Задача 34910 Дано комплексное число z . Требуется: 1)...

olga1007

25 марта 2019 г. в 16:00

Дано комплексное число z . Требуется: 1) записать
число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни
уравнения z³ + a= 0

sova

25 марта 2019 г. в 19:33

★

а=–4·(1+i√3)/(1²–(i√3)²)=–4·(1+i√3)/4=–1–i√3

a=x+iy

x=–1
y=–√3

r=√x²+y²=√4=2

cos φ =x/r=–1/2
sin φ =y/r=–√3/2

φ =–2π/3

a=r·(cos φ +isin φ )=2·(cos(–2π/3)+isin(–2π/3))=2cos(2π/3)–isin(2π/3)

a=r·e^iφ =2·e^{i·(–2π/3)+2πk}, k ∈ Z

2.
z³=1+√3
1+√3=2·(cos(π/3)+isin(π/3))
z^1/3=∛2· ( cos(((π/3)+2πk)/3)+isin(((π/3)+2πk)/3) )

при k=0
z₀ =∛2·(cos(π/9)+isin(π/9)

z₁=∛2·(cos(((π/3)+2π)/3)+isin(((π/3)+2π)/3)=

=∛2·(cos(7π/9)+isin(7π/9))

z₂ =∛2·(cos(13π/9)+isin(13π/9))