Задача 42488 Параллелограмм расположен над...

meri

2019-12-11 14:17:10

Параллелограмм расположен над плоскостью.
Докажите, что сумма расстояний от противоположных вершин параллелограмма к данной плоскости одинакова.

sova

2019-12-11 14:38:20

★

Обозначим проекции точек А;В;С;D и точки О - точки пересечения диагоналей :
A_(1);B_(1);C_(1);D_(1); O_(1)

Рассмотрим прямоугольные трапеции AA_(1)D_(1)D и ВВ_(1)С_(1)С
пересекаются по прямой ОО_(1)

ОО_(1)- средняя линия трапеции AA_(1)D_(1)D
ОО_(1)- средняя линия трапеции ВВ_(1)С_(1)С

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то

из трапеции AA_(1)D_(1)D:

ОО_(1)=(АА_(1)+DD_(1))/2

из трапеции ВВ_(1)С_(1)С :

ОО_(1)=(BB_(1)+CC_(1))/2

Приравниваем правые части:

(АА_(1)+DD_(1))/2=(BB_(1)+CC_(1))/2 ⇒ [b]АА_(1)+DD_(1)=BB_(1)+CC_(1)[/b]