Задача 45744 Основание прямой четырёхугольной призмы...

slava191

2020-04-01 12:25:17

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = sqrt(11). Расстояние между прямыми АС и B1D1 равно 12.

а) Пусть плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1 пересекает прямую B1D1 в точке М. Докажите, что B1D1 : В1М = 1:3.

б) Найдите тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы. [14п12]

sova

2020-04-02 11:42:24

★

Найдем диагональ прямоугольника ABCD
BD^2=AB^2+AD^2=5^2+(sqrt(11))^2=25+11=36
[b]BD=sqrt(36)=6[/b]

Прямые АС и B_(1)D_(1) расположены в параллельных плоскостях оснований АВСD и A_(1)B_(1)C_(1)D_(1).

Расстояние между ними есть длина общего перпендикуляра к ним.
Таким перпендикуляром является боковое ребро призмы.
AA_(1)=BB_(1)=CC_(1)=DD_(1)=12

Прямоугольные треугольники Δ D_(1)BD и MDD_(1) подобны по двум углам.
( равные острые углы отмечены на рисунке)

Из подобия: DD_(1):BD=MD_(1):DD_(1)
12:6=MD_(1):12

MD_(1)=[m]\frac{144}{6}=24[/m]

Тогда
B_(1)M=[m]24-6=18[/m]

[b]B_(1)D_(1):B_(1)M[/b]=6:18=[b]1:3[/b]

б)
∠ KDB - угол между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы

∠ KDB= ∠ DMD_(1) внутренние накрест лежащие при параллельных BD и B_(1)D_(1) и секущей MD

tg∠ DMD_(1) =DD_(1):MD_(1)=12:24=[b]0,5[/b]

tg∠ KDB= [b]0,5[/b]

О т в е т. [b]0,5[/b]