✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 550 За­ду­ма­но не­сколь­ко целых чисел.

УСЛОВИЕ:

За­ду­ма­но не­сколь­ко целых чисел. Набор этих чисел и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 2, 3, 5, то на доске будет вы­пи­сан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске вы­пи­сан набор -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Какие числа были за­ду­ма­ны?
б) Для не­ко­то­рых раз­лич­ных за­ду­ман­ных чисел в на­бо­ре, вы­пи­сан­ном на доске, число 0 встре­ча­ет­ся ровно 4 раза. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­ду­ма­но?
в) Для не­ко­то­рых за­ду­ман­ных чисел на доске вы­пи­сан набор. Все­гда ли по этому на­бо­ру можно од­но­знач­но опре­де­лить за­ду­ман­ные числа?

РЕШЕНИЕ:

а) Если было за­ду­ма­но 4 числа или более, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не менее 15 чисел. Если было за­ду­ма­но 2 числа или мень­ше, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не более 3 чисел. Зна­чит, было за­ду­ма­но 3 числа. Если бы было за­ду­ма­но 2 по­ло­жи­тель­ных числа, то на доске было бы вы­пи­са­но не менее трёх по­ло­жи­тель­ных чисел. Зна­чит, по­ло­жи­тель­ное число одно, и это число — наи­боль­шее число в на­бо­ре, то есть 6. Наи­мень­шее число в на­бо­ре -11 яв­ля­ет­ся сум­мой двух от­ри­ца­тель­ных за­ду­ман­ных чисел. Из от­ри­ца­тель­ных вы­пи­сан­ных чисел толь­ко -7 и -4 дают в сумме -11. Зна­чит, были за­ду­ма­ны числа -7, -4 и 6.

б) Рас­смот­рим раз­лич­ные за­ду­ман­ные числа, среди ко­то­рых нет нуля. Пусть для этих чисел в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно k нулей. Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2k + 1 нулей: k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел, k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел и за­ду­ман­но­го нуля, и за­ду­ман­ный нуль. Таким об­ра­зом, если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей.
Если на доске вы­пи­са­но ровно 4 нуля, то среди за­ду­ман­ных чисел нет нуля. Пусть за­ду­ма­но че­ты­ре или мень­ше не­ну­ле­вых числа. Нуль по­лу­ча­ет­ся тогда, когда сумма не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства по­ло­жи­тель­ных чисел равна по мо­ду­лю сумме не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства от­ри­ца­тель­ных чисел. Одно за­ду­ман­ное число даёт одну сумму; два раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают три раз­лич­ные суммы: три раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа дают семь сумм, среди ко­то­рых не более двух (за­ду­ман­ное число, наи­боль­шее по мо­ду­лю, и сумма двух дру­гих за­ду­ман­ных чисел) сов­па­да­ют. Зна­чит, среди сумм по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел сов­па­да­ют по мо­ду­лю не более трёх. Таким об­ра­зом, если было за­ду­ма­но не более четырёх раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более трёх нулей.
Если были за­ду­ма­ны числа -2; -1; 1; 2; 3, то на доске ока­жет­ся ровно че­ты­ре нуля. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел — 5.

в) Нет, не все­гда. На­при­мер, для за­ду­ман­ных чисел -3, 1, 2 и -2, -1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

а) -7, -4, 6; б) 5; в) нет.

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2676 ⌚ 01.02.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
Сила Архимеда F=ρgV
V=F/ρg
ρ - плотность БЕНЗИНА.
✎ к задаче 44617
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 44622
1-cosx=2sin^{2}\frac{x}{2}


sinx+\sqrt{\frac{3}{2}\cdot 2sin^{2}\frac{x}{2}}=0

sinx+\sqrt{3}|sin\frac{x}{2}|=0

2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cdot |sin\frac{x}{2}|=0

Раскрываем знак модуля:
1)
sin\frac{x}{2} ≥ 0 ⇒ 0+2πm ≤ \frac{x}{2} ≤ π+2πm, m ∈ Z ⇒ 4πm ≤ x ≤ 2π+4πm, m ∈ Z
тогда
|sin\frac{x}{2}|=sin\frac{x}{2}
уравнение примет вид:

2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cdot sin\frac{x}{2}=0

sin\frac{x}{2}\cdot (2cos\frac{x}{2}+\sqrt{3})=0

sin\frac{x}{2}=0 ⇒ \frac{x}{2}=πk, k ∈ Z ⇒

[red]x=2πk, k ∈ Z [/red]

или

2cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}=0 ⇒ cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{x}{2}= ± \frac{5π}{6}+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± \frac{5π}{3}+4πn, n ∈ Z

Условию sin\frac{x}{2} ≥ 0 удовлетворяют корни:

[red] x= \frac{5π}{3}+4πn, n ∈ Z[/red]


2)
sin\frac{x}{2} <0 ⇒ -π+2πm ≤ \frac{x}{2} ≤ 2πm, m ∈ Z

-2π+ 4πm ≤ x ≤4πm, m ∈ Z
тогда
|sin\frac{x}{2}|=- sin\frac{x}{2}

уравнение принимает вид:

2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2} - \sqrt{3}\cdot sin\frac{x}{2}=0

sin\frac{x}{2}\cdot (2cos\frac{x}{2}-\sqrt{3})=0

sin\frac{x}{2}<0 ⇒

2cos\frac{x}{2}-\sqrt{3}=0 ⇒ cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{x}{2}= ± \frac{π}{6}+2πn, ⇒ ± \frac{π}{3}+4πn, n ∈ Z

Условию sin\frac{x}{2} < 0 удовлетворяют корни:

[red] x= - \frac{π}{3}+4πk, k ∈ Z
[/red]


[red]- \frac{π}{3}+4πn, \frac{5π}{3}+4πn
[/red]
можно объединить в ответ:

- \frac{π}{3}+2πn
О т в е т.
a)
[red] 2πk [/red]


[red] - \frac{π}{3}+2πn [/red]
[red] n, k ∈ Z [/red]

✎ к задаче 44622
2.
S_(мн)=S_(проекции)/сos45 ° =6srqt(2)/(sqrt(2)/2)=[b]12[/b]

3.
а)DA ⊥ пл АВС ⇒ DA ⊥ BC

AM ⊥ BC

BC ⊥ DA и ВС ⊥ АМ ⇒ ВС ⊥ пл DAM ⇒ BC ⊥ DM

б)
ВМ=МС
АМ- медиана равностороннего треугольника, а значит и высота
AM ⊥ BC

По теореме Пифагора из треугольника AВM:

АМ^2=AB^2-AM^2=6^2-3^2=27

Из прямоугольного треугольника DAM
DM^2=DA^2+AM^2=4^2+27=43

DM=sqrt(43)

4.
Пусть МК ⊥ пл β
АК- проекция МA
ВК-проекция MB

МК=МА*sin60 ° =(8sqrt(3))*(sqrt(3)/2)=12

MK=KB=12 ( Δ МКВ - прямоугольный равнобедренный)

MB^2=MK^2+MK^2=12^2+12^2=288

MB=[b]12sqrt(2)[/b]
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 44621
[red]A2.[/red]
Пусть ребро куба равно а.

Cечение через два противоположных ребра это диагональное сечение.

Основание этого сечения - диагональ квадрата.

AC=BD=asqrt(2)

АА_(1)=СС_(1)=а

S_(сеч)=a*sqrt(2)*a=a^2*sqrt(2)

По условию 64 sqrt(2)
a^2*sqrt(2)= 64 sqrt(2)
a^2=64
a=[b]8[/b]

d_(куба)=a*sqrt(3)=[b]8sqrt(3)[/b]

[red]A3.[/red]
Проводим МK ⊥ BC

MK|| CC_(1); MK||BB_(1)
МК=СС_(1)/2=3sqrt(2)/2

АК- высота Δ АВС

АK=a*sqrt(3)/2=(3sqrt(2))*(sqrt(3)/2)=3sqrt(3/2)

∠ МАК угол между прямой АМ и ее проекцией на пл. АВС

tg∠ МАК=MK/AM=(3sqrt(2)/2):(3sqrt(3/2))=1/sqrt(3)
∠ МАК =30 °

[red]B.1[/red]
AM=(2/5)AA_(1)=(2/5)*15=6

S_( Δ ABC)=sqrt(24*(24-10)*(24-17)*(24-21))=3*4*7

АК ⊥ ВС

AK=2S_( Δ ABC)/BC=8

По теореме Пифагора
MK^2=6^2+8^2=100
MK=10

S_( ΔMBC)=(1/2)*BC*MK=(1/2)*21*10=[b]105[/b]
✎ к задаче 44620