Задача 30012 Все ребра правильной шестиугольной...

slava191

2018-10-06 18:14:49

Все ребра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны sqrt(3). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды В A1B1C1D1E1F1. В ответе укажите полученное значение, умноженное на 18-sqrt(7). (л8)

Ответ предложил Роман Макаревич в комментариях ВК под этой задачей.

sova

2018-10-06 23:08:14

В силу симметрии достаточно найти площади трех треугольников:
BA_(1)B_(1)
BA_(1)F_(1)
BF_(1)E_(1)

В шестиугольнике АВСDEF:
AB=BC=CD=DE=EF=FA=sqrt(3)
BF=3
BE=2sqrt(3)

По теореме Пифагора из треугольника ВА_(1)В_(1)
BA_(1)=sqrt(BA^2+BB^(2)_(1))=sqrt(3+3)=sqrt(6)

По теореме Пифагора из треугольника ВFF_(1)
BF_(1)=sqrt(BF^2+FF^(2)_(1))=sqrt(3^2+3)=sqrt(12)

По теореме Пифагора из треугольника ВEE_(1)
BE_(1)=sqrt(BE^2+EE^(2)_(1))=sqrt((2sqrt(3))^2+3)=sqrt(15)

Легко заметить, что
BE^(2)_(1)=BF^(2)_(1)+F_(1)E^(2)_(1)
Выполняется условие теоремы, обратной теореме Пифагора.

Треугольники ВА_(1)В_(1) и ВF_(1)E_(1) - прямоугольные.

S_( ΔВА_(1)В_(1) )=(1/2)BB_(1)*A_(1)B_(1)=sqrt(3)*sqrt(3)/2=[b]3/2[/b]
S_( ΔВF_(1)E_(1) )=(1/2)BF_(1)*F_(1)E_(1)=2sqrt(3)*sqrt(3)/2=[b]3[/b]

S_(( ΔВA_(1)F_(1) )=(1/2)BA_(1)*BF_(1)*sin ∠ A_(1)BF_(1)

По теореме косинусов:
cos ∠ A_(1)BF_(1)= ((ВА_(1))^2+(BF_(1))^2-(A_(1)F_(1))^2)/(2*BA_(1)*BF_(1))=
=(6+12-3)/(2*2sqrt(3)*sqrt(6))=15/(12sqrt(2))=5/(4sqrt(2))
cos^2∠ A_(1)BF_(1)+sin^2∠ A_(1)BF_(1)=1

sin^2∠ A_(1)BF_(1)=1- cos^2∠ A_(1)BF_(1)==1-(25/32)=7/32

sin∠ A_(1)BF_(1)=sqrt(7/32)

S_( Δ ВA_(1)F_(1) )=(1/2)*2sqrt(3)*sqrt(6)*sqrt(7/32)=[b]3sqrt(7)/2[/b]

S_(бок)=2*((3/2)+3+(3/2)sqrt(7)0=3+6+3sqrt(7)=9+3sqrt(7)

9+3sqrt(7)=3*(3+sqrt(7))

3*(3+sqrt(7))*(18-sqrt(7))=3*(54-7+15sqrt(7))=141+45sqrt(7)

Умножение на (18-sqrt(7)) не помогло избавиться от иррациональности.

Проверьте условие и ответ.