Архив задач

SOVA ✎ Первая прямая проходит через точку М1(-2;2;-3) и имеет направляющий вектор (2;-1;3) Находим направляющий вектор прямой l2 , для этого находим векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей, задающих эту прямую Первый имеет координаты (4;5;–5) Второй (1;2;–2) Считаем определитель третьего порядка в первой строке векторы i,j,k во второй координаты первого нормального вектора, в третьей – координаты второго нормального вектора. получим вектор (3j+3k) Значит направляющий вектор прямой имеет координаты (0;3;3) Или можно взять коллинеарный ему вектор (0;1;1) Три вектора (0;1;1) (2;-1;3) - направляющий вектор прямой l1 и вектор М1М(x+2;y-2;z+3) компланарны. (М(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости). Определитель третьего порядка, составленный из координат векторов равен 0 Раскрывая его получаем искомое уравнение. x+y-z-3=0 О т в е т. x+y-z-3=0 к задаче 18460

SOVA ✎ Находим направляющий вектор заданной прямой, для этого находим векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей, задающих эту прямую. Первый имеет координаты (2;1;-2) Второй (1;0;-3) Считаем определитель третьего порядка в первой строке векторы i,j,k во второй координаты первого нормального вектора, в третьей – координаты второго нормального вектора. получим вектор (3i+4j-k) Значит направляющий вектор прямой имеет координаты (3;4;–1) Уравнение прямой, проходящей через точку Р с направляющим вектором (3;4;-1) имеет вид (х-1)/3=(y-1)/4=(z+2)/-1 Параметризуем (x-1)/3=t ⇒ x=3t+1 (y-1)/4=t ⇒ y=4t+1 (z+2)/(-1)=t ⇒ z=-t-2 О т в е т. x=3t+1; y=4t+1; z=-t-2 к задаче 18459

SOVA ✎ Находим точку, принадлежащую первой прямой 1) пусть z=0 {x+2y-1=0 умножаем на (-3) {3x+3y+1=0 {-3x-6y+3=0 {3x+3y+1=0 -3у+4=0 у=4/3 х=1-2у=1-(8/3)=-5/3 Точка M1(-5/3;4/3;0) принадлежит первой прямой Находим направляющий вектор первой прямой. Нормальные векторы плоскостей имеют координаты (1;2;-2) и (3;3;-3) Их векторное произведение - направляющий вектор прямой. Находим векторное произведение Считаем определитель третьего порядка в первой строке векторы i,j,k во второй координаты первого нормального вектора, в третьей - координаты второго нормального вектора. получим вектор (-6i-6k) Значит направляющий вектор первой прямой имеет координаты (0;-6;-6) Аналогично для второй прямой 2) z=0;x=-1/3;y=x-2=-7/3 M2(-1/3;-7/3;0) - точка принадлежащая второй прямой направляющий вектор второй прямой (0;3;3) Прямые параллельны. Переформулируем задачу. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые. (см. рис.) Составляем определитель третьего порядка для нахождения нормального вектора искомой плоскости В первой строке векторы i,j,k Во второй координаты вектора, параллельного направляющим векторам (0;1;1) В третьей координаты вектора М1М2 (11/3)i+(4/3)j-(4/3) k - нормальный вектор искомой плоскости. Значит уравнение плоскости имеет вид (11/3)(х+5/3)+(4/3)(y-(4/3))-(4/3)z=0 11(x+(5/3))+4*(y-(4/3)-4z=0 11x+4y-4z+13=0 О т в е т. 11х+4у-4z+13=0 к задаче 18458

SOVA ✎ Нормальный вектор плоскости–3x+y+z–3 = 0 имеет координаты (-3;1;1) vector{a}=2vector{i}–3vector{j}+vector{k} имеет координаты (2;-3;1) сos phi =(2*(-3)+(-3)*1+1*1)/sqrt(9+1+1)*sqrt(4+9+1)= =-8/sqrt(11*14) Это тупой угол. Косинус смежного угла 8/sqrt(154) к задаче 18454

SOVA ✎ Если плоскость проходит параллельна OZ, значит нормальный вектор c координатами (a;b;c) плоскости ax+by+cz+d=0 перпендикулярен вектору (0,0,1) значит c = 0 Уравнение имеет вид aх+bу+d=0 Подставляем координаты точек А и В в это уравнение и находим а;b;d. {3a+4b+d=0 ⇒ d=-3a-4b {-2a+3b+d=0 ⇒ d= 2a-3b -3a-4b=2a-3b ⇒ b=-5a d=2a-3b=2a+15a=17a ax-5ay+17a=0 x-5y+17=0 О т в е т. x-5y+17=0 к задаче 18453