Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 8184 Дан куб ABCDA1B1C1D1 1) Докажите, что...

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1

1) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
2) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C

математика 10-11 класс 26896

Решение

1)Все грани куба- квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1- проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1- равносторонний, Проведем высоту ВК (К- точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)-KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3- B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK- прямой
Итак, B1D- перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.

2) Плоскость АВ1С1- это плоскость АB1C1D Плоскость A1B1C- это плоскость A1B1CD
Две эти плоскости имеют общие точки B1 и D. Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим к прямой B1D перпендикуляры AE и EC. AE=EC- высоты прямоугольных треугольников с катетами 1 и √2 и гипотенузой √3 АЕ=ЕС=1•√2/√3=√(2/3)
Из треугольника АСЕ по теореме косинусов АС²=АЕ²+ЕС²-2•АЕ•ЕС•cos ∠AEC (√2)²=(√(2/3))²+(√(2/3))²-2•(√(2/3))•(√(2/3))•cos ∠AEC cos ∠AEC=-1/2 ∠AEC=120°

Вопросы к решению (1)

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК