Задача 12455 Найдите наибольшее значение функции...

slava191

21 декабря 2016 г.

Найдите наибольшее значение функции y=42x/π – 12sinx на отрезке [0; π/6]

SOVA

21 декабря 2016 г.

★

y`=(42/π)–12cosx;
y`=0
(42/π)–12cosx=0
(42/π)=12cosx
cosx=7/2π
Так как |cosx| ≤ 1,
7/2π > 1 уравнение не имеет корней.
На [0; π/6] производная положительна
Функция у= cosx убывает на [0; π/6].
Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
0 < x < π/6⇒
cos π/6 < cosx < cos0=1⇒
√3/2 < x < 1
Умножим неравенство на –12.
–12 < –12cosx < –6√3
Прибавим ко всем частям неравенства
(48/π)–12 < (48/π)–12cosx < (48/π)–6√3

(48/π)–12=(48–12π)/π > 0
y`=(42/π)–12cosx > (48/π)–12 > 0 на [0; π/6]

Значит наибольшее значение функции в точке х= π/6
у( π/6)=7–12·(1\2)=7–6=1