Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 10683 Три различных натуральных числа являются...

Условие

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 3/2?

б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 5/4?

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?

математика 10-11 класс 6941

Решение

Пусть с – наибольшая сторона треугольника, а-наименьшая.
Согласно «неравенству треугольника» каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
c < a+b - условие (1)
По теореме косинусов
c^2=a^2+b^2-2abcos ∠C ⇒
так как угол С- тупой, косинус тупого угла отрицательный, поэтому сумма трех положительных чисел больше сумма первых двух.
c^2 > a^2+b^2 – условие (2)

a) найдем такие с и a, что с/a=3/2
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.
Третья сторона a < b < c.
Пусть с=15; a=10; b=11

Проверяем первое условие b+a > c: 11+10 > 15 – верно
Проверяем второе условие c^2 > a^2+b^2: 225 > 100+121 - верно.
О т в е т. с=15; a=10; b=11 с/a=15/10=3/2

б) найдем такие с и a, что с/a=5/4
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.

Пусть с=10; b=8; a=9

Проверяем первое условие b+a > c: 8+9 > 10 – верно
Проверяем второе условие 100 > 64 + 72 - неверно.
Покажем, что нет таких натуральных чисел, которые могли быть сторонами данного треугольника.
Обозначим с/a=5k/4k , k- натуральное
c=5k a=4k
4k < b < 5k ⇒ b достаточно взять от 4k+1 до 5k-1.
Пусть b - наименьшее из возможных b = 4k+1
Чтобы выполнялось второе условие c^2 > a^2+b^2:
(5k)^2 > (4k)^2+(4k+1)^2 ⇒ 7k^2+8k+1 < 0
Неравенство имеет решение на множестве (1/7;1).
Что не удовлетворяет условию к- натуральное

О т в е т. Нет таких натуральных чисел.

в) найдем наименьшее с/a, если b=18
c-наибольшая, a – наименьшая сторона. c > 18, a < 18.

Для того чтобы отношение (дробь) было наименьшим, знаменатель должен быть наибольшим.
Выберем a =17 > 18 – это наибольшее натуральное число из возможных.
Из условия c^2 > a^2+b^2 ⇒ c^2 > 17^2+18^2=289+324=613, √613 ≈24,75
c=25
О т в е т. с/а= 25/17.

Написать комментарий

Категории

Меню

Присоединяйся в ВК