Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 8140 Дана арифметическая прогрессия (с...

Условие

Дана арифметическая прогрессия (с разностью отличной от нуля), составленная из натуральных чисел,десятичная запись которых не содержит цифр 8 и 9.

а)Может ли в такой прогрессии быть 6 членов?
Б)Докажите,что число еу членов меньше 70
В)Докажите,что число членов всякой такой прогрессии не больше 32 Г)Приведите пример такой прогрессии с 32 членами

математика 8-9 класс 2563

Все решения

а) Рассмотрим натуральные числа от 1 до 10. Требуемая прогрессия из 6 чисел - среди них, от 1 до 6, с разностью 1.
г) Рассмотрим натуральные числа от 1 до 1000. Требуемая прогрессия из 32 чисел среди них, от 1 до 776.
б и в) Докажем, что такая прогрессия не может иметь более 32 членов.
Заметим, что разность такой прогрессии при числе членов, большем 8, должна делиться на 5. Рассмотрим все последовательные целые числа от 0 до 99...99 (n девяток). Среди них последние 22...22 числа содержат в своей записи 8 или 9. Значит, можно использовать только первые 77...78 чисел (n-1 семерка). Но они разделяются на 8 групп по 7...77 чисел (n-1 семерка), отделяемые друг от друга 2...22 числами (n-1 двойка). Значит, если мы хотим использовать хотя бы две такие группы, придется взять разность прогрессии не меньше 2...23, а с учетом необходимости делиться на 5 - не меньше 2...25. Членов с такой разностью в каждой из 8 групп не может быть больше 4, а значит, всего членов не больше 32.
Решение было бы изящнее, если бы я умел пользоваться в этом письме записью степени.
Г.Левитас
Замечу, что задача б для меня выглядит плохо: я не могу ее решить, не решив задачу в, а значит, не мог бы получить за нее очки.

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК