Задача 38456 lg^2(х+2)^2(х+5)/5 < lg^2 (x+5)/20...
Условие
Решение
{(x+2)^2*(x+5)/5 >0 ⇒ _-_ ( -5) _+__ (-2) _+_ ⇒ х ∈ (-5;-2)U(-2;+ ∞)
{ (x+5)/20 >0 ⇒ x > -5 ⇒ x ∈ (-5;+ ∞ )
ОДЗ: х ∈ (-5;-2)U(-2;+ ∞)
lg^2(х+2)^2(х+5)/5 < lg^2 (x+5)/20
lg^2(х+2)^2(х+5)/5 - lg^2 (x+5)/20 <0
По формуле разности квадратов:
(lg(х+2)^2(х+5)/5 - lg (x+5)/20) *(lg(х+2)^2(х+5)/5 + lg (x+5)/20) < 0
Разность логарифмов заменим логарифмом частного, сумму логарифмов - логарифмом произведения
lg(4(x+2)^2) * lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) < 0
Произведение отрицательно, значит множители имеют разные знаки.
Получаем совокупность двух систем
(1)
{lg(4(x+2)^2)>0
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) < 0
или
(2)
{lg(4(x+2)^2)<0
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) > 0
0=lg1
(1)
{lg(4(x+2)^2)>lg1
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) < lg1
или
(2)
{lg(4(x+2)^2)<lg1
{lg((x+2)^2*(x+5)^2/100) > lg1
y=lgt - возрастает,
(1)
{4(x+2)^2>1 ⇒ (2(х+2)-1)(2(х+2)+1) >0
{(x+2)^2*(x+5)^2/100) < 1⇒((x+2)(x+5)/10 - 1)*((x+2)(x+5)/10 + 1) <0
или
(2)
{4(x+2)^2)<1⇒ (2(х+2)-1)(2(х+2)+1) < 0
{(x+2)^2*(x+5)^2/100) > 1⇒((x+2)(x+5)/10 - 1)*((x+2)(x+5)/10 + 1) >0
(1)
{ (2х+3)(2х+5) >0 ⇒ x < -2,5 или х > -1,5
{(x^2+7x)(x^2+7x+20) <0⇒ x^2+7x < 0 ⇒ - 7 < x < 0
о т в е т. (1) (-7;-2,5)U(-1,5;0)
или
(2)
{(2x+3)(2x+5) < 0⇒ -2,5 < x < -1,5
{(x^2+7x)(x^2+7x+20) > 0⇒x^2+7x >0 ⇒ x < -7 или x >0
о т в е т (2) нет решений
Объединяем ответы (1) и (2) и с учетом ОДЗ
получаем
О т в е т. [b](-5; -2,5)U(-1,5;0)[/b]