Задача 49238 Найти общее решение дифференциальных...

vk167373485

2020-05-04 19:38:17

Найти общее решение дифференциальных уравнений.
Важно: обязательно запишите тип каждого дифференциального уравнения!

sova

2020-05-04 20:01:35

★

а) Линейное уравнение первого порядка:

Делим обе части уравнения на (1+x^2)
Получаем
y`-(2x)/(1+x^2) * y=(1+x^2)


Можно решить двумя способами
1)Метод вариации произвольной постоянной

Решают однородное, потом константу С заменяют на C(x)

или

2)метод Бернулли

Решение неоднородного уравнения находят в виде y=u*v

y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение

u`*v+u*v`- (u*v)*2x/(1+x^2)=(1+x^2)

u`*v+u* [b](v`- 2x*v/(1+x^2)[/b]=1+x^2

Функцию v выбираем так, чтобы
[b](v`-2x*v/(1+x^2))[/b]=0

Тогда
u`*v=1+x^2

Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
v`-2x*v/(1+x^2))=0 ⇒ dv/v=2xdx/(1+x^2) ⇒ ∫ dv/v= ∫ d(1+x^2)/(1+x^2)

ln|v|=ln|1+x^2|

v=1+x^2

u`*v=(1+x^2)

v`=1

v=x+C

y=u*v=(x+C)*(1+x^2)

[b]y=x+x^3+C(1+x^2)[/b]

б) С разделяющимися переменными
x*lnxdy=ydx

dy/y=dx/(x*lnx)

∫ dy/y= ∫ dx/(x*lnx)

ln|y|=ln|lnx|+lnc

y=C*lnx- общее решение