Задача 34273 Логарифмическое неравенство. Номер 9...
Условие
Решение
{x>0
{x ≠ 1
{2x^(-1) >0 ⇒ 2/x > 0 ⇒ x > 0
{2x^2>0 ⇒ x - любое, кроме 0 ⇒ х ≠ 0
{2x>0 ⇒ x>0
{2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2
{2x^(-2)>0 ⇒ 2/x^2 >0 ⇒ x ≠ 0
{2x^(-2) ≠ 1 ⇒ 2/x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± sqrt(2)/2
ОДЗ:(0; 1/2) U (1/2);sqrt(2)/2) U(sqrt(2)/2;1) U (1;+ ∞ )
Переходим к основанию х
log_(x)2x^(-1)=log_(x)2+log_(x)x^(-1)=log_(x)2-1
log_(x)2x^(2)=log_(x)2+log_(x)x^(2)=log_(x)2+2
log_(2x)x=log_(x)x/log_(x)(2x)=1/(log_(x)2+1)
log_(2x^(-2))x=log_(x)x/log_(x)(2x^(-2))=1/(log_(x)2-2)
Неравенство принимает вид:
(log_(x)2-1)*(log_(x)2+2)*(log_(x)2+1)*(log_(x)2-2) < 40
(log^2_(x)2-1)*(log_(x)2-4) < 40
log^4_(x)2 -5log^2_(x)3 - 36 < 0
Биквадратное неравенство
D=25-4*(-36)=25+144=169
корни - 4 и 9
(log^2_(x)2+4)*(log^2_(x)2-9) < 0
log^2_(x)2 + 4 > 0 при любом х из ОДЗ
(log_(x)2-3)(log_(x)2+3) < 0
-3 < log_(x)2 < 3 ⇒ log_(x)x^(-3) < log_(x)2 < log_(x) x^3
При [b]х ∈ (0;1)[/b] логарифмическая функция убывающая, поэтому
⇒ x^3< 2 < x^(-3) ⇒
{x^3 < 2
{x^(-3)>2
{ x < 2^(1/3)
{ x > 2^(-1/3)=∛(1/2)
[b]x ∈ (∛(1/2));1) [/b]
При [b]x > 1[/b] логарифмическая функция возрастающая
⇒ x^(-3) < 2 < x^3 ⇒ возводим в степень (1/3)
x^(-1) < ∛2< x
{1/x< ∛2
{ x> ∛2
[b]x ∈ (∛2;+ ∞ )[/b]
С учетом ОДЗ о т в е т.
(∛(1/2);1) U (∛2;+ ∞ )