Задача 52466 Помогите решить неравенство...
Условие
Решение
{x ≠ 0
{(9/2)-2*7^(-x) >0 ⇒ 7^(-x) < 9/4 ⇒ x > log_(1/7)(9/4)=-log_(7)9+log_(7)4=log_(7)(4/9)
[red]x ∈ (log_(7)(4/9);0) U (0; + ∞ )[/red]
По свойству логарифма степени
[m]\frac{1}{x}log_{7}(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})=log_{7}(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})^{\frac{1}{x}}[/m]
1=log_(7)7
Логарифмическая функция с основанием 7 возрастает, поэтому
[m](\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})^{\frac{1}{x}}> 7[/m]
Возводим в степень (х):
[m]\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x}> 7^{x}[/m]
Квадратное неравенство относительно [m]7^{x}=t[/m]
[m]\frac{9}{2}-2\frac {1}{t}>t[/m]; t >0
2t^2-9t+4 <0
D=81-32=49
t_(1)=1/2; t_(2)=4
(1/2) < t < 4
Обратно:
(1/2) < 7^(x) < 4
[b]log_(7)(1/2) < x < log_(7)4[/b]
c учетом ОДЗ и так как log_(7) (4/9) < log_(7) (1/2)<0, а log_(7)4 > log_(7)1 =0
получаем ответ
[b](log_(7)(1/2) ;0) U (0; log_(7)4)[/b]