Задача 46418 ...

fear

2020-04-08 16:44:40

Решите неравенство log^2_7(x + 5) ≥ log_7(x - 2) ⋅ log_(x - 2)(x + 5).

sova

2020-04-08 17:12:05

[b]ODЗ[/b]:

{x+5>0 ⇒ x>-5
{x-2>0 ⇒ x>2
{x-2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
[b]x ∈ (2;3)U(3;+ ∞ )[/b]

По формуле перехода к другому основанию:

[m]log_{b}a=\frac{log_{c}a}{log_{c}b}[/m], a>0;b>0;c>0;b ≠ 1;c ≠ 1

[m]log_{7}(x-2)\cdot log_{x-2}(x+5)=\frac{log_{x-2}(x+5)}{log_{x-2}7}=log_{7}(x+5)[/m]

и неравенство принимает вид;

[m]log^{2}_{7}(x+5) ≥log_{7}(x+5) [/m]

или

[m]log_{7}(x+5) \cdot ( log_{7}(x+5)-1) ≥0 [/m]

Применяем обобщенный метод интервалов:

[m]log_{7}(x+5)=0[/m] ; [m] log_{7}(x+5)-1=0 [/m]

[m]x+5=1[/m] или [m]x+5=7[/m]

[m]x=-4[/m] или [m]x=2[/m]

__[red]+[/red]__ [-4] ____ [2] __[red]+[/red]___

С учетом ОДЗ

[b]x ∈ (2;3)U(3;+ ∞ )[/b]