Задача 34289 Найдите все значения параметра a, при...

vk160064007

8 марта 2019 г. в 02:02

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

{ y = x + a,
{ (x + 5)(y + 3x + 15) = |x + 5|³

имеет ровно четыре различных решения.

sova

8 марта 2019 г. в 08:54

★

Очень хорошая задача с параметром!
Почему?
Потому что алгебра и геометрия помогают друг другу.
Потому что включает в себя и решение уравнений и составление уравнений касательной.
И отбор ответов.

Раскрываем модуль по определению.
Два случая
1)
x+5 ≥ 0 ⇒ |x+5|=x+5

{y=x+a
{(x+5)·(y+3x+15–(x+5)²)=0⇒(x+5)·(y–x²–7x–10)=0⇒
x+5=0 или y=x²+7x+10

x=–5 – графиком является прямая || оси Оу
y=x²+7x+10 – графиком является парабола.


2)
x+5 < 0 ⇒ |x+5|=–x–5
{y=x+a
{(x+5)·(y+3x+(x+5)²)=0 ⇒ (x+5)·(y+x²+13х+40)=0⇒
x+5=0 или y=–x²–13x–40

x=–5 – графиком является прямая || оси Оу
y=–x²–13x–40 – графиком является парабола.

Разобраться с требованием задачи помогут графики:

1) система 2 решения и 2) система два решения
или
1) система одно и 2) система три
или
1)система три и 2) система одно


1) рисунок.
Прямые y=x+1 и y=x+5 имеют две точки пересечения.

y=x+1– касательная к параболе y= x²+7x+10
параллельная y=x+a;
получили решив задачу:
k=1
f`(x)=2x+7
f`(x_o)=2x_o+7
f`(x_o)=k
2x_o+7=1
x_o=–3
y_o=–2

y=x+5 – прямая, проходящая через точку (–5;–5), параллельная y=x+a

Cистема 2) имеет
два решения при а=1 и а=5
одно решение при a<1
три решения при при 1<a<5 или a> 5

2) рисунок.
Прямые y=x+9 и y=x+5 имеют две точки пересечения.

y=x+9– касательная к параболе y=–x²–13x–40
параллельная y=x+a;
получили решив задачу:
k=1
f`(x)=–2x–13
f`(x_o)=–2x_o–13
f`(x_o)=k
–2x_o–13=1
x_o=–7
y_o=2

y=x+5 – прямая, проходящая через точку (–5;–5), параллельная y=x+a

Cистема 2) имеет
два решения при а=5 и а=9
одно решение при a> 9
три решения при a<5 или 5 < a< 9

Выбираем пересечение ответов:

___одно____ [1] ____три___ [5]______три_______

____три_________________ [5] ____три___ [9]______одно_______

О т в е т. (– ∞;1) U{5}U (9;+ ∞ )