Задача 31810 В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 ...

vk224463039

2018-12-11 12:33:15

В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 через середину Р ребра АВ , середину К диагонали А1С и середину М диагонали В1С проведена плоскость.

а) Докажите, что эта плоскость проходит через точку С1 .

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если АВ = 4, ВС = 3, СА = sqrt(13) , АА1= sqrt(157)

sova

2018-12-11 13:58:13

AC^2_(1)=AC^2+CC^2_(1)=13+157=170
BC^2_(1)=BC+CC^2_(1)=9+157=165

Продолжим СР за точку Р на такую же длину.
Получим параллелограмм.
По формуле:
2a^2+2b^2=d^2_(1)+d^2_(2)

2AC^2+2BC^2=AB^2+(2CP)^2
4CP^2=2*13+2*9-16
CP^2=7

СР=sqrt(7)

По теореме косинусов
СP^2=AC^2+AP^2-2AC*AP*cos ∠ A

cos ∠ A=(AC^2+AP^2-CP^2)/(2AC*AP)=(13+4-7)/(2*2sqrt(13))=10/4sqrt(13)=5/(2sqrt(13))

sin^2∠ 1-cos^2∠ A=1-(25/(4*13))=27/(4*13)
sin∠ A=(3/2)*sqrt(3/13)

CH=AC*sin ∠ A=sqrt(13)*(3/2)*sqrt(3/13)=3sqrt(3)/2

По теореме Пифагора
из Δ С_(1)СН

C^2_(1)H=CC^2_(1)+CH^2=157+(27/4)=655/4

S(cеч)=(1/2) АВ*С_(1)Н=(1/2)*4*(sqrt(655)/2)=sqrt(655)