Задача 34821 а) log(sinx) (1+cos2x+cos4x) = 0 б)...
Условие
б) Укажите решение уравнения принадлежащее отрезку [0; Pi]
Решение
{sinx>0
{sinx ≠ 1
{1+cos2x+cos4x > 0
По определению логарифма:
[b]1+cos2x+cos4x=(sinx)^(0)[/b]
Так как 1+cos2x+cos4x=1 > 0, то третье неравенство для ОДЗ
1+сos2x+cos4x > 0 [b]можно не решать[/b], корни уравнения
будут ему удовлетворять.
Придется только проверить будут ли найденные корни удовлетворять первому и второму неравенству ОДЗ, что экономит время на экзамене.
[b]cos2x+cos4x=0[/b]
2cos^22x+cos2x-1=0
D=9
[b]cos2x=-1 [/b]⇒ 2x=π+2πk, k ∈ Z ⇒ [b]x=(π/2)+πk, k ∈ Z [/b]
не удовлетворяют ОДЗ
при х=(π/2)+2πk, k ∈ Z
sinx=1
при
х=(-π/2)+2πk, k ∈ Z
sinx <0
[b]или[/b]
[b]cos2x=(1/2) [/b] ⇒ 2x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± (π/6)+πn, n ∈ Z
ОДЗ удовлетворяют корни из первой и второй четверти
Значит в ответе только
(π/6)+2πn, n ∈ Z и (-π/6)+π+2πk=(5π/6)+2πm, m ∈ Z
О т в е т. [b] (π/6)+2πn; (5π/6)+2πm, n, m ∈ Z [/b]
Указанному отрезку принадлежат корни:
[b](π/6); (5π/6)[/b]
Все решения
