Задача 43437 Вычислить пределы функций, не...

89526809080

16 января 2020 г. в 19:09

Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

sova

17 января 2020 г. в 20:41

★

1)
Неопределенность 0/0

Числитель раскладываем на множители:

3x²–4x+1=(3x–1)(x–1)

Умножаем и числитель и знаменатель на выражение
√8+x+3


Получаем:

$=\lim_{x \to 1}\frac{(3x-1)(x-1)(\sqrt{8+x}+3)}{(\sqrt{8+x}-3)(\sqrt{8+x}+3)}=$

Применяем формулу разности квадратов a²–b²=(a–b)·(a+b)


$\lim_{x \to 1}\frac{(3x-1)(x-1)(\sqrt{8+x}+3)}{(\sqrt{8+x})^2-3^2}=\lim_{x \to 1}\frac {(3x-1)(x-1)(\sqrt{8+x}+3)}{8+x-9}=$

$=\lim_{x \to 1}\frac {(3x-1)(x-1)(\sqrt{8+x}+3)}{x-1}=$

Сокращаем (на x–1)

$=\lim_{x \to 1}(3x-1)(\sqrt{8+x}+3)=(3\cdot 1 -1)(\sqrt{8+1}+3)=$

$=2\cdot 6=12$

2) Неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим и числитель и знаменатель на x²


$=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{\sqrt[4]{x^8+1}+x}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^4+2}}{x^2}}=$


Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x² и
каждое слагаемое знаменателя делим на x²:

$\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{\sqrt[4]{x^8+1}}{x^2}+\frac{x}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^4+2}}{x^2}}$

Применяем свойства корня:

$\lim_{\to \infty }\frac{\sqrt[4]{\frac{x^8+1}{x^8}}+\frac{x}{x^2}}{\sqrt{\frac{x^4+2}{x^4}}}=$

$\lim_{\to \infty }\frac{\sqrt[4]{1+\frac{1}{x^8}}+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^4}}}=\frac{\sqrt[4]{1+0}+0}{\sqrt{1+0}}=1$


3) Неопределенность (0/0)

Умножаем и числитель и знаменатель на
√x+1+1

$\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{sinx}\cdot(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}=$

Применяем формулу разности квадратов и получаем:

$\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{sinx}\cdot(\sqrt{x+1}+1)}{x}=\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{sinx}}{\sqrt{x}}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x}}=1\cdot\frac{\sqrt{0+1}+1}{0}=\infty$