Задача 30576 В треугольнике АВС угол С тупой, а точка...

slava191

27 октября 2018 г. в 16:59

В треугольнике АВС угол С тупой, а точка D выбрана на продолжении АВ за точку В так, что угол ACD = 135 °. Точка D' симметрична точке D относительно прямой ВС, точка D'' симметрична точке D' относительно прямой АС и лежит на прямой ВС. Известно, что √3·ВС=СD'', AC=6.

А) Докажите, что треугольник CBD – равнобедренный
Б) Найдите площадь треугольника АВС [L16]

sova

28 октября 2018 г. в 12:59

★

Cм. рисунок.
а)
Δ СMD = Δ CMD' по построению симметричной точки D' ⇒
СD=CD'
Δ СPD' = Δ CPD'' по построению симметричной точки D''⇒
СD'=CD''

СD = CD' = CD''

BС – серединный перпендикуляр к DD' ⇒
BD=BD'

Обозначим
∠ СD'D= ∠ CDD'= α
∠ CD'D'' = ∠ CD''D'= β

Проведем DK ⊥ AC;
DK || D'D''
Δ CDK – прямоугольный равнобедренный треугольник.
∠CDK =∠ KСD=45^o

PD'DK – прямоугольная трапеция.
Cумма углов, прилежащих к стороне DD' равна 180^o
∠CDK +∠ СDD'+ ∠ DD'C+ ∠ CD'D'' =180^o ⇒
45^o+ α + α + β =180^o ⇒
2 α + β =135^o

В прямоугольном треугольнике MD'D''
сумма острых углов равна 90 ^o

∠ DD'C+ ∠ CD'D'' + ∠ CD''D' =90^o ⇒
α + β+β =90^o

Решаем систему двух уравнений:
{2 α + β =135^o
{α + 2β =90^o

Умножаем первое уравнение на 2:
{4α + 2β =270^o
{α + 2β =90^o

Вычитаем из первого второе
3α=180^o
α =60^o

Δ СDD' – равносторонний.
BD=BD' ⇒ B – равноудалена от двух вершин равностороннего треугольника, значит равноудалена и от третьей.
BD=BD'=ВС
BD=BC и значит Δ СBD – равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть BC=x, тогда из условия задачи СD'' = x·√3
так как в а) получено СD = CD' = CD'', то
СD= x·√3
Так как B – равноудалена от двух вершин равностороннего Δ СDD', то BD и ВС – биссектрисы ∠ СDD' и ∠ DСD'

Значит в треугольнике АВС:
∠ АВС=60 ^o;
∠ АСВ=105^о⇒
∠ BAC =15^o

По теореме синусов
АС: sin ∠ ABC= BC: sin ∠ BAC

BC=AC·sin15^o/sin60^o=6·sin15^o/(√3/2)= 12·sin15^o/√3

S _{Δ ABC}=(1/2)AC·BC·sin ∠ ACB=

=(1/2)·6·(12·sin15^о/√3)·sin105^o=[ sin105^o=cos15^o]

=(1/2)·6·(12·sin15^о/√3)·cos15^o=

=(2·sin15^o·cos15^o=sin30^o=1/2)=

=3√3

О т в е т. б) 3√3