Задача 34821 а) log(sinx) (1+cos2x+cos4x) = 0 б)...

eac201

22 марта 2019 г. в 20:11

а) log_sinx (1+cos2x+cos4x) = 0

б) Укажите решение уравнения принадлежащее отрезку [0; π]

sova

22 марта 2019 г. в 20:26

★

ОДЗ:
{sinx>0
{sinx ≠ 1
{1+cos2x+cos4x > 0

По определению логарифма:
1+cos2x+cos4x=(sinx)⁰

Так как 1+cos2x+cos4x=1 > 0, то третье неравенство для ОДЗ
1+сos2x+cos4x > 0 можно не решать, корни уравнения
будут ему удовлетворять.

Придется только проверить будут ли найденные корни удовлетворять первому и второму неравенству ОДЗ, что экономит время на экзамене.

cos2x+cos4x=0

2cos²2x+cos2x–1=0

D=9

cos2x=–1 ⇒ 2x=π+2πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

не удовлетворяют ОДЗ
при х=(π/2)+2πk, k ∈ Z
sinx=1
при
х=(–π/2)+2πk, k ∈ Z
sinx <0

или

cos2x=(1/2) ⇒ 2x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± (π/6)+πn, n ∈ Z

ОДЗ удовлетворяют корни из первой и второй четверти

Значит в ответе только
(π/6)+2πn, n ∈ Z и (–π/6)+π+2πk=(5π/6)+2πm, m ∈ Z


О т в е т. (π/6)+2πn; (5π/6)+2πm, n, m ∈ Z

Указанному отрезку принадлежат корни:

(π/6); (5π/6)