Задача 45743 Основанием прямой треугольной призмы...

slava191

1 апреля 2020 г. в 12:22

Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру ВВ1 причём ВР : РВ1 = 1:3.

а) Пусть М — середина АС. Докажите, что прямые МР и А1C1 перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями А1B1C1 и АСР. [14п11]

sova

2 апреля 2020 г. в 12:37

★

а)
Призма АВСА1В1С1 – прямая, значит АА₁; ВВ₁ и СС₁ перпендикулярны пл. оснований.

Значит перпендикулярны любой прямой, лежащей в этих плоскостях, в частности
ВВ₁ ⊥ AB и ВВ₁ ⊥ AC.

ВВ₁ ⊥ AB ⇒ MB– проекция АР на пл АВС

Так как треугольник АВС – равнобедренный, его медиана BM одновременно и высота.
BM ⊥ АС

По теореме о трех перпендикулярах

АС ⊥ MP

A₁C₁ || AC ⇒ A₁C₁ ⊥ MP. Что и требовалось доказать.

б)
причём ВР : РВ1 = 1:3,
значит 24:4=6
ВР=6; РВ1 = 18

Так как треугольник АВС – равнобедренный, его медиана BM одновременно и высота.
Треугольник ВМС – прямоугольный, ВС=20; МС=АС/2=32/2=16
ВМ=12


пл А1В1С1 || пл АВС.

∠ PMB – линейный угол двугранного угла между пл. АВС и АРС
по определению: BM ⊥ AС и PM ⊥ AC

tg∠ PMB=PB/BM=6/12=1/2

Значит, тангенс угла между между плоскостями А1B1C1 и АСР равен 1/2

О т в е т. 1/2