Задача 35503 Вариант 10. Даны комплексные числа...

valdisshy

8 апреля 2019 г. в 08:05

Вариант 10.
Даны комплексные числа z1=–4i и z2=3–9i
№ 1. Найти действительные и мнимые части z1 и z2.
№ 2. Изобразить на комплексной плоскости z1 и z2.
№ 3. Записать z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах.
№ 4. Вычислить z=2z1–10z2 в алгебраической форме.
№ 5. Вычислить z=z1+z2 в алгебраической форме.
№ 6. Вычислить z=z1/z2 в алгебраической форме.
№ 7. Вычислить z=(z1⁷) по формуле Муавра.
№ 8. Вычислить z=(z1¹/2).
№ 9. Вычислить z=exp(z2).
№ 10. Вычислить z=Ln(z1).
№ 11. Вычислить z=(z2^–1).

sova

8 апреля 2019 г. в 09:00

z₁=–4i; z₂=3–9i;

1)
Rez₁=x₁=0; Imz₁=y₁=–4
Rez₂=x₂=3; Imz₂=y₂=–9

2)
Cм.рис.

3)
|z₁|=4
argz₁=phi

sin(phi)=y₁/|z₁|=–4/4=–1
cos(phi)=x₁/|z₁)=0/4=0
phi=–π/2

z₁=4·(cos(–π/2)+i·sin(–π/2)) – в тригоном. форме

z₁=4e^–iπ/2– в показ форме


|z₂|=√3²+(–9)²=√90=3√10

argz₂=ψ

sinψ=y/|z₂|=–9/3√10=–3√10/10
cosψ=x/|z₂)=3/3√10=√10/10
tgψ=–3
ψ=arctg (–3)

z₂=3√10·(arctg (–3)+i·arctg (–3))– в тригоном. форме

z₂=3√10·e^–iarctg3в показ форме
4)

z=2·z₁–10z₂=2·(–4i)–10·(3–9i)=–8i–30+90i= –30+81i


5)
z=z₁·z₂=(–4i)·(3–9i)=–12i+36i²=–36–12i

6)

z=z₁/z₂=(–4i)/(3–9i)= (4i)·(3+9i)/(3–9i)·(3+9i)=(12i+36i²)/(3²–(9i)²)=(12i–36)/90=(12/90)i–(36/90)=(–4/10)+(4/30)i

7)
Применяем формулу Муавра

z⁷₁=4⁷·(cos7·(–π/2)+i·sin7·(–π/2))=

=4⁷·(cos(–7π/2)+i·sin(–7π/2))=4⁷·(cos((–3π/2)+i·sin(–3π/2))=

=4⁷·i

8)

z^1/2₁=(4)^1/2·cos((–π/2)/2)+(2πk/2))+i·sin(((–π/2)/2)+(2πk/2))

k=0,1

при k=0
(z^1/2₁)₀=2(cos(–π/4)+i·sin(–π/4))=2·((√2/2) + i·(–√2/2) )= √2–i·√2

при k=1
(z^1/4₁)₁=2·(cos((–π/4)+π)+i·sin((–π/4)+π))=

=2· ((–√2/2) + i·(√2/2) )= –√2+i·√2