Задача 29483 В трапеции ABCD основание AD в два раза...

slava191

2018-09-06 10:44:22

В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые.

а) Докажите, что AM=DM.

б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70°, а расстояние от точки M до прямой AD равно стороне BC.

sova

2018-09-06 14:48:43

★

а)
Продолжим стороны AB и DC до пересечения в точке P.
Cм. рис.1.
Так как ABCD трапеция, ( BC|| AD), то и треугольники BPC и APD подобны.
Из подобия следует пропорциональность сторон.
AP:BP=DP:CP=AD:BC
По условию
AD в два раза больше основания BC.
Значит, AB=BP и DC=CP,
т.е. В – середина BР, а С – середина DP.

MB и MC – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника APD, а значит, точка M – центр окружности, описанной около Δ APD
АM = DM =R.

б)

Pасстояние от точки M до стороны AD равно высоте В равнобедренного Δ AMD.
По условию MK=BC; AD=2BC
Значит АК=КD=MK
Треугольники АКМ и DKM - прямоугольные, равнобедренные.
∠ МАК= ∠ MDK=45 градусов.

Значит ∠ AMD=90 градусов
См. рис. 2
∠ AMD - центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.
∠ APD - вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается
∠ APD =45 градусов.
Сумма углов треугольника APD равна 180 градусов, значит
∠ BAD=180 градусов - ∠ APD - ∠ ADP=180 градусов - ∠ APD - ∠ ADC=180 градусов- 45 градусов - 70 градусов = 65 градусов.
О т в е т. ∠ BAD= 65 градусов.