Радиус этой полуокружности AO=OB=a/2
Центр полуокружности, построенной на АО обозначим K;
радиус АК=a/4
AK=KO=a/4
Центр полуокружности, построенной на ОВ обозначим М;
радиус MB=a/4
OM=MB=a/4
Пусть радиус окружности, касающейся трех полуокружностей х,
центр в точке Р (PO ⊥ AB)
РК=х+(а/4)
PM=x+(a/4)
OP=(a/2)-x
По теореме Пифагора из треугольника КОР:
PK^2=PO^2+KO^2
(x+(a/4))^2=((a/2)-x)^2+(a/4)^2 ⇒ [blue]x=a/6[/blue]
так как
(x+(a/4))^2-((a/2)-x)^2=(a/4)^2
Применяем формулу разности квадратов: [red]m^2-n^2=(m-n)(m+n)[/red]
(x+(a/4)-(a/2)+x)*([green]x[/green]+(a/4)+(a/2)[green]-x[/green])=(a/4)^2
(2x-(a/4))*(3a/4)=(a/4)^2
2x-(a/4)=a/12
2x=a/3
x=a/6
S=π*x^2=π*([blue]a/6[/blue])^2=[b]πa^2/36[/b]
О т в е т. πa^2/36