Задача 45748 Дана правильная четырёхугольная пирамида...

slava191

2020-04-01 12:44:20

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5sqrt(2). Точка L — середина ребра МВ. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен sqrt(2).

а) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые АО и LO перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды. [14п4]

sova

2020-04-01 22:06:30

★

a)
Пирамида правильная, в основании квадрат АВСD.
Высота пирамиды MO, O-центр квадрата.

MO ⊥ ABCD ⇒ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой АО:
MO ⊥ AO
AC ⊥ BD - диагонали квадрата взаимно перпендикулярны

⇒ AO ⊥ двум пересекающимся прямым плоскости ВМО, значит
перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой LO

[b]АО ⊥ LO[/b]

б)
Медиана LO прямоугольного треугольника ВОМ является средней линией равнобедренного треугольника ВMD
LO=MD/2
LO||MD

Поэтому угол между прямыми MD и AL равен углу между прямыми
LO и AL

В прямоугольном треугольнике АLO

tg ∠ ALO=АО/LO

По условию tg ∠ ALO= sqrt(2)

Значит, LO=AO/tg ∠ ALO

AO=(1/2)AC=(1/2)*ABsqrt(2)=(1/2)*(10)=5

LO=5/sqrt(2)=5sqrt(2)/2

Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Значит BM=5sqrt(2)

АМ=ВМ=СМ=DM=5sqrt(2)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОМ
МO^2=AM^2-AO^2=(5sqrt(2))^2-5^2=50-25=25
MO=[b]5[/b]

О т в е т. [b]5[/b]