Задача 49238 Найти общее решение дифференциальных...

vk167373485

4 мая 2020 г. в 19:38

Найти общее решение дифференциальных уравнений.
Важно: обязательно запишите тип каждого дифференциального уравнения!

sova

4 мая 2020 г. в 20:01

★

а) Линейное уравнение первого порядка:

Делим обе части уравнения на (1+x²)
Получаем
y`–(2x)/(1+x²) · y=(1+x²)


Можно решить двумя способами
1)Метод вариации произвольной постоянной

Решают однородное, потом константу С заменяют на C(x)

или

2)метод Бернулли

Решение неоднородного уравнения находят в виде y=u·v

y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение

u`·v+u·v`– (u·v)·2x/(1+x²)=(1+x²)

u`·v+u· (v`– 2x·v/(1+x²)=1+x²

Функцию v выбираем так, чтобы
(v`–2x·v/(1+x²))=0

Тогда
u`·v=1+x²

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v`–2x·v/(1+x²))=0 ⇒ dv/v=2xdx/(1+x²) ⇒ ∫ dv/v= ∫ d(1+x²)/(1+x²)

ln|v|=ln|1+x²|

v=1+x²

u`·v=(1+x²)

v`=1

v=x+C

y=u·v=(x+C)·(1+x²)

y=x+x³+C(1+x²)

б) С разделяющимися переменными
x·lnxdy=ydx

dy/y=dx/(x·lnx)

∫ dy/y= ∫ dx/(x·lnx)

ln|y|=ln|lnx|+lnc

y=C·lnx– общее решение