Задача 37145 ...

vk457319503

2019-05-16 20:57:48

найти область сходимости степеного ряда.только 8 вариант
∑ (n!/n^n)*x^n

sova

2019-05-16 21:12:03

Для степенного ряда

∑a_(n)x^(n)


R=lim_(n → ∞)a_(n)/a_(n+1)

В данной задаче

a_(n)=n!/n^(n)


R=lim_(n → ∞)(n!/n^(n)) / (n+1)!/(n+1)^(n+1)=

=lim_(n → ∞)(n+1)^(n)/n^(n)=e

Интервал сходимости (-R;R) поэтому получаем [b]интервал (-е; е).[/b]

Проверяем сходимость в точках

х=e

получаем знакоположительный числовой ряд

∑ (n!*e^(n))/n^(n) - сходится по признаку Коши.

lim_(n → ∞)((n!*e^(n))/n^(n))^(1/n)=0 < 1


x= - e

получаем знакопеременный числовой ряд

∑ (n!*(-e)^(n))/n^(n) - сходится абсолютно так как ряд из модулей сходится.

[-е;е] - [b] область сходимости.[/b]
∑