Задача 19928 sqrt(x-1/x) - sqrt(1-1/x) > (x-1)/x...
Условие
Решение
{x-(1/x) больше или равно 0;
{1-(1/x) больше или равно 0
{(x^2-1)/x больше или равно 0;
{(x-1)/x больше или равно 0
Cистема сводится к решению совокупности двух систем:
1)
{x > 0
{x^2-1 больше или равно 0
{x-1 больше или равно 0
или
{x < 0;
{x^2-1 меньше или равно 0
{x-1 меньше или равно 0
ОДЗ: x ∈ [-1;0) U[1;+ бесконечность)
Замена переменной
sqrt((x-1)/x)=t
t больше или равно 0 (!)
(x-1)/x=t^2 ⇒ x=1/(1-t^2) и
sqrt(x-1/x)=sqrt((1/(1-t^2)) - 1+t^2)
Неравенство принимает вид
sqrt((1/(1-t^2)) - 1+t^2) -t > t^2
или
sqrt((1/(1-t^2)) - 1+t^2) > t^2+t;
При t больше или равно 0
t^2+t больше или равно 0
Возводим в квадрат.
(1/(1-t^2)) -(1-t^2) > t^4+2t^3+t^2
1/(1-t^2) > t^4+2t^3+1
См решение графическое.
Строим график функции
у=1/(1-t^2) - красного цвета.
и
у=t^4+2t^3+1 - синего
Неравенству удовлетворяют те значения t, при которых красный график выше синего.
А вот ответ отобрать сложно. Не ясно в каких точках графики пересекаются
А также надо учесть, что
При x ∈ ОДЗ получаем, что
-1 меньше или равно (1/(1-t^2)) < 0
или
(1/(1-t^2)) больше или равно 1
