Задача 79616 Интеграл arccosxdx...
Условие
математика колледж
110
Решение
★
Пусть
u = arccos(x) ⇒ du = -1 / √(1 - x²) dx,
dv = dx ⇒ v = x.
Тогда по формуле интегрирования по частям ( ∫ u dv = uv - ∫ v du ) получаем:
∫ arccos(x) dx = x ⋅ arccos(x) - ∫ x ⋅ ( -1 / √(1 - x²) ) dx
= x arccos(x) + ∫ x / √(1 - x²) dx.
Далее нужно вычислить интеграл
∫ x / √(1 - x²) dx.
Используем подстановку s = 1 - x², тогда ds = -2x dx и, следовательно,
x dx = -ds / 2.
Тогда
∫ x / √(1 - x²) dx = ∫ (-1 / 2) ds / √s = -1/2 ∫ ds / √s = -1/2 · (2 √s) + C = -√(1 - x²) + C.
Подставляя это результат обратно, получаем:
∫ arccos(x) dx = x arccos(x) - √(1 - x²) + C,
где C — произвольная постоянная