Задача 13913 ...

vk238952583

21 февраля 2017 г.

8. ∫(2x² – 3x + 3) / (x³ – 2x² + x) dx

9. ∫ dx / x(x³ + 1)

10. ∫ √(x + 9) / x dx

SOVA

21 февраля 2017 г.

★

1) Раскладываем знаменатель на множители
x³–2x²+x=x·(x²–2x+1)=x·(x–1)²
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие дроби:
(А/х) + (В/(х–1))+(С/(х–1)²)=(2x²–3x+3)/(x·(x–1)²).
Приводим дроби слева к общему знаменателю и приравниваем числители:
A·(x–1)²+Bx·(x–1)+Cx=2x²–3x+3
При х=0
А=3
При х=1
С=2
При х=2
А+2В+2С=8–6+3⇒ В=–1
Данный интеграл равен сумме трех интегралов:
∫(3dx/х) + ∫(–dx/(х–1))+∫(2dx/(х–1)²)
О т в е т. 3ln|x|–ln|x–1|–(3/(x–1))+C
2)
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие дроби:
(А/х) + ((Mx+N)/(х²+1))=(1)/(x·(x²+1)).
Приводим дроби слева к общему знаменателю и приравниваем числители:
A·(x²+1)+(Mx+N)·x=1
Ax²+A+Mx²+Nx=1
{A+M=0 ⇒ M=–A=–1
{N=0
{A=1
Данный интеграл равен сумме двух интегралов:
∫(dx/х) + ∫(–хdx/(х²+1))
О т в е т. ln|x|–(1/2)ln|x²+1|+C
3)
Замена переменной
√x+9=t
Возводим в квадрат
х+9=t²
dx=2tdt
Данный интеграл равен
∫(2t²dt)/(t²–9)=2·∫(t²–9+9)dt/(x²–9)=

=2∫(1+(9/(t²–9)))dt=2t+(9/2·3)ln|(t–3)/(t+3)|+C=

=2√x+9+(3/2)·ln|(√x+9–3)/(√x+9+3)|+C