Задача 45742 Дан куб ABCDA1B1C1D1. а) Докажите, что...

slava191

1 апреля 2020 г. в 12:11

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью, проходящей через центр куба перпендикулярно диагонали АС1 является правильным шестиугольником.

б) Найдите угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1. [14п10]

sova

3 апреля 2020 г. в 19:44

★

Пусть ребро куба равно а.

a) Диагональ АС₁ принадлежит плоскости AD₁C₁B

В прямоугольник AD₁C₁B:
AD₁=BC₁=a·√2
AC₁=a·√3

Центр куба точка О – точка пересечения диагоналей AC₁ и BD₁

В прямоугольнике AD₁C₁B:
через точку О – проводим MN ⊥ AC₁.
АО=ОС₁ и ∠ D₁AO= ∠ OC₁N ⇒ АМ=С₁N; D₁N=BN

BP=a·√2/√3 (высота прямоугольного треугольника АВС₁)
По теореме Пифагора АР²=AB²–BP²=a²–(a·√2/√3)²=a²/3 ⇒
AP=a·√3/3
Аналогично С₁Т=a·√3/3;
Тогда PT=AC₁–AP–CT=a·√3/3
O–середина PT ⇒PO= OT=a·√3/6
РО:ОС₁=1:3 ⇒ BN:NC₁=1:3

Точка М ∈ грани АD₁D, N ∈ BB₁C

BN:NC1=1:3 ⇒ BN₁:N₁C=1:3 и DM₁:M₁A=1:3

По теореме о 3–х перпендикулярах диагональ АС₁ ⊥ B₁C, так как BC₁–проекция АС₁ и BC₁ ⊥ B₁C – диагонали квадрата ВB₁C₁С

Через точку N проводим EF || B₁C.

EF⊥ АС₁

и АС₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым
MN и EF пл. MEF

пл. МЕF= α – искомая плоскость сечения.

Плоскость α пересекает грань BC₁ ⊥ B₁C по отрезку ЕF

EF=(1/2)B₁C.=a·√2/2

И так в каждой грани. Все шесть сторон сечения – параллельным соответствующим диагоналям граней куба и равны a·√2/2

б)

tg ∠ АС₁B=AB/BC₁=1/√2=√2/2

sin∠ АС₁B=AB/AC₁=1/√3

cos∠ АС₁B=BC₁/AC₁=√2/3

О т в е т. ∠ АС₁B=arctg √2/2

Есть решение cлучая а) координатным методом.
Не мое. Из интернета.
Диагонали BD₁ и АС₁ взаимозаменяемы.