Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 8 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
математика 10-11 класс
50182
т.к. кузнец делает четное количество прыжков Наш кузнечик не может допрыгнуть до нечетных модулей точек, это -1 -3 -5 -7 1 3 5 7.
До всех четных точек кузнец допрыгает (например допрыгал до нужно точки, а шаги остались, можно прыгать назад вперед до конца прыжков). Точек 9 (включая начало координат)
Ответ: 9
Вопросы к решению (3)
почему точек 9, а не 7(включая начало координат)?
9 пересчитай, 24680-2-4-6-8
Пусть изначально кузнечик находится в точке 0. Каждый прыжок кузнечика равен единичному отрезку. После первого прыжка он может оказаться либо в точке 1, либо в точке -1. Значит существует 2 варианта: 1; -1. Второй прыжок. 1)Из точки 1 кузнечик может прыгнуть либо в 0, либо в 2. 2)Из точки -1 - в точку -2 или 0. Поэтому всего 3 варианта: -2, 0, 2. Третий прыжок 1)Ииз точки -2 кузнечик может попасть либо в -3, либо в -1; из 2)Из точки 0 - либо в 1, либо в -1 3)Из точки 2 - либо в 1, либо в 3. Получаем 4 варианта: -3, -1, 1, 3. Четвертый прыжок. Аналогично рассуждая получаем пять вариантов. -4, -2, 0, 2, 4. Пятый прыжок получаем шесть вариантов: -5, -3, -1, 1, 3, 5.
Проанализируем ситуацию.
Первый прыжок - два варианта.
Второй прыжок - три варианта.
Третий прыжок - четыре варианта.
Четвертый прыжок - пять вариантов
....
Восьмой прыжок - девять вариатов.
Все точки , в которых может оказаться кузнечик на k-ом прыжке описываются формулой 2n+k, -k≤n≤0.
а их количество соответственно равно k+1.
Кузнечик делает 8 прыжков, значит k = 8. Всевозможные точки, в которых может оказаться кузнечик, описываются формулой : 8+2n, -k≤n≤0.
Точки, в которых может оказаться кузнечик: -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8.
Их количество k+1 = 8+1 = 9.
Ответ: 9.
