Задача 16861 В треугольной пирамиде PABC с основанием...

slava191

17 июля 2017 г.

В треугольной пирамиде PABC с основанием АВС известно, что АВ=17, РВ=10, cosPBA = 32/85. Основанием высоты этой пирамиды является точка С. Прямые РА и ВС перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный

б) Найдите объем пирамиды РАВС.

SOVA

20 июля 2017 г.

★

а)
PC– высота пирамиды.
РС ⊥ пл. АВС

ВС– проекция РВ, АС– проекция РА.
По условию РA ⊥ BC, значит по теореме о трех перпендикулярах АС ⊥ ВС.
∠ АСВ=90 °, Δ АВС – прямоугольный.
б)
По теореме косинусов из треугольника РАВ:
РА²=AB²+PB²–2·AB·PB·cos ∠PBA=
=17²+10²–2·17·10·(32/85)=289+100–128=261

По теореме Пифагора
PA²=PC²+AC²;
PB²=PC²+BC²
AC²+BC²=AB²

261=PC²+AC²
100=PC²+BC²
Cкладываем
361=2PC²+AC²+BC², но AC^+BC²=289

2РC²=361–289
PC²=36
PC=6

AC=√PA²–PC²=√261–36=√225=15;
BC=√PB²–PC²=√100–36=√64=8;

V=(1/3)S(основания)·Н=
=(1/3)·(1/2)·АС·ВС·РС=(1/6)·15·8·6=120

Ответ: 120