Задача 52466 ...

ladykaramel

15 июня 2020 г. в 19:18

Решить неравенство (1/x)log₇((9/2) – 2⋅7^–x) > 1

sova

15 июня 2020 г. в 19:38

★

ОДЗ:
{x ≠ 0
{(9/2)–2·7^–x >0 ⇒ 7^–x < 9/4 ⇒ x > log_1/7(9/4)=–log₇9+log₇4=log₇(4/9)

x ∈ (log₇(4/9);0) U (0; + ∞ )



По свойству логарифма степени

[m]\frac{1}{x}log_{7}(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})=log_{7}(\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})^{\frac{1}{x}}[/m]

1=log₇7

Логарифмическая функция с основанием 7 возрастает, поэтому

[m](\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x})^{\frac{1}{x}}> 7[/m]

Возводим в степень (х):

[m]\frac{9}{2}-2\cdot 7^{-x}> 7^{x}[/m]

Квадратное неравенство относительно [m]7^{x}=t[/m]

[m]\frac{9}{2}-2\frac {1}{t}>t[/m]; t >0

2t²–9t+4 <0

D=81–32=49

t₁=1/2; t₂=4

(1/2) < t < 4

Обратно:

(1/2) < 7^x < 4

log₇(1/2) < x < log₇4

c учетом ОДЗ и так как log₇ (4/9) < log₇ (1/2)<0, а log₇4 > log₇1 =0

получаем ответ

(log₇(1/2) ;0) U (0; log₇4)