Задача 30978 (sinx+cosx)sqrt(2) = tgx+ctgx, [-Pi;...

slava191

2018-11-12 23:11:37

(sinx+cosx)sqrt(2) = tgx+ctgx, [-Pi; Pi/2]

sova

2018-11-12 23:31:46

★

ОДЗ:
{ cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z
{sinx ≠ 0 ⇒ x ≠ πn, n ∈ Z

tgx+ctgx=(sinx/cosx)+(cosx/sinx)=(sin^2x+cos^2x)/sinx*cosx=1/(sinx*cosx)

Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2
1+2sinx*cosx=t^2 ⇒ sinx*cosx=(t^2-1)/2

Уравнение принимает вид:
sqrt(2)*t=2/(t^2-1)

{t^2-1 ≠ 0 ⇒ t ≠ ± 1
{sqrt(2)t^2-sqrt(2)t=2 ⇒

t^3-t-sqrt(2)=0 ⇒
( t-sqrt(2))*(t^2+sqrt(2)t+1)=0

t-sqrt(2)=0 или t^2+sqrt(2)t+1=0 - нет корней. D=2-4<0

Обратная замена
sinx+cosx=sqrt(2)
(1/sqrt(2))sinx+(1/sqrt(2))cosx=1
cos(x-(π/4))=1
x-(π/4)=2πm, m ∈ Z
x=(π/4)+2πm, m ∈ Z - удовл. ОДЗ

О т в е т. а)(π/4)+2πm, m ∈ Z
б)(π/4) ∈ [-π;π/2]