Задача 37819 ...

foxy

2019-05-30 17:46:02

Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника в точке пересечения с высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение длин которых равно 1+√2 ,считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.Пожалуйста можно подробное решение.

sova

2019-05-30 21:01:26

★

Пусть высота CD прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе AB, пересекает биссектрису AE угла A в точке K.

AK:KE=1+sqrt(2)⇒ КЕ=АК/(1+sqrt(2))=AK*(sqrt(2)-1)/((sqrt(2))^2-1)=

=AK*(sqrt(2)-1)

АЕ=AK+KE= AK+ AK*(sqrt(2)-1)=AK*sqrt(2)

Δ ACD ~ ΔABC по двум углам ( один прямой, второй общий, угол А)

Значит, соответствующие элементы этих треугольников
( биссектрисы, высоты, медианы относятся как стороны)

[b]AK:AE=AC:AB[/b] ⇒

AK:AE=AK: AK*sqrt(2)=1:sqrt(2)

AC:AB=1/sqrt(2)

sin ∠ B=AC/AB=1/sqrt(2), значит

[b] ∠ B= ∠ A=45^(o) [/b]