Задача 12455 Найдите наибольшее значение функции...

slava191

21.12.2016

Найдите наибольшее значение функции y=42x/Pi - 12sinx на отрезке [0; Pi/6]

SOVA

21.12.2016

★

y`=(42/π)-12cosx;
y`=0
(42/π)-12cosx=0
(42/π)=12cosx
cosx=7/2π
Так как |cosx| меньше или равно 1,
7/2π > 1 уравнение не имеет корней.
На [0; π/6] производная положительна
Функция у= cosx убывает на [0; π/6].
Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
0 < x < π/6⇒
cos π/6 < cosx < cos0=1⇒
sqrt(3)/2 < x < 1
Умножим неравенство на -12.
-12 < -12cosx < -6sqrt(3)
Прибавим ко всем частям неравенства
(48/π)-12 < (48/π)-12cosx < (48/π)-6sqrt(3)

(48/π)-12=(48-12π)/π > 0
y`=(42/π)-12cosx > (48/π)-12 > 0 на [0; π/6]

Значит наибольшее значение функции в точке х= π/6
у( π/6)=7-12*(1\2)=7-6=1