Задача 30421 ...

vk344135258

21 октября 2018 г. в 22:23

Даны комплексные числа z₁ и z₂ в алгебраической форме. Требуется найти: 1) z₁ + z₂; 2) z₁ – z₂; 3) z₁ / z₂; 4) z₁² – z₂.

9. z₁ = –3 + 3√3i ; z₂ = 2 + 2i

Даны комплексные числа z₁ и z₂ в алгебраической форме. Требуется: 1) представить z₁ и z₂ в тригонометрической форме; 2) найти: а) z₁³ ∙ z₂³; б) z₁² / z₂²; в) √z₂ и построить.

9. z₁ = –3 + 3√3i ; z₂ = 2 + 2i

sova

22 октября 2018 г. в 12:25

★

1
1)
z₁+z₂=(–3+3√3·i)+(2+2·i)=(–3+2)+(3√3+2)·i=–1+(3√3+2)·i;

2)
z₁–z₂=(–3+3√3·i)–(2+2·i)=(–3–2)+(3√3–2)·i=–5+(3√3–2)·i;

3) z₁·z₂=( – 3 + 3√3·i)·(2 +2 ·i)=
= – 6 + 6√3·i –6·i + 6√3·i²=
=(так как i²=–1)=
= – 6 + 6√3·i – 6·i – 6√3=
=(–6√3–6)+(6√3–6)·i

4) z₁/z₂=(–3+3√3·i)/(2+2·i) ( умножаем и числитель и знаменатель на (2–2·i))
=(–3+3√3·i)·(2–2·i)/(2+2·i)·(2–2·i)=

=(–6+6√3·i+6·i+6√3·i²)/(4 –4· i²)=

=((–6–6√3)+(6√3+6)·i)/(4+4)=

=(1/4)·(– 3 –3 √3) + (3√3 +3)·i

5) z²₁=(z₁)²=(– 3 + 3√3·i)²=

=9 – 18√3·i + 27·i²=

=9 – 18√3·i – 27=

=–18 –1 8 √3·i

z₂=2–2i

z²₁·z₂= ( – 18 – 18√3·i)·(2 –2 i) =

= – 36 –36·√3·i +36·i +36·√3·i²=

= – 36 –36·√3·i +36·i –36·√3=

= (–36–36√3) + (36–36√3)·i

2.
1)
z₁=(–3+3√3·i)

|z₁|=√(–3)²+(3√3)²=√9+27=√36=6
argz₁=phi

sin(phi)=y/|z₁|=3√3/6=√3/2
cos(phi)=x/|z₁)=–3/6=–1/2
phi=2π/3

z₁=6·(cos(2π/3)+i·sin(2π/3))

Аналогично

|z₂|=√2²+2²=√8=2√2

argz₂=ψ

sinψ=y/|z₂|=1/√2
cosψ=x/|z₂)=1/√2
ψ=π/4

z₂=2√2·(cos(π/4)+i·sin(π/4))

Применяем формулу Муавра (cм. приложение)
a)
z³₁=6²(cos3·(2π/3)+i·sin3·(2π/3))=36·(cos(2π)+i·sin(2π))=36(1+0·i)=36
z⁴₂=(2√2)⁴·((cos4·(π/4)+i·sin4·(π/4))=
=64·(cosπ+i·sinπ)= –6 4·(–1+0·)=–64

z³₁·z⁴₂=36·(–64)=–3304

б)
z⁵₁=6⁵(cos5·(2π/3)+i·sin5·(2π/3))=
=7776·(cos(10π/3)+i·sin(10π/3))=
=7776·((–1/2)+i·(–√3/2)=–3888–i·3888√3

z³₂=(2√2)³·((cos3·(π/4)+i·sin3·(π/4))=
= 16√2·(cos(3π/4)+i·sin(3π/4))= 16√2·(–√2/2)+i·(√2/2)=
=–16+16i·

z⁵₁/z³₂=(–3888–i·3888√3)/(–16+16·i))=

сокращаем на 16 и умножаем
и числитель и знаменатель на
(–1–i)

=(–243–i·243√3)·(–1–i)/(–1–1)=

=(–1/2)·(243–243√3)+(–1/2)·(243+243√3)

в)

z^1/4₂=(2√2)^1/4·cos(((π/4)/4)+(πk/2))+i·sin((((π/4)/4)+(πk/2))

k=0,1,2,3

при k=0
(z^1/4₂)₀=2^3/8·(cos(π/16)+i·sin(3π/16))

при k=1
(z^1/4₂)₁=2^3/8·(cos(9π/16)+i·sin(9π/16))

при k=2
(z^1/4₂)₂=2^3/8·(cos(17π/16)+i·sin(17π/16))

при k=3
(z^1/4₂)₂=2^3/8·(cos(25π/16)+i·sin(25π/16))
4 числа, которые являются ответом.
Их расположение на рисунке.