Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 42425 На отрезке и двух его половинах...

Условие

На отрезке и двух его половинах построены полуокружности (в одной полуплоскости) длина отрезка равна а, найти площадь круга касающегося всех трех полуокружностей.

математика 8-9 класс 793

Решение

Полуокружность на отрезке АВ имеет центр в середине в точке О
Радиус этой полуокружности AO=OB=a/2

Центр полуокружности, построенной на АО обозначим K;
радиус АК=a/4

AK=KO=a/4

Центр полуокружности, построенной на ОВ обозначим М;
радиус MB=a/4

OM=MB=a/4

Пусть радиус окружности, касающейся трех полуокружностей х,
центр в точке Р (PO ⊥ AB)

РК=х+(а/4)
PM=x+(a/4)

OP=(a/2)-x

По теореме Пифагора из треугольника КОР:
PK^2=PO^2+KO^2

(x+(a/4))^2=((a/2)-x)^2+(a/4)^2 ⇒ [blue]x=a/6[/blue]

так как
(x+(a/4))^2-((a/2)-x)^2=(a/4)^2

Применяем формулу разности квадратов: [red]m^2-n^2=(m-n)(m+n)[/red]

(x+(a/4)-(a/2)+x)*([green]x[/green]+(a/4)+(a/2)[green]-x[/green])=(a/4)^2

(2x-(a/4))*(3a/4)=(a/4)^2

2x-(a/4)=a/12

2x=a/3

x=a/6


S=π*x^2=π*([blue]a/6[/blue])^2=[b]πa^2/36[/b]

О т в е т. πa^2/36

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК