Задача 37145 ...

vk457319503

16 мая 2019 г. в 20:57

найти область сходимости степеного ряда.только 8 вариант
∑ (n!/n^n)·x^n

sova

16 мая 2019 г. в 21:12

Для степенного ряда

∑a_nxⁿ


R=lim_{n → ∞}a_n/a_n+1

В данной задаче

a_n=n!/nⁿ


R=lim_{n → ∞}(n!/nⁿ) / (n+1)!/(n+1)ⁿ⁺¹=

=lim_{n → ∞}(n+1)ⁿ/nⁿ=e

Интервал сходимости (–R;R) поэтому получаем интервал (–е; е).

Проверяем сходимость в точках

х=e

получаем знакоположительный числовой ряд

∑ (n!·eⁿ)/nⁿ – сходится по признаку Коши.

lim_{n → ∞}((n!·eⁿ)/nⁿ)^1/n=0 < 1


x= – e

получаем знакопеременный числовой ряд

∑ (n!·(–e)ⁿ)/nⁿ – сходится абсолютно так как ряд из модулей сходится.

[–е;е] – область сходимости.
∑