Задача 16784 Дана правильная четырёхугольная пирамида...

slava191

05.07.2017

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD со стороной основания, равной 3, высота пирамиды равна 3sqrt(2)/2. На рёбрах АВ, CD и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причём AM = DN = АK = 1.

а) Докажите, что плоскость MNK параллельна плоскости SBC.

б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

SOVA

09.07.2017

★

а)
ABCD- квадрат со стороной 3;
AM|| DN и АМ=DN=1, значит AMND- параллелограмм с углами в 90 градусов, т. е прямоугольник. Противоположные стороны прямоугольника параллельны
[b]MN || AD[/b].

АС=3sqrt(2) - диагональ квадрата АВСD.
Значит АО=ОС=3sqrt(2)/2.

Δ SOA - прямоугольный равнобедренный, SO=OA=3sqrt(2)/2
SC=3

Δ SAB - равносторонний.
AK=AM=1
По теореме, обратной теореме Фалеса KM || SB.

Две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM и MN) параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости ( SB и BC), значит пл. (KMN) и (SBC) параллельны.

б)
Плоскость (KMN) пересекает плоскoсть (SAD) по прямой KL || AD || MN.
Сечение KLMN - равнобедренная трапеция
KM=LN=1
KL=2 ( KL=SL=SK=3-1=2)



Проводим апофему SP в треугольнике SAD.
SP пересекает KL в точке Е.
MN пересекает РО в точке F.

Расстояние от точки К до плоскости (SBC) равно расстоянию от точки S до плоскости KLMN, т. е расстоянию от точки S до прямой EF.
Значит искомое расстояние равно высоте треугольника SEF, проведенной из вершины S на сторону EF.

Находим стороны треугольника SEF.

PO=AB/2=3/2
PF=AM=1
FO=(3/2)-1=1/2
По теореме Пифагора из треугольника SOF
SF^2=SO^2+FO^2=(3sqrt(2)/2)^2+(1/2)^2=(18/4)+(1/4)=19/4
SF=sqrt(19)/2
SE- высота равностороннего треугольника SLK со стороной 2, SE=2sqrt(3)/2=sqrt(3)
EF- высота равнобедренной трапеции KLMN, EF=sqrt(3)/2.

По теореме косинусов
cos ∠ SEF=(SE^2+EF^2-SF^2)/(2*SE*EF)=-1/3
sin∠ SEF=sqrt(1-(-1/3)^2)=sqrt(8)/9=2sqrt(2)/3
sin∠ SEF=sin(180 градусов - ∠ SEF)=2sqrt(2)/3
h=SE*sin(180 градусов - ∠ SEF)=sqrt(3)*(2sqrt(2)/3)=2sqrt(6)/3
О т в е т. 2sqrt (6)/3