_(1)=-1 или х_(2)=3
у_(1)=2-(-1)=3; у_(2)=2-3=-1

Решаем вторую систему способом подстановки

{xy=4
{x+y=2 y=2-x
х*(2-х)=4
х^2-2x+4=0
D=4-16 < 0
система не имеет решений
О т в е т. (-1;3); (3;-1)

Ответ выбран лучшим

По свойству геометрической прогрессии:
b^2_(n)=b_(n-1)*b_(n+1).

(sqrt(4p))^2=(p-3)*(p+2);
4p=p^2-p-6;
p^2-5p-6=0
D=(-5)^2-4*(-6)=49
p=(5-7)/2=-1 или p=(5+7)/2=6
при р=-1 sqrt(4p) не существует.
О т в е т. р=6

Ответ выбран лучшим

Преобразуем функцию:
у=х|х–2|.
По определению модуля |x-2|=x-2, если x-2≥0, |x|=–х+2, если х-2 < 0 = >
y=х(х-2), если x≥2,
y=х*(–х+2), если x < 2.
Построим графики на данных промежутках.
При x≥2 парабола у=x^2-2x, ветви вверх,
При x < 2 парабола у=-х^2+2x, ветви вниз.
Прямая у=р будет иметь с графиком ровно две общие точки при p=0; p=1
Cм. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2) log_(3)27=log_(3)3^3=3log_(3)3=3*1=3

cos^2α+sin^2α=1

cos^2α=1-sin^2α=1-(-sqrt(21)/5)^2=1-(21/25)=4/25
cosα=2/5, так как косинус в 4 четверти имеет знак +.
tgα=sinα/cosα=-sqrt(21)/2
ctgα=1/tgα=-2/sqrt(21)

Ответ выбран лучшим

Выделяем полный квадрат.
x^2+4x+1=(x^2+4x+4)-3=(x+2)^2-3

О т в е т. (1/(2sqrt(3)))*ln|(x+2-sqrt(3))/(x+2+sqrt(3))|+C

Ответ выбран лучшим

a^2-16=(a-4)(a+4)

5a^2+20a=5a(a+4)

О т в е т. (а-4)/5а при а=0,4
(0,4-4)/(5*0,4)=-3,6/2=-1,8

Ответ выбран лучшим

При m=2 и m=3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^4=(x-20)^2;
(x^2)^2-(x-20)^2=0;
(x^2-x+20)*(x^2+x-20)=0;
x^2-x+20=0 или x^2+x-20=0
D=1-80 < 0 или D=1+80=81
нет корней или х=-5; х=4
О т в е т. -5; 4

Ответ выбран лучшим

2 log_(4)10=log_(4)10^2=log_(4)100

(3/4)* log_(4)81=log_(4)81^(3/4)=
=log_(4)(81^(1/4))^3=log_(4)3^3=log_(4)27

(2/3)*log_(4)125 =log_(4)125^(2/3)=log_(4)(5^3)^(2/3)=
=log_(4)5^2=log_(4)25

2 log4 10+3/4 log4 81–2/3log4 125=

=log_(4)100+log_(4)27-log_(4)25=log_(4)(100*27/25) =
=log_(4)108

log_(4)x=log_(4)108
x=108
О т в е т. 108

Ответ выбран лучшим

DC=DH+HC=12+3=15
AB=BC=CD=AD=15
Из прямоугольного треугольника ADH по теореме Пифагора
AH^2=AD^2-DH^2=15^2-12^2=225-144=81
AH=9
О т в е т.9 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{-48+6x > 0;
{6-5x > -4

{6x > 48;
{-5x > -4-6

{x > 8;
{x < 2

Множества не пересекаются.
\\\\\\\\\ (2) ____ (8)//////////////////

Система не имеет решений

Ответ выбран лучшим

Да, опечатка скорее всего
20^2-16^2=400-256=144
sqrt(144)=12

Ответ выбран лучшим

4b_(5)=b^3_(3)
4b_(1)*q^4=(b_(1)*q^2)^3 ⇒ b^2_(1)* q^2=4 ⇒
b_(1)q=2 или b_(1)q= - 2

S=b_(1)/(1-q) ⇒ 4,5=b_(1)/(1-q)

Ответ выбран лучшим

2^(6-(5x/2))=2^6*2^(-x/2)^5
2^(7-2x)=2^7*2^(-x/2)^4
2^((-x/2)-1)=2^(-x/2)*2^(-1)

2^(2-(x/2))=2^2*2^(-x/2)

Замена переменной
2^(x/2)=t
t > 0
(64t^5-128t^4-(1/2)t+1)/(2-4t) больше или равно 0

(128t^5-256t^4-t+2)/(2-4t) больше или равно 0

(t-2)(128t^4-1)/(2-4t)больше или равно 0

Применяем метод интервалов.
Нули числителя:
(t-2)(128t^4-1)=0
t=2 или t=2^(-7/4) или t=-2^(-7/4)

__-_ [-2^(-7/4)] _+_ [2^(-7/4)] _-__ (1/2) _+_ [2] __-__

C учетом t > 0 получаем ответ.
0 < t≤2^(-7/4); (1/2) < t≤2

0 < 2^(-x/2)≤2^(-7/4); 2^(-1) < 2^(-x/2)≤2
(-x/2) ≤ (-7/4); (-1) < (-x/2)≤1.
x ≥ 3,5 ; -2 ≤ x < 2

О т в е т. [-2; 2) U [3,5; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S = (1/2)·a·h;
h – высота треугольника (красного цвета на рисунке)
a – основание треугольника (зеленого цвета на рисунке)
h=4
a=8

S = (1/2)·8·4 = 16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
tg 142 градусов= tg (90+52) градусов=-ctg 52 градусов.

По формуле tg α* ctgα = 1.

О т в е т. 20

Ответ выбран лучшим

По условию. Расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 17.
ОН=17

Ответ выбран лучшим

Сумма углов трапеции, принадлежащих к боковой стороне равна 180 градусов.
Значит в условии задачи дана сумма острых углов равнобедренной трапеции.
Острый угол 94/2=47 градусов.
Больший угол трапеции 180 градусов- 47 градусов=133 градусов.
О т в е т. 133 градусов

Ответ выбран лучшим

2sin^2x=1-cos2x;
(sin2x+cos2x)^2=sin^22x+2sin2xcos2x+cos^22x
(sin2x+cos2x)^2=1+2sin2xсos2x.
Уравнение принимает вид:
1-cos2x=1+2sin2xcos2x
2sin2xcos2x+cos2x=0
cos2x*(2sin2x+1)=0
cos2x=0 или sin2x=-1/2

cos2x=0 ⇒2x= (π/2)+πk, k∈Z
sin2x=-1/2⇒
2x=(-π/6)+2πn, n∈Z или 2х=(-5π/6)+2πm, m∈Z

x= (π/4)+(π/2)k, k∈Z
x=(-π/12)+πn, n∈Z или х=(-5π/12)+πm, m∈Z

Указанному промежутку
[3π; 4π]=[36π/12; 48π/12] принадлежат корни:
(π/4)+(π/2)*6=13π/4=39π/12
(π/4)+(π/2)*7=15π/4=45π/12
(-π/12)+4π=47π/12
(-5π/12)+4π=43 π/12

О т в е т.
а)
x= (π/4)+(π/2)k, k∈Z
x=(-π/12)+πn, n∈Z
х=(-5π/12)+πm, m∈Z
б)39π/12; 43 π/12; 45π/12; 47π/12.

ОДЗ: х > 0
1+2log_(5)3=log_(5)5+log_(5)3^2=log_(5)45
log_(5)45 > 0

Неравенство примет вид:
log_(3)(3/x)*(log_(5)x/log_(5)45) + log_(3)x ≥1

Так как log_(5)x/log_(5)45= *log_(45)x

log_(3)(3/x)*log_(45)x+log_(3)x≥1
и
log_(45)x=log_(3)x/log_(3)45

log_(3)x=t

(1-t)*(t/log_(3)45)+t ≥1

(1-t)*(t-log_(3)45)≥0

_-__ (1) __+___ (log_(3)45) _-__

1≤ log_(3)x ≤log_(3)45
log_(3)3≤ log_(3)x ≤log_(3)45
3 ≤ x ≤ 45

О т в е т. [3;45]

Ответ выбран лучшим

Сумма углов четырехугольника АВDC равна 360 градусов.
∠BDC=360 градусов - 45 градусов - 95 градусов - 90 градусов=130 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5.
Возводим в куб.
4х+45=-125
4х=-125-45
4х=-170
x=-42,5
О т в е т. -42,5

Ответ выбран лучшим

произведение пяти последовательных натуральных чисел
кратно 2, кратно 3, кратно 4, кратно 5, т.е кратно их произведению 2*3*4*5=120
Остаток от деления на 120 равен 0

Ответ выбран лучшим

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований
I=(h_(1)+h_(2))/2=(1+4)/2=2,5 м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

х^3+2х^2–х–2=0
x^2(x+2)-(x+2)=0
(x+2)*(x^2-1)=0
(x+2)*(x-1)*(x+1)=0
x=-2 или х=1 или х=-1
О т в е т. -2; -1; 1.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

По формуле (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

u=x
v=sqrt(1+arcsinx^2)*sqrt(1-x^2)

u`=x`=1
v`=(sqrt(1+arcsinx^2)*sqrt(1-x^2))`=
=(sqrt(1+arcsinx^2))`*sqrt(1-x^2)+sqrt(1+arcsinx^2)*(sqrt(1-x^2))`=

=(1/(2*sqrt(1+arcsinx^2)))*(1+arcsinx^2)`*sqrt(1-x^2)+sqrt(1+arcsinx^2)*(1/2sqrt(1-x^2))(1-x^2)`=

=(sqrt(1-x^2)*(x^2)`)/(2*sqrt(1+arcsinx^2)*sqrt(1-(x^2))^2)+

+sqrt(1+arcsinx^2)*(1/(2*sqrt(1-x^2)))*(1-x^2)`=

=(x*sqrt(1-x^2))/(sqrt(1+arcsinx^2)*sqrt(1-(x^2))^2)+

+sqrt(1+arcsinx^2)*(1/(2*sqrt(1-x^2)))*(1-x^2)`=

=(x*sqrt(1-x^2))/(sqrt(1+arcsinx^2)*sqrt(1-(x^2))^2)+

-x*sqrt(1+arcsinx^2)*(1/sqrt(1-x^2))

О т в е т.

(sqrt(1+arcsinx^2)*sqrt(1-x^2)-x^2*sqrt(1-x^2))/(sqrt(1+arcsinx^2)*sqrt(1-(x^2))^2)+

+x^2sqrt(1+arcsinx^2)*(1/sqrt(1-x^2)) и это все
делим на
v^2=(1+arcsinx^2)*(1-x^2)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
log_(3)(2cosx)=t

6t^2-11t+4=0
D=(-11)^2-4*6*4=121-96=25
t=(11-5)/12=1/2 или t=(11+5)/12=4/3

log_(3)(2cosx)=1/2
2cosx=3^(1/2)
2cosx=sqrt(3)
cosx=sqrt(3)/2
x=± (π/6)+2πk, k∈Z

log_(3)(2cosx)=4/3
2cosx=3^(4/3)
2cosx=3∛3
cosx=3∛3/2 - уравнение не имеет корней , так как
-1 ≤cosx≤1,
3∛3/2 ≥1

Указанному промежутку принадлежат корни
(π/6)-2π=-11π/6
и
(-π/6)-2π=-13π/6

Ответ выбран лучшим

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1.
Уравнение прямой 3у+х-3=0 с угловым коэффициентом имеет вид
у=(-1/3)х + 1
Угловой коэффициент
k(данной прямой)=-1/3

k(касательной)*k(данной прямой) = - 1 ⇒

k(касательной)=3

Геометрический смысл производной в точке
k(касательной)=f`(x_(o))

f`(x)=4x+3
f`(x_(o))=4x_(o)+3

4x_(o)+3=3
x_(o)=0

f(x_(o))=2x^2_(o)+3x_(o)-1=2*0^2+3*0-1=-1

Уравнение касательной к кривой у=f(x) в точке (x_(o);f(x_(o)) имеет вид

у - f (x_ (o)) = f`(x_(o))* (х - х_(о))

у - (-1) =3 * ( х - 0)
у=3х-1
О т в е т. у=3х-1

Ответ выбран лучшим

Находи точку пересечения прямых, решаем систему уравнений:
{3x-y=0;
{x+4y-2=0

{y=3x;
{x+4*3x-2=0 ⇒ 13x=2 ⇒x=2/13 ⇒y=6/13

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1).

х+у=0 ⇒ у=-х угловой коэффициент равен -1
Значит перпендикулярная прямая имеет вид
у=х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки (2/13; 6/13) в уравнение:
6/13=2/13+b
b=4/13
Уравнение :
у=х+(4/13) или 13у-13х-4=0
О т в е т. 13у-13х-4=0

Ответ выбран лучшим

sin^2x=1-cos^2x

6*(1-cos^2x)-cosx+6=0

6cos^2x+cosx-12=0

Квадратное уравнение.
Замена переменной
cosx=t

6t^2+t-12=0
D=1-4*6*(-12)=289
t=(-1-17)/12=-3/2 или t=(-1+17)/12=16/12=4/3

cosx=-3/2 - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ cosx ≤1
cosx=4/3 - уравнение не имеет корней, так как -1 ≤ cosx ≤1
О т в е т. корней нет.

Ответ выбран лучшим

y`=((4/3)x^(3/2)-6x+15)`=(4/3)*(3/2)*x^(1/2)-6=2sqrt(x)-6

y`=0

2sqrt(x)-6=0
sqrt(x)=3
x=9

Находим знак производной

[7] _-_ (9) ________+_________ [33]

x=9- точка минимума, производная меняет знак с - на +.

у(9)=(4/3)*9*sqrt(9)-6*9+15=-3 - наименьшее значение функции

Ответ выбран лучшим

ОДЗ состоит из системы трех неравенств:
{x > 0, x≠1;
{x^2+2x-3 > 0
{x^2+2x-2 > 0

Два последних:
x^2+2x=t
{t-3 > 0⇒ t > 3
{t-2 > 0 ⇒t > 2
Решением системы этих двух неравенств является t > 3

Значит достаточно для ОДЗ учесть два неравенства
{x > 0, x≠1;
{x^2+2x-3 > 0 ⇒ D=4+12=6 (x-1)(x+3) > 0

ОДЗ: (1;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х+4,2 > 0 ⇒ x > -4,2

((x+4,2)-2,5*sqrt(x+4,2)+1)/sqrt(x+4,2) больше или равно 0

Так как sqrt(x+4,2) > 0, то
(x+4,2)-2,5*sqrt(x+4,2)+1 больше или равно 0
2,5sqrt(x+4,2) меньше или равно х+5,2
Так как согласно ОДЗ х > -4,2
x+5,2 > 0
Возводим в квадрат
6,25*(х+4,2) меньше или равно (х+5,2)^2
x^2+4,15x+0,79 больше или равно 0
D=4,15^2-4*0,79=17,2225-3,16=14,0625=3,75^2
x1=(4,15-3,75)/2=0,2 или х2=(4,15+3,75)/2=3,95

(-4,2) __+__ [0,2] ___-____ [3,95] ___+__

О т в е т. (-4,2;0,2]U[3,95;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

2·9^(x^2–4x+1)+42·6*(x^2–4x)– 15·4^(x2–4x+1)=0
По свойству степени
a^(m+n)=a^m*a^n

9^(x^2–4x+1)=9^(x^2-4x)*9^1
4^(x^2–4x+1)=4^(x^2-4x)*4^1
Замена переменной:
x^2–4x=а⇒
2*9^(a)*9+42*3^a*2^a–15*4^(a)*4

9^(a)=(3^2)^(a)=3^(2a)
4^(a)=(2^2)^(a)=2^(2a)

18·3^(2a)+42·3^a·2^a–60·2^(2a)=0 - однородное уравнение второй степени, делим на 2^(2a) > 0
18(3/2)^2a+42·(3/2)^a–60=0
(3/2)^a=y⇒18y²+42y–60=0
3y²+7y–10=0
D=49+120=169 √D=13
y1=(–7–13)/6=–10/3⇒(3/2)^a=–10/3–нет решения
у2=(–7+13)/6=1⇒(3/2)^a=1⇒а=0⇒
х²–4х=0⇒х(х–4)=0⇒х=0 и х=4

Ответ выбран лучшим

1.
Δ АВС:
ВС=(1/2)AB=1- катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
АС=АВ*cos30 градусов=2*(sqrt(3)/2)=sqrt(3).

Δ АВB1:
AB=BB1=2 катеты равнобедренного прямоугольного треугольника ( острые углы по 45 градусов).

Δ АА1С:
А1С^2=(AA1)^2+AC^2=2^2+(sqrt(3)^2=7
A1C=sqrt(7)

AC⊥CB ⇒ A1C ⊥CB по теореме о трех перпендикулярах
Δ А1СB- прямоугольный
S ( Δ А1СB )= (1/2)A1C *CB=(1/2)*sqrt(7)*1=(1/2)sqrt(7)

О т в е т. 3) (1/2)sqrt(7)

2.
ABCD- квадрат
S(основания)=AD^2=DC^2=1,5 ⇒ CD=sqrt(1,5)=sqrt(3/2)
Δ АА1D:
A1D^2=A1A^2+AD^2=8^2+1,5=65,5=131/2
A1D=sqrt(131/2)
S(A1B1CD)=A1D*DC=sqrt(131/2)*(sqrt(3/2)=sqrt(393)/2

О т в е т. 3) 0,5 sqrt(393)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
Проводим АК ⊥ ВС. По теореме о трех перпендикулярах А1К ⊥ ВС
∠А1КА - линейный угол двугранного угла.
tg∠А1КА=AA1/AK.

AA1=(1/2)A1C =2 - катет, против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора АC=sqrt(4^2-2^2)=2sqrt(3)

Треугольника АВС - равносторонний АВ=ВС=АС=2sqrt(3)
АК- высота, медиана и биссектриса.
СК=КВ=sqrt(3)
AK=sqrt((2sqrt(3))^2-(sqrt(3))^2)=sqrt(12-3)=sqrt(9)=3

tg∠А1КА=AA1/AK=2/3

О т в е т. 2) 2/3.

б) А1К=sqrt(А1А^2+AK^2)=sqrt(2^2+3^2)=sqrt(13)

S(A1AK)=(1/2)*A1K*BC=(1/2)*2sqrt(3)*sqrt(13)=sqrt(39).
О т в е т. а)sqrt(39) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Потому что (sqrt(2)/2)^2=2/4=1/2

Значит sqrt(1/2)=sqrt(2/4)=sqrt(2)/2
или
sqrt(1/2)=-sqrt(2)/2

Ответ выбран лучшим

Это следует из равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе (боковому ребру) и высоте ( общая для всех треугольников. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть ребро куба равно а.
Плоскость AB1D1- равносторонний треугольник
со стороной аsqrt(2)

Угол между A1D1 и плоскостью AB1D1 - угол между A1D1 и проекцией A1D1 на плоскость AB1D1.
D1O=R - проекция A1D1 на плоскость AB1D1
R- радиус окружности, описанной около треугольника AB1D1
R=asqrt(2)*(sqrt(3)/3)=asqrt(2/3)
cos∠A1D1O=D1O/A1D1=asqrt(2/3)/a=sqrt(2/3)=sqrt(6)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выделяем полный квадрат
x^2+4x+13=(х+2)^2+9

∫dx/(x^2+4x+13)=∫d(x+2)/((х+2)^2+3^2)=

=(1/3) artctg((x+2)/3)+C

Ответ выбран лучшим

∠ВРЕ=∠ВРF
ВМ⊥ пл.β
Доказать ∠МРЕ=∠МРF

Проводим
ВК⊥РЕ и ВТ⊥PF

Прямоугольные треугольники ВРК и ВРТ равны по гипотенузе ВP (общая и острому углу)
Из равенства треугольников следует равенство наклонных ВК и ВТ к плоскости β
Равные наклонные имеют равные проекции
МК=МТ
По теореме о трех перпендикулярах МК⊥РЕ и МТ⊥PF
Прямоугольные треугольники РМК и РМТ равны по двум катетам.
Из равенства треугольников следует равенство углов.
∠МРК=∠МРТ (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)d=a_(n+1)-a_(n)=4
a_(16)=a_(1)+d*(16-1)=-9+4*15=51
S_(16)=(a_(1)+a_(16))*16/2=(-9+51)*16/2=336

2)(y-6x-y)/6xy=-6x/(6xy)=-1/y
при у=1/4 о т в е т. -4

Ответ выбран лучшим

34^2-21^2=(34-21)*(34+21)=13*55

69^2-56^2=(69-56)*(69+56)=13*125

(13*55)/(13*125)=11/25

Ответ выбран лучшим

1) Формула (u^2)`=2u*u`

=2(x^6+(3/x^4)-8)*(x^6+(3/x^4)-8)`=

=2(x^6+(3/x^4)-8)*(6x^5+(3*(-4)/x^5).

2.
Область определения (-бесконечность; + бесконечность)
у`=3x^2-12x
y`=0
3x^2-12x=0
3x*(x-4)=0
x=0 и х=4 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума.
Определяем знак производной
__+__ (0) ___-_____ (4) __+__

На (- бесконечность;0) функция возрастает, на (0;4) убывает, на (4;+бесконечность) возрастает.
х=0- точка локального максимума
у(0)=0
х=4- точка локального минимума
у(4)=4^3-6*4^2=-32 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Класс!

4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2
(2x-y)^2 больше или равно 0 при любых х и у.

(2х-у)^2 > -5 - верно при любых х и у.
Положительное число ( выражение) больше любого отрицательного числа

Ответ выбран лучшим

(2х–1)^2= (2х+3)·(2х–3)
4x^2-4x+1=4x^2-9;
-4x=-9-1
4x=10
x=2,5

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-4x^2+8x-4=-4*(x^2-2x+1)=-4*(x-1)^2

Ответ выбран лучшим

Неопределенность (бесконечность/бесконечность)
Применяем правило Лопиталя

=lim_(x→+∞)(lnx)`/(∛x)`= lim_(x→+∞)(1/x)/(1/(3∛x^2))=

=lim_(x→+∞)(3/∛x)=0

Ответ выбран лучшим

300 г раствора составляют 100%
x г сахарозы составляют 5%

х=5*300/100=15г

15 г сахарозы в растворе.

В выпаренном веществе массой 245 г содержится 15 г чистого вещества.
245 г составляют 100%
15г составляют a%

a=(15*100/245)%=6,12244898%≈6%

О т в е т. Выпаренный раствор стал 6%-ный

Ответ выбран лучшим

(x)`=1.
(3x-3)`=3.
(4x^2)`=4*2x=8x.
(-2x^3+4)`=-2*3x^2=-6x^2.
((-1/2)x^2+5)`=(-1/2)*2x=-x.
(4x^2-2x)`=8x-2.
(6x^(1/3)+6x^(1/2)+6)`=6*(1/3)x^(-2/3)+6*(1/2)x^(-1/2)=
=(2/∛x^2)+(3/sqrt(x)).

f`(x)=14*(6/7)x^(-1/7)+6*(5/6)x^(-1/6)+15*(4/5)x^(-1/5)+3*(2/3)x^(-1/3)+4=
=(12/x^(1/7))+(5/x^(1/6))+(12/x^(1/5))+(2/∛x)+4.

f`(x)=(x^(4/3))`=(4/3)*x^(1/3)=4∛x/3

f`(x)=(x^(1/2)*x^(1/5))`=(x^(7/10))`=(7/10)*x^(-3/10)=7/(10x^(3/10))

f`(x)=(18/4)*(x^(5/6)`=(18/4)*(5/6)x^(-1/6)=15/(4x^(1/6))

Ответ выбран лучшим

Дано в условии задачи

Пусть R- радиус основания конуса, H- высота конуса,
r - радиус основания цилиндра, который равен радиусу меньшего конуса, отсекаемого верхним основанием цилиндра.
h- высота меньшего конуса.

Из подобия:
r/R=h/H.
Значит, высота цилиндра
H - h = r*H/R;
отсюда h = H - (r*H/R) = H*(R - r)/R

V(цилиндра) = πr^2*(H-h) = π *r^2*(H/R)*(R - r) =
=π *r^2*H - π r^3*(H/R)
V(r)=π *r^2*H - π r^3*(H/R)
Исследуем функцию V(r) на экстремум при условии, что
V(конуса)=(1/3)*π R^2*H;
72=(1/3)*π R^2*H ⇒ π R^2*H =216

Находим производную
V'(r) = 2π *H*r - 3π *H/R*r^2 = π *H*r*(2 - 3*r/R) = 0
V`(r)=0
2 - 3*r/R = 0;
r = 2/3*R ⇒ r^2=(4/9)R^2 и r^3*(H/R)=(8/27)R^3*(H/R)=
=(8/27)R^2H
Тогда

V(цилиндра) =π *r^2*H - π r^3*(H/R) =
=π *(4/9)R^2*H-π*(8/27)R^2*H
= 4/27*π *R^2*H = (4/27)*216 = 4*8 = 32 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sinα=AA1/A1B ⇒ A1B=7AA1
По теореме Пифагора
А1В^2=AA1^2+AB^2
(7AA1)^2=(AA1)^2+20^2
(AA1)^2=400/48=25/3
FF1=5/sqrt(3)
АВ^2=AC^2+CB^2
20^2=10^2+BC^2
BC^2=300
BC=10sqrt(3)

V=S(осн.)*Н=(1/2)АС*ВС*АА1=
=(1/2)*10*10sqrt(3)*(5/sqrt(3))=250
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АС=BD=8
AB+BC=CD=AD=8*sin45 градусов=8*(sqrt(2)/2)=4sqrt(2)

SK- апофема боковой грани.
DK=KC=(1/2)DC=2sqrt(2)
OK=(1/2)AD=2sqrt(2)

Из треугольника SOK
cosα=OK/SK

SK=OK/cosα=2sqrt(2)/(sqrt(2)/2)=4

V(пирамиды SABCD)=(1/3)·S(основания)·Н=
=(1/3)·4sqrt(2)·4sqrt(2)·4=96/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

SO=ОС=SC*sin45 градусов =6sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=6

АС=2ОС=12
BD=AC=12 - диагонали квадрата равны.

S(квадрата АВСD)=(1/2)AC*BD=(1/2)*12*12=72

V(пирамиды SABCD)=(1/3)S(осн.)*Н=

=(1/3)S(квадрата ABCD)*SO=(1/3)*72*6=144 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

SK- апофема боковой грани, высота равнобедренного треугольника DSC.
DK=KC=SC*cosα=2sqrt(6)*(1/sqrt(6))=2
DC=2KC=4
АС=4sqrt(2) - диагональ квадрата
ОС=(1/2)АС=2sqrt(2)
По теореме Пифагора
SO^2=SC^2-CO^2=(2sqrt(6))^2-(2sqrt(2))^2=24-8=16
SO=4
V(пирамиды SABCD)=(1/3)·S(основания)·Н=
=(1/3)·4^2·4=64/3
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В основании пирамиды квадрат АВСD.
S(основания)=S(квадрата)=2sqrt(14)*2sqrt(14)=56
АО=6sqrt(3)/3=2sqrt(3)
SO=H(пирамиды)=SA*sinα=8*(3/4)=6

V(пирамиды SABCD)=(1/3)*S(основания)*Н=
=(1/3)*56*6=112 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания равностороннего треугольника АВС равна а.
Тогда АО=ВО=СО=R(описанной окружности)=аsqrt(3)/3
S(Δ ABC)=a^2sqrt(3)/4

Так как по условию а=18
АО=18sqrt(3)/3=6sqrt(3)
SO=H(пирамиды)=AO*tgα=(6sqrt(3))*(4/3)=8sqrt(3)
S(Δ ABC)=18^2sqrt(3)/4=81sqrt(3)

V(SABC)=(1/3)*S(Δ ABC)*Н=(1/3)*(81sqrt(3))*(8sqrt(3))=648 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть сторона основания равностороннего треугольника АВС равна а.
Тогда АО=ВО=СО=R(описанной окружности)=аsqrt(3)/3
S(Δ ABC)=a^2sqrt(3)/4

Так как по условию а=6
АО=6sqrt(3)/3=2sqrt(3)
SO=H(пирамиды)=AO*tgα=(2sqrt(3))*(3/2)=2sqrt(3)
S(Δ ABC)=6^2sqrt(3)/4=9sqrt(3)

V(SABC)=(1/3)*S(Δ ABC)*Н=(1/3)*(9sqrt(3))*(2sqrt(3))=18 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Н=a*tgα=6*(3/2)=9
S(полн.)=2S(осн.)+S(бок.)=2*(a^2sqrt(3)/4)+(1/2)Р(осн.)*Н=
=2*(6^2sqrt(3)/4)+(1/2)(6+6+6)*9=18sqrt(3)+81

Ответ выбран лучшим

V_(1)=πR^2_(1)*H_(1)=π6^2*5=180π

V_(2)=πR^2_(2)*H_(2)=π3^2*2=18π

V_(1)/V_(2)=180π/18π=10
О т в е т. в 10 раз.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2-5^2=(28-x)^2-9^2;
9^2-5^2=(28-x)^2-x^2;
(9-5)*(9+5)=(28-x-x)*(28-x+x);
4*14=(28-2x)*28
28-2x=2
2x=26
x=13
28-x=28-13=15
О т в е т. 13 и 15 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

F(x)=3ln|x|-2e^(-2x)+C

-2e^2=3ln|-1|-2e^2+C
C=0
О т в е т. F(x)=3ln|x|-2e^(-2x)

Ответ выбран лучшим

1) lim_(x→∞)1/(3n+4)=0
Выполняется.
Ряд может сходиться, может расходиться.
2)lim_(x→∞)(2n^2-1)/(3n^2+1)=2/3
не выполняется. Ряд расходится
3)lim_(x→∞)(1+(1/n))^n=e
не выполняется. Ряд расходится

Ответ выбран лучшим

a^3+8b^3=(a)^3+(2b)^3=(a+2b)*(a^2-2ab+4b^2);
x^2y-64y^3=y*(x^2-64y^2)=y*(x-8y)*(x+8y);
-5m^2+10mn-5n^2=-5(m^2-2mn+n^2)=-5*(m-n)^2;
a(a+2)(a-2)-(a-3)*(a^2+3a+9)=a^3-4a-a^3+3^3=27-4a;

x^3-4x=0
x*(x^2-4)=0
x*(x-2)(x+2)=0
x=0; x=2; x=-2.

x^3-5x^2-x+5=0
x^2*(x-5)-(x-5)=0
(x-5)*(x^2-1)=0
(x-5)*(x-1)*(x+1)=0
x=5; x=1; x=-1.

3m-3n+(m-n)^2=3*(m-n)+(m-n)*(m-n)=(m-n)*(3+m-n);

x+y+x^2-y^2=(x+y)+(x-y)(x+y)=(x+y)*(1+x-y);

9m^2+6mn+n^2-25=(3m+n)^2-5^2=(3m+n-5)*(3m+n+5);

ac^5-c^5-ac^3+c^3=c^5*(a-1)-c^3*(a-1)=(a-1)*(c^5-c^3)=
=c^3*(a-1)*(c^2-1)=c^3*(a-1)*(c-1)*(c+1)

x^2-6x+13=x^2-6x+9+4=(x-3)^2+4 > 0 при любом х, так как
(х-3)^2 больше или равно 0

при х=3 наименьшее значение равно 4

Ответ выбран лучшим

14.
Находим координаты точки пересечения
4sqrt(2)cos^3t=2
cos^3t=1/2sqrt(2)
cost=1/sqrt(2)
t_(1) = - π/6 ; t_(2) = π/6
см. рисунок

А вот что найти не написано.

Если площадь фигуры, ограниченной линией, то
S=∫^(t_(2))_(t_(1))y(t)dx(t)
dx(t)=x`(t)dt
S=∫^(π/6)_(-π/6)2sqrt(2)sin^3t*(4sqrt(2)cos^3t)`dt

=-48∫^(π/6)_(-π/6)sin^4tcos^2tdt- для вычисления интеграла применить несколько раз формулы понижения степени

2.
V(тела вращения _ох)=π∫^(π)_(0)sin^2xdx=

=π∫^(π)_(0)(1-сos2x)/2dx=π/2(x-(1/2)*sin2x)|^(π)_(0)=

=π/2(π-(1/2)*sin2π)=π^2/2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1.
y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)

y`_(t)=(tgsqrt(1+t))`=(1/cos^2sqrt(1+t))*(sqrt(1+t)`=
=(1/cos^2sqrt(1+t))*(1/2sqrt(1+t))*(1+t)`=
=1/(2sqrt(1+t)cos^2sqrt(1+t))

x`_(t)=(1/2sqrt(1-t^2))*(1-t^2)`=(1/2sqrt(1-t^2))*(-2t)

y`_(x)= -sqrt(1+t)/(2tcos^2sqrt(1+t))

2.
y`_(x)=y_`(t)/x`_(t)

y`_(t)=(sin2t)`=(cos2t)*(2t)`=2cos2t
x`_(t)=(cost+sint)`=(cost)`+(sint)`=-sint+cost=cost-sint

y`_(x)=2cos2t/(cost-sint)

y``_(xx)=(y`(x))`_(t)/x`_(t)

(y`(x))`_(t)=(2cos2t/(cost-sint))`_(t)=

=((2cos2t)`*(cost-sint)-2cos2t*(cost-sint)`)/(cost-sint)^2=

=(-4sin2t*cost+4sin2t*sint-2cos2t(-sint)-2cos2t*(-cost))/(cost-sint)^2=

y``_(xx)=(-4sin2t*cost+4sin2t*sint-2cos2t(-sint)-2cos2t*(-cost))/(cost-sint)^3

Ответ выбран лучшим

Формула
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
В выражении
x*(x+1)(x^2-x+1) + x*(x+1) - общий множитель
х*(х+1) выносим за скобки.

Ответ выбран лучшим

1. Белки (на аминокислоты)

Ответ выбран лучшим

Формула для вычисления объема шара:
V( шара)=4π*R^3

Дано
d=4 см, m=128 г
D=7 см. M=?

d=4 ⇒ r=2
D=7 ⇒ R=3,5
V:v=R^3:r^3=(R/r)^3=(3,5/2)^3=(7/4)^3

M:m=(7/4)^3
M=(7/4)^3*128=7^3*2=686 г
О т в е т. 686 г

Ответ выбран лучшим

x_(o)=4
x_(o)+Δx=4,05
Δx=4,05-4=0,05
Формула приближенных вычислений:
f(x_(o)+Δx)-f(x_(o))≈f`(x_(o))*Δx

S=πR^2
f(x)=πR^2
f`(x)=2πR

S(4,05)≈π*4^2+2π*4*0,05=16π+0,4π=16,4π≈

≈16,4*3,14=51,496

Что очень близко к непосредственному вычислению значения площади круга с радиусом 4,05 по формуле.
S(4,05)=π*(4,05)^2=
=π*16,4025=3,14*16,4025=51,50385

Ответ выбран лучшим

x_(o) - "хорошая точка", в том смысле, что значения функции и её производной в этой точке хорошо вычисляются
х_(о)+Δx - "плохая точка", значения в ней плохо считаются.
Формула приближенных вычислений имеет вид:
f(x_(o)+Δx)-f(x_(o))≈f`(x_(o))*Δx
Выражение справа и есть дифференциал.

x_(o)=8
x_(o)+Δx=7,76
Δx=7,76-8=-0,24

f`(x)=(1/3)*x^((1/3)-1)=(1/3)*x^(-2/3)=1/(3*∛x^2)
f`(8)=1/(3*∛64)=1/24

∛7,76≈∛8+(1/24)*(-0,24)
∛7,76≈2-0,01
∛7,76≈1,99

Ответ выбран лучшим

=lim_(x→∞)(9-6x+x^2+9+6x+x^2)/(9-6x+x^2-9-6x-x^2)=

=lim_(x→∞)(18+2x^2)/(-12x)=(∞/∞)=

=lim_(x→∞)(18+2x^2)`/(-12x)`=

==lim_(x→∞)(4x)/(-12)=-∞

Ответ выбран лучшим

lny=(lnarctgx)*(arctgx)
y`/y=(lnarctgx)`*(arctgx)+(lnarctgx)*(arctgx)`

y`=y*((arctgx/arctgx)*(arctgx)`+(lnarctgx)*(arctgx)`)
y`=(arctgx)^(lnarctgx)*(1+lnarctgx)*(1/(1+x^2))

Ответ выбран лучшим

y`=(√x)`– (1+x)`*arctg√x - (1 + x)*(arctg(√x))`=
=(1/(2√x)) - arctg√x - (1+x)*(1/(1+x))*(1/(2√x))=
=(1/(2√x)) - arctg√x-(1/(2√x)) = - arctg√x

dy=y`*dx
dy=- (arctg√x)dx

y`=(x)`*(cosx^2)+x*(cosx^2)`=cosx^2+x*(-sinx^2)*(x^2)`=
=cosx^2-2x^2*sinx^2

y``=(cosx^2-2x^2*sinx^2)`=
=-sinx^2*(2x)-4x*sinx^2-4x^3*cosx^2=-6xsinx^2-4x^3cosx^2

y```=(-6x*sinx^2-4x^3*cosx^2)`=

=-6sinx^2-12x^2cosx^2-12x^2cosx^2+8x^4sinx^2=

=-6sinx^2-24x^2cosx^2+8x^4sinx^2

Ответ выбран лучшим

а=3; b=4; c=sqrt(3^2+4^2)=5
S=(1/2)a*b=(1/2)*3*4=6

Ответ выбран лучшим

y=sqrt(-(x-2016)^2*(x-2017)^2*(x-2018)^2)

ОДЗ:
-(x-2016)^2*(x-2017)^2*(x-2018)^2 больше или равно 0;

(x-2016)^2*(x-2017)^2*(x-2018)^2 меньше или равно 0

х=2016; х=2017; х=2018

Ответ выбран лучшим

Нет фигуры, ограниченной пятью линиями. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2a=1-cos^2a=1-(sqrt(7)/4)=1-(7/16)=9/16
sin a = 3/4, если угол а в I или II четверти
sin a = - 3/4, если угол а в III или IY четверти

Ответ выбран лучшим

"Среди любых 18 грибов имеется хотя бы один рыжик" означает, что груздей 17.

"Срели любых 19 грибов хотя бы один груздь" означает, что рыжиков 18
О т в е т. 18 рыжиков, 17 груздей

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0, x≠1; 4^x > 12

Обозначим log_(2)(4^x-12)=t, уравнение принимает вид
log_(x)t=1
По определению
x^1=t
или
x=log_(2)(4^x-12)
Применяем определение логарифма
2^x=4^x-12
Квадратное уравнение
u^2-u-12=0, u=2^x; u > 0 u^2=(2^x)^2=4^x
D=1+48=49
u=-3 или u=4
-3 не удовлетворяет условию u > 0
2^x=4
x=2
2 > 0
4^2 > 12
x=2 удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:х > 0; y > 0; x > y

Перепишем первое уравнение пользуясь определением логарифма:
(х-у)/5=3
Заменим разность логарифмов логарифмом частного и воспользуемся определением логарифма
log_(4)(x/y)=2 или (x/y)=4^2

Решаем систему двух уравнений
{x-y=15
(x=16y

{16y-y=15
15y=15
y=1
x=16
О т в е т. (16;1)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х > 0
y`=2*lnx+2x*(1/x)
y`=2lnx+2
y`=0
2lnx+2=0
lnx=-1
x=1/e

(0)__-__(1/e)___+___

Функция возрастает на (0;1/е);
убывает на (1/е;+ бесконечность).
х=1/е- точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

Слева формула квадрата разности
(5х)^2-2*5x*1+1^2=(5x-1)^2
(5x-1)^2 больше или равно 0 при любом х.

Ответ выбран лучшим

2х^2+ху–6у^2+10х–у+12 =(2x+ay+b)(x+cy+d)

2x^2+ху–6у^2+10х–у+12 =2x^2+(a+2c)xy+acy^2+(b+2d)x+(bc+ad)y+bd

a+2c= 1
ac= - 6

a=1-2c
(1-2c)*c=-6
2c^2-c-6=0
D=49
c=2 a=-3

итак
2х^2+ху–6у^2+10х–у+12 =(2x-3y+b)(x+2y+d)
Подбором, убеждаемся, что b=4, d=3

О т в е т. 2х^2+ху–6у^2+10х–у+12 =(2x-3y+4)(x+2y+3)

Ответ выбран лучшим

у=3e^(–2x)
y`=3 e^(–2x)*(-2x)`=-6e^(–2x)

-6e^(–2x)=-2*3e^(–2x)- верно

Ответ выбран лучшим

S=∫^(2)_(0)e^(x)dx-S(прямоугольника ABCD)=
=e^(x)|^(2)_(0)-2*1=e^(2)-1-2=e^(2)-3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если смешать 1 кг первого раствора и 3 кг второго, то полученный раствор будет содержать 32,5% соли.

Полученный раствор весит (1+3)=4 кг.
В нем 32,5% соли.
4 кг составляют 100%
х кг составляют 32,5%
х=4*32,5/100=1,3 кг чистой соли.
Эта соль получилась из чистой соли первого раствора и второго раствора.
Пусть в первом растворе процентное содержание соли составляет р%, а во втором q%
Тогда чистой соли в первом растворе
1 :100*р=0,01p
Во втором
3:100*q=0,03q
Можно составить уравнение
0,01p+0,03q=1,3

Если смешать 3,5 кг первого раствора и 4 кг второго, то полученный раствор будет содержать 26% соли.
Аналогично рассуждая получим
уравнение
0,035p+0,04q=1,95

Решаем систему уравнений:
{0,01p+0,03q=1,3 умножаем на 100
{0,035p+0,04q=1,95 умножаем на 100
или
{p+3q=130 выражаем р=130-3q
{3,5p+4q=195 подставляем вместо р=130-3q
3,5*(130-3q)+4q=195;
455-10,5q+4q=195;
455-195=6,5q
q=40%
p=130-3*q=130-3*40=10%

Ответ выбран лучшим

b_(1)=175=25*3
b_(2)=-525=25*(-21)
b_(3)=1575=25*63

q=b_(3):b_(2)=b_(2):b_(1)=-3

b_(4)=b_(3)*q=1575*(-3)=-4725

Ответ выбран лучшим

S(осн)=(1/2)12sqrt(3)*12sqrt(3)*sin60 градусов=
=108 sqrt(3)
V=S(осн.)*Н=108sqrt(3)*13=1404sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

d=a_(2)-a_(1)=4-8=-4
a_(16)=a_(1)+d*(16-1)=8-4*15=-52
S_(16)=(a_(1)+a_(16))*16/2=(8-52)*8=- 44*8 = - 352

Ответ выбран лучшим

АС=АС1/2- катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
АС=4sqrt(3)
CC1=AC1*sin60 градусов=8sqrt(3)*sqrt(3)/2=12
ABCD- квадрат, так как призма правильная.
АВ=ВС=СD=AD=x
x^2+x^2=(4sqrt(3))^2
2x^2=48
x^2=24
V=S(ABCD)*CC1=x^2*12=24*12=288 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(трапеции)=(a+b)*h/2
h=4
tgα=h/4=4/4=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ CDE подобен Δ АВС ( DE || AB).
k (подобия)=DE/AB=1/2 ( DE=(1/2)AB- свойство средней линии треугольника)
S(Δ CDE) : S( Δ АВС)=k^2
S( Δ АВС)=4*S(Δ CDE) =4*96=384

Ответ выбран лучшим

cos (3пи/2–x)=-sinx
cos^2x=1-sin^2x
2-2sin^2x+1+2sqrt(2)sinx=0
2sin^2x-2sqrt(2)sinx-3=0
D=8+24=32
sinx=-sqrt(2)/2 или sinx=3sqrt(2)/2 - не имеет корней
х=(-π/4)+2πk, k∈Z или х=(-5π/4)+2πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

tgα=h/(x/2)=2h/x
2h/x=2
h=x
По теореме Пифагора
h^2+(x/2)^=20^2
x^2+(x^2/4)=400
5x^2=1600
x^2=320
x=sqrt(320)

S(параллелограмма)=2S(Δ)=2*x*h/2=x*h=x^2=320 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

55/100 – асфальт
15/100 – канифоль
5/100– олифа
25/100 – бензин

Ответ выбран лучшим

55/100 - асфальт
15/100 - канифоль
5/100- олифа
25/100 - бензин

Ответ выбран лучшим

Диагональ разбивает ромб на два равных равнобедренных треугольника со сторонами 10; 10; 16.
S(ромба)=2S(Δ)=2*16*6/2=96
V=S(ромба)*Н=96*3=288
О т в е т. 288 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

D=(3a+1)^2-4*(2a^2+a)=
=9a^2+6a+1-8a^2-4a=a^2+2a+1=(a+1)^2
sqrt(D)=sqrt((a+1)^2)=|a+1|

x1=((3a+1)-(a+1))/2=a
x2=((3a+1)+(a+1))/2=2a+1

Проверка
х1+х2=а+2а+1=3а+1 - верно
х1*х2=а*(2а+1)=2а^2+a - верно.
О т в е т. а; 2а+1.

Ответ выбран лучшим

(x-3y)*(x^2+3хy+9y^2)=1*37

Число 37 - простое, слева произведение двух скобок.
37 можно представить как произведение 1 и 37
Рассмотрим два случая
1)
{х-3у=1 ⇒ x=3y+1
{x^2+3хy+9y^2=37
(3y+1)^2+3(3у+1)*y+9y^2=37;
9y^2+6y+1+9y^2+3y+9y^2=37;
27y^2+9у-36=0
3y^2+y-4=0
D=1-4*3*(-4)=49
y1=(-1-7)/6=-4/3 - не натуральное число
у_(2)=(-1+7)/6=1
х_(2)=3у_(2)+1=3*1+1=4

или

2)
{х-3у=37
{x^2+3y+9y^2=1
(37+3у)^2+3(37+3y)+9y^2=1-уравнение не имеет решений в натуральных числах
Все коэффициенты положительные и по теореме Виета, сумма корней, которая равна коэффициенту при первой степени у, взятому с противоположным знаком.
Сумма - отрицательная, произведение положительное. Значит оба корня отрицательны.

О т в е т. х=4; у=1
проверка:
4^3-27*1^3=64-27=37- верно

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Многие учителя отказались от формулы (-1)^(k) arcsina+πk, k∈Z

Вместо нее используют две серии ответов:

arcsina+2πk, k∈Z и (π-arcsina)+2πn, n∈Z

которые можно наглядно изобразить на единичной окружности. Это помогает при отборе корней.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(7^(-4))^(5)=7^(-20)

7^(-20)/7^(-21)=7^(-20+21)=7
О т в е т. 7

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость товарного х км в час, скорость скорого поезда (х+30) км в час.
6*(х+30) км путь скорого поезда за 6 часов
8*х км путь товарного за 8 часов
Разница между ними 60 км
Уравнение
6*(х+30)-8*х=60;
6х+180-8х=60;
-2х=60-180
2х=120
х=60
О т в е т. 60 км в час

Ответ выбран лучшим

Всего 22+3=25 частей.
22/25=22*100%/25=88% составляет говядина
или
3/25=3*100%/25=12% составляет свинина
100%-12%=88% составляет говядина

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

S(сечения)=AB*KN/2=20*sqrt(364)/2=20sqrt(91) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos(3п/2+x)=sinx

7sin^2x-4sinx-3=0
D=16-4*7*(-3)=16+84=100
sinx=2 или sinx=-3/7
|sinx| меньше или равно 1, уравнение sinx=2 не имеет корней.
sinx=-3/7
x=arcsin(-3/7)+2πk, k∈Z или (π-arcsin(-3/7))+2πn, n∈Z
О т в е т. - arcsin(3/7)+2πk, (π+arcsin(3/7))+2πn, k, n∈Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1=log_(4-x)(4-x)
-1=log_(4-x)(4-x)^(-1)
-1=log_(4-x)(1/4-x))

log_(4-x)(-5-x)/(x-4) меньше или равно log_(4-x)1/(4-x);
log_(4-x)(5+x)/(4-x) меньше или равно log_(4-x)1/(4-x).

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств ( см. таблицу, пункт 5)

(4-x-1)*(((5+х)/(4-x))-(1/(4-x))) меньше или равно 0;
C учетом ОДЗ получаем систему неравенств:
{(5+x)/(4-x) > 0; ⇒ -5 < x < 4
{4-x > 0; 4-x ≠1 ⇒ x < 4; x≠3
{(4-x-1)*((5+х-1)/(4-x)) меньше или равно 0;⇒ x≤-4; 3≤x < 4

О т в е т. (-5; -4]U[3;4)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 6-х > 0
x < 6
Основания равны, значит и выражения пол логарифмами равны.
6-х=7
х=-1
-1 < 6,
x=-1 принадлежит ОДЗ
О т в е т. х=-1

Ответ выбран лучшим

Область определения ( - бесконечность; + бесконечность).

y`=-4x+5
y`=0
x=1,25 - точка максимума, производная меняет знак + на -
у(1,25)=-2*(1,25)^2+5*1,25-2=-3,125+6,25-2=1,125
Функция возрастает на (- бесконечность; 1,25); функция убывает на (1,25; + бесконечность).

Точки пересечения с осью Ох:
-2x^2+5x-2=0
2x^2-5x+2=0
D=25-16=9
x=(5-3)/4=1/2 или х=(5+3)/4=2
с Осью Оу
х=0 у=-2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

13.
ОДЗ:sinx > 0, x∈(πk, π+πk), k∈Z

log^2_(3)sinx=(log_(3)sinx)^2
log_(3)sin^2x=log_(3)(sinx)^2=2log_(3)sinx

log_(3)sinx*(log_(3)sinx +2-log_(3)2)=0
log_(3)sinx=0 или log_(3)sinx=log_(3)(2/9)
sinx=1 или sinx=2/9
x=(π/2)+2πm, m∈Z или х=arcsin(2/9)+2πn, n∈Z
или х=π- arcsin(2/9)+2πs, s∈Z
О т в е т. (π/2)+2πm, arcsin(2/9)+2πn, π- arcsin(2/9)+2πs, m, n, s∈Z.

Указанному промежутку принадлежат корни: (π/2) и
π- arcsin(2/9) ( см. рисунок).

15.
Замена переменной:
2^x=t
t > 0
(t^3+3t-32)/(t-3)+(t^3-8t-7)/(t^2-8) больше или равно t^2+4t+12.
Переносим слагаемые в одну сторону и приводим к общему знаменателю.
(4t^2-7t-11)/(t-3)(t^2-8) больше или равно 0
D=49+4*4*11=225
(t-1)(4t+11)/(t-3)(t^2-8)больше или равно 0

-2sqrt(2) < -11/4=-2,75
2sqrt(2) < 3

(-2sqrt(2);-11/4]U[1;2sqrt(2))U(3;+бесконечность)
Учитывая t > 0
1 ≤ 2^x < 2sqrt(2) ⇒ 0 ≤ x < 3/2
2^x > 3 ⇒ x > log_(2)3
О т в е т. 0 ≤ x < 3/2; x > log_(2)3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cпасибо, исправила. Описка, далее то используется именно сtg.

Ответ выбран лучшим

1.
Числитель отрицателен, значит и знаменатель отрицателен.
(х+2)^2-5 < 0
x^2+4x+4-5 < 0
x^2+4x-1 < 0
D=16+4=20
x1=(-4-2sqrt(5))/2=-2-sqrt(5); x2=-2+sqrt(5).
О т в е т.( -2-sqrt(5);-2+sqrt(5))
2.
77/(х-4) - 77/(х+4)=2
77*(x+4-x+4)=2(x^2-16)
x^2=324
x=18
3. у=4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-2 > 0 ⇒ x > 2
{2-3x > 0 ⇒ x < 2/3
Множества не пересекаются. У уравнения нет ОДЗ.
Нет таких х, которые являлись бы решениями уравнения.
О т в е т. Уравнение не имеет корней.

2 способ

1=log_(2)2
Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения.

log_(2)(x-2)=log_(2)(2-3x)+log_(2)2
log_(2)(x-2)=log_(2)2*(2-3x)
x-2=2*(2-3x)
x-2=4-6x
x+6x=4+2
7x=6
x=6/7
При х=6/7 log_(2)((6/7)-2) не существует.
О т в е т. нет корней.

Ответ выбран лучшим

1) диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам - неверно
2) площадь параллелограма равна половине произведения его диагоналей - неверно
3) угол опирающий на диаметр окружности прямой- верно

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

8) 5-7х+14 меньше или равно 12;
-7х меньше или равно -7
х больше или равно 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=13586

Ответ выбран лучшим

1)
(1/7)+(18/21)=(3/21)+(18/21)=21/21=1
4)5x^2+6x-11=0
D=36-4*5*(-11)=4(9+55)=4*64=16^2
x1=(-6-16)/10=-2,2 или x2=(-6+16)/10=1
О т в е т. -2,2; 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7b-8 и есть ответ. Больше ничего упростить нельзя

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=13856

Ответ выбран лучшим

Все верно. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

11.
Универсальная подстановка
tg(x/2)=t ⇒ cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
x=2arctgt
dx=2/(1+t^2)

=∫^(1)_(0)(2-2t^2)dt/(1+t^2)*(t^2+9)=

интегрирование рациональных дробей.
Раскладываем подынтегральную дробь

=(1/2)∫^(1)_(0)dt/(t^2+1) -(5/2) ∫^(1)_(0)dt(t^2+9)=

=((1/2)artctgt-(5/2)*(1/3)arctg(t/3))|^(1)_(0)=

=(3/6)*(π/4)-(5/6)*(π/12)=4π/72=π/18.

2) x=16cost
dx=-16sintdt
sqrt(256-x^2)=sqrt(256-256cos^2t)=16sint

=∫^(0)_(π/2) 16 sint*(-16cost)dt=-256∫^(0)_(π/2) sintd(sint)=
=256∫^(π/2)_(0) sintd(sint)=256*(sin^2t/2)|^(π/2)_(0)=
=128

3) S=2∫^(4)_(2)(4x-8-(x-2)^3)dx=

=2*(2x^2-8x-(x-2)^4/4)^(4)_(2)=

=8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
y`=(1/(1+cosx))*(1+cosx)`=-sinx/(1+cosx)
2)
y`=(1/tg2x)*(1/cos^22x)*(2x)`=2/(sin2x*cos2x)=4/(sin4x)
3)
y=(1/lnx)*(lnx)`=1/(xlnx)

Ответ выбран лучшим

х > 5,2
x=5,4- решение
х=6 - решение
....

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sqrt(2) · cosx ≠1
x≠+– pi/4+2pin.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:6х-6 > 0;
x > 1

log_(16)(6x-6)=6/4
log_(16)(6x-6)=3/2
По определению логарифма
6x-6=16^(3/2)
6x-6=64
6x=64+6
6x=70
x=70/6
x=35/3

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Чтобы найти дугу, надо найти угол ВАС, опирающийся на эту дугу.
Угол ВАС найдем по теореме косинусов.
ВС^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos∠BAC;
13^2=8^2+15^2-2*8*15*cos∠BAC;
cos∠BAC=1/2;
∠BAC=60 градусов.
∪ВС=120 градусов

Ответ выбран лучшим

1.
1) 144:6=24 км в час - скорость катера против течения;
2) 194:4=48,5 км в час - скорость катера по течению
3) (48,5+24)/2=36,25 км в час- собственная скорость катера
v(по течению)=v(катера) +v (реки)
v(против течения)=v(катера) -v (реки)

2.
1) 120:5=24 км в час - скорость по течению
2) 120:6=20 км в час - скорость против течения
3)(24+20)/2=22 км в час - собственная скорость катера
4) 24-22=2 км в час - скорость течения реки

3.
1) 20-2=18 км в час - скорость лодки против течения
2) 18*3=54 км проплыл на лодке
3) 54:2=27 часов затратил на путешествие на плоту.

4.
5*v(по течению) - 5*v(против течения)=20
5*(v(катера)+v(реки))-5*(v(катера)-v(реки))=20
10 v ( реки)=20
v (реки)= 2 км в час.
5.
0,4 км=400 м
1,8 км=1800 м
0,07км=70

17,495 т=17495 кг
3,49 т=3490 кг
0,04 т=40 кг
0,5 ц=50 кг
0,6 т=600 кг
0,05 ц=5 кг
1,6 т=1600 кг

0,25 р=25 копеек
0,3 р=30 копеек
1,7 р=170 копеек
0,03р=3 копейки

Ответ выбран лучшим

1. Последнее число в разряде тысяч стоит цифра один- неверно, так как у числа 7711- в разряде тысяч цифра 7
2.Среди этих чисел есть число которое при делении на 100 дает остаток 3- неверно, так как
7110 даст в остатке 10
7017 - 17
7010 - 10
7711- 11.
3.Делитель чисел равно 2 четных числа- неверно
7017 и 7711 - нечетные числа и они не делятся на четное число
4.Все числа записаны в порядке возрастания - неверно

Ответ выбран лучшим

30-6*3=12
О т в е т. 12 таблеток осталось

Ответ выбран лучшим

1.В последнем числе в разряде тысяч стоит цифра 6- верно (6644 в разряде тысяч первая 6)
2. Все числа записаны в порядке возрастания- неверно
(6046 > 6040)
3 Среди этих чисел есть ровно три чётных числа- неверно
(все пять чисел чётные)
4Среди этих чисел есть число которое при делении на 100даёт остаток 4- верно
(это число 2004)

Ответ выбран лучшим

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных.
∠ ВСЕ=∠АВС+∠ВАС
∠ВАС=∠ВСЕ-∠АВС=67 градусов - 32 градусов = 35 градусов
О т в е т. 35 градусов (прикреплено изображение)

О т в е т. 1600 м (прикреплено изображение)

Р=2*((24+4)+(11+4))=2*(28+15)=86 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора
25^2-15^2=625-225=400
20*2=40 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов.
Значит, 168 градусов сумма острых угла параллелограмма.
168 градусов : 2 = 84 градусов.
О т в е т. 84 градусов

Ответ выбран лучшим

|x-7| > 0 при всех х, кроме х=7
О т в е т. (-бесконечность;7)U(7; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

(27*(х-5)+(х+5))/(х+5)(х-5)=2
(27х-135+х+5)/(x^2-25)=2
x^2-25≠0
28x-130=2x^2-50
x^2-14x+40=0
D=196-160=36
x1=(14-6)/2=4 или х=(14+6).2=10
О т в е т. 4; 10

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2-18x+24
y`=0
x^2-6x+8=0
D=36-32=4
x1=(6-2)/2=2 или x2=(6+2)/2=4 ∉(-1;3)
x=2- точка локального максимума функции, так как производная меняет знак с + на -.
y(2)=2^3-9*2^2+24*2-7=8-36+48-7=13
О т в е т. 13

Ответ выбран лучшим

1)x^2-3x+2=0
D=(-3)^2-4*2=1
x1=(3-1)/2=1 или х2=(3+1)/2=2

2)x^2–7x+12=0
D=(-7)^2-4*12=1
x1=(7-1)/2=3 или х2=(7+1)/2=4

3)x^2+x–6=0
D=1^2-4*(-6)=25
x1=(-1-5)/2=-3 или х2=(-1+5)/2=2

4)x^2–3x–4=0
D=(-3)^2-4*(-4)=25
x1=(3-5)/2=-1 или х2=(3+5)/2=4

5)x^2+3x+2=0
D=(3)^2-4*2=1
x1=(-3-1)/2=-2 или х2=(-3+1)/2=-1

6)x^2–5x+5=0
D=(-5)^2-4*5=5
x1=(5-sqrt(5))/2 или х2=(5+sqrt(5))/2

Ответ выбран лучшим

x^2-5x-14=0
D=(-5)^2-4*(-14)=25+56=81
x1=(5-9)/2=-2 или х2=(5+9)/2=7

О т в е т. -2; 7

Ответ выбран лучшим

22x+4y-15z-83=0 ⇒ vector{N1}={22;4;-15} - нормальный вектор плоскости P1.
26x-4y-9z-37=0 ⇒ vector{N2}={26;-4;-9} - нормальный вектор плоскости P2.
Cм. приложение

vector{N1N2}={-96;-192;-192}

Найдем координату какой-нибудь точки F, принадлежащей плоскостям P1 и Р2, т. е линии их пересечения.
Пусть z_(F)=0
{22x_(F)+4y_(F)–15z_(F)–83=0
{26x_(F)–4y_(F)–9z_(F)–37=0
Cкладываем уравнения:
48x_(F)-120=0
х_(F)=2,5

4у_(F)=83-22x_(F)
4у_(F)=83-22*2,5
у_(F)=7

Пусть точка M(x;y;z) принадлежит искомой плоскости.
Три вектора :
vector{FM}= {x-2,5; y-7;z-0};
vector{a}=(3;1;4};
vector{N1N2}={-96;-192;-192}
компланарны.
Условие компланарности векторов, заданных своими координатами- равенство 0 определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов.

|x-2,5 y-7 z-0 |
| 3 1 4 | = 0
|-96 -192 -192|

|x-2,5 y-7 z-0 |
| 3 1 4 | = 0
|1 2 2 |

5z-2(y-7)-6(x-2,5)=0
6x+2y-5z-29=0
О т в е т. 6x+2y–5z–29=0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной функции у=f(x) в точке х=а
f`(a)=k(касательной)=tgα

f`(x)=(2/sqrt(3))*(sinx(x/2))*(1/2)=(1/sqrt(3))*sin(x/2).
f`(π)=(1/sqrt(3))*sin(π/2)=1/sqrt(3).
tgα=1/sqrt(3)
α=π/6
О т в е т. π/6

Ответ выбран лучшим

Угловой коэффициент касательной к кривой у=f(x) в точке х=а
k= f`(a)

f`(x)=-6(x+6)^5

f`(a)=f`(5)=-6(5+6)^5=-6*11^5
О т в е т. -6*11^5

Ответ выбран лучшим

1)
Перепишем уравнение в виде:
(a-x)^2+sqrt(x-a)=b
или
(x-a)^2+sqrt(x-a)=b

Функция у=(x-a)^2+sqrt(x-a)- сумма двух функций
у1=(x-a)^2 и у2=sqrt(x-a)

График функции у=(x-a)^2 - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке (а;0).
(x-a)^2 больше или равно 0 при любом х.

График функции у=sqrt(x-a) -одна ветвь параболы, вершина в точке (а;0).
sqrt(x-a) больше или равно 0 при любом х больше или равно а.

Сумма двух неотрицательных функций определена на [a;+ бесконечность), монотонно возрастает, как сумма двух монотонно возрастающих функций.
Область значений суммы [0; + бесконечность)
При любом а и b больше или равно 0 уравнение имеет решение.
2) a- любое, b меньше или равно 0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусов.
∠В + ∠Д= 180 градусов;
∠A + ∠C= 180 градусов.

∠В = ∠Д=90 градусов.
Пусть ∠A =2х; ∠C= 7х.
2х+7х=180 градусов.
9х=180 градусов.
х= 20 градусов.

∠A =2*20 градусов=40 градусов; ∠C= 7*20 градусов=140 градусов.
О т в е т. 140 градусов

Ответ выбран лучшим

В равностороннем треугольнике биссектриса есть высота и медиана.
Из прямоугольного треугольника высота, медиана и биссектриса равна
14sqrt(3)*sin60 градусов=14sqrt(3)*(sqrt(3)/2)=21.
О т в е т. 21.
2) Вписанный угол измеряет половиной дуги, на которую опирается.
Значит, ∪ADC=108 градусов, ∪DC=82 градусов,
∪AD=108 градусов-82 градусов=26 градусов

∠ABD=13 градусов.
О т в е т. ∠ABD=13 градусов.

Ответ выбран лучшим

1) Раскладываем знаменатель на множители
x^3-2x^2+x=x*(x^2-2x+1)=x*(x-1)^2
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие дроби:
(А/х) + (В/(х-1))+(С/(х-1)^2)=(2x^2-3x+3)/(x*(x-1)^2).
Приводим дроби слева к общему знаменателю и приравниваем числители:
A*(x-1)^2+Bx*(x-1)+Cx=2x^2-3x+3
При х=0
А=3
При х=1
С=2
При х=2
А+2В+2С=8-6+3⇒ В=-1
Данный интеграл равен сумме трех интегралов:
∫(3dx/х) + ∫(-dx/(х-1))+∫(2dx/(х-1)^2)
О т в е т. 3ln|x|-ln|x-1|-(3/(x-1))+C
2)
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие дроби:
(А/х) + ((Mx+N)/(х^2+1))=(1)/(x*(x^2+1)).
Приводим дроби слева к общему знаменателю и приравниваем числители:
A*(x^2+1)+(Mx+N)*x=1
Ax^2+A+Mx^2+Nx=1
{A+M=0 ⇒ M=-A=-1
{N=0
{A=1
Данный интеграл равен сумме двух интегралов:
∫(dx/х) + ∫(-хdx/(х^2+1))
О т в е т. ln|x|-(1/2)ln|x^2+1|+C
3)
Замена переменной
sqrt(x+9)=t
Возводим в квадрат
х+9=t^2
dx=2tdt
Данный интеграл равен
∫(2t^2dt)/(t^2-9)=2*∫(t^2-9+9)dt/(x^2-9)=

=2∫(1+(9/(t^2-9)))dt=2t+(9/2*3)ln|(t-3)/(t+3)|+C=

=2sqrt(x+9)+(3/2)*ln|(sqrt(x+9)-3)/(sqrt(x+9)+3)|+C

Ответ выбран лучшим

Пусть прямая касается параболы в точке x_(o).
Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=k(касательной)

f`(x)=(x^2-3x+2)`=2x-3
f`(x_(o))=2*x_(o)-3

Уравнение касательной к кривой в точке х_(o) имеет вид
у-f(x_(o))=f`(x_(o))*(x-x_(o))
у-(х_(o))^2+3x_(o)-2=(2*x_(o)-3)*(x-x_(o))
Учитывая условие, что эта касательная пересекает ось оу в точке (0;-2) подставляем координаты х=0 у=-2 в уравнение
-2-(х_(o))^2+3x_(o)-2=(2*x_(o)-3)*(0-x_(o))
-2-(х_(o))^2+3x_(o)-2=-2(х_(o))^2+3x_(o)
х^2_(o)=4
x_(o)=-2 или х_(о)=2 - не удовлетворяет условию задачи, не принадлежит второй четверти.

Уравнение касательной имеет вид
у-12=-7(х+2)
у=-7х-2
Эта прямая пересекает ось ох в точке
(-2/7;0)

-7х-2=0
x=-2/7
О т в е т. (-2/7; 0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
4-x^2 больше или равно 0⇒х^2 меньше или равно 4⇒
-2 меньше или равно х меньше или равно 4
Внутренняя часть полосы, ограниченная прямыми х=-4 и х=4
Рассмотрим первое неравенство.
Граница этого неравенства
y=-sqrt(4-x^2) - полуокружность
с центром в точке (0;0) радиусом 2
Полуокружность разбивает плоскость на две части : выше этой полуокружности и ниже и ограниченную полосой ( см. ОДЗ)

Указанному неравенству удовлетворяют точки внутри полуокружности и выше оси ох в полосе..
Второе равенство.
а)Если 2-у больше или равно 0, то |2-y|=2-y
Уравнение принимает вид
2-у=2-у- верно при любом у меньше или равно 2.
часть плоскости ниже прямой у=2.
б)Если 2-у < 0, то |2-y|=-2+y
Уравнение принимает вид
2-у=-2+у
у=2 не удовлетворяет условию 2-у < 0
Нет таких точек
См. рисунок.
Фигура,площадь которой надо найти состоит из полуокружности и прямоугольника.

S=4*2+(1/2)S(круга)=8+(1/2)*π*2^2=8+2π
О т в е т. (8/π)+2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(1/(tg2x))*(tg2x)`=(1/(tg2x))*(1/cos^22x)*(2x)`=

=2/((sin2x)*cos2x)=4/(sin4x)

Ответ выбран лучшим

cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1
cosα=cos45 градусов=sqrt(2)/2
cosβ=1/sqrt(5)
cos^2γ=1-(1/2)-(1/5)=3/10
cosγ=sqrt(3/10)

Ответ выбран лучшим

y`=(1/(1+cosx))*(1+cosx)`=
=-sinx/(1+cosx)

Ответ выбран лучшим

да, только скобки нужны
(sinu)'=(cosu)·u'
или
(sinu)'=u' ·cosu

Ответ выбран лучшим

Пусть В.П. внес х тыс.рублей.
В конце первого месяца начислены проценты 0,04х тыс. руб.
Сумма на счете- 1,04х тыс. руб.
На начало второго месяца В.П. добавляет х тыс руб..
Сумма на счете 2,04х тыс. руб.
Проценты за второй месяц 0,0816хтыс. руб.
Сумма на счете (2,04х+0,0816х) тыс. руб.
В начале третьего месяца В.П. вносит на счет х тыс. руб.
....
1-ый месяц
х+0,04х
2-й месяц
(1,04х+х)*1,04=1,04^2x+1,04x
3-й месяц
(1,04^2x+1,04x+x)*1,04=1,04^3x+1,04x^2+1,04x

...
за 20-й месяц
1,04^(20)x+1,04x^(19)+,,,1,04x=
=х*(1,04^(20)+1,04^(19)+...+1,04)
Что по условию должно равняться 1 000 000

Уравнение.
х*(1,04^(20)+1,04^(19)+...+1,04)=1 000 000

В скобках сумма 20-ти членов геометрической прогрессии

1,04*(1,04^(19)-1)x/(1,04-1)=1 000 000

26x*(1,04^(19)-1)= 1 000 000
(1,04^(19)-1)x= 1 000 000 :26
2,10684918x=38461,5385
x=

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{3x-1 > 0;
{x+5 > 0
ОДЗ: х > 1/3

lg(3x-1)=lg(x+5)+lg5;
lg(3x-1)=lg(5x+25);
3x-1=5x+25;
3x-5x=25+1
-2x=26
x=-13
-13 не принадлежит ОДЗ.
Уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

Обозначим
arcsin(sqrt(2/3))=α; arcsin(((√2)–1)/√6)=β
Найти
α-β

arcsin(sqrt(2/3))=α,⇒ sin α=sqrt(2/3)
и α∈[-π/2;π/2]
Найдем cosα=sqrt(1-sin^2α)=
=sqrt(1-(sqrt(2/3))^2)=sqrt(1/3).

arcsin(((√2)–1)/√6)=β ⇒ sinβ =((√2)–1)/√6
и β∈[-π/2;π/2]
Найдем cosβ=sqrt(1-sin^2β)=sqrt(1-(((√2)–1)/√6)^2)=sqrt(((√2)+1)/√6)

Найдем
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=

=(2+sqrt(2)-sqrt(1)-1)/sqrt(18)=1/sqrt(2)

α-β=π/4

О т в е т. π/4

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-1 > 0;
{x+1 > 0
ОДЗ: x > 1

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения.
lg(x-1)(x+1)=0
(x-1)(x+1)=10^(0)
x^2-1=1
x^2=2
x1=-sqrt(2) или х=sqrt(2)
x1 не удовлетворяет ОДЗ.
О т в е т. sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

Метод рационализации логарифмических неравенств
(см. таблицу) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем точки, в которых подмодульные выражения обращаются в 0.
x^2–x–6=0
D=1+24=25
x=–2 или х=3
_+___ (–2) _–__ (3) _+__

6–х=0
х=6
___________+_________ (6) ___–__

Оба подмодульных выражения положительны при
(–∞; –2) U(3;6)
Оба отрицательны– ни при каких х

Имеют противоположные знаки
при x∈ (–2;3) U(6; + ∞)

Рассматриваем два случая:
1) оба подмодульных выражения одного знака
х∈(–∞; –2) U(3;6)
Тогда
x^2–x–6=6–x или –(x^2–x–6)=–(6–x)

x^2–12=0
x1=2√3 или x2=–2√3
оба корня принадлежат (–∞; –2) U(3;6)
2) подмодульные выражения разных знаков
при x∈ (–2;3) U(6; + ∞)

x^2–x–6=–(6–x) или –( x^2–x–6) = 6–x
x^2–2x=0
x(x–2)=0
x3=0 или х4=2
Оба корня принадлежат интервалу [–2;3] U[6; + ∞)

О т в е т. 0+ 2+ 2√3-2sqrt(3)=2.

Ответ выбран лучшим

Обозначим
A-"Буратино досталось две монеты и хотя бы одна фальшивая".
n=C^(2)_(10)=10!/(10-2)!*2!=10*9/2=45 cпособов выбрать две монеты.
m=C_(8)^1*C^1_(2)+C^2_(2)=8*2+1=17 способов выбрать хотя одну фальшивую ( одну или обе)
р(А)=m/n=17/45=0,37777...
p=0,38

2 cпособ.
Найдем вероятность противоположного события.
vector{A} -"Буратино досталось две монеты из 10-ти и обе настоящие".
n=C^(2)_(10)=10!/(10-2)!*2!=10*9/2=45 cпособов выбрать две монеты.
m=C^2_(8)=8!/(8-2)!*21=7*8/2=28 cпособов.
р(vector{A})=m/n=28/45
р(А)=1-р(А)=1-(28/45)=17/45=3/5=0,37777...
р=0,38

О т в е т. 0,38

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:5x^2+2x^5 > 0
x^2*(5+2x^3) > 0
x^2 > 0 при всех х, х≠0
5+2x^3 > 0
x^3 > -5/2
x > ∛ (-5/2)
ОДЗ:х∈(∛ (-5/2);0)U(0;+ ∞).

y`=(10x+10x^4)/(5x^2+2x^5)
y`=0
10x+10x^4=0
10x*(1+x^3)=0
x=0; x=-1
x=0 не входит в ОДЗ
х=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.

Ответ выбран лучшим

(sqrt(a)-sqrt(b))^3+2a^(3/2)+b^(3/2)=
=a^(3/2)-3asqrt(b)+3sqrt(a)*b-b^(3/2)+2a^(3/2)+b^(3/2)=
=3sqrt(a)*(a-sqrt(a)sqrt(b)+b)

a^(3/2)+b^(3/2)=(a^(1/2))^3+(b^(1/2))^3=

=(sqrt(a)+sqrt(b))*(a-sqrt(a)sqrt(b)+b)

((sqrt(a)-sqrt(b))^3+2a^(3/2)+b^(3/2))/(a^(3/2)+b^(3/2))=

=(3sqrt(a)*(a-sqrt(a)sqrt(b)+b))/(sqrt(a)+sqrt(b))*(a-sqrt(a)sqrt(b)+b)=
=3sqrt(a)/(sqrt(a)+sqrt(b))

3sqrt(a)/(sqrt(a)+sqrt(b)) + 3sqrt(b)/(sqrt(a)+sqrt(b))=
3(sqrt(a)+sqrt(b))/(sqrt(a)+sqrt(b))=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть в первый день прочитал х страниц, во второй день у страниц, в третий день z страниц.
x:y:z=(1/5):(1/3):(1/10)⇒
5x=3y ⇒х=0,6у
x=2z
3y=10z ⇒z=0,3у

В четвертый день прочитал 15% от у, т. е 0,15у

По условию
во второй день прочитал на 8 страниц больше числа всех страниц, прочитанных в другие дни
у -(х+z+0,15у)=8

у-0,6у - 0,3у- 0,15у=8
-0,05у=8
чего быть не может???

Скорее всего во второй день прочитал на 8 страниц МЕНЬШЕ, чем в остальные дни.
Уравнение примет вид:

(х+z+0,15у)-у=8
0,05у=8
у=160

х=0,6у=96
z=0,3y=48
0,15у=24

О т в е т. 96+160+48+24=328 страниц прочитано.
Во второй день 160 страниц, в остальные дни 168 страниц.
Во второй день на 8 страниц МЕНЬШЕ, чем в остальные дни.

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл ∫^(b)_(a)f(x) dx.

Значение определенного интеграла ( а > b; f(x) > 0) численно равно площади криволинейной трапеции ограниченной кривой у=f(x), осью ох и прямыми х=а и х=b.

По графику f(-5)=3; f(7)=5
пусть f(-1)=x
S1(трапеции)=(3+х)*4/2=2*(3+х)=2х+6
S2(трапеции)=(х+5)*8/2=4*(х+5)=4х+20

S1(трапеции) + S2(трапеции)=34,4
2х+6+4х+20=34,4
6х=8,4
х=1,4
О т в е т. f(-1)=1,4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть пенсия A руб.
Повышение 1 января на 2% :
1,02A рублей - размер пенсии с 1 января по 30 июня
0,02A руб. прибавка за 1 месяц.
0,02A*6=0,12A руб прибавка, которую получит пенсионер за первые полгода.
Считаем размер пенсии с 1 июля 2017 года.
1,02A рублей составляют 100%
х рублей составляют 2%
х=(1,02А*2)/100=0,0204А рублей прибавка за 1 месяц с 1 июля.
(1,02А+0,0204А)=1,0404А рублей - размер пенсии с 1 июля
0,0404А - прибавка к пенсии c июля.
6*(0,0404)А =0,2424А рублей- прибавка, которую получит пенсионер за вторые полгода.

0,12А+0,2424А < 5000
0,3624А < 5000
А=13 700
О т в е т. 13 700 руб.

Ответ выбран лучшим

Первый цилиндр:
S1(полн. пов.)=2π*r^2+2π*rh
S(боковой пов.)=2π*rh

S1(полн. пов.):S(боковой пов.)=(2π*r^2+2π*rh):2π*rh

S(полн. пов.):S(боковой пов.)=(r+h):h

По условию
(r+h):h=5:3
3r+3h=5h
3r=2h

Второй цилиндр:
S2(полн. пов.)=2π*R^2+2π*Rh=2πR(R+h)=
=2π*(2r)*(2r+h)

S2(полн. пов.):S1(полн.пов.)=

=2π*(2r)*(2r+h):2π*r(r+h)=2*(2r+h)/(r+h)=

=2*((4h/3)+h)/((2h/3)+h)=14:5=2,8
О т в е т. 2,8

Ответ выбран лучшим

cos((4/3)πsinx)=–1/2

(4/3)πsinx=± (2π/3)+2πk, k∈Z

sinx= ± (1/2)+3k/2, k∈Z

| ± (1/2)+3k/2)| меньше или равно 1
при k=0
sinx=-1/2 или sinx=1/2
при k=1
sinx=1 или sinx=2
при k=-1
sinx=-1 или sinx=-2

sinx=-1/2
x=(-π/6)+2πk, k∈Z или x=(-5π/6)+2πn, n∈Z
sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈Z или x=(5π/6)+2πn, n∈Z
sinx=1
x=(π/2)+2πm, m∈Z
sinx=-1
x=(-π/2)+2πm, m∈Z

О т в е т. а)±(π/6)+2πk,± (5π/6)+2πn,
±(π/2)+2πm, k, n, m∈Z ( см. рис. 1)

б)Неравенство
-π/2≤ x+2π/3 ≤ π/2
задает интервал
- (π/2) - (2π/3)≤ x ≤ (π/2) - (2π/3)
или
- (7π/6)≤ x ≤ (-π/6)

Указанному промежутку принадлежат корни:
-π/6; -π/2; -5π/6; -7π/6.
cм рис. 2
Их сумма
(-π/6)+(-π/2)+(-5π/6)+(-7π/6)=-16π/6=-8π/3.

О т в е т.б) -8π/3.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х≠2
2- внутренняя точка [0;5]
Значит рассматриваем функцию на
[0;2) U (2;5]

y`=1+4*(-2)*(x-2)^(-3)
y`=((x-2)^3-8)/(x-2)^3
y`=0
(x-2)^3-8=0
x-2=2
x=4∈(2;5]

Отмечаем знак производной

[0] _+__ (2) _-__ (4) _+_ [5]

Наименьшее значение функции у(0)=1

x=4 - точка локального минимума функции,
х=2 - точка разрыва.
см. график на рисунке
y(0)=0+(4/4)=1
y(4)=4+(4/4)=5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х кг товара можно купить.
В магазине придется заплатить 100х руб.
В интернет магазине стоимость товара
(88х +500) руб
100х > 88x+500;
12x > 500
x > 500/12
x > 41,7
О т в е т. 50 кг товара.

Ответ выбран лучшим

1) 12,5*4+22,5*2+5*6=50+45+30=125
2)12,5*4=50
3)(50/125)*100%=40%
О т в е т. 40%

Ответ выбран лучшим

(1,6*100)*(5*10 000)=
=160*50 000=8 000 000

Ответ выбран лучшим

(1,6*5)*(10^2*10^4)=8*(10^6)=8 000 000

Ответ выбран лучшим

2+7=9
189:9=21
21*7=147 голосов.

Победитель получил 7/9
(7/9)*189=147

Ответ выбран лучшим

Из условий
1)-6) следует
6А- в, п, н;
6Б- в, н, н;
6В- в, п, н
6Г- п, н, н

Составим таблицу
# 6A 6Б 6В 6Г
6А # ? ? ?
6Б ? # ? н
6В ? ? # ?
6Г ? н ? #

6Б и 6Г по две игры завершили вничью.
Значит 6A сыграл вничью с 6Б или с 6Г
6В сыграл вничью с 6Б или с 6Г

6Б не потерпел ни одного поражения

И т.д.
Получился такой ответ.
6А сыграл с 6Б вничью 0:0
6А проиграл 6В 0:1
6А выиграл у 6Г 2:0
6Б выиграл у 6В 1:0
6Б сыграл вничью с 6Г 0:0
6В выиграл 1:0 у 6А
проиграл 0:1 6 Б
вничью сыграл с 6Г 1:1

Ответ выбран лучшим

y`=(x^2-14x+20lnx-6)=(x^2)`-14(x)`+20*(lnx)`-(6)`=
=2x-14+(20/x)=
=(2x^2-14x+20)/x
y`=0
2x^2-14x+20=0
x^2-7x+10=0
D=49-40=9
x=(7-3)/2=2 или х=(7+3).2=5
Знак производной
_+__ (2) _-__ (5) _+__

х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=5 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.

Функция возрастает при х < 2 и х > 5.
Функция убывает при 2 < x < 5.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем числители
1)
х≠±4
7(х+2)(х+4)-48*7=13(x^2-16);
7x^2+42x+56-336=13x^2-208;
6x^2-42x+72=0
x^2-7x+12=0
D=49-48=1
x1=(7-1)/2=3 или х2=(7+1)/2=4 - не удовл усл. х≠±4
О т в е т. 3
2)
х≠±1
(х+2)(х+1)-3(х-1)=6;
x^2+3x+2-3х+3=6;
x^2-1=0
x1=-1 или x2=1 оба корня не удовл усл. х≠±1
О т в е т. нет корней
3)
х≠±2
(х+2)(х+3)+(х+9)(х-2)=20;
x^2+5x+6+x^2+7х-18=20;
2x^2+12x-32=0
x^2+6x-16=0
D=36+64=100
x1=-8 или x2=2 - не удовл усл. х≠±2
О т в е т. -8

4)
х≠-3, х≠1
(х-2)(х-1)+х(х+3)=20;
x^2-3x+2+x^2+3х-20=0;
2x^2-18=0
x^2-9=0
x1=-3 или x2=3
х1 не удовл усл. х≠-3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Все верно, только при написании дробей нужны скобки
0,5+(4/5)+7·(5/14)=0,5+0,8+2,5=3,8

1)
180 градусов - 30 градусов-45 градусов=105 градусов- третий угол треугольника, лежащий против данной стороны.
По теореме синусов:
6:sin105 градусов=х:sin30 градсуов
sin105 градусов = sin 75 градусов=sin(30 градусов+45 градусов)=sin 30 градусов* сos 45 градусов+ cos 30 градусов* сos 45 градусов=sqrt(2)/2*((1/2)+(sqrt(3)/2))=
=(sqrt(2)+sqrt(6))/4

x=6*sin30 градусов/sin75градусов=
=12/(sqrt(2)+sqrt(6).

6:sin105 градусов= у: sin 45 градусов.

у=12sqrt(2)/(sqrt(2)+sqrt(6))

2)
Диагональ разбивает параллелограмм на 2 треугольника.
Найдем площадь одного из них по формуле Герона.
р=(25+29+36)/2=45
S=sqrt(45*(45-25)*(45-29)*(45-36))=sqrt(5*9*4*5*16*9)=
=5*9*2*4=360 кв.см
S (параллелограмма) =2*360=720 кв. см.

Биссекриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник, боковые стороны равны 11 см.
S(параллелограмма)=11*(11+5)*sin 30 градусов=88 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(4a)^(5/2)=2^5a^2sqrt(a)
32a^2sqrt(a)/a^2sqrt(a)=32

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x=x`-2;
y=y`-3;
z=z`+4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^3+6x^2+9x-2x^2-12x-18=6x-18;
x^3+4x^2-9x=0
x*(x^2+4x-9)=0
x1=0 или х^2+4x-9=0
D=16+4*9=4*13
x2=(-4-2sqrt(13)/2=-2-sqrt(13)
x3=(-4+2sqrt(13)/2=-2+sqrt(13)

Ответ выбран лучшим

1)=log_(5)20+log_(5)0,05=log_(5)1=0
2)=log_(6)270/7,5+log_(4)2=log_(6)36+(1/2)=2+(1/2)=2,5
3)=log_(12)20+log_(12)0,05=log_(12)1=0
4)=log_(0,5)2*4=log_(0,5)8=-3

Ответ выбран лучшим

1)
Т=π/10
Tак как T=2π/ ω ⇒ ω=20

φ=0
А=(2-(-4))/2=3

x=(3cos20t)-1
x`(t)=-60sin20t
Функция sin20t принимает наибольшее значение при
20t=3π/2
t=3π/40
x`(3π/40)=-60sin(3π/2)=-60*(-1)=60
О т в е т. 60 см/с

2)
Т=π/10
Tак как T=2π/ ω ⇒ ω=20

φ=0
А=(3-(-1))/2=2

x=(2cos20t)+1
x`(t)=-40sin20t
Функция sin20t принимает наибольшее значение при
20t=3π/2
t=3π/40
x`(3π/40)=-40sin(3π/2)=-40*(-1)=40
О т в е т. 40 см/с (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(3vector{a} − 2vector{b})(vector{b} + 3vector{c})=

=3vector{a}*vector{b} -2vector{b} *vector{b} +9vector{a} *vector{c}-6vector{b} *vector{c}=

=3|vector{a}|*|vector{b}| -2|vector{b}|*|vector{b}| +9|vector{a}|*|vector{c}|-6|vector{b}|*|vector{c}|=

=3*3*5 *cosπ/2-2*5*5*cos0+9*3*8*cos π/3-6*5*8*π/3=

=45*0-50*1+216*(1/2)-240*(1/2)=-62

Ответ выбран лучшим

половина от 102

Ответ выбран лучшим

(2cos² x+ 3sinx–3)/cosx=0;
cos^2x=1-sin^2x
(2-2sin² x+ 3sinx–3)/cosx=0;
(2sin² x- 3sinx+1)/cosx=0;

{2sin² x- 3sinx+1=0 ⇒ D=9-8=1
{cosx≠0 ⇒ х≠(π/2)+πt, t∈Z

sinx=1/2 или sinx=1
x=(π/6)+2πk, k∈Z или x=(5π/6)+2πn, n∈Z или
х= (π/2)+2πm, m∈Z не удовл. условию х≠(π/2)+πt, t∈Z

О т в е т. (π/6)+2πk, (5π/6)+2πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

sin^2α+cos^2α=1

1)cosα=+sqrt(1-sin^2α), знак +, так как угол α в IY четверти, косинус имеет знак +.
cosα=+sqrt(1-sin^2α)=sqrt(1-(-3sqrt(11)/10)^2)=

=sqrt(1-(99/100))=sqrt(1/100)=1/10.

2)cosα=-sqrt(1-sin^2α), знак , так как угол α во II четверти, косинус имеет знак -.
cosα=-sqrt(1-sin^2α)=-sqrt(1-(7/25)^2)=

=-sqrt(1-(49/625))=-sqrt(576/625)=-24/25.

ж)cos^4α-sin^4α=(cos^2α-sin^2α)*(cos^2α+sin^2α)=
=(cos^2α-sin^2α)*1=(cos^2α-sin^2α)=
=1-sin^2α-sin^2α=1-2sin^2α

и)((1+cosα)*(1+cosα)+sinα*sinα)/(sinα*(1+cosα))=

=(1+2cosα+cos^2α+sin^2α)/(sinα*(1+cosα))=

=(2+2cosα)/(sinα*(1+cosα))=2/sinα

Ответ выбран лучшим

1) Неопределенность ∞/∞.
Вынесем x^4 за скобки и в числителе и в знаменателе.

lim_(x→∞)x^4(3+(5/x^2)+(2/x^4))/x^4*(1+(2/x^3)+(1/x^4))=

=lim_(x→∞)(3+(5/x^2)+(2/x^4))/(1+(2/x^3)+(1/x^4))=

=(3+0+0)/(1+0+0)=3

2) Неопределенность 0/0
lim_(x→2)х(х-2)/(х-2)^2=lim_(x→2)х/(х-2)=(2/бм=бб)=∞
бм- бесконечно малая (0)
бб- бесконечно большая (∞)

3) Неопределнность 0/0
lim_(x→2)(3-sqrt(5+x))*(3+sqrt(5+x))/(4-x)*(3+sqrt(5+x))=

=lim_(x→2)(9-5-x)/(4-x)*(3+sqrt(5+x))=

=lim_(x→2)(4-x)/(4-x)*(3+sqrt(5+x))=

=lim_(x→2)(1/(3+sqrt(5+x)))=1/6

Ответ выбран лучшим

)(2a^2b^2–a^3b)/(6a^3b+10a^2b^2)=
=a^2b*(2b-a)/2a^2b*(3a+5b)=(2b-a)/2*(3a+5b)=-5/2

Если (a–2b)/(5b+3a) = 5, то ((5b+3a)/(a–2b)=1/5

2)(15b^4+9ab^3)/(ab^3–2b^4)=
=3b^3(5b+3a)/b^3(a-2b)=3(5b+3a)/(a-2b)=3/5
3)((5b+3a)/(2b–a))3=(-1/5)^3=-1/125

Ответ выбран лучшим

Пусть у Федора х рыб,
х:100•56=0,56х рыб – гупии
х–0,56х=0,44х рыб – другие рыбы.
Среди них (х/6) рыбок составляют барбусы
0,44х–(х/6)=41х/150 х остальные рыбки.
Среди них от 0,04х до 0,05х составляют Скалярии, которых 14
значит
0,04х < 14 < 0,05x
тогда
280 < x < 350

Так как гуппии составляют шестую часть, то число всех рыб кратно 6.
Это может быть 282;288;294;300;306;312;318;324;330;336;342;348
56% от числа всех раб должно быть целым числом.
Подходит число 300.
56% от 300 равно168
Итак 300 рыб в аквариуме
56% составляют гупии, это 168 рыбок.
шестая часть барбусы, т.е 50 рыбок.
168+50=218 рубок гупии и барбусы
300–218=82 рыбки остальные
из них 14 рыбок Скалярии.
О т в е т. Федор подарит друзьям 150 рыбок.

Ответ выбран лучшим

3)
ОДЗ: x^2-4 > 0 ⇒ x < -2 или x > 2
Eсли x < 0, то положительное число (корень) всегда больше отрицательного при любом х из ОДЗ.
получаем x < -2
Если х больше или равно 0, возводим обе части неравенства в квадрат
x^2-4 > 4x^2;
-4 > 3x^2 неравенство не имеет решений.
О т в е т. x < -2
4) a×(a×b)=a×(3a/(a-b))
выражение в скобках теперь воспринимаем как b
=3a/(a-(3a/(a-b)))=3a/(a^2-ab-3a)/(a-b)=
=3(a-b)/(a-b-3)
при а=2 b=1/2
3*(2-(1/2)): (2-(1/2)-3)=(9/2):(-3/2)=-3
5)
Пусть х закупочная цена, куплено товара у.
Затрачено ху.
1,8х первоначальная цена продажи.
1,8х*(5у/9)=ху первоначальная выручка. ( т. е затраты возвращены.)

0,9х цена после снижения.
0,9х*(4у/9)=0,4ху - прибыль
0,4ху составляет 40% от ху.
О т в е т. 40%

Ответ выбран лучшим

при х=1
arctg1=1-(1/3)+(1/5)-(1/7) + ... ? ( на каком слагаемом остановиться?), чтобы сумма была вычислена с заданной точностью.
Ряд знакочередующийся, значит остаток ряда не превышает модуля первого члена остатка.
r_(n) меньше или равно |a_(n+1)|
Найдем при каких n
|a_(n+1)| меньше 0,00001
1/(2n+1) < 1/100000 ⇒ 2n+1 > 100 000
2n > 99 999
n > 50 000
Значит, надо взять слагаемых 50 000. Это означает, что ряд сходится медленно.
И не пригоден для вычисления arctg1=π/4

Существуют приемы, которые "убыстряют" сходимость.
Например,
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как cos3x=4cos^3x-3cosx, то

4*(4cos^3x-3cosx)+3cosx=0
16cos^3x-12cosx+3cosx=0
16cos^3x-9cosx=0
cosx*(16cos^2x-9)=0
cosx=0 или 16cos^2x-9=0

cosx=0 ⇒x=(π/2)+πk, k∈Z

16cos^2x-9=0⇒
cosx=3/4 или сosx=-3/4
x=± arccos(3/4)+2πn, n∈Z или х=± (π)-arccos(3/4)+2πm, m∈Z
О т в е т. x=(π/2)+πk, ± arccos(3/4)+2πn,
± (π)-arccos(3/4)+2πm, k, n, m∈Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(трапеции)=(a+b)*h/2=(5+3)*4/2=16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(5/12)а +(3/4)а –(1/2)а=

=(5/12)а +(9/12)а –(6/12)а=

=(8/12)a=(2/3)a

при а=2,1 получим
(2/3)а=(2/3)*2,1=1,4
.

Ответ выбран лучшим

Пусть в каждом квадратике Маша закрасила m клеток, 0 < m ≤ 4;
а в каждой полоске n клеток, 0 < n ≤ 5.
Квадрат 10×10 состоит из 25–ти квадратиков 2×2.
Значит Маша закрасила 25m клеток.
Рассуждаем точно так же про полоски.
Квадрат 10×10 состоит из 20–ти полосок 1×5.
Значит Маша закрасила в полосках 20 n квадратиков.

Количество закрашенных квадратиков в квадратиках 2×2 и полосках 1×5 одно и то же.
Приравниваем
25m=20n
или
5m=4n
m=4
n=5
Маша закрасила 25m=25·4=20·5=20n=100 квадратиков.

Ответ выбран лучшим

f(x)=(x-1)
f(2)=(2-1)
f(2)=1

Ответ выбран лучшим

tg(3п/4–2х) =(tg(3п/4)–tg(2х))/(1+tg(3п/4)*tg(2х))=

=(-1-tg2x)/(1-tg2x)=-(1+tg2x)/(1-tg2x)=

=-(cos2x+sin2x)/(cos2x-sin2x)

cos4x=cos^22x-sin^22x=(cos2x+sin2x)*(cos2x-sin2x)

(cos4x)/tg((3п/4)–2х)=(cos2x+sin2x)*(cos2x-sin2x)/(-(cos2x+sin2x)/(cos2x-sin2x))=

=-(cos2x-sin2x)^2

1+(cos4x)/tg((3п/4)–2х)=

=1-(cos2x-sin2x)^2 =1-cos^22x+2sin2x*cos2x-cos^22x=
=1-1+sin4x=sin4x

Ответ выбран лучшим

сos^2x=(1+cos2x)/2;
4cos^2x=2(1+cos2x)

4cos^22(x)–2cos(2x)–1/2cos(4x)=

=2+2cos2x-2cos2x-(1/2)cos4x=

=2-(1/2)cos4x

-1≤cos4x≤1
-(1/2)≤(1/2)cos4x≤(1/2)
-(1/2)≤(-1/2)cos4x≤(1/2)
2-(1/2)≤2+(1/2)cos4x≤2+(1/2)
(3/2)≤2+(1/2)cos4x≤(5/2)

Наименьшее значение выражения равно 3/2; наибольшее значение выражения равно 5/2.

Ответ выбран лучшим

1)
а) S(пов. цилиндра)=2S(осн)+S(бок. цилиндра)
Пусть радиус основания цилиндра равен r, тогда высота цилиндра H равна 2r.
S=2*πr^2+2πr*H=2πr^2+2πr*2r
100π=6πr^2
r^2=50/3
r=5sqrt(2/3)

S(осевого сечения)=2r*H=2r*2r=4r^2=4*(50/3)=200/3
а) О т в е т. 200/3 кв. см.
б)
AK^2=AO^2+OK^2=r^2+d^2=(50/3)+4^2=2/3
AK=sqrt(2/3)
AB=2sqrt(2/3)
S(cечения)=АВ*H=2sqrt(2/3)*2r=4sqrt(2/3)*sqrt(50/3)=40/4
б) О т в е т. 40/3 кв. см.

2) Площадь поверхности тела вращения состоит из боковых поверхностей двух конусов с радиусом R=CD и образующими АС=L1 и ВС=L2.
СD=12
Пусть АD=х, DB=25-x
Треугольники АCD и DCB подобны по двум углам ( см. рис. 2)
х:12=12:(25-х)
х^2-25х+144=0
D=625-576=49
x=9 или х=16

Тогда образующие
L1=sqrt(12^2+9^2)=sqrt(225)=15
и
L2=sqrt(12^2+16^2)=sqrt(400)=20

S=S1+S2=πRL1+πRL2=πR*(L1+L2)=π*12*(15+20)=420π кв. см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V=S(осн)*H

H=sqrt(3)
S равностороннего треугольника со стороной а
S=a^2sqrt(3)/4

V=(1^2*sqrt(3)/4)*sqrt(3)=3/4

Ответ выбран лучшим

2*2sinx*cosx+2sqrt(3)sinx-(2cosx+sqrt(3))=0
2sinx*(2cosx+sqrt(3))-(2cosx+sqrt(3))=0
(2cosx+sqrt(3))*(2sinx-1)=0
2cosx+sqrt(3)=0 или 2sinx-1=0
cosx=-sqrt(3)/2 или sinx=1/2
x=± (5π/6)+2πk, k∈Z или x= (π/6)+2πn, n∈Z или x=(5π/6)+2πm, m∈Z
Так как некоторые корни уравнения повторяются дважды, ответ можно записать в виде
О т в е т. (π/6)+πn, (5π/6)+2πm, n, m∈Z
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2*((1/4)-3sqrt(3))=-1/5
Умножаем обе части уравнения на (-1)
x^2*(3sqrt(3)-(1/4))=1/5
x^2=1/5(3sqrt(3)-(1/4))
Освобождаемся от иррациональности в знаменателе.
x^2=(3sqrt(3)+(1/4))/(5*(3sqrt(3))^2-(1/4)^2));
x^2=16*(3sqrt(3)+(1/4))/(5*(27*16-1));
x^2=4*(12sqrt(3)+1)/(5*(27*16-1));
x=±2sqrt(12sqrt(3)+1)/sqrt(10775)

О т в е т. ±2sqrt(12sqrt(3)+1)/sqrt(10775)
2
Раскрываем скобки
x^2+px+2x+2p=0
Группируем
(x^2+px)+(2x+2p)=0
х(х+р)+2(х+р)=0
(х+р)(х+2)
х+р=0 или х+2=0
х=-р или х=-2
О т в е т. -2 и р

7.
Пусть arccos(-4/5)=α,
тогда cosα=-4/5, α∈(0;π)
sinα=3/5 - угол в 1 или во 2 четверти и синус имеет знак +.
tgα=sinα/cosα=-3/4
Пусть arcctg(-1)=β
ctgβ=-1, β∈(0;π) tgβ=-1

ctg(α+β)=1/tg(α+β)=(1-tgαtgβ)/(tgα+tgβ)=(1-(-3/4)*(-1))/(-(3/4)-1)=(1/4)/(-7/4)=-1/7

8.
sinx-cos=t
sin^2x-2sinxcosx+cos^2=t^2
1-t^2=sin2x
-5*(1-t^2)-16t+8=0
5t^2-16t+3=0
D=256-60=196=14^2
t=1/5 или t=3
sinx-cosx=1/5
Вспомогательный угол.
(1/sqrt(2))sinx-(1/sqrt(2))cosx=1/5sqrt(2)
cos(x+(π/4))=1/5sqrt(2)
x+(π/4)=± arccos(1/5sqrt(2))+2πk, k∈Z
x=-(π/4)± arccos(1/5sqrt(2))+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

arccos(3/5)+2πk≤x < (3π/4)+2πk, k - целое
и π+2πn < x≤ 2π-arccos(3/5)+2πn, n- целое (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg((π/4)-(x/2))=(tg(π/4)-tg(x/2))/(1+tg(π/4)tg(x/2))=(1-tg(x/2))/(1+tg(x/2))=(cos(x/2)-sin(x/2))/(cos(x/2)+sin(x/2)).

sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
1+sinx=sin^2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2)+cos^2(x/2)=
=(sin(x/2)+cos(x/2))^2

получаем
sinx/((сos(x/2)+sin(x/2))*(сos(x/2)-sin(x/2)))=
=sinx/(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))=sinx/cosx=tgx

2) tg((3π/2)+x)=-ctgx
ctgx=1/sqrt(15)
tgx=1/ctgx=sqrt(15)

cos^2x=1/(1+tg^2x)=1/(1+15)=1/16
cosx=-1/4, так как х в III четверти.

cos^2(x/2)=(1+cosx)/2=(1-(1/4))/2=3/8

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 42° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Вы правы, Надо указать, что
{x-4 > 0
{16-x^2 > 0
ОДЗ: -4 < x < 4

Ответ в решении c учетом ОДЗ:
О т в е т. 2≤x < 4

Ответ выбран лучшим

3х-(π/6)=(π/6)+2πk, k∈Z или 3х-(π/6)=(5π/6)+2πn, n∈Z

3х=(π/3)+2πk, k∈Z или 3х=(π)+2πn, n∈Z

х=(π/9)+(2π/3)k, k∈Z или х=(π/3)+(2π/3)n, n∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни
-17π/9; -11π/9;-5π/9; π/9; 7π/9; 13π/9
-5π/3; -π; -π/3; π/3
2) -π/2 +2πk меньше или равно х < -π/4 +2πk, k - целое.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Читайте внимательно условие и комментарии к задаче.
Сумма цифр числа должна делиться на 13.
8+9+9=26
26 делится на 13.
899+5=904
Сумма цифр числа 904
9+0+4=13
13 делится на 13

Ответ выбран лучшим

1)Замена u=x+8
du=dx
=∫5du/u=ln|u|+C=ln|x+8|+C
2)Замена u=x-3
du=dx
=∫4du/u^7=∫4u^(-7)du=4u^(-7+1)/(-7+1)+C=
=-2/(3u^6)+C=-2/(3(x-3)^6) + C
3) x^2+2x+2=u
du=2x+2
(1/2)∫(2x+4)dx/(x^2+2x+2)= (1/2)∫(2x+2)dx/(x^2+2x+2) + (1/2)∫(2dx)/(x^2+2x+2)=
=(1/2)∫du/u+ ∫dx/((x+1)^2+1)=
=(1/2) ln |x^2+2x+2|+arctgx+C

Ответ выбран лучшим

Может быть мои рассуждения пригодятся.
1) SR=SQ=SP
Равные наклонные имеют равные проекции, значит
HR=HQ=HP
H- середина гипотенузы QR.
HR=HQ=HP=1
Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Значит второй катет RP=sqrt(3).

Сфера касается ребра RS, продолжений ребер P S, QS за точку S, значит радиусы сферы, проведенные в точки касания, перпендикулярны этим рёбрам.
OA⊥SP;
OB⊥SR;
OC⊥SQ
Из планиметрии известно, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны между собой.
SA=SB=SC.
Сфера касается плоскости PQR.
Значит, радиус ОМ ⊥пл. PQR
SH || OM

??? (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin(-30°)=-0,5
cos(-60°)=cos60°=0,5
tg585°=tg(540°+45°)=tg(3*180°+45°)=tg45°=1
-0,5+0,5+1=1
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

1.
Пусть глубина х м.
0,8х-(14/25)х=60;
0,8х-0,56х=60
0,24х=60
х=250 м
2.
Пусть площадь первого х га, второго 0,4х, третьего (х+17).
х+0,4х+(х+17)=833;
2,4х=833-17
2,4х=816
х=340
0,4х=0,4*340=136
х+17=340+17=357

О т в е т. 340 га, 136 га и 357 га

Ответ выбран лучшим

Метод интегрирования по частям
∫udv=uv-∫vdu
1) u=(6-5x) ⇒du=-5dx
dv=e^(-3x)dx ⇒ v=-(1/3)e^(-3x)

∫(6-5x)e^(-3x)dx=-(6-5x)e^(-3x)/3-(5/3)∫e^(-3x)dx=
=(5x-6)e^(-3x)/3+(5/9)e^(-3x)+C

2) u=x^2 ⇒du=2xdx
dv=cos3xdx ⇒ v=(1/3)sin3x

∫x^2cos3xdx=(x^2/3)sin3x-(2/3)∫xsin3xdx=
второй раз по частям
u=x ⇒du=dx
dv=sin3xdx ⇒ v=(1/3)(-cos3x)

∫x^2cos3xdx=(x^2/3)sin3x-(2/3)*((-x/3)cos3x+(1/3)∫cos3xdx)=

=(x^2/3)sin3x+(2x/9)cos3x-(2/9)∫cos3xdx=

=(x^2/3)sin3x+(2x/9)cos3x-(2/27)sin3x + C

Ответ выбран лучшим

1) Метод перебора с рассуждениями.
Цифр 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
На 0 делить нельзя, значит и цифры 0 в шестизначном числе нет.
По условию число делится на каждую из этих цифр, значит делится на произведение этих цифр.
Осталось перемножить какие-то группы цифр.

Если в числе , есть цифра 5, но тогда нет 2,4,6,8, потому что произведение 5 на любое четное число даст 0 на конце.
Из цифр 1,3,5,7,9 нельзя составить шестизначного числа.
Значит, цифры 5 в числе нет.
Осталось рассмотреть цифры.
1,2,3,4,6,7,8,9

О т в е т. 689472
689472:6=114912
689472:8=86184
689472:9=76608
689472:4=172368
689472:7=98496
689472:2=344871

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
сos(2π-2x)=cos(-2x)=cos2x
sin((π/2)-x)=cosx
cos2x+9cosx+4=0
2cos^2x-1+9cosx+4=0
2cos^2x+9cosx+3=0
D=9^2-4*2*3=81-24=57
cosx=(-9-sqrt(57))/4- уравнение не имеет корней, так как |cosx| меньше или равно 1.
cosx=(-9+sqrt(57))/4
x=± arccos((-9+sqrt(57))/4)+2πk, k∈Z
О т в е т. ± arccos((-9+sqrt(57))/4)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

sqrt(3)cosx–sinx=–1
Метод введения вспомогательного угла.
Делим уравнение на 2
sqrt(3)/2cosx-(1/2)sinx=-1/2
sqrt(3/2)=сosφ; 1/2=sinφ
cos^2φ+sin^2φ=1

cos(x+φ)=-1/2, угол φ=arcsin(1/2)=arccos(sqrt(3)/2)
x+φ=± (2π/3)+2πk, k∈Z
x= ± (2π/3)-arccos(sqrt(3/2)+2πk, k∈Z
О т в е т. x= ± (2π/3)-arccos(sqrt(3/2)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

sin8x–sin4x=cos6x;
2sin2x*cos6x=cos6x;
cos6x*(2sin2x-1)=0
cos6x=0 или sin2x=1/2
6x= (π/2)+πk, k∈Z или 2x=(π/6)+2πn, n∈Z или
2х=(5π/6)+2πm, m∈Z

О т в е т. (π/12)+(π/6)k, (π/12)+πn,
(5π/12)+πm, k, n, m∈Z

Ответ выбран лучшим

сos4x=sin((π/2)-4x);

sinx-sin((π/2)-4x)=0;

2sin((x-((π/2)-4x))/2)*cos((x+(π/2)-4x)/2)=0
(5x-(π/2))/2=πk, k∈Z или (3х-( π/2))/2=(π/2)+πn, n∈Z
5x-(π/2)=2πk, k∈Z или 3х-( π/2)=π+2πn, n∈Z

x= (π/10)+(2π/5)k, k∈Z или х=(π/2)+(2π/3)n, n∈Z

Ответ выбран лучшим

3a) ОДЗ:
{x+2 > 0
{x > 0, x≠1
x∈(0;1)U(1;+ ∞)
В условиях ОДЗ неравенство принимает вид
log_(x)(x+2) > log_(x)x^2
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств, получаем неравенство:
(x-1)*(x+2-x^2) > 0
(x-1)(x-2)(x+1) < 0
_-__ (-1) _+__ (1) _-__ (2) __+_
С учетом ОДЗ получаем ответ (1;2).
3б)
1=log_(5)5
{x > 0
{log^2_(0,5)x+log_(0,5)x-3 > 0;
{log^2_(0,5)x+log_(0,5)x-3 > 5.

{x > 0
{log^2_(0,5)x+log_(0,5)x-3 > 5.

Замена переменной
log_(0,5)x=t
t^2+2t-8 > 0
D=4+32=36
t1=(-2-6)/2=-4 или t2=(-2+6)/2=2
t < -4 или t > 2
log_(0,5)x < -4 или log_(0,5)x > 2
x > 0,5^(-4) или 0 < x < 0,5^2
О т в е т. (0;1/4)U(16;+ бесконечность)

4а)
3^(log_(3)y)=y - основное логарифмическое тождество, y > 0
{y-log_(3)x=1 ⇒ y=1+ log_(3)x;
{x^y=3^(12) ⇒y=log_(x)3^(12)⇒y=12log_(x)3

1+log_(3)x=12 log_(x)3
log_(3)x=t, t≠0
log_(x)3=1/t
1+t=12/t
t^2+t-12=0
D =49
t=-4 или t=3
log_(3)x=-4 или log_(3)x=3
x1=3^(-4) или х2=3^3
x1=1/81 или х2=27
у1=1+ log_(3)(3^(-4) или у2=1+log_(3)3^3
y1=1-4 < 0 -не уд усл. у > 0 или y2=1+3=4
О т в е т. (27;4)
5а)
ОДЗ:
{x-2 > 0
{x+1 > 0
ОДЗ: x > 2
x^2-x-2=(x+1)(x-2)
log_(2)(x^2-x-2)=log_(2)(x+1)+log_(2)(x-2)

Уравнение
log_(2)(x+1)+log_(2)(x-2)=1+log_(2)(x+1)*log_(2)(x-2)
log_(2)(x+1)*(1-log_(2)(x-2))-(1-log_(2)(x-2))=0
(1-log_(2)(x-2))*(log_(2)(x+1)-1)=0
log_(2)(x-2)=1 или log_(2)(x+1)=1
x-2=2 или х+1=2
х=4 или х=1
С учетом ОДЗ
О т в е т. х=4

Ответ выбран лучшим

Пусть один грейпфрут весит х г, одно авокадо у г, один апельсин z г, одно яблоко t г, одна груша u г.
По условию
{2х=5у;
{10z=3x;
{22z=21t;
{11u=14t;
Найти
30у=?u

11u=14t⇒u=14t/11
22z=21t⇒ t=22z/21

u=14t/11=14·22z/(21·11)=2z/3

10z=3x ⇒ z=3x/10
u=2z/3=2·3x/(3·10)=x/5

2х=5у ⇒ x=5y/2

u=x/5 =y/2

2u=y

Значит 13у=26u
О т в е т. 26 груш

Ответ выбран лучшим

Делим уравнение на cosx≠0
tgx=4
x=arctg4+πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Исходим из того, что осталась одна доска и наступила очередь Серого. Покрасив последнюю доску, он выиграет.
Серый выиграет и при двух оставшихся досках, потому что может покрасить две.

Но три оставшихся доски для Серого плохой вариант. Ему придется оставить либо одну, либо два доски, и Белый выигрывает.
Четыре и пять досок — хороший вариант. Серый может оставить Белому неудачное (теперь для него) число три.

Число, которое делится на три, означает для Серого проигрыш: 3, 6, 9, 12… — плохие варианты, когда его очередь красить. Все остальное (1, 2, 4, 5, 7, 8…) — прекрасно.
Так как число досок 110 не кратно 3 стратегия выигрыша такова: с каждым ходом Серый красит столько досок, чтобы оставалось проигрышное для Белого число, кратное 3.
110 досок. Серый красит 2 доски и оставляет Белому неудачные для него 108 (108 кратно 3). Поступает так при каждом ходе, и, в конце концов, он останется с тремя досками. Такая стратегия обеспечит Серому выигрыш.
Если досок 111 (111 кратно 3) и Серый закрашивает одну или две доски, то Белый закрашивает соответственно 2 или 1 доски, оставляя Серому кратное 3-ем число досок.
При таком раскладе выигрывает Белый.

Ответ выбран лучшим

3*2*4-1*1*4=24-4=20

Ответ выбран лучшим

Перепишем все пути, которые нам даны.
Из "А" можно попасть в "B" и "F".
Есть два варианта
"А-В" и "A-F"

Из "B" можно попасть в "C", "D", "Е".
"A-B-C", "A-B-D", "A-B-Е"
Из "C" можно попасть в "D".
Из "D" можно попасть в "F".
Из "E" можно попасть в "D","F".

Распишем все пути:
A – B – C – D – F ( 3 + 2 + 5 + 3+2 = 15)
A – B – D – E - F ( 3 + 3 + 3 + 2= 11)
A – B – E – F ( 3 + 7 + 2 = 12)
A – F (15)

Самый короткий путь: ABDEF – 11.

Ответ выбран лучшим

Пусть 3x красных шаров и 2х синих шаров,
3х:2х=3:2
Всего не более 55-ти
3х+2х меньше или равно 55
5x меньше или равно 55
Было:
55 шаров; 50 шаров; 45 шаров; 40 шаров; 35 шаров; 30 шаров; 25 шаров; 20 шаров;15 шаров; 10 шаров или 5 шаров.

4 шара лопнуло и число красных шаров относится к числу синих шаров как 4:3,
( опечатка 4:3, 7 лишняя цифра)
Пусть красных 4у, синих 3у.
Всего 7у.
Выбираем какие из чисел 55-4; 50-4; 45-4; 40-4;
35-4; 30-4; 25-4; 20-4; 15-4; 10-4; 5-4 кратны 7.
Получается, что 25-4
x=5
15 красных и 10 синих
4 шара лопнуло, осталось 21.
у=21:7=3
4у=4*3=12 красных
3у=3*3=9 синих
О т в е т. 15 красных и 10 синих, осталось 12 красных и 9 синих

Ответ выбран лучшим

y`=7x^6-10x^4-8*(-3)x^(-4)+(5/6)*(6/5)x^((6/5)-1)=
=7x^6-10x^4+(24/x^-4)+(5/6)*(6/5)x^(1/5).

y`=5^x*ln5-(7/cos^2x)+3*(-1/sin^2x)+(1/(1+x^2))=
=5^x*ln5-(7/cos^2x)-(3/sin^2x)+(1/(1+x^2)).

y`=(x^2)`*sinx+x^2*(sinx)`+2*cosx+2*(cosx)`-2*(sinx)`=
=2x*sinx+x^2*cosx+2*cosx+2*(-sinx)-2*(cosx)=
=2x*sinx+x^2*cosx-2sinx.

y`=((xlnx)`(1+x)-(1+x)`*xlnx)/(1+x)^2=

=((lnx+1)*(1+x)-xlnx)/(1+x)^2=

=(lnx+1+x)/(1+x)^2

Ответ выбран лучшим

n=25 билетов - количество исходов испытания
m=25-5=20 выученных билетов
Событие А-"попадут вырученные билеты".
По формуле классической вероятности
р=m/n=20/25=4/5=0,8

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и разбивают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами 6 и 8.
По теореме Пифагора АВ=10

Ответ выбран лучшим

cos((x/2)+(π/4))+1=0;
cos((x/2)+(π/4))=-1;
(x/2)+(π/4)=(-π)+2πk, k∈Z
(x/2)=(-π/4)+(-π)+2πk, k∈Z
(x/2)=(-5π/4)+2πk, k∈Z
x=(-5π/2)+4πk, k∈Z
О т в е т. (-5π/2)+4πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

30*20-12^2=600-144=456 кв.м

Ответ выбран лучшим

U = Uo cos(ω t + φ)

U=2*cos(240°t -120°)

Если напряжение в нем не ниже, чем 1В, то есть

2*cos(240°t -120°) больше или равно 1;

cos(240°t -120°) больше или равно 1/2

то загорается лампочка.

Решаем неравенство ( см. рисунок)
-60° меньше или равно 240°t -120° меньше или равно 60°;
60° меньше или равно 240°t меньше или равно 180°;
1/4 меньше или равно t меньше или равно 3/4.

Лампочка будет гореть начиная с (1/4) секунды до (3/4) секунды, т.е на протяжение (3/4)-(1/4)=1/2 секунды.
1/2 секунды составляет 50% от всей первой секунды
О т в е т. 50%

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

16(x+1)^2+4|x+1|+(1/4) =11(x+1)^2+(5/4)
5(x+1)^2+4|x+1| - 1=0
1) при х больше или равно -1
5(x+1)^2+4(x+1)-1=0
x+1=t
5t^2+4t-1=0
D=16+20=36
t=(-4-6)/10=-1 или t=(-4+6)/10=1/5
x+1=-1 или х+1=1/5
x=-2 ∉[-1;+бесконечность) или х=-4/5

1) при х < -1
5(x+1)^2-4(x+1)-1=0
x+1=t
5t^2-4t-1=0
D=16+20=36
t=(4-6)/10=-1/5 или t=(4+6)/10=1
x+1=-1/5 или х+1=1
x=-6/5 или х=0∉(-бесконечность;-1)

О т в е т. -6/5; -4/5

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

((x^2-2x-1)/(х–2))+(2/(х–3)) ≤ x;

x(x-2)/(x-2) -(1/(x-2))+(2/(х–3)) ≤ x;

x-(1/(x-2))+(2/(х–3)) ≤ x;

-(1/(x-2))+(2/(х–3)) ≤0;

(-x+3+2x-4)/((x-2)*(x-3))≤0;

(x-1)/((x-2)*(x-3))≤0;
____-___ [1] ___+__ (2) __–___ (3) __+__

х∈(- бесконечность;1]U(2;3)
О т в е т. х∈(- бесконечность;1]U(2;3)

Ответ выбран лучшим

х кг 25% и у кг 95%
В первом 0,25х кг кислоты, во втором 0,95у кг кислоты.
(х+у+20) кг - новый раствор.
В нем (0,25х+0,95 у ) кг составляют 40%
Уравнение
0,4*(х+у+20)=0,25х+0,95у

Измененная ситуация
Второе уравнение.
0,5*(х+у+20)=0,25х+0,95у+6

Система
{0,4*(х+у+20)=0,25х+0,95у
{0,5*(х+у+20)=0,25х+0,95у+6
или

{0,15x+8=0,55y
{0,25x+4=0,45y

0,7x=14
x=20
О т в е т. 20 кг

Ответ выбран лучшим

Да, вы правы.

Ответ выбран лучшим

Применили основное свойство дроби:
дробь на изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить ( или разделить )на одно и то же число.
Можно разделить числитель и знаменатель дроби 4/50 на 2. Получим 2/25.
Можно умножить числитель и знаменатель дроби (4/50) на 2 получили 8/100.
Можно 4 разелить на 50 и получить 0,08
8/100 - десятичная дробь.

Ответ можно записать 2/50, а можно 0,08.
Или несократимая дробь в ответе или десятичная.

Ответ выбран лучшим

Это прямоугольный равнобедренный треугольник.
АС=ВС
Пусть
АС=ВС=х
По теореме Пифагора
АВ^2=AC^2+BC^2
AB^2=x^2+x^2=2x^2
AB=xsqrt(2)
sin45 градусов=cos 45 градусов=
=x/xsqrt(2)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2) 9(0,5у+1)–3,1(1–у) > 5,9+7,2у
4,5y+9-3,1+3,1y > 5,9+7,2у
4,5y+3,1y-7,2y > 5,9-9+3,1
0,4y > 0
y > 0
4)–1,4+0,5(11b–2) < –5,5b+1,6
-1,4+5,5b-1 < -5,5b+1,6
5,5b+5,5b < 1,6+1,4+1
11b < 4
b < 4/11
6)5/6(7+9y)≤7 1/2–7/8(5y–9)
(35/6)+(15/2)y ≤(15/2)-(35/8)y+63/8
(15/2)y+(35/8)y ≤(15/2)+(63/8)-(35/6)
(95/8)y )≤(15*12+63*3-35*4)/24
(95/8)y ≤409/24
y)≤(409/24)*(8/95)
y)≤409/285

Ответ выбран лучшим

1) f`(x)=3cos^2(2x-1)*(cos(2x-1)`=
=3cos^2(2x-1)*(-sin(2x-1))*(2x-1)`=
=-3cos^2(2x-1)*(sin(2x-1))*(2)=
=-6cos^2(2x-1)*sin(2x-1).
2)f`(x)=(1/2)*(2-sinx)^((1/2)-1)*(2-sinx)`=
=(1/2sqrt(2-sinx))*(-cosx)=-cosx/(2sqrt(2-sinx))
3)f`(x)=3sin^2(2-3x)*(sin(2-3x))`=
=3sin^2(2-3x)*(cos(2-3x)) * (2-3x)`=
=3sin^2(2-3x)*(cos(2-3x)) * (-3)=
=-9sin^2(2-3x)*cos(2-3x)
4)f`(x)=(1/2)*(3+cosx)^((1/2)-1)*(3+cosx)`=
=(1/2sqrt(3+cosx))*(-sinx)=-sinx/(2sqrt(3+cosx))

Ответ выбран лучшим

б)
рис. 1 ∠ABC=30 градусов.
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Пусть АВ=х, тогда АС=х/2
sin ∠ABC= sin 30 градусов=АС/АВ=(х/2)/х=1/2=0,5

рис.2
∠ABC=60 градусов, тогда ∠BАC=30 градусов
( сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов)
Пусть АВ=х, тогда BC=х/2
По теореме Пифагора
AC^2=AB^2-BC^2=x^2-(x/2)^2=x^2-(x^2/4)=3x^2/4=xsqrt(3)/2
sin ∠ABC= sin 60 градусов=АС/АВ=(хsqrt(3)/2)/х=sqrt(3)/2

в) sin^2α+cos^2α=1
sinα=±sqrt(1-cos^2α)=±sqrt(1-(sqrt(3)/2)^2)=±sqrt(1-(3/4))=
=±sqrt(1/4)=±1/2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АВС( ∠В=90 градусов)
sin∠ACB=AB/AC
AC=AB/sin∠ACB=a/sinα
tg∠ACB=AB/BC
BC=AB/tg∠ACB=a/tgα

Противоположные стороны прямоугольника равны, диагонали прямоугольника равны.
BD=AC=a/sinα
AD=BC=a/tgα

Ответ выбран лучшим

По условию
SM:SN:SA=1:2:3;
SР:SQ:SC=1:2:3;
SK:SL:SB=1:2:3;

MP||NQ||AC; PK||QL||CB; KM||LN||BA;

Пл. MKР || пл. NLQ || пл. ABC.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает подобную пирамиду и усеченную пирамиду.

Пирамиды SPKM; SQLN и SCBA подобны.

Объёмы подобных тел относятся как кубы сторон.
V( SMKP):V(SNLQ):V(SABC)=1:2^3:3^3

Пусть V(SMKP)=x, тогда V(SNLQ)=8х, V(SABC)=27х.

V( NLQMKP)= V(SNLQ)- V(SMKP)=8x-x=7x

7x=21
x=3

V(SABC)=27х=27*3=81

О т в е т. 81

Ответ выбран лучшим

а)
Прямоугольные треугольники АВР и СBQ подобны по двум углам:
∠B- общий
∠APB=∠CQB=90 градусов.
Из подобия:
BP:BQ=АВ:ВC

Треугольники QBP и СВА подобны,
∠В - общий,
стороны заключающие этот угол пропорциональны
BP:BQ=АВ:ВC ⇒ BP:AB=BQ:AC=k

б)
Так как в треугольнике АВР:
cos∠B=BP:AB
В треугольнике CBQ
cos∠B=BQ:AC
k(подобия) = cos ∠B

S(Δ QBP) : S(Δ ABC)=k^2
2:18=k^2
k=1/3 или k=-1/3 ( cos∠B=-1/3 не удовлетворяет условию задачи, треугольник остроугольный)

PQ:AC=k
AC=PQ/k=2sqrt(2)/(1/3)=6sqrt(2)

sin∠B=sqrt(1-cos^2∠B)=sqrt(1-(1/9))=2sqrt(2)/3
По теореме синусов
АС/sin∠B=2R
2R=6sqrt(2)/(2sqrt(2)/3)
2R=9
R=9/2
R=4,5
О т в е т. б) R=4,5

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле перехода к другому основанию
log_(49)13=log_(7)13/log_(7)49=(log_(7)13)/2

log_(7)(13)/log_(49)13=log_(7)13/((log_(7)13)/2)=2

ОДЗ:
{x > 0, x≠1
{log_(sqrt(x))5x > 0 ⇒(sqrt(x)-1)*(5x-1) > 0
ОДЗ: х∈(0;1/5)U(1;+ ∞)

Замена переменной
log_(5)x=t
log_(sqrt(x))(5x)=2log_(x)(5x)=2*(log_(x)5+log_(x)x)=
=2log_(x)5+2=(2/t)+2

Уравнение принимает вид
sqrt((2/t)+2)*t=-2.

Возводим в квадрат при условии: t < 0
(так как sqrt(log_(sqrt(x)5x) ) > 0, а произведение отрицательно, то значит t < 0)

(2+2t)*t^2/t=4;
2t^2+2t-4=0
t^2+t-2=0
D=1-4*(-2)=9
t1=(-1-3)/2=-2 или t2=(-1+3)/2=1- не удовл усл. t < 0
log_(5)x=-2
x=5^(-2)
x=1/25

б)
(lg2/(n+1)) < 1/25 < (lg2/n)⇒

{1/25 < (lg2/n) ⇒ n < 25 lg2
{(lg2/(n+1)) < 1/25 ⇒n > (25*lg2)-1

lg2=log_(2)2/log_(2)10=1/(log_(2)2+log_(2)5)=1/(1+log_(2)5)
log_(2)4 < log_(2)5 < log_(2)8
2 < log_(2)5 < 3
3 < 1+log_(2)5 < 4
1/4 < 1/(1+log_(2)5) < 1/3

1/4 < lg 2 < 1/3

(lg2/(n+1)) < 1/25 < (lg2/n)⇒

(25lg2/(n+1)) < 1 < (25lg2/n)
n=7
О т в е т. а) 1/25; б) 7

Ответ выбран лучшим

21) (4,9*10^(-3))*(4*10^(-2))=4,9*4*(10^(-3)*10^(-2))=

=19,6*10^((-3)+(-2))=19,6*10^(-5)=0,000196.

22)(6,7*10^(-3))*(5*10^(-3))=(6,7*5)*10^((-3)+(-3))=

=33,5*10^(-6)=0,0000335. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
1-ая группа (1);
2-ая группа (3;5)
3-я группа (7;9;11)
4-я группа (13;15;17;19)
5-я группа (21;23;25;27;29)
6-я группа (31;33;35;37;39;41)
7-ая группа (43;45;47;49;51;53;55)
8-ая группа (57;59;61;63;65;67;69;71)
9-ая группа (73;75;77;79;81;83;85;87;89)
10-я группа (91;93;95;97;99;101;103;105;107;109)
Находим сумму по формуле арифметической прогрессии
S_(10)=(91+...109)*10/2=1000

Всего в таблице 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
(по формуле суммы ар прогрессии)=
(1+10)*10/2=55 чисел.
В десятой строке числа с 46-го по 55-е
По формуле общего члена арифметической прогрессии
а_(n)=а_(1)+d*(n-1)
a_(46)=1+2*(46-1)=91
a_(55)=1+2*(55-1)=109

б) Если представить такую же таблицу для 100 строк, то в ней будет записано
1+2+3+...+100=(1+100)*100/2=5050 чисел
В 100-й строке числа с 4951-е по 5050-е

a_(4951)=1+2*(4951-1)=9901
a_(5050)=1+2*(5050-1)=10099
S_(100)=(9901+10099)*100/2=1 000 000

в)
3-я группа (7;9;11) сумма чисел 7+9+11=18+9 кратна 3
6-я группа (31;33;35;37;39;41) 31+35+37+41 кратна 3
9-ая группа (73;75;77;79;81;83;85;87;89)
75 кратно 3; 81 кратно 3; 87 кратно 3
осталось проверить, что
сумма 73+77+79+83+85+89=150+168+168 кратна 3
В первой сотне групп 100:3=33 группы, в которых сумма чисел делится на 3.

Ответ выбран лучшим

r шара - половина ребра куба.

r=а/2=sqrt(6)/2

Площадь поверхности шара находится по формуле S=4πr^2
S=4*π*(sqrt(6)/2)^2=4*π*6/4=6π
О т в е т. 6π

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Куб 3 × 3 × 3покрасили со всех сторон.
Потом разрезали на кубики 1×1×1.
Получилось 27 маленьких кубиков.
Имеющих три окрашенных грани (см на рисунке белым цветом) - 8 кубиков.В вершинах большого куба ( 4 внизу и 4 вверху)
Имеющих две окрашенные грани (на рисунке зеленым цветом отмечены цифры 1 и 2)- 12
Имеющих одну окрашенную грань ( синим цветом ) - 6
27-8-12-6=1 кубик неокрашенный.
О т в е т. 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) log_(1/2)x > -3*log_(1/2)(1/2);
log_(1/2)x > log_(1/2)(1/2)^(-3);
{x > 0;
{x < (1/2)^(-3)=8
О т в е т. (0;8)
2)log_(0,5)(x/3) больше или равно -2*log_(0,5)(0,5);
log_(0,5)(x/3) больше или равно log_(0,5)(0,5)^(-2);
{x/3 > 0
{x/3 меньше или равно 0,5^(-2)
{x > 0;
{x меньше или равно 3*4
О т в е т. (0;12)
3)
3log_(1/7)x < log_(1/7)9*3;
3log_(1/7)x < log_(1/7)3^3;
3log_(1/7)x < 3*log_(1/7)3;
log_(1/7)x < log_(1/7)3
{x > 0;
{x > 3
О т в е т. (3; + бесконечность).

4)
{2x-1 > x;
{x > 0

{x > 1;
{x > 0

О т в е т. (1;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

S(трапеции)=(a+b)*h/2=(sqrt(3)+3sqrt(3))*8/2=16sqrt(3)
Пусть х - сторона равностороннего треугольника, тогда
S( Δ)=x^2*sqrt(3)/4
x^2*sqrt(3)/4=16sqrt(3)
x^2=64
x=8
О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

y`=(2*(x^2+2x+5)^(-1/2))`=2*(-1/2)*(x^2+2x+5)^(-3/2)*(x^2+2x+5)`=-(2x+2)/sqrt((x^2+2x+5)^3).
y`=0
2x+2=0
x=-1

Расставляем знак производной на [-2;2]
при х=0 y`=-2/(sqrt(5))^3 < 0
при х=1,5 у`=1/(sqrt(10,25))^3 > 0

[-2] __+__ (-1) __-__ [2]

x=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

y(-1)=2/sqrt(1-2+5)=2/sqrt(4)=2/2=1

О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

log_(a)(8a)=8 ⇒ по определению логарифма
а^(8)=8a
a^(8)-8a=0
a*(a^(7)-8)=0, так как а - основание логарифма а≠0
a^(7)-8=0
a^(7)=8
a=8^(1/7)

log_(2^(1/7))8^(1/7)=log_(2^(1/7))(2^(1/7)(^3)=

=3*log_(2^(1/7))2^(1/7)=3*1=3.
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Скорость 40 км/ч означает в час проезжает 40 км,
1 час= 60 мин, значит Василий проезжает 40км за 60мин,
1 км за 60/40 мин=3/2=1,5 минуты.
Василий хочет проезжать каждый километр на 1 минуту быстрее, т. е проезжать каждый километр за 0,5 мин., а за 1 минуту 2 км, значит за 60 минут 120 км.
Василию надо увеличить скорость на 80 км в час.
120-40=80 км в час.
О т в е т. 80 км в час.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение в виде
∛(3x+1)=4
Возводим в куб
3х+1=64;
3х=64-1;
3х=63;
х=21.
О т в е т. 21.

Ответ выбран лучшим

n=6*6=36 - число всех исходов испытания
m=6- число исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А.
Cобытие А - "выпал дубль (на обоих кубиках одинаковое число очков).
1 и 1; 2 и 2; 3 и 3; 4 и 4; 5 и 5; 6 и 6
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=6/36=1/6=0,166666≈0,17

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

62,50*56=3500 руб заплатил бы за 56 поездок, не покупая проездного.
3500-3300=200руб съэкономил

Ответ выбран лучшим

1-2 и 4-5 задачи на метод замены переменной.
1) u=x+4 ⇒ du=dx
По формуле
∫х^(α)dx=x^(α+1)/(α+1)

∫u^(5/6)du=u^((5/6)+1)/((5/6)+1)+C=
=(6/11)(x+4)^(11/6)+C

2)u=5-x^2 ⇒ du=-2x dx ⇒ (-1/2)du=xdx

(-1/2)∫u^(1/5)du=(-1/2)u^((1/5)+1)/((1/5)+1)+C=
=(-5/12)(5-x^2)^(6/5)+C

3)sin^2(x/2)=(1-cosx)/2
∫sin^2x(x/2)dx=∫(1-cosx)dx/2=(1/2)∫(1-cosx)=
=(1/2)*(x-sinx) +C

4) u=arctgx ⇒ du=dx/(1+x^2)
∫u^3du=u^4/4 + C=(arctgx)^4/4 + C

5)u=lnx+1 ⇒ du=dx/x

∫udu=u^2/2 + C=(lnx+1)^2/2 + C

Ответ выбран лучшим

Пусть у Федора х рыб,
х:100*56=0,56х рыб - гупии
х-0,56х=0,44х рыб - другие рыбы.
Среди них (х/6) рыбок составляют барбусы
0,44х-(х/6)=41х/150 х остальные рыбки.
Среди них от 0,04х до 0,05х составляют Скалярии, которых 14
значит
0,04х < 14 < 0,05x
тогда
280 < x < 350

Так как гуппии составляют шестую часть, то число всех рыб кратно 6.
Это может быть 282;288;294;300;306;312;318;324;330;336;342;348
56% от числа всех раб должно быть целым числом.
Подходит число 300.
56% от 300 равно168
Итак 300 рыб в аквариуме
56% составляют гупии, это 168 рыбок.
шестая часть барбусы, т.е 50 рыбок.
168+50=218 рубок гупии и барбусы
300-218=82 рыбки остальные
из них 14 рыбок Скалярии.
О т в е т. Федор подарит друзьям 150 рыбок.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть один грейпфрут весит х г, одно авокадо у г, один апельсин z г, одно яблоко t г, одна груша u г.
По условию
{2х=5у;
{10z=3x;
{22z=21t;
{11u=14t;
Найти 13у=?u

11u=14t⇒u=14t/11
22z=21t⇒ t=22z/21

u=14t/11=14*22z/(21*11)=2z/3

10z=3x ⇒ z=3x/10
u=2z/3=2*3x/(3*10)=x/5

2х=5у ⇒ x=5y/2

u=x/5 =y/2

2u=y

Значит 13у=26u
О т в е т. 26 груш

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению модуля.
Если sinx больше или равно 0, то |sinx|=sinx
y=sinx+sinx; y =2sinx при x∈ [2πk; π+2πk], k ∈Z
Если sinx < 0 0, то |sinx|=-sinx
y=sinx-sinx; y =0 при x∈ (-π+2πn; 2πn), n ∈Z

у=0 при x∈[-π+2πn; 2πn], n ∈Z
y > 0 при x∈ (2πk; π+2πk), k ∈Z
y < 0 нет таких х. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

138-(34+23+11)=70 синих и черных
70:2=35 синих, 35 черных

34+35=69 красных или черных

р=m/n=69/138=23/46=1/2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
(8-х)/(4-х) > 0
Решаем неравенство методом интервалов.
Находим нули числителя и знаменателя.
8-х=0
х=8
4-х=0
х=4
Расставляем знаки
При х=10 (8-10)/(4-10) > 0
Cправа от точки 8 ставим +
_+__ (4) __-__ (8) __+_
x∈(- ∞;4)U(8;+ ∞)

0=log_(3)1
log по основанию 3 (8–x)/ 4–x ≤log_(3)1
3 > 1 логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
(8-х)/(4-х) меньше или равно 1;
(8-х-4+х)/(4-х) меньше или равно 0.
4/(4-х) меньше или равно 0.
4 > 0, значит и знаменатель (4-х) > 0
4 > x
x < 4
C учетом ОДЗ получаем ответ.
(- ∞;4)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора
25^2-15^2=400
sqrt(400)=20

или как и написано в решении
sqrt(25^2-15^2)=20

Ответ выбран лучшим

Если прямые BC и AD параллельны, то
∠ВАС=∠АСD - внутренние накрест лежащие углы.
В ΔABC и ΔCАD
АС- общая,
BC=AD
∠ВАС=∠АСD
Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними

Ответ выбран лучшим

y`=-(2x*x-x^2-144)/x^2
y`=(144-x^2)/x^2
y`=0
144-x^2=0
x=-12 или x=12
Расставляем знак производной на ОДЗ:x ≠0

_-__ (-12) _+__ (0) _+__ (12) __-_
x=12 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

5 точек, см. рисунок.
О т в е т. 5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(1/3)*3^(1/6)/3^(1/2)=3^((1/3)+(1/6)-(1/2))=3^((1/2)-(1/2))=3^(0)=1

Ответ выбран лучшим

Формула
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

x^2-14*x+49=-28;
x^2+14x+49=0
(x+7)^2=0
x+7=0
x=-7
О т в е т. -7.

Ответ выбран лучшим

Пусть в каждом квадратике Маша закрасила m клеток, 0 < m меньше или равно 4;
а в каждой полоске n клеток, 0 < n меньше или равно 5.
Квадрат 10×10 состоит из 25-ти квадратиков 2×2.
Значит Маша закрасила 25m клеток.
Рассуждаем точно так же про полоски.
Квадрат 10×10 состоит из 20-ти полосок 1×5.
Значит Маша закрасила в полосках 20 n квадратиков.

Количество закрашенных квадратиков в квадратиках 2×2 и полосках 1×5 одно и то же.
Приравниваем
25m=20n
или
5m=4n
m=4
n=5
Маша закрасила 25m=25*4=20*5=20n=100 квадратиков.

Ответ выбран лучшим

x^2-(x+9)^2=0
(x-x-9)*(x+x+9)=0
-9*(2x+9)=0
2x+9=0
2x=-9
x=-4,5

Ответ выбран лучшим

x^2-(x-7)^2=0
(x-x+7)*(x+x-7)=0
7*(2x-7)=0
2x-7=0
x=3,5

Ответ выбран лучшим

В условии опечатка. (5+2)^2 наверное (5х+2)^2
(5х–3)^2=(5х+2)^2;
(5x-3)^2-(5x+2)^2=0;
(5x-3-5x-2)*(5x-3+5x+2)=0;
-5*(10x-1)=0
10x-1=0
x=1/10
О т в е т. 0,1

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(4x+5)^2=(4x–7)^2;
(4x+5)^2-(4x–7)^2=0;
(4x+5-4x+7)*(4x+5+4x-7)=0
12*(8x-2)=0
8x-2=0
8x=2
x=1/4
О т в е т. 1/4

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-10-3x > 0
По определению логарифма
-10-3х=5^3;
-10-3x=125;
-3x=125+10
-3x=135
x=-45
При х=-45
-10-3*(-45) > 0 - верно.
х=-45 принадлежит ОДЗ.
О т в е т. -45

Ответ выбран лучшим

sqrt(x+9+2*sqrt(x+8))+sqrt(x+2-sqrt(x+8))=4.
Умножим левую и правую части уравнения на
sqrt(x+9+2*sqrt(x+8))-sqrt(x+2-sqrt(x+8)), получим
(sqrt(x+9+2sqrt(x+8)))^2-(sqrt(x+2-sqrt(x+8)))^2=4
sqrt(x+9+2*sqrt(x+8))-4sqrt(x+2-sqrt(x+8))

Умножаем первое уравнение на 4 и складываем со вторым
4sqrt(x+9+2*sqrt(x+8))+4sqrt(x+2-sqrt(x+8))=16.
4sqrt(x+9+2*sqrt(x+8))-4sqrt(x+2-sqrt(x+8))=7+3sqrt(x+8)
8*sqrt(x+9+2*sqrt(x+8))=23+3sqrt(x+8)
Замена переменной
sqrt(x+8)=t, t > 0 при х больше или равно -8
x+8=t^2.

8*sqrt(t^2+2t+1)=23+3t;
8sqrt((t+1)^2)=23+3t;
8|t+1|=23+3t
Если t больше или равно -1, то |t+1|=t+1, а при t > 0 и тем более
8t+8=23+3t;
5t=15
t=3

sqrt(x+8)=3
x+8=9
x=1

Проверка
sqrt(1+9+2sqrt(9))+sqrt(1+2-sqrt(9))=4 - верно, так как
sqrt(16)+sqrt(0)=4
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

При пересечении двух сфер получаются две линзы (как и при пересечении двух окружностей см. рисунок, большая и маленькая лунки сиреневого цвета).

Обозначим КО1=х
По теореме Пифагора
АК^2=AO1^2-KO1^2=25^2-x^2
и
АК^2=AO2^2-KO2^2=29^2-(x+6)^2
Приравниваем
25^2-x^2=29^2-(x+6)^2
(х+6)^2-x^2=29^2-25^2;
(x+6-x)*(x+6+x)=(29-25)*(29+25);
6*(2x+6)=4*54
2x+6=36
2x=36-6
2x=30
x=15

V(линзы слева)=V(шарового сегмента1)-V(шарового сегмента 2)
см формулу в приложении

FO2=R2=29
FO1=R2-O1O2=29-6=23
MO1=25
MF=MO1-FM=25-23=2
FK=FO1-KO1=23-15=8
FK=h2
R1=25; h1=МО1=MF+FK=2+8=10

V(линзы)=π10^2*(25-(10/3))-π8^2*(29-(8/3))=
=π*((6500/3)-(5056/3))=1444π/3.

Если нужен объем линзы справа, то аналогично.
V(линзы справа)=V(шарового сегмента2)-V(шарового сегмента 1)
H1=25+15=40
H2=29+15=44

V(линзы)=π44^2*(29-(44/3))-π40^2*(25-(40/3)) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Правильная треугольная призма- в основании равносторонний треугольник, боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Выделяем полные квадраты:
5х^2+4ху+у^2+4х=
=(4x^2+4xy+y^2)+(x^2+4x+4)-4=
=(2x+y)^2+(x+2)^2- 4 больше или равно -4 > -5, так как
(2x+y)^2+(x+2)^2 - сумма двух неотрицательных чисел больше или равна 0
О т в е т. А=-5

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Число при делении на 6 дает остатки
1;2;3;4;5
Значит число имеет вид
6a+1; 6a+2;6a+3; 6a+4; 6a+5
Значит при делении на 11 те же остатки
1;2;3;4;5.
Значит число имеет вид
11b+1; 11b+2; 11b+3; 11b+4; 11b+5

Так как по условию число при делении на 6 и на 11 дает одинаковые остатки, то значит при делении на 66 оно дает те же остатки
1;2;3;4;5
Число имеет вид 66k+1; 66k+2; 66k+3; 66k+4; 66k+5
При k=1 - получим двузначные числа
При k=2 - трехзначные.

66*2+3=135
О т в е т. 135

Ответ выбран лучшим

1/(x^2+8x–9) больше или равно 1/(3x^2–5x+2);
1/(x^2+8x–9) -1/(3x^2–5x+2) больше или равно 0;
(3x^2-5x+2-x^2-8x+9)/((x^2+8x–9)*(3x^2–5x+2)) больше или равно 0;
(2x^2-13x+11)/((x^2+8x–9)*(3x^2–5x+2)) больше или равно 0;
Применяем метод интервалов.
Нули числителя:
2x^2-13x+11=0
D=(-13)^2-4*2*11=169-88=81
x1=(13-9)/4=1 х2=(13+9)/4=5,5
Нули знаменателя:
x^2+8x–9=0 D=64+36=100 х3=-9 х4=1
3x^2–5x+2=0 D=25-24 x5=2/3 x6=1

Неравенство имеет вид:
(х-1)(х-5,5)/(x+9)(x-1)^2*(3x-2) больше или равно 0

_+__ [-9] __-_ (2/3) _+__ (1) _-__ (5,5)_+_

О т в е т.
(- бесконечность;-9]U((2/3);1)U(5,5;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

y`=(8/(x+7))-8=8-(8x-56)/(x+7)

Ответ выбран лучшим

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на (1-∛2), получим
(1-∛2)/(1-(∛2)^3)=∛2-1
Аналогично
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на (∛2-∛3), получим
(∛2-∛3)/((∛2)^3-(∛3)^3)=∛3-∛2
...
О т в е т. ∛2-1+∛3-∛2+...+∛2017-∛2016)+2016+∛2017=
=2016+2∛2017-1=2015+2∛2017

Ответ выбран лучшим

1) Квадратное уравнение относительно cosx
D=1-4*7*(-8)=1+224=225
cosx=(1-15)/14 или сosx=(1+15)/14
cosx=-1
x=-π+2πk, k∈ Z.
cosx=(16/14) уравнение не имеет корней, так как (16/14) > 1
Указанному промежутку принадлежат корни
-3π; -π; π
2) Биквадратное уравнение
D=10^2-4*8*(-3)=100+96=196
sin^2x=-24/16 - уравнение не имеет корней, правая часть положительна.
или
sin^2x=1/4
sinx=-1/2 или sinx=1/2

sinx=-1/2
x=–(π/6)+2πk, k∈ Z или х= (-5π/6)+2πn, n∈ Z.
sinx=1/2
x=(π/6)+2πm, m∈ Z или х= (5π/6)+2πs, s∈ Z.
О т в е т. =±(π/6))+2πk, ;х=± (5π/6)+2πn, k, n∈ Z.
Указанному промежутку принадлежат корни
(5π/6)-4π=-19π/6;
(-5π/6)-2π=(-17π/6);
(-π/6)-2π=(-13π/6);
см. рисунок

5) 36=6^2
6^(2sin2x)=6^(2sinx)
2sin2x=2sinx
2*2sinxcosx=2sinx
2sinxcosx-sinx=0
sinx(2cosx-1)=0
sinx=0 или 2cosx-1=0

sinx=0
x=πk, k∈Z
cosx=1/2
x= ±(π/3)+2πn, n∈Z
О т в е т. πk,±(π/3)+2πn, k, n∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни
-2π; -3π; (-π/3)-2π=-7π/3

9) По определению логарифма
2cos^2x+3cosx+1=3^1
2cos^2x+3cosx-2=0
D=9+16=25
cosx=-2 уравнение не имеет корней
или
сosx=1/2
x=± (π/3)+2πk, k∈Z
О т в е т. ± (π/3)+2πk, k∈Z
Указанному промежутку принадлежит корень
(-π/3)-2π=-7π/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

При sinx=1 или sinx=–1 уравнение не имеет корней
|sinx| < 1
Слева сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S=sinx/(1–sinx)
sinx/(1–sinx)=1
или
sinx=1–sinx
2sinx=1
sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈ Z. или х=(5π/6)+2πn, n∈ Z.
Наименьший положительный корень (π/6) или 30 °

Ответ выбран лучшим

При sinx=1 или sinx=-1 уравнение не имеет корней
|sinx| < 1
Слева сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
S=sinx/(1-sinx)
sinx/(1-sinx)=1
или
sinx=1-sinx
2sinx=1
sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈ Z. или х=(5π/6)+2πn, n∈ Z.
Наименьший положительный корень (π/6) или 30 градусов

Ответ выбран лучшим

1)непосредственная подстановка
=3^2-7*3+4=-8;
2)непосредственная подстановка приводит к неопределенности 0/0
Раскладываем на множители и сокращаем на (х-11)
Остается дробь. (х+11)/(х-3).
Непосредственная подстановка (11+11)/(11-3)=22/8=11/4.
3)непосредственная подстановка приводит к неопределенности 0/0
Раскладываем на множители и сокращаем на (х+2)
Остается дробь. (х-8)/(х-1).
Непосредственная подстановка (-2-8)/(-2-1)=10/3.
10) Второй замечательный предел.
=lim_(x→ бесконечность)((1+(1/х))^x)^(1/2)=e^(1/2)=sqrt(e)

Ответ выбран лучшим

20^2=400
25=(400*sin2α)/10 = >
25=40*sin2α
sin2α=25/40

Ответ выбран лучшим

300 г составляют 100%
х г составляют 22%
х=300*22:100=66 г кислоты в 300 граммах 22% раствора.

В новом растворе 66 г составляют 9%
у г составляют 100%
у=66*100:9=733,333 г в новом растворе.
733-300=433 г воды нужно добавить

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2-21x+54=0
D=(-21)^2-4*54=441-216=225
x1=(21-15)/2=3 или х2=(21+15)/2=18
О т в е т. 3; 18.

Ответ выбран лучшим

5^(x-1)=5^x/5
(5^x/5)-10^x*2*5^x*5=0
5^x*((1/5)-10^(x+1))=0
(1/5)-10^(x+1)=0
10^(x+1)=1/5
x+1=lg(1/5)
x=-1+lg(1/5).
О т в е т. -1+lg(1/5).

2) 2^x=t
t > 0

((t/2)-1)/(2t+1) < 2;
(t-2)/(2*(2t+1)) < 2;
(t-2-4*(2t+1))/(2*(2t+1)) < 0
(-7t-6)/(2(2t+1)) < 0
_-__(-6/7) __+__ (-1/2) __ _-___

C учетом, что t > 0, получаем ответ
t > 0
2^x > 0 при любом х
О т в е т. (- бесконечность;+бесконечность)
3) 2^x=t
t > 0
2^(-x)=1/t

((2/t)-t+1)/(t-1) меньше или равно 0
(2-t^2+t)/(t*(t-1)) меньше или равно 0
(t^2-t-2)/(t*(t-1)) меньше или равно 0
(t+1)(t-2)/(t*(t-1) меньше или равно 0

_+_ [-1] _-__ (0) _+__ (1) _-__ [2]_+__

C учетом t > 0 получаем ответ
1 < t меньше или равно 2.
1 < 2^x меньше или равно 2.
0 < x меньше или равно 1.
О т в е т. (0;1].

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^x=t
t > 0
2^(-x)=1/t

t+(1/t)-3 < 0
t^2-3t+1 < 0
D=(-3)^2-4=5
t1=(3-sqrt(5))/2 или t2=(3+sqrt(5))/2

____ (t1) ___-____ (t2) ___

t1 < t < t2

(3-sqrt(5))/2 < 2^x < (3+sqrt(5))/2
log_(2)(3-sqrt(5))/2 < x < log_(2) (3+sqrt(5))/2
О т в е т. (log_(2)(3-sqrt(5))/2; log_(2) (3+sqrt(5))/2)

Ответ выбран лучшим

1)
По формулам приведения:
sin(π/2 - x)= cosx.
Так как
cos2x = 2cos²x-1, уравнение принимает вид
2cos^2x-sqrt(2)cosx=0
cosx*(2cosx-sqrt(2))=0
cosx=0 или 2cosx-sqrt(2)=0.

cosx=0
x=(π/2)+πk, k∈ Z.
или
cos x =√2/2;
x = ± arccos(√2/2)+2πn, n∈ Z;
х=± (π/4)+2πn, n∈ Z.
О т в е т. а) (π/2)+πk; ± (π/4)+2πn, k, n∈ Z.
б) Указанному промежутку принадлежат корни:
(π/4)-4π=-15π/4;(-7π/2); (-5π/2) см. рисунок

3) По формулам приведения:
сos(3π/2 + x)=sinx.
Так как
sin2x =2sinxcosx, уравнение принимает вид
2•sin²x-2sinxcosx=0
2sinx*(sinx-cosx)=0
sinx=0 или sinx-cos x =0

sinx=0 ⇒ x=πk, k∈ Z;
или
sinx=cosx ⇒ tgx=1
x = arctg1+πn, n∈ Z;
х=(π/4)+πn, n∈ Z.

О т в е т.
а)πk, (π/4)+πn, k, n∈ Z.
б) Указанному промежутку принадлежат корни
-3π; (π/4)-3π=-11π/4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos²x = 1 – sin²x,
cos2x=1-2sin²x
уравнение принимает вид
2sin²x+5sinx– 3=0
D=5²–4•2•(–3)=25+24=49
sinx=(-5-7)/4
sinx=–3 - уравнение не имеет корней
или
sinx =(-5+7)/4
sinx=1/2
x = arcsin(1/2)+2πk, k∈ Z или х=(π–arcsin(1/2))+2πn, n∈ Z;
x=(π/6)+2πk, k∈ Z или х= (5π/6)+2πn, n∈ Z.
О т в е т. (π/6)+2πk, (5π/6)+2πn, k, n∈ Z.

Ответ выбран лучшим

Тетраэдр состоит из 4х правильных треугольников. Следовательно, его площадь состоит из площадей четырех равносторонних треугольников.
Пусть ребро тетраэдра равно а.
По формуле радиус описанной сферы
R =asqrt(6)/4 ( cм. приложение)
где a - ребро тетраэдра.
1=asqrt(6)/4
a=4sqrt(6)/6=2sqrt(6)/3
S (поверхности) = 4 *(a^2 sqrt(3)/4) = a^2sqrt(3) =
=(2sqrt(6)/3)^2*sqrt(3)=8sqrt(3)/3
О т в е т. 8sqrt(3)/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как sin^2x+cos^2x=1
2sinx=2
sinx=1
x=(π/2)+2πk, k∈Z
О т в е т. (π/2)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Треугольники A1O1K и AOK подобны с коэффициентом подобия 1/3
Так как объемы относятся как кубы коэффициента подобия, то
V(налитой жидкости):V(сосуда)=(1/3)^3, то
V(cосуда)=V(налитой жидкости):(1/27)=
=27*20 мл.=540 мл.

540 мл - 20мл=520 мл надо долить. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Не достаточно данных.
В треугольнике BOD можно найти только стороны
ВО и OD.
Для нахождения угла BOD этого недостаточно. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

7/(a*(1-a)) - (7/a)=(7-7*(1-a))/(a*(1-a))=
=(7-7+7a)/(a*(1-a))=7a/(a*(1-a))=7/(1-a)
при а=36
7/(1-36)=7/(-35)=-1/5.

Ответ выбран лучшим

S(Δ)=(1/2)*a*h_(a)
S(Δ)=(1/2)*b*h_(b)

(1/2)*a*h_(a)=(1/2)*b*h_(b)

a*h_(a)=b*h_(b)

18*1=6*h

h=18/6=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

125 см - 100 %
х см - 140%
х=125*140:100=175 см
О т в е т. 175 см

Ответ выбран лучшим

S=620*750=465 000 кв. м
1 га= 10 000 кв м
465 000 кв м= 46,5 га

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin61°=sin( 90°-29°)=cos29°
5cos29°/sin61°=5cos29°/cos29°=5

Ответ выбран лучшим

р=m/n=14/25=0,56

Ответ выбран лучшим

1) ОДЗ: 7х-1 > 0 ⇒ x > 1/7
По свойству логарифма степени:
log_(sqrt(3))(7x-1)^2=12
По определению логарифма
(7x-1)^2=(sqrt(3))^(12);
(7x-1)^2=3^6
(7x-1)^2-(3^3))^2=0
(7x-1-27)*(7x-1+27)=0
7x-28)*(7x+26)=0
7x-28=0 или 7x+26=0
7x=28 7x=-26
x=4 или х=-26/7 не удовл ОДЗ
О т в е т. 4
2)ОДЗ: 3х^2-6x > 0 ⇒ 3x*(x-6) > 0
_+__ (0) __-__ (6) __+_
x < 0 или х > 6

По определению логарифма
3x^2-6x=3^2;
3x^2-6x-9=0
x^2-2x-3=0
D=(-2)^2-4*(-3)=4+12=16
x1=(2-4)/2=-2 или х2=(2+4).2=3
Оба корня принадлежат ОДЗ
О т в е т. -2; 3.
3) ОДЗ:
{-4x-7 > 0⇒ -4x > 7 ⇒ x < -7/4;
{2x+4 > 0 ⇒ 2x > -4 ⇒ x > -2

_ (-2) |||||| (-7/4) _

-2 < x < -7/4

Произведение равно 0 когда хотя бы один из множителей равен 0
lg(-4x-7)=0 или lg(2x+4)=0
По определению логарифма
-4х-7=10^0 или 2х+4=10^0
-4x-7=1 или 2х+4=1
-4х=1+7 2х=1-4
x=-2 x=-3/2
-2 не входит в ОДЗ
О т в е т. х=-3/2

4)ОДЗ:
{12x+7 > 0⇒ 12x > -7 ⇒ x > -7/12;
{3x+2 > 0 ⇒ 3x > -2 ⇒ x > -2/3.

-7/12=-21/36 > -24/36=-2/3
x > -7/12

Перепишем уравнение в виде
lg(12x+7)=lg(3x+2)
12x+7=3x+2
12x-3x=2-7
9x=-5
x=-5/9

-7/12=-21/36 < -20/36=-5/9
-5/9 принадлежит ОДЗ.
О т в е т. -5/9

5)ОДЗ:
{x-1 > 0⇒ x > 1;
{3x-5 > 0 ⇒ 3x > 5 ⇒ x > 5/3.

ОДЗ: x > 5/3

Применяем свойство суммы логарифмов
lоg_(5)(x-1)+lоg_(5)(3x-5)=0
log_(5)(x-1)/(3x-5)=0
(x-1)/(3x-5)=5^0
(x-1)/(3x-5)=1
x-1=3x-5
x-3x=-5+1
-2x=-4
x=2 принадлежит ОДЗ.
О т в е т. 2.

6) ОДЗ:
{27-x^2 > 0⇒ -3sqrt(3) < x < 3sqrt(3);
{x+3 > 0 ⇒ x > -3;
{11-2x > 0 ⇒ -2x > -11 ⇒x < 5,5
ОДЗ: -3 < x < 3sqrt(3)

Перепишем уравнение в виде
log_(3) (27-x^2)=log_(3)(x+3)+log_(3)(11-2x)
Применяем свойство суммы логарифмов
log_(3) (27-x^2)=log_(3)(x+3)(11-2x)
27-x^2=(x+3)*(11-2x);
27-x^2=11x+33-2x^2-6x;
2x^2-x^2-11x+6x+27-33=0
x^2-5x-6=0
D=25+24=49
x1=(5-7)/2=-1 или х2=(5+7)/2=6 - не принадлежит ОДЗ
О т в е т. -1

Ответ выбран лучшим

Сумма острых углов 138 градусов,
138 градусов:2=69 градусов - острый угол.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне 180 градусов, 180 градусов - 69 градусов =111 градусов.
О т в е т. 111 градусов и 69 градусов.

Ответ выбран лучшим

Пусть дед Мороз раздал мальчикам по n конфет и девочкам по m конфет
Всего он раздал (28n+37m) конфет
(28*37+37*28)=28*37*2 конфет - наибольшее число конфет у деда Мороза.

Ответ выбран лучшим

log_(5)(5–х)=2log_(5)(3);
log_(5)(5–х)=log_(5)(3)^2;
5-x=3^2
-x=9-5
x=-4

Ответ выбран лучшим

(6sqrt(2))^2=6^2*(sqrt(2))^2=36*2=72

90/(6sqrt(2))^2=90/72=10/8=1,25

Ответ выбран лучшим

Наименьшее число– такое, что само число и число (n+41) содержат максимальное количество девяток
12000:9=1333 девятки в числах или меньше.
Далее подбор, например,

9999949 + 41=9999990
Сумма цифр 9+9+9+9+9+4+9+9+9+9+9+9+9+0=12*9+4
=108+4=112
А надо, например, чтобы сумма цифр была 100, убираем две девятки. Какие? Те что впереди, число -то должно быть наименьшим.
Но убирая девятки уберем 18, а надо 12, значит первые девятки заменяем на тройки.
3999949
3999949+41=3999990 и тогда ответ 39990.

В наших числах должно быть
1332:2=666 девяток
1332*9=11988
до 12000 недостает 12

?99999...49
?99999...49+41=
?99999...90
Сумма цифр чисел ?99999...49 и ?99999...90
равна ?*2+4+9*666*2=12000
?=4
Получили 49999,,,90 - 668-значное.
Не знаю наименьшее ли оно.
О т в е т. 49990

Ответ выбран лучшим

D=5^2-4*(-14)=25+56=81
x1=(-5-9)/2=-7 или х2=(-5+9)/2=2
О т в е т. -7; 2.

Ответ выбран лучшим

S(Δ KMN)=(1/2)*KM*MN* sin45градусов=

=(1/2)*|vector{a}|*|vector{b}|*(sqrt(2)/2)=

=|vector{a}|*|vector{b}|*(sqrt(2)/4)=

Так как
vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos45 градусов;

4=|vector{a}|*|vector{b}|*cos45 градусов;

|vector{a}|*|vector{b}|=4sqrt(2).

S(Δ KMN)=4sqrt(2)*(sqrt(2)/4)=2.

Ответ выбран лучшим

48·33·24 = 38016 кубических сантиметров
1 литр = 1000 кубических сантиметров
х литров =38016 кубических сантиметров
х=1*38016/1000=38,016 л

Ответ выбран лучшим

2h-6=12-3h+5;
2h+3h=12+5+6;
5h=23
h=4,6

Ответ выбран лучшим

Найти производную.
y`=(11/cos^2x)-11;

y`=0
cos^2x=1
cosx=-1 или cosx=1
х=π+2πk, k∈Z или х=2πn, n∈Z - точки возможных экстремумов.

Ответ выбран лучшим

1) 6^х > 0при любом х
О т в е т. x∈(- ∞;+ ∞)
2) (10^х)≠0
10^x > 0 при любом х
О т в е т. x∈(- ∞;+ ∞)
3) 25^х – 5^х > 0
5^x*(5^x-1) > 0
5^x > 0 при любом х, поэтому
5^x-1 > 0
5^x > 5^0
x > 0
О т в е т. (0;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

t^2–t–12 < 0
t=2^x > 0
D=1+48=49
t1=(1–7)/2=–3 или t2=(1+7)/2=4
-3 < t < 4
Так как t > 0, то 0 < t < 4
0 < 2^x < 4
0 < 2^x < 2^2
x < 2
На отрезке [-3;3] целые решения неравенства x < 2
-3;-2;-1;0;1
О т в е т. -3;-2;-1;0;1

Ответ выбран лучшим

Cоставим неравенство:
(1/4)^х > (1/2)^х + 12;
t^2-t-12 > 0
t=(1/2)^x > 0
D=1+48=49
t=(1-7)/2=-3 или t=(1+7)/2=4
t < -3 или t > 4
Так как t > 0, то решаем только второе неравенство
(1/2)^x > 4
2^(-x) > 2^2
-x > 2
x < -2
О т в е т. (-бесконечность; -2)

Ответ выбран лучшим

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos45 градусов;

4=|vector{a}|*|vector{b}|*cos45 градусов;

|vector{a}|*|vector{b}|=4sqrt(2).

S(Δ KMN)=(1/2)*KM*MN* sin45 градусов=

=(1/2)*4sqrt(2)*(sqrt(2)/2)=2.

Ответ выбран лучшим

Треугольники SA`O` и SAO подобны с коэффициентом подобия 6/7
Так как объемы относятся как кубы коэффициента подобия, то
V(налитой жидкости):V(сосуда)=(6/7)^3, то
V( налитой жидкости)=(6/7)^3*V(cосуда)=
=(6/7)^3*3430=2160 мм^3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как
cos^2x=1-sin^2x, а sin^2x=1-cos^2x,
перепишем равенство в виде

(36sin^2x+60sinx+31)/(-36cos^2x+12sqrt(11)cosx-9)=3

Замена переменной
u=sinx
v=cosx
Тогда
{(36u^2+60u+31)/(-36v^2+12sqrt(11)v-9)=3
{u^2+v^2=1
Выделяем полные квадраты
(6u+5)^2+6)/(2-(6v-sqrt(11))^2)=-3
или
(6u+5)^2+6)/(3(6v-sqrt(11))^2-6)=1

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12235

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{y > 0

log_(5)y=u
2^x=v

{64u^3+v^3=61;
{16u^2-4uv=61-v^2;

{(4u+v)*(16u^2-4uv+v^2)=61
{16u^2-4uv+v^2=61

Значит
{4u+v=1
(16u^2-4uv+v^2=61

Возводим первое уравнение в квадрат
{16u^2+8uv+v^2=1;
{16u^2-4uv+v^2=61

Вычитаем из первого второе
{12uv=-60
{4u+v=1

{uv=-5
{v=1-4u
u*(1-4u)=-5

4u^2-u-5=0
D=81
u1=(1-9)/8=-1 или u2=5/4
v1=1-4u1=1+4=5 или v2=1-4u2=1-5=-4

Обратная замена

log_(5)y=-1 ⇒y=5^(-1)
2^x=5 ⇒ x=log_(2)5

log_(5)y=5/4
2^x=-4 нет корней, 2^x > 0 при любом х

О т в е т. (log_(2)5; 1/5)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-1 > 0
{x > 0
{x+1≠ 1

Так как
log_(1/3)(x-1)+log_(1/4)x=
=log_(3^(-1))(x-1)+log_(4^(-1))x=
=-log_(3)(x-1)-log_(4)x
перепишем неравенство в виде
10/(х+1) больше или равно log_(3)(x-1)+log_(4)x
Строим графики функций
у=10/(х+1) и y= log_(3)(x-1)+log_(4)x
на ОДЗ, т. е на (1;+ бесконечность)
См. рисунок.
О т в е т. (1;4] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение в виде:
(2x+7)^2-(2x-1)^2=0
Применяем формулу разности квадратов
a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
(2x+7-2x+1)*(2x+7+2x-1)=0
8*(4x+6)=0
4x+6=0
4x=-6
x=-3/2
x=-1,5
О т в е т. -1,5

Фактически, нам дан полный граф на 40 вершинах, рёбра которого раскрашены в 2 цвета. Можно считать, что из любой вершины выходит по 6 красных рёбер и по 34 синих. Нас интересует число одноцветных треугольников. Общее число треугольников равно 40⋅39⋅38/6=9880. Подсчитаем число разноцветных. С каждым из них связано ровно две вершины, из которых выходят рёбра разного цвета. Количество пар таких рёбер равно 40⋅6⋅34, и это количество надо разделить пополам. Это даёт 4080 разноцветных треугольника. Остальные9880– 4080= 5800 одноцветных.
О т в е т. 5800 замкнутых троек городов в этом государстве

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=13330

Ответ выбран лучшим

4^x+2^(2x-1)=3^(x+(1/2))+3^(x-(1/2))
4^x+4^x*2^(-1)=3^(x+(1/2))+3^(x-(1/2))
4^x*(1+(1/2))=3^(x-1/2)*(3+1)
4^x*(3/2)=3^(x)*3^(-1/2)*4
4^(x-1)=3^(x-1)*sqrt(4/3)
(4/3)^(x-1)=(4/3)^(1/2)
x-1=1/2
x=3/2

Ответ выбран лучшим

1)Уравнение касательной к первой кривой
y`=a/2sqrt(x)
y`(x_(o))=a/(2sqrt(x_(o)));
Уравнение касательной имеет вид
у-asqrt(x_(o))=a/(2sqrt(x_(o)))*(x-x_(o)).
2) Уравнение касательной ко второй кривой
y`=e^x
y`(x_(o))=e^(x_(o))
Уравнение касательной
у-e^(x_(o))=e^(x_(o))*(x-x_(o)).

Уравнения равны.
asqrt(x_(o))+a/(2sqrt(x_(o)))*(x-x_(o))=e^(x_(o))+e^(x_(o))*(x-x_(o)).
Равенство возможно при:
{a/(2sqrt(x_(o)))=e^(x_(o))
{asqrt(x_(o))-((a*x_(o))/(2sqrt(x_(o))))=e^(x_(o))*(1-x_(o))

x_(o)=1/2 ⇒ a=sqrt(2e)

Ответ выбран лучшим

Если все слагаемые под корнем,то
sqrt( (13/2)+(5/2))=sqrt(18/2)=sqrt(9)=3

Ответ выбран лучшим

Пусть а,b,c - стороны параллелепипеда.
Площади граней
a*b=15
b*c=18
a*c=30
Перемножаем все три неравенства
a^2*b^2*c^2=8100
a*b*c=90 ⇒
c=90/ab=90/15=6
a=90/18=5
b=90/30=3
О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

36=4•9, это означает, что число должно делиться и на 9 и на 4.
Известны признаки делимости.
Признак делимости на 4: две последние цифры числа делятся на 4:
Значит последними цифрами могут быть 12, или 24 или 32. Остальные цифры перед этими должны быть выбраны так, чтобы сумма цифр числа делилась на 9

Пусть последние цифры числа 12, сумма этих двух цифр 3. Из оcтавшихся цифр 1,1,3,3,3,4 можно взять цифры 33 или 114 или 113334.
Сумма цифр таких чисел
3+3+1+2=9 кратна 9
1+1+4+1+2=9 кратна 9
1+1+3+3+3+4+1+2=18 кратна 9
Число 3312 - одно.
Чисел с цифрами 1,1,4 перед 12 три:
11412; 14112; 41112.
Цифры 1,1,3,3,3,4 можно переставить
6!/(3!*2!)способами=60
60 чисел с цифрами 1,1,3,3,3,4 перед 12.
Получили 1+3+60=64 числа

Две последние цифры числа 24.
Сумма цифр 2+4 =6
Можно выбрать впереди этих цифр цифры 3, 111, 111333.
Сумма цифр
3+2+4=9 кратна 9
1+1+1+2+4=9 кратна 9
1+1+1+3+3+3+2+4=18 кратна 9
324 - одно число
11124 - одно число
Перестановка цифр 1,1,1,3,3,3 перед цифрами 2 и 4
даст 6!/(3!*3!)=20 чисел.
Получили 22 числа.

Последние цифры 32.
Сумма цифр 3+2 =5
Можно выбрать впереди этих цифр цифры 4, 13, 111334
Сумма цифр
4+3+2=9 кратна 9
1+3+3+2=9 кратна 9
1+1+1+3+3+4+3+2=18 кратна 9
432 - одно число
1332 и 3132 -два числа
Перестановка цифр 1,1,1,3,3,4 перед цифрами 3 и 2
даст 6!/(3!*2!)=60 чисел.
Получили 1+2+60=63 числа.
О т в е т. 64+22+63=149 чисел

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=13265

Ответ выбран лучшим

При m=0 и m > 9 - одна общая точка.
При m=9 - две общие точки
О т в е т. m ∈ {0}U[9;+ ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

OДЗ:
{(x-1)*(x-2)*log_(x^2)(2/x^2) больше или равно 0;
{x ≠ 0,
{x ≠±1.
Для нахождения знака произведения (х-1)(х-2) применяем метод интервалов
_+__ (-1) _+_ (0) _+_ (1) ___-___ [2] _+__

Для нахождения знака log_(x^2)(2/x^2) применяем метод рационализации логарифмических неравенств

(x^2-1)*((2/x^2)-1) ≤( или ≥) 0
(x-1)(x+1)*(2-x^2)/x^2 ≤( или ≥) 0

_-_ [-√2] _+_ (-1) _-_ (0) _-_ (1) _+__[√2]__-__

Произведение двух множителей неотрицательно когда множители имеют одинаковые знаки.
ОДЗ: х∈[-√2;-1) U[√2;2].

При x[-√2;-1) U[√2;2]
x+2 > 0
неравенство можно сократить на положительное выражение, отличное от 0.
Неравенство принимает вид:
sqrt((x-1)(x-2)log_(x^2)(2/x^2)) > x^2-3x+1+log_(|x|)sqrt(2).
или
sqrt((x-1)(x-2)(log_(x^2)2-1)) > (x-1)(х-2)-1+log_(|x|)sqrt(2).
sqrt((х-1)(х-2)*(-1+log_(|x|)sqrt(2))) > (x-1)(х-2) -1+log_(|x|)sqrt(2).
Неравенство имеет вид:
sqrt(u*v) > u+v
u=(x-1)(x-2)
v=-1+log_(|x|)sqrt(2).

1) Если u+v < 0 неравенство верно при всех х , при которых sqrt(uv) определен.

u+v=(x-1)(x-2)-1+log_(|x|)sqrt(2) < 0 на [sqrt(2);2]
cм. рисунок.

2) Ecли u+v > 0, возводим в квадрат
uv > u^2+2uv+v^2 или u^2+uv+v^2 < 0- неравенство не выполняется ни при каких х, так как D=(1-4 < 0)

u+v=(x-1)(x-2)-1+log_(|x|)sqrt(2) > 0 на [-sqrt(2);-1)
cм. рисунок.
О т в е т. [sqrt(2);2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
Основание пирамиды равносторонний треугольник АВС:
АВ=ВС=АС=2
Основание высоты SO точка О - центр описанной и центр вписанной окружностей.
АО=R, OK=r.
AK=h(Δ ABC)=asqrt(3)/2=2*sqrt(3)/2=sqrt(3)

AO=(2/3)AK=2sqrt(3)/3

По теореме Пифагора из треугольника ASO
SO^2=SA^2-AО^2=(sqrt(5))^2-(2sqrt(3)/3)^2=5-(4/3)=11/3
SO=sqrt(11/3).
S(сечения)=S(Δ ASK)=(1/2)*AK*SO=(1/2)*(sqrt(3)*sqrt(11/3)=sqrt(11)/2.
О т в е т. sqrt(11)/2
б) Плоскость сечения SAK перпендикулярна плоскости основания АВС, так как проходит через перпендикуляр SO, SO ⊥ пл. АВС.
∠ SOM- линейный угол двугранного угла между сечением и плоскостью ABC.
SO ⊥ АК
ОМ ⊥АК ( так как ОM || BC, BC ⊥ AK)
∠ SOM=90 градусов.
cos∠ SOM=cos 90 градусов=0.
О т в е т. 0 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Диагональ АС квадрата по теореме Пифагора
АС^2=AB^2+BC^2=(sqrt(2))^2+(sqrt(2))^2=2+2=4;
AC=2
Проекция точки А1 - точка М
Треугольник АА1М - прямоугольный
АА1=5
А1М=3
АМ=4
sin ∠ A1AM=3/5
∠ A1AM=∠ C1CM=∠ ACK
Из треугольника АКС:
d=AK=AC*sin∠ ACK=2*3/5=6/5=1,2
О т в е т. 1,2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) Пусть ∠ВАС=α; ∠ВСА=β.
Тогда смежные углы ∠DАС=180°-α; ∠EСА=180°-β.
Так как по условию Точки А, D, Е, С лежат на одной окружности, т.е четырехугольник АDЕС вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны 180°.
∠DАС+∠СED=180°;
∠АСE+∠ADE=180°.
Значит
∠СED=α; ∠АDE=β.
Треугольники АВС и DBE подобны по двум углам.
б)
По свойству касательных к окружности проведенных из одной точки- отрезки касательных равны.
BD=BE
Треугольник DBE - равнобедренный и ∠α=∠β.
Значит, треугольник АВС - равнобедренный и
АВ=ВС

Центр окружности, вписанной в треугольник АВС, - точка пересечения биссектрис.
Так как треугольник АВС - равнобедренный, центр окружности лежит на бисектрисе, высоте и медиане, проведенной из точки В.
АК=КС=4
Из прямоугольного треугольника АОК
tg∠ОАК=ОК/АО=1/4
∠ОАК=(1/2)∠BАК=α/2
Итак, в треугольнике АВС tg(α/2)=1/4
По формулам
sinα=2tg(α/2)/(1+tg^2(α/2));
сosα=(1-tg^2(α/2))/(1+tg^2(α/2));
sinα=2*(1/4)/(1+(1/4)^2)=8/17
cosα=(1-(1/4)^2)/(1+(1/4)^2)=15/17
tgα=8/15
ВК=h=4*tgα=4*(8/15)=32/15
S(Δ АВС)=АС*ВК/2=8*32/(2*15)=128/15
О т в е т. 128/15 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
{5-log_(1/6)x≠0 ⇒ log_(1/6)x≠5 ⇒ x≠(1/6)^5
{1+log(1/6)x≠0 ⇒ log_(1/6)x≠-1 ⇒ x≠6

Пусть log_(1/6)x=t
Уравнение принимает вид:
(1/(5-t))+(2/(1+t))=1-дробно рациональное уравнение, приводим к общему знаменателю
(1+t+2*(5-t))/((5-t)*(1+t))=1;
1+t+10-2t=5-t+5t-t^2;
t^2-5t+6=0
D=25-24=1
t1=(5-1)/2=2 или t2=(5+1)/2=3
log_(1/6)x=2 или log_(1/6)x=3
x=(1/6)^2 или х=(1/6)^3
x=1/36 или х=1/216

х_(о)=1/216
216x_(о)(1+1/x_(о))=1+216=217
О т в е т. 217

Ответ выбран лучшим

2^(x)+2+2^(x-1)+2=2^(x+1)-2^2;
2^(x)+2+2^(x-1)+2-2^(x+1)+2^2=0;
2^(x-1)*(2+1-2^2)=-8
2^(x-1)=8
2^(x-1)=2^3
x-1=3
x=4

Ответ выбран лучшим

log_(3)√3*log_(1/5)(1/125)=(1/2)*3=1,5

Ответ выбран лучшим

log_(8)log_(2)log_(2)x=0;
log_(2)log_(2)x=8^0;
log_(2)log_(2)x=1;
log_(2)x=2^1;
x=2^2
x=4
x_(o)(x_(o)–2) =4*(4-2)=8

Ответ выбран лучшим

Множество точек на плоскости, заданных неравенством
(x–a+1)^2+(y–2a–3)^2 ≤ 80 – круг, ограниченный окружностью
(x–a+1)^2+(y–2a–3)^2 = 80 с центром в точке О1 (а-1; 2а+3) и радиусом r1=sqrt(80)=4sqrt(5).
Множество точек на плоскости, заданных неравенством
(x–2a+3)^2+(y–4a+1)^2 ≤ 20a^2- круг, ограниченный окружностью (x–2a+3)^2+(y–4a+1)^2 =20a^2с центром в точке O2(2а-3; 4а-1) и радиусом r2=2|a|sqrt(5).
Расстояние между центрами кругов:
d=O1O2=sqrt((2a-3-a-1)^2+(4a-1-2a-3)^2)=sqrt((2a-4)^2+(2a-4)^2)=4sqrt((a-2)^2)=4|a-2|
Требования задачи выполняются в результате выполнения одного из двух условий ( cм приложение):
1) d=r1-r2 или 2) d < r1-r2, которые рассматриваем в зависимости от того какой из радиусов больше.
1а и 2а) если r1 > r2, то
{4sqrt(5) > 2|a|sqrt(5)
{4|a-2| меньше или равно 2sqrt(5)*(2-|a|)

1б и 2б) если r2 > r1, то
{2|a|sqrt(5) > 4sqrt(5)
{4|a-2| меньше или равно 2sqrt(5)*(|a|-2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos2x+sin^2x=0,75
cos2x=1-2sin^2x
1-2sin^2x+sin^2x=0,75
sin^2x=1/4
sinx=-1/2 или sinx=1/2

sinx=-1/2
x=- (π/6)+2πk, k∈Z или x= (-5π/6)+2πn, n∈Z

sinx=1/2
x=(π/6)+2πm, m∈Z или x= (5π/6)+2πp, p∈Z

О т в е ты можно записать так
х=± (π/6)+πk, k∈Z или х=± (5π/6)+πk, k∈Z
см. рисунок.
Указанному промежутку принадлежат корни
-17π/6; -13π/6; -11π/6
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{sin2x > 0⇒2sinx*cosx > 0⇒
{-cox > 0⇒cosx < 0

{sinx < 0;
{cosx < 0.
ОДЗ: π+2πk < x < (3π/2)+2πk, k∈Z. ( III четверть).

Так как log_(1/2)(-cosx)=log_(2^(-1))(-cosx)=
=-log_(2)(-cosx), уравнение принимает вид:
log_(2)sin2x-log_(2)(-cosx)=1/2;
log_(2)(-sin2x/cosx)=1/2
(-sin2x/cosx)=2^(1/2)
cosx≠ 0
-2sinx=sqrt(2)
sinx=-sqrt(2)/2
x=(-π/4)+2πm, m∈Z или x=(-3π/4)+2πn, n∈Z
(-π/4)+2πm, m∈Z в IY четверти и не принадлежат ОДЗ.

О т в е т. а) x=(-3π/4)+2πn, n∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни (-3π/4) и
(5π/4)
см. рисунок.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

у`=((x/3)+(12/x))`=(1/3)-(12/x^2)
y`=0
(1/3)-(12/x^2)=0
12/x^2=1/3
x^2=12*3
x=-6 или х=6
х=-6∉[1;8]

Проверяем знак производной:
[1] ___-___ (6) _+__[8]
y`(4)=(1/3)-(12/4^2)=(1/3)-(12/16)=(1/3)-(3/4) < 0
y`(7)=(1/3)-(12/7^2)=(1/3)-(12/49)=(49-36)/(3*49) > 0

x=6 - точка минимума, так как производная меняет знак с + на -
у(6)=(6/3)+(12/6)=2+2=4
О т в е т. y(6)=4 - наименьшее значение функции на отрезке [1;8]

Ответ выбран лучшим

Пусть куплено х кг первого товара по цене у руб,
тогда второго товара куплено
(х-2) кг по цене (у-200) руб.
По условию
ху=4500
(х-2)*(у-200)=2100
Решаем систему двух уравнений:
{ху=4500
{(х-2)*(у-200)=2100⇒ xy-2y-200x+400=2100

{ху=4500
{4500-2y-200x+400=2100

{ху=4500
{200x+2y=2800⇒ y=1400-100x

x*(1400-100x)=4500;
100x^2-1400x+4500=0
x^2-14x+45=0
D=(-14)^2-4*45=196-180=16
x1=(14-4)/2=5 x2=(14+4)/2=9
y1=1400-100*5=900 y2=1400-100*9=500
О т в е т. 9 кг

Ответ выбран лучшим

Так как
3^(log_(9)2)=3^(log_(3^2)2)=3^((1/2)*log_(3)2)=3^(log_(3)2^(1/2))=2^(1/2)=sqrt(2);
sin2π/3=sqrt(3)/2;

sqrt(6)*3^(log_(9)2)*sin2π/3=sqrt(6)*sqrt(2)*(sqrt(3)/2)=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Δ АВС подобен Δ MNQ
АВ:ВС:АС=H:(H/2)=2:1

S(полн. пирамиды SABC)=S(Δ АВС)+S(бок пирамиды SABC)
S(полн. пирамиды SMNQ)=S(Δ MNQ)+S(бок. пирамиды SMNQ )

Плошади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон
S(Δ АВС):S(Δ MNQ)=(2)^2:1^2=4⇒S(Δ АВС)=4*S(Δ MNQ)
S(бок пирамиды SABC):S(бок. пирамиды SMNQ )=4⇒

S(бок. пирамиды SMNQ )=S(бок пирамиды SABC):4=72:4=18

S(полн. пирамиды SMNQ)=S(Δ MNQ)+S(бок. пирамиды SMNQ )
24=S(Δ MNQ)+18⇒ S(Δ MNQ)=6

S(Δ АВС)=4*S(Δ MNQ)=4*6=24
О т в е т. 24.

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(o))=tgα=k(касательной).
Находим
f`(x)=(x^4/4)`-(4x^3/3)`+(2x^2)`+(3x)`=
=(4x^3/4)-(12x^2/3)+4x+3=
=x^3-4x^2+4x+3
f`(x_(o))=3
x_(o)^3-4x_(o)^2+4x_(o)+3=3
x_(o)^3-4x_(o)^2+4x_(o)=0
x_(o)*(x^2_(o)-4x_(o)+4)=0
x_(o)=0 или x^2_(o)-4x_(o)+4=0⇒x_(o)=2
О т в е т. 2 значения.

Ответ выбран лучшим

Пусть в классе х учащихся.
Тогда х:100*40=0,4х учащихся занимаются в секции самбо,
х:100*25=0,25х учащихся занимаются в волейбольной
секции.
х:100*15=0,15х учащихся занимаются в обеих секциях.
Значит, 0,4х-0,15х=0,25х занимаются только самбо
и 0,25х-0,15х=0,1х занимаются только волейболом.
Всего 0,25х +0,1х+0,15х=0,5х учащихся занимаются в секциях
х-0,5х=0,5х учащихся не занимаются в секциях.
Событие A-"учащийся не занимается в секции"
n=x
m=0,5x
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=0,5x/x=0,5
О т в е т. 0,5

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(5x-1)(1/4)=-1
ОДЗ: 5х-1 > 0; 5x-1≠1
x∈ (1/5;2/5)U(2/5;+ ∞)

По определению логарифма
1/4=(5х-1)^(-1)
1/4=1/(5х-1)⇒ 5х-1=4 ⇒ 5х=5 ⇒ х=1 - принадлежит ОДЗ
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

Достроим фигуру до прямоугольника АВСD.
АВ=AD=10-3=7
ABCD- квадрат.
S(Δ KMD)=S(ABCD)-S(Δ AKD)- S(Δ BKM)-S(Δ MCD)=
=7*7-(1/2)*2*7-(1/2)*3*5-(1/2)*4*7=20,5
О т в е т. S=20,5
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=4-(4/(x+7))
y`=0
4-(4/(x+7))=0
x+7=1
x=-6
Находим знак производной:
(-7) _-__ (-6) _+__

y`(0)=4-(4/7) > 0
y`(-6,5)=4-(4/0,5) < 0
x=-6 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

Замена перменной
cosx=t
5t^2-12t+4=0
D=(-12)^2-4*5*4=144-80=64
t=(12-8)/10=2/5 или t=(12+8)/10=2
Уравнение
cosx=2 не имеет корней, так как |cosx| меньше или равно 1
cosx=2/5
x=± arccos(2/5)+2πk, k∈Z
О т в е т. ± arccos(2/5)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

a2=a1-10=–15-10=-25
a3=a2-10=-25-10=-35
a4=a3-10=-35-10=-45
d=-10
...
a_(n)=a1+(n-1)d- формула общего члена арифметической прогрессии
a8=a1+7d=-15+7*(-10)=-15-70=-85

S8=((a1+a8)*8)/2=((-15-85)*8)/2=-400

Ответ выбран лучшим

(3sqrt(3))^2=3^2*(sqrt(3))^2=9*3=27
54:27=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

Число кратно 5, значит его последняя цифра 5 или 0.
0 не может быть, так как число, записанное в обратном порядке четырехзначное.
Итак
abc5-5cba=2448
Ясно, что из 5 вычитаем а и получаем 8, значит а=7
7bc5-5cb7=2448
b=6
c=1

7615-5167=2448
О т в е т. 7615

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

a2=a1+12=-5+12=7
a3=a2+12=7+12=19
a4=a3+12=19+12=31
a5=a4+12=31+12=43
a6=a5+12=43+12=55
S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=-5+7+19+31+43+55=
=150

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

22.
Пусть во втором автобусе х учащихся, тогда в первом 1,5х учащихся, в третьем (1,5х+5) учащихся. Всего 101.
Уравнение
1,5х+х+(1,5х+5)=101;
4х=96
х=24
1,5х+5=1,5*24+5=41
41-24=17
О т в е т на 17 учащихся меньше во втором, чем в третьем.
23.
-x^2-6x-5=0
x^2+6x+5=0
D=36-20=16
x1=(-6-4)/2=-5; х2=(-6+4)/2=-1
x^2+6x+5=(x+5)(x+1)
x^2+8x+15=(x+3)(x+5) ( см. решение задачи 1).

у=-(x+5)(x+1)/(x+3)(x+5)
ОДЗ: х≠ -3 ; x≠ -5
Сокращаем на (х+5)
у=-(х+1)/(х+3)
Выделяем целую часть
у=-(х+3-2)/(х+3)
у=-1+(2/(х+3)) - гипербола.
График
у=-(x+5)(x+1)/(x+3)(x+5) и график у=-1+(2/(х+3)) совпадают на ОДЗ данной функции х≠ -3 ; x≠ -5
Т.е. в точке х=-5 у=-2 на графике гиперболы "выколотая точка"
См. график на рисунке.
О т в е т. при а=-1 и а=-2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

21.
x*(x^2-8x+15)=4*(3-x);
Разложим квадратный трехчлен на множители
x^2-8x+15=0
D=(-8)^2-4*15=64-60=4
x1=(8-2)/2=3 или х2=(8+2)/2=5
x^2-8x+15=(х-3)*(х-5)

Уравнение принимает вид
х*(х-3)*(х-5)-4*(3-х)=0
или
х*(х-3)*(х-5)+4*(х-3)=0
(х-3)*(х*(х-5)+4)=0
(х-3)*(x^2-5x+4)=0
x-3=0 или х^2-5x+4=0
x=3 или D=25-16=9
x=(5-3)/2=1 или х=(5+3)/2=4
О т в е т. 1; 3; 4.

Ответ выбран лучшим

1) ∠DCA- линейный угол двугранного угла между пл. АВС и пл. DBC, так как AC⊥BC (катеты прямоугольного треугольника) и DC⊥BC по теореме о трех перпендикулярах.
Из прямоугольного треугольника АВС АС=АВ/2=3 - катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Из прямоугольного треугольника DAC
cos∠DCA=AC/DC=3/2sqrt(3)=sqrt(3)/2
∠DCA=30 градусов.
2)
Проводим перпендикуляры МК и МР. Прямоугольные треугольники МТК и МТР равны по катету (МК=МР) и общей гипотенузе МТ.
значит МТ - биссектриса угла КТР, равного 60 градусов.
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, гипотенуза в два раза больше этого катета. МТ=16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6sinxcosx=5cos^2x;
6sinxcosx-5cos^2x=0
cosx*(6sinx-5cosx)=0
cosx=0 или 6sinx-5cosx=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k∈Z

6sinx-5cosx=0 ⇒ 6tgx=5 ⇒ tgx=5/6 ⇒
x=arctg(5/6)+πn, n∈Z

О т в е т. (π/2)+πk, arctg(5/6)+πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Важно расставить скобки в условии
(1/14)·х+(13)=0
(1/14)х=–13
х=–13:(1/14)
х=–13·14
х=–182

или
(1/(14х)) + (13)=0
1/(14х)=–13
14х=–1/13
х=–1/13:(14)
х=–1/182

или
1/(14х+13)=0
Уравнение не имеет корней.
Дробь равна 0, когда числитель равен 0, (но 1≠0)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:а≠0
Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
1,5а=3
а=3:1,5
а=2

Ответ выбран лучшим

2^(1-x)=2^4
1-x=4
-x=4-1
-x=3
x=-3
О т в е т. х=-3

Ответ выбран лучшим

Важно расставить скобки в условии
(1/16)*х+(14)=0
(1/16)х=-14
х=-14:(1/16)
х=-14*16
х=-224

или
(1/(16х)) + (14)=0
1/(16х)=-14
16х=-1/14
х=-1/14:(16)
х=-1/224

или
1/(16х+14)=0
Уравнение не имеет корней.

Ответ выбран лучшим

См. рисунок.
ОС=ОМ=ОТ=4 .
РМ=PN=PB=12,5.
РО=РМ-ОМ=12,5-4=8,5
Проведем РК⊥АВ.
РК- часть диаметра окружности радиуса 12,5

Диаметр, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам.
Пусть АС=х, ВС=2х. По условию АС:ВС=х:2х=1:2.
АВ=АС+СВ=х+2х=3х.
Значит АК=КВ=1,5х;
СК=АК-АС=1,5х-х=0,5х.
Из прямоугольного треугольника РКВ:
РК^2=PB^2-KB^2
PK^2=(12,5)^2-(1,5x)^2
Рассмотрим прямоугольную трапецию ОСКР.
Проведем высоту РЕ.
Из прямоугольного треугольника ОЕР:
ОЕ^2+PE^2=OP^2
РЕ=КС=0,5х
EC=PK=√((12,5)^2-(1,5x)^2)
ОЕ=4-√((12,5)^2-(1,5x)^2)
(4-√((12,5)^2-(1,5x)^2))^2 +(0,5х)^2=8,5^2;

16-8√((12,5)^2-(1,5x)^2)+(12,5)^2-(1,5x)^2+0,25x^2=8,5^2.
или
8√((12,5)^2-(1,5x)^2)=100-2x^2;
4√((12,5)^2-(1,5x)^2)=50-x^2;
Возводим в квадрат:
16((12,5)^2-(1,5x)^2)=(50-x^2)^2;
16(156,25-2,25x^2)=2500-100x^2+x^4
x^4-64x^2=0
x^2*(x^2-64)=0
x=0 - не удовлетворяет условию
x^2=64
x=-8 - не удовлетворяет условию
или
x=8
3х=3*8=24
О т в е т. АВ=24 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу производной степени:
(x^α)`=αx^(α-1)
y`=9-2*(3/2)x^((3/2)-1)=9-3sqrt(x).
y`=0
9-3sqrt(x)=0
sqrt(x)=3
x=9
9∈(4;28)
х=9 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
y`(4)=9-3sqrt(4)=9-6 > 0
y`(16)=9-3sqrt(16)=9-12 < 0
y(9)=12+9*9-2*9^(3/2)=39 - наибольшее значение функции на (4;28)

Ответ выбран лучшим

y`=9-2*(3/2)x^((3/2)-1)=9-3sqrt(x).
y`=0
9-3sqrt(x)=0
sqrt(x)=3
x=9
9∈[4;28]
х=9 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
y`(4)=9-3sqrt(4)=9-6 > 0
y`(16)=9-3sqrt(16)=9-12 < 0
y(9)=12+9*9-2*sqrt(9^3)=39 - наибольшее значение функции на отрезке [4;28]

Ответ выбран лучшим

36^(18)=(6^2)^(18)=6^(36)

6^(-11):36^(18)*6^(49)=6^(-11):6^(36)*6^(49)=
=6^(-11-36+49)=6^2=36

Ответ выбран лучшим

18:6+513–5•(91–84)=3+513-5*7=516-35=481

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos 63°= cos(90 °- 27°)=sin 27°

О т в е т. 33*cos 63°/sin 27°=33*sin 27°/sin 27°=33

Ответ выбран лучшим

В отрезок входит х=-4
А y(-4)=20 входит в другие отрезки, расположенные на оси Оу.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin((π/2)–x)=cosx;
4cos^2x=8cosx+5;
4cos^2x-8cosx-5=0
Замена переменной
cosx=t
4t^2-8t-5=0
D=(-8)^2-4*4*(-5)=64+80=144
t1=(8-12)/8=-1/2 или t2=(8+12)/8=5/2
cosx=-1/2
x=± (arccos(-1/2))+2πk, k∈Z
x=±(π-(π/3))+2πk, k∈Z
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z

cosx=5/2 - уравнение не имеет корней, так как |cosx| меньше или равно 1
О т в е т. x=± (2π/3)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

64=8^2
64^4=(8^2)^4=8^(2*4)=8^8
(64^4)^2=(8^8)^2=8^(8*2)=8^(16)
8^(2)^7=8^(14)

(64^4)^2:8^(2)^7=8^(16):8^(14)=8^(16-14)=8^2=64
О т в е т. 64

Ответ выбран лучшим

–11x^2+264x+275=0,
11x^2-264-275=0
Так как второй коэффициент четный, то находят
D/4=(b/2)^2-ac=132^2-11*(275)=17424+3025=20449
см. образец в приложении (прикреплено изображение)

Из 150 фонариков 15 неисправных, а 150-15=135 исправных
Событие А - "фонарик исправен"
р(А)=m/n=135/150=9/10=0,9

ОДЗ:х > 0
lgx*(lgx+1) < 0
Замена переменной
t=lgx
t*(t+1) < 0
Метод интервалов
__+__ (-1) _-__ (0) _+__
-1 < t < 0
или
-1 < lgx < 0
0,1 < x < 1
С учетом ОДЗ получаем ответ.
О т в е т. (0,1;1)

y`_(x)=6x^2+3^x*ln3
y`_(z)=-2/z

Ответ выбран лучшим

a)f`(x)=4x^3-8x;
f(x)/f`(x)=(x^4-4x^2)/(4x^3-8x)
f(x)/f`(x) больше или равно 0
(x^4-4x^2)/(4x^3-8x)больше или равно 0
x^2*(x-2)*(x+2)/4x*(x-sqrt(2))*(x+sqrt(2)) больше или равно 0
или
x*(x-2)*(x+2)/4*(x-sqrt(2))*(x+sqrt(2)) больше или равно 0
Применяем метод интервалов:
_-_[-2]_+_ (-sqrt(2)) _-_ (0) _+_(sqrt(2)) _-_[2]_+_

О т в е т. [-2;-sqrt(2)) U(0;sqrt(2)) U [2;+ бесконечность)

2) f`(x)=2((x+1)/(x+2))*((x+1)/(x+2))`=
=2*((x+1)/(x+2))*(x+2-x-1)/(x+2)^2=2(x+1)/(x+2)^3

f(x)/f`(x)=((x+1)^2/(x+2)^2):(2(x+1)/(x+2)^3)=

=((x+1)^2/(x+2)^2)*(х+2)^3/(2(x+1))=

=(x+1)(x+2)/2

Неравенство принимает вид:

(х+1)(x+2)/2 больше или равно 0
Применяем метод интервалов

__+__ (-2) _-__ (-1) _+__

О т в е т. (- бесконечность; -2) U(-1;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=((x^2-2x+1)`*(x-3)-(x-3)`*(x^2-2x+1))/(x-3)^2=

=((2x-2)*(x-3)-1*(x^2-2x+1)/(x-3)^2=

=(2x^2-8x+6-x^2+2x-1)/(x-3)^2=(x^2-6x+5)/(x-3)^2

f`(5)=(25-30+5)/(5-3)^2=0
f`(1)=(1-6+5)/(1-3)^2=0

Уравнение
f`(x)=f`(5)-f`(1)
имеет вид:
(x^2-6x+5)/(x-3)^2=0
{x^2-6x+5=0
{(x-3)^2≠0

D=36-20=16
x1=(6-4)/2=1 или х2=(6+4)/2=5
ПРи х1=1 и х2=5
(x-3)^2≠0
О т в е т. 1; 5

Ответ выбран лучшим

Вероятность выбрать дорожку a,b или c равна 1/3.
Вероятность выбрать дорожку х, у, z или t равна 1/4.
Вероятность выбора маршрута равна (1/3)*(1/4)=1/12.

Ответ выбран лучшим

Будем обозначать букой О - выпадение орла, буквой Р - выпадение решки.
При подбрасывании монеты 4 раза возможны события:
РРРР; ОООО;
РРРО;РОРР;РРОР;ОРРР.
РРОО; РОРО; ООРР; ОРОР,ОРРО, РООР
ОООР; ОРОО;ООРО; РООО.

Всего событий 16.
Все события равновозможны
и равновероятны.
р(РРРР)=р(ОООО)=р(РОРО)=... =р(РООО)=
=(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/16.

Событие РРРР ( четыре раза выпала решка)
р(РРРР)=1/16
Событие ОООО ( четыре раза выпал орел)
р(ОООО)=1/16
р(РРРО)+р(РОРР)+р(РРОР)+р(ОРРР)=4*(1/16)=1/4.(три раза выпала решка)
р(РРОО)+р( РОРО)+р( ООРР)+р(ОРОР)+р(ОРРО)+р(РООР)=6/16(два раза орел и два раза решка)
р(ОООР)+р(ОРОО)+р(ООРО)+р(РООО)=4/16 ( три раза выпал орел).

Ответ выбран лучшим

BC=2sqrt(2)
BC^2=8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(поверхности)=2ab+2bc+2ac
94=2*3*4+2*3*c+2*4*c
14c=70
c=5

Ответ выбран лучшим

Пусть Никола сделал сначала х операций второго типа, а затем у операций первого типа. Тогда имеем:
{7х-5у=0 количество золотых не изменилось
{ x+y=60 - количество рублей увеличилось на 60
у=35
х=25

Тогда серебряных монет 10х-7у=
10*25-7*35=5
стало на 5 меньше.

Ответ выбран лучшим

(2х^2-10x+6)/(x-5) - x меньше или равно 0

(2х^2-10x+6-x^2+5x)/(x-5) меньше или равно 0

(x^2-5x+6)/(x-5) меньше или равно 0

x^2-5x+6=0
D=25-24=1
x1=(5-1)/2=2 или х2=(5+1)/2=3

_-__ [2] _+__ [3] __-__ (5) _+_

О т в е т. (-бесконечность;-2] U[3;5)

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат.
m^2*(sin^4x-10sin^2xcos^2x+25cos^4x)=cos^2x*(3m^2-5m^2tg^2x);
m^2*(sin^4x-10sin^2xos^2x+25cos^4x-3cos^2x+5sin^2x)=0
m=0
или
sin^4x-10sin^2xos^2x+25cos^4x-3cos^2x+5sin^2x=0
cos^2x=1-sin^2x
sin^4x-10sin^2x+10sin^4x+25-50sin^2x+25sin^4x-3+3sin^2x+5sin^2x=0
-биквадратное уравнение.
36sin^4x-52sin^2x+22=0
18t^2-26t+11=0
D=(-26)^2-4*18*11=676-792 < 0 нет корней.
О т в е т. m=0

Ответ выбран лучшим

MA/AN=1/3
x_(A)=(x_(M)+λx_(N))/(1+λ)=(-5+(1/3)*9)/(1+(1/3))=-3/2
y_(A)=(y_(M)+λy_(N))/(1+λ)=(-8+(1/3)*4)/(1+(1/3))=-5
A(-1,5;-5)

MB/BN=2/3
x_(B)=(x_(M)+λx_(N))/(1+λ)=(-5+(2/3)*9)/(1+(2/3))=3/5
y_(B)=(y_(M)+λy_(N))/(1+λ)=(-8+(2/3)*4)/(1+(2/3))=-16/5
B(3/5;-16/5)

Ответ выбран лучшим

λ=2/5
x_(A)=(x_(B)+λx_(C))/(1+λ)=(5+(2/5))/(1+(2/5))=27/7
y_(A)=(y_(B)+λy_(C))/(1+λ)=(6+(2/5)*(-4))/(1+(2/5))=22/7

Ответ выбран лучшим

х=0,4 cos 5πt.
A=0,4
Т=2π/5π=2/5

х(0,1)=0,4*cos0,5π=0,4*cos(π/2)=0
x(0)=0,4

x(0,1)-x(0)=0,4-0=0,4 - cмещение (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
cosα=(5*6+6*(-5)+4*2)/(sqrt(5^2+6^2+4^2)*sqrt(6^2+(-5)^2+2^2))=
=8/(sqrt(69)*sqrt(65))
α=arccos8/(sqrt(69)*sqrt(65))

Ответ выбран лучшим

d_(1)=sqrt((-3)^2+4^2)=5
d_(2)=sqrt(9^2+12^2)=15
5:15=1:3

Разделить отрезок АВ в отношении 1:3
А(–3;4) и B(9;12).
AB=sqrt((9-(-3))^2+(12-4)^2)=sqrt(144+64)=sqrt(208)=
=4sqrt(13)

4sqrt(13):4=sqrt(13)
АС=sqrt(13)
CB=3sqrt(13)

Если
λ=AC/CB, то координаты точки С вычисляются по формулам:
x_(C)=(x_(A)+λ*x_(B))/(1+λ);
y_(C)=(y_(A)+λ*y_(B))/(1+λ);

х_(С)=0
у_(С)=6

Пусть координаты точки (х;у)
Так как координаты середины равны полусумме координат концов отрезка, то
(x+2)/2=-1 ⇒ x= -4
(y+5)/2=2 ⇒ y=-1

Ответ выбран лучшим

2sin^2x-1=cos2x
Уравнение принимает вид
cos2x=sin3x
cos2x-sin3x=0
cos2x=sin((π/2)-2x)
sin((π/2)-2x)-sin3x=0

По формуле
sinα- sinβ

2sin(((π/2)-5x)/2)*cos(((π/2)+x)/2)=0
sin((5х-(π/2))/2)*cos(((π/2)+x)/2)
sin((5х-(π/2))/2)=0 или cos(((π/2)+x)/2)=0
(5х-(π/2))/2= πk или ((π/2)+x)/2=(π/2)+πn, k, n∈Z
5х-(π/2)=2πk или (π/2)+x=π+2πn, k, n∈Z
x=(π/10)+(2π/5)k или x=(π/2)+2πn, k, n∈Z
О т в е т. (π/10)+(2π/5)k; (π/2)+2πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

масштаб 1 : 10000000 означает, что в 1 см изображено
10 000 000 см= 100 000 м = 100 км
Значит 960 км изображены отрезком в 96 см

Ответ выбран лучшим

На единичной окружности, откладываем отрезок равный 2/3 по оси Ох.
Угол, косинус которого равен отношению прилежащего катета, длиной 2/3 к гипотенузе 1, отмечен на рисунке.
О т в е т.
Отмеченный угол равен arccos2/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть палка распилена только по красным линиям. По условию получим 15 кусков. Чтобы получить 15 кусков надо сделать 14 распилов(cм вертикальные полосы на рисунке – их 14 штук, края не считаются)
__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__|__
Значит, имеется 14 красных полосок.
Аналогично, распил по желтым линиям дает 5 кусков, значит распилов 4, желтых линий 4.
Распил по зеленым линиям дает 7 кусков, распилов 6, зеленых полос 6.
14+4+6=24 полоски, по ним получаем 24 распила, значит получим 25 кусков.
О т в е т. 25 кусков

Ответ выбран лучшим

Формула
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
a=5x
b=y
О т в е т. (5х-у)^2

Ответ выбран лучшим

Cм. рисунок.
Пусть точки А(х_(А);у_(А)) и В(х_(В);у_(В)) лежат на параболе, а точки С и D на прямой у=х–0,5.
Противоположные стороны квадрата параллельны.Значит,
точки А и В лежат на прямой АВ, параллельной прямой у=х–0,5.
Пусть это прямая у=х+m.
Значит, у_(А)=х_(А)+m; y_(B)=x_(B)+m
Расстояние между точками А и В
d^2=(x_(B)–x_(A))^2+(y_(B)–y_(A))^2=
= (x_(B)–x_(A))^2+(x_(B)–m–y_(A)+m)^2=
=2• (x_(B)–x_(A))^2.
Рассмотрим прямоугольный треугольник РКЕ, PK⊥CD.
Р–точка пересечения прямой у=х+m c осью ОУ.
Р(0;m)
Е– точка пересечения прямой у=х–0,5 с осью ОУ.
Е(0;–0,5)
РЕ=m+0,5
Прямые у=х+m и у=х–0,5 образуют с осью Ох угол 45°, а значит и с осью Оу угол 45°.
РК=ВС=d=(m+0,5)•sin45°=(m+0,5)/√2.
d^2=(m+0,5)^2/2.
Все стороны квадрата равны.
АВ=ВС, но ВС=РК, значит
AB=PK. Получаем уравнение
(m+0,5)^2/2=2•(x_(B)–x_(A))^2.

Так как точки А и В лежат на параболе, то
у_(А)=4х^2_(А); у_(В)=4х^2_(В)
и на прямой, то
m=4х^2_(B)–x_(B)=4х^2_(А)–х_(А) или
4х^2_(B)–x_(B)=4х^2_(А)–х_(А)
4х^2_(B)-4х^2_(А)=x_(B)–х_(А)
(x_(B)–х_(А))*(4x_(B)+4x_(A)-1)=0
Откуда х_(А)+х_(В)=0,25
–––––––––––––
Подставим х_(В)=0,25-х_(А)
в уравнение:
(m+0,5)^2/2=2•(x_(B)–x_(A))^2.
Получаем
4•(2х_(В)–0,25)^2=(4x^2_(B)–x_(B)+0,5)^2
Упрощаем

16x^4_(B)-8x^3_(B)-11x^2_(B)+3x_(B)=0;
x_(B)*(x_(B)+1)*(4x_(B)-1)^2=0;
Наибольшее значение d при
х_(В)=-1
х_(А)=1,25
d^2=2*(x_(B)-x_(A))^2=2*(-2,25)^2=10,125
S=d^2=10,125=81/8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольники АВМ и МДС подобны по двум углам.
∠ВАС=∠АСД - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СД и секущей АС.
∠АВД=∠ВДС - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СД и секущей ВД.

Из подобия
АВ:ДС=АМ:МС
12:48=(35-МС):МС
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних
12МС=48*(35-МС)
60 МС=48*35
МС=28
О т в е т. 28

Ответ выбран лучшим

1) 250 м/10 с=25 м/с= 25*3600:1000=90 км/ч - скорость сближения поездов.
2) 90 - 50 = 40 км/ч - скорость товарного

Ответ выбран лучшим

x^2+13x+42=x^2+(6-a)x-6a
13=6-a
a=-7

Ответ выбран лучшим

См. рисунок.
ОС=ОМ=ОТ=16 .
РМ=PN=PB=20.
РО=РМ-ОМ=20-16=4
Проведем РК⊥АВ.
РК- часть диаметра окружности радиуса 20

Диаметр, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам.
Пусть АС=х, ВС=2х. По условию АС:ВС=х:2х=1:2.
АВ=АС+СВ=х+2х=3х.
Значит АК=КВ=1,5х;
СК=АК-АС=1,5х-х=0,5х.
Из прямоугольного треугольника РКВ:
РК^2=PB^2-KB^2
PK^2=(20)^2-(1,5x)^2
Рассмотрим прямоугольную трапецию ОСКР.
Проведем высоту РЕ.
Из прямоугольного треугольника ОЕР:
ОЕ^2+PE^2=OP^2
РЕ=КС=0,5х
EC=PK=√((20)^2-(1,5x)^2)
ОЕ=16-√((20)^2-(1,5x)^2)
(16-√((20)^2-(1,5x)^2))^2 +(0,5х)^2=4^2;

256-32√((20)^2-(1,5x)^2)+(20)^2-(1,5x)^2+0,25x^2=4^2.
или
32√((20)^2-(1,5x)^2)=256+(20)^2-(4)^2-2x^2;
16√((20)^2-(1,5x)^2)=320-x^2;

Возводим в квадрат:
256*(20^2-(1,5x)^2)=320^2-2*320x^2+x^4;
х^4-64x^2=0
x^2(x^2-64)=0
x^2=0 или x^2=64
x=8.
AB=3x=24
О т в е т. АВ=24. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 27 раз больше объема меньшего конуса.
270:27=10 мл.
О т в е т. 10 мл.

Ответ выбран лучшим

(2a–1)(2a+1)=(2a)^2-1^2=4a^2-1

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией. Проекцией А1К является АК- высота из вершины прямого угла на гипотенузы. Надо ее найти. Но зная одну гипотенузу этого сделать нельзя.
Скорее всего катеты равны (AB=AC).
Тогда по теореме Пифагора
АВ^2+AC^2=BC^2
2*AB^2=4^2
AB=BC= 2√ 2.
Высота АК треугольника АВС:
АК=АВ*sin45 градусов=2sqrt(2)*(sqrt(2)/2=2.
Так как треугольник А1КА - прямоугольный равнобедренный АА1=АК=2, его острые углы равны 45 градусов.
О т в е т. ∠А1КА=45 градусов.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

76–38/cos2⁡x =0
-38/сos2х=-76
умножаем обе части на (-1)
38/cos2⁡x =76

Ответ выбран лучшим

а) f`(x)=(x^3–2x^2+x+3)`=3x^2-4x+1
f`(x)=0
3x^2-4x+1=0
D=(-4)^2-4*3*1=16-12=4
x1=(4-2)/6=1/3 или x2=(4+2)/6=1
Применяем достаточное условие экстремума, проверяем знак производной:

_+__ (1/3) __-_ (1) _+__

х=1/3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -.
х=1- точка минимума, производная меняет знак с - на +

б) f`(x)=(e^x)`* (2x–3)+e^x*(2x-3)`=e^x*(2x-3)+e^x*2=
=e^x*(2x-3+2)=e^x*(2x-1).
f`(x)=0
e^x > 0 при любом х
2х-1=0
х=1/2 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

sqrt(6)*sqrt(13,5)=sqrt(6*13,5)=sqrt(81)=9

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть точки А, В, С, D, F.
5 точек образуют 10 хорд:
АВ; AC; AD; AF ( хорды АВ и ВА - это одна и та же хорда!)
ВС; BD; BF
СD; CF
DF
4+3+2+1=10 хорд.
Выбрать 2 ПАРЫ ТОЧЕК - значит выбрать две хорды.
( У пар нет общих точек)
Значит, это
АВ и СD; AB и СF; AB и DF
AC и BD; AC и BF; AC и DF;
AD и BC; AD и BF; AD и CF;
AF и ВС; AF и СD; AF и BD.

BC и FD;
BF и СD;
BD и FC

n=15

Непересекающиеся хорды ( см. рисунок):
АВ и СD; AB и СF; AB и DF
AC и DF;
AD и BC;
AF и ВС; AF и СD; AF и BD.
BC и FD;
BF и СD;

m=10
p=10/15=2/3

О т в е т. 15*(2/3)=10
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
ОДЗ:
{1-sin3x больше или равно 0 ⇒sin3x меньше или равно 1;
{cos3x больше или равно 0⇒(-π/2)+2πk меньше или равно 3x меньше или равно (π/2)+2πk, k- целое.

{ x- любое
{(-π/6)+(2π/3)k меньше или равно x меньше или равно (π/6)+(2π/3)k, k- целое.

ОДЗ: х∈[(-π/6)+(2π/3)k; (π/6)+(2π/3)k]
см области зеленого цвета на рисунке.

В условиях ОДЗ возводим обе части уравнения в квадрат.
1-sin3x=cos^23x;
1-sin3x=1-sin^23x;
sin^23x-sin3x=0;
sin3x*(sin3x-1)=0.
sin3x=0 или sin3x-1=0
3x=πm, m∈Z или 3x=(π/2)+2πn, n∈Z
x=(π/3)m, m∈Z или x=(π/6)+(2π/3)n, n∈Z

Из первой серии ответов x=(π/3)m,m∈Z
x=(π/3)+(2π/3)s,s∈Z не входят в ОДЗ.

А х=(2π/3)+(2π/3)m, m∈Z входят в ОДЗ ( см. корни на рисунке, отмеченные синим цветом)

Из второй серии ответов
(π/6)+(2π/3)n,n∈Z - все корни входят в ОДЗ
( см корни на рисунке, отмеченные красным цветом)
О т в е т. (2π/3)+(2π/3)m; (π/6)+(2π/3)n, m, n∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат 5 корней:
(-π/2); 0;π/6; 2π/3; 5π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Боковые грани равнобедренные треугольники. Проводим высоту боковой грани (апофему). Она делит основание пополам. По теореме Пифагора
h^2=13^2-5^2=169-25=144
h=12
S(бок.)=P(осн)*h/2=6*10*12/2=360 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть первое число х, тогда второе число (х+20), третье число (х+20)+15.
Сумма трех чисел равна 10.
Уравнение.
х+(х+20)+(х+20)+15=10
3х+55=10
3х=-45
х=- 15
х+20=-15+20=5
х+20+15=-15+35=20.
О т в е т. -15; 5 и 20.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

О т в е т. -3 < c < 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) ∠AQD=∠BAQ - внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и CD и секущей AQ.

Прямоугольные треугольники АВР и AQD равны по двум катетам:
АВ=AD=a;
AP=CD=a/2.
Из равенства треугольников следует равенство углов:
∠APB=∠AQD;
∠ABP=∠QAD.

В прямоугольном треугольнике AQD сумма острых углов ∠QАD+∠AQВ=90 градусов.

Значит, в треугольнике ARP:
∠RAP+∠APR= 90 градусов
и ∠ARP=90 градусов, т. е прямые AQ и ВР взаимно перпендикулярны.

∠BCQ+∠BRQ=180 градусов
∠ADQP+∠QRP= 180 градусов
Значит, около четырехугольников BCQR и DPRQ можно описать окружности, так как суммы противоположных углов равны 180 градусов.

б) Так как
∠RAP=∠APR= 90 градусов
и
∠RAP=∠APR= 90 градусов, углы опирающиеся на диаметры соответствующих окружностей.

BQ и QP - диаметры.
O и O1- cередины диаметров.
ОО1- средняя линия треугольника ВQR.
Из треугольника АВР по теореме Пифагора:
BP^2=AB^2+AP^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4
BP=asqrt(5)/2
OO1=BP/2=asqrt(5)/4
О т в е т. б) asqrt(5)/4. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

С нуля часов до 8часов- 8 часов
и 20 часов до 24 часов - 4часа
8+4=12 часов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель.
4x^2+4x=4x*(x+1)
Раскладываем квадратный трехчлена на множители.
Находим его корни
2-3x-5x^2=0
5x^2+3x-2=0
D=9+40=49
x=(-3-7)/10=-1 или x=(-3+7)/10=4/10=0,4
2-3x-5x^2=-5(x+1)*(x-0,4)

О т в е т. (2-3x-5x^2)/(4х^2+4x)=-5*(x+1)*(x-0,4)/4x*(x+1)=
=-5*(x-0,4)/4x
При х=-1/7 получаем
-5*((1/7)-(4/10))/(4/7)=-5*(-18/70)*(7/4)=-45/20=-2,25

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Фактически, нам дан полный граф на 40 вершинах, рёбра которого раскрашены в 2 цвета. Можно считать, что из любой вершины выходит по 6 красных рёбер и по 34 синих. Нас интересует число одноцветных треугольников. Общее число треугольников равно 40⋅39⋅38/6=9880. Подсчитаем число разноцветных. С каждым из них связано ровно две вершины, из которых выходят рёбра разного цвета. Количество пар таких рёбер равно 40⋅6⋅34, и это количество надо разделить пополам. Это даёт 4080 разноцветных треугольника. Остальные9880- 4080= 5800 одноцветных.
О т в е т. 5800 замкнутых троек городов в этом государстве

Ответ выбран лучшим

Первый тратит на всю работу, работая один, х часов, а второй y часов,
тогда производительность труда первого (1/х) часть работы за час, второго (1/у) часть работы за час .
По условию
(1/х):(1/у)=1/3 ⇒ х=3у.

Вдвоём за час они делают
(1/(3у))+(1/у)=4/(3у) часть работы.
Или по условию (1/12) часть.
Уравнение
4/(3у)=(1/12)
3у=48
у=16
Пусть первый проработает за t часов и выполнит
t/48 часть работы, тогда второй проработает (20-t) часов и выполнит (20 - t)/16 часть работы.
Уравнение
t/48 +(20-t)/16 = 1,
t+3*(20-t)=48
60-48=2t
t = 6.
О т в е т.Первый каменщик проработает 6 часов, второй 14 часов.

Ответ выбран лучшим

Средняя линия трапеции
m=(a+b)/2
Пусть a=3x; b=5x, тогда a:b=3:5.

16=(3x+5x)/2
16=4x
x=4
a=12
b=20
О т в е т. 12 см и 20 см.

Ответ выбран лучшим

Все сечения, проходящие через вершину конуса - равнобедренные треугольники (боковые стороны таких треугольников- образующие конуса).

Пусть угол между образующими сечения равен α.
Рассмотрим диагональное сечение.
Тогда по теореме косинусов
12^2=8^2+8^2-2*8*8*cosα
cosα=-1/8 ( угол α - тупой)
sinα=3sqrt(7)/8
S(cечения)=(1/2)*8*8*sinα=32*(3sqrt(7)/8)=12sqrt(7).

если угол между образующими α=90 градусов
S(сечения)=(1/2)*8*8*sin 90градусов=32

32*1 > 32*(3sqrt(7)/8)=12sqrt(7), так как (3sqrt(7)/8) < 1
О т в е т. 32

б)Пусть угол между образующими сечения равен α.
Тогда по теореме косинусов
(2R)^2=8^2+8^2-2*8*8*cosα
cosα=(128-4R^2)/128
sinα=4R*sqrt(64-R^2)/128=R*sqrt(64-R^2)/32
S(cечения)=8*8*sinα/2=R*sqrt(64-R^2).
S`(R)=sqrt(64-R^2)+R*(-2R)/2sqrt(64-R^2)=

=(64-2R^2)/sqrt(64-R^2)

S`(R)=0
64-2R^2=0
R^2=32 ⇒ R=4sqrt(2) - наибольшее значение радиуса, точка максимума, так как производная S` меняет знак с + на -.

S=4sqrt(2)*sqrt(64-32)=32.

Или
по теореме Пифагора
h^2=8^2-R^2
h=sqrt(64-R^2)
S(осевого сечения в зависимости от )=2R*h/2=R*sqrt(64-R^2)
S(R)=R*sqrt(64-R^2)
S`(R)=sqrt(64-R^2)+R*(-2R)/2sqrt(64-R^2)=

=(64-2R^2)/sqrt(64-R^2)

S`(R)=0
64-2R^2=0
R^2=32 ⇒ R=4sqrt(2) - наибольшее значение радиуса, точка максимума, так как производная S` меняет знак с + на -.

S=4sqrt(2)*sqrt(64-32)=32.

О т в е т. а) 12 sqrt(7); б) 32.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1) S( параллелограмма)=a*h_(a)
S( параллелограмма)=b*h_(b)

a*h_(a)=b*h_(b)
4*6=8*h_(b)
h_(b)=24:8=3
О т в е т. 3

2. По теореме Пифагора из треугольника СD1D:
D1D^2=D1C^2-CD^2=(4sqrt(2))^2-4^2=32-16=16
D1D=4
V=abc
a=CD=4
b=CB=7
c=D1D=4
V=4*7*4=112

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-1 больше или равно 0 ⇒ x больше или равно 1;
{3x^2-9 > 0 ⇒ x < -sqrt(3) или x > sqrt(3).
x∈(sqrt(3);+ ∞).

log_(2)(3x^2-9)*(sqrt(x-1)-1)-2(sqrt(x-1)-1)=0
или
(sqrt(x-1)-1)*(log_(2)(3x^2-9) -2)=0
(sqrt(x-1)-1=0 или log_(2)(3x^2-9) -2=0
sqrt(x-1)=1 или 3x^2-9=2^2
x-1=1 или 3x^2-13=0
x=2 x=-sqrt(13)/2 или х=sqrt(13)/2

-sqrt(13)/2 не принадлежит ОДЗ

sqrt(13)/2 > sqrt(3), так как 13 > 12
О т в е т. 2; sqrt(13)/2.

Ответ выбран лучшим

1)
f`(x)=(2/3)*3x^2-6x;
g`(x)=-4
Уравнение f`(x)=g`(x) имеет вид
2x^2-6x=-4
x^2-3x+2=0
D=(-3)^2-4*2=9-8=1
x=(3-1)/2=1 или х=(3+1)/2=2
О т в е т. 1;2.
2) f`(x)=2x-21x^2
Неравенство f`(x) > 0 принимает вид
2x-21x^2 > 0;
x*(2-21x) > 0;
Решаем методом интервалов.
х=0 или 2-21х=0 ⇒ х=2/21

_-__ (0) __+___ (2/21) __-_
О т в е т. x∈(0;2/21)
3.
а) y`=((3-x^2)*(2x+1)-(3-x^2)*(2x+1)`)/(2x+1)^2=

=((-2x)*(2x+1)-(3-x^2)*2)/(2x+1)^2=(-2x^2-2x-6)/(2x+1)^2=-(2х^2+2x+6)/(2x+1)^2

б) y`=(sqrt(x)-3)`*(2-2x)+(sqrt(x)-3)*(2-2x)`=

=(2-2x)/2sqrt(x)-2*(sqrt(x)-3=(1-3x+6sqrt(x))/sqrt(x)

4.f`(x)=6*(13-3x^2)^5*(13-3x^2)`=6*(13-3x^2)^5*(-6x)=

=-36x*(13-3x^2)^5.

f`(-2)=72*(13-12)^5=72
О т в е т. f`(-2)=72.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 0,2601+0,0399-5=0,3=5=-4,7
2) -а=2
b < 1
2b < 2
b+a < 0
Наибольшее -а=2
О т в е т. 1)
3.
3 < sqrt(10,24) < 4
(sqrt(5)-1)(sqrt(5)+1)=5-1=4
8-(14/3)=(24-14)/3=10/3
3 < 10/3 < 4
(sqrt(2))^2+sqrt(3)=2+sqrt(3) < 4
О т в е т. 2)
4.
D=25-4*(-24)=25+96=121
x=(-5-11)/2= - 8
О т в е т. -8
5.
А) = 3)
Б) =4)
В)=2)

Ответ выбран лучшим

14.
Нептун
360*4+80*6+0,9*150*2=2190 руб
Бизон
0,97*350*4+90*6+140*2=2178 руб
Коровка
355*4+0,95*75*6+145*2=2137,5 руб
О т в е т. 3)Коровка
15.С 6.00 до 8.00
Длина промежутка 2 часа.
16.
1000 руб - 100%
х руб. - 40%
х=1000*40/100=400 руб.

1000 руб - 400 руб = 600 руб
О т в е т. 600 руб

Ответ выбран лучшим

1)
МК⊥ВС
По теореме о трех перпендикулярах АК⊥ВС.
Из прямоугольного треугольника АМК
АМ^2=MK^2-MA^2=10^2-8^2=100-64=36
AM=6
Из прямоугольного треугольника АКВ(∠АВК=180 градусов -120 градусов=60 градусов)
АВ=АК/sin60 градусов=6/(sqrt(3)/2)=4sqrt(3).

Проводим диагональ АС. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Диагонали ромба являются биссектрисами углов ромба.
Поэтому в прямоугольном треугольнике АОВ
АО=АВ*sin60 градусов=4sqrt(3)*(sqrt(3)/2)=6

Из прямоугольного треугольника МАО
МО^2=MA^2+AO^2=8^2+6^2=100

МО=10

(Можно доказать, что треугольники АКВ и АОВ;
МАК и МАО равны)

2) Равные наклонные имеют равные проекции.
Поэтому ОМ=ОК=ON=r ( радиусу вписанной окружности)

r=S/p
Проводим высоту равнобедренного треугольника СМ.
Она является и медианой.
Из прямоугольного треугольника АСМ
СМ^2=AC^2-MA^2=10^2-6^2=100-36=64
CМ=8 см.
S(Δ ABC)=АВ*СМ/2=8*12/2=48 кв см.
р=(10+10+12)/2=16
r=48/16=3
По теореме Пифагора
SO^2=SM^2-MO^2=15^2-3^2=225-9=216
SO=sqrt(216)=6sqrt(6)
О т в е т. 6 sqrt(6) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула длины дуги:
L(дуги)=2πrα/360 - длина дуги в α градусов.

L(дуги в 20 градусов)=2πr*20/360=πr/9
По условию

88=πr/9

360 градусов- 20 градусов= 340 градусов - большая дуга.

L(дуги в 340 градусов)=2πr*340/360=17πr/9=17*88=1496

О т в е т. 1496 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Среди любых 21 рыбок хотя бы одна плотвичка, а для 20-ти рыб это не так.
Значит окуней 20.
Среди любых 16 рыб хотя бы один окунь,
а для 15-ти рыб это не так,
значит 15 плотвичек.
О т в е т. 15 плотвичек

Ответ выбран лучшим

Пусть изначально кузнечик находится в точке 0. Каждый прыжок кузнечика равен единичному отрезку. После первого прыжка он может оказаться либо в точке 1, либо в точке –1. Значит существует 2 варианта: 1; –1. Второй прыжок. 1)Из точки 1 кузнечик может прыгнуть либо в 0, либо в 2. 2)Из точки –1 – в точку –2 или 0. Поэтому всего 3 варианта: –2, 0, 2. Третий прыжок 1)Ииз точки –2 кузнечик может попасть либо в –3, либо в –1; из 2)Из точки 0 – либо в 1, либо в –1 3)Из точки 2 – либо в 1, либо в 3. Получаем 4 варианта: –3, –1, 1, 3. Четвертый прыжок. Аналогично рассуждая получаем пять вариантов. –4, –2, 0, 2, 4. Пятый прыжок получаем шесть вариантов: –5, –3, –1, 1, 3, 5.

Проанализируем ситуацию.
Первый прыжок – два варианта.
Второй прыжок – три варианта.
Третий прыжок – четыре варианта.
Четвертый прыжок – пять вариантов
....
Восьмой прыжок – девять вариантов.
Девятый прыжок - десять вариантов
Десятый прыжок - одиннадцать вариантов

Все точки , в которых может оказаться кузнечик на k–ом прыжке описываются формулой 2n+k, –k≤n≤0.
а их количество соответственно равно k+1.

Кузнечик делает 10 прыжков, значит k = 10. Всевозможные точки, в которых может оказаться кузнечик, описываются формулой : 10+2n, –k≤n≤0.

Точки, в которых может оказаться кузнечик:-10, –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8,10.

Их количество k+1 = 10+1 = 11.

Ответ: 11.

Ответ выбран лучшим

Так как
sin^2x=1–cos^2x,а
cos^2x=1–sin^2x
перепишем равенство в виде

(16-16cos^2x-21-8sqrt(7)cosx)/(27-16+16sin^2x-24sinx)=1;
(-16cos^2x-8sqrt(7)cosx-5)/(16sin^2x-24sinx+11)=1;
16sin^2x-24sinx+11 > 0 при любом х
D=576–4•16•11 < 0
Запишем равенство в виде
-16cos^2x-8sqrt(7)cosx-5=16sin^2x-24sinx+11;
Замена переменной
u=cosx;
v=sinx.
Тогда
-(16u^2+8sqrt(7)u+5)=16v^2-24v+11;
и
u^2+v^2=1
Выделяем полные квадраты слева и справа
–(4u+sqrt(7))^2+2=(4v-3)^2+2
или
(4+sqrt(7))^2+(4v-3)^2=0
Сумма двух положительных чисел равна 0 тогда и только тогда когда каждое 0.
u=-sqrt(7)/4 v=3/4 и u^2+v^2=1

sinx=3/4
5sinx=15/4
О т в е т. 15/4

Ответ выбран лучшим

cos(3x–pi/3) < sqrt(3)/2
(π/6)+2πk < 3x-(π/3) < (11π/6)+2πk, k∈Z.
(π/6)+(π/3)+2πk < 3x < (11π/6)+(π/3)+2πk, k∈Z.
(3π/6)+2πk < 3x < (13π/6)+2πk, k∈Z.
(π/6)+(2π/3)k < x < (13π/18)+(2π/3)k, k∈Z. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОА⊥СА - касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
∠ОАС=90 градусов.
ОВ⊥СВ - касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
∠ОВС=90 градусов.

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360 градусов.
∠ОАС+∠ОВС+∠АСВ+∠АОВ=360 градусов;
90 градусов+ 90 градусов + 107 градусов +∠АОВ=360 градусов;
∠АОВ=73 градусов

Ответ выбран лучшим

Проводим высоту BF из вершины В и МК из точки пересечения диагоналей на сторону АD. Прямоугольные
треугольники BFC и МКС подобны по двум углам(один прямой в каждом треугольнике и угол ВСА - общий).
Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Из подобия
BF:MK=BC:MC=2:1
MK=BF/2
S(параллелограмма АВСD)=AD*BF
S( треугольника AMD)=(1/2)*AD*MK=
=(1/2)*AD*(BF/2)=(1/4)*AD*BF=
=(1/4)*S(параллелограмма АВСD)

Ответ выбран лучшим

cos a =–4√3/7 и a ∈ (π/2;2π)
значит а во второй или третьей четверти, где косинус
имеет знак минус.
sin^2a+cos^2a=1⇒sin^2a=1-cos^2a=1-(-4sqrt(3)/7)^2=1-(48/49)=1/49;
sina=±1/7, во второй четверти синус имеет знак плюс, в третьей - знак минус.
tga=sina/cosa=(±1/7):(–4√3/7)=(±1/7)*(7/(–4√3))=
=±1/4sqrt(3)
О т в е т. √3 tg a=1/4, если a ∈ (π;3π/2)
или √3 tg a=-1/4, если a ∈ (π/2;π)

Ответ выбран лучшим

a–3b+a^2–9b^2 =

=(a-3b)+(a-3b)*(a+3b)=

=(a-3b)*(1+a+3b)=

=(a-3b)*(a+3b+1)

Ответ выбран лучшим

–8a^5+8a^3–2a=

=-2a*(4a^4-4a^2+1)=

=-2a*(2a^2-1)^2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
х≠±1
Пропорция.
(х-1)*(1-х)=9(х+1);
-x^2+2x-1=9x+9;
x^2+7x+10=0
D=49-40=9
x1=(-7-3)/2=-5 или x2=(-7+3)/2=-2
О т в е т. -5; -2

Ответ выбран лучшим

1) f`(x)=(x^2)`*(x+2)+(x^2)*(x+2)`=2x*(x+2)+x^2*1=
=3x^2+4x;

2)f`(x)=(x)`*(x+3)^5+(x)*((x+3)^5)`=(x+3)^5+x*5(x+3)^4*(x+3)`=
=(x+3)^4*(x+3+5x)=(x+3)^4*(6x+3);

3)f`(x)=(sqrt(x-1))`*(2x+1)+(sqrt(x-1))*(2x+1)`=
=(2x+1)/2sqrt(x-1)+2sqrt(x-1);

4) f`(x)=(x^4)`*(sqrt(x+1))+(x^4)*(sqrt(x+1))`=4x^3*(sqrt(x+1))+x^4/2sqrt(x-1);

5)f`(x)=((2x+3)`*(x-1)-(2x+3)*(x-1)`)/(x-1)^2=
=(2*(x-1)-(2x+3)*1)/(x-1)^2=
=(2x-2-2x-3)/(x-1)^2=-5/(x-1)^2;

6)f`(x)=((x^2-1)`*(2x+1)-(x^2-1)*(2x+1)`)/(2x+1)^2=
=(2x*(2x+1)-(x^2-1)*2)/(2x+1)^2=
=(4x^2+2x-2x^2+2)/(2x+1)^2=
=(2x^2+2x+2)/(2x+1)^2.

7) f`(x)=(x)`*(x+2)^2+(x)*((x+2)^2)`=
=1*(x+2)^2+x*2*(x+2)*(x+2)`=
=1*(x+2)^2+x*2*(x+2)*1=
=(x+2)*(x+2+2x)=(x+2)*(3x+2);

8)f`(x)=((x+1)^2)`*(x-4)^3+((x+1)^2)*((x-4)^3)`=
=2(x+1)*(x-4)^3+(x+1)^2*3*(x-4)^2*(x-4)`=
=(x+1)*(x-4)^2*((2*(x-4)+3(x+1))=(x+1)*(x-4)^2*(5x-5);

9) f`(x)=((sqrt(x+2))`*(3x-1)+(sqrt(x+2))*(3x-1)`=
=(3x-1)/(2sqrt(x+2))+3*sqrt(x+2);

10)f`(x)=(x^3)`*sqrt(x-1)+(x^3)*(sqrt(x-1))`=
=3x^2*sqrt(x-1)+(x^3/(2sqrt(x-1)));

11)f`(x)=((3x-2)`*(x+1)-(3x-2)*(x+1)`)/(x+1)^2=
=(3*(x+1)-(3x-2)*1)/(x+1)^2=
=(3x+3-3x+2)/(x+1)^2=5/(x+1)^2;

12)f`(x)=((x-1)^2)`*(3x-1)-(x-1)^2*(3x-1)`)/(3x-1)^2=
=(2*(x-1)*(3x-1)-(x-1)^2*3)/(3x-1)^2=
=((x-1)*(6x-2-3x+3))/(3x-1)^2=
=((x-1)*(3x+1))/(3x-1)^2.

Ответ выбран лучшим

Дробь положительна когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
Совокупность двух систем.
1)
{9^x-27 > 0 ⇒ 3^(2x) > 3^3 ⇒ 2x > 3 ⇒ x > 1,5 ;
{3x-4 > 0 ⇒ x > 4/3
О т в е т. 1) х > 4/3
2){9^x-27 < 0 ⇒ 3^(2x) < 3^3 ⇒ 2x < 3 ⇒ x < 1,5 ;
{3x-4 < 0 ⇒ x < 4/3
О т в е т. 2) х < 1,5

О т в е т. (-бесконечность; 1,5)U(4/3; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Векторы a b b - неколлинеарны, значит образуют базис.
Векторы c и d разложение по базису.
Векторы заданные координатами коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, т.е
(S-2):(2S+1)=1:(-1);
-S+2=2S+1;
2-1=2S+S;
1=3S
S=1/3

Ответ выбран лучшим

4x^2+9 > 0 при любом х и принимает наименьшее значение 9 при х=0
5*sqrt(4x^2+9)=3a+3*|4x-3a|-a^2-13|x|
Выражение слева принимает наименьшее значение 15 при х=0
Исследуем выражение справа.
Обозначим
g(x)=3*|4x-3a|-13|x|+3a-a^2
При х больше или равно 0
g(x)=3*|4x-3a|-13x+3a-a^2
и как бы ни раскрывался знак модуля |4x-3a| получится линейная функция с отрицательным коэффициентом при х ( либо -1, либо -25).
Функция убывает на [0;+бесконечность) и принимает наибольшее значение при х=0
Это значение равно
g(0)=3*|-3a|+3a-a^2

При x < 0
g(x)=3*|4x-3a|+13x+3a-a^2
и как бы ни раскрывался знак модуля |4x-3a| получится линейная функция с положительным коэффициентом при х ( либо 1, либо 25).
Функция возрастает на (-бесконечность;0) и принимает наибольшее значение при х=0

Итак, левая часть уравнения принимает наименьшее значение при х=0, правая часть уравнения принимает наибольшее значение при х=0.
Уравнение будет иметь решения, если g(0) меньше или равно 15.

3*|-3a|+3a-a^2 меньше или равно 15.
1) При а больше или равно 0 неравенство принимает вид:
12а-a^2-15 меньше или равно 0.
a^2-12a+15 больше или равно 0
D=144-60=84
a1=(12-2sqrt(21))/2=6-sqrt(21)
a2=6+sqrt(21).
О т в е т.(6-sqrt(21); 6+sqrt(21))

2)При а < 0 неравенство принимает вид:
-6а-a^2-15 меньше или равно 0.
a^2+6a+15 больше или равно 0
D=36-60 < 0
Неравенство выполняется при любом а ∈(- ∞;0)

О т в е т.(- ∞;0)U( 6+sqrt(21);+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

vector{AB}(3-1;1-(-2);7-2);
vector{AB}(2;3;5).
Координаты вектора и есть проекции на соответствующие оси.
На ось Oх проекция равна 2
На ось Oу проекция равна 3
На ось Oz проекция равна 5

vector{a}(3;–2); vector{5a}(15;-10).
vector{b}(5;1); vector{2b}(10;2).
vector{5a}-vector{2b}(5;-12).

(vector{5a}-vector{2b})*vector{5a}=
=5*15+(-12)*(-10)=75+120=195

Ответ выбран лучшим

(5·√13 – 2·√26)· 5·√13 =5·√13 *5·√13 – 2·√2*sqrt(13)· 5·√13=

=25*13-10*13*sqrt(2)=325-130sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

log_(x) (sqrt( x^2+2x –3)+2)*log_(3)(x^2+2x–2)больше или равно log_(x) 4.
ОДЗ:
{x > 0, x≠1;
{x^2+2x-3 > 0 ⇒ D=4+12=16 ⇒ x∈(-∞;-3)U(1;+∞)
{x^2+2x-2 > 0 ⇒ D=4+8=12 ⇒
x∈(-∞;-1-sqrt(3))U(-1+sqrt(3);+∞)
можно было и не решать последнее неравенство.
t > 3 и t > 2 ⇒ t > 3, t=х^2+2x.
ОДЗ:x∈(1;+∞).

Так как х > 1, log_(3)(x^2+2x-2) > 0
Неравенство принимает вид:
log_(x)(sqrt(x^2+2x-3)+2)больше или равно log_(x) 4.
Логарифмическая функция с основанием х > 1 возрастает, поэтому
sqrt(x^2+2x-3)+2 больше или равно 4
sqrt(x^2+2x-3) больше или равно 2
x^2+2x-3 больше или равно 4
x^2+2x-7 больше или равно 0
D=4-4*(-7)=32
x1=-1-2sqrt(2) или х=-1+2sqrt(2)
x∈(-∞: -1-2sqrt(2))U(-1+2sqrt(2); ∞)
C учетом ОДЗ получаем ответ.
x∈(-1+2sqrt(2); ∞)

Ответ выбран лучшим

Переносим sinx влево:
cos^2x – (1/2)*2*sinx*cosx + cosx - sinx=0
Раскладываем на множители способом группировки:
cosx*(cosx-sinx)+(cosx-sinx)=0
(c0sx-sinx)*(cosx+1)=0
cosx-sinx=0 или cosx+1=0
tgx=1 или cosx=-1
x= (π/4)+πk, k∈Z или x= π+2πn, n∈Z
О т в е т. (π/4)+πk, π+2πn, k,n∈Z

б)Корни, принадлежащие указанному промежутку:
х=(π/4)+π=5π/4;
х=π
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле Бернулли
р=С^2_3*(0,3)^2*(0,7)=3*0,09*0,07=0,189

Ответ выбран лучшим

а)По формулам приведения
sin(x+(π/2))=cosx
По формуле косинуса двойного угла
cos2x=2cos^2x-1
Уравнение принимает вид
2cos^2x-cosx-1=0
Квадратное уравнение
D=1+8=9
cosx=-1/2 или cosx=1
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z или x=2πn, n∈Z
а) О т в е т. ± (2π/3)+2πk, k∈Z или x=2πn, n∈Z.

б) -4π/3; -2π - корни, принадлежащие указанному промежутку. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х+у=t
Возводим в квадрат.
x^2+2xy+y^2=t^2
Заменяем
xy=2. x^2+y^2=5
5+4=t^2
значит t=-3 или t=3
или
х+у=-3 или x+y=3
xy=2 xy=2

Cовокупность двух систем
{x+y=-3 или {x+y=3
{xy=2 {xy=2
Получаем квадратные уравнения по теореме Виета.
a^2+3a+2=0 или b^2-3b+2=0
D=9-8=1 или D=9-8=1
имеют корни
-2 и -1 или 2 и 1
О т в е т. (-1;-2) (2:-1) (1;2) (2;1).

По теореме Пифагора второй катет 8.
10^2=6^2+8^2.

S(осн.)=6*8/2=24
S(бок.)=Р(осн)*Н=(6+8+10)*7=168

S(полн)=2S(осн)+S(бок)=2*24+168=216 кв. см.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{6-x > 0 ⇒ х < 6
{6-x≠1 ⇒ х≠5
{x^4/(x^2-12x+36) > 0 ⇒ х≠6
ОДЗ: х∈(- ∞;5)U(5;6)
Применяя метод рационализации получим:
(6-x-1)*((x^4)/(x^2-12x+36)-1) меньше или равно 0.
Упрощаем

(5-х)*(x^4-(x-6)^2)/(x-6)^2 меньше или равно 0

x^4-(x-6)^2=(x^2-x+6)*(x^2+x-6);
x^2-x+6 > 0 при любом х
так как D=1-24 < 0
x^2+x-6=(x-2)(x+3)

(5-х)*(x-2)(x+3)*(x^2-x+6)/(x-6)^2 меньше или равно 0

__+___ [-3] ___-___ [2] __ +___ [5] _-__ (6) __-_

x∈ [-3; 2] U(5;6)U(6;+ ∞)

C учетом ОДЗ получаем ответ.

О т в е т. x∈ [-3; 2] U(5;6)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

x^2-9=0
(x-3)*(x+3)=0
x-3=0 или x+3=0
x=3 или х=-3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

(a^2–3)^3=(a^2)^3+3a^2*(-3)+3*a*(-3)^2+(-3)^3=
=a^6-9a^2+27a-27

(a–2)(a^2+4)(a+2)=(a^2+4)*(a-2)*(a+2)=
=(a^2+4)*(a^2-4)=(a^2)^2-4^2=a^4-16

(a^2–3)^3–(a–2)(a^2+4)(a+2)=
=a^6-9a^2+27a-27-a^4+16=a^6-a^4-9a^2+27a-11

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть на первом заводе работают суммарно х^2 часов в неделю, и производят х единиц товара. На втором заводе работают суммарно y^2 часов в неделю и производят 2у единиц продукции
S=x+2y - количество произведенной продукции.

Требуется найти наибольшее значение s при условии, что
500*(x^2+y^2) =30 250 000.
Выражаем у из первого равенства и подставляем во второе.
у=(S-x)/2
x^2+(S-x)^2/4=60 500
5x^2-2Sx+S^2-242 000=0
уравнение имеет решение, если дискриминант уравнения
D больше или равно 0.
D=4S^2-20*(S^2-242 000)=4 840 000-16S^2;
4 840 000 - 16 S^2 больше или равно 0;
-550 меньше или равно S меньше или равно 550
Наибольшее значение S=550.
О т в е т. 550.

Ответ выбран лучшим

1) AB=BC =6 - противоположные стороны прямоугольника равны между собой.
Из прямоугольного треугольника АСD по теореме Пифагора
AD^2=AC^2-CD^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2
AD=8
AD⊥CD (ABCD - прямоугольник) По теореме о трех перпендикулярах РD⊥CD.
Из прямоугольного треугольника PAD по теореме Пифагора
PD^2=PA^2+AD^2=15^2+8^2=225+64=289=17^2
PD=17.
О т в е т. 17
2) По теореме Пифагора АС^2=AB^2+BC^2=15^2+20^2=225+400=625=25^2
AC=25.
S(Δ ABC)=AB*BC/2 и S(Δ ABC)=AC*BK/2
AB*BC/2=AC*BK/2⇒ BK=15*20/25=12
Из прямоугольного треугольника DBK по теореме Пифагора
DK^2=DB^2+BK^2=16^2+12^2=256+144=400=20^2
DK=20
DK⊥AC по теореме о трех перпендикулярах.
О т в е т. 20
3) S(ΔCDE) вычисляем по формуле Герона.
S(ΔCDE) =sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).
р=(15+14+13)/2=21
S(ΔCDE) =sqrt(21*6*7*8)=84
C другой стороны
S(ΔCDE) =СE*DM/2
DM=2*84/14=12
QM^2=QD^2+DM^2=16^2+12^2=256+144=400
QM=20
QM⊥CE по теореме о трех перпендикулярах.
О т в е т. 20

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos (3pi/2+x)=sinx
0,25sinx=2*(1-2sin^2x)-1;
4sin^2x-0,25sinx-1=0;
16sin^2x-sinx-4=0
D=1+256=257
Уточняйте условие задачи.
cos2x или соs^2x

Ответ выбран лучшим

Все верно. А в чем вопрос-то? Решение можно было добавить к указанному номеру задачи

Ответ выбран лучшим

Длину реки округляем до сотен километров.
2137 км ≈ 2100 км.

Масштаб карты 1:2500000 означает, что в 1 см изображено 2 500 000 см = 25 000 м = 25 км

в 1 см изображено 25 км
в х см изображено 2100 км
х=1 см*2100 км/25 км= 84 см
Ответ: 84 см длина реки на карте.

Ответ выбран лучшим

sin2x=2sinxcosx;
2sinxcosx-sinx-(2cosx-1)=0
sinx*(2cosx-1)-(2cosx-1)=0
(2cosx-1)*(sinx-1)=0
2cosx-1=0 или sinx-1=0
cosx=1/2 или sinx=1
x=± (π/3)+2πk, k∈Z или x= (π/2)+2πn, n∈Z
О т в е т. ± (π/3)+2πk, (π/2)+2πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

Пусть х руб. стоит рубашка, что соответствует 100%,
100% + 30%=130% от стоимости рубашки составляет стоимость брюк.
х руб составляют 100 %
t руб составляют 130%
t=130·х/100=1,3х руб стоимость брюк.

Пусть у руб. стоит пиджак и это составляет 100 %.
Стоимость брюк на 22% меньше, значит
100%–22%=78% от стоимости пиджака составляет стоимость брюк
у руб. составляют 100%
z руб. составляют 78 %
z=78·у/100=0,78у руб.- стоимость брюк.

Уравнение:
t=z
1,3х = 0,78у;
х = 0,6у,

у составляет 100 %
х=0,6у составляет ?%

?=0,6у*100/у=60%
составляет стоимость рубашки от стоимости пиджака.

100% – 60%=40%
На 40% рубашка дешевле пиджака.

Ответ выбран лучшим

5^x=t
5^(x+1)=5t
5^(-x)=(5^(x))^(-1)=t^(-1)=1/t

5t+(3/t) меньше или равно 16;
5t^2-16t+3 меньше или равно 0.
D=(-16)^2-4*5*3=256-60=196
t=(16-14)/10=1/5 или t=(16+14)/10=3

1/5 меньше или равно t меньше или равно 3
5^(-1) меньше или равно 3^x меньше или равно 3
-1 меньше или равно x меньше или равно log_(5)3
О т в е т. [-1; log_(5)3]

Ответ выбран лучшим

x+3=4x-15;
x-4x=-15-3
-3x=-18
x=6
Проверка
при х=6
log_(4)(6+3)=log_(4)(4*6-15) - верно;
log_(4)9=log_(4)9
О т в е т. х=6

Ответ выбран лучшим

Логарифмическая функция монотонна. Значит каждое свое значение принимает в единственной точке. Если значения функции равны, то и аргументы равны.
5-х=3

-х=3-5;

-х=-2;

х=2

Проверка ( или нахождение одз в начале решения)

При х=2
log_(5)(5-x)=log_(5)3- верно.

О т в е т. х=2

ОДЗ:
{x+3 > 0 ⇒ x > -3
{4x-15 > 0 ⇒ x > 15/4
x∈(15/4;+ ∞)

x+3=4x-15;
x-4x=-15-3
-3x=-18
x=6
6 ∈ ОДЗ.
О т в е т. х=6

Ответ выбран лучшим

Находим точку пересечения прямых 2x–y=0 и x+3y–1=0 .
Решаем систему:
{2x–y=0;
{x+3y–1=0
Умножаем первое уравнение на 3
{6x–3y=0;
{x+3y–1=0
и складываем
7х-1=0
х=1/7.
у=2х=2/7
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1).
Угловой коэффициент прямой у=3-х равен -1.
Значит, угловой коэффициент взаимно перпендикулярной ей прямой равен 1.
Поэтому прямая, перпендикулярная прямой у=3-х имеет вид: у=х+b
и проходит через точку (1/7; 2/7)
Подставим координаты этой точки и найдем b.
2/7=(1/7)+b;
b=1/7
О т в е т. у=х+(1/7) или 7х-7у+1=0

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат.
2х+3=х^2;
x^2-2x-3=0
D=(-2)^2-4*(-3)=16
x=(2-4)/2=-1; x=(2+4)/2=3.
Проверка
х=-1
sqrt(2*(-1)+3)=-(-1) - верно, так как sqrt(1)=1
x=3
sqrt(2*3+3)=-3 -неверно, так как sqrt(9)=3, арифметический квадратный корень есть число положительное по определению.
О т в е т. х=-1

Ответ выбран лучшим

Пусть хруб. стоит рубашка, что соответствует 100%,
100% + 30%=130% от стоимости рубашки составляет стоимость брюк.
х руб составляют 100 %
? руб составляют 130%
?=130*х/100=1,3х руб стоимость брюк.

Пусть у руб. стоит пиджак и это составляет 100 %.
Стоимость брюк на 22% меньше, значит
100%-22%=78% от стоимости пиджака составляет стоимость брюк
у руб. составляют 100%
? составляют 78 %
?=78*у/100=0,78у руб стоимость брюк.

Уравнение:
1,3х = 0,78у;
у = 0,6х,
х - составляет 100 %
у составляет 60%
100% – 60%-40%
рубашка дешевле пиджака на 40%.

Ответ выбран лучшим

Квадрат вписан в окружность малого радиуса r=PA=PB=PC=PD.
Треугольник АРО- прямоугольный.
По теореме Пифагора
РА^2=OA^2-OP^2=3^2-(sqrt(7))^2=9-7=2
PA=r=sqrt(2) см
AC=2r=2sqrt(2) см
Тогда АВ=ВС=СD=AD=2 см.
S(квадрата)=2^2=4 кв см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin162°=sin(180°-18°)=sin18°
sin81°=sin(90°-9°)=cos9°
cos9°*sin 9°=2cos9°*sin9°/2=(sin18°)/2

-4sin162°/(sin81°*sin9°)=-8

Ответ выбран лучшим

sqrt(17-6x-x^2)=1-2x
Возводим в квадрат
17-6х-х^2=1-4x+4x^2;
5x^2+2x-16=0;
D=4-4*5*(-16)=4*(1+80)=4*81=(2*9)^2
x1=(-2-18)/10=-2 или х2=(-2+18)/10=1,6
Проверка
при х=-2
sqrt(17-6*(-2)-(-2)^2)=1-2*(-2);
sqrt(25)=5 - верно
при х=1,6
sqrt(17-6*1,6-1,6^2)=1-2*1,6;
sqrt(4,84)= -2,2 -неверно, так как арифметический квадратный корень есть число положительное по определению.
О т в е т. х=-2

Ответ выбран лучшим

Решим противоположную по смыслу задачу.
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение x^3 + ax^2 +3x –2 =0 имеет ХОТЯ БЫ ОДНО решение на интервале (0;2)
Применяем теорему о нуле непрерывной функции. Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю.
f(x)=x^3+ax^2+3x-2
Находим значения этой функции на концах.
f(0)=-2 < 0
f(2)=2^3+a*2^2+3*2-2=12+4a
Для выполнения условий теоремы потребуем, чтобы
12+4a > 0 ⇒ a > -3

При а=-3 получаем уравнение
х^3-3x^2+3x-2=0
x^3-3x^2+3x-1-1=0
(x-1)^3-1=0
(x-1-1)*((x-1)^2+x-1+1)=0
(x-2)*(x^2-x+1)=0
x=2 - корень уравнения,
2∉(0;2)
Значит, при а∈(-3;+ ∞) уравнение имеет хотя бы один корень на интервале (0;2)
При а∈(- ∞;-3] не имеет корней на интервале (0;2)
О т в е т. а∈(- ∞;-3]

Ответ выбран лучшим

Возведем
a+b-c=7
в квадрат.
a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=49
Заменим
a^2+b^2+c^2=21
2ab-2ac-2bc=49-21;
2(ab-ac-bc)=28
ab-ac-bc=14
О т в е т. 14

Ответ выбран лучшим

1-(1/9)=(9/9)-(1/9)=8/9
0,8:(8/9)=(8/10)*(9/8)=9/10=0,9

Ответ выбран лучшим

Событие А - "турист Д, входящий в состав группы пойдет в магазин"
Найдем вероятность противоположного события
vector{A} -"турист Д, входящий в состав группы НЕ пойдет в магазин", значит пойдут два из трех оставшихся туристов ( без Д)
Считаем вероятность по формуле классической вероятности
р(vector{A}) =m/n
n=C^2_(4)=4!/(2!*2!)=6
m=C^2_(3)=3!/(2!*1!)=3
р=3/6=0,5
р(А)=1-р(vector{A})=1-0,5=0,5
О т в е т. 0,5.

Ответ выбран лучшим

По теореме Фалеса:
CB1=B1B2=B2B3=B3B4
Так как СВ4=12 см, то
CB1=B1B2=B2B3=B3B4=12:4=3 cм.
B1B2=3 см
B2B4=B2B3+B3B4=3+3=6 см
Δ A4B4C подобен Δ A3B3C, так как A4B4|| A3B3.
Угол С - общий.
A4B4| : A3B3= СВ4:СВ3=12:9=4:3
S(Δ A4B4C):S(Δ A3B3C)=(A4B4: A3B3)^2=(4/3)^2=16/9
S(Δ A3B3C)=S(Δ A4B4C):(16/9)=32*(9/16)=18 кв см.

2) СD:DB=AC:AB ( свойство биссектрисы угла)
СD:DB=8:4=2:1.
CD=2DB
CB=CD+DB=2DB+DB=3DB
6=3DB
DB=2
CD=6-2=4
Так как высота, проведенная из точки А в Δ ABC и Δ ABD общая, то
S(Δ ABC):S(Δ ABD)=BC:BD=6:2=3

Ответ выбран лучшим

Да, вы правы, надо было написать свое верное решение к задаче.

Ответ выбран лучшим

при х=7 числитель равен 2-sqrt(10)
знаменатель обращается нуль, т.е является бесконечно малой функцией.

число/беск. малую функцию= бесконечно большую функцию или бесконечность.
О т в е т. бесконечность.

Ответ выбран лучшим

y`=((x+4)^2)`·e^(2–x)+(x+4)^2*(e^(2-x))`=
=2*(x+4)*e^(2-x)+(x+4)^2*e^(2-x)*(2-x)`=
=2*(x+4)*e^(2-x)+(x+4)^2*e^(2-x)*(-1)=
=2*(x+4)*e^(2-x)-(x+4)^2*e^(2-x)=
=(x+4)*e^(2-x)*(2-x-4)=2*e^(2-x)*(x+4)*(-x-2)
y`=0
x+4=0 или -х-2=0
х=-4 или х=-2 - точки возможного экстремума,
применяем достаточное условие экстремума.
Находим знак производной
_-__ (-4) _+__ (-2) __-_

x=-2 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
О т в е т. х=-2

Ответ выбран лучшим

V_(1)=a^2*H
a^2*H=48
V_(2)=(a/2)^2*(H/3)=a^2*H/12=48/12=4
О т в е т. 4 кв. см

Ответ выбран лучшим

8^(-5)*8^(-5)=8^(-5+(-5))=8^(-10)

8^(-10)/8^(-8)=8^(-2)=1/64
О т в е т. 3)

Ответ выбран лучшим

8^(-5)*8^(-5)=8^(-5+(-5))=8^(-10)

8^(-10)/8^(-8)=8^(-2)=1/64

Ответ выбран лучшим

x- первое число;
(х+5)- второе;
(х+5)+25=х+30- третье

х+(х+5)+(х+30)=330
3х=295
х=98 целых 1/3

х+5=98 целых 1/3 + 5= 103 целых 1/3

х+30= 128 целых 1/3

Проверка 98 целых 1/3 + 103 целых 1/3 + 128 целых 1/3= 329 целых 3/3=330.
О т в е т. 98 целых 1/3; 103 целых 1/3 ; 128 целых 1/3.

Ответ выбран лучшим

А={-5;-4;-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

х руб стоит пробка,
(х+10)руб. стоит бутылка
х+(х+10)=11
2х=1
х=0,5
0,5 руб стоит пробка.
10,5 руб стоит бутылка
10,5+0,5=11 руб стоит бутылка с пробкой.

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модули:
1) x больше или равно 0
|2x-4|=|x^2-a| ⇒ 2x-4=x^2-a или 2х-4=-x^2+a
a=x^2-2x+4
или
а=x^2+2x-4
1а)
{x больше или равно 0
{a=x^2-2x+4
или
{x больше или равно 0
{a=x^2+2x-4
2) x < 0
|-2x-4|=|x^2-a|
-2x-4=x^2-a или -2х-4=-x^2+a
2a)
{x < 0
{a=x^2+2x+4
или
2б)
{x < 0
{a=x^2-2x-4

Применяем координатно параметрический метод.
Строим графики в системе координат хОа.
рис. 1 при a∈(3;4)
рис.2 нет таких а > 0
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Самая низшая оценка 6,5
Самая высшая 9,0
Они не учитываются.
Остальные: 7,5+8,0+7,5+8,5=31,5
31,5*2,4=75,6
О т в е т. 75,6

Ответ выбран лучшим

3^(2x+3)=3^(2x)*3^3=27*3^(2x).
Неравенство принимает вид:
27*3^(2x)+3^(2x) < 30;
28*3^(2x) < 30
3^(2x) < 15/14
2x < log_(3)(15/14)
x < (1/2) log_(3)(15/14)
или
х < log _(3) sqrt(15/14)
О т в е т. (- бесконечность; log_(3)sqrt(15/14))

Ответ выбран лучшим

ОС=R
R=asqrt(3)/3
OC=4sqrt(3)*(sqrt(3)/3)=4
OC^2_(1)=CC^2_(1)+OC^2=3^2+4^2=9+16=25
OC_(1)=5

Ответ выбран лучшим

1) 1700:60*36=1020 руб. стоимость поездок Васи
2) 720:20*36=1296 руб. стоимость поездок Коли
3) 1296-1020=276 руб
О т в е т. на 276 руб больше

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(o))=k(касательной)
По условию k=8
f`(x)=30x+b
f`(x_(o))=30x_(o)+b
30x_(o)+b=8
y_(o) (касательной)=y_(o) (кривой)
8х_(o)+3=15x^2_(o)+bx_(o)+18
Cистема двух уравнений
{30x_(o)+b=8 ⇒ b=8-30x_(o)
{8х_(o)+3=15x^2_(o)+bx_(o)+18

8х_(o)+3=15x^2_(o)+(8-30x_(o))*x_(o)+18;
15x^2_(o)=15
x^2_(o)=1
x_(o)=-1 или х_(o)=1
учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0,
х_(o)=-1
b=8-30x_(o)=8-30*(-1)=38
О т в е т. 38.

Ответ выбран лучшим

S=p*r
p=P/2=14
r=S/p=42/14=3
S(круга)=πr^2=9π
О т в е т. 9

Ответ выбран лучшим

а)
1+2+3+...+ n= n*(n+1)/2 - cумма арифметической прогрессии
n(n+1)/2 должно равняться 111; 222; 333; 444; 555; 666; 777; 888; 999
или
n(n+1) должно равняться 222; 444; 666; 888; 1110; 1332;
1554; 1776; 1998.
Подбором находим 1332=36*37
О т в е т. n=36
б)
{a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)=1
{a^3+(a+d)^3+(a+2d)^3+(a+3d)^3=0,1

{4a+6d=1 ⇒ d=(1-4a)/6;
{a^3+((2a-1)/6)^3+((2-2a)/6)^3+((3-6a)/6)^3=0,1⇒
50a^2-25a+2=0
D=625-400=225
a=(25-15)/100=0,1 ⇒ d=(1-4a)/6=(1-0,4)/6=0,1
или
a=(25+15)/100=0,4 ⇒ d=(1-1,6)/6=-0,1

Первая прогрессия:
0,1; 0,2; 0,3;0,4
Сумма
0,1+0,2+0,3+0,4=1
Сумма кубов
0,1^3+0,2^3+0,3^3+0,4^3=0,001+0,008+0,027+0,064=0,1
Вторая прогрессия состоит из тех же чисел, но убывает:
0,4; 0,3; 0,2; 0,1

О т в е т. 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Ответ выбран лучшим

1 000 000 :100*10=100 000 руб - проценты за первый год.
1 100 000 рублей сумма вклада к концу первого года.
Пусть снимает х тыс. рублей.
(1 100 000 - х) руб - на начало второго года
1,1*(1 100 000 - х ) руб.=(1 210 000 - 1,1х) руб. к концу второго года
(1 210 000 - 1,1х-х) =( 1 210 000 -2,1х) руб. к началу третьего года
1,1*(( 1 210 000 -2,1х) руб.=(1 331 000 -2,31х) руб к концу третьего
(1 331 000 -2,31х - х)= ( 1 331 000 - 3,31х) руб к началу четвертого
1,1*(1 331 000 - 3,31х) руб= (1 464 100 - 3,641х ) руб. - к концу четвертого
По условию эта сумма должна быть не менее 1 200 000 руб.
Неравенство:
(1 464 100 - 3,641х ) больше или равно 1 200 000;
264 100 больше или равно 3,641х;
x меньше или равно 264 100 : 3,641
х меньше или равно 72535,0179 руб
х=72 000
О т в е т. 72 000

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

а)
ОДЗ:
{-cosx больше или равно 0 ⇒ cox меньше или равно 0⇒
(π/2)+2πk меньше или равно х меньше или равно (3π/2)+2πk, k∈Z

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряем смысла ( для этого и найдено ОДЗ).
2sinx-sqrt(2)=0 или sqrt(-cosx)=0
Sinx=sqrt(2)/2 или cosx=0
x=(π/4)+2πn, n∈Z или x= (3π/4)+2πm, m∈Z или =(π/2)+πs, s∈Z
Так как
x=(π/4)+2πn, n∈Z не принадлежат ОДЗ
х=(π/2)+2πp , s=2p, p∈Z не принадлежат ОДЗ, то

О т в е т. (3π/4)+2πm, (3π/2)+2πp, p∈Z m, p ∈Z
б)
Наибольший отрицательный корень
х=(π/2)-π=(-π/2)

Ответ выбран лучшим

Пусть весь путь равен 2х км.
Тогда первая половина х км, скорость на первой половине равна х км в час,
тогда скорость на второй половине равна (х+15) км в час.
х/(х+15) час время, затраченное на вторую половину пути.
По условию это 45 минут или 3/4 часа.
Уравнение
х/(х+15)=3/4
4х=3х+45;
х=45
х+15=60
О т в е т. 60 км в час скорость на второй половине пути.

Ответ выбран лучшим

у`=-3*(5+2cosx)`/(5+2cosx)^2=-3*(-2sinx)/(5+2cosx)^2=
=6sinx/(5+2cosx)^2
y`= 0
sinx=0
x=π
[π/2] __+_ (π) __-__ [4π/3]

х=π - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(π)=3/(5+2*cos(π))=3/(5+2*(-1))=3/3=1 - наибольшее значение функции на [π/2;4π/3]

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат
9x^2-44=12,25
9x^2=56,25
x^2=6,25
x=-2,5 или х=2,5
Проверка:
при х=-2,5
sqrt(9*6,25-44)=3,5 - верно
при х=2,5
sqrt(9*6,25-44)=3,5- верно
Уравнение имеет два корня.
Меньший из них (-2,5)
О т в е т. -2,5

Ответ выбран лучшим

n=5*4/2=10 исходов испытания
m=4 ( выбраны карточки 1 и 2; 1и 5; 2 и 4; ; 4 и 5)
По классической формуле
р=m/n=4/10

Ответ выбран лучшим

y`=(2x-4)/((x^2-4x+5)*ln0,3)
y`=0
2x-4=0
x=2
Знак производной:
так как ln0,3 < 0, x^2-4x+5 > 0, то
__+_ (2) __-_

x=2- точка максимума.
у(-2)=log_(0,3)(4+8-5)=log_(0,3)7
E(y)=(-бесконечность;log_(0,3)7]

y`=2x/((x^2+1)ln0,1)
y`=0
x=0 - точка максимума, производная меняет знак с+ на -.
у(0)=log_(0,1)1=0
E(y)=(-бесконечность;0]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+5x > 0⇒ x*(x+5) > 0⇒ _+_ (-5) __ (0) _+_
{x^2+6 > 0⇒x∈(- ∞;+ ∞)
ОДЗ: x∈(- ∞;-5)U(0;+ ∞)
x^2+5x=x^2+6;
5x=6
x=6/5
x=1,2∈ ОДЗ
О т в е т. х=1,2

Ответ выбран лучшим

а)
Замена переменной:
(1/4)^(cosx)=t;
t > 0.
(1/16)^(cosx)=((1/4)^(cosx))^2=t^2.
t^2+3t-4=0
D=3^2-4*(-4)=9+16=25
t=(-3-5)/2=-4; t=(-3+5)/2=1
t=-4 не удовлетворяет условию t > 0
(1/4)^(cosx)=1;
(1/4)^(cosx)=(1/4)^0
cosx=0
x=(π/2)+πk, k∈Z
О т в е т. (π/2)+πk, k∈Z
б) х=(π/2)+4π=9π/2,
4π < 9π/2 < 7π;
х=(π/2)+5π=11π/2,
4π < 11π/2 < 7π;
х=(π/2)+6π=13π/2.
4π < 13π/2 < 7π.
О т в е т. 9π/2;11π/2;13π/2.

Ответ выбран лучшим

Пусть AO пересекает сторону ВС в точке F.
AF- высота правильного треугольника.
AF=asqrt(3)/2
AO=R - радиусу описанной около треугольника АВС окружности.
OF=r, r- радиус вписанной окружности.
АО=(2sqrt(3))*(sqrt(3)/3)=2
AF=AO/2=1
Медианы в точке пересечения делят в отношении 2:1, считая от вершины.
KF^2=KO^2+OF^2=(sqrt(3))^2+1^2=4
KF=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

1) Замена переменной
5^x=t; t > 0
(3/5)t^2-(2/5)t-(1/5)=0
3t^2-2t-1=0
D=16
t=-1/3 < 0 не уд. усл t > 0
t=1
5^x=1
x=0
2) t^2-8t-9 меньше или равно 0, t=2^x/6^x=(1/3)^x > 0
D=64+36=100
t=-1 или t=9
-1 меньше или равно t меньше или равно 9
(1/3)^x меньше или равно 9
(1/3)^x меньше или равно (1/3)^(-2)
x больше или равно -2
О т в е т. (-2; + бесконечность)
3) log_(sqrt(2))(1/8sqrt(2))=log_(2^(0,5))2^(-3,5)=-3,5/0,5=-7
3^(2+3log_(3)(1/2))=3^2*3^(log_(3)(1/2)^3)=9*(1/8)=9/8
4) log_(16)(x+3)=1/2⇒ x+3=16^(1/2) ⇒x+3=4
x=1
log_(x-2)9=2 ⇒ (x-2)^2=9 ⇒ x-2=±3
x=5 или х=-1
при х=-1 основание логарифмической функции х-2=-1-2=-3
чего быть не может
при х=5
log_(3-2)9=2- верно
О т в е т. 5
log_(3)27+1=3+1=4
log_(5)(2-3x)=(1/4)*4
log_(5)(2-3x)=1
2-3x=5
-3x=5-2
-3x=3
x=-1.
О т в е т. -1
5) (х-3)/(2х+1) > 0
x=3 x=-1/2
__+__ (-1/2) ___ (3) _ +__
О т в е т. (- бесконечность; -1/2) U(3;+бесконечность).
6) y`=(2x+4)/((x^2+4x+7)*ln(1/3))
y`=0
2x+4=0
x=-2
Знак производной:
так как ln(1/3) < 0; x^2+4x+7 > 0 при любом х, D=16-28 < 0, то
_+__ (-2) _-__
x=-2 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
у(-2)=log_(1/3)(4-8+7)=log_(1/3)3=-1
О т в е т. -1- наибольшее значение. Наименьшее найти невозможно.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:x > 0
y`=2x-14+(20/x)
y`=(2x^2-14x+20)/х
y`=0
2x^2-14x+20=0
x^2-7x+10=0
D=(-7)^2-40=9
x=(7-3)/2=2 или х=(7+3)/2=5

Знак производной
(0) __+__ (2) __-__ (5) __+__
х=5 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:x≠±2
x*(x-2)-(7x+2)*(x+2)=8
x^2-2x-7x^2-2x-14x-4=8
-6x^2-18x-12=0
x^2+3x+2=0
D=9-4*2=1
x=-2 или х=-1
х=-2 не входит в ОДЗ
О т в е т. х=-1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{|x| > 0 ⇒x≠0,
{|x|≠1
х≠± 1; x≠0
При x > 0
|x|=x
log_(|x|)x^2=log_(x)x^2=2
При x < 0
|x|=-x и log_(|x|)x^2=log_(-x)x^2=2

Неравенство принимает вид
2^2+log_(2)x^2 меньше или равно 8;
log_(2)x^2 меньше или равно 4;
log_(2)x^2 меньше или равно log_(2)16;
x^2 меньше или равно 16
(x-4)*(x+4) меньше или равно 0
____ [-4] __-___ [4] _____
С учетом ОДЗ: х≠± 1; x≠0
О т в е т. [-4;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;4].

Ответ выбран лучшим

Функция возрастает, значит производная положительна. Угол наклона касательных увеличивается . Значит производная возрастает.
Функция убывает, производная отрицательна.
Есть точка минимума, значит в точке с такой же абсциссой, производная обращается в 0.
Функция возрастает, угол наклона касательной растет, производная положительна и возрастает.
Как-то так см. рис.
Более строгое построение- построение по методу касательных и хорд. см. приложение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)75*5,5=412,5 км проедет первый
2)85*5,5=467,5 км проедет второй
3)412,5+467,5=880 км расстояние после встречи

4)75*0,5=37,5 км проедет первый
5)85*0,5=42,5 км проедет второй
6)37,5+42,5=80 км было между поездами за полчаса до встречи.

или так

1)75+85=160 км в час - совместная скорость (сближения друг другу или удаления друг от друга).
2)160*5,5 =880 км
3)160*0,5=80 км

Ответ выбран лучшим

Смотрим по графику. Давление было ниже 5 атм. начиная с 1ой минуты до 5ой минуты итого 4 минуты.
О т в е т. 4 минуты (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

10.
2) F(x)=1/(1/2)*e^(x/2)+(1/3)(-cos3x)+C=
=2e^(x/2)-(1/3)cos3x+C
4)F(x)=3*(1/(1/7))*sin(x/7)+2*(1/3)e^(3x-(1/2))+C=
=21sin(x/7)+(2/3))e^(3x-(1/2))+C
6)F(x)=1/(1/5)2sqrt(x/5)+4*(1/4)*(-cos(4x+2))+C=
=10sqrt(x/5)-cos(4x+2)+C
8)F(x)=4*(1/3)*2sqrt(3x+1)-3*(1/2)ln|2x-5|+C=
=(4/3)sqrt(3x+1)-(3/2)ln|2x-5|+C
11
4)f(x)=3x+(5/x)
F(x)=3*(x^2/2)+5ln|x|+C
6)f(x)=2x-2x^2
F(x)=x^2-(2x^3/3)+C
13
2) F(x)=4*(x^2/2)-x+C
F(x)=2x^2-x+C
M(-1;3) x=-1 y=3
F(-1)=3
3=2*(-1)^2-(-1)+C
C=0
О т в е т.F(x)=2x^2-x
4) F(x)=(1/3)*(sin3x)+C
M(0;0) x=0 у=0
F(0)=0
0=(1/3)*sin0 + C
C=0
О т в е т.F(x)=(1/3)*(sin3x)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1) 2x-(π/4)=± (π/3)+2πk, k∈Z
x=(π/8)± (π/6)+πk, k∈Z
2)tgx=t
ctgx=1/t
5t-(6/t)+7=0
(5t^2+7t-6)/t=0
{5t^2+7t-6=0
{t≠0
D=49-4*5*(-6)=169
t=-2 или t=0,6
tgx=-2 x=arctg(-2)+πk, k∈Z; x=-arctg2+πk, k∈Z;
tgx=0,6 x=arctg0,6+πn, n∈Z.
О т в е т. -arctg2+πk, arctg0,6+πn, k, n∈Z.
3) 10sinxcosx+2cosx=0
cosx*(10sinx+2)=0
cosx=0 или sinx=-0,2
x=(π/2)+πk, k∈Z или х=arcsin(-0,2)+2πn, n∈Z или
х=π - arcsin(-0,2)+2πn, n∈Z
О т в е т. (π/2)+πk, -arcsin(0,2)+2πn,
π + arcsin(0,2)+2πm, k,n,m∈Z
4) Делим на cosx≠0
(Если cosx=0, тогда 3sinx=0, но косинус и синус одновременно не могут равняться0)
1-3tgx=0
tgx=1/3
x=arctg(1/3)+πk, k ∈Z
О т в е т. arctg(1/3)+πk, k ∈Z

Ответ выбран лучшим

3) 2sin^2t-1=2sin^2t-sin^t-cos^2t=sin^2t-cos^2t;
2cos^2t-1=2cos^2t-sin^t-cos^2t=cos^2t-sin^2t;

От первой дроби останется -1
О т в е т.-1+cos^2t
4) sint+sin3t=2sin2tcos(-t)=2sin2tcost
cost+cos3t=2cos2tcos(-t)=2cos2tcost
Делим одно на другое получаем tg2t

Ответ выбран лучшим

246.
Угол между АА1 и В1С равен углу между ВВ1 и В1С
tg ∠BB1C=BC/BB1=4sqrt(3)/4=sqrt(3)
∠BB1C=60 градусов.
Расстояние от прямой АА1 до прямой В1С равно расстоянию от прямой АА1 до плоскости ВВ1С1С.
Это расстояние равно длине ребра АВ.
d=4.
247.
DM=ME=5
SM=12 по теореме Пифагора из треугольника SME.

Проводим апофему SK в треугольнике SAB.
SK=12
КM=2*10sqrt(3)/2=10sqrt(3)
Надо найти высоту KT в равнобедренном треугольнике KSM
KT*SM=SO*KM (О- центр шестиугольника)
SO=sqrt(13^2-10^1)=sqrt(69)
KT*12=sqrt(69)*10sqrt(3)
KT=5sqrt(23)/2

Ответ выбран лучшим

1) ОДЗ:
{x^2-4x > 0;
{6-3x > 0
(можно не решать, подставить найденные корни и посмотреть верное неравенство или нет)
Возводим в квадрат
x^2-4x=6-3x;
x^2-x-6=0;
D=1-4*(-6)=25
x=(1-5)/2=-2; x=(1+5)/2=3
x=3 не входит в ОДЗ
6-3х=6-3*3 > 0 не выполняется.
О т в е т. х=-2.
2) ОДЗ:3х+1 > 0
Возводим в квадрат при условии, что х-1 > 0
3x+1=x^2-2x+1
x^2-5x=0
x=0 или х=5
0-1 > 0 неверно, х=0 - посторонний корень.
О т в е т. х=5
3) Замена переменной
корень четвертой степени из х=t
2t^2-t-1=0
D=1+8=9
t=-1/2 t=1
корень четвертой степени из х =-1/2 нет корней у этого уравнения
корень четвертой степени из х =1
х=1
О т в е т. 1
4) Возводим в квадрат
x+2sqrt(x)*sqrt(x-3)+x-3=9;
2sqrt(x)*sqrt(x-3)=12-2x;
sqrt(x)*sqrt(x-3)=6-x;
Возводим в квадрат
х*(х-3)=36-12х+х^2
x^2-3x=36-12x+x^2
9x=36
x=4
Проверка
sqrt(4)+sqrt(4-3)=3 -верно, 2+1=3 - верно.
О т в е т. х=4.
2.1) Замена переменной
sqrt(x)=u
sqrt(y)=v
{u+v=4
{u*v=3
u=4-v и подставляем во второе
v^2-4v+3=0
v=1 или v=3
u=3 или u=1

sqrt(y)=1 или sqrt(y)=3
sqrt(x)=3 или sqrt(x)=1

О т в е т. (1;9) (9;1).

2.2) Возводим первое уравнение в куб, второе в квадрат
{x-y-27=27;
{2x-y+2=x^2.
y=x-54
2x-x+54+2=x^2
x^2-x-56=0
D=225
x=-7 или х=8
у=-7-54=-61 или у=8-54=-46
При х=-8 и у=-61 второе уравнение не имеет смысла.
О т в е т. (8;-46)
3а)
Так как sqrt > 0, если подкоренное выражение положительно , то
{2-x > 0 ⇒ x < 2
{x+1 > 0 ⇒ x > -1
(-1;2)
О т в е т. (-1;2)
б) ОДЗ: 2х+4 больше или равно 0
x больше или равно -2

Возводим в квадрат
2х+4 меньше или равно 4
x меньше или равно 0

C учетом ОДЗ получаем ответ
[-2;0]
О т в е т. [-2;0].
в)
sqrt > 0 при тех х, при которых подкоренное выражение больше или равно 0.
А положительное число всегда больше отрицательного числа (-4)
x^2-3x+2 больше или равно 0
D=1
x=1 ; x=2
О т в е т. (- бесконечность;1)U(2;+бесконечность).

Ответ выбран лучшим

1- у=log_(5)x,
2- y=log_(3)x,
3- у=log_(2/5)x,
4- y=log_(4/5)x. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
а)sin(α-π)=-sin(π-α)=-sinα;
cos(α-(3π/2))=cos((3π/2)-α)=-sinα;
ctg(α-(π/2))=-ctg((π/2)-α)=-tgα;
tg(π+α)=tgα

(-sinα-sinα)/(-tgα-tgα)=(-2sinα)/(-2tgα)=cosα

б)cos((3π/2)-α)=-sinα;
cos(6π-α)=cosα;
sin(α-+8π)=sinα;
sin((3π/2)+α)=-cosα;

(1-(-sinα)+cosα)/(1+sinα-(-cosα))=1

2)
а)cos(-17π/6)=cos(17π/6)=cos((18π-π)/6)=
=cos(3π-(π/6))=-cos(π/6)=-sqrt(3)/2;
ctg(35π/6)=ctg((36π-π)/6)=ctg(6π-(π/6))=ctgπ/6=sqrt(3)
sin(-3π/2)=-sin(3π/2)=-(-1)=1
О т в е т. 2*(-sqrt(3)/2)*(sqrt(3))*1=-1

б) sin(-9π/4)=-sin(9π/4)=-sin(2π+(π/4))=-sin(π/4)=-sqrt(2)/2;
cos(-5π/2)=0
О т в е т. (-sqrt(2)/2)^3+0=-sqrt(2)/4.

3)
а) tg(3π+α)=tgα;
tg((5π/2)+α)=ctgα;
sin((π/2)-α)=cosα
1=1
б) сos((7π/2)+α)=sinα;
tg((π/2)-α)=ctgα;
sin((π/2)-α)=cosα;
ctg((3π/2)-α)=tgα.

(sinα*ctgα)-cosα+tgα=(cosα)-cosα+tgα=tgα

Ответ выбран лучшим

1) (0,3)^(-3)=(3/10)^(-3)=(10/3)^3=1000/27;
(3/7)^(-1)=7/3
(-0,5)^(-2)=1/(-0,5)^2=1/0,25=4
(-1)^(-8)=1/(-1)^8=1
итог
(1000/27)+(7/3)+4*(3/4)+1*6=(1000+7*9+3*27+6*27)/27=
=1306/27
2) Возводим в квадрат
6-4х-х^2=x^2+8x+16
x^2+8x+16-6+4x+x^2=0
2x^2+12x+10=0
x^2+6x+5=0
D=36-20=16
x=(-6-4)/2=-5; x=(-6+4)/2=-1
Проверка
при х=-5
sqrt(6-4*(-5)-(-5)^2)=-5+4 - неверно, так как sqrt(1)=1
x=-5- посторонний корень
при х=-1
sqrt(6-4*(-1)-(-1)^2)=-1+4 - верно, так как sqrt(9)=3
О т в е т. х=-1.
3) 3^((6x+8)+(1/2))=3^(3x-3-(1/2))
6x+8+(1/2)=3x-3-(1/2)
6x-3x=-3-(1/2)-8-(1/2)
3x=-12
x=-4
4)ОДЗ:
{x-5 > 0
{2x+5 > 0
x > 5
Заменим разность логарифмов логарифмом частного.
log_(2)(x-5)/(2x+5)=3log_(2)2
log_(2)(x-5)/(2x+5)=log_(2)2^3 ( формула логарифма степени)
(х-5)/(2х+5)=8- пропорция, умножаем крайние и средние.
х-5=16х+40
-15х=45
х=-3 - не входит в ОДЗ
О т в е т. нет корней.
5) сos2x=cos^2x-sin^2x
1=cos^2x+sin^2x
-2sin^2x+sqrt(2)sinx=0
sinx*(-2sinx+sqrt(2))=0
sinx=0 или -2sinx+sqrt(2)=0 ⇒sinx=sqrt(2)/2
x=πk, k∈Z или x= (π/4)+2πn, n∈Z x=(3π/4)+2πm, m∈Z
О т в е т. x=πk x= (π/4)+2πn, x=(3π/4)+2πm, k, n, m∈Z

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Число делится на 36, значит
1)Число должно делиться на 4, значит две последние цифры должны быть кратны 4.
2)Число должно делиться на 9, значит сумма цифр числа должна делиться на 9
Итак,
1) две последние цифры 12 или 32
Теперь подбираем числа так, чтобы сумма цифр была кратна 9
2) 2412; 4212; 3312;
12312; 13212; 21312; 23112; 31212;32112- шесть чисел получены перестановкой первых трех цифр.
12233412 перестановка первых шести цифр числа даст 6!/(2!2!)=180 чисел
189 чисел

2232; 1332;3132
11232; 12132; 21132
6 чисел

189+6=195
О т в е т. 195

Ответ выбран лучшим

4^3-1=(4-1)*(4^2+4+1)=3*21
5^3-1=(5-1)*(5^2+5+1)=4*31
...
n^3-1=(n-1)*(n^2+n+1)

4^3+1=(4+1)*(4^2-4+1)=5*13
5^3+1=(5+1)*(5^2-5+1)=6*21
...
n^3+1=(n+1)*(n^2-n+1)

(3*21/5*13)*(4*31/6*21)*...*(n-1)*(n^2+n+1)/(n+1)*(n^2-n+1)=3906/4225
3*4*(n^2+n+1)/13n(n+1)=3906/4225;

3906=2*3*651
4225=5*5*13*13
Так как числитель слева- число кратное 12, то дробь справа сократили на 2, значит
3*4*(n^2+n+1)=7812;
13*n*(n+1)=8450 ⇒ n*(n+1)=650 ⇒ n=25
О т в е т. n=25

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Наверное, неравенство имеет такой вид:
lg^2x+lgx < 0
Решение.
ОДЗ:х > 0

lgx*(lgx+1) < 0
Применяем обобщенный метод интервалов:
lgx=0 или lgx=-1
x=1 или х=0,1
отмечаем полученные точки на ОДЗ=(0;+ бесконечность)
(0) _+__ (0,1) _-_ (1) _+_

О т в е т. (0,1;1)

1)
log_(1/3)(x^2+8x)=–2;
ОДЗ:{x^2+2x > 0;
По определению логарифма:
x^2+8x=(1/3)^(-2);
x^2+8x=9 (9 > 0, значит корни уравнения входят в ОДЗ)
x^2+8x-9=0
D=64-4*(-9)=100
x=(-8-10)/2=-9 или х=(-8+10)/2=1
О т в е т. -9; 1.

2)
log_(5)(25/x)+log_(5) ?=2.
ОДЗ
{25/x > 0;
{? > 0
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения.
log_(5)(25/x)*(?)=2
По определению логарифма:
(25/х)*(?)=5^2

Проверяем удовлетворяют ли корни условиям ОДЗ.

Ответ выбран лучшим

Найдем вероятность противоположного события, среди пришедших обе девочки
р(vector{A})=0,5*0,5=0,25
Тогда
р(А)=1-р(vector{A})=1-0,25=0,75

или так:
А=А_(1)А_(2)+vector{A_(1)}А_(2)+А_(1)vector{A_(2)}
A_(1) - первый пришедший- мальчик
vector{A_(1)}- первый пришедший- не мальчик, а девочка
р(А)=0,5*0,5+0,5*0,5+0,5*0,5=0,25+0,25+0,25=
0,75

Ответ выбран лучшим

1) непосредственная подстановка
= 2*0/(0-1)=0/(-1)=0
2)непосредственная подстановка
= (0+1)/(0)=(1/бескон. малую=бескон. большая)= бесконечность)
3) непосредственная подстановка
=(бесконечность/бесконечность)
- неопределенность.
Делим и числитель и знаменатель на х^3
О т в е т. 4/беск. малую=бесконечность

Ответ выбран лучшим

6sin^2x+sin2x=2;
6sin^2x+2*sinx*cosx=2
Делим на 2
3sin^2x+sinx*cosx=1
1=sin^2x+cos^2x
3sin^2x+sinx*cosx=sin^2x+cos^2x;
2sin^2x+sinx*cosx-cos^2x=0 - однородное тригонометрическое уравнение, делим на сos^2x

Ответ выбран лучшим

По определению:
параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.
Пусть М(х;у)– любая точка параболы.
d1=FM=sqrt((x–4)^2+(y-3)^2)
d2=|x–5|
d1=d2
sqrt((x–4)^2+(y+3)^2))=|x–5|
Возводим в квадрат и преобразовываем
(x–4)^2+(y-3)^2=(x–5)^2
(y-3)^2=(x–5)^2–(x–4)^2;
(y-3)^2=(x–5–x+4)·(x–5+x–4)
(y-3)^2=-2(x–4,5)
Проверка
p=-1
x=4,5+(-p/2)=4,5+0,5=5
x=5 - уравнение директрисы
F(4,5-p/2;3)=F(4;3)
О т в е т. (y-3)^2=-2(x–4,5)

Ответ выбран лучшим

1) vector{с}=α*vector{a}+β*vector{b}
Координаты вектораvector{с} как суммы векторов α*vector{a} и β*vector{b} равны (α*3+β*(-2);α*(-2)+β*1)
Приравниваем к данным в условии задачи координатам вектора с и получаем систему двух уравнений с неизвестными α и β:
{7=α*3+β*(-2)
{-4=α*(-2)+β*1
или
{3α -2β=7;
{-2α+β=-4
Умножаем второе уравнение на 2
{3α -2β=7;
{-4α+2β=-8
складываем
-α=-1
α=1
β=2α-4=2*1-4=-2
О т в е т. vector{с}=vector{a}-2*vector{b}

2) y`=3x^2*sinx+x^3*cosx
y``=6x*sinx+3x^2*cosx+3x^2*cosx-x^3*sinx

3) Применяем правило Лопиталя:
lim_(x→0)(lnx/lnsinx)=(бесконечность/бесконечность)=
=lim_(x→0)((1/x)/(1/sinx)*(sinx)`)=lim_(x→0)(sin/x)*lim_(x→0)(1/cosx)=1*1=1

Ответ выбран лучшим

1)cos(x/2)=1/2
x/2=± (π/3)+2πk, k∈Z
x=± (2π/3)+4πk, k∈Z
2) cosx=sqrt(3)/2
x=± (π/6)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

По определению:
параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.
Пусть М(х;у)- любая точка параболы.
d_(1)=FM=sqrt((x-5)^2+(y+3)^2)
d_(2)=|y-1|
d_(1)=d_(2)
sqrt((x-5)^2+(y+3)^2)=|y-1|
Возводим в квадрат и преобразовываем
(x-5)^2+(y+3)^2=(y-1)^2
(x-5)^2=(y-1)^2-(y+3)^2;
(x-5)^2=(y-1-y-3)*(y-1+y+3)
(x-5)^2=-8(y+1)
О т в е т. (x-5)^2=-8(y+1)

Ответ выбран лучшим

По определению:
параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.
Пусть М(х;у)- любая точка параболы.
d_(1)=FM=sqrt((x-5)^2+(y+3)^2)
d_(2)=|x-1|
d_(1)=d_(2)
sqrt((x-5)^2+(y+3)^2)=|x-1|
Возводим в квадрат и преобразовываем
(x-5)^2+(y+3)^2=(x-1)^2
(y+3)^2=(x-1)^2-(x-5)^2;
(y+3)^2=(x-1-x+5)*(x-1+x-5)
(y+3)^2=8(x-3)
О т в е т. (y+3)^2=8(x-3)

Ответ выбран лучшим

По определению:
параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.
Пусть М(х;у)- любая точка параболы.
d_(1)=FM=sqrt((x-5)^2+(y+3)^2)
d_(2)=|x-1|
d_(1)=d_(2)
sqrt((x-5)^2+(y+3)^2)=|x-1|
Возводим в квадрат и преобразовываем
(x-5)^2+(y+3)^2=(x-1)^2
(y+3)^2=(x-1)^2-(x-5)^2;
(y+3)^2=(x-1-x+5)*(x-1+x-5)
(y+3)^2=8(x-3)
О т в е т. (y+3)^2=8(x-3)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{3x-4 > 0 ⇒x > 4/3;
{3x-4≠1 ⇒x≠7/3
{a+9x+5 > 0 , так как 4/3 < x меньше или равно 2,значит 17 < 9х+5 меньше или равно 23;
17+a < a+9x+5 меньше или равно 23+а ⇒
17+а больше или равно 0 ⇒
а больше или равно -17

По определению логарифма
(3x-4)^(-1)=a+9x+5
или
так как х > 4/3
1=(3x-4)*(a+9x+5)
27x^2+(3a-21)x-4a-21=0
Переформулируем задачу: при каком значении параметра а квадратное уравнение имеет ровно один корень на (4/3;2]
1) если D=0 и х(вершины)∈(4/3;2] (см. рис.1)
2) если уравнение имеет два корня, т.е D > 0 и один из корней:х_(1)∈(4/3;2] или х_(2)∈(4/3;2]
(см. рис.2 и рис. 3)

1) D=(3a-21)^2+4*27(4a+21)=
=9a^2-126a+441+432a+2268=
=9a^2+306a+2709 > 0 при любом а, значит уравнение всегда имеет два корня.

2) Обозначим f(x)=27x^2+(3a-21)x-4a-21
Если х_(1)∈(4/3;2],то f(4/3) < 0, f(2) > 0
Если х_(2)∈(4/3;2], то f(4/3) > 0, f(2) < 0

Оба условия можно объединить в одно
f(4/3)*f(2) < 0
Находим
f(4/3)=48+4a-28-4a-21=-1 < 0
f(2)=108+6a-42-4a-21=2a+45
2a+45 > 0 ⇒ a > -22,5
C учетом ОДЗ
О т в е т. a∈[-17;+ ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Средняя линия равна половине основания, значит делим на 2

Ответ выбран лучшим

y^4-(2x-3)^2=0
(y^2-(2x-3))*(y^2+(2x-3))=0
y^2-2x+3=0 или y^2+2x-3=0
x=(y^2+3)/2 или х=(-y^2+3)/2
Уравнение имеет бесчисленное множество решений:
точки, лежащие на параболах х=(y^2+3)/2 или х=(-y^2+3)/2.

Ответ выбран лучшим

(log_(0,4)(x-2))/(x-6) ≤0
ОДЗ:(х-2) > 0 ⇒ x > 2
Применяем обобщенный метод интервалов.
Находим нули числителя.
log_(0,4)(x-2)=0
х-2=0,4^0
x-2=1
x=3
Находим нуль знаменателя
х=6
Отмечаем эти точки на ОДЗ:

(2) __-__ (3) ____+____ (6) __-___

При х=33/4
log_(0,4)((33/4)–2)=log_(0,4)25/4=-2 < 0
(33/4)–6) > 0
Дробь отрицательна.

О т в е т. (2;3) U (6;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

1) ОДЗ:x > 0;
log_(2)(8/x):sqrt(2x)=-0,5 ⇒ 8/хsqrt(2x)=2^(-0,5)
8/хsqrt(2x)=1/sqrt(2);
хsqrt(x)=8
x=4
О т в е т. 4
2)
ОДЗ:х > 0

lgx(lgx-1) > 0
Применяем обобщенный метод интервалов:
lgx=0 или lgx=1
x=1 или х=10
(0) _+__ (1) _-_ (10) _+_

О т в е т. (0;1) U(10; + бесконечность)
3)
ОДЗ:х > 0

lgx*(lgx+1) < 0
Применяем обобщенный метод интервалов:
lgx=0 или lgx=-1
x=1 или х=0,1
(0) _+__ (0,1) _-_ (1) _+_

О т в е т. (0,1;1)

4)og0,4(x–4)/(x–6)≤log_(0,4)1
{(x-4)/(x-6) > 0
{(x-4)/(x-6) больше или равно 1

(x-4-x+6)/(x-6) больше или равно 0
2/(x-6) больше или равно 0
x > 6
О т в е т. (6; + бесконечность)

5) ОДЗ: х > 0; y > 0
log0,5 x+log0,5 y=–1 ⇒ log_(0,5)xy=-1 ⇒ xy=2
Решаем систему
{xy=2;
{x-2y=3
Из второго уравнения х=2у+3
(2у+3)*у=2
2у^2+3y-2=0
D=9+16=25
y=-2 не удовлетворяет ОДЗ
у=1/2
тогда х=2у+3=2*(1/2)+3=4
О т в е т. (4;1/2)

Ответ выбран лучшим

1. Угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра равен 90 градусов.
2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей,- прямоугольник.
3. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра? О т в е т. а) да.; б) да; в) нет. см. рис. к задаче 3.
4. Пусть радиус первой детали r, высота Н. Радиус второй детали 2r, высота Н/2. S_(1)=2πr^2+πr^2H=πr^2*(2+H) S_(2)==2π*(2r)^2+π*(2r)^2*(H/2)=πr^2*(8+2H) S_(2) > S_(1) О т в е т. на вторую.
5. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью? О т в е т. а) да; б) да. См. рисунок к задаче 5
6. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину? О т в е т. Треугольник см. рис. к задаче 6.
7. Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ? О т в е т. Да.
8. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2 √2 см лежать на сфере радиуса √5 см?
О т в е т. Нет
Гипотенуза этого треугольника больше диаметра.
9. Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?
О т в е т. нет.
10. Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом?
Сфера. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

cos∠A= АС/АВ
AC=sqrt(21)AB/5
По теореме Пифагора
АС^2+BC^2=AB^2
(21AB^2/25)+8^2=AB^2;
4AB^2/25=64;
AB^2=400
AB=20
АС=sqrt(21)*20/5=4sqrt(21).

2 cпособ
sin^2 ∠A + cos^2∠A=1
sin^2∠A=1-cos^2∠A=1-(sqrt(21)/5)^2=1-(21/25)=4/25.
sin∠A=2/5
sin∠A=BC/AB
AB=BC/sin∠A=8/(2/5)=20
АС=АВ*cos∠A=20*sqrt(21)/5=4sqrt(21)

Ответ выбран лучшим

c_(2)=c_(1)-2=-5-2=-7;
c_(3)=c_(2)-2=-7-2=-9;
c_(4)=c_(3)-2=-9-2=-11;
c_(5)=c_(4)-2=-11-2=-13.

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(3pi/2–x)=-sinx

log_(2)(sin2x+sinx+8)=3
sin2x+sinx+8=2^3 (ОДЗ: sin2x+sinx+8 > 0 выполняется)
sin2x+sinx=0
2sinxcosx+sinx=0
sinx*(2cosx+1)=0
sinx=0 или 2 cosx+1=0
x=πk, k∈Z или x=± (2π/3)+2πn, n∈Z
О т в е т. πk, ± (2π/3)+2πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(3pi/2–2x)=-cos2x
cos2x=1-2sin^2x
2sin^2x-sinx-1=0
D=1+8=9
sinx=-1/2 или sinx=1
x=- (π/6)+2πk, k∈Z или х= (-5π/6)+2πn, n∈Z или х=(π/2)+2πm, m∈Z .
О т в е т. - (π/6)+2πk, (-5π/6)+2πn, (π/2)+2πm, k, n, m∈Z .

Ответ выбран лучшим

Наименьшее число– такое, что само число и число (n+81) содержат максимальное количество девяток
4 000 : 2 = 2 000
2 000 : 9 = 222 ( девятки ) в числе

Число n
224значное: 222 девятки впереди
Разбираемся с последними цифрами.
99....99(x)9
Число n+81: 224значное: 222 девятки впереди
99....99(y)0
х+у+9+0=4 000 – (9·222)·2
х+у+9+0=4
Равенство невозможно.

Значит число n 224-значное начинается с 2 и содержит 221 девятку и
4000=2*221*9+2*2+18
Значит на последние цифры приходится 18:
х+у+9+0=18
х+у=9
х=0
у=9

Число n:
2999... 9909
Число (n+81)
2999...9990
О т в е т. 29990.

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin((7π/2)-x)=-cosx
Уравнение примет вид
2*(-cosx)*sinx=cosx
или
2*cosx*sinx+cosx=0
cosx*(2sinx+1)=0
cosx=0 или 2sinx+1=0⇒sinx=-1/2
x= (π/2)+πk, k∈Z или x=(-π/6)+2πn, n∈Z или
х=(-5π/6)+2πn, n∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни:
х=7π/2
х=(-π/6)+4π=23π/6
х=9π/2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нельзя, так как (t-5)*(t-7) влияет на знак всей дроби.

После приведения к общему знаменателю, упрощения выражения в числителе получаем дробь
(t-1)/(t-5)*(t-7)≤0
Применяем метод интервалов
и с учетом t > 0 получаем ответ:
t∈(0;1]U(5;7)⇒x∈(-∞;0]U(log_(7)5;1)

Ответ выбран лучшим

sin2x=2*sinx*cosx
sin2x*cosx=2sinx*cos^2x=2sinx*(1-sin^2x)
cos2x=1-2sin^2x
Уравнение принимает вид:
2sinx*(1-sin^2x)-sinx+1-2sin^2x=0
или
sinx-2sin^3x+1-2sin^2x=0
(1-sin^2x)sinx+(1-2sin^2x)=0
(1-2sin^2x)*(sinx+1)=0
sinx=-1 или sinx=sqrt(2)/2 или sinx=-sqrt(2)/2

x= (-π/2)+2πk, k∈Z или x=± (π/4)+2πn, n∈Z или
х=± (3π/4)+2πm, m∈Z

x=(π/4)+2π=9π/4; x=(3π/4)+2π=11π/4; x=(-3π/4)+4π=13π/4; x=7π/2- четыре корня, принадлежащих указанному отрезку

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

1) S=∫^1_(-1)(0-(x^2-1))dx=(x-(x^3/3))^1_(-1)=4/3;
2)S=∫^0_(-1)(-x-(x^3))dx=((x^4/4)-(x^2/2))^0_(-1)=1/4;
3)S=∫^1_0(5x-2x)dx=(3^2/2))^1_0=3/2.

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
7^x=t; t > 0
(t-1)/3=(7t+49)/7t
Применяем основное свойство пропорции
7t*(t-1)=3*(7t+49)
7t^2-28t-147=0
t^2-4t-21=0
D=16+4*21=100
t=7 или t=-3 - не удовл. условию t > 0
7^x=7
x=1
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

х(х^2 – 6х + 5) = 12(х – 5).
Разложим
x^2-6x+5 на множители:
D=36-20=16
x=1 или х=5
x^2-6x+5 =(х-1)(х-5)
Уравнение примет вид
х(х-1)(х-5)=12(х-5);
х(х-1)(х-5)-12(х-5)=0;
(х-5)(х^2-x-12)=0;
x-5=0 или х^2-x-12=0
x=5 или D=1+48=49
x=-3 x=4
О т в е т. -3; 4; 5

Ответ выбран лучшим

Центр сферы лежит на биссектральной плоскости двугранного угла ( как в планиметрии на биссектрисе угла см. рис.)
По теореме Пифагора
r^2=a^2-(a/2)^2
r=asqrt(3)/2
Расстояние между точками касания найдем по теореме косинусов:
d^2=r^2+r^2-2*r*r*cos60 градусов=

=r^2+r^2-r^2sqrt(3)=(3/4)+(3/4)-(3/4)*sqrt(3).

d=sqrt(6-3sqrt(3))/(2)
О т в е т. r=sqrt(3)/2; d=sqrt(6-3sqrt(3))/(2)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Совокупность двух систем
1)
{log_(3)(1–2x) > 0
{log_(0,2)(x^2+2x+2) < 0
или
2)
{log_(3)(1–2x) < 0
{log_(0,2)(x^2+2x+2) > 0

С учетом ОДЗ и применяя условие монотонности логарифмической функции, получаем
1)
{1-2x > 0 ⇒ x < 1/2;
{x^2+2x+2 > 0 при любом х , так как D=4-8 < 0
{1–2x > 1 ⇒ x < 0
{x^2+2x+2 > 1 ⇒ (x+1)^2 > 0 при х≠ -1
Первая система имеет решение
х∈ (- ∞;-1)U(-1;0)

или
2)
{1-2x > 0⇒ x < 1/2;
{x^2+2x+2 > 0 при любом х , так как D=4-8 < 0
{1–2x < 1⇒ x > 0
{x^2+2x+2 < 1 ⇒ (x+1)^2 < 0 не выполняется ни при каких х
Вторая система не имеет решений
О т в е т. (- ∞;-1)U(-1;0)

Ответ выбран лучшим

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
По теореме Пифагора
112^2+15^2=(112+x)^2
x^2+224x-225=0
x=1 или х=-225
О т в е т. х=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Высчитаем вес белья без воды:
После стирки получилось 4 целых 3/5 кг белья.
По условию сказано, что после стирки в стиральной машине белье содержит 20 % воды.
4 целых 3/5=4,6
4,6 кг составляют 100 %
х кг составляют 20%
х=4,6*20:100=4,6•0,2=0,92 (кг) воды в белье
4,6–0,92=3,68 (кг) сухого вещества в выстиранном белье
Первоначальное белье составляет 100%, а воды в нем 8%, значит
100% – 8% = 92 % составляет сухое вещество в нестиранном белье.
сухое вещество в стиранном и в нестиранном белье одно и то же.
Значит 3,68 кг составляют 92%
х кг составляют 100%
х=3,69*100:92=4 (кг) нестиранного белья загружено

Ответ выбран лучшим

S=∫^(π)_(π/2)sin(x/2)dx=-2cos(x/2)|^(π)_(π/2)=

=-2*(cos(π/2)-cos(π/4))=-2*(0-(sqrt(2)/2)=sqrt(2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

AB=sqrt((-4+1)^2+(-2+2)^2+(0-4)^2)=5
AC=sqrt((3+1)^2+(-2+2)^2+(1-4)^2)=5
BC=sqrt((3+4)^2+(-2+2)^2+1^2)=sqrt(50)=5sqrt(2)
Так как ВС^2=AC^2+AB^2
и АВ=АС, то треугольник прямоугольный равнобедренный.
∠B=90°
∠A=∠C=45°

Ответ выбран лучшим

Совокупность двух систем
1)
{7x-10≥0;
{log_(4x-3)(x^2-4x+9)≥0
или
2)
{7x-10≤0;
{log_(4x-3)(x^2-4x+9)≤0
Учитывая ОДЗ и применяя метод рационализации логарифмических неравенств, получим

1)
{7x-10≥0 ⇒ x ≥ 10/7;
{(4x-3-1)(x^2-4x+9-1)≥0 ⇒x≥1, так как x^2-4x+8 > 0
{4x-3 > 0 ⇒x > 3/4
{4x-3≠1 ⇒ x≠1
{x^2-4x+9 > 0 при любом х D=16-36=-20 < 0
или
2)
{7x-10≤0 ⇒x < 10/7;
{(4x-3-1)(x^2-4x+9-1)≤0⇒ x≤1, так как x^2-4x+8 > 0
{4x-3 > 0 ⇒x > 3/4
{4x-3≠1 ⇒ x≠1
{x^2-4x+9 > 0 при любом х D=16-36=-20 < 0

О т в е т. (3/4;1)U[10/7; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(3п/2+t)=sint
tg(п/2–t)=ctgt
sin(п/2–t)=cost
ctg(3п/2–t)=tgt
ctg(п/2–t)=tgt
Тогда
cos(3п/2+t)tg(п/2–t)–sin(п/2–t)+ctg(3п/2–t)–ctg(п/2–t) =sint*ctgt-cost+tgt-tgt=sint*(cost/sint)-cost=cost-cost=0

Ответ выбран лучшим

Математическое ожидание M случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [a;b]
M=(a+b)/2,
дисперсия
D=(b-a)²/12
В условии задачи а=1; b=4

M=(1+4)/2=2,5.
D=(4-1)²/12=9/12=3/4.

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12846

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Возвели квадрат по формуле a^2+2ab+b^2=t^2
b=1/a, поэтому 2*а*(1/а)=2
перенесли его вправо
a^2+(1/а)^2=t^2-2

Ответ выбран лучшим

Дано:
v=3 м/с;
m=80 кг;
M=400 кг
u больше или равно 0,25 м/с.

80*3*cosα/(80+400)больше или равно 0,25;
cosα больше или равно 0,5
Так как косинус убывающая функция, то наибольшее значение угла при наименьшем возможном значении его косинуса:
cosα=0,5, т. е
α=60 градусов.
О т в е т. α=60 градусов.

Ответ выбран лучшим

А)По теореме Пифагора гипотенуза АВ^2=АС^2+BС^2⇒ АВ=10
Пусть АК=9х, тогда КВ=16х и АВ:КВ=9:16,
АВ=25х
25х=10
х=10/25
х=0,4
Значит АК=3,6 КВ=6,4 ( см. рис. )
Найдем СК из треугольника АСК по теореме косинусов:
СК^2=AC^2+AK^2-2*AC*AK*cos∠CАК.
Так как из прямоугольного треугольника АВС
cos∠A=АС/АВ=6/10, то
СК^2=6^2+(3,6)^2-2*6*3,6*(6/10)=23,04.
СK=4,8

S(Δ АВС)=(АС*ВС)/2 и S(Δ АВС)=(AB*h)/2⇒
АС*ВС=AB*h
h=6*8/10=4,8
CK=h и значит СК⊥АВ
По теореме о трех перпендикулярах РК⊥АВ.

Б) Для нахождения радиусов сфер, вписанных в пирамиды применяем формулу:
[b]V(пирамиды)=(1/3)*S(поверхности пирамиды)*r[/b]

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника РСК: РК^2=PC^2+CK^2=
=2^2+4,8^2=4+23,04=27,04=5,2^2
PK=5,2
Пирамида РАСК.

V(PACK)=(1/3)*S(Δ ACK)*PC=5,76

S(Δ ACK)=AK*CK/2=3,6*4,8/2=8,64;
S(Δ APC)=AC*PC/2=6*2/2=6;
S(Δ PCK)=PC*CK/2=2*4,8/2=4,8;
S(Δ APK)=AK*PK/2=3,6*5,2/2=9,36;
S(поверхности)=S(Δ ACK)+S(Δ APC)+S(Δ PCK)+
S(Δ APK)=8,64+6+4,8+9,36=28,8
r_(1)=3V(PACK)/S(поверх. PACK)=
=3*5,76/28,8=0,6

Пирамида РВСК.

V(PBCK)=(1/3)*S(Δ BCK)*PC=10,24

S(Δ BCK)=BK*CK/2=6,4*4,8/2=15,36;
S(Δ BPC)=BC*PC/2=8*2/2=8;
S(Δ PCK)=PC*CK/2=2*4,8/2=4,8;
S(Δ BPK)=BK*PK/2=6,4*5,2/2=16,64;
S(поверхности)=S(Δ BCK)+S(Δ BPC)+S(Δ PCK)+
S(Δ BPK)=15,36+8+4,8+16,64=44,8
r_(2)=3V(PBCK)/S(поверх.PBCK)=3*10,24/44,8=24/35;
r_(1):r_(2)=0,6:(24/35)=(6*35)/(10*24)=7/8
О т в е т. Б)7:8. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

на 100 км расход 8 литров
1200:100 =12
Значит на 1200 км расход в 12 раз больше
8*12=96 литров

33руб.* 96 = 3168 рублей
О т в е т. 3168 рублей

Ответ выбран лучшим

Европейские сборные: Россия, Германия, Португалия.
Возможны следующие варианты:
1) Все три команды в одной группе.
2) Одна команда в одной группе, две другие в другой.
При любом раскладе как минимум две европейские сборные окажутся в одной из групп.
Это достоверное событие, его вероятность равна 1.
О т в е т. р=1

Ответ выбран лучшим

1)
Обозначим всю работу за 1.
Пусть первый может выполнить за х дней, второй за у дней.
Тогда (1/х) - производительность труда первого в день, (1/у) - производительность труда второго.
12*((1/х)+(1/у))=1⇒12(у+х)=ху
3*(1/х)=4*(1/у)⇒3у=4х
Решая систему двух уравнений с двумя переменными
{12(у+х)=ху;
{3у=4х.
cпособом подстановки
{x=0,75y;
{12*1,75у=0,75y^2 ⇒ y=28, тогда
х=0,75*28=21
О т в е т. первый за 21 день, второй за 28 дней.
2)
y`=2*(x+3)*e^(2-x)+(x+3)^2*e^(2-x)*(2-x)`=
=e^(2-x)*(x+3)*(2-x-3)=e^(2-x)*(x+3)*(-1-x)
y`=0
x=-3 или х=-1
Определяем знак производной
__-__ (-3) _+__ (-1)__-_

х=-3- точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

А) Нет, так как среди чисел встречается чиcло 7.
При любом разбиении произведение чисел одной группы кратно 7, другой нет.
Б) Можно.
одна группа: 4,5,6,7,12;
вторая группа: 8,9,10,14.
4*5*6*7*12=8*9*10*14.
В) Ясно, что надо убрать 7 и 11 ( cм. пункт А),из оставшихся чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 надо убрать еще 3, тогда
2*4*5*6*8*9*10*12=2^10*3^4*5^2=(2^5*3^2*5)^2=1440^2
Значит убираем 3,7,11 и оставшиеся числа разбиваем на две группы: 4;5;8;9 и 2;6;10;12.

4*5*8*9=2*6*10*12=1440.

Ответ выбран лучшим

Строим прямоугольник, основание 5, высота 6.
См. рисунок
Из площади прямоугольника вычитаем площади трех прямоугольных треугольников с катетами: 4 и 2; 3 и 6; 2 и 5.
О т в е т. 5*6-(1/2)*4*2-(1/2)*3*6-(1/2)*2*5=
=30-4-9-5=12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выделяем целую часть у дроби слева.
Делим многочлена x^4-5x^3+3x-25 на x^2-5x ''уголком''

x^4-5x^3+3x-25 | x^2-5x
x^4-5x^3
--------

Неравенство примет вид:
x^2+(3x-25)/(x^2-5x) больше или равно х^2-(1/(x-4))+(5/x);
(3x-25)/x*(x-5)+(1/(x-4))-(5/x)больше или равно 0;
((3x-25)*(x-4)+(x^2-5x)-5*(x-5)8(x-4))/(x*(x-4)*(x-5))больше или равно 0;
(-x^2+3x)/(x*(x-4)*(x-5))больше или равно 0;
или
(х-3))/((x-4)*(x-5))меньше или равно 0 при х≠0.

_-__(0) _-_ [3] _+_ (4) _-__ (5) _+__
О т в е т. (-бесконечность;0)U(0;3]U(4;5)

Ответ выбран лучшим

Выразим у из второго уравнения
у=ax-a-2
и подставим в первое.
Первое уравнение примет вид:
y^2=2|x|+2|y|-х^2
или
(x^2-2|x|+1)+(y^2-2|y|+1)=2-
уравнение задает на плоскости 4 окружности одинакового радиуса R=sqrt(2) c центрами в точках
(1;1); (-1;1); (-1;-1); (1;-1)

Эта кривая может иметь три точки пересечения только с прямыми:
у=-2; тогда а=0 и решение системы (-2;-2);(0;-2);(2;-2)
у=2 нет такого а, при котором (-2;2);(0;2);(2;2)
были бы решением системы.
х=2 нет такого а, при котором (2;-2);(2;0);(2;2)
были бы решением системы.
х=-2 нет такого а, при котором (-2;-2);(-2;0);(-2;2)
были бы решением системы.
О т в е т. при а=0

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А) См. рис. 1
Треугольник АМС - равнобедренный, АС=МС=3.
Значит, ∠МАС=∠АМС.
Пусть ∠МАС=∠АМС=α
Тогда ∠ВМС=180 градусов -α.
По построению AP⊥BC и АК=КР.
Из равенства прямоугольных треугольников АВК и ВРК, следует, что АВ=ВР и ∠ВАР=∠ВРА.
Из равенства прямоугольных треугольников АКС и ВКС, следует, что АС=СР и ∠РАС=∠АРС.
Значит, ∠ВАС=∠ВАР+∠РАС=∠ВРА+∠РСА=∠ВРС.
∠ВАС=α ⇒∠ВРС=α

∠ВМС+∠ВРС=(180 градусов -α)+α=180 градусов.

Сумма противоположных углов четырехугольника ВМСР равна 180 градусов, около четырехугольника можно описать окружность.

Б)См. рис. 2
∠РВС=∠ВМС как углы опирающиеся на одну и ту же дугу РС.
Найдем cos ∠РВС по теореме косинусов из треугольника ВРС:
ВР=АВ=6; РС=АС=3; ВС=5.

РС^2=BC^2+BP^2-2*BC*BP*cos ∠РВС ⇒
cos ∠РВС =(5^2+6^2-3^2)/(2*5*6)=13/15.
Из треугольника МРС по теореме косинусов:
РС^2=MC^2+MP^2-2*MC*MP*cos ∠РMС
cos ∠РMС=cos ∠РВС=13/15.
3^2=3^2+MP^2-2*3*MP*(13/15)
MP^2-(26MP/5)=0
MP=26/5=5,2.
О т в е т. Б) МР=5,2.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

{log_(2)(100-x^2) меньше или равно log_(2)4*(x+1);
{log_(0,3)(2|x+5|+|x-1|-30) < log_(0,3)0,3

или
{x+1 > 0;
{100-x^2 > 0;
{(100-x^2) меньше или равно 4*(x+1);
{2|x+5|+|x-1|-30 > 0,3

{x > -1;
{(-10;10);
{x^2+4x-96 больше или равно 0 ⇒ [-12;8];
{2|x+5|+|x-1| > 30,3 (cм. графическое решение), по которому видно, что
решение неравенства не повлияет на ответ
О т в е т. [8;10)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

V=7*7*7=343 куб. см
1 куб см золота весит 20 г
343 куб см - х
х=343*20=6860 г =6 кг 860 г
О т в е т. 6 кг 860 г

Ответ выбран лучшим

В условии задачи наименование тыс. руб.
Пишу как привыкла и как понятнее.
1 тыс руб = 1 000 руб.
Вклад Паши
100 000:10=10 000 руб. проценты за первый год
100 000 + 10 000 = 110 000 руб сумма вклада к концу первого года хранения.
Через год Паша снял n тыс. руб .
На начало второго году у Паши (110 000 – n) руб.
(110 000-n):100*10=0,1(110 000 –n) - проценты за второй год хранения
1,1(110 000-n) руб.=(121000 -1,1n) руб.- сумма вклада к концу второго срока хранения.
После двух лет хранения вклада Паша снова положил n тыс. руб.
(121000 -1,1n)+n=(121 000 -0,1n) руб. – сумма вклада к началу третьего года.
Проценты за третий год хранения
0,1*(121 000 -0,1n) руб.
Cумма вклада к концу третьего года хранения
1,1*(121 000 – 0,1n)=133 100 -0,11n руб.

Вклад Саши
100 000:10=10 000 руб. проценты за первый год
100 000 + 10 000 = 110 000 руб сумма вклада к концу первого года хранения
110 000:100•10=11 000 руб – проценты за второй год хранения110 000 + 11 000 = 121 000 руб.
– сумма вклада к концу второго срока хранения. 121 000 :100*10=12 100 – проценты за третий год хранения 121 000+12 100=133 100 руб. - сумма вклада к концу третьего года хранения
По условию задачи 133 100 руб. – (133 100 -0,11n руб.) не менее 3 000 руб.
0,11n больше или равно 3 000.
n больше или равно 27272,72.
О т в е т. n=28 000 руб. или 28 тыс. руб.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2≠1;
{x-1 > 0;
{6-x > 0;
{6-x≠1
ОДЗ:х∈(1;5)U(5;6)
Перейдем к основанию (х-1) > 0, x-1≠1.
Заметим, что при х=2 данное неравенство принимает вид
log_(2^2)(2-1)≥ log,(4)(2–1)- верное неравенство, поэтому х=2 является решением данного неравенства.

1/log(x-1)x^2 ≥ 1/log(x–1)(6-x)
или
(log_(x-1)(6-x)-log_(x-1)x^2)/(log(x-1)x^2 *log(x–1)(6-x)) ≥0
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки
Решение неравенства сводится к совокупности двух систем:
1){(log_(x-1)(6-x))-(log_(x-1)x^2)≥0
{(log(x-1)x^2) *(log(x–1)(6-x)) > 0
или
2)){(log_(x-1)(6-x))-(log_(x-1)x^2)≤0
{(log(x-1)x^2) *(log(x–1)(6-x)) < 0

Решаем систему 1), которая сводится к совокупности двух систем:
1a){log_(x-1)(6-x) ≥ log_(x-1)x^2
{log(x-1)x^2 > 0
{log(x–1)(6-x)) > 0
или
1б){log_(x-1)(6-x) ≥ log_(x-1)x^2
{log(x-1)x^2 < 0
{log(x–1)(6-x)) < 0
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств.
1a){(x-1-1)(6-x-x^2)≥ 0 ⇒ (x-2)^2*(x+3)≤0;
{(x-1-1)(x^2-1) > 0 ⇒ (x+1)*(x-1)(x-2) > 0;
{(x–1-1)(6-x-1) > 0 ⇒ (x-2)*(x-5) < 0;
или
1б){(x-1-1)(6-x-x^2)≥ 0 ⇒ (x-2)^2*(x+3)≤0;
{(x-1-1)(x^2-1) < 0 ⇒ (x+1)*(x-1)(x-2) < 0;
{(x–1-1)(6-x-1) < 0⇒(x-2)*(x-5) > 0.
Система 1а) не имеет решений, системы 1б) имеет решение(-бесконечность;-3], которое не принадлежит ОДЗ.

Решаем систему 2), которая сводится к совокупности двух систем:
2a){log_(x-1)(6-x) ≤ log_(x-1)x^2
{log(x-1)x^2 > 0
{log(x–1)(6-x)) < 0
или
2б){log_(x-1)(6-x) ≤ log_(x-1)x^2
{log(x-1)x^2 < 0
{log(x–1)(6-x)) > 0
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств. Отвт=ет выбираем с учетом найденного ОДЗ.
2a){(x-1-1)(6-x-x^2)≤ 0 ⇒ (x-2)^2*(x+3)≥0;
{(x-1-1)(x^2-1) > 0 ⇒ (x+1)*(x-1)(x-2) > 0;
{(x–1-1)(6-x-1) < 0 ⇒ (x-2)*(x-5) > 0;
или
2б){(x-1-1)(6-x-x^2)≤0 ⇒ (x-2)^2*(x+3)≥0;
{(x-1-1)(x^2-1) < 0 ⇒ (x+1)*(x-1)(x-2) < 0;
{(x–1-1)(6-x-1) > 0⇒(x-2)*(x-5) < 0.
Система 2а) имеет решение [5;бесконечность) с учетом ОДЗ х∈(5;6)
Система 2б) не имеет решений.
О т в е т. х ∈{2}U(5;6)

Ответ выбран лучшим

О т в е т.
при v= 400 км в час F=4 т ( cм. рис. 1)
при v=300 км в час F≈2,2 тонны ( см. рис.2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОР=h- высота пирамиды ОDCFN,
Р- центр квадрата DCFN.
h=ОР=AD/2=3
V( пирамиды ОDCFN)=(1/3)*S( осн)*h=(1/3)*6^2*3=36 куб. ед
О т в е т. 36 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Биссектрисы АК и СР делят углы А и С пополам.
Обозначим
∠BAQ=∠CAQ=α⇒ ∠BAС=2α
∠BCQ=∠ACQ=β⇒∠BСА=2β
Сумма углов треугольника АВС равна 180 градусов.
2α+2β+74 градусов=180 градусов⇒ 2α+2β=106 градусов⇒ α+β=53 градусов.
Сумма углов треугольника АQC равна 180 градусов.
α+β+∠AQC=180 градусов
∠AQC=180 градусов- 53 градусов
∠AQC=127 градусов
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Брюки дороже рубашки на 30%.
Пусть стоимость рубашки х руб.,
х руб - 100%
у руб. - 130%
тогда стоимость брюк y=x*130^100=1,3х руб.

Если стоимость брюк 1,3 х принять 100%, тогда стоимость рубашки х руб составляет k процентов
k=х*100/1,3х=100/1,3=76,9≈77%
100-77=23%

Ответ выбран лучшим

7^5*7^(-2)=7^(5+(-2))=7^3
7^4/7^3=7^(4-3)=7^1=7

Ответ выбран лучшим

1 т = 1 000 кг.

1000:100*5=50 кг жира
1000-50=950 кг воды.

Пусть из тонны молока получается х кг творога, тогда
(1000-х) кг сыворотки.
Содержание жира в твороге:
х:100*15,5=0,155х кг
Содержание жира в сыворотке:
(1000-х):100*0,5=0,005(1000-х)кг
В сумме количество жира в твороге и жира в сыворотке равно количеству жира в молоке.
Уравнение:
0,155х+0,005*(1000-х)=50;
0,155х+5-0,005х=50
0,15х=45
х=300
О т в е т. 300 кг творога.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:31-x^2-2x > 0
x^2+2x-31=0
D=4+4*31=4*32=128
x=(-2-8sqrt(2))/2=-1-4sqrt(2);
x=-1+4sqrt(2).
x∈(-1-4sqrt(2);-1+4sqrt(2)).

f`(x)=0-((31-x^2-2x)`)/(31-x^2-2x)*ln2);
f`(x)=-(-2x-2)/(31-x^2-2x)*ln2;
f`(x)=(2x+2)/(31-x^2-2x)*ln2;
f`(x)=0
2x+2=0
x=-1 ∈(-1-4sqrt(2);-1+4sqrt(2))

Расставляем знаки производной:
2x+2 < 0 при х < -1
2х+2 > 0 при х > -1
Знаменатель положителен на (-1-4sqrt(2);-1+4sqrt(2)).

(-1-4sqrt(2)) _ -__ (-1) __+_ (-1+4sqrt(2))

x=-1 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

f(-1)=5-log_(2)(31-1+2)=5-log_(2)32=5-5=0

О т в е т. f(-1)=0- наименьшее значение функции

Ответ выбран лучшим

4x=arctg2+πk, k∈Z
x=(1/4)*(arctg2+πk), k∈Z
x=(1/4)*(arctg2)+(π/4)*k, k∈Z
О т в е т. (1/4)*(arctg2)+(π/4)*k, k∈Z

Ответ выбран лучшим

5^(log_(3)405)/5^(log_(3)5)=
=5^( log_(3)405- log_(3)5)=5^(log_(3)405/5)=
=5^(log_(3)81)=5^4=625.

Ответ выбран лучшим

По формуле
cosα*cosβ=(1/2)*(cos(α+β)+cos(α-β)):

(1/2)*(cos(3x+2x)+cos(3x-2x))=cosx
умножаем уравнение на 2
cos5x+сosx=2cosx;
cos5x-cosx=0.

По формуле
сosα-cosβ=-2*sin((α+β)/2)*sin((α-β)/2)

-2*sin((5x+x)/2)* sin((5x-x)/2)=0;
sin3x*sin2x=0
sin3x=0 или sin2x=0
3x=πk, k∈Z или 2x=πn, n∈Z;
x=(π/3)*k, k∈Z или x=(π/2)*n,n∈Z.
Б) Из первой серии ответов.
При k=-9
(π/3)*(-9)=-3π
–7π/2 < -3π < –11π/4- верно, так как
-28π/4 < -24π < –22π/4.

При k=-10
(π/3)*(-10)=-10π/3
–7π/2 < -10π/3 < –11π/4- верно, так как
-42π/12 < -40π/6 < –33π/4.

Из второй серии ответов.

При n=-6
х=(π/2)*(-6)=-3π
–7π/2 меньше или равно -3π < –11π/4- верно, так как
–14π/4 меньше или равно -12π/4 < –11π/4.

При n=-7
х=(π/2)*(-7)
–7π/2 меньше или равно -7π/2 < –11π/4- верно.
см. рисунок.
О т в е т. A)(π/3)*k,(π/2)*n, k, n∈Z
Так как при k=3s и n=2p корни первой и второй серий ответов совпадают, то ответ можно записать в виде:
(π/3)*k,(π/2)+πn, k, n∈Z
или в виде:
±(π/3)+πk,(π/2)*n, k, n∈Z.

Б)х=-3π; -х=- 10π/3; х= –7π/2 - корни, принадлежащие отрезку [–7π/2;–11π/4] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Формула полной вероятности.
р(А)=р(Н_(1))*р(А/Н_(1))+р(Н_(2))*р(А/Н_(2))+р(Н_(3))*р(А/Н_(3)).
Гипотезы Н_(1);H_(2); H_(3) означают выбор судьи 1; 2 или 3.
Вероятность выбора любого судьи равна 1/3.
р(Н_(1))=р(H_(2))=р( H_(3))=1/3
р(А/Н_(1))=р(А/Н_(2))=р(А/Н_(3))=0,7
1)Событие А-"суд вынесет справедливое решение".
р(А)=(1/3)*0,7+(1/3)*0,7+(1/3)*(0,7)=7/10

2)Событие В-"суд вынесет несправедливое решение".
р(В/Н_(1))=р(В/Н_(2))=р(В/Н_(3))=1-0,7=0,3

р(В)=(1/3))*0,3+(1/3))*0,3+(1/3))*0,3=3/10

Контроль.
Противоположные вероятности образуют все пространство испытаний. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

р(А)+р(В)=1

(7/10)+(3/10)=1 - верно

Ответ выбран лучшим

Интеграл расходится, так как
∫^(∞)_(1)dx/sqrt(3x-1)=(1/3)*∫^(∞)_(1)d(3x-1)/sqrt(3x-1)=(2sqrt(3x-1)/3)|^(∞)_(1)=∞

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x–3 > 0
{5–x > 0
{x > 0; x≠1
{logx2(5–x)–1≠0

x∈(3;5)

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
Получаем две системы
1){log_x(x–3) ≥ 0
{logx2(5–x)–1 > 0
2){log_x(x–3) ≤ 0
{logx2(5–x)–1 < 0
Решаем первую систему.
Так как согласно ОДЗ х∈(3;5), логарифмическая
функция возрастающая и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
{x–3≥1
{5–x > x2

{x≥4
{x2+x–5 < 0 D=1+20=21
корни (–1±√21)/2
система не имеет решений. (–1+√21)/2 < 4

Решаем вторую систему

{x–3≤1
{5–x < x2

{x≤4
{x2+x–5 > 0 D=1+20=21
корни (–1±√21)/2
x∈ (–∞;–1–√21)/2)U(–1+√21)/2;4]
C учетом ОДЗ получаем ответ.
х∈(3;4]
О т в е т. (3;4]

Ответ выбран лучшим

Это неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами вида
y``+py`+q=f(x)

Решаем однородное уравнение
y``-y=0
Cоставляем характеристическое уравнение
k^2-1=0
k=-1 ; k=1
Общее решение однородного уравнения имеет вид
y=C_(1)e^(-x)+C_(2)e^x.

Для решение неоднородного уравнения
применяем метод вариации произвольной постоянной
см. рисунки.
О т в е т.
y=C_(3)e^(-x)+C_(4)e^x- (1/2)*cosx (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть скорость одного самолета х км в час, скорость второго (х+130) км в час.
х+(х+130)=(2х+130) км пролетали два самолета за час
3*(2х+130) км пролетели два самолета за 3 часа, что по условию равно 4710 км.
Уравнение:
3*(2х+130)=4710;
2х+130=1570
2х=1570-130
2х=1440
х=720
О т в е т. 720 км в час меньшая скорость одного из самолетов.

Ответ выбран лучшим

7^4/(7^5*7^(-2))=7^4/7^(5-2)=7^4/7^3=7^(4-3)=7^1=7

BC=BH+HC=21+14=35
AB=BC=35
Из прямоугольного треугольника АВН:
сosB=ВН/АВ=21/35=3/5=0,6
О т в е т. 0,6.

Ответ выбран лучшим

По формуле общего члена арифметической прогрессии:
a_(n)=a_(1)+d*(n-1)

a_(9)=a_(1)+d*8
a_(23)=a_(1)+d*22
Решаем систему двух уравнений с двумя переменными:
{-22,2 = a_(1)+d*8
{-41,8 = a_(1)+d*22

Вычитаем из первого уравнения второе:
19,6=-14d

d=-1,4
a_(1)=-22,2-8d=-22,2+11,2=-10

О т в е т. а_(1)=-10; d=-1,4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Функция непрерывна на (-бесконенчость; + бесконечность) как разность непрерывных функций
у_(1)=3х^2 и у_(2)=2х.

Ответ выбран лучшим

1)(5sinx–3)/(5cosx–4)=0
{5sinx-3=0 ⇒ sinx=0,6 ⇒ х в первой или второй четверти
{5cosx-4≠0 ⇒ cosx≠0,8 ⇒ х не в первой и не в четвертой

значит х во второй четверти
х=(π-arcsin0,6) +2πk, k∈Z.

О т в е т. х=(π-arcsin0,6) +2πk, k∈Z.

2)(√3tgx+1)/(2sinx–1)=0

{√3tgx+1=0 ⇒ tg x=-1/√3 ⇒ х во 2-ой или 4-ой четверти
{2sinx-1≠0 ⇒ sinx≠0,5 ⇒ х не в первой и не во второй

значит х в четвертой четверти
х=-arctg(1/√3) +πk, k∈Z;
x=(-π/6)+πk, k∈Z.
О т в е т. x=(-π/6)+πk, k∈Z.
3)(2cos^2x+sinx–2)·√(5tgx)=0
ОДЗ: tgx больше или равно 0 ⇒ х во 1-ой или 3-ей четверти

tgx=0 ⇒ x= πk, k∈Z.
или
2cos^2x+sinx–2=0
2*(1-sin^2x)+sinx-2=0;
sinx-2sin^2x=0;
sinx*(1-2sinx)=0
sinx=0 или 1-2sinx=0⇒ sinx=1/2
x=πk, k∈Z или х=(π/6)+2πn, или x=(5π/6)+2πm, k,n,m∈Z
x=(5π/6)+2πm не удовлетворяют ОДЗ.
О т в е т. πk; (π/6)+2πn, k,n,∈Z.

4)8sin^2x+2√3cosx+1=0;
8*(1-сos^2x)+2√3cosx+1=0;
8cos^2x-2√3cosx-9=0
D=12+288=300
cosx=3√3/4 - уравнение не имеет корней 3√3/4 > 1
или
cosx=-√3/2
x=± (π/6)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
5х-7 > 0
x > 1,4

log_(2)(5x-7)=log_(2)5+log_(2)21;
log_(2)(5x-7)=log_(2)5*21;
log_(2)(5x-7)=log_(2)105;
5x-7=105;
5x=105+7
5x=112
x=22,4 - удовлетворяет ОДЗ
О т в е т. х=22,4

Ответ выбран лучшим

А)По формулам приведения
sin((π/2)-x)=cosx.
sin(x-(π/2))=-cosx
Уравнение принимает вид
(1/cos^2x)-(1/cosx)=2
или
(2cos^2x+cosx-1)/cos^2x=0

{2cos^2x+cosx-1=0;
{cosx≠0

Замена переменной
cosx=t
2t^2+t-1=0
D=1+8=9
t=-1 или t=1/2

cosx=-1 ⇒x=π+2πn, n∈Z
или
cosx=1/2 ⇒±(π/3)+2πk, k∈Z

Б)х=-2π; х=-4π/3; х=-2π/3 - корни уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

О т в е т.
А)±(π/3)+2πk, π+2πn, k, n∈Z
Б) -π; -π/3; (π/3)-2π=-5π/3

Ответ выбран лучшим

5292
5292*14=74088=42^3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0;
{6-x > 0 ⇒ x < 6
{(x^4-12x^3+36x^2) > 0⇒ (x*(6-x))^2 > 0 ⇒ x≠0; x≠6

ОДЗ: х∈(0;6)
при х∈(0;6):
log_(2)(x^4-12x^3+36x^2)=log_(2)x^2*(6-x)^2=
log_(2)(x*(6-x))^2=2log_(2)x*(6-x)=2log_(2)x+2log_(2)(6-x)
Неравенство принимает вид:
(2-log_(2)x)*(log_(2)(6-x)-2) больше или равно 0
Применяем обобщенный метод интервалов
log_(2)x=2 или log_(2)(6-x)=2
x=4 или 6-х=4;х=2

При х=1
(2-log_(2)1)*(log_(2)(6-1)-2)=2*(log_(2)5-log_(2)4) > 0
При х=3
(2-log_(2)3)*(log_(2)(6-3)-2)=-(2-log_(2)3)^2 < 0
При х=5
(2-log_(2)5)*(log_(2)(6-5)-2)=(log_(2)4-log_(2)5)*(0-2) > 0
(0)__+__ [2]__-__[4]__+__ (6)

О т в е т. (0;2]U[4;6)

Ответ выбран лучшим

А) (cos2x+1)^2 = 13–17sin^2x.
Так как сos2x=1-2sin^2x, то
(2-2sin^2x)^2=13-17sin^2x;
4*(sin^2x)^2+9sin^2x-9=0
D=9^2-4*4*(-9)=9^2+16*9=9*(9+16)=9*25=(3*5)^2
sin^2x=-3 - уравнение не имеет корней
или
sin^2x=3/4
sinx=sqrt(3)/2 или sinx=-sqrt(3)/2
x= (π/3)+2πk, k∈Z или x=(-π/3)+2πn, n∈Z
x= (2π/3)+2πm, m∈Z или x=(-2π/3)+2πs, s∈Z

Б)x=(2π/3)+4π=14π/3=28π/6
9π/2=27π/6 < 28π/6 < 36π/6=6π

x=(-2π/3)+6π=16π/3=32π/6
9π/2=27π/6 < 32π/6 < 36π/6=6π

x=(-π/3)+6π=17π/3=34π/6
9π/2=27π/6 < 34π/6 < 36π/6=6π
О т в е т.
А)±(π/3)+2πk,±(2π/3)+2πn, k, n∈Z.
Б) (14π/3); 16π/3; (17π/3)- корни, принадлежащие
отрезку [9π/2; 6π]

Ответ выбран лучшим

Пусть ученик читал х страниц в день, тогда
(480/х) дней ученик читал книгу.
Изменения:
Ученик читал (х+16) страниц в день,
(480/(х+16)) дней читал бы книгу ученик.
По условию задачи (480/(х+16)) меньше (480/х) на 5
Уравнение:
(480/х)-(480/(х+16))=5
или
480*16=5*х(х+16)
x^2+16x-96*16=0
D=16^2+4*96*16=16^2*(1+24)=(16*5)^2
x_(1)=(-16+80)/2=32; x_(2) < 0 и не удовл условию задачи
480/32=15 дней читал книгу ученик.
О т в е т. 15 дней.

Ответ выбран лучшим

Из подобия прямоугольных треугольников
АСН и СНВ
СН:НВ=АН:СН
СН^2=HB*AH
CH^2=5*4
CH=2sqrt(5)
ctg∠HAC=AH/HC=5/2sqrt(5)=sqrt(5)/2.

По теореме Пифагора из треугольника АСН
АС^2=CH^2+AH^2;
AC^2=(2sqrt(5))^2+5^2;
AC^2=45
AC=3sqrt(5)

cosecα=AC/CH=3/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Цифру 5 содержат числа
5;15;25;35;45;50;51;52;53;54;55;56;57;58;59;65;75
р=m/n=17/80

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

10000110- число должно делиться на 10, значит оканчивается на 0.
Число должно делиться на 3, т. е сумма цифр числа должна делиться на 3
Значит в числе должны быть три 1.
Наименьшее число, Значит на первом месте 1, потом 0 и две последние единицы так как написано

Ответ выбран лучшим

1) y`=2x-6
y`=0
x=3
2)y`=2x-7
y`=0
x=3,5
3)y`=(1/2)-(8/x^2)=(x^2-16)/2x^2
y`=0
x^2-16=0
x=-4; x=4
4)y`=(1/3)-(12/x^2)=(x^2-36)/3x^2
y`=0
x=-6; x=6
5)y`=6x^2-30x+36
y`=0
6*(x^2-5x+6)=0
x=2; x=3
6)y`=e^(2x)*2-2e^x=2e^x(e^x-1)
y`=0
e^x-1=0
e^x=e^0
x=0
7) y`=cosx+sinx
y`=0
cosx+sinx=0
tgx=-1
x=(-π/4)+πk, k∈Z
8)y`=-2sin2x-2sinx
y`=0
-2*2*sinx*cosx-2sinx=0
-2sinx*(2cosx+1)=0
sinx=0 или cosx=-1/2
x=πk, k∈Z или x=± (π/2)+2πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

g=∛(4*16*27)= ∛(4^3*3^3)=∛(4*3)^3=4*3=12

h=(3/7)·H
r=(3/7)·R

v(жидкости):V=(3/7)^3
V=(7/3)^3·v
V–v=(7/3)^3·v–v=(343·v/27)–v=(316/27)·v=(316/27)·270 мл=
=3160 мл нужно долить. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sinx+cosx=t;
возводим в квадрат
sin^2x+2*sinx*cosx+cos^2x=t^2
1+sin2x=t^2
sin2x=t^2-1
Уравнение принимает вид:
t^2-1=3t-3;
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
t=(3-1)/2=1 или t=(3+1)/2=2

sinx+cosx=1 или sinx+cosx=2

1) применяем метод вспомогательного угла
sin(x+(π/4))=sqrt(2)/2
x+(π/4)=(π/4)+2πk, k∈Z или x+(π/4)=(3π/4)+2πn, n∈Z
x=2πk, k∈Z или x=(π/2)+2πn, n∈Z
2)так как синус и косинус ограничены 1, то равенство возможно лишь при sinx=1 и сosx=1, но синус и косинус одновременно не могут равняться 1.
Уравнение не имеет корней.
О т в е т. 2πk,(π/2)+2πn, k,n∈Z

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin((π/2)+x)=cosx
Уравение принимает вид:
sqrt(2)cos^2x+cosx=0
cosx(sqrt(2)cosx+1)=0
cosx=0 или cosx=-1/sqrt(2)
x=(π/2)+πk, k∈Z или x= ± (3π/4)+2πk, k∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни х=- (3π/2) и х=-5π/4.

Ответ выбран лучшим

(sqrt(11)+sqrt(13))^2=11+2*sqrt(11)*sqrt(13)+13=
=24+2*sqrt(143)=2*(12+sqrt(143)
О т в е т. 2*(12+sqrt(143))/(12+sqrt(143))=2.

y`=3x^2-108
y`=0
3x^2-108=0
x^2=36
x=-6; x=6
Расставим знак производной:

__+__ (-6) _-__ (6) _+__

х=-6 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Скорость на [0;10] пропорциональна времени t.
s=площади криволинейной трапеции на отрезке [0;1],ограниченной графиком v=t
Это прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами 1 м
s=1*1/2=0,5м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Умножим на 8:
7-(5х-25-56+8х)/20=(4х-36-2х+2);
7-(13х-81)/20=2х-34
Умножаем на 20
140-13х+81=40х-680
140+81+680=40х+13х
53х=901
х=17
О т в е т. 17.

Ответ выбран лучшим

4 2/3–2/3=4;
9 5/9–5/9=9;
25 21/31–21/31=25;

75 41/3 3 69–41/69=? непонятно что написано;
если так:
75 41/69–41/69=75;

40 5/106–11 5/106=29;
8 3/7–2 2/7=6целых1/7;
20 11/13–9 2/13=11 целых 9/13;
10 5/17–4 3/17=6 целых 2/17;
19 20/29– 1 17/29=18целых 3/29;
83 63/101– 19 24/101=64 целых 39/101.

Ответ выбран лучшим

Найти промежутки монотонности функции:
1) у`=(х^5–5х^4+5х^3–4)`=
=5x^4-20x^3+15x^2
y`=0
5x^2*(x^2-4x+3)=0
x=0 или D=16-12=4 x=1 или х=3
__+_ (0) __+_ (1) _-_ (3) __+__

Возрастает на (-бесконечность;1)U(3;+бесконечность)
Убывает на (-1;3).

2) у=–√(х–3)
Область определения функции [3;+бесконечность)
y`=-2/2sqrt(x-3) < 0 при любом х из области определения.
Функция убывает на [3;+бесконечность)

3) у=х–sin2x
y`=1-2cos2x
y`=0
cos2x=1/2
x=± (π/6)+πk, k∈Z
на (- (π/6)+πk;(π/6)+πk)k∈Z
y` < 0 функция убывает,
на ((π/6)+2πk;(7π/6)+2πk)
y` > 0 функция возрастает.

4) y=2x+(1/3)*cos3x
y`=2+(1/3)*(-sin3x)*(3x)`=
=2-sin3x
-1 меньше или равно sin3x меньше или равно 1
-1 меньше или равно -sin3x меньше или равно 1
1 меньше или равно 2-sin3x меньше или равно 3

y` > 0 при любом х
Функция у=2x+(1/3)*cos3x возрастает на (- бесконечность; + бесконечность).

Ответ выбран лучшим

Дано: (a+b+c):n
Доказать (a^7+b^7+c^7):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^7+b^7+c^7)-(a+b+c)=
=(a^7-a)+(b^7-b)+(c^7-c)

Достаточно показать, что
a^7-a кратно n
a^7-a=a(a^6-1)=a*(a^3-1)*(a^3+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^2+a+1)*(a^2-a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.
Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 7 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^7-a кратно 6*7=42
О т в е т. n=42
как-то так.
Может и больше есть число, надо посмотреть на что делятся (a^2+a+1)*(a^2-a+1)

Ответ выбран лучшим

{a+b≤−5,
{2a+b≤−8
из второго неравенства вычтем первое
2a+b–a–b≤ –3 ;
a ≤ –3,
тогда
–3+b ≤–5;
b ≤–2.

Итак
{a≤–3;
{b≤–2.

Оценим значение a²
a^2≤9

b≤–2 ⇒ –4b≥8

наименьшее значение (–4b) равно 8.
Сумма a^2+(–4b) принимает наименьшее значение 9+8=17.
О т в е т. Наименьшее значение выражения a^2–4b равно 17 при a=–3 и b=–2.

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12718

Ответ выбран лучшим

Решаем неравенство:
(x-1)^2*(x+2)≤0
__-__ (-2) __+__ (1) __+___

Множество чисел x, удовлетворяющих неравенству: (x–1)^2(x+2)≤0.
x∈(-бесконечность;-2)U{1}

На (-бесконечность;-2)
|x|=-x
Функция у=sqrt(2)+x - возрастающая (y`=1 > 0), значит наибольшее значение либо при x=-2
у(-2)=sqrt(2)-|-2|=sqrt(2)-2
либо при х=1
у(1)=sqrt(2)-1 > sqrt(2)-2=y(-2)
О т в е т. у(1)=sqrt(2)-1=0,41421356...≈0,414 - наибольшее значение

Ответ выбран лучшим

Пусть ХА=УС=АС=а.
Δ ХАС – равнобедренный, ∠АХС=∠АСХ.
Обозначим ∠АХС=∠АСХ=α.
Δ АСУ – равнобедренный, ∠САУ=∠СУА.
Обозначим∠САУ=∠СУА=β.(см. рис. 1)

Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, в треугольнике АВС: ∠ВАС=2α, ∠ВСА=2β.
Проведем биссектрисы угла А и С треугольника АВС, они пересекаются в точке Т.
АТСZ– параллелограмм. ( см. рис.2)
AT||CX и СT || AY ( внутренние накрест лежащие углы равны).
Диагональ АС параллелограмма АТСZ делит его на два равных треугольника: ΔАTС =Δ ACZ.
Проведем TK ⊥ AC
СК=АН=2

Кроме того, так как T – центр вписанной в треугольник АВС окружности, то отрезки касательных проведенных из одной точки равны.( см. рис. 3)
Значит отрезки касательных, проведенных из точки В равны BC–2=4–2=2
Отрезки касательных проведенных от точки А тоже равны.
5-2=3
Значит АК=3
АС=АК+КС=3+2=5
СН=5–2=3
О т в е т. 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ. 2) при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12726

Ответ выбран лучшим

2.
а)верное, так как пл. ВСМ проходит через МС- перпендикуляр к плоскости АВС.
б)верное, расстояние равно ВС, ВС=9
В прямоугольном треугольнике катет ВС, лежащий против угла в 30 градусов равен половинегипотенузы АВ.
в) неверное, Надо провести перпендикуляр МК из точки М на прямую АВ.
г) нет, чтобы построить линейный угол двугранного угла между плоскостями, надо к прямой АС,по которой пересекаются указанные плоскости, провести перпендикуляры.
ВС⊥АС и МС⊥АС
∠ВСМ- линейный угол двугранного угла между указанными плоскостями.
∠ВСМ=90 градусов и косинус 90 градусов не равен 0,75.
3.
Проводим диагональ основания TN.
Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, то
ТО⊥PM
TN=5sqrt(2)
TO=TN/2=5sqrt(2)/2
По теореме о трех перпендикулярах ( ТТ_(1)⊥ пл. основания) Т_(1)О ⊥ РМ.
∠Т_(1)ОТ - линейный угол двугранного угла между указанными плоскостями.
tg∠Т_(1)ОТ=TT_(1)/TO=5/(5sqrt(2)/2)=sqrt(2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть мистер Фокс задумал (m+1)-значное число N, т.е.
10^m ≤ N < 10^(m+1).
Возводим неравенство в квадрат
10^(2m) ≤ N^2 < 10^(2m+2)
Значит в числе N^2 количество десятичных знаков от 2m+1 до 2m+2 десятичных знака.
Возводим неравенство для числа N в куб.
10^(3m) ≤ N^3 < 10^(3m+3).
Количество десятичных знаков в числе N^3 от 3m+1 до 3m+3.

Складываем
10^(2m)+10^(3m)≤ N^2 + N^3 < 10^(2m+2)+10^(3m+3)
Значит в сумме квадрата числа N и куба числа N
от (2m+1)+(3m+1)= 5m+2 до (2m+2)+(3m+3)=5m+5
десятичных знаков.
Значит, остатки от деления суммарного числа цифр на 5 равны 2;3;4 и 0.
Для ответа на вопрос задачи предложенные числа надо разделить на 5 и посмотреть на остатки. Подходят те, которые дают остатки 2;3;4 или 0.

Ответ выбран лучшим

Пусть мистер Фокс задумал (m+1)-значное число N, т.е.
10^m ≤ N < 10^(m+1).
Возводим неравенство в квадрат
10^(2m) ≤ N^2 < 10^(2m+2)
Значит в числе N^2 количество десятичных знаков от 2m+1 до 2m+2 десятичных знака.
Возводим неравенство для числа N в куб.
10^(3m) ≤ N^3 < 10^(3m+3).
Количество десятичных знаков в числе N^3 от 3m+1 до 3m+3.

Складываем
10^(2m)+10^(3m)≤ N^2 + N^3 < 10^(2m+2)+10^(3m+3)
Значит в сумме квадрата числа N и куба числа N
от (2m+1)+(3m+1)= 5m+2 до (2m+2)+(3m+3)=5m+5
десятичных знаков.
Значит, остатки от деления суммарного числа цифр на 5 равны 2;3;4 и 0.
Из предложенных чисел выбрать такие, которые при делении на 5 дают остатки:2;3;4 и кратны 5.

Ответ выбран лучшим

Пусть мистер Фокс задумал (m+1)-значное число N, т.е.
10^m ≤ N < 10^(m+1).
Возводим неравенство в квадрат
10^(2m) ≤ N^2 < 10^(2m+2)
Значит в числе N^2 количество десятичных знаков от 2m+1 до 2m+2 десятичных знака.
Возводим неравенство для числа N в куб.
10^(3m) ≤ N^3 < 10^(3m+3).
Количество десятичных знаков в числе N^3 от 3m+1 до 3m+3.

Складываем
10^(2m)+10^(3m)≤ N^2 + N^3 < 10^(2m+2)+10^(3m+3)
Значит в сумме квадрата числа N и куба числа N
от (2m+1)+(3m+1)= 5m+2 до (2m+2)+(3m+3)=5m+5
десятичных знаков.
Значит, остатки от деления суммарного числа цифр на 5 равны 2;3;4 и 0.
Возможные варианты
2015; 2018;2013; 2017;2019.

Ответ выбран лучшим

Пусть мистер Фокс задумал (m+1)-значное число N, т.е.
10^m ≤ N < 10^(m+1).
Возводим неравенство в квадрат
10^(2m) ≤ N^2 < 10^(2m+2)
Значит в числе N^2 количество десятичных знаков от 2m+1 до 2m+2 десятичных знака.
Возводим неравенство для числа N в куб.
10^(3m) ≤ N^3 < 10^(3m+3).
Количество десятичных знаков в числе N^3 от 3m+1 до 3m+3.

Складываем
10^(2m)+10^(3m)≤ N^2 + N^3 < 10^(2m+2)+10^(3m+3)
Значит в сумме квадрата числа N и куба числа N
от (2m+1)+(3m+1)= 5m+2 до (2m+2)+(3m+3)=5m+5
десятичных знаков.
Значит, остатки от деления суммарного числа цифр на 5 равны 2;3;4 и 0.
Возможные варианты
2012; 2013;2014; 2015; 2017;2018.

Ответ выбран лучшим

Ответ. 2
Решение. Пусть С- центр окружности.
СР⊥ ОА, касательная ОА перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОС-биссектриса угла АОВ.
∠РОС=60 градусов, ∠ОСР=30 градусов.
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
ОР=ОС/2
ОС=2*ОР=2*1=2

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

С_(1)=(2πR/360 градусов )*66 градусов;
С_(2)=(2πR/360 градусов )*(360 градусов - 66 градусов);

99=(2πR/360 градусов )*66 градусов;
(2πR/360 градусов )=99/66
(2πR/360 градусов )=3/2

С_(2)=(2πR/360 градусов )*(360 градусов - 66 градусов)=(3/2)*294=441

Ответ выбран лучшим

Дано: (a+b+c):n
Доказать (a^(11)+b^(11)+c^(11)):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^(11)+b^(11)+c^(11))-(a+b+c)=
=(a^(11)-a)+(b^(11)-b)+(c^(11)-c)

Достаточно показать, что
a^(11)-a кратно n
a^(11)-a=a(a^(10)-1)=a*(a^5-1)*(a^5+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.

Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 11 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^(11)-a кратно 6*11=66
может и больше, чем 66 проверяйте, на что делятся множители
(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

О т в е т. n=66

Ответ выбран лучшим

2x^2+y^2-2xy+2x+6=(x^2-2xy+y^2)+(x^2+2x+1)+5=
=(x-y)^2+(x+1)^2+5
принимает наименьшее значение при х=-1, у=х=-1
Это значение равно 5
Тогда дробь 2/(2x^2+y^2-2xy+2x+6) принимает наибольшее значение 2/5 при х=у=-1.

9) По формуле логарифма степени
log_(2)sqrt(sqrt(3)-1)=log_(2)(sqrt(3)-1)^(1/2)=
=(1/2)*log_(2)(sqrt(3)-1)
По формуле перехода к другому основанию
log_(4)(1+sqrt(3))=(log_(2)(1+sqrt(3))/log_(2)4=
=(1/2)*log_(2)(1+sqrt(3))

Заменим сумму логарифмов, логарифмом произведения.
(1/2)*log_(2)(sqrt(3)-1)+(1/2)*log_(2)(1+sqrt(3))=
(1/20*log_(2)(sqrt(3)-1)*(!+sqrt(3))=
=(1/2)log_(2)((sqrt(3))^2-1)=
=(1/2)log_(2)(8)=(1/2)*3=3/2

12)f ` (x)=2(sqrt(2x-1))`+x`*sqrt(x-4)+x*(sqrt(x-4))`=
=2/sqrt(2x-1)+sqrt(x-4)+x/2sqrt(x-4) > 0 при любом х∈[5;13].
Значит функция f(x) возрастает на [5;13]
f(13)=2*sqrt(2*13-1)+13*sqrt(13-4)=
=2*5+13*3=49 - наибольшее значение функции на [5;13]

Ответ выбран лучшим

1) {-x > 1-4 ⇒ {x < 3.
{x^2-x-12 больше или равно 0
Решаем второе неравенство методом интервалов.
D=1+48=49
x_(1)=(1-7)/2=-3; x_(2)=(1+7)/2=4
__+__ [-3] ___ [4]__+_

О т в е т. (-бесконечность;-3]

2) {0 < 4-x < 1 ⇒ {-4 < - x < -3 ⇒ 3 < x < 4.
{x^2-x-12 меньше или равно 0.
Решаем второе неравенство методом интервалов.
D=1+48=49
x_(1)=(1-7)/2=-3; x_(2)=(1+7)/2=4
__+__ [-3] _-__ [4]__+_

О т в е т. (3;4)

Ответ выбран лучшим

1) f(1-0)=lim_(x→1-0)=1
f(1+0)=lim_(x→1+0)=1^3/3=1/3
Скачок функции f(1+0)-f(1-0)=(1/3)-1=-2/3
Функция имеет разрыв первого рода в точке х=1.

2) |-3sinn| меньше или равно 3.
Последовательность (-3sin n) - ограниченная.
(1/sqrt(n))- бесконечно малая последовательность.
(1/sqrt(n))→0 при n→ бесконечность.
Произведение бесконечно малой на ограниченную есть последовательность бесконечно малая.

3)1) f(1-0)=lim_(x→1-0)=1/4
f(1+0)=lim_(x→1+0)=1^3/4=1/4
f(1-0)=f(1+0)=f(1)=1/4
Функция непрерывна в точке х=1

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin 406 градусов = sin ( 360 градусов + 46 градусов)= sin 46 градусов.
34*sin 406 градусов/sin 46 градусов=
=34* sin 46 градусов/sin 46 градусов=34

Ответ выбран лучшим

По формуле перехода к другому основанию и по формуле логарифма степени
log_(sqrt(2)sqrt(2x^4+20)=
=log_(2)sqrt(2x^4+20)/log_(2)sqrt(2)=
=log_(2)sqrt(2x^4+20)/(1/2)=2 log_(2)sqrt(2x^4+20)=
=log_(2)(sqrt(2x^4+20))^2=log_(2)(2x^4+20)

1=log_(2)2
log_(2)(2x^4+20)=log_(2)2+log_(2)(10x^2+1)
Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(2)(2x^4+20)=log_(2)2*(10x^2+1);
2x^4+20=2*(10x^2+1);
2x^4-20x^2+18=0;
x^4-10x^2+9=0
D=100-36=64
x^2=1 или х^2=9
x_(1)=-1 > -11/4; x_(2)=1 > 2/3;x_(3)=-3 < -11/4; x_(4)=2 > 2/3
x=-1 принадлежит указанному промежутку

Ответ выбран лучшим

По формуле перехода к другому основанию и по формуле логарифма степени
log_(sqrt(3)sqrt(3x^4+63)=
=log_(3)sqrt(3x^4+63)/log_(3)sqrt(3)=
=log_(3)sqrt(3x^4+63)/(1/2)=2 log_(3)sqrt(3x^4+63)=
=log_(3)(sqrt(3x^4+63))^2=log_(3)(3x^4+63)

1=log_(3)3
log_(3)3+log_(3)(9x^2+1)=log_(3)(3x^4+63);
Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(3)3*(9x^2+1)=log_(3)(3x^4+63);
3*(9x^2+1)=3x^4+63;
3x^4-27x^2+60=0
x^4-9x^2+20=0
D=81-80=1
x^2=5 или х^2=4
x_(1)=-sqrt(5) < -3/2; x_(2)=sqrt(5) > 5/3;x_(3)=-2 < -3/2; x_(4)=2 > 5/3
ни один из найденных корней не принадлежит указанному промежутку

Ответ выбран лучшим

1+ctg^2α=1/sin^2α
Значит
sin^2α=1/(1+ctg^2α)=1/(1+(49/576))=576/625
sinα=-24/25, так как 3π/2 < α < 2π - это четвертая четверть и синус имеет знак минус.
cos^2α=1-sin^2α=1-(576/625)=49/625
cosα=7/25, так как 3π/2 < α < 2π - это четвертая четверть и косинус имеет знак плюс.
tg α =1/ctgα=-24/7
или
tgα=sinα/cosα=-24/7

Ответ выбран лучшим

По формуле
sinx-siny=2sin((x-y)/2)*cos((x+y)/2)
sin (a+B)–sin (a–B)=
=2*sin((a+b)-(a-b))/2 * cos ((a+b)+(a-b)/2=
=2*sin b * cos a.
По формуле
cosx-cosy=-2sin((x-y)/2)*sin((x+y)/2)
cos (a+B)–cos (a–B)=-2sinb*sina

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2+3x+2 > 0;
{2x^2+6x-8 > 0;
{2x^2+6x-8≠1.

По определению логарифма
2x^2+6x-8=x^2+3x+2;
x^2+3x-10=0
x=-5 или х=2
Корни удовлетворяют всем неравенствам, определяющих ОДЗ.Достаточно подставить х=-5 и х=2 в каждое неравенство и проверить верность числовых неравенств, чем решать систему трех неравенств.

-5 < - sqrt(21)
-5 не принадлежит указанному промежутку.
Так как
1/2=8/16 < 9/16 и логарифмическая функция с основанием (3/4)- убывающая, то
log_(3/4)(1/2) > log_(3/4)(9/16)=2
х=2- корень уравнения принадлежащий указанному промежутку .

Ответ выбран лучшим

замена переменной
6^(4x^2+11x)=t; t > 0
6^*8x^2+22x)=t^2.
t^2-4=218*(t-2), t≠2
t^2-218t+432=0
D=218^2-4*432=214^2
t=2 или t=216

t≠2, значит один корень t=216

6^(4x^2+11x)=216, так как 216=6^3, то
4x^2+11x=3;
4x^2+11x-3=0
D=121+48=169
x=(-11-13)/8=-3; x=(-11+13)/8=1/4.

1/27=0,037 > 0,05
log_(3)(1/27)=-3
-3 > log_(3)0,05
log_(3)0,05 < -3
Значит х=-3 - корень принадлежащий указанному промежутку.
81^(1/4)=3
log_(80)3=log_(80)81^(1/4) > log_(80)(80)^(1/4)=1/4
1/4 < log_(80)3
1/4- корень уравнения, принадлежащий указанному промежутку.
О т в е т. -3; 1/4.

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^(-х)=t; t > 0
9^(-x)=t^2

(13-t^2)/(4-t)=12;
13-t^2=48-12t;
t^2-12t+35=0
D=144-140=4
t=5 или t=7
3^(-x)=5 или 3^(-х)=7
-x=log_(3)5 или -х= log_(3)7
log_(3)9=2; log_(3)(3sqrt(3))=3/2
Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому
так как 9 > 7 > 3sqrt(3) > 5, то
log_(3)9 > log_(3)7 > log_(3)(3sqrt(3)) > log_(3)5
или что то же самое:
log_(3)5 < log_(3)(3sqrt(3)) < log_(3)7 < log_(3)9

Умножаем на (-1), знак неравенства изменится на противоположный.
-log_(3)5 > -log_(3)(3sqrt(3)) > -log_(3)7 > -log_(3)9
или что то же самое
-log_(3)9 < -log_(3)7 < -log_(3)(3sqrt(3)) < -log_(3)5
-2 < - log_(3)7 < -3/2
б) о т в е т. - log_(3)7=log_(3)(1/7)∈[-2;-3/2]

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: sinx > 0 ⇒ x в первой или второй четверти х≠πk, k∈Z
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Знаменатель отличен от нуля, х≠πk, k∈Z (уже отмечено в ОДЗ)
4^(cosx)-2^(sqrt(3))=0
или
2^(2cosx)=2^(sqrt(3))
2cosx=sqrt(3);
cosx=sqrt(3)/2
x=± (π/6)+2πk, k∈Z
x=-(π/6)+2πk, k∈Z не являются корнями уравнения, так как находятся в 4-ой четверти.
О т в е т.(π/6)+2πk, k∈Z
б) (π/6)+4π=25π/6 ∈[3π;9π/2]
3π < 25π/6 < 9π/2 - верно, так как 18π < 25π < 27π

Ответ выбран лучшим

1) 2500 рублей стоит экскурсия для одного человека, тогда для 14 человек стоимость экскурсии составит:
14*2500=35000 (рублей)
2)14 > 10, значит группа из 14 человек получит скидку 10%.

35000 рублей составляют 100%
х рублей составляют 10%
х=35000*10:100=3500 (рублей) составит скидка
3) 35000-3500=31500 (рублей) - заплатит группа из 14 человек
О т в е т. 31500 рублей

Ответ выбран лучшим

Строим график у=sqrt({x})- периодическая функция с периодом Т=1.
На [0;1) график совпадает с графиком у=sqrt(x).
Строим график у=sqrt([x])- ступенчатая функция.
на [0;1) y=0
на [1;4) y=1
на [4;9) y=2
...
график суммы двух функций у=sqrt([x])+sqrt({x})
на [0;1) совпадает с графиком у= sqrt(x)
Уравнение имеет бесчисленное множество решений.
На [1;+бесконечность) графики у= sqrt(x) и
у=sqrt([x])+sqrt({x}) пересекаются во всех точках, с абсциссами: х=1; х=4; х=9; х=16 и т.д
А)О т в е т. [0;1)U{k^2, k∈ N}
Б) 1=tg(π/4)= tg(3π/12)]) > tg(5π/12)

О т в е т. [tg(π/12); 1] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

9x-8x-4 > -8;
x > -8+4;
x > -4

Ответ выбран лучшим

(1/2)*5х - 9 =1/64;
(1/2)*5х=9+(1/64);
5х/2=577/64
5х=577/32
х=577/160

или
если условие надо написать со скобками
(1/2)*(5х-9)=1/64
5х-9=1/32
5х=9 +( 1/32)
х=289/160

Ответ выбран лучшим

9axy–(–7xya)=9axy+7aху=16аху

Ответ выбран лучшим

Метод основан на применении теоремы:
Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], то внутри этого отрезка находится, по меньшей мере, один корень уравнения.
f(x)=x^3+3x-7
при х=0
f(0)=-7
f(1)=1+3-7=-4
f(2)=8+6-7=7
Итак на концах отрезка [1;2] функция принимает значения разных знаков.
См. график на рисунке.
Делим отрезок пополам, т. е рассматриваем два отрезка.
[1; 1,5] и [1,5;2]
f(1,5)=1,875
Значит на концах отрезка [1;1,5] функция принимает значения разных знаков.
Делим этот отрезок пополам.
f(1,25)=-1,296875 < 0
Значит на концах отрезка [1,25;1,5] функция принимает значения разных знаков.
Делим отрезок пополам
f(1,375)=-0,275390625
Значит на концах отрезка [1,375;1,5] функция принимает значения разных знаков.
Делим отрезок пополам.
f(1,4375)=0,2825
Значит на концах отрезка [1,375;1,4375] функция принимает значения разных знаков.
и корень уравнения х_(о) удовлетворяет неравенству:
1,375 < x_(o) < 1,4375
x_(0)≈1, 4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(7b−8)(8b+7)−8b(7b+8)=56b^2-64b+49b-56-56b^2-64b=
=-79b-56
при b=5,6 получим
-79*5,6-56=-498,4

Ответ выбран лучшим

a_(1)=-5;
a_(2)=a_(1)+d ⇒d=a_(2)-a_(1)=2-(-5)=7
a_(3)=a_(2)+d=2+7=9;
a_(4)=9+7=16
a_(5)=16+7=23
a_(6)=23+7=30
a_(7)=30+7=37
a_(8)=37+7=44
a_(9)=44+7=51
S=a_(4)+a_(5)+a_(6)+a_(7)+a_(8)+a_(9)=
=16+23+30+37+44+51=
=(16+51)=(23+44)+(30+37)=67+67+67=201

Ответ выбран лучшим

1) Треугольники АВО и СDO - равновелики ( имеют одинаковую площадь): S(Δ ABO)=S(Δ COD)( cм. рис.1)
Доказательство. Проводим высоты ВН=СК=h.
S(Δ ABD)=S(Δ ACD)=AD*h/2.
S(Δ ABD)-S(Δ AOD)=S(Δ ACD)-S(Δ AOD).

2) Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как основания.
Треугольники АВО и ВОС имеют общую высоту.
Треугольники АОD и CОD так же имеют общую высоту.
Поэтому
S(Δ ABO):S(Δ BOC)=S(ΔAOD):S(ΔCOD)=AO:OC
Пусть
S(Δ ABO)=S(Δ СOD)=x

x:S(Δ BOC)=S(ΔAOD):x
По свойству пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
S(Δ BOC)*S(ΔAOD)=x^2
Равенство возможно, если S(Δ BOC)=6;S(ΔAOD)=24;
S(Δ ABO)=S(Δ СOD)=12

4*24=12^2
О т в е т. 12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

9x-4*(2x+1) > -8;
9x-8x-4 > -8;
x > -4.
О т в е т. (-4; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль.
Если sinx больше или равно 0, то |sinx|=sinx
и тогда f(x)=1
Если sinx < 0, то |sinx|=-sinx
и тогда f(x)=-1.

График состоит из отрезков прямых
на промежутках [2πk; π + 2πk], k ∈ Z f(x)=1
на (-π + 2πk; 2πk), k ∈ Z f(x)=-1

Ответ выбран лучшим

{a+b≤−6,
{2a+b≤−9
из второго неравенства вычтем первое
2a+b-a-b≤ -3 ;
a ≤ -3,
тогда
-3+b ≤-6;
b ≤-3.

Итак
{a≤-3;
{b≤-3.

Оценим значение a²
a^2≤9

b≤-3 ⇒ -4b≥12

наименьшее значение (-4b) равно 12.
Сумма a^2+(-4b) принимает наименьшее значение 9+12=21.
О т в е т. Наименьшее значение выражения a^2-4b равно 21 при a=-3 и b=-3.

Ответ выбран лучшим

5·10^(–1)+7·10^(–3)+8·10^(–4) =5*0,1+7*0,001+8*0,0001=
=0,5078

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Дано: (a+b+c):n
Доказать (a^9+b^9+c^9):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^9+b^9+c^9)-(a+b+c)=
=(a^9-a)+(b^9-b)+(c^9-c)

Достаточно показать, что
a^9-a кратно n
a^9-a=a(a^8-1)=a*(a^4-1)*(a^4+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^2+1)*(a^4+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.

Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 9 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^9-a кратно 6*9=54
О т в е т. n=54

Ответ выбран лучшим

2^3-1=(2-1)*(2^2+2+1)=1*7
3^3-1=(3-1)*(3^2+3+1)=2*13
4^3-1=(4-1)*(4^2+4+1)=3*21
5^3-1=(5-1)*(5^2+5+1)=4*31
...
2^3+1=(2+1)*(2^2-2+1)=3*3
3^3-1=(3+1)*(3^2-3+1)=4*7
4^3-1=(4+1)*(4^2-4+1)=5*13
5^3-1=(5+1)*(5^2-5+1)=6*21
...

(1*7/3*3)*(2*13/4*7)*(3*21/5*13)*(4*31/6*21)*...*(60*3783/62*3661)=

=(1*7*2*13*3*21*4*31*...*60*3783)/(3*3*4*7*5*13*6*21*...*62*3661)=
(1*2*3*4*...*3783)/(3*3*4*5*6*...)=

=2*3783/(3*61*62).

О т в е т. 3782*2*3783)/(3*61*62)=2522

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-1 меньше или равно 2х-15 меньше или равно 1;
{-1 меньше или равно х^2-6x-6 меньше или равно 1;

arcsin(2x – 15) = arcsin(x^2 – 6x – 8)⇒
2х-15=x^2-6x-8;

x^2-8x+7=0
D=64-28=36
x_(1)=(8-6)/2=1 или х_(2)=(8+6)/2=7

Проверим выполнение трех условий ОДЗ:
при х=1
2х-15=2*1-15=-13
-1 меньше или равно -13 - неверно.
при х=7
2x-15=2*7-15=-1
-1 меньше или равно -1 меньше или равно 1 - верно
x^2-6x-8=7^2-6*7-8=49-42-8=-1
-1 меньше или равно -1 меньше или равно 1 - верно
О т в е т. 7
x^2-6x-8=1-6-8

Ответ выбран лучшим

Интегрирование по частям:
u=arctgx*ln(1+x^2)⇒
du=(ln(1+x^2)+2x*arctgx)dx/(1+x^2);
dv=xdx⇒ x^2/2.

∫=(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2) - -(1/2)∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)-∫x^3*arctgxdx/(1+x^2).
Считаем сначала
∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)=[прибавим к x^2 1 и отнимем 1]=
∫ln(1+x^2)dx -∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2).
Cчитаем
∫ln(1+x^2)dx по частям
u=ln(1+x^2) ⇒ du=2xdx/(1+x^2);
dv=dx ⇒ v=x.
∫ln(1+x^2)dx=x*ln(1+x^2)-2 ∫x^2dx/(1+x^2) =
==x*ln(1+x^2)-2x+2arctgx.
Итак,
∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)=x*ln(1+x^2)-2x+2arctgx-∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2).
Последний интеграл не считаем, он впоследствии с таким же интегралом со знаком + даст 0.
Считаем второй интеграл.
∫x^3*arctgxdx/(1+x^2)=∫х*arctgxdx-∫x*arctgxdx/(1+x^2).
Считаем
∫х*arctgxdx по частям
u=arctgx ⇒ du=dx/(1+x^2);
dv=xdx ⇒ x^2/2
∫х*arctgxdx=x^2*arctgx/2-(1/2)*∫x^2dx/(1+x^2)=
= x^2*arctgx/2-(1/2)x+(1/2)*arctgx.
Cчитаем
∫x*arctgxdx/(1+x^2) по частям.
u=arctgx⇒ du=dx/(1+x^2);
dv=xdx/(1+x^2)=(1/2)ln(1+x^2)
∫x*arctgxdx/(1+x^2) =
(1/2)*arctgx*ln(1+х^2)-(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)
Итак,
∫x^3*arctgxdx/(1+x^2)=∫х*arctgxdx-∫x*arctgxdx/(1+x^2)= x^2*arctgx/2-(1/2)x+(1/2)*arctgx-
-(1/2)*arctgx*ln(1+х^2)+(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)
Снова появился интеграл, о котором было сказано выше.

Окончательный ответ.
∫=(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2) - -(1/2)∫x^2*ln(1+x^2)dx /(1+x^2)-∫x^3*arctgxdx/(1+x^2)=
=(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2)-
-(1/2)*x*ln(1+x^2)+x-arctgx+(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)-x^2*arctgx/2+(1/2)x-(1/2)*arctgx+
+(1/2)*arctgx*ln(1+х^2)-(1/2)*∫ln(1+x^2)dx/(1+x^2)=

(x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2)-
-(1/2)*x*ln(1+x^2)+(3x/2)-(3arctgx/2)-(1/2)*(x^2*arctgx)+(1/2)*arctgx*ln(1+х^2) + С.

О т в е т. (x^2/2)*(arctgx)*ln(1+x^2)-
-(1/2)*x*ln(1+x^2)+(3x/2)-(3arctgx/2)-(1/2)*(x^2*arctgx)+(1/2)*arctgx*ln(1+х^2) + С.

Ответ выбран лучшим

sinх+sin^2(x/2)=cos^2(x/2);
sins=cos^2(x/2)-sin^2(x/2);
sinx=cosx
tgx=1
x=(π/4)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

б) 2^x*(2^5-1)=62
2^x*31=62
2^x=2
x=2.
О т в е т. х=2
в) 3^x=t; t > 0;
3^(2x)=t^2.
3t^2-28t+9=0
D=28^2-4*3*9=784-108=676=26^2
t=(28-26)/6=1/3 или t=(28+26)/6=9
3^x=1/3 или 3^x=9
x=-1 x=2
О т в е т. -1; 2.

Ответ выбран лучшим

OДЗ:
{x > 0;
{log_(8)x≠ 0⇒ x ≠ 1

Замена переменной:
log_(8)x=t;
Неравенство принимает вид:
(1-sqrt(1-4t^2))/t < 2
или
1-sqrt(1-4t^2)-2t < 0;
sqrt(1-4t^2) > 1-2t;

1) {1-2t меньше или равно 0⇒ t≥1/2;
{1-4t^2 больше или равно 0⇒ -1/2 < t < 1/2
Система не имеет решений
или
2) {1-2t > 0 ⇒ t < 1/2;
{1-4t^2 > (1-2t)^2 ⇒ 4t(2t-1) < 0 ⇒ 0 < t < 1/2.
х∈(0;1/2)- удовлетворяет ОДЗ.
0 < log_(8)x < 1/2
log_(8)1 < log_(8)x < log_(8)8^(1/2)
логарифмическая функция с основанием 8 возрастает, поэтому
1 < x < 8^(1/2)
О т в е т. (1;2sqrt(2)).

Ответ выбран лучшим

37:6=12 площадей ( 1 улица в остатке).
Убираем одну улицу между площадями, добавляем 2 улицы и 2 тупика
О т в е т. 2- наименьшее количество тупиков .

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{(3/x) > 0 ⇒ x > 0;
{x^2-7x+11 > 0⇒(-∞;(7-sqrt(5))/2)U(7+sqrt(5))/2;+∞)
{x^2-3x+3/x+10 > 0⇒ 3/x > -x^2+3x-10
cм. рис. 1 гипербола у=3/x параболы у=-x^2+3x-10 при любом х∈(0;+ ∞) потому как согласно первого неравенства из ОДЗ х > 0.

ОДЗ: х ∈(0; (7-sqrt(5))/2)U((7+sqrt(5))/2;+ ∞)
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(7)(3/x)*(x^2-7x+11) < log_(7)(x^2-7x+3/x+10)
Так как основание логарифмической функции 7, функция возрастает, то
(3/x)*(x^2-7x+11) < (x^2-7x+(3/x)+10)
или
3х-21+(33/х) < x^2-7x+(3/x)+10;
30/x < x^2-10x+31

Решаем это неравенство графически cм. рис.2
( гипербола у=30/х ниже параболы у=x^2-10х+31 при х∈(2;3)U(5;+ ∞))

2 < 7-sqrt(5)/2 < 3,так как 4 < 7-sqrt(5) > 6
и -3 < - sqrt(5) < -1, так как 1 < 5 < 9.

5 > (7+sqrt(5))/2, так как 10 > 7+sqrt(5), 3 > sqrt(5), 9 > 5.

О т в е т. (2; (7-sqrt(5))/2)U(5;+ ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=10287

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-5x+7 > 0 при любом х, так как D=25-28 < 0
{3x+2 > 0 ⇒ x > -2/3;
{3x+2≠1 ⇒ x ≠-1/3;
{log_(3x+2)(x^2-5x+7)≠0 ⇒ x^2-5x+7≠1 ⇒ x≠2; x≠3

ОДЗ: х∈(-2/3;-1/3)U(-1/3;2)U(2;3)U(3;+ ∞)
Дробь ≤ в двух случаях
1){числитель ≥ 0
{знаменатель < 0
или
2){числитель ≤ 0
{знаменатель > 0

Решаем неравенство
2x^2-7x+3 ≥0 или 2x^2-7x+3 ≤ 0
методом интервалов.
Уравнение
2x^2-7x+3=0 имеет корни
D=49-24=25
x=1/2 или х=3.
Расставляем знаки
_+__ [1/2] _-__ [3] _ +__

Решаем неравенство
log_(3x+2)(x^2-5x+7) < 0 методом рационализации логарифмических неравенств:
(3х+2-1)(x^2-5x+7-1) < 0
или
(3х+1)(x^2-5x+6) > 0
___-__ (-1/3) __+__ (2) __-___ (3) __+__

Итак,
1) { (- ∞;1/2]U[3;+∞)
{(- ∞;1/3)U(2;3)

x∈(- ∞;-1/3)

2){[1/2;3]
{(- 1/3;2)U(3;++∞)
x∈[1/2;2)

С учетом ОДЗ ответ
(-2/3;-1/3)U[1/2;2)

Ответ выбран лучшим

2^3-1=(2-1)*(2^2+2+1)=1*7
3^3-1=(3-1)*(3^2+3+1)=2*13
4^3-1=(4-1)*(4^2+4+1)=3*21
5^3-1=(5-1)*(5^2+5+1)=4*31
...
2^3+1=(2+1)*(2^2-2+1)=3*3
3^3-1=(3+1)*(3^2-3+1)=4*7
4^3-1=(4+1)*(4^2-4+1)=5*13
5^3-1=(5+1)*(5^2-5+1)=6*21
...

(1*7/3*3)*(2*13/4*7)*(3*21/5*13)*(4*31/6*21)*...

=(1*7*2*13*3*21*4*31*...)/(3*3*4*7*5*13*6*31*...)=
(1*2*3*4*...*(46^2+46+1))/(3*3*4*5*6*...*46*47)=

=2*2163/(3*46*47).

О т в е т. 2162*(2*2163)/(3*46*47)=2*721=1442

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:3+2х-x^2 больше или равно 0.
x^2-2x-3 меньше или равно 0.
D=(-2)^2-4*(-3)=4+12=16;
x=(2-4)/2=-1; x=(2+4)/2=3
x∈[-1;3]
Так как арифметический квадратный корень есть выражение неотрицательное при всех х из области определения подкоренного выражения, то
данное неравенство сводится к уравнению
3+2х-x^2=0
и неравенству
х^2-3x+2 меньше или равно 0 при х∈[-1;3]
D=9-8=1
x=(3-1)/2 или х=(3+1)/2=2
1 меньше или равно х меньше или равно 2
[1;2] принадлежит [-1;3].

О т в е т. {-1} U[1;2]U(3}

Ответ выбран лучшим

(21-16sin^2x+8cosx)/(16cos^2x-29-8sqrt(15)sinx)=2.

Так как
cos^2x=1–sin^2x, а sin^2x=1–cos^2x,
перепишем равенство в виде

(16cos^2x+8cosx+5)/(-16sin^2x-8sqrt(15)sinx-13)=2.
Замена переменной
u=sinx
v=cosx
Тогда
{u^2+v^2=1
{(16v^2+8v+5)/(-16u^2-8sqrt(15)u-13)=2.
или
{u^2+v^2=1
{16u^2+8sqrt(15u)+13≠0
{16v^2+8v+5)+2*(16u^2+8sqrt(15)u+13)=0

Упростим третье уравнение, выделив полный квадрат:
(4v+1)^2+2*(4u+sqrt(15))=0

Сумма двух положительных чисел равна 0 тогда и только тогда когда каждое 0:
u=-sqrt(15)/4; v=–1/4.
Проверяем выполнение двух других условий системы:
u^2+v^2=1- верно, так как (-sqrt(15)/4)^2+(-1/4)^2=1.
и
16u^2+8sqrt(15)u+13≠0- верно,
так как 16*(15/16)+8sqrt(15)*(-sqrt(15)/4)+13=2≠0
v=cosx=-1/4;
7cosx=7*(-1/4)=-7/4=-1,75.
О т в е т. 7cosx=-1,75.

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
∠ABD=∠ACD=71 градусов, как опирающиеся на одну и ту же дугу.
∠CAD=∠CBD=61 градусов, как опирающиеся на одну и ту же дугу.
Значит, ∠ABС=71 градусов+ 61 градусов= 132 градусов.
∠ADС=180 градусов - 132 градусов =48 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∛(4*18*81)=∛(8*9*9*9)=2*9=18

Ответ выбран лучшим

Найти на оси ординат (температуры) точку 40, дойти до графика по красной линии и найти ответ на оси абсцисс (минуты)
См. картинку
На этом графике ответ 3, как у Вас не знаю. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

360 градусов : 60 = 6 градусов в одном делении на часах
13*6 градусов = 78 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Константа С находится из условия нормировки:
1=∫^(+∞)_(-∞)p(x)dx

p(x)=F`(x)=
{0, если x≤–1
{3Cx^2, если –1 < x < 2
{0,если x≥2
∫^(+∞)_(-∞)p(x)dx= ∫^(-1)_(-∞)0dx+∫^(2)_(-1)p(x)dx+∫^(+∞)_(2)0dx=
=F(x)|^(2)_(-1)=C*(2^3+1)-C*((-1)^3+1)=C*(8+1)=9С

1=9С ⇒ С=1/9

Ответ выбран лучшим

В случае нормального закона распределения
a=M(X);
σ=sqrt(D(X))- среднее квадратичное отклонение
Согласно правилу трех сигма, в частности:
P(|X-a| < 3σ)=2Ф (3) =0,997
Анализируя данные задачи, можно записать
интервал, симметричный относительно математического ожидания

a=5; Δ=3σ=3sqrt(D(X))=3sqrt(0,5)=2,1
(М(Х)–Δ; М(Х) + Δ)=(5-2,1;5+2,1)=(2,9;7,1)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f ` (x_(o))= k( касательной)= tg α, где α - угол наклона касательной, проведенной к графику функции.
f(x)=(x-3)*(x^2+3x+9);
f(x)=x^3-27
Находим f ` (x)=(x^3-27))`=3x^2

f ` (4)=3*4^2=48
tgα=48.
О т в е т. 48

Ответ выбран лучшим

Дано: (a+b+c+d):n
Доказать (a^7+b^7+c^7+d^7):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^7+b^7+c^7+d^7)-(a+b+c+d)=
=(a^7-a)+(b^7-b)+(c^7-c)+(d^7-d)

Достаточно показать, что
a^7-a кратно n
a^7-a=a(a^6-1)=a*(a^3-1)*(a^3+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^2+a+1)*(a^2-a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.
Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 7 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^7-a кратно 6*7=42
О т в е т. n=42

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f '(x_(o))=k(касательной)
k(прямой y=5x+2)=5
Параллельные прямые имеют одинаковые k.
Значит,
f '(x_(o))=5;
f '(x)=3x^2-4x+9;
f '(x_(o))=3x^2_(o)-4x_(o)+9;
3x^2_(o)-4x_(o)+9=5
3x^2_(o)-4x_(o)+4=0
D=(-4)^2-4*3*4 < 0
Уравнение не имеет корней.
Нет такой точки на графике
у=x^3-2x^2+9x-9.
Уточняйте условие задачи.

Ответ выбран лучшим

Пусть ХА=УС=АС=а.
Δ ХАС - равнобедренный, ∠АХС=∠АСХ.
Обозначим ∠АХС=∠АСХ=α.
Δ АСУ - равнобедренный, ∠САУ=∠СУА.
Обозначим∠САУ=∠СУА=β.
(см. рис. 1)
Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, в треугольнике АВС: ∠ВАС=2α, ∠ВСА=2β.

Проведем биссектрисы угла А и С треугольника АВС, пусть они пересекаются в точке Т.
АТСZ- параллелограмм.
(см. рис. 2)
AT||CX и СT || AY ( потому что внутренние накрест лежащие углы равны.
Диагональ АС параллелограмма АТСZ делит его на два равных треугольника: ΔАTС =Δ ACZ.
Проведем TK ⊥ AC
СК=АН=2

Так как T - центр вписанной в треугольник АВС окружности, то отрезки касательных проведенных из одной точки равны.
Значит отрезки касательных, проведенных из точки В равны BC-2=6-2=4
Отрезки касательных проведенных от точки А тоже равны.
7-4=3
Значит АК=3
АС=АК+КС=3+4=7
СН=7-4=3
О т в е т. 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу Пуассона ( см. приложение)
так как
p=0,0002(формула применяется при p ≤ 0,1)
n=5000
λ=n*p=5000*0,0002=1 (формула применяется λ ≤ 10)
a) k=3

P=e^(-1)/3!=1/(6e)=0,06127451≈0,06

б) ни одного негодного изделия, значит k=0.
0!=1
p=1/e=0,36784706≈0,37
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Перепишем систему в виде:
{sinx=(56/15)cosx*cosy
{siny=(56/15)cosy*cosz
{sinz=(56/15)cosx*cosz

Возведем в квадрат:
{sin^2x=(3136/225)cos^2x*cos^2y
{sin^2y=(3136/225)cos^2y*cos^2z
{sin^2z=(3136/225)cos^2x*cos^2z

Заменим sin^2x=1-cos^2x и для упрощения записей введем обозначения
cos^2x=t, t > 0 ; cos^2y=u, u > 0; cos^2z=v, V > 0.
Cистема принимает вид:
{1-t=(3136/225)ut; ⇒{t=225/(3136u+225);
{1-u=(3136/225)uv; ⇒{v=225*(1-u)/3136u;
{1-v=(3136/225)vt.

Подставляем найденные t и v в третье уравнение:
1-(225-225u)/3136u=(3136/225)*(225*(1-u))/(3136u)*(225/(3136u+225))⇒

3136u^2+225u-225=0
D=225^2-4*3136*(-225)=225*(225+12544)=225*12769=
=(15*113)^2

u_(1)=(-225+15*113)/(2*3136)=15/64;
u_(2) < 0 и не удовлетворяет условию u > 0.

t=225/(3136*(15/64)+225)=15/64
v=(225-225*(15/64)/(3136*(15/64))=15/64

Итак,
сosx=±sqrt(15)/8; cosy=±sqrt(15)/8; cosz=±sqrt(15)/8;
sinx=±sqrt(1-(15/64))=±7/8; siny=±7/8; sinz=±7/8.

Выразим
sin(x+y+z)=sin(x+y)cosz+cos(x+y)sinz=
=sinx*cosy*cosz+cosx*siny*cosz+cosx*cosy*sinz-sinx*siny*sinz.
|sin(x+y+z)|=|(±7/8)*(±sqrt(15)/8)*(±sqrt(15)/8)+(±7/8)*(±sqrt(15)/8)*(±sqrt(15)/8)+(±7/8)*(±sqrt(15)/8)*(±sqrt(15)/8)-(±7/8)*(±7)/8)*(±7)/8)|=
=|(7/8)((15/64)-(15/64)+(15/64)+(49/64))|=7/8
О т в е т. 7/8

Ответ выбран лучшим

Пусть изначально кузнечик находится в точке 0. Каждый прыжок кузнечика равен единичному отрезку. После первого прыжка он может оказаться либо в точке 1, либо в точке -1. Значит существует 2 варианта: 1; -1. Второй прыжок. 1)Из точки 1 кузнечик может прыгнуть либо в 0, либо в 2. 2)Из точки -1 - в точку -2 или 0. Поэтому всего 3 варианта: -2, 0, 2. Третий прыжок 1)Ииз точки -2 кузнечик может попасть либо в -3, либо в -1; из 2)Из точки 0 - либо в 1, либо в -1 3)Из точки 2 - либо в 1, либо в 3. Получаем 4 варианта: -3, -1, 1, 3. Четвертый прыжок. Аналогично рассуждая получаем пять вариантов. -4, -2, 0, 2, 4. Пятый прыжок получаем шесть вариантов: -5, -3, -1, 1, 3, 5.

Проанализируем ситуацию.
Первый прыжок - два варианта.
Второй прыжок - три варианта.
Третий прыжок - четыре варианта.
Четвертый прыжок - пять вариантов
....
Восьмой прыжок - девять вариатов.

Все точки , в которых может оказаться кузнечик на k-ом прыжке описываются формулой 2n+k, -k≤n≤0.
а их количество соответственно равно k+1.

Кузнечик делает 8 прыжков, значит k = 8. Всевозможные точки, в которых может оказаться кузнечик, описываются формулой : 8+2n, -k≤n≤0.

Точки, в которых может оказаться кузнечик: -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8.

Их количество k+1 = 8+1 = 9.

Ответ: 9.

Ответ выбран лучшим

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.
{4sinx-2cos2x-1=0;
{cos2x+sqrt(3)cosx-2≠0.
Решаем второе неравенство:
так как cos2x=2cos^2x-1, неравенство принимает вид:
2cos^2x+sqrt(3)cosx-3≠0.
замена
cosx=u
2u^2+sqrt(3)u-3≠0
D=3-4*2*(-3)=27
u_(1,2)≠(-sqrt(3)± 3sqrt(3))/4
u_(1)≠-sqrt(3);u_(2)≠sqrt(3)/2
cosx≠-sqrt(3) - неравенство верно при любом х, так как |cosx| меньше или равно 1.
cosx ≠sqrt(3)/2 ⇒ х ≠ ± (π/6)+2πm, m∈Z

Решаем первое уравнение: так как сos2x=1-2sin^2x, уравнение принимает вид:
4sin^2x+4sinx-3=0;
замена переменной
sinx=t;
4t^2+4t-3=0;
D=4^2-4*4*(-3)=16+48=64.
t_(1)=-3/2; t_(2)=1/2
sinx=-3/2- уравнение не имеет корней, так как |sinx| меньше или равно1.
sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈Z - не является корнем уравнения, так как х ≠ ± (π/6)+2πm, m∈Z
или x=(5π/6)+2πn, n∈Z

О т в е т. x=(5π/6)+2πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

3^(2+log_(3)7)=3^2*3^(log_(3)7)=9*7=63

Ответ выбран лучшим

50 000 + 30 000 + 100 000= 180 000

По формуле полной вероятности вероятность продажи товара со склада равна:
р=(5/18)*0.5 + (3/18)*0,8+(10/18)*0,75=0,6888≈0,69

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х девочек в классе и 2х мальчиков.
Всего (х+2х)=3х учеников.
Вероятность выбора первой девочки равна х/3х, вероятность выбора второй девочки равна(х-1)/(3х-1).
Вероятность выбора двух девочек равна
(х/3х)*(х-1)/(3х-1)=1/10;
10х-10=9х-3;
х=7
2х=14
х+2х=7+14=21 ученик в классе.
О т в е т. 21

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 5-ое место (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

m_(o)- первоначальное количество вещества.
m_(o)/10- количество вещества через 30 суток.
Или по формуле M(30)=m_(o)*e^(30k).
Приравниваем
m_(o)*e^(30k)=m_(o)/10 ⇒ e^(30k)=1/10
Логарифмируем по основание е.
ln(e^(30k))=ln(1/10);
30k=-ln10
k=-ln10/30.

0,01*m_(o)- количество вещества, равное 1% от первоначального.
m-(o)*e^((-ln10/30)*t)меньше или равно 0,01m_(o);
e^((-ln10/30)*t)меньше или равно 0,01.
Логарифмируем по основанию е.
(-ln10/30)t меньше или равно ln10^(-2);

(-ln10/30)*t меньше или равно -2ln10;
Делим на (- ln10) и меняем знак неравенства на противоположный.
t/30 больше или равно 2;
t больше или равно 60.
О т в е т. Через 60 суток

Ответ выбран лучшим

Обозначим у=sqrt(2+2x^2-2x)+sqrt(2+2x^2-2sqrt(3)x).
Пусть f(x)=sqrt(2+2x^2-2x),
g(x)=sqrt(2+2x^2-2sqrt(3)x),
тогда
у=f(x)+g(x)
Функция у=f(x) определена при любом х:
2+2x^2-2x > 0 при любом х, так как дискриминант квадратного трехчлена D=4-16 < 0
Функция у=g(x) определена при любом:
2+2x^2-2sqrt(3)x > 0 при любом х, так как дискриминант квадратного трехчлена D=12-16 < 0.

Функция у=f(x) принимает наименьшее значение в точке х=1/2, так как подкоренное выражение принимает наименьшее значение в точке х=1/2
(2+2x^2-2x)`=4x-2
4x-2=0
x=1/2
f(1/2)=sqrt(2+2*(1/2)^2-2*(1/2))=sqrt(3/2) > 1

Функция у=g(x) принимает наименьшее значение в точке х=sqrt(3)/2, так как подкоренное выражение принимает наименьшее значение в точке х=sqrt(3)/2
(2+2x^2-2sqrt(3)x)`=4x-2sqrt(3)
4x-2sqrt(3)=0
x=sqrt(3)/2
sqrt(2+2*(sqrt(3)/2)^2-2*(sqrt(3)/2)*sqrt(3))=
=sqrt(1/2) < 1.

Сумма двух функций f(x)+g(x) принимает наименьшее значение в том случае, когда
f(x)=1+a,
g(x)=1-a
см. рисунок
у(наименьшее)=1+а+1-а=2
О т в е т. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Задача на принцип Паскаля.
Умножение числа на 2 - это процесс умножения на остаток ( а он равен 2) от деления 10 на 8.
10=8+2;
20=2*10=2*8+2*2
30=3*10=3*8+3*2.
Поэтому 10 сравнимо с 2 по модулю 8.
20 сравнимо с 4 по модулю 8 и т.д.
В задаче описан процесс так:
2*1+2=4
2*4+3=11; с помощью остатков решение справа
2*11+4=26; 26 сравнимо с 2 по модулю 8
2*26+5=57; 2*2+5=9 сравнимо с 1 по модулю 8
2*57+6=120; 2*1+6=8 кратно 8,
числа 120 и 8 сравнимы с 0 по модулю 8
0+7=7
2*7+8 сравнимо с 6
2*6+9 сравнимо с 5
2*5+0=10 сравнимо с 2
2*2+1=5 сравнимо с 5
...

Если бы в условии задачи присутствовало умножение на 3, то это остаток от деления 10 на 7, тогда надо было применять сравнение по модулю 7 и т.д.

Ответ в задаче 5.

Ответ выбран лучшим

Бильярдный стол для игры в карамболь состоит из трех квадратов со стороной sqrt(2) м.
Диагональ КМ такого квадрата
равна sqrt((sqrt(2))^2+(sqrt(2))^2)=2 м
АВ=КМ/2=1 м
Шар пройдет путь АВ+ВС+СD+DE+EF+FK+KM+MA=
=1+2+2+1+1+2+2+1=12 м пройдет шар.
О т в е т. 12 м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что выбирают пятизначное число.

n=90 000- пятизначных чисел.
Так как на первое место можно выбрать любую из девяти цифр (кроме 0), на второе, третье, четвертое и пятое - любую из десяти цифр.
9*10*10*10*10=90 000 пятизначных чисел.
Событие А- выбран палиндром.
**х**
первая и последние цифры совпадают, вторая и четвертая совпадают.
На третьем месте палиндрома может стоять любая цифра из десяти.
На первом месте любая из девяти (кроме 0), на втором, любая из десяти.
Всего 9*10*10=900 чисел

Событию А благоприятствуют
m=900 чисел.

По формуле классической вероятности

р=m/n=900/90 000=0,01

Ответ выбран лучшим

Проводим апофемы КР и РМ граней РАD и РВС соответственно.
Плоскость РКМ перпендикулярна плоскостям РАD и РВС, так как РК⊥AD и КМ⊥AD, значит AD⊥пл. РКМ, пл. PAD проходит через перпендикуляр AD к плоскости РКМ.
Значит плоскости РАD И РКМ перпендикулярны.
Аналогично, РМ ⊥ВС и КМ⊥ВС, значит ВС⊥пл. РКМ, пл. PВС проходит через перпендикуляр ВС к плоскости РКМ.
Значит плоскости РВС И РКМ перпендикулярны.

РМ - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника РВС.
Из прямоугольного треугольника РМС
РМ=4 ( египетский треугольник).

По теореме косинусов из треугольника КМР:
КМ^2=KP^2+PM^2-2*KP*PM*cos∠KPM ⇒
cos∠KPM=(4^2+4^2-6^2)/2*4*4=4/32=1/8 = 0.125
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В основании призмы правильный шестиугольник, все стороны которого равны 1, все углы 120 градусов.
Найдем АС по теореме косинусов из треугольника АВС.
АС^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos120 градусов=
=1+1+1=3
АС=sqrt(3)

Рассмотрим прямоугольный треугольник АС_(1)С.
СС_(1)=1
АС=sqrt(3)
tg∠AC_(1)C=AC/CC_(1)=sqrt(3)/1=sqrt(3)
∠AC_(1)C=60 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проведем высоту H_(1) из вершины С и высоту h_(1) вершины Р.
Из подобия прямоугольных треугольников с общим углом В:
h_(1):H_(1)=BP:BC=1:3
h_(1)=H_(1)/3.
S(Δ АВС)=AB*H_(1)/2 ⇒ AB*H_(1)=24
S(Δ ВМР)=ВМ*h_(1)/2=(1/2)*(2AB/3)*(H_(1)/3)=
=AB*H_(1)/9=24/9=8/3

Аналогично, проведем высоту H_(2) из вершины В и высоту h_(2) вершины M.
h_(2):H_(2)=AM:AB=1:3
h_(2)=H_(2)/3.
S(Δ АВС)=AC*H_(2)/2 ⇒ AC*H_(2)=24
S(Δ АМК)=АК*h_(2)/2=(1/2)*(2AС/3)*(H_(2)/3)=
=AС*H_(2)/9=24/9=8/3

Проведем высоту H_(3) из вершины А и высоту h_(3) вершины К.
h_(3):H_(3)=KC:AC=1:3
h_(3)=H_(3)/3
S(Δ АВС)=BС*H_(3)/2 ⇒ ВС*H_(3)=24
S(Δ КРС)=РС*h_(3)/2=(1/2)*(2ВС/3)*(H_(3)/3)=
=ВС*H_(3)/9=24/9=8/3

S(Δ MPK)=S(Δ АВС)-S(Δ АMK)-S(Δ ВMP)-
-S(Δ KPС)==12-(8/3)-(8/3)-(8/3)=
=(36-24)/3=12/3=4
О т в е т. 4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Д____20х_____|___10х____| Виктор повернул обратно

Д____20х_____|_5x__М_5х_|

М- место встречи Виктора и пуделя.
Д- дом.
ДМ - путь, который пробежал пудель.

Пусть скорость Виктора х м/мин.
За 20 мин Виктор прошел 20х м,
20х м- расстояние между Виктором и пуделем.
За 10 мин Виктор прошел 10х м и повернул обратно, прошел еще 5х м и встретился с пуделем.
Значит Виктор прошел 15х м за 15 минут, пудель пробежал 25х м за 15 минут.
25х/15=5х/3 м/мин- скорость пуделя.

5х/3 - 100%
х - ? %
?=х*100:(5х/3)=60%
100%-60%=40%
О т в е т. на 40% упала скорость пуделя.

Ответ выбран лучшим

1) ОДЗ: x+y > 0 ⇒ y > - x
Это часть плоскости, расположенная выше прямой у=-х.
x^2+y^2 > 0 при любом х
х^2+y^2≠1 - точки, лежащие на окружности с центром (0;0) и радиусом 1.
Изображаем окружность пунктирной линией.

Так как 1=log_(x^2+y^2)(x^2+y^2), то
log_(x^2+y^2)(x+y) > log_(x^2+y^2)(x^2+y^2)

Применяя метод рационализации логарифмических неравенств, получаем неравенство:
(x^2+y^2-1)*(x+y-x^2-y^2) > 0

Решаем методом интервалов.
x^2+y^2-1=0
x^2+y^2=1 - уравнение окружности с центром (0;0) и радиусом R=1.
x+y-x^2-y^2=0
(x-(1/2))^2+(y-(1/2))^2=1/2 - уравнение окружности, с центром в точке (1/2; 1/2) и радиусом r=sqrt(1/2).

А)Неравенство с учетом ОДЗ задает две области ( розового цвета и зеленого цвета) на плоскости хОу ( см. рис. 1).
Б)
Площадь этих областей находим, пользуясь формулами планиметрии нахождения площади круга, половины круга, четвертой его части и площади прямоугольного равнобедренного треугольника c катетами, равными R=1
S(желтой четверти круга)=πR^2/4=π/4
S(желтого сегмента)=S(желтой четверти круга)-S(прямоугольного треугольника)=(πR^2/4)-(R*R/2)=
=(π/4)-(1/2)=(π-2)/4.

S(розовой области )=(1/2)S(круга R=1)-(1/2)S(круга r=sqrt(1/2))-S(желтого сегмента)=
=(π/2)-(π/4)-((π-2)/4).

S(зеленой области)=(1/2)S(круга r=sqrt(1/2))-S(желтого сегмента)=(π/4)-((π-2)/4).

S=S(розовой области)+S(зеленой области)=

=(π/2)-(π/4)-((π-2)/4)+ (π/4)-((π-2)/4)=

=(π/2)-2*((π-2)/4)=(π/2)-((π-2)/2)=(π-π+2)/2=2/2=1.
Б) О т в е т. 1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х конфет в пакете и у пакетов.
тогда ху конфет раскладывали Деды Морозы.
При этом мешков было (у/2)

(х-5) новое количество конфет в пакете.
Мешков ((у/2)-2), а пакетов
3*((у/2)-2) .
3*(х-5)*3*((у/2)-2)- количество конфет в пакетах.

Уравнение
ху=3*(х-5)*((у/2)-2);
2ху=(3х-15)(у-4);
2ху=3ху-15y-12x+60;
у=(12x-60)/(x-15)
Выделим целую часть
у=12+ (120/(х-15)
Так как количество конфет в пакете - натуральное число, то дробь (120/(х-15)) - должна быть натуральным числом.
Наибольшее значение при х=16
у=12+120=132
ху=16*132=2112 конфет раскладывали Деды Морозы.

Проверка.
х-5=16-5=11
у/2-2=(66-2)=64 мешка
3*64=192 пакета
11*192=2112 конфет
О т в е т. 2112 конфет раскладывали Деды Морозы.

Ответ выбран лучшим

По формуле перехода к другому основанию:
log_(0,5) (16+6x-x²)=-log_(2)(16+6x-x^2).
Неравенство принимает вид
log²_(2) (16+6x–x²)-10log_(2) (16+6x–x²)+24 > 0

Замена переменной
log_(2) (16+6x–x²)=t;
t^2-10t+24 > 0
D=100-96=4
t1=4; t2=6
t < 4 или t > 6

1) log_(2) (16+6x–x²) < 4;

{ 16+6x-x^2 < 2^4;
{16+6x-x^2 > 0.

{x^2 -6x > 0; _____+__ (0) ____ (6) __+_
{x^2-6x-16 < 0; _-_ (-2)____-______ (8) __

о т в е т 1) (-2;0)U(6;8).

2) log_(2) (16+6x–x²) > 6;

{ 16+6x-x^2 > 6^4;
{16+6x-x^2 > 0.

{x^2 -6x+48 < 0; D=36-4*48 < 0 неравенство не имеет решений
{x^2-6x-16 < 0;

о т в е т система 2) не имеет решений

О т в е т. (-2;0)U(6;8).

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1) tga+ctga=5 ⇒ tg^2a+2+ctg^2a=25 ⇒
tg^2a+ctg^2a=25-2;
tg^2a+ctg^2a=23

2)tga+ctga=5 ⇒ (sina/cosa)+(cosa/sina)=5⇒

(sin^2a+cos^2a)/(sina*cosa)=5⇒
sina*cosa=(1/5)

tg^2a+(1/sina)·(1/cosa)+ctg^2a=(tg^2a+ctg^2a)+(1/sina*cosa)=23+5=28.

О т в е т. 28.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-1≤2x-15≤1;
{-1≤x^2-6x-8≤1.

2х-15=x^2-6x-8;
x^2-8x+7=0;
D=64-28=36
x1=1; x2=7

При х1=1
{-1≤2*1-15≤1- неверно
При х2=7
{-1≤2*7-15≤1- верно, так как -1≤-1≤1 - верно
{-1≤7^2-6*7-8≤1- верно, так как -1≤-1≤1 - верно.
О т в е т. х=7

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

а) 16–(1/16)=15целых 15/16, так как
16=15+1 и 1=16/16
15+1-(1/16)=15+(16/16)-(1/16)=15 целых(16-1)/16=15 целых 15/16
б) 16–1/64=15 целых 63/64, так как
16=15+1 и 1=64/64
15+1-(1/64)=15+(64/64)-(1/64)=15 целых(64-1)/64=15 целых 63/64

Ответ выбран лучшим

Пусть ХА=УС=АС=а.
Δ ХАС - равнобедренный, ∠АХС=∠АСХ.
Обозначим ∠АХС=∠АСХ=α.
Δ АСУ - равнобедренный, ∠САУ=∠СУА.
Обозначим∠САУ=∠СУА=β.(см. рис. 1)

Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, в треугольнике АВС: ∠ВАС=2α, ∠ВСА=2β.
Проведем биссектрисы угла А и С треугольника АВС, они пересекаются в точке Т.
АТСZ– параллелограмм. ( см. рис.2)
AT||CX и СT || AY ( внутренние накрест лежащие углы равны).
Диагональ АС параллелограмма АТСZ делит его на два равных треугольника: ΔАTС =Δ ACZ.
Проведем TK ⊥ AC
СК=АН=3

Кроме того, так как T – центр вписанной в треугольник АВС окружности, то отрезки касательных проведенных из одной точки равны.( см. рис. 3)
Значит отрезки касательных, проведенных из точки В равны BC–2=7–3=4
Отрезки касательных проведенных от точки А тоже равны.
8–4=4
Значит АК=4
АС=АК+КС=4+3=7
СН=7–3=4
О т в е т. 4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

100-45=55% новая стоимость товара.

770 руб составляют 55 %
х руб. составляют 100 %.

х=770*100:55=1400 руб стоил товар до распродажи.

Ответ выбран лучшим

1=(1/3)^(0).
1-2x=0
-2x=-1
x=1/2

Ответ выбран лучшим

cos∠A=sin∠B=sqrt(1-cos^2∠B)=sqrt(1-(3sqrt(11)/10)^2)=
=sqrt(1-(99/100)=sqrt(1/100)=1/10

Ответ выбран лучшим

0≤x≤1, 0≤y≤2, 0≤z≤7 ⇒
0≤19x≤19, 0≤7y≤14, 0≤2z≤14.
0≤19x+7y+2z≤19+14+14.
0≤xyz≤1*2*7.
p≥(19x+7y+2z)-(xyz);
p≥33
p=33

Ответ выбран лучшим

Пусть точка М (х_(о);0;0), лежащая на оси Ох, равноудалена от точки А и плоскости х+у-5=0
АM=sqrt((x_(o)-1)^2+(0-2sqrt(2))^2+(0-0)^2)=
=sqrt((x_(o)-1)^2+8).
d=|x_(o)-5|/sqrt(1^2+1^2).
Приравниваем d и АМ.
sqrt((x_(o)-1)^2+8)=|x_(o)-5|/sqrt(1^2+1^2).
Возводим в квадрат, приводим подобные, получаем уравнение:
(х_(o))^2-6x_(o)-7=0
D=36-4*(-7)=36+28=64
x_(o)=-1 х_(о)=7
О т в е т. (-1;0;0) или (7;0;0).

Ответ выбран лучшим

10^6=2^6•5^6
Значит, а – четное
Пусть а=2n
а(a+4)(a+8)(a+12)(a+16)=
=2n(2n+4)(2n+8)(2n+12)(2n+16)=
=2^5•n(n+2)(n+4)(n+6)(n+8) – не кратно 2^6 при любом n нечетном.
Поэтому пусть а=4n
а(a+4)(a+8)(a+12)(a+16)=
=4n(4n+4)(4n+8)(4n+12)(4n+16)=
=4^5•n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)– кратно 4^5=2^10, значит кратно 2^6 при любом n.
Произведение n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) должно быть кратно 5^6
Значит, наибольший множитель (n+4)должен быть кратным 5^6.
n=5^6–4=15625-4=15621;
a=4n=4*15621=62484.
О т в е т. а=62484

Ответ выбран лучшим

25) 4log_(16)3=4log_(2^4)3=(4/4)log_(2)3; 8^(log_(2)3)=2^(3log_(2)3)=2^(log_(2)3^3)=3^3=27;
35)=10^(lg2)*10^(lg3)=2*3=6; 36)=10*10^(lg5)=10*5=50;
37)lg7+lg(2/7)=lg(7*(2/7))=lg2; 10^(lg2)=2;
39)(1/3)*(1+3^(log_(3)7^2))^(log_(50)3)=(1/3)*(50)^(log_(50)3)=(1/3)*3=1;
40)10^2*10^(-lg2)=
=10^2*(10^(lg2^(-1)))=100*2^(-1)=50; 25^log_(5)7=5^(log_(5)7^2)=49; 50-49=1.
41) =2^2*2^(log_(2)5^(-1))+2^(-log_(2)5)=4*(1/5)+(1/5)=1.
50)=log_(5)5^(-3/2)=-3/2; 51)log_(3^(1/2))3^(-3/2)=(-3/2):(1/2)=-3;
52) =log_(5^2)5^(3/2)=(3/2):2=3/4; 53) = log_(7^2)7^(10/3)=(10/3)^2=(10/6)=5/3.
54=log_(2^(-1))2^(5,5)=-5,5; 55)=log_(1/5)(1/5)^2=2; 56) =log10^(-3/2)=-3/2;
57) =((sqrt(3))^2)^(log_(sqrt(3))7)=sqrt(3)^log_(sqrt(3)7^2)=7^2;
58)log_(2^2)3^2=(2/2)log_(2)3 и 2^(log_(2)3)=3.
59) log_(7^(3/2))3^3=3/(3/2)log_(7)3=2log_(7)3=log_(7)3^2=log_(7)9 и 7^(log_(7)9)=9;
0)log_(1/sqrt(5))3=log_(5^(-1/2))3=-2log_(5)3=log_(5)3^(-2)=log_(5)(1/9) и 5^(log_(5)(1/9))=1/9.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению:
а^(b)=c ⇒ b=log_(a)c
a > 0,a≠1
c > 0.

1)=4; так как 2^4=16 2)=-4; 3)=0;4)=-2;5)=2;6)=0;7)=-3;
8) =log_(2^(-2))2^3=-3/2; по формуле
log_(a^(k))b^(n)=(n/k)*log_(a)b.
9)=-2; 10)=-2; 11)=log_(2^2)2^5=5/2; 12)=3; 13)=-2; 14) 0; 15) нет основания у логарифма, если lg10=1; 16)=7; основное логарифмическое тождество
a^(log_(a)b)=b.
17) 6; 18) =5^(2*log_(5)3)=5^(log_(5)3^2)=3^2=9;
19)=3^2=9; 20)=10^2=100; 21)=(9^2)^(log_(81)2)=2;
22)=5^((1/2)*2log_(5)3)=5^(log_(5)3)=3;
23)=(7^2)^(log_(49)2=2; 24) 0,5

Ответ выбран лучшим

Пусть AB=BF=a; FС=CD=b
Высота трапеции h=BK=CT

Треугольник АВF – равнобедренный.
Высота СК делит сторону AF пополам
АК=КF=х
Треугольник FCD – равнобедренный.
Высота СT делит сторону FD пополам
FT=TD=y
Поэтому BC=x+y=AD/2
Запишем площади треугольников по формулам
S=r*p, S– площадь треугольника , р – полупериметр
S=a*h/2
и получим систему трех уравнений с четырьмя переменными.
{2х*h/2=2*(2x+2a)/2;
{2y*h/2=5*(2y+2b)/2;
{(x+y)*h/2=(a+b+x+y)*4/2.
или
{х*h=2x+2a;
{y*h=5y+5b;
{(x+y)*h/2=2a+2b+2x+2y.
Складываем первое и второе
{(x+y)*h=2x+5y+2a+5b;
{(x+y)*h/2=2x+2y+2a+2b.
Вычитаем из первого второе:
(x+y)*h/2=3y+3b ⇒ y+b=(x+y)*h/6
так как y*h=5y+5b, то
(х+у)*h/6=y*h/5
или
5*(x+y)=6y
5x=y
x/y=1/5
О т в е т. АF:FD=x:y=1:5.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Треугольники АВО и СDO - равновелики ( имеют одинаковую площадь): S(Δ ABO)=S(Δ COD)( cм. рис.1)
Доказательство. Проводим высоты ВН=СК=h.
S(Δ ABD)=S(Δ ACD)=AD*h/2.
S(Δ ABD)-S(Δ AOD)=S(Δ ACD)-S(Δ AOD).

2) Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как основания.
Треугольники АВО и ВОС имеют общую высоту.
Треугольники АОD и CОD так же имеют общую высоту.
Поэтому
S(Δ ABO):S(Δ BOC)=S(ΔAOD):S(ΔCOD)=AO:OC
Пусть
S(Δ ABO)=S(Δ СOD)=x

x:S(Δ BOC)=S(ΔAOD):x
По свойству пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
S(Δ BOC)*S(ΔAOD)=x^2
Равенство возможно, если S(Δ BOC)=4;S(ΔAOD)=16;
S(Δ ABO)=S(Δ СOD)=8

4*16=8^2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нам дан полный граф на 37 вершинах, рёбра которого раскрашены в 2 цвета. Можно считать, что из любой вершины выходит по 8 рёбер одного цвета и по 29 ребер другого. Нас интересует число одноцветных треугольников. Общее число треугольников равно 37⋅36⋅35/6=7 770. Подсчитаем число разноцветных. С каждым из них связано ровно две вершины, из которых выходят рёбра разного цвета. Количество пар таких рёбер равно 37⋅8⋅29, и это количество надо разделить пополам. Это даёт 4292 разноцветных треугольника. Остальные (7770–4292)=3478 одноцветные.

Ответ выбран лучшим

(15+15)*30=900 кв.м - первоначальная площадь двух участков.
900-80 = 720 площадь оставшейся части двух участков после того, как сделан пруд.
720:2=360 кв.м - площадь каждого участка.

Ответ выбран лучшим

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12581

Ответ выбран лучшим

1) Уравнение плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид
ax+by+cz=0
Нормальный вектор этой плоскости имеет координаты
vector{n}=(a;b;c)
Вектор АВ имеет координаты (1-5;-3-(-2);5-3)=(-4;-1;2).
По условию вектор n и вектор АВ коллинеарны.
Значит vector{n}=vector{AB}=(-4;-1;2}.
О т в е т. -4х-у+2z=0 или 4х+у-2z=0

2) vector{n1}=(1;-4;1);vector{n2}=(2;B;10).
Если плоскости перпендикулярны, их нормальные векторы тоже перпендикулярны.
Нормальные векторы перпендикулярны, значит скалярное произведение равно 0.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
1*2+(-4)*В+1*10=0
-4В=-12
В=3
О т в е т. При В=3.

Ответ выбран лучшим

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных.
Пусть один угол х градусов, второй 4х градусов.
х+4х=15;
5х=15
х=3
4х=12
О т в е т. наибольший угол 12 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма углов треугольника 180 градусов.
О т в е т. 180 градусов - 30 градусов - 30 градусов =
=120 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. См график у=sinx на (-π;π/6]
Наименьшее значение
у(-π/2)=-1
Наибольшее значение
у(π/6)=1/2

2. у(4π/3)=-4*sin((4π/3)-(π/6))+5=
=-4*sin(7π/6)+5=
=-4*sin(π+(π/6)) + 5=
=-4*(-sin(π/6))+5=
=-4*(-1/2)+5=7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной 4^x=t; 4^(x+1)=4^x*4=4t.
t > 0 при любом х.
Значит и
2t+1 > 0
5t+4 > 0
3t+2 > 0
4t+3 > 0
Неравенство принимает вид:
(4t+3)/(2t+1) + (10t+4)/(5t+4) < (9t+8)/(3t+2)+(4t)/(4t+3).
Выделим целую часть в каждой дроби
2+(1/(2t+1))+2-(4/(5t+4)) < 3+(2/(3t+2))+1-(3/(4t+3));
(1/(2t+1))-(4/(5t+4)) < (2/(3t+2))-(3/(4t+3)).
Перепишем в виде:
(3/(4t+3))-(4/(5t+4)) < (2/(3t+2))-(1/(2t+1)).
Приводим к общему знаменателю слева и справа:
(15t+12-16t-12)/(4t+3)*(5t+4) < (4t+2-3t-2)/(3t+2)(2t+1);

(-t)/(4t+3)*(5t+4) + (t)/(3t+2)*(2t+1) < 0;
В силу того, что знаменатели положительны, см замечание при замене переменной, можно переписать неравенство в виде:
-t*(3t+2)*(2t+1)+t*(4t+3)*(5t+4) < 0
t*(20t^2+31t+12-6t^2-7t-2) < 0
2t*(7t^2+12t+5) < 0
Применяем метод интервалов.
7t^2+12t+5=0
D=144-4*7*5=4
t=-12-2/14=-1 или t=(-12+2)/14=-5/7

_-__ (-1) __+__(-5/7) __-__ (0) __+_

t∈(-бесконечность; -1)U(-5/7;0)

Так как 4^x=t > 0, то данное неравенство не имеет решений.

Ответ выбран лучшим

Неравенство |t| > α равносильно совокупности неравенств
t < - α или t > α.
Поэтому
х^2 – а|x| – 3 < - 1 или х^2 – а|x| – 3 > 1;
(x^2-2)/|x| < а или (x^2-4)/|x| > a

Переформулируем задачу при каких значениях а график функции у= (x^2-2)/|x| ниже прямой у=а при всех x∈(-2;2) или график функции у=(x^2-4)/|x| выше прямой у=а при всех x∈(-2;2).
Ответ см. на рис. 1 и рис. 2
На рис.1 (0;1)
На рис.2 (-бесконечность;0)
О т в е т. (-бесконечность;0) U (0;1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольник АОР - равнобедренный (АО=РО=R)
∠РАО=∠АРО=72 градусов.
Сумма углов треугольника 180 градусов.
∠АОР=180 градусов - 72 градусов - 72 градусов=36 градусов.
∠АОР- центральный, измеряется дугой, на которую опирается. Значит градусная мера дуги АР тоже 36 градусов.

Треугольник ВОС - равнобедренный (ОВ=ВС=R)
Пусть ∠ВОС=∠ВСО= х градусов.

∠ВОС- центральный, измеряется дугой, на которую опирается. Значит градусная мера дуги BQ тоже x
градусов.

Угол АСР- угол между секущими, равен градусоной полуразности дуг.
х=(36-х)/2
2х=36-х
3х=36
х=12
О т в е т. 12 градусов
∠

Ответ выбран лучшим

Чтобы число делилось на 15 оно должно делиться на 5 и на 3.
Число делится на 5, если оно оканчивается нулем или пятеркой.
Число делится на 3 , если сумма цифр этого числа делится на 3.
Сумма цифр числа 46205 равна 4+6+2+5=17
У пятидесятизначного числа сумма цифр 17*10=170
170 не делится на 3, а дает при делении на 3 остаток 2.
Значит, можно вычеркнуть цифру 2, и цифру 6.
Число будет делиться на 3.
Поскольку цифра 2 встречается 5 раз и цифра 6 тоже 5 раз, то 25 способов получения 48-значного числа.

Можно вычеркнуть цифру 5 и 0,только нельзя вычеркнуть обе эти цифры на конце.
Получим еще 20 способов получения 48-значного числа кратного 15
4 способа вычеркивания цифры 5 (оставим 5 на конце) и 5 способов вычеркивания цифры 0.

Ответ выбран лучшим

(1/log_(x2–x)0,5)+(1/log_(x2–x)0,25)+(1/log_(x2–x)4) больше или равно 1.
Переходим к основанию 2
(log_(2)(x^2-x)/log_(2)0,5)+(log_(2)(x^2-x)/log_(2)0,25)+(log_(2)(x^2-x)/log_(2)4)больше или равно 1.
log_(2)(x^2-x) меньше или равно -1.
log_(2)(x^2-x) меньше или равно log_(2)0,5.

{x^2-x > 0; x^2-x≠1
{x^2-x меньше или равно 0,5

x^2-x > 0;
x(x-1) > 0
__+__ (0) ___ (1) _+__
x^2-x-1≠0
D=1+4=5
x1≠(1-sqrt(5))/2; x2≠(1+sqrt(5))/2

x^2-x меньше или равно 0,5;
x^2-x-0,5 меньше или равно 0.
D=1+2=3
x3=(1-sqrt(3))/2; x4=(1+sqrt(3))/2
(1-sqrt(3))/2 меньше или равно x меньше или равно (1+sqrt(3))/2

____[(1-sqrt(3))/2]\\\\ (0) ___ (1) ////[(1-sqrt(3))/2]______

О т в е т. [(1-sqrt(3))/2;0)U(1;(1+sqrt(3))/2]

Ответ выбран лучшим

Направляющий вектор прямой имеет координаты (6;8;-9)
Нормальный вектор плоскости имеет координаты
(1;3;-2)
Если прямая параллельна плоскости, то ее направляющий вектор и нормальный вектор плоскости взаимно перпендикулярны.
Векторы перпендикулярны, значит скалярное произведение векторов равно нулю.
Но это не так.
6*1+3*8+(-2)*(-9)≠0
Значит прямая не параллельна плоскости.

2 часть
Подставим х;y и z в уравнение плоскости
t+7+3*(t-2)-2*(2t+1)+1=0
0=0 - верно

или второй способ:
t=x-7; t=y+2; t=(z-1)/2
Уравнение прямой принимает вид:
х-7=у+2=(z-1)/2
Направляющий вектор имеет координаты
(1;1;2)
Этот вектор ортогонален нормальному вектору плоскости,скалярное произведение векторов равно 0
1*1+3*1-2*2=0
Точка (7;-2;1) принадлежит и прямой и плоскости.
7+3*(-2)-2+1=0
Прямая x=t+7, y=t–2, z=2t+1 лежит в плоскости (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=13^2-2(xy)^2
97=13^2-2xy^2
2(xy)^2=169-97
(xy)^2=36

xy=-6 - минимальное значение произведения

Ответ выбран лучшим

{-x^2-11x-10 больше или равно 0;
{x+4 > 0

{x^2+11x+10 меньше или равно 0 ⇒ -10 ≤ x ≤ -1;
{x > - 4.

x ∈{-10}U(-4;-1]
Целочисленные: -10; -3: -2; -1

Сумма -10-3-2-1=-16
О т в е т. -16

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета
х1+х2=-а
x1*x2=a^2-a-4

Найдем
g(a)=x^2_(1)+x^2_(2)=(x1+x2)^2-2x1*x2=
=(-a)^2-2*(a^2-a-4)=-a^2+2a+8
Переформулируем задачу:
При каких значениях а функция g(a)=-a^2+2a+8 принимает наибольшее значение.
Графиком функции является парабола, ветви параболы направлены вниз.
Наибольшее значение в вершине.
Абсцисса вершины
a_(o)= 1.
О т в е т. при а = 1

Ответ выбран лучшим

Неравенство 2|x|+3|y-2| меньше или равно 6 задает на плоскости хОу внутреннюю часть ромба, ограниченный прямыми
2х+3у-6=6
-2х+3у-6=6
2х-3у+6=6
-2х-3у+6=6

Решаем второе неравенство
x^2-x-2 меньше или равно 0
D=1+8=9
x1=-1 x2=2
-1 меньше или равно x меньше или равно 2- полоса ограниченная прямыми х=-1 и х=2
Системе неравенств соответствует пересечение областей.
Требуется найти площадь заштрихованной фигуры.

S=∫^0_(-1)((2x/3)+4-(-2x/3))dx+∫^2_0((-2x/3)+4-(2x/3))dx=
=((2x^2/3)+4x)|^0_(-1)+((-2x^2/3)+4x)|^2_(0)=
=(-2/3)+4-(8/3)+8=26/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A-центр окружности, описанной около треугольника BCD.
ВА=AD=CA=х.
Р(Δ АВС)=ВС+ВА+АС=ВС+2х
18=ВС+2х ⇒ BC=18-2x

Р(Δ АСD)=AD+CD+АС=CD+2х
25=СD+2x ⇒ CD=25-2x

По теореме Пифагора
BC^2+CD^2=BD^2
(18-2х)^2+(25-2x)^2=4x^2;
324-72x+4x^2+625-100x+4x^2=4x^2
4x^2-172x+949=0
D=172^2-4*4*949=29584-15184=14400=120^2
x1=(172-144)/8=3,5 x2 -не удовл. условию задачи.

ВС=18-7=11
СD=25-7=18
S(Δ BCD)=11*18/2=99

Ответ выбран лучшим

Пусть sinα=4/5; sin β=12/13
Тогда
сosα=sqrt(1-(4/5)^2)=3/5;
cosβ==sqty(1-(12/13)^2)=5/13
sin γ = sin(180 градусов - α - β)= sin( α + β)=
=sinα*cosβ+cosα*sin β=(4/5)*(5/13)+(3/5)*(12/13) =
=56/65.
cos γ =sqrt(1-(56/65)^2)=sqrt((65^2-56^2)/65^2)=
=33/65

Ответ выбран лучшим

Проводим высоты из вершин верхнего основания на нижнее.
Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник.
Нижнее основание состоит из отрезков 2; 6 и 2
Прямоугольные треугольники на рис. 2 подобны.
Из подобия
2:h=h:8
h^2=2*8
h=4
S=(6+10)*4/2=32 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

В основании параллелепипеда прямоугольник АВСD.
По теореме Пифагора:
AC^2=AD^2+DC^2=12^2+9^2=144+81=225.
АС=15.
Треугольник АСС1- прямоугольный равнобедренный.
АС=СС1=15
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном треугольнике АС1D катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
AD=11 cм
В основании призмы квадрат. АВ=ВС=11
S(основания)=11^2=121 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов
АВ^2=6^2+6^2-2*6*6*cos120 градусов=36+36+36=108
АВ=6sqrt(3)
S(грани AKLB)=AB*AK
343sqrt(?)=6sqrt(3)* AK
H (призмы)=AK=343sqrt(?):6sqrt(3)=

S(Δ АВС)=(1/2)*АС*СВ*(sin120 градусов)=9sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

X_________P_____Y

XY=11,2 дм=112 см
PY=34 cм
XP=112-34=78 cм

x^2+y^2+(z^2/(1/4))=1 - эллипсоид,
a=1; b=1; c=1/2.
x+y+z=0 - плоскость, проходящая через точки (1;0;0);
(0;1;0);(0;0;1).

Плоскость пересекает поверхность эллипсоида по кривым, плавно соединяющим точку M c точкой N; точку А с точкой В, точку А с точкой М, точку N c точкой. Получится сферический четырехугольник( см. зеленый четырехугольник на розовой поверхности )
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2+y^2=4x;
x^2-4x+4+y^2=4
(x-2)^2+y^2=2^2- уравнение эллиптического цилиндра, в основании окружности (x-2)^2+y^2=2^2, образующие параллельны оси Оz.

z^2=4-x - параболический цилиндр. В основании парабола x=4-z^2 в плоскости xОz.
Образующие параллельны оси Оу.

Поверхность, ограниченная заданными поверхностями, на верхнем рисунке. Сферический эллипс, не плоский, а выпуклый, как сферический четырехугольник, см. предыдущую задачу. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3·10^(–5)/(3·10^(–8))=10^(-5)/10^(-8)=
=10^(-5-(-8))=10^3=1000

Ответ выбран лучшим

f `(0)=-sin0=0
f ``(x)=(f`(x))`=(-sinx)`=-(sinx)`=-cosx
f ``(0)=-cos0=-1

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть AB=BF=a; FС=CD=b
Высота трапеции h=BK=CT

Треугольник АВF – равнобедренный.
Высота СК делит сторону AF пополам
АК=КF=х
Треугольник FCD – равнобедренный.
Высота СT делит сторону FD пополам
FT=TD=y
Поэтому BC=x+y=AD/2
Запишем площади треугольников по формулам
S=r*p, S– площадь треугольника , р – полупериметр
S=a*h/2
и получим систему трех уравнений с четырьмя переменными.

{2х*h/2=3*(2x+2a)/2;
{2y*h/2=8*(2y+2b)/2;
{(x+y)*h/2=(a+b+x+y)*6/2.

или
{х*h=3x+3a;
{y*h=8y+8b;
{(x+y)*h/2=3a+3b+3x+3y.

Складываем первое и второе
{(x+y)*h=3x+8y+3a+8b;
{(x+y)*h/2=3x+3y+3a+3b.

Вычитаем из первого второе:
(x+y)*h/2=5y+5b ⇒ y+b=(x+y)*h/10
так как y*h=8y+8b, то
(х+у)*h/10=y*h/8
или
8*(x+y)=10y
8x=2y
x/y=2/8=1/4
О т в е т. АF:FD=x:y=1:4. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х-1 > 0 , x-1 ≠ 1.
x∈(1;2)U(2;+бесконечность)
По условию:

|x-2|≤ 1 ⇒ -1 ≤ x-2 ≤1 ⇒ 1≤ x ≤3

Учитывая ОДЗ:
1 < х < 2 и 2 < x ≤ 3.

4^(x+1)-3*2^x-a=(x-1)^0;
4^(x+1)-3*2^x-1=a;
Замена переменной
2^x=t; 4^(x+1)=4t^2.
если 1 < х < 2, то 2 < 2^x < 2^2⇒ 2 < t < 4
если 1 < х ≤ 3, то 2 < 2^x ≤ 2^3⇒ 4 < t ≤ 8
Переформулируем задачу.
При каких значениях параметра а уравнение
4t^2-3*t-1=a
имеет ровно один корень, принадлежащий (2;4)U(4;8]

Исследуем график функции у=4t^2-3*t-1
y`=8t-3
t=3/8 - точка минимума
значит на (3/8;+ бесконечность) функция возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз и на (2;4) U(4;8] тоже возрастает.

И график функции у =4t^2-3*t-1 будет иметь ровно одну точку пересечения с графиком у=а.

при t=2 4*2^2-3*2-1=a
a=9
t=4 при а=51
при t=8 4*8^2-3*8-1=a
a=231
О т в е т. 9 < a < 51 и 51 < а ≤231

Ответ выбран лучшим

[b]Наименьшее[/b] число– такое, что само число и число (n+21) содержат максимальное количество девяток
14 000 : 2 = 7 000
7 000 : 9 = 777 ( девяток)
Разбираемся с последними цифрами.

Число n 99....99(x)9
Число n+21=99....99(y)0
x=1 y=4

Итак число n это 9999...9919 (777 девяток перед цифрой 1 )
n+1 это 9999...9949 (777 девяток перед цифрой 4 )
Сумма цифр этих чисел
S(n)+S(n+21)= 9+9+9+9+...+9+9+1+9 +
+9+9+9+9+...+9+9+4+0=
=2*9*777+1+9+4=14 000
О т в е т. 99940

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(3p/2–x)=-сosx;
sin(x–p)=sinx.
Уравнение принимает вид:
-2сosx*sinx+2sqrt(2)cosx=0
-2cosx*(sinx-sqrt(2)cosx)=0
cosx=0 или sinx-sqrt(2)cosx=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k∈Z
sinx-sqrt(2)cosx=0 ⇒ tgx=sqrt(2)
x=arctg(sqrt(2))+πn, n∈Z

x=arctg(sqrt(2))+3π
принадлежит промежутку ( 5π/2; 7π/2)

x= 5π/2; x= arctg(sqrt(2))+3π; x=7π/2 принадлежат отрезку [ 5π/2; 7π/2]

Ответ выбран лучшим

10^6=2^6•5^6
Значит, а – четное
Пусть а=2n
а(a+12)(a+24)(a+36)(a+48)=
=2n(2n+12)(2n+24)(2n+36)(2n+48)=
=2^5•n(n+6)(n+12)(n+18)(n+24) – не кратно 2^6
Поэтому пусть а=4n
а(a+12)(a+24)(a+36)(a+48)=
=4n(4n+12)(4n+24)(4n+36)(4n+48)=
=4^5•n(n+3)(n+6)(n+9)(n+12)– кратно 4^5=2^(10), значит кратно 2^6 при любом n.
Произведение n(n+3)(n+6)(n+9)(n+12) должно быть кратно 5^6
значит, наибольший множитель (n+12)должен быть кратным 5^6.
n=5^6–12=15 625 - 12= 15613
a=4n=4•15 613=62452

О т в е т. а=62452

Ответ выбран лучшим

x_(0)=2^(-1)=1/2
y_(0)=2^2=4
y`_(x)=y`_(t)/x`_(t)=(2*2^(2t)*ln2)/(-2^(-t)*ln2)=
=(2*2^(2t))/(-2^(-t))
y`(x_(0))=(2*2^(2))/(-2^(-1))/=-16
Уравнение касательной:
у-f(x_(0))=f`(x_(0))*(x-x_(0));
y-4=-16*(x-(1/2);
16x+y-12=0
Уравнение нормали
у-f(x_(0))=(-1/f`(x_(0)))*(x-x_(0));
у-4=(-1/16)*(х-(1/2))
2x-32y+127=0

y``_(x)=(y`_(x))`_(t)/x`_(t)=

=((2*2^(2t))`*2^(-t)-(-2^(-t))*2*2^t)/(-2^(-t))^2*(-2^(-t))*ln2=
=2*2^(2t)*(-2^(-t))*(2+1)/(-2^(-t))^3=
=6*2^(4t)
y``(x_(0))=y``(1)=96.

Ответ выбран лучшим

Функция не определена при х^2+4х+4=0, т. е при х=-2
В остальных точках функция непрерывна как частное непрерывных функций.
О т в е т. функция непрерывна при х∈(-бесконечность;-2)U(2; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

f(–1)=2*(-1)+3=1
f(–0,5)=2*(-0,5)+3=2
f(0)=0^2=0

Ответ выбран лучшим

1)(11/10)-(4/11)=(121/110)-(40/110)=81/110
2)81/110:(15/44)=81/110*(44/15)=(27*4)/(10*5)=
=98/50=49/25

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов.
∠СМН=90 градусов - 28 градусов= 62 градусов.

Треугольник СМВ - равнобедренный. АМ=МВ=СМ=R
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
∠СМВ=∠МВС=62 градусов

В прямоугольном треугольнике АВС сумма острых углов равна 90 градусов.
∠САВ=90 градусов - 62 градусов= 28 градусов.
О т в е т. Бо`льший угол ∠СВМ=62 ° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
log_(x)(3x-1)=t;
t^2-t≥ 0 ⇒ t(t-1)≥ 0 ⇒ t≤0 или t≥ 1

Решаем первое неравенство:
t≤0
log_(x)(3x-1)≤0 ; 0=log_(x)1.

log_(x)(3x-1)≤log_(x)1;

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{x > 0, x≠1
{3x-1 > 0 ⇒ х > 1/3
{(x-1)(3x-1-1)≤0 ⇒ (x-1)(3x-2)≤0 ⇒ 2/3 ≤x≤1
x∈[2/3;1).

Решаем второе неравенство:
t ≥ 1
log_(x)(3x-1)≥ 1 ; 1=log_(x)x.

log_(x)(3x-1)≥ log_(x)x;

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{x > 0, x≠1
{3x-1 > 0 ⇒ х > 1/3
{(x-1)(3x-1-x)≥ 0 ⇒ (x-1)(2x-1)≥ 0 ⇒ x ≤1/2 или x≥1
x∈(1/3;1/2]U(1;+ бесконечность).
О т в е т. (1/3;1/2]U[2/3;1)U(1;+ бесконечность).

Ответ выбран лучшим

sin2x=3(sinx+cosx–1)
A) Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2
1+sin2x=t^2
sin2x=t^2-1
Уравнение принимает вид
t^2-1=3t-3;
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
t1=1 или t2=2
sinx+cosx=1
Решаем методом вспомогательного угла.
Делим уравнение на sqrt(2)^
(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2)cosx=1/sqrt(2)

sin(x+(π/4))=1/sqrt(2)
x+(π/4)=(π/4)+2πk, k∈Z или x+(π/4)=(3π/4)+2πn, n∈Z
x=2πk, k∈Z или x=(π/2)+2πn, n∈Z

k=0 х=0∉ [1,5;6]
k=1 x=2π > 6 и 2π∉ [1,5;6]

при n=0
x=(π/2)∈[1,5;6], так как π > 3 ⇒π/2 > 1,5
О т в е т.
А)2πk, (π/2)+2πn, k, n∈Z.
Б)(π/2)∈[1,5;6].

Ответ выбран лучшим

cos ((π /2)+a)·tg (π +a)=
=-sina*tga=-sin^2a/cosa

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час - расчетная скорость.
15/(х+4)+18/(х-4)=36/х;
15*х*(х-4)+18*х(х+4)=36*(х-4)*(х+4);
15x^2-60x+18x^2+72x=36x^2-576;
3x^2-12x-576=0
x^2-4x-132=0
D=16-4*(-192)=16+768=784=28^2
x1=(4-28)/2 < 0 x2=(4+28)/2=16
36:16=2,25 час.
О т в е т. 2 часа 15 минут

Ответ выбран лучшим

cos^2a+tg^2a·ctg^2a+sin^2a=cos^2a+1+sin^2a=
=(cos^2a+sin^2a)+1=1+1=2

Ответ выбран лучшим

f`(x)=(x^2–5x–9,5)`*e^(1–2x)+(x^2–5x–9,5)*(e^(1-2x))`=
=(2x-5)*e^(1-2x)+(x^2-5x-9,5)*e^(1-2x)*(1-2x)`=
=(2x-5)*e^(1-2x)+(x^2-5x-9,5)*e^(1-2x)*(-2)=
=e^(1-2x)*(2x-5-2x^2+10x+19)=
=e^(1-2x)*(-2x^2+12x+14)
y`=0
-2x^2+12x+14=0
x^2-6x-7=0
D=36-4*(-7)=36+28=64
x1=-1 или x2=7

Знак производной
__-__ (-1) ___+___ (7) __-_

х=-1 - точка минимума.

Ответ выбран лучшим

sin^2∠B+cos^2∠B=1⇒ cos^2∠B=1-sin^2∠B=1-(sqrt(5)/5)^2=
=1-(1/5)=4/5
Так как π/2 < ∠B < π
cos∠B=-2sqrt(5)/5

sin∠2B=2*sin∠B*cos∠B=2*(sqrt(5)/5)*(-2sqrt(5)/5)=-4/5

О т в е т. sin∠2B=-4/5

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(x+(3π/2))=-cosx.

(4sin^2x/cos^2x)-(1/cosx)+1=0;
cosx≠0
4sin^2x-cosx+cos^2x=0;
4*(1-cos^2x)-cosx+cos^2x=0;
3cos^2x+cosx-4=0.-
D=1+48=49
cosx=-4/3 - уравнение не имеет корней
cosx=1
x=2πk, k∈Z
x=2π∈[3π/2;3π]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(7П/2+x)=sinx.

(5/sin^2x)–(9/sinx)+4=0

sinx≠0 ⇒ x≠πk, k∈Z.

4sin^2x-9sinx+5=0
sinx=t
4t^2-9t+5=0
D=81-80
t=1 или t=5/4
sinx=5/4 - нет корней. |sinx| меньше или равно 0
sinx=1 ⇒ x=(π/2)+2πn, n∈Z

x= (π/2)-2π =-3π/2 - корень, принадлежащий отрезку [-5π/2;-π]

Ответ выбран лучшим

Р___?____М и С

1) 50*6=300 м прошли Максим и Саша за 6 мин.
если бы Рома шел с такой же скоростью как Саша и Максим, т.е 50 м/ мин, то он никогда не догнал бы Максима и Сашу. Между ними так и сохранялось бы расстояние в 300 м.
Но за счет того,что
2) 80-50=30 м/мин на столько скорость Ромы больше.
3) 300:30=10 мин.
О т в е т. Через 10 минут Рома догонит Максима и Сашу.

Ответ выбран лучшим

(7а/3с)–((49а^2 + 9c^2)/21ac)+((3c–49a)/7a) =

=(49a^2/21aс)–((49а^2 + 9c^2)/21ac)+(3c(3c–49a)/21ac)=

=(49a^2–49a^2–9c^2+9c^2–147ac)/21ac=–147ac/21ac=-7

Ответ выбран лучшим

cos^2a·cos^2b+2sina·sinb·cosa·cosb+sin^2a·sin^2b=
=(cosa*cosb+sina*sinb)^2=cos^2(a-b)

(cos^2a·cos^2b+2sina·sinb·cosa·cosb+sin^2a·sin^2b)/cos(a–b)=cos^2(a-b)/cos(a-b)=cos(a-b)

Ответ выбран лучшим

4sin(p–p/3)·cos(p/6)+4sin(7p/6)·cos(p/3) =
=4sin(2p/3)·cos(p/6)+4sin( p+(p/6))·cos(p/3) =

=4sin(p/3)·cos(p/6)-4sin(p/6)·cos(p/3) =
=4*(sqrt(3)/2)*(sqrt(3)/2)-4*(1/2)*(1/2)=
=3-1=2

Ответ выбран лучшим

cos^4(2a)–sin^4(2a)=(cos^2(2a)-sin^2(2a))*(cos^2(2a)+sin^2(2a))=cos4a

cos^4(2a)–sin^4(2a)/cos4a=cos4a/cos4a=1

1-(cos2a–sin2a)^2=1-(cos^22a-2sin2a*cos2a+sin^22a)=1-(1-2sin2a*cos2a)=2sin2a*cos2a=sin4a

Ответ выбран лучшим

(1/(1–tgx)) – (1/(1+tgx))=(1+tgx-1+tgx)/(1-tg^2x)=

=2tgx/(cos^2x-sin^2x)/cos^2x=

=(2sinx*cosx)/(cos^2x-sin^2x)

(1/(1–tgx)) – (1/(1+tgx))*(cos^2x-sin^2x)=

=(2sinx*cosx)*(cos^2x-sin^2x)/(cos^2x-sin^2x)=

=sin2x

Ответ выбран лучшим

cos^4(2a)–sin^4(2a)=(cos^2(2a)-sin^2(2a))*(cos^2(2a)+sin^2(2a))=cos4a

А дальше не понятно, скобки не расставлены

cos4(2a)–sin4(2a)/cos4a=cos4a/cos4a=1

1-(cos^2a–sin^2a)=1-cos2a

Ответ выбран лучшим

(tg^3x–tg^3y)/((1+tgx·tgy)·(tg^2x+tgx·tgy+tg^2y))=
=((tgx-tgy)*(tg^2x+tgx·tgy+tg^2y))/((1+tgx·tgy)·(tg^2x+tgx·tgy+tg^2y))=
=(tgx-tgy)/(1+tgx·tgy)=
=tg(x-y)

Ответ выбран лучшим

x^2+y^2+z^2=a^2- эллипсоид, частный его случай - сфера с радиусом а.

bz=x^2+y^2- эллиптический параболоид, в нашем случаем параболоид вращения

Две фигуры пересекаются по линии
a^2-x^2-y^2=(x^2+y^2)^2/b^2;
(ab)^2=(x^2+y^2)(x^2+y^2+b^2);
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

=(tga+tgb)(1+tga·tgb)/(1–tga·tgb)(1+tga*tgb)=

=(tga+tgb)/(1-tga*tgb)=tg(a+b)

Ответ выбран лучшим

2) однородное уравнение
Замена у=хu
dy=xdu+udx;
xudx=(x-2sqrt(x)*sqrt(xu))*(xdu+udx);
2usqrt(u)dx=x*(1-2sqrt(u))du;
dx/x=(1-2sqrt(u))du/2usqrt(u)
∫dx/x=∫(du/2usqrt(u))-∫du/u;
ln|x|=(-1/2)*(1/u)-ln|u|+C.
ln|xu|=(-1/2u)+C
y=Ce^(-x/2y)

Ответ выбран лучшим

Непосредственная подстановка х=-2 приводит к неопределенности (0/0). Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители, один из которых (х+2), на него и сократим.
lim_(x→ -2)(x+2)^3/(x+2)(x^2-2x+4)=

=lim_(x→ -2)(x+2)^2/(x^2-2x+4)=0

Ответ выбран лучшим

(7а/3с)–((49а^2 + 9c^2)/21ac)+((3c–49a)/7a) =

=(49a^2/21aс)–((49а^2 + 9c^2)/21ac)+(3c(3c–49a)/21ac)=

=(49a^2-49a^2-9c^2+9c^2-147ac)/21ac = - 147ac/21ac = - 7

О т в е т. при любых а и с получим 7, в том числе и при а=78, с=20

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1) x^2+y^2-z^2=4 - однополостный гиперболоид вращения ( cм. рис.1)
2) y=sqrt(3) - плоскость, параллельная плоскости xOz и проходящая через точку (0;sqrt(3);0)

Плоскость разрезает гиперболоид на две части, так же как окружность x^2+y^2=4
делится отрезком прямой у=sqrt(3) на два сегмента (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. а)=(7^2)^(5,2)/7^(8,4)=7^(10,4-8,4)=7^2=49;
б)=(3*4*4)^(0,5)*7^((5/3)-(2/3))*8^((1/6)-(1/2))=
=36^(0,5)*7*8^(-1/3)=6*7*(1/2)=21;
в)=(2^4)^(5/4)-((-9)^(-1))^(-0,5)+(3^2)^(2/3)=
=2^5-(-9)^(1/2)+3^2=32 - ? +9
(-9)^1/2 не существует
2. a)=3^2*a^(2/3):(3^3*a^(1/6))=a^((2/3)-(1/6))/3=
=a^(1/2)/3;
б)=(21/4)a^(-2-2-(-4))*b^(-5-(-2)-(-4)=5,25b;
3.
a) 54-3x=x^2
x^2+3x-54=0
D=9-4*(-54)=225
x=(-3-15)/2=-9; x=(-3+15)/2=6
Проверка
при х=-9
sqrt(54-3*(-9))=-9 - неверно.
Арифметический квадратный корень есть число неотрицательное по определению
при х=6
sqrt(54-3*6)=6 - верно, sqrt(36)=6.
О т в е т. 6
б) (1/3)^(3x-10) < (1/3)^3
Показательная функция с основанием (1/3) убывающая.
3x-10 > 3
3x > 13
x > 13/3
О т в е т. (13/3; + бесконечность).

в) Замена
7^x=t
7^(2x)=(7^x)^2=t^2
t^2-6t+5=0
D=36-20=16
t=1 или t=5
7^x=1 или 7^x=5
x=0 или x=log_(7)5
О т в е т. 0; log_(7)5.

Ответ выбран лучшим

MN||B1C
OK||MN||B1C
ОК=MN/2
MN=4, B1C=4
BC=4*sin45 градусов=2sqrt(2)
S=6a^2=6*(2sqrt(2))^2=6*8=48 кв.см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) S=MS*NQ MS=S(MNRS)/NQ=99/9=11
Проводим МК ⊥ NR
MK||NQ
MK=9
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
MKR
KR^2=15^2-9^2=225-81=144
KR=12
KN=KR-NR=12-11=1
По теореме Пифагора
MN^2=MK^2+KN^2=1+9^2=81
MN=sqrt(82)
2)LF|| MK
LF=MK
Треугольник LFR- прямоугольный равнобедренный.
FR=12-4=8
LF=8
MK=LF=8
3) Cумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов.
∠TKL=180°-150°=30°
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
KL=10
4)∠CBD=∠DBA=60°- внутренние накрест лежащие при параллельных СВ и DA и секущей DB.
Cумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов.
Значит ∠DАВ=30°.
В прямоугольном треугольнике DBA катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
BD=AD/2=24
В прямоугольном треугольнике DBC катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
BC=BD/2=12
По теореме Пифагора из треугольника DBC
DC^2=DB^2-CB^2=24^2-12^2=576-144=432
DC=12sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) область определения
4х-5≠0
х≠5/4.
Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(-х)=(17-х^2)/(-4x-5)
y(-x)≠y(x)
y(-x)≠-y(x)
Функция не является периодической.
2)Точки пересечения графика с осями координат:
с осью Ох:
у=0
17-x^2=0
x=-sqrt(17) или х=sqrt(17)
f(x) > 0 на (-∞;-sqrt(17))и (sqrt(17);+∞)
f(x) < 0 на (-sqrt(17);sqrt(17)).
3) x=5/4 -вертикальная асимптота.
lim_(x→(5/4)+0)f(x)=+∞
lim_(x→(5/4)-0)f(x)=-∞
Горизонатльных асимптот нет
lim_(x→+∞)f(x)=-∞;
lim_(x→-∞)f(x)=+∞.
Находим наклонную асимптоту.
k=lim_(x→∞)f(x)/x=lim_(x→∞)(17-x^2)/(4x^2-5x)=-1/4
b==lim_(x→∞)(f(x)-kx)=lim_(x→∞)(17-(5x/4))/(4x-5)=∞
4)f`(x)=(-2x*(4x-5)-4*(17-x^2))/(4x-5)^2=
=(10x-4x^2-68)/(4x-5)^2.
y`=0
10x-4x^2-68=0
уравнение не имеет корней, D < 0
Точек экстремума нет.
5)f``(x)=((10x-4x^2-68)/(4x-5)^2)=
=((10-8x)*(4x-5)^2-2(4x-5)*4*(10x-4x^2-68))/(4x-5)^4=
=(40x-32x^2-50+40x-80x+32x^2+544)/(4x-5)^3=
=+494/(4x-5)^3.
На (-∞;(5/4)) f``(x) < 0, функция выпукла вверх.
на((5/4);+∞)f``(x) > 0, функция выпукла вниз.
Точек перегиба нет.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Фигура в первой четверти ( см. на рис. розового цвета)
S=∫^(1)_(0)(2-x^2)dx+∫^(sqrt(2)_(1)(1-x)dx=
=(2x-(x^3/3))|^(1)_(0)+(x-(x^2/2))|^(sqrt(2)_(1)=
=(2x-(x^3/3))|^(1)_(0)+(x-(x^2/2))|^(sqrt(2)_(1)=
=2-(1/3)+(sqrt(2)-(sqrt(2))^2/2=
=(4/3)+sqrt(2)
или
2) Фигура во второй четверти серого цвета.
Находим абсциссу точки пересечения графика у=1-х и у=2-x^2.
1-x=2-x^2;
x^2-x-1=0
D=1+4=5
x1=(1-sqrt(5))/2, x2=(1+sqrt(5))/2
Фигура, площадь которой требуется вычислить, ограничена сверху графиком функции у=2-x^2 и у=1-х, снизу отрезком
[-sqrt(2);0]

S=∫^(((1-sqrt(5))/2)_((-sqrt(2)(2-x^2)dx+∫^0_((1-sqrt(5))/2)(1-x)dx=
=(2x-(x^3/3))|^((1-sqrt(5))/2)_(-sqrt(2))+(x-(x^2/2))|^0_(((1-sqrt(5))/2)=
=(16sqrt(2)-16sqrt(5)+1)/12
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть
у=3х+2 - данная функция
Меняем местами х и у
х=3у+2
находим у
у=(1/3)-(2/3)- обратная ей.
Графики симметричны относительно прямой у=х (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

14^2=x^2+10^2-2*x*10*(-1/2);
x^2+10x-96=0
D=100-4*(96)=100+384=484=22^2
x1=(-10-22)/2=-16 или х2=(-10+22)/2=6
О т в е т. -16;6

Ответ выбран лучшим

sqrt(125)=sqrt(25*5)=5sqrt(5)
sqrt(10)=sqrt(2*5)=sqrt(2)*sqrt(5)
sqrt(98)=sqrt(49*2)=7sqrt(2)

(1/2)*sqrt(125)-sqrt(2)*(sqrt(10)-sqrt(98))=

=(1/2)*5sqrt(5)-sqrt(2)*sqrt(2)*sqrt(5)+sqrt(2)*7sqrt(2)=

=(5/2)*sqrt(5)-2sqrt(5)+14=(1/2)sqrt(5)+14

Ответ выбран лучшим

y`=(42/π)-12cosx;
y`=0
(42/π)-12cosx=0
(42/π)=12cosx
cosx=7/2π
Так как |cosx| меньше или равно 1,
7/2π > 1 уравнение не имеет корней.
На [0; π/6] производная положительна
Функция у= cosx убывает на [0; π/6].
Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
0 < x < π/6⇒
cos π/6 < cosx < cos0=1⇒
sqrt(3)/2 < x < 1
Умножим неравенство на -12.
-12 < -12cosx < -6sqrt(3)
Прибавим ко всем частям неравенства
(48/π)-12 < (48/π)-12cosx < (48/π)-6sqrt(3)

(48/π)-12=(48-12π)/π > 0
y`=(42/π)-12cosx > (48/π)-12 > 0 на [0; π/6]

Значит наибольшее значение функции в точке х= π/6
у( π/6)=7-12*(1\2)=7-6=1

Ответ выбран лучшим

g(x)=-6+12x-x^2- квадратичная функция.
Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение в вершине.
x_(в)=-b/2a=-12/(-2)=6

Функция у=sqrt(-6+12x-x^2) имеет наибольшее значение в той же точке, х=6
х=6- точка максимума.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

а)
Из прямоугольного треугольника АВВ1 ( см. рис.1)
сos∠A=AB1/AB;
Из прямоугольного треугольника АC1C
сos∠A=AC1/AС;
Значит
AB1/AB=AC1/AС
или
AB1/AС1=AB/AС
Треугольник АС1В1 подобен треугольнику АВС.
Угол А общий и стороны, образующие этот угол пропорциональны.
Треугольник АС1В1 подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия cos ∠A
Значит ∠AС1В1=∠АСВ и ∠AВ1С1=∠АВС.

Около четырехугольника АС1НВ1 можно описать окружность.
АН– диаметр этой окружности ( см. рис. 2)
Тогда ∠AНВ1=∠AС1В1 как углы опирающиеся на одинаковые дуги
∠AНВ1=∠AС1В1=∠АСВ
аналогично ,∠AНС1=∠AВ1С1=∠АВС

б) ∠ВАС=60 °
По теореме синусов
С1В1/sin∠ВАС= 2R, где R- радиус окружности, описанной около треугольника АВ1С1
2R=AH=8sqrt(3)
В1С1=8sqrt(3)·sin60 °=12
Из подобия треугольников АВС и АВ1С1 следует
B1C1/BC=cos∠ВАС
12/BC=cos60 градусов.
BC=12*2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По свойству серединного перпендикуляра, АЕ=ВЕ
ВС=ВЕ+ЕС=АЕ+ЕС=24
Р(Δ АЕС)=АС+АЕ+ЕС=АС+24
30=АС+24
АС=6

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sqrt(2x+3)=t
2x+3=t^2
x=(t^2-3)/2
x+3=(t^2-3)/2 +3 =(t^2-3+6)/2=(t^2+3)/2
dx=dt
f(x)=(t^2+3)/t(t^2-3)- дробь, которую надо разложить на простейшие
(t^2+3)/t(t^2-3)=2t/(t^2-3)-(1/t)
О т в е т. ln|t^2-3|-lnt+C, t=sqrt(2x+3)

sin^54x=sin^44x*sin4x=(1-cos^24x)^2*sin4x=(1-2cos^24x+cos^44x)*sin4x
f(x)=((1-2cos^24x+cos^44x)/cos^4x)*sin4x=
=(1/cos^44x)-(2/cos^24x)+1)*sin4x
Замена
cos4x=t
(-sin4x)*(4)dx=dt
sin4x=-dt/4
I=(-1/4)∫((1/t^4)-(2/t^2)+1)dt=-(1/4)*(-1/3t^3+(1/2)*(-1/t)-(1/4)t+C=
=(1/12)(1/t^3)-(1/2t)-(t/4)+C, t=cos4x

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат числитель
(2+3∛х)^2=4+12 ∛х+9∛(х^2)

f(x)=(4+12 ∛х+9∛(х^2))/x^2=4x^(-2)+12x^((1/3)-2)+9x^((2/3)-2)=

=4x^(-2)+12x^(-5/3)+9x^(-4/3)

∫^8_1(4x^(-2)+12x^(-5/3)+9x^(-4/3))dx=(4x^(-1)/(-1)+12x^((-5/3)+1)/((-5/3)+1)+9x^((-4/3)+1)/((-4/3)+1))|^8_1=(-4/x)-(18/∛(х^2))-(27/∛х)|^8_1=(-4/8)-(18/4)-(27/2)+4+18+27=

Замена
х=sint
1-x^2=1-sin^2t=cos^2t
sqrt(1-x^2)=cost
dx=costdt
Неопределенный интеграл
∫dx/(x^2sqrt(1-x^2))=∫costdt/(sin^2tcost)=
=∫dt/sin^2t=-ctgt
Так как x=sint, то cost=sqrt(1-x^2)
ctgt=cost/sint= sqrt(1-x^2)/x
Значит первообразная f(x)=1/(x^2sqrt(1-x^2))
есть F(x)=sqrt(1-x^2)/x
Определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница равен
sqrt(1-x^2)/x)|^(sqrt(3)/2)_(1/2)=(1-(3/4))/(sqrt(3)/2)-(1-(1/4)/(1/2)=(1/(2sqrt(3)))-1/2

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

y`=1-(1/cos^2x)
y`=0
1-(1/cos^2x)=0
(cos^2x-1)/cos^2x=0
cos^2x=1
cos^2x≠0
cosx=1 или сosx=-1
x=2πk, k∈Z или x=π+2πn, n∈Z
Точек возможного экстремума, принадлежащих отрезку [–π/4; 0] нет.
(-π/6)∈ [–π/4; 0]
y`(-π/6)=1-(4/3)=-(1/3) < 0
Производная функции на [–π/4; 0] отрицательна, функция убывает.
Наименьшее значение функция принимает в точке х=0.
y(0)=0-tg0+4=4
Ответ. 4

Ответ выбран лучшим

y`=2*(x+6)*(x-8)+(x+6)^2*(x-8)`=
=2*(x+6)*(x-8)+(x+6)^2*1=
=(x+6)*(2(x-8)+(x+6))=
=(x+6)*(3x-10)
y`=0
(x+6)*(3x-10)=0
x+6=0 или 3х-10=0
х=-6 или х=10/3∉[–18; –1]

[-18] __+___ (-6) ____-___ [-1]

y`(-10)=(-10+6)*(3*(-10)-10) > 0

x=-6 - точка максимума

у(-6)=9
О т в е т. 9

Ответ выбран лучшим

Область определения функции
-8+8х-x^2 > 0
x^2-8x+8 < 0
D=(-8)^2-4*8=64-32=32
x1=(8-sqrt(32))/2;x2=(8+sqrt(32))/2;
x1=4-2sqrt(2);x2=4+2sqrt(2);
x∈(4-2sqrt(2);4+2sqrt(2)).

y`=(-8+8x-x^2)`/((-8+8x-x^2)*ln2)=(8-2x)/((-8+8x-x^2)*ln2)
y`=0
8-2x=0
x=4
4∈(4-2sqrt(2);4+2sqrt(2))

y`(3)=(8-2*3)/((-8+8*3-3^2)*ln2) > 0

(4-2sqrt(2)) __+___ (4) __-___ (4+2sqrt(2))

x=4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -.
у(4)=log_(2)8+9=3+9=12
О т в е т. 12

Ответ выбран лучшим

y`=-3sinx-(48/π)
y`=0
-3sinx-(48/π)=0
sinx=-16/π
уравнение не имеет корней,
так как |sinx| меньше или равно 1

y`(-π/3)=-3sin(-π/3)-(48/π)=(3sqrt(3)/2)-(48/π) < 0

y` < 0 на [–2π/3; 0]
функция убывает, поэтому наименьшее значение в точке х=0
у(0)=3+19=22
О т в е т. 22

Ответ выбран лучшим

y=5x-5ln(x+5)
y`=5-(5/(x+5))=(5x+25-5)/(x+5)=(5x+20)/(x+5)
y`=0
5x+20=0
x=-4

{-4,5]__-__ (-4) ___+____[1]

y`(0)=(5*0+20)/(0+5)=4 > 0
x=4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.
у(-4)=5*(-4)-5ln(-4+5)=-20-5ln1=-20-5*0=-20
О т в е т. -20

Ответ выбран лучшим

y`=16-11cosx
y`=0
16-11cosx=0
cosx=16/11
уравнение не имеет корней

[–π/2] __+____ [0]

y`(–π/4)=16 - 11*sqrt(2)/2=16-5,5sqrt(2) > 0
( -π/4)∈[–π/2;0]
Производная положительна,значит функция возрастает. Наибольшее значение в точке х=0
y(0)=6
О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

Область определения функции:
sinx≠0 ⇒ x≠πk, k∈Z

1) если sinx > 0, то |sinx|=sinx
Тогда у=x-π.
{sinx > 0,
{у=x-π.

{ 2πk < х < π+2πk, k∈Z
{у=x-π.
На (2πk;π+2πk), k∈Z cтроим график y=x-π

2) если sinx < 0, то |sinx|=-sinx
Тогда у=-x+π.
{sinx < 0,
{у=-x+π.

{ -π+2πk < х < 2πk, k∈Z
{у=-x+π.
На (-π+2πk;2πk),k∈Z cтроим график y=-x+π

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

q=sqrt((2^2+11^2+(5sqrt(7))^2)/3)=
=sqrt(300/3)=sqrt(100)=10

Ответ выбран лучшим

Так как СС1⊥пл. АВС, СМ-проекция С1М
СМ-высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника АВС.
СМ=sqrt(8^2-4^2)=sqrt(48)=4sqrt(3)
Из прямоугольного треугольника МСС1:
С1М^2=CM^2+CC1^2=48+36=84
C1M=2sqrt(21)
О т в е т. С1М/sqrt(21)=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
tg(п+α)=tgα
сtg((3п/2)+α)=-tgα

tg(п+α)-5сtg((3п/2)+α)=tgα+5tgα=6tgα

При tgα=1/3
6tgα=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1) y` = (x–103)` · e^(104-x)+(x-103)*e^(104-x)*(104-x)`=
=e^(104-x)*(1-x+103)
y`=0
x=104
__+__ (104) __-_
x=104- точка максимума
4(104)=1*e^(104-104)=1*e^0=1.

2)y`=(7ln(x+2)-7x)`=
=7/(x+2)-7=(7-7x-14)/(x+2)=(-7x-7)/(x+2)

y`=0
-7x-7=0
x=-1
[–1,5]__+__ (-1) __-_ [0]

x=-1 - точка максимума
у(-1)=7ln1-7*(-1)=7*0+7=7

3)y`=(5x-5ln(x+7))`=5-(5/(x+7))=(5x+35-5)/(x+7)=
=(5х+30)/(x+7)
y`=0
5x+30=0
x=-6

[–6,5]__-__ (-6) _____+_______ [0]
x=-6- точка минимума
у(-6)=5*(-6)-5ln(-6+7)=-30-5ln1=-30

Ответ выбран лучшим

Это некорректная задача.
Пусть х пятикубовых шприцев.
Вероятность взять пятикубовый шприц равна
x/15
Вероятность взять второй пятикубовый шприц равна
(х-1)/14
Вероятность взять третий пятикубовый шприц равна
(х-2)/13
Вероятность взять три пятикубовых шприца равна
(х/15)*((х-1)/14)*((х-2)/13)=3/4;
4*х*(х-1)*(х-2)=3*15*14*13
Уравнение
2*х*(х-1)*(х-2)=3*3*5*7*13
не имеет решений в натуральных числах
Слева число четное, кроме того произведение трех подряд идущих натуральных чисел в порядке убывания.
Справа нечетное число.

Ответ выбран лучшим

1) y`=12^(1+4x–x^2)*ln12*(1+4x-x^2)`=
=12^(1+4x–x^2)*ln12*(4-2x)
y`=0
4-2x=0
x=2- точка максимума, производная меняет знак с + на -

2) y` = ((x–2)^2)` · e^(x–635)+(x-2)^2*e^(x-635)=
=e^(x–635)*(x-2)*(2+x-2)
y`=0
x=0 x=2
__+__ (0) __-_ (2) _+__
x=0- точка максимума

у`= 2–(2/(x+5))=(2x+10-2)/(x+5)=(2x+8)/(x+5)
y`=0
2x+8=0
x=-4
[–4,5]__-__ (-4) __+_ [0]

x=-4 - точка минимума
у(-4)=2*(-4)-2*ln(-4+5)=-8-2ln1=-8-2*0=-8

Ответ выбран лучшим

1) S=∫^1_(0)(-x^2+4x-3-3x+3)dx=∫^1_(0)(-x^2+x)dx=((-x^3/3)+(x^2/2))|^1_(0)=(-1/3)+(1/2)=1/6
2)S=∫^(sqrt(2))_(-sqrt(2))(-x^2-(-2))dx=
=∫^(sqrt(2))_(-sqrt(2))(-x^2+2)dx
=((-x^3/3)+2x))|^(sqrt(2))_(-sqrt(2))=
=(-2sqrt(2)/3)+2sqrt(2)-(2sqrt(2)/3)+2sqrt(2)=8sqrt(2)/3
3)S=∫^1_(-1)((1-x^2)-(x^2-1))dx=∫^1_(-1)(2-2x^2)dx=(2x-(2x^3/3))|^1_(-1)=1/3
4)S=∫^1_(-2)(1-x^3)dx=(x-(x^4/4))|^1_(-2)==1-(1/4)-(-2-4)=6 целых 3/4
5)S=∫^0_(-1)(x^3-x)dx=((x^4/4)-(x^2/2))|^0_(-1)=0-((1/4)-(1/2))=1/4
6)S=∫^1_0(-x^2-(x^2-1))dx=S=∫^1_0(1-2x^2)dx=(x-(2x^3/3))|^1_0=1-(2/3)=1/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) y`=4x^3-4x
y`=0
4x^3-4x=0
4x(x^2-1)=0
x(x-1)(x+1)=0
x=-1 x=0 x=1
__-__ (-1) __+__ (0) __-__ (1) __+__
у убывает у возраст у убывает у возрастает
х=-1,х=1 - точки минимума, производная меняет знак с - на +
х=0- точка максимума.
2)y`=x^2-5x+6
y`=0
x^2-5x+6=0
D=25-24=1
x=2 или х=3
Точки 2 и 3 не принадлежат указанному отрезку.
На [0;1] у` > 0, функция возрастает.
Значит наибольшее и наименьшее значения принимает на концах отрезка
у(0)=10- наименьшее значение
у(1)=(1/3)-(5/2)+6+10=13 целых 1/6 - наибольшее значение
3)у`=-sinx-sqrt(3)cosx
y`=0
tgx=-sqrt(3)
x=-2п/3

(-п) _+__ (-2п/3) _-__ (0)

х=(-2п/3) - точка максимума.
у(-2п/3)=(1/2)-sqrt(3)(-sqrt(3)/2)=2- наибольшее значение
у(-п)=-1- наименьшее значение
у(0)=1

4) Пусть стороны прямоугольника х и у
Р=2*(х+у)
120=2*(х+у)
х+у=60
S=xy=x*(60-x)
S(x)=60x-x^2
S`(x)=0
60-2x=0
x=30
знак производной
[0]__+__ (30) __-__ [60]
x=30- точка максимума.
ч=30 у=60-30=30
О т в е т. х=у=30

Ответ выбран лучшим

Пусть у=sqrt(-7-8x-x^2), тогда
ax+y=2a+3
Решаем графически.
Сначала разберемся, что представляет из себя график функции
у=sqrt(-7-8x-x^2).
Возводим в квадрат
y^2=-7-8x-x^2
x^2+8x+y^2=-7
Выделяем полный квадрат
(х^2+2*4*x+16)+y^2=16-7
(x+4)^2+y^2=9 - уравнение окружности (-4;0) R=3
у=sqrt(-7-8x-x^2)- уравнение полуокружности, расположенной выше оси ох.

ax+y=2a+3
у=-a(х-2)+3 - пучок, семейство прямых, проходящих через точку (2;3).

Осталось найти угловые коэффициенты этих прямых
1) y=g(x)
а=0
2)у=у1(х)
Уравнение прямой, проходящей через точки (2;3) и (-1;0).
у=х+1
х+1=-а(х-2)+3⇒ а=-1
у=у2(х)- уравнение прямой проходящей через точки(2;3) и (-7;0)
у=(1/3)х+(7/3)
(1/3)х+(7/3)=-а(х-2)+3
а=-1/3
Все прямые, расположенные между у=у1(х) и у=у2(х) пересекаются с полуокружностью в одной точке.
О т в е т. [-1;-1/3)U{0}

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

с1=–5,c_(n+1)=c_(n)–2.
с2=с1-2=-5-2=-7
с3=с2-2=-7-2=-9
с4=с3-2=-9-2=-11
c5=с4-2=-11-2=-13

Ответ выбран лучшим

y`=(x+2)`*cosx+(x+2)*(cosx)`-(sinx)`=
=cosx-(x+2)*sinx-cosx=-(x+2)*sinx
y`=0
x+2=0 или sinx=0 на (-π;0) уравнение не имеет корней
x=-2
Расставляем знаки производной
(-π) __-___ (-2) __+__ (0)
х=-2 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

Пусть АК=2х; КВ=3х
BL=y; LC=2y
AM=z; MC=3z
S(ΔBKL)/S(ΔABC)=(3x*y*sin∠B)/(5x*3y*sin∠B)=1/5
S(ΔMCL)/S(ΔABC)=(2y*3z*sin∠C)/(3y*4z*sin∠C)=1/2
S(ΔAKM)/S(ΔABC)=(2x*z*sin∠A)/(5x*4z *sin∠A)=1/10

Тогда
S(ΔKLM)=S(ΔABC)-S(ΔBKL)-S(ΔMCL)-S(ΔAKM)=
=(1-(1/5)-(1/2)-(1/10))S(ΔABC)=(1/5)S(ΔABC)

S(ΔBKL)=S(ΔKLM)=(1/5)S(ΔABC).

Б)ΔBKL и ΔKLM - равновелики и имеют общее основание. Значит и высоты в этих треугольника равны.
Из равенства прямоугольных треугольников следует BF=FM
О т в е т. 1:1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{6x^2-x-1 > 0;6x^2-x-1≠1 ⇒6x^2-x-2≠0
{2x^2-5x+3 > 0.

Применяя метод рационализации логарифмических неравенств
(6х^2-x-1-1)*(2x^2-5x+3-1) больше или равно 0.
(6x^2-x-2)*(2x^2-5x+2)больше или равно 0.
Применяем метод интервалов
6x^2-x-2=0
D=1+48=49
x=-1/2 или х=2/3
x=-1/2 и х=2/3 отмечаем пустым кружком на числовой прямой ( cм. ОДЗ6x^2-x-2≠0)
2x^2-5x+2=0
D=25-16=9
x=2 или х=1/2

_+__ (-1/2) ____ [1/2] _+__ (2/3) ___ [2] _+_

О т в е т. (-бесконечность; -1/2)U[1/2;2/3)U[2;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

25x^2+4x+14=0
D=4^2-4*25*14 < 0
Уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

1 кв. км = 10^6 кв м
301 000 кв км =3,01*10^5 кв. км= 3,01*10^(11) кв м.

Ответ выбран лучшим

1) Да. См. рисунок

2) Нет.
Раскрасим таблицу как шахматную доску.
Ход - к двум соседним числам (клетки имеют общую сторону)разрешается прибавить одно и то же целое число.
Значит каждый раз прибавляем к клетке черного цвета и к клетке белого. Это означает, что общая сумма чисел на черных и белых клетках остается неизменной (инвариантной).
Сумма на черных клетках 4+6+8+1+3=22
сумма на белых клетках 5+9+7+2=23
3) N=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) находим абсциссу точки пересечения графиков
х+5=6/x;
x^2+5x-6=0
D=25+24=49
x=-6; x=1
S=∫^1_(-2)(x+5)dx+∫^6_(1)(6/x)dx=

=((x^2/2)+5x)|^1_(-2)+(6ln|x|)|^6_(1)=

=(1/2)+5-(4/2)+10+6ln6-6ln1=

=13,5+6ln6

2) x^2+3=(4/x)
x^3+3x-4=0
(x^3-1)+(3x-3)=0
(x-1)*(x^2+x+4)=0
x=1
S=∫^1_(-2)(x^2+3)dx+∫^4_(1)(4/x)dx=

=((x^3/3)+3x)|^1_(-2)+(4ln|x|)|^4_(1)=

=(1/3)+3-(-8/3)+6+4ln4-4ln1=

=12+4ln4

Ответ выбран лучшим

∠АОВ=90 градусов, так как ВО⊥АО по условию.
∠АОВ - центральный угол, ∠АСВ- вписанный угол,
∠АСВ=45 градусов.
По теореме синусов
АВ:sin∠C=AC:sin∠B
14:(sqrt(2)/2)=98:sin∠B
sin∠B=98*(sqrt(2)/2)/14=7sqrt(2)/2 - не может быть, так как |sinx|≤1
значит, что-то не так в условии.
АС=9,8 может быть?
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Запишем число z=-sqrt(3)+i в тригонометрической форме:
|z|=r=sqrt((-sqrt(3))^2+1^2)=2
argz=φ=tg(-1/sqrt(3))+π=(-π/6)+π=5π/6

-sqrt(3)+i =2*(cos(5π/6)+isin(5π/6));
По формуле Муавра
(-sqrt(3)+i)^(72)=2^(72)*cos(5π*72/6)+isin(5π*72/6))
или
(-sqrt(3)+i)^(72)=2^(72)*cos(π/3)+isin(π/3))=

==2^(72)*((1/2)+i(sqrt(3)/2))=
=2^(71)+i*2^(71)sqrt(3)

Ответ выбран лучшим

∠КАD=∠DAC - биссектриса AD делит угол пополам.
∠КDA=∠DAC - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых KD и AC и секущей AD.
Значит ∠КАD=∠KDA, треугольник АКD- равнобедренный.
2) Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Пусть СD=x, тогда DB=20-х
СD:DB=AC:AB
x:(20-x)=5:20
20x=100-5x;
25x=100
x=4
Высота ВМ- медиана и биссектриса.
Из прямоугольного треугольника ВСМ:
сos∠C=MC/BC=2,5/20=1/8
По теореме косинусов из треугольника ADC
AD^2=AC^2+DC^2-2*AC*DC*cos∠C=
=5^2+4^2-2*5*4*(1/8)=
=36
AD=6
О т в е т. 6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

сos^2x=1-sin^2x;
2^(sin^2x)+2^(1-sin^2x)=3;
2^(sin^2x)+2*2^(-sin^2x)=3.
Замена переменной
2^(sin^2x)=t, t > 0
2^(-sin^2x)=1/t
t+(2/t)=3,
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
t=1 или t=2
2^(sin^2x)=1 ⇒ sin^2x=0 ⇒sinx=0 ⇒ x=πk, k∈Z
2^(sin^2x)=2 ⇒ sin^2x=1 ⇒
sinx=1 или sinx =-1
x=(π/2)+2πn, n∈Z или x=(-π/2)+2πm, m∈Z

Б) Указанному интервалу принадлежат корни
2π; 5π/2.

О т в е т. x=πk,(π/2)+2πn,(-π/2)+2πm, k,n, m∈Z
Все ответы можно записать в виде одного:х=πn/2, n- целое( см. рис.2)

Б) 2π; 5π/2- корни уравнения, принадлежащие интервалу (3π/2;3π).

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin((п/2)–x)=cosx
По формуле двойного угла
сos2x=2cos^2x–1
Уравнение принимает вид:
2сos2x–√2cosx=0
cosx·(2cosx–√2)=0
cosx=0 или cosx=√2/2
x=(π/2)+πk, k∈Z или х=±(π/4)+2πn, n∈Z

Б) Отбор корней с помощью неравенств:
–4π≤(π/2)+πk≤–5π/2 делим на π⇒
–4 ≤(1/2)+k ≤–5/2 прибаввляем ко всем чстям (–1/2):
–4,5 ≤ k ≤–3
k=–4; k=–3
x=(π/2)–4π=–7π/2∈[–4π;–5π/2];
x=(π/2)–3π=–5π/2∈[–4π;–5π/2];

–4π≤(π/4)+2πn≤–5π/2 делим на π ⇒
–4 ≤(1/4)+2n ≤–5/2 прибавляем (–1/4)
–4целых1/4 ≤2n ≤(–5/2)–(1/4);
–17/4 ≤2n ≤–11/4;
–17 ≤8n ≤–11;
n=–2
x=(π/4)–4π=–15π/4∈[–4π;–5π/2]

–4π≤(–π/4)+2πn≤–5π/2⇒
–4 ≤(–1/4)+2n ≤–5/2;
–4+(1/4) ≤2n ≤(–5/2)+(1/4);
–15/4 ≤2n ≤–9/4;
–15 ≤8n ≤–9;
нет таких целых n.

О т в е т. A)(π/2)+πk, ±(π/4)+2πn, k, n∈Z
Б)–7π/2;–15π/4;–5π/2 – корни, принадлежащие
отрезку [–4π;–5π/2];

sqrt(4x^2-3x-1)=x+1
Возводим в квадрат
sqrt(4x^2-3x-1))^2=(x+1)^2
4x^2-3x-1=x^2+2x+1
3x^2-5x-2=0
D=(-5)^2-4*3*(-2)=25+24=49
x=(5-7)/6=-1/3 или х=(5+7)/3=2
При возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.
Делаем проверку.
При х=-1/3
sqrt(4*(1/9)-3*(-1/3)-1)=(-1/3)+1- верно, так как
sqrt(4/9)=2/3
При х=2
sqrt(4*2^2-3*2-1)=2+1- верно, так как
sqrt(9)=3
О т в е т. -1/3; 2

13-2x=18
-2x=18-13
-2x=5
x=-2,5

36 < 37 < 49
6 < sqrt(37) < 7

sqrt(37) между числами 6 и 7, ближе к 6

Ответ выбран лучшим

x^2+6х+y^2=0;
(x+3)^2+y^2=9
R=3
D=2R=6

AB=sqrt((-5-(-1))^2+(-sqrt(5)-sqrt(5))^2)=
=sqrt((-4))^2+(-2sqrt(5))^2=sqrt(16+20)=sqrt(36)=6
О т в е т. да

Ответ выбран лучшим

А) Можно, см. рисунок
Б) Нет
В) 7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Достроим треугольник до параллелограмма.
Отложим МК=АМ.
АСКВ- параллелограмм, так как диагонали АК и ВС в точке пересечения М - делятся пополам.
Значит АВ||CK
Треугольники ADO И КСО подобны по двум углам:
∠AOD=∠COK-вертикальные.
∠OАD=∠OKС - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СК и секущей АК.
Из подобия
АО:ОК=AD:CK=DO:CO=5:9
Так как АВ=СК, то
AD:AB=DO:OC=5:9 ⇒
AB:AD=CO:DO
и
AD:BD=5:4

Б)
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
AD:BD=AC:BC
AD:BD=5:4 ⇒ АС:ВС=5:4
Пусть АС=5х, тогда ВС=4х
По теореме Пифагора АВ=3х
По формуле для вычисления биссектрисы внутреннего угла треугольника
СD=2*AC*BC*cos(∠ACB/2)/(AC+BC)
CD=9+5=14
cos∠ACB=BC/AC=4/5, тогда
cos(∠ACB/2)=sqrt((1+cos∠ACB)/2)=sqrt(9/10)=3/sqrt(10)
14=(2*5x*4x*3/sqrt(10))/(5x+4x)
x=21sqrt(10)/20
S(Δ АВС)=АВ*ВС/2=3х*4х/2=6*(441*10/400)=1323/20 кв. ед. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(a+x)^(1/n)=a^(1/n)*(1+(x/a))^(1/n)=
(Формула Тейлора (1+х)^α=1+αx+α*(α-1)/2!x^2+...)
=a^(1/n)*(1+(1/n)*(x/a)+...)

(a-x)^(1/n)=a^(1/n)*(1-(x/a))^(1/n)=
=a^(1/n)*(1-(1/n)*(x/a)+...)

После преобразований останутся вторые слагаемые в каждом разложении. Тогда на х в числителе и знаменателе можно сократить.

=lim_(x→0)a^(1/n)*((2/n)*(x/a)+ o(х^2))/x=

=(2/n)*a^((1/n)-1)- ответ.

Ответ выбран лучшим

9^(2x+1)*3^x=1/27;
(3^2)^(2x+1)*3^x=3^(-3)
3^(4x+2+x)=3^(-3)
4x+2+x=-3
5x=-5
x=-1

Ответ выбран лучшим

2-(1/(x-6))=(2x-12-1)/(x-6);
5*(x–6)^(–1)–1=(5/(x-6))-1=(5-x+6)/(x-6)
При х≠6
неравенство принимает вид
(2х-13)/(11-х)≤ –0,2;
(2x-13+2,2-0,2x)/(11-x)≤0;
(1,8x-10,8)/(11-x)≤0.
Решаем методом интервалов.
1,8х=10,8
х=6

__-___ (6) __+___ (11) ___-__

О т в е т. (-бесконечность;6)U(11;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

f(x)=x^2*(3x^2-8ax+6(a^2-1))
При х→+∞ и х→-∞ f(x) → + ∞
Другими словами "ветви" графика направлены вверх
(как у параболы).
Точки пересечения с осью ох
х=0 - корень кратности 2
Существование других точек зависит от квадратного трехчлена
3x^2-8ax+6(a^2-1)
D=(-8a)^2-4*3*6(a^2-1)=64a^2-72a^2+72=72-8a^2
Если D=0, при a=3 или а=-3 график функции у=f(x) принимает вид как на рисунке 1.

При а=-3
f(x)=x^2*(3x^2+24x+48)
f`(x)=12x*(x^2+6x+8)
x^2+6x+8=0
D=36-32=4
x=(-6-2)/2=-4 x=(-6+2)/2=-2
___-___ (-4) _+_ (-2) __-__ (0) _+__
x=-2 - точка максимума при а=-3

При а=3
f(x)=x^2*(3x^2-24x+48)
f`(x)=12x*(x^2-6x+8)
x^2-6x+8=0
D=36-32=4
x=(6-2)/2=2 x=(6+2)/2=4
___-___ (0) _+_ (2) __-__ (4) _+__
x=2 - точка максимума при а=3

Если D < 0, при a < -3 и a > 3 график функции у=f(x) принимает вид как на рисунке 2.
Функция не имеет экстремумов.

Если D > 0, т.е при -3 < a < 3
график функции у=f(x) принимает вид как на рисунке 3 или 4.
Квадратный трехчлен
3x^2-8ax+6(a^2-1)
имеет две точки пересечения с осью ох
(4a-sqrt(18-2a^2))/3 и (4a+sqrt(18-2a^2)/3

f`(x)=12x*(x^2-2ax+a^2-1)
при а=0 x=0- точка максимума(рис.3)
или
x^2-2ax+a^2-1=0
D=4a^2-4a^2+4=4
x=а-1 или х=а+1

Если 0 < a < 3, расставим знаки производной

___-__ (0) __+__ (a-1) __-__(a+1)__+_

х=a-1 - точка максимума.

Если -3 < a < 0, расставим знаки производной

___-__ (a-1) __+__ (a+1) __-__(0)__+_

х=a+1 - точка максимума.

О т в е т.
при а∈(-∞;-3)U(3;+∞) нет экстремумов
при a=-3 x=-2
при a∈(-3;0) х=a+1
при а=0 х=0
при а ∈(0;3) х=а-1
при а=3 х=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4x^2+4x+5=(4x^2+4x+1)+4=(2x+1)^2+4
Замена
2x+1=t
x=(t-1)/2
dx=dt/2
2x+3=t+2
∫(2x+3)dx/(4x^2+4x+5)=∫((t+2)*dt/2)/(t^2+4)=
=(1/2)∫tdt/(t^2+4)+∫dt/(t^2+2^2)=
=(1/4)ln|t^2+4|+(1/2)*arctg(t/2)+C,
t=2x+1

Ответ выбран лучшим

a1=3/2
a2=-5/6
a3=7/12
Ряд сходится по признаку Лейбница
1) |a_(n)|=(2n+1)/n(n+1) → 0
2) (|a_(n)|)- монотонно убывающая, так как функция
f(x)=(2x+1)/x(x+1) монотонно убывает
f`(x)=2*(x^2+x)-(2x+1)*(2x+1)/(x^2*(x+1)^2)=
=-2(x^2+2x+2)/(x^2*(x+1)^2) < 0

Ответ выбран лучшим

Находим абсциссы точек пересечения графиков:
х=2х-х^2;
x^2-x=0
x(x-1)=0
x=0 x=1
S=∫^1_(0)(2x-x^2-x)dx=((x^2/2)-(x^3/3))|^1_(0)=
=(1/2)-(1/3)=1/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

n=1
a1=(1+1)/(1+1)=1
a2=(2^2+1)/(2^3+1)=5/9
a3=(3^2+1)/(3^3+1)=7/28

Ряд эквивалентен гармоническому ряду ∑(1/n)
Гармонический ряд расходится. Данный ряд тоже расходится.

Ответ выбран лучшим

1) Уравнение с разделяющимися переменными
y`=dy/dx
dy=2x(1-y)dx
∫dy/(1-y)=∫2xdx
-ln|1-y)=x^2+C
2) однородное уравнение
Замена у=хu
dy=xdu+udx;
xudx=(x-2sqrt(x)*sqrt(xu))*(xdu+udx);
2usqrt(u)dx=x*(1-2sqrt(u))du;
dx/x=(1-2sqrt(u))du/2usqrt(u)
∫dx/x=∫(du/2usqrt(u))-∫du/u;
ln|x|=(-1/2)*(1/u)-ln|u|+C.
3) Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации или метод Бернулли
Метод Бернулли.
у=uv
y`=u`v+uv`

u`v+uv`=x+uv
u`v+uv`-uv=x
условие на функцию u
u`-u=0
du/u=dx
lnu=x
u=e^x

uv`=x
v`=x*e^(-x)
Интегрирование по частям
u=-xe^(-x)-e^(-x)+C
y=uv=-x-1+Ce^x
О т в е т. у=Сe^x-x-1

Ответ выбран лучшим

х=2:(-1/6)
х=2*(-6)
х=-12

5+2х=0
2х=-5
х=-5:2
х=-2,5

Ответ выбран лучшим

Средняя линия MN || АС, значит
∠ВMК=∠ВАС- соответственные углы при параллельных прямых и секущей АВ.
AM=MB=8
MN=12

MB:АС=МК:АВ
8:24=(16/3):16
Треугольники подобны, так как углы равны и стороны, образующие эти углы пропорциональны.
Из подобия
ВК:ВС=1:3
ВК=18/6=6
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть О- точка пересечения диагоналей.
ВС - меньшее основание
AD- большее основание
Треугольники ВОС и AOD подобны по двум углам.
∠ВСА=∠САD внутренние накрест лежащие
∠ВOС=∠АOD - вертикальные.
ВО:ОD=3:7
BC:AD=BO:OD
21:AD=3:7
AD=7*21/3=49

Ответ выбран лучшим

x > y⇒ x-y > 0
О т в е т. 2)

Ответ выбран лучшим

(1/3)^(x-1)*(1+(1/3)+(1/3)^2) < 52;
(1/3)^(x-1)*(13/9) < 52
(1/3)^(x-1) < 36
x -1 > log_(1/3)36
х > 1+log_(1/3)36

Ответ выбран лучшим

A___________*___120-48=72____*___48______B

1)48/80=0,6 часа затратил первый автомобиль на пусть до В после первой встречи.
2) за это время второй автомобиль проехал
120-48=72 км.
3) 72:0,6=120 км в час - скорость второго автомобиля.
4) 480:80 = 6 час. затратил на путь АВ первый.
5) 480:120=4 часа затратил на путь АВ второй.
6)48:120=0,4 часа проехал второй до места второй встречи с первым
0,4 часа=4/10часа=24/60 часа= 24 мин.
7) 4часа +20 мин+ 24 мин=4 часа 44 мин время второго до места второй встречи
7) 6 часов - 0,6 =5,4 часа время первого до места второй встречи
или 5 часов 24 мин
9) 5часов 24 - 4 часа 44 мин= 40 мин
На 40 мин позже выехал второй.
10) 80*40/60час=320/6 км - проехал первый, пока не выехал второй.
11)120-80 = 40 км в час - скорость"сближения"
12) 320/6 : 40 =8/6 час - время второго до места первой встречи
13)120*(8/6)=160 км проехал второй и догнал первого
О т в е т. На расстоянии 160 км от А произошла первая встреча

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^x=t, t > 0
4^x=t^2
8^x=t^3
4^(x+1)=4t^2
2^(x+2)=4t

Неравенство принимает вид:
(t-2)^3/(4t-12) больше или равно (t^3-4t^2+4t)/(9-t^2);
((t-2)^3/(4t-12))+ (t(t^2-4t+4)/(t^2-9)) больше или равно 0;
(t-2)^2*(t+3+4t)/4*(t-3)*(t+3)больше или равно 0;
(t-2)^2*(5t+3)/4*(t-3)*(t+3)больше или равно 0;
_-___ (-3) ___+___ [-0,6]__-___[2]_-__ (3) __+__

-3 < t меньше или равно 0,6; t=2 ; t > 3

Так как t > 0, то 0 < t меньше или равно 0,6 ⇒ 2^x меньше или равно 0,6
⇒ х меньше или равно log_(2)0,6
2^x=2 ⇒ x=1
2^x > 3
x > log_(2)3
О т в е т.(-бесконечность; log_(2)0,6)U {1}U(log_(2)3; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Пусть х тонн пшеницы, тогда 1,1х тонн ржи,
0,7*1,1х тонн - ячменя.
х+1,1х+0,7*1,1х=2 296 000
2,87х=2 296 000
х=800 000
1,1х=880 000 тонн ржи
0,7*1,1х=0,7* 880 000 = 616 000 тонн ячменя
О т в е т. 616 000 тонн ячменя

Ответ выбран лучшим

(3+2sqrt(2))^2=9+12sqrt(2)+8=17+2sqrt(2);

корень четвертой степени из (3+2sqrt(2))^2
равен sqrt(3+2sqrt(2))
Итак,
sqrt(3+2sqrt(2))*sqrt(3-2sqrt(2))=

=sqrt(3^2-(2sqrt(2))^2)=sqrt(9-8)=sqrt(1)=1

Ответ выбран лучшим

f(x)=1/(x+5-10)/(x+5)=(x+5)/(x-5)
f`(x)=(x-5-x-5)/(x-5)^2
f`(x)=-10/(x-5)^2
f`(4)=-10/(5-4)^2
f`(x)=-10

Ответ выбран лучшим

Пусть а - сторона равностороннего треугольника
h=a*sin 60 градусов/2=a*sqrt(3)/2
корень четвертой степени из 27 - это 3^(3/4)
3^(3/4)/2=a*sqrt(3)/2
a=3^(1/4)
S(Δ)=a*h/2=3^(1/4)*(3^(3/4)/2)/2=3/4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x^2)^2-(2x-8)^2=0
(x^2-2x+8)*(x^2+2x-8)=0
(x^2-2x+8)=0 или (x^2+2x-8)=0
D=4-4*8 < 0 или D=4+32=36
нет корней или х=-4 или х=2
О т в е т. -4;2.

Ответ выбран лучшим

О т в е т. Рейс 2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos (3p/2–x)=-sinx
2(-sinx)^2=sin2x
2sin^2x-2sinxcosx=0
2sinx*(sinx-cosx)=0
sinx=0 или sinx-cosx=0
x=πk, k∈Z
или
tgx=1
x=(π/4)+πn, n∈Z
О т в е т.=πk,(π/4)+πn, k, n∈Z

б) Отрезку [-3π;9π/2] принадлежат корни
-3π;-2π;-π;0;π;2π;3π;4π из первой серии ответов
-11π/4; -7π/4;-3π/4;π/4;5π/4;9π/4;13π/4;17π/4 из второй серии

Ответ выбран лучшим

Приводим дроби справа к общему знаменателю.
Две дроби равны. Знаменатели равны, значит равны числители.
x^2+4=Ax*(x-4)+B*(x+1)
x^2+4=Ax^2+(B-4A)x+B
Два многочлена равны, если степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны
A=1
B-4A=0
B=4
А+В=1+4=5
2)ДАНО:
1+3+5+...+19=m

1+3+5+...+19=(1+19)*10/2=100

Значит m=100

2016+2018+...+2034=10*2 000+(16+18+...+34)=
=20 000+2*(8+9+...+17)=
=20 000+ 2*(8+17)*10/2=20 000 + 250=
=20 250=202,5*100=202,5m

Ответ выбран лучшим

Объем конуса равен (1/3) произведения его высоты на площадь основания, площадь основания конуса - это площадь круга:
V=(1/3)*π*R^2*H

Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:
объем конуса, у которого уровень жидкости равен 3/7 высоты – v_(жидк),

и объем конуса, равный объему сосуда – V_(сосуда)

v_(жидк)=(1/3)*π*r^2*(3H/7)⇒ π*r^2*H/7=270
π*r^2*H=1890

Из подобия:
r:R=h:H
h=(3/7)H

r:R=(3/7)H:H
r:R=3:7
R=(7/3)*r

V_(сосуда)=(1/3)*π*R^2*H=(1/3)*π*(7r/3)^2*H=(49/27)π*r^2*H=
=(49/27)*1890=3430

Долить надо разницу в объёмах
большого и маленького

v= V_(сосуда)-v_(жидк)=3430-270=3160 мл
О т в е т. 3160 мл.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

18*408=7344
Подбор.
2*2=4
или
8*8=64
а=1
7344:18=408

Ответ выбран лучшим

1) 100-30-30-30=10 носков белого и черного цвета.
Рассматриваем худший вариант.
Вынуто 11 красных, 11 синих, 11 желтых, 10 белого и черного. 6 пар одного цвета не получим.
Как только добавим еще один носок, задача будет решена.
О т в е т. 44 носка.
2) Вероятность вынуть первым белый шар 5/9, вторым 4/8, третьм 3/7
Все три шара белые
(5/9)*(4/8)*(3/7)
Вероятность вынуть первым черный шар 4/9, вторым 3/8, третьим 2/7
Все три шара черные
(4/9)*(3/8)*(2/7)
Три белых или три черных:
р=(5/9)*(4/8)*(3/7)+(4/9)*(3/8)*(2/7)=
=(4*3*7)/(9*8*7)=12/72=1/6

Ответ выбран лучшим

1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, при делении - показатели вычитают.
7^4:(7^5*7^(-2))=7^4:7^(5+(-2))=7^4:7^3=7^(4-3)=7

2)100%-20%=80% составляет новая цена.

760 руб. составляют 80%
х - 100%
х=760*100/80=950 руб.

3) S=(1/2)*12*15*(1/3)=30

4) sqrt(6)*sqrt(13,5)=sqrt(6*13,5)=sqrt(81)=9

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x≠2;
{4+3x-x^2≥0 ⇒ [-1;4]
{6-3sqrt(4+3x-x^2)≠0 ⇒ 3x-x^2)≠0
x∈[-1;0)U(0;2)U(2;3)U(3;4]
Перепишем неравенство в виде
(5/(6-3sqrt(4+3x-x^2))) > (1/(1+|x-2|)-(1/(x-2))
Строим графики
у=(5/(6-3sqrt(4+3x-x^2)))- красного цвета
у=(1/(1+|x-2|)-(1/(x-2))- синего цвета
Условию задачи удовлетворяют те х из области определения, при которых красный график выше чем синий.
Найдем точку пересечения.
Случай х≥2
|x-2|=x-2
5/(6-sqrt(4+3x-x^2))=-1/(x^2-3x+2)
замена
x^2-3x=t
5t+10=-6+3sqrt(4-t)
25t^2+169t+220=0
t=-5 или t=-44/25
x^2-3x+5=0 уравнение не имеет корней D < 0
25x^2-75x+44=0
x=(15+3sqrt(33))/10- корень удовлетворяющий условию х≥2
О т в е т. [-1;0)U(2;(15+3sqrt(33))/10)U(3;4)
Cумма длин 2 целых (3sqrt(33)-5)/10

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это спираль Архимеда.
Проводим лучи,
например π/4, откладываем 5π/4,
π/2, откладываем 5π/2,
3π/4, откладываем 15π/4,
π, откладываем 5π. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Запишем равенства в виде системы
{2з=3с+1м
{5с=3з+1м

Умножаем первое уравнение на 3, второе на 2

{6з=9с+3м
{10с=6з+2м
Заменяем 6 з во втором уравнении на 9с + 3м
10с=9с+3м+2м
с=5м
========
1с=5м
100м:5=20
О т в е т. количество серебряных монет уменьшилось на 20

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(4x^2-8x)+(y^2+4y)=0
4(x-1)^2+(y+2)^2=8
(x-1)^2/2 + (y+2)^2/8=1 - эллипс.

Параллельный перенос начала координат в точку А(1;-2)
u^2/2+v^2/8=1
u=x-1
v=y+2
Полуоси
а=sqrt(2)
b=2sqrt(2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

180 градусов-50 градусов - 85 градусов=45 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.
1) парабола; 2) прямая; 3) гипербола; 4) эллипс; 5) окружность
3. Нет координат второй точки.Поэтому невозможно ответить на вопрос
4.То же самое, коэффициент не написан.
5.
нормальный вектор прямой х-4у+7=0
имеет координаты (1;-4).
Прямые перпендикулярны, их нормальные векторы ортогональны
Векторы ортогональны- скалярное произведение равно 0
1u-4v=0, где (u;v)- нормальный вектор перпендикулярной прямой.
u=4v
Первая координата нормального вектора в 4 раза больше второй.
Условию задачи удовлетворяют прямые
у=-4х+3, или 4х+у-3=0
8х+2у+3=0
координаты нормального вектора первой прямой(4;1)
второй (8;2)

6) 2x-y+1=0 или у=2х+1
y-2x+2=0 или у=2х-2
Прямые параллельны и не имеют общих точек

7) a^2=64; a=8
b^2=36; b=6
b^2=c^2-a^2
c^2=b^2+a^2=64+36=100
c=-10 и с=-10
F1(-10;0) F2(10;0)
Расстояние F2F1 равно 20.
8)Координаты фокуса параболы
(p/2;0)
Значит
р/2=-4
p=-8
Каноническое уравнение параболы с фокусом на оси Ох имеет вид
y^2=2px
у^2=-16x^2
9.
D=(-4)^2-4*20=16-80=-64
z1=(4-8i)/2=2-4i
z2=(4+8i)/2=2+4i

Ответ выбран лучшим

1.у` = (х^3-24x^2+144x-27)`=3x^2-48x+144
y`=0
x^2-16x+48=0
D=256-4*48=256-192=64
x=4 или х=12

[4]___-___ (12) _+_[13]
x=12- точка минимума, производная меняет знак с - на +
у(12)=-27
2. Область определения х≠0
у` = (– x-(144/x))=-1+(144/x^2)=(144-х^2)/х^2
y`=0
144-x^2=0
x=-12 или х=12
Знак производной
__-__ (-12) __+___ (0) ___+___ (12) __-___

х=-12- точка минимума, производная меняет знак с - на +.
3. у` =( – 15tgx + 15x – 16)`= (-15/cos^2x)+15
y`=0
15*(cos^2x-1)=0
cosx=1 или сosx=-1
на отрезке [0; П/4] нет стационарных точек.
Находим значения на концах отрезка.
y(0)=-16
y(П/4)=-15+15*(П/4)-16 < -16
О т в е т. -16
4. у` = ((х+6)^2 *е^(11–х))`=
=2(x+6)*e^(11-x)+(x+6)^2*e^(11-x)*(11-x)`=
=(x+6)*e^(11-x)*(2-x-6)=
=(x+6)*e^(11-x)*(-x-4)
y`=0
x=-6 или х=-4
Знак производной
__-__ (-6) _+__ (-4) _-__
х=-4 - точка максимума
5. ОДЗ: x^2+14x+134 > 0

у` = (log_(3)(x^2 + 14x + 134)–6)`=(2x+14)/((x^2+14x+134)*ln3)
y`=0
2x+14=0
x=-7
x=-7 - точка минимума , производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х-4 ≠ 0 ⇒ х ≠ 12.

(х+4)/(х-4)=2;
х+4=2*(х-4);
х+4=2х-8;
х-2х=-4-8;
-х=-12
х=12
О т в е т. 12

Ответ выбран лучшим

1) f`(x)=((lnx)`*x-lnx*(x)`)/x^2=(1-lnx)/x^2;
2)f`(1)=0
О т в е т.
Уравнение касательной у=0
Уравнение нормали: х=1
4) y=(x^2+1)/e^(x^2)=(x^2+1)*e^(-x^2)
y`=2x*e^(-x^2)+(x^2+1)*e^(-x^2)*(-2x);
y`=e^(-x^2)*(2х)*(1-х^2-1)=-2x^3*e^(-x^2).
Подставляем у и у` в уравнение.
-2x^3*e^(-x^2)-2x*(x^2+1)*e^(-x^2)=2x*e^(x^2)
(-4x^3-2x)*e^(-x^2)=2x*e^(x^2)- неверно.
Не удовлетворяет.
5а)
(arcsinu)`=u`/sqrt(1-u^2)
sqrt(1-(sqrt(1-x^2))^2=sqrt(1-1+x^2)=sqrt(x^2)=|x|

dy=f`(x)dx=(sqrt(1-x^2))`dx/sqrt(1-(sqrt(1-x^2))^2)=
=-xdx/(|x|*sqrt(1-x^2)).

6) (x^2+xy+y^2)`=(a^2)`
2x+(x)`*y+x*y`+2y*y`=0
Из полученного уравнения находим у`
y`=-(2x+y)/(x+2y)

Ответ выбран лучшим

1) Произведение неотрицательно, когда оба множителя одинаковых знаков
{3^(х+2)–1/27≥0⇒3^(x+2)≥3^(-3) ⇒x+2≥-3⇒x≥-5
{5^(3–2х)–0,2≥0⇒ 5^(3-2x)≥5^(-1)⇒3-2x≥-1⇒x≤2
_____[-5]\\\\\[2]___
x∈[-5;2]
или
{3^(х+2)–1/27≤0 ⇒3^(x+2)≤3^(-3) ⇒x+2≤-3⇒x≤-5
{5^(3–2х)–0,2≤0 ⇒ 5^(3-2x)≤5^(-1)⇒3-2x≤-1⇒x≥2
Cистема не имеет решений
\\\\\\\[-5]_____[2]///////

О т в е т. [-5;2]
2)Произведение положительно, когда оба множителя одинаковых знаков
{2х+1 > 0 ⇒ x > -1/2
{3^(3–х)–9 > 0⇒ 3^(3-x) > 3^2 ⇒3-x > 2 ⇒x < 1
_____ (-1/2) \\\\\\ (1) ___
x∈(-1/2;1)
или
{2х+1 < 0 ⇒ x < -1/2
{3^(3–х)–9 < 0⇒ 3^(3-x) < 3^2 ⇒3-x < 2 ⇒x > 1
\\\\\\(-1/2)____ (1) /////
Cистема не имеет решений

О т в е т. (-1/2;1)

Пусть О- точка пересечения диагоналей АС и BD.
Треугольники ВОС и АОD равны по двум сторонам и углу между ними.
АО=ОС
ВО=ОD
∠BOC=∠AOD.
Из равенства треугольников следует
∠BCА=∠СAD и АD=BC=12.
Внутренние накрест лежащие углы равны, AD||BC.
∠BАK=∠KAD - так как АК - биссектриса.
∠BKА=∠KAD - внутренние накрест лежащие.
Значит, ∠BАK=∠ВСA, треугольник АВК- равнобедренный АВ=ВК=3
АВСD- параллелограмм, так как ВС|| AD и BC=AD.
CD=AB=3
Р(ABCD)=3+12+3+12=30

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5x^2-30x+45=5*(x^2-6x+9)
6x^2-36x+54=6*(x^2-6x+9)

(x^2-6x+9)*(2/(x^2-3x+4)+5/(x^2-3x+5)-6) < 0
Так как x^2-6x+9=(x-3)^2 > 0 при всех х, кроме х=3,то
2/(x^2-3x+4)+5/(x^2-3x+5)-6 < 0
Замена переменной
x^2-3x+4=t, t > 0, так как D=9-16 < 0
x^2-3x+5=t+1 > 0,
(2/t)+(5/(t+1))-6 < 0
2(t+1)+5t-6t(t+1) < 0
6t^2-t-2 > 0
D=1-4*6*(-2)=1+48=49
t=-1/2 или t=2/3
__+__ (-1/2) _____ (2/3) __+__
t > 0 неравенство t < -1/2 не имеет решений
t > 2/3
x^2-3x+4 > 2/3
3x^2-9x+10 > 0
D=81-4*3*10 < 0
О т в е т. при любых х, кроме х=3
(-бесконечность;3)U(3;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов из треугольника АВD:
BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*AD*cos60 градусов=
=36+100-2*6*10*(1/2)=76
По теореме косинусов из треугольника АDС:
АС^2=AD^2+DC^2-2*AD*DC*cos120 градусов=
=100+36-2*10*6*(-1/2)=196
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
ВВ1D^
BB^2_(1)=B1D^2-BD^2=196-76=120
BB1=sqrt(120)
V(параллелепипеда)=S(основания АВСD)*H=
=AB*AD*sin60 градусов*ВВ1=6*10*(sqrt(3)/2)*sqrt(120)=
=180sqrt(10)

Ответ выбран лучшим

Если касательная образует с положительным направлением оси ОХ угол в 45 °, то tgα=tg45 градусов=1.
Так как k=tgα=f`(x_(0)),
то решая графически уравнение
f`(x)=1
см. рисунок, получаем три точки
О т в е т. 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:4-х > 0⇒ x < 4

Bозводим в 6-ую степень
64*(х+1)^2=(4-x)^3
64x^2+128x+64=64-48x+12x^2-x^3;
x^3+52x^2+176x=0
x(x^2+52x+176)=0
x=0 или х^2+52х+176=0
D=52^2-4*176=2704-704=2000
x=-26-100sqrt(5) или х= -26+100sqrt(5) не удовл. ОДЗ
О т в е т. 0; -26-100sqrt(5)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью- угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
АВ⊥пл. DBC, так как AB⊥ BD (∠ABD= 90°) и АВ⊥ BС (∠ABС= 90°)
AK=KD
KF||AB, F-проекция точки К на плоскость BDC.
KF-cредняя линия Δ АВD, KF=1

Из прямоугольного треугольника DBC (∠DBC = 90°) по теореме Пифагора
DC^2=DB^2+BC^2=2^2+1^1=5
DC=sqrt(5)
FM- средняя линия Δ ВDC
FM=DC/2=sqrt(5)/2.

Из прямоугольного треугольника KFM
по теореме Пифагора:
KM^2=KF^2+FM^2
KM^2=1^2+(sqrt(5)/2)^2=1+5/4=9/4
KM=3/2
sin ∠KMF=KF/KM=1/(3/2)=2/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

За 3 часа пешеход пройдет 12 км.
В_____12______П

1)4*3=12 км
2)10-4=6 км в час разница скоростей, за счет чего велосипедист и сможет догнать пешехода
3)12:6=2 часа
О т в е т. Через 2 часа.

Ответ выбран лучшим

V=a*b*h
a*b=S=3366:33=102

Ответ выбран лучшим

Нам дан полный граф на 36 вершинах, рёбра которого раскрашены в 2 цвета. Можно считать, что из любой вершины выходит по 8 рёбер одного цвета и по 28 ребер другого. Нас интересует число одноцветных треугольников. Общее число треугольников равно 36⋅35⋅34/6=7140. Подсчитаем число разноцветных. С каждым из них связано ровно две вершины, из которых выходят рёбра разного цвета. Количество пар таких рёбер равно 36⋅8⋅28, и это количество надо разделить пополам. Это даёт 4032 разноцветных треугольника. Остальные (7140-4032)=3108 одноцветные.

Ответ выбран лучшим

S (Δ)=a*h/2=9*3/2=13,5 кв. ед.
или
S (Δ)=(6*3)/2+(3*3)/2=9+4,5=13,5 кв. ед. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(lnx + x^(-3))`=(1/x)-3x^(-4)
y`=(1/x)-(3/x^4)
y`(1)=1-3=-2

Ответ выбран лучшим

Расстояние от точки M(x_(o),y_(o)) до прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 вычисляется по следующей формуле:
d = |Ax_(o)+ By_(o) + C|/sqrt(A^2 + B^2)
Кроме того, по условию, эта прямая проходит через точку Р (3, 5) т. е.
-5A + 2В + С = 0
Так как расстояния от точек А и В до прямой равны, то:
|-2A -2B + C|/sqrt(А^2 + В^2) = |-3A +5B + C|/sqrt(A^2 + B^2)
или
|-2A -2B + C| = |-3A +5B + C|
Раскрываем модули, если оба подмодульных выражения одного знака, то:
1) -2A -2B + C = -3A +5B + C ⇒ A = 7B
если разных знаков, то
2) -2A -2B + C = 3A - 5B - C ⇒ -5A + 3B + 2C=0
С учетом принадлежности точки Р данной прямой
получаем системы:
1)
{-5A + 2В + С = 0
{A = 7B
-35B + 2В + С = 0
Выразим неизвестные А и В через С и подставим в полученные значения в уравнение прямой:
B=C/33
A=7C/33

Тогда уравнение прямой Ах+Ву+С=0 принимает вид
7Cx/33 + Cy/33 + C = 0
или
7х + у +33 = 0

2)
{-5A + 2В + С = 0
{-5A + 3B + 2C=0
Вычитаем из второго уравнения первое
В+С=0 ⇒ В=-С
5А=2В+С
5А=-С ⇒ А=-С/5

Тогда уравнение прямой Ах+Ву+С=0 принимает вид
-Cx/5 - Cy + C = 0
или
х +5 у -5 = 0
О т в е т. 7х + у + 33 = 0 и х + 5у -5 = 0.

Ответ выбран лучшим

Умножаем матрицу А на матрицу А
1 элемент первого столбца
1*1+2а-5
1 элемент второго столбца
1*2+2*4+5с
первый элемент третьего столбца
5+2b-25
Все они равны 0
Приравниваем каждый элемент к нулю.
a=2
с=-2
b=10

Ответ выбран лучшим

170
1)log_(sqrt(2))16=8
(sqrt(2))^8=16- верно
2^4=16
3)log_(3)243=5
3^5=243 - верно

174
3) =log_(2)(5*56/35)=log_(2)8=3
4)= log_(1/3)(5*9/405)=log_(1/3)(1/9)=2
178
4)x=4^3
x=64
5)x=4^(-3)
x=1/64

Ответ выбран лучшим

lim (x→ –3) ( x^3–8x+3)/(x^3+2x^2–x+6)
непосредственная подстановка приводит к неопределенности (0/0).
Чтобы устранить неопределенность надо сократить на (х+3).
Для этого разложить на множители и числитель и знаменатель.
x^3–8x+3 = (x^3+27)-8(x+3)=(x+3)*(x^2-3x+1)
(x^3+2x^2–x+6) =(x^3+3x^2)-(x^2+x-6)=
=x^2(x+3)-(x+3)(x-2)=(x+3)(x^2-x+2)

lim (x→ –3) ( x^3–8x+3)/(x^3+2x^2–x+6)=

=lim (x→ –3) ( x+3)(x^2–3x+1)/(x+3)(x^2–x+2)=

=lim (x→ –3)(x^2–3x+1)/(x^2–x+2)=

=((-3)^2–3*(-3)+1)/((-3)^2–(-3)+2)=19/14

Ответ выбран лучшим

BC=4 cм
АВ=2*ВС=2*4=8 см
S( прямоугольника ABCD)= АВ*BC=8*4=32 кв. см.
О т в е т. 32 кв. сс

Ответ выбран лучшим

(а+4)^2+2а(3а–4)=a^2+8a+16+6a^2-8a=7a^2+16

при а=√3

7a^2+16=7(sqrt(3))^2+16=7*3+16=37

Ответ выбран лучшим

AB+BE+EF=5+8+7=20
AB+BD+DE+EF=5+3+2+7=17
AB+BC+CE+EF=5+9+4+7=25

О т в е т. 17

Ответ выбран лучшим

S(Δ)=(1/2)*a*h_(a)=(1/2)b*h_(b)⇒
a*h_(a)=b*h_(b)
Пусть а=42; b=14
h_(a)=1
42*1=14*h_(b)
h_(b)=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Cколько всего фонариков сделал Коля?
Решение.
1+3=4
О т в е т. 4 фонарика сделал Коля.

Ответ выбран лучшим

1)
t=С/(V1+V2)
V1=С/T1; V2=С/Т2
Подставляем в формулу и сокращаем на C
(C- длина окружности)
t= T1*T2/(T1+T2)=2*4/(2+4)=4/3 с
2)t=С/(V1-V2)
V1=С/T1; V2=С/Т2
Подставляем в формулу и сокращаем на C
(C- длина окружности)
t= T1*T2/(T2-T1)=2*4/(4-2)=4 с

Ответ выбран лучшим

1) D(y)=(-бесконечность;0)U(0;+ бесконечность)

2)
y=x+(1/x^2)

y` = (x)`+(1/x^2)`

y`=1 +(-2/x^3)

y`=(x^3-2))/(x^3);
y`=0
x=∛2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

Знак производной:
___+____ (0) __-__ (∛2 ) __+__

x=∛2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

у(∛2)=(2+1)/∛4=3/∛4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) По определению логарифма
х=2^6
x=64
2) ОДЗ:
{3x+7 > 0
{-x-1 > 0
x∈(-7/3;-1)

По свойству логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения.
log_(0,5)(3x+7)*(-x-1)=?
По определению логарифма
(3х+7)*(-х-1)=0,5^(?)
Решаем квадратное уравнение и проверяем, принадлежат ли корни ОДЗ

Ответ выбран лучшим

(16^4)^2=((4^2)^4)^2=4^(2*4*2)=4^(16)
(4^3)^5=4^(3*5)=4^(15)
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

log_(4)8=log8_(2)/log_(2)4=3/2

Ответ выбран лучшим

25^(x+0,5)–(5a+2)·10^x+a·4^(x+0,5)=0
5*25^x-(5a+2)*10^x+2a*4^x=0
Делим на 4^x > 0
5t^2-(5a+2)t+2a=0
t=(5/2)^x
t > 0
D=(5a+2)^2-4*5*2a=25a^2+20a+4-40a=25a^2-20a+4=
=(5a-2)^2
t_(1)=((5а+2)-(5а-2))/10=2/5; t_(2)=a
(5/2)^x=2/5 x=-1 - один корень
(5/2)^x=a уравнение имеет решение при а > 0, значит при а > 0, а≠2/5 данное уравнение имеет два корня.
О т в е т. при а > 0, а≠2/5

Ответ выбран лучшим

Треугольники СВК и АВС имеют общую высоту, проведенную из точки С.
S(Δ АВС)=АВ*H/2
S(Δ KВС)=KВ*H/2 так как KB=AB/4, то
S(Δ KВС)=(АВ/4)*H/2=S(Δ АВС)/4=0,25S(Δ АВС)
О т в е т. 25%

Ответ выбран лучшим

х=1 - точка разрыва первого рода.
f(1-0)=1
f(1+0)=0
Cкачок
f(1+0)-f(1-0)=-1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По таблице эквивалентности бесконечно малых:
при x → 0:
7^(2x)-1 ~ 2x*ln7, значит 7^(2x)~2x*ln7+1
5^(3x)-1 ~ 2x*ln5, значит 5^(3x)~3x*ln5+1
arctg3x~3x.

lim_(x → 0) (7^(2х)+5^(3х))/(2х– arctg3x)=

=lim_(x → 0) ((2х)*ln7+(3х)*ln5)/(2х– 3x)=

=lim_(x → 0) (2*ln7+3*ln5)/(2– 3)=-(2*ln7+3*ln5)=

=-(ln49*125)=ln(1/49*125).

Ответ выбран лучшим

sqrt(5^3-5^2)=sqrt(125-25)=sqrt(100)=10

Ответ выбран лучшим

cos10x=sin((π/2)-10x)

sin4x+sin((π/2)-10x)=0

2*sin((4x+(π/2)-10x)/2)*cos((4x-(π/2)+10x)/2)=0

sin((π/4)-3x)*cos(7x-(π/4))=0
-sin(3x-(π/4))*cos(7x-(π/4))=0
sin(3x-(π/4))=0 или cos(7x-(π/4))=0
3x-(π/4)= πk, k∈Z или 7x-(π/4)=(π/2)+πn, n∈Z
3x=(π/4)+ πk, k∈Z или 7x=(π/4)+(π/2)+πn, n∈Z
x=(π/12)+ (π/3)k, k∈Z или x=(3π/28)+(π/14)n, n∈Z
О т в е т. (π/12)+ (π/3)k, (3π/28)+(π/14)n, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

D(y)=(-бесконечность;-1)U(-1;1)U(1;+бесконечность)
y`=(3*(x^2-1)-3x*(2x))/(x^2-1)^2=
=(-3x^2-3)/(x^2-1)^2
y`=0
3x^2+3=0 - нет корней. Нет точек экстремума.

Знак производной
_-_ (-1) __-__ (1) __-__

Функция убывает на всей области определения.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(4x+3)=t
3^(8x+6)=(3^2)^(4x+6)=t^2
t^2-10t+9 > =0
t≤1 или t > =9
3^(4x+3)≤1
4x+3≤0
x≤-3/4
или
3^(4x+3) > =9
4x+3 > =2
4x > =-1
x > =-1/4
О т в е т. (-бесконечность;-3/4]U[-1/4;+бесконечность)

x-7=121
x=121+7
x=128

Ответ выбран лучшим

3364=a^2
a=58
О т в е т. 58 см

Ответ выбран лучшим

14. http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12115
15.
ОДЗ:
{x^2-3 > 0;
{x+9 > 0;
{x^2-6x+9 > 0;
{log_(2)(x^2-3) > 0; ⇒ x^2-3 > 1
{log_(2)(x+9) > 0; ⇒ x+9 > 1
{log_(2)(x^2-6x+9)≠1; ⇒ x^2-6x+9≠1
Из системы
{x^2-4 > 0
{x+8 > 0
{x^2-6x+9≠0
{x^2-6x+8≠0
получаем
ОДЗ:х∈(-8;-2)U(2;3)U(3;4)U(4;+ бесконечность).

Дробь ≥0 в двух случаях
1)
{sqrt(log_(2)(x^2-3)) - sqrt(log_(2)(x+9))≥0
{log_(2)(x^2-6x+9) > 0
2)
{sqrt(log_(2)(x^2-3)) - sqrt(log_(2)(x+9))≤0
{log_(2)(x^2-6x+9) < 0

или
1)
{sqrt(log_(2)(x^2-3))≥ sqrt(log_(2)(x+9))
{log_(2)(x^2-6x+9) > log_(2)1
2)
{sqrt(log_(2)(x^2-3))≤sqrt(log_(2)(x+9))
{log_(2)(x^2-6x+9) < log_(2)1

1)
{log_(2)(x^2-3)≥ log_(2)(x+9)
{x^2-6x+9 > 1
2)
{log_(2)(x^2-3) ≤log_(2)(x+9)
{x^2-6x+9 < 1

1)
{x^2-3≥ x+9
{x^2-6x+9 > 1
2)
{x^2-3 ≤x+9
{x^2-6x+9 < 1

1)
{x^2-x-12≥0
{x^2-6x+8 > 0
2)
{x^2-x-12 ≤0
{x^2-6x+8 < 0

1)
{(-∞;-3]U[4;+∞)
{(-∞;2)U(4;+∞)
C учетом ОДЗ получаем (-8; -3]U(4;+∞)

2)
{[-3;4]
{(2;4)
C учетом ОДЗ получаем (2;3)U(3;4)

О т в е т. (-8; -3]U(2;3)U(3;4)U(4;+∞)
16.http://reshimvse.com/zadacha.php?id=12117

Ответ выбран лучшим

4x+(π/3) =(–π)+2πk, k∈Z
4х=(–π)–(π/3)+2πk, k∈Z
4х=(–4π/3)+2πk, k∈Z
х=(–π/3)+(π/2)k, k∈Z
О т в е т. х=(–π/3)+(π/2)k, k∈Z

Ответ выбран лучшим

Непосредственная подстановка приводит в неопределенности
=((2*(1\2)-1)/sinπ= 0/0
Замена переменной
х-(π/6)=t
x=t+(π/6)
если x→ π/6 , то t→0

lim_(x→ π/6)(2sinx-1)/sin6x=

=lim_(t→ 0)(2sin(t+(π/6))-1)/sin6*(t+(π/6))=

=lim_(t→ 0)(2sin(t+(π/6))-1)/(sin(6t+π))=

=lim_(t→ 0)(sqrt(3)sint+cost-1)/(-sin6t)=-sqrt(3)/6

или по правилу Лопиталя:

lim_(x→ π/6)(2sinx-1)/sin6x=(0/0)=

=lim_(x→ π/6)(2sinx-1)`/(sin6x)`=

=lim_(x→ π/6)(2cosx)/(6cos6x)=(2*sqrt(3)/2)/-6=

=-sqrt(3)/6

Ответ выбран лучшим

4x+(π/3) =(-π)+2πk, k∈Z
4х=(-π)-(π/3)+2πk, k∈Z
4х=(-4π/3)+2πk, k∈Z
х=(-π/3)+(π/2)k, k∈Z
О т в е т. х=(-π/3)+(π/2)k, k∈Z

Ответ выбран лучшим

(x-(-1))^2/9+ (y-2)^2/4=1;

(x+1)^2/9 + (y-2)^2/4=1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)Векторы коллинеарны, координаты пропорциональны
1:(-2)=10:t=3:(-6)
t=-20
б)Векторы ортогональны, скалярное произведение равно 0
1*(-2)+10*t+3*(-6)=0
10t=20
t=2

Ответ выбран лучшим

a) {log_(6)(x^2+x)/(x+4)≤1;⇒(x^2+x)/(x+4)≤6
{log_(6)(x^2+x)/(x+4)≥0⇒(x^2+x)/(x+4)≥1
{(x^2+x)/(x+4)≥0

1≤(x^2+x)/(x+4)≤6 ⇒
{(x^2-5x-24)/(x+4)≤0
{(x^2-4)/(x+4)≥0
Рассмотрим два случая:
{x+4 > 0
{x^2-5x-24≤0
{x^2-4≥0
___(-4) __[-3]\\\\[-2]___[2]///[8]___
x∈[-3;-2]U[2;8]
или
{x+4 < 0 \\\\(-4) __[-3]___[-2]||||[2]__ [8]___
{x^2-5x-24≥0
{x^2-4≤0
система не имеет решений.
О т в е т. x∈[-3;-2]U[2;8]
б){x > 0;
{log_(2)(3*2^(x-1)-1)≥0
или
{x < 0;
{log_(2)(3*2^(x-1)-1)≤0 так как 0=log_(2)1 и логарифмическая функция с основанием 2 возрастает
{x > 0;
{(3*2^(x-1)-1)≥1 х∈(1+log_(2)2/3;+∞)
или
{x < 0;
{(3*2^(x-1)-1)≤1 x∈(-∞;0)
О т в е т ((-∞;0)U(1+log_(2)2/3;+∞)
в) Два случая
1){0 < x < 1, показательная функция убывает
{2-4log_(2)x+log^2_(2)x > -1
2){x > 1, показательная функция возрастает
{2-4log_(2)x+log^2_(2)x < -1

{0 < x < 1, показательная функция убывает
{log_(2)x < 1 или log_(2)x > 3
2){x > 1, показательная функция возрастает
{1 < log_(2)x < 3

{0 < x < 1, показательная функция убывает
{x < 2 или x > 8
2){x > 1, показательная функция возрастает
{2 < x < 8
О т в е т. (0;1)U(2;8)
г)Два случая
1){2^x+3*2^(-x) > 1, тогда показ. функция возрастает
{2log_(2)x-log_(2)(x+6) > 0
или
2){0 < 2^x+3*2^(-x) < 1, тогда показ. функция убывает
{2log_(2)x-log_(2)(x+6) < 0
Так как 2^x > 0,
1){(2^x)^2-2^(x)+3 > 0, при любом х D < 0
{log_x^2/(x+6) > log_(2)1
или
2)(2^x)^2+3 > 0 при любом х
{(2^x)^2-2^(x)+3 < 0, не выполняется ни каких х
{{log_x^2/(x+6) > log_(2)1

x^2/(x+6) > 1⇒ (x^2-x-6)/(x+6) > 0
_-__ (-6) _+_ (-2) _-__ (3) _+__
О т в е т. (-6:-2)U(3;+∞)
д) два случая
1){x-2 > 1, лографим. функция возрастает
{x^2-8x+15 > 1 ⇒ (x-4)^2 > 0 при всех х, кроме 4
2)0 < x-2 < 1,логарифм. функция убывает
{x^2-8x+15 < 1 - нет решений

1) {x > 3
{x≠4
О т в е т. (3;4)U(4;+∞)
e)Два случая
1) {x > 1, лог. функция возрастает
{log_(9)3^x-9)≤x⇒3^x-9≤9^x⇒(3^x)^2-(3^x)+9≥0
D=1-4*9 < 0
О т в е т. 1) x > 1
2){0 < x < 1, лог.функция убывает
{log_(9)(3^x-9)≥x⇒(3^x)^2-(3^x)+9≤0- не имеет решений
О т в е т. х > 1
ж) Замена переменной log_(3)(x^2-3x+4)=t;
log_(9)(x^2-3x+4)=(1/2)log_(3)(x^2-3x+4)=t/2.
Неравенство примет вид
sqrt(t/2) > t-1
1){t-1≥0
{t/2 > (t-1)^2⇒2t^2-5t+2 < 0
1≤t < 2 ⇒ 1≤log_(2)(3x^2-4x+2) < 2⇒
2≤3x^2-4x+2 < 4
{3x^2-4x-2 < 0⇒((2-sqrt(10))/3;(2+sqrt(10))/3)
{3x^2-4x≥0 ⇒ x≤0 или х≥4/3
О т в е т. 1) ((2-sqrt(10))/3;0]U[4/3;(2+sqrt(10))/3)
2){t-1 < 0
{t > 0
0 < t < 1 ⇒0 < log_(2)(3x^2-4x+2) < 1⇒
0 < 3x^2-4x+2 < 1
{3x^2-4x+1 < 0 D=4
{3x^2-4x+2 > 0 D < 0
О т в е т. 2)(1/3;1)

О т в е т. ((2-sqrt(10))/3;0]U (1/3;1)U[4/3;(2+sqrt(10))/3)

Ответ выбран лучшим

sin^35x=sin^25x*sin5x=(1-cos^25x)*sin5x

∫sin^35xdx/cos^(7/11)5x= ∫(1-cos^25x)*sin5xdx/cos^(7/11)5x= (-1/5)∫(1-cos^25x)d(cos5x)/cos^(7/11)5x=
=(-1/5)*cos((-7/11)+1)5x/((-7/11)+1)+(1/5)cos^(2-(7/11)+1)/(2-(7/11)+1) +C=
=(-11/20)cos^(4/11)5x+(11/130)*cos^(26/11)+C.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 4-х > 0;
x < 4
По определению логарифма
4-х=3^2;
4-x=9
4-9=x
x=-5
-5 < 4
-5 принадлежит ОДЗ
О т в е т. х= - 5

Ответ выбран лучшим

Возводим в квадрат.
2/(3-5х)=1/169
Применяем основное свойство пропорции:
произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
2*169=3-5х;
338-3=-5х
-5х=335
х=-67
Проверка:
sqrt(2/(3-5*(-67)))==sqrt(2/338)=sqrt(1/169)=1/13 - верно.
О т в е т. х=-67

Ответ выбран лучшим

y`=(ln(x–8)–5x+14)`=(1/(x-8))-5 =
=(1-5x+40)/(x-8)=(41-5x)/(x-8)

y`=0
41-5x=0
x=8,2
__(8)___+_ (8,2)__-__
x=8,2- точка максимума функции так как производная при переходе через эту точку меняет знак с + на -

Ответ выбран лучшим

lim_( x→+∞)((2x+3)/(2х-4))^(5x–1)
имеем неопределенность 1^(∞).
Выделяем целую часть из дроби
(2х+3)/(2х-4)=(2х-4+7)/(2х-4)=1+(7/(2х+4))

lim x→+∞ (1+ (7/(2х-4))^(2x-4)/7)=e - второй замечательный предел.
Поэтому
lim_( x→+∞)((2x+3)/(2х-4))^((2х-4)*7*(5x–1)/7*(2х-4))=e^(lim_(x→+∞)(7*(5x-1)/(2x-4)=e^(35/2)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
х-(π/2)=t ⇒x=t+(π/2)
Если х → π/2, то t → 0.

lim_(x→ π/2)cosx/(π-2x)= lim_(t → 0)cos(x+(π/2))/(-2t)=
lim_(t → 0)(-sint)/(-2t)=1/2

Ответ выбран лучшим

Применить разложение по формуле Тейлора
arsin x = x+(x^3)/(2*3) +(1*3*x^5)/(2*4*5) + (1*3*5*x^7)/(2*4*6*7) +..+(1*3*5...
(2n-1)x^(2n+1)) / (2*4*6...)+o(x^(2n+2)).
arcsinx=x+о(x) при х→ 0
F(x)=3*(2x^2+x^4)+((2x^2+x^4)^3)/(2*3) +(1*3*((2x^2+x^4)^5)/(2*4*5) + (1*3*5*(2x^2++x^4)^7)/(2*4*6*7) +..+(1*3*5...(2n-1)(2x^2+x^4)^(2n+1)) / (2*4*6...)+o((2x^2+x^4)^(2n+2).
F(x)=6x^2+3x^4+о(x^4)
главная часть 6х^2+3x^4

Ответ выбран лучшим

верно

Ответ выбран лучшим

При оформлении помещения в стиле кантри совершеННо противопоказаНы хромироваННый металл и высокотехнологичные изделия из стекла и пластика. Металлическим деталям в таком интерьере можно придать состареННый вид, тогда они отлично впишутся в общий дизайн.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

sin^2α+cos^2α=1,
так как π < α < 3π/2, т.е α в 3 четверти, косинус в третьей четверти имеет знак -, то
cosα=-sqrt(1-sin^2α)=-sqrt(1-(-0,6)^2)=
=-sqrt(1-0,36)=-sqrt(0,64)=-0,8

Ответ выбран лучшим

sqrt(x)-5=-2
sqrt(x)=-2+5
sqrt(x)=3
x=9
Уравнение
sqrt(x-5)=-2
не имеет корней, так как по определению арифметический квадратный корень есть число неотрицательное.

Ответ выбран лучшим

-1*5+2*х+3*(-1)=3
2х=11
х=5,5

Ответ выбран лучшим

Для расположения первого и второго томов имеется 79 мест:
1 и 2
2 и 3
...
79 и 80
Причем тома можно менять местами.
Значит
2*79 способов расположения 1 и 2 тома.
Оставшиеся 78 книг можно расставить на 78 мест перестановкой из 78 элементов, она равна 78!
О т в е т. 2*79*78!=2*79!

Ответ выбран лучшим

Возводим обе части в квадрат.
1-х=(3х+1)^2;
9x^2+7x=0
x(9x+7)=0
x=0 или х=-7/9
Проверка или ОДЗ
при х=0
sqrt(1-0)=3*0+1
sqrt(1)=1 - верно.
при х= - 7/9
sqrt(1+(7/9))=3*(-7/9)+1
sqrt(16/9)=(-21+9)/9- неверно, так как
sqrt(16/9)=4/3
4/3≠-12/9
О т в е т. х=0

Ответ выбран лучшим

(sinx+sin3x)/cosx = 1

A)
ОДЗ: cosx≠0
(sinx+sin3x)=cosx
2*sin((x+3x)/2)*cos((x-3x)/2)=cosx
2sin2x*cos(-x)=cosx
cos(-x)=cosx
2sin2x*cosx=cosx
2son2x*cosx-cosx=0
cosx*(2sin2x-1)=0
cosx≠0 cм. ОДЗ
2sin2x=1
sin2x=1/2
2x=(π/6)+2πk, k∈Z 2x=(5π/6)+2πn, n∈Z
x=(π/12)+πk, k∈Z x=(5π/12)+πn, n∈Z
О т в е т. А) (π/12)+πk,(5π/12)+πn, k, n∈Z

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1/4; 13/4]

Рассмотрим два неравенства
1) 1/4 < (π/12)+πk < 13/4, k∈Z
2) 1/4 < (5π/12)+πn < 13/4 , n∈Z

Умножаем на 4
1) 1 < (π/3)+4πk < 13, k∈Z
2) 1 < (5π/3)+4πn < 13 , n∈Z

При k < 0 корни уравнения отрицательные и потому не будут принадлежать отрезку [1/4; 13/4]
k=0 1 < (π/3) < 13- верно, так как π > 3 и π/3 > 1
k=1 1 < (π/3)+4π < 13 - неверно, так как
(π/3)+4π=13*(π/3) > 13
При n < 0 корни уравнения отрицательные и потому не будут принадлежать отрезку [1/4; 13/4]

n=0 1 < (5π/3) < 13 - верно
5 < 5*(π/3) < 10

n=1 1 < (5π/3)+4π < 13 - неверно
(5π/3)+4π=17*(π/3) > 17
Корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку
при k=0 и n=0 это
х=(π/12) и x=5π/12

А)По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
АТ=AF
и
FM=MQ
PT=QP
Так как
AF=AB/2;АТ=AD/2;то
Р(Δ АМР)=АМ+МР+РА=АМ+МQ+QP+PA=AM+MF+TP+PA=
=AF+TA=(AB/2)+(AD/2)=(AB/2)+(AB/2)=AB.

Б)
Пусть АМ=х, тогда МВ=3х, АМ:МВ=х:3х=1:3
АВ=АМ+МВ=х+3х=4х.
AF=AB/2=2x
AM=MF=x

Пусть QP=PT=y
AP=AT-TP=2x-y
По теореме Пифагора
MP^2=AM^2+AP^2
(x+y)^2=x^2+(2x-y)^2
x^2+2xy+y^2=x^2+4x^2-4xy+y^2
6xy=4x^2
y=2x/3
Тогда
AP=2x-(2x/3)=4x/3
PD=PT+TD=(2x/3)+2x=8x/3
Из подобия треугольников
АМР и РDК
АМ:DK=AP:PD
x:DK=(4x/3):(8x/3)
DK=2x

Прямоугольные треугольники ЕFO и OSK равны.
по катету (FO=OS)
и острому углу (∠FOE=∠KOS, как вертикальные)
SK=SD+DK=2x+2x=4x
EF=SK=4x
ЁF=EB+BF
BF=2x
BE=2x
ВЕ:ВМ=2х:3х=2:3
О т в е т. ВЕ:ВМ=2:3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

BC=1кл.
AD=4 кл.
СК=h=2 кл.
S( трапеции)=(a+b)*h/2=(1+4)*2/2=5 кв. ед.
если кл.= 1 см.
О т в е т. 5 кв. см. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x^2-3 > 0;
{x+9 > 0;
{x^2-6x+9 > 0;
{log_(2)(x^2-3) больше или равно 0;⇒ x^2-3 больше или равно 1
{log_(2)(x+9) больше или равно 0; ⇒ x+9 больше или равно 1
{log_(2)(x^2-6x+9)≠1; ⇒ x^2-6x+9≠1
Из системы
{x^2-4больше или равно 0
{x+8 больше или равно 0
{x^2-6x+9≠0
{x^2-6x+8≠0
получаем
ОДЗ:х∈[-8;-2]U[2;3)U(3;4)U(4;+ бесконечность).

Дробь ≥0 в двух случаях
1)
{sqrt(log_(2)(x^2-3)) - sqrt(log_(2)(x+9))≥0
{log_(2)(x^2-6x+9) > 0
2)
{sqrt(log_(2)(x^2-3)) - sqrt(log_(2)(x+9))≤0
{log_(2)(x^2-6x+9) < 0

или
1)
{sqrt(log_(2)(x^2-3))≥ sqrt(log_(2)(x+9))
{log_(2)(x^2-6x+9) > log_(2)1
2)
{sqrt(log_(2)(x^2-3))≤sqrt(log_(2)(x+9))
{log_(2)(x^2-6x+9) < log_(2)1

1)
{log_(2)(x^2-3)≥ log_(2)(x+9)
{x^2-6x+9 > 1
2)
{log_(2)(x^2-3) ≤log_(2)(x+9)
{x^2-6x+9 < 1

1)
{x^2-3≥ x+9
{x^2-6x+9 > 1
2)
{x^2-3 ≤x+9
{x^2-6x+9 < 1

1)
{x^2-x-12≥0
{x^2-6x+8 > 0
2)
{x^2-x-12 ≤0
{x^2-6x+8 < 0

1)
{(-∞;-3]U[4;+∞)
{(-∞;2)U(4;+∞)
C учетом ОДЗ получаем [-8; -3]U(4;+∞)

2)
{[-3;4]
{(2;4)
C учетом ОДЗ получаем (2;3)U(3;4)

О т в е т. [-8; -3]U(2;3)U(3;4)U(4;+∞)

Ответ выбран лучшим

Пусть на старом оборудовании разделывали х штук рыбы в минуту.
26 000/х мин. - время разделки улова в 26 000 штук на старом оборудовании.
На новом оборудовании разделывают (х+15) штук рыбы в минуту.
26 000/(х+15) мин. - время разделки улова в 26 000 штук на новом оборудовании.
По условию 26 000/(х+15) мин. меньше 26 000/х мин.
на 1 час 15 мин=75 мин.
Уравнение:
26 000/(х+15) мин. +(75)= 26 000/х мин.

26 000*15/х*(х+15)=75
5 200=х*(х+15)
x^2+15x-5200=0
D=225-4*(-5200)=225+20800=21025=145^2
x=(-15+145)/2=65 второй корень отрицательный и не удовл. усл. задачи
О т в е т. 65+15=80 шт рыбы в минуту разделывает новая машина

Ответ выбран лучшим

После того как крупье вытащил 6 карт черной масти в колоде осталось 30 карт, 18 карт красной масти и 12 карт черной масти.
n=30
m=12
Вероятность вынуть черную карту
р=m/n= 12/30=2/5
О т в е т. 2/5

Ответ выбран лучшим

Пусть приобретено х единиц товара первого сорта по цене m руб и у единиц товара второго сорта по цене n руб.
{mx+ny=4,5
{n(x+y)=4
{m(x+y)=4,8
Найти mx и ny.
Вычитаем из первого второе и из первого третье
{(m-n)x=0,5 ⇒ m-n=0,5/x
{(m-n)y=0,3 ⇒ m-n=0,3/y

0,5/x=0,3/y ⇒ y=0,6x

{mx+ny=4,5
{1,6xm=4,8 ⇒ xm=3

ny=4,5-mx=4,5-3=1,5

О т в е т. Товара первого сорта приобретено на сумму 3 млн. руб, товара второго сорта на сумму 1,5 млн. руб

Ответ выбран лучшим

k(кас.)=f`(x_(0))
k=-1,25
y=-1,25x+b- уравнение касательной.
Чтобы найти b подставим координаты точки B.
3=-1,25*(-3)+b
b=-0,75
Уравнение касательной имеет вид у=-1,25х-0,75
0=-1,25х-0,75
1,25х=-0,75
х=-0,6

Прямая у=-1,25х-0,75 пересекает ось Ох в точке
(-0,6;0) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)2сos^2x+3cosx-1=7^0
2cos^2x+3cosx-2=0
D=9+16=25
cosx=-2 - уравнение не имеет корней, -1≤сosx≤1
cosx=1/2
x=± (π/3)+2πk, k∈Z
Указанному промежутку принадлежит один корень
-(π/3)-2π=-7π/3
2)Замена
4^(cosx)=t
4^(-cosx)=1/t
t+(1/t)=5/2
2t^2-5t+2=0
D=25-16=9
t=2 или t=1/2
4^(cosx)=2
(2^2)^(cosx)=2
2cosx=1
cosx=1/2
x=± (π/3)+2πk, k∈Z
4^(cosx)=1/2
(2^2)^(cosx)=2^(-1)
2cosx=-1
cosx=-1/2
x=± (2π/3)+2πn, n∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни
(π/3)-2π=-5π/3
(-π/3)-2π=-7π/3
(-2π/3)-2π=-8π/3

3)(25^(cosx))^(-sinx)=(1/5)^(sqrt(3)cosx);
5^(-2sinx*cosx)=(5)^(-sqrt(3)cosx);
-2sinx*cosx=-sqrt(3)cosx
cosx*(2sinx-sqrt(3))=0
cosx=0 или sinx=sqrt(3)/2
(π/2)+πk, k∈Z или x=(π/3)+2πn, n∈Z или x=(2π/3)+2πm, m∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни
3π/2;5π/2
(π/3)+2π=7π/3

Ответ выбран лучшим

Пусть Т- середина АМ. Треугольник АМВ - равнобедренный, значит ВТ- высота, медиана и биссектриса.
DM⊥AM
BT||MD.
BT проходит через середину АМ, значит и через середину AD.
Аналогично, треугольник DCM - равнобедренный.
CP-высота, медиана и биссектриса.
CР || AM, продолжение CP-средняя линия треугольника
АМD и потому проходит через середину AD
Биссектрисы углов В и С четырехугольника АВСD пересекаются на стороне AD.

NPMT- прямоугольник.
S(NPMT)=18

Так как ВМ:МС=1:3, то BT:NT=1:3 и MT:PC=1:3

S(ΔABM)=BT*AM/2=BT*TM=(NT/3)*TM=S(NPTM)/3=18/3=6
S(ΔDCM)=DM*CP/2=DM*PM=
=NT*(3MT)=3S(NPTM)=3*18=54

S(ΔDMA)=AM*DM=2TM*PM=2S(NPTM)=2*18=36

S(ABCD)=S(ΔDMA)+S(ΔAMB)+S(ΔDMC)=36+6+54=96
О т в е т. S(ABCD)=96 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A) Точки М и D лежат на окружностях с диаметрами ВС и АВ.
∠ ВМС=∠BDA=90 градусов
Прямые МС и AD перпендикулярны одной и той же прямой MD,значит они параллельны.
МС||AD.
Б) Пусть О- центр окружности с диаметром ВС.
ОМ ⊥ АМ
Так как ВК ⊥ АМ, то ОМ||ВК.
Пусть ВК=х
Треугольники АМО и АВК подобны, коэффициент подобия равен 5 (АК=3; АМ=АК+КМ=3+12=15)
ОВ=ОМ=5х

BP⊥ OM,
КМРВ-прямоугольник.
ВР=КМ=12
ОР=ОМ-МР=ОМ-ВК=5х-х=4х
По теореме Пифагора
ОВ^2=ВР^2+ОР^2
(5х)^2=12^2+(4x)^2;
25x^2=144+16x^2
9x^2=144
x^2=16
x=4

S(ΔMDC)=S(ΔMAC)
Основание у этих треугольников общее – МС.
Высота тоже общая, высота– расстояние между параллельными прямыми AD и МС
А если от равных площадей отнять площадь треугольника МВС, то оставшиеся части также будут равны.
S(ΔMDC)–S(ΔMBC)=
=S(ΔMAC)–S(ΔMBC).

S(Δ DBC)=S(ΔMDC)-S(ΔMBC)=
=S(ΔMAC)-S(ΔMBC)=S(ΔABM)

S(Δ DBC)=S(ΔABM)=AM*BK/2=15*4/2=30

О т в е т. 30 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сосчитаем сколько чисел содержат две пятерки:
55; 155; 255;...;550;551;552;...;559;655;... 955- 20 чисел

1055; 1155;1255;1355;1455;1550;1551;...;1559;1655;
...;1955 - 20 чисел
2055; 2155;2255;2355;2455;2550;2551;...;2559;2655;
...;2955 - 20 чисел

...
9055; 9155;9255;9355;9455;9550;9551;...;9559;9655;
...;9955-20 чисел

и так далее
1559

Ответ выбран лучшим

2*79! способами.
Свяжем 1 и 2 том вместе. Получим 79 книг.
79 книг можно переставить на полке 79! способами
79!=79*78*77*...2*1
Так как 1 и 2 том можно еще и переставить местами, то количество перестановок удвоится.
О т в е т. 2*79*78*77*...*2*1=2*79!

Ответ выбран лучшим

7√5 =15,652475...≈15,65≈15,7

Ответ выбран лучшим

sin^2a+cos^2a=1
sina=-sqrt(1-cos^2a) Знак минус перед корнем, так как по условию 270° < a < 360°, 4-я четверть, синус имеет знак -.
sina=-sqrt(1-(2sqrt(6)/5)^2)=-sqrt(1-(24/25))=
=-sqrt(1/25)=-1/5

Ответ выбран лучшим

Чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава, необходимо поставлять на завод алюминия в два раза больше чем никеля.
Пусть х рабочих занято на производстве алюминия на 1-й шахте, тогда (80-х) рабочих занято на производстве никеля.
Так как каждый рабочий работает 5 часов и производит 1 кг алюминия в час или 2 кг никеля в час,то на первой шахте производится
1*5*x кг алюминия
2*5*(80-х) кг никеля
На второй шахте также каждый рабочий работает 5 часов и производит в час 2 кг алюминия или 1 кг никеля, то на второй шахте производится
2*5*y кг алюминия
1*5*(200-у) кг никеля.

(1*5*х+2*5*у) кг произведенного алюминия должно быть в два раза больше
(2*5*(80-х)+1*5*(200-у)) кг никеля.
Уравнение
(1*5*х+2*5*у)=2*(2*5*(80-х)+1*5*(200-у))
или
25х+20у=3600
5х+4у=720
Это линейная зависимость, она достигает максимума
либо при х=0, либо при х= 80
тогда у=180, либо у=80

При х=0 объем произведенного металла
2*5*80+2*5*180+1*5*(200-180)=2700 кг металла
При х=80 объем произведенного металла
1*5*80+2*5*80+1*5*(200-80)=1800 кг
О т в е т. 2700 кг
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Перепишем неравенство в виде:
|2x–a|≤ |x+3|-1
Построим график у=|x+3|-1 и
схематически график у=|2x-a| (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АВСD- квадрат.
PK- высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника РВС.
ВК=КС
ОК=РК/3 ( медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины)
OF || PH
F- проекция точки О на плоскость основания.
Из подобия треугольников КОF и КРН
OF=PH/3
КF:КH=1:3
КН=НМ
КF:KM=1:6
FM=5KM/6
Плоскости АОF и КРН пересекаются по прямой OF,
OF||PH и РН не пересекатся с АО.
Б) Пусть АВ=ВС=СD=DA=PH=x.
OF=PH/3=x/3
Из прямоугольного треугольника АFM:
AF^2=AM^2+MF^2=(x/2)^2+(5x/6)^2=(x^2/4)+(25x^2/36)=
=34x^2/36
AF=xsqrt(34)/6
Из прямоугольного треугольника АОF
tg∠AOF=AF/FO=(xsqrt(34)/6)/(x/3)=sqrt(34)/2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 16 учеников выбирают двух.
n=C^2_(16)
Событие А-"дежурить в кабинете будут две девочки"
Число исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А
m=C^2_(10)
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=С^2_(10)/C^2_(16)=
=10!/(10-2)!*2!)/16!/((16-2)!*2!)=
=(9*10)/(15*16)=3/8
О т в е т. 3/8

Ответ выбран лучшим

S( бок)=πRL
S (полн)= S (бок) + S(осн)
S(осн)=S(полн)- S(бок)=6π-3,75π=2,25π
S(осн)=πR^2
πR^2=2,25π
R^2=2,25
R=1,5
S( бок)=πRL
3,75π=π*1,5*L
L=2,5
По теореме Пифагора
Н^2=L^2-R^2=2,5^2-1,5^2=6,25-2,25=4
H=2
О т в е т. Н=2

Ответ выбран лучшим

f`(x)=3*(x+x^2)^2*(x+x^2)`=3*(x+x^2)^2*(1+2x)
f`(x)=0
3*(x+x^2)^2*(1+2x)=0
3*x^2(1+x)^2*(1+2x)=0
x=0; x=-1; x=-1/2

Находим знак производной
__-__ ( -1) __-___ (-1/2) __+__ (0) ___+_

х=-1/2 - точка минимума функции, так как производная при переходе через точку меняет знак с - на +
О т в е т. -1/2

Ответ выбран лучшим

200:100*45=90 км осталось проехать тепловозу.
Пусть х км в час - первоначальная скорость тепловоза.
(200/х) ч.- время по графику.
Уравнение:
(90/x)+(110/(x+5))+ 1/6=200/x

х≠0; х+5≠0

x^2+5x-3300=0
D=25+13200=13225=115^2
x=(-5+115)/2=55
x=(-5-115)/2 < 0
О т в е т. 55 км в час первоначальная скорость тепловоза

Ответ выбран лучшим

Треугольник Т_(1) - прямоугольный
5000^2=3000^2+4000^2.

Пусть с_(1)=5000;a_(1)=4000; b_(1)=3000
(cм. рисунок)
По свойству касательной к окружности, отрезки касательных равны.
Легко получить формулу r вписанной окружности через стороны а,b и с
r_(1)=(4000+3000-5000)/2=1000
c_(2)=2r_(1)=2000
Треугольник Т_(2) подобен треугольнику Т_(1)
с_(2):с_(1)=a_(2):a_(1)=b_(2):b_(1)
b_(2)=6000/5=1200
a_(2)=8000/5=1600
r_(2)=(1600+1200-2000)/2=800

c_(3)=2r_(2)=1600
Треугольник Т_(3) подобен треугольнику Т_(1)
с_(3):с_(1)=a_(3):a_(1)=b_(3):b_(1)
b_(3)=4800/5=960
a_(3)=6400/5=1280
r_(3)=(1280+960-1600)/2=320

c_(4)=2r_(3)=640
Треугольник Т_(4) подобен треугольнику Т_(1)
с_(4):с_(1)=a_(4):a_(1)=b_(4):b_(1)
b_(4)=640*3/5=384
a_(4)=640*4/5=512
r_(4)=(512+384-640)/2=128

c_(5)=2r_(4)=256
Треугольник Т_(5) подобен треугольнику Т_(1)
с_(5):с_(1)=a_(5):a_(1)=b_(5):b_(1)
b_(5)=256*3/5=153,6
a_(5)=256*4/5=204,8
Р(Т_(5))=204,8+153,6+256=614,4
О т в е т. 614,4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2log_(6)4=log_(6)4^2

6^(2*log_(6) 4)=6^(log_(6)4^2)=4^2=16

Ответ выбран лучшим

См. http://reshimvse.com/zadacha.php?id=11836

Ответ выбран лучшим

tgx=sinx/cosx
Перепишем уравнение в виде
(сos^2x/sin^2x)+(3/sinx)+3=0
Приводим к общему знаменателю.
(cos^2x+3sinx+3sin^2x)/sin^2x=0
cos^2x=1-sin^2x
(2sin^2x+3sinx+1)/sin^2x=0
sinx≠0
2sin^2x+3sinx+1=0
D=9-4*2=1
sinx = -1 или sinx = -1/2
x=(-π/2)+2πk, k∈Z или
x=(-π/6)+2πn, n∈Z или x=(-5π/6)+2πm, m∈Z
О т в е т. (-π/2)+2πk, (-π/6)+2πn,(-5π/6)+2πm, k, n, m∈Z

Ответ выбран лучшим

Из подобия прямоугольных треугольников
h:l=2:1
2l=h
l=h/2=1,6м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По схеме Бернулли с параметрами p=0,4 (вероятность того, что в течение одного дня количество поступивших больных соответствует норме), n=14 (число испытаний), k=11
(число «успехов», в ближайшие две недели количество больных, поступивших в реанимацию, в течение 11 дней также будет соответствовать норме).

По формуле Бернулли (вероятность того, что в n
испытаниях событие произойдет k раз).
P_(n)(k)=C^(k)_(n)⋅p^k⋅(1−p)^(n−k)=
=C^(11)_(14)(0,4)^(11)*(1-0,4)^(14-11)=
=14!/((14-11)!*11!)* 0,4^(11)*(0,6)^3=
=364*0,00004*0,216=0,003

Ответ выбран лучшим

1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. Если один угол равен 45 градусов, то и второй угол равен 45 градусов. Треугольник равнобедренный, катеты равны.
О т в е т. 8 дм.
2) a+b=28 ⇒ b=28-a
По теореме Пифагора
с^2=a^2+b^2=a^2+(28-a)^2=a^2+784-56a+a^2
c=sqrt(2a^2-56a+784)
S=ab/2 и S=ch/2
ab/2=ch/2
ab=ch
a*(28-a)=sqrt(2a^2-56a+784)*21
Возводим в квадрат
(28a-a^2)^2=441*(2a^2-56a+784)
Из уравнения найти а.
Потом
c=sqrt(2a^2-56a+784)

Ответ выбран лучшим

Формула тангенса половинного аргумента
sinx=2tg(x/2)/(1+tg^2(x/2))
cosx=(1–tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))
tg(x/2)=t
5·(1–t^2)2/(1+t^2)2=4–(6t/(1+t^2))–(1–t^2)/(1+t^2).
Или
5·(1–t^2)2=(1+t^2)^2–6t(1+t^2)–(1–t^2)·(1+t^2)
3t^4+6t^3–12t^2+6t–5=0
Уравнение имеет два корня
–4 < a < –3
1 < b < 2
tg(x/2)=a
(x/2)=arctga+πk, k∈Z
x=2arctga+2πk, k∈Z
или
tg(x/2)=b
(x/2)=arctgb+πk, k∈Z
x=2arctgb+2πk, k∈Z

Или уточняйте условие. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула тангенса половинного аргумента
sinx=2tg(x/2)/(1+tg^2(x/2))
cosx=(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))
tg(x/2)=t
5*(1-t^2)^2/(1+t^2)^2=4-(6t/(1+t^2))-(1-t^2)/(1+t^2).
Или
5*(1-t^2)^2=(1+t^2)^2-6t(1+t^2)-(1-t^2)*(1+t^2)
3t^4+6t^3-12t^2+6t-5=0
Уравнение имеет два корня
-4 < a < -3
1 < b < 2
tg(x/2)=a
(x/2)=arctga+πk, k∈Z
x=2arctga+2πk, k∈Z
или
tg(x/2)=b
(x/2)=arctgb+πk, k∈Z
x=2arctgb+2πk, k∈Z

Или уточняйте условие. (прикреплено изображение)

Где сокращаем?

По формуле
S(Δ АВС)=(b*c*sin∠A)/2

S(Δ АВС)=(9*12*sin30 градусов)/2=
=(9*12*(1/2))/2=27

Ответ выбран лучшим

Где тут и к кому Вы обращаетесь? Есть место для комментариев ( под каждой задачей и под каждым решением)

а) 9x^2+16y^2–18x–64y–71=0;
(9x^2-18x)+(16y^2–64y)–71=0;
9(x^2-2x)+16*(y^2-4y)-71=0;
9(x^2-2x+1-1)+16*(y^2-4y+4-4)-71=0;
9(x^2-2x+1)-9+16*(y^2-4y+4)-64-71=0;
9(x-1)^2+16(y-2)^2=144
(x-1)^2/16 + (y-2)^2/9=1 - уравнение эллипса
C(1;2)
a=4
b=3

б)y=1–2√(х^2+4x)
1-у=2√(х^2+4x)
(1-у)^2=4*(x^2+4x)

(1-y)^2=(y-1)^2

(y-1)^2=4*(x^2+4x+4-4)

4(x+2)^2-(y-1)^2=16

(x+2)^2/4 - (y-1)^2/16=1 - уравнение гиперболы
С(-2;1)
a=2
b=4
О т в е т. часть гиперболы
(x+2)^2/4 - (y-1)^2/16=1, расположенная ниже прямой у=1

Ответ выбран лучшим

2^(x+3)=2^6
x+3=6
x=6-3
x=3
О т в е т. 3
3^(x/2)=3^3
x/2=3
x=6
О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

1) log_(3)5/log_(3)4=log_(4)5
log_(5)4*log_(4)5=1
О т в е т. 1
2) log_(2)9/log_(2)5=log_(5)9
log_(5)9/log_(5)3=log_(3)9=2
О т в е т. 2
3) log_(7)25=log_(7)5^2=2log_(7)5
2log_(7)5*log_(5)7=2
О т в е т. 2/log(3)2

4) log_(3)8*log_(2)3=log_(3)2^3*log_(2)3=
=3*log_(3)2*log_(2)3=3*1=3

log_(5)16*log_(4)5=log_(5)4^2*log_(4)5=
=2*log_(5)4*log_(4)5=2*1=2
О т в е т. 2
5)log_(3)7/log_(3)6=log_(6)7
log_(6)7*log_(7)6=1
О т в е т. 1

6)log_(3)2*log_(2)27=log_(3)2*log_(2)3^3=
=log_(3)2*(3log_(2)3)=
=3*(log_(3)2)*(log_(2)3)=3*1=3

log_(6)8/3=log_(6)2^3/3=3log_(6)2/3=log_(6)2

О т в е т. log_(6)2
7) log_(5)8/log_(5)7=log_(7)8=log_(7)2^3=
=3log_(7)2
3log_(7)2/log_(7)2=3
О т в е т. 3
8) log_(2)7/log_(2)5=log_(5)7
log_(3)5/log_(3)7=log_(7)5

log_(5)7*log_(7)5=1
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

1=sin^2x+cos^2x ⇒ 3=3sin^2x+3cos^2x

3sin^2x+10sin2x+3sin^2x+3cos^2x=0
6sin^2x+20sinx*cosx+3cos^2x=0
Однородное уравнение второго порядка. Делим на cos^2x≠0
6tg^2x+20tgx+3=0
D=20^2-4*6*3=400-72=328
tgx=(-20-sqrt(328))/12 или tgx=(-20+sqrt(328))/12
x=arctg((-20-sqrt(328))/12)+ πk, k∈Z
x=arctg((-20+sqrt(328))/12)+ πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

1) 15000:100*25=3 750 получил первый
2) 3 750 *1,75=6 562,5 получил второй
3) 15 000 - 3 750 - 6 562,5=4 687,5 получил третий

Ответ выбран лучшим

5000 кг - 100%
5400 кг - х %
х=5400*100/5000=108%
108%-100%=8%

Ответ выбран лучшим

cos3x=sin((π/2)-3x)

sin((π/2)-3x)-sin2x=0
2sin(((π/2)-3x-2x))/2)*cos(((π/2)-3x+2x)/2)=0
2sin((π/4)-(5x/2))*cos((π/4)-(x/2))=0
sin((π/4)-(5x/2))=0 или cos((π/4)-(x/2))=0
-sin((5x/2)-(π/4)=0 или cos((x/2)-(π/4))=0
(5x/2)-(π/4)=πk, k∈Z или (x/2)-(π/4)=(π/2)+πn, n∈Z
5x/2=(π/4)+πk, k∈Z или (x/2)=(π/4)+(π/2)+πn, n∈Z
x=(π/10)+(2π/5)*k, k∈Z или x=(3π/2)+2πn, n∈Z
О т в е т. (π/10)+(2π/5)*k,(3π/2)+2πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

1.
1) x=(10/9):(2/9)=(10/9)*(9/2)=5
2) (x+9)^2-x^2=9
(x+9-x)*(x+9+x)=9
9*(2x+9)=9
(2x+9)=1
2x=1-9
2x=-8
x=-4
2) 13x=2x^2-7
2x^2-13x-7=0
D=(-13)^2-4*2*(-7)=169+56=225=15^2
x=(13-15)/4=-1/2 x=(13+15)/4=7
О т в е т. -1/2
3.
(2х+5)/3=25
2х+5=75
2х=75-5
2х=70
х=35
5) (8^(-1))^(-3+x)=8^3
3-x=3
x=0
6) (2^4)^(x-9)=2^(-1)
4*(x-9)=-1
4x-36=-1
4x=-1+36
4x=35
x=35/4=8,75

Ответ выбран лучшим

Найдем стороны треугольника
AB=sqrt((1-1)^2+(1-2)^2+(1-3)^2)=sqrt(5)
BC=sqrt((-1-1)^2+(0-1)^2+(2-1)^2)=sqrt(6)
АС=sqrt((-1-1)^2+(0-2)^2+(2-3)^2)=sqrt(9)=3
По теореме косинусов
ВС^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos∠A
cos∠A=(5+9-6)/(2*sqrt(5)*3)=8/6sqrt(5)=4/3sqrt(5)
sin^2∠A+cos^2∠A=1
sin^2∠A=1-cos^2∠A=1-(4/3sqrt(5))^2=1-(16/45)=29/45
sin∠A=sqrt(29)/3sqrt(5)
BK=h_(b)=AB*sin∠A=
=sqrt(5)*sqrt(29)/3sqrt(5)=sqrt(29)/3.

Ответ выбран лучшим

Прямые перпендикулярны, если их направляющие векторы ортогональны.
Направляющий вектор прямой x–1/3=y+2/2=z–1/–1 имеет координаты (3;2;-1)
Направляющий вектор прямой x+8/4=y–2/–6=z+5/0 имеет координаты (4;-6;0)
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат.
3*4+2*(-6)+(-1)*0=12-12+0=0
Значит, векторы ортогональны.
О т в е т. Да. Прямые перпендикулярны.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) ∫8cosxdx=8∫cosxdx=8*(sinx)+C=8sinx+C;
2) ∫sinx*cos^2xdx=∫cos^2x(-d(cosx))=-cos^3x/3 + C;
3) Находим абсциссы точек пересечения графиков.
6+x-x^2=6-2x
x^2-3x=0
x(x-3)=0
S=∫^3_(0)(6+x-x^2-6+2x)dx=∫^3_(0)(3x-x^2)dx=
=((3x^2/2)-(x^3/3))|^3_(0)=(27/2)-(27/3)=27/6=9/2=4,5

4) S=2∫^1_(0)(2-x-x^2)dx=
=2*(2x-(x^2/2)-(x^3/3))|^1_(0)=
=2*(2-(1/2)-(1/3))=2*(7/6)=14/6=2 целых 2/6=
=2целых 1/3.
О т в е т. 3)

Полные дифференциалы
dz=z`_(x)dx+z`_(y)dy
1) dz=(e^(x^2y)*2xy-(2/y^2)+sqrt(y)/x^2)dx +
+(e^(x^2y)*x^2+(4x/y^3)-(1/(2x^2sqrt(y))))dy;
2)dz=(3x^2sqrt(y)-y^2)dx+((x^3/2sqrt(y))-2xy+6y)dy
3)dz=(arctg(x/y)-(y/(x^2+y^2)))dx+
-(x/(x^2+y^2))dy
4) lnz=ysinx
z`_(x)/z=y*cosx ⇒z`_(x)=(y*cosx)*(z)
z`_(y)/z=sinx ⇒z`_(y)=(sinx)*(z)
dz=(y*cosx)*(ysinx)dx+sinx*(ysinx)dy=
=y^2*sinx*cosxdx+y*sin^2xdy. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВС - равнобедренный.
Значит ∠А=∠С
Треугольник ALN - равнобедренный, значит
∠А=∠LNA

∠LNA=∠C, значит прямые LN и BC параллельны.
Так как по условию
LN=BM, то четырехугольник LBMN - параллелограмм.
BL=MN
BL||MN.
∠A=∠MLC соответственные углы при паралллельных прямых BL и MN.
∠MLC=∠А= ∠C
Треугольник MNC -равнобедренный
MN=MC

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Здоровое питание — это питание, обеспечивающее рост, нормальное развитие и жизнедеятельность человека, способствующее укреплению его здоровья и профилактике заболеваний.
Правильное питание – это не только контроль калорий и бесконечные диеты, но и полноценный рацион, в котором должны присутствовать все необходимые продукты: мясо, злаки, молочные продукты, фрукты, овощи. Известно, что организм, не получающий регулярно всех нужных веществ, начинает «барахлить». Для того, чтобы этого не случилось, важно правильно подобрать рацион питания и ежедневно его придерживаться.
Главные правила здорового и правильного питания
1. Сократить жиры животного происхождения.
2. Увеличить в рационе продукты, богатые насыщенными жирными кислотами, такими как Омега 3 (красная рыба, растительные масла, орехи).
3. Употреблять продукты, которые содержат клетчатку (злаки, овощи, фрукты, сухофрукты).
4. Употреблять в пищу свежеприготовленные блюда.
5. Не жарить на сливочном масле и полностью ликвидировать из рациона маргарин.
6. Отказаться от чрезмерно соленых продуктов.
7. Вместо молока употреблять молочнокислые продукты (кефир, йогурт, ряженку).
8. Мясо, рыбу и птицу употреблять свежеприготовленными и только с травами и овощами (петрушкой, сельдереем, укропом, салатом, зеленым луком, капустой и др.).
9. Каждый день есть салат из свежих овощей или фруктовый салат.

Ответ выбран лучшим

cos(3π/2)=0
2sin^2x=0
sinx=0
x=πk, k∈Z
О т в е т. πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

1) Избавляемся от иррациональностей и в числителе и в знаменателе.
lim_(x→-5)(sqrt(9+x)-2)*(sqrt(9+x)+2)*(sqrt(4-x)+3)/(sqrt(4-x)-3)*(sqrt(4-x)+2)*(sqrt(9+x)+2)=
=lim_(x→-5)(9+x-4)*(sqrt(4-x)+3)/(4-x-9)*sqrt(9+x)+3)=lim_(x→-5)(5+x)*sqrt(4-x)+3)/(-x-5)*sqrt(9+x)+3)=-6/5
2) Делим и числитель и знаменатель на х^3
lim_(x→∞)((3/x^3)-(7/x)+5)/(2/x^3)+(2/x)-1)=
(0-0+5)/0+0-1)=-5
О т в е т. -5
3) в точке х_(1)=-3 знаменатель дроби 1/(х+3) равен 0.
При этом при х → -3-0 1/(-0)=- бесконечность, 2^(-∞)=0
при х → -3+0 1/(+0)=+ бесконечность, 2^(+∞)=+ бесконечность
Функция имеет разрыв второго рода в точке х-(1)=-3
в точке х_(2)=0 значение функции и пределы слева и справа равны ∛2.
Функция непрерывна в точке х_(2)=0
4)Найдем производную
у`=(ln3x)`(2^x)-(2^x)*ln3x/(2^x)^2=2^x*((1/3x)*(3x)`-ln2*ln3x)/2^(2x)=
=(1-x*ln2*ln3x)/2^x.
5)Найдем производную.
y`=(1/cosx)*(cosx)`=-sinx/cosx=-tgx

Ответ выбран лучшим

1г=1000 мг

50 мл - 1000мг
х мл - 600 мг,

х=600*50/1000=30 мл

Ответ выбран лучшим

1) От точки О откладываем vector{ОА} =2vector{a}.
От точки А откладываем vector {AB}=-vector{b}, тогда
vector {OB}=vector{ОА}+vector {AB}=2vector{a}-vector{b}
2)От точки О откладываем vector{ОB} =vector{b}.
От точки B откладываем vector {BA}=-vector{a}/2, тогда
vector {OА}=vector{ОВ}+vector {BА}=vector{b}-vector{a}/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(9х^2/45)+(5y^2/45)=1 или
(х^2/5)+(y^2/9)=1 - каноническое уравнение эллипса
1)a^2=5
a=sqrt(5)
b^2=9
b=3
Полуоси а=sqrt(5); b=3.

2) a < b, фокусы эллипса лежат на оси Оу.(!)
cм. рис.
a^2=b^2-c^2, значит с^2=b^2-a^2
c^2=9-5=4
c=2
F_(1)(0;-2); F_(2)(0;2) - фокусы данного эллипса.
3)ε=c/b=2/3;
4) Уравнения директрис
у=±b/ε
у=±3/(2/3)=±(9/2)=±4,5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

у=(-5/3)х+1
1) k=(-5/3)
параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты;
2) k=3/5
произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1).
(-5/3)*(3/5)=-1

Ответ выбран лучшим

Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:
(x-x_(A))/(x_(B) - x_(A)) = (y-y_(A))/(y_(B) - y_(A))=(z-z_(A))/(z_(B) - z_(A)).

(x-1)/(-1 - 1) = (y-2)/(-2 - 2)=(z-3)/(4 - 3);
(x-1)/(-2) = (y-2)/(-4 )=(z-3)/1;

Ответ выбран лучшим

Дано:
U = XY
Px = 3
Py =5
I=110
Решение.
3X + 5Y = 110

X = (110-5Y)/3

U = (110 - 5Y/3)Y= (110Y/3) - 5Y^2/3

U' = (110/3)- (10Y/3)

U'=0

(110/3)-(10Y/3)=0
Y=11
X=55/3=18целых 1/3

т.к. Х и У - по условию целые, то:

[X]= 18 и U = 11*18 = 198

Ответ:

При Х=18 и У=11 полезность максимальна и достигает значения 198

Ответ выбран лучшим

4^(1,5)=(2^2)^(1,5)=2^(2*1,5)=2^3=8;
0,5^(-2)=(1/2)^(-2)=(2^(-1))^(-2)=2^2=4;
16^(?)
ответ дать невозможно

Ответ выбран лучшим

Цена говядины по 8 руб./кг при потере 10 руб в час равна (8х + 10),х — объем покупки.
Из неравенства
8х + 10 < 12х,
х > 2,5 кг.
О т в е т. при покупке мяса более 2,5 кг стоять в очереди для программиста Петровой рационально.

Для её матери рациональным выбором будет покупка более дешевой говядины.

Ответ выбран лучшим

Так как
сos^2x=1-sin^2x, уравнение принимает вид:
sin^2x+2sinx-3=0
D=4+12=16
sinx=-3 или sinx=1
Первое уравнение не имеет корней, -1 меньше или равно sinx меньше или равно 1.
Второе уравнение sinx=1
x=(π/2)+2πk, k∈Z

Ответ выбран лучшим

а)
В основании призмы квадрат АВСD,
АC^2=BD^2=АВ^2+ВС^2=(4sqrt(2))^2+(4sqrt(2))^2=32+32=64
AC=BD=8

МК||A1C1, МК- средняя линия треугольника А1В1С1.
МК=А1С1/2=АС/2=4

Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение AMKC пересекает плоскости оснований по прямым АС и МK, которые параллельны.

Cечение призмы - равнобедренная трапеция АМКС.

Из прямоугольного треугольника АА1М по теореме Пифагора
АМ^2=AA^2_(1)+A1M^2=8^2+(2sqrt(2))^2=64+8=72
AM=6sqrt(2)

АС⊥BD
BD- проекция BL.
По теореме о трех перпендикулярах BL⊥AC.

NO⊥AC ( NO - высота h трапеции АМКС)
BL⊥AC,
BL⊥NO ⇒ BL⊥AMKC

б)Сечение AMKC — трапеция,
S( трапеции АМКС)=1/2·(АС+МК)·h
Из прямоугольного треугольника АМF:
MF^2=AM^2-AF^2
h=MF=sqrt(72-4)=sqrt(68)=2sqrt(17)

1/2·(4+8)·2sqrt(17)=12sqrt(17).
Из прямоугольного треугольника BLD по теореме Пифагора
BL^2=BD^2+DL^2=8^2+2^2=68
BL=sqrt(68)=2sqrt(17)
H=BL/2=sqrt(17)

V(пирамиды BAMKC)=1/3·S( трапеции AМКС)·H=
1/3·12sqrt(17)·sqrt(17)=68.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле:
(sqrt(u))`=(1/sqrt(u))*u`;
(sqrt(5x^2+9x))`=(1/2sqrt(5x^2+9x))*(5x^2+9x)`=
=(10x+9)/2sqrt(5x^2+9x).

По формуле
(сtgu)`=(-1/sin^2u)*u`
(ctg15x)`=(-1/sin^215x)*(15x)`=-15/sin^215x.

Ответ выбран лучшим

BD:AC=3:5
18:AC=3:5
AC=18*5:3=30

S( ромба)=АС*BD/2=18*30/2=270 кв.см.
О т в е т. АС=30; S( ромба)=270 кв.см.

Ответ выбран лучшим

1-й рюкзак 7 кг
2-й рюкзак 1кг+6 кг=7 кг
3-й рюкзак 2 кг+5 кг = 7 кг
4-й рюкзак 3 кг + 4 кг = 7 кг

Ответ выбран лучшим

∠A=180°-120°=60°
В прямоугольном треугольнике АВК
сумма острых углов 60 градусов, один угол 60 градусов, второй 30 градусов.
Против угла в 30 градусов катет равен половине гипотенузы.
АК=9
AD=9+25+9=43
S=(25+43)*9sqrt(3)/2=306sqrt(3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Перепишем систему в виде:
{sinx=(90/19)cosx•cosy
{siny=(90/19)cosy•cosz
{sinz=(90/19)cosx•cosz

Возведем в квадрат:
{sin^2x=(8100/361)cos^2x•cos^2y
{sin^2y=(8100/361)cos^2y•cos^2z
{sin^2z=(8100/361)cos^2x•cos^2z

Заменим sin^2x=1–cos^2x и для упрощения записей введем обозначения
cos^2x=t, t ≥ 0 ; cos^2y=u, u≥ 0; cos^2z=v, v ≥ 0.
Cистема принимает вид:
{1–t=(8100/361)ut;⇒{t=361/(8100u+361);
{1–u=(8100/361)uv;⇒{u=361/(8100v+361);⇒ v=(361–361u)/8100u
{1–v=(8100/361)vt. ⇒{v=361/(8100t+361).

Подставляем найденные t и v в третье уравнение:
(361–361u)/8100u=361/(8100*((361/(8100u+361))+361);
8100u^2+361u-361=0
D=361^2–4·8100·(–361)=361·(361+32400)=
=361·32761=(19·181)^2=3439^2
u=(–361-3439)/16200 < 0 не удовл. условию u≥0
u=(-361+3439)/16200=19/100
v=19/100
t=19/100

Итак,
сosx=±√19/10; cosy=±√19/10; cosz=±√19/10;
sinx=±9/10; siny=±9/10; sinz=±9/10.

Выразим
sin(x+y+z)=sin(x+y)cosz+cos(x+y)sinz=
=sinx•cosy•cosz+cosx•siny•cosz+cosx•cosy•sinz–sinx•siny•sinz.
|sin(x+y+z)|=|(±9/10)•(±√19/10)•(±√19/10)+(±9/10)•(±√19/10)•(±√19/10)+(±9/10)•(±√19/10)•(±√19/10)–(±19/10)•(±19/10)•(±19/10)|=
=|(9/10)•((19/100)–19/100)+(19/100)+(81/100))|=(9/10)•1=9/10

Ответ выбран лучшим

1.
ОДЗ: x > 0
log_(5,6) x меньше или равно 1
1=log_(5,6)5,6
log_(5,6) x меньше или равно log_(5,6)5,6
Основание логарифмической функции 5,6 > 1, функция возрастает. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
x меньше или равно 5,6
C учетом ОДЗ: х > 0
О т в е т. (0; 5,6)
2. 1=log_(x+3)(x+3)
log_(x+3) x больше или равно log_(x+3)(x+3)
ОДЗ:
{x+3 > 0, x+3≠1
{x > 0
x∈ (0;+бесконечность)
При х > 0
x+3 > 3, логарифмическая функция возрастает, тогда
x больше или равно x+3
0 > 3 - неверное неравенство.
Неравенство не имеет решений.
3. log_(2) (4x+3) < –2
ОДЗ:
4х+3 > 0
x > -3/4
-2*1=-2*log_(2)2=log_(2)2^(-2)=log_(2)(1/4)
log_(2)(4x+3)меньше или равно log_(2)(1/4)
Основание логарифмической функции 2 > 1, функция возрастает. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
4x+3 меньше или равно 1/4;
4х > (1/4)-3
4x > -11/4
x > -11/16
C учетом ОДЗ
О т в е т. (-11/16; + бесконечность)
4. logx+5 x2 < 2*1;
ОДЗ:
{x+5 > 0, x+5≠1
{x≠0
x∈ (-5;-4)U(-4;0)U(0;+бесконечность)
2 случая
1) x+5 > 1, логарифмическая функция возрастает, тогда
x^2 < 2
2) 0 < x+5 < 1, логарифмическая функция убывает, тогда
x^2 > 2
О т в е т. 1)(-sqrt(2);sqrt(2))
О т в е т. 2)(-5;-4)
Объединяем ответы с учетом ОДЗ
О т в е т. (-5;-4)U (-sqrt(2);0)U(0;sqrt(2))

Ответ выбран лучшим

F=mg
сила тяжести равна силе упругости
Fупр=kx
mg=kx
при m= 0,1 кг x=2,5см
0,1g=2,5k
g=25k
при m=0,4кг
0,4*25k=xk
x=10 cм
О т в е т. 10 см

Ответ выбран лучшим

Производная найдена:
a`(x)=(х+3+(22500/x) )'=1–(22500/x2).
это парабола известного вида
y=x^2-22500, знаменатель на знак производной не влияет.
При переходе через точку х=150 меняет знак с - на +,x=150- точка минимума, находим при каком а.

Ответ выбран лучшим

log^2_(3)(-tgx)-log_(3)sqrt(-tgx)=0
ОДЗ: -tgx > 0;
tgx < 0 , значит х во второй ии четвертой четвертях единичной окружности
Так как logsqrt(t)=logt^(1/2)=(1/2)*logt
Уравнение принимает вид:
log^2_(3)(-tgx)-(1/2)*log_(3)(-tgx)=0
log_(3)(-tgx)*(log_(3)((-tgx)-(1/2))=0
log_(3)(-tgx)=0 или log_(3)((-tgx)-(1/2))=0
-tgx=3^0 или -tgx=sqrt(3)
tgx=-1 или tgx=-sqrt(3)
x= (-π/4)+πk, k∈Z или x=(-π/3)+πn, n∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни:
(3π/4)+4π=19π/4
(2π/3)+4π=14π/3

Ответ выбран лучшим

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Если один острый угол 60°, то второй острый угол равен 30°.

Пусть гипотенуза треугольника равна х, тогда катет против угла в 30° равен половине гипотенузы.
S(Δ)=x*(x/2)*sin60°/2=x^2sqrt(3)/8
Приравниваем полученное выражение в данному значению площади и находим х.
x^2sqrt(3)/8=128sqrt(3)
x^2=128*8
x^2=2^(10)
x=32
О т в е т. х/2=16 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Δ CDE подобен Δ АВС
DE=(1/2)АС, значит
DE:AC=1:2
S(Δ CDE ):S(Δ ABC)=1:4
S (Δ ABC)=4*(Δ CDE)=4*24=96

Ответ выбран лучшим

1.
1)=x^5/5|^2_(1)=(2^5-1^5)/5=31/5;
2)=sinx|^π_(0)=sinπ-sin0=0;
3)=x^4/4|^3_(1)=(3^4-1^4)/4=20;
4)=-ctgx|^(π/2)_(π/4)=-(0-1)=1;
5)=-1/(2*(2x+1))|^2_(1)=-(1/10)+(1/6)=1/15;
6)=6sin(x/2)^π_(0)=6sin(π/2)-0=6;
7)=-1/x|^(10)_(1)=(-1/10)+1=9/10;
8)=(-1/2)*cos2x|^(π/2)_(π/4)=-1/2cosπ+(1/2)cos(π/2)=1+0=1;
2.
1)слева: =tgx|^(π/4)_(0)=tg(π/4)-tg0=1
справа: =x|^(1)_(0)=1
слева 1 и справа 1.
Равенство верно
2)слева: =-cosx|^(π/3)_(0)=-cos(π/3)+cos0=-1/2+1=1/2
справа: =2sqrt(x)|^(1/4)_(1/16)=2*((1/2)-(1/4))=1/2
слева 1/2 и справа 1/2.
Равенство верно
3)слева: =sinx|^(π/2)_(0)=sin(π/2)-sin0=1
справа: =x^3/3|^(∛3)_(0)=3/3=1
слева 1 и справа 1.
Равенство верно
4)слева: =(2x+1)^2/4|^(1)_(0)=(9/4)-(1/4)=2
справа: =(x^4/4-x)|^(2)_(0)=((2^4/4)-2)=2
слева 2 и справа 2.
Равенство верно

3.
1)=-3сos(x/3)|^(2π)_(-π)=-3*cos(2π/3)+3cos(-π/3)=0;
2)=sqrt(2x+5)|^(2)_(-2)=sqrt(9)-sqrt(1)=3-1=2;^(3
3)=9tg(x/9)|^(3π)_(0)=9tg(π/3)-9tg0=3sqrt(3);
4)=2sqrt(x+3)|^(0)_(-2)=2sqrt(3)-2sqrt(1)=2sqrt(3)-1;
5)(sin(x/4)+cos(x/4))^2=1+2sin(x/2)

=(x-4cos(x/2))|^(2π/3)_(0)=(2π/3)-4cos(π/3)-0+4cos0=(2π/3)-4*(1/2)+4*1=(2π/3)+2.
6)=(1+2x^4)/8|^(2)_(0)=(33/8)-(1/8)=(32/8)=4.
7)=(x+(1/2)*sin2x)|^(π/12)_(0)=(π/12)+(1/2)*sin(π/6)=(π/12)+(1/4);
8)=((x^2/2)+2sqrt(x))|^(4)_(1)=(4^2/2)+2sqrt(4)-(1)^2/2-2sqrt(1)=
=8+4-(1/2)-2=9,5.

Ответ выбран лучшим

Пусть жидкость в баке достигает высоты х см.
После погружения детали жидкость стала достигать высоты (х+5) см.
v(детали)=V(жидкости с деталью) - v(жидкости)=
=70*70*(х+5)-70*70*х=70*70*х+70*70*5-70*70*х=
=70*70*5=24 500 куб. см

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sinx=t

3t^2+2t-8=0
D=2^2-4*3*(-8)=4+96=100=10^2
t_(1)=(-2-10)/6=-2 или t_(2)=(-2+10)/6=4/3
Уравнения
sinx=-2 и sinx=4/3
не имеют корней, так как -1 меньше или равно sinx меньше или равно 1
О т в е т. нет корней

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6,4-(-23,1)=6,4+23,1=29,5

Ответ выбран лучшим

Нет системы неравенств.
График функции двух переменных
z=3x_(1)+2x_(2) - плоскость.
Плоскость принимает все значения от - бесконечность до + бесконечность

В зависимости от того, какая область задана неравенствами, см например розовая область,
функция на этой областью расположена так как сиреневая плоскость. В этой ситуации у сиреневой плоскости есть и наибольшее и наименьшее значение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Наверное, условие надо записать так:
g(x)=(1-cosx), если х∈(0;π)
и
g(x)=0, если х∉(0;π).

g(x)- дифференциальная функция распределения или плотность вероятности,
если ∫^(+∞)_(-∞)g(x)dx=1

∫^(+∞)_(-∞)g(x)dx=∫^(+∞)_(-∞)(1-cosx)dx=
=∫^(+∞)_(0)0*dx+∫^(π)_(0)(1-cosx)dx+∫^(+∞)_(π)0*dx
=(x-sinx)|^(π)_(0)=π-sinπ-0+0=π
а должно быть 1,
значит
p(x)=(1-cosx)/π- плотность распределения вероятности случайной величины,

Тогда
F(x)=∫^(+∞)_(-∞)p(x)dx=∫^(+∞)_(-∞)(1-cosx)dx/π=
=∫^(+∞)_(0)0*dx+∫^(x)_(0)((1-cosx)dx/π)+∫^(+∞)_(x)0*dx
=(1/π)(x-sinx)|^(x)_(0)=(1/π)*(x-sinx)

График F(x): (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это функция.
Что надо сделать?
1) Область определения (-бесконечность; + бесконечность);
2) Производная
у`=-3x^2+4x
3) y`=0
-3x^2+4x=0
x(-3x+4)=0
x=0; x=4/3 - точки возможных экстремумов.
Находим знак производной.
__-__ (0) __+__ (4/3) __-__

Там где производная отрицательна, функция убывает, там где производная положительна возрастает.
х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.
х=4/3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -.
График (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ρ=m:V
m=27 кг
V=0,03м^3
ρ=27:0,03=900 кг/м^3

Ответ выбран лучшим

ρ=m:V
m=27 кг
V=0,03м^3
ρ=27:0,03=900 кг/м^3

Ответ выбран лучшим

Пусть точка М(х;у;z) принадлежит плоскости, делящей двугранный угол пополам.
Тогда расстояние этой точки до плоскости х–у+2z+21=0
d_(1)=|x–у+2z+21|/√1^2+(–1)^2+2^2=|x-y+2z+21|/√6
равно расстоянию этой точки до плоскости 7х+24z-50=0
d_(2)=|7x+24z-50|/√7^2+0^2+24^2=|7x+24z-50|/√625=
=|7x+24z-50|/25

d_(1)=d_(2)
|x-y+2z+21|/√6=|7x+24z-50|/25
1)
(x-y+2z+21)/√6=(7x+24z-50)/25
или
2)
(x-y+2z+21)/√6=-(7x+24z-50)/25;

25x-25y+50z+525=7sqrt(6)x+24sqrt(6)z-50sqrt(6);
(25-7sqrt(6))х-25у+(50-24sqrt(6))z+525+50sqrt(6)=0;
или
2)
25x-25y+50z+525=-7sqrt(6)x-24sqrt(6)z+50sqrt(6);
(25+7sqrt(6))х-25у+(50+24sqrt(6))z+525-50sqrt(6)=0;

О т в е т.
(25-7sqrt(6))х-25у+(50-24sqrt(6))z+525+50sqrt(6)=0;
(25+7sqrt(6))х-25у+(50+24sqrt(6))z+525-50sqrt(6)=0;

Ответ выбран лучшим

c=АВ=2R.
AC=2R*cos∠A;
BC=2R*sin∠A.
Биссектриса λ угла α, заключенного между сторонами а и b, вычисляется по формуле:
λ=(2abcos(α/2)/(a+b)
Поэтому
АР=2*AM*AB*cos(∠A/2)/(AM+AB)- биссектриса треугольника АМВ.
2*R*cos∠A*2R*cos(∠A/2)/((R/2)cos∠A+2R)=25;
AL=2*AC*AB*cos(∠A/2)-биссектриса треугольника АВС
4R*cos∠A*2R*cos(∠A/2)/(Rcos∠A+2R)=42;
cos∠A=8/17.
cos(∠A/2)=sqrt((1+cos∠A)/2)=5/sqrt(34).

АС=AL*cos(∠A/2))=42*5/sqrt(34)=210/sqrt(34)
sin∠A=sqrt(1-cos^2∠A)=sqrt(1-(8/17)^2)=15/17
tg∠A=sin∠A/cos∠A=15/8
BC=AC*tg∠A=(210/sqrt(34))*(15/8)

S(Δ ABC)=AC*BC/2=(210/sqrt(34))*(210/sqrt(34))*(15/8)=
=(44100*15)/(34*8*2)=1215,99265≈1216 кв. ед. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

10)
Критические точки- точки, в которых производная равна 0 или не существует.
Производная не существует в точке х=0
Потому что слева от х=0 функция имеет вид у=-х/(1+x^2), справа у=х/(1+x^2)
y`=(x^2-1)/(x^2+1) слева от нуля
y`=(1-x^2)/(x^2+1) справа от нуля
Угловой коэффициент k=f`(0)=-1 слева от нуля.
Угловой коэффициент k=f`(0)=1 справа от нуля.

3) y=2x^2-x^2+1=x^2+1 при x меньше или равно -1
у=2x^2+x^2-1=3x^2-1 при -1 < x меньше или равно 1
y=x^2+1 при х > 1.

y`=2x при x меньше или равно -1
у`=6x при -1 < x меньше или равно 1
y`=2x при х > 1.
х=-1 и х=1 - точки, в которых производная не существует

9.
Стационарные точки- точки, в которых производная равна0.
2)у`=(x^2-14x+15)`=2x-14
y`=0
2x-14=0
x=7
4) y`=(1/3)-(12/x^2)=(x^2-36)/3x^2
y`=0
x^2-36=0
x=-6 и х=6
6) у`=e^(2x)*(2x)`-2e^x=2e^(2x)-2e^x
y`=0
2e^(2x)-2e^x=0
2*e^x*(e^x-1)=0
e^x > 0
e^x-1=0
e^x=e^0
x=0
8) y`=-sin2x*(2x)`-2sinx=-2sin2x-2sinx
y`=-
-2sinx*(cosx+1)=0
sinx=0 или сosx=-1
x=πk, k∈Z или x=π+2πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

35%+23%+25%+17%=100%
360 градусов :100%=3,6 градусов в 1%
35*3,6 градусов =126 градусов;
23*3,6 градусов=82,8 градусов
25*3,6=90 градусов
17*3,6 градусов=61,2 градусов.
Один угол тупой, один прямой, два острых.
О т в е т. 1)

Ответ выбран лучшим

х^2=-12:(-4/3)
x^2=12*(3/4)
x^2=9
x=-3 или х=3

Ответ выбран лучшим

Формула перемещения тела при свободном падении
S = v_(0) t + (g*t^2)/2.
V_(0) = 0, S = h.
h=gt^2/2⇒ t=sqrt(2h/g)=
=sqrt(2*45/10)=sqrt(9)=3c
По этой же формуле найдем перемещение тела за первую секунду
S_(1)=gt^2_(1)/2=10*1^2/2=5м

Тогда перемещение тела за последнюю секунду равно разности перемещений за всё время движения и за первые две секунды
S_(3) = h – S; S = (10 *2^2)/2 = 20 м;
S_(3) = 45м – 20м = 25 м.
Ответ: шарик падал 3 с, перемещение за первую секунду движения 5м, за последнюю- 25м.

Ответ выбран лучшим

1) 4^(x^2-8x+12)=4^3;
x^2-8x+12=3;
x^2-8x+15=0;
D=64-60=4
x_(1)=3; x_(2)=5
2)Замена переменной 2^x=t, t > 0;2^(2x)=t^2
t^2-14t-32=0
D=(-14)^2-4*(-32)=196+128=324=18^2
x_(1)=(14-18)/2=-2 не удовл. условию t > 0
x_(2)=(14+18)/2=16
2^x=16
2^x=2^4
x=4
3)2^(x+1)*(1-2^(x+3-x-1))=-12;
2^(x+1)*(1-2^2)=-12;
2^(x+1)*(-3)=-12
2^(x+1)=4;
2^(x+1)=2^2
x+1=2
x=1
4)2^(4x-3)*(2^3-3-2^2)=512;
2^(4x-3)*1=2^9
4x-3=9
4x=12
x=3
5)x^2+(3x/4)=t
4x^2+3x=4t
4^(4t)-2=16^t
((4^2))^(2t)-2=16^t
Замена
16^t=z
z^2-z-2=0
D=1+8=9
z_(1)=-1 z_(2)=2
16^t=2
(2^4)^t=2
4t=1
4*(x^2+(3/4)x)=1
4x^2+3x-1=0
D=9+16=25
x_(1)=-1; x_(2)=1/4
6)(4^(-1))^(2x+1)*4^(x+3)=4^(-3);
4^(-2x-1+x+3)=4^(-3);
4^(-x+2)=4^(-3);
-x+2=-3
-x=-5
x=5
7) 5^(2x+5)+5^(2x)=2^(x+4)-2^(x+3);
5^(2x)*(5^5+1)=2^x*(2^4-2^3);
25^x*3126=2^x*8
(25/2)^x=8/3126
x=log_(25/2)(4/1563)
8) sqrt(8+3sqrt(7))*sqrt(8-3sqrt(7))=1
Замена
(sqrt(8+3sqrt(7)))^x= t; (sqrt(8-3sqrt(7)))^x=1/t
t+(1/t)=16
t^2-16t+1=0
D=256-4=252=(6sqrt(7))^2
t_(1)=8-3sqrt(7) или х_(2)=8+3sqrt(7)

(sqrt(8+3sqrt(7)))^x= 8-3sqrt(7)
(sqrt(8+3sqrt(7)))^x= (sqrt(8+3sqrt(7)))^(-1)
х=-1
или
(sqrt(8+3sqrt(7)))^x= (sqrt(8+3sqrt(7)))
х=1

9) 5^(sqrt(x+1))=t;
25^(sqrt(x+1))=t^2.

25t^2-126t+5=0
D=126^2-4*25*5=15876-500=15376=124^2
t=(126-124)/50=1/25 или t=(126+124)/50=5
5^(sqrt(x+1))=1/25
sqrt(x+1)=-2 - уравнение не имеет смысла.
Слева положительное выражение, справа отрицательное число.
Нет корней
5^(sqrt(x+1))=5
sqrt(x+1)=1
x+1=1
x=0.

10) Пропорция. Перемножаем крайние и средние члены пропорции:
7*5^x-14*5^(-x)=3*5^x+6*5^(-x);
4*5^x=20*5^(-x)
5^x=5*5^(-x)
5^x=5^(1-x)
x=1-x
2x=1
x=1/2

Ответ выбран лучшим

y`=3x^2+6x-9
y`=0
3х^2+6x-9=
3*(x^2+2x-3)=0
x^2+2x-3=0
D=4+12=16
x=-1 x=3
Находим знак производной
__+__ (-1) __-_ (3) _+__

y` > 0 на промежутках (-бесконечность;-1)U(3;+бесконечность)
у` < 0 на (-1;3)

функция возрастает на
y` > 0 на промежутках (-бесконечность;-1)U(3;+бесконечность)
функция убывает на (-1;3)

Ответ выбран лучшим

y`=(2x-1)`*sqrt(x)+(2x-1)*(sqrt(x))`=

=2*sqrt(x)+(2x-1)/2sqrt(x)=

=(4x+2x-1)/2sqrt(x)=(6x-1)/2sqrt(x)

Ответ выбран лучшим

(x+9)^2-(x-6)^2=0
(x+9+x-6)*(x+9-x+6)=0
(2x+3)*15=0
2x+3=0
x=-3/2
О т в е т. -3/2

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль по определению.
Если tgx больше или равно 0, |tgx|=tgx
y=1
Если tgx < 0, |tgx|=-tgx
y=-1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим первообразную F(x) неопределенного интеграла
∫(x+1)dx/sqrt(4+x^2)=∫xdx/sqrt(4+x^2)
+∫dx/sqrt(4+x^2)=
=(1/2)∫2xdx/sqrt(4+x^2)+∫dx/sqrt(4+x^2)=

=(1/2)*2sqrt(4+x^2)+ln|x+sqrt(4+x^2)|=F(x)

Несобственный интеграл
∫^(+∞)_(0)(x+1)dx/sqrt(4+x^2)=F(x)|^(+∞)_(0)=

=бесконечность + бесконечность -2-ln2=бесконечность.
Расходится

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(√3–√2)^2=(√3-√2)*(√3-√2)=
=√3*√3-√2*√3-√3*√2+√2*√2=
=3-√6-√6+2=5-2√6

Ответ выбран лучшим

(sqrt(3)-sqrt(2))^2=(sqrt(3))^2-2*sqrt(3)*sqrt(2)+(sqrt(2))^2=3-2sqrt(6)+2=5-2sqrt(6)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|–5,6|=5,6
|–1,5|=1,5
|–1,4|=1,4

5,6*9*1,5
____________________ =
(–2,7)*(–0,8)*1,4

7*1,5
_____ =
0,3*1,4

=25

Пусть x – это количество верных ответов ученика, а y – количество неверных ответов ученика.

Тогда количество отсутствующих ответов
(25 – x – y)

Запишем все известные условия в виде системы:

{7x – 10y = 42
{x + y ≤ 25
{y ≥ 1

Ученик набрал 42 очка за викторину, значит он дал больше правильных ответов, чем неправильных.

Поэтому попробуем подобрать такое целое y (так как оно меньше x), чтобы число x также было целым:

y = 1
7x – 10 =42; 7x = 52; x – не целое

y = 2
7x – 20 =42; 7x =62; x – не целое

y = 3
7x – 30 = 42; 7x = 72; x – не целое

y = 4
7x – 40 = 42; 7x = 82; x - не целое

у=5
7x - 50 = 42; 7x = 92; x - не целое

у=6
7х - 60 = 42; 7х = 102; х - не целое

у=7
7х- 70 = 42; 7х = 112; х = 16

7*16-10*7=112-70=42 очка

О т в е т. 16 правильных ответов дал ученик.

Ответ выбран лучшим

1)х^3=t
3t^2+7t-6=0
D=49-4*3*(-6)=49+72=121
t=-3; t=2/3
x^3 < -3 или х^3 > 2/3
x < ∛-3 или х > ∛2/3
2)(2*(x-1)*x+3*(x-1)-2*x)/(x*(x-1)) > 0;
(2x^2-x-3)/x*(x-1) > 0;
2x^2-x-3=0
D=1+24=25
x=-1; x=3/2
__+__ (-1) __-__ (0) __+__ (1) _-_ (3/2) _+__
О т в е т. (-бесконечность;-1)U(0;1)U(3/2;+бесконечность)
3) x^2+3x+3 > 0 при любом х, так как D=9-4*3 < 0
x^2+3x+24 > 4x^2+12x+12
3x^2+9x-12 < 0
x^2+3x-4 < 0
D=9+16=25
x=-4; x=1
О т в е т. (-4;1)
4)x^2-8x-9 < 3x^2+5x+2;
2x^2+13x+11 > 0
D=169-88=81
x=-5,5; x=-1
О т в е т. (-бесконечность;-5,5)U(-1;+ бесконечность)

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение.
Замена переменной
cosx=t
2t^2-t-1=0
D=1+8=9
t=-1/2 или t=1
cosx=-1/2 или cosx=1
x=± (2π/3)+2πk, k∈Z или x=2πn, n∈Z.
О т в е т. ± (2π/3)+2πk,2πn, k, n∈Z.

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника НАС:
sin∠НСА=НА/АС=4/4sqrt(5)=1/sqrt(5);
cos∠НСА=sqrt(1-sin^2∠НСА)=sqrt(1-(1/5))=sqrt(4/5)

sin∠АСВ=sin(180градусов-∠НСА)=sin∠НСА=1/sqrt(5);
cos∠АCB=-cos∠НСА=-sqrt(4/5)
tg∠ACB=sin∠ACB/cos∠ACB=-1/2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

u_(x)=u_(0)+at
u_(0)=6
a=-3
Уравнение движения
x(t)=x_(0)+u_(x)t
x_(0)=6
u_(x)t=(6-3t)*t=6t-3t^2
x(t)=6+6t-3t^2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это однородное уравнение.
2^(3x)+2^(x)*3^(2x)=2*3^(3x)
Делим на 3^(3x)
(2/3)^(3x)+(2/3)^(x)=2
Замена переменной
(2/3)^x=t, t > 0

t^3+t-2=0
(t^3-1)+(t-1)=0
(t-1)*(t^2+t+1)+(t-1)=0
(t-1)*(t^2+t)=0
t-1=0 или t^2+t=0
t=1 или t=0 или t=-1

Показательная функция принимает только положительные значения
t=0 и t=-1 не удовлетворяют этому условию

t=1 - единственный корень уравнения
(2/3)^x=1
(2/3)^x=(2/3)^0
x=0
О т в е т. х=0

Ответ выбран лучшим

Если в трапецию вписана окружность, то суммы противолежащих сторон равны.
AB+CD=BC+AD,
трапеция равнобедренная
AB=CD
2AB=2CD=18+50=68
AB=CD=34
Проводим высоты из вершин верхнего основания на нижнее
Из прямоугольного треугольника
H(трапеции)=sqrt(34^2-(25-9)^2)=30
r=H/2=15
Рассматриваем два случая
1) Прямая ВМ проходит через вершину В верхнего основания и центр окружности О.
Решение см. рис.2
2) Прямая АМ проходит через вершину А нижнего основания и центр окружности О. Решение см. рис.3

О т в е т. 1:2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
sinx-sin2x+27=3^3;
sinx-2*sinx*cosx=0;
sinx(1-2cosx)=0
sinx=0 ⇒ х=πk, k∈Z
или
1-2сosx=0
cosx=1/2
x=± (π/3)+2πn, n∈Z

О т в е т. а) πk, ± (π/3)+2πn, k, n∈Z

б)-3π; - 7π/3; -2π - корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–7π/2; –2π] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть в ящике х красных и у черных носков. Вероятность вытянуть красный носок равна х/(х+у)
Вероятность вытянуть второй красный носок равна (х-1)/(х+у-1)
По условию произведение этих вероятностей равно 1/2.
(х/(х+у))*((х-1)/(х+у-1))=1/2

(а). Минимально возможное число носков в ящике 4:
3 красных и 1 черный
(3/4)*(2/3)=1/2
(б). Каково минимально возможное число носков в ящике, если число черных носков четно?
15 красных и 6 черных = 21

Подбор.
у=2
Уравнение
х*(х-1)/(х+2)*(х+1)=1/2 не имеет натуральных корней.
у=4
Уравнение
х*(х-1)/(х+4)*(х+3)=1/2 не имеет натуральных корней.
у=6
Уравнение
Уравнение
х*(х-1)/(х+6)*(х+5)=1/2 имеет натуральный корень
х=15
О т в е т. а) 3красных и 1 черный
б) 15 красных и 6 черных

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(3π/2+x)=-сosx
Так как
sin^2x=1-cos^2x
уравнение принимает вид:
4*(1-cos^2x)+8*(-cosx)+1=0
4сos^2x+8cosx-5=0
Квадратное уравнение.
Замена переменной
сosx=t
4t^2+8t-5=0
D=64-4*4*(-5)=64+80=144
t=(-8-12)/8=-5/2 или t=(-8+12)/8=1/2
cosx=-5/2 - уравнение не имеет корней, |cosx| ≤1

cosx=1/2
x= ± (π/3)+2πk, k∈Z
О т в е т. ± (π/3)+2πk, k∈Z
б) -7π/3 и -5π/3 - корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–3π; –3π/2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(5π/2–x)=cosx.
2cos^3x=cosx;
2cos^3x-cosx=0
cosx*(2cos^2x-1)=0;
cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k∈Z
или
cosx=-sqrt(2)/2 ⇒ x= ±(3π/4)+2πn, n∈Z
или
cosx=sqrt(2)/2 ⇒ x= ±(π/4)+2πm, m∈Z

О т в е т. А) (π/2)+πk, ±(π/4)+2πm, ±(3π/4)+2πn, k, m, n∈Z

Б) На отрезке [-2π; –π] три корня
-7π/4; –3π/2; -5π/4

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(sqrt(12)-sqrt(75))*sqrt(12)=
=sqrt(12)*sqrt(12)-sqrt(75)*sqrt(12)=
=12-5sqrt(3)*2sqrt(3)=12-10*3=12-30=-18

Ответ выбран лучшим

По правилу: дробь не изменится, если числитель и знаменатель разделить на одно и то же число.
75 делим на 25; 100 делим на 25

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть x – это количество верных ответов ученика, а y – количество неверных ответов ученика.

Тогда количество отсутствующих ответов
(25 – x – y)

Запишем все известные условия в виде системы:

{7x – 10y = 42
{x + y ≤ 25
{y ≥ 1

Ученик набрал 42 очка за викторину, значит он дал больше правильных ответов, чем неправильных.

Поэтому попробуем подобрать такое целое y (так как оно меньше x), чтобы число x также было целым:

y = 1
7x – 10 =42; 7x = 52; x – не целое

y = 2
7x – 20 =42; 7x =62; x – не целое

y = 3
7x – 30 = 42; 7x = 72; x – не целое

y = 4
7x – 40 = 42; 7x = 82; x – не целое

у=5
7x – 50 = 42; 7x = 92; x – не целое

у=6
7х – 60 = 42; 7х = 102; х – не целое

у=7
7х– 70 = 42; 7х = 112; х = 16

7·16–10·7=112–70=42 очка

О т в е т. 16 правильных ответов дал ученик.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:{sin(πx/12)≠0; х≠12k, k– целое
{sin (πx/4)≠0; x≠4m, m– целое
{cos(πx/6)≠0; x≠3+6s, s – целое.

Из них указанному отрезку не принадлежат:
0.
–8;–4; 4.
–9;–3;3.

Замена переменной
πx/12=t; πx/6=2t; πx/4=3t.

Так как
ctgt=sint/cost,
tgt=cost/sint,
sin3t*cos2t-cos3t*sin2t=sin(3t-2t)=sint,
sin3t=3sint-4sin^3t

неравенство принимает вид
(sin^2t-3cos^2t)*(sin^2t-cos^2t)*sint/(sin^4t*sin3t)*cos2t≤16

(4sin^2t-1)*(4sin^2t+1)*(4sin^2t-3)/(sin^3t*sin3t)≤ 0

4sin^2t+1 > 0 при любом х

(2sint-1)*(2sint+1)*(2sint-sqrt(3))*(2sint+sqrt(3))/(sint*sin3t)≤ 0
Неравенство верно, если
1) π/3 < t < 2π/3;
2) -2π/3 < t < -π/3;
3)π/6 ≤ t < π/3;
4)2π/3 < t ≤ 5π/6;
5)-5π/6 ≤ t < 2π/3;
6)-π/3 < t ≤ -π/6.
Возвращаемся к переменной х:
1) π/3 < πx/12 < 2π/3;
2) -2π/3 < πx/12 < -π/3;
3)π/6 ≤ πx/12 < π/3;
4)2π/3 < πx/12 ≤ 5π/6;
5)-5π/6 ≤πx/12 < 2π/3;
6)-π/3 < πx/12 ≤ -π/6.

1) 4 < x < 8; х=5
2) -8 < x < -4; х=-7;-6;-5
3)2 ≤ x < 4; х=3 не входит в ОДЗ х=2
4)8 < х ≤10; не входит в [-11;5]
5)-10 ≤ x < -8; х=-9 не входит в ОДЗ.х=-10
6)-4 < x ≤-2. х=-3 не входит в ОДЗ х=-2

О т в е т. 2-10-2+5-7-6-5=-23
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2+1,5=3,5 м длина рельса.
2/3,5=4/7 составляет первый кусок.
1,5/3,5=15/35=3/7 составляет второй кусок.
1,5/2=15/20=3/4 составляет второй кусок от первого.

Ответ выбран лучшим

y^2=x^2 - уравнение двух взаимно перпендикулярных прямых
у=-x и у=х.
Три прямые ограничивают треугольник. См. рисунок.
S=S(трапеции)-S(Δ_(1))-S(Δ_(2))=

=(2+6)*8/2 - 2*2/2 -6*6/2=32-2-18=12 кв. ед (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это буква дельта

Ответ выбран лучшим

(1–2sinx)·(1+2sinx)=0
1–2sinx=0 или 1+2sinx=0
sinx=1/2 или sinx=–1/2
На единичной окружности отмечаем углы, соответствующие первому уравнению синим цветом, второму - зеленым.
Первому уравнению соответствуют две серии корней
(π/6)+2πk, k∈Z и (5π/6)+2πn, k∈Z.
Второму уравнению соответствуют также две серии корней
–(π/6)+2πk, k∈Z и –(5π/6)+2πn, k∈Z.

Поэтому ответ можно объединить так
±(π/6)+2πk, k∈Z; ±(5π/6)+2πn, n∈Z

или так:
(π/6)+πk, k∈Z; –(π/6)+πn, n∈Z

О т в е т. ±(π/6)+πk, k∈Z. (прикреплено изображение)

Вопрос по решению задачи 423:
O1H=O1A-HA=O1A-O2B=R-r=4-1=3

Ответ выбран лучшим

По теореме Виета для кубического уравнения:
{sinx+cosx+tgx=-a/2;
{sinx*cosx+sinx*tgx+cosx*tgx=b/2;
{sinх*cosx*tgx=-c/2

Последнее уравнение принимает вид
sin^2x=-c/2;
sinx =sqrt(-c/2) или sinx=-sqrt(-c/2).
Так как
-1 меньше или равно sinx меньше или равно 1, то уравнения имеют решения при
-1 меньше или равно sqrt(-c/2) меньше или равно 1
По условию коэффициенты целые, неравенству удовлетворяют три целых значения с

с=-2;-1;0

sin^2x=1 ⇒ cosx=0
sin^x=1/2
sin^2x=0

Условию задачи удовлетворяет второй случай.
sin^2x=1/2

1) sinx=sqrt(2)/2, тогда
cosx=-sqrt(2)/2
tgx=-1
подставляем эти значения в первые два уравнения системы:
x=3π/4+2πk, k∈Z ⇒ b=-1; a=2; c=-1
или
sinx=sqrt(2)/2;
cosx=sqrt(2)/2;
tgx=1.
х=π/4+2πk, k∈Z
этот случай не удовлетворяет условию задачи, коэффициенты а и b не целые

2) sinx=-sqrt(2)/2
cosx=sqrt(2/2)
tgx=-1
х=-π/4+2πk, k∈Z
b=-1; a=2; c=-1 те же самые значения коэффициентов
или
sinx=-sqrt(2)/2
cosx=-sqrt(2/2)
tgx=1
х= (-3π/4)+2πk, k∈Z
этот случай не удовлетворяет условию задачи
О т в е т. 2x^3+2x^2-x-1=0 - одно уравнение.

Ответ выбран лучшим

y`=(1/4)*(x^2)`*(2lnx–3)+(1/4)*(x^2)*(2lnx-3)`=
= (1/4)*(2x)*(2lnx–3)+(1/4)*(x^2)*(2/x)=
=(x/2)*(2lnx-3+1)=x*(lnx-1)

y``=1*(lnx-1)+x*(1/x)=lnx-1+1=lnx

y```=1/x

Ответ выбран лучшим

По формуле
(u/v)`=(u`v-uv`)/v^2

y`=(sqrt(x))`*sqrt(x-1)-sqrt(x)*(sqrt(x-1))`/(x-1)=

=((sqrt(x-1)/2sqrt(x))-(sqrt(x)/2sqrt(x-1)))/(x-1)=

=(x-1-x)/(2sqrt(x)*sqrt(x-1)*(x-1))=

=-1/(2sqrt(x)*sqrt(x-1)*(x-1))

Ответ выбран лучшим

y=(x^2-x)*(4-x)
y=4x^2-4x-x^3+x^2
y=5x^2-4x-x^3
y`=10x-4-3x^2
y`(2)=10*2-4-3*2^2
y`(2)=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

Пусть в таблице n строк
x_(1) x_(2) x_(3)
y_(1) y_(2) y_(3)
z_(1) z_(2) z_(3)
...
По первому условию:
x_(1)+x_(2)+x_(3)+...=155; (n слагаемых)
у_(1)+у_(2)+у_(3)+...=164; (n слагаемых)
z_(1)+z_(2)+z_(3)+...=155; (n слагаемых)

По второму условию:
25 < х_(1)+x_(2)+x_(3) < 28
25 < y_(1)+y_(2)+y_(3) < 28
25 < z_(1)+z_(2)+z_(3) < 28
...
Имеем n неравенств.
Складываем
25*n < 155+164+81+ U < 28*n, U- cумма неизвестных элементов в (n-3) строках
25*n < 500 + U < 28n;
25 < (500/n)+(U/n) < 28

Между 25 и 28 располагаются числа 26 и 27.
(500/n)+(U/n)=26
или
(500/n)+(U/n)=27

500 кратно 20; 25; 50;100;250.

Надо перебрать возможные варианты. Пока не выбрала ответ.

Ответ выбран лучшим

х_(0)- произвольная точка.

х_(0)+Δх- вторая точка, Δх- приращение аргумента

Находим приращение функции
f(x_(0)+Δx)-f(x_(0))=

=(x_(0)+Δx+3)^2-(x_(0)+3)^2=

=(x_(0)+Δx+3-x_(0)-3))*(x_(0)+Δx+3+x_(0)+3))=

=(Δx)*(2х_(0)+6+Δx)

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента
(f(x_(0)+Δx)-f(x_(0)))/Δx=

=(Δx)*(2х_(0)+6+Δx)/Δx=

=(2х_(0)+6+Δx)

Предел этого отношения при Δx → 0 равен 2х_(0)+6

f`(x_(0))=2x_(0)+6

Точка х_(0) - произвольная, значит в любой точке х

f`(x)=2x+6

Ответ выбран лучшим

D(y)=(-бесконечность;+бесконечность)
y`=5x^4+9x^2+12
y`=0
5x^4+9x^2+12=0
D=9^2-4*5*12 < 0
y` > 0 при любом х
Значит функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x≠0; x≠1, x≠-1
{x≠5; x-5≠1, x-5≠-1
ОДЗ: х≠-1; x≠0; х≠1; х≠4; x≠5; х≠6.

Пусть log_(x^2)(x-5)^2=t, тогда log_(x-5)^2x^2=1/t
Неравенство принимает вид:
t+(1/t) меньше или равно 2;
(t^2-2t+1)/t меньше или равно 0.

t=1 или t < 0
1)
log_(x^2)(x-5)^2=1;
х^2=(x-5)^2
x^2-(x-5)^2=0
(x-5-x)*(x-5+x)=0
2x-5=0
x=2,5
или
2)
log_(x^2)(x-5)^2 < 0
0=log_(x^2)1
если х^2 > 1 логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
(x-5)^2 < 1
Cистема
{x^2 > 1 ⇒ (-∞;-1)U(1;+∞)
{(x-5)^2 < 1 ⇒ (x-5-1)*(x-5+1) < 0

x∈(4;6)

если 0 < х^2 < 1 логарифмическая функция убывает и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
(x-5)^2 > 1
Cистема
{0 < x^2 < 1 ⇒ (-1;0)U(0;1)
{(x-5)^2 > 1 ⇒ (x-6)*(x-4) > 0
x∈(-1;0)U(0;1)
C учетом ОДЗ, получаем ответ

О т в е т. x∈(-1;0)U(0;1)U{2,5}U(4;5)U(5;6)

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл ∫du/u=ln|u|+C

u=3+cos3x
du=(3+cos3x)`dx=-sin3x*(3x)`dx=-3sin3xdx

sin3xdx в числителе есть, не хватает числового множителя (-3). На число всегда можно умножить и разделить.

=(-1/3)∫(-3sin3x)dx/(3+cos3x)=(-1/3)ln(3+cos3x|+C

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной к кривой у=f(x) в точке с абсциссой х_(0) имеет вид
у-f(x_(0))=f`(x_(0))*(х-х_(0))
Находим
1) f(x_(0))=f(1)=1^2+4=5
2)f`(x)=(x^2+2)`=2x
3)f`(x_(0))=f`(1)=2*1=2
Уравнение
у-5=2*(х-1);
у=2х+3
О т в е т. у=2х+3

Ответ выбран лучшим

По свойствам параллелограмма АВРМ:
АВ || PM
AB=MP=x
АМ || BP
AM = ВР=z
значит AB|| CМ и АЕ || BN.

По свойствам параллелограмма DCPN:
CD || PN, значит СD || BN
CD=PN=у
CP || DN, значит СP || DE.
CP=DN=u

МЕ ||PN
ME=PN=CD=y
МР|| EN
MP=EN=AB=x

MPNE– параллелограмм.
ВРС– треугольник
Так как
sinP=sin(180–P), то
S(MPNE)=xysinР
S(BCP)=(1/2)BP·PCsinP=zusinP/2

8=xzsinP
49=uysinP

Осталось найти зависимость между переменными. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВМ – равнобедренный. Значит биссектриса АР – высота и медиана треугольника АВМ.
АР=РМ
AP⊥BM

Треугольник ВСК – равнобедренный. Значит биссектриса CF – высота и медиана треугольника ВСК.
BF=FK
BF⊥BK

Биссектрисы АР и СЕ треугольника АВС пересекаются в точке О, О– центр вписанной окружности.
ОТ=r=5.

OF и OP – cерединные перпендикуляры к сторонам ВК и ВМ треугольника ВКМ.
Значит О – центр окружности, описанной около треугольника ВКМ.
ВО=R=8.
По теореме Пифагора из треугольника ВОТ:
ВТ^2=BO^2–OT^2=8^2–5^2=64–25=39

О т в е т. 39
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это табличный интеграл
1/4 arctg(x/4) + C

Ответ выбран лучшим

АС=14/5=2,8 км
СВ=21/5=4,2 км
По условию задачи велосипедист и мотоциклист пробыли в пути 1 час.(Начало движения 11:00, окончание движения 12:00)

Пусть велосипедист был в пути t часов, тогда мотоциклист был в пути (1-t) часов.
(7/t)км/ч - скорость велосипедиста,
(7/(1-t)) км/ч - скорость мотоциклиста.

Пусть в х км от А мотоциклист встретил пешехода.
4,2:(7/t)=0,6t час. затратил велосипедист на путь СВ.
(7-х)*(1-t)/7 час. затратил мотоциклист на путь до места встречи с пешеходом.
Cумма
(0,6t+(7-х)*(1-t)/7) час - время пешехода на пусть от С до места встречи с мотоциклистом.
(2,8-х): (0,6t+(7-х)*(1-t)/7) км/ч - скорость велосипедиста.

На путь в х км пешеход затратил на 1,5 часа больше, чем мотоциклист, потому что прибыл в А на 1,5 часа позже
(13:30-12:00)
Составляем уравнение:
х/v(пешехода) - х/v(мотоциклиста) = 1,5 часа
х*(0,6t+(7-х)*(1-t)/7)/(2,8-х) - (х(1-t)/7)=1,5
73,5х=147
х=2
7-х=7-2=5 км
О т в е т. На расстоянии 5 км от В мотоциклист догнал пешехода

Ответ выбран лучшим

Выделяем полный квадрат.
x^2+3x+3=(x^2+2*x*(3/2)+(9/4))-(9/4)+3=
=(x+(3/2))^2+(3/4)

О т в е т. (1/sqrt(3/4))*arctg ((x+(3/2))/sqrt(3/4)+C=
=(2/sqrt(3))*arctg((2x+3)/sqrt(3)) + C.

Ответ выбран лучшим

Так как каждое уравнение имеет корни, то дискриминанты уравнений неотрицательны.
100b^2–4ac ≥ 0;
100с^2–4ab ≥ 0;
100a^2–4bc ≥ 0.

По условию произведение корней первого уравнения равно 6.
По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно с/а.
с/а=6
с=6а
Тогда
100b^2–4a·6a ≥ 0:
3600a^2–4ab ≥ 0;
100a^2–4b·6a ≥ 0;

По условию коэффициенты a,b,c положительные
a/b ≤ 10/2√6=5sqrt(6)/6;
a/b ≥ 4/3600;
a/b ≥ 24/100=6/25

Произведение корней второго уравнения по теореме Виета равно a/b
Из неравенств для a/b получаем, наименьшее значение произведения корней второго уравнения равно 6/25.
О т в е т. 6/25

Ответ выбран лучшим

ОС⊥касательной а ( касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания).
АВ|| касательной а, значит AB ⊥OC и
AB⊥ диаметру СP.
Диаметр, перпендикулярный хорде делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
АК=КВ
Дуга АР равна дуге РВ.
Хорда АР равна хорде РВ.
Треугольник АРВ- равнобедренный.

Дуга АСВ равна 300 градусов (вписанный угол АРВ измеряется половиной дуги, на которую он опирается).
Дуга АРВ равна 360 градусов - 300 градусов= 60 градусов.
Центральный угол АОВ измеряется дугой, на которую он опирается.
Значит, ∠АОВ=60 градусов,
∠АОК=∠ВОК=30 градусов.
В прямоугольном треугольнике КОВ катет КВ, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы ОВ.
ОВ=R, KB=R/2, КO=Rsqrt(3)/2
PK=PO-KO=R-(Rsqrt(3)/2)=(2-sqrt(3))R/2
KC=KO+OC=(Rsqrt(3)/2)+R=(2+sqrt(3))R/2

PK:KC=(2-sqrt(3)):(2+sqrt(3)=(2-sqrt(3))^2:(2^2-(sqrt(3))^2)=(4-4sqrt(3)+3):1=(7-4sqrt(3)):1.

О т в е т. (7-4sqrt(3)):1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть М- середина АВ, АМ=МВ.
В треугольнике ВВ1D проводим КО || B1D.
Так как ВК=КВ1, КО- средняя линия треугольника ВВ1D.
BO=OD.
МО - средняя линия треугольника АВD,
MO||AD, AD||BC, значит МО||ВС.
MN-средняя линия трапеции АВСD.
CN=ND.
КF||BC, KF=BC,
C1F=FC.
KF||MN, значит ABCD- трапеция.

Грани AA1B1B и СС1D1D- равны. AA1=BB1=CC1=DD1.
AB=CD.
Значит и диагонали этих граней равны. АВ1=DC1
MK=AB1/2=DC1/2=FN
Cечение МКFN - равнобедренная трапеция.

Б) h(трапеции)=sqrt(15^2-9^2)=12
MN=(BC+AD)/2=(7+25)/2=16

V(призмы АВСВА1В1С1D1)=S(трапеции АВСD)*H=
=((7+25)*12/2)*8=1536 куб.ед.

v(меньшей части)=1/2 V1
V1-объем прямой призмы с основанием МВСN и высотой КВ=Н/2.
V1=((BC+MN)*h/2)/2(*H/2)=((7+16)*6/2)*4=276
v=276/2=138 куб.ед.

V(большей части)=V(призмы АВСВА1В1С1D1)-v(меньшей части)=1536-138=1398 куб.ед
О т в е т. 1398 куб. ед.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Для консервирования 20 кг баклажан необходимо 1 л столового уксуса (10%-й раствор)

1 л составляет 100%
х л составляют 10 %

х=0,1 л чистого уксуса требуется хозяйке для консервирования 20 кг баклажан.

Подсчитаем сколько это мл уксусной эссенции (80% уксуса)
80% это 80/100 или 0,8

1 л - 0,8 л уксуса
у л - 0,1 л уксуса

у=1/8л=0,125л=125 мл

О т в е т. 125 мл

Ответ выбран лучшим

При возведении степени в степень показатели перемножаются
10^((1/18)*9)/(10^(9/6)*10^(9/9))=sqrt(10)/10^((3/2)+1)=
=sqrt(10)/sqrt(10^5)=sqrt(1/10^4)=1/10^2=0,01

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль по определению.
Если x больше или равно 0, |x|=x
Уравнение принимает вид
х=х+1
0х=1- уравнение не имеет корней
Если x < 0, |x|=-x
Уравнение принимает вид
-х=х+1
-2х=1
x=-1/2 удовлетворяет условию х < 0
О т в е т. х=-1/2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: {3-3sinx > 0 ⇒sinx≠1
(2cos^2x≠1 ⇒cosx≠±sqrt(2)/2
По определению логарифма
2cos^2x=3-3sinx;
2(1-sin^2x)=3-3sinx;
2sin^2x-3sinx+1=0
D=(-3)^2-4*2=1
sinx=1 - не удовлетворяет ОДЗ
или
sinx=1/2
x=(π/6)+2πk, k∈Z или x=(5π/6)+2πn, n∈Z
О т в е т.А) (π/6)+2πk,(5π/6)+2πn, k,n∈Z
Б) Указанному промежутку принадлежит корень:
(5π/6)+6π=41π/6
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f(x)=(x^2-4)*(x^2-1)
f`(x)=2x*(x^2-1)+2x*(x^2-1)=2x*(x^2-4+x^2-1)=
=2x*(2x^2-5)
x=0; x=sqrt(5/2); x=-sqrt(5/2)
Отрезку [–1; 2] принадлежат две точки:
х=0 и х=sqrt(5/2)
Находим знак производной:
[-1}]_+__ (0) __-__ (sqrt(5/2)) _+_ [2]

x=sqrt(5/2)- точка минимума, производная меняет знак с - на +

f(sqrt(5/2))=((5/2)-4)*((5/2)-1)=(-3/2)*(3/2)=-9/4=-2,25
О т в е т. -2,25

Ответ выбран лучшим

F(x)|^4_(1)=(x^2-4x)|^4_(1)=4^2-4*4-(1^2-4*1)=3

Ответ выбран лучшим

Вероятность того, что к концу дня в первом автомате не закончится кофе, равна (1-0,25)=0,75, а вероятность того, что во втором автомате не закончатся булочки, равна (1-0,2)=0,8.
Вероятность того, что к концу дня посетитель сможет купить в этом ресторане кофе с булочкой
равна произведению вероятностей.
р=0,75*0,8=0,6
О т в е т. 0,6.

Ответ выбран лучшим

Пусть основание равно х.
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой и делит основание пополам.
Находим высоту из прямоугольного треугольника.
h^2=4^2-(x/2)^2.
S=x*h/2=x*sqrt(16-(x^2/4))/2.
R=abc/4S
(8/3)=4*4*x/(4*x*sqrt(16-(x^2/4))/2);
Из уравнения
6=sqrt(64-x^2)
находим х:
36=64-x^2
x^2=64-36
x^2=28
x^2/4=28/4=7
h=sqrt(16-7)=sqrt(9)=3.

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Так как
sin^2x=1–cos^2x,а
cos^2x=1–sin^2x
перепишем равенство в виде

(–25cos^2x+40cosx–12)/(25sin^2x-30sinx+10)=4

25sin^2x-30sinx+10 > 0 при любом х
D=900–4•25•10 < 0
Запишем равенство в виде
–25cos^2x+40cosx–12=4*(25sin^2x-30sinx+10)
Замена переменной
u=cosx;
v=sinx.
Тогда
–25u^2+40u–12=4*(25v^2-30v+10)
и
u^2+v^2=1
Выделяем полные квадраты слева и справа
–(5u–4)^2+4=4*(5v-3)^2+4
или
(5u–4)^2+4*(5v-3)^2=0
Сумма двух положительных чисел равна 0 тогда и только тогда когда каждое 0.
u=4/5 v=3/5 и u^2+v^2=1
cosx=4/5
10cosx=10*(4/5)=8
О т в е т. 8

Ответ выбран лучшим

b₁•b₂•b₃•b₄=
=b₁•(b₁•q)•(b₁•q^2)•(b₁•q^3)=(b₁^4•q^6)=(b₁^2•q^3)^2.
ПО условию
(b₁^2•q^3)^2=2^(200)*3^(300)=(2^(100)*3^(150))^2
b₁^2•q^3=2^(100)*3^(150)

Возможны варианты:
1){b₁=2^(50)
{q=3^(50)
2){b₁=2^5;
{q=2^(30)*3^(50)
3){b₁=2^(20)
{q=2^(20)*3^(50);
4){b₁=2^(35);
{q=2^(10)*3^(50);
5){b₁=2^(50)*3^(15)
{q=3^(40);
6){b₁=2^(50)*3^(30);
{q=3^(30);
7){b₁=2^(50)*3^(45);
{q=3^(20);
8){b₁=2^(50)*3^(60);
{q=3^(10);

О т в е т. 8 прогрессий.

Ответ выбран лучшим

Так как флаги для любых двух государств имеют ровно один общий цвет, то оставшееся количество цветов 714
Из этого количества можно составить
714*713=509 082 флагов
О т в е т. 509 082 государств на планете.

Ответ выбран лучшим

[b]Наименьшее[/b] число– такое, что само число и число (n+61) содержат максимальное количество девяток

n=599...9898 (после пятерки подряд 219 девяток, всего цифр 223).решении n+61=599...9959
Ответ: 59959

Наименьшее число- такое, что само число и следующее за ним содержат максимальное количество девяток
4000=9*442+22=3978+22
В числе n 221 девятка и еще одна 9 на конце
22-9=13
13=6+7
Число n имеет 223 знака:
221 девятку и две последние цифры 69
999...9969
999...9970

О т в е т. 99969

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
3^x≠6;
3^x≠9
Замена переменной
3^x=t;
9^x=t^2.
Неравенство принимает вид:
(t^2-3t-19)/(t-6)+(9t^2-81t+2)/(t-9) меньше или равно 10t+3
Приводим дроби к общему знаменателю
((t-9)*(t^2-3t-19)+(t-6)*(9t^2-81t+2)- (10t+3)*(t-6)*(t-9))/((t-6)*(t-9)меньше или равно 0;
раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые
(t-3)/(t-6)(t-9)меньше или равно 0
Применяем метод интервалов:
_-__ [3] ___+__ (6) __-__ (9) _+__
t меньше или равно 3 или 6 < t < 9

3^x меньше или равно 3 или 6 < 3^x < 9
x меньше или равно 3 или log_(3)6 < x < 2.
О т в е т. (-бесконечность;1]U(log_(3)6;2).

Ответ выбран лучшим

Дано:
S=1300 км
μ = 0,39
m = 12т
Fтр = 0.05 P
q = 4.6 * 10^7 Дж/кг
ρ = 700 кг/м^3
Найти V
Решение.
μ = A/Q = (FS) / (q(m))
При движении без ускорения
F = Fтр = 0,05P

F = (0,05 mgS)/(qρV)

V =0,05mgS/qρμ=
=(0,05*12000 * 10)/(4,6 *10^7*700*0,39)=
=60000/(12558*10^6)=477*10^(-2)=477,8 литров
630-477,8=152,2 л
О т в е т. 152,2 л

Ответ выбран лучшим

Дифференциальное уравнение первого порядка.
с разделяющимися переменными.
х(у+1)dy+y(1-x)dx=0
или
х(у+1)dy=y(x-1)dx;
(y+1)dy/y=(x-1)dx/x
Интегрируем
∫(y+1)dy/y=∫(x-1)dx/x
∫(1+(1/y))dy=∫(1-(1/x))dx
y+ln|y|+lnC=x-ln|x|
Можно упростить ответ
ln(Cxy)=x-y
Cxy=e^(x-y)
О т в е т.Cxy=e^(x-y)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ выражения
{cosax > 0;
{sinax > 0.

Замена переменной
log_(a)cosax=v;
log_(a)sinax=u;
log_(a)tgax=log_(a)sinax-log_(a)cosax=u-v.

Преобразуем каждое подкоренное выражение
106+log^2_(a)cosax+log_(a)cos^(10)ax=
=106+log^2_(a)cosax+10log_(a)cos^(10)ax=
=v^2+10v+106=(v+5)^2+9^2

58+log^2_(a)sinax–log_(a)sin^(6)ax=
=58+log^2_(a)sinax–6log_(a)sinax=
=u^2-6u+58=(u-3)^2+7^2

5+log^2_(a)tgax+log_(a)tg^2ax=
=5+log^2_(a)tgax+2log_(a)tgax=
=(u-v+1)^2+2^2

Данное выражение принимает вид
sqrt((v+5)^2+9^2)+sqrt((u-3)^2+7^2)+sqrt((u-v+1)^2+2^2)-
каждое слагаемое можно рассматривать как длину вектора с соответствующими координатами.

Пусть
vector{b}=(v+5;9)
vector{c}=(-u+3;7)
vector{d}=(u-v+1;2)
Сумма длин векторов больше или равна длины суммы этих векторов.

vector{b}+vector{c}+vector{d}=(v+5-u+3+u-v+1;9+7+2)=
(9;18)
Так как (u-3)^2=(-u+3)^2, то теперь должно быть понятно, почему первая координата вектора c выбрана с противоположными знаками.

Равенство суммы длин векторов длине суммы возможно лишь при условии, что векторы сонаправлены.
При этом координаты пропорциональны.
Составляем пропорции:
(v+5)/(-u+3)=9/7;
(-u+3)/(u-v+1)=7/2.
Из системы уравнений
{7v+9u+8=0
{-7v+9u+1=0
Складываем
18u+9=0
u=-1/2
v=-1/2

Тогда
vector{b}=(4,5;9)
vector{c}=(3,5;7)
vector{d}=(1;2)

vector{b}+vector{c}+vector{d}=(9;18)
|vector{b}+vector{c}+vector{d}|=9sqrt(5)

log_(a)cosax=-1/2 ⇒ cosax=1/sqrt(a)
log_(a)sinax=-1/2 ⇒ sinax=1/sqrt(a)
a∈(0;1)U(1;+ бесконечность)
cos^2ax+sin^ax=2/a
1=2/a ⇒ a=2

При а=2
cos2x=1/sqrt(2) и sin2x=1/sqrt(2)
С учетом ОДЗ:
2x=(π/4)+2πk, k∈Z.
x=(π/8)+πk, k∈Z.

При (2;(π/8)+πk) k∈Z достигается наименьшее значение и оно равно 9sqrt(5)

О т в е т. 9sqrt(5) при (2;(π/8)+πk) k∈Z

Ответ выбран лучшим

В основании правильный шестиугольник, состоящий из шести равносторонних треугольников со стороной 14.
Высота равностороннего треугольника равна h=14sqrt(3)/2=7sqrt(3).
(cм. рис.3)
Так как ВК:КС=3:4, то ВК=6; КС=8
Из подобия
KG=GM=10
GO=8*h/14=8*7sqrt(3)/14=4sqrt(3)
Cечение имеет вид (см. рис. 4), поэтому LN=NT=10

Треугольник SOF подобен треугольнику SNT.
OF:NT=SO:SN=14:10=7:5
Обозначим SО=7k; SN=5k; NO=2k

Прямоугольные треугольные SNH, GNO и SOR подобны по двум углам.
Обозначим
∠SNH=∠GNO=∠SRO=α ( см. рис.1)
Из треугольника GNO: tgα=GO/NO=4sqrt(3)/2k=2sqrt(3)/k
Из треугольника SOR:tgα=SO/OR=7k/7sqrt(3)=k/sqrt(3)
приравниваем правые части и получаем
k=sqrt(6)
tgα=sqrt(2)
cosα=1/sqrt(3)
sinα=sqrt(2/3)

Из треугольника SOR
cosα=OR/SR
SR=7sqrt(3)/(1/sqrt(3))=21 - апофема боковой грани
SO=7k=7sqrt(6)
SH=SN*sinα=5sqrt(6)*sqrt(2/3)=10

SQ:SE=SH:SR=10:21 ( PQ || DE)

Из треугольника SOF
SF^2=SO^2+OF^2=(7sqrt(6))^2+14^2=490
SF=7sqrt(10)- боковое ребро пирамиды.

S(Δ SFE)=14*21/2=147;
SQ=10SE/21=10SF/21=10sqrt(10)/3
SF:ST=OF:NT=7:5
ST=5SF/7=5sqrt(10)
S(ΔSTQ):S(ΔSFE)=ST*SQ/SF*SE=
=ST*SQ/SF^2=500/(3*490)=50/147;
S(ΔSTQ)=(50/147)*147=50
S(ΔSTQ)=S(ΔSLP))=50
О т в е т. 50

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2) y`= (2x – 10)*e^(x–47)+(x^2-10x+10)*e^(x-47)=
=e^(x-47)*(x^2-8x)
y`=0
x=0 или х=8
_+_ (0) _-_ (8) _+__

x=8 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.
3) y`= (4x-28)*e^(8–x)+(2x^2-28x+28)*e^(8-x)*(8-x)`
=e^(8-x)*(4x-28-2x^2+28x-28)=
=e^(8-x)*(-2x^2+32x-56)
y`=0
-2x^2+32x-56=0
x^2-16x+28=0
D=256-112=144
x=2 или х=14
Знак производной:
_-__ (2) ___+__ (14) __-__

х=2 -точка минимума, производная меняет знак с - на +

y`=(4x-17)+e^(x+17)+(2x^2 –17x+17)e^(x+17)=
=e^(x+17)*(4x-17+2x^2-17x+17)=
=e^(x+17)*(2x^2-13x)
x=0 или х=6,5
__+_ (0) __-_ (6,5) _+__

x=0 - точка максимума

1)y=5x-5ln(x+7)
у`=5–(5/(x+7))=35/(x+7) > 0 на отрезке [–6, 5; 0]
Функция возрастает.
y(-6,5)=5*(-6,5)-5ln(0,5)- наименьшее значение функции на указанном отрезке.
2) у= 2x–2ln (x+5)–14
y`=2-(2/(x+5))=10/(x+5) > 0 на [–4, 5; 0]
у(-4,5)=2*(-4,5)-2ln(0,5)-14 наименьшее значение функции на указанном отрезке.
3) y= 3x–ln (3x)–15
y`=3-(3/3x)=(3x-1)/3x
y`=0
x=1/3
1/3 ∈ [1/4;1/2]
[1/4]___-__ (1/3) __+__ [1/2]
х=1/3- точка минимума
у(1/3)=3*(1/3)-ln(3*(1/3))-15=1-0-15=-14 - наименьшее значение функции на указанном отрезке

Ответ выбран лучшим

Пусть k - коэффициент пропорциональности радиусов, тогда R=8k; r=5k.
O-центр окружности радиуса 5k, Р- центр окружности радиуса 8k.
Точки О,Р,Т лежат на одной прямой.
SO=OT=5k
CP=PT=8k
Равнобедренные треугольники SOT и СРТ подобны, угол СТО- общий.
РТ=РО+ОТ
8k=PO+5k⇒ PO=3k
OT:TP=TS:TC=5k:8k=5:8,
TS:CS=TO:OP=5:3 ( по теореме Фалеса) или
СS:ST=3:5

SO⊥AB
CP || SO, значит СР || SO и СP⊥AB
CP- диаметр.
Диаметр перпендикулярный хорде делит хорду пополам.
AF=FB.
CF- высота и СF- медиана, треугольник АСВ - равнобедренный АС=СВ.

По условию ВС=ВТ, равные хорды стягивают равные дуги.

∠САВ=∠ВАТ=∠СТВ=∠ВСТ как углы опирающиеся на равные дуги.
и
∠СВА=∠СТА ( доказано, АС=ВС)

Значит, АВ- биссектриса угла А и
по свойству биссектрисы угла треугольника САТ
СS:ST=CA:АТ
По доказанному ранее
СS:ST=3:5
значит
СА:АТ=3:5
и так как СА=3, значит АТ=5

∠САВ=∠ВАТ, внутренние накрест лежащие углы и значит
ВС||AT.

Четырехугольник ТАСВ - равнобедренная трапеция.
h=sqrt(3^2-1)=sqrt(80
S(трапеции)=(ВС+АТ)*h/2=(3+5)*sqrt(8)/2=4sqrt(8)=8sqrt(2)
О т в е т. S(TABC)=8sqrt(2)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cм. обозначения и вычисления на рисунке.
Найдем отношение r/BC=r/5x.

Получаем зависимость между х и r.
По теореме Пифагора из треугольника АВС
АВ^2=AC^2+BC^2
(0,8r+4x)^2=(4x)^2+(5x)^2
0,64r^2+6,4rx-25x^2=0
или
16t^2+160t-625=0, где t=r/x.

D=(16*10)^2-4*16*(-25*25)=
=1600*(16+25)=(40sqrt(41))^2
=64*164/100
тогда
r/x=(-160+40qrt(41))/32=5*((sqrt(41)/4) -1)
второй корень отрицательный и не удовл условию задачи.

r/5x=(sqrt(41)/4)-1

О т в е т.0,25sqrt(41)-1 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{х > 0, x≠1
{1–log3x > 0 ⇒ log3x < log33 ⇒ x < 3
{1–log3x≠1 ⇒log3x ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
x∈ (0;1)U(1;3)

Перепишем неравенство в виде:
log_(1–log_(3)x)(1+log^2_(x)3) ≤ log_(1–log_(3)x)(1–log_(3)x)

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств, получаем неравенство:
(1-log_(3)x-1)*(1+log^2_(x)3-1+log_(x)3)≤0
(-log_(3)x)*(log_(x)3)*(log_(x)3+1)≤0
log_(x)3+1≥0
log_(x)3≥-1

При x∈(0;1) x≤1/3 ⇒ x∈(0;1/3]
При x∈(1;3) x ≥ 1/3 ⇒ x∈(1;3)

О т в е т.x∈(0;1/3]U(1;3)

Ответ выбран лучшим

S(параллелограмма)=a*h_(a)
S(параллелограмма)=b*h_(b)

60=a*6 ⇒ a=10 см
60=b*7,5 ⇒ b=8 см

Р( параллелограмма)=2*(a+b)=2*(10+8)=36 см
О т в е т. 36 см

Ответ выбран лучшим

f(2/7)=(2/7)/(1-(2/7)) + (3/7)=(2/7)/(5/7)+(3/7)=

=(2/5)+(3/7)=(2*7+3*5)/35=29/35

О т в е т. 29/35

Ответ выбран лучшим

(х+2)^2-9=(x+2-3)(x+2+3)=(x-1)(x+5)
Неравенство принимает вид
(-4)/((х-1)*(х+5)) ≥ 0
или
4/((х-1)*(х+5))≤0

Так как числитель дроби положителен, то неравенство равносильно неравенству
(х-1)(х+5) < 0
Решаем методом интервалов:
__+__ (-5) __-__ (1) _+__

О т в е т. (-5;1)

Ответ выбран лучшим

Пусть автомобиль был в пути t часов.
По условию автомобиль и автобус были в пути 2 часа.
Значит (2-t) часов был в пути автобус.

Пусть путь от А до Б равен S км.
Тогда путь велосипедиста
(2S/3)-(2S/5)=4S/15 км
На этот путь велосипедист потратил столько же времени, сколько автомобиль на (S/3) км и автобус на (3S/5)км
(t/3)+(3/5)*(2-t)=(18-4t)/15 часов

(4S/15):((18-4t)/15)=2S/(9-2t) км/ч- cкорость велосипедиста.

На путь до А после встречи с автобусом велосипедист затратил
(2S/5):(2S/(9-2t))=((9-2t))/5 часов
Автобус затратил на этот путь
(2S/5):(S/(2-t))=((4-2t)/5) часов

((9-2t)/5)-((4-2t)/5)= 1 час.-
на 1 час больше затратил на эту часть пути велосипедист, чем автобус.
Значит и приедет в пункт А на 1 час позже автобуса.

Велосипедист приедет в пункт А в 12:00.
О т в е т. 12:00

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:х-1≠0
х≠1
На ОДЗ
(x^2-x)/(x-1)=x(x-1)/(x-1)=x
График функции у=(x^2-x)/(x-1) совпадает с графиком у=х при всех х∈(-бесконечность; + бесконечность)
В точке (1;1) на графике "дырка"
Прямая у=p не имеет точек пересечения с графиком у=(x^2-x)/(x-1) при p=1
О т в е т. р=1

Ответ выбран лучшим

2cos^2x+3*2sinx*cosx=4*(sin^2x+cos^2x)+3*(cos^2x-sin^2x);
получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени.
sin^2x-6sinxcosx+5cos^2x=0
Делим на cos^2x≠0
tg^2x-6tgx+5=0
D=(-6)^2-4*5=36-20=16
tgx=5 или tgx=1
x=arctg5+πk, k∈Z или x=(π/4)+πn, n∈Z
О т в е т. arctg5+πk,(π/4)+πn, k, n∈Z

Ответ выбран лучшим

y`=(x*arccosx)`=(x)`*arccosx+x*(arccosx)`=
=1*arccosx+x*(-1/sqrt(1-x^2))=
=arccosx-(x/sqrt(1-x^2)).
y``=(y`)`=(arccosx)`-(x/sqrt(1-x^2))`=
=(-1/sqrt(1-x^2))-(x`*sqrt(1-x^2)-x*(sqrt(1-x^2))`)/(1-x^2)=
=(-1/sqrt(1-x^2))-(sqrt(1-x^2)-((x/2(sqrt(1-x^2)))*(1-x^2)`)/(1-x^2)=
=(-1/sqrt(1-x^2))-(sqrt(1-x^2)-(x/2(sqrt(1-x^2))*(-2x))/(1-x^2)=
=(-1/sqrt(1-x^2))-(sqrt(1-x^2)+x^2/(sqrt(1-x^2))))/(1-x^2)=
=(-1/sqrt(1-x^2))-(1-x^2+x^2)/((1-x^2)*(sqrt(1-x^2))=
=(-1+x^2-1)/((1-x^2)*(sqrt(1-x^2))=
=(x^2-2)/(1-x^2)*sqrt(1-x^2)
=2x^2/(1-x^2)*sqrt(1-x^2).

Ответ выбран лучшим

120:100*14=16,8 г соли в 120 граммовом растворе с массовой долей 14% соли.
Добавим х г соли
(120+х) г раствора составляют 100 %
(16,8+х) г соли составляют 20%
Составляем пропорцию
(120+х):100=(16,8+х):20
0,2(120+х)=16,8+х
24+0,2х=16,8 +х
7,2=0,8х
х=9
О т в е т. 9 г соли нужно добавить

Ответ выбран лучшим

1) y=12^(1+4x–x^2)
Точка максимума показателя:
g(x)=-x^2+4x+1.
g`(x)=-2x+4
g`(x)=0
-2x+4=0
x=2- точка максимума, так как производная меняет знак с + на -.
О т в е т. 2

2)y`=2*(x-2)*e^x+(x-2)^2*e^x
y`=0
(x-2)*e^x*(2+x-2)=0
x=2 и x=0 - точки возможных экстремумов.
Знак производной:
_+__ (0) ___-__ (2) _+__
х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
О т в е т. 0

3)
ОДЗ: х > -5
y`=2-(2/(x+5))
y`=0
2x+10-2=0
x=-4
Знак производной:
[-4,5]__-__ (-4) ____+_____[0]
х=-4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.
у(-4)=2*(-4)-2*ln1-14=-8-0-14=-22
О т в е т. -22

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(x^2-49)^2 больше или равно 0 при любом х;
(x^2+4x-21)^2 больше или равно 0 при любом х.
Равенство 0 возможно лишь при
{x^2-49=0;
{x^2+4x-21=0. D=16+84=100, корни 3 и -7

{(x-7)*(x+7)=0
{(x-3)*(x+7)=0

Общий корень, удовлетворяющий и первому и второму уравнению системы х=-7
О т в е т. -7

Ответ выбран лучшим

Раскрываем знак модуля.
Если x-2 больше или равно 0, т.е.
x больше или равно 2
|x-2|=x-2
Функция принимает вид
у=x^2-5x+10-3*(x-2)
или
у=x^2-8x+16
Строим график у=x^2-8x+16 на [2;+ бесконечность)
Ветви параболы направлены вверх, вершина в точке (4;0)
Если x < 2, |x-2|=-x+2
Функция принимает вид
у=x^2-5x+10-3*(-x+2)
или
у=x^2-2x+4
Строим график у=x^2-2x+4 на (- бесконечность;2)
Ветви параболы направлены вверх, вершина в точке (1;3)
Совокупность графиков
y=x^2-2x+4, x∈(- бесконечность;2)
и
у=x^2-8x+16, x∈[2;+ бесконечность)
является графиком функции у=x^2-5x+10-3|x-2|
(cм. рисунок)
Прямая у=a+3 имеет с графиком три общие точки при a+3=4 или а+3=3,
a=1 или а=0
О т в е т. а=0; а=1
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1. Область определения х∈(-бесконечность; + бесконечность)
2. Множество значений у∈(0; + бесконечность)
3. Функция убывает на всей области определения
4. Функция не является ни четной, ни нечетной (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

сos^2α=1/(1+tg^2α)=1/(1+25/16)=16/41
cosα=4/sqrt(41) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin4x=1
4x=(π/2)+2πk, k∈Z
x=(π/8)+(π/2)k, k∈Z
x=π/8 – наименьший положительный корень
т.к п рад = 180 °

п/8 рад = (180/8)=22,5 °
О т в е т. 22,5 °

Ответ выбран лучшим

f(x)=2x^2–5x+lnx–5
D(f)=(0; + бесконечность)
f`(x)=4x-5+(1/x)
f`(x)=0
(4x^2-5x+1)/x=0
x≠0
4x^2-5x+1=0
D=(-5)^2-4*4=25-16=9
x=(5-3)/8=1/4 или х=(5+3)/8=1

Находим знак производной

(0)__+__ (1/4) ___-__ (1) _ +___

х=1/4 - точка максимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с + на -
О т в е т. 1/4.

Ответ выбран лучшим

Функция определена и непрерывна при любом х∈(-бесконечность; бесконечность).
При любом а множество значений функции содержит точку 0.
Значит условию задачи удовлетворяют случаи
1) множество значений содержит точки -1 и 0;
2) множество значений содержит точки 0 и 1.

В 1) случае -2 < y < 1
или
-2 < (8x-a-6)/(8x^2+8) < 1;
{8x^2-8x+a+14 < 0;
{16x^2+8x-a+10 > 0.
{D=64-32*(a+14) > 0
{D=64-64*(10-a) > 0
{a < 12
{a > 9
При a∈(9;12) множество значений функции содержит целые числа - 1 и 0.

Во 2) случае -1 < y < 2
или
-1 < (8x-a-6)/(8x^2+8) < 2;
{16x^2-8x+a+22 > 0;
{8x^2+8x-a+2 > 0;

{D=64-64*(a+22) > 0;
{D=64-32*(2-a) > 0;

{a < -21
{a > 0
система не имеет решений

О т в е т. a∈(9;12) множество значений функции содержит целые числа - 1 и 0.

Ответ выбран лучшим

8)
2х–5у+С=0– уравнения прямых, параллельных прямой 2х–5у+5=0
Подставим координаты точки А, чтобы найти С.
х=–1 у=4
2·(–1)–5·(4)+С=0
–2–20+С=0
С=22
О т в е т. 2х–5у+22=0
9.
x·vector{a}=(–y–5)·vector{b}
По условию векторы не коллинеарны, равенство возможно, если слева 0 и справа 0
y=–5
x=0

10.
4х+3у=12
точка пересечения с осью Ох:
у=0 4х=12 х=3
А(3;0)
точка пересечения с осью Оу:
х=0 3у=12 у=4
В(0;4)
Треугольник АОВ – прямоугольный.
Гипотенуза АВ=√(3^2+4^2)=√25=5
Площадь прямоугольного треугольника можно находить двумя способами.
Половина произведения катетов ОА и ОВ и половина произведения основания АВ на высоту

h=3·4/5=2,4
О т в е т. 2,4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8)
2х-5у+С=0- уравнения прямых, параллельных прямой 2х-5у+5=0
Подставим координаты точки А, чтобы найти С.
х=-1 у=4
2*(-1)-5*(4)+С=0
-2-20+С=0
С=22
О т в е т. 2х-5у+22=0
9.
x*vector{a}=(-y-5)*vector{b}
y=-5
x=0

10.
4х+3у=12
точка пересечения с осью Ох:
у=0 4х=12 х=3
А(3;0)
точка пересечения с осью Оу:
х=0 3у=12 у=4
В(0;4)
Треугольник АОВ - прямоугольный.
Гипотенуза АВ=sqrt(3^2+4^2)=sqrt(25)=5
Площадь прямоугольного треугольника можно находить двумя способами.
Половина произведения катетов ОА и ОВ и половина произведения основания АВ на высоту

h=3*4/5=2,4
О т в е т. 2,4

Ответ выбран лучшим

A) Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 м.
По крайней мере две вершины окрашены в один цвет
О т в е т. найдутся.
Б)
По принципу Дирихле все точки с целочисленными координатами попадают в 10 ящиков разных цветов.

Так как точек бесчисленное множество, то хотя бы две точки одного цвета, удаленные друг от друга на целое число метров найдутся.

или так: пусть точки 0,2; 1,2; 2,2; 3,2; 4,2; 5,2; 6,2; 7,2; 8,2; 9,2 окрашены в разные цвета, тогда точка 10,2 окрашена в один из уже имеющихся цветов. Расстояние между ними равно целому числу метров
В) 4 вершины.
Это вершины одной грани, они не образуют равносторонний треугольник.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле синуса двойного угла
7√2sin(15π/8)·cos(15π/8) =7√2*(1/2)sin(30π/8)=
=(7√2/2)sin(15π/4)=
по формулам приведения=
=(7√2/2)*sin((16π/4)-(π/4))=
=(7√2/2)*(-sin(π/4))=-7(sqrt(2)/2)*(sqrt(2)/2)=-7*(1/2)=-3,5
О т в е т. -3,5

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin374 градусов= sin(360 градусов+ 14 градусов)=sin 14 градусов
–6sin374 градусов/sin14 градусов= -6 sin14 градусов/sin14 градусов=-6
О т в е т. -6

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу перехода к другому основанию
log_(2)729/log_(2)9 =log_(9)729=3

Ответ выбран лучшим

tg56 градусов=tg(90градусов-34 градусов)=ctg 34 градусов
Так как tgα*ctgα=1, то
–42tg34градусов·tg56градусов+6=-42*1+6=-36

Ответ выбран лучшим

3cos2x+11sinx+4=0;
3*(1-2sin^2x)+11sinx+4=0;
6sin^2x-11sinx-7=0
t=sinx
6t^2-11t-7=0
D=(-11)^2-4*6*(-7)=121+168=289
t=(11-17)/12=-1/2 или t=(11+17)/12=28/12=7/3
sinx=7/3 - уравнение не имеет корней, 7/3 > 1.
sinx=-1/2
x=(-π/6)+2πk, k∈Z или x=π-(-π/6)+2πk, k∈Z
О т в е т.
a)(-π/6)+2πk, (7π/6)+2πn, k, n ∈Z

б)Указанному промежутку принадлежат корни
(-π/6)-2π=-13π/6
и
(7π/6)-4π=-17π/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sqrt(3) > 1, показательная функция возрастает
a)0,3 > 1/4=0,25
Большему значению аргумента соответствует большее значение функции
б)(-1/3) > -0,4
(-10/30) > -12/30
в)1,9 < 2,1
г) 3,1 > sqrt(10), так как 9,61=3,1^2 < 10

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
cosx+sin2x+8=2^3
cosx+sin2x=0
cosx+2sinx*cosx=0
cosx*(1+2sinx)=0
cosx=0 или 1+2sinx=0
x=(π/2)+πk, k∈Z или х=(-π/6)+2πn, n∈Z или
х=π-(-π/6)+2πm, m∈Z
О т в е т. а) (π/2)+πk, х=(-π/6)+2πn, (7π/6)+2πm, k, n, m ∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни
3π/2; (-π/6)+2π=11π/6; 5π/2.

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
2sin^2x-3sinx-1=6^0
2sin^2x-3sinx-1=1
2sin^2x-3sinx-2=0
D=(-3)^2-4*2*(-2)=25
sinx=(3-5)/4=-1/2 или sinx=(3+5)/4=2 - уравнение не имеет корней.
sinx=-1/2
x=(-π/6)+2πk, k∈Z или x=π-(-π/6)+2πn, n∈Z
x=(-π/6)+2πk, k∈Z или x=(7π/6)+2πn, n∈Z
О т в е т. (-π/6)+2πk,(7π/6)+2πn, k,n∈Z
б) указанному промежутку принадлежит корень
(-π/6)-2π=-13π/6)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(5π/2–x)=sinx
Уравнение принимает вид
sin2x=sinx
2sinx*cosx-sinx=0
sinx*(2cosx-1)=0
sinx=0 или 2сosx-1=0
x=πk, k∈Z или
сosx=1/2
x=±(π/3)+2πn, n∈Z

б)Указанному промежутку принадлежат корни
х1=(-π/3)-4π=-13π/3

- 9π/2 < -13π/3 < - 4π

x2 = - 4π

x3 = (π/3) - 4π = - 11π/3

- 4π < - 11π/3 < - 7π/2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)
Так как sqrt(3) > 1. Показательная функция возрастает.
-sqrt(2) < 0 < 2/3 < 1,2 < sqrt(2) < sqrt(3), значит

sqrt(3)^(-sqrt(2)) < sqrt(3)^0=1 < sqrt(3)^( 2/3) < sqrt(3)^(1,2) < sqrt(3)^(sqrt(2)) < sqrt(3)^( sqrt(3)).
б)0 < (∛3-∛2) < 1
Показательная функция убывающая.
-0,3 < 0 < 0,3

(∛3-∛2)^(0,3) < (∛3-∛2)^0=1 < (∛3-∛2)^(-0,3)

Ответ выбран лучшим

(1/49)^(sinx)=7^(2sin2x);
(7^(-2)^(sinx)=7^(2sin2x);
7^(-2sinx)=7^(2sin2x)
-2sinx=2sin2x;
По формулк синуса двойного угла
sin2x=2*sinx*cosx, тогда
2sinx+4sinx*cosx=0;
2six*(2cosx+1)=0
sinx=0 или 2cosx+1=0
x=πk, k∈Z или cosx=-1/2
x= ± (2π/3)+2πn, n∈Z
О т в е т. πk, ± (2π/3)+2πn, n∈Z

б) Указанном промежутку принадлежат корни
2π,(8π/3);3π
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

По свойству степени
(a^(m))^n=(a^n)^m

((1/2)^(log_(5)2)^log^2_(2)5=

=((1/2)^(log_(2)5))^(log_(2)5*log_(5)2)=

=(2^(-1))^(log_(2)5)=2^(log_(2)5^(-1))=5^(-1)=1/5

так как
log_(2)5*log_(5)2=1

О т в е т. 1/5=0,2

Ответ выбран лучшим

tg∠1=tg∠АВК=1/3
tg∠2=tg∠СВM=2/2=1
tg∠АВС=tg(180 градусов -∠1 - ∠2)=
=-tg(∠1 + ∠2)=-((1/3)+1)/(1-(1/3)*1)=-(4/3):(2/3)=-2
О т в е т. tg∠АВС=-2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
3х-1=0,2^(-3),
так как 0,2=1/5=5^(-1), (5^(-1))^(-3)=5^3, то
3x=1+5^3
3x=126
x=42
проверка
log_(0,2)(3*42-1)=log_(0,2)(125)=
=log_(0,2)(1/5)^(-3)=log_(0,2)(0,2)^(-3)=-3

О т в е т. х=42

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

P= ρ*g*h
F=P*S= ρ * g*h*S
ρ= 1000 кг/м^3
g=10 м/с^2
h=20-2=18см = 0,18 м
S=0,01 м^2

F=1000*100*0,18*0,01кг*м/с^2=18 H

Ответ выбран лучшим

sin^4x-cos^4x=(sin^2x-cos^2x)*(sin^2x+cos^2x)=
=(sin^2x-cos^2x)*1=sin^2x-cos^2x=sin^2x-(1-sin^2x)=
=2sin^2x-1=-0,7

Ответ выбран лучшим

∫^(π/4)_(0)(3dx/сos^2x)

Формула Ньютона-Лейбница
∫^(b)_(a)f(x)dx=F(b)-F(a)

Так как первообразная функции f(x)=3/cos^2x равна
F(x)=3tgx, то

=3*tg(π/4)-3*tg0=3*1=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

Табличный интеграл.
Формула
∫u^(α)du=(u^(α+1)/(α+1)) +C

u=12-4x
du=(12-4x)`dx=-4dx
или
d(12-4x)=-4dx
dx есть в условии,а множителя (-4) нет.
Всегда можно умножить выражение на число и разделить на это же число. Выражение не изменится.
Умножаем и делим на (-4) подынтегральное выражение
∫(6*(-4)dx/(-4*(12-4х)^5)=
постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выносим в числителе 6, в знаменателе (-4)=
=(-6/4)*∫(12-4х)^(-5)d(12-4x)= (-3/2)*(12-4x)^(-5+1)/(-5+1)+ C= (3/8)*(1/(12-4x)^4) + C

Ответ выбран лучшим

ВН ⊥ пл. α
МК ⊥ пл. α
ВН || MK
МК-средняя линия треугольника АВН.

МК=6,25

Ответ выбран лучшим

y`=(3x+5)`*tg(2x–7)+(3x+5)*(tg(2x-7))`=

=3*tg(2x-7)+(3x+5)*(1/cos^2(2x-7))*(2x-7)`

= 3*tg(2x-7)+(3x+5)*(1/cos^2(2x-7))*2=

=3*tg(2x-7)+(6x+10)/cos^2(2x-7)

Ответ выбран лучшим

23=9+8+6

998+869+686=2553

или

668+896+989=2553

можно получить 6 различных вариантов ответа

Ответ выбран лучшим

1) 80*3,3 кг=264 руб.
2) 300-264=36 руб сдачи
О т в е т. 36 руб сдачи получит Маша

Испытание состоит в том, что игральный кубик бросают 2 раза, при этом может выпасть любое из чисел 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Всего n=6*6=36 исходов испытаний.
Пусть А- событие означающее, что в сумме выпало 11 очков.
Событию А благоприятствуют два исхода испытания.
5 и 6
или
6 и 5
m=2

По классической формуле вероятностей
р(А)=m/n=2/36=0,055555...≈ 0,06

О т в е т. 0,06.

По формуле синуса двойного угла
sin2x=2*sinx*cosx

2*sinx*cosx+sqrt(3)sinx=0
sinx*(2cosx+sqrt(3))=0

sinx=0 или 2cosx+sqrt(3)=0
x=πk, k∈Z или сosx=-sqrt(3)/2
x=± arccos(-sqrt(3)/2)+2πn, n∈Z
x=± (π- arccos sqrt(3)/2)+2πn, n∈Z
x=± (π- (π/6))+2πn, n∈Z
x=± (5π/6))+2πn, n∈Z

О т в е т. а)πk; ± (5π/6))+2πn, k, n∈Z

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 7π/2].
Для этого составим неравенство
5π/2 < πk < 7π/2, k∈Z
или
5/2 < k < 7/2, k∈Z - неравенство верно при k=3

Значит х=π*3=3π - корень из первой серии ответов, принадлежащий указанному промежутку.

Составим второе неравенство
5π/2 < (5π/6))+2πn < 7π/2, n∈Z
или
5/2 < (5/6)+2n < 7/2, n∈Z

Умножим на 6
15 < 5 +12n < 21, n∈Z
или
10 < 12n < 16 - неравенство верно при n=1
Значит х=(5π/6)+2π= 17π/6 - корень из второй серии ответов, принадлежащий указанному промежутку.

Составим третье неравенство
5π/2 < (-5π/6))+2πn < 7π/2, n∈Z
или
5/2 < (-5/6)+2n < 7/2, n∈Z

Умножим на 6
15 < -5 +12n < 21, n∈Z
или
20 < 12n < 26 - неравенство верно при n=2
Значит х=(-5π/6)+2π*2= 19π/6 - корень из второй серии ответов, принадлежащий указанному промежутку.

Можно рассмотреть эти корни на единичной окружности.

О т в е т. б) 17π/6; 3π; 19π/6. (прикреплено изображение)

Треугольник АВМ - равнобедренный. Значит биссектриса АР - высота и медиана треугольника АВМ.
АР=РМ
AP⊥BM

Треугольник ВСК - равнобедренный. Значит биссектриса CF - высота и медиана треугольника ВСК.
BF=FK
BF⊥BK

Биссектрисы АР и СЕ треугольника АВС пересекаются в точке О, О- центр вписанной окружности.
ОТ=r=5.

OF и OP - cерединные перпендикуляры к сторонам ВК и ВМ треугольника ВКМ.
Значит О - центр окружности, описанной около треугольника ВКМ.
ВО=R=9.
По теореме Пифагора из треугольника ВОТ:
ВТ^2=BO^2-OT^2=9^2-5^2=81-25=56

О т в е т. 56 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть Иван в первой группе, тогда для Игоря в этой группе 12 мест, а в другой группе 13
12+13=25
р=13/25=0,52

О т в е т. 0,52

Ответ выбран лучшим

Найдем вероятность противоположного события.
Кареглазых детей 1 или ни одного.
р=0,75*0,35*0,35*0,35+0,35*0,75*0,35*0,35+
+0,35*0,35*0,75*0,35+0,35*0,35*0,35*0,75+0,35*0,35*0,35*0,35=0,128625+0,01500625=0,14363125
О т в е т. 1-0,14363125=0,85636875≈0,86

Ответ выбран лучшим

По формуле Бернулли
p=C^3_(15)*0,15^3*0,85^7=455*0,003375*0,3206=0,4922
О т в е т. 0,4922

Ответ выбран лучшим

Формула для наивероятнейшего числа появления события имеет вид
np-g меньше или равно k меньше или равно np+p

n=130
p=0,96
g=0,04

130*0,96-0,04 меньше или равно k меньше или равно 130*0,96+0,96
124,76 меньше или равно k меньше или равно 125,75
О т в е т. 125

Ответ выбран лучшим

9*1 700+13*220=15 300+2 860=18 160 руб.
8*700+57*220=5 600+12 540=18 140 руб

О т в е т. 18 140 руб

Ответ выбран лучшим

2cos^3x−2cosx+sin^2x=0:
2cos^3x−2cosx+1-cos^2x=0:
2cosx*(cos^2x-1)-(cos^2x-1)=0
(cos^2x-1)*(2cosx-1)=0
(cosx-1)*(cosx+1)*(2cosx-1)=0
cosx=1 x=2πk, k ∈Z
cosx=-1 x=π+2πn, n ∈Z
cosx=1/2 x=±(π/3)+2πm, m ∈Z
б) Указанному промежутку принадлежат корни
5π/3; 2π; 7π/3; 3π

1)
АВ
у=kx+b
Подставляем координаты точек А и В
-3=k*1+b
4=k*3+b
2k=7
k=3,5
b=-6,5
у=3,5х-6,5
7х-2у=13
(х/(13/7))-(у/6,5)=1

АС
у=kx+b
-3=k+b
-2=k*7+b
k=1/6
b=-3 целых 1/6
у=(1/6)х-(19/6)
х-6у=19
(х/19)-(у/(19/6))=1

ВС
у=kx+b
4=k*3+b
-2=k*7+b
4k=6
k=3/2
b=4-3k=4-(9/2)=-1/2
y=(3/2)x-(1/2)
3x-2y=1
x/(1/3)-y/(1/2)=1

2) координаты точки М- середины АВ
M((1+3)/2;(-3+4)/2)=M(2;1/2)
Уравнение медианы СМ
у=kx+b
-2=k*7+b b=-2-7k
-1/2=k*2+b
-1/2=k*2-2-7k
3/2=-5k
k=-3/10
b=-4,1
y=-0,3x-4,1
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1.
у=(10/3)х+b - уравнения прямых, перпендикулярных медиане СМ.
Подставляем координаты точки А
-3=(10/3)+b
b=-19/3
y=(10/3)x-(19/3) - уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины С

3) сos ∠B=vector{BA}*vector{BC}/|vector{BA}|*|vector{BC}|
vector{BA}={1-3;-3-4)=(-2;-7)
|vector{BA}|=sqrt((-2)^2+(-7)^2)=sqrt(53)
vector{BC}={7-3;-2-4)=(4;-6)
|vector{BC}|=sqrt(4^2+(-6)^2)=sqrt(52)

cos∠B=((-2)*(4)+(-7)*(-6))/sqrt(53)*sqrt(52)=
=34/sqrt(53)*sqrt(52)

Смежный с ним угол тупой и потому косинус его отрицательный. В условии задачи спрашивается про тупой угол

О т в е т. cos∠B= - 34/sqrt(53)*sqrt(52)

4) Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
y=(3/2)x+b
Подставляем координаты точки А
-3=(3/2)+b
b=-4,5
y=(3/2)x-(9/2)
3x-2y-9=0 - уравнение прямой, параллельной ВС и проходящей через точку А

5) См. рисунок. Площадь треугольника легко найти, достроив его до прямоугольника со сторонами 6 и 7 и вычитая из площади прямоугольника площади трех прямоугольных треугольников.
S=6*7-(6*1/2)-(6*4/2)-(7*2/2)=42-3-12-7=20 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Боковые грани пирамиды равнобедренные треугольники, боковые стороны которых 41, основание-18
Апофема (высота) боковой грани является одновременной и медианой и делит основание пополам.
По теореме Пифагора
h^2=41^2-9^2=(41-9)*(41+9)=32*50=1600
h=40

S(бок)=6*S(ΔSAB)=6*9*40/2=1080
О т в е т. S(бок)=1080

4*10^3+5*10^2+6*10^1=4*1000+5*100+6*10=4560

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение прямой
АВ как прямой, проходящей через две точки
(х-(-4))/((-1)-(-4))=(y-(-3))/(4-(-3))
или
(х+4)/3=(у+3)/7
7х-3у+19=0
нормальный вектор прямой АВ имеет координаты (7;-3)
Нормальные векторы перпендикулярных прямых ортогональны. Их скалярное произведение равно 0
(3;7)- нормальный вектор высоты, проведенной к АВ.
Запишем уравнение в общем виде
3х+7у+С=0
Чтобы найти С подставим координаты точки С.
3*6+7*1+С=0
С=-25
Уравнение высоты, проведенной к АВ
3х+7у-25=0

Аналогично пишем уравнение стороны ВС

(х+1)/(6+1)=(y-4)/(1-4)
3х+7у-25=0

Замечаем, что прямые ВС и высота из точки С имеют одинаковые уравнения.
Значит треугольник прямоугольный.
S=АВ*ВС/2
АВ=sqrt(3^2+7^2)=sqrt(58)
BC=sqrt(7^2+(-3)^2)=sqrt(58)
S=АВ*ВС/2=sqrt(58)*sqrt(58)/2=29

Уравнение стороны АС

(х+4)/(6+4)=(y3)/(1+3)
2х-5у–7=0

Уравнение высоты
5х+2у+С=0
Подставляем координату точки В
5*(-1)+2*4+С=0
С=-3
5х+2у-3=0 - уравнение высоты из точки В к стороне АС.

Ответ выбран лучшим

-2x-7=-4x
-2x+4x=7
2x=7
x=7:2
x=3,5

Ответ выбран лучшим

7+8x=-2x-5
8x+2x=-5-7
10x=-12
x=-1,2

Ответ выбран лучшим

Векторное произведение двух векторов a и b равно площади параллелограмма, построенного на векторах а и b.
Из планиметрии
S(параллелограмма)=a*b*sinα
9=3*5*sinα
sinα=0,6
значит сosα=0,8 или сosα=-0,8

Скалярное произведение векторов равно произведению длин на косинус угла между ними.

vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos*α=
=3*5*(4/5)=12
или
vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos*α=
=3*5*(-4/5)=-12

Ответ выбран лучшим

v(пирамиды)=|vector{2b} (vector{b}+vector{c}) (vector{3a}-vector{c})|/6
В числителе модуль смешанного произведения векторов.

Так как векторы a,b,c взаимно перпендикулярны введем в рассмотрение прямоугольную систему координат.
Ось ох совпадает с вектором а, ось оу - с вектором b, ось Oz c вектором с

Можно записать разложение векторов а,b и c по базисным
vector{a}=3i, vector{b}=4j, vector{c}=5k
Тогда
vector{2b}=8j
vector{b}+vector{c}=4j+5k
vector{3a}-vector{c}=9i-15k

Чтобы найти смешанное произведение этих векторов составим определитель третьего порядка из координат
|0 8 0|
|0 4 5|
|9 0 -15|
Раскладываем по первой строке 8-8*(9*5-0)+)=-360

V=|-360|/6=60

Ответ выбран лучшим

2vector{a}+vector{b}=(2*3-1;2*(-1)+2;2*(-2)-1)=
=(5;0;-5)
[(2vector{a}+vector{b})× vector{b}]=
определителю третьего порядка, в первой строке базисные векторы
во второй строке координаты вектора 2vector{a}+vector{b}
в третьей координаты вектора vector{b}
|i j k|
|5 0 5|
|1 2 -1|

=-10i+10j+10k

Ответ выбран лучшим

1) vector{a}=((1/2)*6-1;(1/2)*(-2)-(-2))=
=(3-1;-1+2)=(2;1)
2) (x-x_(C))^2+(y-y_(C))^2=R^2
(x-2)^2+(y-1)^2=R^2
Чтобы найти R подставим координаты точки D(5;5)
x=5 у=5
(5-2)^2+(5-1)^2=R^2
R^2=9+16
R^2=25
О т в е т.
(x-2)^2+(y-1)^2=25
3) CD=sqrt((6-2)^2+(5-2)^2)=sqrt(4^2+3^2)=sqrt(25)=5
CE=sqrt((5-2)^2+(-2-2)^2)=sqrt(3^2+4^2)=sqrt(25)=5
CD=CE=5
Треугольник равнобедренный.

Ответ выбран лучшим

Из подобия прямоугольных треугольников:
1,8:1=h:5
h=9 метров (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

94.
4) f(-2)=1/(-2)^2=1/4
f`(x)=-2/x^3
f`(-2)=2/8=1/4
Уравнение касательной
y-(1/4)=(1/4)*(x+2)
y=(1/4)x+(3/4)
8)f(1)=sqrt(1)=1
f`(x)=1/2sqrt(x)
f`(2)=1/2
Уравнение касательной
y-1=(1/2)*(x-1)
y=(1/2)x-(1/2)

Ответ выбран лучшим

Находим координаты векторов
vector{AB}=(2-(-1);-1-3;5-(-7))=(3;-4;12)
vector{AC}=(0-(-1);1-3;-5-(-7))=(1;-2;2)
vector{BC}=(0-2);1-(-1);-5-5)=(-2;2;-10)
Находим скалярные произведения
vector{AB}*vector{AC}=3*1+(-4)*(-2)+12*2=35
vector{AС}*vector{ВC}=1*(-2)+(-2)*2+2*(-10)=-25

координаты векторов
(vector{АВ}·vector{АС})vector{ВС} =35*(-2;2;-10)=(-70;70;-350)
vector{АВ}*(vector{АС}·vector{ВС})=(3;-4;12)*(-25)=
=(-75;100;-300)

Ответ выбран лучшим

cosα =a_(x)/sqrt(a^2_(x)+a^2_(y)+a^2_(z))=6/sqrt(6^2+3^2+(-2)^2))=6/sqrt(49)=6/7
cosβ=a_(y)/sqrt(a^2_(x)+a^2_(y)+a^2_(z))=3/√6^2+3^2+(–2)^2)=3/sqrt(49)=3/7
cos гамма=a_(z)/sqrt(a^2_(x)+a^2_(y)+a^2_(z))=
-2/sqrt(6^2+3^2+(-2)^2))=-2/sqrt(49)= -2/7

Ответ выбран лучшим

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю из смешанного произведения.
Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами равно определителю третьего порядка, составленному из координат векторов.
|0 1 2|
|1 0 1|=0
|-1 2 4|

Разложим определитель по первой строке
0 * на определитель второго порядка
|01|
|24|
-1* на определитель второго порядка
|1 1|
|-1 4|
+2* на определитель второго поярдка
|1 0|
|-1 2|

=0 -1(1*4-(-1)*1)+2*(1*2-(-1)*0)=

=0 -4 -1 +4=-1

-1 ≠ 0

О т в е т. Не компланарны

Ответ выбран лучшим

A_2_M__4___C_____?_______B

СB=12-2-4=6 cм

р=|СB|/|AB|=6/12=1/2

Ответ выбран лучшим

Векторы а и b взаимно перпендикулярны, значит являются сторонами прямоугольника.
По правилу параллелограмма суммой векторов является диагональ параллелограмма, имеющая с векторами общую вершину, разностью векторов является вторая диагональ, соединяющая их концы.
Так как диагонали прямоугольника равны,
то по теореме Пифагора
|a+b|=|a-b|=sqrt(12^2+5^2)=13 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y=(x^2–14x+49)·e^(x-8)
Находим производную
y`=(x^2–14x+49)`·e^(x-8)+(x^2–14x+49)·(e^(x-8))`=
=(2x–14)·e^(x-8)+(x^2–14x+49)·e^(x-8)·(x-8)`=
=(2x–14)·e^(x-8)+(x2–14x+49)·e^(x-8)·1=
=e^(x-8)*(2x-14+x^2-14x+49)=
=e^(x-8)*(x^2-12x+35)

y`=0
x^2-12x+35=0

D=144–4·35=4
x=(12–2)/2=5 или х=(12+2)/2=7
Находим знаки производной.
__+__ (5) __-__ (7)__+_

х=7 – точка минимума, так как производная при переходе через точку меняет знак с – на +

О т в е т. х=7

Ответ выбран лучшим

Функция будет принимать наибольшее значение при тех значениях х, при которых подкоренное выражение принимает наибольшее значение.
Подкоренное выражение – квадратный трехчлен.
Выделяем полный квадрат
-11+12х-x2=-(x2–12x+11)=-(x^2-12x+36-36+11)=-(x-6)^2+25
При х=6 квадратный трехчлен
-11+12x-х2 принимает наибольшее значение, равное 25 .
О т в е т. y(6)=sqrt(-11+12*6-6^2)=sqrt25=5 – наибольшее значение

Ответ выбран лучшим

F`(x)=(sin2x)`+(cos2x)`=cos2x*(2x)`+(-sin2x)*(2x)`=
=2cos2x-2sin2x
F`(π/2)=2cosπ-2sinπ=2*(-1)-2*0=-2

Ответ выбран лучшим

Находим производную
y`=(2x^2-22x+22)`*e^(6-x)+(2x^2-22x+22)*(e^(6-x))`=
=(4x-22)*e^(6-x)+(2x^2-22x+22)*(e^(6-x))*(6-x)`=
=(4x-22)*e^(6-x)+(2x^2-22x+22)*(e^(6-x))*(-1)=
=e^(6-x)*(4x-22-2x^2+22x-22)=
=e^(6-x)*(-2x^2+26x-44)
y`=0
-2x^2+26x-44=0
x^2-13x+22=0
D=13^2-4*22=169-88=81
x=(13-9)/2=2 или х=(13+9)/2=11
Находим знаки производной.
y`=e^(6–x)·(–2x^2+26x–44)
Так как e^(6-x) > 0, знак производной зависит от знака квадратного трехчлена
__-__ (2) __+__ (11)__-_

х=2 - точка минимума, так как производная при переходе через точку меняет знак с - на +

О т в е т. х=2

Ответ выбран лучшим

Функция будет принимать наименьшее значение при тех значениях х, при которых подкоренное выражение принимает наименьшее значение.
Подкоренное выражение - квадратный трехчлен.
Выделяем полный квадрат
x^2-6x+13=(x^2-6x+9)+4=(x-3)^2+4 больше или равно 0 при всех х
При х=3 х^2-6x+13 принимает наименьшее значение, равное 4.
О т в е т. y(3)=sqrt(3^2-6*3+13)=sqrt(4)=2 - наименьшее значение

Ответ выбран лучшим

V=S(осн.)*H=(1/2)*5*5*sin60 градусов*sqrt(3)=
=(1/2)*25*(sqrt(3)/2)*(sqrt(3)=75/4 =18,75куб. см

Ответ выбран лучшим

Проводим прямую параллельную А1В в грани СС1DD1
Угол между AD1 и СD1 находим из равностороннего треугольника. 60 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из 15-ти шприцов выбирают 3.Это можно сделать C^3_(15)=15!/(3!*(15-3)!)=13*14*15/6=13*35=455 cпособами.
n=455

Событие A - " хирург взял три пятикубовых шприца"
Пусть пятикубовых шприцов k, 3 < k < 15
Событию А благоприятствуют
m=С^3_(k)=k!/((k-3)!*3!)=
=k*(k-1)*(k-2)/6 исходов испытания.

По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=k*(k-1)*(k-2)/6*455, что по условию задачи равно 3/4.

Из уравнения
k*(k-1)*(k-2)/(6*455)=3/4
находим k
k*(k-1)*(k-2)=6*455*3/4

k*(k-1)*(k-2)=2047,5

Слева произведение трех последовательных натуральных чисел. Справа дробное число.

Нет такого натурального k < 15

Ответ выбран лучшим

1)
Находим точку пересечения прямых
{9x-2y-5=0;
{8x+3y-14=0.
Умножаем первое уравнение на 3, второе уравнение на 2
{27x-6y-15=0;
{16x+6y-28=0.
Складываем
43х-43=0
х=1
2у=9х-5
2у=9*1-5
2у=4
у=2
(1;2) - координаты точки пересечения прямых

Прямая 3х-7y+5=0 или y=(3/7)x+(5/7) имеет угловой коэффициент k=(3/7), значит tgα=3/7, где α- угол наклона этой прямой к оси Ох.

Прямая, уравнение которой необходимо написать, составляет с прямой 3х-7у+5=0 угол 45 градусов, значит угол наклона искомой прямой к сои ох (α+45 градусов)
Найдем tg(α+45 градусов)=(tgα + tg 45 градусов)/(1-tgαtg45 градусов)=((3/7)+1)/(1-1*(3/7))=(10/7)/(4/7)=10/4=5/2

Значит k(искомой прямой)=5/2
Запишем уравнение этой прямой в виде у=kx+b и для нахождения b подставим в это уравнение координаты найденной точки пересечения прямых

у=(5/2)х+b

x=1 y =2
2=(5/2)+b
b=-1/2

О т в е т. у =(5/2)х-(1/2) или 5х-2у-1=0

2) По формуле расстояния от точки (х_(0);у_(0)) до прямой ax+by+c=0

d=|ax_(0)+b_y_(0)+c|/sqrt(a^2+b^2)

d=|5*(-1)-2*2-1|/sqrt(5^2+(-2)^2)=10/sqrt(29)

О т в е т. 10/sqrt(29)

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов
x^2=3^2+8^2-2*3*8*cos60 градусов;
x^2=9+64-2*3*8*(1/2);
x^2=49
x=7

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Находим угол между стороной 16 см и 26 см по теореме косинусов
18^2=16^2+26^2-2*16*26*cos α

cos α=608/832=19/26

Из треугольника со сторонами 16 и 13 и найденным углом
m^2=16^2+13^2-2*16*13*(19/26)=256+169-304=121
m=11

Из треугольника со сторонами 13

Ответ выбран лучшим

180 градусов - 15 градусов - 45 градусов=120 градусов - больший угол параллелограмма
По теореме синусов
3/sin 120 градусов= х/sin 45 градусов

x=2sqrt(6)

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

По теореме синусов:
АВ/sin ∠C=BC/sin∠A;
sqrt(3)/sin ∠C=sqrt(2)/sqrt(2)/2;
sin∠C=sqrt(3)/2
∠C=60 градусов

Ответ выбран лучшим

1.
sqrt(3)-sqrt(6)=sqrt(3)-sqrt(2*3)=sqrt(3)*(1-sqrt(2))

9-6sqrt(2)=3(3-2sqrt(2))

(9-6sqrt(2))/sqrt(3)-sqrt(6)= 3*(3-2sqrt(2))/sqrt(3)*(1-sqrt(2))=sqrt(3)*(3-2sqrt(2))/(1-sqrt(2)).
2.
1)
(sqrt(x)+1)*(sqrt(x)+1)-(sqrt(x)-1)*(sqrt(x)-1)+4sqrt(x)*(x-1))/((sqrt(x))^2-1^2)=

=(x+2sqrt(x)+1-x+2sqrt(x)-1+4sqrt(x)*x-4x)/(x-1)=

=(4sqrt(x)+4xsqrt(x)-4x)/(x-1)

2) sqrt(x) - (1/sqr(x))=(x-1)/sqrt(x)

3)(4sqrt(x)+4xsqrt(x)-4x)/(x-1) * (х-1)/sqrt(x)=

=sqrt(x)*(4+4x-4sqrt(x))/(sqrt(x))=

=4+4x-4sqrt(x).

Ответ выбран лучшим

1целая 7/9=(9+7)/9=16/9

2 целых 7/81= 169/81

2 целых 313/324=961/324

sqrt(16/9)-sqrt(169/81)+sqrt(961/324)=
=(4/3)-(13/9)+(31/18)=(24-26+31)/18=29/18=1 целая 11/18

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов
x^2=3^2+8^2-2*3*8cos60 градусов=
=9+64-48*(1/2)=9+64-24=49
х=7

Ответ выбран лучшим

80.
1)=(5^4*2^4*10)^(1/5)=
=(5^5*2^5)^(1/5)=10

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2.
(-2^6)^(-5)= (-1*(2)6)^(-5))=-1*2^(6*5)=-2^(30)
(-32)^2=(-32)*(-32)=32^2=(2^5)^2=2^(10)
(-512)^(-3)=(-1*2^9)^(-3)=-1*2^(9*(-3))=-1*2^(-27)
-(-8)^4=-(-8)*(-8)*(-8)*(-8)=-(2^3)^4=-2^(12)

Окончательно, получаем
-2^(30)* 2^(10)*(-1*2^(-27)):(-2^(12))=
=-2^(30+10-27-12)=-2^(40-39)=-2

3. 14^(48)*5^(48):81^(12)=
=((14*5)^(16))^3:(3^4)^(4*3)=
=(70^(16))^3:(3^(4*4))^3=((70/3)^(16))^3
Куб степени числа (70/3) с целым показателем 16.

4. Произведение степеней с одинаковым основанием равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме степеней.
Получаем
6^(-5+0+5+10+...+80)=6^((-5+80)*18/2))=6^(675)

В скобках сумма арифметической прогрессии
a1=-5
d=5
an=a1+d(n-1)
80=-5+5*(n-1)
85=5*(n-1)
n-1=85/5
n-1=17
n=18

S_(18)=(a_(1)+a_(18))*18/2=(-5+80)*9=75*9-675
О т в е т. 6^(675)

Ответ выбран лучшим

vector{AC}=(0-2;2-0;2-1)=(-2;2;1)
|vector{AC}|=sqrt((-2)^2+2^2+1^2))=3
vector{AB}=((3-2);(-1-0);(2-1))=(1;-1;1)
|vector{AB}|=sqrt(1^2+(-1)^2+1^2)=sqrt(3)
vector{AC}*vector{AB}=(-2)*1+2*(-1)+1*1=-3.
cos∠A=vector{AC}*vector{AB}/|vector{AC}|*|vector{AB}|=-3/3sqrt(3)=-1/sqrt(3)
sin^2∠A=1-cos^2∠A=1-(-1/sqrt(3))=1-(1/3)=2/3
sin∠A=sqrt(2/3)
h=AB*sin∠A=sqrt(3)*sqrt(2/3)=sqrt(2)
О т в е т. sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: {x^2+2x-3 больше или равно 0
{x^2+2x-2 > 0
{x > 0, x≠1
ОДЗ: х > 1

Если х > 1, то log_(x)4 > 0
делим обе части уравнения на log_(x)4
и применяем формулу перехода к другому основанию
log_(x)t/log_(x)v=log_(v)t

log_(4)(sqrt(x^2+2x-3)+2)*log_(5)(x^2+2x-2) больше или равно 1

Замена
sqrt(x^2+2x-3)=t
x^2+2x=t^2+3
Неравенство принимает вид:
log_(4)(t+2)*log_(5)(t^2+1) больше или равно 1.
Обе функии слева возрастающие, их произведение - возрастающая функция.
Поэтому один корень t_(0) уравнения
log_(4)(t+2)*log_(5)(t^2+1)=1
обязательно есть.
Подбором находим, что t_(0)=2. Других корней нет. Возрастающая функция пересекается с прямой у=1 один раз.

Значит,
sqrt(x^2+2x-3) больше или равно 2
x^2+2x-3 больше или равно 4
x^2+2x-7 больше или равно 0
D=2^2-4*(-7)=4+28=32
x=(-2-4sqrt(2))/2=-1-2sqrt(2) или=(-2+4sqrt(2))/2=-1+2sqrt(2)
С учетом ОДЗ: получаем ответ
(-1+2sqrt(2);+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

2. sqrt(x^2+1)+C
5. arctg(x^3)/3 +C
6. arctg^2(x/2)+C
7. 4^(2-3x)/(-3ln4) + C
8.ln|e^x-1|+C
9. 2*5^(sqrt(x))/ln5 +C
10. 2sinsqrt(x) + C

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.
О т в е т. 4^x/ln4 -2*(-cosx)-(x^2/2)+C=
= 4^x/ln4 +2*cosx-(x^2/2)+C

Ответ выбран лучшим

Функция y=cosx обратима на промежутке монотонности[0;π]
Для взаимно обратных функций справедливо соотношение
f^(-1)(f(x))=x при x, принадлежащих промежутку монотонности.

Обозначим сos3x=t
3x=arccost, 0≤3x≤π ⇒ 0≤x≤π/3
Поэтому
у=3x на промежутке [0;π/3]

Функция у=arccos(cos3x)- четная
y(-x)=arccos(cos(-3x))=arccos(cos3x)=y(x)

Период функции y=arccos(cos3x) равен периоду функции у =сos3x

Cтроим график у=3x на промежутке [0;π/3], строим график, симметричный данному относительно оси Оу.

Строим график на всех отрезках [(-π/3)+(2π/3)k; (π/3)+(2π/3)k], k ∈ Z
Cм рисунок в приложении
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Подставим вместо а во второе уравнение x^2+y^2
Получим систему
{x^2+y^2=a
{2xy=x^2+y^2-1
или
{x^2+y^2=a
{(x-y)^2-1=0

Второе уравнение равносильно совокупности двух уравнений, значит вся система равносильна совокупности двух систем
1)
{x^2+y^2=a
{x-y=1

или

2)
{x^2+y^2=a
{x-y=-1

Решаем первую способом подстановки

x^2+(x-1)^2=a
x^2+1-2x+x^2=a
или
2x^2-2x-(а-1)=0
D=4+4*2(а-1)=4+8а-8=8a-4
Уравнение имеет один корень при а=1/2
При D > 0 уравнение имеет 2 корня
x_(1)=1-sqrt(2a-1) или x_(2)=1+sqrt(2a-1)
2)
Решаем вторую систему способом подстановки

x^2+(1+x)^2=a
x^2+1+2x+x^2=a
или
2x^2+2x-а+1=0
D=4+8(a-1)=8a-4
Уравнение имеет .
x_(3)=-1-sqrt(2a-1) или x_(4)=-1+sqrt(2a-1)

Чтобы решений было ровно два, необходимо и достаточно, чтобы было две точки пересечения окружности и гиперболы

О т в е т. а=1/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

б) ОДЗ: х > 0
Замена переменной
log_(1/2)x=t
t^2+3t+2 < 0
D=9-8=1
корни -2 и -1
метод интервалов:
__-__ (-2) _-__ (-1) _+__
-2 < t < -1
-2 < log_(1/2)x < -1
-2*log_(1/2)(1/2) < log_(1/2)x < -1*log_(1/2)(1/2)
log_(1/2)(1/2)^(-2) < log_(1/2)x < log_(1/2)(1/2)^(-1)
log_(1/2)4 < log_(1/2)x < log_(1/2)2
Логарифмическая функция с основанием 1/2 убывающая, большему значению функции ооответствует меньшее значение аргумента
4 > x > 2
С учетом ОДЗ, получаем ответ.
О т в е т.
(2;4).

в) ОДЗ: х > 0
Замена переменной
log_(4)x=t
t^2+t-2 меньше или равно 0
D=1+8=9
корни -2 и 1
метод интервалов:
__-__ (-2) _-__ (1) _+__
-2 < t < 1
-2 < log_(4)x < 1
-2*log_(4)4 < log_(4)x < -1*log_(4)4
log_(4)(4)^(-2) < log_(4)x < log_(4)4^(-1)
log_(4)(1/16) < log_(4)x < log_(4)(1/4)
Логарифмическая функция с основанием 4 возрастающая, большему значению функции ооответствует большее значение аргумента
(1/16) < x < (1/4)
С учетом ОДЗ, получаем ответ.
О т в е т.
(1/4;1/16).

Ответ выбран лучшим

Это верное равенство
-2,8=-2,8

или потеряна переменная
и надо решить уравнение

0,2x-3=-2,8
0,2x=0,2
x=1

или

уравнение

0,2-3х=-2,8
-3х=-2,8-0,2
-3х=-3
x=1

Ответ выбран лучшим

a)y`=(arcsinx)`-(sqrt(1-9x^2))`=
=(1/sqrt(1-(3x)^2))*(3x)`- (1/2sqrt(1-9x^2))*(1-9x^2)`=
=3/(sqrt(1-9x^2)-(1/2sqrt(1-9x^2))*(-18x)=
=(3+9x)/sqrt(1-9x^2)=3(1+3x)/sqrt(1-9x^2).

б) y`=(e^(tgx))`-(sqrt(x))`*cos2x-sqrt(x)*(cos2x)`=
=e^(tgx)*(tgx)`-(1/2sqrt(x))*cos2x-sqrt(x)*(-sin2x)*(2x)`=
=(e^(tgx)/cos^2x)-(cos2x/2sqrt(x))+2sqrt(x)*sin2x.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене.
5x^2-2x+1=5*(x^2-(2/5)x+1/5)=
=5*(x^2-2*x*(1/5)+(1/5)^2-(1/5)^2+(1/5))=
=5*((x-(1/5))^2+(4/25))

Замена переменной
х-(1/5)=t
x=t+(1/5)
dx=dt

∫xdx/sqrt(5x^2-2x+1)=(1/sqrt(5))*∫(t+(1/5))dt/sqrt(t^2+(4/25))=

=(1/sqrt(5))*∫(tdt)/sqrt(t^2+(4/25))+

(1/5sqrt(5))*∫(dt/sqrt(t^2+(4/25))=

=(1/2sqrt(5))*2sqrt(t^2+(4/25))+(1/5sqrt(5))*ln|t+sqrt(t^2+(4/25))|+C,
где t=x-(1/5)

Ответ выбран лучшим

Второй замечательный предел:
lim_(n→∞) (1+(1/n))^n=e

Выделяем целую часть в дроби (3n-1)/(3n+6)=
(3n+6-7)/(3n+6)=1+(1/(3n+6)/(-7))

lim _(n→∞)(1+(1/(3n+6)/(-7))^((3n+6)/(-7))=e

тогда
lim _(n→∞)((3n–1/3n+6))^(2n+3)=e^(lim _(n→∞)(-7*(2n+3)/(3n+6))=e^(-14/3)

Ответ выбран лучшим

MN=АС/2=23
MN- средняя линия треугольника АВС, которая параллельна основанию и равна его половине

Ответ выбран лучшим

(х+2)^2-(1-x)^2=0
((x+2)-(1-x))*((x+2)+(1-x))=0
(x+2-1+x)*(x+2+1-x)=0
(2x+1)*3=0
2x+1=0
x=-1/2
О т в е т. х=-1/2

(x–5)^2-(x+10)^2=0
(x-5-x-10)*(x-5+x+10)=0
-15*(2x+5)=0
2x+5=0
x=-2,5
О т в е т. х=-2,5

Ответ выбран лучшим

(1/8x)-(8(x+y)/64xy)=
=(1/8x)-((x+y)/8xy)=
=(y/8xy)-((x+y)/8xy)=
=(y-x-y)/(8xy)=-x/(8xy)=-1/(8y)
При у=1/4 получаем ответ
-1/(8*(1/4))=-1/2
О т в е т. -1/2=-0,5

Ответ выбран лучшим

100 000:10=10 000 руб. проценты за первый 2016-й год
100 000 + 10 000 = 110 000 руб сумма вклада к концу первого года хранения
110 000:100*10=11 000 руб - проценты за второй год хранения110 000 + 11 000 = 121 000 руб.
- сумма вклада к концу второго срока хранения.
Пусть Валерий снимет n руб 1 марта 2108 года.
Остаток (121 000- n) руб
Проценты за третий год хранения
0,1*(121 000 -n) руб.
Cумма вклада к концу третьего года хранения
1,1*(121 000 - n) руб.
Проценты за четвертый год хранения
0,1*1,1*(121 000 - n) руб.
Сумма вклада к концу 4 года хранения
1,1^2*(121 000 - n) больше или равно 130 000
146 410-130 000 больше или равно 1,21n
16 410 больше или равно 1,21n
n меньше или равно 13 561,9
n = 13 000
О т в е т. 13 000 рублей

Ответ выбран лучшим

Столько же, сколько и поражений.
24 матча закончились победой
24=7+7+6+3+1

24 матча закончились поражением
24=1+1+2+2+7+9

Всего сыграно 30 матчей
(Матч Бельгия-Чехия и матч Чехия-Бельгия - это один матч)

30-24 = 6 матчей сыграно вничью.

В колонке ничьи их 12=2+2+2+3+2+1
(Матч Бельгия-Чехия сыгран с ничейным результатом, 1 очко получает и Бельгия и 1 очко получает Чехия)
12:2=6 матчей закончились с ничейным результатом.
О т в е т. 24

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin75 градусов = cos 15 градусов.
cos^215 градусов - sin^275 градусов=cos^215 градусов-cos^215 градусов=0
Один из множителей равен 0, все произведение равно 0.

Ответ выбран лучшим

По свойствам параллелограмма АВРМ:
АВ || PM
AB=MP=x
АМ || BP
AM = ВР=z
значит AB|| CМ и АЕ || BN.

По свойствам параллелограмма DCPN:
CD || PN, значит СD || BN
CD=PN=у
CP || DN, значит СP || DE.
CP=DN=u

МЕ ||PN
ME=PN=CD=y
МР|| EN
MP=EN=AB=x

MPNE- параллелограмм.
ВРС- треугольник
Так как
sinP=sin(180-P), то
S(MPNE)=xysinР
S(BCP)=(1/2)BP*PCsinP=zusinP/2

6=xzsinP
75=uysinP

Осталось найти зависимость между переменными.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А) Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
АО=ОС
AE=EO=EP=РС=АС/4
Треугольники АКЕ и ЕСD подобны по трем углам.
Углы при сторонах АК и СD- внутренние накрест лежащие.
Углы при вершине Е - вертикальные.
Значит. АК:СВ=AE:EC=1:3.
Пусть АК=х, тогда СD=3x
AB=CD=3x
ВК=2x
Аналогично, МРС и АРВ подобны.
МС=y, AD=3y,
BC=AD=3y
BM=2y
Стороны треугольников ВКС и ВАС, составляющие угол В, пропорциональны, угол В- общий,
КМ=2/3 АС.
КМ|| АС.

Б)

S (четырехугольника ВЕКМР) = (1/2)*S (параллелограмма АВСD) - S(АКЕ)-S(МРС).
Значит,
S (АВСD)=2S(ВЕКМР)+2S(АКЕ)+2S(МРС)
Обозначим
S (АВСD)=S
S=2*30+2*(AЕ*FT+РС*FT)
Из подобия треугольников АКМ и АВС.
ВF:BT=2:3
FT=(1/3)ВТ
(AЕ*FT+РС*FT)=
=(AE+PC)*(1/3)BT=(1/6)AC*BT=(1/6)*(1/2)S=(1/12)S

S=2*30+(1/6)S
(5/6)S=60
S=360/5
S=72
О т в е т. S=72 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
х > 0
x≠1
4x=x^3
x(4-x^2)=0
x=0 x=2 или х=-2
х=2 удовлетворяет ОДЗ, остальные корни не удовлетворяют.
О т в е т. х=2

Ответ выбран лучшим

Пусть К- середина ребра ВВ1.
O- точка пересечения диагоналей верхнего основания
Расстояние - высота равнобедренного треугольника KA1C1.
A1C1=2sqrt(3)*sqrt(2)=2sqrt(6)
A1K^2=(2sqrt(3))^2+(sqrt(3))^2=15
KO^2=A1K^2-A1O^2=15-(sqrt(6)^2=9
KO=3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

А) Да.
10^2-6^2=4^3
64=64-верно.

Б) a^3-b^3=c^2
(a-b)*(a^2+ab+b^2)=c*c

Слева произведение двух множителей и справа произведение двух множителей.
Равенство возможно в следующих случаях
a-b=c
a^2+ab+b^2=c
Возводим первое равенство в квадрат, понимая, что при возведении возможно появление посторонних корней.
a^2-2ab+b^2=c^2
a^2+ab+b^2=c
Вычитаем
-3ab=c^2-c
Равенство невозможно, так как с^2-c > 0

Второй случай
a-b=1
a^2+ab+b^2=c^2

a=b+1
(b+1)^2+(b+1)b+b^2=c^2
3b^2+3b+1=c^2
Равенство возможно при отрицательных b, натуральных чисел нет
Cм. рисунок.

В) 3^3-2^3=19
Других пар нет, так как
a^3-b^3=c^2
(a-b)*(a^2+ab+b^2)=c^2
Равенство возможно при a-b=1
a=b+1
Нет простых чисел следующих одно за другим.
Так как среди двух следующих одно за другим натуральных чисел, одно обязательно четное.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час скорость катера в неподвижной воде, тогда (х+3) км в час - скорость катера по течению,
(х-3) км в час - скорость катера против течения.

120/(х-3)+120/(х+3)+(20/60)=17

240х/(x^2-9)=50/3
72x=5x^2-45
5x^2-72x-45=0
D=72^2-4*5*(-45)=5184+900=6084=78^2
x=(72+78)/10=15
второй корень отрицательный
О т в е т. 15 км в час

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x > 0
Пусть log_(3)x=t, тогда
log_(3)(9/x)=log_(3)9-log_(3)x=2-t
log^2_(3)x=t^2;
log_(3)(x^2/27)=log_(3)x^2-log_(3)27=
2log_(3)x-3=2t-3
Неравенство принимает вид:
9/(3+t*(2-t)) меньше или равно t^2 - 2t+3;
9-(3+2t-t^2)*(t^2-2t+3)/(3+2t-t^2)) меньше или равно 0;
(t^2-2t)^2/(3+2t-t^2)меньше или равно 0.
Так как
(t^2-2t)^2 больше или равно 0, то неравенство равносильно совокупности уравнения
(t^2-2t)=0 и неравенства
3t+2t-t^2 < 0

t=0 или t=2 или t^2-2t-3 > 0
D=4+12=16
корни квадратного трехчлена - 1 и 3
t < -1 или t > 3
Возвращаемся к переменной х
log_(3)x=0 x=3^0=1
или
log_(3)x=2
x=3^2
x=9
или
log_(3)x < -1;
x < 1/3
или
log_(3)x > 1
x > 27
О т в е т. (0;1/3)U{1}U{9}U(27;+бесконечность).

Ответ выбран лучшим

Находим производную:
f`(x)=2*(1/sqrt(2x-1))*(2x-1)`+(x)`*sqrt(x-4)+x*(sqrt(x-4))`;
f`(x)=2*(1/sqrt(2x-1))*2+1*sqrt(x-4)+x*(1/2sqrt(x-4))*(x-4)`;
f`(x)=(4/sqrt(2x-1))+sqrt(x-4)+(х/2sqrt(x-4));
f`(x)=0
(4/sqrt(2x-1))+sqrt(x-4)+(х/2sqrt(x-4))=0;
или
8sqrt(x-4)+2*(x-4)sqrt(2x-1)+x*sqrt(2x-1)=0;
8sqrt(x-4)+sqrt(2x-1)*(3x-8)=0;
8sqrt(x-4)=(8-3x))*sqrt(2x-1);
Уравнение не имеет корней на [5;13], так как
(8-3х) < 0
Значит функция монотонно возрастает на [5;13] ,
f`(x) > 0 на [5;13]
f(13)=2*sqrt(2*13-1)+13*sqrt(13-4)=2*5+13*3=49
О т в е т. f(13)=49- наибольшее значение функции на [5;13]

Ответ выбран лучшим

(25^(sinx))^(cos2x)=((5^2)^(sinx))^(cos2x)=
5^(2sinx*cos2x)
По формулам приведения
sin(π-x)=sinx
Уравнение принимает вид
5^(2sinx*cos2x)=5^(sinx)
2sinx*cos2x=sinx
2sinx*cos2x-sinx=0
sinx*(2cos2x-1)=0
sinx=0 или 2сos2x-1=0
x=πk, k∈Z
или
cos2x=1/2
2x=±(π/3)+2πn, n∈Z
A) О т в е т. πk,±(π/6)+πn, k, n ∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни
-5π/6; -π; -7π/6.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(фигуры)=S(прямоугольника)-2S(зеленых прямоугольных треугольников)-2S(желтых прямоугольных треугольников)-S(сиреневого равнобедренного треугольника)-S(розового равнобедренного треугольника)=
=6*4-2*(1*2/2)-2*(4*1/2)-(2*2)/2-(4*2)/2=
=24-2-4-2-4=12 кв см.
О т в е т. S=12 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

15 часов в Москве и 24 часа в Петропавловске-Камчатском- разница во времени 24-15=9 часов.

18 ноября, когда в Москве было 6 часов утра, в Петропавловске-Камчатском было на 9 часов больше, 6+9=15 часов.
Итак, самолет вылетел в 15 часов по камчатскому времени и прилетел 5 утра следующего дня по камчатскому времени.
Самолет был в пути 9+5=14 часов.
О т в е т. 14 часов

Ответ выбран лучшим

Формула разности квадратов
a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(2sqrt(7)-3sqrt(2))*(2sqrt(7)+3sqrt(2))=
=(2sqrt(7))^2-(3sqrt(2))^2=4*7-9*2=28-18=10

Ответ выбран лучшим

Пусть AB=BF=a; FС=CD=b
Высота трапеции h=BK=CT

Треугольник АВF – равнобедренный.
Высота СК делит сторону AF пополам
АК=КF=х
Треугольник FCD – равнобедренный.
Высота СT делит сторону FD пополам
FT=TD=y
Поэтому BC=x+y=AD/2
Запишем площади треугольников по формулам
S=r*p, S– площадь треугольника , р – полупериметр
S=a*h/2
и получим систему трех уравнений с четырьмя переменными.
{2х*h/2=3*(2x+2a)/2;
{2y*h/2=5*(2y+2b)/2;
{(x+y)*h/2=(a+b+x+y)*4/2.
или
{х*h=3x+3a;
{y*h=5y+5b;
{(x+y)*h/2=2a+2b+2x+2y.
Складываем первое и второе
{(x+y)*h=3x+5y+3a+5b;
{(x+y)*h/2=2x+2y+2a+2b.
Умножаем первое на 2, второе на 3
{2(x+y)*h=6x+10y+6a+10b;
{3(x+y)*h/2=6x+6y+6a+6b.
(x+y)*h/2=4y+4b ⇒ y+b=(x+y)*h/8
так как y*h=5y+5b, то
(х+у)*h/8=y*h/5
или
5*(x+y)=8y
5x=3y
x/y=3/5
О т в е т. АF:FD=x:y=3:5.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) ОДЗ:
{x^2-x-20 > 0
(x+2)*sqrt(x^2-x-20)-6(x+2)=0
(x+2)*(sqrt(x^2-x-20)-6)=0
x+2=0 или sqrt(x^2-x-20)-6=0
x=-2 или sqrt(x^2-x-20)=6
Возводим в квадрат
х^2-x-20=36
x^2-x-56=0
D=1-4*(-56)=225
x=(1-15)/2=-7 или х=(1+15)/2=8
Проверяем удовлетворяют ли корни ОДЗ:
при х=-2
(-2)^2-(-2)-20 > 0 - неверно. х=-2 не является корнем уравнения
при х=-7
(-7)^2-(-7)-20 > 0 верно
при х=8
8^2-8-20 > 0 верно.
О т в е т. х=-7; х=8
б) ОДЗ:
{x^2+x-2≥0
{x^2-4x+3≥0
{x^2-1≥0
x^2+x-2=(x+2)(x-1)
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
x^2-1=(x-1)(x+1)
{__+__ (-2) ______ (1) __+__
{________+________ (1)_______ (3) ___+
{______+____ (-1)__ (1)___+___

ОДЗ: x ∈(-∞;-2)U{1}U(3;+∞)

sqrt(x-1)*(sqrt(x+2)-sqrt(x-3)-sqrt(x+1))=0
sqrt(x-1)=0 или sqrt(x+2)-sqrt(x-3)-sqrt(x+1)=0
x-1=0 или sqrt(x+2)-sqrt(x-3)=sqrt(x+1)
х=1 или возводим в квадрат
x+2-2 sqrt(x+2)sqrt(x-3)+x-3=x+1
sqrt(x+2)sqrt(x-3)=x-1
Возводим в квадрат при условии, что х-1≥0, x ≥ 1
(x+2)(x-3)=(x-1)^2
x^2-x-6=x^2-2x+1
x=7
О т в е т. 1; 7
в) ОДЗ: x+2 > 0
x > -2
Замена переменной
sqrt(x+2)=t, t > 0
x+2=t^2
x=(t^2-2)
x^2=(t^2-2)^2
Уравнение принимает вид:
((t^2-2)^2/t) + (t^2-2)=2t Умножаем на t > 0
t^4-4t^2+4+t^3-2t^2-2t=0
t^4+t^3-6t^2-2t+4=0
t=2 корень уравнения, так как 2^4+2^3-6*2^2-2*2+4=0-верно, 16+8-24-4+4=0.
(t-2)*(t^3+3t^2-2)=0
t-2=0 или t^3+3t^2-2=0
t=2 или (t^3-1)+3(t^2-1)=0
(t-1)(t^2+t+1-t+1)=0
(t-1)(t^2+2)=0
t-1=0
t=1
Возвращаемся к переменной х:
sqrt(x+2)=1 или sqrt(x+2)=2
Вовзводим в квадрат
х+2=1 или х+2=4
х=-1 х=2
Оба корня принадлежат ОДЗ
О т в е т. -1;2
ж) Умножаем обе части уравнения на
sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5)
2x^2+3x+5-(2x^2-3x+5)=3x*(sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5)
или
6х=3x*(sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5)
или
(sqrt(2x^2+3x+5)-sqrt(2x^2-3x+5)=2
Складываем полученное уравнение с данным
2*sqrt(2x^2+3x+5)=3х+2
Возводим в квадрат
4*(2x^2+3x+5)=9x^2+12x+4
x^2=16
x=-4 или х=4
х=-4 не удовлетворяет условию задачи, так как при х=-4 слева положительное число (сумма двух корней), а справа отрицательное 3*(-4)=-12
При х=4
sqrt(49)+sqrt(25)=12 - верно
О т в е т. х=4
з) ОДЗ:
{х+2≥0
{2-x≥0
{sqrt(2+x)-sqrt(2-x)≠0
{x ≠0
x∈[-2;0)U(0;2]
ОДЗ: x2
x*(sqrt(2+x)+sqrt(2-x))=2*(sqrt(2+x)-sqrt(2-x))
(x+2)*sqrt(2-x)=(2-x)sqrt(2+x)
Возводим в квадрат
(х+2)^2*(2-x)=(2-x)^2*(2+x)
(х+2)^2*(2-x)-(2-x)^2*(2+x)=0
(x+2)*(2-x)*(x+2-2+x)=0
x+2=0 или 2-х=0 или 2х=0
х=-2 х=2 х=0∉ОДЗ
О т в е т. -2; 2
г)
х+5-4sqrt(x+1)=(x+1)-4sqrt(x+1)+4=
=(sqrt(x+1)-2)^2
sqrt(х+5-4sqrt(x+1))=sqrt(((sqrt(x+1)-2)^2)=
=|sqrt(x+1)-2|
х+10-6sqrt(x+1)=(x+1)-6sqrt(x+1)+9=
=(sqrt(x+1)-3)^2
sqrt(х+10-6sqrt(x+1))=sqrt((sqrt(x+1)-3)^2)=
=|sqrt(x+1)-3|
Уравнение принимает вид
|sqrt(x+1)-2|+|sqrt(x+1)-3|=1

к)
ОДЗ:
{4x^2-1≥0
{4x-1≥0
или
{(2x-1)*(2x+1)≥0 _+_ [-1/2] __ [1/2] _+_
{4x≥1
х∈ [1/2; + бесконечность)
При x ≥ 1/2
фунцкия у=sqrt(4x^2-1) больше или равна 0
функция у=1-sqrt(4x-1) меньше или равна 0

Уравнение имеет один корень в случае
sqrt(4x^2-1)=0
и
1-sqrt(4x-1)=0
4x^2-1=0
x=1/2 х=-1/2 не входит в ОДЗ

О т в е т. х=1/2

Ответ выбран лучшим

44.9
ОДЗ: x > 0
Применяем формулу логарифма степени:
2log_(8)x=log_(8)x^2
и суммы логарифмов
log_(8)2,5+log_(8)10=log_(8)25
Уравнение принимает вид:
log_(8)x^2=log_(8)25
x^2=25
x=5 или x=-5 - не принадлежит ОДЗ
О т в е т. х=5
44.12
ОДЗ:
{x > 0, x≠1
{2x^2+x-2 > 0
По определению логарифма
2x^2+x-2=x^3
(x^3-2x^2)-(x-2)=0
x^2*(x-2)-(x-2)=0
(x-2)(x^2-1)=0
x=2 или х=1 или х=-1
x=1; x=-1 не принадлежат ОДЗ, не выполняется первое неравенство.
х=2 удовлетворяет первому неравенству, проверим удовлетворяет ли второму
2х^2+x-2=2*2^2+2-2 > 0 - верно.
О т в е т. х=2

44.15
ОДЗ: 6-5^x > 0
Не решаем неравенство.
Проверим подстановкой удовлетворяют ли корни этому неравенству.

По определению логарифма
6-5^x=5^(1-x)
6-5^x=5*5^(-x)
Умножаем на 5^x > 0
6*5^x- (5^x)^2=5
Квадратное уравнение
5^x=t
t^2-6t+5=0
D=36-20=16
t=(6-4)/2=1 или t=(6+4)/2=5
5^x=1 или 5^x=5
x=0 или х=1

При х=0
6-5^0 > 0 - верно
6-5^1 > 0 - верно
О т в е т. х=0; х=1

4.17
ОДЗ:
х > 0
x≠1

Логарифмируем обе части неравенства по основанию 3
log_(3)(x)^(1+log_(3)x)=log_(3)9
Применяем свойства логарифма степени:
(1+log_(3)x)*log_(3)x=2;
Замена переменной:
log_(3)x=t
(1+t)*t=2
t^2-t-2=0
D=(-1)^2-4*(-2)=1+8=9
t=(1-3)/2=-1 или t=(1+3)/2=2
log_(3)x=-1 или log_(3)x=2
x=3^(-1) или x=3^2
x=1/3 или х=9
Оба корня удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. 1/3; 9

44.19
ОДЗ
{x > 0
{y > 0
По определению логарифма первое уравнение можно записать так:
(x+y)=5^1.
Сумма логарифмов равна логарифму произведения
и второе уравнение примет вид:
log_(6)xy=1
Получаем систему:
{x+y=5
{xy=6
Решаем систему способом подстановки
{y=5-x
{x*(5-x)=6
Решаем второе уравнение:
x^2-5x+6=0
D=25-24=1
x=(5-1)/2=2 или x=(5+1)/2=3
y=5-x=5-2=3 или у=5-х=5-3=2
Оба решения удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. (2;3) (3;2)

Ответ выбран лучшим

68.
6) (1/(х-1)^3)`=((x-1)^(-3))`=
=(-3)*(x-1)^(-3-1)=-3/(x-1)^4.
8)(3/(x-4)^(1/3))`=3*((x-4)^(-1/3))`=
=3*(-1/3)*(x-4)^((-1/3)-1)=-1/(x-4)^(4/3).
69.
4) (4/(3x-1)^2)`=4*((3x-1)^(-2))`=
=4*(-2)*(3x-1)^(-2-1)*(3x-1)`=
=-8*3/(3x-1)^3=-24/(3x-1)^3.
6) (1/(4-3x)^5)=((4-3x)^(-5))`=
=(-5)*(4-3x)^(-5-1)*(4-3x)`=15/(4-3x)^6.
70
4) (1/sqrt(4x+1))`=((4x+1)^(-1/2))`=
=(-1/2)*(4x+1)^((-1/2)-1)*(4x+1)`=-2/(4x+1)^(3/2)
6) (5/(2-9x)^(1/5))`=5*((2-9x)^(-1/5))`=
=5*(-1/5)*(2-9x)^((-1/5)-1)*(2-9x)`=
=9/(2-9x)^(6/5).

Ответ выбран лучшим

Область определения функции
x∈(-∞;a)U(-a;a)U(a;+∞)
Производная также не определена в точках х=-а и х=а.
Функция имеет предел на бесконечности, равный А.
у=А - горизонтальная асимптота.
Производная имеет предел на бесконечности, равный 0
у=0 - ось Ох - горизонтальная асимптота производной
Далее см. рисунок. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`(x)=(C1e^x+C2e^x+C2xe^x+C32xe^x+C3x^2e^x
Ay(x)=y`(x)+3y(x)=
=(4C1+C2)e^x+(4C2+2C3)xe^x+4C3x^2e^x
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

-80+0,3*(-1000)=-80-300=-380

Ответ выбран лучшим

1)
Запишем интеграл в виде разности двух интегралов.
∫(3х-4)dx/(9x^2-2)=∫3xdx/(9x^2-2) - 4∫dx/(9x^2-2)
Первый интеграл сводится к табличному интегралу
∫du/u
Второй
∫du/(u^2-a^2)
Считаем первый: полагая
9x^2-2=u получаем du=18xdx
У нас есть 3xdx
Умножаем на 6 и делим на 6
=(1/6)∫18xdx/(9x^2-2)=(1/6)∫d(9x^2-2)/(9x^2-2)=
=(1/6)*ln|9x^2-2|

Считаем второй
9x^2=u^2
3x=u
3dx=du dx есть, нет 3. Умножаем и делим на 3
a^2=2
a=sqrt(2)
=(4/3)∫3dx/((3x)^2-(sqrt(2))^2)=
=(4/3)∫d(3x)/((3x)^2-(sqrt(2))^2)=
=(4/3)*(1/2sqrt(2))*ln|(3x-sqrt(2))/(3x+sqrt(2))|=
=(sqrt(2)/3)*ln|(3x-sqrt(2))/(3x+sqrt(2))|.
1) О т в е т. (1/6)*ln|9x^2-2| +
+(sqrt(2)/3)*ln|(3x-sqrt(2))/(3x+sqrt(2))|+С.

2)
Применяем табличный интеграл
∫du/cos^2u=tgu+C
u=4-3x
du=-3dx
dx у нас есть нет (-3)
Умножаем и делим на (-3)
∫dx/cos^2(4-3x)=(-1/3)*∫(-3dx)/cos^2(4-3x)=
=(-1/3)∫d(4-3x)/cos^2(4-3x)=(-1/3)tg(4-3x)+C
2) О т в е т. (-1/3)tg(4-3x)+C

Ответ выбран лучшим

Раскладываем дробь на простейшие.
Их три.
(3x^3+x+46)/(x-1)^2(x^+9) =
=A/(x-1) + B/(x-1)^2 + (Mx+N)/(x^2+9).

Приводим дроби справа к общему знаменателю и приравниваем числители
3х^3+x+46=A*(x-1)(x^2+9)+B*(x^2+9)+(Mx+N)*(x^2-2x+1)
Находим коэффициенты комбинированным способом.
1) метод частных значений
при х=1
3*1^3+1+46=A*0+B*10+(Mx+N)*0 ⇒ 50=10B ⇒
B=5
2) Равенство двух многочленов.
Раскрываем скобки справа
3x^3+x+46=A*(x^3-x^2+9x-9)+B*(x^2+9)+
+Mx^3-2Mx^2+Mx+Nx^2-2Nx+N
и записываем многочлен в стандартном виде:
3x^3+x+46=(A+M)x^3+(-A+B-2M+N)x^2+
+(9A+M-2N)x+(-9A+9B+N)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
{3=A+M; ⇒ M=3-A
{0=-A+B-2M+N; ⇒ A+2M-N=5
{1=9A+M-2N;
{46=-9A+9B+N. ⇒ 1+9A=N

Подставляем в третье уравнение:
1=9A+(3-A)-2*(1+9A)
0=-10A ⇒ A=0
M=3
N=1

О т в е т.
-(5/(x-1))+3/2 ln|x^2+9|+(1/3)arctg(x/3)+C.

Ответ выбран лучшим

(-2)^4=(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=16
(-2)^3=(-2)*(-2)*(-2)=-8

0,3·(–2)^4+0,5·(–2)^3–38=0,3*16+0,5*(-8)-38=
=4,8-4-38=-37,2

Ответ выбран лучшим

2178
8712:2178=4

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма
(1+5х)=3^(0)
1+5x=1
5x=0
x=0
Проверка:
log_(3)(1+5*0)=log_(3)1=0
0=0- верно.
О т в е т. х=0

Ответ выбран лучшим

Перепишем систему в виде:
{sinx=(12/7)cosx•cosy
{siny=(12/7)cosy•cosz
{sinz=(12/7)cosx•cosz

Возведем в квадрат:
{sin^2x=(144/49)cos^2x•cos^2y
{sin^2y=(144/49)cos^2y•cos^2z
{sin^2z=(144/49)cos^2x•cos^2z

Заменим sin^2x=1–cos^2x и для упрощения записей введем обозначения
cos^2x=t, t ≥ 0 ; cos^2y=u, u≥ 0; cos^2z=v, v ≥ 0.
Cистема принимает вид:
{1–t=(144/49)ut; ⇒{t=49/(144u+49);
{1–u=(144/49)uv; ⇒{u=49/(144v+49);⇒ v=(49–49u)/144u
{1–v=(144/49)vt. ⇒{v=49/(144t+49).

Подставляем найденные t и v в третье уравнение:
(49–49u)/144u=49/(144•((49/(144u+49))+49);
144u^2+49u-49=0
D=49^2-4*144*(-49)=49*(49+576)=49*625=(7*25)^2=175^2
u=(-49+175)/288==7/16 второй корень не удовл. условию u≥0
v=7/16
t=7/16

Итак,
сosx=±sqrt(7)/4; cosy=±sqrt(7)/4; cosz=±sqrt(7)/4;
sinx=±3/4; siny=±3/4; sinz=±3/4.

Выразим
sin(x+y+z)=sin(x+y)cosz+cos(x+y)sinz=
=sinx•cosy•cosz+cosx•siny•cosz+cosx•cosy•sinz–sinx•siny•sinz.
|sin(x+y+z)|=|(±3/4)•(±sqrt(7)/4)•(±sqrt(7)/4)+(±3/4)•(±sqrt(7)/4)•(±sqrt(7)/4)+(±3/4)•(±sqrt(7)/4)•(±sqrt(7)/4)–(±3/4)•(±3/4)•(±3/4)|=
=|(3/4)•((7/16)-7/16)+(7/16)+(9/16))|=(3/4)•1=3/4

Ответ выбран лучшим

Перепишем систему в виде:
{sinx=(20/9)cosx*cosy
{siny=(20/9)cosy*cosz
{sinz=(20/9)cosx*cosz

Возведем в квадрат:
{sin^2x=(400/81)cos^2x*cos^2y
{sin^2y=(400/81)cos^2y*cos^2z
{sin^2z=(400/81)cos^2x*cos^2z

Заменим sin^2x=1-cos^2x и для упрощения записей введем обозначения
cos^2x=t, t > 0 ; cos^2y=u, u > 0; cos^2z=v, V > 0.
Cистема принимает вид:
{1-t=(400/81)ut; ⇒{t=81/(400u+81);
{1-u=(400/81)uv; ⇒{u=81/(400v+81);⇒ v=(81-81u)/400u
{1-v=(400/81)vt. ⇒{v=81/(400t+81).

Подставляем найденные t и v в третье уравнение:
(81-81u)/400u=81/(400*(81/(400u+81)+81);
400u^2+81u-81=0
D=81^2+4*400*81=81*(81+1600)=81*1681=(9*41)^2=
=(369)^2
u=(-81+369)/800=0,36 второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию

t=81/(400*0,36+81)=81/(144+81)=81/225=0,36

v=(81-81*0,36)/(400*0,36)=0,36

Итак,
сosx=±0,6; cosy=±0,6; cosz=±0,6;
sinx=±0,8; siny=±0,8; sinz=±0,8.

Выразим
sin(x+y+z)=sin(x+y)cosz+cos(x+y)sinz=
=sinx*cosy*cosz+cosx*siny*cosz+cosx*cosy*sinz-sinx*siny*sinz.
|sin(x+y+z)|=|(±0,8)*(±0,6)*(±0,6)+0,8*(±0,6)*(±0,6)+(±0,8)*(±0,6)*(±0,6)-(±0,8)*(±0,8)*(±0,8)|=
=|0,8*(0,36-0,36+0,36+0,64)|=0,8

Ответ выбран лучшим

А) 2^x ≤ 8
2^x ≤ 2^3
Показательная функция с основанием 2 возрастающая, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
x ≤ 3
О т в е т. 3) (–∞; 3]

Б) log_(3)x < 2
log_(3)x < 2*log_(3)3
log_(3)x < log_(3)3^2
log_(3)x < log_(3)9

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
и учитывая ОДЗ логарифмической функции получаем систему неравенств:
{x < 9
{x > 0
О т в е т. 1) (0;9)

В) x^2 ≤ 9
x^2 -9 ≤ 0
(x-3)(x+3)≤ 0
___+__ [-3] _-__ [3] _+__

О т в е т. 2)[-3;3]

Г) 1/(x–3)2 ≥ 0

__+___ (3) _+__

О т в е т. 4) (–∞; 3) U (3; +∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А) (x–3)^3 < 0
x-3 < 0
x < 3
О т в е т. 2) х < 3

Б) 2^(1–2x) > 0,5
2^(1-2x) > 2^(-1)
Показательная функция с основанием 2 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
1-2х > -1
-2x > - 2
x < 1
О т в е т. 1) x < 1

В) log_(1/3)x < –1
log_(1/3)x < –1*log_(1/3)(1/3)
log_(1/3)x < log_(1/3)(1/3)^(-1)
log_(1/3)x < log_(1/3)3
Логарифмическая функция с основанием (1/3) убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
x > 3
и учитывая ОДЗ логарифмической функции, получаем
систему неравенств:
{x > 3
{x > 0
О т в е т. 4) х > 3

Г) (x–1)^3(x–3) < 0
Решаем методом интервалов:

__+__ (1) ___-__ (3) ___+__

О т в е т. 3) (1;3) или 1 < x < 3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

5^((1/5)+(1/6)-(1/30))^(6)=(5^((11/30)-(1/30)))^(6)=
=(5^(1/3))^(6)=5^2=25

Ответ выбран лучшим

А) log_(1/2)x ≤ –1
log_(1/2)x ≤ –1*log_(1/2)(1/2)
log_(1/2)x ≤ log_(1/2)(1/2)^(-1)
log_(1/2)x ≤ log_(1/2)2
Логарифмическая функция с основанием (1/2) убывающая, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
и учитывая ОДЗ логарифмической функции, получаем
систему неравенств:
{x больше или равно 2;
{x > 0
О т в е т. 2) x ≥ 2

Б) log_(1/2)x ≤ 1
log_(1/2)x ≤ log_(1/2)(1/2)
{x больше или равно 1/2
{x > 0
О т в е т. 1) [0,5; +∞)

В) log_(1/2)x ≥ log_(1/2)2
{x меньше или равно 2
{x > 0
О т в е т. 3) (0;2]

Г) log_(1/2)x ≥ log_(1/2)(1/2)
{x меньше или равно 1/2
{x > 0
О т в е т. 4) 0 < x ≤ 1/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

((3^(1/3))^(1/5))^(30)=3^(30/15)=3^2=9
9/90=1/10=0,1

Ответ выбран лучшим

1) 12*8=96 деталей изготовил токарь
2) 144-96=48 деталей изготовил ученик
3) 48:6= 8 деталей в час изготовлял ученик

Ответ выбран лучшим

Высоты, проведенные из вершин верхнего основания разбивают трапецию на прямоугольник с основанием 3 и высотой 4
и два равных между собой прямоугольных равнобедренных треугольника.
Так как по условию угол при основании трапеции 45 градусов.
3+4*2=11
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем центр и радиус окружности
х^2 + у^2 — 6х + 4у + 8 = 0,
для этого выделяем полные квадраты
х^2 -6х + 9 + у^2 + 4у + 4 - 9 - 4 + 8 = 0,
(х-3)^2+(y+2)^2=5
Центр окружности в точке (3;-2)

Нормальные векторы взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно 0.
Нормальный вектор прямой Ах+Ву+С=0 имеет координаты
(А;В)
Нормальный вектор прямой х-3у+2=0 имеет координаты
(1;-3).
Пусть прямая Ах+Ву+С=0 перпендикулярна данной.
Тогда скалярное произведение векторов (1;-3) и (А;В) равно 0
1*А+(-3)*В=0
Можно взять, например,
А=3 В=1
Уравнение прямой перпендикулярной х — Зу + 2 = 0 имеет вид
3х+у+С=0
Чтобы найти С подставим координаты точки О(3;-2) в это уравнение
3*3+1*(-2)+С=0
С=-7
О т в е т. 3x+y-7=0

Ответ выбран лучшим

Применяем теорию рядов Фурье.
Разложим функцию у = x^2 в ряд Фурье на [-π;π].
Функция четная. Раскладывается по косинусам.
Коэффициенты:
считаем на отрезке [-π;π], но в силу четности
берем 2∫ на [0;π]
Итак здесь и далее пределы у интеграла от 0 до π.
a_(0)=(2/π)∫^(π)_(0) x^2dx=(2/π)(x^3/3)|^(π)_(0)=
=(2/3)π^2
a_(n)=(2/π)∫^(π)_(0) x^2*cosnxdx= [два раза интегрируем по частям]=
=4*(-1)^(n+1)/n^2.
Разложение функции у=x^2 в ряд Фурье:
x^2=(1/3)*π^2+ 4*∑^(∞)_(n=1)(-1)^(n+1)cosnx/n^2

при х=π

π^2/6=∑^(∞)_(n=1)(1/n^2)

Ответ выбран лучшим

В числителе сумма n-первых членов арифметической прогресии
1+2+3+...+n=(1+n)*n/2
lim_(n→∞)(1+n)*n/2n^2=lim_(n→∞)(1+n)/2n=1/2

Это не так.
См. рисунок
График функции у=1+a^4 на отрезке [a_(1);a_(2)] расположен ниже графика функции y=a^2+2a

При а > 2
1+a^4 > a^2+2a - неравенство верно

Для доказательства воспользуемся неравенством связывающим среднее арифметическое со средним геометрическим
(a+b)/2 больше или равно sqrt(ab)
или
(a+b) больше или равно 2sqrt(ab)

При a=1 b=a^4

(1+a^4) больше или равно 2sqrt(1*a^4)=2a^2=
=a^2+a^2 > a^2+2a, так как
a^2 > 2a при a > 2 и a*a > 2*a
(прикреплено изображение)

Преобразуем числитель
(n-2)^2-(n+1)^2=(n-2+n+1)(n-2-n-1)=3-6n
Преобразуем знаменатель
(n+3)^2-(n+1)^2=(n+3-n-1)(n+3+n+1)=4n+8
lim_(n→∞)(3-6n)/(4n+8)=-6/4=-3/2

Ответ выбран лучшим

1) Дано: окружность с центром в точке О
Точки L и М лежат на окружности
OL=32 Угол LOM=90 градусов. Найти длину хорды LM
Решение.
ОL=OM как радиусы окружности
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MOL
ML^2=32^2+32^2=32^2*2
ML=32sqrt(2)
2) Дано: окружность с центром в точке О. Хорды и углы, которые даны спишите с рисунка).
Найти угол (его наименование на рисунке)
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
См. решения в приложении (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Отрезок АВ, кривая описываемая точкой М, делящей отрезок АВ в отношении 1:2
эллипс
y^2+4x^2=16
или
(х/2)^2+(y/4)^2=1 ( см. рисунок 2)
См. рисунок 1
АМ:МВ=1:2
Из подобия треугольников
АКМ и MDB
AK:MD=KM:DB=AM:MB=1:2
(m-y):y=x:(n-x)=1:2
(m-y):y=1:2
2m-2y=y
2m=3y
m=3y/2

x:(n-x)=1:2
n-x=2x
n=3x

Подставляем в равенство m^2+n^2=36

(9y^2/4)+9x^2=36
(х/2)^2+(у/4)^2=1- эллипс в первой четверти
(см. рисунок 2)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ВМ=МС–медиана АМ делит сторону ВС пополам.
Четырехугольник АВКС– параллелограмм,так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам
АМ=МК
ВМ=МС
Противоположные стороны параллелограмма равны.
АВ=КС=6
О т в е т. 6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ВМ=МС-медиана АМ делит сторону ВС пополам.
Четырехугольник АВКС- параллелограмм,так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам
АМ=МК
ВМ=МС
Противоположные стороны параллелограмма равны.
АВ=КС=6
О т в е т. 6
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1 способ
Сумма углов треугольника АВС равна 180 градусов.
∠ВСА=30 градусов;
∠САD = 50 градусов

∠АВС=180 градусов - 30 градусов - 50 градусов=
=100 градусов

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусов.

∠АВС+ ∠ВАD=180 градусов.

∠ВАС=80 градусов.

Углы при основании равнобедренной трапеции равны
∠ВАС=∠ADC=80 градусов

2 способ

∠ВСА=СAD=30 градусов - внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АС.

∠ВАD=∠ВАС+∠СAD=50 градусов + 30 градусов = 80 градусов.
Углы при основании равнобедренной трапеции равны
∠ВАС=∠ADC=80 градусов
О т в е т. ∠ADC=80 градусов

Ответ выбран лучшим

AD=AH+HD=44+11=55
AD=АВ=ВС=СВ=55
Из прямоугольного треугольника
АВН по теореме Пифагора
ВН^2=AB^2-AH^2=55^2-44^2=(55-44)(55+44)=
=11*99=121*9=(11*3)^2=33^2

S(ромба)=AD*BD=55*33=1815 кв ед.
О т в е т. 1815 кв. ед. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Цвет числа зависит от остатка при делении числа на 7.
Так как при делении на 7 всего остатков семь:
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

Числа 20 и 14 при делении на 7 дают остаток 0 покрашены красным. Значит все числа, кратные 7, покрашены красным, потому что точки разность координат которых равна 7 должны быть покрашены одним цветом.
Числа 71 и 143 при делении на 7 дают остатки 1 и 3, покрашены синим цветом.
Значит, числа, дающие при делении на 7 остатки 1 и 3 должны быть покрашены синим цветом.

Остальные числа, дающие остатки 2,4,5,6 могут быть покрашены в любой из двух цветов.
4*2=8 способов
О т в е т. 8 способов

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

3sin^2x + sin2x + 2cos^2x = 4*(sin^2x+cos^2x);
sin^2x-2sinxcosx+2cos^2x=0.
Делим на соs^2x
tg^2x-2tgx+2=0
D < 0
Уравнение не имеет корней.

Ответ выбран лучшим

см. решения в приложениях (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть cosx=t, первое уравнение принимает вид:
сost-cosy=(a^2+1)*(y-t)
так как с одной стороны
(f(b)-f(a))/(b-a)=f`(c),
с ∈[a;b]
С другой стороны
(f(b)-f(a))/(b-a) =tg альфа, где альфа угол наклона касательной в точке с
при f(z)=cosz и (cosz)`=-sinz

уравнение примет вид
sinc=a^2+1

Так как a^2+1 > 1 при всех а, кроме 0,
при а =0 sinc =1 ⇒ c=(π/2)+2πk, k∈Z
возможные корни первого уравнения, при этом
cosc=0
и второе уравнение принимает вид:
2y^2=0 ⇒ y=0
Итак, при а=0 уравнение имеет корни.

Первое уравнение имеет корни и при y-t=0 или
при у-cosx=0
Подставим у=cosx во второе уравнение.
Уравнение принимает вид
2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0
D=(3a-8)^2-4*2*(a^2-4a)=
=9a^2-48a+64-8a^2+32a=
=a^2-16a+64=(a-8)^2
y_(1)=(3a-8-a+8)/4=a/2 или y_(2)=(3a-8+a-8)/4=a-4

cosx=a/2 или cosx=a-4
Уравнения имеют корни
1) при |a/2| меньше или равно 1 ⇒
|а| меньше или равно 2.
2) при |a-4| меньше или равно 1 ⇒
3 меньше или равно a меньше или равно 5
Уравнение имеет хотя бы один корень при х∈[-2;5]
a=0 принадлежит этому отрезку.

О т в е т. Система уравнений не имеет корней при
х∈(-бесконечность;-2)U(5;+бесконечность).

Ответ выбран лучшим

x^2-144=0
(x-12)(x+12)=0
x-12=0 или х+12=0
х=12 или х=-12
два корня.
О т в е т. х=12 - наибольший

1 способ. Алгебраический. Составляем уравнение.

Так как количество шоколадок делилось пополам 5 раз пусть было 32х шоколадок.
Тогда в первый день подарили 16х + 0,5
Остаток первого дня 16х-0,5

Во второй день подарили
8х-(0,5/2)+0,5
Остаток второго дня
(16х-0,5)-(8x-(0,5/2)+0,5)=8x-(0,5/2)-0,5

В третий день подарили
4х-(0,5/4)-(0,5/2)+0,5
Остаток третьего дня
4х-(0,5/4)-(0,5/2)-0,5

В четвертый день подарили
2х-(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)+0,5
Остаток четвертого дня
2х -(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)-0,5

В пятый день подарили
х-(0,5/16)-(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)+0,5
Остаток пятого дня
х-(0,5/16)-(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)-0,5
Этот остаток равен 62 шоколадкам.
Уравнение
х-(0,5/16)-(0,5/8)-(0,5/4)-(0,5/2)-0,5=62
х=62+0,5*(1+2+4+8+16)/16
х=62+31*32
32х=32*62+31
Было 32х=2015

О т в е т. 2015 шоколадок

Второй способ, арифметический. Метод решения "с конца".
62 шоколадки было отдано в 6-й день, согласно схеме это остаток 5-го дня.
Значит, если остаток 4-го дня равен 2у, то в пятый день выдали у+0,5. Осталось 2у-(у+0,5)=у-0,5 - остаток пятого дня и он равен 62.
у=62,5
2у=125 - остаток четвертого дня.

Если остаток третьего дня равен 2z, то в четвертый день выдали z+0,5 и остаток 4-го дня равен 2z-(z+0,5)=125
z=125,5
2z=251 - остаток 3-го дня

2u - остаток второго, тогда в третий день выдали (u+0,5).
u-0,5=251
u=251,5
2u=503 - остаток второго дня.

2v- остаток первого дня
v+0,5 выдали во второй день, v-0,5 остаток второго дня
v-0,5=503
v=503,5
2v=1007 - остаток второго дня.

2t шоколадок было в первый день
t+0,5 - выдали в первый день
t-0,5 - остаток первого дня
t-0,5=1007
t=1007,5
2t=2015
О т в е т. 2015 шоколадок было

Ответ выбран лучшим

4^(x^2-2x+1)+4^(x^2-2x)=20
4^(x^2-2x)*(4+1)=20
4^(x^2-2x)=4
x^2-2x=1
x^2-2x-1=0
D=4+4=8
x=(2-2sqrt(2))/2=1-sqrt(2) или х=(2+2sqrt(2))/2=1+sqrt(2)
О т в е т. 1-sqrt(2); 1+sqrt(2)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что выявляется победитель после двух партий.
Результат каждой партии : выигрыш, проигрыш, ничья.
Количество исходов испытания n=9.
Первая партия вторая партия
выигрыш выигрыш
выигрыш проигрыш
выигрыш ничья

проигрыш выигрыш
проигрыш проигрыш
проигрыш ничья

ничья выигрыш
ничья проигрыш
ничья ничья

Дополнительные партии будут назначены в трех случаях:
ничья ничья
выигрыш проигрыш
проигрыш выигрыш
Событие А - " победитель будет выявлен по результатам двух партий". Этому событию благоприятствуют 6 исходов испытания, m=9-3=6.

р(A)=m/n=6/9=0,6666...≈0,67
О т в е т. 0,67

Ответ выбран лучшим

Пирамида РАВС - правильная, Δ АВС - равносторонний, высота пирамиды проектируется в точку О -центр окружности, описанной около треугольника АВС.
Пусть АВ=ВС=АС=а; РА=РВ=РС=b.
Тогда АО=ОВ=ОС=a*sqrt(3)/3 и по теореме Пифагора
PO^2=b^2-(a*sqrt(3)/3)^2=b^2-(a^2/3)=(3b^2-a^2)/3
PO=sqrt(3b^2-a^2)/sqrt(3)
V(PABC)=(1/3)*S(Δ ABC)*PO=
=(1/3)*(a^2sqrt(3)/4)* sqrt(3b^2-a^2)/sqrt(3)=
=a^2*sqrt(3b^2-a^2)/12

Проводим MK||AB и FE || AB - средние линии треугольника АРВ и АВС.
МК=FE=a/2

Проводим KE||PC и MF || PC - средние линии треугольника АРC и BPC.
КE=MF=b/2

Так как СТ - высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника, СТ⊥АВ и OC - проекция PС, то по теореме о трех перпендикулярах РС⊥АВ
Значит и прямые параллельные РС перпендикулярны АВ.

KE⊥МК и MF⊥МК

ЕFМК - прямоугольник со сторонами (а/2) и (b/2).
Пирамида NEFMK ( см. рис. 2), ребра которой NE=NK=a/2
NF=NM=b/2
Равные наклонные имеют равные проекции, поэтому
ED=DK и FD=MD , точка D принадлежит оси симметрии прямоугольника QL:
EQ=QK=b/4
D- основание высоты ND.
Пусть QD=x, тогда DL=(a/2)-x
Из прямоугольного треугольника EDN:
ED^2=(b/4)^2+x^2
Из прямоугольного треугольника NDF:
DF^2=(b/4)^2+((a/2)-x)^2
ND^2=NE^2-ED^2 и ND^2=NF^2-DF^2.
Приравниваем правые части и находим QD:
QD=(2a^2-b^2)/4a.
Тогда
ND^2=(3a^2b^2-b^4)/16a^2
ND=b*sqrt(3a^2-b^2)/4a
v(NEFMK)=(1/3)*S(EKMF)*ND=(ab/12)*(b*sqrt(3a^2-b^2)/4a)=b^2*sqrt(3a^2-b^2)/48
Не совсем так как надо.
Должно получиться (1/4)*(a^2*sqrt(3b^2-a^2)/12)=
=a^2*sqrt(3b^2-a^2)/48. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как косинус четная функция, то
cos(–x–(3π/2))=cos(x+(3π/2)
По формулам приведения
cos(x+π)=-сosx
cos(x+(3π/2)=sinx
Уравнение принимает вид
2сos^2x-5sinx+1=0
cos^2x=1-sin^2x
2*(1-sin^2x)-5sinx+1=0
2sin^2x+5sinx-3=0
D=25-4*2*3=1
sinx=1 или sinx=3/2, 3/2 > 1 уравнение не имеет корней.
sinx=1
x=(π/2)+2πk, k- целое.
О т в е т. x=(π/2)+2πk, k- целое.

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

События "диаметр подшипника будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01мм" и "диаметр меньше чем 61,99 мм или больше чем 62,01 мм" противоположны.
Сумма их вероятностей равна1.
Значит, вероятность того,что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 61,99 мм или больше чем 62,01 мм равна 1-р=1-0,929=0,071

Ответ выбран лучшим

Пусть х литров лимонного сока изготавливала фирма,
(х:100)*15=0,15х л чистого лимонного сока в напитке.

По новой технологии
0,15х составляют 10%
производимый сок - 100%

0,15х*100:10=1,5х л сока по новой технологии при тех объемах используемого лимонного сока.

х - 100%
1,5х - z %

z=1,5x*100/x=150%

150%-100%=50%
О т в е т. На 50%

Ответ выбран лучшим

О т в е т. Р=АВ+ВС+АС=2+2+2=6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если ∠D=45 °, то треугольник СКD– прямоугольный равнобедренный и CK=KD=4
CB=4 см
AD=4+4=8 cм
vector{AD}=-2*vector{CB} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

18-10=8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

h=(3/7)*H
r=(3/7)*R

v(жидкости):V=(3/7)^3
V=(7/3)^3*v
V-v=(7/3)^3*v-v=(343*v/27)-v=316*v/27=(316*270)/27 мл=
=3160 мл нужно долить. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Значит, для того чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, нужно через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой. Из любой точки первой прямой опустить перпендикуляр на плоскость и найти его длину.

Проводим A1M, М- середина АВ.
Плоскость МА1D1K || AD, так как A1D1 || AD и КМ || AD.
Находим расстояние от точки D до плоскости.
Проводим DF⊥D1K
Так как треугольник DD1K- прямоугольный,
DD1=2sqrt(5)
DK=sqrt(5)
По теореме Пифагора
D1K^2=DD1^2+DK^2=(2sqrt(5))^2+(sqrt(5))^2=25
D1K=5
D1K*DF=DD1*DK
DF=2*sqrt(5)*sqrt(5)/5=2
О т в е т. 2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Решаем первое уравнение системы:
x^2 + 3*sqrt(x^2–x–1) = x+5;
x^2-x-1+3*sqrt(x^2–x–1)-4=0
Замена переменной
sqrt(x^2–x–1)=t;
x^2-x-1=t^2.
t^2+3t-4=0
D=9-4*(-4)=9+16=25
t=(-3-5)/2=-4 или t=(-3+5)/2=1
sqrt(x^2–x–1)=-4 - уравнение не имеет смысла, арифметический квадратный корень не может равняться отрицательному числу.
sqrt(x^2–x–1)=1
Возводим в квадрат:
x^2-x-1=1
x^2-x-2=0
D=1+8=9
x=(1-3)/2=-1 или х=(1+3)/2=2

Второе уравнение:
при х=-1 принимает вид
сosy=-sqrt(2)- уравнение не имеет корней. |-sqrt(2)| > 1
при х=2
cosy=sqrt(2)/2
y=±srccos(sqrt(2)/2)+2πk, k∈Z
y=±(π/4)+ 2πk, k∈Z
О т в е т. (2; (π/4)+ 2πk),(2; -(π/4)+ 2πn)
k, n ∈Z

Ответ выбран лучшим

По формуле:
sin α · сos β= (1/2)·(sin( α + β)+ sin (α – β))

Уравнение принимает вид:
sin(6x)+sin(–2x)=2
sin6x–sin2x=2
Так как
–1 ≤ sin6x ≤ 1;
–1 ≤ sin2x ≤ 1.

Равенство разности двум возможно только в случае

{sin6x=1;
{sin2x=–1

{6x=πk, k∈ Z ⇒ х=(π/6)·k,
{2x=πn, n∈ Z ⇒ x=(π/2)·n

Найдем при каких k и n корни одного уравнения равны корням другого.

(π/6)·k=(π/2)·n
k=3n

О т в е т.
А)(π/2)·n, n ∈ Z
Б) π∈[2; 4]

Ответ выбран лучшим

Стационарные точки- точки, в которых производная равна 0.
f`(x)=(x³–x²–x+2)`=3x^2-2x-1
f`(x)=0
3x^2-2x-1=0
D=(-2)^2-4*3*(-1)=4+12=16
x=(2-4)/6=-1/3 или х=(2+4)/6=1
О т в е т. -1/3 и 1

Ответ выбран лучшим

Пусть во втором бидоне х литров молока, тогда в первом бидоне (х+10) литров молока, а в третьем бидоне у литров молока.
Всего 50 литров.
Уравнение
х + 10 + х + у = 50
После переливания 26 литров из первого бидона в третий, в третьем бидоне станет y+26 и по условию в третьем бидоне станет столько же молока ,сколько во втором
y+26 литров молока столько же сколько во втором бидоне, т. е х литров
Второе уравнение:
y+26=x

Cистема
{х + 10 + х + у = 50
{y+26=x

Заменим х в первой строке на у+26

у+26+10+ у+26 + у =50
3у+62=50
3у+12=0 - равенство невозможно при положительных у.
О т в е т. Не сможет

Ответ выбран лучшим

д.Федор делает 3 шага ,Шарик успевает сделать 5 шагов
Запишем так:
3 шага д.Ф ⇒ 5 шагов Ш
Шарик делает 3 шага, кот Матроскин делает 5 шагов
Запишем так
3шага Ш ⇒ 5 шагов М

Из двух условий
3Ф ⇒ 5Ш (умножим на 3)
3Ш ⇒ 5М (умножим на 5)
получаем
9Ф ⇒ 15Ш
15Ш ⇒ 25М
получаем
9 шагов Ф ⇒ 15 шагов Ш ⇒ 25 шагов М

150Ш ⇒ 250 М

150+250=400

Шарик сделал 150 шагов, Матроскин 250 шагов

9 шагов Ф ⇒ 25 шагов М
90 шагов Ф ⇒ 250 шагов М

О т в е т. 90 шагов сделал д. Федор

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

к) x=2
3^2+4^2=5^2,
других корней уравнение не имеет.
График функции y=3^x+4^x при x < 2 ниже графика функции у=5^x.
График функции y=3^x+4^x при x > 2 выше графика функции у=5^x.
О т в е т. х=2
е) ОДЗ:cosx≠0

tg^2x=(1/cos^2x)-1
Замена переменной
2^(1/cos^2x)=t
4^(1/cos^2x)=t^2
Уравнение принимает вид:
(t^2/4)+8-3t=0;
t^2-12t+32=0
D=(-12)^2-4*1*32)=144-128=16
t=(12-4)/2=4 или (12+4)/2=8
2^(1/cos^2x)=2^2 или 2^(1/cos^x)=2^3
cos^2x=1/2 или cos^2x=1/3
cosx=sqrt(2)/2
cosx=-sqrt(2)/2
cosx=(-sqrt(3)/3)
cosx=sqrt(3)/3
О т в е т. ±(π/4)+2πk, k∈ Z
±(3π/4)+2πn, n∈ Z
±(arcsin(sqrt(3)/3)+2πm, m∈ Z
±(π-arcsin(sqrt(3)/3) )+2πp, p∈ Z.
г)
Замена переменной:
3x+3–x=t
Возводим в квадрат
32x+2+3–2x=t2
32x+3–2x=t2–2
3·(32x+3–2x)=3t2–6
32x+1+31–2x)=3t2–6
Уравнение принимает вид
3t2–6–7t=4
3t2–7t–10=0
D=49+120=169
t=(7–13)/6=–1 или t=(7+13)/6=10/3

Возвращаемся к переменой х:
3x+3–x=–1
Уравнение не имеет корней, так как показательная функция принимает только положительные значения,
3x > 0 и 3–x=(1/3)x > 0

3x+3–x=10/3
Замена переменной
3x=u
3–x=1/u
u+(1/u)=10/3
3u2–10u+3=0
D=100–36=64
u=(10–8)/6=1/3 или u=(10+8)/6=3
3x=1/3 или 3x=3
x=–1 или х=1
О т в е т. –1; 1

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть первая труба заполняет бассейн за х часов, тогда скорость заполнения бассейна первой трубой равна (1/х) часть за час.
Пусть вторая труба заполняет бассейн за у часов, тогда скорость заполнения бассейна второй трубой (1/у) часть за час.
Пусть третья труба заполняет бассейн за z часов, тогда скорость заполнения бассейна третьей трубой (1/z) часть за час.
Пусть четвертая труба заполняет бассейн за t часов, тогда скорость заполнения бассейна второй трубой (1/t) часть за час.

Скорость заполнения бассейна четырьмя трубами:
(1/х)+(1/у)+(1/z)+(1/t)
Время заполнения четырьмя трубами
1/((1/х)+(1/у)+(1/z)+(1/t)) равно 4 часа
или
(1/х)+(1/у)+(1/z)+(1/t)=1/4
Аналогично
(1/х)+(1/у)+(1/t)=1/6

(1/у)+(1/z)+(1/t)=1/5
1/х=(1/4)–(1/6)=1/12
1/z=(1/4)–(1/5)=1/20

(1/x)+(1/z)=(1/12)+(1/20)=2/15
T=1/(2/15)=15/2=7,5 часа
О т в е т. 7,5 часа

Ответ выбран лучшим

Пусть первая труба заполняет бассейн за х часов, тогда скорость заполнения бассейна первой трубой равна (1/х) часть за час.
Пусть вторая труба заполняет бассейн за у часов, тогда скорость заполнения бассейна второй трубой (1/у) часть за час.
Пусть третья труба заполняет бассейн за z часов, тогда скорость заполнения бассейна третьей трубой (1/z) часть за час.
Пусть четвертая труба заполняет бассейн за t часов, тогда скорость заполнения бассейна второй трубой (1/t) часть за час.

Скорость заполнения бассейна четырьмя трубами:
(1/х)+(1/у)+(1/z)+(1/t)
Время заполнения четырьмя трубами
1/((1/х)+(1/у)+(1/z)+(1/t)) равно 4 часа
или
(1/х)+(1/у)+(1/z)+(1/t)=1/4
Аналогично
(1/х)+(1/у)+(1/t)=1/6

(1/у)+(1/z)+(1/t)=1/5
1/х=(1/4)-(1/6)=1/12
1/z=(1/4)-(1/5)=1/20

(1/x)+(1/z)=(1/12)+(1/20)=2/15
T=1/(2/15)=15/2=7,5 часа
О т в е т. 7,5 часа

Ответ выбран лучшим

Составим уравнение производной как прямой, проходящей через точки (1;1) и (3;5)
f`(x)=kx+b

{k+b=1
{3k+b=5

k=2 b=-1

f`(x)=kx+b

f`(x)=2x-1
f(x)=x^2-x+C
f(3)-f(1)=3^2-3+C-(1^2-1+C)=6
О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

(x+2)^2=(x+2)^4;
(x+2)^2-(x+2)^4=0;
(x+2)^2*(1-(x+2)^2)=0;
(x+2)^2=0 или (1-(х+2))*(1+(х+2))=0
x+2=0 или (1-х-2)*(1+х+2)=0
x=-2 или -1-х=0 или х+3=0
х=-2 или х=-1 или х=-3
О т в е т. х=-3

Ответ выбран лучшим

По формуле:
sin альфа * сos бета= (1/2)*(sin( альфа + бета)+ sin (альфа - бета))

Уравнение принимает вид:
sin(6x)+sin(-2x)=2
sin6x-sin2x=2
Так как
-1 меньше или равно sin6x меньше или равно 1;
-1 меньше или равно sin2x меньше или равно 1.

Равенство разности двум возможно только в случае

{sin6x=1;
{sin2x=-1

{6x=(π/2)+2πk, k∈ Z ⇒ х=(π/12)+((π/3)*k, k∈ Z
{2x=-(π/2)+2πn, n∈ Z ⇒ x=-(π/4)+π*n, n∈ Z

Найдем при каких k и n корни одного уравнения равны корням другого.

(π/12)+((π/3)*k= -(π/4)+π*n
k=3n-1

О т в е т.
А)-(π/4)+π*n , n∈ Z

Б) (3π/4)∈[2; 4]

Ответ выбран лучшим

2x^2+y^2–2xy+2x+6=
=x^2-2xy+y^2+x^2+2x+1+5=
=(x-y)^2+(x+1)^2+5- наименьшее значение знаменателя равно 5
Тогда наибольшее значение дроби
2/(2x^2+y^2–2xy+2x+6) равно 2/5 при х=у=-1

Ответ выбран лучшим

Пусть первый пешеход идет половину пути за t часов, тогда весь путь он проходит за 2t часов,
второй пешеход весь путь проходит за (t+1,5)часа.

Пусть второй пешеход идет половину пути за k часов, тогда весь путь он проходит за 2k часов,
а первый пешеход весь путь проходит за (k+0,75)часа.
45 минут =3/4 часа=0,75 часа

Приравниваем время первого выраженное через t к его же времени, выраженному через k, и точно так же поступаем с временем второго.

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными
{2t=k+0,75;
{2k=t+1,5

Умножаем первое уравнение на 2
{4t=2k+1,5;
{2k=t+1,5 подставляем в первое вмеcто 2k

4t=t+1,5+1,5
3t=3
t=1
2t=2 часа проходит весь путь первый пешеход
2k=1+1,5=2,5 часа проходит весь путь второй.
2,5 часа-2 часа=0,5 часа = 30 минут
О т в е т. На 30 минут раньше закончит свой путь первый пешеход, чем второй

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
ПОэтому
∠КМN=90 градусов;
∠МКN= 62 градусов.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
90 градусов + 62 градусов + х градусов = 180 градусов
х= 28 градусов (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) x^6=64
x^6=2^6
x=2
2) г)
3) (sqrt(89)-5)*(sqrt(89)+5)=
=(sqrt(89))^2-5^2=89-25=64
корень кубический из 64 равен 4
О т в е т. 4
4) О т в е т. в) х=2
5) Если условие задачи написано так: корень кубический из дроби (n^2/9m) разделить на корень [b]кубический[/b] из дроби (3m^2/n), то действие деления заменим на действие умножения на взаимно обратную дробь, получим корень кубический из дроби
(n^2*n)/(9m*3m^2)=(n^3/27m^3)=(n/3m)^3
О т в е т. в) n/3m
6) Написано 3a^(5/9) должно быть так:
3a^(-5/9) : (1/3a^(7/9))= 3a^(5/9)*3a^(7/9)=9a^(2/9)
О т в е т. а)
7) Пользуемся свойствами степени с одинаковым основанием.
При умножении показатели складываем, при делении показатели вычитаем, при возведении степени в степень показатели умножаем.

(р^((-1/2)+(3/6)-(7/2))*(p^((3/4)-1)))^(-4)=
=(p^(-7/2)*p^(-1/4))^(-4)=
=(p^((-7/2)*(-4))) * p^((-1/4)*(-4))=
=p^(14)*p=p^(15)
О т в е т. p^(15)

Ответ выбран лучшим

а) vector{u}+vector{v}=(3+(-4);1+(-2))=(-1;-1)
б)2*vector{u}-vector{v}=(2*3-(-4);2*1-(-2))=(10;4)

Ответ выбран лучшим

–3 < 5x–2 меньше или равно 4
Прибавляем 2 ко всем трем частям неравенства
-1 < 5x меньше или равно 6
Делим на 5:
-1/5 < x меньше или равно 6/5
-0,2 < x меньше или равно 1,2
О т в е т. х∈ (-0,2; 1,2]

или

–3 < 5x–2 меньше или равно 0
Прибавляем 2 ко всем трем частям неравенства
-1 < 5x меньше или равно 2
Делим на 5:
-1/5 < x меньше или равно 2/5
-0,2 < x меньше или равно 0,4
О т в е т. х∈ (-0,2; 0,4]

Ответ выбран лучшим

Находим точки пересечения с осями координат:
с осью Ох:
х^2-3x+2=0
D=(-3)^2-4*1*2=1
x=(3-1)/2=1 или х=(3+1)/2=2
(1;0) и (2;0)

c осью Оу:
х=0 у=0-3*0+2=2
(0;2)
Ветви параболы направлены вверх.
Абсцисса вершины х=3/2
Ордината вершины у(3/2)=(3/2)^2-3*(3/2)+2=
=(9/4)-(9/2)+2=-(9/4)+2=-1/4.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a) По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
AB=AD (касательные к малой окружности из т. А)
FA=FE (касательные к большой окружности из точки А)
ВС=BF (касательные к большой окружности из точки В)
BT=BK (касательные к малой окружности из точки В)

Так как СТ=ED ( отрезки внутренних касательных), то
BF=AK
BF=BA+AF
AK=AB+BK,
значит
AF=BK

Проведем из точки N ( середины ОР) перпендикуляр к FK.
FQ=QK по теореме Фалеса.
FQ=FA+AQ=QB+BK=QK (FA=BK) значик AQ=QB
Q-серединный перпендикуляр к АВ и NA=NB
б)
Из подобия ОМ=10; МР=5
Значит треугольники ОЕМ и МТР - прямоугольные египетские.
Значит ЕМ=8; МТ=4.

AD=AЕ+8+4=AE+12
AK=AB+BK
AD=AK
AE=BK
Значит АВ=12
О т в е т. 12
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3з ⇒ 4с + 1 м
7с ⇒ 4з + 1 м

Умножаем первое на 4, второе на 3
12з ⇒16с + 4 м
21с ⇒ 12з + 3 м или заменим 12 з на 16с +4 м

21с ⇒ 16 с + 4 м + 3 м
5 с = 7 м

Повторяем 6 раз
30 с = 42 м
О т в е т. на 30 серебряных монет стало меньше

а)
АО=ОВ=ОТ=ОH=R
ВС=AB⇒ CQ=QD=R
OH=QD=R
∠OAH=∠OHA (Δ OAH - равнобедренный ОА=ОН=R)
∠OAH=∠QDH - углы при основании равнобедренной трапеции.
∠OHA=∠QDH - соответственные углы равны ⇒ OH|| QD.
HOQD- параллелограмм, две стороны которого OH и QD параллельны и равны.

б)Δ OAH - равносторонний, углы при основании 60 градусов ⇒ АН=R ⇒ AK=KH=R/2
Так как трапеция равнобдренная, то АН=FD=R
По теореме Пифагора
ОК=Rsqrt(3)/2

Δ ОАК подобен Δ OTD
OA:OQ=OK:OT
R:OQ=(Rsqrt(3)/2):R
OQ=2Rsqrt(3)/3

OQ- cредняя линия трапеции АВСD.

OQ=(BC+AD)/2=(2+2+2R)/2=2+R
Приравниваем и находим R
2+R=2Rsqrt(3)/3
R=6/(2sqrt(3)-3)
AD=2+2R=2+(12/(2sqrt(3)-3))=2+8sqrt(3)+12=8sqrt(3)+14
О т в е т. AD=8sqrt(3)+14. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
MF=ME;
NE=NG
Р(Δ АМN)=AM+MN+AN=AM+ME+EN+AN=AM+MF+NG+AN=AF+NG=
=(1/2)AB+(1/2)AD=AB=AD
б)Пусть радиус окружности равен R, тогда сторона квадрата равна 2R.
АМ=2R/3; BM=4R/3
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
ТЕ=ТQ;
МЕ=МF=(4R/3)-R=R/3
Пусть ТЕ=ТQ=x
Тогда ТВ=х-R; ТМ=х-(R/3).
По теореме Пифагора из треугольника ТВМ:
ТВ^2+ВМ^2=TM^2
(x-R)^2+(4R/3)^2=(x-(R/3))^2
24R^2/9=4Rx/3
x=2R
ТЕ=ТQ=2R
Из треугольника ТВМ
tg∠ BTM=BM/TB=4R/3/R=4/3
Из треугольника ТСР
СР=ТС*tg∠ BTM=4R

Δ РКС подобен ΔPOL
KC:OL=CP:LP
KC=R*4R/3R=4R/3
ТК=ТС-КС=3R-(4R/3)=5R/3
BK=TK-TB=(5R/3)-R=2R/3
BK:KC=2R/3:(4R/3)=1:2
О т в е т. 1:2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) В диагональной плоскости ВВ1D1D проводим КF||BD1.
В1F:FD1=1:4 по теореме Фалеса.
В верхней грани А1В1С1D1 проводим С1Р до пересечения с А1В1.
Плоскость α - плоскость С1PK.
Δ B1PF подобен Δ C1DF по двум углам.
B1P:C1D1=B1F:FD1
B1P:5=1:4
B1P=5/4
A1P=5-(5/4)=15/4
A1P:PB1=(15/4):(5/4)=3:1.

б)
Плоскость α и грань BB1C1C пересекаются по отрезку КС1.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим перпендикуляры к линии пересечения КС1.
МК⊥КС1
ТК⊥КС1
∠ТКМ- линейный угол двугранного угла.
Треугольники КВМ и В1С1К подобны по двум углам.
ВМ:В1К=КВ:С1В1
ВМ=4/5
КТ - высота треугольника PKC1 cо сторонами
РК=sqrt(41)/4
KC1=sqrt(26)
PC1=5sqrt(17)/4
Угол не нашла (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Так как трехзначное число при делении на 5 дает остаток 2, то оно оканчивается на 2.
Четных цифр 5:
0;2;4;6;8
Так как трехзначное число, которое при делении на 3 дает остаток 1, то сумма его цифр при делении на 3 дает остаток.
Это могут быть цифры
6+8+2=16
или
8+0+2=10

О т в е т. Наименьшее число 682

Ответ выбран лучшим

R=13
Основания цилиндра параллельны.
Если плоскость пересекает основания, то хорды параллельны.
КТ=√730≈27
Это означает, что расстояние между серединой одной хорды и проекцией середины другой хорды по теореме Пифагора
d^2=730-21^2=289
d=17 > R=13
Поэтому точка К и проекция точки Т расположены по разные стороны от диаметра, параллельного этим хордам
и лежащего в нижней полуплоскости.
Поэтому плоскость и пересекает ось цилиндра в точке М.
Диаметр FE, перпендикулярный хорде AB, делит хорду пополам.
Из прямоугольного треугольника КОВ по теореме Пифагора
ОК=5
Диаметр QG, перпендикулярный хорде CD, делит хорду пополам.
Из прямоугольного треугольника PGD
PT=12
5+12=17
Прямоугольные треугольники КМО и МРG подобны по двум углам.
Вертикальные углы КМО и РМG равны.
Из подобия
МО:МР=КО:PG
x:5=(21-x):12
x=105/17
tg∠МКО=МО/КО=(105/17):5=21/17
∠МКО=arctg(21/17).
Можно из треугольника КТТ1 найти
tg ∠ТКТ1= ТТ1/КТ1=21/17.
О т в е т. arctg(21/17).

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения sin(x-5π)=-sin(5π-x)=-sinx
tg(5π+x)=tgx
Уравнение принимает вид
(2cos^2x/sin^2x)-(1/sinx)-4=0
или
{2cos^2x-sinx-4sin^2x=0;
{sinx≠0.
Решаем первое уравнение
6sin^2x+sinx-2=0
D=1+48=49
sinx=-2/3 или sinx=1/2
x=arcsin(-2/3)+2πk, k∈Z;
x=π-arcsin(-2/3)+2πn, n∈Z
или
x=(π/6)+2πm, m∈Z;
x=π-(π/6)+2πs, s∈Z.
О т в е т.
а)x=-arcsin(2/3)+2πk, k∈Z;
x=π+arcsin(2/3)+2πn, n∈Z
или
x=(π/6)+2πm, m∈Z;
x=(5π/6)+2πs, s∈Z.
б) Указанному промежутку принадлежат два корня:
arcsin(-2/3) и(π/6). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение
D=2^2-4*8*(-3)=4+96=100
sinx=-3/4 или sinx=1/2
x=arcsin(-3/4)+2πk,k ∈ Z ;
х= π-arcsin(-3/4)+2πn, n∈ Z
или
x=(π/6)+2πm,m ∈ Z ;
х= (5π/6)+2πp, p∈ Z.
О т в е т.
а) x= - arcsin(3/4)+2πk,k ∈ Z ;
х= π+arcsin(3/4)+2πn, n∈ Z
или
x=(π/6)+2πm,m ∈ Z ;
х= (5π/6)+2πp, p∈ Z.
б) Указанному промежутку принадлежат корни
(π/6) и (5π/6). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

д) sin^2x=1-cos^2x
Замена переменной:
7^(cos^2x)=t, t > 0
7^(1-cos^2x)=7/t
Уравнение
t+(7/t)=8
имеет корни
7 и 1
7^(cos^2x)=7
cos^2x=1
cosx=1 или сosx=-1
x=2πk, k∈Z или х=π+2πn, n∈Z
7^(cos^2x)=1
cos^2x=0
cosx=0
x=(π/2)+2πm, m∈Z
О т в е т. x=2πk, k∈Z или х=π+2πn, n∈Z или x=(π/2)+2πm, m∈Z

ж)Замена переменной
sqrt(5+2sqrt(6))^x=t, t > 0
sqrt(5-2sqrt(6))^x=1/t
sqrt(5+2sqrt(6))*sqrt(5-2sqrt(6))=1
Уравнение:
t+(1/t)=10
t^2-10t+1=0
D=100-4=96
t=5-2sqrt(6) или t=5+2sqrt(6)
x=-1 или х=1
О т в е т. -1; 1
з)2^(1+3+5+... 2x-1)=2^9
1+3+5+...2x-1=9 Слева сумма арифметической прогрессии
2x*x/2=9
x^2=9
x=3 или х=-3 - не удовл. условию задачи
О т в е т. 3.
л) Делим на 4^(1/x)
6*((3/2)^(1/x))^2-13*(3/2)^(1/x)+6=0
D=169-4*6*6=25
(3/2)^(1/x)=3/2 или (3/2)^(1/x)=2/3
1/x=1 или 1/х=-1
x=1 или х=-1
О т в е т. -1; 1

Ответ выбран лучшим

Экватор делит глобус на две части.
Две параллели делят глобус на 3 части
...
30 параллелей разделят глобус на на 31 часть.

Если проведен меридиан, то глобус на части не разбивается, то есть будет 1 часть.
Если проведено два меридиана, то получаем две части. 3 меридиана разделит глобус на три части, четыре меридиана разделят глобус на 4 части
...
24 меридиана разделят глобус на 24 части.
Всего 24*31=744 части
О т в е т. 744 части

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
3^x+3^(-x)=t
Возводим в квадрат
3^(2x)+2+3^(-2x)=t^2
3^(2x)+3^(-2x)=t^2-2
3*(3^(2x)+3^(-2x))=3t^2-6
3^(2x+1)+3^(1-2x))=3t^2-6
Уравнение принимает вид
3t^2-6-7t=4
3t^2-7t-10=0
D=49+120=169
t=(7-13)/6=-1 или t=(7+13)/6=10/3

Возвращаемся к переменой х:
3^x+3^(-x)=-1
Уравнение не имеет корней, так как показательная функция принимает только положительные значения,
3^x > 0 и 3^(-x)=(1/3)^x > 0

3^x+3^(-x)=10/3
Замена переменной
3^x=u
3^(-x)=1/u
u+(1/u)=10/3
3u^2-10u+3=0
D=100-36=64
u=(10-8)/6=1/3 или u=(10+8)/6=3
3^x=1/3 или 3^x=3
x=-1 или х=1
О т в е т. -1; 1

11k+d=12n+d ⇒ 11k=12n
k=12
n=11
132 – наименьшее число, кратное 11 и 12
Но не выполнено второе условие. Средняя цифра 3 не есть среднее арифметическое
крайних 1 и 2
Чтобы это условие выполнялось достаточно взять d=3
132+3=135
О т в е т. 135

Ответ выбран лучшим

1-й день 5 5-3=2
2-й день 2+5=7 7-3=4
3-й день 4+5=9 9-3=6
4-й день 6+5=11 11-3=8
5-й день 8+5=13 13-3=10
6-й день 10+5=15 15-3=12
7-й день 12+5 =17
О т в е т. На 7-й день

Ответ выбран лучшим

Среди любых 21 рыбок хотя бы одна плотвичка, значит окуней 20.
Среди любых 16 рыб хотя бы один окунь, значит 15 плотвичек.
О т в е т. 15 плотвичек

Ответ выбран лучшим

О т в е т. 0
Среди 16-ти идущих подряд натуральных чисел одно обязательно кратно 11.
Значит произведение кратно 11.
Произведение нацело делится на 11, остаток от деления на 11 равен 0

Ответ выбран лучшим

Салат можно выбрать тремя способами, перво блюдо 2 способами, второе блюдо 3 способами, напиток - двумя способами.
Выбор и салата и первого блюда и второго блюда и напитка находится по правилу произведения:
3*2*3*2=36 вариантов
О т в е т. 36 вариантов обеда.

Ответ выбран лучшим

1002- наименьшее четырехзначное число, кратное 6
42=2*3*7*1
Значит возможные цифры числа 1;2;3;7
1+2+3+7=13 не кратно 3
Значит возможные цифры
1;1;6;7
Сумма цифр такого числа
1+1+6+7=15 кратна 3
Число должно быть четным, значит 6 на конце.
1176:6=196
О т в е т. 1176

Ответ выбран лучшим

123
123:4=...(остаток 3)
123:6= ... ( остаток 3)
123:15=... ( остаток 3)
О т в е т. 123

Ответ выбран лучшим

Пусть первые две цифры х и у.
Тогда число 100х+10у+5
Число, записанное этими же цифрами в обратном порядке
500+10у+х
Разность между ними 99.
100х+10у+5-500-10у-х=99
99х=594
х=6
у-любое, у=0
Число 605
605-506=99
О т в е т. 605

Ответ выбран лучшим

156=2*2*3*13
число подъездов < числа квартир на этаже < числа этажей < 24
О т в е т. 13 этажей

Ответ выбран лучшим

Число должно оканчиваться на 0 и делиться на 3.
Чтобы число делилось на 3 сумма цифр этого числа должна делиться на 3
Значит достаточно трех единиц в записи числа.
10 000 110 - наименьшее число кратное 3

Ответ выбран лучшим

2 л ⇒ 5 т + 1 к
7 т ⇒ 2 л + 1 к

7т ⇒ (5т +1к) +1 к
7т ⇒ 5т+2к
2т ⇒ 2к
За шкуру тигра можно поменять шкуру кабана.
Появилось 80 шкур кабана.
Количество шкур тигра уменьшилось на 80.
О т в е т. на 80

Ответ выбран лучшим

Число должно оканчиваться 0, значит вычеркиваем две последние цифры.
Сумма цифр числа 355760 равна3+5+5+7+6=26
Число должно делиться на 3
значит сумма цифр должна быть кратна 3.
Вычеркиваем 5
35760:60=596
О т в е т. 35760

Ответ выбран лучшим

Наименьшее пятизначное число, произведение цифр которого наименьшее- 11111.
Нулей в числе быть не должно.
11116 кратно 7
11144 кратно 7
11214 кратно 7
О т в е т. 11214

Ответ выбран лучшим

3+1+1=5
5 кубиков в ряд можно поставить 5! способами.
Но перестановки одинаковых желтых кубиков дают одинаковые комбинации, поэтому это число надо уменьшить в 3! раз
О т в е т. 5!/3!=4*5=20 способов

Ответ выбран лучшим

1) ОДЗ: -tgx ≥ 0 ⇒ tgx ≤ 0
sqrt(-tgx)+1 > 0 при любом х.
Поэтому
1-sin2x-4cos^2x=0
sin^2x+cos^2x-2sinx*cosx-4cos^2x=0
sin^2x-2sinx*cosx-3cos^2x=0- однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.
Делим на сos^2x≠0

tg^2x-2tgx-3=0
D=4+12=16
tgx=-1 или tgx=3 ( не удовлетворяет условию tgx ≤ 0)

x=(-π/4) + πk,k ∈Z

О т в е т. (-π/4) + πk,k ∈Z

2)
Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла.
Пусть второй множитель
tgx=0 ⇒
{sin x=0;
{cosx≠0.
Но при sinx=0, тогда cosx=1 второе уравнение не имеет смысла
sqrt(9-11*1+0)- не существует корня из отрицательного числа
Пусть первый множитель равен 0
sqrt(9-11cos^2x+sinx)+sinx=0
cos^2x=1-sin^2x
sqrt(9-11(1-sin^2x)+sinx)=-sinx
Возводим в квадрат при условии, что выражение справа неотрицательно.
{-sinx≥
{11sin^2x+sinx-2=sin^2x
10sin^2x+sinx-2=0 - квадратное уравнение.
Замена переменной
t=sinx
10t^2+t-2=0
D=1+80=81

Ответ выбран лучшим

Было х
180% от х 1,8х
х+1.8х=2,8х
Стало 2,8х
Пусть прибавка в 5% осуществлялась n месяцев;
прибавка в (111/9)% m месяцев;
прибавка в (71/7)% k месяцев;
прибавка в 12% p месяцев.
Вся прибавка
(5xn/100)+(111xm/900)+(71xk/700)+(12p/100)=2,8x-x
или
5n+(111/9)m+(71/7)k+12p=180
Далее подбор

Ответ выбран лучшим

672=2^5*3*7; 560=2^4*5*7
Оба числа кратны 7. Разность чисел, кратных 7, кратна 7.
а) Два одинаковых числа могут появиться.
672 и 560
(672-560) и 560
112 и 560-112=448
112 и 448-112=336
112 и 336-112=224
112 и 112
или
672:2=336 и 560
336 и 560:2=280
336:2=168 и 280
168 и 280:2=140
168:2=84 и 140
84 и 140:2=70
84:2=42 и 70
42 и 70:2=35
42:2=21 и 35
35-21=14 35
14 и 35-14=21
14 и 21-14=7
14:2 и 7
7 и 7
Б) Нет. Получим числа кратные 7 или 7
В) наименьшее натуральное число 7

Ответ выбран лучшим

170.
логарифм степени
54log_(19)19^(1/3)=1/3)*54log_(19)19=54/3=18;
171.
Переходим к основанию 14
log_(14)14/log_(14)(14)^(1/8)=1/(1/8)=8;
172
Представим 2=log_(5)25
Сумму логарифмов заменяем логарифмом произведения
log_(5)150/(log_(5)25+log_(5)6)=log_(5)150/log_(5)150=1
174
Переходим к основанию 7 в первом логарифме:
(1/log_(7)1,25)*log_(7)(4/5)=(формула перехода наоборот справа налево)=log(1,25)4/5=-1
175
Основное логарифмическое тождество
(7^2)^((1/2)*log_(49)36)=49^(log_(49)6)=6
176
Переходим к основанию 5
(log_(5)5^3/log_(5)5^(1/2))^3=(3/(1/2))^3=6^3=216
177
3^2*3^(log_(3)11)=9*11=99
178
16^(log_(16)5^3=125
179
(7^2)^log_(7)sqrt(11)=7^(log_(7)(sqrt(11))^2=11
180
log_(9)(log_(4)4^3)=log_(9)3=1/2
181
96/12=8
182
log_(22)sqrt(22)/log_(22)(1/22)=1/2:(-1)=-1/2

1. см. рисунок. Один корень х=-1 хорошо виден, второй по теореме Виета. Произведение корней равно 1/3
Значит второй корень (-1/3)
2. __-__ [-11] _+_ [0]___-__[15]_____+____
О т в е т. х∈ (- бесконечность; -11]U[0;15]
3.
x^2-7x-44=0
D=49+176=225
x=(7-15)/2=-4 x=(7+15)/2=11
x^2+11x-80=0
D=121+320=441
x=(-11-21)/2=-16 x=(-11+21)/2=5
_+__ (-16) _-_[-4]__+_ (5) __-__[11]__+_
О т в е т. х∈ (-16;-4]U(5;11]
3. см. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

x^2-9=(x-3)(x+3)
F(x)=x-3
F(2)=2-3=-1
F(1/3)=(1/3)-3=-2 целых 2/3
F(1)=1-3=-2

Ответ выбран лучшим

Достраиваем до прямоугольника с размерами 9 на 7
Вычитаем площадь прямоугольного треугольника в левом верхнем углу с катетами 3 и 4, площадь
прямоугольного треугольника в центре вверху с катетами 1 и 4, площадь прямоугольника с длинами сторон 3 и 4, площадь прямоугольного треугольника в правом нижнем углу с катетами 3 и 5 и площадь прямоугольного треугольника в левом нижнем углу с катетами 5 и 7 и площадь квадрата в центре со стороной 1
О т в е т. 7*9-0,5*3*4-0,5*1*4-3*4-0,5*3*5-0,5*5*7-1*1=
=63-6-2-12-0,5*5(7-3)-1=63-31=32 (прикреплено изображение)

28.
а) g(-1/4)=2*(-1/4)^2-((-1/4)+2)/(-1/4)=7 целых(1/8)
g(2)=2*2^2-(2+2)/2=8-2=6
g(1,5)=2*(1,5)^2-(1,5+2)/2=4,5-1,75=2,75
б) g(4)=sqrt(4^2-3*4+5)=sqrt(9)=3
g(2)=sqrt(2^2-3*2+5)=sqrt(3)
g(-1)=sqrt((-1)^2-3*(-1)+5)=sqrt(9)=3
в) g(π/2)=2+sinπ=2+0=2
g(π/4)=2+sin(π/2)=2+1=3
g(-π/4)=2+sin(-π/2)=2-1=1
г) g(t)=(2/t^2)+3t
g(t+2)=2/(t+2)^2+3(t+2)
g(2/t)=2/(4/t^2)+3*(2/t))=(t^2/2)+(6/t)
29
1) x-3 больше или равно 0
x больше или равно 3
О т в е т. х∈[3;+ бесконечность)
2)2х^2-7x+5 больше или равно 0
D=49-40=9
x=(7-3)/4=1 или х=(7+4)/4=2,5
____+___[1]___-___[2,5]__+__
О т в е т. х∈(-бесконечность; 1]U[2,5;+ бесконечность)
3)4x^2-1≠0
(2x-1)(2x+1)≠0
x≠-1/2 x≠1/2
О т в е т. х∈(-бесконечность; -1/2)U(-1/2;1/2)U(1/2;+ бесконечность).
4)4x^2-9≠0
(2x-3)(2x+3)≠0
x≠-3/2 x≠3/2
О т в е т. х∈(-бесконечность; -3/2)U(-3/2;3/2)U(3/2;+ бесконечность).

Ответ выбран лучшим

1) А. купит все три вещи;
Заплатит за них 19 400+2 300+ 3 200=24 900 руб.
Не участвует в акции и охраняет за собой право возвратить товар в магазин.
Может получить сертификат, обменять его на какой-то четвертый товар, но при этом теряет право на возврат.
2) А. купит пылесос и миксер, а вентилятор получит за сертификат;
А заплатит 19 400+2 300 =21 700 руб., получит сертификат, обменяет его на вентилятор стоимостью 3 200 руб., но при этом теряет право на возврат.
3) А. купит пылесос и вентилятор, а миксер получит за сертификат?
А заплатит 19 400+3 200=22 600 руб., получит сертификат, обменяет его на миксер стоимостью 2 300 руб., но при этом теряет право на возврат.
О т в е т. Меньше всего заплатит в случае 2)купит пылесос и миксер , заплатит 21 700 руб.а вентилятор получит за сертификат.

Ответ выбран лучшим

Наиболее распространенное женское — Мария.
1)женщин с именем Мария больше, чем с именем Авдотья - верное утверждение
3)хотя бы одна женщина имеет имя Мария - верное утврждение

Ответ выбран лучшим

4часа=240 минут.
За первую минуту 2 бактерии
за вторую минуту 2^2 бактерий
за третью минуту 2^3 бактерий
...
за 238 минуту 2^(238) бактерий
за 239 минуту 2^(239) бактерий
за 240 минуту 2^(240) бактерий

2^(240):2=2^(239)
За 239 минут заполнена половина банки
за 238 минут четверть.
О т в е т. за 238 минут=238*60=14280 секунд

Ответ выбран лучшим

А) (x+1)/x ≥ 0
Решаем методом интервалов:
__+__[-1]__-_ (0) _+___
О т в е т. 3)
Б) (x+1)x > 0
__+__ (-1) __-_ (0) _+__
О т в е т. 2)
В) log_(3)(x+2) > 0
log_(3)(x+2) > log_(3)1
Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
{х+2 > 1
{x+2 > 0

x > -1
О т в е т. 1)
Г) 3^(x+4) ≥ 3^3
Показательная функция с основанием 3 > 1 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
x+4 ≥ 3
x≥ -1
О т в е т. 4)

Ответ выбран лучшим

888:24=37
Сумма цифр 8+8+8=24

Других чисел нет.
Сумма цифр числа равна, если число составлен из цифр(8;8;8)
24=8+8+8
или (9;8;7)
24=9+8+7
или (9;9;6)
24=9+9+6

Но 978 не кратно 24; 798 не кратно 24, остальные числа нечетные, они не кратны 24
996 не кратно 24; остальные числа нечетные и не могут быть кратны 24.

Ответ выбран лучшим

см. решения в приложении (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Числа 1, 2, ..., 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятности указанных событий.
А = {на четных местах в ряду записаны четные числа}.
В = {сумма каждых двух чисел, стоящих на одинаковом расстоянии от концов, равна 10}
Решение.
Применяем классическое определение вероятности. Вероятность равна отношению числа всех исходов испытания к числу исходов, благоприятствующих наступлению события.
1) Общее число исходов испытания равно размещению 9 чисел на 9 мест. Это число равно 9! способов.
n=9!
Событию А благоприятствуют те исходы, при которых четные числа (а их 4) стоят на четных местах.
Из девяти чисел выбираем 4 - сочетание из 9 по 4 и размещаем 4 цифры на 4 местах.
m=4!*C^4_(9)=4!*9!/(4!*5!)=9!/5!
р=m/n=(9!/5!)/9!=1/5!
2)Считаем исходы благоприятствующие наступлению события В
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Число 5 на пятом месте, ему нет пары.
пары 1 и 9 ; 2 и 8; 3 и 7; 4 и 6
Их всего 4
Расставляются на 4 места
m=4*4!
p=m/n=4*4!/9!
О т в е т. 1) 1/5!=1/120≈0,0083 2) р=1/3780≈0,00027

Ответ выбран лучшим

1) Замена переменной
cosx=t
3t^2-5t-12=0
D=25+144=169
t=3; t=-4/3
cosx=3 - уравнение не имеет решений, 3 > 1
cosx=-4/3 - уравнение не имеет решений. -4/3 < -1
2) Замена переменной
tgx=t
3t^2-4t+5=0
D=16-4*3*5=16-60 < 0
Квадратное уравнение не имеет корней, данное уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

BD - высота, медиана и биссектриса прямоугольного равнобедренного треугольника АВС.
1) vector{BD}*vector{AC}=0, так как BD⊥AC.
2) AB=BC=2
BD=sqrt(2)
vector{BD}*vector{AC}= |vector{BD}|*|vector{AC}|*cos45 градусов=
=sqrt(2)*2*sqrt(2)/2=2
3) vector{BD}*vector{BD}= |vector{BD}|*|vector{BD}|*cos0 градусов=
=sqrt(2)*sqrt(2)*1=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) ММ1- средняя линия треугольника СВВ1
ММ1=ВВ1/2 ⇒ ВВ1=2ММ1=2*15=30 см
2) ММ1- средняя линия трапеции DD1B1B.
Пусть ВВ1=х
ММ1=(ВВ1+DD1)/2
8=(x+10)/2
16=x+10
x=6
3) Треугольник DMM1 подобен треугольнику DCC1
DM:DC=MM1:CC1
3x:10x=MM1:20
x=6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Замена переменной
√2x+1=t,
возводим в квадрат
2х+1=t^2
x=(t^2–1)/2
dx=tdt
∫xdx/(√2x+1+1)=∫(t^2–1)tdt/2(t+1)=
=(1/2)∫t(t+1)dt=(1/2)∫(t^2+t)dt=
=(1/2)((t^3/3)+(t^2/2))+C=
=(1/6)t^3+(1/4)t^2+C, где t=√2x+1
2) Замена переменной
(x)^(1/4)=t ⇒ x=t^4; dx=4t^3dt
sqrt(x)=t^2

=∫(1+t)4t^3dt/(1+t^2)=
=4∫t^4+t^3)dt/(1+t^2)
Под знаком интеграла неправильная дробь.
Выделим целую часть.
Делим углом
=(t2+t–1)+ ((–t+1)/(t2+1))

4*∫t^4+t^3)dt/(1+t^2)=
=4*∫(t^2+t–1)dt+4*∫(–t/(t^2+1))dt+ 4*∫(1/(t^2+1))=
=4*(t^3/3)+4*(t^2/2)–4*t+4*(–1/2)*ln(t^2+1)+4*arctgt+C.
=(4/3)*t^3+2*t^2–4t–2ln(t^2+1)+4*arctgt + С
где t=x^(1/4).
3) Выделяем полный квадрат в знаменателе
2x^2-3x+5=2(x^2-1,5x+2,5)=2(x-0,75)^2+(31/8)
Замена переменной
х-0,75=t ⇒ x=t+0,75
dx=dt
∫(x+4)dx/sqrt(2x^2-3x+5)=∫(t+4,75)dt/sqrt(2t^2+(31/8))=(1/sqrt(2))*sqrt(t^2+31/16)+(4,75/sqrt(2))*ln|t+sqrt(t^2+(31/16))+C
t=x-0,75
4)
x=3sint
dx=3costdt
∫sqrt(9-x^2)dx=9∫cos^2t*dt=
=(9/2)*∫(1+cos2t)dt=
=(9/2)(t+sin2t/2))+C=
=[t=arcsin(x/3);
sin2t=2*(x/3)*sqrt(1-(x/3)^2)=
=(2x/9)sqrt(9-x^2)
О т в е т. (9/2)*arcsin(x/3)+xsqrt(9-x^2)+C.

Ответ выбран лучшим

35.
2)f`(x)=((x+3)^3)`*(x+2)+(x+3)^3*(x+2)`=
=3(x+3)^2*(x+3)`*(x+2)+(x+3)^3*1=
=(x+3)^2*(3*1*(x+2)+(x+3))=
=(x+3)^2*(3x+6+x+3)=(x+3)^2*(4x+9).
37.
2)f`(x)=((2x^3+3x^2+1)`*(x-1)-(2x^3+3x^2+1))*(x-1)`/(x-1)^2=
=((6x^2+6x+1)*(x-1)-(2x^3+3x^2+1)*1)/(x-1)^2=
=(6x^3+6x^2+x-6x^2-6x-1-2x^3-3x^2-1)/(x-1)^2=
=(4x^3-3x^2-5x-2)/(x-1)^2.
39.
1)((2x-1)^3)`=3*(2x-1)^2*(2x-1)`==3*(2x-1)^2*2=
=6*(2x-1)^2;
2) ((x+3)^2)`=2*(x+3)^2*(x+2)`=2*(x+3)^2*1=2*(x+3)^2.

Ответ выбран лучшим

Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств через х и у.
Время поступления сигналов изобразим на координатной плоскости хОу (х меньше или равно 60, у меньше или равно 60).
Полученный квадрат - это возможные исходы поступления сигналов от двух устройств в течение часа.
Если сигналы поступают одновременно - они располагаются на диагонали квадрата.
Событие А-"разность между моментами поступления сигналов меньше 10 минут", означает, что |x-y| < 10.
Исходы, благоприятствующие наступлению события А изображены закрашенной областью.
По формуле геометрической вероятности
р=S(закрашенной области)/S(квадрата)=
=(60*60-0,5*50*50-0,5*50*50)/60*60=
=(3600-2500)/3600=11/36
О т в е т. р=11/36 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Однородное уравнение.
Замена у/х=u или у=хu
Тогда du=xdu+udx
(x+xu)dx-x(xdu+udx)=0
dx/x=du
Интегрируем
∫dx/x=∫du
ln|x|+C=u
y=x(ln|x|+C)
О т в е т. у=хlnx+Cx
2) y`=dy/dx
dy/dx=(3+2y)- уравнение с разделяющимися переменными
dy/(3+2y)=dx
Интегрируем
∫dy/(3+2y)=∫dx
(1/2)ln|3+2y|=x+C
3+2y=e^(2x+C)
y=Ce^(2x)-3/2

3) Линейное уравнение первого порядка.
Применяем метод Бернулли.
у(x)=u(x)v(x)
y`=u`v+uv`
u`v+uv`-2uv/(x+1)=(x+1)^3
Полагаем
v`-2v/(x+1)=0
dv/v=2dx/(x+1)
lnv=2ln|x+1|
v=(x+1)^2
u`v=(x+1)^3
u`=(x+1)
u=((x+1)^2/2) +C

y=((1/2)(x+1)^2 +C)*(x+1)^2
О т в е т. у=(1/2)*(х+1)^4 + C*(x+1)^2

Пусть одна сторона прямоугольника а, вторая b,
диагональ d.
По теореме Пифагора
a^2+b^2=d^2
10^2+b^2=26^2
b^2=26^2-10^2=(26-10)*(26+10)=16*36=
=(4*6)^2=24^2
b=24
Р=2*(a+b)=2*(10+24)=68
О т в е т. 68

Ответ выбран лучшим

у`=dy/dx
dy/dx=2y/x- уравнение с разделяющимися переменными.
dy/y=2dx/x
Интегрируем
∫dy/y=2∫dx/x
ln|y|=2ln|x|+lnC
или
ln|y|=ln|x|^2+lnC;
ln|y|=lnC|x|^2
y=Cx^2

Ответ выбран лучшим

DF1+DF2=r1+r2=2a
DF1=DF2=a
c=asin(α/2)
ε=c/a=sin(α/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что из шести карточек выбирают три.
n=C^3_(6)=6!/(3!*3!)=20
Рассмотрим противоположное событие
В-"среди 3–х случайно выбранных карточек нет карточки с номером 6"
Три карточки из пяти (без шестерки) можно вынуть
C^2_(5)=5!/(2!*3!)=10
m=10
p(B)=m/n=10/20=1/2
p(A)+p(B)=1
p(A)=1-p(B)=1/2

Ответ выбран лучшим

1) 5 - катет против угла в 30° равен половине гипотенузы.
2) Треугольник АВС- прямоугольный, угол С равен 90°, как угол, опирающийся на диаметр.
угол САО=23°
Треугольник САО - равнобедренный.
угол АСО=23°
Угол АОС=180-23°-23°=134°
3)Сумма углов четырехугольника АВОС равна 360°.
Угол АВО=90°- касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
Угол АСО=90°- касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
Угол ВАС=360°-90°-90°-127°=53°
4) Значит и со второй стороной угол 11°.
Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных.
О т в е т. 22° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Это средняя линия прямоугольной трапеции с основаниями 23 и 45.
Она равна (23+45)/2=34
О т в е т. 34.
2) Сумма углов выпуклого n-угольника равна
180°•n-360°=180°•(n-2)
При n=12
180°•10=1800°
1800°-13°=1787° - cумма остальных углов.
3) 7+8=15 частей
360°:15=24° в одной части
24°•7=168°
Центральный угол равен измеряется дугой, на которую он опирается
О т в е т. 168°
4) r=a•srqt(3)/6 ⇒ a=2rsqrt(3)=24sqrt(3)
5) Если около параллелограмма описана окружность, то этот параллелограмм - прямоугольник (или квадрат).
Диагонали прямоугольника (квадрата) равны между собой.
О т в е т. 11

Ответ выбран лучшим

1.
Треугольник АВС подобен треугольнику КВМ.
АВ:КВ=АС:КМ
11:6=АС:18
АС=33
2.
Второй угол 30°. Катет против угла в 30° равен половине гипотенузы:19/2= 9,5. Против меньшего угла лежит меньшая сторона. Этот катет и будет наименьшим.
3.
Треугольники АОВ и СОD подобны по двум углам.
Один вертикальный.
Вторые углы в треугольниках - внутренние накрест лежащие.
Из подобия АО:ОС=АВ:СD
AO=18
4.
Пусть один угол х, второй (х-56°). Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°
х+х-56=180
2х=236
х=118
5) Пусть К- точка пересечения биссектрис.
Угол ВКА равен углу КАD- внутренние накрест лежащие.
Угол ВАК равен углу KAD
Угол ВКА=равен углу ВАК.
Треугольник АВК - равнобедренный.
Аналогично, треугольник КDC - равнобедренный.
АВ=ВК=13 и КС=CD=13
BC=BK+KC=26

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А) log_(3)(x-3) < 1
log_(3)(x-3) < log_(3)3
ОДЗ:
х-3 > 0
Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
х-3 < 3
И учитывая ОДЗ х-3 > 0, получаем двойное неравенство:
3 < x < 6
О т в е т. 2) (3;6)
Б) 5^(–x+2) > 0,2
5^(–x+2) > 5^(-1)
Показательная функция с основанием 5 возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
-х+2 > -1
- x > -3
x < 3
О т в е т. 4)(- бесконечность ;3)
В) (x–3)/(x–6)^2 > 0
ОДЗ: х≠6
Так как (x-6)^2 > 0 при х≠6, то
х-3 > 0
x > 3 и х≠6
О т в е т. 1) (3;6)U(6;+ бесконечность)
Г) (x–3)(x–6) > 0

Решаем методом интервалов
_+__ (3) __–__ (6) _+__
О т в е т. 3) (–∞; 3) U (6; +∞)

По теореме Пифагора
Н^2=10^2-6^2
H^2=64
H=8
О т в е т. 8

Р=500+1000+500=2000 м
О т в е т. 2000м (прикреплено изображение)

1 деление имеет градусную меру 360 градусов : 60 = 6 градусов.
Между 12 и 17
25 делений.
25*6 градусов = 150 градусов
О т в е т. 150 градусов

Ответ выбран лучшим

S(квадрата)=a^2
a^2=16
a=4
S(ромба)=a*a*sin 30°=4*4*(1/2)=8
О т в е т. S ( ромба)=8

Ответ выбран лучшим

18
Каждая из шести вершин заменена тремя вершинами
О т в е т. 18

Ответ выбран лучшим

А) 2^(–x+1) < 0,5;
2^(-x+1) < 2 ^(-1)
Показательная функция с основанием 2 возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
-х+1 < -1
-x < -2
x > 2
О т в е т. 3)(2;+ бесконечность)

Б) (x–5)^2/(x–4) < 0
Так как (x-5)^2 > 0 при всех х≠5,
то (х-4) < 0
x < 4
О т в е т. 4)(-бесконечность; 4)

В) log_(4)x > 1
log_(4)x > log_(4)4
Логарифмическая функция с основанием 4 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
х > 4
О т в е т. 1) (4;+ бесконечность)
Г) (x–4)(x–2) < 0
Решаем методом интервалов
_+__ (2) __-__ (4) _+__
О т в е т. 2) (2;4)

Ответ выбран лучшим

Из подобия треугольников АВК и СDK пропорция:
AB:CD=AK:CK
AB :1,6=(17+8):8
?=1,6*25/8=5
О т в е т. высота фонаря 5 м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6+5+9=20 ученых в списке выступающих.
Событие А " в списке выступающих на 8-м месте окажется доклад ученого из России"
На восьмом месте может оказаться доклад любого из 20-ти ученых
n=20
Событию благоприятствуют 5 случаев ( 5 докладчиков из России)
m=5
По классической формуле вероятностей
р(А)=m/n=5/20=1/4

Ответ выбран лучшим

Пусть х белых шаров в ящике, тогда 4х черных.
Всего х+4х= 5х шаров
Событие А–"случайно выбранный из ящика шар окажется белым"
n=5x способами можно выбрать один шар
m=x способами можно выбрать белый шар
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=x/5x=1/5=0,2

Ответ выбран лучшим

Пусть х пакетиков с зеленым чаем и 4х с черным.
Всего 5х
Событие А-"случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем"
n=5x способами можно выбрать один пакетик
m=x способами можно выбрать пакетик с зеленым чаем
По формуле классической вероятности
р(А)=m/n=x/5x=1/5=0,2
О т в е т. 0,2

Ответ выбран лучшим

1) Раскрываем знак модуля.
Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках
х=±3 и х=±2
Эти точки разбивают числовую прямую на 5 промежутков.
Раскрываем знаки модулей на каждом:
(-бесконечность;-3]
х^2-9+x^2-4=5
2x^2=18
x^2=9
x=±3
Рассматриваемому промежутку принадлежит -3.
(-3;-2]
-х^2+9+x^2-4=5
5=5- верно
Все точки рассматриваемого промежутка являются корнями уравнения.
(-2;2]
-х^2+9-x^2+4=5
2x^2=8
x^2=4
x=±2
Рассматриваемому промежутку принадлежит 2.
(2;3]
-х^2+9+x^2-4=5
5=5- верно
Все точки рассматриваемого промежутка являются корнями уравнения
(3;+ бесконечность)
х^2-9+x^2-4=5
2x^2=18
x^2=9
x=±3
Рассматриваемому промежутку не принадлежит ни-3, ни 3.
О т в е т. [-3;-2]U[2;3]
2) Область определения определяется системой:
{-1 меньше или равно х+1 меньше или равно 1
{9-x^2 > 0
{log_(2)sqrt(9-x^2)≠0 ⇒ 9-x^2≠2^0

{-2 меньше или равно x меньше или равно 0
{(-3;3)
{x≠±2sqrt(2)
О т в е т. [-2;0]
3) четная.
Область определения симметрична относительно 0
Выполняется равенство
f(-x)=f(x)
f(-x)=((-x)^4-2(-x)^2+1)/ln|-x| =
=(x^4-2x^2+1)/ln|x|=f(x)

Ответ выбран лучшим

1) Квадратное уравнение.
D=121-96=25
Корни (1|2) и (4/3)
log_(3)(2cosx)=1/2 ⇒ 2 cosx=3^(1/2) или
сos=sqrt(3)/2
x=±(π/6)+2πk, k∈Z.
Второе уравнение не имеет корней, так как
log_(3)(2cosx)=4/3 ⇒ 2 cosx=3^(4/3) или
сos=(3^(4/3))/2- уравнение не имеет корней, (3^(4/3))/2 > 1
б)
_ (-7π/2) _ (-3π) _ (-5π/2) _ (-2π) _ (-3π/2)_ (-π)

Указанному интервалу принадлежит два корня:
-7π/2=-21π/6 < (-π/6)-2π=-13π/6 < -2π=-12π/6
и
-2π=-12π/6 < (π/6)-2π=-11π/6 < -π=-6π/6
см. рисунок
О т в е т.а) x=±(π/6)+2πk, k∈Z. б)-13π/6;-11π/6

3.
Замена переменной
7^x=t, t > 0
49^x=t^2
7(7^(x-1)-1)=7^x-7=t-7
Неравенство принимает вид:
(2t^2-16t+11)/(t-7) + (5t-36)/(t-8) меньше или равно 2t+3
Приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
(t-4)/(t-7)(t-8) меньше или равно
_-__ [4] ____+___ (7) _-_ (8) __+___

t меньше или равно 4 или 7 < t < 8

7^x меньше или равно 4 или 7 < 7^x < 8

О т в е т. x меньше или равно log_(7)4;
1 < x < log_(7) 8. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=(1/x^4)`=(x^(-4))= - 4x^(-5)= - 4/x^5
Уравнение касательной в точке (х_(0);f(x_(0))
имеет вид:
у-f(x_(0))=f`(x_(0))(x-x_(0)).
Подставляем координаты точки М(1/2;3)
3-(1/х_(0))^4=(-4/(x_(0))^5)(0,5-x_(0))
Получаем уравнение, в котором неизвестная величина х_(0).
3(х_(0))^5-5x_(0)+2=0
x_(0)=1
Уравнение касательной в точке x_(0)=1:
у= - 4х + 5.

Ответ выбран лучшим

1)245+28=273 пассажира
2) 273:45= 6,06
О т в е т. 7 автобусов

Ответ выбран лучшим

Вычеркиваем последнюю цифру 7, число должно быть четным.
Сумма цифр оставшегося числа 8+5+4+1+7+6+2=
33
Число кратно 3, но не кратно 9
Вычеркиваем 5 и 1, которые в сумме дают
6.
Оставшиеся цифры в сумме дают 27 и число будет кратно 9.
Остается 84762 кратно 18

Ответ выбран лучшим

Вектор х, коллинеарный вектору а имеет координаты, пропорциональные координатам вектора а
vector{x}=(6k;-8k;-7,5k}
|vector{x}|=sqrt((6k)^2+(-8k)^2+(-7,5k)^2)
По условию
|vector{x}|=50.
Решаем уравнение
sqrt((6k)^2+(-8k)^2+(-7,5k)^2)=50
Возводим в квадрат
(6k)^2+(-8k)^2+(-7,5k)^2=2500
156,25k^2=2500
k^2=16
k=4 или k=-4
Так как по условию вектор х образует острый угол с осью oz, то к=-4, координата по оси z должна быть положительной.
О т в е т. vector{x}=(-24;32;30}

Ответ выбран лучшим

4sin^3x-3sinx+2cos2x+1=0
Так как cos2x=1–2sin^2х
уравнение принимает вид
4sin^3x-3sinx+2(1-2sin^2x)+1=0
4sin^3x-4sin^2x-3sinx+3=0
4sin^2x(sinx-1)-3(sinx-1)=0
(sinx-1)(4sin^2x-3)=0
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0.

1) sinx-1=0 или 2) 4 sin^2x-3=0

1) x=(π/2)+2πk, k ∈Z
или

2) sinx=sqrt(3)/2 или sinx=-sqrt(3)/2

x=(π/3)+2πk, k ∈Z ; x=(2π/3)+2πk, k ∈Z

или

x=(-π/3)+2πk, k ∈Z ; x=(-2π/3)+2πk, k ∈Z

О т в е т. а)х=(π/2)+2πk, k∈Z
x=±(π/3)+2πk, k ∈Z ; x=±(2π/3)+2πk, k ∈Z
б) Указанному промежутку принадлежат корни
(-π/3) и (-2π/3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

А) какая-то неясность с центрами и окружностями.

Центр окружности θ_(2) наверное, лежит на прямой FB.

Б)∠AСD=∠DCB - биссектриса СD делит угол пополам.
∠AВС=∠AED как вписанные углы, опирающиеся на дугу АС окружности θ _(1);
∠AED=∠AFD как вписанные углы, опирающиеся на дугу АD окружности θ _(2).

Значит, ∠AFD=∠AВС.
Δ СВF и ΔСBD равны по общей стороне СD и двум прилежащим к ней углам ( два угла в треугольниках равны, значит и третьи углы равны).
ВС=FC=FA+AC=2+6=8

По теореме синусов из треугольника АВС:
ВС/sin ∠ВАС = 2R

R=8/sqrt(2)/2=8/sqrt(2)=4sqrt(2)

[b]R_( θ _(1))=4sqrt(2)[/b]

По теореме косинусов из Δ АВС:
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cos45 °
8^2=AB^2+6^2-2*6*AB*sqrt(2)/2 ⇒ AB^2-6sqrt(2)*AB-28=0 ⇒

D=(6*sqrt(2))^2-4*(-28)=72+112=184=4*46

По свойству биссектрисы СD треугольника АВС:
AD:DB=АС:СВ=6:8 ⇒ [b]AD:DB=3:4[/b] и AD=(3/4)BD

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

π рад = 180° ⇒ 1 рад = (180/π)° и 1°=(π/180) рад
И все.

(aπ/2)рад=(aπ/2)•(180/π)° =(90а)°

(20•b)°=(20•b)•(π/180) =πb/9

Ответ выбран лучшим

Точка (4;-1) не принадлежит ни первой прямой, ни второй.
Значит, уравнения двух других сторон параллельны данным и проходят через точку (4;-1)
x-3y+C=0
4+3+C=0
C=-7
x-3y-7=0
2x+5y+D=0
8-5+D=0
D=-3
2x+5y-3=0
О т в е т. x-3y-7=0 и 2x+5y-3=0

Ответ выбран лучшим

x^2+3x=x(x+3)

Действие деления заменяем умножением на взаимно обратную дробь:
(х-3)/x(x+3) • (x+3)/2=(x-3)/2x
При х=5 получим
(5-3)/(2•5)=1/5
О т в е т. 1/5

Ответ выбран лучшим

4)D(f)=(-бесконечность;+бесконечность)
у=s+bsinx
-1 меньше или равно sinx меньше или равно 1
умножаем на b (как положительное, так и отрицательное, знак не изменится.Проверьте на конкретных числах)
-b меньше или равно bsinx меньше или равно b
Прибавляем а
a-b меньше или равно a+ bsinx меньше или равно a+ b
E(f)=[a-b;a+b]
y=b+cos(ax)
E(f)=[b-1;b+1]
5) ax+(bπ/4)=(π/3)+2πk, k - целое
или ax+(bπ/4)=(2π/3)+2πn, n - целое
x=(1/a)•((π/3)-(bπ/4)+2πk) или
x=(1/a)•((2π/3)-(bπ/4)+2πn), k и n - целые.

bx+(aπ/b)=±((2π/3)+2πk, k - целое
x=(1/b)•(±(2π/3)-(aπ/b)+2πk), k - целое

ax+b=(-π/3)+πk, k - целое
x=(1/a)•((-π/3)-b+πk), k - целое

bx+a=(π/4)+πk, k - целое
x=(1/b)•((π/4)-a+πk), k - целое

Ответ выбран лучшим

А)Плоскости АВС1 и АСВ1 имеют общую точку А и общую точку К-точку пересечения прямых ВС1 и В1С, поэтому пересекаются по прямой АК.
Проекцией АК является AF, F- середина ВС.
АF⊥ВС, по теореме о трех перпендикулярах АК⊥ВС,
ВС || В1С1 ⇒ АК ⊥ В1С1, что и требовалось доказать.
Б)Чтобы построить угол между плоскостями АВС1 и АСВ1
проводим перпендикуляры из точки В1 на АК и из точки С1 на АК.
Поскольку треугольники АВ1К и АС1К тупоугольные, высоты проводим на продолжение АК.
∠В1РС1- угол между плоскостями АВС1 и АСВ1

АВ1=В1С=АС1=ВС1=2sqrt(2) - диагонали боковых граней призмы, квадратов.
Из равнобедренного треугольника АВ1С:
cos∠AB1C=3/4
sin∠AB1C=sqrt(7)/4
Из треугольника АВ1К по теореме косинусов
АК=2
S(Δ АВ1К)=(АВ1•В1К•sin∠AB1C)/2=sqrt(7)/2
S(Δ АВ1К)=AK•B1P/2 ⇒ B1P=sqrt(7)/2

Из равнобедренного треугольника
B1PC1 по теореме косинусов
(B1C1)^2=(B1P)^2+(C1P)^2-2•(B1P)•(C1P)•cos∠В1РС1
cos∠В1РС1=3/7
О т в е т. ∠В1РС1=arccos(3/7). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2+x > 0, 2+x≠1
{2-x > 0, 2-x≠1
или
{x > -2, x≠-1
{x < 2, x≠1
ОДЗ: х∈(-2;-1)U(-1;1)U(1;2)

Применяем формулу перехода к другому основанию.
(log_(3)(1/3)/log_(3)(2+x))+(log_(3)(3)/log_(3)(2-x))
меньше или равно 0.

1/log_(3)(2-x) меньше или равно 1/log_(3)(2+x);
или
log_(3)((2+x)/(2-x))/(log_(3)(2-x)•log_(3)(2+x))меньше или равно 0

Получаем совокупность двух систем
{log_(3)(2+x)/(2-х) больше или равно 0
{log_(3)(2+x)•log_(3)(2-x) < 0
или
{log_(3)(2+x)/(2-x) меньше или равно 0
{log)(3)(2+x)• log_(3)(2-x) > 0

Решаем первую систему
Она равносильна совокупности двух систем:
1)
{log_(3)(2+x)/(2-x) больше или равно 0
{log_(3)(2+x) > 0 ⇒ x > -1
{log_(3)(2-x) < 0 ⇒ x > 1
(2+x)/(2-x) больше или равно 1⇒ 2x/(2-x)больше или равно 1
____[0]__+__ (2) ___
решение 1)(1;2)
или
2)
{log_(3)(2+x)/(2-x) больше или равно 0
{log_(3)(2+x) < 0 ⇒ x < -1
{log_(3)(2-x) > 0 ⇒ x < 1
нет решений 2)
Решаем вторую систему, которая также равносильна совокупности двух систем.
3)
{log_(3)(2+x)/(2-x) меньше или равно 0
{log_(3)(2+x) > 0 ⇒ x > -1
{log_(3)(2-x) > 0 ⇒ x < 1
решение 3) (-1;0]
или
4)
{log_(3)(2+x)/(2-x) меньше или равно 0
{log_(3)(2+x) < 0 ⇒ x < -1
{log_(3)(2-x) < 0 ⇒ x > 1
нет решений 4)
Объединяя четыре ответа, с учетом ОДЗ
получаем ответ.
О т в е т. (-1;0]U(1;2)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1000-(450-350-50-50-50)=50
О т в е т. 50 рублей сдачи получит Антон

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:-24cosx+25 больше или равно 0 ⇒ -24cosx больше или равно -25 ⇒ cosx меньше или равно 25/24 - неравенство верно при любых х так как |cosx|меньше или равно 1
Возводим в квадрат при условии, что выражение справа тоже положительно.
Получаем систему:
{-24cosx+25 больше или равно 16cos^2x-24cosx+9
{4cosx-3 больше или равно 0

Возведение в квадрат - действие, которое может привести к появлению посторонних корней.
Так второе неравенство и показывает, что корень уравнения cosx=-1 - посторонний

ОДЗ: х- любое.
Возводим в пятую степень.
1-10х=10^5;
1-10^5=10x
x=-(10^5-1)/10=-(10^4-0,1)=-(10 000-0,1)=-9999,9
О т в е т. -9999,9

Пусть r- радиус окружности цилиндра, R- радиус окружности конуса. H- высота конуса
Из подобия прямоугольных треугольников с катетами r и (H/2) и катетами R и H
r:R=(Н/2):H=1:2⇒R=2r

v(цилиндра)=πr^2(H/2)=45⇒=πr^2H=90
V(конуса)=(1/3)πR^2H=
=(1/3)π(2r)^2H=(1/3)4πr^2H=(1/3)•4•90=360/3=120
О т в е т. 120

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проведем СМ⊥AB и PT⊥AB.
Δ APT и Δ АСМ подобны по двум углам(угол А-общий, второй прямой)
PT=2;АМ=2;СМ=5
AT:АМ=РТ:СМ
АТ=4/5=0,8

РК=5-0,8=4,2

S(трапеции АРКВ)=(PK+AB)•PT/2=(4,2+7)•2/2=11,2
О т в е т. 11,2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sqrt(–ctgx)•(2cos2x–cosx–1)=0
ОДЗ: -сtgx больше или равно 0
ctgx меньше или равно 0
х∈[(π/2)+πk;π+πk), k ∈ Z

Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0, а второй при этом не теряет смысла
1) sqrt(–ctgx)=0;
ctgx=0
х=(π/2)+πn, n∈ Z
2)2cos^2x–cosx–1=0 - квадратное уравнение
D=(-1)^2-4•2•(-1)=1+8=9
cosx=1 или сos =-1/2
x=2πm, m∈ Z или х=±(2π/3)+2πs, s∈ Z
Но x=2πm не входит в ОДЗ
х=-(2π/3)+2πs не входит в ОДЗ
О т в е т. а)(π/2)+πn, n∈ Z;(2π/3)+2πs, s∈ Z
б) Указанному промежутку принадлежат корни:
15π/2;(2π/3)+8π=26π/3; 17π/2. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2017 год: в июле начислены проценты 0,1S, общая сумма долга вместе с процентами 1,1S. C августа по декабрь выплатили 1,1S-0,7S=0,4S и на январь остался долг 0,7 S.

2018 год: в июле начислены проценты 0,1•0,7S, общая сумма долга вместе с процентами 1,1•0,7S=0,77S. C августа по декабрь выплатили 0,77S-0,4S=0,37S и на январь остался долг 0,4S.

2019 год: в июле начислены проценты 0,1•0,4S, общая сумма долга вместе с процентами 1,1•0,4S=0,44S. C августа по декабрь выплатили 0,44S-0,2S=0,24S и на январь остался долг 0,2 S.

2020 год: в июле начислены проценты 0,1•0,2S, общая сумма долга вместе с процентами 1,1•0,2S=0,22S. C августа по декабрь выплатили 0,2S и на январь остался долг 0.

ПО условию разность между наибольшей и наименьшей выплатами не будет превышать 2 млн. руб.

0,4S-0,22S меньше или равно 2 млн;
0,18S меньше или равно 2 млн;
S меньше или равно 11,111...
S=11 млн
О т в е т. 11 млн.

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(0))=k( касательной)=tg α

Если касательная образует с положительным направлением оси Ох угол 45°, tg45° =1⇒ k=1

Найдем сколько точек на графике производной имеют ординату равную 1. Проводим прямую у=1.
Она пересекает график производной в трех точках.
О т в е т. три точки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу перехода к другому основанию
log_(b)a=log_(c)a/log_(c)b

(log_(3)7/log_(3)9)· (log_(3)5/log_(3)7)· (log_(3)3/log_(3)5)=
=log_(3)3/log_(3)9=1/2

Ответ выбран лучшим

D(f)=(-бесконечность, + бесконечность)
f`(x)=(2x-7)·e^(0,5x)+(x^2-7x-4)·e^(0,5x)·(0,5x)`=
= e^(0,5x)·(2x-7+0,5x^2-3,5x-2)=
=e^(0,5x)·(0,5x^2-1,5x-9)
f`(x)=0
0,5x^2-1,5x-9=0
или
x^2-3x-18=0
D=9+72=81
x=(3-9)/2=-3 или х=(3+9)/2=6

__+__ (-3) __-__ (6) __+__

х=-3- точка максимума, производная меняет знак с + на -.
y(-3)=((-3)^2-7·(-3)-4)·e^(-1,5).
О т в е т. х=-3

Ответ выбран лучшим

3168
кратно трем, сумма цифр 3+1+6+8=18 кратна 3
кратно двум,
Число кратно 2 и 3, значит кратно 6.
Две последние цифры кратны четырем.
Число кратно 4 и 2, значит кратно 8.
О т в е т. 3168

Ответ выбран лучшим

1)Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.
4)Не найдётся 17 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.

Ответ выбран лучшим

V:v=R^3:r^3=6^3:1^3=216
О т в е т. 216

Ответ выбран лучшим

sin^2α+cos^2α=1
cos^2α=1-sin^2α=1-(6/sqrt(61))^2=1-(36/61)=(61-36)/61=25/61.
Так как 0 градусов < α < 90градусов, соsα=5/sqrt(61)
tgα=sinα/cosα=6/5=1,2
О т в е т. 1,2

Ответ выбран лучшим

a_(k+2) = 2a_(k+1)–a_(k)–1.
а) n=5
k ≤ n–2 ⇒ k ≤ 5-2 ⇒ k ≤ 3
k=1
a_(3) = 2a_(2)–a_(1)–1.
k=2
a_(4) = 2a_(3)–a_(2)–1=2•(2a_(2)–a_(1)–1)-a_(2)–1=
=4a_(2)-2a_(1)-2-a_(2)-1=3a_(2)-2a_(1)-3
k=3
a_(5) = 2a_(4)–a_(3)–1=2•(3a_(2)-2a_(1)-3)- (2a_(2)–a_(1)–1)-1=6a_(2)-4a_(1)-6-2a_(2)+a_(1)+1-1=
=4a_(2)-3a_(1)-6

a_(5)=4
значит
4a_(2)-3a_(1)-6=4
или
4a_(2)-3a_(1)=10
Равенство возможно при a_(1)=2; a_(2)=4
4a_(2)-3a_(1)=4•4-3•2=10
Тогда
а_(3)=5; а_(4)=5; а_(5)=4; а_(6)=2
Следующие члены последовательности отрицательные, не являются натуральными.
а) О т в е т. да.
б) Можно проследить закономерность и написать формулу общего члена этой последовательности.
a_(k+2) = (k+1)a_(2)–ka_(1)–(1+2+...k).

Два элемента могут быть равны.
Пусть
a_(1)=a_(2), тогда
a_(3)=a_(2)-1
a_(4)=a_(2)-3
a_(5)=a_(2)-6
как видим последовательность уменьшается и наступит такой момент, когда ее следующие элементы не будут
существовать, так как они отрицательны.
см. предыдущий пример.
a_(3)=a_(4)
но а_(6)- последний элемент последовательности.

в) Все элементы последовательнсти, начиная с первого и до последнего - трехзначные числа:
{100 ≤ a_(1) ≤999
{100 ≤ a_(2) ≤999
{100 ≤ a_(k+2) ≤999
Заменим a_(k+1) на (k+1)a_(2)–ka_(1)–(1+2+...k)

100≤(k+1)a_(2)–ka_(1)–(1+2+...k)≤999

1+2+...+k=(1+k)k/2

Пусть a_(1)=100 - наименьшее трехзначное число.
При a_(1)=997; a_(2)=998 получим
a_(44)=137
a_(45)=95 не трехзначное.
О т в е т. n=44

Ответ выбран лучшим

Вероятность такого события = 53%
Оно состоит из двух событий - более 5 = 0,92 и более 10 = 0,39
И вероятность в интервале ( от более 5, но менее 10) равна р а з н о с т и этих событий 0,92-0,39=0,53

О т в е т. От 5 до 10 лет вероятность работы 0,53

Ответ выбран лучшим

Это точка 8 целых 2/7. Она расположена между числами 8 и 9.

Ответ выбран лучшим

Пусть вклад Х.
По вкладу "Классика" за 4 года хранения вкладчик получит сумму, равную
(1,12)^4Х=1,5753X
По вкладу "Бонус"
(1+0,01n)^3•1,07Х.
По условию
(1+0,01n)^3•1,07Х > (1,12)^4Х
n > 13,78
О т в е т. n=14

Ответ выбран лучшим

Проводим FC ⊥ EF.
Треугольник EFC-прямоугольный, ∠СEF опирается на диаметр СЕ.
CЕ=8
По теореме Пифагора
СF^2=CE^2-FE^2=8^2-4^2=4sqrt(3)
По теореме о трех перпендикулярах СF1⊥EF
EF||E1F1.
значит, СF1⊥ E1F1

По теореме Пифагора
CF1^2=(FF1)^2+(CF)^2=2^2+48=52
СF1=2sqrt(13)
О т в е т. 2sqrt(13) (прикреплено изображение)

(4х+7)^2/(x-3) больше или равно (4х+7)^2/(x-3)(x-7);
(4х+7)^2/(x-3) больше или равно (4х+7)^2/(x-3)(x-7)больше или равно 0;
((4x+7)^2/(x-3)) * (1-(x-7)) больше или равно 0;
(4х+7)^2*(8-x)/(x-3)*(x-7) больше или равно 0;
(4x+7)^2*(x-8)/(x-3)(x-7) меньше или равно 0.

__-__ [-7/4] ___-___ (3) ____+____ (7) _-_ (8) __+_

О т в е т. (-бесконечность; 3) U (7;8)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х - любое, так как синус и косинус ограниченные функции и множество значений [-1;1]
sinx+sqrt(3)cosx+2016=2016
sinx+sqrt(3)cosx=0
Так как sinx или cosx не могут одновременно равняться 0, то делим на sinx≠0
sinx=-sqrt(3)cosx
tgx=-sqrt(3)
x=-(π/3)+πk, k-целое.
О т в е т.а) -(π/3)+πk, k-целое.
б)Указанному промежутку принадлежит два корня -(π/3) и (2π/3)
см. рисунок
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

tg(3π/8)·tg(π/8)=(sin(3π/8)·sin(π/8))/(cos(3π/8)·cos(π/8))=
=(1/2)(cos(2π/8)-cos(4π/8))/(1/2)(cos(4π/8)+cos(2π/8))
Так как cos(4π/8)=cos(π/2)=0,
cos(2π/8)=cos(π/4), то

tg(3π/8)·tg(π/8)+1=
=cos(π/4)/cos(π/4)+1=2
О т в е т. 2

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной:
f`(x_(0))=k(касательной)
По условию k=2.
Найдем точку х_(0).
f`(x)=2x-2
f`(x_(0))=2x_(0)-2
2x_(0)-2=2
x_(0)=2
Ордината точки касания на касательной y(2)=2•2+1=5
равна ординате точки касания на графике
f(2)=2^2-2•2-c=-с
-с=5
c=-5
О т в е т. с=-5

Ответ выбран лучшим

2018 год: в декабре начислены проценты 0,1S, в апреле выплачено 0,1 S,в мае долг остался равным S.

2019 год: в декабре начислены проценты 0,1S, в апреле выплачено 0,1 S,в мае долг остался равным S.

2020 год: в декабре начислены проценты 0,1S, в апреле выплачено 0,1 S,в мае долг остался равным S.

2021 год: в декабре начислены проценты 0,1S, в апреле выплачено Х ,в мае долг остался равным (1,1S-X).

2022 год: в декабре начислены проценты 0,1(1,1S-X), в апреле выплачено Х ,в мае долг остался равным 1,1(1,1S-X)-X=1,21S-2,1X.

2023 год: в декабре начислены проценты 0,1(1,21S-2,1X), в апреле выплачено Х ,в мае долг остался равным 1,1(1,21S-2,1X)-X=0
Откуда
1,331S-2,31X-X=0
X=1,331S/3,31

По условию общая сумма выплат не превысит 13 млн:
0,1S+0,1S+0,1S+X+X+X меньше или равно 13.
или
0,3S+3•(1,131S/3,31)меньше или равно 13.
S меньше или равно 8,630164477.
О т в е т. 8 млн.

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
sqrt(2x+1)=t,
возводим в квадрат
2х+1=t^2
x=(t^2-1)/2
dx=tdt
∫xdx/(sqrt(2x+1)+1)=∫(t^2-1)tdt/2(t+1)=
=(1/2)∫t(t+1)dt=(1/2)∫(t^2+t)dt=
=(1/2)((t^3/3)+(t^2/2))+C=
=(1/6)t^3+(1/4)t^2+C, где t=sqrt(2x+1)

Ответ выбран лучшим

8^(-1)=(1/8)
Разделить на 1/8 - значит умножить на 8
2,4·10^2·8=19,2·100=1920

Ответ выбран лучшим

Далее неправильная дробь.
t^3(1+t)/(1+t^2)=(t^4+t^3)/(t^2+1).
Выделяем целую часть, делим углом
=(t^2+t-1)+ ((-t+1)/(t^2+1))
Теперь сумма трех интегралов
1) ∫(t^2+t-1)dt=(t^3/3)+(t^2/2)-t
2)∫(-t/(t^2+1))dt=-1/2ln(t^2+1)
3) ∫(1/(t^2+1))dt=arctgt

Сумму на еще умножить на 4 и прибавить констату С:
=4(t^3/3)+4(t^2/2)-4t-2ln(t^2+1)+4 arctgt + С
где t=x^(1/4)

Ответ выбран лучшим

Дробь равна нулю, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0
{tgx-a=0
{2sinx-1≠0

tgx=a
x=arctga+πk, k∈ Z.

Теперь надо исключить те а, при которых sinx=1/2
значит cosx=sqrt(3)/2 или cosx=-sqrt(3)/2
При этом tgx=1/sqrt(3) или tgx =-1/sqrt(3)

О т в е т. При a≠±(1/sqrt(3)) x=arctga +πk, k∈ Z.
При a = ±(1/sqrt(3)) уравнение не имеет корней

Ответ выбран лучшим

То угол между векторами тупой.
Если скалярное произведение положительное, то острый, равно 0, то угол прямой.
Чтобы найти косинус этого угла надо скалярное произведение разделить на произведение длин векторов а и в.

Ответ выбран лучшим

Пирамида правильная, высота пирамиды проектируется в центр О.
Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников(см рисунок). Поэтому
AD=BE=CF=4
BТ=ТЕ=sqrt(3)
Из треугольника SDO по теореме Пифагора
SO^2=SD^2-OD^2=3^2-2^2=5
SO=sqrt(5)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Плоскость АЕС- плоскость основания ABCDEF.
Проводим МК||SO.
ВK- проекция ВМ на плоскость АВСDEF.
∠MBK- угол между прямой ВМ и плоскостью АЕС.
По теореме Фалеса
ОК:КD=1:2
ОD=2
Значит OK=(1/3)OD=2/3
Из подобия треугольников SOD и KMD
МK:SO=DM:SD
MK:sqrt(5)=2:3
MK=2sqrt(5)/3

По теореме Пифагора из треугольника ВТК:
ВК^2=BT^2+TK^2=(sqrt(3))^2+(5/3)^2=52/9
BK=2sqrt(13)/3
tg∠МВК=2sqrt(5)/3 :2sqrt(13)/3=sqrt(5/13)
О т в е т. arctg(sqrt(5/13)). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A|________|________________|B

Обозначим место встречи буквой М.

Пусть скорость мотоциклиста х км в час, скорость автомобилиста у км в час.
До встречи они ехали t часов.
Мотоциклист проехал путь АМ, равный xt км, автомобилист проехал путь ВМ, уt км.
После встречи
автомобилист проехал путь АМ, равный 0,5у км.
0,5у=хt
Мотоциклист проехал путь МВ, равны 2x км
2х=yt

Находим t
t=0,5y/x и t=2x/y
Приравниваем
0,5у/х=2х/у
y^2=4x^2
y=2x
Cкорость автомобилиста в два раза больше скорости мотоциклиста.
Значит на путь МА мотоциклист затратил времени в два раза больше, чем автомобилист. на путь АМ ( автомобилист затратил 0,5 часа) Поэтому мотоциклист затратил 1 час.
И 2 часа мотоциклист проезал от М до В
Всего 1 час + 2 часа=3 часа
О т в е т. 3 часа

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:х≠1
Совокупность двух систем:
{x^2-1,5x-1 > 0 D=2,25+4=6,25
{log_(sqrt(2))|x| < 0, 0=log_(sqrt(2))1
или
{x^2-1,5x-1 < 0
{log_(sqrt(2))|x| > 0, 0=log_(sqrt(2))1

{x ∈ (-бесконечность;-0,5)U(2;+бесконечность)
{x ∈ (-1;1)
или
{x∈ (-0,5;2)
{x ∈ (-бесконечность;-1)U(1;+бесконечность)

x∈(-1;-0,5)
или
х∈(1;2)

О т в е т. (-1;-0,5)U(1;2)

vector{AD}-vector{BD}=vector{AD}+vector{DB}=vector{AB}
|vector{AB}|=a, где а - сторона ромба
По теореме Пифагора
a^2=(AC/2)^2+(BD/2)^2=6^2+(2,5)^=36+6,25=42,25=6,5
О т в е т. |vector{AB}|=6,5

Ответ выбран лучшим

f`(x_(0))=k(касательной)
Угловой коэффициент прямой у=7х+а равен 7
Находим
f`(x)=4x^3+3
f`(x_(0))=4x^3_(0)+3
4x^3_(0)+3=7
x_(0)=1
f(1)=1^4+3=4
Уравнение касательной имеет вид
у-4=7(х-1)
у=7х-3
О т в е т. при а=-3

Ответ выбран лучшим

s(меньшего сечения)=16π.
πr^2=16π
r^2=16
r=4
r(меньшего сечения)=4
Из прямоугольного треугольного
R(большего сечения)=5
S(поверхности шара)=4πR^2=4π•5^2=4π•25=100π.
О т в е т. 100π. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x≠1
По формуле перехода к другому основанию
log_(1/3)t=-log_(3)t, t > 0.

Перепишем уравнение в виде:
log_(3)(x–1)^(36) - log_(3)(x–1)^(24) < 12;
log_(3)(x-1)^(12) < log_(3)3^(12)
Логарифмическая функция с основанием 3 > 1 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента
(x-1)^(12) < 3^(12)
|x-1| < 3
или
-3 < x-1 < 3
-2 < x < 4
C учетом ОДЗ, получаем ответ.
О т в е т. (-2;1)U(1;4).

Ответ выбран лучшим

АН=(AD-ВС)/2=(186-114)/2=72/2=36
сtg∠A=AH/BH=36/45=4/5=0,8
О т в е т. 0,8

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 2-х^2+2x > 0 D=4+8=12
x∈(1-sqrt(3);1+sqrt(3))
у`=(2-x^2+2x)`/ln9•(2-x^2+2x)
y`=0
(2-x^2+2x)`=0
-2x+2=0
x=1∈(1-sqrt(3);1+sqrt(3)) и является точкой максимума.
Производная при переходе через точку меняет знак с + на -.
у(1)=log_(9)3+4=(1/2)+4=4,5

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Пусть окружность с центром О касается прямой в точке А и R=OА=ОL=8. Окружность с центром P касается прямой в точке В и r= PВ=PL=2.
OP=10
В прямоугольной трапеции ОАВР находим высоту АВ:
АВ^2=10^2-(8-2)^2=10^2-6^2=8^2
AB=8.
а)
Проведем через точку L общую касательную к двум окружностям.
M- точка пересечения общей касательной с АВ.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки отрезки касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Значит АM=ML и ML=MB, тогда АM=MB.
LM - медиана ΔАВК и ML=АВ/2, значит ΔАВК прямоугольный (угол АКВ - прямой)
Следовательно, прямые АС и BD пересекаются под прямым углом, значит вписанные углы АLD и ВLС равны 90° и опираются на диаметры.
АD и ВС - это диаметры окружностей.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, тогда АD ⊥АВ, ВС⊥АВ АD || ВС
б) Диаметры АD=16, ВС=4
Прямоугольные ΔАLD и ΔСLВ подобны по острому углу (∠DАL=∠ВСL как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АD и ВС и секущей АС).
Значит АL/LС=DL/LВ=АD/ВС=16/4=4 ⇒DL=4LB
AL- высота прямоугольного треугольника DAB
AL^2=DL•LB
AL^2=4LB•LB ⇒ AL=2LB

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
ALB:
AL^2+LB^2=AB^2
4LB^2+LB^2=8^2
LB^2=64/5
S(Δ ALB)=AL•LB/2=2LB•LB/2=LB^2=64/5=12,8
О т в е т. S(Δ ALB)=12,8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x+y=sqrt(20) или х+у=-sqrt(20)- две параллельные между собой прямые, угол наклона к оси Ох 135 градусов.
х^2+y^2=R^2 - окружность с центром в точке (0;0).
Система будет иметь два решения, когда окружность будет касаться этих двух прямых.
Найдем радиус такой окружности из прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой sqrt(20).
R=sqrt(20)sin45 градусов=sqrt(10)
Найдем при каких а:
2(1+a^2)=(sqrt(10))^2
a^2=4
a=-2 или а=-2
О т в е т. а=-2 и а=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

3^(x-3)=3^4
x-3=4
x=7
О т в е т. х=7

Выносим за скобки 3 в меньшей степени.
3^(x-2)•(3^(x+1-(x-2))-4)=69
3^(x-2)•(3^(x+1-x+2)-4)=69
3^(x-2)•(3^3-4)=69
3^(x-2)•(27-4)=69
3^(x-2)•23=69
3^(x-2)=3
x-2=1
x=3
О т в е т. х=3

Ответ выбран лучшим

Пусть а - сторона правильного семиугольника.
Р=7а
20=7а
а=20/7
Правильный семиугольник состоит из семи равнобедренных треугольников, основание которого а=20/7, радиус вписанной окружности r=2
Найдем площадь каждого такого треугольника
s(Δ AOB)=a•r/2
S(cемиугольника)=7•s(Δ AOB)=7•a•r/2=P•r/2=20•2/2=20
О т в е т. S(cемиугольника)=20 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.Проведем BН ⊥ АС.
Так как треугольник АВС –равнобедренный, то высота ВН - медиана треугольника АВС.
НН1 ⊥ АВС ( призма правильная, значит боковые ребра перпендикулярны пл. основания, НН1 || АА1).
Значит ВH, перпендикулярная двум пересекающимся прямым АС и НН1 плоскости АА1С1С, перпендикулярна пл.АА1С1С ⇒
ВН⊥ пл. АА1С1С
Тогда отрезок А1Н – проекция прямой А1В на эту плоскость и искомый угол – угол ВА1Н.
tg(∠BA1H)= BН/А1H.

Из треугольника ВАН
ВН=АНtg∠A=3•(0,5)=1,5

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника А1АН (АА1=4,АН=3)
А1Н=5
tg(∠BA1H)=1,5)/5 = 15/50=3/10=0,3.

О т в е т. tg(∠BA1H)=0,3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x^2+6x–27=(x+9)(x–a)
x^2+6x-27=x^2+9x-ax-9a
9a-27=(3-a)x
9(a-3)=(3-a)x
При а=3 уравнение имеет вид
0=0х
х- любое число
Уравнение имеет бесчисленное множество решений
при а≠3
х=-9 - единственное решение

О т в е т. При а=3 уравнение имеет бесчисленное множество решений.
При а≠3
х=-9 - единственное решение.

Ответ выбран лучшим

cos(πx/3)=0,5.
(πx/3)=±arccos(0,5)+2πn, n ∈ Z.
(πx/3)=±(π/3)+2πn, n ∈ Z.
x/3=±(1/3)+2n, n ∈ Z.
х=±(1)+6n, n ∈ Z.
x=1 - наименьший положительный корень.

Ответ выбран лучшим

Замена переменной.
3^x=t > 0
3^(-x-2)=3^(-x)·3^(-2)=(1/9t).
Уравнение принимает вид:
t+(2/9t)=1
или
9t^2-9t+2=0
D=81-72=9
t=(9-3)/18=1/3 или t=(9+3)/18=2/3
3^x=1/3 или 3^x=2/3
3^x=3^(-1) или 3^x=3^(log_(3)(2/3))
х=-1 или х=log_(3)(2/3)

О т в е т. а) х=-1; х=log_(3)(2/3)

б) Логарифмическая функция с основанием 3 - возрастающая, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
2/3 > 1/3
Так как log_(3)(2/3) > log_(3)(1/3)=-1
Указанному промежутку принадлежит только х=-1.
О т в е т. б) х=-1

Неравенство меньше или равно состоит из двух частей
1) равенство 0.
Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла.
log_(x+5)2≠0
sqrt(25-x^2)=0 ⇒ 25-x^2=0 x=5 или х=-5
При х=-5 второй множитель не имеет смысла
При х=5 второй множитель существует. Это log_(10)2.

х=5 - решение неравенства
2) неравенства sqrt((25–x^2))log_(x+5)2 < 0
ОДЗ: {25-х^2 больше или равно 0
{x+5 > 0 ; x+5 ≠ 1

х∈(-5;-4)U(-4;5]

Так как арифметический квадратный корень есть число неотрицательное, то
log_(x+5)2 < 0
0=log_(x+5)1
Аргументы 2 > 1, значения логарифмической функции в этих точках имеют знак < , это означает, логарифмическая функция убывает и её основание 0 < (х+5) < 1
-5 < х < -4
C учетом ОДЗ
х∈(-5;-4)

Объединяем два ответа и получаем(-5;-4)U{5}
Если не рассматривать 2 случая можно потерять корень х=5
О т в е т. (-5;-4)U{5}

Ответ выбран лучшим

Пусть кредит равен А , p% – процентная ставка, n=40–срок, на который взят кредит.
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/40,
Выплаты процентов составят:
за первый месяц 0,01•p•А (проценты считаются со всей суммы)
Это наибольшая сумма процентов. И за первый месяц надо еще выплатить (А/40)
Общие выплаты за первый месяц составили
0,01pA+(A/40).
По условию задачи эта сумма в 25 раз меньше суммы взятого кредита.
0,01pA+(A/40)=A/25
0,01p=3/200
p=1,5
О т в е т. р=1,5

Ответ выбран лучшим

y`=(e^(4x)-5•e^(2x)+11)`=4e^(4x)-10e^(2x)
y`=0
e^(2x)•(2e^(2x)-5)=0
2e^(2x)-5=0
e^(2x)=5/2
2x=ln(5/2)
x=(1/2)•ln(5/2)∈[0; 2]
[0]___-____((1/2)•ln(5/2))____+______[2]
(1/2)ln(5/2) сравниваем с 1
(1/2)ln(5/2) и lne
ln(5/2) и 2 ln e=lne^2
(5/2) < e^2
Значит и
(1/2)ln(5/2) < lne
y`(1)=4e^(4)-10e^(2)=2e^2(2e^4-5) > 0

x=(1/2)ln(5/2)- точка минимума, производная меняет знак с - на +.

Напомним основное логарифмическое тождество a^(log_(b)a)=b
a > 0,b > 0, a≠1

Наименьшее значение при x=(1/2)ln(5/2) или
2х=ln(5/2)
y=e^(2ln(5/2))-5e^(ln(5/2))+11=

=e^(ln(5/4)^2)-5•(5/2)+11=(25/4)-(25/2)+11=

=-(25/4)+(44/4)=19/4.
О т в е т.4,75.

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что выбирают трехзначное число.
Всего трехзначных чисел 900 ( от 100 до 999).
n=999-99=900
Событие А - ''трехзначное число делится нацело на 195''.
Наступлению события А благоприятствуют исходы испытания:
195; 390; 585; 780; 975
m=5
По классической формуле вероятностей
р(А)=5/900=1/180=0,0055555...≈0,006
О т в е т. 0,006

Ответ выбран лучшим

1)
7–√24=7–2√6=1–2√6+6=(1–√6)^2=(√6–1)^2
√7–√24=sqrt((√6–1)^2)=|√6–1|=√6–1
7+√24=7+2√6=1+2√6+6=(1+√6)^2=(√6+1)^2
(7+√24)^(4/8)=sqrt((√6+1)^2)=|√6+1|=√6+1
О т в е т. √6–1–(√6+1)=–2

2)
ОДЗ:sinx больше или равно 0⇒ х в первой или во второй четверти.
Перенесем все слагаемые влево и приравняем к нулю.
Выносим за скобки корень четвертой степени из синуса х.
В скобках (4cos^2x-3)
Провизведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а второй при этом не теряет смысл.
sinx=0 x=πk, k- целое.
4 сos^x=3
cosx=sqrt(3)/2 или х=-sqrt(3)/2
х=(±π/6)+2πn, n- целое или х=(±5π/6)+2πm, m- целое
С учетом ОДЗ
х=(π/6)+2πn, n- целое или х=(5π/6)+2πm, m- целое

О т в е т. х=(π/6)+2πn, n- целое или х=(5π/6)+2πm, m- целое или x=πk, k- целое.

3)ОДЗ: х^2-6x больше или равно 0

Решаем первое уравнение.
3siny=1-2sin^2y+1
2sin^2y+3siny-2=0
siny=1/2
Тогда сosy=-sqrt(3)/2 или сosy=sqrt(3)/2
Второму уравнению системы удовлетворяет второе значение, арифметический квадратный корень равен положительному числу.
Значит, у в первой четверти.
Уравнение siny=1/2 при этих условиях
имеет корни
у=(π/6)+2πk, k- целое.Второе уравнение при этом принимает вид
sqrt(x^2-6x)=3sqrt(3)
Возводим в квадрат.
х^2-6x-27=0
D=36+108=144
x=-3 или х=9
Оба корня удовлетворяют условию х^2-6x больше или равно 0.
О т в е т. (-3; (π/6)+2πk, k- целое) или
(9; (π/6)+2πk, k- целое)

Ответ выбран лучшим

Чтобы найти линейный угол двугранного угла, надо провести перпендикуляры в каждой плоскости к общему ребру АВ.
Проводим СК⊥АВ.
Треугольник АВС - равносторонний, высота СК является одновременно и медианой и поэтому АК=КВ=sqrt(13)
CК=sqrt((2sqrt(13))^2-(sqrt(13))^2)=sqrt(39)
C_(1)K⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
СК- проекция С_(1)К.
∠С_(1)КС- линейный угол двугранного угла между плоскостью С_(1)АВ и плоскостью АВС.
Из прямоугольного треугольника АКС_(1):
С_(1)К=sqrt(13^2-(sqrt(13))^2)=sqrt(169-13)= sqrt(156)=2sqrt(39)

Из прямоугольного треугольника СКС_(1):
cos∠С_(1)КС=CK/C_(1)K=sqrt(39)/2sqrt(39)=1/2
∠С_(1)КС=arccos(1/2)=π/3.

О т в е т.π/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-3)^2 > 0 ⇒ x≠3
(x^2-9 > 0 ⇒ x < -3 или х > 3
ОДЗ: x∈(-∞;-3)U(3;+∞)

По формуле перехода к другому основанию:
log_(0,5)(x^2-9)=log_(2)(x^2-9)/log_(2)(0,5)=
=log_(2)(x^2-9)/log_(2)(1/2)=-log_(2)(x^2-9)
Неравенство принимает вид:
log_(2)(x-3)^2-log_(2)(x^2-9) < 1
или
log_(2)((x-3)^2/(x^2-9)) < log_(2)2
Так как основание логарифмической функции 2 > 1, логарифмическая функция возрастает. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(x-3)^2/(x^2-9) < 2;
(x-3)^2 < 2(x^2-9) Умножили на (x^2-9) > 0 ( см. ОДЗ)
х^2-6x+9 < 2x^2-18;
x^2 +6x-27 > 0
D=36+108=144
x=(-6-12)/2=-9 или х=(-6+12)/2=3
х∈(-бесконечность;-9)U(3;+бесконечность)
С учетом ОДЗ:
х∈(-бесконечность;-9)U(3;+бесконечность)
О т в е т. х∈(-бесконечность;-9)U(3;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

сtgx=cosx/sinx
Уравнение примет вид
(1/sin^2x)-1-(cosx/sinx)=0.
Приводим к общему знаменателю
(1-sin^2x-cosx•sinx)/sin^2x=0
Дробь равна 0 тогда и только тогда когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.
Система
{1-sin^2x-cosx•sinx=0
{sin^2x≠0

Так как 1-sin^2x=cos^2x, то первое уравнение перепишется так:
cos^2x-cosx•sinx=0
cosx(cosx-sinx)=0
cosx=0 или сosx-sinx=0
x=(π/2)+πk, k∈ Z или tg x=1
x=(π/4)+πn, n∈ Z
Учитывая sinx≠0 x≠πm, m∈ Z
получаем ответ.
О т в е т. x=(π/2)+πk, x=(π/4)+πn, k,n∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни:
х=-(π/2); х=(π/4); х=(π/2) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=(x^5-3x^3+4x)`=5x^4-9x^2+4
y`=0
5x^4-9x^2+4=0 - биквадратное уравнение
Замена переменной
х^2=t; x^4=t^2
5t^2-9t+4=0
D=(-9)^2-4•5•4=81-80=1
t=(9-1)/10=8/10=4/5 или t=(9+1)/10=1
x^2=4/5 или х^2=1
x=-2sqrt(5)/5≈-0,9 или х=2sqrt(5)/5≈0,9 или х=-1 или х=1
Указанному промежутку принадлежит одна точка
х=-1
Но она является крайней правой точкой.
y` > 0 на [-3;1], значит функция возрастает на [-3;-1]
Наибольшее значение функции в точке х=-1
у(-1)=(-1)^5-3•(-1)^3+4•(-1)=-2

Ответ выбран лучшим

sqrt(a^2-4a+4)+sqrt(a^2-10a+25)=
=sqrt((a-2)^2)+sqrt((a-5)^2)=
=|a-2|+|a-5|=a-2-(a-5)=3
так как при а∈ [3; 4] a-2 больше или равно 0
|a-2|=a-2
и
а-5 < 0
|a-5|=-(a-5)
О т в е т.3

Ответ выбран лучшим

Пусть ребро куба равно а. Поверхность куба- площадь четырех боковых граней( все являются квадратами) и двух оснований ( такие же квадраты)
S(поверхности)=6a^2
6a^2=242
a^2=242/6=121/3

d^2=a^2+a^2+a^2
d^2=3a^2
d^2=3•(121)/3=121
d=sqrt(121)=11

О т в е т. 11

Ответ выбран лучшим

Точки, в которых производная обращается в 0, являются точками возможного экстремума.
Это две точки.
Если при переходе через эти точки производная меняет знак, а это так:
при переходе через первую точку с - на +
при переходе через вторую точку с + на -
О т в е т. Две точки экстремума на (-4;5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

''Не более шести'' = ''меньше или равно 6''.
Сумма очков равна 3:
1+1+1
Сумма очков равна 4:
1+1+2 1+2+1 2+1+1
Сумма очков равна 5:
1+1+3 1+3+1 3+1+1
2+2+1 1+2+2 2+1+2
Сумма очков равна 6:
1+1+4 1+4+1 4+1+1
2+2+2
1+2+3 1+3+2
2+3+1 2+1+3
3+1+2 3+2+1
m=20

Ответ выбран лучшим

1)
Подбор при х=1
∛1=4-3•1
1=1- верно.
Но надо доказать, что других корней нет.
Для этого применяют свойства графиков.
См. рисунок. На графике одна функция монотонно возрастает, вторая монотонно убывает.
Такие функции имеют ровно одну точку пересечения.
Графический способ.
Строим график у=∛х и у=4-3х
Cм. рисунок
Графики пересекаются в единственной точке х=1.
Третий способ.
Возводим в куб
х=(4-3х)^3
x=64-3•16•3x+3•4•9x^2-27x^3
27x^3-108x^2+145x-64=0
При х=1
27-108+145-64=0
х=1 - корень.
Раскладываем на множители
(х-1)(27х^2-81x+64)=0
x-1=0 или 27х^2-81х+64=0
Второе уравнение не имеет корней, так как
D=81^2-4•27•64 < 0
О т в е т. х=1
2) ∛243:∛9=∛(243/9)=∛27=3
sqrt(121)=11
О т в е т. 3-11=-8
3) 40+6х-x^2=-(x^2-6x+9-9)+40=49-(x-3)^2
Квадратичная функция принимает наибольшее значение при х=3
Это значение равно 49.
Наибольшее значение у=sqrt(40+6х-x^2) при х=3 равно 7 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(25cos^2x–29+40sinx)/(36–25sin^2x+30cosx)=6.

Так как
cos^2x=1-sin^2x, а sin^2x=1-cos^2x,
перепишем равенство в виде

(-25sin^2x+40sinx-4)/(25cos^2x+30cosx+11)=6

25cos^2x+30cosx+11 > 0 при любом х
D=900-4•25•11 < 0
Запишем равенство в виде
-25sin^2x+40sinx-4=6(25cos^2x+30cosx+11)
Замена переменной
u=sinx
v=cosx
Тогда
-25u^2+40u-4=6(25v^2+30v+11)
u^2+v^2=1

-(5u-4)^2+12=6(5v+3)^2+12
или
(5u-4)^2+6(5v+3)^2=0
Сумма двух положительных чисел равна 0 тогда и только тогда когда каждое 0.
u=4/5 v=-3/5 и u^2+v^2=1
sinx=4/5
3sinx=12/5=2,4
О т в е т. 3sinx=2,4

Ответ выбран лучшим

tg(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)
lim_(x→ 0) sin(x/2)/(x/2)=1 - первый замечательный предел.
lim_(x→ 0) sin^2(x/2)/(x/2)^2=1
lim_(x→ 0)(1/ cos(x/2))=1/1=1

Умножим в знаменателе на 4 и разделим, чтобы выделить аргумент (х^2/4)
lim_(x→ 0) (5tg^2(x/2)) / 4(x^2/4)=
=lim_(x→ 0) (sin^2(x/2)) / (x^2/4)·lim_(x→ 0) (5 / (4cos^2(x/2))=5/4

Можно применять таблицу эквивалентности
(tg(x/2))~ (x/2) при x→ 0
Тогда
lim_(x→ 0) (5tg^2(x/2)) / (x^2)=
lim_(x→ 0) (5(x/2)^2) / (x^2)=5/4
О т в е т. 5/4

Ответ выбран лучшим

Находим координаты векторов
vector{АВ}=(4-1;7-3)=(3;4)
vector{CD}=(7-(-1);5-(-1))=(8;6)
|vector{АВ}|=sqrt(3^2+4^2)=5
|vector{CD}|=sqrt(8^2+6^2)=10
vector{АВ}•vector{CD}=3•8+4•6=24+24=48
cos(vector{АВ},vector{CD})=
=vector{АВ}•vector{CD}/|vector{АВ}|•|vector{CD}|=
=48/5•10=48/50=24/25
О т в е т. arccos(24/25)

Ответ выбран лучшим

Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое их этих чисел
Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел.

Наименьший общий делитель у всех один- это число 1.

1)НОД:(27,81,54)=9 НОК(27,81,54)=162
Д(27):1,3,9,27
Д(81):1,3,9,27,81
Д(54):1,2,3,6,9,18,27,54

Чтобы найти НОК раскладываем каждое число на простейшие множители.

2)
НОД:(32,48,102)=2 НОК(32,48,102)=1632
Д(32):1,2,4,8,16,32
Д(48):1,2,3,4,6,8,12,18,24,48
Д(102):1,2,3,6,17,34,51,102

3)НОД:(50,75,250)=25 НОК(50,75,250)=750
Д(25):1,5,25
Д(50):1,2,5,25,10,50
Д(75):1,3,5,15,25,75

4)НОД:(44,110,154)=11 НOK(44,110,154)=1540
Д(44):1,2,4,11,22,44
Д(110):1,2,5,11,55,110
Д(154):1,2,7,11,77,154

5)НОД:(38,95,190)=19 НОК:(38,95,190)=190
Д(38):1,2,19,38
Д(95):1,5,19,95
Д(190):1,2,5,19,95,190

6)НОД:(46,92,115)=23 НОК(46,92,115)=460
Д(46):1,2,23,46
Д(92):1,2,4,23,46,92
Д(115):1,5,23,115

Ответ выбран лучшим

x·(x+3)^2=-a.
Строим график у=х(х+3)^2
y`=(x^3+6x^2+9x)=3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)
y`=0
x^2+4x+3=0 D=16-12=4 корни -3 и -1
Знак производной
(-бесконечность; -3)U(-1;+бесконечность) производная положительна, функция возрастает.
На (-3;-1) отрицательная, функция убывает.
х=-3 - точка максимума. у(-3)=0
х=-1- точка минимума y(-1)=-4

График функции справа у=-а - прямая, параллельная оси Ох.
См. рисунок. Такая прямая пересекается с графиком у=х(х+3)^2 в трех точках, если
-4 < -а < 0 ⇒ 0 < a < 4.
О т в е т. 0 < a < 4 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

М(х;у) - точка принадлежащая этому множеству.
1) Находим расстояние МА
МА=sqrt((x+2)^2+(y-3)^2)
Расстояние от точки М до прямой х=4
|x-4|.
По условию расстояния равны. Составляем равенство.
sqrt((x+2)^2+(y-3)^2)=|x-4|.
Возводим в квадрат.
(х+2)^2+(y-3)^2=(x-4)^2
(y-3)^2=(x-4)^2-(x+2)^2
12x=-(y-3)^2 -12 - парабола.
2)Находим расстояние МА
МА=sqrt((x+3)^2+(y-4)^2)
Расстояние от точки М до прямой у=-2
|у+2|.
По условию расстояния равны. Составляем равенство.
sqrt((x+3)^2+(y-4)^2)=|у+2|.
Возводим в квадрат.
(х+3)^2+(y-4)^2=(у+2)^2
(х+3)^2=(у+2)^2-(у-4)^2
12у=(х+3)^2+12 - парабола

Ответ выбран лучшим

В уравнении два модуля, каждый раскрывается двумя способами. Надо рассмотреть 4 случая:
1) оба подмодульных выражения положительны
2) оба подмодульных выражения отрицательны
3) первое подмодульное выражение положительно, второе отрицательно
4) первое подмодульное выражение отрицательно, второе положительно.

Одна из четырех систем не будет иметь решения. А именно та, при которой 1-2х < 0 а 2-5х > 0
Так как множества x > 1/2 и х < 2/5 не пересекаются

Поэтому рассматривают сразу только три случая.
Для этого применяют метод интервалов.
Подмодульные выражения 1-2х и 2-5х обращаются в 0 в точках х=1/2 и х=2/5
Эти точки разбивают числовую прямую на 3 промежутка.
Раскрываем знак модуля на каждом
1) x меньше или равно 2/5
|1-2х|=1-2x и |2-5x|=2-5x ( при х=0 устно считаем, что первое выражение равно 1, второе 2, оба подмодульных выражения положительны, значит и на всем промежутке положительны)
Уравнение принимает вид:
1-2х=4х-(2-5х)
1-2х=4х-2+5х
-7х=-3
х=3/7
3/7 > 2/5 так как 15/35 > 14/35
Уравнение не имеет корней.
2)2/5 < x меньше или равно 1/2
|1-2x|=1-2x
|2-5x|=-2+5x
Уравнение
1-2х=4х-(-2+5х)
1-2х=4х+2-5х
-х=1
х=-1
-1 не принадлежит интервалу (2/5; 1/2)
нет корней
3) х > 1/2
|1-2x|=-1+2x
|2-5x|=-2+5x
-1+2x=4x-(-2+5x)
-1+2x=4x+2-5x
3x=3
x=1
1 > 1/2
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

а^(1/12)a^(1/24):a^(1целая 1/8)=a^((1/12)+(1/24)-(9/8))=
=a^((3/24)-(27/24))=a^(-1)=1/a
при а=0,25=1/4
1/(1/4)=4
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

7-sqrt(24)=7-2sqrt(6)=1-2sqrt(6)+6=(1-sqrt(6))^2=(sqrt(6)-1)^2
sqrt(7-sqrt(24))=sqrt((sqrt(6)-1)^2)=|sqrt(6)-1|=sqrt(6)-1
7+sqrt(24)=7+2sqrt(6)=1+2sqrt(6)+6=(1+sqrt(6))^2=(sqrt(6)+1)^2
(7+sqrt(24))^(4/8)=sqrt((sqrt(6)+1)^2)=|sqrt(6)+1|=sqrt(6)+1
О т в е т. sqrt(6)-1-(sqrt(6)+1)=-2

Ответ выбран лучшим

Пусть АВ=с; BC=a; AC=b
Окружность ω является вневписанной окружностью.
Поэтому при решении задачи нужны некоторые свойства этой окружности.
Центр О этой окружности - точка пересечения биссектрис внешних углов B и С треугольника АВС.
По свойству касательной к окружности
ВТ=ВМ; СМ=CF; AT=AF
и AL=AD; BL=BK; CK=CD
Р( Δ АВС)=a+b+c= AB+BM+MC+AC= AB+BT+AC+CF=AT+AF=2AF⇒
AF=AT=P/2=p
Тогда BT=BM=p-c; CM=CF=p-b
AL=AD=p-a, так как
AL+LB+BK+KC+CD+AD=P, то
AL+AD+(BK+BK+KC+KC)=P;
2AL+2a=P ⇒ AL=p-a

Тогда ВК=ВL=AB-AL=c-(p-a)=a+c-p и
СM=BC-BM=a-BT=a-(p-c)=a+c-p
Откуда ВК=СМ.
Можно найти
КМ=BM-BK=BT-BK=(p-c)-(a+c-p)=2p-2c-a=b-c.
Известна формула нахождения радиуса вневписанной окружности ( находится методом площадей)
OT=OM=OF=S(Δ АВС)/(p-a)

OE=S/p

S(Δ АВС)=sqrt(7,5•(7,5-6)•(7,5-5)•(7,5-4))=
=15sqrt(7)/4

OT=OM=OF=(15sqrt(7)/4):(7,5-6)=5sqrt(7)/4

OE=OK=OD=(15sqrt(7)/4):7,5=sqrt(7)/2

S(OKEM)= S(Δ EKM) + S(ΔKMO)= (KM•EK/2)+(KM•OK/2)=
=(KM/2)•(EK+OK)=((5-4)/2)(5sqrt(7)/2+sqrt(7)/2)=
=3sqrt(7)/2.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) (7/17)x–2=7целых3/7;
(7/17)x=(7 целых3/7)+2;
(7/17)x=9 целых3/7;
х=(9 целых 3/7):(7/17);
х=(66/7)•(17/7);
х=1122/49;
х=2 целых 44/49.
О т в е т. 2 целых 44/49.
2)(x–6)^2=–24x;
x^2-12x+36=-24x;
x^2+12x+36=0;
(x+6)^2=0;
x+6=0
x=-6
3)
Cпособ подстановки
{5x–y=7
{3x+7y=15

{y=5x-7
{3x+7(5x-7)=15

{y=5x-7
{3x+35x-49=15

{y=5x-7
{38x=64

{y=5x-7
{x=32/19

{у=5•(32/19)-(153/19)
{x=1 целая 13/19

{у=7/19
{x=1 целая 13/19

Способ сложения умножаем первое уравнение на 7
{35х-7у=49
{3x+7y=15
Складываем
38х=64

х=1 целая 13/19

О т в е т.( 1 целая 13/19; 7/19)
4)log_(5)(5–x)=log_(5) 3
5-х=3
-х=3-5
x=2
Проверка
log_(5)(5–2)=log_(5)3
О т в е т. х=2

Ответ выбран лучшим

{x(x-1)y(y-1)=72
{(x+1)(y+1)

{xy(xy-x-y+1)=72
{xy+x+y+1=20

замена переменных
хy=u
x+y=v

{u(u-v+1)=72
{u+v+1=20

Выражаем v=20-u-1 и подставляем в первое уравнение

u(u-(20-u-1)+1)=72
u(2u-18)=72
u(u-9)=36
u^2-9u-36=0
D=81+144=225
u=12 или u=-3
тогда
v=7 или v=22

Обратная замена
xy=12
x+y=7

xy=-3
x+y=22

Решаем каждую систему способом подстановки
y=7-x
x(7-x)=12
x^2-7x+12=0
D=49-48=1
корни х=4 или х=3
у=7-4=3 или y=7-3=4

у=22-х
х(22-х)=-3
х^2-22x-7=0
D=484+28=512.
Число 456 -иррациональное, корни иррациональные.
О т в е т. Уравнение имеет два решения (3;4) и (4;3), такие, что х и у - натуральные, а значит, целые и значит рациональные.

Ответ выбран лучшим

Каждое уравнение задает окружность.
Первое уравнение задает окружность с центром в точке
(x1,y1) r=1
Второе уравнение задает окружность с центром в точке
(x2,y2) R=2
Так как про центры ничего не известно, то ситуация обычная.
Две окружности могут пересекаться в двух точках; касаться в одной точке и не пересекаться.
О т в е т. два, одно и ни одного решения.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x_(0))=k(касательной)=tgα.
Проведем касательные к кривой в данных точках.

В точке х=-1 касательная параллельна оси Ох.
k(касательной)=0 tgα=0 α=0.

В точке х=2 касательная образует острый угол с [b]положительным[/b] направлением оси Ох. k > 0
Значит значение производной положительно.

В точках х=-3 и х=3 касательные образуют тупой угол с [b]положительным[/b] направлением оси Ох.
Их угловые коэффициенты отрицательны.
Функция у=tgt на (π/2; π) возрастает. большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Угол в точке х=3 больше, его тангенс больше, значит и производная в точке больше.
Наименьшее значение производной в точке х=-3

О т в е т. х=-3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1,6(5x–1)= 1,8x–4,7;
1,6•5х - 1,6•1 = 1,8х-4,7;
9х-1,6 = 1,8х-4,7;
9х-1,8х = -4,7+1,6
7,2х=-3,1
х=-0,5
О т в е т. -0,5

Ответ выбран лучшим

DE ⊥ АВ и АС⊥ АВ ⇒ DE || AC
∠ECF=∠BED- соответственные углы при параллельных прямых DE и AC и секущей СВ.
EF ⊥ АC и АB⊥ АC ⇒ EF || AB
∠CEF=∠EBD- соответственные углы при параллельных прямых EF и AB и секущей СВ.
Треугольники BDE и EFC подобны по двум углам.

б) Пусть AF=AD=ED=EF=x
Тогда BD=3-х; CF=5-x
Из подобия
ED:CF=BD:EF
x:(5-x)=(3-x):x
Основное свойство пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению средних
х^2=(5-x)(3-x)
x^2=15-3x-5x+x^2
8x=15
x=15/8

CF=5-(15/8)=25/8

S(Δ CEF)=CF•EF/2=(1/2)•(25/8)•(15/8)=375/128

S(квадрата)=(15/8)^2=225/64

S(Δ CEF): S(квадрата)=(375/128):(225/64)=

=(375/128) • (64/225)=15/18=5/6

О т в е т. 5/6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.Проведем АН ⊥ ВС.
Так как треугольник АВС -равносторонний, то АН -высота и медиана треугольника АВС.
НН_(1) ⊥ АВС ( призма правильная, значит боковые ребра перпендикулярны пл. основания, НН_(1) || BB_(1)).
Значит AH, перпендикулярная двум пересекающимся прямым ВС и НН1 плоскости ВВ1С1С, перпендикулярна пл.ВВ1С1С ⇒
АН⊥ пл. ВВ1С1С
Тогда отрезок С1Н - проекция прямой АС1 на эту плоскость и искомый угол - угол АС1Н.
сos(∠AC1H)= С1Н/АС1.
По теореме Пифагора диагональ боковой граний АС1=√2 и из прямоугольного треугольника С1СН (СС1=1,СН=1/2)по теореме Пифагора С1Н=√5/2
сos(∠AC1H)=(√5/2)/√2 = √10/4.
Ответ:сos(∠AC1H)=√10/4. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Достраиваем до прямоугольника с размерами 8 и 5
Из площади прямоугольника вычитаем площади прямоугольника с размерами 4 и 2 и площади четырех прямоугольных треугольников (половина произведения катетов) и треугольника с основанием 4 и высотой 1( по формуле половина произведения основания на высоту)
S=8•5-(4•2+(3•3/2)+(2•2/2)+(2•2/2)+(5•3/2)+(4•1/2))=
=40-(8+4,5+2+2+7,5+2)=
=40-26=14
О т в е т. 14 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: x > 0

(√x)^(–2)=1/(√x)^2=1/x при х > 0

3^(x^2–3)• (3^2+3+1)/x ≤ 39/27x;
3^(x^2–3)/x ≤ 3/(27x);
Так как х > 0, то
3^(x^2–3)≤ 1/9;
3^(x^2–3)≤ 3^(–2);
x^2–3 ≤ –2;
x^2–1 ≤ 0;
(x–1)(x+1)≤ 0;
x∈[–1;1]
C учетом ОДЗ
О т в е т. x∈(0;1]

Ответ выбран лучшим

Рассуждаем логически и применяем метод перебора.
а)Сумма длин палочек 2+3+4+5+6=20.
Значит периметр треугольника 20.
Возможны варианты:
одна сторона 2; две другие 9
одна сторона 4; две другие 8
одна сторона 6; две другие 7
одна сторона 8; две другие 6

Других вариантов нет ( треугольник 10; 5 и 5 - вырождается в отрезок).

Теперь проверяем как получить такие стороны, используя имеющиеся палочки
2; 9=4+5; 9=3+6
4; 8=3+5; 8=2+6
6; 7=2+5; 7=3+4
8=3+5; 6; 6=2+4
О т в е т. да, 4 варианта равнобедренных треугольников.

б) По теореме, обратной теореме Пифагора,
если
a^2+b^2=c^2, то треугольник АВС - прямоугольный.

Треугольники со сторонами
2; 3; 4+5+6
2; 4; 3+5+6
2; 5; 3+4+6
2; 6; 3+4+5
не существуют.
Не выполняется неравенство треугольника.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
Стороны больше, чем 10 быть не может
Проследив за квадратами,
2^2=4
3^2=9
4^2=16
5^2=25
6^2=36
7^2=49
8^2=64
9^2=81
Только 3^2+4^2=5^2 но при этом не все палочки использованы.
О т в е т. Нет.

в) S=sqrt(p•(p-a)(p-b)(p-c)
p=10
Наименьшее значение S при наименьшем значении произведения
10•(10-a)(10-b)(10-c)
Ясно, что каждая сторона меньше 10

при a=b=9; c=2 произведение
10•(10-9)•(10-9)•(10-2)=80 - наименьшее значение
при a=9;b=8; c=3 произведение
10•(10-9)•(10-8)•(10-3)=140
произведение увеличивается
при a=9;b=7; c=4 произведение
10•(10-9)•(10-7)•(10-4)=180
произведение увеличивается.

О т в е т. Равнобедренный треугольник 2;9;9 имеет наименьшую площадь.

Ответ выбран лучшим

Вневписанная окружность - окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Центр этой окружности - точка пересечения биссектрис внешних углов.
При этом треугольник - произвольный.
В условии задачи речь идет об основании и боковой стороне. Значит, треугольник АВС - равнобедренный.
АВ=ВС.
Тогда высота ВН- равнобедренного треугольника АВС является и биссектрисой угла В, поэтому биссектрисы смежных углов ОВ и ВН - взаимно перпендикулярны.
Четырехугольник ОМВН - прямоугольник.
ВН=ОМ

б) Радиус окружности равен 4, значит по доказанному в а) ВН=4
и по условию АС·АВ = 30.
Так как треугольник АВС - равнобедренный,
АС=2АН.
Тогда условие принимает вид:
АС·АВ=АB·2АН;
АB·2АН=30;
АB·АН=15 ⇒ АB=15/AH.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВН:
АВ^2=АН^2+ВН^2
(15/AH)^2=AH^2+4^2
Биквадратное уравнение
АН^4+16AH^2-225=0
D=16^2+4·225=256+900=1156=34^2
AH^2=(-16+34)/2=9
AH=3
S(Δ АВС)=АС·ВН/2=(AC/2)·ВН=AH·ВН=3·4=12
О т в е т. 12 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

События "лампа перегорит" и "лампа не перегорит"- противоположные.
По условию вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8.
р=0,8

Найдем вероятность противоположного события
В-" все три лампы перегорят"
р(В)=0,8•0,8•0,8=0,512
р(А)=1-р(В)=1-0,512=0,488
О т в е т. 0,488.

Ответ выбран лучшим

О- точка пересечения диагоналей квадрата АВСD.
ОО_(1)||AA_(1).
К- точка пересечения OO_(1) c СА_(1).
ОК- средняя линия треугольника АА_(1)С
ОК=1/2
Проводим ОМ⊥AD.
Треугольник AOD - равнобедренный. ОМ - высота и медиана.
ОМ=1/2
АМ=MD.
Тогда МК⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.
Докажем, что МК⊥СА_(1).

Так как АМ=МD и АА_(1)=СD, то прямоугольные треугольники АА_(1)М и МDC равны по двум катетам.
А_(1)М=МС.
Значит треугольник А_(1)МС - равнобедренный и МК медиана, а значит и высота.
МК⊥СА_(1).

Из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора
МК^2= МО^2+OK^2
MK^2=(1/2)^2+(1/2)^2
Mk^2=1/2
MK=sqrt(2)/2
О т в е т. sqrt(2)/2. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Строим график у=|5/x -3| на (0;+ бесконечность)

y=2ax-2 - задает прямую. При a=0 прямая y=-2 параллельна оси Ох и не имеет общих точек с графиком.

Исключим те значения параметра а, при которых прямая имеет более одной точки пересечения с графиком.

Одна такая прямая проходит через точку (5/3) на оси Ох
Подставляем координаты это точки в уравнение прямой и находим граничное значение а.
0=2а•(5/3)-2 ⇒ а=0,6
Прямые имеющие коэффициент а несколько больше чем 0,6 будут иметь две точки пересечения с графиком.
До какого значения а это будет продолжаться?
Найдем это граничное значение а, при котором прямая у=2ах-2 является касательной к кривой у=(-5/х)+3.

Напишем уравнение касательной к кривой у=(-5/x+3), в точке х_(0)=c, которая проходит через точку (0;-2)
f`(x)=5/x^2
f`(c))=5/c^2

y-((-5/c) +3)=(5/c^2)•(x-c)
Так как точка (0;-2) принадлежит касательной
-2+(5/с)-3=(5/с^2)•(-c)⇒ c=2

f(2)=(-5/2)+3=1/2

Прямая у=2ax-2 проходит через точку (2;1/2)
найдем при каком а

1/2=2a•2-2
a=0,625

О т в е т. а∈(0;0,6)U(0,625;+бесконечность) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(4b)^3:b^9•b^5
Действия умножения и деления выполняются по порядку
(4b)^3=4^3b^3=64b^3
64b^3:b^9=64b^(3-9)=64b^(-6)
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитают
64b^(-6)•b^5=64b^(-6+5)=64b^(-1)=64/b
При b=128
64/b=64/128=1/2

Ответ выбран лучшим

Так как sin^2x+cos^2x=1, то sin^2x=1-cos^2x
Уравнение примет вид:
2(1-cos^2x)+cos^2x-2=0
cos^2x=0
cosx=0
x=π/2+ πk, k ∈Z

Указанному промежутку принадлежит корень х=-π/2.
О т в е т. х=-π/2

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{x-3 > 0
{5-x > 0
{x > 0; x≠1
{log_(x^2)(5-x)-1≠0

x∈(3;5)

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
Получаем две системы
1){log_x(x-3) больше или равно 0
{log_(x^2)(5-x)-1 > 0
2){log_x(x-3) меньше или равно 0
{log_(x^2)(5-x)-1 < 0
Решаем первую систему.
Так как согласно ОДЗ х∈(3;5), логарифмическая
функция возрастающая и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
{x-3≥1
{5-x > x^2

{x≥4
{x^2+x-5 < 0 D=1+20=21
корни (-1±sqrt(21))/2
система не имеет решений. (-1+sqrt(21))/2 < 4

Решаем вторую систему

{x-3≤1
{5-x < x^2

{x≤4
{x^2+x-5 > 0 D=1+20=21
корни (-1±sqrt(21))/2
x∈ (-∞;-1-sqrt(21))/2)U(-1+sqrt(21))/2;4]
C учетом ОДЗ получаем ответ.
х∈(3;4]
О т в е т. (3;4]

Ответ выбран лучшим

tgx=sinx/cosx; x≠ (π/2)+ πk, k ∈ Z
ctgx=cosx/sinx; x≠ πn, n ∈ Z

(sin^2x+cos^x)/(sinxcosx)=2

Так как sin^2x+cos^x=1, то
1/(sinxcosx)=2
или
sinxcosx=1/2
Применяем формулу синуса двойного угла:
sin2x=2sinxcosx
Уравнение принимает вид
sin2x=1
2x=(π/2)+2πm, m∈Z
x=( π/4)+πm, m∈Z
а) О т в е т. x=(π/4)+πm, m∈Z
б) Указанному промежутку принадлежат
корни 5π/4 и 9π/4.
см рисунок.
О т в е т. б) 5π/4 и 9π/4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y`=27-13cosx > 0 при любом х, так как
-1 ≤cosx≤1
Значит функция монотонно возрастает
Наибольшее значение при х=0
у=11
О т в е т. 11 при х=0

Ответ выбран лучшим

Пусть через t часов пешеходы встретятся.
3,5t км пройдет за t часов первый
4,5t км пройдет за t часов второй.
Вместе они пройдут 20 км.
Уравнение:
3,5t+4,5t=20
8t=20
t=2,5 часа
О т в е т. Через 2,5 часа пешеходы встретятся

Ответ выбран лучшим

Испытание состоит в том, что при бросании первой кости может выпасть любое из 6 чисел и при бросании второй кости любое из шести чисел. Всего 36 способов.
n=36
Событие А состоит в том, что выпадает число очков, в сумме равное 4.
Этому событию благоприятствуют случаи
1;3
2;2
3;1
Всего три случая. m=3
По классической формуле вероятностей
р(A)=m/n=3/36=1/12=0,08333...≈0,08

Ответ выбран лучшим

R=ВК
ВК=sqrt((2-(-7))^2+(-5-3)^2)=sqrt(145)

Уравнение окружности с центром в точке (а;b) и радиусом R имеет вид:
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

(х-(-7))^2+(y-3)^2=145
(х+7)^2+(y-3)^2=145
О т в е т.(х+7)^2+(y-3)^2=145

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{2cos^2x-cosx≥0;
{sinx > 0
2cos^2x-cosx≥0;
сosx(2cosx-1)≥0 ⇔
1){cos x≥0
{cosx ≥1/2
2) {cosx≤0
{cosx≤1/2
sinx > 0 - х в 1 или 2 четверти.
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.
Квадратный корень равен 0, значит подкоренное выражение равно 0
{2cos^2x-cosx=0
{sinx≠0

Решаем первое уравнение.
cox(2cosx-1)=0
cosx=0 или 2 сosx - 1 =0
x=(π/2)+πk, k∈Z или cosx=1/2
x=±(π/3)+2πn, n∈Z.

Надо оставить только те корни, которые удовлетворяют ОДЗ.
См. рисунок.

О т в е т. (π/2)+2πk и (π/3)+2πn, k,n ∈Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin^2x+cos^2x=1
Поэтому уравнение не имеет корней
1-2=0 - неверное равенство

Ответ выбран лучшим

Первое слагаемое первого уравнения - расстояние от точки М(х;у) до точки А(3;2)
Второе слагаемое первого уравнения- расстояние от точки М(х;у) до точки В(6;2)
Первое уравнение означает, что сумма расстояний от точки М до точки А и от точки М до точки В равна 3.
Найдем расстояние АВ=sqrt((6-3)^2+(2-2)^2)=3.
Это означает, что точка М лежит на отрезке АВ, причем именно внутри отрезка АВ(если вне отрезка, то сумма расстояний больше 3).
Второе уравнение представляет из себя окружность с центром в точке С(a; 8-2a) и радиусом r^2=a-3.

Система имеет ровно одно решение, если окружность пересекается с отрезком АВ в одной точке.

Это означает, что СА≤r≤CВ
или
CA^2≤r^2≤СВ^2.
Система:
{(a-3)^2+(8-2a-2)^2≤a-3;
{(a-6)^2+(8-2a-2)^2≥a-3.

{5a^2-31a+48≤0;
{5a^2-37a+75≥0

5a^2-31a+48=0
D=(-31)^2-4•5•48=961-960=1
a_(1)=3 a_(2)=3,2
3≤а≤3,2
5a^2-37a+75=0
D=(-37)^2-4•5•75=1396-1500 < 0
5a^2-37a+75≥ при любом а.
О т в е т. [3;3,2]

Ответ выбран лучшим

Диаметр, перпендикулярный к хорде делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
СН=НD
Обозначим
СН=НD=x
По свойству отрезков в окружности:
АН•НВ=СН•НD
9,6•5,4=x^2
x=7,2
CD=2x=14,4
О т в е т. СD=14,4

Ответ выбран лучшим

Проведем высоту СК.
Обозначим АК=х
КВ=25-х
Прямоугольные треугольники АВС и СВК подобны по двум углам: один угол прямой и угол В- общий.
Из подобия
АВ:СВ=СВ:КВ
25:10=10:25-х
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
25(25-х)=100
625-25х=100
25х=525
х=21
О т в е т. 21
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть через t часов расстояние между автомобилями будет наименьшим.
Тогда первый проедет 80t км и окажется на расстоянии
|100-80t| км от перекрестка, второй проедет 60е км и окажется на расстоянии |100-60t| км от перекрестка.
По теореме Пифагора
d(t)=sqrt((100-80t)^2+(100-60t)^2)
Исследуем функцию на экстремум.
Для этого достаточно исследовать подкоренное выражение
s(t)=(100-80t)^2+(100-60t)^2
s(t)=100•((10-8t)^2+(10-6t)^2)
s(t)=100•(100-160t+64t^2+100-120t+36t^2)
s(t)=100•(100-160t+64t^2+100-120t+36t^2)
s(t)=2000•(5t^2-14t+10)
s`(t)=2000•(10t-14)
s`(t)=0 при t=1,4
t=1,4 - точка минимума, производная при переходе через точку меняет знак с - на +.
s`(1)=-8000 < 0
s`(2)=12000 > 0

За 1,4 часа=1 час 4/10=1 час 24/60 = 1 час 24 минуты первый автомобиль проедет
80•1,4=112 км
и окажется на расстоянии |100-112|=12 км от перекрестка
Второй автомобиль проедет 60•1,4=84 км
и окажется на расстоянии |100-84|=16 км от перекрестка
По теореме Пифагора
d=sqrt(12^2+16^2)=sqrt(144+256)=sqrt(400)=20 км
О т в е т. через 1 час 24 минуты наименьшее расстояние между автомобилями 20 км

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{-х > 0;
{x-12 > 0

{x < 0;
{x > 12.
x∈ (0;12)

Так как логарифмическая функция монотонна, то каждое свое значение она принимает в единственной точке, если значения функции равны, то аргументы равны.
-х=x-12
-x-x=-12
-2x=-12
x=6
6∈ОДЗ
О т в е т. 6

Ответ выбран лучшим

D(f)=(-бесконечность;+бесконечность)
f`(x)=4x^3-8x
f`(x)=0
4x^3-8x=0
4x(x^2-2)=0
x=0 x=- sqrt(2) x=sqrt(2) - точки возможных экстремумов.
Указанному промежутку не принадлежит точка х=sqrt(2)
Применяем достаточное условие экстремума.
Проверяем знак производной на промежутках.

[-3] _-__ (-sqrt(2)) __+__ (0) __-__ [1]

x=-sqrt(2)- точка минимума, производная при переходе через точку меняет знак с - на +.
Находим значения функции в точке х=-sqrt(2) и на конце отрезка (в точке х=1).
В точке х=-3 значение больше, чем значение в точке минимума х=-sqrt(2).
y(-sqrt(2))=(-sqrt(2))^4-4(-sqrt(2))^2-5=4-8-5=-9
y(1)=(1)^4-4(1)^2-5=-8
О т в е т. Наименьшее значение функции при х=-sqrt(2)
у(1)=-9

sin(5π/3)=sin((6π-π)/3)=sin(2π-(π/3))=-sin(π/3)
sin^2(5π/3)=(-sin(π/3))^2=(-sqrt(3)/2)^2=3/4
sin(5π/4)=sin((4π+π)/4)=sin(π+(π/4))=-sin(π/4)
sin^2(5π/4)=(-sin(π/4))^2=(-sqrt(2)/2)^2=2/4

sin^2(5π/3)/sin^2(5π/4)=(3/4)/(2/4)=3/2=1,5

Ответ выбран лучшим

По формуле
sin2α=2sinαcosα
sin3x=2sin(3x/2)cos(3x/2)

По формуле
sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)

sin2x+sinx=2sin((2x+x)/2)cos((2x-x)/2)=
=2sin(3x/2)cos(x/2)

Уравнение принимает вид:
2sin(3x/2)cos(3x/2)=2sin(3x/2)cos(x/2)
или
2sin(3x/2)cos(3x/2) - 2sin(3x/2)cos(x/2)=0
2sin(3x/2)(cos(3x/2) - cos(x/2))=0
Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен, а другой при этом не теряет смысла.
1)sin(3x/2)=0 (3х/2)=πk, k∈Z
x=(2π/3)k, k∈Z
или
2)cos(3x/2) - cos(x/2)=0
По формуле
сosα - cosβ= -2sin((α+β)/2)sin(((α-β)/2)
cos(3x/2)-cos(x/2)=-2sin2x* sin(x/2)
2) принимает вид
-2sin2x sin(x/2)=0
sin2x=0 ⇒х=(π/2)n, n∈Z.

sin(x/2)=0 ⇒ х/2= πm, m∈Z ⇒ х= 2πm, m∈Z

О т в е т. x=(2π/3)k, х= (π/2)n, ,n, m∈Z

б) Указанному промежутку принадлежат корни:
5π; 16π/3; 6π см. рисунок.

О т в е т. 5π; 16π/3; 11π/2; 6π; 13π/2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1–((2^(x+1)–14)/(4^x–2^(x+2)–5))больше или равно 0;
((2^(x+1)–14)/(4^x–2^(x+2)–5))-1 меньше или равно 0;
((2^(x+1)–14-4^x+2^(x+2)+5)/(4^x–2^(x+2)–5)) меньше или равно 0.
2^(x+1)=2^x•2;
2^(x+2)=2^x•2^2=2^x•4
Замена переменной
2^x=t
4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2.
Неравенство примет вид:
(2t-14-t^2+4t+5)/(t^2-4t-5) меньше или равно 0
или
(-t^2+6t-9)/(t^2-4t-5) меньше или равно 0
или
(t-3)^2/((t+1)(t-5))больше или равно 0
или

t=3 или (t+1)(t-5) > 0

__+___ (-1) ________ (5) __+___

Возвращаемся к переменной х

2^x=3 или 2^x > 5 ( 2^x < - 1 - неравенство не имеет решений)

2^x=3
x=log_(2)3

или
2^x > 5

2^x > 2 ^(log_(2)5)

x > log_(2)5

О т в е т. {log_(2)3} U (log_(2)5; + бесконечность)

Ответ выбран лучшим

S(параллелограмма)=a•h=3•4=12 кв. ед. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=-sin(x+(π/2))•(x+(π/2))`=-sin(x+(π/2))=-cosx

cosα=(1-tg^2(α/2))/(1+tg^2(α/2))=
=(1-(1/2)^2)/(1+(1/2)^2)=
=(3/4)/(5/4)=3/5

f`(α)=-cosα=-3/5

Ответ выбран лучшим

Применяем метод интегрирования по частям:
u=5x-3
dv=sin5xdx
du=5dx
v=(1/5)(-cos5x)
∫(5x-3)sin5xdx=[uv-∫vdu]=
=-(5x-3)cos5x/5+∫cos5xdx=
=-(5x-3)cos5x/5+ (sin5x/5) + C=
=(sin5x-(5x-3)cos5x)/5 +C

Ответ выбран лучшим

[m]a^2+11\cdot |x+2|+3\sqrt{x^2+4x+13} = 5a+\cdot |x–2a+2|[/m];

[m]3\sqrt{(x+2)^2+9}=2\cdot |x–2a+2|-11\cdot |x+2|+5a-a^2[/m].

[i]Замена переменной[/i]: [m]х+2=t[/m]

[m]3\sqrt{t^2+9}=2\cdot |t–2a|-11\cdot |t|+5a-a^2[/m].

Введем в рассмотрение функции
[m]f(t)=3\sqrt{t^2+9}[/m] и [m] g(t)=2\cdot |t–2a|-11\cdot |t|+5a-a^2[/m]

Функция[m]y= f(t)[/m] определена при [m] t \in (-\infty;+\infty) [/m]

[m]f `(t)=3\frac{t}{\sqrt{t^2+9}}[/m]

f`(t) < 0 при t < 0 и f`(t) > 0 при t > 0.

[m]t=0[/m] - [i]точка минимума [/i] функции [m]y= f(t)[/m]

[m]f(0)=3\sqrt{0^2+9}=9[/m]

Функция[m]y= g(t)[/m] - кусочно- непрерывная функция,
имеет производную при всех t ∈(-∞;+∞) , кроме t=0 и t=2a

При t> 0

[m]g(t)=\left\{\begin{matrix} 2(t-2a)-11t+5a-a^2, &t-2a ≥ 0 \\ 2(-t+2a)-11t+5a-a^2, & t-2a < 0. \end{matrix}\right.[/m]
или
[m]g(t)=)\left\{\begin{matrix} -9t+a-a^2, & t-2a\geq 0\\ -13t+9a-a^2,&t-2a <0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]g`(t)=\left\{\begin{matrix} -9, &t-2a\geq 0 \\ -13 & t-2a<0 \end{matrix}\right.[/m]

Функция g(t) [i]убывает[/i] при t> 0.

При t < 0

[m]g(t)=\left\{\begin{matrix} 2(t-2a)+11t+5a-a^2, &t-2a\geq 0 \\ 2(-t+2a)+11t+5a-a^2, & t-2a<0 \end{matrix}\right.[/m]

или
[m]g(t))\left\{\begin{matrix} 13t+a-a^2,& t-2a\geq 0\\ 9t+9a-a^2,& t-2a<0 \end{matrix}\right.[/m]

[m]g`(t)= \left\{\begin{matrix} 13 & t-2a\geq 0\\ 9& t-2a<0 \end{matrix}\right.[/m]

Функция g(t) [i]возрастает[/i] при t < 0

Уравнение
f(t)=g(t) имеет [i]хотя бы один[/i] корень , если графики функций у=f(t) и у=g(t) пересекаются[i] хотя бы в одной[/i] точке.

Чтобы графики функций у=f(t) и у=g(t) пересекались хотя бы в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

[m]f(0) ≤ g(0)[/m].

[m]9 ≤ 2\cdot |0-2a|-11\cdot |0|+5a-a^2[/m] ⇒

[m]9 ≤ 4\cdot |a|+5a-a^2[/m], которое заменим совокупностью двух систем

1)
{a больше или равно 0;
{a^2-9a+9 меньше или равно 0.

2)
{a < 0;
{a^2-a+9 меньше или равно 0

О т в е т. [[m]\frac{9-3\sqrt{5}}{2}; \frac{9+3\sqrt{5}}{2}[/m]]

Ответ выбран лучшим

Треугольник ADC- равнобедренный с равными острыми углами. Тогда угол при вершине равен 180°-30°-30°=120°
В треугольнике ABE угол при вершине такой же, 120°.
Второй угол острый 30°. Значит другой острый угол, ∠ВЕА=180°-120°-30°=30°
Сумма смежных углов 180°.
∠ВЕF=180°-30°=150° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле:
∫t^αdt=t^(α+1)/(α+1)+C
t=3x+4
dt=3dx
Умножаем на 3 и делим на 3.
=(1/3)∫(3х+4)^4d(3x+4)=(1/3)•((3x+4)^5/5)+C=
=((3x+4)^5/15)+C.
О т в е т. ∫(3х+4)^4dх=((3x+4)^5/15)+C.

Ответ выбран лучшим

24.
x^2-sqrt(x)=sqrt(x)•(x•sqrt(x)-1)=
=sqrt(x)•(sqrt(x)-1)•(x+sqrt(x)+1).
Действие деление заменяем умножением на обратную дробь.
О т в е т. (sqrt(x)+1)•(sqrt(x)-1)•sqrt(x)=
=(х-1)•sqrt(x)
25.
(1/a)+(1/(b+c))=(b+c+a)/(a(b+c))
(1/a)-(1/(b+c))=(b+c-a)/(a(b+c))
(1/a)+(1/(b+c))/(1/a)-(1/(b+c))=
=(b+c+a)/(b+c-a)

1+((b^2+c^2-a^2)/2bc)=(2bc+b^2+c^2-a^2)/2bc=
=((b+c)^2-a^2)/2bc=(b+c-a)(b+c+a)/2bc

(a+b+c)^(-2)=1/(a+b+c)^2

О т в е т. 1/(2bc).
26.
a^3-sqrt(8)=(a-sqrt(2))•(a^2+a•sqrt(2)+2).
Приводим слагаемые в первой скобке к общему знаменателю
=(a^2+a•sqrt(2)+2-a^2-4)/(a-sqrt(2))•(a^2+a•sqrt(2)+2)=
=sqrt(2)•(a-sqrt(2))/(a-sqrt(2))•(a^2+a•sqrt(2)+2)=
=sqrt(2)/(a^2+a•sqrt(2)+2).

Приводим слагаемые во второй скобке к общему знаменателю
=(a^2+a•sqrt(2)+2)/a•sqrt(2)
Заменяем деление умножением

sqrt(2)•a•sqrt(2)/(a^2+a•sqrt(2)+2)^2=
=2a/(a^2+a•sqrt(2)+2)^2.
О т в е т. 2a/(a^2+a•sqrt(2)+2)^2.

Я думаю, что опечатка в условии и между скобками умножение. Тогда ответ.1/а.

Ответ выбран лучшим

В каждой области в сутки вырабатывают 250•5=1250 человеко-часов.
На первом заводе 1 рабочий за 1 час добывает 0,2 кг алюминия,значит на добычу 1 кг алюминия тратится 5 человеко-часов.
250 рабочих за 5 часов добывают 1250:5=250 кг алюминия.

На первом заводе 1 рабочий за 1 час добывает 0,1 кг никеля,значит на добычу 1 кг никеля тратится 10 человеко-часов.
250 рабочих за 5 часов добывают 1250:10=125 кг никеля.

Алюминий добывать выгоднее.

Пусть на втором заводе в сутки добывают х кг алюминия и у кг никеля.
На выработку алюминия тратится х^2 человеко-часов и на выработку никеля тратится у^2 человеко-часов.
Общее количество затраченных при этом человеко-часов равно 1250.
Уравнение:
х^2+y^2=1250.

Общая масса добытого металла
f(x;y)=x+y.
Заменим у на sqrt(1250-x^2)
Найдем наибольшее значение функции
f(x)=x+ sqrt(1250-x^2) на [0; sqrt(1250)].
f`(x)=1+(1/2sqrt(1250-x^2))•(-2x);
f`(x)=1-(x/sqrt(1250-x^2));
f`(x)=0
sqrt(1250-x^2)=x.
Возводим в квадрат
1250-x^2=x^2;
x^2=625
x=25
На [0; sqrt(1250)] х=25 является точкой максимума, так как производная меняет знак с + на -.
f`(15)=1-(15/sqrt(1025)) > 0
f`(30)=1-(30/sqrt(350)) < 0

f(25)=25+sqrt(1250-25^2)=25+sqrt(1250-625)=
=25+sqrt(625)=25+25=50 кг - наибольшее количество металла, которое можно добыть за сутки во второй области.
А в первой области наибольшее количество металла - 250 кг алюминия.
Суммарное количество
S=250+50=300 кг
О т в е т. 300 кг

Ответ выбран лучшим

Область определения функции:
{12-x больше или равно 0 ⇒ x меньше или равно 12
{x-2 больше или равно 0 ⇒ х больше или равно 2
D(y)=[2;12]
Найдем производную:
y`=(3·sqrt(12–x)+sqrt(x–2))`=
=3(sqrt(12–x))`+(sqrt(x-2))`=
=3·(12-x)`/(2·sqrt(12–x))+1/(2·sqrt(x-2))=
=1/(2·sqrt(x-2))-3/(2·sqrt(12–x)).
y`=0.
1/(2·sqrt(x-2))-3/(2·sqrt(12–x))=0.
{sqrt(12–x)-3·sqrt(x-2)=0;
{sqrt(12–x)≠0;
{sqrt(x-2)≠0.

sqrt(12–x)=3·sqrt(x-2)
Возводим в квадрат
12-х=9(х-2)
12-х=9х-18
12+18=9х+х
30=10х
х=3

х=3 - точка максимума функции, потому что при переходе через эту точку производная данной функции меняет знак с + на -.

[2]__-__ (3) ______+_________[12]

y(3)=3·sqrt(12–3)+sqrt(3–2)
y(3)=3·3+1=10
О т в е т. y(наиб)=у(3)=10

Ответ выбран лучшим

Так как sin^2x+a^2+1 > 0 при всех х и а, умножим обе части неравенства на sin^2x+a^2+1.
Неравенство примет вид:
a-(a^2-2a-3)cosx+4 < sin^2x+a^2+1.
sin^2x=1-cos^2x;
cos^2x-(a^2-2a-3)cosx+2+a-a^2 < 0
На [-π/3; π/2] множество значений функции у=cosx равно [0;1].
Обозначим сosx=t.
Переформулируем задачу.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых t^2-(a^2-2a-3)t+2+a-a^2 < 0 при всех t∈[0;1]
Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичная функция f(t)=t^2-(a^2-2a-3)t+2+a-a^2 , графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, была расположена ниже оси оси на [0;1].
Это условие принимает вид
{f(0) < 0
{f(1) < 0

Тогда для всех точек t∈[0;1]
будет выполняться неравенство: f(t) < 0

[a^2+a+2 < 0;
{-2a^2+3a+6 < 0
или
{a^2-a-2 > 0; D=1+8=9 корни -1 и 2
{2a^2-3a-6 > 0 D=9-4•2•(-6)=9+48=57
корни (3-√57)/4 и (3+√57)/4

___((3-√57)/4)___(-1)_____(2)_____((3-√57)/4)

О т в е т. (-∞; (3-√57)/4)U((3+√57)/4;+∞)

Ответ выбран лучшим

Пусть с – наибольшая сторона треугольника, а-наименьшая.
Согласно «неравенству треугольника» каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
c < a+b - условие (1)
По теореме косинусов
c^2=a^2+b^2-2abcos ∠C ⇒
так как угол С- тупой, косинус тупого угла отрицательный, поэтому сумма трех положительных чисел больше сумма первых двух.
c^2 > a^2+b^2 – условие (2)

a) найдем такие с и a, что с/a=3/2
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.
Третья сторона a c: 11+10 > 15 – верно
Проверяем второе условие c^2 > a^2+b^2: 225 > 100+121 - верно.
О т в е т. с=15; a=10; b=11 с/a=15/10=3/2

б) найдем такие с и a, что с/a=5/4
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.

Пусть с=10; b=8; a=9

Проверяем первое условие b+a > c: 8+9 > 10 – верно
Проверяем второе условие 100 > 64 + 72 - неверно.
Покажем, что нет таких натуральных чисел, которые могли быть сторонами данного треугольника.
Обозначим с/a=5k/4k , k- натуральное
c=5k a=4k
4k a^2+b^2:
(5k)^2 > (4k)^2+(4k+1)^2 ⇒ 7k^2+8k+1 < 0
Неравенство имеет решение на множестве (1/7;1).
Что не удовлетворяет условию к- натуральное

О т в е т. Нет таких натуральных чисел.

в) найдем наименьшее с/a, если b=18
c-наибольшая, a – наименьшая сторона. c > 18, a < 18.

Для того чтобы отношение (дробь) было наименьшим, знаменатель должен быть наибольшим.
Выберем a =17 > 18 – это наибольшее натуральное число из возможных.
Из условия c^2 > a^2+b^2 ⇒ c^2 > 17^2+18^2=289+324=613, √613 ≈24,75
c=25
О т в е т. с/а= 25/17.

Ответ выбран лучшим

По формуле
cosα•cosβ=(1/2)(cos(α+β)+cos(α-β))
cos4x•cos2x=(1/2)(cos6x+cos2x)
О т в е т. (1/2)•(sin6x/6)+ (1/2)•(sin2x/2)+C= (1/12)sin6c+(1/4)sin2x+C

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу понижения степени
cos^2(x/2)=(1+cosx)/2

Интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
О т в е т. (1/2)х + (1/2)sinx +C

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение в виде
|2•5^x–a|–|5^x+2a|=(5^2)^x
Сделаем замену переменной.
5^x=t > 0
Уравнение примет вид
|2t–a|–|t+2a|=t^2
Применяем координатно–параметрический метод.
Раскрываем модули.
1) Подмодульные выражения обращаются в 0
при 2t–a=0 ⇒ t=a/2
при t+2a=0 ⇒ t=–2a
Прямые t=a/2 и t=–2a разбивают координатную плоскость аОt на 4 области.
При этом 2t–a положительно в 1 и 2
t+2a положительно в 1 и 4.
Раскрываем знаки модуля в каждой области
1 область
2t–a–t–2a=t^2 ⇒ a=(–t^2+t)/3
парабола зеленого цвета, оставлена только та ее часть, которая расположена в области 1.
Вершина параболы в точке t=1/2 a=1/12
2 область
2t–a+t+2a=t^2 ⇒ a=t^2–3t
парабола сиреневого цвета, оставлена только та её часть, которая принадлежит области 2.
Вершина в точке t=3/2; a=–9/4
3 область
–2t+a+t+2a=t^2 ⇒ a=(t^2+t)/3
4 область
–2t+a–t–2a=t^2 ⇒ a=–t^2–3t

Поскольку показательное уравнение
5^x=t имеет положительный корень, если t > 1, то
при a∈(–9/4;–2] данное уравнение будет иметь ровно два неотрицательных корня.
При этих значениях прямая параллельная оси Ot (красного цвета)будет иметь ровно две точки пересечения с соответствующей параболой.
О т в е т. a∈(–9/4;–2]
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

9^(2cos2x+0,5)–28·9^(2cos2x–1)+9=0;
9^(2cos2x)·9^(0,5)–28·9^(2cos2x)·9^(–1)+9=0;
Замена переменной
9^(2cos2x)=t
Уравнение принимает вид
3t-(28/9)t+9=0
(27t-28t+81)/9=0
-t+81=0
t=81
9^(2cos2x)=81
9^(2cos2x)=9^2
2cos2x=2
cos2x=1
2x=2πk, k∈Z
x= πk, k∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни
- π и 0
См. рисунок (прикреплено изображение)

∠ ВАК = ∠ КАD, так как биссектриса АК делит угол пополам.
∠ ВКА =∠ КАD- внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD секущей АВ.
Значит, ∠ ВАК = ∠ВКА,и
треугольник АВК - равнобедренный.
АВ=ВК=7 см.
ВС=ВК+КС=7+3=10 см
Противоположные стороны параллелограмма равны
АВ=СD=7 см
BC=AD=10 см
Р=АВ+BC+CD+AD=7+10+7+10=34 см
О т в е т. Р=34 см (прикреплено изображение)

ОДЗ: sint≠cost ⇒ t≠ π/4+πk, k∈Z.
Перепишем уравнение в виде:
6k-(2-3k)cost=2(sint-cost);
2sint=3k(cost+2) ⇒ k=g(t)
g(t)=2sint/3(cost+2)
Исследуем функцию g(t) на монотонность на [0; π/2]
g`(t)=(2/3)*(((sint)`*(cost+2)-sint*(cost+2)`)/(cost+2)^2)=

=(2/3)*((cos^2t+2cost+sin^2t)/(cost+2)^2)=

=(2/3)*((2cost+1)/(cost+2)^2) > 0 так как cost > 0 на [0; π/2]
Значит, функция g(t) монотонно возрастает и принимает каждое свое значение от 0 до 1/3 ровно 1 раз.
При t=0 g(0)=0
при t=π/2 g(π/2)=1/3

Согласно ОДЗ t≠ π/4
При t=π/4 g(t)=(4√2-2)/21.
О т в е т. [0; (4√2-2)/21)U(4√2-2)/21;1/3]

Ответ выбран лучшим

Заменим 1=0,2^0
Показательная функция с основанием 0 < 0,2 < 1- убывающая, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента
х^2-6x+7 меньше или равно 0;
х^2-6x+7=0;
D=36-28=8
x=(6-2sqrt(2))/2 или x=(6+2sqrt(2))/2;
x=3-sqrt(2) или x=3+sqrt(2);
О т в е т. [3-sqrt(2);3+sqrt(2)].

Ответ выбран лучшим

26(2)
v(средняя)=S/t=s(1)-s(0,9)/(1-0,9)=(6-5,5)/0,1=5
27(2) отсутствуют данные для решения задачи. Нет t_(2)

Ответ выбран лучшим

5.
угол между прямыми равен углу между векторами.
Вектор АК имеет координаты (-1;1;2).
Вектор РВ имеет координаты (0;0;-4)
Скалярное произведение векторов, заданных координатами равно сумме квадратов одноименных координат.
-1•0+1•0+2•(-4)=-8
Длина вектора АК =√((-1)^2+1^2+2^2)=√6
Длина вектора РВ равна 4
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, деленному на длины векторов.
cosα=(-8)/4√6=-2/√6=-2√6/6=-√6/3.
Смежный с ним острый угол имеет положительное значение косинуса.
О т в е т. 2√6/6=√6/3

6. По теореме Пифагора
СМ=√(2^2+1,5^2)=√6,25=2,5
По теореме Пифагора
DM=√(5^2+(2,5)^2)=√31,25=2,5√5
О т в е т. 2,5√5.
7.
Медианы в точке пересечения О делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
CO=(2/3)CM=5/3
DO=√(5^2+(5/3)^2)=5√10/3.
О т в е т. 5√10/3.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

80m копеек заплатил за карандаши
6n копеек заплатил за тетради
(6n-80m) копеек стоят больше тетради, чем карандаши

6•95-80•7=570-560=10 копеек

О т в е т. На 10 копеек заплатил больше за тетради, чем за карандаши

Ответ выбран лучшим

1050°=180°•6-30°;
по формулам приведения
tg(1050°)=-tg30°=-√3/3;
–17√3•tg(1050°)=–17√3•(-√3/3)=17
О т в е т. 17

1) y=-2(x^2+(5/2)x+1)
y=-2(x^2+2x•(5/4)+(25/16)-(25/16))
y=-2(x+(5/4))^2+(25/8)- парабола ветви вниз, вершина в точке (-5/4; 25/8)
2) у=x^2-2x•(3/2)+(9/4)-(9/4)-3
y=(x-(3/2))^2-(21/4)- парабола, ветви вверх, вершина в точке (3/2; - 21/4)
3)у=-х^2-4х+12
y=-(x^2+2x•2 +4-4-12)
у=-(x+2)^2+16 - парабола ветви вниз, вершина в точке (-2;16) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1 100 000*1,1-270 000=940 000
940 000*1,1-270 000=764 000
764 000*1,1-270 000=570 400
570 400*1,1-270 000= 357 400
357 400*1,1-270 000=123 184
123 184 *1,1= 135 502,4

Ответ:6 лет

Ответ выбран лучшим

Пусть АВ1:В1С = АС1:С1В=k.Обозначим АВ1=х; АС1=у. Тогда С1В=ky; B1C=kx. Cм. рисунок.
S( ΔABB1)=S( ΔACC1)=((1+k)•x•y•sin∠A)/2.
Так как
S(ΔABB1)=S(AB1OC1)+S(ΔC1OB) и
S(ΔAСС1)=S(AB1OC1)+S(ΔВ1OС), то
S(ΔC1OB) = S(ΔВ1OС).
Проведем высоты OD в ΔC1OB и ОF в ΔB1OC.
S(ΔC1OB)=ky •OD/2= kx•OF/2=S(ΔВ1OС)⇒y •OD=x•OF⇒
S(ΔAC1O) = S(ΔAВ1O)=S1
Тогда
S(ΔC1OB) = S(ΔВ1OС)=kS1.

C другой стороны,
S(ΔAC1O) =(y•AO•sin∠C1AO)/2=
=(x•AO•sin∠B1AO)/2= S(ΔAВ1O)⇒
y•sin∠C1AO=x•sin∠B1AO

S(ΔAA1B)=(AB•AA1•sin∠C1AO)/2=(k+1)y•AA1•sin∠C1AO;
S(ΔAA1C)=AC•AA1•sin∠B1AO/2=
=((k+1)x•AA1•sin∠B1AO)/2.
В силу y•sin∠C1AO=x•sin∠B1AO
получаем
S(ΔAA1B)=S(ΔAA1C)
Значит и S(ΔОA1B)=S(ΔОA1C)
Так как у треугольников ОA1B и ОA1C площади равны, общая высота,то и основания A1С и A1B равны.

б)AB1:B1C= АC1:C1В = 1:4
Обозначим АВ1=х; В1С=4х; АС=5х.
АС1=у; С1В=4у; АВ=5у.

S(ΔAC1O) = S(ΔAВ1O)=S1
Тогда
S(ΔC1OB) = S(ΔВ1OС)=4S1.

S(ΔABC)=(AB•AC•sin∠A)/2=(5x•5y•sin∠A)/2=
=(25xy•sin∠A)/2
S(ΔABB1)=(AB•AB1•sin∠A)/2=(5y•x•sin∠A)/2=
=(5xy•sin∠A)/2;
S(ΔABB1)=S1+S1+4S1;
6S1=(5xy•sin∠A)/2
2S1=S(четырехугольника АВ1ОС1)=(5xy•sin∠A)/6
S(четырехугольника АВ1ОС1):S(ΔABC)=
(5/6):(25/2)=1:15
О т в е т. 1:15. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

|3[b]a[/b]-2[b]b[/b]|^2=(3[b]a[/b]-2[b]b[/b])(3[b]a[/b]-2[b]b[/b])=9[b]a[/b]^2-12[b]a[/b][b]b[/b]+4[b]b[/b]^2=
=9|[b]a[/b]|^2-12|[b]a[/b]||[b]b[/b]|cos45°+4|[b]b[/b]|^2=
=9•(3√2)^2-12•(3√2)•(2)•(√2/2)+4•(2)^2=
=106
|3[b]a[/b]-2[b]b[/b]|=√106.

1) если х=0,5 то у=3•(0,5)^2=3•0,25=0,75=3/4
2) Дробь определена, если знаменатель не равен0
Квадратный корень из отрицательных чисел извлечь нельзя.
а)х(x^2-1)≠0 ⇒ x≠0, x^2-1≠0 x≠-1 x≠-1
D(f)=(-∞;-1)U(-1;0)U(0;1)U(1;+∞)
б)х-1 > 0 ⇒ x > 1
D(f)=(1;+∞)
в)х^2-9 > 0⇒ (x-3)(x+3) > 0
D(f)=(-∞;-3)U(3;+∞)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{|x+1| > 0 ⇒ x≠-1
{|x+1|≠1 ⇒ x+1≠1 или х+1≠-1;
х≠0 или х≠-2
x∈(-∞;-2)U(-2;-1)U(-1;0)U(0;+∞)

log_(|x+1|)(x+1)^4=log_(|x+1|)|x+1|^4=4;
log^2_(|x+1|)(x+1)^4=log^2_(|x+1|)|x+1|^4=4^2=16.
Неравенство принимает вид:
16+log_(2)(x+1)^2≤ 22;
log_(2)(x+1)^2≤ 6;
(x+1)^2 ≤ 64;
((x+1)-8)•((x+1)+8)≤0;
(x-7)•(x+9)≤0
x∈[-9;7]
C учетом ОДЗ получаем ответ.
О т в е т.[-9;-2) U (-2;-1) U (-1,0) U (0;7]

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

О-центр основания, центр вписанной окружности.
М и N - центры боковых граней (боковые грани квадраты).
Находи проекцию MN на плоскость основания ( это средняя линия основания) и проводим прямую через точку О параллельно средней линии. Получаем точки Р и К.
Соединяем точки Р и М и продолжаем до пересечения с ребром А1В1 и соединяем точки K и N и продолжаем до пересечения с ребром В1С1 (прикреплено изображение)

Применяем метод следа секущей плоскости.
Соединяем N c P и продолжаем до пересечения с линией, содержащей их проекции, т.е с линией DC. Получаем точку Q.
Соединяем K c P и продолжаем до пересечения с линией, содержащей их проекции, т.е с линией BC. Получаем точку E.
QE- след секущей плоскости.
Соединяем А с С и продолжаем до пересечения с QE.
Получаем точку F.
Проводим FP до пересечения с АА1.
Получаем точку М.

СР=1/4; DN=1/2. Из прямоугольной трапеции NDCP
применяя теорему Пифагора получим ND=√17/4
Все стороны сечения равны. Сечение квадрат.
S(cечения)=(√17/4)^2=17/16. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) f(-2)=(-2)^2-5•(-2)=4+10=14
О т в е т. Б)
2)х^2-9=0 ⇒ x=±3
О т в е т. Г)
3) x-1 > 0 ⇒ x > 1
О т в е т. Г)
4) Четная
О т в е т. В)
5)
О т в е т. Г)
6) (-∞;1]
О т в е т. В)
7) у=(х-1)/x(x-1)= 1/x при х≠1
Нет нулей у данной функции
8)

y' = –2x – 4
y`=0
–2x–4 = 0
x = –2
Так как производная положительна на (-∞;–2), функция
возрастает на промежутке от (–∞;–2) и так как производная отрицательна на (–2; +∞), функция
убывает на промежутке от (–2; +∞)

Наибольшее значение достигает в точке x = –2
y(–2) = –(–2)^2 – 4·(–2) – 3 = –4 + 8 – 3 = 1

Ответ выбран лучшим

vector{n_(1)}=(22;4;-15)
vector{n_(2)}=(26;-4;-9)
vector{n_(1)}×vector{n_(2)}=vector{i}*(-36-60)-vector{j}*(-198+390)+vector{k}*(-88-104)=
=-96*vector{i}-192*vector{j} - 192*vector{k}=(vector{i}+2*vector{j}+2*vector{k})

vector{(1;2;2)} - один из направляющих векторов прямой

Найдем точку, принадлежащую двум плоскостям.Принимаем х=0
Тогда будем иметь систему уравнений
{+4y-15z-83=0
{-4y-9z-37=0
Складываем
-24z-120=0 z=-5
y=2
Точка (0;2;-5) принадлежит данным плоскостям 22х+4у–15z–83=0 и 26х–4у–9z–37=0, значит принадлежит их линии пересечения.

Пусть М(х;у;z) - произвольная точка искомой плоскости.
Тогда три вектора vector{(x-0;y-2;z+5)}; vector{(1;2;2)} и vector{(3;1;4)} - компланарны.
Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0
(x-0)*(2*4-1*2)-(y-2)*(1*4-3*2)+(z+5)*(1*1-3*2)=0
6x+2y-4-5z-25=0
6x+2y-5z-29=0

О т в е т. 6x+2y-5z-29=0

Ответ выбран лучшим

p(2x)=(2x)-3
p(x-7)=(x-7)-3=x-10

2p(x-7)-p(2x)=2(x-10)-(2x-3)=-20+3=-17

Ответ выбран лучшим

x^2+4x=x^2+4
4x=4
x=1
Проверка:
log_(3)(1+4)=log_(3)(1+4)- верно.
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(Δ)=ah/2=18•17/2=153 кв. ед
О т в е т. 153 кв. ед

Ответ выбран лучшим

Пусть каждый месяц выпускали х телевизоров, в январе на 148 телевизоров меньше ( со словом больше задача не имеет целого решения)
Всего за два месяца х+х и за январь (х-148).
По условию это равно3500.
Составляем уравнение:
х+х+(х-148)=3500
3х=3500+148
3х=3648
х=1216
О т в е т. 1216 телевизоров в месяц, 1068 телевизоров в январе.

Ответ выбран лучшим

Целые числа x, у и z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.
Это означает, что y^2=xz
и потому xz > 0 (xz≠0),
т.е x и z одного знака.

А) Если числа x+3, у2 и z+5 образуют арифметическую прогрессию, то
y^2-x-3=z+5-y^2 или
2y^2=x+z+8
Заменяя y^2 на xz получим
2xz=x+z+8
2xz-z=x+8
z=(x+8)/(2x-1)
При х=1 получим z=9
y^2=xz=9
Числа 1;3;9 и 1;-3;9 образуют геометрическую прогрессию.
Числа 1+3; 9; 14 - образуют арифметическую прогрессию.
О т в е т .А) Да.

Б)Если числа 5х, у и 3z образуют арифметическую прогрессию, то
y-5x=3z-y или
2y=5x+3z
у=(5х+3z)/2
Возводим в квадрат
y^2=(25x^2+15xz+9z^2)/4
Заменяя y^2 на xz
4xz=25x^2+15xz+9z^2
-11xz=25x^2+9z^2 - равенство невозможно, так как слева отрицательное число, а справа положительное.
О т в е т. Б) Нет.

В) Если числа 5x+3, у^2 и 3z+5 образуют арифметическую прогрессию, то
y^2-5x-3=3z+5-y^2;
2y^2=5x+3z+8.
Заменяя y^2 на xz получим
2xz=5x+3z+8;
2xz-3z=5x+8;
z(2x-3)=5x+8;
z=(5x+8)/(2x-3);
z=(5x-(15/2)+(15/2)+8)/(2x-3)=(5/2)+ 31/2(2x-3)
Чтобы я было целым число необходимо, чтобы (2х-3) было кратно 31
Значит
2х-3=31 ⇒х=17 ⇒ z=3 ⇒y^2=51 нет целых у
2х-3=-31 ⇒х=-14 ⇒ z=2 ⇒y^2=-28 нет таких у
2х-3=1 ⇒х=2 ⇒ z=18 ⇒y^2=36 ⇒ у=-6 или у=6
2х-3=-1 ⇒х=1 ⇒ z=-13 ⇒y^2=-13 нет таких у.
О т в е т. В) 2; 6; 18 или 2; -6; 18.

Ответ выбран лучшим

30 000 у.е составляют 100%
450 000 у.е - х %

x=450 000 •100:30 000=1500%

1500%-100%=1400%

Ответ выбран лучшим

Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга 12млн/24=500 000 руб.
Выплаты процентов составят:
за первый месяц 0,03•12 млн =360 000( выплата процентов идет со всей взятой суммы)
за второй месяц 0,03•(12млн–(12млн/15))=0,03•11500000=345 000 ( выплата процентов идет с суммы, которая уменьшилась на
500 000 руб.
За третий месяц 0,03•(12 млн –2•500 000)=0,03•11 млн=330 000 руб.
за четвертый 0,03•(12 000 000 - 1 500 000)=315 000
...
за 12-й месяц
0,03•(12 млн -5,5 млн)=195 000

за второй год:
за 1-ый месяц второго года
0,03•(12 млн -6 млн)=180 000

...
за 12-й месяц второго года
0,03•(12 млн -11,5млн)=15 000

За первый год Галина вернет банку половину взятого кредита 6 млн=500 000•12
и проценты

360 000 + 345 000 + 330 000 + 315 000 + ... 195 000=
находим сумму 12 слагаемых, которые представляют собой арифметическую прогрессию
(360 000+ 195 000)•12/2=3 330 000
За второй год Галина вернет вторую половину кредита - еще 6 млн и проценты
180 000 + ... 15 000= (180 000+ 15 000)•12/2=1 170 000

3 330 000 + 6 000 000 - ( 1 170 000 + 6 000 000)=
=2 160 000
О т в е т. На 2 млн 160 тыс больше в течение первого года кредитования по сравнению со вторым

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(0))=k(касательной)= tgα,
где α - угол наклона касательной с положительным направлением оси Ох.
Касательная на рисунке образует тупой угол α с осью Ох.
Тангенс смежного угла найдем из прямоугольного треугольника с катетами 4 и 5( cм. рисунок):
tg(180°-α)=4/5
tgα=-4/5
О т в е т. f`(x_(0))=-4/5. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
{6х-х^2-8 > 0
{6x-x^2-8≠1
{5-x > 0
{4x^2-17x+20 > 0

Так как основание логарифмической функции (6х-х^2-8) не может быть больше 1,
⇒ -(x-3)^2 > 0 - неверно.
Рассматриваем случай, когда основание логарифмической функции больше 0, но меньше 1, тогда функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
С учетом ОДЗ получаем систему:
{0 < 6х-х^2-8 < 1
{5-x > 0
{4x^2-17x+20 > 0
(5–x ≤ 4x2–17x+20,
которую можно немного упростить
{6х-х^2-8 < 1 ⇒ х≠3
{6x-x^2-8 > 0 ⇒ (x-4)(x-2) < 0 ⇒ 2 < x < 4
{5-x > 0 ⇒ x < 5
(5–x ≤ 4x2–17x+20 ⇒ (2x-5)(2x-3)≥0

____(1,5)_____(2)\\\\[2,5]\\\(3)\\\\\\(4)

О т в е т. [2,5;3)U(3;4)

27=3^3;
(корень 7ой степени из 27)=3^(3/7);
16=2^4;
∛16=2^(4/3).
((корень 7ой степени из 27)·(∛16))^21=
=(3^(3/7)·2^(4/3))^(21)=3^((3/7)·21)·2^((4/3)·(21))=
=3^9·2^(28)

12^9=(4•3)^9=(2^2•3)^9=2^(18)•3^9
(3^9·2^(28))/(2^(18)•3^9)=2^(10)=1024

Ответ выбран лучшим

Пусть 1 кг огурцов стоит х рублей, а 1 кг помидоров у рублей.
Система
{16x+200=13y;
{24x-240=15y

{x=(13y-200)/16;
{x=(15y+240)/24.

(13y-200)/16=(15y+240)/24
или
(13у-200)/2=(15у+240)/3
Применяем основное свойство пропорции, перемножаем крайние и средние члены пропорции.
3(13у-200)=2(15у+240)
39у-600=30у+480
9у=1080
у=120
х=(15y+240)/24=(5у+80)/8=(5•120+80)/8=85

6х+13у=6•85+13•120=510+1560=2070
О т в е т. 2070 руб

Ответ выбран лучшим

А) Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.
Система
{cos2x+cosx+1=0,
{sinx–1 ≠ 0; х ≠(π/2)+2πm, m∈Z

cos2x=2cos^2x-1, поэтому первое уравнение принимает вид
2cos^2x-1+сosx+1=0
2cos^2x+cosx=0
cosx(2cosx+1)=0
cosx=0 или 2 сosx+1=0
x=(π/2)+πk, k∈Z
или
cosx=-1/2
x=±arccos(-1/2)+2πn, n ∈ Z.
x=±(π-arccos(1/2))+2πn, n ∈ Z.
x=±(π-(π/3))+2πn, n ∈ Z.
x=±(2π/3)+2πn, n ∈ Z.
О т в е т.
А) x=(-π/2)+2πk, x=±(2π/3)+2πn, k, n ∈ Z.

Б) Указанному промежутку принадлежат корни
(см. рисунок)
-7π/3; -9π/2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем производную
y`=(sin^2x)`-(cosx)`+(1)`;
y`=2sinx•(sinx)`-(-sinx)+0;
y`=2sinx•cosx+sinx.
Найдем точки, в которых производная обращается в 0.
Решаем уравнение:
y`=0.
2sinx•cosx+sinx=0;
sinx(2cosx+1)=0;
sinx=0 или 2cosx+1=0
x=πk, k∈Z или cosx=-1/2
x=±arccos(-1/2)+2πn, n∈Z;
x=±(π-(arccos1/2))+2πn, n∈Z;
x=±(π-(π/3))+2πn, n∈Z;
x=±(2π/3)+2πn, n∈Z.
Отмечаем точки на числовой прямой и находим знак производной.
_-_(-π)_+_(-2π/3)_-_(0)_+_(2π/3)_-_(π)_+_
Точки х=πk, k∈Z являются точками минимума функции, точки х= ±(2π/3)+2πn, n∈Z.- точками максимума.
См. график функции
у(0)=0
y(π)=y(-π)=sin^2π-cosπ+1=0-(-1)+1=2
y(2π/3)=y(-2π/3)=sin^2(2π/3)-cos(2π/3)+1=9/4
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

16.
2) D(y)=(–∞;+∞)
E(y)=(–∞;4) cм рисунок 1. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) у=log_(0,5)(x-1) левая ветвь
2) у=log_(0,5)|x-1| две ветви, симметричные относительно прямой х=1.
3) у=|log_(0,5)|x-1|| - часть графика, расположенную ниже оси Ох отразили симметрично относительно оси Ох. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

16.
2) D(y)=(-∞;+∞)
E(y)=(-∞;4) cм рисунок 1.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Прямоугольные треугольники АВК и ВКD равны по общему катету ВК и острому углу.
∠АВЕ=∠ЕВС
Тогда треугольник АВD- равнобедренный.
Пусть АВ=х, тогда ВD=x, DC=BD=x и значит ВС=2х.
Пусть ∠АВЕ=∠ЕВС=α.
Тогда
KD=BD•sinα=x•sinα
AD=2KD=2x•sinα
168=2x•sinα
sinα=84/x

Известна формула вычисления биссектрисы угла между двумя сторонами
ВЕ=2•х•(2х)•сosα/(x+2x);
168=4xcosα/3
cosα=126/x

Так как sin^2α+cos^2α=1, то
(84/x)^2+(126/x)^2=1⇒ x^2=(84^2+126^2)
x=√(7056+15876)=42√13
АВ=42√13
ВС=84√13

cosα=126/x=126/42√13=3/√13
cos2α=2cos^2α-1=2•(3/√13)^2-1=5/13

По теореме косинусов из треугольника АВС
АС^2=x^2+(2x)^2-2•x•(2x)•(5/13)
АС^2=5x^2-4x^2•(5/13)
AC^2=5•(42√13)^2-4(42√13)^2•(5/13)
AC^2=5•(42√13)^2(1-(4/13))
АС=42√13•3√5/√13=126√5.
О т в е т. 42√13; 84√13; 126√5.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольники АВН и ВНС подобны по двум углам.
Из подобия
ВН:НС=АН:ВН
ВН^2=АН•НС
ВН^2=4•(16-4)
ВН^2=48.
По теореме Пифагора из треугольник АВН
АВ^2=AH^2+BH^2
AB^2=4^2+48
AB^2=64
AB=8 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть время движения первого велосипедиста равно t часов. Тогда второй двигался на 28 минут больше, его время равно (t+(28/60))часа=t+(14/30).
Первый за время t проехал 10t км, второй за время (t+(14/30)) проехал 30t+14
Оба проехали 286 км.
Уравнение.
10t + 30t +14=286
40t=286-14
40t=272
t=6,8
10t=68 км до встречи проехал первый.
286-68=218 км до встречи проехал второй.
О т в е т. 218 км.

Ответ выбран лучшим

При х больше или равно 0 |x|=x
y=x(x+2)-3x
y=x^2-x
При х < 0 |x|=-x
y=-x(x+2)-3x
y=-x^2-5x

График функции состоит из двух парабол.
Одна у=-x^2-5x на (-∞;0)
Вторая у=x^2-x на (0;+∞)

Прямая у=m имеет две точки пересечения, если она проходит через вершины парабол.
Координаты вершины параболы у=х^2-x
(0,5; -0,25)
Координаты вершины параболы у=-х^2-5x
(-2,5; 6,25)
О т в е т. m=-0,25 и m=6,25

Cм. рисунок. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть стоимость однокомнатной квартиры х, двухкомнатной у.
Суммарная стоимость двух квартир (х+у).
После подорожания однокомнатная квартира стала стоить 1,21х, двухкомнатная 1,11у.
По условию
1,21х+1,11у=1,15(х+у);
0,06х=0,04у
6х=4у;
3х=2у;
у=1,5х
Двухкомнатная в 1,5 раза дороже однокомнатной.
Однокомнатная в 1,5 раза дешевле двухкомнатной

Ответ выбран лучшим

cos( – π/6) × sin( – π/3) + tg( – π/4) =
=cos( π/6) × (-sin( π / 3)) - tg(π/4)=
=(√3/2) ×(-√3/2)-1=(3/4)-1=-1/4.

Наименьшее значение слева равно 1 при х=-1/2
Но при х=-1/2
1=sin(-π/2)
1=-1 - неверно.
Значит, х=-1/2 не является корнем уравнения.
Других корней нет.

Ответ выбран лучшим

672=2•2•2•2•2•3•7=2^5•3•7
а)b_(1)•b_(2)•b_(3)•b_(4)•b_(5)=
=b_(1)•(b_(1)q)•(b_(1)q^2)•(b_(1)q^3)•(b_(1)q^4)=
=b^5_(1)•q^(10)

b^5_(1)•q^(10)=2^5

Нет таких натуральных чисел

б) b_(1)•b_(2)•b_(3)•b_(4)=
=b_(1)•(b_(1)q)•(b_(1)q^2)•(b_(1)q^3)=
=b^4_(1)•q^6

b^4_(1)•q^6=2^5

нет таких натуральных чисел

в)b_(1)•b_(2)•b_(3)=
=b_(1)•(b_(1)q)•(b_(1)q^2)=
=b_(1)^3•q^3
b_(1)^3•q^3=1•2^3

Да.
b_(1)=1
b_(2)=2
b_(3)=4
b_(4)=6
b_(5)=14

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(3pi/2+x)=-cosx
Уравнение примет вид:
6sin^2x-15cosx–12=0
или
6(1-cos^2x)-15cosx-12=0
6cos^2x+15cosx+6=0
2cos^2x+5cosx+2=0
D=25-16=9
cosx=(-5+3)/4
cosx=-1/2
x=±arccos(-1/2)+2πk, k∈Z;
x=±(2π/3)+2πk, k∈Z;
или
cosx=(-5-3)/4
cosx=-2 - уравнение не имеет корней, -2 < - 1.
О т в е т. ±(2π/3)+2πk, k∈Z.

Ответ выбран лучшим

Пусть кредит составляет А рублей, 3 % – процентная ставка, 15 месяцев–срок, на который взят кредит.
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/15,
Выплаты процентов составят:
за первый месяц 0,03•А (сумма выплаты идет со всей взятой суммы)
за второй месяц 0,03•(А–(А/15))=0,03•(14A/15) (сумма выплат уже уменьшилась на (A/15).Проценты считают с суммы меньшей на эту величину.
за третий месяц 0,03•(А–(2А/15))=0,03•(13A/15)
…
за 8–й месяц 0,03•(8A/15) (сумма выплат уменьшилась на (8A/15).
Тогда сумма выплат за 8-й месяц
(A/15) +0,03•(8A/15)=99 200
1,24•A=99200•15
А=1 200 000 - сумма кредита.
За весь срок придется выплатить этот кредит частями
(А/15)=80 000 руб в месяц
и проценты
0,03•A•(1+(14/15)+(13/15)+... (1/15))=
=0,03•A•(15+14+13+...+1)/15=
В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму 15 слагаемых от 15 до 1 по формуле суммы арифметической прогрессии.
0,03•A•(15+14+13+...+1)/15=0,24 А
При А=1 200 000 выплаты процентов составят
288 000
Общая сумма выплат 1 200 000 + 288 000 =1 488 000

Ответ выбран лучшим

1=log_(x+1)(x+1)
2=log_(x+1)(x+1)^2
Неравенство принимает вид:
log_(x+1)(5-x) меньше или равно log_(x+1)(x+1)^2.
Рассматриваем два случая.
1) х+1 > 1 при этом логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответcтвует большее значение аргумента.Данное неравенство заменим на неравенство между аргументами:
(5-х) меньше или равно (х+1)^2
При этом выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
Система
{x+1 > 0 ⇒ x > -1
{5-x меньше или равно (х+1)^2 ⇒x^2+3x-4≥0
{5-x > 0 ⇒ x < 5

Решением системы являются x∈[1;5)

2)0 < х+1 < 1 при этом логарифмическая функция убывает, данное неравенство заменим на неравенство между аргументами:
(5-х) больше или равно (х+1)^2
При этом выражение под знаком логарифма автоматически становится положительным.
Система
{0 < x+1 < 1 ⇒ -1 < x < 0
{5-x больше или равно (х+1)^2 ⇒x^2+3x-4 меньше или равно 0

Решением системы являются x∈(-1;0).

Объединяем оба ответа.
Ответ. x∈(-1;0)U[1;5)

Можно значительно упростить решение если применить метод рационализации логарифмических неравенств.
Он позволяет переходить от неравенства

log_(x+1)(5-x) меньше или равно log_(x+1)(x+1)^2

к неравенству

(х+1-1)(5-х-(х+1)^2) меньше или равно 0
с учетом ОДЗ: 5-x > 0; х+1 > 0,x+1≠1

x(-x^2-3x+4)меньше или равно 0
x(x^2+3x-4) больше или равно 0

__-__[-4]__+___0__-__[1]__+__
x∈[-4;0)U[1;+∞)

С учетом ОДЗ: (x∈-1;0)U(0;5), получаем ответ.
О т в е т. (-1;0)U[1;5)

Ответ выбран лучшим

Дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
Так как числитель -5,6 < 0, то и знаменатель (3х-8) < 0
3x < 8
x < 8/3;
x < 2 целых 2/3.

Ответ выбран лучшим

(4^x +2)/(4^x –8) + (4^x)/(4^x –4) + 8/(16^x –12·4^x +32) ⩽ 0.
Замена переменной
4^x=t; t > 0
16^x=(4^2)^x=9(4^x)^2=t^2.
(t +2)/(t –8) + t/(t –4) + 8/(t^2 –12·t +32) ⩽ 0.
Приводим дроби к общему знаменателю.
((t+2)(t-4)+t(t-8)+8)/(t-4)(t-8) ⩽ 0;
(2t^2-10t)/(t-4)(t-8) ⩽ 0;
2t(t-5)/(t-4)(t-8) ⩽ 0.
Применяем метод интервалов.
_+_[0]__-__( 4 )_+_[5]_-__( 8 )___+___

0 ⩽ t < 4 или 5⩽ t < 8;
0 ⩽ 4^x < 4 или 5⩽ 4^x < 4^(3/2);
x < 1 или log_(4)5 ⩽ x < 3/2
О т в е т. (-∞;1)U [log_(4)5 ;3/2)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(3π/2–x)=-sinx,
уравнение принимает вид
8sin^2x-2√3sinx-9=0
D=(-2√3)^2-4•8•(-9)=12+288=300
√D=10√3

sinx=[m]\frac{2√3-10√3}{16}[/m]

sinx=-[m]\frac{√3}{2}[/m]

x=(-π/3)+2πk, k∈Z или х=(π-(-π/3))+2πn, n∈Z
x=(-π/3)+2πk, k∈Z или х=4π/3)+2πn, n∈Z

ИЛИ

sinx=[m]\frac{2√3+10√3}{16}[/m]

sinx=[m]\frac{3√3}{4}[/m]

уравнение не имеет корней, |[m]\frac{3√3}{4}[/m]| > 1

О т в е т. (-π/3)+2πk, (4π/3)+2πn, k, n∈Z
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x+a+x+b=c;
2x+a+b=c;
2x=c-a-b
x=(c/2)-(a/2)-(b/2)
c,a,b - четные.

a=8; b=4; c=6 - натуральные четные.

x+8+x+4=6
2x+12=6
2x=-6
x=-3 - число целое

Ответ выбран лучшим

По теореме синусов из треугольника PQW:
PQ/sin∠W=2R ⇒ sin∠W=PQ/2R=16/20=4/5;
QW/sin∠P=2R ⇒ sin∠P=QW/2R=12/20=3/5.

sin^2∠W+sin^2∠P=(4/5)^2+(3/5)^2=1
Значит, ∠W+∠P=90° и
∠Q=90°. Треугольник PQW–прямоугольный.

б) Из подобия треугольников ВСD и QCW
BD:12=7:3.
BD=28
Из подобия треугольников AВС и PBQ
AC:16=7:4
AC=28
S(ABCD)=BD•AC/2=28•28/2=392 кв. ед.

Ответ выбран лучшим

В той точке, в которой подкоренное выражение принимает наименьшее значение.
Квадратичная функция f(x)=x^2–8x+17 принимает наименьшее значение в точке х=4.
f`(x)=2x-8
f`(x)=0
2x-8=0
x=4
При переходе через точку х=4 производная f`(x)=2x-4 меняет знак с - на +. Значит х=4 точка минимума
f(4)=4^2-8•4+17=1
y =√f(4)=1 - наименьшее значение данной функции
О т в е т. x_(0) =4

Ответ выбран лучшим

(sina+cosa)^2=sin^2a+2sinacosa+cos^2a=1+2•0,4=1,8
sina+cosa=√1,8, перед корнем +, так как 0 меньше или равно a меньше или равно π/4.
(sina-cosa)^2=sin^2a-2sinacosa+cos^2a=1-2•0,4=0,2
sina-cosa= -√0,2, перед корнем -, потому что синус возрастает на (0;π/4) и принимает значения от 0 до (√2/2), а косинус убывает и принимает значения от 1 до ((√2/2).
Иначе косинус расположен выше синуса на [0;π/4]
О т в е т.
(sina–cosa)/(sina+cosa) =-√0,2/√1,8=
=-√(1/9)=-1/3. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2sin2x+2√3sinx=2cosx+√3,
2•2sinxcosx+2√3sin x-(2cosx+√3)=0,
2sinx•(2cosx+√3)-(2cosx+√3)=0,
(2cosx+√3)•(2sinx-1)=0,
2cosx+√3=0 или 2sinx-1=0,
1)сosx=-√3/2 или 2)sinx=1/2.

1)x=±arccos(-√3/2)+2πk, k∈Z
x=±(π - arccos√3/2)+2πk, k∈Z
х=±(π-(π/6))+2πk, k∈Z
х=±(5π/6)+2πk, k∈Z
или
2)х=arcsin(1/2)+2πn,n∈Z или
х=(π-arcsin(1/2))+2πm,m∈Z.

х=(π/6)+2πn,n∈Z или х=(5π/6)+2πm,m∈Z.

Так как (1/2)^2+(-√3/2)^2=1, то угол синус которого равен 1/2, а косинус равен (- √3/2) это один и тот же угол во второй четверти.

О т в е т. (π/6)+2πk,k∈Z или х=(5π/6)+2πn,n∈Z или
х=(-5π/6)+2πm,m∈Z .
(прикреплено изображение)

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.
Нормальный вектор плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 имеет координаты (А;B;C)

Нормальный вектор плоскости х+3у-2z+5=0 имеет координаты (1;3;-2)
Нормальный вектор плоскости х+10у+5z+D=0 имеет координаты (1;10;5).
Из формулы скалярного произведения векторов получают формулу для нахождения угла между векторами.
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на длины векторов.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов координат.
cos α=(1•1+3•10+(-2)•5)/(√(1²+3²+(-2)²)• √ (1²+10²+5²))=21/√14• √126.
α=arccos(21/√1764)

Ответ выбран лучшим

x^2–49 > 0;
(x-7)(x+7) > 0.
Находим нули функции:
x-7=0 или х+7=0
х=7 х=-7
Отмечаем их пустым кружком на числовой оси ( круглые скобки на рис.)
__+___(-7)__-__(7)__+___

Находи знак на любом промежутке, например при х=0
0^2-49=-49 < 0
Ставим знак - на (-7;7), знаки чередуем слева и справа от интервала (-7;7) ставим +.

О т в е т. (–∞;–7)U(7;+∞)

Ответ выбран лучшим

См. рисунок.
∠С=180°-∠А-∠В=180°-45°-67°=68°
Биссектриса СК делит угол С пополам
∠КСА=∠КСВ=34°
Высота CD является катетом прямоугольного треугольника АСD острый угол А которого равен 45°.
Значит и второй острый угол DCA равен 45°.
∠DCK=45°-34°=11°
О т в е т. 11° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x₀)=k(касательной)
Касательная к кривой проходит через точку с абсциссой х₀
Напишем уравнение касательной в виде
у=kx+b.
Чтобы найти k подставим координаты точек (-1;1) и (3;-1)
1=k•(-1)+b
-1=k•3+b
Получаем систему двух уравнений
{1=k•(-1)+b;
{-1=k•3+b
Вычитаем из первого уравнения второе
1-(-1)=-k-3k;
2=-4k;
k=-1/2
k(касательной)=-1/2.

Можно написать уравнение касательной как уравнение прямой, проходящей через две точки (-1;1) и (3;-1).
Уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (х₁;у₁) и (х₂;у₂) имеет вид
(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁).
(х-(-1))/(3-(-1))=(у-1)/(-1-1)
(х+1)/4=(у-1)/(-2)
Пропорция, умножаем крайние и средние члены пропорции:
-2(х+1)=4(y-1)
4y+2x-2=0
y=(-1/2)x+(1/2)
k(касательной)=-1/2

Значит, f`(3)=-1/2

О т в е т. f`(3)=-1/2

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма.
Логарифмом называется показатель степени (0,5), в которую нужно возвести основание (25), чтобы получить выражение под знаком логарифма (2-3х)
Получаем уравнение:
25^(0,5)=2-3x
5=2-3x
3x=2-5
3x=-3
x=-1.
Так как мы не находили ОДЗ, надо сделать проверку.
log_(25)(2-3•(-1))=log_(25)5=1/2=0,5
О т в е т. х= - 1

Ответ выбран лучшим

1 cпособ
Достроим трапецию до прямоугольника ВКDA.
BK=AD=4
AB=DK=3
CK=1
S(трапеции)=S(прямоугольника BKDA)-S(прямоугольного треугольника СКD)=BK•AB+(CK•KD/2)=3•4-(1•3/2)=12-1,5=10,5 кв. ед.

2 способ.

Разделим трапецию на квадрат и прямоугольник.
АВ=ВС=СМ=АМ=3
МD=1
S(трапеции)=S(квадрата АВСМ)+S(прямоугольного треугольника СМD)=AB•BC+(CM•MD/2)=3•3+(3•1/2)=9+1,5=10,5 кв. ед. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)5+4=9 минут шел Олег до дома друга .
2)48 м/мин •9=432 м - расстояние от дома Олега до дома друга
3)432:4=108 м/мин шел Саша
О т в е т. 108 м/мин.

Ответ выбран лучшим

1) 140 г•42 м^2=5880 г=5,88 кг
2) 5,88 кг :3=1,96 банки округляем до 2
О т в е т. 2 банки нужно купить

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

220
1) 2^(-x+5) < 1/4; так как 1/4=(1/2)^2=2^(-1), то
2^(-x+5) < 2^(-1).
Показательная функция с основанием 2 > 1 монотонно возрастает, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
-х+5 < -1;
-x < -1-5;
-x < -6;
x > 6.
О т в е т. (6;+∞).
2) (1/3)^(|x-2|) > 1/27, так как 1/27=(1/3)^3.
(1/3)^(|x-2|) > (1/3)^3.
Показательная функция с основанием 0 < (1/3) < 1 монотонно убывает, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента.
|x-2| < 3;
-3 < x-2 < 3;
-1 < x < 5.
О т в е т. (-1;5).
221
1)5^(x^2+3x+1,5) < 5sqrt(5);
5^(x^2+3x+1,5) < 5^(1,5).
Показательная функция с основанием 5 > 1 монотонно возрастает, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
x^2+3x+1,5 < 1,5;
х^2+3x < 0;
x(x+3) < 0.
____+____(-3)___-___(0)___+___

О т в е т. x∈(-3;0).
2)(0,2)^(x^2-6x+7)больше или равно 1;
(0,2)^(x^2-6x+7)больше или равно 0,2^0.
Показательная функция с основанием 0 < 0,2 < 1 монотонно убывает, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента.
x^2-6x+7 меньше или равно 0.
D=(-6)^2-4•7=36-28=8
x=(6-2sqrt(2))/2=3-sqrt(2) или x=(6+2sqrt(2))/2=3+sqrt
___(3-sqrt(2))___-_____(3+sqrt(2))___

О т в е т. (3-sqrt(2);3+sqrt(2)).

Ответ выбран лучшим

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны.
Отмечены на рисунке: желтым цветом, равны r.
синим цветом (3-r), зелёным цветом (4-r).
Тогда гипотенуза АВ=(4-r)+(3-r)=7-2r.
По теореме Пифагора
(7-2r)^2=4^2+3^2;
49-28r+4r^2=16+9;
4r^2-28r+24=0
r^2-7r+6=0
D=49-24=25
r=(7-5)/2=1 или (7+5)/2=6 не удовлетворяет условию задачи. Катеты меньше, чем радиус вписанной окружности
О т в е т. r=1.

Ответ выбран лучшим

По свойству степени с отрицательным показателем:
a^(-n)=1/a^n.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
При делении - вычитаются.
(a^(–1)·b^(–3)/(2a)^2·b^(–7)) · (19/a^(–3)·b^(–4))=
=(b^7/2·a^3·b^3)· (19·a^3·b^4)=
=(19/2)·a^(3-3)b^(7-3+4)=
=9,5·b^8

Ответ выбран лучшим

Это число 899, сумма цифр числа
8+9+9=26
26 делится на 13.
899+5=904
Сумма цифр числа 904
9+4=13
13 делится на 13.
О т в е т. А = 899

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение. Замена переменной.
cosx=t; cos^2x=t^2.
2t^2-3sqrt(2)t+2=0
D-(-3sqrt(2))^2-4•2•2=18-16=2
t=sqrt(2) или t=sqrt(2)/2
Так как sqrt(2) > 1, уравнение cosx=sqrt(2) не имеет корней.
cosx=sqrt(2)/2
х=±arccos(sqrt(2)/2)+2πn, n∈Z.
х=±(π/4)+2πn, n∈Z.
Указанному промежутку принадлежит один корень
х=(-π/4)-2π=-9π/4
cм. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначим центр большой окружности О, её радиус R. Центр окружности, касающейся большой окружности внутренним образом Q, радиус r,центр третьей окружности, касающейся этих двух Р, радиус х.
См. рисунок.
а)Рассмотрим треугольник POQ.
Прямая, соединяющая центры касающихся окружностей проходит через точку касания.
АВ- линия центров окружностей, касающихся внутренним образом, проходит через точки О и Q.
AB=2R; CD=2r ⇒ OQ=R-r.
РО=R-x
PQ=x+r.
Р(Δ PQO)=PQ+QO+PO=R-x+R-r+x+r=2R

б)Рассматриваем два прямоугольных треугольника.
МРО и МРQ.
М- точка касания третьей окружности с линией центров первых двух.
Значит РМ⊥АВ.
Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО:
МО^2=PO^2-PM^2=(R-x)^2-x^2 ⇒
МО= sqrt((R-x)^2-x^2)
Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО:
МQ^2=PQ^2-PM^2=(r+x)^2-x^2 ⇒
МQ= sqrt((r+x)^2-x^2)
Так как MQ=MO+OQ, приравнивая получаем иррациональное уравнение:
sqrt((r+x)^2-x^2)=sqrt((R-x)^2-x^2)+ (R-r).
При R=3; r=2
sqrt((2+x)^2-x^2)=sqrt((3-x)^2-x^2)+ 1.
Возводим в квадрат.
(2+x)^2-x^2=(3-x)^2-x^2+2sqrt((3-x)^2-x^2)+1;
2sqrt((3-x)^2-x^2)=10х-6;
sqrt((3-x)^2-x^2)=5х-3.
Возводим в квадрат.
(3-х)^2-x^2=25x^2-30x+9;
25x^2-24x=0
x=0,96 или х=0- не удовл. условию задачи
О т в е т. 0,96 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть 4х^2=t,
возводим обе части в куб.
64х^6=t^3 ⇒ 8x^6=t^3/8.

Пусть 6х+10а=u или 2(3х+5a)=u
Возводим обе части в куб
8(3x+5a)^3=u^3 ⇒ (3x+5a)^3=u^3/8

Левая и правая части данного уравнения имеют одинаковую структуру.
Рассмотрим функцию
f(z)=(z^3/8)+z.
Данное уравнение можно представить в виде:
f(t)=f(u)
Исследуем функцию f(z) на монотонность.
f`(z)=(3z^2/8)+1.
f`(z) > 0 при любом z, значит функция y=f(z) монотонно возрастает при любом z.
Если значения функции в точках t и u равны, то равны и аргументы
f(t)=f(u)⇒ t=u
Отсюда следует, что данное уравнение имеет решение, если имеет решение уравнение t=u .
И обратно, данное уравнение не имеет корней, если не имеет корней уравнение t=u .
Рассмотрим уравнение t=u
Запишем его с переменной х
4x^2=6x+10a
4x^2-6x-10a=0
Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.
D=(-6)^2-4•4•(-10a)=36+160a
D < 0
36+160a < 0 ⇒ 160a < -36 ⇒ a < -9/40.
О т в е т. (- ∞; -9/40).

Ответ выбран лучшим

(x-5)^4=(5-x)^4 > 0 при х≠5, то

ОДЗ: 5-х > 0
5-x≠1
x+2 > 0
х∈(-2;4)U(4;5)
(x-5)^4=(5-x)^4;
log_(5–x)((x+2)/(x–5)^4) больше или равно –4log_(5-x)(5-x);
log_(5–x)((x+2)/(5–x)^4) больше или равно log_(5-x)(5-x)^(-4);
log_(5–x)((x+2)/(5–x)^4) больше или равно log_(5-x)(1/(5-x)^4).
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств.
(5-х-1)((x+2)/(5–x)^4 - 1/(5-x)^4) больше или равно 0.
(4-х)(х+1)/(5-x)^4 больше или равно 0.
Применяем метод интервалов
_-__[-1]__+__[4]_-__5__-__
x∈[-1;4]
C учетом ОДЗ получаем ответ.
х∈ [-1;4)

Ответ выбран лучшим

Пусть производительность первого станка х деталей в минуту, второго – у деталей в минуту, третьего – z деталей в минуту.
Пусть первый станок проработал t минут и изготовил xt деталей. Второй станок проработал на 20 минут меньше и изготовил у(t–20) деталей. Третий станок проработал (t–55) минут и изготовил z(t–55) деталей.
Так как по условию "в ходе работы был момент, когда каждый станок выполнил одну и ту же часть задания", то
xt=y(t–20)=z(t–55).

xt=y(t–20) ⇒ t=20y/(y–x)
xt=z(t–55) ⇒ t=55z/(z–x)

20y/(y–x)=55z/(z–x) ⇒ 20y(z–x)=55z(y–x) ⇒

4y(z–x)=11z(y–x);
4yz–4xy=11yz–11xz;
11xz=7yz+4xy;
y=11xz/(7z+4x).

800/x минут – время работы первого;
800/у минут – время работы второго;
800/z минут – время работы третьего.

По условию первый справился с заданием через 1 ч 28 мин после третьего.
Уравнение:
(800/х)–(800/z)=1 час 28 минут
800(z–x)/xz=88 ⇒
(z–x)/xz=88/800
Найти:
(800/х)–(800/у)=?
800(y–x)/xy=?
Подставим вместо y=11xz/(7z+4x)
получим
800•4(z–x)/11xz=(3200/11)•(z–x)/xz=
=(3200/11)•(88/800)=32 минут.
О т в е т. Через 32 минуты после третьего закончил работу второй.

Ответ выбран лучшим

b /(a-3b) + b /(a+ 3b) - 2ab/(3b-a)(3b+a).
Приводим дроби к общему знаменателю. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножаем на (a+3b), второй дроби на (a-3b)
Получаем
(b(a+3b) + b(a-3b) -2ab)/(3a-b)(3a+b)=
=(ab+3b^2 + ab-3b^2 -2ab)/(3a-b)(3a+b)=
=0/(3a-b)(3a+b)=0

Ответ выбран лучшим

1) Переносим слагаемые из правой части в левую с противоположными знаками.Приводим подобные.
Получим -х^2+7x-12 меньше или равно 0
Находим дискриминант и корни
D=7^2-48=1
корни 3 и 4
____-____[3]____[4]____-_____

О т в е т. (- ∞;-3]U[4;+∞).

2) -2х^2-9x-9 меньше или равно 0,
умножаем на (-1) и меняем знак на противоположный.
2х^2+9x+9 больше или равно 0.
D=9^2-4•2•9=9
x=(-9-3)/4=-3; x=(-9+3)/4=-3/2

__+__[-3]____[-3/2]_+__

О т в е т. (- ∞;-3]U[-3/2;+∞).
3) 10x^2+4x-32 < 0
D=16+1280=1296=36^2
x=(-4-6)/20=-1/2 x=(-4+6)/20=0,1

_____(-1/2)___-___(0,1)____
О т в е т. (-1/2; 0,1)

Ответ выбран лучшим

По формуле
d=|2x_(0)-3y_(0)+6z_(0)-21|/sqrt(2^2+(-3)^2+6^2)=
=|-21|/sqrt(49)=21/7=3

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора BD^2=AB^2+AD^2=12^2+9^2=144+81=225.
BD=15.
Чтобы построить сечение в плоскости ВВ_(1)D_(1)D проводим МК || BD_(1).
Δ BDD_(1) подобен Δ КМD.
DM:DD_(1)=DK:DB ⇒ 12:36=DK:15 ⇒ DK=5

Проводим КТ⊥AD ( cм. ниже чертеж основания АВСD)
Δ КТD подобен Δ BАD.
КТ:ВА=DK:DB ⇒ KT: 12 = 5:15 ⇒ KT=4
По теореме Пифагора из треугольника КТD:
TD=3
Значит, АТ=9-3=6

Δ АКТ подобен Δ АРD.
КТ:PD=АТ:АD ⇒ 4:PD = 6:9 ⇒ PD=6
CD=12-6=6
PD=CD.

Введем систему координат так, чтобы точка А совпала с началом координат, ось ох с ребром AD, ось оу с ребром AB, ось оz c ребром АА_(1).
См. рисунок справа. Напишем уравнение плоскости, проходящей через начало координат А в виде
ax+by+cz=0
Подставим координаты точек M(9;0;12) и P(9;6;0)
9a+12c=0 ⇒ c=(-3/4)a
9a+6b=0 ⇒ b=(-3/2)a
ax+(-3/2)ay+(-3/4a)z=0
или
4х-6у-3z=0 - Уравнение плоскости АМР.
По формуле
d=|4x_(D_(1))-6y_(D_(1))-3z_(D_(1))|/sqrt(4^2+(-6)^2+(-3)^2)=
=|4•9-6•0-3•36|/sqrt(61)=72/sqrt(61)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Находим производную
y'=(x^3·e^x)`=(x^3)·`e^x+x^3·(e^x)`=
=3x^2·e^x+x^3·e^x=e^x·x^2(3+x)
y`=0
e^x > 0 при любом х.
х^2=0 или (3+х)=0
х=0 х=-3 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума и находим знаки производной
____-___(-3)___+___(0)____+___

х=-3 - точка минимума функции, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с - на +
О т в е т. х=-3

Ответ выбран лучшим

2 ч 40 мин=2 целых 40/60 часа=8/3 часа.
2 часа 40 мин + 3 часа 20 мин = 6 часов.

Пусть х м^3 воды поступало в час во второй бассейн,
(х+30)м^3 воды поступало в час в первый бассейн.
Пусть прошло t часов с момента заполнения бассейнов.
За это время в первый бассейн поступило
t•(x+30)м^3 воды, во второй бассейн t• x м^3 воды.
По условию задачи
t• (x+30)+t• x м^3 - объем каждого из бассейнов.
В некоторый момент в двух бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объём каждого из них, то
(8/3)(х+30)+6х=t(x+30)+tx.
Так как объемы бассейнов равны, то (8/3)+t)•(x+30)=(6+t)x
Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
{((8/3)+t)•(x+30)=(6+t)x ⇒ х=9t+24
{(8/3)(х+30)+6х=t(x+30)+tx

(8/3)(9t+24+30)+6(9t+24)=2t(9t+24)+30t;
9t^2=144;
t=4

x=9t+24=36+24=60 м^3 в час поступает во второй бассейн.
4+6=10 часов наполнялся второй бассейн.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: -tgx > 0 ⇒ tgx < 0 ⇒ x∈((-π/2)+πk;πk), k∈Z.
По свойству логарифма степени
log_(3)(√–tgx) = log_(3)(-tgx)^(1/2)=(1/2)log_(3)(-tgx).
Уравнение примет вид
log^2_(3)(–tgx)–(1/2)log_(3)(–tgx) = 0.

Замена
log_(3)(–tgx)=t

t^2-(1/2)t=0;
t(t-1/2)=0
t=0 или t=1/2

log_(3)(–tgx)=0
-tgx=3^(0)
tgx=-1
x=(-π/4)+πn, n∈Z
или
log_(3)(–tgx)=1/2.
-tgx=√3;
tgx=-√3
x=(-π/3)+πm, m∈Z - корни принадлежат ОДЗ.
О т в е т. А)(-π/4)+πn; (-π/3)+πm, где n, m∈Z
Б)Найдем при каких m выполняются неравенства
4π < (-π/4)+πn < 11π/2, n∈Z
и
4π < (-π/3)+πm < 11π/2, m∈Z

4 < (-1/4)+n < 11/2, n∈Z
прибавим (1/4)
17/4 < n < 23/4
верно при n=5=(20/4)

4 < (-1/3) + m < 11/2
верно при при m=5
4 < (-1/3) + 5 < 11/2 - верно, так как
4 < 4 целых 2/3 < 11/2
4 < 28/6 < 33/6.

О т в е т. Б) ((-π/4)+5π)∈ (4π; 11π/2) и ((-π/3)+5π)∈ (4π; 11π/2)

Ответ выбран лучшим

100=10^2=((0,1)^(-1))^2=(0,1)^(-2)
Уравнение принимает вид
(0,1)^(x+2)=(0,1)^(-2) ⇒
x+2=-2;
x=-4.
О т в е т. -4.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 2^x≠2 ⇒ x≠1
2^x≠4 ⇒ x≠2
x∈(-∞;1)U(1;2)U(2;+∞)

Замена переменной
2^x=t;
t > 0
4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2
2^(x+1)=2•2^x=2t

Неравенство примет вид:
(t^2-3t+3)/(t-2) + (t^2-5t+3)/(t-4) меньше или равно 2t;
переносим 2t влево и приводим дроби к общему знаменателю:
-2(t^2-6t+9)/(t-2)(t-4) меньше или равно 0
или
(t-3)^2/(t-2)(t-4) больше или равно 0
(t-3)^2 > 0 при любом t;
(t-3)^2=0 при t=3 ⇒
(t-2)(t-4) > 0
t=3
_+__(2)__[3]__(4)_+__
C учетом t > 0

(0;2)U{3}U(4;+∞)

Обратная замена
0 < 2^x < 2⇒ x < 1
2^x=3 ⇒ x=log_(2)3
2^x > 4 ⇒ x > 2

О т в е т. (- бесконечность;1)U{log_(2)3}U(2;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

f(6)=4;
f(-5)=-3.
5f(6)-6f(-5)=5•4-6•(-3)=20+18=38 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Катер прошел вверх по течению 9 км, развернулся и прошел вниз по течению 13 км, а плот за это же время проплыл 13–9=4 км вниз по течению.
Пусть х км в час – скорость течения реки, а значит и скорость плота.
(22–х) км в час – скорость катера против течения,
(22+х) км в час – скорость катера по течению.
9/(22–х) час. – время, которое затратил катер на путь против течения.
13/(22+х)час. – время, которое затратитл катер на путь по течению.
4/х час. – время плота по течению.
Уравнение.
9/(22–х) + 13/(22+х) = 4/х
х≠0; 22–х≠0; 22+х≠0
9х(22+х)+13х(22–х)=4(22–х)(22+х);
484х–4х2=1936–4x2;
484x=1936;
x=4
4 км в час – скорость течения реки.
О т в е т. 4 км в час – скорость течения реки.

Ответ выбран лучшим

Красными прямыми круг разделен на 4 части, зелеными прямыми, каждая четвертинка разделена пополам.
Закрашенная часть составляет 3/8 круга.
3/8=48;
1/8=48:3=16
Незакрашенная часть составляет 5/8 круга.
(5/8)=5•(1/8)=5•16=80.
О т в е т. 80

Ответ выбран лучшим

AK- биссектриса угла А, значит ∠BAK=∠KAD.
∠ВКА=∠KAD - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей АК.
Δ АВК- равнобедренный, АВ=ВК=3.
DM- биссектриса угла D, значит ∠CDM=∠MDA.
∠CMD=∠CDM - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей MD.
Δ MCD- равнобедренный, MC=CD=3.
ВК+КМ+МС=11
3+КМ+3=11
КМ=5
О т в е т. КМ=5

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^x=t; t > 0
4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2.
Неравенство
t^2-at+3-a меньше или равно 0
имеет решения если его дискриминант неотрицателен.
D=(-a)^2-4*(3-a)=a^2+4a-12 больше или равно 0
а меньше или равно - 6 или a больше или равно 2

О т в е т. {-6}U[2;+бесконечность)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Катер прошел вверх по течению 9 км, развернулся и прошел вниз по течению 13 км, а плот за это же время проплыл 13-9=4 км вниз по течению.
Пусть х км в час - скорость течения реки, а значит и скорость плота.
(22-х) км в час - скорость катера против течения,
(22+х) км в час - скорость катера по течению.
9/(22-х) час. - время, которое затратил катер на путь против течения.
13/(22+х)час. - время, которое затратитл катер на путь по течению.
4/х час. - время плота по течению.
Уравнение.
9/(22-х) + 13/(22+х) = 4/х
х≠0; 22-х≠0; 22+х≠0
9х(22+х)+13х(22-х)=4(22-х)(22+х);
484х-4х^2=1936-4x^2;
484x=1936;
x=4
4 км в час - скорость течения реки.
О т в е т. 4 км в час - скорость течения реки.

Ответ выбран лучшим

(–2,5x–1)/(–x–2,5x^2)=(–2,5x–1)/x(-1-2,5x)=1/x. х≠0
Сократили и числитель и знаменатель на (-1-2,5х)≠0

Ответ выбран лучшим

(5 sinx–3)/(5 cos x-4) =0;

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Решаем систему:
{5sinx–3=0,
{5cosx-4≠0;

x=arcsin(3/5)+2πk, k∈Z или х=(π-arcsin(3/5))+2πn, n∈Z
Cм. рисунок.
Если sin α =3/5, то из равенства
sin^2α+cos^2α=1 ⇒ cos α=4/5 или сosα=-4/5
Угол в первой четверти синус которого равен 3/5, а косинус равен (4/5) не является корнем уравнения (cosx≠0).

О т в е т.
а)x=(π-arcsin(3/5))+2πn,
б) (π-arcsin(3/5))∈[0; 5π/2] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула суммы кубов:
х√х + 27 = (√х)^3 + 3^3=(√x + 3)((√x)^2-3√x+3^2)=
=(√x + 3)(x-3√x+9) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В основании правильной четырехугольной призмы - квадрат АВСD.
Боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.
Угол между диагональю АС_(1) и плоскостью основания - угол между диагональю АС_(1) и ее проекций АС.
Треугольник АС_(1)С - прямоугольный с острым углом в 30°. Катет против угла в 30°равен половине гипотенузы.
Значит гипотенуза АС_(1) в два раза больше катета СС_(1).
АС_(1)=6.
О т в е т. 6 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Разложим квадратный трехчлен (х^2–7х+6)
на множители
Найдем дискриминант
D=(-7)^2-4•6=49-24=25
x_(1)=(7-5)/2=1; x_(2)=(7+5)/2=6.
х^2–7х+6=(х–6)(x-1)
Уравнение примет вид:
(х-1)(х-6)(х-1)=4(х-6)
или
(х-1)^2•(х-6)-4(х-6)=0
Выносим за скобки общий множитель (х-6):
(х-6)•((х-1)^2-4)=0
x-6=0 или (х-1)^2-4=0
х_(1)=6 или (х-1)^2=4

(х-1)=2 или (х-1)= - 2
х_(2)=3 или х_(3)= - 1
О т в е т. - 1; 3; 6.

Ответ выбран лучшим

(2,5x–1)/(x–2,5x^2)= (2,5x–1)/x(1–2,5x).
меняем знаки (в двух местах: в числителе и перед дробью)
=-(1-2,5х)/х(1-2,5х)=-1/х.
х≠0; 1-2,5х≠0.

Ответ выбран лучшим

Корни приближенные. Значит иррациональные.
См. график.
Можно попробовать найти по формуле Кардано (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Уравнение плоскости, параллельной оси Оу имеет вид:
Ах+Сz+D=0
Плоскость проходит чрез точку Р(1,3,–5), значит координаты точки удовлетворяют уравнению:
A•1+0•3+C•(-5)+D=0
Плоскость проходит чрез точку Q(0,5,1), значит координаты точки удовлетворяют уравнению:
A•0+0•5+C•1+D=0

Из системы двух уравнений с тремя неизвестными:
{A•1+0•3+C•(-5)+D=0
{A•0+0•5+C•1+D=0 ⇒ D=-C и подставляем в первое уравнение
A-5C-C=0 ⇒ A=6C
О т в е т. 6Сх+Сz-C=0 или 6х+z-1=0.

Ответ выбран лучшим

Пусть точка М(х;у;z) принадлежит плоскости, делящей тупой двугранный угол пополам.
Тогда расстояние этой точки до плоскости 6х–у+7z–3=0 равно расстоянию этой точки до плоскости 2х+9у–z+7=0
|6x-у+7z-3|/sqrt(6^2+(-1)^2+7^2)=|2x+9y-z+7|/sqrt(2^2+9^2+(-1)^2);
|6x-y+7z-3|/sqrt(86)=|2x+9y-z+7|/sqrt(86);
6x-y+7z-3=2x+9y-z+7;
или
6х-у+7z-3=-2x-9y+z-7;

4x-10y+8z-10=0;
или
8х+8у+6z+4=0

2x-5y+4z-5=0
или
4х+4y+3z+2=0
Нормальный вектор (4;4;3) плоскости 4х+4у+3z+2=0 образует острые углы с нормальными векторами данных плоскостей
(6;-1;7) и (2;9;-1)
Соответствующие скалярные произведения положительны.

О т в е т. 4x+4y+3z+2=0

Ответ выбран лучшим

f(27x^3)=(27x^3)^(-2/3)=27^(-2/3)•x^(-2)=
=1/(∛(27^2)•x^2)=1/(9x^2)
g^2(x)=g(x)•g(x)=(1/(3x))•(1/(3x))=1/(9x^2).
Доказано, что f(27x^3)=g^2(x)

Ответ выбран лучшим

Окружности касаются внутренним образом. Ни одна из хорд меньшей окружности не может быть касательной к большей окружности.
Пусть хорда АВ окружности радиуса 13,25 касается окружности радиуса 9 в точке С.
См. рисунок.
ОС=ОМ=ОТ=9 - радиус меньшей окружности.
РМ=PN=PB=13,25 - радиус большей окружности.
РО=РМ-ОМ=13,25-9=4,25
Проведем РК⊥АВ.
РК- часть диаметра окружности радиуса 13,25.
Диаметр, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам.
Пусть АС=х, ВС=2х. По условию АС:ВС=х:2х=1:2.
АВ=АС+СВ=х+2х=3х.
Значит АК=КВ=1,5х;
СК=АК-АС=1,5х-х=0,5х.
Из прямоугольного треугольника РКВ:
РК^2=PB^2-KB^2
PK^2=(13,25)^2-(1,5x)^2
Рассмотрим прямоугольную трапецию ОСКР.
Проведем высоту РЕ.
Из прямоугольного треугольника ОЕР:
ОЕ^2+PE^2=OP^2
РЕ=КС=0,5х
EC=PK=√((13,25)^2-(1,5x)^2)
ОЕ=9-√((13,25)^2-(1,5x)^2)
(9-√((13,25)^2-(1,5x)^2))^2 +(0,5х)^2=(4,25)^2;

81-18√((13,25)^2-(1,5x)^2)+(13,25)^2-(1,5x)^2+0,25x^2=(4,25)^2.
или
18√((13,25)^2-(1,5x)^2)=81+(13,25)^2-(4,25)^2-2x^2;
18√((13,25)^2-(1,5x)^2)=81+17,5•9-2x^2;
18√((13,25)^2-(1,5x)^2)=9•26,5-2x^2.
Возводим в квадрат:
4х^4-225x^2=0
x^2(4x^2-225)=0
x^2=225/4;
x=15/2=7,5.
AB=3x=22,5.
О т в е т. АВ=22,5. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию а≠0

Если меньшее из чисел больше -7, то они оба больше-7.
b > -7 и c > -7.
{a^4(1–5a^(–2))–1 > -7,
{a^(–3)(5a–a^(–1))–1 > -7.

{a^4–5a^2+6 > 0,
{a^(–4)-5a^(–2)–6 < 0.

Обозначим t=a^2, u=a^(-2)
{t^2-5t+6 > 0,
{u^2-5u-6 < 0.

{(t-2)(t-3) > 0,
{(u-6)(u+1) < 0

{t < 2 или t > 3,
{-1 3,
{-1 < a^(-2) < 6.

1/а^2 > -1 при любом a≠0
то получаем совокупность двух систем неравенств:
1)
{a^2 < 2,
{1 < 6a^2
{a≠0
2)
{a^2 > 3
{1 < 6a^2
{a≠0
Ответ.(-∞;-√3)U(-√2;-1/√6)U(1/√6;√2)U(√3;+∞)

Ответ выбран лучшим

4^3+1=(4+1)(4^2-4+1)=5•13- кратно 5
(5^3+1)=(5+1)(5^2-5+1)=6•21- кратно 2
...
(9^3+1)=(9+1)(9^2-9+1)=10•73 - кратно 10

4^3-1=(4-1)(4^2-4+1)=3•13
(5^3-1)=(5-1)(5^2+5+1)=4•26- кратно 8
...
(11^3-1)=(11-1)(11^2+11+1)=10•133 - кратно 10
Поэтому
(4^3+1)(5^3+1)...(11^3+1)–(4^3–1)(5^3–1)...(11^3–1)=
=5•13•6•21•... 10•73•11•91•12•111-
-3•13•4•26•5•...•10•133=5•10•4•(...)- кратно 200
О т в е т. при n=11

Ответ выбран лучшим

Из формулы перехода к другому основанию
log_(5)|sinx|=1/log_(|sinx|)5.
Неравенство принимает вид:
log_(|sinx|)(x^2-14x+73) > 2log_(|sinx|)5
или
log_(|sinx|)(x^2-14x+73) > log_(|sinx|)5^2.
Применяя метод рационализации логарифмических неравенств получим систему неравенств:
{x^2-14x+73 > 0;
{|sinx|≠ 1;
{(|sinx|-1)(x^2-14x+73-25) > 0
x^2-14x+73=0
D=(-14)^2-4•73 < 0
Неравенство x^2-14x+73 > 0 верно при любом х.
х^2-14x+73-25=0
х^2-14x+48=0
D=(-14)^2-4•48=196-192=4
x=(14-2)/2=6 или х=(14+2)/2=8
|sinx| = 1 ⇒ sinx = - 1 или sinx = 1
x=(±π/2)+2πk, k∈Z.

Так как неравенство |sinx|-1 > 0 не имеет решений, то
неравенство (|sinx|-1)(x^2-14x+73-25) > 0 равносильно системе
{(|sinx|-1) < 0;
{(x^2-14x+73-25) < 0.
|sinx| < 1 при всех х, кроме х=(±π/2)+2πk, k∈Z.
О т в е т. (6; (π/2)+2π)U((π/2)+2π;8)

Ответ выбран лучшим

log_(x^2)|3x+1| < (1/2)log_(x^2)x^2;
log_(x^2)|3x+1| < log_(x^2)sqrt(x^2);
log_(x^2)|3x+1| < log_(x^2)|x|.
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{x^2 > 0 ⇒ x ≠0;
{x^2≠1 ⇒x ≠ -1 и x ≠ 1
{|3x+1| > 0 ⇒ x ≠ - 1/3;
{(x^2-1)(|3x+1|-|x|) < 0;

Так как
|3x+1|=|x| ⇒ (3x+1)^2=x^2, то
|3x+1|-|x|=0 ⇒ 8x^2+6x+1=0 ⇒ x=-1/2 или х=-1/4
(x-1)(x+1)(2x+1)(4x+1) < 0

_+_ (-1) _-_ (-1/2) _+_ (-1/4) _-_ (0) _-_ (1) _+_

О т в е т. (-1;- 1/2)U(-1/4;0) U (0; 1).

Ответ выбран лучшим

200=2•2•2•5•5
(k^3+1)(k^3-1)=(k+1)(k-1)(k^2-k+1)(k^2+k+1)
(k+1) и (k-1) должно делиться на 2, значит k- нечетное.

При k=51
(51+1)(51-1)=52•50=13•4•50=13•200 кратно 200, значит и все произведение кратно 200

Ответ выбран лучшим

1. По формуле разности квадратов
a^2-b^2=(a-b)(a+b) получаем
(3+a-a+4)(3+a+a-4)=7(2a-1)
при а=-3/2
7(2а-1)=7(-3-1)=-28
2.
{5x+15 > 7x+7,
{-1,25x < 5.

{-2x > -8,
{x > -5/1,25.

{x < 4,
{x > -4
О т в е т. (-4;4)

Ответ выбран лучшим

(1/3)+(1/5)=(5/15)+(3/15)=8/15;
(8/15)·6=(8·6)/15=16/5=3 целых1/5=3,2

405.
АВ=(х_(В)-х_(А);y _(В)-y_(А);z _(В)-z_(А))- из координат правой точки В вычесть координаты левой точки А.
ОА1=(2; 0; 2)
ОВ1=(0; 3; 2)
ОО1=(0; 0; 2)
ОС=(2; 3; 0)
ВС1=(2; 0; 2)
С1(2; 3; 2)
ОС1=(2-0;3-0;2-0)=(2; 3; 2)
ВС1=(2-0;3-3;2-0)=(2; 0; 2)
АС1=(2-2;3-0;2-0)=(0; 3; 2)
407.
Чтобы найти координаты суммы (разности) векторов надо сложить (вычесть) их соответствующие координаты.
а) (3+0;-5+7;2-1)=(3; 2; 1)
б)(3+(2/3);-5+0;2+0)=(3целых2/3; -5; 2)
в)(0+(2/3);7+0;-1+0)=(2/3; 7; -1)
г)(-2,7+0;3,1+7;0,5-1)=(-2,7; 10,1; -0,5)
д)(-2,7+3;3,1-5;0,3+2)=(0,3; -1,9; 2,3)
е)(3+0+(2/3);-5+7+0;2-1+0)=(3целых2/3; 2; -1)
ж)(3+0-2,7; -5+7+3,1; 2-1+0,5)=(0,3; 5,1; 1,5)
з)(3+0+(2/3)-2,7; -5+7+0+3,1; 2-1+0+0,5)=(11/30; 5,1; 1,5)
411.
а) (-3+0+3; 3+4-2; 3-4+0)=(0;5;-1)
б)(1-6+2; -1+4-1; 1+0+2)=(-3; 2;3)
в) (-0,1+0-2,1+10; 0,1+6+1,4-5; 0,1-6+0+10)=(7,8; 2,5; 4,1)
г)(-2+0;2+6;2-6)+(-1-0;1-4;1+4)-(-2-0;2-4;2+4)=(-3+2,2; 5+2;1-6)=(-0,8;7;-5).

Ответ выбран лучшим

Пусть красная грань имеет ребра длиной а и с; синяя грань - b и с; белая грань- a и b.
V=abc.
По условию
{ac+bc=297 ⇒c(a+b)=297
{2a+2c+6=2a+2b⇒ c+3=b
Тогда
c(a+c+3)=297⇒ a+c+3=297/c;
a=(297/c)-c-3.

V=abc=((297/c)-c-3)c(c+3)=(297-c^2-3c)(c+3)=
=297c-c^3-3c^2+891-3c^2-9c=
=-c^3-6c^2+288c+891.
Исследуем функцию V(c) на экстремум.
V`(c)=-3c^2-12c+288
V`(c)=0
c^2+4c-96=0
D=4^2-4•(-96)=400
c=(-4+20)/2=8, второй отрицательный корень - не удовл. условию.
При с=8
b=c+3=8+3=11
c(a+c+3)=297
8(a+11)=297 ⇒ a+11=297/8=
a+11=37,125
a=26,125

V=26,125•11•8=2299
О т в е т. 2299 куб. ед

Ответ выбран лучшим

1)Знаменатель дроби не должен равняться нулю tg(x/2) ≠0 ⇒ sin(x/2) ≠0.
y=tgx/2 определена при сos(x/2) ≠0.
Приравниваем числители.
√3(sin^4(x/4)-cos^4(x/4))=sinx.
Так как sin^2(x/4)+cos^4(x/4)=1; sin^2(x/4)-cos^4(x/4)=-сos(x/2),
Уравнение принимает вид:
-√3cos(x/2))=sinx;
cos(x/2)(2sin(x/2)+√3)=0
сos(x/2) ≠0, значит sin(x/2)=-√3/2
х/2= arcsin(-√3/2)+2πk, k∈Z или x/2=(π - arcsin(-√3/2))+2πn, n∈Z;
х/2= (-π/3)+2πk, k∈Z или x/2=(π - (-π/3))+2πn, n∈Z;
х= (-2π/3)+4πk, k∈Z или x=(8π/3)+4πn, n∈Z.

2) Пусть
6^(x^2+6x)=t, тогда 6^((x+3)^2-8)=6^(x^2+6x+9-8)=6^(x^2+6x+1)=6t.
Первое выражение принимает вид
t-6t+30=-5t+30
√(2^(x+9)-16) больше или равно 0 при любом х, удовлетворяющем ОДЗ, т.е.
2^(x+9)-16 больше или равно 0, а произведение двух множителей положительно, когда множители имеют одинаковые знаки, то решаем систему двух неравенств:
{2^(x+9) > 2^4,
{-5t+30 > 0.

{x+9 > 4,
{t < 6.

{x > -5,
{6^(x^2+6x) < 6

{x > -5,
{x^2+6x < 1

x^2+6x-1=0
D=36+4=40
x=-3±√10

О т в е т. (-5;-3+√10).

Ответ выбран лучшим

5^(–10)·5^5/5^(–9)=5^(-10+5-(-9))=5^(4)=625

Ответ выбран лучшим

1)
Δ ВОС ~ Δ AOD ( по двум углам, отмечены на рисунке- это внутренние накрст лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущих АС и BD).
AO:OC=10:18 ⇒ OC=1,8AO
AC=AO+OC=2,8AO

2) Пусть МК=LN=х, KL=2x. MK:KL=x:2x=1:2.

3)Δ AОD ~ Δ KOL ( MN || AD)
OK:AO=KL:AD ⇒ OK=AO•2x/18=AO•x/9.

AK=AO-OK=AO•(1-(x/9))=AO•(9-x)/9.

4)Δ AMK ~ Δ ABC ( MN|| BC)
MK:BC=AK:AC ⇒ x:10 = (AO•(9-x)/9):2,8•AO
9•2,8•х=10(9-х);
35,2х=90
x=225/88.

5) MN=MK+KL+LN=x+2x+x=4x=4•(225/88)=225/22=
=10целых 5/22.
О т в е т. 10 целых 5/22.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть кредит составляет А рублей, 2 % – процентная ставка, 18 месяцев–срок, на который взят кредит.
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/n,
Выплаты процентов составят:
за первый месяц 0,02•А (сумма выплаты идет со всей взятой суммы)
за второй месяц 0,02•(А–(А/18))=0,02•17A/18 (сумма выплат уже уменьшилась на (1/18)A.
за третий месяц 0,02•(А–(2А/18))=0,02•16A/18 (сумма выплат уже уменьшилась на (2/18)A.
…
за 18–й месяц 0,02•A/18 (сумма выплат уменьшилась на (17A/18).
Тогда за 18 месяцев придется вернуть всю взятую сумму
18 •(А/18)=A
и проценты, т.е.
0,02•А+0,02•(17A/18)+…+0,02•(A/18)=0,02•А(1+(17А/18)+(16А/18)+… (А/18))
В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму 18 слагаемых от 18 до 1 по формуле суммы арифметической прогрессии.
А +0,02•А(18+17+…+1)/18=А+0,19А=1,19А руб.- общая сумма выплат
А руб составляют 100%
1,19А руб. составляют х%
х=1,19А•100:А=119%.
Ответ. общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования 119 % от суммы кредита.

Ответ выбран лучшим

98(4)
sin(-π/3)=(x+3)/2;
-√3/2=(x+3)/2;
x=-3-√3.
99(4)
cosπ=(2x-1)/3;
-1=(2x-1)/3;
x=-1
100(4)
tg(-π/4)=2-3x;
-1=2-3x;
x=-1.
101(5)
-1≤(2-√x)/3≤1;
-3≤(2-√x)≤3;
-5≤-√x ≤1;
-1 ≤√x ≤5;
Возводим в квадрат при условии х≥0.
О т в е т. 0 ≤x ≤25.
101(6).
-1≤3√x-2≤1;
1≤3√x)≤3;
1≤9x ≤9;
(1/9) ≤x ≤1
О т в е т.(1/9) ≤x ≤1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

8035=5•1607- делится на 5 и на 1607,
1607 - простое число.

8035^2=5^2•1607^2 - делится на 5; 25; 1607;8035; 1607^2
8035^3=5^3•1607^3 - делится на 5; 25;125; 1607; 8035;1607^2; 8035^2; 200 875; 1607^3.
...

Ответ выбран лучшим

Сумма чисел 36+24=60
Разность чисел 36-24=12
Частное от деления суммы (36+24) на 20
(36+24):20=60:20=3
Частное от деления разности (36-24) на 20
(36-24):20=12:20=0,6
Произведение частного от деления суммы (36+24) на 20
и частного от деления разности (36-24) на 20
равно
((36+24):20)•((36-24):20)=3•0,6=1,8
О т в е т. 1,8

Ответ выбран лучшим

5) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(2/3)•(1,2+1,7+2,1+2,9+3,3+3,8)=
=(2/3)•((1,2+3,8)+(1,7+3,3)+(2,1+2,9))=
=(2/3)•(5+5+5)=
=(2/3)•15=10

Ответ выбран лучшим

По определению
у=х^(α) - степенная функция, где
α- действительное число, х > 0.
О т в е т. В) у=х

Ответ выбран лучшим

Cм. рисунок.
Пусть точки А(х_(А);у_(А)) и В(х_(В);у_(В)) лежат на параболе, а точки С и D на прямой у=х-0,2.
Противоположные стороны квадрата параллельны.Значит,
точки А и В лежат на прямой АВ, параллельной прямой у=х-0,2.
Пусть это прямая у=х+m.
Значит, у_(А)=х_(А)+m; y_(B)=x_(B)+m
Расстояние между точками А и В
d^2=(x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2=
= (x_(B)-x_(A))^2+(x_(B)-m-y_(A)+m)^2=
=2• (x_(B)-x_(A))^2.
Рассмотрим прямоугольный треугольник РКЕ, PK⊥CD.
Р-точка пересечения прямой у=х+m c осью ОУ.
Р(0;m)
Е- точка пересечения прямой у=х-0,2 с осью ОУ.
Е(0;-0,2)
РЕ=m+0,2
Прямые у=х+m и у=х-0,2 образуют с осью Ох угол 45°, а значит и с осью Оу - 45°.
РК=ВС=d=(m+0,2)•sin45°=(m+0,2)/√2.
d^2=(m+0,2)^2/2.
Все стороны квадрата равны.
АВ=ВС, но ВС=РК, значит
AB=PK. Получаем уравнение
(m+0,2)^2/2=2•(x_(B)-x_(A))^2.
-----------------------------
Так как точки А и В лежат на параболе, то
у_(А)=10х^2_(А); у_(В)=10х^2_(В)
и на прямой, то
m=10х^2_(B)-x_(B)=10х^2_(А)-х_(А) или
10х^2_(А)-х_(А)=10х^2_(B)-x_(B).
Откуда х_(А)+х_(В)=0,1.
-------------
4•(2х_(В)-0,1)^2=(10x^2_(B)-x_(B)+0,2)^2
Упрощаем
100х^4_(B)-20x^3_(B)-11x^2_(B)+1,2x_(B)=0
(x_(B)-0,1)(10x_(B)-4)(10x_(B)+3)=0
при x_(B)=0,4 и х=-0,3 получим наибольшее значение
d^2=2•(2х_(В)-0,1)^2=2•(2•0,4-0,1)^2=2•0,7^2=0,98
d^2=2•(2х_(В)-0,1)^2=
=2•(2•(-0,3)-0,1)^2=2•(-0,7)^2=0,98
S=d^2=0,98.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1 способ
Применяем формулу суммы арифметической прогрессии
S=(a_(1)+a_(n))•n/2.
1+3+5+...+99=(1+99)•50/2=2500 г на левой чашке.
2+4+6+...+100=(1+100)•50/2=2525 г на правой чашке весов.
2525-2500=25 г на 25 г груз на правой чашке больше.
или
2 способ. Не применяя формулу суммы арифметической прогресии.
Вычитаем.
(2+4+...+100)-(1+3+5+...+99)=
раскрываем скобки и перегруппировываем
=(2-1)+(4-3)+...+(100-99)=1+1+...+1=25 г

Ответ выбран лучшим

b₁•b₂•b₃•b₄•b₅•b₆=
=b₁•(b₁•q)•(b₁•q^2)•(b₁•q^3)•(b₁•q^4)•(b₁•q^5)=(b₁^6•q^(15))=(b₁^2•q^(5))^3.
ПО условию
(b₁^2•q^(5))^3=20^(732)
b₁^2•q^(5)=20^(244)
20^(244)=2^(488)*5^(244)

Возможны варианты:
1){b₁=2^4*5^2,
{q=2^(96)*5^(48);
2){b₁=2^(14)*5^7,
{q=2^(92)*5^(46);
3){b₁=2^(24)*5^(12),
{q=2^(88)*5^(44);
...
24){b₁=2^(234)*5^(117),
{q=2^(4)*5^(2);

25){b₁=2^(244)*5^2,
{q=5^(48);
26){b₁=2^(244)*5^7,
{q=5^(46);
...
48){b₁=2^(244)*5^(117),
{q=5^(2);

49){b₁=2^(128)*5^2,
{q=2^(48)*5^(48);
50){b₁=2^(129)*5^7,
{q=2^(46)*5^(46);
...
72){b₁=2^(239)*5^(117),
{q=2^(2)*5^(2);

О т в е т. 72 прогрессии

Ответ выбран лучшим

Пусть МА=9х, МР=16х, тогда АР=7х
7х=5 ⇒ х=5/7
Тогда MP=16 • (5/7)=80/7.

Так как пирамида правильная и в основании равносторонний треугольник со стороной 6, то высота пирамиды проектируется в центр описанной окружности.
АО=R=6√3/3=2√3.
АК=h(треугольника АВС)=6√3/2=3√3.
Из равнобедренного треугольника РВС:
апофема РК=4 ( египетский треугольник РКС с гипотенузой 5 и катетом КС=3)
По теореме косинусов из треугольника АРК:
АР=5;РК=4 АК=3√3
сos∠АРК=(АР^2+РK^2-AK^2)/2•AP•PK=
=(25+16-27)/2•5•4=7/20;

∠АРК=∠MРК
Из треугольника МРК по теореме косинусов:
МК^2=МР^2+PK^2-2•МР•РК•сos∠АРК=(80/7)^2+4^2-2•(80/7)•4•(7/20)=5616/49

По теореме косинусов из треугольника МРК:
сos∠MKP =(МK^2+PK^2-MP^2)2•МK•РК;
сos∠MKP=(5616/49)+4^2-(80/7)^2=0
∠MKP=90°

Линейный угол двугранного угла равен 90°.
Плоскости РВС и МВС перпендикулярны.

б) По теореме Пифагора из треугольника АРО:
H(пирамиды РАВС)=РО= √ (5^2-(2√3)^2)=√13.
Из подобия
h(пирамиды МАВС):H(пирамиды РАВС)=АР:МА=7х:9х
h= 9•√13/7
V (пирамиды МАВС)=(1/3)•S( треугольника АВС)•h=
=(1/3)•(6√3/4)•(9√13/7)=27√39/7 кв. ед. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов найдем АС.
АС^2=8^2+7^2-2•8•7• cos120°=169;
AC=13.
Р=8+7+13=28; р=14.
По формуле Герона
S=√14•(14-13)•(14-7)•(14-8)=14√3;
r=S/p=√3
По свойству касательной к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
АМ=AD;
CF=CM;
BF=BD.
Рассмотрим четырехугольник BDOF:
∠D=∠F=90°;∠DBF=120°.
Δ DOB =ΔBOF
Пусть BF=x, тогда ВО=2х.
По теореме Пифагора
(2х)^2-x^2=(√3)^2;
3x^2=3
x=1
BF=BD=1
CF=7-1=6
CM=CF=6
AM=13-6=7
AM=BC=7.
б) Из треугольника АВС по теореме косинусов:
ВС^2=AB^2+AC^2-2•AB•AC•cos∠А
cos∠А=(64+169-49)/(2•8•13)=23/26.
По теореме синусов
ВС: sin∠А=AC: sin ∠B ⇒ sin∠А=7√3/26;
tg∠А=7√3/23.
РК - касательная к окружности w.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки:
КМ=КЕ;
РЕ=РD=r=√3.
АВ=АР+PD+DB ⇒ AP=8-√3-1=7-√3.
Из прямоугольного треугольника АРК:
РК=АР•tg∠А=(7-√3)•7√3/23.
О т в е т. б)(7-√3)•7√3/23. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^x=t
Неравенство примет вид:
2t√(2t-1)/(t-15) меньше или равно √(2t-1)/(t-8)
или
(2t^2-16t-t+15)√(2t-1)/(t-15)(t-8) меньше или равно 0;
(t-1)(2t-15)√(2t-1)/(t-15)(t-8) меньше или равно 0.
ОДЗ: 2t-1 больше или равно 0.
Решаем методом интервалов на [1/2; + бесконечность)
[1/2] _+_ [1] __-__[15/2] _+_ (8) __-___ (15)___+__

t=(1/2) или 1 меньше или равно t меньше или равно (15/2)
или 8 < t < 15.
Обратная замена
2^x=2^(-1) или 2^(0) меньше или равно 2^x меньше или равно 2^(log_(2)15/2)
или 2^3 < 2^x < 2^(log_(2)15).

О т в е т. {-1} U [0; log_(2)15/2]; (3; log_(2)15)

Ответ выбран лучшим

Процентная ставка n% от 500 000 рублей это 0,01n•500 000 = 5000n руб.
На 5 ЯНВАРЯ следующего года долг составит (500 000 + 5000n) руб.
До 19 ЯНВАРЯ происходит выплата так, чтобы долг уменьшился на 100 000 руб.
Выплачиваем сумму кредита, разделенную на 5 месяцев и проценты за 1-ый месяц со всей суммы кредита ((500 000/5 )+5000n)=(100 000 +5000n) руб.
После чего сумма долга на 20.01 составит 400 000 руб.

На 5 ФЕВРАЛЯ долг составит 400 000 и проценты на эту сумму долга, т.е. 4000n руб.
До 19 ФЕВРАЛЯ происходит выплат так, чтобы долг уменьшился на 100 000 руб.
Выплачиваем ((500 000/5 )+4000n) руб.
После чего сумма долга на 20.02 составит 300 000 руб
...
На 5 МАЯ года долг составит 100 000 и проценты на эту сумму 1000n =(100 000 +1000n)руб.
До 19 мая происходит выплата так, чтобы долг был выплачен полностью.
Сумма выплат за 5 месяцев
5•(500 000/5 )=500 000 руб. - взятый кредит
и проценты по кредиту:
5000n+4000n+3000n+2000n+1000n=15000n
По условию задачи 15000n должно быть более 200 000 руб.
Решаем неравенство:
15 000n больше или равно 200 000;
n больше или равно 13,333
Наименьшее n равно 14%.
О т в е т. 14%.

Ответ выбран лучшим

10^7=2^7•5^7
Значит, а - четное
Пусть а=2n
а(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)=
=2n(2n+16)(2n+32)(2n+48)(2n+64)=
=2^5•n(n+8)(n+16)(n+24)(n+32) - не кратно 2^7
Поэтому пусть а=4n
а(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)=
=4n(4n+16)(4n+32)(4n+48)(4n+64)=
=4^5•n(n+4)(n+8)(n+12)(n+16)- кратно 4^5=2^10
Произведение n(n+4)(n+8)(n+12)(n+16) должно быть кратно 5^7
значит, наибольший множитель (n+16) кратен 5^7
n=5^7-16=78125-16=78109
a=4n=4•78109=312436

а(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)=312436•312452•312468•312484•312500- кратно 10^7

О т в е т. а=312436

Ответ выбран лучшим

а)
4sin^42x + 3cos4x – 1 =0;
4•((1 – cos4x)/2)^2 + 3cos4x – 1 = 0;
cos^24x + cos4x =0;
cos4x(cos4x + 1) = 0
cos4x = 0 или сos4x+1=0
4x= (π/2)+ πk, k∈Z или сos4x=-1
4x= π + 2πn, n∈Z
x= (π/8)+ (π/4)k, k∈Z или х=(π/4)+ (π/2)n, n∈Z

б)
Отбор корней см на рисунке.
О т в е т. 9π/8; 5π/4; 11π/8
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

sin(x-3π/2)=-sin(3π/2-x) в силу нечетности синуса.
По формулам приведения:
sin(3π/2-x)=-cosx, поэтому
sin(x-3π/2)=сosx.
По формулам приведения:
cos(3π/2+x)=sinx.
Уравнение принимает вид:
√2·сosx·sinx+cosx=0;
cosx(√2sinx +1)=0
cosx=0 или √2sinx +1=0
х=(π/2)+πk, k∈Z или sinx=-1/√2
x=(-π/4)+2πn, n∈Z или х= (-3π/4)+2πm, m∈Z
cм. рисунок.
О т в е т. х=(π/2)+πk или
x=(-π/4)+2πn или х= (-3π/4)+2πm, k, n, m∈Z
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)
1) если cosx больше или равно 0, то |cosx|=cosx
Уравнение принимает вид
сosx=-√3sinx ⇒ tgx=-1/√3
x=arctg( -1/√3)+ πk, k∈Z
x=(-π/6) +πk, k∈Z
Получили решения во 2 и 4 четверти, с учетом
cosx больше или равно 0, берем только корни, принадлежащие 4-ой четверти
х=(-π/6) +2πn, n∈Z

2)если cosx < 0, то |cosx|= - cosx
Уравнение принимает вид
- сosx = -√3sinx ⇒ tgx = 1/√3
x=arctg( 1/√3)+ πk, k∈Z
x=(π/6) +πk, k∈Z
Получили решения во 1 и 3 четверти, с учетом
cosx < 0, берем только корни, принадлежащие 3-ей четверти
х=(π/6)+π+2πm =(7π/6)+2πm, m∈Z

б) Указанному промежутку принадлежит корень х=(7π/6)+2π=19π/6.
См. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

79.
2)7π/8 < 8π/9, так как 63π/72 < 64π/72.
Функция у=ctgx убывает на (0; π).
7π/8 и 8π/9 принадлежат интервалу (0;π).
Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.
ctg (7π/8) > ctg (8π/9).
5) 2 < 3 и принадлежат интервалу (0;π)
Функция у=ctgx убывает на (0; π).
ctg 2 > ctg 3.
80.
1) сtg x=1
x=arcctg 1 + πk, k∈Z.
x=(π/4) + πk, k∈Z.
81.
3) ctg x < - 1. Cм. рисунок.
(3π/4) + πk < x < (π) + πk, k∈Z. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме ксинусов
ВС^2=AC^2+AB^2-2AB•AC•cos∠CAB;
BC^2=(2√2)^2+2^2-2•2√2•2•(-√2/2)=8+4+8=20
BC=2√5 cм.
По теореме синусов:
ВС/sin∠A=AB/sin∠C;
sin∠C=1/√10.
Так как sin^2∠C+cos^2∠C=1 и угол С - острый( в треугольнике один угол тупой уже есть)
cos∠C=3/√10.

ОС=ВС/4=√5/2.
По теореме косинусов
АО^2=AC^2+OC^2-2•AC•OC•cos∠C;
AO^2=(2√2)^2+(√5/2)^2-2•2√2•(√5/2)•(3/√10)=13/4
AO=(√13)/2 cм.
О т в е т. (√13)/2 cм.

Ответ выбран лучшим

В окружность можно вписать квадрат.
Стороны квадрата - хорды. Равные хорды стягивают равные дуги.Все четыре дуги, стягиваемые сторонами квадрата содержат 90 градусов. См. рисунок 1.
Проведем прямую АС. Получим равнобедренный треугольник АВС. Вписанный угол ВАС равен половине дуги ВС, на которую он опирается.
∠ВАС=45 градусов.
Углы В и С при основании равнобедренного треугольника равны.
∠В=∠С=(180 градусов-45 градусов)/2=135 граудсов/2=67,5 градусов
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) Верно, так как в треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. Угол А - наименьший. Сторона Вс лежит против этого угла.
2) Верно, так как против угла В лежит сторона АС.
Сторона АС наибольшая. Значит и угол В - наибольший.
3) Неверно. Внешний угол может быть острым, тогда смежный с ним, внутренний угол треугольника - тупой.
Острый угол не может быть больше тупого.

Ответ выбран лучшим

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусов.
∠А+∠В=180 градусов.
Биссектриса АК делит угол А пополам.
Биссектриса ВК делит угол В пополам
(∠А/2)+(∠В/2)=(∠А+∠В)/2=180 градусов/2=90 градусов.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов, значит ∠ ВКА = 180 градусов - ((∠А/2)+(∠В/2))= 180 градусов - 90 градусов= 90 градусов.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

См. рисунок. Земли сельскохозяйственного назначения занимают 3/16 части круга.
12577400:16•3=2358262≈2358 тыс.
О т в е т. 3. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а=b -боковые стороны
с=104 - основание.
Р=а+b+c
234=a+a+104
2a=130
a=65
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и делит основание пополам. При этом образуются два равных прямоугольных треугольника с гипотенузами 65 и катетами 52. Второй катет является высотой данного равнобедренного треугольника - равен 39 .Вычисляем по теореме Пифагора
Н^2=65^2-52^2=(65-52)(65+52)=13•117=(13•3)^2=39^2
H=39
S=(cH/2)=104•39/2=2028

Ответ выбран лучшим

1) Уравнение прямой у=kx+b
При x=0 у=b b=3
Очевидно, что это прямая у=х+3
2) Прямая параллельная оси ох имеет уравнение
у=а.
а=3
Значит на рисунке 2) прямая у=3
3) Прямая проходит через начало координат, образует с осью ох острый угол, значит угловой коэффициент k > 0.
Это прямая у=3х.
Она проходит через точку (1;3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)a^3-25a=a(a^2-25)
2)(1/(a+5))-(1/(a-5))=(a-5-a-5)/(a-5)(a+5)=-10/(a^2-25)
3) a(a^2-25)·(-10/(a^2-25))=-10a
При а=-39 получаем -10·(-39)=390

Ответ выбран лучшим

{x^2 > 16;
{x^2-16x меньше или равно 0;

{x^2-16 > 0;
{x^2-16x меньше или равно 0;

{(x-4)(х+4) > 0;
{x(х-16) меньше или равно 0.

__+___(-4)_______(4)__+___

________[0]____-_________[16]_____
О т в е т. (4;16]

Ответ выбран лучшим

b_(2)=-2·(1/b_(1))=-2·(1/4)=-1/2;
b_(3)=-2·(1/b_(2))=-2·(1/(-1/2))=-2·(-2)=4

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Значит дуга АС содержит 134 градусов. Центральный угол АОС измеряется дугой, на которую он опирается.
Угол АОС равен 134 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Возводим обе части уравнения в квадрат.
(√1–2x)^2=9^2;
1-2x=81;
-2x=81-1;
-2x=80
x=-40
При возведении в квадрат могут появиться постронние корни, поэтому обязательно надо делать проверку. Или находить ОДЗ.
Проверка:
при х=-40
√(1–2•(-40))=9
√81=9- верно
О т в е т. х=-40

Ответ выбран лучшим

3^(x–1/2)·3^(x+1)=1;
3^(x-0,5+x+1)=3^(0);
3^(2x+0,5)=3^(0);
2x+0,5=0
2x=-0,5
x=-0,25
О т в е т. х=-1/4

Ответ выбран лучшим

(7^2)^(cosx•sinx)=7^(sqrt(3)sinx);
7^(2•cosx•sinx)=7^(sqrt(3)sinx);
2•cosx•sinx=sqrt(3)sinx;
2•cosx•sinx-sqrt(3)sinx=0;
sinx(2cosx-sqrt(3))=0;
sinx=0 или 2cosx-sqrt(3)=0
х=Pik, k - целое или сosx =sqrt(3)/2
x= ±(Pi)/6 + 2Pin, n - целое
О т в е т. х=Pik, x= ±(Pi)/6 + 2Pin, k, n - целые

Ответ выбран лучшим

26 < 27 < 28 - верно.
О т в е т. г)

Ответ выбран лучшим

Градиент - вектор, указывающий направление наибыстрейшего роста данной функции. В направлении градиента функция имеет самый крутой подъем. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

x√x + 27=(√x)^3 +3^3=(√x+3)(x-3√x +9);
Соращаем и числитель и знаменатель на (x-3√x +9), получаем
√x+3 - √x = 3
О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

sin ∠А= cos ∠B=a/с=3/9

Ответ выбран лучшим

6a^2-5ab-6b^2.
Перепишем как квадратный трехчлен, зависящий от а:
6^2 -(5b)a-6b^2.

D=(-5b)^2-4•6•(6b^2)=25b^2+144b^2=169b^2=13b
a=(5b+13b)/12=3b/2 или а=(5b-13b)/12=-2b/3.
Разложим на множители по правилу
ax^2+bx+c=a(x-x_(1))(x-x_(2))
6a^2-5ab-6b^2=6(a-(3b/2))(a-(-2b/3))=
=(2a-3b)(3a+2b).

_4x^4-16x^3+3x^2+ax+b |x^2-4x+1
4x^4-16x^3+4x^2
----------------
_-x^2+ax+b
-x^2+4x-1
---------
(a-4)x+b+1
Частное 4x^2-1 не пропечатывается, сдвигается влево и получается не то, поэтому не написано.
Остаток (a-4)x+b+1 должен равняться нулю.
Т.е
(a-4)x+(b+1)=0x+0.
Значит
{а-4=0
{b+1=0
О т в е т. а=4; b=-1

Ответ выбран лучшим

79.
4) (-π/5) < (-π/7). Так как тангенс возрастающая функция, то большему значению функции соответствует большее значение аргумента
tg (-π/5) < tg (-π/7).
6) 1 > 1,5
tg 1 > tg 1,5.
80.
4) tgx=-1
x=(-π/4)+πk, k - целое
Найдем при каких k
-π < (-π/4)+πk < 2π
или
-1 < (-1/4) + k < 2
При k=1
-1 < (-1/4)+1 < 2- верно, так как -1 < 3/4 < 2 -верно.
При k=2
-1 < (-1/4)+2 < 2- верно, так как -1 < 7/4 < 2- верно.

х=(-π/4)+π=3π/4 принадлежит (-π;2π)
х=(-π/4)+2π=7π/4 принадлежит (-π;2π)
О т в е т. 3π/4;7π/4.
81.
1)
((-3π/4);(-π/2)); ((3π/4);(π/2));((3π/4);(3π/2)).
См. рисунок.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
(5+x)^2=t; (5+x)^4=t^2.
t^2 – t – 12 = 0

D = (–1)^2 – 4·1·(–12) = 1 + 48 = 49=7^2.

t_(1) = (1 -7)/2 = -3;t_(2) = (1+7)/2 = 4.

Обратная замена:

(5+х)^2=-3 - уравнение не имеет корней, слева (5+х)^2 больше или равно 0 при любом х и не может равняться отрицательному числу.

(5+х)^2=4
5+x = 2 или 5+х=-2;
х=2-5 х=-2-5;
х=-3 х=-7
Ответ: –7 ; –3.

1) 2,4:(8/7)-0,1=(24/10)•(7/8)-0,1=2,1-0,1=2;
2) (8•10^4)•(2,5•10^(-7))=8•2,5•(10^4•10^(-7))=
=20•10^(4-7)=2•10•10^(-3)=2•10^(1-3)=2•10^(-2)=
=2•0,01=0,02;
3)80 руб - 100%
72 руб - х %
х=72•100:80=90%
100%-90%=10% составляет скидка
4) √(3^2+5^2+(√41)^2)/3)=√(75/3)=√ 25=5;
5) √1,2•√1,4/√0,42=√(1,2•1,4/0,42)= √(12•14/42)=2
6)28•25=700 рублей заплатила за журналы
700-590=110 рублей разница по сравнению с подпиской.

Ответ выбран лучшим

По определению логарифма: это показатель степени 2, в которую нужно возвести основание (2х+1), чтобы получить 2х^2-8x+15.
Значит
(2х+1)^2=2x^2-8x+15;
4x^2+4x+1=2x^2-8x+15;
2x^2+12x-14=0;
x^2+6x-7=0.
D=36-4•(-7)=36+28=64
x=(-6-8)/2=-7 или х=(-6+8)/2=1
Так как вначале решения не находили ОДЗ ( надо было решить систему двух неравенств), то обязательно нужно сделать проверку.
При х=-7 основание
2х+1=-13, чего не может быть.
х=-7 не является корнем уравнения.

При х=1
log_(3)(2-8+15)=log_(3)9=2 - верно.
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

Пусть производительность первого станка х деталей в минуту, второго - у деталей в минуту, третьего - z деталей в минуту.
Пусть первый станок проработал t минут и изготовил xt деталей. Второй станок проработал на 20 минут меньше и изготовил у(t-20) деталей. Третий станок проработал (t-55) минут и изготовил z(t-55) деталей.
Так как по условию "в ходе работы был момент, когда каждый станок выполнил одну и ту же часть задания", то
xt=y(t-20)=z(t-55).

xt=y(t-20) ⇒ t=20y/(y-x)
xt=z(t-55) ⇒ t=55z/(z-x)

20y/(y-x)=55z/(z-x) ⇒ 20y(z-x)=55z(y-x) ⇒

4y(z-x)=11z(y-x);
4yz-4xy=11yz-11xz;
11xz=7yz+4xy;
y=11xz/(7z+4x).

800/x минут - время работы первого;
800/у минут - время работы второго;
800/z минут - время работы третьего.

По условию первый справился с заданием через 1 ч 28 мин после третьего.
Уравнение:
(800/х)-(800/z)=1 час 28 минут
800(z-x)/xz=88 ⇒
(z-x)/xz=88/800
Найти:
(800/х)-(800/у)=?
800(y-x)/xy=?
Подставим вместо y=11xz/(7z+4x)
получим
800•7(z-x)/11xz=(5600/11)•(z-x)/xz=
=(5600/11)•(88/800)=56 минут.
О т в е т. Через 56 минут после третьего закончил работу второй.

Ответ выбран лучшим

А) Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя: (х-2)^2=0; x=2
Находим нули знаменателя: х-5=0
Отмечаем точки х=2 и х=5 пустыми кружками и расставляем знаки.
При х=10 получаем (10-2)^2/(10-5) > 0, ставим + справа от точки 5
При х=4 получаем (4-2)^2/(4-5)=-4 < 0
При х=0 получаем (0-2)^2/(0-5)=-4/5 < 0
О т в е т. На рисунке 3)
Б) 1/4=2^(-2). Неравенство принимает вид:
2^(-x) < 2^(-2).
Показательная функция с основанием 2 > 1 монотонно возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента ⇒ -x < -2 ⇒ x > 2
О т в е т. На рисунке 4)
В)ОДЗ: х > 5.
1= log_(5)5.
Неравенство принимает вид:
log_(5)x > log_(5)5.
Логарифмическая функция с основанием 5 > 1 монотонно возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента ⇒ x > 5
C учетом ОДЗ получаем ответ х > 5.
О т в е т. На рисунке 1)
Г) Решаем методом интервалов.
(х-2)(х-5)=0
х-2=0 или х-5=0
х=2 или х=5
Отмечаем х=2 и х=5 пустыми кружками на числовой прямой и ставим знаки:
____+__(2)___-___(5)___+___
О т в е т. На рисунке 2)

Ответ выбран лучшим

Медиана ВМ делит основание АС пополам.
АМ=МС=АС/2=76/2=38;
МС=МН+НС ⇒ МН=МС-НС=38-19=19;
МН=НС=19
Высота ВН является одновременно и медианой треугольника МВС, значит Δ МВС- равнобедренный.
∠ВМС=∠ВСМ=80°.
Сумма смежных углов равна 180°:
∠АМВ+∠ВСМ=180°;
∠АМВ=180°-∠ВСМ=180°-80°=100°.
О т в е т. ∠АМВ=100°.

Ответ выбран лучшим

(5 sin^2x–3sinx)/(5 cos x+4) =0;
sinx(5sinx-3)/(5cosx+4) =0.
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Две системы:
{sinx=0, или {5sinx-3=0,
{5cosx+4≠0 {5cosx+4≠0;

x=πk, k ∈Z или x=arcsin(3/5)+2πn, n∈Z
Cм. рисунок.
так как (3/5)^2+(-4/5)^2=1, то имеет
угол во второй четверти синус которого равен 3/5, а косинус равен (-4/5) не является корнем уравнения.

О т в е т. x=πk, k ∈Z или x=arcsin(3/5)+2πn, n∈Z

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час скорость первого, тогда 154/х час. время первого.
(х+3) км в час - скорость второго, 154/(х+3) час. - время второго.
По условию, время второго на 3 часа меньше, он отправился на 3 час позже первого, а прибыл одновременно с первым.
Уравнение:
(154/х)-(154/(х+3))=3
х≠0; х+3≠0
154=х(х+3) или х^2+3x-154=0
D=9-4•(-154)=625
x=(-3+25)/2=11 км в час - скорость первого,
11+3=14 км в час - скорость второго.

Ответ выбран лучшим

Область определения (-бесконечнось; + бесконечность) - симметрична относительна точки 0.
У(-х)=сos(-3х)=cos(3x)=y(x) - значит, функция четная по определению.

Ответ выбран лучшим

x=(π/4) + 2πk, k∈Z или x=(3π/4) + 2πn, n∈Z (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) x ≈ 0,6 cм. рисунок 1.
2) см. рис 2
Функция возрастает на ((-π/6)+πk;(π/3)+πk), k ∈ Z.
Функция убывает на ((π/3)+πk;(π/2)+πk), k ∈ Z.
3) см. рисунок.
Функция возрастает на ((π/4)+(2π/3)k;(3π/4)+(2π/3)k), k ∈ Z.
Функция убывает на ((-π/4)+(2π/3)k;(π/4)+(2π/3)k), k ∈ Z. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(a–3)^2–(2–a)(4–a) =(a^2-6a+9)-(8-2a-4a+a^2)=
=a^2-6a+9-8+2a+4a-a^2=1

Ответ выбран лучшим

Пусть весь путь равен 2х км.
Первую половину, т.е х км автомобиль проехал со скоростью 38 км в час,
можно найти время, затраченное на первую половину пути: (х/38) часов.
Вторую половину, тоже х км, автомобиль проехал со скоростью 57 км в час,
можно найти время, затраченное на вторую половину пути: (х/57) часов.
На весь путь, длиной 2х км автомобиль затратил (х/38) + (х/57) часов.
Средняя скорость:
v(средняя)=2х/((х/38)+(х/57))= (2х•38•57)/(95х)=
=4•57)/5=45,6 км в час.

Ответ выбран лучшим

Пусть в школе х учеников.
х:100•35=0,35х - девочек
х-0,35х=0,65х - мальчиков

По условию мальчиков на 252 больше.
Уравнение:
0,65х - 0, 35х = 252
0,3х= 252
х= 840
О т в е т. 840 учащихся в школе

Ответ выбран лучшим

Высота BD равнобедренного треугольника, проведенного к основанию АС делит основание пополам.
Из прямоугольного треугольника АВD по теореме ПИфагора найдем
BD=Н
Н^2=18^2-6^2=324-36=288
H=12√2
S (Δ АВС)= (AC• BD)/2 = (12• 12√2)/2=72√2.

S (Δ АВС)= (BC• AK)/2
AK=2S/BC=144√2/18=8√2.
По теореме Пифагора
КC^2=AC^2-AK^2=12^2-(8√2)^2=144-128=16
KC=4
BK=18-4=14

Из подобия треугольников ВМК и АВС
MK: AC= BK : BC
MK= (AC•BK)/BC=(12•14)/18 =28/3=9 целых 1/3

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По условию:
∠С= (∠В-∠А)/2;
∠С= (∠В+∠А)/5;
значит
(∠В-∠А)/2=(∠В+∠А)/5;
5∠В-5∠А=2∠В+2∠А;
3∠В=7∠А;
∠В=7∠А/3;
∠С= (∠В+∠А)/5= ((7∠А/3)+∠А)/5;
∠С=2∠А/3.
Сумма углов треугольника 180 градусов.
∠А+∠В+∠С=180 градусов;
∠А+(7∠А/3)+(2∠А/3)=180 градусов;
4∠А=180 градусов;
∠А=45 градусов;
∠С=(2•45/3)=30 градусов.

Δ ABD - прямоугольный равнобедренный. AD=BD=6 см
Δ BCD - прямоугольный c острым углом С в 30 градусов.
Катет, против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, значит BC = 12 см.
По теореме Пифагора
DC^2=BC^2-BD^2=12^2-6^2=144-36=108
DC=6√3 cм.
AC=AD+DC=(6+6√3) cм.
S (Δ АВС) = АС• BD/2=(6+6√3)• 6/2=18•(1+√3) кв. см
О т в е т. 18•(1+√3) кв. см

Ответ выбран лучшим

324
324:5=64 ( ост. 4)
324:8=40 ( ост. 4)
Остатки равны
Первая слева цифра 3 = (2+4)/2 - среднее арифметическое двух других цифр 2 и 4

Ответ выбран лучшим

1) 7,5:2=3,75 мин может выкачать 1/3 бассейна
2) 7,5+3,75=11,25 мин выкачает весь бассейн
3) 11,25 - 9 = 2, 25 мин выкачает 20 куб. м
4) 11,25 :2,25 = 5 в 5 раз больше времени требуется на откачивание всего бассейна, по сравнению с откачиванием 20 куб. м воды
5) 20•5=100 куб. м - объем бассейна

∠ВАК=∠КАD - биссектриса АК делит угол А пополам;
∠ВКА=∠КАD - внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей АК.
Δ АВК - равнобедренный АВ=ВК.

∠КDC=∠КDA - биссектриса DК делит угол А пополам;
∠КDА=∠СКD - внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей DК.
Δ КCD - равнобедренный КС=СD=40-ВК=40-АВ.
Противоположные сторона параллелограмма равны.
АВ=CD
AB=40-AB;
2AB=40;
AB=20
О т в е т. АВ=20

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Около трапеции описана окружность, значит трапеция вписана в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
∠А + ∠ С =180° ⇒ ∠ С =180° - ∠А= 180°-64°=116°
Сумма углов прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°
∠А + ∠ В =180° ⇒ ∠ В =180° - ∠А= 180°-64°=116°
∠ С =∠ В=116°.
Трапеция АВСD - равнобедренная.
∠ А =∠ D = 64°.

О т в е т. ∠ А =∠ D = 64°; ∠ С =∠ В=116°.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

y < 0;
х > 0 ⇒ -x < 0;
у- х = у + (-х) - сумма двух отрицательных чисел отрицательна.
Произведение двух отрицательных чисел положительно
3) (y-x)y > 0

Ответ выбран лучшим

-(x+2)^2+25 больше или равно 0;
5^2-(x+2)^2 больше или равно 0;
(5-x-2)(5+x+2)больше или равно 0;
(3-x)(7+x)больше или равно 0;
__-__[-7]___+___[3]__-___

x∈[-7;3]
наименьшее целое -7
О т в е т. -7

Ответ выбран лучшим

Параболу у=х^2 строим по точкам.
Ветви этой параболы направлены вверх, вершина в точке (0;0).
Парабола проходит через точки (-3;9)(-2;4) (-1;1)(0;0) (1;1) (2;4) (3;9).
График данной функции получается смещением графика у=х^2 на 1 единицу влево.
вершина в точке (-1;0).
Парабола проходит через точки (-3;4) (-2;1)(-1;0) (0;1) (1;4) (2;9). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

2^(√5–x) > 0 при любом х из ОДЗ.
ОДЗ: 5-x больше или равно 0;
- х больше или равно - 5;
х меньше или равно 5
Наибольшее решение неравенства х=5
2^(sgrt(5-x))=2^0=1
1 > -6 - верно
О т в е т. х=5

Ответ выбран лучшим

log_(0,5)(x/32) =log_(0,5)x-log_(0,5)32=log_(0,5)x-(-5)=
log_(0,5)x +5
Уравнение принимает вид:
log_(0,5)x =2^(x)-5
Функция у=log_(0,5)x убывающая на (0;+бесконечность).
Функция у=2^(x)++ 5 - возрастающая на (-бесконечность; бесконечность)
Возрастающая и убывающая функции пересекаются только в одной точке.
Уравнение имеет один корень х=2 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

√(3x+7)+√(x+6)+√(17x–15)=13
ОДЗ:
{3x+7 больше или равно 0;
{x+6 больше или равно 0;
{17x-15 больше или равно 0.

{x больше или равно -7/3;
{x больше или равно -6;
{x больше или равно 15/17.

ОДЗ: х больше или равно 15/17.

Перепишем уравнение в виде:
Функция у=√(3x+7)+√(x+6)+√(17x–15) возрастает на всей области определения.
Функция у=13 - постоянна.
Поэтому два графика могут пересекаться только в одной точке.
Уравнение имеет единственный корень.
Этот корень легко определяется подбором.
х=3
При х=3
√(3•3+7)+√(3+6)+√(17•3–15)=13 - верно, так как
√(16)+√(9)+√(36)=13;
4+3+6=13 - верно

О т в е т. х=3

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

√(x+16)–x+4=0:
√(x+16)=x-4
ОДЗ: х+16 больше или равно 0;
x больше или равно - 16.

Возводим обе части уравнения в квадрат, при условии, что х-4 больше или равно 0.
х+16 = х^2-8x+16
x^2-9x=0
x(x-9)=0
x=0 или x-9=0
x=9
x=0 не удовлетворяет условию х больше или равно 4.
О т в е т. х=9

Ответ выбран лучшим

По формуле приведения cos(180°-α) =-cosα
Поэтому
cos160°=cos(180°-20°)=-сos 20°;
cos140°=cos(180°-40°)=-сos 40°;
cos120°=cos(180°-60°)=-сos 60°;
cos100°=cos(180°-80°)=-сos 80°.

cos20° + cos40° + cos60° + cos80°+
cos100° + cos120° +cos140° + cos160° + cos180°=

=cos20° + cos40° + cos60° + cos80°-
-cos80°-cos60° -cos40°-cos20°+cos180°= cos180 ° = - 1

Ответ выбран лучшим

sinα + cosα = 1/3
Возводим обе части равенства в квадрат:
sin^2α + 2sinαcosα + cos^2α = 1/9.
Так как sin^2α + cos^2α = 1, то
2sinαcosα=(1/9)-1;
sinαcosα=-4/9;
27sinαcosα=-12
О т в е т. -12.

Ответ выбран лучшим

π рад = 180°;
61 рад = 61•(180°/π)≈257°-угол в 3-ей четверти.
Функция у=cosx возрастает на [180°;270°] , поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции
180° < 257° < 270°
- 1 =cos180° < cos257° < cos 270°=0
наибольшее целое число, не превосходящее cos(61) число 0

Ответ выбран лучшим

cos(π–x)=-cosx.
Уравнение примет вид:
-2cosx-√3=0;
cosx=-√3/2;
x=±arccos(-√3/2)+360°•k, k ∈ Z;
x=±(180°-arccos(√3/2))+360°•k, k ∈ Z;
x=±(180°-30°)+360°•k, k ∈ Z;
x=±150°+360°•k, k ∈ Z;
x=-150°- наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ выбран лучшим

Область определения функции у = ctg (πx):
πx≠πk, k ∈ Z;
x≠k, k ∈ Z.

x=2∈ (1,4; 2,7) не входит в область определения функции у=ctg(πx).

Ответ выбран лучшим

Функция у=сos x убывает на [0;π/2], а значит убывает и на отрезке [π/3; π/2].

Большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
π/3 < π/2 ⇒ y(π/3) > y(π/2).
y(π/3)=cos(π/3)=1/2- наибольшее значение функции у = cosx на [π/3; π/2]

Ответ выбран лучшим

5arcsin(cos(π/2)) =5arcsin0=0

Ответ выбран лучшим

tgα•ctgα=1 ⇒ tgα=1/ctgα=1/2,5=2/5.
По формулам приведения
tg(α-π)=-tg(π-α)=- (-tgα)=tgα
tg^2(α-π)=(-tg(π-α))^2= (-tgα)^2=tg^2α=(2/5)^2=4/25=0,16

Ответ выбран лучшим

y`=cosx > 0 при любом х∈ [0; π/6].
Функция у = sinx возрастает на[0; π/6], значит наибольшее значение фунrция принимает при х=π/6.
у(π/6)= sin (π/6)=1/2
О т в е т. наибольшее значение функции на [0; π/6] равно 1/2

Ответ выбран лучшим

cos(2x)cosx–sin(2x)sinx = 1.
Формула:
cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)
Уравнение примет вид:
сos(2х+х)=1;
cos3x=1
3x=2π•k, k ∈ Z.
или
3х=360°•k, k ∈ Z.
х=120°•k, k ∈ Z.
х=-120°- наибольший отрицательный корень уравнения, при k =-1

Ответ выбран лучшим

Область определения функции y = tg(πx)
πx ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z;
х ≠ (1/2) + k, k ∈ Z;

1/2 ∈ (0; 1,4) и не входит в область определения
О т в е т. 1/2=0,5

Ответ выбран лучшим

Возводим обе части уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, поэтому после получения ответа, обязательно сделаем проверку.
x^3+9=4x^2-12x+9;
x^3-4x^2+12x=0;
x(x^2-4x+12)=0
x=0 или x^2-4x+12=0
D=16-4•12 < 0
Проверка.
При х=0
√(0^3+9)=-3 - неверно,противоречит определению арифметического квадратного корня.
О т в е т. нет корней

Ответ выбран лучшим

x^3+5x^2+(28x^2+5x–30)/(x–6)меньше или равно 5;
x^3+5x^2+(28x^2+5x–30)/(x–6) - 5 меньше или равно 0;
приводим к общему знаменателю.
(х^4-6x^3+5x^3-30x^2+28x^2+5x-30-5x+30)/(x-6) меньше или равно 0;
(х^4-х^3-2х^2)/(x-6)меньше или равно 0;
x^2(x^2-x-2)/(x-6)меньше или равно 0;
x^2(x+1)(x-2)/(x-6)меньше или равно 0;
_-_[-1]_+_[0]___+___[2]______-______ (6) ___+__

О т в е т. (-бесконечность; -1]U[2;6)

Ответ выбран лучшим

vector{AD}=vector{AB}+vector{BC}+vector{CD}=
=vector{a}+2vector{b}-4vector{a}-vector{b}-5vector{a}-3vector{b}=-8vector{a}-2vector{b}.
Векторы ВС и AD - коллинеарны. Значит прямые ВС и AD параллельны.
Прямые АВ и СD не параллельны. Это и доказывает, что АВСD- трапеция. Две стороны которой параллельны, а две другие нет.

Ответ выбран лучшим

Пусть точка М(х;у;0)
АM=BM
АM=СM
Система.
{АМ^2=BM^2
{AM^2=CM^2

{(x-1)^2+(y+1)^2+(0-5)^2=(x-3)^2+(y-4)^2+(0-4)^2;
{(x-1)^2+(y+1)^2+(0-5)^2=(x-4)^2+(y-6)^2+(0-1)^2.

{(x-1)^2-(x-3)^2+(0-5)^2=(y-4)^2-(y+1)^2+(0-4)^2;
{(x-1)^2-(x-4)^2+(0-5)^2=(y-6)^2-(y+1)^2+(0-1)^2.

{(x-1-x+3)(x-1+x-3)+25=(y-4-y-1)(y-4+y+1)+16;
{(x-1-x+4)(x-1+x-4)+25=(y-6-y-1)(y-6+y+1)+1.

{2(2x-4)+9=-5(2y-3);
{3(2x-5)+24=-7(2y-5).

{4x-8+9=-10y+15;
{6x-15+24=-14y+35.

{4x+10y=14;
{6x+14y=26.

{6x+15y=21;
{6x+14y=26.
Вычитаем из первого уравнения второе:
y=-5

4х=14-10у
4х=14+50
4х=64
х=16

О т в е т. М(16;-5;0)

Ответ выбран лучшим

|vector{a}|=√(m²+(m+1)²+(m(m+1))²)=

=√(m²+m²+2m+1+m²(m²+2m+1))=√(m^4+m^3+m^2+m^3+m^2+m+m^2+m+1)=
=√(m^2+m+1)(m^2+m+1)=|m^2+m+1|=m^2+m+1, так как m^2+m+1 > 0 при любом m, дискриминант квадратного трехчлена m^2+m+1
D=1-4 < 0

Ответ выбран лучшим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Запишем его в виде:
tgxsin^2ydx =- cos^2xctgydy.
Делим на обе части уравнения на cos^2xsin^2y.
tgxdx/c0s^2x=-ctgydy/sin^2y.
Интегрируем и слева и справа:
(tg^2x)/2=(ctg^2y)/2 + C/2
Умножаем на 2
tg^2x=ctg^2y +C ,
заменим 2с на С.
О т в е т. tg^2x=ctg^2y + C.

Ответ выбран лучшим

2) i^2=-1;
i^3=-i;
i^4=1
i^(11)=i^3=-i;
i^(34)=i^2=-1;
i^(49)=i;
i^(16)=1.
Итак, i^(11)–i^(34)+i^(49)–i^(16)=-i+1+i-1=0.

Ответ выбран лучшим

2х–у–5=0 или у=2х-5
Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. Напишем уравнение прямой перпендикулярной прямой у=2х-5.
Известно, что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Поэтому угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой у=2х-5 равен (-1/2).
у=(-1/2)х+b.
Чтобы найти b подставим координаты точки А в это уравнение
у=-3 х=2
-3=(-1/2)•2+b;
b= -2
Итак, на прямой у=(-1/2)х - 2 найдем точку расстояние которой от точки А равно 4.
Пусть первая координата этой точки х, тогда вторая координата
равна (-1/2)х-2.
d^2=(x-2)^2+((-1/2)x-2+3)^2;
d=4
16=x^2-4x+4+(1/4)x^2-x+1
Решаем уравнение.
(5/4)x^2-5x-11=0
D=(-5)^2-4•(5/4)•(-11)=25+55=80
x=(5-4√5)/(5/2)=(10-8√5)/5 или x=(5+4√5)/(5/2)=(10+8√5)/5
у=(-15+4√5)/5 у=(-15-4√5)/5

Уравнение прямой, параллельной прямой у=2х-5 имеет вид:
у=2х+b
Чтобы найти b подставим координаты первой точки в уравнение
х=(10-8√5)/5
у=(-15+4√5)/5
(-15+4√5)/5=2(10-8√5)/5 +b;
b=-7+4√5
y=2x-7+4√5
подставим координаты второй точки в уравнение
х=(10+8√5)/5
у=(-15-4√5)/5
(-15-4√5)/5=2(10+8√5)/5 +b;
b=-7-4√5
y=2x-7-4√5

О т в е т. y=2x-7+4√5;y=2x-7-4√5.

Ответ выбран лучшим

1 = log_(2)2.

А) log_(2)x ≥ log_(2)2
ОДЗ: х > 0
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
х≥2
C учетом ОДЗ получаем систему двух неравенств:
{x > 0;
{x ≥ 2.
О т в е т. [2;+беск) рисунок 2) при условии, что число 2 закрашено сплошным кружком.

Б) log_(2)x ≤ -log_(2)2;
log_(2)x ≤ log_(2)2^(-1);
log_(2)x ≤ log_(2)1/2;
ОДЗ: х > 0
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
х ≤ 1/2.
C учетом ОДЗ получаем систему двух неравенств:
{x > 0;
{x ≤ 1/2.
О т в е т. (0;1/2] рисунок 4) при условии, что число 1/2 закрашено сплошным кружком.

В) log_(2)x ≥ -log_(2)2;
log_(2)x ≥ log_(2)2^(-1);
log_(2)x ≥ log_(2)1/2;
ОДЗ: х > 0
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
х ≥ 1/2.
C учетом ОДЗ получаем систему двух неравенств:
{x > 0;
{x ≥ 1/2.
О т в е т. [1/2;+беск.] рисунок 3) при условии, что число 1/2 закрашено сплошным кружком.

Г) log_(2)x ≤ log_(2)2
ОДЗ: х > 0
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
х ≤ 2
C учетом ОДЗ получаем систему двух неравенств:
{x > 0;
{x ≤ 2.
О т в е т. (0;2] рисунок 1) при условии, что число 2 закрашено сплошным кружком.

Ответ выбран лучшим

423:15=28 (ост.3)
423:4=105 (ост. 3)
Остатки равные.
Крайняя справа цифра 3 равна среднему арифметическому двух других 4 и 2.
3=(4+2)/2

Ответ выбран лучшим

Пусть палка распилена только по красным линиям. По условию получим 7 кусков. Чтобы получить 7 кусков надо сделать 6 распилов(cм вертикальные полосы на рисунке - их 6 штук, края не считаются)
___|____|___|___|___|___|___
Значит, имеется 6 красных полосок.
Аналогично, распил по желтым линиям дает 13 кусков, значит распилов 12, желтых линий 12.
Распил по зеленым линиям дает 5 кусков, распилов 4, зеленых полос 4.
6+12+4=22 полоски, по ним получаем 22 распила, значит получим 23 куска.
О т в е т. 23 куска

Ответ выбран лучшим

Решаем методом интервалов.
Находим нули функции и расставляем знаки. См. рисунок.

2.6 а) О т в е т. (-4;-2)U(1;+беск)
2.6 б) 6/5=1,2
О т в е т. (-беск;-6)U(1,2; 3)
2.7 a) (x-4)x(3x+1) > 0
О т в е т. (-1/3;0)U(4;+ беск)
2.7 б) (2х+3)(x-1)(x+1) < =0
О т в е т. (-беск; -3/2]U[-1;1]
2.8 а) О т в е т. (-1/3;3/2)U(2; + беск)
2.8 б) О т в е т. (- беск;-3/2)U(1/2;1)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора проекция равна 3 при любом расположении. См. рисунки (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

|x-y) > =x+y
1) если х-у > =0, т. е у < =x часть полуплоскости ниже прямой у=х
то х-у > =x+y
y < =0 часть полуплоскости ниже оси ох.
Пересечение областей на рисунке 1.
2) если х-у < 0, у > x
часть полуплоскости выше прямой у =х
тогда
-х+у > =x+y
x < =0
Часть полуплоскости правее оси оу.
Пересечение областей на рисунке 2.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

f`(x)=(x^3-3x+5)`=3x^2-3;
f`(x)=0;
3x^2-3=0;
3(x^2-1)=0;
x=-1 x=1 - точки возможного экстремума.
Применяем достаточное условие точек экстремума.
Находим знак производной
На (-беск;-1) и на (1;+ беск.) производная положительна. на (-1;1) производная отрицательна.
На (-беск;-1) и на (1;+ беск.) функция возрастает. на (-1;1) функция убывает.
х=-1 точка локального максимума
х=1- точка локального минимума.
f(1)=1-3+5=3
f(-1)=-1+3+5=7

Ответ выбран лучшим

№3(2;4)
Табличные интегралы.
2) =(3/5)sin5x+(1/x)+C;
4) =(2/3)(-cos3x)-5(x^8/8)+3x+C

№4(2;4)
2)f(x)=3-3x+x-x^2;
f(x)=-x^2-2x+3;
F(x)=(-x^3/3)-2(x^2/2)+3x+C
чтобы найти С подставляем координаты точки (0;0)
x=0 F(x)=0.
0=0+0+0+С;
С=0.
О т в е т.F(x)=(-x^3/3)-x^2+3x.
4) F(x)=(-1/2)(x^4/4)+sin(x-п/6)+С
х=0 F(x)=0
0=0+sin(-п/6) +С
с=1/2
О т в е т. F(x)=(-x^4/8)+sin(x-п/6)+(1/2).
№5(2;4)
2) F(x)=4x+(x^2/2)+C
M(-2;3)
x=-2; F(x)=3
3=4(-2)+2+C;
C=8
О т в е т. F(x)=4x+(x^2/2)+8 - график парабола
F(x)=(x+4)^2/2- вершина в точке (-4;0) ветви направлены вверх.
Проходит через точки(-8;8)(-6;2) (-2;2)(0;8).
4)F(x)=-sinx+C
M(п;-1)
х=п; F(x)=-1
-1=-sinп+С;
С=-1
О т в е т. F(x)=-sinx график получается из графика функции у = sinх отражением симметрично оси ох. Та часть графика, которая была выше оси ох, оказывается наоборот ниже оси ох. Та часть графика у=sinx, которая была ниже оси ох оказывается выше оси ох.
у= - sinx - 1 получается из графика у =- sinx получаем из графика у = - sinx параллельным переносом вниз по оси оу.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Это однородное уравнение вида
ax^2+bxy+cy^2=0

18·9^х +6^x-4·2^(2x)=0.

Делим на 2^(2x):
18t^2+t-4=0, t=(3/2)^x; t^2=(9/4)^x=(3/2)^(2x).
D=1-4·18·(-4)=289
t=(-1+17)/36=16/36=4/9 или t=(-1-17)/36=-1/2- не удовл. t > 0
Обратная замена
(3/2)^x=4/9;
(3/2)^x=(3/2)^(-2);
x=-2
О т в е т. х=-2

Ответ выбран лучшим

По формуле приведения
sin^2a+cos^2a=1 ⇒ cosa=±0,6 ⇒
cosa=-0,6 так как а∈(π/2;π).

По формулам приведения
(7π/2–а)∈(π;3π/2), то
sin(7π/2–а)=- cosа= - (-0,6)=0,6
где а∈(0;π/2).

О т в е т. 0,6

Ответ выбран лучшим

Наибольшее значение функции у=4sin2x равно 4, так как
-1 ≤ sin2x ≤ 1;
умножаем все части двойного неравенства на 4:
-4 ≤ 4sin2x ≤ 4.
О т в е т. 4

Ответ выбран лучшим

1=sin^2(x/6)+cos^2(x/6);
cos(x/3)=cos^2(x/6)-sin^2(x/6).
Уравнение примет вид:
sin^2(x/6)+cos^2(x/6)-sin(x/6)=cos^2(x/6)-sin^2(x/6);
sin(x/6)(sin(x/6)-1)=0
sin(x/6)=0 или sin(x/6)-1=0
x/6=πk, k ∈ Z или х/6=(π/2)+2πn, n ∈ Z.
x=6πk, k ∈ Z или х=3π+12πn, n ∈ Z.
О т в е т. 6πk; 3π+12πn, k, n ∈ Z.

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(π/2+x)=cosx.
По формуле косинуса двойного угла
cos2x=2cos^2x-1.
Уравнение примет вид:
4cos^2x-4cosx-2=0
2cos^2x-2cosx-1=0
D=(-2)^2-4*2*(-1)=4+8=12
cosx=(2-2√3)/4 или cosx=(2+2√3)/4
cosx=(1-√3)/2 или cosx=(1+√3)/2 ;
х=±arccosx(1-√3)/2 +2πk, k ∈ Z или второе уравнение не имеет
корней,так как (1+√3)/2 > 1.
О т в е т. ±arccosx(1-√3)/2 +2πk, k ∈ Z.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(0,8)3·log_(3) 5/4=(1/log_(3)0,8)·log_(3) 5/4=
=log_(3)5/4)/log_(3)0,8=log_(0,8)5/4=log_(0,8)0,8^(-1)=-1

Ответ выбран лучшим

Замена переменной: 2^(cosx)=t; t > 0 при любом х.
Неравенство примет вид:
(t-1)/(3t-1) ≤ 2t-2;
(t-1-2(t-1)(3t-1))/(3t-1) ≤ 0;
(t-1)(1-6t+2)/(3t-1) ≤ 0;
(t-1)(3-6t)/(3t-1) ≤ 0;
Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
t=1; t=1/2.
Находим нули знаменателя
t=1/3
Знаки
на (0; 1/3) +; на (1/3;1/2)-; на (1/2;1)+; на (1;+ бесконечность) -.
Решение неравенства:
1/3 < t ≤1/2 или t ≥ 1

Обратная замена:
1/3 < 2^(cosx) ≤ 1/2 или 2^(cosx) ≥1;
cosx ≤-1 или сosx≥ 0
cosx=-1
x=(-π)+2πk, k ∈ Z. (-π/2)+2πn ≤x ≤(π/2)+2πn, n ∈ Z

О т в е т.(-π)+2πk, k ∈ Z; (-π/2)+2πn ≤x ≤(π/2)+2πn, n ∈ Z.

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
сos(3pi/2–x)=-sinx;
8sin^2x+2√3•(-sinx)=9;
8sin^2x-2√3•sinx-9=0;
D=(-2•√3)^2-4•8•9=12+288=300
sinx=3√3/4 - уравнение не имеет корней, 3√3/4 > 1.
sinx=-√3/2 x=(-π/3)+2πk, k ∈ Z или x=(4π/3)+2πn, n ∈ Z.
О т в е т. (-π/3)+2πk,(4π/3)+2πn, k, n ∈ Z.

Ответ выбран лучшим

K_______M________________P
0,3 дм ?
0,9 дм
МР=0,9дм -0,3 дм=0,6 дм

Ответ выбран лучшим

Cм. рисунок в приложении.
СP:PD=1:5.
Градусная мера дуги CD равна 90 градусов.
1+5=6 частей.
90:6=15 градусов.

Дуга СР равна 15 градусов, дуга РD равна 75 градусов, дуга АР равна 180+15=195 градусов. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log_(0,5)0,5=1
-2•1=-2•log_(0,5)0,5=log_(0,5)0,5^(-2)=log_(0,5)4.
Неравенство принимает вид:
log_(0,5) (2–7x) > log_(0,5)4.
Логарифмическая функция с основанием 0,5 убывающая, поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
Учитывая область допустимых значений логарифмической функции ( логарифм определен на множестве положительных чисел), получаем систему двух неравенств:
{2-7x < 4;
{2-7x > 0;

{-7x < 4-2;
{-7x > -2;

{-7x < 2
{-7x > -2;

{x > -2/7;
{x < 2/7.

О т в е т. -2/7 < x < 2/7.

Ответ выбран лучшим

y`=18-10cosx;
y`=0;
18-10cosx=0;
10cosx=18;
cosx=1,8
Уравнение не имеет корней, так как косинус функция ограниченная и принимает значения от -1 до 1.
1,8 > 1.
Значит функция не имеет точек локальных экстремумов.
Находим значения на концах отрезка.
у(0)=15;
y(π/2)=18*(π/2)-10sin(π/2)+15=9π-10+15=9π+5
и 9π+5 > 15.
Значит наименьшее значение у(0)=15.
О т в е т. наименьшее значение у(0)=15.

Ответ выбран лучшим

Пусть взяли х кг 45% раствора и у кг 97% раствора.
Масса нового раствора (х+у+10) кг. Этот раствор содержит (0,45х + 0,97 у)кг кислоты, что составляет 62% от общей массы (х+у+10) кг.
Уравнение:
0,45х + 0,97у = 0,62(х+у+10).
Если бы вместо 10 кг воды взяли 50% раствор кислоты, то масса раствора остается такой же ( х+у+10) кг, а вот количество кислоты в нем (0,45х+0,97у+0,5*10) кг или 72% от массы (х+у+10).
Уравнение:
0,45х+0,97у+0,5*10=0,72(х+у+10).
Решаем систему двух уравнений.
{ 0,45х + 0,97у = 0,62(х+у+10);
{0,45х+0,97у+0,5*10=0,72(х+у+10).

{0,45x+0,97y=0,62x+0,62y+6,2;
{0,45x+0,97y+5=0,72x+0,72y+7,2

{0,17x-0,35y+6,2=0;
{0,27x-0,25y+2,2=0.

{17x-35y+620=0;
{27x-25y+220=0.

Умножаем первое уравнение на 25, второе на 35:

{425x-875y+15500=0;
{945x-875y+7700=0.

Вычитаем из первого уравнения второе:
-520х+7800=0
х=15
О т в е т. 15 кг 45% раствора.

Ответ выбран лучшим

Геометрический смсыл производной в точке. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к кривой в данной точке.
Прямая, параллельная оси ох, имеет угловой коэффициент k=0.
Находим производную данной функции.
f`(x)=-4x+6;
f`(x_(0))=-4x_(0)+6;
f`(x_(0))=k;
-4x_(0)+6=0;
x_(0)=1,5.
y_(0)=-2(1,5)^2+6*1,5-7=-2,5
О т в е т. Ордината точки касания (-2,5).

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: (-беск;0)U(0;+беск)
f`(x)=1-(1/x^2)=(x^2-1)/x^2;
f`(x)=0;
(x^2-1)/x^2=0 x=1 или х=-1
Находим знак производной.
На области определения (-беск;0)U(0;+беск) отмечаем точки возможного экстремума( в которых производная обращается в нуль).
На (-беск; -1) f`(x) > 0.
На (-1;0) f`(x) < 0.
На (0;1) f`(x) < 0.
На (1;+беск.) f`(x) > 0
x=-1 точка локального максимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с + на -.
О т в е т. (-1; -2)

Ответ выбран лучшим

1) 5+4=9 частей - на столько частей разделили проволоку.
2) 135 : 9 =15 м в одной части.
3) 15 м•4= 60 м длина меньшей части.
О т в е т. 60 м

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

(3sqrt(3)x-1)^2=0
x=1/(3sqrt(3))

ОДЗ: х≠3; х≠ -3

2a²-(x+3)a-x²+3x=0;
x²+(a-3)x-2a²+3a=0
D=(a-3)²-4(-2a²+3a)=a²-6a+9+8a²-12a=9(a-1)²
Если D=0 квадратное уравнение имеет один корень
D=0 при х=1
Уравнение принимает вид
х²-2х+1=0 и имеет единственный корень х=1

При D≠0
уравнение имеет два корня
х₁=(-а+3+3а-3)/2=а х₂=(-а-3-3а+3)/2=-2а+3
Если один из этих корней равен 3 или -3, т.е не входит в ОДЗ, тогда уравнение будет иметь единственный корень

Если х₁=а=3, то х₂=-2а+3 = -3.

Уравнение не имеет корней.

Если х₁=а= -3 ,то есть а=-3, х₂=-2а+3 = 9.
Уравнение имеет единственный корень.

Если х₂=3, то есть -2а+3=3, то а=0.
Уравнение имеет единственный корень х₁=а=0

Случай х₂= -3 рассмотрен выше.

О т в е т При а=0; а=1;а=-3 уравнение имеет единственный корень

Ответ выбран лучшим

(x⁴+8x³+16x²–8(x²+4x)+17)/(x²+4x–4) ≥2;
(x⁴+8x³+16x²–8(x²+4x)+17-2(x²+4x–4))/(x²+4x–4) ≥0;
(x²(x²+8x+16)–8x(x+4)+17-2x(x+4)+8))/(x²+4x–4) ≥0;
(x²(x+4)²–10x(x+4)+25)/(x²+4x–4) ≥0;
(x(x+4)-5)²/(x²+4x–4) ≥0;
Так как числитель неотрицателен при любом х, то
x²+4x–4 > 0
D=16+16=32
x=(-4-4√2)/2=-2-2√2 или х=-2+2√2
О т в е т. (-∞;-2-2√2)U(-2+2√2;+∞)

Ответ выбран лучшим

6.
1) (1/a)-(1/(b+c))=(b+c-a)/(a(b+c));
2)(1/a)+(1/(b+c))=(b+c+a)/(a(b+c));
3)(b+c-a)/(a(b+c)):(b+c+a)/(a(b+c))=
=(b+c-a)/(a(b+c))•(b+c+a)/(a(b+c))=(b+c-a)/(b+c+a).
при а=0,01;b=8,21; c=1,78
получаем
(8,21+1,78-0,01)/(8,21+1,78+0,01)=9,98/10=0,998
7.1) (1/a)+(1/(b+c))=(b+c+a)/(a(b+c));
2)(1/a)-(1/(b+c))=(b+c-a)/(a(b+c));
3)(b+c+a)/(a(b+c)):(b+c-a)/(a(b+c))=
=(b+c+a)/(a(b+c))•(b+c-a)/(a(b+c))=(b+c+a)/(b+c-a).
при а= - 0,03;b=3,56; c=6,41
получаем
(3,56+6,41-0,03)/(3,56+6,41+0,03)=9,94/10=0,994.
8.
(х/(ху-у²)):(2/(х²-у²))=(х/у(х-у))•((х-у)(х+у)/2)=
=х(х+у)/2у
при х=1,1; у=-0,5 получим
1,1(1,1-0,5)/2•(-0,5)=-0,66.
9.
(9b•b+5a-9b²)/b=5a/b.

Ответ выбран лучшим

4.
3)сos²x+0,1cosx=0;
cosx(cosx+0,1)=0;
cosx=0 или сosx+0,1=0
x=(π/2)+πk, k∈Z cosx=-0,1
x=±arccosx(-0,1)+πn, n∈Z
О т в е т. (π/2)+πk;±arccosx(-0,1)+πn, k,n∈Z.

4) cos 15x=cos3x;
cos15x-cos3x=0;
-2sin((15x+3x)/2)sin((15x-3x)/2)=0;
sin9x=0 или sin6х=0;
9x=πk, k∈Z или 6х=πn, n∈Z.
х=(π/9)k, k∈Z или х=(π/6)n, n∈Z.
О т в е т. (π/9)k; (π/6)n; k,n∈Z.

Ответ выбран лучшим

Нс- высота треугольника АВС, опущенная из верщины прямого угла С.
ВС=АВ•sin∠A=27•(2/3)=18;
по теореме Пифагора
АС=9√5.
Из прямоугольного треугольника АНС
НС=АС•sin∠A=9√5•(2/3)=18√5/3.
По теореме Пифагора
АН=15.
О т в е т. 15

Ответ выбран лучшим

c₂=c₁-2=-8-2=-10;
c₃=c₂-2=-10-2=-12;
c₄=C₃-2=-12-2=-14;
...
c₉=-24.

Ответ выбран лучшим

Решение. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Формула синуса двойного угла
sin2x=2sinxcosx.
По формулам приведения
sin((7π /2)–x)= -сosx ( так как прибавляется нечетное число (π /2) название меняется на кофункцию, угол (7π /2)–x находится в третьей четверти, синус имеет знак минус).
Уравнение принимает вид
2sinxcosx/(-cosx)=√2 ⇒ sinx=-√2/2; cosx ≠0

x=(-π /4)+2πk, k∈Z или х=π-(-π /4)+2πn, n∈Z.
Корни удовлетворяют условию cosx ≠0.

О т в е т. (-π /4)+2πk;(5π /4)+2πn; k, n∈Z.

Ответ выбран лучшим

√(9·48·7)=3·4·√(3·7)=12·√3·√7;
√270=√(9·30)=3·√(3·10)=3·√3·√10

О т в е т. √(9·48·7)/√270=
=(12·√3·√7)/(3·√3·√10)=4√7/√10.

Ответ выбран лучшим

1 минута=60 секунд
13 минут= 780 секунд
780:12=65 строчек

или
за 12 секунд - 1 строчку
за 1 минуту=60 секунд - 5 строчек
60 :12=5
13*5=65 строчек за 13 минут
О т в е т. 65 строчек

Ответ выбран лучшим

2√2•5√3•3√10=2•5•3•(√2•√3•√10)=30•(√2•√3•√2•√5)=
=30•√2•√2•(√3•√5)=60√15
О т в е т. 4) 60√15.

Ответ выбран лучшим

x²-36=0
(x-6)(x+6)=0
х-6=0 или х+6=0
х=6 х=-6
О т в е т. -6; 6.

0,6х+9х²=0
х(0,6+9х)=0
х=0 или 0,6+9х=0
9х=-0,6
х=-1/15
О т в е т. (-1/15); 0.

x²≥ 0 при любом х.
х-действительное число, x∈ (-∞;+∞).

х²+64=0 - уравнение не имеет действительных корней.
Но есть раздел математики, изучающий так называемые комплексные числа.
Такое уравнение имеет комплексные корни.
х=-8i или х=8i, i - мнимое число, квадрат которого равен (-1).

Ответ выбран лучшим

См. рисунок.
ОА=ОВ=r=6; SO=H=8.
SO⊥ пл. основания.
Из прямоугольного треугольника SAO по теореме Пифагора SA=10.

AC=CB=2.
Треугольник АОВ - равнобедренный. Медиана ОС является одновременно и высотой.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
AOC:
OC²=OA²-AC²=6²-2²=36-4=32;
OC=4√2.

a)ОС⊥АВ;
SO⊥AB ( SO⊥пл. основания).
АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, значит перпендикулярна плоскости SOC.
б) ∠SCO- линейный угол двугранного угла между пл. SOC и пл. SAB.

tg ∠SCO=SO/CO=8/(4√2)=√2;
∠SCO=arctg(√2).

О т в е т. б)arctg(√2). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Cм. рисунок.
∠С=30°+105°=135°
Сумма углов прилежащих к боковой стороне равна 180°.
∠С+∠D=180°
∠D=180°-135°=45°
В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
∠С=∠В=135°;
∠D=∠A=45°.
О т в е т. Меньший угол трапеции 45°. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения sin((π/2)-x)=cosx
Уравнение примет вид
sin2x+cosx=0
или
2sinxcosx+cosx=0
cosx(2sinx+1)=0
cosx=0 или 2sinx+1=0
x=(π/2)+πk, k∈ Z sinx=-1/2
x= (-π/6)+2πn, n∈ Z или
х=( π-(-π/6))+2πm , m∈ Z
О т в е т.(π/2)+πk;(-π/6)+2πn;( (7π/6))+2πm,
k, n, m∈ Z

Ответ выбран лучшим

x²+3x+2=0
D=3²-4•2=9-8=1
x=(-3-1)/2=-2 или х=(-3+1)/2=-1
О т в е т. Наибольший корень х=-1

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как у Николая есть только серебряные монеты, то поменяв 10 серебряных монет, он получил 6 золотых и 2 медных.
6 золотых можно поменять на 9 серебряных и три медных.
Итак, количество серебряных монет уменьшилось на одну ( было 10, стало 9), а медных увеличилось на 5.
Повторяя эту процедуру 10 раз, получим ответ:
количество серебряных монет уменьшилось на 10

Запишем равенства в виде системы
{2з=3с+1м
{5с=3з+1м
или
9c=6з-3м
10с=6з+2м
=========
1с=5м
50м:5=10
О т в е т. количество серебряных монет уменьшилось на 10

Ответ выбран лучшим

875; 857; 578; 587; 785; 758
Сумма цифр
8+7+5=20
сумма квадратов цифр
8²+7²+5²=64+49+25=138 кратно 3
138:3=46
и не кратно 9

Ответ выбран лучшим

(3•10⁻³)•(2,1•10³)=3•10⁻³•2,1•10³=3•2,1•10³•10⁻³=
=6,3•10³⁻³=6,3•10⁰=6,3•1=6,3
О т в е т. 6,3

Ответ выбран лучшим

C-5
1) Пусть ∠COD=α, так как ∠АOD=∠ВOС=90°, то
∠АOС=∠ВOD=90°-α
∠AOB=∠AOC+∠COD+∠DOB
Разность
∠AOB-∠СOD=∠AOC+∠DOB=2•(90°-α)=180°-2α по условию равна 90°, т.е 180°-2α =90° ⇒ α =45°;
∠СOD=45°.
∠АOС=∠ВOD=90°-α=90°-45°=45°
∠AOB=45°+45°+45°=135°.
О т в е т. ∠СOD=45°;∠AOB=45°+45°+45°=135°.
2) ∠АOM=∠MOB так как ОМ - биссектриса.
Обозначим ∠АOM=∠MOB=α.
Так как ∠MON=90°, то ∠ВON=90°-α.
Сумма смежных углов равна 180°
∠АOM+∠MOB+∠ВON+∠NOC=180°
α+α+90°-α+∠NOC=180°⇒ ∠NOC=90°-α.
∠ВON=∠NOC=90°-α.
ON - биссектриса ∠ВОС.

С-6.
1)Δ АВD = Δ CBD ⇒значит соответственные элементы тоже равны. BD- общая сторона, AD=DC по условию, значит ∠BАD=∠BСD=90° , что и доказывает перпендикулярность ВС и СD.
∠АBD=∠СBD=55°.
2) Р(Δ АВЕ)=АВ+ВЕ+АЕ;
Р(Δ АЕС)=АЕ+ЕС+АС;
Так как Р(Δ АВЕ)больше Р(Δ АЕС) на 2, то
АВ+ВЕ+АЕ-(АЕ+ЕС+АС)=2; ВЕ=ЕС по условию.
АВ-АС=2
АВ=АС+2=8+2=10
О т в е т. АВ=10.

С-7
1)Δ АОВ = Δ ВОC по двум сторонам и углу между ними
ОА=ОС
ВО- общая сторона
∠AOB=∠BOС.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, в том числе ∠ABK=∠KBС.
2)Δ АВC = Δ A₁В₁C₁ по двум сторонам и углу между ними
АC=A₁С₁;
АB=A₁B₁;
∠A=∠A₁.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, в том числе ∠B=∠B₁;
BC=B₁C₁.
Так как BD=BC/3=B₁C₁/3=B₁D₁, то треугольники АВD и A₁B₁D₁ равны по двум сторонам и углу между
ними
АB=A₁B₁;
∠B=∠B₁;
BD=B₁D₁.
Из равенства треугольников следует равенство сторон.
AD=A₁D₁.
С-8.
1) Так как АВ=ВС, значит треугольник АВС - равнобедренный.
∠А=∠С.
Δ АЕС = Δ AFC по двум сторонам и углу между ними:
AC-общая;
АЕ=FC
∠А=∠С.
Из равенства треугольников следует равенство углов
∠АЕС=∠AFС.
2) Δ АСВ- равнобедренный, так как АС=СВ по построению.
Значит медиана CF является одновременно и биссектрисой.
CF - биссектриса ∠АСD
СЕ - биссектриса ∠АСВ.
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
см. задачу 2 С-5.

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АСН
АН=АС•cos∠A=3•(1/3)=1
По теореме Пифагора
СН²=АС²-АН²=3²-1²=9-1=8
СН=2√2
Из подобия треугольников АСН и ВСН:
АН:СН=СН:ВН
ВН=8

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть производительность первого звена в первый день х га в час; второго звена у га в час.
1/(х+у)час . время прополки 1 га 1-м и 2-м звеном одновременно. По условию 2 часа.
2(х+у) = 1.
1,4х га в час - производительность первого звена во второй день;
1,3 у га в час - производительность второго звена во второй день;
(3/2)•(1,4х+1,3у)=1
3х=1/2
х=1/6
у=(1/2)-х=(1/2)-(1/6)=1/3

1/(1/3)=3 часа затратило бы на прополку 1 гектара второе звено в первый день работы

Ответ выбран лучшим

СК=2, так как треугольник АВС правильный и
АВ=ВС=АС=4
СК=КВ=2
Значит, SK=21 - апофема боковой грани.
S(бок.)=3•S(ΔBSC)=3•(SK•BC)/2=3•(21•4)/2=126

Ответ выбран лучшим

98-76=76-54=54-32=22
Следующее число за 98 это 98+22=120
79-47=32
47-23=24
23-7=16

Итак, 7+16=23
23+(16+8)=23+24=47
47+(24+8)=47+32=79
79+(32+8)=79+40=119
Числу 98+22 будет соответствовать число 119
Числу 98+11=109 будет соответствовать 79+20=99
О т в е т. 99

Ответ выбран лучшим

1) если 3-2х > 1, -2х > -2, x < 1, то логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Поэтому неравенство сводится к неравенству между аргументами:
1/3 ≥ 3-2х, 2х ≥ 8/3, х ≥ 4/3.
Система неравенств
{x<1
{x≥4/3
не имеет решений.

2) если 0 < 3-2x <1, 1< x ≤ 4/3, то логарифмическая функция убывает и большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
Поэтому неравенство сводится к неравенству между аргументами:
1/3 ≤ 3-2х, 2х ≤ 8/3, х ≤ 4/3.
Система неравенств
{1 < x < 3/2;
{x≤4/3
имеет решение: х ∈ (1;4/3]
О т в е т. х ∈ (1;4/3]

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Приводим к общему знаменателю.
(у-(6х+у))/(6ху)=(у-6х-у)/(6ху)=
=(-6х)/(6ху)=-1/у

при у=1/8 получим ответ.
О т в е т. -8. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

a)Прямые АВ и В₁С скрещивающиеся, так как одна из них (АВ) лежит в плоскости АВСD,а вторая (СС₁) пересекает её в точке, не принадлежащей первой прямой;
б)угол между прямыми А₁В и С₁С равен углу между прямой А₁В и прямой и В₁В, параллельной С₁С.Это угол А₁ВВ₁;∠А₁ВВ₁=45°

в)BD⊥AC-диагонали квадрата взаимно перпендикулярны;
АА₁⊥пл. АВСD ⇒АА₁⊥BD.
BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым АА₁ и АС, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости перпендикулярна плоскости ACC₁A₁;
г)плоскости ADD₁A₁ и АСС₁А₁ пересекаются по прямой АА₁.
АА₁⊥ пл. АВCD,значит перпендикулярна любой прямой,лежащей в плоскости АВCD.
AD⊥АА₁ АС⊥АА₁ ⇒ ∠САD -линейный угол двугранного угла САА₁D.

Ответ выбран лучшим

ΔОАК подобен ΔО₁СК по двум углам. Один угол общий, второй прямой (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОА=R=20;
OC=r=12;
OO₁=R+r=20+12=32;
О₁К=х.
Из подобия следует пропорциональность сторон.
ОА:О₁С=ОК:О₁К;
20:12=(х+32):х;
20x=12x+384;
8x=384;
x=48.
О₁К=48; ОК=48+32=80.

По теореме Пифагора из ΔОАК
АК²=ОК²-ОА²=80²-20²=6400-400=6000;
АК=20√15.
По теореме Пифагора из ΔО₁СК
СК²=О₁К²-ОС²=48²-12²=2304-144=2160;
СК=12√15.
АС=АК-СК=20√15-12√15=8√15.

Диаметр ОО₁ перпендикулярен хорде АВ и хорде CD и делит их пополам.
АТ и СМ - высоты прямоугольных треугольников ΔОАК и ΔО₁СК. Применяем метод площадей. Находим площадь прямоугольного треугольника как половину произведения катетов и как половину произведения основания( гипотенузы) на высоту.
АТ=20•20√15/80=5√15;
СМ=12•12√15/48=3√15;
Рассматриваем прямоугольную трапецию АСМТ:
МТ²=АС²-(АТ-СМ)²=(8√15)²-(5√15-3√15)=64•15-4•15=15•60=900
МТ=30.
О т в е т. Расстояние между прямыми АВ и CD равно 30. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

∠BDA=∠DBC - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD.
BD:AD=BC:BD
8:32=2:8 - пропорция верна, так как произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
8•8=32•2;
64=64.

Ответ выбран лучшим

Выражение в знаменателе второй дроби принимаем за t.
Данное неравенство примет вид:
(7/t²)-(8/t)+1≥0
t≠0
t²-8t+7≥0

t∈ (-∞;0)U(0;1]U[7;+∞)

Возвращаемся к переменной х.
2^{3-x²}-1≤1 или 2^{3-x²}-1≥7
2^{3-x²}-1≠0

2^{3-x²}≤2 2^{3-x²}≥8
2^{3-x²}≠1

3-х²≤1 2^{3-x²}≥2³
3-x²≠0

х²≥2 3-х²≥ 3
х²≠3 -х²≥0 ⇒ x=0

О т в е т. (-∞;-√3;)U(-√3;-√2)U{0}U(√2;√3)U(√3;+∞).

Ответ выбран лучшим

Пусть 3ˣ=t, 3²ˣ=t².
Неравенство примет вид:0;
(22t-6)/3(3t²-28t+9) + (1/3)≥0;
приводим к общему знаменателю
(t²-2t+1)/(3t²-28t+9)≥0;
(t-1)²/(t-9)(3t-1);
применяем метод интервалов
t∈(1/3;1]U(9;+∞)
Возвращаемся к переменной х:
(1/3) < 3ˣ≤1 или 3ˣ > 9;
-1 < x ≤0 или х > 2.
О т в е т. (-1;0]U(2;+∞)

Ответ выбран лучшим

40 минут=40/60 часа=2/3 часа
90•(2/3)=60 км проехал первый.
60:12 - 5 кругов проехал первый
5-1=4 круга проехал второй
12 км•4=48 км - путь второго
48:(2/3)=72 км в час - скорость второго.
О т в е т. 72 км в час.

Ответ выбран лучшим

117= 79
Справа 13; 24; 35; 46; 57; ...- арифметическая прогрессия, разность которой d=24-13=35-24=46-35=...=11

Ответ выбран лучшим

sinx+cosx=1-2sinx•cosx;
Замена переменной:
пусть sinx+cosx=t, тогда
t²=(sinx+cosx)²=sin²x+cos²x+2sinx•cosx=1+2sinx•cosx⇒
2sinx•cosx=t²-1.
Уравнение примет вид:

t=1-(t²-1);
t=1-t²+1;
t²+t-2=0.
D=1-4•(-2)=9
t₁=(-1+3)/2=1 или t₂=(-1-3)/2=-2.
при t=1
sinx+cosx=1
Применяем метод вспомогательного угла.
(1/sqrt(2))*sinx+(1/sqrt(2))*cosx=1/sqrt(2);
sin(Pi/4)*sinx+cos(Pi/4)*cosx=1/sqrt(2);
cos(x-(Pi/4))=1/sqrt(2);
x-(Pi/4)=±(Pi/4)+2Pin, n∈N
x=(Pi/4)±(Pi/4)+2Pin, n∈N
можно выделить две серии ответов:
x=(Pi/2)+2Pin или х=2Pin, n∈N

при t=-2
sinx+cosx= -2
так как -1≤ sin x≤1
и
-1≤ cosx x≤1
-2=-1-1
но sinx и cosx не могут одновременно принимать значение равное (-1)
Уравнение не имеет корней.

Ответ.(Pi/2)+2Pin; 2Pin; n∈N

Ответ выбран лучшим

По правилам:
(a^m)^n=a^(mn);
a^(m)/a^(n)=a^(m-n).

(6⁻³)²/(6⁻⁸)=(6⁻⁶)/(6⁻⁸)=6⁻⁶⁻⁽⁻⁸⁾=6⁻⁶⁺⁸ =6²=36.

Ответ выбран лучшим

Так как синус – нечетная функция, то
sin(x–3π/2)= - sin(3π/2–х).
По формулам приведения
sin(3π/2–х)= - cosx;
cos(π/2+x)= - sinx.
По формуле синуса двойного угла
sin2x=2sinxcosx.
Тогда уравнение примет вид
2cos²x+2sinxcosx=cosx+sinx;
2cosx(cosx+sinx)-(cosx+sinx)=0;
(cosx+sinx)(2cosx-1)=0
cosx+sinx=0 или 2сosx-1=0;
tgx=-1 cosx = 1/2
x=arctg(-1)+πk,k∈Z или х= ±arccos(1/2)+2πn,n∈Z.
x=(-π/4)+πk,k∈Z или х= ±(π/3)+2πn,n∈Z.

О т в е т.a)(-π/4)+πk; ±(π/3)+2πn;k,n∈Z.

Ответ выбран лучшим

Медиана равностороннего треугольника со стороной а, является одновременно и высотой и биссектрисой, делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника с катетом (а/2) и гипотенузой а.
По теореме Пифагора
a²=(a/2)²+(11√3)²;
a²=(a²/4) +363;
3a²/4=363;
a²=484;
a=22.
О т в е т. 22

Ответ выбран лучшим

1.Угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке равен значению производной в этой точке.
k=f`(x₀)
Точка пересечения графика функции с осью
Oy: х₀=0
Производная
y`=(x²–2х+5)`=2x-2;
y`(0)=-2.
Ответ. k=-2

2.Пусть вторая труба пропускает х литров в минуту, тогда первая труба (х-4) литров в минуту.
(525/х) мин. требуется второй трубе на заполнение резервуара емкостью в 525 литров,
(525/(х-4)) мин.требуется второй трубе на заполнение резервуара емкостью в 525 литров.
По условию вторая труба, если резервуар объемом 525 литров заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба,т.е
(525/х) меньше, чем (525/(х-4)) на 4.
Уравнение:
(525/(х-4))-(525/х)=4.
Делим на 525:
(1/(х-4)-(1/х)=4/525.
Приводим к общему знаменателю
(х-(х-4))/(х-4)х=4/525;
4/x(x-4)=4/525⇒ x(x-4)=525;
x²-4x-525=0;
D=16+4•525=4•(4+525)=4•529=(2•23)²=46²
x=(4+46)/2=25; второй корень отрицательный, не удовл условию задачи.
О т в е т. 25 литров в минуту.

3.
у`=(х³ –18х²+81х+76)`=3x²-36x+81=3(x²-12x+27).
y`=0
x²-12x+27=0
D=144-108=36
x=(12-6)/2=3 или х=(12+6)/2=9
Исследуем знак производной
на(-∞;3) у`>0, функция возрастает;
на(3;9) y`< 0, функция убывает;
на(9;+∞) y~>0, функция возрастает.
х=3- точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
О т в е т. х=3.

Ответ выбран лучшим

y`=(6+12x-4x√x)`=12-4•(3/2)√x=12-6√x;
y`=0;
12-6√x=0;
6√x=12;
√x=2;
x=4 - точка возможного экстремума.
Применяем достаточное условие экстремума, находим знак производной:
на[2;4] y`>0, функция возрастает
на[4;11] y`< 0, функция убывает
х=4- точка максимума.
у(4)=6+12•4-4•4•√4=54-32=22
Ответ. 22 при х=4

Ответ выбран лучшим

6sinb+8cosb=10(0,6sinb+0,8cosb)=10sin(b+ω),
где 0,6=cosω; 0,8=sinω.

-10≤10sin(b+ω)≤10

Обозначим 6sinb+8cosb=t, -10≤ t ≤10.
Квадратное уравнение
х²+8x-a-t=0
Имеет единственное решение при D≥0.
D=8²-4(-a-t)≥0;
64+4(a+t)≥0;
4(a+t)≥ -64;
a+t≥-16, так как t≥-10, то
а≥-6
О т в е т. а∈[-6;+∞)

Ответ выбран лучшим

См. рисунок Опустим высоту ( синего цвета на рис.) из точки, делящей боковое ребро в отношении 9x:10x. Из подобия прямоугольных треугольников, высоты Н:Н₁=19:10.
Обозначим
H=19k, тогда Н₁=10k.
а- основание пирамиды; h- высота основания.
V(данной пирамиды)=(1/3)•S(осн)•Н=(1/3)•(ah/2)•19k=
=19•a•h•k/6.
По условию 19•a•h•k/6=228 ⇒ a•h•k=72

V(нижней части пирамиды)=(1/3)•S(осн)•Н₁=
=(1/3)•(ah/2)•10k=10•a•h•k/6=10(72/6)=120.

V(верхней части) =228-120=108.

О т в е т. 108 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть в банке берут А рублей, r% – процентная ставка, n–срок, на который взят кредит.
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/n,
Выплаты процентов составят:
за первый год 0,01•r•А (т.к. кредит взят на n лет и сумма выплаты идет со всей взятой суммы)
за второй год 0,01• r•(А–А/n)=0,01•r•A•(n–1)/n (т.к. кредит взят на n лет, а сумма выплаты уже уменьшилась на 1/n)
…
за n–ый год 0,01•r•A•(n–(n–1))/n (т.к. кредит взят на n лет, а сумма выплаты уже уменьшилась на (1/n) •(n–1)=(n–1)/n.
Это и будет последняя выплата.
Тогда за n лет придется вернуть всю взятую сумму
n •(А/n)=A
и проценты, т.е.

0,01•r•А+0,01•r•A•(n–1)/n+…+0,01•r•A•(n–(n–1))/n=0,01r•А(1+((n–1)/n)+((n–2)/n)+… (1/n))
В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму n слагаемых от 1 до n по формуле суммы арифметической прогрессии.

В условиях данной задачи:А=8,8 млн. руб.; кредит взят на n лет.
25% от 8.8 млн рублей это 0,25·8,8=2,2 млн. руб
На 1 ЯНВАРЯ следующего долг составит 1,25·8,8=11млн. руб.
До 1 июля происходит выплата так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину
Выплачиваем сумму кредита, разделенную на n лет выплат и проценты за год, т.е. выплата составит ((8,8/n)+2,2 ) млн. руб.
После чего сумма долга составит
11–((8,8/n)+2,2 )=(8,8–(8,8/n)) млн. руб
На 1 января долг вновь вырастет на 25% и составит 1,25· (8,8–(8,8/n)) млн. руб.
До 1 июля происходит выплата.
Выплачиваем (8,8/n) млн. руб. и проценты за второй год,
т.е. выплата составит ((8,8/n)+(0,25·(8,8 – (8,8)/n ) )млн. руб.
третий год
выплачиваем (8,8/n + 0,25·(8,8– (8,8/n)–(8,8/n))= (8,8/n) + 0,25·(8,8–2· (8,8/n))
.........
За последний год
(8,8/n) + 0,25·(8,8 –(n–1)· (8,8/n))=8,8/n+0,25·(8,8/n)– это и есть последняя сумма выплат.
1,25·(8,8/n) млн.=1 млн.
11/n=1
n=11

Общая сумма выплат равна
(8,8/11)·11 +0,25·8,8(1+1/11+2/11+3/11+...+10/11)=8,8+2,2·(1+2+3+4+...+11)/11=
=8,8+2,2·6=8,8+13,2=22 млн. руб.
О т в е т. 22 млн. руб.

Сумму кредита 8,8:11=0,8 млн руб должны выплачивать каждый год.
Плюс проценты.
За первый год со всей суммы в 8,8 млн. Процент составит 2,2 млн. рублей.
За второй год, процент считаем не со всей суммы, а с учетом выплаченных 0,8 млн.
Получаем 0,25·(8,8–0,8)=2 млн.
За третий год
0,25·(8,8–2·0,8)=1,8 млн.
За четвертый год
0,25·(8,8–3·0,8)=1,6.
и т д.
Общая сумм выплат 8,8+13,2=22 млн. руб. состоит из
суммы взятого кредита 8,8 млн. руб
и процентов
2,2+2+1,8+1,6+1,4+1,2+1+0,8+0,6+0,4+0,2=13,3 млн. руб.

Вот такая схема и удовлетворяет условию, каждый раз долг должен быть на одну и ту же сумму меньше. А именно на проценты с выплаченной суммы 0,25·0,8=0,2.
Сравните 2,2; 2; 1,8; 1,6 и т.д.

Ответ выбран лучшим

F`(x)=(1/5)•5x⁴-(1/3)•3x²=x⁴-x²;
F`(x)=0
x⁴-x²=0
x²(x²-1)=0
x=0 или х=1 или х=-1 это точки, в которых производная обращается в нуль, значит в этих точках возможны экстремумы.
Применяем достаточное условие экстремума, исследуем знак производной.

На (-∞;-1)и (1;+∞) F`(x)>0;
на (-∞;-1)и (1;+∞) F(x) возрастает
На (-1;0) и (0;1) F`(x)< 0;
на (-1;0) и (0;1) F(x) убывает.
х=-1 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -.
х=1- точка минимума, так как производная меняет знак с - на +.
У(max)=(-1/5)+(1/3)+1=17/15
y(min)=13/15

F``(x)=4x³-2x
F``(x)=0
4x³-2x=0
2x(2x²-1)=0
х=0 или х=1/√2 или х=-1/√2 точки возможных перегибов.
Применяем достаточное условие точки перегиба. Исследуем знак F``(x)
На (-∞;-1/√2) и (0;1/√2) F``(x)< 0, F(x) выпукла вверх.
На (-1/√2;0) и (1/√2;+∞)F``(x)>0, F(x) выпукла вниз.

х=-1/√2; х=0; х=1/√2- точки перегиба.

Ответ выбран лучшим

y`=((x+8)e⁸⁻ˣ)`=(x+8)`e⁸⁻ˣ+(x+8)(e⁸⁻ˣ)`=
=1e⁸⁻ˣ+(x+8)e⁸⁻ˣ(8-x)`=e⁸⁻ˣ+(x+8)e⁸⁻ˣ(-1)=
=e⁸⁻ˣ+(x+8)e⁸⁻ˣ(-1)=e⁸⁻ˣ(1-x-8)=e⁸⁻ˣ(-x-7)
y`=0
Так как показательная функция принимает только положительные значения, e⁸⁻ˣ>0, значит
-x-7=0
x=-7
При переходе через точку х=-7 производная меняет знак с + на -. Значит х=-7 - точка максимума.

Ответ выбран лучшим

Первая последовательность задана формулой
1+d₁n, n– натуральное число
Вторая последовательность задана формулой
9+d₂k, k–натуральное число.
1+d₁n=1000⇒ d₁n=999. Значит,
возможны варианты
d₁=3 и n=333;
d₁=9 и n=111;
d₁=37 и n=28
d₁=111 и n=10 и т.д.
Ясно, что чем меньше n, тем меньше вероятность найти наибольшее число общих элементов.

9+d₂k=999⇒ d₂k=990. Значит,
возможны варианты
d₂=3 и k=330;
d₂=9 и k=110;
d₂=10 и k=99
т.д.
Ясно, что чем меньше k, тем меньше вероятность найти наибольшее число общих элементов.

d₁=d₂=3 не подходит, см Б)
с момента ––––7–––10––––13–––
–9–––12––––15––
будет "запаздывание" второй последовательности на 2 ед. отрезка.
общих элементов нет.

при d₁=d₂=9 аналогичная ситуация

Поэтому при d₁=10 и d₂=9 получим наибольшее количество общих элементов.
Это числа 19;109;190;199;289;379;469;559;649;739; 829;919.
Всего 12 чисел.
Ответ. 12 чисел.

Ответ выбран лучшим

Проведём высоту ВК=СН.
АК=HD=7;
AH=AK+KH=12;
KH=BC=12-7=5
О т в е т. ВС=5

Ответ выбран лучшим

По условию d=НОД(x,y), значит x=du, y=dv, где u,v - взаимно простые натуральные числа.
Тогда q=duv, и значит, q/d=uv.
Используем равенство:
3х=8у-29;
3du=8dv-29;
29=8dv-3du;
Выносим d за скобки:
29=d•(8v-3u);
29- простое число.
29=29•1
29•1=d•(8v-3u)
Возможны
1) случай
d=1,
8v-3u=29.
а) Пусть q/d=170, т.е uv=170⇒ v=170/u
8•(170/u)-3u=29;
3u²+29u-1360=0
D=29²+4•3•1360=131²
u=17 ( второй корень отрицательный, не удовлетворяет условию числа х и у - натуральные)
v=10
Ответ. а) может.
б) Пусть q/d=2, т.е uv=2⇒ v=2/u
8•(2/u)-3u=29;
3u²+29u-16=0
D=29²+4•3•16=1033
1033 не является квадратом натурального числа.
Ответ б) не может
в)
если q/d=1, то x=y, что невозможно, так как не выполняется равенство 3х=8у-29.
если q/d=2, то xy=2;
х=1, у=2 или х=2, у=1
не выполняется равенство 3х=8у-29;
если q/d=3, то xy=3;
х=1, у=3 или х=3, у=1
не выполняется равенство 3х=8у-29;
если q/d=4, то xy=4;
х=1, у=4 или х=4, у=1
Равенство 3х=8у-29 выполняется при х=1 и у=4
Это и есть наименьшее значение q/d.
О т в е т. наименьшее значение q/d=4.

2) cлучай.
d=29
3u=8v-1
u=13; v=5
x=377; у=145

Ответ выбран лучшим

По условию:
5 з = 4 с + 1м,
10 с = 7 з + 1м.
Так как у Николая были только серебряные монеты, а после обмена остались серебряные и появились медные, то все золотые, которые появлялись в ходе обмена, были опять обменены.
За 10 серебряных монет дают 7 золотых и 1 медную,
за 50 серебряных монет дадут 35 золотых и 5 медных.
Итак, количество серебряных уменьшится на 50, медных увеличится на 5.
За 5 золотых дают 4 серебряные и 1 медную, а за 35 золотых дадут 28 серебряных и 7 медных,
Итак, количество серебряных уменьшилось на 22 ( сначала уменьшилось на 50, потом увеличилось на 28), а медных увеличилось на 12 ( сначала на 5, потом еще на 7).
По условию количество медных увеличилось на 60, т. е в 5 раз, по сравнению с 12-ю.
Значит и количество серебряных уменьшилось в 5 раз по сравнению с 22.
22*5=110
О т в е т. на 110 серебряных монет меньше стало.

Ответ выбран лучшим

Так как
sin²x = 1 – cos²x, уравнение принимает вид
2•(1 – cos²x) = 2+5•cosx
или
2cos²x + 5cosx=0
cosx(2cosx+5)=0
cosx=0 или 2cosx+5=0.
x=(π/2)+πk, k∈ Z;
Второе уравнение cosx=-2,5 не имеет корней, так как
-1≤cosx≤1.

О т в е т. (π/2)+πk, k∈ Z.

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
sin(π/2–x)=сosx.
2sin(π/2–x)–1=2cosx-1.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 3х+1≥0
3х≥-1
х≥ -1/3.
Возводим обе части в квадрат при условии, что правая часть неотрицательна:
x-1≥0, т. е х ≥ 1.

(√3х+1)²=(х–1)²
3х+1=х²–2х+1
х²–5х=0
х(х–5)=0
х=0 или х=5
Оба корня удовлетворяют ОДЗ, но первый корень х=0 не удовлетворяет условию х≥ 1
О т в е т. 5

Если не искать ОДЗ, а просто решать уравнение возведением в квадрат, то могут появиться постронние корни.
Чтобы их найти надо просто сделать проверку:
при х=0
√(3•0+1)=0-1 или √1=-1- равенство неверно, противоречит определению арифметического квадратного корня.
х=0 - посторонний корень!!!
при х=5
√(3•5+1)=5-1 или √16=4- равенство верно.
О т в е т. 5

Ответ выбран лучшим

В основании прямого параллелепипеда - параллелограмм
со сторонами а=6 и b=8 и острым углом в 30°,
боковые грани- прямоугольники со сторонами a и H; b и H.
S(полн)=S(бок)+2S(осн)=
=2•(a+b)•H+2•a•b•sin30°=
=2•(6+8)•5+2•6•8•sin30°=140+48=
=188 кв. см
О т в е т. 188 кв. см

Ответ выбран лучшим

12.
sin2x=2•sinx•cosx - формула синуса двойного угла.
По формулам приведения:
cos(π/2 - x)= sinx.
Уравнение принимает вид
2•sinx•cosx=sinx;
2•sinx•cosx-sinx=0;
sinx•(2cosx-1)=0.
Произведение двух множителей равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю.
sinx=0 или 2cosx-1=0
x=πk, k∈ Z или
cosx=1/2
х= ± arccos(1/2)+2πn, n∈ Z;
х= ± (π/3)+2πn, n∈ Z.

О т в е т. а)πk; ± (π/3)+2πn, k,n∈ Z.

б) Указанному промежутку принадлежат 3 корня:
2π;3π;(π/3)+2π=7π/3.
см. рисунок 1.

О т в е т.б)2π;3π;(π/3)+2π=7π/3.

13.
По формулам приведения:
cos(3π/2 - 2x)= - sin2x.
sin2x=2•sinx•cosx - формула синуса двойного угла.
Уравнение принимает вид
tgx - 2•sinx•cosx=0;
sinx•((1/cosx) - 2 cosx)=0;
sinx=0 или (1-2cos²x)/cosx=0
sinx=0 или 1-2cos²x=0, cos x≠0
x=πk, k∈ Z или
cosx=√2/2 или cosx=-√2/2
х= ± arccos(√2/2 )+2πn или х= ± arccos(-√2/2 )+2πm;
n,m∈ Z.
х= ± (π/4)+2πn или х= ± (3π/4)+2πm , n,m∈Z.
О т в е т. а)πk; ± (π/4)+2πn,± (3π/4)+2πm, k,n,m∈Z.

б) Указанному промежутку принадлежат 5 корней:
-π;-3π/4;-π/4;-2π;π/4.
см. рисунок 2.

О т в е т. б)-π;-3π/4;-π/4-2π;π/4. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 1-7х≥0;
-7х≥-1;
х ≤ 1/7.
Возводим обе части уравнения в квадрат6
1-7х=49;
-7х=49-1
-7х=48
х=-6 целых 6/7 ∈ ОДЗ.
О т в е т.-6 целых 6/7

Ответ выбран лучшим

Cм. рис. 1.
DA=DB=DC=√46;
АВ=ВС=АС=а; МО⊥пл. АВС; МО=H (пирамиды)=√19.
O- центр правильного треугольника, точка пересечения высот, медиан и биссектрис.
По теореме Пифагора
BO²=BD²-DO²=(√46)²-(√19)²=46-19=27;
BO=3√3.
BO=(2/3)BM (медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины)
ВМ=(3/2)•3√3=9√3/2.
BM=h(высота правильного треугольника АВС).
Так как
h=a√3/2 ( высота выражается через сторону), то
а=9.
АВ=ВС=АС=9.
См. рис. 2
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.
То есть, для того, чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, нужно
через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой.

Проводим TK || BD, соединяем точку К с точкой М. Плоскость BDC || плоскости КТМ.
Чтобы найти расстояние между прямыми BD и MT достаточно найти расстояние между параллельными плоскостями BDC и КТМ.
При этом МТ- средняя линия Δ DAC,
ТК- средняя линия Δ DВA,
КМ- средняя линия Δ АВС
Треугольники BDC и КТМ подобны с коэффициентом подобия 2.
Cм. рис. 3.
Проводим АF ⊥ ВC, BF=FC. DF⊥ ВC по теореме о трех перпендикулярах. Значит ВС⊥ пл. DFA, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Проводим АР⊥ DF.
Так как АР лежит в плоскости DFA, которая перпендикулярна ВС, то АР перпендикулярна ВС.
АР перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DBC, значит АР- перпендикуляр к плоскости DBC.
В силу подобия
AE⊥ KM, ТЕ⊥ КМ,AR⊥ TE.
АR- перпендикуляр к плоскости ТКМ.
RP- искомое расстояние.

Чтобы найти RP, найдем синус угла DFO из прямоугольного треугольника DFO.
DF²=DO²+OF²=(√19)²+(3√3/2)²=19+(27/4)=103/4
sin ∠DFO=DO/DF=√19/(√103/2)=2√19/√103.
Из прямоугольного треугольника АРF:
AP=AF•sin∠DFO=(9√3/2)•(2√19/√103).
RP=(1/2)AP=9√(57/103) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Обозначим высоту каждой части х, высота большого конуса 3х
Пусть радиус меньшего круга r, тогда из подобия прямоугольных треугольников:
радиус среднего круга 2r, радиус основания 3r.

Тогда V₁( малого конуса)=(1/3)·πr²x;
V₂(среднего конуса)=(1/3)·π(2r)²·2x=(8/3)·πr²x;
V₃(всего конуса, большого конуса)=(1/3)·π(3r)²·3x=(27/3)·πr²x;
По условию
V₃- V₂=38
или
(27/3)·πr²x -(8/3)·πr²x=38 ⇒πr²x=6

Значит
V₁( малого конуса)=(1/3)·πr²x=(1/3)·6=2;
V₂(среднего конуса)=(1/3)·π(2r)²·2x=(8/3)·πr²x=(8/3)·6=16

V( средней части)=V₂-V₁=16-2=14.
О т в е т. 14

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: (2х+23)/13 ≥0 ⇒ 2х+23≥0
х≥-23/2=-11,5.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(2х+23)/13=25;
2х+23 =25•13;
2х=325-23;
2х=302;
х=151.
151≥-23/2=-11,5
О т в е т. х=151

Ответ выбран лучшим

y`=(x³-6x²+9x+5)`=3x²-12x+9;
y`=0
3x²-12x+9=0;
x²-4x+3=0
D=(-4)²-4•3=16-12=4;
x=(4-2)/2=1 или х=(4+2)/2=3
х=1- внутренняя точка отрезка [0;3].
Исследуем знак производной на отрезке.
на [0;1] производная имеет знак +; на [1;3] - минус.
Значит х=1 - точка максимума функции, так как производная при переходе через точку х=1 меняет знак с + на -.
y(1)=1-6+9+5=9 - наибольшее значение функции на отрезке [0;3].

Ответ выбран лучшим

6-log₃x>0;
log₃x<6;
log₃x<log₃3⁶;
0<x<3⁶.
О т в е т. (0; 729)

Ответ выбран лучшим

Так как дискриминант квадратного трехчлена х²-8х+17 D=(-8)²-4•17=64-68<0, то х²-8х+17>0 при любом х.
По формуле перехода к другому основанию
log(ₓ²₋₈ₓ₊₁₇)²(3x²+5)=(1/2)log(ₓ²₋₈ₓ₊₁₇)(3x²+5).
Неравенство принимает вид:
log(ₓ²₋₈ₓ₊₁₇)(3x²+5)≤log(ₓ²₋₈ₓ₊₁₇)(2x²+7х+5)
Так как основание логарифмической функции
х²-8х+17>1
в силу того, что
х²-8х+16>0
или
(х-4)²>0 при всех х, кроме х=4,
то логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
3x2+5 ≤ 2x2+7x+5;
x²-7x≤ 0;
x(x-7)≤ 0;
x∈[0;7]
C учетом того, что х≠4, получаем ответ.
О т в е т. [0;4)U(4;7]

Ответ выбран лучшим

Так как 1=log₁₊₁/₍ₓ₋₃₎²(1+1/(x–3)²) и основание логарифмической функции 1+1/(x–3)²>1 при х≠3,
в силу того, что 1/(x–3)²>0,
значит логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
1+4/(x–2)²≤1+1/(x–3)²; при этом х≠2 и х≠3.
4/(x–2)²≤1/(x–3)²;
4/(x–2)²-1/(x–3)²≤0;
(4(х-3)²-(х-2)²)/(x–2)²(x–3)²≤ 0
Знаменатель положителен при х≠2 и х≠3, значит
(4(х-3)²-(х-2)²)≤ 0;
(2(х-3)-(х-2))(2(х-3)+(х-2))≤ 0;
(2х-6-х+2)(2х-6+х-2)≤ 0;
(х-4)(3х-8)≤ 0;
О т в е т. (2 целых 2/3;3)U(3;4)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной: 2^(2cosx)=t, t>0;
2^(4cosx)=(2^(2cosx))^(2)=t^(2).
Квадратное уравнение
t²+3t-10=0;
D=3²-4•(-10)=49
t=(-3+7)/2=2 или t=(-3-7)/2=-5- не удовлетворяет условию t>0.
Возвращаемся к переменной х:
2^(2cosx)=2;
2cosx=1;
cosx=1/2;
x=±arccos(1/2)+2πk, k∈Z.
x= ±(π/3)+2πk, k∈Z.
Указанному промежутку принадлежат
два корня: x=-(π/3)+2π=5π/3; x=(π/3)+2π=7π/3.
(cм. рисунок)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

АВС- нижнее основание призмы.
АаВbCc- верхнее основание.
ААа=ВВb=CCc=4√3:sin60°=8 cм
ВК=4;К- основание перпендикуляра из точки В на ребро ААа; ВК⊥AAa

CK=3; CK ⊥AAa.
∠ BKC=90°.
По теореме Пифагора ВС=5
Плоскость ВКС⊥AAa , так как две пересекающиеся прямые ВК и СК перпендикулярны ААа.
Значит и третья прямая ВС⊥AAa.
S(бок.)=(4+3+5)*8=12*8=96 кв. см

Ответ выбран лучшим

Пусть в банке берут А рублей, r% – процентная ставка, n–срок, на который взят кредит.
Ежемесячно нужно выплачивать одинаковую сумму долга А/n,
Выплаты процентов составят:
за первый год 0,01•r•А (т.к. кредит взят на n лет и сумма выплаты идет со всей взятой суммы)
за второй год 0,01• r•(А–А/n)=0,01•r•A•(n–1)/n (т.к. кредит взят на n лет, а сумма выплаты уже уменьшилась на 1/n)
…
за n–ый год 0,01•r•A•(n–(n-1))/n (т.к. кредит взят на n лет, а сумма выплаты уже уменьшилась на (1/n) •(n-1)=(n-1)/n.
Это и будет наименьшая выплата.
Тогда через n лет придется вернуть всю взятую сумму
n •(А/n)=A
и проценты, т.е.

0,01•r•А+0,01•r•A•(n–1)/n+…+0,01•r•A•(n–(n-1))/n=0,01r•А(1+((n-1)/n)+((n-2)/n)+… (1/n))
В скобках приводим к общему знаменателю и в числителе находим сумму n слагаемых от 1 до n по формуле суммы арифметической прогрессии.

В условиях данной задачи:А=14 млн. руб.; кредит взят на n лет.
10% от 14 млн рублей это 0,1*14=1,4 млн. руб
На 1 января долг составит 1,1*14=15,4млн. руб.
До 1 июля происходит выплата так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину
Выплачиваем сумму кредита, разделенную на n лет выплат и проценты за год, т.е. выплата составит ((14/n)+1,4 ) млн. руб.
После чего сумма долга составит
15,4-((14/n)+1,4 )=(14-(14/n)) млн. руб
На 1 января долг вновь вырастет на 10% и составит 1,1* (14-(14/n)) млн. руб.
До 1 июля происходит выплата.
Выплачиваем (14/n) млн. руб. и проценты за второй год,
т.е. выплата составит ((14/n)+(0,1*(14 – (14)/n ) )млн. руб.
третий год
выплачиваем (14/n + 0,1*(14- (14/n)-(14/n))= (14/n) + 0,1*(14-2* (14/n))
.........
За последний год
(14/n) + 0,1*(14 -(n-1)* (14/n))=14/n+0,1*(14/n)- это и есть наименьший годовой платеж.
1,1*(14/n) млн.=3,85 млн
n=4
Общая сумма выплат равна
(14/4)*4 +0,1*14(1+1/4+2/4+3/4)=14+1,4*(1+2+3+4)/4=
=14+1,4*(10/4)=14+3,5=17,5 млн. руб.
О т в е т. 17,5 млн. руб.

Сумму кредита 14:4=3,5 млн руб должны выплачивать каждый год.
Плюс проценты.
За первый год со всей суммы в 14 млн. Процент составит 1,4 млн. рублей.
За второй год, процент считаем не со всей суммы, а с учетом выплаченных 3,5 млн.
Получаем 0,1*(14-3,5)=1,05 млн.
За третий год
0,1*(14-2*3,5)=0,1*7=0,7 млн.
За четвертый год
0,1*(14-3*3,5)=0,35.
Выплаты 14 +1,4+1,05+).7+0,35=17,5 млн. руб.
Вот такая схема и удовлетворяет условию, каждый раз долг должен быть на одну и ту же сумму меньше. А именно на проценты с выплаченной суммы 0,1*3.5=0,35.
Сравните 1,4; 1,05;0,7; 0,35.

Ответ выбран лучшим

sin²x+cos²x=1 ⇒ sinx= -√(1-cos²x)=-√(1-(-0,4)²)=-√0,86≈-0,9
Так как в третьей четверти синус имеет знак минус.

Ответ выбран лучшим

а)3cosx–2sin2x=0:
3cosx-4sinxcosx=0
cosx(3-4sinx)=0
cosx=0 или 3-4sinx=0
x=π/2+πk, k∈Z
или
sinx=3/4
x=arcsin(3/4)+2πn, n∈Z; x=π-arcsin(3/4)+2πm, m∈Z.
б)2cos2x=1–sinx;
2(1-sin²x)=1-sinx;
2sin²x-sinx-1=0;
D=1+8=9
sinx=(1-3)/4=-1/2 или sinx=(1+3)/4=1
x=(-π/6)+2πk, k∈Z или x=π-(-π/6)+2πn, n∈Z;
x=π/2+2πm, m∈Z
О т в е т.а)π/2+πk;arcsin(3/4)+2πn; π-arcsin(3/4)+2πm;k,n,m∈Z.
б)(-π/6)+2πk;(7π/6)+2πn;π/2+2πm;k,n,m∈Z.

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
2ˣ=t; 4ˣ=t².
t²-6t+8=0;
D=(-6)²-4•8=36-32=4
t=(6-2)/2=2 или t=(6+2)/2=4
Возвращаемся к переменной х:
2ˣ=2 или 2ˣ=4;
х=1 или х=2.
О т в е т. 1; 2.

Ответ выбран лучшим

Так как косинус - четная функция, то
cos(2x–3π/2)=cos(3π/2-2х).
По формулам приведения
cos(3π/2-2х)= - sin2x
Уравнение принимает вид:
- sin2x=√2sinx
или
sin2x+√2sinx=0.
По формуле синуса двойного угла
sin2x=2sinxcosx.
Тогда уравнение примет вид
2sinxcosx+√2sinx=0;
sinx(2cosx+√2)=0
sinx=0 или сosx=-√2/2
x=πk,k∈Z или х= ±(3π/4)+2πn,n∈Z.
О т в е т.a)πk; ±(3π/4)+2πn;k,n∈Z.

б) Указанному промежутку[–3π;–3π/2] принадлежат корни:
х=-2π;-3π
и
х=(-3π/4)-2π=-11π/4;
см. рисунок
О т в е т. -3π;-11π/4;-2π. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х²+7х+10>0 или (х+2)(х+5)>0
x∈(-∞;-5)U(-2;+∞)
так как -2=log₁/₂ 4 и основание логарифмической функции 0<(1/2)<1, функция убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
х²+7x+10<4;
х²+7x+6<0;
(x+1)(x+6)<0
x ∈ (-6;-1)
C учетом ОДЗ получаем ответ
(-6;-5)U(-2;-1)
О т в е т. (-6;-5)U(-2;-1)

По формулам приведения:
sin(π/2 - x)= cosx.
Так как
sin²x = 1 – cos²x, уравнение принимает вид
2•(1 – cos²x) = 3√2•cosx + 4
или
2cos²x + 3√2cosx+2=0
D=(3√2)²-4•2•2=18-16=2
cosx=(-3√2–√2)/4=–√2 или cos x =(-3√2+√2)/4=-√2/2.
-√2<-1
первое уравнение не имеет корней.
Решаем второе уравнение
cos x =-√2/2;
x = ± arccos(–√2/2)+2πk, k∈ Z;
x=±(π-arccos(√2/2))+2πk, k∈ Z;
x=±(π-(π/4))+2πk, k∈ Z;
х=± (3π/4)+2πk, k∈ Z.

О т в е т. ± (3π/4)+2πk, k∈ Z.

Ответ выбран лучшим

1) Область определения х∈(-∞;+∞);
2) у`=(x^(3)+4x^(2)+6)`=3x^(2)+8x;
3)y`=0;
3x^(2)+8x=0;
x(3x+8)=0
x=0 x=-8/3 - точки возможных экстремумов.
Применяем достаточное условие экстремума, находим знак производной:
на(-∞;-8/3) знак +; функция возрастает;
на(-8/3;0) знак -; функция убывает;
на (0;+∞) знак +; функция возрастает.
х=-8/3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -;
х=0- точка минимума, производная меняет знак в - на +.
у(-8/3)=(-8/3)^(3)+4(-8/3)^(2)+6=418/27≈ 15,5
y(0)=6
Дополнительные точки:
(-5;-19);(-4;6);(-3;15);(-2;14);(-1;9);(1;11);(2;30)
Единственный нуль функции на отрезке [-5;4], график проходит из нижней полуплоскости от значения (-19) в верхнюю к значению 6.

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^(x)=t; t > 0
9^(x)=t^(2);
27^(x)=t^(3).
Неравенство примет вид:
t^(3)-9t^(2) + (9t^(2)-486)/(t-6)≤81;
Переносим слагаемое в правой части влево и приводим дроби к общему знаменателю:
(t^(4)-15t^(3)+63t^(2)-81t)/(t-6)≤0
или
t(t-9)(t^(2)-6t+9)/(t-6)≤0

Решаем данное неравенство методом интервалов c учетом условия t > 0:
Нули числителя t=0;t=9; t=3.
Нули знаменателя: t=6.
Расставляем знаки:
(0) _+__ [3] _+__ (6) __-__ [9] __+___

Возвращаемся к переменной х:
6 < 3^(x)≤9 ⇒log₃6 < x≤2

О т в е т. (log₃6;2]

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
3^(x)=t; t>0
9^(x)=t^(2)
Неравенство примет вид:
(t^(2)-9t+20)/(t-3) + (t^(2)-9t+1)/(t-9)≤2·t-6;
Переносим слагаемое в правой части влево и приводим дроби к общему знаменателю:
(3t-21)/(t-3)(t-9)≤0
Решаем данное неравенство методом интервалов c учетом условия t>0:
Нуль числителя t=7
Нули знаменателя: t=3; t=9
Расставляем знаки:
на(0;3) знак минус; на (3;7] знак плюс; на [7;9) знак минус и на (9;+∞) знак плюс.
Возвращаемся к переменной х:
3^(x)<3 ⇒ x < 1
или
7≤3^(x)<9 ⇒ log₃7≤ х < 2.
О т в е т. (-∞;1)U[log₃7;2)

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^(x)=t; t>0
4^(x)=t^(2)
Неравенство примет вид:
(t^(2)-16t+30)/(t-2) + (t^(2)-7t+3)/(t-7)≤2t-14;
Переносим слагаемое в правой части влево и приводим дроби к общему знаменателю:
(5t-20)/(t-2)(t-7)≤0
Решаем данное неравенство методом интервалов c учетом условия t>0:
Нуль числителя t=4
Нули знаменателя: t=2; t=7
Расставляем знаки:
на(0;2) знак минус; на (2;4] знак плюс; на [4;7) знак минус и на (7;+∞) знак плюс.
0<t<2 или 4≤t<7
Возвращаемся к переменной х:
2^(x)<2 ⇒ x < 1
или
4≤2^(x)<7 ⇒ 2≤ х < log₂7.
О т в е т. (-∞;1)U[2;log₂7)

Ответ выбран лучшим

sin147°·cos147°/sin294°=2sin147°·cos147°/2sin294°=sin294°/2sin294°=1/2

Ответ выбран лучшим

cos(-135°)=cos135° в силу четности функции косинус.
По формулам приведения
сos 135°=cos(180°-45°)= - cos45°=-√2/2, поэтому
24√2·cos(–135°)=24√2·(-√2/2)=-24.
О т в е т. -24

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: сosx>0
x- в 1-й или 4-й четверти:
(-π/2)+2πk < x <(π/2)+2πk, k - целое.
Замена переменной log₄(4cosx)=t;
2t²-7t+3=0
D=(-7)²-4•2•3=49-24=25
t=(7+5)/4=3 или t=(7-5)/4=1/2
log₄(4cosx)=3 или log₄(4cosx)=1/2
4cosx=4³ или 4cosx=√4
cosx=16 или сosx=1/2
16>1- первое уравнение не имеет корней.
cosx =1/2; (1/2)>0
x=±arccos(1/2)+2πk, k∈Z;
x=±(π/3)+2πk, k∈Z. Корни удовлетворяют ОДЗ.
О т в е т. а)±(π/3)+2πk, k∈Z.

б) Указанному промежутку удовлетворяет один корень
х=(-π/3)+2π=5π/3
О т в е т. 5π/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
sin(3π/2 + x)= – cosx.
Так как
sin²x = 1 – cos²x, уравнение принимает вид
2•(1 – cos²x)+4 = 3√3•(– cosx)
или
2cos²x – 3√3cosx-6=0
D=(-3√3)²-4•2•(-6)=27+48=75
cosx=(3√3–5√3)/4=–√3/2 или cos x =(3√3+5√3)/4=2√3
x = ± arccos(–√3/2)+2πk, k∈ Z;
x=±(π-arccos(√3/2))+2πk, k∈ Z;
x=±(π-(π/6))+2πk, k∈ Z;
х=± (5π/6)+2πk, k∈ Z.

2√3>1 - второе уравнение не имеет корней.

О т в е т. a) ±(5π/6)+2πk, k∈ Z.

2)Указанному промежутку принадлежит один корень:
х=(5π/6)-2π=-7π/6.
О т в е т. б)-7π/6∈[-5π/2; -π] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Так как косинус - четная функция
cos(x-π/2)=cos(π/2-x)
По формулам приведения:
cos(π/2–x)= sinx.
Так как
cos2x = 1 – 2sin²x, уравнение принимает вид
2•(1 – 2sin²x)+1 = √2• sinx
или
4sin²x + √2sinx-3=0
D=(√2)²-4•4•(-3)=2+48=50
sinx=(-√2–5√2)/8=–3√2/2 или sinx =(-√2+5√2)/8=√2/2
x = arcsin(√2/2)+2πn, n∈ Z; x=π-(arcsin(√2/2))+2πk, k∈ Z.
или
х= (π/4)+2πn, n∈ Z; x=(3π/4)+2πk, k∈ Z.
-3√2/4<1 - второе уравнение не имеет корней.
О т в е т. (π/4)+2πn;(3π/4)+2πk, n,k ∈ Z.

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
cos(3π/2–x)= – sinx.
Так как
cos²x = 1 – sin²x, уравнение принимает вид
2•(1 – sin²x)+1 = 2√2•(– sinx)
или
2sin²x – 2√2sinx-3=0
D=(-2√2)²-4•2•(-3)=8+24=32
sinx=(2√2–4√2)/4=–√2/2 или sinx =(2√2+4√2)/4=3√2/2
x = arcsin(–√2/2)+2πn, n∈ Z; x=π-(arcsin(–√2/2))+2πk, k∈ Z.
или
х= (–π/4)+2πn, n∈ Z; x=(5π/4)+2πk, k∈ Z.
3√2/2>1 - второе уравнение не имеет корней.
О т в е т. а)(–π/4)+2πn;(5π/4)+2πk, n,k ∈ Z.

2)Указанному промежутку принадлежит один корень:
х=(-π/4)+2π=7π/4.
О т в е т. 7π/4∈[3π/2; 3π]
см. рисунок. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х⁴-4х²+a²≥ 0
Возводим обе части уравнения в квадрат при условии, что правая часть неотрицательна.
х²+2х+а≥0
х⁴-4х²+a²=х⁴+4х²+a²+2х³-2х²а-2ха;
2х³+(8-2а)х²-2ха=0;
2х(х²+(4-а)х-а)=0
х=0 или х²+(4-а)х-а=0
Чтобы данное уравнение имело три корня необходимо и достаточно чтобы второе уравнение имело два корня.
D=(4-a)²+4a=16-8a+a²+4a=a²-4a+16
Чтобы второе уравнение имело два корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был положительным.
a²-4a+16>0 при любом а из области определения и из дополнительного условия, так как дискриминант квадратного трехчлена 16-4• 16=-48 <0; ветви графика направлены вверх, парабола не пересекает ось ох, расположена выше оси ох.
При любом а≤х²+2х и а²≥-х⁴+4х²

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения:
sin(3pi/2–x)= - сosx.
Так как
sin²x = 1 - cos²x, уравнение принимает вид
6•(1 - cos²x) = 5•(- cosx)+2
или
6cos²x - 5cosx-4=0
D=25+96=121
cosx=(5-11)/12=-1/2 или cosx =(5+11)/12=16/12
x = ± (arccos (-1/2)+2πn, n∈ Z 16/12 > 1, второе уравнение не имеет корней.
х= ± (π-arccos 1/2)+2πn, n∈ Z;
х= ± (2π/3)+2πn, n∈ Z.
2)Указанному промежутку принадлежит один корень:
х=-(2π/3)-4π=-14π/3.
см. рисунок. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Напишем уравнения прямых, ограничивающих стороны треугольника
Уравнение прямой АВ : у= -0,2х+5,2
k=-0,2
тангенс наклона прямой АВ к оси ох равен (-0,2)

Уравнение прямой ВС : у=-1,8х+6,8
тангенс наклона прямой ВС к оси ох равен (-1,8)
тангенс угла между прямыми АВ и ВС находим по формуле тангенса разности двух углов
tg(α-β)=
=
(tgα-tgβ)/(1+tgα•tg β) =(-0,2+1,8)/(1+0,2 •1,8)=1,6/1,36
Это тангенс острого угла, а угол АВС - тупой, значит его тангенс со знаком минус.
Ответ. tg ∠ ABC=-160/136=-20/17
Остальные тангенсы углов аналогично считаются.

Ответ выбран лучшим

9x<6
x <(2/3)
О т в е т. (-беск;2/3)

Ответ выбран лучшим

По формуле
d²=a²+b²+c²
По условию
d=BD₁=B₁D=AC₁=A₁C=√42;
a=ВС=В₁С₁=AD=A₁D₁=1;
c=АA₁=BB₁=CC₁=DD₁=4.
b²=d²-a²-c²=(√42)²-1²-4²=25;
b=5
О т в е т. АВ=А₁В₁=СD=C₁D₁=5

Ответ выбран лучшим

(1/2)ˣ⁻=(2⁻¹)ˣ=2⁻ˣ
8ˣ=(2³)ˣ=2³ˣ.
Уравнение примет вид
2⁻ˣ-8=2³ˣ
или
2⁴ˣ+8•2ˣ-1=0- уравнение четвертой степени
t⁴+8t-1=0, которое имеет единственный положительный корень на отрезке [2;3].

Скорее всего в условии неверная запись, показатель степени выражения слева не х, а (х-8).
Тогда решение выглядит так:

(1/2)ˣ⁻⁸=(2⁻¹)ˣ⁻⁸=2⁻ˣ⁺⁸
8ˣ=(2³)ˣ=2³ˣ
Уравнение примет вид
2⁻ˣ⁺⁸=2³ˣ
или
-х+8=3х
4х=8
х=2
О т в е т. х=2

Ответ выбран лучшим

1) 70•1,2=84 руб.
2)100 - 84 =16 руб. сдача.
О т в е т. 16 руб.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х - 2 ≥ 0; х ≥ 2.
Возводим обе части уравнения в квадрат.
(√(х-2))²=3²;
х-2=9;
х=11
11 принадлежит ОДЗ.
О т в е т. х=11

Находим точки возможных экстремумов. Для этого находим производную функции
у`=(3x-x³)`=3-3x²;
y`=0
3-3x²=0
3(1-x)(1+x)=0
x=-1 ; x=1
х=1- правая крайняя точка отрезка [-2;1]
x= -1 - внутренняя точка отрезка [-2;1]
Исследуем знак производной на [-2;1].
[-2]___-___(-1)___+___[1]
При переходе через точку х= -1 производная функции меняет знак с - на +. Значит, х=-1 - точка минимума.
у(наим)=y(-1)=3•(-1)-(-1)³= - 3 + 1 = - 2.
Чтобы найти наибольшее значение, находим значения на концах отрезка и выбираем из них наибольшее.
у(-2)=3•(-2)-(-2)³= - 6 + 8 =2
у(1)=3•1-1³=3-1=2
у(наибольшее)=у(-2)=у(1)=2.
Ответ.
у(наименьшее на [-2;-1])=y(-1)= -2;
у(наибольшее на [-2;-1])=у(-2)=у(1)=2.

Уравнение касательной
у=f(x₀)+f`(x₀)•(x-x₀)

1)f(x₀)=f(2π/3)= - 2sin(2π/3)= -2•(√3/2)= -√3;
2)f`(x)=-2cosx;
3)f`(x₀)=f`(2π/3)=- - 2cos(2π/3)=-2•(-1/2)=1.

y=-√3+1•(x-(2π/3))=x-√3-(2π/3).
О т в е т. y=x-√3-(2π/3).

Замена переменной:
√х=t; x=t²; dx=2tdt.
нижний предел: х=4 тогда t=√4=2.
верхний предел: х=9 тогда t=√9=3.
считаем интеграл от 2 до 3
∫2tdt/(t+1)=∫(2t+2-2)dt/(t+1)=∫2dt-∫2dt/(t+1)=
=(2t-2ln|t+1|)| внизу2 вверху 3=
=2(3-2)-2ln|3+1|+2ln|2+1|=2-2ln4+2ln3=2-2ln(4/3).

Ответ выбран лучшим

р=0,7+0,3 • 0,7=0,7+0,21=0,91

Ответ выбран лучшим

S(полн.)=S(верх. осн.)+S(ниж.осн.)+S(большей бок. грани справа)+S(малой грани боковой справа)+S(бок. грани слева)+S(передней грани)+S(задней грани)++S(маленькой верхней грани)=3•2+3•3+3•2+3•3+3•1+3•3-1•1+3•3-1•1+3•1=
=6+9+6+9+3+9-1+9-1+3=52 кв. ед. (прикреплено изображение)

sin²α +cos²α =1;
угол α в первой четверти, косинус в первой четверти имеет знак +, поэтому
cosα =+√(1-sin²α)=+√(1-(25/26))=1/(√26);
tgα=sinα/cosα=5/(√26):1/(√26)=5

S(трапеции)=(a+b)h/2=(2+6)•4/2=16 кв. ед (прикреплено изображение)

y`=(x-6)^(2))`(x+6)+(x-6)^(2)(x+6)`-(9)`=2(x-6)(x+6)+(x-6)^(2)=(x-6)(2x+12+x-6)=(x-6)(3x+6);
y`=0;
(x-6)(3x+6)=0;
x=6 x=-2
6∈[2;13]

[2]__-__(6)__+__[13];

x=6 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +.
y(6)=0-9=-9
О т в е т. наименьшее значение функции на отрезке [2;13] равно -9.

ОДЗ:
х-1 >0 ⇒ x>1 ;
x-1≠1 ⇒ x≠2;
x²-2x+1>0 ⇒ x≠1;
10-x >0 ≠ x <10.
x∈ (1;2)U(2;10)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

6x - 9 = 7x - 25;
6x - 7x = - 25 + 9;
- x = - 16;
x = 16.

Ответ выбран лучшим

5x = 0,04 - 5;
5x = - 4,96;
x =( - 4,96):5;
x = - 0,992

Ответ выбран лучшим

Признак параллельности прямой и плоскости :Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Проводим FK || BO.
Соединяем точку К с точкой А.
Прямая ВО || плоскости АFK. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Рассмотрим основание логарифмической функции:
1) Если основание больше 1, логарифмическая функция возрастает
1-(1/(х-1)^2) > 1⇒ -(1/(x-1)^2) > 0 - неравенство не выполняется ни при каком х
2) Если основание логарифмической функции больше 0, но меньше 1, логарифмическая функция убывает.

0 < 1-(1/(х-1)^2) < 1
или
{1-(1/(х-1)^2) > 0 ⇒ ((x-1)^2-1)/(x-1)^2 > 0 ⇒(x-1-1)(x-1+1)/(x-1)^2 > 0⇒x(x-2)/(x-1)^2 > 0;
{1-(1/(х-1)^2) < 1 ⇒ -(1/(x-1)^2) < 0 - верно при любом х≠1

_+__ (0) _-__ (1) _-__ (2) __+__

x∈ (- ∞;0)U(1;+ ∞)

Неравенство принимает вид:
(x^2+5x+8)/(x^2-3x+2) больше или равно 1;
(x^2+5x+8-x^2+3x-2)/(x^2-3x+2) больше или равно 0
(8x+6)/(x^2-3x+2) больше или равно 0
Применяем метод интервалов
нули числителя:
8х+6=0
х=-3/4
нули знаменателя
x^2-3x+2=0
D=9-8=1
x=1 или х=2
__-__ [-3/4] _+__ (1) __-__(2)__+___
х∈[3/4;1) U(2;+ ∞)

Пересечение двух множеств приводит к ответу:
[-3/4;0)U(2;+ ∞) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log(2)(2-3x)≤log(2)2^(5)
или
log(2)(2-3x)≤log(2)32.
Логарифмическая функция с основанием 2 - возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Учитывая ОДЗ логарифмической функции получаем систему двух неравенств:
2-3х≤32;
2-3х>0

-3x≤32-2
-3x>-2

x≥-10
x<2/3

О т в е т. [-10;2/3)

Ответ выбран лучшим

Расстояние от точек до ближайшей стороны равно 0,2. Такие точки расположены на прямых параллельных сторонам квадрата и находящихся на расстоянии 0,2.
Точки, расстояние от которых больше чем 0,2 расположены внутри квадрата ( на рисунке обозначен розовым цветом), длина стороны которого равна 1-2•0,2=1-0,4=0,6
Вероятность (геометрическая вероятность равна отношению площади этого квадрата к площади данного квадрата.
р=(0,6)²/1²=0,36 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(3π/2 –x )=-sinx.
По формуле косинуса двойного угла
cos2x=cos²x-sin²x.
Тригонометрическая единица
1=cos²x+sin²x, тогда
2=2cos²x+2sin²x
Уравнение принимает вид
cos²x-sin²x+2cos²x+2sin²x=-√3sinx.
3cos²x+sin²x+√3sinx=0.
Заменим
cos²x=1-sin²x.
Получим квадратное уравнение
3-3sin²x+sin²x+√3sinx=0
или
2sin²x-√3sinx-3=0.
D=3+24=27
sinx=(√3-3√3)/4=-√3/2 или sinx=(√3+3√3)/4=√3; √3>1.
x=(-π/3) +2πk;x=(-2π/3) +2πn; k,n∈ Z второе уравнение не имеет корней.
О т в е т. а)x=(-π/3) +2πk;x=(-2π/3) +2πn; k,n∈ Z
б) (-π/3)-2π=-7π/3; (-2π/3)-2π=-8π/3 - корни, принадлежащие промежутку[–3π;–3π/2]

Ответ выбран лучшим

d²= a²+b²+c²;
17²= 8²+9²+c²;
c²=289-64-81;
c²=144;
c=12
V=abc=8•9•12=864 куб. ед.

Ответ выбран лучшим

Замена.
Тригонометрическая подстановка
x=sint (a t=arcsinx)
dx=costdt
√(1–x²)=√(1–sin²t)=√cos²t=cost;
Тогда подинтегральное выражение примет вид
sin²tcostdt/cost]sin²t
По формуле
sin²t=(1-cos2t)/2
∫sin²tdt=∫(1-cos2t)dt/2=(1/2)t-(1/4)sin2t+C, где
t=arcsinx
или
sint=x
cost=√(1–x2)
sin2t=2sintcost=2x√(1–x²)
О т в е т. (1/2)arcsinx-(1/2)x√(1–x²)+C

Ответ выбран лучшим

Раскрываем скобки под знаком интеграла, приводим подобные слагаемые
(x+1)(5x–3)=5х²+2х-3
О т в е т. (5/3)х³+х²-3х+С.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х+2≥0
х≥ -2.
Возводим обе части уравнения в квадрат, при условии, что х+2а>0:
x+2=x²+4a+4a²;
x²-x+4a²+4a-2=0
Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант этого уравнения положительный.
D=1-4(4a²+4a-2)=-16a²-16a+9.
Решаем неравенство
-16a²-16a+9>0
или
16a²+16a-9<0
D=16²-4•16•(-9)=16•(16+36)=16•4•13
a=(-16-8√13)/32=(-2-√13)/4 или а=(-2+√13)/4
при (-2-√13)/4<a<(-2+√13)/4

Ответ выбран лучшим

V(данного куба)=х•х•х=х³
V( нового куба)=(7х)•(7х)•(7х)=(7х)³=343х³
V(нового куба) : V(данного куба)=343.
О т в е т. Увеличится в 343 раза

Ответ выбран лучшим

2^(x+3)+2^(x)=3^(x^(2)+2x-5)+3^(x^(2)+2x-6);
2^(x)•(2^(3)+1)=3^(x^(2)+2x-6)•(3+1);
2^(x)•9=3^(x^(2)+2x-6)•4 делим на 36;
2^(x-2)=3^(x^(2)+2x-8).
х=2
О т в е т. х=2

Ответ выбран лучшим

log(2)1=log(3)1=0
Значит,
x+5=1
x=-4

Ответ выбран лучшим

(1/9)^(x-13)=3^(3);
(3^(-2))^(x-13)=3^(3);
3^(-2x+26)=3^(3);
-2x+26=3;
-2x=3-26
-2x=-23
x=11,5

Ответ выбран лучшим

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны,в точке пересечения делятся пополам и разбивают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора сторона ромба равна a=5:
a²=(d₁/2)²+(d₂/2)²=3²+4²=25
S(полн)=S(бок)+2•S(осн)=Р(осн)•Н+2•(1/2)•d₁•d₂=
=4•5•10+6•8=248 кв. ед

Ответ выбран лучшим

Значит в осевое сечение цилиндра вписана окружность.
Окружность можно вписать в единственный из прямоугольников - квадрат.
H=2R
V(цилиндра)= π•R²•H=π•R²•(2R)=2π•R³.
По условию
2π•R³=42;
π•R³=21.
V(шара)=(4/3)π•R³;
Заменим π•R³ на 21:
V(шара)=(4/3)•(21)=28 куб. ед.
О т в е т. V(шара)=28 куб. ед.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а) треугольники АВС и APD подобны по двум углам:
∠BCA=∠PDA - как опирающиеся на одну и ту же дугу АВ.
∠BAС=∠PAD- как опирающиеся на равные дуги ВС и CD.
Равные хорды BC=CD стягивают равные дуги.
Из подобия треугольников получаем пропорциональность сторон.
AB:BC=AP:PD.
б) Так как BD - диаметр, то ВО=ОD как радиусы описанной окружности.
∠ВСD- прямой, опирается на диаметр.
Треугольник BCD - прямоугольный равнобедренный ВС=СD.
В треугольниках COD и BOC основания равны, высота общая.
S(ΔСOD) = S(ΔВOС) = (1/2)S(ΔBCD)=(1/2)BC•CD=
=(1/2)•(5√2)•(5√2)=25 кв. ед.
AB=5 - лишнее данное?
О т в е т. S(ΔСOD) =25 кв. ед.

Ответ выбран лучшим

См. решение в приложении.
О т в е т. 13 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

9,6•15=144 км
Пусть скорость первого – х км/ч;
скорость второго – у км/ч
144/х час - время первого; 144/у час - время второго.
По условию " на финиш первый пришел раньше второго на 12 мин", значит 144/х на 12 мин=12/60=1/5 часа меньше 144/у.
Получаем первое уравнение:
144/х+(1/5)=144/у;
ху=5•144(х-у);
720х-720у=ху.
Из условия "первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 1 час 12 мин" получим второе уравнение системы.
1 час 12 мин = 1 целая 12/60=1 целая 1/5=6/5 часа.
(6/5)х км - проехал первый гонщик;
(6/5)у км - проехал второй.
Первый проехал на 9,6 км больше.
Второе уравнение:
(6/5)х - (6/5)у=9,6
или
6х-6у=48;
х-у=8;
х=у+8
Подставим это в первое уравнение
720(у+8)-720у=(у+8)у
или
у²+8у-5760=0;
D=64+4•5760=23104=152².
у=(-8+152)/2=72
второй корень уравнения отрицательный и не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т. 72 км в час - скорость второго гонщика

Ответ выбран лучшим

Пусть АН=х, тогда НВ=12-х.
Из прямоугольного треугольника АСН:
СН=АН•tg∠A=3x
Из подобия прямоугольных треугольников АСН и ВСН получаем пропорциональность сторон.
АН:СН=СН:НВ;
x:3x=3x:(12-x);
x•(12-x)=3x•3x;
12x-x²=9x²;
12x=10x²;
x=0 или х=1,2
О т в е т. АН=1,2

Ответ выбран лучшим

Цифр 0 в числе быть не может, так как в противном случае произведение цифр будет равно 0.
Между 25 и 30 находятся числа
26; 27; 28; 29;
26=2•13;
27=3•3•3;
28=2•2•7•1
Итак, получаем число 2271, сумма цифр
2+2+7+1=12, произведение цифр равно 28.
25<28<30.

О т в е т. 2271 или 2712 или 2217 или 2721 и т.д

Ответ выбран лучшим

69696:18=3872

Ответ выбран лучшим

2sinxcos2x–3sin2x=2sinx;
по формуле двойного угла sin2x=2sinxcosx, тогда
уравнение примет вид:
2sinxcos2x–6sinxсosx-2sinx=0;
2sinx(cos2x-3cosx-1)=0
1) sinx=0 ⇒ x=πk, k∈Z.
или
2)cos2x-3cosx-1=0
По формуле двойного угла
cos2x=2cos²x-1 и уравнение примет вид
2cos²x-3cosx-2=0
D=9+16=25
корни уравнения
(3-5)/4=-1/ 2 и (3+5)/4=2
cosx=-1/2 или сosx=2 - уравнение не имеет корней
х=±(arccos(-1/2))+2πn, n∈Z;
x=±(π-(arccos1/2))+2πn, n∈Z;
x=±(π-(π/3))+2πn, n∈Z;
x=±(2π/3)+2πn, n∈Z.
О т в е т. x=πk; ±(2π/3)+2πn; k,n∈Z.

Ответ выбран лучшим

x⁴=(2x–8)²;
(x²)²-(2x-8)²=0;
(x²-(2x-8))(x²+2x-8)=0
x²-2x+8=0 или х²+2х-8=0
D=4-32<0 или D=4+32=36
нет корней или х₁=(-2-6)/2=-4 или х₂=(-2+6)/2=2
О т в е т. -4; 2

Ответ выбран лучшим

Верхняя и нижняя грани- прямоугольники размером 6 на 5. Площадь каждой 30 кв. см.
Боковые грани, из прямоугольника размером 6 на 5 вырезан прямоугольник 2 на 3. Площадь каждой грани 30-6=24.
передние грани 5 на1 две + 3 на 5 =10+15=25:
Сзади грань 5 на 5 = 25;
Сверху и снизу 2 на 5: 10 +10 =20.
Всего: 60+48+25+25+20=178 кв см.
О т в е т. 178 кв. см

Ответ выбран лучшим

875 или 857 или 587 или 578 или 758 или 785.
Сумма цифр 8+7+5=20;
Сумма квадратов цифр 64+49+25=138
138:3=46
138 не делится на 9.

Ответ выбран лучшим

Так как 1=log(5)5, 2=2•log(5)5=log(5)5^(2)=log(5)25, то
log(5)(12x+1)<=log(5)25.
Логарифмическая функция с основанием 5 возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Получаем неравенство:
12х+1<=25.
Учитывая ОДЗ логарифмической функции получаем систему двух неравенств:
12х+1<=25;
12x+1>0.
Решаем:
12х<=24;
12x>-1.
или
х<=2;
x>-1/12.
О т в е т. (-1/12;2]

Ответ выбран лучшим

Пусть
AB=CD=c;
BC=a;
AD=b.
По условию
"в трапецию можно вписать окружность", значит суммы противолежащих сторон равны, т.е
a+b=c+c
По условию "периметр трапеции равен 200":
a+b+2c=200,
По условию
"площадь трапеции равна 2000":
(a+b)h/2=2000.
Заменим 2с на (a+b)
(a+b)+(a+b)=200,
(a+b)=100.
Найдем высоту:
h=2000:50=40.
2с=a+b=100, значит боковая сторона с=50.
Высоты, проведенные из вершин верхнего основания на нижнее делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника с катетами h и (b-a)/2.
По теореме Пифагора 50²-40²=2500-1600=900=30².
(b-a)/2=30 или b=60+a
Так как a+b=100, a+60+a=100, 2а=40, a=20.
b=60+20=80
Обозначим расстояние от точки О до меньшей стороны ВС через x, тогда расстояние от точки О до большей стороны AD равно (40-х).

Из подобия треугольников ВОС и AOD
20:x=80:(40-x);
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
(40-х)•20=80•x;
800-20x=80x;
800=100x;
x=8.
О т в е т. 8.

Ответ выбран лучшим

По формуле (u/v)`=(u`•v-u•v`)/v²
f`(x)=((4+3x)`•(3-4x)-(4+3x)•(3-4x)`)/(3-4x)²=
=(3•(3-4x)-(4+3x)•(-4))/(3-4x)²=(9-12x+16-12x)/(3-4x)²=
=25/(3-4x)²;
f`(1)=25/(3-4)²=25

Ответ выбран лучшим

y`=(x³+3x²+2)`=3x²+6x;
y`=0;
3x²+6x=0;
x(3x+6)=0
x=0 и х=-2 - точки возможных экстремумов.
Применяем достаточное условие. Находим знаки производной
на [-3;-2] y`>0; функция возрастает;
на [-2;0] y`<0;функция убывает;
на [0;1] y`>0; функция возрастает.
х=0 - точка минимума, производная меняет знак с минуса на плюс.
y(0)=2 - наименьшее значение функции на отрезке [–3;1]

Ответ выбран лучшим

cos 426°=cos(360°+66°)=cos66° по формулам приведения.

sin²66°+cos²426°=sin²66°+cos²66°=1
О т в е т. -6

Ответ выбран лучшим

Треугольники АСН и ВСН подобны по двум углам.
(см. рисунок).
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон
АН:НС=НС:НВ;
АН=НС•НС/НВ=4√3•4√3/12=4
АВ=АН+НВ=4+12=16
S(Δ АВС)=АВ•СН/2=16•4√3/2=32√3. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

S(трапеции)=(a+b)h/2;
24=(8+4)h/2;
h=48:12=4
Проведем высоту CК.
CK=4
AK=KD=4
Δ CKD - прямоугольный равнобедренный.
∠СDK=45°. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Найдем при каких n выполняется неравенство аn<0;
1–104/(6n–5)<0
Приводим к общему знаменателю
(6n-5-104)/(6n-5)<0;
(6n-109)/(6n-5)<0.
Решаем методом интервалов:
находим нуль числителя
6n-109=0;
n=18целых 1/6
находим нуль знаменателя
6n-5=0
n=5/6
Решением неравенства служит интервал (5/6; 17целых 1/6).
Так как n - натуральное, то n=1;2;3;... 18
О т в е т. 18 членов данной прогрессии отрицательны

10·2n / (2n+1 + 2n–1) =10·2n / (4n)=5

Ответ выбран лучшим

Приводим к общему знаменателю:
(2+х+5(2-x)-3(2-x)(2+x))/(2-x)(2+x)≤0;
(2+x+10-5x-12+3x²)/(2-x)(2+x)≤0;
(3x²-4x)/(2-x)(2+x)≤0;
x(3х-4)/(2-x)(2+x)≤0;
Решаем методом интервалов:
Находим нули числителя: х(3х-4)=0
х=0 и х=4/3
и отмечаем закрашенным кружком на числовой оси ох,
находим нули знаменателя
х=-2 и х=2
и отмечаем пустым кружком.Расставляем знаки
при х=10 получаем знак -, далее знаки чередуем влево
+-+-
на (-беск;-2) знак -;
на [0;4/3]знак -;
на (2; + беск) знак -.
О т в е т.(-беск;-2)U[0;4/3]U (2; + беск).

Ответ выбран лучшим

4,6 кг - 100%
х кг - 80%
х=4,6·80:100=3,68 кг сухого вещества в белье.

3,68 кг составляют 92%
у кг - 100%
у=3,68·100:92=4 кг белья было загружено
О т в е т. 4 кг белья

Ответ выбран лучшим

5√13·2√3·√39 =5·2·√(13·3·39)=10·39=390

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение. Замена переменной sinx=t; sin²x=t.
3t²-5t-2=0;
D=(-5)²-4•3•(-2)=25+24=49=7²
t=(5-7)/6=-1/3 или t=(5+7)/6=2
1)sinx=-1/3
x=arcsin(-1/3)+2πk, k∈Z;
x=π-arcsin(-1/3)+2πn, n∈Z;
2) sinx=2 - уравнение не имеет корней
О т в е т.x=-arcsin(1/3)+2πk, k∈Z;
x=π+arcsin(1/3)+2πn, n∈Z.

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час - скорость второго, (х+3) км в час- скорость первого.
108/х час.- время второго; 108/(х+3) час.- время первого.
По условию время первого на 1 ч 48 мин=1 целая 48/60=1,8 часа меньше (приехал раньше) второго.
Уравнение.
108/х - 108/(x+3)=1,8
Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.
х≠0; х+3≠0
108(х+3)-108х=1,8x(x+3);
1,8х²+5,4х-324=0
D=(5,4)²-4•1,8•(-324)=29,16+2332,8=2361,96=48,6²

х=(-5,4+48,6)/3,6=12
второй корень уравнения отрицательный и не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т. 12 км в час

Ответ выбран лучшим

x-2=-1/4 или
х-2=-0,25;
x=-0,25+2
x=1,75

Ответ выбран лучшим

Среднее квадратичное — число , равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел.
√((11²+4²+9²)/3)=√((121+16+81)/3)=√(218/3)≈8,5

Ответ выбран лучшим

Пусть
AB=CD=c;
BC=a;
AD=b.
По условию
"в трапецию можно вписать окружность", значит суммы противолежащих сторон равны, т.е
a+b=c+c
По условию "периметр трапеции равен 68":
a+b+2c=68,
По условию
"площадь трапеции равна 255":
(a+b)h/2=255,
(a+b)+(a+b)=68,
(a+b)=34,
h=255:17=15
(b-a)/2=8 ( по теореме Пифагора 17²-15²=289-225=64)
Значит a+(8+a+8)=34, а=9, b=25.
Обозначим расстояние от точки О до большей стороны AD x, тогда расстояние от точки О до меньшей стороны ВС равно (15-х).

Из подобия треугольников ВОС и AOD
9:(15-x)=25:x;
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
(15-х)•25=9•x;
375-25x=9x;
375=25x+9x;
375=34x;
x=375/34=11 целых 1/34
О т в е т. 11 целых 1/34.

Ответ выбран лучшим

Так как квадратный член раскладывается на множители по формуле:
x²+px+q=(x-x₁)(x-x₂), то
х₁=-7
х₂=а
и по теореме Виета
х₁+х₂=-3
х₁х₂=-28, то
х₂=-3-х₁=-3-(-7)=4
О т в е т. а = 4

Ответ выбран лучшим

tg²x=sin²x/cos²x.
Приводим дроби к общему знаменателю cos²x.
cos²x≠0
Числитель равен нулю:
3sin²x-5cosx+5cos²x=0
Так как sin²x+cos²x=1, 3sin²x+3cos²x=3
уравнение принимает вид:
2cos²x-5cosx+3=0,
D=(-5)²-4•2•3=1
cosx=1 или cosx=3/2- уравнение не имеет корней.
х=2πk, k∈Z.

C помощью неравенств найдем корни принадлежащие указанному промежутку:
-3π≤2πk≤-3π/2, k∈Z.
-3≤2k≤-3/2, k∈Z.
-3/2≤k≤-3/4, k∈Z.
k=-1
При k=-1 получаем ответ
х=-2π
О т в е т.
a)2πk, k∈Z.
б)-2π∈[-3π;-3π/2].

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

√(–21–11x)=-x√(–21–11x);
√(–21–11x)+x√(–21–11x)=0;
√(–21–11x)(1+x)=0
-21-11x=0 или 1+х=0;
х=-21/11 или х=-1.
при х=-1 √(–21–11x)не существует.
О т в е т. х=-21/11

Ответ выбран лучшим

Пусть AD=a; DC=b; CC₁=c
V(параллелепипеда)=a•b•c.
V(пирамиды)=(1/3)S(осн)•Н=(1/3)DC•CC₁•BC=(1/3)b•c•a=(1/3)V(параллелепипеда)=(1/3)•8,4=2,8

Ответ выбран лучшим

y`=14-8cosx;
y`=0;
14-8cosx=0;
8cosx=14;
cosx=7/4- уравнение не имеет корней.
Так как -1<=cosx<=1, то 6<=14-8сosx<=22
y`>0 при любом х, значит функция у= y=14x–8sinx–6 возрастает на (-беск; +беск).
Наибольшее значение на [-п/2;0] функция принимает в правом конце.
у(0)=-6 - наибольшее значение функции на [-п/2;0]

Ответ выбран лучшим

f`(xо)=k(кас.);
3х^(2)о-8xо+9=5;
3х^(2)о-8xо+4=0;
D=64-48=16
xо=(8-4)/6=2/3 или xо=(8+4)/6=2.
О т в е т. 2/3; 2

Ответ выбран лучшим

SABC- правильная пирамида, в основании равносторонний треугольник АВС: АВ=ВС=АС.
S(бок.)=3•S(треуг. SBC)=3•(BC•SN/2);
S(бок.)=3•(BC•SN/2);
Подставляем вместо S(бок.) 72, вместо SN подставляем 6:
72=3•(BC•6/2);
72=9ВС
ВС=8
О т в е т. АВ=ВС=АС=8.

Ответ выбран лучшим

В основании пирамиды квадрат АВСD. МО- высота пирамиды. ( см. рис.) О- центр квадрата, точка пересечения диагоналей АС и BD.
В прямоугольном треугольнике МОС, ∠ МСО =60°, значит∠СМО=30°.
Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
Поэтому ОС=4; АС=2ОС=8.
АС=BD=8 - диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны.
В точке пересечения делятся пополам. ОС=ОА=ОВ=OD=4
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОD:
AD²=AO²+OD²=4²+4²=32;
AD=4√2
АВ=ВС=СD=AD=4√2.
1) площадь боковой поверхности пирамиды
Находим апофему МE из треугольника МEС.
DE=EC=4√2/2=2√2; MC=8.
МE²=MC²-EC²=8²-(2√2)²=64-8=56.
ME=2√14.
S(бок)=4•S(Δ MDC)=4•DC•ME/2=4•(4√2)•2√(14)/2=
=32√7.

2) объем пирамиды
Из прямоугольного треугольника МОC по теореме Пифагора.
МО²=МC²-ОC²=8²-4²=48.
MO=Н=4√3.
V(пирамиды)=(1/3)S(осн.)•Н=
=(1/3)•(4√2)²•(4√3)=(128√3)/3.

3) Это угол образованный двумя апофемами боковых граней МE и МF и отрезком EF, соединяющим середины противоположных сторон квадрата и равным стороне квадрата.
По теореме косинусов:
EF²=ME²+MF²-2•ME•MF•cosα;
(4√2)²=(2√(14))²+(2√(14))²-2•2√(14)•2√(14)•сosα.
cosα=5/7.

4) скалярное произведение векторов (MA+MC)•ME.
Cумма вектров МА и МС - диагональ параллелограмма,построенного на этих векторах и выходящая из точки М. Половина этой диагонали - вектор МО
Скалярное произведение векторов 2MO и MЕ равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Угол между ними - это угол ОМЕ.
Из прямоугольного треугольника ОМЕ косинус угла ОМЕ равен отношению прилежащего катета МO к гипотенузе МЕ.
сos∠OME=MO/ME=4√3/2√14=2√3/√14.
Скалярное произведение указанных векторов равно
2•(4√3)•(2√14)•(2√3/√14)=96
5) площадь описанной около пирамиды сферы
Найдем радиус сферы. Это радиус окружности, описанной около треугольника АМС.
Треугольник АМС - равносторонний, МА=МС=АС=8.
По формуле
R=abc/4S=(8•8•8)/(4•(8•8•√3/4))=8√3/3
S=4πR²=4π•(8/√3)²=256π/3.
6) угол между АМ и плоскостью DMC
это угол между прямой АМ и ее проекцией на плоскость DMC.
Из точки А проводим перпендикуляр к плоскости DMC.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Этот перпендикуляр есть AD .
AD⊥СD ( стороны квадрата перпендикулярны)
AD⊥МК ( МК⊥СD).
Значит MD - проекция AM.
Угол AMD - между прямой AM и плоскостью MDC.
По теореме косинусов из треугольника AMD:
AD²=AM²+MD²-2•AM•MD•cosβ
(4√2)²=(8)²+(8)²-2•8•8•сosβ.
сosβ=3/4.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда дискриминант этого уравнения неотрицательный.
D=(5sina+2cosa)^(2)+4b.
Найдем границу значений выражения 5sina+2cosa:
-1<=sina<=1;
-1<=cosa<=1;
-5<=5sina<=5;
-2<=2cosa<=2;
-7<=5sina+2cosa<=7;
0<=(5sina+2cosa)^(2)<=49
Рассматриваем неравенство
(5sina+2cosa)^(2)+4b>=0 из него следует, что
b>=-(5sina+2cosb)^(2)/4
b=-49/4=-12,25
О т в е т. b=-12,25

Ответ выбран лучшим

Геометрический смысл производной в точке: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в этой точке. А угловой коэффициент прямой (касательная - это прямая) равен тангенсу угла наклона прямой.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
f`(x0)=3/4=0,75 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

10-5=5 часов отсутствовал рыбак. ( уехал в 5; вернулся в 10)
5-2=3 часа был в пути ( туда и обратно)
6+2=8 км/ч - скорость лодки по течению
6-2=4 км/ч -скорость лодки против течения.
Пусть рыбак отплыл на х км.
х/4 час - время по течению.
х/8 час - время против течения.
(х/4)+(х/8)=3;
(2х+х)/8=3;
3х=24;
x=8.
О т в е т. На 8 км от пристани отплыл рыбак.

Ответ выбран лучшим

1=log(3)3.
log(3)(x2+2x)>log(3)3.
Логарифмическая функция с снованием 3 - возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Учитывая ОДЗ логарифмической функции получаем систему двух неравенств:
x^(2)+2x>0;
x^(2)+2x>3.
Эта система сводится к неравенству
x^(2)+2x>3;
x^(2)+2x-3>0;
(x-1)(x+3)>0
x ∈ (-беск;-3)U(1;+ беск.)

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника АВН:
ВН=АВ•сos∠АВН=АВ•сos(135 °-90 °)=АВ•сos45 °=5√2•√2/2=5

Ответ выбран лучшим

1) у`=(u•v)`=u`•v+u•v`;
y`=10^(sin6x)•(sin6x)`•ln^(3)x+10^(sin6x)•3ln^(2)x•(lnx)`=
=10^(sin6x)•(6cos6x)•ln^(3)x+10^(sin6x)•3ln^(2)x•(1/x).
2)(6•(x^(2))/2+9•(x^(3))/3-8x)|двойная подстановка от 1 до 3=
=6•(3^(2))/2+9•(3^(3))/3-8•3-(6•(1^(2))/2+9•(1^(3))/3-8•1)=
=27+81-24-3-3+8=86.

Ответ выбран лучшим

sinx=√3/2 или sinx=-√3/2;
x=(π/6)+2πk, x=(5π/6)+2πk, k ∈ Z или x=(-π/6)+2πk, (-5π/6)+2πn,n ∈ Z.
О т в е т. (π/6)+2πk;(5π/6)+2πk;(-π/6)+2πk; (-5π/6)+2πn; k и n ∈ Z

Ответ выбран лучшим

Так как у=cosx - четная функция, то
сos(x–5Π/2)=cos(5П/2 -х).
По формулам приведения
cos(5П/2 -х)=sinx.
sin2x=2sinxcosx.
Уравнение принимает вид
sin^(2)x-sinxcosx=0
sinx(sinx-cosx)=0
sinx=0 или sinx-cosx=0
x=пk, k - целое.
или
tgx=1
x=(п/4)+пn, n-целое.
О т в е т. пk;(п/4)+пn;k и n - целые.

Ответ выбран лучшим

а) sinx(2cosx+1)/cosx=0
sinx=0; x=пn, n- целое или
сosх=-1/2; х=+-(2п/3)+2пk, k - целое.
б) с помощью единичной окружности находим корни, принадлежащие отрезку [-5п/2;-п].
x=-п; х=-2п; х=(2п/3)-2п=-4п/3.
О т в е т. а)x=пn; х=+-(2п/3)+2пk, n, k - целые.
б)-п;-4п/3;-2п.

Ответ выбран лучшим

1)y`=4x^(3)-4x;
y`=0;
4x^(3)-4x=0;
4x(x^(2)-1)=0
x=-1;x=0;x=1.
На промежутке [2;3] функция возрастает.
y(2)=2^(4)-2*2^(2)+4=12 - наименьшее значение функции на [2;3].
y(3)=3^(4)-2*3^(2)+4=67 - наибольшее значение функции на [2;3].

2)y=x^(3)+4/x^(2) - условие трактуется неоднозначно.
а)Сумма x^(3) и дроби 4/х^(2).
у`=3x^(2)-(8/x^(3));
y`=0
3x^(5)-8=0
х=корень пятой степени из 8/3.
При х<корня пятой степени из 8/3 производная отрицательна, значит функция убывает.
При х>корня пятой степени из 8/3 производная положительна , значит функция возрастает.
б) Дробь в числителе (х^(3)+4) в знаменателе х^(2).
y`=3x^(2)*x^(2)-2x*(x^(3)+4) :(х^(4)).
y`=0
x^(4)-8x=0
x(x^(3)-8)=0
x=0; x=2
На (-беск;0)и (2;+беск) производная положительна, функция возрастает; на (0;2) производная отрицательная, функция убывает.

Ответ выбран лучшим

5^(0)<5^(x)<5^(log(5)2,2);
0 < x < log(5)2,2.

Ответ выбран лучшим

12x+5•(6–3x)=10–3x;
12х+30-15х=10-3х;
12х-15х+3х=10-30;
0х=-20 - уравнение не имеет корней. При любом х слева 0, справа -20, 0≠-20
О т в е т. нет корней.

Пусть в турнире х команд первоначально,они должны были сыграть х(х-1)/2 матчей.
После того как добавилась еще одна команда, количество матчей стало равным (х+1)х/2.
По условию (х+1)х/2 на 20% больше х(х-1)/2.
Составляем пропорцию
х(х-1)/2 составляют 100%
(х+1)х/2 составляют 120%.

120х(х-1)/2=100(х+1)х/2;
х(6(х-1)-5(х+1))=0;
х=0 - не удовл. усл. задачи; 6х-6-5х-5=0; х=11
О т в е т. 12 команд

Ответ выбран лучшим

(a–5x)/a:(ax–5x²)/a²= (a–5x)/a * a²/x(a-5)=a/x
При a=–74, x=–10 получим
-74/(-10)=7,4

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов третья сторона
равна 8:
15²+17²-2•15•17•(45/51)=225+289-450=64.
Площадь треугольника найдем по формуле Герона:
р=(15+17+8)/2=20;
S=√(20•(20-15)•(20-17)•(20-8))=√3600=60.
Радиус описанной окружности находим по формуле:
R=abc/4S=(15•17•8)/(4•60)=17/2=8,5

Ответ выбран лучшим

Из прямоугольного треугольника РНQ:
РН=PQ•sin∠Q=5•(2√6/5)=2√6.

Ответ выбран лучшим

За 45 мин=3/4 часа первый автомобиль проехал 85*(3/4) км.
Второй автомобиль проехал на круг меньше, а так как круг равен 21 км, то второй автомобиль проехал (85*(3/4)-21)км=171/4 км за те же 45 мин=3/4 часа.
Делим путь на время и получаем скорость второго автомобиля.
171/4:(3/4)=57 км в час - скорость второго автомобиля.

Ответ выбран лучшим

(8/9)*(18/5)+1,8=(16/5)+1,8=3,2+1,8=5

Ответ выбран лучшим

а)
1) Если cosx≥0, то |cosx|=cosx
Уравнение принимает вид соsx=- √3sinx - однородное тригонометрическое уравнение. Делим на cosx≠0; tgx=-1/√3 ⇒ x=(-π/6)+πk, k ∈ Z.
Так как cosx≥0 в 1 и 4 четвертях, то
х=(-π/6)+2πk, k ∈ Z.
2) Если cosx<0, то |cosx|=-cosx
Уравнение принимает вид -соsx=- √3sinx - однородное тригонометрическое уравнение. Делим на cosx≠0; tgx=1/√3 ⇒ x=(π/6)+πn, n ∈ Z.
Так как cosx<0 во 2 и 3 четвертях, то
х=(π/6)+π+2πn, n ∈ Z.
x=(7π/6)+2πn, n ∈ Z.
О т в е т. х=(-π/6)+2πk;x=(7π/6)+2πn, n, k ∈ Z.

б)19π/6∈[2π;7π/2]
О т в е т. 19π/6. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 3х+17≠0; 17х+3≠0
х≠-17/3; х≠-3/17.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:
(2х+4)(17х+3)=(2х+4)(3х+17);
(2х+4)(17х+3)-(2х+4)(3х+17)=0;
(2х+4)(17х+3-3х-17)=0
(2х+4)(14х-14)=0
2х+4=0 или 14х-14=0
х=-2 или х=1
В ответе написать больший корень, поэтому в ответе 1.
О т в е т. 1

Ответ выбран лучшим

Нули функций:
f(x)=0, т.е. x–(7/2)=0; х=7/2 - нуль функции f.
g(x)=0, т.е. 3x–1=0; х=1/3 - нуль функции g.
f(x)>=g(x)
составить неравенство и его решить
x-(7/2)>=3x-1;
x-3x>=-1+(7/2);
-2X>=5/2;
X=<-5/4.

Ответ выбран лучшим

2) - верно;
3) - верно;
4) - верно.

(8·10^(4))·(2,5·10^(–7))=8·10^(4)·2,5·10^(–7)=8·2,5·10^(4)·10^(–7)=20·10^(4-7)=
=0,02

Ответ выбран лучшим

cos^(2)37°-sin^(2)37°=cos74°;
О т в е т. -28

Ответ выбран лучшим

Скорость одного - х км/ч
Скорость другого - (х+21) км/ч
Пусть через t часов мотоциклисты поравняются в первый раз.
х•t км - проедет первый до встречи
(х+21)•t км проедет второй до встречи.
Второй проедет на 7 км больше, так как стартуют в диаметрально противоположных точках
(х+21)•t- х•t=7
xt+21t-xt=7
21t=7
t=1/3 часа=20 мин.
О т в е т. Через 20 мин.

Ответ выбран лучшим

1) Уравнение с разделяющимися переменными.
Делим обе части уравнения на произведение у и е^(2х) +1.
dy/y=e^(2x)dx/(e^(2x)+1);
Интегрируем:
ln|y|=(1/2)ln|e^(2x)+1|+lnC;
y=C•√(e^(2x)+1)- общее решение.
2)xy"/производная ху/- не понятно, что это

Ответ выбран лучшим

q=b₂/b₁=243/(-729)=-1/3;
b₆=b₁•q⁵=(-729)•(-1/3)⁵=3

О т в е т. 3

Ответ выбран лучшим

p=0,65-0,13=0,52

Ответ выбран лучшим

а) (9ху/2a^(4)b^(3))•(a^(2)b^(2)/9x^(2)y^(2))=1/(2xya^(2)b);
б)1)(a+a+1)/(a+1)=(2a+1)/(a+1);
2) (1-(3a^(2)/(1-a^(2)))=(1-4a^(2))/(1-a^(2);
3)(2a+1)*(1-a^(2)/(a+1)*(1-4a^(2)=(1-a)/(1-2a).
в)1)((x-y)^(2)+(x+y)^(2))/(x+y)(x-y)=
=2(x^(2)+y^(2))/(x+y)(x-y);
2) (x^(2)+y^(2))/xy;
3) 2(x^(2)+y^(2))/(x+y)(x-y)* xy/(x^(2)+y^(2))=2xy/(x+y)(x-y).

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: система (х+1>0; x+3>0)
ОДЗ: х ∈(-1;+∞).
По свойствам логарифма заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
log(2)(x+1)(x+3)=3;
по определению логарифма
(х+1)(х+3)=2³;
х²+4х-5=0
D=36
корни 1 и -5
-5∈ОДЗ
Ответ. 1

Пусть скорость первого автомобиля х км в час.
Весь путь равен 2S.
2S/x час. время первого.
(S/36)+(S/(x+54))час.- время второго.
Уравнение
2S/x=(S/36)+(S/(x+54))
Уравнение можно сократить на S.
2/x=(1/36)+(1/(x+54)).
Приводим к общему знаменателю
(x²-18x-72•54)/36x(x+54)=0
x≠0; x+54≠0
x²+18x-72•54=0
D=18²-4•(-72•54)=18²(1+48)=(18•7)²=126²
x=(-18+126)/2=108/2=54
второй корень квадратного уравнения отрицательный.
Ответ. 54 км в час - скорость первого автомобиля

Ответ выбран лучшим

(x²-1)²≥0; (x²-6x-7)²≥0;
Равенство 0 возможно только в случае, когда
одновременно
х²-1=0 и x²-6x-7=0
х=±1 х=-1; х=7
Общий корень двух уравнений х=-1.
Ответ. х=-1

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 10х-х²>0; x(10-x)>0; x∈(0;10).

Ответ выбран лучшим

(6x·(8x⁶)²):(8x⁴)³=(6·64·х·х¹²):(8·64·х¹²)=3х/4.
При х=60 получим(3·60)/4=45

Ответ выбран лучшим

sin²x-cos2x=-cos²x;
sin²x+cos²x=cos2x;
cos2x=1;
2x=2πk, k∈Z;
x=πk, k∈Z.
О т в е т. πk, k∈Z.

Ответ выбран лучшим

Угол LAD равен углу ВАL- так как AL- биссектриса.
Угол ALD равен углу ВАL - внутренние накрест лежащие.
Значит угол LAD равен углу ALD. Треугольник ALD - равнобедренный.
Треугольник CLK подобен треугольнику ALD по двум углам.
Углы CLK и ALD - вертикальные, угол ADL равен углу LCK- внутренние накрест лежащие.
Треугольник CLK также равнобедренный.
CL=СK=8.
Так как периметр CLK равен 30, то LK=30-8-8=14.
AL=AK-CK=49-14=35.
Из подобия треугольников ALD и CLK пропорция:
AL: LK=AD:CL; 35:14=AD:8; AD=20; CD=CL+LD=8+20=28.
P=(AD+CD)*2=(20+28)*2=96.

Ответ выбран лучшим

Пусть х км в час - скорость велосипедиста.
Тогда (х+48) км в час - скорость автомобилиста.
112/х час.- время велосипедиста;
112/(х+48) час. - время автомобилиста.
По условию 112/(х+48) меньше 112/х на 7 час 28 мин = 7 целых 28/60=7 целых 7/15=112/15.
Уравнение
112/х - 112/(х+48) =112/15. Упрощаем. Делим на 112 и приводим к общему знаменателю:
15(х+48)-15х-х(х+48)/15х(х+48)=0
15х+720-15х-х²-48х=0
х(х+48)≠0
х²+48х-720=0
D=48²-4•(-720)=2304+2880=5184=72.
x=(-48+72)/2=12; второй корень отрицательный и не удовл. условию задачи.
О т в е т. 12+48=60 км в час - скорость автомобилиста.

Ответ выбран лучшим

Квадратное уравнение, замена переменной.
3^(x)=t;
3^(x-1)=(1/3)t
9^(x-1/2)=9^(x)*9^(-1/2)=t^(2)*(1/3).
(1/3)t^(2)-(8/3)t+5=0
или
t^(2)-8t+15=0.
D=64-60=4.
t=(8-2)/2=3 или t=(8+2)/2=5;
3^(x)=3 или 3^(x)=5;
x=1 или x=log(3)5.
О т в е т. х=1 или х=log(3)5.

Ответ выбран лучшим

По теореме Пифагора апофема ( высота боковой грани)
h^(2)=13^(2)-5^(2).
h=12.
S(бок)=Р(осн)*h/2=60*12/2=360.

Ответ выбран лучшим

Пусть в банке взяли А рублей.
Эту сумму делим на 24 месяца и получается, что ежемесячно придется выплачивать (А/24) рублей.
И по процентам необходимо заплатить
в первый месяц: 0,012А или 0,012А •24/24 (т.к. кредит взят на 24 месяца и сумма выплаты идет со всей взятой суммы);
Во второй месяц:
кредит уже частично выплачен, а именно в первый месяц выплатили А/24, осталось выплатить 23А/24.
Поэтому проценты второго месяца составят:
0,012А•23/24.
В третий месяц: выплачены две части кредита, т.е 2А.24, поэтому проценты за третий месяц
0,012А•22/24;
и т.д.
…
в 24–ий месяц: 0,012А•1/24.
Сумма выплат только по процентам составит
0,012•А•(24/24 + 23/24 +…+ 1/24) =0,012*А*(24+23+22+…+1)/24 =0,012*А*(1+24)*24/2*24=0,012А*12,5=0,15А.
И ежемесячно выплачивали кредит равными долями А/24.
За 24 месяца его размер выплат и составит А.
Сам кредит А и сумма выплат 0,15А в сумме и составят 1, 035 млн. руб.
Составим уравнение:
А+0,15А=1,035;
1,15А=1,035;
А=0,9 млн. руб.

Ответ выбран лучшим

Приводим дроби к общему знаменателю х(х-5)(х+5).
Для этого первую дробь умножаем на (х-5) и числитель и знаменатель; вторую дробь умножаем на (х+5) и числитель и знаменатель;третью дробь умножаем на х и числитель и знаменатель.
Получим дробь.
В числителе
(х-5)(х-5)+(х+5)(х+5)-4х •х=х²-10х+25+х²+10х+25-4х²=50-2х²=2(25-х²)=-2(х²-25).
Знаменатель
х(х-5)(х+5)=х(х²-25).
Сокращаем на (х²-25).
О т в е т. -2/х.

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin(3π/2–x/2)=-сos(x/2).
По формуле косинуса двойного угла
cox=cos²(x/2)-sin²(x/2).
Тригонометрическая единица
1=cos²(x/2)+sin²(x/2).
Выражение примет вид
cos²(x/2)-sin²(x/2)-√3×cos(x/2) +cos²(x/2)+sin²(x/2)=
2cos²(x/2)-√3×cos(x/2)=cos(x/2)(2cos(x/2)-√3).

Если надо решить уравнение:
cos x + √3×sin(3π/2–x/2)+1=0, то преобразовав левую часть так как написано выше, получим уравнение
cos(x/2)(2cos(x/2)-√3)=0.
сos(x/2)=0 или 2 сos(x/2)-√3=0.
Первое уравнение
cos(x/2)=0;
(х/2)=(π/2)+πk, k∈Z
или
х=π+2πk, k∈Z.
Второе уравнение
cos(x/2)=√3/2
x/2=±π/6+2πn, n∈Z
или
х=±π/3+4πn, n∈Z.
О т в е т.
cos(x/2)(2cos(x/2)-√3)
если требуется решить уравнение, то
о т в е т.х=π+2πk, k∈Z;х=±π/3+4πn, n∈Z.

Ответ выбран лучшим

sin3x-2sin3xcos3x=0; sin3x(1-2cos3x)=0; 1)sin3x=0 или 2)1-2cos3x=0; 1)3x=πk, k∈Z⇒ x=(π/3)k, k∈Z
Указанному промежутку принадлежит (-π/3).
2)cos3x=1/2; 3x=±(π/3)+2πn, n∈Z.
x=±(π/9)+(2π/3)n, n∈Z.
Указанному промежутку принадлежат(π/9)-(2π/3)=-5π/9; (-π/9)и (-π/9)-((2π/3)=-(7π/9).
О т в е т.
(-π/9);(-π/3);(-5π/9);(-7π/9).

Ответ выбран лучшим

Биссектриса делит угол пополам. Значит угол А равен 24°.
Противоположные углы параллелограмма равны. Острые углы параллелограмма -угол А и угол С. Они имеют градусную величину 24°

Ответ выбран лучшим

Есть так называемый метод рационализации логарифмических неравенств, который упрощает решение, но думаю, что и здесь легко понять, что первое неравенство систем 1 и 2 взаимно противоположно и ответы дополняют друг друга.
О т в е т. [1/3;2/3]U(7/9;1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскрываем модуль по определению.
Если
е^(x)–1≥0, то |е^(x)–1|=е^(x)–1
Уравнение принимает вид
е^(x)–1=(2х+3)(е^(x)–1);
(е^(x)–1)(1-2x-3)=0;
(е^(x)–1)(-2x-2)=0;
е^(x)–1=0 или -2х-2=0
х=0 или х=-1
Условию е^(x)–1≥0 удовлетворяет только первый корень х=0.
Если
е^(x)–1<0, то |е^(x)–1|=-е^(x)+1
Уравнение принимает вид
-е^(x)+1=(2х+3)(е^(x)–1);
(е^(x)–1)(-1-2x-3)=0;
(е^(x)–1)(-2x-4)=0;
е^(x)–1=0 или -2х-2=0
х=0 или х=-2
Условию е^(x)–1<0 удовлетворяет только второй корень х=-2.
Ответ. -2 и 0.

Ответ выбран лучшим

В основании пирамиды квадрат АВСD. МО- высота пирамиды. ( см. рис.)
В прямоугольном треугольнике МОС,один острый угол 60°, значит второй острый угол 30°.
Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
Поэтому ОС=2,5; АС=2ОС=5.
АС-диагональ квадрата АВСD, АВ=ВС=СD=AD=5√2/2.
1) площадь боковой поверхности пирамиды
Находим апофему МК из треугольника МКС.
DK=KC=5√2/4; MC=5.
МК²=MC²-KC²=5²-(5√2/4)²=25-(25•2/16)=25•(1-(1/8))=25•(7/8).
MK=5√(7/8).
S(бок)=4•S(Δ MDC)=4•DC•MK/2=4•(5√2/2)•5√(7/8)/2=
=(25√7)/2.

2) объем пирамиды
Из прямоугольного треугольника МОC по теореме Пифагора.
МО²=МC²-ОC²=5²-(5/2)²=75/4.
MO=Н=(5√3)/2.
V(пирамиды)=(1/3)S(осн.)•Н=
=(1/3)•((5√2)/2)²•(5√3)/2=(125√3)/12.

3) Это угол образованный двумя апофемами боковых граней МК и МF и отрезком KF, соединяющим середины противоположных сторон квадрата и равным стороне квадрата.
По теореме косинусов:
KF²=MK²+MF²-2•MK•MF•cosα;
(5√2/2)²=(5√(7/8))²+(5√(7/8))²-
2•5√(7/8)•5√(7/8)•сosα.
cosα=5/7.

4) скалярное произведение векторов (MA+MC)•ME.
Непонятно, где расположена точка Е.
Сумма векторов МА и МС это вектор совпадающий с МО и имеющий длину в два раза больше.

Скалярное произведение векторов 2MO и MЕ равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

5) площадь описанной около пирамиды сферы
Найдем радиус сферы. Это радиус окружности, описанной около треугольника АМС.
Треугольник АМС - равносторонний, МА=МС=АС=5.
По формуле
R=abc/4S=(5•5•5)/(4•(5•5•√3/4))=5/√3
S=4πR²=4π•(5/√3)²=100π/3.
6) угол между АМ и плоскостью DMC
это угол между прямой АМ и ее проекцией на плоскость DMC.
Из точки А проводим перпендикуляр к плоскости DMC.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Этот перпендикуляр есть AD .
AD⊥СD ( стороны квадрата перпендикулярны)
AD⊥МК ( МК⊥СD).
Значит MD - проекция AM.
Угол AMD - между прямой AM и плоскостью MDC.
По теореме косинусов из треугольника AMD:
AD²=AM²+MD²-2•AM•MD•cosβ
(5√2/2)²=(5)²+(5)²-2•5•5•сosβ.
cosβ=3/4. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Приводим дроби к общему знаменателю 64ху. Для этого умножаем первую дробь на 8у и числитель и знаменатель.
8y/64хy–(8х+8у)/64ху=(8y-(8x+8y))/64xy=-8x/64xy=-1/8y.

Ответ выбран лучшим

y`=(1-2x)`cosx+(1-2x)(cosx)`+2(sinx)`+(7)`=
=-2cosx+(1-2x)(-sinx)+2cosx=-(1-2x)sinx;
y`=0
(1-2x)sinx=0
1-2x=0 или sinx=0
x=1/2 x=πk, k∈Z

интервалу (0;π/2) принадлежит только х=1/2.
Так как sinx>0 на (0; π/2), то

на(0;1/2) у`=-(1-2x)sinx <0
на(1/2; π/2) у`=-(1-2x)sinx>0
Производная при переходе через точку х=1/2 меняет знак с - на +, значит х=1/2 - точка минимума функции y=(1–2x)cosx+2sinx+7 принадлежащая промежутку (0; π/2)

Ответ выбран лучшим

2x-12x-36>-3;
-10x>-3+36;
-10x>33;
x<-3,3.
О т в е т. (-∞;-3,3)

Ответ выбран лучшим

Слева деление 35 занимает 7 раз по 5.
Токарь обработал 15 деталей.
Ученик обработал 5 деталей.
15-5=10
О т в е т. На 10 деталей больше обработал токарь за первый час работы. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(7/20)*100%=35%

Ответ выбран лучшим

Основание высоты из вершины А в тупоугольном треугольнике АВС лежит на продолжении стороны ВС.
МК|| AH. МК⊥ ВС. ВС||В₁С₁, значит МК⊥ В₁С₁.
По теореме о трех перпендикулярах МК₁⊥В₁С₁.
МК₁ - искомое расстояние.
Из прямоугольного треугольника МКВ с острым углом КВМ, равным 60° и МВ=2, находим МК=МВ*sin 60°=√3.
По теореме Пифагора из треугольника МКК₁:
МК₁²=МК²+КК₁²=(√3)₁+5₁=28;
МК₁=2√7. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: х>0.

log(5)(25/x)=log(5)25-log(5)x=2-log(5)x;
log(5)√(5x)=log(5)√5+log(5)√x=(1/2)+(1/2)*log(5)x;log[5]25/x+log[5]√(5x)=2-log(5)x+(1/2)+(1/2)*log(5)x=2,5-0,5*log(5)x;
2,5-0,5*log(5)x=2;
-0,5*log(5)x=-0,5;
log(5)x=1;
x=5.
О т в е т. х=5.

Ответ выбран лучшим

S(полн.)=S(бок.)+S(осн.);
144=108+S(осн.);
S(осн.)=144-108;
S(осн.)=36.
В основании квадрат, площадь квадрата 36. Значит сторона квадрата 6.
S(бок)=4•S(ΔSBA)=4•6•SK/2
12SK=108;
SK=9 - апофема( высота) боковой грани.
a) прямая пересечения плоскости SAC и плоскости проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центра основания- это высота пирамиды SO.
Из треугольника SOK
SO²=SK²-OK²=9²-3²=72;
SO=6√2.
AC=6√2- диагональ квадрата со стороной 6.
S( ΔSAC)=AC•SO/2=(6√2)•(6√2)/2=36.

Ответ выбран лучшим

По определению модуля:
если х≥а², то f(x)=x^(2)-4(x-a^(2))-8x или
f(x)=x^(2)-12x+4a^(2)- парабола, ветви вверх, точка экстремума в вершине х₀=6.
если x < a^(2), то то f(x)=x^(2)-4(-x+a^(2))-8x или
f(x)=x^(2)-4x-4a^(2)- парабола, ветви вверх, точка экстремума в вершине х₀=2.
Обе параболы пересекаются в точке х=а^(2) у=a^(4)-8a^(2).
Чтобы у графика данной функции было более двух экстремумов, достаточно, чтобы точка пересечения двух парабол лежала между точками х=2 и х=6.
2<a^(2)<6
Ответ. -√6<a<-√2; √2<a<√6.

Ответ выбран лучшим

102 м=10200 см, 66м=6600 см
Стороны подобных фигур пропорциональны.
10200:34=6600:х;
х=34•6600:10200=22 см.
О т в е т. высота музейной копии 22 см.

Ответ выбран лучшим

По определению модуля.
Так как
√7–√5–√3<0, значит |√7–√5–√3|=-√7+√5+√3.
Так как
√3–√7<0, значит |√3–√7|=-√3+√7.

О т в е т. |√7–√5–√3|+|√3–√7| =-√7+√5+√3-√3+√7=√5.

Ответ выбран лучшим

у`=(2х^(-1/2)-√3•7^(х)+4х^(4/3)+(1/3)х^(-1/3)+5arcctgx)`=- х^(-3/2)-√3•ln7•7^(х)+(16/3)х^(1/3)-(1/9)х^(-4/3)-5/(1+x^2)

Ответ выбран лучшим

sin²a+cos²a=1;
cos²a=1-sin²a=1-(0,8)²=1-0,64=0,36
cosa=-0,6, так как угол а во второй четверти, а косинус во второй четверти имеет знак минус.
О т в е т. cos a=-0,6.

Ответ выбран лучшим

1) Условие задачи написано с пропусками. Решить невозможно.
2) Пусть х км в час - собственная скорость лодки, у км в час - скорость течения реки.
Тогда (х+у) км в час скорость лодки по течению, (х-у) км в час - скорость лодки против течения.
14•(х+у)=14,2•(х-у);
28,2 у=0,2х;
х=141у;
14(х+у)=994;
14(141у+у)=994;
1988у=994;
у=0,5
x=141•0,5=70,5.
О т в е т. 70,5 км в час - собственная скорость лодки; 0,5 км в час - скорость течения реки
3) Пусть в первом зале х рядов по у мест в каждом, тогда ху=690.
Во втором (х-7) рядов по (у+9) мест в каждом.
(х-7)(у+9)=736.
Система
ху=690;
(х-7)(у+9)=736.

Упрощаем второе уравнение:
ху-7у+9х-63=736;
690-7у+9х-63=736;
9х-7у=109;

Решаем систему
ху=690;
9х-7у=109.
Из второго уравнения выражаем х=(109+7у)/9 и подставляем в первое:
у•(109+7у)/9=690 или
7у²+109у-6210=0
D=109²-4•7•(-6210)=11881+173880=185761=431²
y=(-109+431)/14=23, второй корень квадратного уравнения отрицательный и не удовл. условию задачи.

Ответ. В первом зале 23 места в каждом ряду, во втором зале 23+9=32 места в каждом ряду.

4) Пусть второй кран наполняет бак за х часов, тогда первый кран наполняет в 9 раз дольше, т.е за 9х часов.
Тогда (1/9х)- производительность первого крана в час, (1/х) - производительность второго крана в час.
1:((1/9х)+(1/х))=3 или
9х/10=3;
9х=30
х=30/9=10/3
Ответ. Первый кран за 30 часов; второй за 10/3=3 часа 20 минут

Ответ выбран лучшим

В прямоугольных треугольника АВС и ВСН:
∠В- общий, значит ∠А=∠ВСН.
tg∠ВСН=HB/CH.
CH=HB/tg∠ВСН=9:(3/4)=12.
Из прямоугольного треугольника АСН:
АН=СН/tg∠А=12:(3/4)=16
О т в е т. АН=16.

Ответ выбран лучшим

sin²x+2cos2x=-cos2x или sin²x+3cos2x=0, так как cos2x=cos²x-sin²x, то
sin²x+3(cos²x-sin²x)=0,
-2sin²+3cos²x=0 - однородное тригонометрическое уравнение.
Делим на cos²x≠0.
tg²x=3/2;
tgx=±√(3/2);
x=arctg√(3/2)+πn,n∈Z или x=-arctg√(3/2)+πk,k∈Z.

О т в е т. х=±arctg√(3/2)+πn,n∈Z.

Ответ выбран лучшим

sin²x+2cos2x=-cos²x, так как cos2x=cos²x-sin²x, то
sin²x+2(cos²x-sin²x)=-cos²x,
-sin²+3cos²x=0 - однородное тригонометрическое уравнение.
Делим на cos²x≠0.
tg²x=3;
tgx=±√3;
x=arctg√3+πn,n∈Z или x=(-arctg√3)+πk,k∈Z.
x=(π/3)+πn,n∈Z или x=(-π/3)+πk,k∈Z.
О т в е т. х=±(π/3)+πn,n∈Z

Ответ выбран лучшим

cos124°=cos(90°+34°)=-sin34°;cos²34°+cos²124°=
cos²34°+(-sin34°)²=1;
О т в е т.-22

Ответ выбран лучшим

1)22^(-4,8)·11^(6,8)=2^(-4,8)·11^(-4,8)·11^(6,8)=
=2^(-4,8)·11^(-4,8+6,8)=2^(-4,8)·11^(2);
2)2^(-4,8)·11^(2):2^(-5,8)=2^(-4,8-(-5,8))·11^(2)=
=2·121=242

Ответ выбран лучшим

1) (1/16a)+(1/8a)=(1/16a)+(2/16a)=(3/16a);
2)(3/16a)•(a²/3)=a/16.
При а=8 получим 8/16=1/2.
О т в е т. 1/2

Ответ выбран лучшим

Секущая плоскость пересекает нижнее основание по отрезкам АА₂ и В₂В прямой АВ, а верхнее основание по прямой D₁C₁, параллельной АВ.
ВС₁=4√2.
Проводим через точки А₂ и В₂ прямые параллельные прямым ВС₁ и АD₁.
Отрезки этих прямых при пересечении с D₂D₃ и С₂С₃ обозначим M и N.
MN || АВ и MN ||D₁С₁. MN=1
A₂M=B₂N= 2√2 =(1/2)ВС₁.

S=D₁С₁•ВС₁-MN•A₂M=3•4√2-1•2√2=12√2-2√2=10√2
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

√(6sinx)=-2 cosx.
Возведем обе части уравнения в квадрат, при условии, что (-2cosx)≥0.
6sinx=4cos²x;
6sinx=4(1-sin²x);
4sin²x+6sinx-4=0;
2sin²x+3sinx-2=0;
D=9-4•2•(-2)=9+16=25.
sinx=1/2; или sinx=-2 - уравнение не имеет решений.

Решаем уравнение sinx=1/2 при условии (-2cosx)≥0 или
cosx ≤0.

О т в е т. x=5π/6+2πk, k∈Z.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть в во второй цистерне х тонн, а в третьей (х+10) тонн нефти.
В первой цистерне 0,75•(х+х+10), и по условию 50% от этого равно х.
Получаем уравнение
0,5 •(0,75•(х+х+10))=х
или
1,5х+7,5=2х
0,5х=7,5
х=15
15 тонн в первой цистерне, 15+10=25 тонн во второй
(15+25)=40 тонн в 1 и 2 цистернах;
25% от 40 это 10
40-10=30 тонн в первой.
Ответ. 30; 15; 25 в первой, во второй и третьей цистернах соответственно.

Ответ выбран лучшим

1)18,6·(–3,25)=-60,45
2)-60,45+0,45=-60
3)(-60)²=3600
О т в е т.3600

Ответ выбран лучшим

у`=(x³–4x²-3x-11)`=3x²–8х-3;
y`=0;
3x²–8x-3=0 ; D=64–4•3•(-3)=64+36=100;
x=(8–10)/6=-1/3 или х=(8+10)/6=3
-(1/3)∉[0;6].
На [0;3] y`<0, функция убывает.
На [3;6] y`>0, функция возрастает.
х=3 - точка минимума, производная меняет знак с- на +.
у(3)=3³–4•3²-3•3-11=-29– наименьшее значение функции на отрезке[0;6];
у(0)=-11;
y(6)=6³–4•6²-3•6-11=43– наибольшее значение функции на отрезке[0;6]
О т в е т.
Наибольшее значение на отрезке [0;6] у(6)=43;наименьшее значение на отрезке [0;6] у(3)=-29.

Ответ выбран лучшим

Диаметр( а значит и радиус перпендикулярный хорде делит хорду пополам.
Получаем два равных прямоугольных треугольника с катетом 12 и гипотенузой 13. Можем найти расстояние от центра окружности до хорды.
По теореме Пифагора
d²=13²-12²=25
d=5
OK=d=5 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

у`=(x³-2x²+x+5)`=3x²-4х+1;
y`=0;
3x²-4x+1=0 ; D=16–4•3•1=4;
x=(4–2)/6=1/3 или х=(4+2)/6=1
1/3∉[1;4].
На [1;4] y`>0, функция возрастает.

у(1)=1³-2•1²+1+5=5- наименьшее значение функции на отрезке[1;4];
у(4)=4³-2•4²+4+5=41- наибольшее значение функции на отрезке[1;4].
О т в е т.
Наибольшее значение на отрезке [1;4] у(4)=41;наименьшее значение на отрезке [1;4] у(1)=5.

Ответ выбран лучшим

у`=(4x²-4x-x³)`=8x-4-3x²;
y`=0;
-3x²+8x-4=0 или 3x²-8х+4=0; D=64-4•3•4=16;
x=(8-4)/6=1/3 или х=(8+4)/6=2.
1/3∉[1;3].
На [1;2] y`>0, функция возрастает.
На [2;3] y`<0, функция убывает.
х=2- точка максимума
у(1)=4•1²-4•1-1³=-1
у(2)=4•2²-4•2-2³=0
у(3)=4•3²-4•3-3³=-3
О т в е т.
Наибольшее значение на отрезке [1;3] у(0)=0;наименьшее значение на отрезке [1;3] у(3)=-3.

Ответ выбран лучшим

а) если а>1, то x∈(-∞;1)U(a;+∞);
если а<1, то x∈(-∞;а)U(1;+∞).
б) х∈[а; а+1]

Ответ выбран лучшим

2sinxcosx-3sin²x-3cos²x=3cos²x-3sin²x;
2sinxcosx-6cos²x=0;
2cosx(sinx-3cosx)=0;
cosx=0; x=(π/2)+πk, k∈Z
или sinx=3cosx;
tgx=3;
x=arctg3 +πn, n∈Z.
Указанному промежутку принадлежат два корня
-π/2; arctg 3 .

Ответ выбран лучшим

Во- первых, чтобы уравнение имело действительные корни необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного уравнения D≥0 или a²-4c≥0.
Чтобы применить формулу геометрической вероятности, изобразим область, удовлетворяющую этому неравенству на плоскости аОс.
Граница этой области задается уравнением
a²-4c=0 или с=a²/4.
График- парабола, ветви которой направлены вверх, строим по точкам (-1;1/4);(0;0);(1;1/4);(2;1);(3;9/4).
Так как по условию
-1≤а≤3; -1≤с≤3, то рассматриваем квадрат:
область ограниченную прямыми а=-1; a=3 и
c=-1;c=3.
Неравенству a²-4c≥0 или a²/4≥с удовлетворяет часть квадрата под параболой.
Условие: корни уравнения разных знаков по теореме Виета означает, что с<0.
На плоскости аОс это часть квадрата, расположенная под осью оа.
По формуле геометрической вероятности
р=s/S=4/16=1/4.
S=4•4=16 - площадь квадрата [-1;3] по оси а и [-1;3] по оси с.
s=1•4=4 - площадь прямоугольника, расположенного под осью Оа.
О т в е т. р=0,25.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(6 ·10²)³·(16·10⁻⁵)=6³·(10²)³·16·10⁻⁵=216·16·10⁶·10⁻⁵=
=3456·10=34560

Ответ выбран лучшим

(5•10⁻²)⁴•(16•10⁵)=5⁴•10⁻⁸•2⁴•10⁵=(5•2)⁴•10⁻⁸⁺⁵=10⁴•10⁻³=10

Ответ выбран лучшим

система(2x-3≤5; 7-3x≤1);система(2x≤5+3; -3x≤1-7); система(2x≤8; -3x≤-6);система(2x≤8; -3x≤-6);
система(x≤4; x≥2).
О т в е т. [2;4]

Ответ выбран лучшим

1 a) y`=3x²•ln3x+x³•(1/3x)•(3x)`=x²•(3ln3x+1);
1 б) y`=10^(5-3x^(2))•(5-3x^(2))`=-6x•10^(5-3x^(2)).
2)y`=16x-4x³;
y`=0;
16x-4x³=0;
4x(4-x²)=0;
x=0; x=-2;x=2.
Знаки производной
на (- ∞;-2) +; функция возрастает;
на (- 2;0) -; функция убывает;
на (0;2) +; функция возрастает;
на (2;+ ∞;) -; функция убывает.

3) ОДЗ: (- ∞;-2)U (- 2;2)U (2;+ ∞;).
y`=(-1/(x²-4)²)•(x²-4)`=-2x/(x²-4)²;
y`=0 при х=0.
Знак производной
на (- ∞;-2) +; функция возрастает;
на (- 2;0) +; функция возрастает;
на (0;2) -; функция убывает;
на (2;+ ∞;) -; функция убывает.
х=0 - точка локального максимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с + на -.Но эта точка не принадлежит указанному промежутку [3;4].
О т в е т. f(max)=f(3)=1/5;
f(min)=f(4)=1/12.

Ответ выбран лучшим

Треугольники подобны, если соответствующие углы равны, а стороны, заключающие этот угол пропорциональны.
Угол А в треугольниках общий.
АВ=7+5=12 см
АВ₁=4 см
АС=4+17=21 см
АС₁=7 см
АВ:АВ₁=12:4=3
АС:АС₁=21:7=3
Итак,АВ:АВ₁=АС:АС₁

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
tg (5π–a)=-tga, так как (5π-а) угол во второй четверти, тангенс во второй четверти имеет знак минус, название функции не меняется.
tg (–a)=-tga , так как функция тангенс нечетная.
5tg (5П–a)–tg (–a)=-5tga+tga=-4tga=-4•7=-28
О т в е т.-28

Ответ выбран лучшим

у`=(-3/x²)-48x³;
y`=0
-3(1+16x⁵)/x²=0
1+16x⁵=0
x=(-1/16)^(1/5)- точка минимума, при переходе через эту точку производная меняет знак с - на +.

Находим производную
у`=(x^(3/2)-5x+5)`=(3/2)•(√x)-5.
y=0.
(3/2)•(√x)-5=0
√x=5•(2/3)
x=100/9.
Знак производной:
на [1;100/9] производная отрицательна, функция убывает.
на[100/9;25] производная положительна, функция возрастает.
х=100/9 - точка минимума
y(1)=1-5+5=1
y(100/9)=(100/9)•(10/3)-5•(100/9)+5=-365/27
y(25)=25√25 - 5•25 + 5= 125-125+5=5
Ответ. Наибольшее значение равно 5 при х=25
Наимменьшее равно (-365/27) при х=100/9

Ответ выбран лучшим

Обычно такие уравнения решают методом вспомогательного угла.
Но можно воспользоваться и формулами двойного угла
cosx=cos²(x/2)-sin²(x/2);
sinx=2sin(x/2)cos(x/2);
1=cos²(x/2)+sin²(x/2);
5=5cos²(x/2)+5sin²(x/2.
Уравнение примет вид
sin²(x/2)-6sin(x/2)cos(x/2)+9cos²(x/2)=0 это однородное тригонометрическое уравнение. Делим на cos²(x/2)≠0.
tg²(x/2)-6tg(x/2)+9=0.
По формуле квадрата разности
(tg(x/2)-3)²=0.
tg(x/2)=3
x/2=arctg3+πk, k∈Z.
x=2arctg3 +2πk, k∈Z.
О т в е т. 2arctg3 +2πk, k∈Z.

Ответ выбран лучшим

4 шага вперед и 2 назад - получаем сделано 6 шагов и продвинулись вперед на 2 шага.
5 шагов вперед и 1 шаг назад - сделано 6 шагов и продвинулись на 4 шага.
В результате двух действий - сделано 12 шагов и продвинулись вперед на 6 шагов.
30:6=5 раз
Значит эту процедуру нужно повторить 5 раз
12*5=60 шагов.

Ответ выбран лучшим

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду пополам.
Из прямоугольного треугольника АОК:
АК²=АО²-ОК²=13²-5²=169-25=144
АК=12 см;
АВ=2АК=24 см.
О т в е т. 24 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Неверен переход log * log - log . Сначала умножение, потом вычитание, поэтому переход от разности логарифмов к логарифму частного неправильный.

48+42=90 кг раствора содержат 42% кислоты,
90•0,42=37,8 кг кислоты в смеси из 48 кг и 42 кг разной концентрации.
42+42=84 кг раствора содержат 40% кислоты.
84•0,4=33,6 кг кислоты содержит новая смесь.
В 6 кг оставшихся в 1 сосуде, 37,8-33,6=4,2 кг кислоты.
значит в 48 кг первого сосуда кислоты в 8 раз больше
4,2•8=33,6 кг.
37,8-33,6 =4,2 кг кислоты во втором сосуде.
Ответ. 4,2 кг.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 1-х>0; x>0; 2x-1≠0
ОДЗ: x∈(0;1/2)U(1/2;1).
Так как √(1-х)>0 при любом х из ОДЗ, то
log(3)x +1 + (3/2x-1)>0
или
log(3)x>(2x-4)/(2x-1)
Решаем графически на ОДЗ.
Строим график у=log(3)x и гиперболу у=(2х-4)/(2х-1)
Гипербола имеет вертикальную асимптоту х=1/2, одна ветвь возрастает на (- ∞;1/2) и расположена выше графика у=log(3)x. Вторая ветвь возрастает на (1/2;+∞) и расположена ниже графика у=log(3)x.
О т в е т. x∈(1/2;1) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1-3x=2x+1;
-3x-2x=1+1;
-5x=2;
x=-2/5;
x=-0,4.
О т в е т. -0,4

Ответ выбран лучшим

1) площадь боковой поверхности пирамиды
Находим апофему МК из треугольника МКС.
DK=KC=3; MC=5.
МК=4 ( треугольник египетский)
S(бок)=4•S(Δ MDC)=4•DC•MK/2=4•6•4/2=48.

2) объем пирамиды
H=MO=√7 из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора.
МО²=МК²-ОК²=4²-3²=16-9=7.
V(пирамиды)=(1/3)S(осн.)•Н=(1/3)•6²•√7=12√7.

3) угол наклона боковой грани к плоскости основания
Это угол между апофемой МК и ее проекцией ОК:
сos ∠MKO=OK/MK=3/4;∠MKO=arccos(3/4)

4) скалярное произведение векторов (AD+AB)AM
Сумма векторов AD и AB это вектор АС.
АС- диагональ квадрата АВСD со стороной 6.
АС=6√2.
Скалярное произведение векторов AC и AM равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
сos ∠MАO=АO/АM=3√2/5, так как АО=АС/2=6√2/2=3√2.
Скалярное произведение
6√2•5•(3√2/5)=36
5) площадь описанной около пирамиды сферы
Найдем радиус сферы. Это радиус окружности, описанной около треугольника АМС.
По формуле
R=abc/4S=5•5•6√2/4•(6√2•√7/2)=25√7/2
S=4πR²=4375π.
6) угол между BD и плоскостью DMC
это угол между прямой BD и ее проекцией на плоскость DMC.
Из точки В проводим перпендикуляр к плоскости DMC.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Это ВС.
ВС⊥СD ( стороны квадрата перпендикулярны)
ВС⊥МК ( МК⊥СD).
Значит DC - проекция BD.
Угол BDC - между прямой BD и плоскостью MDC.
∠BDC=45°. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:х≠1,
поэтому Ответ (log(3)2;1)U(1;4) (прикреплено изображение)

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

log(1/3)(1/3)=1, поэтому
log(1/3)(x+4)+1=log(1/3)(x+4)+log(1/3)(1/3)=
=log(1/3)(x+4)/3
ОДЗ:
х+4>0
x∈(-4;+∞)

На(-4;-1/2)
|2x+1|=-2x-1
неравенство принимает вид
(-2х-1–х–2)(log(1/3)(x+4)/3)/(2^(x²+1)–2^(x)) >=0
или
(-3х-3)(log(1/3)(x+4)/3)/(2^(x²+1)–2^(x))>=0
на [-1/2;+ ∞)
неравенство принимает вид
(2х+1–х–2)(log(1/3)(x+4)/3)/(2^(x²+1)–2^(x)) >=0
или
(х-1)(log(1/3)(x+4)/3)/(2^(x²+1)–2^(x))>=0

Думаю, что в знаменателе данного неравенства есть неточность.

Ответ выбран лучшим

По формулам двойного угла
cos2x=cos²x-sin²x;
sin2x=2•sinx•cosx.
Тригонометрическая единица
1=cos²x+sin²x.
2=2cos²x+2sin²x.
Уравнение примет вид
2•sinx•cosx-2sin²x=0
2•sinx•(cosx-sinx)=0
sinx=0 или cosx-sinx=0;
х=πk, k∈Z или tg x=1;
x=(π/4)+πn, n ∈Z
О т в е т. х=πk, k∈Z; x=(π/4)+πn, n ∈Z.
Указанному промежутку принадлежит один корень х=2π.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла.
1)√2sinx+1=0 или sin x=-1/√2;
x=-(π/4) + 2πk, k∈Z или x=-(3π/4) + 2πn, n∈Z
При этом (-5 cosx)≥0, cosx≤0.
cos x имеет знак - во 2 и 3 четвертях, значит
х= (-π/4) + 2πn, n∈Z не удовлетворяет условию.
Ответ 1)х= (-3π/4) + 2πk, k∈Z.
или
2)√(–5cosx)=0 или cosx=0;
x= (π/2) + πm, m∈Z.

Ответ 2) x= (π/2) + πm, m∈Z.

Объединяем ответы и получает ответ уравнения

О т в е т. х= -(π/4) + 2πk, k∈Z; х= (π/2) + πm, m∈Z.

Указанному промежутку принадлежат
(-19π/4); (-7π/2) и (-9π/2)
см. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Из подобия прямоугольных треугольников
4:6=1:х
х=6•1:4=1,5 м
О т в е т Опустится на 1,5 м (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В равнобедренном треугольнике АВС:
∠А=∠С=(180°-120°)/2=30°.
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы.
BD=8 cм, значит АВ=ВС=16 см.
О т в е т.
ВС=16.

Ответ выбран лучшим

1) 15 м : 50=1500 см: 50=30 см
подъем каждой ступеньки( гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 24 и х); 30²=24²+х².
х²=900-576=324; х=18 см
О т в е т. 18 см.

Ответ выбран лучшим

Cм. приложение.
После упрощений неравенство примет вид:
(2х-3)²(x+6)/x≤0.

___+___[-6]__-__(-2)__-__(0)__+___[3/2]___
С учетом ОДЗ получаем ответ
[-6;-2)U(-2;0)U{3/2} (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ. 8
Проводим BD. O- точка пересечения АС и BD.
OO₁||BB₁
ОО₁=АВ=ВВ₁=8.
ОО₁- расстояние между АС и B₁D₁
A₁B=8√2- диагональ квадрата со стороной 8.
А₁С=8√3 - диагональ куба находим по формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда
a²+b²+c²=d²;
a=b=c=8.

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
cos(п/2–x)=sinx.
По формуле
sin3x=3sinx-4sin³x.
Уравнение принимает вид
3sinx-4sin³x=2sinx
или
sinx-4sin³x=0;
sinx(1-4sin²x)=0;
sinx=0 или 1-2sinx=0 или 1+2sinx=0;
sinx=0 или sinx=1/2 или sinx=-1/2.
x=πk, k∈Z; x=±(π/6)+πn, n∈Z. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

s=t+2t²
при t=1 s=1+2•1²=3;
при t=2 s=2+2•2²=10;
при t=3 s=3+2•3²=21;
при t=4 s=4+2•4²=36;
при t=5 s=5+2•5²=55;
Ясно, что целого значения t нет.
4<t<5.
Решаем уравнение 48=t+2t² или 2t²+t-48=0
D=1-4•2•(-48)=385
t=(-1+√385)/4≈4,66
Ответ. Через 4,66 сек. после начала движения перемещение равно 48 м

Ответ выбран лучшим

(√70–1)²=(√70)²-2√70+1=70-2√70+1=71-2√70≈71-2•8,36=
=54,27

Ответ выбран лучшим

Произведение двух множителей неположительно, когда множители имеют разные знаки.
Получаем два случая или две системы:
1) система (log(5-х)(x+5)≤0;log(х+4)(4–x)≥0);
2) система (log(5-х)(x+5)≥0;log(х+4)(4–x)≤0).

Применяя метод рационализации логарифмических неравенств, получим:
1) система ( 5-х>0; x+5>0; x+5≠1;(5-x-1)(x+5-1)≤0;4-x>0;x+4>0;x+4≠1;(x+4-1)(4-x-1)≥0)
2)система ( 5-х>0; x+5>0; x+5≠1;(5-x-1)(x+5-1)≥0;4-x>0;x+4>0;x+4≠1;(x+4-1)(4-x-1)≤0).

Решение имеет только вторая система.
Ответ. (-3;3]

Ответ выбран лучшим

y`=dy/dx;
x(dy/dx)=1+y²;
xdy=(1+y²)dx- уравнение с разделяющимися переменными.
Делим на х(1+у²):
dy/(1+y²)=dx/x
Интегрируем:
arctgy=ln|x|+C- общее решение.

Ответ выбран лучшим

Применяем формулы двойного угла:
sin(x/2)=2sin(x/4)•cos(x/4) и
cos(x/2)=cos²(x/4)-sin²(x/4).
Заменим
1=cos²(x/4)+sin²(x/4)
Уравнение принимает вид
2sin(x/4)•cos(x/4)-2cos²(x/4)=0
2cos(x/4)•(sin(x/4)-cos(x/4))=0
cos(x/4)=0 или sin(x/4)-cos(x/4)=0
Первое уравнение дает ответ:
x/4= π/2 + πk, k∈Z;
x=2π + 4πk, k∈Z.
Второе уравнение дает ответ
tg(x/4)=1
x/4=π/4 + πk, k∈Z;
x=π+4πn, n∈Z.
О т в е т. x=2π + 4πk, k∈Z.
x=π+4πn, n∈Z.

Ответ выбран лучшим

№1. Верный ответ 1) Основание п/2>1, функция возрастающая.
№2. Точка D. 3²=9 - верно.
№3. Ответ. -1, так как по определению логарифма 4⁻¹=0,25.
№4. 3х-3=0 значит 3х=3, х=1
№5.Логарифмическая функция с основанием (1/2)- убывающая. Система двух неравенств:
3x-4>x-2;
x-2>0.
Ответ. х>2
№6. lg(4³•0,5)/lg(7/14)=lg32/lg(1/2)=log(1/2)32=-5.
№7. Выражение под знаком логарифма больше нуля. Решаем неравенство методом замены переменной.
t²+8t-20>0; D=64+80=144. Корни -10 и 2.
t<-10 или t >2
2^{x} >0, поэтому решаем неравенство 2^{x}>2, которое и даст ответ. х>1.
№8. ОДЗ: система (х-2>0; 3x+4>0).
ОДЗ: x>2.
3x+4=(x-2)², возводим к квадрат, приводим подобные слагаемые.
х²-7х=0
х=7 или х=0 ( 0 не входит в ОДЗ)
Ответ. 7.
№9.
0=log(0,7)1, логарифмическая функция с основанием 0,7 <1 убывающая.
log(2)(x/x+1)<1.
1=log(2)2.
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, с учетом ОДЗ получаем систему двух неравенств
1)х/(х+1)>0; решение -1<x или х>0.
2) x/(x+1)<2 или (х/(х+1))-2 <0
x-любое кроме х=-1
Ответ. (-∞;-1)U(0;+∞)
№10.
По формуле
сos2x=2cos²x-1.
16=4²
4^{2cos²x}+4^{2cos²x-1}=5•4^{sin2x};
4^{2cos²x-1}•(4+1)=5•4^{sin2x};
4^{2cos²x-1}=4^{sin2x};
2cos²x-1=sin2x
cos2x=sin2x
tg2x=1
2x=(π/4)+πn, n - целое.
х=(π/8)+(π/2)n, n - целое.
О т в е т. (π/8)+(π/2)n, n - целое.

Ответ выбран лучшим

S(бок. пов.)=2π•R•H; S(осн)=πR².
R(внеш)=5 м;R(внутр)=5-1=4м; Н=11м

S(поверх. бака)=
=S(бок.внеш)+S(осн.внеш)+S(бок.внутр.)+S(осн. внутр.)=
=2π•R(внеш)•H+2π•R(внутр.)•H+πR(внеш)²+πR(внутр)²=
=2π•5•11+2π•4•11+π•5²+π•4²=239π кв. м≈750, 5 кв.м

200 г•750,5=150 092 г=150 кг 92 г≈151 кг краски потребуется.
О т в е т. 151 кг
=

Ответ выбран лучшим

1) Треугольник ABR - равнобедренный. АМ - высота, медиана и биссектриса. М - середина ВR.
2)Треугольник RCD - равнобедренный. ND - высота, медиана и биссектриса. N - середина RC.
3)RC⊥BR и AM ⊥ BR, значит RC || AM.
MQ- средняя линия треугольника BRC.
BQ=QC=QR.
Треугольник RQC-равнобедренный.
QN⊥RC.
из точки N к RC проведены перпендикуляры QN и ND.
Чего быть не может, значит это один перпендикуляр QD.
Биссектрисы углов A и D - прямые АМ и ND пересекаются в точке Q.
4)MPNQ- прямоугольник, три угла прямые. См. рисунок.
Пусть RN=x, MR=y.
xy=63.
5) Треугольники BMQ и MQR равны по двум катетам, значит и их площади равны.
Треугольники RQN и NQC равны по двум катетам, значит и их площади равны.
S (Δ BRC) =2•63=126 кв.ед.
6)По т. Фалеса
QN:ND=3:7, откуда ND=7QN/3=7y/3.
По т. Фалеса
AM:MQ=3:7, откуда AM=3MQ/7=3x/7.
S(Δ ABR)=BR•AM/2=2BM•AM/2=
=y•3x/7=3xy/7=3•63/7=27 кв.ед.
S(Δ RCD)=RC•ND/2=2RN•ND/2=x•7y/3=
=7xy/3=7•63/3=147 кв.ед.

S(четырехугольника ABCD)= S(Δ BRC)+S(Δ ABR)+
S(Δ RCD)=126+27+147=300 кв. ед.
О т в е т. 300 кв. ед. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

За три года прибыль составит:
3•( ах-(0,5х²+4х+19)).Так как за это время должно окупиться строительство нового цеха, то эта прибыль должна быть не менее 39млн. руб.
Составим неравенство:
3•( ах-(0,5х²+4х+19)) ≥ 39.
Запишем неравенство для а.
После преобразований получим: а≥(0,5х)+4+(32/х) . Наименьшее значение а=0,5х+4+(32/х) .
Применяем производную.
a`(x)=(0,5х+4+(32/x) )'=0,5-(32/x²).
а`=0.
Найдем критическую точку: 0,5- (32/x²) =0.
х=8 или х=-8(отрицательное значение не удовл. условию, х - натуральное число).
Вычислим наименьшее значение а при х=8
а(8) = 0,5∙8+4+(32/8) = 12.
О т в е т. а=12.

Ответ выбран лучшим

d²=a²+b²+c², 12²=4²+8²+c², c²=64,c=8.
V=abc=4*8*8=256.
О т в е т. V=256.

Ответ выбран лучшим

Задача 11.
Из прямоугольного треугольника АВ₁В
АВ²=АВ₁²-ВВ₁²=(√5)²-1²=4.
АВ=2
Так как треугольник АВС - равносторонний, то
АВ=ВС=АС=2
S(бок)=Р(осн.)•Н=(2+2+2)•1=6 кв. ед.
О т в е т. Площадь боковой поверхности призмы равна 6 кв. ед.

(2cos²x–5cosx+2)·log(11)(–sinx)=0
ОДЗ: -sinx >0
sinx <0 ( 3 и 4 четверти)
Решение уравнения:
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом имеет смысл.
Первый множитель равен нулю:
2cos²x–5cosx+2=0
D=25-16=9;
1)cosx=2 или 2)сosx=1/2.
первое уравнение не имеет корней.
решаем второе уравнение с учетом ОДЗ
(см. рисунок)
х=(-π/3)+2πn, n∈Z.

или
второй множитель равен нулю:
log(11)(-sinx)=0;
-sinx=1;
sinx=-1.
х=(-π/2)+2πk, k∈Z.
О т в е т.(-π/3)+2πn, n∈Z; (-π/2)+2πk, k∈Z. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формуле
интеграл (cosx dx)=sinx +C.

Замена
2x=u;
x=u/2;
dx=du/2.

интеграл (cos2x)dx=интеграл( cosu du/2)=
=(1/2)интеграл (cosu du)=(1/2)sinu +C=
=(1/2)sin2x +C.

О т в е т. (1/2)sin2x +C.

Ответ выбран лучшим

sin²x+cos²x=1
О т в е т.сos⁴x+1.

Ответ выбран лучшим

21% годовых от 20 000 это 0.21•20 000=4200
Эта сумма выплачивается в течение 12 месяцев, значит ежемесячно выплачивается около
4200 :12=350 рублей.
350 рублей составляют 1,8 % от 20 000
20 000 - 100%
350 - х
х=350 •100/20 000=1,75 %

За первый месяц
20 000+ 0,0175•20 000=1,0175•20 000=20 350
За второй месяц
1,0175 • 20 350=20 706,125
за третий месяц
1,0175 • 20 706,25=21 068,4822
за четвертый месяц
1,0175• 21 068,4822=21 437,1806
за пятый месяц
1,0175• 21 437,1806=21 812,3313
за шестой месяц
1,0175• 21 812,3313=22 194

О т в е т. через 6 месяцев.

Ответ выбран лучшим

Произведение ab≥0, тогда и только тогда, когда
1)система(a≥0 ; b≥0);
2)система (a≤0; b≤0).

Если основание логарифмической функции (х+3) >1, то логарифмическая функция возрастает.

Если основание логарифмической функции 0<(х+3) <1, то логарифмическая функция убывает.

0=log(а)1 ( а>0 и а≠1).
Два случая, две системы:
1)система ( x≥0; x+3>1; 2x+7≥1)
(неравенства 2x+7>0 нет, оно будет выполняться и подавно раз 2х+7≥1).
Решением системы является х≥0.
О т в е т. 1) [0;+∞)
2) система (x≤0; 0 < x+3<1; 2x+7>0; 2x+7≥1.)
или

система (x≤0; -3 < x< -2; x>-3,5; x≥-3.)
О т в е т. 2) (-3,5;-2)

О т в е т. (-3,5;-2)U[0;+∞)

Ответ выбран лучшим

Пусть х контейнеров за один рейсперевозила первая машина, тогда она должна была совершить (120/х )рейсов.
Первая машина перевезла 36 контейнеров и выполнила
(36/х) рейсов.
Вторая машина перевозила за один рейс на 10 контейнеров больше, т.е. перевозила (х+10) контейнеров.
Перевезла 120-36=84 контейнера и выполнила
(84/х) рейсов.
Количество рейсов уменьшилось по сравнению с планируемым число (120/х) в два раза, т.е составило (120/2х)=(60/х) рейсов.
Составим уравнение:
(36/х)+(84/(х+10))=60/х;
или
24/х=84/(х+10);
84х=24х+240;
60х=240;
х=4.
О т в е т. 4 контейнера перевозила первая машина за один рейс.

Ответ выбран лучшим

А) См. рис. 1
Пусть АВ=с; ВС=а; АС=b.
OM=OK=OT=r.
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
ВТ=ВК=a-r;
AM=AK=b-r.
Гипотенуза АВ=АК+КВ=b-r+a-r=a+b-2r.
с=a+b-2r
r=(a+b-c)/2

Б)См. рис.2
Прямоугольные треугольники АКС; ВКС и АВС подобны между собой.
Значит их стороны и радиусы вписанных окружностей пропорциональны.
a/r₁=b/r₂=c/r
Запишем две пропорции:
1)a/4=c/r ⇒ ar=4c;
2)b/5=c/r ⇒ br=5c.
Возведем в квадрат
a²r²=16c²;
b²r²=25c².
Сложим
a²r²+b²r²=41c².
r²( a²+b²)=41c².
Так как треугольник прямоугольный и выполняется теорема Пифагора
a²+b²=c², то
r²=41
r=√41
Ответ. √41 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) 25 + 45=70 км/ч - скорость сближения.(за час расстояние между ними сокращается на 70 км)
2)560:70=8 часов
Ответ. через 8 часов

Ответ выбран лучшим

Применяем формулу полной вероятности.
р(А)=р(Н_(1))*p(A/H_(1))+р(Н_(2))*p(A/H_(2))

Введем в рассмотрение гипотезы:
H_(1) - " первой извлечена пятирублевая монета"
Н_(2) - " первой извлечена двух рублевая монета"

Всего 5 монет.
n=5
Пятирублевых две.
m=2
p(H_(1))=2/5
Двухрублевых три
p(H_(2))=3/5

A- " в кармане осталось 9 рублей", значит из кармана взяли 7 рублей.

p(A/H_(1))=3/4 -вероятность того, второй раз взяли монету в два рубля, при условии, что первый раз взяли монету в пять рублей

р(А/Н_(2))=2/4- вероятность того, второй раз взяли монету в пять рубля, при условии, что первый раз взяли монету в два рубля

р(А)=(2/5)*(3/4)+(3/5)*(2/4)=0,3+0,3=0,6

Ответ выбран лучшим

По формуле:
1=сos²x+sin²x; 2=2•сos²x+2•sin²x.
По формуле двойного аргумента
cos2x=сos²x-sin²x;
sin2x=2•sinx•cosx.
Уравнение принимает вид:
сos²x-sin²x-4•sinx•cosx=2•сos²x+2•sin²x
или
3•sin²x+4•sinx•cosx+1=0 - это однородное тригонометрическое уравнение. Делим на cos²x≠0.
3•tg²x+4•tgx+1=0.
D=4²-4•3•1=4
tgx=-1 или tgx =-1/3
x=(-π/4)+πk, k∈Z или x=аrctg(-1/3)+πn, n∈Z.

О т в е т.
А)x=(-π/4)+πk, k∈Z или x=аrctg(-1/3)+πn, n∈Z.
О т в е т.
Б) Указанному промежутку принадлежат корни:
-5π/4; -π/4; 3π/4; 7π/4;

arctg(-1/3)-π; arctg (-1/3);arctg (-1/3)+π;arctg (-1/3)+2π;

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Раскрываем знак модуля
1)если х>=0, то |x|=x функция принимает вид:
у=х²-4х.
Находим производную:
у`=2x-4.
y`=0;
2x-4=0;
x=2- точка возможного экстремума.
Поверяем выполнение достаточного условия экстремума, находим знаки производной на [0;3]:
на [0;2) y`<0, функция убывает;
на (2;3] y`>0, функция возрастает.
х=2- точка минимума.
Находим значения функции на концах отрезка.
у(0)=0
y(3)=3²-4•3=9-12=-3
Наибольшее из них у(0)=0
2)если х<0, то |x|=- x функция принимает вид:
у=х²+4х.
Находим производную:
у`=2x+4.
y`=0;
2x+4=0;
x= -2- точка возможного экстремума.
Но эта точка не принадлежит промежутку [-1;0).
на [-1;0) y`>0, функция возрастает.
О т в е т. при х=0 функция принимает наибольшее значение на [-1;3} у=0

Ответ выбран лучшим

Находим производную:
y`=(2x³-6x²+7x-9)`=6x²-12x+7;
y`(x₀)=6x₀²-12x₀+7.
Из геометрического смысла производной
f`(x₀)=tgα, находим х₀.
6x₀²-12x₀+7=tg 45° или
6x₀²-12x₀+7=1;
6x₀²-12x₀+6=0
6(x₀²-2x₀+1)=0
6(x₀-1)²=0
х₀=1.
О т в е т.х₀=1

Ответ выбран лучшим

S(ромба)=a²•sinα=8²•sin(2π/3)=32√3.
По другой формуле
S(ромба)=а•h.
Откуда h=S/a=32√3/8=4√3.
Высота ромба- диаметр вписанной в ромб окружности и диагональ прямоугольника,вписанного в окружность.
S( прямоугольника)=d₁•d₂•sinω/2=
=(4√3)•(4√3)•sin(2π/3)/2= 12√3.

ω- угол МОК, равен 2π/3, так как в четырехугольнике МВКО сумма углов 2π, угол В равен π/3, углы М и К - прямые.

О т в е т. 12√3. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОN=OC=OM как радиусы окружности.
Треугольник ОNC - равнобедренный, ОВ- биссектриса угла NOC.И медиана. Треугольник NCB - равнобедренный,
∠NBO=∠CBO.
Треугольник АNO - прямоугольный, ∠AON=∠ABC.
Треугольник MNO - равнобедренный.

∠МNО=∠NOB=90°-(∠ABC/2).
Внутренние накрест лежащие углы равны, значит прямые параллельны.

2) Пусть АМ=х, МС=3х. Тогда МО=ОС=ОN=1,5x.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОN:
AN²=AO²-ON²; AN²=(2,5x)²-(1,5x)²;AN²=4x²; AN=2x.
Треугольники АОN и АВС подобны по двум углам: угол А - общий, вторые равные углы- прямые.
АО:AN=AB:AC, 2,5x:2x=AB:4x, AB=5x, BN=5x-2x=3x.
BC=BN=3x.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ВОС:
BO²=OC²+BC²; BO²=(1,5x)²+(3x)²;BO²=11,25x²; BO=3x√5/2.
Площадь прямоугольного треугольника ВОС, равная половине произведения катетов ОС и ВС и площадь, равная половине произведения основания ВО на высоту h=(1/2)CN=2 поможет найти х.
1,5х•3х=2•(3x√5/2), х=2√5/3.
Площадь четырехугольника найдем как разность площади треугольника АВС и треугольников ВОС и АМN.
S(ΔАВС)=АС•ВС/2=4х•3х/2=6х²=6•(2√5/3)²=40/3.
S(ΔВОС)=ОС•DC/2=1,5х•3х/2=9х²/4=9•(2√5/3)²/4=5.
S(ΔAMN)=(AM•AN•sin∠A)/2.
sin∠A=BC/AB=3x/5x=0,6 ( из прямоугольного треугольника АВС);
S(ΔAMN)=x•2x•0,6/2=0,6x²=0,6•(2√5/3)²=4/3;
S(четырехугольника BOMN)=S(ΔАВС)-S(ΔВОС)-S(ΔAMN)=(40/3)-5-(4/3)=(36/3)-5=12-5=7.

Ответ выбран лучшим

АТ=5, значит А₁Т=9-5=4.
Так как плоскость ВВ₁М пересекает плоскость основания АВС по прямой ВМ, то она пересекает и верхнее основание по прямой, параллельной ВС, а это прямая В₁К. Плоскость ВВ₁М- это плоскость ВВ₁КМ.
КМ || AA₁. По условию М- середина АС, значит К - середина A₁C₁.КЕ- средняя линия треугольника А₁С₁Т.
Она делит сторону С₁Т пополам.
б) см. рисунок трапеции В₁ВМЕ ( рядом с призмой).
Треугольники В₁ВF и ЕМF подобны по двум углам.
B₁F:FM=9:7
Значит меньший из отрезков - это FM.
FM=(7/16)MB₁.
BM=2√3- высота равностороннего треугольника со стороной 4.
По теореме Пифагора
В₁M=√(9²+(2√3)²)=√93.
О т в е т. FM=7√93/16
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

FK- высота равнобедренного треугольника АFС.
Она делит АС пополам. (AK=KC=8; AF=FC=10)Значит FK=6.
В прямоугольной трапеции КМВ₁F :
В₁F=5x; МК=8х; ∠FKM=45°.
Проведем высоту из точки F на МК. Получим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 3х и 3х. По теореме Пифагора
(3х)²+(3х)²=6²
х=√2
Значит, МК=8√2.
АА₁=МК=8√2 - расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и А₁С₁. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

http://prntscr.com/nmvb8q

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)
Если основание логарифмической функции х>1, то функция возрастающая. Большему значению функции соответствует большее значение аргумента. С учетом ОДЗ получим систему трех неравенств:
х>1;
x³-1<=x³+2x-4
x³-1>0
(неравенство х³+2х-4>0 выполняется автоматически:
0 < x³-1<=х³+2х-4)
Решением системы:
х>1
2x>=3
x³>1
является интервал [1,5;+∞)

2)
Если основание логарифмической функции 0<х<1, то функция убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. С учетом ОДЗ получим систему трех неравенств:
0<х<1;
x³-1>=x³+2x-4
x³+2x-4>0
(неравенство х³-1>0 выполняется автоматически:
x³-1>=х³+2х-4>0)
Cистема:
0<х<1;
x<=1,5;
x³+2x-4>0
не имеет решений, так как первые два неравенства системы приводят к ответу х∈(0;1), а третье неравенство на (0;1) не выполняется.

Функция у=x³+2x-4 возрастающая, её производная у`=3x²+2 > 0 при любом х и на (0;1) она принимает отрицательные значения :у(0)=-4<0;y(1)=-1<0.

О т в е т. х∈[1,5;+∞)

Ответ выбран лучшим

а₂=а₁-2=-3-2=-5; а₃=а₂-2=-5-2=-7;а₄=а₃-2=-7-2=-9;
а₅=а₄-2=-9-2=-11; а₆=а₅-2=-11-2=-13;
а₇=а₆-2=-13-2=-15;а₈=а₇-2=-15-2=-17;а₉=а₈-2=-17-2=-19.
S₉=(a₁+a₉)•9/2=(-3-19)•9/2=-99

Ответ выбран лучшим

1)Нули функций. f(x)=0; x–7/2=0 ; x=7/2. g(x)=0; 3x–1=0; x=1/3. 2)f(x)>=g(x); х-(7/2)>=3x-1 x-3x >=(7/2)-1 -2x >=5/2 x<=-5/4

Ответ выбран лучшим

Дано: С (длина окружности)=30 м
Н (высота цилиндра)=1,1м
----------------
S(поверхности)=S(бок. поверхности)=
=2πR•H=C•H=30•1,1=33 кв.м
На 1 км м - 2 кг клея
на 33 кв.м - 66 кг клея.
О т в е т. 66 кг клея.

Ответ выбран лучшим

30° С.
См. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Нет, не хватит.
Площадь забора с одной стороны 10*2=20 кв.м
Площадь забора с двух сторон
20 кв. м + 20 кв.м = 40 кв.м
35 < 40

Ответ выбран лучшим

f(x)=sinx; g(x)=cosx. Скорость изменения функции - это её производная.
f`(x)=cosx;
g`(x)=-sinx.
Cкорости изменения одинаковы, решаем уравнение
f`(x)=g`(x);
сosx=-sinx
tgx=-1
x=(-π/4)+πk,k∈ Z.

Ответ выбран лучшим

Уравнение касательной:
у-f(x₀)=f`(x₀)•(x-x₀).

f(x₀)=5/(-1)=-5;
f`(x)=-5/x² =-5/(-1)² =-5
Уравнение:
у-(-5)=-5•(x-(-1)).
у+5=-5•(x+1).
или
у=-5х-10
О т в е т. у=-5х-10

Ответ выбран лучшим

Проводим высоты ВK и CH.
KH=BC=3.
Треугольники АВК и СНD равны по гипотенузе и острому углу (трапеция равнобедренная, боковые стороны равны и углы при основании равны).
Из равенства треугольников следует равенство сторон
АК=НD.
АK=HD=(9-3)/2=3.
Из прямоугольного треугольника АВК соs∠BAK=AK/AB=3/5.
О т в е т.соs∠BAD=соs∠BAK=3/5. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

1)360°•(1/3)=120°; 2)360°•(1/4)=90°;
3)360°•(1/5)=72°;4)360°•(1/6)=60°;
5)360°•(2/3)=240°; 6)360°•(3/4)=270°

Ответ выбран лучшим

-3а²+6a-3= -3(a²-2a+1)= -3 (a-1)²

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

PN-средняя линия Δ SAB;KM-средняя линия Δ SCB;
плоскость KMNP- плоскость Q.
AK,CP,ВН- высоты,одновременно и медианы в основании АВС.
О-центр правильного треугольника АВС.
SO- высота пирамиды.

F - проекция точки N, Е- проекция точки М.
FO=OK=r,PO=OE=r,
r- радиус вписанной в АВС окружности.

r=a√3/6=6√3/6=√3.

Прямоугольник KEFP - проекция плоскости Q на основание АВС, так как диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.
ЕК⊥РК и FP⊥PK.
По теореме о трех перпендикулярах и наклонные
МК⊥РК и NP⊥PK.
KMNP- прямоугольник.

2) Плоскость Q и плоскость SAK имеют две общие точки N и K, значит они пересекаются по прямой NK.

D- точка пересечения высоты SO и прямой NK.

ОD=NF/2=SO/4
SO²=SA²-CO²=5²-(2√3)²=13
SD=3*SO/4=3√13/4.
ОD=√13/4.
Проводим перпендикуляр ST из точки S на NK

Треугольники STD и DOK подобны по двум углам.

OK:ST=DK:SD

DK²=DO²+OK²=(√13/4)²+(√3)²=(13/16)+3=61/16
d=ST=OK•SD/DK=3√39/√61

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

4·4^(sinx)-5·√2·2^(sinx)+2=0.
Замена переменной 2^(sinx)=t
Квадратное уравнение
4·t²-5·√2·t+2=0;
D=(5√2)²-4·4·2=50-32=18;
t=(5√2-3√2)/8=√2/4 или t=(5√2+3√2)/8=√2.
Обратная замена
2^(sinx)=√2/4 или 2^(sinx)=√2;
2^(sinx)=2^(-1,5) или 2^(sinx)=2^(1/2);
sinx=-1,5 или sinx=1/2;
уравнение не имеет корней или x=(π/6)+2πn, n∈Z или х=(5π/6)+2πk, k∈Z.

Указанному промежутку принадлежит х=(π/6)+6π=37π/6

О т в е т. а) x=(π/6)+2πn, n∈Z или х=(5π/6)+2πk, k∈Z.б)х=(π/6)+6π=37π/6.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы или радиусу описанной окружности. Гипотенуза-диаметр.
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от точки до прямой.
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между параллельными прямыми.

Ответ выбран лучшим

∠А=17°+23°=40°
Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны, значит ∠А=∠D=40°.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°.
Значит,∠В=∠С=180°-40°=140°.
О т в е т. Больший угол равнобедренной трапеции равен 140°

Ответ выбран лучшим

См. рисунок.
Из площади прямоугольника со сторонами 19 и 10 , вычитаем площади трех прямоугольных треугольников.

19*10- (13*10/2) -(6*5/2)-(19*5/2)=190-65-15-47,5=62,5 (кв. ед) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проведем высоту. Получим прямоугольный треугольник. Один острый угол 60°,второй острый угол 30°.
Катет, против угла в 30° равен половине гипотенузы.
Нижнее основание равно 1 м + 30 см = 1м 30 см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

A) a<0 ( ветви параболы направлены вниз)
D>0 ( парабола пересекает ось ох в двух точках, значит квадратное уравнение имеет два корня, что возможно если D>0)
с>0 парабола пересекает ось оу в точке (0;с)
значит, условие 3) произведение a и D отрицательно, aD<0, с>0
Б) a>0 ( ветви вверх)
D>0 ( два корня)
aD>0 и с>0это условие 1)
В) a<0 (ветви вниз)
D<0 ( корней нет)
aD>0 и с< 0 это условие 2).

Ответ выбран лучшим

Если -1<x<1, то строим левую, убывающую ветвь параболы по точкам (-1;1)до точки (0:-1) и потом правую возрастающую, от точки (0;-1) до точки (1;1).
Точки (-1;1) и (1;1) пустыми кружками. (0;-1) сплошной кружок.
Получится дуга с пустыми краями.

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: (-∞;∞)
Находим производную
y'=(5x²–12x+12)'·eˣ⁺¹²+(5x²–12x+12)·(eˣ⁺¹²)'=
=(10x–12)·eˣ⁺¹²+(5x²–12x+12)·eˣ⁺¹²·(x+12)`=
=eˣ⁺¹²(10x–12+5x²–12x+12)=eˣ⁺¹²(5x²–2x).
y`=0
так как eˣ⁺¹²>0 при любом х, то

5x²–2x=0
х(5х–2)=0
х=0 или х=2/5
Эти две точки разбивают координатную прямую на три промежутка.
-----------(0)------(2/5)---------
Найдем значение производной на каждом промежутке:

y'(–12)=1(5·(–12)²–2·(-12))>0
Производная на промежутке (–∞;0) положительна, значит функция возрастает на этом промежутке.

y'(0,1)=e^{12,1}·(5·(0,1)²–2·0,1)=e^{12,1}·(0,05–0,2)=e^{12,1}·(–0,15)<0
Производная на промежутке (0;2/5) отрицательна, значит функция убывает на этом промежутке.

y'(1)=e¹³·(5·1²–2·1)=e¹³·3>0
Производная на промежутке (2/5;+∞) положительна, значит функция возрастает на этом промежутке.
Так как в точке х=0 производная меняет знак с "+" на "–", то х=0 – точка максимума функции

y(0)=e¹²(5·0²–12·0+12)=12·e¹²

О т в е т. х=0 - точка максимума.

1)(5ⁿ⁺²–5ⁿ)/(5ⁿ⁺¹+5ⁿ–18·5ⁿ⁻¹)=
=5ⁿ(5²-1)/5ⁿ⁻¹(5²+5-18)=24*5/(12)=10;
2)(3y⁸–3y⁶)/(y⁹+2y⁸+y⁷)=3y⁶(y²-1)/y⁷(y²+2y+1)=
=3(y-1)(y+1)/y(y+1)²=3y(y-1)/y(y+1)

Ответ выбран лучшим

x=7целых3/7 : (4/7)=(52/7)•(7/4)=52/4=13

Ответ выбран лучшим

Так как основание логарифмической функции 3>1, функция возрастает.
Из неравенства log(3)f(x) <=log(3) g(x) получаем
неравенство
f(x)<=g(x)
и рассматриваем одз для функции, которая меньше, а это f(x)
Система содержит два неравенства
f(x)<=g(x);
f(x)>0.
Третье неравенство будет выполняться и подавно
g(x)>=f(x)>0 ⇒ g(x) >0

Ответ выбран лучшим

а)СD= BC. Равные хорды стягивают равные дуги.
Значит дуга ВС равна дуге CD.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Поэтому углы, опирающиеся на дуги BC и CD равны.
Отмечены синим цветом.
Углы, опирающиеся на дугу АВ, также равны (отмечены зеленым).
Треугольники АВС и APD подобны по двум углам.
Из подобия:
АВ:ВС=АР:РD.

б)BD- диаметр, угол, опирающийся на диаметр равен 90°.
Треугольник ВСD- прямоугольный равнобедренный.
BD=5√2/sin 45°=10.
В прямоугольном треугольнике ABD катет АВ=5, гипотенузы BD=10. Катет против угла в 30° равен половине гипотенузы. Значит ∠ АDВ=30°.
∠ АВD=60°.
∠ АСD=∠ АВD=60° как углы опирающиеся на одну дугу AD.

Центр окружности, вписанной в треугольник ABD- точка пересечения биссектрис.

АС- биссектриса ∠ ВАD.
OD- биссектриса ∠ АDВ.

∠ ODC=∠ ODB+∠ BDC=15°+45°=60°.

Треугольник OCD- равносторонний.

∠ АСD=60°;∠ ODC=∠ ODB+∠ BDC=15°+45°=60°, значит и третий угол 60°.

S (Δ OCD)=CD²•√3/4=25•√3/2 кв. ед.

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Четырехзначное число, записанное буквами abcd это
1000а+100b+10c+d.
Четырехзначное число, записанное буквами dcba это
1000d+100c+10b+a.
По условию число abcd кратно 5, значит d=5 или d=0.
Значение d=0 не удовлетворяет второму условию: число, записанное в обратном порядке, тоже четырехзначное и значит не может начинаться с нуля.
Итак, одна цифра найдена. d=5

Используем третье условие:из первого числа вычли второе и получили 1359.

1000a+100b+10c+5 -(5000+100c+10b+a)=1359
1000(а-5)+100(b-c)+10(c-b)+(5-a)=1000+300+50+9

Приравниваем единицы
5-а=9
возможно только в случае перехода через десяток,
когда из предыдущего разряда десятков один десяток переходит в разряд единиц и из
15-а=9, значит а=6

возможны варианты
b=0; с=4.
Число 6405.
b=1; c=5.
Число 6515.
b=2; c=6.
Число 6625.
b=3; c=7.
Число 6735.
b=4; c=8.
Число 6845.
b=5; c=9.
Число 6955.

Ответ выбран лучшим

1а) = (-сtg x)|ниж.предел П/8, верх.предел П/4)=-ctg(П/4) +ctg (П/8)=-1+((sin(П/4)/(1+cos(П/4))=
=-1+(√2/(1+√2))
1б) =х^(0,25+1)/(0,25+1)|(ниж.предел 1, верх.предел 16) = (4/5)*16^(5/4)-(4/5)*1=(4/5)*(32-1)=124/5=24,8
2) интеграл (ниж.предел 1, верх.предел 3)(–x²+6x)dx=
=((-x³/3)+3x²)|ниж.предел 1, верх.предел 3)=-9+27-(-1/3)+3)=15 целых 1/3

Ответ выбран лучшим

Интегрирование по частям.
u=lnx ⇒ du = dx/x;
dv=∛x dx ⇒ v=3x∛x /4

= uv- интеграл (vdu)=(3x∛x*lnx /4) - интеграл (3x∛x /4)*(dx/x)=(3x∛x*lnx /4) - (3/4)интеграл (∛xdx)=(3x∛x*lnx /4) -(9x∛x /16) +C

Ответ выбран лучшим

((xy+y²)/28x)·(7x/(x+y))=(x+y)y·7x/28x·(x+y)=y/4
при у=-2 получим -2/4=-1/2=-0,5

Ответ выбран лучшим

Высота трапеции делит нижнее основание на отрезки 13 и (14+13)=27
По теореме Пифагора боковая сторона
√(13²+9²)=√250.
Диагональ
√(27²+9²)=√810.
По теореме косинусов находим
40²=(√250)²+(√810)²-2•√250•√810•cosα;
α - угол между боковой стороной и диагональю.
cosα=-0,6
sinα=0,8
По теореме синусов
40:sinα=2R
R=25 см

Ответ выбран лучшим

1)s:S=4:9;
s=60,
S=60*9/4=135 км см
2)p:P=2:3;
Р=54;
р=54*2/3=36 см

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1) ОДЗ:
система двух неравенств:
3-х>=0
33-4х>=0
или
х <=3
х<=33/4
Пересечением двух множеств является (-∞;3]
Возводим обе части в квадрат
33-4x=9-6x+x²;
x²-2x-24=0;
D=4+96=100
корни
х=(2-10)/2=-4 или х=(2+10)/2=6
6 не удовлетворяет ОДЗ
Ответ. -4

2) Так как 16x+64=16(x+4) и
√(16(x+4))=4√(х+4)
ОДЗ: х+4>=0

ОДЗ: х >= -4

Уравнение принимает вид :

0,16х²•√(х+4)=4•√(х+4);

0,16х²•√(х+4)-4•√(х+4)=0;

√(х+4)•(0,16х²-4)=0
х+4=0 или 0,16х²-4=0;
х₁=-4 или х²-0,64=0;
(х-0,8)(х+0,8)=0
х₂=0,8; х₃=-0,8
Все корни удовлетворяют ОДЗ
О т в е т. х₁•х₂•х₃=(-4)•0,8•(-0,8)=2,46

Ответ выбран лучшим

В основании пирамида квадрат АВСD. Стороны квадрата
АВ=ВС=СD=AD=30.
Боковые ребра SA=SB=SC=SD=25.
Проведем апофему SK боковой грани SBC.
Треугольник SBC- равнобедренный, SK-одновременно и высота и медиана и биссектриса.
По теореме Пифагора
SK²=SB²-BK²=25²-15²=625-225=400; SK=20.

S(полн.)=S(бок.)+S(осн.)=4S(Δ SBC)+S(квадрата АВСD)=
=(4BC•SK/2)+ (AB)²=4•30•20/2 +(30)²=1200+900=2100 кв. см
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

У`=(x–22)`еˣ⁻²¹+(x-22)(еˣ⁻²¹)`=еˣ⁻²¹+(x-22)еˣ⁻²¹=еˣ⁻²¹(1+x-22)=(x-21)еˣ⁻²¹
[20]__-__(21)__+__[22]
x=21- точка минимума
у(21)=(21-22)e⁰=-1 - наименьшее значение функции

1);2);4).

Ответ выбран лучшим

1 L(дуги)=2πR•30°/360°=2π•15/12=5π/2 см
2)L(дуги)=2πR•40°/360°=2π•15/9=10π/3 см
3)L(дуги)=2πR•(π/5)/2π=15•(π/5)=3π см
4)L(дуги)=2πR•(2π/3)/2π=15•(2π/3)=10π см

Ответ выбран лучшим

Соединяем точку О с вершиной А, строим угол в 120° против часовой стрелки, откладываем ОА₁=ОА (голубые линии при построении угла).
Соединяем точку О с вершиной В, строим угол в 120° против часовой стрелки, откладываем ОВ₁=ОВ (зеленые линии при построении угла).
Соединяем точку О с вершиной С, строим угол в 120° против часовой стрелки, откладываем ОС₁=ОС (сиреневые линии при построении угла). (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения

sin(17π/6)=sin(18π-π)/6=sin(3π-(π/6))=sin π/6=1/2;
cos(23π/3)=cos(24π-π)/3=cos(8π-(π/3))=cos π/3=1/2;

4 · sin(17π/6)·cos(23π/3)=1

Ответ выбран лучшим

По формулам приведения
sin210°=sin (180+30°)=-sin 30°=-1/2;
cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=-(1/2)

8·sin210°·cos120°= 8· (-1/2)·(-1/2)=2.

О т в е т. 2.

Ответ выбран лучшим

См. рисунок.
АВСD- квадрат, АВ=ВС=СD=AD=2
O-центр квадрата, точка пересечения диагоналей.
PS=SQ=1
PQ=2- образующая цилиндра и высота цилиндра Н.
Осталось найти радиус основания цилиндра.
Найдем диаметр, это отрезок КQ. (!)
Из соображений проектирования. Равные отрезки имеют равные проекции. Проекцией ВС является AD. Точка О проектируется в центр СD- проекция точка О-точка М.
Причем MQ=SO=h(пирамиды). По теореме Пифагора из треугольника SOC
SO²=SC²-OC²=2²-(√2)²=2 ( АС=2√2- диагональ квадрата со стороной 2, ОС=АС/2).

SO=√2.
По свойству пересекающихся хорд (AM=MD- диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду пополам)
AM•MD=KM•MQ

1•1=KM•(√2)
КM=1:(√2)=√2/2

KQ=KM+MQ=(√2/2)+(√2)=3√2/2

R=КQ/2=3√2/4

V(цилиндра)=π•R²•H=π•(3√2/4)²•2=9π/4 куб ед.
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Треугольник АВС вписан в окружность, поэтому по теореме синусов:
AD/sin∠ABD=2R; откуда sin ∠ABD=1/2; ∠ABD=30°;
Впианный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Значит, дуга BD содержит 210°, а дуга AD содержит 60°, значит дуга АВ составляет 150°, а ∠ADВ=75°.

по теореме синусов:
AВ/sin∠ADВ=2R;

АВ=4•sin 75°=4•sin (30+45)°=4•sin 30°•cos 45°+4•sin 30°•sin 45°=√2•(1+√3)

Ответ выбран лучшим

Угол АКС равен 90°, как опирающийся на диаметр. Значит треугольник АКС - прямоугольный,
KC=4•cos β

В прямоугольных треугольниках АКС и АВС угол А - общий, значит ∠АВС=∠АСК=β.

ВС=АС•сtg ∠АВС=4•сtgβ
ВК=ВС•cos ∠АВС=4•сtgβ•cosβ

S(ΔВСК)=КС•ВК/2=4•cosβ•4•сtgβ•cosβ/2=8cos²β•сtgβ

Ответ выбран лучшим

Cреднее арифметическое числ 4;2;3;3;5;4;3 равно (4+2+3+3+5+4+3)/7=24/7= 3 целых 3/7≈3,428571
Округляем до целого числа, получаем 3

(2/5)-(0,52·(5/26))= (2/5)-((52/100)·(5/26))=
=(2/5)-((2/100)·(5/1))= (2/5)-(10/100)=(4/10)-(1/10)=3/10=0,3

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Проведем высоту, медиану и биссектрису ВК в треугольнике АВС.
АМ=МВ
ВN=NC
MN- средняя линия треугольника АВС.
ВК ⊥ MN
SO- высота пирамиды, О- центр описанной и вписанной окружностей, точка пересечения медиан, высот и биссектрис ( треугольник АВС - правильный)
SO⊥ пл АВС, значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Точку пересечения ВК с отрезком MN обозначим Т.
ТO - проекция SТ
По теореме о трех перпендикулярах ST ⊥ MN.
Сечение SMN проходит через вершину S, через перпендикуляр ST к отрезку MN

Ответ выбран лучшим

5 мышей и
5+5+5+5+5=25 зерен съела кошка

Ответ выбран лучшим

5<5,9<6
5,9∈ [5;6]

Ответ выбран лучшим

АС- диаметр описанной окружности, прямой угол опирается на диаметр.
R=АМ=МС=ВМ=5.
Треугольник АМВ - равнобедренный.

По теореме косинусов:
АВ²=АМ²+ВМ²-2•АМ•ВМ•cos∠AMB=5²+5²-2•5•5•0,28=50-14=36;
АВ=6.

О т в е т. АВ=6

Ответ выбран лучшим

d=√(5х+4)-√х
или
d=√(12х+13)– √(5х+4)
Приравняем правые части и найдем х:
√(5х+4)-√х=√(12х+13)– √(5х+4)
Решаем иррациональное уравнение, не находя ОДЗ, потом сделаем проверку.
Перепишем
√(12х+13)+√х=2√(5х+4)
Вовзедем в квадрат
12х+13+2√(12х+13)√х + х= 4(5х+4)
2√(12х+13)√х=20х+16-13х-13
2√(12х+13)√х=7х+3
еще раз возводим в квадрат
4(12х+13)х=49х²+42х+9
х²-10х+9=0
х=1 или х=9
х=1 не удовлетворяет условию.

Первый член прогрессии√9=3;
второй√(5*9+4)= 7;
третий √ (12*9+13)=√121=11;
четвертый (11+4)=15;
пятый (15+4)=19.
О т в е т. 19

Ответ выбран лучшим

(5√2 -√6)(5√2 +√6)=(5√2)² -(√6)²=50-6=44

Ответ выбран лучшим

Проводим ОK⊥BC
ОК - проекция SK
SK⊥BC по теореме о трех перпендикулярах.
∠SKC- линейный угол двугранного угла между пл. SBC и пл. АВС.
ОК=AB/2=0,5
SK- высота равностороннего треугольника SBC.
SK=√3/2
Из прямоугольного треугольника SOK
cos∠SKC=OK/SB=0,5/(√3/2)=1/√3=√3/3 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Ответ. х=7/4=1,75 (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Перепишем уравнение в виде: при х ≠ - 2
(х+2)(х²-5х+10)=а+19;
х³ -3х²+1=a;
Рассмотрим
f(x)=х³ -3х²+1
f`(x)=3x²-6x
f`(x)=0
x=0 и x=2 точки возможного экстремума.
Проверяем выполнение достаточного условия экстремума, находим знак производной
[-1]__+__(0)__-_____(2)__+_[2,5]
На [-1;0) и на (2;2,5] функция возрастает, на
(0;2)- убывает.
х=0- точка максимума, х=2- точка минимума
f(0)=1
f(2)=8-12+1= - 3
f(-1)=-1-3+1= - 3
f(2,5)=(2,5)³-3•(2,5)²+1=-2,125
см. график на рисунке.
По рисунку видим, что прямые у=а будут пересекаться с графиком ровно в двух точках
при а∈{–3} U (–2,125 ;1)

О т в е т.а∈{–3} U (–2,125 ;1)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

О т в е т.
а)x= –π/4+2π·n, n ∈ Z.
б)–17π/4∈[-9π/2;-3π] (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

а)Пусть первое натуральное число n, второе (n+1), третье (n+2),..., седьмое (n+6).
Их сумма
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)=2016,
7n+(1+2+3+4+5+6)=2016,
7n+21=2016,
7n=2016-21,
7n=1995,
7n=19•7•5•3
n=285
О т в е т. а) да; 285+286+287+288+289+290+291=2016.

б)Аналогично,
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)=2016,
6n + 15=2016,
6n=2001,
6n=3•667
левая часть кратна 2, правая нечетна, уравнение не имеет решений в натуральных числах.
О т в е т. б) нельзя.

в) 2n+(2n+2)+(2n+4)+...(2n+2k)=2016,
слева сумма (к+1) слагаемого, раскрываем скобки и перегруппировываем:
2n•(k+1)+(2+4+...+2k)=2016,
сумма арифметической прогрессии (2+4+...+2k)=(2+2k)•k/2;
2n•(k+1)+((2+2k)•k/2)=2016,
2n•(k+1)+(1+k)•k=2016;
(k+1)(2n+k)=2016.
Так как 2016=2•2•2•2•2•3•3•7;
возможны разные комбинации произведения справа
16•126; 96•21 и т.д. Условию задачи удовлетворяет случай 32•63

(k+1)(2n+k)=32•63

32- четное число, 63 - нечетное.
Значит и слева, один множитель четный, второй - нечетный.
если k+1=63 ⇒ k=62
2n+62=32 - уравнение не имеет натуральных корней.
если k+1=32 ⇒ k=31; 2n+k=63 ⇒ 2n=32

Ответ. Первое четное число 32, всего слагаемых 31.
32+34+36+...+94=2016

Ответ выбран лучшим

По формуле разности квадратов:
a²–b²=(a-b)(a+b)
a=2a-3b
b=2a+3b

(2a–3b)²–(2a+3b)²=
=(2a-3b-2a-3b)(2a-3b+2a+3b)=(-6b)•4a= - 24•a•b

при a•b=0,5
получим
- 24•0,5= - 12

Ответ выбран лучшим

Замена переменной
2^(x)=t; 4^(x)=t²; 3^(x)=u. 1-3^(x-1)=1-((3^(x))/3)=1-(u/3)

(t²-5t+6-(2u-5t+6)(1-(u/3)))/(1-(u/3))<=0

(t²-5t+6-2u+5t-6+(2u²/3)-((5ut)/3)+2u)/(1-(u/3)<=0

(t²+(2u²/3)-((5ut)/3))/(1-(u/3)<=0

Числитель разложим на множители как квадратный трехчлен относительно переменной t
at²+bt+c=a(t-t₁)(t-t₂)

t²-((5u)/3)t+(2u²/3)=0
D=(25u²/9)-4*((2u²/3)=(25u²/9)-4*((6u²/9)=u²/9

t₁= (((5u)/3)-(u/3))/2=2u/3 t₂=(((5u)/3)+(u/3))/2=u

t²-((5u)/3)t+(2u²/3)=(t-(2u/3))(t-u)

Решаем неравенство
(2^(x)-2*3^(x-1))(2^(x)-3^(x))/(1- 3^(x-1)) <=0

Неравенство сводится к четырем системам.
1) 1 - 3^(x-1)>0
2^(x)-2*3^(x-1)<=0
2^(x)-3^(x)>=0

х<1
x>=1
x ≤ 0

система не имеет решений.

2)1 - 3^(x-1)>0
2^(x)-2*3^(x-1)>=0
2^(x)-3^(x)<=0
x<1
x<=1
x ≥ 0

решение системы
[b]0 ≤ x<1[/b]

3)1 - 3^(x-1)<0
2^(x)-2*3^(x-1)>=0
2^(x)-3^(x) ≥ 0

x>1
x<=1
x ≤ 0

система не имеет решений

4)1 - 3^(x-1)>0
2^(x)-2*3^(x-1) ≤ 0
2^(x)-3^(x) ≥ 0

х>1
x>=1
x ≤ 0

нет решений

[blue]О т в е т. [0;1)[/blue]

Ответ выбран лучшим

S(осн.)=S(полн)-S(бок)=144-108=36
В основании пирамиды квадрат со стороной 6.
О- точка пересечения квадрата - центр основания.
Пусть М- середина АВ, плоскости SMO и SAC пересекаются по прямой SO.
SO⊥ АВСD, значит перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости, в том числе и прямой ОМ и прямой АС
ОМ ⊥ SO
AO ⊥ SO

∠ MOA - линейный угол двугранного угла.
∠ MOA=45°
(диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, ОМ- высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника ВОА)

Ответ выбран лучшим

v = v₀ + at
20=v₀+7•2
v₀=20-14
v₀=6

Ответ выбран лучшим

V(куба)=2³=8 куб см весят 154,4 г
1 куб см весит 154,4:8=19,3

m=19,3V

Ответ выбран лучшим

1 га = 100 а
10 га = 1000 а
10 га - 75 а = 1000 а - 75 а= 925 а

Ответ выбран лучшим

4=4cos²x+4sin²x
Уравнение принимает вид
sin²2x-4sin2xcos2x+3cos²2x=0
Это однородное тригонометрическое уравнение.
Делим все слагаемые на соs²2x≠0
tg²2x-4tg2x+3=0
D=16-12=4
tg2x=3 или tg 2x=1
2x=arctg3 +πn, n∈Z или 2x=arctg1 +πn, n∈Z
х=((arctg3)/2) +(π/2)n, n∈Z или x=(π/8) +(π/2)k, k∈Z

б) промежутку [0;1] принадлежат корни
(arctg3)/2 и π/8

arctg 3≈1,25 радиан
(arctg3)/2<1

π/8≈0,3925 радиан
0,3925 <1

О т в е т. а) х=((arctg3)/2) +(π/2)n, n∈Z ;
x=(π/8) +(π/2)k, k∈Z

б) промежутку [0;1] принадлежат корни
(arctg3)/2 и π/8

Ответ выбран лучшим

О.Д.З.
х-1>0
x+1>0
x>0
x≠1

О.Д.З. х∈(1;+∞)

Значит основание логарифмической функции х>1, это означает, что функция монотонно возрастает.
Произведение неположительно, когда множители имеют разные знаки ( один +, второй -)
Две системы
1) log(x)(x-1)<=0
log(x)(x+1)>=0
2) log(x)(x-1)>=0
log(x)(x+1)<=0

Заменим 0=log(x)1 и воспользуемся монотонным возрастанием функции

1) х-1<=1
x+1>=1
2) x-1>=1
x+1<=1

или
1) х<=2
x>=0
2) x>=2
x<=0

1) 0<=x<=2
2) не имеет решений

С учетом ОДЗ получаем ответ

x∈(1;2]

Ответ выбран лучшим

Пусть основание равно х, тогда боковая сторона (х+8).
Периметр
х+(х+8)+(х+8)=27
3х+16=27
3х=11
х=11/3=3 целых 2/3
х+8=3 целых 2/3+8=11 целых 2/3

3 целых 2/3 + 11 целых 2/3+11 целых 2/3=27

Второй вариант
основание х, боковая сторона (х-8)
х+(х-8)+(х-8)=27
3х=43
х=14 целых 1/3
(х-8)=14 целых 1/3 -8 =6 целых 1/3
не получится треугольника, так как ломаная должна быть больше отрезка соединяющего его концы.
Основания имеет длину 14 целых 1/3,
а ломаная (боковые стороны 12 целых 2/3)

Ответ. 3 целых 2/3 - основание
11 целых 2/3 - боковая сторона
11 целых 2/3 - боковая сторона

Ответ выбран лучшим

В правильном треугольнике точка пересечения медиан является одновременно и точкой пересечения высот, и точкой пересечения биссектрис, центром вписанной и описанной окружности.
Равные наклонные (боковые стороны пирамиды) имеют равные проекции,проекцией боковой стороны пирамиды является радиус описанной окружности.
OS- высота пирамиды
OS=H
Так как
V(пирамиды)=(1/3)S(осн)Н, то Н=3V/S=3*6/4=4,5

О т в е т. OS=H=4,5.

Ответ выбран лучшим

Так как прямой угол опирается на диаметр, то диаметр окружности это диагональ прямоугольника.
Диагональ прямоугольника - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 24 и 7, по теореме Пифагора
d²=24²+7²=576+49=625
d=25
R=d/2=25/2=12,5

Ответ выбран лучшим

0,2=1/5=5^(-1)
5^(-1+3x)=5^2
-1+3x=2
3x=3
x=1
О т в е т. х=1

Ответ выбран лучшим

при х>=0 |x|=x
получаем
(x+5)²+(y–4)²=4 - окружность с центром (-5;4) радиусом 2.
Но эта окружность не принадлежит правой полуплоскости
аналогично
при х<0
получаем
(-x+5)²+(y–4)²=4 - окружность с центром (5;4) радиусом 2.
Но эта окружность не принадлежит левой полуплоскости
Поэтому первое уравнение не имеет решений вообще.
Если бы было

(|x|-5)²+(y–4)²=4
то окружности располагались бы в соответствующих полуплоскостях, тогда можно о чем-то говорить.
при х>=0
(x-5)²+(y–4)²=4 - окружность с центром (5;4) радиуса 2 ( зеленого цвета)
при х <0
(-x-5)²+(y–4)²=4 - окружность с центром (-5;4) радиуса 2 (черного цвета)

Второе уравнение задает окружность с центром в точке (-2;0) радиусом b (сиреневого цвета)
Надо найти случаи, когда сиреневая окружность будет касаться одной из окружностей
cм. рисунок (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

По теореме косинусов
BD²=AB²+AD²-2•AB•AD•cos60°
BD²=36+144-2•6•12•(1/2)
BD²=180-72
BD=√108=6√3

Из прямоугольного треугольника ВВ₁D:
ВВ₁=BD•tg30°=6√3•(√3/3)=6
H=ВВ₁=6
S(бок)=P(осн)• H=(6+12+6+12)•6=36•6=216 кв. дм

Ответ выбран лучшим

AB=m•E₁F₁
AB=n•E₂F₂

m•E₁F₁=n•E₂F₂
E₁F₁=(n/m)•E₂F₂
О т в е т. (n/m)

Ответ выбран лучшим

Прямой угол С опирается на диаметр.
ОА=ОВ=R
ОС=R
ОА=ОВ=ОС=R (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Один угол х, второй угол 4х.
Составляем уравнение:
х+4х=90
5х=90
х=18
СМ. рисунок 1
Проведем высоту. Получим прямоугольный треугольник. Один угол 18°, значит угол между высотой и бОльшим катетом 72°
См. рисунок 2.
Проведем медиану. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Получили равнобедренный треугольник, у которого углы при основании равны 18°.
О т в е т. 72°-18°=54°

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
6•4 = -3•(х+8);
24= - 3х-24;
3х= - 48;
х= - 16.

Ответ выбран лучшим

Заменим 0=log(x²-6x+9)1

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
{(x^2-6x+9-1)*(7-x-1) меньше или равно 0;
{x^2-6x+9 > 0
{x^2-6x+9 ≠1
{7-x > 0

{(x-2)(x-4)(x-6) больше или равно 0
{x≠3
{x≠2 и х≠4
{x < 7

О т в е т. (2;3)U(3;4)U[6;7)

Ответ выбран лучшим

(1/y–1/x)=(х-у)/ху
y²/(x–y)• (1/y–1/x) =y²/(x–y)•(х-у)/ху=y²/(xy)=у/х
при х=1,1 у=121
получим
121/1,1=110

Ответ выбран лучшим

(х+1– √3)²>0 при х ≠√3-1 , то остается
решить неравенство
(х+2– √6)>0,
х > √6 -2
Изобразим множество решений неравенства на числовой прямой,штриховка правее х=√6 -2)

-----( √6 -2)-----(√3-1)---
О. т в е т. х∈(√6 -2;√3-1)U(√3-1;+∞)

Ответ выбран лучшим

C=2πR
- формула длины окружности.
Чтобы найти длину дуги в градусах делим длину окружности на 360° и умножаем на указанное количество величины дуги в градусах.
Чтобы найти длину дуги в радианах делим длину окружности на 2 π и умножаем на указанное количество величины дуги в радианах.
1)2π•15•30°/360°=5π/2 см
2)2π•15•40°/360°=10π/3 см
3)2π•15•(π/5)/2π=3π см
4)2π•15•(2π/3)/2π= 10π см

Ответ выбран лучшим

x²+8x+15=0
D=8²-4*15=64-60=4
x=(-8-2)/2=-5 или х=(-8+2)/2=-3
x²+8x+15=(х-(-5))(х-(-3))
Ясно, что а=-5

Ответ выбран лучшим

Известно, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех измерений
d²=a²+b²+c²
(√42)²=4²+b²+1²
b²=42-16-1
b²=25
b=5

(4,5 • 10²)/(9•10⁴) =1/(2• 10²)=0,005

Ответ выбран лучшим

Это задача на среднюю линию трапеции. Средняя опора и есть средняя линия прямоугольной трапеции
3,1=(х+3,3)/2⇒
х=6,2-3,3=2,9
О т в е т. 2,9 м

Ответ выбран лучшим

S(треугольника)=a•h/2
S=8•31/2=4•31=124 кв. ед.

Общее решение неоднородного дифферециального уравнения второго порядка у=у₀+Y
Где
у₀- частное решение однородного уравнения
y''+4y'+5y=0
Y- частное решение неоднородного уравнения

Составляем характеристическое уравнение
однородного уравнения:
k²+4k+5=0
D=16-20=-4
корни комплексно-сопряженные
-2+i и -2 -i
α=-2 β=1
y₀=e^(-2x)(C₁cosx+C₂sinx)

Y=ax+b - частное решение находим в виде, подобном правой части. Справа линейная функция
Y`=a
Y``=0
Подставляем в данное уравнение
0+4а+5(ax+b)=25x
5ax+(4a+5b)=25x
5a=25
a=5
4a+b=0
b=-4a=-20
Общее решение данного неоднородного уравнения
у=e^(-2x)(C₁cosx+C₂sinx)+5x-20
Находим частное решение данного неоднородного из условия
y(0)=2 y'(0)=0
Находим
y`=e^(-2x)*(-2x)`*(C₁cosx+C₂sinx)+e^(-2x)*(-C₁sinx+C₂cosx)+5=e^(-2x)*(-2C₁cosx-2C₂sinx-C₁sinx+C₂cosx)+5

Составляем систему:
2=e^(0)(C₁cos0+C₂sin0)+5*0-20
0=e^(0)*(-2C₁cos0-2C₂sin0-C₁sin0+C₂cos0)+5

или
2=C₁-20 ⇒ C₁=22
0=-2C₁+C₂+5 ⇒ С₂=2C₁-5=44-5=39

О т в е т.
Общее решение:
у=e^(-2x)(C₁cosx+C₂sinx)+5x-20
Частное решение
у=у=e^(-2x)(22cosx+39sinx)+5x-20

Ответ выбран лучшим

2,7*10^(-5)/9*10^(-4)=(2,7/9)*10^(-5-(-4))=(3/10)*10^(-1)=3/100=0,03

Ответ выбран лучшим

Треугольник АКС - тупоугольный, подобен данному, значит данный треугольник АВС тоже тупоугольный.
Против большей стороны лежит больший угол.
Так как АС=3√2>√14>1, наибольшая сторона АС лежит против тупого угла В.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то больше одного тупого угла в треугольнике быть не может.
Углы КАС и АВС имеют общую сторону АВ, и так как они равны, то АС должно быть параллельно ВС

Ошибка в условии. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

1)sin²α+cos²α=1 ⇒ cos²α=1-sin²α=1-(25/26)=1/26
cosα=-1/√26 ( косинус в 3-ей четверти отрицателен)
tgα=sinα/cosα=1/5
2) sin²α+cos²α=1 ⇒ cos²α=1-sin²α=1-(8/9)=1/9
cosα=-1/3 ( косинус в 3-ей четверти отрицателен)
3cosα=3*(-1/3)=-1
3) -4√3*cos(750°)=-4√3*cos(720°+30°)=-4√3*cos30°=
=-4√3*(√3/2)=-6
4)24√2*cos(-π/3)*sin(-π/4)=
=24√2*cos(π/3)*(-sin(π/4))=
=24√2*(1/2)*(-√2/2)=-12
5)sin409°=sin (360°+49°)=sin49°
О т в е т. 11 sin 409°/sin 49°=11 sin49°/sin 49°=11

Ответ выбран лучшим

S( параллелограмма)= a•h
или

S( параллелограмма)= b•H

a•h=b•H
110•h=20•66
h=1320:110
h=12
О т в е т. h=12

Ответ выбран лучшим

Раскрываем скобки
-3х-3*(-5)+6 = -10
-3х+15+6=-10
-3х=-10-6-15
-3х=-31
3х=31
х=10 целых 1/3

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
система
х+2>0 ⇒ x > -2
x>0
x≠1

---(-2)----(0)--(1)---→

ОДз : х ∈(0;1)U(1;+∞)

log(x)(x+2)> 2*log(x)(x)

log(x)(x+2)> log(x)(x)^2

1) если 0<x<1, логарифмическая функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
система
0<x<1
x+2<x²⇒ x²-x-2>0
решаем уравнение, находим корни
x²-x-2=0
D=1+8=9
корни -1 и 2

-----(-1)----(2)----
неравенство x²-x-2>0 выполняется при
х∈(-∞;-1)U(2;+∞)
С учетом первого условия 0<x<1 получаем ответ.
Система не имеет решений

2) если x>1, логарифмическая функция возрастает
неравенство примет вид:
х+2>x² или x²-x-2 <0
х∈(-1;2)
С учетом условия х>1 получим ответ
х∈(1;2)
О т в е т. х∈(1;2)

Ответ выбран лучшим

Пусть кредит взят на х лет.
25% от 8,8 млн рублей – 0,25*8,8=2,2 млн. руб
На 1 января долг составит 1,25*8,8=11млн. руб ( 11=8,8+2,2)
До 1 июля происходит выплата так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину
Выплачиваем сумму кредита, разделенную на х лет выплат и проценты за год, т.е. выплата составит ((8,8/х)+2,2 ) млн. руб.
После чего сумма долга составит 11-((8,8/х)+2,2 )=(8,8-(8,8/x)) млн. руб
На 1 января долг вновь вырастет на 25% и составит 1,25 * (8,8-(8,8/x)) млн. руб.
До 1 июля происходит выплата.
Выплачиваем (8,8/х) млн. руб. и проценты за второй год,
т.е. выплата составит ((8,8/х)+(0,25*(8,8 – (8,8)/х ) )млн. руб.
третий год
выплачиваем (8,8/х) + 0,25*(8.8- (8,8/х)-(8,8/х))= (8,8/х) + 0,25*(8.8-2* (8,8/х))
За четвертый год
(8,8/х) + 0,25*(8.8-3* (8,8/х))

За последний год
(8,8/х) + 0,25*(8,8 -(х-1)* (8,8/х))=11/х
11/х=1 млн
х=11 лет
Клиент взял кредит на 11 лет.
Выплаты:
1-й год 8,8/11=0,8 и проценты за 1-й год 2,2
0,8+2,2=3 млн
2-й год 8,8/11=0.8 и проценты с суммы 8,8-0,8=8 млн, это 0,25*8=2 млн
0,8+2=2,8 млн.
за третий год
0,8 + 0,25*(8,8-2*0.8)=0,8+1,8
и т.д
Итого:
0,8*11+(2,2+2,0+1,8+1,6+1,4+1,2+1+0,8+0,6+0,4+0,2)=8,8+13,2=22 млн

Ответ выбран лучшим

3^(8)*3^(11)=3^(8+11)=3^(19)
(3^(6))^3=3^(18)

3^(19)^3^(18)=3^(19-18)=3^(1)=3

Ответ выбран лучшим

Пусть 1 кг мяса стоит х руб, 1 кг рыбы у руб, 1 л молока z руб.
Стоимость набора (4х+2у+6z)руб

3% от х - это 0,03х
х-0,03х=0,97х руб - цена на мясо со скидкой
10% от у - это 0,1у
у-0,1у=0,9у руб - цена на рыбу со скидкой
5% от z - это 0,05z
z-0,05z=0,95z руб. - цена на молоко со скидкой
В "Бизоне" стоимость набора (0,97*4х+2y+6z) руб, что на 0,12х руб.дешевле стоимости набора
(4х+2у+6z)-(0,97*4х+2y+6z)=0,12x
В "Нептуне" - (4х+0,9*2y+6z) руб, что на 0,2у руб.дешевле стоимости набора
(4х+2у+6z)-((4х+0,9*2y+6z)=0,2y
В "Коровке" - (4х+2у+0,95*6z) руб., что на 0,3z дешевле стоимости набора.
(4х+2у+6z)-(4х+2у+0,95*6z)=0,3z

Все зависит от х,у,z

Если х=200 руб, а у=100 руб, z=50 руб.
то 0,12х=24 рублей
0,2у=20 рублей
0,3z=15 рублей

Получается, что набор в "Бизоне" дешевле.

А если х=200 руб, у= 150 руб, то
0,12х=24 руб
0,2у=30 руб.
Набор в "Нептуне" обойдется дешевле.

Ответ выбран лучшим

d₂=2S/d₁sinα=2•8,75/14•(1/12)=15

Ответ выбран лучшим

Чтобы построить сечение, соединяем точку D1 и Е и продолжаем до пересечения с плоскостью основания АВСD.Для этого продолжаем DA до пересечения с D1E, получаем точку М.
Проводим DT, так как плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны, то секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым проводим MN || D1T.ВС пересекается с МN в точке N. Проводим TN, точка пересечения с В1В - точка F

Сечение D1EFT построено.

Треугольники МАЕ и МDD1 подобны. Из подобия
МА: MD= AE: DD1
МА=8
Треугольник МАЕ прямоугольный равнобедренный. Острые углы 45 градусов. Отмечены на рисунке синим цветом.
Из треугольника B1TF c такими же углами, находим B1F=3; FB=14-3=11
Ответ. а) BF:FB1=11:3

б) Плоскости пересекаются по прямой EF.
Проводим A1K⊥ EF.
Треугольник A1FD1- прямоугольный, так как A1D1 ⊥ плоскости A1B1BA, и потому A1D1 ⊥ EF.
По теореме о 3-х перпендикулярах D1K⊥ EF.

Из прямоугольной трапеции A1B1FE находим FE.
FE=sqrt((A1B1)^2+(A1E-BF)^2)=√90
Применяем метод площадей
Площадь треугольника A1EF, с одной стороны равна половине произведения основания А1Е на высоту А1В1, с другой -половине произведения основания EF на высоту А1К.
Поэтому
А1К*EF=A1E*A1B1
A1K=6*9/sqrt(90)=18sqrt(10)/10=9sqrt(10)/5

Из прямоугольного треугольника A1D1K:
tg ∠A1KD1=A1D1:A1K=6/(9√(10)/5)=30/(9sqrt(10))=10/(3*sqrt(10))=(sqrt(10))/3
∠A1KD1=arctg(√10/3) (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.
ВМ:МС=АВ:АС=6:9=2:3
ВС=5
Значит, ВМ=2 и МС=3
Биссектриса АМ и перпендикуляр из вершины B- пересекаются в точке К ( см. рис.1)
Δ АВК=ΔAКN по общему катету АК и острому углу
∠ВАК=∠КАN(АМ- биссектриса)
АВ=АN=6
NC=AC=AN=9-6=3
Треугольник МNC- равнобедренный, NC=MC=6
Биссектриса угла С равнобедренного треугольника одновременно является и медианой, поэтому делит MN пополам.

В треугольнике АМС биссектриса СР делит сторону АМ пропорционально прилежащим сторонам
АР:РМ=АС:СМ=9:3=3:1

(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
Система
x+3>0
x-3>0
((x-3)/(x+3))>0
((x-3)/(x+3))≠ 1

ОДЗ:х>3

Применяем формулу перехода к другому основанию.

-log(2)(х+3)+log(2)(х-3)-1/(log(2)(x-3/x+3))<0

Заменим разность логарифмов логарифмом частного:
log(2)(x-3/x+3)-1/(log(2)(x-3/x+3))<0

Замена переменной
log(2)(x-3/x+3)=t
t-(1/t) <0

(t²-1)/t <0

-----(-1)----(0)-----(1)------

знаки : - + - +

t<-1 или 0< t < 1

Обратная замена

1) log(2)(x-3)/(x+3) < -1
или
2) 0 < log(2)(x-3)/(x+3)<1

1)log(2)(x-3)/(x+3) < log (2)(1/2) ;
Логарифмическая функция с основанием 2>1 - возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(x-3)/(x+3)<1/2

(2х-6-(х+3))/2(х+3)<0

(x-9)/2(x+3) <0

-3 < x < 9

C учетом ОДЗ:

3 < x < 9

2) log(2)1 < log(2)(x-3)/(x+3)< log(2)2

1 < (x-3)/(x+3) < 2

Система
(х-3)/(х+3)>1
(x-3)/(x+3)<2

или
(-6)/(х+3) >0 ⇒ x+3 <0 ⇒ x < -3, не входит в ОДЗ
(-x-9)/(x+3)<0
Система не имеет решений
О т в е т. (3;9)

Так как ctg²x=cos²x/sin²x; а 1/ctg²x=sin²x/cos²x, то

(sin²x/cos²x)-(3/cosx)+3=0
Приводим к общему знаменателю
(sin²x-3сosx+3cos²x)/(cos²x)=0
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.
Система:
sin²x-3сosx+3cos²x=0
cos²x≠0

sin²x=1-cos²x

2cos²x-3сosx+1=0
D=(-3)²-4•2=1
cosx=1 или сosx=1/2
x=2πk, k∈Z или x=± arccos (1/2)+2πn, n∈Z
x= ±(π/3)+2πn, n∈Z
О т в е т. 2πk, k∈Z; ±(π/3)+2πn, n∈Z

Ответ выбран лучшим

ОДЗ:
система неравенств:
x-1>0
x+1>0
x>0
x≠1

ОДЗ: х>1

Произведение двух множителей неположительно (< или = 0), когда множители разных знаков
Две системы
1)
logx(x–1) <=0
logx(x+1)>=0

или

2)
logx(x–1) >=0
logx(x+1)<=0

Решение первой: заменим 0=logx1
logx(x–1) <=logx1
logx(x+1)>=logx1
Так как согласно ОДЗ х>1, логарифмическая функция возрастает и большему (меньшему) значению функции соответствует большее ( меньшее) значение аргумента
получаем систему
х-1 <=1 x<=2
x+1>=1 x>=0
x∈ [0;2]
С учетом ОДЗ х∈ (1;2]
Решение второй системы:
х-1 >=1 x>=2
x+1<=1 x<=0
Cистема не имеет решений
О т в е т. х∈ (1;2]

Ответ выбран лучшим

x²+9x+14=0
D=9²-4*14=81-56=25
x₁=(-9-5)/2=-7 или x₂=(-9+5)/2=-2
О т в е т. -2; -7

Ответ выбран лучшим

∠DTC- линейный угол двугранного угла DABC, так как
плоскости DAB и ABC пересекаются по прямой АВ;
DT⊥AB (DT- медиана, а значит и высота равнобедренного треугольника DAB)
CT⊥AB (CT- медиана, а значит и высота равностороннего треугольника ABС)

Ответ выбран лучшим

cos(2x+(π/9))=-√3/2;
2x+(π/9)=±arccos(-√3/2)+2πk, k ∈ Z;
2x+(π/9)=±(π-arccos√3/2)+2πk, k ∈ Z;
2x=-(π/9)±(π-(π/6))+2πk, k ∈ Z;
2x=-(π/9)±(5π/6)+2πk, k ∈ Z;
x=-(π/18)±(5π/12)+πk, k ∈ Z;

или
х₁ =-(π/18)+(5π/12)+πk, k ∈ Z;
х₁ =(13π/36)+πk, k ∈ Z;

х₂=-(π/18)-(5π/12)+πn, n ∈ Z;

х₂=-(17π/36)+πn, n ∈ Z.

О т в е т. (13π/36)+πk, k ∈ Z;-(17π/36)+πn, n ∈ Z.

Ответ выбран лучшим

Неопределенность ∞/∞. Делим и числитель и знаменатель на n³. Получим разность двух дробей в числителе и разность двух дробей в знаменателе.

lim ((n+1)³–(n–1)²)/((2n+1)³–(n–1)³)=
n→∞

=lim (((n+1)³–(n–1)²)/n³)/(((2n+1)³–(n–1)³)/n³)=
n→∞

=lim(((n+1)³/n³)–((n–1)²)/n³))/
(((2n+1)³/n³)–((n–1)³)/n³))=
=lim ((1+1/n)³–((1-1/n)²(1/n)/((2+1/n)³–(1–1/n)³))=
n→∞
=1/(2³-1)=1/7

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Угол В опирается на дугу СА, которая состоит из двух дуг, CD и DA, градусные величины которых 90° и 145°
90° + 145°=235°
∠В= 117,5°

Ответ выбран лучшим

1)за 4 золотых монеты можно получить 5 серебряных и одну медную, т.е
4з=5с+1м
2) за 7 серебряных монет можно получить 5 золотых и одну медную,т.е
7с=5з+1м

Выразим золотые из первого и второго уравнений:
4з=5с+1м
5з=7с-1м
умножим первое уравнение на 5, второе на 4:

20з=25с+5м
20з=28с-4м

приравниваем правые части
25с+5м=28с-4м
3с=9м
1с=3м
90 медных, значит серебряных в три раза меньше 30.
О т в е т. Уменьшилось на 30 монет

Ответ выбран лучшим

h:H=1:4, откуда H=4h
и
r:R=1:4, откуда R=4r

v(маленького конуса)=(1/3)• π •r²•h

V( большого конуса)=(1/3)• π •R²•H=

=(1/3)• π •(4r)²•4h=64v

192=64v, значит v=3
Объем верхнего (маленького) конуса равен 3
V-v=192-3=189
Объем усеченного конуса равен 189.

Ответ выбран лучшим

1)
y`=(x+ln(-x))`=1+(1/(-x))·(-x)`=1+(1/x)
y`=0
1+(1/x)=0 ⇒ (x+1)/x=0 ⇒ x=-1

[-4]___+___(-1)_-_[-0,5]

х=-1 - точка максимума, производная при переходе через точку меняет знак с + на _

y(1)=1+ln(-(-1))=1+ln1=1+0=1 - наибольшее значение на [-4;-0,5]

при х= - 4
у(-4)= - 4+ln 4= - 4+2 ln 2 - наименьшее значение на [-4;-0,5]
Так как
при х= - 0,5
у(-0,5)= -0,5 +ln0,5= -0,5-ln2
и
-4+2ln2 < -0,5- ln2, так как
3 ln2 < 4-0,5
ln2< 3,5/3
ln2 <1<3,5/3

2)
y`=(4·2^(3x)+27·2^(2x)+3·2^(x+3))`=
=4·2^(3x)·ln2·(3x)`+27·2^(2x)·ln2·(2x)`+3·2^(x+3)·ln2·(x+3)`=
=ln2·(12·2^(3x)+54·2^(2x)+24·2^x)=6·ln2·(2·2^(3x)+9·2^(2x)+4·2^x
так как
2^(x+3)=2^(x)·2^(3)

y`=0
12·2^(3x)+54·2^(2x)+24·2^x=0 ( 6·ln2≠0)
Замена переменной
2^(x)=t,
t>0
2t³+9t²+4t=0
t(2t²+9t+4)=0
t=0 или 2t²+9t+4=0
D=9²-4·2·4=81-32=49=7²
t=-4 или t=-0,5
ни один из корней не удовлетворяет условию t>0
Функция не имеет точек экстремума внутри интервала [-2;0)
у(-2)=4·2⁻⁶+27·2⁻⁴+3·2=(1/32)+(54/32)+6=7 целых 23/32 - наименьшее значение на [-2;0)
y(0)=4·2⁰+27·2⁰+3·2³=4+27+24=55- наибольшее значение на [-2;0)

Ответ выбран лучшим

Парабола у²=2рх симметрична относительно оси ох, ветви расположены в направлении оси ох.
Прямая х=2а параллельна оси оу.

Пусть одна сторона прямоугольника образована прямой х=t, вторая - прямой х=2а
(Если взять справа любую прямую левее чем х=2а, то площадь прямоугольника будет меньше)

Подставим координату х=t в уравнение параболы, получим
2pt=y²
y₁=-√2pt y₂=√2pt

Тогда длина прямоугольника равна (2а-t), а ширина 2·2√2pt

Площадь прямоугольника, как функция от t:
S(t)=(2а-t)· 2·2√2pt
S(t) будет принимать наибольшее значение там же где и функция
s(t)=(2a-t)·√pt
( S(t)= 4·√2·s(t))

Находим s`(t)=2a·√pt +(2a-t)·(p/(2·√pt))=(4apt+2ap-tp)/(2·√pt)
s`(t)=0
t=2a(1-4a)
проходя через эту точку производная меняет знак с + на - , значит это точка максимума
(в числителе s`(t) линейная функция, график которой меняет знак проходя через нуль функции, знаменатель положителен при любом t и на знак производной не влияет)
О т в е т. прямоугольник, определяемый уравнениями x=2a/(1-4а) и х=2а будет иметь наибольшую площадь

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: 2х⁴-8≠0
(х²-2)(х²+2)≠0
х∈(-∞;-√2)U (-√2;√2)U(√2;+∞)

Находим производную по формуле производная частного:
f`(x)=((2x²–1)`(2x⁴-8)-(2x⁴-8)`(2x²-1))/(2x⁴–8)²

f`(x)=(4x(2x⁴-8)-(8x³)(2x²-1))/(2x⁴–8)²
f`(x)=(8x⁵+8x³-32x)/(2x⁴–8)²
f`(x)=2(x⁴+x²-4)x/(x⁴–4)²
f`(x)=0
x₁=0 или x²=-1+√17
x₂ =- √(√17-1) или х₃=(√(√17-1)

х₁; х₂; х₃ - точки возможного экстремума.
Проверяем достаточное условие экстремума, находим знак производной

---(-√(√17-1))---(-√2)--(0)--(√2)---(√(√17-1))----
Знаки: - + + - - +
х=(-√(√17-1))-точка минимума, производная меняет знак с - на +
х=0- точка максимума,производная меняет знак с + на -
х=(√(√17-1))-точка минимума, производная меняет знак с - на +

Ответ выбран лучшим

Ответ выбран лучшим

1)Все грани куба- квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1- проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1- равносторонний, Проведем высоту ВК (К- точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)-KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3- B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK- прямой
Итак, B1D- перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.

2) Плоскость АВ1С1- это плоскость АB1C1D Плоскость A1B1C- это плоскость A1B1CD
Две эти плоскости имеют общие точки B1 и D. Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим к прямой B1D перпендикуляры AE и EC. AE=EC- высоты прямоугольных треугольников с катетами 1 и √2 и гипотенузой √3 АЕ=ЕС=1•√2/√3=√(2/3)
Из треугольника АСЕ по теореме косинусов АС²=АЕ²+ЕС²-2•АЕ•ЕС•cos ∠AEC (√2)²=(√(2/3))²+(√(2/3))²-2•(√(2/3))•(√(2/3))•cos ∠AEC cos ∠AEC=-1/2 ∠AEC=120° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

ОДЗ: system{(x^2-4)≠0; (x-1)/(x^2-4)>0}

Решаем методом интервалов

__-__ (-2) __+__ (1) __-__ (2) __ +__

ОДЗ: [b]х∈(-2;1)U(2;+∞)[/b]

[b]Рассмотрим интервал (-2;1)[/b], принадлежащий ОДЗ

log(4)(x^(2)-4)^(2)=log(2)(4-x^2)

Неравенство принимает вид

log(2)((4-x^2)•(x-1)/(x^2-4))>0

или

log(2)(1-x)>0
1-x>1
x<0

С учетом интервала x∈(-2;1)
получаем первый ответ.
х∈(-2;0)

[b]Рассмотрим второй промежуток (2;+∞),[/b] принадлежащий ОДЗ

Неравенство принимает вид

log(2)((x^2-4)•(x-1)/(x^2-4))>0

или

log(2)(x-1)>0
x-1>1
x>2

С учетом интервала x∈(2;+∞)
получаем второй ответ.

Решением неравенства является объединение полученных ответов
О т в е т. [b] х∈(-2;0)U(2;+∞)[/b]

Ответ выбран лучшим

p+q=1

1)p=1/4, значит q=1-(1/4)=3/4
2)p=0,02, значит q=1-0,02=0,98
3)p=2/7, значит q=1-(2/7)=5/7
4)p=0,83, значит q=1-0,83=0,17

Ответ выбран лучшим

Замена переменной:
5^(x)= t
t > 0

Неравенство принимает вид:
[m]\frac{2}{t-1}+\frac{t-2}{t-3} ≥ 2[/m]

[m]\frac{2}{t-1}+\frac{t-2}{t-3} - 2 ≥ 0[/m]

[m]\frac{2(t-3)+(t-2)(t-1)-2(t-1)(t-3)}{(t-1)(t-3)} ≥ 0[/m]

[m]\frac{2t-6+t^2-3t+2-2t^2+8t-6}{(t-1)(t-3)} ≥ 0[/m]

[m]\frac{-t^2+7t-10}{(t-1)(t-3)} ≥ 0[/m]

[m]\frac{(t-2)(t-5)}{(t-1)(t-3)} ≤ 0[/m]

____ (1) _-__ [2] ___ (3) ___-___ [5] ____

Oтвет можно записать в виде совокупности двух двойных неравенств:
[blue]1 < t ≤ 2 [/blue] или 3 < t ≤ 5

Обратная замена
[blue]1<5^(x)≤2[/blue]
или
3<5^(x)≤5

[blue]5^(0)<5^(x)≤5^(log(5)(2))[/blue]
или
5^(log(5)(3))<5^(x)≤5

Так как показательная функция с основанием 5> 1 -возрастающая, значит большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

[blue]0<x≤log(5)(2)[/blue]
или
log(5)(3)<x≤1

О т в е т. (0; log(5)(2)]U(log(5)(3);1]

Ответ выбран лучшим

Треугольник SBC и треугольник АВС равные между собой ( по трем сторонам)равнобедренные треугольники
По условию
SC=SB=10 и АВ=АС=10
BC=12-общая сторона.

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является одновременно и медианой.
ВК=СК
SK⊥BC
AK⊥BC

BC - перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASК, значит перпендикулярна плоскости ASK.
Плоскость АВС проходит через прямую ВС (перпендикуляр к другой плоскости), значит плоскость АВС перпендикулярна плоскости ASK
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников
SCK и АСК
SK=8
АК=8

Треугольник SAK - равнобедренный (SK=AK=8)
Высота, проведенная к основанию AS является медианой, делит AS пополам.
КM⊥AS
и
КМ⊥ВС ( ВС ⊥ пл. ASK, значит перпендиулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и КМ).
КМ - расстояние между прямыми AS и ВС.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
АМК
d²=KM²=8²-6²=28
d=√28=2√7
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Пусть в треугольнике АВС
∠С=90°; ∠ВAC=15°
Найдем катет АС.
АС=АВ•cos 15°.

S(Δ АВС)=АВ•АС•sin 15°/2=АВ•AB•cos 15°•sin 15°/2=
=АВ•AB•sin 30°/4=АВ•AB•0,5/4=АВ•AB/8=6•6/8=4,5 кв. ед.

Применили формулу синуса двойного угла

2•sinα•cosα = sin2α,

sinα•cosα = sin2α/2

sin 15°•cos15° = sin30°/2=0,5/2=1/4

Ответ выбран лучшим

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠ВAD опирается на дугу BD, значит дуга BD имеет градусную меру 200°;
∠BDC опирается га дугу ВС, значит дуга ВС имеет градусную меру 104°.
Дуга СD имеет градусную меру
200°-104°=96°.
Вписанный угол СAD измеряется половиной дуги СD.

О т в е т. ∠СAD=48°.

Ответ выбран лучшим

Внешний угол - смежный угол с углом А.
Сумма смежных углов равна 180°.
∠А=180°-111°=69°.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому
∠A=∠C=69°.
Сумма углов треугольника АВС равна 180°.
∠В=180°-∠А-∠С=180°-69°-69°=42°.

О т в е т. ∠В=42°. (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

Призма прямая, значит боковые ребра перпендикулярны плоскости основания
ВВ₁⊥ пл. АВС, значит
ВВ₁ перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, в том числе
ВВ₁⊥АВ и ВВ₁ ⊥ АС
Треугольники В₁АС и В₁АВ- прямоугольные.
По условию треугольник АВС - прямоугольный,
по теореме Пифагора гипотенуза АВ=10.
Так как ВС⊥АС, по теореме о трех перпендикулярах, наклонная В₁С ⊥АС, значит треугольник В₁СА - прямоугольный.
По теореме Пифагора из треугольника В₁ВС:
В₁С²=ВС²+ВВ₁²=8²+5²=89
В₁С=√89
По формуле S=ab/2 (а и b - катеты)находим площадь каждого из четырех треугольников.

S(полная)=S(Δ ABC)+ S(ΔAB₁C)+S(ΔB₁BC)+S(ΔB₁BA)=
=(BC•AC/2)+(B₁C•AC/2)+((B₁B•BC/2)+((B₁B•AB/2)=
=(8•6/2)+(6•√89/2)+(5•8/2)+(5•10/2)=69+3√89 ( кв. ед)
(прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ВАМ=∠АВС=42° - внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и МТ и секущей АВ.
∠САТ=∠АСВ=25° - внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и МТ и секущей АС.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
∠ВАС=180°-∠АСВ-∠АВС=180°-42°- 25°=113°

О т в е т. ∠А=113°; ∠В=25°; ∠С=42° (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

∠ВСА=°∠САD=25°- внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС.
∠А=∠ВАС+∠САD=55°+25°=80°
В равнобедренной трапеции углы при основании равны
∠А=∠D=80°
Cумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°.
∠С+∠D=180°, значит ∠С=180°-∠D=180°-80°=100°.
∠AСD=∠C-∠BCA=100°-25°=75°

О т в е т. ∠AСD=75°

Ответ выбран лучшим

В основании правильной пирамиды квадрат АВСD.
АВ=ВС=СD=AD
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
МО ⊥ пл. АВСD
МА-наклонная
МО- проекция МА
∠МАО=45°
Из прямоугольного равнобедренного треугольника МКО
Мо=АО=4•sin 45°=2√2 см.
Из прямоугольного равнобедренного треугольника АОD
AD=AO/sin 45°= 4 cм

ОК=AD/2= 2 cм

МК- апофема боковой грани
Из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора
МК²=МО²+ОК²=(2√2 )²+2²=12
МК=2√3 см.

S(бок)=Р(осн)•Н/2=4•4•2√3/2 (кв.см)=16√3 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим

CМ. рисунок.
АВ-диаметр основания цилиндра
АО=ОВ=R
В прямоугольном треугольнике АВК: АВ=6 см ( катет против угла в 30°)
ВК=6√3 см
Н=ВК=6√3 см
S(бок.)=2πRH=2π*3*6√3 кв. см=36π√3 кв. см (прикреплено изображение)

Ответ выбран лучшим