Задача 45741 Основание прямой четырёхугольной призмы...

slava191

1 апреля 2020 г. в 12:10

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD в котором AB = 12, AD = √31. Расстояние между прямыми АС и B1D1 равно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1 делит отрезок B1D1 в отношении 1:6.

б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы. [14п9]

sova

2 апреля 2020 г. в 00:12

★

Найдем диагональ прямоугольника ABCD
BD²=AB²+AD²=12²+(√31)²=144+31=175
BD=√175

Прямые АС и B₁D₁ расположены в параллельных плоскостях оснований АВСD и A₁B₁C₁D₁.

Расстояние между ними есть длина общего перпендикуляра к ним.
Таким перпендикуляром является боковое ребро призмы.
AA₁=BB₁=CC₁=DD₁=5

Прямоугольные треугольники Δ D₁BD и KDD₁ подобны по двум углам (равные углы отмечены на рисунке)
∠ MDB= ∠ DKD₁ внутренние накрест лежащие при параллельных BD и B₁D₁ и секущей KD

Из подобия: DD₁:BD=KD₁:DD₁

KD₁=[m]\frac{5\sqrt{7}}{7}[/m]
Тогда
B₁K=5√7–[m]\frac{5\sqrt{7}}{7}[/m]=[m]\frac{30\sqrt{7}}{7}[/m]

B₁K:KD₁=30:5=6:1

б)
∠ MDB – угол между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы

∠ MDB= ∠ DKD₁ внутренние накрест лежащие при параллельных BD и B₁D₁ и секущей KD

Из Δ DKD₁:
tg ∠ DKD₁=DD₁:KD₁=5: [m]\frac{5\sqrt{7}}{7}=\sqrt{7}[/m]

tg∠ MDB=[m]\sqrt{7}[/m]

cos∠ MDB=[m]\frac{1}{\sqrt{1+tg^2\angle MDB}}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}[/m]

О т в е т. cos∠ MDB=[m]\frac{\sqrt{2}}{4}[/m]