Задача 35475 y' + (1/x) y = e^(x^2) , y(1) =...

leronmarkevich

7 апреля 2019 г. в 14:19

y' + (1/x) y = e^x2 , y(1) = e/2

sova

7 апреля 2019 г. в 14:28

★

Линейное, первого порядка
Решают методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.
В любом случае приходится решить два уравнения с разделяющимися переменными.

Метод Бернулли.
Решение y представлено в виде произведения двух произвольных функций.

y=u·v
y`=u`·v+u·v`

Подставляем в уравнение:

u`·v+u·v`+(1/x)·u·v=e^x2

u`·v+u·(v`+(1/x)·v)=e^x2


Функцию v=v(x) выбирают так, чтобы

v`+(1/x)·v=0

тогда

u`·v+u·0=e^x2


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:
v`+(1/x)·v=0

dv/v=–dx/x

ln|v|=–ln|x|

v=(1/x)

Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными:

u`·(1/x)=e^x2

u`=xe^x2

u=(1/2)e^x2+C

Общее решение: y=((1/2)e^x2+C)·(1/x) можно раскрыть скобки.

Так как
y(1)=e/2
найдем частное решение:

e/2=(1/2)e¹+C·1

C=0

y=((1/2)e^x2)·(1/x) – частное решение