Задача 45748 Дана правильная четырёхугольная пирамида...

slava191

1 апреля 2020 г. в 12:44

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5√2. Точка L — середина ребра МВ. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен √2.

а) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые АО и LO перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды. [14п4]

sova

1 апреля 2020 г. в 22:06

★

a)
Пирамида правильная, в основании квадрат АВСD.
Высота пирамиды MO, O–центр квадрата.

MO ⊥ ABCD ⇒ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой АО:
MO ⊥ AO
AC ⊥ BD – диагонали квадрата взаимно перпендикулярны

⇒ AO ⊥ двум пересекающимся прямым плоскости ВМО, значит
перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности прямой LO

АО ⊥ LO

б)
Медиана LO прямоугольного треугольника ВОМ является средней линией равнобедренного треугольника ВMD
LO=MD/2
LO||MD

Поэтому угол между прямыми MD и AL равен углу между прямыми
LO и AL

В прямоугольном треугольнике АLO

tg ∠ ALO=АО/LO

По условию tg ∠ ALO= √2

Значит, LO=AO/tg ∠ ALO

AO=(1/2)AC=(1/2)·AB√2=(1/2)·(10)=5

LO=5/√2=5√2/2

Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Значит BM=5√2

АМ=ВМ=СМ=DM=5√2

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОМ
МO²=AM²–AO²=(5√2)²–5²=50–25=25
MO=5

О т в е т. 5