Задача 35332 ...

vk88691639

3 апреля 2019 г. в 21:55

10. Дан степенной ряд ∑ (от n=1 до ∞) (a^n · x^n) / (b^n · √(n+1)) . При заданных значениях a и b написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

sova

3 апреля 2019 г. в 22:31

★

n=1
u₁(x)=(4/(7·∛2))·x

n=2
u₂(x)=(16/(49·∛3))·x²

n=3

u₃(x)=(64/(343· ∛4))·x³

Найдем отношениe

|u_n+1/(u_n)|= |4ⁿ⁺¹·xⁿ⁺¹/7ⁿ⁺¹·∛(n+1+1)| : |4ⁿ·xⁿ/7ⁿ·∛(n+1)|=

=(4·|x|/7)·∛(n+2)/(n+1)

lim_n→∞|u_n+1/(u_n)|=4·|x|/7

Если
4·|x|/7<1, то по признаку Даламбера ряд из модулей сходится,значит и данный ряд сходится
Решаем неравенство:
4·|x|/7<1 ⇒ |x| < 7/4

R=7/4 – радиус сходимости

(–7/4;7/4) – интервал сходимости

При х=(–7/4) числовой ряд сходится по признаку Лейбница
При х=7/4 числовой ряд расходится
[–7/4;7/4) – область сходимости.