В каждой клетке таблицы размером 3 x 3 записаны числа от 1 до 9 (рис.). За один ход разрешается к двум соседним числам (клетки имеют общую сторону) прибавить одно и то же целое число. А) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа? Б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы (в центре) и восьми нулей? В) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое‐то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N.

Условие

26.11.2016

В каждой клетке таблицы размером 3 x 3 записаны числа от 1 до 9 (рис.). За один ход разрешается к двум соседним числам (клетки
имеют общую сторону) прибавить одно и то же целое число.

А) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа?

Б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы (в центре) и восьми нулей?

В) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое‐то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N.

математика 10-11 класс 8375

Решение

SOVA

19.12.2016

★

1) Да. См. рисунок

2) Нет.
Раскрасим таблицу как шахматную доску.
Ход - к двум соседним числам (клетки имеют общую сторону)разрешается прибавить одно и то же целое число.
Значит каждый раз прибавляем к клетке черного цвета и к клетке белого. Это означает, что общая сумма чисел на черных и белых клетках остается неизменной (инвариантной).
Сумма на черных клетках 4+6+8+1+3=22
сумма на белых клетках 5+9+7+2=23
3) N=1