Задача 49876 Исследовать функцию y=x^3/(x^2-1) 1.1....

wakaz

2020-05-12 13:54:18

Исследовать функцию y=x^3/(x^2-1)
1.1. D(x) - область определения
1.2 E(y) - множество значений
2. Ограниченность
3. Четность/нечетность
4.Переодичность
5.Нули функции
6.Монотонность
7.знаки (+/-)

sova

2020-05-12 16:48:00

Область определения (- ∞ ;-1) U (-1;1) U(1;+ ∞ )

y`= ((x^3)`*(x^2-1)-x^3*(x^2-1)`)/(x^2-1)^2

y`=((3x^2*(x^2-1)-x^3*(2x))/(x^2-1)^2

y`=(x^4 -3x^2)/(x^2-1)^2

y`=0

x^4 - 3x^2=0
x^2*(x^2-3)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=
x=0 или х = ± sqrt(3)

Знак производной:
__+___ (-sqrt(3)) _-_ (-1) __-__ (0) _-__ (1) __-__ (sqrt(3)) __+__

Функция монотонно убывает на (-sqrt(3); - 1) и на (-1; 1 ) и на (1; sqrt(3))
Функция монотонно возрастает
на (- ∞ ;-sqrt(3)) и на (sqrt(3);+ ∞ )

x=-sqrt(3) - точка максимума
f(-sqrt(3))=(-sqrt(3))^3/((-sqrt(3))^2-1)= -3sqrt(3)/2

х=sqrt(3) - точка минимума
f(sqrt(3))=(sqrt(3))^2/((sqrt(3))^2-1)= 3sqrt(3)/2


1.2 E(y)=(- ∞ ;+ ∞ ) можно найти по рисунку. Поэтому вначале исследования ответа на вопрос нет