Задача 45744 Основание прямой четырёхугольной призмы...

slava191

1 апреля 2020 г. в 12:25

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = √11. Расстояние между прямыми АС и B1D1 равно 12.

а) Пусть плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1 пересекает прямую B1D1 в точке М. Докажите, что B1D1 : В1М = 1:3.

б) Найдите тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы. [14п12]

sova

2 апреля 2020 г. в 11:42

★

Найдем диагональ прямоугольника ABCD
BD²=AB²+AD²=5²+(√11)²=25+11=36
BD=√36=6

Прямые АС и B₁D₁ расположены в параллельных плоскостях оснований АВСD и A₁B₁C₁D₁.

Расстояние между ними есть длина общего перпендикуляра к ним.
Таким перпендикуляром является боковое ребро призмы.
AA₁=BB₁=CC₁=DD₁=12

Прямоугольные треугольники Δ D₁BD и MDD₁ подобны по двум углам.
( равные острые углы отмечены на рисунке)

Из подобия: DD₁:BD=MD₁:DD₁
12:6=MD₁:12

MD₁=[m]\frac{144}{6}=24[/m]

Тогда
B₁M=[m]24-6=18[/m]

B₁D₁:B₁M=6:18=1:3

б)
∠ KDB – угол между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы

∠ KDB= ∠ DMD₁ внутренние накрест лежащие при параллельных BD и B₁D₁ и секущей MD

tg∠ DMD₁ =DD₁:MD₁=12:24=0,5

tg∠ KDB= 0,5

О т в е т. 0,5