задание 19

Работа с числами. Построение и исследование математических моделей.

С натуральным числом производят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 4106137125

б) Может ли из какого–нибудь числа получиться число 27593118?

в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

В школах No 1 и No 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы No 1 в школу No 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе No 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе No 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе No 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе No 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе No 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе No 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе No 2.

Име­ет­ся 8 кар­то­чек. На них за­пи­сы­ва­ют по од­но­му каж­дое из чисел:


-11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му из чисел:


-11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные во­семь сумм пе­ре­мно­жа­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 117?

в) Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

За­ду­ма­но не­сколь­ко целых чисел. Набор этих чисел и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 2, 3, 5, то на доске будет вы­пи­сан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске вы­пи­сан набор -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Какие числа были за­ду­ма­ны?
б) Для не­ко­то­рых раз­лич­ных за­ду­ман­ных чисел в на­бо­ре, вы­пи­сан­ном на доске, число 0 встре­ча­ет­ся ровно 4 раза. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­ду­ма­но?
в) Для не­ко­то­рых за­ду­ман­ных чисел на доске вы­пи­сан набор. Все­гда ли по этому на­бо­ру можно од­но­знач­но опре­де­лить за­ду­ман­ные числа?

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Даны пять различных натуральных чисел. Известно, что их произведение
равно 6000.

а) Могут ли все пять чисел образовывать геометрическую прогрессию?

б) Могут ли четыре числа из этих пяти образовывать геометрическую
прогрессию?

в) Могут ли три числа из этих пяти образовывать геометрическую
прогрессию? [v1-19]

По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна 32.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна 29?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?

Дана арифметическая прогрессия (с разностью отличной от нуля), составленная из натуральных чисел,десятичная запись которых не содержит цифр 8 и 9.

а)Может ли в такой прогрессии быть 6 членов?
Б)Докажите,что число еу членов меньше 70
В)Докажите,что число членов всякой такой прогрессии не больше 32 Г)Приведите пример такой прогрессии с 32 членами

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 3/2?

б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 5/4?

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?

Имеется пять палочек с длинами 2, 3, 4, 5, 6.

а) Можно ли, используя все палочки, сложит равнобедренный треугольник?

б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?

в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя)

А) Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Обязательно ли на плоскости найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга ровно на 1 м?

Б) Каждая точка прямой окрашена в один из 10 цветов. Обязательно ли на прямой найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга на целое число метров?

В) Какое наибольшее количество вершин куба можно покрасить в синий цвет так, чтобы среди синих вершин нельзя было выбрать три, образующие равносторонний треугольник?

В каждой клетке таблицы размером 3 x 3 записаны числа от 1 до 9 (рис.). За один ход разрешается к двум соседним числам (клетки
имеют общую сторону) прибавить одно и то же целое число.

А) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа?

Б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы (в центре) и восьми нулей?

В) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое‐то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N.

В группе 32 студента. Каждый из них пишет или одну, или две контрольные работы, за каждую из которых можно получить от 0 до 20 баллов включительно. Причем каждая из двух контрольных работ по отдельности дает в среднем 14 баллов. Далее, каждый из студентов назвал свой наивысший балл (если писал одну работу, то называл за нее), из этих баллов находили среднее арифметическое и оно равно S.

а) Приведите пример, когда S < 14.
Б) Могло ли быть такое, что 28 человек пишет две контрольные и S=11?
В) Какое максимальное число студентов могло написать две контрольные работы, если S=11?