Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 13268 В квадрате ABCD, со стороной равной «а»...

Условие

В квадрате ABCD, со стороной равной «а» , точки P и Q – середины сторон AD и CD соответственно. Отрезки BP и AQ пересекаются в точке R

a) доказать, что около четырехугольников BCQR и DPRQ можно описать окружности
б) Найти расстояние между центрами этих окружностей.

математика 10-11 класс 5266

Решение

а) ∠AQD=∠BAQ - внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и CD и секущей AQ.

Прямоугольные треугольники АВР и AQD равны по двум катетам:
АВ=AD=a;
AP=CD=a/2.
Из равенства треугольников следует равенство углов:
∠APB=∠AQD;
∠ABP=∠QAD.

В прямоугольном треугольнике AQD сумма острых углов ∠QАD+∠AQВ=90 градусов.

Значит, в треугольнике ARP:
∠RAP+∠APR= 90 градусов
и ∠ARP=90 градусов, т. е прямые AQ и ВР взаимно перпендикулярны.

∠BCQ+∠BRQ=180 градусов
∠ADQP+∠QRP= 180 градусов
Значит, около четырехугольников BCQR и DPRQ можно описать окружности, так как суммы противоположных углов равны 180 градусов.

б) Так как
∠RAP=∠APR= 90 градусов
и
∠RAP=∠APR= 90 градусов, углы опирающиеся на диаметры соответствующих окружностей.

BQ и QP - диаметры.
O и O1- cередины диаметров.
ОО1- средняя линия треугольника ВQR.
Из треугольника АВР по теореме Пифагора:
BP^2=AB^2+AP^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4
BP=asqrt(5)/2
OO1=BP/2=asqrt(5)/4
О т в е т. б) asqrt(5)/4.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК