задание 14 (стереометрия)

Сложная стереометрия. Доказать и найти.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA₁ = 2. Точки P и Q — середины рёбер A₁B₁ и CC₁ соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B₁C₁ в точке U.

a) Докажите, что B₁U : UC₁ = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью APQ.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны 6. Точка F – середина ребра CB.

А) постройте сечение призмы плоскостью A1BF

Б) Найдите площадь этого сечения.

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB, DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=7√2.

А) Докажите, что эта пирамида правильная

Б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причем DM:MA=DN:NC=4:3. Найдите площадь сечения MNB.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D, проведена секущая плоскость, содержащая диагональ АС1, и пересекающая рёбра ВВ1, и DD1, в точках F и Е соответственно.

а) Докажите, что сечение АFС1Е — параллелограмм.

б) Нейдите площадь сечения, если известно, что АFС1Е — ромб и АВ=3, BC=2, AA1=5.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковые рёбра равны 2, а стороны основания — 1.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через вершину В и середины рёбер AF и CD, перпендикулярна плоскости основания.

б) Найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF. [14п8]

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD в котором AB = 12, AD = sqrt(31). Расстояние между прямыми АС и B1D1 равно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1 делит отрезок B1D1 в отношении 1:6.

б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы. [14п9]

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью, проходящей через центр куба перпендикулярно диагонали АС1 является правильным шестиугольником.

б) Найдите угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1. [14п10]

Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру ВВ1 причём ВР : РВ1 = 1:3.

а) Пусть М — середина АС. Докажите, что прямые МР и А1C1 перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями А1B1C1 и АСР. [14п11]

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = sqrt(11). Расстояние между прямыми АС и B1D1 равно 12.

а) Пусть плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1 пересекает прямую B1D1 в точке М. Докажите, что B1D1 : В1М = 1:3.

б) Найдите тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы. [14п12]

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5sqrt(2). Точка L — середина ребра МВ. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен sqrt(2).

а) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые АО и LO перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды. [14п4]

В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 через середину Р ребра АВ , середину К диагонали А1С и середину М диагонали В1С проведена плоскость.

а) Докажите, что эта плоскость проходит через точку С1 .

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если АВ = 4, ВС = 3, СА = sqrt(13) , АА1= sqrt(157)

В правильной треугольной пирамиде DABC со стороной основания АВ, равной 30, боковое ребро равно 20. Точки N и М делят рёбра DA и DB в отношении 2:1, считая от вершины D. Плоскость α, содержащая прямую MN, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость а делит высоту СЕ основания в отношении 8:1, считая от точки С.

б) Найдите площадь сечения пирамиды DABC плоскостью α.

Радиус основания конуса равен 4, а высота конуса равна 3sqrt(2). В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4sqrt(2).

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

Дан куб ABCDA1B1C1D1

1) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
2) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C

Точка E - середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.
б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.

Две окружности имеют общий центр О. На окружности большего радиуса выбрана точка F.

А) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки F до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки F, ни от выбора диаметра.

Б) Известно, что радиусы окружностей равны 10 и 24. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка F, тангенс угла F этого треугольника равен 1/4.

Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD, у которой AD|| BC. На ребре SC выбрана точка К так, что CK:KS=2:5. Плоскость, проходящая через точки А,В и К, пересекает ребро SD в точке L. Известно, что объемы пирамид SABKL и SABCD относятся, как 95:189.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью АВК.
Б) Найдите отношение длин оснований трапеции ABCD

В пирамиде SABC известны длины ребер AB=AC=SB=SC=10; BC=SA=12. Точка K - середина ребра BC

1) Докажите, что плоскость SAK перпендикулярна плоскости ABC

2) Найдите расстояние между прямыми SA и BC

Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30° .

А) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны.

Б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так же одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен (6sqrt(3)+10)*Pi.

PH - высота правильной четырехугольной пирамиды РАВСD, О - точка пересечения медиан треугольника ВСР.

А) Докажите, что прямые РН и АО не имеют общих точек.

Б) Найдите угол между прямыми РН и АО, если известно, что АВ=РН.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD сторона основания равна 20, а высота пирамиды равна 11,25. Через ребро АВ под углом бета к плоскости АВС проведена плоскость α. Известно, что tg бета = 3/4.

А) Докажите, что плоскость α делит ребро РС в отношении 1:4, считая от точки Р.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD со стороной основания, равной 3, высота пирамиды равна 3sqrt(2)/2. На рёбрах АВ, CD и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причём AM = DN = АK = 1.

а) Докажите, что плоскость MNK параллельна плоскости SBC.

б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

В треугольной пирамиде PABC с основанием АВС известно, что АВ=17, РВ=10, cosPBA = 32/85. Основанием высоты этой пирамиды является точка С. Прямые РА и ВС перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный

б) Найдите объем пирамиды РАВС.