Задача 22413 9.3.19) Найти площади фигуры...

slava191

15.01.2018

9.3.19) Найти площади фигуры ограниченной линиями: system{x=2+3cost; y=3+2sinx}

SOVA

15.01.2018

★

{cost=(x-2)/3
{sint=(y-3)/2
Возводим в квадрат и складываем
Это эллипс.
(x-2)^2/9+(y-3)^/4=1

Этот эллипс равновелик эллипсу
(x^2/9)+(y^2/4)=1
Параметрическое уравнение которого
{x=3cost
(y=2sint

[0;3] на оси Ох получаем
если t1=Pi/2 и t2=0
В силу симметрии достаточно вычислить четвертую часть искомой площади, результат умножить на 4.
S=4*∫^0_(Pi/2) y(t)*x^(t)dt=

= -4∫^(Pi/2) _(0) (2sint)*(-3sint)dt= 24∫^(Pi/2) _(0) (sin^2t)dt=

= 24∫^(Pi/2) _(0) (1-cos2t)/2dt=

=12t|^(Pi/2) _(0) -(3sin2t)|^(Pi/2) _(0) =6Pi