Задача 79616 Интеграл arccosxdx...

67d8683c09eb0f5b51a2147b

17 марта 2025 г. в 06:24

Интеграл arccosxdx

5f282cfba9074b3a3bc0f013

17 марта 2025 г. в 06:53

★

∫ arccos(x) dx.

Пусть
u = arccos(x) ⇒ du = –1 / √(1 – x²) dx,
dv = dx ⇒ v = x.

Тогда по формуле интегрирования по частям ( ∫ u dv = uv – ∫ v du ) получаем:

∫ arccos(x) dx = x ⋅ arccos(x) – ∫ x ⋅ ( –1 / √(1 – x²) ) dx
= x arccos(x) + ∫ x / √(1 – x²) dx.

Далее нужно вычислить интеграл
∫ x / √(1 – x²) dx.

Используем подстановку s = 1 – x², тогда ds = –2x dx и, следовательно,

x dx = –ds / 2.

Тогда

∫ x / √(1 – x²) dx = ∫ (–1 / 2) ds / √s = –1/2 ∫ ds / √s = –1/2 · (2 √s) + C = –√(1 – x²) + C.

Подставляя это результат обратно, получаем:

∫ arccos(x) dx = x arccos(x) – √(1 – x²) + C,

где C — произвольная постоянная