Задача 27858 ...

u213111145117

22.05.2018

1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка
1) xy'–y=√x^2+y^2
2) (1–x^2)y'–2xy=1+x^2
3. Решить ДУ второго порядка и выполнить проверку
1) y''–4y'+4y=0

Помогите пожалуйста

SOVA

22.05.2018

★

1) Делим на х
y`-(1/x)y=sqrt(1+(y/x)^2)
Однородное уравнение первого порядка
Обозначим
y/x=u
y=x*u
y`=u+x*u` ( x`=1, x - независимая переменная)

u+x*u`-u=sqrt(1+u^2)
x*u`=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные
du/sqrt(1+u^2)=dx/x
Интегрируем
∫ du/sqrt(1+u^2)= ∫ dx/x
ln|u+sqrt(1+u^2)|=lnx+lnC
u+sqrt(1+u^2)=Cx
(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx
y+sqrt(x^2+y^2)=C - общее решение уравнения

2)
Перепишем
y`-(2x/(1-x^2))y=(1+x^2)/(1-x^2) (#)

линейное уравнение первого порядка.
Решаем однородное уравнение
y`-(2x/(1-x^2))y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные.
dy/y=(2x/(1-x^2))dx
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ (2x/(1-x^2))dx
ln|y|=-ln|1-x^2| +lnC
y=C/(1-x^2)

Метод вариации произвольной постоянной
y(x)=C(x)/(1-x^2)
y`=(C`(x)*(1-x^2)-(-2x)*C(x))/(1-x^2)^2

y`=C`(x)/(1-x^2) +(2x/(1-x^2)^2)*C(x)

Подставляем в (#)

C`(x)/(1-x^2) +(2x/(1-x^2)^2)*C(x)-(2x/(1-x^2))*(C(x)/(1-x^2))=(1+x^2)/(1-x^2);

C`(x)/(1-x^2) =(1+x^2)/(1-x^2);
C`(x)=(1+x^2);
C(x)= ∫ (1+x^2)dx=x+(x^3/3)+C

y=(x+(x^3/3)+C)/(1-x^2)

y=(x/(1-x^2))+(x^3/(3*(1-x^2))) +C/(1-x^2)

3)
y``-4y`+4y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^2-4k+4=0
D=16-16=0
k_(1)=k_(2)=2

y=C_(1)e^(2x)+C_(2)*x*e^(2x)

Проверка
y`=2C_(1)e^(2x)+C_(2)e^(2x)+2C_(2)*x*e^(2x)
y``=4C_(1)e^(2x)+2C_(2)e^(2x)+2C_(2)*e^(2x)+4C_(2)*x*e^(2x)

Подставляем в уравнение
4C_(1)e^(2x)+2C_(2)e^(2x)+2C_(2)*e^(2x)+4C_(2)*x*e^(2x) -
-4*(2C_(1)e^(2x)+C_(2)e^(2x)+2C_(2)*x*e^(2x))+
+4*(C_(1)e^(2x)+C_(2)*x*e^(2x))=0

Раскрыть скобки и убедиться, что слева 0