Задача 50874 В прямоугольном параллелепипеде...

victoriya08

2020-05-19 20:22:37

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D, проведена секущая плоскость, содержащая диагональ АС1, и пересекающая рёбра ВВ1, и DD1, в точках F и Е соответственно.

а) Докажите, что сечение АFС1Е — параллелограмм.

б) Нейдите площадь сечения, если известно, что АFС1Е — ромб и АВ=3, BC=2, AA1=5.

sova

2020-05-19 20:43:19

★

Секущая плоскость пересекает параллельные грани BB_(1)C_(1)C и
АА_(1)D_(1)D по параллельным прямым.

АЕ || C_(1)F

Аналогично

AF || C_(1)E

AFC_(1)E- параллелограмм.

б)
AC^2_(1)=3^2+2^2+5^2=38

AC_(1)=sqrt(38)


Пусть DE=x, AE=C_(1)E=а

Из Δ АЕD: a^2=3^2+x^2
Из Δ С_(1)ED_(1): a^2=2^2+(5-x)^2
Приравниваем праве части ⇒ x=2

a^2=3^2+2^2=13

a=sqrt(13)

d_(1)=AC_(1)

d_(2)=FE


[b](d_(1)/2)^2+(d_(2)/2)^2=a^2[/b]

(d_(2)/2)^2=13-(38/4)=14/4

d_(2)=sqrt(14)

d_(2)=FE

FE=sqrt(14)

S_(сечения)=S_(ромба)=(1/2)d_(1)*d_(2)=sqrt(133)