Составляем характеристическое уравнение:
k^4-2k^3+k^2=0
k^2*(k-1)^2=0
k_(1)=k_(2)=0; k_(3)=k_(4)=1
y=C_(1)e^(0*x)+C_(2)*x*e^(0*x)+C_(3)e^(1*x)+C_(4)*x*e^(1*x)
y=C_(1)+C_(2)*x+C_(3)e^(x)+C_(4)*x*e^(x) - [b] общее решение[/b]
Находим
y`=(C_(1)+C_(2)*x+C_(3)e^(x)+C_(4)*x*e^(x) )`=
=C_(2)+C_(3)e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)
y``=(C_(2)+C_(3)e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x))`=
=C_(3)e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)=
=C_(3)e^(x)+2C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)
y```=(C_(3)e^(x)+2C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x))`=
=C_(3)e^(x)+2C_(4)*e^(x)+C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)=
=C_(3)e^(x)+3C_(4)*e^(x)+C_(4)*x*e^(x)
Применяем данные задачи
[b]y(0)=0[/b]
0=C_(1)+C_(2)*0+C_(3)e^(0)+C_(4)*0*e^(0)
[b]0=C_(1)+C_(3)[/b]
[b]y`(0)=0[/b]
0=C_(2)+C_(3)e^(0)+C_(4)*e^(0)+C_(4)*0*e^(0)
[b]0=C_(2)+C_(3)+C_(4)[/b]
[b]y``(0)=1[/b]
1=C_(3)e^(0)+2C_(4)*e^(0)+C_(4)*0*e^(0)
[b]1=C_(3)+2C_(4)[/b]
[b]y```(0)=2[/b]
2=C_(3)e^(0)+3C_(4)*e^(0)+C_(4)*0*e^(0)
[b]2=C_(3)+3C_(4)[/b]
Cистема
{0=C_(1)+C_(3)
{0=C_(2)+C_(3)+C_(4)
{1=C_(3)+2C_(4
{2=C_(3)+3C_(4)
Из четвертого вычитаем третье
[b]1=C_(4)[/b]
тогда
[b]С_(3)=-1[/b]
Из первого
C_(1)=-C_(3)
[b]C_(1)=1[/b]
C_(2)=-C_(3)-C_(4)=-(-1)-1=0
О т в е т. y=1-e^(x)+x*e^(x) - [b] частное решение[/b], соответствующее заданным начальным условиям