Задача 27306 ...
Условие
Перейти к полярным координатам и вычислить + рисунок!
∫^(1)_(0)dy ∫^(1–5y)_((2–y^(2))^(1/2)) (x+5y)/(x^(2)+y^(2)) dx
@ У второго интеграла нижний индекс (2–y^(2))^(1/2)
Решение:
x=r·cos (θ)
y=r· sin (θ)
...
Решение
В полярных координатах
x=r·cos θ
y=r· sin θ
ее уравнение имеет вид
r=sqrt(2)
x=1-5y в полярных координатах имеет вид
r*cos θ=1-5r*sinθ
или
r*cos θ+5r*sinθ=1
r=1/(cosθ+5sinθ)
Пределы интегрирования в полярных координатах:
1/(cosθ+5sinθ) меньше или равно r меньше или равно sqrt(2)
Eсли y=0, то r· sin θ =0 ⇒ θ = 0
Eсли y=1, то r· sin θ =1 ⇒ θ = (Pi/4)см рис.
= ∫^(Pi/4) _(0)dθ ∫^(sqrt(2)) _(1/(cosθ+5sinθ)) ((r*cos θ+5r*sinθ)/r^2)* ( r dr) =
= ∫^(Pi/4) _(0)(cosθ+5sinθ)dθ ∫^(sqrt(2)) _(1/(cosθ+5sinθ)) dr=
= ∫^(Pi/4) _(0)(cosθ+5sinθ)(r)|^(sqrt(2)) _(1/(cos(θ)+5sin(θ))) dθ=
= ∫^(Pi/4) _(0)(cosθ+5sinθ)(sqrt(2)-(1/(cosθ+5sinθ))) dθ=
=∫^(Pi/4) _(0)(sqrt(2)*(cosθ+5sinθ) -1)dθ=
=(sqrt(2)sinθ-5sqrt(2)cosθ - θ)|^(Pi/4) _(0)=
=1-5-(Pi/4)+5sqrt(2)=5sqrt(2)-4-(Pi/4) 